Mathematik fur Okonomen

Springer-Lehrbuch

Frank Riedel · Philipp Wichardt

Mathematik für Ökonomen

Mit 24 Abbildungen

123

Professor Dr. Frank Riedel Dr. Philipp Wichardt Institut für Wirtschaftstheorie III Rechts- und Staatswissenschaftliche Fakultät Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn Adenauerallee 24-26 53113 Bonn [email protected] [email protected]

ISSN 0937-7433 ISBN 978-3-540-68872-3 Springer Berlin Heidelberg New York

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet ¨ uber http://dnb.d-nb.de abrufbar. Dieses Werk ist urheberrechtlich gesch¨ utzt. Die dadurch begr¨ undeten Rechte, insbesondere die der ¨ bersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der FunkU sendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielf¨ altigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielf¨ altigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zul¨ assig. Sie ist grunds¨ atzlich verg¨ utungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2007 Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten w¨ aren und daher von jedermann benutzt werden d¨ urften. Herstellung: LE-TEX Jelonek, Schmidt & V¨ ockler GbR, Leipzig Umschlaggestaltung: WMX Design GmbH, Heidelberg SPIN 11959274

43/3100YL - 5 4 3 2 1 0

Gedruckt auf s¨ aurefreiem Papier

Vorwort

Sp¨atestens seit Mitte des zwanzigsten Jahrhunderts l¨asst sich ein klarer Trend hin zu einer Mathematisierung in den Wirtschaftswissenschaften feststellen - und das aus gutem Grund! Wissenschaft erfordert logische Klarheit, und die Mathematik erlaubt es, Sachverhalte in einer Klarheit auszudr¨ ucken, die mit Worten allein oft nicht zu erreichen ist. Auch in der wirtschaftswissenschaftlichen Praxis spielt die Mathematik eine zunehmend wichtige Rolle. Mit Hilfe mathematischer Methoden werden heute zum Beispiel Optionsscheine an der B¨orse bewertet oder Vergabemechanismen wie die UMTS–Auktion entworfen. Zudem bildet die Mathematik die Basis f¨ ur empirisches Arbeiten mit Hilfe statistischer ¨ Methoden. In allen Arbeitsfeldern des Okonomen ist somit eine gute ¨okonomische Intuition gepaart mit mathematischem Sachverstand unerl¨asslich geworden. Ziel dieses Buches ist es, angehenden Wirtschaftswissenschaftlern das n¨otige mathematische Wissen f¨ ur ihre sp¨atere Arbeit zu vermitteln. Im Unterschied zu vielen anderen Lehrb¨ uchern beschr¨ankt sich dieses Buch nicht auf ein reines Aufreihen der verschiedenen Regeln, S¨atze und Theoreme sowie einiger mathematischer Beispiele. Vielmehr haben wir versucht, dar¨ uber hinaus wichtige Aussagen auch zu beweisen, um dem Leser ein Verst¨ andnis f¨ ur die Richtigkeit mathematischer Aussagen zu vermitteln. Zudem soll ein Studium der verschiedenen Beweise dem interessierten Leser erlauben, sich das n¨otige Handwerkszeug anzueignen, um die G¨ ultigkeit mathematischer Aussagen nicht nur nachvollziehen, sondern auch selbst nachweisen zu k¨onnen. Des Weiteren haben wir uns bem¨ uht, die Bedeutung aller wesentlichen behandelten mathematischen Methoden auch anhand von ¨okonomischen Beispielen vorzuf¨ uhren. So soll dem Leser schon beim Studium der ma-

VI

Vorwort

thematischen Methoden vermittelt werden, wo und wie diese in den Wirtschaftswissenschaften zum Einsatz kommen. Wir bedanken uns bei den vielen Kollegen, Tutoren und Studierenden, die mit ihren Kommentaren und Anregungen zu diesem Buch beigetragen haben. Auf Studierendenseite m¨ochten wir Marcelo Cadena, Dennis Eggert, Gerrit Frackenpohl, Jan Hebebrand, Daniel Metzger, Martin Sallge, Stefan Schramm, Philipp Strack und Dominic Wostrack pers¨onlich erw¨ ahnen. Auf Kollegenseite danken wir besonders Matthias Blonski, J¨ org Gutsche sowie Reinhard John f¨ ur wertvolle Unterst¨ utzung. Dem unerm¨ udlichen Korrekturlesen von Wiebke Auli Wichardt schließlich ist es zu verdanken, dass dieses Buch der (derzeit) neuesten Rechtschreibung folgt. Daf¨ ur an dieser Stelle herzlichen Dank. Alle verbliebenen Fehler gehen auf unsere Rechnung.

Bonn, im November 2006

Frank Riedel und Philipp Wichardt

An die Studierenden

F¨ ur Sie ist dieses Buch geschrieben — uns ist bewusst, dass wir damit ¨ einiges von Ihnen verlangen. Wir sind aber der festen Uberzeugung, dass es sich lohnt! Wenn Sie die in diesem Buch beschriebenen mathematischen Methoden beherrschen, werden Sie f¨ ur den Rest Ihres Studiums in vielen Veranstaltungen froh sein, die mathematischen Argumente leicht verfolgen zu k¨ onnen. Zugegeben, Mathematik wird oft als eher trocken wahrgenommen, insbesondere, wenn viel Stoff in relativ kurzer Zeit behandelt werden soll bzw. muss. Wir haben uns aber bem¨ uht, dieses Buch m¨oglichst leicht verdaulich zu gestalten, ohne dabei auf wichtige Inhalte zu verzichten. Wir w¨ unschen Ihnen viel Spaß f¨ ur dieses Abenteuer und freuen uns auf Ihre Kommentare.

An die Dozenten

Dieses Buch ist im Wesentlichen aus den Aufzeichnungen zu den Grundstudiumsveranstaltungen Mathematik 1 und 2 der Wirtschaftswissenschaftlichen Fakult¨ at der Universit¨ at Bonn entstanden. Wir unterrichten im Wintersemester stets die Analysis I (also Teile I und II des Buches); dies ben¨ otigt etwa 10 Wochen. Hier kann man die Kapitel 1 und 2 zun¨ achst auslassen und die ben¨otigten Details zu Zahlen oder Mengen dann bei Bedarf einstreuen. Will man schnell zu den eigentlichen Themen der Differenzierbarkeit, Integration und Optimierung vorstoßen, bietet es sich auch an, Kapitel 4 und 6 u ¨ber (stetige) Funktionen eher kursorisch zu behandeln. In den abschließenden Wochen des ersten Semesters besch¨ aftigen wir uns mit den Grundbegriffen der linearen Algebra, also Kapitel 10 und 11 bis zum Gauß’schen Algorithmus. Im Sommersemester behandeln wir dann die Themen der linearen Algebra, die man f¨ ur die Optimierung ben¨ otigt, insbesondere also Definitheit und Determinanten. Anschließend besch¨aftigen wir uns mit Analysis II und Optimierung. Auch hier kann man das Kapitel 13 u ¨ber Topologie zun¨achst oberfl¨ achlich behandeln. Je nach Bedarf kann man dann die lineare und nichtlineare Programmierung oder aber die weiterf¨ uhrenden Themen wie Korrespondenzen und Fixpunkts¨atze vertiefen. Bei vierst¨ undigen Veranstaltungen bietet es sich an, auch die Beweise einzubeziehen; f¨ ur eine zweist¨ undige Veranstaltung sollte man sich auf die intuitive Erl¨ auterung der S¨ atze beschr¨anken.

Inhaltsverzeichnis

Teil I Grundlagen 1

Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Grundz¨ uge der Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Geordnete Paare und kartesische Produkte . . . . . . . . . . . .

5 5 7 8

2

Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Die nat¨ urlichen Zahlen N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Die ganzen Zahlen Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Die rationalen Zahlen Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Die reellen Zahlen R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Die komplexen Zahlen C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 11 12 14 15 19

3

Vollst¨ andige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.1 Das Induktionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2 Induktive Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Teil II Analysis I 4

Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Umkehrbarkeit von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Unendliche Weiten: Mengenvergleiche . . . . . . . . . . . . . . . . .

35 35 41 43

5

Folgen und Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.1 Der Begriff der Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.2 Die Konvergenz von Folgen und der Grenzwertbegriff . . . 50

XII

Inhaltsverzeichnis

5.3 5.4 5.5 5.6

Absch¨ atzungen f¨ ur und Rechnen mit konvergenten Folgen Divergenz gegen unendlich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teilfolgen und H¨ aufungspunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Unendliche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55 58 60 62

6

Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen . . . . . . . . . . . . 6.2 Zwischenwertsatz und Gleichgewichte . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Umkehrsatz f¨ ur monotone Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Wurzel-, Potenz- und Logarithmusfunktion . . . . . . . . . . . .

73 74 77 79 80

7

Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 7.1 Grundlagen der Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 7.2 Die Regel von de l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

8

Optimierung I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 8.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 8.2 Lokale Extrema I: Notwendige Bedingung . . . . . . . . . . . . . 101 8.3 Der Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 8.4 Konvexe und konkave Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 8.5 Lokale Extrema II: Hinreichende Bedingung . . . . . . . . . . . 110 ¨ 8.6 Prozentuale Anderungen: Elastizit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

9

Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 9.1 Riemann’sche Summen und Definition des Integrals . . . . . 119 9.2 Haupts¨ atze der Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 9.3 Zwei wichtige Integrationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 9.4 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 9.5 Taylorentwicklung und Taylorreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Teil III Lineare Algebra 10 Vektorr¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 10.1 Der Begriff des Vektorraums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 10.2 Lineare Unabh¨ angigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 10.3 Lineare Abbildungen und Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 10.4 Skalarprodukt und L¨ ange von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . 168

Inhaltsverzeichnis

XIII

11 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 11.1 Abstrakte L¨ osungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 11.2 Der Gauß’sche Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 11.3 Quadratische lineare Gleichungssysteme und Matrizen . . 192 11.4 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 12 Weiterfu ¨ hrende Themen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 12.1 Quadratische Formen und Definitheit . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 12.2 Eigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

Teil IV Analysis II 13 Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 13.1 Normierte Vektorr¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 13.2 Stetigkeit und Kompakta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 14 Differentialrechnung im Rp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 14.1 Graphische Darstellung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 247 14.2 Partielle Ableitung und Richtungsableitung . . . . . . . . . . . . 248 14.3 Ableitung und totales Differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 14.4 Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 14.5 Implizite Funktionen und Umkehrsatz . . . . . . . . . . . . . . . . 262 14.6 Taylorentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 15 Optimierung II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 15.1 Extrema ohne Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 15.2 Konvexe Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 15.3 Nebenbedingungen in Form von Gleichungen: Lagrange . 282 15.4 Komparative Statik: Der Einh¨ ullendensatz . . . . . . . . . . . . 288 15.5 Nebenbedingungen in Form von Ungleichungen: Kuhn–Tucker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 15.6 Lineare Programmierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 16 Weiterfu ¨ hrende Themen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 16.1 Mengenwertige Funktionen: Korrespondenzen . . . . . . . . . . 305 16.2 Fixpunkts¨ atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 A Kleine Vokabelsammlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

Abbildungsverzeichnis

2.1

Polarkoordinaten f¨ ur komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.1 4.2

Urbild einer Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Die Verkettung von Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.1

Die alternierende harmonische Reihe. . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.1 6.2 6.3

Fixpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Stetigkeit der Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Exponentialfunktion und Logarithmus, sowie die Winkelhalbierende. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

7.1

Ableitung der Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5

Supremum am Rande, kein Maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Der Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Konvexit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Tangenten einer konvexen Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Randmaximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

9.1

Riemann’sche Treppenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

11.1 Regel von Sarrus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 12.1 Das Paraboloid x21 + x22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 12.2 Die Sattelfl¨ ache x21 − x22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 13.1 Dreiecksungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 13.2 Randpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

XVI

Abbildungsverzeichnis

14.1 H¨ohenlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 15.1 Lineare Programmierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 15.2 Lineare Programmierung II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 16.1 Korrespondenzen I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 16.2 Korrespondenzen II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

Teil I

Grundlagen

Einfu ¨ hrung

Ziel des ersten Teils dieses Buches ist es, einige grundlegende Konzepte der Mathematik einzuf¨ uhren und zu besprechen: den Begriff der Menge, die Zahlen von den nat¨ urlichen Zahlen bis hin zu den komplexen Zahlen sowie das Prinzip der vollst¨ andigen Induktion. Insbesondere die Kapitel u ¨ber Mengen und Zahlen geben dabei Gelegenheit, sich langsam und anhand weitgehend wohlbekannter Konzepte an die formale Sprache der Mathematik zu gew¨ohnen. Dennoch dient die formale Behandlung dieser Begriffe nicht nur der Gew¨ohnung an Methoden und Sprache. Vielmehr ist es so, dass alle Themen, die in den weiteren Abschnitten dieses Buches behandelt werden, in der einen oder anderen Weise mit abstrakten Mengen oder Mengen von Zahlen zu tun haben. Um ein gutes Verst¨ andnis dieser weiterf¨ uhrenden Konzepte und Methoden zu entwickeln, ist es daher wichtig, ein klares Bild ihrer Grundlagen zu besitzen und nicht nur eine vage Intuition. Dies zu erm¨oglichen ist ein Ziel dieses Abschnitts. Den Abschluss des Grundlagenabschnitts bildet schließlich ein Kapitel u andigen Induktion. Darin befassen wir ¨ber das Prinzip der vollst¨ uns auf¨ uhrlich mit einer Methode, die es uns erlaubt, einen bestimmten Typ mathematischer Aussagen formal zu definieren bzw. auf ihre Richtigkeit zu pr¨ ufen (zu beweisen). Unabh¨angig von der speziellen Methode selbst, der vollst¨ andigen Induktion, geben wir damit also auch einen ersten Einblick in die logische Struktur mathematischer Beweise, wie sie uns im weiteren Verlauf des Buches noch mehrfach und in unterschiedlichster Form begegnen werden.

1 Mengen

Die moderne Mathematik baut auf dem Konzept der Menge auf. Doch nicht nur in der Mathematik ist der Begriff der Menge von zentraler Bedeutung. Auch formale ¨ okonomische Modelle beginnen stets damit, die Mengen zu beschreiben, die man untersucht. Beispielsweise spezifiziert man die Menge aller Dinge, die eine Gesellschaft produzieren oder konsumieren kann, die Menge aller Strategien, die ein Unternehmer w¨ahlen kann, oder die Menge aller Arbeitsvertr¨ age, die eine Gewerkschaft blockieren will usw. Es ist daher wichtig, ein klares Bild vom Begriff der Menge zu haben. Ein solches zu vermitteln ist das Ziel dieses Kapitels.

1.1 Grundzu ¨ ge der Mengenlehre Eine Menge ist zun¨ achst einmal eine Zusammenfassung von unterschiedlichen Objekten, die man als Elemente dieser Menge bezeichnet (z.B. verschiedene Konsumpl¨ ane). Ist e Element einer Menge M , so schreibt man daf¨ ur e ∈ M (sprich: e Element von M , oder e ist in M ); ist e hingegen nicht Element von M , so schreibt man e ∈ / M (sprich: e nicht Element von M , oder e ist nicht in M ). Einfache Mengen beschreibt man, indem man alle ihre Elemente, in geschweifte Klammern eingefaßt, vollst¨ andig aufz¨ahlt. Beispielsweise beschreibt der Ausdruck {a, e, i, o, u} die Menge aller Vokale des lateinischen Alphabets. Oft verwendet man zur Abk¨ urzung Auslassungspunkte (. . .). So wird jeder {a, b, c, d, e, . . . , z} unzweideutig als die Menge aller kleinen Buchstaben des lateinischen Alphabets und {2, 4, 6, 8, 10, . . .} als die Menge aller positiven geraden Zahlen erkennen. Man kann Mengen auch durch eine Eigenschaft beschreiben, welche die Elemente der Menge auszeichnet. So kann man beispielsweise die

6

1 Mengen

Menge aller positiven geraden Zahlen auch als {x ∈ Z | x > 0 und x ist durch 2 teilbar} schreiben, wobei Z die Menge aller ganzen Zahlen bezeichnet. Man beachte, dass dabei zuerst angegeben wird, welche Objekte u ¨berhaupt in Frage kommen; hier die ganzen Zahlen Z. Die geforderte Eigenschaft folgt danach, getrennt durch einen sekrechten Strich “|”, der als “f¨ ur die gilt” zu lesen ist. Die Menge, welche keine Elemente enth¨ alt, nennt man die leere Menge. Sie wird mit ∅ bezeichnet. Man denke sich den Fall, in dem eine Menge durch eine Eigenschaft definiert ist, welche kein zugelassenes Objekt besitzt; etwa die Menge M = {x ∈ Z | 0 < x < 1}. Da es keine ganze Zahl gibt, welche die geforderte Bedingung erf¨ ullt, d.h. welche echt gr¨osser als 0 und gleichzeitig echt kleiner als 1 ist, ist M leer, und man schreibt M = ∅. Gilt f¨ ur zwei Mengen A und B, daß jedes Element von A auch Element von B ist, so heißt A auch Teilmenge von B, und B heißt Obermenge von A. Man schreibt A ⊆ B und B ⊇ A. Existiert dar¨ uber hinaus ein Element von B, welches nicht Element von A ist, so heißt A echte Teilmenge von B, und man schreibt A ⊂ B bzw. B ⊃ A. Gilt f¨ ur zwei Mengen A und B sowohl A ⊆ B als auch B ⊆ A, so sind diese Mengen gleich, A = B. Zwei Mengen sind also genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten. Zum Beispiel gilt {1, 3, 5} = {5, 3, 1}. Insbesondere kommt es nicht auf die Reihenfolge der Elemente an. Die Gleichheit zweier Mengen A und B beweist man im Allgemeinen dadurch, dass man zeigt, dass sowohl A ⊆ B als auch B ⊆ A erf¨ ullt ist. Ein solches Vorgehen ist insbesondere dann notwendig, wenn A und B nicht durch explizites Aufz¨ ahlen der jeweiligen Elemente, sondern durch (unterschiedliche) Eigenschaften definiert sind. Der Umstand, dass zwei Mengen A und B ungleich sind oder aber A nicht Teilmenge bzw. nicht echte Teilmenge von B ist, wird durch die Ausdr¨ ucke A = B, A ⊆ B bzw. A ⊂ B beschrieben. Beispiel 1.1. Sei M = {2, 3, 4}, N = {2, 4}, P = {4, 3, 2} und Q = {{2}}. Dann gilt: N ⊆ M ⊆ P , N ⊂ M und M ⊂ P . Ferner haben wir M = P, 2 ∈ M, 3 ∈ / N , sowie Q ⊂ M . Die Menge aller Teilmengen einer Menge M heißt Potenzmenge von M und wird mit P(M ) bezeichnet. Da die leere Menge Teilmenge einer jeden Menge ist, geh¨ ort die leere Menge stets zur Potenzmenge dazu, d.h. f¨ ur alle Mengen M gilt ∅ ∈ P(M ).

1.2 Mengenoperationen

7

Beispiel 1.2. a) Gegeben sei die Menge M = {1, 2, 3}. Als Potenzmenge dieser Menge ergibt sich P(M ) = { ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} . b) Gegeben sei die Menge aller Vokale V = {a, e, i, o, u}. Dann gilt P(V ) = {W | W ist eine Menge mit h¨ ochstens 5 Elementen, deren Elemente allesamt Vokale sind }. c) Die Potenzmenge der leeren Menge ist P(∅) = { ∅}, da, wie oben bereits erw¨ahnt, f¨ ur jede Menge M ∅ ∈ P(M ) gilt. Die Anzahl der Elemente einer endlichen Menge M nennt man die M¨ achtigkeit der Menge M . Sie wird mit |M | bezeichnet. Die M¨achtigkeit unendlicher Mengen untersuchen wir in Kapitel 4.3.

1.2 Mengenoperationen F¨ ur Mengen sind verschiedene Operationen definiert, die jeweils zwei Mengen zu einer neuen Menge verkn¨ upfen. So ist die Vereinigung zweier Mengen A und B definiert als die Menge, die alle Elemente umfasst, welche entweder in A oder in B oder in A und B enthalten sind; man schreibt daf¨ ur A ∪ B. Der Durchschnitt oder Schnitt zweier Mengen A und B ist definiert als die Menge aller Objekte, die sowohl Element von A als auch Element von B sind; man schreibt f¨ ur diese Menge A ∩ B. Ist der Durchschnitt zweier Mengen A und B leer, ist also A ∩ B = ∅, so bezeichnet man die Mengen A und B als disjunkt. Beispiel 1.3. Sei M = {1, 2, 3} und N = {3, 4}. Dann gilt M ∩ N = {3} und M ∪ N = {1, 2, 3, 4}. Beachte, dass 3 sowohl in M als auch in N liegt. Trotzdem wird es in M ∪ N nicht doppelt aufgef¨ uhrt. Vereinigung und Durchschnitt kann man nicht nur f¨ ur zwei, sondern f¨ ur beliebig viele Mengen definieren. Sei I eine nichtleere (Index-) Menge und f¨ ur jedes i ∈ I eine weitere Menge Mi gegeben. Dann heißt
M die Vereinigung der Mengen (Mi )i∈I . Sie besteht aus allen i i∈I Elementen,  die in mindestens einer der Mengen Mi liegen. Der Durchalt all diejenigen Elemente, die in allen Mi liegen. schnitt i∈I Mi enth¨ Ein weiterer wichtiger Begriff ist die Differenz zweier Mengen A und B. Sie besteht aus den Elementen von A, die nicht Element von B sind;

8

1 Mengen

man schreibt daf¨ ur A \ B. Aufbauend auf der Differenzbildung zweier Mengen wird der Begriff des Komplements definiert. F¨ ur A ⊆ B ist das Komplement von A bez¨ uglich B definiert als Ac = B \ A. F¨ ur die im vorangehenden Abschnitt vorgestellten Mengenoperationen gelten verschiedene Gesetze, vergleichbar den Rechenregeln f¨ ur Zahlen. Zun¨achst gelten sowohl f¨ ur die Vereinigung als auch die Durchschnittsbildung Kommutativ- und Assoziativgesetz, d.h. es gilt A ∪ B = B ∪ A und A ∩ B = B ∩ A, A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C und A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C. Des Weiteren gelten die beiden Distributivgesetze A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Schließlich gelten noch die folgenden de Morganschen Regeln f¨ ur die Bildung von Komplementen von Teilmengen A, B ⊂ X: (A ∪ B)c = Ac ∩ B c

und

(A ∩ B) = Ac ∪ B c .

(1.1)

1.3 Geordnete Paare und kartesische Produkte Wie bereits erw¨ ahnt spielt bei der expliziten Darstellung von Mengen die Reihenfolge der Elemente keine Rolle. Die Mengen {a, b} und {b, a} sind also identisch. Ist hingegen auch die Reihenfolge zweier Objekte von Bedeutung, kann dieses durch das Konzept des Paars oder 2–Tupels erfasst werden. Sollen beispielsweise die beiden Objekte a und b in der Weise geordnet zusammengefasst werden, daß b vor a kommt, so werden sie in dem geordneten Paar (b, a) zusammengefasst. Dabei ist b die erste Komponente dieses Paars und a die zweite. Zwei Paare sind nur dann gleich, wenn sie in beiden Komponenten jeweils u ¨bereinstimmen. Beispiel 1.4. Die beiden Paare (Karo, 3) und (Herz , Ass) kann man verwenden, um die entsprechenden Spielkarten zu repr¨asentieren. Die Menge aller Spielkarten eines franz¨ osischen Blatts l¨asst sich dann definieren als B = {(f, w) | f ∈ {Kreuz , Pik , Herz , Karo} und w ∈ {2, 3, . . . , 10, Bube, Dame, K¨ onig, Ass}}. ur F¨ ur jede Hand H zu Beginn eines Kartenspiels gilt nun H ⊆ B und f¨ den Fall, dass Doppelkopf gespielt wird, |H| = 13.

1.3 Geordnete Paare und kartesische Produkte

9

Die Menge aller Paare (a, b), deren erste Komponente Element einer Menge A und deren zweite Komponente Element einer Menge B ist, heißt das kartesische Produkt von A und B. Sie wird formal beschrieben durch A × B = {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B}. F¨ ur die Menge A × A schreibt 2 man auch k¨ urzer A . Beispiel 1.5. a) Sei A = {1, 2} und B = {a, b}. Dann ist A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)} . b) Die Menge aller Felder eines Schachbretts ist {a, b, c, d, e, f, g, h} × {1, 2, . . . , 8} . Die weißen Bauern stehen anfangs in der zweiten Reihe. Diese ist gegeben durch {(a, 2), (b, 2), . . . , (h, 2)} = {a, b, . . . , h} × {2} . Eine offensichtliche Verallgemeinerung des Konzepts des Paars ist der Begriff des n–Tupels. Ein n–Tupel ist eine geordnete Menge von n Objekten, wobei n die Anzahl der Elemente des Tupels angibt. Mengen von n-Tupeln gleicher Art k¨ onnen analog zum oben beschriebenen Vorgehen u ber die Bildung n-facher kartesischer Produkte definiert werden. ¨ Beispiel 1.6. Sei A = {1, 2, 3} und B = {0, 1}. (1, 1, 0) ist ein 3-Tupel und Element von A×A×B. (1, 2, 1, 2, 3, 3) ist ein 6-Tupel und Element von A × A × A × A × A × A. Verk¨ urzend kann man daf¨ ur A6 schreiben.

¨ Ubungen Aufgabe 1.1. Sei M = {1, 2} und N = {2, 3, 4}. Man bestimme: a) M ∪ N , b) N ∩ M , c) (M ∪ N ) \ M , d) M × N , e) M 3 . Aufgabe 1.2. Sei X = {0, 1, . . . , 100} die Menge der nat¨ urlichen Zahlen von 0 bis 100. Man gebe jeweils eine explizite Beschreibung der Komplemente der folgenden Mengen bez¨ uglich X an: a) A = {x ∈ X| x ist gerade}, b) B = {x ∈ X| x ist Vielfaches von 4}, c) C = {x ∈ X| x < 44}, d) D = {x ∈ X| 3x > 90}, e) A ∪ B.

10

1 Mengen

Aufgabe
1.3. Sei Mk = {−k, −k + 1, −k + 2, . . . , 0, 1, 2, 3, . . .}. Bestimme ∞ k=0 Mk ! Aufgabe 1.4. Die naive Verwendung des Mengenbegriffs kann auch zu Widerspr¨ uchen f¨ uhren. Betrachte folgendes Beispiel (”Russellsche Antinomie”). Sei M = {A|A ∈ A} die Menge aller Mengen, die nicht in sich selbst enthalten sind. Das klingt merkw¨ urdig und man denkt zun¨ achst, dass das doch f¨ ur alle Mengen gilt. Also w¨ urde man vermuten, dass M die Menge aller Mengen ist. Stattdessen stolpert man geh¨ orig: Entweder gilt ja M ∈ M oder M ∈ / M . Wieso folgt daraus ein Widerspruch?

2 Zahlen

Nachdem wir im vorangegangenen Kapitel den Begriff der Menge eingef¨ uhrt haben, sollen nun ein paar ganz spezielle Vertreter dieser “Spezies” besprochen werden: Mengen von Zahlen. Dabei soll nicht nur gekl¨art werden, wie die verschiedenen Zahlenmengen definiert sind. Ziel dieses Kapitels ist es vielmehr, den inhaltlichen Zusammenhang dieser Mengen zu motivieren sowie einige ihrer speziellen Eigenschaften, welche uns im weiteren Verlauf des Buches noch wiederbegegnen werden, zu diskutieren. Die Zahlenmengen, die wir dabei im Weiteren behandeln werden, sind die nat¨ urlichen Zahlen (N), die ganzen Zahlen (Z), die rationalen Zahlen (Q), die reellen Zahlen (R) und schließlich die komplexen Zahlen (C).

2.1 Die natu ¨ rlichen Zahlen N Wohl jeder hat schon einmal versucht etwas zu z¨ahlen bzw. abzuz¨ahlen, ¨ seien es die verbliebenen Apfel im K¨ uhlschrank oder das Geld, das man gerade im Portemonnaie, auf der Bank (oder sonstwo) hat. In all diesen F¨ allen verwenden wir die nat¨ urlichen Zahlen: N = {0, 1, 2, 3, ...}. Eine wichtige Eigenschaft der nat¨ urlichen Zahlen ist ihre induktive Ordnung. Um im Beispiel zu bleiben, ein Apfel ist mehr als kein Apfel ¨ (und zwar genau ein Apfel mehr), zwei Apfel sind (genau ein Apfel) ¨ mehr als ein Apfel, drei Apfel sind (wieder genau ein Apfel) mehr als ¨ zwei Apfel und immer so weiter. Der entscheidende Aspekt ist, dass wir f¨ ur jede nat¨ urliche Zahl n ihren direkten Nachfolger unmittelbar durch Addieren der “1” erhalten. Auf n folgt also n + 1. Insbesondere

12

2 Zahlen

k¨onnen wir somit, ausgehend von der Null, jede nat¨ urliche Zahl n durch hinreichend h¨aufiges Addieren von 1 erhalten. Jede Zahl n ist also gewissermaßen nichts anderes als ein Repr¨asentant f¨ ur das n-malige Vorhandensein der 1. Mit anderen Worten, ist erst einmal klar, was die Objekte sind, die wir z¨ahlen wollen (einzel¨ ¨ ¨ ne Apfel, Apfel im Dutzend, Kilo Apfel), und ist somit klar, wie ein ¨ ¨ solches Objekt aussieht (ein Apfel, ein Dutzend Apfel, ein Kilo Apfel), so wissen wir auch, was gemeint ist, wenn von n solchen Objekten die Rede ist - das n-malige Vorhandensein des jeweiligen 1-Objektes (n mal ¨ ¨ ein Apfel, n mal ein Dutzend Apfel, n mal ein Kilo Apfel). Die Zahl Null dr¨ uckt in diesem Zusammenhang das Vorhandensein keines einzigen der gedachten Objekte aus und entspricht somit etwa der leeren Menge.

2.2 Die ganzen Zahlen Z Im vorangegangenen Abschnitt haben wir gesehen, wie sich die nat¨ urlichen Zahlen aus der Vorstellung des Abz¨ ahlens durch sukzessives Hinzuf¨ ugen eines einzelnen, d.h. des 1-Elementes, ergeben (1 = 0 + 1, 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1 = 1 + 1 + 1, ...). Aus dieser Beschreibung der Zahlen ergibt sich nun ganz nat¨ urlich eine Antwort auf die Frage, wie viele ¨ Apfel (oder Euro) man erh¨ alt, wenn man zwei Mengen mit n bzw. m ¨ Apfeln (oder Euro) zusammenlegt - n¨ amlich gerade n + m. ¨ Weniger klar hingegen ist, was bleibt, wenn man von n Apfeln/Euro m wegnimmt, wobei n < m. Nun kann man nat¨ urlich argumentieren, dass nur ein Mathematiker auf die Idee kommen kann zu fragen, ¨ was bleibt, wenn man von 3 vorhandenen Apfeln 5 isst. Doch wohl jeder hat schon einmal etwas kaufen wollen, das m Euro kosten sollte, nur um festzustellen, dass nur noch n < m Euro im Portemonnaie (oder auf dem Konto) waren. Durch Leihen des entsprechenden Fehlbetrages l¨asst sich diese L¨ ucke oft schließen. Allerdings muss man sp¨ater den geschuldeten Betrag zur¨ uckzahlen, um “wieder auf Null” zu kommen. Diesem Umstand k¨ onnen wir in der Menge der betrachteten Zahlen Rechnung tragen, indem wir N durch die negativen Zahlen −1, −2, −3, ... erg¨ anzen. Dabei bringt die Schreibweise −n gerade zum Ausdruck, dass n Objekte geschuldet werden bzw. fehlen, um 0 zu erhalten. Die resultierende Menge sind die ganzen Zahlen Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...} . Aus obiger Diskussion ergibt sich, dass die Menge der ganzen Zahlen Z folgende Eigenschaften besitzt:

2.2 Die ganzen Zahlen Z

13

A1 F¨ ur alle z1 , z2 ∈ Z gilt: (z1 + z2 ) ∈ Z. Man sagt, Z ist abgeschlossen unter der Addition. (Beispiel: 2 + 3 = 5 und 5 ∈ Z) A2 F¨ ur jedes Element z ∈ Z gilt: 0 + z = z + 0 = z. Man sagt, Z besitzt ein neutrales Element der Addition, die 0. (Beispiel: 0 + 3 = 3 + 0 = 3) A3 Zu jedem Element z1 ∈ Z existiert ein Element z 1 ∈ Z so dass gilt: z1 + z 1 = 0. Man sagt, zu jedem z ∈ Z existiert ein inverses Element. (Beispiel: 4 + (−4) = 0) A4 F¨ ur alle z1 , z2 , z3 ∈ Z gilt: (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ). Man sagt, die Addition in Z ist assoziativ. (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3))

(Beispiel:

A5 F¨ ur alle z1 , z2 ∈ Z gilt: z1 + z2 = z2 + z1 . Man sagt, die Addition in Z ist kommutativ. (Beispiel: 2 + 3 = 5 = 3 + 2) Eine Menge M zusammen mit einer Verkn¨ upfung von Elementen aus M (z.B. der Addition im Falle von M = Z) sowie einem neutralen Element, welche die Eigenschaften A1-A5 besitzt, nennt man eine (Abel’sche) Gruppe. Es gilt also insbesondere, dass die Menge Z mit der Addition und der 0, d.h. (Z, +, 0), eine abelsche Gruppe bildet.

14

2 Zahlen

Ordnung Abschließend sei noch darauf hingewiesen, dass die induktive Ordnung der nat¨ urlichen Zahlen sich intuitiv auf die ganzen Zahlen ausweiten l¨asst. Man setze einfach −n < −m f¨ ur m < n und −m < n f¨ ur alle m, n ∈ N. Die oben gew¨ ahlte Darstellung von Z durch den Ausdruck {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...} macht bereits von dieser Ordnungseigenschaft der ganzen Zahlen Gebrauch.

2.3 Die rationalen Zahlen Q Nachdem wir die nat¨ urlichen Zahlen N durch inverse Elemente der Addition, d.h. negative Zahlen, zur Menge der ganzen Zahlen Z erg¨anzt haben, sollen im Folgenden die rationalen Zahlen Q entwickelt werden, indem wir uns eine ¨ ahnliche Aufgabe f¨ ur die Multiplikation stellen. Es ist leicht zu sehen, dass Z allein bereits abgeschlossen ist unter der Multiplikation. F¨ ur beliebige zwei Elemente aus Z gilt, dass auch ihr Produkt wieder in Z enthalten ist. So gilt zum Beispiel 3 · 5 = 15 ∈ Z. Es gibt jedoch keine Zahl z ∈ Z, mit Hilfe derer sich diese Operation r¨ uckg¨angig machen ließe, d.h. f¨ ur die gilt: 3 · 5 · z = 3 · 1 = 3. Die Forderung nach der Existenz solcher Inversen der Multiplikation f¨ ur alle z ∈ Z \ {0} ist aber nur der erste Schritt hin zur Menge der rationalen Zahlen. Zus¨ atzlich soll die so erg¨ anzte Zahlenmenge nat¨ urlich weiterhin abgeschlossen sein unter der Multiplikation. Zu jeder Zahl 1 1 z soll also auch jedes beliebige Vielfache von z in der neuen Menge enthalten sein. So soll zum Beispiel zu der Zahl 3 nicht nur die Zahl 13 existieren mit 13 · 3 = 1, sondern es sollen auch alle Vielfachen von 13 wie 23 oder −4 3 Elemente der neuen Menge sein. Die rationalen Zahlen Q als die Menge aller ganzen Zahlen und aller Br¨ uche ist die kleinste Menge von Zahlen, die diese Forderungen erf¨ ullt. Anders ausgedr¨ uckt, Q ist die kleinste Obermenge M von Z (d.h. Z ⊂ M ), f¨ ur die gilt: K1 Die Menge M zusammen mit der Addition und dem neutralen Element 0 (M, +, 0) ist eine Abel’sche Gruppe, d.h. (M, +, 0) erf¨ ullt die Bedingungen A1-A5.

2.4 Die reellen Zahlen R

15

K2 Die Menge M \ {0} zusammen mit der Multiplikation und dem neutralen Element 1 ist eine abelsche Gruppe, d.h. (M \ {0}, ·, 1) erf¨ ullt die Bedingungen A1-A5, wenn man die Addition durch die Multiplikation ersetzt und in A2 die 0 als neutrales Element der Addition durch die 1 als neutrales Element der Multiplikation ersetzt. K3 F¨ ur alle a, b, c ∈ M gelten folgende Distributivgesetze: a · (b + c) = (a · b) + (a · c) (a + b) · c = (a · c) + (b · c) . Eine Menge M , die die Bedingungen K1-K3 erf¨ ullt, heißt K¨orper. Die rationalen Zahlen Q sind also der kleinste K¨orper K, f¨ ur den N ⊂ K gilt. Ordnung ¨ Wie schon beim Ubergang von den nat¨ urlichen zu den ganzen Zahlen, so ¨ gilt auch f¨ ur den Ubergang von den ganzen zu den rationalen Zahlen, dass sich die “nat¨ urliche” Ordnung von Z auf intuitive Weise auf Q u ¨bertragen l¨asst. Man setze dazu 1 1 < , n m

falls gilt 0 < m < n.

Alle weiteren Gr¨ oßenvergleiche ergeben sich dann entsprechend, wenn man bedenkt, dass f¨ ur l, m, n ∈ N mit m > n gilt m·

1 1 >n· l l

und

−m·

1 1 < −n · . l l

2.4 Die reellen Zahlen R Auch mit den rationalen Zahlen Q sind wir aber noch nicht am Ende, da diese Menge noch “L¨ ucken” aufweist. Man denke sich etwa eine Situation, in der eine quadratische Fl¨ ache von zwei Quadratmetern mit Stoff ausgelegt werden soll. Um das entsprechende St¨ uck Stoff zuschneiden zu k¨onnen, w¨ are es hilfreich, die Seitenl¨ange eines solchen St¨ uckes, d.h. die Zahl x mit x2 = 2, zu kennen. Diese Zahl x jedoch f¨allt genau in ein “Loch” der rationalen Zahlen.

16

2 Zahlen

Satz 2.1.

√

2 ist keine rationale Zahl.

Beweis. Der Beweis dieser Aussage ist eins der sch¨onsten Beispiele ur √ f¨ 2 eine einen sogenannten Widerspruchsbeweis. Wir nehmen an, dass √ ur zwei nat¨ urliche Zahlen p rationale Zahl w¨ are. Also gelte 2 = pq f¨ 2 2 und q. Insbesondere gilt dann 2q = p . Wie (laut Lehrplan aus dem Internet) aus der Schule bekannt ist, gilt zudem, dass man p und q in genau einer Art und Weise als Produkt ihrer Primfaktoren schreiben kann, also etwa p = p1 p2 . . . pk und q = q1 q2 . . . ql . Also gilt: 2q1 q2 . . . ql q1 q2 . . . ql = p1 . . . pk p1 . . . pk , wobei alle pi und qi Primzahlen sind. Nun steht aber auf der linken Seite eine ungerade Anzahl von Primzahlen (die 2 einfach und die qi jeweils doppelt) und auf der rechten eine gerade Anzahl von Primzahlen (alle pi jeweils doppelt). Aufgrund der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung erhalten wir somit einen Widerspruch!
Wir k¨onnen nun fordern, dass die gew¨ unschte Menge von Zahlen keine derartigen L¨ ucken mehr besitzen soll. Die so “aufgef¨ ullte” Menge, die also außer den rationalen Zahlen noch alle irrationalen Zahlen wie √ 2 enth¨alt, nennt man die reellen Zahlen. Sie werden mit R bezeichnet. Anschaulich entspricht jedem Punkt auf der Zahlengeraden genau eine reelle Zahl. Deshalb werden die reellen Zahlen auch als ein Kontinuum bezeichnet. Kontinuum bedeutet ja “das Zusammenh¨angende”. Mathematisch spiegelt sich dies in der Vollst¨ andigkeit der reellen Zahlen wieder. Vollst¨ andigkeitsaxiom Man w¨ahle zwei nichtleere Teilmengen L und H von R, so dass gilt: l ≤ h, f¨ ur alle l ∈ L und alle h ∈ H. Dann existiert eine Zahl γ, f¨ ur die gilt l ≤ γ ≤ h, f¨ ur alle l ∈ L und alle h ∈ H. Als Beispiel denke man sich etwa die Mengen L = {x ∈ R | x2 < 2} und H = {x ∈ R | x2 > 2}. Aus dem Vollst¨andigkeitsaxiom folgt dann √ gerade, dass es ein y ∈ R geben muss mit y 2 = 2. Die Existenz von 2 in R ist also gewissermaßen per Definition sichergestellt. Die reellen Zahlen erf¨ ullen ebenso wie Q die Bedingungen K1-K3, d.h. auch die reellen Zahlen sind ein K¨ orper. F¨ ur uns bedeutet das im

2.4 Die reellen Zahlen R

17

Wesentlichen, dass wir mit den reellen Zahlen gerade genauso rechnen k¨onnen, wie wir es gewohnt sind. Zur Notation sei noch bemerkt, dass man u ¨blicherweise bei der Multiplikation das Zeichen · wegl¨ asst. Man schreibt also xy an Stelle von x·y. Ferner benutzt man stets (wie in der Schule) die alte Regel “Punkt– vor Strichrechnung”. Wir schreiben also statt (3 · a) + 5 einfach 3a + 5. Ordnung Aus der Entwicklung der reellen Zahlen ergibt sich, dass auch auf R die Relation > (sprich: ist gr¨ oßer als) erkl¨art ist. Diese Ordnung ist vollst¨ andig, das heißt, es gilt entweder x > y , x = y oder y > x. Sie ist auch transitiv, das heißt, aus x > y und y > z folgt x > z. Ferner ist die Ordnung mit den Rechenarten vertr¨ aglich: • Wenn man zu einer Ungleichung auf beiden Seiten eine Zahl z addiert, so bleibt die Ungleichung bestehen. Aus x > y folgt f¨ ur beliebige z auch x + z > y + z. • Wenn man eine Ungleichung mit einer positiven Zahl multipliziert, bleibt sie erhalten: aus x > y folgt f¨ ur z > 0 auch xz > yz. Die anderen bekannten Ordnungsrelationen kann man aus der Gr¨oßer–Ordnung ableiten, wie folgende Definition zeigt. Definition 2.1. Wir setzen x < y (sprich: x ist kleiner als y) genau dann, wenn y > x. Ferner gelte x ≤ y (sprich: x ist kleiner oder gleich y) genau dann, wenn entweder x < y oder x = y. Schließlich sei x ≥ y (sprich: x ist gr¨ oßer oder gleich y) genau dann, wenn x > y oder x = y. Nat¨ urlich gilt, dass auch N, Z und Q vollst¨andig geordnete Mengen sind. Da diese Eigenschaft im weiteren Verlauf dieses Buches aber insbesondere f¨ ur die reellen Zahlen (in der Analysis) von Bedeutung ist, haben wir sie erst an dieser Stelle detaillierter diskutiert. Wegen N⊂Z⊂Q⊂R gilt jedoch zum Beispiel auch, dass die Ordnung auf allen vorher besprochenen Mengen mit der Addition bzw. der Multiplikation vertr¨aglich ist, soweit diese f¨ ur die jeweilige Menge definiert ist. Archimedisches Prinzip Das archimedische Prinzip besagt, dass man mit jeder positiven Zahl x > 0 gegen unendlich laufen kann, wenn man sie nur oft genug zu

18

2 Zahlen

sich selbst addiert, genauer: F¨ ur jedes x > 0 und y > 0 gibt es eine ¨ nat¨ urliche Zahl n mit nx > y. Ubrigens folgt das Archimedische Prinzip aus dem Vollst¨andigkeitsaxiom — ohne dass wir dies hier bewiesen. Es gilt also, dass man auch mit noch so kleinen Schritten beliebig weit kommt - man muss halt nur gen¨ ugend Schritte machen. Intervalle Seien a, b ∈ R. Unter dem abgeschlossenen Intervall [a, b] verstehen wir die Menge [a, b] = {x ∈ R| a ≤ x ≤ b} . Das offene Intervall (a, b) ist gegeben durch (a, b) = {x ∈ R| a < x < b} . Man beachte, dass [a, a] = {a} und (a, a) = ∅ ist. Zuweilen ben¨otigen wir auch die halboffenen Intervalle (a, b] = {x ∈ R| a < x ≤ b} und [a, b) = {x ∈ R| a ≤ x < b} . Schließlich definieren wir noch die uneigentlichen Intervalle, bei denen ein Endpunkt im Unendlichen liegt als (−∞, b] = {x ∈ R| x ≤ b} und [a, ∞) = {x ∈ R| a ≤ x} und (−∞, b) sowie (a, ∞) entsprechend. Das Intervall [0, ∞) wird dabei f¨ ur gew¨ohnlich mit R+ bezeichnet, d.h. R+ = [0, ∞).

2.5 Die komplexen Zahlen C

19

6

Imagin¨ arteil i

z = r cos φ +i r sin φ         =x =y r

y 



L¨ ange r

 

 @ R  @  

   φ 



x

Realteil

Abb. 2.1. Polarkoordinatendarstellung der komplexen Zahlen. Real- und Imagin¨ arteil bestimmen einen Punkt (x, y) in der Zahlenebene. Diesen Punkt kann man auch beschreiben, indem man die L¨ange des Vektors r sowie den Winkel φ angibt.

2.5 Die komplexen Zahlen C Schließlich bleibt festzustellen, dass in den reellen Zahlen eine Gleiosung hat. L¨ osungen lassen sich aber finchung wie x2 = −1 keine L¨ den, wenn man die reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen erweitert. Die Grundidee dabei ist, eine neue Zahl, die imagin¨ are Einheit i, einullt. Eine zuf¨ uhren, welche per definitionem die Gleichung i2 = −1 erf¨ komplexe Zahl hat dann die Form z = x+iy, wobei x und y jeweils reelle Zahlen sind. Die Zahl x heißt der Realteil der komplexen Zahl z, und y ihr Imagin¨arteil. In diesem Sinne entsprechen die komplexen Zahlen geordneten Paaren (x, y) von reellen Zahlen. Folglich kann man sich die komplexen Zahlen, welche mit C bezeichnet werden, als Elemente des R2 , d.h. der reellen Zahlenebene, vorstellen. Alternativ kann man jede komplexe Zahl auch durch ihre Polarkoordinaten (r, φ) beschreiben, siehe Abbildung 2.1. Hierbei gibt r ≥ 0 die L¨ange des durch (x, y) beschriebenen Vektors an. φ ist der Winkel zwischen x–Achse und dem Vektor. Aus der Geometrie wissen wir, dass dann x = r cos φ und y = r sin φ gilt.

20

2 Zahlen

Bleibt zu kl¨ aren, wie die bekannten Rechenoperationen, d.h. Addition und Multiplikation, auf C spezifiziert sind. F¨ ur die Addition von zwei komplexen Zahlen z1 = x1 + iy1 und z2 = x2 + iy2 gilt: z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ). F¨ ur die Multiplikation folgt wegen i2 = −1 durch naives Ausmultiplizieren, dass gilt: z1 z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 ). Unter diesen Voraussetzungen ergibt sich, dass auch die komplexen Zahlen einen K¨ orper bilden - wie die reellen und die rationalen Zahlen zuvor. Ordnung Man beachte, dass sich die komplexen Zahlen nicht in gewohnter Weise (vollst¨andig) anordnen lassen. Dies liegt in gewissem Sinne in der “zweidimensionalen” Struktur von C und den K¨orperaxiomen. So gilt ur alle x = 0. Damit kann in eiin jedem angeordneten K¨ orper x2 > 0 f¨ nem angeordneten K¨ orper die Gleichung x2 = −1 keine L¨osung haben. In C ist aber gerade i2 = −1! Was den weiteren Verlauf dieses Buches betrifft, so sind allerdings weniger Ordnungseigenschaften der komplexen Zahlen von Bedeutung, als vielmehr die Tatsache, dass in C alle polynomialen Gleichungen l¨osbar sind. Satz 2.2 (Fundamentalsatz der Algebra). In C hat jede Gleichung der Form z n + an−1 z n−1 + . . . + a1 z + a0 = 0 osungen z1 , . . . , zn . mit Konstanten a0 , . . . , an−1 ∈ C genau n L¨ Dieses Theorem k¨ onnen wir hier nicht beweisen. Es hilft aber schon, sich den Fall quadratischer Gleichungen klarzumachen. Beispiel 2.1. Quadratische Gleichungen der Form z 2 + pz + q = 0 kann man einfach l¨ osen, indem man “bedenkenlos” die u ¨bliche L¨osungsformel  p 2 p −q z1,2 = − ± 2 2

2.5 Die komplexen Zahlen C

21

verwendet. So hat etwa die Gleichung z 2 + 2z + 2 = 0 keine reellen L¨osungen, wohl aber die beiden komplexen L¨osungen z1 = −1 + i und z2 = −1 − i.

¨ Ubungen Aufgabe 2.1. Zeige, dass die “Kleiner oder gleich”–Ordnung ≤ reflexiv (d.h. x ≤ x f¨ ur alle x ∈ R) und transitiv (d.h. aus x ≤ y und y ≤ z folgt x ≤ z f¨ ur alle x, y, z ∈ R) ist! Aufgabe 2.2. Auf der Menge K = {0, 1} definieren wir Addition durch 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 0 und Multiplikation durch 0 · 1 = 0, 1 · 0 = 0, 0 · 0 = 0, 1 · 1 = 1. Zeige, dass mit diesen Definitionen K mit + und · und den neutralen Elementen 0 und 1 ein K¨ orper ist! ¨ Aufgabe 2.3. Uberpr¨ ufe die K¨ orperaxiome f¨ ur die komplexen Zahlen! Aufgabe 2.4. Der Betrag einer komplexen Zahl z = x + iy ist durch

ange gegeben, |z| = x2 + y 2 . Man nennt z¯ = x−iy ihre geometrische L¨ die zu z komplex konjugierte Zahl. Zeige, dass gilt: z¯ = z z z¯ = |z|2 z1 + z2 = z1 + z2 . Aufgabe 2.5. L¨ ose innerhalb der komplexen Zahlen folgende Gleichungen: z 2 + 2z + 2 = 0, z 3 + z = 0, z 4 = 1 . Achte darauf, dass die Gleichungen jeweils 2, 3 bzw. 4 L¨ osungen haben! Zeichne die L¨ osungen in die komplexe Zahlenebene ein!

3 Vollst¨ andige Induktion

Im Kapitel u ¨ber Zahlen haben wir gesehen, dass das kennzeichnende Merkmal der nat¨ urlichen Zahlen ihre induktive Ordnung ist. Auf eben dieser induktiven Ordnung von N basiert das Prinzip der vollst¨andigen Induktion, welches in diesem Kapitel ausf¨ uhrlich besprochen werden soll.

3.1 Das Induktionsprinzip Das Induktionsprinzip l¨ asst sich wie folgt beschreiben. Angenommen, wir wollen zeigen, dass eine Eigenschaft A f¨ ur alle nat¨ urlichen Zahlen ab einer gewissen Zahl n0 gilt. Dann reicht es, folgende zwei Schritte zu vollziehen. 1. Induktionsanfang. Wir u ufen die Eigenschaft A f¨ ur die Zahl ¨berpr¨ n0 ; 2. Induktionsschritt. Wir zeigen, dass sich die Eigenschaft A auf Nachfolger vererbt: Wenn eine nat¨ urliche Zahl n die Eigenschaft A hat (das nennt man die Induktionsvoraussetzung), dann hat auch ihr Nachfolger n + 1 die Eigenschaft A. Das Induktionsprinzip ist eine der wichtigsten Beweismethoden der Mathematik. Im folgenden wollen wir dies anhand einiger Aussagen illustrieren. Satz 3.1. F¨ ur alle nat¨ urlichen Zahlen n ≥ 1 gilt: 1 + 2 + 3 + ... + n =

n(n + 1) . 2

(3.1)

24

3 Vollst¨ andige Induktion

Beweis. Induktionsanfang. F¨ ur n0 = 1 gilt in der Tat 1 = (1 · 2)/2, also (3.1). Induktionsschritt. Angenommen, es gelte (3.1) f¨ ur die Zahl n. Dann m¨ ussen wir zeigen, dass auch die Zahl m = n + 1 die Gleichung (3.1) erf¨ ullt. Nun gilt 1 + . . . + m = 1 + . . . + n + (n + 1) . Laut Induktionsvoraussetzung folgt dann n(n + 1) + (n + 1) 2  n +1 = (n + 1) 2 (n + 1)(n + 2) = 2 m(m + 1) . = 2

1 + ... + m =

Also erf¨ ullt auch m = n + 1 die gew¨ unschte Gleichung.




¨ Okonomisches Beispiel 3.2 Zuordnung (Matching). Ein grundlegendes Probleme einer Wirtschaftsordnung ist die Verteilung von G¨ utern an die Individuen. Stellen wir uns vor, dass wir n Objekte haben, die wir an n Individuen verteilen wollen. Dabei soll jedes Individuum genau ein Objekt bekommen. Anstatt uns zu fragen, was denn eine gute Verteilung sei, wollen wir an dieser Stelle bestimmen, wie viele M¨ oglichkeiten der Zuordnung es gibt. Dazu denke man sich die Individuen als hintereinander aufgereiht und die Objekte mit den Zahlen 1 bis n durchnummeriert. In diesem Fall entspricht jeder Zuordnung von Objekten eine Anordnung der Zahlen 1 bis n. Wir behaupten nun, dass es 1 · 2 · 3 · · · n = n! (sprich: n Fakult¨ at) viele M¨ oglichkeiten der Anordnung gibt. Wir beweisen dies per Induktion. F¨ ur n = 1 ist es offensichtlich, dass es nur 1! = 1 M¨ oglichkeit gibt. Wir nehmen nun an, die Behauptung stimme f¨ ur n. Wir haben zu zeigen, dass sie dann auch f¨ ur m = n + 1 stimmt. Bei n + 1 Objekten haben wir zun¨ achst einmal n + 1 M¨ oglichkeiten, der n + 1ten Person ein Objekt zu geben. Dann bleiben noch n Objekte, die wir an n Individuen verteilen sollen. Laut oglichkeiten. Da wir f¨ ur jeInduktionsvoraussetzung gibt es daf¨ ur n! M¨ des der m¨ oglichen n + 1 Objekte, die Person n + 1 bekommen kann, n! M¨ oglichkeiten haben, die verbliebenen n Objekte auf die Personen 1...n zu verteilen, haben wir insgesamt (n + 1) · n! = (n + 1)! M¨ oglichkeiten.

3.2 Induktive Definitionen

25

¨ Damit ist der Ubergang von n zu n + 1 geschafft und die Behauptung bewiesen!

3.2 Induktive Definitionen Abgesehen von ihrer Verwendung zum Beweis von Aussagen kann man die vollst¨andige Induktion auch f¨ ur Definitionen benutzen. Als erstes Beispiel hierf¨ ur definieren wir Summen– und Produktzeichen. Definition 3.1. Seien a0 , a1 , a2 , . . . reelle Zahlen. Wir definieren die Summe der ak induktiv durch 0 

ak = a0

k=0

und

n+1 

ak =

n 

k=0

ak

+ an+1 .

k=0

Analog ist das Produkt der Zahlen a0 , a1 , a2 , . . . definiert durch 0 

ak = a0

k=0

und

n+1 

ak =

k=0

n 

ak

· an+1 .

k=0

Ferner gilt per Definition, dass die leere Summe gleich dem neutralen Element der Addition (d.h. gleich 0) und das leere Produkt gleich dem neutralen Element der Multiplikation (d.h. gleich 1) ist. Es gilt also: n  k=m

ak = 0, und

n 

ak = 1 falls m > n.

k=m

Wir haben im ¨ okonomischen Beispiel 3.2 Fakult¨aten kennengelernt. Wir wollen diese nun noch einmal formal durch eine induktive Defnition einf¨ uhren.

26

3 Vollst¨ andige Induktion

Definition 3.2 (Fakult¨ at). F¨ ur alle n ∈ N definieren wir die Fakult¨at n!, indem wir setzen: 0! = 1 und f¨ ur nat¨ urliche Zahlen n (n + 1)! = (n + 1) · n! . Man beachte, wie in Definition 3.2 das Induktionsprinzip verwendet wird. Nachdem man f¨ ur den Anfangswert 0 die Fakult¨at definiert hat, definiert man f¨ ur alle nachfolgenden Zahlen die Fakult¨at, indem man die schon definierte Fakult¨ at n! mit der nachfolgenden Zahl n + 1 multipliziert. Definition 3.3. F¨ ur alle nat¨ urlichen Zahlen n, k ∈ N definiert man:   n n! . (3.2) = (n − k)! · k! k     Die Zahlen nk heißen Binomialkoeffizienten. F¨ ur nk sagt man auch “n u ¨ber k” oder “ k aus n”. ¨ Beispiel 3.1. Zur Ubung rechne man nach, dass gilt:     n n = 1, =n 0 1 sowie

    n n = . k n−k

¨ Okonomisches Beispiel 3.3 Wir bestimmen nun, wie viele Ergebnisse im Lotto ”6 aus 49” m¨ oglich sind. Bei der ersten Zahl hat die Maschine 49 M¨ oglichkeiten. Da die Kugel nicht zur¨ uckgelegt wird, bleiben f¨ ur die zweite Zahl 48 M¨ oglichkeiten. So geht es weiter, bis bei der sechsten und letzten Zahl noch 44 Kugeln u ¨brig sind. Insgesamt gibt es daher 49! 49 · 48 · 47 · · · 44 = 43! Ausg¨ ange beim Lotto. Allerdings spielt ja die Reihenfolge, in der die Kugeln gezogen werden, keine Rolle. Also m¨ ussen wir dieses Ergebnis noch durch die Anzahl M¨ oglichkeiten dividieren, in der die 6 Kugeln angeordnet werden k¨ onnen. Wir haben im ¨ okonomischen Beispiel 3.2 gesehen, dass es daf¨ ur 6! M¨ oglichkeiten gibt. Also bleiben insgesamt

3.2 Induktive Definitionen

27

  49 49! = = 13.983.816 43! 6! 6   gibt also an, wieviele 6– M¨ oglichkeiten. Der Binomialkoeffizient 49 6 elementige Teilmengen einer 49–elementigen Menge es  gibt. Mit exakt ¨ derselben Uberlegung kann man nun zeigen, dass nk die Anzahl der k–elementigen Teilmengen einer n–elementigen Menge berechnet. Wir beweisen nun per Induktion den (allgemeinen) binomischen Lehrsatz. Satz 3.4. F¨ ur alle Zahlen a, b und alle nat¨ urlichen Zahlen n ≥ 1 gilt     n n−1 n n−k k a b + ... + a b + . . . + bn (a + b)n = an + 1 k n    n n−k k a = b . k k=0

Beweis. F¨ ur n = 1 gilt (a + b)1 = a1 + b1 , also die Behauptung. F¨ ur den Induktionsschritt nehmen wir an, dass die Behauptung f¨ ur n gilt, und haben sie f¨ ur m = n + 1 zu zeigen. Wegen (a + b)n+1 = (a + b)(a + b)n gilt nach Induktionsvoraussetzung:       n n−1 n n+1 n n−1 n = (a + b) a + a b + ... + ab +b . (a + b) 1 n−1 Durch Ausmultiplizieren und Sortieren nach Potenzen von a folgt somit:       n n n n−1 2 n n+1−k k n+1 + a b+ a b + ... + a b + . . . + abn =a 1 2 k       n n−1 2 n n−2 3 n n−k k+1 n +a b+ a b + a b + ... + a b + . . . + bn+1 1 2 k        n n n n+1 n =a + +1 a b+ + an−1 b2 + . . . 1 2 1     n n + + an+1−k bk + . . . + bn+1 . k k−1

28

3 Vollst¨ andige Induktion

Der Beweis ist beendet, wenn wir nun zeigen k¨onnen, dass gilt:       n n n+1 + = . k k−1 k Dies geschieht durch direktes Rechnen:     n! n n n! + + = k!(n − k)! (k − 1)!(n − k + 1)! k k−1   n! 1 1 = + (k − 1)!(n − k)! k n − k + 1 n−k+1+k n! (k − 1)!(n − k)! k(n − k + 1)   n+1 (n + 1)! = . = k!(n − k + 1)! k =

Damit ist der Beweis des binomischen Lehrsatzes erbracht.




Zum Abschluss schauen wir uns eine wichtige allgemeing¨ ultige Ungleichung an. Satz 3.5 (Bernoulli’sche Ungleichung). F¨ ur jede Zahl x > 0 und jede nat¨ urliche Zahl n gilt (1 + x)n ≥ 1 + nx. Beweis. Per Induktion. F¨ ur n0 = 0 steht auf der linken Seite (1 +x)0 = 1 und auf der rechten Seite 1 + 0 · x = 1. Also ist die Bernoullische Ungleichung (sogar als Gleichung) erf¨ ullt. Nun zum Induktionsschritt. Wir nehmen also an, dass die Bernoullische Ungleichung f¨ ur n gilt, und m¨ ussen sie f¨ ur m = n + 1 zeigen. (1 + x)m = (1 + x)(1 + x)n ≥ (1 + x)(1 + nx) (wegen Induktionsvoraussetzung) = 1 + x + nx + nx2 ≥ 1 + x + nx = 1 + (n + 1)x = 1 + mx . Damit ist der Beweis erbracht.




3.2 Induktive Definitionen

29

¨ Ubungen Aufgabe 3.1. Beweise per Induktion, dass f¨ ur alle nat¨ urlichen Zahlen n ≥ n0 die folgenden Aussagen gelten: n(n + 1)(2n + 1) 6 n 2 3 >n (1 + x)n > 1 + nx

12 + 22 + 32 + . . . + n2 =

(f¨ ur n0 = 1) (f¨ ur n0 = 1) (f¨ ur n0 = 2) .

Aufgabe 3.2. Sei q > 0 eine reelle Zahl. Beweise per Induktion, dass f¨ ur n ≥ 1 gilt: 1 + q + q2 + . . . + qn =

q n+1 − 1 . q−1

Aufgabe 3.3. Beweise per Induktion, dass eine Menge mit n Elementen 2n Teilmengen hat! Aufgabe 3.4. Beweise per Induktion, dass eine Menge mit n ≥ 2 Ele menten genau n2 Teilmengen hat. F¨ ur Mutige: Ersetze 2 durch eine beliebige Zahl k ≤ n! F¨ ur unheimlich Mutige: Beweise hiermit noch einmal den binomischen Lehrsatz! Aufgabe 3.5. Betrachte folgendes Argument, welches beweisen soll, dass alle Menschen dasselbe Geschlecht haben. Induktionsanfang: Betrachte eine einelementige Menge. Offensichtlich haben alle Menschen in dieser Menge dasselbe Geschlecht. Induktionsschritt: Die Behauptung sei bewiesen f¨ ur Mengen der M¨ achtigkeit n. Wenn wir nun eine Menge der M¨ achtigkeit n + 1 haben, onnen wir diese aufteilen in etwa M = {a1 , a2 , . . . , an+1 } , dann k¨ zwei Mengen der M¨ achtigkeit n, etwa M0 = {a1 , . . . , an } und M1 = {a2 , . . . , an+1 } . Laut Induktionsvoraussetzung haben alle Menschen in M0 und M1 dasselbe Geschlecht. Da die beiden Mengen u ¨berlappen und M = M0 ∪M1 gilt, haben auch alle Menschen in M dasselbe Geschlecht. Frage: Wo liegt der Fehler?? Aufgabe 3.6. Berechne folgende Binomialkoeffizienten:           31 49 0 300 6 , , , , . 2 6 0 299 3

30

3 Vollst¨ andige Induktion

Aufgabe 3.7. Zeige, dass gilt: n    n k=0

sowie

k

n    n k=0

(Tipp: Binomischer Lehrsatz)

k

= 2n

(−1)k = 0.

Teil II

Analysis I

Einfu ¨ hrung

Der zweite Teil dieses Buches befasst sich mit der Analysis von Funktionen einer Ver¨ anderlichen. Ist eine bestimmte Funktion, zum Beispiel eine Funktion f¨ ur den Gewinn eines Unternehmens in Abh¨angigkeit von der produzierten Menge, stetig oder hat sie Sprungstellen? Besitzt sie ein Maximum, und falls ja, wo? Und wie k¨onnen wir solch ein Maximum m¨oglichst einfach bestimmen? Diese und a¨hnliche Fragen sollen im Folgenden beantwortet werden. Um dies tun zu k¨ onnen, f¨ uhren wir zun¨ achst den Begriff der Funktion formal ein und diskutieren einige wesentliche Konzepte im Bezug auf Funktionen. Im Anschluss daran werden wir kurz etwas “abschweifen”, um uns ganz allgemein mit Folgen und Grenzwerten zu besch¨aftigen. Dies ist n¨otig, da viele der obigen Fragen an das Verhalten von Funktionen sich auf lokale Eigenschaften derselben beziehen und sich aus Grenzwertbetrachtungen ergeben. Nach diesen notwendigen Vorbereitungen befassen wir uns dann schließlich konkret mit den Fragen nach Stetigkeit, Differenzierbarkeit usw. von Funktionen einer Ver¨anderlichen und zeigen m¨ ogliche L¨ osungswege auf. Ein Kapitel u ¨ber Integration sowie ein Kapitel u ¨ber Taylorentwicklungen, d.h. u ber Methoden zur lokalen Approximation allgemeiner ¨ Funktionen durch Polynome, bilden den Abschluss der Analysis I.

4 Funktionen

Funktionen dienen der Beschreibung der Abh¨angigkeit verschiedener Gr¨oßen. So ist z.B. die Stromrechnung eines Haushaltes eine Funktion der verbrauchten Anzahl Kilowattstunden und des Preises einer Kilowattstunde; die Steuerlast ist eine Funktion des Einkommens, der Steuerklasse und vieler anderer Gr¨ oßen. In den Wirtschaftswissenschaften spielen Funktionen insbesondere bei der Beschreibung von Entscheidungsproblemen eine Rolle. So treffen die Konsumenten bei gegebenen Preisen und Einkommen gewisse Kaufentscheidungen; die resultierende Nachfrage ist also eine Funktion der Preise und Einkommen.

4.1 Grundbegriffe Die Grundlage f¨ ur alle Betrachtungen dieses Kapitels bildet der Begriff der Funktion. Definition 4.1 (Funktion). Seien X und Y zwei beliebige nichtleere Mengen. Eine Funktion f ordnet jedem x ∈ X genau ein y ∈ Y zu. Sie wird in der Form f :X→Y x → y geschrieben. Man nennt X Definitionsbereich, Y Wertebereich, x Argument und y Funktionswert. Den zu einem Argument x ∈ X geh¨ orenden Funktionswert schreibt man f (x). Beispiel 4.1. a) Die Fakult¨at ! ist eine Funktion von N nach N mit

36

4 Funktionen

!:N→N n → 1 · 2 · · · n .

b) Die Binomialkoeffizienten sind eine Funktion von der Menge X =  (n, k) ∈ N2 : n ≥ k} nach N, also gilt: X→N   n (n, k) → . k

f:

¨ Okonomisches Beispiel 4.1 Wir sammeln an dieser Stelle einige Funktionen, die in den Wirtschaftswissenschafen von Bedeutung sind. 1. Man betrachtet z.B. h¨ aufig die Nachfrage nach einem Produkt als eine Funktion des Preises. Die Funktion x(p) gibt dann die Menge x an, die bei dem Preis p nachgefragt wird. Analog betrachtet man das Angebot a(p) als eine Funktion des Preises. 2. Ein Unternehmen wird oft durch eine Produktionsfunktion f (x) modelliert, wobei x der Input (etwa von Arbeitsstunden) ist und f (x) den Output angibt. Der Gewinn g(x, p, w) = pf (x) − wx ist dann z.B. eine Funktion von Input, Outputpreis p und Inputpreis w. 3. Individuelle Pr¨ aferenzen werden gew¨ ohnlich durch sogenannte Nutzenfunktionen u(x) modelliert, wobei x das konsumierte Warenb¨ undel ist. Die Funktion u ordnet dann diesem Warenb¨ undel einen Zahlenwert zu; mit Hilfe einer Nutzenfunktion kann man also eine undel aufstellen. Rangordnung aller m¨ oglichen Konsumb¨ Eine Funktion f : X → Y mit Y ⊆ R wird als reellwertige Funktion bezeichnet. Wenn zus¨ atzlich der Definitionsbereich X ⊂ R ist, so nennen wir f eine reelle Funktion. Beispiel 4.2. Es folgen wichtige Beispiele elementarer reeller Funktionen. a) F¨ ur ein c ∈ R ist f (x) = c die konstante Funktion. b) Unter der identischen Funktion versteht man f (x) = x. c) Die affinen Funktionen sind f (x) = mx + b f¨ ur m, b ∈ R.

4.1 Grundbegriffe

37

d) Ganz wichtig sind auch die Polynome n-ten Grades (n ∈ N) der Form f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 mit Konstanten a0 , . . . , an ∈ R. Eine weitere wichtige Funktion ist die Betragsfunktion. Definition 4.2 (Absolutbetrag). Der Absolutbetrag |x| ist die reelle Funktion |.| : R → R, f¨ ur die gilt  x f¨ ur x ≥ 0 x → −x f¨ ur x < 0. Aus der Definition der Betragsfunktion und den Ordnungseigenschaften der reellen Zahllen ergibt sich folgender Satz. Satz 4.2 (Eigenschaften des Betrags). F¨ ur alle reellen Zahlen x, y gilt |x| ≥ 0 |x| = 0 nur wenn x = 0 | − x| = |x| |xy| = |x||y| |x + y| ≤ |x| + |y| (Dreiecksungleichung)

(4.1) (4.2) (4.3) (4.4) (4.5)

Beweis. Der Beweis ist nicht schwer, aber eher abstrakt. Um das Prinzip zu verdeutlichen, beweisen wir hier die Nichtnegativit¨at der Betragsfunktion sowie die Dreiecksungleichung. Wir zeigen zun¨ achst, dass der Betrag stets nichtnegativ ist. Sei also x gegeben. Wenn x ≥ 0 ist, so ist laut Definition |x| = x, und dies ist gr¨oßer oder gleich Null. Wenn hingegen x < 0 ist, so gilt laut Definition |x| = −x. Wir m¨ ussen zeigen, dass −x ≥ 0 ist. Es gilt wegen der Vertr¨aglichkeit der Ordnung mit der Addition x + (−x) < 0 + (−x), also 0 < −x bzw. laut Definition 2.1 −x > 0, und damit −x ≥ 0, was ja zu zeigen war. Zum Beweis der Dreiecksungleichung sind mehrere F¨alle zu unterscheiden. 1. x > 0. Dann ist |x| = x nach Definition des Betrags.

38

4 Funktionen

a) y > 0. Wegen der Vertr¨ aglichkeit von der Ordnung mit den Rechenregeln ist dann x + y > 0. Damit ist dann laut Definition des Betrags |x + y| = x + y und |y| = y und wir erhalten |x + y| = |x| + |y| . b) y = 0. Dann ist x + y = x und wir haben |x + y| = |x| = |x| + |0| , wie gew¨ unscht. c) y < 0. Dann ist |y| = −y. Wenn nun x + y ≥ 0 ist, so ist |x + y| = x + y. Wir haben also zu zeigen, dass x+y ≤x−y gilt. Da die Ordnung mit der Addition vertr¨aglich ist, k¨onnen wir auf beiden Seiten x abziehen und y hinzuaddieren. Dann erh¨alt man 2y ≤ 0. Da sich die Ungleichung bei Multiplikation mit 1/2 nicht ¨ andert, ist dies ¨ aquivalent zu y ≤ 0, was ja wegen y < 0 der Fall ist. Wenn hingegen x + y < 0 ist, so ist |x + y| = −x − y und wir m¨ ussen zeigen, dass −x − y ≤ x − y gilt. Dies ist ¨ aquivalent zu 0 ≤ 2x, was wegen x > 0 der Fall ist. 2. x = 0. Dieser Fall ist analog zum Fall (1.b) zu behandeln. 3. x < 0. a) y > 0. Dies entspricht dem Fall (1.c) oben, wenn man die Rollen von x und y vertauscht. b) y = 0. Dies ist Fall (2) mit vertauschten Rollen. c) y < 0. Dann ist wegen der Vertr¨ aglichkeit der Ordnung mit der Addition x + y < 0, also |x + y| = −x − y. Ferner gilt ja |x| = −x, |y| = −y. Daher haben wir auch hier |x+y| = |x|+|y|.
Bislang haben wir Funktionen als Abbildungen von Elementen einer Menge X auf Elemente einer anderen Menge Y betrachtet. Eine Funktion f : X → Y ordnet aber nicht nur jedem Punkt x ∈ X einen Punkt y ∈ Y zu, sondern auch jeder Teilmenge von X eine Teilmenge von Y .

4.1 Grundbegriffe

39

6 V

PP

PP −1 f (V )



-

Abb. 4.1. Auf der y–Achse ist die Menge V eingezeichnet. Auf der x–Achse kann man dann das Urbild f −1 (V ) ablesen.

Definition 4.3 (Bildmenge, Urbildmenge). Sei f : X → Y eine Funktion, und seien U ⊆ X und V ⊆ Y . Dann heißt die Menge f (U ) = {y ∈ Y | es gibt x ∈ U mit y = f (x)} Bildmenge von U . Die Menge f −1 (V ) = {x ∈ X| f (x) ∈ V } heißt Urbildmenge von V . F¨ ur eine Teilmenge U des Definitionsbereichs X einer Funktion f ist die Bildmenge f (U ) also genau die Menge, deren Elemente das Bild mindestens eines Elements aus U sind. Die Urbildmenge f −1 (V ) einer Teilmenge V des Wertebereichs Y von f hingegen ist diejenige Teilmenge des Definitionsbereichs von f , deren Elemente durch f auf ein Element von V abgebildet werden, vgl. Bild 4.1. Beispiel 4.3. a) Sei f : R → R die affine Funktion f (x) = 2x−1. Dann ist f ([2, 3]) = [3, 5] und f −1 ([5, 7]) = [3, 4]. b) Sei g : R → R2 die Funktion mit   2x g(x) = . −x 

Dann ist g({1, 2, 3}) =

2 −1

     4 6 , , . −2 −3

40

4 Funktionen

g

ƒ

x

y

z

gżƒ

Abb. 4.2. Die Verkettung von Funktionen.

c) Sei f : R → R die Parabel f (x) = x2 . Dann ist f ([0, 1]) = [0, 1] und ur alle x ∈ [1, 2] als auch f¨ ur f −1 ([1, 4]) = [1, 2] ∪ [−2, −1], da sowohl f¨ alle y ∈ [−2, 1] gilt: f (x) ∈ [1, 4] bzw. f (y) ∈ [1, 4]. Wenn der Wertebereich einer Funktion im Definitionsbereich einer anderen enthalten ist, kann man die Funktionen hintereinander ausf¨ uhren. Definition 4.4 (Verkettung). Seien f : X → Y und g : Y → Z Funktionen mit beliebigen nichtleeren Mengen X, Y und Z. Dann heißt die Funktion g◦f :X →Z

mit

(g ◦ f )(x) = g(f (x))

f¨ ur alle x ∈ X Verkettung von f und g. Man spricht g ◦ f als “g nach f ”. Beispiel 4.4. Sei f : R → R die Funktion mit f (x) = x2 und g : R → R die Funktion g(x) = (1 + x). Dann ist g ◦ f : R → R gegeben durch (g◦f )(x) = 1+x2 und f ◦g : R → R gegeben durch (f ◦g)(x) = (1 + x)2 . Die Verkettung ist also nicht kommutativ, d.h. im Allgemeinen gilt f ◦ g = g ◦ f .

4.2 Umkehrbarkeit von Funktionen

41

Reellwertige Funktionen k¨ onnen mit Hilfe der vier Grundrechenarten zu komplexeren Funktionen zusammengesetzt werden. Man geht dabei “punktweise” vor, das heißt man definiert etwa die Summe f + g zweier Funktionen, indem man f¨ ur jeden Punkt x definiert: (f + g)(x) = f (x) + g(x) usw. Definition 4.5 (Addition, Subtraktion). Seien f : X → R und g : X → R reellwertige Funktionen. Dann bezeichnet f + g bzw. f − g eine Funktion von X in R mit (f + g)(x) = f (x) + g(x)

bzw.

(f − g)(x) = f (x) − g(x)

f¨ ur alle x ∈ X. Definition 4.6 (Multiplikation mit einem Skalar). Sei f : X → R eine Funktion und α ∈ R. Dann bezeichnet αf eine Funktion von X in R mit (αf )(x) = αf (x) f¨ ur alle x ∈ X. Definition 4.7 (Multiplikation, Division). Seien f : X → R und g : X → R Funktionen. Dann bezeichnet f · g bzw. f /g eine Funktion von X nach R mit (f · g)(x) = f (x) · g(x)

bzw.

(f /g)(x) = f (x) ·

1 g(x)

f¨ ur alle x ∈ X. F¨ ur die Division muss dabei f¨ ur alle x ∈ X die Bedingung g(x) = 0 erf¨ ullt sein.

4.2 Umkehrbarkeit von Funktionen Oftmals treten Situationen auf, in denen man eine Gleichung der Form f (x) = y nach x aufl¨osen m¨ ochte. Zum Beispiel ist der Preis (y), den man am Monats- oder Jahresende f¨ ur Strom bezahlt, eine Funktion der verbrauchten Menge (x). Umgekehrt kann man sich bei Erhalt der Rechnung, also in Kenntnis des Preises (y), fragen, wie hoch der Verbrauch gewesen ist, der zu der Rechnung gef¨ uhrt hat. Man m¨ochte also eine Gleichung der Form x = g(y)

42

4 Funktionen

erhalten. Wenn dies f¨ ur alle x und y m¨ oglich ist, zum Beispiel bei einem konstanten Preis pro KWh, so nennt man g die Umkehrfunktion von f. Allerdings existiert nicht zu jeder Funktion eine Umkehrfunktion. So kann zu f : R → R mit f : x → x2 keine Umkehrfunktion angegeben werden. Dies liegt zum einen daran, dass einigen Funktionswerten zwei Argumente zugeordnet werden k¨ onnen, etwa hat y = 1 zwei Urbilder, n¨amlich 1 und −1; bei der Umkehrung ginge also die Eindeutigkeit der Zuordnung verloren. Zum anderen existieren Elemente des Wertebereichs von f , denen kein Argument zugeordnet werden kann (alle negativen Zahlen); eine Umkehrfunktion f¨ ur diese Werte w¨are also nicht definiert. Definition 4.8 (Injektivit¨ at). Eine Funktion f : X → Y heißt injektiv, wenn f¨ ur alle x, x ∈ X gilt: f (x) = f (x ) ⇒ x = x . Eine Funktion ist also genau dann injektiv, wenn es m¨oglich ist, vom Funktionswert f (x) eindeutig auf das Argument x zu schließen. Wenn nun f : X → Y injektiv ist, dann gibt es zu jedem Element der Bildmenge f (X) h¨ ochstens ein Urbild. Damit k¨onnen wir also die Umkehrfunktion f −1 definieren. Definition 4.9. Sei f : X → Y injektiv. Die Umkehrfunktion von f ist diejenige Funktion f −1 : f (X) → X, die jedem Element aus der Bildmenge f (X) das eindeutig bestimmte Urbild zuordnet. Definition 4.10 (Surjektivit¨ at). Eine Funktion f : X → Y heißt surjektiv, wenn f (X) = Y gilt. Eine Funktion f ist also genau dann surjektiv, wenn es m¨oglich ist, zu jedem Element y ihres Wertebereichs mindestens ein Element x des Definitionsbereichs anzugeben, welches von f auf y abgebildet wird. Injektivit¨at und Surjektivit¨ at werden zur Bijektivit¨at zusammengefaßt: Definition 4.11 (Bijektivit¨ at). Ist eine Funktion f : X → Y injektiv und surjektiv, so heißt sie bijektiv. Man bezeichnet Bijektionen auch als eineindeutige oder umkehrbar eindeutige Abbildungen, da jedem y ∈ Y genau ein Urbild f −1 (y) sowie jedem x ∈ X genau ein Bild f (x) entspricht. In dieser Hinsicht sind die Mengen X und Y also gleich groß.

4.3 Unendliche Weiten: Mengenvergleiche

43

Beispiel 4.5. a) f : R → R mit f : x → x2 ist weder injektiv noch surjektiv. Zu der Zahl 1 gibt es n¨ amlich die Urbilder 1 und −1, also ist f nicht injektiv. Zu der Zahl −1 gibt es aber keine reelle Zahl x mit x2 = −1, also ist f nicht surjektiv. b) f : [0, ∞) → R mit f : x → x2 ist jedoch injektiv, denn nun gibt es zu jeder reellen Zahl h¨ ochstens ein Urbild. F¨ ur negative √ Zahlen gibt es ja kein Urbild, und f¨ ur positive Zahlen x gibt es nur x, die Wurzel, als Urbild. Durch die Verkleinerung des Definitionsbereiches wird die Funktion also injektiv. c) Wenn wir nun auch noch die negativen Zahlen aus dem Bildraum ausschließen, erhalten wir eine Bijektion: f : [0, ∞) → [0, ∞) mit f : x → x2 ist injektiv, surjektiv und somit auch bijektiv. ¨ Okonomisches Beispiel 4.3 Oft ist es g¨ unstig, nicht die nachgefragte Menge als Funktion des Preises, sondern umgekehrt den Preis als Funktion der Menge anzusehen. Wenn also x(p) die Nachfragefunktion ist, so bezeichnet man ihre Umkehrfunktion p(x) als inverse Nachfrage. Von der Notation her ist es streng genommen schlecht, den Buchstaben p einmal als abh¨ angige Variable (in x(p)) und einmal als Funktion (in p(x)) zu verwenden. Es ist aber u ¨blich und insofern kein Problem, als es selten zu Verwirrungen f¨ uhrt.

4.3 Unendliche Weiten: Mengenvergleiche Wie bereits angedeutet lassen sich bijektive Funktionen zum Vergleich der Gr¨oße bzw. der M¨ achtigkeit von Mengen verwenden. Wenn wir zum Beispiel eine endliche Menge der M¨ achtigkeit n aufz¨ahlen, stellen wir eigentlich eine Bijektion her: n¨ amlich zwischen der Menge der Zahlen {1, 2, 3, . . . , n} und der Menge M = {m1 , . . . , mn }. Dabei ordnen wir jeder Zahl k ∈ {1, 2, 3, . . . , n} umkehrbar eindeutig ein Element mk ∈ ¨ M zu. Etwas Ahnliches wollen wir jetzt f¨ ur beliebige Mengen tun. Definition 4.12. Zwei Mengen X und Y heißen gleich m¨ achtig, wenn es eine bijektive Funktion f : X → Y gibt. Eine Menge M heißt endlich, wenn es eine nat¨ urliche Zahl n gibt und eine Bijektion f : {1, 2, . . . , n} → M , wenn also M und {1, 2, . . . , n} gleich m¨ achtig sind. Eine Menge M heißt abz¨ ahlbar unendlich, wenn es eine bijektive Funktion f : N → M gibt, wenn also M und N gleich m¨ achtig sind.

44

4 Funktionen

Eine Menge M heißt u ahlbar, wenn sie weder endlich noch ¨berabz¨ abz¨ ahlbar unendlich ist. Beispiel 4.6. a) Offensichtlich sind die nat¨ urlichen Zahlen selbst abz¨ahlbar unendlich (um dies zu sehen, w¨ ahle man die identische Abbildung). b) Die Menge aller Quadratzahlen M = {1, 4, 9, . . . , n2 , . . .} ist abz¨ahlbar unendlich. Um dies zu sehen, w¨ ahle man f (n) = n2 . Somit sind also die nat¨ urlichen Zahlen insbesondere gleich m¨achtig zu einer echten Teilmenge der nat¨ urlichen Zahlen. Dies ist eine Eigenschaft, die alle unendlichen Mengen haben: Es gibt stets echte Teilmengen, die genauso groß wie die urspr¨ ungliche Menge sind. Diese scheinbare Paradoxie verwirrte schon den großen Galilei. Es ist aber nichts anderes als eine kennzeichnende Eigenschaft unendlicher Mengen. c) Umgekehrt gibt es aber auch Obermengen der nat¨ urlichen Zahlen, die “genauso groß” wie diese sind. So sind beispielsweise die ganzen Zahlen Z abz¨ahlbar unendlich. Dies l¨ asst sich sehen, indem man eine Bijektion f : N → Z definiert durch: 0 → 0, 1 → 1, 2 → −1, 3 → 2, 4 → −2, usw. Dar¨ uber hinaus gilt sogar, dass die rationalen Zahlen abz¨ahlbar unendlich sind! Der Beweis ist allerdings etwas schwieriger als der Beweis der Abz¨ahlbarkeit von Z. Wir geben ihn hier nicht an, da er f¨ ur den weiteren Verlauf des Buches ohne Bedeutung ist. Nach dem letzten Beispiel stellt sich die Frage, ob es u ¨berhaupt u ¨berabz¨ahlbare Mengen gibt. Die Antwort lautet: “Ja!” Satz 4.4 (Cantor). R ist u ahlbar. ¨berabz¨ Dass R u ahlbar ist, l¨ asst sich durch Konstruktion eines Wi¨berabz¨ derspruches beweisen. Um ein Gef¨ uhl f¨ ur die unterschiedliche Gr¨oße von unendlichen Mengen zu vermitteln, geben wir den Beweis an dieser Stelle an. Beweis. Zun¨achst einmal sei bemerkt, dass es gen¨ ugt zu zeigen, dass die Menge (0, 1) = {x ∈ R | 0 < x < 1} nicht abz¨ahlbar ist. – Wie sollte man auch ganz R abz¨ ahlen k¨ onnen, wenn man schon bei einer Teilmenge von R “nie zum Ende” kommt? – Wir zeigen nun, dass (0, 1) nicht abz¨ahlbar ist.

4.3 Unendliche Weiten: Mengenvergleiche

45

Zur Konstruktion des bereits erw¨ ahnten Widerspruches nehmen wir zun¨achst einmal an, dass (0, 1) abz¨ ahlbar ist. In diesem Fall l¨asst sich (0, 1) schreiben als {x1 , x2 , x3 , ..., xn , ...}. Mit anderen Worten, die Elemente von (0, 1) ließen sich nacheinander in eine (nummerierte) Liste schreiben, ohne dass dabei ein Element vergessen w¨ urde. Nun l¨asst sich jede der Zahlen xn als Dezimalbruch schreiben, d.h. x1 = 0, x11 x12 x13 x2 = 0, x21 x22 x23 x3 = 0, x31 x32 x33 .. .

... ... ... .

Dabei gilt f¨ ur alle i, j dass xij ∈ {0, 1, ..., 9}. Wir definieren nun eine Zahl y ∈ (0, 1) durch ihren Dezimalbruch und zeigen im Anschluss daran, dass sie nicht unter den xn erfasst sein kann. Sei also y = 0, y1 y2 y3 ... mit  1, falls xkk = 1 yk = 2, falls xkk = 1. Aus der Definition von y folgt, dass yk = xkk f¨ ur alle k ≥ 1. Nach Annahme (alle Elemente von (0, 1) sind in {x1 , x2 , ...} erfasst) gibt es eine nat¨ urliche Zahl n, so dass xn = y. In diesem Fall muss aber ur alle k ≥ 1 yn = xnn gelten. Dies steht im Widerspruch zu yk = xkk f¨ und somit zur Annahme der Abz¨ ahlbarkeit von (0, 1). Die Annahme ist also falsch und der Satz damit bewiesen.
Etwas weniger formal kann man also sagen, dass es viel mehr reelle als rationale Zahlen gibt. Auf den ersten Blick √ mag dies verwundern, ullt haben. Es da wir doch anschaulich nur die L¨ ucken wie 2 aufgef¨ sind eben sehr viele L¨ ucken. Schließlich halten wir noch fest, dass die Unendlichkeiten keine Grenzen kennen. Anders gesagt: Zu jeder unendlichen Menge gibt es noch eine Menge gr¨ oßerer M¨ achtigkeit, die Potenzmenge. Satz 4.5 (Cantor). Die Potenzmenge einer Menge hat immer eine gr¨ oßere M¨ achtigkeit als die Menge selbst. Der große Mathematiker David Hilbert sagte zu diesen S¨atzen: “Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben k¨onnen.” F¨ ur den Moment wollen wir diesen Schritt dennoch wagen ¨ und uns den Ubungsaufgaben dieses Kapitels zuwenden.

46

4 Funktionen

¨ Ubungen Aufgabe 4.1. Sei X die Menge aller Einwohner Bonns (mit festem Wohnsitz und Personalausweis). Man betrachte folgende Funktionen f :X→N • f (x) ist das Alter von x. • f (x) ist die Nummer des Personalausweises von x. • f (x) ist die Hausnummer des Hauses, in dem x wohnt. Welche dieser Funktionen sind injektiv oder bijektiv? Falls m¨ oglich bestimme man die Umkehrfunktion. Aufgabe 4.2. Gib eine Bijektion zwischen den nat¨ urlichen Zahlen und allen Vielfachen von 3 an! Aufgabe 4.3. Bestimme f¨ ur folgende Funktionen f : R → R jeweils die Bildmenge von [0, 1] sowie das Urbild von [1, 2]: • • • •

x → 0, x → x2 , x → −x, x → 3x − 5.

Aufgabe 4.4. 1. Zeige, dass die Menge {2, 3, 4, . . .} dieselbe M¨ achtigkeit wie N hat! 2. Folgere, dass Hilberts Hotel (benannt nach dem ber¨ uhmten deutschen Mathematiker David Hilbert) niemals ausgebucht ist — Hilberts Hotel hat (abz¨ ahlbar) unendlich viele Zimmer mit den Nummern 1, 2, 3, . . . Wenn alle Zimmer belegt sind, aber noch ein Gast kommt, rutschen einfach alle ein Zimmer weiter und schon ist Zimmer 1 frei!

5 Folgen und Grenzwerte

In diesem Kapitel wird der Begriff der Folge und, damit eng verbunden, der Begriff des Grenzwerts einer Folge eingef¨ uhrt. Beide Begriffe sind, wie wir in sp¨ ateren Kapiteln noch sehen werden, von zentraler Bedeutung f¨ ur die mathematische Analyse von Funktionen und somit ¨ auch f¨ ur die mathematische Okonomie. Dass Folgen zudem von enormer eigenst¨andiger Bedeutung f¨ ur die Analyse o¨konomischer Sachverhalte sind, wird anhand der im Verlauf des Kapitels besprochenen Beispiele deutlich.

5.1 Der Begriff der Folge Formal gesehen ist eine Folge reeller Zahlen zun¨achst einmal nichts anderes als eine reelle Funktion, deren Definitionsbereich aus den nat¨ urlichen Zahlen besteht. Definition 5.1 (Folge). Eine Funktion f : N → R heißt (reelle) Folge. Sie wird u ¨blicherweise in der Form (an )n∈N geschrieben, wobei man an = f (n) setzt. Die Elemente der Folge, d.h. die an , heißen Glieder der Folge. Abweichend von der oben genannten Schreibweise f¨ ur Folgen findet man gelegentlich eine Darstellung der Form {an }n∈N an Stelle von (an )n∈N . Eine solche Schreibweise soll die Tatsache verdeutlichen, dass die Menge aller Folgenglieder eine Teilmenge von R bildet. Wenn die Indexvariable klar erkennbar ist, so schreibt man in der urzend (an ). Ist dieses hingegen nicht der Fall Regel statt (an )n∈N verk¨ (vgl. nachfolgendes Beispiel), so ist die explizite Benennung der Variablen in der beschriebenen Form unerl¨ asslich.

48

5 Folgen und Grenzwerte

Beispiel 5.1. a) Die Funktion f : N → R mit f (n) = 2n + 1 ist die Folge der ungeraden nat¨ urlichen Zahlen. Sie wird in der Form (2n + 1)n∈N geschrieben. Die ersten f¨ unf Glieder dieser Folge sind 1, 3, 5, 7 und 9. b) Die ersten f¨ unf Glieder der Folge (nt)t∈N sind 0, n, 2n, 3n, 4n und 5n. Folgen k¨onnen auf zwei Arten dargestellt werden. Die eine besteht darin, f¨ ur eine Folge (an ) unmittelbar den Zusammenhang zwischen der Variablen n und dem jeweiligen Folgenglied an zu beschreiben, etwa in der Form einer Funktionsgleichung. Diese Art der Darstellung wird als geschlossene Darstellung bezeichnet. Die zweite M¨oglichkeit ist, den ur alle n ∈ N den Wert des ersten Folgenglieds a1 anzugeben und f¨ Zusammenhang zwischen zwei direkt aufeinanderfolgenden Folgengliedern an und an+1 explizit anzugeben. So ist z.B. die Folge (n)n∈N aller nat¨ urlichen Zahlen auch beschrieben durch a0 = 0 und an+1 = an + 1. Dies wird als rekursive Darstellung bezeichnet. Die rekursive Darstellung einer Folge ergibt sich oft ganz nat¨ urlich aus der Modellierung eines ¨ okonomischen Sachverhalts (vgl. nachfolgendes Beispiel). Allerdings ist die geschlossene Darstellung f¨ ur gew¨ohnlich deutlich einfacher zu analysieren. In diesen F¨allen ist es hilfreich, die rekursive Darstellung der betrachteten Folge, wenn m¨oglich, in eine geschlossene Darstellung zu u uhren. Dies gelingt oftmals, indem ¨berf¨ man die ersten Folgenglieder notiert und in ihnen nach strukturellen Gesetzm¨aßigkeiten sucht, aus denen sich eine geschlossene Darstellung der Folge ergibt. Der Beweis, dass die so gefundene geschlossene Darstellung tats¨achlich dieselbe Folge beschreibt wie die rekursive Darstellung, wurde damit nat¨ urlich noch nicht erbracht. Er ist allerdings im Regelfall leicht zu f¨ uhren, etwa mit Hilfe des Beweisverfahrens der vollst¨andigen Induktion (vgl. Kapitel 3). ¨ Okonomisches Beispiel 5.1 Entwicklung eines Sparbuchs. Wir betrachten einen Sparer, der zum Zeitpunkt t = 0 ein Kapital K0 = K auf ein Sparbuch hinterlegt. Sei nun i > 0 der Zinssatz, mit dem das Guthaben pro Jahr verzinst wird. Wenn also zu Anfang des Jahres t ein Guthaben von Kt vorlag, so haben wir zu Anfang des Jahres t + 1 ein Guthaben von Kt+1 = Kt (1 + i). Die rekursiv definierte Folge K0 = K,

Kt+1 = Kt · (1 + i)

5.1 Der Begriff der Folge

49

beschreibt die Wertentwicklung des Sparbuchs. Aus den ersten vier Gliedern dieser Folge, K0 = K, K1 = K · (1 + i), K2 = K · (1 + i)2 K3 = K · (1 + i)3 ist ersichtlich, dass diese Folge in geschlossener Form die Darstellung   K · (1 + i)t t∈N ¨ hat. Den Beweis dieser Aussage erbringe man zur Ubung per Induktion! Zwei besonders hervorzuhebende Klassen von Folgen sind die sogenannten arithmetischen und geometrischen Folgen: Definition 5.2 (Arithmetische Folge). Existiert f¨ ur eine Folge (an ) ein c ∈ R, so dass f¨ ur alle n ∈ N die gilt: an+1 − an = c, so bezeichnet man (an ) als eine arithmetische Folge. Eine Folge wird also genau dann arithmetisch genannt, wenn zwei beliebige aufeinanderfolgende Glieder stets den gleichen Abstand zueinander haben. Im Gegensatz dazu gilt f¨ ur geometrische Folgen, dass nicht der Abstand, sondern das Verh¨ altnis zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder konstant ist. Definition 5.3 (Geometrische Folge). Existiert f¨ ur eine Folge (an ) ein c ∈ R \ {0}, so dass f¨ ur alle n ∈ N gilt: an+1 = c, an so bezeichnet man (an ) als eine geometrische Folge. Beispiel 5.2. ur alle n ∈ N ist wegen a) Die Folge (an ) mit an = 10 − 5n f¨ an+1 − an = 10 − 5(n + 1) − (10 − 5n) = −5 eine arithmetische Folge. ur alle n ∈ N ist wegen b) Die Folge (an ) mit an = 2 · 4n f¨ 2·4n+1 2·4n

an+1 an

= 4 eine geometrische Folge.

okonomischen Beispiel 5.1 ist geometrisch. c) Die Folge (Kt ) im ¨

=

50

5 Folgen und Grenzwerte

Allgemein gilt, dass zu jeder arithmetischen Folge (an ) immer eine geschlossene Darstellung der Form an = a0 + cn und zu jeder geometrischen Folge (gn ) immer eine geschlossene Darstellung der Form ur ein c ∈ R existiert. (Man u gn = g0 cn f¨ ¨berlege sich die Richtigkeit dieser Aussage per Induktion!)

5.2 Die Konvergenz von Folgen und der Grenzwertbegriff Die Folge (1/n) beginnt mit den Zahlen 1, 1/2, 1/3, 1/4 . . ., die immer kleiner werden und sich der Null ann¨ ahern. Anschaulich k¨onnte man sagen, dass im ”Unendlichen” die Folge den Grenzwert 0 erreicht. Diese etwas vage Vorstellung werden wir nun begrifflich klar fassen. Definition 5.4 (Konvergenz und Grenzwert). Eine Folge (an ) konvergiert gegen a ∈ R, wenn f¨ ur alle ε > 0 ein n0 ∈ N existiert, so dass f¨ ur alle n ≥ n0 gilt: |an − a| < ε. Man schreibt dann lim an = a

n→∞

oder

an −→ a

und sagt, die Folge (an ) konvergiert gegen den Grenzwert a. Man beachte, wie in der Mathematik die anschaulich vage Vorstellung von einem Grenzwert im Unendlichen pr¨azisiert wird. Man gibt sich einen Abstand ε > 0 vor und testet, ob der Abstand der Folgenglieder vom m¨oglichen Grenzwert irgendwann (und dann aber f¨ ur immer) unter der Schranke ε liegt. Wenn dies f¨ ur beliebig kleine Abst¨ande der Fall ist, dann liegt Konvergenz vor. Beispiel 5.3. ur alle n ∈ N konvergiert a) Die konstante Folge (c) mit an = c ∈ R f¨ gegen c. Hier kann man bei gegebenem Abstand ε > 0 einfach n0 = 0 w¨ahlen, denn es gilt ja f¨ ur alle n |an − c| = 0 < ε. b) Es gilt n1 → 0. Dies beweist man mit Hilfe des archimedischen Prinzips. Sei ε > 0. Wegen des archimedischen Prinzips, angewendet ur alle f¨ ur x = 1, gibt es eine nat¨ urliche Zahl n0 mit n0 > 1ε . Also gilt f¨ n ≥ n0 die Ungleichung    1  − 0 = 1 < ε .  n n

5.2 Die Konvergenz von Folgen und der Grenzwertbegriff

51

Es widerspr¨ ache der anschaulichen Vorstellung von Konvergenz, wenn eine Folge gleichzeitig gegen 0 und eine andere Zahl, etwa 1, konvergieren w¨ urde. Wir beweisen nun auch, dass dies nicht passieren kann. Satz 5.2. Jede Folge besitzt h¨ ochstens einen Grenzwert. Beweis. Wir verwenden einen Widerspruchsbeweis. Angenommen, eine Folge (an ) habe zwei Grenzwerte a und a mit a = a . Sei nun 1 ε = |a − a| . 4 ur alle n ≥ n0 . Dann existiert wegen an −→ a ein n0 mit |an − a| < ε f¨ ur alle Des Weiteren existiert wegen an −→ a ein n1 mit |an − a | < ε f¨ n ≥ n1 . Sei nun m = max{n0 , n1 }. Dann ist |am − a| + |am − a | < 2ε. Wegen der Dreiecksungleichung gilt |a − a| = |a − am + am − a| ≤ |a − am | + |am − a|, so dass insgesamt folgt: 1 |a − a| < 2ε = |a − a| . 2 Nach Division durch die positive Zahl |a − a| folgt 1 < 12 . Dies ist ein Widerspruch.
Satz 5.2 lehrt uns also, dass es h¨ ochstens einen Grenzwert gibt. Aber nat¨ urlich muss es nicht immer einen Grenzwert geben. Man denke sich etwa eine periodisch auf- und absteigende Folge. Im Folgenden sollen daher notwendige bzw. notwendige und hinreichende Bedingungen f¨ ur die Existenz eines Grenzwertes, d.h. f¨ ur die Konvergenz einer Folge, entwickelt werden. Da die Monotonie und Beschr¨anktheit einer Folge dabei von entscheidender Bedeutung sind, beginnen wir mit einer formalen Definition dieser Begriffe. Definition 5.5 (Monotonie). ur alle n ∈ N die 1. Eine Folge (an ) heißt monoton steigend, wenn f¨ Beziehung an+1 ≥ an gilt; sie heißt streng monoton steigend, falls f¨ ur alle n ∈ N an+1 > an gilt; ur alle n ∈ N die 2. Eine Folge (an ) heißt monoton fallend, wenn f¨ Beziehung an+1 ≤ an gilt; sie heißt streng monoton fallend, falls f¨ ur alle n ∈ N an+1 < an gilt. Beispiel 5.4. a) Die Folge (n) ist streng monoton steigend.

52

5 Folgen und Grenzwerte

b) Die Folge (max{4 − n, 0}), deren erste f¨ unf Glieder 3, 2, 1, 0 und 0 sind, ist monoton aber nicht streng monoton fallend.1 c) Die Folge ((−1)n ) ist weder monoton steigend noch monoton fallend. Definition 5.6 (Beschr¨ anktheit). Eine Folge (an ) heißt 1. nach unten beschr¨ ankt, wenn ein c ∈ R existiert, so dass f¨ ur alle n ∈ N an ≥ c gilt; 2. nach oben beschr¨ ankt, wenn ein c ∈ R existiert, so dass f¨ ur alle n ∈ N an ≤ c gilt; 3. beschr¨ankt, wenn ein c ∈ R existiert, so dass f¨ ur alle n ∈ N gilt: |an | ≤ c gilt. Die Konstante c wird als untere, obere bzw. einfach nur als Schranke bezeichnet. Beispiel 5.5. a) F¨ ur die Folge (an ) mit an = 3 + 7n existiert mit c = 3 wegen an ≥ c f¨ ur alle n ∈ N offensichtlich eine untere Schranke. Die Folge ist somit nach unten beschr¨ ankt. Die Folge ist aber nicht nach oben beschr¨ankt. Formal beweist man dies mit Hilfe des Archimedisches Prinzips: Wenn eine reelle Zahl c > 0 gegeben ist, so besagt dieses Prinzip, dass n > c f¨ ur gen¨ ugend große n ist, und somit erst recht 3 + 7n > c. Also kann kein c eine obere Schranke sein. b) Die Folge

1 n

ist wegen 0 ≤

1 n

≤ 1 f¨ ur alle n ∈ N beschr¨ankt.

c) Die Folge ((−1)n (2n + 1)) = (1, −3, 5, −7, 9, −11, . . .) ist weder nach unten noch nach oben beschr¨ ankt, da ihre Glieder beliebig groß und beliebig klein werden. Definition 5.7. Sei (an ) eine reelle Folge. 1. Eine obere Schranke K ∈ R von (an ) heißt kleinste obere Schranke bzw. Supremum der Folge (an ), wenn es keine obere Schranke von (an ) gibt, die kleiner ist als K. Wir schreiben dann K = sup an . 2. Eine untere Schranke k ∈ R von (an ) heißt gr¨oßte untere Schranke bzw. Infimum der Folge (an ), wenn es keine untere Schranke von oßer ist als k. Wir schreiben dann k = inf an . (an ) gibt, die gr¨ 1

Dabei nimmt max{x, y} f¨ ur x ≥ y den Wert x und f¨ ur x < y den Wert y an. Es ist also beispielsweise max{3, 4} = 4.

5.2 Die Konvergenz von Folgen und der Grenzwertbegriff

53

Gem¨aß Definition hat eine beschr¨ ankte Folge nat¨ urlich immer eine obere Schranke. Aber hat sie auch immer eine kleinste obere Schranke? Dass dieses so ist, folgt aus der Vollst¨ andigkeit der reellen Zahlen (vgl. Kapitel 2). Satz 5.3. Eine nach oben beschr¨ ankte Folge (an ) besitzt ein Supremum. Eine nach unten beschr¨ ankte Folge (an ) besitzt ein Infimum. Wir zeigen nun, dass konvergente Folgen immer beschr¨ankt sind. F¨ ur monotone Folgen ist umgekehrt Konvergenz mit Beschr¨anktheit (nach oben oder unten) gleichbedeutend. Satz 5.4 (Notwendige Bedingung fu ¨ r Konvergenz). F¨ ur jede Folge (an ) gilt: ankt. (an ) konvergiert ⇒ (an ) ist beschr¨ Bevor wir einen formalen Beweis geben, wollen wir uns die G¨ ultigkeit des obigen Satzes intuitiv u ¨berlegen. Die Konvergenz der Folge bedeutet, dass fast alle Folgenglieder in einem Intervall um den Grenzwert liegen, insbesondere sind sie also alle betragsm¨aßig beschr¨ankt. Die restlichen, endlich vielen Folgenglieder sind nat¨ urlich ebenfalls beschr¨ankt. ur ε = 1 gibt es n0 ∈ N, so dass f¨ ur alle Beweis. Gelte lim an = a. F¨ n ≥ n0 gilt |an − a| < 1. Damit gilt wegen der Dreiecksungleichung |an | = |an − a + a| ≤ |an − a| + |a| < 1 + |a| . Bei den ersten n0 Folgengliedern a0 , a1 , . . . , an0 −1 gibt es sicherlich eines mit dem gr¨oßten Betrag, insbesondere gibt es eine Zahl c > 0 mit ur alle k = 0, . . . , n0 − 1. W¨ ahle nun c = max{1 + |a|, c}. |ak | ≤ c f¨
Dann ist c die gesuchte Schranke. Satz 5.5. Eine monoton steigende Folge (an ) konvergiert genau dann, wenn sie beschr¨ ankt ist. Die Folge konvergiert dann gegen ihr Supremum, also lim an = sup an . Eine monoton fallende Folge (an ) konvergiert genau dann, wenn sie beschr¨ ankt ist. Die Folge konvergiert dann gegen ihr Infimum, also lim an = inf an . Die Aussage von Satz 5.5 l¨ asst sich leicht veranschaulichen. Man denke sich eine monoton steigende Folge (an ). Nach Voraussetzung hat (an ) eine obere Schranke. Daraus ergibt sich, daß die Folgenglieder nicht

54

5 Folgen und Grenzwerte

beliebig groß werden k¨ onnen. Andererseits steigt die Folge st¨andig. “Irgendwann” m¨ ussen die Abst¨ ande der Folgenglieder also kleiner und kleiner werden — die Folge konvergiert. Beweis von Satz 5.5. Wenn (an ) konvergiert, dann ist nach Satz 5.5 die Folge beschr¨ ankt. Sei nun umgekehrt (an ) monoton steigend und nach oben beur alle n ∈ N; also schr¨ankt. Wegen der Monotonie gilt a0 ≤ an f¨ ankt. Sei ferner K das Supremum ist (an ) auch nach unten beschr¨ ahle ein ε > 0. Wenn nun f¨ ur alle n der beschr¨ankten Folge (an ). W¨  urde, so w¨are auch K = K − 12 ε |K − an | = K − an ≥ ε gelten w¨  are dies ein Widerspruch zu der eine obere Schranke. Wegen K < K w¨ Tatsache, dass K die kleinste obere Schranke ist. Also gibt es ein n0 mit K − an0 < ε. Da (an ) monoton steigend ist, folgt dann auch, dass f¨ ur alle n ≥ n0 K − an < ε ist. Also ist K der Grenzwert der Folge (an ). Beispiel 5.6. a) Die Folge (q n ) mit 0 < q < 1 ist monoton fallend, denn q n+1 = qq n < q n . Außerdem ist q n > 0, also die Folge nach unten beschr¨ankt und daher nach Satz 5.5 konvergent. b) Die Folge (n) ist monoton steigend und (wegen des archimedischen Prinzips) nicht nach oben beschr¨ ankt. Folglich ist sie nach Satz 5.5 divergent. ¨ Okonomisches Beispiel 5.6 Die Fibonaccizahlen beschreiben gewisse Wachstumsprozesse. Sie sind wie folgt definiert. Wir starten mit ur n ≥ 1. Die a0 = a1 = 1 und setzen dann rekursiv an+1 = an−1 + an f¨ ersten neun Zahlen sind also a0 = 1, a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, a4 = 5, a5 = 8, a6 = 13, a7 = 21, a8 = 34. Wie man sieht, ist die Folge monoton wachsend. Sie konvergiert aber nicht, da sie nicht beschr¨ ankt ist. Dies sieht man etwa, indem man per Induktion beweist, dass an ≥ n gilt. Da wegen des archimedischen Prinzips n u achst, w¨ achst auch die Folge der Fi¨ber alle Schranken w¨ bonaccizahlen u ¨ber alle Schranken.

5.3 Absch¨ atzungen f¨ ur und Rechnen mit konvergenten Folgen

55

Cauchy-Folgen In diesem Abschnitt wollen wir die Vollst¨ andigkeit der reellen Zahlen noch einmal von einer anderen Seite beleuchten. Dazu betrachten wir die folgende rekursiv definierte Folge:   2 1 . 2+ a0 = 1 und an+1 = 2 an Die ersten Folgenglieder lauten 6, a4 = 1.4142157, a5 = 1.4142136. a1 = 1, a2 = 1.5, a3 = 1.414¯ Ab dieser Stelle liegen die ersten 6 Nachkommastellen fest. Offensichtlich “will” die Folge also konvergieren, denn ihre Glieder schwanken immer weniger. Folgen, die diese Eigenschaft besitzen, nennt man CauchyFolgen. ur jedes Definition 5.8. Eine Folge (an ) heißt Cauchy–Folge, wenn f¨ ur alle m, n ≥ n0 gilt: ε > 0 eine Schranke n0 existiert, so dass f¨ |am − an | < ε. F¨ ur große n ist also die Differenz zwischen beliebigen Folgengliedern einer Cauchy-Folge beliebig klein. Die Vermutung liegt also nahe, dass die Folge konvergiert. Allerdings k¨ onnte es sein, dass die Folge zwar konvergieren “will”, aber auf ein “Loch” trifft. Gerade dies kann wegen der Vollst¨andigkeit der rellen Zahlen in R nicht passieren. F¨ ur nicht vollst¨andige R¨aume, z.B. Q, lassen sich Cauchy-Folgen konstruieren, die im herk¨ommlichen Sinne nicht konvergieren. So ist die oben betrachtete Folge eine Cauchyfolge in Q, da sie nur √ aus rationalen Zahlen besteht. Man kann aber zeigen, dass sie gegen 2 konvergiert. Da wir schon wissen, dass dies keine rationale Zahl ist, konvergiert die Folge also nicht in Q. F¨ ur die reellen Zahlen gilt aber Satz 5.7. Jede Cauchy-Folge in R besitzt einen Grenzwert in R.

5.3 Absch¨ atzungen fu ¨ r und Rechnen mit konvergenten Folgen Ein weiteres n¨ utzliches Mittel, um Konvergenz zu beweisen, sind Absch¨atzungen. Ganz einsichtig ist folgender Sachverhalt.

56

5 Folgen und Grenzwerte

Satz 5.8 (Vergleichssatz). Seien (an ) und (bn ) zwei Folgen mit lim an = a

n→∞

und lim bn = b . n→∞

Wenn stets gilt an ≤ bn , so gilt auch a ≤ b. Wir wollen versuchen, uns diesen Satz anschaulich und ohne formalen Beweis klar zu machen. Wenn a > b g¨alte, so m¨ ussten doch irgendwann die an sehr nahe an a und die bn sehr nahe an b sein, also are ein Widerspruch zu der Annahme, dass an ≤ bn an > bn ; dies w¨ f¨ ur alle Folgenglieder gilt. Der Beweis vollzieht genau dieses Argument nach. Beweis. Nimm an, dass a > b. Setze ε = 1/2(b − a). Dann ist ε > 0. ur n ≥ n0 stets |an − a| < ε gilt. Wegen Also gibt es ein n0 , so dass f¨ der Definition des Absolutbetrags haben wir insbesondere an > a − ε. ur n ≥ n1 stets |bn − b| < ε gilt. Außerdem gibt es ein n1 , so dass f¨ ur n ≥ Insbesondere folgt dann bn < b + ε. Daraus erhalten wir nun f¨ max{n0 , n1 } 0 ≤ bn − an < b + ε − a + ε = 0 , was im Widerspruch zur Annahme an ≤ bn steht. Als erste Anwendung dieses Satzes untersuchen wir noch einmal geometrische Folgen. Beispiel 5.7. Sei an = 0 und bn = q n mit 0 < q < 1. Aus Beispiel 5.6 wissen wir, dass (bn ) gegen eine Zahl l konvergiert. Wegen an ≤ bn und obigen Vergleichssatzes ist 0 ≤ l. W¨ ahle ε = ql − l = l(1−q) ≥ 0. q Wenn nun l > 0 w¨ are, so auch ε > 0. F¨ ur große n w¨ urde also gelten: q n − l < ε oder q n < l + ε = l/q. Hieraus wiederum folgte dann l ≤ q n+1 = q ·q n < q l/q = l, also l < l. Dies ist ein Widerspruch. Damit ur 0 < q < 1. muss also l = 0 gelten; also konvergiert q n gegen 0 f¨ Korollar 5.1 (Einschnu ¨ rungssatz). Seien (an ), (bn ) und (cn ) Folur alle n. Wenn gilt an → a und cn → a, so gilt gen mit an ≤ bn ≤ cn f¨ auch bn → a.   Beispiel 5.8. Sei p > 1 eine nat¨ urliche Zahl. Die Folgen n1p konvergieren gegen0. Denn es gilt np > n, also n1p < n1 . Aus Beispiel 5.3 wissen wir, dass n1 gegen 0 konvergiert. Der Einschn¨ urungssatz liefert dann die Behauptung. Korollar 5.2. Eine Folge (an ) konvergiert genau dann gegen 0, wenn die Folge ihrer Betr¨ age (|an |) gegen 0 konvergiert. Insbesondere konur |q| < 1 gegen 0. vergiert die geometrische Folge (q n ) f¨

5.3 Absch¨ atzungen f¨ ur und Rechnen mit konvergenten Folgen

57

Wir zeigen nun, dass man mit Grenzwerten genau wie mit Zahlen rechnen kann. Die Summe zweier konvergenter Folgen konvergiert also gegen die Summe der Grenzwerte. Dasselbe gilt f¨ ur Differenz, Produkt und Quotient (falls nicht im Nenner Null steht). Damit k¨onnen wir dann die Grenzwerte komplizierter Ausdr¨ ucke leicht berechnen, indem wir die einzelnen Terme anschauen. Satz 5.9 (Rechnen mit Folgen). Seien (an ) und (bn ) zwei Folgen mit an −→ a und bn −→ b. Dann gilt 1. an + bn −→ a + b, 2. an − bn −→ a − b, 3. an · bn −→ a · b ur alle n ∈ N und b = 0 ist. 4. abnn −→ ab , wenn bn = 0 f¨ Nachfolgend ist der Beweis der Teilaussage i) von Satz 5.9 angegeben. Die Beweise der anderen Teilaussagen verlaufen analog. Beweis. Sei ε > 0. Wegen an −→ a existiert ein n0 mit ε |an − a| < 2 f¨ ur alle n ≥ n0 . Analog existiert wegen bn −→ b ein n ¯ (b) mit ε |bn − b| < 2 ¯ = max {n0 , n1 }. Dann gilt f¨ ur alle n ≥ n ¯ f¨ ur alle n ≥ n1 . Sei n |(an + bn ) − (a + b)| = |(an − a) + (bn − b)| ≤ |(an − a)| + |(bn − b)| (Dreiecksungleichung) < 2ε + 2ε = ε. Damit ist die Konvergenz von (an + bn ) gegen a + b bewiesen. 3

2




+1 konvergiert gem¨aß Satz Beispiel 5.9. Die Folge (an ) mit an = 2n3n−n 3 +n 2 5.9 und Beispiel 5.8 gegen 3 , wie sich aus folgender Darstellung der Folgenglieder und der konvergenten Einzel angegebenen   Grenzwerten    den folgen (2), n1 , n13 ,(3) und n12 ergibt: →0

→0

  →2  1 1   + 3 2 − n3 2 − n1 + n13 n n .   = an = 1 n3 3 + n12 3 + 2  n  →3

→0

58

5 Folgen und Grenzwerte

Dieses Verfahren kann man f¨ ur alle Folgen anwenden, die sich als Quotienten von Polynomen schreiben lassen. Wir geben das allgemeine Konvergenzverhalten in Beispiel 5.11 an.

5.4 Divergenz gegen unendlich Offensichtlich sind nicht alle Folgen reeller Zahlen konvergent. Insbesondere gibt es Folgen, deren Folgenglieder “mit der Zeit” immer gr¨oßer oder immer kleiner werden. So haben wir bereits gesehen, daß die Folge an = n nicht konvergiert, aber wegen des archimedischen Prinzips u ¨ber alle Grenzen w¨ achst. Man sagt in diesem Fall, die Folge an divergiert gegen unendlich. Definition 5.9 (Uneigentlicher Grenzwert). Eine Folge (an ) hat den uneigentlichen Grenzwert ∞ (−∞), wenn f¨ ur alle a ∈ R ein n ¯∈N existiert, so dass f¨ ur alle n ≥ n ¯ an ≥ (≤) a gilt . Man schreibt dann lim an = ∞ (−∞)

n→∞

oder

an −→ ∞ (−∞)

und sagt, (an ) divergiert gegen ∞ (−∞). Beispiel 5.10. ur r > 0 (vgl. archimedisches a) Die Folge (rn)n∈N divergiert gegen ∞ f¨ Prinzip). b) Die Folge

 an =

n f¨ ur n gerade , 0 f¨ ur n ungerade

ist weder konvergent gegen 0 noch divergent gegen ∞ oder −∞, denn sie w¨achst f¨ ur gerade n u ¨ber alle Schranken, aber ist doch auch immer wieder 0 (f¨ ur ungerade n). ur q > 1. Dies c) Die geometrische Folge (q n ) divergiert gegen ∞ f¨ kann man etwa mit Hilfe der Bernoulli’schen Ungleichung beweisen. Sei a ∈ R gegeben. F¨ ur q > 1 setze r = q − 1 > 0. Dann liefert die Bernoulli’sche Ungleichung (Satz 3.5) q n = (1 + r)n ≥ 1 + rn .

5.4 Divergenz gegen unendlich

59

Nun haben wir ja soeben bewiesen, dass limn→∞ rn = ∞ gilt. Also ur n ≥ n0 gilt. Damit gilt dann auch gibt es ein n0 , so dass rn ≥ a f¨ achst die geometrische Folge u q n ≥ 1+rn > a. Also w¨ ¨ber alle Schranken f¨ ur q > 1. d) F¨ ur q < −1 werden die Folgenglieder von (q n ) beliebig groß und beliebig klein. Es liegt also keine Divergenz gegen ∞ oder −∞ vor. Ein gewisses Maß an Vorsicht ist beim Rechnen mit dem Grenzwert ∞ geboten. So sind insbesondere die Ausdr¨ ucke ∞ − ∞ oder 0 · ∞ nicht definiert. Allerdings kann man sich als Regel merken, dass f¨ ur a = 0 und f¨ ur a > 0 auch noch reelle Zahlen a gilt: a + ∞ = ∞, ∞ a · ∞ = ∞ und ∞ a = ∞. Beispiel 5.11.   1 a) Die Folge n 2 − divergiert gegen ∞, da (n) gegen ∞ divergiert n   1 und 2 − n gegen a = 2 > 0 konvergiert. b) F¨ ur allgemeine Folgen der Form nk + ak−1 nk−1 + . . . + a0 nl + bl−1 nl−1 + . . . + b0 f¨ ur nat¨ urliche Zahlen k, l und Parameter a0 , . . . , ak , b0 , . . . , bl ∈ R erh¨alt man, indem man die h¨ ochsten Potenzen in Z¨ahler und Nenner ausklammert: ak nk + ak−1 nk−1 + . . . + a0 = n→∞ bl nl + bl−1 nl−1 + . . . + b0   ⎧ ur k > l ⎨ ∞ f¨ nk 1 + ak−1 /n + . . . + a0 /nk ak f¨ u rk=l lim = n→∞ nl (1 + bl−1 /n + . . . + b0 /nl ) ⎩ bk 0 f¨ ur k < l lim

Man beachte, dass die beiden Klammerausdr¨ ucke gegen 1 konvergieren. Die Konvergenz oder Divergenz wird also von den beiden f¨ uhrenden k l Potenzen n und n bestimmt. c) Die Folge (an ) = (n2 ) divergiert gegen unendlich, die Folge (bn ) = (n) ebenfalls. Der Quotient (an /bn ) konvergiert gegen unendlich, der Quotient (bn /an ) gegen 0. Dies zeigt, dass man ∞ ∞ nicht definieren kann.

60

5 Folgen und Grenzwerte

5.5 Teilfolgen und H¨ aufungspunkte An dieser Stelle m¨ ochten wir noch darauf hinweisen, dass es auch Folgen geben kann, deren Glieder sich “immer wieder” beliebig nahe an verschiedene Punkte ann¨ ahern. Auch diese Folgen konvergieren nicht, da Konvergenz bedeutet, dass sich die Folge “auf die Dauer” nur einem einzigen Punkt beliebig n¨ ahert, nicht aber mehreren. Man spricht in einem solchen Fall von einer nicht konvergenten Folge mit mehreren H¨aufungspunkten. Definition 5.10. Sei (an ) eine Folge. Eine Zahl y heißt H¨aufungspunkt der Folge (an ), wenn es zu jedem ε > 0 und jedem n0 ∈ N ein n1 > n0 gibt, so dass gilt: |y − an1 | < ε. Beispiel 5.12. aufungspunkte −1 und 1. F¨ ur ε > 0 a) Die Folge ((−1)n ) hat die H¨ amlich immer wieder n ˜ , n > n0 , so dass gilt: und beliebiges n0 gibt es n¨   −1 − (−1)n˜  = 0 < ε und

  1 − (−1)n  = 0 < ε .

˜ ungerade, und n > n0 , n gerade. Man w¨ahle dazu lediglich n ˜ > n0 , n b) Ebenso hat die Folge (an ) mit  1 f¨ ur n gerade n an = 1 1 + n f¨ ur n ungerade zwei H¨aufungspunkte: 0 und 1. Man beachte, dass gem¨ aß obiger Definition jeder Grenzwert einer konvergenten Folge zugleich einziger H¨ aufungspunkt dieser Folge ist. Hat eine Folge mehrere H¨ aufungspunkte, so kann man nat¨ urlich in gewissem Sinne davon sprechen, dass ein Teil der Folge gegen jeden dieser H¨aufungspunkte konvergiert. Dies soll im Folgenden pr¨azisiert werden. Definition 5.11. Sei (an )n∈N eine Folge und sei n1 < n2 < n3 < .. eine aufsteigende Folge nat¨ urlicher Zahlen. Dann nennt man die Folge (ank )k∈N = (an1 , an2 , an3 , ...) eine Teilfolge der Folge (an ).

5.5 Teilfolgen und H¨aufungspunkte

61

Wenn nun c ein H¨ aufungspunkt von (an ) ist, so gewinnt man eine Teilfolge (ank ), die gegen c konvergiert, auf folgende Weise. Man setzt ahlt man per Induktion f¨ ur εk = 1/k eine Zahl nk > an0 = a0 . Dann w¨ aufungspunkt ist, ist dies m¨oglich. Die nk−1 mit |ank − c| < 1/k. Da c H¨ Teilfolge (ank ) konvergiert dann gegen c. Satz 5.10. Sei c ein H¨ aufungspunkt von (an ). Dann existiert eine konvergente Teilfolge (ank )k∈N von (an ) mit (ank ) → c. Eine interessante Frage in diesem Zusammenhang ist, ob alle Folgen die weder konvergent noch divergent (also beschr¨ankt) sind, H¨aufungspunkte bzw. konvergente Teilfolgen besitzen. Der folgende Satz gibt eine eindeutige Antwort auf diese Frage. Satz 5.11 (Satz von Bolzano-Weierstraß). Jede beschr¨ ankte Folge reeller Zahlen besitzt eine konvergente Teilfolge. ankte Folge. Aus der Beschr¨anktheit von Beweis. Sei (an ) eine beschr¨ (an ) geht hervor, dass es Zahlen A und B gibt, so dass gilt: A ≤ an ≤ B f¨ ur alle n. Mit anderen Worten, alle (unendlich vielen) Folgenglieder von (an ) liegen im Intervall [A, B]. Man teile nun dieses Intervall in der alften. So erh¨alt man die Mitte, d.h. an der Stelle m = A+B 2 , in zwei H¨ Intervalle [A, m] und [m, B]. In mindestens einem dieser Teilintervalle m¨ ussen dann noch immer unendlich viele Glieder der Folge an liegen (sonst w¨are die Folge endlich). Als n¨ achstes w¨ahle man dasjenige Teilintervall, in dem unendlich viele Folgenglieder liegen (wenn das f¨ ur beide gilt, so w¨ahle man ein beliebiges). Mit diesem fahre man in selbiger Weise fort (man teile es in der Mitte, w¨ ahle die H¨alfte mit unendlich vielen Folgengliedern und setze mit dieser in entsprechender Weise fort). Dieses Verfahren nennt sich Intervallschachtelung. Es liefert induktiv eine unendliche Folge von Intervallen [Ak , Bk ], die alle ineinander enthalten sind, immer kleiner werden, und in denen jeweils unendlich viele Glieuckt bedeutet dies, dass f¨ ur der der Folge an liegen. Formaler ausgedr¨ alle k ∈ N gilt: 1. [Ak+1 , Bk+1 ] ⊂ [Ak , Bk ], wobei [A0 , B0 ] = [A, B]  k 2. Bk − Ak = 12 (B − A) alt unendlich viele Glieder der Folge (an ). 3. [Ak , Bk ] enth¨ Um eine konvergente Teilfoge (ank ) zu (an ) zu erhalten, setze man ur alle weiteren Folgenglieder ank w¨ahle man nun zun¨achst an0 = a0 . F¨ dann jeweils ein nk > nk−1 , so dass jeweils gilt ank ∈ [Ak , Bk ]. Dies ist m¨oglich, da per Konstruktion in jedem Intervall [Ak , Bk ] unendlich

62

5 Folgen und Grenzwerte

viele Folgenglieder der Ausgangsfolge (an ) liegen. Aufgrund der Konstruktion kann man nun zeigen, dass die so entstandene Folge (ank ) eine Cauchyfolge ist; (denn ab einem gewissen Folgenglied ank haben alle Teilfolgenglieder maximal den Abstand (1/2)k (B − A) — die Folge (1/2)k (B − A) konvergiert wegen Beispiel 5.7 gegen 0). Da Cauchyfolgen in R konvergieren (Satz 5.7), ist der Satz damit bewiesen.


Beispiel 5.13. Wie f¨ angt man einen L¨ owen in der W¨ uste? Eine Methode geht auf den obigen Beweis des Satzes von Bolzano–Weierstraß zur¨ uck. Dabei teilt man die W¨ uste zun¨ achst in zwei H¨alften. Offensichtlich muß sich der L¨owe in einer der beiden H¨ alften befinden. Dann teilt man diese H¨alfte wiederum in zwei H¨ alften. Wieder muss der L¨owe in einer der beiden H¨alften sein. Mit dieser setzte man in selber Weise, also durch “W¨ ustenschachachtelung”, fort. Irgendwann ist das eingegrenzte Gebiet so klein, dass der L¨ owen festsitzt. Der L¨owe u ¨bernimmt hier also die Rolle des H¨aufungspunktes bzw. des Grenzwertes der Teilfolge. (F¨ ur die mehr ¨okonomisch Interessierten sei noch bemerkt, dass uns keine Studien u at dieser Methode vorliegen.) ¨ber die Effektivit¨

5.6 Unendliche Reihen Eine spezielle Klasse von Folgen bilden die sogenannten Reihen. Reihen sind dadurch gekennzeichnet, daß ihre Glieder durch sukzessive Summation der Glieder anderer Folgen entstehen. Definition 5.12 (Reihe). Sei (an ) eine Folge. Dann heißt die Folge (sn )n∈N mit n  sn = ak k=0

f¨ ur alle k ∈ N die zu (an ) geh¨ orige Reihe. Sie wird in der Form ∞ 

an

n=0

geschrieben. Ihre Glieder sn bezeichnet man auch als Partialsummen. Damit k¨onnen wir also nun definieren, was wir unter einer unendlichen Summe verstehen: den Grenzwert der Folge der Partialsummen, wenn dieser existiert.

5.6 Unendliche Reihen

63

∞ Definition 5.13. Eine Reihe n=0 an heißt konvergent, wenn die Foln ge der Partialsummen ( k=0 ak )n∈N  konvergiert. Der Grenzwert dieser Folge wird dann ebenfalls mit ∞ n=0 an bezeichnet. Wenn sogar die ∞ |a | konvergiert, Reihe der Betr¨ age n=0 n n so heißt die Reihe absolut konvergent. Entsprechend divergiert ( k=0 ak )n∈N gegen ∞, wenn die Folge der Partialsummen dies tut. Eine wichtige notwendige Bedingung f¨ ur die Konvergenz einer Reihe liefert der folgende Satz:  Satz 5.12. Konvergiert die Reihe ∞ n=0 an , dann konvergiert die Folge (an ) gegen 0. Satz 5.12 eignet sich insbesondere dazu, die Divergenz einer Reihe zu zeigen, indem man nachweist, daß an
0. Beispiel 5.14.    1 a) Die Reihe ∞ n=0 1 + n divergiert, denn 1 + 1/n → 1 = 0.  n b) Die Reihe ∞ n=0 (−1) , deren erste vier Partialsummen −1, 0, −1 und 0 sind, divergiert. Wie bereits erw¨ ahnt sind alle S¨ atze u ur Reihen ¨ber Folgen auch f¨ anwendbar, da Reihen lediglich spezielle Folgen sind. Den folgenden ¨ Satz erh¨alt man durch entsprechende Uberlegungen aus Satz 5.9. Er ist hilfreich f¨ ur die Grenzwertbestimmung von Reihen, die sich wiederum als Summe verschiedener Reihen darstellen lassen. ∞  zwei konvergente Reihen und Satz 5.13. Seien ∞ n=0 an und n=0 bn  α ∈ R. Dann konvergiert auch die Reihe ∞ n=0 (αan + bn ) und es gilt: ∞  n=0

(αan + bn ) = α

∞  n=0

an +

∞ 

bn

n=0

Eine Klasse von Reihen, die im Zusammenhang mit wirtschaftswissenschaftlichen Fragen sehr h¨ aufig auftreten, sind die geometrischen Reihen, welche u ¨ber die Summation der Glieder geometrischer Folgen ¨ entstehen (vgl. Okonomisches Beispiel 5.19). Definition 5.14 (Geometrische Reihe). Sei (an ) eine geometrische  a geometrische Reihe genannt. Folge. Dann wird ∞ n n=0 ∞ n Geometrische Reihen k¨ onnen immer in der Form n=0 dc mit c, d ∈ R \ {0} geschrieben werden. Wir k¨onnen ohne Beschr¨ankung der Allgemeinheit d = 1 setzen.

64

5 Folgen und Grenzwerte

Satz 5.14. Eine geometrische Reihe ∞ 

cn

n=0

mit c ∈ R konvergiert f¨ ur |c| < 1 gegen 1 . 1−c F¨ ur c ≥ 1 divergiert sie gegen unendlich; f¨ ur c < −1 ist sie divergent. n Beweis. F¨ ur c = 1  ist k=0 ck = n → ∞. Sei also im Folgenden c = n k 1. Bezeichne n = k=0 c die n-te Partialsumme der geometrischen ∞ sn−1 . Dann gilt f¨ ur alle n ∈ N Reihe n=0 c   sn − csn = nk=0 ck − nk=0 ck+1   k = nk=0 ck − n+1 k=1 c = 1 − cn+1 . F¨ ur c = 1 k¨onnen wir durch 1 − c dividieren, und erhalten die geschlossene Darstellung 1 − cn+1 . sn = 1−c Da wir wissen, dass cn → 0 f¨ ur |c| < 1 (Folgerung 5.2), ergibt  schon k ur |c| < 1. F¨ ur c  ≥ 1 divergiert cn gegen sich c = 1/(1 − c) f¨ unendlich (Beispiel 5.10), und wir erhalten ck = ∞ (man beachte, dass 1 − c < 0 ist). F¨ ur c < −1 oszilliert die Folge (cn ) und divergiert nicht gegen unendlich.
Das nachfolgende Beispiel illustriert die Anwendung von Satz 5.14 auch in F¨allen, in denen zun¨ achst die Umindizierung der zu untersuchenden Reihe erforderlich ist: Beispiel  1 n ∞ 5.15. konvergiert gegen a) n=0 2 2 b)

∞  8 n

c)

∞

n=0

n=0 4

7

= 4.

divergiert gegen unendlich.

 1 n+2 3

2 1− 12

=

4 9

∞  1 n n=0

3

konvergiert gegen

4 9(1− 13 )

= 23 .

5.6 Unendliche Reihen

65

Beispiel 5.16. Zenons Paradoxon. Betrachten wir einmal einen Studenten auf dem Weg zur Uni. Die L¨ ange des Weges sei 2 Kilometer. Zun¨achst muss der Student die H¨ alfte des Weges zur¨ ucklegen, also einen Kilometer. Dann muss er noch einmal die H¨alfte der verbleibenden H¨alfte zur¨ ucklegen, also 500 Meter. Und dann wieder die H¨alfte der H¨alfte der H¨alfte, n¨ amlich 250 Meter, und so weiter. Insgesamt muss der Student also durch unendlich viele Teilstrecken laufen (zugegeben: sie werden immer kleiner, aber es sind unendlich viele!) Dann kann er ja nie ankommen, da das doch unendlich lange dauert! Es geht die Legende, dass der griechische Philosoph Zenon mit diesem Argument zeigen wollte, dass es keine Zeit gibt. Wie dem auch sei, das Argument stimmt nicht. Dies sieht man mit Hilfe einer geometrischen Reihe. Wenn der Student n¨amlich f¨ ur einen Kilometer 10 Minuten braucht, so ben¨otigt er f¨ ur die erste Teilstrecke 10 Minuten, f¨ ur die zweite 5 Minuten, f¨ ur ur die vierte 5 · 14 Minuten usw. Insgesamt die dritte 5 · 12 Minuten, f¨ ben¨otigt er also ∞

 1 1 1 1 1 = 10 10+10· +10· 2 +10· 3 +. . . = 10 k 2 2 2 2 1− k=0

1 2

= 20

Minuten.

Es dauert also nicht unendlich lange, durch unendlich viele Teilstrecken zu laufen, wenn diese immer jeweils halb so groß wie ihre Vorg¨anger sind. Konvergenzkriterien fu ¨ r Reihen Analog zu der Diskussion der Folgen stellen wir nachfolgend einige wichtige Kriterien f¨ ur die Konvergenz von Reihen zusammen. Satz 5.15. Sei (an ) eine nichtnegative Folge (an ≥ 0). Die Reihe  ∞ ankt ist. n=0 an konvergiert genau dann, wenn sie beschr¨ Beweis. Dies ergibt sich aus Satz 5.5, da die Folge der Partialsummen monoton steigend ist.
 Beispiel 5.17. Die harmonische Reihe 1/n divergiert, da sie nicht beschr¨ankt ist. Dies sieht man, indem man etwa die Partialsummen bis 2n betrachtet und geeignet klammert:

66

5 Folgen und Grenzwerte

    1 1 1 1 1 + + ... + 1/k = 1 + + + + ...+ 2 3 4 5 8 k=1   1 1 + ... + n + 2n−1 + 1 2 1 1 1 ≥ 1 + + 2 · + . . . + 2n−1 n 2 4 2 n = 1 + → ∞. 2 Satz 5.16 (Alternierende Reihe). Sei (an ) eine monoton fallende Folge positiver Zahlen (an > 0) mit an → 0. Dann konvergiert die alternierende Reihe ∞  (−1)n an . n

2 

n=0

Die Aussage des voranstehenden Satzes ist in der Tat sehr intuitiv. Dass die Reihe alterniert, bedeutet, bildlich gesprochen, daß die Partialsummen abwechselnd herunter und dann wieder hinauf springen. Da aber die an immer kleiner werden, d.h. immer dichter an Null liegen, werden auch die Wechselspr¨ unge immer kleiner. Daher konvergiert die Folge; vgl. Bild 5.1.

Abb. 5.1. Die alternierende harmonische Reihe.

5.6 Unendliche Reihen

67

∞ n 1 Beispiel 5.18. Die Reihe n=1 (−1) n konvergiert nach dem obigen Satz. Wie aber das Beispiel 5.17 zeigt, konvergiert sie nicht absolut. Wir werden sp¨ater zeigen (Beispiel 9.11), dass der Grenzwert ln 2 ist. Satz 5.17 (Quotientenkriterium). Sei (an ) eine Folge mit an = 0. Wenn es eine Zahl q mit 0 < q < 1 und eine nat¨ urliche Zahl n0 gibt, so dass f¨ ur alle n ≥ n0 gilt:    an+1     an  ≤ q,  dann konvergiert die Reihe an absolut. Aus dem Quotientenkriterium folgt mit Hilfe vollst¨andiger Induktiur eine Konstante K > 0 gilt. Die absolute Konon, dass an ≤ Kq n f¨ vergenz der Reihe folgt dann aus der Tatsache, dass die geometrische Reihe konvergiert. Beispiel 5.19. Sei x eine reelle Zahl. Die Exponentialreihe zu x ist gegeben durch die Folge xn . an = n! Es gilt    an+1  1 |x|    an  = n + 1 ≤ 2 f¨ ur große n. Daher konvergiert  xn n! absolut. F¨ ur viele Anwendungen, die mit Wachstum oder Zerfall zu tun haben (z.B. Berechnung von Halbwertzeiten radioaktiver Stoffe), spielt die Exponentialfunktion aus dem voranstehenden Beispiel eine entscheidende Rolle. Deshalb bekommt sie eine eigene Definition. Definition 5.15 (Exponentialfunktion). Die Funktion exp :R → R ∞  xn x → n! n=0

heißt Exponentialfunktion. Ihr Wert an der Stelle 1 heißt Eulersche Zahl e, e = exp(1) .

68

5 Folgen und Grenzwerte

Zum Spaß berechne man die ersten Partialsummen der Exponentialfunktion f¨ ur x = 1. Sie konvergieren sehr schnell gegen e  2.718281828 . Satz 5.18 (Funktionalgleichung der Exponentialfunktion). F¨ ur alle x, y ∈ R gilt: exp(x + y) = exp(x) exp(y) .

(5.1)

Beweis. Der Beweis folgt dem sogenannten Cauchyverfahren zur Multiplikation zweier Reihen. Wir haben schon im Kapitel 4.3 gesehen, dass man ein Gitter aus nat¨ urlichen Zalen abz¨ahlen kann, indem man diagonal durch sie hindurch l¨ auft. Genau dies verwendet man auch bei der Multiplikation von Reihen. Es gilt ∞  k=0

ak

∞ 

bl =

∞  n 

am bn−m

n=0 m=0

l=0

f¨ ur absolut konvergente Reihen. Wie kann man sich die G¨ ultigkeit dieser Aussage veranschaulichen? Statt erst u ¨ber alle l und dann u ¨ber alle k aufzusummieren, bilden wir die Summe u ¨ber alle Paare (k, l) mit k + l = n und lassen dann n gegen unendlich laufen. Man vergewissere sich, dass man auf diese Weise auch alle Paare erh¨alt. F¨ ur die Exponentialfunktion erhalten wir unter Verwendung des Cauchyverfahrens: ∞ ∞  xk  y l exp(x) exp(y) = k! l! k=0

=

l=0

∞  n  n=0 m=0

=

xm y n−m m!(n − m)!

∞ n  1  n! xm y n−m n! m!(n − m)!

n=0

m=0

∞ n    1  n m n−m x y . = n! k n=0

m=0

5.6 Unendliche Reihen

69

Unter Verwendung der binomischen Formel (Satz 3.4) folgt exp(x) exp(y) =

∞  (x + y)n k=0

n!

= exp(x + y) .


Damit ist der Beweis erbracht.

Aus der Funktionalgleichung folgt mit y = −x sofort, dass 1 = exp(0) = exp(x + (−x)) = exp(x) exp(−x) gilt. Also gilt exp(−x) = 1 ur positive x der Wert von exp(x) als Reihe posiexp(x) . Nun ist f¨ 1 ist damit auch tiver Summanden positiv. Wegen exp(−x) = exp(x) exp(−x) > 0. ¨ Okonomisches Beispiel 5.19 Im Folgenden soll mit Hilfe der geometrischen Reihe der Wert einer Firma bestimmt werden. Dazu betrachten wir folgende Situation. Eine Firma erwirtschaftet jedes Jahr einen sicheren Gewinn in H¨ ohe von pt = p, t = 0, 1, 2, .... Der Marktzins sei r > 0 und konstant f¨ ur alle Zeiten. Die Frage ist, wie viel die Firma im Augenblick wert ist. Eine M¨ oglichkeit, dies zu beantworten, besteht darin, den Barwert der zuk¨ unftigen R¨ uckfl¨ usse zu berechnen. Anders ausgedr¨ uckt k¨ onnte man fragen, wie hoch der Kredit ist, den die Firma heute aufnehmen und mit den zuk¨ unftigen Profiten der Firma zur¨ uckzahlen kann. Dazu gilt es als erstes, die H¨ ohe des Kredites Kn zu bestimmen, der sich heute mit dem Gewinn des Jahres n finanzieren l¨ asst. Ein heute aufgenommener Kredit der H¨ ohe K ist im Jahr n durch Zahlung einer Summe Kn (1 + r)n zu tilgen. Da in n Jahren ein Gewinn von p zu verbuchen sein wird, muss also gelten: Kn (1 + r)n = p. Damit folgt: Kn =

p . (1 + r)n

Die Zahl Kn heißt der Barwert der Zahlung p im Jahr n bei Zinssatz r. Da f¨ ur alle nachfolgenden Jahre mit einem Gewinn in H¨ ohe von p gerechnet wird, kann somit ein Gesamtkredit der H¨ ohe ∞  n=0

Kn =

∞  n=0

p (1 + r)n

aufgenommen werden. Laut Satz 5.14 gilt

70

5 Folgen und Grenzwerte ∞ 

1 1+r p =p =p . 1 n (1 + r) r 1 − 1+r n=0 Dies ist der sogenannte Fundamentalwert der Firma. Nebenbei sei bemerkt, dass diese Formel eine beliebte Regel zur Einsch¨ atzung von “vern¨ unftigen” Aktienpreisen liefert. Setzt man r zwischen 5 und 10 % an, dann sollte der Aktienpreis etwa das 11 bis 21– fache der Dividende betragen.

¨ Ubungen Aufgabe 5.1. Zeige per Induktion, dass es f¨ ur arithmetische Folgen stets eine Zahl c ∈ R gibt mit an = a0 + cn! Aufgabe 5.2. Zeige per Induktion, dass es f¨ ur geometrische Folgen stets eine Zahl c ∈ R gibt mit an = a0 cn ! Aufgabe 5.3. Zeige, dass   1 =∞ lim 2 3 − n→∞ n n

gilt! Aufgabe 5.4. Bestimme die Grenzwerte der Folgen: an =

n2 + n − 2 n+2 n2 − n − 1 , c . , b = = n n 2 + n3 n+3 −n + 2

Stelle ein allgemeines Prinzip f¨ ur Br¨ uche der Form dn =

αk nk + αk−1 nk−1 + . . . + α0 βl nl + βl−1 nl−1 + . . . + β0

f¨ ur nat¨ urliche Zahlen k, l und Parameter α0 , . . . , αk , β0 , . . . , βl ∈ R auf ! √ Aufgabe 5.5. Die Folge (an ) sei definiert durch a0 = 2 und an+1 = √ 2 + an . Schreibe die ersten f¨ unf Folgenglieder hin. Zeige per Induktion, dass die Folge monoton steigt und durch 2 beschr¨ ankt ist! Konvergiert die Folge? Wenn ja, wogegen? (schwer) Aufgabe 5.6.  Wir definieren rekursiv a0 = 1 3 2 an + an . Zeige, dass die Folge konvergiert!

1 und an+1

=

5.6 Unendliche Reihen

Aufgabe 5.7. Gib Beispiele von Folgen (an ), (bn ) an mit 1. lim an = 0, lim bn = ∞, lim(an bn ) = 1 2. lim an = 0, lim bn = ∞, lim(an bn ) = ∞ 3. lim an = 0, lim bn = ∞, lim(an bn ) = 0 (Tipp: Beachte Aufgabe 5.4).

71

6 Stetigkeit

Viele Prozesse, die wir in Natur und Gesellschaft, meist in Abh¨angigkeit von der Zeit, beobachten, verlaufen kontinuierlich oder stetig, d.h. der Prozess ¨andert sich in kurzer Zeit nur sehr wenig und insbesondere nicht sprunghaft. So bedeutet beispielsweise eine Radiomeldung, die besagt, dass es bei einer Nachtemperatur von 15◦ C an dem darauffolgenden Tag 25◦ C warm wird, nicht, dass die Temperatur morgens um 8 Uhr von 15◦ C auf 25◦ C springt, um dort bis 18 Uhr abends zu verharren. Vielmehr wird man beobachten, dass sich die Temperatur u ¨ber den Tag langsam von 15◦ C hin zu 25◦ C entwickelt, und der Temperaturunterschied zwischen zwei aufeinanderfolgenden Minuten wird dabei immer vernachl¨ assigbar gering sein. Ebenso geht die Sonne nicht pl¨otzlich auf oder unter, sondern nach und nach. In ¨ahnlicher Weise ist auch f¨ ur viele ¨ okonomische Zusammenh¨ange zu beobachten, dass diese sich (ann¨ ahernd) stetig verhalten. Nat¨ urlich sind zum Beispiel die meisten G¨ uter sinnvollerweise nur in ganzzahligen Einheiten zu messen, so dass ihre Messung, ganz im Gegensatz zur Messung der Zeit, der Temperatur oder dem verbliebenen Teil “Restsonne”, immer etwas springen wird. Dennoch ¨andert sich die Nachfrage nach einem Produkt gemeinhin nur wenig, wenn sich der Preis des entsprechenden Gutes nur leicht ¨ andert. Geht man nun davon aus, dass die betrachteten M¨ arkte hinreichend groß sind, so dass ein einzelnes Gut schon als vernachl¨ assigbar angesehen werden kann, so ist es gerechtfertigt, in der Modellierung von Marktsituationen die Nachfrage nach einem Gut der Einfachheit halber als eine stetige Funktion des Preises des jeweiligen Gutes anzunehmen. Ziel dieses Kapitels ist es nun, den Begriff der Stetigkeit f¨ ur Funktionen formal zu pr¨ azisieren sowie erste sich daraus ergebende Eigenschaf-

74

6 Stetigkeit

ten zu diskutieren und somit unsere erste Anschauung von Stetigkeit auf sicheren Boden zu stellen.

6.1 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen Um die Stetigkeit einer Funktion formal zu charakterisieren, u ¨bertragen wir zun¨achst den Begriff der Konvergenz, der aus dem Kapitel u ¨ber Folgen bereits bekannt ist, auf Funktionen. Definition 6.1 (Grenzwerte von Funktionen). Sei f : X → R ur jede Folge (xn ) in X mit eine Funktion. Sei x0 ∈ R gegeben. Wenn f¨ lim xn = x0 auch die Folge (f (xn )) konvergiert, und zwar immer gegen ur denselben Wert y0 , dann sagen wir, dass f (x) gegen y0 konvergiert f¨ x gegen x0 , und schreiben lim f (x) = y0

x→x0

oder

f (x) −→ y0 . x→x0

Nun k¨onnen wir formal den Begriff der Stetigkeit definieren. Definition 6.2 (Stetigkeit). Eine Funktion f : X → R mit X ⊆ R heißt stetig an der Stelle x0 ∈ X, wenn gilt lim f (x) = f (x0 ) .

x→x0

Ist f stetig f¨ ur alle x ∈ X, so heißt f stetig. Eine Funktion f : X → Y ist also stetig an einer Stelle x0 ∈ X, wenn bei der Ann¨aherung an x0 entlang des durch eine beliebige geeignete Folge (xn ) vorgegebenen Pfads die Folge der Funktionswerte (f (xn )) gegen den Funktionswert f (¯ x) konvergiert. Da der Grenzwertbegriff f¨ ur Funktionen unmittelbar auf dem f¨ ur Folgen aufbaut, gelten alle Aussagen des Satzes 5.9 analog f¨ ur Grenzwerte von Funktionen. Wir halten dies in folgendem Satz fest. Satz 6.1. Seien f, g : X → R in x ∈ X stetig. Dann sind auch die Funktionen f + g, f − g, f · g und k · f , f¨ ur k ∈ R, stetig in x. Gilt ferner g(x) = 0, so ist auch f /g in x stetig. Wichtig ist ferner, dass die Verkn¨ upfung von stetigen Funktionen wieder zu einer stetigen Funktion f¨ uhrt. Satz 6.2. Sei f : X → R, g : Y → R mit f (X) ⊆ Y . Wenn f in x ∈ X stetig ist und g in y = f (x), dann ist auch die Verkettung g ◦ f stetig in x.

6.1 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen

75

Beweis. Sei (xn ) eine Folge mit xn → x. Setze yn = f (xn ) und y = f (x). Da f stetig ist, gilt yn → y. Da g stetig ist, gilt g(yn ) → g(y), oder anders gesagt g(f (xn )) → g(f (x)). Somit folgt, dass auch die Funktion g ◦ f stetig in x ist.
In den nachfolgenden Beispielen wird von diesem Umstand an verschiedenen Stellen Gebrauch gemacht: Beispiel 6.1. a) Die konstante Funktion f (x) = c, c ∈ R, ist stetig; ebenso die identische Funktion f (x) = x. Durch wiederholte Anwendung des Satzes 6.1 erhalten wir somit als Ergebnis, dass alle Polynome der Form f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn f¨ ur Zahlen a0 , . . . , an ∈ R stetig sind. b) Eine weitere Anwendung des Satzes 6.1 liefert, dass auch alle rationalen Funktionen der Form a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn b0 + b1 x + b2 x2 + . . . + bm xm f¨ ur all die x stetig sind, f¨ ur die der Nenner ungleich 0 ist. Als n¨achstes geben wir eine alternative Beschreibung der Stetigkeit an. Sie greift noch expliziter die Vorstellung auf, dass sich eine stetige Funktion (z.B. die Nachfrage nach einem Gut) beliebig wenig ¨andert, wenn sich ihr Argument (z.B. der Preis des Gutes) hinreichend wenig ¨andert. Satz 6.3 (ε–δ–Kriterium der Stetigkeit). Eine Funktion f : X → ur jedes ε > 0 ein δ > 0 R ist stetig in x0 ∈ X genau dann, wenn es f¨ gibt, so dass f¨ ur alle x1 ∈ X mit |x0 − x1 | < δ auch gilt: |f (x0 ) − f (x1 )| < ε . Beweis. Wir beweisen hier nur die Notwendigkeit des ε−δ–Kriteriums, d.h. dass aus der Stetigkeit einer Funktion f folgt, dass f auch das ε − δ–Kriterium erf¨ ullt. Wir beweisen dies durch Widerspruch. Wir nehmen an, dass f stetig ist, aber das ε − δ–Kriterium verletzt. Dann gibt es ein ε > 0, so dass f¨ ur alle δn = n1 , n ∈ N, ein xn existiert mit

76

6 Stetigkeit

|x0 − xn | < δn und |f (x0 ) − f (xn )| ≥ ε. Damit h¨atten wir aber eine Folge (xn ), die gegen x0 konvergiert, ohne dass die entsprechende Folge der Funktionswerte (f (xn )) gegen f (x0 ) konvergiert. Widerspruch.


Beispiel 6.2. Die Exponentialfunktion exp(x) ist stetig. Um dies zu zeigen, u achst, dass es reicht, die Stetigkeit in x0 = 0 ¨berlegen wir uns zun¨ zu zeigen. F¨ ur beliebige x0 und (xn ) mit lim xn = x0 gilt dann n¨amlich wegen der Funktionalgleichung (5.1): lim exp(xn ) = lim exp(x0 + (xn − x0 )) = lim exp(x0 ) exp(xn − x0 ) = exp(x0 ) . Die Stetigkeit in 0 beweisen wir mit Hilfe des ε − δ–Kriteriums. Sei ε > 0. Es gilt, ein passendes δ > 0 zu finden, so dass |exp(x) − exp(0)| < ε f¨ ur alle x mit |x| < δ. Dazu werden wir nun die Exponentialreihe mit Hilfe einer geometrischen Reihe absch¨ atzen. Es gilt f¨ ur |x| < 1   2 3   x x + + . . . − 1 |exp(x) − exp(x0 )| = 1 + x + 2 6   2 3   x x  + + . . . = x + 2 6 2 |x| |x|3 ≤ |x| + + + ... 2 6 ≤ |x| + |x|2 + |x|3 + . . . ∞  |x| . |x|k = = |x| 1 − |x| k=0

Wenn wir also δ so w¨ ahlen, dass

δ 1−δ

= ε ist, folgt wie gew¨ unscht

|exp(x) − exp(x0 )| < ε . Beispiel 6.3. Der mathematische Begriff der Stetigkeit stimmt nicht immer mit unserer Intuition u ucken” ¨berein, dass die Funktion keine “L¨ hat. Das nun folgende Beispiel zeigt, dass Stetigkeit insbesondere auch von der Definitionsmenge X abh¨ angt. Sei etwa X = [0, 1] ∪ {2} und f : X → R irgendeine Funktion. Man sagt dann, dass X einen isolierten Punkt hat, n¨ amlich 2. f ist dann stetig in 2. Warum? Jede Folge

6.2 Zwischenwertsatz und Gleichgewichte

77

(xn ) in X, die gegen 2 konvergiert, muss ja irgendwann n¨aher als 0.5 ur große n ist. Dann an 2 sein. In X geht das aber nur, wenn xn = 2 f¨ ist nat¨ urlich auch f (xn ) = f (2). Kurz gesagt: An isolierten Punkten der Definitionsmenge ist jede Funktion stetig.

6.2 Zwischenwertsatz und Gleichgewichte Eine wichtige Eigenschaft stetiger Prozesse ist, dass sie auf ihrem Weg von einem Zustand in den anderen jeden dazwischenliegenden Zustand mindestens einmal durchlaufen. Wenn wir also zum Beispiel auf der Autobahn A2 von Berlin nach Dortmund gefahren sind, kann man davon ausgehen, dass wir auch jeden Punkt auf der A2 zwischen Berlin und Dortmund abgefahren sind — wenn wir denn nicht gesprungen sind. Der folgende Satz formalisiert diese Aussage. Satz 6.4 (Zwischenwertsatz). Sei f : [a, b] → R stetig und f (a) < y < f (b). Dann gibt es ein x ∈ (a, b) mit f (x) = y. Um die Bedeutung des Zwischenwertsatzes zu motivieren, wollen ¨ wir kurz auf den in der Okonomie unabk¨ ommlichen Begriff des Gleichgewichtes eingehen. Viele ¨ okonomische Modelle befassen sich mit der Frage, ob verschiedene ¨ okonomische Systeme, z.B. M¨arkte, stabile Zust¨ande, also Gleichgewichte, besitzen und wie diese beschaffen sind. Man geht dabei davon aus, dass beispielsweise “die Kr¨afte des Marktes” Angebot und Nachfrage ins Gleichgewicht bringen werden bzw. dass rationale Spieler (Verhaltens-)Strategien w¨ahlen, die ein Gleichgewicht bilden (wobei ein Gleichgewicht dadurch charakterisiert ist, dass kein Akteur sich einseitig anders verhalten wollen w¨ urde, gegeben was die anderen tun). In der Analyse solcher Modelle ist der Zwischenwertsatz oft hilfreich f¨ ur die Beantwortung der Frage nach der Existenz eines Gleichgewichtes, wie folgendes Beispiel zeigt. ¨ Okonomisches Beispiel 6.5 Wir betrachten einen Markt f¨ ur eine Ware, sagen wir Benzin. Wir wissen zwar nicht genau, wie Angebot und Nachfrage aussehen, aber wir wissen Folgendes: Angebot a und Nachfrage n sind stetige Funktionen des Benzinpreises b. Bei einem Preis b = 0 ist das Angebot a(0) = 0, die Nachfrage aber groß, n(0) > 0. Bei einem sehr großen Preis ¯b, sagen wir 10 M io Euro pro Liter, ist die Nachfrage 0, n(¯b) = 0, aber das Angebot riesig, a(¯b) > 0. Wir fragen uns, ob es einen Preis b gibt, der Angebot und Nachfrage ins Gleichgewicht bringt, also a(b) = n(b).

78

6 Stetigkeit

¨ Hierzu definieren wir das Uberschussangebot f (b) = a(b) − n(b) auf ¯ dem Intervall [0, b]. Laut unseren Annahmen ist f stetig und es gilt: f (0) < 0 < f (¯b). Also gibt es laut Zwischenwertsatz ein b ∈ (0, ¯b) mit f (b) = 0. Es folgt: a(b) = n(b). In vielen Anwendungen betrachtet man Folgen, die durch ein Bewegungsgesetz der Form xt+1 = f (xt ) f¨ ur eine Funktion f gegeben sind. Ein dynamisches Gleichgewicht ist dann stets durch einen Punkt x ¯ gegeben, an dem sich nichts mehr x) = x ¯. Solche Punkte nennt man Fixpunkte (eben weil ¨andert, also f (¯ sie unter der Bewegung f fixiert sind). Da liegt nat¨ urlich die Frage nahe, ob es immer solche Fixpunkte gibt. Auch hier hilft der Zwischenwertsatz eine erste Antwort zu geben. Satz 6.6 (Fixpunktsatz). Sei f : [a, b] → [a, b] stetig. Dann hat f mindestens einen Fixpunkt x ¯.

6

5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

6

x

Abb. 6.1. Der Fixpunktsatz mit a = 0, b = 5. Die stetige Funktion muss die Winkelhalbierende mindestens einmal schneiden.

Beweis. Wenn f (a) = a oder f (b) = b ist, haben wir nichts zu zeigen. Also nehmen wir an, dass f (a) > a und f (b) < b gilt. Setze g(x) = x − f (x). Dann ist g(a) = a − f (a) < 0 und g(b) = b − f (b) > 0. Laut Zwischenwertsatz gibt es dann also ein x ¯ ∈ (a, b) mit g(¯ x) = 0, d.h. f (¯ x) = x ¯.


6.3 Umkehrsatz f¨ ur monotone Funktionen

79

Man beachte: F¨ ur den Fixpunktsatz ist es wichtig, dass das Bild von f wieder in der Definitionsmenge liegt (f bildet die Menge [a, b] auf sich selbst ab). Ansonsten gibt es nicht immer Fixpunkte; als Beispiel denke man an f (x) = 1 + x. ¨ Okonomisches Beispiel 6.7 Wir betrachten einen Markt mit zwei Firmen, die dasselbe Produkt herstellen. Beide Firmen k¨ onnen eine Menge x1 bzw. x2 zwischen 0 und 1 herstellen. b : [0, 1] → [0, 1] sei die beste Antwort von einer Firma auf die Menge der anderen Firma. Ein symmetrisches Gleichgewicht besteht, wenn Firma 1 und 2 dieselbe Menge w¨ ahlen und diese die beste Antwort auf die Menge der anderen Firma ist. In Formeln: x1 = x2 und x1 = b(x2 ) . Gibt es ein solches Gleichgewicht? Der Fixpunktsatz sagt ja, sobald wir wissen, dass b stetig ist. Denn dann gibt es ein x mit b(x) = x, und x1 = x2 = x ist das gesuchte Gleichgewicht.

6.3 Umkehrsatz fu ¨ r monotone Funktionen Unabh¨angig von der Frage der Stetigkeit, aber oft eng mit ihr verkn¨ upft, gilt, dass viele funktionale Zusammenh¨ange, die in den Wirtschaftswissenschaften (aber auch anderswo) betrachtet werden, zumindest ann¨ahernd monoton sind. So wird beispielsweise die Nachfrage nach einem Gut u ¨blicherweise sinken, wenn der Preis des Gutes steigt (aber nicht umgekehrt). Definition 6.3 (Monotonie). Eine Funktion f : X → R heißt 1. (strikt) monoton steigend in x, wenn f¨ ur alle x, x ∈ X mit x > x gilt: f (x ) ≥ f (x) (f (x ) > f (x)) , 2. (strikt) monoton fallend, wenn −f (strikt) monoton steigend ist. Wichtig in diesem Zusammenhang ist der folgende Satz. Er sagt, dass die Umkehrfunktion einer stetigen streng monotonen Funktion automatisch stetig ist. Satz 6.8 (Umkehrsatz). Sei f : [x0 , x1 ] → R eine streng monoton steigende und stetige Funktion. Setze y0 = f (x0 ) und y1 = f (x1 ). Dann ist die Umkehrfunktion f −1 : [y0 , y1 ] → [a, b] ebenfalls streng moton steigend und stetig.

80

6 Stetigkeit

Die Aussage des Satzes ist intuitiv leicht zu verstehen. Man erh¨alt die Umkehrfunktion, indem man x– und y–Achse vertauscht. Der Graph selbst wird dabei an der Diagonalen gespiegelt. Wenn der Graph urspr¨ unglich keine “Spr¨ unge” hatte, dann liegt nahe, dass er auch nach der Spiegelung keine Spr¨ unge haben wird, vgl Bild 6.2.

2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

x

Abb. 6.2. Stetigkeit der Umkehrfunktion. Die Funktion x2 sowie ihre Um√ kehrfunktion x, die man durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden x erh¨ alt.

Zur Sicherheit erw¨ ahnen wir, dass der Umkehrsatz auch f¨ ur streng monoton fallende Funktionen gilt (Zum Beweis wende man den obigen Satz auf −f an!). Der Umkehrsatz liefert uns die Stetigkeit vieler wichtiger Funktionen, wie der folgende Abschnitt zeigt.

6.4 Wurzel-, Potenz- und Logarithmusfunktion Wir besprechen nun ein paar wichtige Funktionen, deren Stetigkeit aus dem obigen Umkehrsatz folgt. Wurzel- / Potenzfunktionen ur nat¨ urliche Zahlen n ≥ 1 sind Die Potenzfunktionen f (x) = xn f¨ auf jedem Intervall [0, K] streng monoton steigend und stetig. Daher existiert √ ihre Umkehrfunktion, die wir als n-te Wurzel bezeichnen, f −1 (x) = n x. Wegen des Umkehrsatzes ist die n-te Wurzel auf allen Intervallen [0, K] und damit auf [0, ∞) stetig.

6.4 Wurzel-, Potenz- und Logarithmusfunktion

81 p

Die Potenzfunktion mit rationalem Exponenten f (x) = x q f¨ ur p und nat¨ u rliche Zahlen p und q ist die Verkettung der Funktionen x √ q x und damit ebenfalls stetig (vgl. Satz 6.2). Logarithmus Die Exponentialfunktion ist streng monoton steigend und stetig und hat stets positive Werte, wie wir sp¨ ater zeigen werden. Folglich ist ihre Umkehrfunktion f¨ ur positive x definiert und stetig. Man bezeichnet sie als (nat¨ urlichen) Logarithmus, ln(x). Die Funktion ln(x) ist in jedem positiven x stetig; siehe Bild 6.3.

4

2

–3

–2

–1

0

1

2

3

x –2

–4

Abb. 6.3. Exponentialfunktion und Logarithmus, sowie die Winkelhalbierende.

Allgemeine Potenzfunktion Im obigen Abschnitt u ¨ber Wurzel- bzw Potenzfunktionen haben wir ur alle y ∈ Q und x ∈ R. Doch was den Ausdruck x√y bereits√definiert f¨ 2 ist eigentlich x ? Da 2 keine rationale Zahl ist, haben wir diesen Ausdruck bislang noch nicht erfasst. Um dies nun zu tun, helfen wir uns mit einem Trick. Wir definieren f¨ ur a > 0 und beliebige x ∈ R : ax = exp(x ln(a)) .

(6.1)

Man beachte, dass aus obiger Definition direkt folgt, dass f (x) = ax als Verkettung der stetigen Funktionen exp(x) und x ln(a) stetig ist.

82

6 Stetigkeit

Wenn wir die Potenzfunktion derart allgemein definieren, ist nat¨ urlich darauf zu achten, dass schon erkl¨arte Ausdr¨ ucke wie a1 , a2 , − 21 auch mit der neuen Definition u a ¨bereinstimmen. Dies l¨asst sich jedoch mit Hilfe der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion (5.1) leicht tun. F¨ ur nat¨ urliche Zahlen n ∈ N ist etwa exp (n ln a) = exp (ln a + ln a + . . . + ln a) n n   = exp (ln a) = a k=1

k=1

= an . Rechenregeln fu ¨ r Logarithmus und Potenzfunktion Alle Rechenregeln f¨ ur Logarithmus und Potenz folgen aus der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion, siehe (5.1). Satz 6.9 (Rechenregeln fu ur den nat¨ urli¨ r den Logarithmus). F¨ chen Logarithmus und a, b > 0 sowie c beliebig gilt ln(ab) = ln(a) + ln(b) ln(ac ) = c ln(a) . Beweis. Setze x = ln(a) und y = ln(b). Wegen der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion gilt exp(x + y) = exp(x) exp(y) = exp(ln(a)) exp(ln(b)) . Da ln die Unkehrfunktion von exp ist, haben wir also exp(ln(a) + ln(b)) = ab . Durch logarithmieren erhalten wir ln(a)+ln(b) = ln(ab), wie gew¨ unscht. F¨ ur die zweite Identit¨ at beachte man, dass ac als exp(c ln(a)) definiert ist. Daher gilt: ln(ac ) = ln(exp(c ln(a))) = c ln(a) .
Der folgende Satz folgt nun direkt aus den Rechenregeln f¨ ur Logarithmus und Exponentialfunktion.

6.4 Wurzel-, Potenz- und Logarithmusfunktion

83

Satz 6.10 (Rechenregeln fu ur a > 0 und beliebige ¨ r Potenzen). F¨ b, c gilt ab+c = ab ac  c ab = abc .

¨ Ubungen Aufgabe 6.1. Zeige, dass die Funktion f (x) = |x| stetig ist. Aufgabe 6.2. Jede Folge ist stetig, genauer: sei f : N → R eine Folge. Dann ist f eine stetige Funktion. (Tipp: Man u ¨berlege sich, welche Rolle isolierte Punkte spielen.) Aufgabe 6.3. An welchen Punkten sind die folgenden Funktionen f : R → R nicht stetig?  1 f¨ ur x > 1 f (x) = 0 sonst  x2 +1 f¨ ur |x| = 2 f (x) = x2 −4 0 sonst  x3 −1 f¨ ur x = 1 f (x) = x−1 2 f¨ ur x = 1 Kann man f¨ ur eine der Funktionen durch Ab¨ anderung des Wertes an einem Punkt Stetigkeit erreichen? Aufgabe 6.4. Man vereinfache folgende Terme:  √ 2   ax+2 , 2 3∗4 , ln a2 b3 a9 b−4 . ln(be−c ), exp(x ln(a)) Aufgabe 6.5. Betrachte die Funktion f (x) =

x+2 . x+1

Zeige, dass f das Intervall [1, 2] in sich selbst abbildet und dass es einen Fixpunkt ξ gibt. Aufgabe 6.6. Zeige: Die Funktion f (x) = 1 + x ist stetig und bildet R bijektiv auf R ab. f hat keinen Fixpunkt. Warum gilt der Fixpunktsatz nicht?

7 Differentialrechnung

In diesem Kapitel wird mit der Differentialrechnung das zentrale Element der Analysis eingef¨ uhrt. Ausgangspunkt der Differentialrechnung ist die Frage, welche Auswirkungen eine infinitesimale (sehr kleine) ¨ Anderung des Arguments einer reellwertigen Funktion an einer bestimmten Stelle auf den Funktionswert an dieser Stelle hat. ¨ Fragen nach derartigen Anderungsraten spielen in vielerlei Hinsicht auch in den Wirtschaftswissenschaften eine zentrale Rolle. So interessie¨ ren wir uns daf¨ ur, welche Auswirkungen eine Anderung der Steuers¨atze auf die Arbeitslosigkeit oder die Wohlfahrt einer Volkswirtschaft hat, ¨ ¨ wie eine Anderung der Produktivit¨ at die Gewinne oder eine Anderung der Preise die Nachfrage beeinflusst usw. Die Differentialrechnung stellt also auch f¨ ur die Wirtschaftswissenschaften ein wichtiges Analyseinstrument dar. Dieses Kapitel widmet sich insbesondere den Grundlagen, wie zum Beispiel der Definition der Ableitung. Im folgenden Kapitel besprechen wir dann erste Anwendungen mit Blick auf Optimierungsprobleme. In beiden Kapiteln beschr¨ anken wir uns dabei zun¨achst auf die Analyse reellwertiger Funktionen mit einer Ver¨ anderlichen. Der allgemeinere Fall mehrerer Ver¨ anderlicher wird in Kapitel 14 behandelt.

7.1 Grundlagen der Differentiation Wie bereits in der Einleitung zu diesem Kapitel erw¨ahnt, kann man die Ableitung einer Funktion f : X → Y , X, Y ⊆ R an einer Stelle x ¯∈X als Steigung der Funktion in dem Punkt x ¯ verstehen. Die Ableitung von f an der Stelle x ¯ entspricht also, geometrisch gesehen, der Steigung dieser Tangente. Formal definieren wir:

86

7 Differentialrechnung

Definition 7.1 (Differenzierbarkeit und Ableitung). Eine Funktion f : X → R heißt differenzierbar an der Stelle x ¯ ∈ X, wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten f (x) − f (¯ x) f (¯ x + ∆) − f (¯ x) = lim x→¯ x,x=x ¯ ∆→0,∆=0 x−x ¯ ∆ lim

existiert. Dieser Grenzwert heißt Ableitung von f an der Stelle x ¯ und df x) oder dx (¯ x) bezeichnet. wird mit f  (¯ Ist f an jeder Stelle x ∈ X differenzierbar, so heißt f differenzierbar auf X. Die Funktion, die jedem x ∈ X die Ableitung von f an der Stelle df x zuordnet, heißt dann Ableitung von f und wird mit f  oder dx bezeichnet. ¨ Im Hinblick auf die vorangegangenen geometrischen Uberlegungen l¨asst sich also sagen, dass jede differenzierbare Funktion f sich lokal wie eine lineare Funktion verh¨ alt, da sie sich, in einer kleinen Umgebung um die Stelle x ¯, durch die Tangente x)(x − x ¯) + f (¯ x) y(x) = f  (¯ approximieren l¨ asst. Der Fehler ε(x) = f (x) − y(x) verschwindet dann gerade im Punkt x ¯, ε(¯ x) = 0. Und nicht nur dies, sondern es gilt sogar noch ε(x) →0 x−x ¯ geht, wenn x gegen x ¯ geht. Der Fehler ist also noch viel kleiner als die Abweichung x − x ¯. Aufgrund der lokalen Linearisierbarkeit differenzierbarer Funktionen l¨asst sich nun intuitiv leicht auf die Stetigkeit differenzierbarer Funktionen schliessen. Stetigkeit ist ebenso wie Differenzierbarkeit eine lokale Eigenschaft - beides wurde jeweils f¨ ur einen Punkt x0 bzw. x definiert. Da wir zudem bereits gesehen haben, dass lineare Funktionen stetig sind, ist es naheliegend, dass auch differenzierbare Funktionen stetig sind. Satz 7.1. Ist eine Funktion f : X → Y mit X, Y ∈ R differenzierbar an einer Stelle x ¯ ∈ X, dann ist f auch stetig an der Stelle x ¯. ¯. Da f in x ¯ differenzierbar Beweis. Sei (xn ) eine Folge mit lim xn = x ist, wissen wir, dass lim

x) f (xn ) − f (¯ =a xn − x

7.1 Grundlagen der Differentiation

87

f¨ ur eine Zahl a gilt. Mit den u ur Grenzwerte ¨blichen Rechenregeln f¨ (Satz 5.9) folgt dann x)) = lim lim (f (xn ) − f (¯

f (xn ) − f (¯ x) lim (xn − x ¯) = a · 0 = 0 . xn − x


Also ist f stetig in x ¯.

Beispiel 7.1. a) Geraden der Form y(x) = ax + b f¨ ur a, b ∈ R sind differenzierbar ur je zwei und es gilt stets y  (x) = a. Dies folgt aus der Tatsache, dass f¨ Punkte y(x) und y(x + ∆x) die Sehnensteigung gegeben ist durch y(x + ∆x) − y(x) = a. ∆x b) Die Potenzfunktionen f (x) = xn , n ∈ N, sind differenzierbar und es gilt f  (x) = nxn−1 . Aus der binomischen Formel folgt n¨amlich, dass gilt:   n n−2 2 n n−1 x + nx ε+ ε + . . . + εn − xn x 2 f (x + ε) − f (x) = ε ε    n n−2 n−1 n−1 . = nx +ε x +. . .+ ε 2 Dieser Ausdruck konvergiert f¨ ur ε → 0 gegen nxn−1 . c) Die Betragsfunktion f (x) = |x| ist in jedem x = 0 differenzierbar, nicht aber in 0. Der Beweis dieser Aussage ergibt sich aus der Tatsache, dass der Grenzwert lim∆x→0

f (¯ x+∆x)−f (¯ x) ∆x

= lim∆x→0

|0+∆x|−|0| ∆x

= lim∆x→0

|∆x| ∆x

f¨ ur 1x = 0 nicht existiert.  1  Um dieses zu zeigen, betrachte man die Folge − n und die Folge n . Es gilt |−1/n| − |0| = −1 −1 n→∞ n −0 lim

und

88

7 Differentialrechnung

|1/n| − |0| = 1. 1 n→∞ n −0 lim

Also existiert kein eindeutiger Limes des Differenzenquotienten. In den soeben diskutierten Beispielen haben wir die Differenzierbarkeit der betrachteten Funktionen jeweils durch R¨ uckf¨ uhrung auf die allgemeine Definition der Differenzierbarkeit (Definition 7.1) gezeigt. Wie diese Beispiele schon verdeutlichen, wird es schnell recht aufwendig, Differenzierbarkeit und Ableitung einer Funktion auf diese Weise zu untersuchen. Gl¨ ucklicherweise lassen sich Differenzierbarkeit sowie Ableitungen vieler komplexerer Funktionen auf die Differenzierbarkeit einzelner Bestandteile dieser Funktionen zur¨ uckf¨ uhren. Im folgenden Satz stellen wir einige Regeln zusammen, die es erlauben, die Ableitungen von zusammengesetzten Funktionen aus den Ableitungen ihrer Bausteine zusammenzusetzen. Satz 7.2 (Differentiationsregeln). Seien f, g : X → R, X ∈ R, zwei an der Stelle x ∈ X differenzierbare Funktionen. Dann sind auch die Funktionen αf mit α ∈ R, f ± g und f · g und f¨ ur g(x) = 0 die Funktion fg an der Stelle x differenzierbar und es gilt: (αf ) (x) = αf  (x), (f ± g) (x) = f  (x) ± g  (x) (f · g) (x) = f  (x) · g(x) + f (x) · g  (x) (f /g) (x) =

f  (x)g(x) − f (x)g  (x) g 2 (x)

(Summenregel) (Produktregel) (Quotientenregel).

Beweis. Die ersten beiden Regeln sind sehr einfach zu beweisen. Produkt– und Quotientenregel sind schwerer; sie ergeben sich im Wesentlichen aus den Regeln der Bruchrechnung, wie im Folgenden angedeutet werden soll. F¨ ur den Differenzenquotienten eines Produktes gilt n¨amlich: 1 (f (x)g(x) − f (x0 )g(x0 )) = x − x0 f (x)g(x) − f (x)g(x0 ) + f (x)g(x0 ) − f (x0 )g(x0 ) = x − x0 = f (x)

g(x) − g(x0 ) f (x) − f (x0 ) + g(x0 ) . x − x0 x − x0

7.1 Grundlagen der Differentiation

89

Wegen der Stetigkeit von f konvergiert f (x) → f (x0 ) f¨ ur x → x0 und die Differenzenquotienten konvergieren gegen die Ableitungen. Bevor wir den allgemeinen Quotienten f (x)/g(x) betrachten, beginnen wir mit dem einfacheren Fall 1/g(x). Hier ergibt sich nach den Regeln der Bruchrechnung 1 g(x)

−

1 g(x0 )

x − x0

=

g(x0 )−g(x) g(x)g(x0 )

x − x0

=−

g(x) − g(x0 ) 1 . · x − x0 g(x)g(x0 )

Da g stetig ist, gilt limx→x0 g(x) = g(x0 ). Da der Differenzenquotient gegen die Ableitung konvergiert, erhalten wir   1 g  (x0 ) . =− 2 g(x0 ) g (x0 ) F¨ ur den allgemeinen Quotienten k¨ onnen wir nun die Produktregel verwenden:     f (x)  1 = f (x) · g(x) g(x) 1 + f (x) = f (x) g(x) 



1 g(x)

=

f  (x) f (x)g  (x) − g(x) g 2 (x)

=

f  (x)g(x) − f (x)g  (x) . g 2 (x)




Beispiel 7.2. ur x = 0 a) Mit Hilfe der Quotientenregel folgt, dass f (x) = x−n f¨ g(x) differenzierbar ist. Es ist n¨ amlich f (x) = h(x) mit g(x) = 1 und h(x) = n x . Aus Beispiel 7.1 wissen wir, dass g  (x) = 0 und h (x) = nxn−1 ist. Die Quotientenregel liefert also g  (x) =

g  (x)h(x) − g(x)h (x) 0 · xn − x · nxn−1 = = −nx−n−1 . h(x)2 x2n

90

7 Differentialrechnung

b) Mit Hilfe der Summenregel und Beispiel 7.1 l¨asst sich daher zeigen, dass Polynome f (x) = an xn + . . . + a1 x + a0 differenzierbar sind und es gilt f  (x) = nan xn−1 + . . . + a1 . c) Aus der Quotientenregel folgt dar¨ uber hinaus, dass rationale Funktionen der Form an xn + . . . + a1 x + a0 f (x) = bm xm + . . . + b1 x + b0 differenzierbar sind, wenn der Nenner nicht 0 ist. Zum Beispiel gilt f¨ ur f (x) =

x2 + 2x 1+x

und x = −1 gerade: f  (x) =

(2x + 2)(1 + x) − (x2 + 2x) x2 + 2x + 2 1 = =1+ . 2 2 (1 + x) (1 + x) (1 + x)2

d) Die Exponentialfunktion f (x) = exp(x) ist differenzierbar und es gilt f  (x) = f (x). Um dies zu sehen, differenzieren wir die Exponentialreihe gliedweise (ohne uns an dieser Stelle darum zu k¨ ummern, ob das trotz der unendlichen Summe ok ist!):

 ∞  xn  (exp(x)) = n! n=0

=

  xn x2 x3 + + ... + + ... 1+x+ 2 3! n!

=0+1+

xn−1 x x2 + + ... + + ... 1 2! (n − 1)!

= exp(x) . An Hand dieser Rechnung sieht man gut, wie sich die Exponentialfunktion bei Differentiation wieder selbst generiert. Es gilt also f  (x) = f (x). Diese Eigenschaft der Exponentialfunktion ist der Grund daf¨ ur, dass sie von zentraler Bedeutung in der Theorie der gew¨ohnlichen Differentialgleichungen ist, welche selbst wiederum die Basis f¨ ur allerlei dynamische Modelle in den Wirtschaftswissenschaften bildet.

7.1 Grundlagen der Differentiation

91

Ebenso wie im Fall zusammengesetzter Funktionen l¨asst sich auch im Fall der Umkehrung einer Funktion, die Ableitung der Umkehrfunktion aus der Ableitung der Ausgangsfunktion erschliessen. Satz 7.3 (Ableitung der Umkehrfunktion). f : [a, b] → R sei streng monoton und stetig und in x0 ∈ [a, b] differenzierbar mit f  (x0 ) = 0. Dann ist die Umkehrfunktion f −1 im Punkte y0 = f (x0 ) differenzierbar und es gilt  −1  (y0 ) = f

1 f  (x0 )

=

1 f  (f −1 (y0 ))

.

Bevor wir den Beweis dieses Satzes angeben, wollen wir einige Beispiele studieren. Beispiel 7.3. √ a) Die Wurzelfunktionen f (y) = n y (n ≥ 2) sind die Umkehrfunktiour x > 0 gilt g  (x) = nxn−1 = 0. Daher ist f nach nen von g(x) = xn . F¨ dem voranstehenden Satz in y = xn > 0 differenzierbar und es gilt f  (y) =

1 1 1 −1 n . n−1 = n y n y √ n

Im Punkt 0 sind die Wurzelfunktionen nicht differenzierbar! b) Die Funktion f (x) = ln(x) ist die Umkehrfunktion von g(x) = ur alle x gilt, ist f differenzierbar und es exp(x). Da g  (x) = g(x) = 0 f¨ gilt 1 1 = . f  (y) =  g (ln(y)) y c) Wir haben in (6.1) die allgemeine Potenzfunktion x → ax als exp(x ln(a)) definiert. Mit Hilfe der Kettenregel und exp = exp folgt, dass gilt (ax ) = ln(a) exp(x ln(a)) = ln(a)ax . Zur graphischen Veranschaulichung der obigen Ableitungsregel denke man daran, dass der Graph der Umkehrfunktion durch Spiegelung des urspr¨ unglichen Graphen an der Winkelhalbierenden gewonnen wird. Da die Ableitung der Ausgangsfunktion in jedem Punkt der Steigung der Tangenten in diesem Punkt entspricht, erh¨alt man die Ableitung der Umkehrfunktion, indem man die Tangente des urspr¨ unglichen Graphen an der Winkelhalbierenden spiegelt, vgl. Bild 7.1. Die Steigung einer gespiegelten Geraden ist aber gerade der Kehrwert der

92

7 Differentialrechnung

Steigung der urspr¨ unglichen Geraden. Algebraisch sieht man das daran, dass die Gerade y = mx + b die Inverse x=

b 1 y− m m

hat.

5

4

3

2

1

0

1

2

3

5

4

x

Abb. 7.1. Ableitung der Umkehrfunktion. Eingezeichnet sind die Funktion exp(x) sowie ihre Umkehrfunktion f −1 (x) = ln(x). Die Tangente im Punkt alt man durch Spiegelung der Tangenten y0 = exp(1) am Graphen von ln erh¨ von exp im Punkt x0 = 1.

Beweis. Wir begn¨ ugen uns mit einer Skizze des Beweises. Um die Abussen leitung der Umkehrfunktion in einem Punkt y0 zu berechnen, m¨ wir den Differenzenquotienten studieren: f −1 (y) − f −1 (y0 ) . y − y0 Man f¨ uhrt nun neue Variablen ein, indem man x = f −1 (y) und x0 = −1 f (y0 ) setzt. Dann ist f (x) = y und f (x0 ) = y0 , und daher x − x0 f −1 (y) − f −1 (y0 ) = = y − y0 f (x) − f (x0 )

1 f (x)−f (x0 ) x−x0

.

7.1 Grundlagen der Differentiation

93

Der Differenzenquotient der Umkehrfunktion ist also der Kehrwert des Differenzenquotienten der urspr¨ unglichen Funktion. Wenn nun y gegen y0 konvergiert, dann konvergiert der Differenzenquotient gegen 1 f  (x0 )

.


Eine weitere wichtige Regel im Zusammenhang mit der Differenzierbarkeit von Funktionen ist die Kettenregel. Sie bezieht sich auf den Fall, in dem eine Funktion h durch sukzessives Ausf¨ uhren zweier Funktionen f und g gegeben ist. Wir geben die Kettenregel hier ohne Beweis an. Satz 7.4 (Kettenregel). Ist eine Funktion f : X → Y mit X, Y ⊆ R an der Stelle x ∈ X und eine Funktion g : Y → Z mit Z ⊆ R an der Stelle f (x) differenzierbar, dann ist auch die Funktion g ◦ f an der Stelle x differenzierbar und es gilt: (g ◦ f ) (x) = g  (f (x)) · f  (x) . Beispiel 7.4. Sei f eine differenzierbare Funktion und g(x) = f (ax + b). Dann ist g = f ◦ h mit h(x) = ax + b. Also folgt mit der Kettenregel, dass g  (x) = h (x)f  (ax + b) = af  (ax + b) gilt. Zum Abschluss dieses Abschnitts sollen noch die Ableitungen h¨oherer Ordnung kurz besprochen werden. Diese ergeben sich ganz nat¨ urlich aus dem Umstand, dass die Ableitung einer differenzierbaren Funktion wiederum eine Funktion mit demselben Definitionsbereich ist, die gegebenenfalls ihrerseits differenzierbar ist: Definition 7.2 (Ableitungen h¨ oherer Ordnung). Ist die erste Ableitung f  (x) einer differenzierbaren Funktion f : X → Y mit X, Y ⊆ R ihrerseits differenzierbar, dann heißt f zweimal differenzierbar. Die zweite Ableitung wird bezeichnet mit f  (x) . Per induktiver Definition gelangen wir zur n-fachen Differenzierbarkeit und dem Begriff der n-ten Ableitung von f als erster Ableitung der (n − 1)-ten Ableitung von f mit n ∈ N. Diese Ableitung wird bezeichnet mit f (n) (x).

94

7 Differentialrechnung

Wenn f¨ ur alle n ∈ N die n−te Ableitung exisitiert, sagen wir, dass f beliebig oft bzw. unendlich oft differenzierbar ist. Die Menge aller nmal stetig differenzierbaren reellwertigen Funktionen auf X wird auch ur X = R schreibt man auch einfach C n . mit C n (X) bezeichtet; f¨ Beispiel 7.5. a) Die Funktion f (x) = x5 ist beliebig oft differenzierbar mit den Ableitungen f  (x) = 5x4 , f  (x) = 20x3 , f  (x) = 60x2 , f (4) (x) = 120x, ur alle n ≥ 6. f (5) (x) = 120 und f (n) (x) = 0 f¨ b) exp(x) ist beliebig oft differenzierbar und es gilt f (n) (x) = f  (x) = exp(x).

7.2 Die Regel von de l’Hospital Eine n¨ utzliche Anwendung der Differenzierbarkeit von Funktionen, mit der wir dieses Kapitel beschließen, findet sich in der Regel von de l’Hospital zur Bestimmung von Grenzwerten bei Br¨ uchen. ur Seien f und g zwei differenzierbare Funktionen mit g  (x) = 0 f¨ alle x. Wir nehmen an, wir interessieren uns f¨ ur den Grenzwert des Bruches f (x) f¨ ur x → a. g(x) Wenn g(a) = 0 ist, ist dies kein Problem, da ja f und g stetig sind. Der Grenzwert ist dann einfach gegeben durch den Bruch: f (a) . g(a) Wenn aber g(x) = 0 ist, so haben wir ein Problem, da der Ausdruck 0c f¨ ur alle c ∈ R nicht definiert ist. Falls jedoch gilt f (a) = 0, so kann mit der Regel von de l’Hospital der Grenzwert dennoch bestimmt werden. In diesem Fall gilt n¨ amlich f (x) − f (a) f (x) = = g(x) g(x) − g(a)

f (x)−f (a) x−a g(x)−g(a) x−a

.

(x) ist also gleich dem Quotienten der DifferenzenquotienDer Bruch fg(x) ten von f und g. Die Differenzenquotienten konvergieren aber gegen die Ableitung; also konvergiert der Bruch gegen den Quotienten der Ableitungen.

7.2 Die Regel von de l’Hospital

95

Satz 7.5 (Regel von de l’Hospital). Seien f, g : (a, b) → R differenur x ∈ (a, b). Sei c ∈ (a, b) mit f (c) = g(c) = 0. zierbar und g  (x) = 0 f¨ Dann gilt f  (c) f (x) =  . lim x→c g(x) g (c) Eine entsprechende Regel gilt auch, wenn man den uneigentlichen (x) betrachtet. Grenzwert limx→∞ fg(x) Satz 7.6 (Regel von de l’Hospital fu ¨ r uneigentliche Grenzur werte). Seien f, g : (a, ∞) → R differenzierbar und g  (x) = 0 f¨ x ∈ (a, ∞). Gelte limx→∞ g(x) = ∞. Ferner existiere der Grenzwert f  (x) x→∞ g  (x) lim

im eigentlichen oder uneigentlichen Sinne. Dann gilt f (x) f  (x) = lim  . x→∞ g(x) x→∞ g (x) lim

Beispiel 7.6. 2 −1 = 2. Denn mit f (x) = x2 − 1 und g(x) = x − 1 a) Es gilt limx→1 xx−1 gilt f (1) = g(1) = 0. Ferner ist g  (x) = 1 = 0. Also k¨onnen wir die Regel von de l’Hospital anwenden. Wegen f  (x) = 2x folgt dann f  (1) 2 x2 − 1 =  = = 2. x→1 x − 1 g (1) 1 lim

b) Es gilt 4 1 x2 − 4 2x = = lim = . x x x→2 2 − 4 x→2 ln(2)2 ln(2) · 4 ln(2) lim

c) Die Regel von de l’Hospital f¨ ur uneigentliche Grenzwerte liefert uns die Aussage, dass die Exponentialfunktion st¨arker w¨achst als jedes Polynom. Denn mit f (x) = exp(x) und g(x) = x gilt limx→∞ g(x) = ∞ und somit f  (x) exp(x) = lim = ∞. lim  x→∞ g (x) x→∞ 1 Also k¨onnen wir die Regel von de l’Hospital anwenden und erhalten exp(x) = ∞. x→∞ x lim

96

7 Differentialrechnung

F¨ ur beliebige nat¨ urliche Zahlen n ∈ N gilt nun   exp(x/n) n exp(x) = . xn x Wieder mit der Regel von de l’Hospital gilt aber f¨ ur den Term in Klammern 1 exp(x) exp(x/n) = lim n = ∞. lim x→∞ x→∞ x 1 Also gilt auch exp(x) lim = ∞. x→∞ xn d) Auf dieselbe Art und Weise zeigt man, dass der Logarithmus langsamer als jedes Polynom gegen unendlich konvergiert. Insbesondere gilt also: 1 ln(x) = lim x = 0 . lim x→∞ x x→∞ 1

¨ Ubungen Aufgabe 7.1. Man bestimme erste und zweite Ableitungen folgender Funktionen (nach x): f1 (x) = x5 − x3 , f2 (x) =

x 1+x ,

f3 (x) =

x2 −1 x+2 ,

f4 (x) = (ax )3 ,

2

f5 (x) = exp(x2 ), f6 (x) = xx , f7 (x) = xx . Aufgabe 7.2. Die Funktion f sei differenzierbar. Bestimme die Ableitung der folgenden Funktionen:

g1 (x) = f (x), g2 (x) = (f (x))2 − x, xf (x) , g4 (x) = ln(f (x)) . g3 (x) = (1 + f (x))2 Aufgabe 7.3. Bestimme die vierte Ableitung der Funktion f (x) =

2x ! 3+x

Tipp: Schreibe die Funktion als a+ f¨ ur geeignete Konstanten a und b!

b 3+x

7.2 Die Regel von de l’Hospital

97

Aufgabe 7.4. In den Wirtschaftswissenschaften interessiert man sich ¨ oft mehr f¨ ur relative als f¨ ur absolute Anderungen. ¨ 1. Erl¨ autere, warum der Bruch f  (x)/f (x) die relative Anderungsrate von f im Punkte x beschreibt! ¨ 2. Bestimme die relative Anderungsrate folgender Funktionen in x: x, x3 , exp(ax), ln(1 + x) . ¨ 3. Warum nennt man die relative Anderungsrate auch die logarithmische Ableitung? Aufgabe 7.5. Bestimme folgende Grenzwerte: x3 − 8 exp(x) − 1 21−x − 1 x , lim , lim , lim . 2 x→∞ ln (1 + x2 ) x→2 x − 4 x→0 x→1 1 − x x lim

8 Optimierung I

Eine, wenn nicht die grundlegende Annahme in den Wirtschaftswissenschaften ist, dass rational handelnde Akteure bestrebt sind, im Rahmen des M¨oglichen ihren Gewinn bzw. Nutzen zu maximieren. Wenn wir nun davon ausgehen, dass sich der Gewinn oder Nutzen eines Agenten als Funktion einer oder mehrerer Variablen darstellen l¨asst, so kann man das beschriebene o ¨konomische Problem auf ein mathematisches Problem, das Maximieren einer Funktion, reduzieren. Ziel dieses Kapitels ist es nun, L¨ osungsmethoden f¨ ur den einfachsten Fall, d.h. das Maximieren einer Zielfunktion einer Ver¨anderlichen, unter der zus¨atzlichen Annahme der Differenzierbarkeit der Fuktion einzuf¨ uhren; der entsprechende Fall mehrerer Ver¨anderlicher wird im Kapitel 15 behandelt. Zielfunktionen in Abh¨angigkeit einer Ver¨anderlichen hat man etwa, wenn man die optimale Produktionsmenge eines Monopolisten f¨ ur gegebene Kosten- sowie Preisabsatzfunktion bestimmen will. Im Folgenden besch¨ aftigen wir uns zun¨ achst mit der Frage, ob Funktionen u ¨berhaupt Extremstellen haben. Wir werden sehen, dass stetige Funktionen auf beschr¨ ankten Intervallen stets ein Maximum und Minimum annehmen. Aufbauend darauf sollen dann notwendige und hinreichende Bedingungen f¨ ur das Vorliegen (lokaler) Extremstellen eingef¨ uhrt und besprochen werden. Das Kapitel schließt mit einer Diskussion des Begriffs der Elastizit¨ at einer Funktion sowie seiner Beziehung zur Optimierungstheorie.

8.1 Vorbemerkungen Wie in der Einleitung zu diesem Kapitel bereits angedeutet, wollen wir uns im weiteren Verlauf auf differenzierbare Funktionen einer Ver¨ander-

100

8 Optimierung I

lichen sowie die Bestimmung ihrer Maxima und Minima konzentrieren. Da differenzierbare Funktionen, wie wir im vorigen Kapitel gesehen haben, immer auch stetig sind (vgl. Satz 7.1), liefert uns der folgende Satz eine hinreichende Bedinung f¨ ur die Existenz des Maximums (Minimums) einer differenzierbaren Funktion. Satz 8.1. Sei f : [a, b] → R eine stetige Funktion. Dann nimmt f auf [a, b] ihr Maximum und ihr Minimum an; d.h. es gibt x , x ∈ [a, b] mit f (x ) = max{f (x) | x ∈ [a, b]} und f (x ) = min{f (x) | x ∈ [a, b]}. Man beachte, dass wir in Satz 8.1 nicht nur voraussetzen, dass f stetig ist, sondern auch, dass der Definitionsbereich von f ein abgeschlossenes und beschr¨ anktes Intervall [a, b] ist. Dies ist, wie wir im Beweis des Satzes sehen werden, von essenzieller Bedeutung f¨ ur die Richtigkeit der gemachten Aussage. Um die Bedeutung dieser Bedingung zu veranschaulichen, betrachten wir hier noch ein Beispiel, in dem diese Bedingung gerade nicht erf¨ ullt ist. Konkret betrachten wir die Funktion f : [0, 3) → R

mit

f (x) = x,

siehe Abbildung 8.1. Aus der Abbildung ist ersichtlich, dass f das Maximum am rechten Rand des Intervalls [0, 3) annehmen w¨ urde. Wir m¨ ussen sagen “w¨ urde”, da f¨ ur x → 3 die Werte von f (x) zwar immer gr¨oßer werden, es gilt f (x) → 3 f¨ ur x → 3, der Grenzwert 3 aber nie erreicht wird, da 3 ∈ [0, 1). Umgekehrt wird das Minimum von f am linken Rand des Intervalles sehr wohl erreicht, da 0 ∈ [0, 3). (Ein ¨ahnliches Problem tritt auf, wenn der Definitionsbereich nicht beschr¨ankt ist. In einem solchen Fall nimmt beispielsweise die Funktion f (x) = x f¨ ur x ∈ R sowohl Maximum als auch Minimum im Unendlichen, d.h. niemals wirklich, an.) Nach diesen vorbereitenden Bemerkungen kommen wir nun zum Beweis des Satzes. Beweis. F¨ ur den Beweis des Satzes beschr¨ anken wir uns auf die Aussage bez¨ uglich des Maximums. Die entsprechende Aussage f¨ ur das Minimum ¨ erh¨alt man durch Ubergang zu −f . Sei F das Bild von f , d.h. F = {y ∈ R | y = f (x) mit x ∈ [a, b]}, und sei A das Supremum von F . Dann gibt es eine Folge (yn ) in F mit ahlten yn w¨ ahlen wir nun ein xn ∈ [a, b] mit lim yn = A. Zu jedem so gew¨ oglich per Definition von yn bzw. F .) Die xn , n ∈ f (xn ) = yn . (Dies ist m¨

8.2 Lokale Extrema I: Notwendige Bedingung

101

f : [0, 2) −→ R

6

x −→ x

b

2

1

0

1

2

Abb. 8.1. Die Funktion f (x) = x nimmt auf [0, 1) ihr Maximum nicht an, da x = 3 außerhalb des Definitionsbereichs der Funktion liegt.

N, bilden dann eine beschr¨ ankte Folge reeller Zahlen. Nach dem Satz von Bolzano und Weierstraß (5.11) k¨ onnen wir dazu eine konvergente Teilfolge xnk mit Grenzwert x0 finden. Da [a, b] abgeschlossen ist, ist x0 ∈ [a, b]. (Wenn f auf dem offenen Intervall (a, b) definiert w¨are, so w¨are es m¨oglich, dass xnk → x0 = a ∈ (a, b); vgl. obige Diskussion der 1 .) Aus der Stetigkeit von f und Funktion f : (0, 1] → R; f (x) = 1+x der Definition der yn (yn → A) folgt dann, dass gilt: f (xnk ) → f (x0 ). Außerdem gilt nat¨ urlich f (xnk ) = ynk → A. Also folgt f (x0 ) = A. Insbesondere nimmt also f an der Stelle x0 das Maximum auch wirklich an.


8.2 Lokale Extrema I: Notwendige Bedingung Nachdem wir nun eine Bedingung f¨ ur die Existenz eines Maximums bzw. Minimums differenzierbarer Funktionen kennengelernt haben, wollen wir im Folgenden n¨ aher auf die konkrete Bestimmung von Extremstellen eingehen. Wir unterscheiden dabei lokale und globale sowie innere und Randextrema. Definition 8.1. Sei f : [a, b] → R eine Funktion. Ein Punkt x ∈ [a, b] heißt lokales Maximum von f , wenn es ein ε > 0 gibt mit f (x) ≥ f (y)

102

8 Optimierung I

f¨ ur alle y ∈ [a, b] mit |x − y| < ε. x heißt lokales Minimum von f , wenn x ein lokales Maximum der Funktion −f ist. Ist x lokales Maximum oder Minimum, so nennt man x ein lokales Extremum. Man nennt x ein globales Maximum (Minimum), falls gilt f (x) ≥ (≤)f (y) f¨ ur alle y ∈ [a, b]. Eine Extremstelle x von f heißt Randextremum, falls gilt x = a oder x = b; x heißt inneres Extremum falls gilt x ∈ (a, b). Man beachte, dass Randextrema sich im Wesentlichen aus dem abrupten Ende des Definitionsbereiches einer Funktion ergeben, wohingegen innere Extrema auf die graphische Gestalt einer Funktion selbst zur¨ uckzuf¨ uhren sind. So m¨ ussen die Funktionswerte im Fall eines inneren Extremums zu beiden Seiten des Extremums gr¨oßer (oder kleiner) sein, damit ein Minimum (Maximum) vorliegt. F¨ ur Randextrema gibt es hingegen nur eine Seite zum Vergleich, da die Funktion, per Definition, auf der anderen Seite nicht weitergeht. Entsprechend ergeben sich unterschiedliche Bedingungen f¨ ur die Existenz von Extrema. achst dem Fall innerer Extrema zuGegenw¨artig wollen wir uns zun¨ wenden. Randextrema sind, wie wir sp¨ ater sehen werden, etwas einfacher zu handhaben. F¨ ur die Bestimmung der inneren Extrema einer differenzierbaren Funktion l¨ asst sich folgende notwendige Bedingung formulieren. Satz 8.2 (Notwendige Bedingung fu ¨ r ein Extremum). Sei f : (a, b) → R differenzierbar. Ist x ein lokales Extremum von f , so gilt: f  (x) = 0. Beweis. Sei x ein lokales Maximum. Dann gilt f¨ ur alle y in der N¨ahe von x stets f (x) ≥ f (y). Da x im Inneren des Intervalls [a, b] liegt, liegen f¨ ur gen¨ ugend große nat¨ urliche Zahlen n auch x ± 1/n ∈ [a, b]. Also gilt f¨ ur die Ableitung einerseits   f x + n1 − f (x)  ≤0 f (x) = lim 1 n→∞

und andererseits

n

  f x − n1 − f (x) ≥ 0, f (x) = lim n→∞ − n1 

also f  (x) = 0.




8.3 Der Mittelwertsatz

103

8.3 Der Mittelwertsatz Eine n¨ utzliche und wichtige Folgerung aus der notwendigen Bedingung f¨ ur innere lokale Extrema ist der Mittelwertsatz. Da er nicht nur grunds¨atzlich f¨ ur den Beweis vieler mathematischer Aussagen sehr hilfreich ist, sondern sich aus ihm auch wichtige Eigenschafen zur Charakterisierung innerer Extrema ableiten lassen, wollen wir ihn an dieser Stelle einf¨ uhren. Satz 8.3 (Mittelwertsatz). Sei f : [a, b] → R eine stetige Funktion, die auf (a, b) differenzierbar ist. Dann gibt es ein ξ ∈ (a, b) mit f (b) − f (a) = f  (ξ) . b−a Wir illustrieren den Mittelwertsatz in Bild 8.2, in welchem die Paur Werte zwischen a = −2 und b = 2 dargerabelfunktion 2x2 + x f¨ stellt ist. Die eingezeichnete Sehne verbindet linear die Punkte (−2, 6) und (2, 10) und hat somit die Steigung 1. Der Mittelwertsatz besagt nun, dass die Parabelfunktion an mindestens einem Punkt des Intervalls [−2, 2] dieselbe Steigung wie die Sehne aufweisen muss. F¨ ur unser Beispiel ist dies im Punkt 0 der Fall.

10

8

6

4

2

–3

–2

–1

1

2

3

x

Abb. 8.2. Der Mittelwertsatz. Eingezeichnet ist die Sekante von a = −2 bis b = 2. An der Stelle x = 0 hat die Funktion dieselbe Steigung wie die Sekante.

Um den Mittelwertsatz zu beweisen, f¨ uhren wir ihn durch eine geeignete Transformation auf folgenden Spezialfall zur¨ uck.

104

8 Optimierung I

Satz 8.4 (Satz von Rolle). Sei f : [a, b] → R eine stetige Funktion, die auf (a, b) differenzierbar sei. Ferner gelte f (a) = f (b) = 0. Dann gibt es ein ξ ∈ (a, b) mit f  (ξ) = 0 . Beweis. Wenn die Funktion f (x) = 0 konstant ist, dann gilt u ¨berall  f (x) = 0 und der Satz ist bewiesen. Nehmen wir also an, dass f nicht konstant ist. Also gibt es ein x0 mit f (x0 ) = 0, etwa f (x0 ) > 0. Falls die Funktion nicht konstant ist, so wissen wir nach Satz 8.1 dennoch, dass sie auf [a, b] immer Maximum und Minimum annimmt. Wenn nun in x ∈ [a, b] etwa ein Maximum ist, dann ist x im Inneren des Intervalls, denn das Maximum muss ja mindestens so groß wie f (x0 ), also echt positiv sein. Dann muss aber f  (x) = 0 sein, wegen der notwendigen Bedingung f¨ ur innere lokale Extrema, Satz 8.2.
Nun k¨onnen wir den Mittelwertsatz beweisen, indem wir ihn auf den Satz von Rolle zur¨ uckf¨ uhren. Beweis (Mittelwertsatz). Sei f die im Mittelwertsatz gegebene Funktion. Setze f (b) − f (a) (x − a) . g(x) = f (x) − b−a Dann ist g(a) = g(b) = f (a). Außerdem ist g auf [a, b] stetig und auf dem Inneren (a, b) differenzierbar. Also gibt es laut Satz von Rolle eine (a) . Somit gilt Zwischenstelle ξ mit 0 = g  (ξ) = f  (ξ) − f (b)−f b−a f  (ξ) =

f (b) − f (a) , b−a

und der Mittelwertsatz ist bewiesen.




Der folgende Satz, eine erste Anwendung des Mittelwertsatzes, beschreibt den engen Zusammenhang zwischen den Monotonieeigenschaften einer Funktion und ihrer Ableitung. Er wird uns sp¨ater helfen, die Bedingungen f¨ ur das Vorliegen von Extrema zu den lokalen Kr¨ ummungseigenschaften einer Funktion in Beziehung zu setzen. Satz 8.5. Sei f : (a, b) → R differenzierbare Funktion. Dann gilt: 1. f ist genau dann monoton steigend, wenn f¨ ur alle x ∈ (a, b) gilt: f  (x) ≥ 0 , 2. f ist streng monoton steigend, wenn f¨ ur alle x ∈ (a, b) gilt: f  (x) > 0

8.3 Der Mittelwertsatz

105

Ersetzt man in i) und ii) die beiden Relationszeichen ≥ und > durch ≤ bzw. <, so erh¨ alt man zwei analoge Aussagen f¨ ur monoton fallende Funktionen. Beweis. Wenn f monoton steigend ist, dann gilt f¨ ur alle ∆x > 0 und x ˜ ∈ (a, b), f (˜ x + ∆x) − f (˜ x) ≥ 0. ∆x Damit gilt auch f¨ ur den Grenzwert f (˜ x + ∆x) − f (˜ x) ≥ 0. ∆x→0 ∆x

f  (˜ x) = lim

ur alle x ∈ (a, b), so folgt aus dem Wenn umgekehrt f  (x) ≥ 0 ist f¨ Mittelwertsatz, dass f¨ ur beliebige x > y in (a, b) f (x) − f (y) = f  (ξ) ≥ 0 x−y gilt f¨ ur einen Zwischenwert ξ ∈ (x, y). Durch Multiplikation mit der positiven Zahl x − y ergibt sich f (x) ≥ f (y). Analog ergibt sich die zweite Behauptung, indem man ≥ durch > ersetzt.
Man beachte, dass der Satz f¨ ur das Vorliegen strenger Monotonie lediglich eine hinreichende Bedingung nennt, w¨ahrend er f¨ ur das Vorliegen nicht strenger Monotonie eine notwendige und hinreichende Bedingung angibt. Es gibt streng monoton steigende Funktionen, deren Ableitung an manchen Stellen verschwindet. Beispiel 8.1. a) Die Funktion f (x) = x3 ist streng monoton steigend. Trotzdem gilt nicht u ¨berall f  (x) > 0, denn f  (0) = 0. Man nennt 0 einen Sattelpunkt. Bildlich gesprochen: Obwohl man st¨ andig den Berg hinaufl¨auft, ist die Steigung kurzfristig 0, so dass man gewissermaßen stehen bleiben kann, ohne abzurutschen. b) Die Funktion f : (0, ∞) → R mit f (x) = ln(1 + x) hat nach der Kettenregel die Ableitung f  (x) = streng monoton steigend.

1 1+x

> 0 und ist daher

106

8 Optimierung I

Als weiteres Beispiel f¨ ur die Aussagekraft des Mittelwertsatzes zeigen wir: Korollar 8.1. Sei f : [a, b] → R eine stetige Funktion, die auf (a, b) differenzierbar sei. Wenn die Ableitung f  (x) = c konstant ist auf (a, b), dann ist f linear: f (x) = cx + d f¨ ur ein d ∈ R. Beweis. Zum Beweis von Folgerung 8.1 w¨ahlen wir ein x ∈ (a, b) und wenden den Mittelwertsatz auf das Intervall [a, x] an. Dieser besagt, dass es ein ξ ∈ (a, x) gibt, so dass gilt: f (x) − f (a) = f  (ξ) = c. x−a Also folgt f (x) = c(x − a) + f (a) = cx + d mit d = f (a) − ca.




Das folgende ¨ okonomische Beispiel zeigt, dass obige Anwendungen des Mittelwertsatzes auch unabh¨ angig von der Charakterisierung von Extremstellen n¨ utzlich f¨ ur die ¨ okonomische Theorie sind - in diesem Fall f¨ ur die Modellierung von Wachstumsprozessen. ¨ Okonomisches Beispiel 8.6 Wir betrachten nun das Wachstum einer Wirtschaft u ¨ber die Zeit. Dazu bezeichne A(t) den aggregierten Warenausstoß der betrachteten Volkswirtschaft zum Zeitpunkt t. Das Wachstum von A(t) l¨ asst sich dann charakterisieren durch die Wachstumsrate, also die prozentuale Ver¨ anderung von A(t) pro Zeit: A(t+∆t)−A(t) ∆t

A(t)

.

F¨ ur kleine Zeitabschnitte ∆t, wird dieser Ausdruck gut durch A (t) A(t) approximiert. Dabei handelt es sich um die sogenannte logarithmische Ableitung. Es gilt n¨ amlich wegen der Kettenregel (ln[A(t)]) =

A (t) . A(t)

Unter der Annahme, dass die betrachtete Wirtschaft mit einer konstan
(t) ten Rate µ = AA(t) w¨ achst, erhalten wir f¨ ur die Funktion B(t) = ln[A(t)] den folgenden konstanten Ausdruck als Ableitung:

8.4 Konvexe und konkave Funktionen

107

B  (t) = µ . Wegen Folgerung 8.1 gilt daher B(t) = B(0) + µt . Somit l¨ asst sich das Wachstum der betrachteten Volkswirtschaft durch folgenden einfachen Ausdruck beschreiben: A(t) = exp(B(t)) = exp (B(0) + µt) = A(0) exp(µt) .

8.4 Konvexe und konkave Funktionen Nachdem wir den Mittelwertsatz in einiger Ausf¨ uhrlichkeit besprochen haben, wollen wir im Folgenden die Kr¨ ummungseigenschaften von Funktionen n¨aher untersuchen. Diese sollen dann, unter Verwendung der soeben mit Hilfe des Mittelwertsatzes generierten Resultate, zu den Differenzierbarkeitseigenschaften der entsprechenden Funktionen in Verbindung gesetzt werden. Im nachfolgenden Abschnitt werden wir dann (endlich) eine hinreichende Bedingung f¨ ur die Existenz von Extrema angeben. Da wir diese aber, wie bereits angedeutet, in Bezug zu den lokalen Kr¨ ummungseigenschaften der Funktion setzen wollen, sollen Letztere hier zun¨ achst besprochen werden. Wir beginnen mit dem Begriff der Konvexit¨ at. Definition 8.2. Eine Funktion f : [a, b] → R heißt konvex, wenn f¨ ur alle x, y ∈ [a, b] und alle α ∈ (0, 1) gilt: f (αx + (1 − α)y) ≤ αf (x) + (1 − α)f (y) .

(8.1)

f ist strikt konvex, wenn in der obigen Ungleichung (8.1) stets ein < steht. Konvexe Funktionen zeichnen sich also dadurch aus, dass der Funktionswert an einem Mittelwert (αx + (1 − α)y) stets kleiner oder gleich dem Mittelwert der Funktionswerte ist (αf (x) + (1 − α)f (y)). Geometrisch bedeutet dies, dass die Sehne, die f (a) und f (b) verbindet, stets u ¨ber der Funktion liegt, vgl. Bild 8.3. F¨ ur zweimal differenzierbare Funktionen gibt es ein sehr einfaches Kriterium f¨ ur Konvexit¨ at. Dazu betrachte man noch einmal das Bild 8.3. Wenn man von 0 nach links geht, sieht man, dass die Funktion steigt und zwar immer schneller, da sie “steil nach oben abbiegt”. Dies bedeutet, dass die Tangenten eine immer gr¨oßere Steigung haben, wie

108

8 Optimierung I

8

6

4

2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

x

Abb. 8.3. Die konvexe Funktion x2 und einige ihrer Sehnen. Die Sehnen liegen immer oberhalb der Funktion; das ist gerade die Definition der Konvexit¨at (vgl. Definition 8.2).

man anhand von Bild 8.4 sehen kann. In die Sprache der Analysis u ¨bersetzt bedeutet dies, dass die Ableitung f  (x) eine monoton steigende Funktion ist. Mit Hilfe von Satz 8.5 folgt dann, dass f  (x) ≥ 0 sein muss. Satz 8.7 (Konvexit¨ at). Sei f : (a, b) → R eine zweimal differenzierbare Funktion. Dann sind folgende Aussagen ¨ aquivalent: 1. f ist konvex, 2. f  ist monoton steigend, ur alle x ∈ (a, b). 3. f  (x) ≥ 0 f¨ Der Vollst¨andigkeit halber halten wir auch noch die entsprechenden hinreichenden Bedingungen f¨ ur strikte Konvexit¨at fest. Satz 8.8 (Strikte Konvexit¨ at). Sei f : (a, b) → R eine zweimal differenzierbare Funktion. Dann ist f strikt konvex, wenn f  (x) > 0 f¨ ur alle x ∈ (a, b) gilt. Die obige Aussage ergibt sich mit Hilfe von Satz 8.5. Ist n¨amlich ur, f  strikt positiv, so ist dies hinreichend (aber nicht notwendig) daf¨ dass f  strikt monoton steigend ist. Dies wiederum ist gleichbedeutend mit strikter Konvexit¨ at der Funktion.

8.4 Konvexe und konkave Funktionen

109

8

6

4

2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

x

Abb. 8.4. Die konvexe Funktion x2 und Tangenten in den Punkten 1 und 2. Die Tangenten liegen immer unterhalb der Funktion.

Nun k¨onnen Funktionen nat¨ urlich nicht nur so gekr¨ ummt sein, dass ihre Steigung f¨ ur wachsende Funktionswerte ebenfalls w¨achst. Der umgekehrte Fall, d.h. eine abnehmende Steigung, ist ebenso denkbar. In diesem Fall nennt man die Funktion konkav. Definition 8.3. Eine Funktion f : [a, b] → R heißt konkav, wenn f¨ ur alle x, y ∈ [a, b] und alle α ∈ (0, 1) gilt: f (αx + (1 − α)y) ≥ αf (x) + (1 − α)f (y) .

(8.2)

f ist strikt konkav, wenn in der obigen Ungleichung (8.1) stets ein < steht. Man beachte, dass die Konkavit¨ at einer Funktion f gerade gleichbedeutend ist mit der Konvexit¨ at der Funktion −f - und umgekehrt. Aufgrund dieser Beziehung gelten folgende Entsprechungen zu den S¨atzen 8.7 und 8.8. Satz 8.9 (Konkavit¨ at). Sei f : (a, b) → R eine zweimal differenzierbare Funktion. Dann sind folgende Aussagen ¨ aquivalent: 1. f ist konkav, 2. f  ist monoton fallend, ur alle x ∈ (a, b). 3. f  (x) ≤ 0 f¨

110

8 Optimierung I

Satz 8.10 (Strikte Konkavit¨ at). Sei f : (a, b) → R eine zweimal differenzierbare Funktion. Dann ist f strikt konkav, wenn f¨ ur alle x ∈ (a, b) gilt f  (x) < 0. Beispiel 8.2. a) Die identische Funktion f (x) = x hat f  (x) = 0 und ist daher konvex und konkav. b) Die Parabel f (x) = x2 ist wegen f  (x) = 2 > 0 strikt konvex. c) Die Exponentialfunktion f (x) = exp(x) ist wegen f  (x) = f (x) > 0 strikt konvex. d) F¨ ur den Logarithmus f (x) = ln(x) ist f  (x) = ist der Logarithmus strikt konkav.

1 x

strikt fallend; also

Beispiel 8.3. Als einfache mathematische Anwendung dieser S¨atze und √ Beispiele zeigen wir, dass das geometrische Mittel xy stets kleiner gleich dem arithmetischen Mittel 12 (x + y) zweier positiver Zahlen ist. √ Die Ungleichung xy ≤ 12 (x + y) ist n¨ amlich wegen der Rechenregeln des Logarithmus ¨ aquivalent zu   1 1 (ln(x) + ln(y)) ≤ ln (x + y) . 2 2 Da die Funktion ln aber konkav ist, ist diese Ungleichung erf¨ ullt.

8.5 Lokale Extrema II: Hinreichende Bedingung Wir wenden uns nun wieder der Charakterisierung innerer lokaler Extrema zu. Wie wir in Abschnitt 8.2 bereits gesehen haben, muss die Ableitung einer differenzierbaren Funktion f verschwinden, wenn ein inneres lokales Extremum vorliegt. Sei also f : [a, b] → R eine stetige, auf (a, b) differenzierbare Funktion und sei x0 ∈ (a, b) mit f  (x0 ) = 0 gegeben. Die Frage ist, ob an der Stelle x0 wirklich ein Minimum oder ein Maximum voliegt. Um die Intuition etwas zu sch¨ arfen, betrachten wir als Beispiel die 2 Funktion x in Bild 8.3. Sie hat ein lokales Minimum in x = 0. Wie man am Bild sieht, ist (deshalb) die Ableitung links von der 0 negativ, aber rechts von der 0 positiv, d.h. die Ableitung vollzieht im Minimum einen Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv. Insbesondere ist die Ableitung also, zumindest in der N¨ ahe des lokalen Minimums, steigend, d.h.

8.5 Lokale Extrema II: Hinreichende Bedingung

111

f  (0) ≥ 0. Mit anderen Worten: In der N¨ ahe eines lokalen Minimums ist die Funktion konvex. Satz 8.11 (Hinreichende Bedingung fu ¨ r ein Minimum). Die Funktion f : (a, b) → R sei differenzierbar und f¨ ur x ∈ (a, b) sei f  (x) = 0. Dann ist x ein lokales Minimum, wenn eine der folgenden Bedingungen erf¨ ullt ist: • f  wechselt das Vorzeichen von negativ nach positiv in x, d.h. ur es gibt ein δ > 0, so dass f¨ ur ξ ∈ (x − δ, x) f  (ξ) < 0 und f¨  ξ ∈ (x, x + δ) f (ξ) > 0 gilt; • f  (x) > 0. Eine entsprechende Aussage l¨ asst sich f¨ ur lokale Maxima formulieren. Allerdings ist in diesem Fall die Kr¨ ummung der Funktion gerade andersherum, d.h. in der N¨ ahe eines lokalen Maximums sind (differenzierbare) Funktionen konkav. Satz 8.12 (Hinreichende Bedingung fu ¨ r ein Maximum). Die Funktion f : (a, b) → R sei differenzierbar und f¨ ur x ∈ (a, b) sei  f (x) = 0. Dann ist x ein lokales Maximum, wenn eine der folgenden Bedingungen erf¨ ullt ist: • f  wechselt das Vorzeichen von positiv nach negativ in x, d.h. ur es gibt ein δ > 0, so dass f¨ ur ξ ∈ (x − δ, x) f  (ξ) > 0 und f¨  ξ ∈ (x, x + δ) f (ξ) < 0 gilt; • f  (x) < 0. Man beachte, dass es sehr wohl F¨ alle geben kann, in denen die erste Ableitung einer Funktion f in einem Punkt x0 zwar verschwindet, der Punkt aber dennoch kein Extremum ist. Die Funktion f (x) = x3 mit x ∈ R ist so ein Fall. F¨ ur sie gilt zwar f  (0) = 0, dennoch liegt an der Stelle x0 = 0 kein Etremum vor, da die Steigung sowohl links als auch rechts von 0 positiv ist. Es geht sozusagen weiter bergauf mit der Funktion - sie macht nur kurz eine Verschnaufpause. Beispiel 8.4. In den meisten F¨ allen reicht es f¨ ur die Bestimmung der Extrema einer Funktion aus, einfach die erste und danach die zweite Ableitung zu u ufen. In manchen F¨ allen ist aber auch der Vorzei¨berpr¨ chenwechseltest hilfreich bzw. notwendig. F¨ ur die Funktion f (x) = x4  3  2 etwa gilt f (x) = 4x und f (x) = 12x . Hier ist f  (0) = 0, also erf¨ ullt die Stelle x = 0 die notwendige Bedingung f¨ ur ein lokales Ex onnen wir mit der zweiten Ableitung tremum. Da aber f (0) = 0 ist, k¨

112

8 Optimierung I

nicht entscheiden, ob wirklich ein Extremum vorliegt, und falls ja, ob es sich dabei um ein Maximum oder ein Minimum handelt. Um dies zu u ufen, betrachten wir erneut die erste Ableitung von f . Die erste ¨berpr¨ ur negative x und positiv f¨ ur posiAbleitung f  (x) = 4x3 ist negativ f¨ tive x. Sie wechselt also in 0 das Vorzeichen von negativ nach positiv. Folglich ist 0 ein lokales Minimum. ¨ Okonomisches Beispiel 8.13 Wir betrachten ein Unternehmen bei vollkommener Konkurrenz. Das Unternehmen produziere Handt¨ ucher, welche, auf Grund der Annahme der vollkommenen Konkurrenz, auch von beliebig vielen anderen Firmen produziert werden. Die von dem betrachteten Unternehmen hergestellte Menge an Handt¨ uchern hat somit (per Annahme) keinen Einfluss auf den Marktpreis p f¨ ur Handt¨ ucher— das Unternehmen muss p als gegeben hinnehmen. Ferner sei c(x) die Kostenfunktion, d.h. zur Produktion von x Handt¨ uchern fallen c(x) Euro Kosten an. Der Ertrag des Unternehmers bei einer Produktion von x Einheiten ist somit gegeben durch E(x) = px − c(x) . Wenn der Unternehmer den Ertrag maximiert, wird er x so w¨ ahlen, dass die Regel “Preis=Grenzkosten” oder p = c (x) gilt, da dann gerade E  (x) = 0. Ferner wird der Unternehmer versuchen wollen, ein Maximum und kein Minimum zu erzielen; d.h. wir are ja hinreichend f¨ ur ein werden nicht E  (x) > 0 finden (denn das w¨   Minimum). Also muss gelten: E (x) ≤ 0 bzw. c (x) ≥ 0. Der Unternehmer wird sich also immer in einem Bereich bewegen, in dem der Ertrag konkav bzw. die Kostenfunktion konvex ist. Damit ist der Grenzertrag monoton fallend in diesem Bereich bzw. die Grenzkosten sind monoton steigend. Diese Tatsache nennt man auch das Gesetz vom fallenden Grenzertrag. Randextrema Abschließend wollen wir nun noch kurz auf den Fall einer Extremstelle am Rand des Definitionsbereiches eingehen. Der entscheidende Unterschied in der Behandlung von Randextrema liegt darin begr¨ undet, dass f¨ ur diese die sonst notwendige Bedingung aus Satz 8.2 nicht unbedingt gilt! Abbildung 8.5 verdeutlicht dies. F¨ ur die Existenz eines Randextremums l¨asst sich dennoch die folgende, einfachere Bedingung angeben.

8.5 Lokale Extrema II: Hinreichende Bedingung

113

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

√ Abb. 8.5. Die Funktion x hat auf dem Intervall [0, 1] ein Maximum in 1, aber die Ableitung ist nicht 0.

Satz 8.14 (Extrema am Rande). Sei f : [a, b] → R differenzierbar. Wenn b ein lokales Maximum von f ist, dann gilt f  (b) ≥ 0. Wenn umgekehrt f  (b) > 0 ist, so ist b ein lokales Maximum. Beweis. Sei zun¨achst b ein lokales Maximum. Da wir nur von links approximieren k¨onnen, erhalten wir nur eine Ungleichung aus dem Beweis des Satzes 8.2, n¨ amlich   f b − n1 − f (b)  ≥ 0. f (b) = lim n→∞ − n1 Wenn umgekehrt b kein lokales Maximum ist, so gibt es in beliebiger N¨ahe von b ein x mit f (x) > f (b). Insbesondere gibt es dann eine Folge (xn ) mit xn → b, xn < b und f (xn ) > f (b). Daraus folgt f  (b) = lim

n→∞

f (b) − f (xn ) ≤ 0. b − xn

Im Umkehrschluss bedeutet dies, dass aus f  (b) > 0 folgt, dass b ein lokales Maximum ist.
¨ Zur Ubung formuliere man entsprechende Varianten des Satzes, wenn b ein lokales Minimum ist oder a lokales Maximum!

114

8 Optimierung I

¨ 8.6 Prozentuale Anderungen: Elastizit¨ at Zum Abschluss dieses Kapitels wenden wir uns noch dem Begriff der prozentualen Ableitung oder Elastizit¨ at zu. In den Wirtschaftswissenschaften interessiert man sich oft f¨ ur pro¨ ¨ zentuale Anderungen mehr als f¨ ur absolute Anderungen. So interessiert sich ein Monopolist beispielsweise daf¨ ur, um wieviel Prozent der Preis sinkt, wenn er den Output um ∆ Prozent erh¨oht. Wenn der Preis eine Funktion p(x) des Outputs x ist, interessiert er sich also f¨ ur die relative ¨ Anderung des Preises p(x + ∆x) − p(x) p(x) ¨ im Vergleich zur relativen Anderung des Outputs ∆x . x Insgesamt geht es also um den Bruch p(x+∆x)−p(x) p(x) ∆x x

=

p(x + ∆x) − p(x) x . ∆x p(x)

F¨ ur sehr kleine ∆x l¨ asst sich dieser Bruch approximieren durch p (x)

x . p(x)

Den so erhaltenen Ausdruck nennt man die Elastizit¨at des Preises im Punkt x. Definition 8.4. Sei f : (a, b) → R differenzierbar und es gelte f (x) = 0. Die Elastizit¨at von f im Punkt x ∈ (a, b) ist dann gegeben durch εf (x) =

f  (x)x . f (x)

Beispiel 8.5. a) Affine Funktionen f (x) = ax + b haben die Elastizit¨at εf (x) =

ax . ax + b

F¨ ur b = 0 haben wir also konstante Elastizit¨at 1: Lineare Funktionen ur ¨andern sich um 1%, wenn sich das Argument um 1 % ¨andert. F¨

¨ 8.6 Prozentuale Anderungen: Elastizit¨at

115

a = 0 haben wir die konstante Elastizit¨ at 0: Konstante Funktionen ¨andern sich gar nicht, wenn man das Argument ¨andert. b) Ferner gilt, dass alle Funktionen der Art f (x) = xc f¨ ur c ∈ R die konstante Elastizit¨ at c haben. Es gilt n¨amlich f  (x) = cxc−1 und daher cxc−1 x εf (x) = = c. xc ¨ Okonomisches Beispiel 8.15 Abschließend wollen wir das soeben Gelernte noch am Beispiel der Preissetzung eines Monopolisten zur Anwendung bringen. Der Monopolist hat per Annahme eine marktbeherrschende Stellung. Insbesondere hat die Menge x, die der Monopolist auf den Markt bringt, einen sp¨ urbaren direkten Einfluss auf den Preis. Wir nehmen daher an, dass der Preis durch die monoton fallende Funktion p(x) beschrieben wird. Ferner bezeichne c(x), wie in Beispiel 8.13, die Kostenfunktion. Dann maximiert der Monopolist seinen Gewinn π(x) = p(x)x − c(x) . Die notwendige Bedingung f¨ ur ein Maximum lautet dann π  (x) = p (x)x + p(x) − c (x) = 0 bzw.

p(x) = c (x) − p (x)x .

Da wir die Preis–Absatz–Funktion p(x) als monoton fallend angenommen haben, gilt p (x) < 0. Damit folgt, dass der Monopolist einen h¨ oheren Preis w¨ ahlt als die Firma bei vollkommener Konkurrenz, vgl. Beispiel 8.13. Um ein Maß daf¨ ur zu erhalten, wie viel h¨ oher der Preis des Monopolisten ist, dividieren wir durch p(x) und formen um. Dann ist c (x) p (x)x − 1= p(x) p(x) bzw.

c (x) = 1 + εp (x) p(x)

angt also f¨ ur die Elastizit¨ at εp . Die Abweichung vom Wettbewerbspreis h¨ von der Elastizit¨ at der Nachfrage ab.

116

8 Optimierung I

Um das Ergebnis besser zu verstehen, nehmen wir f¨ ur den Augenaherungsweise f¨ ur blick an, dass c (x) = 0 ist. (Dies gilt zum Beispiel n¨ die Telekommunikationsindustrie). Wenn nun der Monopolist die Menge erh¨ oht, so verkauft er einerseits mehr Einheiten, aber andererseits sinkt auch der Preis (aufgrund des gestiegenen Angebots). Im Optimum ist es dann gerade so, dass eine Erh¨ ohung der Menge um 1% ein Fallen des Preises um 1% bewirken w¨ urde. Das bedeutet, der Monopolist w¨ ahlt seinen Output x so, dass die Elastizit¨ at gerade −1 ist.

¨ Ubungen Aufgabe 8.1. Welche der folgenden Funktionen sind konkav oder konvex (oder beides)? √ f1 (x) = x, f2 (x) = −x2 , f3 (x) = ln(1 + x2 ), f4 (x) = 5, f5 (x) = 6x, f6 (x) = exp(−x2 ) . Aufgabe 8.2. Sei f : [a, b] → R strikt konkav. Zeige, dass f h¨ ochstens ein (globales) Maximum hat! Aufgabe 8.3. Bestimme die lokalen Extrema der folgenden Funktionen u ¨ber dem Intervall [1, 3]: x2 − x3 , exp(−x) (x − 3)2 , ln(1 + x2 )/(1 + x2 ) . Aufgabe 8.4. Bestimme die Elastizit¨ aten folgender Funktionen: 2x + 1, 8, x12 , exp(x), 1/x . Aufgabe 8.5. Bestimme die lokalen Extrema folgender Funktionen auf R:   x3 − x2 , exp(x) x2 − 3 , x ln (x) . Aufgabe 8.6. Bestimme die Bereiche, in denen folgende Funktionen von (−1, 10) in die reellen Zahlen monoton steigend sind: √ x − x2 , x ln(1 + x), (1 − x) 1 + x . Aufgabe 8.7. Seien c(x) die Gesamtkosten, die eine Firma f¨ ur die Produktion von x Einheiten einer Ware aufwenden muss. Es gelte c(0) = 0. Unter den Grenzkosten versteht man die Ableitung c (x). Zeige mit Hilfe des Mittelwertsatzes: Es gibt immer eine Einheit ξ < x, f¨ ur die die Grenzkosten den Durchschnittskosten c(x) x entsprechen.

¨ 8.6 Prozentuale Anderungen: Elastizit¨at

117

Aufgabe 8.8. Zeige mit Hilfe des Mittelwertsatzes: Wenn f zweimal stetig differenzierbar ist und u ¨berall f  (x) = 2 gilt, so ist f (x) = x2 + ax + b f¨ ur gewisse Zahlen a, b ∈ R. Aufgabe 8.9. Wenn man die Tangente im Punkte x0 einer differenzierbaren Funktion finden will, geht man folgendermaßen vor: • Die Tangente ist eine Gerade, also t(x) = mx + b. Die Tangente ber¨ uhrt f im Punkte x0 , also gilt f (x0 ) = t(x0 ). • Die Tangente hat in x0 dieselbe Steigung wie f , also f  (x0 ) = t (x0 ). Bestimme aus diesen beiden Gleichungen m und b. Bestimme dann die ur folgende Funktionen Gleichung der Tangenten im Punkt x0 = 2 f¨ x2 ,

1+x , ln(x), exp(−x2 ) . x−1

Aufgabe 8.10. Bestimme die lokalen Extrema folgender Funktionen f : [0, 2] → R (und denke dabei auch an die R¨ ander!):   1 , exp(x) + 2 · exp(−2x), xx . (1 + x)2 , ln 1+x Aufgabe 8.11. Sei s(t) die Wegstrecke, die ein Auto bis zum Zeitpunkt t zur¨ uckgelegt hat. Unter v(t) = s (t) versteht man die momentane Geschwindigkeit des Autos zum Zeitpunkt t. Es gelte s(0) = 0 und s(2) = 20. Zeige: zu mindestens einem Zeitpunkt τ betrug die Geschwindigkeit des Autos v(τ ) = 10! Veranschauliche dies in einer Grafik! Aufgabe 8.12. Gibt es Funktionen, die strikt monoton steigend und differenzierbar sind und f¨ ur die an manchen Punkten x die Ableitung verschwindet, d.h. f  (x) = 0 ist? Kann es sein, dass f  (x) = 0 auf einem ganzen Intervall [a, b] gilt?

9 Integration

Mit der Integration behandeln wir in diesem Kapitel die zweite wichtige Anwendung des Grenzwertbegriffs, den wir in Kapitel 6 dieses Buches eingef¨ uhrt haben. Bildlich kann man sich die Integration einer Funktion f als den Versuch vorstellen, die Fl¨ ache, welche durch die Funktion begrenzt wird, durch Auslegen mit immer kleineren Quadraten oder Rechtecken bekannter Fl¨ ache zu bestimmen. Wie wir im weiteren Verlauf des Kapitels sehen werden, l¨ asst sich die Integration allerdings auch anders verstehen, n¨ amlich als Umkehrung der Differentiation aber dazu sp¨ater mehr. Zun¨achst wollen wir den Integralbegriff formal einf¨ uhren und einige wichtige Regeln vorstellen. Das Kapitel schließt mit einer Diskussion der Taylorreihenentwicklung zur Approximation von Funktionen, die sich sowohl die Differential- als auch die Integralrechung zu Nutze macht.

9.1 Riemann’sche Summen und Definition des Integrals Bevor wir zu den formalen Details u ¨bergehen, wollen wir uns zur Einstimmung zun¨achst zwei praktische Beispiele anschauen, bei denen es letztlich um Integration geht. Beispiel 9.1. Stellen wir uns vor, wir k¨ onnten ein neues Zimmer mieten. Es ist wunderbar geeignet, nur m¨ oglicherweise zu teuer. Bedauerlicherweise hat der Vermieter die Miete nur pro Quadratmeter angegeben, so dass wir noch etwas Mess- und Rechenarbeit vor uns haben. Gl¨ ucklicherweise hat das Zimmer immerhin drei gerade W¨ande. Daf¨ ur ist die vierte von interessanter Kr¨ ummung. Die Gr¨oße der Grundfl¨ache des Zimmers zu bestimmen ist also nicht so einfach. Wir verwenden

120

9 Integration

zur Abhilfe den Trick des Fliesenlegers. Dazu nehmen wir eine Menge von quadratischen Fliesen der Fl¨ ache 1 cm2 und legen diese in den Raum. Krumme Ecken sparen wir dabei zun¨achst aus. Durch Abz¨ahlen der verwendeten Fliesen, erhalten wir dann eine erste Ann¨aherung an die Fl¨ache des Zimmers. Wenn wir das Verfahren verbessern wollen, weil uns die unbedeckte Fl¨ ache noch verd¨achtig groß vorkommt und ¨ wir Uberraschungen mit dem Mietpreis vermeiden wollen, dann gehen wir einfach zu kleineren Fliesen u ¨ber, etwa zu 1 mm2 . Theoretisch l¨asst sich anhand dieser Prozedur die Fl¨ ache des Zimmers beliebig genau bestimmen. Beispiel 9.2. Stellen wir uns einmal vor, der Kilometerz¨ahler unseres Autos sei kaputt, aber der Tachometer funktioniere noch. Wir k¨onnen also (zumindest) beim Fahren st¨ andig die Geschwindigkeit messen. Da wir aber ab und zu auch auf die Straße schauen m¨ ussen, k¨onnen wir nur etwa jede f¨ unfte Sekunde einmal auf den Tachometer schauen. Dies gibt uns u ¨ber eine Minute hinweg eine Liste von Geschwindigkeiten (gemesunf, zehn sen in Meter pro Minute) v0 , v5 , . . . , v55 , die wir nach null, f¨ usw. Sekunden gemessen haben. Anhand dieser Liste k¨onnen wir dann sp¨ater zumindest n¨ aherungsweise bestimmen, wie weit wir in dieser Zeit gefahren sind. Wenn wir n¨ amlich vereinfachend annehmen, dass die momentane Geschwindigkeit v0 in etwa der Durchschnittsgeschwindigkeit in den ersten f¨ unf Sekunden entspricht, dann haben wir in dieser Zeit uckgelegt. F¨ ur die zweiten 5 Sekunden l¨asst sich dann v1 × 5 Meter zur¨ entsprechend auf eine zur¨ uckgelegte Strecke von v5 ×5 Metern schließen usw. Insgesamt erhalten wir als Ann¨ aherung an die gesamte Strecke v0 × 5 + v5 × 5 + . . . + v55 × 5 m . Auch hier l¨asst sich durch zeitliches Verk¨ urzen der Messabst¨ande die zur¨ uckgelegte Strecke beliebig genau approximieren - auch wenn das unter Sicherheitsgesichtspunkten sicher nicht ratsam w¨are! Im Folgenden wollen wir nun einen Weg beschreiben, um das Verfahren, das wir bei der Fl¨ achenbestimmung in obigen Beispielen angewandt haben, zu pr¨ azisieren. Im Prinzip l¨ asst sich dies auf verschiedene Weisen tun. F¨ ur die nachfolgende Beschreibung haben wir versucht, die intuitivste und f¨ ur unsere Zwecke einfachste unter ihnen auszuw¨ahlen. Sie entspricht im Wesentlichen der im zweiten angegebenen Beispiel verwendeten Methode. Sei f : [a, b] → R eine Funktion. Zur Bestimmung des Integrals von f zerlegen wir zun¨ achst das Intervall [a, b] in kleine Teilintervalle (z.B. Abschnitte von 5 Sekunden). Dann w¨ahlen wir St¨ utzstellen in

9.1 Riemann’sche Summen und Definition des Integrals

121

den Teilintervallen (z.B. die Anfangspunkte des jeweiligen Abschnittes) und begradigen die Funktion, indem wir so tun, als entspr¨ache ihr Funktionswert auf dem gesamten Intervall dem Wert an der St¨ utzstelle. Die Fl¨ache unter dem Graphen dieser st¨ uckweise begradigten Funktion k¨onnen wir dann wie im obigen Beispiel angedeutet ausrechnen. Definition 9.1. Sei [a, b] ein Intervall in R und f : [a, b] → R eine Funktion. Unter einer Zerlegung Z des Intervalls versteht man eine Menge Z = {x0 , . . . , xn } mit a = x0 < x1 < . . . < xn = b. Unter der Feinheit der Zerlegung versteht man den maximalen Abstand zwischen zwei aufeinander folgenden Punkten in Z, also Z = max |xk − xk−1 |. k=1...n

utzstellen f¨ ur die Zerlegung Z. Die Seien nun ξk ∈ [xk−1 , xk ] gewisse St¨ Riemann’sche Summe von f bez¨ uglich Z und der St¨ utzstellen (ξk )k=1...n ist die Summe n  f (ξk ) (xk − xk−1 ) . R= k=1

Die Riemann’sche Summe approximiert also die Fl¨ache unter der Funktion (vgl. Beispiel 9.2). Wir w¨ ahlen nun eine Folge von Zerlegungen, deren Feinheit gegen 0 geht, d.h. wir machen die zur Approximation verwendeten Rechtecke immer schmaler. Definition 9.2 (Riemann-Folgen).  Sei f : [a, b] → R und sei n n n eine Folge von Zerlegungen von (Z ) = ({x0 = a, . . . , xmn = b [a, b], deren Feinheit gegen Null konvergiert, d.h. Z n  → 0. Seien ferutzstellen f¨ ur die Zerlegung Z n . Dann heißt die Folge ner (ξkn )k=1...n St¨ der Riemann–Summen n    n f (ξkn ) xnk − xnk−1 R = k=1

Riemann–Folge zu f . Wenn alle Riemann-Folgen unabh¨ angig von der gew¨ahlten Zerlegung gegen ein und denselben Grenzwert konvergieren, so nennen wir die Funktion f integrierbar. Definition 9.3. Sei f : [a, b] → R. Wenn alle Riemann–Folgen zu f gegen ein und denselben Grenzwert I(f ) konvergieren, dann ist f (Riemann–)integrierbar und man setzt  b f (x)dx = I(f ) . a

122

9 Integration

4

2

–2

0

–1

1

2

x

–2

Abb. 9.1. Eine Funktion und ihre Approximation durch eine Riemann’sche Treppenfunktion. Die Feinheit der Zerlegung ist hier 0.5 und das Intervall der Integration ist [−2, 2].

Beispiel 9.3. Sei f : [0, 1] → R gegeben durch f (x) = x. Wir wollen nun eine m¨ogliche Riemann-Folge zu f entwickeln. Dazu w¨ahlen wir folgende ¨ aquidistante Unterteilung von [0, 1]: 0 = xn0 < xn1 =

1 2 n−1 < xn2 = < . . . < xnn−1 = < xnn = 1 . n n n

F¨ ur jedes n ist die zugeh¨ orige Riemann’sche Summe gegeben durch n

R =

n  k=1

n n  1  k1 = 2 f (xk ) (xk − xk−1 ) = k. nn n k=1

k=1

Durch vollst¨andige Induktion haben wir bereits gezeigt, dass gilt (vgl. Satz 3.1): n  n(n + 1) . k= 2 k=1

Unter Verwendung dieses Resultates folgt an dieser Stelle: n  k=1

f (xk ) (xk − xk−1 ) =

n(n + 1) 1 → . 2n2 2

Da sich zeigen l¨ asst, dass derselbe Grenzwert sich auch f¨ ur beliebige andere Zerlegungsfolgen ergibt (ohne dass wir dies beweisen), gilt somit:

9.1 Riemann’sche Summen und Definition des Integrals



1

x dx = 0

123

1 . 2

Bemerkung 9.1 Man beachte, dass nicht f¨ ur alle Funktionen alle Riemannfolgen gegen ein und denselben Grenzwert konvergieren. Es gibt also Funktionen, denen man zun¨ achst einmal keine Fl¨ ache unter ihrem Graphen zuordnen kann. Dies kann z.B. bei wild hin- und herspringenden Funktionen geschehen, oder aber auch bei unbeschr¨ ankten Funktionen, wie folgendes Beispiel zeigt. Beispiel 9.4. a) Wir beginnen mit dem Beispiel einer wilden Funktion. Sei  1 falls x ∈ Q f : [0, 1] → [0, 1] mit x → . 0 sonst Die Funktion f nimmt f¨ ur alle rationale Zahlen den Wert 1 und f¨ ur irrationale Zahlen den Wert 0 an. Aufgrund dieser “Sprunghaftigkeit” ist sie, wie wir zeigen werden, auf keinem Intervall [a, b] ⊂ R integrierbar. Betrachtet man n¨ amlich eine Riemann-Folge, f¨ ur die alle St¨ utzstellen durch rationale Zahlen gegeben sind, dann sind die Riemannsummen stets null. Dementsprechend konvergiert also auch die RiemannFolge gegen null. Ebensogut kann man aber auch eine Riemann-Folge mit lauter irrationalen St¨ utzstellen betrachten. In diesem Fall gilt entsprechend, dass alle Riemannsummen, und damit auch ihr Grenzwert, gleich 1 sind. Folglich ist die Konvergenz nicht eindeutig und f somit nicht integrierbar. b) Als Beispiel einer unbeschr¨ ankten Funktion betrachten wir die Funktion  √1 f¨ ur x > 0 x f (x) = 0 f¨ ur x = 0. Wie wir sehen werden, ist diese Funktion auf dem Intervall [0, 1] nicht integrierbar. Um dies zu sehen, betrachten wir die folgende ¨aquidistante Zerlegungsfolge: 0 = xn0 < xn1 =

1 2 < xn2 = < . . . < xnn = 1 . n n

Dazu w¨ahlen wir die erste St¨ utzstelle als ξ1n = n14 und alle weiteren n St¨ utzstellen ξk , k = 2, . . . , n beliebig. Die nte Riemann’sche Summe ist dann (nat¨ urlich) mindestens so groß wie ihr erster Summand (wir addieren nur positive Summanden). Es gilt also:

124

9 Integration

Rn ≥ f (ξ1n ) (xn1 − xn0 ) =

1 1 n4

1 = n. n

Damit konvergiert dann aber, f¨ ur n → ∞, auch die Riemannfolge gegen unendlich. Die unbeschr¨ ankte Funktion √1x ist somit zun¨achst einmal auf dem Intervall [0, 1] nicht integrierbar. Wir werden sp¨ater sehen, dass man, zumindest f¨ ur diesen Fall, Abhilfe durch Definition des uneigentlichen Integrals  1 1 √ dx lim a→0 a x schaffen kann. Wie das voranstehende Beispiel gezeigt hat, sind nicht alle Funktionen integrierbar. Insbesondere l¨ asst sich beweisen, dass alle unbeschr¨ankten Funktionen nicht integrierbar sind. Gl¨ ucklicherweise sind aber stetige Funktionen immer integrierbar. Wir halten dies (ohne Beweis) fest. Satz 9.2 (Integrierbare Funktionen). Stetige Funktionen sind integrierbar. Zudem l¨asst sich von der Integrierbarkeit einer Funktion auf ihre Beschr¨anktheit schließen: Satz 9.3. Wenn eine Funktion f integrierbar ist, dann ist sie beschr¨ ankt. Eine weitere wichtige Beobachtung ist, dass das Riemann’sche Integral additiv ist im Sinne des folgenden Lemmas. Wir werden uns diesen Umstand sp¨ater noch wiederholt zu Nutze machen. Lemma 9.1. Sei a < b < c und f : [a, c] → R eine Funktion, die sowohl auf [a, b] wie auf [b,c] integrierbar sei. Dann ist f auch auf [a, c] integrierbar und es gilt  b  c  c f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx . a

a

b

Beweis. (Skizze) Der Beweis beruht im Wesentlichen darauf, dass eine Zerlegung a = x0 < x1 < . . . < xn = b des Intervalls [a, b] und eine Zerlegung b = y0 < y1 < . . . < ym = c des Intervalls [b, c] zusammengenommen eine Zerlegung a = x0 < x1 < . . . < xn = b = y0 < y1 < . . . <
ym = c ergeben.

9.1 Riemann’sche Summen und Definition des Integrals

125

Bislang haben wir alle betrachteten Funktionen immer u ¨ber ein Intervall [a, b] integriert, wobei wir stillschweigend a < b vorausgesetzt haben. Oft trifft man aber auch auf Situationen, in denen das Intervall zu einem Punkt schrumpft, in denen also gilt a = b. In diesen F¨allen setzt man das Integral der betrachteten Funktion gleich null. (Dies ist durchaus intuitiv, wenn man daran denkt, dass das Integral eine Fl¨ache beschreibt. Wenn die L¨ ange null ist, so ist auch die Fl¨ache null.) Dar¨ uber hinaus kann man sich fragen, was passiert, wenn man die Integrationsgrenzen vertauscht, wenn also gilt b < a. F¨ ur diesen Fall definieren wir das Integral von b nach a so, dass weiterhin die Additivit¨at (Lemma 9.1) gilt. Mit anderen Worten, das Integral von a bis b plus das Integral von b bis a sollte dann dem Integral von a bis a entsprechen, also null ergeben. Wir halten dies in der folgenden Definition fest: Definition 9.4. Wir setzen 

a

f (x)dx = 0 a

und f¨ ur a < b



a



b

f (x)dx = −

f (x)dx ,

b

a

falls f u ¨ber [a, b] integrierbar ist. Da wir das Integral durch einen Grenzwertprozess definiert haben, gelten alle Aussagen u ¨ber Grenzwerte und Summen auch als Rechenregeln f¨ ur das Integral. Satz 9.4. Das Integral ist ein lineares und monotones Funktional, d.h.: Seien f, g : [a, b] → R integrierbare Funktionen. Dann gilt  b  b  b (f (x) + g(x)) dx = f (x)dx + g(x)dx a

a



a



b

b

(αf (x)) dx = α a

f (x)dx

f¨ ur α ∈ R .

a

Wenn f (x) ≤ g(x) f¨ ur alle x ∈ [a, b], so gilt zudem  b  b f (x)dx ≤ g(x)dx . a

a

126

9 Integration

9.2 Haupts¨ atze der Analysis Nat¨ urlich ist es ziemlich l¨ astig, ein Integral u ¨ber Riemann’sche Summen explizit auszurechnen. Deshalb suchen wir nach einfacheren Methoden. Wie wir sehen werden, ergeben sich diese aus dem in der Einleitung zu diesem Kapitel bereits angedeuteten Zusammenhang zwischen Dif¨ ferentiation und Integration. Wir beginnen unsere Uberlegungen mit einer Definition. Definition 9.5. Sei f : (a, b) → R eine Funktion. Eine differenzierbare ur alle x ∈ (a, b) heißt Funktion F : (a, b) → R mit F  (x) = f (x) f¨ Stammfunktion von f . Man beachte, dass Stammfunktionen nicht eindeutig bestimmt sind. Wenn F eine Stammfunktion ist, dann ist f¨ ur beliebige Zahlen c ∈ R auch G(x) = F (x) + c eine Stammfunktion, da c = 0. Wir wollen nun zeigen, dass es sehr leicht sein kann, Integrale auszurechnen, wenn man eine Stammfunktion kennt. Sei also F eine Stammfunktion von f . Wir betrachten eine Riemann’sche Summe. Wegen F  (x) = f (x) gilt: n 

f (ξk ) (xk − xk−1 ) =

k=1

n 

F  (ξk ) (xk − xk−1 ) .

k=1

Ferner wissen wir aus der Definition der Differenzierbarkeit, dass die Ableitung ungef¨ ahr dem Differenzenquotienten entspricht, dass also gilt: F (xk ) − F (xk−1 ) , F  (ξk )  xk − xk−1 und die Ann¨aherung wird umso besser sein, je n¨aher xk−1 und xk an der St¨ utzstelle ξk liegen. Setzen wir dies in die Riemann’sche Summe ein, so erhalten wir n n   F (xk ) − F (xk−1 ) f (ξk ) (xk − xk−1 )  (xk − xk−1 ) xk − xk−1 k=1

k=1

=

n 

(F (xk ) − F (xk−1 ))

k=1

= F (x1 ) − F (x0 ) + . . . + F (xn ) − F (xn−1 ) = F (xn ) − F (x0 ) = F (b) − F (a) .

9.2 Haupts¨atze der Analysis

127

Die Riemann’sche Summe wird also ungef¨ ahr der Differenz der Werte der Stammfunktion entsprechen. Wenn wir nun die Zerlegungen immer feiner werden lassen, also das Integral betrachten, so wird aus dem “ungef¨ahr” ein “genau gleich”. Dieses Ergebnis nennt man den Fundamentalsatz der Analysis oder auch 1. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Satz 9.5 (1. Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung). Sei f eine Riemann–integrierbare Funktion mit Stammfunktion F . Dann gilt  b

a

f (x)dx = F (x)|ba .

Hierbei verstehen wir unter F (x)|ba = F (b) − F (a) die Differenz der Funktionswerte von F . Da wir schon viele Funktionen ableiten k¨onnen, k¨onnen wir nun auch zumindest genauso viele integrieren (indem wir einfach die Ursprungsfunktionen der jeweiligen Ableitungen betrachten). Wir geben nachfolgend einige Beispiele dazu an. Beispiel 9.5. a) Lineare Funktionen cx haben die konstante Ableitung c, also gilt  b c dx = (b − a)c . a

b) Die Ableitung von xn+1 /(n + 1) ist xn , also gilt  b bn+1 − an+1 . xn dx = n+1 a c) Die Ableitung von exp(x) ist die Funktion selbst, also gilt  b exp(x) dx = exp(b) − exp(a) . a

d) Die Ableitung von ln(x) ist 1/x, also gilt  b 1 dx = ln(b) − ln(a) . a x Hier muss gelten a > 0, da sonst wegen 1/x → ∞ f¨ ur x ↓ 0 die Funktion nicht integrierbar ist.

128

9 Integration

¨ Okonomisches Beispiel 9.6 Konsumentenrente. Sei p(x) die Nachfragefunktion nach einem Gut x, von dem wir annehmen, dass es sich in beliebig kleinen Einheiten erwerben l¨ asst. Wir interpretieren p(x) als die Zahlungsbereitschaft eines Konsumenten f¨ ur die x-te marginale Einheit der Ware an der Stelle x. Mit anderen Worten, nach vorherigem Erwerb von x Einheiten gibt p(x) die Zahlungsbereitschaft des Konsumenten f¨ ur die n¨ achste (marginale) Einheit an. Wir nehmen an, dass die Zahlungsbereitschaft des Konsumenten mit zunehmender Menge f¨ allt. Sei nun der Marktpreis des betrachteten Gutes gegeben durch pM , dann wird der Konsument so lange weitere Einheiten des Gutes x kaufen, bis p(xM ) = pM gilt, d.h. bis die weitere Zahlungsbereitschaft gerade dem Marktpreis entspricht. Da der Konsument alle zuvor erworbenen Einheiten zu einem Preis gekauft hat, der unter seiner Zahlungsbereitschaft lag, kann man sagen, dass der Konsument einen Gewinn von p(x) − pM pro “marginaler Einheit” macht. Der gesamte Gewinn des Konsumenten bzw. die Konsumentenrente ist dann gegeben durch das Integral  xM   p(x) − pM dx . 0

Als N¨achstes wollen wir uns noch einmal der Aussage des ersten Hauptsatzes zuwenden. Grob gesprochen besagt der erste Haupsatz, dass wir das Integral einer integrierbaren Funktion kennen, sobald wir eine Stammfunktion zur Verf¨ ugung haben. Bislang haben wir allerdings Stammfunktionen jeweils geeignet geraten, ohne systematisch u ¨ber ihre Konstruktion nachzudenken. Nun legt der erste Hauptsatz nahe, dass wir durch Integration immer eine Stammfunktion bekommen, indem wir  x f (z)dz F (x) = a

setzen. An dieser Stelle ist jedoch Vorsicht geboten, da eine Stammfunktion n¨amlich laut Definition differenzierbar sein muss. Aber! nicht f¨ ur x alle Riemann–integrierbaren Funktionen f ist das Integral a f (u)du wirklich differenzierbar in der oberen Grenze x, wie folgendes Beispiel zeigt. Beispiel 9.6. Sei f : [0, 2] → R gegeben durch f (x) = 0 f¨ ur 0 ≤ x ≤ 1 und f (x) = 1 sonst. Dann ist f integrierbar und es gilt  x f (z)dz = max{x − 1, 0} . F (x) = 0

Dies macht man sich am besten graphisch klar. F¨ ur x < 1 ist die Funktion null und damit auch die Fl¨ ache unter ihrem Graphen null.

9.2 Haupts¨atze der Analysis

129

F¨ ur x > 1 geht es einfach um die Fl¨ ache des Rechtecks mit der H¨ohe 1 und der L¨ange x − 1. Die Funktion F ist aber im Punkte x = 1 nicht differenzierbar und damit keine Stammfunktion von f . Dennoch l¨asst sich zumindest f¨ ur alle stetigen Funktionen eine Stammfunktion durch Integration gewinnen. Satz 9.7 (2. Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung). Sei f : [a, b] → R stetig. Dann ist  x f (z)dz F (x) = a

eine Stammfunktion von f . Zur Vorbereitung des Beweises zeigen wir zun¨achst die folgende wichtige Integralungleichung. Lemma 9.2 (Integralungleichung). Sei f : [a, b] → R eine beschr¨ ankte und integrierbare Funktion und M eine obere Schranke f¨ ur |f |, das heißt |f (x)| ≤ M f¨ ur alle x ∈ [a, b]. Dann gilt   b    ≤ (b − a)M .  f (x)dx (9.1)   a

Graphisch l¨ asst sich die Aussage dieses Lemmas wie folgt beschreiben: Wenn die Funktionswerte von f immer kleiner sind als M , dann ist auch die Fl¨ ache unter dem Graphen von f durch die Fl¨ache des Rechtecks mit H¨ ohe M und L¨ ange b − a beschr¨ankt. Beweis. F¨ ur jede Riemann’sche Summe gilt wegen der Dreiecksungleichung   n n      f (xk ) (xk − xk−1 ) ≤ |f (xk )| (xk − xk−1 ) ≤ M (b − a) .    k=1

k=1

Damit gilt diese Ungleichung auch f¨ ur das Integral, das ja der Grenzwert der Riemann’schen Summen ist.
Wir kommen nun zum Beweis des zweiten Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung.

130

9 Integration

Beweis. Wir m¨ ussen zeigen, dass die Funktion  x F (x) = f (z)dz a

in jedem Punkt x0 ∈ [a, b] differenzierbar ist. Aus Lemma 9.1 folgt, dass  x0  x  x  x f (z)dz = f (z)dz + f (z)dz = F (x0 ) + f (z)dz F (x) = a

a

x0

x0

ist. Also gilt f¨ ur den Differenzenquotienten  x 1 F (x) − F (x0 ) = f (z)dz . x − x0 x − x0 x0 Da aber f stetig ist, gibt es zu jedem ε > 0 ein δ > 0, so dass f¨ ur |x − x0 | < δ und alle z mit |z − x0 | < δ gilt |f (z) − f (x0 )| < ε. Insbesondere ist also sup |f (z) − f (x0 )| < ε, z∈[x0 ,x]

ur f (x) − wenn x nahe genug an x0 ist. Also ist ε eine obere Schranke f¨ f (x0 ) auf dem Intervall [x0 , x], wenn |x − x0 | < δ ist. Mit Hilfe der Integralungleichung (9.1) folgt nun      x  F (x) − F (x0 )   1   − f (x0 ) =  (f (z) − f (x0 ))dz   x − x0 x − x0 x0 1 ε|x − x0 | ≤ x − x0 = ε. Da ε beliebig klein gew¨ ahlt werden kann, folgt lim

x→x0

F (x) − F (x0 ) = f (x0 ) . x − x0


9.3 Zwei wichtige Integrationsregeln

131

9.3 Zwei wichtige Integrationsregeln Unter Verwendung des ersten Hauptsatzes k¨onnen wir nun aus den bereits bekannten Differentiationsregeln auf entsprechende Regeln f¨ ur die Integration schließen. So f¨ uhrt etwa die Produktregel auf die Regel der partiellen Integration. Satz 9.8 (Partielle Integration). Seien f, g : [a, b] → R stetig differenzierbar. Dann gilt  b  b b  f (x)g (x)dx = f (x)g(x)|a − f  (x)g(x)dx . a

a

Beweis. Dies folgt unmittelbar aus dem ersten Hauptsatz und der Tatsache, dass H(x) = f (x)g(x) eine Stammfunktion von H  (x) =
f  (x)g(x) + f (x)g  (x) ist. Beispiel 9.7. a) Wir berechnen die Stammfunktion des Logarithmus, indem wir die uhren und partielle Integration Funktion g(x) = x mit g  (x) = 1 einf¨ verwenden:  b  b ln(x)dx = 1 · ln(x)dx a a  b 1 (durch part.Int.) x dx = x ln(x)|ba − x a = (x ln(x) − x)|ba . Also ist x ln(x) − x eine Stammfunktion von ln(x), wie man nun leicht durch Differenzieren nachpr¨ ufen kann. ¨ b) Uber partielle Integration erh¨ alt man (mit f (x) = x und g(x) =  g (x) = exp(x))  b  b b x exp(x)dx = x exp(x)|a − exp(x)dx a

a

= (x exp(x) − exp(x))|ba = ((x − 1) exp(x))|ba . Also ist (x − 1) exp(x) eine Stammfunktion von x exp(x).

132

9 Integration

Des Weiteren folgt aus der Kettenregel, dass f (g(x)) eine Stammonnen wir Integrale der Form funktion von f  (g(x)) · g  (x) ist. Also k¨  b f  (g(x)) · g  (x)dx = f (g(x))|ba a

schon bestimmen. aufig geht man den umgekehrten Weg. Man ersetzt ! H¨ in dem Integral f (x)dx die Variable x durch eine neue Variable g = g(t) = x und hat dann entsprechend dx durch g  (t)dt zu ersetzen. Satz 9.9 (Substitutionsregel). Sei f : [a, b] → R stetig, g : [c, d] → R eine differenzierbare Funktion mit g  (x) > 0 f¨ ur alle x ∈ [c, d] (oder ur alle x ∈ [c, d]). Ferner gelte g([c, d]) = [a, b]. Dann auch g  (x) < 0 f¨ gilt  g−1 (b)  b f (x)dx = f (g(t))g  (t)dt . (9.2) a

g −1 (a)

Beispiel 9.8. Wir wollen nun eine oft genutzte Anwendung der Substitutionsregel illustrieren, indem wir das Integral  2 1 ln(x)dx 1 x berechnen. Wir ersetzen ln(x) = z, also x = exp(z). Durch Differenzieren nach x erhalten wir dx = exp(z) dz oder dx = exp(z)dz . 1 , Dies setzen wir nun in obiges Integral ein. Dabei wird x1 zu exp(z) ln(x) zu z und dx zu exp(z)dz. Insgesamt erhalten wir also unter Vernachl¨assigung der noch zu bestimmenden neuen Integrationsgrenzen:  ?  2 1 ln(x)dx = zdz . 1 x ?

Die neuen Integrationsgrenzen ergeben sich, wenn wir uns u ¨berlegen, wie sich die vorgenommene Transformation auf Werte von x, also auch auf die alten Integrationsgrenzen, auswirkt. Offenbar gilt: wenn x von 1 bis 2 l¨auft, so l¨ auft z wegen z = ln(x) von 0 bis ln(2). Wir bekommen also  ln(2)  2 1 1 ln(x)dx = zdz = ln(2)2  0.2402 . 2 1 x 0

9.4 Uneigentliche Integrale

133

¨ Okonomisches Beispiel 9.10 Wir betrachten noch einmal die Konsumentenrente  xM  xM   M p(x) − p dx = p(x)dx − pM xM . 0

0

Wenn die Funktion p(x) streng monoton fallend ist und somit eine Umkehrfunktion besitzt, so k¨ onnen wir die Substitutionsregel verwenden, um statt u uhren also ¨ber Preise u ¨ber Mengen zu integrieren. Wir f¨ die neue Variable q = p(x) ein und haben dann x = p−1 (q) = x(q). Dass wir dabei die Umkehrfunktion p−1 als x(q) geschrieben haben, erkl¨ art sich daraus, dass dies oft u ¨blich ist - wenn auch ein wenig verwirrend. Mit dieser Umformung gilt dx = x (q)dq, und mit Hilfe der Substitutionsregel erhalten wir:  pM  p(0)  xM  p(x)dx = qx (q)dq = − qx (q)dq . 0

p(0)

pM

Die letzte Unformung r¨ uhrt daher, dass pM < p(0) ist. Insgesamt ergibt sich die Konsumentenrente also als  p(0)   − qx (q)dq − x pM pM . pM

9.4 Uneigentliche Integrale Wie wir bereits gesehen haben, lassen sich, wenn u ¨berhaupt, dann nur beschr¨ankte Funktionen integrieren (vgl. Beispiel 9.4). Insbesondere ist also ein Ausdruck der Form  1 1 √ dx 2 x 0 zun¨achst einmal nicht definiert, da der Integrand in 0 gegen unendlich strebt. Andererseits ist aber f¨ ur jedes ε > 0 der Integrand 2√1 x auf dem Intervall [ε, 1] beschr¨ ankt und stetig. Wenn man also das Intervall ein kleines bisschen k¨ u rzer macht, so existiert das obige Integral. Da ferner √ x eine Stammfunktion von 2√1 x ist (wie man durch Ableiten pr¨ ufen kann), gilt:  1 √ √ √ 1 √ dx = 1 − ε = 1 − ε . ε 2 x

134

9 Integration

Es liegt nun nahe, einfach ε gegen 0 gehen zu lassen und, falls dieser Grenzwertprozess konvergiert, den erhaltenen Grenzwert als Integral der Funktion 2√1 x auf [0, 1] zu betrachten. In der Tat erh¨alt man auf diese Weise das sogenannte uneigentliche Integral. Definition 9.6 (Uneigentliches Integral). Sei f : [a, b] → R eine Funktion, die f¨ ur alle ε > 0 mit ε < b − a auf dem Intervall [a + ε, b] integrierbar ist. Wenn dann der Grenzwert  b f (x)dx lim ε→0 a+ε

existiert, so definiert man das uneigentliche Integral als  b  b f (x)dx = lim f (x)dx . ε→0 a+ε

a

Analog definiert man uneigentliche Integrale f¨ ur die obere Definitionsgrenze b als  b−ε  b f (x)dx = lim f (x)dx , ε→0 a

a

falls der Grenzwert existiert. Beispiel 9.9. a) Wie wir oben schon gesehen haben, gilt:  1  1 √ √ 1 1 √ dx = lim √ dx = lim ( 1 − ε) = 1. ε→0 ε→0 2 x 2 x 0 ε b) Als Beispiel f¨ ur die Nichtexistenz des uneigentlichen Integrals betrachten wir den folgenden Ausdruck:  1 1 dx. 0 x Hier gilt

 lim

ε→0 ε

1

1 dx = lim (ln(1) − ln(ε)) = ∞ . ε→0 x

Das betrachtete Integral existiert also nicht.

9.5 Taylorentwicklung und Taylorreihen

135

Nachdem wir das uneigentliche Integral f¨ ur beschr¨ankte Intervalle ¨ definiert haben, wollen wir die angestellten Uberlegungen nun auch auf den Fall unbeschr¨ ankter Intervalle u ¨bertragen. Wir definieren also als N¨achstes uneigentliche Integrale der Form  ∞ f (x)dx. a

Definition 9.7 (Integrale u ankte Intervalle). Sei ¨ ber unbeschr¨ f : [a, ∞) → R eine Funktion, die auf jedem Intervall [a, K] f¨ ur beliebige K > a integrierbar sei. Dann setzen wir  K  ∞ f (x)dx = lim f (x)dx , a

K→∞ a

falls dieser Grenzwert existiert. Beispiel 9.10. Da −1/x eine Stammfunktion von 1/x2 ist, gilt:  K  ∞ 1 1 1 = 1. dx = lim dx = lim 1 − 2 2 K→∞ 1 x K→∞ x K 1 ¨ Okonomisches Beispiel 9.11 Ein Consol ist ein Wertpapier, das f¨ ur beliebig lange Zeit eine kontinuierliche Zahlung von c Euro verspricht. Man kann dies so modellieren, dass man den Consol als einen Zahlungsstrom der St¨ arke c auffasst. Unter der Annahme eines konstanten Zinssatzes r > 0 l¨ asst sich der Barwert des Consols heute bestimmen durch  ∞ c exp(−rt)dt = −c/r exp(−rt)|∞ 0 = lim −c/r exp(−rt) + c/r 0

t→∞

= c/r . Wenn man also in der gl¨ ucklichen Position ist, f¨ ur alle Ewigkeit eine j¨ahrliche Rente von 10.000 Euro zu beziehen, so hat diese bei einem konstanten Zinssatz von 5% einen Barwert von 10.000/0.05 = 200.000 Euro.

9.5 Taylorentwicklung und Taylorreihen Abschließend behandeln wir noch die Taylorreihenentwicklung zur lokalen Approximation stetiger bzw. differenzierbarer Funktionen. Ausgangspunkt der Taylorreihenentwicklung ist die Beobachtung, dass sich

136

9 Integration

der Funktionswert stetiger Funktionen an jeder Stelle x immer nur sehr wenig ¨andert - dies ist gerade die Aussage der Stetigkeit. Es gilt also z.B. f (x) ≈ f (0), wenn x nahe an 0 und die Funktion f dort definiert und stetig ist. Folglich l¨ asst sich f in der N¨ahe der Stelle 0 durch die konstante Funktion T0 (x) = f (0) n¨aherungsweise recht gut beschreiben. F¨ ur weiter entfernt liegende x gilt dies nat¨ urlich nicht unbedingt, wie man sich leicht am Beispiel der Funktion f (x) = exp(x) verdeutlichen kann. Die oben beschriebene Methode zur Absch¨atzung einer stetigen Funktion f l¨asst sich noch verbessern, wenn die Funktion f zudem differenzierbar ist. Aufgrund der Differenzierbarkeit gilt n¨amlich f¨ ur x nahe 0 (zumindest ungef¨ ahr): f (x) − f (0) ≈ f  (0). x−0 Also k¨onnen wir f approximieren durch f (x) ≈ T1 (x) = f (0) + f  (0) · x , urlich wird wobei T1 (x) eine Gerade ist: die Tangente an f in 0. Nat¨ im Allgemeinen auch f¨ ur diese Art der Absch¨atzung der Fehler gr¨osser, je weiter wir uns von der St¨ utzstelle 0 entfernen. Man denke sich etwa wieder die Funktion f (x) = exp(x). Doch f¨ ur x nahe 0 beschreibt T1 (x) = 1 + x die Exponentialfunktion nun schon recht gut und in jedem Falle besser als die konstante Funktion T0 (x) = 1. Sind zudem noch h¨ohere Ableitungen der Funktion f in 0 bekannt, so l¨asst sich die beschriebene Art der Approximation bei Bedarf auch noch weiter verfeinern. Bevor wir diesen Approximationsprozess im Detail beschreiben wollen, sei hier noch auf den Zweck der Methode hingewiesen. Schließlich liegt es nahe, sich zu fragen, welchen Sinn es haben kann, eine Funktion ann¨ahern zu wollen, die wir doch schon genau kennen. Der entscheidende Vorteil der Taylorentwicklung liegt darin, dass sie uns erlaubt, viele sehr komplexe Funktionen durch Polynome zu approximieren. Und diese sind oft einfacher zu berechnen als die Ausgangsfunktion (man u ¨berlege sich, wie man exp(2) berechnen w¨ urde, wenn der Taschenrechner dies verweigern w¨ urde). Durch die ersten Schritte der Taylorentwicklung bekommt man dann auf relativ einfachem Wege ein recht gutes (lokales) Bild dieser Funktionen - und f¨ ur viele Anwendungen ist dies ausreichend.

9.5 Taylorentwicklung und Taylorreihen

137

Um das beschriebene Verfahren zu pr¨ azisieren, wollen wir im Folgenden die allgemeine Taylorformel formal entwickeln. Dazu nehmen wir an, dass f beliebig oft differenzierbar ist. Wegen des 1. Hauptsatzes der Integralrechnung gilt dann:  x f  (u)du f (x) = f (0) + 0



und 



u

f (u) = f (0) +

f  (v)dv .

0

Wenn wir die zweite Gleichung in die erste einsetzen, folgt weiter   u  x f  (0) + f  (v)dv du f (x) = f (0) + 0



0 x

x u





f (0)du +

= f (0) + 0

= f (0) + f  (0)x +

 0

0

x u

f  (v)dv du

0

f  (v)dv du .

0

Ferner gilt, da wir f als beliebig oft differenzierbar angenommen haben, onnen wir auch f  approximieren dass auch f  stetig ist. Folglich k¨   durch f (v) ≈ f (0). Zusammengenommen erhalten wir so folgende N¨aherung f¨ ur die Funktion f :  x u  f  (0) dv du f (x) ≈ f (0) + f (0)x + 0 0  x u   = f (0) + f (0)x + f (0) 1 dv du 0 0  x u du = f (0) + f  (0)x + f  (0) 0

x2 = f (0) + f  (0)x + f  (0) . 2 Den Ausdruck T2 (x) = f (0) + f  (0)x + f  (0)

x2 2

nennt man das Taylorpolynom 2-ter Ordnung (an der Stelle 0). Offenbar haben wir mit T2 eine Approximation der Funktion f an der Stelle 0

138

9 Integration

durch eine Parabel gewonnen. Wir haben f also durch ein Polynom der Ordnung 2 approximiert. Dieses Spiel kann man nun, wegen der unendlichen Differenzierbarkeit der Funktion f , beliebig weitertreiben. Dazu bezeichnen wir die k-te Ableitung von f an der Stelle x mit f (k) (x). Den Ausdruck Tn (x) = f (0) + f  (0)x + . . . + f (n) (0)

xn n!

nennt man dann das n-te Taylorpolynom von f (an der Stelle 0). Im allgemeinen Fall, d.h. wenn wir n gegen unendlich laufen lassen, entsteht schließlich die Taylorreihe T∞ (x) =

∞ 

f (k) (0)

k=0

xk . k!

Man beachte, dass die Taylorreihe nicht immer konvergiert. Und wenn sie konvergiert, dann nicht unbedingt gegen f . Eine Konvergenz der Taylorreihe gegen die Ursprungsfunktion f folgt aber, wenn das sogenannte Restglied Rn (x) = f (x) − Tn (x) gegen 0 konvergiert. Dann gilt: f (x) = T∞ (x) . Die Aussage der Taylorformel ist durchaus bemerkenswert. Sie beschreibt die gesamte Funktion f , wenn wir nur alle ihre Ableitungen an einer Stelle, hier der Stelle 0, kennen. Im Falle der Konvergenz der Taylorreihe l¨asst sich also aus einer sehr lokalen Eigenschaft der Funktion, den Ableitungen an einer bestimmten Stelle, beliebig genau auf den allgemeinen Verlauf der Funktion schliessen! Es sei hier noch ausdr¨ ucklich darauf hingewiesen, dass die Wahl der St¨ utzstelle x = 0 in der obigen Darstellung der Taylorreihe v¨ollig be¨ liebig war. Nat¨ urlich lassen sich alle angestellten Uberlegungen analog auf andere St¨ utzstellen u bertragen! ¨ Wir beschließen dieses Kapitel und damit auch den Abschnitt Analysis I mit einigen Beispielen. Beispiel 9.11. a) f (x) = x3 − x2 . In diesem Falle ist T0 (x) = 0, T1 (x) = 0, T2 (x) = −x2 und T3 (x) = x3 − x2 . Das dritte Taylorpolynom ist also schon

9.5 Taylorentwicklung und Taylorreihen

139

wieder die Funktion selbst! Dies gilt generell f¨ ur alle Polynome: wenn f ein Polynom vom Grade n ist, so gilt f (x) = Tn (x). b) f (x) = exp(x). Hier gilt f (k) (x) = exp(x), da sich die Exponentialfunktion beim Ableiten wieder selbst generiert. Insbesondere ist also ur alle k und damit f (k) (0) = 1 f¨ T∞ (x) =

∞  xk k=0

k!

.

Durch die Taylorreihe gewinnen wir also die Exponentialreihe zur¨ uck. c) Sei f (x) = ln(1 + x). Dann gilt f  (x) =

1 1 2 , f  (x) = − , f  (x) = 2 1+x (1 + x) (1 + x)3

und allgemein f (k) (x) = (−1)k−1

(k − 1)! . (1 + x)k−1

Insbesondere ist also f (k) (0) = (−1)k−1 (k − 1)! . Damit ergibt sich die Taylorreihe T∞ (x) =

∞  k=0

(−1)k−1

xk . k

Da sich zeigen l¨ asst, dass das Restglied verschwindet, folgt ln(1 + x) = x −

x2 x3 + + −... . 2 3

Setzen wir nun x = 1 ein, so ergibt sich damit folgender Ausdruck: ln 2 = 1 −

1 1 1 + − + −... . 2 3 4

Mit anderen Worten, wir haben den Wert der alternierenden harmonischen Reihe bestimmt, wie wir schon in Beispiel 5.18 angek¨ undigt haben.

140

9 Integration

¨ Ubungen Aufgabe 9.1. Berechne folgende Integrale:  1  3  1  0   2 x x 2 x + x dx, 2 dx, 2 x dx, 0

1

0

1

x , 1+x



2

x exp(x2 )dx .

0

Tipp: Beim dritten Integral hilft zweimalige partielle Integration, beim vierten eine Partialbruchzerlegung und beim f¨ unften die Substitutionsregel. Aufgabe 9.2. Zeige per Induktion und mit Hilfe partieller Integration,  ∞ dass xn exp(−x)dx = n . 0

gilt. Aufgabe 9.3. Sei f eine zweimal stetig differenzierbare Funktion mit f (0) = f  (0) = 0. Zeige:  x y f (x) = f  (z)dzdy . 0

0

Aufgabe 9.4. Sei (an ) die durch a0 = 0 und an+1 = 12 an + 2 gegebene Folge. 1. Bestimme explizit die ersten f¨ unf Folgenglieder. ur alle n gilt! 2. Zeige per Induktion, dass an < 4 f¨ 3. Definiere ∞  an xn . f (x) = n=0

Zeige: f¨ ur |x| < 1 ist f wohldefiniert (Geometrische Reihe)! 2x , und daher 4. Zeige: f (x) − 12 xf (x) = 1−x f (x) = ¨ 5. Uberpr¨ ufe, dass gilt: f (x) =

2x . (1 − x)(1 − 1/2x)



4 4 − 1 − x 1 − 12 x

.

6. Verwende die Taylorreihe zu 1/(1 − x), um zu zeigen, dass gilt:   1 an = 4 1 − n . 2

Teil III

Lineare Algebra

Einfu ¨ hrung

Im dritten Teil dieses Buches verlassen wir f¨ ur einen Moment die Analysis und besch¨ aftigen uns stattdessen mit der Linearen Algebra. Dabei werden wir zun¨ achst den Begriff des n-dimensionalen Vektorraums einf¨ uhren und einige seiner wesentlichen Eigenschaften diskutieren. Vektorr¨aume sind f¨ ur uns insbesondere deshalb interessant, da sie es uns erlauben, mehrere voneinander unabh¨angige Variablen gleichzeitig in einem Objekt, d.h. als Komponenten eines Vektors, zu betrachten, ohne dabei die formale Unterscheidung zwischen den Variablen v¨ollig aufgeben zu m¨ ussen. Wir k¨ onnen also beispielsweise G¨ uterb¨ undel als Elemente eines n-dimensionalen Vektorraumes betrachten, wobei n gerade die Anzahl der verschiedenen betrachteten G¨ uter ist. Dar¨ uberhinaus bilden Vektorr¨ aume auf nat¨ urliche Weise die Grundlage f¨ ur Funktionen mehrerer Ver¨ anderlicher, wie wir sie in der Analysis II betrachten wollen. Im weiteren Verlauf dieses Abschnitts besch¨aftigen wir uns dann noch etwas ausf¨ uhrlicher mit linearen Abbildungen zwischen Vektorr¨aumen sowie mit linearen Gleichungssystemen und ihren L¨osungen. Damit soll zum einen die Diskussion u ¨ber Vektorr¨aume und ihre Eigenschaften weiter vertieft und somit ein besseres Verst¨andnis f¨ ur diese Konzepte geschaffen werden. Das wird uns sp¨ater in der Analysis II zugutekommen, wo wir unter anderem erneut versuchen werden, allgemeine Funktionen - diesmal mehrerer Ver¨anderlicher - lokal durch lineare Abbildungen zu approximieren. Zum anderen aber sollen dabei auch wichtige Methoden, die selbst ganz konkret in der Modellierung uhrt und besprochen ¨okonomischer Prozesse von Bedeutung sind, eingef¨ werden. Dasselbe gilt f¨ ur die Weiterf¨ uhrenden Themen, die den Abschluss des Abschnitts u ¨ber Lineare Algebra bilden.

10 Vektorr¨ aume

Wir beginnen den Lineare-Algebra-Teil dieses Buches mit der Einf¨ uhrung des Vektorraumbegriffs. Dieser erm¨ oglicht es, wie wir sehen werden, eine Vielzahl von Variablen gleichzeitig als ein Element zu betrachten, ohne dabei die Unterscheidung zwischen verschiedenen Variablen aufgeben zu m¨ ussen. Wir k¨ onnen so beispielswiese viele artverschiedene Blumen als einen Blumenstrauß, einen “Blumenvektor”, betrachten und gleichzeitig die Information dar¨ uber erhalten, wie viele Blumen welcher Art dieser Strauß enth¨ alt. Da wir es in der Volkswirtschaftslehre fast ausschließlich mit Systemen vieler Variablen sowie Abbildungen zwischen diesen Systemen zu tun haben, spielt der Begriff des Vektorraums in den mathematischen Modellen der Volkswirtschaftslehre eine ganz zentrale Rolle. So betrachten wir beispielsweise die Kaufentscheidung eines Konsumenten als Tausch von Geld (eine Variable) gegen ein B¨ undel ganz unterschiedlicher Waren in verschiedenen Mengen (viele Variablen). Oder wir weisen solchen Warenb¨ undeln in dem Versuch, Kaufentscheidungen zu rationalisieren, einen Nutzenwert zu (eine Variable). Firmen produzieren Waren, indem sie verschiedene Inputs wie Arbeit, Rohstoffe usw. benutzen, um diese in ein oder mehrere Produkte umzuwandeln, so dass wir es auch hier wieder mit verschiedenen B¨ undeln in Form von Inputs und Outputs zu tun haben. Der Begriff des Vektors erlaubt es uns nun, all diese B¨ undel als ein Objekt mit verschiedenen Komponenten zu betrachten und nicht etwa als unstrukturierte Menge von Einzelobjekten. Konkret werden wir es in der Regel mit dem Vektorraum Rn , d.h. mit Vektoren der Form

146

10 Vektorr¨ aume

⎛

⎞ x1 ⎜ x2 ⎟ ⎜ ⎟ x = ⎜ .. ⎟ , mit x1 , . . . , xn ∈ R ⎝ . ⎠ xn zu tun haben. Die einzelnen Elemente des Vektors, d.h. die xi , kann man sich dabei als Repr¨ asentanten der verschiedenen G¨ uter (Milch, Schokolade, Obst etc.) in einem Warenb¨ undel oder als die verschiedenen Inputs (Arbeitszeit, Rohstoffemengen etc.) in einem Inputb¨ undel denken. Im Folgenden wollen wir nun Vektorr¨ aume sowie lineare Abbildungen zwischen verschiedenen Vektorr¨ aumen genauer studieren.

10.1 Der Begriff des Vektorraums Obgleich wir uns im weiteren Verlauf dieses Buches im Wesentlichen auf endlich-dimensionale reelle Vektorr¨ aume, d.h. insbesondere den Rn beschr¨anken werden, wollen wir den Begriff des Vektorraums hier zun¨achst etwas allgemeiner einf¨ uhren. Dies ist lohnenswert, da viele interessante Modelle der Wirtschaftswissenschaften zu unendlich– dimensionalen Vektorr¨ aumen f¨ uhren und die allgemeinere Definition keineswegs komplexer ist. In den nachfolgenden Beispielen werden wir uns dann allerdings schnell auf den Rn konkretisieren. Wem die allgemeinere Fassung der Definition eines Vektorraums sowie einiger Aussagen unn¨otig abstrakt vorkommt, der ersetze einfach im Geiste in all andnis der f¨ ur uns wesentlichen diesen F¨allen V durch Rn . Dem Verst¨ Aspekte steht damit nichts im Wege! Definition 10.1. Ein Vektorraum besteht aus einer Menge von Vektoren V , f¨ ur die die folgenden zwei Verkn¨ upfungen definiert sind: • die Vektoraddition + : V × V → V , die jedem Paar von Vektoren v1 , v2 aus V wieder einen Vektor (v1 + v2 ) ∈ V zuordnet; • sowie die skalare Multiplikation · : R × V → V , die jedem Paar bestehend aus einer rellen Zahl λ und einem Vektor v ∈ V das Produkt λ · v = λv ∈ V zuordnet. Ferner m¨ ussen die folgenden Eigenschaften f¨ ur die Vektoraddition sowie die skalare Multiplikation erf¨ ullt sein: 1. + ist assoziativ und kommutativ, d.h. f¨ ur alle v1 , v2 , v3 ∈ V gilt:

10.1 Der Begriff des Vektorraums

147

v1 + (v2 + v3 ) = (v1 + v2 ) + v3 sowie v1 + v 2 = v 2 + v 1 . 2. es gibt ein neutrales Element der Additon 0 ∈ V , so dass f¨ ur alle v ∈ V gilt: v+0 = v. 3. zu jedem Vektor v ∈ V gibt es ein inverses Element der Addition, welches wir mit −v bezeichnen. Mit anderen Worten, f¨ ur alle v ∈ V gibt es (−v) ∈ V , so dass gilt: v + (−v) = 0 . 4. f¨ ur jedes Paar von reellen Zahlen λ und µ und jedes Paar von Vektoren v, w ∈ V gelten folgende Distributivgesetze: λ(v + w) = λv + λw (λ + µ)v = λv + µv (λµ)v = λ(µv) sowie die Normierung 1v = v . Ein Vergleich der Definition eines Vektorraumes mit dem einer Gruppe (vgl. Kapitel 2) zeigt, dass die Addition von Vektoren gerade der in den reellen Zahlen u ¨blichen Addition entspricht. Wie schon bei der gewohnten Addition k¨ onnen wir somit Klammern in Ausdr¨ ucken der Form v1 + (v2 + v3 ) weglassen, ohne ungenau zu sein. ¨ Als kleine Ubung zu dem soeben vorgestellen Konzept des Vektorraums beweisen wir folgendes Lemma. Lemma 10.1. Sei V ein Vektorraum. Dann gibt es genau ein neutrales Element 0, und zu jedem Vektor v ∈ V existiert genau ein inverses Element −v. ur alle v ∈ V Beweis. Seien 0 und 0 neutrale Elemente. Das heißt, f¨ gilt sowohl v + 0 = v als auch v + 0 = v. Wenn wir dann in der ersten ur v 0, Gleichung f¨ ur v 0 einsetzen und dann in der zweiten Gleichung f¨ so erhalten wir 0 + 0 = 0 und 0 + 0 = 0. Wegen der Kommutativit¨at folgt nun 0 = 0 + 0 = 0 + 0 = 0 , also 0 = 0 . Seien nun w, w inverse Elemente zu v. Dann gilt:

148

10 Vektorr¨ aume

w = 0 + w = (v + w ) + w = v + (w + w) = v + (w + w ) = (v + w) + w = 0 + w = w + 0 = w . Hier haben wir nacheinander folgende Eigenschaften benutzt: Definition der 0, w invers, Assoziativgesetz, Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, w invers, Kommutativgesetz, Definition der 0.


Beispiel 10.1. a) Als erstes Beispiel wollen wir den in der Einleitung zu diesem Abschnitt bereits erw¨ ahnten Vektorraum Rn n¨aher betrachten. Wie wir bereits gesehen haben, lassen sich die Vektoren des Rn schreiben als ⎛ ⎞ x1 ⎜ x2 ⎟ ⎜ ⎟ x = ⎜ .. ⎟ . ⎝ . ⎠ xn Nachfolgend wollen wir zeigen, wie sich Addition und skalare Multipliur einen Vektorraum kation auf Rn definieren lassen, so dass die oben f¨ geforderten Eigenschaften erf¨ ullt sind. Aufgrund der Verbindung zu den reellen Zahlen ist die Definition von Addition und skalarer Multiplikation f¨ ur den Rn recht naheliegend. Sie werden komponentenweise definiert, d.h. ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x1 y1 x1 + y1 ⎜ x2 ⎟ ⎜ y2 ⎟ ⎜ x2 + y2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x + y = ⎜ .. ⎟ + ⎜ .. ⎟ = ⎜ ⎟ .. ⎝ . ⎠ ⎝.⎠ ⎝ ⎠ . xn sowie

yn

xn + yn

⎞ ⎛ ⎞ λx1 x1 ⎜ x2 ⎟ ⎜ λx2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ λ · x = λ ⎜ .. ⎟ = ⎜ .. ⎟ . ⎝ . ⎠ ⎝ . ⎠ ⎛

xn

λxn

Als direkte Folge aus der komponentenweisen Definition ergibt sich, dass Assoziativ– und Kommutativgesetz gelten, weil sie in den reellen Zahlen gelten. Ferner folgt aus der Kenntnis der Rechenregeln f¨ ur die reellen Zahlen, dass das neutrale Element der Vektoraddition durch folgenden Nullvektor gegeben ist:

10.1 Der Begriff des Vektorraums

149

⎛ ⎞ 0 ⎜0⎟ ⎜ ⎟ 0 = ⎜ .. ⎟ . ⎝.⎠ 0 Entsprechend ist das zu einem Vektor x inverse Element gegeben durch: ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ −x1 x1 ⎜ x2 ⎟ ⎜ −x2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −x = − ⎜ .. ⎟ = ⎜ .. ⎟ . ⎝ . ⎠ ⎝ . ⎠ xn

−xn

Schließlich u ¨berlegt man sich auf dieselbe Weise, dass sich auch die G¨ ultigkeit des Distributivgesetzes von den reellen Zahlen auf den Rn u ¨bertr¨agt. Folglich ist der Rn mit der oben definierten Vektoraddition bzw. skalaren Multiplikation ein Vektorraum. b) Die wichtigsten Spezialf¨ alle erhalten wir f¨ ur n = 1, 2, 3. Den Vektorraum R1 = R veranschaulicht man durch eine Gerade, den Vektorraum R2 durch die Ebene und den R3 durch den (3-dimensionalen) Anschauungsraum. c) Die Menge aller reellen Folgen  RN = (xn )n∈N : xn ∈ R

 f¨ ur alle n ∈ N

bildet einen (unendlichdimensionalen) Vektorraum, wenn man Addition und Multiplikation komponentenweise erkl¨art. d) Die Menge aller reellwertigen Funktionen mit einem Definitionsbereich D ⊂ R, d.h. die Menge RD = {f : f ist eine Funktion f : D → R} , bildet ebenfalls einen Vektorraum, wenn man Addition und Multiplikation punktweise erkl¨ art; vgl. Kapitel 4. Bevor wir zu einer ersten Diskussion ¨ okonomischer Beispiele u ¨bergehen, ist noch ein Kommentar zur Notation angebracht. In allen bisherigen Beispielen haben wir Vektoren immer als Spaltenvektor, d.h. in der Form

150

10 Vektorr¨ aume

⎛

⎞ x1 ⎜ x2 ⎟ ⎜ ⎟ x = ⎜ .. ⎟ ⎝ . ⎠ xn geschrieben. Der entsprechende Zeilenvektor ist (x1 , ..., xn ). Hat man sich erst einmal auf eine Schreibweise festgelegt, so wie wir uns hier auf die Darstellung als Spaltenvektor, so spricht man von der jeweils anderen Schreibweise, in unserem Fall von der Zeilenform, auch als der Transposition von x und schreibt x = (x1 , ..., xn ). ¨ Okonomisches Beispiel 10.1 In den Wirtschaftswissenschaften treten die obigen Vektorr¨ aume in folgenden Zusammenh¨ angen auf: 1. Wenn wir eine Wirtschaft betrachten, in der 5 Waren gehandelt werden, dann ist R5 der sogenannte Warenraum. 2. In einen dynamischen Modell, in dem die Agenten u ¨ber Spar– und Investitionsentscheidungen nachdenken, ist der Vektorraum aller urliche Wahl f¨ ur die Folge (st )t=0,1,2,... aller SpaFolgen RN die nat¨ rentscheidungen st in den Perioden t = 0, 1, 2, . . .. 3. Wenn man dann zu stetiger Zeit u ome z(t) ¨bergeht und Zahlungsstr¨ in jedem Zeitpunkt t ≤ T betrachtet, dann ist man schnell bei dem Vektorraum aller Funktionen von [0, T ] nach R, R[0,T ] . Manchmal kann es interessant sein, sich auf einen Teil des gesamten Vektorraums zu beschr¨ anken, etwa dann, wenn man sich nur f¨ ur die Entscheidung eines Agenten zwischen zwei der m¨oglichen f¨ unf G¨ uter interessiert, oder wenn man der Einfachheit halber die Sparentscheidungen nach einem bestimmten Zeitpunkt t als null annehmen m¨ochte. Setzt man in einem solchen Fall die nicht betrachteten Elemente gleich null, so bedeutet dies nichts anderes, als dass man sich auf einen Unterraum beschr¨ ankt. Definition 10.2. Eine Teilmenge U eines Vektorraumes V heißt Unterraum, wenn U selbst ein Vektorraum ist. Man braucht gl¨ ucklicherweise nicht immer alle Vektorraumaxiome nachzupr¨ ufen, wenn man zeigen will, dass eine Teilmenge U ein Unterraum ist. Es reichen gewisse Abgeschlossenheiten, wie folgender Satz zeigt.

10.1 Der Begriff des Vektorraums

151

Lemma 10.2 (Unterraumkriterium). Sei V ein Vektorraum. U ⊆ V ist genau dann ein Unterraum, wenn 0 ∈ U ist und U bez¨ uglich Differenz und Multiplikation abgeschlossen ist, d.h. f¨ ur alle u, u ∈ U und λ ∈ R gilt auch u − u ∈ U und λu ∈ U . Beweis. Wir m¨ ussen die Eigenschaften u ufen, die ein Vektorraum ¨berpr¨ zu erf¨ ullen hat. Assoziativ–, Kommutativ– und Distributivgesetz gelten, weil sie ja schon in V gelten. Da 0 ∈ U liegt, und U abgeschlossen ist unter der Addition (und somit auch unter der Subtraktion), liegt auch −u = 0 − u ∈ U . Damit gibt es in U inverse Elemente. Es bleibt noch zu zeigen, dass U unter der Addition abgeschlossen ist. Seien also u, v ∈ U . Wegen des soeben Gezeigten liegt w = −v ∈ U und damit auch die Differenz u − w ∈ U . Da aber u − w = u + v ist, folgt die Behauptung.
Um auf eine einfache Weise aus einem Vektorraum einen Unterraum zu erzeugen, kann man sich also eine Menge von Vektoren nehmen und diese mit all dem erg¨ anzen, was zu einem Vektorraum fehlt - aber nicht mehr. Der so entstandene Unterraum l¨ asst sich wie folgt beschreiben: Definition 10.3. Sei V ein Vektorraum und v1 , . . . , vn ∈ V . Dann definieren wir den von v1 , . . . , vn erzeugten Unterraum als die Menge < v1 , . . . vn >= {w ∈ V |es gibt λ1 , . . . , λn ∈ R, so dass w = λ 1 v1 + . . . + λ n vn } . Dass es sich wirklich um einen Unterraum handelt, zeigt man mit Hilfe des oben definierten Unterraumkriteriums. Wir geben nun noch ein paar weitere Beipiele zum Thema Unterraum an. Beispiel 10.2. a) F¨ ur jeden Vektorraum V ist der Nullraum {0} stets der kleinste Unterraum. (Man beachte, dass die leere Menge kein Unterraum sein kann, da sie den Nullvektor nicht enth¨ alt.) Der gr¨oßte Unterraum ist nat¨ urlich der ganze Raum V selbst. b) Sei V = R3 . Dann bilden alle Vielfachen des Vektors ⎛ ⎞ 1 v = ⎝2⎠ 0 den Unterraum

152

10 Vektorr¨ aume

⎧⎛ ⎞ ⎫ ⎨ λ ⎬ < v >= ⎝ 2λ ⎠ : λ ∈ R . ⎩ ⎭ 0 Geometrisch ist dieser Unterraum durch eine Gerade durch den Nullpunkt gegeben. Nimmt man noch den Vektor ⎛ ⎞ 1 v = ⎝ 0 ⎠ 0 hinzu, so erh¨alt man die Ebene ⎧⎛ ⎫ ⎞ ⎨ λ1 + λ2 ⎬ < v, v  >= ⎝ 2λ1 ⎠ : λ1 , λ2 ∈ R . ⎩ ⎭ 0

10.2 Lineare Unabh¨ angigkeit Wie wir bereits gesehen haben, ist es m¨ oglich, durch Angabe zweier andig zu beschreiben. Allerdings ist Vektoren des R3 eine Ebene vollst¨ dies nicht f¨ ur alle Paare von Vektoren der Fall. Man betrachte beispielsweise den folgenden Fall: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 −2 v1 = ⎝ 1 ⎠ und v2 = ⎝ −2 ⎠ . 0 0 In diesem Fall erzeugen v1 und v2 lediglich eine Gerade, aber keine Ebene. Dies liegt daran, dass sich v2 schreiben l¨asst als v2 = −2v1 . Mit anderen Worten, durch Kombination von v2 mit v1 kann man keine Vektoren erzeugen, die man nicht auch durch v1 selbst erzeugen kann. In der Sprache der linearen Algebra nennt man solche Paare von Vektoren linear abh¨ angig. Wie man den Begriff der linearen Abh¨ angigkeit auf beliebige (endliche) Mengen von Vektoren u bertr¨ a gt, zeigt die n¨achste Definition. ¨ Definition 10.4. Sei V ein Vektorraum, v1 , . . . , vn ∈ V . Die Vektoren angig, wenn es reelle Zahlen λ1 , . . . , λn ∈ R v1 , . . . , vn heißen linear abh¨ gibt, so dass gilt: n  λi vi = 0, i=1

n asst sich hingegen wobei mindestens ein λi = 0 ist. L¨ i=1 λi vi = 0 nur erreichen, indem man alle λi gleich Null setzt, so nennt man die angig. Vektoren v1 , . . . , vn linear unabh¨

10.2 Lineare Unabh¨angigkeit

153

 Man nennt die Summe ni=1 λi vi eine Linearkombination der Vektoren v1 , . . . , vn . Beachte, dass es immer eine M¨oglichkeit gibt, n 

λ i vi = 0

i=1

zu erreichen, indem man alle λi = 0 setzt. Dies nennt man die triviale Linearkombination der Vektoren v1 , . . . , vn . Es l¨asst sich also sagen, dass eine Menge von Vektoren genau dann linear abh¨angig ist, wenn sich der Nullvektor als eine nichttriviale Linearkombination dieser Vektoren darstellen l¨ asst. Die Existenz einer solchen nichttrivialen Darstellung des Nullvektors macht man sich auch zu Nutze, wenn es gilt, die lineare Unabh¨angigkeit einer Menge von Vektoren zu beweisen. In diesem Fall setzt man ullt sein kann, zun¨achst ni=1 λi vi = 0 und zeigt dann, dass dies nur erf¨ wenn f¨ ur alle i gilt: λi = 0. Beispiel 10.3. a) Jede Menge von Vektoren, die den Vektor 0 enth¨alt, ist linear abh¨angig. Das liegt letztlich daran, dass schon der Vektor 0 selbst linear abh¨angig ist (auch wenn es komisch klingt!). Es gilt n¨amlich 5 · 0 = 0. Somit gibt es ein λ1 = 0 mit λ1 · 0 = 0. b) Die Vektoren

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 −1 ⎝2⎠,⎝1⎠,⎝ 0 ⎠ 3 1 1

sind linear abh¨angig, denn es gilt ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 −1 ⎝2⎠ − 2⎝1⎠ − ⎝ 0 ⎠ = 0. 3 1 1 c) Die Vektoren

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 0 ⎝1⎠,⎝1⎠ 0 1

sind linear unabh¨ angig, denn aus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 0 ⎝ ⎝ ⎠ λ1 1 + λ2 1 ⎠ = 0 0 1

154

folgt

10 Vektorr¨ aume

⎞ λ1 ⎝ λ1 + λ2 ⎠ = 0 . λ2 ⎛

Dies ist nur durch Wahl von λ1 = λ2 = 0 zu erf¨ ullen. Wir haben bereits gesehen, das die Vektoren v1 , . . . , vn den Unterraum  < v1 , . . . , vn >= {w ∈ V : es gibt λ1 , . . . , λn ∈ R mit w = ni=1 λi vi }  erzeugen. Doch wann ist die Darstellung w = ni=1 λi vi eigentlich eindeutig, bzw. anders gefragt, wann k¨ onnen wir aus n  i=1

λ i vi =

n 

µi vi

(10.1)

i=1

ur alle i gilt? Offenbar ist dies darauf schließen, dass auch λi = µi f¨ genau dann der Fall, wenn die Vektoren v1 , . . . , vn linear unabh¨angig sind, denn dann folgt aus der Gleichung (10.1), dass n 

(λi − µi ) vi = 0

i=1

ist. Wegen der linearen Unabh¨ angigkeit ergibt sich somit λi − µi = 0 f¨ ur alle i, und wir nennen {v1 , . . . , vn } eine Basis von < v1 , . . . , vn >. Definition 10.5. Eine Menge von Vektoren B = {v1 , . . . , vn } heißt Erzeugendensystem des Vektorraums V , wenn gilt: < v1 , . . . , vn >= V. Sind die Vektoren v1 , . . . , vn zudem linear unabh¨ angig, so nennt man B eine Basis von V . Beispiel 10.4. Um das Konzept einer Basis zu veranschaulichen, wollen wir nun zeigen, dass die Vektoren     1 1 und v2 = v1 = 1 −1 eine Basis des R2 bilden. Hierzu m¨ ussen wir zun¨achst zeigen, dass sie ein Erzeugendensystem bilden, d.h. dass jeder beliebige Vektor x ∈ R2

10.2 Lineare Unabh¨angigkeit

155

sich als Linearkombination aus v1 und v2 schreiben l¨asst. Um das zu zeigen, nehmen wir uns einen beliebigen Vektor   x1 . x= x2 Wenn v1 und v2 gemeinsam eine Basis des R2 bilden, so m¨ ussen wir onnen, so dass gilt: Zahlen λ1 , λ2 finden k¨       1 1 x1 + λ2 = . λ1 1 −1 x2 Dies gelingt, indem man λ1 und λ2 wie folgt w¨ahlt: λ1 =

x1 + x2 x1 − x2 , λ2 = . 2 2

ur alle m¨oglichen Werte von x1 Da die so gew¨ahlten Zahlen λ1 und λ2 f¨ und x2 existieren, haben wir somit bewiesen, dass sich jeder beliebige Vektor aus R2 durch v1 und v2 erzeugen l¨asst. Um den Beweis zu beenden, m¨ ussen wir noch zeigen, dass die beiden Vektoren auch linear unabh¨ angig sind. Hierzu folgen wir der oben beschriebenen Methode und nehmen an, dass gilt:     1 1 λ1 + λ2 = 0. 1 −1 Das heißt insbesondere, dass gilt: λ1 + λ2 = λ1 − λ2 = 0. Es folgt also λ2 = 0. Das wiederum bedeutet aber auch, dass λ1 = 0 gelten muss. Damit bilden die beiden Vektoren eine Basis. Aus dem vorangegangenen Beispiel l¨ asst sich schon ersehen, dass es zumeist mehrere M¨ oglichkeiten f¨ ur die Wahl einer Basis gibt. Man h¨atte schließlich auch     2 0 v1 = und v2 = 1 1 w¨ahlen k¨onnen und w¨ are zu ¨ ahnlichen Ergebnissen gelangt. In der Praxis wird man nat¨ urlich in den meisten F¨allen bestrebt sein, eine m¨oglichst einfache oder n¨ utzliche Basis zu w¨ahlen. Was die beste Basis ist, h¨angt dabei im Allgemeinen von dem Problem ab, das man behandelt. In den meisten F¨ allen arbeitet man aber mit der sogenannten kanonischen Basis des Rn . Diese ist durch folgende Menge gegeben:

156

10 Vektorr¨ aume

⎧⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎫ 1 0 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ .. ⎟⎪ ⎬ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ B = ⎜ .. ⎟ , ⎜ .. ⎟ , . . . , ⎜ . ⎟ . ⎪ ⎝.⎠ ⎝.⎠ ⎝ 0 ⎠⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 0 0 1 ⎭

ur den i-ten Einheitsvektor, der Im Folgenden schreiben wir auch ei f¨ genau an der i-ten Stelle eine 1 und sonst u ¨berall Nullen hat. Wir setzen also: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 0 ⎜0⎟ ⎜1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ e1 = ⎜ 0 ⎟ , e2 = ⎜ 0 ⎟ usw. ⎜ .. ⎟ ⎜ .. ⎟ ⎝.⎠ ⎝.⎠ 0 Somit l¨asst sich jeder Vektor

0 ⎞ x1 ⎜ x2 ⎟ ⎜ ⎟ x = ⎜ .. ⎟ ⎝ . ⎠ ⎛

xn schreiben als x = x1 e1 + x2 e2 + . . . + xn en . Da x beliebig war, ist B ein Erzeugendensystem. Zudem sind die Einheitsvektoren linear unabh¨ angig, da aus λ1 e1 + . . . + λn en = 0 folgt, dass gilt: ⎛ ⎞ λ1 ⎜ λ2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ .. ⎟ = 0 . ⎝ . ⎠ λn ur alle i. Die VektoDies wiederum ist gleichbedeutend mit λi = 0 f¨ ren e1 , e2 , . . . , en bilden also wirklich eine Basis des Rn . In den folgenden Kapiteln besch¨ aftigen wir uns dann auch nur noch mit den endlichdimensionalen Vektorr¨ aumen Rn und ihrer kanonischen Basis B = {e1 , . . . , en }. Abschließend sei noch bemerkt, dass unterschiedliche Basen zu einund demselben Vektorraum immer dieselbe Anzahl von Elementen enthalten. Dies mag naheliegend klingen, doch im Prinzip k¨onnte es ja m¨ oglich sein, dass verschiedene Basen verschieden viele Elemente haben. Wir wollen uns an einem einfachen Beispiel klarmachen, wieso dies nicht der Fall sein kann.

10.3 Lineare Abbildungen und Matrizen

157

Nehmen wir also einmal an, wir h¨ atten eine Basis B1 = {v1 } mit einem Element und eine weitere Basis B2 = {w1 , w2 } mit zwei Elementen, die beide denselben Vektorraum erzeugen. Dann w¨ urde wegen < v1 >=< w1 , w2 > gelten, dass w1 = λv1 und w2 = µv1 f¨ ur zwei reelle Zahlen λ, µ erf¨ ullt ist. Wenn nun λ = 0 oder µ = 0, so w¨are w1 = 0 oder w2 = 0 und daher B2 nicht linear unabh¨angig. Wenn aber λ und µ von null verschieden sind, dann gilt w1 =

λ w2 , µ

und wir haben wieder einen Widerspruch zur linearen Unabh¨angigkeit von w1 und w2 . Ein a ¨hnliches Argument, welches derselben Idee folgt, gilt auch im allgemeinen Fall. Satz 10.2. Sei V ein Vektorraum und B = {v1 , . . . , vn } eine Basis von V . Dann hat auch jede andere Basis von V genau n Elemente, und man nennt n die Dimension des Vektorraums und schreibt dim V = n .

10.3 Lineare Abbildungen und Matrizen Wir beginnen nun mit dem Studium der einfachsten h¨oherdimensionalen Funktionen, den sogenannten linearen Abbildungen. Aus Teil II dieses Buches sind uns lineare Abbildungen zwischen eindimensionalen reellen Vektorr¨ aumen ja bereits bekannt. Dies sind gerade die Funktionen f : R → R der Form f (x) = m · x, mit m ∈ R, also alle Geraden durch den Ursprung. Lineare Abbildungen zwischen h¨oherdimensionalen Vektorr¨ aumen sind, wie wir sehen werden, nicht viel anders als reelle Geraden. Um sie allerdings in eine a¨hnlich leicht greifbare Form bringen zu k¨ onnen wie die oben f¨ ur reelle Ursprungsgeraden angegebene, m¨ ussen wir uns zun¨ achst etwas besser mit der Struktur dieser Abbildungen besch¨ aftigen. Wir beginnen mit der formalen Definition einer linearen Abbildung zwischen zwei Vektorr¨ aumen.

158

10 Vektorr¨ aume

Definition 10.6. Eine Funktion oder Abbildung f : Rn → Rm heißt linear, wenn f¨ ur alle x, y ∈ Rn und λ ∈ R gilt: f (x + y) = f (x) + f (y) f (λx) = λf (x) . Nachfolgend geben wir ein paar Beispiele f¨ ur lineare Abbildungen an. Den expliziten Nachweis der Linearit¨at der jeweiligen Abbildung ¨ lassen wir zur Ubung. Beispiel 10.5. a) Das vermutlich einfachste Beispiel f¨ ur eine lineare Abbildung ist die Nullabbildung mit f (x) = 0 f¨ ur alle x. b) Sei x ∈ Rm . Dann ist, wie sich unter Verwendung der Definition einer linearen Abbildung nachpr¨ ufen l¨ asst, die Funktion f : R → Rm r → rx linear. Man beachte, dass wir im Falle m = 1 die anfangs besprochene Gerade durch den Nullpunkt vorliegen haben. Im Allgemeinen beschreibt diese Funktion eine Gerade durch den Ursprung im mehrdimensionalen Raum. c) Weitere wichtige Spezialf¨ alle linearer Abbildungen sind die sogenannten Projektionen, d.h. Abbildungen, die eine oder mehrere Dimensionen eines Vektorraums “ausblenden”. So projiziert etwa die Abbildung f : R3 → R3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x1 0 ⎝ x2 ⎠ → ⎝ x2 ⎠ x3 x3 die Vektoren des 3-dimensionalen Raums auf die 2-dimensionale x2 − x3 –Ebene. Die dritte Dimension wird also gewissermaßen einfach weggelassen oder ausgeblendet. d) Ferner ist die Summenbildung linear:

10.3 Lineare Abbildungen und Matrizen

159

f : Rn → R ⎛ ⎞ x1 ⎜ .. ⎟ ⎝ . ⎠ → x1 + . . . + xn . xn e) Dass sich auch lineare Funktionen angeben lassen, die “dimensionserweiternd” sind, zeigt das folgende Beispiel, mit dem wir unsere Sammlung von Beispielen zu h¨ oherdimensionalen linearen Abbildungen beschließen wollen. Die Abbildung f : R2 → R3 : ⎛ ⎞   2x1 + 3x2 x1 → ⎝ −x1 ⎠ x2 x1 + x2 ist linear. ¨ Okonomisches Beispiel 10.3 Um den ganzen Beispielen noch etwas okonomisches Flair zu verleihen, greifen wir hier die Abbildung r → rx ¨ noch einmal auf. Stellen wir uns nun einen Konsumenten vor, der jeden ihm daf¨ ur zur Verf¨ ugung stehenden Euro wie folgt auf den Kauf von Schokolade, ¨ Apfeln und Zahnpflegekaugummis ausgibt: Die H¨ alfte des Geldes investiert er in Schokolade, die andere H¨ alfte gibt er zu gleichen Teilen f¨ ur ¨ Apfel und Kaugummis aus. Wir wollen einmal annehmen, dass man pro ¨ investierten Euro 100g Schokolade, 1 kg Apfel, bzw. 10 Kaugummis bekommt. Dann k¨ onnen wir die Konsumentscheidung des Konsumenten in Vektorschreibweise schreiben als ⎞ ⎛ 1 r 2 0.1 kg r → ⎝ r 14 1 kg ⎠ , r 14 10 St¨ uck wobei die Komponente der ersten Spalte die erworbene Menge Schoko¨ lade, die zweite Komponente die erworbene Menge an Apfeln (jeweils in Kilogramm) und die letzte Komponente die Anzahl der erworbenen Kaugummis angibt. Wie im obigen Beispiel haben wir also eine lineare Abbildung der Form f : R → Rm und r → rx, hier mit m = 3 und uck). xt = (0.05kg, 0.25kg, 2.5St¨ ¨ Okonomisches Beispiel 10.4 Wir betrachten eine Maschine, die mit den Inputs Energie e, Baumwolle b und Farbe f arbeitet. Sie erzeugt dann auf wunderbare Weise Waschlappen und Handt¨ ucher, und zwar

160

10 Vektorr¨ aume

w = e + 2b + 30f Waschlappen und h = e + b/10 + f Handt¨ ucher. Wenn wir die Inputs als Vektor ⎛ ⎞ e ⎝b⎠ f schreiben, und den Output als Vektor   w , h so gilt



w h



 =

e + 2b + 30f e + b/10 + f

 .

Die Maschine kann also durch die lineare Abbildung ⎛ ⎞   e ⎝ b ⎠ → e + 2b + 30f e + b/10 + f f modelliert werden. Wenn man die voranstehenden Beispiele n¨aher betrachtet, so f¨allt auf, dass f¨ ur alle angegebenen Abbildungen gilt: f (0) = 0. Das folgende Lemma zeigt, dass dies kein Zufall, sondern f¨ ur alle linearen Abbildungen stets der Fall ist. Zudem h¨ alt das Lemma noch einige weitere grundlegende Eigenschaften linearer Abbildungen fest. Lemma 10.3. Sei f : Rn → Rm linear. Dann gilt f (0) = 0 sowie f (x − y) = f (x) − f (y) . Ferner gilt f¨ ur Vektoren x1 , . . . , xn : f (x1 + . . . + xn ) = f (x1 ) + . . . + f (xn ) . Beweis. Die erste Aussage von Lemma 10.3 folgt unmittelbar aus der Linearit¨at der Abbildung. Es gilt: f (0) = f (0 + 0) = f (0) + f (0). Also folgt: f (0) = 0. Die zweite Aussage l¨ asst sich wie folgt beweisen. Seien x und y gegeben. Wir setzen z = x − y. Dann gilt x = z + y. Dann folgt aus der Linearit¨at von f , dass gilt:

10.3 Lineare Abbildungen und Matrizen

161

f (x) = f (z + y) = f (z) + f (y) . Wenn man nun f (y) auf beiden Seite subtrahiert, erh¨alt man die Behauptung: f (x) − f (y) = f (z) = f (x − y) . Die letzte Behauptung zeigt man per Induktion. F¨ ur n = 2 ist dies direkt die Definition der Linearit¨ at. F¨ ur den Induktionsschritt setzt man z = x1 + . . . + xn . Dann gilt f (x1 + . . . + xn+1 ) = f (z + xn+1 ) = f (z) + f (xn+1 ) wegen der Linearit¨ at von f . Aus der Induktionsvoraussetzung folgt dann die Behauptung.
Nimmt man das voranstehende Lemma und die Definition einer linearen Abbildung zusammen, so kann man sagen, dass lineare Abbildungen zwischen Vektorr¨ aumen die auf diesen R¨aumen definierten Verkn¨ upfungen, d.h. die Vektoraddition “+” sowie die skalare Multiplikation “ · ” des jeweiligen Vektorraums, respektiert. Das Bild einer Summe von Vektoren ist gleich der Summe der Bilder der einzelnen Vektoren (entsprechend obigem Lemma), und Vielfache eines Vektors werden auf das entsprechende Vielfache des Bildes des Vektors abgebildet (vgl. obiges Lemma bzw. Definition 10.6). In diesem Sinne sind lineare Abbildungen also strukturerhaltend. Der folgende Satz ist eine direkte Konsequenz dieser Feststellung. Satz 10.5. Das Bild f (Rn ) einer linearen Abbildung f : Rn → Rm bildet einen Unterraum von Rm . Beweis. Wir verwenden das Unterraumkriterium 10.2, um diesen Satz zu beweisen. Zun¨ achst m¨ ussen wir zeigen, dass der Nullvektor im Bildraum liegt. Wegen des Lemmas 10.3 wissen wir, dass 0 = f (0), also 0 das Bild der 0 ist. Damit folgt: 0 ∈ f (Rn ). Nun u ¨berlegen wir uns, dass das Bild unter Differenzenbildung abgeschlossen ist. Seien also u, v ∈ f (Rn ), etwa u = f (x), v = f (y). Dann gilt f (x − y) = f (x) − f (y) = u − v. Also ist die Differenz u − v das Bild von x − y, so dass gilt: u − v ∈ f (Rn ). Abschließend ist noch die Abgeschlossenheit unter der Multiplikation zu zeigen. Sei also u = f (x)
und λ ∈ R. Dann gilt λu = λf (x) = f (λx), also λu ∈ f (Rn ). Zu jeder linearen Abbildung geh¨ ort außer dem Bild noch ein anderer wichtiger Unterraum, der sogenannte Kern der Abbildung. Als Kern einer Abbildung f : V1 → V2 bezeichnet man den Teil des abgebildeten Vektorraums V1 , welcher unter f auf den Nullvektor in V2 abgebildet wird.

162

10 Vektorr¨ aume

Definition 10.7. Sei f : Rn → Rm eine lineare Abbildung. Dann heißt Kern f = {x ∈ Rn : f (x) = 0} der Kern der linearen Abbildung f . Erneut l¨asst sich unter Verwendung der Eigenschaften linearer Abbildungen zeigen, dass auch der Kern einer jeden linearen Abbildung f : Rn → Rm einen Unterraum, diesmal des Urbildraumes Rn , bildet. Satz 10.6. Der Kern einer linearen Abbildung f : Rn → Rm , Kern f , bildet einen Unterraum von Rn . Beweis. Wegen Lemma 10.3 gilt f (0) = 0, also liegt der Nullvektor im Kern. Wenn f (x) = 0 und f (y) = 0 gilt, so gilt wieder wegen Lemma 10.3 auch f (x − y) = 0. Außerdem gilt dann f¨ ur beliebige reelle Zahlen λ ∈ R auch f (λx) = 0. Wegen des Unterraumkriteriums ist daher der
Kern ein Unterraum des Urbildraums Rn . Zusammenfassend l¨ asst sich sagen, dass jede lineare Abbildung die Dimension eines Vektorraums “aufteilt” in die Dimension des Kerns (alles, was auf 0 abgebildet wird) und die Dimension des Bildes. Der folgende Satz h¨ alt dieses Ergebnis formal fest. Satz 10.7 (Dimensionsformel fu ¨ r lineare Abbildungen). Sei f : Rn → Rm eine lineare Abbildung. Dann gilt dim Kern f + dim Bild f = n . Nachdem wir die funktionalen Eigenschaften linearer Abbildungen besprochen haben, soll im Folgenden n¨ aher auf die Darstellung solcher Abbildugen eingegangen werden. Wie wir sehen werden, lassen sich lineare Abbildungen f : Rn → Rm durch vergleichsweise einfache Abbildungsvorschriften, sogenannte Matrizen, vollst¨andig beschreiben. Sei B = {e1 , . . . , en } die kanonische Basis des Rn . Da lineare Abbildungen, wie wir bereits gesehen haben, strukturerhaltend sind (vgl. Satz 10.5), ist es naheliegend zu vermuten, dass man die lineare Abbilandig kennt, wenn man die Bilder der kanonidung f Rn → Rm vollst¨ schen Basis kennt, d.h. wenn f1 , . . . , fn ∈ Rm mit f1 = f (e1 ), . . . , fn = f (en ) bekannt sind. Dass diese Vermutung zutreffend ist, l¨asst sich wie folgt zeigen. Sei x ein beliebiger Vektor im Rn . Dann gilt: x = x1 e1 + . . . + xn en .

10.3 Lineare Abbildungen und Matrizen

163

Wegen der Linearit¨ at der Funktion f folgt dann (vgl. Definition 10.6): f (x) = x1 f1 + . . . + xn fn . Die Bilder der Funktion f sind also Linearkombinationen der Vektoren f1 , . . . , fn . Insbesondere bilden die Vektoren f1 , . . . , fn also ein Erzeugendensystem des Bildes. Somit wird die lineare Abbildung f vollst¨andig durch diese Vektoren beschrieben. Wir schreiben nun die Vektoren f1 , . . . , fn ∈ Rm in einer Tabelle, einer sogenannten Matrix auf. Hierzu schreiben wir ⎛ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎞ f11 f12 f1n ⎜ f21 ⎟ ⎜ f22 ⎟ ⎜ f2n ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ f1 = ⎜ .. ⎟ , f2 = ⎜ .. ⎟ , . . . , fn = ⎜ .. ⎟ ⎝ . ⎠ ⎝ . ⎠ ⎝ . ⎠ fm1 fm2 fmn und definieren die Matrix F durch ⎛

f11 f12 ⎜ f21 f22 ⎜ F = (f1 , . . . , fn ) = ⎜ .. . . ⎝ . . fm1 fm2

... ... .. .

f1n f2n .. .

⎞ ⎟ ⎟ ⎟. ⎠

. . . fmn

Die Matrix F wird dann als die zur linearen Abbildung f geh¨ orige Matrix bezeichnet. Um die Bilder von Vektoren x ∈ Rn unter der Abbildung f mit Hilfe der Matrix F ausrechnen zu k¨ onnen, m¨ ussen wir jetzt nur noch bestimmen, wie dieses Ausrechnen funktioniert. Definition 10.8. Sei

⎛

f11 f12 ⎜ f21 f22 ⎜ F = ⎜ .. . . ⎝ . . fm1 fm2

⎞ . . . f1n . . . f2n ⎟ ⎟ . . .. ⎟ . . ⎠ . . . fmn

eine m×n–Matrix (m×n steht f¨ ur “m Zeilen, n Spalten”). Sei x ∈ Rn . Dann ist das Produkt F x definiert als ⎛ ⎞ f11 x1 + . . . + f1n xn ⎜ f21 x1 + . . . + f2n xn ⎟ ⎜ ⎟ Fx = ⎜ ⎟. .. ⎝ ⎠ . fm1 x1 + . . . + fmn xn

164

10 Vektorr¨ aume

Mit dieser Definition gilt dann der folgende Satz: Satz 10.8 (Darstellungssatz fu ¨ r lineare Abbildungen). Sei f : orige m × n– Rn → Rm eine lineare Abbildung und F die zu f geh¨ n Matrix. Dann gilt f¨ ur alle x ∈ R f (x) = F x . Lineare Abbildungen sind nichts anderes als Matrixmultiplikationen. Aufbauend auf dieser Erkenntnis wollen wir uns nun noch einmal die obigen Beispiele linearer Funktionen anschauen und versuchen, diese in Matrixschreibweise darzustellen. Beispiel 10.6. a) Zu der Nullabbildung f (x) = 0 geh¨ ort die Nullmatrix ⎛ ⎞ 0 ... 0 ⎜ ⎟ F = ⎝ ... . . . ... ⎠ , 0 ... 0 da f¨ ur alle x ∈ Rn gilt:

⎛

⎞ 0 ... 0 ⎜ .. . . .. ⎟ ⎝ . . . ⎠ x = 0. 0 ... 0

b) Zu der Abbildung f :R → Rn r → rx geh¨ort die n × 1–Matrix

⎞ x1 ⎝...⎠ , xn ⎛

die genau dem Vektor x entspricht; es gilt: ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ r · x1 x1 r ⎝...⎠ = ⎝ ... ⎠ . xn r · xn c) Zur Summenabbildung

10.3 Lineare Abbildungen und Matrizen

165

f :Rn → R ⎛ ⎞ x1 ⎜ .. ⎟ ⎝ . ⎠ → x1 + . . . + xn xn geh¨ort die 1 × n–Matrix da



 1 1 ... 1 ,

⎛

⎞ x1  ⎜ ⎟ 1 1 . . . 1 ⎝ ... ⎠ = x1 + . . . + xn . xn

d) Schließlich entspricht der Abbildung ⎛ ⎞   2x1 + 3x2 x1 → ⎝ −x1 ⎠ x2 x1 + x2 die 3 × 2–Matrix

denn es gilt:

⎛

⎞ 2 3 ⎝ −1 0 ⎠ , 1 1 ⎛ ⎞ ⎞ 2x1 + 3x2 2 3   ⎝ −1 0 ⎠ x1 = ⎝ −x1 ⎠ . x2 x1 + x2 1 1 ⎛

¨ Okonomisches Beispiel 10.9 Entsprechend erhalten wir f¨ ur unser okonomisches Beispiel, dass wir die Konsumfunktion unseres Schoko¨ lade liebenden Konsumenten schreiben k¨ onnen als ⎞ ⎛1 ⎞ ⎛1 2 0.1 kg 2 r 0.1 kg r ⎝ 14 1 kg ⎠ = ⎝ 14 r 1 kg ⎠ . 1 1 uck uck 4 10 St¨ 4 r 10 St¨ ¨ Okonomisches Beispiel 10.10 Die lineare Maschine aus dem ¨ okonomischen Beispiel 10.4 entspricht der Matrix   1 2 30 . 1 1 10 1

166

10 Vektorr¨ aume

Verknu ¨ pfung von linearen Abbildungen. Matrizenprodukt Als N¨achstes wollen wir uns mit der Verkn¨ upfung linearer Abbildungen n m befassen. Seien dazu f : R → R und g : Rm → Rl lineare Abbildungen. Wir wissen schon, dass gilt: f (x) = F x, g(x) = Gx, wobei F eine m × n–Matrix und G eine l × m–Matrix G ist. Wenn wir nun f und g zu h = g ◦ f verkn¨ upfen, dann erhalten wir mit h eine Funktion von Rn nach Rl . Dass die Funktion h dann auch selbst wieder linear sein muss, l¨ asst sich wie folgt zeigen. Seien x, y ∈ Rn und λ ∈ R gegeben. Dann gilt nach Definition von h und wegen der Linearit¨at von f und g: h(x + y) = g (f (x + y)) = g(f (x) + f (y)) = g(f (x)) + g(f (y)) = h(x) + h(y) , wobei man zuerst die Linearit¨ at von f und dann die von g benutzt. Analog gilt: h(λx) = g (f (λx)) = g(λf (x)) = λg(f (x))) = λh(x) . Also ist auch h linear. Somit k¨ onnen wir schlussfolgern, dass man auch h als h(x) = Hx f¨ ur eine l × n–Matrix H schreiben kann. Doch wir wissen noch mehr! Aus der Definition von h folgt schließlich, dass f¨ ur jeden Vektor x ∈ Rn gilt: h(x) = g(f (x)) = G (F x) . Durch zugegebenermaßen etwas un¨ ubersichtliches Ausrechnen (reines Einsetzen in die Definition der Matrizenmultiplikation) ergibt sich daraus:

10.3 Lineare Abbildungen und Matrizen

167

n ⎛ n ⎞ ⎛ m ⎞ G F x F x 1j ji i 1i i j=1 i=1 i=1   ⎜ n F2i xi ⎟ ⎜ m G2j n Fji xi ⎟ i=1 ⎜ i=1 ⎟ ⎜ j=1 ⎟ G (F x) = G ⎜ ⎟=⎜ ⎟ .. .. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . . n m n i=1 Fmi xi j=1 Glj i=1 Fji xi ⎛ n m ⎞ j=1 G1j Fji xi i=1  m ⎜ n ⎟ ⎜ i=1 j=1 G2j Fji xi ⎟ =⎜ ⎟. .. ⎝ ⎠ n m. i=1 j=1 Glj Fji xi Andererseits muss aber auch

⎛ n

⎜ Hx = ⎝

i=1 H1i xi

⎞

⎟ .. ⎠ . n i=1 Hli xi

gelten. Wenn wir nun die Koeffizienten vor den xi vergleichen, stellen wir fest, dass sich die Eintr¨ age von H wie folgt bestimmen lassen: Hki =

m 

Gkj Fji .

j=1

Dies f¨ uhrt uns auf die folgende (einzig vern¨ unftige) Definition des Produktes zweier Matrizen. Definition 10.9. Sei F eine m × n–Matrix und G eine l × m–Matrix. Dann definieren wir das Matrix–Matrix–Produkt H = GF als diejenige l × n–Matrix H mit Eintr¨ agen Hki =

m 

Gkj Fji .

j=1

Man erh¨alt also f¨ ur die Matrix H den Eintrag in Zeile k und Spalte i, d.h. den Eintrag ki, indem man die k-te Zeile von G u ¨ber die i-te Spalte von F legt und aufsummiert. Beispiel 10.7. a) Sei G = (1 2 3) eine 1 × 3–Matrix und ⎛ ⎞ 0 F = ⎝2⎠ 4

168

10 Vektorr¨ aume

eine 3 × 1–Matrix. Dann ist GF eine 1 × 1–Matrix, also eine Zahl. F¨ ur unser Beispiel gilt: ⎛ ⎞ 0 ⎝ (1 2 3) 2 ⎠ = 1 · 0 + 2 · 2 + 3 · 4 = 16 . 4 b) Umgekehrt kann man im voranstehenden Beispiel auch das Produkt F G bilden. Hier erh¨ alt man aber eine 3 × 3–Matrix. Selbst wenn F G und GF definiert sind, gilt im Allgemeinen also nicht F G = GF ! F¨ ur den vorliegenden Fall erhalten wir: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 00 0 F G = ⎝ 2 ⎠ (1 2 3) = ⎝2 4 6 ⎠ . 4 4 8 12 c) Es kann auch passieren, dass F G = 0 gilt, obwohl beide Matrizen F und G von 0 verschieden sind. Als Beispiel betrachte man folgenden Fall:     01 11 F = ,G= . 00 00 ¨ Okonomisches Beispiel 10.11 Wie vielleicht schon aufgefallen ist, haben wir in der Modellierung der bereits mehrfach besprochenen Kaufentscheidung unseres Schokoladenfreundes zwei Abbildungen als eine getarnt. So haben wir das Aufteilen des Geldes (1/2 Schokolade, 1/4 ¨ Apfel, 1/4 Zahnkaugummis) und die Umrechnung in Einheiten des je¨ weiligen Gutes (kg f¨ ur Schokolade und Apfel, 10 St¨ uck f¨ ur Kaugummis) in einem Schritt vollzogen. Will man genau sein, so kann man auch dies als Verkn¨ upfung zweier Abbildungen auffassen: ⎞ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛1 ⎛ 1 r 2 0.1 kg 0.1 kg 2 0 0 ⎝r 1 1 kg ⎠ . kg ⎠ = r ⎝ 0 14 0 ⎠ ⎝ 1 4 1 1 10 St¨ uck uck r 4 10 St¨ 00 4

10.4 Skalarprodukt und L¨ ange von Vektoren In den vorangegangenen Abschnitten haben wir uns intensiv mit den formalen Aspekten von Vektorr¨ aumen und linearen Abbildungen zwischen solchen besch¨ aftigt. In diesem Abschnitt wollen wir uns nun noch einmal verst¨arkt mit Beispielen f¨ ur die Anwendung des Vektorraum¨ begriffs in der Okonomie befassen. Ganz nebenbei werden wir dabei

10.4 Skalarprodukt und L¨ange von Vektoren

169

noch den Begriff des Skalarproduktes und seine Bedeutung f¨ ur die Bestimmung der L¨ ange eines Vektors einf¨ uhren. Wir beginnen mit einem ¨okonomischen Beispiel. ¨ Okonomisches Beispiel 10.12 Wir betrachten einen Konsumenten usli, x3 Flaschen beim Einkauf. Er kauft x1 Bananen, x2 Packungen M¨ uten Milch. An der Kasse muss er zahlen. Die Orangensaft und x4 T¨ ur Bananen, p2 f¨ ur M¨ usli, p3 f¨ ur Verk¨ auferin sucht die Preise p1 f¨ ur Milch heraus und bestimmt den Gesamtpreis Orangensaft und p4 f¨ zu p1 x1 + p2 x2 + p3 x3 + p4 x4 . Wir werden nun argumentieren, dass es sich bei dieser Art der Preisberechnung im Allgemeinen wieder um eine lineare Abbildung zwischen Vektorr¨ aumen handelt. Abgebildet werden dabei Vektoren des Rn , dem sogenannten Warenraum, auf den dazugeh¨ origen Preis, wobei n die Anzahl der gehandelten Waren angibt (hier n = 4). Negative Vektoreintr¨ age interpretiert man in diesem Zusammenhang als Verk¨ aufe, so dass ein Vektor der Form ⎛ ⎞ 3 ⎝ 0 ⎠ −1 so zu verstehen ist, dass man 3 Einheiten von Ware 1 kauft und 1 Einheit von Ware 3 verkauft. Eine Preisfunktion p : Rn → R ist also eine Funktion, die jedem Warenb¨ undel x ∈ Rn einen Preis p(x) zuordnet. Wenn man einigermaßen reibungslose M¨ arkte unterstellt, so kann man davon ausgehen, dass gilt: p(0) = 0 (nichts kostet nichts). Zudem wollen wir annehmen, dass zwei Einkaufswagen so viel kosten wie die Summe der einzelnen Einkaufswagen, dass also gilt p(x + y) = p(x) + p(y), und dass ferner auch f¨ ur λ ∈ R gilt: p(λx) = λp(x). Wenn man doppelt so viel einkauft, kostet es auch doppelt so viel (Wir lassen Mengenrabatte und dergleichen hier außen vor). Unter diesen Annahmen gilt, dass Preisfunktionen lineare Abbildungen sind. Aus der bisher behandelten Theorie folgt also, dass wir zu einem beliebigen B¨ undel von Waren die Preisberechnung schreiben k¨ onnen als: p(x) = P x, wobei P eine 1 × n–Matrix P ist. Da die Matrix P nur eine Zeile hat, k¨ onnen wir sie nat¨ urlich auch als Vektor auffassen, den sogenannten Preisvektor: P = (p1 , p2 , . . . , pn ). Man beachte, dass es sich hierbei um einen Zeilenvektor handelt.

170

10 Vektorr¨ aume

Im obigen Beispiel haben wir den Fall einer linearen Abbildung eines Vektors (Warenb¨ undel) auf eine Zahl (den Preis des Warenb¨ undels) kennengelernt. Wie wir gesehen haben, l¨asst sich diese Abbildung schreiben als Multiplikation eines Zeilenvektors mit einem Spaltenvektor gleicher Dimension. Da man in einem solchen Fall aufgrund der Gleichheit der Dimension beide auftretenden Vektoren als Elemente desselben Vektorraums auffassen kann, haben lineare Abbildungen der Form ⎛ ⎞ x1 ⎜ x2 ⎟ ⎜ ⎟ (p1 , p2 , . . . , pn ) ⎜ .. ⎟ ⎝ . ⎠ xn einen eigenen Namen. Man spricht hier vom Skalarprodukt der Vektoren p und x. Definition 10.10. Seien p, x ∈ Rn . Wir definieren das Skalarprodukt p, x durch p, x = p x = p1 x1 + . . . + pn xn . Man beachte den unterschiedlichen Gebrauch der spitzen Klammern! F¨ ur p, x ∈ Rn bezeichnet der Ausdruck p, x, wie oben definiert, das Skalarprodukt der Vektoren p und x. Der Ausdruck < p, x > hingegen bezeichnet den von p und x erzeugten Unterraum des Rn . Obwohl dieser Gebrauch der Notation etwas verwirrend ist, hat er sich leider als Standard eingeb¨ urgert, so dass auch wir ihn hier verwenden. Gl¨ ucklicherweise sind nicht nur die Klammern verschieden spitz, sondern es wird auch meist aus dem Kontext klar sein, worum es gerade geht. Zudem wird ein Skalarprodukt immer nur mit zwei Vektoren gebildet, so dass es sich bei einem Ausdruck der Form < v1 , . . . , vk > immer um ein Erzeugendensystem handeln muss. Eine einfache, aber doch wichtige Eigenschaft des Skalarproduktes, n¨amlich seine Symmetrie, halten wir im folgenden Lemma fest. Die Aussage des Lemmas l¨ asst sich durch Einsetzen in die Definition beweisen. Lemma 10.4. Das Skalarprodukt ist symmetrisch, d.h. f¨ ur x, y ∈ Rn gilt: x, y = y, x. Wir wollen uns nun einem o ur die Verwen¨konomischen Beispiel f¨ dung des Skalarproduktes zuwenden, der Bestimmung der Budgetmenge eines Konsumenten.

10.4 Skalarprodukt und L¨ange von Vektoren

171

¨ Okonomisches Beispiel 10.13 Wir betrachten einen Konsumenten, der f¨ ur alle gehandelten G¨ uter nur nichtnegative Mengen nachfragen, also keine eigenen Waren anbieten kann. Der Warenraum mit n G¨ utern asentiert. sei durch den n-dimensionalen reellen Vektorraum Rn repr¨ Dann ist die Konsummenge X des Konsumenten gegeben durch die amtliche Eintr¨ age nichtnegativ Menge aller Vektoren des Rn , deren s¨ sind, d.h.: X = {x ∈ Rn : x1 ≥ 0, . . . , xn ≥ 0} . Wir wollen nun annehmen, dass dem Konsumenten ein Budget in H¨ ohe von w, w > 0, zur Verf¨ ugung steht, welches er zum Kauf von Waren ausgeben kann. Die Preise der Waren seien gegeben durch p1 , . . . , pn . Die Frage, die es zur Bestimmung der Budgetmenge zu beantworten gilt, ist, welche Warenb¨ undel sich der Konsument leisten kann, gegeben, dass er nicht mehr Geld ausgeben kann, als ihm zur Verf¨ ugung steht. Die Antwort ist gegeben durch alle Warenb¨ undel x, die die Budgetungleichung p1 x1 + . . . + pn xn ≤ w erf¨ ullen. Die Menge all dieser Warenb¨ undel Bw = {x ∈ X : p1 x1 + . . . + pn xn ≤ w} bezeichnet man dann als Budgetmenge des Konsumenten. Der Index w in Bw weist dabei auf die Abh¨ angigkeit der Budgetmenge vom zur Verf¨ ugung stehenden Budget w hin. Wie man sieht, umfasst die Budgetmenge alle Warenb¨ undel, die zusammengenommen nicht teurer, wohl aber m¨ oglicherweise billiger als w sind. Diejenige Menge von Warenb¨ undeln, die das Budget des Kosumenten gerade exakt aussch¨ opfen, d.h. die Menge Hw = {x ∈ Rn : p1 x1 + . . . + pn xn = w} , bezeichnet man als die Budgethyperebene. F¨ ur n = 2 ist dies eine Gerade, f¨ ur n = 3 eine Ebene, und im Allgemeinen eine n−1-dimensionale Fl¨ ache. Wir halten die eben angetroffenen Fl¨ achen noch einmal allgemein in folgender Definition fest. Definition 10.11. Sei p = 0 ein Vektor in Rn . Dann heißt H = {x ∈ Rn |p, x = 0} die Hyperebene mit Normalenvektor p.

172

10 Vektorr¨ aume

Geometrische Interpretation des Skalarproduktes Zum Abschluss dieses Abschnittes wollen wir noch n¨aher auf die geometrische Interpretation des Skalarproduktes eingehen. Dazu betrachten wir zun¨achst einen beliebigen 2-dimensionalen Vektor p. Die L¨ange von   p1 p= p2 ist gem¨aß dem Satz des Pythagoras gegeben durch den folgenden Ausdruck:   p1 = p21 + p22 . L¨ ange von p2 Dieser Ausdruck aber ist eng verwandt mit dem Skalarprodukt. Es gilt: p, p = p21 + p22 . Folglich ist die L¨ ange eines Vektors gegeben durch die Quadratwurzel des Skalarprodukts des Vektors mit sich selbst. Statt von der L¨ ange eines Vektors spricht man in diesem Zusammenhang auch von der euklidischen Norm des Vektors. Definition 10.12. Sei p ∈ Rn . Dann nennt man:

p = p, p die euklidische Norm oder L¨ ange des Vektors p. Eine weitere geometrische Bedeutung gewinnt das Skalarprodukt p, x zudem durch seine Verbindung mit dem Winkel zwischen den Vektoren p und x. So l¨ asst sich zeigen, dass gilt: cos (p, x) =

p, x , x p

(10.2)

wobei (p, x) den Winkel zwischen p und x bezeichnet. Da der Kosinus f¨ ur Winkel von 90 Grad gerade den Wert 0 annimmt, definiert man zudem ganz allgemein: Definition 10.13. Ein Vektor x ∈ Rn ist senkrecht oder orthogonal zu y ∈ Rn , wenn gilt: x , y = 0. Beispiel 10.8. Die Einheitsvektoren e1 , . . . , en sind alle orthogonal zueinander und haben die L¨ ange 1; man sagt auch, sie sind auf 1 normiert. Die kanonische Basis wird daher h¨ aufig auch als eine Basis aus Orthonormalvektoren bezeichnet.

10.4 Skalarprodukt und L¨ange von Vektoren

173

Aus der elementaren Trigonometrie ist bekannt, dass der Kosinus eines Winkels stets zwischen −1 und 1 liegt. Wenn unsere obige Gleichung (10.2) also vern¨ unftig definiert ist, muss f¨ ur alle Vektoren x, y ∈ Rn |cos(x, y)| ≤ 1 gelten. Allgemein ergibt sich daraus die folgende Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung: Lemma 10.5 (Cauchy–Schwarz’sche Ungleichung). F¨ ur alle Vektoren x, y ∈ Rn gilt |x, y| ≤ x y .

¨ Ubungen Aufgabe 10.1. Sei V ein Vektorraum. Seien v1 , v2 ∈ V . Welche Aussagen sind richtig bzw. falsch, und warum? angig sind. 1. Aus v1 + v2 = 0 folgt, dass v1 und v2 linear unabh¨ angig. 2. v1 und 0 sind linear abh¨ 3. Der Vektor 0 ist linear abh¨ angig. angig sind, dann bilden sie eine Basis 4. Wenn v1 und v2 linear unabh¨ von < v1 , v2 > . angig sind, dann gilt v1 = λv2 f¨ ur eine 5. Wenn v1 und v2 linear unabh¨ positive reelle Zahl λ. Aufgabe 10.2. Gegeben seien die beiden Vektoren ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 0 v1 = ⎝ 2 ⎠ und v2 = ⎝ 1 ⎠ 3 4 im Vektorraum R3 . Zeige, dass die beiden Vektoren v1 und v2 linear unabh¨ angig sind! Gib einen Vektor v3 an, so dass v1 , v2 , v3 eine Basis bilden! Aufgabe 10.3. Sei R2×2 die Menge aller 2 × 2–Matrizen der Form   a11 a12 . a21 a22 Definiere eine Addition und eine Multiplikation mit reellen Zahlen, so ufe die dass R2×2 mit diesen Operationen ein Vektorraum wird (und pr¨ Bedingungen nach)!

174

10 Vektorr¨ aume

Aufgabe 10.4. Sei C[0, 1] der Vektorraum aller stetigen Funktionen mit Definitionsbereich [0, 1]. Sei   U = f ∈ C[0, 1] : f Polynom der Form f (x) = a + bx + cx2 die Teilmenge aller quadratischen Polynome. Zeige, dass U ein Unterraum ist! Gib eine Basis dieses Unterraums an! Bemerkung: In diesen Aufgaben schreiben wir die Vektoren o¨fter als Zeilenvektoren, um Platz zu sparen. Aufgabe 10.5. Welche der folgenden Abbildungen f : R2 → R sind linear? Gib jeweils eine Begr¨ undung an! f (x1 , x2 ) = x1 x2 f (x1 , x2 ) = x1 + 5x2 f (x1 , x2 ) = 1 + x1 f (x1 , x2 ) = x1 + x22 . Aufgabe 10.6. Sei V der Vektorraum aller differenzierbaren Funktionen f : (0, 1) → R. Sei W der Vektorraum aller Funktionen g : (0, 1) → R. Zeige, dass die Abbildung D : V → W mit D(f ) = f  eine lineare Abbildung ist! Aufgabe 10.7. Gib f¨ ur folgende lineare Abbildungen jeweils Definitions– und Wertebereich sowie die Matrizendarstellung an: f (x1 , x2 ) = (x1 + x2 , x1 − 3x2 ) f (x1 , x2 , x3 ) = (x3 , x2 , x1 ) f (x1 , x2 ) = (x2 − 8x1 , x2 ) f (x1 , x2 ) = (0, x1 ) . Aufgabe 10.8. Berechne jeweils das ⎛ ⎞ 12 3 ⎜0 1 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 9 −1 ⎠ und 60 0 mit den Vektoren

Produkt von ⎛ ⎞ 0 1 −1 ⎜0 1 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 211 0 ⎠ 0 0 0

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 −1 0 2 ⎝1⎠,⎝ 0 ⎠,⎝0⎠,⎝ 3 ⎠ . 1 2 3 73

10.4 Skalarprodukt und L¨ange von Vektoren

175

Aufgabe 10.9. Man zeige durch geeignete Gegenbeispiele, dass folgende Aussagen u ¨ber die Multiplikation einer l × m–Matrix A und einer m × n–Matrix B im Allgemeinen falsch sind: 1. Aus AB = 0 folgt A = 0 oder B = 0. 2. Es gilt AB = BA. Aufgabe 10.10. Bestimme mit Hilfe des Skalarproduktes Kosinus, Sinus und Tangens zwischen folgenden Vektoren: ⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ 1 −1 0 ⎝ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ 0 , v3 = 0 ⎠ . v1 = 2 , v2 = 0 1 1 Aufgabe Eine komplexe Zahl z = x + iy kann man auch als  10.11.  x Vektor im Vektorraum R2 auffassen. y 1. Zeige, dass die geometrische L¨ ange des Vektors , , , x ,

2 2 , , , y ,= x +y mit dem Absolutbetrag |z| (vgl. Problem 2.4) u ¨bereinstimmt! 2. Veranschauliche mit Hilfe einer Grafik, dass man z auch als   cos φ r sin φ schreiben kann f¨ ur eine Zahl r ≥ 0 und einen Winkel φ ∈ [0, 2π)! Aufgabe 10.12. Bestimme die Menge aller Vektoren v ∈ R3 , die orthogonal zu dem Vektor ⎛ ⎞ 1 ⎝ 2 ⎠ −1 sind! Zeige, dass diese Menge ein Unterraum ist! Aufgabe 10.13. Zeige folgende Formel f¨ ur Vektoren p, x ∈ Rn : p2 x2 |tan (p, x)| = − 1. p, x2     1 0 Bestimme dann den Tangens von und . 1 1

176

10 Vektorr¨ aume

Aufgabe 10.14. Bestimme jeweils eine Basis f¨ ur den Kern folgender linearer Abbildungen: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞   x1 x1 x1 ⎝ x2 ⎠ → x1 + 2x2 + x3 , ⎝ x2 ⎠ → 3x1 + 2x2 , ⎝ x2 ⎠ → x1 − x2 . x1 + x3 x3 x3 x3

11 Lineare Gleichungssysteme

Im Allgemeinen versteht man unter einem linearen Gleichungssystem in den Variablen x1 , x2 , . . . , xn ein System von m Gleichungen der Form a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2 .. . am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm . Die Zahlen a11 , . . . , amn ∈ R bezeichnet man als die Koeffizienten und die Zahlen b1 , . . . , bn ∈ R bzw. den Vektor ⎛ ⎞ b1 ⎜ .. ⎟ b=⎝.⎠ bn als den Zielvektor des Systems. Man spricht auch von der “rechten Seite” des Gleichungssystems. ¨ Okonomisches Beispiel 11.1 Eine Firma besitzt zwei verschiedene Maschienen zur Warenproduktion: A und B. Maschiene A produziert pro Stunde 3 Badem¨ antel und 5 Handt¨ ucher. Maschiene B hingegen erzeugt pro Stunde 1 Bademantel und 20 Handt¨ ucher. Von einem Kunden erh¨ alt die Firma den Auftrag, 4000 Badem¨ antel und 25000 Handt¨ ucher zu liefern. Die Frage ist, wie lange jede der zwei Maschinen laufen muss, so dass genau die gew¨ unschte Anzahl Badem¨ antel und Handt¨ ucher erzeugt wird? Wenn Maschiene A genau x Stunden l¨ auft und Maschiene B genau y Stunden, so erh¨ alt man 3x + y Badem¨ antel und 5x + 20y Handt¨ ucher. Dies f¨ uhrt uns auf das folgende lineare Gleichungssystem:

178

11 Lineare Gleichungssysteme

3x + y = 4000 5x + 20y = 25000 . Die Antwort auf die Frage nach den optimalen Maschienenlaufzeiten ergibt sich also durch L¨ osung des obigen Gleichungssystems. In diesem Kapitel werden wir nun zun¨achst abstrakt die L¨osungsmenge solcher Gleichungssysteme studieren. Dabei wollen wir zum Beispiel kl¨aren, wie man entscheiden kann, ob L¨osungen existieren und ob diese eindeutig sind. Im Anschluss daran werden wir dann einen allgemeinen Rechenweg, d.h. einen Algorithmus, angeben, der es uns erlaubt, diese L¨ osungsmenge f¨ ur beliebige lineare Gleichungssysteme explizit zu bestimmen.

11.1 Abstrakte L¨ osungstheorie Wir kehren zun¨achst noch einmal zur obigen allgemeinen Darstellung eines linearen Gleichungssystems mit m Gleichungen und n Variablen zur¨ uck. Wenn wir uns aus diesem einmal die Platzhalter x1 , . . . , xn und die Pluszeichen wegdenken, so bleibt auf der linken Seite die folgende Matrix stehen: ⎞ ⎛ a11 . . . a1n ⎟ ⎜ A = ⎝ ... . . . ... ⎠ . am1 . . . amn Wenn wir uns nun an die Matrix–Vektor–Multiplikation erinnern, so f¨allt auf, dass man das gesamte Gleichungssystem auch in der Form Ax = b schreiben kann, wobei b der oben bereits eingef¨ uhrte Zielvektor ist. Das ist allein schon deswegen gut, weil es uns eine kompakte, platzsparende Notation erm¨ oglicht. Dar¨ uber hinaus f¨ uhrt es uns aber auch die Verbindung zwischen linearen Gleichungssystemen und der Theorie der linearen Abbildungen vor Augen. Schließlich definiert die Matrix A eine lineare Abbildung von Rn nach Rm durch: x → Ax . Wir k¨onnen unser bereits erworbenes Wissen u ¨ber derartige lineare Abbildungen also auch hier zur Anwendung bringen. Als Erstes halten wir fest: Wenn es u oglich ist, das Gleichungssystem zu l¨osen, ¨berhaupt m¨ dann muss b im Bild der durch A gegebenen linearen Abbildung liegen.

11.1 Abstrakte L¨osungstheorie

179

Satz 11.2. Das lineare Gleichungssystem Ax = b hat dann und nur dann eine L¨ osung, wenn der Zielvektor b im Bild der durch A gegebenen linearen Abbildung liegt. Homogene lineare Gleichungsysteme Eine spezielle Klasse in den linearen Gleichungssystemen bilden die homogenen Systeme. Dabei nennt man ein lineares Gleichungssystem homogen, wenn der Zielvektor der Nullvektor ist, d.h. wenn auf der rechten Seite nur Nullen stehen. Mit anderen Worten, im homogenen Fall haben wir es mit folgender Situation zu tun: Ax = 0. Zun¨achst einmal k¨ onnen wir feststellen, dass ein solches System auf jeden Fall eine L¨ osung hat, n¨ amlich x∗ = 0. Bleibt die Frage, ob es noch mehr L¨osungen gibt, und wenn ja, wie viele. Hierzu zun¨achst ein Beispiel. Beispiel 11.1. Wir betrachten das folgende homogene lineare Gleichungssystem: 2x1 + x2 = 0 4x1 + 2x2 = 0 Wie man durch Einsetzen leicht nachpr¨ ufen kann, sind neben x = 0 auch noch die Vektoren     1 −1 x= ,x = , −2 2 bzw. allgemeiner alle Vektoren der Form   z x= , z ∈ R, −2z L¨osungen dieses Systems. Es gibt also nicht nur eine oder zwei, sondern eine ganze Menge von L¨ osungen. Die entsprechende Menge von L¨osungsvektoren, d.h. die Menge   x ∈ R2 : x2 = −2x1 , nennt man auch die L¨ osungsmenge des Gleichungssystems. Man beachte insbesondere, dass es sich bei der L¨ osungsmenge um einen Unterraum amlich den durch den Vektor des R2 handelt, n¨   1 −2 erzeugten eindimensionalen Unterraum.

180

11 Lineare Gleichungssysteme

Das voranstehende Beispiel ist typisch in der Hinsicht, dass die L¨osungsmenge entweder nur die 0 enth¨ alt oder aber ein echter Unterraum ist, also so etwas wie eine Gerade oder Ebene im mehrdimensionalen Raum. Satz 11.3. Sei Ax = 0 ein homogenes lineares Gleichungssystem und sei L(A; 0) = {x ∈ Rn : Ax = 0} die zugeh¨ orige L¨ osungsmenge. Dann ist L(A; 0) ein Unterraum des Rn ; er stimmt mit dem Kern der linearen Abbildung x → Ax u ¨berein. Die Dimension von L(A; 0), d.h. dim L(A; 0), bezeichnet man als die Anzahl der Freiheitsgrade des Systems. Beweis. Da L(A; 0) = Kern A gilt, ergibt sich die Behauptung direkt aus Satz 10.6.
Inhomogene lineare Gleichungssysteme Wir kommen zu den allgemeinen oder inhomogenen Systemen mit beliebigem Zielvektor b, d.h. linearen Gleichungssystemen der Form Ax = b . Wie wir sehen werden, sind die L¨ osungen dieser allgemeinen Systeme eng verkn¨ upft mit denen f¨ ur den bereits bekannten homogenen Fall. Zur Veranschaulichung des Zusammenhangs zwischen homogenen und inhomogenen linearen Gleichungssystemen gehen wir vom inhomogenen Fall Ax = b aus und nehmen an, dass wir bereits im Besitz zweier L¨osungen x ¯, x ˜ dieses Systems sind. F¨ ur die Differenz z = x ¯−x ˜ gilt dann: Az = A¯ x − A˜ x = b − b = 0. Die Differenz z l¨ ost also das zugeh¨ orige homogene System. Umgekehrt sei nun z eine L¨ osung des homogenen Systems und x ¯ ur x ˆ=x ¯ + z: eine L¨osung des inhomogenen Systems. Dann gilt f¨ Aˆ x = A¯ x + Az = b + 0 = b . Damit haben wir auch schon den nachfolgenden Satz bewiesen: Satz 11.4. Das inhomogene lineare Gleichungssystem Ax = b sei l¨ osbar. Dann gilt:

11.1 Abstrakte L¨osungstheorie

181

1. F¨ ur je zwei L¨ osungen x ¯ und x ˜ l¨ ost die Differenz z = x ¯−x ˜ das zugeh¨ orige homogene System Ax = 0; 2. wenn x ¯ eine L¨ osung zu Ax = b ist, so erh¨ alt man alle weiteren L¨ osungen, indem man zu x ¯ eine L¨ osung des homogenen Systems addiert. Entsprechend dem homogenen Fall bezeichnet man die L¨osungsmenge des inhomogenen Systems Ax = b mit L(A; b). Unter Verwendung dieser Schreibweise l¨ asst sich obiges Resultat dann auch kurz schreiben als: L(A; b) = x1 + L(A; 0) , osung der Gleichung Ax = b ist. Ferner k¨onnen wobei x1 eine spezielle L¨ wir aus Satz 11.4 schließen, dass gilt: Korollar 11.1. Wenn das homogene lineare Gleichungssystem Ax = 0 die eindeutige L¨ osung x = 0 hat, so hat das inhomogene System Ax = b h¨ ochstens eine L¨ osung. Existenz von L¨ osungen Bislang haben wir angenommen, dass das von uns betrachtete inhomogene lineare Gleichungssystem l¨ osbar ist. Im Allgemeinen ist aber leider nicht klar, dass dies auch wirklich immer der Fall ist. Wir wissen zwar schon, dass homogene Systeme immer durch den Nullvektor gel¨ost werden k¨onnen. Doch wie sieht das bei inhomogenen Systemen aus? Dieser Frage wollen wir nun auf den Grund gehen. Wir bezeichnen mit a1 , . . . , an die Spaltenvektoren der Matrix A. Es gilt also: ai = Aei , i = 1, . . . , n, wobei ei den i-ten Einheitsvektor bezeichnet. Wenn nun x eine L¨osung zu Ax = b ist, so folgt aus der Linearit¨ at von A und wegen x = x1 e1 + . . . + xn en , dass gilt: b = Ax = x1 a1 + x2 a2 + . . . + xn an . Der Vektor b muss sich also als eine Linearkombination der Spaltenvektoren von A schreiben lassen. Allgemein halten wir fest:

182

11 Lineare Gleichungssysteme

Lemma 11.1. Das inhomogene lineare Gleichungssystem Ax = b ist dann und nur dann l¨ osbar, wenn der Zielvektor b eine Linearkombination der Spaltenvektoren von A ist. Im Folgenden werden wir noch auf eine andere Formulierung der obigen Aussage treffen. Zun¨ achst aber f¨ uhren wir den Begriff des Ranges einer Matrix ein. Definition 11.1. Sei A eine m × n–Matrix. Unter dem Rang der Matrix A, Rang A, versteht man die Maximalzahl linear unabh¨ angiger Spaltenvektoren der Matrix A. Beispiel 11.2. a) Die Nullmatrix hat den Rang 0. Dies liegt daran, dass der Nullvektor linear abh¨angig ist. Die Nullmatrix enth¨alt also noch nicht einmal eine linear unabh¨ angige Spalte und hat daher den Rang 0. b) Die Einheitsmatrix im Rn hat den Rang n. Sie besteht ja gerade aus den n linear unabh¨ angigen Vektoren der Basis des Rn . c) Es gilt

da die Vektoren

  2 1 −2 Rang = 2, 0 1 −1     2 1 und 0 1

linear unabh¨angig sind. Folglich ist der Rang der Matrix mindestens gleich 2. Des Weiteren sind wegen       1 2 1 −2 − = − 1 −1 2 0 alle drei Vektoren linear abh¨ angig. Damit ist der Rang der Matrix, d.h. die Maximalzahl linear unabh¨ angiger Vektoren, auch h¨ochstens gleich 2. Allgemein gilt f¨ ur den Rang einer m × n–Matrix A, dass dieser nicht gr¨oßer als n sein kann. Schließlich kann die Zahl der linear unabh¨angigen Spalten niemals die Zahl der vorhandenen Spalten u ¨berschreiten. Ferner kann der Rang von A nicht gr¨ oßer sein als m, da wir jeden Spaltenvektor von A als ein Element des Rm auffassen k¨onnen und es im angige Vektoren gibt. Kurzum: Rm h¨ochstens m linear unabh¨

11.1 Abstrakte L¨osungstheorie

183

Lemma 11.2. Sei A eine m × n–Matrix. Dann gilt Rang A ≤ min{m, n} . Oft wird auch separat ein sogenannter Zeilenrang der Matrix A definiert als die Maximalzahl linear unabh¨ angiger Zeilenvektoren in A. Obwohl dies f¨ ur das weitere Vest¨ andnis dieses Kapitels nicht entscheidend ist, halten wir der Vollst¨ andigkeit halber fest, dass stets gilt: (Spalten-)Rang=Zeilenrang. F¨ ur uns ist der Begriff des Rangs einer Matrix unabh¨angig von der Frage nach Zeilen- oder Spaltenrang interessant, da er uns bei der Beantwortung der Frage nach der L¨ osbarkeit von inhomogenen linearen Gleichungssystemen hilft. Um zu sehen, wie er das tut, betrachten wir erneut ganz allgemein ein inhomogenes lineares Gleichungssystem der Form Ax = b, wobei A eine m×n Matrix ist. Die sogenannte erweiterte Koeffizientenmatrix dieses Systems ist dann gegeben durch: ⎞ ⎛ a11 . . . a1n b1 ⎜ a21 . . . a2n b2 ⎟ ⎟ ⎜ (A|b) = ⎜ .. .. .. ⎟ . ⎝ . . . ⎠ am1 . . . amn bn Wie wir bereits gesehen haben, gilt, dass sich der Zielvektor b durch eine Linearkombination der Spaltenvektoren von A darstellen l¨asst, wenn das System Ax = b l¨ osbar ist. Insbesondere ist also b nicht linear unabh¨angig von den Spaltenvektoren von A. Folglich ¨andert man also nicht den Rang der Matrix A, wenn man b als Spalte zu A hinzuf¨ ugt. Damit ergibt sich das folgende Kriterium f¨ ur die L¨osbarkeit von linearen Gleichungssystemen. Satz 11.5 (L¨ osbarkeit von LGS). Das inhomogene lineare Gleichungssystem Ax = b ist genau dann l¨ osbar, wenn gilt: Rang A = Rang (A|b) .

184

11 Lineare Gleichungssysteme

11.2 Der Gauß’sche Algorithmus In diesem Abschnitt geben wir einen Algorithmus an, der sich auf jedes beliebige lineare Gleichungssystem anwenden l¨asst, den sogenannten Gauß’schen Algorithmus. Dieser stellt fest, ob es eine L¨osung gibt, wenn ja, wie viele Freiheitsgrade es gibt, d.h. wie viele Variablen (Eintr¨age in x) man frei w¨ ahlen kann, ohne das Gleichungssystem unl¨osbar zu machen, und er sagt einem auch, wie genau die L¨osung aussieht. Im Folgenden wollen wir die Idee des Gauß’schen Algorithmus schrittweise anhand von Beispielen entwickeln. Dabei beginnen wir mit einem Beispiel, dessen L¨ osung geradezu offensichtlich ist. Beispiel 11.3. Wir betrachten das folgende lineare Gleichungssystem: 3x1 + 2x2 + x3 = 2 x2 + 5x3 = 0 x3 = 1 . Dieses System l¨ asst sich in der Tat ganz schnell l¨osen. Zun¨achst ist x3 = 1, wie man direkt aus der letzten Zeile liest. Dies k¨onnen wir in die zweite Zeile einsetzen und erhalten x2 = 0 − 5x3 = −5 . Die beiden so erhaltenen L¨ osungen f¨ ur x2 und x3 setzen wir nun in die erste Zeile ein und berechnen noch x1 : x1 =

1 11 (2 − 2x2 − x3 ) = . 3 3

Die L¨osung des linearen Gleichungssystems ist somit gegeben durch x1 = 11/3, x2 = −5 und x3 = 1. Das erste Beispiel war sehr einfach zu l¨osen. Das lag offenbar an der Dreiecksgestalt des betrachteten Gleichungssystems, welche es uns erlaubt hat, nacheinander alle Variablen durch sukzessives Ausrechnen und Einsetzen zu bestimmen. Unser Ziel im Folgenden wird es daher sein, einen Weg zu finden, alle Gleichungssysteme bzw. die entsprechenden Matrizen auf eine solche Dreiecksform zu bringen. Um dieses Ziel zu erreichen, werden wir versuchen, schrittweise einzelne Variablen in den entsprechenden Zeilen zu eliminieren. Dazu werden wir auf geeignete Weise die Zeilen bzw. Vielfache davon voneinander abziehen. Wie genau das vonstattengeht, soll das folgende Beispiel verdeutlichen.

11.2 Der Gauß’sche Algorithmus

185

Beispiel 11.4. Wir betrachten erneut ein lineares Gleichungssystem. Diesmal hat es die folgende, etwas anspruchsvollere Form: 6x1 + 4x2 + 2x3 = 4 2x1 + x2 + 5x3 = 0 x1 + x2 + x3 = 1 . Um es zu l¨osen, wollen wir versuchen, es auf Dreieckgestalt zu bringen. Dazu multiplizieren wir zun¨ achst die zweite Zeile mit 3 und die dritte Zeile mit 6. Die G¨ ultigkeit der Gleichungen, d.h. die L¨osungsmenge des Systems, bleibt dadurch unber¨ uhrt. Wir erhalten: 6x1 + 4x2 + 2x3 = 4 6x1 + 3x2 + 15x3 = 0 6x1 + 6x2 + 6x3 = 6 . Als n¨achstes subtrahieren wir dann jeweils die erste Zeile von der zweiten und der dritten Zeile. Dies hat erneut keinen Einfluss auf die L¨osungsmenge. 6x1 + 4x2 + 2x3 = 4 − x2 + 13x3 = −4 2x2 + 4x3 = 2 . Der erste Schritt in Richtung Dreicksgestalt ist damit geschafft. Die Variable x1 taucht in der zweiten und dritten Zeile nicht mehr auf. Nun werfen wir noch x2 aus der dritten Zeile heraus, indem wir das Doppelte der zweiten Zeile zur dritten Zeile dazu addieren: 3x1 + 2x2 + x3 = 2 x2 + 13x3 = −4 30x3 = −6 . Damit ist die gew¨ unschte Dreiecksgestalt erreicht. Die L¨osung des Gleichungssystems erh¨ alt man nun wie im vorangegangenen Beispiel beschrieben. Zumindest im Beispiel sieht es also auch nicht sehr schwer aus, ein Gleichungssystem in Dreiecksform zu bringen. Außerdem hat es den Anschein, als ginge dies mit jedem linearen Gleichungssystem. Das stimmt im Prinzip auch. Man muss allerdings im allgemeinen Fall ein bisschen aufpassen. Manchmal fallen n¨ amlich Variablen an einer Stelle heraus, die einem nicht passt, und man erh¨alt einen “Sprung” im Dreieck. Dann muss man den Algorithmus vor¨ ubergehend stoppen, kann aber weitermachen, nachdem man auf geeignete Weise Spalten vertauscht hat. Dazu noch ein Beispiel.

186

11 Lineare Gleichungssysteme

Beispiel 11.5. Wieder betrachten wir ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen. Diesmal w¨ ahlen wir sogar ein homogenes System. x1 + x2 + x3 = 0 x1 + x2 + 14x3 = 0 x1 + x2 + 2x3 = 0 . Wir wissen also schon, dass zumindest der Nullvektor das System l¨ost. Die Frage ist, ob es noch mehr L¨ osungen gibt, und wenn ja, welche. Um weitere L¨osungen zu finden, w¨ urden wir hier im Prinzip genauso verfahren wollen wie im vorangegangenen Beispiel. D.h. wir wollen versuchen, das Gleichungssystem auf Dreiecksgestalt zu bringen. Dazu bietet sich an, die erste von den anderen Zeilen abziehen. Wir erhalten so: x1 + x2 + x3 = 0 13x3 = 0 x3 = 0 . Das umgeformte lineare Gleichungssystem weist allerdings einen Sprung auf, da sowohl x1 als auch x2 nur noch in der ersten Zeile zu finden sind. Das Problem mit diesem Sprung ist, dass wir als N¨achstes uck in die zweite Zeile bringen wollen w¨ urden am liebsten x2 wieder zur¨ (aber nur x2 ), um das System auf Dreiecksform zu bringen. Dies l¨asst sich aber eben aufgrund der Tatsache, dass x1 und x2 nur noch in der ersten Zeile zu finden sind, leider nicht bewerkstelligen. Im aktuellen Beispiel ist die L¨ osung nat¨ urlich auch ohne weitere Umformungen unmittelbar zu ersehen. x3 muss offenbar gleich 0 sein, und aus der ersten Zeile ergibt sich somit, dass alle Vektoren x mit osen. Bei 312 statt 3 Variablen x1 = −x2 und x3 = 0 das System l¨ ist allerdings, wie man sich leicht vorstellen kann, nicht immer so klar, wie man weiter vorzugehen hat, um eine L¨ osung zu erhalten. In einem solchen Fall hilft einem dann die Spaltenvertauschung. In unserem einfachen Beispiel w¨ urde man beispielsweise als N¨achstes die zweite und dritte Spalte miteinander vertauschen. Dabei machen wir lediglich davon Gebrauch, dass die Anordnung der Spalten aufgrund der Kommutativit¨ at der Addition letztlich willk¨ urlich ist. Anders ausgedr¨ uckt, f¨ ur die Bestimmung der m¨ oglichen L¨osungen spielt es keine Rolle, ob die Ausgangsgleichung x1 + x2 = 5 lautet oder x2 + x1 = 5. Durch Vertauschung von Spalte 2 mit Spalte 3 erhalten wir in unserem Fall: x1 + x3 + x2 = 0 13x3 + 0x2 = 0 x3 + 0x2 = 0 .

11.2 Der Gauß’sche Algorithmus

Wenn wir nun noch erhalten wir:

1 13

187

der zweiten Zeile von der dritten abziehen, so x1 + x3 + x2 = 0 13x3 + 0x2 = 0 0 = 0.

Die Dreiecksform bleibt uns also zumindest f¨ ur die ersten beiden Zeilen erhalten. Der Vorteil dieser Methode ist, dass wir nun im Wesentlichen auch mit dem in Beispiel 1 erlernten Verfahren x3 = 0 und x1 = −x2 als L¨osung bestimmen k¨ onnen. Die letzte Zeile bleibt einfach unber¨ ucksichtigt. Sie ist ohnehin immer wahr. Nach all diesen einf¨ uhrenden Beispielen wollen wir uns nun der Diskussion des allgemeinen Falls widmen. Im Großen und Ganzen sind dabei drei M¨oglichkeiten zu unterscheiden: 1. Wir haben mehr Gleichungen als Variablen (m > n), 2. es gibt genauso viele Gleichungen wie Variablen (m = n), oder 3. wir haben weniger Gleichungen als Variablen (m < n). Was den dritten Fall angeht (m < n), so k¨onnen wir diesen auf den Fall m = n zur¨ uckf¨ uhren, indem wir einfach Nullzeilen einf¨ uhren. Das folgende Gleichungssystem beispielsweise hat weniger Gleichungen als Variablen: x1 + x2 + x3 = 2 x1 + x2 + 14x3 = 0 . Schreiben wir nun einfach die triviale Gleichung 0x1 + 0x2 + 0x3 = 0 als dritte Zeile hinzu, so erhalten wir: x1 + x2 + x3 = 2 x1 + x2 + 14x3 = 0 0x1 + 0x2 + 0x3 = 0 und haben damit den Fall m = n erreicht. Wie wir sehen werden, ist dies f¨ ur die Angabe eines allgemeinen Verfahrens n¨ utzlich. Im Folgenden gilt also stets m ≥ n. Ferner werden wir, um Schreibarbeit zu sparen, die erweiterte Koeffizientenmatrix (A|b) des linearen Gleichungssystems verwenden und nicht immer alle Gleichungen ausschreiben. Damit wird uns zudem das Mitf¨ uhren aller Variablen erspart. Ziel unserer Unternehmung soll es nun sein, f¨ ur jedes beliebige lineare Gleichungssystem durch ¨ aquivalente Umformungen ein gestaffeltes System bzw. eine Matrix der folgenden Form zu erreichen:

188

11 Lineare Gleichungssysteme

⎛ a11 ⎜ 0 ⎜ ⎜ 0 ⎜ . ⎜ . ⎜ . ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎜ 0 ⎜ . ⎝ .. 0

⎞ ............ | ∗ a22 . . . . . . . . . | ∗⎟ ⎟ 0 a33 . . . . . | ∗⎟ ⎟ ⎟ . . . . . . . . . . . . | ∗⎟ ⎟, . . . . . . . 0 ann | ∗⎟ ⎟ . . . . . . . . 0 | ∗⎟ ⎟ .. ... . | ∗⎠ ........ 0 | ∗

(11.1)

wobei die Sternchen andeuten, dass an der entsprechenden Stelle eine hier nicht weiter spezifizierte reelle Zahl steht. Dies l¨asst sich mit Hilfe des Gauß’schen Algorithmus wie folgt erreichen: (i) Man pr¨ ufe, ob die Matrix Dreiecksgestalt hat. Wenn das der Fall ist, so gehe man u ¨ber zu Schritt (v). Andernfalls fahre man fort mit Schritt (ii). (ii) Man vertausche Zeilen und Spalten der erweiterten Koeffizientenmatrix so, dass in der linken oberen Ecke eine Zahl = 0 steht. Dabei ist es wichtig, sich die urspr¨ ungliche Variablennummerierung bei Spaltenvertauschung zu merken! (iii) Als N¨achstes erzeuge man in der ersten Spalte unter Zeile 1 lauter Nulleintr¨age. Dazu addiere man geeignete Vielfache der ersten Zeile zu den jeweils nachfolgenden Zeilen. (iv) Nun streiche man die erste Zeile und die erste Spalte und gehe mit der reduzierten Matrix zur¨ uck zu Schritt (i). (v) Ist dieser Schritt erreicht, liegt eine Matrix der Form (11.1) vor. Wenn nun in einer der unteren Zeilen, in denen nur Nullen bei den Koeffizienten stehen, auf der rechten Seite eine von null verschiedene Zahl steht, so ist das System nicht l¨ osbar. Andernfalls ist das System l¨osbar. (vi) Um die L¨osung zu bestimmen, streiche man nun alle Nullzeilen und z¨ahle die verbleibenden Gleichungen. Wenn es genau n Gleichungen sind, so ist die L¨osung eindeutig. Die exakten Werte der L¨ osung erh¨ alt man durch R¨ uckw¨artseinsetzen (vgl. Beispiel 11.3). Falls k < n echte Zeilen u ¨brig bleiben, so hat man n − k Freiheitsgrade. Man w¨ ahlt dann n−k Variablen als Parameter und bestimmt die u ¨brigen Variablen als Funktionen dieser Parameter erneut durch R¨ uckw¨artseinsetzen (vgl. Beispiel 11.5). Zum besseren Verst¨ andnis des Gauß’schen Algorithmus noch einmal ein Beispiel.

11.2 Der Gauß’sche Algorithmus

189

Beispiel 11.6. Wir betrachten das folgende System und w¨ahlen direkt die Darstellung durch die erweiterte Koeffizientenmatrix: ⎞ ⎛ 0101 ⎝0 2 1 1⎠ . 0320 Da die Matrix offenbar keine Dreiecksgestalt hat, versuchen wir zuerst, gem¨aß Schritt (i) die linke obere Ecke durch eine Zahl = 0 zu belegen. Dazu vertauschen wir die erste und die zweite Spalte. So erhalten wir: ⎛ ⎞ 1001 ⎝2 0 1 1⎠ . 3020 Dabei merken wir uns noch, dass in der ersten Spalte nun die Koeffizienten von x2 stehen und in der zweiten Spalte diejenigen von x1 . Als N¨achstes gehen wir u ¨ber zu Schritt (iii) und erzeugen unter dem f¨ uhrenden Koeffizienten (die 1 ganz links in der ersten Zeile) lauter Nullen. Dazu subtrahieren wir das Doppelte der ersten Zeile von Zeile 2 und das dreifache der ersten Zeile von Zeile 3: ⎞ ⎛ 100 1 ⎝ 0 0 1 −1 ⎠ . 0 0 2 −3 Nun streichen wir, gem¨ aß Schritt (iv), die erste Zeile sowie die erste Spalte. Damit bleibt uns die folgende Matrix:   0 1 −1 . 0 2 −3 Mit dieser Matrix beginnen wir das ganze Prozedere von vorn. D.h., da die Matrix kein Dreiecksgestalt hat, vertauschen wir zun¨achst wieder die erste und die zweite Spalte:   1 0 −1 . 2 0 −3 Dabei merken wir uns erneut, dass in der ersten Spalte dieser Matrix nun die Koeffizienten f¨ ur x3 stehen; entsprechend stehen in der zweiten Spalte die Koeffizienten f¨ ur x1 (man beachte die erste Vertauschung!). Schließlich erzeugen wir, Schritt (iii) folgend, unter der 1 eine Null:   1 0 −1 . 0 0 −1

190

11 Lineare Gleichungssysteme

Da bereits diese Matrix Dreiecksgestalt hat, k¨onnen wir nun auch ohne vorheriges Streichen der ersten Zeile und der ersten Spalte direkt zu Schritt (v) des Algorithmus u ¨bergehen. — Man beachte, dass auch ein Streichen der ersten Zeile und Spalte das weitere Vorgehen nicht ver¨andern w¨ urde. — In jedem Fall stehen in der letzten Zeile bei den Koeffizienten jetzt nur Nullen. Auf der rechten Seite steht allerdings −1. Also ist das System entsprechend Schritt (vi) nicht l¨osbar! Der Gauß’sche Algorithmus und der Rang einer Matrix Interessant ist, dass der oben beschriebene Algorithmus auch “so ganz nebenbei” den Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix bestimmt. Wenn wir n¨amlich einmal das entsprechende Gleichungssystem vergessen und uns ganz allgemein eine m × n–Matrix A anschauen, so stellen wir fest, dass der Gauß’sche Algorithmus die Matrix A auf eine Dreiecksmatrix der folgenden Form transformiert: ⎞ ⎛ b11 ∗ ∗ ∗ ∗ . . . ∗ ⎜ 0 b22 ∗ ∗ ∗ . . . ∗ ⎟ ⎜ . . . . ⎟ . ⎟ ⎜ . ⎜ . 0 . . .. .. .. ⎟ ⎟ ⎜ brr ∗ . . . ∗ ⎟ . (11.2) B = ⎜ 0 ... ⎟ ⎜ ⎜ 0 ... 0 ... 0 ... 0⎟ ⎜ . .. ⎟ ⎝ .. . . . . . . . . . ... .⎠ 0 ... ... 0 0 ... 0 Dabei deuten die Sternchen (∗) erneut an, dass an der entsprechenden Stelle eine beliebige Zahl steht. Ferner gilt f¨ ur die Diagonalelemente ur i = 1, . . . , r und bii = 0 f¨ ur i = r + 1, . . . , n. Solche stets bii = 0 f¨ Matrizen haben aber den Rang r, denn die ersten r Spaltenvektoren sind offenbar linear unabh¨ angig. Es gilt also: Lemma 11.3. Matrizen der Form (11.2) haben den Rang r. Beweis. (Skizze) Wir machen uns die G¨ ultigkeit des obigen Lemmas nochmal an einem Beispiel klar. Dazu betrachten wir folgende Matrix: ⎛ ⎞ 1234 ⎜0 2 5 8⎟ ⎟ B=⎜ ⎝0 0 3 7⎠ . 0000 Offenbar gilt hier r = 3. Folglich sollte auch der Rang von B gleich 3 sein. Um die Richtigkeit dieser Behauptung nachzuweisen, zeigen wir zun¨achst, dass die ersten drei Spaltenvektoren, d.h. die Vektoren

11.2 Der Gauß’sche Algorithmus

191

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 2 3 ⎜0⎟ ⎜2⎟ ⎜5⎟ ⎜ ⎟,⎜ ⎟,⎜ ⎟, ⎝0⎠ ⎝0⎠ ⎝3⎠ 0 0 0 linear unabh¨angig sind. Hierzu m¨ ussen wir zeigen, dass die Gleichung ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 2 3 ⎜0⎟ ⎜2⎟ ⎜ 5⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ λ1 ⎜ ⎝0⎠ + λ2 ⎝0⎠ + λ3 ⎝3⎠ = 0 0 0 0 osbar ist. Fassen wir die linke nur durch Wahl von λ1 = λ2 = λ3 = 0 l¨ Seite der Gleichung in einem Vektor zusammen, so erhalten wir: ⎞ ⎛ λ1 + 2λ2 + 3λ3 ⎜ 2λ2 + 5λ3 ⎟ ⎟ = 0. ⎜ ⎠ ⎝ 3λ3 0 Aus der dritten Komponente folgt nun sofort, dass λ3 = 0 ist. Damit ergibt sich aus der zweiten Komponente, dass außerdem gilt λ2 = 0. Unter Ber¨ ucksichtigung der ersten Komponente folgt schließlich, dass gilt λ1 = 0. Folglich sind die drei Vektoren linear unabh¨angig. Damit haben wir bereits gezeigt, dass der Rang von B mindestens 3 ist. Da aber die letzte Zeile der Nullvektor ist, handelt es sich bei den Spaltenvektoren von B letztlich um Elemente des R3 . Die letzte Spalte ⎛ ⎞ 4 ⎜8⎟ ⎜ ⎟ ⎝7⎠ 0 ist also linear abh¨ angig von den ersten drei Spalten. Daher ist der Rang der Matrix 3.
Wir kennen nun also den Rang der Matrix B. Die Frage ist, was der Rang von B mit dem Rang der urspr¨ unglichen Matrix A zu tun hat. Hier gilt nun gl¨ ucklicherweise, dass es derselbe ist. Die Operationen des Gauß’schen Algorithmus wie Zeilen– und Spaltenvertauschen oder Addieren von Zeilen ¨ andern n¨ amlich nicht den Rang der Matrix. Vertauschungen beispielsweise betreffen immer nur die Reihenfolge, in der wir die Zeilen oder Spalten einer Matrix betrachten, und sollten somit keinen Einfluss auf die Frage der linearen Unabh¨angigkeit derselben haben. Aber auch durch das Addieren von Vielfachen einer Zeile

192

11 Lineare Gleichungssysteme

zu einer anderen ¨ andert sich der Rang einer Matrix nicht; den Beweis ¨ dieser Aussage lassen wir als Ubung. Also ist der Rang von A gleich dem Rang der transformierten Matrix B, n¨amlich r. Satz 11.6. Die nicht den Rang Anwendung des gebracht hat, so

Operationen des Gauß’schen Algorithmus ver¨ andern einer Matrix. Wenn man eine Matrix A durch den Gauß’schen Algorithmus auf die Dreiecksform (11.2) gilt: Rang A = r .

11.3 Quadratische lineare Gleichungssysteme und Matrizen Wir besch¨aftigen uns nun ausf¨ uhrlicher mit Systemen, die genau so viele Gleichungen wie Unbekannte enthalten, sagen wir n. Die entsprechende Koeffizientenmatrix hat dann genau so viele Spalten wie Zeilen. Mit anderen Worten, wir haben es mit einer quadratischen n × n Matrix A zu tun. In diesem Fall besteht die berechtigte Hoffnung, dass das zugeh¨orige lineare Gleichungssystem genau eine L¨osung besitzt. Schließlich wissen wir ja schon, dass dies genau dann der Fall ist, wenn der Gauß’sche Algorithmus die Koeffizientenmatrix A auf eine obere Dreiecksgestalt transformiert, die keine Nullen auf der Diagonalen hat. Dies wiederum tritt genau dann ein, wenn Rang A = n ist. In diesem Fall gilt: Lemma 11.4. Sei A eine n×n–Matrix mit Rang n. Dann ist die durch A gegebene lineare Abbildung bijektiv. Die Umkehrabbildung bezeichnen wir mit A−1 . Beweis. Wir zeigen zun¨ achst, dass A injektiv ist. Seien also x, y ∈ Rn gegeben und Ax = Ay. Wir m¨ ussen zeigen,  dass x = y gilt. Setze hierzu z = x − y. Dann haben wir 0 = Az = ni=1 zi Aei . Die Spaltenvektoren angig, da ja Rang A = n ist. Also folgt (Aei ) sind aber linear unabh¨ zi = 0, i = 1, . . . , n und das heißt x = y. Nun gilt es noch die Surjektivit¨ at von A zu zeigen. Hierzu sei b ∈ Rn gegeben. Wir suchen also ein x ∈ Rn mit Ax = b. Dazu reicht es zu zeigen, dass die Vektoren (Aei ) eine Basis des Rn bilden. In diesem Fall folgt dann n¨amlich aus  den Eigenschaften einer Basis, dass es Zahlen x1 , . . . , xn gibt mit b = ni=1 xi Aei = Ax. Dass die Vektoren Aei eine Basis des Rn bilden, folgt nun aber aus der Tatsache, dass sie wegen Rang A = n linear unabh¨ angig sind. Denn n linear unabh¨angige Vektoren eines n–dimensionalen Raumes bilden (per Definition) immer eine Basis.


11.4 Determinanten

193

Dieses Lemma und sein Beweis weisen uns nun den Weg zur L¨osung quadratischer Gleichungssysteme, die vollen Koeffizientenrang haben. Da A surjektiv ist, wissen wir, dass es zu jedem b ein x mit Ax = b gibt. Dieses x ist somit zumindest eine L¨ osung des linearen Gleichungssystems. Umgekehrt sind diese L¨ osungen wegen der Injektivit¨at von A immer eindeutig, und formal durch die inverse Abbildung zu A gegeben. Zusammengefasst halten wir fest: Korollar 11.2. Sei A eine n × n–Matrix mit Rang A = n. Dann hat das lineare Gleichungssystem Ax = b genau eine L¨ osung. Diese L¨ osung ist gegeben durch: x∗ = A−1 b . Diese Folgerung ist zwar recht sch¨ on, bleibt aber noch sehr abstrakt. Wir wissen nun zwar theoretisch, in welchen F¨allen lineare Gleichungssysteme mit n Gleichungen und n Unbekannten genau eine L¨osung besitzen und wie sich eine L¨ osung x∗ bestimmen l¨asst. Das sagt uns die obige Folgerung. Doch wie man diese L¨ osung f¨ ur ein konkretes Problem tats¨achlich berechnet, scheint damit noch nicht zufriedenstellend beantwortet zu sein. Wie bestimmt man beispielsweise A−1 ? Hilfreich w¨are hier insbesondere ein allgemeiner standardisierter Rechenweg, d.h. ein Algorithmus, der es erlaubt, das ganze Problem gegebenenfalls sogar einfach einem Computerprogramm zu u ¨bergeben. Der Suche nach einem solchen Rechenweg wollen wir uns daher als N¨achstes zuwenden.

11.4 Determinanten Ein wichtiger Schritt in Richtung einer Standardisierung der L¨osungsfindung f¨ ur lineare Gleichungssysteme sind Determinanten. Die Determinante einer Matrix A ist so etwas wie eine Kenngr¨oße der Matrix und spielt insbesondere bei der konkreten Berechnung der Inversen von A−1 eine entscheidende Rolle. Um erstmal eine Idee von der Bedeutung der Determinante zu bekommen, beginnen wir unsere Diskussion mit dem zweidimensionalen Fall n = 2. Diesen werden wir dann nachfolgend verallgemeinern. Determinanten fu ¨ r 2 × 2–Matrizen Als Beispiel betrachten wir das zweidimensionale quadratische lineare Gleichungssystem

194

11 Lineare Gleichungssysteme

a11 x1 + a12 x2 = b1 a21 x1 + a22 x2 = b2 . Um ein Gef¨ uhl daf¨ ur zu bekommen, warum und wie man Determinanten definiert und wie diese uns helfen k¨ onnen, m¨ogliche Rechnereien zu vereinfachen, l¨ osen wir unser Beispielsystem zun¨achst einmal durch Ausrechnen. Dazu multiplizieren wir die erste Gleichung mit a22 und die zweite mit a12 und ziehen beide voneinander ab. Auf diese Weise erhalten wir folgenden Ausdruck: (a11 a22 − a12 a21 ) x1 = b1 a22 − b2 a12 . Wenn nun zudem der Ausdruck in der Klammer auf der linken Seite nicht gleich null ist, so gilt: x1 =

b1 a22 − b2 a12 . a11 a22 − a12 a21

(11.3)

Durch Wiedereinsetzen (oder analoges Rechnen) erhalten wir ferner x2 =

b2 a11 − b1 a21 . a11 a22 − a12 a21

(11.4)

Bei genauerer Betrachtung f¨ allt zun¨ achst einmal auf, dass beide L¨osungen denselben Nenner haben. Den entsprechenden Ausdruck definieren wir als die Determinante der Matrix   a11 a12 . A= a21 a22 Definition 11.2. Sei A eine 2 × 2–Matrix mit   a11 a12 . A= a21 a22 Dann ist die Determinante von A definiert durch: det A = |A| = a11 a22 − a12 a21 . Die Determinante einer 2 × 2–Matrix ist also die Differenz aus dem Produkt der Eintr¨ age der Hauptdiagonalen und dem Produkt der Eintr¨age der Nebendiagonalen. Wir sehen uns nun noch einmal die L¨ osung unseres obigen Beispiels, d.h. Formel (11.3), an und stellen fest, dass sich auch der Z¨ahler, d.h. der Ausdruck b1 a11 − b2 a21 , als Determinante auffassen l¨asst. Ersetzen

11.4 Determinanten

195

wir n¨amlich die erste Spalte von A durch den Zielvektor b, so erhalten wir die folgende Matrix:   b1 a12 . b2 a22 Und f¨ ur diese Matrix ist die Determinante, gem¨aß obiger Definition, gerade gegeben durch den Ausdruck b1 a11 − b2 a21 . Eine entsprechende Aussage gilt f¨ ur den Nenner der Formel 11.4. In Summe erhalten wir so die Cramer’sche Regel f¨ ur 2 × 2 Matrizen: Satz 11.7 (Cramer’sche Regel, 2 × 2). Sei A eine 2 × 2–Matrix mit det A = 0. Dann ist die eindeutige L¨ osung des linearen Gleichungssystems Ax = b gegeben durch      b1 a12   a11 b1       b2 a22   a21 b2   , x2 =   x1 =    a11 a12  .  a11 a12     a12 a22   a12 a22  ¨ Unsere bisherigen Uberlegungen zeigen insbesondere, dass man 2×2–Systeme der Form Ax = b immer l¨ osen kann, wenn gilt det A = 0. Andererseits wissen wir ja schon, dass die eindeutige L¨osbarkeit ¨aquivalent dazu ist, dass A den Rang 2 hat. Wir erhalten also folgenden Satz: Satz 11.8. Sei A eine 2 × 2–Matrix. Dann ist Rang (A) = 2 genau dann, wenn det A = 0 gilt. Schließlich wenden wir uns noch der Berechnung der Inversen von A zu. Satz 11.9. Sei A eine 2 × 2–Matrix mit det A = 0. Dann gilt:   1 a22 −a12 . A−1 = det A −a21 a11 Insbesondere gilt: −1

AA

−1

=A

  10 A= . 01

ur alle x ∈ R2 gilt. Die Beweis. Wir m¨ ussen zeigen, dass AA−1 x = x f¨ G¨ ultigkeit dieser Aussage l¨ asst sich durch reines Ausrechnen nachwei¨ sen. Wir lassen dies zur Ubung.


196

11 Lineare Gleichungssysteme

Determinanten fu ¨ r allgemeine quadratische Matrizen Wir kommen nun zum allgemeinen Fall. Dabei ist es unser Ziel, den Begriff der Determinante f¨ ur n × n–Matrizen so zu definieren, dass die obigen S¨atze in analoger Form weiterhin gelten. Die entscheidende Beobachtung auf dem Weg zu einer solchen Verallgemeinerung ist, dass auch beim Ausrechnen der L¨osungen von linearen Systemen mit n Gleichungen und n Unbekannten, n > 2, stets derselbe Nenner in allen L¨ osungen auftaucht. — Aus Platzgr¨ unden verzichten wir an dieser Stelle auf weitere Beispiele. Es ist aber eine gute ¨ Ubung, die G¨ ultigkeit dieser Aussage einmal f¨ ur den 3 × 3– oder den 4 × 4–Fall nachzupr¨ ufen. — Insbesondere zeigt sich durch Betrachtung des allgemeinen Falls, dass man den Begriff der Determinante rekursiv definieren kann. Definition 11.3. Sei A eine n×n–Matrix. Sei ferner die Determinante f¨ ur (n − 1) × (n − 1)–Matrizen bereits definiert (f¨ ur den 2 × 2 Fall haben wir dies ja bereits getan). Sei Aj diejenige (n − 1) × (n − 1)–Matrix, die entsteht, wenn man in A die erste Zeile und die j. Spalte streicht. Dann setzen wir: det A = |A| =

n 

(−1)j+1 a1j det Aj .

(11.5)

j=1

Die in dieser Definition eingef¨ uhrte Formel zu Determinantenberechnung nennt man die Laplace–Entwicklung nach der ersten Zeile. Wir veranschaulichen die obige Definition anhand eines Beispiels. Beispiel 11.7. Sei A die folgende 3 × 3 Matrix: ⎛ ⎞ 123 A = ⎝ 0 1 0⎠ . 444 Laut Definition haben wir zuerst die Matrizen A1 , A2 , A3 zu bestimmen, indem wir die erste Zeile und die entsprechende Spalte streichen. Es gilt also:       10 00 01 , A2 = , A3 = . A1 = 44 44 44 Damit haben wir det A1 = 4, det A2 = 0, det A3 = −4. Entsprechend der rekursiven Definition (11.5) gilt somit: det A = 1 · det A1 − 2 · det A2 + 3 · det A3 = 4 − 0 + 3 · (−4) = −8 .

11.4 Determinanten

197

Zur konkreten Berechnung von Determinanten sind die folgenden Rechenregeln oftmals n¨ utzlich. Den Beweis der jeweiligen Regel f¨ ur ¨ 2 × 2–Matrizen empfehlen wir erneut zur Ubung. Satz 11.10 (Rechenregeln fu ¨ r Determinanten). Seien A, B zwei n × n–Matrizen. Dann gelten folgende Regeln: 1. det A = det A , wobei die Matrix A = (aji )i,j=1,...,n die Transponierte von A ist, die entsteht, wenn man Zeilen und Spalten der Matrix A vertauscht (man spiegelt also gewissermaßen alle Eintr¨ age an der mittleren Diagonalen und h¨ alt nur die Eintr¨ age auf derselben, d.h. die aii , fest). 2. Vertauschen von Zeilen (Spalten) verkehrt das Vorzeichen der Determinante, d.h. wenn B diejenige Matrix ist, bei der man die i-te und die k-te Zeile (Spalte) von A vertauscht hat, so gilt det B = − det A . 3. Es gilt der Produktsatz: det(AB) = det A det B . Insbesondere gilt f¨ ur invertierbare Matrizen A: det A−1 =

1 . det A

4. Die Determinante ist linear in jeder Spalte (und jeder Zeile), d.h. ur die erste Spalte: f¨ ur λ ∈ R, b ∈ Rn gilt f¨ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ λa11 + b1 a12 . . . a1n a11 a12 . . . a1n ⎜ λa21 + b2 a22 . . . a2n ⎟ ⎜ a21 a22 . . . a2n ⎟ ⎟= ⎜ ⎟ det ⎜ λ det ⎝ ⎠ ⎝... ⎠ ... λan1 + bn a12 . . . a1n an1 a12 . . . a1n ⎛

⎞ b1 a12 . . . a1n ⎜ b2 a22 . . . a2n ⎟ ⎟ + det ⎜ ⎝. . . ⎠ bn a12 . . . a1n und entsprechend f¨ ur die anderen Spalten (bzw. Zeilen). Ohne Beweis f¨ uhren wir nun die folgenden drei S¨atze an, die die Ergebnisse des vorigen Abschnitts verallgemeinern.

198

11 Lineare Gleichungssysteme

Satz 11.11. Sei A eine n × n–Matrix. Dann sind folgende Aussagen aquivalent: ¨ 1. Die Matrix A hat vollen Rang, d.h. Rang A = n. 2. A ist bijektiv. 3. A hat eine von null verschiedene Determinante, d.h. det A = 0. Satz 11.12. F¨ ur jede n × n-Matrix A mit Rang A = n gilt, dass das lineare Gleichungssystem Ax = b stets genau eine L¨ osung x∗ hat. Diese L¨ osung ist durch die Cramer’sche Regel gegeben: det Ai (i = 1, . . . , n) , x∗i = det A wobei Ai diejenige Matrix ist, die man erh¨ alt, wenn man in A die i-te Spalte durch den Zielvektor b ersetzt. Satz 11.13. Sei A eine n × n–Matrix mit Rang n. Die Inverse A−1 ist explizit gegeben durch die Formel ⎛ ⎞ B11 . . . B1n 1 ⎜ . .. ⎟ , A−1 = ⎝ .. . ⎠ det A Bn1 . . . Bnn wobei der Kofaktor Bik gegeben ist durch: Bik = (−1)i+k det (A ohne i-te Zeile und k-te Spalte) . (Man beachte, dass bei der Bestimmung der Inversen die Matrix der Kofaktoren zu transponieren ist.) Zum Abschluss dieses Abschnitts besprechen wir noch eine einfache, n¨ utzliche Regel f¨ ur die Bestimmung von Determinanten von 3 × 3– Matrizen (die aber nur f¨ ur 3 × 3-Matrizen gilt!), die Regel von Sarrus. Sei also A eine 3 × 3-Matrix: ⎛ ⎞ ab c A = ⎝d e f ⎠ ghi Laut Definition ist die Determinante von A gegeben durch       e f d f  d e        det A = a  − b + c h i g i g h = a(ei − f h) − b(di − f g) + c(dh − eg) = aei + bf g + cdh − af h − bdi − ceg . Diese Formel kann man sich wie in Abbildung 11.1 erl¨autert merken.

11.4 Determinanten

a d

b @ @

e

g -ceg

h

c @ @ @ @

-afh

-bdi

f i

@ @ @ @

a

b

d

e

g

@ R @

@ @

199

h

@ R @

@ R @

+aei +bfg +cdh

Abb. 11.1. Die Regel von Sarrus. Man schreibt die ersten zwei Spalten der Matrix noch einmal neben die Matrix und berechnet das Produkt der Zahlen entlang der Diagonalen. Wenn man nach links l¨auft, setzt man ein Minus vor das Produkt.

¨ Ubungen Aufgabe 11.1. Sei A eine beliebige m × n–Matrix. Unter der transponierten Matrix A versteht man diejenige n × m–Matrix, bei der Spalten und Zeilen von A vertauscht wurden. Es gilt also A ji = Aij f¨ ur i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. 1. Bestimme die Transponierten von     125 1201 , . 268 3600 2. Zeige f¨ ur 2 × 2–Matrizen A und B, dass (AB) = B A gilt! 3. F¨ ur Mutige: Zeige dies allgemein f¨ ur p × q–Matrizen A und q × r– Matrizen B! Aufgabe 11.2. Gib quadratische 2 × 2–Matrizen A und B = 0 an, die AB = 0 erf¨ ullen! Aufgabe 11.3. Zeige, dass f¨ ur p × q–Matrizen A und Vektoren x ∈ Rq und y ∈ Rp gilt Ax, y = x, A y gilt (vgl. Problem 11.1).

200

11 Lineare Gleichungssysteme

Aufgabe 11.4. L¨ ose folgende lineare Gleichungssysteme: ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞      15 8 x1 1 1 ⎝ 0.5 0.5 x1 = , 2 4 −1 ⎠ ⎝ x2 ⎠ = ⎝ 2 ⎠ . x2 2 0.3 0.7 39 7 0 x3 Aufgabe 11.5. Bestimme die Determinante und, wenn m¨ oglich, die Inverse folgender 2 × 2–Matrizen:       12 01 1 1 , , . 34 10 −1 1 Aufgabe 11.6. Sei

 A=

ab cd



eine beliebige 2 × 2–Matrix und B die durch Vertauschen der Spalten entstandene Matrix. Man u ¨berzeuge sich direkt, dass det A = − det B gilt! Aufgabe 11.7. Bestimme die Determinanten folgender 4×4–Matrizen (und verwende geschickt die Rechenregeln): ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 1 −3 2 4 12 3 4 1 2 3 4 ⎜ 0 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 2 −2 1 ⎟ ⎜ 13 11 −2 6 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 3 2 1 1 ⎠ , ⎝ 1 0 0 0 ⎠ , ⎝ 7.1 0 −3 73 ⎠ . 2 4 6 8 1 0 02 20 3 0 Aufgabe 11.8. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem Ax = b mit ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1234 1 ⎜1 2 3 0⎟ ⎜1⎟ ⎟ ⎜ ⎟ A=⎜ ⎝ 1 2 0 0 ⎠ und b = ⎝ 2 ⎠ . 1010 3 Man bestimme die L¨ osung x2 mit Hilfe der Cramer’schen Regel! Aufgabe 11.9. Bestimme jeweils, ob die Matrizen vollen Rang haben: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 2 3 6   1 49 ⎜1 2 2 4 ⎟ 12 ⎝ ⎟ 0 1 2⎠,⎜ , ⎝ 1 2 1 −1 ⎠ . 34 −1 2 0 000 1

12 Weiterfu ¨ hrende Themen

Zum Abschluss des Kapitels u ¨ber Lineare Algebra besch¨aftigen wir nun noch einmal konkreter mit quadratischen Matrizen und ihren Eigenschaften. Wir verlassen dabei zun¨ achst f¨ ur einen Moment die linearen Abbildungen und wenden uns stattdessen den quadratischen Formen als Vertreter der nichtlinearen mehrdimensionalen Funktionen zu. Insbesondere wollen wir uns mit speziellen quadratischen Polynomen besch¨aftigen, welche eng mit quadratischen Matrizen zusammenh¨angen. Wir werden sp¨ ater sehen, dass diese bei der Optimierungstheorie eine große Rolle spielen. Im Anschluss daran kommen wir noch einmal zu den Eigenschaften quadratischer Matrizen als Repr¨ asentanten linearer Abbildungen zur¨ uck. Konkret besprechen wir mit den Eigenwerten ein weiteres Charakteristikum quadratischer Matrizen, welches insbesondere f¨ ur die Analyse der Konvergenzeigenschaften dynamischer Systeme von Bedeutung ist. Doch nun zuerst zu den quadratischen Formen.

12.1 Quadratische Formen und Definitheit Der Typ von quadratischen Polynomen, den wir im Folgenden n¨aher untersuchen wollen, l¨ asst sich wie folgt formal beschreiben: Definition 12.1. Sei A eine n × n–Matrix. Dann heißt die Funktion QA : Rn → R mit QA (x) = x, Ax =

n n   i=1 j=1

die zu A geh¨ orige quadratische Form.

aij xi xj

202

12 Weiterf¨ uhrende Themen

Bevor wir n¨ aher auf die Analyse dieser Funktionen eingehen, ist es hilfreich festzustellen, dass wir uns auf den Fall symmetrischer Matrizen beschr¨anken k¨onnen. Der Vorteil symmetrischer Matrizen liegt darin, dass bei diesen immer die i-te Spalte und die i-te Zeile gleich sind und diese Symmetrie das Rechnen oft vereinfacht. Definition 12.2. Eine n × n–Matrix A heißt symmetrisch, wenn f¨ ur uckt, wenn gilt: alle i, j = 1, . . . , n gilt aij = aji , oder anders ausgedr¨ A = A . Nat¨ urlich m¨ ussen wir noch begr¨ unden, warum wir uns auf symmetrische beschr¨ anken k¨ onnen. Sei also A beliebig und sei  Matrizen  B = 12 A + A . Dann ist B symmetrisch, denn es gilt: bij =

1 1 (aij + aji ) = (aji + aij ) = bji . 2 2

Die Behauptung ist nun, dass die quadratische Form von A dieselbe ist wie die von B, d.h. QA = QB . Wenn das so ist, so haben wir durch Betrachtung aller quadratischen Formen, welche sich aus symmetrischen Matrizen ergeben, offenbar auch alle anderen quadratischen Formen mit abgedeckt. Um zu zeigen, dass dies in der Tat so ist, u ufen ¨berpr¨ wir unsere Behauptung durch Nachrechnen f¨ ur ein beliebiges x ∈ Rn : QB (x) = =

n n  

bij xi xj i=1 j=1 n  n 

1 2 

i=1 j=1



= 21 QA (x)

1  aji xi xj . 2 n

aij xi xj + 

n

i=1 j=1

Da der erste Summand gleich 12 QA (x) ist, verbleibt zu zeigen, dass selbiges f¨ ur den zweiten Summanden gilt. Wir m¨ ussen also zeigen, dass gilt: n  n  n n   ! aji xi xj = aij xi xj = QA (x) . i=1 j=1

i=1 j=1

Das Ausrufezeichen u ¨ber dem ersten Gleichheitszeichen deutet an, dass diese Gleichheit noch zu beweisen ist. Dies erledigt man, indem man nachweist, dass in beiden Doppelsummen letztlich die gleichen Terme aufsummiert werden. Um dies zu sehen, vertauschen wir in der ersten Doppelsumme zun¨ achst einfach die Summationsreihenfolge (dies

12.1 Quadratische Formen und Definitheit

203

ist unproblematisch aufgrund des Kommutativgesetzes) und schreiben das xj zuerst. Wir erhalten so: n n   j=1 i=1

!

aji xj xi =

n n  

aij xi xj .

i=1 j=1

Sp¨atestens jetzt sollte aber klar werden, dass auf der linken Seite exakt dasselbe steht wie auf der rechten, da sowohl i als auch j auf beiden Seiten von 1 bis n laufen. Wenn wir also Zahlen f¨ ur i und j einsetzen und dabei auf der linken Seite erst zu jedem j alle i durchgehen, bevor wir j um eins erh¨ ohen, und gleichzeitig auf der rechten Seite zu jedem i erst alle j durchgehen, so sieht man, dass wir auf beiden Seiten genau dieselben Summanden bekommen (die Reihenfolge der Summation ist wegen der Kommutativit¨ at f¨ ur das Ergebnis irrelevant). Somit haben ur den Rest dieses Abschnitts wir gezeigt, dass gilt QA (x) = QB (x). F¨ k¨onnen wir also annehmen, dass A symmetrisch ist. Beispiel 12.1. Um einen ersten konkreten Eindruck des neuen Funktionstyps zu erhalten, betrachten wir die quadratischen Formen im R2 f¨ ur die Einheitsmatrix     10 1 0 I= sowie f¨ ur A = . 01 0 −1 F¨ ur diese gilt: QI (x1 , x2 ) = x21 + x22 sowie QA (x1 , x2 ) = x21 − x22 . Graphisch haben wir im ersten Fall ein nach oben offenes Paraboloid, im zweiten die Sattelfl¨ ache. Die Bilder 12.1 und 12.2 veranschaulichen dies. Wie wir sp¨ater im Teil Analysis II sehen werden, ist die geeignete Verallgemeinerung der zweiten Ableitung einer Funktion f : Rp → R durch eine symmetrische quadratische Matrix gegeben. Wie im Eindimensionalen werden wir diese zweite Ableitung sp¨ater dazu benutzen zu u ufen, ob ein Maximum oder Minimum vorliegt. Allerdings ¨berpr¨ ben¨otigt man im mehrdimensionalen Fall nicht das Vorzeichen der Matrix (das ja auch nicht definiert ist), sondern eine andere Eigenschaft, die wir nun definieren. Definition 12.3. Sei A eine symmetrische p × p–Matrix. 1. A heißt positiv definit, wenn f¨ ur alle x = 0 gilt QA (x) > 0.

204

12 Weiterf¨ uhrende Themen

2. A heißt positiv semidefinit, wenn f¨ ur alle x = 0 gilt QA (x) ≥ 0. 3. A heißt negativ (semi)definit, wenn −A positiv (semi)definit ist. 4. Wenn es sowohl x mit QA (x) > 0 als auch y mit QA (y) < 0 gibt, so heißt A indefinit.

2

1.5

1

0.5

–1 0.5

1

–0.5 x2

x1

–1

1

Abb. 12.1. Das Paraboloid x21 + x22 .

Im Folgenden entwickeln wir eine Methode, die uns dabei hilft, die Definitheit einer Matrix zu bestimmen. Um eine Vorstellung davon zu bekommen, beginnen wir wieder mit dem 2 × 2–Fall. Sei also A eine symmetrische 2 × 2-Matrix, d.h.   ab A= . bc Dann gilt f¨ ur alle x ∈ R2 : QA (x) = ax21 + 2bx1 x2 + cx22 . Durch quadratische Erg¨ anzung erh¨ alt man daraus:   b QA (x) = a x1 + 2 x1 x2 + cx22 a und somit:

12.1 Quadratische Formen und Definitheit

205

1

0.5

–1 1

0.5

–0.5 x2

x1

–1

1

–0.5

–1

Abb. 12.2. Die Sattelfl¨ ache x21 − x22 .

 2   b b2 QA (x) = a x1 + x2 + c − x22 . a a

(12.1)

Damit dies f¨ ur alle x = 0 immer positiv ist, muss insbesondere a > 0 sein (man setze x2 = 0, um dies zu sehen). Außerdem muss der vor x22 positiv sein, da bei geeigneter Wahl von x die Klammer Ausdruck  x1 + ab x2 gleich null wird. Es folgt also:   b2 ac − b2 0< c− = . a a Im Z¨ahler steht nun aber offenbar die Determinante von A. Wenn also A positiv definit ist, dann ist a > 0 und det A > 0. Umgekehrt sieht man an Gleichung (12.1), dass diese beiden Bedingungen auch hinreichend f¨ ur die positive Definitheit von A sind. Damit haben wir die G¨ ultigkeit des folgenden Satzes bereits bewiesen. Satz 12.1 (Hurwitz, 2 × 2). Eine 2 × 2-Matrix A der Form   ab A= bc ist genau dann positiv definit, wenn sowohl a > 0 als auch det A > 0 gilt. Sie ist negativ definit, wenn sowohl a < 0 als auch det A > 0 gilt. Sie ist indefinit, wenn gilt det A < 0.

206

12 Weiterf¨ uhrende Themen

Beweis. Das Kriterium f¨ ur positive Definitheit haben wir oben schon nachgerechnet. Laut Definition ist A negativ definit, wenn −A positiv definit ist. Nach dem Vorangehenden ist dies genau dann der Fall, wenn −a > 0 und det(−A) > 0 ist. Nun gilt aber: det(−A) = (−a)(−c) − (−b)(−b) = ac − b2 = det A. Also muss auch bei einer negativ definiten Matrix det A > 0 gelten. Um zu sehen, dass A indefinit ist, wenn gilt det A < 0, f¨ uhre man sich noch einmal Gleichung (12.1) vor Augen. Diese l¨asst sich auch schreiben als: 2  b det A 2 x2 . QA (x) = a x1 + x2 + a a Sei nun etwa a > 0. Dann erh¨ alt man QA (1, 0) = a > 0 und QA (0, 1) = det A < 0. Also ist A indefinit. Mit umgekehrten Vorzeichen erh¨alt man a ¨ dasselbe Ergebnis bei a < 0. Den Fall a = 0 lassen wir zur Ubung.
Bei genauerem Betrachten des obigen Satzes stellt sich die Frage, warum eigentlich nur a > 0 gefordert wird und nicht auch c > 0. Der Grund daf¨ ur ist, dass man c > 0 nicht explizit zu fordern braucht, da es sich automatisch aus der Bedingung det A > 0 ergibt. Aus det A > 0 folgt n¨amlich ac > b2 , und wegen a > 0 folgt damit auch c > b2 /a > 0. Dieses Argument greift allerdings nicht, wenn a = 0 ist. Dies ist auch der tiefere Grund daf¨ ur, dass wir bei folgendem Kriterium f¨ ur Semidefinitheit zus¨ atzlich c ≥ 0 fordern m¨ ussen. Satz 12.2 (Semi–Hurwitz, 2 × 2). Eine 2 × 2-Matrix A der Form   ab A= bc ist genau dann positiv semidefinit, wenn gilt: a ≥ 0, det A ≥ 0 und c ≥ 0. Im Folgenden geben wir ohne Beweis die Verallgemeinerung der Hurwitz’schen Kriterien auf allgemeine p × p–Matrizen an. Sei hierzu ⎞ ⎛ a11 . . . a1p ⎟ ⎜ A = ⎝ ... . . . ... ⎠ ap1 . . . app eine p × p–Matrix. F¨ ur k = 1, 2, . . . , p definieren wir dann jeweils eine k × k-Matrix Mk wie folgt:

12.1 Quadratische Formen und Definitheit

⎛

207

⎞

a11 . . . a1k ⎜ .. . . .. ⎟ Mk = ⎝ . . . ⎠. ak1 . . . akk Die Matrix Mk entspricht dann genau der quadratischen k × k–Matrix aus der “linken oberen Ecke” von A. Das bedeutet, wir erhalten Mk aus A durch Streichen der Zeilen und Spalten k + 1 bis n. Ferner bezeichnen wir die Determinante von Mk , d.h. mk = det Mk , als den k. f¨ uhrenden Hauptminor von A. Unter Bezugnahme auf die f¨ uhrenden Hauptminoren von A k¨ onnen wir nun den Satz von Hurwitz f¨ ur allgemeine p × p-Matrizen angeben. Satz 12.3 (Hurwitz, p × p). Die p × p–Matrix A ist genau dann positiv definit, wenn alle f¨ uhrenden Hauptminoren mk > 0 sind. ¨ Zur Ubung vergleichen wir diesen allgemeinen mit dem 2 × 2–Fall. Da Letzterer ja in dem allgemeinen Satz enthalten ist, sollte schließlich dasselbe herauskommen. Sei also   ab A= . bc Dann gilt: M1 = (a) und M2 = A. Damit ist m1 = a und m2 = det A. Die Bedingungen des allgemeinen und des speziellen Satzes stimmen also in der Tat u ¨berein. F¨ ur Semidefinitheit hatten wir noch die rechte untere Ecke zu u ¨berpr¨ ufen (die Bedingung hier war c ≥ 0). Im allgemeinen Fall bedeutet dies, dass wir die Determinanten aller beliebigen k × k–Untermatrizen von A zu u ufen haben, die enstehen, wenn man jeweils diesel¨berpr¨ ben p − k Spalten und Zeilen aus A streicht. Die Determinanten dieser Matrizen nennt man die k-ten Hauptminoren von A. Satz 12.4 (Semi–Hurwitz, p×p). Die p×p–Matrix A ist genau dann positiv semidefinit, wenn alle k-ten Hauptminoren von A gr¨ oßer oder gleich null sind, k = 1, . . . , p. Wir geben zur Vertiefung noch ein Beispiel f¨ ur den Fall p = 3 an. Beispiel 12.2. Wir betrachten die folgende 3 × 3–Matrix: ⎛ ⎞ 2 −1 −1 A = ⎝−1 2 −1⎠ . −1 −1 2

208

12 Weiterf¨ uhrende Themen

F¨ ur diese Matrix wollen wir nun unter Zuhilfenahme der obigen Resultate die Definitheit bestimmen. Wir beginnen mit der Determinante. Mit der Regel von Sarrus sieht man, dass det A = 8 − 1 − 1 − 2 − 2 − 2 = 0 ist. Folglich ist A nicht positiv definit. Bleibt zu pr¨ ufen, ob A positiv semi-definit ist. Dazu m¨ ussen wir alle k-ten Hauptminoren von A berechnen. Wir beginnen mit dem Fall k = 1, d.h. wir streichen immer zwei Zeilen und Spalten aus A. Wenn man in A die zweite und die dritte Zeile und Spalte streicht, bleibt nur das Element 2 in der oberen linken Ecke. Wenn man die erste und die dritte Zeile und Spalte streicht, bleibt nur das zweite Element der zweiten Zeile, welches wieder gleich 2 ist. Streicht man schließlich die erste und die zweite Zeile und Spalte von A, so ergibt sich der verbleibende Hauptminor erster Ordnung als 2. Die Hauptminoren erster Ordnung sind also alle gr¨ oßer null. Dar¨ uberhinaus gibt es noch drei Hauptminoren zweiter Ordnung. So erh¨ alt man nach Streichen der ersten Zeile und der ersten Spalte die Matrix   2 −1 ˜ , A1 = −1 2 mit positiver Determinante det A˜1 = 3. Streicht man die zweite Zeile und zweite Spalte, so erh¨ alt man wieder   0 −3 ˜ A1 = , 2 1 mit ja schon bekannter Determinante det A˜1 = 3. Schließlich bleibt auch nach Streichen der dritten Zeile und Spalte die Matrix A˜1 . Da alle Hauptminoren gr¨ oßer oder gleich null sind, ist A positiv semidefinit.

12.2 Eigenwerte Zum Abschluss unserer Untersuchungen linearer Strukturen besch¨aftigen wir uns nun mit den Eigenwerten einer Matrix. Diese begegnen uns in der Volkswirtschaftslehre beispielsweise beim Studium dynamischer Systeme. ¨ Okonomisches Beispiel 12.5 Ein dynamisches System beschreibt man durch einen Anfangszustand x0 ∈ Rp sowie ein Bewegungsgesetz der Form

12.2 Eigenwerte

209

xt+1 = f (xt ) Rp

f¨ ur eine Funktion f : → Rp . Das Bewegungsgesetz gibt an, in welchem Zustand das System zum Zeitpunkt t + 1 sein wird, wenn es im Zeitpunkt t im Zustand xt ist. Als einfaches Beispiel nehmen wir ein eindimensionales System, bei dem x das Bruttoinlandsprodukt eines Landes sei. Wenn die Wirtschaft mit einer Rate µ w¨ achst, so gilt f¨ ur λ=1+µ xt+1 = λxt . Hierbei ist µ > −1, da ein “Wachstum” von weniger als −100% nicht m¨ oglich ist. Wir haben dann also x1 = λx0 , x2 = λx1 = λ2 x0 , . . . und allgemeiner xt = λt x0 . F¨ ur λ > 1, d.h. bei positivem Wachstum, w¨ achst das BIP also exponentiell. Bei Nullwachstum, d.h. f¨ ur λ = 1, haben wir Stagnation. F¨ ur ur alle t gilt dann xt = x0 . Bei negativem Wachstum wiederum, d.h. f¨ µ < 0, konvergiert die Folge der xt gegen null. Obwohl dieses Beispiel recht einfach ist, ist es doch typisch f¨ ur die Klassifizierung hochdimensionaler linearer Systeme der Form xt+1 = Axt f¨ ur eine p × p–Matrix A. Nehmen wir n¨ amlich einmal an, wir haben einen Vektor x0 , der die Gleichung Ax0 = λx0 f¨ ur eine reelle Zahl λ erf¨ ullt. Dann erhalten wir wie oben durch Iteration x1 = λx0 , x2 = λx1 , . . . und schließlich xt = λt x0 . F¨ ur −1 < λ < 1 konvergiert das System also wieder gegen Null. Vektoren x0 , die unter dem Bewegungsgesetz A auf ein λfaches ihrer selbst abgebildet werden, spielen also eine besondere Rolle. Sie heißen Eigenvektoren von A.

210

12 Weiterf¨ uhrende Themen

Definition 12.4. Sei A eine p × p–Matrix. Eine Zahl λ ∈ R heißt Eigenwert von A, wenn es einen Vektor x ∈ Rp , x = 0, gibt, so dass gilt: Ax = λx . In diesem Fall heißt der Vektor x Eigenvektor von A zum Eigenwert λ. Beispiel 12.3. a) F¨ ur die Einheitsmatrix I gilt stets Ix = x. Die 1 ist also der einzige Eigenwert von I und jeder Vektor x = 0 ist Eigenvektor von I. b) Sei

⎞ λ1 0 . . . 0 ⎜ 0 λ2 . . . 0 ⎟ ⎟ ⎜ A = ⎜ .. ⎟ ⎠ ⎝. 0 . . . 0 λp ⎛

eine Diagonalmatrix mit Eintr¨ agen λk auf der Diagonalen und Nullen sonst. Dann gilt f¨ ur den k-ten Einheitsvektor ek : Aek = λk ek . Die λk sind also gerade die Eigenwerte von A, und alle Vielfachen von ek sind Eigenvektoren von A zum Eigenwert λk . c) Wenn die Matrix A nicht vollen Rang hat, wenn also gilt det A = 0, dann gibt es einen Vektor x = 0 mit Ax = 0 = 0x. In einem solchen Fall ist also 0 ein Eigenwert, und alle Vektoren ungleich 0 im Kern von A sind zugeh¨orige Eigenvektoren. Lemma 12.1. Sei A eine p × p–Matrix und λ ∈ R ein Eigenwert von A. Die Menge U (λ) = {x ∈ Rp : Ax = λx} bestehend aus allen Eigenvektoren zu λ und dem Nullvektor bildet einen Unterraum des Rp . U (λ) heißt Eigenraum zum Eigenwert λ. Beweis. Wir verwenden das Unterraumkriterium (Lemma 10.2). Der Nullvektor geh¨ort per Definition zu U (λ). Seien nun x, y ∈ U (λ). Wir m¨ ussen zeigen, dass damit auch die Differenz x − y ein Eigenvektor und somit ein Element von U (λ) ist. Dies folgt wegen: A(x − y) = Ax − Ay = λx − λy = λ(x − y) .

12.2 Eigenwerte

211

Also ist auch x − y ein Eigenvektor. Genauso gilt f¨ ur jede Zahl µ ∈ R A(µx) = µAx = µλx = λ(µx) , und damit ist auch der Vektor µx ein Eigenvektor.




Lemma 12.2. Eigenvektoren verschiedener Eigenwerte sind linear unabh¨ angig. Anders ausgedr¨ uckt: Seien λ1 , λ2 , . . . , λk verschiedene Eigenorige Eigenvektoren. Dann sind werte von A und seien x1 , . . . , xk zugeh¨ angig und es gilt: x1 , . . . , xk linear unabh¨ U (λi ) ∩ U (λj ) = {0}

(i = j) .

Beweis. Wir zeigen nur die letzte Aussage. Sei x ∈ U (λ1 )∩U (λ2 ). Setze α = λ1 − λ2 . Nach Voraussetzung ist α = 0. Andererseits gilt aber: αx = λ1 x − λ2 x = Ax − Ax = 0 . Also folgt x = 0. Das war zu zeigen.




Die Frage, die sich stellt, ist, wie man nun im Allgemeinen die Eigenwerte zu einer Matrix A findet. Dieser Frage wollen wir im Folgenden nachgehen. Dazu nehmen wir zun¨ achst einmal an, dass λ ein Eigenwert von A ist und x ein zugeh¨ origer Eigenvektor. Dann gilt f¨ ur die Matrix B = A − λI : Bx = Ax − λx = 0 . Anders gesagt, B ist nicht injektiv, denn x und 0 werden auf denselben Vektor abgebildet. Damit gilt det B = 0. Dies f¨ uhrt uns auf folgende Definition. Definition 12.5. Sei A eine p × p–Matrix. Das Polynom cA : R → R λ → det(A − λI) heißt das charakteristisches Polynom von A. Wie wir oben bereits gesehen haben, sind die Eigenwerte von A gerade die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Da auch die Umkehrung gilt, haben wir das zun¨ achst sehr kompliziert aussehende Problem der Suche nach Eigenwerten auf etwas zur¨ uckgef¨ uhrt, das wir schon kennen: die Suche nach Nullstellen einer (eindimensionalen) reellen Funktion.

212

12 Weiterf¨ uhrende Themen

Beispiel 12.4. a) F¨ ur die p-dimensionale Einheitsmatrix I ist das charakteristische Polynom gegeben durch: cI (λ) = det((1 − λ)I) = (1 − λ)p . Die einzige Nullstelle dieses Polynoms ist λ = 1. b) F¨ ur die Matrix

  11 A= 02

ist das charakteristische Polynom gegeben durch:   1 − λ 1    = (1 − λ)(2 − λ) . cA (λ) =  0 2 − λ Die Eigenwerte von A sind also λ1 = 1 und λ2 = 2. c) F¨ ur die Matrix

 A=



1 2 −1 1

gilt cA (λ) = (1 − λ)2 + 2 > 0 . Die Matrix A hat somit keine (reellen) Eigenwerte! Das letzte Beispiel nehmen wir zum Anlass, auf komplexe Zahlen auszuweichen (vgl. Abschnitt 2.5). In den komplexen Zahlen haben wegen des Fundamentalsatzes der Algebra 2.2 alle Polynome Nullstellen. Auch die Matrix   1 2 A= −1 1 hat also Eigenwerte, nur eben komplexe und keine reellen. Da uns auch komplexe Eigenwerte erlauben, wertvolle Informationen u ¨ber die zugeh¨origen reellen Matrizen zu gewinnen, betrachten wir f¨ ur den Rest dieses Abschnitts den Vektorraum der p–dimensionalen komplexen Vektoren Cp . Der zu Grunde liegende Rechenk¨orper sind also die komplexen Zahlen C. Nach diesem Wechsel des Rechenk¨ orpers kehren wir nun noch einmal zu dem obigen Beispiel mit der charakteristischen Funktion cA (λ) = (1 − λ)2 + 2 = λ2 − 2λ + 3

12.2 Eigenwerte

213

zur¨ uck. In den komplexen Zahlen hat dieses Polynom nun zwei Nullstellen, n¨amlich (nach der u ur quadratische Gleichungen) ¨blichen Formel f¨ √ √ λ1,2 = 1 ± −2 = 1 ± i 2 . Insbesondere k¨ onnen wir cA (λ) somit schreiben als: √ √ cA (λ) = (1 + i 2 − λ1 )(1 − i 2 − λ2 ) . Diese Produktzerlegung u ¨ber die Nullstellen gilt sogar auch allgemeiner. So k¨onnen wir in den komplexen Zahlen jedes Polynom vom Grad p schreiben als cA (λ) = (c1 − λ1 )(c2 − λ2 ) · · · (cp − λp ) , wobei c1 , . . . , cp komplexe Zahlen sind — im Fall eines charakteristischen Polynoms sind dies die Eigenwerte von A. Im Allgemeinen k¨onnen die ci dabei auch durchaus zum Teil den gleichen Wert haben; man spricht dann von einer mehrfachen Nullstelle. F¨ ur den Augenblick wollen wir aber annehmen, dass wir es mit einer Matrix A zu tun haben, f¨ ur die alle Eigenwerte verschieden sind. ahlen wir dann einen dazugeh¨origen EigenZu jedem Eigenwert ck w¨ aß Lemma 12.2 sind diese Eigenvektoren dann linear vektor xk . Gem¨ unabh¨angig. Da es zudem p St¨ uck sind, bilden sie eine Basis des Cp . Sei ferner X = (x1 x2 . . . xp ) die Matrix, die aus den Eigenvektoren zu den Eigenwerten λ1 , . . . , λp besteht. Da die Eigenvektoren linear unabh¨angig sind, hat die Matrix X vollen Rang und ist somit invertierbar. Wir k¨onnen also wie folgt eine Matrix B defininieren: B = X −1 AX . Wir behaupten nun, dass B ¨ ahnlich zu A ist in der Hinsicht, dass B dieselben Eigenvektoren wie A hat. Ferner ist B eine Diagonalmatrix. Die Richtigkeit dieser Behauptungen ergibt sich wie folgt. Zun¨achst einmal gilt (vgl. Rechenregeln f¨ ur Determinanten, Satz 11.10): cB (λ) = det(B − λI) = det(X −1 AX − λI) = det(X −1 AX − λX −1 IX)   = det X −1 (A − λI)X   = det X −1 det(A − λI) det(X) =

1 cA (λ) det X = cA (λ) . det X

214

12 Weiterf¨ uhrende Themen

Die charakteristischen Funktionen von A und B stimmen also in der Tat u ¨berein. Folglich haben diese dieselben Nullstellen und A und B die gleichen Eigenwerte. Um zu sehen, dass B diagonal ist, w¨ ahlen wir einen beliebigen Einheitsvektor ek . Per Definition von X gilt dann Xek = xk und daher auch ek = X −1 xk . Damit folgt: Bek = X −1 AXek = X −1 Axk = X −1 ck xk = ck X −1 xk = ck ek . Nun ist Bek aber gerade die k-te Spalte von B. Da diese gerade durch ck ek gegeben ist, hat sie u ¨berall Nullen außer auf der Diagonalen. B ist also in der Tat auch eine Diagonalmatrix. Wie bereits angedeutet, haben wir allerdings insofern einen Spezialfall betrachtet, als dass wir angenommen haben, dass alle Eigenwerte von A verschieden sind. Dies ist, wie bereits erw¨ahnt, im Allgemeinen nicht der Fall. D.h., manche ck des charakteristischen Polynoms einer Matrix k¨onnen durchaus den gleichen Zahlenwert annehmen, und dann gibt es nicht unbedingt eine Basis aus Eigenvektoren. Wann immer es ¨ eine solche Basis aber gibt, gelten die obigen Uberlegungen: Satz 12.6. Sei A eine p × p-Matrix. Wenn es zu A eine Basis des Cp aus Eigenvektoren {x1 , . . . , xp } mit Eigenwerten c1 , . . . , cp gibt, so gibt es eine invertierbare Matrix X, f¨ ur die gilt: ⎛ ⎞ c1 0 . . . 0 ⎜ 0 c2 . . . 0 ⎟ ⎜ ⎟ X −1 AX = ⎜ .. ⎟. ⎝. ⎠ 0 . . . 0 cp Wir sagen dann: A ist diagonalisierbar bzw. A ist zu der Matrix ⎞ ⎛ c1 0 . . . 0 ⎜ 0 c2 . . . 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ .. ⎠ ⎝. 0 . . . 0 cp ahnlich. ¨ Ein besonders einfacher Spezialfall sind die reellen symmetrischen Matrizen. F¨ ur diese gibt es immer eine Basis aus Eigenvektoren, und alle Eigenwerte sind reell.

12.2 Eigenwerte

215

Satz 12.7. Jede reelle symmetrische p × p-Matrix A ist diagonalisierbar, d.h. es gibt eine invertierbare Matrix X sowie reelle Eigenwerte λ1 , . . . , λp mit ⎛ ⎞ λ1 0 . . . 0 ⎜ 0 λ2 . . . 0 ⎟ ⎜ ⎟ X −1 AX = ⎜ .. .. ⎟ . ⎝. .⎠ 0 . . . 0 λp Wenn man Matrizen diagonalisieren kann, ist es viel leichter, mit ihnen zu arbeiten. Als ein Beispiel halten wir fest: Korollar 12.1. Eine reelle symmetrische Matrix A ist genau dann positiv definit, wenn f¨ ur alle Eigenwerte von A gilt λi > 0. Um nach so viel theoretischer Arbeit den Blick f¨ ur das Wesentliche nicht zu verlieren, zum Abschluss noch ein ¨okonomisches Beispiel. ¨ Okonomisches Beispiel 12.8 Demographische Entwicklung und die Rente. Wir betrachten ein lineares dynamisches System zur Bev¨ olkerungsentwicklung. Dazu nehmen wir vereinfachend an, die Bev¨ olkerung bestehe nur aus zwei Typen Mensch: Arbeitern und Rentnern. Die Anzahl Arbeiter zu einem Zeitpunkt t bezeichnen wir mit At , die Anzahl Rentner mit Rt . Zwischen je zwei Zeitpunkten geschieht nun folgendes: 1. Ein Teil der alten Arbeiter geht in Rente und neue Arbeiter werden ¨ geboren (bzw. kommen durch entsprechendes Alterwerden im Modell nicht erfasster j¨ ungerer Generationen hinzu). Konkret nehmen wir an, dass jedes Jahr rAt Arbeiter in Rente gehen und bAt Arbeiter neu geboren werden. Die Zahl b entspricht dabei der Zahl der Neugeburten pro Arbeiter in der Zeit von t bis t + 1. Die Anzahl Arbeiter in Jahr t + 1 ergibt sich also zu: At+1 = At + bAt − rAt = (1 + b − r) At . 2. Ein Teil der Rentner verstirbt und neue Rentner kommen hinzu, wie oben bereits beschrieben. Gehen wir von einer konstanten Sterberate d aus, so ergibt sich die Gesamtzahl der Rentner in Jahr t + 1 wie folgt: Rt+1 = Rt − dRt + rAt , d.h. wir verlieren pro Jahr dRt Rentner und rAt kommen neu hinzu.

216

12 Weiterf¨ uhrende Themen

Beide Effekte gemeinsam lassen sich kompakt schreiben als:     At At+1 =U , Rt+1 Rt ¨ wobei U die Ubergangsmatrix bezeichnet, d.h.   1+b−r 0 U= . r 1−d Die Frage, die uns interessiert, ist nun, wie sich die durch obiges lineare Gleichungssystem beschriebene Bev¨ olkerung ausgehend von einem beliebigen Startpunkt A0 , R0 u ¨ber die Zeit entwickelt. Insbesondere ist mit Blick auf die Finanzierung des Rentensystems interessant, wie sich das Verh¨ altnis von Rentnern zu Arbeitern, d.h. der Quotient Rt , At u andert. ¨ber die Zeit ver¨ Um dieser Frage auf den Grund zu gehen, wollen wir nachfolgend orige Eigenversuchen, die Eigenwerte λ1 und λ2 von U sowie zugeh¨ vektoren v und w zu bestimmen. Falls die so erhaltenen Eigenvektoren v und w n¨ amlich linear unabh¨ angig sind, k¨ onnen wir den Startvektor unserer Population schreiben als:       v1 w1 A0 = α1 + α2 , R0 v2 w2 mit α1 , α2 ∈ R. Entsprechend vereinfacht ließe sich dann auch die Populationsdynamik angeben durch:     At t A0 =U = U t−1 U (α1 v + α2 w) Rt R0 = U t−1 (α1 U v + α2 U w) = U t−1 (α1 λ1 v + α2 λ2 w) = α1 λt1 v + α2 λt2 w   α1 λt1 v1 + α2 λt2 w1 = . α1 λt1 v2 + α2 λt2 w2

12.2 Eigenwerte

217

Mit anderen Worten, in Kenntnis der Eigenvektoren v bzw. w k¨ onnten t konkret bestimmen zu: wir f¨ ur jeden Zeitpunkt t den Quotienten R At Rt α1 λt1 v1 + α2 λt2 w1 = . At α1 λt1 v2 + α2 λt2 w2

(12.2)

Um das zu erreichen, berechnen wir zun¨ achst die Eigenwerte der Matrix U . Das charakteristische Polynom zu U ist gegeben durch:   1 + b − r − λ  0   cU (λ) = det(U − λI) =  r 1 − d − λ = (1 + b − r − λ)(1 − d − λ) . Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind also leicht und ohne Verwendung komplexer Zahlen zu finden, und wir erhalten als Eigenvektoren f¨ ur U : λ1 = 1 + b − r und λ2 = 1 − d . Zu den so errechneten Eigenvektoren λ1 und λ2 bestimmen wir jetzt ur je einen m¨ oglichst einfachen Eigenvektor. Wir beginnen mit λ1 . F¨ einen entsprechenden Eigenvektor v muss gelten: U v = λ1 v . Daraus ergeben sich folgende zwei Bedingungen f¨ ur die Komponenten v1 und v2 von v: (1 + b − r)v1 = λ1 v1 rv1 + (1 − d)v2 = λ1 v2 . Da die erste der beiden wir einen Freiheitsgrad. von v1 = 1 in die zweite Eigenvektor zu λ1 ergibt

oberen Gleichungen immer erf¨ ullt ist, haben Wir w¨ ahlen daher v1 = 1. Durch Einsetzen r Gleichung erhalten wir dann v2 = b−r+d . Als sich somit:   1 v= r 1−r+d .

F¨ ur einen Eigenvektor w zu λ2 = 1 − d muss in entsprechender Weise gelten:   0 Uw = . 1−d Als ein m¨ oglicher Eigenvektor zu λ2 ergibt sich somit analog zu dem vorhergehenden Fall:

218

12 Weiterf¨ uhrende Themen

  0 w = e2 = . 1 Offenbar sind v und w linear unabh¨ angig, d.h. wir k¨ onnen die Gleichung f¨ ur die Populationsdynamik nun schreiben als:     α1 λt1 At = . r α1 b−r+d λt1 + α2 λt2 Rt F¨ ur das Verh¨ altnis von Rentnern zu Arbeitern zum Zeitpunkt t ergibt sich entsprechend: r α1 b−r+d λt1 + α2 λt2 Rt = At α1 λt1

r + α2 = b−r+d



λ2 λ1

t ,

wobei der letzte Summand gegen 0 konvergiert, wenn gilt λ1 > λ2 bzw. b + d > r. In diesem Fall stabilisiert sich das Verh¨ altnis von Rentnern zu Arbeitern mit der Zeit bei einem Wert von: r Rt . = At b−r+d Das langfristige Verh¨ altnis von Rentnern zu Arbeitern ist also nur noch abh¨ angig von den Variablen b, r und d. Diese Zahlen k¨ onnen wir konkret interpretieren. Wenn wir davon ausgehen, dass t in Jahren gemessen wird, so entspricht b gerade der Anzahl der Neugeburten pro Arbeiter und Jahr, 1/r l¨ asst sich interpretiern als die durchschnittliche Lebensarbeitszeit f¨ ur einen Arbeiter, und 1/d l¨ asst sich interpretieren als die durchschnittliche Lebenserwartung eines Rentners. Mit anderen Worten, das langfristige Verh¨ altnis von Rentnern zu Arbeitern h¨ angt ab von der Geburtenrate, der Lebensarbeitszeit sowie der Lebenserwartung nach Eintritt in die Rente. Abschließend berechnen wir nun noch einmal grob den Quotienten ur drei historische Zeitpunkte: Bismarcks Zeiten, die 70er Jahre Rt /At f¨ und das Jahr 2050. 1. Zu Bismarcks Zeiten etwa haben Frauen im Durchschnitt ca. 3 Kinder im Laufe ihres Lebens bekommen. Ferner haben nahezu ausschließlich M¨ anner gearbeitet. Wenn wir nun davon ausgehen, dass jeder Mann verheiratet war, so k¨ onnen wir die Geburten also eins zu eins den Arbeitern zurechnen. Mit einer Lebensarbeitszeit von

12.2 Eigenwerte

219

40 Jahren und einer Lebenserwartung von 10 Jahren f¨ ur Rentner erhalten wir so: 1 1 3 . b= , r= , d= 40 40 10 Damit ergibt sich: Rt = At

3 40

−

1 40 1 40

+

1 10

=

1 . 6

Langfristig kommen also 6 Rentenbeitr¨ age zahlende Arbeiter auf einen Rentner. 2. F¨ ur die 70er Jahre haben wir eine andere Situation. Die Geburtenraten sind etwas zur¨ uckgegangen, auf ca. 2 Kinder pro Frau. Ferner sind immer mehr Frauen selbst berufst¨ atig, so dass jedes Kind nun f¨ ur ca. 1.5 Arbeiter z¨ ahlt (ausgehend davon, dass die H¨ alfte aller Frauen arbeitet). Wenn wir weiter mit einer Lebensarbeitszeit von 40 Jahren rechnen und zudem nun von einer Lebenserwartung im Rentenalter von 15 Jahren ausgehen, so erhalten wir f¨ ur die 70er Jahre: 1 1 1.5 , r= , d= . b= 40 40 15 Das langfristige Verh¨ altnis von Rentnern zu Arbeitern ver¨ andert sich dementsprechend zu Gunsten der Rentner: Rt = At

1.5 40

−

1 40 1 40

+

1 15

=

18 . 51

Es kommen also nur noch etwa 3 Arbeiter auf einen Rentner. 3. F¨ ur das Jahr 2050 schließlich stellt sich die Situation m¨ oglicherweise so dar. Zum einen bekommen Frauen im Durchschnitt nur noch 1.4 Kinder. Zum anderen arbeiten M¨ anner und Frauen nun gleichermaßen, so dass wir davon ausgehen k¨ onnen, dass jedes Kind nun f¨ ur zwei Arbeiter z¨ ahlt. Wenn wir ferner von einer Lebensarbeitszeit von 30 Jahren und einer erneut gestiegenen Lebenserwartung nach Eintritt in die Rente von nunmehr 20 Jahren ausgehen, so erhalten wir: 1 1 0.7 , r= , d= . b= 30 30 20 Damit ergibt sich f¨ ur den Jartausendwechsel folgendes Bild: Rt = At

0.7 30

−

1 30 1 30

+

1 20

=

1 . 1.2

Auf einen Rentner kommen also nur noch 1.2 Arbeiter, die Beitr¨ age in eine Rentenkasse zahlen.

220

12 Weiterf¨ uhrende Themen

All diese Zahlenspiele sind nat¨ urlich nur Anhaltspunkte, da das Modell vereinfacht und die gew¨ ahlten Zahlen grobe Sch¨ atzwerte sind.

¨ Ubungen Aufgabe 12.1. Sei A eine n × n–Matrix. Unter einem Minor k-ter Ordnung versteht man die Determinante einer k × k–Untermatrix von A. Wenn genau dieselben Zeilen wie Spalten gestrichen wurden, spricht man sogar von einem Hauptminor k-ter Ordnung. Und wenn genau die ersten k Zeilen und Spalten u ¨brigblieben, so sprechen wir von einem f¨ uhrenden Hauptminor k-ter Ordnung. 1. Gib bei der folgenden Matrix alle Minoren an und kennzeiche die entsprechenden (f¨ uhrenden) Hauptminoren! ⎛ ⎞ 120 ⎝9 1 0⎠ 021 2. Wie viele Minoren, Hauptminoren, f¨ uhrende Hauptminoren hat eine 3 × 3–Matrix? 3. (F¨ ur Mutige): Wie viele Minoren, Hauptminoren, f¨ uhrende Hauptminoren hat eine n × n–Matrix? Aufgabe 12.2. Erl¨ autere folgende Aussage: Man kann im Hurwitz–Kriterium nicht einfach > durch ≥ ersetzen und dann auf positiv semidefinit schließen!   0 0 Verwende dazu das Beispiel A = . 0 −1 ¨ Aufgabe 12.3. Uberpr¨ ufe die folgenden Matrizen auf (Semi-)Definitheit: ⎛ ⎞     40 0 12 12 ⎝ , , 2 4 −4 ⎠ ! 01 24 42 0 Aufgabe 12.4. Bestimme die (unter Umst¨ anden) komplexen Eigenwerte folgender Matrizen und gib zugeh¨ orige Eigenvektoren an: ⎛ ⎞     0 0 0 12 0 1 ⎝ , , 0 −1 2 ⎠ . 24 −2 0 2 0 0 In welchen F¨ allen gibt es eine Basis aus Eigenvektoren? Diagonalisiere in diesen F¨ allen die Matrix!

12.2 Eigenwerte

221

Aufgabe 12.5. Laut Korollar 12.1 sind symmetrische Matrizen genau dann positiv definit, wenn alle Eigenwerte positiv sind. Man zeige anhand eines Beispiels der Form   1b , c1 dass dies f¨ ur nichtsymmetrische Matrizen im Allgemeinen nicht gilt! Aufgabe 12.6. Betrachte noch einmal das Rentenmodell aus dem ¨ okonomischen Beispiel 12.8. Wir ¨ andern dieses Modell nun ab, indem wir zulassen, dass auch Rentner Kinder zeugen. Es geht wie folgt: Arbeiter erzeugen neue Arbeiter mit der Rate b und werden verrentet mit der Rate r. Rentner sterben mit der Rate d und zeugen neue Arbeiter mit der Rate c. 1. Stelle das zugeh¨ orige dynamische System der Form      a11 a12 At At+1 = Rt+1 a21 a22 Rt auf. 2. Erzeuge mit einem Computerprogramm eine Datenreihe, die die Bev¨ olkerungsentwicklung beschreibt, wenn A0 = 30 Mio und R0 = 10 Mio ist und b = 1/40, r = 1/40, d = 1/40, c = 1/20. ¨ 3. Bestimme die Eigenwerte der Ubergangsmatrix! 4. W¨ ahle nun b = 1/40, r = 1/40, d = 1/40, c = 1/20 und bestimme die Eigenwerte der Matrix! Bestimme auch die Eigenvektoren! 5. Wie verh¨ alt sich das Verh¨ altnis Arbeiter zu Rentner auf lange Sicht? Vergleiche dies mit den Ergebnissen aus dem ¨ okonomischen Beispiel 12.8!

Teil IV

Analysis II

Einfu ¨ hrung

Im vierten Teil dieses Buches behandeln wir die Differentialrechnung f¨ ur Funktionen mehrerer Ver¨ anderlicher. Dabei handelt es sich im Wesentlichen um die Verallgemeinerung der Begriffe und Methoden, die wir bereits in Teil II dieses Buches f¨ ur Funktionen einer Ver¨anderlichen kennengelernt haben. Eine solche Verallgemeinerung ist f¨ ur die Volkswirtschaftslehre unerl¨ asslich, da f¨ ur gew¨ ohnlich schon bei den einfachsten ucksichti¨okonomischen Problemen eine Vielzahl von Variablen zu ber¨ gen ist. So w¨ahlen wir zum Beispiel beim Einkauf nahezu t¨aglich aus einer Unmenge von verschiedenen Waren, was den uns daraus entstehenden Nutzen zu einer Funktion meherer Ver¨anderlicher macht. Ebenso m¨ ussen die Firmen, die diese Waren produzieren, u ¨ber eine Vielfalt von m¨oglichen Inputfaktoren zur Produktion ihrer G¨ uter und Dienstleistungen nachdenken; und die Probleme eines “sozialen Planers”, der gleich die Wohlfahrt “aller” maximieren m¨ochte, wollen wir lieber gar nicht erst diskutieren. Theoretisch lassen sich sogar Beispiele ersinnen, in denen es u ahlbar unendlich viele Variablen gibt, etwa wenn ¨berabz¨ man ein Versicherungsmodell betrachtet, in dem ein Kontinuum von Zust¨anden theoretisch m¨ oglich ist und der Versicherte im Prinzip f¨ ur jede dieser M¨oglichkeiten eine Absicherung sucht. F¨ ur die allermeisten praktischen Anwendungen reicht es aber, sich auf den endlichen Fall zu beschr¨anken. Im weiteren Verlauf werden wir uns daher auf den endlich–dimensionalen Fall konzentrieren. Dennoch ist es lohnenswert, am Anfang — sozusagen ganz unverf¨ anglich — einmal grunds¨atzlich dar¨ uber nachzudenken, welche Struktur man braucht, um u ¨berhaupt Funktionen, sei es nun einer oder mehrerer Ver¨ anderlicher, untersuchen zu k¨onnen. Hierzu wollen wir uns noch einmal die wesentlichen in Teil II dieses

226

Einf¨ uhrung

Buches besprochenen Konzepte vor Augen f¨ uhren. Sie werden auch in den vor uns liegenden Abschnitten eine zentrale Rolle spielen. 1. Ein erster zentraler Begriff der Analysis ist der Bergriff der Konvergenz. Konvergenz¨ uberlegungen waren zum Beispiel in Teil II dieses Buches n¨otig, um Stetigkeit, Differenzierbarkeit oder Integrale zu definieren. In all diesen F¨ allen gilt es letztlich zu kl¨aren, was es bedeutet, dass eine Folge einem Punkt beliebig nahe kommt. Es ist naheliegend, dass wir f¨ ur eine Antwort zun¨achst eine Theorie der Lage bzw. der N¨ ahe brauchen; oder, vornehmer ausgedr¨ uckt, wir m¨ ussen die Topologie des zu Grunde liegenden Raumes studieren (Topologie von griechisch topos, Ort, Lage). Dabei gilt es im Wesentlichen, einen geeigneten Abstandsbegriff, eine Norm, zu definieren. 2. Wenn wir eine Norm und einen Vektorraum haben, ben¨otigen wir — wie schon zuvor — noch die Vollst¨ andigkeit des Raumes: Folgen, die konvergieren “wollen”, sollen dies auch tun k¨onnen; wenn also zum Beispiel eine Zahlenfolge sich einem Punkt immer weiter n¨ahert, dann soll auch dieser Punkt Teil des betrachteten Raumes sein. Mit anderen Worten, der betrachtete Raum soll ein Kontinuum sein, d.h. keine L¨ ocher aufweisen. F¨ ur Analysis ben¨otigt man also einen vollst¨ andigen normierten Vektorraum. Solche R¨aume werden auch Banachr¨ aume genannt. Und obwohl sich im Prinzip die meisten der im Folgenden besprochenen Sachverhalte auf Banachr¨aume verallgemeinern lassen, werden wir uns f¨ ur die Zwecke dieses Buches anken. auf den Rp beschr¨ 3. Schließlich brauchen wir noch eine Theorie der linearen Abbildungen. Wie wir schon in Teil II dieses Buches gesehen haben, gibt die Ableitung einer Funktion an einem Punkt die Steigung der Tangenten in diesem Punkt an. Dabei ist die Tangente f¨ ur Funktionen einer Ver¨anderlichen durch eine Gerade gegeben. Um Funktionen h¨oherer Dimension in ¨ ahnlicher Weise linear zu approximieren, brauchen wir eine Theorie der linearen Abbildungen f¨ ur den Rp . Damit k¨onnen wir den Begriff der Tangente und die Idee der Ableitung in sinnvoller Weise erweitern. Bevor wir nun richtig in die Analysis mehrerer Ver¨anderlicher einsteigen, sei noch einmal darauf hingewiesen, dass die Mehrzahl der im Folgenden diskutierten Konzepte bereits aus fr¨ uheren Kapiteln bekannt sein sollte. Der “unangenehmste” Teil der uns bevorstehenden Arbeit liegt somit nicht im eigentlichen Verstehen der vorgestellten Metho¨ den, sondern vielmehr im Ubertragen des bereits Bekannten auf einen

Einf¨ uhrung

227

allgemeineren Fall. Da dies gelegentlich zu einer auf den ersten Blick etwas un¨ ubersichtlich wirkenden Notation f¨ uhren kann, empfiehlt es sich, bei Verst¨andnisproblemen noch einmal den eindimensionalen Fall zu konsultieren. Viele Ideen lassen sich dort leichter erschließen. Die etwas umst¨andliche Notation lernt man allerdings am besten durch Gew¨ohnung — und das braucht Zeit.

13 Topologie

Wie bereits in der Einleitung zu diesem Teil des Buches angek¨ undigt, steht zun¨achst die Topologie im Vordergrund unserer Aufmerksamkeit. Dabei wollen wir insbesondere den Begriff des normierten Vektorraums einf¨ uhren, um dann die Konzepte Stetigkeit, Konvergenz und Vollst¨andigkeit vom eindimensionalen auf den mehrdimensionalen Fall zu verallgemeinern.

13.1 Normierte Vektorr¨ aume Konvergenz und Stetigkeit, wie wir sie in Teil II dieses Buches kennengelernt haben, sind lokale Eigenschaften, d.h. Eigenschaften, die etwas mit dem Verhalten einer Funktion an bestimmten Punkten bzw. in deren N¨ahe zu tun haben. Um sie zu verallgemeinern, brauchen wir also zun¨achst eine Definition von N¨ ahe bzw. Abstand — und m¨oglichst eine, die uns plausibel erscheint, d.h. die unserer Intuition m¨oglichst nahe kommt. In den reellen Zahlen R haben wir Abst¨ande zwischen zwei Zahlen x, y durch den Absolutbetrag der Differenz |x − y| gemessen. Der Absolutbetrag einer Zahl |z| selbst, zum Beispiel z = x − y, kann dabei auch als die “L¨ange” der Zahl z aufgefasst werden. Der Abstand zweier Zahlen ist also letztlich gegeben durch die L¨ ange des “Verbindungsst¨ ucks”. Wie wir im Teil u ¨ber lineare Algebra gesehen haben, gilt auch f¨ ur mehrdimensionale Vektorr¨ aume, dass die Differenz zweier Vek toren v, v eines Vektorraumes V wieder ein Vektor in V ist, d.h. ahnlich wie im eindimensionalen v − v  = w ∈ V . Es liegt also nahe, ¨ Fall, den Abstand zwischen zwei Vektoren v und v  durch die L¨ange des Verbindungsvektors w zu definieren. Im Folgenden f¨ uhren wir daher allgemein, d.h. f¨ ur beliebige Vektorr¨ aume, einen Begriff der L¨ange

230

13 Topologie

eines Vektors ein. Die Eigenschaften dieses L¨angenbegriffs sind, wie wir sehen werden, im Wesentlichen dieselben wie die des Betrags in R, vgl. Satz 4.2. Definition 13.1. Sei V ein Vektorraum. Eine Norm  ·  auf V ist eine Abbildung  ·  : V → R+ mit folgenden Eigenschaften: 1. Nur der Nullvektor hat die L¨ ange 0: F¨ ur alle v ∈ V gilt v = 0 genau dann, wenn v = 0 ist; 2. ein um λ gestreckter Vektor v ist nach der Streckung |λ|-mal so lang wie vorher: f¨ ur reelle Zahlen λ und Vektoren v ∈ V gilt λv = |λ| · v; 3. es gilt die Dreiecksungleichung: v + w ≤ v + w f¨ ur alle v, w ∈ V. Das Paar (V,  · ) nennt man dann einen normierten Vektorraum. Die nachfolgenden Beispiele veranschaulichen das Konzept des normierten Vektorraums und verdeutlichen noch weiter die Verbindung zwischen der allgemeinen Norm und dem Betrag reeller Zahlen. Beispiel 13.1. a) F¨ ur V = R ist der Betrag | · | eine Norm (Satz 4.2). b) Laut dem Satz des Pythagoras ist die geometrische L¨ange eines Vektors x ∈ V = R2 durch folgenden Ausdruck gegeben: x =

x21 + x22 .

Allgemeiner ist die euklidische Norm im Rp gegeben durch x =

x21 + x22 + . . . + x2p ,

vgl. auch Definition 10.12. Um zu pr¨ ufen, dass es sich bei der euklidischen Norm auch wirklich um eine Norm handelt, schauen wir uns kurz die drei Eigenschaften an. Wenn x = 0 ist, so ist x21 + x22 + . . . + x2p = 0. Da aber alle Quadrate nichtnegativ sind, muss dann x2i = 0 oder xi = 0 f¨ ur alle i = 1, . . . , p sein. Die erste Eigenschaft ist also erf¨ ullt. Sei nun λ ∈ R. Dann ist λx = =

λ2 x21 + λ2 x22 + . . . + λ2 x2p   λ2 x21 + x22 + . . . + x2p = |λ|x .

13.1 Normierte Vektorr¨aume

6

231

||v + w|| ≤ ||v|| + ||w||

v+w  1   w 



   v

-

Abb. 13.1. Die Summe der L¨ angen der Vektoren v und w ist l¨anger als die L¨ ange des Summenvektors v + w.

Damit ist auch die zweite Eigenschaft erf¨ ullt. Die Dreiecksungleichung beweisen wir hier nicht formal; man kann sie sich aber leicht anhand eines Bildes veranschaulichen, siehe Bild 13.1. Dieses Bild erkl¨art auch den Namen der Ungleichung. c) F¨ ur manche Zwecke ist es n¨ utzlich, andere Normen als die euklidische zu verwenden, etwa die sogenannte Maximumsnorm: x = max |xi | , i=1,...,p

die als “L¨ange” des Vektors den Eintrag mit dem maximalen Absolutbetrag w¨ahlt. Hier folgen die drei Eigenschaften direkt aus den Eigen¨ schaften des Absolutbetrags. Als Ubung mache man sich dies klar. d) Zum Abschluss geben wir noch ein Beispiel daf¨ ur, wie man sich eine Norm auf einem unendlichdimensionalen Raum vorstellen kann. Sei V = C[0, 1] der Vektorraum aller stetigen Funktionen auf [0, 1]. Hier ist eine Norm f¨ ur eine Funktion f ∈ V durch die entsprechende Maximumsnorm f  = max |f (x)| x∈[0,1]

gegeben.

232

13 Topologie

Mit unserem neuen Abstandsbegriff l¨ asst sich nun zum Beispiel ganz einfach die Menge aller Punkte, die “ganz nah” an einem Punkt x sind, definieren. Anschaulich ist die mehrdimensionale ε-Umgebung um x durch eine Kugel gegeben. Definition 13.2. Sei x ∈ V und ε > 0. Dann heißt Bε (x) = {y ∈ V : y − x < ε} die offene Kugel mit Radius ε um den Mittelpunkt x. Wir nennen diese Kugel offen, weil wir nur Punkte betrachten, deren Abstand zu x echt kleiner als ε ist. Der Rand, also die Punkte, die genau den Abstand ε zu x haben, geh¨ ort nicht dazu. Nat¨ urlich l¨asst sich auch die Idee, dass “der Rand nicht dazugeh¨ort”, allgemeiner ausdr¨ ucken. Und da wir ohnehin gerade beim Verallgemeinern sind und die Idee sehr wichtig ist, wollen wir die sich bietende Gelegenheit auch gleich beim Schopfe packen. Definition 13.3. Eine Teilmenge U ⊆ V heißt offen, wenn es f¨ ur alle x ∈ U ein ε > 0 gibt mit Bε (x) ⊆ U . Eine Teilmenge A ⊆ V heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement Ac = V \A offen ist. Die obige Verallgemeinerung von “der Rand geh¨ort nicht dazu” ist zugegebenermaßen recht abstrakt. Die nachfolgenden Beispiele sollen helfen, sich eine bessere Vorstellung von offenen und abgeschlossenen Mengen zu bilden. Beispiel 13.2. a) Die leere Menge ∅ und der ganze Raum V sind offen. Die leere Menge ist es deshalb, weil gar kein Punkt in ihr liegt und deshalb nichts zu pr¨ ufen ist; der ganze Raum, weil ja stets Bε (x) ⊆ V ist. Da aber ∅c = V und V c = ∅ ist, folgt sofort, dass diese Mengen auch abgeschlossen sind! Diese beiden Mengen sind aber auch die einzigen, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind. b) Die Menge {0} ist nicht offen, denn jede offene Kugel um 0 enth¨alt noch andere Punkte als 0. Unabh¨ angig von der Wahl von δ > 0 gilt also Bδ (0)  {0}. c) Wir wollen doch hoffen, dass offene Kugeln — wie wir sie schon definiert hatten — auch nach unserer neuen Definition offen sind. Gl¨ ucklicherweise ist dies in der Tat der Fall, wie wir nun zeigen werden.

13.1 Normierte Vektorr¨aume

233

Sei also Bε (x) gegeben und y ∈ Bε (x). Wir m¨ ussen eine Kugel Bδ (y) um y finden, die ganz in Bε (x) liegt. Hier hilft uns die Dreiecksungleichung. W¨ahle δ = ε − y − x. Es gilt δ > 0, da y ja in der Kugel Bε (x) liegt. Wir behaupten, dass Bδ (y) ⊆ Bε (x) gilt. Um dies zu sehen, w¨ahle z ∈ Bδ (y). Dann ist wegen der Dreiecksungleichung z − x = z − y + y − x ≤ z − y + y − x < δ + y − x = ε , also z ∈ Bδ (x). Dies zeigt Bδ (y) ⊆ Bε (x), und somit ist Bε (x) offen. d) Offene Quader im Rp sind von der Form ]x, y[=]x1 , y1 [ × ]x2 , y2 [ × . . . × ]xp , yp [ f¨ ur Vektoren

⎞ x1 ⎜ ⎟ x = ⎝ ... ⎠

⎛

⎛

und

xp

⎞ y1 ⎜ ⎟ y = ⎝ ... ⎠ yp

ur i = 1, . . . , p. mit xi < yi f¨ Lemma 13.1 (Offene Mengen). Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen. Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen. Beweis. Seien U1 , U2 zwei offene Mengen und x ∈ U1 ∩U2 . Nach Definition der Offenheit gibt es ε1 , ε2 > 0 mit Bε1 (x) ⊆ U1 und Bε2 (x) ⊆ U2 . urlich Bε (x) ⊆ Bεi (x) f¨ ur i = 1, 2. W¨ahle ε = min{ε1 , ε2 }. Dann ist nat¨ Insbesondere liegt also jeder Punkt z ∈ Bε (x) sowohl in U1 als auch in U2 . Damit folgt Bε (x) ⊆ U1 ∩ U2 , was zu zeigen war. Per Induktion ergibt sich, dass
auch der Schnitt von n offenen Mengen offen ist. ur eine beliebige Menge I und offene Mengen Sei nun U = i∈I Ui f¨ ur x ∈ U gibt es dann ein i ∈ I mit x ∈ Ui . Da Ui offen ist, Ui , i ∈ I. F¨ gibt es also eine offene Kugel Bε (x) ⊆ Ui ⊆ U . Damit ist auch U offen.
Der Durchschnitt unendlich vieler offener Mengen ist im Allgemeinen nicht mehr offen. So gilt f¨ ur den Schnitt aller offenen Kugeln mit Radius 1/n um 0 stets ∞ . n=1

doch {0} ist nicht offen.

B 1 (0) = {0} , n

234

13 Topologie

A

x

B

Abb. 13.2. x ist ein Randpunkt von A, da jede Kugel um x sowohl Punkte in A wie Punkte außerhalb von A enth¨ alt.

Jeder Sachverhalt u uhrt sofort zu einem entspre¨ber offene Mengen f¨ chenden komplement¨ aren Sachverhalt u ¨ber abgeschlossene Mengen, indem man die de Morganschen Regeln anwendet (siehe Gleichung (1.1)). Obiges Lemma etwa u ¨bersetzt sich zu Lemma 13.2 (Abgeschlossene Mengen). Der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen, die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen. Wir haben oben die Intuition formuliert, dass zu offenen Mengen der Rand nicht dazugeh¨ ort. Wir definieren nun genau, was der Rand ist. Definition 13.4. Sei A ⊆ V . Der Rand ∂A von A ist gegeben durch ∂A = {x ∈ V : f¨ ur alle ε > 0 gilt Bε (x) ∩ A = ∅ und Bε (x) ∩ Ac = ∅} . A¯ = A ∪ ∂A heißt der Abschluss der Menge A, int A = A\∂A das Innere von A. Diese Definition des Randes sieht nicht einfach aus. Sie formalisiert aber Folgendes: Wenn man sich auf dem Rand einer Menge A befindet, dann sind in der n¨ aheren Umgebung immer sowohl Punkte aus A als auch Punkte, die nicht zu A geh¨ oren, vgl. Bild 13.2. Dies ist unabh¨angig davon, wie klein man die “n¨ ahere Umgebung” w¨ahlt. Wir tragen ohne Beweis ein paar intuitive Eigenschaften von Rand, Abschluss und Innerem zusammen.

13.2 Stetigkeit und Kompakta

235

Lemma 13.3. Sei A ⊆ V eine beliebige Menge. Der Rand ∂A und der Abschluss A¯ sind stets abgeschlossen, das Innere int A ist offen. A ist ¯ gilt. genau dann offen (abgeschlossen), wenn A = int A ( A = A)

13.2 Stetigkeit und Kompakta Da uns die Norm  ·  einen Abstandsbegriff liefert, k¨onnen wir nun, analog zum eindimensionalen Fall, zun¨ achst die Konvergenz von Folgen und dann die Stetigkeit von Funktionen im Rp definieren. Dabei wird uns zugutekommen, dass wir schon in der Analysis I versucht haben, die Definitionen dieser Begriffe m¨ oglichst abstrakt zu halten. Da wir n¨amlich soeben die wesentlichen Eigenschaften des Betrags, die wir in Teil II f¨ ur diese Definitionen verwendet haben, auf den Begriff der Norm u bertragen haben, k¨ onnen wir nun nahezu alle Resultate aus Teil ¨ II einfach u ¨bertragen — solange die Beweise nur die Normeigenschaften benutzen und nicht etwa andere Dinge wie die Anordnung der reellen Zahlen oder dergleichen. Konvergenz von Folgen Zun¨achst u ¨bertragen wir den Begriff der Folge selbst. Definition 13.5 (Folge). Eine Funktion f : N → V mit f (n) = xn f¨ ur alle n ∈ N heißt Folge (mit Werten in V ). Sie wird u ¨blicherweise in der Form (xn )n∈N geschrieben. Die xn heißen dabei auch Glieder der Folge. Als n¨achstes schreiben wir die Definition der Konvergenz einfach ab (vgl. Definition 5.4). Definition 13.6. Eine Folge mit Werten in V (xn ) konvergiert gegen x ∈ V , wenn f¨ ur alle ε > 0 ein n ¯ ∈ N existiert mit xn − x < ε f¨ ur alle n ≥ n ¯ . Man schreibt dann lim xn = x

n→∞

oder

xn −→ x

und sagt, (xn ) konvergiere gegen den Grenzwert x.

236

13 Topologie

Die entsprechenden S¨ atze f¨ ur Folgen u ¨bertragen sich jetzt sozusagen “von selbst”. Man muss nur in den Beweisen den Betrag durch die Norm ersetzen. Es gilt also etwa: Satz 13.1. Jede Folge besitzt h¨ ochstens einen Grenzwert. Desgleichen gilt das Analogon zu Satz 5.4. Satz 13.2 (Notwendiges Kriterium fu ur jede ¨ r Konvergenz). F¨ Folge (xn ) gilt: (xn ) konvergiert ⇒ (xn ) ist beschr¨ ankt, wobei eine Folge (xn ) mit Werten in V beschr¨ankt heißt, wenn die ankt ist. reelle Folge der Normen (xn ) beschr¨ Schließlich noch (vgl. Satz 5.9) Satz 13.3 (Rechnen mit Folgen). Seien (xn ) und (yn ) zwei Folgen mit xn −→ x und yn −→ y. Dann gilt xn + yn −→ x + y , und f¨ ur λ ∈ R

λxn −→ λx .

Man beachte, dass sich nicht alles u ¨bertr¨agt; so ist ja etwa der Quotient von Vektoren im Allgemeinen nicht definiert. Abgeschlossenheit und Konvergenz Wir k¨onnen nun abgeschlossene Mengen mit Hilfe des Konvergenzbegriffs besser verstehen. Eine abgeschlossene Menge enth¨alt ja ihren Rand; intuitiv gilt also, dass man aus ihr “nicht herausfallen” kann. Formal l¨asst sich dies wie folgt beschreiben: Satz 13.4. Eine Menge A ist genau dann abgeschlossen, wenn der Grenzwert jeder konvergenten Folge in A auch zu A geh¨ ort. Genauer: Sei (xn ) eine Folge in A mit lim xn = x. Dann gilt x ∈ A. ¨ Beweis. Wir zeigen nur eine Richtung der Aquivalenz. Sei also A abgeschlossen, (xn ) eine Folge in A mit lim xn = x. Wir nehmen an, dass x∈ / A. Also gilt: x ∈ Ac . Da A abgeschlossen ist, ist Ac offen. Somit gibt es ein ε > 0 mit Bε (x) ⊆ Ac . Nun konvergiert (xn ) gegen x. Also ur n ≥ n ¯ gilt. Das heißt aber, dass gibt es ein n ¯ , so dass xn − x < ε f¨ / A, im Widerspruch f¨ ur diese n gilt: xn ∈ Bε (x) ⊆ Ac . Damit folgt xn ∈ zur Annahme, dass die ganze Folge in A liegt.


13.2 Stetigkeit und Kompakta

237

Beispiel 13.3. Das Intervall [0, 1) in R ist nicht abgeschlossen. W¨ahle xn = 1 − 1/n. Dann gilt xn ∈ [0, 1), aber der Grenzwert der Folge, x = 1, liegt nicht mehr in dem Intervall. ¨ Okonomisches Beispiel 13.5 Wir kommen nun zu der Frage: Brau¨ che ich das abstrakte Zeug als Okonom? Die Antwort ist nat¨ urlich — wer h¨ atte es anders erwartet — ja! Wir geben ein Beispiel. Kein Mensch hat eine Nutzenfunktion. Trotzdem sind Nutzenfunktionen ein fundamentaler Baustein der ¨ okonomischen Theorie. Kann man die Annahme rechtfertigen? Jeder Mensch hat Neigungen, Vorlieben, Pr¨aferenzen, die er unter anderem durch sein Kaufverhalten kundtut. Formal werden diese Neigungen durch eine Pr¨ aferenzrelation  (gelesen als: ‘ist mindestens so gut wie’) beschrieben. Pr¨ aferenzrelationen sind also das, was man sinnvollerweise unterstellen kann. Man kann mit ihnen nur nicht gut rechnen. Daher h¨ atte man gerne eine Funktion U (x), die die Pr¨ aferenzen beschreibt: x  y ⇔ U (x) ≥ U (y) . Eine wesentliche Rolle spielen dann die Besser–als–x–Mengen B(x) = {z ∈ V : z  x} . Diese Art Menge beschreibt all die Warenb¨ undel, die ein Konsument freiwillig gegen x eintauschen w¨ urde, da es ihm dann auf jeden Fall nicht schlechter ginge. Und nun gilt Folgendes: Eine stetige Nutzenfunktion gibt es nur dann, wenn die Besser–als–x–Mengen abgeschlossen sind. Denn wenn U eine Nutzenfunktion f¨ ur  ist, so ist die Besser–als–x–Menge B(x) = {z ∈ V : U (z) ≥ U (x)} . Nun verwenden wir Satz 13.4. Wenn (zn ) eine Folge in B(x) mit Grenzwert z ist und U stetig ist, so ist U (z) = lim U (zn ) ≥ U (x) , und damit auch z ∈ B(x). Laut Satz 13.4 ist B(x) also abgeschlossen. Wenn man sich also f¨ ur solche fundamentalen Fragen der Volkswirtschaftslehre interessiert, ben¨ otigt man in der Tat Kenntnisse der Topologie.

238

13 Topologie

Vollst¨ andigkeit. Konvergenz im Rp Da wir haupts¨achlich mit dem Vektorraum V = Rp zu tun haben, untersuchen wir nun, wann eine Folge (xn ) mit Werten in Rp konvergiert. Zum Gl¨ uck ist die Antwort relativ einfach. Satz 13.6. Eine Folge

⎛

⎞ xn1 ⎜ ⎟ (xn ) = ⎝ ... ⎠ xnp

mit Werten in Rp konvergiert genau dann gegen ⎛ ⎞ x1 ⎜ .. ⎟ x = ⎝ . ⎠ ∈ Rp , xp wenn sie komponentenweise konvergiert, d.h. wenn f¨ ur alle i = 1, 2, . . . , p gilt: lim xni = xi . n→∞

Beweis. Zun¨achst nehmen wir an, dass xn − x → 0. Es gilt f¨ ur jede Komponentenfolge / 0

0 p 2 |xni − xi | = (xni − xi ) ≤ 1 (xnj − xj )2 = xn − x → 0 . j=1

Also konvergiert auch jede Komponentenfolge. ur alle i = 1, 2, . . . , p. Sei ε > 0. Umgekehrt √ gelte limn→∞ xni = xi f¨ ur jedes i = 1, . . . , p ein n ¯ i , so dass f¨ ur Setze ε = ε/ n. Dann gibt es f¨ n≥n ¯i |xni − xi | < ε gilt. Sei n ¯ die gr¨ oßte der Zahlen n ¯ i , i = 1, . . . , p. Damit folgt f¨ ur n ≥ n ¯ / 0

0 p √ xn − x = 1 (xnj − xj )2 < n(ε )2 = nε = ε . j=1

Also folgt xn − x → 0.




13.2 Stetigkeit und Kompakta

239

Beispiel 13.4. Die Folge ⎛ 1 ⎞

⎛ ⎞ 0 ⎝ ⎠ konvergiert gegen ⎝ 1 ⎠ , 1 1 n n+1 n

da 1/n → 0,

n+1 n

→ 1 und 1 → 1.

Konvergenz im p–dimensionalen Vektorraum kann man also auf die eindimensionale Konvergenz zur¨ uckf¨ uhren; damit haben wir die andig im Griff. Insbesondere erhalten wir die Konvergenz im Rp vollst¨ Vollst¨andigkeit des Rp ; denn wenn (xn ) eine Cauchy–Folge im Rp ist (vgl. Definition 5.8), dann ist jede Komponentenfolge (xni ) eine reelle Cauchyfolge und damit konvergent. Wegen des obigen Satzes konvergiert also auch (xn ). Wir halten fest: Satz 13.7. Der Vektorraum Rp ist bez¨ uglich der euklidischen Norm vollst¨ andig. ¨ Analysis ist also m¨ oglich! Ubrigens gilt der Satz auch, wenn man irgendwelche anderen Normen, etwa die Maximumsnorm, betrachtet. Stetigkeit Da Stetigkeit schon im Teil Analysis I durch Konvergenz von Folgen erkl¨art wurde, k¨onnen wir erneut die Ergebnisse aus Teil I einfach weiter u ¨bertragen. Definition 13.7. Seien (V,  · V ) und (W,  · W ) normierte Vektorr¨ aume und X ⊆ V . Eine Funktion f : X → W ist stetig in x ∈ X, wenn f¨ ur jede Folge (xn ) in X mit lim xn = x auch lim f (xn ) = f (x), das heißt lim f (y) = f (x) y→x

gilt. Wenn f in jedem Punkt x ∈ X stetig ist, so heißt f stetig. Da auch hier die Definition vollkommen analog zum eindimensionalen Fall ist, k¨onnen wir ebenfalls die entsprechenden Resultate u ¨bertragen. Wir stellen die wesentlichen Aussagen hier zusammen: Satz 13.8. Seien f, g : X → W in x ∈ X stetig. Dann sind auch die Funktionen f + g, f − g und kf f¨ ur k ∈ R in x stetig. Satz 13.9. Sei f : V → W , g : W → R. Wenn f in x ∈ V stetig ist, und g in y = f (x), dann ist auch die Verkettung g ◦ f in x stetig.

240

13 Topologie

Beispiel 13.5. Mit Hilfe der voranstehenden S¨atze kann man wie im Eindimensionalen zeigen, dass die folgenden Funktionen stetig sind: • konstante Funktionen f (x) = c f¨ ur alle x ∈ V , • lineare Abbildungen x → Ax f¨ ur eine p × q–Matrix A und x ∈ Rq , • Polynome, d.h. Abbildungen der Form ⎛ ⎞ x1 m  ⎜ .. ⎟ r ar1 ,...,rp xr11 xr22 · · · xpp ⎝ . ⎠ → r1 ,r2 ,...,rp =1 xp • und das Skalarprodukt (x, y) → x, y f¨ ur x, y ∈ Rp . Wir haben im Teil II gesehen, dass stetige Funktionen sich beliebig wenig a¨ndern, wenn sich ihr Argument hinreichend wenig ¨andert, siehe Satz 6.3. Analog gilt nun Satz 13.10 (ε − δ–Kriterium der Stetigkeit). Die Funktion f : ur jedes ε > 0 ein X → W ist in x0 ∈ X genau dann stetig, wenn es f¨ δ > 0 gibt, so dass f¨ ur alle x1 ∈ X mit x0 − x1 V < δ auch gilt: f (x0 ) − f (x1 )W < ε. Zum Abschluss unserer topologischen Reise kommen wir noch zu einer Charakterisierung der Stetigkeit, die den Begriff der offenen Menge verwendet. Satz 13.11 (Topologische Charakterisierung der Stetigkeit). Eine Funktion f : V → W ist genau dann stetig, wenn das Urbild f −1 (U ) jeder offenen Menge U ⊆ W wieder offen ist. Beweis. Sei f stetig und U ⊆ W offen. Wir m¨ ussen zeigen, dass O = f −1 (U ) offen in V ist. Sei x ∈ O und damit y = f (x) ∈ U . Da U offen ist, existiert ein ε > 0, so dass Bε (y) ⊆ U ist. Da f stetig ist, existiert wegen des ε − δ–Kriteriums der Stetigkeit ein δ > 0, so dass f¨ ur alle z∈V z − xV < δ ⇒ f (z) − f (x)W < ε

13.2 Stetigkeit und Kompakta

241

gilt. Insbesondere gilt also f¨ ur alle z ∈ Bδ (x) auch f (z) ∈ Bε (y) ⊆ U . Dies ist gleichbedeutend mit Bδ (x) ⊆ O und daher ist O offen. Sei nun umgekehrt vorausgesetzt, dass alle Urbilder offener Mengen unter f offen sind. Wir behaupten, dass f stetig ist. Sei also (xn ) eine Folge mit Grenzwert x. Sei ε > 0. Wir m¨ ussen zeigen, dass f (xn ) − f (x) < ε f¨ ur große n gilt. Dazu w¨ ahlen wir O = f −1 (Bε (f (x))) . Nach Voraussetzung ist O offen. Daher gibt es ein η > 0 mit Bη (x) ⊆ O. ur gen¨ ugend große Da (xn ) gegen x konvergiert, gilt also xn ∈ Bη (x) f¨ n, also xn ∈ O. Laut Definition von O folgt f (xn ) ∈ Bε (f (x)), das heißt f (xn ) − f (x) < ε ,


und das war zu zeigen.

Abschließend halten wir noch fest, dass f¨ ur Funktionen mit Werten uft werden kann wie bei den in Rq Stetigkeit komponentenweise gepr¨ Folgen, vgl. Satz 13.6. Satz 13.12. Sei U ⊆ Rp . Eine Funktion f : U → Rq ⎞ ⎛ f1 (x) ⎟ ⎜ x → ⎝ ... ⎠ fq (x) ist genau dann stetig, wenn jede ihrer Komponenten fi : U → R stetig ist. Kompakte Mengen Als N¨achstes kommen wir zum Begriff der kompakten Menge. Kom¨ pakte Mengen spielen f¨ ur theoretische Uberlegungen in der Volkswirtschaftslehre eine große Rolle. Ein Grund daf¨ ur ist, dass stetige Funktionen auf Kompakta Maximum und Minimum haben. Wenn man also die fundamentale Frage stellt, ob das Nutzenmaximierungsproblem eines Konsumenten u osung hat, wird man versuchen, ¨berhaupt eine L¨ irgendwie Stetigkeit und Kompaktheit ins Spiel zu bringen, da es meist erheblich einfacher ist, diese Eigenschaften nachzuweisen, als die Existenz einer L¨osung explizit zu beweisen. Um nicht den zweiten Schritt vor dem ersten zu machen, nun aber erstmal zur Definition von Kompaktheit.

242

13 Topologie

Definition 13.8. Sei K eine Teilmenge von V , d.h. K ⊆ V . K aufungspunkte in K hat, heißt kompakt, wenn jede Folge (xn ) in K H¨ das heißt, es gibt eine Teilfolge (xnk ) und einen Punkt x ∈ K mit limk→∞ xnk = x. Beispiel 13.6. a) Die leere Menge ∅ ist kompakt (da es gar keine Folgen in ihr gibt, ist nichts zu pr¨ ufen!). b) Das Intervall [0, 1) in R ist nicht kompakt. Man betrachte zum ur diese Folge liegen alle Folgenglieder Beispiel die Folge xn = 1−1/n. F¨ in [0, 1). Die Folge selbst sowie damit auch jede Teilfolge konvergiert aber gegen 1, und 1 selbst liegt nicht im betrachteten Intervall. In Verallgemeinerung des voranstehenden Beispiels gilt, dass nur abgeschlossene Mengen K kompakt sein k¨ onnen. F¨ ur nicht abgeschlossene Mengen kann man n¨ amlich aufgrund von Satz 13.4 eine Folge (xn ) / K. in K finden, f¨ ur die gilt: lim xn ∈ Ferner k¨onnen nur beschr¨ ankte Mengen kompakt sein, da es andernfalls immer eine Folge (xn ) in der entsprechenden Menge gibt mit ur eine solche Folge kann damit auch keine Teilfollim xn  = ∞. F¨ ucklicherweise sogar die ge konvergieren (Satz 13.2). Und im Rp gilt gl¨ Umkehrung! Satz 13.13 (Satz von Heine–Borel). Eine Teilmenge K ⊆ Rp ist genau dann kompakt, wenn sie beschr¨ ankt und abgeschlossen ist. ¨ Nun kommen wir zu dem angek¨ undigten, f¨ ur die Okonomie so wichtigen Satz u ¨ber die Existenz von Extremstellen stetiger Funktionen auf kompakten Mengen. Satz 13.14 (Satz von Weierstraß u ¨ ber Maxima stetiger Funktionen). Jede stetige Funktion nimmt auf Kompakta Maximum und Minimum an, genauer: Sei K ⊂ Rp kompakt und f : K → R stetig. Dann gibt es x, y ∈ K mit f (x) = min f (z), f (y) = max f (z) . z∈K

z∈K

Anstatt einen vollen Beweis anzugeben, wollen wir uns hier auf eini¨ ge intuitive Uberlegungen dazu beschr¨ anken, wie man obigen Satz wohl beweisen w¨ urde und warum man Kompaktheit und Stetigkeit braucht. Sei also S das Supremum der Funktionswerte von f auf der Menge K. Dann wird es eine Folge (xn ) in K geben, so dass die Funktionswerte gegen S konvergieren. Und nun kommt die Kompaktheit ins Spiel: Wir

13.2 Stetigkeit und Kompakta

243

finden eine Teilfolge (xnk ) und einen Punkt x ∈ K, so dass xnk → x gilt. Wegen der Stetigkeit von f gilt dann aber auch S = lim f (xnk ) = f (x) , und also erreicht x das Supremum. ¨ Okonomisches Beispiel 13.15 Wir betrachten einen Konsumenten mit Verm¨ ogen w > 0, der ein Warenb¨ undel aus seiner Budgetmenge   Bw = x ∈ Rn+ : p1 x1 + . . . + pn xn ≤ w ausw¨ ahlt, wobei p1 , . . . , pn die Preise der einzelnen Waren sind, vgl. ¨ okonomisches Beispiel 10.13. Ferner nehmen wir an, dass die Pr¨ aferenzen  durch eine stetige Nutzenfunktion U (x1 , . . . , xn ) dargestellt werden k¨ onnen (hierzu ¨ okonomisches Beispiel 13.5). Wenn der Konsument rational ist, wird er diese Nutzenfunktion maximieren, wounde die bei er die Nebenbedingung x ∈ Bw zu beachten hat. Nun st¨ gesamte Haushaltstheorie auf wackligen F¨ ußen, wenn dieses Maximierungsproblem keine L¨ osung h¨ atte. Doch unsere abstrakten S¨ atze helfen uns hier: Bei strikt positiven Preisen ist die Budgetmenge n¨ amlich abgeschlossen und beschr¨ ankt, laut Satz von Heine–Borel somit kompakt. Da U stetig ist, gibt es laut Satz von Weierstraß also einen Vektor x, der den Nutzen maximiert u ¨ber Bw .

¨ Ubungen Aufgabe 13.1. Die Menge der reellen Zahlen R wird mit dem Betrag |x| ein normierter Vektorraum. Wie sehen offene Kugeln in diesem Vektorraum aus? Aufgabe 13.2. Wenn man R2 mit der Maximumsnorm xmax = max {|x1 |, |x2 |} versieht, haben die offenen Kugeln mit Radius r > 0 um 0 die Form Kr = {x : |x1 | < r und |x2 | < r} und sehen daher ziemlich eckig aus (Bild! Beweis!) Zeige, dass diese Kugeln auch offen bez¨ uglich der euklidischen Norm ||x||2 = sind!

x21 + x22

244

13 Topologie

Aufgabe 13.3. Die lexikographische Pr¨ aferenzrelation  auf R2 ist gegeben durch x  y ⇔ x1 > y1 oder (x1 = y1 und x2 > y2 ) Warum  heißt diese Ordnung “lexikographisch”? Zeige, dass die Besser– 1 als– –Menge 2    1 2 x∈R :x 2 weder offen noch abgeschlossen ist! Aufgabe 13.4. Bestimme den Rand folgender Teilmengen von R2 :   x ∈ R2 : x1 + x2 ≤ 1 ,   x ∈ R2 : x1 + x2 ≤ 1, x1 ≥ 0 ,   x ∈ R2 : x1 + x2 < 1, x1 > 0, x2 > 0 . Aufgabe 13.5. Untersuche die folgenden Mengen. Welche sind offen, abgeschlossen, beschr¨ ankt, kompakt? Tipp: Es hilft, die zweidimensionalen Mengen graphisch darzustellen! K = {x ∈ Rp : x ≤ 10}   A = x ∈ R2 : |x1 | ≤ 2, x2 ≥ 0   B = x ∈ R2 : x1 + x2 ≥ 0   C = x ∈ R2 : x1 , x2 ≥ 0 ∩ B D =C ∪K E =D∪A       2 x1 p  ≤ 10 . F = x∈R : , x2 1 Aufgabe 13.6. Man beweise: Eine Funktion f : R → Rp ⎞ ⎛ f1 (x) ⎜ f2 (x) ⎟ ⎟ ⎜ x → ⎜ .. ⎟ ⎝ . ⎠ fp (x) ist genau dann stetig, wenn jede ihrer Komponentenfunktionen fi : R → R stetig ist!

13.2 Stetigkeit und Kompakta

245

Aufgabe 13.7. Der Simplex im Rp ist gegeben durch 2  p  p xi = 1, xi ≥ 0, i = 1, . . . , p . ∆= x∈R : i=1

1. Zeige, dass ∆ kompakt ist! 2. In der Spieltheorie maximiert ein Spieler oft eine Zielfunktion der Gestalt x → x, Ay, wobei A eine p × p–Matrix ist und x, y ∈ ∆. Zeige, dass dieses Problem (bei gegebenem y) eine L¨ osung hat! 3. In dem Spiel “Elfmeter” entscheiden sich zwei Spieler (Ballack und Lehmann) gleichzeitig f¨ ur eine Seite. Wenn beide dieselbe Seite w¨ ahlen, gewinnt Lehmann, ansonsten Ballack. Das Spiel wird durch die Matrix   1 −1 A= −1 1 beschrieben (wieso?). a) Bestimme die Funktion x, Ay f¨ ur die Vektoren     y1 x1 und y = . x= 1 − x1 1 − y1 b) Wenn Ballack mit Wahrscheinlichkeit y1 = 1(3/4, 1/4, 1/2) ahlt, was rechts und mit Wahrscheinlichkeit y2 = 1 − y1 links w¨ tut Lehmann dann am besten? c) Zeige, dass gilt: max

min x, Ay = 0 .

0≤x1 ≤1 0≤y1 ≤1

14 Differentialrechnung im Rp

Nachdem wir im vorangegangenen Kapitel die Begriffe Abstand, Konvergenz, Stetigkeit usw. erfolgreich verallgemeinert haben, wollen wir nun die Ideen der Ableitung und linearen Approximation von reellen Funktionen auf den mehrdimensionalen Fall u ¨bertragen. Wir arbeiten dazu von jetzt an ausschließlich im endlich–dimensionalen Vektorraum Rp .

14.1 Graphische Darstellung von Funktionen Wir beginnen unsere Diskussion der Differenzierbarkeit im Rp mit einem kurzen Diskurs u ¨ber die graphische Darstellung von Funktionen. F¨ ur viele mathematische Problemstellungen sind graphische Darstellungen ein ¨außerst n¨ utzliches Hilfsmittel, um sich eine erste Intuition zu dem Problem und zu m¨ oglichen L¨ osungen zu verschaffen. Dies gilt ¨ nat¨ urlich auch f¨ ur die Okonomie. Um auch hier auf formal sicheren Beinen zu stehen, definieren wir zun¨ achst formal, was man unter dem Graphen einer Funktion versteht. Definition 14.1 (Graph). Sei f : X → R eine Funktion mit X ⊆ Rp . Dann heißt die Menge Gf = {(x, f (x)) | x ∈ X} ⊆ Rp+1 Graph von f . Rein mathematisch gesehen ist der Graph einer Funktion also die Menge aller Paare bestehend aus einem Element des Definitionsbereichs von f und dem zugeh¨ origen Element des Wertebereichs. Enstprechende Bilder von Graphen reeller Funktionen (p = 1) und von Funktionen

248

14 Differentialrechnung im Rp

zweier Variablen (p = 2) haben wir im Verlauf dieses Buches ja schon oft gesehen, etwa in den Abbildungen 8.3, 12.1 und 12.2. Da graphische Darstellungen vielfach schon f¨ ur Funktionen von R2 nach R recht un¨ ubersichtlich werden, w¨ ahlt man im mehrdimensionalen Fall oft eine Darstellung durch Isoh¨ ohenlinien. Auf einer Wetterkarte sind dies die Orte, die gleichen Luftdruck (Isobaren) oder gleiche Temperatur (Isothermen) aufweisen. In den Wirtschaftswissenschaften treten sie etwa in der Gestalt von Inputkombinationen mit demselben Output (Isoquanten) oder B¨ undeln gleichen Nutzens (Indifferenzkurven) auf. Definition 14.2 (Isoh¨ ohenlinie). Sei f : X → R eine Funktion mit ur alle c ∈ R wird die Menge X ⊆ Rp . F¨ I(c) = {x ∈ X : f (x) = c} als Isoh¨ohenlinie oder Niveaumenge zum Niveau c bezeichnet. Im Allgemeinen kann eine Niveaumenge durchaus eine dicke Menge oder Fl¨ache umfassen; man denke etwa im Gebirge an ein Plateau. In den f¨ ur den Wirtschaftswissenschaftler interessanten F¨allen gibt es aber zumeist keine Plateaus, so dass die Niveaumengen in der Tat sch¨one eindimensionale Kurven sind. Beispiel 14.1. Die Niveaumengen der Sattelfl¨ache f (x, y) = x2 −y 2 zum Niveau c sind beschrieben durch Punkte (x, y) mit x2 − y 2 = c, bzw.

y = ± x2 − c . Insbesondere gilt f¨ ur das Niveau 0: I(0) = {(x, y) : |x| = |y|} . I(0) besteht also aus den beiden Diagonalen y = x und y = −x.

14.2 Partielle Ableitung und Richtungsableitung Wir wenden uns nun der Frage der Differenzierbarkeit von Funktionen mehrerer Ver¨anderlicher zu. Intuitiv die einfachste Art und Weise, eine Funktion mehrerer Ver¨ anderlicher abzuleiten, ist, einfach alle Variablen bis auf eine zu ignorieren und dann nach dieser Variablen abzuleiten, wie wir es aus Teil II gewohnt sind. Das folgende Beispiel verdeutlicht, wie wir uns das vorzustellen haben.

14.2 Partielle Ableitung und Richtungsableitung 2

x Ŧy

2

Ŧ30

0

Ŧ20 10

4

0

0

0

Ŧ2

Ŧ30

10

Ŧ10

Ŧ10

20

0

Ŧ2

30

0

30

Ŧ1

6

249

2 10 10

Ŧ10

30

0

20

Ŧ4

10

Ŧ6 Ŧ6

Ŧ20

0 Ŧ1 0 2 Ŧ

Ŧ4

0

10

20

Ŧ2

0

30

y

20 0

0

Ŧ30

Ŧ2

Ŧ1

Ŧ30

0 x

2

0 Ŧ2 0 4

0 6

Abb. 14.1. H¨ ohenlinien f¨ ur die Niveaus c = −30, −20, . . . , 30 zur Sattelfl¨ache x2 − y 2 (vgl. Abb. 12.2).

¨ Okonomisches Beispiel 14.1 Wir betrachten ein Unternehmen, das aus zwei Inputs, K wie Kapital und A wie Arbeit, den Umsatz U (K, A) generiert. Der Stundenlohn sei l > 0. Eine typische Frage des Unternehmers ist: Lohnt es sich, mehr Arbeiter einzustellen? Wenn die Anzahl der gearbeiteten Stunden von A auf A + ε steigt, so ¨ andert sich der Umsatz um ∆U = U (K, A + ε) − U (K, A) (die Notation ∆ verwendet man oft, um Differenzen anzudeuten). Die entstehenden zus¨ atzlichen Kosten belaufen sich auf ∆Kosten = lε f¨ ur die zus¨ atzliche Arbeit. Also lohnt es sich, ein wenig mehr Arbeiter einzustellen, wenn ∆U ≥ lε oder U (K, A + ε) − U (K, A) ≥l ε gilt. In Worten gesagt: Die Umsatzsteigerung pro zus¨ atzlicher Einheit Arbeit muss den Stundenlohn u ¨bersteigen. Auf der linken Seite der Ungleichung steht aber nun ein Differenzenquotient, der f¨ ur kleine ε gut durch die Ableitung der reellen Funktion V (A) = U (K, A) beschrieben wird: V  (A) ≥ l . Oder: der Grenzumsatz von Arbeit muss den Stundenlohn u ¨bersteigen. Wir halten also hier das Kapitalniveau K fest und betrachten U als Funktion lediglich der Variablen A. In Verallgemeinerung des voranstehenden Beispiels definieren wir nun die partielle Ableitung.

250

14 Differentialrechnung im Rp

Definition 14.3. Sei U ⊆ Rp eine offene Teilmenge des Rp und f : U → R eine reellwertige Funktion. F¨ ur ⎛ ⎞ x1 ⎜ .. ⎟ x=⎝ . ⎠∈U xp und k = 1, . . . , p definieren wir die k-te partielle Funktion wie folgt: gk (ξ) = f (x1 , x2 , . . . , xk−1 , ξ, xk+1 , . . . , xp ) . anderlichen ist.) Wenn (Man beachte, dass gk eine Funktion einer Ver¨ gk in xk differenzierbar ist, so nennen wir f in x nach xk partiell differenzierbar und schreiben ∂f (x) = gk (xk ) . ∂xk Wir k¨onnen die partielle Ableitung auch direkt schreiben als ∂f (x) = ∂xk f (x1 , ., xk−1 , xk + ε, xk+1 , ., xp ) − f (x1 , ., xk−1 , xk , xk+1 , ., xp ) . lim ε→0 ε Hieran sieht man deutlich, dass wir die Variablen xj , j = k festhalten. Beispiel 14.2. a) Die Funktion f (x1 , x2 , x3 ) = x21 +x22 +3x1 x3 ist nach allen Variablen partiell differenzierbar und es gilt: ∂f (x) = 2x1 + 3x3 , ∂x1

∂f (x) = 3x1 . ∂x3

b) Analog gilt f¨ ur f (s, t) = t · es : ∂f (s, t) = t · es , ∂s

∂f (s, t) = es . ∂t

¨ Okonomisches Beispiel 14.2 Wir sammeln ein paar Beispiele, die in den Wirtschaftswissenschaften oft vorkommen.

14.2 Partielle Ableitung und Richtungsableitung

251

1. Die Cobb–Douglas–Funktion ist gegeben durch α

f (x1 , . . . , xp ) = xα1 1 xα2 2 · · · xp p f¨ ur positive Parameter αj > 0, j = 1, . . . , p. F¨ ur strikt positive Vektoren x ist sie nach xk partiell differenzierbar mit ∂f αk−1 αk −1 α (x) = αk xα1 1 xα2 2 · · · xk−1 xk · · · xp p ∂xk = αk f (x)/xk . 2. Quasilineare Funktionen sind von der Form f (m, x) = m + g(x) f¨ ur eine reelle Funktion g. Hier sind die partiellen Ableitungen ∂f (m, x) = 1, ∂m

∂f (m, x) = g  (x) . ∂x

m wird hier oft als Geld interpretiert und x als irgendeine Ware. Man kann mit diesen Funktionen gut rechnen, da der Grenznutzen ∂f konstant ist und der Grenznutzen in der Ware nicht in Geld ∂m von der Menge des vorhandenen Geldes m abh¨ angt. 3. In dynamischen Modellen trifft man oft auf die additive Nutzenfunktion T  δ s u(xs ) . U (x0 , x1 , . . . , xT ) = s=0

Hier ist δ > 0 ein Diskontfaktor und u eine reelle Periodennutzenfunktion. Die partiellen Ableitungen sind gegeben durch: ∂f (x) = δ s u (xs ). ∂xs Wenn eine Funktion nach allen Variablen partiell differenzierbar ist, so fassen wir die partiellen Ableitungen als Vektor zusammen. Definition 14.4. F¨ ur eine in allen Variablen partiell differenzierbare Funktion f heißt der Vektor der partiellen Ableitungen ⎞ ⎛ ∂f ∂x1 (x) ⎜ . ⎟ ∇f (x) = ⎝ .. ⎠ ∂f ∂xp (x)

der Gradient von f an der Stelle x. (Das Symbol ∇ spricht man u ¨brigens “nabla”.)

252

14 Differentialrechnung im Rp

Als Vektor gibt der Gradient einer Funktion eine Richtung an, und zwar die Richtung des steilsten Anstiegs der Funktion. Wer also m¨oglichst schnell zur Spitze kommen m¨ ochte, geht am besten immer in der Richtung des Gradienten. Als N¨achstes kommen wir nun zu den Richtungsableitungen. Wie wir bereits gesehen haben, gibt uns eine partielle Ableitung immer den Differenzenquotienten entlang einer bestimmten Koordinatenachse. Die Vorgabe der Richtung durch die Koordinatenachse ist dabei allerdings mehr oder weniger willk¨ urlich. Mit anderen Worten, man kann die Steigung einer Funktion in mehreren Ver¨ anderlichen im Prinzip f¨ ur jede beliebige Richtung bestimmen. Dabei verstehen wir unter einer Richtung einen Vektor v der L¨ ange v = 1. Definition 14.5 (Richtungsableitung). Sei f : U → R eine Funkur x ∈ U tion und v ∈ Rp eine Richtung. Setze f¨ gv (ε) = f (x + εv) . (Da U offen ist, liegt f¨ ur kleine ε auch x + εv ∈ U . Damit ist gv wohldefiniert.) Wenn g in ε = 0 differenzierbar ist, so heißt f im Punkte x in Richtung v differenzierbar und wir schreiben ∂f (x) = gv (0) . ∂v Man beachte, dass die partielle Ableitung nach xk gleich der Ableitung in Richtung des k. Einheitsvektors ek ist: ∂f ∂f (x) = (x) . ∂xk ∂ek Beispiel 14.3. Sei f (x, y) = x2 − y 2 die Sattelfl¨ache und √   2 1 v= 1 2 die Richtung der Diagonalen. Dann ist √ √ √ 2 2 ε, y + ε = x2 − y 2 + 2ε(x − y) . gv (x, y) = f x + 2 2 Damit ergibt sich √ ∂f (x, y) = gv (0) = 2(x − y) . ∂v Insbesondere ist die Ableitung in Richtung der Diagonalen auf der Diagonalen x = y stets gleich 0.

14.2 Partielle Ableitung und Richtungsableitung

253

Mehrfache partielle Ableitungen ∂f Wenn die partielle Ableitung ∂x (x) f¨ ur alle Punkte x ∈ U existiert, so k kann man diese wieder als Funktion betrachten und darauf untersuchen, ob man sie nach einer Variablen xl partiell ableiten kann. Wenn dies m¨oglich ist, erhalten wir auf diese Weise die zweite partielle Ableitung

∂ ∂f (x) , ∂xl ∂xk die wir k¨ urzer als

∂2f (x) ∂xl ∂xk

schreiben. Dabei ist zu beachten, dass die Reihenfolge, in der die verschiedenen Ableitungen gebildet werden, in der Regel nicht beliebig ist. In der Tat k¨onnte im Prinzip schließlich gelten: ∂2f ∂2f (x) = (x). ∂xl ∂xk ∂xk ∂xl Man kann auch Beispiele konstruieren, in denen dies der Fall ist. Wenn die zweiten partiellen Ableitungen aber stetig sind, geht alles gut, wie zun¨achst einmal das folgende Beispiel zeigt. Beispiel 14.4. F¨ ur die Funktion f (x, y) = xy 2 gilt: ∂f ∂f (x, y) = y 2 und (x, y) = 2xy . ∂x ∂y Diese Funktionen sind selbst wieder partiell differenzierbar. Also ist f zweifach partiell differenzierbar und es gilt: ∂2f ∂2f (x, y) = 2y sowie (x, y) = 2y . ∂y∂x ∂x∂y Die gemischten partiellen Ableitungen stimmen also u ¨berein. Gl¨ ucklicherweise ist in den meisten F¨allen, die in der Praxis auftreten, die obige Bedingung, d.h. die Stetigkeit der zweiten partiellen Ableitungen, erf¨ ullt und es kommt auf die Reihenfolge der Differentiation nicht an. Satz 14.3 (Satz von Schwarz). Sei f : U → R zweimal partiell 2f 2f (x) und ∂x∂k ∂x (x) seien stetig. differenzierbar und die Funktionen ∂x∂l ∂x k l Dann gilt f¨ ur alle Punkte x ∈ U ∂2f ∂2f (x) = (x) . ∂xl ∂xk ∂xk ∂xl

254

14 Differentialrechnung im Rp

14.3 Ableitung und totales Differential Bislang haben wir Ableitungen entlang einer bestimmten Richtung, d.h. gewissermaßen eindimensional, zum Beispiel entlang einer Koordinatenachse, bestimmt. Es wurde also letztlich immer nur eine Variable variiert, w¨ahrend alle anderen festgehalten wurden. Wir wollen nun einen Schritt weitergehen und alle Variablen gleichzeitig leicht ab¨andern. Auch hier ist die Intuition aus dem eindimensionalen Fall hilfreich. Wir erinnern uns: Geometrisch bestimmt die Ableitung in einem Punkt x ¯ die Steigung der Tangente an einer differenzierbaren Funktion. In x ¯ approximiert die Tangente, eine Gerade, die Funktion beliebig gut. Lokal verh¨alt sich die Funktion also wie eine lineare Funktion, denn es gilt x) + a(x − x ¯) , f (x) ∼ = f (¯ x) ist (Taylorapproximation 1.Ordnung). Ferner ist der wobei a = f  (¯ Fehler r(x− x ¯) = f (x)−[f (¯ x) + a(x − x ¯)] viel kleiner als die Entfernung x−x ¯, denn f¨ ur x → x ¯ gilt: r(x − x ¯) →0. x−x ¯ Diese Tatsache der beliebig guten Approximation durch eine lineare Funktion u ¨bertragen wir nun auf den Rp . Definition 14.6 (Totale Differenzierbarkeit). Sei U ⊆ Rp offen und ⎞ ⎛ f1 (x) ⎟ ⎜ f (x) = ⎝ ... ⎠ fq (x) ¯ ∈ U (total) eine Funktion von U nach Rq . Dann heißt f im Punkt x differenzierbar, wenn es eine lineare Abbildung A : Rp → Rq gibt, so dass x) + A(x − x ¯) f (x) ∼ = f (¯ in dem Sinne gilt, dass der Fehler r(x − x ¯) = f (x) − [f (¯ x) + A(x − x ¯)] die Beziehung

r(x − x ¯) =0 x→¯ x x − x ¯ lim

erf¨ ullt. In diesem Falle schreiben wir Df (¯ x) = A.

(14.1)

14.3 Ableitung und totales Differential

255

Man beachte, dass wir lineare Abbildungen mit Matrizen identifiziert haben. Der in der Definition auftretenden Abbildung A entspricht also eine q × p–Matrix. Im Folgenden sollen die Eintr¨age dieser Matrix n¨aher bestimmt werden. Wir beginnen mit einem einfachen Beispiel. Beispiel 14.5. Wir betrachten die lineare Abbildung f (x) = Bx f¨ ur eine x) = B. Es q × p–Matrix B. Im Eindimensionalen (p = q = 1) gilt ja f  (¯ ist also zu hoffen, dass auch im allgemeinen Fall Df (¯ x) = B gilt. Um dies zu u ufen, m¨ ussen wir den Rest ¨berpr¨ r(x − x ¯) = f (x) − [f (¯ x) + A(x − x ¯)] = Bx − B x ¯ − A(x − x ¯) betrachten. Wenn wir A = B setzen, ist der Rest aber gleich 0. Also konvergiert der Rest auch gegen 0 f¨ ur x → x ¯. Dies zeigt, dass wie gew¨ unscht Df (¯ x) = B gilt. F¨ ur den Fall linearer Abbildungen l¨ asst sich die Matrix A bzw. Df (¯ x) = B also offenbar relativ einfach und letztlich in bekannter Weise bestimmen. Doch wie sollen wir im Falle nichtlinearer Abbildungen vefahren? Auch in diesen F¨ allen w¨ are eine Methode w¨ unschenswert, die x) liefert, wenn f differenzierbar ist. m¨oglichst schnell die Matrix Df (¯ Gl¨ ucklicherweise helfen uns hier die partiellen Ableitungen: Satz 14.4 (Jacobimatrix). Sei ⎞ f1 (x) ⎟ ⎜ f (x) = ⎝ ... ⎠ ⎛

fq (x) eine Funktion von U nach Rq . Sei ferner f differenzierbar im Punkte x ¯ ∈ U . Dann ist jede Komponentenfunktion fi : U → R in jeder Variable xk partiell differenzierbar und es gilt ⎛ ∂f1 ⎞ ∂f1 ∂x1 (x) . . . ∂xp (x) ⎜ ∂f2 ⎟ ∂f ⎜ ∂x1 (x) . . . ∂x2p (x) ⎟ ⎟ Df (¯ x) = ⎜ .. ⎟ . ⎜ .. ... . ⎠ ⎝ . ∂fq ∂fq ∂x1 (x) . . . ∂xp (x) Diese Matrix heißt auch Jacobi– oder Funktionalmatrix von f an der Stelle x ¯.

256

14 Differentialrechnung im Rp

Beweis. Wir schauen uns f1 : U → R an sowie die Variable x2 . Die partielle Ableitung nach der zweiten Variable ist die Richtungsableitung ussen also zeigen, dass der in Richtung des Einheitsvektors e2 . Wir m¨ Differenzenquotient x + he2 ) − f1 (¯ x) f1 (¯ h f¨ ur h → 0 konvergiert. Wenn wir die Definition der Differenzierbarkeit ausschreiben, haben wir f¨ ur die Matrix A = (aij )i=1,...,q,j=1,...,p f1 (¯ x + he2 ) = f1 (¯ x) + h

p 

a1j · e2j + r1 (he2 ) ,

j=1

ur j = 2 ist. Also gilt wobei e2j = 0 f¨ x + he2 ) = f1 (¯ x) + ha12 + r1 (he2 ) , f1 (¯ und damit

x + he2 ) − f (¯ x) r1 (he2 ) f1 (¯ = a12 + , h h und dies konvergiert gegen a12 f¨ ur h → 0. Dies zeigt nicht nur, dass f1 nach der zweiten Variable partiell differenzierbar ist, sondern auch, dass die partielle Ableitung gleich a12 ist. Damit haben wir auch die Komponenten der Abbildung A identifiziert.


Da wir uns in den meisten praktischen Anwendungen f¨ ur Funktionen mit Werten in den reellen Zahlen interessieren, betrachten wir diese noch einmal gesondert. In diesem Falle gilt q = 1. Die Ableitung Df (¯ x) ist also eine 1 × p–Matrix, die wir mit dem (transponierten) p– dimensionalen Vektor der partiellen Ableitungen identifizieren k¨onnen. Dies ist aber gerade der Gradient der Funktion. Wir halten fest: Korollar 14.1. F¨ ur differenzierbare Funktionen f : U → R mit Werten in den reellen Zahlen ist die Jacobimatrix durch den Gradienten gegeben: Df (¯ x) = ∇f (¯ x) . Interessant zu bemerken ist an dieser Stelle, dass partiell differenzierbare Funktionen mehrerer Ver¨ anderlicher, anders als man es vielleicht erwarten w¨ urde, im Allgemeinen nicht stetig sind. Dies liegt daran, dass man nur entlang einer Achse ableitet, aber nicht beliebige ¨ Anderungen aller Variablen zul¨ asst. So kann es also durchaus sein, dass eine Funktion der zwei Variablen x und y entlang der Diagonalen x = y

14.3 Ableitung und totales Differential

257

nicht stetig ist, aber trotzdem entlang der x– und y–Achse partiell dif¨ ferenzierbar. Bei totaler Differenzierbarkeit lassen wir hingegen Anderungen in alle Richtungen zu. In diesem Fall erhalten wir, analog zu Satz 7.1, das folgende Resultat: Satz 14.5. Differenzierbare Funktionen sind stetig. Beweis. Die Aussage des Satzes erschließt sich aus der Approximation f (x) ∼ x) + A(x − x ¯) . = f (¯ F¨ ur x → x ¯ konvergiert A(x − x ¯) gegen 0, da lineare Abbildungen stetig sind. Also konvergiert auch f (x) gegen f (¯ x), denn der Fehler r(x − x ¯) ist vernachl¨assigbar (wer wirklich streng mathematisch argumentieren m¨ochte, beweise auch dies noch!).
Partielle Differenzierbarkeit ist schw¨ acher als echte Differenzierbarkeit. Zum Gl¨ uck braucht man in der Praxis aber nicht immer die etwas komplizierte Bedingung (14.1) zu u ufen, da die auftretenden ¨berpr¨ Funktionen meist nicht nur partiell differenzierbar, sondern die partiellen Ableitungen selbst auch noch stetig sind. F¨ ur diesen Fall gilt der folgende Satz, den wir ohne Beweis angeben. Satz 14.6. Eine Funktion f : U → Rq heißt stetig partiell differen∂fi (x) existieren und selbst zierbar, wenn alle partiellen Ableitungen ∂x k stetige Funktionen sind. Stetig partiell differenzierbare Funktionen sind total differenzierbar. Auf Grund des voranstehenden Satzes nennen wir stetig partiell differenzierbare Funktionen oft auch k¨ urzer stetig differenzierbare Funktionen. Beispiel 14.6. Wir betrachten die quadratische Form QB (x) = x, Bx f¨ ur eine symmetrische p × p–Matrix B. Explizit ausgeschrieben gilt somit: p  p  QB (x) = bij xi xj . i=1 j=1

Quadratische Funktionen sind partiell differenzierbar mit stetigen partiellen Ableitungen. Folglich ist QB stetig partiell differenzierbar und damit differenzierbar. Um die Jacobimatrix auszurechnen, sortiert man

258

14 Differentialrechnung im Rp

besser vorher nach echt quadratischen Termen x2i und den gemischten Termen xi xj mit i = j. Da bij = bji gilt, erhalten wir so: QB (x) =

p 

bii x2i

i=1

+2

p  p 

bij xi xj .

i=1 j=i+1

An dieser Darstellung sieht man, dass etwa f¨ ur x2 nur die Terme b22 x22 + 2

p 

b2j x2 xj + 2b12 x1 x2

j=3

relevant sind. Daher erh¨ alt man ⎛ ⎞ p p   ∂QB ⎝ ⎠ (x) = 2b22 x2 + 2 b2j xj + 2b12 x1 = 2 b2l xl . ∂x2 j=3

l=1

(Man beachte, dass wir im letzten Schritt die Symmetrie der Matrix B ausnutzen, denn wir brauchen dort b12 = b21 .) Insgesamt erh¨alt man damit DQB (x) = 2Bx , ein h¨ ubsches Analogon zu dem eindimensionalen (bx2 ) = 2bx. Allerdings gilt dies nur f¨ ur symmetrische Matrizen B. F¨ ur allgemeine Matrizen C gilt n¨amlich DQC (x) = (C + C )x , ¨ was man zur Ubung u ufe. ¨berpr¨

14.4 Kettenregel Wir kommen nun zu den Differentiationsregeln. Ganz wie im eindimensionalen Fall gilt: Satz 14.7. Seien f, g : U ⊆ Rp → Rq in x ∈ U differenzierbar. Dann ist auch ihre Summe f + g in x differenzierbar, und es gilt: D(f + g)(x) = Df (x) + Dg(x) . Analog gilt f¨ ur λ ∈ R D (λf ) (x) = λDf (x) .

14.4 Kettenregel

259

Die bei weitem wichtigste Regel ist die Kettenregel. Formal k¨onnen wir auch sie zun¨achst einmal analog zum eindimensionalen Fall als Produkt von ¨außerer und innerer Ableitung schreiben, wie der folgende Satz zeigt. Satz 14.8 (Kettenregel). Seien f : U ⊆ Rp → Rq und g : V ⊆ Rq → Rr Funktionen mit Bild f ⊆ V . Wenn f in x ∈ U differenzierbar ist und g in y = f (x), dann ist auch die zusammengesetzte Funktion f (x) = g(f (x)) in x differenzierbar und es gilt Dh(x) = Dg (f (x)) Df (x) . Auf einen formalen Beweis verzichten wir an dieser Stelle. Stattdessen wollen wir uns die G¨ ultigkeit der Kettenregel lediglich intuitiv ¨ klarmachen. Die n¨ otige Uberlegung sieht in etwa wie folgt aus. Da g differenzierbar ist, gilt f¨ ur Punkte ξ in der N¨ahe von x h(ξ) − h(x) = g(f (ξ)) − g(f (x)) ∼ = Dg(f (x)) (f (ξ) − f (x)) . Da auch f differenzierbar ist, gilt f (ξ) − f (x) ∼ = Df (x)(ξ − x) . Insgesamt folgt daher h(ξ) − h(x) ∼ = Dg(f (x))Df (x)(ξ − x) , was schon fast der Beweis ist (wenn man noch zeigen kann, dass der Fehler in der Tat klein ist). Wichtig ist an dieser Stelle zu beachten, dass man nicht einfach die Reihenfolge der Multiplikation vertauschen kann, da Matrizen multipliziert werden. Insbesondere ist Dg eine r × q–Matrix und Df eine q × p–Matrix. Das Produkt Df (x)Dg(f (x)) ist somit im Allgemeinen gar nicht definiert. Beispiel 14.7. Eine typische Anwendung der Kettenregel besteht darin, dass man in eine Funktion g(x1 , x2 , . . . , xp ) von vielen Variablen reelle Funktionen f1 (t), . . . , fp (t) einsetzt, die alle nur von einer Variablen abh¨angen. Dies ist der Fall p = 1 und r = 1 im obigen Satz. Formal liegen eine Funktion f : R → Rq und eine weitere Funktion

260

14 Differentialrechnung im Rp

g : Rq → R vor. Die Verkettung h(t) = g(f (t)) ist also eine reelle Funktion. Die Ableitung von f ist gegeben durch ⎛  ⎞ f1 (t) ⎜ .. ⎟ Df (t) = ⎝ . ⎠ . fp (t)

Die Ableitung von g ist gegeben durch Dg(x) = ∇g(x) . Nach der Kettenregel folgt somit: h (t) = Dg(f (t))Df (t) =



⎞ ⎛  f1 (t) ∂g ∂g ⎟ ⎜ (f (t)), . . . , (f (t)) ⎝ ... ⎠ ∂x1 ∂xp fp (t)

p  ∂g (f (t))fi (t) . = ∂xi i=1

Zum Schluss wenden wir dieses Resultat noch auf die Funktion h(t) = g(t, t2 ) mit g(x, y) = x − y 2 an. Nach der soeben bewiesenen Formel gilt: h (t) =

∂g ∂g (t, t2 ) + (t, t2 ) · 2t = 1 − 2(t2 ) · 2t = 1 − 4t3 , ∂x ∂y

was man nat¨ urlich auch direkt nachrechnen kann. ¨ Okonomisches Beispiel 14.9 Die Nachfrage eines Konsumenten ist eine Funktion der Preise p1 , p2 , . . . , pl . Bei einem rationalen Konsumenten k¨ onnen wir zudem davon ausgehen, dass sich diese nicht andert, wenn man statt in DM in Euro (oder Lire) rechnet. Anders ge¨ sagt: Wenn man alle Preise mit einer bestimmten positiven Konstanten λ multipliziert, bleibt die Nachfrage gleich: d (λp1 , . . . , λpl ) = d (p1 , . . . , pl ) . Allgemeiner nennt man eine Funktion d(p1 , . . . , pl ) homogen vom Grade n ∈ N, wenn f¨ ur alle λ > 0 gilt: d (λp1 , . . . , λpl ) = λn d(p1 , . . . , pl ) .

14.4 Kettenregel

261

Wir leiten nun beide Seiten dieser Gleichung nach λ ab. Auf der rechten ur die linke Seite ben¨ otigen wir Seite erhalten wir dann nλn−1 d(p). F¨ die Kettenregel wie in Beispiel 14.7. Die innere Ableitung ist gerade der Vektor p und die ¨ außere der Gradient. Man erh¨ alt also l 

pi

i=1

∂di (λp) . ∂pi

Wenn wir nun noch λ = 1 setzen, bekommen wir Eulers Theorem f¨ ur homogene Funktionen: nd(p) =

l  i=1

pi

∂di (p) . ∂pi

Beispiel 14.8. Richtungsableitung und Gradient. Die Kettenregel erlaubt es uns, f¨ ur die Richtungsableitung eine h¨ ubsche Formel zu finden. F¨ ur eine Richtung v gilt n¨ amlich: ∂f (x) = gv (0) , ∂v wobei gilt (vgl. Definition 14.5): gv (ε) = f (x + εv) . gv ist eine zusammengesetzte Funktion. Die innere Funktion ist ε → x+ εv. Hier ist die innere Ableitung gerade durch die Richtung v gegeben. Die a¨ußere Ableitung ist der Gradient von f . Insgesamt gilt: ∂f (x) = ∇f (x), v . ∂v Die Richtungsableitung ist also das Skalarprodukt aus Gradient und Richtung. Wegen der Cauchy–Schwarz’schen Ungleichung (Lemma 10.5) gilt somit: ∂f (x) ≤ ∇f (x) v = ∇f (x) , ∂v da die L¨ange einer Richtung 1 ist. Wenn nun der Gradient nicht 0 ist, so kann man durch den normierten Gradienten v =

∇f (x) ∇f (x)

eine Richtung definieren und f¨ ur diese gilt

262

14 Differentialrechnung im Rp

∇f (x) ∂f  = ∇f (x) . (x) = ∇f (x),  ∂v ∇f (x) Daran sehen wir, dass die Richtungsableitung in Richtung des Gradienten maximal wird. Wir erhalten hier also noch etwas versp¨atet den Beweis f¨ ur unsere fr¨ uhere Behauptung: Der Gradient gibt die Richtung des steilsten Anstiegs an.

14.5 Implizite Funktionen und Umkehrsatz Wir kommen nun zu impliziten Funktionen. Um die im Folgenden behandelten Fragen zu motivieren, beginnen wir mit einer Diskussion einer entsprechenden ¨ okonomischen Fragestellung. ¨ Okonomisches Beispiel 14.10 Wir betrachten einen Konsumenten mit Nutzenfunktion U (x, y) f¨ ur zwei Waren x und y. Insbesondere interessieren wir uns f¨ ur seine Indifferenzmengen I(u) = {(x, y) : U (x, y) = u} . Diese umfassen jeweils alle Warenkombinationen (x, y), mit denen der Konsument ein und dasselbe Nutzenniveau u erreicht. ¨ Interessant ist nun, dass man f¨ ur praktische Uberlegungen zumeist davon ausgeht, dass die Indifferenzmengen I(u) sich durch h¨ ubsche Kurven beschreiben lassen. Dabei ist im Allgemeinen u ¨berhaupt nicht klar, dass dies geht. So k¨ onnte es zum Beispiel sein, dass der Konsument bei dem Niveau u so satt ist, dass es ihm gleich ist, ob er noch etwas mehr oder weniger Waren bekommt oder nicht. In diesem Fall w¨ urde I(u) eher durch eine Fl¨ ache als eine Kurve beschrieben. Wenn man allerdings S¨ attigung in geeigneter Weise ausschließt, so definiert die Gleichung U (x, y) = u eine Funktion i(x), die genau das einzige y angibt, f¨ ur das gilt: U (x, i(x)) = u .

(14.2)

Man sagt dann, dass die Funktion i(x) durch die Gleichung (14.2) implizit definiert wird und nennt i die Indifferenzkurve. Es stellt sich also die Frage: Unter welchen Bedingungen gibt es eine Funktion i(x), die die Gleichung (14.2) l¨ ost? Des Weiteren ist es interessant, wenn die Existenz der Indifferenzkurve erst einmal gesichert ist, etwas u ¨ber ihre Steigung zu erfahren.

14.5 Implizite Funktionen und Umkehrsatz

263

Diese wird beispielsweise bei der Nutzenmaximierung eine wichtige Rolle spielen. Tun wir also einfach mal so, als w¨ are i(·) differenzierbar, und leiten beide Seiten der Gleichung (14.2) nach x ab. Dann erhalten wir unter Anwendung der Kettenregel ∂U ∂U (x, i(x)) + (x, i(x)) i (x) = 0 , ∂x ∂y oder

∂U

∂x i (x) = − ∂U ∂y

(x, i(x)) (x, i(x))

.

(14.3)

Es folgt also: Wenn i(x) differenzierbar ist, so haben wir eine sch¨ one Formel f¨ ur die Steigung der Indifferenzkurve als negativer Quotient der partiellen Ableitungen der Nutzenfunktion. Dies jedoch f¨ uhrt uns auf eine zweite wichtige Frage, n¨ amlich: Unter welchen Bedingungen ist i(x) differenzierbar? Im Folgenden wollen wir nun versuchen, die oben aufgeworfenen Fragen zu beantworten. Dabei beschr¨ anken wir uns zun¨achst auf den einfachen Fall von zwei Variablen. Seien U1 und U2 offene Intervalle in R und f : U1 × U2 → R eine stetig differenzierbare Funktion. Wir fixieren einen Punkt   ξ1 ∈ U 1 × U2 ξ= ξ2 mit f (ξ) = c und fragen uns zun¨ achst, ob es in der N¨ahe von ξ eine Funktion i(x) gibt, die stets die Bedingung f (x, i(x)) = c erf¨ ullt. Wir hatten uns ja schon im obigen ¨ okonomischen Beispiel intuitiv u ¨berlegt, dass wir Probleme bekommen, wenn S¨ attigung vorliegt. S¨attigung bedeutet ja, dass die Ableitung gleich null ist. Andererseits hatten wir schon in der Formel (14.3) gesehen, dass mindestens eine partielle Ableitung ungleich null sein muss. Gl¨ ucklicherweise sagt uns der folgende Satz, dass dies ausreichend ist: Satz 14.11 (Implizite Funktionen). Seien f und ξ wie oben. Wenn dann gilt: ∂f (ξ) = 0 , ∂y so existiert ein ε > 0 und eine stetige Funktion i : ]ξ1 − ε, ξ1 + ε[→ U2 f¨ ur die gilt:

264

14 Differentialrechnung im Rp

f (x, i(x)) = c

f¨ ur x ∈ ]ξ1 − ε, ξ1 + ε[ .

Ferner ist die Funktion i(·) differenzierbar, und es gilt: ∂f

∂x i (x) = − ∂f

(x, i(x))

∂y (x, i(x))

.

(14.4)

Verallgemeinerung auf beliebig viele Variablen Bisher haben wir uns, ausgehend von unserem einf¨ uhrenden Beispiel, auf den Fall mit zwei Variablen konzentriert. Bedauerlicherweise sind allerdings nicht alle Probleme so simpel, dass sie sich auf zwei Variablen reduzieren lassen. Vielmehr wird man oft eine ganze Anzahl von gegebenen Variablen, sogenannten exogenen Variablen x1 , . . . , xl , haben arensowie eine weitere Anzahl y1 , . . . , ym von endogenen oder zu erkl¨ den Variablen. Die Frage ist dann, ob man die endogenen Variablen als Funktionen der exogenen Variablen schreiben kann, d.h. ob f¨ ur geeignete Funktionen fj gilt: yj = fj (x1 , . . . , xl ) . Falls das so ist, ist ferner interessant zu fragen, ob man auch so eine sch¨one Formel wie (14.4) f¨ ur die Ableitungen erhalten kann. Diese Fragen sollen im Folgenden n¨ aher behandelt werden. Um das Problem u ¨berhaupt korrekt formulieren zu k¨onnen, ben¨otigen wir allerdings schon einiges an Notation. Seien U1 ⊆ Rl und U2 ⊆ Rm offene Mengen. Ferner sei F : U1 × U2 → Rm eine stetig differenzierbare Funktion. Man beachte, dass F Werte in Rm hat. Die Gleichung F (x, y) = 0 entspricht also m Gleichungen der Form F1 (x1 , . . . , xl , y1 , . . . , ym ) = 0 F2 (x1 , . . . , xl , y1 , . . . , ym ) = 0 .. . Fm (x1 , . . . , xl , y1 , . . . , ym ) = 0 . Wir werden dennoch die Schreibweise F (x, y) = 0 verwenden, da diese k¨ urzer ist.

14.5 Implizite Funktionen und Umkehrsatz

265

Man st¨ore sich auch nicht daran, dass nun auf der rechten Seite u ¨berall 0 steht; eine beliebige Konstante c kann man n¨otigenfalls einfach in die Funktion F einbauen, indem man eine neue Funktion F˜ (x, y) = F (x, y) − c definiert. Wir f¨ uhren nun zwei Matrizen ein. ⎞ ⎛ ∂F1 ∂F1 ∂y1 (x, y) . . . ∂ym (x, y) ⎟ ⎜ .. .. .. Dy F (x, y) = ⎝ ⎠ . . . ∂Fm ∂Fm ∂y1 (x, y) . . . ∂ym (x, y) ist die Matrix der partiellen Ableitungen nach y. Da wir genau so viele Gleichungen wie zu erkl¨ arende Variablen haben, ist diese Matrix quadratisch, so dass es zum Beispiel Sinn hat zu fragen, ob sie vielleicht invertierbar ist. Ferner f¨ uhren wir noch die Matrix ⎞ ⎛ ∂F1 ∂F1 ∂x1 (x, y) . . . ∂xl (x, y) ⎟ ⎜ .. .. .. Dx F (x, y) = ⎝ ⎠ . . . ∂Fm ∂x1 (x, y)

...

∂Fm ∂xl (x, y)

der partiellen Ableitungen nach x ein. Diese ist im Allgemeinen nicht quadratisch. Unter Verwendung der eingef¨ uhrten Notation k¨onnen wir nun das Analogon zu Satz 14.11 angeben: Satz 14.12 (Implizite Funktionen, allgemeiner Fall). Seien U1 , U2 ⊆ Rm offene Mengen. Sei F : U1 × U2 → Rm eine stetig differenzierbare Funktion. Ferner sei ⎛ ∗⎞ x1 ⎜ .. ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ ∗⎟ ⎜ xl ⎟ ⎜ ∗ ⎟ ∈ U 1 × U2 ⎜ y1 ⎟ ⎜ . ⎟ ⎝ .. ⎠ ∗ ym ein Punkt mit F (x∗ , y ∗ ) = 0. Wenn det Dy F (x∗ , y ∗ ) = 0 ist, so existiert f¨ ur ein gewisses ε1 > 0 eine stetige Funktion i : Bε (x∗ ) → U2

266

14 Differentialrechnung im Rp

mit F (x, i(x)) = 0

f¨ ur x ∈ Bε (x∗ ) .

Diese Funktion ist sogar differenzierbar und es gilt Di(x) = − (Dy F (x, y))−1 Dx F (x, y) .

(14.5)

¨ Es ist eine gute Ubung, die beiden S¨ atze zu impliziten Funktionen zu vergleichen und sich zu u ¨berlegen, wie sich die jeweiligen Bedingungen u ¨bersetzen. Aus der Tatsache, dass die partielle Ableitung nach y nicht verschwindet, ist nun die Bedingung geworden, dass die Determinante der Matrix der partiellen Ableitungen nach y nicht verschwindet. Dies hat auch intuitiv Sinn. Schließlich ben¨ otigen wir die Tatsache, dass die m erkl¨arenden Gleichungen linear unabh¨ angig sind, denn sonst w¨ urden sie voneinander abh¨ angen und nicht ausreichen, die m Variablen zu “erkl¨aren”. Beispiel 14.9. Gegeben seien die zwei Gleichungen −2x2 + y12 + y22 = 0

x2 + ey1 −1 − 2y2 = 0 . Eine L¨osung dieses Systems ist x∗ = 1, y1∗ = 1, y2∗ = 1. Die Frage ist nun, ob es zumindest in der N¨ ahe dieses Punktes L¨osungen x, y1 = art also die Variablen y1 , y2 .) i1 (x), y2 = i2 (x) gibt. (Die Variable x erkl¨ Hierzu m¨ ussen wir die Matrix Dy F bestimmen. Wir haben   2y1 2y2 . Dy F (x, y1 , y2 ) = ey1 −1 −2 Also gilt an der entscheidenden Stelle (x∗ , y ∗ ):   2 2 Dy F (1, 1, 1) = . 1 −2 Der Wert der entsprechenden Determinante ist −6 = 0. Damit folgt aus dem Satz u ¨ber implizite Funktionen, dass es die gesuchten Funktionen i1 , i2 gibt. Im n¨achsten Schritt berechnen wir die Ableitungen an der Stelle otigen wir die Inverse von Dy F . Laut Satz 11.13 ist (x∗ , y ∗ ). Hierzu ben¨ diese gegeben durch     1 −2 −2 1/3 1/3 ∗ ∗ −1 (Dy F (x , y )) = = . 1/6 −1/3 −6 −1 2

14.5 Implizite Funktionen und Umkehrsatz

Schließlich brauchen wir noch ∗

∗

Dx F (x , y ) =



−2 2

267

 .

So erhalten wir:       ∗ ∗   1/3 1/3 −2 0 i1 (x , y ) = = . 1/6 −1/3 2 −1 i2 (x∗ , y ∗ ) Umkehrfunktionen Wir benutzen nun den Satz u ¨ber implizite Funktionen, um ein Kriterium daf¨ ur zu erhalten, ob eine bestimmte Funktion F : Rp → Rp umkehrbar ist (zumindest in der N¨ ahe eines Punktes). Zun¨achst einmal schauen wir uns den reellen Fall an. Sei also f : R → R gegeben und stetig differenzierbar. Wenn f  (x∗ ) > 0 ist, so ist ur die (stetige! — wegen “stetig differenzierbar”) Ableitung f  (x) > 0, f¨ x gen¨ ugend nahe an x∗ . Damit ist F in der N¨ahe von x∗ streng monoton steigend, hat also laut Satz 6.8 eine stetige Umkehrfunktion f −1 . In y ∗ = f (x∗ ) ist die Umkehrfunktion laut Satz 7.3 sogar differenzierbar und es gilt 1 (f −1 ) (y ∗ ) =  ∗ . f (x ) Dieses Resultat kann man auch mit dem Satz u ¨ber implizite Funktionen beweisen. Sei F (x, y) = f (x) − y. Es gilt F (x∗ , y ∗ ) = 0 und Dx F (x∗ , y ∗ ) = f  (x∗ ) = 0. Der Satz u ¨ber implizite Funktionen besagt also, dass wir x als Funktion von y schreiben k¨onnen in der N¨ahe von x∗ . Man beachte, dass wir hier die Rollen von x und y vertauschen! Also gibt es eine Funktion g(y) mit F (g(y), y) = 0 in der N¨ahe von y ∗ . Dies heißt aber nichts anderes als f (g(y)) = y , und damit ist g die gesuchte Umkehrfunktion. Dasselbe Argument kann man auch im p–dimensionalen Raum anwenden. In diesem Fall erh¨ alt man: Satz 14.13. Sei U ⊆ Rp offen und F : U → Rp stetig differenzierbar. Wenn f¨ ur x∗ ∈ U die Jacobimatrix DF (x∗ ) invertierbar ist (oder ∗ det DF (x ) = 0), dann gibt es ein ε > 0, so dass die Funktion F auf der Kugel Bε (x∗ ) invertierbar ist.

268

14 Differentialrechnung im Rp

Ferner ist die entsprechende Umkehrfunktion auf einer offenen Menge V ⊆ Rp definiert, d.h. F −1 : V → Bε (x∗ ) , und dort differenzierbar. Schließlich gilt f¨ ur alle y ∈ V :  −1 . DF −1 (y) = DF (F −1 (y)) Beispiel 14.10. Dieses Beispiel soll illustrieren, warum die Umkehrfunktion im Allgemeinen nur lokal, das heißt in der N¨ahe eines gewissen Punktes, existiert. Sei   2 x −y . F (x, y) = x−y Dann ist F (1, 1) = F (0, 0) = 0. Also ist F nicht injektiv und daher kann es keine (globale) Umkehrfunktion geben (vgl. Kapitel 4.2). Trotzdem gibt es in der N¨ ahe des Punktes (1, 1) eine Umkehrfunktion, denn   2 −1 DF (1, 1) = 1 −1 ist invertierbar.

14.6 Taylorentwicklung Die Idee bei der Differentiation ist, dass man eine Funktion an einem urlich gewissen Punkt x∗ durch eine lineare Funktion approximiert. Nat¨ wird die Approximation mit steigender Entfernung von Punkt x∗ im Allgemeinen immer schlechter werden. Man denke etwa an die Parabel f (x) = x2 , die man in x∗ = 0 durch die Gerade g(x) = 0 approximieren w¨ urde. Wie wir im Rahmen der Diskussion der Taylorentwicklung von Funktionen einer Ver¨ anderlichen gesehen haben, l¨asst sich dieser Fehler verringern, wenn wir die Approximation durch Terme h¨oherer Ordnung erg¨anzen, z.B. durch quadratische Funktionen des Abstandes zu x∗ . Da wir insbesondere die Verallgemeinerung quadratischer Funktionen, die quadratischen Formen, schon kennen, liegt die Frage nahe, ob wir nicht durch die Summe aus einer linearen Funktion und einer quadratischen Form auch f¨ ur Funktionen mit mehreren Ver¨anderlichen eine noch bessere Approximation erhalten k¨ onnen.

14.6 Taylorentwicklung

269

Im Folgenden sei F : U ⊆ Rp → R zweimal stetig differenzierbar. Dann gibt es p2 zweite partielle Ableitungen der Form ∂2F (x) . ∂xi ∂xj Diese fassen wir nun zu einer Matrix zusammen  2  ∂ F HF (x) = (x) , ∂xi ∂xj i,j=1,...,p der Hesse–Matrix von F im Punkte x. Man beachte: Da F als zweimal stetig differenzierbar angenommen wurde, folgt aus dem Satz von Schwarz, dass die Hesse-Matrix symmetrisch ist. Unter Verwendung der Hesse-Matrix k¨ onnen wir nun eine allgemeine Form f¨ ur die Taylorentwicklung zweiter Ordnung angeben. Satz 14.14 (Taylorentwicklung zweiter Ordnung). Sei F : U ⊆ ur y ∈ U ist das TaylorpolyRp → R zweimal stetig differenzierbar. F¨ nom zweiter Ordnung zu F an der St¨ utzstelle x ∈ U gegeben durch 1 T2 (y) = F (x) + DF (x)(y − x) + (y − x) HF (x)(y − x) , 2 wobei f¨ ur den Fehlerterm r(y − x) = F (y) − T2 (y) gilt: lim

y→x

r(y − x) = 0. y − x2

Die Idee der Taylorapproximation haben wir u ¨brigens schon bei der Definition der Ableitung von Funktionen mehrerer Ver¨anderlicher benutzt. Dort gilt: F (y) ∼ = F (x) + DF (x)(y − x) , wobei der Fehler relativ klein im Vergleich zum Abstand y − x ist. Wenn wir nun auch noch die zweiten Ableitungen benutzen, wird die Approximation besser: Der Fehler ist nun relativ klein im Vergleich zum Quadrat des Abstands zwischen x und y, d.h. klein im Vergleich zu y − x2 .

270

14 Differentialrechnung im Rp

Korollar 14.2 (Taylorapproximation bei zwei Variablen). Sei F (x1 , x2 ) : R2 → R zweimal stetig differenzierbar. Dann gilt: F (y1 , y2 ) ∼ = T2 (y1 , y2 ) = F (x1 , x2 ) + +

∂F ∂F (x1 , x2 )(y1 − x1 ) + (x1 , x2 )(y2 − x2 ) ∂x1 ∂x2

1 ∂2F (x1 , x2 )(y1 − x1 )2 2 ∂x21

∂2F (x1 , x2 )(y1 − x1 )(y2 − x2 ) ∂x1 ∂x2 1 ∂2F (x1 , x2 )(y2 − x2 )2 , + 2 ∂x22 +

wobei f¨ ur den Fehlerterm r(y1 , y2 ) = F (y1 , y2 ) − T2 (y1 , y2 ) gilt:

r(y − x) = 0. (y1 ,y2 )→(x1 ,x2 ) (y1 − x1 )2 + (y2 − x2 )2 lim

¨ Ubungen Aufgabe 14.1. Bestimme die partiellen Ableitungen in allen Variablen von folgenden Funktionen: 1

x21 − x22 , x1 x32 x43 , (x2 + y 2 ) 2 , es ln(t),

T 

δ s ln(xs ) .

s=0

Aufgabe 14.2. Folgende Funktionen kommen in der Volkswirtschaftslehre oft vor: 1. Cobb–Douglas: F¨ ur Parameter α1 , . . . , αn > 0: f (x1 , . . . , xn ) = xα1 1 · · · xαnn . 2. Constant Elasticity of Substitution (CES): F¨ ur einen Parameter ρ>0 1 f (x1 , x2 ) = (xρ1 + xρ2 ) ρ . 3. Quasilineare Funktionen: f (m, x) = m + v(x) f¨ ur eine differenzierbare Funktion v : R → R.

14.6 Taylorentwicklung

271

4. Erwartungsnutzenfunktion: F¨ ur gewisse Wahrscheinlichkeiten ps >  0 mit Ss=1 ps = 1 f (x1 , x2 , . . . , xS ) =

S 

ps v(xs ) ,

s=1

wobei v : R → R differenzierbar ist. Bestimme jeweils die sogenannte Grenzrate der Substitution ∂f ∂xi ∂f ∂xj

.

Aufgabe 14.3. Sei  f (x, y) =

2

2

falls x, y = 0 xy xx2 −y +y 2 . 0 in (0, 0)

Zeige, dass f in beiden Variablen partiell differenzierbar ist. Insbesondere gilt ∂f (0, y) = −y ∂x ∂f (x, 0) = x . ∂y Folgere daraus, dass ∂2f ∂2f (0, 0) = −1 = 1 = (0, 0) ! ∂y∂x ∂x∂y Bei dieser Funktion macht es also einen Unterschied, in welcher Reihenfolge man die partiellen Ableitungen bestimmt. Ist dies ein Widerspruch zum Satz von Schwarz (wenn ja, warum; wenn nein, warum nicht)? Aufgabe 14.4. Bestimme  die  Richtungsableitungen folgender Funktio3 : nen in der Richtung v = 15 4 x1 x2 , ln(x1 + x2 ),

x21 + x22 .

272

14 Differentialrechnung im Rp

Aufgabe 14.5. Betrachte die Funktion f : R2 → R  xy 2 2 falls (x, y) = (0, 0) (x, y) → x +y 0 sonst • Zeige, dass f in (0, 0) partiell differenzierbar ist. • Zeige, dass f in (0, 0) nicht stetig ist. f : R2 → R  (x, y) →

xy 2 x2 +y 2

0

falls (x, y) = (0, 0) sonst

• Zeige, dass f in (0, 0) partiell differenzierbar ist. • Zeige, dass f in (0, 0) stetig ist. • Zeige, dass f in (0, 0) nicht differenzierbar ist. Aufgabe 14.6. Bestimme f¨ ur die folgenden Funktionen f (x, y) die Tangentialebene im Punkte (2, 1): xy, x2 − y 2 + xy, x3 y . Vergleiche die Werte der Funktion und der Tangentialebene im Punkt (1.9, 1.1)! Aufgabe 14.7. Mit Hilfe der Kettenregel kann man folgende Verallgemeinerung des Mittelwertsatzes beweisen: Sei f : Rp → R eine differenzierbare Funktion und x, y ∈ Rp . Dann gibt es eine Zahl t ∈ (0, 1) mit f (x) − f (y) = Df (tx + (1 − t)y)(x − y) . Hinweis: Wende die Kettenregel auf die Funktion t → f (tx + (1 − t)y) an! Aufgabe 14.8. Berechne f¨ ur folgende Funktionen f (x, y) und g(t) die Ableitung von h = f (g(t)) einmal direkt und dann via Kettenregel: 1. f (x, y) = x2 + y 2 , g(t) = (t, t2 ) 2. f (x, y) = x/y, g(t) = (t, 1 − t) √ 3. f (x, y) = xy, g(t) = (et , e−t ) . Aufgabe 14.9. Eine Firma produziert aus den Inputs Kapital K und  .3 Arbeit A einen Output f (K, A) = K 0.1 + A0.7 .

14.6 Taylorentwicklung

273

• Definiere den Begriff der Isoquanten analog zum Begriff der Indifferenzkurve! • Bestimme die Steigung der Isoquanten zum Niveau 1.2 an der Stelle A = 0.5! Aufgabe 14.10. Wir laufen durch ein Gebirge, das durch die Funktion f (x, y) = x2 y 2 − x3 y 4 beschrieben ist. Dabei wollen wir am Hang entlang laufen, ohne H¨ ohe zu verlieren oder zu gewinnen. In welche Richtung m¨ ussen wir laufen, wenn wir im Punkte (1, 2) (0, 0), (3, 3) etc.) sind? Aufgabe 14.11. Zeige, dass die Gleichung δex + x = 0 f¨ ur kleine δ eine eindeutige L¨ osung x (δ) besitzt (Satz u ¨ber implizite Funktionen). Gib f¨ ur kleine δ eine Approximation f¨ ur x (δ) an!

15 Optimierung II

Die Methoden sind verallgemeinert und die Vorbereitungen f¨ ur eine ¨ Ubertragung des Optimierungskalk¨ uls aus dem eindimensionalen auf den mehrdimensionalen Fall somit gemacht. Wie auch diese weitestge¨ hend analog zu unseren Uberlegungen im Teil Analysis I zu haben ist, werden wir in diesem Kapitel sehen. Dar¨ uber hinaus werden wir in diesem Kapitel nicht nur auf die Bestimmung von Maxima und Minima von Funktionen mehrerer Ver¨anderlicher eingehen. Wir werden uns zudem eingehend mit der ¨ in der Okonomie wesentlichen Optimierung unter Nebenbedingungen besch¨aftigen. Man denke sich hier etwa den Fall der Nutzenmaximierung unter Budgetbeschr¨ ankungen. Den Anfang machen allerdings in gewohnter Manier die Methoden zur Extremwertbestimmung ohne Nebenbedingungen.

15.1 Extrema ohne Nebenbedingungen Um ein Gef¨ uhl f¨ ur die Problematik im mehrdimensionalen Fall zu vermitteln, beginnen wir zur Einstimmung mit einem ¨okonomischen Beispiel. ¨ Okonomisches Beispiel 15.1 Eine Weberei produziert einen Stoff S aus den Inputs Baumwolle B, Farbe F und Arbeit A. Wir nehmen an, dass es eine Produktionsfunktion f : R3+ → R+ gibt, so dass gilt: S = f (B, F, A) . Ferner sei der erzielte Preis pro Einheit des produzierten Soffes gegeben durch p; die Kosten f¨ ur die Inputs seien mit kB , kF und kA bezeichnet. Damit ergibt sich der Gewinn der Firma zu:

276

15 Optimierung II

G = pf (B, F, A) − kB B − kF F − kA A . Wenn das Unternehmen im Wettbewerb steht, so k¨ onnen wir zudem annehmen, dass es keinen Einfluss auf die Preise p, kB , kF und kA hat. Das Unternehmen kann lediglich die Inputs B, F, A so gut wie m¨ oglich w¨ ahlen. Mit anderen Worten, die Firma maximiert G u ¨ber die Variablen B, F, A. Wir wollen nun zun¨ achst die formale Definition von Maxima und Minima auf den allgemeinen Fall von Funktionen mehrerer Ver¨anderlicher u ¨bertragen. Definition 15.1. Sei f : U ⊆ Rp → R eine Funktion. x∗ ∈ U heißt (striktes) lokales Maximum von f , wenn f¨ ur ein ε > 0 und alle x ∈ U mit x − x∗  < ε gilt: f (x∗ ) ≥ f (x)

(f (x∗ ) > f (x)

falls x = x∗ ) .

Wenn sogar f (x∗ ) ≥ f (x) und f (x∗ ) > f (x) f¨ ur alle x = x∗ gilt, so ∗ heißt x (striktes) globales Maximum. Analog heißt x∗ lokales/globales (striktes) Minimum, wenn x∗ ein lokales/globales (striktes) Maximum der Funktion −f ist. Maxima und Minima werden unter dem Namen Extrema zusammengefasst. Entsprechend dem bereits bekannten Fall einer Ver¨anderlichen ergibt sich folgende notwendige Bedingung f¨ ur das Vorliegen eines Extremums. Satz 15.2 (Notwendige Bedingung). Sei U ⊆ Rp offen. Wenn x∗ ∈ U ein lokales Extremum der differenzierbaren Funktion F : U → R ist, so gilt notwendigerweise ∇F (x∗ ) = 0 . Beweis. F¨ ur den Beweis kann man sich auf den eindimensionalen Fall zur¨ uckziehen. Um etwa zu zeigen, dass die partielle Ableitung nach der ersten Variable 0 ist, definiert man die reelle Funktion g1 (z) = f (z, x∗2 , . . . , x∗p ) . Man h¨alt also alle Variablen bis auf die erste fest. Da x∗ lokales Extremum von f ist, ist x∗1 lokales Extremum der reellen Funktion g1 . Laut Satz 8.2 muss also g1 (x∗1 ) = 0 gelten. Somit folgt:

15.1 Extrema ohne Nebenbedingungen

277

∂f ∗ (x ) = 0 . ∂x1 Genauso verf¨ahrt man f¨ ur die anderen partiellen Ableitungen.




¨ Okonomisches Beispiel 15.3 Wenden wir die notwendige Bedingung auf das Beispiel unserer Firma an. Gem¨ aß Satz 15.2 muss der optimale Produktionsplan also die Bedingung ∇G = 0 erf¨ ullen. Das heißt, es muss gelten: p

∂f (B ∗ , F ∗ , A∗ ) = kB ∂B

p

∂f (B ∗ , F ∗ , A∗ ) = kF ∂F

p

∂f ∗ ∗ ∗ (B , F , A ) = kA . ∂A

Im Optimum ist die Firma gerade indifferent zwischen zus¨ atzlichen Inputs und dem Status quo. Denn ein wenig mehr Baumwolle bringt un∂f (B ∗ , F ∗ , A∗ ), kostet aber kB . Im Optimum sind gef¨ ahr den Ertrag p ∂B marginaler Gewinn und Kosten gerade gleich. Im voranstehenden Beispiel haben wir Kandidaten f¨ ur ein Optimum gefunden, indem wir den Gradienten gleich null gesetzt haben. Noch ist aber u ¨berhaupt nicht klar, ob es sich um ein Maximum handelt. Es k¨onnte ja auch ein Minimum oder ein Sattelpunkt sein. Wir leiten daher analog zum eindimensionalen Fall ein Kriterium zweiter Ordnung ab, um diese Frage zu kl¨ aren. Dabei wird sich die Taylorentwicklung zweiter Ordnung als sehr hilfreich erweisen. ur ein Maximum, also ∇f (x∗ ) = 0. Laut TaySei x∗ ein Kandidat f¨ lorformel gilt dann in der N¨ ahe von x∗ 1 f (x) ∼ = f (x∗ ) + (x − x∗ ) Hf (x∗ )(x − x∗ ) . 2 Wenn nun der Term zweiter Ordnung 12 (x − x∗ ) Hf (x∗ )(x − x∗ ) stets negativ ist, dann sind folglich alle f (x) kleiner als f (x∗ ). In diesem Fall ist x∗ also in der Tat ein lokales Maximum. N¨ utzlicherweise ist uns die soeben verwendete Eigenschaft der Hesse–Matrix H schon als negative Definitheit bekannt (vgl. Definition 12.3). Sie liefert uns nun ein hinreichendes Kriterium f¨ ur das Vorliegen einer Extremstelle.

278

15 Optimierung II

Satz 15.4 (Hinreichende Bedingung). Sei U ⊆ Rp offen und F : ur ein U → R zweimal stetig differenzierbar. Ferner gelte ∇F (x∗ ) = 0 f¨ x∗ ∈ U . Dann gilt: 1. Wenn die Hesse–Matrix HF (x∗ ) negativ (positiv) definit ist, so ist x∗ ein lokales Maximum (Minimum). 2. Wenn die Hesse–Matrix indefinit ist, so ist x∗ kein Extremum (ein Sattelpunkt). Wie man im Allgemeinen auf Definitheit testet, haben wir bereits besprochen, vgl. S¨ atze 12.1 und 12.3. F¨ ur den wichtigen Fall von zwei Variablen halten wir dies hier noch einmal konkret fest. Korollar 15.1. Sei U ⊆ R2 offen und F (x, y) zweimal stetig diffe∂F ∗ ∗ ∗ ∗ ur ein renzierbar. Ferner gelte ∂F ∂x (x , y ) = 0 sowie ∂y (x , y ) = 0 f¨ ∗ ∗ (x , y ) ∈ U . Dann gilt: 1. wenn det HF (x∗ , y ∗ ) =

 2 2 ∂2F ∗ ∗ ∂2F ∗ ∗ ∂ F ∗ ∗ (x (x , y ) (x , y ) − , y ) < 0, ∂x2 ∂y 2 ∂x∂y

so liegt kein Extremum vor, 2. wenn det HF (x∗ , y ∗ ) > 0 und ∂2F ∗ ∗ (x , y ) < 0 , ∂x2 so ist (x∗ , y ∗ ) ein lokales Maximum, 3. wenn det HF (x∗ , y ∗ ) > 0 und ∂2F ∗ ∗ (x , y ) > 0 , ∂x2 so ist (x∗ , y ∗ ) ein lokales Minimum. Beweis. Hierzu haben wir lediglich das allgemeine hinreichende Kriterium aus Satz 15.4 mit dem Hurwitz–Kriterium f¨ ur definite Matrizen zu verbinden (Satz 12.1).
Beispiel 15.1. a) Bei dem Paraboloid F (x, y) = x2 + y 2 verschwindet der Gradient im Nullpunkt. Die Hessematrix lautet dort   20 HF (0, 0) = . 02

15.1 Extrema ohne Nebenbedingungen

279

Diese Matrix ist positiv definit. Also ist 0 ein lokales Minimum. b) Bei der Sattelfl¨ ache F (x, y) = x2 − y 2 lautet die Hessematrix im Nullpunkt   2 0 HF (0, 0) = . 0 −2 Hier ist die Determinante negativ, also die Matrix indefinit. Damit liegt kein Extremum vor. c) Bei F (x, y) = x2 y 2 e−x−y lauten die Bedingungen erster Ordnung 2xy 2 e−x−y = x2 y 2 e−x−y x2 2ye−x−y = x2 y 2 e−x−y . Einerseits l¨ost der Nullpunkt diese Gleichungen. Andererseits l¨asst sich die Bedingung erster Ordnung f¨ ur x, y = 0 vereinfachen zu 2=x 2 = y. Die Hessematrix im Punkte (2, 2) lautet   −8e−4 0 . HF (2, 2) = 0 −8e−4 Sie ist negativ definit, also ist (2, 2) ein lokales Maximum. ¨ Okonomisches Beispiel 15.5 Schauen wir uns noch einmal das Gewinnmaximierungsproblem der Weberei an. Da die linearen Kostenterme bei zweifachem Differenzieren verschwinden, gilt HG = p Hf . Die Hessematrix der Gewinnfunktion ist also proportional zur Hessematrix der Produktionsfunktion. Wenn ferner f u ¨berall eine negativ definite Hessematrix hat, so k¨ onnen wir sicher sein, dass uns die Bedingungen erster Ordnung in der Tat ein Maximum des Gewinns liefern. Wir werden sp¨ ater sehen, dass dies sehr viel mit Konkavit¨ at der Produktionsfunktion zu tun hat.

280

15 Optimierung II

15.2 Konvexe Funktionen F¨ ur die Praxis der Optimierungstheorie spielen konvexe und konkave Funktionen eine große Rolle. So f¨ uhren zum Beispiel nat¨ urliche ¨okonomische Annahmen wie Mischungspr¨ aferenz, Risikoaversion, sinkende Skalenertr¨age etc. auf konvexe bzw. konkave Zielfunktionen. Dabei sind strikt konvexe Funktionen auch deswegen so beliebt, weil sie h¨ochstens ein Minimum haben, so dass die Bedingung zweiter Ordnung nicht u uft werden muss. ¨berpr¨ Es ist also an der Zeit, auch den Begriff der konvexen Funktion auf den Rp zu verallgemeinern. In Definition 8.2 haben wir eine reelle Funktion f als konvex bezeichnet, wenn f¨ ur x, y im Definitionsbereich und α zwischen 0 und 1 stets gilt: f (αx + (1 − α)y) ≤ αf (x) + (1 − α)f (y) , d.h. wenn ihr Graph stets unter der Sehne liegt. Diese Bedingung k¨onnen wir im Prinzip direkt auf beliebige Vektorr¨aume u ¨bertragen (man braucht ja nur Addition und skalare Multiplikation!). Allerdings m¨ ussen wir sicherstellen, dass die gesamte Sehne auch im Definitionsbereich liegt. Dies f¨ uhrt uns auf den Begriff der konvexen Menge. Definition 15.2. Eine Menge K ⊆ Rp heißt konvex, wenn mit x, y ∈ K auch die Punkte αx + (1 − α)y f¨ ur alle α ∈ (0, 1) in K liegen. Nun k¨onnen wir auch konvexe Funktionen definieren, die, wie bereits angedeutet, immer nur auf konvexen Mengen definiert sind. Definition 15.3. Sei K ⊆ Rp eine konvexe Menge. Die Funktion f : K → R heißt konvex, wenn f¨ ur alle x, y ∈ K und alle α ∈ (0, 1) gilt: f (αx + (1 − α)y) ≤ αf (x) + (1 − α)f (y) .

(15.1)

f ist strikt konvex, wenn in der obigen Ungleichung (8.2) stets ein < steht. f heißt (strikt) konkav, wenn −f (strikt) konvex ist. Einige ¨aquivalente Formulierungen der Konvexit¨at sind im nachfolgenden Satz zusammengestellt. Satz 15.6 (Konvexe Funktionen). Sei K ⊆ Rp eine konvexe Menge und sei f : K → R eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Dann sind folgende Aussagen ¨ aquivalent: 1. f ist konvex,

15.2 Konvexe Funktionen

281

2. die Tangentialebene in einem beliebigen Punkt x ∈ K liegt unter dem Graphen von f , d.h. f¨ ur alle x, y ∈ K gilt f (y) ≥ f (x) + ∇f (x), y − x , 3. die Hesse-Matrix Hf (x) ist positiv semidefinit f¨ ur alle x ∈ K. Im Reellen ist die strikte Ungleichung f  (x) > 0 hinreichend, aber nicht notwendig f¨ ur die strikte Konvexit¨ at einer Funktion f (Theorem 8.8). Analog ist strikte positive Definitheit der Hessematrix nun hinreichend, aber nicht notwendig f¨ ur die strikte Konvexit¨at einer mehrdimensionalen Funktion f . Satz 15.7. Sei K ⊆ Rp eine konvexe Menge und sei f : K → R eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Wenn die Hesse–Matrix Hf (x) f¨ ur alle x ∈ K positiv definit ist, so ist f strikt konvex. Beispiel 15.2. a) Das Paraboloid f (x, y) = x2 + y 2 hat die positiv definite Hesse– Matrix   10 Hf (x) = 2 , 01 ist also strikt konvex. b) Die Norm f (x) = x ist eine konvexe Funktion. Gem¨aß Kettenregel ist der Gradient von f gegeben durch: ∇f (x) =

x . x

Also gilt f¨ ur die Tangentialebene entsprechend Schwarz’schen Ungleichung (Lemma 10.5)

der

Cauchy-

1 x, y − x x 1 x, y − x ≤ y = f (y) . = x + x

f (x) + ∇f (x), y − x = x +

Da die Tangentialebene immer unter dem Graphen der Funktion liegt, ist die Funktion konvex. Eine besonders hilfreiche Eigenschaft konvexer Funktionen ist, wie bereits angedeutet, dass man bei der Suche nach Extremstellen nie die Bedingung zweiter Ordnung zu u ufen braucht. Es reicht also stets, ¨berpr¨ wenn die relativ leicht zu pr¨ ufende notwendige Bedingung erf¨ ullt ist.

282

15 Optimierung II

Satz 15.8. Sei f : K → R eine differenzierbare konvexe Funktion. Wenn ∇f (x∗ ) = 0 gilt f¨ ur ein x∗ ∈ K, so ist x∗ globales Minimum von f . Beweis. Sei y ∈ K. Wir m¨ ussen zeigen, dass f (y) ≥ f (x∗ ) gilt. Da f konvex ist, gilt f (y) ≥ f (x∗ ) + ∇f (x∗ ) , y − x = f (x∗ ) , da laut Voraussetzung der Gradient gleich 0 ist.




Im Allgemeinen kann es nat¨ urlich viele Minima geben, etwa wenn man ein Plateau erreicht. Strikt konvexe Funktionen k¨onnen aber immer nur ein Minimum haben. Satz 15.9. Wenn f : K → R strikt konvex ist, so hat f h¨ ochstens ein (globales) Minimum. Beweis. Wir f¨ uhren einen Widerspruchsbeweis unter Verwendung der ˜ zwei verDefinition der Konvexit¨ at. Wir nehmen an, dass x∗ und x x) sowie f (˜ x) ≤ f (x∗ ), schiedene Minima sind. Dann gilt ja f (x∗ ) ≤ f (˜ x). Andererseits gilt nach Definition der Konvexit¨at also f (x∗ ) = f (˜ f¨ ur den Mittelpunkt der Verbindungsgeraden x ¯=

1 ∗ (x + x ˜) 2

folgende Bedingung: 1 1 x) = f (x∗ ) . f (¯ x) < f (x∗ ) + f (˜ 2 2 Dies aber ist ein Widerspruch dazu, dass x∗ ein Minimum ist.




15.3 Nebenbedingungen in Form von Gleichungen: Lagrange Als n¨achstes kommen wir zu Optimierungsproblemen mit Nebenbedingungen. Zur Einstimmung beginnen wir wieder mit einem ¨okonomischen Beispiel.

15.3 Nebenbedingungen in Form von Gleichungen: Lagrange

283

¨ Okonomisches Beispiel 15.10 Wir haben schon im ¨ okonomischen Beispiel 13.15 gesehen, dass bei geeigneten Annahmen das Nutzenmaximierungsproblem max

x∈Rl+ :p1 x1 +...+pl xl ≤w

U (x)

eine L¨ osung hat. Genau genommen haben wir es hier mit einem Maximierungsproblem zu tun, bei dem die Nebenbedingungen in Form von Ungleichungen gegeben sind, n¨ amlich der Budgetbedingung p1 x1 + . . . + assigkeitsbedingungen xi ≥ 0, i = 1, . . . , l. Letztere pl xl ≤ w und den Zul¨ wird man dabei in vielen F¨ allen allerdings ignorieren k¨ onnen. Wenn nun zudem der Konsument eine strikt monotone Nutzenfunktion hat, dann wird er stets sein Budget voll aussch¨ opfen, da er sich dadurch immer besser stellt. Entsprechend studiert man meistens das Nutzenmaximierungsproblem in der Form max

x∈Rl :p1 x1 +...+pl xl =w

U (x) ,

wobei die Nebenbedingung durch eine Gleichung gegeben ist. Im Folgenden sei nun U ⊆ Rl offen, f : U → R eine Funktion, die wir maximieren wollen, und g : U → R eine weitere Funktion (die Nebenbedingung). Wir interessieren uns f¨ ur das Problem max

x∈Rl :g(x)=0

f (x) .

Satz 15.11 (Lagrange, Notwendige Bedingung). Sei x∗ ∈ U ein lokales Extremum von f unter der Nebenbedingung g(x) = 0. Wenn ∇g (x∗ ) = 0 ist, so existiert ein Lagrangemultiplikator λ ∈ R mit ∂g ∗ ∂f ∗ (x ) = λ (x ) ∂xi ∂xi f¨ ur alle i = 1, 2, . . . , l. Insbesondere gilt f¨ ur i = 1, . . . , l − 1 ∂f ∂xi ∂f ∂xl

(x∗ ) (x∗ )

=

∂g ∂xi ∂g ∂xl

(x∗ ) (x∗ )

.

Beweis. Wir betrachten den Fall von zwei Variablen x1 , x2 . F¨ ur den Beweis benutzt man den Satz u ¨ber implizite Funktionen 14.11. Wenn onnen wir ohne Beschr¨ankung der der Gradient ∇g (x∗ ) = 0 ist, so k¨ ∂g Allgemeinheit annehmen, dass gilt: ∂x (x∗ ) = 0. 2

284

15 Optimierung II

In diesem Fall aber definiert die Gleichung g(x1 , x2 ) = 0 implizit eine ur die in der N¨ ahe von x∗1 gilt g (x1 , i(x1 )) = 0. Da per Funktion i(x1 ), f¨ ∗ Annahme x ein lokales Extremum von f unter der Nebenbedingung g(x) = 0 ist, hat die reelle Funktion h(x1 ) = f (x1 , i(x1 )) ein Extremum in x∗1 . Also muss h (x∗1 ) = 0 gelten. Unter Anwendung der Kettenregel folgt daraus, dass gilt: 0=

∂f ∂f (x∗1 , i(x∗1 )) + i (x∗1 ) (x∗ , i(x∗1 )) . ∂x1 ∂x2 1

Ferner gilt laut Satz u ¨ber implizite Funktionen: ∂f 1 i (x∗1 ) = − ∂x ∂f

(x∗ )

∗ ∂x2 (x )

.

Es ergibt sich also: ∂f (x∗ ) = ∂x1 Wenn wir nun λ =

∂f (x∗ ) ∂x2 ∂g (x∗ ) ∂x2

∂f ∂x2 ∂g ∂x2

(x∗ ) ∂g (x∗ ) . ∗ ∂x (x ) 1

(15.2)

setzen, erhalten wir wie gew¨ unscht

∂g ∂f (x∗ ) = λ (x∗ ) . ∂x1 ∂x1 Schließlich k¨onnen wir Gleichung (15.2) noch so umstellen, dass sich ∂f ∂x1 ∂f ∂x2

(x∗ ) (x∗ )

=

∂g ∂x1 ∂g ∂x2

(x∗ ) (x∗ )


ergibt.

Beispiel 15.3. a) Wir betrachten f (m, x) = m + ln x und g(m, x) = m + x − 2. Der Gradient von g ist ∇g(m, x) = (1, 1) und somit stets von 0 verschieden. Ein Extremum muss daher die folgenden Bedingungen erster Ordnung erf¨ ullen: 1=λ 1 = λ. x

15.3 Nebenbedingungen in Form von Gleichungen: Lagrange

285

Daraus ergibt sich sofort, dass gelten muss: x = 1. Die L¨osung f¨ ur m erh¨alt man u ¨ber die Nebenbedingung m + x = 2. Es ergibt sich m = 1. b) Aufgabe: Man w¨ ahle einen Punkt (x, y) auf dem Rand des Einheitskreises, so dass die Fl¨ ache xy des zugeh¨ origen Rechteckes maximal wird. Wir haben also f (x, y) = xy und g(x, y) = x2 + y 2 − 1. Wieder ist der Gradient ∇g(x, y) = (2x, 2y) auf dem Einheitskreis von 0 verschieden. Die Bedingungen erster Ordnung lauten hier y = 2λx x = 2λy . Durch Division der beiden Gleichungen und Umstellen erh¨alt man x2 = folgt: x = y 2√und ferner u ¨ber die Nebenbedingung 2x2 = 1. Damit √ 2 ± 2 . Wegen x2 + y 2 = 1 ergibt sich dann auch y = ± 22 . Es gibt also vier m¨ogliche Maximalpunkte, n¨ amlich √   √   √   √   2 1 2 −1 2 2 −1 1 , , , . 1 1 −1 −1 2 2 2 2 Die Zielfunktion hat im ersten und letzten Punkt den Wert 1/2 und in den anderen Punkten den Wert −1/2. Also liegt in den ersten beiden Punkten jeweils ein Maximum vor. Da hier x = y gilt, folgt, dass das Quadrat die Fl¨ ache maximiert. Verallgemeinerung auf viele Nebenbedingungen Wie vielleicht schon aufgefallen ist, haben wir bisher ausschließlich den Fall der Optimierung unter einer einzigen Nebenbedingung g(x) = 0 betrachtet. Im Prinzip ist es aber nat¨ urlich durchaus m¨oglich, und in der Praxis auch mehr als wahrscheinlich, dass wir uns Optimierungsproblemen mit mehreren Nebenbedingungen der Form g1 (x) = uber sehen. So ist ein Konsument zum Beispiel 0, . . . , gm (x) = 0 gegen¨ in der Regel sowohl durch eine Budgetbedingung als auch durch ganz einfache Mengenrestriktionen (man kann nicht mehr kaufen, als angeboten wird) in seinem Handeln beschr¨ ankt. Wie man solche F¨alle im Allgemeinen behandelt, wollen wir im Folgenden besprechen. Satz 15.12 (Lagrange, viele Nebenbedingungen). Sei U ⊆ Rl offen, f : U → R stetig differenzierbar, und x∗ ∈ U ein lokales Extremum von f unter den Nebenbedingungen g1 (x) = 0, g2 (x) = 0, . . . , gm (x) = 0, m < l. Wenn die Jacobimatrix von g = (g1 , . . . , gm ) in x∗ den Rang m hat, so existieren Lagrangemultiplikatoren λ1 , . . . , λm ∈ R mit

286

15 Optimierung II

 ∂gj ∂f ∗ (x ) = λj (x∗ ) ∂xi ∂xi m

j=1

f¨ ur alle i = 1, 2, . . . , l. Praktisches Bestimmen der Extrema mit Hilfe der Lagrangefunktion Da der obige Satz recht abstrakt formuliert ist, wollen wir kurz auf die praktische Anwendung des Lagrangeansatzes eingehen. Dazu denke man sich ganz allgemein folgendes Maximierungsproblem: max

f (x) .

x:g1 (x)=0,...,gm (x)=0

Zur L¨osung des Problems stellt man nun die Lagrangefunktion L (x1 , . . . , xl , λ1 , . . . , λm ) = f (x) −

m 

λj gj (x)

j=1

auf, leitet nach allen Variablen ab und setzt diese gleich null. Die Ableitungen nach xi ergeben so die folgenden notwendigen Bedingungen:  ∂gj ∂f ∗ (x ) = λj (x∗ ) . ∂xi ∂xi m

j=1

Die Ableitungen nach den Variablen λj ergeben die Nebenbedingungen: gj (x∗ ) = 0 . ¨ Okonomisches Beispiel 15.13 Wir betrachten eine Welt mit l Waren. Die Gesellschaft hat von Ware j genau ωj > 0 Einheiten produziert. Wir haben n Konsumenten mit Nutzenfunktionen U i , i = 1, . . . , n. Wir m¨ ochten die Waren so auf die Konsumenten verteilen, dass die Summe der Nutzen maximiert wird. Wir bezeichnen mit xij die Anzahl Einheiten der Ware j, die Konsument i bekommt. Da man nicht mehr verteilen kann, als da ist, muss f¨ ur alle Waren j gelten: n 

xij = ωj .

i=1

Wir maximieren also die Funktionen

15.3 Nebenbedingungen in Form von Gleichungen: Lagrange

f



x11 , x12 , . . . , x1l , x21 , . . . , x2l , . . . , xnl



=

n 

287

  U i xi1 , . . . , xil

i=1

unter den l Nebenbedingungen n 

xij − ωj = 0 ,

j = 1, . . . , l .

i=1

Die Lagrangefunktion f¨ ur dieses Problem lautet L(x11 , . . . , xnl , λ1 , . . . , λl )

=

n 

U

i=1

i



xi1 , . . . , xil



−

l  j=1

λj

n 

xij

− ωj

.

i=1

Obwohl wir es hier mit sehr vielen Variablen zu tun haben, sind die Bedingungen erster Ordnung doch recht einfach, da jede Variable xij einmal in der Nutzenfunktion U i und einmal in der Nebenbedingung vorkommt. Man erh¨ alt ∂U i i (x ) = λj ∂xij f¨ ur alle Waren j und alle Konsumenten i. Da λj nicht von i abh¨ angt, lernen wir hieraus, dass im Optimum alle Konsumenten den gleichen Grenznutzen f¨ ur jede Ware haben. Hinreichende Bedingungen Nat¨ urlich ist ein Erf¨ ullen der notwendigen Bedingungen im Allgemei¨ nen auch hier kein Garant f¨ ur die Existenz eines Extremums. Ahnlich wie im Fall der Optimierung ohne Nebenbedingungen lassen sich aber u ummungseigenschaften der Lagrangefunktionen Spezialf¨alle ¨ber die Kr¨ beschreiben, in denen die oben aufgef¨ uhrten notwendigen Bedingungen in der Tat auch hinreichend sind. Satz 15.14 (Lagrange, Hinreichende Bedingung). Wenn die Lagrangefunktion L(x, λ) konkav (konvex) in x ist, so sind die Bedingungen aus Satz 15.12 auch hinreichend f¨ ur ein lokales Maximum (Minimum). Beweis. Wir betrachten der Einfachheit halber den Fall einer Nebenulle die Bedingungen des Satzes mit dem Lagrangebedingung. x∗ erf¨ parameter λ. Ferner sei x ein weiterer Punkt, der g(x) = 0 erf¨ ullt. Da L konkav in x ist, gilt laut Satz 15.6

288

15 Optimierung II

f (x) = L(x, λ) ≤ L(x∗ , λ) + ∇x L(x∗ , λ), x − x∗  = L(x∗ , λ) + ∇f (x∗ ) − λ∇g(x∗ ), x − x∗  . Wegen der Bedingung erster Ordnung ist aber ∇f (x∗ ) − λ∇g(x∗ ), x − x∗  = 0 , und es folgt f (x, λ) ≤ L(x∗ , λ) = f (x∗ ) .




Obwohl er ein Spezialfall ist, reicht der soeben bewiesene Satz f¨ ur ¨ die meisten Anwendungen in der Okonomie v¨ollig aus. Wie bereits im Rahmen der Diskussion u at angedeutet, gibt es n¨amlich ¨ber Konvexit¨ in vielen F¨allen einen ¨ okonomischen Grund daf¨ ur, dass die Zielfunktion konkav oder konvex ist. Nutzenfunktionen sind beispielsweise aufgrund von Mischungspr¨ aferenz oder Risikoaversion normalerweise konkav; Budgetbedingungen sind linear (also konkav und konvex); Produktionsfunktionen sind wegen sinkender Skalenertr¨age konkav usw. Sind die Bedingungen von Satz 15.14 dennoch einmal nicht erf¨ ullt, so kann man sich zumeist auch anders behelfen. Im Beispiel 15.3 b) ist etwa die Zielfunktion xy weder konkav noch konvex. Allerdings ist sie stetig und die Nebenbedingung grenzt die Menge der m¨oglichen Punkte auf ein Kompaktum, die Kreislinie, ein. Damit wissen wir u ¨ber den Satz von Weierstraß 13.14, dass auf jeden Fall ein Maximum existiert. Jedes m¨ogliche Maximum muss aber die notwendigen Bedingungen erf¨ ullen. Dar¨ uber erh¨alt man typischerweise eine endliche Menge von Punkten (im Beispiel waren es vier), bei denen man dann die Funktionswerte vergleichen und den gr¨ oßten heraussuchen kann.

15.4 Komparative Statik: Der Einhu ¨ llendensatz Im Folgenden wollen wir einmal davon ausgehen, dass wir in der Lage waren bzw. sind, alle bisher beschriebenen Optimierungsprobleme zu l¨osen. Wenn wir uns nun vorstellen, wir h¨atten all diese Probleme und ihre L¨osungen vor uns liegen, dann f¨ allt auf, dass die meisten ¨okonomischen Beispiele, die wir bisher betrachtet haben, nicht nur Variablen hatten, u ¨ber die zu maximieren oder minimieren war, sondern auch fest gegebene Parameter wie etwa Preise, L¨ ohne usw. Obwohl wir diese Parameter bisher immer als fix angenommen haben, kann man sich nun nat¨ urlich fragen, wie die berechneten Optima von der Wahl dieser exogenen Parameter abh¨ angen, d.h. wie sich die Optima ver¨andern, wenn sich diese Parameter ver¨ andern.

15.4 Komparative Statik: Der Einh¨ ullendensatz

289

¨ Okonomisches Beispiel 15.15 Wir betrachten noch einmal die Weberei aus Beispiel 15.1. Die Gewinnfunktion π (p, kB , kF , kA ) = max pf (B, F, A) − kB B − kF F − kA A B,F,A

ist der Gewinn, der bei optimaler Wahl der Inputs Baumwolle, Farbe und Arbeit abf¨ allt. Wir fragen nun: Wie ver¨ andert sich der Gewinn, wenn die Lohnkosten kA steigen? Im Folgenden sei f (x, a) = f (x1 , . . . , xl , a1 , . . . , am ) eine stetig differenzierbare Funktion, die von den Variablen x und den Parametern a abh¨ angt. Wir definieren die Wertfunktion v(a) = max f (x, a) x

als den maximalen Wert, den f bei festen Parametern a annimmt. Ferner bezeichnen wir f¨ ur einen gegebenen Parametervektor a die optimale L¨osung des Maximierungsproblems mit x∗ (a). Satz 15.16 (Einhu ¨ llendensatz I). Sei f (x, a) stetig differenzierbar und v(a) = maxx f (x, a). Wenn die Wertfunktion v differenzierbar ist, so gilt ∂f ∗ ∂v (a) = (x (a), a) . ∂ai ∂ai Man kann also einfach das max vergessen und die Zielfunktion nach den Parametern ableiten. Zu beachten ist allerdings, dass man stets das optimale x∗ (a) einzusetzen hat. Beweis. (Skizze) Wir nehmen sogar an, dass das optimale x∗ (a) eindeutig festliegt und eine differenzierbare Funktion von den Parametern a ist. Da x∗ (a) optimal ist, gilt v(a) = f (x∗ (a), a) . Unter Anwendung der Kettenregel l¨ asst sich somit schließen, dass gilt:  ∂f ∂x∗j ∂f ∗ ∂v (a) = (x∗ (a), a) (a) + (x (a), a) . ∂ai ∂xj ∂ai ∂ai l

j=1

Wegen der Bedingung erster Ordnung gilt ferner:

290

15 Optimierung II

∂f (x∗ (a), a) = 0 . ∂xj Somit folgt

∂v ∂ai (a)

=

∂f ∂ai

(x∗ (a), a) .




Wenn man es ganz genau nimmt, m¨ usste man nat¨ urlich erst u ¨berpr¨ ufen, ob die Wertfunktion auch differenzierbar ist, bevor man den Einh¨ ullendensatz anwenden kann. Außerdem haben wir implizit angenommen, dass die L¨ osung x∗ eindeutig ist. Ohne Beweis halten wir dazu fest: Satz 15.17. Seien f und v wie in Satz 15.16. Wenn dann die Zielfunktion f zweimal stetig differenzierbar in (x, a) sowie strikt konkav in x ist, so ist x∗ (a) eindeutig bestimmt und differenzierbar und v(a) ist ebenfalls differenzierbar. F¨ ur viele o¨konomische Anwendungen ist es hinreichend, dies zu wissen. (F¨ ur Interessierte: Den Beweis f¨ uhrt man u ¨ber den Satz u ¨ber implizite Funktionen.) ¨ Okonomisches Beispiel 15.18 Wir wenden nun Satz 15.16 auf die Gewinnfunktion der Weberei an. Die partielle Ableitung der Zielfunktion pf (B, F, A) − kB B − kF F − kA A nach den Lohnkosten kA ist gleich −A. Also gilt: ∂π (p, kB , kF , kA ) = −A∗ (p, kB , kF , kA ) . ∂kA Der Gewinn sinkt somit proportional zur optimalen Anzahl Arbeiter. Schließlich erweitern wir den Einh¨ ullendensatz noch auf Probleme mit Nebenbedingungen. Sei wieder f (x, a) = f (x1 , . . . , xl , a1 , . . . , am ) eine Funktion, die von den Variablen x und den Parametern a abh¨angt. Zus¨atzlich seien die Nebenbedingungen beschrieben durch Funktionen gj (x, a), j = 1, . . . , m. Wir definieren die Wertfunktion v(a) =

max

f (x, a)

x:gj (x,a)=0,j=1,...,m

als den maximalen Wert, den f bei festen Parametern a unter den Nebenbedingungen gj (x, a) = 0 annimmt. Ferner bezeichnen wir mit osung des Maximierungsproblems sowie mit λ∗j (a) x∗ (a) die optimale L¨

15.4 Komparative Statik: Der Einh¨ ullendensatz

291

die zugeh¨origen Lagrangeparameter. Unter expliziter Ber¨ ucksichtigung des Parametervektors a schreibt sich die entsprechende Lagrangefunktion somit wie folgt: L(x, λ, a) = f (x, a) −

m 

λj gj (x, a) .

j=1

Wir k¨onnen nun den obigen Einh¨ ullendensatz f¨ ur den Fall der Maximierung unter Nebenbedingungen angeben. Satz 15.19 (Einhu ¨ llendensatz II). Sei f (x, a) = f (x1 , . . . , xl , a1 , . . . , am ) und v(a) =

f (x, a) .

max gj (x,a)=0,j=1,...,m

Wenn die Wertfunktion v differenzierbar ist, so gilt ∂L ∗ ∂v (a) = (x (a), λ∗ (a), a) . ∂ai ∂ai Es reicht also, die Lagrangefunktion nach dem gew¨ unschten Parameter abzuleiten und dann die optimale L¨ osung einzusetzen. Der Beweis verl¨auft ganz analog zum Beweis des ersten Einh¨ ullendensatzes. ¨ Okonomisches Beispiel 15.20 Wir wenden nun den zweiten Einh¨ ullendensatz auf das Nutzenmaximierungsproblem eines Haushalts an. Sei also U (x) eine konkave Nutzenfunktion, p1 , . . . , pl > 0 die Preise der Waren und w > 0 das Einkommen des Haushalts. Die indirekte Nutzenfunktion des Haushalts ist gegeben durch v(p1 , . . . , pl , w) = max U (x) . p,x =w

Die Frage ist nun, wie sich die indirekte Nutzenfunktion ¨ andert, wenn das Einkommen w steigt. Da die Ableitung der Lagrangefunktion U (x) − λ (p, x − w) nach w gleich λ ist, gilt: ∂v = λ∗ (p1 , . . . , pl , w) . ∂w Der marginale Nutzen einer Einkommenserh¨ ohung ist also gerade durch den Lagrangeparameter λ∗ gegeben. Aus diesem Grunde bezeichnet man den Lagrangeparameter auch als Schattenpreis. Er gibt den “Preis” an, den der Haushalt f¨ ur eine marginale Erh¨ ohung des Einkommens zu bezahlen bereit w¨ are.

292

15 Optimierung II

15.5 Nebenbedingungen in Form von Ungleichungen: Kuhn–Tucker Zum Abschluss dieses Kapitels behandeln wir nun noch die so genannte Kuhn-Tucker Methode. Hierbei handelt es sich um eine Verallgemeinerung des Lagrange-Ansatzes f¨ ur den Fall, dass die Nebenbedingungen nicht durch Gleichungen der Form g(x) = 0, sondern durch Ungleichungen der Form g(x) ≤ 0 gegeben sind. Um in die entstehende Problematik einzuf¨ uhren, beginnen wir erneut mit einem ¨okonomischen Beispiel. ¨ Okonomisches Beispiel 15.21 Wir betrachten eine quasilineare Nutzenfunktion der Form U (m, x) = m + ln(x). Diese wollen wir nun unter der Budgetbedingung m + x ≤ w maximieren. Wenn wir wie im letzten Abschnitt die Nebenbedingungen m ≥ 0, x ≥ 0 einfach ignorieren, so erhalten wir die Bedingungen erster Ordnung 1=λ 1 = λ, x woraus sich sofort x = 1 ergibt. Wegen der Budgetgleichung folgt dann m = w − 1. Wenn aber das Einkommen w < 1 ist, so haben wir eine negative L¨ osung f¨ ur m gefunden. Offenbar ist es also nicht immer m¨ oglich, die Nebenbedingungen m ≥ 0, x ≥ 0 zu ignorieren. Da a priori nicht klar ist, dass im Optimum gerade der Fall der Gleichheit f¨ ur die Nebenbedingungen erreicht wird, k¨ onnen wir die Ungleichungen in den Nebenbedingungen auch nicht einfach durch Gleichungen ersetzen und einen Lagrangeansatz w¨ ahlen. Wir brauchen also eine Methode, die Maximierungsprobleme l¨ ost, bei denen die Nebenbedingungen in Form von Ungleichungen vorliegen. Im Folgenden sei wieder U ⊆ Rl und f : U → R die zu maximierende Zielfunktion. Die m Nebenbedingungen seien durch Funktionen gj : U → R, j = 1, . . . , m gegeben und wir betrachten das Problem max f (x) s.t. g1 (x) ≤ 0 .. . gm (x) ≤ 0 . ullen, heißen Jene Punkte x ∈ Rl , die alle m Nebenbedingungen erf¨ zul¨ assig.

15.5 Nebenbedingungen in Form von Ungleichungen: Kuhn–Tucker

293

In dieser Formulierung des Problems bereitet es u ¨brigens keine Schwierigkeiten, mehr Nebenbedingungen als Variablen zuzulassen (m > l). Durch Ungleichungen wird ja nicht immer eine Variable festgelegt, sondern es werden nur Bereiche abgesteckt. Zur Vereinfachung nehmen wir im weiteren Verlauf durchgehend an, dass gilt: Konkaves Programm: Die Zielfunktion f ist konkav, die Nebenbedingungen gj sind konvex. Die Annahme dient dazu sicherzustellen, dass wir uns nicht mit hinreichenden Bedingungen zweiter Ordnung herum¨argern m¨ ussen, da die Lagrangefunktion des Problems L(x1 , . . . , xl , λ1 , . . . , λm ) = f (x) −

m 

λj gj (x)

j=1

bei G¨ ultigkeit der Annahme konkav in x ist. Satz 15.22 (Kuhn–Tucker). Seien, f , g1 , . . . , gm wie oben beschrieassiger Punkt, der die Bedingungen ben. Sei zudem x∗ ∈ Rl ein zul¨ erster Ordnung m  ∂gj ∗ ∂f ∗ (x ) = λj (x ) ∂xi ∂xi j=1

sowie die lokalen Kuhn–Tucker Bedingungen (oder engl. complementary slackness conditions)

wenn gj

(x∗ )

λj ≥ 0 < 0, so λj = 0

erf¨ ullt. Dann l¨ ost x∗ das Maximierungsproblem max f (x) s.t. g1 (x) ≤ 0 .. . gm (x) ≤ 0 . Im Prinzip ist das Vorgehen f¨ ur die Kuhn-Tucker-Methode bis auf wenige Neuerungen der Lagrangemethode sehr ¨ahnlich. Neu hinzugekommen sind lediglich die complementary slackness conditions (was man mit wechselseitiger Straffheit u ¨bersetzen k¨onnte; im Deutschen

294

15 Optimierung II

werden diese auch als lokale Kuhn–Tucker–Bedingungen bezeichnet) sowie die Bedingung, dass die Lagrangemultiplikatoren nicht kleiner als null sein d¨ urfen. Um die neuen Bedingungen besser zu verstehen, f¨ uhren wir noch ∗ eine Sprechweise ein. Wenn gj (x ) = 0 ist, so sagen wir, dass die j-te Nebenbedingung bindet (oder aktiv ist). Wenn die j-te Nebenbedingung nicht bindet, so muss der entsprechende Lagrangeparameter 0 sein. Die Nebenbedingung spielt im Maximum keine Rolle, also auch nicht der zugeh¨orige Lagrangeparameter. Die slackness conditions besagen nun, dass immer mindestens eine der Ungleichungen λj ≥ 0, gj (x∗ ) ≤ 0 eine Gleichung sein muss. Sie k¨ onnen also nur komplement¨ar slack, d.h. nicht aktiv, sein. Nun zum Beweis. ulle die Bedingungen. Ferner sei x ein Beweis. Wir nehmen an, x∗ erf¨ weiterer zul¨assiger Punkt. Wir m¨ ussen zeigen, dass f (x∗ ) ≥ f (x) ist. Nach Voraussetzung ist die Lagrangefunktion L konkav in x. Da in x∗ die Bedingungen erster Ordnung f¨ ur ein Extremum von L in x gelten, ist x∗ ein Maximum von L, das heißt L(x∗ ) ≥ L(x) . Dies ist ¨aquivalent zu f (x∗ ) ≥ f (x) +

l 

λj (gj (x∗ ) − gj (x)) .

j=1

Es reicht also zu zeigen, dass die Summe auf der rechten Seite der Gleichung gr¨oßer oder gleich null ist. Hierzu unterscheiden wir zwei F¨alle. Wenn die j-te Nebenbedingung in x∗ nicht bindet, d.h. gj (x∗ ) < 0, dann gilt wegen complementary slackness λj = 0, also auch λj (gj (x∗ ) − gj (x)) = 0 . Wenn hingegen gj (x∗ ) = 0 ist, dann folgt wegen λj ≥ 0, dass gilt: λj (gj (x∗ ) − gj (x)) = −λj gj (x) ≥ 0 .  Jeder Summand der Summe lj=1 λj (gj (x∗ ) − gj (x)) ist also entweder null oder positiv. Damit gilt: l 

λj (gj (x∗ ) − gj (x)) ≥ 0 .

j=1




15.5 Nebenbedingungen in Form von Ungleichungen: Kuhn–Tucker

295

Nachdem wir ein Verfahren f¨ ur die Maximierung unter durch Ungleichungen gegebenen Nebenbedingungen entwickelt haben, kommen wir nun noch einmal zur¨ uck zu unserem einf¨ uhrenden Beispiel. ¨ Okonomisches Beispiel 15.23 Wir wenden nun das Kuhn–Tucker– Verfahren auf das Problem der Maximierung von f (m, x) = m + ln(x) unter den Nebenbedingungen g1 (m, x) = m + x − w, g2 (m, x) = −m und g3 (m, x) = −x an. Die Bedingungen erster Ordnung lauten: 1 = λ1 − λ2 1 = λ1 − λ3 . x

(15.3) (15.4)

(Man vergleiche diese mit den Bedingungen erster Ordnung aus dem Lagrangeansatz!) Ferner erfordern die complementary slackness conditions, dass gilt: λ1 = 0 λ2 = 0 λ3 = 0

wenn m + x − w < 0 wenn m > 0 wenn x > 0 .

urde. Wir Offenbar geht λ1 = 0 nicht, da dann (15.3) zu 1 = −λ2 ≤ 0 w¨ at folgern somit, dass λ1 > 0 gelten muss. Wegen der Komplementarit¨ der lokalen Kuhn–Tucker–Bedingungen erhalten wir daraus, dass m + x = w gilt. Des Weiteren ist eine L¨ osung mit x = 0 unm¨ oglich, da in einem solchen Fall 1/x nicht definiert w¨ are. Es muss also x > 0 gelten, woraus λ3 = 0 folgt. Aus (15.4) erhalten wir so: x=

1 . λ1

Um weiterzukommen, arbeiten wir nun mit einer Annahme. Wir nehmen an, dass gilt m > 0. Wenn aber m > 0 gilt, dann muss λ2 = 0 sein, woraus sich λ1 = 1 und damit x = 1 ergibt. Da die Budgetbedingung bindet, folgt weiter m = w − 1. Wenn nun w > 1 ist, so ist auch m > 0 und unsere Annahme (m > 0) war gerechtfertigt. Wenn allerdings w ≤ 1 ist, so haben wir einen Widerspruch zu unserer Annahme m > 0. In diesem Fall muss also m = 0 gelten. Aus der Budgetbedingung folgt dann, dass gilt x = wp . F¨ ur eine L¨ osung m¨ ussen wir nun Lagrangeparameter λ1 , λ2 ≥ 0 finden, so dass die Bedingungen erster Ordnung erf¨ ullt sind. Dazu u ¨berlegen wir uns Folgendes: Wegen 1/x = λ1 folgt λ1 = 1/w > 0. Damit nun auch noch 1 = λ1 − λ2 gilt, setzen wir λ2 = w1 − 1 = 1−w w ≥ 0. Bingo!

296

15 Optimierung II

Bislang haben wir uns auf die hinreichenden Bedingungen f¨ ur Optima konzentriert. Da in diesem Kapitel ja die Lagrangefunktion stets konkav ist, liegt die Vermutung nahe, dass die Kuhn–Tucker– bedingungen auch notwendig ist. Dies ist fast richtig. Wie beim Lagrangeansatz braucht man noch zus¨ atzlich eine Bedingung an die Ableitungen der Nebenbedingungen, die sicherstellt, dass die Gradienten im Optimum linear unabh¨ angig sind. Satz 15.24 (Kuhn–Tucker, notwendige Bedingung). Seien, f , g1 , . . . , gm wie oben beschrieben. Sei zudem x∗ ∈ Rl ein optimaler Punkt. Wenn die Jacobimatrix von g = (g1 , . . . , gm ) in x∗ den Rang m hat, so erf¨ ullt x∗ die Bedingungen erster Ordnung sowie die lokalen Kuhn–Tucker–Bedingungen aus Satz 15.22. Man kann u ¨brigens die Bedingung an die Jacobimatrix noch abschw¨achen. Es reicht, dass die Gradienten derjenigen Nebenbedingunen gj , die im Optimum aktiv sind, linear unabh¨angig sind. Wenn also k < m Nebenbedingungen binden, so braucht man nur die k×k–Matrix der bindenden gj zu betrachten; es reicht dann, dass diese Matrix den Rang k hat. Beispiel 15.4. Als weitere Anwendung der Kuhn–Tucker–Methode betrachten wir ein sogenanntes lineares Programm. Seien p1 , . . . , pl , q1 , . . . , ql > 0. Betrachte das Maximierungsproblem max p1 x1 + p2 x2 + . . . + pl xl s.t.

q1 x1 + . . . + ql xl ≤ 1 xj ≥ 0, j = 1, . . . , l .

Wir bezeichnen hier den Lagrangeparameter f¨ ur die erste Nebenbedingung mit λ und die Lagrangeparameter f¨ ur die Nebenbedingungen −xj ≤ 0 mit µj . Die Bedingungen erster Ordnung lauten dann: pi = λqi − µi . Man beachte, dass hier die Variablen xi gar nicht mehr vorkommen. Trotzdem k¨onnen wir u ¨ber die complementary slackness conditions etwas u ber die x herausfinden. ¨ Als Erstes stellen wir fest, dass λ > 0 sein muss, da aus λ = 0 folgt pi = −µi ≤ 0, was im Widerspruch zu der Annahme pi > 0 stehen w¨ urde. Wenn nun xi > 0 ist, so gilt wegen complementary slackness µi = 0, also

15.6 Lineare Programmierung

297

pi = λ. qi Andererseits gilt stets µi pi =λ− ≤ λ. qi qi Damit ist λ der maximale Wert, den die Br¨ uche pqii erreichen. Daraus schließen wir, dass nur solche x∗i strikt positiv sind, bei denen der Bruch pj pi = max j=1,2,...,l qj qi maximal ist. Dies ist in der Tat auch schon alles, was wir hier u ¨ber optimale L¨osungen sagen k¨ onnen, denn es gibt mehr als nur eine L¨osung. Wir definieren: pj . M = max j=1,2,...,l qj Die L¨osungsmenge besteht dann aus allen Vektoren ⎫ ⎧ l ⎬ ⎨  pi ∗ l ∗ qj xj = 1, wenn qi < M , dann xi = 0 . x ∈ R+ : ⎭ ⎩ j=1

15.6 Lineare Programmierung F¨ ur viele Optimierungsprobleme gilt, dass sowohl die Zielfunktion als auch die Nebenbedingungen lineare Funktionen sind. Da lineare Funktionen sowohl konkav als auch konvex sind, k¨onnen wir solche Probleme also im Prinzip mit der Kuhn–Tucker–Methode l¨osen (vgl. Beispiel 15.4). — Dies gilt u ur die Lagrange-Methode, da wegen ¨brigens nicht f¨ der Linearit¨at die Variablen xl beim Ableiten allesamt verschwinden. — Wir wollen diese Probleme nun noch etwas genauer anschauen. ¨ Okonomisches Beispiel 15.25 Optimaler Einsatz von Ressourcen. Die uns schon bekannte Weberei kann sowohl Waschlappen als auch Badem¨ antel produzieren. Waschlappen verkauft sie zu 1 Euro pro St¨ uck, w¨ ahrend Badem¨ antel 50 Euro pro St¨ uck einbringen. Zur Produktion ben¨ otigt die Firma Baumwolle und Farbe. Insgesamt stehen 1000 kg Baumwolle und 50 Liter Farbe zur Verf¨ ugung. Ein Waschlappen verschlingt 1 kg Baumwolle und 1/10 l Farbe. Ein Bademantel wird mit 60 kg Baumwolle und 1 l Farbe erzeugt. Wie viele Badem¨ antel und Waschlappen soll die Firma erzeugen?

298

15 Optimierung II

Wenn w Waschlappen und b Badem¨ antel produziert werden, macht die Firma den Gewinn w + 50b, den sie maximieren m¨ ochte. Allerdings muss dies ja auch bei den gegebenen Ressourcen produzierbar sein. Der Verbrauch an Baumwolle betr¨ agt w + 60b, der Verbrauch an Farbe 1/10w + b. Dies f¨ uhrt auf die beiden Nebenbedingungen w + 60b ≤ 1000 1/10w + b ≤ 50 . Dar¨ uberhinaus kann man keine negativen Mengen von Ressourcen verbrauchen, d.h. es k¨ onnen nur positive Menge produziert werden. Folglich haben wir auch noch die Bedingungen w ≥ 0, b ≥ 0 zu beachten. Wir verallgemeinern nun das obige ¨ okonomische Beispiel. Seien f ∈ Rp und c ∈ Rm Vektoren sowie A eine k × m–Matrix. Unter einem linearen Programm verstehen wir das Maximierungsproblem max f, x x

s.t.

x≥0 Ax ≤ c .

s.t.= subject to

Im obigen ¨okonomischen Beispiel ist       1 5 1 20000 . f= , c= und A = 1 50 100 10 4 Graphische L¨ osung Bei linearen Programmen beschreiben die Nebenbedingungen eine konvexe Menge, deren Rand st¨ uckweise gerade ist. Eine solche Menge nennt man einen konvexen Polyeder. Wir wollen uns dies an Hand des obigen Beispiels klar machen. Die erste Nebenbedingung ist durch die Gerade w+60b = 1000 und alle Punkte, die unter ihr liegen, gegeben. Die zweite Nebenbedingung ist durch die Gerade 1/10w + b = 50 und alle Punkte, die unter ihr liegen, gegeben. Ferner wird die Menge der zul¨assigen Punkte wegen b, w ≥ 0 noch durch die Achsen begrenzt. Insgesamt ist die Menge der zul¨ assigen Punkte durch das in Bild 15.1 beschriebene Viereck gegeben. Bei positiven Preisen will man immer m¨oglichst viel

15.6 Lineare Programmierung

299

1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0

10 b

20 Nebenbedingung 1 Nebenbedingung 2

Abb. 15.1. Die Nebenbedingungen des linearen Programms bestimmen die im Bild ausgef¨ ullte Fl¨ ache.

produzieren. Es ist also plausibel, dass eine optimale L¨osung am oberen Rand der zul¨assigen Menge liegen wird. Nun zeichnen wir noch H¨ ohenlinien f¨ ur den Gewinn ein. Wenn der Gewinn π ist, so muss w + 50b = π oder w = π − 50b gelten. Wir suchen nun das gr¨oßte π, so dass die entsprechende H¨ohenlinie noch durch die Menge der zul¨assigen Punkte geht. Dies ist in Bild 15.2 eingezeichnet. Da der Gewinn mit gr¨ oßerer Produktion ansteigt und die H¨ohenlinien linear sind, muss einer der Eckpunkte des Vierecks optimal sein. Im Bild ist dies genau der Schnittpunkt (10, 400) der beiden Geraden. Es ist also optimal, 10 Badem¨ antel und 400 Waschlappen zu erzeugen. Der Gewinn betr¨agt dann 900 Euro. Die soeben beschriebene Methode funktioniert ganz allgemein. Die Ungleichungen beschreiben einen konvexen Polyeder; man verschiebt dann die H¨ohenlinien der Zielfunktion f, x so lange, bis ein Eckpunkt der zul¨assigen Menge erreicht ist. Dies ist dann der optimale Punkt. Im obigen Beispiel gibt es die drei Eckpunkte (0, 500), (10, 400) und (50/3, 0). Wenn der Preis von Waschlappen steigt, ist irgendwann (0, 500) optimal. Wenn umgekehrt der Preis von Waschlappen gen¨ ugend sinkt, lohnt es sich nicht mehr, diese zu produzieren und (0, 50/3) ist optimal.

300

15 Optimierung II

1000

800

600

400

200

0

10 b

20 Gewinn 400 Gewinn 600 Gewinn 900

Abb. 15.2. Einige H¨ ohenlinien des Gewinns. Bei einem Gewinn von 900 ber¨ uhrt die H¨ ohenlinie den Extrempunkt (10, 400) der zul¨assigen Menge.

Das duale Problem Zu jedem linearen Problem der Form max f, x x

s.t.

x≥0 Ax ≤ c

geh¨ort ein sogenanntes duales Problem, das wie folgt aussieht: min λ, c λ

s.t.

λ≥0 A λ≥f. T

Was ist hier geschehen? Das urspr¨ ungliche Problem hat p Variablen x1 , . . . , xp und m Nebenbedingungen. Das duale Problem hat nun ur aber p Nebenbedingungen. Aus den m Variablen λ1 , . . . , λm , daf¨ Ressourcenbeschr¨ ankungen c ist nun die Zielfunktion λ, c geworden, w¨ahrend die Parameter der urspr¨ unglichen Zielfunktion f nun die unteren Schranken f¨ ur die Nebenbedingungen sind. Wir minimieren nun u ¨ber die neuen Variablen λ1 , . . . , λm . Es ist kein Zufall, dass wir die Variablen mit λ bezeichnen, denn wie wir sehen werden, bilden diese λ gerade die Lagrangeparameter des urspr¨ unglichen Problems.

15.6 Lineare Programmierung

301

Wir wollen uns nun zun¨ achst u ¨berlegen, dass der maximale Wert des urspr¨ unglichen linearen Programms stets kleiner oder gleich dem minimalen Wert des dualen Programms ist. Sei dazu x zul¨assig im urspr¨ unglichen (oder primalen) Programm und λ zul¨assig im dualen Programm. Dann gilt wegen f ≤ AT λ und x ≥ 0 zun¨achst einmal f, x ≤ AT λ, x . Wegen Ax ≤ c folgt dann AT λ, x = λT Ax ≤ λT c = λ, c . F¨ ur alle zul¨assigen Paare (x, λ) liegt also stets f, x ≤ λ, c . Der folgende Dualit¨atssatz besagt nun, dass im Optimum sogar Gleichheit vorliegt. osung des primaSatz 15.26 (Dualit¨ atssatz). Sei x∗ eine optimale L¨ len Programms. Dann hat auch das duale Programm eine L¨ osung λ∗ und es gilt: f, x∗  = λ∗ , c . Beweis. (Skizze) Wir wollen uns den Satz mit Hilfe der Kuhn–Tucker– Bedingungen verdeutlichen. (Hier sind wir nicht ganz streng, da wir nicht u ufen, dass diese Bedingungen notwendig sind). Seien ¨berpr¨ ur die Nebenbedingungen • ν1 , . . . , νp ≥ 0 die Lagrangeparameter f¨ xl ≥ 0 und ur die Nebenbedingungen • λ1 , . . . , λm ≥ 0 die Lagrangeparameter f¨ Ax ≤ c. Dann gilt: f = λT A − ν λ, Ax − c = 0 ν, x = 0 .

(15.5) (15.6) (15.7)

Wir zeigen nun, dass der Lagrangeparameter λ optimal im dualen Problem ist. Da ν ≥ 0 ist, gilt wegen (15.5) λT A ≥ f . Damit ist λ zul¨assig im dualen Programm. Sei nun γ zul¨ assig im dualen Programm. Dann gilt, wie wir uns oben schon u ¨berlegt haben: γ, c ≥ γ, Ax ≥ f, x . Also ist f, x eine untere Schranke f¨ ur das duale Programm. Andererseits gilt wegen (15.6), (15.5) und (15.7)

302

15 Optimierung II

λ, c = λ, Ax = λT Ax = f, x + ν, x = f, x . λ erreicht also die untere Schranke und ist damit optimal im dualen Programm. Gleichzeitig sehen wir, dass f, x = λ, c


gilt.

¨ Ubungen Aufgabe 15.1. Bestimme f¨ ur die folgenden Funktionen von zwei Variablen die lokalen Extrema: √ 1 √ x2 + y 2 , xye−x−y , 9xy 3 − 2x − 3y, x + y − 3x − 4y . Aufgabe 15.2. Die Cobb–Douglas–Produktionsfunktion ist gegeben durch f (x1 , x2 ) = xα1 1 xα2 2 , (x1 , x2 ≥ 0) f¨ ur positive Parameter αk > 0, k = 1, 2. 1. Zeige, dass f auf der offenen Menge R2++ = {(x, y) : x > 0, y > 0} strikt konkav ist, wenn die Summe der Parameter kleiner als 1 ist (α1 + α2 < 1). 2. Bestimme die optimalen Inputs einer gewinnmaximierenden Firma, wenn die Preise f¨ ur die Inputs w1 bzw. w2 betragen! 3. F¨ ur α1 + α2 > 1 hat das Gewinnmaximierungsproblem keine L¨ osung! (Tipp: Betrachte die Produktionspl¨ ane x1 = x2 = n und lasse n gegen unendlich gehen.) Aufgabe 15.3. Die Wirkung von x Einheiten des Medikamentes ”Katertod” um t Stunden nach Einnahme werde durch x2 (3 − x)t2 e−t

(0 ≤ x ≤ 3, t ≥ 0)

beschrieben. Welche Menge ”Katertod” ist optimal? Wenn man weiß, dass man wahrscheinlich um 16 Uhr Kopfschmerzen hat: Wann nimmt man am besten ”Katertod” ein? Aufgabe 15.4. In Verallgemeinerung der voranstehenden Aufgabe zeige man: Seien f (x) und g(y) strikt positive Funktionen. Wenn x∗ ein (lokales oder globales) Maximum von f ist und y ∗ ein Maximum von g, so ist (x∗ , y ∗ ) ein Maximum von der Abbildung (x, y) → f (x)g(y)!

15.6 Lineare Programmierung

303

¨ Aufgabe 15.5. Uberpr¨ ufe die folgenden Funktion f : R2+ → R auf Konvexit¨ at / Konkavit¨ at: f (x, y) = xy f (x, y) = (xy)1/8 f (x, y) = ln(x2 + y 2 ) √ f (x, y) = x ln(x) + y f (x, y) = y ln x . Aufgabe 15.6. Maximiere folgende Funktionen f unter der Nebenbedingung g(x, y) = 0: f (x, y) = x + y f (x, y) = ln(x) + ln(y)

g(x, y) = x2 + y 2 − 1 g(x, y) = x + 3y − 4

f (x, y) = (xy)1/3

g(x, y) = x + y 2 − 2 .

Aufgabe 15.7. Gegeben sei ein St¨ uck Draht der L¨ ange 10m, mit dem ein Rechteck eingez¨ aunt werden soll. Welches Rechteck hat die maximale Fl¨ ache? Aufgabe 15.8. Wir betrachten eine Gesellschaft mit zwei Typen von Konsumenten. Die Sportfans haben f¨ ur die Waren Sport s und Kultur k die Nutzenfunktion √ F (s, k) = ln(s) + k , w¨ ahrend die Kulturfreunde die Nutzenfunktion C(s, k) = ln(s) + k haben. α =∈ (0, 1) sei der Anteil der Sportfans in der Gesellschaft. Man denke sich in die Position von Erich Honecker. Wie verteilt man die verf¨ ugbaren 100 Einheiten Sport und 200 Einheiten Kultur so auf die Individuen, dass die Summe der Nutzen maximal wird? Verwende die Lagrangemethode. Was f¨ allt f¨ ur die L¨ osung f¨ ur α → 1 auf ? Aufgabe 15.9. Die Nutzenfunktion eines Konsumenten sei U (x, y) = 2 − e−x − e−y . Die Budgetbedingung sei durch x + py ≤ 1 beschrieben. 1. Zeige, dass die Nutzenfunktion strikt konkav ist!

304

15 Optimierung II

2. L¨ ose das Nutzenmaximierungsproblem mit dem Lagrangeansatz! F¨ ur welche Parameter p kommt ein negatives y ∗ heraus? 3. L¨ ose f¨ ur p = 3 das Problem mit der Kuhn–Tucker–Methode! Aufgabe 15.10. Eine Firma produziert Handt¨ ucher mit der strikt konkaven Produktionsfunktion f (x, y). Die Kosten der Inputs x und y seien 1 bzw. w. 1. Die Firma m¨ ochte 100 Handt¨ ucher so billig wie m¨ oglich produzieren. Stelle das entsprechende Minimierungsproblem auf und leite notwendige Bedingungen erster Ordnung her! 2. Sind die Bedingungen auch hinreichend f¨ ur ein Minimum? 3. Wie ver¨ andern sich die Kosten, wenn w leicht steigt? Aufgabe 15.11. Formuliere f¨ ur Beispiel 15.25 das entsprechende duale Problem und l¨ ose es! Aufgabe 15.12. Betrachte das lineare Programm max

x1 ,x2 ,x3 ,x4

3x1 + 5x2 + 2x3 + x4

unter den Nebenbedingungen 2x1 + 4x2 + 4x3 + x4 ≤ 10 5x1 + x2 + 8x3 + 4x4 ≤ 8 . Bestimme den Wert dieses Programms mit Hilfe des dualen Programms!

16 Weiterfu ¨ hrende Themen

Zum Abschluss der Analysis II und damit auch zum Abschluss dieses Buches wollen wir noch kurz auf einige weiterf¨ uhrende Themen eingehen, die in der Wirtschaftstheorie wichtig sind. Dabei werden wir zun¨achst mengenwertige Funktionen kennenlernen und einige ihrer f¨ ur die Wirtschaftstheorie interessanten Eigenschaften etwas n¨aher beleuchten. Anschließend kommen wir dann noch zu einer Zusammenstellung verschiedener Fixpunkts¨ atze.

16.1 Mengenwertige Funktionen: Korrespondenzen Im bisherigen Verlauf dieses Buches haben wir uns ausschließlich mit Funktionen besch¨ aftigt, d.h. mit Abbildungen, die jedem Ausgangswert genau einen Zielwert zuordnen. Es ist jedoch nicht besonders schwer, sich Situationen vorzustellen, in denen man einem Ausgangswert gern mehrere m¨ogliche Zielwerte zuordnen w¨ urde. So haben wir etwa in der linearen Programmierung F¨ alle angetroffen, bei denen es viele Maxima gab; vgl. Beispiel 15.4. In der Spieltheorie interessiert man sich f¨ ur die beste Antwort eines Spielers auf ein gegebenes Verhalten seiner Mitspieler. Hier kann es oft mehrere so genannte beste Antworten geben. Um diese als Abbildung der Ausgangssituation, d.h. des Verhaltens der Anderen, darzustellen, brauchen wir also so etwas wie mengenwertige Funktionen. Diese nennt man Korrespondenzen. Definition 16.1. Seien X ⊂ Rn und Y ⊂ Rp zwei Mengen. Eine Korrespondenz φ von X to Y , φ : X  Y , ist eine mengenwertige Funktion von X nach Y , d.h. Elemente aus X werden auf Mengen in Y abgebildet. Wir schreiben auch: φ : X → P(Y ) \ {∅},

306

16 Weiterf¨ uhrende Themen

wobei P (Y ) die Menge aller Teilmengen von Y , d.h. die Potenzmenge von Y , ist. Der wesentliche Unterschied zwischen Funktionen und Korrespondenzen ist also, dass letztere jeder Variablen x mehr als einen Funktionswert zuweisen d¨ urfen. So gesehen sind Funktionen also letztlich nur ein Spezialfall von Korrespondenzen. Graphisch spiegelt sich der Unterschied zwischen Funktionen und Korrespondenzen darin wider, dass der Graph einer Funktion immer durch Linien gegeben ist, wohingegen der Graph einer Korrespondenz auch Fl¨achen beinhalten kann. Formal definiert sich der Graph einer Korrespondenz analog zum Fall f¨ ur Funktionen. Definition 16.2. Sei φ : X  Y eine Korrespondenz von X nach Y . Dann ist der Graph von φ die Menge: Gr(φ) = {(x, y) | y ∈ φ(x)} . Da Korrespondenzen im Allgemeinen ganze Mengen als Bilder haben, kann man diese, im Unterschied zu Funktionen, u ¨ber m¨ogliche Eigenschaften dieser Bilder weiter klassifizieren. So kann man beispielsweise fordern, dass alle Bilder einer Korrespondenz offen, abgeschlossen, oder kompakt sein sollen. In diesen F¨ allen spricht man dann von offen-, abgeschlossen-, bzw. kompaktwertigen Korrespondenzen. Wir untersuchen nun die Stetigkeit von Korrespondenzen. F¨ ur Funktionen bedeutet Stetigkeit ja gerade, dass die Funktion keine Spr¨ unge macht, d.h. dass sich die Werte der Funktionen nur sehr wenig ¨andern, ¨ wenn die Anderung der Variablen nur hinreichend klein ist. Diese Idee ¨ ¨ der kleinen Anderung im Funktionswert bei kleiner Anderung in der Variablen l¨asst sich auf Korrespondenzen u ¨bertragen. Da die Funktionswerte von Korrespondenzen im Allgemeinen Mengen sind, m¨ ussen ¨ ucksichtigen, dass sprunghafte Anderungen des Bildes wir allerdings ber¨ einer Korrespondenz mehrere Dinge bedeuten k¨onnen. Auf der einen ¨ Seite sollte das Bild einer Korrespondenz bei kleineren Anderungen im Ausgangswert seine Lage nicht zu sehr ver¨ andern. Insbesondere sollte, analog zur ε − δ-Stetigkeit bei Funktionen, gelten, dass das Bild nicht aus einer offenen Umgebung, in der es eben noch enthalten war, herausspringt. Es sollte aber m¨ oglichst auch als Menge seine Gr¨oße nicht zu sehr ¨andern, d.h. nicht pl¨ otzlich explodieren oder in sich zusammenfallen. Formal l¨ asst sich dies wie folgt fassen: Definition 16.3. Sei X ⊂ Rn , Y ⊂ Rp und sei φ : X  Y eine Korrespondenz. Dann gilt:

16.1 Mengenwertige Funktionen: Korrespondenzen

307

• φ ist oberhalbstetig in x, wenn f¨ ur alle offenen Mengen V ⊆ Y mit φ(x) ⊆ V eine Umgebung U (x) ⊆ X von x existiert, so dass f¨ ur alle x ∈ U (x) gilt: φ(x ) ⊆ V , • φ ist unterhalbstetig in x, wenn zu jeder offenen Menge V ⊆ Y mit φ(x) ∩ V = ∅ eine Umgebung U (x) ⊆ X von x existiert, so dass f¨ ur alle x ∈ U (x) gilt: φ(x ) ∩ V = ∅. • φ ist stetig im Punkt x ∈ X, wenn φ in x sowohl ober– als auch unterhalbstetig ist. • φ ist stetig bzw. ober–/unterhalbstetig auf ganz X, wenn φ in jedem Punkt x ∈ X stetig bzw. ober–/unterhalbstetig ist. Die Idee der ε − δ-Stetigkeit spiegelt sich also in der Eigenschaft der Oberhalbstetigkeit wieder. In diesem Fall muss ja gerade jede offene Umgebung des Bildes zu einem Punkt x auch alle Bilder von Punkten nahe bei x enthalten. Diese Eigenschaft der Oberhalbstetigkeit garantiert zudem, dass Bildmengen nicht pl¨otzlich explodieren, siehe Abb. 16.1. Die Unterhalbstetigkeit hingegen stellt sicher, dass die Bildmenge nicht pl¨ otzlich in sich zusammenf¨allt (in diesem Fall w¨ urden n¨amlich einige offene Mengen, deren Durchschnitt mit φ(x) eben noch nichtleer war, auf einmal leer ausgehen). Vergleiche hierzu Abb. 16.2. Interessanterweise lassen sich die verschiedenen Formen der Stetigkeit von Korrespondenzen, analog zur Stetigkeit f¨ ur Funktionen, auch u ur die Oberhalbstetigkeit gilt ¨ber Konvergenz von Folgen definieren. F¨ beispielsweise: Satz 16.1. Sei φ : X  Y eine kompaktwertige Korrespondenz. φ ist genau dann oberhalbstetig im Punkt x ∈ X, wenn f¨ ur jede Folge xn → x gilt, dass zu jeder Folge yn mit yn ∈ φ(xn ) eine konvergente Teilfolge ynk mit ynk → y und y ∈ φ(x) existiert. Oberhalbstetigkeit bedeutet also, dass man nicht aus dem Graphen “herausfallen” kann. Wir wollen dies noch formal festhalten. Definition 16.4. Eine Korrespondenz φ : X  Y ist abgeschlossen bzw. hat einen abgeschlossenen Graphen, wenn die Menge Gr(φ) als Teilmenge von Y abgeschlossen ist. Mit diesem neuen Begriff u ¨bersetzt sich der obige Satz also zu Satz 16.2. Sei X ⊂ Rn , Y ⊂ Rp , Y kompakt und sei ferner φ : X  Y eine kompaktwertige Korrespondenz. φ ist genau dann oberhalbstetig, wenn φ einen abgeschlossenen Graphen hat.

308

16 Weiterf¨ uhrende Themen

6 c b a

 φ1 (x) =

[a, c] f¨ ur x < x∗ b

f¨ ur x ≥ x∗

b r b

∗

x

Abb. 16.1. Die Korrespondenz φ1 ist nicht oberhalbstetig in x∗ , da kleine Umgebungen um b den Punkt c nicht enthalten, dieser aber f¨ ur alle x < x∗ in φ(x) enthalten ist. φ1 ist allerdings unterhalbstetig in x∗ .

Ein weiteres Beispiel f¨ ur die Verwandtschaft der Stetigkeitskonzepte bei Funktionen und Korrespondenzen zeigt sich in der Eigenschaft, dass Stetigkeit in beiden F¨ allen bedeutet, dass kompakte Mengen wieder auf kompakte Mengen abgebildet werden. Einzige Voraussetzung hierf¨ ur ist, dass die betrachtete Korrespondenz kompaktwertig ist; eine Eigenschaft, die f¨ ur Funktionen per Definition erf¨ ullt ist (der Funktionswert an einer Stelle ist immer nur ein Punkt). Im Fall kompaktwertiger Korrespondenzen, so die Aussage des nachfolgenden Satzes, reicht es sogar schon, die Oberhalbstetigkeit zu verlangen, um das gew¨ unschte Resultat zu erhalten. Satz 16.3. Die Korrespondenz φ : X  Y sei kompaktwertig und oberhalbstetig. Ferner sei C ⊆ X eine kompakte Teilmenge von X. Dann ist das Bild von C unter φ, d.h. φ(C) = ∪x∈C φ(x) , kompakt. Im nachfolgenden Abschnitt u ¨ber Fixpunkte werden wir noch einmal auf Korrespondenzen zur¨ uckkommen und dabei auch ein konkretes

16.2 Fixpunkts¨atze

6

 φ2 (x) =

309

[a, c] f¨ ur x ≤ x∗ b

f¨ ur x > x∗

c b a

∗

x

Abb. 16.2. Die Korrespondenz φ2 ist nicht unterhalbstetig in x∗ , da kleine Umgebungen beispielsweise um c nicht mehr durch φ2 erreicht werden, uck nach rechts geht. φ2 ist allerdings wenn man von x∗ aus ein kleines St¨ oberhalbstetig in x∗ .

Beispiel f¨ ur die ¨ okonomische Relevanz dieser allgemeineren Form der Abbildung vorstellen.

16.2 Fixpunkts¨ atze Fixpunkte sind jene Punkte aus dem Definitionsbereich einer Abbildung, die durch Ausf¨ uhren der Abbildung wieder auf sich selbst abgebildet werden. Sie spielen eine zentrale Rolle in der ¨okonomischen Theorie, da sie die mathematische Charakterisierung von Gleichgewichtszust¨anden sind, wie sie uns schon in Abschnitt 6.2 begegnet sind. Marktgleichgewichte beispielsweise sind Situationen, in denen der Markt stabil ist, d.h. in denen wir erwarten k¨onnen, dass keiner der Marktteilnehmer in Kenntnis aller gew¨ ahlten Aktionen aller Marktteilnehmer den Wunsch versp¨ urt, sein Verhalten zu ¨andern, um sich besserzustellen. Mit anderen Worten, ausgehend vom beobachteten Verhalten (Startwert) w¨ aren alle Marktteilnehmer bereit, sich bei einer Wiederholung der Interaktion wieder genauso zu verhalten (Zielwert),

310

16 Weiterf¨ uhrende Themen

wenn sie davon ausgehen m¨ ussen, dass sie das Verhalten der anderen nicht beeinflussen k¨ onnen. Individuelle Optimierung auf Grundlage des beobachteten Verhaltens w¨ urde also wieder dasselbe Verhalten hervorbringen - das Verhalten bleibt fix. In ¨ahnlicher Weise lassen sich Nash-Gleichgewichte in der Spieltheorie u ¨ber Fixpunkte charakterisieren (vgl. hierzu Beispiel 16.2). Allgemein definiert man einen Fixpunkt f¨ ur eine Abbildung einer Menge auf sich selbst, sei es eine Funktion oder eine Korrespondenz, wie folgt. Definition 16.5. Sei X ⊂ Rn und f : X −→ X eine Abbildung von X in sich selbst. Der Punkt x∗ ∈ X ist ein Fixpunkt von f , wenn gilt: f (x∗ ) = x∗ . x∗ ∈ X heißt Fixpunkt der Korrespondenz φ : X  X, wenn x∗ ∈ φ (x∗ ) gilt. Fixpunkte entsprechen Gleichgewichtszust¨anden. Bevor man nun ¨ aber solche Gleichgewichtszust¨ ande, beispielsweise einer Okonomie oder eines einzelnen Marktes, studieren kann, stellt sich zun¨achst einmal die Frage, in welchen Situationen solche Gleichgewichte u ¨berhaupt existieren. Ohne eine solche Existenzaussage st¨ unde die Wirtschaftstheorie auf wackligen F¨ ußen. Die Mathematik hilft uns hier weiter. Mathematisch ist die Frage nach der Existenz eines Gleichgewichts n¨ amlich nichts anderes als die Frage nach der Existenz eines Fixpunktes f¨ ur die zu Grunde liegende Abbildung. Und es gibt in der Tat eine ganze Reihe von Abbildungen, f¨ ur die man allgemein zeigen kann, dass zumindest ein Fixpunkt existiert. Einige f¨ ur die Wirtschaftsheorie besonders wichtige Resultate haben wir im Folgenden zusammengestellt. Kontraktionen Ein erstes Beispiel liefern die Kontraktionsabbildungen bzw. kurz die Kontraktionen. Definition 16.6. Sei X ⊂ Rp , X konvex und f : X −→ X eine Funktion von X in sich selbst. f ist eine Kontraktion, wenn es β ∈ (0, 1) gibt mit : ∀x, y ∈ X : f (x) − f (y) ≤ βx − y.

16.2 Fixpunkts¨atze

311

Durch eine Kontraktion r¨ ucken also je zwei Punkte des Definitionsbereiches n¨aher aneinander. Da dabei insbesondere auch alle Punkte in einer Umgebung um einen bestimmten Punkt n¨aher zusammenr¨ ucken, sind Kontraktionen stetig. Satz 16.4. Jede Kontraktionsabbildung ist stetig. Beispiel 16.1. Stetig differenzierbare Abbildungen f : [a, b] −→ [a, b], deren Steigung f¨ ur alle Elemente x ∈ [a, b] positiv, aber kleiner als 1 ist, sind Kontraktionen. Dies kann man etwa mit dem Mittelwertsatz sehen. Es gilt:   |f (x) − f (y)| = f  (ξ) |x − y| . Laut Annahme ist f  stetig und stets kleiner als 1. Da [a, b] kompakt ist, nimmt |f  (ξ)| also laut Satz von Weierstraß (Satz 13.14) das Maximum β an und dieses ist echt kleiner als 1. Interessant ist nun, dass Kontraktionen immer einen eindeutigen Fixpunkt haben. Unter einer Kontraktion gibt es also immer genau einen Punkt, der sich nicht bewegt. Zudem gilt, dass wir bei jedem beliebigen Punkt anfangen k¨ onnen und von dort aus, wenn wir die Kontraktion nur oft genug wiederholen, letztlich immer auf den Fixpunkt zulaufen. Satz 16.5 (Banach’scher Fixpunktsatz). Sei X ⊂ Rp konvex, und f : X −→ X eine Kontraktion. Dann hat f einen eindeutigen Fixpunkt ur jeden Startwert x0 ∈ X die rekursiv x∗ ∈ X. Ferner konvergiert f¨ definierte Folge xn+1 = f (xn ) gegen den Fixpunkt x∗ . Weitere Fixpunkts¨ atze In allgemeinen Modellen ist die Kontraktionseigenschaft nicht erf¨ ullt. Warum etwa sollten alle Nachfragefunktionen eine Steigung haben, die kleiner als 1 ist? Im Allgemeinen kann man nur die Stetigkeit von Nachfragefunktionen zeigen. Gl¨ ucklicherweise gibt es auch f¨ ur diese F¨alle Fixpunkts¨atze. Allerdings sind Fixpunkte im Allgemeinen nicht mehr eindeutig. Satz 16.6. [Brouwer] Sei X ⊂ Rp kompakt und konvex, und sei f : X −→ X eine stetige Funktion. Dann besitzt f einen Fixpunkt.

312

16 Weiterf¨ uhrende Themen

Man macht sich dies am besten beim Kaffeetrinken klar. Wenn man den Kaffee in der Tasse umr¨ uhrt, ohne etwas zu versch¨ utten (also stetig), dann wird am Ende, was man auch tut, immer ein Kaffeeteilchen wieder genau da sein, wo es am Anfang war. Die Verallgemeinerung des Brouwer’schen Satzes f¨ ur Korrespondenzen bewies Kakutani. Satz 16.7. [Kakutani] Sei X ⊂ Rp kompakt und konvex, und sei φ : X −→ X eine nichtleere, kompakt- und konvexwertige Korrespondenz. Wenn φ oberhalbstetig ist, dann hat φ einen Fixpunkt. Der Satz von Kakutani hat insbesondere in den Wirtschaftswissenschaften einige Ber¨ uhmtheit erlangt, da er zum Beispiel in der Spieltheorie n¨otig ist, um die Existenz eines Nash-Gleichgewichts f¨ ur endliche Spiele zu beweisen. Zur Illustration skizzieren wir diesen Beweis im nachfolgenden Beispiel. Beispiel 16.2. Als endliche Spiele bezeichnet man Situationen strategischer Interaktion mit einer endlichen Anzahl von Spielern, i = 1, . . . , n, denen jeweils eine endliche Menge Si von Aktionen si , i = 1, . . . , n, zur Verf¨ ugung steht. Das Spiel besteht darin, dass alle Spieler gleichzeitig ahlen und am Ende eine Auszahlung erhalten, eine Aktion si ∈ Si w¨ welche von den gew¨ ahlten Aktionen aller Spieler, d.h. vom Strategienangt. Die Nutzenfunktion eines Spielers i ist profil s = (s1 , . . . , sn ), abh¨ gegeben durch eine Funktion ui : S1 × ... × Sn −→ R . Im Allgemeinen m¨ ochte man ferner der M¨ oglichkeit Rechnung tragen, dass ein Spieler in seinem Verhalten u ¨ber mehrere Aktionen randomisiert. Man denke etwa an einen Elfmetersch¨ utzen beim Fußball. Schießt er immer in dieselbe Ecke, so wird sich das herumsprechen, und irgendwann wird der Torwart — bildlich gesprochen — schon in der entsprechenden Ecke auf den Ball warten. Der Spieler wird also bem¨ uht sein, die Wahl seiner Schussrichtung m¨ oglichst zuf¨allig erscheinen zu lassen. Solch zuf¨alliges W¨ ahlen einer Aktion bezeichnet man auch als gemischte Strategie. Formal ist eine gemischte Strategie f¨ ur einen Spieler i gegeben durch . . . , k die verschiedenen ein Tupel σi = (σi1 , . . . , σik ), wobei j = 1, ur alle j, und j σij = 1. Die Zahl σij Aktionen bezeichnet, σij ≥ 0, f¨ ist also die Wahrscheinlichkeit, mit der Spieler i die Aktion j w¨ahlen ur wird; wir schreiben auch σi (sj ). Die Menge aller solchen k-Tupel f¨ Spieler i, d.h. die Menge aller seiner gemischten Strategien, bezeichnen ucksichtigung dieser allgemeineren Strategien wir mit ∆(Si ). Unter Ber¨ ist der Nutzen von Spieler i also gegeben durch:

16.2 Fixpunkts¨atze

313

ui : ∆(S1 ) × ... × ∆(Sn ) −→ R , mit ui (σ) =



(Πi=1,...,n σi (si )) ui (s1 , . . . , sn ) .

s∈S1 ×...×Sn

Schließlich bezeichnen wir noch mit s−i bzw. σ−i das Strategienprofil “der anderen” aus Sicht von Spieler i. F¨ ur i = 2 ist also beispielsweise s−2 = (s1 , s3 , . . . , sn ). Ein Nash-Gleichgewicht f¨ ur ein solches endliches Spiel ist ein Strate∗ ur das kein Spieler, f¨ ur sich allein genommen, sich durch gienprofil σ , f¨ ¨ eine Anderung seines Verhaltens besserstellen kann. Es spielen also alle eine beste Antwort - gegeben das Verhalten der anderen. Formal bedeutet dies, dass f¨ ur alle i gilt: ∗ ∗ ) ≥ ui (si , σ−i ) ui (σi∗ , σ−i

f¨ ur all si ∈ Si .

(16.1)

Die Frage ist nun, ob es f¨ ur jedes endliche Spiel ein solches NashGleichgewicht gibt. Die Antwort ist, wie bereits angedeutet, ja. Warum das so ist und wo der Satz von Kakutani “ins Spiel” kommt, sieht man wie folgt. Wir definieren zun¨ achst f¨ ur jeden Spieler i die Menge BRi (σ−i ) der besten Anworten auf ein gegebenes Strategienprofil σ−i der anderen Spieler, d.h. BRi (σ−i ) = {σi | ui (σi , σ−i ) ≥ ui (3 si , σ−i ) f¨ ur alle s3i ∈ Si }. ur Spieler i eine solche Menge Da wir zu jedem Strategienprofil σ−i f¨ von besten Antworten angeben k¨ onnen, definiert uns BRi eine Korrespondenz, die Korrespondenz der besten Antworten: BRi (σ−i ) : j = i∆(Sj ) −→ ∆(Si ) . ×

Als N¨achstes betrachten wir nun das kartesische Produkt der Mengen von gemischten Strategien aller Spieler, d.h. wir betrachten die Menge: X = i ∆(Si ) . ×

F¨ ur diese Menge definieren wir nun wie folgt eine Abbildung auf sich selbst: φ(σ) = (BR1 (σ−1 ), ..., BRn (σ−n )). Die Abbildung φ liefert also zu jedem Profil gemischter Strategien σ f¨ ur jeden Spieler die Menge der besten Antworten gegen das Teilprofil der anderen Spieler. Damit ist φ wieder eine Korrespondenz, und zwar von X nach X, wobei X eine Teilmenge eines Rp ist. Außerdem gilt, dass

314

16 Weiterf¨ uhrende Themen

jeder Fixpunkt von φ ein Nash-Gleichgewicht unseres endlichen Spiels ist, da das entsprechende Strategienprofil f¨ ur alle Spieler aus besten Antworten auf das Verhalten der Anderen bestehen muss. Damit haben wir nun den Weg zur Anwendung des Satzes von Kakutani geebnet. Wir m¨ ussen n¨amlich “nur” noch zeigen, dass die Bedingungen des Satzes erf¨ ullt sind, und dann wissen wir, dass solch ein Fixpunkt, d.h. ein Nash-Gleichgewicht, immer existiert. Was noch zu zeigen ist, ist also Folgendes: 1. X ist kompakt, 2. φ(σ) ist nichtleer, kompakt- und konvexwertig, 3. φ ist oberhalbstetig. Wir gehen der Reihe nach vor. Dass X kompakt ist, ergibt sich aus der Tatsache, dass die einzelnen Mengen ∆(si ) abgeschlossen und beschr¨ankt und somit kompakt sind. Das endliche kartesische Produkt kompakter Mengen ist n¨ amlich auch wieder kompakt (zudem ist X selbst wieder eine abgeschlossene und beschr¨ankte Teilmenge eines Rp ). Aus der Kompaktheit der Strategiemengen ∆Si sowie der Linearit¨at der Nutzenfunktion (vgl. Gleichung 16.1) folgt zudem, dass es f¨ ur jeden Spieler i zu jedem Teilprofil σ−i immer mindestens eine beste Antwort s∗i geben muss. Um diese zu finden, maximieren wir n¨amlich ui u ¨ber einem Kompaktum, d.h. ui nimmt Maximum und Minimum auf ∆(Si ) an. Ferner ist mit je zwei besten Antworten s∗i und s+ i erneut wegen der Linearit¨ at der Nutzenfunktion auch jede Linearkombination si = ρs∗i +(1−ρ)s+ i , ρ ∈ [0, 1], eine beste Antwort gegen σ−i . Die Menge der besten Antworten ist also konvex. Die Menge der besten Antworten ist zudem kompakt, da sie, wie wir hier nicht explizit nachpr¨ ufen werden, all ihre Randpunkte enth¨ alt und zudem nat¨ urlich erneut beschr¨ankt ist (wie schon ∆(Si ) selbst). Da sich all diese Eigenschaften f¨ ur die jeweiligen Beste-Antwort-Korrespondenzen auf φ u ¨bertragen, folgt, dass φ nichtleer, kompakt- und konvexwertig ist. Es bleibt zu zeigen, dass φ oberhalbstetig ist. Um dies zu zeigen, berufen wir uns auf Satz 16.1 und zeigen, dass unabh¨angig von der ur alle i und jede Folge Wahl von σ f¨ ur jede Folge σ r , σ r → σ und f¨ r τi → τi mit τir ∈ BRi (σ−i ) gilt τi ∈ BRi (σ). Dies aber folgt erneut wegen der Linearit¨ at der ui , da aus r r ) ≥ u(σ˜i , σ−i ) u(τir , σ−i

folgt, dass gilt: u(τi , σ−i ) ≥ u(σ˜i , σ−i ) .

16.2 Fixpunkts¨atze

315

Damit haben wir gezeigt, dass unser Problem die Voraussetzungen des Satzes von Kakutani erf¨ ullt. Die Funktion φ hat also einen Fixpunkt und jedes endliche Spiel ein Nash-Gleichgewicht.

A Kleine Vokabelsammlung

¨ Ein Großteil der in der Okonomie g¨ angigen Literatur ist englischsprachig. Da die benutzten mathematischen Begriffe sich nicht immer eindeutig erschließen lassen, geben wir im Nachfolgenden eine kleine Liste ¨ der wichtigsten Ausdr¨ ucke mit ihrer jeweiligen Ubersetzung an. Tabelle A.1: Mathevokabeln Deutsch - Englisch

Abbildung

mapping

abgeschlossen

closed

Ableitung

derivative

Abschluss (einer Menge)

closure

beschr¨ankt

bounded

Beweis

proof

beweisen

to prove

bijektiv

one-to-one and onto, bijective

differenzierbar

differentiable

differenzieren

differentiate

Dimension

dimension

Dreiecksungleichung

triangle inequality

Durchschnitt

intersection

erste Ableitung

first order derivative

318

A Kleine Vokabelsammlung

Folge

sequence

Funktion

function

gerade (Zahlen)

even (numbers)

Gleichung

equality

Grenzwert

limit

injektiv

one-to-one

das Innere (einer Menge)

interior

Integral

integral

Intervall

interval

kompakt

compact

konvergent

convergent

konvergieren

to converge

konvex

convex

Korrespondenz

correspondence

Matrix

matrix

Menge

set

monoton

monotone

Nenner

denominator

offen

open

oberhalbstetig

upper hemi-continuous

Ordnung

ordering

Potenzmenge

powerset

Primzahl

prime number

Rand

border

Reihe

series

stetig

continuous

surjektiv

onto

Teilfolge

subsequence

Teilmenge

subset

A Kleine Vokabelsammlung

Umgebung

neighbourhood

ungerade (Zahlen)

odd (numbers)

unterhalbstetig

lower hemi-continuous

Vektorraum

vector space

Vereinigung

union

Widerspruch

contradiction

Zahl

number

Z¨ahler

numerator

z¨ahlen

to count

Tabelle A.2: Mathevokabeln Englisch - Deutsch

border

Rand

bounded

beschr¨ankt

closed

abgeschlossen

closure

Abschluss (einer Menge)

compact

kompakt

continuous

stetig

contradiction

Widerspruch

to converge

konvergieren

convergent

konvergent

convex

konvex

correspondence

Korrespondenz

to count

z¨ ahlen

denominator

Nenner

derivative

Ableitung

differentiable

differenzierbar

differentiate

differenzieren

dimension

Dimension

319

320

A Kleine Vokabelsammlung

equality

Gleichung

even (numbers)

gerade (Zahlen)

first order derivative

erste Ableitung

function

Funktion

integral

Integral

interior

das Innere (einer Menge)

intersection

Durchschnitt

interval

Intervall

limit

Grenzwert

lower hemi-continuous

unterhalbstetig

mapping

Abbildung

matrix

Matrix

monotone

monoton

neighbourhood

Umgebung

number

Zahl

numerator

Z¨ ahler

odd (numbers)

ungerade (Zahlen)

one-to-one

injektiv

one-to-one and onto, bijective

bijektiv

onto

surjektiv

open

offen

ordering

Ordnung

powerset

Potenzmenge

prime number

Primzahl

proof

Beweis

to prove

beweisen

sequence

Folge

series

Reihe

set

Menge

A Kleine Vokabelsammlung

subsequence

Teilfolge

subset

Teilmenge

union

Vereinigung

upper hemi-continuous

oberhalbstetig

triangle inequality

Dreiecksungleichung

vector space

Vektorraum

321

Sachverzeichnis

u ahlbar, siehe Menge ¨berabz¨ abgeschlossen, 18, 232, 234, 236 abgeschlossener Graph, 307 Ableitung, 86 h¨ oherer Ordnung, 93 Abschluss, 234 Absolutbetrag, 37, 87 abz¨ ahlbar, siehe Menge alternierende Reihe, 66 archimedisches Prinzip, 17 Argument, 35 arithmetische Folge, 49 arithmetisches Mittel, 110 assoziativ, 13 Assoziativgesetz, 8 Barwert, 69, 135 Basis, 172 Bernoulli’sche Ungleichung, 28 beschr¨ ankt, Folge, 52 Betrag, siehe Absolutbetrag bijektiv, 42 Bildmenge, 39 Binomialkoeffizient, 26, 36 Bolzano-Weierstraß, Satz von, 61 Budgetmenge, 171 Cauchy-Folge, 55 Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung, 173, 261

charakteristisches Polynom, 211 Cobb-Douglas-Funktion, 251 Cramer’sche Regel, 195, 198 de l’Hospital, Regel von, 95 de Morgansche Regeln, 8 Definitheit, 203 Definitionsbereich, 35 Determinante, 194, 196 Rechenregeln, 197 diagonalisierbar, 214 Differentiationsregeln, 88 differenzierbar, 86 Dimension, 157 Dimensionsformel, lineare Abb., 162 disjunkt, 7 Distributivgesetz, 8, 15 Dualit¨atssatz, 301 dynamisches System, 208 Eigenraum, 210 Eigenvektor, 210 Eigenwert, 210 Einh¨ ullendensatz, 289, 291 Elastizit¨at, 114 Erzeugendensystem, 154 euklidische Norm, siehe Norm Eulers Theorem, 260 Exponentialfunktion, 67, 76, 90, 95, 127 Extremum, 276

324

Sachverzeichnis

globales Maximum, 101, 276 globales Minimum, 101, 276 hinreichende Bedingung, 100, 111, 278 inneres, 101 lokales Maximum, 101, 276 lokales Minimum, 101, 276 notwendige Bedingung, 102, 276 Randextremum, 101, 113 stetige Funktion auf Kompaktum, 242 Fakult¨ at, 26, 35 Fibonaccizahlen, 54 Fixpunkt, 78, 310 Fixpunktsatz Banach, 311 Brouwer, 311 Kakutani, 312 Folge, 47, 235 geschlossene Darstellung, 48 rekursive Darstellung, 48 Fundamentalsatz der Algebra, 20 Funktion, 35 affin, 36 linear, 158 monoton, 79 reellwertig, 36 Funktionalmatrix, siehe Jacobimatrix Funktionswert, 35 ganze Zahlen, 12, 14 Gauß’scher Algorithmus, 188 geometrische Folge, 49 geometrische Reihe, 63 geometrisches Mittel, 110 Gesetz vom fallenden Grenzertrag, 112 Gleichungssystem Existenz von L¨osungen, 181 linear homogen, 179 linear inhomogen, 180 Gradient, 251, 256, 261, 262 Graph, 247, 306

Grenzwert, 50, 74, 235 uneigentlicher, 58 Gruppe, 12–13 H¨ aufungspunkt, 60 halboffen, 18 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, 127 Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung, 129 Heine-Borel, Satz von, 242 Hesse-Matrix, 269, 278 homogene Funktion, 260 Hurwitz, 205, 207 Hyperebene, 171 implizite Funktionen, 263, 265 Indifferenzmengen, 262 indirekte Nutzenfunktion, 291 Induktionsprinzip, 23 Infimum, 52 injektiv, 42 Inneres einer Menge, 234 Integral Riemann, 121 uneigentliches, 124, 134 Intervall, 18 inverses Element, 13 Isoh¨ ohenlinie, 248 Jacobimatrix, 255, 256, 296 K¨ orper, 15 kanonische Basis, 155 kartesisches Produkt, 9 Kern einer Abbildung, 162 Kettenregel, 93, 259 Koeffizientenmatrix, 183 kommutativ, 13 Kommutativgesetz, 8 kompakt, 242 Komplement, siehe Menge komplexe Zahlen, 19 konkav, 109, 280 Konsumentenrente, 128, 133 Konsummenge, 171

Sachverzeichnis Kontraktion, 310 Konvergenz, 50, 235, 236 Quotientenkriterium, 67 Reihe, 65 konvex, 107, 108, 280 Menge, 280 konvexe Menge, 280 Korrespondenz, 305 Kuhn-Tucker, 293, 295 notwendige Bedingung, 296 L¨ owe in der W¨ uste, 62 Lagrange hinreichende Bedingung, 287 notwendige Bedingung, 283 viele Nebenbedingungen, 285 Lagrangefunktion, 286 Laplace-Entwicklung, 196 leere Menge, 6 linear abh¨ angig, 152 linear unabh¨ angig, 152 lineares Programm, 298 Linearkombination, 153 Logarithmus, 81, 96, 127, 131 Rechenregeln, 82 Lotto, 26 M¨ achtigkeit, siehe Menge Marktgleichgewicht, 77, 79 Maximum, siehe Extremum Maximumsnorm, siehe Norm Menge, 5–7 u ahlbar, 44 ¨berabz¨ abz¨ ahlbar unendlich, 43 Differenz, 7 endlich, 43 Komplement, 8 M¨ achtigkeit, 7, 43 Schnitt, 7 Vereinigung, 7 Minimum, siehe Extremum Mittelwertsatz, 103 Monopolpreis, 115 monoton fallend, 51, 79 monoton steigend, 51, 79

Nash-Gleichgewicht, 312 nat¨ urliche Zahlen, 11–12 neutrales Element, 13 Niveaumenge, 248 Norm, 281 allgemein, 230 euklidische, 172, 230 Maximumsnorm, 231 Normalenvektor, 171 normierter Vektorraum, 230 Nullabbildung, 158 Nutzenmaximierung, 283 oberhalbstetig, 306 Obermenge, 6 offen, 18, 232, 233 offene Kugel, 232 Ordnung, 14, 15, 17, 20 orthogonal, 172 Orthonormalvektor, 172 Partialsumme, 62 partielle Ableitung, 250, 253 partielle Integration, 131 Polynom, 37 Potenzfunktion, 80, 87 allgemein, 81, 91 Rechenregeln, 83 Potenzmenge, 6 Pr¨ aferenzrelation, 237 quadratische Form, 201, 257 quasilinear, 251 Rand einer Menge, 234 Rang einer Matrix, 182 rationale Zahlen, 14–15 reelle Zahlen, 15–17 Reihe, 62 Rentenbeispiel, 215 Richtungsableitung, 252, 261 Riemann’sche Summe, 121 Riemann-Folge, 121 Rolle, Satz von, 104 Sarrus, Regel von, 198

325

326

Sachverzeichnis

Schattenpreis, 291 Schnittmenge, 7 Schwarz, Satz von, 253 Semi-Hurwitz, 206, 207 Skalarprodukt, 170 Stammfunktion, 126 stetig, 74 Stetigkeit ε − δ-Kriterium, 75, 240 Folgenkriterium, 74, 239 Korrespondenz, 306 topologische Charakterisierung, 240 Substitutionsregel, 132 Supremum, 52 surjektiv, 42 symmetrische Matrix, 202 Taylorapproximation, 270 Taylorentwicklung, 269 Taylorpolynom, 137 Taylorreihe, 138 Teilfolge, 60 Teilmenge, 6 totales Differential, 254 transitiv, 17

Tupel, 8–9 Umkehrfunktion, 42, 267 Ableitung, 91 unterhalbstetig, 306 Untervektorraum, 151 Urbildmenge, 39 Vektorraum, 146 Vereinigungsmenge, 7 Verkettung stetiger Funktionen, 239 vollst¨ andig, 17, 239 vollst¨ andige Induktion, 23–25 Vollst¨ andigkeitsaxiom, 16 Wachstumsmodell, 106 Webereibeispiel Optimierung, 275, 277, 279, 289, 290, 297 Weierstraß, Satz von, 242 Wertebereich, 35 Widerspruchsbeweis, 16 Zenons Paradox, 65 Zerlegung, 121 zul¨ assig, 292 Zwischenwertsatz, 77