W
Josef Trölß Angewandte Mathematik mit Mathcad Lehr- und Arbeitsbuch Band 4: Reihen, Transformationen, Differential- und Differenzengleichungen
SpringerWienNewYork
Josef Trölß Puchenau/Linz, Österreich
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Mit zahlreichen Abbildungen
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ISBN-10 ISBN-13
3-211-29693-X SpringerWienNewYork 987-3-211-29693-6 SpringerWienNewYork
Vorwort Dieses Lehr- und Arbeitsbuch aus dem vierbändigen Werk "Angewandte Mathematik mit Mathcad" richtet sich vor allem an Schülerinnen und Schüler höherer Schulen, Studentinnen und Studenten, Naturwissenschaftlerinnen und Naturwissenschaftler und Anwender, speziell im technischen Bereich, die sich über eine computerorientierte Umsetzung mathematischer Probleme informieren wollen und dabei die Vorzüge von Mathcad möglichst effektiv nützen möchten. Dieses vierbändige Werk wird ergänzt durch das Lehr- und Arbeitsbuch "Einführung in die Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung und in die Qualitätssicherung mithilfe von Mathcad". Als grundlegende Voraussetzung für das Verständnis und die Umsetzung mathematischer und technischer Aufgaben mit Mathcad gelten die im Band 1 ( Einführung in Mathcad) angeführten Grundlagen. Computer-Algebra-Systeme (CAS) und computerorientierte numerische Verfahren (CNV) vereinfachen den praktischen Umgang mit der Mathematik ganz entscheidend und erfahren heute eine weitreichende Anwendung. Bei ingenieurmäßigen Anwendungen kommen CAS und CNV nicht nur für anspruchsvolle mathematische Aufgabenstellungen und Herleitungen in Betracht, sondern auch als Engineering Desktop Software für alle Berechnungen. Mathcad stellt dazu eine Vielfalt von leistungsfähigen Werkzeugen zur Verfügung. So können mathematische Formeln, Berechnungen, Texte, Grafiken usw. in einem einzigen Arbeitsblatt dargestellt werden. Berechnungen und ihre Resultate lassen sich besonders einfach illustrieren, visualisieren und kommentieren. Werden auf dem Arbeitsblatt einzelne Parameter variiert, so passt die Software umgehend alle betroffenen Formeln und Diagramme des Arbeitsblattes an diese Veränderungen an. Spielerisch lässt sich so das "Was-wäre-Wenn" untersuchen. Damit eignet sich diese Software in hervorragender Weise zur Simulation vieler Probleme. Auch die Visualisierung durch Animation kommt nicht zu kurz und fördert das Verständnis mathematischer Probleme. Ein weitere Vorteil besteht auch darin, dass die meisten mathematischen Ausdrücke mit modernen Editierfunktionen in gewohnter standardisierter mathematischer Schreibweise dargestellt werden können.
Gliederung des vierten Bandes In diesem Band wird eine leicht verständliche anwendungsorientierte und anschauliche Darstellung des mathematischen Stoffes gewählt. Definitionen, Sätze und Formeln werden für das Verständnis möglichst kurz gefasst und durch zahlreiche Beispiele aus Naturwissenschaft und Technik und anhand vieler Abbildungen und Grafiken näher erläutert. Dieses Buch wurde weitgehend mit Mathcad 12 erstellt, sodass die vielen angeführten Beispiele leicht nachvollzogen werden können. Sehr viele Aufgaben können aber auch mit älteren Versionen von Mathcad gelöst werden. Bei zahlreichen Beispielen werden die Lösungen teilweise auch von Hand ermittelt. Im vorliegenden Band werden folgende ausgewählte Stoffgebiete behandelt: x
Unendliche Zahlenreihen: Konvergenzkriterien, Vergleichskriterien, Quotientenkriterium von d'Alembert, Wurzelkriterium von Cauchy, Kriterien für alternierende Reihen.
x
Potenzreihen: Konvergenz von Potenzreihen, Rechnen mit Potenzreihen, Taylorreihen, Laurentreihen.
x
Fourierreihen: Fourierreihen, diskrete Fourier-Transformation (DFT) und inverse diskrete-Transformation (IDFT).
x
Fourier-Transformation: von der Fourierreihe zur Fourier-Transformation, Elementar- und Testsignale, Eigenschaften der Fourier-Transformation, Fast-Fourier-Transformation.
x
Laplace-Transformation: Elementar- und Testsignale, Eigenschaften der Laplace-Transformation, Rücktransformation aus dem Bildbereich in den Originalbereich; Anwendungen der Laplace-Transformation: Lösungen von Differentialgleichungen, Laplace-Transformation in der Netzwerkanalyse, Übertragungsverhalten von Systemen.
x
z-Transformation: z-Transformation elementarer Signale, Eigenschaften der z-Transformation, Rücktransformation aus dem Bildbereich in den Originalbereich; Anwendungen der z-Transformation: Lösungen von Differenzengleichungen, Übertragungsverhalten von Systemen.
x
Differentialgleichungen: Allgemeines; die gewöhnliche Differentialgleichung: die gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung, separable Differentialgleichungen 1. Ordnung, gleichgradige oder homogene Differentialgleichungen 1. Ordnung, exakte Differentialgleichung 1. Ordnung, lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung, nichtlineare Differentialgleichungen 1. Ordnung, steife Differentialgleichungen 1. Ordnung, die gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung, einfache gewöhnliche Differentialgleichungen 2. Ordnung, lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten, l ineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit nicht konstanten Koeffizienten, nichtlineare Differentialgleichungen 2. Ordnung, die gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung, lineare Differentialgleichungssysteme 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten, homogenes lineares Differentialgleichungssystem 1. Ordnung, in homogenes lineares Differentialgleichungssystem 1. Ordnung, Umformung von Differentialgleichungen n-ter Ordnung nach Differentialgleichungssysteme 1. Ordnung, l ineare Differentialgleichungssysteme 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.
x
Differenzengleichungen: Differenzengleichungen, diskrete und zeitdiskrete Systeme.
Spezielle Hinweise Beim Erstellen eines Mathcad-Dokuments ist es hilfreich, viele mathematische Sonderzeichen verwenden zu können. Dafür stehen z.B. folgende Schriftarten zur Verfügung: Symbol, Bookshelf Symbol 2, Bookshelf Symbol 4, Bookshelf Symbol 5, MT Extra, UniversalMath1 PT und IBM techexplorer Symbol A bis D. Einige Sonderzeichen stehen auch im "Ressourcen-Menü" von Mathcad zu Verfügung ( QuickSheets Rechensymbole). Zum Einfügen verschiedener Zeichen ist z.B. das Programm Charmap.exe sehr nützlich. Dieses Programm findet man unter Zubehör-Zeichentabelle in Microsoft-Betriebssystemen. Viele Zeichen können aber auch aus dem ASCII-Code gewählt werden (Eingabe mit Alt-Taste und Zifferncode mit dem numerischen Rechenblock der Tastatur). Texte und Variable werden in diesem Buch in der Schriftart Arial dargestellt. Zur Darstellung von komplexen Variablen wird hier die Fettschreibweise mit Unterstreichung gewählt. Damit Variable zur Darstellung von Vektoren und Matrizen von normalen Variablen unterschieden werden können, werden diese hier in Fettschreibweise dargestellt. Die Darstellung von Vektoren mit Vektorpfeilen wird vor allem in Definitionen und Sätzen verwendet. Damit Variable, denen bereits ein Wert zugewiesen wurde, wertunabhängig auch für nachfolgende symbolische Berechnungen mit den Symboloperatoren (live symbolic) verwendet werden können, werden diese einfach redefiniert (z.B. x:=x). Davon wird öfters Gebrauch gemacht.
Mein außerordentlicher Dank gebührt meinen geschätzten Kollegen Hans Eder und Bernhard Roiss für ihre Hilfestellungen bei der Herstellung des Manuskriptes, für wertvolle Hinweise und zahlreiche Korrekturen. Hinweise, Anregungen und Verbesserungsvorschläge sind jederzeit willkommen. Linz, im Februar 2006
Josef Trölß
Inhaltsverzeichnis
1. Unendliche Zahlenreihen
1 ... 12
1.1 Konvergenzkriterien
3
1.1.1 Vergleichskriterien
3
1.1.2 Quotientenkriterium von d'Alembert
5
1.1.3 Wurzelkriterium von Cauchy
6
1.1.4 Kriterien für alternierende Reihen
8
2. Potenzreihen
13 ... 53
2.1 Konvergenz von Potenzreihen
13
2.2 Rechnen mit Potenzreihen
16
2.3 Taylorreihen
23
2.4 Laurentreihen
52
3. Fourierreihen
3.1 Diskrete Fourier-Transformation (DFT) und inverse diskrete-Transformation (IDFT)
4. Fourier-Transformation
54 ... 108
94
109 ... 134
4.1 Von der Fourierreihe zur Fourier-Transformation
111
4.2 Elementar- und Testsignale
115
4.3 Eigenschaften der Fourier-Transformation
120
4.4 Fast-Fourier-Transformation
132
5. Laplace-Transformation
135 ... 191
5.1 Elementar- und Testsignale
136
5.2. Eigenschaften der Laplace-Transformation
143
5.3 Rücktransformation aus dem Bildbereich in den Originalbereich
155
5.4 Anwendungen der Laplace-Transformation
160
5.4.1 Lösungen von Differentialgleichungen
160
5.4.2 Laplace-Transformation in der Netzwerkanalyse
166
5.4.3 Übertragungsverhalten von Systemen
175
Inhaltsverzeichnis
6. z-Transformation
192 ... 240
6.1 z-Transformation elementarer Funktionen
195
6.2. Eigenschaften der z-Transformation
203
6.3 Rücktransformation aus dem Bildbereich in den Originalbereich
212
6.4 Anwendungen der z-Transformation
218
6.4.1 Lösungen von Differenzengleichungen
219
6.4.2 Übertragungsverhalten von Systemen
227
7. Differentialgleichungen
241 ... 416
7.1 Allgemeines
241
7.2. Die gewöhnliche Differentialgleichung
245
7.2.1 Die gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung
249
7.2.1.1 Separable Differentialgleichungen 1. Ordnung
254
7.2.1.2 Gleichgradige oder homogene Differentialgleichungen 1. Ordnung
257
7.2.1.3 Exakte Differentialgleichungen 1. Ordnung
260
7.2.1.4 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung
262
7.2.1.5 Nichtlineare Differentialgleichungen 1. Ordnung
283
7.2.1.6 Steife Differentialgleichungen 1. Ordnung
289
7.2.2 Die gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung
292
7.2.2.1 Einfache gewöhnliche Differentialgleichungen 2. Ordnung
294
7.2.2.2 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
300
7.2.2.3 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit nicht konstanten Koeffizienten
349
7.2.2.4 Nichtlineare Differentialgleichungen 2. Ordnung
360
7.2.3 Die gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung
368
7.2.4 Differentialgleichungssysteme
381
7.2.4.1 Lineare Differentialgleichungssysteme 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
381
7.2.4.2 Homogenes lineares Differentialgleichungssystem 1. Ordnung
382
7.2.4.3 Inhomogenes lineares Differentialgleichungssystem 1. Ordnung
388
7.2.4.4 Umformung von Differentialgleichungen n-ter Ordnung in Differentialgleichungssysteme 1. Ordnung
398
7.2.4.5 Lineare Differentialgleichungssysteme 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
403
Inhaltsverzeichnis
8. Differenzengleichungen
417 ... 444
8.1 Allgemeines
417
8.2 Lineare Differenzengleichungen
418
8.3 Nichtlineare Differenzengleichungen
437
Anhang
445 ... 481
Übungsbeispiele
445 ... 474
Korrespondenztabellen
475 ... 476
Literaturverzeichnis Sachwortverzeichnis
477 478 ... 481
Unendliche Zahlenreihen
1. Unendliche Zahlenreihen Werden die Glieder einer unendlichen Zahlenfolge < a1 , a2 , a3 , ... an, ... > aufsummiert, so entsteht eine unendliche Reihe mit unendlich vielen Gliedern (siehe dazu Abschnitt 1.2, Band 3): f
¦
a1 a2 a3 .... an .... =
k
ak
(1-1)
1
Es soll nun festgestellt werden, welche Bedingung erfüllt sein muss, damit eine unendliche Reihe einen endlichen Summenwert hat. Die unendliche Reihe f
¦ k
ak
(1-2)
1
heißt konvergent, wenn die Folge der Partialsummen < s1 , s2 , s3 , ... sn, ... > mit wachsendem n einem bestimmten Wert s zustrebt: lim nof
sn = s
(1-3) f
¦
s = a1 a2 a3 .... an .... =
k
ak heißt dann Summenwert der unendlichen Reihe.
1
Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so nennt man die unendliche Reihe divergent. Siehe dazu Abschnitt 1.4, Band 3.
Beispiel 1.1: Untersuchen Sie die nachfolgende Reihe auf Konvergenz: 1 f
¦ k
1
§ 1· ¨ © 2¹
k 1
¦ k
1
1 4
1 8
....
Es liegt eine geometrische Reihe mit a 1 = a = 1 und q = 1/2 vor.
1
q
§ 1· ¨ © 2¹
2
(siehe dazu Abschnitt 1.4 Band 3)
a 1 f
1
erstes Folgeglied und Quotient von zwei Folgegliedern
2
k 1
o2
s
bzw.
a
s
1 q
2
Die Reihe konvergiert und der Summenwert ist 2.
Beispiel 1.2: Untersuchen Sie die nachfolgende harmonische Reihe auf Konvergenz: 1 s2 = 1
s1 = 1 s4 = 1
1 2
1 3
1 4
1
s3 = 1
2
!1
1 2
1 4
1 2
1
1 2
1 3
1 4
f
.... =
¦ k
Partialsummen
3
1
Abschätzung der vierten Partialsumme
4
Seite 1
1
1 k
Unendliche Zahlenreihen
s4 ! 1 2
1
1
s8 = 1
2
Abschätzung der vierten Partialsumme
2 1 3
!1 k
1
lim kof
1 5
1 6
1 7
1 8
!1
1 2
1 4
1 4
1
8
1 8
1 8
Abschätzung der achten Partialsumme
Abschätzung der sechzehnten Partialsumme
Abschätzung der 2 k -ten Partialsumme
2 Die Partialsummenfolge ist divergent und damit ist auch die harmonische Reihe divergent
Beispiel 1.3:
f
n
Es gilt: =
1 n
1
¦
Untersuchen Sie die nachfolgende Reihe auf Konvergenz:
n ( n 1)
8
2
§1 k 1 · o f ¨ 2¹ ©
1
1
Abschätzung der achten Partialsumme 1
2
4
2
s 16 ! 1 4
k
1
1
s8 ! 1 3
s
n ( n 1)
1
1 n 1
Die n-te Partialsummenfolge lautet damit:
§ ©
sn = ¨ 1
1· 2¹
§ 1 1 · § 1 1 · .... § 1 1 · ¨ ¨ ¨ © 2 3¹ © 3 4¹ © n n 1¹
Diese Summe vereinfacht sich zu: sn = 1 lim nof
1 n1
§1 1 · o 1 ¨ n 1¹ ©
Die Partialsummenfolge konvergiert und die gegebene Reihe ist konvergent. Sie hat den Summenwert 1.
Beispiel 1.4:
f
Untersuchen Sie die arithmetische Reihe auf Konvergenz:
¦ k
Arithmetische Reihen sind divergent !
Seite 2
1
k = 1 2 3 4 ....
Unendliche Zahlenreihen
1.1 Konvergenzkriterien Es ist verständlich, dass nur solche Reihen von Interesse sind, die konvergent sind. f
¦
Wenn eine Reihe
n
lim
an konvergiert, so gilt:
1
an = 0 (Satz 5 Abschnitt 1.4 Band 3)
nof
(1-4)
Diese Bedingung ist aber nicht hinreichend, denn die Umkehrung gilt nicht. Nachfolgend sollen sogenannte Konvergenzkriterien formuliert werden, die es entweder stets oder unter gewissen Voraussetzungen gestatten festzustellen, ob eine gegebene Reihe konvergiert oder nicht. f
¦
Eine Reihe
n
an , deren Glieder ai ( ai t 0 ) alle positiv sind, nennen wir eine positive Reihe.
1 f
¦
Eine Reihe
n
an , deren Glieder ai ( ai d 0 ) alle negativ sind, kann als negative einer positiven
1
Reihe behandelt werden. Unter einer alternierenden Reihe versteht man solche Reihen, die abwechselnd positive und negative f
f
¦
Glieder besitzen:
n
un =
1
ª( 1) n1 a º . n¼ ¬
¦ n
1
1.1.1 Vergleichskriterien Majorantenkriterium: f
Eine positive Reihe
¦ n
bn konvergiert, wenn jedes Glied (unter Umständen erst nach endlich
1
vielen) kleiner oder gleich dem entsprechenden Glied einer bekannten konvergenten positiven Reihe f
¦ n
an ist:
1
0 d bn d an
(1-5)
Als Vergleichsreihen werden oft folgende Reihen benutzt: 2
f
3
a a q a q a q .... =
n 1 ¦ a q n
1
1 p
2
1 p
3
1 p
4
1 p
5
1 f
.... =
geometrische Reihe, konvergiert für |q| < 1
¦ n
1 p
konvergiert für p > 1
1 n
Seite 3
Unendliche Zahlenreihen
Minorantenkriterium: f
¦
Eine positive Reihe
n
bn ist divergent, wenn jedes Glied (unter Umständen erst nach endlich
1
vielen) größer oder gleich dem entsprechenden Glied einer bekannten divergenten positiven Reihe f
¦ n
an ist:
1
bn t an
(1-6)
Als Vergleichsreihen werden oft arithmetische- und harmonische Reihen benutzt. Beispiel 1.5: f
¦ n
f
1 p
1 n
1
¦
=
n
eine konvergente Vergleichsreihe (p = 2)
2 1 n
1
bn d an
konvergent ?
2
1 n 1
n f
1
¦
Ist die Reihe
1
d
2
hat als Lösung(en)
2
n 1
Gilt für alle n, daher ist die Reihe nach (1-5) konvergent.
n
n
Beispiel 1.6: Die folgende Reihe soll auf Konvergenz untersucht werden:
¦ n
¦
2
f
bn =
¦ f
an =
n
1
¦
1 n
1
=
2
1 2
n
1
1 8
1 12
1
16
1 20
1 32
1 30
....
....
1 6
1 12
1 20
1 30
....
gegebene Reihe
konvergente geometrische Vergleichsreihe
1
d
n n
6
4
2
1
2
1
bn d an
1
=
2
1 n n
n
1
Gilt für alle n, daher ist die Reihe nach (1-5) konvergent.
n
2
Beispiel 1.7: Ist die nachfolgend gegebene Reihe konvergent ?
¦
f
bn =
n
¦
¦ n
1 n
n
bn d an
¦ n
1 2
1
1
6
1 24
....
gegebene Reihe
1 f
an =
=1
1 n 1
=1
1 2
1 n
d
2
1 4
1 8
....
konvergente geometrische Vergleichsreihe
1
Gilt für alle n, daher ist die Reihe nach (1-5) konvergent.
n 1
2
Seite 4
Unendliche Zahlenreihen
Beispiel 1.8: Ist die nachfolgend gegebene Reihe konvergent ? f
¦ bn = ¦ n
5
=1
3
f
¦ an = ¦ n
1
1
=1
n
2
1
t
1
3
10
9
1 n 1
n
n
2
n 1
28
....
gegebene Reihe
....
divergente Vergleichsreihe (harmonische Reihe)
1 2
n 1
bn t an
3
Gilt für alle n, daher ist die Reihe nach (1-6) divergent.
n
n 1
1.1.2 Quotientenkriterium von d'Alembert f
¦
Eine positive Reihe
n
an1
lim
an und divergiert, wenn
an konvergiert, wenn
1
1,
(1-7)
! 1.
(1-8)
nof
an1
lim
an
nof
Gilt dagegen an1
lim
= 1, an so kann keine Aussage über Konvergenz oder Divergenz gemacht werden.
(1-9)
nof
Beispiel 1.9: Ist die nachfolgend gegebene Reihe konvergent? f
¦ an = ¦ n
n
=
1 3
n
n
an =
n
1 3
an1 =
n
2
2
3
3
3
....
gegebene Reihe
3
n 1
3
Folgeglieder
n 1
3 n1
lim
3
n1
n
nof
3
n
=
lim nof
n
( n 1) 3 n 1
n 3
=
lim
n1
n o f 3 n
1 =
lim nof
3
1 n
=
1 3
<1
n1
lim nof
3
n1
n 3
o
1
Die gegebene Reihe ist konvergent.
3
n
Seite 5
Unendliche Zahlenreihen
Beispiel 1.10: Ist die nachfolgend gegebene Reihe konvergent? f
2
n
¦ an = ¦ n
n
n
=
1
2
an1 =
2
2
3
3
....
gegebene Reihe
2
Folgeglieder
( n 1)
1 2
( n 1) n
( n 1)
2
( n 1)
nof
2
1
n an = n
lim
2
1
=
2
( n 1) n
lim
2
n o f ( n 1) n
=
lim nof
n 1 2
n =
lim nof
n
1 2
n
=0
1
<1
n 2
( n 1)
( n 1)
lim nof
n
o0
2
Die gegebene Reihe ist konvergent.
n
Beispiel 1.11: Ist die nachfolgend gegebene Reihe konvergent ?
¦
f
an =
n
1
¦
2
1 n
n
1
an =
1
2
2
2
an1 =
2
1
=1
n
....
3
1 ( n 1)
gegebene Reihe
Folgeglieder
2
1
lim nof
( n 1) 1 n
2
2
=
2
n
lim
n o f ( n 1) 2
=
lim nof
§ n · ¨ © n 1¹
2
=
lim nof
§ 1 · ¨ 1 ¨1 n¹ ©
2
=1
Das Quotientenkriterium versagt hier. Es kann daher damit keine Aussage über die Konvergenz gemacht werden!
1.1.3 Wurzelkriterium von Cauchy f
¦
Eine positive Reihe
n
lim
n
nof
an konvergiert, wenn
1
an 1 ,
(1-10)
und divergiert, wenn lim nof
n
an ! 1 .
(1-11)
Seite 6
Unendliche Zahlenreihen
Gilt dagegen n
lim nof
an = 1 ,
(1-12)
so kann keine Aussage über Konvergenz oder Divergenz gemacht werden. Beispiel 1.12: Ist die nachfolgend gegebene Reihe konvergent ?
¦
f
an =
n
¦
n
1
=
n
nof
n
n n
lim
1
2
2
nof n
3
....
3
1
lim
1
=
1
lim
n
n
<1
=0
nof n
o0
n
nof
1
=1
1 n
n
lim
1
Die gegebene Reihe ist konvergent.
n
Beispiel 1.13: Ist die nachfolgend gegebene Reihe konvergent ?
¦
f
an =
n
1
¦
2
1
=1
2
2
1 n
n
1 2
....
gegebene Reihe
3
Unter Anwendung der Grenzwertsätze und l'Hospital gilt: n
lim
2
1 2
nof
=
n n
lim
1 2
nof
1
lim
nof n
= 2
n
lim
n
2
n
=
lim
nof
e
n
ln( n)
lim
=e
nof
2ln( n ) n
lim
=e
nof
2 n
=1
nof
o1
n
Hier versagt (vergleiche Beispiel 1.11) das Wurzelkriterium.
1
1 2
2 1
1 2
1 2
2
2
3
2 1
1
1 2
1 2
3
2
4
3
1
1 2
1 2
4
2
.... 1
5
4
1
1 2
1 2
5
2
.... 1
2 2
1 2
2
2
4
2 .... 1
1
2
5
1
2
4
2
4
4 1
1
8 2
8
1
2
2
4
8 1
1
1 16
8
16 16
.... Majorantenkriterium
2
....
....
Die gegebene Reihe ist daher konvergent.
Seite 7
geometrische Vergleichsreihe mit q = 1/2
Unendliche Zahlenreihen
1.1.4 Kriterien für alternierende Reihen Leibnizkriterium: f
Eine alternierende Reihe
n
an ! an 1 und
ª( 1) n1 a º konvergiert, falls für alle n gilt: n¼ ¬
¦ 1
lim nof
an = 0
(1-13)
Absolute Konvergenz: f
Eine alternierende Reihe
ª( 1) n1 a º = a a a a .... heißt absolut konvergent, wenn n¼ 1 2 3 4 ¬
¦ n
1 f
¦
die zugeordnete positive Reihe
n
( 1)
n 1
an = a1 a2 a3 a4 .... konvergiert.
1
Jede konvergente Reihe mit positiven Gliedern ist absolut konvergent. Jede absolut konvergente Reihe ist konvergent. Bedingte Konvergenz: f
ª( 1) n1 a º = a a a a .... konvergiert, aber die n¼ 1 2 3 4 ¬
¦
Wenn eine alternierende Reihe
n
1
f
¦
zugeordnete positive Reihe
n
( 1)
n1
an = a1 a2 a3 a4 .... divergiert, so heißt die
1
alternierende Reihe bedingt konvergent. Quotientenkriterium für absolute Konvergenz: f
Eine alternierende Reihe
¦ n
f
un =
1
¦ n
ª( 1) n1 a º = a a a a .... heißt absolut n¼ 1 2 3 4 ¬
1
konvergent, wenn lim
u
nof
n1
1,
(1-14)
un
und konvergiert nicht absolut, wenn lim nof
u
n1
! 1.
(1-15)
=1
(1-16)
un
Für lim nof
u
n1 un
kann keine Aussage gemacht werden.
Seite 8
Unendliche Zahlenreihen
Wurzelkriterium für absolute Konvergenz: f
Eine alternierende Reihe
¦ n
f
un =
1
¦ n
ª( 1) n1 a º = a a a a .... heißt absolut n¼ 1 2 3 4 ¬
1
konvergent, wenn n
lim nof
1,
un
(1-17)
und konvergiert nicht absolut, wenn n
lim nof
un
! 1.
(1-18)
=0
(1-19)
Für n
lim
un
nof
kann keine Aussage gemacht werden.
Beispiel 1.14: Ist die nachfolgend gegebene Reihe konvergent ?
ª( 1) n1 a º = n¼ ¬
¦ n
f
n
an =
n
1
n 1
an1 =
n
ª( 1) n1 n º = 1 2 3 4 .... « n» 2 3 4 e e ¼ e e e ¬
¦
Folgeglieder
n 1
e
gegebene Reihe
e
Leibniz Kriterium: n n
!
e
lim
n1
n1 n1
n n
n
n o f en
!
n
e
e =
nof e
lim
e
1
lim
n
n1 n
n
e !1
1
gilt für alle n
n unter Anwendung von l'Hospital
=0
nof e
o0
Die Reihe ist konvergent.
Beispiel 1.15: Ist die nachfolgend gegebene Reihe konvergent ?
¦
ª( 1) n1 a º = n¼ ¬
n
1 an = 2 n 1
f
¦ n
1
1 1 1 1 ª( 1) n1 º « » = 1 .... 2 n 1¼ 3 5 7 ¬
an1 =
1
gegebene Reihe
Folgeglieder
2 ( n 1) 1
Seite 9
Unendliche Zahlenreihen
Leibniz Kriterium: 1
!
2 n 1
1
1
lim
gilt für alle n > 0
=0
n o f 2 n 1
1
lim
hat als Lösung(en)
2 ( n 1) 1
§¨ n 3 · 2 ¸ ¨ ¨ 1 ¸ ¨ 2 n © ¹
o0
n o f 2 n 1
Die Reihe ist konvergent.
Beispiel 1.16: Ist die Reihe 1
1 2
1 4
1
Die positive Reihe 1
1
2
.... absolut konvergent ?
8
1
4
1
.... ist eine geometrische Reihe mit q = 1/2.
8
Daher ist die gegebene Reihe absolut konvergent. Beispiel 1.17: Ist die Reihe 1
1
2 3
an =
3
2
3
2 3
4 3
3 2
4
3
3
f
.... =
3
n
die zugehörige positive Reihe
n
1
an1 =
3
n 1
¦ n
n 1
.... absolut konvergent ?
3
3
n 2
Folgeglieder
n 1
3
Quotientenkriterium: n2
lim nof
3
n1
n1 3
n
=
n
lim
( n 2) 3
n o f 3n 1 ( n 1)
=
lim nof
§1
n 2·
1
= ¨ 3 © 3 n 1¹
1 lim
2 n
nof 1 1
=
1 3
<1
n
n2
lim nof
3
n1
n1 3
n
o
1 3
Die positive Reihe ist konvergent, daher ist die gegebene Reihe absolut konvergent.
Seite 10
Unendliche Zahlenreihen
Beispiel 1.18: Ist die Reihe 1
1
1
2
3
1
Die positive Reihe 1
1
1
2
.... konvergent ?
4
3
1 4
.... ist eine harmonische Reihe und diese ist divergent.
Die gegebene Reihe ist daher bedingt konvergent. Die gegebene Reihe konvergiert nach dem Leibnizkriterium. Sie wird daher auch Leibniz-Reihe genannt. Beispiel 1.19: Ist die Reihe
2 3
3
1
2
4
Die positive Reihe
größer ist als
3
2
§ 2 © 1
1
1
1
4
3 4 1
¨1
2
5
2
3
1
1
5
4
1
3
5
4
6
3
4
.... konvergent ? 5 6
1
4
.... ist divergent, weil sie gliedweise
· ¹
.... (harmonische Reihe).
Die gegebene Reihe ist bedingt konvergent. Beispiel 1.20: Ist die Reihe 1
1
1 2
1 4
1 8
1 2
1
4
1 8
f
¦
.... =
n n 1 un = ( 1) n 2
0
.... absolut konvergent ?
ª( 1) n 1 º « n» 2 ¼ ¬
un1 = ( 1)
n 1
gegebene Reihe
1
Folgeglieder
n 1
2
Quotientenkriterium: ( 1) lim nof
un1 un
=
n 1
n 1
2
lim nof
1
n
( 1)
1
=
lim
1
nof
n
2 Damit ist die Reihe absolut konvergent.
Seite 11
1 2
=
1 2
<1
Unendliche Zahlenreihen
Beispiel 1.21: 2
Ist die Reihe 1
2
1
3
3
2
3
2
.... absolut konvergent ?
3
3
3
3
3
n
n1
ª( 1) n n 1º « n » 3 ¼ ¬
¦
.... =
3
un = ( 1)
4
f
4
3
n
0
un1 = ( 1)
n
n 1
3
gegebene Reihe
n2
Folgeglieder
n1
3
Quotientenkriterium: ( 1)
n 1
n2
n1
n
3
lim nof
=
n 1
n
( 1)
3 ( n 2)
1
lim nof
n 1
3
=
lim nof
( n 1)
1 3
n
n2 n1
=
lim nof
1 3
1
2
1
1
3 ( 1)
n 1
n2
n1
3
lim nof
o
n 1
n
( 1)
1
Die gegebene Reihe ist also absolut konvergent.
<1
3
n
3 f
ª( 1) n n 1º o 9 « n » 16 3 ¼ ¬
¦ n
0
Summe der Reihe
Beispiel 1.22: 1
Ist die Reihe 1
2
2 1
1 2
2
1 3
3
1 3
3
1 4
.... absolut konvergent ?
4 f
1 4
.... =
4
¦ n
1
ª( 1) n1 1 º « n» n ¼ ¬
gegebene Reihe
Wurzelkriterium: n1
n
lim nof
( 1)
n 1
1 n
n
=
lim nof
( 1)
n
1 n
=0
<1
Die gegebene Reihe ist also absolut konvergent.
Seite 12
n n
Potenzreihen
2. Potenzreihen 2.1 Konvergenz von Potenzreihen Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen. Eine unendliche Reihe der Form f
¦ n
f
0
§ a xn· = a a x a x2 .... a xn .... 0 1 2 n © n ¹
¦
un =
n
(2-1)
0
( ai ) wird eine Potenzreihe in x genannt. Eine unendliche Reihe der Form f
¦ n
f
0
ª a x x nº = a a x x a x x 2 .... a x x n .... (2-2) 0 ¼ 0 1 0 2 0 n 0 ¬ n
¦
un =
n
0
( ai , x0 ) wird eine Potenzreihe in (x - x 0 ) genannt. Die Stelle x 0 heißt Entwicklungsstelle. Die Menge der Zahlen x, für eine Potenzreihe konvergiert, heißt Konvergenzintervall (oder Konvergenzbereich) der Reihe. Der Mittelpunkt des Konvergenzintervalls ist für die Reihe (2-1) x = x0 = 0 und für die Reihe (2-2) x = x0 . Wir schreiben dafür: x ]x0 - r , x0 + r[ , x0 - r < x < x0 + r oder |x - x 0 | < r. r heißt Konvergenzradius. Den Konvergenzradius r des Konvergenzintervalls ermitteln wir mithilfe des Quotientenkriteriums für absolute Konvergenz (1-14): Aus un1
lim
un
nof
n 1
=
lim
an1 x
nof
=
n
lim nof
an x
· § an1 x 1 ¨ a n © ¹
(2-3)
folgt 1
x lim nof
(2-4)
an1 an
und somit: x
lim nof
an
(2-5)
an1
Damit lässt sich folgender Satz formulieren: Wenn der Grenzwert r =
lim nof
an an 1
existiert,
dann konvergiert die Reihe (2-1) bzw. (2-2) für x r bzw. x x0 r
(2-6)
Seite 13
Potenzreihen
und sie divergiert für x ! r bzw. x x0 ! r .
(2-7)
Das Konvergenzverhalten an den Randpunkten des Konvergenzintervalls x = - r und x = r bzw. x - x0 = - r und x - x0 = r muss gesondert untersucht werden !
Beispiel 2.1: Untersuchen Sie die nachfolgende Potenzreihe auf Konvergenz und bestimmen Sie das Konvergenzintervall: f
¦ n
n
x
n
2
=x
x
2
3
x
3
....
gegebene Reihe
1
1 an = n
1
an1 =
Folgeglieder
n 1
1 n
lim
=
1
nof
n 1
lim
n
nof
n1
lim
o1
=
n
nof
n1
1 lim
1
nof
1 n
=1
Konvergenzradius
Die Reihe konvergiert also im offenen Intervall ]-1,1[.
Beispiel 2.2: Untersuchen Sie die nachfolgende Potenzreihe auf Konvergenz und bestimmen Sie das Konvergenzintervall: f
¦ n
n
x
n
2
=1 x
x
2
3
x
3
....
gegebene Reihe
0
1 an = n
an1 =
1
Folgeglieder
( n 1)
1
lim nof
lim nof
n 1
=
nof
( n 1)
( n 1) n
lim
of
( n 1) n
=
lim
( n 1) = f
Konvergenzradius
nof
Die Reihe konvergiert also im offenen Intervall ]- f,f[ , d.h in ganz .
Seite 14
Potenzreihen
Beispiel 2.3: Untersuchen Sie die nachfolgende Potenzreihe auf Konvergenz und bestimmen Sie das Konvergenzintervall: f
n
2
x
¦
n
=x
1 n
n
x
2
....
3
2
1
an =
3
x
3
1
an1 =
n
gegebene Reihe
( n 1)
n
Folgeglieder
n 1
1 n
lim
n
=
1
nof
( n 1)
( n 1)
lim
n
=
n
nof
n1
n1
lim
( n 1) ( n 1) n
nof
n
n
=
lim nof
§1 ¨ ©
1· n¹
n
lim
( n 1)
nof
=e.f ( n 1)
lim nof
n 1
Die Reihe konvergiert also für x ]- f,f[ = .
of
n
n
Beispiel 2.4: Untersuchen Sie die nachfolgende Potenzreihe auf Konvergenz und bestimmen Sie das Konvergenzintervall: f
¦ n
( x 1)
n
( 2 n)
=
x 1 2
( x 1) 4
2
( x 1)
3
6
....
gegebene Reihe
1
1 an = ( 2 n)
an1 =
1 [ 2 ( n 1) ]
=
1 ( 2 n 2)
Folgeglieder
1
lim nof
lim nof
( 2n) 1 ( 2n 2 )
( 2 n 2) ( 2 n)
=
lim nof
of
( 2 n 2) ( 2 n)
=
lim
[ ( 2 n 1) ( 2 n 2) ] = f
nof
Die Reihe konvergiert also für x ]- f,f[ = .
Seite 15
Potenzreihen
2.2 Rechnen mit Potenzreihen Ohne Beweis seien folgende wichtige Sätze für Potenzreihen angeführt: a) f
Wenn zwei Potenzreihen f ( x) =
ª a x x nº und g ( x) = 0 ¼ ¬ n
¦ n
0
f
¦ n
ª b x x nº auf 0 ¼ ¬ n
0
x x0 r konvergieren und f(x) = g(x) für alle x ]x0 - r, x0 + r[ gilt, so sind die Reihen identisch und es gilt für alle n = 0, 1, 2, 3...: an = bn . b) Die Potenzreihe einer geraden Funktion enthält nur Glieder mit den Potenzen x 0 , x2 , x4 , x6 , ... c) Die Potenzreihe einer ungeraden Funktion enthält nur Glieder mit den Potenzen x , x3 , x5 , x7 , ... d) Aus einer konvergenten Potenzreihe darf man einen allen Gliedern gemeinsamen Faktor c f
f
¦ c un = c ¦
herausheben:
n
1
n
un .
1
e) Konvergente Potenzreihen mit gleichem Entwicklungspunkt x 0 dürfen im gemeinsamen Konvergenzbereich gliedweise addiert , subtrahiert und multipliziert werden. Diese neue Potenzreihe konvergiert dann mindestens im gemeinsamen Konvergenzbereich. f
¦ n
f
¦
un ±
1
n
f
¦ un
vn =
1
n
/ - vn = s t
( mit
¦ un = s und ¦ vn = t )
1
Für das Produkt gilt die Cauchysche Produktformel: f
¦ n
=
f
un
0 f
n
¦ n
¦
2 ....º¼ ª¬b0 b1 x x0 b2 x x0 2 ....º¼ =
vn = ªa0 a1 x x0 a2 x x0 ¬
0
ª c x x nº = s t mit c = 0 ¼ n ¬ n
0
n
¦ ak bnk . k
0
Der Konvergenzradius ist mindestens so groß wie der kleinere Konvergenzradius der beiden Reihen. f) Jede Potenzreihe stellt im Konvergenzintervall eine Funktion dar. Sie ist im Konvergenzintervall stetig. f: ]- r, r [ o x _o f ( x) =
f
¦ n
§ a xn· © n ¹
0
Seite 16
Potenzreihen
Die Partialsummen p n(x) = a0 + a1 x + ... + an xn der Potenzreihe nennt man Approximationsfunktionen. Sie sind Polynomfunktionen. Solche Polynomfunktionen werden häufig wegen ihrer Einfachheit als Interpolationsfunktion für eine Funktion f(x) eingesetzt (siehe dazu auch Abschnitt 3.7, Band 3). g) f
¦
Jede konvergente Potenzreihe f ( x) =
n
ª a x x nº 0 ¼ ¬ n
0
darf im Konvergenzintervall |x-x 0 | < r gliedweise differenziert und gliedweise integriert werden. Die so entstehenden Reihen haben ebenfalls den Konvergenzradius r.
f ' ( x) =
d dx
´ µ µ µ µ ¶
b
f
¦ n
f
¦ n
f
ª a x x nº = 0 ¼ ¬ n
0
¦ n
ª a x x dx = 0 ¼ ¬ n nº
0
0
f
¦ n
ª a x x nº = n 0 ¼ dx ¬ d
f
¦ n
1
f º ª´b « µ a x x n dx» = 0 «¶ n » a ¬ ¼ n 0
¦
0
ª a n x x n 1º 0 ¬ n ¼
n 1 º b ª« x x0 » « an n 1 » | ¬ ¼ a
a
Beispiel 2.5: 1x
Wie lautet die Potenzreihenentwicklung der Funktion f ( x) =
1x
? Bestimmen Sie das
Konvergenzintervall. f ( x) =
1x 1x
= 1
2 1 x
gegebene Funktion
Mithilfe der Summenformel für geometrische Reihen s =
f ( x) =
1x 1x
= 1
2 1 x
f
= 1 2
¦ k
a 1 q
(siehe dazu (1-45), Band 3) erhalten wir:
ª¬( 1) k xkº¼
0
Diese geometrische Reihe konvergiert im Bereich |x| < 1.
Beispiel 2.6: 23 7 x
Wie lautet die Potenzreihenentwicklung der Funktion f ( x) =
2
? Bestimmen Sie das
12 7 x x Konvergenzintervall.
Die gebrochen rationale Funktion kann in Partialbrüche zerlegt werden (siehe dazu Abschnitt 4.3.4, Band 3): 23 7 x 2
12 7 x x
in Partialbrüche zerlegt, ergibt
2 x 3
Seite 17
5 x 4
Partialbruchzerlegung mit Mathcad
Potenzreihen
23 7 x
f ( x) =
2
=
12 7 x x
23 7 x ( x 3) ( x 4)
A
=
x 3
B
händische Partialbruchzerlegung
x 4
23 7 x = A ( x 4) B ( x 3)
bruchfreie Gleichung
x=4
23 28 = B
B = 5
x=3
23 21 = A
A = 2
5
5
Es gilt demnach:
f ( x) =
2
x 3
x 4
=
2
3 x
4x
=
2
1
3
1
x
5 4
f ( x) =
f
2
¦
3
k
f
k
0
§x· 5 ¨ 4 © 3¹
k
¦ k
0
§x· = ¨ © 4¹
f
¦ k
0
1
3
Mithilfe der Summenformel für geometrische Reihen s =
1
a 1 q
x 4 (siehe dazu (1-45) Band 3) erhalten wir:
ª§ 2 5 · xkº «¨ k1 » k 1 4 ¬© 3 ¹ ¼
Konvergenzbereich: x
Die 1. Reihe konvergiert für Die 2. Reihe konvergiert für f
¦
Die Reihe f ( x) =
k
0
1.Daraus folgt: x 3.
3 x
1. Daraus folgt: x 4.
4
ª§ 2 5 · xkº konvergiert daher für x 3. «¨ k1 » k 1 4 ¬© 3 ¹ ¼
Beispiel 2.7: Für die Funktion f(x) = ln(1- x/2) soll zuerst die Potenzreihe um x 0 = 0 für die Ableitungsfunktion f '(x) bestimmt werden. Aus der Potenzreihe für die Ableitungsfunktion f '(x) soll dann die Reihenentwicklung für die Funktion f(x) berechnet werden. 1 2
f ' ( x) =
1
Die Ableitungsfunktion ist eine gebrochen rationale Funktion. x 2
Mithilfe der Summenformel für geometrische Reihen s =
f ' ( x) =
1 2
f
¦ n
0
n
§x· = ¨ © 2¹
f
¦
n
a 1 q
(siehe dazu (1-45) Band 3) erhalten wir:
n
x
n1
gesuchte Reihendarstellung für die Ableitungsfunktion
0 2
Seite 18
Potenzreihen
Um die Reihe zu f(x) zu bestimmen, wird integriert: ´
f
x· µ § =µ f ( x) = ln ¨ 1 2¹ µ © µ ¶
f
n
x
¦
n 1
dx =
0 2
n
´ µ µ µ 0 µ ¶
¦
n
f
n
x
n 1
dx =
2
n 1
x
¦
n 1
C
0 ( n 1) 2
n
Um die Konstante zu bestimmen, wird x = 0 eingesetzt: Aus ln(1 - 0) = 0 folgt C = 0.
Beispiel 2.8: Wie lautet die Potenzreihenentwicklung von f(x) = arctan(x 2 ) im Entwicklungspunkt x0 = 0 ? Bestimmen Sie das Konvergenzintervall für diese Reihe. Zuerst bestimmen wir die Ableitung der Funktion g(x) = arctan(x): g ' ( x) =
d
1
arctan ( x) =
dx
2
1 x
Dieses Ergebnis lässt sich mit der Summenformel der geometrischen Reihe umschreiben:
g ' ( x) =
1 2
1 x
f
1
2 n¦0
=
=
1 x
ª¬( 1) n x2nº¼
mit
n
2 n = (1)n x2n
q = x
Die Integration liefert für |x| < 1: ´ µ g ( x) = arctan ( x) = µ µ µ ¶
f
¦ n
ª¬( 1) n x2nº¼ dx =
0
f
¦ n
0
ª ( 1) n º 2n 1» « x ¬2 n 1 ¼
Wegen arctan(0) = 0 kommt kein absolutes Glied hinzu. Weil die Reihe der Ableitung für |x| < 1 konvergiert, ist der Konvergenzradius für die Reihe von g(x) ebenfalls r = 1. Durch Ersetzen von x durch x 2 in der Reihe für g(x) erhalten wir die Potenzreihe für die gegebene Funktion: f
2 f ( x) = arctan x = ¦ n f
¦ n
0 f
¦ n
0
0
º 2 x6 x10 ª ( 1) n 4n 2» « x =x .... 3 5 ¬2 n 1 ¼
ª ( 1) n º 1 4n 2» « ( 1) o S 4 ¬2 n 1 ¼ Die Reihe konvergiert auch für die Randpunkte des vorher genannten Konvergenzintervalls, also für x d 1.
ª ( 1) n º 1 4n 2» « ( 1) o S 4 ¬2 n 1 ¼
Seite 19
Potenzreihen
Beispiel 2.9: Die Funktion f(x) = cos 2 (x-x0 ) besitzt um die Stelle x 0 die Potenzreihendarstellung:
2 = 1 x x0 2 3 x x0 4 45 x x0 6 315 x x0 8 14175 x x0 10 .... 1
cos x x0
2
1
2
Die Funktion f(x) soll um die Stelle x 0 = 0 und x 0 = 1 einerseits durch ein Approximationspolynom, das durch Abbruch der Reihe nach dem sechsten Glied entsteht, und andererseits durch ein Interpolationspolynom 4. Grades angenähert und grafisch dargestellt werden. ORIGIN 0
ORIGIN festlegen
2
f x x0 cos x x0
gegebene Funktion
Approximationspolynom (Reihenabbruch nach dem sechsten Glied):
2 3 x x0 4 45 x x0 6 315 x x0 8 14175 x x0 10 1
p10 x x0 1 x x0
2
1
2
Interpolationspolynom 4. Grades: Zur Bestimmung der Koeffizienten a i und der Konstante a0 des Interpolationspolynoms 4. Grades 1
2
3
4
p ( x) = a0 a1 x a2 x a3 x a4 x wählen wir die Stützstellen mit der gleichen Schrittweite h symmetrisch um die Stelle x0 . Die Anzahl der Stützstellen n, der Entwicklungspunkt x 0 und die Schrittweite h werden neben der Grafik für Simulationszwecke global definiert.
bei fünf Stützstellen
Abb. 2.1
stützstellen x0 h n
Fehler ( "n muss ungerade sein!" ) if mod ( n 2) = 0 x0 m x0
§ n· © 2¹
Unterprogramm zur Berechnung von Stützstellen mit äquidistanten Punkten mit Abstand h/2. Die Daten werden aufsteigend sortiert.
for k 1 floor ¨ xk m x0 k x
§ n· k floor¨ © 2¹
h 2
m x0 k
h 2
sort ( x)
x stützstellen x0 h n T
x
Die Stützstellen werden in einem Vektor gespeichert!
( 1 0.5 0 0.5 1 )
Seite 20
Potenzreihen
y f x x0 T
y
Funktionswerte an den Stützstellen
( 0.292 0.77 1 0.77 0.292 )
P erweitern ( x y)
§¨ 1 ¨ 0.5 ¨ 0 ¨ ¨ 0.5 ¨ 1 ©
P
0.292 ·
¸ ¸ Stützpunkte (x | f(x )) in einer Matrix zusammengefasst 1 i i ¸ 0.77 ¸ 0.77
0.292 ¹
Durch sukzessives Einsetzen der Werte der Stützstellen x i und deren zugehörigen Funktionswerte y i in das Interpolationspolynom n-ten Grades erhält man ein lineares Gleichungssystem mit n Gleichungen und n Unbekannten a 0 , ... ,an-1 . Das Gleichungssystem lässt sich in Matrizenform y = K a schreiben. Aus y = K a erhält man den Lösungsvektor a durch Multiplikation der Matrixgleichung mit K-1 von links. Stützstellen einsetzen:
1
2
3
4
1
2
3
4
p x0 = a0 a1 x0 a2 x0 a3 x0 a4 x0 ........................................................................... ........................................................................... p x4 = a0 a1 x4 a2 x4 a3 x4 a4 x4 i 0 n 1
Bereichsvariable 0
¢i² i K x
K
K
1
T
y
a n1
p ( x) a0
2
3
4
0
1
-1
1
-1
1
1
1
-0.5
0.25
-0.125
0.063
2
1
0
0
0
0
3
1
0.5
0.25
0.125
0.063
4
1
1
1
1
1
Die Koeffizientenmatrix K dieses linearen Gleichungssystems enthält in der i-ten Spalte die i-ten Potenzen von x i :
Es liegt eine Reguläre Matrix vor!
0.281
a K
1
¦ k
( 1 0 0.99 0 0.282 )
Koeffizienten des Interpolationspolynoms
§ ak xk· © ¹
Interpolationspolynom
1
x min ( x) 2 min ( x) 2 0.001 max ( x) 2
Bereichsvariable
Seite 21
Potenzreihen
2 x0 1.5
f x x0
p 10 x x0
f x0 x0
1
0.5
p ( x) y 3
2
1
0
1
2
3
0.5
x x x x Funktion Approximationspolynom Interpolationspolynom Stützpunkte
Abb. 2.2 n{ 5
x0 { 0
h{ 1
global definierte Daten für eine Simulation
Quadratische Fehler im Vergleich (betrachtet im Bereich der gewählten Stützpunkte): x
´ n1 2 µ dx f x x0 p10 x x0 µ ¶x
1.404 u 10
12
Approximationspolynom
0
x
´ n1 2 µ f x x0 p ( x) dx µ ¶x
6.095 u 10
6
Interpolationspolynom
0
Seite 22
Taylorreihen
2.3 Taylorreihen Wie bereits im vorhergehenden Abschnitt gezeigt wurde, stellt eine Potenzreihe auf ihrem Konvergenzintervall eine Funktion dar. Es soll nun untersucht werden, unter welchen Bedingungen eine Funktion in eine Potenzreihe entwickelt werden kann. Die Funktion f(x) = 1/(1+(x-x 0 )) kann z.B. durch fortlaufende Division als Reihe geschrieben werden: f ( x) =
1
1 x x0
2 x x0 3 ....
= 1 x x0 x x0
(2-8)
Die Reihe hat dann folgende Form:
2 a3 x x0 3 ....
f ( x) = a0 a1 x x0 a2 x x0
(2-9)
Zur Ermittlung der Koeffizienten a i bilden wir vorerst unter der Annahme, dass die Funktion in einer Umgebung von x 0 differenzierbar ist, deren Ableitungen. Zur Vereinfachung verwenden wir zur Herleitung eine abgebrochene Reihe:
4
ª an x x nº o f ( x) = a0 a1 x x a2 x x 2 a3 x x 3 a4 x x 4 0 ¼ 0 0 0 0 ¬
¦
f ( x) =
n
f1 ( x) =
0 4
dx ¦ d
n
f1 ( x) =
d dx
ª an x x nº o f ( x) = a1 2 a2 x x 3 a3 x x 2 4 a4 x x 3 0 ¼ 0 0 0 1 ¬
0
4
¦ n
ª an x x nº 0 ¼ ¬
ergibt
0
f1 ( x) = a1 2 a2 x x0 3 a3 x x0
2
4 a4 x x0
3
4
=
¦ n
f2 ( x) =
f2 ( x) =
d dx
4
¦ n
dx ¦ n
ª n an x x n1º o f ( x) = 2 a2 6 a3 x x 12 a4 x x 2 0 0 0 2 ¬ ¼
ª n an x x n1º 0 ¬ ¼
ergibt
1
f2 ( x) = 2 a2 6 a3 x x0 12 a4 x x0
2
4
=
¦ n
f3 ( x) =
4
dx ¦ d
n
1
1 4
d
ª n an x x n1º 0 ¬ ¼
ª n ( n 1) an x x n2º 0 ¬ ¼
2
ª n ( n 1) an x x n2º o f ( x) = 6 a3 24 a4 x x 0 0 3 ¬ ¼
2
Seite 23
Taylorreihen
f3 ( x) =
4
dx
ª n ( n 1) an x x n2º 0 ¬ ¼
¦
d
n
ergibt
2
4
¦
f3 ( x) = 6 a3 24 a4 x x0 =
n
ª n ( n 1) ( n 2) an x x n3º 0 ¬ ¼
3
usw. Setzen wir nun eine bestimmte Entwicklungsstelle ein, z.B. x = x 0 , dann erhalten wir:
f x0 = a0
a1 =
a2 =
a3 =
f1 x0 = f ' x0 = a1
f2 x0 = f '' x0 = 2 a2
f3 x0 = f ''' x0 = 2 3 a3
= f ' x0
f1 x0 1
1
= f '' x0
f2 x0 2
2
= f ''' x0
f3 x0 3
3
................................................................................
fn x0 = f
( n)
x0 = n an
an =
= f ( n) x0
fn x0 n
n
f mit
a0 =
x0 = f x 0 0
( 0)
Ohne Beweis gelten folgende Sätze: a) Es sei f: [a,b] o eine beliebig oft differenzierbare Funktion, und es existiere ein M mit | f(n)(x) | dM für alle x [a,b] und n ². Dann gilt für ein beliebige Entwicklungsstelle x 0 [a,b]: f
¦
Die Taylorreihe
f ( x) =
ª« f ( n) x º 0 n» « n x x0 » konvergiert für alle x [a,b] , und es ist ¬ ¼
n
0
f
ª« f ( n) x º 0 n» « n x x0 » . ¬ ¼
¦ n
0
(2-10)
Sie kann auch als Summe von Taylorpolynom und Restglied geschrieben werden: n
f ( x) =
¦ k
0
ª« f ( k) x º 0 k» « k x x0 » Rn1( x) . ¬ ¼
(2-11)
Rn+1 (x) bezeichnet man als Restglied, weil es den Unterschied von f(x) zum Taylorpolynom angibt. Die Taylorreihe wird auch MacLaurin-Reihe genannt. Taylorreihen sind spezielle Potenzreihen, aber nicht jede Potenzreihe ist eine Taylorreihe!
Seite 24
Taylorreihen
Das Restglied von Lagrange lautet:
Rn1( x) =
( n1)
f
( T x)
( n 1)
n1 mit
x x0
0 T 1
(2-12)
Dieses Restglied gibt Aufschluss über die Konvergenz der Reihe und über den Fehler, den wir bei Abbruch der Reihe nach dem n-ten Glied begehen. b)
ª« f ( n) x º 0 n» « n x x0 » ist genau dann eine Darstellung von f(x), wenn gilt: ¬ ¼
f
¦
Die Reihe
n
0
ª¬Rn1( x)º¼ = 0
lim nof
(2-13)
c) Wenn wir die Reihe nach dem n-ten Glied abbrechen, so gilt f ür das Restglied R n+1 (x) die Fehlerabschätzung nach Lagrange:
ª f ( n1) ( T x) º n1 » Rn1( x) d max « x x0 (maximaler Wert für T ] 0, 1 [ ) ¬ ( n 1) ¼
(2-14)
Bemerkung: Für alternierende Reihen gilt dann speziell die Fehlerabschätzung:
Rn1( x) d
f
( n 1)
x0
( n 1)
x x0 n1
(2-15)
Wenn wir die Reihenentwicklung nach dem ersten Glied abbrechen, so erhalten wir:
f ( x) = f x0 f ' ( T x) x x0 mit T ] 0, 1 [
(2-16)
Man erkennen hier, dass die Taylorreihe eine Verallgemeinerung der Linearisierungsformel ist.
Beispiel 2.10: a) Wie lautet die Taylorreihe an der Stelle x 0 = 0 der Funktion f(x) = sin(x) ? b) Auf welchem Intervall konvergiert diese Reihe ? c) Wie lautet das Restglied nach Lagrange für diese Reihe ? d) Stellen Sie die Funktion und die Näherungspolynome bis zum 7. Grad grafisch dar. e) Stellen Sie den absoluten und relativen Fehler im Vergleich von Funktion und Taylorpolynome grafisch dar. f ( x) sin ( x) f ( x) = f ( 0)
x0 0 f ' ( 0) 1
x
f '' ( 0) 2
gegebene Funktion und Entwicklungsstelle 2
x
f ''' ( 0) 3
3
x ....
Seite 25
Entwicklung der Funktion an der Stelle x 0 = 0
Taylorreihen
fx ( x n)
konstantes Glid a 0
f ( 0) = sin ( 0) = 0
n
d
n
a0 = 0
Ableitungen
f ( x)
dx
1. Ableitung an der Stelle 0
1 a1 = 1
0
2. Ableitung an der Stelle 0
a2 = 0
1
3. Ableitung an der Stelle 0
1 a3 = 3
fx ( x 1) o cos ( x)
fx ( 0 1) o cos ( 0)
fx ( x 2) o sin ( x)
fx ( 0 2) o sin ( 0)
fx ( x 3) o cos ( x)
fx ( 0 3) o cos ( 0)
fx ( x 4) o sin ( x)
fx ( 0 4) o sin ( 0)
0
4. Ableitung an der Stelle 0
fx ( x 5) o cos ( x)
fx ( 0 5) o cos ( 0)
1
5. Ableitung an der Stelle 0
1
a4 = 0 1 a5 = 5
Alle geraden Ableitungen sind Null und die ungeraden Ableitungen (2n+1) sind +1 bzw. -1. f
f ( x) = sin ( x) =
¦ n
5
¦ n
0
0
1 ª( 1) n 2n 1º x « » ( 2 n 1) ¬ ¼
Taylorreihe für sin(x) (enthält nur ungerade Glieder)
1 1 3 1 1 1 1 ª( 1) n 2n 1º 5 7 9 11 x x x x x « » ox x ( 2 n 1) 6 120 5040 362880 39916800 ¬ ¼
Das Konvergenzintervall bestimmen wir mit dem Quotientenkriterium: n 1
n
( 1) an = ( 2 n 1)
( 1)
r=
lim nof
n 1
( 1) ( 1) an+1 = = [ 2 ( n 1) 1] ( 2 n 3)
an
=
an1
n
( 1)
( 2n 1 )
lim nof
( 1)
Folgeglieder
lim
n1
nof
( 2n 3 )
n
( 2n 1 ) ( 1)
n1
of
( 2n 3 )
Das Restglied ergibt sich nach Lagrange zu:
R2n+1 ( x) =
R2n+1 ( x) =
f
( 2n 1 )
( T x)
( 2 n 1) f
( 2n 1 )
( T x)
( 2 n 1)
2n1
x x0
2n 1
x
n
=
( 1) cos ( T x) ( 2 n 1)
2n 1
x
Für die Fehlerabschätzung gilt dann (alternierende Reihe (2-15)): 2n 1
x R2n+1 ( x) d ( 2 n 1)
Seite 26
(x0 = 0)
Die Reihe konvergiert für alle x .
Taylorreihen
Taylorpolynome vom Grad (2 k + 1): k
¦
p (x k)
n
0
p ( x 1) o x
1
p ( x 2) o x
1
p ( x 3) o x
1
6
6
6
1 ª( 1) n 2n 1º x « » ( 2 n 1) ¬ ¼ 3
x
1
3
x
120 1
3
x
120
5
x
5
x
1
7
5040
x
Die Approximation der Sinuskurve durch die Taylorpolynome: x 3
S 2
3
S 2
0.01 3
S
Bereichsvariable
2 Sinusfunktion und Taylorpolynome 2
Grad n = 5
x0 p( x 1)
1
p( x 2) p( x 3)
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
f( x) 1
2
Grad n = 3 x
p(x,1) p(x,2) p(x,3) f(x) = sin(x)
Abb. 2.3 Grafische Veranschaulichung durch Animation: x x
Redefinition
k 1 FRAME
FRAME z.B. von 0 bis 10
p (x k) o x
1 6
3
x
x 20 20 0.01 20
Näherungspolynom vom Grad (2 k + 1) Bereichsvariable
Seite 27
Grad n = 7
Taylorreihen
x0
f( x) p ( x k)
20
15
10
5
0
5
10
2 k 1
15
20
3
x
Abb. 2.4 Grafische Darstellung des absoluten und relativen Fehlers in Abhängigkeit vom Polynomgrad: Fab ( x k )
f ( x) p ( x k )
Absoluter Fehler Absoluter Fehler
4 Fab( x k) 2
2 k 1 10
8
6
4
2
0
3
2
4
6
8
10
4
6
8
10
x
Abb. 2.5 Frel ( x k )
f ( x) p ( x k ) f ( x)
100
Relativer Fehler in %
Relativer Fehler in % Frel( x 1)
4
Frel( x 2) Frel( x 4)
2
10
8
6
4
2
0 x
Abb. 2.6
Seite 28
2
Taylorreihen
Der Fehler nimmt bei der Berechnung mithilfe der Taylorreihe mit der Entfernung vom Entwicklungspunkt zu und mit dem Grad des Polynoms ab! Ein Taylorpolynom nähert eine Funktion gut in der Nähe der Entwicklungsstelle. Auf Computern werden daher Funktionen meist durch Polynome ersetzt, die eine gleichbleibend gute Näherung über einen bestimmten x-Bereich geben. Hier sind speziell die sogenannten Tschebyscheff-Polynome zu erwähnen, mit denen viele elementare Funktionen auf Computern berechnet werden. Beispiel 2.11: a) Wie lautet die Taylorreihe an der Stelle x 0 = 0 der Funktion f(x) = cos(x) ? b) Auf welchem Intervall konvergiert diese Reihe ? c) Wie lautet das Restglied nach Lagrange für diese Reihe ? d) Stellen Sie die Funktion und die Näherungspolynome bis zum 7. Grad grafisch dar. e) Stellen Sie den absoluten Fehler im Vergleich von Funktion und Taylorpolynome grafisch dar. f ( x) cos ( x) f ( x) = f ( 0)
x0 0 f ' ( 0) 1
x
gegebene Funktion und Entwicklungsstelle
f '' ( 0)
2
x
2
f ''' ( 0)
3
x ....
3
Entwicklung der Funktion an der Stelle x 0 = 0
Entwicklung an der Stelle 0 mit Mathcad (Menü -Symbolik-Variable-Reihenentwicklung): 1
konvertiert in die Reihe
cos ( x)
1 2
2
x
1
4
24
x
1
1
6
720
x
40320
8
10
x O x
Symboloperator und Schlüsselwort Reihe: x x
Redefinition
cos ( x) reihe x 10 o 1
1 2
2
x
1
1
4
24
x
720
1
6
x
8
40320
x
Entwicklung an der Stelle x0 = 0
1 2 1 1 1 4 6 8 cos ( x) reihe x = x0 10 o 1 x x x x 2 24 720 40320 f
f ( x) = cos ( x) =
¦ n
0
ª( 1) n 1 x2nº « » ( 2 n) ¬ ¼
Entwicklung an der Stelle x 0
Taylorreihe für cos(x) (enthält nur gerade Glieder)
Die Kosinusreihe erhalten wir auch durch Differentiation der Sinusreihe. Es gilt auch: cos(x)' = - sin(x). f
¦
d dx
n
0
1 ª( 1) n 2n 1º x « » o cos ( x) ( 2 n 1) ¬ ¼
f
¦
d dx
n
0
ª( 1) n 1 x2nº o sin ( x) « » ( 2 n) ¬ ¼
Das Konvergenzintervall bestimmen wir mit dem Quotientenkriterium: n 1
n
( 1) an = ( 2 n)
( 1)
r=
lim nof
n1
( 1) ( 1) an+1 = = [ 2 ( n 1) ] ( 2 n 2)
an an1
=
lim nof
n
( 2n) ( 1)
n1
Folgeglieder
( 1)
lim nof
( 2n 2 )
n
( 2n) ( 1)
n1
( 2n 2 )
Seite 29
of
Die Reihe konvergiert für alle x .
Taylorreihen
Das Restglied ergibt sich nach Lagrange zu:
R2n ( x) =
R2n ( x) =
( 2n )
f
( T x)
( 2 n) ( 2n )
f
( T x)
( 2 n)
2n
x x0 2n
x
n
=
( 1) cos ( T x) ( 2 n)
2n
x
(x0 = 0)
Für die Fehlerabschätzung gilt dann (alternierende Reihe): 2n
x
R2n ( x) d ( 2 n) Taylorpolynome vom Grad (2 k): k
p (x k)
¦ n
0
p ( x 1) o 1
1
p ( x 2) o 1
1
p ( x 3) o 1
1
2
2
2
ª( 1) n 1 x2nº « » ( 2 n) ¬ ¼ 2
x
2
x 2
x
1 24 1 24
4
x
4
x
1 720
6
x
Die Approximation der Kosinuskurve durch die Taylorpolynome: S S S Bereichsvariable x 3 3 0.01 3 2 2 2 2
Grad n = 4
x0
p( x 1)
1
p( x 2) p( x 3)
5
4
f( x)
3
2
1
0
1
2
3
4
1
2
Grad n = 2 x
p(x,1) p(x,2) p(x,3) f(x) = cos(x)
Abb. 2.7
Seite 30
Grad n = 6
5
Taylorreihen
Grafische Veranschaulichung durch Variation des Grades: x x
Redefinition
k
4
k
k von 0 bis 10
4
Näherungspolynom vom Grad (2 k) p (x k) o 1
1 2
2
x
1 24
4
x
1 720
6
x
1
8
40320
x
2
1 f( x) p ( x k)
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
4
5
1
2 k
8
2 x
Abb. 2.8 Grafische Darstellung des absoluten Fehlers in Abhängigkeit vom Polynomgrad: Fab ( x k )
f ( x) p ( x k )
absoluter Fehler absoluter Fehler
4 Fab( x k) 2
2 k 5
4
3
2
1
0 x
Abb. 2.9
Seite 31
8 1
2
3
Taylorreihen
Beispiel 2.12: a) Wie lautet die Taylorreihe an der Stelle x 0 = 0 der Funktion f(x) = e x ? b) Auf welchem Intervall konvergiert diese Reihe ? c) Wie lautet das Restglied nach Lagrange für diese Reihe ? d) Wie groß ist die Genauigkeit, wenn der Wert für e mittels der Taylorreihe berechnet und nach dem 7. Glied abbricht ? e) Stellen Sie die Funktion und die Näherungspolynome bis zum 7. Grad grafisch dar. f) Stellen Sie den relativen Fehler im Vergleich von Funktion und Taylorpolynome grafisch dar. x
f ( x) e
x0 0 f ' ( 0)
f ( x) = f ( 0)
1
x
gegebene Funktion und Entwicklungsstelle
f '' ( 0) 2
f ''' ( 0)
2
x
3
3
x ....
Entwicklung der Funktion an der Stelle x 0 = 0
Entwicklung an der Stelle 0 mit Mathcad (Menü -Symbolik-Variable-Reihenentwicklung): x
e
1 1 x
konvertiert in die Reihe
1 2
2
x
1 6
3
x
1
4
x
24
1
5
120
6
x O x
Symboloperator und Schlüsselwort Reihe: x
e reihe x 7 o 1 1 x
1 2
1
2
x
6
3
x
1 24
x
e reihe x = 1 3 o exp ( 1) exp ( 1) ( x 1) f
§ 1 xn· ¨ © n ¹
¦
x
f ( x) = e =
n
0
1
4
x 1 2
120
1
5
x
720
exp ( 1) ( x 1)
6
x
Entwicklung an der Stelle 0 Entwicklung an der Stelle x = x0 = 1
2
Taylorreihe für ex (Entwicklung an der Stelle x0 = 0)
Das Konvergenzintervall bestimmen wir mit dem Quotientenkriterium: 1 an = n
r=
1 an+1 = ( n 1)
an
lim
an1
nof
=
lim
1
1
n
n
lim
1
nof
Folgeglieder
nof
( n 1)
1 ( n 1)
Das Restglied ergibt sich nach Lagrange zu:
Rn+1 ( x) =
Rn+1 ( x) =
f
( n1)
( T x)
( n 1) f
( n1)
( T x)
( n 1)
n 1
x x0
n1
x
Tx
=
e
( n 1)
n1
x
(x0 = 0)
Seite 32
of
Die Reihe konvergiert für alle x
Taylorreihen
Für die Fehlerabschätzung gilt dann: Tx
n 1
e
Rn+1 ( x) d x ( n 1)
0 T 1
Fehlerabschätzung: x
e = 1 1 x x 1
1 2
Tx
e
7
1 6
3
x
1
1
4
24
x
1
5
120
x
6
720
x R7
gewählter x-Wert und T-Wert
T 1
g ( x) 1 1 x
R7
2
x
1 2
2
x
7
x
1 6
3
x
1 24
5.393 u 10
R7
1
4
x
4
1
5
120
x
720
6
x
g ( x)
Näherungswert
2.71806
für e1
Der Fehler ist sicher kleiner als 6 .10
-4
(e ist auf 3 Stellen genau).
grafische Veranschaulichung durch Variation der Entwicklungsstelle und des Grades: x0
n
-1 x0
1
3
Entwicklungsstelle (-4...2)
n
3
Grad des Taylorpolynoms (1...10)
Taylorpolynom: 1 1 x 2 3 p ( x) e reihe x = x0 n 1 o exp ( 1) exp ( 1) ( x 1) exp ( 1) ( x 1) exp ( 1) ( x 1) 2 6 x 5 5 0.01 10
Bereichsvariable
10 x0
8 6
f( x) p ( x)
4
f x0
2
4
2
0
2
2
4
n x x x0
Abb. 2.10
Seite 33
6
3
8
10
Taylorreihen
Grafische Darstellung des relativen Fehlers in Abhängigkeit vom Polynomgrad: f ( x) p ( x)
Frel ( x)
if x 0
f ( x) f ( x) p ( x) f ( x)
relativer Fehler in % 100 otherwise
Relativer Fehler
100
Frel( x)
50
n 6
4
2
0
2
3
4
x0
1
6
8
10
x
Abb. 2.11 Wie gezeigt wurde, ermöglicht Mathcad auch eine unterschiedliche Wahl von Entwicklungspunkten. Dies bringt eine bessere Approximation im gewünschten Bereich, oder ermöglicht auch das Aufstellen der Taylorreihe, wenn etwa die Funktion um x = 0 nicht entwickelt werden kann. Beispiel 2.13: Wie lautet die Taylorreihe an der Stelle x 0 = 0 der Funktion f(x) = e - x ? x
x0 0
f ( x) = e x x x
e
gegebene Funktion und Entwicklungsstelle Redefinition
1 2 1 3 1 1 4 5 reihe x = x0 6 o 1 1 x x x x x 2 6 24 120
Taylorpolynom
Diese Reihe erhalten wir auch, wenn wir in der Reihe für e x die Variable x durch -x ersetzen. x
f ( x) = e
f
=
¦ n
0
ª n xnº «( 1) » n ¼ ¬
Taylorreihe für e
-x
. Diese Reihe konvergiert ebenfalls für alle x
Beispiel 2.14: Wie lautet die Taylorreihe an der Stelle x 0 = 0 der Funktion f(x) = a x ? x
f ( x) = a
x0 0
gegebene Funktion und Entwicklungsstelle
1 1 1 x 2 2 3 3 4 4 a reihe x = x0 5 o 1 ln ( a) x ln ( a) x ln ( a) x ln ( a) x 2 6 24
Seite 34
Taylorpolynom
Taylorreihen
Diese Reihe erhalten wir auch, wenn wir in der Reihe für e x die Variable x durch x ln(a) ersetzen. Dies gilt wegen ax=e
x ln(a).
f
n
n
n
ln ( a) x
¦
x
f ( x) = a =
Reihe konvergiert für alle x mit a + und a z 1.
x . Die
Taylorreihe für a
n
0
Beispiel 2.15: Wie lauten die Taylorreihen an der Stelle x 0 = 0 der Funktion f(x) = ln(x), f(x) = ln(1+x) und f(x) = ln(1-x) ? Bestimmen Sie jeweils das Konvergenzintervall und berechnen Sie ln(2). Vergleichen Sie auch die Originalfunktion mit den Taylorpolynomen grafisch. Für f(x) = ln(x) kann an der Stelle 0 die Reihe nicht entwickelt werden, weil an dieser Stelle ein Pol der Funktion vorliegt ! Wir entwickeln die Reihe z.B. an der Stelle x 0 = 1: 1
p1 ( x) ln ( x) reihe x = 1 grad o 1 ( x 1) nº ª « ( 1) n1 ( x 1) » n ¬ ¼
f
ln ( x) =
¦ n
1
( 1)
nof
( 1)
1 3
1
3
( x 1)
4
o1
n2
p2 ( x) ln ( 1 x) reihe x = 0 grad o 1 x
ª n1 xnº «( 1) » n¼ ¬
f
¦ 1
1 2
2
x
1 3
3
x
1 4
4
x
1 5
5
x
Taylorreihe für ln(1+x) mit der Entwicklungsstelle x0 = 0.
Diese Reihe konvergiert aus den oben angeführten Überlegungen im Intervall -1 < x d1 p3 ( x) ln ( 1 x) reihe x = 0 grad o 1 x f
ln ( 1 x) =
¦
n
1 2
2
x
1 3
3
x
1 4
4
x
1 5
5
x
n
x
n
1
Taylorreihe für ln(1-x) mit der Entwicklungsstelle x0 = 0.
Diese Reihe konvergiert im Intervall -1 d x <1. Vorteilhafter zur Berechnung von Näherungswerten ist die Reihe für folgende Funktion:
§1 ©1
ln ¨
x· x¹
5
( x 1)
Die Reihe konvergiert sicher für | x - 1| < 1, also 0 < x < 2.
Für x = 0 liegt eine negative harmonische Reihe vor und die ist divergent. Für x = 2 liegt eine Leibnizreihe vor und die ist konvergent. Die Reihe ist damit im Intervall 0 < x d2 konvergent.
n
1
Taylorreihe für ln(x) mit der Entwicklungsstelle x0 = 1.
n1
ln ( 1 x) =
4
( x 1)
n1
n
lim
2
2
( x 1)
= ln ( 1 x) ln ( 1 x)
Seite 35
5
Taylorreihen
§ 1 x · reihe x = 0 grad o 2 x 2 x3 2 x5 3 5 © 1 x¹
p4 ( x) ln ¨
§1 ©1
ln ¨
f
x·
= 2
x¹
2n 1
x
¦ n
Taylorreihe für ln((1-x)/(1-x)) mit der Entwicklungsstelle x0 = 0.
2 n 1
0
Diese Reihe konvergiert sicher im Intervall -1 < x <1. 1 x
Setzen wir
1 x
= z , dann folgt:
x=
z1 z1
Wir setzen nun x in die vorhergende Reihe ein und ersetzen hinterher z durch x: reihe x = 0 grad
§ 1 x·
p5 ( x) ln ¨
© 1 x¹
3
5
z 1o 2 x 1 2 ( x 1) 2 ( x 1) ersetzen x = 3 5 x 1 3 5 z1 ( x 1) ( x 1) ersetzen z = x
f
ln ( x) = 2
¦ n
0
2n 1 º ª 1 ( x 1) « » « ( 2 n 1) ( 1 x) 2n1 » ¬ ¼
Taylorreihe für ln(x). Sie konvergiert für x +
Wir vergleichen nun die Werte für ln(2) der verschiedenen Näherungen einfacher Taylorpolynome mit dem exakten Wert auf 10 Nachkommastellen: ln ( 2)
0.6931471806
p1 ( 2)
§ 1· © 3¹
p4 ¨
0.7833333333 0.6930041152
p2 ( 1)
0.7833333333
p5 ( 2)
0.6930041152
p3 ( 1)
0.7833333333
grad { 6 Hier kann mit grad der Grad der Taylorpolynome verändert werden! Grafischer Vergleich: x 0.1 0.1 0.01 10
Bereichsvariable
2 ln( x) p1( x) p5( x)
0
1
2
3
4
5
2 x
Abb. 2.12
Seite 36
6
7
8
9
10
Taylorreihen
x 0.99 0.99 0.01 2
Bereichsvariable
1
ln( 1 x)
1
1
0
1
p2( x)
2
ln( 1 x)
1
0
1
2
p3( x) 1
1
2
2 x
x
Abb. 2.13
Abb. 2.14
Beispiel 2.16: Wie lautet die Taylorreihe an der Stelle x 0 = 0 der Funktion f(x) = tan(x) ? f ( x) = tan ( x)
x0 0
x x
gegebene Funktion und Entwicklungsstelle Redefinition
1 3 2 17 62 1382 21844 5 7 9 11 13 tan ( x) reihe x = x0 14 o 1 x x x x x x x 3 15 315 2835 155925 6081075 sin ( x)
1 3 2 17 62 1382 21844 5 7 9 11 13 reihe x = x0 14 o 1 x x x x x x x cos ( x) 3 15 315 2835 155925 6081075 Die Taylorreihe für tan(x) kann damit auch durch die gliedweise Division von Sinus- und Kosinusreihe gefunden werden. Eine andere Möglichkeit besteht auch darin, die Beziehung tan(x) . cos(x) = sin(x) zur Entwicklung zu verwenden: 2 4 6 3 5 7 § · § a x a x3 a x5 a x7· ¨ 1 x x x .... = x x x x .... 3 5 7 © 1 ¹ © 2 4 6 ¹ 1 3 5 7
Durch gliedweises Ausmultiplizieren der linken Seite und anschließendem Koeffizientenvergleich entsprechender Potenzen mit der rechten Seite a1 a3 a5 a1 a3 a1 1 1 1 ; a5 ; a7 ; usw. a1 = 1 ; a3 = = = 2 2 2 4 4 6 3 5 7 erhalten wir schließlich die Reihe für tan(x). Sie konvergiert für |x| < S/2
Beispiel 2.17: Wie lautet die Taylorreihe an der Stelle x 0 = 0 der Funktion f(x) = arctan(x) ? Berechnen Sie näherungsweise die Zahl S. f ( x) = arctan ( x)
x0 0
gegebene Funktion und Entwicklungsstelle
Seite 37
Taylorreihen
1 3 1 5 1 7 1 9 1 1 11 13 p ( x) atan ( x) reihe x = x0 14 o 1 x x x x x x x 3 5 7 9 11 13 f
arctan ( x) =
¦ n
0
ª n x2n1 º «( 1) » 2 n 1¼ ¬
Taylorreihe für arctan(x). Diese Reihe konvergiert im Intervall -1 d x d1.
Diese Reihe erhält man auch durch gliedweise Integration von 0 bis x der Reihe: 1
2
4
6
8
10
reihe x = x0 14 o 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x
2
1 x
12
1 x
Näherungsweise Berechnung von S: arctan ( 1) = S
§ 1 ·= S © 3¹ 6
S
4
arctan 2
arctan ¨
3 =
S 12
3.1415926536
4 p ( 1)
3.2837384837
§ 1 · © 3¹
6 p¨
3.1416743127
12 p 2
3
3.1415926556
Es gelten folgende Zusammenhänge: arccot ( x) =
S 2
arctan ( x) bzw. arccos ( x) =
S 2
arcsin ( x)
(2-17)
Beispiel 2.18: Wie lautet die Taylorreihe an der Stelle x 0 = 0 der Funktion f(x) = sinh(x) und g(x) = cosh(x) ? f ( x) = sinh ( x)
g ( x) = cosh ( x)
x0 0
gegebene Funktionen und Entwicklungsstelle
1 3 1 1 1 1 5 7 9 11 sinh ( x) reihe x = x0 12 o 1 x x x x x x 6 120 5040 362880 39916800 x
x
e e 2
1 3 1 1 1 1 5 7 9 11 reihe x = x0 12 o 1 x x x x x x 6 120 5040 362880 39916800
1 2 1 1 1 1 4 6 8 10 cosh ( x) reihe x = x0 12 o 1 x x x x x 2 24 720 40320 3628800 x
x
e e 2
1 2 1 1 1 1 4 6 8 10 reihe x = x0 12 o 1 x x x x x 2 24 720 40320 3628800
Die Reihen konvergieren für alle x .
Seite 38
Taylorreihen
Beispiel 2.19: Wie lautet die Taylorreihe an der Stelle x 0 = 0 bzw. x0 = 1 der Funktionen f(x) = arsinh(x), artanh(x) und arcosh(x) ? arsinh ( x) reihe x = 0 12 o 1 x
§
ln © x
1 6
·
2
x 1¹ reihe x = 0 12 o 1 x
1
artanh ( x) reihe x = 0 12 o 1 x 1 2
3
x
3
1 6
3
x
3 40
1
5
5
5
5
x
40
x
7
x
112
3
3
x
1
5
5
x
112
7
x
7
1 9
35
63
9
x
1152
9
x
1152
1
9
x
2816
35
7
x
11
11
x
63
11
2816
x
11
x
§ 1 x · reihe x = 0 12 o 1 x 1 x3 1 x5 1 x7 1 x9 1 x11 3 5 7 9 11 © 1 x¹
ln ¨
1
arcosh ( x) reihe x = 1 3 o 2
2
1
( x 1)
2
1
1 12
1
§
ln © x
·
2
x 1¹ reihe x = 1 3 o 2
2
§
2
·
x 1¹ reihe x = 1 3 o 2
2
( x 1)
2
2
1
3
12
2
2
2
1 12
2
5
2
( x 1)
2
1
2
3 160
2
2
3
( x 1)
2
( x 1)
3
1
2
160
1
1
1
( x 1)
2
( x 1)
1
1
ln © x
2
3
2
5
( x 1)
2
1
3 160
2
2
5
( x 1)
2
Es gilt also:
§
arcosh ( x) = ln © x
2
·
§
x 1¹ bzw. arcosh ( x) = ln © x
2
·
x 1¹ für x t 1
(2-18)
Beispiel 2.20: Wie lautet die Taylorreihe an der Stelle x0 = 1 der Funktion f(x) = 1/x ? 1 x
2
3
4
reihe x = 1 6 o 1 1 ( x 1) 1 ( x 1) 1 ( x 1) 1 ( x 1) 1 ( x 1)
5
Die Transformation x = u + 1 und die Rücktransformation u = x - 1 führt auch zum gleichen Ergebnis: 1 u 1
reihe u 6
2
3
4
o 1 1 ( x 1) 1 ( x 1) 1 ( x 1) 1 ( x 1) 1 ( x 1) ersetzen u = x 1
Seite 39
5
Taylorreihen
Beispiel 2.21: x
Bestimmen Sie den Wert der fünften Ableitung der Funktion f ( x) =
2
für x = 0.
1x x
3
5
7
9
reihe x = 0 10 o 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x
2
Die Reihe konvergiert für |x| < 1.
1 x
f
Der Koeffizient a5 der Taylorreihe hat den Wert: Also gilt:
( 5)
f
( 5)
( 0)
5
= a5 = 1
( 0) = 5 = 120
Beispiel 2.22: Wie lautet die Taylorreihe an der Stelle x0 = 0 der Funktion f(x) = (1 + x) n ? n n
Redefinition n
( 1 x) reihe x 4 o 1 n x
1 2
2
n ( n 1) x
1 6
3
n ( n 1) ( n 2) x
Mithilfe der Binomialkoeffizienten erhält man:
§n · ¨ =1 ©0 ¹ n 1
=
§n · ¨ =1 ©n ¹
§n · ¨ ©1 ¹ n
n ( n 1) 2 f
( 1 x) =
¦ k
0
=
§n · ¨ ©2 ¹
ª§ n · kº «¨ x » ¬© k ¹ ¼
n ( n 1) ( n 2) 3
=
§n · n ( n 1) ( n 2) ....( n k 1) § n · ..... =¨ ¨ k ©3 ¹ ©k ¹
n . Diese Reihe heißt Binomialreihe oder binomische Reihe.
Konvergenz dieser Reihe:
lim kof
§n · ¨ ©k ¹ § n · ¨ ©k 1 ¹
n( n 1 )( n 2)....( n k 1 )
=
lim kof
k n( n 1 )( n 2)....( n k 1 )( n k) ( k 1 )
=
lim kof
k1 nk
=
lim kof
§¨ 1 1 · k ¨ = 1¸ ¨ n ¸ ¨© k 1 ¹
Diese Reihe konvergiert im Intervall -1 < x <1. Bemerkung: Für n ² bricht die Reihe von selbst ab, weil
§n · ¨ = 0 für k > n gilt. Das ist der binomische Lehrsatz. ©k ¹
Seite 40
Taylorreihen
Beispiel 2.23: Vergleich der Reihenentwicklung von reellen und komplexen Funktionen: 1
cosh ( j x) reihe x 10 o 1 cos ( x) reihe x 10 o 1 Damit gilt:
1 2
2
cosh ( x) reihe x 10 o 1
1
x
8
x
40320
1
6
720
1
6
x
720
1
4
x
24
2
x
2 1 2
2
x
8
40320
x
1 24 1 24
1
4
x
720 1
4
x
1
6
x
40320 1
6
x
720
8
x
8
40320
x
cos ( j x) = cosh ( x)
sinh ( j x) reihe x 10 o i x j sin ( x) reihe x 10 o i x Damit gilt:
24
1
2
x
1
4
x
cosh ( j x) = cos ( x)
cos ( j x) reihe x 10 o 1
Damit gilt:
1
2
x
1 6
1 6
1
3
ix
120 1
3
ix
5
ix 5
120
ix
1
7
5040 1
5040
ix
9
362880 1
7
ix
1
ix 9
362880
ix
sinh ( j x) = j sin ( x)
Beispiel 2.24: Vergleich von Realteil und Imaginärteil der Reihenentwicklung der komplexen Exponentialfunktionen mit der Basis e: j x
e
reihe x 6 1 2 1 1 1 3 4 5 o 1 ix x ix x ix komplex 2 6 24 120
cos ( x) j sin ( x) reihe x 6 o 1 i x
j x
e
1 2
2
x
1 6
3
ix
1 24
4
x
1 120
5
ix
reihe x 6 1 2 1 1 1 3 4 5 o 1 i x x i x x ix komplex 2 6 24 120
cos ( x) j sin ( x) reihe x 6 o 1 i x
1 2
2
x
1 6
3
ix
1 24
4
x
1 120
5
ix
Die Reihenentwicklung für ex bzw. e-x gilt auch im Komplexen. Diese Reihen sind absolut konvergent. Damit können die Reihenglieder beliebig umgeordnet werden (trennen von Realteilen und Imaginärteilen), ohne dass sich dabei die Reihensumme ändert. 2 4 6 · · § § x x3 x5 x x x ¨ e = 1 .... j ¨ .... = cos ( x) j sin ( x) 2 4 6 © ¹ © 1 3 5 ¹ j x
Seite 41
Taylorreihen
j x
e
§
x
©
2
= ¨1
2
4
x
4
6
x
6
·
§ x x3 x5 · .... = cos ( x) j sin ( x) © 1 3 5 ¹
.... j ¨
¹
Diese Zusammenhänge werden Euler Formeln genannt: j x
e
ix
( cos ( x) i sin ( x) ) e
Probe:
j x
= cos ( x) j sin ( x) und
e
= cos ( x) j sin ( x)
(2-19)
reihe x 6 o 0
Beispiel 2.25: Für welchen Winkel D ist der prozentuelle Fehler (relativer Fehler) kleiner als 0.1 %, wenn man sin( D) durch D ersetzt ? sin ( D ) reihe D 6 o 1 D
1 6
1
3
D
120
D
5
Wenn wir nach dem ersten Glied die Reihe abbrechen, also nach D, so ist der absolute Fehler sicher kleiner als | -1/6 D3 | (alternierende Reihe). Damit gilt für den relativen Fehler:
1
D
6
3
100 % 0.1 %
D
D 7.746 10
-2
D
6
D 180
D°
2
100 0.1
D°
S
auflösen D § 7.746 10 -2 D · ¨ o ¨ gleit 4 -2 © D 7.746 10 ¹
4.438
Der prozentuelle Fehler ist für D 4.44 ° sicher kleiner als 0.1 %. Beispiel 2.26: Wie groß ist die Höhe h eines Kreisausschnittes mit dem Öffnungswinkel D, wenn das Verhältnis von Kreisbogenlänge b zu Radius r gleich 2 ist ? Berechnen Sie die Höhe h auf 3 Nachkommastellen und vergleichen Sie den Wert mit einer Näherungsformel, die sich nach Abbruch der Reihe von cos( D/2) nach dem vierten Glied ergibt. Wie groß ist der prozentuelle Fehler höchstens, wenn bei einem Kreisabschnitt statt der Kreisbogenlänge b die Sehnenlänge s genommen wird und der Winkel D = 30 ° beträgt ? Für die Höhe des Kreisbogens gilt:
§ D ·· © 2 ¹¹
§ ©
b
h = r ¨ 1 cos ¨
D=
D D
Redefinition
r
=2
1 § D · reihe D 10 o 1 1 D 2 1 D 4 1 D 6 8 D 8 384 46080 10321920 © 2¹
cos ¨
ª ¬
§ ©
h1 = r «1 ¨ 1
1 8
2
D
1 384
4
D
1 46080
D
6·º
» ¹¼
Seite 42
Näherung für h
Taylorreihen
§ 1 D 2 1 D 4 1 D 6· 384 46080 ©8 ¹
h1 ( D r) r ¨
§ ©
Näherung für h vereinfacht
§ D ·· © 2 ¹¹
h ( D r) r ¨ 1 cos ¨
exakte Berechnungsformel
h ( 2 r) gleit 4 o .4597 r
h1 ( 2 r) gleit 4 o .4597 r
Die Ergebnisse unterscheiden sich nicht!
Prozentueller Fehler:
§D· © 2¹
s = 2 r sin ¨
b = r D
Bogen- und Sehnenlänge
§ D · = 2 r § D sin § D · · ¨ ¨ © 2¹ ©2 © 2 ¹¹
b s = r D 2 r sin ¨
Differenz von Bogenlänge und Sehne
1 1 § D sin § D · · reihe D 10 o 1 r D 3 1 r D 5 7 9 r D r D ¨ 24 1920 322560 92897280 ©2 © 2 ¹¹
2 r ¨
Die Differenz von Bogenlänge und Sehne ist sicher kleiner als das erste Glied der Reihe (alternierende Reihe). 1 b s b D
b s
=
r D
S
24
Frel
6
r D
3
Frel
r D 1 24
D
2
Frel
1 24
D
2
1.142 %
Der Fehler beträgt höchstens 1.2 %.
Beispiel 2.27: Die Fallgeschwindigkeit in Abhängigkeit des Fallweges h eines Körpers der Masse m 0 ist unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes k gegeben durch:
v ( h) =
m0 g1 k
2kh · §¨ m0 ¨ ©1 e ¹
Hier wird für die symbolische Auswertung g gleich g1 gesetzt, weil in Mathcad die Erdbeschleunigung bereits vordefiniert ist.
Berechnen Sie daraus die Fallgeschwindigkeit bei verschwindenden Luftwiderstand. Zeigen Sie auch, dass bei Abbruch nach dem ersten Glied der Taylorreihe von v(h) sich das gleiche Ergebnis ergibt.
v ( h) =
lim ko0
k k
m0 g1 k
m0 g1 k
2kh · §¨ 1 1 m 2 2 0 ¨ ©1 e ¹ o v ( h) = 2 ( h g1 )
v ( h) =
Redefinition 2kh · §¨ 1 1 1 1 m0 h 1 2 2 2 2 ¨ ©1 e 2 ( h g1 ) k ¹ reihe k 3 o 2 ( h g1 )
2
Seite 43
m0
2 g h
Taylorreihen
Beispiel 2.28: Das Weg-Zeit-Gesetz für den freien Fall ist unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes und der maximal erreichbaren Geschwindigkeit v s (als Maß für den Luftwiderstand) gegeben durch: vs
s ( t) =
2
g
§
§ g t ··
©
© vs ¹ ¹
ln ¨ cosh ¨
Zeigen Sie, dass am Anfang des freien Falles (also für kleine Zeitpunkte t) in erster Näherung die gleiche Beziehung zwischen Weg und Zeit gilt wie im reibungsfreien Fall. vs
2
g1
§
1 § g1 t · · reihe t 8 o 1 g1 t2 1 g1 3 t4 5 6 g1 t 2 4 2 © vs ¹ ¹ 12 vs 45 vs
ln ¨ cosh ¨
©
s ( t) =
g 2
t
Beispiel 2.29: Die Temperaturabhängigkeit (in °C) der Schallgeschwindigkeit in Luft ist gegeben durch: c ( - ) = 331
m
s
1
273.15
Für diesen Ausdruck soll durch Reihenabbruch eine lineare Näherung hergeleitet werden. Der dabei entstehende Fehler soll für den Temperaturbereich 0 °C d - d 40 °C größenordnungsmäßig abgeschätzt werden.
1
reihe - 4 -3 -6 2 -9 3 4 o 1. 1.8305 10 - 1.6754 10 - 3.0667 10 - O gleit 5
273.15
c ( - ) 331
m s
1 1.8305 10
-3
-
Näherungsformel
Der absolute Fehler 'c liegt dabei in der Größenordnung des ersten weggelassenen Reihengliedes (alternierende Reihe): 'c ( - ) 331
m s
1.6754 10
-6
-
2
Bei der Höchsttemperatur von 40 °C ergeben sich für die Schallgeschwindigkeit und ihren absoluten Fehler folgende Werte: c ( 40 )
355.236
m s
'c ( 40 )
0.887
m s
Der prozentuelle Fehler beträgt: 'c ( 40 ) c ( 40 )
0.25 %
Die lineare Näherungsformel liefert daher im betrachteten Temperaturbereich einen um höchstens 0.3 % zu großen Wert für die Schallgeschwindigkeit.
Seite 44
2
Taylorreihen
Beispiel 2.30: Nach Einstein gilt für die kinetische Energie eines Körpers der Ruhemasse m 0 bei hohen Geschwindigkeiten v folgende relativistische Beziehung: 2
m0
2
Ekin = m c m0 c =
§v· 1¨ ©c¹
2
2
c m0 c
2
c ist die Lichtgeschwindigkeit.
Zeigen Sie, dass für v/c << 1 (also bei kleinen Geschwindigkeiten) die klassische Beziehung E k = m0 v2 /2 gilt. c c
Redefinition
m0
2
§v· 1 ¨ ©c¹
2
2
1
2
3
c m0 c reihe v 8 o m0 v 2 8
m0 c
2
4
v
5 16
m0 c
4
2
6
v
Ekin =
m0 v 2
Beispiel 2.31: Nach Einstein gilt für einen Körper (z.B. ein Stab der Länge L 0 ) bei hohen Geschwindigkeiten v folgende relativistische Längenkontraktion: 2
L ( v) = L0
1
v
c
c ist die Lichtgeschwindigkeit.
2
Zeigen Sie, dass für v/c << 1 (also bei kleinen Geschwindigkeiten) die klassische Beziehung L = L 0 gilt. Wie groß ist ist die Länge L bei einer Ausgangslänge L 0 = 1, wenn sich der Körper mit einer Geschwindigkeit von v = 3/4 c bewegt und bei der Berechnung die entwickelte Reihe nach dem dritten Glied abgebrochen wird ?
2
L L0 v c L0
§ ©
L ¨ L0
3 4
· ¹
cc o
1
1391 2048
1 L0 2 1 L0 4 reihe v 6 o L0 v v 2 2 4 2 8 c c c v
§ ©
L¨1
L0
3 4
· ¹
cc o
1391 2048
0.679
Beispiel 2.32: Durch das Schließen eines Schalters wird in einem Schaltkreis, in dem ein Widerstand R und ein Kondensator C in Reihe geschalten sind, eine Rampenspannung u = k t angelegt. Die Kondensatorspannung u c(t) wächst dabei vom Anfangswert u c(0) = 0 nach folgenden Zeitgesetz: t ·º ª § « ¨ W » uC ( t) = k ¬ t W © 1 e ¹ ¼ t t 0
W = R C
k!0
Zeigen Sie mittels Reihenentwicklung, dass die Kondensatorspannung u c(t) in der Anfangsphase, d.h. für t / W << 1 (t << W quadratisch mit der Zeit ansteigt.
Seite 45
Taylorreihen
t ·º ª § « ¨ W » k ¬t W ©1 e ¹¼
konvertiert in die Reihe
1 2
k
2
t
W
1 6
k W
2
3
t
1 24
k W
3
4
t
1 120
k W
4
5
6
t O t
Beispiel 2.33: Eine aus N Windungen bestehende Zylinderspule mit der Länge L und dem Durchmesser d wird von einem Strom I durchflossen. Das magnetische Feld besitzt dann in der Mitte der Spule folgende Feldstärke: H ( d) =
N I
1
L
1
§ d· ¨ © L¹
2
Leiten Sie für den Fall d/L << 1 (d << L, d.h. für eine lange Spule) durch Reihenentwicklung eine erste Näherungsformel zur Berechnung der magnetischen Feldstärke her. L L N I L
Redefinition
1
1
H ( d) = N
I L
reihe d 3 o N
§ d· ¨ © L¹
1 2
2
N
I 3
2
d
I L
1 2
N
I
2
3
d
L
Näherungsformel für die magnetische Feldstärke
L
Beispiel 2.34: Ein auf zwei Masten befestigtes durchhängedes Freileitungsseil überspannt ein Tal in einer Höhe H. Der Mastabstand beträgt 2 L = 200 m. Die mittlere Seilkurve (Kettenlinie) ist gegeben durch f(x) = c cosh(x/c). Der größte Seildurchhang beträgt f = 10 m. Die Größe c kann näherungsweise bestimmt werden, wenn f(x) durch eine quadratische Funktion ersetzt wird. Wie groß ist der maximale Fehler, der bei dieser Näherung gemacht wird ?
Es gilt:
§ L· ©c¹
c f = c cosh ¨
Diese Gleichung ist transzendent und kann nur näherungsweise gelöst werden. Wir versuchen eine allgemeine Näherungslösung für die Gleichung über die Reihenentwicklung des rechten Terms zu erhalten.
Abb. 2.15 c c
L L
f f
Redefinitionen
Seite 46
Taylorreihen
§ L · reihe L 6 o c 1 L2 1 L4 3 2 c ©c¹ 24 c
c cosh ¨
Unter der Voraussetzung, dass L klein im Vergleich zu c ist ( L/2c << 1), können wir als Näherung setzen: 1
cf=c
f=
1 2c
2
2 c
L
2
L auflösen c o
1 2
2
2
L
Wir erhalten also:
f
L
c=
2 f
Setzen wir nun den angenäherten Wert für c in die Funktionsgleichung ein, so erhalten wir: 2
2
§ x · ersetzen c = L o y = 1 L cosh § 2 x f· y = c cosh ¨ ¨ 2 2 f 2 f ©c¹ © L ¹ Entwickeln wir nun diese Funktion in Reihe (wie es oft in der Praxis üblich ist) für f << L und berechnen die Reihe nach dem zweiten Glied ab, so erhalten wir die Näherungsparabel mit dem Scheitel c: 2
2 x · 1 L 1 § 2 p ( x L f) cosh ¨ 2 f reihe x 3 o fx 2 2 2 f 2 f L © L ¹
L
1
p ( x) =
1 2
2
L
f
Restgliedabschätzung: Der Abbruch der Reihe erfolgte nach dem 2.Glied. Daher gilt für das Restglied:
§
x
©
2
cosh ¨ 2
L
4
d
4
R4 ( x) =
·
2
¹
4
f reihe x 5 o 1
2
2
f x
L
2
4
8
4
f x
3 L
f ( T x)
dx
4
x
4
mit 0 < T<1
cosh(x) ist für x > 0 monoton steigend, daher kann das Restglied mit T = 1 und x = L/2 nach oben abgeschätzt werden: 4
d
4
2
dx 1 L R4 ( L) = 2 f
§
x
©
2
cosh ¨ 2
L
4
f
· ¹ x4 ersetzen x = L o R ( L) = 4
1 3 L
Die Abschätzung des Restgliedes ergibt also folgenden maximalen Fehler:
Rmax ( L f )
1
3
2
3 L
§ 2 f· ©L ¹
f cosh ¨
Seite 47
3
2
§ 2 f· ©L ¹
f cosh ¨
1 2
L
2
fx
Taylorreihen
f 10 m
Durchhang
L 100 m
Mastabstand
c
1 2
2
L
f
H f c
c
500 m
Scheitelhöhe von der Talsohle aus gemessen
H
510 m
Masthöhe von der Talsohle aus gemessen
N 500 'x
Anzahl der Schritte
2 L
'x
N
0.4 m
x L L 'x L
Schrittweite Bereichsvariable
§x· ©c¹
f1 ( x) c cosh ¨
Seillinie (Kettenlinie)
Rmax ( L f )
maximaler Fehler
0.034 m
Seilkurve 550 c
y-Achse
f1( x)
m
m
500
p ( x L f) m 450
100
80
60
40
20
400
0
20
40
60
80
100
x m x-Achse Kettenlinie Parabel
Abb. 2.16 Beispiel 2.35: Einige wichtige Anwendungen von Reihenentwicklungen beziehen sich auf die näherungsweise Berechnung von Integralen, für welche keine Stammfunktion existiert. Dazu gehören unter anderem z.B. elliptische Integrale, Integralsinus, Integralcosinus, Integrale von irrationalen Funktionen usw. Das Prinzip der näherungsweisen Berechnung soll hier am Beispiel der normierten Normalverteilung rechnerisch und grafisch demonstriert werden. x
g ( x)
1 2 S
e
2
2
Die Dichtefunktion der standardisierten (normierten) Normalverteilung.
Seite 48
Taylorreihen
x x
Redefinition
´ G ( u) = µ ¶
u
Die Verteilungsfunktion der standardisierten Normalverteilung kann nicht elementar integriert werden.
g ( x) dx
f
Wir entwickeln die Exponentialfunktion zuerst in eine Taylorreihe: z
e =1
G ( u) =
z
1
z
2
z
2
´ µ 2 S µ ¶
3
z
3
4
4
2
....
mit
z=
x 2
u
1
1
1 2 1
1
2
x
1
4
x
4 2
1
6
x
8 3
Wegen der Symmetrie von g(x) wählen wir die Grenzen von 0 bis u
8
16 4
x .... dx
0
G ( u) =
G ( u) =
§
1 2 S
3
¨u
u
¨ ©
3 2 1
f
1 2 S
¦ n
0
5
7
u
2
5 2 2
·
9
u
u
3
7 2 3
....
4
¹
9 2 4
2n 1 º ª u « ( 1) n » « n » ( 2 n 1) 2 n ¼ ¬
Diese Reihe konvergiert für alle u
grad grad
7 x
g1 ( x) e
gN ( x)
Grad des Taylorpolynoms n = grad - 2
14
2
2
reihe x grad o 1
1 2 S
g1 ( x)
1 2
2
x
1 8
4
x
1 48
6
x
1 384
8
x
1 3840
G ( a b)
1 46080
b
´ µ g1 ( x) dx 2 S ¶a
V 1
Standardabweichung
x 4 4 0.01 4
Bereichsvariable
Seite 49
12
x
Näherungspolynom für die Dichtefunktion
Diese Näherung verwenden wir nun als Integrand zur Lösung unseres Integrals: 1
10
x
Taylorreihen
g ( x)
Die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Messwert innerhalb des Bereiches P- V < x < P+ V (mit P = 0 und V = 1) befindet, entspricht dem Integral dieser Funktion mit den Grenzen a = - V = -1 und b = V = 1.
g N ( x)
G ( V V )
V
V 0.5
4
3
2
1
0
1
2
3
0.6826895703
Im Vergleich mit der in Mathcad programmierten Funktion für die standardisierte Normalverteilung:
4
knorm ( 1) knorm ( 1)
0.68268949
x
Abb. 2.17 Ohne auf die Theorie näher einzugehen, seien abschließend noch einige Beispiele für die Reihenentwicklung von Funktionen in mehr als einer Variablen angeführt. Beispiel 2.36: Reihenentwicklung für Funktionen in mehr als einer Variablen: f(x,y) = ex + y3 für x = 1 und y = 0, f(x,y) = sin(x2 +y2 ) für x = 0 und y = 0, f(s,t) = ln(s + t2 ) für s = -2 und t = 2. x x x
Redefinition 3
e y reihe x = 1 y 4 o exp ( 1) exp ( 1) ( x 1)
2
2
sin x y
ln s t
2
reihe x y 8
2
2
ox y
reihe s = 2 t = 2 3
1 6
6
x
o ln ( 2)
1 2
1 2
2
1 2
2
exp ( 1) ( x 1)
4
y x
s 3 2 t
1 2 1 8
4
2
y x 2
1 6
1 6
3
3
exp ( 1) ( x 1) y
6
y
( s 2) ( s 2) ( t 2)
3 2
( t 2)
2
Beispiel 2.37: Für die nachfolgende mehrdimensionale Funktion soll eine Taylor-Approximation durchgeführt werden und diese grafisch mit der Originalfunktion in einer Region verglichen werden:
§ x · cos ( 2y) 2 © 2¹
f ( x y) sin ¨
gewählte Funktion
n 5
Grad der Approximation
x0 0 ORIGIN 0
y0 0
Zentrum der Taylorentwicklung ORIGIN festlegen
Seite 50
Taylorreihen
x0 r d x d x0 r
Region in der x-y-Ebene
y0 r d y d y0 r Rn n 1 Taylorpolynom: 1 1 1 1 1 2 3 4 5 3 2 p ( x y) f ( x y) reihe x = x0 y = y0 Rn o 2 x x y x x y x x y 2 48 3 3840 24 r
34 N ceil ( 20 r) Xk j
N
r
34
x0 r (2 r) N k
Zf k j f Xk j Yk j
k 0 N Yk j
Abstand vom Entwicklungspunkt
1.7 j 0 N
Bereichsvariable
y0 r (2 r) N j
Zpk j p Xk j Yk j
Matrizen der x- und y-Werte Matrix der z-Werte
Abb. 2.18
( X Y Zf ) ( X Y Zp) ( X Y Zf 0) Vergleich der Originalfunktion mit dem approximierenden Taylorpolynom. Zusätzlich ist hier noch die Ebene des Definitionsbereiches eingezeichnet. Durch die Änderung von r kann der Definitionsbereich beliebig geändert werden.
Seite 51
Laurentreihen
2.4 Laurentreihen Die Laurentreihe ist eine Verallgemeinerung der Taylorreihe im komplexen Bereich unter Berücksichtigung von Singularitäten im Entwicklungspunkt. Dies beschreibt die Funktionentheorie ausführlich, worauf jedoch hier nicht näher eingegangen werden kann. Ein Satz der Funktionentheorie besagt: Jede Funktion f(z) ,die im Punkt z0 eine Singularität besitzt, kann mithilfe einer verallgemeinerten Potenzreihe, der Laurentreihe, dargestellt werden: f
ª a z z nº = .. a 2 z z 2 a 1 z z 1 a 0 0 ¼ 0 0 ¬ n
¦
f ( z) =
f
n
(2-20)
2 .. a3 z z0 3 ....
a1 z z 0 a2 z z 0
Die Koeffizienten a n erhält man aus dem Konturintegral: ´ an = µ 2 S j µ µ ¶ 1
f ( z)
z z0
n 1
dz
(2-21)
Wobei die Kontur C als Doppelring mit r z z 0 R
C
um die Sigularität z 0 gegeben sein muss.
Abb. 2.19
Wir bezeichnen z 0 als eine isolierte Singularität von f(z), wenn f(z) in z = z 0 nicht analytisch ist, aber in der Nachbarschaft von z 0 analytisch ist. Pole treten in der Laurent-Entwicklung auf, wenn f
ª a z z nº 0 ¼ ¬ n
¦
f ( z) =
(2-22)
f
n
und an = 0 für n < a -m< 0 und a-m z 0. Wir bezeichnen dann z 0 als Pol m-ter Ordnung. Erstreckt sich die Entwicklung bis n = -1, so heißt z 0 ein Pol 1.Ordnung, 2. Ordnung, usw., sonst unendlicher Ordnung oder wesentliche Singularitäten. Wenn wir in einer Laurent-Entwicklung jeden Term einer Konturintegration unterwerfen, wobei die Kontur den singulären Punkt z 0 umschließt, dann erhalten wir für a -1: ´ a 1 µ µ ¶
1 2 S j
´ µ 1 dz = a 1 µ z z0 µ µ ¶
´ µ µ ¶
j r e r e
jM
jM
dM = 2 S j a 1
f ( z ) dz = a 1
Seite 52
(2-23)
Laurentreihen
Den Koeffizienten a-1 der Potenz (z - z 0 )-1 in der Laurent-Entwicklung von f(z) bezeichnet man als Residuum der Funktion f(z) im singulären Punkt z 0 . In der Praxis treten aber auch Situationen auf, dass mehrere Singularitäten im Integrationsbereich vorhanden sind. Auf diese Probleme kann hier nicht weiter eingegangen werden. Falls eine zu entwickelnde Funktion im Entwicklungspunkt eine Singularität besitzt, so liefert Mathcad die Laurententwicklung. Wesentliche Singularitäten, wie sie z.B. bei x sin(1/x) auftreten, sind mit Mathcad nicht entwickelbar! Beispiel 2.38: Bestimmen Sie die Reihenentwicklung und das Residuum von y = tan(x) im Pol x = S/2. 1 § · tan ( x) reihe x = 5 o 1 ¨ x S 2 2 © ¹ S
1
3
1 § · 1 §x 1 S· ¨x S ¨ 3 © 2 2 ¹ 45 © ¹ 1
Das Residuum ist -1.
Beispiel 2.39: Bestimmen Sie die Reihenentwicklung und das Residuum von y = cot(x) im Pol bei x = 0. 1
cot ( x) reihe x = 0 6 o 1 x
1
3
1
x
2
3
45
x
5
945
x
Das Residuum ist 1.
Beispiel 2.40: Bestimmen Sie die Residuen von y = 1/(x (x+4) 3 ). 1 x ( x 4) 1 x ( x 4)
Die Funktion hat an der Stelle x = 0 einen Pol 1. Ordnung und an der Stelle x = - 4 einen Pol 3. Ordnung.
3
3
reihe x 6 o
1 64
1
x
3
256
3 512
x
5
15
2
x
2048
21
3
16384
x
4
65536
x
Das Residuum der Funktion an der Stelle x = 0 ist 1/64. 1 x ( x 4)
3
reihe x = 4 5 o
1 4
( x 4)
3
1 16
( x 4)
2
1 64
( x 4)
1
1 256
1 1024
( x 4)
Das Residuum der Funktion an der Stelle x = -4 ist -1/64. Beispiel 2.41: Bestimmen Sie die Reihenentwicklung und das Residuum von y = 1/sin(x) 2 im Pol 2. Ordnung bei x = 0. 2
1 sin ( x)
2
reihe x 14 o 1 x
1 3
1 15
2
x
2 189
4
x
1 675
6
x
2
8
10395
x
Das Residuum ist 1.
Beispiel 2.42: Bestimmen Sie die Reihenentwicklung und das Residuum von y = 1/(z 2 (z+1)3 ) im Pol 2. Ordnung bei z = 0. 1 2
z ( z 1)
3
reihe z 6 o 1 z
2
3 z
1
2
6 10 z 15 z 21 z
3
Das Residuum bei z = 0 an der ersten Polstelle (1. Ordnung) ist - 3. 1 2
z ( z 1)
3
reihe z = 1 6 o 1 ( z 1)
3
2 ( z 1)
2
3 ( z 1)
Das Residuum bei z = - 1 an der ersten Polstelle (3. Ordnung) ist 3.
Seite 53
1
4 5 ( z 1) 6 ( z 1)
2
Fourierreihen
3. Fourierreihen Bereits im 17. Jahrhundert beschäftigten sich einige namhafte Mathematiker wie Bernoulli, Euler, D'Alembert und Lagrange mit dem Problem, wie periodische Funktionen durch Reihen von trigonometrischen Funktionen dargestellt werden können. Erst 1822 veröffentlichte Jean Baptist Fourier (1768-1830) seine Ideen über diese Funktionenreihen in einer brauchbaren Anwendungsform. Es gelang aber erst später Dirichlet ein hinreichendes Kriterium für die Entwickelbarkeit einer periodischen Funktion in eine Fourierreihe anzugeben. Fourier zeigte, dass man jedes in der Praxis vorkommende periodische Signal in eine Reihe von Sinus- und Kosinusfunktionen unterschiedlicher Frequenz zerlegt werden kann. Diese Zerlegung wird Fourier- oder harmonische Analyse genannt. Weil in den naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen (insbesondere auch in der Elektrotechnik) die Fourieranalyse häufig für Beziehungen zwischen dem Zeit- und dem Frequenzbereich herangezogen wird, beschränken wir uns im Folgenden auf diese beiden Bereiche. Dies sollte aber nicht den Schluss nahe legen, dass dies für alle Disziplinen so sein muss. Im Bereich der Optik wird zum Beispiel auch mit mechanischen Distanzen und reziproken Wellenlängen gerechnet. Nach Fourier setzt sich ein periodisches Signal f(t) = f(t + T0 ) mit der Periodendauer T 0 zusammen aus der Grundschwingung mit der Frequenz f 0 = 1/T 0 und den Oberschwingungen, deren Frequenzen ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz f 0 sind. Stellt man die Amplituden der erhaltenen Schwingungen in Funktion der Frequenz dar, erhält man das Amplituden- oder Frequenzspektrum des analysierten Signals. Die Fourieranalyse und –synthese verknüpft also den Zeitbereich mit dem Frequenzbereich. Die Fourieranalyse und Fouriersynthese sind von großer technischer und theoretischer Bedeutung. Viele Signaleigenschaften, wie zum Beispiel die benötigte Bandbreite oder der Klirrfaktor, lassen sich viel leichter aus dem Spektrum bestimmen als aus der dazugehörigen Zeitfunktion. Bei anderen Fragestellungen wiederum ist die Betrachtung im Zeitbereich sinnvoller. Beispiele dafür sind Signalverzerrungen bei gegebenem Amplituden- und Phasengang oder Einschaltvorgänge bei Filtern (siehe dazu auch Abschnitt 2.2.4, Band 2). Die reelle Darstellung einer Fourierreihe: Eine periodische Funktion f(t) = f(t + n T 0 ) mit der Periode T0 lässt sich unter folgenden Voraussetzungen (Dirichletsche Bedingungen) eindeutig als Fourierreihe darstellen: 1. Das Periodenintervall lässt sich in endlich viele Teilintervalle zerlegen, in denen f(t) stetig und monoton ist. 2. In den Unstetigkeitsstellen (Sprungunstetigkeiten mit endlichen Sprüngen) existiert der linksals auch der rechtsseitige Grenzwert. Die Fourierreihe der Funktion f(t) hat dann die Form:
f ( t) =
a0 2
f
¦ an cos n Z 0 t bn sin n Z 0 t , mit Z 0 = 2 S f0 und f0 = T0
n
1
(3-1)
1
Unter diesen Voraussetzungen konvergiert die Fourierreihe von f(t) für alle x . In den Stellen, in denen f(t) stetig ist, stimmt sie mit der Funktion f(t) überein. In den Sprungstellen liefert sie das arithmetische Mittel aus dem links- und rechtsseitigen Grenzwert der Funktion. Die Fourierkoeffizienten a 0 , an und bn (n ²) können mit folgenden Integralen berechnet werden: T ´ 0 2 a0 = f ( t) dt ; an = µ T0 ¶0 T0
2
T ´ 0 2 µ f ( t) cos n Z 0 t dt ; bn = µ T0 ¶ 0
Seite 54
T ´ 0 µ f ( t) sin n Z 0 t dt (3-2) µ ¶
0
Fourierreihen
Bemerkung: 1. Der konstante Anteil wird in der Fourierreihe mit a 0 /2 angegeben, damit man die Integrale zur Berechnung der Fourierkoeffizienten a n und bn einheitlich darstellen kann. Dieser Anteil stellt einen arithmetischen Mittelwert dar und ist in einer elektrotechnischen Anwendung ein Gleichstromanteil. 2. Da f(t) eine periodische Funktion ist, kann man statt der Integrationsgrenzen 0 und T0 auch die Grenzen t 0 und t 0 +T0 bzw. –T 0 /2 und T0 /2 wählen. 3. Bricht man die Fourierreihe nach endlich vielen Gliedern ab, erhält man eine Näherungsfunktion für f(t) in Form einer endlichen trigonometrischen Reihe (Fourierpolynom): n
a0 yp ( t) = 2
¦ ak cos k Z 0 t bk sin k Z 0 t k
(3-3)
1
Nachdem die Annäherung einer Funktion f(t) durch ein Fourierpolynom vom Grad n im Allgemeinen schlechter wird, je weiter man sich von der Entwicklungsstelle x 0 entfernt, liegt hier eine andere Art der Näherung vor. Wählt man als Maß für den Fehler bei der Näherung die Quadratische Abweichung [f(t) - y p(t)]2 im Mittel über das Intervall [0, T0 ], so ist diese dann am kleinsten, wenn die Fourierkoeffizienten gerade die angeführten Werte haben. 4. Bei vorliegender Symmetrie der Zeitfunktion f(t) vereinfachen sich die Berechnung der Fourierkoeffizienten: a) Die Fourierreihe einer geraden Funktion f(t) (axialsymmetrische Funktion) enthält nur gerade Reihenglieder, d.h. neben dem konstanten Glied nur Kosinusglieder: T0
´ 2 4 µ 4 µ a0 = f ( t) dt ; an = T0 ¶0 T0
f ( t) =
a0 2
T0
´ 2 µ f ( t) cos n Z 0 t dt ; bn = 0 µ ¶
(3-4)
0
f
¦ an cos n Z 0 t
n
(3-5)
1
b) Die Fourierreihe einer ungeraden Funktion f(t) (zentralsymmetrische Funktionen) enthält nur ungerade Reihenglieder, d.h. Sinusglieder: T0
´ 2 4 µ a0 = 0 ; an = 0 ; bn = f ( t) sin n Z 0 t dt µ T0 ¶ 0
(3-6)
f
f ( t) =
¦ bn sin n Z 0 t n
(3-7)
1
Seite 55
Fourierreihen
Fourierreihe mit phasenverschobenen Kosinus- bzw. Sinusgliedern:
Setzt man in der oben angeführten Fourierreihe an = An cos M n und bn = An sin M n , so erhält man mithilfe des Summensatzes cos(n Z0 t) cos(Mn) - sin(n Z0 t) sin(Mn) = cos(n Z0 t + Mn ) schliesslich die Fourierreihe in der Amplituden-Phasenform: f
¦ An cos n Z 0 t M n = A0 ¦ An sin n Z 0 t \ n
f ( t) = A0
n
mit A0 =
f
a0 2
1
n
und \ n = M n
S 2
(3-8)
1
.
Die Amplitude (Scheitelwert) An und die Phasenlage M n des n-ten Gliedes ermittelt man bn § bn · 2 2 an bn , tan M n = aus an und bn durch: An = bzw. M n = arctan ¨ . an © an ¹
A3 sin 3 Z0 t \ 3 A1 sin Z0 t \ 1 A2 sin 2 Z0 t \ 2
1. Harmonische oder Grundschwingung, 2. Harmonische oder 1. Oberschwingung, 3. Harmonische oder 2. Oberschwingung usw.
Trägt man die Fourierkoeffizienten in Abhängigkeit der zugehörigen Frequenz in einem Diagramm auf, so erhält man das Amplituden- oder Frequenzspektrum (auch Linienspektrum genannt). Fällt das Amplitudenspektrum einer Zeitfunktion rasch über der Frequenz ab, so ist die Zeitfunktion f(t) der sinusförmigen Grundschwingung sehr ähnlich, andernfalls weicht sie stark ab. Ein Maß dafür ist der Klirrfaktor k. Der Klirrfaktor ist ein Maß für den Oberschwingungsgehalt eines Signals. Mit ihm werden z.B. die nichtlinearen Verzerrungen einer Verstärkerstufe oder eines aktiven Netzwerks spezifiziert. Der Klirrfaktor wird in der Praxis meist mit einer Klirrfaktormessbrücke gemessen, oder wie unten angegeben, durch Analyse des Spektrums bestimmt und berechnet. Die Amplituden (Scheitelwerte) können wegen An = 2 AEff durch die Effektivwerte ersetzt werden . n
2
k=
AEff.ges AEff.1
2
(3-9)
AEff.ges
AEff.ges bedeutet den Effektivwert der Gesamtschwingung und AEff.1 den Effektivwert der Grundschwingung. Da aber die Grundschwingung A 1 relativ schwer zu messen ist, wird der Klirrfaktor meist in der folgenden Form angegeben: Falls A1 >> An (n t 1), so gilt näherungsweise: f
¦ k=
n
¦ =
f
¦ n
f
An 2
1
An 2
n
§ AEff · n¹ ©
(3-10)
f
¦ n
2
1
§ AEff · n¹ ©
2
Seite 56
Fourierreihen
Zur Herleitung und zur Auswertung der Fourierkoeffizienten wird die Definition der Orthogonalität des Systems der Funktionen f(t) = cos (n Z0 t) und g(t) = sin(n Z0 t) herangezogen: Zwei Funktionen f(t) und g(t) heißen orthogonal auf einem Intervall [t 1 , t 2 ], wenn gilt: t ´2 µ f ( t ) g ( t ) dt = 0 µ ¶
(3-11)
t1
T0 2 S 2 S
Z0
T0
n 3
angenommene Schwingungsdauer zugehörige Kreisfrequenz
m 4
T ´ 0 µ sin n Z 0 t cos m Z 0 t dt o 0 µ ¶
gilt für alle n , m
T ´ 0 µ cos m Z 0 t cos n Z 0 t dt o 0 µ ¶
gilt für alle m zn ( n , m )
T ´ 0 µ sin m Z 0 t sin n Z 0 t dt o 0 µ ¶
gilt für alle m zn ( n , m )
0
(3-13)
0
(3-12)
(3-14)
0
Ist dagegen n = m so gilt: n 4 m 4 T ´ 0 µ cos n Z 0 t cos m Z 0 t dt o S µ ¶
(3-15)
T ´ 0 µ sin n Z 0 t sin m Z 0 t dt o S µ ¶
(3-16)
0
0
Herleitung der reellen Fourierkoeffizienten: 1. Integration der Fourierreihe auf beiden Seiten: T ´ 0
µ ¶
0
T T ´ 0 f ´ 0 a0 µ dt µ f ( t ) dt = µ an cos n Z 0 t bn sin n Z 0 t µ 2 ¶ µ n 1 0 ¶
¦
0
Seite 57
dt
(3-17)
Fourierreihen
n 1
Z0 1
T0 2 S
gewählte Daten
t 0 0.001 T0
Bereichsvariable
Das Integral wird 0 für alle n: T ´ 0 µ an cos n Z 0 t dt o 0 µ ¶
0
Abb. 3.1
Das Integral wird 0 für alle n: T ´ 0 µ bn sin n Z 0 t dt o 0 µ ¶
0
Abb. 3.2
T T ´ 0 a0 ´ 0 µ dt f ( t ) dt = µ µ ¶ 2 0 ¶
T ´ 0 1 µ f ( t) dt = T0 a0 ¶ 2 0
symbolisch auswerten:
0
T ´ 0 a0 = f ( t ) dt µ T0 ¶0
2
2. Multiplikation der Fourierreihe mit cos(k Z0 t) und Integration auf beiden Seiten: T T ´ 0 a0 ´ 0 µ f ( t) cos k Z 0 t dt = µ cos k Z 0 t dt + µ µ 2 ¶ ¶ 0
(3-18)
0
T ´ 0 f µ a0 cos n Z 0 t cos k Z 0 t b0 sin n Z 0 t cos k Z 0 t + µ µ n 1 ¶
¦
0
k 1
gewählte Konstante
Seite 58
dt
Fourierreihen
Das Integral wird 0 für alle k: T ´ 0 a0 µ cos k Z 0 t dt o 0 µ 2 ¶
0
Abb. 3.3
Das Integral wird 0 für alle n z k: T ´ 0 µ a0 cos n Z 0 t cos k Z 0 t dt o 0 µ ¶
0
Abb. 3.4
Das Integral wird 0 für alle n z k: T ´ 0 µ a0 sin n Z 0 t cos k Z 0 t dt o 0 µ ¶
0
Abb. 3.5
Das Integral wird 0 für alle n = k: T ´ 0 µ b0 sin n Z 0 t cos k Z 0 t dt o 0 µ ¶
0
Abb. 3.6
Seite 59
Fourierreihen
Das Integral wird nicht 0 für alle n = k:
Abb. 3.7
T ´ 0 µ a0 cos n Z 0 t cos k Z 0 t dt o S a0 µ ¶
Daraus folgt:
0
T T0 ´ 0 µ f ( t) cos k Z 0 t dt = a0 µ 2 ¶
0
T ´ 0 µ a0 = f ( t) cos n Z 0 t dt T0 µ ¶ 0
2
3. Multiplikation der Fourierreihe mit sin(k Z0 t) und Integration auf beiden Seiten: T T ´ 0 a0 ´ 0 µ f ( t) sin k Z 0 t dt = µ sin k Z 0 t dt + µ µ 2 ¶ ¶ 0
(3-19)
0
T ´ 0 f µ a0 cos n Z 0 t sin ( k Z t) b0 sin n Z 0 t sin ( k Z t) dt + µ µ n 1 ¶
¦
0
n 1
k 2
gewählte Konstanten
Das Integral wird 0 für alle n z k: T ´ 0 µ a0 cos n Z 0 t sin k Z 0 t dt o 0 µ ¶
0
Abb. 3.8
Seite 60
Fourierreihen
Das Integral wird 0 für alle n z k: T ´ 0 µ a0 sin n Z 0 t cos k Z 0 t dt o 0 µ ¶
0
Abb. 3.9
Das Integral wird 0 für alle n = k:
T ´ 0 µ a0 cos n Z 0 t sin k Z 0 t dt o 0 µ ¶
0
Abb. 3.10
Das Integral wird nicht 0 für alle n = k:
Abb. 3.11
T ´ 0 µ b0 sin n Z 0 t sin k Z 0 t dt o S b0 µ ¶
Daraus folgt:
0
T ´ 0 µ b0 = f ( t) sin n Z 0 t dt T0 µ ¶ 0
2
Seite 61
T T0 ´ 0 µ f ( t) sin k Z 0 t dt = b0 µ 2 ¶
0
Fourierreihen
Komplexe Darstellung einer Fourierreihe: Neben der reellen Darstellung gibt es noch die komplexe Darstellung eines periodischen Vorganges (Siehe dazu auch Band 2). Durch Addition der beiden Eulerschen Beziehungen: e
j nZ 0t M n
= cos n Z
j nZ 0t M n
e
0 t M n j sin n Z 0 t M n ,
= cos n Z
(3-20)
0 t M n j sin n Z 0 t M n
(3-21)
erhält man:
cos n Z 0 t M n =
1 2
ª
¬e
j nZ 0t M n
e j nZ 0tM n º . ¼
(3-22)
Setzt man nun diese Beziehung in die reelle Darstellung der Fourierreihe ein und berücksichtigt noch a0 2
= A0 = c0 , dann geht die reelle Darstellung über in die komplexe Darstellung: f
f
jnZ 0t jnZ 0t· § c e cn e n © ¹
¦ An cos n Z 0 t M n = c0 ¦
f ( t) = A0
n
1
n
(3-23)
1
Dabei ergibt sich für cn und cn mit an = An cos M n und bn = An sin M n der Zusammenhang: jM n 1 1 1 1 cn = An e = An cos M n j An sin M n = an j bn , 2 2 2 2
jM n 1 1 cn = An e = An cos M n j 2 2 2 2 An = an bn = 2 cn = 2 cn ,
1
1 An sin M n = an j bn und 2 2 an = cn cn = 2 Re cn , bn = j cn cn = 2 Im cn .
Weil aber cn = c n für n z 0 ist, resultiert aus der vorher angegebenen Darstellungsform die folgende komplexe Fourierreihe, die im Amplitudenspektrum eine Darstellung nach "positiven" und "negativen" Frequenzen bedeutet: f
f ( t) = c0
jnZ 0t· § c e n © ¹
¦ n
f
¦ n
1
jnZ 0t· § c e n © ¹ = c0
1
f
¦ n
1
jnZ 0t· § c e n © ¹
f
¦ n
§ jnZ 0t· © cn e ¹
1
Durch Zusammenfassung ergibt sich schließlich: f
f ( t) =
¦ n
jnZ 0t· § c e n © ¹
(3-24)
f
Seite 62
Fourierreihen
1
an j bn die reellen Fourierkoeffizienten an und bn ein, dann ergeben sich die 2 komplexen Fourierkoeffizienten aus: Setzt man in cn =
T0 T0 · § 2 ´ 2 ´ ¨ µ µ cn = f ( t) cos n Z 0 t dt j f ( t) sin n Z 0 t dt 2 ¨ T0 µ T0 µ ¶ ¶ 0 0 © ¹
1
T ´ 0 µ cn = ª¬f ( t) cos n Z 0 t j sin n Z 0 t T0 µ ¶ 0
1
cn =
T ´ 0
1
µ T0 ¶0
jnY 0t
f ( t) e
t T ´0 0
µ dt = T0 µ ¶t 0 1
º¼ dt
T0
j nY 0t
f ( t) e
´ 2 µ jnY 0t µ dt dt = f ( t) e T0 µ T ¶ 0 1
(3-25)
2
Ist f(t) eine gerade Funktion (achsialsymmetrisch ; f(t) = f(- t)), so sind die komplexen Fourierkoeffizienten cn reell, bei einer ungeraden Funktion (zentralsymmetrisch ; f(t) = - f(- t)) imaginär. Andernfalls lassen sie sich in Real- und Imaginärteile bzw. Betrag und Phase zerlegen.
Beispiel 3,1: In einem Einweggleichrichter fließt ein Strom i = I max sin(Z0 t) für 0 < Z0 t dS und 0 A für S < Z0 t d2S . Führen Sie für diesen Strom eine Fourieranalyse durch. Wir setzen x = Z0 t und erhalten dann für die Fourierkoeffizienten: n n
Redefinition
T 2S ´ 0 1 ´ µ a0 = f ( t ) dt = µ f ( x) dx T0 ¶0 S ¶0
2
1 ´ a0 = µ S ¶
S
Imax sin ( x) dx vereinfachen o a0 =
0
2 S
Imax
konstantes Glied
T 2S ´ 0 1 ´ µ an = f ( t) cos n Z 0 t dt = µ f ( x) cos ( n x) dx S ¶0 T0 µ ¶ 0
2
an =
1 ´ µ S ¶
S
Imax sin ( x) cos ( n x) dx vereinfachen o an = Imax
0
Seite 63
cos ( S n) 1 2 S 1 n
Koeffizient a n
Fourierreihen
n 3
Für ungerade n > 1:
an = Imax
n 2
Für gerade n:
an = Imax
cos ( S n) 1
2
S 1 n
cos ( S n) 1
2
S 1 n
vereinfachen o a3 = 0
vereinfachen o a2 =
2 3 S
Imax
T 2S ´ 0 1 ´ µ bn = f ( t) sin n Z 0 t dt = µ f ( x) sin ( n x) dx T0 µ S ¶0 ¶ 0
2
n n
Redefinition
1 ´ bn = µ S ¶
S
Imax sin ( x) sin ( n x) dx vereinfachen o bn = Imax
0
bn =
1 ´ µ S ¶
S
Imax sin ( x) sin ( 1 x) dx vereinfachen o bn =
0
1 2
sin ( S n)
2
S 1 n
Imax
Wird 0, wenn n > 1 ist. Für n = 1 kann dieses Ergebnis nicht direkt ausgewertet werden. Glied b1
Die Fourierreihe lautet daher:
i ( t) =
Imax S
Imax 2
sin Z 0 t
2 I max S
§ cos 2 Z 0 t
¨
©
1 3
cos 4 Z 0 t 3 5
cos 6 Z 0 t ....· 5 7
¹
Beispiel 3,2: Es soll eine Fourieranalyse bzw. deren Rücktransformation für eine periodische Rechteckspannung u(t) = Û für -T0 /4 < t < 3T0 /4 oder 5T0 /4 d t < T0 /4 und 0 V für T0 /4 d t < 3T0 /4 mit der Amplitude Û = 10 V und der Periodendauer T 0 reell und komplex durchgeführt werden. Wie groß ist der Klirrfaktor ? ORIGIN 0 Z0 1 s T0
Ursprung der induzierten Variablen
1
2 S Z0
gewählte Kreisfrequenz (Z0 = 2 S f0 ) T0
Periodendauer
6.283 s
Û 10 V
Amplitude
t T0 T0 0.01 s 3 T0
Bereichsvariable
u ( t)
Û if
T0 · § T0 ¨ t 4 ¹ © 4
0 V if
T0 4
dt
3 T0
Û wird mit
+ 0219 (Zifferncode) erzeugt
gegebene Spannung (periodische und gerade Funktion)
4
Seite 64
Fourierreihen
up ( t )
Û if
T0 · § T0 ¨ t 4 ¹ © 4 T0
0 V if
4
dt
if t t
up t T0
3 T0
periodische Fortsetzung durch rekursive Definition der Funktion
4 3 T0 4
Zeitbereich (Originalbereich) der Spannung u(t) mit der Periodendauer T 0 : Rechteckspannung 12
Û
T010
u ( t)
4
V
T0
8
4
6 up( t)
Abb. 3.12
4
V
2 3
2
7
12
17
2 t s
Numerische Berechnung der reellen Fourier- Koeffizienten: n 0 np
Bereichsvariable (n p ist weiter unten global definiert) T0
an
´ 4 2 µ µ u ( t) cos n Z 0 t dt T0 µ ¶ T0
an wenn an TOL V 0 V an
mit
1 u 10
TOL
4
a0
konstantes Glied (Gleichspannungsanteil)
10 V
T
0
a
0
10
1 6.366
2 0
3 -2.122
4 0
5 1.273
Wegen der Symmetrie (gerade Funktion) gilt für alle bn = 0 V.
Seite 65
6 0
7 -0.909
8
V 0
3
Fourierreihen
Frequenzbereich (Spektralbereich - Bildbereich): Amplituden oder Frequenzspektrum der Rechteckspannung. Frequenzspektrum 12 10 8 6 4 2
an V
1
2
Abb. 3.13
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
n
Die Amplituden der Grundschwingung und der Oberschwingungen mit den Frequenzen f = n f 0 bzw. Z = n Z0 . Es kommen in diesem Spektrum nur ganzzahlige Frequenzanteile vor, daher spricht man von einem diskreten Spektrum. Dies ist charakteristisch für periodische Funktionen. Rücktransformation (Fouriersynthese): n 1 np
Bereichsvariable
a0
u15 ( t)
2
¦ an cos n Z 0 t
Fourierpolynom mit 15 Gliedern
n
Originalfunktion und Fourierpolynom
12 10
up( t)
8
V
6
u 15( t)
Abb. 3.14
4
V
2 3
2
1 0 1 2
2
3
4
5
6
7
8
np { 15
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
t s
Die Spitzen unmittelbar neben den Sprungstellen sind typisch für das Verhalten von Fourierreihen an solchen Stellen. Die Fourrierreihe konvergiert, obwohl die Spitzen mit zunehmendem n immer ausgeprägter werden. Klirrfaktor: n 0 15 Un =
Bereichsvariable
an 2 bn 2 =
T
0
U
0
10
Un
an
1 6.366
2 0
3 2.122
Scheitelwerte
an
4 0
5 1.273
Seite 66
6 0
7 0.909
8
V 0
Fourierreihen
15
¦ k
k
Uk
2
k
0.711
k
Klirrfaktor näherungsweise für 15 Glieder der Reihe. Die Bedingung U1 >> Un (n t 1)
71.091 %
15
¦ k
Uk
ist hier eigentlich nicht erfüllt!
1
Komplexe Berechnung der Fourierkoeffizienten: Symbolische Berechnung: T0
j nZ 0
´ 4 µ j nZ0t Û e µ dt = cn = Û e T0 T0 µ T ¶ 0 1
T0 4
j nZ 0
e
T0
j nZ 0
4
Û
=
j n Z0
T0 n Z 0
2
e
T0 4
j nZ 0
e
T0 4
2 j
4
§1 T n Z · 0 0 ©4 ¹
sin ¨ cn = 2 Û
T0 n Z 0
Fourierkoeffizienten nach händischer Auswertung
T0
´ 4 j nZ 0t 1 µ µ dt cn = Û e T0 µ T ¶ 0
§1 T n Z · 0 0 ©4 ¹
sin ¨ vereinfacht auf
cn = 2 Û
T0 n Z 0
symbolische Mathcadauswertung
4
1 Für und T0 o 2 S s und Z 0 o erhalten wir: s
§¨ §1 ·· sin ¨ T0 n Z 0 ©4 ¹¸ o c = 5 V c 0 = lim ¨ 2 Û 0 ¨ T0 n Z 0 no0 © ¹ § ©
sin ¨ n cn = U
§3 S· © 2 ¹
sin ¨
S· 2¹
n S
cn = 0, wenn n gerade.
cn =
( 1)
n 1
n S
, wenn n ungerade (n = 2 n - 1).
Numerische Berechnung: nmax 15
maximaler Wert von n
ORIGIN nmax
ORIGIN
n nmax nmax
Bereichsvariable
15
Seite 67
1
ORIGIN festlegen
Fourierreihen
T0
cn
´ 4 µ jnZ 0t µ dt Û e T 0 µ T ¶ 0
1
cn wenn cn TOL V 0 V cn
für TOL
1 u 10
3
4 T
c
-15
-15 -0.212
-14
-13 0.245
0
-12
-11 -0.289
0
-10 0
-9 0.354
-8
-7 V -0.455
0
Wegen der Symmetrie sind die komplexen Fourierkoeffizienten reell. Komplexes Frequenzspektrum 6
4 cn 2
17
15
13
11
9
7
5
3
1
1
3
5
7
9
11
13
15
17
n
Abb. 3.15 Zusammenhang mit den reellen Fouriekoeffizienten:
an 2 cn T
a
-15
an wenn an TOL V 0 V an -15 0.424
-14
-13 0.49
0
n 0 15
-12 0
-11 0.579
-10 0
-9 0.707
-8
-7 0.909
0
V
Bereichsvariable Frequenzspektrum 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
an
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8 n
Abb. 3.16
Seite 68
9
10
11
12
13
14
15
16
Fourierreihen
Rücktransformation im Komplexen (Fouriersynthese): Die einzelnen Teilschwingungen lassen sich in komplexer Form darstellen durch: jkZ 0t j kZ 0t· § jkZ 0t j kZ 0t·º ª 1 § uk ( t k ) wenn «k = 0 © ck e ck e c e ck e k ¹ © ¹»¼ 2 ¬
Damit ergibt sich das Fourierpolynom in komplexer Form: n
un ( t n)
¦ k
uk ( t k )
0
Rechteckschwingung und Teilschwingungen
12 10 up( t) 8
V u k( t 0 )
6
u k( t 1 )
4
u k( t 2 )
2
u k( t 3 )
3
2
1
0 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Abb. 3.17
2
u k( t 5 )
4 6 8 t s
Originalfunktion und Fourierpolynom
12 10
up( t)
8
V
u n t n max
6 4
V
Abb. 3.18
2 3
2
1 0 1 2
2
3
4
5
6
7
8
t s
Seite 69
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Fourierreihen
Beispiel 3,3: Führen Sie eine Fourieranalyse für eine periodische Folge von Sägezahnimpulsen mit der Amplitude Û = 5 V und der Periodendauer T 0 bzw. deren Rücktransformation reell durch. Wie lautet der Klirrfaktor ? u(t) = 2 (Û/T0 ) t für -T0 /2 < t < T0 /2 . ORIGIN 1 Z0 1 s T0
ORIGIN festlegen
1
gewählte Kreisfrequenz (Z0 = 2 S f0 )
2 S
T0
Z0
Periodendauer
6.283 s
Û 5 V
Amplitude
t T0 T0 0.01 s 3 T0
Bereichsvariable
T ·· § § ¨ ¨t 0 2 ¸¸ 2 Û ¨ ¨ u ( t) t T0 T0 floor ¨ ¨ T0 © © T0 ¹ ¹
gegebene Spannung (ungerade Funktion)
Û wird mit + 0219 (Zifferncode) erzeugt
Zeitbereich (Originalbereich) der Spannung u(t) mit der Periodendauer T 0 : Sägezahnspannung
6
u ( t) V
T0
4
T0
2
2
2
Û
7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2
Abb. 3.19
4 6 t s
Numerische Berechnung der reellen Fourier- Koeffizienten: n 1 15
Bereichsvariable T0
bn
´ 2 µ µ u ( t ) sin n Z 0 t dt T0 µ ¶ T0
2
bn wenn bn TOL V 0 V bn
für TOL
2 T
b
1
1 3.183
2 -1.592
3 1.061
4 -0.796
5 0.637
6 -0.531
Wegen der Symmetrie (ungerade Funktion) gilt für alle a n = 0 V.
Seite 70
7 0.455
8 V -0.398
1 u 10
3
Fourierreihen
Frequenzbereich (Spektralbereich - Bildbereich): Amplituden oder Frequenzspektrum der Sägezahnspannung. Frequenzspektrum 4 3 bn
2
Abb. 3.20
1 1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
n
Die Amplituden der Grundschwingung und der Oberschwingungen mit den Frequenzen f = n f 0 bzw. Z = n Z0 . Es kommen in diesem Spektrum nur ganzzahlige Frequenzanteile vor, daher spricht man von einem diskreten Spektrum. Dies ist charakteristisch für periodische Funktionen. Rücktransformation (Fouriersynthese):
¦ bn sin n Z 0 t
u15 ( t)
Fourierpolynom mit 15 Gliedern
n
6 u ( t)
4
V
2
u 15( t) V
Originalfunktion und Fourierpolynom
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2
Abb. 3.21
4 6 t s
Die Spitzen unmittelbar neben den Sprungstellen sind typisch für das Verhalten von Fourierreihen an solchen Stellen. Die Fourrierreihe konvergiert, obwohl die Spitzen mit zunehmendem n immer ausgeprägter werden. Klirrfaktor:
Un =
an 2 bn 2 =
T
U
1
1 3.183
Un
bn
2 1.592
3 1.061
4 0.796
Scheitelwerte
bn
5 0.637
6 0.531
Seite 71
7 0.455
8 0.398
9 V 0.354
Fourierreihen
15
¦ k
k
Uk
2
k
0.836
k
Klirrfaktor näherungsweise für 15 Glieder der Reihe. Die Bedingung U1 >> Un (n t 1)
83.584 %
15
¦ k
Uk
ist hier eigentlich nicht erfüllt!
1
Beispiel 3,4: Für eine "angeschnittene" Wechselspannung mit der Amplitude Û = 5 mV soll eine Fourieranalyse reell und komplex und deren Rücktransformation durchgeführt werden. u(t) = Û cos(Z0 t) für 0 d t < T0 /4 und 0 für T 0 /4 d t < T0 . ORIGIN 0 TOL 10
ORIGIN festlegen
6
Z0 1 s
Toleranzgrenze für die numerische Berechnung festlegen
1
gewählte Kreisfrequenz (Z0 = 2 S f0 )
2 S
T0
T0
Z0
Periodendauer
6.283 s
Û 5 mV
Amplitude
t 0 s 0 s 0.001 s 2 T0
Bereichsvariable
u ( t)
Û cos Z 0 t
Û wird mit + 0219 (Zifferncode) erzeugt
T0 · § T0 · § ¨0 s d t d ¨ T0 d t d 5 4 ¹ © 4 ¹ ©
if
gegebene Spannung (gerade Funktion)
0 mV otherwise Oder mit der Heavisidefunktion definiert:
§ § T0 · § 5 T0 · · u ( t) = Û cos Z 0 t ¨ ) ¨ t ) t T0 ) ¨ t © © 4 ¹ © 4 ¹¹
Zeitbereich (Originalbereich) der Spannung u(t) mit der Periodendauer T 0 : Wechselspannung
5 T0
3
u ( t) mV
T0
4 1
Û mV
cos Z 0t
1 0
1
2
3
4
5
6
7
3 5
a a1
t s
Seite 72
8
9
10
11
12
13
Abb. 3.22
Fourierreihen
Numerische Berechnung der reellen Fourier- Koeffizienten: nmax 100
maximaler Wert der Bereichsvariable n
n 0 nmax
Bereichsvariable
T0
an
´ 4 2 µ µ u ( t ) cos n Z 0 t dt T0 ¶ 0s
an wenn an TOL mV 0 mV an a0
T
a
0
0 1.592
1 1.25
2 0.531
0
mit
TOL
1 u 10
6
konstantes Glied (doppelter Gleichspannungsanteil)
1.592 mV
3
4 -0.106
5 0
6 0.045
7
mV 0
T0
bn
´ 4 2 µ µ u ( t) sin n Z 0 t dt T0 ¶ 0s
T
0
b
0
0
1 0.796
2 1.061
bn wenn bn TOL mV 0 mV bn
3 0.796
4 0.424
5 0.265
6 0.273
7 0.265
mit
TOL
8 0.202
1 u 10
6
mV
Frequenzbereich (Spektralbereich - Bildbereich): Amplituden oder Frequenzspektrum der angeschnittenen Wechselspannung. Frequenzspektrum 2 an mV
1
Abb. 3.23
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 n
Frequenzspektrum 2 bn mV
1
Abb. 3.24
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 n
Seite 73
Fourierreihen
Rücktransformation (Fouriersynthese): Die Fourierreihe soll dann abgebrochen, wenn die Amplitude der n-ten Oberschwingung kleiner als p% der Grundschwingung ist:
np p nmax a b
2
Um
a b
2
km2 while k d nmax return k if
Unterprogramm zur Berechnung von nmax für das Fourierpolynom
Uk U1 p Uk ! TOL V
kmk1 return nmax
nmax1 np 0.02 nmax a b a0
up ( t)
2
nmax1
maximales n bei p = 2 %
53
nmax1
¦ an cos n Z0 t bn sin n Z 0 t
Fourierpolynom mit 21 Gliedern
1
n
Originalfunktion und Fourierpolynom 6 5
u ( t)
T0
4
mV
T0
4
3
u p( t)
Abb. 3.25
2
mV 1 1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1 t s
Fourierreihe in der Amplituden-Phasenform: 1 u 10
TOL
6
Die Toleranzschwelle muss hier niedriger gewählt werden, damit bei der Berechnung der Phasenlage keine zu hohen Ungenauigkeiten entstehen.
n 1 nmax U0
Bereichsvariable
a0
Un
2
an = 0 bn = 0 atan2 bn an otherwise
Mn
an 2 bn 2
Scheitelwerte
0 if
Unterprogramm zur Berechnung der Phasenlagen
Die Phasenlagen können auch über die komplexen Koeffizienten cn und mithilfe eines Unterprogramms berechnet werden: cn =
1 2
an j bn
Mn =
0 if
cn TOL mV
arg cn
S 2
Seite 74
otherwise
Fourierreihen
Frequenzspektrum 2 Un mV U0
Abb. 3.26
1
mV
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 n 0
Phasenspektrum 2
Mn
1
Abb. 3.27 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 1 n nmax1
¦ Un sin n Z0 t M n
up ( t) U0
n
Fourierpolynom mit n max1 = 53 Gliedern
1
Originalfunktion und Fourierpolynom 6 5
u ( t)
T0
4
mV
T0
4
3
u p( t)
Abb. 3.28
2
mV 1 1
0
1
2
3
4
5
6
7
1 t s
Seite 75
8
9
10
11
12
13
Fourierreihen
Komplexe Berechnung der Fourierkoeffizienten: ORIGIN nmax
ORIGIN
100
n nmax nmax
Bereichsvariable
ORIGIN festlegen
T0
cn
´ 4 jnZ 0t µ µ dt Û cos Z 0 t e T0 ¶ 0
1
T
-100 -0+ 0.008i
c
-100
cn wenn cn TOL mV 0 mV cn
-99
-98 0+ 0.008i
0.008i
-97
für TOL
1 u 10
mV 0.008i
Die Fourierkoeffizienten sind komplex. Komplexes Frequenzspektrum 2
2 c n
1.5
mV 2 c n
1
mV 0.5
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 n
Abb. 3.29 U0 =
a0 2
= c0
c0
0.796 mV
Gleichspannungsanteil
Rücktransformation im Komplexen (Fouriersynthese): nmax1
up1 ( t) c0
¦
n
j nZ 0t jnZ 0t· § c e cn e n © ¹
Fourierpolynom komplex mit n = nmax1 = 53 Gliedern
1
Seite 76
6
Fourierreihen
Originalfunktion und Fourierpolynom 6 5
u ( t)
T0
4
mV
T0
4
3
u p1( t)
Abb. 3.30
2
mV 1 1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1 t s
Beispiel 3,5: Es soll eine Fourieranalyse bzw. deren Rücktransformation für einen periodischen Rechteckstrom (z.B. "Ankerstrombelag einer Drehstromwicklung") mit der Amplitude Î = 10 A und der Periodendauer T 0 reell durchgeführt werden. ORIGIN 0 Z0 1 s
Ursprung der induzierten Variablen
1
gewählte Kreisfrequenz (Z0 = 2 S f0 )
2 S
T0
T0 o 2 S s
Z0
Periodendauer
Î 10 A
Amplitude
t 0 s 0.01 s Pz T0
Bereichsvariable
Î wird mit + 0206 (Zifferncode) erzeugt
Pz wird neben der Graphik global als Periodenanzahl definiert i ( t)
Î 2 Î if
T0
if 0 t
Î
T0 6 if
2
Î if
6
dt
T0 2
3
T0 3
dt
2
3 2 T0
dt
3
5 T0 6
Stromfunktion über eine Periode definiert d t T0
5 T0 6
§ § t ·· iper f t T0 f ¨ t T0 floor ¨ © © T0 ¹ ¹
T0
T0
dt
2 T0
periodische Fortsetzung der Funktion
Seite 77
Fourierreihen
Zeitbereich (Originalbereich) des Stromes i(t) mit der Periodendauer T 0 :
i ( t) A
i per i t T0
Rechteckspannung
12 10 8 6 4 2
T0
T0
2
Abb. 3.31
2 0 4 6 8 10 12
A
Î
2
4
6
8
10
12
Pz { 2
t s
Die Rechteckschwingung könnte auch noch über die Heavisidefunktion und in Grad definiert werden: ia ( t )
Î 2
Î 2
) Z 0 t 60 Grad ) Z 0 t 120 Grad
1 § ib ( t) Î ¨ ) Z 0 t 180 Grad ) Z 0 t 240 Grad 2 © ic ( t )
Î 2
) Z 0 t 300 Grad ) Z 0 t 360 Grad
i1 ( t ) ia ( t ) i b ( t ) ic ( t )
·¹
Teile der Gesamtschwingung
Gesamtschwingung Teilschwingungen
i a( t) A i b( t) A i c( t) A
12 10 8 6 4 2 2 0 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Z 0T0 Grad 60
120
180
240
300
360
420
480
540
600
660
720
Abb. 3.32
Z 0t Grad
Seite 78
Fourierreihen
Gesamtschwingung über eine Periode 12 10 8 6 4 2
i 1( t) A
2 4 6 8 10 12
Z 0T0 Grad
0
60
120
180
240
300
360
420
480
540
600
660
720
Abb. 3.33
Z 0t Grad
i1per f t Z 0 T0 f mod Z 0 t T0
Die Funktion wird noch durch die mod-Funktion periodisch gemacht. periodische Wechselgröße
i 1per i 1 t Z 0 T0
12 10 8 6 4 2 2 0 4 6 8 10 12
60
120
180
240
300
360
420
480
540
600
660
720
Abb. 3.34
Z 0t Grad
Numerische Berechnung der reellen Fourier- Koeffizienten: nmax 100
maximaler Wert der Bereichsvariable n
n 0 nmax
Bereichsvariable
a1 n 0 A
Wegen der Symmetrie (ungerade Funktion) gilt für alle a n = 0 A. T0
b1n
´ 2 µ µ i ( t ) sin n Z 0 t dt T0 ¶ 0s
4
T
0
b1
0
0
1 9.549
2
b1n wenn b1n TOL A 0 A b1n
3 0
4 0
0
Seite 79
5 1.91
6 0
7 1.364
mit
TOL
8
A 0
1 u 10
6
Fourierreihen
Frequenzbereich (Spektralbereich - Bildbereich): Amplituden oder Frequenzspektrum der Rechteckschwingung Frequenzspektrum 10 b1n
6.67
A
Abb. 3.35 3.33
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 n
Rücktransformation (Fouriersynthese):
nmax1 np 0.03 nmax a1 b1
nmax1
maximales n bei p = 3 % (siehe Beispiel 3.4)
35
nmax1
¦ b1n sin n Z 0 t
ip ( t )
n
Fourierpolynom mit 35 Gliedern
1
Originalfunktion und Fourierpolynom
12 10 i ( t) A
i per i t T0
i p( t)
T0
2
4 2
A
A
T0
8 6
2
0
2
4
6
8
4 6 8 10 12 t s
Seite 80
10
12
Abb. 3.36
Fourierreihen
Beispiel 3,6: Für den gegebenen Filter soll die Übertragungsfunktion ermittelt und in einem Bode-Diagramm im Bereich 0.1 Hz d f d 10 MHz dargestellt und interpretiert werden. Stellen Sie auch noch die Nyquist-Ortskurve dar. Durch Fourieranalyse und Fouriersynthese soll dann noch die Antwort des Filters auf die gegebene periodische Eingangsspannung u e (t) berechnet und interpretiert werden.
ue ( t) =
Umax T0
t if t
T0
R = 150 :
Ohmscher Widerstand
L = 30 mH
Induktivität
C = 20 PF
Kapazität
Umax = 5 V
Amplitude der Eingangsspannung
T0 =
Abb. 3.37
2 S 300
s
Periodendauer
2
2
Eingangsspannung
2 Umax
Umax T0
t otherwise
2
Übertragungsfunktion, Bode-Diagramm und Nyquist-Ortskurve:
Zp Z1 Z2
Z1 Z2
Parallelschaltung der komplexen Widerstände
Z1 Z2
XL ( f L) j 2 S f L XC ( f C)
induktiver Blindwiderstand
1
kapazitiver Blindwiderstand
j 2 S f C
G ( f R L C)
Zp XC ( f C) R
R XL ( f L) Zp XC ( f C) R
G ( f R L C) G ( f R L C) vereinfachen o AdB ( f R L C) 20 log G ( f R L C)
Übertragungsfunktion (Auflösung nach Spannungsteilerregel) 1 2
R
i
2
2
2
i R R S f C S f L 2 i S f L R C
Amplitudengang in dB
M ( f R L C) arg ( G ( f R L C) )
Phasengang
dB 1
Einheitendefinition
R 150 :
Ohmscher Widerstand
L 30 mH
Induktivität
C 20 PF
Kapazität
Seite 81
Fourierreihen
fmin 0.01 Hz
unterste Frequenz
fmax 10 MHz
oberste Frequenz
N 500
Anzahl der Schritte
§ fmax · ¨© fmin ¹
log ¨ 'f
Schrittweite
N
k 0 N
Bereichsvariable
fk fmin 10
k'f
Vektor der Frequenzwerte
Bode Diagramm: 3dB
Amplitudengang 0
AdB fk R L C dB
fg
100
Abb. 3.38
200 0.01
0.1
1
10
1 10
3
100
1 10
4
1 10
5
1 10
6
1 10
7
fk Hz Frequenz in Hz
0 20 40 60 M fk R L C 80 100 Grad 120 140 160 180 200 0.01
Phasengang
90
fg
Abb. 3.39 180
0.1
1
10
100
1 10
3
1 10
4
1 10
5
1 10
6
1 10
7
fk Hz Frequenz in Hz
Der Amplitudengang zeigt, dass es sich um ein Tiefpassfilter handelt. Niederfrequente Schwingungen werden bevorzugt durchgelassen und hochfrequente Schwingungen werden gesperrt.
Seite 82
Fourierreihen
Die -3dB-Grenze, die einer Dämpfung der Ausgangsspannung auf 1 / 2 = 70.7 % entspricht und üblicherweise zur Ermittlung der Grenzfrequenz herangezogen wird, wird hier stets unterschritten. Dies liegt natürlich daran, weil sich der Filter bei niedrigen Frequenzen (f gegen 0) als einfacher Spannungsteiler verhält (XL hat einen besonders niedrigen und X C einen besonders hohen Widerstand). Bei steigender Frequenz steigt XL und sinkt XC. Durch die beiden frequenzabhängigen Bauteile wird eine Filtersteilheit von ca. 40 dB pro Dekade erreicht. Die Phasendrehung beträgt 180°, weil es sich um einen Tiefpass 2. Ordnung handelt. Bei der Knickfrequenz ist die Phasendrehung -90°. G ( 0 Hz R L C) AdB ( 0 Hz R L C)
Die Übertragungsfunktion hat bei der Frequenz von 0 Hz den Wert 1/2.
0.5 6.021 dB
4
dB-Grenze
5
AdB 10 Hz R L C AdB 10 Hz R L C
Filtersteilheit pro Dekade
39.976 dB
Berechnung der Knickfrequenz (M(f,R,L,C) = -S/2): g ( f ) M ( f R L C)
S
Funktionsdefinition
2
f 100 Hz
Startwert für die Näherungslösung
§ ©
fg1 wurzel ¨ M ( f R L C)
· 2 ¹ S
f
fg1
290.576 Hz
fg { 290.576 Hz
Knickfrequenz
Nyquist-Ortskurve (kartesische Darstellung): i 0 1
Bereichsvariable Ortskurve 0.2
Imaginärteil
Im G fk R L C
0.1
0 · § ¨ ©Im( G( 0Hz R L C) ) ¹ i 0 · § ¨Im G f R L C ¹i © g
f = 0 Hz 0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
G ( 0 Hz R L C) 0.1
fg
290.576 Hz
0.2
0.3
0 · 0 · § § ¨ ©Re( G( 0Hz R L C) ) ¹ i ©Re G fg R L C ¹ i
Re G fk R L C ¨
Realteil
Abb. 3.40
Seite 83
0.6
0.5
Fourierreihen
Fourieranalyse und Fouriersynthese des Eingangssignals: 2 S
T0
300
s
Periodendauer
2 S
Z0
Kreisfrequenz
T0
Umax 3 V
Amplitude der Eingangsspannung
Umax
ue ( t)
t if 0 d t
T0
T0 2
2
Eingangsspannung (Eingangssignal)
2 Umax
Umax T0
t if
T0 2
d t T0
2
§ § t ·· ueper f t T0 f ¨ t T0 floor ¨ © © T0 ¹ ¹
periodische Fortsetzung der Funktion
T0 t T0 T0 3 T0 100 Eingangssignal 4 U max u e( t)
2T0
T0
3
V
u eper u e t T0
2
Abb. 3.41
V 1
0.03
0.02
0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
t s
Komplexe Berechnung der Fourierkoeffizienten: ORIGIN nmax
ORIGIN
n nmax nmax
Bereichsvariable
cn
T ´ 0 j nZ 0t µ µ dt ue ( t) e T0 ¶ 0
1
100
TOL 10
6
ORIGIN und Toleranz festlegen
cn wenn cn TOL V 0 V cn
Seite 84
komplexe Fourierkoeffizienten
Fourierreihen
T
-100
c
-99
-100
-98 -0 1·10-15+ 1.711i·10-15
0
-97
V -0
Wegen der Symmetrie (gerade Funktion) sind die komplexen Fourierkoeffizienten reell. Komplexes Frequenzspektrum 2
1.5
cn V
Abb. 3.42
1
cn V
0.5
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
n
U0 =
a0
= c0
2
c0
Gleichspannungsanteil
1.5 V
Rücktransformation im Komplexen (Fouriersynthese): 10
uep ( t) c0
¦ n
jnZ 0t j nZ 0t· § c e cn e n © ¹
Fourierpolynom komplex mit n = 10 Gliedern
1
oder: nmax
jnZ 0t· § c e n © ¹
¦
uep ( t) =
n
n max
Eingangssignal und Fourierpolynom 6
u eper u e t T0
5
V u ep( t)
3
V
2
2T0
T0
4
Abb. 3.43
1 0.021
0.01
0
0.01
0.021 t s
Seite 85
0.031
0.042
0.052
0.063
Fourierreihen
Rücktransformation im Reellen (Fouriersynthese): U0 =
a0
a0 2 c0
= c0
2
n 0 20
a0
doppelter Gleichspannungsanteil
3V
Bereichsvariable
an wenn cn cn TOL V 0 V cn cn
reelle Fourierkoeffizienten für das Eingangssignal
bn wenn ª¬ j cn cn TOL V 0 V j cn cn º¼ 1
4
an
bn
2
V
0
V
0
5
10
15
0
1
20
0
5
10
n
15
20
n
Abb. 3.44
Abb. 3.45
Das Eingangssignal ist eine gerade Funktion, daher sind alle bn = 0. a0
uep ( t)
2
10
¦ an cos n Z 0 t n
Fourierpolynom mit 10 Gliedern
1
Eingangssignal und Fourierpolynom 6
u eper u e t T0
5 4
V u ep( t)
3
V
2
Abb. 3.46 1 0.03
0.02
0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
t s
Bestimmung der Ausgangsspannung u a (t): Es wird zuerst jede Schwingungskomponente der Fourieranalyse durch den Filter geschickt und das Ergebnis am Ausgang des Filters ermittelt. Danach wird durch Fouriersynthese (Summation) des Ausgangssignal bestimmt. n nmax nmax
Bereichsvariable
Seite 86
Fourierreihen
f0
2 S
Frequenz der Grundschwingung
T0
c1 n cn G n f 0 R L C
a1 2 Re c1 n n
komplexe Fourierkoeffizienten für das Ausgangssignal
b1 2 Im c1 n n
reelle Fourierkoeffizienten für das Ausgangssignal
a1 wenn § a1 TOL V 0 V a1 · n n¹ © n
reelle Fourierkoeffizienten für das Ausgangssignal
b1 wenn § b1 TOL V 0 V b1 · n n n
©
¹
2
a1
n
b1
1
V
0.2 n
V
0
1
0
1
2
3
4
0.1 0
5
0
1
n
uap ( t)
2
2
¦
n
1
3
4
Abb. 3.48
§ a1 cos n Z 0 t b1 sin n Z 0 t · n © n ¹
Fourierpolynom des Ausgangssignals mit 2 Gliedern
Eingangs- und Ausgangssignal 3
u eper u e t T0
2.5 2
V
1.5
u ap( t) V
1 0.5 0.03
0.02
5
n
Abb. 3.47 a1 0
2
0.01
0
0.01
0.02 t s
Abb. 3.49
Seite 87
0.03
0.04
0.05
0.06
Fourierreihen
Klirrfaktor: n 1 nmax
Bereichsvariable
Un 2 cn
Scheitelwerte vor dem Filter
nmax
¦
k
kv
Uk
2
kv
nmax
¦
k
0.431
kv
Klirrfaktor vor dem Durchgang durch den Filter
43.143 %
Uk
1
U1n 2 c1 n
Scheitelwerte nach dem Filter
n max
¦
k
kn
U1k
2
kn
n max
¦
k
0.178
kn
Klirrfaktor nach dem Durchgang durch den Filter
17.847 %
U1k
1
0.2
Un
G nf0 R L C
Der Oberwellenanteil wird mit zunehmenden Frequenzen kleiner. Dies ist auch verständlich, weil der Tiefpassfilter höhere Frequenzen stärker dämpft.
0.15
U1n
0.1
0.05
0
0
2
4
6
8
n
Abb. 3.50
Seite 88
10
Fourierreihen
Beispiel 3,7: Einem Funktionsgenerator (FG) wird eine Sägezahnspannung entnommen und einem Lautsprecher zugeführt. Man untersuche das physikalische Verhalten dieser Schaltung.
Gegebene Daten: C = 22 PF RL = 8 : f0 = 1 kHz Umax = 1 V VU = 1
Abb. 3.51 ue (t) bedeutet die Eingangsspannung (Funktionsgeneratorspannung), U max Amplitude der Eingangsspannung, f 0 die Frequenz der Eingangsspannung, ua (t) die Spannung am Lautsprecher, C die Kapazität des Kondensators, RL der ohmsche Widerstand des Lautsprechers und VU die Spannungsverstärkung. Die Eingangsspannung (Generatorspannung) ist gegeben durch:
ue ( t) =
2 Umax T0
t if
T0 2
dtd
T0
Eingangsspannung (Generatorspannung) über eine Periode
2
0 otherwise T ·· § § ¨ ¨t 0 2 Umax ¨ 2 ¸¸ ¨ ueper ( t) = t T0 T0 floor ¨ ¨ T0 © © T0 ¹ ¹
periodische Fortsetzung der Eingangsspannung
a) Stellen Sie die Spannung des Funktionsgenerators grafisch dar. b) Wie groß ist der Effektivwert der Generatorspannung ? c) Führen Sie für die Generatorspannung eine Fourieranalyse und Fouriersynthese (Fourierpolynom mit 30 Gliedern) durch und stellen Sie Frequenzspektrum und das Fourierpolynom grafisch dar. Wie groß ist der Klirrfaktor der Generatorspannung ? d) Die Funktionsgeneratorspannung wird an einen Leistungsverstärker mit der Spannungsverstärkung 1 gelegt, an dessen Ausgang über den Kondensator C ein Lautsprecher (ist als Ohmscher Widerstand zu betrachten) angeschlossen ist. Berechnen Sie näherungsweise den Klirrfaktor der Lautsprecherspannung. Effektivwertberechnung der Generatorspannung (symbolisch): Umax Umax
Redefinition
T0
UEff =
´ 2 µ µ T0 µ µ T ¶ 0 1
2
§¨ 2 Umax · t dt ¨© T0 ¹
1
annehmen Umax ! 0 1 2 o UEff = 3 Umax 3 vereinfachen
2
Seite 89
Fourierreihen
Grafische Darstellung der Generatorspannung: Umax 1 V
maximale Amplitude
f0 1 kHz
Frequenz
Z 0 2 S f0 T0
2 S Z0
ms 10
3
3 1
Z0
6.283 u 10 s
T0
1 u 10
3
Kreisfrequenz
Periodendauer
s
Einheitendefinition
s
ta 6 ms
Anfangszeitpunkt
te 6 ms
Endzeitpunkt
N 800
Anzahl der Schritte
't
te ta
Schrittweite
N
t ta ta 't te
ueper ( t)
UEff
Bereichsvariable
2 Umax T0
Umax 3
T ·· § § ¨ ¨t 0 2 ¸ ¸ Generatorspannung mit periodischer Fortsetzung ¨ ¨ t T0 T0 floor ¨ ¨ T © © 0 ¹¹
UEff
Effektivwert der Generatorspannung
0.577 V
Generatorspannung und Effektivwert 1.5 T0
Spannung
u eper( t)
2
V
2
ms 0.5
V U Eff
T0
1
6
5
4
3
2
1
ms 0
0.5 1 1.5 t ms Zeit
Abb. 3.52
Seite 90
1
2
3
4
5
6
Fourierreihen
Fourieranalyse und Fouriersynthese der Generatorspannung: 2 Umax
ue ( t)
T0
t if
T0 2
dtd
T0
Generatorspannung über eine Periode
2
0 otherwise ORIGIN 1 TOL 10
ORIGIN festlegen
6
numerische Toleranz festlegen
n 1 30
Bereichsvariable
Die Koeffizienten a n sind alle null. Die Generatorspannung ist eine ungerade Funktion (zentralsymmetrisch). T0
bn
´ 2 µ µ ue ( t) sin n Z 0 t dt T0 µ ¶ T0
2
bn wenn bn TOL V 0 bn
Fourierkoeffizienten b n
2 T
1
b
1
0.637
2 -0.318
3
4 -0.159
0.212
5 0.127
6 V -0.106
Frequenzspektrum der Generatorspannung 0.73 0.65 0.58 bn 0.51 0.44 V 0.36 0.29 0.22 0.15 0.073 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 n
Abb. 3.53 Die Fouriersynthese aus 30 Gliedern (Rücktransformation) ergibt: 30
uep ( t)
¦ bn sin n Z 0 t n
Fourierpolynom mit 30 Gliedern
1
Seite 91
Fourierreihen
Generatorspannung und Fourierpolynom 2
Spannung
u eper( t) V u ep( t)
6
5
4
3
2
T0
T0
1.33 2
2
ms 0.67
ms
1
V
0
1
2
3
4
5
6
0.67 1.33 2 t ms Zeit
Abb. 3.54 Klirrfaktor der Generatorspannung: b1
Amplitude der Grundschwingung
0.637 V
u1 ( t) b1 sin Z 0 t
Grundschwingung
T0
UEff.1
´ 2 1 µ 2 µ u1 ( t) dt T0 µ ¶ T0
UEff.1
0.45 V
Effektivwert der Grundschwingung
2
UEff
2
k
Effektivwert der Gesamtspannung
0.577 V
UEff UEff.1
2
k
UEff
62.6 %
Klirrfaktor der Generatorspannung
Klirrfaktor der Lautsprecherspannung (näherungsweise): Nach der Spannungsteilerregel gilt für die Übertragungsfunktion G(j n Z):
G(j n Z ) =
ua ( j n Z ) ue ( j n Z )
RL
=
1
=
RL j n Z C
j n Z C RL 1 j n Z C RL
Übertragungsfunktion
Effektivwert der Spannung am Lautsprecher (mit Kondensator) = Amplitudengang * Effektivwert der Eingangsspannung: Ua.Eff = G ( j n Z ) Ue.Eff
Effektivwert der Spannungsamplituden am Lautsprecher
Seite 92
Fourierreihen
C 22 PF
Kapazität des Kondensators
RL 8 :
Ohmscher Widerstand des Lautsprechers
j n Z 0 C RL
An
T
1 0.742
A
1
2 0.911
3 0.957
bn
UeEff n
UeEff
Amplitudengang
1 j n Z 0 C RL
T 1
T 1
¦ n
1 0.45
2 0.225
7 0.992
8 0.994
9 0.995
2
§ UaEff · n¹ ©
¦ 1
3 0.15
2 0.205
3 0.144
5 0.09
6 0.075
7 0.064
8 0.056
9 V 0.05
4 0.11
5 0.089
6 0.074
7 0.064
8 0.056
9 V 0.05
2
k
§ UaEff · n¹ ©
4 0.113
Effektivwert der Lautsprecherspannungsamplituden
1 0.334
30
n
6 0.989
Effektivwert der Eingangsspannungsamplituden
30
k
5 0.984
2
UaEff An UeEff n n UaEff
4 0.975
70.9 %
Klirrfaktor der Lautsprecherspannung (Ausgangsspannung)
2
Seite 93
Fourierreihen
3.1 Diskrete Fourier-Transformation (DFT) und inverse diskrete-Transformation (IDFT) Bei vielen technischen Problemen ist die Zeitfunktion nicht explizit bekannt. Die Messwerte können zum Beispiel aus einem Messdatenerfassungssystem (digitalen Speicher-KO) stammen. Oft ist es auch notwendig, ein analoges Signal zu digitalisieren. Dies wird z.B. bei einer CDAufnahme und anderen Analog-Digital-Umwandlungen genützt. Für solche Fälle wurden numerische Verfahren entwickelt, die besonders einfach werden, wenn die Abstände zwischen den Messwerten konstant sind (äquidistant). Man hat es also mit periodischen Signalen y = f(t) (bzw. u(t), i(t) usw.) mit der Periode T 0 = 2S/Z0 zu tun, von denen man in äquidistanten Abtastzeitpunkten t k = k 't (k = 0, 1, 2, ... , N-1) die N aufgenommenen Abtastwerte y k = f(tk ) (bzw. uk , ik usw.) des Signals mit N 't = T0 kennt.
Abb. 3.55 Durch die N Punkte (t k | yk ) (bzw. (tk | uk ), (tk | ik ) usw.) mit t k = k 't lässt sich nun eine periodische Funktion legen, die als Fourierpolynom (trigonometrisches Polynom) in reeller oder komplexer Form formuliert wird: f ( t) | fp ( t) =
a0 2
M
¦ an cos n Z 0 t bn sin n Z 0 t n
M
fp ( t) = c0
¦ n
(3-26)
1
jnZ 0t j nZ 0t· § c e cn e n © ¹=
1
M
¦ n
jnZ 0t· § c e n © ¹
(3-27)
M
Diese Aufgabe nennt man Ausgleichsrechnung in diskreter Form (punktweise Approximation, diskrete Fehlerquadratmethode nach Gauß; siehe dazu auch Abschnitt 3.10, Band 3). Die noch frei wählbaren 2 M + 1 Parameter (Koeffizienten) a 0 , an, bn bzw. c k werden mithilfe einer Fehlergröße S festgelegt: N 1
S=
2 ¦ yk fp tk Minimum
k
0
Seite 94
(3-28)
Fourierreihen
Dabei muss die Anzahl der Abtastwerte N grösser sein als die zu bestimmenden Parameter, also N > 2 M+1 (oft beträgt in der Praxis dieser Unterschied eine Grössenordnung N >> 2 M+1). Aus dem Minimalprinzip ergeben sich dann die diskreten reellen Koeffizienten zu:
an =
N 1
2
¦ yk cos n Z 0 tk und
N
k
bn =
N1
2
¦ yk sin n Z 0 tk
N
0
k
(3-29)
0
mit n = 0, 1, 2, ... , M. a0 ergibt sich für n = 0 und b 0 = 0. Setzen wir schließlich 2 S
n Z 0 tk = n
an =
k 't = n
T0
N 1
2 N
k
T0
k
T0 N
= 2 S
k N
§ y cos § 2 S k n· · ¨ k ¨ N ¹¹ © ©
¦
2 S
0
n , so erhalten wir die Darstellung
bn =
2 N
N1
§ y sin § 2 S k n· · (3-30) ¨ k ¨ N ¹¹ © ©
¦
k
0
Die diskreten komplexen Koeffizienten c n ergeben sich aus: 1 cn = an j bn 2
cn =
1 2
ª2
«
«N ¬
N 1
¦
k
yk cos n Z 0 tk
0 jM
1 N
N 1
k
N
N 1
¦ 0
yk sin n Z 0 tk
º » » ¼
(3-32)
= cos ( M ) j sin ( M ) ergibt sich schließlich:
j nZ 0tk· § © yk e ¹
¦
2
k
Mit der Eulerschen Beziehung e
cn =
j
(3-31)
(3-33)
0
Setzen wir auch hier k
n Z 0 tk = 2 S
N
n,
so erhalten wir für n = 0, 1, 2, ... , M, mit N t 2 M+1, die komplexen Fourierkoeffizienten in der Darstellungsform:
cn =
1 N
N 1
¦
k
k § j 2S n· ¨ N © yk e ¹
(3-34)
0
Ist die Anzahl der Abtastwerte N = 2 M+1, so nimmt f p(t) (trigonometrisches Interpolationspolynom) an den Abtaststellen t k die Abtastwerte y k an.
Seite 95
Fourierreihen
Multiplizieren wir die Ungleichung N t 2 M+1 mit f0 (Z0 = 2 Sf0 ), so ergibt sich: N f 0 t ( 2 M 1) f0
(3-35)
Die Grösse fA = N f0 =
N T0
=
N N 't
=
1
(3-36)
't
ist die Anzahl, wie oft die Funktion f(t) pro Sekunde abgetastet wird, also die Abtastfrequenz. Es muss also gelten: fA t ( 2 M 1) f0 bzw. fA t 2 M f0 f0
(3-37)
fA ist aber die Frequenz der höchsten im Fourierpolynom vorkommenden Oberschwingung. Die Abtastfrequenz muss also mindestens gleich 2 M f0 + f 0 sein. Dies ist eine Frequenz, die grösser als das Doppelte der höchstens in der Funktion f(t) enthaltenen Frequenz ist. Diese Aussage wird, wie nachfolgend angegeben, in einem Satz der Digitaltechnik formuliert. Das Abtasttheorem (Sampling-Theorem) nach Shannon: Ein Zeitsignal kann aus (theoretisch unendlich vielen) äquidistant liegenden Abtastwerten dann exakt rekonstruiert werden, wenn die Abtastung mit einer Frequenz f A erfolgt, die mehr als doppelt so groß ist (zweifache Bandweite) wie die höchste im Signal enthaltene Frequenz fmax (also fA > 2 fmax). Das Signal kann Überabgetastet werden (oversampling), um eine gute Rekonstruktion des Signals zu erreichen. Wenn kleinere Abtastraten (Samplingraten) benutzt werden, dann werden Signalkomponenten höherer Frequenz mit Signalkomponenten niedriger Frequenz überlagert. Dieses Phänomen wird Aliasing genannt, welches die Informationen, die von einem Signal getragen werden, zerstört.
Beispiel 3,8: Die mit T0 = 4 ms periodische Wechselspannung u(t) soll während einer Periode N = 5 und N = 7 mal abgetastet werden. Zu diesen Abtastwerten soll die Fourierreihe (Fourierpolynom) bis zur 2. Harmonischen (M = (N - 1)/2 = (5 - 1)/2 = 2) bzw. 3. Harmonischen ((M = (N - 1)/2 = (7 - 1)/2 = 3) aufgestellt werden. Vergleichen Sie in einer Graphik die Originalfunktion, die Abtastwerte und das Fourierpolynom. ORIGIN 0 ms 10
3
s
ORIGIN festlegen Einheitendefinition
Umax 1 V
Scheitelwert
T0 4 ms
Periodendauer
Z0 f0
2 S T0 1 T0
Z0 f0
1570.796 s
1
Kreisfrequenz
Frequenz
250 Hz
§ 2 S t· Umax cos § 3 2 S t· u ( t ) Umax sin ¨ ¨ 2 T0 © T0 ¹ © ¹
periodische Spannung
Seite 96
Fourierreihen
N Na 't
T0 N
N
5
Anzahl der Abtastwerte
't
0.8 ms
Abtastschrittweite
k 0 N 1
Bereichsvariable
tk k 't
Abtastzeitpunkte
T
0
t
0
1 0.8
0
2 1.6
3 2.4
4 3.2
uk u tk
4 ms
ms
Abtastvektor
T
0
u
0
M
N 't
1 0.547
0.5
N 1
M
2
2 0.742
3 -0.433
2 M 1
2
n 0 M
4 V -1.356
5
Bereichsvariable
Fourieranalyse:
an
2 N
N1
k
bn
2 N
§ u cos § 2 S k n· · ¨ k ¨ N ¹¹ © ©
¦
0
N 1
§ u sin § 2 S k n· · ¨ k ¨ N ¹¹ © ©
¦
k
0
T
0
a
1
0
2
0
T
0
b
0
1
0
0
3 0.5
2 1
0
0
3 -0.159
4 V -1.061·10-4
4 0.127
Fouriersynthese:
up ( t)
a0 2
M
¦ an cos n Z 0 t bn sin n Z 0 t n
Fourierpolynom
1
t 0 ms 0.01 ms 3 T0
Bereichsvariable
Seite 97
5 V -0.106
Fourierreihen
Originalfunktion und Fourierpolynom 2 u ( t) 1
V
T0
3T0
ms
ms
uk V
0
u p( t)
2
4
6
8
10
12
Abb. 3.56
1
2 t
tk
t ms ms ms
Na { 5
Hier kann global die Anzahl der Abtastwerte geändert werden (z.B. 7, 9 usw.)!
fA N f0
fA
fmax 3 f 0
fmax
fA ! 2 fmax
1250 Hz 750 Hz
Abtastfrequenz größte vorkommende Frequenz in der Wechselspannung Das Abtastteorem nach Shannon ist in diesem Fall nicht erfüllt!
0
Schnelle Fourier-Transformation (FFT- Fast Fourier-Transform) Die Berechnung der Näherungswerte für die Fourierkoeffizienten mit den oben angegebenen Näherungsformeln erfordert nicht nur an die N 2 Additionen, sondern, was auch zur erhöhten Rechenzeit beiträgt, N2 Multiplikationen. In vielen Anwendungen ist aber N oft sehr groß, so dass selbst schnelle Rechner lange Rechenzeiten benötigen. 1965 wurde ein Algorithmus veröffentlicht, der nur noch eine Rechenzeit braucht, die proportional zu N log 2 (N) ist. Dieser Algorithmus wurde als FFT bekannt. FFT hat seitdem viele Bereiche der Naturwissenschaft und Technik revolutioniert und ist eine gängige Methode zur numerischen Ermittlung des Frequenzspektrums von diskreten Daten. Obwohl es zahlreiche Varianten von diesem Algorithmus gibt, bleibt jedoch der Grundgedanke, die N Werte der Folge yk in mehrere Teilfolgen zu zerlegen und diese dann getrennt zu transformieren. Besonders wirksam ist diese Algorithmus, wenn N eine Potenz von 2 ist. Wenn N eine gerade Zahl ist, so folgt aus 2 M+1 d N die Forderung M < N/2 und daher n < N/2. Ist der Vektor y = ( y0 , y1 , ..., yN-1) bekannt, so lässt sich mit der oben angeführten Näherungsformel der Vektor der Fourier-Koeffizienten c = (c0 , c1 , ..., cN-1) berechnen aus:
cn =
1 N
N 1
¦
k
k § j 2S n· ¨ N © yk e ¹ , n = 0, 1, 2, ..., N - 1
(3-38)
0
Es ist leicht zu erkennen, dass die oben angeführte Näherungsformel mit dieser übereinstimmt, wenn n < N/2 ist. Diese N Gleichungen werden als diskrete Fourier-Transformation (DFT- Discrete Fourier Transform) der n-Werte y k in die N-Werte cn bezeichnet. Ein wichtiges Anwendungsgebiet der DFT ist die Signalverarbeitung. Z.B. Bildanalysen und Bildbearbeitung (Ultraschall-Scannern, Röntgenaufnahmen, Satelitenbildern usw.) und Spracherkennung, besonders bei verrauschten Signalen.
Seite 98
Fourierreihen
Umgekehrt kann man mit strukturgleichen Formeln aus dem gegebenen Vektor c = (c0 , c1 , ..., cN-1) den Vektor y = ( y0 , y1 , ..., yN-1) bestimmen:
yn =
1 N
N 1
¦
k
k § j 2S n· ¨ N © ck e ¹ , n = 0, 1, 2, ..., N - 1
(3-39)
0
Dieses Vorgehen heißt diskrete Fourier-Synthese (IDFT- Inverse Discrete Fourier Transform). Ein wichtiges Anwendungsgebiete der IDFT Analyse ist die Signalerzeugung (z.B. bei der Bild- und Sprachsynthese). In Mathcad sind verschiedene Varianten der diskreten Fourier-Transformation vorgesehen (siehe Einführung in Mathcad Band 1). Schnelle diskrete Fourier-Transformation für reelle Daten: Die Fast-Fourier-Transformierte FFT(y) liefert einen Vektor cn mit 2m-1 + 1 (m > 2) Elementen zurück:
c = FFT ( y)
cn =
1 N
N 1
¦
k
k · § j2S n ¨ N © yk e ¹ , n = 0,1,2,...,N/2 mit N ²
(3-40)
0
N ist die Anzahl der reellen diskreten Daten (Messungen in regelmäßigen Abständen im Zeitbereich) des Vektors y, wobei dieser Vektor genau 2m = N (m > 2) Daten enthalten muss. Die Invers-Fast-Fourier-Transformierte IFFT(c) liefert einen Vektor yn mit 2m-1 + 1 (m > 2) Elementen zurück: k § j2S n· ¨ N © ck e ¹ , n = 0,1,2,...,N/2 mit N ²
N1
y = IFFT ( c)
yn =
¦
k
(3-41)
0
Die reellwertigen Fourierkoeffizienten a n und bn erhalten wir durch:
an = 2 Re cn und bn = 2 Im cn
(3-42)
Schnelle diskrete Fourier-Transformation für reelle und komplexe Daten (ein- und zweidimensional): Die Fast-Fourier-Transformierte CFFT(y) liefert einen Vektor (oder Matrix) cn derselben Größe wie der als Argument übergebene Vektor y bzw. wie die als Argument übergebenen Matrix zurück ( das Ergebnis hat dieselbe Anzahl von Zeilen und Spalten wie der Vektor y):
c = CFFT ( y)
cn =
1 N
N 1
¦
k
k § j2S n· ¨ N © yk e ¹ , n = 0,1,2,...,N-1 mit N ²
0
N ist die Anzahl der reellen oder komplexen diskreten Daten des Vektors (oder Matrix) y mit beliebiger Größe.
Seite 99
(3-43)
Fourierreihen
Die Invers-Fast-Fourier-Transformierte ICFFT(c) liefert einen Vektor (oder Matrix) yn derselben Größe wie der als Argument übergebene Vektor c bzw. wie die als Argument übergebenen Matrix zurück: k § j2S n· ¨ N © ck e ¹ , n = 0,1,2,...,N-1 mit N ²
N1
y = ICFFT ( c)
yn =
¦
k
(3-44)
0
Die reellwertigen Fourierkoeffizienten a n und bn erhält man durch:
an = 2 Re cn und bn = 2 Im cn mit n < N/2
(3-45)
Beispiel 3,9: Ein periodisches Signal i(t) mit der Frequenz f 0 = 100 Hz soll während einer Periode N = 8, N = 16 und N = 32 mal abgetastet werden. Zu diesen Abtastwerten soll mittels FFT das Frequenzspektrum ermittelt und grafisch dargestellt werden. Anschließend soll durch Fouriersynthese das Originalsignal wieder hergestellt und in einer Grafik mit der Originalfunktion verglichen werden. ORIGIN 0 ms 10
3
ORIGIN festlegen
s
Einheitendefinition
Imax 1 A
Scheitelwert
f0 100 Hz 1
T0
f0 2 S
Z0
T0
Frequenz
f0
100 Hz
T0
10 ms
Z0
628.319 s
i ( t ) I max sin 2 Z 0 t
Imax 3
Periodendauer
Kreisfrequenz
cos 5 Z 0 t
m m1
Imax
m
T0 N
N
16
Anzahl der Abtastwerte
't
0.625 ms
Abtastschrittweite
k 0 N 1
Bereichsvariable
tk k 't
Abtastzeitpunkte
T
0
t
0
cos 6 Z 0 t
2
Periodisches Signal
wird unten global definiert
N 2 't
1
0
1 0.625
2 1.25
3 1.875
4 2.5
5 3.125
Seite 100
N 't
10 ms
6 3.75
7 4.375
8
ms 5
Fourierreihen
ik i tk
Abtastvekor des Signals
T
0 0.833
i
0
1 0.226
2 0.764
t 0 ms 0.01 ms 2 T0
3 1.369
4
5 A -0.662
-0.5
Bereichsvariable Signal und Abtastwerte
2 i( t)
1
A
T0
2T0
ms
ms
ik 0
A
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
1
2 t
tk
ms ms
Abb. 3.57 Fourieranalyse und Frequenzspektrum: c FFT ( i) n 0
Fast Fourier-Transformation
N
Bereichsvariable
2
TOL 10
5
numerische Toleranz festlegen
cn wenn cn TOL A 0 A cn T
0
c
0
1 0
0
numerische Rauschen rausfiltern
2 -0.5i
3
4 0
0
5 0.167
6
7 0.25
A 0
Komplexes Frequenzspektrum 1 cn A
0.5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
n
Abb. 3.58 a1 2 Re ( c)
b1 2 Im ( c)
reellwertige Fourierkoeffizienten
Seite 101
13
14
15
16
17
Fourierreihen
Reelles Frequenzspektrum
Reelles Frequenzspektrum
1 a1n
2 b1n
0.5
0
1
2
3
4
5
6
7
1
8
0
1
2
3
n
4
5
6
7
8
n
Abb. 3.59
Abb. 3.60
Rücktransformation in den Zeitbereich: i1 IFFT ( c)
Berechnung der IFFT-Koeffizienten
2 ik A i1k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
T0
2T0
ms
ms
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
A
2 tk ms
Abb. 3.61
n max
ip t nmax c0
¦
n
jnZ 0t j nZ 0t· § cn e © cn e ¹
Fourierpolynom in komplexer Darstellung
1
2 i ( t)
1
A
§ ©
i p¨t A
N·
0
2¹
2
4
6
8
T0
2T0
ms
ms
10
1
2 t ms
Abb. 3.62
Seite 102
12
14
16
18
20
Fourierreihen
m1 { 4
N
fA N f0
fA
fmax 6 f 0
fmax
fA ! 2 fmax
Vergleiche m1 = 3 und m 1 = 5!
16
Abtastfrequenz
1600 Hz
größte vorkommende Frequenz im Signal
600 Hz
Das Abtastteorem nach Shannon ist in diesem Fall erfüllt
1
Beispiel 3,10: Von einem mit Rauschanteilen überlagertem Signal soll das Frequenzspektrum hergestellt werden, das überlagerte Signal gefiltert (die Rauschanteile unterdrückt) und das Originalsignal wieder hergestellt werden. ORIGIN 0 ms 10
3
ORIGIN festlegen
s
Einheitendefinition
Amax 1 mm
Scheitelwert
f0 1 kHz T0
Z0
f0
1 f0 2 S T0
3
1 u 10 Hz
Frequenz Periodendauer
T0
1 ms
Z0
6283.185 s
1
Kreisfrequenz
N 127
ungerade Anzahl von Abtastwerten
k 0 N 1
Bereichsvariable
tk
T0 N
k
Abtastwerte
yk Amax sin 5 Z 0 tk
Amax 2
cos 9 Z 0 tk
periodisches digitales Signal
2 T0
yk 0
mm
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
2 tk ms
Abb. 3.63 Dieses Signal soll mit Rauschanteilen überlagert werden (mithilfe der Funktion rnd): sk yk ( rnd ( 2) 1) mm
Seite 103
ms 1
1.1
Fourierreihen
4 2
T0
sk 0
mm
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
ms 1
1.1
2 4 tk ms
Abb. 3.64 Diskrete Fouriertransformation: c CFFT ( s)
N ist ungerade, daher CFFT.
§ N· © 2¹
n 0 floor ¨
n
N
N
2
2
pegel 0.12 mm
63.5
Bereichsvariable
Festlegung eines Pegelwertes zur Ausscheidung des Rauschanteils. Frequenzspektrum
0.6 cn 0.4
mm
m Signal
pegel mm
0.2
0
m Rauschanteil 0
10
20
30
40
50
60
70
n
Abb. 3.65 Filterung des Signals, um die Rauschanteile zu unterdrücken: n 0 N 1 cn cn )
Bereichsvariable cn pegel
Mit der Heaviside-Funktion werden alle Frequenzanteile, deren Amplitude unter dem Pegelwert liegt, auf 0 gesetzt (einfacher Filter).
Diskrete Rücktransformation: y1 ICFFT ( c)
inverse Fourier-Transformation
Seite 104
Fourierreihen
Abgetastetes Signal und rücktr. Signal
0.002
y1
T0
0.001
yn
ms n
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
0.001 0.002 tn ms
Abb. 3.66 Beispiel 3,11: Eine eingelesene Bilddatei soll zuerst in seine ROT-, GRÜN- und BLAU-Anteile zerlegt und grafisch dargestellt werden. Anschließend sollen diese Anteile Fouriertransformiert und das Frequenzspektrum dargestellt werden. Durch geeignete Filterung der Frequenzanteile soll das Originalbild wieder hergestellt werden.
ORIGIN 0
ORIGIN festlegen
B "C:\mathcad\Einführung\Beispiele\bilder\stifte.jpg "
Einlesen einer Bilddatei
RGB RGBLESEN ( B)
Mit RGBLESEN werden Rot-, Grün- und BlauAnteil nebeneinander in eine Matrix geschrieben.
z zeilen ( RGB) s
spalten ( RGB) 3
i 0 z 1
z
223
Zeilenanzahl der RGB-Matrix
s
149
Spaltenanzahl der RGB-Matrix
j 0 s 1
Ni j 0
Bereichsvariable Nullmatrix mit gleicher Dimension wie R-, G- und B-Anteile
Anteile rot, grün und blau mit der Funktion submatrix extrahieren: Rot submatrix ( RGB 0 z 1 0 s 1)
Spalte 0 bis s - 1 für R-Anteil
Grün submatrix ( RGB 0 z 1 s 2 s 1)
Spalte s bis 2 s - 1 für G-Anteil
Blau submatrix ( RGB 0 z 1 2 s 3 s 1)
Spalte 2 s bis 3 s - 1 für B-Anteil
Seite 105
Fourierreihen
Originalbild und zusammengesetztes Bild aus Rot, Grün und Blau-Anteil (Matrixpalette- Bild einfügen)
Rot Grün Blau
B Abb. 3.67
Rot N N
Abb. 3.68
N Grün N
Abb. 3.69
N N Blau
Abb. 3.70
Abb. 3.71
Schnelle Fouriertransformation mithilfe der Funktion CFFT und Frequenzspektrum: CRot CFFT ( Rot)
CGrün CFFT ( Grün)
CBlau CFFT ( Blau)
Re CRot N N
N Re CGrün N
N N Re CBlau
Abb. 3.72
Abb. 3.73
Abb. 3.74
Seite 106
Fourierreihen
Frequenzspektren für i = 0: 1 10
3
100 CRot
0j
10 CGrün CBlau
0j
1 0j
0.1
0.01
0
20
40
60
80
100
120
140
j
Abb. 3.75 Bandbegrenzte Fourierspektren: Die Bandbegrenzung wird dadurch simuliert, dass die Fourierkoeffizienten im mittleren Indexbereich einfach null gesetzt werden. p 20 %
Prozentsatz der Koeffizienten, die null gesetzt werden.
ª§ z · § j s · º «¨ i 2 ¨ » p p 2 CRotB wenn «¨ t ¨ t C 0» i j s 2¹ © 2 ¹ Roti j ¼ ¬© z ª§ z · § j s · º «¨ i 2 ¨ » p p 2 CGrünB wenn «¨ t ¨ t CGrün 0» i j s i j ¼ 2¹ © 2¹ ¬© z s · § · º ª§ z j «¨ i 2 ¨ » p p 2 CBlauB wenn «¨ t ¨ t CBlau 0» i j s i j ¼ 2¹ © 2¹ ¬© z
Seite 107
Bandbegrenzung mit idealem Tiefpassfilter
Fourierreihen
1 10
3
s
s CRotB
p s 2 2
100
p s 2 2
0j
10
CGrünB
0j
CBlauB
1 0j
0.1 0.01
0
20
40
60
80
100
120
140
160
j
Abb. 3.76
Rücktransformation des Bandbegrenzten Signals:
RotB ICFFT CRotB
GrünB ICFFT CGrünB
BlauB ICFFT CBlauB
Abb. 3.77
Re ( RotB) Re ( GrünB ) Re ( BlauB ) Dieses Bild kann mithilfe der Funktion RGBSCHREIBEN wieder als Bilddatei gespeichert werden. Die Matrizen RotB, GrünB und BlauB müssen nicht mehr notwendigerweise reell sein. Daher werden die Matrizen zuerst vektorisiert und anschließend wird davon der Realteil erzeugt.
o o o B1 erweitern Re RotB erweitern Re GrünB Re BlauB RGBSCHREIBEN ( "stifte1.jpg" ) B1
Erzeugen der reellen Matrizen und Zusammenfügen der Matrizen Bild als Datei speichern
Seite 108
Fouriertransformation
4. Fourier-Transformation Bei periodischen Funktionen y = f p(t) führt die Fourier-Analyse stets zu einem Linienspektrum. Bei nichtperiodischen Funktionen f(t) ist aber ein kontinuierliches Spektrum zu erwarten. In der Praxis treten viele einmalige Vorgänge auf, die nicht periodisch sind. Die Analyse nichtperiodischer Funktionen, z. B. einem einmaligen Impuls, leitet man z.B. aus einer periodischen Funktion her, indem man die Periode immer grösser werden lässt. Eine Vergrößerung der Periodenlänge T 0 ist gleichbedeutend mit der Verkleinerung der Frequenz von f 0 bzw. Z0 . Im Linienspektrum des periodischen Vorganges rücken die einzelnen Spektrallinien immer näher zusammen. Durch den Grenzübergang T 0 o f entsteht schließlich ein kontinuierliches Spektrum, weshalb k Z0 als ein Kontinuum Z beschreibbar ist, und alle Frequenzen zwischen - f und + f enthält (Amplituden- oder Frequenzdichtespektrum). Anstelle der trigonometrischen Summe der Fourierreihe tritt ein Integral, das Fourierintegral, das sich über alle Frequenzen von - f bis + f erstreckt. In der Naturwissenschaft und Technik ist die zeitkontinuierliche Fourier-Transformation eine wichtige Integraltransformation. Dabei wird einer Zeitfunktion y = f(t) ihr Frequenzspektrum F(Z) zugeordnet und umgekehrt. Anhand des Beispiels der periodischen Rechteckschwingung soll nun der Übergang von periodischen zu aperiodischen Signalen veranschaulicht werden.
Beispiel 4.1:
rect t T1 T0
t
1 if
T1
0 if
2
T1 2
d t
periodische Rechteckschwingung über eine Periode definiert, mit der Impulsbreite T1
T0 2
A 2
Amplitude des Signals
T0 2 S
Periodendauer des Signals
T1 2
Impulsbreite des Signals
t 3 T0 3 T0 0.01 3 T0
Bereichsvariable
fp ( t) A rect t T1 T0
Rechteckimpuls periodische Rechteckschwingung 2
fp( t)
1.5
fp t T0
T1
T0
2
2
fp t T0
1 0.5
10
8
6
4
2
0 t
Abb. 4.1
Seite 109
2
4
6
8
10
Fouriertransformation
Wir wählen wegen der Symmetrie zweckmäßigerweise das Integrationsintervall - T 1 /2 d t d T 1 /2: T1
´ 2 T1 a0 1 µ µ c0 = A dt = A = T0 2 T0 µ T ¶ 1
Fourierkoeffizient c0
2 T1
T1 T1 · §¨ ´ 2 jnY 0 j nY 0 µ j n Y t 1 A 1 2 2 0 ¨ µ dt = cn = Ae ©e e ¹ j n Z 0 T0 T0 µ T ¶ 1
Fourierkoeffizienten cn für n z 0
2 T1 T1 · § T1 · § ¨ jnY 0 jnY 0 ¨ sin n Z 2 2 0 2 T1 · ¸ ¨e § 2 A e 2 A © ¹ cn = ¨ = sin ¨ n Z 0 = A 2 ¹ n S n Z 0 T0 © 2 j ¹ n Z 0 T0 ©
§
T1 ·
©
2
sin ¨ n Z 0
an = 2 Re cn = 2 A
¹
n S
ORIGIN 50
ORIGIN festlegen
T0 k T1 Z0
2 S T0
T0
20
T0
20
k
10
n 50 50 a0 2 A
Vielfaches der Periodendauer
k
Grundkreisfrequenz
Bereichsvariable
T1
a0
T0
0.4
T1 · · §¨ § sin ¨ n Z 0 ¨ 2 ¹¸ © an wenn ¨ n = 0 a0 2 A n S © ¹ Z 50 Z 0 50 Z 0 0.01 50 Z 0
§
T1 ·
©
2
4 A sin ¨ Z g(Z )
reellwertige Fourierkoeffizienten
Z
¹
Auswahl der reellwertigen Fourierkoeffizienten Bereichsvariable
Einhüllende der reellwertigen Fourierkoeffizienten
Seite 110
10
Fouriertransformation
10
a nT0
a 0T0
5
T0
10 T1
Z0
0.314
g( Z )
8
6
4
2
0
2
4
6
8
nZ 0 Z
Abb. 4.2
§
T1 ·
©
2
2 A sin ¨ n Z 0 an T0 =
n Z0
¹ =
§
T1 ·
©
2
4 A sin ¨ Z
¹
Z
für Z = n Z0
Wie die Grafik zeigt, ist die Funktion g(Z) unabhängig von T0 . Mit Z als stetige Variable stellt g(Z) die Einhüllende der Koeffizienten a nT0 dar, die an den Stellen Z = n Z0 genau mit anT0 übereinstimmt. Der Abstand der Linien ist von der Grundkreisfrequenz Z0 und damit auch von Periodendauer T0 abhängig. Für größer werdende Periodendauer T 0 wird der Frequenzabstand der Harmonischen immer geringer. Vergrößert man die Periodendauer T 0 bis zu dem theoretischen Grenzfall ins Unendliche, bleibt im Zeitbereich nur ein einzelner Rechteckimpuls übrig. Im Frequenzbereich ergibt sich dagegen ein kontinuierlicher Verlauf der Spektralkoeffizienten über der Frequenz.
4.1 Von der Fourierreihe zur Fourier-Transformation Die Grundvorstellung der Fourier-Transformation beruht in dieser Interpretation also darauf, dass ein aperiodisches Signal als Grenzfall eines periodischen Signals aufgefasst werden kann, bei dem die Periodendauer beliebig groß ist. Die Fourier-Transformation kann damit aus der komplexen Fourierreihe abgeleitet werden: Grenzübergang
Fourierreihe oFourier-Transformation T0 o f Der Abstand zwischen zwei Sprektrallinien ist 'Z = 2 S 'f = 2 S f0 =
2 S T0
lim
'f =
T0 o f
lim
1
T0 o f T0
= df
(4-1)
Wenn die Periodendauer T 0 für eine periodische Rechteckschwingung stark zunimmt, so rücken die Spektrallinien immer näher zusammen. Schließlich werden sie so dicht (infinitesimaler Abstand df zwischen benachbarten Frequenzen), dass das Linienspektrum cn in ein kontinuierliches Spektrum F(f) übergeht, d.h., alle Frequenzen f n liegen unendlich dicht zusammen: fn = n f0 =
n T0
Seite 111
lim
n
n_und_T0 o f T0
=f
(4-2)
Fouriertransformation
Allerdings würden die Fourierkoeffizienten cn beim Grenzübergang T 0 o f gegen null streben. Daher lässt man zur Bestimmung des kontinuierlichen Spektrums aus dem diskreten Spektrum die Division durch T0 weg: T0
´ 2 jn2Sf0t µ µ dt folgt: fp ( t) e Mit cn = T0 µ ¶ T0 1
2 T0
lim T0 o f
´ 2 f µ jn2Sf0t ´ j 2Sft = lim µ fp ( t) e dt = µ f ( t) e dt = F ( f ) ¶ T0 o f µ T f ¶ 0
T0 cn
(4-3)
2
Die Fouriertransformierte F(f) bzw. F(Z) (komplexe Spektraldichte oder Spektrum genannt) eines aperiodischen Signals f(t), als eine kontinuierlich verteilte Funktion von Z = 2 S f, ergibt sich also zu:
F { f(t) }
´ = F ( f) = µ ¶
f
j2Sft
f ( t) e
dt bzw.
F { f(t) }
f
´ = F (Z ) = µ ¶
f
j Zt
f ( t) e
dt
(4-4)
f
Die Spekrallinien der periodischen Funktion f p(t) sind, bis auf einen Faktor, Stützstellen des kontinuierlichen Spektrums., d.h. des Betrages von F(f) der nichtperiodischen Funktion f(t). F(Z) kann auch in folgender Form dargestellt werden: j M ( Z )
F (Z ) = F (Z ) e
(4-5)
F ( Z ) = A ( Z ) heisst Amplitudenspektrum (Fourierspektrum) und M ( Z ) Phasenspektrum der Funktion. f(t) bzw.
F (Z )
2 heisst Energiespektrum der Funktion f(t).
Ist die komplexe Spektraldichte F(f) bzw. F(Z) bekannt, so kann hieraus auch die Zeitfunktion f(t) bestimmt werden. Sie ergibt sich aus der periodischen Funktion f p(t) durch den Grenzübergang T0 o f , wobei die Summe in ein Integral übergeht: f
f ( t) =
lim T0 o f
´ f ( t) = µ ¶
f
fp ( t) =
j 2Sft
F ( f) e
lim
¦
T0 o f n
jnSf0t· § c e n © ¹ =
f
f
lim
¦
T0 o f n
f
j nSf0t 1 · § , also ¨ T0 cn e T0 © ¹
df .
f
Es gilt somit für die inverse Fourier-Transformation:
F
-1
{ F( f) } =
´ f ( t) = µ ¶
f
j2Sft
F ( f) e
df
(4-6)
f
bzw. wegen Z = 2 S f und dZ = 2 S df
F
-1
{ F( Z) } =
f
´ j Zt f ( t) = µ F (Z ) e dZ 2 S ¶ f 1
Seite 112
(4-7)
Fouriertransformation
Existenz des Fourier-Integrals Das Fourier-Integral existiert, wenn f(t) zumindest stückweise stetig ist und ´ µ ¶
f
f ( t ) dt f
(4-8)
f
gilt. Diese Bedingung der absoluten Integrierbarkeit wird von vielen Signalen und von Impulsantworten stabiler Systeme erfüllt. Ein Beispiel dafür ist der oben angeführte zeitlich begrenzte Rechteckimpuls, für den gilt: T1
´ 2 µ A dt = A µ 1 dt = A T1 f µ T f ¶ 1
´ µ ¶
f
(4-9)
2
Diese Bedingung der absoluten Integrierbarkeit ist hinreichend, jedoch nicht notwendig. Einige technisch wichtige, zeitlich unbegrenzte, aber monoton abfallende Funktionen erfüllen diese Bedingung zwar nicht, haben aber eine Spektraldichte F(f). Ihre Fourier-Transformierte existiert, wenn | f(t) / t | absolut integrierbar ist: ´ µ µ ¶
f
f ( t)
dt f
t
für t ! 0
(4-10)
f
Beispiel 4.2: Gesucht ist die Fouriertransformierte des Rechteckimpulses. Der Rechteckimpuls f p (t) = A rect(t,T 1 ,T 0 ) ist oben in Abbildung 4.1 dargestellt. Er ist zeitlich begrenzt auf den Bereich - T1 /2 d t d T 1 /2 und besitzt die Impulshöhe A. Für die zugehörige Fouriertransformierte gilt: T1
T1 T1 · §¨ ´ 2 f j 2Sf j 2Sf µ ´ A 2 2 j 2Sft j2Sft ¨ dt = F ( f) = µ Ae dt = A µ e ©e e ¹ ¶ j 2 S f µ T f ¶ 1 2
§¨ jSfT1 jSfT1 · e e F ( f) = ¨ 2 j Sf © ¹ A
komplexe Spektraldichtefunktion
Diese komplexe Spektraldichtefunktion kann als reelle Funktion dargestellt werden, denn es gilt für den Realteil: F ( f) =
A Sf
sin S f T1 = A T1
Die Funktion
sin ( x) x
= AT
sin S f T1 S f T1
1 sinc S f T1
wird als sinc-Funktion (Spaltfunktion) bezeichnet. Sie ist in Mathcad bereits vordefiniert.
f 3 3 0.01 3
Bereichsvariable
Seite 113
Fouriertransformation
5 4 5 T1 T1 T1
fn
Bereichsvariable
§¨ jSfT1 jSfT1 · e e F ( f) ¨ 2 j Sf © ¹
komplexe Spektraldichtefunktion
F ( f) A T1 sinc S f T1
reelle Spektraldichtefunktion
A
Frequenzbereich 4
2 Re( F( f) )
Abb. 4.3 3
2
1
0
1
2
3
2 f AT1
Frequenzbereich 5 F( f)
F fn
3
2
1
1
T1
T1
1
0
1
2
3
Abb. 4.4
5 f fn
Die sinc-Funktion hat an der Stelle f = 0 ein Maximum: sinc(0) = A T 1 . Den Grenzwert mit f o0 erhalten wir mit der Regel von L' Hospital:
lim fo0
ª « «A T 1 « « ¬
d df
d df
S f T1
º
»
sin S f T1
» = A T lim 1 » fo0 » ¼
S T1
Die Nullstellen f n von F(f) ergeben sich aus der Bedingung
sin S fn T1 = 0
d.h.
S f n T1 = n S
S T1 cos S f T1
also
fn =
n
= A T1
mit n = ... -3, -2, -1, 1, 2, 3, ....
T1
Der Abstand zwischen benachbarten Nullstellen 'f = 1/ T1 ist konstant und genau so groß wie der Abstand der ersten Nullstelle vom Maximum. Das Spektrum zeigt, dass zur Übertragung des Rechteckimpulses mit der Impulsbreite T 1 theoretisch alle Frequenzen bis f = f nötig sind. In der Praxis muss man sich natürlich mit einer endlichen maximal übertragbaren Frequenz (Bandbreite B ) begnügen, d.h., das Spektrum wird nur innerhalb der Bandbreite B übertragen. Am Ausgang eines Übertragungskanals tritt hierdurch eine entsprechend verzerrte Ausgangsfunktion auf.
Seite 114
Fouriertransformation
4.2 Elementar- und Testsignale Als Träger einer dem Empfänger unbekannten Information hat das Signal zumeist Zufallsscharakter. Sonderfälle solcher Zufallssignale sind die determinierten Signale, deren Verlauf durch einen geschlossenen Ausdruck beschreibbar ist. Signale mit besonders einfacher Darstellungsform werden als Elementarsignale bezeichnet. Es handelt sich hierbei um Signale, die auch technisch einfach erzeugt werden können. Das gilt in der Regel auch für die Testsignale, die zur Bestimmung der Systemeigenschaften verwendet werden können. Nachfolgend werden einige wichtige Elementar- und Testsignale behandelt. Sinus- und Kosinussignal: Sinus- und Kosinussignal in reeller Darstellung: Sº ª f ( t) = A sin ª2 S f t t0 º bzw. f ( t) = A cos «2 S f t t0 » ¬ ¼ 2¼ ¬
(4-11)
Sinus- und Kosinussignal in komplexer Darstellung:
e
j 2Sf t t0
f ( t) = A
e
j 2Sf t t0
bzw. f ( t) = A
2 j
e
j 2Sf t t0
e
j
S 2
e
j 2Sf t t0
e 2
j
S 2
(4-12)
Mit der Amplitude A, der Frequenz f, der Kreisfrequenz Z = 2 Sf , der Periodendauer T = 1/f, der Zeitverzögerung t0 und dem Nullphasenwinkel M0 = 2 S f t0 .
Beispiel 4.3: Sinussignal mit Zeitverzögerung. t 0 0.01 2
Bereichsvariable
A 2
Amplitude
f 1
T 1
Frequenz und Periodendauer
t0 0.2
Zeitverzögerung
f ( t) A sin ª2 S f t t0 º ¬ ¼
Sinussignal
2 t0 T
t0
f( t)
0
0.5
1
2 t
Seite 115
1.5
2
Abb. 4.5
Fouriertransformation
Einheitssprung (Heavisidefunktion): Der Einheitssprung ist definiert durch: V ( t) =
0 if t 0
(4-13)
1 if t t 0 Dieses Signal hat die Sprunghöhe 1 und ist zeitlich unbegrenzt. In Mathcad gilt: V ( t) = ) ( t). Wir verwenden in weiterer Folge die Bezeichnung ). Wird als Eingangssignal f(t) eines linearen Übertragungssystems der Einheitssprung )(t) verwendet, so wird das dazugehörige Ausgangssignal a ls Sprungantwort des Systems bezeichnet.
Beispiel 4.4: t 3 3 0.1 10
Bereichsvariable
t0 1
Zeitverzögerung 2
) ( t)
) t0 t 0.5
1
) t t0 0.5
Abb. 4.6
4
2
0
2
4
6
8
10
t
Der Rechteckimpuls: Er wurde schon weiter oben behandelt. Den Rechteckimpuls kann man sich aber auch aus zwei zeitlich verschobenen Einheitssprüngen mit der Sprunghöhe 1/T 1 bzw. -1/T1 zusammengesetzt denken:
frec ( t) =
1 T1
§
T1 ·
©
2
) ¨t
¹
1 T1
§
T1 ·
©
2
) ¨t
¹
(4-14)
Der so eingeführte Rechteckimpuls hat die Impulsdauer T 1 und die Impulshöhe 1/T 1 . Die Impulshöhe wird aus Normierungsgründen zu 1/T 1 gewählt. Damit ergibt sich für die (normierte) Impulsfläche der Wert 1. Wird nun unter Beibehaltung dieses konstanten Wertes für die Impulsfläche die Impulsdauer T1 verringert, so muss die zugehörige Impulshöhe 1/T 1 anwachsen (Abb. 4.6). Die Sprungfunktion V = ) lässt sich natürlich auch im Frequenzbereich anwenden: )( f - f0 ) beschreibt einen idealen Hochpass und 1- )( f - f0 ) = )( f0 - f ) einen idealen Tiefpass.
Beispiel 4.5: Darstellung des Rechteckimpulses. T1 8
Impulsdauer
Seite 116
Fouriertransformation
t 10 10 0.1 10
1
frec t T1
T1
Bereichsvariable
§
T1 ·
©
2
) ¨t
¹
1 T1
T1
frec t T1
§
T1 ·
©
2
) ¨t
¹
1.5
Rechteckimpuls
T1
T1
´ 2 µ 1 dt = 1 f t T1 dt = µ T1 µ f µ T ¶ 1
2
2
´ µ ¶
1
frec( t 4 ) 0.05 0.5
frec( t 1 ) 0.2
f
1
2
T1 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Abb. 4.7
t
Dirac-Impuls: Neben dem Einheitssprung (Heavisidefunktion )) spielt der Dirac-Impuls G(t) eine besondere Rolle (kurzer und starker Impuls zum Zeitpunkt t = 0 s wie z.B. Spannungsstoß, Kraftstoß, punktförmige Ladung). Der Dirac-Impuls ist ein idealisierter, technisch nur näherungsweise darstellbarer Impuls. Er tritt zwar in der Natur nie exakt auf (physikalische Grössen können keine unendlichen Werte annehmen), bei der mathematischen Beschreibung von Systemen bietet er aber vielfach sehr bequeme und genaue Näherungen an das tatsächliche dynamische Verhalten. Die Reaktion eines Systems auf die Impulsfunktion als Eingangsgröße heißt Impuls-Antwort bzw. Gewichtsfunktion. Mathematisch wird er auch als Ableitung des Einheitssprungs definiert, was wegen der Unstetigkeit von )(t) allerdings Schwierigkeiten bereitet. Man stellt sich daher besser die Dirac-Funktion als Grenzwert des Rechteckimpulses mit der Impulsbreite T 1 für T1 o 0 vor, den ein "differenzierendes System" liefert. Für messtechnische Zwecke kann G(t) näherungsweise durch einen sehr schmalen Rechteckimpuls ersetzt werden. In Mathcad gilt für die Symbolische Rechnung G(t) = '(t). Im Grenzwert T1 o 0 wird sich für einen Rechteckimpuls der Breite T 1 eine unendlich große Impulshöhe einstellen. Der Grenzwert G ( t) =
lim T1 o 0
§¨ 1 § T1 · 1 § T1 · · ) ¨t ) ¨t ¨© T1 © 2 ¹ T1 2 ¹ © ¹
(4-15)
wird als Dirac-Impuls (G - Impuls oder Dirac-Stoß) bezeichnet. Er hat die Eigenschaften: ´ µ ¶
f
G ( t ) dt = 1
( G ( t) = f für t = 0 und G ( t) = 0 für t z 0)
(4-16)
f
Der Dirac-Impuls stellt keine Funktion dar, sondern eine Distribution! Eng verknüpft ist der Dirac-Impuls mit der Heaviside-Funktion: ´ ) ( t) = µ ¶
t
f
G ( W ) dW
G ( t) =
d
) ( t)
(4-17)
dt
Seite 117
Fouriertransformation
Leiten wir nämlich eine unstetige Funktion ab, die also auf unendlich kurzem Intervall ihren Funktionswert um einen endlichen Betrag ändert, so ist der Differentialquotient hier selbst unendlich. Weil )(t) an allen anderen Stellen als dem Sprung konstant ist, verschwindet dort die Ableitung und damit G(t). Daraus wird auch ´ µ ¶
f
G ( t ) dt = 1
(4-18)
f
ersichtlich () (t> 0) = 1). Der Dirac-Impuls lässt sich natürlich auch im Frequenzbereich anwenden: ´ µ ¶
f
G ( f) df = 1 ( G ( f) = f für f = 0 und G ( f) = 0 für f z 0)
(4-19)
f
Mit Z = 2 Sf gilt auch: f ´ ´ G (Z ) = G ( Z ) dZ = µ und µ µ ¶ 2 S f ¶
G ( f)
f
G ( f) 2 S
d2Sf = 1
(4-20)
f
Der G-Impuls kann auch im Zeitbereich Fourier-transformiert werden: ´ ' ( f) = µ ¶
f
j Zt
G ( t) e
f
´ dt = µ ¶
f
j 0
G ( t) e
j 0 ´
dt = e
f
f
µ ¶
G ( t ) dt = 1
(4-21)
f
Für eine allgemeine Funktion f(t) gilt nämlich: f(t) G(t) = f(0) G(t) ( G(t) ist nur bei t = 0 von null verschieden). Die Wirkung des G-Impulses auf eine Zeitfunktion f(t) ergibt sich damit dann aus: ´ µ ¶
f
f
´ G ( t) f ( t) dt = f ( 0) µ ¶
f
G ( t) dt = f ( 0)
(4-22)
f
Diese Beziehung heißt Ausblendeigenschaft des G-Impulses. D.h. bei der Integration über das Produkt einer Funktion an der Stelle t = 0 stetigen Funktion f(t) mit dem G-Impuls G(t) wird nur der Funktionswert f(0) an der Stelle t = 0 ausgeblendet. Für einen um t 0 zeitverschobenen Dirac-Impuls G(t - t0 ) lautet dann die Ausblendeigenschaft des G-Impulses: ´ µ ¶
f
f
´ G t t 0 f ( t ) dt = f t 0 µ ¶
f
f
G ( t ) dt = f t 0
Bemerkung: In der Symbol-Engine von Mathcad ist der Dirac-Impuls G(t) durch '(t) bzw. '(Z) definiert. Der Dirac-Impuls kann natürlich nicht als Funktion (z.B. durch f(t) := '(t)) dargestellt werden!
Beispiel 4.6: 1
T1
t0 3
10
Impulsdauer und Zeitverschiebung
t 5 5 0.1 5
frec t T1
1 T1
Bereichsvariable
§
T1 ·
©
2
) ¨t
¹
1 T1
§
T1 ·
©
2
) ¨t
¹
Rechteckimpuls
Seite 118
(4-23)
Fouriertransformation
Nachgebildeter Dirac-Impuls und nachgebildeter verschobener Dirac-Impuls.
15
frec t T1
Mit Mathcad symbolisch ausgewertet:
1
T1
10
´ µ ¶
frec( t 1 )
frec t t0 T1
f
´ µ ¶
G ( t ) dt = 1
f
5
´ µ ¶
f
5
0
5
´ µ ¶
f
´
f
¶
' t t 0 dt o 1
f
F { G(t) } = F (Z ) = µ
t
' ( t ) dt o 1
f
G t t 0 dt = 1
f
f
jZt
G ( t) e
jZ0
dt = e
=1
f
Abb. 4.8 Beispiel 4.7: Periodische Funktionen erzeugen immer diskrete Spektren.
Jede periodische Funktion f p (t) lässt sich als komplexe Fourierreihe darstellen: f
j n2Sf0t· § © cn e ¹
¦
fp ( t) =
f
n j 2Sf0t
f
§ § jn2Sf0t· · ¹¹ = © cn F © e
F { fp(t) } = ¦ n
2 S ' Z 2 S f0
hat Fourier-Transformation
e
f
f
¦ n
Auswertung mit Mathcad
cn G f n f0
= F ( f)
f
mit G ( f) = ' ( f) G (Z ) und ' ( Z ) = 2S
D. h., die Fouriertransformierte von fp (t) ist immer eine diskrete Funktion über der Frequenz. Ein Beispiel ist die Fouriertransformierte der Kosinusfunktion. Sie besteht aus zwei Dirac-Impulsen bei den Frequenzen r f0 (siehe dazu Einführung in Mathcad). Beispiel 4.8: f
Für die Dirac-Impulsfolge fp ( t) =
¦ n
G t n T0 soll die Fouriertransformierte bestimmt werden.
f T0
T0
´ 2 ´ 2 jn2Sf0t j n2Sf0t µ 1 1 µ µ dt = µ dt = cn = fp ( t) e G ( t) e T0 T0 µ T T0 µ ¶ 0 ¶ T0 1
F ( f) =
1 T0
2
2 f
¦ n
Die Integralauswertung ergibt den Wert 1!
G t n T0
Jede Frequenzkomponente besitzt also die gleiche Amplitude.
f
Seite 119
Fouriertransformation
4.3 Eigenschaften der Fourier-Transformation Der Umgang mit der Fourier-Transformation kann durch Sätze vereinfacht werden. Nachfolgend werden einige wichtige angeführt. Linearität (Superpositionssatz): Aus zwei Zeitfunktionen f 1 (t) und f 2 (t) wird mit den Konstanten (Amplituden) A1 und A2 eine neue Funktion f(t) gebildet in der Form f(t) = A 1 f1 (t) + A2 f2 (t). Die zugehörige Fouriertransformierte ergibt sich dann zu: ´
f
F { A1 f1 (t) A2 f2 (t) } = F (f) = µ A1 f1 (t) A2 f2 (t) e j2Sft dt = ¶ f
=
´ A1 µ ¶
f
j2Sft
f1 ( t) e
f
´ dt A 2 µ ¶
f
j2Sft
f2 ( t) e
dt = A 1 F1 ( f ) A 2 F2 ( f )
f
F {A1 f1(t) + A2 f2(t) } = A1 F1(f) + A2 F2(f)
(4-24)
Die Fouriertransformierte einer Summe von Zeitfunktionen ist gleich der Summe der Fouriertransformierten der einzelnen Zeitfunktionen. Allgemein gilt für n Zeitfunktionen: n
n
F { ¦ Ak fk (t) } = ¦ Ak Fk( f) k
1
k
1
Beispiel 4.9: Fouriertransformierte eines Rechteckimpulses mithilfe von Mathcad: 1
frec ( t) =
T1
§
T1 ·
©
2
§
T1 ·
©
2
) ¨t
) ¨t
1 T1
¹ ¹
T1 ·
©
2
¹
1 T1
§
T1 ·
©
2
) ¨t
¹ § 1 i T Z · § S ' (Z ) i · ¨ 1 Z¹ ©2 ¹ ©
hat Fourier-Transformation
exp ¨
hat Fourier-Transformation
exp ¨
§
T1 ·
©
2
) ¨t
§
) ¨t
¹
1 T1
§
T1 ·
©
2
) ¨t
§ 1 i T Z · § S ' ( Z ) i · ¨ 1 Z¹ ©2 ¹ ©
¹
hat Fourier-Transformation 1 T1
§ 1 i T Z · § S ' ( Z ) i · 1 exp § 1 i T Z · § S ' ( Z ) i · ¨ ¨ ¨ 1 1 Z ¹ T1 Z¹ ©2 ¹ © ©2 ¹ ©
exp ¨
Seite 120
(4-25)
Fouriertransformation
vereinfacht auf
§ 1 T Z· ©2 1 ¹
sin ¨ 2 i ( S ' ( Z ) Z i)
T1 Z
Für Z z 0 ist ' Z = 0 , daher gilt:
§ 1 T Z· ©2 1 ¹
sin ¨ 2
Fouriertransformierte (siehe dazu Beispiel 4.2)
T1 Z
Zeitverschiebung (Verschiebungssatz): Wird ein Signal f(t) auf der Zeitachse um eine feste Zeit t 0 verzögert, so gilt für die zugehörige Fouriertransformierte: ´
F { f t t0 } = F (f) = µ
f
j 2Sft
f t t0 e
¶
f
dt
(4-26)
Mit der Substitution t - t0 = x ergibt sich:
F { f (x) } =
´ µ µ ¶
f
j2Sft0
f ( x) e
j2Sfx
e
j 2Sft0 ´
µ ¶
dx = e
f
f
j2Sfx
f ( x) e
j 2Sft0
dx = e
F ( f) .
f
Damit gilt:
F { f(t - t0) } =
F(f) e- j 2 S f t0
(4-27)
Hier ist F(f) die Fouriertransformierte des unverzögerten Signals f(t) und e - j 2 S f t0 ein Verschiebungsfaktor. Ein zeitverschobenes Signal könnte z.B. durch eine ideale Verzögerungsleitung (Laufzeitglied) verursacht werden. Es zeigt sich, dass eine Verzögerung des Signals f(t) nur zum Phasenspektrum arg(F(f)) die lineare Phase -2 Sf t0 addiert, während das Betragsspektrum unverändert bleibt, d.h., das Signal f(t) wird formgetreu übertragen.
Beispiel 4.10: Fouriertransformierte der Sprungfunktion mithilfe von Mathcad: ) ( t)
i
hat Fourier-Transformation
S ' (Z )
) t t0
hat Fourier-Transformation
i · § exp i t0 Z ¨ S ' ( Z ) Z¹ ©
'1 ( Z )
0 if Z z 0
Z
Ersatzfunktion für den Dirac-Impuls
10000 otherwise t0 1
Verzögerungszeit
Seite 121
mit
' (Z ) =
' ( f) 2 S
Fouriertransformation
§ ©
F ( Z ) exp i t0 Z ¨ S '1 ( Z )
·
i
Fouriertransformierte (Spektralfunktion)
Z¹
Z Z
Redefinition 1
i · 1 · § § 2 2 exp i t0 Z ¨ S ' ( Z ) o ¨ S ' (Z ) 2 Z¹ © Z ¹ ©
2
Betrag der Fouriertransformierten
Z 0.02 0.02 0.001 0.02
Bereichsvariable
100
F( Z ) 50
15
10
Abb. 4.9
5 10
0.001
4
5 10
0 Z
4
0.001
Ähnlichkeitssatz (Zeitskalierung): Der Ähnlichkeitssatz (Dehnung) ist wichtig für die Behandlung aller Aufgaben, bei denen eine Zeitnormierung der Signale durchgeführt werden muss. Mit der Substitution x = a t gilt:
F { f ( a t) } =
´ µ f ´ j2Sft µ µ f ( a t) e dt = µ ¶ f ¶
f j 2Sf
f ( x) e
x a
1 a
dx =
1 a
§f· © a¹
F¨
f
F { f ( a t) } =
´ µ f ´ j2Sft µ µ f ( a t) e dt = µ ¶ f ¶
mit a > 0.
f j2Sf
f ( x) e
x a
1 a
dx =
f
1 a
§f· mit a < 0. © a¹
F¨
Damit gilt:
F { f(a t) } =
1 a
§f· © a¹
F¨
(für positive und negative a)
(4-28)
Mit a = - 1 ergibt sich die Fouriertransformierte zeitgespiegelter Signale:
F { f(a t) } =
F ( f) (dabei gilt F(- f ) = F*( f ))
(4-29)
Der Ähnlichkeitssatz charakterisiert einen wichtigen Zusammenhang (z.B. für die Nachrichtenübertragung): je kürzer ein Signal im Zeitbereich ist (kleines a), desto breiter ist das Fourierspektrum des Signals und umgekehrt.
Seite 122
Fouriertransformation
Beispiel 4.11: Fouriertransformierte einer geraden beidseitigen Exponentialfunktion mithilfe von Mathcad: t t
Z Z
Redefinitionen
annehmen a ! 0 a o 2 fourier t 2 2 a Z
a t
e
fourier t t
2
a Z ersetzen Z = o 2 2 2 a a Z
e
teilweise Anwendung des Ähnlichkeitssatzes
vereinfachen
F (Z ) =
1 a
§
·
2
¨2
a
¨ ©
2
a Z
2
teilweise Anwendung des Ähnlichkeitssatzes
¹
vereinfacht auf a
F (Z ) = 2
2
a Z
Fouriertransformierte von e -a |t|
2
Der Imaginärteil der Fouriertransformierten ist Null, weil f gerade ist.
Frequenzverschiebung (Modulationstheorem): Analog zur obigen Herleitung soll nun die zu dem um f 0 verschobenen Spektrum F(f - f0 ) zugehörige Zeitfunktion bestimmt werden:
F
-1
{ F f f0 } =
´ µ ¶
f
j 2Sft
F f f0 e
f
df
(4-30)
Mit der Substitution f - f0 = x ergibt sich
F
-1
{ F ( x) } =
´ µ µ ¶
f
j 2S x f0 t
F ( x) e
j 2Sf0t ´
dx = e
f
f
µ ¶
j2Sxt
F ( x) e
j 2Sf0t
dx = e
f ( t) .
f
Damit gilt:
F- - 1{ F(f - f0) } =
f(t) e j 2 Sf0 t
(4-31)
Umgekehrt gilt dann:
F { f(t) e j 2 S f t0 } =
F(f - f )
(4-32)
0
Seite 123
Fouriertransformation
Eine Verschiebung des Spektrums F(f) um die feste Frequenz f0 führt also im Zeitbereich zu einer Multiplikation der Zeitfunktion f(t) mit e
j2Sft
bzw. umgekehrt eine Multiplikation des Signals f(t) mit
e j 2 S f t (Träger- oder Oszillatorsignal) verschiebt das Spektrum des Signals S(f) lediglich um eine feste Frequenz f0 . Dieses Modulations- bzw. Mischerprinzip, d.h., die Verschiebung des Basisbandes F(f) in eine höhere Frequenzlage (f - f 0 ), ist in der Nachrichtenübertragung von grosser Bedeutung.
Beispiel 4.12: Am Eingang eines multiplikativen Mischers liegt ein Rechteckimpuls mit f(t) = A f rec(t,T 1 ) (wie oben angegeben) an. Mit f0 (t) = A0 cos(2 S f0 t) liegt am Ausgang des Mischers mit der Mischerkonstante k M folgendes Signal an:
§¨ j2Sf0t j2Sf0t · e e fM ( t) = k M f ( t) f0 ( t) = k M A frec t T1 A0 ¨ 2 © ¹ bzw. umgeformt:
fM ( t) = kM
A A0 2
§ ©
j 2Sf0t
¨ frec t T1 e
j 2Sf0t·
frec t T1 e
¹
Die Fouriertransformierte lautet damit mithilfe des Modulationstheorems:
F ( f) = k M
A A 0 T1 2
ª sinc ªS T1 f f0 º sinc ªS T1 f f0 º º ¬ ¬ ¼ ¬ ¼¼
In diesem Fall wird das Spektrum F(f) des Signals f(t) lediglich um ± f0 verschoben. A 2 T1
A0 1
Amplituden
1
Impulsbreite
4
kM 1
Mischfaktor
f0 10
Frequenz
F1 ( f) A T1 sinc S f T1
F ( f) kM
A A 0 T1 2
Basisfrequenzspektrum
ª sinc ªS T1 f f0 º sinc ªS T1 f f0 º º ¬ ¬ ¼ ¬ ¼¼
5 5 5 f f0 f0 0.01 f0 T1 T1 T1
Bereichsvariable
Seite 124
Frequenzspektrum des Mischerausgangssignals
Fouriertransformation
1 1
1
T1
T1
AT1
0.5 F1( f)
Abb. 4.10 30
20
10
0
10
20
30
0.5 f
f0
F( f) kM
kM
AA0T1 2 AA0T1 2
sincªST1 f f0 º ¬ ¼
sincªST1 f f0 º ¬ ¼
f0
0.4
kM
AA0T1 2
0.2
Abb. 4.11
30
20
10
0
10
20
30
0.2 f
Verschiebung des Basisbandes in eine höhere Frequenzlage. Differentiation im Zeitbereich:
Nach (4-7) gilt:
F
-1
{ F(f) } =
´ f ( t) = µ ¶
f
j2Sft
F ( f) e
df .
f
Daraus erhalten wir durch Differentiation: ´ f ( t) = µ µ dt ¶
f
d
d dt
F (f) ej2Sft df = ´µ¶
f
j 2Sft
j 2 S f F ( f) e
f
f
´ df = j 2 S f µ ¶
f
j 2Sft
F ( f) e
df
f
Es gilt daher:
F { f '(t) } =
( j 2 S f ) F(f)
(4-33)
Bzw. für die n-te Ableitung:
F { f(n)(t) } =
( j 2 S f )n F(f)
(4-34)
Seite 125
Fouriertransformation
Beispiel 4.13: Fouriertransformierte einer abgeleiteten Exponentialfunktion mithilfe von Mathcad: t t
Z Z
E t
Ee
f f
Redefinitionen
annehmen E ! 0 ) ( t)
o
fourier t ersetzen Z = 2 S f
d dt
E e Et ) (t)
o
fourier t
Fouriertransformierte der Exponentialfunktion
E 2 i S f
annehmen E ! 0 ersetzen Z = 2 S f
E
E
E
2
E 2 i S f
2
E 2 i S f
E
vereinfacht auf
2 i S f
E
E E 2 i S f
Fouriertransformierte der abgeleiteten Exponentialfunktion
Vergleich:
F { f '(t) } =
( j 2 S f ) F(f)
Faltung im Zeitbereich: Die Faltung der Funktion f 1 (t) mit der Funktion f 2 (t) ist definiert als: ´ g ( t) = f1 ( t) * f2 ( t) = µ ¶
f
f 1 ( W ) f 2 ( t W ) dW
( * bedeutet das Faltungssymbol)
(4-35)
f
Man kann sich die Faltung vorstellen als Gewichtung der Funktion f 1 durch die Funktion f 2 in der Umgebung von t (Schnittfläche von f2 (t - W) mit f1 (W)). Siehe dazu Beispiel 4.14. Die Fouriertransformierte des Faltungsproduktes f 1 (t) * f 2 (t) ergibt sich zu:
F { f1 ( t) * f2 ( t) } =
´ µ µ µ ¶
f
f
§´f · ¨ µ f ( W ) f ( t W ) dW e j2Sft dt 1 2 ¨¶ © f ¹
(4-36)
Durch Vertauschung der Integrationsgrenzen erhalten wir:
F { f1 ( t) * f2 ( t) } =
´ µ µ µ ¶
f
f
§´f · ¨ µ f ( W ) f ( t W ) e j2Sft dt dW 1 2 ¨¶ © f ¹
(4-37)
Bei der Integration über t ist f 1 (W) konstant, daher gilt:
F { f1 ( t) * f2 ( t) } =
´ µ µ µ ¶
f
f
f · § j 2Sft ¨ f (W ) ´ dW µ f ( t W ) e d t 2 ¨1 ¶ f © ¹
Seite 126
(4-38)
Fouriertransformation
Das innere Integral von (4-32) beschreibt die Fouriertransformierte von f 2 (t - W):
F { f2(t-W) } = e- j 2 Sf W F2(f)
(4-39)
Damit gilt:
F { f1 ( t) * f2 ( t) } =
´ µ ¶
f
f
´
ªf ( W ) F2( f) e j2SfWº dW = F2( f) µ ¬1 ¼ ¶
f
j2SfW
f1 ( W ) e
dW
f
Somit gilt für die Fouriertranformierte des Faltungsproduktes:
F { f1(t) * f2(t) } =
F1(f) . F2(f)
(4-40)
Beispiel 4.14: Es soll die Reaktion u a (t) einer RC-Schaltung (Abb. 4.12) auf einem rechteckförmigen Spannungsimpuls u e (t) mit der Impulsantwort g(t) (E = 1/(RC)) der RC-Schaltung bestimmt werden. Anschließend soll noch die Übertragungsfunktion der RC-Schaltung bestimmt werden.
Abb. 4.12 Die Lösung liefert das Faltungsintegral. Zur Auswertung benötigen wir g(t- W). Diese Funktion ergibt sich aus g(W) durch Spiegelung an der Ordinate: g(-W) = E e+EW )(-W). g(t - W) ergibt sich aus g(-W) wegen g(t - W) = g(-(W- t)) durch Verschieben von g(-W) um t auf der W-Achse (t < 0 Rechtsverschiebung und t > 0 Linksverschiebung). ´ ua ( t) = µ ¶
f
Die Reaktion ist die Schnittfläche von g(t - W) mit ue (W).
ue ( W ) g ( t W ) dW
f
a) Für t < 0 ergibt sich wegen u e (W) = 0 für das Produkt ue (W) g(t - W) = 0 und damit ua (t) = 0. b) Für 0 d t d T 1 ist das Produkt ue (W) g(t - W) z 0 im Bereich 0 < W < t. Damit gilt: t
´ E ( t W ) E t ua ( t) = µ U0 E e dW = U0 1 e ¶
für 0 d t d T 1 .
0
Seite 127
Fouriertransformation
c) Für t t T 1 ist das Produkt ue (W) g(t - W) z 0 nur im Bereich 0 < W < T1 . Es gilt somit: T ´ 1 § ET1 · Et E ( t W ) µ dW = U0 © e ua ( t) = U0 E e 1¹ e µ ¶
für t t T 1 .
0
R 500 :
Ohmscher Widerstand
C 30 PF
Kapazität
ms 10
3
s
1
E
E
R C
T1
Einheitendefinition
1
0.067
T1
E
1
Einflussfaktor
ms gewählte Impulsbreite (Sonderfall)
15 ms
U0 100 V
Wert des Spannungsimpulses
ue t T1 U0 ) ( t) ) t T1 E t
g ( t) E e ua ( t)
Rechteckimpuls
) ( t)
E t
U0 1 e
§
Impulsantwort
E T1
U0 © e
if 0 d t d T1
·
E t
1¹ e
Reaktionsspannung
if t t T1
0 V otherwise W 20 ms 20 ms 0.001 ms 40ms
Bereichsvariable
Impulsantwort u. gespieg. Impulsantwort E ms g ( W )ms 0.05
g ( W )ms
20
15
10
5
0 W ms
Abb. 4.13
Seite 128
5
10
15
20
Fouriertransformation
t2
7 t1 2 ms
t2 t2 ms
t2
t3 20 ms
7 ms
W 1 0 ms 0.01 ms T1
Zeitverschiebung um t
Bereichsvariable Verschobene Impulsantw. u. Spannungsimp.
u e W T1
100
V
E
Schnittfläche von g(t2 -W) mit ue (W)
g ª W t1 º ¬ ¼
g ª W 1 t2 º ¬ ¼ g ª W t3 º ¬ ¼ g ª W t2 º ¬ ¼
50
20
10
0
10 W
W
W
20
W1
30
40
W
ms ms ms ms ms
Abb. 4.14 t 10 ms 10 ms 0.001 ms 50ms
Bereichsvariable
Reaktionsspannung im Zeitbereich 80 T1
ua ( t)
60
ua t2 ua t3
40
ms
ua t1
g T1 20
10
0
10
20 t
t1
30 t2
t3
ms ms ms ms
Abb. 4.15
Seite 129
40
50
Fouriertransformation
t t
E E
R R
C C
Redefinition
Die Impulsantwort existiert für t > 0 und wird beschrieben durch: E t
g ( t) = E e
) ( t)
Damit ergibt sich für die Übertragungsfunktion der RC-Schaltung: ´ G ( f) = µ ¶
f
j2Sft
g ( t) e
f
G ( f) =
´ dt = µ ¶
f
E t
Ee
j 2Sft
e
0
E E j 2 S f
f
( E j2Sf)t
e
dt
0
1
=
´ dt = E µ ¶
1 j 2 S f
1
=
1 1 j 2 S f R C
E
Unter Berücksichtigung, dass für Z z 0 '(Z) = 0 ist, liefert Mathcad symbolisch das gleiche Ergebnis: E t
Ee
) ( t) fourier t o
§ 2 S © 1
E
2
¨2 S ' (Z i E) 2 i
S
·
Z i E¹
Das gleiche Ergebnis für die Übertragungsfunktion resultiert auch direkt aus der Betrachtung komplexer Wechselspannungen (Z = 2 S f): 1
G ( f) =
G ( f)
ua ue
jZC
=
=
1
R
1 1 j Z R C
1 Z C
1 1 j 2 S f R C
Komplexe Übertragungsfunktion
G ( f)
A ( f) o
A ( f)
1 1
1 4 S 2 f 2 R2 C2 M ( f) arg ( G ( f) )
Phasengang
R 500 :
Ohmscher Widerstand
C 30 PF
Kapazität
E
1 R C
E
0.067
1
Einflussfaktor
ms
f 0 Hz 0.01 Hz 1000 Hz
Bereichsvariable
Seite 130
2
Amplitudengang
Fouriertransformation
Amplitudengang 1
A( f)
0.5
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
f Hz
Abb. 4.16 Phasengang 0
M ( f)
S
1
2
2
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
f Hz
Abb. 4.17 Das Ausgangssignal u a (t) unterscheidet sich vom Eingangssignal u e (t) in der Amplitude, d.h. |G(f)| und weist gegenüber ue (t) die Phasenverschiebung M(f)= arg(G(f)) = -arctan(2 S f R C) auf. Energie-Theorem von Rayleigh: Für die Energie eines Impulses gilt: f
´ E=µ ¶
f ( t)
´
2 dt = µ
f
¶
f
f
´ f ( t) f *(t) dt = µ ¶
f
f
´ F ( x) F* ( f x) dx = µ ¶
f
F ( x) F* ( x) dx (für f = 0) (4-41)
f
Substituiert man wieder x mit f(x o f), so ergibt sich die gesamte Energie aus: ´ E=µ ¶
f
´
f ( t)
2 dt = µ ¶
f
f
F ( f)
2 df
(4-42)
f
Beispiel 4.15: Man bestimme die Energie des oben angegebenen Rechteckimpulses f rec(t,T 1 ) (Beispiel 4.2) im Zeitbereich und aus dem Spektrum. T1
´ E=µ ¶
f
f
frec t T1
2
´ 2 µ 2 2 A dt = A T1 dt = µ µ T ¶ 1 2
Seite 131
Fouriertransformation
Aus dem Spektrum ergibt sich die gleiche Energie: ´ E=µ ¶
f
f
´ µ 2 F ( f ) df = µ µ ¶
f
A T1
2
f
f f
T1 T1
´ µ µ 2 µ S T1 ¶
A T1
A A
f
2
df = A T1 2 ´µ µ S f T1 2 S T1 2 µ¶ f
f
df = A 2 S
sin S f T1 f
2
S
2
S T1
Redefinitionen
2 df annehmen T
sin S f T1 2
f
sin S f T1
2
1 ! 0 o A T1
mit Mathcad ausgewertet
f
4.4 Fast-Fourier-Transformation Die Fourieranalyse hat heute eine besondere Bedeutung in der praktischen Auswertung in Form der Fast-Fourier-Transformation (FFT- siehe auch Kapitel 3.1), die einem zeitdiskreten Signal f(t) der jetzt normierten Zeitvariablen t n = n 't (n = 0, 1, ... , N-1 und 't = 1) ein frequenzdiskretes Spektrum an den Stellen k = 0, 1, ... , N-1 der jetzt normierten Frequenzvariablen f = k/N ('f = 1/(N 't) = 1/N) zuordnet. Durch die Diskretisierung des Fourierintegrals über ein endliches Intervall mit N-Punkten ergibt sich: ´ F ( f) = µ ¶
f
j 2Sft
f ( t) e
f
k § j2S n· ¨ N © yn e ¹
N1
dt
| Fk =
¦
n
(k = 0, 1, ... , N-1)
(4-43)
0
Die Rücktransformation erhalten wir aus: f
´ 1 j2Sft f ( t) = µ F ( f) e dZ 2 S ¶ f
| yn =
1 N
N 1
¦
k
k § j2S n· ¨ N © Fk e ¹(n = 0, 1, ... , N-1)
(4-44)
0
Der Transformationsalgorithmus ist für N = 2 m besonders effizient. Hierdurch werden die Grenzen zur Fourierreihe verwischt, denn die diskreten Spektren gehören zu Funktionen, die auf der Zeitachse mit N und der Frequenzachse mit 1 periodisch sind. Bemerkung: Vergleicht man die in Abschnitt 3.1 angeführten Funktionen FFT und IFFT von Mathcad, so gilt: F = N FFT ( y)
(4-45)
und y=
1 N
IFFT ( F)
(4-46)
Seite 132
Fouriertransformation
Beispiel 4.16: Verschiedenen Signale sollen zuerst mit einer Abtastfrequenz f A = 8 kHz und N = 1024 Abtastzeitpunkten abgetastet werden. Die abgetasteten Werte sollen dann Fouriertransfomiert und grafisch dargestellt werden. Über die Rücktransformation soll das Ausgangssignal wieder hergestellt werden. ORIGIN 0
ORIGIN festlegen
m 10
Exponent
m
Na 2
Na
Anzahl der Abtastwerte
1024
n 0 Na 1 ms 10
3
Bereichsvariable
s
Einheitendefinition
fA 8 kHz 1
TA
fA
Abtastfrequenz (Abtastrate) TA
Abtastperiode
0.125 ms
tn n TA
Abtastzeitpunkte
f 200 Hz
Frequenz
Z 2 S f
Kreisfrequenz
W 0.001 s
Zeitfaktor
k 10
Faktor
z Modulierte Sinusschwingung Rechteck Impuls Geträgerter Impuls Gefilteter Impuls Gefilteter Impuls, geträgert
f Na t Z k W z
Listenfeld zur Auswahl verschiedener Signale
for n 0 Na 1
yn m 0.5 sin Z tn sin k Z tn
if z = 1
if z = 2 yn m wenn 0 s tn 5 W 1 0 sin k Z tn yn m wenn 0 s tn 3 W 1 0
Unterprogramm zur Auswahl verschiedener Signale.
2
tn
4 2
yn m e
10
s
if z = 4
2
tn
4 2
yn m e
10
s
sin k Z tn
if z = 5
return y
y f Na t Z k W z
if z = 3
Vektor der abgetasteten Funktionswerte
Seite 133
Fouriertransformation
Zeitfunktion 0.5
yn 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0.5 tn ms
Abb. 4.18 F Na FFT ( y) k 0 df
Na
m 1
Fouriertransformierte (FFT liefert einen Vektor mit 1 2
513 Elementen zurück)
Index bis zur halben Abtastfrequenz
2 1
df
Na TA
fk k df
Frequenzauflösung
7.813 Hz
Frequenzvektor Betrag des Frequenzsspektrums 100
Fk
50
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
fk
Abb. 4.19 y1
1 Na
IFFT ( F)
Inverse-Fourier-Transformation
Rücktransformierte und Originalfunktion 0.5 y1n yn
0
2
4
6
8
10
0.5 tn ms
Abb. 4.20
Seite 134
12
14
16
18
20
Laplace-Transformation
5. Laplace-Transformation Die Laplace-Transformation hat für die Analyse und den Entwurf linearer, zeitinvarianter, dynamischer Systeme eine große praktische Bedeutung erlangt. Sie gehört wie die Fourier-Transformation zur Gruppe der Integraltransformationen. Dabei muss man aus mathematischer Sicht zwischen der einseitigen und der zweiseitigen Laplace-Transformation unterscheiden. Da in den Anwendungen der linearen Systemtheorie die zweiseitige Laplace-Transformation in ihrer allgemeinen Form kaum benutzt wird, wird im Folgenden nur die einseitige Laplace-Transformation behandelt. Die so definierte Laplace-Transformation setzt daher im Zeitbereich kausale Signale f(t) voraus. Kausale Signale sind solche, die nur in t t0 existieren, d. h. Signale, die für t < 0 null sind. Im Zusammenhang mit der Untersuchung des Signalübertragungsverhaltens von linearen, zeitinvarianten, dynamischen Systemen bedeutet das überhaupt keine Einschränkung, da das Systemverhalten hier immer erst ab einem Einschaltzeitpunkt t 0 von Interesse ist. Und diesen Einschaltzeitpunkt kann man zu t 0 = 0 wählen bzw. festlegen. Die Laplace-Transformation spielt bei nichtperiodischen Vorgängen, insbesondere bei EinschaltVorgängen, eine große Rolle. Dabei sind lineare Differentialgleichungen und Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten und mit Anfangsbedingungen zu lösen. Die Differentialgleichung wird mittels Transformation in eine algebraische Gleichung umgewandelt. Die LaplaceTransformation stellt eine Möglichkeit dar, die Operationen des Differenzierens und Integrierens auf die viel einfacheren Operationen des Multiplizierens und Dividierens abzubilden (siehe dazu auch Kapitel 7). Neben dieser Anwendung der Laplace-Transformation, erlaubt sie auch eine sehr übersichtliche Behandlung des Übertragungsverhaltens von Netzwerken. In der Regelungstechnik werden z.B. die Stabilitätskriterien rückgekoppelter Netzwerke nicht im Zeitbereich, sondern gleich im Bildbereich (Laplace-Bereich) untersucht. Zusammenhang zwischen Fourier-Transformation und Laplace-Transformation: ´ µ ¶
Die Konvergenzbedingung für das Fourier Integral lautete:
f
f ( t ) dt f .
f
Diese Bedingung ist aber leider bereits für einfache und praktisch wichtige Zeitfunktionen (wie z. B. Sprungfunktion) nicht erfüllt ! Wenn man jedoch die Zeitfunktion f(t) für t < 0 identisch 0 setzt und für t t 0 mit e- G t (G > 0) multipliziert, geht die Fourier-Transformation in die Laplace-Transformation über. Bei vielen Anwendungen existieren derartige Integrale.
Die Fourier-Transformation
F
´ { f(t) } = F ( Z ) = µ ¶
f
jZt
f ( t) e
dt geht mit der Multiplikation
f
von e - G t und der komplexen Frequenzvariablen s = G + j Z (G, Z ) über in die LaplaceTransformation (s wird wie üblich ohne Unterstreichung dargestellt). Der Zeitfunktion f(t) wird ihre einseitige Laplacetransformierte im Bildbereich zugeordnet: -Gt
L { f(t) } = F { f(t) e
´ } = F (s) = µ ¶
f
G t
f ( t) e
jZt
e
f
´ dt = µ ¶
f
st
f ( t) e
dt
(5-1)
0
Die Voraussetzungen für dieses uneigentliche Integral sind: ´ 3. µ ¶
f
st
dt f to0 0 4. f(t) ist in jedem endlichen Intervall in endlich viele stetige und monotone Teile zerlegbar. An den 1 lim f tk 't f tk 't . Sprungstellen tk ist der Funktionswert f tk = 2 1. f ( t) = 0 für t < 0
2. f ( 0) =
lim
f ( t)
't o 0
Seite 135
f ( t) e
Laplace-Transformation
Das Integrationsintervall beginnt bei t = 0 (linksseitiger Grenzwert gegen 0), so dass auch Signale f(t) zugelassen werden, die in t = 0 einen G-Impulsanteil (Dirac-Impuls) G(t) besitzen. Solche Signale treten z. B. als Gewichtsfunktionen g(t) bei sprungfähigen Systemen auf. Dadurch, dass die Laplacevariable s eine komplexe Variable mit Realteil Gund Imaginärteil Zist, wird erreicht, dass dieses Integral für eine wesentlich grössere Klasse von Signalen f(t) konvergiert als beim Fourier-Integral. F(s) stellt die spektrale Dichte der Zeitfunktion f(t) (typische Vertreter sind z.B. Spannungen U(s) und Ströme I(s)) über der Einheit der komplexen Kreisfrequenz dar. Um aus dem Bildbereich wieder in den Originalbereich zurückzukehren, ist die inverse Laplace-Transformation zu bilden aus:
L
-1
G jf ´ 0 st µ F ( s ) e ds = { F(s) } = f ( t) = µ 2 S j ¶G jf 0
1
¦
Residuen F (s) est
(5-2)
( Pole( F( s) )
Der durch die Grenzen angedeutete Integrationsweg [G0 - j f , G0 + j f] ist eine zur j Z-Achse parallele Gerade, die innerhalb des der Laplace-Transformierten F(s) zugeordneten Konvergenzgebietes liegt und die G-Achse im Punkt G0 schneidet. Die Funktion F(s), die innerhalb des Konvergenzgebietes analytisch ist, kann häufig in die gesamte komplexe Ebene fortgesetzt werden, und zwar derart, dass sie bis auf endlich viele Singularitäten überall analytisch ist und überdies für s o f gegen Null strebt. Zur bequemen Berechnung des Integrals bietet sich dann in vielen Fällen der Residuenkalkül an. Der Wert des Integrals ist dann wie angegeben durch die Summe der Residuen in allen Singularitäten gegeben. Die Berechnung der Residuen ist besonders einfach, wenn es sich bei den Singularitäten von F(s) ausschließlich um Pole handelt. Ist s0 ein Pol erster Ordnung, so ist das Residuum in diesem Pol gegeben durch:
=
st
Residuum F ( s ) e
lim s o s0
ª s s F ( s ) est º 0 ¬ ¼
(5-3)
Hat der Pol s 0 die Ordnung m t 2, so gilt:
=
st
Residuum F ( s ) e
lim s o s0
ª« 1 º m 1 d ª s s m F ( s) estº » 0 ¼» « ( m 1) dsm1 ¬ ¬ ¼
(5-4)
Bemerkung: In Fällen, wo Verwechslungen der Laplacevariablen s und der Zeit in s (Sekunde) möglich sind (dies ist insbesonders in Mathcad oft problematisch), ist es eventuell zweckmäßig die Sekunde mit sec abzukürzen, oder die komplexe Frequenzvariable s, wie in der Literatur auch üblich, nicht mit s, sondern mit p zu bezeichnen.
5.1 Elementar- und Testsignale Beispiel 5.1: Laplace-Transformation und Rücktransformation einer allgemeinen Sprungfunktion V(t) = A )(t) (Heavisidefunktion). A 2
Amplitude
Seite 136
Laplace-Transformation
f ( t) A ) ( t)
allgemeine Sprungfunktion
t 2 2 0.1 2
Bereichsvariable Laplacetransfomierte und Rücktransformierte von A )(t) mithilfe von Mathcad:
Zeitbereich 2
t t
A A
A ) ( t)
hat Laplace-Transformation
s
hat inverse Laplace-Transformation
A
A
1 f( t)
A 2
Redefinitionen
0
2
s F ( s ) A ) ( t) laplace t o
1 t
f ( t)
Abb. 5.1
A s
A s
invlaplace s o A
Die Laplacetransformierte von A )(t) berechnet:
L
{ A )(t) } =
´ µ ¶
f
st
Ae
f
§ 1 e st· | = ©s ¹ 0
dt = A ¨
0
ª
A « lim
¬
bof
§ 1 e sb· § 1 ·º = A ¨ ¨ » ©s ¹ © s ¹¼ s
Der Grenzwert und damit das Integral existiert nur, wenn der Realteil von s grösser 0 ist. F ( s)
A
Laplacetransformierte
s
s2 0.1 0.1 0.01 5 Bildbereich
10
F( s2 )
Bereichsvariable
5
G = Re ( s ) ! 0 0
0
2
4
6
s2
Abb. 5.2
Abb. 5.3
Beispiel 5.2: Laplace-Transformation und Rücktransformation eines Dirac-Impulses G(t) = '(t): Laplacetansformierte und Rücktransformierte eines Dirac-Impulses mithilfe von Mathcad: ' ( t)
hat Laplace-Transformation
' ( t) laplace t o 1
1
1
hat inverse Laplace-Transformation
1 invlaplace s o ' ( t)
Seite 137
' ( t)
Laplace-Transformation
Die Laplacetransformierte eines Dirac-Impulses berechnet:
L { G(t) } =
´ F ( s) = µ ¶
f
st
G ( t) e
Dieses Integral kann wieder nur mit der Ausblendeigenschaft des Dirac-Impulses ausgewertet werden (siehe Abschnitt 4.2).
0
dt = e = 1
0
Beispiel 5.3: Laplace-Transformation und Rücktransformation einer Rampe (linearen Funktion) f (t) = k t )(t). k 2
Steigung der Geraden
f ( t) k t ) ( t)
lineare Funktion
t 2 2 0.1 2
Bereichsvariable Laplacetansformierte und Rücktransformierte von k t )(t) mithilfe von Mathcad:
Zeitbereich 2
t t
k k
kt
1
Redefinitionen k
hat Laplace-Transformation
f( t)
s
k 2
0
s
2
hat inverse Laplace-Transformation
2
F ( s ) k t ) ( t) laplace t o
1
k
Abb. 5.4
s
kt
k s
t
2
2
invlaplace s o k t
2
Die Laplacetransformierte von k t berechnet: Durch partielle Integration mit u = t, u' = 1 und v' = e
L{kt}=
´ kµ ¶
f
st
te
0
L{kt}= k s
lim
k s
b e
bof
b e sb
L{kt}=
f
0
1 s
´ kµ µ ¶
f
1 s
´ kµ µ ¶
f
-st
1 s
erhalten wir: st
e
dt
0
st
e
dt
0
k
=
s
bof
´ kµ µ ¶
v = -1/s e
f § 1 st· | dt = k ¨ t e © s ¹ 0
sb
lim
- s t,
st
e
lim bof
dt =
k s
§ b · = k ¨ sb s ©e ¹
lim bof
f
§ 1 e st· | = ©s ¹ 0
¨
k s
2
§ 1 · =0 ¨ sb ©se ¹
lim bof
Regel von L' Hospital
e sb 1
=
k s
2
Der Grenzwert und damit das Integral existiert wieder nur, wenn der Realteil von s grösser 0 ist.
Seite 138
Laplace-Transformation
k
F ( s)
s
Laplacetransformierte
2
s2 0.1 0.1 0.01 5 Bildbereich
10
F( s2 )
Bereichsvariable
5
G = Re ( s ) ! 0 0
0
2
4
6
s2
Abb. 5.5
Abb. 5.6
Beispiel 5.4: Laplace-Transformation und Rücktransformation einer Exponentialfunktion f (t) = ea t )(t). a 2
Konstante at
f ( t) e
) ( t)
Exponentialfunktion
t 1 1 0.01 1
Bereichsvariable Laplacetansformierte und Rücktransformierte von e at . )(t) mithilfe von Mathcad:
Zeitbereich 10
t t
a a
at
hat Laplace-Transformation
e
f( t)
Redefinitionen
5
1
0
at
F ( s) e
1
t
1
Abb. 5.7
sa
sa
hat inverse Laplace-Transformation
sa 1
1
) ( t) laplace t o
exp ( a t )
1 sa
invlaplace s o exp ( a t )
Die Laplacetransformierte von e at )(t) berechnet:
L { eat } =
´ µ ¶
f
at
e
st
e
0
L { eat } =
1 sa
´ dt = µ ¶
f
( s a )t
e
dt =
0
lim bof
ª¬e ( sa)b 1º¼ =
1 sa
1 sa
ª¬ e
( s a )tº
¼
f | 0
Der Grenzwert und damit das Integral existiert nur, wenn G = Re(s) > a ist.
Seite 139
Laplace-Transformation
Rücktransformation in den Zeitbereich (a ist ein Pol 1. Ordnung):
L -1{ F(s) }
=
=
st
Residuum F ( s ) e
soa
1
F ( s)
ª¬( s a) F ( s ) est º¼ =
lim
ª( s a) 1 estº = eat « » sa ¬ ¼
lim soa
Laplacetransformierte
sa
s2 2.1 2.1 0.01 6
Bereichsvariable
Bildbereich
10
a
F( s2 )
5
G = Re ( s ) ! a 0
0
2
4
6
s2
Abb. 5.8
Abb. 5.9
Eine Fouriertransformierte existiert für diesen Fall nicht. Das Integral konvergiert nicht. Beispiel 5.5: Laplace-Transformation und Rücktransformation einer Exponentialfunktion f (t) = e - a t )(t). a 2
Konstante at
f ( t) e
) ( t)
Exponentialfunktion
t 1 1 0.01 1
Bereichsvariable Laplacetransfomierte und Rücktransformierte von e at )(t) mithilfe von Mathcad:
Zeitbereich 1
t t at
e
f( t) 1
0
1
a a
Redefinitionen 1
hat Laplace-Transformation
sa 1
hat inverse Laplace-Transformation
sa at
F ( s) e
1 t
Abb. 5.10
1 sa
) ( t) laplace t o
1 sa
invlaplace s o exp ( a t)
Seite 140
exp ( a t)
Laplace-Transformation
Die Laplacetransformierte von e -at . )(t) berechnet:
L{e
-at
}=
´ µ ¶
f
at
e
st
e
0
L { e-at } = F ( s)
´ dt = µ ¶
f
( s a )t
e
dt =
0
1 sa
ª¬e ( sa)b 1º¼ =
lim bof
1
1
ª¬ e
( s a )tº
sa
f
¼ |
0
1
Der Grenzwert und damit das Integral existiert nur, wenn G = Re(s) > - a ist.
sa
Laplacetransformierte
sa
s2 2.2 2.2 0.001 6
Bereichsvariable
G = Re ( s ) ! a
Abb. 5.11
Abb. 5.12
Beispiel 5.6: Laplace-Transformation und Rücktransformation einer Kosinusfunktion f (t) = cos(Z0 t) . )(t). Z 1
Kreisfrequenz
f ( t) cos ( Z t) ) ( t)
Exponentialfunktion
t 1 1 0.01 3 S
Bereichsvariable
Laplacetransfomierte und Rücktransformierte von e at )(t) mithilfe von Mathcad: t t
Zeitbereich
Z Z
Redefinitionen
1
cos ( Z t)
s
hat Laplace-Transformation
2
s Z s
f( t) 5
0
5
10
2
s Z
2
hat inverse Laplace-Transformation
F ( s ) cos ( Z t) ) ( t) laplace t o
s Z
1 t
Abb. 5.13
s 2
s 2
s Z
2
Seite 141
invlaplace s o cos ( Z t)
2
2
cos ( Z t)
Laplace-Transformation
Die Laplacetransformierte von cos(Z0 t) )(t) berechnet: ´ µ st cos ( Z t) e dt = µ µ 0 ¶
´ µ ¶
L { cos(Zt) } =
f
f
§ ejZt e jZt · st ¨ dt e 2 © ¹
0
f ª´f º 1 ´ 1 s · « ( s jZ )t ( s jZ )t » § 1 L { cos(Zt) } = 2 « µ¶ e = dt µ e dt = ¨ » ¶ 2 2 0 ¬ 0 ¼ 2 ©s j Z s j Z¹ s Z
1
Das Integral mit Mathcad gelöst: ´ µ ¶
f
st
cos ( Z t) e
s
dt annehmen s ! 0 o
2
s Z
0
2
Der Grenzwert und damit das Integral existiert nur, wenn G = Re(s) > 0 ist. Rücktransformation in den Zeitbereich ( an den Stellen jZ und -jZ liegt jeweils ein Pol 1. Ordnung vor):
=
st
Residuum F ( s ) e
lim s o j Z
=
st
Residuum F ( s ) e
lim s o j Z
L -1{ F(s) }
¦
=
ª¬( s j Z ) F ( s ) est º¼ =
ª¬( s j Z ) F ( s ) est º¼ =
s 2
s Z
2
s2 0 0.001 20
s o jZ
1 ª( s j Z ) Z stº jZt e » = e « 2 2 2 s Z ¬ ¼
lim s o jZ
1 jZt ª( s j Z ) Z stº e » = e « 2 2 2 s Z ¬ ¼
= 1 ejZt 1 e jZt = cos (Z t)
st
Residuen F ( s ) e
2
( Pole( F( s) )
F ( s)
lim
Laplacetransformierte
Bereichsvariable
Abb. 5.14
Seite 142
2
Laplace-Transformation
5.2. Eigenschaften der Laplace-Transformation Der Umgang mit der Laplace-Transformation kann mithilfe von Sätzen vereinfacht werden. Nachfolgend werden einige wichtige angeführt. Linearität (Superpositionssatz): Aus zwei Zeitfunktionen f 1 (t) und f 2 (t) wird mit den Konstanten (Amplituden) A1 und A2 eine neue Funktion f(t) gebildet in der Form f(t) = A 1 f1 (t) + A2 f2 (t). Die zugehörige Laplacetransformierte ergibt sich dann zu: ´
f
L { A1 f1 (t) A2 f2 (t) } = F (s) = µ A1 f1 (t) A2 f2 (t) e st dt = ¶ 0
=
´ F ( s ) = A1 µ ¶
f
st
f1 ( t) e
0
´ dt A 2 µ ¶
f
st
f2 ( t) e
dt = A 1 F1 ( s ) A 2 F2 ( s )
0
L {A1 f1(t) + A2 f2(t) } = A1 F1(s) + A2 F2(s)
(5-5)
Die Laplacetransformierte einer Summe von Zeitfunktionen ist gleich der Summe der Laplacetransformierten der einzelnen Zeitfunktionen. Allgemein gilt für n Zeitfunktionen: n
n
L { ¦ A k f k ( t ) } = ¦ A k F k( s) k
1
k
(5-6)
1
Beispiel 5.7: Laplace-Transformation und Rücktransformation der Funktion f(t) = 2 t + 4 cos(t).
L {2 t + 4 cos(t)} = 2 F1(s) + 4 F2(s) =
F ( s) = 2
1 s
F ( s) = 2
1 s
2
3
s 2
2
s
3
2
s 1 2
vereinfacht auf
F ( s) =
2 s 2 3 s
s 1
2
2
s s 1
Laplace-Transformation und Rücktransformation mithilfe von Mathcad: 2 t 3 cos ( t ) laplace t o
2 s
2 s
2
3
s 2
2
3
siehe Beispiel 5.3 und 5.6
s 2
s 1
invlaplace s o 2 t 3 cos ( t )
s 1
Seite 143
3
Laplace-Transformation
Zeitverschiebung (Verschiebungssätze): Wird ein Signal f(t) auf der Zeitachse um eine feste Zeit t 0 > 0 verzögert (nach rechts verschoben), so gilt für die zugehörige Laplacetransformierte: ´
f
L { f t t0 } = F (s) = µ f t t0 e st dt ¶
(5-7)
0
Mit der Substitution t - t0 = x und damit mit den Grenzen - t 0 und ferhalten wir: f
L { f (x) } =
f ´ s x t0 t0s ´ µ sx dx = e f ( x) e µ f ( x) e dx . µ ¶ t ¶ t 0 0
Durch Zerlegung des letzten Integrals und unter Berücksichtigung, dass das erste Integral Null liefert, ergibt sich schließlich t0s
L { f (x) } = e
f · §´0 ´ t0s sx sx ¨ µ f ( x) e dx µ f ( x) e dx = e F (s) . ¶ ¨ ¶ t 0 © 0 ¹
Damit gilt:
L { f(t - t0) } =
e - t0s F(s) (Verschiebung oDämpfung)
(5-8)
Wird ein Signal f(t) auf der Zeitachse um eine feste Zeit t 0 > 0 nach links verschoben, so gilt für die zugehörige Laplacetransformierte:
L { f t t0 } =
´ F (s) = µ ¶
f
st
f t t0 e
t0s
dt = e
0
t § · ´0 ¨ st ¨ L ( f ( t) ) µ f ( t) e dt ¶ 0 © ¹
Beispiel 5.8: Laplace-Transformation und Rücktransformation der verschobenen Sprungfunktion f(t) = )(t - T1 ).
L {)(t - T1)} =
T1s
F ( s) = e
1
Siehe Beispiel 5.1
s
Laplace-Transformation und Rücktransformation mithilfe von Mathcad:
annehmen T1 ! 0 exp T1 s o s laplace t
) t T1
exp s T1 s
annehmen T1 ! 0 o ) t T1 invlaplace s
Seite 144
(5-9)
Laplace-Transformation
Beispiel 5.9: Laplace-Transformation und Rücktransformation eines Rechteckimpulses f(t) = )(t) - )(t - T1 ). Unter Anwendung der Linearität und Zeitverschiebungssatz gilt:
L {)(t) - )(t - T1)} = L {)(t)} - L {)(t - T1)} =
T1s
1
F ( s) =
e
s
1 s
=
1 s
§
T1s·
©1 e
¹
Laplace-Transformation und Rücktransformation mithilfe von Mathcad:
exp T1 s annehmen T1 ! 0 1 o s s laplace t
) ( t ) ) t T1
1 s
1 s
annehmen T1 ! 0 o 1 ) t T1 invlaplace s
exp s T1
Beispiel 5.10: Laplace-Transformation und Rücktransformation einer linearen Funktion f(t) = (t + 2) )(t).
L {t + 2} = L {t + 2} =
2s
F ( s) = e
2s
e
2 § · 2 ´ s t 1 st·º ¨ st 2s ª 1 § µ L ( t) te dt = e « ¨ e » | ¨ ¶ 2 2 0 © ¹ ¬s © s ¹¼ 0
ª 1 ( 2 s 1) e 2s « « s2 2 s ¬
1 º»
» ¼
=
2 s 1 s
2
siehe auch Beispiel 5.3
Laplace-Transformation und Rücktransformation mithilfe von Mathcad:
( t 2) ) ( t)
laplace t
o vereinfachen
1 2 s
1 2 s
2
2
s
s
invlaplace s o t 2
Ähnlichkeitssatz (Zeitskalierung): Die Funktion f(a t) entsteht aus der Funktion f(t) durch Dehnung (0 < a < 1) oder durch Stauchung (a > 1) auf der Zeitachse. Mit der Substitution x = a t erhalten wir:
L { f ( a t) } =
´ µ f ´ st µ µ f ( a t) e dt = µ ¶ 0 ¶
f
f ( x) e
s a
x
1 a
dx =
1 a
§s· (mit a > 0). © a¹
F¨
0
Damit gilt:
L { f(a t) } =
1 a
§s· © a¹
F¨
(5-10)
Seite 145
Laplace-Transformation
Beispiel 5.11: Laplace-Transformation der Funktion f(t) = cos(Z t) . )(t).
L {cos(t)} =
s
F ( s) =
nach Beispiel 5.6
2
s 1 s
1
L {cos(Z t)} =
Z
Z s §s·= 1 = 2 2 © Z ¹ Z § s ·2 s Z 1 ¨ ©Z¹
F¨
mithilfe des Ähnlichkeitssatzes
Beispiel 5.12: Laplace-Transformation der Funktion f(t) = cos(t) . )(t) und f(t) = sin(t) . )(t). Aus dem Beispiel 5.4 folgt unmittelbar
L {et} =
1
F ( s) =
s1
und weiter nach dem Ähnlichkeitssatz
L {ea t} =
§s· = 1 1 = 1 © a¹ a s 1 s a
1
F¨
a
a
Setzen wir a = j, so erhalten wir durch Erweiterung des Bruches mit s + j:
L {ej t} =
1 s j
sj
=
sj
s j 2
s
=
j
2
s 1
s 1
1 2
s 1
Mit der Eulerbeziehung e j t = cos(t) + j sin(t) und unter Anwendung der Linearität erhalten wir schließlich:
L {ej t} = L {cos(t) + j sin(t)} = L {cos(t)} s
L {cos(t)} =
also
+j
2
cos ( t ) j sin ( t ) laplace t o
2
1
j
s 1
2
s 1
1
L {sin(t)} =
s 1
s
L {sin(t)} = 2
s 1 s
2
s 1
i
Lösung mit Mathcad (imaginäre Einheit i = j)
2
s 1
Dämpfungssatz: Wird eine Zeitfunktion f(t) mit e - a t multipliziert, dann tritt für t > 0, Re(a) > 0 eine Dämpfung ein. Es gilt daher: -at
L{e
f(t)} =
´ µ ¶
f
at
e
0
st
f ( t) e
´ dt = µ ¶
f
( s a )t
f ( t) e
dt = F ( s a)
0
Es gilt daher
L { e- a t f(t)}
= F(s + a) (Dämpfung oVerschiebung)
Seite 146
(5-11)
Laplace-Transformation
Beispiel 5.13: Laplace-Transformation Rücktransformation der Funktion f(t) = e
L {cos(Z t)} =
s
F ( s) =
2
s Z
L {e - a t cos(t)} =
-a t
cos(Z t) )(t).
nach Beispiel 5.6
2
sa
F ( s a) =
2
( s a) Z
mithilfe des Dämpfungssatzes
2
Laplace-Transformation und Rücktransformation mithilfe von Mathcad: at
e
sa
sa
cos ( Z t) ) ( t) laplace t o
2
( s a) Z
2
2
( s a) Z
2
invlaplace s o exp ( a t ) cos ( Z t)
Ableitungssatz für die Originalfunktion: Wird vorausgesetzt, dass f(t) die ersten n- Ableitungen besitzt, für f(t), f '(t), ..., f (n-1)(t) der rechtsseitige Grenzwert an der Stelle 0 existiert, die Ableitungen von f(t) transformierbar sind, dann gilt mithilfe der partiellen Integration (u = e -s t, u' = - s e-s t, v' = f '(t), v = f(t)):
L {f '(t)} =L {
d
f ( t)
}=
dt
´ µ µ ¶
f
d
st
f ( t) e
st
dt = e
f
f ( t)
dt
0
0
e st f (t)
lim
Nun ist aber
|
= 0 und
tof
lim to0
e st f (t)
´ s µ ¶
f
st
f ( t) e
dt
0
= f ( 0+) .
Es gilt daher:
L{
d
f ( t)
} = 0 - f(0+) + s L {f(t)} .
dt Damit gilt mit f(0+) = f(0) für die erste Ableitung:
L{
d
f ( t)
} = s L {f(t)} - f(0+) = s F(s) - f(0)
(5-12)
dt Für höhere Ableitungen folgt entsprechend:
L{
2
d
dt
2
f ( t)
§ · } = L { d ¨ d f ( t) } = s dt © dt ¹
L{
d
f ( t)
} - f '(0+) = s [s L {f(t)} - f(0+)] - f '(0+).
dt
Damit gilt mit f(0+) = f(0) und f '(0+) = f '(0) für die zweite Ableitung:
L{
2
d
dt
2
2
f ( t)
} = s F(s) - s f(0) - f '(0)
Seite 147
(5-13)
Laplace-Transformation
Allgemein gilt dann für die n-te Ableitung:
L{
n
d
dt
n
f ( t)
n 1
n
} = s F (s)
ª¬sni1 f n ( 0+)º¼
¦
i
(5-14)
0
Der Ableitungssatz wird besonders bei der Lösung von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Anwendung finden (siehe dazu Kapitel 8). Gilt f(0) = f '(0) = ... = f(n)(0) = 0 (Anfangswerte zur Zeit t = 0), wie es bei vielen Anwendungen der Fall ist, dann wird die Ableitung im Bildbereich zur Multiplikation mit s:
L {f (n)(t)}
= sn F(s) (n ²)
(5-15)
Bemerkung: Ist f(t) eine Sprungfunktion mit einer Sprungstelle bei t = 0, so ist für die Anfangswerte f(0), f '(0), ..., f(n-1)(0) jeweils der rechtsseitige Grenzwert einzusetzen ( f(0+), f '(0+), ..., f (n-1)(0+) ), um ein stetiges Anschließen von f(t), f '(t), ... an diese Anfangswerte zu gewährleisten.
Beispiel 5.14: Von einer Funktion f(t) = sin(t) )(t) sind der Anfangswert f(0) = 0 und die Bildfunktion F(s) bekannt. Unter Verwendung des Ableitungssatzes kann dann die Laplacetransformierte der Kosinusfunktion hergeleitet werden.
L {sin(t)} =
1
F ( s) =
nach Beispiel 5.11
2
s 1
L { d sin (t) } = L {cos(t)} =
s
dt
d
0=
s 1
s 2
s 1
s
sin ( t ) laplace t o
dt
1 2
Lösung mit Mathcad
2
s 1
Beispiel 5.15: Man ermittle die Laplacetransformierte der Differentialgleichung y'(t) + 2 y(t) = e 2t mit y(0) = 1.
L {y'(t) + 2 y(t)} = L {eat} s Y ( s ) y ( 0) 2 Y ( s ) =
( s 2) Y ( s ) 1 =
d
1 s2
1 s2
Laplacetransformierte Gleichung unter Anwendung der Linearität und des Ableitungssatzes
auflösen Y ( s ) o
s1 2
nach Y(s) umgeformte Gleichung
s 4
y ( t) 2 y ( t ) laplace t o s laplace ( y ( t ) t s ) y ( 0) 2 laplace ( y ( t ) t s )
dt
Seite 148
Lösung der linken Seite der Gleichung mit Mathcad
Laplace-Transformation
Ableitungssatz für die Bildfunktion: Wir interessieren uns hier für die Ableitungen der Bildfunktion F(s) = L {f(t)} nach der Variablen s. Durch beidseitige Differentiation nach s der Definitionsgleichung für die Laplace-Transformation folgt: f f §´ f · ´f ´ ´ ¨ st d st st st µ µ f ( t) e F'(s) = f ( t) e dt = µ f ( t) ( t) e dt = dt = µ ( t f ( t) ) e dt ¨ µ ¶ ¶ ¶ s ds © 0 d 0 0 ¹ ¶
d
0
Das letzte Integral ist die Laplacetransformierte der Funktion g(t) = - t . f(t). Damit gilt für die erste Ableitung der Bildfunktion F(s):
F'(s) = L {- t . f(t)}
(5-16)
Für höhere Ableitungen folgt entsprechend in Analogie:
F(n)(s) = L {(-t)n . f(t)}
(5-17)
Bemerkung: Der Ableitungssatz für die Bildfunktion lässt sich auch in folgender Form darstellen:
L {(t)n . f(t)} = (-1)n . F(n)(s)
(5-18)
Beispiel 5.16: Die Laplacetransformierte von f(t) = e a t lautet: F(s) = 1/(s-a). Bestimmen Sie mithilfe des Ableitungssatzes die Laplacetransformierte der Funktion g(t) = t 2 . eat.
§ 1 · = 1 ¨ 2 ds © s a ¹ ( s a) d
F' ( s ) =
F'' ( s ) =
d
( F' ( s ) ) =
ds
L {t2 . ea t} =
erste Ableitung der Laplacetransformierten
2 ª 1 º = « » 3 ds ( s a) 2 ¬ ¼ ( s a) d
2
2
( 1) F'' ( s ) =
( s a) 2
at
t e
zweite Ableitung der Laplacetransformierten
siehe Bemerkung oben
3
2
laplace t o
( s a)
Lösung mit Mathcad
3
Beispiel 5.17: Bestimmen Sie die Laplacetransformierte der Funktion g(t) = t . sinh(t). sinh ( t ) laplace t o
1 2
t sinh ( t ) laplace t o
s 1 1 d
( 1)
1
ds s 2 1
vereinfachen o
2
s2 1
2
s
2
s
2
1
2
s
Auswertung mit Mathcad
Seite 149
Auswertung mit Mathcad
Laplace-Transformation
Integralsatz für die Originalfunktion: Wie eine Differntiation im Zeitbereich führt auch eine Integration im Zeitbereich auf eine algebraische Operation im Bildbereich. Dies besagt der Integralsatz (Umkehrung des Ableitungssatzes). t
´ Für die Laplacetransformierte des Integrals µ f ( W ) dW gilt: ¶ 0
t
L{
´ µ f ( W ) dW ¶
} =
0
1 s
F ( s ) (t > 0)
(5-19)
Die Integration im Bildbereich wird also zur Division durch s. Wie beim Ableitungssatz bestätigen wir mit partieller Integration die Richtigkeit dieses Satzes: ´ µ µ µ ¶
t
´ µ f ( W ) dW ¶
L{
} =
0
f
0
f t st · §´t 1 ´ e f ¨ µ f ( W ) dW e st dt = ´ µ f ( W ) dW + µ f ( t) e st dt ¨ ¶0 | ¶ s s ¶0 0 © ¹ 0
also t
L{
´ µ f ( W ) dW ¶
}=
lim tof
0
st · §´t 1 ¨ µ f ( W ) dW e . L { f ( t) } . ¨¶ s s © 0 ¹
Beispiel 5.18: t
´ Bestimmen Sie die Laplacetransformierte des Integrals µ sin ( W ) dW . ¶ 0
t
´ µ sin ( W ) dW o cos ( t) 1 ¶
Lösung des Integrals über Originalfunktion f(t) = sin(t)
0
sin ( t) laplace t o
1 2
Laplacetransformierte der Originalfunktion
s 1 t
L{
´ µ sin ( W ) dW ¶
} = L { 1 - cos(t) } =
L {1} - L { cos(t) } =1 s
0 t
L{
´ µ sin ( W ) dW ¶
} = 1/s *L { sin(t))
0
=
t
´ µ sin ( W ) dW ¶ 0
laplace t
o vereinfachen
1
s2 1 s
1 s
1 2
s 2
=
s 1
1
2
s s 1
Auswertung mit dem Integralsatz
s 1 Auswertung mit Mathcad
Seite 150
Laplace-Transformation
Integralsatz für die Bildfunktion: Die Integration der Bildfunktion F(s) = L {f(t)} regelt die nachfolgende Beziehung, die ohne Beweis angeführt wird. ´ Für das Integral µ ¶
f
F ( u) du einer Bildfunktion F(s) gilt:
s
´ µ ¶
f
F ( u) du=
L {(1/ t) . f(t)}
(5-20)
s
Dabei ist f(t) die Originalfunktion von F(s), d.h. f(t) = L -1{ F(s) }.
Beispiel 5.19: Bestimmen Sie mithilfe des Integralsatzes die Laplacetransformierte von g(t) = t 2 , wenn die Laplacetransformierte von f(t) = t 3 bekannt ist. 3
t laplace t o
6 s
L{
1 t
t
3
Laplacetransformierte von f(t)
4
2
}=L{t }=
´ µ µ µ ¶
f
6 4
u
§
f
1 1 · 2 · | = 6 § lim = ¨ 3 3 3 3 3 s ¹ s © 3 u ¹ s © b o f 3 b
du = 6 ¨
1
s
Faltungsatz: Unter dem Faltungsprodukt f 1 (t) * f 2 (t) zweier Originalfunktionen f 1 (t) und f2 (t) (siehe auch Abschnitt 4.3) versteht man das Integral t
t
´ ´ f ( t ) = f 1 ( t ) * f 2 ( t ) = µ f 1 ( W ) f 2 ( t W ) dW = µ f 1 ( t W ) f 2 ( W ) dW ¶ ¶ 0
(5-21)
0
Das Symbol " * " bedeutet das Faltungssymbol. Dieses Integral, auch Faltungsintegral genannt beschreibt die Schnittfläche von f 2 (t - W) mit f1 (W) bzw. umgekehrt. Die Bezeichnung Faltungsprodukt ist auch deshalb gerechtfertigt, weil sich die Grösse wie ein Produkt verhält. Es gelten nämlich folgende Rechengesetze: f1 ( t) * f2 ( t) = f2 ( t) * f1 ( t)
Kommutativgesetz
(5-22)
[ f1 ( t) * f2 ( t)
] * f3 ( t) = f1 ( t) * [ f2 ( t) * f3 ( t) ]
Assoziativgesetz
(5-23)
f1 ( t) * [ f2 ( t)
+ f3 ( t) ] = f1 ( t) * f2 ( t) + f1 ( t) * f3 ( t)
Distributivgesetz
(5-24)
Damit lässt sich nun der Faltungssatz formulieren. Die Laplacetransformierte des Faltungsproduktes f1 (t) * f 2 (t) ist gleich dem Produkt der Laplacetransformierten von f 1 (t) und f2 (t):
L { f1 ( t) * f2 ( t) } = L {
t
´ µ f 1 ( W ) f 2 ( t W ) dW ¶
} = L { f1 ( t) } .
0
Seite 151
L { f 2 ( t ) } = F1 ( s ) F2 ( s )
(5-25)
Laplace-Transformation
Der Faltungssatz lässt sich auch in umgekehrter Richtung formulieren:
f(t) = L
-1
{ F ( s ) } = L
-1
t
{ F1 ( s ) . F2 ( s ) } = f 1 ( t ) * f 2 ( t ) =
´ µ f 1 ( W ) f 2 ( t W ) dW ¶
(5-26)
0
Beispiel 5.20: Mithilfe des Faltungssatzes soll die zur Bildfunktion F ( s ) =
1
s2 1 s
gehörige Originalfunktion f(t) bestimmt
werden.
L { f ( t) } =
F ( s) =
1
s2 1 s
-1
f (t) =L { F1 ( s) } =
L
-1
L
2
f (t) =L { F2 ( s) } = 2
-1
1
=
2
s 1 1
{
1 s
= F1 ( s ) F2 ( s )
} = sin ( t)
2
Zerlegung der Bildfunktion in ein Produkt
Rücktransformation der ersten Teilfunktion
s 1 -1
{
1
Rücktransformation der zweiten Teilfunktion
}=1
s
Die gesuchte Originalfunktion f(t) erhalten wir dann aus dem Faltungsprodukt der beiden Originalfunktionen f1 (W) = sin(W) und f 2 (t - W) = 1:
f(t) = f1 ( t) * f2 ( t) =
t t t ´ ´ µ sin ( W ) 1 dW = cos ( W )| = 1 - cos(t) µ f 1 ( W ) f 2 ( t W ) dW = ¶ ¶ 0 0 0
f(t) =
L -1{
1
1
s2 1 s
} = 1 - cos(t)
die gesuchte Originalfunktion
invlaplace s o 1 cos ( t )
s2 1 s
Rücktransformation mit Mathcad
Beispiel 5.21: 1
Mithilfe des Faltungssatzes soll die zur Bildfunktion F ( s ) =
2
gehörige Originalfunktion f(t) bestimmt
s 4 werden.
L { f ( t) } =
F ( s) =
1 2
=
s 4
-1
1 s2
f (t) =L { F1 ( s) } = 2
L
-1
-1
L
-1
f (t) =L { F2 ( s) } = 2
{
{
1 s2
1 s2 1 s2
= F1 ( s ) F2 ( s )
Zerlegung der Bildfunktion in ein Produkt
} = e 2t
Rücktransformation der ersten Teilfunktion
} = e2t
Rücktransformation der zweiten Teilfunktion
Seite 152
Laplace-Transformation
Die gesuchte Originalfunktion f(t) erhalten wir dann aus dem Faltungsprodukt der beiden Originalfunktionen f1 (W) = e-2W und f 2 (t - W) = e2 (t - W) : t t t t ´ 2W 2( tW ) ´ 2t ´ 4W 2t § 1 4W · e e dW = e ¨ dW = e µ e | µ f 1 ( W ) f 2 ( t W ) dW = µ e ¶ ¶ 4 © ¹ ¶ 0 0 0 0
f(t) = f1 ( t) * f2 ( t) =
f(t) =
L
1
§ 1 e 4t · e2t e 2t 1 } = e2t ¨ = = sinh ( 2 t ) 2 4 4 2 © ¹ s 4
-1
1
{
invlaplace s o
2
s 4
1 4
exp ( 2 t )
1 4
exp ( 2 t)
die gesuchte Originalfunktion
Rücktransformation mit Mathcad
Grenzwertsätze (Anfangs- und Endwerttheorem): Das Anfangs- und Endwerttheorem geben über das Zeitverhalten einer Funktion f(t) im Zeitpunkt t = 0+ (exakter: beim rechtsseitigen Grenzwert) Auskunft, d.h. über das dynamische Verhalten zu Beginn eines Ausgleichsvorganges, bzw. über den stationären Zustand, nachdem der Ausgleichsvorgang beendet ist (t o f). Bei der Anwendung dieser Theoreme kann das dynamische Verhalten eines Systems bis zu einem gewissen Grad direkt im Laplacebereich (ohne Rücktransformation) beurteilt werden. Der Anfangswert f(0) und der Endwert f( f) einer Originalfunktion f(t) lassen sich (sofern sie überhaupt existieren) ohne Rücktransformation durch Grenzwertbildung aus der zugehörigen Bildfunktion F(s) = L
{f(t)} wie folgt berechnen:
Anfangswerttheorem: f ( 0) =
lim
f ( t) =
lim
to0
( s F (s))
(5-27)
( s F ( s) )
(5-28)
sof
Endwerttheorem: f (f) =
lim
f ( t) =
tof
lim so0
Den Nachweis führen mithilfe des Ableitungssatzes. Nach dem Ableitungssatz gilt für f(t):
L{
d
f ( t)
}=
dt
´ µ µ ¶
f
d
st
f ( t) e
dt
= s F ( s ) f ( 0) .
dt
0
Beim Grenzübergang für s o0 und vertauschen des Grenzwertes mit dem Integral wird hieraus die Gleichung: ´ µ µ µ ¶
f
d dt
f ( t)
lim so0
st
e
dt =
lim
( s F ( s ) f ( 0) ) .
so0
0
Der Grenzwert im Integral wird 1 und damit ergibt die linke Seite der Gleichung f( f) - f(0). Wir erhalten dann das Endwerttheorem aus f ( f ) f ( 0) = lim ( s F ( s ) ) f ( 0) . so0
Die Bildung des Grenzwertes für s o fliefert schliesslich, weil der Grenzwert im Integral verschwindet, das Anfangswerttheorem.
Seite 153
Laplace-Transformation
Beispiel 5.22: Mithilfe der Grenzwertsätze soll der Anfangswert und der Endwert der Bildfunktion U ( s ) =
U0 s ( s 1)
ermittelt
werden und mit der Originalfunktion f(t) verglichen werden.
lim sof
lim so0
U0 ª º «s » o0 ¬ s ( s 1) ¼
Anfangswert
U0 ª º «s » o U0 ¬ s ( s 1) ¼
Endwert
U0 s ( s 1) lim to0
lim tof
invlaplace s o U0 ( 1 exp ( t ) )
Rücktransformation in den Originalbereich
ª¬U0 ( 1 exp ( t) )º¼ o 0
der Grenzwert bestätigt das Ergebnis
ª¬U0 ( 1 exp ( t) )º¼ o U0
der Grenzwert bestätigt das Ergebnis
Beispiel 5.23: Mithilfe der Grenzwertsätze soll der Anfangswert und der Endwert der Bildfunktion F ( s ) =
2 s 12 s ( s 4)
werden und mit der Originalfunktion f(t) verglichen werden.
lim sof
lim so0
ª s 2 s 12 º o 2 « » ¬ s ( s 4) ¼
Anfangswert
ª s 2 s 12 º o 3 « » ¬ s ( s 4) ¼
Endwert
2 s 12 s ( s 4) lim
invlaplace s o 3 exp ( 4 t)
Rücktransformation in den Originalbereich
( 3 exp ( 4 t) ) o 2
der Grenzwert bestätigt das Ergebnis
( 3 2 exp ( 4 t) ) o 3
der Grenzwert bestätigt das Ergebnis
to0
lim tof
Seite 154
ermittelt
Laplace-Transformation
5.3. Rücktransformation aus dem Bildbereich in den Originalbereich Um aus dem Bildbereich die gesuchte Originalfunktion f(t) zu erhalten, muss man die Bildfunktion F(s) mittels der inversen Laplace-Transformation in den Originalbereich rücktransformieren. In der Praxis erweist sich diese Rücktransformation als der schwierigste Weg.
Prinzipiell besteht die Möglichkeit, die Originalfunktion f(t) auf direkten Wege über das LaplaceUmkehrintegral aus der bekannten Bildfunktion F(s) zu berechnen. Diese Methode wird aber nur selten angewendet, weil hierzu fundierte Kenntnisse aus dem Gebiet der Funktionentheorie notwendig sind. Daneben gibt es die Möglichkeit mithilfe einer Transformationstabelle, die in zahlreichen Werken über die Laplace-Transformation zu finden ist (siehe dazu auch Anhang Korrespondenztabellen), die Rücktransformation durchzuführen. Da in den Anwendungen häufig gebrochen rationale Bildfunktionen auftreten, zerlegt man diese zunächst in eine Summe von Partialbrüchen und bestimmt dann aus der Transformationstabelle Glied für Glied die zugehörige Originalfunktion. Wie bereits oben in zahlreichen Beispielen aufgezeigt wurde, kann mit Mathcad eine Rücktransformation durchgeführt werden. Es ist aber nicht zu erwarten, dass alle möglichen Rücktransformationen auch ausgeführt werden können, zumal es sich in Mathcad um einen eingeschränkten Maple-Symbolkern handelt. Es soll jedenfalls versucht werden, wenn eine Rücktransformation der Bildfunktion nicht direkt gelingt, zuerst eine Partialbruchzerlegung durchzuführen (siehe auch Band 3, Abschnitt 4.3.4). Die Partialbruchzerlegung ist auf echt gebrochen rationale Funktionen (Grad des Zählerpolynoms ist kleiner als der Grad des Nennerpolynoms) anwendbar. Liegt eine unecht gebrochen rationale Funktion vor, so kann diese mittels Partialdivision in die Summe einer ganzen und einer echt gebrochen rationalen Funktion umgeformt werden. Eine gebrochen rationale Funktion hat die allgemeine Form n
F ( s) =
Z ( s) N(s)
an s an 1 s
=
s
m
bm 1 s
n 1
m 1
an 2 s
bm 2 s
n 2
m 2
2
.... a2 s a1 s a0 2
(5-29)
.... b2 s b1 s b0
wobei ak , bk und m,n ²sind. Zur Durchführung der Partialbruchzerlegung müssen die Nullstellen von N(s) (Polstellen) bekannt sein. Unter Beachtung des Fundamentalsatzes der Algebra kann
N(s) = s s1
D1
s s2
D2
s s3
D3
.... s s i
Di
.... s s r
Dr
geschrieben werden, wobei die s i die voneinander verschiedenen Wurzeln der Gleichung N(s) = 0 sind und die Di ( D ²) die Vielfachheit der Wurzeln s i bedeuten.
Seite 155
(5-30)
Laplace-Transformation
F(s) kann jetzt in eine Summe von Teilbrüchen zerlegt werden. Dabei sind folgende Fälle zu unterscheiden: a) Die Wurzeln der Nennerpolynoms N(s) sind reell und voneinander verschieden. Ansatz: F ( s) =
Z ( s) N(s)
=
A1 s s1
A2
s s2
Ai
....
....
s si
Am
(5-31)
s sm
b) Die Nennerfunktion N(s) besitzt mehrfache reelle Nullstellen. Ansatz: F ( s) =
Z ( s) N(s)
=
A11 s s1
A12
s s1
2
A13
s s1
3
....
A1D1
s s1
D1
+
(5-32)
..............................................................................
+
Ai1 s si
Ai2
s si
2
Ai3
s si
3
....
AiDi
s s i
+
Di
.............................................................................
+
Ar1 s sr
Ar2
s sr
2
Ar3
s sr
3
....
ArDr
s sr
Dr
.
wenn die Nennerfunktion N(s) vom Grade m ist dann gilt: r
D 1 D 2 D 3 .... D i .... D r =
¦ i
Di = m .
1
c) Die Wurzeln der Nennerfunktion sind einfach komplex. Der Ansatz kann wie unter a) gewählt werden, wobei für konjugiert komplexe Nullstellen s 1 und s2 einfacher geschrieben werden kann: A1 s s1
A2 s s2
=
Ms N
(5-33)
2
s a s b
d) Die Nennerfunktion N(s) besitzt mehrfache komplexe Nullstellen. Dieser Fall soll hier nicht behandelt werden. Die vorerst unbekannten Koeffizienten in den Ansätzen können nach verschiedenen Methoden bestimmt werden. Solche Methoden sind die Grenzwertmethode, die Einsetzungsmethode und die Methode des Koeffizientenvergleichs. Diese Methoden können auch kombiniert angewendet werden. Nachfolgend sollen diese Methoden an einigen Beispielen erläutert werden.
Seite 156
Laplace-Transformation
Beispiel 5.24: 1
Die Bildfunktion F ( s ) =
s ( s a) rücktransformiert werden. 1
=
s ( s a)
A1
A2
s
soll zuerst mittels Partialbruchzerlegung umgeformt und dann
Ansatz für die Partialbruchzerlegung
sa
1 = A1 ( s a) A2 s
nach Multiplikation des Ansatzes mit dem Nenner
Anwendung der Grenzwertsätze, denn für s = 0 und s = a ist F(s) nicht definiert: 1=
lim so0
1=
lim soa
ª¬A1 ( s a) A2 sº¼ = A1 a
daraus folgt:
ª¬A1 ( s a) A2 sº¼ = A2 a
daraus folgt:
A1 = A2 =
1 a 1 a
Damit kann die Bildfunktion in folgender Form dargestellt werden: 1
F ( s) =
a
1
s
1 a
1
sa
Damit kann diese Funktion summandenweise unter Anwendung der inversen Transformation rücktransformiert werden: -1
f(t) =L { F ( s ) } = -1/a
1
L -1{
-1
} + 1/a L {
s
1 sa
}
Unter Berücksichtigung der Ergebnisse in Beispiel 5.1 und 5.4 folgt die Funktion im Originalbereich: f ( t) =
1 a
1
1 s1 ( s1 a) 1 s1 ( s1 a)
1 a
at
e
=
1 a
at 1 .
e
konvert teilbruch s1 o
invlaplace s1 o
1
a
1 a s1
1 a
1 a ( s1 a)
exp ( a t )
Partialbruchzerlegung mithilfe von Mathcad
Rücktransformation mit Mathcad
Beispiel 5.25: 2
Die Bildfunktion F ( s ) =
2 s 2 s 4 ( s 5)
3
soll zuerst mittels Partialbruchzerlegung umgeformt und dann
rücktransformiert werden. 2
2 s 2 s 4 ( s 5) 2
3
=
A11 s5
A12 ( s a)
2
A13 ( s 5)
Ansatz für die Partialbruchzerlegung
3
2
2 s 2 s 4 = A11 ( s 5) A12 ( s 5) A13
Seite 157
nach Multiplikation des Ansatzes mit dem Nenner
Laplace-Transformation
Mit der Grenzwert und Einsetzungsmethode ergibt sich dann:
2 s2 2 s 4
lim
=
lim
so5
so5
ªA ( s 5) 2 A ( s 5) A º 12 13¼ ¬ 11
s=0
4 = 25 A11 5 A12 44
s=1
8 = 36 A11 6 A12 44
daraus folgt:
44 = A13
Aus dem linearen Gleichungssystem folgt A11 = 2 und A12 = 18 . Die Bildfunktion hat dann die Darstellung:
ª 1
F ( s) = 2 «
¬
s5
9
( s 5)
2
º
22
( s 5)
3»
¼
Damit kann diese Funktion summandenweise unter Anwendung der inversen Transformation rücktransformiert werden (hier mithilfe von Mathcad): 1 s5
invlaplace s o exp ( 5 t)
9 ( s 5)
2
22
invlaplace s o 9 t exp ( 5 t)
2
( s 5)
3
invlaplace s o 11 t exp ( 5 t)
Die Originalfunktion lautet daher:
5t 9 t e 5t 11 t2 e 5t = 2 e 5t 11 t2 9 t 1 .
f ( t) = 2 e 2
2 s1 2 s1 4 ( s1 5)
3
2
2 s 2 s 4 ( s 5)
3
44
konvert teilbruch s1 o
( s1 5)
3
18
( s1 5)
2
invlaplace s 2 o 2 exp ( 5 t) 11 t 9 t 1 faktor
2
Partialbruchzerlegung mithilfe s1 5 von Mathcad
Rücktransformation mit Mathcad
Beispiel 5.26:
Die Bildfunktion F ( s ) =
s3 2
( s 1) s 6 s 34 dann rücktransformiert werden.
soll zuerst mittels Partialbruchzerlegung umgeformt und
Die Nennerfunktion besitzt eine reelle Wurzel und ein Paar konjugiert komplexer Wurzeln:
s3 2
( s 1) s 6 s 34
=
A s1
Ms N 2
Ansatz für die Partialbruchzerlegung
s 6 s 34
Seite 158
Laplace-Transformation
2
s 3 = A s 6 s 34 ( M s N) ( s 1)
nach Multiplikation des Ansatzes mit dem Nenner
Nach dem Ordnen nach Potenzen von s führen wir einen Koeffizientenvergleich durch: 2
s 3 = ( A M) s ( 6 A M N) s 34 A N 0=AM
1 = 6 A M N
3 = 34 A N
Aus dem linearen Gleichungssystem folgt A =
4 41
4
, M=
und N =
41
13 41
.
Die Bildfunktion hat dann die Darstellung: 13 · §¨ s 1 4 s 13 4 1 4 ¨ 1 4 ¸ F ( s) = = 2 2 41 s 1 41 41 ¨ s 1 s 6 s 34 s 6 s 34 ¹ © Damit kann diese Funktion summandenweise unter Anwendung der inversen Transformation rücktransformiert werden (hier mithilfe von Mathcad): 1 s1
invlaplace s o exp ( t )
s
13 4
invlaplace s o exp ( 3 t) cos ( 5 t )
2
s 6 s 34
5 4
exp ( 3 t ) sin ( 5 t )
Die Originalfunktion lautet daher: f ( t) =
§ 41 © 4
t
¨ e exp ( 3 t ) cos ( 5 t )
5 4
exp ( 3 t) sin ( 5 t )
· . ¹
Partialbruchzerlegung mithilfe von Mathcad:
s1 3 2
( s1 1) s1 6 s1 34
konvert teilbruch s1 o
4 41 ( s1 1)
1 41
13 4 s1 2
s1 6 s1 34
Rücktransformation mit Mathcad: s3
2
( s 1) s 6 s 34
invlaplace s o
4 41
exp ( t )
4 41
exp ( 3 t) cos ( 5 t )
Seite 159
5 41
exp ( 3 t ) sin ( 5 t )
Laplace-Transformation
5.4 Anwendungen der Laplace-Transformation 5.4.1 Lösungen von Differentialgleichungen Eine direkte Lösung einer linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten (siehe dazu auch Kapitel 7), die das Verhalten eines Systems im Zeitbereich (Originalbereich) beschreibt, ist oft recht aufwendig. Der Umweg über den Laplacebereich (Bildbereich) bietet eine bequeme Methode zur Lösung einer linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, zumal auch die Anfangsbedingungen sofort berücksichtigt werden können, ohne erst eine allgemeine Lösung angeben zu müssen. Die physikalischen Größen hängen dann nicht mehr von der Zeit ab, sondern von der Variablen s. Eine Rücktransformation der Lösung in den Zeitbereich erfolgt mithilfe der Partialbruchzerlegung und den erwähnten Transformationstabellen. Es kann aber auch wie beschrieben, eine Rücktransformation mithilfe von Mathcad versucht werden. Eine Transformation erfolgt dabei nach dem folgenden Schema:
Betrachtet man in der linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten n
¦ k
0
m §¨ · k d ¨ ak dtk y ( t) = © ¹ k 0
0
d
¦
§¨ · k d bk x ( t) ¨ k dt © ¹
(5-34)
0
d
x ( t) = x ( t) und ak , bk , 0 0 dt dt die Funktion x(t) als einzige Eingangsgröße und y(t) als einzige Ausgangsgröße eines Systems, so beschreibt sie ein lineares zeitinvariantes System (LTI-System; Linear Time-invariant Systems). mit
y ( t) = y ( t) ,
Jedes durch eine lineare Differentialgleichung beschriebenes System ist linear. Sind dabei die Koeffizienten a k und bk konstant, so ist das System zusätzlich zeitinvariant. Ein System heißt linear, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind: a) Verstärkungsprinzip: Ist y(t) das Ausgangssignal zu x(t) und wird das Eingangssignal zu c x(t) verstärkt, so führt dies zur gleichen Verstärkung des Ausgangssignals, also zu c y(t). b) Überlagerungsprinzip: Sind y 1 (t) und y2 (t) die Ausgangssignale zu x 1 (t) und x2 (t), so ist y(t) = y1 (t) + y2 (t) das Ausgangssignal zu x(t) = x 1 (t) + x2 (t). Ein System heißt zeitinvariant, wenn das Verschiebungsprinzip erfüllt ist: Ein zeitlich später einsetzendes Eingangssignal führt zu einem Ausgangssignal, das mit der gleichen Verspätung einsetzt, sonst aber unverändert bleibt. Wegen der häufig vorkommenden linearen Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten soll deren Lösung nachfolgend noch näher ausgeführt werden.
Seite 160
Laplace-Transformation
Die inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten vom Typ y' ( t) a y ( t ) = x ( t)
(5-35)
mit dem Anfangswert y(0) wird mithilfe der Laplace-Transformation gliedweise unter Anwendung des Ableitungssatzes und Superpositionssatzes in die algebraische Gleichung ( s Y ( s ) y ( 0) ) a Y ( s ) = X ( s )
(5-36)
mit der Lösung Y (s) =
X ( s ) y ( 0)
(5-37)
sa
übergeführt ( Y(s) = L { y ( t) } und X(s) = L { x ( t) } ). x(t) wird auch Störfunktion genannt. Die Rücktransformation von Y(s) liefert dann mit den bereits bekannten Methoden die gesuchte Originalfunktion y(t) im Zeitbereich. Bemerkung: Die allgemeine Lösung des Anfangswertproblems lässt sich auch in geschlossener Form wie folgt darstellen: at
at
y ( 0) e
y( t) = x ( t) * e
(5-38)
x(t) * e- a t ist dabei das Faltungsprodukt der Funktion x(t) und e - a t.
Beispiel 5.27: Gesucht ist die Lösung folgender linearen Differentialgleichung 1.Ordnung: d
y( t) 2 y ( t) = 2 t 4
mit dem Anfangswert y(0) = 1
dt ( s Y ( s ) 1) 2 Y ( s )
= L { 2 t 4} 2
( s Y ( s ) 1) 2 Y ( s ) =
s Y (s) =
2
2
s ( s 2) 2
2
s ( s 2) y( t) = t
5 2
4 s ( s 2)
4 s ( s 2) 7 2
2
4
s2
exp ( 2 t)
Laplacetransformierte algebraische Gleichung
s
1
Laplace-Transformation der Differentialgleichung
1 s2
nach Y(s) aufgelöste algebraische Gleichung
invlaplace s o t
5 2
7 2
2t
inverse Laplace-Transformation mithilfe von Mathcad
gesuchte Lösung der Differentialgleichung im Zeitbereich
Lösung der Differentialgleichung in geschlossener Form: y( t) = x ( t) * e
exp ( 2 t)
2t
y ( 0) e
Seite 161
Laplace-Transformation
Das Faltungsprodukt erhält man aus
x(t) * e - 2t =
§ · ´ ´ ´ 2( t W ) 2( t W ) 2t ¨ ´ 2W 2W µ x(W ) e µ 2 W e dW µ 4 e dW dW = µ ( 2 W 4) e dW = e ¨¶ ¶ ¶ ¶ t
t
0
0
©
t
t
0
0
¹
Die Gesuchte Lösung der Differentialgleichung ergibt sich dann aus 2t
y( t) = e
§´ · ´ ¨ 2W 2W 2t µ 2 W e dW µ 4 e dW 1 e ¨¶ ¶ ©
y( t) =
1 2
t
t
¹
0
0
vereinfacht auf
( 2 t exp ( 2 t ) 5 exp ( 2 t ) 7) exp ( 2 t)
Beispiel 5.28: Eine homogene Kugel mit dem Radius r und der Dichte UK wird in einer zähen Flüssigkeit mit der Dichte UF und der Zähigkeit K zum Zeitpunkt t = 0s fallengelassen. Unter Berücksichtigung der Schwerkraft G = m g = UK VK g, der Auftriebskraft F A = UF VK g und der Stokeschen Reibung F R = 6 S K r v erhält man die nachfolgend angegebene Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung v(0 s) = 0 m/s. Bestimmen Sie daraus das Geschwindigkeits- Zeit-Gesetz und stelle dieses für D = 1s -1 und E = 1m grafisch dar. d
v( t) D v ( t) = E
inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
dt D und E sind Konstanten und sind gegeben durch:
( s V ( s ) 0) D V ( s ) = E
s V ( s) D V ( s) = D 1 s
1
s
E
E D
2
E=
2 UK r
U K U F g UK
Laplacetransformierte algebraische Gleichung
auflösen V ( s ) § 1 1 exp ( D t)· oE¨ invlaplace s ©D D ¹
E 1 m
nach Variable V(s) auflösen und inverse -Transformation durchführen
gegebene Werte (ohne Einheiten) Bereichsvariable
D t
1 e
9 K
s
t 0 s 0.01 s 5 s v( t)
D=
Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz für t t 0 v-t Diagramm
Geschwindigkeit
2 E
v( t) m s
D 1
Abb. 5.15
0
1
2
3 t s Zeit
Seite 162
4
5
Laplace-Transformation
Die inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten vom Typ y'' ( t) a y' ( t ) b y ( t ) = x ( t)
(5-39)
mit dem Anfangswerten y(0) und y'(0) wird mithilfe der Laplace-Transformation gliedweise unter Anwendung des Ableitungssatzes und Superpositionssatzes in die algebraische Gleichung
s2 Y (s) s y(0) y' (0) a (s Y (s) y(0)) b Y (s) = X (s)
(5-40)
mit der Lösung Y (s) =
X ( s ) y ( 0) ( s a) y' ( 0)
(5-41)
2
s a s b übergeführt ( Y(s) = L { y ( t) } und X(s) = L { x ( t)
} ). x(t) wird auch Störfunktion genannt.
Die Rücktransformation von Y(s) liefert dann mit den bereits bekannten Methoden die gesuchte Originalfunktion y(t) im Zeitbereich. Bemerkung: Die allgemeine Lösung des Anfangswertproblems lässt sich auch in geschlossener Form wie folgt darstellen: y ( t) = x ( t) * f1 ( t) y ( 0) f2 ( t) y' ( 0) f1 ( t)
(5-42)
x(t) * f1 (t) ist dabei das Faltungsprodukt der Funktion x(t) und f 1 (t). Die Funktion f1 ( t) ist hier die Originalfunktion zu F1 ( s ) = die Funktion f2 ( t) die Originalfunktion zu F2 ( s ) =
1
s2 a s b
sa 2
und
.
s a s b
Beispiel 5.29: Gesucht ist die Lösung folgender linearen Differentialgleichung 2. Ordnung: 2
d
dt
2
2t
y ( t) 2 y' ( t ) y ( t) = 3 e
mit dem Anfangswerten y(0) = 0 und y'(0) = 1
s2 Y (s) s 0 1 2 (s Y (s) 0) Y (s) 2
s Y ( s) 1 2 s Y ( s) Y ( s) =
3 s2
s2 2 s 1 Y (s) = s 3 2 1 = ss 12 Y (s) =
s1
s2 2 s 1 (s 2)
= L { 3 e2t }
Laplace-Transformation der Differentialgleichung
Laplacetransformierte algebraische Gleichung
umgeformte Gleichung
nach Y(s) aufgelöste algebraische Gleichung
Seite 163
Laplace-Transformation
s1
s2 2 s 1 (s 2) y( t) =
1
exp ( 2 t )
3
1
invlaplace s o
1 3
exp ( t )
3
exp ( 2 t )
1 3
exp ( t )
inverse Laplace-Transformation mithilfe von Mathcad
gesuchte Lösung der Differentialgleichung im Zeitbereich
Lösung der Differentialgleichung in geschlossener Form: y ( t) = x ( t) * f1 ( t) y ( 0) f2 ( t) y' ( 0) f1 ( t) 1
s
2
s
2
t
invlaplace s o t exp ( t )
f1 ( t) = t e
invlaplace s o t exp ( t ) exp ( t )
f2 ( t) = t exp ( t ) exp ( t )
2 s 1 s2
2 s 1
Das Faltungsprodukt erhalten wir aus: t t
Redefinition t
x(t) * f1 (t) =
t ´ ´ 2W ( t W ) dW µ x ( W ) f 1 ( t W ) dW = µ 3 e ( t W ) e ¶ ¶ 0 0
Die gesuchte Lösung der Differentialgleichung lautet dann: t
´ 1 2W ( t W ) t y( t) = µ 3 e ( t W ) e ( 1 exp ( 3 t) ) exp ( 2 t ) dW t e vereinfachen o y ( t ) = ¶ 3 0 Lösung der Differentialgleichung mithilfe des Faltungssatzes: Y (s) =
s
s1
s2 2 s 1
s1 2
1 ( s 2)
invlaplace s o exp ( t )
2 s 1
1 s2
= Y1 ( s ) Y2 ( s )
invlaplace s o exp ( 2 t )
Die Bildfunktion in ein Produkt zerlegt
f1 = exp ( t )
f2 = exp ( 2 t )
Die gesuchte Originalfunktion y(t) ist dann das Faltungsprodukt der beiden Originalfunktionen: t
y(t)= f 1 (t) * f2 (t) =
´ W 2( tW ) 1 1 µ e e exp ( t ) exp ( 2 t ) dW o ¶ 3 3 0
Beispiel 5.30: Ein gedämpftes, mechanisches, schwingungsfähiges System mit der Eigenkreisfrequenz Z0 wird durch eine periodische Kraft mit derselben Kreisfrequenz Z0 zu erzwungenen Schwingungen angeregt. Wie lautet die Lösung der nachfolgend angegebenen Schwingungsgleichung mit den Anfangsbedingungen y(0) = 0 und v(0) = y'(0) = 0 ? Die Lösung ist für Z0 = s-1 und F0 /m = a = 1 m/s2 grafisch darzustellen.
Seite 164
Laplace-Transformation
2
d
dt
2
2
y ( t) Z 0 y ( t) = a cos Z 0 t
inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
s2 Y (s) s 0 0 Z 02 Y (s) = a 2
1
2
Z0 1 s
a Z0
t sin Z 0 t
1
1 2
y1 ( t)
1 2
a
t sin Z 0 t
Z0
a Z0
t
nach Variable Y(s) auflösen und inverse -Transformation durchführen
Weg-Zeit-Gesetz für t t 0 (Resonanzfall)
m
a 1
s y( t)
s Z0
s Y ( s) Z 0 Y ( s) = a 2 2 s Z0 y( t) =
Laplacetransformierte algebraische Gleichung
2
auflösen Y ( s ) 1 a o t sin Z 0 t invlaplace s 2 Z0
s
2
s 2
gegebene Werte
2
Schwingungsgleichung
y2 ( t)
1 2
a Z0
t
Einhüllende Kurven
t 0 s 0.001 s 20 s
Bereichsvariable
10 y( t) m
5
y1 ( t) m
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
y2 ( t) m
5
10 t s
Abb. 5.16
Seite 165
Laplace-Transformation
5.4.2 Laplace-Transformation in der Netzwerkanalyse Für elektrische Netzwerke können, wie nachfolgend dargestellt, die Bauteilgleichungen selbst laplacetransformiert werden:
Beispiel 5.31: Wie reagiert der Strom i(t) in einem R-L-Zweipol auf eine sprunghafte Änderung einer angelegten Spannung u(t) = U 0 )(t). Zum Zeitpunkt t = 0 s gilt: i(0 s) = 0 A. gegebene Daten: Angelegte Spannung: U 0 = 100 V Ohmscher Widerstand: R = 100 : Induktivität: L = 0.3 H nach Kirchhoff gilt: uL(t) + uR(t) = u(t). Daraus ergibt sich die inhomogene Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten:
Abb. 5.17
L
d dt
i ( t ) R i ( t ) = U0 ) ( t)
Seite 166
Laplace-Transformation
Laplace-Transformation der Differentialgleichung (Netzwerkberechnung im Bildbereich): L s I ( s) R I ( s) =
U0 s
auflösen I ( s ) o
U0 s ( L s R)
1. Inverse Laplace-Transformation mit Mathcad: U0
§ 1 1 exp § R t · · invlaplace s o U0 ¨ ¨ s ( L s R) L ¹¹ ©R R © i ( t) =
U0
§ R ©
§ t · · © W ¹¹
¨ 1 exp ¨
mit
W =
L
Lösung der Differentialgleichung im Zeitbereich
R
2. Lösung unter Verwendung der Residuenformel für die Rücktransformation: Bestimmung der Polstellen: s ( L s R) = 0
hat als Lösung(en)
§ 0 · ¨ R ¨ © L ¹
Polstellen
U0
Zu bestimmen sind die Residuen von:
st
s ( L s R)
e
Die Residuen werden aus der Laurentreihe bestimmt (Auswertung mit Mathcad): a) Pol bei 0: U0
st
s ( L s R) Residuum:
e
U0
konvertiert in die Reihe
R
s
1
U0 R
t
U0 2
L O (s)
R
U0 R
b) Pol bei - R/L: Transformation in einen Pol bei Null mit Daraus folgt
s=
t t st
s ( L s R) U0 ( u L R) u
R
u L R
R L
L
Redefinition U0
U0
u=s
e
ersetzen s =
u L R L
o
U0 ( u L R) u
§ u L R t· © L ¹
exp ¨
§ u L R t· konvertiert in die Reihe © L ¹
exp ¨
§ R t· u 1 U0 exp § R t· t U0 L exp § R t· O ( u) ¨ ¨ 2 R © L ¹ © L ¹ © L ¹ R
exp ¨
Residuum:
U0 R
§ R t· © L ¹
exp ¨
Seite 167
Laplace-Transformation
L -1{ I(s) }
¦
= i ( t) =
= U0 U0 exp §¨ R t·
st
Residuen I ( s ) e
R
© L
R
( Pole( I( s) )
U0 100 V
angelegte Spannung
R 100 :
Ohmscher Widerstand
L 0.3 H
Induktivität
W
L
¹
Lösung der Differentialgleichung im Zeitbereich
Zeitkonstante
R
ms 10
3
s
Einheitendefinition
t 1 ms 0.99 ms 20 ms
i ( t)
U0
§ t · · © W ¹¹
§ R ©
¨ 1 exp ¨
Bereichsvariable
Einschaltstrom
1.5
1
i ( t)) ( t)
W
5W
U0
ms
ms
R
) ( t) 0.5
1
4
9
14
19
t ms
Abb. 5.18 Beispiel 5.32: Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf der Spannung am Kondensator u C(t) und des Gesamtstromes i(t) beim Einschaltvorgang eines RC-Serienkreises an Gleichspannung U 0 . Zur Zeit t = 0 s soll die Spannung u C(0 s)=0 V sein.
Seite 168
Laplace-Transformation
gegebene Daten: Angelegte Spannung: U 0 = 10 V Ohmscher Widerstand: R = 10 k: Kapazität: C = 10 PF nach Kirchhoff gilt: uc (t) + uR(t) = u(t). Daraus ergibt sich die inhomogene Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten: uc ( t) R C
Abb. 5.19
d dt
uc ( t) = U0 ) ( t)
Mit W = R . C lässt sich die Differentialgleichung umformen in: U0 1 uc ( t) uC ( t) = ) ( t) W W dt d
U0 U0
R R
W W
Redefinitionen
Laplace-Transformation der Differentialgleichung (Netzwerkberechnung im Bildbereich): 1
s UC ( s )
W
UC ( s ) =
U0 Ws
auflösen UC ( s ) o
U0
U0
s ( W s 1)
s ( W s 1)
=
U0 W
1
§ ©
s ¨s
Inverse Laplace-Transformation mit Mathcad: U0
§ § t · · invlaplace s o U0 ¨ 1 exp ¨ s ( W s 1) © © W ¹¹ § § t · · uC ( t) = U0 ¨ 1 exp ¨ © © W ¹¹
Verlauf der Kondensatorspannung
Der Strom ergibt sich aus: i ( t) = C
d dt
uC ( t)
§ § t · · uC ( t) = U0 ¨ 1 exp ¨ © © W ¹¹ i ( t) = C
U0 R C
§ 1 t· ©W ¹
exp ¨
durch Differentiation, ergibt
vereinfacht auf
i ( t) =
U0 10 V
angelegte Spannung
R 10 k:
Ohmscher Widerstand
C 10 PF
Kapazität
Seite 169
U0 R
U0 § 1 t· exp ¨ uC ( t) = W dt ©W ¹ d
§ 1 t· ©W ¹
exp ¨
Verlauf des Stromes
1· W¹
Laplace-Transformation
W R C
W
TL 5 W
TL
0.5 s
I0
1 mA
I0
U0 R
Zeitkonstante
0.1 s
Aufladezeit (Faustregel)
maximaler Strom
t1 0 s
Anfangszeitpunkt
t2 0.6 s
Endzeitpunkt
N 300
Anzahl der Schritte
't
t2 t1
Schrittweite
N
t t1 t1 't t2
Bereichsvariable
t· § ¨ W uc ( t) U0 © 1 e ¹
ta ( t)
U0 W
Funktionsgleichung der Kondensatorspannung
t
Funktionsgleichung der Anlauftangente U0
U-Kennlinie
Spannung
12
V
u c( t)
10
W
TL
V
8
s
s
ta( t)
6
V
4
Abb. 5.20
2 0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t s Zeit
Wird ein ungeladener Kondensator an eine Gleichspannung gelegt, so ist im ersten Augenblick t = 0 s die Spannung u c = 0 V, weil dieser ein elektrischer Energiespeicher ist ( W=(C U 2 )/2) und sich die Spannung nicht plötzlich ändern kann. Im ersten Augenblick ist der Kondensator kurzgeschlossen. Der Kondensator lädt sich erst dann mehr oder weniger rasch nach einer e-Funktion auf und erreicht theoretisch erst nach unendlicher Zeit den Endwert der angelegten Gleichspannung. Für praktische Anwendungen ist ein Kondensator nach einer Ladezeit von ca. T L = 5 . W aufgeladen. i ( t)
U0 R
ta ( t)
§ 1 t· ©W ¹
exp ¨
I0 W
t I0
Funktionsgleichung des Stromes
Funktionsgleichung der abfallenden Tangente
Seite 170
Laplace-Transformation
mA
1
W
TL
mA
0.8
s
s
ta( t)
0.6
i( t) Strom
I0
I-Kennlinie
1.2
mA
Abb. 5.21
0.4 0.2 0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t s Zeit
Der Strom ist beim Einschalten ein Maximum ( = I 0 ) und nimmt nach einer e - Funktion ab. Beispiel 5.33: An einer Serienschaltung mit Widerstand R und Kapazität C wird zum Zeitpunkt t = 0 s eine sinusförmige Wechselspannung u e = Umax sin(Z t + Mu ) angelegt. Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf der Spannung am Kondensator u C(t) und der Spannung am Widerstand u R(t) sowie des Stromes i(t). Zum Einschaltzeitpunkt t = 0 s muss die Spannung am Kondensator u C(t) Null sein, da eine sprungartige Spannungsänderung nicht möglich ist.
gegebene Daten: angelegte Spannung: u e (t) = Umax sin(Z t + Mu ) Scheitelwert: U max = 100 V Frequenz: f = 50 Hz Phasenverschiebung: Mu = 0 Ohmscher Widerstand: R = 2 k: Kapazität: C = 10 PF
Abb. 5.22 nach Kirchhoff gilt: uc (t) + uR(t) = ue (t). Daraus ergibt sich die inhomogene Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten: uc ( t) R C
d dt
uc ( t) = Umax sin ( Z t) ) ( t)
Mit W = R . C lässt sich die Differentialgleichung umformen in Umax 1 sin ( Z t) ) ( t) . uc ( t) uC ( t) = W W dt d
Seite 171
Laplace-Transformation
t t
R R
C C
W W
Redefinitionen
Laplace-Transformation der Differentialgleichung (Netzwerkberechnung im Bildbereich): Umax W
Umax
sin ( Z t) ) ( t) laplace t o
s UC ( s )
1 W
UC ( s ) =
Umax W
W
Z
2
s Z
rechte Seite laplacetransformiert
2
Z
Z auflösen UC ( s ) o Umax 2 2 3 2 2 2 s Z s W sWZ s Z
Inverse Laplace-Transformation mit Mathcad: Z Umax 3 2 2 2 s W sWZ s Z
§ t · Z ©W¹
W Z cos ( Z t) sin ( Z t) W exp ¨
invlaplace s
o Umax vereinfachen
2
1W Z
§ t · Z ©W¹
W Z cos ( Z t) sin ( Z t) W exp ¨ uC ( t) = Umax
2
1 W Z
2
Lösung der Differentialgleichung Verlauf der Kondensatorspannung
2
Berechnung von i(t) und uR(t): i ( t) = C
d dt
Gesamtstrom
uC ( t)
§ t · Z ©W¹
W Z cos ( Z t) sin ( Z t) W exp ¨ uC ( t) = Umax
2
1 W Z
Kondensatorspannung
2
durch Differentiation, ergibt
§ t · Z ©W¹
2
d dt
W Z sin ( Z t) cos ( Z t) Z exp ¨ uC ( t) = Umax
2
1W Z
§ t · Z ©W¹
2
i ( t) = C
d dt
Ableitung der Kondensatorspannung
2
W Z sin ( Z t) cos ( Z t) Z exp ¨ uC ( t) = C Umax
2
1W Z
Gesamtstrom
2
Spannung am Widerstand: uR ( t) = R i ( t )
§ t · Z ©W¹
2
W Z sin ( Z t) cos ( Z t) Z exp ¨ uR ( t) = R C Umax
2
1 W Z
2
Seite 172
Spannung am Widerstand
Laplace-Transformation
f 50 Hz
Frequenz der Eingangsspannung
Z 2 S f
Z
314.159 s
1
Winkelgeschwindigkeit
Umax 100 V
Amplitude der Eingangsspannung
M u 0 Grad
Phasenwinkel der Eingangsspannung
ue ( t) Umax sin Z t M u
Eingangsspannung
R 2 k:
Widerstand
C 10 PF
Kapazität
W R C
W
0.02 s
Zeitkonstante
t1 0 s
Anfangszeitpunkt
t2 0.1 s
Endzeitpunkt
N 800
Anzahl der Schritte
't
t2 t1
Schrittweite
N
t t1 t1 't t2 ms 10
3
Bereichsvariable
s
Einheitendefinition
§ t · Z ©W¹
2
W Z sin ( Z t) cos ( Z t) Z exp ¨ i ( t ) C Umax
2
1W Z
2
§ t · Z ©W¹
2
Gesamtstrom
W Z sin ( Z t) cos ( Z t) Z exp ¨ uR ( t) R C Umax
2
1W Z
2
§ t · Z ©W¹
Spannung am Widerstand
W Z cos ( Z t) sin ( Z t) W exp ¨ uC ( t) Umax
2
1W Z
2
Die Kondensatorspannung uC(t) kann in uCein(t) und in uCstat(t) zerlegt werden: uC ( t) = uCein ( t) uCstat ( t)
Seite 173
Spannung am Kondensator
Laplace-Transformation
§ § t · Z · ¨ W exp ¨ © ©W¹ ¹ uCein ( t) Umax 2 2
Ausgleichsglied der Kondensatorspannung
1W Z
uCstat ( t) Umax
( W Z cos ( Z t) sin ( Z t) )
Spannung am Kondensator beim Einschalten
40 u Cein( t) 30
V
stationäres Glied der Kondensatorspannung
1 W 2 Z 2
W
5W
ms
ms
u Cstat( t) 20
Spannung
V u C( t) V
10
u Cein( t) u Cein( 0s) V
0
20
40
60
80
100
u Cein( t) u Cein( 0s) V
10
20 t ms Zeit Ausgleichsspannung stationäre Spannung Gesamtspannung Begrenzungslinie Begrenzungslinie
Abb. 5.23 Die Ausgleichsspannung uCein ist so groß, dass zum Einschaltzeitpunkt t = 0 s der Spannung am Kondensator u C(0 s) = 0 V beträgt (in der Anfangsbedingung festgelegt). Nach theoretisch unendlich langer Zeit verschwindet die Ausgleichsspannung. Die Lösung entspricht der Lösung der homogenen Diffenentialgleichung. Die Stationäre Spannung uCstat ist jene Spannung, die sich theoretisch nach unendlicher langer Zeit einstellt; praktisch wird sie nach t = 5 . W erreicht. Die Lösung entspricht der partikulären Lösung der inhomogenen Differentialgleichung.
Seite 174
Laplace-Transformation
5.4.3 Übertragungsverhalten von Systemen Aus praktischen Problemen der Elektrotechnik hat sich die Systemtheorie entwickelt. Wichtige Anwendungsgebiete liegen im Entwurf und in der Analyse elektrischer Netzwerke, in der Nachrichtenübertragung, in der Regelungstechnik und in der Messtechnik vor. Das Kerngebiet der Systemtheorie bilden sogenannte LTI-Systeme, die bereits kurz im Abschnitt 5.3.1 beschrieben wurden. Unter der Annahme verschwindender Anfangsbedingungen (y(0) = 0, y' (0) = 0 , ....) kann die lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, die ein LTI-System beschreibt, mithilfe des Ableitungssatzes einfach laplacetransformiert werden: n
§ a sk Y ( s)· = © k ¹
¦ k
0
m
¦ k
§ b sk X ( s)· © k ¹
(5-47)
0
Diese algebraische Gleichung in s kann nun umgeformt werden: Y ( s ) § an s an1 s © n
n1
.... a1 s a0· = X ( s ) § bm s ¹ ©
m
bm1 s
m 1
.... b1 s a0· ¹
m 1 § b sm b .... b1 s b0· m 1 s m © ¹ X ( s) Y (s) = § a sn an1 sn1 .... a s a · 1 0¹ © n
(5-48)
Bezeichnet man den Quotienten mit G(s), so kann die Gleichung in folgender Form geschrieben werden: Y ( s) = G ( s) X ( s) G ( s) =
(5-49)
Y (s)
(5-50)
X (s)
G(s) heißt Übertragungsfunktion und beschreibt das dynamische Verhalten eines linearen zeitinvarianten System vollständig. Der Vorteil dieser Vorgangsweise liegt darin, dass die Übertragungsfunktion G(s) bei einem energielosen Übertragungsglied verhältnismäßig leicht gebildet werden kann. Die Übertragungsfunktion G(s) hängt nur von der Art des Systems und seiner Kenngrößen ab. Sie ist unabhängig vom Eingangssignal x(t), d.h. mittels der vorhergehenden Gleichung kann für alle Eingangssignale x(t), aus denen X(s) mittels Laplace-Transformation gewonnen werden kann, das Ausgangssignal Y(s) und daraus durch Rücktransformation die Ausgangszeitfunktion y(t) bestimmt werden. In der Praxis wird G(s) oft auch noch durch a n oder a 0 dividiert (normierte Darstellung): bm G ( s) =
an
s n
m
s
bm1 an
an1 an
s
s
m 1
n1
....
....
a1 an
b1 an
s
s
a0
b0 an
bm =
an
a0
s
an a0
m
n
s
bm1 a0 an1 a0
s
m 1
s
n1
....
....
b1 a0 a1 a0
s
b0 a0
.
s1
Mit der Übertragungsfunktion können drei Grundaufgaben formuliert werden: Y ( s ) = G ( s ) X ( s ) ... Analyse
X (s) =
1 G (s)
Y ( s ) ... Synthese
Seite 175
G ( s) =
Y (s) X (s)
... Identifikation
Laplace-Transformation
Bei Kenntnis der Übertragungsfunktion G(s) kann daher nach folgendem Schema für jedes Eingangssignal x(t) das Ausgangssignal y(t) berechnet werden:
Eine Rücktransformation der Lösung in den Zeitbereich kann, wie bereits bekannt ist, recht rechenaufwendig sein. Meist ist sie aber gar nicht erforderlich, weil sehr viele Systemeigenschaften (z.B. Einschwingverhalten, Stabilität und Stationärverhalten) direkt im Laplacebereich erkennbar sind. Von den vorhergehenden Herleitungen ist zu erkennen, dass Laplacetransformierte von Differentialgleichungen allgemein als Quotienten zweier Polynome darstellbar sind. Ein Polynom kann aber alternativ als Produkt von Ausdrücken der Form (s - s n) mit Nullstellen s n geschrieben werden. Die Nullstellen des Nenners stellen somit die Polstellen der gebrochen rationalen Funktion dar. Sie können reell oder konjugiert komplex, einfach oder mehrfach sein. Stabilität bedeutet im Folgenden, dass bei Anregung mit endlicher Größe (z.B. Sprung) das Ausgangssignal für alle Zeiten begrenzt (d.h. < f) bleibt. Die Stabilität eines linearen zeitinvarianten Systems wird meist durch die Polstellen der Übertragungsfunktion bestimmt: a) Es ist genau dann stabil, wenn alle Polstellen einen negativen Realteil haben, d.h. in der linken Halbebene der Gaußschen Zahlenebene liegen; b) Instabil, wenn mindestens ein Pol einen positiven Realteil hat, d.h. in der rechten Halbebene der Gaußschen Zahlenebene liegt (oder auch mehrfache Pole auf der imaginären Achse); c) Es befindet sich an der Stabilitätsgrenze, wenn keine Pole in der rechten Halbebene, aber einfache Pole auf der imaginären Achse liegen. Bemerkungen: Im Zeitbereich ist der Zusammenhang zwischen dem Eingangssignal x(t) mit x(t) = 0 für t < 0 und dem Ausgangssignal y(t) durch das oft aufwendig zu lösende Faltungsintegral gegeben: t
´ y ( t ) = µ g ( t W ) x ( W ) dW ¶
(5-51)
0
g(t) ist dabei die sogenannte Gewichtsfunktion, die inverse Laplacetransformierte der Übertragungsfunktion G(s). Eine weitere oft in den Anwendungen benützte Kenngröße zur Beschreibung von LTI-Systemen ist der Frequenzgang G(j Z), der als die Übertragungsfunktion G(s) auf der imaginären Achse definiert ist. Wird ein lineares zeitinvariantes System mit einer sinus- oder kosinusförmigen Eingangsgröße angeregt, so ist die Ausgangsgröße ebenfalls eine sinus- oder kosinusförmige Größe mit derselben Frequenz, aber im Allgemeinen mit einer anderen Amplitude und anderen Phasenlage. Will man das Frequenzverhalten im komplexen Zahlenbereich eines lineares zeitinvariantes System auf eine sinusförmige Eingangsgröße im eingeschwungenen Zustand untersuchen, so braucht in der Laplacetransformierten Gleichung Y(s) = G(s) X(s) die Variable s nur durch j Z ersetzt werden. Wir erhalten dann (siehe dazu auch Band 1 Abschnitt 2.4.4): Y(j Z) = G(j Z) X(j Z)
(5-52)
Seite 176
Laplace-Transformation
Beispiel 5.34: Übertragungsverhalten eines Differenziergliedes. Unter der Annahme, das System ist energielos zum Zeitpunkt t = 0, ist das Verhalten der nachfolgenden Schaltung mit R = 100 : und C = 2 nF beim Anlegen eines Rechteckimpulses mit U 0 = 10 V und der Impulsbreite T 1 = 10-7 s gesucht.
Abb. 5.24
Analog zum Ohmschen Gesetz gilt: I ( s) =
Ue ( s ) R
C I ( s ) = Ue ( s ) s R s C 1
vereinfacht auf
1 sC
Ua ( s ) = R I ( s )
R s C Ua ( s ) = Ue ( s ) = G ( s ) Ue ( s ) R s C 1
G(s) ... Übertragungsfunktion
Wie hier zu erkennen ist, kann auf das Aufstellen der zugehörigen Differentialgleichung verzichtet werden ! Mit W = R . C und Ue (s) folgt: sa · § 1 e sa · §¨ 1 e ¨ Ua ( s ) = U0 = U0 ¨ 1 s sW 1 © 1¸ ¹ ¨s W s W © ¹
sW
Laplacetransformierte der Lösungsfunktion
Rücktransformation mithilfe von Mathcad: a a
U0 U0
W W
sT1 · §¨ 1 e ¨ U0 sW 1 © s ¹
sW
Redefinitionen annehmen T1 ! 0 U0 ! 0 invlaplace s
vereinfachen
ȼ ȼ
ª § t · ª t T1 ua t W T1 U0 U0 « exp ¨ ) t T1 exp « ¬ ©W¹ ¬ W
»º º»
ª § t · ) t T exp ª« t T1 o U0 « exp ¨ 1 ¬ ©W¹ ¬ W
Seite 177
¼¼
Ausgangsspannung
¼¼
Laplace-Transformation
U0 10 V
Maximalwert des Spannungsimpulses
R 100 :
Ohmscher Widerstand
C 2 nF
Kapazität
Ps 10
6
s
Einheitendefinition
W R C
W
T1 1 10
7
s
t 0 s 1 10
9
0.2 Ps
T1
0.1 Ps
s 2 W
Zeitkonstante Impulsbreite Bereichsvariable Differenzierglied
10
W
u a t W T1 U 0
Ps
5
V
Abb. 5.25 0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
5 t Ps
Beispiel 5.35: Ermitteln Sie mithilfe der Laplace-Transformation den Zeitverlauf der Ausgangsgröße eines DT 2 - Gliedes bei einer sprungartigen Änderung des Eingangssignals.
Gegebene Daten: Eingangssignal: u e (t) = 1 V )(t) Ohmscher Widerstand: R 1 = 100 k: Ohmscher Widerstand: R 2 = 10 M: Kapazität: C1 = 10 nF Kapazität: C2 = 50 pF
Abb. 5.26
Seite 178
Laplace-Transformation
Auffinden der Übertragungsfunktion mithilfe der Laplace-Transformation: 1 · § Ue ( s ) = Ie ( s ) ¨ R1 s C1
©
Ua ( s ) = Ie ( s )
Ue ( s ) = Ie ( s )
vereinfacht auf
¹
1 R2 s C2
R1 s C1 1
Eingangsfunktion
s C1
R2 Ua ( s ) = Ie ( s ) R2 s C2 1
vereinfacht auf
1
R2 s C2
Ausgangsfunktion
Die Übertragungsfunktion ergibt sich dann zu:
Ua ( s ) Ue ( s )
G ( s) =
R2 ersetzen Ua ( s ) = Ie ( s ) R2 s C2 1 R2 o s C1 R1 s C1 1 R2 s C2 1 R1 s C1 1 ersetzen Ue ( s ) = Ie ( s ) s C1
Ua ( s ) Ue ( s )
=
C1 R2 s
R2 s C2 1 R1 s C1 1
Übertragungsfunktion
Ausgangspannung Ua (s) im Laplace-Bereich: Ua ( s ) = G ( s ) Ue ( s )
Ausgangsspannung im Laplace-Bereich
1 Ue ( s ) = s
Laplacetransformierte Sprungfunktion )(t) der Eingangsspannung (die Einheit Volt wird hier weggelassen)
C1 R2 s 1 Ua ( s ) = R2 s C2 1 R1 s C1 1 s
C1 R2 Ua ( s ) = R2 s C2 1 R1 s C1 1
Ausgangsspannung im Laplace-Bereich
§ 1 · ¨R C 2 2 R2 s C2 1 R1 s C1 1 = 0 auflösen s o ¨¨ 1 ¸¸ ¨R C © 1 1¹
Die Polstellen sind negativ
Besitzt die Übertragungsfunktion negative reelle Polstellen, so ist das zugehörige System nicht schwingungsfähig. Die Realteile sind negativ, daher ist das System stabil (siehe Beschreibung oben).
Seite 179
Laplace-Transformation
Ausgangsspannung u a (t) im Zeitbereich: C1 R2
R2 s C2 1 R1 s C1 1 §
§
1
R2 C1 ¨
hat inverse Laplace-Transformation
© R1 C1 R2 C2
1 · § t · · exp ¨ © R1 C1 ¹ R1 C1 R2 C2 © R2 C2 ¹ ¹
exp ¨
t
Durch Multiplikation mit dem Einheitssprung der Eingangsspannung erhält man schliesslich die Ausgangsspannung u 2 (t): 1 1 § § t · § t · · ) ( t) V ua ( t) = R2 C1 ¨ exp ¨ exp ¨ © R1 C1 R2 C2 © R1 C1 ¹ R1 C1 R2 C2 © R2 C2 ¹ ¹ Durch Umformung und Herausheben ergibt sich schliesslich die Ausgangsspannung zu: R2 C1 § § t · exp § t · · ) ( t) V u2 ( t) = ¨ exp ¨ ¨R C R2 C2 R1 C1 © © R1 C1 ¹ © 2 2 ¹¹
Ausgangsspannung im Zeitbereich
Mithilfe der Grenzwertsätze soll der Anfangswert und der Endwert der Bildfunktion Ua (s) ermittelt werden und mit der Originalfunktion u a (t) verglichen werden: lim sof
lim so0
C1 R2 ª« º» s o0 «¬ R2 s C2 1 R1 s C1 1 »¼
Anfangswert
C1 R2 ª« º» s o0 «¬ R2 s C2 1 R1 s C1 1 »¼
Endwert
Es gilt, wie man sich leicht überzeugen kann: Anfangswerttheorem: f ( 0) =
lim
f ( t) =
to0
Endwerttheorem: lim
sof
s Ua (s)
f (f) =
lim
f ( t) =
tof
lim so0
s Ua (s)
grafische Darstellung der Ausgangsspannung: R1 100 k:
Ohmscher Widerstand
R2 10 M:
Ohmscher Widerstand
C1 10 nF
Kapazität
C2 50 pF
Kapazität
ua ( t)
R2 C1 R2 C2 R1 C1
§
· exp § t · · ) ( t) V ¨R C © R1 C1 ¹ © 2 2 ¹¹ §
¨ exp ¨
©
t
Seite 180
Ausgangsspannung (Sprungantwort)
Laplace-Transformation
ms 10
3
s
Einheitendefinition
t 0 s 0.01 ms 6 ms
Bereichsvariable (Zeitbereich) Sprungantwort (Ausgangsspannung)
0
1
2
3
4
5
6
10
u a( t)
20
V
Abb. 5.27
30
40
50 t ms
Die Sprungantwort ist ein kurzer negativer Spannungsimpuls. Beispiel 5.36: Es soll das Verhalten eines aktiven Tiefpassfilters 2.Ordnung (RLC-Tiefpass) ausführlich untersucht und analysiert werden.
Abb. 5.28
a) Untersuchen Sie die Sprungantwort des Tiefpasses auf eine Gleichspannung mit Amplitude U 0 = 1 V, R = 20 :und für verschiedene Widerstandswerte zwischen 0 : und 100 :L = 1PF und C = 1PF. Berechnen Sie ferner jenen Widerstand R, der (bei gleichbleibenden anderen Werten) zum aperiodischen Grenzfall führt. Erklären und demonstrieren Sie auch der Zusammenhang der Lösung mit den Polstellen der Übertragungsfunktion . b) Bestimmen Sie den Amplitudengang und Phasengang der komplexen Übertragungsfunktion G(s) und stelle diese im Bereich von f = 0.01 Hz und f = 10 MHz in einem Bode-Diagramm dar. Berechnen Sie weiters die Grenzfrequenz und untersuchen Sie den Einfluss des Widerstandes R = 4 k : ( 100 R ; R aper ; R /1000 ). c) Interpretieren Sie das Bode-Diagramm hinsichtlich Resonanz bzw. Resonanzüberhöhung bei Widerstandswerten zwischen 0 : und 100 :.
Seite 181
Laplace-Transformation
a) Auffinden der Übertragungsfunktion mithilfe der Laplace-Transformation und Aufsuchen der Sprungantwort des Systems. Für die Serienschaltung von R , L und C gilt: Z1 = R j Z L
Für die Parallelschaltung von C gilt:
1
1
jZC
Z2
=
1
Z2 =
1
1 jZC
jZC
Die komplexe Übertragungsfunktion G(s) lautet daher: 1
G ( s) =
Ua ( s )
=
Ue ( s )
Z2 Z1
sC
=
vereinfacht auf
G ( s) =
1
R sL
Ue ( s )
=
Z2 Z1
1
=
2
L s C R C s 1
sC
1
G ( s) =
Ua ( s )
Übertragungsfunktion des Systems
2
L s C R C s 1 U0 U0
t t
R R
L L
C C
Redefinitionen
Am Eingang des Tiefpasses wird der Einheitssprung (Heavisidefunktion) angelegt: U0 U0 ) ( t) laplace t o s
ue ( t) = U0 ) ( t)
Laplacetransformierter Einheitssprung
Die Laplacetransformierte des Ausgangssignals (die Sprungantwort) lautet damit: Ua ( s ) = G ( s ) Ue ( s ) =
1 2
L s C R C s 1 1
Setzt man a = W = R C , b =
U0
=
2
b s a s 1
1 s
U0
Lösung im Bildbereich
s R
2
= L C und W Z 0 =
2
Z0
Ua ( s ) =
1
2
2
= 2 G, so ergibt sich das Ausgangssignal zu:
2
U0
L
=
s Ws 1
1 s
2
U0 Z 0 2
2
2
s W Z0 s Z0
=
1 s
U0 Z 0
2
2
s 2 G s Z0
Z0 2
1
2
U0 Z 0
1
U0 Z 0
2
1
U0 Z 0
Ua ( s ) = = = 2 2 2 2 2 2 2 2 s s s s 2 G s Z0 s 2 G s G Z0 G (s G) Z
Z=
2
Z0 G
2
Daraus erhalten wir mittels inverser Laplace-Transformation die Sprungantwort des Systems im Zeitbereich: Versucht man mit Mathcad eine Rücktransformation, so ergibt sich leider ein sehr langer Ausdruck, der sich nicht vereinfachen lässt. Wir verwenden zur Rücktransformation daher hier eine Laplace-Transformationstabelle (z.B.von O. Greuel): Für 4b > a 2 gilt:
ª« u1a t a b U0 U0 « 1 e « ¬
a 2b
t
§ §¨ 4 b a2 · §¨ 4 b a2 · · º» a ¨ sin ¨ t cos ¨ t » ¨ 2 b 2 b 2 © ¹ © ¹ » © 4 b a ¹¼ Seite 182
Laplace-Transformation
Für 4b < a 2 gilt:
ª« u2a t a b U0 U0 « 1 e « ¬
a 2b
t
§ §¨ 2 4 b · §¨ 2 4 b · · º» a a a ¨ sinh ¨ t cosh ¨ t » ¨ 2 2 b 2 b © ¹ © ¹ » © a 4 b ¹¼
Für 4b = a 2 gilt:
ª « u3a t a b U0 U0 « 1 e ¬
a 2b
t
º » a § · ¨ t 1 » ©2 b ¹¼
Die Sprungantwort lautet daher:
ua t a b U0
u2a t a b U0 u3a t a b U0
u1a t a b U0
2
if 4 b a ! 0 2
if 4 b a 0 otherwise
Einfluss des Widerstandes auf die Sprungantwort: Die Polstellen der Übertragungsfunktion (sie entsprechen den Nullstellen der charakteristischen Gleichung der Differentialgleichung im Zeitbereich) geben Auskunft über die verschiedenen Schwingungszustände der Sprungantwort des Systems. 2
Nenner ( R L C) L s C R C s 1
Nenner der Übertragungsfunktion
ª« ª« « 1 « R C R2 C2 4 L C « 2 L C ¬ Polstellen ( R L C) Nenner ( R L C) = 0 auflösen s o « ª« « « 1 « 2 2 « 2 L C ¬ R C R C 4 L C ¬
1º
» º» »» ¼» » 1º » » 2 » » ¼» ¼ 2
Berechnung des aperiodischen Grenzfalles: Ein aperiodischer Grenzfall liegt dann vor, wenn die Polstelle eine reelle Doppellösung aufweist (das ist der Übergang von zwei komplexen Lösungen zu zwei reellen Lösungen). Zur Berechnung wird der Ausdruck unter der Wurzel (Diskriminante) in den Polstellen gleich 0 gesetzt. Wir erhalten dann: 1 ª « 2 « ( L C) 2 2 2 «C Raper R C 4 L C = 0 auflösen R o « 1 « 2 2 « ( L C) ¬C
Seite 183
º » » » Nur die positive Lösung ist von Interesse! » » » ¼
Laplace-Transformation
L
Raper ( L C) 2
Funktion zur Berechnung des Widerstandes für den aperiodischen Fall
C
R 20 :
L 1 mH
Raper ( L C)
63.246 :
ms 10
3
s 0.02 ms
b L C
b
1 u 10
100
gegebene Daten
Einheitendefinition
W
W
U0 1 V
Widerstand für den aperiodischen Fall
W R C
t 0 s
C 1 PF
Zeitkonstante a = W
9 2
Z0
s
50 W
1 b
Z0
3.162 u 10
41
s
Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung
Bereichsvariable für die Zeit
2
u a t 0:C b U0
V
u a t 10:C b U0
1.5
V
u a t 20:C b U0
U0
V 1
V
u a t R aper( L C)C b U0
V
u a t 100:C b U 0
0.5
V
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
t ms
Abb. 5.29 Ist R kleiner als im aperiodischen Grenzfall, dann schwingt das System (leichtes bis starkes Überschwingen). Ist R = 0 :, so ist das System ungedämpft und schwingt mit einer bestimmten Frequenz. Ist R > R aper , so ist das System stärker gedämpft und die Sprungantwort geht langsam auf das Niveau der Eingangsspannung. Dies liegt daran, weil durch den höheren Widerstand ein kleinerer Strom fließt. Zusammenhang zwischen den Lösungsfällen und den Polstellen der Übertragungsfunktion: Der Zusammenhang zwischen den Lösungsfällen und den Polstellen soll über eine Videoanimation (FRAME von 0 bis 100) nachfolgend veranschaulicht werden: R ( 100 FRAME ) :
Widerstand mit der FRAME-Variable
Seite 184
Laplace-Transformation
P Polstellen ( R L C)
P
§ 1.127 u 10 4 · 1 ¨ ¨ 4 s © 8.873 u 10 ¹
Polstellen der Übertragungsfunktion
Polstellen
4 10
4
Im P0 s
2 10
4
1
Im P1 s
1 10
8 10
5
1
6 10
4
4 10
4
2 10
4
4
0
Abb. 5.30
2 10
4
4 10
4
Re P0 s
1
Re P1 s
1
Sprungantwort 2
u a t RC b U0
1.5
U0
V
V
u a t R aper( L C)C b U0
1
Abb. 5.31
V 0.5
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
t ms
Für R > Raper : 2 reelle Polstellen in der Übertragungsfunktion - daher aperiodische Systemantwort. Für R = Raper : 1 reelle Polstelle (Doppellösung) in der Übertragungsfunktion - daher aperiodischer Grenzfall. Für R < Raper : 2 konjugiert komplexe Polstellen in der Übertragungsfunktion - daher gedämpfte Schwingung als Systemantwort. Für R = 0 : : Die Polstellen sind rein imaginär - daher ungedämpfte Schwingung als Systemantwort. b) Bestimmen Sie den Amplitudengang und Phasengang der komplexen Übertragungsfunktion G(s) und stellen Sie diesen im Bereich von f = 0.01 Hz und f = 10 MHz in einem Bode-Diagramm dar. Berechnen Sie weiters die Grenzfrequenz und untersuchen Sie den Einfluss des Widerstandes R = 4 k: ( 100 R ; Raper ; R /1000 ). G ( s R L C)
1 2
Übertragungsfunktion des Systems
L s C R C s 1
Seite 185
Laplace-Transformation
R R
L L
C C
f f
Redefinitionen
In der Übertragungsfunktion wird zuerst s durch 2 Sf j ersetzt: 1
G ( f R L C) G ( s R L C) ersetzen s = 2 S f j o
2
2
4 L S f C 2 i R C S f 1 Amplitudengang: A ( f R L C)
G ( f R L C)
1
A ( f R L C) o
1
2 ª 2 2 2 2 2 2º 4 L S f C 1 4 R C S f ¼ ¬
Phasengang: M ( f R L C) arg ( G ( f R L C) )
§
1
M ( f R L C) o arg ¨
·
2 2 © 4 L S f C 2 i R C S f 1 ¹
Berechnung der Grenzfrequenzen (Knickfrequenzen) aus den Polstellen des Amplitudenganges: R 4000
L 10
3
C 10
6
Gegebene Daten ohne Einheiten zur Lösung der Gleichung
§ f1 · 1 ¨ 2 ¨ f2 ¸ ª 2 2 2 2 2 2 2º ¨ ¸ ¬ 1 4 S f L C 4 R S f C ¼ = 0 ¨ f3 ¸ ¨ © f4 ¹
§ 636579.9810 i · ¨ auflösen f ¨ 39.7912 i ¸ o ¨ 39.7912 i ¸ gleit 10 ¨ © 636579.9810 i ¹
Die Lösung der Gleichung liefert zwei positive Grenzfrequenzen:
fgr1
39.791 Hz
fgr2
6.366 u 10 Hz
fgr1 Im f3 Hz fgr2 Im f1 Hz R 4 k:
L mH
untere Grenzfrequenz 5
obere Grenzfrequenz gegebene Daten
C PF
fmin 0.01 Hz
kleinste Frequenz