Angewandte Mathematik mit Mathcad, Lehr- und Arbeitsbuch: Band 4: Reihen, Transformationen, Differential- und Differenzengleichungen

W

Josef Trölß Angewandte Mathematik mit Mathcad Lehr- und Arbeitsbuch Band 4: Reihen, Transformationen, Differential- und Differenzengleichungen

SpringerWienNewYork

Josef Trölß Puchenau/Linz, Österreich

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Mit zahlreichen Abbildungen

Bibliografische Informationen der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.ddb.de abrufbar.

ISBN-10 ISBN-13

3-211-29693-X SpringerWienNewYork 987-3-211-29693-6 SpringerWienNewYork

Vorwort Dieses Lehr- und Arbeitsbuch aus dem vierbändigen Werk "Angewandte Mathematik mit Mathcad" richtet sich vor allem an Schülerinnen und Schüler höherer Schulen, Studentinnen und Studenten, Naturwissenschaftlerinnen und Naturwissenschaftler und Anwender, speziell im technischen Bereich, die sich über eine computerorientierte Umsetzung mathematischer Probleme informieren wollen und dabei die Vorzüge von Mathcad möglichst effektiv nützen möchten. Dieses vierbändige Werk wird ergänzt durch das Lehr- und Arbeitsbuch "Einführung in die Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung und in die Qualitätssicherung mithilfe von Mathcad". Als grundlegende Voraussetzung für das Verständnis und die Umsetzung mathematischer und technischer Aufgaben mit Mathcad gelten die im Band 1 ( Einführung in Mathcad) angeführten Grundlagen. Computer-Algebra-Systeme (CAS) und computerorientierte numerische Verfahren (CNV) vereinfachen den praktischen Umgang mit der Mathematik ganz entscheidend und erfahren heute eine weitreichende Anwendung. Bei ingenieurmäßigen Anwendungen kommen CAS und CNV nicht nur für anspruchsvolle mathematische Aufgabenstellungen und Herleitungen in Betracht, sondern auch als Engineering Desktop Software für alle Berechnungen. Mathcad stellt dazu eine Vielfalt von leistungsfähigen Werkzeugen zur Verfügung. So können mathematische Formeln, Berechnungen, Texte, Grafiken usw. in einem einzigen Arbeitsblatt dargestellt werden. Berechnungen und ihre Resultate lassen sich besonders einfach illustrieren, visualisieren und kommentieren. Werden auf dem Arbeitsblatt einzelne Parameter variiert, so passt die Software umgehend alle betroffenen Formeln und Diagramme des Arbeitsblattes an diese Veränderungen an. Spielerisch lässt sich so das "Was-wäre-Wenn" untersuchen. Damit eignet sich diese Software in hervorragender Weise zur Simulation vieler Probleme. Auch die Visualisierung durch Animation kommt nicht zu kurz und fördert das Verständnis mathematischer Probleme. Ein weitere Vorteil besteht auch darin, dass die meisten mathematischen Ausdrücke mit modernen Editierfunktionen in gewohnter standardisierter mathematischer Schreibweise dargestellt werden können.

Gliederung des vierten Bandes In diesem Band wird eine leicht verständliche anwendungsorientierte und anschauliche Darstellung des mathematischen Stoffes gewählt. Definitionen, Sätze und Formeln werden für das Verständnis möglichst kurz gefasst und durch zahlreiche Beispiele aus Naturwissenschaft und Technik und anhand vieler Abbildungen und Grafiken näher erläutert. Dieses Buch wurde weitgehend mit Mathcad 12 erstellt, sodass die vielen angeführten Beispiele leicht nachvollzogen werden können. Sehr viele Aufgaben können aber auch mit älteren Versionen von Mathcad gelöst werden. Bei zahlreichen Beispielen werden die Lösungen teilweise auch von Hand ermittelt. Im vorliegenden Band werden folgende ausgewählte Stoffgebiete behandelt: x

Unendliche Zahlenreihen: Konvergenzkriterien, Vergleichskriterien, Quotientenkriterium von d'Alembert, Wurzelkriterium von Cauchy, Kriterien für alternierende Reihen.

x

Potenzreihen: Konvergenz von Potenzreihen, Rechnen mit Potenzreihen, Taylorreihen, Laurentreihen.

x

Fourierreihen: Fourierreihen, diskrete Fourier-Transformation (DFT) und inverse diskrete-Transformation (IDFT).

x

Fourier-Transformation: von der Fourierreihe zur Fourier-Transformation, Elementar- und Testsignale, Eigenschaften der Fourier-Transformation, Fast-Fourier-Transformation.

x

Laplace-Transformation: Elementar- und Testsignale, Eigenschaften der Laplace-Transformation, Rücktransformation aus dem Bildbereich in den Originalbereich; Anwendungen der Laplace-Transformation: Lösungen von Differentialgleichungen, Laplace-Transformation in der Netzwerkanalyse, Übertragungsverhalten von Systemen.

x

z-Transformation: z-Transformation elementarer Signale, Eigenschaften der z-Transformation, Rücktransformation aus dem Bildbereich in den Originalbereich; Anwendungen der z-Transformation: Lösungen von Differenzengleichungen, Übertragungsverhalten von Systemen.

x

Differentialgleichungen: Allgemeines; die gewöhnliche Differentialgleichung: die gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung, separable Differentialgleichungen 1. Ordnung, gleichgradige oder homogene Differentialgleichungen 1. Ordnung, exakte Differentialgleichung 1. Ordnung, lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung, nichtlineare Differentialgleichungen 1. Ordnung, steife Differentialgleichungen 1. Ordnung, die gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung, einfache gewöhnliche Differentialgleichungen 2. Ordnung, lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten, l ineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit nicht konstanten Koeffizienten, nichtlineare Differentialgleichungen 2. Ordnung, die gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung, lineare Differentialgleichungssysteme 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten, homogenes lineares Differentialgleichungssystem 1. Ordnung, in homogenes lineares Differentialgleichungssystem 1. Ordnung, Umformung von Differentialgleichungen n-ter Ordnung nach Differentialgleichungssysteme 1. Ordnung, l ineare Differentialgleichungssysteme 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.

x

Differenzengleichungen: Differenzengleichungen, diskrete und zeitdiskrete Systeme.

Spezielle Hinweise Beim Erstellen eines Mathcad-Dokuments ist es hilfreich, viele mathematische Sonderzeichen verwenden zu können. Dafür stehen z.B. folgende Schriftarten zur Verfügung: Symbol, Bookshelf Symbol 2, Bookshelf Symbol 4, Bookshelf Symbol 5, MT Extra, UniversalMath1 PT und IBM techexplorer Symbol A bis D. Einige Sonderzeichen stehen auch im "Ressourcen-Menü" von Mathcad zu Verfügung ( QuickSheets Rechensymbole). Zum Einfügen verschiedener Zeichen ist z.B. das Programm Charmap.exe sehr nützlich. Dieses Programm findet man unter Zubehör-Zeichentabelle in Microsoft-Betriebssystemen. Viele Zeichen können aber auch aus dem ASCII-Code gewählt werden (Eingabe mit Alt-Taste und Zifferncode mit dem numerischen Rechenblock der Tastatur). Texte und Variable werden in diesem Buch in der Schriftart Arial dargestellt. Zur Darstellung von komplexen Variablen wird hier die Fettschreibweise mit Unterstreichung gewählt. Damit Variable zur Darstellung von Vektoren und Matrizen von normalen Variablen unterschieden werden können, werden diese hier in Fettschreibweise dargestellt. Die Darstellung von Vektoren mit Vektorpfeilen wird vor allem in Definitionen und Sätzen verwendet. Damit Variable, denen bereits ein Wert zugewiesen wurde, wertunabhängig auch für nachfolgende symbolische Berechnungen mit den Symboloperatoren (live symbolic) verwendet werden können, werden diese einfach redefiniert (z.B. x:=x). Davon wird öfters Gebrauch gemacht.

Mein außerordentlicher Dank gebührt meinen geschätzten Kollegen Hans Eder und Bernhard Roiss für ihre Hilfestellungen bei der Herstellung des Manuskriptes, für wertvolle Hinweise und zahlreiche Korrekturen. Hinweise, Anregungen und Verbesserungsvorschläge sind jederzeit willkommen. Linz, im Februar 2006

Josef Trölß

Inhaltsverzeichnis

1. Unendliche Zahlenreihen

1 ... 12

1.1 Konvergenzkriterien

3

1.1.1 Vergleichskriterien

3

1.1.2 Quotientenkriterium von d'Alembert

5

1.1.3 Wurzelkriterium von Cauchy

6

1.1.4 Kriterien für alternierende Reihen

8

2. Potenzreihen

13 ... 53

2.1 Konvergenz von Potenzreihen

13

2.2 Rechnen mit Potenzreihen

16

2.3 Taylorreihen

23

2.4 Laurentreihen

52

3. Fourierreihen

3.1 Diskrete Fourier-Transformation (DFT) und inverse diskrete-Transformation (IDFT)

4. Fourier-Transformation

54 ... 108

94

109 ... 134

4.1 Von der Fourierreihe zur Fourier-Transformation

111

4.2 Elementar- und Testsignale

115

4.3 Eigenschaften der Fourier-Transformation

120

4.4 Fast-Fourier-Transformation

132

5. Laplace-Transformation

135 ... 191

5.1 Elementar- und Testsignale

136

5.2. Eigenschaften der Laplace-Transformation

143

5.3 Rücktransformation aus dem Bildbereich in den Originalbereich

155

5.4 Anwendungen der Laplace-Transformation

160

5.4.1 Lösungen von Differentialgleichungen

160

5.4.2 Laplace-Transformation in der Netzwerkanalyse

166

5.4.3 Übertragungsverhalten von Systemen

175

Inhaltsverzeichnis

6. z-Transformation

192 ... 240

6.1 z-Transformation elementarer Funktionen

195

6.2. Eigenschaften der z-Transformation

203

6.3 Rücktransformation aus dem Bildbereich in den Originalbereich

212

6.4 Anwendungen der z-Transformation

218

6.4.1 Lösungen von Differenzengleichungen

219

6.4.2 Übertragungsverhalten von Systemen

227

7. Differentialgleichungen

241 ... 416

7.1 Allgemeines

241

7.2. Die gewöhnliche Differentialgleichung

245

7.2.1 Die gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung

249

7.2.1.1 Separable Differentialgleichungen 1. Ordnung

254

7.2.1.2 Gleichgradige oder homogene Differentialgleichungen 1. Ordnung

257

7.2.1.3 Exakte Differentialgleichungen 1. Ordnung

260

7.2.1.4 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung

262

7.2.1.5 Nichtlineare Differentialgleichungen 1. Ordnung

283

7.2.1.6 Steife Differentialgleichungen 1. Ordnung

289

7.2.2 Die gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung

292

7.2.2.1 Einfache gewöhnliche Differentialgleichungen 2. Ordnung

294

7.2.2.2 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

300

7.2.2.3 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit nicht konstanten Koeffizienten

349

7.2.2.4 Nichtlineare Differentialgleichungen 2. Ordnung

360

7.2.3 Die gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung

368

7.2.4 Differentialgleichungssysteme

381

7.2.4.1 Lineare Differentialgleichungssysteme 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

381

7.2.4.2 Homogenes lineares Differentialgleichungssystem 1. Ordnung

382

7.2.4.3 Inhomogenes lineares Differentialgleichungssystem 1. Ordnung

388

7.2.4.4 Umformung von Differentialgleichungen n-ter Ordnung in Differentialgleichungssysteme 1. Ordnung

398

7.2.4.5 Lineare Differentialgleichungssysteme 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

403

Inhaltsverzeichnis

8. Differenzengleichungen

417 ... 444

8.1 Allgemeines

417

8.2 Lineare Differenzengleichungen

418

8.3 Nichtlineare Differenzengleichungen

437

Anhang

445 ... 481

Übungsbeispiele

445 ... 474

Korrespondenztabellen

475 ... 476

Literaturverzeichnis Sachwortverzeichnis

477 478 ... 481

Unendliche Zahlenreihen

1. Unendliche Zahlenreihen Werden die Glieder einer unendlichen Zahlenfolge < a1 , a2 , a3 , ... an, ... > aufsummiert, so entsteht eine unendliche Reihe mit unendlich vielen Gliedern (siehe dazu Abschnitt 1.2, Band 3): f

¦

a1  a2  a3  ....  an  .... =

k

ak

(1-1)

1

Es soll nun festgestellt werden, welche Bedingung erfüllt sein muss, damit eine unendliche Reihe einen endlichen Summenwert hat. Die unendliche Reihe f

¦

k

ak

(1-2)

1

heißt konvergent, wenn die Folge der Partialsummen < s1 , s2 , s3 , ... sn, ... > mit wachsendem n einem bestimmten Wert s zustrebt: lim nof

sn = s

(1-3) f

¦

s = a1  a2  a3  ....  an  .... =

k

ak heißt dann Summenwert der unendlichen Reihe.

1

Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so nennt man die unendliche Reihe divergent. Siehe dazu Abschnitt 1.4, Band 3.

Beispiel 1.1: Untersuchen Sie die nachfolgende Reihe auf Konvergenz: 1  f

¦

k

1

§ 1· ¨ © 2¹

k 1

¦

k

1

1 4



1 8

 ....

Es liegt eine geometrische Reihe mit a 1 = a = 1 und q = 1/2 vor.

1

q

§ 1· ¨ © 2¹

2



(siehe dazu Abschnitt 1.4 Band 3)

a 1 f

1

erstes Folgeglied und Quotient von zwei Folgegliedern

2

k 1

bzw.

o2

s

a

s

1 q

2

Die Reihe konvergiert und der Summenwert ist 2.

Beispiel 1.2: Untersuchen Sie die nachfolgende harmonische Reihe auf Konvergenz: 1  s1 = 1 s4 = 1 

s2 = 1  1 2



1 3



1 4

1

s3 = 1 

2

!1

1 2



1 4



1 2



1 3

1

1 2



1 3



1 4

f

 .... =

¦

k

Partialsummen

Abschätzung der vierten Partialsumme

4

Seite 1

1

1 k

Unendliche Zahlenreihen

1

s4 ! 1  2 ˜ s8 = 1 

1

1



2

3

2

!1 k˜

lim kof

1 4



1 5



1 6



1 7



1 8

!1

1 2



1 4



1 4



1



8

1 8



1 8



1 8

Abschätzung der achten Partialsumme

Abschätzung der achten Partialsumme

2 1

s 16 ! 1  4 ˜

k



1

s8 ! 1  3 ˜

s

Abschätzung der vierten Partialsumme

2

Abschätzung der sechzehnten Partialsumme

2 1

Abschätzung der 2 k -ten Partialsumme

2

§1  k ˜ 1 · o f ¨ 2¹ ©

Die Partialsummenfolge ist divergent und damit ist auch die harmonische Reihe divergent

Beispiel 1.3: f

Untersuchen Sie die nachfolgende Reihe auf Konvergenz:

¦

n

Es gilt: 1 n ˜ ( n  1)

=

1 n



1

1

n ˜ ( n  1)

1 n 1

Die n-te Partialsummenfolge lautet damit:

§ ©

sn = ¨ 1 

1· 2¹



§ 1  1 ·  § 1  1 ·  ....  § 1  1 · ¨ ¨ ¨ © 2 3¹ © 3 4¹ © n n  1¹

Diese Summe vereinfacht sich zu: sn = 1  lim nof

1 n1

§1  1 · o 1 ¨ n  1¹ ©

Die Partialsummenfolge konvergiert und die gegebene Reihe ist konvergent. Sie hat den Summenwert 1.

Beispiel 1.4: f

Untersuchen Sie die arithmetische Reihe auf Konvergenz:

¦

k

Arithmetische Reihen sind divergent !

Seite 2

1

k = 1  2  3  4  ....

Unendliche Zahlenreihen

1.1 Konvergenzkriterien Es ist verständlich, dass nur solche Reihen von Interesse sind, die konvergent sind. f

¦

Wenn eine Reihe

n

lim

an konvergiert, so gilt:

1

an = 0 (Satz 5 Abschnitt 1.4 Band 3)

nof

(1-4)

Diese Bedingung ist aber nicht hinreichend, denn die Umkehrung gilt nicht. Nachfolgend sollen sogenannte Konvergenzkriterien formuliert werden, die es entweder stets oder unter gewissen Voraussetzungen gestatten festzustellen, ob eine gegebene Reihe konvergiert oder nicht. f

¦

Eine Reihe

n

an , deren Glieder ai ( ai t 0 ) alle positiv sind, nennen wir eine positive Reihe.

1

f

¦

Eine Reihe

n

an , deren Glieder ai ( ai d 0 ) alle negativ sind, kann als negative einer positiven

1

Reihe behandelt werden. Unter einer alternierenden Reihe versteht man solche Reihen, die abwechselnd positive und negative f

f

¦

Glieder besitzen:

n

un =

1

ª( 1) n1 ˜ a º . n¼ ¬

¦

n

1

1.1.1 Vergleichskriterien Majorantenkriterium: f

Eine positive Reihe

¦

n

bn konvergiert, wenn jedes Glied (unter Umständen erst nach endlich

1

vielen) kleiner oder gleich dem entsprechenden Glied einer bekannten konvergenten positiven Reihe f

¦

n

an ist:

1

0 d bn d an

(1-5)

Als Vergleichsreihen werden oft folgende Reihen benutzt: 2

f

3

a  a ˜ q  a ˜ q  a ˜ q  .... =

n 1 ¦ a ˜ q

n

1

1 p

2



1 p

3



1 p

4



1 p

5

1

f

 .... =

geometrische Reihe, konvergiert für |q| < 1

¦

n

1 p

konvergiert für p > 1

n 1

Seite 3

Unendliche Zahlenreihen

Minorantenkriterium: f

¦

Eine positive Reihe

n

bn ist divergent, wenn jedes Glied (unter Umständen erst nach endlich

1

vielen) größer oder gleich dem entsprechenden Glied einer bekannten divergenten positiven Reihe f

¦

n

an ist:

1

bn t an

(1-6)

Als Vergleichsreihen werden oft arithmetische- und harmonische Reihen benutzt. Beispiel 1.5: f n f

¦

n

1

1

¦

Ist die Reihe

n 1

1

f

1 p

n

1

¦

=

n

eine konvergente Vergleichsreihe (p = 2)

2

n

1

1

Ÿ

bn d an

konvergent ?

2

1

d

2

hat als Lösung(en)

2

n 1

Gilt für alle n, daher ist die Reihe nach (1-5) konvergent.

n

n

Beispiel 1.6: Die folgende Reihe soll auf Konvergenz untersucht werden: f

¦

bn =

n

¦

n

1

f

¦

an =

n

¦

1

1 n

2

1



2

1 8



1 12



1



16

1 20

1 32



1 30

 ....

2



1 6



1 12



1 20



1 30

 ....

gegebene Reihe

konvergente geometrische Vergleichsreihe

 ....

1

d

n n



6



4

1

Ÿ

bn d an

1

=

1



2

n n

2 1

n

1

=

2

1

Gilt für alle n, daher ist die Reihe nach (1-5) konvergent.

n

2

Beispiel 1.7: Ist die nachfolgend gegebene Reihe konvergent ? f

¦

bn =

¦

an =

n

¦

n

1

1 n

f n

bn d an

¦

n

1

Ÿ

=1

1 n 1

1 2



=1

2

1 n

d

1 2

1 6





1 4

1 24



gegebene Reihe

 ....

1 8

konvergente geometrische Vergleichsreihe

 ....

1

Gilt für alle n, daher ist die Reihe nach (1-5) konvergent.

n 1

2

Seite 4

Unendliche Zahlenreihen

Beispiel 1.8: Ist die nachfolgend gegebene Reihe konvergent ? 2

f

¦ bn = ¦ n

5

=1

3

f

¦ an = ¦ n

1

1

1

=1

n

1



2

3

2

n 1

Ÿ

bn t an

3

10



9

n 1 1

n

n

n 1

28

gegebene Reihe

 ....

divergente Vergleichsreihe (harmonische Reihe)

 ....

1

t

Gilt für alle n, daher ist die Reihe nach (1-6) divergent.

n

n 1

1.1.2 Quotientenkriterium von d'Alembert f

¦

Eine positive Reihe

n

an1

lim

an und divergiert, wenn

an konvergiert, wenn

1

 1,

(1-7)

! 1.

(1-8)

nof

an1

lim

an

nof

Gilt dagegen an1

lim

= 1, an so kann keine Aussage über Konvergenz oder Divergenz gemacht werden.

(1-9)

nof

Beispiel 1.9: Ist die nachfolgend gegebene Reihe konvergent? f

¦ an = ¦ n

an =

n n

=

3 1

n

n

1 3

an1 =

n

2



2

3



3

3

gegebene Reihe

 ....

3

n 1

3

Folgeglieder

n 1

3 n1

lim

3

n

nof

n

n1

3

=

lim nof

n

( n  1) ˜ 3 n 1

n˜ 3

=

lim

n1

n o f 3˜ n

1 =

lim nof

3

1 n

=

1 3

<1

n1

lim nof

3

n1

n 3

o

1 3

Die gegebene Reihe ist konvergent.

n

Seite 5

Unendliche Zahlenreihen

Beispiel 1.10: Ist die nachfolgend gegebene Reihe konvergent? 2

f

n

¦ an = ¦ n

n

1

n

=

an1 =

n



( n  1)

3

gegebene Reihe

 ....

2

Folgeglieder

( n  1)

1 2

( n 1)

nof

2

2

3

2

( n 1)

lim

2



1

2

n an = n

2

1

=

2

( n  1) ˜ n

lim

2

n o f ( n  1) ˜ n

=

lim nof

n 1 2

n =

lim nof

n



1 2

n

=0

1

<1

n 2

( n 1)

( n 1)

lim nof

n

Die gegebene Reihe ist konvergent.

o0

2

n

Beispiel 1.11: Ist die nachfolgend gegebene Reihe konvergent ? f

¦

an =

n

an =

1

¦

2

1

an1 =

2

n

1



2

2

2

n 1

n

1

=1

 ....

3

1 ( n  1)

gegebene Reihe

Folgeglieder

2

1

lim nof

( n 1) 1 n

2

2

=

2

n

lim

n o f ( n  1) 2

=

lim nof

§ n · ¨ © n  1¹

2

=

lim nof

§ 1 · ¨ 1 ¨1 n¹ ©

2

=1

Das Quotientenkriterium versagt hier. Es kann daher damit keine Aussage über die Konvergenz gemacht werden!

1.1.3 Wurzelkriterium von Cauchy f

Eine positive Reihe

¦

n

lim

n

nof

an konvergiert, wenn

1

an  1 ,

(1-10)

und divergiert, wenn lim nof

n

an ! 1 .

(1-11)

Seite 6

Unendliche Zahlenreihen

Gilt dagegen n

lim nof

an = 1 ,

(1-12)

so kann keine Aussage über Konvergenz oder Divergenz gemacht werden. Beispiel 1.12: Ist die nachfolgend gegebene Reihe konvergent ? f

¦

an =

n

¦

n

1

=

n

nof

n

n n

lim

1

2



2

nof n

3

 ....

3

1

lim

1

=

1

lim

n

n

<1

=0

nof n

Die gegebene Reihe ist konvergent.

o0

n

nof

1

=1

n 1

n

lim

1

n

Beispiel 1.13: Ist die nachfolgend gegebene Reihe konvergent ? f

¦

an =

n

1

¦

2

1

=1

2

2

n 1

n



1 2

 ....

gegebene Reihe

3

Unter Anwendung der Grenzwertsätze und l'Hospital gilt: n

lim

2

1 2

nof

=

n n

lim

1 2

nof

1

lim

nof n

= 2

n

lim

n

2

n

=

lim

nof

e

n

lim

˜ln( n)

=e

nof

 2˜ln( n ) n

lim

=e

nof

2 n

=1

nof

o1

n

Hier versagt (vergleiche Beispiel 1.11) das Wurzelkriterium.

1

1 2



2 1

1 2

1 2

2

2



3 

2 1

1

1 2

1 2

3

2



4 

3 

1

1 2

1 2

4

2

 ....  1 

5 

4 

1

1 2

1 2

5

2

 ....  1 

2 2

1 2

2



2

4



2  ....  1 

1



2

5 

1



2

4



2



4 

4 1

1

8 2

8



1



2

2

4 

8 1

1

1 16

8

16 16

 .... Majorantenkriterium

2

 ....

 ....

Die gegebene Reihe ist daher konvergent.

Seite 7

geometrische Vergleichsreihe mit q = 1/2

Unendliche Zahlenreihen

1.1.4 Kriterien für alternierende Reihen Leibnizkriterium: f

Eine alternierende Reihe

¦

ª( 1) n1 ˜ a º konvergiert, falls für alle n gilt: n¼ ¬

lim

an = 0

n

an ! an 1 und

1

nof

(1-13)

Absolute Konvergenz: f

Eine alternierende Reihe

ª( 1) n1 ˜ a º = a  a  a  a  .... heißt absolut konvergent, wenn 1 2 3 4 n¼ ¬

¦

n

1 f

die zugeordnete positive Reihe

¦

n

( 1)

n 1

˜ an = a1  a2  a3  a4  .... konvergiert.

1

Jede konvergente Reihe mit positiven Gliedern ist absolut konvergent. Jede absolut konvergente Reihe ist konvergent. Bedingte Konvergenz: f

ª( 1) n1 ˜ a º = a  a  a  a  .... konvergiert, aber die 1 2 3 4 n¼ ¬

¦

Wenn eine alternierende Reihe

n

1

f

zugeordnete positive Reihe

¦

n

( 1)

n1

˜ an = a1  a2  a3  a4  .... divergiert, so heißt die

1

alternierende Reihe bedingt konvergent. Quotientenkriterium für absolute Konvergenz: f

Eine alternierende Reihe

f

¦

n

un =

1

¦

n

ª( 1) n1 ˜ a º = a  a  a  a  .... heißt absolut 1 2 3 4 n¼ ¬

1

konvergent, wenn lim

u

nof

n1

 1,

(1-14)

un

und konvergiert nicht absolut, wenn lim nof

u

n1

! 1.

(1-15)

=1

(1-16)

un

Für lim nof

u

n1 un

kann keine Aussage gemacht werden.

Seite 8

Unendliche Zahlenreihen

Wurzelkriterium für absolute Konvergenz: f

Eine alternierende Reihe

f

¦

n

un =

1

¦

n

ª( 1) n1 ˜ a º = a  a  a  a  .... heißt absolut 1 2 3 4 n¼ ¬

1

konvergent, wenn n

lim nof

un

 1,

(1-17)

und konvergiert nicht absolut, wenn n

lim nof

un

! 1.

(1-18)

=0

(1-19)

Für n

lim

un

nof

kann keine Aussage gemacht werden. Beispiel 1.14: Ist die nachfolgend gegebene Reihe konvergent ?

ª( 1) n1 ˜ a º = n¼ ¬

¦ n

f n

an =

n

1

n 1

an1 =

n

ª( 1) n1 ˜ n º = 1  2  3  4  .... « n» 2 3 4 e e ¼ e e e ¬

¦

Folgeglieder

n 1

e

gegebene Reihe

e

Leibniz Kriterium: n n

!

e

lim

n1

n1 n1

n n

n

n o f en

!

n

e

e =

nof e

lim

e

Ÿ

1

lim

n

n1 n

Ÿ

n

e !1

1 n

gilt für alle n

unter Anwendung von l'Hospital

=0

nof e

Die Reihe ist konvergent.

o0

Beispiel 1.15: Ist die nachfolgend gegebene Reihe konvergent ?

¦

ª( 1) n1 ˜ a º = n¼ ¬

n

1 an = 2˜ n  1

f

¦

n

1

1 1 1 1 ª( 1) n1 ˜ º « » = 1     .... 3 2 ˜ n  1¼ 5 7 ¬

an1 =

1

gegebene Reihe

Folgeglieder

2 ˜ ( n  1)  1

Seite 9

Unendliche Zahlenreihen

Leibniz Kriterium: 1

!

2˜ n  1

1

1

lim

gilt für alle n > 0

=0

n o f 2˜ n  1

1

lim

hat als Lösung(en)

2 ˜ ( n  1)  1

§¨ n  3 · 2 ¸ ¨ ¨ 1 ¸ ¨ n © 2 ¹

Die Reihe ist konvergent.

o0

n o f 2˜ n  1

Beispiel 1.16: Ist die Reihe 1 

1 2



1 4

1

Die positive Reihe 1 

1



2

 .... absolut konvergent ?

8

1





4

1

 .... ist eine geometrische Reihe mit q = 1/2.

8

Daher ist die gegebene Reihe absolut konvergent. Beispiel 1.17: Ist die Reihe 1 

1

2 3

an =

3



2

3



2 3

4 3



3 2

4



3

3

f

 .... =

3

n

die zugehörige positive Reihe

n

1

an1 =

3

n 1

¦

n

n 1

 .... absolut konvergent ?

3

3

n 2

Folgeglieder

n 1

3

Quotientenkriterium: n2

lim nof

3

n

n1

n1 3

=

n

lim

( n  2) ˜ 3

n o f 3n 1 ˜ ( n  1)

=

lim nof

§1

n  2·

1

= ˜ ¨ ˜ 3 © 3 n  1¹

1 lim

2 n

nof 1 1

=

1 3

<1

n

n2

lim nof

3

n1

n1 3

n

o

1 3

Die positive Reihe ist konvergent, daher ist die gegebene Reihe absolut konvergent.

Seite 10

Unendliche Zahlenreihen

Beispiel 1.18: Ist die Reihe 1 

1

1



2

3

1

Die positive Reihe 1 

1



1



2

 .... konvergent ?

4

3



1 4

 .... ist eine harmonische Reihe und diese ist divergent.

Die gegebene Reihe ist daher bedingt konvergent. Die gegebene Reihe konvergiert nach dem Leibnizkriterium. Sie wird daher auch Leibniz-Reihe genannt. Beispiel 1.19: Ist die Reihe

2 3

3



4

Die positive Reihe

größer ist als

1

1

˜

2

2

3



3

4 1

§ 2 ©

˜ ¨1 

4



2

˜

5

1

˜

2 1



3

1 3 



 4 5 1 4

5

˜

6 ˜

1 3

1 4

 .... konvergent ? 5



6

1

˜

4

 .... ist divergent, weil sie gliedweise

· ¹

 .... (harmonische Reihe).

Die gegebene Reihe ist bedingt konvergent. Beispiel 1.20: Ist die Reihe 1 

1

1 2



1 4



1 8

1 2



1



4

1 8

f

 .... =

¦

n

n 1 un = ( 1) ˜ n 2

0

 .... absolut konvergent ?

ª( 1) n ˜ 1 º « n» 2 ¼ ¬

un1 = ( 1)

n 1

gegebene Reihe

1

˜

Folgeglieder

n 1

2

Quotientenkriterium:

lim nof

un1 un

( 1) =

lim nof

n 1

1

˜

n 1

2 n

( 1) ˜

1

=

lim

1 ˜

nof

n

2 Damit ist die Reihe absolut konvergent.

Seite 11

1 2

=

1 2

<1

Unendliche Zahlenreihen

Beispiel 1.21: 2

Ist die Reihe 1 

2

1

3

3



2

3

2

 .... absolut konvergent ?

3

3

3

3

3

n

n1

ª( 1) n ˜ n  1º « n » 3 ¼ ¬

¦

 .... =

3

un = ( 1) ˜

4



f

4



3



n

0

un1 = ( 1)

n

3

n 1

˜

gegebene Reihe

n2

Folgeglieder

n1

3

Quotientenkriterium: ( 1)

n 1

n2

˜

n1

n

3

lim

n 1

n

nof

=

( 1) ˜

lim

3 ˜ ( n  2)

1 ˜

nof

n 1

3

n

=

lim nof

˜ ( n  1)

1 3

˜

n2 n1

=

lim nof

1 3

1 ˜ 1

3 ( 1)

n 1

n2

˜

n1

3

lim

n 1

n

nof

o

( 1) ˜

1

Die gegebene Reihe ist also absolut konvergent.

<1

3

n

3 f

ª( 1) n ˜ n  1º o 9 « n » 16 3 ¼ ¬

¦

n

0

Summe der Reihe

Beispiel 1.22: 1

Ist die Reihe 1 

2



2 1

1 2



2

1 3



3

1 3



3

1 4

 .... absolut konvergent ?

4 f

1 4

 .... =

4

¦

n

1

ª( 1) n1 ˜ 1 º « n» n ¼ ¬

gegebene Reihe

Wurzelkriterium: n1

n

lim nof

( 1)

n 1

˜

1 n

n

=

lim nof

( 1)

n

˜

1 n

=0

<1

Die gegebene Reihe ist also absolut konvergent.

Seite 12

2 n 1 n

Potenzreihen

2. Potenzreihen 2.1 Konvergenz von Potenzreihen Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen. Eine unendliche Reihe der Form f

f

¦

n

0

§ a ˜ xn· = a  a ˜ x  a ˜ x2  ....  a ˜ xn  .... 0 1 2 n © n ¹

¦

un =

n

(2-1)

0

( ai ) wird eine Potenzreihe in x genannt. Eine unendliche Reihe der Form f

f

¦

n

un =

0

¦

n

ª a ˜  x  x nº = a  a ˜  x  x  a ˜  x  x 2  ....  a ˜  x  x n  .... (2-2) 0 1 0 0 ¼ 2 0 n 0 ¬ n

0

( ai , x0 ) wird eine Potenzreihe in (x - x 0 ) genannt. Die Stelle x 0 heißt Entwicklungsstelle. Die Menge der Zahlen x, für eine Potenzreihe konvergiert, heißt Konvergenzintervall (oder Konvergenzbereich) der Reihe. Der Mittelpunkt des Konvergenzintervalls ist für die Reihe (2-1) x = x0 = 0 und für die Reihe (2-2) x = x0 . Wir schreiben dafür: x  ]x0 - r , x0 + r[ , x0 - r < x < x0 + r oder |x - x 0 | < r. r heißt Konvergenzradius. Den Konvergenzradius r des Konvergenzintervalls ermitteln wir mithilfe des Quotientenkriteriums für absolute Konvergenz (1-14): Aus un1

lim

un

nof

n 1

=

lim

an1 ˜ x

nof

=

n

lim nof

an ˜ x

§ an1 · ˜ x 1 ¨ a n © ¹

(2-3)

folgt 1

x  lim nof

(2-4)

an1 an

und somit: x 

lim nof

an

(2-5)

an1

Damit lässt sich folgender Satz formulieren: Wenn der Grenzwert r =

lim nof

an an 1

existiert,

dann konvergiert die Reihe (2-1) bzw. (2-2) für x  r bzw. x  x0  r

(2-6)

Seite 13

Potenzreihen

und sie divergiert für x ! r bzw. x  x0 ! r .

(2-7)

Das Konvergenzverhalten an den Randpunkten des Konvergenzintervalls x = - r und x = r bzw. x - x0 = - r und x - x0 = r muss gesondert untersucht werden !

Beispiel 2.1: Untersuchen Sie die nachfolgende Potenzreihe auf Konvergenz und bestimmen Sie das Konvergenzintervall: n

f

¦

n

1

x

n

2

=x

1 an = n

x

2

3

x



3

gegebene Reihe

 ....

1

an1 =

Folgeglieder

n 1

1 n

lim

=

1

nof

n 1

lim

n

nof

n1

lim

=

n

nof

n1

1 lim

1

nof

1 n

=1

Konvergenzradius

Die Reihe konvergiert also im offenen Intervall ]-1,1[.

o1

Beispiel 2.2: Untersuchen Sie die nachfolgende Potenzreihe auf Konvergenz und bestimmen Sie das Konvergenzintervall: n

f

¦

n

0

x

n

2

=1 x

1 an = n

x

2

an1 =

3



x

3

gegebene Reihe

 ....

1

Folgeglieder

( n  1)

1

lim nof

lim nof

n 1

=

nof

( n 1)

( n  1) n

lim

of

( n  1) n

=

lim

( n  1) = f

Konvergenzradius

nof

Die Reihe konvergiert also im offenen Intervall ]- f,f[ , d.h in ganz .

Seite 14

Potenzreihen

Beispiel 2.3: Untersuchen Sie die nachfolgende Potenzreihe auf Konvergenz und bestimmen Sie das Konvergenzintervall: n

f

2

x

¦

n

=x

1 n

n

an =

x

2

3

x



2

1

3

1

an1 =

n

n

gegebene Reihe

 ....

3

( n  1)

Folgeglieder

n 1

1 n

lim

n

=

1

nof

( n 1)

( n  1)

lim

n

=

n

nof

n1

n1

lim

( n  1) ˜ ( n  1) n

nof

n

n

=

lim nof

§ ¨1  ©

1· n¹

n

˜

lim

( n  1)

nof

=e.f ( n  1)

lim nof

n 1

Die Reihe konvergiert also für x  ]- f,f[ = .

of

n

n

Beispiel 2.4: Untersuchen Sie die nachfolgende Potenzreihe auf Konvergenz und bestimmen Sie das Konvergenzintervall: f

¦

n

1

( x  1)

n

( 2 ˜ n)

=

1 an = ( 2 ˜ n)

x 1 2



an1 =

( x  1) 4

2



( x  1)

1 [ 2 ˜ ( n  1) ] 

3

6

=

 ....

1 ( 2 ˜ n  2)

gegebene Reihe

Folgeglieder

1

lim nof

lim nof

( 2˜n) 1 ( 2˜n  2 )

( 2 ˜ n  2) ( 2 ˜ n)

=

lim nof

of

( 2 ˜ n  2) ( 2 ˜ n)

=

lim

[ ( 2 ˜ n  1) ˜ ( 2 ˜ n  2) ] = f

nof

Die Reihe konvergiert also für x  ]- f,f[ = .

Seite 15

Potenzreihen

2.2 Rechnen mit Potenzreihen Ohne Beweis seien folgende wichtige Sätze für Potenzreihen angeführt: a) f

Wenn zwei Potenzreihen f ( x) =

ª a ˜  x  x nº und g ( x) = 0 ¼ ¬ n

¦

n

0

f

¦

n

ª b ˜  x  x nº auf 0 ¼ ¬ n

0

x  x0  r konvergieren und f(x) = g(x) für alle x  ]x0 - r, x0 + r[ gilt, so sind die Reihen identisch und es gilt für alle n = 0, 1, 2, 3...: an = bn . b) Die Potenzreihe einer geraden Funktion enthält nur Glieder mit den Potenzen x 0 , x2 , x4 , x6 , ... c) Die Potenzreihe einer ungeraden Funktion enthält nur Glieder mit den Potenzen x , x3 , x5 , x7 , ... d) Aus einer konvergenten Potenzreihe darf man einen allen Gliedern gemeinsamen Faktor c f

f

¦ c ˜ un = c ˜ ¦

herausheben:

n

1

n

un .

1

e) Konvergente Potenzreihen mit gleichem Entwicklungspunkt x 0 dürfen im gemeinsamen Konvergenzbereich gliedweise addiert , subtrahiert und multipliziert werden. Diese neue Potenzreihe konvergiert dann mindestens im gemeinsamen Konvergenzbereich. f

f

¦

n

¦

un ±

1

f

n

vn =

1

¦ un 

n



/ - vn = s  t

( mit

1

¦ un = s und ¦ vn = t )

Für das Produkt gilt die Cauchysche Produktformel: f

f

¦

n

=

un ˜

0 f

n

¦

n

¦

2  ....º¼ ˜ ª¬b0  b1 ˜ x  x0  b2 ˜ x  x0 2  ....º¼ =

vn = ªa0  a1 ˜ x  x0  a2 ˜ x  x0 ¬







0

ª c ˜  x  x nº = s ˜ t mit c = 0 ¼ n ¬ n

0

n

¦ ak ˜ bnk .

k

0

Der Konvergenzradius ist mindestens so groß wie der kleinere Konvergenzradius der beiden Reihen. f) Jede Potenzreihe stellt im Konvergenzintervall eine Funktion dar. Sie ist im Konvergenzintervall stetig. f: ]- r, r [ o f

x _o f ( x) =

¦

n

§ a ˜ xn· © n ¹

0



Seite 16

Potenzreihen

Die Partialsummen p n(x) = a0 + a1 x + ... + an xn der Potenzreihe nennt man Approximationsfunktionen. Sie sind Polynomfunktionen. Solche Polynomfunktionen werden häufig wegen ihrer Einfachheit als Interpolationsfunktion für eine Funktion f(x) eingesetzt (siehe dazu auch Abschnitt 3.7, Band 3). g) f

¦

Jede konvergente Potenzreihe f ( x) =

n

ª a ˜  x  x nº 0 ¼ ¬ n

0

darf im Konvergenzintervall |x-x 0 | < r gliedweise differenziert und gliedweise integriert werden. Die so entstehenden Reihen haben ebenfalls den Konvergenzradius r.

f ' ( x) =

´ µ µ µ µ ¶

d dx

f

¦

n

f

ª a ˜  x  x nº = 0 ¼ ¬ n

0

¦

n

0

b f

¦

n

nº

ª a ˜  x  x dx = 0 ¼ ¬ n

0

f

¦

n

d

0

ª a ˜  x  x nº = n 0 ¼ dx ¬

f

¦

n

ª a ˜ n ˜  x  x n  1º 0 ¬ n ¼

1

f ª´b º « µ a ˜ x  x n dx» = 0 «¶ n  » a ¬ ¼ n 0

¦

n 1 º b ª« x  x0  » « an ˜ n  1 » | ¬ ¼ a

a

Beispiel 2.5: 1x

Wie lautet die Potenzreihenentwicklung der Funktion f ( x) =

1x

? Bestimmen Sie das

Konvergenzintervall. f ( x) =

1x 1x

= 1 

2 1 x

gegebene Funktion

Mithilfe der Summenformel für geometrische Reihen s =

f ( x) =

1x 1x

= 1 

2 1 x

f

= 1  2 ˜

¦

k

a 1 q

(siehe dazu (1-45), Band 3) erhalten wir:

ª¬( 1) k ˜ xkº¼

0

Diese geometrische Reihe konvergiert im Bereich |x| < 1.

Beispiel 2.6: 23  7 ˜ x

Wie lautet die Potenzreihenentwicklung der Funktion f ( x) =

2

? Bestimmen Sie das

12  7 ˜ x  x Konvergenzintervall.

Die gebrochen rationale Funktion kann in Partialbrüche zerlegt werden (siehe dazu Abschnitt 4.3.4, Band 3): 23  7 ˜ x 2

12  7 ˜ x  x

in Partialbrüche zerlegt, ergibt

2 x 3

Seite 17



5 x 4

Partialbruchzerlegung mit Mathcad

Potenzreihen

23  7 ˜ x

f ( x) =

2

=

12  7 ˜ x  x

23  7 ˜ x ( x  3) ˜ ( x  4)

A

=

x 3



B

händische Partialbruchzerlegung

x 4

bruchfreie Gleichung

23  7 ˜ x = A ˜ ( x  4)  B ˜ ( x  3) x=4

Ÿ

23  28 = B

Ÿ

B = 5

x=3

Ÿ

23  21 = A

Ÿ

A = 2

5

5

Es gilt demnach:

f ( x) = 

2



x 3

x 4

=

2



3 x

4x

=

2

1

˜

3

1

x



5 4

f ( x) =

k

f

2

¦

˜

3

k

0

§x·  5 ˜ ¨ 4 © 3¹

k

f

¦

k

0

§x· = ¨ © 4¹

f

¦

k

0

1

3

Mithilfe der Summenformel für geometrische Reihen s =

1

˜

a 1 q

x 4 (siehe dazu (1-45) Band 3) erhalten wir:

ª§ 2  5 · ˜ xkº «¨ k1 » k 1 4 ¬© 3 ¹ ¼

Konvergenzbereich: x

Die 1. Reihe konvergiert für Die 2. Reihe konvergiert für f

Die Reihe f ( x) =

¦

k

0

 1.Daraus folgt: x  3.

3 x

 1. Daraus folgt: x  4.

4

ª§ 2  5 · ˜ xkº konvergiert daher für x  3. «¨ k1 » k 1 4 ¬© 3 ¹ ¼

Beispiel 2.7: Für die Funktion f(x) = ln(1- x/2) soll zuerst die Potenzreihe um x 0 = 0 für die Ableitungsfunktion f '(x) bestimmt werden. Aus der Potenzreihe für die Ableitungsfunktion f '(x) soll dann die Reihenentwicklung für die Funktion f(x) berechnet werden. 1 2

f ' ( x) =

1

Die Ableitungsfunktion ist eine gebrochen rationale Funktion.

x 2

Mithilfe der Summenformel für geometrische Reihen s =

f ' ( x) = 

1 2

n

f

˜

¦

n

0

§x· =  ¨ © 2¹

1 q

(siehe dazu (1-45) Band 3) erhalten wir:

n

f

¦

n

a

x

n1

gesuchte Reihendarstellung für die Ableitungsfunktion

0 2

Seite 18

Potenzreihen

Um die Reihe zu f(x) zu bestimmen, wird integriert: ´

n

f

x· µ § =µ  f ( x) = ln ¨ 1  2¹ µ ©

¦

n 1

f

dx = 

0 2

n

µ ¶

x

´ µ µ µ 0 µ ¶

¦

n

n

n 1

f

x

n 1

dx = 

2

x

¦

n 1

C

0 ( n  1) ˜ 2

n

Um die Konstante zu bestimmen, wird x = 0 eingesetzt: Aus ln(1 - 0) = 0 folgt C = 0.

Beispiel 2.8: Wie lautet die Potenzreihenentwicklung von f(x) = arctan(x 2 ) im Entwicklungspunkt x0 = 0 ? Bestimmen Sie das Konvergenzintervall für diese Reihe. Zuerst bestimmen wir die Ableitung der Funktion g(x) = arctan(x): g ' ( x) =

d dx

1

arctan ( x) =

2

1 x

Dieses Ergebnis lässt sich mit der Summenformel der geometrischen Reihe umschreiben:

g ' ( x) =

1 2

1 x

f

1

 2 n¦0

=

=

1  x

ª¬( 1) n ˜ x2nº¼

mit

n

 2 n = (1)n ˜ x2n

q = x

Die Integration liefert für |x| < 1: ´ µ g ( x) = arctan ( x) = µ µ µ ¶

f

¦

n

ª¬( 1) n ˜ x2nº¼ dx =

0

f

¦

n

0

ª ( 1) n º 2˜n 1» « ˜x ¬2 ˜ n  1 ¼

Wegen arctan(0) = 0 kommt kein absolutes Glied hinzu. Weil die Reihe der Ableitung für |x| < 1 konvergiert, ist der Konvergenzradius für die Reihe von g(x) ebenfalls r = 1. Durch Ersetzen von x durch x 2 in der Reihe für g(x) erhalten wir die Potenzreihe für die gegebene Funktion: f

2 f ( x) = arctan  x = ¦ n

f

¦

n

0

f

¦

n

0

0

ª ( 1) n º 2 x6 x10 4˜n 2» « ˜x =x    .... 3 5 ¬2 ˜ n  1 ¼

ª ( 1) n º 1 4˜n  2» « ˜ ( 1) o ˜S 4 ¬2˜ n  1 ¼ Die Reihe konvergiert auch für die Randpunkte des vorher genannten Konvergenzintervalls, also für x d 1.

ª ( 1) n º 1 4˜n 2» « ˜ ( 1) o ˜S 4 ¬2˜ n  1 ¼

Seite 19

Potenzreihen

Beispiel 2.9: Die Funktion f(x) = cos 2 (x-x0 ) besitzt um die Stelle x 0 die Potenzreihendarstellung: 1

2

1

2

2 = 1  x  x0 2  3 ˜ x  x0 4  45 ˜ x  x0 6  315 ˜ x  x0 8  14175 ˜ x  x0 10  ....



cos x  x0

Die Funktion f(x) soll um die Stelle x 0 = 0 und x 0 = 1 einerseits durch ein Approximationspolynom, das durch Abbruch der Reihe nach dem sechsten Glied entsteht, und andererseits durch ein Interpolationspolynom 4. Grades angenähert und grafisch dargestellt werden. ORIGIN festlegen

ORIGIN  0





2



gegebene Funktion

f x  x0  cos x  x0

Approximationspolynom (Reihenabbruch nach dem sechsten Glied):





1

2

1

2

2  3 ˜ x  x0 4  45 ˜ x  x0 6  315 ˜ x  x0 8  14175 ˜ x  x0 10



p10 x  x0  1  x  x0

Interpolationspolynom 4. Grades: Zur Bestimmung der Koeffizienten a i und der Konstante a0 des Interpolationspolynoms 4. Grades 1

2

3

4

p ( x) = a0  a1 ˜ x  a2 ˜ x  a3 ˜ x  a4 ˜ x wählen wir die Stützstellen mit der gleichen Schrittweite h symmetrisch um die Stelle x0 . Die Anzahl der Stützstellen n, der Entwicklungspunkt x 0 und die Schrittweite h werden neben der Grafik für Simulationszwecke global definiert.

bei fünf Stützstellen

Abb. 2.1





stützstellen x0  h  n 

Fehler ( "n muss ungerade sein!" ) if mod ( n  2) = 0 x0 m x0

§ n· © 2¹

Unterprogramm zur Berechnung von Stützstellen mit äquidistanten Punkten mit Abstand h/2. Die Daten werden aufsteigend sortiert.

for k  1  floor ¨ xk m x0  k ˜ x

§ n· k floor¨ © 2¹

h 2

m x0  k ˜

h 2

sort ( x)





x  stützstellen x0  h  n T

x

Die Stützstellen werden in einem Vektor gespeichert!

( 1 0.5 0 0.5 1 )

Seite 20

Potenzreihen





Funktionswerte an den Stützstellen

y  f x  x0 T

y

( 0.292 0.77 1 0.77 0.292 )

P  erweitern ( x  y)

§¨ 1 ¨ 0.5 ¨ 0 ¨ ¨ 0.5 ¨ 1 ©

P

0.292 · 0.77

¸ ¸ Stützpunkte (x | f(x )) in einer Matrix zusammengefasst 1 i i ¸ 0.77 ¸ 0.292 ¹

Durch sukzessives Einsetzen der Werte der Stützstellen x i und deren zugehörigen Funktionswerte y i in das Interpolationspolynom n-ten Grades erhält man ein lineares Gleichungssystem mit n Gleichungen und n Unbekannten a 0 , ... ,an-1 . Das Gleichungssystem lässt sich in Matrizenform y = K a schreiben. Aus y = K a erhält man den Lösungsvektor a durch Multiplikation der Matrixgleichung mit K-1 von links. Stützstellen einsetzen:



1

2

3

4



1

2

3

4

p x0 = a0  a1 ˜ x0  a2 ˜ x0  a3 ˜ x0  a4 ˜ x0 ........................................................................... ........................................................................... p x4 = a0  a1 ˜ x4  a2 ˜ x4  a3 ˜ x4  a4 ˜ x4 Bereichsvariable

i  0  n  1

0

¢i² i K  x

K

K

1

T

˜y

a n1

p ( x)  a0 

2

3

4

0

1

-1

1

-1

1

1

1

-0.5

0.25

-0.125

0.063

2

1

0

0

0

0

3

1

0.5

0.25

0.125

0.063

4

1

1

1

1

1

Die Koeffizientenmatrix K dieses linearen Gleichungssystems enthält in der i-ten Spalte die i-ten Potenzen von x i :

Es liegt eine Reguläre Matrix vor!

0.281

a K

1

¦

k

Koeffizienten des Interpolationspolynoms

( 1 0 0.99 0 0.282 )

§ ak ˜ xk· © ¹

Interpolationspolynom

1

Bereichsvariable

x  min ( x)  2  min ( x)  2  0.001  max ( x)  2

Seite 21

Potenzreihen

2 x0 1.5



f x  x0





p 10 x  x0



f x0  x0

1





0.5

p ( x) y 3

2

1

0

1

2

3

0.5

x x x x Funktion Approximationspolynom Interpolationspolynom Stützpunkte

Abb. 2.2 n{ 5

x0 { 0

global definierte Daten für eine Simulation

h{ 1

Quadratische Fehler im Vergleich (betrachtet im Bereich der gewählten Stützpunkte): x

´ n1 2 µ dx f x  x0  p10 x  x0 µ ¶x









1.404 u 10

 12

Approximationspolynom

0

x

´ n1 2 µ f x  x0  p ( x) dx µ ¶x







6.095 u 10

6

Interpolationspolynom

0

Seite 22

Taylorreihen

2.3 Taylorreihen Wie bereits im vorhergehenden Abschnitt gezeigt wurde, stellt eine Potenzreihe auf ihrem Konvergenzintervall eine Funktion dar. Es soll nun untersucht werden, unter welchen Bedingungen eine Funktion in eine Potenzreihe entwickelt werden kann. Die Funktion f(x) = 1/(1+(x-x 0 )) kann z.B. durch fortlaufende Division als Reihe geschrieben werden: f ( x) =

1





1  x  x0



2  x  x0 3  ....



= 1  x  x0  x  x0

(2-8)

Die Reihe hat dann folgende Form:





2  a3 ˜ x  x0 3  ....



f ( x) = a0  a1 ˜ x  x0  a2 ˜ x  x0

(2-9)

Zur Ermittlung der Koeffizienten a i bilden wir vorerst unter der Annahme, dass die Funktion in einer Umgebung von x 0 differenzierbar ist, deren Ableitungen. Zur Vereinfachung verwenden wir zur Herleitung eine abgebrochene Reihe:

4

f ( x) =

n

f1 ( x) =

ª an ˜  x  x nº o f ( x) = a0  a1 ˜  x  x  a2 ˜  x  x 2  a3 ˜  x  x 3  a4 ˜  x  x 4 0 ¼ 0 0 0 0 ¬

¦

0 4

d

dx ¦ n

f1 ( x) =

d dx

ª an ˜  x  x nº o f ( x) = a1  2 ˜ a2 ˜  x  x  3 ˜ a3 ˜  x  x 2  4 ˜ a4 ˜  x  x 3 0 ¼ 0 0 0 1 ¬

0

4

¦

n

ª an ˜  x  x nº 0 ¼ ¬

ergibt

0









f1 ( x) = a1  2 ˜ a2 ˜ x  x0  3 ˜ a3 ˜ x  x0

2





 4 ˜ a4 ˜ x  x0

3

4

=

¦

n

f2 ( x) =

f2 ( x) =

d dx

4

¦

n

dx ¦ n

ª n ˜ an ˜  x  x n1º o f ( x) = 2 ˜ a2  6 ˜ a3 ˜  x  x  12 ˜ a4 ˜  x  x 2 0 0 0 2 ¬ ¼

ª n ˜ an ˜  x  x n1º 0 ¬ ¼

ergibt

1









f2 ( x) = 2 ˜ a2  6 ˜ a3 ˜ x  x0  12 ˜ a4 ˜ x  x0

2

4

=

¦

n

f3 ( x) =

4

d

dx ¦ n

1

1

4

d

ª n ˜ an ˜  x  x n1º 0 ¬ ¼

ª n ˜ ( n  1) ˜ an ˜  x  x n2º 0 ¬ ¼

2

ª n ˜ ( n  1) ˜ an ˜  x  x n2º o f ( x) = 6 ˜ a3  24 ˜ a4 ˜  x  x 0 0 3 ¬ ¼

2

Seite 23

Taylorreihen

f3 ( x) =

4

d dx

ª n ˜ ( n  1) ˜ an ˜  x  x n2º 0 ¬ ¼

¦

n

ergibt

2 4



¦

f3 ( x) = 6 ˜ a3  24 ˜ a4 ˜ x  x0 =

n

ª n ˜ ( n  1) ˜ ( n  2) ˜ an ˜  x  x n3º 0 ¬ ¼

3

usw. Setzen wir nun eine bestimmte Entwicklungsstelle ein, z.B. x = x 0 , dann erhalten wir:



f x0 = a0





a1 =





a2 =





a3 =

f1 x0 = f ' x0 = a1

f2 x0 = f '' x0 = 2 ˜ a2

f3 x0 = f ''' x0 = 2 ˜ 3 ˜ a3

 = f ' x0

f1 x0 1

1

 = f '' x0

f2 x0 2

2

 = f ''' x0

f3 x0 3

3

................................................................................



fn x0 = f

( n)

x0 = n ˜ an

an =

 = f ( n) x0

fn x0 n

n

mit

f a0 =

( 0)

x0 = f x  0 0

Ohne Beweis gelten folgende Sätze: a) Es sei f: [a,b] o eine beliebig oft differenzierbare Funktion, und es existiere ein M  mit | f(n)(x) | dM für alle x  [a,b] und n ². Dann gilt für ein beliebige Entwicklungsstelle x 0  [a,b]: f

¦

Die Taylorreihe

f ( x) =

ª« f ( n)  x º 0 n» « n ˜  x  x0 » konvergiert für alle x  [a,b] , und es ist ¬ ¼

n

0

f

º ª« f ( n)  x 0 n» « n ˜  x  x0 » . ¬ ¼

¦

n

0

(2-10)

Sie kann auch als Summe von Taylorpolynom und Restglied geschrieben werden: n

f ( x) =

¦

k

0

ª« f ( k)  x º 0 k» « k ˜  x  x0 »  Rn1( x) . ¬ ¼

(2-11)

Rn+1 (x) bezeichnet man als Restglied, weil es den Unterschied von f(x) zum Taylorpolynom angibt. Die Taylorreihe wird auch MacLaurin-Reihe genannt. Taylorreihen sind spezielle Potenzreihen, aber nicht jede Potenzreihe ist eine Taylorreihe!

Seite 24

Taylorreihen

Das Restglied von Lagrange lautet:

Rn1( x) =

( n1)

f

( T ˜ x)

( n  1)

n1 mit



˜ x  x0

0T 1

(2-12)

Dieses Restglied gibt Aufschluss über die Konvergenz der Reihe und über den Fehler, den wir bei Abbruch der Reihe nach dem n-ten Glied begehen. b)

º ª« f ( n)  x 0 n» « n ˜  x  x0 » ist genau dann eine Darstellung von f(x), wenn gilt: ¬ ¼

f

¦

Die Reihe

n

0

lim

ª¬Rn1( x)º¼ = 0

nof

(2-13)

c) Wenn wir die Reihe nach dem n-ten Glied abbrechen, so gilt f ür das Restglied R n+1 (x) die Fehlerabschätzung nach Lagrange:

ª f ( n1) ( T ˜ x) º n1 » Rn1( x) d max « ˜  x  x0 (maximaler Wert für T  ] 0, 1 [ ) ¬ ( n  1) ¼

(2-14)

Bemerkung: Für alternierende Reihen gilt dann speziell die Fehlerabschätzung: f Rn1( x) d

( n 1)

x0 ˜

( n  1)

x  x0 n1

(2-15)

Wenn wir die Reihenentwicklung nach dem ersten Glied abbrechen, so erhalten wir:







f ( x) = f x0  f ' ( T ˜ x) ˜ x  x0 mit T  ] 0, 1 [

(2-16)

Man erkennen hier, dass die Taylorreihe eine Verallgemeinerung der Linearisierungsformel ist.

Beispiel 2.10: a) Wie lautet die Taylorreihe an der Stelle x 0 = 0 der Funktion f(x) = sin(x) ? b) Auf welchem Intervall konvergiert diese Reihe ? c) Wie lautet das Restglied nach Lagrange für diese Reihe ? d) Stellen Sie die Funktion und die Näherungspolynome bis zum 7. Grad grafisch dar. e) Stellen Sie den absoluten und relativen Fehler im Vergleich von Funktion und Taylorpolynome grafisch dar. f ( x)  sin ( x) f ( x) = f ( 0) 

gegebene Funktion und Entwicklungsstelle

x0  0 f ' ( 0) 1

˜x

f '' ( 0) 2

2

˜x 

f ''' ( 0) 3

3

˜ x  ....

Seite 25

Entwicklung der Funktion an der Stelle x 0 = 0

Taylorreihen

fx ( x  n) 

konstantes Glid a 0

f ( 0) = sin ( 0) = 0

n

d

n

a0 = 0

Ableitungen

f ( x)

dx

1. Ableitung an der Stelle 0

1 a1 = 1

0

2. Ableitung an der Stelle 0

a2 = 0

1

3. Ableitung an der Stelle 0

1 a3 =  3

fx ( x  1) o cos ( x)

fx ( 0  1) o cos ( 0)

1

fx ( x  2) o sin ( x)

fx ( 0  2) o sin ( 0)

fx ( x  3) o cos ( x)

fx ( 0  3) o cos ( 0)

fx ( x  4) o sin ( x)

fx ( 0  4) o sin ( 0)

0

4. Ableitung an der Stelle 0

fx ( x  5) o cos ( x)

fx ( 0  5) o cos ( 0)

1

5. Ableitung an der Stelle 0

a4 = 0 1 a5 = 5

Alle geraden Ableitungen sind Null und die ungeraden Ableitungen (2n+1) sind +1 bzw. -1. f

f ( x) = sin ( x) =

¦

n 5

¦

n

0

0

1 ª( 1) n ˜ 2˜n 1º ˜x « » ( 2 ˜ n  1) ¬ ¼

Taylorreihe für sin(x) (enthält nur ungerade Glieder)

1 3 1 1 1 1 1 ª( 1) n ˜ 2˜n  1º 5 7 9 11 ˜x ˜x  ˜x  ˜x  ˜x « » ox ˜x  6 ( 2 ˜ n  1) 120 5040 362880 39916800 ¬ ¼

Das Konvergenzintervall bestimmen wir mit dem Quotientenkriterium: n

n 1

( 1) an = ( 2 ˜ n  1)

(  1)

r=

lim nof

n 1

( 1) ( 1) an+1 = = [ 2 ˜ ( n  1)  1]  ( 2 ˜ n  3)

an

=

an1

n

(  1)

( 2˜n  1 )

lim nof

(  1)

Folgeglieder

lim

n1

nof

( 2˜n  3 )

n

( 2˜n  1 ) (  1)

n1

of

( 2˜n  3 )

Das Restglied ergibt sich nach Lagrange zu:

R2n+1 ( x) =

R2n+1 ( x) =

f

( 2n  1 )

( T ˜ x)

( 2 ˜ n  1) f

( 2n  1 )

( T ˜ x)

( 2 ˜ n  1)

2˜n1



˜ x  x0

2˜n 1

˜x

n

=

( 1) ˜ cos ( T ˜ x) ( 2 ˜ n  1)

2˜n 1

˜x

Für die Fehlerabschätzung gilt dann (alternierende Reihe (2-15)): 2˜n 1

x R2n+1 ( x) d ( 2 ˜ n  1)

Seite 26

(x0 = 0)

Die Reihe konvergiert für alle x .

Taylorreihen

Taylorpolynome vom Grad (2 k + 1): k

¦

p (x  k) 

n

p ( x  1) o x 

p ( x  2) o x 

p ( x  3) o x 

0

1 6 1 6 1 6

1 ª( 1) n ˜ 2˜n  1º ˜x « » ( 2 ˜ n  1) ¬ ¼ 3

˜x

1

3

˜x 

120 1

3

˜x 

120

5

˜x

5

˜x 

1

7

5040

˜x

Die Approximation der Sinuskurve durch die Taylorpolynome: x  3 ˜

S 2

 3 ˜

S 2

 0.01  3 ˜

S 2

Bereichsvariable Sinusfunktion und Taylorpolynome 2

Grad n = 5

x0 p( x  1)

1

p( x  2) p( x  3)

5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

f( x) 1

2

Grad n = 3 x

p(x,1) p(x,2) p(x,3) f(x) = sin(x)

Abb. 2.3 Grafische Veranschaulichung durch Animation: x x

Redefinition

k  1  FRAME

FRAME z.B. von 0 bis 10

p (x  k) o x 

1 6

3

˜x

x  20  20  0.01  20

Näherungspolynom vom Grad (2 k + 1) Bereichsvariable

Seite 27

Grad n = 7

Taylorreihen

x0

f( x) p ( x  k)

20

15

10

5

0

5

10

2˜ k  1

15

20

3

x

Abb. 2.4 Grafische Darstellung des absoluten und relativen Fehlers in Abhängigkeit vom Polynomgrad: Fab ( x  k ) 

Absoluter Fehler

f ( x)  p ( x  k )

Absoluter Fehler 4 Fab( x  k) 2

2˜ k  1 10

8

6

4

2

0

3

2

4

6

8

10

4

6

8

10

x

Abb. 2.5 Frel ( x  k ) 

f ( x)  p ( x  k ) f ( x)

Relativer Fehler in %

˜ 100

Relativer Fehler in % Frel( x  1)

4

Frel( x  2) Frel( x  4)

2

10

8

6

4

2

0 x

Abb. 2.6

Seite 28

2

Taylorreihen

Der Fehler nimmt bei der Berechnung mithilfe der Taylorreihe mit der Entfernung vom Entwicklungspunkt zu und mit dem Grad des Polynoms ab! Ein Taylorpolynom nähert eine Funktion gut in der Nähe der Entwicklungsstelle. Auf Computern werden daher Funktionen meist durch Polynome ersetzt, die eine gleichbleibend gute Näherung über einen bestimmten x-Bereich geben. Hier sind speziell die sogenannten Tschebyscheff-Polynome zu erwähnen, mit denen viele elementare Funktionen auf Computern berechnet werden. Beispiel 2.11: a) Wie lautet die Taylorreihe an der Stelle x 0 = 0 der Funktion f(x) = cos(x) ? b) Auf welchem Intervall konvergiert diese Reihe ? c) Wie lautet das Restglied nach Lagrange für diese Reihe ? d) Stellen Sie die Funktion und die Näherungspolynome bis zum 7. Grad grafisch dar. e) Stellen Sie den absoluten Fehler im Vergleich von Funktion und Taylorpolynome grafisch dar. f ( x)  cos ( x) f ( x) = f ( 0) 

gegebene Funktion und Entwicklungsstelle

x0  0 f ' ( 0) 1

˜x

f '' ( 0)

2

˜x 

2

f ''' ( 0)

3

Entwicklung der Funktion an der Stelle x 0 = 0

˜ x  ....

3

Entwicklung an der Stelle 0 mit Mathcad (Menü -Symbolik-Variable-Reihenentwicklung): konvertiert in die Reihe

cos ( x)

1

1 2

2

˜x 

1

4

24

˜x 

1

1

6

720

˜x 

40320

8

 10

˜x O x

Symboloperator und Schlüsselwort Reihe: Redefinition

x x

cos ( x) reihe  x  10 o 1 

1 2

2

˜x 

1

1

4

24

˜x 

720

1

6

˜x 

8

40320

Entwicklung an der Stelle x0 = 0

˜x

1 2 1 1 1 4 6 8 cos ( x) reihe  x = x0  10 o 1  ˜ x  ˜x  ˜x  ˜x 2 24 720 40320 f

f ( x) = cos ( x) =

¦

n

0

ª( 1) n ˜ 1 ˜ x2˜nº « » ( 2 ˜ n) ¬ ¼

Entwicklung an der Stelle x 0

Taylorreihe für cos(x) (enthält nur gerade Glieder)

Die Kosinusreihe erhalten wir auch durch Differentiation der Sinusreihe. Es gilt auch: cos(x)' = - sin(x). f

d dx

¦

n

0

1 ª n 2˜n  1º ˜x «( 1) ˜ » o cos ( x) ( 2 ˜ n  1) ¬ ¼

f

d dx

¦

n

0

1 ª n 2˜nº ˜ x » o sin ( x) «( 1) ˜ ( 2 ˜ n) ¬ ¼

Das Konvergenzintervall bestimmen wir mit dem Quotientenkriterium: n

n 1

( 1) an = ( 2 ˜ n)

r=

lim nof

n1

( 1) ( 1) an+1 = = [ 2 ˜ ( n  1) ]  ( 2 ˜ n  2)

an an1

(  1)

=

lim nof

n

( 2˜n) (  1)

n1

Folgeglieder

(  1)

lim nof

( 2˜n  2 )

n

( 2˜n) (  1)

n1

( 2˜n  2 )

Seite 29

of

Die Reihe konvergiert für alle x .

Taylorreihen

Das Restglied ergibt sich nach Lagrange zu:

R2n ( x) =

R2n ( x) =

( 2n )

f

( T ˜ x)

( 2 ˜ n) ( 2n )

f

( T ˜ x)

( 2 ˜ n)

2˜n



˜ x  x0 2˜n

˜x

n

=

( 1) ˜ cos ( T ˜ x) ( 2 ˜ n)

2˜n

(x0 = 0)

˜x

Für die Fehlerabschätzung gilt dann (alternierende Reihe): 2˜n

x

R2n ( x) d ( 2 ˜ n) Taylorpolynome vom Grad (2 k): k

p (x  k) 

¦

n

p ( x  1) o 1 

p ( x  2) o 1 

p ( x  3) o 1 

0

1 2 1 2 1 2

ª( 1) n ˜ 1 ˜ x2˜nº « » ( 2 ˜ n) ¬ ¼ 2

˜x

2

˜x  2

˜x 

1 24 1 24

4

˜x

4

˜x 

1 720

6

˜x

Die Approximation der Kosinuskurve durch die Taylorpolynome: S S S Bereichsvariable x  3 ˜  3 ˜  0.01  3 ˜ 2 2 2 2

Grad n = 4

x0

p( x  1)

1

p( x  2) p( x  3)

5

4

f( x)

3

2

1

0

1

2

3

4

1

2

Grad n = 2 x

p(x,1) p(x,2) p(x,3) f(x) = cos(x)

Abb. 2.7

Seite 30

Grad n = 6

5

Taylorreihen

Grafische Veranschaulichung durch Variation des Grades: Redefinition

x x k 

4

k

k von 0 bis 10

4

Näherungspolynom vom Grad (2 k) p (x  k) o 1 

1 2

2

˜x 

1 24

4

˜x 

1 720

6

˜x 

1

8

40320

˜x

2

1 f( x) p ( x  k)

5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

4

5

1

2˜ k

8

2 x

Abb. 2.8 Grafische Darstellung des absoluten Fehlers in Abhängigkeit vom Polynomgrad: Fab ( x  k ) 

absoluter Fehler

f ( x)  p ( x  k )

absoluter Fehler

4 Fab( x  k) 2

2˜ k 5

4

3

2

1

0 x

Abb. 2.9

Seite 31

8 1

2

3

Taylorreihen

Beispiel 2.12: a) Wie lautet die Taylorreihe an der Stelle x 0 = 0 der Funktion f(x) = e x ? b) Auf welchem Intervall konvergiert diese Reihe ? c) Wie lautet das Restglied nach Lagrange für diese Reihe ? d) Wie groß ist die Genauigkeit, wenn der Wert für e mittels der Taylorreihe berechnet und nach dem 7. Glied abbricht ? e) Stellen Sie die Funktion und die Näherungspolynome bis zum 7. Grad grafisch dar. f) Stellen Sie den relativen Fehler im Vergleich von Funktion und Taylorpolynome grafisch dar. x

f ( x)  e

gegebene Funktion und Entwicklungsstelle

x0  0 f ' ( 0)

f ( x) = f ( 0) 

1

˜x

f '' ( 0) 2

f ''' ( 0)

2

˜x 

3

3

Entwicklung der Funktion an der Stelle x 0 = 0

˜ x  ....

Entwicklung an der Stelle 0 mit Mathcad (Menü -Symbolik-Variable-Reihenentwicklung): x

e

konvertiert in die Reihe

1  1˜ x

1 2

2

˜x 

1 6

3

˜x 

1

4

˜x 

24

1

5

120

 6

˜x O x

Symboloperator und Schlüsselwort Reihe: x

e reihe  x  7 o 1  1 ˜ x 

1 2

1

2

˜x 

6

3

˜x 

1 24

x

e reihe  x = 1  3 o exp ( 1)  exp ( 1) ˜ ( x  1)  f

x

§ 1 ˜ xn· ¨ © n ¹

¦

f ( x) = e =

n

0

1

4

˜x  1 2

120

1

5

˜x 

720

˜ exp ( 1) ˜ ( x  1)

6

˜x

Entwicklung an der Stelle 0 Entwicklung an der Stelle x = x0 = 1

2

Taylorreihe für ex (Entwicklung an der Stelle x0 = 0)

Das Konvergenzintervall bestimmen wir mit dem Quotientenkriterium: 1 an = n

r=

1 an+1 = ( n  1) an

lim

an1

nof

=

lim

1

1

n

n

lim

1

nof

Folgeglieder

nof

( n 1)

1 ( n 1)

Das Restglied ergibt sich nach Lagrange zu:

Rn+1 ( x) =

Rn+1 ( x) =

f

( n1)

( T ˜ x)

( n  1) f

( n1)

( T ˜ x)

( n  1)

n 1



˜ x  x0

n1

˜x

T˜x

=

e

( n  1)

n1

˜x

(x0 = 0)

Seite 32

of

Die Reihe konvergiert für alle x 

Taylorreihen

Für die Fehlerabschätzung gilt dann: T˜x

e

n 1

Rn+1 ( x) d ˜x ( n  1)

0T 1

Fehlerabschätzung: x

e = 1  1˜ x x 1

1 2

T˜x

e

7

1 6

3

˜x 

1

1

4

24

˜x 

1

5

120

˜x 

6

720

˜ x  R7

gewählter x-Wert und T-Wert

T 1

g ( x)  1  1 ˜ x 

R7 

2

˜x 

1 2

2

˜x 

7

˜x

R7

1 6

3

˜x 

1 24

5.393 u 10

1

4

˜x 

4

1

5

120

˜x 

720

6

˜x

g ( x)

Näherungswert

2.71806

für e1

Der Fehler ist sicher kleiner als 6 .10

-4

(e ist auf 3 Stellen genau).

grafische Veranschaulichung durch Variation der Entwicklungsstelle und des Grades: x0 

n

-1 x0

1

3

Entwicklungsstelle (-4...2)

n

3

Grad des Taylorpolynoms (1...10)

Taylorpolynom: 1 1 x 2 3 p ( x)  e reihe  x = x0  n  1 o exp ( 1)  exp ( 1) ˜ ( x  1)  ˜ exp ( 1) ˜ ( x  1)  ˜ exp ( 1) ˜ ( x  1) 2 6 x  5  5  0.01  10

Bereichsvariable 10 x0

8 6

f( x) p ( x)

4



f x0

2

4

2

0

2

2

4

n x  x  x0

Abb. 2.10

Seite 33

6

3

8

10

Taylorreihen

Grafische Darstellung des relativen Fehlers in Abhängigkeit vom Polynomgrad: f ( x)  p ( x)

Frel ( x) 

if x  0

f ( x) f ( x)  p ( x) f ( x)

relativer Fehler in % ˜ 100 otherwise Relativer Fehler

100

Frel( x)

50

n 6

4

2

0

2

3

4

x0

1

6

8

10

x

Abb. 2.11 Wie gezeigt wurde, ermöglicht Mathcad auch eine unterschiedliche Wahl von Entwicklungspunkten. Dies bringt eine bessere Approximation im gewünschten Bereich, oder ermöglicht auch das Aufstellen der Taylorreihe, wenn etwa die Funktion um x = 0 nicht entwickelt werden kann. Beispiel 2.13: Wie lautet die Taylorreihe an der Stelle x 0 = 0 der Funktion f(x) = e - x ? x

f ( x) = e

x0  0

Redefinition

x x x

e

gegebene Funktion und Entwicklungsstelle

1 2 1 3 1 1 4 5 reihe  x = x0  6 o 1  1 ˜ x  ˜ x  ˜ x  ˜x  ˜x 2 6 24 120

Taylorpolynom

Diese Reihe erhalten wir auch, wenn wir in der Reihe für e x die Variable x durch -x ersetzen. x

f ( x) = e

f

=

¦

n

0

ª n xnº «( 1) ˜ » n ¼ ¬

Taylorreihe für e

-x

. Diese Reihe konvergiert ebenfalls für alle x 

Beispiel 2.14: Wie lautet die Taylorreihe an der Stelle x 0 = 0 der Funktion f(x) = a x ? x

f ( x) = a

x0  0

gegebene Funktion und Entwicklungsstelle

1 1 1 x 2 2 3 3 4 4 a reihe  x = x0  5 o 1  ln ( a) ˜ x  ˜ ln ( a) ˜ x  ˜ ln ( a) ˜ x  ˜ ln ( a) ˜ x 2 6 24

Seite 34

Taylorpolynom

Taylorreihen

Diese Reihe erhalten wir auch, wenn wir in der Reihe für e x die Variable x durch x ln(a) ersetzen. Dies gilt wegen ax=e

x ln(a).

n

f

x

n

n

ln ( a) ˜ x

¦

f ( x) = a =

n

0

x . Die

Taylorreihe für a

Reihe konvergiert für alle x mit a + und a z 1.

Beispiel 2.15: Wie lauten die Taylorreihen an der Stelle x 0 = 0 der Funktion f(x) = ln(x), f(x) = ln(1+x) und f(x) = ln(1-x) ? Bestimmen Sie jeweils das Konvergenzintervall und berechnen Sie ln(2). Vergleichen Sie auch die Originalfunktion mit den Taylorpolynomen grafisch. Für f(x) = ln(x) kann an der Stelle 0 die Reihe nicht entwickelt werden, weil an dieser Stelle ein Pol der Funktion vorliegt ! Wir entwickeln die Reihe z.B. an der Stelle x 0 = 1: 1

p1 ( x)  ln ( x) reihe  x = 1  grad o 1 ˜ ( x  1)  nº ª « ( 1) n1 ˜ ( x  1) » n ¬ ¼

f

ln ( x) =

¦

n

1

(  1)

nof

(  1)

1 3

1

3

˜ ( x  1) 

4

o1

n2

p2 ( x)  ln ( 1  x) reihe  x = 0  grad o 1 ˜ x 

ª n1 xnº «( 1) ˜ » n¼ ¬

f

¦

1

1 2

2

˜x 

1 3

3

˜x 

1 4

4

˜x 

1 5

5

˜x

Taylorreihe für ln(1+x) mit der Entwicklungsstelle x0 = 0.

Diese Reihe konvergiert aus den oben angeführten Überlegungen im Intervall -1 < x d1 p3 ( x)  ln ( 1  x) reihe  x = 0  grad o 1 ˜ x 

¦

n

1 2

2

˜x 

1 3

3

˜x 

1 4

4

˜x 

1 5

5

˜x

n

f

ln ( 1  x) = 

1

x

n

Taylorreihe für ln(1-x) mit der Entwicklungsstelle x0 = 0.

Diese Reihe konvergiert im Intervall -1 d x <1. Vorteilhafter zur Berechnung von Näherungswerten ist die Reihe für folgende Funktion:

§1 ©1

ln ¨

x· x¹

5

˜ ( x  1)

Die Reihe konvergiert sicher für | x - 1| < 1, also 0 < x < 2.

Für x = 0 liegt eine negative harmonische Reihe vor und die ist divergent. Für x = 2 liegt eine Leibnizreihe vor und die ist konvergent. Die Reihe ist damit im Intervall 0 < x d2 konvergent.

n

1

Taylorreihe für ln(x) mit der Entwicklungsstelle x0 = 1.

n1

ln ( 1  x) =

4

˜ ( x  1) 

n1

n

lim

2

2

˜ ( x  1) 

= ln ( 1  x)  ln ( 1  x)

Seite 35

5

Taylorreihen

§ 1  x · reihe  x = 0  grad o 2 ˜ x  2 ˜ x3  2 ˜ x5 3 5 © 1  x¹

p4 ( x)  ln ¨

§1 ©1

ln ¨

2˜n  1

f

x·

= 2˜

x¹

x

¦

n

Taylorreihe für ln((1-x)/(1-x)) mit der Entwicklungsstelle x0 = 0.

2˜ n  1

0

Diese Reihe konvergiert sicher im Intervall -1 < x <1. 1 x

Setzen wir

1 x

= z , dann folgt:

x=

z1 z1

Wir setzen nun x in die vorhergende Reihe ein und ersetzen hinterher z durch x: reihe  x = 0  grad

§ 1  x·

p5 ( x)  ln ¨

© 1  x¹

3

5

z  1o 2 ˜ x  1  2 ˜ ( x  1)  2 ˜ ( x  1) ersetzen  x = 3 5 x 1 3 5 z1 ( x  1) ( x  1) ersetzen  z = x

f

ln ( x) = 2 ˜

¦

n

0

2˜n 1 º ª 1 ( x  1) « » ˜ « ( 2 ˜ n  1) ( 1  x) 2˜n1 » ¬ ¼

Taylorreihe für ln(x). Sie konvergiert für x +

Wir vergleichen nun die Werte für ln(2) der verschiedenen Näherungen einfacher Taylorpolynome mit dem exakten Wert auf 10 Nachkommastellen: ln ( 2)

0.6931471806

p1 ( 2)

§ 1· © 3¹

p4 ¨

0.7833333333 0.6930041152

p2 ( 1)

0.7833333333

p5 ( 2)

0.6930041152

p3 ( 1)

0.7833333333

grad { 6 Hier kann mit grad der Grad der Taylorpolynome verändert werden! Grafischer Vergleich: x  0.1  0.1  0.01  10

Bereichsvariable

2 ln( x) p1( x) p5( x)

0

1

2

3

4

5

2 x

Abb. 2.12

Seite 36

6

7

8

9

10

Taylorreihen

Bereichsvariable

x  0.99  0.99  0.01  2 1

ln( 1  x)

1

1

0

1

p2( x)

2

ln( 1  x)

1

0

1

2

p3( x) 1

1

2

2 x

x

Abb. 2.13

Abb. 2.14

Beispiel 2.16: Wie lautet die Taylorreihe an der Stelle x 0 = 0 der Funktion f(x) = tan(x) ? f ( x) = tan ( x)

x0  0

gegebene Funktion und Entwicklungsstelle Redefinition

x x

1 3 2 17 62 1382 21844 5 7 9 11 13 tan ( x) reihe  x = x0  14 o 1 ˜ x  ˜ x  ˜x  ˜x  ˜x  ˜x  ˜x 3 15 315 2835 155925 6081075 sin ( x)

1 3 2 17 62 1382 21844 5 7 9 11 13 reihe  x = x0  14 o 1 ˜ x  ˜ x  ˜x  ˜x  ˜x  ˜x  ˜x cos ( x) 3 15 315 2835 155925 6081075 Die Taylorreihe für tan(x) kann damit auch durch die gliedweise Division von Sinus- und Kosinusreihe gefunden werden. Eine andere Möglichkeit besteht auch darin, die Beziehung tan(x) . cos(x) = sin(x) zur Entwicklung zu verwenden: 2 4 6 3 5 7 § · § a ˜ x  a ˜ x3  a ˜ x5  a ˜ x7· ˜ ¨ 1  x  x  x  .... = x  x  x  x  .... 3 5 7 © 1 ¹ © 2 4 6 ¹ 1 3 5 7

Durch gliedweises Ausmultiplizieren der linken Seite und anschließendem Koeffizientenvergleich entsprechender Potenzen mit der rechten Seite a1 a3 a5 a1 a3 a1 1 1 1 ; a5  ; a7  ; usw. a1 = 1 ; a3  =  =   = 2 2 2 3 4 5 4 6 7 erhalten wir schließlich die Reihe für tan(x). Sie konvergiert für |x| < S/2

Beispiel 2.17: Wie lautet die Taylorreihe an der Stelle x 0 = 0 der Funktion f(x) = arctan(x) ? Berechnen Sie näherungsweise die Zahl S. f ( x) = arctan ( x)

x0  0

gegebene Funktion und Entwicklungsstelle

Seite 37

Taylorreihen

1 3 1 5 1 7 1 9 1 1 11 13 p ( x)  atan ( x) reihe  x = x0  14 o 1 ˜ x  ˜ x  ˜ x  ˜ x  ˜ x  ˜x  ˜x 3 5 7 9 11 13 f

arctan ( x) =

¦

n

0

ª n x2˜n1 º «( 1) ˜ » 2 ˜ n  1¼ ¬

Taylorreihe für arctan(x). Diese Reihe konvergiert im Intervall -1 d x d1.

Diese Reihe erhält man auch durch gliedweise Integration von 0 bis x der Reihe: 1

2

4

6

8

10

reihe  x = x0  14 o 1  1 ˜ x  1 ˜ x  1 ˜ x  1 ˜ x  1 ˜ x

2

1 x

12

 1˜ x

Näherungsweise Berechnung von S: arctan ( 1) =

§ 1 ·= S © 3¹ 6

S



arctan ¨

4



arctan 2 

3 =

S 12

3.1415926536

S

4 ˜ p ( 1)

3.2837384837

§ 1 · © 3¹

6 ˜ p¨

3.1416743127



12 ˜ p 2 



3

3.1415926556

Es gelten folgende Zusammenhänge: arccot ( x) =

S 2

 arctan ( x) bzw. arccos ( x) =

S 2

 arcsin ( x)

(2-17)

Beispiel 2.18: Wie lautet die Taylorreihe an der Stelle x 0 = 0 der Funktion f(x) = sinh(x) und g(x) = cosh(x) ? f ( x) = sinh ( x)

g ( x) = cosh ( x)

x0  0

gegebene Funktionen und Entwicklungsstelle

1 3 1 1 1 1 5 7 9 11 sinh ( x) reihe  x = x0  12 o 1 ˜ x  ˜ x  ˜x  ˜x  ˜x  ˜x 6 120 5040 362880 39916800 x

x

e e 2

1 3 1 1 1 1 5 7 9 11 reihe  x = x0  12 o 1 ˜ x  ˜ x  ˜x  ˜x  ˜x  ˜x 6 120 5040 362880 39916800

1 2 1 1 1 1 4 6 8 10 cosh ( x) reihe  x = x0  12 o 1  ˜ x  ˜x  ˜x  ˜x  ˜x 2 24 720 40320 3628800 x

x

e e 2

1 2 1 1 1 1 4 6 8 10 reihe  x = x0  12 o 1  ˜ x  ˜x  ˜x  ˜x  ˜x 2 24 720 40320 3628800

Die Reihen konvergieren für alle x .

Seite 38

Taylorreihen

Beispiel 2.19: Wie lautet die Taylorreihe an der Stelle x 0 = 0 bzw. x0 = 1 der Funktionen f(x) = arsinh(x), artanh(x) und arcosh(x) ? arsinh ( x) reihe  x = 0  12 o 1 ˜ x 

§

ln © x 

1 6

·

2

x  1¹ reihe  x = 0  12 o 1 ˜ x 

1

artanh ( x) reihe  x = 0  12 o 1 ˜ x  1 2

3

˜x 

3

1 6

3

˜x 

3 40

1

5

5

5

5

˜x 

40

˜x 

7

˜x 

112

3

3

˜x 

1

5

5

˜x 

112

7

˜x 

7

1 9

35

63

9

˜x 

1152

9

˜x 

1152

1

9

˜x 

2816

35

7

˜x 

11

11

˜x

63

11

2816

˜x

11

˜x

§ 1  x · reihe  x = 0  12 o 1 ˜ x  1 ˜ x3  1 ˜ x5  1 ˜ x7  1 ˜ x9  1 ˜ x11 3 5 7 9 11 © 1  x¹

˜ ln ¨

1

arcosh ( x) reihe  x = 1  3 o 2

2

1

˜ ( x  1)

2

1



1 12

1

§

ln © x 

·

2

x  1¹ reihe  x = 1  3 o 2

2

§

2

·

x  1¹ reihe  x = 1  3 o 2

2

˜ ( x  1)

2

2

1



3



12

˜2

2

2

1 12

˜2

5

2

˜ ( x  1)

2

1

2



3 160

˜2

2

3

˜ ( x  1)

2

˜ ( x  1)

3

1



˜2

160

1

1

1

˜ ( x  1)

2

˜ ( x  1)

1

1

ln © x 

˜2

3

2

5

˜ ( x  1)

2

1



3 160

˜2

2

5

˜ ( x  1)

2

Es gilt also:

§

arcosh ( x) = ln © x 

2

·

§

x  1¹ bzw. arcosh ( x) = ln © x 

2

·

x  1¹ für x t 1

(2-18)

Beispiel 2.20: Wie lautet die Taylorreihe an der Stelle x0 = 1 der Funktion f(x) = 1/x ? 1 x

2

3

4

reihe  x = 1  6 o 1  1 ˜ ( x  1)  1 ˜ ( x  1)  1 ˜ ( x  1)  1 ˜ ( x  1)  1 ˜ ( x  1)

5

Die Transformation x = u + 1 und die Rücktransformation u = x - 1 führt auch zum gleichen Ergebnis: 1 u 1

reihe  u  6

2

3

4

o 1  1 ˜ ( x  1)  1 ˜ ( x  1)  1 ˜ ( x  1)  1 ˜ ( x  1)  1 ˜ ( x  1) ersetzen  u = x  1

Seite 39

5

Taylorreihen

Beispiel 2.21: x

Bestimmen Sie den Wert der fünften Ableitung der Funktion f ( x) =

2

für x = 0.

1x x

3

5

7

9

Die Reihe konvergiert für |x| < 1.

reihe  x = 0  10 o 1 ˜ x  1 ˜ x  1 ˜ x  1 ˜ x  1 ˜ x

2

1 x

f

Der Koeffizient a5 der Taylorreihe hat den Wert: Also gilt:

( 5)

f

( 5)

( 0)

5

= a5 = 1

( 0) = 5 = 120

Beispiel 2.22: Wie lautet die Taylorreihe an der Stelle x0 = 0 der Funktion f(x) = (1 + x) n ? Redefinition

n n n

( 1  x) reihe  x  4 o 1  n ˜ x 

1 2

2

˜ n ˜ ( n  1) ˜ x 

1 6

3

˜ n ˜ ( n  1) ˜ ( n  2) ˜ x

Mithilfe der Binomialkoeffizienten erhält man:

§n · ¨ =1 ©0 ¹ n 1

=

§n · ¨ =1 ©n ¹

§n · ¨ ©1 ¹ n

n ˜ ( n  1) 2 f

( 1  x) =

¦

k

0

=

§n · ¨ ©2 ¹

ª§ n · kº «¨ ˜ x » ¬© k ¹ ¼

n ˜ ( n  1) ˜ ( n  2) 3

=

§n · n ˜ ( n  1) ˜ ( n  2) ˜ ....( n  k  1) § n · ..... =¨ ¨ k ©3 ¹ ©k ¹

n . Diese Reihe heißt Binomialreihe oder binomische Reihe.

Konvergenz dieser Reihe:

lim kof

§n · ¨ ©k ¹ § n · ¨ ©k  1 ¹

n˜( n  1 )˜( n 2)˜....( n k 1 )

=

lim kof

k n˜( n  1 )˜( n 2)˜....( n k 1 )˜( n k) ( k 1 )

=

lim kof

k1 nk

=

lim kof

· §¨ 1  1 k ¨ = 1¸ ¨ n ¸ ¨© k  1 ¹

Diese Reihe konvergiert im Intervall -1 < x <1. Bemerkung: Für n ² bricht die Reihe von selbst ab, weil

§n · ¨ = 0 für k > n gilt. Das ist der binomische Lehrsatz. ©k ¹

Seite 40

Taylorreihen

Beispiel 2.23: Vergleich der Reihenentwicklung von reellen und komplexen Funktionen: 1

cosh ( j ˜ x) reihe  x  10 o 1 

cos ( x) reihe  x  10 o 1  Damit gilt:

1 2

2

cosh ( x) reihe  x  10 o 1 

1

˜x 

8

˜x

40320

1

6

720

1

6

˜x 

720

1

4

˜x 

24

2

˜x 

2 1 2

2

˜x 

8

40320

˜x

1 24 1 24

1

4

˜x 

720 1

4

˜x 

1

6

˜x 

40320 1

6

˜x 

720

8

˜x

8

40320

˜x

cos ( j ˜ x) = cosh ( x)

sinh ( j ˜ x) reihe  x  10 o i ˜ x 

j ˜ sin ( x) reihe  x  10 o i ˜ x  Damit gilt:

24

1

2

˜x 

1

4

˜x 

cosh ( j ˜ x) = cos ( x)

cos ( j ˜ x) reihe  x  10 o 1 

Damit gilt:

1

2

˜x 

1 6

1 6

1

3

˜i˜x 

120 1

3

˜i˜x 

5

˜i˜x  5

120

˜i˜x 

1

7

5040 1

5040

˜i˜x 

9

362880 1

7

˜i˜x 

1

˜i˜x 9

362880

˜i˜x

sinh ( j ˜ x) = j ˜ sin ( x)

Beispiel 2.24: Vergleich von Realteil und Imaginärteil der Reihenentwicklung der komplexen Exponentialfunktionen mit der Basis e: j ˜x

e

reihe  x  6 1 2 1 1 1 3 4 5 o 1 i˜x ˜x  ˜i˜x  ˜x  ˜i˜x komplex 2 6 24 120

cos ( x)  j ˜ sin ( x) reihe  x  6 o 1  i ˜ x 

 j ˜x

e

1 2

2

˜x 

1 6

3

˜i˜x 

1 24

4

˜x 

1 120

5

˜i˜x

reihe  x  6 1 2 1 1 1 3 4 5 o 1  i ˜ x  ˜ x  ˜ i ˜ x  ˜x  ˜i˜x komplex 2 6 24 120

cos ( x)  j ˜ sin ( x) reihe  x  6 o 1  i ˜ x 

1 2

2

˜x 

1 6

3

˜i˜x 

1 24

4

˜x 

1 120

5

˜i˜x

Die Reihenentwicklung für ex bzw. e-x gilt auch im Komplexen. Diese Reihen sind absolut konvergent. Damit können die Reihenglieder beliebig umgeordnet werden (trennen von Realteilen und Imaginärteilen), ohne dass sich dabei die Reihensumme ändert. 2 4 6 § · § x x3 x5 · x x x ¨ e = 1    ....  j ˜ ¨    .... = cos ( x)  j ˜ sin ( x) 2 4 6 © ¹ © 1 3 5 ¹ j ˜x

Seite 41

Taylorreihen

j ˜x

e

2

§

= ¨1 

©

x

2

4



x

4

6



x

6

§ x x3 x5 ·    .... = cos ( x)  j ˜ sin ( x) © 1 3 5 ¹

·

 ....  j ˜ ¨

¹

Diese Zusammenhänge werden Euler Formeln genannt: j ˜x

e

i˜x

Probe:

 j ˜x

= cos ( x)  j ˜ sin ( x) und

( cos ( x)  i ˜ sin ( x) )  e

e

= cos ( x)  j ˜ sin ( x)

(2-19)

reihe  x  6 o 0

Beispiel 2.25: Für welchen Winkel D ist der prozentuelle Fehler (relativer Fehler) kleiner als 0.1 %, wenn man sin( D) durch D ersetzt ? sin ( D ) reihe  D  6 o 1 ˜ D 

1 6

1

3

˜D 

120

˜D

5

Wenn wir nach dem ersten Glied die Reihe abbrechen, also nach D, so ist der absolute Fehler sicher kleiner als | -1/6 D3 | (alternierende Reihe). Damit gilt für den relativen Fehler:



1

˜D

6

3

˜ 100 ˜ %  0.1 ˜ %

D

D  7.746 ˜ 10

-2

D

Ÿ

6

D ˜ 180

D° 

2

˜ 100  0.1

D°

S

auflösen  D § 7.746 ˜ 10 -2  D · ¨ o ¨ gleit  4 -2 © D  7.746 ˜ 10 ¹

4.438

Der prozentuelle Fehler ist für D4.44 ° sicher kleiner als 0.1 %. Beispiel 2.26: Wie groß ist die Höhe h eines Kreisausschnittes mit dem Öffnungswinkel D, wenn das Verhältnis von Kreisbogenlänge b zu Radius r gleich 2 ist ? Berechnen Sie die Höhe h auf 3 Nachkommastellen und vergleichen Sie den Wert mit einer Näherungsformel, die sich nach Abbruch der Reihe von cos( D/2) nach dem vierten Glied ergibt. Wie groß ist der prozentuelle Fehler höchstens, wenn bei einem Kreisabschnitt statt der Kreisbogenlänge b die Sehnenlänge s genommen wird und der Winkel D = 30 ° beträgt ? Für die Höhe des Kreisbogens gilt:

§ ©

§ D ·· © 2 ¹¹

b

h = r ˜ ¨ 1  cos ¨

D=

D D

Redefinition

r

=2

1 § D · reihe  D  10 o 1  1 ˜ D 2  1 ˜ D 4  1 ˜ D 6  8 ˜D 8 384 46080 10321920 © 2¹

cos ¨

ª ¬

§ ©

h1 = r ˜ «1  ¨ 1 

1 8

2

˜D 

1 384

4

˜D 

1 46080

˜D

6·º

» ¹¼

Seite 42

Näherung für h

Taylorreihen

§ 1 ˜ D 2  1 ˜ D 4  1 ˜ D 6· 384 46080 ©8 ¹

Näherung für h vereinfacht

h1 ( D  r)  r ˜ ¨

§ ©

§ D ·· © 2 ¹¹

exakte Berechnungsformel

h ( D  r)  r ˜ ¨ 1  cos ¨

h ( 2  r) gleit  4 o .4597 ˜ r

h1 ( 2  r) gleit  4 o .4597 ˜ r

Die Ergebnisse unterscheiden sich nicht!

Prozentueller Fehler:

§D· © 2¹

b = r˜ D

Bogen- und Sehnenlänge

s = 2 ˜ r ˜ sin ¨

§ D · = 2 ˜ r ˜ § D  sin § D · · ¨ ¨ © 2¹ ©2 © 2 ¹¹

Differenz von Bogenlänge und Sehne

b  s = r ˜ D  2 ˜ r ˜ sin ¨

1 1 § D  sin § D · · reihe  D  10 o 1 ˜ r ˜ D 3  1 ˜ r ˜ D 5  7 9 ˜ r˜ D  ˜ r˜ D ¨ 24 1920 322560 92897280 ©2 © 2 ¹¹

2˜ r˜ ¨

Die Differenz von Bogenlänge und Sehne ist sicher kleiner als das erste Glied der Reihe (alternierende Reihe). 1 b s b

D

b s

=

r˜ D

S



24

Frel 

6

˜ r˜ D

3

Frel 

r˜ D 1 24

˜D

2

Frel

1 24

˜D

2

1.142 %

Der Fehler beträgt höchstens 1.2 %.

Beispiel 2.27: Die Fallgeschwindigkeit in Abhängigkeit des Fallweges h eines Körpers der Masse m 0 ist unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes k gegeben durch:

v ( h) =

m0 ˜ g1 k

 2˜k˜h · §¨ m0 ¨ ˜ ©1  e ¹

Hier wird für die symbolische Auswertung g gleich g1 gesetzt, weil in Mathcad die Erdbeschleunigung bereits vordefiniert ist.

Berechnen Sie daraus die Fallgeschwindigkeit bei verschwindenden Luftwiderstand. Zeigen Sie auch, dass bei Abbruch nach dem ersten Glied der Taylorreihe von v(h) sich das gleiche Ergebnis ergibt.

v ( h) =

lim ko0

k k

m0 ˜ g1 k

m0 ˜ g1 k

 2˜k˜h · §¨ 1 1 m 0 2 2 ¨ ˜ ©1  e ¹ o v ( h) = 2 ˜ ( h ˜ g1 )

v ( h) =

Redefinition  2˜k˜h · §¨ 1 1 1 1 m0 h 1 2 2 2 2 ¨ ˜ ©1  e ˜ 2 ˜ ( h ˜ g1 ) ˜ ˜k ¹ reihe  k  3 o 2 ˜ ( h ˜ g1 ) 

2

Seite 43

m0

2˜ g˜ h

Taylorreihen

Beispiel 2.28: Das Weg-Zeit-Gesetz für den freien Fall ist unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes und der maximal erreichbaren Geschwindigkeit v s (als Maß für den Luftwiderstand) gegeben durch: vs

s ( t) =

2

g

§

§ g ˜ t ··

©

© vs ¹ ¹

˜ ln ¨ cosh ¨

Zeigen Sie, dass am Anfang des freien Falles (also für kleine Zeitpunkte t) in erster Näherung die gleiche Beziehung zwischen Weg und Zeit gilt wie im reibungsfreien Fall. vs

2

g1

1 § g1 ˜ t · · reihe  t  8 o 1 ˜ g1 ˜ t2  1 ˜ g1 3 ˜ t4  5 6 ˜ g1 ˜ t 2 4 2 12 ˜ vs 45 ˜ vs © vs ¹ ¹

§

˜ ln ¨ cosh ¨

©

s ( t) =

g 2

˜t

Beispiel 2.29: Die Temperaturabhängigkeit (in °C) der Schallgeschwindigkeit in Luft ist gegeben durch: c ( - ) = 331 ˜

m

1

˜

s

273.15

Für diesen Ausdruck soll durch Reihenabbruch eine lineare Näherung hergeleitet werden. Der dabei entstehende Fehler soll für den Temperaturbereich 0 °C d - d 40 °C größenordnungsmäßig abgeschätzt werden.

1

reihe  -  4 -3 -6 2 -9 3 4 o 1.  1.8305 ˜ 10 ˜ -  1.6754 ˜ 10 ˜ -  3.0667 ˜ 10 ˜ -  O gleit  5



273.15

c ( - )  331 ˜

m s



˜ 1  1.8305 ˜ 10

-3

˜-



Näherungsformel

Der absolute Fehler 'c liegt dabei in der Größenordnung des ersten weggelassenen Reihengliedes (alternierende Reihe): 'c ( - )  331 ˜

m s



˜ 1.6754 ˜ 10

-6

˜-

2



Bei der Höchsttemperatur von 40 °C ergeben sich für die Schallgeschwindigkeit und ihren absoluten Fehler folgende Werte: c ( 40 )

355.236

m s

'c ( 40 )

0.887

m s

Der prozentuelle Fehler beträgt: 'c ( 40 ) c ( 40 )

0.25 %

Die lineare Näherungsformel liefert daher im betrachteten Temperaturbereich einen um höchstens 0.3 % zu großen Wert für die Schallgeschwindigkeit.

Seite 44

2

Taylorreihen

Beispiel 2.30: Nach Einstein gilt für die kinetische Energie eines Körpers der Ruhemasse m 0 bei hohen Geschwindigkeiten v folgende relativistische Beziehung: 2

m0

2

Ekin = m ˜ c  m0 ˜ c =

§v· 1¨ ©c¹

2

2

˜ c  m0 ˜ c

2

c ist die Lichtgeschwindigkeit.

Zeigen Sie, dass für v/c << 1 (also bei kleinen Geschwindigkeiten) die klassische Beziehung E k = m0 v2 /2 gilt. c c

Redefinition

m0

2

§v· 1 ¨ ©c¹

2

2

1

2

3

˜ c  m0 ˜ c reihe  v  8 o ˜ m0 ˜ v  ˜ 2 8

m0 c

2

4

˜v 

5 16

˜

m0 c

4

2

6

˜v

Ekin =

m0 ˜ v 2

Beispiel 2.31: Nach Einstein gilt für einen Körper (z.B. ein Stab der Länge L 0 ) bei hohen Geschwindigkeiten v folgende relativistische Längenkontraktion: 2

L ( v) = L0 ˜

1

v

c

c ist die Lichtgeschwindigkeit.

2

Zeigen Sie, dass für v/c << 1 (also bei kleinen Geschwindigkeiten) die klassische Beziehung L = L 0 gilt. Wie groß ist ist die Länge L bei einer Ausgangslänge L 0 = 1, wenn sich der Körper mit einer Geschwindigkeit von v = 3/4 c bewegt und bei der Berechnung die entwickelte Reihe nach dem dritten Glied abgebrochen wird ? 2





L L0  v  c  L0 ˜

§ ©

L ¨ L0 

3 4

· ¹

˜ cc o

1

1391 2048

1 L0 2 1 L0 4 reihe  v  6 o L0  ˜ ˜v  ˜ ˜v 2 2 4 2 8 c c c v

§ ©

˜ L0

L¨1 

3 4

· ¹

˜ cc o

1391 2048

0.679

Beispiel 2.32: Durch das Schließen eines Schalters wird in einem Schaltkreis, in dem ein Widerstand R und ein Kondensator C in Reihe geschalten sind, eine Rampenspannung u = k t angelegt. Die Kondensatorspannung u c(t) wächst dabei vom Anfangswert u c(0) = 0 nach folgenden Zeitgesetz:  t ·º ª § « ¨ W » uC ( t) = k ˜ ¬ t  W ˜ © 1  e ¹ ¼ t t 0

W = R˜ C

k!0

Zeigen Sie mittels Reihenentwicklung, dass die Kondensatorspannung u c(t) in der Anfangsphase, d.h. für t / W << 1 (t << W quadratisch mit der Zeit ansteigt.

Seite 45

Taylorreihen

 t ·º ª § « ¨ W » k ˜ ¬t  W ˜ ©1  e ¹¼

konvertiert in die Reihe

1 2

˜

k

2

˜t 

W

1 6

˜

k W

2

3

˜t 

1 24

˜

k W

3

4

˜t 

1 120

˜

k W

4

5

 6

˜t O t

Beispiel 2.33: Eine aus N Windungen bestehende Zylinderspule mit der Länge L und dem Durchmesser d wird von einem Strom I durchflossen. Das magnetische Feld besitzt dann in der Mitte der Spule folgende Feldstärke: H ( d) =

N˜ I

1

˜

L

1

§ d· ¨ © L¹

2

Leiten Sie für den Fall d/L << 1 (d << L, d.h. für eine lange Spule) durch Reihenentwicklung eine erste Näherungsformel zur Berechnung der magnetischen Feldstärke her. Redefinition

L L N˜ I L

1

˜

1

H ( d) = N ˜

I L

§ d· ¨ © L¹ 

1 2

2

reihe  d  3 o N ˜

˜ N˜

I 3

2

˜d

I L



1 2

˜ N˜

I

2

3

˜d

L

Näherungsformel für die magnetische Feldstärke

L

Beispiel 2.34: Ein auf zwei Masten befestigtes durchhängedes Freileitungsseil überspannt ein Tal in einer Höhe H. Der Mastabstand beträgt 2 L = 200 m. Die mittlere Seilkurve (Kettenlinie) ist gegeben durch f(x) = c cosh(x/c). Der größte Seildurchhang beträgt f = 10 m. Die Größe c kann näherungsweise bestimmt werden, wenn f(x) durch eine quadratische Funktion ersetzt wird. Wie groß ist der maximale Fehler, der bei dieser Näherung gemacht wird ?

Es gilt:

§ L· ©c¹

c  f = c ˜ cosh ¨

Diese Gleichung ist transzendent und kann nur näherungsweise gelöst werden. Wir versuchen eine allgemeine Näherungslösung für die Gleichung über die Reihenentwicklung des rechten Terms zu erhalten.

Abb. 2.15 c c

L L

f f

Redefinitionen

Seite 46

Taylorreihen

§ L · reihe  L  6 o c  1 ˜ L2  1 ˜ L4 3 2˜ c ©c¹ 24 ˜ c

c ˜ cosh ¨

Unter der Voraussetzung, dass L klein im Vergleich zu c ist ( L/2c << 1), können wir als Näherung setzen: 1

cf=c

f=

1 2c

2

2˜ c

˜L

2

˜ L auflösen  c o

1 2

2

˜

2

L

Wir erhalten also:

f

L

c=

2˜ f

Setzen wir nun den angenäherten Wert für c in die Funktionsgleichung ein, so erhalten wir: 2

2

§ x · ersetzen  c = L o y = 1 ˜ L ˜ cosh § 2 ˜ x ˜ f· y = c ˜ cosh ¨ ¨ 2 2˜ f 2 f ©c¹ © L ¹ Entwickeln wir nun diese Funktion in Reihe (wie es oft in der Praxis üblich ist) für f << L und berechnen die Reihe nach dem zweiten Glied ab, so erhalten wir die Näherungsparabel mit dem Scheitel c: 2

2 x · 1 L 1 § 2 p ( x  L  f)  ˜ ˜ cosh ¨ 2 ˜ ˜ f reihe  x  3 o ˜  ˜f˜x 2 2 2 f 2 f L © L ¹

L

1

p ( x) =

1 2

2

˜

L

f



Restgliedabschätzung: Der Abbruch der Reihe erfolgte nach dem 2.Glied. Daher gilt für das Restglied:

§

cosh ¨ 2 ˜

©

x

·

˜ f reihe  x  5 o 1 

2

L

2 4

2

L

¹

2

˜f ˜x 

2

4

8

4

˜f ˜x

3˜ L

4

d

4

R4 ( x) =

f ( T ˜ x)

dx

4

˜x

4

mit 0 < T<1

cosh(x) ist für x > 0 monoton steigend, daher kann das Restglied mit T = 1 und x = L/2 nach oben abgeschätzt werden: 4

§

d

4

2

dx 1 L R4 ( L) = ˜ ˜ 2 f

cosh ¨ 2 ˜

©

x 2

L

4

˜f

· ¹ ˜ x4 ersetzen  x = L o R ( L) = 4

1 3˜ L

Die Abschätzung des Restgliedes ergibt also folgenden maximalen Fehler:

Rmax ( L  f ) 

1

3

2

3˜ L

§ 2 ˜ f· ©L ¹

˜ f ˜ cosh ¨

Seite 47

3

2

§ 2 ˜ f· ©L ¹

˜ f ˜ cosh ¨

1 2

L

2

˜f˜x

Taylorreihen

f  10 ˜ m

Durchhang

L  100 ˜ m

Mastabstand

c

1 2

2

˜

L

f

H f  c

c

500 m

Scheitelhöhe von der Talsohle aus gemessen

H

510 m

Masthöhe von der Talsohle aus gemessen Anzahl der Schritte

N  500 'x 

2˜ L

'x

N

0.4 m

Schrittweite Bereichsvariable

x  L  L  'x  L

§x· ©c¹

f1 ( x)  c ˜ cosh ¨

Seillinie (Kettenlinie)

Rmax ( L  f )

maximaler Fehler

0.034 m

Seilkurve 550 c

y-Achse

f1( x)

m

m

500

p ( x  L  f) m 450

100

80

60

40

20

400

0

20

40

60

80

100

x m x-Achse Kettenlinie Parabel

Abb. 2.16 Beispiel 2.35: Einige wichtige Anwendungen von Reihenentwicklungen beziehen sich auf die näherungsweise Berechnung von Integralen, für welche keine Stammfunktion existiert. Dazu gehören unter anderem z.B. elliptische Integrale, Integralsinus, Integralcosinus, Integrale von irrationalen Funktionen usw. Das Prinzip der näherungsweisen Berechnung soll hier am Beispiel der normierten Normalverteilung rechnerisch und grafisch demonstriert werden. x

g ( x) 

1 2˜ S

˜e

2

2

Die Dichtefunktion der standardisierten (normierten) Normalverteilung.

Seite 48

Taylorreihen

Redefinition

x x ´ G ( u) = µ ¶

u

Die Verteilungsfunktion der standardisierten Normalverteilung kann nicht elementar integriert werden.

g ( x) dx

f

Wir entwickeln die Exponentialfunktion zuerst in eine Taylorreihe: z

e =1

G ( u) =

z



1

z

2

z



2

´ ˜µ 2˜ S µ ¶ 1

3

z



3

4

u

1

4

1 2 ˜ 1

2

mit

 ....

1

2

˜x 

z=

4 ˜ 2

2

1

4

˜x 

x

1

6

˜x 

8 ˜ 3

Wegen der Symmetrie von g(x) wählen wir die Grenzen von 0 bis u

8

16 ˜ 4

˜ x  .... dx

0

G ( u) =

G ( u) =

3

§

1 2˜ S

u

˜ ¨u 

¨ ©

3 ˜ 2 ˜ 1

f

1 2˜ S

˜

¦

n

0

5

7

u



2

5 ˜ 2 ˜ 2

9

u



3

7 ˜ 2 ˜ 3

·

u



 ....

4

9 ˜ 2 ˜ 4

2˜n 1 º ª u « ( 1) n ˜ » « n » ( 2 ˜ n  1) ˜ 2 ˜ n ¼ ¬

¹

Diese Reihe konvergiert für alle u 

grad  grad

7 x

g1 ( x)  e

gN ( x) 

Grad des Taylorpolynoms n = grad - 2

14

2

2

reihe  x  grad o 1 

1 2˜ S

˜ g1 ( x)

1 2

2

˜x 

1 8

4

˜x 

1 48

6

˜x 

1 384

8

˜x 

1 3840

G ( a  b) 



1 46080

b

´ ˜ µ g1 ( x) dx 2 ˜ S ¶a

V 1

Standardabweichung

x  4  4  0.01  4

Bereichsvariable

Seite 49

12

˜x

Näherungspolynom für die Dichtefunktion

Diese Näherung verwenden wir nun als Integrand zur Lösung unseres Integrals: 1

10

˜x

Taylorreihen

g ( x)

Die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Messwert innerhalb des Bereiches P- V < x < P+ V (mit P = 0 und V = 1) befindet, entspricht dem Integral dieser Funktion mit den Grenzen a = - V = -1 und b = V = 1.

g N ( x)

G ( V  V )

V

V 0.5

4

3

2

1

0

1

2

3

0.6826895703

Im Vergleich mit der in Mathcad programmierten Funktion für die standardisierte Normalverteilung:

4

knorm ( 1)  knorm ( 1)

0.68268949

x

Abb. 2.17 Ohne auf die Theorie näher einzugehen, seien abschließend noch einige Beispiele für die Reihenentwicklung von Funktionen in mehr als einer Variablen angeführt. Beispiel 2.36: Reihenentwicklung für Funktionen in mehr als einer Variablen: f(x,y) = ex + y3 für x = 1 und y = 0, f(x,y) = sin(x2 +y2 ) für x = 0 und y = 0, f(s,t) = ln(s + t2 ) für s = -2 und t = 2. Redefinition

x x x

3

e  y reihe  x = 1  y  4 o exp ( 1)  exp ( 1) ˜ ( x  1) 

2

2

sin x  y



ln s  t

2

reihe  x  y  8

2

2

ox y 

reihe  s = 2  t = 2  3

1 6

6

˜x 

o ln ( 2) 

1 2

1 2

2

1 2

2

˜ exp ( 1) ˜ ( x  1) 

4

˜y ˜x 

˜ s  3  2˜ t 

1 2 1 8

4

2

˜y ˜x  2

1 6

1 6

3

3

˜ exp ( 1) ˜ ( x  1)  y

6

˜y

˜ ( s  2)  ( s  2) ˜ ( t  2) 

3 2

˜ ( t  2)

2

Beispiel 2.37: Für die nachfolgende mehrdimensionale Funktion soll eine Taylor-Approximation durchgeführt werden und diese grafisch mit der Originalfunktion in einer Region verglichen werden:

§ x · ˜ cos ( 2y)  2 © 2¹

f ( x  y)  sin ¨

gewählte Funktion

n 5

Grad der Approximation

x0  0 ORIGIN  0

y0  0

Zentrum der Taylorentwicklung ORIGIN festlegen

Seite 50

Taylorreihen

x0  r d x d x0  r

Region in der x-y-Ebene

y0  r d y d y0  r Rn  n  1 Taylorpolynom: 1 1 1 1 1 2 3 4 5 3 2 p ( x  y)  f ( x  y) reihe  x = x0  y = y0  Rn o 2  ˜ x  x ˜ y  ˜ x  ˜ x˜ y  ˜x  ˜x ˜y 2 48 3 3840 24 r

34 N  ceil ( 20 ˜ r) Xk  j 

N

r

34 k

x0  r  (2 ˜ r) ˜ N 

Zf k  j  f Xk  j  Yk  j



k  0  N Yk  j 

Abstand vom Entwicklungspunkt

1.7

Bereichsvariable

j  0  N j

y0  r  (2 ˜ r) ˜ N 

Zpk  j  p Xk  j  Yk  j



Matrizen der x- und y-Werte Matrix der z-Werte

Abb. 2.18

( X  Y  Zf )  ( X  Y  Zp)  ( X  Y  Zf ˜ 0) Vergleich der Originalfunktion mit dem approximierenden Taylorpolynom. Zusätzlich ist hier noch die Ebene des Definitionsbereiches eingezeichnet. Durch die Änderung von r kann der Definitionsbereich beliebig geändert werden.

Seite 51

Laurentreihen

2.4 Laurentreihen Die Laurentreihe ist eine Verallgemeinerung der Taylorreihe im komplexen Bereich unter Berücksichtigung von Singularitäten im Entwicklungspunkt. Dies beschreibt die Funktionentheorie ausführlich, worauf jedoch hier nicht näher eingegangen werden kann. Ein Satz der Funktionentheorie besagt: Jede Funktion f(z) ,die im Punkt z0 eine Singularität besitzt, kann mithilfe einer verallgemeinerten Potenzreihe, der Laurentreihe, dargestellt werden: f

ª a ˜  z  z nº = ..  a 2 ˜  z  z  2  a 1 ˜  z  z  1  a  0 0 ¼ 0 0 ¬ n

¦

f ( z) =

n



f





(2-20)

2  ..  a3 ˜ z  z0 3  ....

 a1 z  z 0  a2 ˜ z  z 0

Die Koeffizienten a n erhält man aus dem Konturintegral: ´ ˜µ an = 2˜ S ˜ j µ µ ¶ 1

f ( z)





z  z0

n 1

C

dz

(2-21)

Wobei die Kontur C als Doppelring mit r  z  z 0  R um die Sigularität z 0 gegeben sein muss.

Abb. 2.19

Wir bezeichnen z 0 als eine isolierte Singularität von f(z), wenn f(z) in z = z 0 nicht analytisch ist, aber in der Nachbarschaft von z 0 analytisch ist. Pole treten in der Laurent-Entwicklung auf, wenn f

ª a ˜  z  z nº 0 ¼ ¬ n

¦

f ( z) =

n

(2-22)

f

und an = 0 für n < a -m< 0 und a-m z 0. Wir bezeichnen dann z 0 als Pol m-ter Ordnung. Erstreckt sich die Entwicklung bis n = -1, so heißt z 0 ein Pol 1.Ordnung, 2. Ordnung, usw., sonst unendlicher Ordnung oder wesentliche Singularitäten. Wenn wir in einer Laurent-Entwicklung jeden Term einer Konturintegration unterwerfen, wobei die Kontur den singulären Punkt z 0 umschließt, dann erhalten wir für a -1:

´ a 1 ˜ µ µ ¶

œ



1 2˜ S ˜ j

´ µ 1 dz = a 1 ˜ µ z  z0 µ µ ¶



˜

´ µ µ ¶

j ˜ r˜ e r˜ e

j˜M

j˜M

dM = 2 ˜ S ˜ j ˜ a 1

f ( z ) dz = a 1



Seite 52

(2-23)

Laurentreihen

Den Koeffizienten a-1 der Potenz (z - z 0 )-1 in der Laurent-Entwicklung von f(z) bezeichnet man als Residuum der Funktion f(z) im singulären Punkt z 0 . In der Praxis treten aber auch Situationen auf, dass mehrere Singularitäten im Integrationsbereich vorhanden sind. Auf diese Probleme kann hier nicht weiter eingegangen werden. Falls eine zu entwickelnde Funktion im Entwicklungspunkt eine Singularität besitzt, so liefert Mathcad die Laurententwicklung. Wesentliche Singularitäten, wie sie z.B. bei x sin(1/x) auftreten, sind mit Mathcad nicht entwickelbar! Beispiel 2.38: Bestimmen Sie die Reihenentwicklung und das Residuum von y = tan(x) im Pol x = S/2. 1 · § tan ( x) reihe  x =  5 o 1 ˜ ¨ x  ˜ S 2 2 © ¹ S

1

3

1

1 1 · 1 § · §  ˜ ¨x  ˜ S  ˜ ¨x  ˜ S 3 © 2 2 ¹ 45 © ¹

Das Residuum ist -1.

Beispiel 2.39: Bestimmen Sie die Reihenentwicklung und das Residuum von y = cot(x) im Pol bei x = 0. 1

cot ( x) reihe  x = 0  6 o 1 ˜ x

1



3

1

˜x

2

3

45

˜x 

5

945

Das Residuum ist 1.

˜x

Beispiel 2.40: Bestimmen Sie die Residuen von y = 1/(x (x+4) 3 ). 1 x ˜ ( x  4) 1 x ˜ ( x  4)

Die Funktion hat an der Stelle x = 0 einen Pol 1. Ordnung und an der Stelle x = - 4 einen Pol 3. Ordnung.

3

3

reihe  x  6 o

1 64

1

˜x



3



256

3 512

˜x

5

15

2

˜x 

2048

21

3

16384

˜x 

4

65536

˜x

Das Residuum der Funktion an der Stelle x = 0 ist 1/64. 1 x ˜ ( x  4)

3

reihe  x = 4  5 o

1 4

˜ ( x  4)

3



1 16

˜ ( x  4)

2



1 64

˜ ( x  4)

1



1 256



1 1024

˜ ( x  4)

Das Residuum der Funktion an der Stelle x = -4 ist -1/64. Beispiel 2.41: Bestimmen Sie die Reihenentwicklung und das Residuum von y = 1/sin(x) 2 im Pol 2. Ordnung bei x = 0. 1

2

sin ( x)

2

reihe  x  14 o 1 ˜ x



1 3



1 15

2

˜x 

2 189

4

˜x 

1 675

6

˜x 

2

8

10395

˜x

Das Residuum ist 1.

Beispiel 2.42: Bestimmen Sie die Reihenentwicklung und das Residuum von y = 1/(z 2 (z+1)3 ) im Pol 2. Ordnung bei z = 0. 1 2

z ˜ ( z  1)

3

reihe  z  6 o 1 ˜ z

2

 3˜ z

1

2

 6  10 ˜ z  15 ˜ z  21 ˜ z

3

Das Residuum bei z = 0 an der ersten Polstelle (1. Ordnung) ist - 3. 1 2

z ˜ ( z  1)

3

reihe  z = 1  6 o 1 ˜ ( z  1)

3

 2 ˜ ( z  1)

2

 3 ˜ ( z  1)

Das Residuum bei z = - 1 an der ersten Polstelle (3. Ordnung) ist 3.

Seite 53

1

 4  5 ˜ ( z  1)  6 ˜ ( z  1)

2

Fourierreihen

3. Fourierreihen Bereits im 17. Jahrhundert beschäftigten sich einige namhafte Mathematiker wie Bernoulli, Euler, D'Alembert und Lagrange mit dem Problem, wie periodische Funktionen durch Reihen von trigonometrischen Funktionen dargestellt werden können. Erst 1822 veröffentlichte Jean Baptist Fourier (1768-1830) seine Ideen über diese Funktionenreihen in einer brauchbaren Anwendungsform. Es gelang aber erst später Dirichlet ein hinreichendes Kriterium für die Entwickelbarkeit einer periodischen Funktion in eine Fourierreihe anzugeben. Fourier zeigte, dass man jedes in der Praxis vorkommende periodische Signal in eine Reihe von Sinus- und Kosinusfunktionen unterschiedlicher Frequenz zerlegt werden kann. Diese Zerlegung wird Fourier- oder harmonische Analyse genannt. Weil in den naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen (insbesondere auch in der Elektrotechnik) die Fourieranalyse häufig für Beziehungen zwischen dem Zeit- und dem Frequenzbereich herangezogen wird, beschränken wir uns im Folgenden auf diese beiden Bereiche. Dies sollte aber nicht den Schluss nahe legen, dass dies für alle Disziplinen so sein muss. Im Bereich der Optik wird zum Beispiel auch mit mechanischen Distanzen und reziproken Wellenlängen gerechnet. Nach Fourier setzt sich ein periodisches Signal f(t) = f(t + T0 ) mit der Periodendauer T 0 zusammen aus der Grundschwingung mit der Frequenz f 0 = 1/T 0 und den Oberschwingungen, deren Frequenzen ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz f 0 sind. Stellt man die Amplituden der erhaltenen Schwingungen in Funktion der Frequenz dar, erhält man das Amplituden- oder Frequenzspektrum des analysierten Signals. Die Fourieranalyse und –synthese verknüpft also den Zeitbereich mit dem Frequenzbereich. Die Fourieranalyse und Fouriersynthese sind von großer technischer und theoretischer Bedeutung. Viele Signaleigenschaften, wie zum Beispiel die benötigte Bandbreite oder der Klirrfaktor, lassen sich viel leichter aus dem Spektrum bestimmen als aus der dazugehörigen Zeitfunktion. Bei anderen Fragestellungen wiederum ist die Betrachtung im Zeitbereich sinnvoller. Beispiele dafür sind Signalverzerrungen bei gegebenem Amplituden- und Phasengang oder Einschaltvorgänge bei Filtern (siehe dazu auch Abschnitt 2.2.4, Band 2). Die reelle Darstellung einer Fourierreihe: Eine periodische Funktion f(t) = f(t + n T 0 ) mit der Periode T0 lässt sich unter folgenden Voraussetzungen (Dirichletsche Bedingungen) eindeutig als Fourierreihe darstellen: 1. Das Periodenintervall lässt sich in endlich viele Teilintervalle zerlegen, in denen f(t) stetig und monoton ist. 2. In den Unstetigkeitsstellen (Sprungunstetigkeiten mit endlichen Sprüngen) existiert der linksals auch der rechtsseitige Grenzwert. Die Fourierreihe der Funktion f(t) hat dann die Form:

f ( t) =

a0 2

f



1

¦ an ˜ cosn ˜ Z 0 ˜ t  bn ˜ sin n ˜ Z 0 ˜ t , mit Z 0 = 2 ˜ S ˜ f0 und f0 = T0

n

(3-1)

1

Unter diesen Voraussetzungen konvergiert die Fourierreihe von f(t) für alle x . In den Stellen, in denen f(t) stetig ist, stimmt sie mit der Funktion f(t) überein. In den Sprungstellen liefert sie das arithmetische Mittel aus dem links- und rechtsseitigen Grenzwert der Funktion. Die Fourierkoeffizienten a 0 , an und bn (n ²) können mit folgenden Integralen berechnet werden: T ´ 0 2 a0 = f ( t) dt ; an = ˜µ T0 ¶0 T0

2

T ´ 0 2 µ ˜ f ( t) ˜ cos n ˜ Z 0 ˜ t dt ; bn = µ T0 ¶ 0



Seite 54



T ´ 0 µ ˜ f ( t) ˜ sin n ˜ Z 0 ˜ t dt (3-2) µ ¶ 0





Fourierreihen

Bemerkung: 1. Der konstante Anteil wird in der Fourierreihe mit a 0 /2 angegeben, damit man die Integrale zur Berechnung der Fourierkoeffizienten a n und bn einheitlich darstellen kann. Dieser Anteil stellt einen arithmetischen Mittelwert dar und ist in einer elektrotechnischen Anwendung ein Gleichstromanteil. 2. Da f(t) eine periodische Funktion ist, kann man statt der Integrationsgrenzen 0 und T0 auch die Grenzen t 0 und t 0 +T0 bzw. –T 0 /2 und T0 /2 wählen. 3. Bricht man die Fourierreihe nach endlich vielen Gliedern ab, erhält man eine Näherungsfunktion für f(t) in Form einer endlichen trigonometrischen Reihe (Fourierpolynom): a0  yp ( t) = 2

n

¦ ak ˜ cosk  Z 0 ˜ t  bk ˜ sin k ˜ Z 0 ˜ t

k

(3-3)

1

Nachdem die Annäherung einer Funktion f(t) durch ein Fourierpolynom vom Grad n im Allgemeinen schlechter wird, je weiter man sich von der Entwicklungsstelle x 0 entfernt, liegt hier eine andere Art der Näherung vor. Wählt man als Maß für den Fehler bei der Näherung die Quadratische Abweichung [f(t) - y p(t)]2 im Mittel über das Intervall [0, T0 ], so ist diese dann am kleinsten, wenn die Fourierkoeffizienten gerade die angeführten Werte haben. 4. Bei vorliegender Symmetrie der Zeitfunktion f(t) vereinfachen sich die Berechnung der Fourierkoeffizienten: a) Die Fourierreihe einer geraden Funktion f(t) (axialsymmetrische Funktion) enthält nur gerade Reihenglieder, d.h. neben dem konstanten Glied nur Kosinusglieder: T0

T0

´ 2 4 µ 4 ˜µ a0 = f ( t) dt ; an = T0 ¶0 T0

f ( t) =

a0 2

´ 2 µ ˜µ f ( t) ˜ cos n ˜ Z 0 ˜ t dt ; bn = 0 ¶



0



(3-4)

f

¦ an ˜ cosn ˜ Z 0 ˜ t



n

(3-5)

1

b) Die Fourierreihe einer ungeraden Funktion f(t) (zentralsymmetrische Funktionen) enthält nur ungerade Reihenglieder, d.h. Sinusglieder: T0

´ 2 4 µ a0 = 0 ; an = 0 ; bn = ˜µ f ( t) ˜ sin n ˜ Z 0 ˜ t dt T0 ¶ 0





(3-6)

f

f ( t) =

¦ bn ˜ sin n ˜ Z 0 ˜ t

n

(3-7)

1

Seite 55

Fourierreihen

Fourierreihe mit phasenverschobenen Kosinus- bzw. Sinusgliedern:





Setzt man in der oben angeführten Fourierreihe an = An ˜ cos M n und bn = An ˜ sin M n , so erhält man mithilfe des Summensatzes cos(n Z0 t) cos(Mn) - sin(n Z0 t) sin(Mn) = cos(n Z0 t + Mn ) schliesslich die Fourierreihe in der Amplituden-Phasenform: f

¦ An ˜ cosn ˜ Z 0 ˜ t  M n = A0  ¦ An ˜ sin n ˜ Z 0 ˜ t  \ n

f ( t) = A0 

n

mit A0 =

f

a0 2

1

n

und \ n = M n 

S 2

(3-8)

1

.

Die Amplitude (Scheitelwert) An und die Phasenlage M n des n-ten Gliedes ermittelt man bn § bn · 2 2 an  bn , tan M n =  aus an und bn durch: An = bzw. M n = arctan ¨ . an © an ¹



  A3 ˜ sin  3 ˜ Z0 ˜ t  \ 3 A1 ˜ sin Z0 ˜ t  \ 1 A2 ˜ sin 2 ˜ Z0 ˜ t  \ 2





1. Harmonische oder Grundschwingung, 2. Harmonische oder 1. Oberschwingung, 3. Harmonische oder 2. Oberschwingung usw.

Trägt man die Fourierkoeffizienten in Abhängigkeit der zugehörigen Frequenz in einem Diagramm auf, so erhält man das Amplituden- oder Frequenzspektrum (auch Linienspektrum genannt). Fällt das Amplitudenspektrum einer Zeitfunktion rasch über der Frequenz ab, so ist die Zeitfunktion f(t) der sinusförmigen Grundschwingung sehr ähnlich, andernfalls weicht sie stark ab. Ein Maß dafür ist der Klirrfaktor k. Der Klirrfaktor ist ein Maß für den Oberschwingungsgehalt eines Signals. Mit ihm werden z.B. die nichtlinearen Verzerrungen einer Verstärkerstufe oder eines aktiven Netzwerks spezifiziert. Der Klirrfaktor wird in der Praxis meist mit einer Klirrfaktormessbrücke gemessen, oder wie unten angegeben, durch Analyse des Spektrums bestimmt und berechnet. Die Amplituden (Scheitelwerte) können wegen An = 2 ˜ AEff durch die Effektivwerte ersetzt werden . n

2

k=

AEff.ges  AEff.1

2

(3-9)

AEff.ges

AEff.ges bedeutet den Effektivwert der Gesamtschwingung und AEff.1 den Effektivwert der Grundschwingung. Da aber die Grundschwingung A 1 relativ schwer zu messen ist, wird der Klirrfaktor meist in der folgenden Form angegeben: Falls A1 >> An (n t 1), so gilt näherungsweise: f

¦

k=

n

¦

= f

¦

n

f

An 2

1

An 2

n

§ AEff · n¹ ©

(3-10) f

¦

n

2

1

§ AEff · n¹ ©

2

Seite 56

Fourierreihen

Zur Herleitung und zur Auswertung der Fourierkoeffizienten wird die Definition der Orthogonalität des Systems der Funktionen f(t) = cos (n Z0 t) und g(t) = sin(n Z0 t) herangezogen: Zwei Funktionen f(t) und g(t) heißen orthogonal auf einem Intervall [t 1 , t 2 ], wenn gilt: t ´2 µ f ( t ) ˜ g ( t ) dt = 0 µ ¶

(3-11)

t1

T0  2 ˜ S 2˜ S

Z0 

T0

n 3

angenommene Schwingungsdauer zugehörige Kreisfrequenz

m 4

T ´ 0 µ sin n ˜ Z 0 ˜ t ˜ cos m ˜ Z 0 ˜ t dt o 0 µ ¶

gilt für alle n , m  

T ´ 0 µ cos m ˜ Z 0 ˜ t ˜ cos n ˜ Z 0 ˜ t dt o 0 µ ¶

gilt für alle m zn ( n , m  )

T ´ 0 µ sin m ˜ Z 0 ˜ t ˜ sin n ˜ Z 0 ˜ t dt o 0 µ ¶

gilt für alle m zn ( n , m  )

0

0

0























(3-12)



(3-13)





(3-14)



Ist dagegen n = m so gilt: n  4 m  4 T ´ 0 µ cos n ˜ Z 0 ˜ t ˜ cos m ˜ Z 0 ˜ t dt o S µ ¶

(3-15)

T ´ 0 µ sin n ˜ Z 0 ˜ t ˜ sin m ˜ Z 0 ˜ t dt o S µ ¶

(3-16)

0

0

















 Herleitung der reellen Fourierkoeffizienten: 1. Integration der Fourierreihe auf beiden Seiten: T ´ 0

µ ¶

0

T T ´ 0 f ´ 0 a0 µ dt  µ f ( t ) dt = µ an ˜ cos n ˜ Z 0 ˜ t  bn ˜ sin n ˜ Z 0 ˜ t µ 2 ¶ µ n 1 0 ¶

¦ 



0

Seite 57





dt

(3-17)

Fourierreihen

n 1

Z0  1

gewählte Daten

T0  2 ˜ S

Bereichsvariable

t  0  0.001  T0

Das Integral wird 0 für alle n: T ´ 0 µ an ˜ cos n ˜ Z 0 ˜ t dt o 0 µ ¶



0



Abb. 3.1

Das Integral wird 0 für alle n: T ´ 0 µ bn ˜ sin n ˜ Z 0 ˜ t dt o 0 µ ¶



0



Abb. 3.2

T T ´ 0 a0 ´ 0 µ dt f ( t ) dt = µ µ ¶ 2 0 ¶

T ´ 0 1 µ f ( t) dt = ˜ T0 ˜ a0 ¶ 2 0

symbolisch auswerten:

0

T ´ 0 a0 = f ( t ) dt ˜µ T0 ¶0

2

2. Multiplikation der Fourierreihe mit cos(k Z0 t) und Integration auf beiden Seiten: T T ´ 0 a0 ´ 0 µ f ( t) ˜ cos k ˜ Z 0 ˜ t dt = µ ˜ cos k ˜ Z 0 ˜ t dt + µ µ 2 ¶ ¶ 0









(3-18)

0

T ´ 0 f µ a0 ˜ cos n ˜ Z 0 ˜ t ˜ cos k ˜ Z 0 ˜ t  b0 ˜ sin n ˜ Z 0 ˜ t ˜ cos k ˜ Z 0 ˜ t + µ µ n 1 ¶

¦ 









0

k 1

gewählte Konstante

Seite 58







dt

Fourierreihen

Das Integral wird 0 für alle k: T ´ 0 a0 µ ˜ cos k ˜ Z 0 ˜ t dt o 0 µ 2 ¶





0

Abb. 3.3

Das Integral wird 0 für alle n z k: T ´ 0 µ a0 ˜ cos n ˜ Z 0 ˜ t ˜ cos k ˜ Z 0 ˜ t dt o 0 µ ¶ 0









Abb. 3.4

Das Integral wird 0 für alle n z k: T ´ 0 µ a0 ˜ sin n ˜ Z 0 ˜ t ˜ cos k ˜ Z 0 ˜ t dt o 0 µ ¶ 0









Abb. 3.5

Das Integral wird 0 für alle n = k: T ´ 0 µ b0 ˜ sin n ˜ Z 0 ˜ t ˜ cos k ˜ Z 0 ˜ t dt o 0 µ ¶ 0

Abb. 3.6

Seite 59









Fourierreihen

Das Integral wird nicht 0 für alle n = k:

Abb. 3.7

T ´ 0 µ a0 ˜ cos n ˜ Z 0 ˜ t ˜ cos k ˜ Z 0 ˜ t dt o S ˜ a0 µ ¶



0







Daraus folgt:

T T0 ´ 0 µ f ( t) ˜ cos k ˜ Z 0 ˜ t dt = a0 ˜ µ 2 ¶



0



T ´ 0 µ a0 = ˜ f ( t) ˜ cos n ˜ Z 0 ˜ t dt T0 µ ¶ 0

2





3. Multiplikation der Fourierreihe mit sin(k Z0 t) und Integration auf beiden Seiten: T T ´ 0 a0 ´ 0 µ f ( t) ˜ sin k ˜ Z 0 ˜ t dt = µ ˜ sin k ˜ Z 0 ˜ t dt + µ µ 2 ¶ ¶ 0









(3-19)

0

T ´ 0 f µ a0 ˜ cos n ˜ Z 0 ˜ t ˜ sin ( k ˜ Z ˜ t)  b0 ˜ sin n ˜ Z 0 ˜ t ˜ sin ( k ˜ Z ˜ t) dt + µ µ n 1 ¶

¦ 











0

n 1

k 2

gewählte Konstanten

Das Integral wird 0 für alle n z k: T ´ 0 µ a0 ˜ cos n ˜ Z 0 ˜ t ˜ sin k ˜ Z 0 ˜ t dt o 0 µ ¶ 0

Abb. 3.8

Seite 60









Fourierreihen

Das Integral wird 0 für alle n z k: T ´ 0 µ a0 ˜ sin n ˜ Z 0 ˜ t ˜ cos k ˜ Z 0 ˜ t dt o 0 µ ¶



0







Abb. 3.9

Das Integral wird 0 für alle n = k:

T ´ 0 µ a0 ˜ cos n ˜ Z 0 ˜ t ˜ sin k ˜ Z 0 ˜ t dt o 0 µ ¶



0







Abb. 3.10

Das Integral wird nicht 0 für alle n = k:

Abb. 3.11

T ´ 0 µ b0 ˜ sin n ˜ Z 0 ˜ t ˜ sin k ˜ Z 0 ˜ t dt o S ˜ b0 µ ¶



0







Daraus folgt:

T ´ 0 µ ˜ b0 = f ( t) ˜ sin n ˜ Z 0 ˜ t dt T0 µ ¶ 0

2





Seite 61

T T0 ´ 0 µ f ( t) ˜ sin k ˜ Z 0 ˜ t dt = b0 ˜ µ 2 ¶ 0





Fourierreihen

Komplexe Darstellung einer Fourierreihe: Neben der reellen Darstellung gibt es noch die komplexe Darstellung eines periodischen Vorganges (Siehe dazu auch Band 2). Durch Addition der beiden Eulerschen Beziehungen: e



j˜ n˜Z 0˜t M n

= cos n ˜ Z





 j˜ n˜Z 0˜t M n

e







0 ˜ t  M n  j ˜ sin n ˜ Z 0 ˜ t  M n ,

= cos n ˜ Z







(3-20)



0 ˜ t  M n  j ˜ sin n ˜ Z 0 ˜ t  M n

(3-21)

erhält man:





cos n ˜ Z 0 ˜ t  M n =

1 2

ª

˜ ¬e



j˜ n˜Z 0˜t M n

 e j˜ n˜Z 0˜tM n º .

(3-22)

¼

Setzt man nun diese Beziehung in die reelle Darstellung der Fourierreihe ein und berücksichtigt noch a0 2

= A0 = c0 , dann geht die reelle Darstellung über in die komplexe Darstellung: f

f ( t) = A0 

f

j˜n˜Z 0˜t   j˜n˜Z 0˜t· § c ˜ e  cn ˜ e n © ¹

¦ An ˜ cosn ˜ Z 0 ˜ t  M n = c0  ¦

n

1

n

(3-23)

1

 Dabei ergibt sich für cn und cn mit an = An ˜ cos M n und bn = An ˜ sin M n der Zusammenhang: j˜M n 1 1 1 1 cn = ˜ An ˜ e = ˜ An ˜ cos M n  j ˜ ˜ An ˜ sin M n = ˜ an  j ˜ bn , 2 2 2 2

 



 j˜M n  1 1 cn = ˜ An ˜ e = ˜ An ˜ cos M n  j ˜ 2 2  2 2 An = an  bn = 2 ˜ cn = 2 ˜ cn ,







1







1 ˜ An ˜ sin M n = ˜ an  j ˜ bn und 2 2   an = cn  cn = 2 ˜ Re cn , bn = j ˜ cn  cn = 2 ˜ Im cn .















 Weil aber cn = c n für n z 0 ist, resultiert aus der vorher angegebenen Darstellungsform die folgende komplexe Fourierreihe, die im Amplitudenspektrum eine Darstellung nach "positiven" und "negativen" Frequenzen bedeutet: f

f ( t) = c0 

j˜n˜Z 0˜t· § c ˜ e n © ¹

¦

n

f

¦

n

1

 j˜n˜Z 0˜t· § c ˜ e  n © ¹ = c0 

1

f

¦

n

1

j˜n˜Z 0˜t· § c ˜ e n © ¹

f

¦

n

§  j˜n˜Z 0˜t· © cn ˜ e ¹

1

Durch Zusammenfassung ergibt sich schließlich: f

f ( t) =

¦

n

j˜n˜Z 0˜t· § c ˜ e n © ¹

(3-24)

f

Seite 62

Fourierreihen

Setzt man in cn =

1





˜ an  j ˜ bn die reellen Fourierkoeffizienten an und bn ein, dann ergeben sich die 2 komplexen Fourierkoeffizienten aus: T0 T0 § · 2 ´ 2 ´ ¨ µ µ cn = ˜ ˜ f ( t) ˜ cos  n ˜ Z 0 ˜ t dt  j ˜ ˜ f ( t) ˜ sin  n ˜ Z 0 ˜ t dt 2 ¨ T0 µ T0 µ ¶ ¶ 0 0 © ¹

1

T ´ 0 µ ˜ cn = ª¬f ( t) ˜ cos n ˜ Z 0 ˜ t  j ˜ sin n ˜ Z 0 ˜ t T0 µ ¶ 0

1

 





º¼ dt

Ÿ

Ÿ

T0

cn =

T ´ 0

1

˜µ T0 ¶0

 j˜n˜Y 0˜t

f ( t) ˜ e

1

t T ´0 0

µ ˜ dt = T0 µ ¶t 0

 j ˜n˜Y 0˜t

f ( t) ˜ e

´ 2 µ  j˜n˜Y 0˜t ˜µ dt dt = f ( t) ˜ e T0 µ T ¶ 0 1



(3-25)

2

Ist f(t) eine gerade Funktion (achsialsymmetrisch ; f(t) = f(- t)), so sind die komplexen Fourierkoeffizienten cn reell, bei einer ungeraden Funktion (zentralsymmetrisch ; f(t) = - f(- t)) imaginär. Andernfalls lassen sie sich in Real- und Imaginärteile bzw. Betrag und Phase zerlegen.

Beispiel 3,1: In einem Einweggleichrichter fließt ein Strom i = I max sin(Z0 t) für 0 < Z0 t dS und 0 A für S < Z0 t d2S . Führen Sie für diesen Strom eine Fourieranalyse durch. Wir setzen x = Z0 t und erhalten dann für die Fourierkoeffizienten: Redefinition

n n

T 2˜S ´ 0 1 ´ µ a0 = f ( t ) dt = ˜ µ f ( x) dx ˜ T0 ¶0 S ¶0

2

1 ´ a0 = ˜ µ S ¶

S

Imax ˜ sin ( x) dx vereinfachen o a0 =

0

2 S

˜ Imax

konstantes Glied

T 2˜S ´ 0 1 ´ µ ˜ an = f ( t) ˜ cos n ˜ Z 0 ˜ t dt = ˜ µ f ( x) ˜ cos ( n ˜ x) dx S ¶0 T0 µ ¶ 0

2

an =



1 ´ ˜µ S ¶



S

Imax ˜ sin ( x) ˜ cos ( n ˜ x) dx vereinfachen o an = Imax ˜

0

Seite 63

cos ( S ˜ n)  1 2 S ˜  1  n

Koeffizient a n

Fourierreihen

Für ungerade n > 1:

n 3

Für gerade n:

an = Imax ˜

n 2

an = Imax ˜

cos ( S ˜ n)  1



2

S ˜ 1  n



cos ( S ˜ n)  1



2

S ˜ 1  n



vereinfachen o a3 = 0

vereinfachen o a2 =

2 3˜ S

˜ Imax

T 2˜S ´ 0 1 ´ µ bn = ˜ f ( t) ˜ sin n ˜ Z 0 ˜ t dt = ˜ µ f ( x) ˜ sin ( n ˜ x) dx T0 µ S ¶0 ¶ 0

2





Redefinition

n n 1 ´ bn = ˜ µ S ¶

S

Imax ˜ sin ( x) ˜ sin ( n ˜ x) dx vereinfachen o bn = Imax ˜

0

bn =

1 ´ ˜µ S ¶

S

Imax ˜ sin ( x) ˜ sin ( 1 ˜ x) dx vereinfachen o bn =

0

1 2

sin ( S ˜ n)



2

S ˜ 1  n



Wird 0, wenn n > 1 ist. Für n = 1 kann dieses Ergebnis nicht direkt ausgewertet werden. Glied b1

˜ Imax

Die Fourierreihe lautet daher:

i ( t) =

Imax S



Imax 2





˜ sin Z 0 ˜ t 

2 ˜ I max S

§ cos  2 ˜ Z 0 ˜ t

˜¨

©

1˜ 3





cos 4 ˜ Z 0 ˜ t 3˜ 5

 cos 6 ˜ Z 0 ˜ t  ....· 5˜ 7

¹

Beispiel 3,2: Es soll eine Fourieranalyse bzw. deren Rücktransformation für eine periodische Rechteckspannung u(t) = Û für -T0 /4 < t < 3T0 /4 oder 5T0 /4 d t < T0 /4 und 0 V für T0 /4 d t < 3T0 /4 mit der Amplitude Û = 10 V und der Periodendauer T 0 reell und komplex durchgeführt werden. Wie groß ist der Klirrfaktor ? Ursprung der induzierten Variablen

ORIGIN  0 Z0  1 ˜ s T0 

1

2˜ S Z0

gewählte Kreisfrequenz (Z0 = 2 S f0 ) T0

Periodendauer

6.283 s

Û  10 ˜ V

Amplitude

t  T0  T0  0.01 ˜ s  3 ˜ T0

Bereichsvariable

u ( t) 

Û if

T0 · § T0 ¨  t  4 ¹ © 4

0 ˜ V if

T0 4

dt

3 ˜ T0

Û wird mit + 0219 (Zifferncode) erzeugt

gegebene Spannung (periodische und gerade Funktion)

4

Seite 64

Fourierreihen

up ( t) 

Û if

T0 · § T0 ¨  t  4 ¹ © 4 T0

0 ˜ V if



4



dt

if t t

up t  T0

3 ˜ T0

periodische Fortsetzung durch rekursive Definition der Funktion

4 3 ˜ T0 4

Zeitbereich (Originalbereich) der Spannung u(t) mit der Periodendauer T 0 : Rechteckspannung

12

Û

 T010

u ( t)

4

V

T0

8

4

6

up( t)

Abb. 3.12

4

V

2 3

2

7

12

17

2 t s

Numerische Berechnung der reellen Fourier- Koeffizienten: Bereichsvariable (n p ist weiter unten global definiert)

n  0  np T0

an 

´ 4 2 µ ˜µ u ( t) ˜ cos n ˜ Z 0 ˜ t dt T0 µ ¶ T0







an  wenn an  TOL ˜ V  0 ˜ V  an



mit

TOL

1 u 10

4

a0 T

a

konstantes Glied (Gleichspannungsanteil)

10 V

0 0

10

1 6.366

2 0

3 -2.122

4 0

5 1.273

Wegen der Symmetrie (gerade Funktion) gilt für alle bn = 0 V.

Seite 65

6 0

7 -0.909

8 0

V

3

Fourierreihen

Frequenzbereich (Spektralbereich - Bildbereich): Amplituden oder Frequenzspektrum der Rechteckspannung. Frequenzspektrum

12 10 8 6 4 2

an V

1

2

Abb. 3.13

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

n

Die Amplituden der Grundschwingung und der Oberschwingungen mit den Frequenzen f = n f 0 bzw. Z = n Z0 . Es kommen in diesem Spektrum nur ganzzahlige Frequenzanteile vor, daher spricht man von einem diskreten Spektrum. Dies ist charakteristisch für periodische Funktionen. Rücktransformation (Fouriersynthese): Bereichsvariable

n  1  np a0

u15 ( t) 

2



¦ an ˜ cosn ˜ Z 0 ˜ t

Fourierpolynom mit 15 Gliedern

n

Originalfunktion und Fourierpolynom

12 10

up( t)

8

V

6

u 15( t)

Abb. 3.14

4

V

2 3

2

1 0 1 2

2

3

4

5

6

7

8

np { 15

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

t s

Die Spitzen unmittelbar neben den Sprungstellen sind typisch für das Verhalten von Fourierreihen an solchen Stellen. Die Fourrierreihe konvergiert, obwohl die Spitzen mit zunehmendem n immer ausgeprägter werden. Klirrfaktor: Bereichsvariable

n  0  15 Un =

an 2  bn 2 =

T

U

0 0

10

an

1 6.366

Un 

2 0

3 2.122

Scheitelwerte

an

4 0

5 1.273

Seite 66

6 0

7 0.909

8 0

V

Fourierreihen

15

¦

k

k

Uk

2

k

15

¦

k

0.711

k

Klirrfaktor näherungsweise für 15 Glieder der Reihe. Die Bedingung U1 >> Un (n t 1)

71.091 %

Uk

ist hier eigentlich nicht erfüllt!

1

Komplexe Berechnung der Fourierkoeffizienten: Symbolische Berechnung: T0

 j ˜n˜Z 0˜

´ 4 µ  j ˜nZ0˜t Û e ˜µ dt = cn = ۘ e ˜ T0 T0 µ  T ¶ 0 1

T0 4

j ˜n˜Z 0˜

e

T0 4

Û

=

j ˜ n ˜ Z0

 j ˜n˜Z 0˜

T0 ˜ n ˜ Z 0

˜ 2˜

e

T0 4

j ˜n˜Z 0˜

e

T0 4

2 ˜ j

4

§1 ˜ T ˜ n˜ Z · 0 0 ©4 ¹

sin ¨ cn = 2 ˜ Û ˜

T0 ˜ n ˜ Z 0

Fourierkoeffizienten nach händischer Auswertung

T0

´ 4  j ˜n˜Z 0˜t 1 µ ˜µ dt cn = ۘ e T0 µ  T ¶ 0

§1 ˜ T ˜ n˜ Z · 0 0 ©4 ¹

sin ¨ vereinfacht auf

cn = 2 ˜ Û ˜

T0 ˜ n ˜ Z 0

symbolische Mathcadauswertung

4

1 Für und T0 o 2 ˜ S ˜ s und Z 0 o erhalten wir: s

·· §¨ §1 sin ¨ ˜ T0 ˜ n ˜ Z 0 ©4 ¹¸ c 0 = lim ¨ 2 ˜ Û ˜ o c0 = 5 ˜ V ¨ T0 ˜ n ˜ Z 0 no0 © ¹ § ©

sin ¨ n ˜ cn = U ˜

§3˜ S· © 2 ¹

sin ¨

S· 2¹

n˜ S

cn = 0, wenn n gerade.

cn =

( 1)

n 1

n˜ S

, wenn n ungerade (n = 2 n - 1).

Numerische Berechnung: nmax  15

maximaler Wert von n

ORIGIN  nmax

ORIGIN

n  nmax  nmax

Bereichsvariable

15

Seite 67

1

ORIGIN festlegen

Fourierreihen

T0

cn 

´ 4 µ  j˜n˜Z 0˜t ˜µ dt ۘ e T 0 µ T ¶ 0 1



cn  wenn cn  TOL ˜ V  0 ˜ V  cn



für TOL

1 u 10

3

4 T

c

-15

-15 -0.212

-14

-13 0.245

0

-12

-11 -0.289

0

-10 0

-9 0.354

-8

-7 V -0.455

0

Wegen der Symmetrie sind die komplexen Fourierkoeffizienten reell. Komplexes Frequenzspektrum 6

4 cn 2

17

15

13

11

9

7

5

3

1

1

3

5

7

9

11

13

15

17

n

Abb. 3.15 Zusammenhang mit den reellen Fouriekoeffizienten:



an  2 ˜ cn T

a

-15

an  wenn an  TOL ˜ V  0 ˜ V  an -15 0.424

-14

-13 0.49

0

-12 0

-11 0.579

-10 0



-9 0.707

-8

-7 0.909

0

V

Bereichsvariable

n  0  15

Frequenzspektrum

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

an

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8 n

Abb. 3.16

Seite 68

9

10

11

12

13

14

15

16

Fourierreihen

Rücktransformation im Komplexen (Fouriersynthese): Die einzelnen Teilschwingungen lassen sich in komplexer Form darstellen durch: j˜k˜Z 0˜t   j ˜k˜Z 0˜t· § j˜k˜Z 0˜t   j ˜k˜Z 0˜t·º ª 1 § uk ( t  k )  wenn «k = 0  ˜ © ck ˜ e  ck ˜ e  c ˜ e  ck ˜ e k ¹ © ¹»¼ 2 ¬

Damit ergibt sich das Fourierpolynom in komplexer Form: n

un ( t  n) 

¦

k

uk ( t  k )

0

Rechteckschwingung und Teilschwingungen

12 10

up( t)

8

V u k( t  0 )

6

u k( t  1 )

4 2

u k( t  2 ) 3

u k( t  3 )

2

1

0 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Abb. 3.17

2 u k( t  5 )

4 6 8 t s

Originalfunktion und Fourierpolynom

12 10

up( t)

8

V



u n t  n max

6



4

V

Abb. 3.18

2 3

2

1 0 1 2

2

3

4

5

6

7

8 t s

Seite 69

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Fourierreihen

Beispiel 3,3: Führen Sie eine Fourieranalyse für eine periodische Folge von Sägezahnimpulsen mit der Amplitude Û = 5 V und der Periodendauer T 0 bzw. deren Rücktransformation reell durch. Wie lautet der Klirrfaktor ? u(t) = 2 (Û/T0 ) t für -T0 /2 < t < T0 /2 . ORIGIN festlegen

ORIGIN  1 Z0  1 ˜ s T0 

1

gewählte Kreisfrequenz (Z0 = 2 S f0 )

2˜ S

T0

Z0

Periodendauer

6.283 s

Û 5˜ V

Amplitude

t  T0  T0  0.01 ˜ s  3 ˜ T0

Bereichsvariable

T ·· § § ¨ ¨t  0 2 ¸¸ 2˜ Û ¨ ¨ u ( t)  ˜ t  T0  T0 ˜ floor ¨ ¨ T0 © © T0 ¹ ¹

gegebene Spannung (ungerade Funktion)

Û wird mit + 0219 (Zifferncode) erzeugt

Zeitbereich (Originalbereich) der Spannung u(t) mit der Periodendauer T 0 : Sägezahnspannung

6

u ( t) V

 T0

4

T0

2

2

2

Û

7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2

Abb. 3.19

4 6 t s

Numerische Berechnung der reellen Fourier- Koeffizienten: Bereichsvariable

n  1  15 T0

bn 

´ 2 µ ˜µ u ( t ) ˜ sin n ˜ Z 0 ˜ t dt T0 µ ¶ T0 2







bn  wenn bn  TOL ˜ V  0 ˜ V  bn



für TOL

2 T

b

1

1 3.183

2 -1.592

3 1.061

4 -0.796

5 0.637

6 -0.531

Wegen der Symmetrie (ungerade Funktion) gilt für alle a n = 0 V.

Seite 70

7 0.455

8 V -0.398

1 u 10

3

Fourierreihen

Frequenzbereich (Spektralbereich - Bildbereich): Amplituden oder Frequenzspektrum der Sägezahnspannung. Frequenzspektrum

4 3 bn

2

Abb. 3.20

1 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

n

Die Amplituden der Grundschwingung und der Oberschwingungen mit den Frequenzen f = n f 0 bzw. Z = n Z0 . Es kommen in diesem Spektrum nur ganzzahlige Frequenzanteile vor, daher spricht man von einem diskreten Spektrum. Dies ist charakteristisch für periodische Funktionen. Rücktransformation (Fouriersynthese):

¦ bn ˜ sin n ˜ Z 0 ˜ t

u15 ( t) 

Fourierpolynom mit 15 Gliedern

n

6 u ( t)

4

V

2

u 15( t) V

Originalfunktion und Fourierpolynom

6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2

Abb. 3.21

4 6 t s

Die Spitzen unmittelbar neben den Sprungstellen sind typisch für das Verhalten von Fourierreihen an solchen Stellen. Die Fourrierreihe konvergiert, obwohl die Spitzen mit zunehmendem n immer ausgeprägter werden. Klirrfaktor:

Un =

an 2  bn 2 =

T

U

1

1 3.183

bn

2 1.592

Un 

3 1.061

4 0.796

Scheitelwerte

bn

5 0.637

6 0.531

Seite 71

7 0.455

8 0.398

9 V 0.354

Fourierreihen

15

¦

k

k

Uk

2

k

15

¦

k

0.836

k

Klirrfaktor näherungsweise für 15 Glieder der Reihe. Die Bedingung U1 >> Un (n t 1)

83.584 %

Uk

ist hier eigentlich nicht erfüllt!

1

Beispiel 3,4: Für eine "angeschnittene" Wechselspannung mit der Amplitude Û = 5 mV soll eine Fourieranalyse reell und komplex und deren Rücktransformation durchgeführt werden. u(t) = Û cos(Z0 t) für 0 d t < T0 /4 und 0 für T 0 /4 d t < T0 . ORIGIN festlegen

ORIGIN  0 TOL  10

6

Toleranzgrenze für die numerische Berechnung festlegen

1

gewählte Kreisfrequenz (Z0 = 2 S f0 )

Z0  1 ˜ s

2˜ S

T0 

T0

Z0

Periodendauer

6.283 s

Û  5 ˜ mV

Amplitude

t  0 ˜ s  0 ˜ s  0.001 ˜ s  2 ˜ T0

Bereichsvariable

u ( t) 



Û ˜ cos Z 0 ˜ t



Û wird mit + 0219 (Zifferncode) erzeugt

T0 · § T0 · § ¨0 ˜ s d t d › ¨ T0 d t d 5 ˜ 4 ¹ © 4 ¹ ©

if

gegebene Spannung (gerade Funktion)

0 ˜ mV otherwise Oder mit der Heavisidefunktion definiert:

§ § T0 · § 5 ˜ T0 · · u ( t) = Û ˜ cos Z 0 ˜ t ˜ ¨ ) ¨  t  ) t  T0 ˜ ) ¨ t © © 4 ¹ © 4 ¹¹









Zeitbereich (Originalbereich) der Spannung u(t) mit der Periodendauer T 0 : Wechselspannung

5

mV Û mV

T0

3

u ( t)

1





˜cos Z 0˜t

1 0

T0

4 1

2

3

4

5

6

7

3 5

a  a1

t s

Seite 72

8

9

10

11

12

13

Abb. 3.22

Fourierreihen

Numerische Berechnung der reellen Fourier- Koeffizienten: nmax  100

maximaler Wert der Bereichsvariable n

n  0  nmax

Bereichsvariable

T0

an 

´ 4 2 µ ˜µ u ( t ) cos n ˜ Z 0 ˜ t dt T0 ¶ 0˜s







an  wenn an  TOL ˜ mV  0 ˜ mV  an a0

T

a

0

0 1.592

1 1.25

2 0.531

0

mit

TOL

1 u 10

6

konstantes Glied (doppelter Gleichspannungsanteil)

1.592 mV

3



4 -0.106

5 0

6 0.045

7

mV

0

T0

bn 

´ 4 2 µ ˜µ u ( t) sin n ˜ Z 0 ˜ t dt T0 ¶ 0˜s

T

0

b

0

0





1 0.796

2 1.061



bn  wenn bn  TOL ˜ mV  0 ˜ mV  bn

3 0.796

4 0.424

5 0.265

6 0.273



7 0.265

mit

TOL

8 0.202

1 u 10

6

mV

Frequenzbereich (Spektralbereich - Bildbereich): Amplituden oder Frequenzspektrum der angeschnittenen Wechselspannung.

2

Frequenzspektrum

an mV

1

Abb. 3.23

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 n

2

Frequenzspektrum

bn mV

1

Abb. 3.24

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 n

Seite 73

Fourierreihen

Rücktransformation (Fouriersynthese): Die Fourierreihe soll dann abgebrochen, wenn die Amplitude der n-ten Oberschwingung kleiner als p% der Grundschwingung ist:





np p  nmax  a  b 

2

Um

a b

2

km2 Unterprogramm zur Berechnung von nmax für das Fourierpolynom

while k d nmax return k if

Uk  U1 ˜ p š Uk ! TOL ˜ V

kmk1 return nmax



nmax1  np 0.02  nmax  a  b a0

up ( t) 

2



nmax1

maximales n bei p = 2 %

53

nmax1

¦ an ˜ cosn ˜ Z0 ˜ t  bn ˜ sin n ˜ Z 0 ˜ t



n

1

Originalfunktion und Fourierpolynom

6 5

u ( t)

T0

4

mV

Fourierpolynom mit 21 Gliedern

T0

4

3

u p( t)

Abb. 3.25

2

mV

1 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

1 t s

Fourierreihe in der Amplituden-Phasenform: TOL

1 u 10

Die Toleranzschwelle muss hier niedriger gewählt werden, damit bei der Berechnung der Phasenlage keine zu hohen Ungenauigkeiten entstehen.

6

Bereichsvariable

n  1  nmax U0 

a0

Un 

2

an = 0 š bn = 0 atan2  bn  an otherwise

an 2  bn 2

Scheitelwerte

0 if

Mn 

Unterprogramm zur Berechnung der Phasenlagen

Die Phasenlagen können auch über die komplexen Koeffizienten cn und mithilfe eines Unterprogramms berechnet werden: cn =

1 2



˜ an  j ˜ bn



Mn =

0 if

cn  TOL ˜ mV



arg cn 

S 2

Seite 74

otherwise

Fourierreihen

Frequenzspektrum

2 Un mV U0

Abb. 3.26

1

mV

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 n 0

Phasenspektrum

2

Mn

1

Abb. 3.27 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 1 n nmax1

¦ Un ˜ sin n ˜ Z0 ˜ t  M n

up ( t)  U0 

n

1

Originalfunktion und Fourierpolynom

6 5

u ( t)

T0

4

mV

Fourierpolynom mit n max1 = 53 Gliedern

T0

4

3

u p( t)

Abb. 3.28

2

mV

1 1

0

1

2

3

4

5

6

7

1 t s

Seite 75

8

9

10

11

12

13

Fourierreihen

Komplexe Berechnung der Fourierkoeffizienten: ORIGIN  nmax

ORIGIN

100

n  nmax  nmax

Bereichsvariable

ORIGIN festlegen

T0

cn 

´ 4  j˜n˜Z 0˜t µ ˜µ Û ˜ cos Z 0 ˜ t ˜ e dt T0 ¶ 0 1



T

c



-100 -0+0.008i

-100



cn  wenn cn  TOL ˜ mV  0 ˜ mV  cn

-99

-98 0+0.008i

0.008i



-97 0.008i

für TOL

1 u 10

mV

Die Fourierkoeffizienten sind komplex. Komplexes Frequenzspektrum 2

1.5

2˜ c n mV

1

2˜ c n mV

0.5

15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 n

Abb. 3.29 U0 =

a0 2

= c0

c0

0.796 mV

Gleichspannungsanteil

Rücktransformation im Komplexen (Fouriersynthese): nmax1

up1 ( t)  c0 

¦

n

j ˜n˜Z 0˜t   j˜n˜Z 0˜t· § c ˜ e  cn ˜ e n © ¹

Fourierpolynom komplex mit n = nmax1 = 53 Gliedern

1

Seite 76

6

Fourierreihen

Originalfunktion und Fourierpolynom

6 5

u ( t)

T0

4

mV

T0

4

3

u p1( t)

Abb. 3.30

2

mV

1 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

1 t s

Beispiel 3,5: Es soll eine Fourieranalyse bzw. deren Rücktransformation für einen periodischen Rechteckstrom (z.B. "Ankerstrombelag einer Drehstromwicklung") mit der Amplitude Î = 10 A und der Periodendauer T 0 reell durchgeführt werden. Ursprung der induzierten Variablen

ORIGIN  0 Z0  1 ˜ s

1

gewählte Kreisfrequenz (Z0 = 2 S f0 )

2˜ S

T0 

Periodendauer

T0 o 2 ˜ S ˜ s

Z0

Î  10 ˜ A

Amplitude

t  0 ˜ s  0.01 ˜ s  Pz ˜ T0

Bereichsvariable

Î wird mit + 0206 (Zifferncode) erzeugt

Pz wird neben der Graphik global als Periodenanzahl definiert i ( t) 

Î 2 Î if



T0

if 0  t 

Î

T0 6 if

2

Î if

6

dt

T0 2

3

T0 3

dt



2

3 2 ˜ T0

dt

3

›

5 ˜ T0 6

Stromfunktion über eine Periode definiert d t  T0

5 ˜ T0 6

§ § t ·· iper f  t  T0  f ¨ t  T0 ˜ floor ¨ © © T0 ¹ ¹



T0

T0

dt

2 ˜ T0

›

periodische Fortsetzung der Funktion

Seite 77

Fourierreihen

Zeitbereich (Originalbereich) des Stromes i(t) mit der Periodendauer T 0 :

i ( t) A



i per i  t  T0

Rechteckspannung

12 10 8 6 4 2



T0

T0

2

Abb. 3.31

2 0 4 6 8 10 12

A

Î

2

4

6

8

10

12

Pz { 2

t s

Die Rechteckschwingung könnte auch noch über die Heavisidefunktion und in Grad definiert werden: ia ( t ) 

Î 2



Î 2

 





˜ ) Z 0 ˜ t  60 ˜ Grad  ) Z 0 ˜ t  120 ˜ Grad



1 § ib ( t)  Î ˜ ¨ ) Z 0 ˜ t  180 ˜ Grad  ˜ ) Z 0 ˜ t  240 ˜ Grad 2 © ic ( t ) 

Î 2





 



A i b( t) A i c( t) A



˜ ) Z 0 ˜ t  300 ˜ Grad  ) Z 0 ˜ t  360 ˜ Grad

Teile der Gesamtschwingung



Teilschwingungen

12 10 8 6 4 2 2 0 4 6 8 10 12 14 16 18 20

·¹

Gesamtschwingung

i1 ( t )  ia ( t )  i b ( t )  ic ( t )

i a( t)



Z 0˜T0 Grad 60

120

180

240

300

360

420

480

540

600

660

720

Abb. 3.32

Z 0˜t Grad

Seite 78

Fourierreihen

Gesamtschwingung über eine Periode

12 10 8 6 4 2

i 1( t) A

2 4 6 8 10 12

Z 0˜T0 Grad

0

60

120

180

240

300

360

420

480

540

600

660

720

Abb. 3.33

Z 0˜t Grad











i1per f  t  Z 0  T0  f mod Z 0 ˜ t  T0



i 1per i 1  t  Z 0  T0



Die Funktion wird noch durch die mod-Funktion periodisch gemacht. periodische Wechselgröße

12 10 8 6 4 2 2 0 4 6 8 10 12

60

120

180

240

300

360

420

480

540

600

660

720

Abb. 3.34

Z 0˜t Grad

Numerische Berechnung der reellen Fourier- Koeffizienten: nmax  100

maximaler Wert der Bereichsvariable n

n  0  nmax

Bereichsvariable

a1 n  0 ˜ A

Wegen der Symmetrie (ungerade Funktion) gilt für alle a n = 0 A. T0

b1n 

´ 2 µ ˜µ i ( t ) sin n ˜ Z 0 ˜ t dt T0 ¶ 0˜s 4

T

b1



0 0

0

1 9.549



2



b1n  wenn b1n  TOL ˜ A  0 ˜ A  b1n

3 0

4 0

0

Seite 79

5 1.91

6 0



7 1.364

mit

TOL

8 0

A

1 u 10

6

Fourierreihen

Frequenzbereich (Spektralbereich - Bildbereich): Amplituden oder Frequenzspektrum der Rechteckschwingung Frequenzspektrum

10 b1n

6.67

A

Abb. 3.35 3.33

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 n

Rücktransformation (Fouriersynthese):





nmax1  np 0.03  nmax  a1  b1

nmax1

maximales n bei p = 3 % (siehe Beispiel 3.4)

35

nmax1

¦ b1n ˜ sin n ˜ Z 0 ˜ t

ip ( t ) 

n

1

Originalfunktion und Fourierpolynom

12 10 i ( t) A i per i  t  T0



i p( t)

T0

2

4 2

A

A

T0

8 6



Fourierpolynom mit 35 Gliedern

2

0

2

4

6

8

4 6 8 10 12 t s

Seite 80

10

12

Abb. 3.36

Fourierreihen

Beispiel 3,6: Für den gegebenen Filter soll die Übertragungsfunktion ermittelt und in einem Bode-Diagramm im Bereich 0.1 Hz d f d 10 MHz dargestellt und interpretiert werden. Stellen Sie auch noch die Nyquist-Ortskurve dar. Durch Fourieranalyse und Fouriersynthese soll dann noch die Antwort des Filters auf die gegebene periodische Eingangsspannung u e (t) berechnet und interpretiert werden.

ue ( t) =

Umax T0

˜ t if t 

T0

2 ˜ Umax 

T0

Ohmscher Widerstand

L = 30 ˜ mH

Induktivität

C = 20 ˜ PF

Kapazität

Umax = 5 ˜ V

Amplitude der Eingangsspannung

T0 =

Abb. 3.37

2˜ S 300

˜s

Periodendauer

2

2

Umax

R = 150 ˜ :

Eingangsspannung ˜ t otherwise

2

Übertragungsfunktion, Bode-Diagramm und Nyquist-Ortskurve:





Zp Z1  Z2 

Z1 ˜ Z2

Parallelschaltung der komplexen Widerstände

Z1  Z2

induktiver Blindwiderstand

XL ( f  L)  j ˜ 2 ˜ S ˜ f ˜ L XC ( f  C) 

1

kapazitiver Blindwiderstand

j ˜ 2˜ S ˜ f˜ C

G ( f  R  L  C) 





Zp XC ( f  C)  R





R  XL ( f  L)  Zp XC ( f  C)  R

G ( f  R  L  C)  G ( f  R  L  C) vereinfachen o AdB ( f  R  L  C)  20 ˜ log  G ( f  R  L  C)



Übertragungsfunktion (Auflösung nach Spannungsteilerregel)

1 2

R

˜i˜

2

2

2

i ˜ R  R ˜ S ˜ f ˜ C  S ˜ f ˜ L  2 ˜ i ˜ S ˜ f ˜ L ˜ R ˜ C

Amplitudengang in dB

M ( f  R  L  C)  arg ( G ( f  R  L  C) )

Phasengang

dB  1

Einheitendefinition

R  150 ˜ :

Ohmscher Widerstand

L  30 ˜ mH

Induktivität

C  20 ˜ PF

Kapazität

Seite 81

Fourierreihen

fmin  0.01 ˜ Hz

unterste Frequenz

fmax  10 ˜ MHz

oberste Frequenz

N  500

Anzahl der Schritte

§ fmax · ¨© fmin ¹

log ¨ 'f 

Schrittweite

N Bereichsvariable

k  0  N fk  fmin ˜ 10

k˜'f

Vektor der Frequenzwerte

Bode Diagramm:  3˜dB

Amplitudengang 0



AdB fk  R  L  C dB

fg

100

Abb. 3.38

200 0.01

0.1

1

10

3

1 10

100

4

1 10

5

1 10

6

1 10

7

1 10

fk Hz Frequenz in Hz

0 20 40 60 M fk  R  L  C 80 100 Grad 120 140 160 180 200 0.01



Phasengang

fg



 90

Abb. 3.39  180

0.1

1

10

100

3

1 10

4

1 10

5

1 10

6

1 10

7

1 10

fk Hz Frequenz in Hz

Der Amplitudengang zeigt, dass es sich um ein Tiefpassfilter handelt. Niederfrequente Schwingungen werden bevorzugt durchgelassen und hochfrequente Schwingungen werden gesperrt.

Seite 82

Fourierreihen

Die -3dB-Grenze, die einer Dämpfung der Ausgangsspannung auf 1 / 2 = 70.7 ˜ % entspricht und üblicherweise zur Ermittlung der Grenzfrequenz herangezogen wird, wird hier stets unterschritten. Dies liegt natürlich daran, weil sich der Filter bei niedrigen Frequenzen (f gegen 0) als einfacher Spannungsteiler verhält (XL hat einen besonders niedrigen und X C einen besonders hohen Widerstand). Bei steigender Frequenz steigt XL und sinkt XC. Durch die beiden frequenzabhängigen Bauteile wird eine Filtersteilheit von ca. 40 dB pro Dekade erreicht. Die Phasendrehung beträgt 180°, weil es sich um einen Tiefpass 2. Ordnung handelt. Bei der Knickfrequenz ist die Phasendrehung -90°. G ( 0 ˜ Hz  R  L  C) AdB ( 0 ˜ Hz  R  L  C)



Die Übertragungsfunktion hat bei der Frequenz von 0 Hz den Wert 1/2.

0.5



4

dB-Grenze

6.021 dB





5

AdB 10 ˜ Hz  R  L  C  AdB 10 ˜ Hz  R  L  C

Filtersteilheit pro Dekade

39.976 dB

Berechnung der Knickfrequenz (M(f,R,L,C) = -S/2): g ( f )  M ( f  R  L  C) 

S

Funktionsdefinition

2

Startwert für die Näherungslösung

f  100 ˜ Hz

§ ©

fg1  wurzel ¨ M ( f  R  L  C) 

· 2 ¹ S

f

fg1

290.576 Hz

Knickfrequenz

fg { 290.576 ˜ Hz

Nyquist-Ortskurve (kartesische Darstellung): Bereichsvariable

i  0  1

Ortskurve

0.2

0.1

 

Imaginärteil

Im G fk  R  L  C



0 · § ¨ ©Im( G( 0˜Hz  R  L  C) ) ¹ i 0 · § ¨Im G f  R  L  C ¹i ©  g

f = 0 ˜ Hz 0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

G ( 0 ˜ Hz  R  L  C) 0.1

fg

290.576 Hz

0.2

0.3

 



0 · 0 · § § ¨ ©Re( G( 0˜Hz  R  L  C) ) ¹ i ©Re G fg  R  L  C ¹ i

Re G fk  R  L  C  ¨

Realteil

Abb. 3.40

Seite 83

0.6

0.5

Fourierreihen

Fourieranalyse und Fouriersynthese des Eingangssignals: 2˜ S

T0 

300

Periodendauer

˜s

2˜ S

Z0 

Kreisfrequenz

T0

Amplitude der Eingangsspannung

Umax  3 ˜ V Umax

ue ( t) 

˜ t if 0 d t 

T0

T0 2

2

2 ˜ Umax 

Umax T0

˜ t if

T0 2

Eingangsspannung (Eingangssignal) d t  T0

2

§ § t ·· ueper f  t  T0  f ¨ t  T0 ˜ floor ¨ © © T0 ¹ ¹





periodische Fortsetzung der Funktion

T0 t  T0  T0   3 ˜ T0 100 Eingangssignal

4

U max u e( t)

T0

3

2˜T0

V



u eper u e  t  T0



2

Abb. 3.41

V 1

0.03

0.02

0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

t s

Komplexe Berechnung der Fourierkoeffizienten: ORIGIN  nmax

ORIGIN

n  nmax  nmax

Bereichsvariable

cn 

T ´ 0  j ˜n˜Z 0˜t µ ˜µ ue ( t) ˜ e dt T0 ¶ 0

1

100

TOL  10

6



ORIGIN und Toleranz festlegen

cn  wenn cn  TOL ˜ V  0 ˜ V  cn

Seite 84



komplexe Fourierkoeffizienten

Fourierreihen

T

-100

c

-99

-100

-98 -0 1·10-15+1.711i·10-15

0

-97

V

-0

Wegen der Symmetrie (gerade Funktion) sind die komplexen Fourierkoeffizienten reell. Komplexes Frequenzspektrum 2

1.5

cn V

Abb. 3.42

1

cn V

0.5

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

n

U0 =

a0

= c0

2

c0

Gleichspannungsanteil

1.5 V

Rücktransformation im Komplexen (Fouriersynthese): 10

uep ( t)  c0 

¦

n

j˜n˜Z 0˜t   j ˜n˜Z 0˜t· § c ˜ e  cn ˜ e n © ¹

Fourierpolynom komplex mit n = 10 Gliedern

1

oder: nmax

j˜n˜Z 0˜t· § c ˜ e n © ¹

¦

uep ( t) =

n

 n max 6



u eper u e  t  T0



Eingangssignal und Fourierpolynom

5

V

T0

4

u ep( t)

3

V

2

2˜T0

Abb. 3.43

1 0.021

0.01

0

0.01

0.021 t s

Seite 85

0.031

0.042

0.052

0.063

Fourierreihen

Rücktransformation im Reellen (Fouriersynthese): U0 =

a0

= c0

2

a0  2 ˜ c0

a0

doppelter Gleichspannungsanteil

3V

Bereichsvariable

n  0  20

  an  wenn cn  cn  TOL ˜ V  0 ˜ V  cn  cn





reelle Fourierkoeffizienten für das Eingangssignal

  bn  wenn ª¬ j ˜ cn  cn  TOL ˜ V  0 ˜ V  j ˜ cn  cn º¼









1

4

an

bn

2

V

0

V

0

5

10

15

0

1

20

0

5

10

n

15

20

n

Abb. 3.44

Abb. 3.45

Das Eingangssignal ist eine gerade Funktion, daher sind alle bn = 0. a0

uep ( t) 

2

10



¦ an ˜ cosn ˜ Z 0 ˜ t

n

Fourierpolynom mit 10 Gliedern

1

Eingangssignal und Fourierpolynom 6



u eper u e  t  T0

5



4

V u ep( t)

3

V

2

Abb. 3.46

1 0.03

0.02

0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

t s

Bestimmung der Ausgangsspannung u a (t): Es wird zuerst jede Schwingungskomponente der Fourieranalyse durch den Filter geschickt und das Ergebnis am Ausgang des Filters ermittelt. Danach wird durch Fouriersynthese (Summation) des Ausgangssignal bestimmt. n  nmax  nmax

Bereichsvariable

Seite 86

Fourierreihen

f0 

2˜ S

Frequenz der Grundschwingung

T0





komplexe Fourierkoeffizienten für das Ausgangssignal

c1 n  cn ˜ G n ˜ f 0  R  L  C



a1  2 ˜ Re c1 n n





b1  2 ˜ Im c1 n n



reelle Fourierkoeffizienten für das Ausgangssignal

a1  wenn § a1  TOL ˜ V  0 ˜ V  a1 · n n¹ © n

reelle Fourierkoeffizienten für das Ausgangssignal

b1  wenn § b1  TOL ˜ V  0 ˜ V  b1 · n n n

©

¹

2

a1

n

b1

1

V

0.2 n

V

0

1

0

1

2

3

4

0.1 0

5

0

1

n

uap ( t) 

2

4

5

Abb. 3.48

2



¦

n

1

§ a1 ˜ cos  n ˜ Z 0 ˜ t  b1 ˜ sin  n ˜ Z 0 ˜ t · n © n ¹

3



3 n

Abb. 3.47 a1 0

2

u eper u e  t  T0

Fourierpolynom des Ausgangssignals mit 2 Gliedern

Eingangs- und Ausgangssignal

2.5



2

V

1.5

u ap( t) V

1 0.5 0.03

0.02

0.01

0

0.01

0.02 t s

Abb. 3.49

Seite 87

0.03

0.04

0.05

0.06

Fourierreihen

Klirrfaktor: n  1  nmax

Bereichsvariable

Un  2 ˜ cn

Scheitelwerte vor dem Filter

nmax

¦

k

kv 

Uk

2

kv

nmax

¦

k

0.431

kv

Klirrfaktor vor dem Durchgang durch den Filter

43.143 %

Uk

1

Scheitelwerte nach dem Filter

U1n  2 ˜ c1 n n max

¦

k

kn 

U1k

2

kn

n max

¦

k

0.178

kn

Klirrfaktor nach dem Durchgang durch den Filter

17.847 %

U1k

1

0.2

Un



G n˜f0  R  L  C

Der Oberwellenanteil wird mit zunehmenden Frequenzen kleiner. Dies ist auch verständlich, weil der Tiefpassfilter höhere Frequenzen stärker dämpft.

0.15

U1n

0.1



0.05 0

0

2

4

6

8

n

Abb. 3.50

Seite 88

10

Fourierreihen

Beispiel 3,7: Einem Funktionsgenerator (FG) wird eine Sägezahnspannung entnommen und einem Lautsprecher zugeführt. Man untersuche das physikalische Verhalten dieser Schaltung.

Gegebene Daten: C = 22 PF RL = 8 : f0 = 1 kHz Umax = 1 V VU = 1

Abb. 3.51 ue (t) bedeutet die Eingangsspannung (Funktionsgeneratorspannung), U max Amplitude der Eingangsspannung, f 0 die Frequenz der Eingangsspannung, ua (t) die Spannung am Lautsprecher, C die Kapazität des Kondensators, RL der ohmsche Widerstand des Lautsprechers und VU die Spannungsverstärkung. Die Eingangsspannung (Generatorspannung) ist gegeben durch: ue ( t) =

2 ˜ Umax T0

˜ t if

T0 2

dtd

T0

Eingangsspannung (Generatorspannung) über eine Periode

2

0 otherwise T ·· § § ¨ ¨t  0 2 ˜ Umax ¨ 2 ¸¸ ¨ ueper ( t) = ˜ t  T0  T0 ˜ floor ¨ ¨ T0 © © T0 ¹ ¹

periodische Fortsetzung der Eingangsspannung

a) Stellen Sie die Spannung des Funktionsgenerators grafisch dar. b) Wie groß ist der Effektivwert der Generatorspannung ? c) Führen Sie für die Generatorspannung eine Fourieranalyse und Fouriersynthese (Fourierpolynom mit 30 Gliedern) durch und stellen Sie Frequenzspektrum und das Fourierpolynom grafisch dar. Wie groß ist der Klirrfaktor der Generatorspannung ? d) Die Funktionsgeneratorspannung wird an einen Leistungsverstärker mit der Spannungsverstärkung 1 gelegt, an dessen Ausgang über den Kondensator C ein Lautsprecher (ist als Ohmscher Widerstand zu betrachten) angeschlossen ist. Berechnen Sie näherungsweise den Klirrfaktor der Lautsprecherspannung. Effektivwertberechnung der Generatorspannung (symbolisch): Redefinition

Umax  Umax T0

UEff =

´ 2 µ ˜µ T0 µ µ T ¶ 0 1

2

§¨ 2 ˜ Umax · ˜ t dt ¨© T0 ¹

1

annehmen  Umax ! 0 1 2 o UEff = ˜ 3 ˜ Umax 3 vereinfachen

2

Seite 89

Fourierreihen

Grafische Darstellung der Generatorspannung: Umax  1 ˜ V

maximale Amplitude

f0  1 ˜ kHz

Frequenz

Z 0  2 ˜ S ˜ f0 T0 

2˜ S Z0

ms  10

3

3 1

Z0

6.283 u 10 s

T0

1 u 10

3

Kreisfrequenz

Periodendauer

s

Einheitendefinition

˜s

ta  6 ˜ ms

Anfangszeitpunkt

te  6 ˜ ms

Endzeitpunkt

N  800

Anzahl der Schritte

't 

te  ta

Schrittweite

N

Bereichsvariable

t  ta  ta  't  te

ueper ( t) 

UEff 

2 ˜ Umax T0

Umax 3

T ·· § § ¨ ¨t  0 2 ¸ ¸ Generatorspannung mit periodischer Fortsetzung ¨ ¨ ˜ t  T0  T0 ˜ floor ¨ ¨ T © © 0 ¹¹

UEff

Effektivwert der Generatorspannung

0.577 V

Generatorspannung und Effektivwert 1.5

 T0

Spannung

u eper( t)

2

V

2

ms 0.5

V U Eff

T0

1

6

5

4

3

2

1

ms 0

0.5 1 1.5 t ms Zeit

Abb. 3.52

Seite 90

1

2

3

4

5

6

Fourierreihen

Fourieranalyse und Fouriersynthese der Generatorspannung: 2 ˜ Umax

ue ( t) 

T0

˜ t if

T0 2

dtd

T0 2

Generatorspannung über eine Periode

0 otherwise ORIGIN festlegen

ORIGIN  1 TOL  10

6

numerische Toleranz festlegen Bereichsvariable

n  1  30

Die Koeffizienten a n sind alle null. Die Generatorspannung ist eine ungerade Funktion (zentralsymmetrisch). T0

bn 

´ 2 µ ˜µ ue ( t) ˜ sin n ˜ Z 0 ˜ t dt T0 µ ¶ T0 2







bn  wenn bn  TOL ˜ V  0  bn



Fourierkoeffizienten b n

2 T

b

1 1

0.637

2 -0.318

3

4 -0.159

0.212

5 0.127

6 V -0.106

Frequenzspektrum der Generatorspannung 0.73 0.65 0.58 bn 0.51 0.44 V 0.36 0.29 0.22 0.15 0.073 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 n

Abb. 3.53 Die Fouriersynthese aus 30 Gliedern (Rücktransformation) ergibt: 30

uep ( t) 

¦ bn ˜ sin n ˜ Z 0 ˜ t

n

Fourierpolynom mit 30 Gliedern

1

Seite 91

Fourierreihen

Generatorspannung und Fourierpolynom 2

 T0

u eper( t) Spannung

T0

1.33 2

2

ms 0.67

V u ep( t)

6

5

4

3

2

1

V

ms

0

1

2

3

4

5

6

0.67 1.33 2 t ms Zeit

Abb. 3.54 Klirrfaktor der Generatorspannung: b1

Amplitude der Grundschwingung

0.637 V



u1 ( t)  b1 ˜ sin Z 0 ˜ t



Grundschwingung

T0

UEff.1 

´ 2 1 µ 2 ˜µ u1 ( t) dt T0 µ ¶ T0





UEff.1

0.45 V

Effektivwert der Grundschwingung

2

UEff

2

k

Effektivwert der Gesamtspannung

0.577 V

UEff  UEff.1

2

k

UEff

62.6 %

Klirrfaktor der Generatorspannung

Klirrfaktor der Lautsprecherspannung (näherungsweise): Nach der Spannungsteilerregel gilt für die Übertragungsfunktion G(j n Z):

G(j ˜ n ˜ Z ) =

ua ( j ˜ n ˜ Z ) ue ( j ˜ n ˜ Z )

RL

=

1

=

RL  j ˜ n˜ Z ˜ C

j ˜ n ˜ Z ˜ C ˜ RL 1  j ˜ n ˜ Z ˜ C ˜ RL

Übertragungsfunktion

Effektivwert der Spannung am Lautsprecher (mit Kondensator) = Amplitudengang * Effektivwert der Eingangsspannung: Ua.Eff = G ( j ˜ n ˜ Z ) ˜ Ue.Eff

Effektivwert der Spannungsamplituden am Lautsprecher

Seite 92

Fourierreihen

C  22 ˜ PF

Kapazität des Kondensators

RL  8 ˜ :

Ohmscher Widerstand des Lautsprechers

j ˜ n ˜ Z 0 ˜ C ˜ RL

An 

T

A

1 0.742

1

2 0.911

3 0.957

bn

UeEff  n UeEff

Amplitudengang

1  j ˜ n ˜ Z 0 ˜ C ˜ RL

T 1

T 1

¦

n

1 0.45

2 0.225

7 0.992

8 0.994

9 0.995

2

§ UaEff · n¹ ©

¦

1

3 0.15

2 0.205

3 0.144

5 0.09

6 0.075

7 0.064

8 0.056

9 V 0.05

4 0.11

5 0.089

6 0.074

7 0.064

8 0.056

9 V 0.05

2

k

§ UaEff · n¹ ©

4 0.113

Effektivwert der Lautsprecherspannungsamplituden

1 0.334

30 n

6 0.989

Effektivwert der Eingangsspannungsamplituden

30

k

5 0.984

2

UaEff  An ˜ UeEff n n UaEff

4 0.975

70.9 %

Klirrfaktor der Lautsprecherspannung (Ausgangsspannung)

2

Seite 93

Fourierreihen

3.1 Diskrete Fourier-Transformation (DFT) und inverse diskrete-Transformation (IDFT) Bei vielen technischen Problemen ist die Zeitfunktion nicht explizit bekannt. Die Messwerte können zum Beispiel aus einem Messdatenerfassungssystem (digitalen Speicher-KO) stammen. Oft ist es auch notwendig, ein analoges Signal zu digitalisieren. Dies wird z.B. bei einer CDAufnahme und anderen Analog-Digital-Umwandlungen genützt. Für solche Fälle wurden numerische Verfahren entwickelt, die besonders einfach werden, wenn die Abstände zwischen den Messwerten konstant sind (äquidistant). Man hat es also mit periodischen Signalen y = f(t) (bzw. u(t), i(t) usw.) mit der Periode T 0 = 2S/Z0 zu tun, von denen man in äquidistanten Abtastzeitpunkten t k = k 't (k = 0, 1, 2, ... , N-1) die N aufgenommenen Abtastwerte y k = f(tk ) (bzw. uk , ik usw.) des Signals mit N 't = T0 kennt.

Abb. 3.55 Durch die N Punkte (t k | yk ) (bzw. (tk | uk ), (tk | ik ) usw.) mit t k = k 't lässt sich nun eine periodische Funktion legen, die als Fourierpolynom (trigonometrisches Polynom) in reeller oder komplexer Form formuliert wird: f ( t) | fp ( t) =

a0 2

¦

n



¦ an ˜ cosn ˜ Z 0 ˜ t  bn ˜ sin n ˜ Z 0 ˜ t 

n

M

fp ( t) = c0 

M

(3-26)

1

j˜n˜Z 0˜t   j ˜n˜Z 0˜t· § c ˜ e  cn ˜ e n © ¹=

1

M

¦

n

j˜n˜Z 0˜t· § c ˜ e n © ¹

(3-27)

M

Diese Aufgabe nennt man Ausgleichsrechnung in diskreter Form (punktweise Approximation, diskrete Fehlerquadratmethode nach Gauß; siehe dazu auch Abschnitt 3.10, Band 3). Die noch frei wählbaren 2 M + 1 Parameter (Koeffizienten) a 0 , an, bn bzw. c k werden mithilfe einer Fehlergröße S festgelegt: N 1

S=

2 ¦ yk  fptk ŸMinimum

k

0

Seite 94

(3-28)

Fourierreihen

Dabei muss die Anzahl der Abtastwerte N grösser sein als die zu bestimmenden Parameter, also N > 2 M+1 (oft beträgt in der Praxis dieser Unterschied eine Grössenordnung N >> 2 M+1). Aus dem Minimalprinzip ergeben sich dann die diskreten reellen Koeffizienten zu:

an =

N 1

2

¦ yk ˜ cosn ˜ Z 0 ˜ tk und

˜

N

k

 bn =

0

N1

2

¦ yk ˜ sin n ˜ Z 0 ˜ tk 

˜

N

k

(3-29)

0

mit n = 0, 1, 2, ... , M. a0 ergibt sich für n = 0 und b 0 = 0. Setzen wir schließlich 2˜ S

n ˜ Z 0 ˜ tk = n ˜

an =

˜ k ˜ 't = n ˜

T0

N 1

2 N

k

T0

˜k˜

T0 N

= 2˜ S ˜

k N

§ y ˜ cos § 2 ˜ S ˜ k ˜ n· ·  ¨ k ¨ N ¹¹ © ©

¦

˜

2˜ S

0

˜ n , so erhalten wir die Darstellung

bn =

2 N

N1

˜

§ y ˜ sin § 2 ˜ S ˜ k ˜ n· · (3-30) ¨ k ¨ N ¹¹ © ©

¦

k

0

Die diskreten komplexen Koeffizienten c n ergeben sich aus: 1 cn = ˜ an  j ˜ bn 2



cn =

1 2



ª2

˜«

«N ¬

N 1

¦ 

˜

k



yk ˜ cos n ˜ Z 0 ˜ tk

0

 j˜M

Mit der Eulerschen Beziehung e

cn =

1 N

N 1 k

2 N

N 1

˜

¦ 

k

0



yk ˜ sin n ˜ Z 0 ˜ tk

º » » ¼

(3-32)

= cos ( M )  j ˜ sin ( M ) ergibt sich schließlich:

 j ˜n˜Z 0˜tk· § © yk ˜ e ¹

¦

˜



j˜

(3-31)

(3-33)

0

Setzen wir auch hier k

n ˜ Z 0 ˜ tk = 2 ˜ S ˜

N

˜ n,

so erhalten wir für n = 0, 1, 2, ... , M, mit N t 2 M+1, die komplexen Fourierkoeffizienten in der Darstellungsform:

cn =

1 N

N 1

˜

¦

k

k §  j ˜2˜S˜ ˜n· ¨ N © yk ˜ e ¹

(3-34)

0

Ist die Anzahl der Abtastwerte N = 2 M+1, so nimmt f p(t) (trigonometrisches Interpolationspolynom) an den Abtaststellen t k die Abtastwerte y k an.

Seite 95

Fourierreihen

Multiplizieren wir die Ungleichung N t 2 M+1 mit f0 (Z0 = 2 Sf0 ), so ergibt sich: N ˜ f 0 t ( 2 ˜ M  1) ˜ f0

(3-35)

Die Grösse fA = N ˜ f0 =

N T0

=

N N ˜ 't

=

1

(3-36)

't

ist die Anzahl, wie oft die Funktion f(t) pro Sekunde abgetastet wird, also die Abtastfrequenz. Es muss also gelten: fA t ( 2 ˜ M  1) ˜ f0 bzw. fA t 2 ˜ M ˜ f0  f0

(3-37)

fA ist aber die Frequenz der höchsten im Fourierpolynom vorkommenden Oberschwingung. Die Abtastfrequenz muss also mindestens gleich 2 M f0 + f 0 sein. Dies ist eine Frequenz, die grösser als das Doppelte der höchstens in der Funktion f(t) enthaltenen Frequenz ist. Diese Aussage wird, wie nachfolgend angegeben, in einem Satz der Digitaltechnik formuliert. Das Abtasttheorem (Sampling-Theorem) nach Shannon: Ein Zeitsignal kann aus (theoretisch unendlich vielen) äquidistant liegenden Abtastwerten dann exakt rekonstruiert werden, wenn die Abtastung mit einer Frequenz f A erfolgt, die mehr als doppelt so groß ist (zweifache Bandweite) wie die höchste im Signal enthaltene Frequenz fmax (also fA > 2 fmax). Das Signal kann Überabgetastet werden (oversampling), um eine gute Rekonstruktion des Signals zu erreichen. Wenn kleinere Abtastraten (Samplingraten) benutzt werden, dann werden Signalkomponenten höherer Frequenz mit Signalkomponenten niedriger Frequenz überlagert. Dieses Phänomen wird Aliasing genannt, welches die Informationen, die von einem Signal getragen werden, zerstört.

Beispiel 3,8: Die mit T0 = 4 ms periodische Wechselspannung u(t) soll während einer Periode N = 5 und N = 7 mal abgetastet werden. Zu diesen Abtastwerten soll die Fourierreihe (Fourierpolynom) bis zur 2. Harmonischen (M = (N - 1)/2 = (5 - 1)/2 = 2) bzw. 3. Harmonischen ((M = (N - 1)/2 = (7 - 1)/2 = 3) aufgestellt werden. Vergleichen Sie in einer Graphik die Originalfunktion, die Abtastwerte und das Fourierpolynom. ORIGIN  0 ms  10

3

˜s

ORIGIN festlegen Einheitendefinition

Umax  1 ˜ V

Scheitelwert

T0  4 ˜ ms

Periodendauer

Z0  f0 

2˜ S T0 1 T0

Z0 f0

1570.796 s

1

Kreisfrequenz

Frequenz

250 Hz

§ 2 ˜ S ˜ t·  Umax ˜ cos § 3 ˜ 2 ˜ S ˜ t· u ( t )  Umax ˜ sin ¨ ¨ 2 T0 © T0 ¹ © ¹

periodische Spannung

Seite 96

Fourierreihen

N  Na 't 

T0 N

N

5

Anzahl der Abtastwerte

't

0.8 ms

Abtastschrittweite

k  0  N  1

Bereichsvariable

tk  k ˜ 't

Abtastzeitpunkte

T

t

0 0

1 0.8

0

2 1.6

3 2.4

4 3.2



T

M

4 ms

ms

Abtastvektor

uk  u tk

0

u

N ˜ 't

0

1 0.547

0.5

N 1

M

2

2 0.742

2

3 -0.433

2˜ M  1

4 V -1.356

5

Bereichsvariable

n  0  M Fourieranalyse:

an 

2 N

bn 

2 N

N1

§ u ˜ cos § 2 ˜ S ˜ k ˜ n· · ¨ k ¨ N ¹¹ © ©

¦

˜

k

0

N 1

˜

§ u ˜ sin § 2 ˜ S ˜ k ˜ n· · ¨ k ¨ N ¹¹ © ©

¦

k

0

T

a

0

2

0

T

b

1

0

0

0

1

0

0

3 0.5

2 1

0

0

3 -0.159

4 V -1.061·10-4

4 0.127

Fouriersynthese:

up ( t) 

a0 2

M



¦ an ˜ cosn ˜ Z 0 ˜ t  bn ˜ sin n ˜ Z 0 ˜ t

n

Fourierpolynom

1

Bereichsvariable

t  0 ˜ ms  0.01 ˜ ms  3 ˜ T0

Seite 97

5 V -0.106

Fourierreihen

Originalfunktion und Fourierpolynom

2 u ( t) 1

V

T0

3˜T0

ms

ms

uk V

0

u p( t)

2

4

6

8

10

12

Abb. 3.56

1

2 t

tk

t  ms ms ms 

Na { 5

Hier kann global die Anzahl der Abtastwerte geändert werden (z.B. 7, 9 usw.)!

fA  N ˜ f0

fA

fmax  3 ˜ f 0

fmax

fA ! 2 ˜ fmax

1250 Hz 750 Hz

Abtastfrequenz größte vorkommende Frequenz in der Wechselspannung Das Abtastteorem nach Shannon ist in diesem Fall nicht erfüllt!

0

Schnelle Fourier-Transformation (FFT- Fast Fourier-Transform) Die Berechnung der Näherungswerte für die Fourierkoeffizienten mit den oben angegebenen Näherungsformeln erfordert nicht nur an die N 2 Additionen, sondern, was auch zur erhöhten Rechenzeit beiträgt, N2 Multiplikationen. In vielen Anwendungen ist aber N oft sehr groß, so dass selbst schnelle Rechner lange Rechenzeiten benötigen. 1965 wurde ein Algorithmus veröffentlicht, der nur noch eine Rechenzeit braucht, die proportional zu N log 2 (N) ist. Dieser Algorithmus wurde als FFT bekannt. FFT hat seitdem viele Bereiche der Naturwissenschaft und Technik revolutioniert und ist eine gängige Methode zur numerischen Ermittlung des Frequenzspektrums von diskreten Daten. Obwohl es zahlreiche Varianten von diesem Algorithmus gibt, bleibt jedoch der Grundgedanke, die N Werte der Folge yk in mehrere Teilfolgen zu zerlegen und diese dann getrennt zu transformieren. Besonders wirksam ist diese Algorithmus, wenn N eine Potenz von 2 ist. Wenn N eine gerade Zahl ist, so folgt aus 2 M+1 d N die Forderung M < N/2 und daher n < N/2. Ist der Vektor y = ( y0 , y1 , ..., yN-1) bekannt, so lässt sich mit der oben angeführten Näherungsformel der Vektor der Fourier-Koeffizienten c = (c0 , c1 , ..., cN-1) berechnen aus:

cn =

1 N

N 1

˜

¦

k

k §  j ˜2˜S˜ ˜n· ¨ N © yk ˜ e ¹ , n = 0, 1, 2, ..., N - 1

(3-38)

0

Es ist leicht zu erkennen, dass die oben angeführte Näherungsformel mit dieser übereinstimmt, wenn n < N/2 ist. Diese N Gleichungen werden als diskrete Fourier-Transformation (DFT- Discrete Fourier Transform) der n-Werte y k in die N-Werte cn bezeichnet. Ein wichtiges Anwendungsgebiet der DFT ist die Signalverarbeitung. Z.B. Bildanalysen und Bildbearbeitung (Ultraschall-Scannern, Röntgenaufnahmen, Satelitenbildern usw.) und Spracherkennung, besonders bei verrauschten Signalen.

Seite 98

Fourierreihen

Umgekehrt kann man mit strukturgleichen Formeln aus dem gegebenen Vektor c = (c0 , c1 , ..., cN-1) den Vektor y = ( y0 , y1 , ..., yN-1) bestimmen:

yn =

1 N

N 1

˜

¦

k

k § j ˜2˜S˜ ˜n· ¨ N © ck ˜ e ¹ , n = 0, 1, 2, ..., N - 1

(3-39)

0

Dieses Vorgehen heißt diskrete Fourier-Synthese (IDFT- Inverse Discrete Fourier Transform). Ein wichtiges Anwendungsgebiete der IDFT Analyse ist die Signalerzeugung (z.B. bei der Bild- und Sprachsynthese). In Mathcad sind verschiedene Varianten der diskreten Fourier-Transformation vorgesehen (siehe Einführung in Mathcad Band 1). Schnelle diskrete Fourier-Transformation für reelle Daten: Die Fast-Fourier-Transformierte FFT(y) liefert einen Vektor cn mit 2m-1 + 1 (m > 2) Elementen zurück:

cn =

c = FFT ( y)

1 N

N 1

¦

˜

k

k §  j˜2˜S˜ ˜n· ¨ N © yk ˜ e ¹ , n = 0,1,2,...,N/2 mit N  ²

(3-40)

0

N ist die Anzahl der reellen diskreten Daten (Messungen in regelmäßigen Abständen im Zeitbereich) des Vektors y, wobei dieser Vektor genau 2m = N (m > 2) Daten enthalten muss. Die Invers-Fast-Fourier-Transformierte IFFT(c) liefert einen Vektor yn mit 2m-1 + 1 (m > 2) Elementen zurück: k § j˜2˜S˜ ˜n· ¨ N © ck ˜ e ¹ , n = 0,1,2,...,N/2 mit N  ²

N1

y = IFFT ( c)

yn =

¦

k

(3-41)

0

Die reellwertigen Fourierkoeffizienten a n und bn erhalten wir durch:





an = 2 ˜ Re cn und bn = 2 ˜ Im cn

(3-42)

Schnelle diskrete Fourier-Transformation für reelle und komplexe Daten (ein- und zweidimensional): Die Fast-Fourier-Transformierte CFFT(y) liefert einen Vektor (oder Matrix) cn derselben Größe wie der als Argument übergebene Vektor y bzw. wie die als Argument übergebenen Matrix zurück ( das Ergebnis hat dieselbe Anzahl von Zeilen und Spalten wie der Vektor y):

c = CFFT ( y)

cn =

1 N

N 1

˜

¦

k

k §  j˜2˜S˜ ˜n· ¨ N © yk ˜ e ¹ , n = 0,1,2,...,N-1 mit N  ²

0

N ist die Anzahl der reellen oder komplexen diskreten Daten des Vektors (oder Matrix) y mit beliebiger Größe.

Seite 99

(3-43)

Fourierreihen

Die Invers-Fast-Fourier-Transformierte ICFFT(c) liefert einen Vektor (oder Matrix) yn derselben Größe wie der als Argument übergebene Vektor c bzw. wie die als Argument übergebenen Matrix zurück: k § j˜2˜S˜ ˜n· ¨ N © ck ˜ e ¹ , n = 0,1,2,...,N-1 mit N  ²

N1

y = ICFFT ( c)

yn =

¦

k

(3-44)

0

Die reellwertigen Fourierkoeffizienten a n und bn erhält man durch:





an = 2 ˜ Re cn und bn = 2 ˜ Im cn mit n < N/2

(3-45)

Beispiel 3,9: Ein periodisches Signal i(t) mit der Frequenz f 0 = 100 Hz soll während einer Periode N = 8, N = 16 und N = 32 mal abgetastet werden. Zu diesen Abtastwerten soll mittels FFT das Frequenzspektrum ermittelt und grafisch dargestellt werden. Anschließend soll durch Fouriersynthese das Originalsignal wieder hergestellt und in einer Grafik mit der Originalfunktion verglichen werden. ORIGIN festlegen

ORIGIN  0 ms  10

3

Einheitendefinition

˜s

Scheitelwert

Imax  1 ˜ A f0  100 ˜ Hz 1

T0 

f0 2˜ S

Z0 

T0

Frequenz

f0

100 Hz

T0

10 ms

Z0

628.319 s





i ( t )  I max ˜ sin 2 ˜ Z 0 ˜ t 

Imax 3

Periodendauer

Kreisfrequenz





˜ cos 5 ˜ Z 0 ˜ t 

Imax

m

N 2

T0 N

N

16

Anzahl der Abtastwerte

't

0.625 ms

Abtastschrittweite

k  0  N  1

Bereichsvariable

tk  k ˜ 't

Abtastzeitpunkte

T

t

0 0



˜ cos 6 ˜ Z 0 ˜ t

2



Periodisches Signal

wird unten global definiert

m  m1

't 

1

0

1 0.625

2 1.25

3 1.875

4 2.5

5 3.125

Seite 100

N ˜ 't

10 ms

6 3.75

7 4.375

8 5

ms

Fourierreihen



Abtastvekor des Signals

ik  i tk T

i

0 0.833

0

1 0.226

2 0.764

3 1.369

Signal und Abtastwerte

2 1

A ik

0

A

5 A -0.662

-0.5

Bereichsvariable

t  0 ˜ ms  0.01 ˜ ms  2 ˜ T0

i( t)

4

2

4

6

8

T0

2˜T0

ms

ms

10

12

14

16

18

20

1 2 t

tk



ms ms

Abb. 3.57 Fourieranalyse und Frequenzspektrum: Fast Fourier-Transformation

c  FFT ( i) n  0 

N

Bereichsvariable

2

TOL  10

5

numerische Toleranz festlegen



cn  wenn cn  TOL ˜ A  0 ˜ A  cn T

0

c

0

1 0



numerische Rauschen rausfiltern

2 -0.5i

0

3

4 0

0

5 0.167

6

7 0.25

0

A

Komplexes Frequenzspektrum

1 cn A

0.5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

n

Abb. 3.58 a1  2 ˜ Re ( c)

b1  2 ˜ Im ( c)

reellwertige Fourierkoeffizienten

Seite 101

13

14

15

16

17

Fourierreihen

Reelles Frequenzspektrum

1 a1n

b1n

0.5

0

1

2

3

4

5

6

Reelles Frequenzspektrum

2

7

1

8

0

1

2

3

n

4

5

6

7

8

n

Abb. 3.59

Abb. 3.60

Rücktransformation in den Zeitbereich: Berechnung der IFFT-Koeffizienten

i1  IFFT ( c) 2 ik A i1k

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

T0

2˜T0

ms

ms

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

A

2 tk ms

Abb. 3.61 n max





ip t  nmax  c0 

¦

n

j˜n˜Z 0˜t   j ˜n˜Z 0˜t· §  cn ˜ e © cn ˜ e ¹

Fourierpolynom in komplexer Darstellung

1

2 i ( t)

1

A

§ ©

i p¨t  A

N·

0

2¹

2

4

6

8

T0

2˜T0

ms

ms

10

1

2 t ms

Abb. 3.62

Seite 102

12

14

16

18

20

Fourierreihen

m1 { 4

N

fA  N ˜ f0

fA

fmax  6 ˜ f 0

fmax

fA ! 2 ˜ fmax

Vergleiche m1 = 3 und m 1 = 5!

16

Abtastfrequenz

1600 Hz

größte vorkommende Frequenz im Signal

600 Hz

Das Abtastteorem nach Shannon ist in diesem Fall erfüllt

1

Beispiel 3,10: Von einem mit Rauschanteilen überlagertem Signal soll das Frequenzspektrum hergestellt werden, das überlagerte Signal gefiltert (die Rauschanteile unterdrückt) und das Originalsignal wieder hergestellt werden. ORIGIN festlegen

ORIGIN  0 ms  10

3

Einheitendefinition

˜s

Scheitelwert

Amax  1 ˜ mm f0  1 ˜ kHz T0 

Z0 

f0

1 f0 2˜ S T0

3

Frequenz

1 u 10 Hz

Periodendauer

T0

1 ms

Z0

6283.185 s

1

Kreisfrequenz

N  127

ungerade Anzahl von Abtastwerten

k  0  N  1

Bereichsvariable

tk 

T0 N

Abtastwerte

˜k





yk  Amax ˜ sin 5 ˜ Z 0 ˜ tk 

Amax 2



˜ cos 9 ˜ Z 0 ˜ tk



periodisches digitales Signal

2 T0

yk 0

mm

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

2 tk ms

Abb. 3.63 Dieses Signal soll mit Rauschanteilen überlagert werden (mithilfe der Funktion rnd): sk  yk  ( rnd ( 2)  1) ˜ mm

Seite 103

ms 1

1.1

Fourierreihen

4 2

T0

sk 0

mm

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

ms 1

1.1

2 4 tk ms

Abb. 3.64 Diskrete Fouriertransformation: N ist ungerade, daher CFFT.

c  CFFT ( s)

§ N· © 2¹

n  0  floor ¨

n

N

N

2

2

63.5

Bereichsvariable

Festlegung eines Pegelwertes zur Ausscheidung des Rauschanteils.

pegel  0.12 ˜ mm

Frequenzspektrum

0.6 cn 0.4

mm

m Signal

pegel mm

0.2

0

m Rauschanteil 0

10

20

30

40

50

60

70

n

Abb. 3.65 Filterung des Signals, um die Rauschanteile zu unterdrücken: Bereichsvariable

n  0  N  1 cn  cn ˜ )



cn  pegel



Mit der Heaviside-Funktion werden alle Frequenzanteile, deren Amplitude unter dem Pegelwert liegt, auf 0 gesetzt (einfacher Filter).

Diskrete Rücktransformation: y1  ICFFT ( c)

inverse Fourier-Transformation

Seite 104

Fourierreihen

Abgetastetes Signal und rücktr. Signal

0.002

y1

T0

0.001

yn

ms n

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

0.001 0.002 tn ms

Abb. 3.66 Beispiel 3,11: Eine eingelesene Bilddatei soll zuerst in seine ROT-, GRÜN- und BLAU-Anteile zerlegt und grafisch dargestellt werden. Anschließend sollen diese Anteile Fouriertransformiert und das Frequenzspektrum dargestellt werden. Durch geeignete Filterung der Frequenzanteile soll das Originalbild wieder hergestellt werden.

ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

B  "C:\mathcad\Einführung\Beispiele\bilder\stifte.jpg "

Einlesen einer Bilddatei

RGB  RGBLESEN ( B)

Mit RGBLESEN werden Rot-, Grün- und BlauAnteil nebeneinander in eine Matrix geschrieben.

z  zeilen ( RGB) s

spalten ( RGB) 3

i  0  z  1

z

223

Zeilenanzahl der RGB-Matrix

s

149

Spaltenanzahl der RGB-Matrix

j  0  s  1

Ni  j  0

Bereichsvariable Nullmatrix mit gleicher Dimension wie R-, G- und B-Anteile

Anteile rot, grün und blau mit der Funktion submatrix extrahieren: Rot  submatrix ( RGB  0  z  1  0  s  1)

Spalte 0 bis s - 1 für R-Anteil

Grün  submatrix ( RGB  0  z  1  s  2 ˜ s  1)

Spalte s bis 2 s - 1 für G-Anteil

Blau  submatrix ( RGB  0  z  1  2 ˜ s  3 ˜ s  1)

Spalte 2 s bis 3 s - 1 für B-Anteil

Seite 105

Fourierreihen

Originalbild und zusammengesetztes Bild aus Rot, Grün und Blau-Anteil (Matrixpalette- Bild einfügen)

B

Rot  Grün  Blau Abb. 3.67

Rot  N  N

Abb. 3.68

N  Grün  N

Abb. 3.69

N  N  Blau

Abb. 3.70

Abb. 3.71

Schnelle Fouriertransformation mithilfe der Funktion CFFT und Frequenzspektrum: CRot  CFFT ( Rot)





CGrün  CFFT ( Grün)





CBlau  CFFT ( Blau)





Re CRot  N  N

N  Re CGrün  N

N  N  Re CBlau

Abb. 3.72

Abb. 3.73

Abb. 3.74

Seite 106

Fourierreihen

Frequenzspektren für i = 0: 3

1 10

100 CRot

0j

CGrün CBlau

10 0j

1 0j

0.1

0.01

0

20

40

60

80

100

120

140

j

Abb. 3.75 Bandbegrenzte Fourierspektren: Die Bandbegrenzung wird dadurch simuliert, dass die Fourierkoeffizienten im mittleren Indexbereich einfach null gesetzt werden. p  20 ˜ %

Prozentsatz der Koeffizienten, die null gesetzt werden.

ª§  z · § j s · º «¨ i 2 ¨ » p p 2 CRotB  wenn «¨ t ˜¨ t C  0» i j s 2¹ © 2 ¹ Roti  j ¼ ¬© z ª§  z · § j s · º «¨ i 2 ¨ » p p 2 CGrünB  wenn «¨ t ˜¨ t C  0» i j s 2¹ © 2 ¹ Grüni  j ¼ ¬© z ª§ i  z · § j s · º «¨ ¨ » p p 2 2 CBlauB  wenn «¨ t ˜¨ t  CBlau  0» i j s i j ¼ 2¹ © 2¹ ¬© z

Seite 107

Bandbegrenzung mit idealem Tiefpassfilter

Fourierreihen

3

1 10

s

s CRotB

p  ˜s 2 2

100

p  ˜s 2 2

0j

10

CGrünB

0j

CBlauB

1 0j

0.1 0.01

0

20

40

60

80

100

120

140

160

j

Abb. 3.76

Rücktransformation des Bandbegrenzten Signals:







RotB  ICFFT CRotB

GrünB  ICFFT CGrünB





BlauB  ICFFT CBlauB



Abb. 3.77

Re ( RotB)  Re ( GrünB )  Re ( BlauB ) Dieses Bild kann mithilfe der Funktion RGBSCHREIBEN wieder als Bilddatei gespeichert werden. Die Matrizen RotB, GrünB und BlauB müssen nicht mehr notwendigerweise reell sein. Daher werden die Matrizen zuerst vektorisiert und anschließend wird davon der Realteil erzeugt.    o o o B1  erweitern Re RotB  erweitern Re GrünB  Re BlauB

Erzeugen der reellen Matrizen und Zusammenfügen der Matrizen

RGBSCHREIBEN ( "stifte1.jpg" )  B1

Bild als Datei speichern

 



 



Seite 108



Fouriertransformation

4. Fourier-Transformation Bei periodischen Funktionen y = f p(t) führt die Fourier-Analyse stets zu einem Linienspektrum. Bei nichtperiodischen Funktionen f(t) ist aber ein kontinuierliches Spektrum zu erwarten. In der Praxis treten viele einmalige Vorgänge auf, die nicht periodisch sind. Die Analyse nichtperiodischer Funktionen, z. B. einem einmaligen Impuls, leitet man z.B. aus einer periodischen Funktion her, indem man die Periode immer grösser werden lässt. Eine Vergrößerung der Periodenlänge T 0 ist gleichbedeutend mit der Verkleinerung der Frequenz von f 0 bzw. Z0 . Im Linienspektrum des periodischen Vorganges rücken die einzelnen Spektrallinien immer näher zusammen. Durch den Grenzübergang T 0 o f entsteht schließlich ein kontinuierliches Spektrum, weshalb k Z0 als ein Kontinuum Z beschreibbar ist, und alle Frequenzen zwischen - f und + f enthält (Amplituden- oder Frequenzdichtespektrum). Anstelle der trigonometrischen Summe der Fourierreihe tritt ein Integral, das Fourierintegral, das sich über alle Frequenzen von - f bis + f erstreckt. In der Naturwissenschaft und Technik ist die zeitkontinuierliche Fourier-Transformation eine wichtige Integraltransformation. Dabei wird einer Zeitfunktion y = f(t) ihr Frequenzspektrum F(Z) zugeordnet und umgekehrt. Anhand des Beispiels der periodischen Rechteckschwingung soll nun der Übergang von periodischen zu aperiodischen Signalen veranschaulicht werden.

Beispiel 4.1:





rect t  T1  T0 

1 if

t  T1

0 if

2

T1 2

d t 

periodische Rechteckschwingung über eine Periode definiert, mit der Impulsbreite T1

T0 2

A 2

Amplitude des Signals

T0  2 ˜ S

Periodendauer des Signals

T1  2

Impulsbreite des Signals

t  3 ˜ T0  3 ˜ T0  0.01  3 ˜ T0

Bereichsvariable





Rechteckimpuls

fp ( t)  A ˜ rect t  T1  T0

periodische Rechteckschwingung 2

fp( t)

1.5

 fp t T0

fp t T0

T1

T0

2

2

1 0.5

10

8

6

4

2

0 t

Abb. 4.1

Seite 109

2

4

6

8

10

Fouriertransformation

Wir wählen wegen der Symmetrie zweckmäßigerweise das Integrationsintervall - T 1 /2 d t d T 1 /2: T1

´ 2 T1 a0 1 µ ˜µ c0 = A dt = A ˜ = T0 2 T0 µ  T ¶ 1

Fourierkoeffizient c0

2 T1

T1 T1 · §¨ ´ 2  j˜n˜Y 0˜ j ˜n˜Y 0˜ µ  j ˜ n ˜ Y ˜ t 1 ˜ A 1 0 2 2 ¨ ˜µ dt = cn = A˜e ˜ ©e e ¹ j ˜ n ˜ Z 0 ˜ T0 T0 µ  T ¶ 1

Fourierkoeffizienten cn für n z 0

2 T1 T1 · § T1 · § ¨ j˜n˜Y 0˜  j˜n˜Y 0˜ ¨ ˜ sin n ˜ Z 2 2 0 2 T1 · ¨e ¸ § 2˜ A e 2˜ A © ¹ cn = ˜¨ = ˜ sin ¨ n ˜ Z 0 ˜ = A˜ 2 ¹ n˜ S n ˜ Z 0 ˜ T0 © 2˜ j ¹ n ˜ Z 0 ˜ T0 ©

§

T1 ·

©

2

sin ¨ n ˜ Z 0 ˜



an = 2 ˜ Re cn = 2 ˜ A ˜

¹

n˜ S

ORIGIN festlegen

ORIGIN  50

T0  k ˜ T1 Z0 

2˜ S T0

T0

20

T0

20

k

10

T1

a0

T0

k 

Grundkreisfrequenz

0.4

T1 · · §¨ § sin ¨ n ˜ Z 0 ˜ ¨ 2 ¹¸ © an  wenn ¨ n = 0  a0  2 ˜ A ˜ n˜ S © ¹ Z  50 ˜ Z 0  50 ˜ Z 0  0.01  50 ˜ Z 0

§

T1 ·

©

2

4 ˜ A ˜ sin ¨ Z ˜ g(Z ) 

Vielfaches der Periodendauer

Bereichsvariable

n  50  50

a0  2 ˜ A ˜

reellwertige Fourierkoeffizienten

Z

¹

Auswahl der reellwertigen Fourierkoeffizienten Bereichsvariable

Einhüllende der reellwertigen Fourierkoeffizienten

Seite 110

10

Fouriertransformation

10

a n˜T0

a 0˜T0

5

T0

10 T1

Z0

0.314

g( Z ) 8

6

4

2

0

2

4

6

8

n˜Z 0  Z

Abb. 4.2

§

T1 ·

©

2

2 ˜ A ˜ sin ¨ n ˜ Z 0 ˜ an ˜ T0 =

n ˜ Z0

¹ =

§

T1 ·

©

2

4 ˜ A ˜ sin ¨ Z ˜

¹

Z

für Z = n Z0

Wie die Grafik zeigt, ist die Funktion g(Z) unabhängig von T0 . Mit Z als stetige Variable stellt g(Z) die Einhüllende der Koeffizienten a nT0 dar, die an den Stellen Z = n Z0 genau mit anT0 übereinstimmt. Der Abstand der Linien ist von der Grundkreisfrequenz Z0 und damit auch von Periodendauer T0 abhängig. Für größer werdende Periodendauer T 0 wird der Frequenzabstand der Harmonischen immer geringer. Vergrößert man die Periodendauer T 0 bis zu dem theoretischen Grenzfall ins Unendliche, bleibt im Zeitbereich nur ein einzelner Rechteckimpuls übrig. Im Frequenzbereich ergibt sich dagegen ein kontinuierlicher Verlauf der Spektralkoeffizienten über der Frequenz.

4.1 Von der Fourierreihe zur Fourier-Transformation Die Grundvorstellung der Fourier-Transformation beruht in dieser Interpretation also darauf, dass ein aperiodisches Signal als Grenzfall eines periodischen Signals aufgefasst werden kann, bei dem die Periodendauer beliebig groß ist. Die Fourier-Transformation kann damit aus der komplexen Fourierreihe abgeleitet werden: Grenzübergang

Fourierreihe oFourier-Transformation T0 o f Der Abstand zwischen zwei Sprektrallinien ist 'Z = 2 ˜ S ˜ 'f = 2 ˜ S ˜ f0 =

2˜ S T0

Ÿ

lim

'f =

T0 o f

lim

1

T0 o f T0

= df

(4-1)

Wenn die Periodendauer T 0 für eine periodische Rechteckschwingung stark zunimmt, so rücken die Spektrallinien immer näher zusammen. Schließlich werden sie so dicht (infinitesimaler Abstand df zwischen benachbarten Frequenzen), dass das Linienspektrum cn in ein kontinuierliches Spektrum F(f) übergeht, d.h., alle Frequenzen f n liegen unendlich dicht zusammen: fn = n ˜ f0 =

n T0

Ÿ

Seite 111

lim

n

n_und_T0 o f T0

=f

(4-2)

Fouriertransformation

Allerdings würden die Fourierkoeffizienten cn beim Grenzübergang T 0 o f gegen null streben. Daher lässt man zur Bestimmung des kontinuierlichen Spektrums aus dem diskreten Spektrum die Division durch T0 weg: T0

´ 2 µ  j˜n˜2˜S˜f0˜t ˜µ dt folgt: fp ( t) ˜ e Mit cn = T0 µ ¶ T0 1

2 T0

lim T0 o f

´ 2 f  j˜n˜2˜S˜f0˜t µ ´  j ˜2˜S˜f˜t = lim µ fp ( t) ˜ e dt = µ f ( t) ˜ e dt = F ( f ) ¶ T0 o f µ T f ¶ 0

T0 ˜ cn

(4-3)

2

Die Fouriertransformierte F(f) bzw. F(Z) (komplexe Spektraldichte oder Spektrum genannt) eines aperiodischen Signals f(t), als eine kontinuierlich verteilte Funktion von Z = 2 S f, ergibt sich also zu:

F { f(t) }

´ = F ( f) = µ ¶

f

 j˜2˜S˜f˜t

f ( t) ˜ e

dt bzw.

F { f(t) }

f

´ = F (Z ) = µ ¶

f

 j ˜Z˜t

f ( t) ˜ e

dt

(4-4)

f

Die Spekrallinien der periodischen Funktion f p(t) sind, bis auf einen Faktor, Stützstellen des kontinuierlichen Spektrums., d.h. des Betrages von F(f) der nichtperiodischen Funktion f(t). F(Z) kann auch in folgender Form dargestellt werden: j ˜M ( Z )

F (Z ) = F (Z ) ˜ e

(4-5)

F ( Z ) = A ( Z ) heisst Amplitudenspektrum (Fourierspektrum) und M ( Z ) Phasenspektrum der Funktion. f(t) bzw.



F (Z )

2 heisst Energiespektrum der Funktion f(t).

Ist die komplexe Spektraldichte F(f) bzw. F(Z) bekannt, so kann hieraus auch die Zeitfunktion f(t) bestimmt werden. Sie ergibt sich aus der periodischen Funktion f p(t) durch den Grenzübergang T0 o f , wobei die Summe in ein Integral übergeht: f

f ( t) =

lim T0 o f

´ f ( t) = µ ¶

f

fp ( t) =

j ˜2˜S˜f˜t

F ( f) ˜ e

lim

¦

T0 o f n

j˜n˜S˜f0˜t· § c ˜ e n © ¹ =

f

f

lim

¦

T0 o f n

f

j ˜n˜S˜f0˜t 1 · § ˜ , also ¨ T0 ˜ cn ˜ e T0 © ¹

df .

f

Es gilt somit für die inverse Fourier-Transformation:

F

-1

{ F( f) } =

´ f ( t) = µ ¶

f

j˜2˜S˜f˜t

F ( f) ˜ e

df

(4-6)

f

bzw. wegen Z = 2 S f und dZ = 2 S df

F

-1

{ F( Z) } =

f

´ j ˜Z˜t f ( t) = ˜µ F (Z ) ˜ e dZ 2 ˜ S ¶ f 1

Seite 112

(4-7)

Fouriertransformation

Existenz des Fourier-Integrals Das Fourier-Integral existiert, wenn f(t) zumindest stückweise stetig ist und ´ µ ¶

f

f ( t ) dt  f

(4-8)

f

gilt. Diese Bedingung der absoluten Integrierbarkeit wird von vielen Signalen und von Impulsantworten stabiler Systeme erfüllt. Ein Beispiel dafür ist der oben angeführte zeitlich begrenzte Rechteckimpuls, für den gilt: T1

´ 2 µ A dt = A ˜ µ 1 dt = A ˜ T1  f µ T f ¶ 1

´ µ ¶

f

(4-9)

2

Diese Bedingung der absoluten Integrierbarkeit ist hinreichend, jedoch nicht notwendig. Einige technisch wichtige, zeitlich unbegrenzte, aber monoton abfallende Funktionen erfüllen diese Bedingung zwar nicht, haben aber eine Spektraldichte F(f). Ihre Fourier-Transformierte existiert, wenn | f(t) / t | absolut integrierbar ist: ´ µ µ ¶

f

f ( t)

dt  f

t

für t ! 0

(4-10)

f

Beispiel 4.2: Gesucht ist die Fouriertransformierte des Rechteckimpulses. Der Rechteckimpuls f p (t) = A rect(t,T 1 ,T 0 ) ist oben in Abbildung 4.1 dargestellt. Er ist zeitlich begrenzt auf den Bereich - T1 /2 d t d T 1 /2 und besitzt die Impulshöhe A. Für die zugehörige Fouriertransformierte gilt: T1

T1 T1 · §¨ ´ 2 f  j ˜2˜S˜f˜ j ˜2˜S˜f˜ µ ´ A 2 2  j ˜2˜S˜f˜t  j˜2˜S˜f˜t ¨ dt = F ( f) = µ A˜e dt = A ˜ µ e ˜ ©e e ¹ ¶ j ˜ 2 ˜ S ˜ f µ T f ¶ 1 2

§¨ j˜S˜f˜T1  j˜S˜f˜T1 · e e F ( f) = ˜¨ 2˜ j S˜f © ¹ A

komplexe Spektraldichtefunktion

Diese komplexe Spektraldichtefunktion kann als reelle Funktion dargestellt werden, denn es gilt für den Realteil: F ( f) =

A S˜f





˜ sin S ˜ f ˜ T1 = A ˜ T1 ˜

Die Funktion

sin ( x) x



= A˜T

sin S ˜ f ˜ T1 S ˜ f ˜ T1





1 ˜ sinc S ˜ f ˜ T1

wird als sinc-Funktion (Spaltfunktion) bezeichnet. Sie ist in Mathcad bereits vordefiniert.

f  3  3  0.01  3

Bereichsvariable

Seite 113

Fouriertransformation

5 4 5   T1 T1 T1

fn 

Bereichsvariable

§¨ j˜S˜f˜T1  j˜S˜f˜T1 · e e F ( f)  ˜¨ 2˜ j S˜f © ¹

komplexe Spektraldichtefunktion

F ( f)  A ˜ T1 ˜ sinc S ˜ f ˜ T1

reelle Spektraldichtefunktion

A





Frequenzbereich 4

2 Re( F( f) )

Abb. 4.3 3

2

1

0

1

2

3

2 f

Frequenzbereich

A˜T1

5

F( f)



F fn

3

2

1

1

T1

T1

1

0

1

2

3

Abb. 4.4

5 f  fn

Die sinc-Funktion hat an der Stelle f = 0 ein Maximum: sinc(0) = A T 1 . Den Grenzwert mit f o0 erhalten wir mit der Regel von L' Hospital:

lim fo0

ª « «A ˜ T ˜ 1 « « ¬

d df



ȼ

sin S ˜ f ˜ T1

d df

S ˜ f ˜ T1

» = A ˜ T ˜ lim 1 » fo0 » ¼



S ˜ T1

Die Nullstellen f n von F(f) ergeben sich aus der Bedingung





sin S ˜ fn ˜ T1 = 0

d.h.

S ˜ f n ˜ T1 = n ˜ S



S ˜ T1 ˜ cos S ˜ f ˜ T1

also

fn =

n T1

= A ˜ T1

mit n = ... -3, -2, -1, 1, 2, 3, ....

Der Abstand zwischen benachbarten Nullstellen 'f = 1/ T1 ist konstant und genau so groß wie der Abstand der ersten Nullstelle vom Maximum. Das Spektrum zeigt, dass zur Übertragung des Rechteckimpulses mit der Impulsbreite T 1 theoretisch alle Frequenzen bis f = f nötig sind. In der Praxis muss man sich natürlich mit einer endlichen maximal übertragbaren Frequenz (Bandbreite B ) begnügen, d.h., das Spektrum wird nur innerhalb der Bandbreite B übertragen. Am Ausgang eines Übertragungskanals tritt hierdurch eine entsprechend verzerrte Ausgangsfunktion auf.

Seite 114

Fouriertransformation

4.2 Elementar- und Testsignale Als Träger einer dem Empfänger unbekannten Information hat das Signal zumeist Zufallsscharakter. Sonderfälle solcher Zufallssignale sind die determinierten Signale, deren Verlauf durch einen geschlossenen Ausdruck beschreibbar ist. Signale mit besonders einfacher Darstellungsform werden als Elementarsignale bezeichnet. Es handelt sich hierbei um Signale, die auch technisch einfach erzeugt werden können. Das gilt in der Regel auch für die Testsignale, die zur Bestimmung der Systemeigenschaften verwendet werden können. Nachfolgend werden einige wichtige Elementar- und Testsignale behandelt. Sinus- und Kosinussignal: Sinus- und Kosinussignal in reeller Darstellung: Sº ª f ( t) = A ˜ sin ª2 ˜ S ˜ f ˜ t  t0 º bzw. f ( t) = A ˜ cos «2 ˜ S ˜ f ˜ t  t0  » ¬ ¼ 2¼ ¬









(4-11)

Sinus- und Kosinussignal in komplexer Darstellung:

 e

j ˜2˜S˜f˜ t t0

f ( t) = A ˜

e



 j ˜2˜S˜f˜ t t0

bzw. f ( t) = A ˜

2˜ j

e

 j˜

 ˜e

j ˜2˜S˜f˜ t t0

S 2

j˜

 ˜e

 j ˜2˜S˜f˜ t t0

e 2

S 2

(4-12)

Mit der Amplitude A, der Frequenz f, der Kreisfrequenz Z = 2 Sf , der Periodendauer T = 1/f, der Zeitverzögerung t0 und dem Nullphasenwinkel M0 = 2 S f t0 .

Beispiel 4.3: Sinussignal mit Zeitverzögerung. t  0  0.01  2

Bereichsvariable

A 2

Amplitude

f 1

Frequenz und Periodendauer

T 1

Zeitverzögerung

t0  0.2





Sinussignal

f ( t)  A ˜ sin ª2 ˜ S ˜ f ˜ t  t0 º ¬ ¼ 2 t0

f( t)

0

t0  T

0.5

1

2 t

Seite 115

1.5

2

Abb. 4.5

Fouriertransformation

Einheitssprung (Heavisidefunktion): Der Einheitssprung ist definiert durch: V ( t) =

0 if t  0

(4-13)

1 if t t 0 Dieses Signal hat die Sprunghöhe 1 und ist zeitlich unbegrenzt. In Mathcad gilt: V ( t) = ) ( t). Wir verwenden in weiterer Folge die Bezeichnung ). Wird als Eingangssignal f(t) eines linearen Übertragungssystems der Einheitssprung )(t) verwendet, so wird das dazugehörige Ausgangssignal a ls Sprungantwort des Systems bezeichnet.

Beispiel 4.4: t  3  3  0.1  10

Bereichsvariable

t0  1

Zeitverzögerung 2

) ( t) 1

 )  t0  t  0.5

) t t0  0.5

Abb. 4.6

4

2

0

2

4

6

8

10

t

Der Rechteckimpuls: Er wurde schon weiter oben behandelt. Den Rechteckimpuls kann man sich aber auch aus zwei zeitlich verschobenen Einheitssprüngen mit der Sprunghöhe 1/T 1 bzw. -1/T1 zusammengesetzt denken: frec ( t) =

1 T1

§

T1 ·

©

2

˜ ) ¨t 

¹



1 T1

§

T1 ·

©

2

˜ ) ¨t 

¹

(4-14)

Der so eingeführte Rechteckimpuls hat die Impulsdauer T 1 und die Impulshöhe 1/T 1 . Die Impulshöhe wird aus Normierungsgründen zu 1/T 1 gewählt. Damit ergibt sich für die (normierte) Impulsfläche der Wert 1. Wird nun unter Beibehaltung dieses konstanten Wertes für die Impulsfläche die Impulsdauer T1 verringert, so muss die zugehörige Impulshöhe 1/T 1 anwachsen (Abb. 4.6). Die Sprungfunktion V = ) lässt sich natürlich auch im Frequenzbereich anwenden: )( f - f0 ) beschreibt einen idealen Hochpass und 1- )( f - f0 ) = )( f0 - f ) einen idealen Tiefpass.

Beispiel 4.5: Darstellung des Rechteckimpulses. T1  8

Impulsdauer

Seite 116

Fouriertransformation

Bereichsvariable

t  10  10  0.1  10



1



frec t  T1 

T1

§

T1 ·

©

2

˜ ) ¨t 

¹



1 T1

 T1



frec t  T1

§

T1 ·

©

2

˜ ) ¨t 

¹

1.5

T1

2



Rechteckimpuls

T1

2

frec( t  4 )  0.05 0.5

frec( t  1 )  0.2

´ 2 µ 1 dt = 1 f t  T1 dt = µ T1 µ f µ T ¶ 1

´ µ ¶

1

1

f





2

T1 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Abb. 4.7

t

Dirac-Impuls: Neben dem Einheitssprung (Heavisidefunktion )) spielt der Dirac-Impuls G(t) eine besondere Rolle (kurzer und starker Impuls zum Zeitpunkt t = 0 s wie z.B. Spannungsstoß, Kraftstoß, punktförmige Ladung). Der Dirac-Impuls ist ein idealisierter, technisch nur näherungsweise darstellbarer Impuls. Er tritt zwar in der Natur nie exakt auf (physikalische Grössen können keine unendlichen Werte annehmen), bei der mathematischen Beschreibung von Systemen bietet er aber vielfach sehr bequeme und genaue Näherungen an das tatsächliche dynamische Verhalten. Die Reaktion eines Systems auf die Impulsfunktion als Eingangsgröße heißt Impuls-Antwort bzw. Gewichtsfunktion. Mathematisch wird er auch als Ableitung des Einheitssprungs definiert, was wegen der Unstetigkeit von )(t) allerdings Schwierigkeiten bereitet. Man stellt sich daher besser die Dirac-Funktion als Grenzwert des Rechteckimpulses mit der Impulsbreite T 1 für T1 o 0 vor, den ein "differenzierendes System" liefert. Für messtechnische Zwecke kann G(t) näherungsweise durch einen sehr schmalen Rechteckimpuls ersetzt werden. In Mathcad gilt für die Symbolische Rechnung G(t) = '(t). Im Grenzwert T1 o 0 wird sich für einen Rechteckimpuls der Breite T 1 eine unendlich große Impulshöhe einstellen. Der Grenzwert G ( t) =

lim T1 o 0

§¨ 1 § T1 · 1 § T1 · · ˜ ) ¨t   ˜ ) ¨t  ¨© T1 © 2 ¹ T1 2 ¹ © ¹

(4-15)

wird als Dirac-Impuls (G - Impuls oder Dirac-Stoß) bezeichnet. Er hat die Eigenschaften: ´ µ ¶

f

G ( t ) dt = 1

( G ( t) = f für t = 0 und G ( t) = 0 für t z 0)

(4-16)

f

Der Dirac-Impuls stellt keine Funktion dar, sondern eine Distribution! Eng verknüpft ist der Dirac-Impuls mit der Heaviside-Funktion: ´ ) ( t) = µ ¶

t

f

G ( W ) dW

Ÿ

G ( t) =

d dt

) ( t)

(4-17)

Seite 117

Fouriertransformation

Leiten wir nämlich eine unstetige Funktion ab, die also auf unendlich kurzem Intervall ihren Funktionswert um einen endlichen Betrag ändert, so ist der Differentialquotient hier selbst unendlich. Weil )(t) an allen anderen Stellen als dem Sprung konstant ist, verschwindet dort die Ableitung und damit G(t). Daraus wird auch ´ µ ¶

f

G ( t ) dt = 1

(4-18)

f

ersichtlich () (t> 0) = 1). Der Dirac-Impuls lässt sich natürlich auch im Frequenzbereich anwenden: ´ µ ¶

f

G ( f) df = 1 ( G ( f) = f für f = 0 und G ( f) = 0 für f z 0)

(4-19)

f

Mit Z = 2 Sf gilt auch: f ´ ´ G (Z ) = G ( Z ) dZ = µ und µ µ ¶ 2˜ S f ¶

G ( f)

f

G ( f) 2˜ S

d2Sf = 1

(4-20)

f

Der G-Impuls kann auch im Zeitbereich Fourier-transformiert werden: ´ ' ( f) = µ ¶

f

 j ˜Z˜t

G ( t) ˜ e

f

´ dt = µ ¶

f

j ˜0

G ( t) ˜ e

j ˜0 ´

dt = e

f

f

˜µ ¶

G ( t ) dt = 1

(4-21)

f

Für eine allgemeine Funktion f(t) gilt nämlich: f(t) G(t) = f(0) G(t) ( G(t) ist nur bei t = 0 von null verschieden). Die Wirkung des G-Impulses auf eine Zeitfunktion f(t) ergibt sich damit dann aus: ´ µ ¶

f

f

´ G ( t) ˜ f ( t) dt = f ( 0) ˜ µ ¶

f

G ( t) dt = f ( 0)

(4-22)

f

Diese Beziehung heißt Ausblendeigenschaft des G-Impulses. D.h. bei der Integration über das Produkt einer Funktion an der Stelle t = 0 stetigen Funktion f(t) mit dem G-Impuls G(t) wird nur der Funktionswert f(0) an der Stelle t = 0 ausgeblendet. Für einen um t 0 zeitverschobenen Dirac-Impuls G(t - t0 ) lautet dann die Ausblendeigenschaft des G-Impulses: ´ µ ¶

f

f

´ G t  t 0 ˜ f ( t ) dt = f t 0 ˜ µ ¶







f



G ( t ) dt = f t 0

f

Bemerkung: In der Symbol-Engine von Mathcad ist der Dirac-Impuls G(t) durch '(t) bzw. '(Z) definiert. Der Dirac-Impuls kann natürlich nicht als Funktion (z.B. durch f(t) := '(t)) dargestellt werden!

Beispiel 4.6: 1

T1 

Impulsdauer und Zeitverschiebung

t0  3

10

Bereichsvariable

t  5  5  0.1  5





frec t  T1 

1 T1

§

T1 ·

©

2

˜ ) ¨t 

¹



1 T1

§

T1 ·

©

2

˜ ) ¨t 

¹

Rechteckimpuls

Seite 118

(4-23)

Fouriertransformation

Nachgebildeter Dirac-Impuls und nachgebildeter verschobener Dirac-Impuls.

15

Mit Mathcad symbolisch ausgewertet:

1



frec t  T1



T1

10

´ µ ¶

frec( t  1 )

f

´ µ ¶

G ( t ) dt = 1

f



frec t t0  T1



5

´ µ ¶ 0

5

f



´ µ ¶



G t  t 0 dt = 1

f





' t  t 0 dt o 1

f

´

F { G(t) } = F (Z ) = µ

t

' ( t ) dt o 1

f

f

5

f

f

¶

 j˜Z˜t

G ( t) ˜ e

 j˜Z˜0

dt = e

=1

f

Abb. 4.8 Beispiel 4.7: Periodische Funktionen erzeugen immer diskrete Spektren.

Jede periodische Funktion f p (t) lässt sich als komplexe Fourierreihe darstellen: f

j ˜n˜2˜S˜f0˜t· § © cn ˜ e ¹

¦

fp ( t) =

n

f

j ˜2˜S˜f0˜t



hat Fourier-Transformation

e

f

§ § j˜n˜2˜S˜f0˜t· · ¹¹ = © cn ˜ F © e

F { fp(t) } = ¦ n



Auswertung mit Mathcad

2 ˜ S ˜ ' Z  2 ˜ S ˜ f0 f

¦ 

n

f





cn ˜ G f  n ˜ f0

= F ( f)

f

mit G ( f) = ' ( f) G (Z ) und ' ( Z ) = 2S

D. h., die Fouriertransformierte von fp (t) ist immer eine diskrete Funktion über der Frequenz. Ein Beispiel ist die Fouriertransformierte der Kosinusfunktion. Sie besteht aus zwei Dirac-Impulsen bei den Frequenzen r f0 (siehe dazu Einführung in Mathcad). Beispiel 4.8: f

Für die Dirac-Impulsfolge fp ( t) =

¦

n





G t  n ˜ T0 soll die Fouriertransformierte bestimmt werden.

f T0

T0

´ 2 ´ 2 µ  j˜n˜2˜S˜f0˜t  j ˜n˜2˜S˜f0˜t 1 1 µ ˜µ dt = ˜µ dt = cn = fp ( t) ˜ e G ( t) ˜ e T0 T0 µ T T0 µ ¶ 0 ¶ T0  1



F ( f) =

1 T0

Die Integralauswertung ergibt den Wert 1!

2

2

f

˜

¦

n





G t  n ˜ T0

Jede Frequenzkomponente besitzt also die gleiche Amplitude.

f

Seite 119

Fouriertransformation

4.3 Eigenschaften der Fourier-Transformation Der Umgang mit der Fourier-Transformation kann durch Sätze vereinfacht werden. Nachfolgend werden einige wichtige angeführt. Linearität (Superpositionssatz): Aus zwei Zeitfunktionen f 1 (t) und f 2 (t) wird mit den Konstanten (Amplituden) A1 und A2 eine neue Funktion f(t) gebildet in der Form f(t) = A 1 f1 (t) + A2 f2 (t). Die zugehörige Fouriertransformierte ergibt sich dann zu: ´

f

F { A1 ˜ f1 (t)  A2 ˜ f2 (t) } = F (f) = µ A1 ˜ f1 (t)  A2 ˜ f2 (t) ˜ e j˜2˜S˜f˜t dt = ¶ f

=

´ A1 ˜ µ ¶

f

 j˜2˜S˜f˜t

f1 ( t) ˜ e

f

´ dt  A 2 ˜ µ ¶

f

 j˜2˜S˜f˜t

f2 ( t) ˜ e

dt = A 1 ˜ F1 ( f )  A 2 ˜ F2 ( f )

f

F {A1 f1(t) + A2 f2(t) } = A1 F1(f) + A2 F2(f)

(4-24)

Die Fouriertransformierte einer Summe von Zeitfunktionen ist gleich der Summe der Fouriertransformierten der einzelnen Zeitfunktionen. Allgemein gilt für n Zeitfunktionen: n

n

F { ¦ Ak ˜ fk (t) } = ¦ Ak ˜ Fk( f) k

1

k

1

Beispiel 4.9: Fouriertransformierte eines Rechteckimpulses mithilfe von Mathcad: 1

frec ( t) =

T1

§

T1 ·

©

2

§

T1 ·

©

2

) ¨t 

) ¨t 

1 T1

¹ ¹

T1 ·

©

2

¹



1 T1

§

T1 ·

©

2

˜ ) ¨t 

¹ § 1 ˜ i ˜ T ˜ Z · ˜ § S ˜ ' (Z )  i · ¨ 1 Z¹ ©2 ¹ ©

hat Fourier-Transformation

exp ¨

hat Fourier-Transformation

exp ¨

§

T1 ·

©

2

˜ ) ¨t 

§

˜ ) ¨t 

¹



1 T1

§

T1 ·

©

2

˜ ) ¨t 

§ 1 ˜ i ˜ T ˜ Z · ˜ § S ˜ ' ( Z )  i · ¨ 1 Z¹ ©2 ¹ ©

¹

hat Fourier-Transformation 1 T1

§ 1 ˜ i ˜ T ˜ Z · ˜ § S ˜ ' ( Z )  i ·  1 ˜ exp § 1 ˜ i ˜ T ˜ Z · ˜ § S ˜ ' ( Z )  i · ¨ ¨ ¨ 1 1 Z ¹ T1 Z¹ ©2 ¹ © ©2 ¹ ©

˜ exp ¨

Seite 120

(4-25)

Fouriertransformation

vereinfacht auf

§ 1 ˜ T ˜ Z· ©2 1 ¹

sin ¨ 2 ˜ i ˜ ( S ˜ ' ( Z ) ˜ Z  i) ˜

T1 ˜ Z

Für Z z 0 ist 'Z = 0 , daher gilt:

§ 1 ˜ T ˜ Z· ©2 1 ¹

sin ¨ 2˜

Fouriertransformierte (siehe dazu Beispiel 4.2)

T1 ˜ Z

Zeitverschiebung (Verschiebungssatz): Wird ein Signal f(t) auf der Zeitachse um eine feste Zeit t 0 verzögert, so gilt für die zugehörige Fouriertransformierte: ´

F { f t  t0 } = F (f) = µ

f





 j ˜2˜S˜f˜t

f t  t0 ˜ e

¶

dt

(4-26)

f

Mit der Substitution t - t0 = x ergibt sich:

F { f (x) } =

´ µ µ ¶

f

 j˜2˜S˜f˜t0

f ( x) ˜ e

 j˜2˜S˜f˜x

˜e

 j ˜2˜S˜f˜t0 ´

dx = e

˜µ ¶

f

f

 j˜2˜S˜f˜x

f ( x) ˜ e

 j ˜2˜S˜f˜t0

dx = e

˜ F ( f) .

f

Damit gilt:

F { f(t - t0) } =

F(f) e- j 2 S f t0

(4-27)

Hier ist F(f) die Fouriertransformierte des unverzögerten Signals f(t) und e - j 2 S f t0 ein Verschiebungsfaktor. Ein zeitverschobenes Signal könnte z.B. durch eine ideale Verzögerungsleitung (Laufzeitglied) verursacht werden. Es zeigt sich, dass eine Verzögerung des Signals f(t) nur zum Phasenspektrum arg(F(f)) die lineare Phase -2 Sf t0 addiert, während das Betragsspektrum unverändert bleibt, d.h., das Signal f(t) wird formgetreu übertragen. Beispiel 4.10: Fouriertransformierte der Sprungfunktion mithilfe von Mathcad: i

hat Fourier-Transformation

S ˜ ' (Z ) 

) t  t0

hat Fourier-Transformation

i · § exp  i ˜ t0 ˜ Z ˜ ¨ S ˜ ' ( Z )  Z¹ ©

'1 ( Z ) 

0 if Z z 0

Ersatzfunktion für den Dirac-Impuls

) ( t)





Z

10000 otherwise t0  1

Verzögerungszeit

Seite 121

mit

' (Z ) =

' ( f) 2˜ S

Fouriertransformation





§ ©

F ( Z )  exp i ˜ t0 ˜ Z ˜ ¨ S ˜ '1 ( Z ) 

i

·

Fouriertransformierte (Spektralfunktion)

Z¹

Redefinition

Z Z 1 2 i · 1 · § § 2 2 exp  i ˜ t0 ˜ Z ˜ ¨ S ˜ ' ( Z )  o ¨ S ˜ ' (Z )  2 Z¹ © Z ¹ ©

Betrag der Fouriertransformierten

Bereichsvariable

Z  0.02  0.02  0.001  0.02 100

F( Z )

50

15

10

5 10

0.001

4

Abb. 4.9

4

5 10

0 Z

0.001

Ähnlichkeitssatz (Zeitskalierung): Der Ähnlichkeitssatz (Dehnung) ist wichtig für die Behandlung aller Aufgaben, bei denen eine Zeitnormierung der Signale durchgeführt werden muss. Mit der Substitution x = a t gilt:

F { f ( a ˜ t) } =

´ µ f ´  j˜2˜S˜f˜t µ µ f ( a ˜ t) ˜ e dt = µ ¶ f ¶

f  j ˜2˜S˜f˜

f ( x) ˜ e

x a

˜

1 a

dx =

1 a

§f· © a¹

˜ F¨

f

F { f ( a ˜ t) } =

´ µ f ´  j˜2˜S˜f˜t µ µ f ( a ˜ t) ˜ e dt =  µ ¶ f ¶

f  j˜2˜S˜f˜

f ( x) ˜ e

mit a > 0.

x a

˜

1 a

dx = 

f

1 a

§f· mit a < 0. © a¹

˜ F¨

Damit gilt:

F { f(a t) } =

1 a

§f· © a¹

˜ F¨

(für positive und negative a)

(4-28)

Mit a = - 1 ergibt sich die Fouriertransformierte zeitgespiegelter Signale:

F { f(a t) } =

F ( f) (dabei gilt F(- f ) = F*( f ))

(4-29)

Der Ähnlichkeitssatz charakterisiert einen wichtigen Zusammenhang (z.B. für die Nachrichtenübertragung): je kürzer ein Signal im Zeitbereich ist (kleines a), desto breiter ist das Fourierspektrum des Signals und umgekehrt.

Seite 122

Fouriertransformation

Beispiel 4.11: Fouriertransformierte einer geraden beidseitigen Exponentialfunktion mithilfe von Mathcad: t t

Redefinitionen

Z Z annehmen  a ! 0 a o 2˜ 2 2 fourier  t a Z

 a˜ t

e

fourier  t

2

a Z ersetzen  Z = o 2 ˜ 2 2 a a Z

 t

e

teilweise Anwendung des Ähnlichkeitssatzes

vereinfachen

F (Z ) =

1 a

2

§

·

a

˜ ¨2 ˜

¨ ©

2

a Z

2

teilweise Anwendung des Ähnlichkeitssatzes

¹

vereinfacht auf a

F (Z ) = 2 ˜

2

a Z

Fouriertransformierte von e -a |t|

2

Der Imaginärteil der Fouriertransformierten ist Null, weil f gerade ist.

Frequenzverschiebung (Modulationstheorem): Analog zur obigen Herleitung soll nun die zu dem um f 0 verschobenen Spektrum F(f - f0 ) zugehörige Zeitfunktion bestimmt werden:

F

-1

{ F  f  f0 } =

´ µ ¶

f





j ˜2˜S˜f˜t

F f  f0 ˜ e

df

(4-30)

f

Mit der Substitution f - f0 = x ergibt sich

F

-1

{ F ( x) } =

´ µ µ ¶

f





j ˜2˜S˜ x f0 ˜t

F ( x) ˜ e

j ˜2˜S˜f0˜t ´

dx = e

f

f

˜µ ¶

j˜2˜S˜x˜t

F ( x) ˜ e

j ˜2˜S˜f0˜t

dx = e

˜ f ( t) .

f

Damit gilt:

F- - 1{ F(f - f0) } =

f(t) e j 2 Sf0 t

(4-31)

Umgekehrt gilt dann:

F { f(t) e j 2 S f t0 } =

F(f - f )

(4-32)

0

Seite 123

Fouriertransformation

Eine Verschiebung des Spektrums F(f) um die feste Frequenz f0 führt also im Zeitbereich zu einer Multiplikation der Zeitfunktion f(t) mit e

j2Sft

bzw. umgekehrt eine Multiplikation des Signals f(t) mit

e j 2 S f t (Träger- oder Oszillatorsignal) verschiebt das Spektrum des Signals S(f) lediglich um eine feste Frequenz f0 . Dieses Modulations- bzw. Mischerprinzip, d.h., die Verschiebung des Basisbandes F(f) in eine höhere Frequenzlage (f - f 0 ), ist in der Nachrichtenübertragung von grosser Bedeutung.

Beispiel 4.12: Am Eingang eines multiplikativen Mischers liegt ein Rechteckimpuls mit f(t) = A f rec(t,T 1 ) (wie oben angegeben) an. Mit f0 (t) = A0 cos(2 S f0 t) liegt am Ausgang des Mischers mit der Mischerkonstante k M folgendes Signal an:

§¨ j˜2˜S˜f0˜t  j˜2˜S˜f0˜t · e e fM ( t) = k M ˜ f ( t) ˜ f0 ( t) = k M ˜ A ˜ frec  t  T1 ˜ A0 ˜ ¨ 2 © ¹ bzw. umgeformt:

fM ( t) = kM ˜

A ˜ A0 2

§ ©





j ˜2˜S˜f0˜t

˜ ¨ frec t  T1 ˜ e





 j ˜2˜S˜f0˜t·

 frec t  T1 ˜ e

¹

Die Fouriertransformierte lautet damit mithilfe des Modulationstheorems:

F ( f) = k M ˜

A ˜ A 0 ˜ T1 2









˜ ª sinc ªS ˜ T1 ˜ f  f0 º  sinc ªS ˜ T1 ˜ f  f0 º º ¬ ¬ ¼ ¬ ¼¼

In diesem Fall wird das Spektrum F(f) des Signals f(t) lediglich um ± f0 verschoben. A 2 T1 

Amplituden

A0  1 1

Impulsbreite

4

kM  1

Mischfaktor

f0  10

Frequenz





Basisfrequenzspektrum

F1 ( f)  A ˜ T1 ˜ sinc S ˜ f ˜ T1

F ( f)  kM ˜

A ˜ A 0 ˜ T1 2









˜ ª sinc ªS ˜ T1 ˜ f  f0 º  sinc ªS ˜ T1 ˜ f  f0 º º ¬ ¬ ¼ ¬ ¼¼

5 5 5 f  f0   f0   0.01  f0  T1 T1 T1

Bereichsvariable

Seite 124

Frequenzspektrum des Mischerausgangssignals

Fouriertransformation

1 1

1

T1

T1

0.5

A˜T1

F1( f)

Abb. 4.10 30

20

10

0

10

20

30

0.5 f

 f0

F( f) kM˜

kM˜

f0

0.4

kM˜ A˜A0˜T1 2 A˜A0˜T1 2



˜sincªS˜T1˜ f f0 º ¬ ¼



˜sincªS˜T1˜ f f0 º ¬ ¼

A˜A0˜T1 2

0.2

Abb. 4.11

30

20

10

0

10

20

30

0.2 f

Verschiebung des Basisbandes in eine höhere Frequenzlage. Differentiation im Zeitbereich:

Nach (4-7) gilt:

F

-1

{ F(f) } =

´ f ( t) = µ ¶

f

j˜2˜S˜f˜t

F ( f) ˜ e

df .

f

Daraus erhalten wir durch Differentiation: ´ f ( t) = µ µ dt ¶

f

d

d dt

F (f) ˜ ej˜2˜S˜f˜t df = ´µ¶

f

j ˜2˜S˜f˜t

j ˜ 2 ˜ S ˜ f ˜ F ( f) ˜ e

f

f

´ df = j ˜ 2 ˜ S ˜ f ˜ µ ¶

f

j ˜2˜S˜f˜t

F ( f) ˜ e

df

f

Es gilt daher:

F { f '(t) } =

( j 2 S f ) F(f)

(4-33)

Bzw. für die n-te Ableitung:

F { f(n)(t) } =

( j 2 S f )n F(f)

(4-34)

Seite 125

Fouriertransformation

Beispiel 4.13: Fouriertransformierte einer abgeleiteten Exponentialfunktion mithilfe von Mathcad: t t

f f

Z Z

 E ˜t

E˜e

Redefinitionen

annehmen  E ! 0 ˜ ) ( t)

o

fourier  t ersetzen  Z = 2 ˜ S ˜ f

d dt

E ˜ e E˜t ˜ ) (t)

o

fourier  t

Fouriertransformierte der Exponentialfunktion

E  2˜ i˜ S ˜ f

annehmen  E ! 0

ersetzen  Z = 2 ˜ S ˜ f E

E

E

2

E  2˜ i˜ S ˜ f

2

E  2˜ i˜ S ˜ f

E

vereinfacht auf

2˜ i˜ S ˜ f˜

E

E E  2˜ i˜ S ˜ f

Fouriertransformierte der abgeleiteten Exponentialfunktion

Vergleich:

F { f '(t) } =

( j 2 S f ) F(f)

Faltung im Zeitbereich: Die Faltung der Funktion f 1 (t) mit der Funktion f 2 (t) ist definiert als: ´ g ( t) = f1 ( t) * f2 ( t) = µ ¶

f

f 1 ( W ) ˜ f 2 ( t  W ) dW

( * bedeutet das Faltungssymbol)

(4-35)

f

Man kann sich die Faltung vorstellen als Gewichtung der Funktion f 1 durch die Funktion f 2 in der Umgebung von t (Schnittfläche von f2 (t - W) mit f1 (W)). Siehe dazu Beispiel 4.14. Die Fouriertransformierte des Faltungsproduktes f 1 (t) * f 2 (t) ergibt sich zu:

F { f1 ( t) * f2 ( t) } =

´ µ µ µ ¶

f

f

§´f · ¨ µ f ( W ) ˜ f ( t  W ) dW ˜ e j˜2˜S˜f˜t dt 1 2 ¨¶ © f ¹

(4-36)

Durch Vertauschung der Integrationsgrenzen erhalten wir:

F { f1 ( t) * f2 ( t) } =

´ µ µ µ ¶

f

f

§´f · ¨ µ f ( W ) ˜ f ( t  W ) ˜ e j˜2˜S˜f˜t dt dW 1 2 ¨¶ © f ¹

(4-37)

Bei der Integration über t ist f 1 (W) konstant, daher gilt:

F { f1 ( t) * f2 ( t) } =

´ µ µ µ ¶

f

f

f § ·  j ˜2˜S˜f˜t ¨ f (W ) ˜ ´ µ f ( t  W ) ˜ e d t dW 2 ¨1 ¶ f © ¹

Seite 126

(4-38)

Fouriertransformation

Das innere Integral von (4-32) beschreibt die Fouriertransformierte von f 2 (t - W):

F { f2(t-W) } = e- j 2 Sf W F2(f)

(4-39)

Damit gilt:

F { f1 ( t) * f2 ( t) } =

´ µ ¶

f

f

´

ªf ( W ) ˜ F2( f) ˜ e j˜2˜S˜f˜Wº dW = F2( f) ˜ µ ¬1 ¼ ¶

f

 j˜2˜S˜f˜W

f1 ( W ) ˜ e

dW

f

Somit gilt für die Fouriertranformierte des Faltungsproduktes:

F { f1(t) * f2(t) } =

F1(f) . F2(f)

(4-40)

Beispiel 4.14: Es soll die Reaktion u a (t) einer RC-Schaltung (Abb. 4.12) auf einem rechteckförmigen Spannungsimpuls u e (t) mit der Impulsantwort g(t) (E = 1/(RC)) der RC-Schaltung bestimmt werden. Anschließend soll noch die Übertragungsfunktion der RC-Schaltung bestimmt werden.

Abb. 4.12 Die Lösung liefert das Faltungsintegral. Zur Auswertung benötigen wir g(t- W). Diese Funktion ergibt sich aus g(W) durch Spiegelung an der Ordinate: g(-W) = E e+EW )(-W). g(t - W) ergibt sich aus g(-W) wegen g(t - W) = g(-(W- t)) durch Verschieben von g(-W) um t auf der W-Achse (t < 0 Rechtsverschiebung und t > 0 Linksverschiebung). ´ ua ( t) = µ ¶

f

Die Reaktion ist die Schnittfläche von g(t - W) mit ue (W).

ue ( W ) ˜ g ( t  W ) dW

f

a) Für t < 0 ergibt sich wegen u e (W) = 0 für das Produkt ue (W) g(t - W) = 0 und damit ua (t) = 0. b) Für 0 d t d T 1 ist das Produkt ue (W) g(t - W) z 0 im Bereich 0 < W < t. Damit gilt: t

´  E ( t W )  E ˜t ua ( t) = µ U0 ˜ E ˜ e dW = U0 ˜ 1  e ¶





für 0 d t d T 1 .

0

Seite 127

Fouriertransformation

c) Für t t T 1 ist das Produkt ue (W) g(t - W) z 0 nur im Bereich 0 < W < T1 . Es gilt somit: T ´ 1 § E˜T1 ·  E˜t  E ( t W ) µ dW = U0 ˜ © e ua ( t) = U0 ˜ E ˜ e  1¹ ˜ e µ ¶

für t t T 1 .

0

R  500 ˜ :

Ohmscher Widerstand

C  30 ˜ PF

Kapazität

ms  10

3

1

E

0.067

E

R˜ C

T1 

Einheitendefinition

˜s

1

T1

E

1

Einflussfaktor

ms

gewählte Impulsbreite (Sonderfall)

15 ms

Wert des Spannungsimpulses

U0  100 ˜ V











ue t  T1  U0 ˜ ) ( t)  ) t  T1  E ˜t

g ( t)  E ˜ e

ua ( t) 

Rechteckimpuls

Impulsantwort

˜ ) ( t)



§



 E ˜t

U0 ˜ 1  e

E ˜T1

U0 ˜ © e

if 0 d t d T1

·

 E ˜t

 1¹ ˜ e

Reaktionsspannung

if t t T1

0 ˜ V otherwise Bereichsvariable

W  20 ˜ ms  20 ms  0.001 ˜ ms  40ms

Impulsantwort u. gespieg. Impulsantwort E ˜ms g ( W )˜ms 0.05

g (  W )˜ms

20

15

10

5

0 W ms

Abb. 4.13

Seite 128

5

10

15

20

Fouriertransformation

t2 

7 t1  2 ˜ ms

t2  t2 ˜ ms

t2

7 ms

Zeitverschiebung um t

t3  20 ˜ ms Bereichsvariable

W 1  0 ˜ ms  0.01 ˜ ms  T1

Verschobene Impulsantw. u. Spannungsimp.



u e W  T1

100



V



Schnittfläche von g(t2 -W) mit ue (W)



g ª W  t1 º ¬ ¼

 g ª  W 1 t2 º ¬ ¼ g ª  W  t3 º ¬ ¼ g ª W  t2 º ¬ ¼

E

50

20

10

0

10 W



W

W



20 

W1



30

40

W

ms ms ms ms ms

Abb. 4.14 t  10 ˜ ms  10 ˜ ms  0.001 ˜ ms  50ms

Bereichsvariable

Reaktionsspannung im Zeitbereich

80

T1

ua ( t)

60

 ua  t2 ua  t3

40

ms

ua t1



g T1 20

10

0

10

20 t



t1



30 t2



t3

ms ms ms ms

Abb. 4.15

Seite 129

40

50

Fouriertransformation

t t

R R

E E

Redefinition

C C

Die Impulsantwort existiert für t > 0 und wird beschrieben durch:  E ˜t

g ( t) = E ˜ e

˜ ) ( t)

Damit ergibt sich für die Übertragungsfunktion der RC-Schaltung: ´ G ( f) = µ ¶

f

 j˜2˜S˜f˜t

g ( t) ˜ e

f

 E ˜t

E˜e

 j ˜2˜S˜f˜t

˜e

0

f

G ( f) =

´ dt = µ ¶

E E  j ˜ 2˜ S ˜ f

f

 ( E  j˜2˜S˜f)˜t

e

dt

0

1

=

´ dt = E ˜ µ ¶

1  j ˜ 2˜ S ˜ f˜

1

=

1 1  j ˜ 2˜ S ˜ f˜ R˜ C

E

Unter Berücksichtigung, dass für Z z 0 '(Z) = 0 ist, liefert Mathcad symbolisch das gleiche Ergebnis:  E ˜t

E˜e

˜ ) ( t) fourier  t o

1

§ 2 S © ˜

E

2

˜ ¨2 ˜ S ˜ ' (Z  i ˜ E)  2 ˜ i ˜

S

·

Z  i˜ E¹

Das gleiche Ergebnis für die Übertragungsfunktion resultiert auch direkt aus der Betrachtung komplexer Wechselspannungen (Z = 2 S f): 1

G ( f) =

G ( f) 

ua ue

j˜Z˜C

=

=

1

R

1 1  j ˜ Z ˜ R˜ C

1˜ Z ˜ C

1 1  j ˜ 2˜ S ˜ f˜ R˜ C

Komplexe Übertragungsfunktion

G ( f)

A ( f) o

A ( f) 

1 1

1  4 ˜ S 2 ˜ f 2 ˜ R2 ˜ C2 M ( f)  arg ( G ( f) )

Phasengang

R  500 ˜ :

Ohmscher Widerstand

C  30 ˜ PF

Kapazität

E

1 R˜ C

E

0.067

1 ms

f  0 ˜ Hz  0.01 ˜ Hz  1000 ˜ Hz

Einflussfaktor

Bereichsvariable

Seite 130

2

Amplitudengang

Fouriertransformation

Amplitudengang

1

A( f)

0.5

0

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

f Hz

Abb. 4.16 Phasengang

0

M ( f)

S

1

2

2

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

f Hz

Abb. 4.17 Das Ausgangssignal u a (t) unterscheidet sich vom Eingangssignal u e (t) in der Amplitude, d.h. |G(f)| und weist gegenüber ue (t) die Phasenverschiebung M(f)= arg(G(f)) = -arctan(2 S f R C) auf. Energie-Theorem von Rayleigh: Für die Energie eines Impulses gilt: f

´ E=µ ¶



f ( t)

´

2 dt = µ

f

¶

f

f

´ f ( t) ˜ f *(t) dt = µ ¶

f

f

´ F ( x) ˜ F* ( f  x) dx = µ ¶

f

F ( x) ˜ F* ( x) dx (für f = 0) (4-41)

f

Substituiert man wieder x mit f(x o f), so ergibt sich die gesamte Energie aus: ´ E=µ ¶

f



f ( t)

´

2 dt = µ ¶

f

f



F ( f)

2 df

(4-42)

f

Beispiel 4.15: Man bestimme die Energie des oben angegebenen Rechteckimpulses f rec(t,T 1 ) (Beispiel 4.2) im Zeitbereich und aus dem Spektrum. T1

´ E=µ ¶

f

f

 frec t  T1

2

´ 2 µ 2 2 A dt = A ˜ T1 dt = µ µ T ¶ 1 2

Seite 131

Fouriertransformation

Aus dem Spektrum ergibt sich die gleiche Energie: ´ E=µ ¶

f



f

´ µ 2 F ( f ) df = µ µ ¶

f





A ˜ T1

2

f

f f

 

T1  T1

´ µ ˜µ 2 µ S ˜ T1 ¶



A ˜ T1

2

2 df annehmen  T



sin S ˜ f ˜ T1 f

2



df = A 2 ˜ S ˜

sin S ˜ f ˜ T1 f

2

S

2

S ˜ T1

Redefinitionen

A A

f

˜

f

df = A ˜ T1 2 ˜ ´µ µ S ˜ f ˜ T1 2 S ˜ T1 2 µ¶ f 

sin S ˜ f ˜ T1

2

1 ! 0 o A ˜ T1

mit Mathcad ausgewertet

f

4.4 Fast-Fourier-Transformation Die Fourieranalyse hat heute eine besondere Bedeutung in der praktischen Auswertung in Form der Fast-Fourier-Transformation (FFT- siehe auch Kapitel 3.1), die einem zeitdiskreten Signal f(t) der jetzt normierten Zeitvariablen t n = n 't (n = 0, 1, ... , N-1 und 't = 1) ein frequenzdiskretes Spektrum an den Stellen k = 0, 1, ... , N-1 der jetzt normierten Frequenzvariablen f = k/N ('f = 1/(N 't) = 1/N) zuordnet. Durch die Diskretisierung des Fourierintegrals über ein endliches Intervall mit N-Punkten ergibt sich: ´ F ( f) = µ ¶

f

 j ˜2˜S˜f˜t

f ( t) ˜ e

k §  j˜2˜S˜ ˜n· ¨ N © yn ˜ e ¹

N1

dt

| Fk =

f

¦

n

(k = 0, 1, ... , N-1)

(4-43)

0

Die Rücktransformation erhalten wir aus: f

´ 1 j˜2˜S˜f˜t f ( t) = ˜µ F ( f) ˜ e dZ 2 ˜ S ¶ f

| yn =

1 N

N 1

˜

¦

k

k · § j˜2˜S˜ ˜n ¨ N © Fk ˜ e ¹(n = 0, 1, ... , N-1)

(4-44)

0

Der Transformationsalgorithmus ist für N = 2 m besonders effizient. Hierdurch werden die Grenzen zur Fourierreihe verwischt, denn die diskreten Spektren gehören zu Funktionen, die auf der Zeitachse mit N und der Frequenzachse mit 1 periodisch sind. Bemerkung: Vergleicht man die in Abschnitt 3.1 angeführten Funktionen FFT und IFFT von Mathcad, so gilt: F = N ˜ FFT ( y)

(4-45)

und y=

1 N

˜ IFFT ( F)

(4-46)

Seite 132

Fouriertransformation

Beispiel 4.16: Verschiedenen Signale sollen zuerst mit einer Abtastfrequenz f A = 8 kHz und N = 1024 Abtastzeitpunkten abgetastet werden. Die abgetasteten Werte sollen dann Fouriertransfomiert und grafisch dargestellt werden. Über die Rücktransformation soll das Ausgangssignal wieder hergestellt werden. ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

m  10

Exponent

m

Na  2

Na

Anzahl der Abtastwerte

1024

Bereichsvariable

n  0  Na  1 ms  10

3

Einheitendefinition

˜s

Abtastfrequenz (Abtastrate)

fA  8 ˜ kHz 1

TA 

fA

TA

Abtastperiode

0.125 ms

tn  n ˜ TA

Abtastzeitpunkte

f  200 ˜ Hz

Frequenz

Z  2˜ S ˜ f

Kreisfrequenz

W  0.001 ˜ s

Zeitfaktor

k  10

Faktor

z 

Modulierte Sinusschwingung Rechteck Impuls Geträgerter Impuls Gefilteter Impuls Gefilteter Impuls, geträgert





f Na  t  Z  k  W  z 

Listenfeld zur Auswahl verschiedener Signale

for n  0  Na  1







yn m 0.5 ˜ sin Z ˜ tn ˜ sin k ˜ Z ˜ tn



if z = 1

 if z = 2 yn m wenn  0 ˜ s  tn  5 ˜ W  1  0 ˜ sin  k ˜ Z ˜ tn yn m wenn 0 ˜ s  tn  3 ˜ W  1  0

Unterprogramm zur Auswahl verschiedener Signale.

 2

 tn

4 2

yn m e

10

˜s

if z = 4

 2

 tn

4 2

yn m e

10

˜s



˜ sin k ˜ Z ˜ tn



if z = 5

return y



y  f Na  t  Z  k  W  z



if z = 3

Vektor der abgetasteten Funktionswerte

Seite 133

Fouriertransformation

Zeitfunktion

0.5

yn 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0.5 tn ms

Abb. 4.18 F  Na ˜ FFT ( y) k  0 

df 

Na

m 1

Fouriertransformierte (FFT liefert einen Vektor mit 1  2 Index bis zur halben Abtastfrequenz

2 1

df

Na ˜ TA

Frequenzauflösung

7.813 Hz

Frequenzvektor

fk  k ˜ df

Betrag des Frequenzsspektrums

100

Fk

513 Elementen zurück)

50

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

fk

Abb. 4.19 y1 

1 Na

˜ IFFT ( F)

Inverse-Fourier-Transformation

Rücktransformierte und Originalfunktion

0.5 y1n yn

0

2

4

6

8

10

0.5 tn ms

Abb. 4.20

Seite 134

12

14

16

18

20

Laplace-Transformation

5. Laplace-Transformation Die Laplace-Transformation hat für die Analyse und den Entwurf linearer, zeitinvarianter, dynamischer Systeme eine große praktische Bedeutung erlangt. Sie gehört wie die Fourier-Transformation zur Gruppe der Integraltransformationen. Dabei muss man aus mathematischer Sicht zwischen der einseitigen und der zweiseitigen Laplace-Transformation unterscheiden. Da in den Anwendungen der linearen Systemtheorie die zweiseitige Laplace-Transformation in ihrer allgemeinen Form kaum benutzt wird, wird im Folgenden nur die einseitige Laplace-Transformation behandelt. Die so definierte Laplace-Transformation setzt daher im Zeitbereich kausale Signale f(t) voraus. Kausale Signale sind solche, die nur in t t0 existieren, d. h. Signale, die für t < 0 null sind. Im Zusammenhang mit der Untersuchung des Signalübertragungsverhaltens von linearen, zeitinvarianten, dynamischen Systemen bedeutet das überhaupt keine Einschränkung, da das Systemverhalten hier immer erst ab einem Einschaltzeitpunkt t 0 von Interesse ist. Und diesen Einschaltzeitpunkt kann man zu t 0 = 0 wählen bzw. festlegen. Die Laplace-Transformation spielt bei nichtperiodischen Vorgängen, insbesondere bei EinschaltVorgängen, eine große Rolle. Dabei sind lineare Differentialgleichungen und Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten und mit Anfangsbedingungen zu lösen. Die Differentialgleichung wird mittels Transformation in eine algebraische Gleichung umgewandelt. Die LaplaceTransformation stellt eine Möglichkeit dar, die Operationen des Differenzierens und Integrierens auf die viel einfacheren Operationen des Multiplizierens und Dividierens abzubilden (siehe dazu auch Kapitel 7). Neben dieser Anwendung der Laplace-Transformation, erlaubt sie auch eine sehr übersichtliche Behandlung des Übertragungsverhaltens von Netzwerken. In der Regelungstechnik werden z.B. die Stabilitätskriterien rückgekoppelter Netzwerke nicht im Zeitbereich, sondern gleich im Bildbereich (Laplace-Bereich) untersucht. Zusammenhang zwischen Fourier-Transformation und Laplace-Transformation: ´ µ ¶

Die Konvergenzbedingung für das Fourier Integral lautete:

f

f ( t ) dt  f .

f

Diese Bedingung ist aber leider bereits für einfache und praktisch wichtige Zeitfunktionen (wie z. B. Sprungfunktion) nicht erfüllt ! Wenn man jedoch die Zeitfunktion f(t) für t < 0 identisch 0 setzt und für t t 0 mit e- G t (G > 0) multipliziert, geht die Fourier-Transformation in die Laplace-Transformation über. Bei vielen Anwendungen existieren derartige Integrale.

Die Fourier-Transformation

F

´ { f(t) } = F ( Z ) = µ ¶

f

 j˜Z˜t

f ( t) ˜ e

dt geht mit der Multiplikation

f

von e - G t und der komplexen Frequenzvariablen s = G + j Z (G, Z  ) über in die LaplaceTransformation (s wird wie üblich ohne Unterstreichung dargestellt). Der Zeitfunktion f(t) wird ihre einseitige Laplacetransformierte im Bildbereich zugeordnet: -Gt

L { f(t) } = F { f(t) e

´ } = F (s) = µ ¶

f

 G ˜t

f ( t) ˜ e

 j˜Z˜t

˜e

´ dt = µ ¶

f

 s˜t

f ( t) ˜ e

dt

(5-1)

0

f

Die Voraussetzungen für dieses uneigentliche Integral sind: 1. f ( t) = 0 für t < 0

2. f ( 0) =

lim

´ 3. µ ¶

 s˜t

dt  f to0 0 4. f(t) ist in jedem endlichen Intervall in endlich viele stetige und monotone Teile zerlegbar. An den 1 lim f tk  't  f tk  't . Sprungstellen tk ist der Funktionswert f tk = ˜ 2 



f ( t)

f

't o 0

Seite 135



f ( t) ˜ e





Laplace-Transformation

Das Integrationsintervall beginnt bei t = 0 (linksseitiger Grenzwert gegen 0), so dass auch Signale f(t) zugelassen werden, die in t = 0 einen G-Impulsanteil (Dirac-Impuls) G(t) besitzen. Solche Signale treten z. B. als Gewichtsfunktionen g(t) bei sprungfähigen Systemen auf. Dadurch, dass die Laplacevariable s eine komplexe Variable mit Realteil Gund Imaginärteil Zist, wird erreicht, dass dieses Integral für eine wesentlich grössere Klasse von Signalen f(t) konvergiert als beim Fourier-Integral. F(s) stellt die spektrale Dichte der Zeitfunktion f(t) (typische Vertreter sind z.B. Spannungen U(s) und Ströme I(s)) über der Einheit der komplexen Kreisfrequenz dar. Um aus dem Bildbereich wieder in den Originalbereich zurückzukehren, ist die inverse Laplace-Transformation zu bilden aus:

L

-1

G  j˜f ´ 0 s˜t µ ˜ F ( s ) ˜ e ds = { F(s) } = f ( t) = µ 2 ˜ S ˜ j ¶G  j˜f 0

1

¦

Residuen F (s) ˜ es˜t

(5-2)

( Pole( F( s) )

Der durch die Grenzen angedeutete Integrationsweg [G0 - j f , G0 + j f] ist eine zur j Z-Achse parallele Gerade, die innerhalb des der Laplace-Transformierten F(s) zugeordneten Konvergenzgebietes liegt und die G-Achse im Punkt G0 schneidet. Die Funktion F(s), die innerhalb des Konvergenzgebietes analytisch ist, kann häufig in die gesamte komplexe Ebene fortgesetzt werden, und zwar derart, dass sie bis auf endlich viele Singularitäten überall analytisch ist und überdies für s o f gegen Null strebt. Zur bequemen Berechnung des Integrals bietet sich dann in vielen Fällen der Residuenkalkül an. Der Wert des Integrals ist dann wie angegeben durch die Summe der Residuen in allen Singularitäten gegeben. Die Berechnung der Residuen ist besonders einfach, wenn es sich bei den Singularitäten von F(s) ausschließlich um Pole handelt. Ist s0   ein Pol erster Ordnung, so ist das Residuum in diesem Pol gegeben durch:



=

s˜t

Residuum F ( s ) ˜ e

lim s o s0





(5-3)

ª« 1 º m 1 d ª s  s m ˜ F ( s) ˜ es˜tº » ˜  0 ¼» « ( m  1) m 1 ¬ ds ¬ ¼

(5-4)

ª s  s ˜ F ( s ) ˜ es˜t º 0 ¬ ¼

Hat der Pol s 0   die Ordnung m t 2, so gilt:



=

s˜t

Residuum F ( s ) ˜ e

lim s o s0

Bemerkung: In Fällen, wo Verwechslungen der Laplacevariablen s und der Zeit in s (Sekunde) möglich sind (dies ist insbesonders in Mathcad oft problematisch), ist es eventuell zweckmäßig die Sekunde mit sec abzukürzen, oder die komplexe Frequenzvariable s, wie in der Literatur auch üblich, nicht mit s, sondern mit p zu bezeichnen.

5.1 Elementar- und Testsignale Beispiel 5.1: Laplace-Transformation und Rücktransformation einer allgemeinen Sprungfunktion V(t) = A )(t) (Heavisidefunktion). A 2

Amplitude

Seite 136

Laplace-Transformation

f ( t)  A ˜ ) ( t)

allgemeine Sprungfunktion

t  2  2  0.1  2

Bereichsvariable Laplacetransfomierte und Rücktransformierte von A )(t) mithilfe von Mathcad:

Zeitbereich 2

A A

A ˜ ) ( t)

hat Laplace-Transformation

s

hat inverse Laplace-Transformation

A

A

1 f( t)

A 2

Redefinitionen

t t

0

2

s

1

F ( s )  A ˜ ) ( t) laplace  t o t

f ( t) 

Abb. 5.1

A s

A s

invlaplace  s o A

Die Laplacetransformierte von A )(t) berechnet:

L

{ A )(t) } =

´ µ ¶

f

 s˜t

A˜e

0

f

§ 1 ˜ e s˜t· | = ©s ¹ 0

dt = A ˜ ¨

ª

A ˜ « lim

¬

bof

§ 1 ˜ e s˜b·  § 1 ·º = A ¨ ¨ » ©s ¹ © s ¹¼ s

Der Grenzwert und damit das Integral existiert nur, wenn der Realteil von s grösser 0 ist. F ( s) 

A

Laplacetransformierte

s

Bereichsvariable

s2  0.1  0.1  0.01  5 Bildbereich

10

F( s2 )

5

G = Re ( s ) ! 0 0

0

2

4

6

s2

Abb. 5.2

Abb. 5.3

Beispiel 5.2: Laplace-Transformation und Rücktransformation eines Dirac-Impulses G(t) = '(t): Laplacetansformierte und Rücktransformierte eines Dirac-Impulses mithilfe von Mathcad: ' ( t)

hat Laplace-Transformation

' ( t) laplace  t o 1

1

1

hat inverse Laplace-Transformation

1 invlaplace  s o ' ( t)

Seite 137

' ( t)

Laplace-Transformation

Die Laplacetransformierte eines Dirac-Impulses berechnet:

L { G(t) } =

´ F ( s) = µ ¶

f

 s˜t

G ( t) ˜ e

Dieses Integral kann wieder nur mit der Ausblendeigenschaft des Dirac-Impulses ausgewertet werden (siehe Abschnitt 4.2).

0

dt = e = 1

0

Beispiel 5.3: Laplace-Transformation und Rücktransformation einer Rampe (linearen Funktion) f (t) = k t )(t). k 2

Steigung der Geraden

f ( t)  k ˜ t ˜ ) ( t)

lineare Funktion

t  2  2  0.1  2

Bereichsvariable Laplacetansformierte und Rücktransformierte von k t )(t) mithilfe von Mathcad:

Zeitbereich 2

t t

f( t)

s

k 2

0

s

2

k

Abb. 5.4

s

k˜t

k s

t

2

hat inverse Laplace-Transformation

2

F ( s )  k ˜ t ˜ ) ( t) laplace  t o

1

k

hat Laplace-Transformation

k˜t

1

Redefinitionen

k k

2

invlaplace  s o k ˜ t

2

Die Laplacetransformierte von k t berechnet: Durch partielle Integration mit u = t, u' = 1 und v' = e

L{kt}= L{kt}= k s

˜

lim

´ k˜µ ¶

f

 s˜t

t˜e

0

k s

b ˜ e

bof

b ˜ e s˜b

L{kt}=

f

0

1 s

´  k˜µ µ ¶

f

1 s

´ k˜µ µ ¶

f

-st

1 s

erhalten wir:  s˜t

˜e

dt

0

 s˜t

˜e

dt

0

k

=

s

bof

´ k˜µ µ ¶

v = -1/s e

f § 1  s˜t· | dt = k ˜ ¨ t ˜ ˜ e © s ¹ 0

 s˜b

lim

˜

- s t,

˜

 s˜t

˜e

lim bof

dt =

k s

§ b · = k ˜ ¨ s˜b s ©e ¹

lim bof

f

§ 1 ˜ e s˜t· | = ©s ¹ 0

˜¨

k s

2

§ 1 · =0 ¨ s˜b ©s˜e ¹ ˜

lim bof

Regel von L' Hospital

e s˜b  1

=

k s

2

Der Grenzwert und damit das Integral existiert wieder nur, wenn der Realteil von s grösser 0 ist.

Seite 138

Laplace-Transformation

k

F ( s) 

s

Laplacetransformierte

2

Bereichsvariable

s2  0.1  0.1  0.01  5 Bildbereich

10

F( s2 )

5

G = Re ( s ) ! 0 0

0

2

4

6

s2

Abb. 5.5

Abb. 5.6

Beispiel 5.4: Laplace-Transformation und Rücktransformation einer Exponentialfunktion f (t) = ea t )(t). Konstante

a 2 a˜t

f ( t)  e

Exponentialfunktion

˜ ) ( t)

Bereichsvariable

t  1  1  0.01  1

Laplacetansformierte und Rücktransformierte von e at . )(t) mithilfe von Mathcad:

Zeitbereich 10

t t

a a

a˜t

f( t)

hat Laplace-Transformation

e

5

1

0

a˜t

F ( s)  e

1

t

1

Abb. 5.7

sa

1 sa

hat inverse Laplace-Transformation

sa 1

Redefinitionen

˜ ) ( t) laplace  t o

exp ( a ˜ t )

1 sa

invlaplace  s o exp ( a ˜ t )

Die Laplacetransformierte von e at )(t) berechnet:

L { eat } = L { eat } =

´ µ ¶

f

a˜t

e

 s˜t

˜e

0

1 sa

´ dt = µ ¶

f

 ( s a )˜t

e

dt =

0

˜

lim bof

ª¬e ( sa)˜b  1º¼ =

1 sa

1 sa

 ( s a )˜tº

˜ ª¬ e

¼

f | 0

Der Grenzwert und damit das Integral existiert nur, wenn G = Re(s) > a ist.

Seite 139

Laplace-Transformation

Rücktransformation in den Zeitbereich (a ist ein Pol 1. Ordnung):

L -1{ F(s) }

=







ª¬( s  a) ˜ F ( s ) ˜ es˜t º¼ =

lim soa

1

F ( s) 

=

s˜t

Residuum F ( s ) ˜ e

ª( s  a) ˜ 1 ˜ es˜tº = ea˜t « » sa ¬ ¼

lim soa

Laplacetransformierte

sa

Bereichsvariable

s2  2.1  2.1  0.01  6

Bildbereich

10

a

F( s2 )

5

G = Re ( s ) ! a 0

0

2

4

6

s2

Abb. 5.8

Abb. 5.9

Eine Fouriertransformierte existiert für diesen Fall nicht. Das Integral konvergiert nicht. Beispiel 5.5: Laplace-Transformation und Rücktransformation einer Exponentialfunktion f (t) = e - a t )(t). Konstante

a 2  a˜t

f ( t)  e

Exponentialfunktion

˜ ) ( t)

Bereichsvariable

t  1  1  0.01  1

Laplacetransfomierte und Rücktransformierte von e at )(t) mithilfe von Mathcad:

Zeitbereich 1

t t  a˜t

e

f( t) 1

0

1

a a

Redefinitionen 1

hat Laplace-Transformation

sa 1

hat inverse Laplace-Transformation

sa  a˜t

F ( s)  e

1 t

Abb. 5.10

1 sa

˜ ) ( t) laplace  t o

1 sa

invlaplace  s o exp ( a ˜ t)

Seite 140

exp ( a ˜ t)

Laplace-Transformation

Die Laplacetransformierte von e -at . )(t) berechnet:

L{e

-at

}=

f

 a˜t

e

 s˜t

˜e

0

L { e-at } = F ( s) 

´ µ ¶

´ dt = µ ¶

f

 ( s a )˜t

e

dt =

0

1 sa

ª¬e ( sa)˜b  1º¼ =

lim

˜

bof

1

1

 ( s a )˜tº

˜ ª¬ e

sa

1

f

¼ |

0

Der Grenzwert und damit das Integral existiert nur, wenn G = Re(s) > - a ist.

sa

Laplacetransformierte

sa

Bereichsvariable

s2  2.2  2.2  0.001  6

G = Re ( s ) ! a

Abb. 5.11

Abb. 5.12

Beispiel 5.6: Laplace-Transformation und Rücktransformation einer Kosinusfunktion f (t) = cos(Z0 t) . )(t). Z 1

Kreisfrequenz

f ( t)  cos ( Z ˜ t) ˜ ) ( t)

Exponentialfunktion Bereichsvariable

t  1  1  0.01  3 ˜ S

1

Laplacetransfomierte und Rücktransformierte von e at )(t) mithilfe von Mathcad: t t

Zeitbereich

Z Z

cos ( Z ˜ t)

Redefinitionen s

hat Laplace-Transformation

2

s Z s

f( t) 5

0

5

10

2

s Z

2

hat inverse Laplace-Transformation

F ( s )  cos ( Z ˜ t) ˜ ) ( t) laplace  t o 1

s Z t

Abb. 5.13

s 2

s 2

s Z

2

Seite 141

invlaplace  s o cos ( Z ˜ t)

2

2

cos ( Z ˜ t)

Laplace-Transformation

Die Laplacetransformierte von cos(Z0 t) )(t) berechnet: ´ µ  s˜t cos ( Z ˜ t) ˜ e dt = µ µ 0 ¶

´ µ ¶

L { cos(Zt) } =

f

f

0

§ ej˜Z˜t  e j˜Z˜t ·  s˜t ¨ dt ˜e 2 © ¹

f ª´f º 1 ´ 1 s «  ( s j˜Z )˜t  ( s j˜Z )˜t » § 1 ·= L { cos(Zt) } = 2 ˜ « µ¶ e  dt  µ e dt = ˜ ¨ » 2 2 ¶ 0 ¬ 0 ¼ 2 ©s  j˜ Z s  j˜ Z¹ s  Z

1

Das Integral mit Mathcad gelöst: ´ µ ¶

f

 s˜t

cos ( Z ˜ t) ˜ e

s

dt annehmen  s ! 0 o

0

2

s Z

2

Der Grenzwert und damit das Integral existiert nur, wenn G = Re(s) > 0 ist. Rücktransformation in den Zeitbereich ( an den Stellen jZ und -jZ liegt jeweils ein Pol 1. Ordnung vor):



=

s˜t

Residuum F ( s ) ˜ e



lim s o j ˜Z



=

s˜t

Residuum F ( s ) ˜ e



lim s o  j ˜Z

L -1{ F(s) }

=

¦



ª¬( s  j ˜ Z ) ˜ F ( s ) ˜ es˜t º¼ =



ª¬( s  j ˜ Z ) ˜ F ( s ) ˜ es˜t º¼ =



s 2

s Z

2

s2  0  0.001  20

s o j˜Z

1 ª( s  j ˜ Z ) ˜ Z s˜tº j˜Z˜t ˜e » = ˜e « 2 2 2 s Z ¬ ¼

lim s o  j˜Z

1  j˜Z˜t ª( s  j ˜ Z ) ˜ Z s˜tº ˜e » = ˜e « 2 2 2 s Z ¬ ¼

= 1 ˜ ej˜Z˜t  1 ˜ e j˜Z˜t = cos (Z ˜ t)

s˜t

Residuen F ( s ) ˜ e

2

( Pole( F( s) )

F ( s) 

lim

Laplacetransformierte

Bereichsvariable

Abb. 5.14

Seite 142

2

Laplace-Transformation

5.2. Eigenschaften der Laplace-Transformation Der Umgang mit der Laplace-Transformation kann mithilfe von Sätzen vereinfacht werden. Nachfolgend werden einige wichtige angeführt. Linearität (Superpositionssatz): Aus zwei Zeitfunktionen f 1 (t) und f 2 (t) wird mit den Konstanten (Amplituden) A1 und A2 eine neue Funktion f(t) gebildet in der Form f(t) = A 1 f1 (t) + A2 f2 (t). Die zugehörige Laplacetransformierte ergibt sich dann zu: ´

f

L { A1 ˜ f1 (t)  A2 ˜ f2 (t) } = F (s) = µ A1 ˜ f1 (t)  A2 ˜ f2 (t) ˜ e s˜t dt = ¶ 0

=

´ F ( s ) = A1 ˜ µ ¶

f

 s˜t

f1 ( t) ˜ e

0

´ dt  A 2 ˜ µ ¶

f

 s˜t

f2 ( t) ˜ e

dt = A 1 ˜ F1 ( s )  A 2 ˜ F2 ( s )

0

L {A1 f1(t) + A2 f2(t) } = A1 F1(s) + A2 F2(s)

(5-5)

Die Laplacetransformierte einer Summe von Zeitfunktionen ist gleich der Summe der Laplacetransformierten der einzelnen Zeitfunktionen. Allgemein gilt für n Zeitfunktionen: n

n

L { ¦  A k ˜ f k ( t ) } = ¦  A k ˜ F k( s) k

1

k

(5-6)

1

Beispiel 5.7: Laplace-Transformation und Rücktransformation der Funktion f(t) = 2 t + 4 cos(t).

L {2 t + 4 cos(t)} = 2 F1(s) + 4 F2(s) = F ( s) = 2 ˜

1 s

2

 3˜

s 2

F ( s) = 2 ˜

1 s

2

s

 3˜

2

s 1 2

vereinfacht auf

F ( s) =

2˜ s  2  3˜ s 2

2

s ˜ s 1

s 1

Laplace-Transformation und Rücktransformation mithilfe von Mathcad: 2 ˜ t  3 ˜ cos ( t ) laplace  t o

2 s

2 s

2

 3˜

s 2

2

 3˜

siehe Beispiel 5.3 und 5.6

s 2

s 1

invlaplace  s o 2 ˜ t  3 ˜ cos ( t)

s 1

Seite 143

3

Laplace-Transformation

Zeitverschiebung (Verschiebungssätze): Wird ein Signal f(t) auf der Zeitachse um eine feste Zeit t 0 > 0 verzögert (nach rechts verschoben), so gilt für die zugehörige Laplacetransformierte: ´

f

L { f t  t0 } = F (s) = µ f t  t0 ˜ e s˜t dt ¶

(5-7)

0

Mit der Substitution t - t0 = x und damit mit den Grenzen - t 0 und ferhalten wir: f

L { f (x) } =

f ´  s˜ x t0  t0˜s ´ µ  s˜x f ( x) ˜ e dx = e ˜µ f ( x) ˜ e dx . µ ¶ t ¶ t 0 0





Durch Zerlegung des letzten Integrals und unter Berücksichtigung, dass das erste Integral Null liefert, ergibt sich schließlich  t0˜s

L { f (x) } = e

f §´0 · ´  t0˜s  s˜x  s˜x ¨ ˜ µ f ( x) ˜ e dx  µ f ( x) ˜ e dx = e ˜ F (s) . ¶ ¨ ¶ t 0 © 0 ¹

Damit gilt:

L { f(t - t0) } =

e - t0s F(s) (Verschiebung oDämpfung)

(5-8)

Wird ein Signal f(t) auf der Zeitachse um eine feste Zeit t 0 > 0 nach links verschoben, so gilt für die zugehörige Laplacetransformierte:

L { f t  t0 } =

´ F (s) = µ ¶

f





 s˜t

f t  t0 ˜ e

0

t0˜s

dt = e

t · § ´0 ¨  s˜t ˜ ¨ L ( f ( t) )  µ f ( t) ˜ e dt ¶ 0 © ¹

Beispiel 5.8: Laplace-Transformation und Rücktransformation der verschobenen Sprungfunktion f(t) = )(t - T1 ).

L {)(t - T1)} =

 T1˜s

F ( s) = e

˜

1

Siehe Beispiel 5.1

s

Laplace-Transformation und Rücktransformation mithilfe von Mathcad:





annehmen  T1 ! 0 exp T1 ˜ s o s laplace  t



) t  T1





exp s ˜ T1 s



annehmen  T1 ! 0 o ) t  T1 invlaplace  s





Seite 144

(5-9)

Laplace-Transformation

Beispiel 5.9: Laplace-Transformation und Rücktransformation eines Rechteckimpulses f(t) = )(t) - )(t - T1 ). Unter Anwendung der Linearität und Zeitverschiebungssatz gilt:

L {)(t) - )(t - T1)} = L {)(t)} - L {)(t - T1)} =

 T1˜s

1

F ( s) =

e

s

˜

1 s

=

1 s

§

 T1˜s·

˜ ©1  e

¹

Laplace-Transformation und Rücktransformation mithilfe von Mathcad:





exp T1 ˜ s annehmen  T1 ! 0 1 o  s s laplace  t



) ( t )  ) t  T1

1 s



1 s





annehmen  T1 ! 0 o 1  ) t  T1 invlaplace  s





˜ exp s ˜ T1



Beispiel 5.10: Laplace-Transformation und Rücktransformation einer linearen Funktion f(t) = (t + 2) )(t).

L {t + 2} = L {t + 2} =

2˜s

F ( s) = e

2˜s

e

2 § · 2 ´ s ˜ t  1  s˜t·º ¨  s˜t 2˜s ª 1 § µ ˜ L ( t)  t˜e dt = e ˜ « ¨ ˜e » | ¨ ¶ 2 2 0 © ¹ ¬s © s ¹¼ 0

ª 1 ( 2 ˜ s  1) ˜ e 2˜s  ˜«  « s2 2 s ¬

1 ȼ

» ¼

=

2˜ s  1 s

2

siehe auch Beispiel 5.3

Laplace-Transformation und Rücktransformation mithilfe von Mathcad:

( t  2) ˜ ) ( t)

laplace  t o vereinfachen

1  2˜ s

1  2˜ s

2

2

s

s

invlaplace  s o t  2

Ähnlichkeitssatz (Zeitskalierung): Die Funktion f(a t) entsteht aus der Funktion f(t) durch Dehnung (0 < a < 1) oder durch Stauchung (a > 1) auf der Zeitachse. Mit der Substitution x = a t erhalten wir:

L { f ( a ˜ t) } =

´ µ f ´  s˜t µ µ f ( a ˜ t) ˜ e dt = µ ¶ 0 ¶

f 

f ( x) ˜ e

s a

˜x

˜

1 a

dx =

0

1 a

§s· (mit a > 0). © a¹

˜ F¨

Damit gilt:

L { f(a t) } =

1 a

§s· © a¹

˜ F¨

(5-10)

Seite 145

Laplace-Transformation

Beispiel 5.11: Laplace-Transformation der Funktion f(t) = cos(Z t) . )(t).

L {cos(t)} =

s

F ( s) =

nach Beispiel 5.6

2

s 1 s

1

L {cos(Z t)} =

Z

Z s §s·= 1 ˜ = 2 2 © Z ¹ Z § s ·2 s Z  1 ¨ ©Z¹

mithilfe des Ähnlichkeitssatzes

˜ F¨

Beispiel 5.12:

Laplace-Transformation der Funktion f(t) = cos(t) . )(t) und f(t) = sin(t) . )(t). Aus dem Beispiel 5.4 folgt unmittelbar

L {et} =

1

F ( s) =

s1

und weiter nach dem Ähnlichkeitssatz

L {ea t} =

1 a

§s· = 1 ˜ 1 = 1 © a¹ a s  1 s  a

˜ F¨

a

Setzen wir a = j, so erhalten wir durch Erweiterung des Bruches mit s + j:

L {ej t} =

1 s j

˜

sj

=

sj

s j 2

s

=

 j˜

2

s 1

s 1

1 2

s 1

Mit der Eulerbeziehung e j t = cos(t) + j sin(t) und unter Anwendung der Linearität erhalten wir schließlich:

L {ej t} = L {cos(t) + j sin(t)} = L {cos(t)} s

L {cos(t)} =

also

+j

2

cos ( t)  j ˜ sin ( t ) laplace  t o

2

1

 j˜

s 1

2

s 1

1

L {sin(t)} =

s 1

s

L {sin(t)} = 2

s 1 s



2

s 1

i

Lösung mit Mathcad (imaginäre Einheit i = j)

2

s 1

Dämpfungssatz: Wird eine Zeitfunktion f(t) mit e - a t multipliziert, dann tritt für t > 0, Re(a) > 0 eine Dämpfung ein. Es gilt daher: -at

L{e

f(t)} =

´ µ ¶

f

 a˜t

e

0

 s˜t

˜ f ( t) ˜ e

´ dt = µ ¶

f

 ( s a )˜t

f ( t) ˜ e

dt = F ( s  a)

0

Es gilt daher

L { e- a t f(t)}

= F(s + a) (Dämpfung oVerschiebung)

Seite 146

(5-11)

Laplace-Transformation

Beispiel 5.13: Laplace-Transformation Rücktransformation der Funktion f(t) = e

L {cos(Z t)} =

s

F ( s) =

2

s Z

L {e - a t cos(t)} =

-a t

cos(Z t) )(t).

nach Beispiel 5.6

2

sa

F ( s  a) =

2

( s  a)  Z

mithilfe des Dämpfungssatzes

2

Laplace-Transformation und Rücktransformation mithilfe von Mathcad:  a˜t

e

sa

sa

˜ cos ( Z ˜ t) ˜ ) ( t) laplace  t o

2

( s  a)  Z

2

2

( s  a)  Z

2

invlaplace  s o exp ( a ˜ t ) ˜ cos ( Z ˜ t)

Ableitungssatz für die Originalfunktion: Wird vorausgesetzt, dass f(t) die ersten n- Ableitungen besitzt, für f(t), f '(t), ..., f (n-1)(t) der rechtsseitige Grenzwert an der Stelle 0 existiert, die Ableitungen von f(t) transformierbar sind, dann gilt mithilfe der partiellen Integration (u = e -s t, u' = - s e-s t, v' = f '(t), v = f(t)):

L {f '(t)} =L {

d dt

f ( t)

}=

´ µ µ ¶

f

d dt

 s˜t

f ( t) ˜ e

 s˜t

dt = e

f

˜ f ( t)

0

0

e s˜t ˜ f (t)

lim

Nun ist aber

|

= 0 und

tof

lim to0



e s˜t ˜ f (t)

´  s ˜ µ ¶

f

 s˜t

f ( t) ˜ e

dt

0

= f ( 0+) .

Es gilt daher:

L{

d

f ( t)

dt

} = 0 - f(0+) + s L {f(t)} .

Damit gilt mit f(0+) = f(0) für die erste Ableitung:

L{

d

f ( t)

dt

} = s L {f(t)} - f(0+) = s F(s) - f(0)

(5-12)

Für höhere Ableitungen folgt entsprechend:

L{

2

d

dt

2

f ( t)

§ · } = L { d ¨ d f ( t) } = s dt © dt ¹

L{

d dt

f ( t)

} - f '(0+) = s [s L {f(t)} - f(0+)] - f '(0+).

Damit gilt mit f(0+) = f(0) und f '(0+) = f '(0) für die zweite Ableitung:

L{

2

d

dt

2

f ( t)

2

} = s F(s) - s f(0) - f '(0)

Seite 147

(5-13)

Laplace-Transformation

Allgemein gilt dann für die n-te Ableitung:

L{

n

d

dt

n

f ( t)

n 1

n

} = s ˜ F (s) 

ª¬sni1 ˜ f  n ( 0+)º¼

¦

i

(5-14)

0

Der Ableitungssatz wird besonders bei der Lösung von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Anwendung finden (siehe dazu Kapitel 8). Gilt f(0) = f '(0) = ... = f(n)(0) = 0 (Anfangswerte zur Zeit t = 0), wie es bei vielen Anwendungen der Fall ist, dann wird die Ableitung im Bildbereich zur Multiplikation mit s:

L {f (n)(t)}

= sn F(s) (n ²)

(5-15)

Bemerkung: Ist f(t) eine Sprungfunktion mit einer Sprungstelle bei t = 0, so ist für die Anfangswerte f(0), f '(0), ..., f(n-1)(0) jeweils der rechtsseitige Grenzwert einzusetzen ( f(0+), f '(0+), ..., f (n-1)(0+) ), um ein stetiges Anschließen von f(t), f '(t), ... an diese Anfangswerte zu gewährleisten.

Beispiel 5.14: Von einer Funktion f(t) = sin(t) )(t) sind der Anfangswert f(0) = 0 und die Bildfunktion F(s) bekannt. Unter Verwendung des Ableitungssatzes kann dann die Laplacetransformierte der Kosinusfunktion hergeleitet werden.

L {sin(t)} =

1

F ( s) =

nach Beispiel 5.11

2

s 1

L { d sin ( t) } = L {cos(t)} =

s˜

dt

d dt

1 2

 0=

s 1

s 2

s 1

s

sin ( t) laplace  t o

Lösung mit Mathcad

2

s 1

Beispiel 5.15: Man ermittle die Laplacetransformierte der Differentialgleichung y'(t) + 2 y(t) = e 2t mit y(0) = 1.

L {y'(t) + 2 y(t)} = L {eat} s ˜ Y ( s )  y ( 0)  2 ˜ Y ( s ) =

( s  2) ˜ Y ( s )  1 =

d dt

1 s2

1 s2

Laplacetransformierte Gleichung unter Anwendung der Linearität und des Ableitungssatzes

auflösen  Y ( s ) o

s1 2

nach Y(s) umgeformte Gleichung

s 4

y ( t)  2 ˜ y ( t ) laplace  t o s ˜ laplace ( y ( t )  t  s )  y ( 0)  2 ˜ laplace ( y ( t )  t  s )

Seite 148

Lösung der linken Seite der Gleichung mit Mathcad

Laplace-Transformation

Ableitungssatz für die Bildfunktion: Wir interessieren uns hier für die Ableitungen der Bildfunktion F(s) = L {f(t)} nach der Variablen s. Durch beidseitige Differentiation nach s der Definitionsgleichung für die Laplace-Transformation folgt: f f §´ f · ´f ´ ´ ¨  s˜t d  s˜t  s˜t  s˜t µ µ f ( t) ˜ e F'(s) = f ( t) ˜ e dt = µ f ( t) ˜ ( t) ˜ e dt = dt = µ ( t ˜ f ( t) ) ˜ e dt ¨ µ ¶ ¶ ¶ s ds © 0 d 0 0 ¹ ¶



d



0

Das letzte Integral ist die Laplacetransformierte der Funktion g(t) = - t . f(t). Damit gilt für die erste Ableitung der Bildfunktion F(s):

F'(s) = L {- t . f(t)}

(5-16)

Für höhere Ableitungen folgt entsprechend in Analogie:

F(n)(s) = L {(-t)n . f(t)}

(5-17)

Bemerkung: Der Ableitungssatz für die Bildfunktion lässt sich auch in folgender Form darstellen:

L {(t)n . f(t)} = (-1)n . F(n)(s)

(5-18)

Beispiel 5.16: Die Laplacetransformierte von f(t) = e a t lautet: F(s) = 1/(s-a). Bestimmen Sie mithilfe des Ableitungssatzes die Laplacetransformierte der Funktion g(t) = t 2 . eat.

§ 1 · = 1 ¨ 2 ds © s  a ¹ ( s  a) d

F' ( s ) =

F'' ( s ) =

d ds

( F' ( s ) ) =

L {t2 . ea t} =

erste Ableitung der Laplacetransformierten

2 ª 1 º = « » 3 ds ( s  a) 2 ¬ ¼ ( s  a) d

2

2

( 1) ˜ F'' ( s ) =

( s  a) 2

a˜t

t ˜e

zweite Ableitung der Laplacetransformierten

siehe Bemerkung oben

3

2

laplace  t o

( s  a)

Lösung mit Mathcad

3

Beispiel 5.17: Bestimmen Sie die Laplacetransformierte der Funktion g(t) = t . sinh(t). sinh ( t ) laplace  t o

1 2

t ˜ sinh ( t ) laplace  t o

s 1 1 d

( 1) ˜

1

ds s 2  1

vereinfachen o

2

s2  1

2

˜s

2

s

2



2

˜s

1

Auswertung mit Mathcad

Seite 149

Auswertung mit Mathcad

Laplace-Transformation

Integralsatz für die Originalfunktion: Wie eine Differntiation im Zeitbereich führt auch eine Integration im Zeitbereich auf eine algebraische Operation im Bildbereich. Dies besagt der Integralsatz (Umkehrung des Ableitungssatzes). t

´ Für die Laplacetransformierte des Integrals µ f ( W ) dW gilt: ¶ 0

L{

t

´ µ f ( W ) dW ¶

} =

0

1 s

˜ F ( s ) (t > 0)

(5-19)

Die Integration im Bildbereich wird also zur Division durch s. Wie beim Ableitungssatz bestätigen wir mit partieller Integration die Richtigkeit dieses Satzes: ´ µ µ µ ¶

t

´ µ f ( W ) dW ¶

L{

} =

0

f

0

f t  s˜t §´t · 1 ´ e f ¨ µ f ( W ) dW ˜ e s˜t dt = ´ µ f ( W ) dW ˜ + ˜ µ f ( t) ˜ e s˜t dt ¨ ¶0 | ¶ s s ¶0 0 © ¹ 0

also

L{

t

´ µ f ( W ) dW ¶

}=

lim tof

0

 s˜t · §´t 1 ¨ µ f ( W ) dW ˜ e  . L { f ( t) } . ¨¶ s s © 0 ¹

Beispiel 5.18: t

´ Bestimmen Sie die Laplacetransformierte des Integrals µ sin ( W ) dW . ¶ 0

t

´ µ sin ( W ) dW o cos ( t)  1 ¶

Lösung des Integrals über Originalfunktion f(t) = sin(t)

0

sin ( t) laplace  t o

1 2

Laplacetransformierte der Originalfunktion

s 1

L{ L{ =

t

t

´ µ sin ( W ) dW ¶ 0 t

´ µ sin ( W ) dW ¶ 0

´ µ sin ( W ) dW ¶ 0

} = L { 1 - cos(t) } = } = 1/s *L { sin(t))

laplace  t o vereinfachen

1

s2  1 ˜ s

L {1} - L { cos(t) } =1  s

1 s

˜

1 2

s 2

=

s 1

1

2

s˜ s  1

Auswertung mit dem Integralsatz

s 1 Auswertung mit Mathcad

Seite 150

Laplace-Transformation

Integralsatz für die Bildfunktion: Die Integration der Bildfunktion F(s) = L {f(t)} regelt die nachfolgende Beziehung, die ohne Beweis angeführt wird. ´ Für das Integral µ ¶

f

F ( u) du einer Bildfunktion F(s) gilt:

s

´ µ ¶

f

F ( u) du=

L {(1/ t) . f(t)}

(5-20)

s

Dabei ist f(t) die Originalfunktion von F(s), d.h. f(t) = L -1{ F(s) }. Beispiel 5.19: Bestimmen Sie mithilfe des Integralsatzes die Laplacetransformierte von g(t) = t 2 , wenn die Laplacetransformierte von f(t) = t 3 bekannt ist. 3

t laplace  t o

6 s

L{

1 t

˜t

3

Laplacetransformierte von f(t)

4 2

}=L{t }=

´ µ µ µ ¶

f

6 4

u

s

f

1

1 1 · 2 · | = 6 ˜ § lim  = ¨ 3 3 3 3 3 ˜ s ¹ s © 3 ˜ u ¹ s © b o f 3 ˜ b

§

du = 6 ˜ ¨

Faltungsatz: Unter dem Faltungsprodukt f 1 (t) * f 2 (t) zweier Originalfunktionen f 1 (t) und f2 (t) (siehe auch Abschnitt 4.3) versteht man das Integral t

t

´ ´ f ( t ) = f 1 ( t ) * f 2 ( t ) = µ f 1 ( W ) ˜ f 2 ( t  W ) dW = µ f 1 ( t  W ) ˜ f 2 ( W ) dW ¶ ¶ 0

(5-21)

0

Das Symbol " * " bedeutet das Faltungssymbol. Dieses Integral, auch Faltungsintegral genannt beschreibt die Schnittfläche von f 2 (t - W) mit f1 (W) bzw. umgekehrt. Die Bezeichnung Faltungsprodukt ist auch deshalb gerechtfertigt, weil sich die Grösse wie ein Produkt verhält. Es gelten nämlich folgende Rechengesetze: f1 ( t) * f2 ( t) = f2 ( t) * f1 ( t)

Kommutativgesetz

(5-22)

[ f1 ( t) * f2 ( t)

] * f3 ( t) = f1 ( t) * [ f2 ( t) * f3 ( t) ]

Assoziativgesetz

(5-23)

f1 ( t) * [ f2 ( t)

+ f3 ( t) ] = f1 ( t) * f2 ( t) + f1 ( t) * f3 ( t)

Distributivgesetz

(5-24)

Damit lässt sich nun der Faltungssatz formulieren. Die Laplacetransformierte des Faltungsproduktes f1 (t) * f 2 (t) ist gleich dem Produkt der Laplacetransformierten von f 1 (t) und f2 (t):

L { f1 ( t) * f2 ( t) } = L {

t

´ µ f 1 ( W ) ˜ f 2 ( t  W ) dW ¶

} = L { f1 ( t) } .

0

Seite 151

L { f 2 ( t ) } = F1 ( s ) ˜ F2 ( s )

(5-25)

Laplace-Transformation

Der Faltungssatz lässt sich auch in umgekehrter Richtung formulieren:

f(t) = L

-1

{ F ( s ) } = L

-1

t

{ F1 ( s ) . F2 ( s ) } = f 1 ( t ) * f 2 ( t ) =

´ µ f 1 ( W ) ˜ f 2 ( t  W ) dW ¶

(5-26)

0

Beispiel 5.20: Mithilfe des Faltungssatzes soll die zur Bildfunktion F ( s ) =

1

s2  1 ˜ s

gehörige Originalfunktion f(t) bestimmt

werden.

L { f ( t) } =

F ( s) =

1

s2  1 ˜ s

f (t) =L  { F1 ( s) } =

-1

L

-1

-1

L

-1

2

f (t) =L  { F2 ( s) } = 2

1

=

˜

2

s 1 1

{

1 s

= F1 ( s ) ˜ F2 ( s )

} = sin ( t)

2

Zerlegung der Bildfunktion in ein Produkt

Rücktransformation der ersten Teilfunktion

s 1

{

1

Rücktransformation der zweiten Teilfunktion

}=1

s

Die gesuchte Originalfunktion f(t) erhalten wir dann aus dem Faltungsprodukt der beiden Originalfunktionen f1 (W) = sin(W) und f 2 (t - W) = 1:

f(t) = f1 ( t) * f2 ( t) =

t t t ´ ´ µ sin ( W ) ˜ 1 dW = cos ( W )| = 1 - cos(t) µ f 1 ( W ) ˜ f 2 ( t  W ) dW = ¶ ¶ 0 0 0

f(t) =

L -1{

1

1

s2  1 ˜ s

} = 1 - cos(t)

die gesuchte Originalfunktion

Rücktransformation mit Mathcad

invlaplace  s o 1  cos ( t)

s2  1 ˜ s

Beispiel 5.21: 1

Mithilfe des Faltungssatzes soll die zur Bildfunktion F ( s ) =

2

gehörige Originalfunktion f(t) bestimmt

s 4 werden.

L { f ( t) } =

F ( s) =

1 2

=

s 4

-1

1 s2

f (t) =L  { F1 ( s) } = 2

L

-1

-1

L

-1

f (t) =L  { F2 ( s) } = 2

{

{

˜

1 s2

1 s2 1 s2

= F1 ( s ) ˜ F2 ( s )

Zerlegung der Bildfunktion in ein Produkt

} = e 2˜t

Rücktransformation der ersten Teilfunktion

} = e2˜t

Rücktransformation der zweiten Teilfunktion

Seite 152

Laplace-Transformation

Die gesuchte Originalfunktion f(t) erhalten wir dann aus dem Faltungsprodukt der beiden Originalfunktionen f1 (W) = e-2W und f 2 (t - W) = e2 (t - W) : t t t t ´  2˜W 2˜( tW ) ´ 2˜t ´  4˜W 2˜t § 1  4˜W · ˜e ˜e dW = e ˜ ¨ dW = e ˜ µ e | µ f 1 ( W ) ˜ f 2 ( t  W ) dW = µ e ¶ ¶ 4 © ¹ ¶ 0 0 0 0

f(t) = f1 ( t) * f2 ( t) =

f(t) =

L

1

§ 1  e 4˜t · e2˜t  e 2˜t 1 } = e2˜t ˜ ¨ = = ˜ sinh ( 2 ˜ t ) 2 4 4 2 © ¹ s 4 1

-1

 {

invlaplace  s o

2

s 4

1 4

˜ exp ( 2 ˜ t ) 

1 4

˜ exp ( 2 ˜ t)

die gesuchte Originalfunktion

Rücktransformation mit Mathcad

Grenzwertsätze (Anfangs- und Endwerttheorem): Das Anfangs- und Endwerttheorem geben über das Zeitverhalten einer Funktion f(t) im Zeitpunkt t = 0+ (exakter: beim rechtsseitigen Grenzwert) Auskunft, d.h. über das dynamische Verhalten zu Beginn eines Ausgleichsvorganges, bzw. über den stationären Zustand, nachdem der Ausgleichsvorgang beendet ist (t o f). Bei der Anwendung dieser Theoreme kann das dynamische Verhalten eines Systems bis zu einem gewissen Grad direkt im Laplacebereich (ohne Rücktransformation) beurteilt werden. Der Anfangswert f(0) und der Endwert f( f) einer Originalfunktion f(t) lassen sich (sofern sie überhaupt existieren) ohne Rücktransformation durch Grenzwertbildung aus der zugehörigen Bildfunktion F(s) = L

{f(t)} wie folgt berechnen:

Anfangswerttheorem: f ( 0) =

lim

f ( t) =

lim

to0

( s ˜ F (s))

(5-27)

( s ˜ F ( s) )

(5-28)

sof

Endwerttheorem: f (f) =

lim

f ( t) =

tof

lim so0

Den Nachweis führen mithilfe des Ableitungssatzes. Nach dem Ableitungssatz gilt für f(t):

L{

d dt

f ( t)

}=

´ µ µ ¶

f

d dt

 s˜t

f ( t) ˜ e

dt

= s ˜ F ( s )  f ( 0) .

0

Beim Grenzübergang für s o0 und vertauschen des Grenzwertes mit dem Integral wird hieraus die Gleichung: ´ µ µ µ ¶

f

d dt

f ( t) ˜

lim so0

 s˜t

e

dt =

lim

( s ˜ F ( s )  f ( 0) ) .

so0

0

Der Grenzwert im Integral wird 1 und damit ergibt die linke Seite der Gleichung f( f) - f(0). Wir erhalten dann das Endwerttheorem aus f ( f )  f ( 0) = lim ( s ˜ F ( s ) )  f ( 0) . so0

Die Bildung des Grenzwertes für s o fliefert schliesslich, weil der Grenzwert im Integral verschwindet, das Anfangswerttheorem.

Seite 153

Laplace-Transformation

Beispiel 5.22: Mithilfe der Grenzwertsätze soll der Anfangswert und der Endwert der Bildfunktion U ( s ) =

U0 s ˜ ( s  1)

ermittelt

werden und mit der Originalfunktion f(t) verglichen werden.

lim sof

lim so0

U0 ª º «s ˜ » o0 ¬ s ˜ ( s  1) ¼

Anfangswert

U0 ª º «s ˜ » o U0 ¬ s ˜ ( s  1) ¼

Endwert

U0 s ˜ ( s  1) lim to0

lim tof

invlaplace  s o U0 ˜ ( 1  exp ( t ) )

Rücktransformation in den Originalbereich

ª¬U0 ˜ ( 1  exp ( t) )º¼ o 0

der Grenzwert bestätigt das Ergebnis

ª¬U0 ˜ ( 1  exp ( t) )º¼ o U0

der Grenzwert bestätigt das Ergebnis

Beispiel 5.23: Mithilfe der Grenzwertsätze soll der Anfangswert und der Endwert der Bildfunktion F ( s ) =

2 ˜ s  12 s ˜ ( s  4)

werden und mit der Originalfunktion f(t) verglichen werden.

lim sof

lim so0

ª s ˜ 2 ˜ s  12 º o 2 « » ¬ s ˜ ( s  4) ¼

Anfangswert

ª s ˜ 2 ˜ s  12 º o 3 « » ¬ s ˜ ( s  4) ¼

Endwert

2 ˜ s  12 s ˜ ( s  4) lim

invlaplace  s o 3  exp ( 4 ˜ t)

Rücktransformation in den Originalbereich

( 3  exp ( 4 ˜ t) ) o 2

der Grenzwert bestätigt das Ergebnis

( 3  2 ˜ exp ( 4 ˜ t) ) o 3

der Grenzwert bestätigt das Ergebnis

to0

lim tof

Seite 154

ermittelt

Laplace-Transformation

5.3. Rücktransformation aus dem Bildbereich in den Originalbereich Um aus dem Bildbereich die gesuchte Originalfunktion f(t) zu erhalten, muss man die Bildfunktion F(s) mittels der inversen Laplace-Transformation in den Originalbereich rücktransformieren. In der Praxis erweist sich diese Rücktransformation als der schwierigste Weg.

Prinzipiell besteht die Möglichkeit, die Originalfunktion f(t) auf direkten Wege über das LaplaceUmkehrintegral aus der bekannten Bildfunktion F(s) zu berechnen. Diese Methode wird aber nur selten angewendet, weil hierzu fundierte Kenntnisse aus dem Gebiet der Funktionentheorie notwendig sind. Daneben gibt es die Möglichkeit mithilfe einer Transformationstabelle, die in zahlreichen Werken über die Laplace-Transformation zu finden ist (siehe dazu auch Anhang Korrespondenztabellen), die Rücktransformation durchzuführen. Da in den Anwendungen häufig gebrochen rationale Bildfunktionen auftreten, zerlegt man diese zunächst in eine Summe von Partialbrüchen und bestimmt dann aus der Transformationstabelle Glied für Glied die zugehörige Originalfunktion. Wie bereits oben in zahlreichen Beispielen aufgezeigt wurde, kann mit Mathcad eine Rücktransformation durchgeführt werden. Es ist aber nicht zu erwarten, dass alle möglichen Rücktransformationen auch ausgeführt werden können, zumal es sich in Mathcad um einen eingeschränkten Maple-Symbolkern handelt. Es soll jedenfalls versucht werden, wenn eine Rücktransformation der Bildfunktion nicht direkt gelingt, zuerst eine Partialbruchzerlegung durchzuführen (siehe auch Band 3, Abschnitt 4.3.4). Die Partialbruchzerlegung ist auf echt gebrochen rationale Funktionen (Grad des Zählerpolynoms ist kleiner als der Grad des Nennerpolynoms) anwendbar. Liegt eine unecht gebrochen rationale Funktion vor, so kann diese mittels Partialdivision in die Summe einer ganzen und einer echt gebrochen rationalen Funktion umgeformt werden. Eine gebrochen rationale Funktion hat die allgemeine Form

F ( s) =

Z ( s) N(s)

n

an ˜ s  an 1 ˜ s

=

s

m

 bm 1 ˜ s

n 1

m 1

 an 2 ˜ s

 bm 2 ˜ s

n 2

m 2

2

 ....  a2 ˜ s  a1 ˜ s  a0 2

(5-29)

 ....  b2 ˜ s  b1 ˜ s  b0

wobei ak , bk  und m,n ²sind. Zur Durchführung der Partialbruchzerlegung müssen die Nullstellen von N(s) (Polstellen) bekannt sein. Unter Beachtung des Fundamentalsatzes der Algebra kann





N(s) = s  s1

D1





˜ s  s2

D2





˜ s  s3

D3



.... s  s i



Di





.... s  s r

Dr

geschrieben werden, wobei die s i die voneinander verschiedenen Wurzeln der Gleichung N(s) = 0 sind und die Di ( D ²) die Vielfachheit der Wurzeln s i bedeuten.

Seite 155

(5-30)

Laplace-Transformation

F(s) kann jetzt in eine Summe von Teilbrüchen zerlegt werden. Dabei sind folgende Fälle zu unterscheiden: a) Die Wurzeln der Nennerpolynoms N(s) sind reell und voneinander verschieden. Ansatz: F ( s) =

Z ( s) N(s)

=

A1 s  s1

A2



s  s2

Ai

 .... 

 .... 

s  si

Am

(5-31)

s  sm

b) Die Nennerfunktion N(s) besitzt mehrfache reelle Nullstellen. Ansatz: F ( s) =

Z ( s) N(s)

=

A11 s  s1

A12



s  s1

2



A13

s  s1

3

A1D1

 .... 

s  s1

D1

+

(5-32)

.............................................................................. +

Ai1 s  si



Ai2



s  si



2



Ai3



s  si



3

 .... 

AiDi

 s  s i

+

Di

............................................................................. +

Ar1 s  sr



Ar2





s  sr

2



Ar3





s  sr

3

 .... 

ArDr

s  sr

Dr

.

wenn die Nennerfunktion N(s) vom Grade m ist dann gilt: r

D 1  D 2  D 3  ....  D i  ....  D r =

¦

i

Di = m .

1

c) Die Wurzeln der Nennerfunktion sind einfach komplex. Der Ansatz kann wie unter a) gewählt werden, wobei für konjugiert komplexe Nullstellen s 1 und s2 einfacher geschrieben werden kann: A1 s  s1



A2 s  s2

=

M˜s  N

(5-33)

2

s  a˜ s  b

d) Die Nennerfunktion N(s) besitzt mehrfache komplexe Nullstellen. Dieser Fall soll hier nicht behandelt werden. Die vorerst unbekannten Koeffizienten in den Ansätzen können nach verschiedenen Methoden bestimmt werden. Solche Methoden sind die Grenzwertmethode, die Einsetzungsmethode und die Methode des Koeffizientenvergleichs. Diese Methoden können auch kombiniert angewendet werden. Nachfolgend sollen diese Methoden an einigen Beispielen erläutert werden.

Seite 156

Laplace-Transformation

Beispiel 5.24: 1

Die Bildfunktion F ( s ) =

s ˜ ( s  a) rücktransformiert werden. 1

=

s ˜ ( s  a)

A1

A2



s

soll zuerst mittels Partialbruchzerlegung umgeformt und dann

Ansatz für die Partialbruchzerlegung

sa

nach Multiplikation des Ansatzes mit dem Nenner

1 = A1 ˜ ( s  a)  A2 ˜ s

Anwendung der Grenzwertsätze, denn für s = 0 und s = a ist F(s) nicht definiert: 1=

lim so0

1=

lim soa

ª¬A1 ˜ ( s  a)  A2 ˜ sº¼ = A1 ˜ a

daraus folgt:

A1 =

ª¬A1 ˜ ( s  a)  A2 ˜ sº¼ = A2 ˜ a

daraus folgt:

A2 =

1 a 1 a

Damit kann die Bildfunktion in folgender Form dargestellt werden: 1

F ( s) =

a

˜

1



s

1 a

1

˜

sa

Damit kann diese Funktion summandenweise unter Anwendung der inversen Transformation rücktransformiert werden: -1

f(t) =L  { F ( s ) } = -1/a

1

L -1{

-1

} + 1/a L  {

s

1 sa

}

Unter Berücksichtigung der Ergebnisse in Beispiel 5.1 und 5.4 folgt die Funktion im Originalbereich: f ( t) =

1 a

˜1

1 s1 ˜ ( s1  a) 1 s1 ˜ ( s1  a)

1 a

a˜t

˜e

=

1 a

 a˜t  1 .

˜ e

konvert  teilbruch  s1 o

invlaplace  s1 o

1



a

1 a ˜ s1

1 a



1 a ˜ ( s1  a)

˜ exp ( a ˜ t )

Partialbruchzerlegung mithilfe von Mathcad

Rücktransformation mit Mathcad

Beispiel 5.25: 2

Die Bildfunktion F ( s ) =

2˜ s  2˜ s  4 ( s  5)

3

soll zuerst mittels Partialbruchzerlegung umgeformt und dann

rücktransformiert werden. 2

2˜ s  2˜ s  4 ( s  5) 2

3

=

A11 s5



A12 ( s  a)

2



A13 ( s  5)

Ansatz für die Partialbruchzerlegung

3

2

2 ˜ s  2 ˜ s  4 = A11 ˜ ( s  5)  A12 ˜ ( s  5)  A13

Seite 157

nach Multiplikation des Ansatzes mit dem Nenner

Laplace-Transformation

Mit der Grenzwert und Einsetzungsmethode ergibt sich dann:

2 ˜ s2  2 ˜ s  4

lim

=

lim

so5

so5

ªA ˜ ( s  5) 2  A ˜ ( s  5)  A º 12 13¼ ¬ 11

s=0

4 = 25 ˜ A11  5 ˜ A12  44

s=1

8 = 36 ˜ A11  6 ˜ A12  44

daraus folgt:

44 = A13

Aus dem linearen Gleichungssystem folgt A11 = 2 und A12 = 18 . Die Bildfunktion hat dann die Darstellung:

ª 1

F ( s) = 2 ˜ «

¬

s5

9



( s  5)

2

22



º

( s  5)

3»

¼

Damit kann diese Funktion summandenweise unter Anwendung der inversen Transformation rücktransformiert werden (hier mithilfe von Mathcad): 1 s5

invlaplace  s o exp ( 5 ˜ t)

9 ( s  5)

2

22

invlaplace  s o 9 ˜ t ˜ exp ( 5 ˜ t)

2

( s  5)

3

invlaplace  s o 11 ˜ t ˜ exp ( 5 ˜ t)

Die Originalfunktion lautet daher:

  5˜t  9 ˜ t ˜ e 5˜t  11 ˜ t2 ˜ e 5t = 2 ˜ e 5˜t ˜ 11 ˜ t2  9 ˜ t  1 .

f ( t) = 2 ˜ e 2

2 ˜ s1  2 ˜ s1  4 ( s1  5)

3

2

2˜ s  2˜ s  4 ( s  5)

3

44

konvert  teilbruch  s1 o

( s1  5)

3

18



( s1  5)

2

invlaplace  s 2 o 2 ˜ exp ( 5 ˜ t) ˜ 11 ˜ t  9 ˜ t  1 faktor







2

Partialbruchzerlegung mithilfe s1  5 von Mathcad

Rücktransformation mit Mathcad

Beispiel 5.26: s3

Die Bildfunktion F ( s ) =



2

( s  1) ˜ s  6 ˜ s  34 dann rücktransformiert werden.



soll zuerst mittels Partialbruchzerlegung umgeformt und

Die Nennerfunktion besitzt eine reelle Wurzel und ein Paar konjugiert komplexer Wurzeln: s3



2

( s  1) ˜ s  6 ˜ s  34



=

A s1



M˜s  N 2

Ansatz für die Partialbruchzerlegung

s  6 ˜ s  34

Seite 158

Laplace-Transformation

2



nach Multiplikation des Ansatzes mit dem Nenner

s  3 = A ˜ s  6 ˜ s  34  ( M ˜ s  N) ˜ ( s  1)

Nach dem Ordnen nach Potenzen von s führen wir einen Koeffizientenvergleich durch: 2

s  3 = ( A  M) ˜ s  ( 6 ˜ A  M  N) ˜ s  34 ˜ A  N 0=A M

1 = 6˜ A  M  N

3 = 34 ˜ A  N

Aus dem linearen Gleichungssystem folgt A =

4 41

4

, M=

und N =

41

13 41

.

Die Bildfunktion hat dann die Darstellung: 13 §¨ · s 1 4 ˜ s  13 4 1 4 ¨ 1 4 ¸ F ( s) = ˜  ˜ = ˜  2 2 41 s  1 41 41 ¨ s  1 s  6 ˜ s  34 s  6 ˜ s  34 ¹ © Damit kann diese Funktion summandenweise unter Anwendung der inversen Transformation rücktransformiert werden (hier mithilfe von Mathcad): 1 s1

invlaplace  s o exp ( t )

s

13 4

invlaplace  s o exp ( 3 ˜ t) ˜ cos ( 5 ˜ t ) 

2

s  6 ˜ s  34

5 4

˜ exp ( 3 ˜ t ) ˜ sin ( 5 ˜ t )

Die Originalfunktion lautet daher: f ( t) =

4

§ 41 ©

t

˜ ¨ e  exp ( 3 ˜ t ) ˜ cos ( 5 ˜ t) 

5 4

˜ exp ( 3 ˜ t) ˜ sin ( 5 ˜ t )

· . ¹

Partialbruchzerlegung mithilfe von Mathcad: s1  3



2

( s1  1) ˜ s1  6 ˜ s1  34



konvert  teilbruch  s1 o

4 41 ˜ ( s1  1)



1 41

˜

13  4 ˜ s1 2

s1  6 ˜ s1  34

Rücktransformation mit Mathcad: s3

2

( s  1) ˜ s  6 ˜ s  34



invlaplace  s o

4 41

˜ exp ( t ) 

4 41

˜ exp ( 3 ˜ t) ˜ cos ( 5 ˜ t ) 

Seite 159

5 41

˜ exp ( 3 ˜ t ) ˜ sin ( 5 ˜ t )

Laplace-Transformation

5.4 Anwendungen der Laplace-Transformation 5.4.1 Lösungen von Differentialgleichungen Eine direkte Lösung einer linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten (siehe dazu auch Kapitel 7), die das Verhalten eines Systems im Zeitbereich (Originalbereich) beschreibt, ist oft recht aufwendig. Der Umweg über den Laplacebereich (Bildbereich) bietet eine bequeme Methode zur Lösung einer linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, zumal auch die Anfangsbedingungen sofort berücksichtigt werden können, ohne erst eine allgemeine Lösung angeben zu müssen. Die physikalischen Größen hängen dann nicht mehr von der Zeit ab, sondern von der Variablen s. Eine Rücktransformation der Lösung in den Zeitbereich erfolgt mithilfe der Partialbruchzerlegung und den erwähnten Transformationstabellen. Es kann aber auch wie beschrieben, eine Rücktransformation mithilfe von Mathcad versucht werden. Eine Transformation erfolgt dabei nach dem folgenden Schema:

Betrachtet man in der linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten n

¦

k

0

m §¨ · k d y ( t) = ¨ ak ˜ tk d © ¹ k 0

0

d

¦

§¨ · k d x ( t) bk ˜ ¨ k dt © ¹

(5-34)

0

y ( t) = y ( t) ,

d

x ( t) = x ( t) und ak , bk , 0 0 dt dt die Funktion x(t) als einzige Eingangsgröße und y(t) als einzige Ausgangsgröße eines Systems, so beschreibt sie ein lineares zeitinvariantes System (LTI-System; Linear Time-invariant Systems). mit

Jedes durch eine lineare Differentialgleichung beschriebenes System ist linear. Sind dabei die Koeffizienten a k und bk konstant, so ist das System zusätzlich zeitinvariant. Ein System heißt linear, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind: a) Verstärkungsprinzip: Ist y(t) das Ausgangssignal zu x(t) und wird das Eingangssignal zu c x(t) verstärkt, so führt dies zur gleichen Verstärkung des Ausgangssignals, also zu c y(t). b) Überlagerungsprinzip: Sind y 1 (t) und y2 (t) die Ausgangssignale zu x 1 (t) und x2 (t), so ist y(t) = y1 (t) + y2 (t) das Ausgangssignal zu x(t) = x 1 (t) + x2 (t). Ein System heißt zeitinvariant, wenn das Verschiebungsprinzip erfüllt ist: Ein zeitlich später einsetzendes Eingangssignal führt zu einem Ausgangssignal, das mit der gleichen Verspätung einsetzt, sonst aber unverändert bleibt. Wegen der häufig vorkommenden linearen Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten soll deren Lösung nachfolgend noch näher ausgeführt werden.

Seite 160

Laplace-Transformation

Die inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten vom Typ y' ( t)  a ˜ y ( t ) = x ( t)

(5-35)

mit dem Anfangswert y(0) wird mithilfe der Laplace-Transformation gliedweise unter Anwendung des Ableitungssatzes und Superpositionssatzes in die algebraische Gleichung ( s ˜ Y ( s )  y ( 0) )  a ˜ Y ( s ) = X ( s )

(5-36)

mit der Lösung Y (s) =

X ( s )  y ( 0)

(5-37)

sa

übergeführt ( Y(s) = L { y ( t) } und X(s) = L { x ( t) } ). x(t) wird auch Störfunktion genannt. Die Rücktransformation von Y(s) liefert dann mit den bereits bekannten Methoden die gesuchte Originalfunktion y(t) im Zeitbereich. Bemerkung: Die allgemeine Lösung des Anfangswertproblems lässt sich auch in geschlossener Form wie folgt darstellen:  a˜t

 a˜t

y( t) = x ( t) * e

 y ( 0) ˜ e

(5-38)

x(t) * e- a t ist dabei das Faltungsprodukt der Funktion x(t) und e - a t.

Beispiel 5.27: Gesucht ist die Lösung folgender linearen Differentialgleichung 1.Ordnung: d dt

mit dem Anfangswert y(0) = 1

y( t)  2 ˜ y ( t) = 2 ˜ t  4

( s ˜ Y ( s )  1)  2 ˜ Y ( s )

= L { 2˜ t  4} 2

( s ˜ Y ( s )  1)  2 ˜ Y ( s ) =

s Y (s) =

2



2

s ˜ ( s  2) 2



2

s ˜ ( s  2) y( t) = t 

5 2



4 s ˜ ( s  2)

4 s ˜ ( s  2) 7 2

2



4

1



s2

˜ exp ( 2 ˜ t)

Laplacetransformierte algebraische Gleichung

s



Laplace-Transformation der Differentialgleichung

1 s2

nach Y(s) aufgelöste algebraische Gleichung

invlaplace  s o t 

5 2



7 2

 2˜t

inverse Laplace-Transformation mithilfe von Mathcad

gesuchte Lösung der Differentialgleichung im Zeitbereich

Lösung der Differentialgleichung in geschlossener Form: y( t) = x ( t) * e

˜ exp ( 2 ˜ t)

 2˜t

 y ( 0) ˜ e

Seite 161

Laplace-Transformation

Das Faltungsprodukt erhält man aus x(t) * e - 2t =

t

t

0

0

t

t

0

0

§ · ´ ´ ´  2˜( t W )  2( t W )  2˜t ¨ ´ 2˜W 2˜W µ x(W ) ˜ e ˜ µ 2 ˜ W ˜ e dW  µ 4 ˜ e dW dW = µ ( 2 ˜ W  4) ˜ e dW = e ¨¶ ¶ ¶ ¶ ©

¹

Die Gesuchte Lösung der Differentialgleichung ergibt sich dann aus  2˜t

y( t) = e

©

y( t) =

1 2

t

t

§´ · ´ ¨ 2˜W 2˜W  2˜t ˜ µ 2 ˜ W ˜ e dW  µ 4 ˜ e dW  1 ˜ e ¨¶ ¶ 0

0

vereinfacht auf

¹

˜ ( 2 ˜ t ˜ exp ( 2 ˜ t )  5 ˜ exp ( 2 ˜ t )  7) ˜ exp ( 2 ˜ t)

Beispiel 5.28: Eine homogene Kugel mit dem Radius r und der Dichte UK wird in einer zähen Flüssigkeit mit der Dichte UF und der Zähigkeit K zum Zeitpunkt t = 0s fallengelassen. Unter Berücksichtigung der Schwerkraft G = m g = UK VK g, der Auftriebskraft F A = UF VK g und der Stokeschen Reibung F R = 6 S K r v erhält man die nachfolgend angegebene Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung v(0 s) = 0 m/s. Bestimmen Sie daraus das Geschwindigkeits- Zeit-Gesetz und stelle dieses für D = 1s -1 und E = 1m grafisch dar. d dt

inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

v( t)  D ˜ v ( t) = E

D und E sind Konstanten und sind gegeben durch:

D=

9˜ K 2

E=

2 ˜ UK ˜ r ( s ˜ V ( s )  0)  D ˜ V ( s ) = E

s ˜ V ( s)  D ˜ V ( s) = D  1˜ s

1

s

E s

E D



Bereichsvariable



 D ˜t

Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz für t t 0 v-t Diagramm

Geschwindigkeit

2

E

v( t) m s

nach Variable V(s) auflösen und inverse -Transformation durchführen

gegebene Werte (ohne Einheiten)

E  1˜ m

˜ 1 e

UK

Laplacetransformierte algebraische Gleichung

auflösen  V ( s ) § 1 1 ˜ exp ( D ˜ t)· oE˜¨  invlaplace  s ©D D ¹

t  0 ˜ s  0.01 ˜ s  5 ˜ s v( t) 

 U K  U F ˜ g

D 1

Abb. 5.15

0

1

2

3 t s Zeit

Seite 162

4

5

Laplace-Transformation

Die inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten vom Typ y'' ( t)  a ˜ y' ( t )  b ˜ y ( t ) = x ( t)

(5-39)

mit dem Anfangswerten y(0) und y'(0) wird mithilfe der Laplace-Transformation gliedweise unter Anwendung des Ableitungssatzes und Superpositionssatzes in die algebraische Gleichung

s2 ˜ Y (s)  s ˜ y(0)  y' (0)  a ˜ (s ˜ Y (s)  y(0))  b ˜ Y (s) = X (s)

(5-40)

mit der Lösung Y (s) =

X ( s )  y ( 0) ˜ ( s  a)  y' ( 0)

(5-41)

2

s  a˜ s  b übergeführt ( Y(s) = L { y ( t) } und X(s) = L { x ( t)

} ). x(t) wird auch Störfunktion genannt.

Die Rücktransformation von Y(s) liefert dann mit den bereits bekannten Methoden die gesuchte Originalfunktion y(t) im Zeitbereich. Bemerkung: Die allgemeine Lösung des Anfangswertproblems lässt sich auch in geschlossener Form wie folgt darstellen: y ( t) = x ( t) * f1 ( t)  y ( 0) ˜ f2 ( t)  y' ( 0) ˜ f1 ( t)

(5-42)

x(t) * f1 (t) ist dabei das Faltungsprodukt der Funktion x(t) und f 1 (t). Die Funktion f1 ( t) ist hier die Originalfunktion zu F1 ( s ) = die Funktion f2 ( t) die Originalfunktion zu F2 ( s ) =

1

s2  a ˜ s  b

sa 2

und

.

s  a˜ s  b

Beispiel 5.29: Gesucht ist die Lösung folgender linearen Differentialgleichung 2. Ordnung: 2

d

dt

2

2˜t

mit dem Anfangswerten y(0) = 0 und y'(0) = 1

y ( t)  2 ˜ y' ( t )  y ( t) = 3 ˜ e

s2 ˜ Y (s)  s ˜ 0  1  2 ˜ (s ˜ Y (s)  0)  Y (s) 2

s ˜ Y ( s)  1  2 ˜ s ˜ Y ( s)  Y ( s) =

3 s2

s2  2 ˜ s  1 ˜ Y (s) = s 3 2  1 = ss  12 Y (s) =

s1

s2  2 ˜ s  1 ˜ (s  2)

= L { 3 ˜ e2˜t }

Laplace-Transformation der Differentialgleichung

Laplacetransformierte algebraische Gleichung

umgeformte Gleichung

nach Y(s) aufgelöste algebraische Gleichung

Seite 163

Laplace-Transformation

s1

s2  2 ˜ s  1 ˜ (s  2) y( t) =

1

˜ exp ( 2 ˜ t ) 

3

1

invlaplace  s o

1 3

1 3

˜ exp ( t )

inverse Laplace-Transformation mithilfe von Mathcad

gesuchte Lösung der Differentialgleichung im Zeitbereich

˜ exp ( t )

3

˜ exp ( 2 ˜ t ) 

Lösung der Differentialgleichung in geschlossener Form: y ( t) = x ( t) * f1 ( t)  y ( 0) ˜ f2 ( t)  y' ( 0) ˜ f1 ( t) 1

s

2

s

2



t

invlaplace  s o t ˜ exp ( t )

f1 ( t) = t ˜ e

invlaplace  s o t ˜ exp ( t )  exp ( t )

f2 ( t) = t ˜ exp ( t )  exp ( t )

 2˜ s  1 s2



 2˜ s  1

Das Faltungsprodukt erhalten wir aus: Redefinition

t t

t

x(t) * f1 (t) =

t ´ ´ 2˜W  ( t W ) dW µ x ( W ) ˜ f 1 ( t  W ) dW = µ 3 ˜ e ˜ ( t  W ) ˜ e ¶ ¶ 0 0

Die gesuchte Lösung der Differentialgleichung lautet dann: t

´ 1 2˜W  ( t W ) t y( t) = µ 3 ˜ e ˜ ( t  W ) ˜ e ˜ ( 1  exp ( 3 ˜ t) ) ˜ exp ( 2 ˜ t ) dW  t ˜ e vereinfachen o y ( t ) = ¶ 3 0 Lösung der Differentialgleichung mithilfe des Faltungssatzes: Y (s) =

s1

s2  2 ˜ s  1

s1

s

2



˜

1 ( s  2)

invlaplace  s o exp ( t )

 2˜ s  1

1 s2

= Y1 ( s ) ˜ Y2 ( s )

invlaplace  s o exp ( 2 ˜ t )

Die Bildfunktion in ein Produkt zerlegt

f1 = exp ( t )

f2 = exp ( 2 ˜ t )

Die gesuchte Originalfunktion y(t) ist dann das Faltungsprodukt der beiden Originalfunktionen: t

y(t)= f 1 (t) * f2 (t) =

´  W 2˜( tW ) 1 1 µ e ˜e ˜ exp ( t )  ˜ exp ( 2 ˜ t ) dW o ¶ 3 3 0

Beispiel 5.30: Ein gedämpftes, mechanisches, schwingungsfähiges System mit der Eigenkreisfrequenz Z0 wird durch eine periodische Kraft mit derselben Kreisfrequenz Z0 zu erzwungenen Schwingungen angeregt. Wie lautet die Lösung der nachfolgend angegebenen Schwingungsgleichung mit den Anfangsbedingungen y(0) = 0 und v(0) = y'(0) = 0 ? Die Lösung ist für Z0 = s-1 und F0 /m = a = 1 m/s2 grafisch darzustellen.

Seite 164

Laplace-Transformation

2

d

dt

2

2



y ( t)  Z 0 ˜ y ( t) = a ˜ cos Z 0 ˜ t

inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten



s2 ˜ Y (s)  s ˜ 0  0  Z 02 ˜ Y (s) = a ˜ 2

1

˜

2

Z0  1 ˜ s 1

y( t) 

2

y1 ( t) 

˜

1 2

a Z0



˜ t ˜ sin Z 0 ˜ t

1

s

a



˜ t ˜ sin Z 0 ˜ t

˜

a Z0

˜t



nach Variable Y(s) auflösen und inverse -Transformation durchführen

Weg-Zeit-Gesetz für t t 0 (Resonanzfall)

m

a 1˜

Z0

s  Z0



s ˜ Y ( s)  Z 0 ˜ Y ( s) = a ˜ 2 2 s  Z0 y( t) =

Laplacetransformierte algebraische Gleichung

2

auflösen  Y ( s ) 1 a o ˜ ˜ t ˜ sin Z 0 ˜ t invlaplace  s 2 Z0

s

2

s 2

gegebene Werte

2



Schwingungsgleichung

y2 ( t) 

1 2

˜

a Z0

Einhüllende Kurven

˜t

Bereichsvariable

t  0 ˜ s  0.001 ˜ s  20 ˜ s 10 y( t) m

5

y1 ( t) m

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

y2 ( t) m

5

10 t s

Abb. 5.16

Seite 165

Laplace-Transformation

5.4.2 Laplace-Transformation in der Netzwerkanalyse Für elektrische Netzwerke können, wie nachfolgend dargestellt, die Bauteilgleichungen selbst laplacetransformiert werden:

Beispiel 5.31: Wie reagiert der Strom i(t) in einem R-L-Zweipol auf eine sprunghafte Änderung einer angelegten Spannung u(t) = U 0 )(t). Zum Zeitpunkt t = 0 s gilt: i(0 s) = 0 A. gegebene Daten: Angelegte Spannung: U 0 = 100 V Ohmscher Widerstand: R = 100 : Induktivität: L = 0.3 H nach Kirchhoff gilt: uL(t) + uR(t) = u(t). Daraus ergibt sich die inhomogene Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten:

Abb. 5.17

L˜

d dt

i ( t )  R ˜ i ( t ) = U0 ˜ ) ( t)

Seite 166

Laplace-Transformation

Laplace-Transformation der Differentialgleichung (Netzwerkberechnung im Bildbereich): L ˜ s ˜ I ( s)  R ˜ I ( s) =

U0 s

auflösen  I ( s ) o

U0 s ˜ ( L ˜ s  R)

1. Inverse Laplace-Transformation mit Mathcad: U0

§ 1 1 ˜ exp § R ˜ t · · invlaplace  s o U0 ˜ ¨  ¨ s ˜ ( L ˜ s  R) L ¹¹ ©R R © i ( t) =

U0

§ t · · © W ¹¹

§ R ©

mit

˜ ¨ 1  exp ¨

W =

L

Lösung der Differentialgleichung im Zeitbereich

R

2. Lösung unter Verwendung der Residuenformel für die Rücktransformation: Bestimmung der Polstellen: hat als Lösung(en)

s ˜ ( L ˜ s  R) = 0

§ 0 · ¨ ¨ R © L ¹

Polstellen

U0

Zu bestimmen sind die Residuen von:

s˜t

s ˜ ( L ˜ s  R)

˜e

Die Residuen werden aus der Laurentreihe bestimmt (Auswertung mit Mathcad): a) Pol bei 0: U0

s˜t

s ˜ ( L ˜ s  R) Residuum:

U0

konvertiert in die Reihe

˜e

R

˜s

1



U0 R

˜t

U0 2

˜ L  O (s)

R

U0 R

b) Pol bei - R/L: Transformation in einen Pol bei Null mit u˜ L  R

Daraus folgt

s=

t t

Redefinition U0

s˜t

s ˜ ( L ˜ s  R) U0 ( u ˜ L  R) ˜ u U0 R

˜e

u=s

R L

L

ersetzen  s =

u˜ L  R L

o

U0 ( u ˜ L  R) ˜ u

§ u ˜ L  R ˜ t· © L ¹

˜ exp ¨

§ u ˜ L  R ˜ t· konvertiert in die Reihe © L ¹

˜ exp ¨

§ R ˜ t· ˜ u 1  U0 ˜ exp § R ˜ t· ˜ t  U0 ˜ L ˜ exp § R ˜ t·  O ( u) ¨ ¨ 2 R © L ¹ © L ¹ © L ¹ R

˜ exp ¨

Residuum:

U0 R

§ R ˜ t· © L ¹

˜ exp ¨

Seite 167

Laplace-Transformation

L -1{ I(s) }

= i ( t) =



¦

= U0  U0 ˜ exp §¨ R ˜ t·

s˜t

Residuen I ( s ) ˜ e

R

( Pole( I( s) )

U0  100 ˜ V

angelegte Spannung

R  100 ˜ :

Ohmscher Widerstand

L  0.3 ˜ H

Induktivität

W

L

© L

¹

Zeitkonstante

R

ms  10

3

Einheitendefinition

˜s

t  1 ˜ ms  0.99 ˜ ms  20 ˜ ms

i ( t) 

R

Lösung der Differentialgleichung im Zeitbereich

U0

§ t · · © W ¹¹

§ R ©

Bereichsvariable

Einschaltstrom

˜ ¨ 1  exp ¨

1.5

1

i ( t)˜) ( t)

W

5˜W

U0

ms

ms

R

) ( t) 0.5

1

4

9

14

19

t ms

Abb. 5.18 Beispiel 5.32: Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf der Spannung am Kondensator u C(t) und des Gesamtstromes i(t) beim Einschaltvorgang eines RC-Serienkreises an Gleichspannung U 0 . Zur Zeit t = 0 s soll die Spannung u C(0 s)=0 V sein.

Seite 168

Laplace-Transformation

gegebene Daten: Angelegte Spannung: U 0 = 10 V Ohmscher Widerstand: R = 10 k: Kapazität: C = 10 PF nach Kirchhoff gilt: uc (t) + uR(t) = u(t). Daraus ergibt sich die inhomogene Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten: uc ( t)  R ˜ C ˜

Abb. 5.19

d dt

uc ( t) = U0 ˜ ) ( t)

Mit W = R . C lässt sich die Differentialgleichung umformen in: U0 1 uc ( t)  ˜ uC ( t) = ˜ ) ( t) W W dt d

U0  U0

R R

W W

Redefinitionen

Laplace-Transformation der Differentialgleichung (Netzwerkberechnung im Bildbereich): 1

s ˜ UC ( s ) 

W

˜ UC ( s ) =

U0 W˜s

auflösen  UC ( s ) o

U0

U0

s ˜ ( W ˜ s  1)

s ˜ ( W ˜ s  1)

=

U0 W

Inverse Laplace-Transformation mit Mathcad:

˜

1

§ ©

s ˜ ¨s 

U0

§ § t · · invlaplace  s o U0 ˜ ¨ 1  exp ¨ s ˜ ( W ˜ s  1) © © W ¹¹ § § t · · uC ( t) = U0 ˜ ¨ 1  exp ¨ © © W ¹¹

Verlauf der Kondensatorspannung

Der Strom ergibt sich aus: i ( t) = C ˜

d dt

uC ( t)

§ § t · · uC ( t) = U0 ˜ ¨ 1  exp ¨ © © W ¹¹ i ( t) = C ˜

U0 R˜ C

§ 1 ˜ t· ©W ¹

˜ exp ¨

durch Differentiation, ergibt

vereinfacht auf

i ( t) =

U0  10 ˜ V

angelegte Spannung

R  10 ˜ k:

Ohmscher Widerstand

C  10 ˜ PF

Kapazität

Seite 169

U0 R

U0 § 1 ˜ t· ˜ exp ¨ uC ( t) = W dt ©W ¹ d

§ 1 ˜ t· ©W ¹

˜ exp ¨

Verlauf des Stromes

1· W¹

Laplace-Transformation

Zeitkonstante

W  R˜ C

W

TL  5 ˜ W

TL

0.5 s

I0

1 mA

I0 

U0 R

0.1 s

Aufladezeit (Faustregel)

maximaler Strom

t1  0 ˜ s

Anfangszeitpunkt

t2  0.6 ˜ s

Endzeitpunkt

N  300

Anzahl der Schritte

't 

t2  t1

Schrittweite

N

Bereichsvariable

t  t1  t1  't  t2  t· § ¨ W uc ( t)  U0 ˜ © 1  e ¹

ta ( t) 

U0 W

Funktionsgleichung der Kondensatorspannung

Funktionsgleichung der Anlauftangente

˜t

Spannung

12 u c( t)

10

V

8

ta( t)

6

V

4

U0

U-Kennlinie

V W

TL

s

s

Abb. 5.20

2 0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

t s Zeit

Wird ein ungeladener Kondensator an eine Gleichspannung gelegt, so ist im ersten Augenblick t = 0 s die Spannung u c = 0 V, weil dieser ein elektrischer Energiespeicher ist ( W=(C U 2 )/2) und sich die Spannung nicht plötzlich ändern kann. Im ersten Augenblick ist der Kondensator kurzgeschlossen. Der Kondensator lädt sich erst dann mehr oder weniger rasch nach einer e-Funktion auf und erreicht theoretisch erst nach unendlicher Zeit den Endwert der angelegten Gleichspannung. Für praktische Anwendungen ist ein Kondensator nach einer Ladezeit von ca. T L = 5 . W aufgeladen. i ( t) 

U0 R

ta ( t)  

§ 1 ˜ t· ©W ¹

˜ exp ¨

I0 W

˜ t  I0

Funktionsgleichung des Stromes

Funktionsgleichung der abfallenden Tangente

Seite 170

Laplace-Transformation

Strom

mA

0.8

ta( t)

0.6

mA

mA

1

i( t)

I0

I-Kennlinie

1.2 W

TL

s

s

Abb. 5.21

0.4 0.2 0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

t s Zeit

Der Strom ist beim Einschalten ein Maximum ( = I 0 ) und nimmt nach einer e - Funktion ab. Beispiel 5.33: An einer Serienschaltung mit Widerstand R und Kapazität C wird zum Zeitpunkt t = 0 s eine sinusförmige Wechselspannung u e = Umax sin(Z t + Mu ) angelegt. Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf der Spannung am Kondensator u C(t) und der Spannung am Widerstand u R(t) sowie des Stromes i(t). Zum Einschaltzeitpunkt t = 0 s muss die Spannung am Kondensator u C(t) Null sein, da eine sprungartige Spannungsänderung nicht möglich ist.

gegebene Daten: angelegte Spannung: u e (t) = Umax sin(Z t + Mu ) Scheitelwert: U max = 100 V Frequenz: f = 50 Hz Phasenverschiebung: Mu = 0 Ohmscher Widerstand: R = 2 k: Kapazität: C = 10 PF

Abb. 5.22 nach Kirchhoff gilt: uc (t) + uR(t) = ue (t). Daraus ergibt sich die inhomogene Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten: uc ( t)  R ˜ C ˜

d dt

uc ( t) = Umax ˜ sin ( Z ˜ t) ˜ ) ( t)

Mit W = R . C lässt sich die Differentialgleichung umformen in Umax 1 ˜ sin ( Z ˜ t) ˜ ) ( t) . uc ( t)  ˜ uC ( t) = W W dt d

Seite 171

Laplace-Transformation

t t

R R

C C

W W

Redefinitionen

Laplace-Transformation der Differentialgleichung (Netzwerkberechnung im Bildbereich): Umax W

Umax

sin ( Z ˜ t) ˜ ) ( t) laplace  t o

s ˜ UC ( s ) 

1 W

˜ UC ( s ) =

Umax W

˜

W

Z

˜

2

s Z

rechte Seite laplacetransformiert

2

Z

Z auflösen  UC ( s ) o Umax ˜ 2 2 3 2 2 2 s Z s ˜W  s˜W˜Z  s  Z

Inverse Laplace-Transformation mit Mathcad: Z Umax ˜ 3 2 2 2 s ˜W  s˜W˜Z  s  Z

§ t · ˜ Z ©W¹

W ˜ Z ˜ cos ( Z ˜ t)  sin ( Z ˜ t)  W ˜ exp ¨

invlaplace  s

o Umax ˜ vereinfachen

2

1W ˜Z

§ t · ˜Z ©W¹

W ˜ Z ˜ cos ( Z ˜ t)  sin ( Z ˜ t)  W ˜ exp ¨ uC ( t) = Umax ˜

2

1 W ˜Z

2

Lösung der Differentialgleichung Verlauf der Kondensatorspannung

2

Berechnung von i(t) und uR(t): i ( t) = C ˜

d dt

Gesamtstrom

uC ( t)

§ t · ˜ Z ©W¹

W ˜ Z ˜ cos ( Z ˜ t)  sin ( Z ˜ t)  W ˜ exp ¨ uC ( t) = Umax ˜

2

1 W ˜Z

Kondensatorspannung

2

durch Differentiation, ergibt

§ t · ˜ Z ©W¹

2

d dt

W ˜ Z ˜ sin ( Z ˜ t)  cos ( Z ˜ t) ˜ Z  exp ¨ uC ( t) = Umax ˜

2

1W ˜Z

§ t · ˜ Z ©W¹

2

i ( t) = C ˜

d dt

Ableitung der Kondensatorspannung

2

W ˜ Z ˜ sin ( Z ˜ t)  cos ( Z ˜ t) ˜ Z  exp ¨ uC ( t) = C ˜ Umax ˜

2

1W ˜Z

Gesamtstrom

2

Spannung am Widerstand: uR ( t) = R ˜ i ( t )

§ t · ˜ Z ©W¹

2

W ˜ Z ˜ sin ( Z ˜ t)  cos ( Z ˜ t) ˜ Z  exp ¨ uR ( t) = R ˜ C ˜ Umax ˜

2

1 W ˜Z

2

Seite 172

Spannung am Widerstand

Laplace-Transformation

Frequenz der Eingangsspannung

f  50 ˜ Hz Z  2˜ S ˜ f

314.159 s

Z

1

Winkelgeschwindigkeit

Umax  100 ˜ V

Amplitude der Eingangsspannung

M u  0 ˜ Grad

Phasenwinkel der Eingangsspannung





ue ( t)  Umax ˜ sin Z ˜ t  M u

Eingangsspannung

R  2 ˜ k:

Widerstand

C  10 ˜ PF

Kapazität

W  R˜ C

W

0.02 s

Zeitkonstante

t1  0 ˜ s

Anfangszeitpunkt

t2  0.1 ˜ s

Endzeitpunkt

N  800

Anzahl der Schritte

't 

t2  t1

Schrittweite

N

Bereichsvariable

t  t1  t1  't  t2 ms  10

3

Einheitendefinition

˜s

§ t · ˜ Z ©W¹

2

W ˜ Z ˜ sin ( Z ˜ t)  cos ( Z ˜ t) ˜ Z  exp ¨ i ( t )  C ˜ Umax ˜

2

1W ˜Z

2

§ t · ˜ Z ©W¹

2

Gesamtstrom

W ˜ Z ˜ sin ( Z ˜ t)  cos ( Z ˜ t) ˜ Z  exp ¨ uR ( t)  R ˜ C ˜ Umax ˜

2

1W ˜Z

2

§ t · ˜ Z ©W¹

Spannung am Widerstand

W ˜ Z ˜ cos ( Z ˜ t)  sin ( Z ˜ t)  W ˜ exp ¨ uC ( t)  Umax ˜

2

1W ˜Z

2

Die Kondensatorspannung uC(t) kann in uCein(t) und in uCstat(t) zerlegt werden: uC ( t) = uCein ( t)  uCstat ( t)

Seite 173

Spannung am Kondensator

Laplace-Transformation

§ ˜ § t · ˜ Z · ¨ W exp ¨ © ©W¹ ¹ uCein ( t)  Umax ˜ 2 2

Ausgleichsglied der Kondensatorspannung

1W ˜Z

uCstat ( t)  Umax ˜

( W ˜ Z ˜ cos ( Z ˜ t)  sin ( Z ˜ t) )

Spannung am Kondensator beim Einschalten

40 u Cein( t) 30

V

stationäres Glied der Kondensatorspannung

 1  W 2 ˜ Z 2

W

5˜W

ms

ms

u Cstat( t) 20

Spannung

V u C( t) V

10

u Cein( t)  u Cein( 0˜s) V

0

20

40

60

80

100

u Cein( t)  u Cein( 0˜s) V

10

20 t ms Zeit Ausgleichsspannung stationäre Spannung Gesamtspannung Begrenzungslinie Begrenzungslinie

Abb. 5.23 Die Ausgleichsspannung uCein ist so groß, dass zum Einschaltzeitpunkt t = 0 s der Spannung am Kondensator u C(0 s) = 0 V beträgt (in der Anfangsbedingung festgelegt). Nach theoretisch unendlich langer Zeit verschwindet die Ausgleichsspannung. Die Lösung entspricht der Lösung der homogenen Diffenentialgleichung. Die Stationäre Spannung uCstat ist jene Spannung, die sich theoretisch nach unendlicher langer Zeit einstellt; praktisch wird sie nach t = 5 . W erreicht. Die Lösung entspricht der partikulären Lösung der inhomogenen Differentialgleichung.

Seite 174

Laplace-Transformation

5.4.3 Übertragungsverhalten von Systemen Aus praktischen Problemen der Elektrotechnik hat sich die Systemtheorie entwickelt. Wichtige Anwendungsgebiete liegen im Entwurf und in der Analyse elektrischer Netzwerke, in der Nachrichtenübertragung, in der Regelungstechnik und in der Messtechnik vor. Das Kerngebiet der Systemtheorie bilden sogenannte LTI-Systeme, die bereits kurz im Abschnitt 5.3.1 beschrieben wurden. Unter der Annahme verschwindender Anfangsbedingungen (y(0) = 0, y' (0) = 0 , ....) kann die lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, die ein LTI-System beschreibt, mithilfe des Ableitungssatzes einfach laplacetransformiert werden: n

§ a ˜ sk ˜ Y ( s)· = © k ¹

¦

k

0

m

¦

k

§ b ˜ sk ˜ X ( s)· © k ¹

(5-47)

0

Diese algebraische Gleichung in s kann nun umgeformt werden: n

Y ( s ) ˜ § an ˜ s  an1 ˜ s ©

n1

....  a1 ˜ s  a0· = X ( s ) ˜ § bm ˜ s ¹ ©

m

 bm1 ˜ s

m 1

˜ ....  b1 ˜ s  a0· ¹

m 1 § b ˜ sm  b ˜ ....  b1 ˜ s  b0· m 1 ˜ s m © ¹ ˜ X ( s) Y (s) = § a ˜ sn  an1 ˜ sn1 ....  a ˜ s  a · 1 0¹ © n

(5-48)

Bezeichnet man den Quotienten mit G(s), so kann die Gleichung in folgender Form geschrieben werden: Y ( s) = G ( s) ˜ X ( s) G ( s) =

(5-49)

Y (s)

(5-50)

X (s)

G(s) heißt Übertragungsfunktion und beschreibt das dynamische Verhalten eines linearen zeitinvarianten System vollständig. Der Vorteil dieser Vorgangsweise liegt darin, dass die Übertragungsfunktion G(s) bei einem energielosen Übertragungsglied verhältnismäßig leicht gebildet werden kann. Die Übertragungsfunktion G(s) hängt nur von der Art des Systems und seiner Kenngrößen ab. Sie ist unabhängig vom Eingangssignal x(t), d.h. mittels der vorhergehenden Gleichung kann für alle Eingangssignale x(t), aus denen X(s) mittels Laplace-Transformation gewonnen werden kann, das Ausgangssignal Y(s) und daraus durch Rücktransformation die Ausgangszeitfunktion y(t) bestimmt werden. In der Praxis wird G(s) oft auch noch durch a n oder a 0 dividiert (normierte Darstellung): bm G ( s) =

an

˜s n

m

s 



bm1 an

an1 an

˜s

˜s

m 1

n1

˜ .... 

˜ .... 

a1 an

b1 an

˜s

˜s

a0

b0 an

bm =

an

a0

˜s

an a0

m



n

˜s 

bm1 a0 an1 a0

˜s

m 1

˜s

n1

˜ .... 

˜ .... 

b1 a0 a1 a0

˜s

b0 a0

.

˜s1

Mit der Übertragungsfunktion können drei Grundaufgaben formuliert werden: Y ( s ) = G ( s ) ˜ X ( s ) ... Analyse

X (s) =

1 G (s)

˜ Y ( s ) ... Synthese

Seite 175

G ( s) =

Y (s) X (s)

... Identifikation

Laplace-Transformation

Bei Kenntnis der Übertragungsfunktion G(s) kann daher nach folgendem Schema für jedes Eingangssignal x(t) das Ausgangssignal y(t) berechnet werden:

Eine Rücktransformation der Lösung in den Zeitbereich kann, wie bereits bekannt ist, recht rechenaufwendig sein. Meist ist sie aber gar nicht erforderlich, weil sehr viele Systemeigenschaften (z.B. Einschwingverhalten, Stabilität und Stationärverhalten) direkt im Laplacebereich erkennbar sind. Von den vorhergehenden Herleitungen ist zu erkennen, dass Laplacetransformierte von Differentialgleichungen allgemein als Quotienten zweier Polynome darstellbar sind. Ein Polynom kann aber alternativ als Produkt von Ausdrücken der Form (s - s n) mit Nullstellen s n geschrieben werden. Die Nullstellen des Nenners stellen somit die Polstellen der gebrochen rationalen Funktion dar. Sie können reell oder konjugiert komplex, einfach oder mehrfach sein. Stabilität bedeutet im Folgenden, dass bei Anregung mit endlicher Größe (z.B. Sprung) das Ausgangssignal für alle Zeiten begrenzt (d.h. < f) bleibt. Die Stabilität eines linearen zeitinvarianten Systems wird meist durch die Polstellen der Übertragungsfunktion bestimmt: a) Es ist genau dann stabil, wenn alle Polstellen einen negativen Realteil haben, d.h. in der linken Halbebene der Gaußschen Zahlenebene liegen; b) Instabil, wenn mindestens ein Pol einen positiven Realteil hat, d.h. in der rechten Halbebene der Gaußschen Zahlenebene liegt (oder auch mehrfache Pole auf der imaginären Achse); c) Es befindet sich an der Stabilitätsgrenze, wenn keine Pole in der rechten Halbebene, aber einfache Pole auf der imaginären Achse liegen. Bemerkungen: Im Zeitbereich ist der Zusammenhang zwischen dem Eingangssignal x(t) mit x(t) = 0 für t < 0 und dem Ausgangssignal y(t) durch das oft aufwendig zu lösende Faltungsintegral gegeben: t

´ y ( t ) = µ g ( t  W ) ˜ x ( W ) dW ¶

(5-51)

0

g(t) ist dabei die sogenannte Gewichtsfunktion, die inverse Laplacetransformierte der Übertragungsfunktion G(s). Eine weitere oft in den Anwendungen benützte Kenngröße zur Beschreibung von LTI-Systemen ist der Frequenzgang G(j Z), der als die Übertragungsfunktion G(s) auf der imaginären Achse definiert ist. Wird ein lineares zeitinvariantes System mit einer sinus- oder kosinusförmigen Eingangsgröße angeregt, so ist die Ausgangsgröße ebenfalls eine sinus- oder kosinusförmige Größe mit derselben Frequenz, aber im Allgemeinen mit einer anderen Amplitude und anderen Phasenlage. Will man das Frequenzverhalten im komplexen Zahlenbereich eines lineares zeitinvariantes System auf eine sinusförmige Eingangsgröße im eingeschwungenen Zustand untersuchen, so braucht in der Laplacetransformierten Gleichung Y(s) = G(s) X(s) die Variable s nur durch j Z ersetzt werden. Wir erhalten dann (siehe dazu auch Band 1 Abschnitt 2.4.4): Y(j Z) = G(j Z) X(j Z)

(5-52)

Seite 176

Laplace-Transformation

Beispiel 5.34: Übertragungsverhalten eines Differenziergliedes. Unter der Annahme, das System ist energielos zum Zeitpunkt t = 0, ist das Verhalten der nachfolgenden Schaltung mit R = 100 : und C = 2 nF beim Anlegen eines Rechteckimpulses mit U 0 = 10 V und der Impulsbreite T 1 = 10-7 s gesucht.

Abb. 5.24

Analog zum Ohmschen Gesetz gilt: I ( s) =

Ue ( s ) R

C I ( s ) = Ue ( s ) ˜ s ˜ R˜ s ˜ C  1

vereinfacht auf

1 s˜C

Ua ( s ) = R ˜ I ( s )

R˜ s ˜ C Ua ( s ) = ˜ Ue ( s ) = G ( s ) ˜ Ue ( s ) R˜ s ˜ C  1

G(s) ... Übertragungsfunktion

Wie hier zu erkennen ist, kann auf das Aufstellen der zugehörigen Differentialgleichung verzichtet werden ! Mit W = R . C und Ue (s) folgt:  s˜a · § 1  e s˜a · §¨ 1 e ¨ Ua ( s ) = ˜ ˜ U0 = U0 ˜  ¨ 1 s s˜W  1 © 1¸ ¹ ¨s  W s  W © ¹

s˜W

Laplacetransformierte der Lösungsfunktion

Rücktransformation mithilfe von Mathcad: a a

U0  U0

 s˜T1 · §¨ 1 e ˜¨ ˜ U0 s˜W  1 © s ¹

s˜W

Redefinitionen

W W

annehmen  T1 ! 0  U0 ! 0



invlaplace  s vereinfachen



º» »º

ª § t · ª  t  T1 ua t  W  T1  U0  U0 ˜ « exp ¨  ) t  T1 ˜ exp « ¬ ©W¹ ¬ W









º» º»

ª § t ·  ) t  T ˜ exp ª«  t  T1 o U0 ˜ « exp ¨ 1 ¬ ©W¹ ¬ W



Seite 177

¼¼

Ausgangsspannung



¼¼

Laplace-Transformation

U0  10 ˜ V

Maximalwert des Spannungsimpulses

R  100 ˜ :

Ohmscher Widerstand

C  2 ˜ nF

Kapazität

Ps  10

6

Einheitendefinition

˜s

W  R˜ C

0.2 Ps

W

T1  1 ˜ 10

7

˜s

t  0 ˜ s  1 ˜ 10

9

T1

0.1 Ps

Zeitkonstante Impulsbreite Bereichsvariable

˜ s  2 ˜ W

Differenzierglied

10

W



u a t  W  T1  U 0



Ps

5

V

Abb. 5.25 0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

5 t Ps

Beispiel 5.35: Ermitteln Sie mithilfe der Laplace-Transformation den Zeitverlauf der Ausgangsgröße eines DT 2 - Gliedes bei einer sprungartigen Änderung des Eingangssignals.

Gegebene Daten: Eingangssignal: u e (t) = 1 V )(t) Ohmscher Widerstand: R 1 = 100 k: Ohmscher Widerstand: R 2 = 10 M: Kapazität: C1 = 10 nF Kapazität: C2 = 50 pF

Abb. 5.26

Seite 178

Laplace-Transformation

Auffinden der Übertragungsfunktion mithilfe der Laplace-Transformation: 1 · § Ue ( s ) = Ie ( s ) ˜ ¨ R1  s ˜ C1

©

Ua ( s ) = Ie ( s ) ˜

vereinfacht auf

Ue ( s ) = Ie ( s ) ˜

¹

1 R2 ˜ s ˜ C2 1

R1 ˜ s ˜ C1  1

Eingangsfunktion

s ˜ C1

R2 Ua ( s ) = Ie ( s ) ˜ R2 ˜ s ˜ C2  1

vereinfacht auf

R2  s ˜ C2

Ausgangsfunktion

Die Übertragungsfunktion ergibt sich dann zu:

Ua ( s ) Ue ( s )

G ( s) =

R2 ersetzen  Ua ( s ) = Ie ( s ) ˜ R2 ˜ s ˜ C2  1 R2 o ˜ s ˜ C1 R1 ˜ s ˜ C1  1 R2 ˜ s ˜ C2  1 ˜ R1 ˜ s ˜ C1  1 ersetzen  Ue ( s ) = Ie ( s ) ˜ s ˜ C1



Ua ( s ) Ue ( s )

=

C1 ˜ R2 ˜ s

R2 ˜ s ˜ C2  1 ˜ R1 ˜ s ˜ C1  1





Übertragungsfunktion

Ausgangspannung Ua (s) im Laplace-Bereich: Ua ( s ) = G ( s ) ˜ Ue ( s )

Ausgangsspannung im Laplace-Bereich

1 Ue ( s ) = s

Laplacetransformierte Sprungfunktion )(t) der Eingangsspannung (die Einheit Volt wird hier weggelassen)

C1 ˜ R2 ˜ s 1 Ua ( s ) = ˜ R2 ˜ s ˜ C2  1 ˜ R1 ˜ s ˜ C1  1 s







C1 ˜ R2 Ua ( s ) = R2 ˜ s ˜ C2  1 ˜ R1 ˜ s ˜ C1  1







Ausgangsspannung im Laplace-Bereich

§ 1 · ¨R ˜C 2 2 R2 ˜ s ˜ C2  1 ˜ R1 ˜ s ˜ C1  1 = 0 auflösen  s o ¨¨ 1 ¸¸ ¨R ˜C © 1 1¹

Die Polstellen sind negativ

Besitzt die Übertragungsfunktion negative reelle Polstellen, so ist das zugehörige System nicht schwingungsfähig. Die Realteile sind negativ, daher ist das System stabil (siehe Beschreibung oben).

Seite 179

Laplace-Transformation

Ausgangsspannung u a (t) im Zeitbereich: C1 ˜ R2 hat inverse Laplace-Transformation

R2 ˜ s ˜ C2  1 ˜ R1 ˜ s ˜ C1  1 1

§

R2 ˜ C1 ˜ ¨

1 · § t · · ˜ exp ¨ © R1 ˜ C1 ¹ R1 ˜ C1  R2 ˜ C2 © R2 ˜ C2 ¹ ¹

§

© R1 ˜ C1  R2 ˜ C2

˜ exp ¨

t

Durch Multiplikation mit dem Einheitssprung der Eingangsspannung erhält man schliesslich die Ausgangsspannung u 2 (t): 1 1 § § t ·  § t · · ˜ ) ( t) ˜ V ua ( t) = R2 ˜ C1 ˜ ¨ ˜ exp ¨ ˜ exp ¨ © R1 ˜ C1  R2 ˜ C2 © R1 ˜ C1 ¹ R1 ˜ C1  R2 ˜ C2 © R2 ˜ C2 ¹ ¹ Durch Umformung und Herausheben ergibt sich schliesslich die Ausgangsspannung zu: R2 ˜ C1 § § t · § t · · u2 ( t) = ˜ ¨ exp ¨  exp ¨ ˜ ) ( t) ˜ V R2 ˜ C2  R1 ˜ C1 © © R1 ˜ C1 ¹ © R2 ˜ C2 ¹ ¹

Ausgangsspannung im Zeitbereich

Mithilfe der Grenzwertsätze soll der Anfangswert und der Endwert der Bildfunktion Ua (s) ermittelt werden und mit der Originalfunktion u a (t) verglichen werden: lim sof

lim so0

C1 ˜ R2 ª« »º o 0 s˜ «¬  R2 ˜ s ˜ C2  1 ˜  R1 ˜ s ˜ C1  1 »¼

Anfangswert

C1 ˜ R2 ª« »º o 0 s˜ «¬  R2 ˜ s ˜ C2  1 ˜  R1 ˜ s ˜ C1  1 »¼

Endwert

Es gilt, wie man sich leicht überzeugen kann: Anfangswerttheorem: f ( 0) =

lim

f ( t) =

to0

Endwerttheorem: lim

sof

s ˜ Ua (s)

f (f) =

lim

f ( t) =

tof

lim so0

s ˜ Ua (s)

grafische Darstellung der Ausgangsspannung: R1  100 ˜ k:

Ohmscher Widerstand

R2  10 ˜ M:

Ohmscher Widerstand

C1  10 ˜ nF

Kapazität

C2  50 ˜ pF

Kapazität

ua ( t) 

R2 ˜ C1 R2 ˜ C2  R1 ˜ C1

§

·  exp § t · · ˜ ) ( t) ˜ V ¨R ˜ C © R1 ˜ C1 ¹ © 2 2 ¹¹ §

˜ ¨ exp ¨

©

t

Seite 180

Ausgangsspannung (Sprungantwort)

Laplace-Transformation

ms  10

3

Einheitendefinition

˜s

Bereichsvariable (Zeitbereich)

t  0 ˜ s  0.01 ˜ ms  6 ˜ ms

Sprungantwort (Ausgangsspannung) 0

1

2

3

4

5

6

10

u a( t)

20

V

Abb. 5.27

30

40

50 t ms

Die Sprungantwort ist ein kurzer negativer Spannungsimpuls. Beispiel 5.36: Es soll das Verhalten eines aktiven Tiefpassfilters 2.Ordnung (RLC-Tiefpass) ausführlich untersucht und analysiert werden.

Abb. 5.28

a) Untersuchen Sie die Sprungantwort des Tiefpasses auf eine Gleichspannung mit Amplitude U 0 = 1 V, R = 20 :und für verschiedene Widerstandswerte zwischen 0 : und 100 :L = 1PF und C = 1PF. Berechnen Sie ferner jenen Widerstand R, der (bei gleichbleibenden anderen Werten) zum aperiodischen Grenzfall führt. Erklären und demonstrieren Sie auch der Zusammenhang der Lösung mit den Polstellen der Übertragungsfunktion . b) Bestimmen Sie den Amplitudengang und Phasengang der komplexen Übertragungsfunktion G(s) und stelle diese im Bereich von f = 0.01 Hz und f = 10 MHz in einem Bode-Diagramm dar. Berechnen Sie weiters die Grenzfrequenz und untersuchen Sie den Einfluss des Widerstandes R = 4 k : ( 100 R ; R aper ; R /1000 ). c) Interpretieren Sie das Bode-Diagramm hinsichtlich Resonanz bzw. Resonanzüberhöhung bei Widerstandswerten zwischen 0 : und 100 :.

Seite 181

Laplace-Transformation

a) Auffinden der Übertragungsfunktion mithilfe der Laplace-Transformation und Aufsuchen der Sprungantwort des Systems. Für die Serienschaltung von R , L und C gilt: Z1 = R  j ˜ Z ˜ L 

Für die Parallelschaltung von C gilt:

1

1

j˜Z˜C

Z2

=

1

Z2 =

1

1 j˜Z˜C

j˜Z˜C

Die komplexe Übertragungsfunktion G(s) lautet daher: 1

G ( s) =

Ua ( s )

=

Ue ( s )

Z2 Z1

s˜C

=

vereinfacht auf

1

R s˜L

G ( s) =

Ue ( s )

=

Z2 Z1

1

=

2

L˜ s ˜ C  R˜ C˜ s  1

s˜C

1

G ( s) =

Ua ( s )

Übertragungsfunktion des Systems

2

L˜ s ˜ C  R˜ C˜ s  1 U0  U0

t t

R R

L L

Redefinitionen

C C

Am Eingang des Tiefpasses wird der Einheitssprung (Heavisidefunktion) angelegt: U0 U0 ˜ ) ( t) laplace  t o s

ue ( t) = U0 ˜ ) ( t)

Laplacetransformierter Einheitssprung

Die Laplacetransformierte des Ausgangssignals (die Sprungantwort) lautet damit: Ua ( s ) = G ( s ) ˜ Ue ( s ) =

1

˜

2

L˜ s ˜ C  R˜ C˜ s  1 1

Setzt man a = W = R ˜ C , b =

U0

Lösung im Bildbereich

s R

2

= L ˜ C und W ˜ Z 0 =

2

L

Z0

Ua ( s ) =

U0

=

2

b˜ s  a˜ s  1

1 s

U0

˜

1

2

2

=

˜s  W˜s 1

1 s

= 2 ˜ G, so ergibt sich das Ausgangssignal zu:

2

˜

U0 ˜ Z 0 2

2

2

s  W ˜ Z0 ˜ s  Z0

=

1 s

2

U0 ˜ Z 0

˜

2

2

s  2 ˜ G ˜ s  Z0

Z0 1

2

U0 ˜ Z 0

1

2

U0 ˜ Z 0

1

2

U0 ˜ Z 0

Ua ( s ) = ˜ = ˜ = ˜ 2 2 2 2 2 2 2 2 s s s s  2 ˜ G ˜ s  Z0 s  2 ˜ G ˜ s  G  Z0  G (s  G)  Z

Z=

2

Z0  G

2

Daraus erhalten wir mittels inverser Laplace-Transformation die Sprungantwort des Systems im Zeitbereich: Versucht man mit Mathcad eine Rücktransformation, so ergibt sich leider ein sehr langer Ausdruck, der sich nicht vereinfachen lässt. Wir verwenden zur Rücktransformation daher hier eine Laplace-Transformationstabelle (z.B.von O. Greuel): Für 4b > a 2 gilt:

ª«  u1a  t  a  b  U0  U0 ˜ « 1  e « ¬

a 2˜b

˜t

º § §¨ 2 · §¨ 2 ··» a 4˜ b  a 4˜ b  a ¨ ˜ ˜ sin ¨ ˜ t  cos ¨ ˜t » ¨ 2˜ b 2˜ b 2 © ¹ © ¹ » © 4˜ b  a ¹¼ Seite 182

Laplace-Transformation

Für 4b < a 2 gilt:

ª«  u2a  t  a  b  U0  U0 ˜ « 1  e « ¬

a 2˜b

˜t

§ §¨ 2  4 ˜ b · §¨ 2  4 ˜ b · · »º a a a ˜¨ ˜ sinh ¨ ˜ t  cosh ¨ ˜t » ¨ 2 2˜ b 2˜ b © ¹ © ¹ » © a  4˜ b ¹¼

Für 4b = a 2 gilt:

ª  « u3a  t  a  b  U0  U0 ˜ « 1  e ¬

a 2˜b

˜t

º » a § · ˜¨ ˜t 1 » ©2˜ b ¹¼

Die Sprungantwort lautet daher:





ua t  a  b  U0 

 u2a  t  a  b  U0 u3a  t  a  b  U0

u1a t  a  b  U0

2

if 4 ˜ b  a ! 0 2

if 4 ˜ b  a  0 otherwise

Einfluss des Widerstandes auf die Sprungantwort: Die Polstellen der Übertragungsfunktion (sie entsprechen den Nullstellen der charakteristischen Gleichung der Differentialgleichung im Zeitbereich) geben Auskunft über die verschiedenen Schwingungszustände der Sprungantwort des Systems. 2

Nenner ( R  L  C)  L ˜ s ˜ C  R ˜ C ˜ s  1

Nenner der Übertragungsfunktion

ª« ª« « 1 ˜ « R ˜ C  R2 ˜ C2  4 ˜ L ˜ C « 2˜ L˜ C ¬ Polstellen ( R  L  C)  Nenner ( R  L  C) = 0 auflösen  s o « ª« « « 1 « 2 2 « 2 ˜ L ˜ C ˜ ¬ R ˜ C  R ˜ C  4 ˜ L ˜ C ¬









1º

º »» »» ¼» » 1º » » 2 » » ¼» ¼ 2

Berechnung des aperiodischen Grenzfalles: Ein aperiodischer Grenzfall liegt dann vor, wenn die Polstelle eine reelle Doppellösung aufweist (das ist der Übergang von zwei komplexen Lösungen zu zwei reellen Lösungen). Zur Berechnung wird der Ausdruck unter der Wurzel (Diskriminante) in den Polstellen gleich 0 gesetzt. Wir erhalten dann: 1 ª « 2 « ˜ ( L ˜ C) 2 2 2 «C Raper  R ˜ C  4 ˜ L ˜ C = 0 auflösen  R o « 1 « 2 2 « ˜ ( L ˜ C) ¬C

Seite 183

º » » » Nur die positive Lösung ist von Interesse! » » » ¼

Laplace-Transformation

L

Raper ( L  C)  2 ˜

Funktion zur Berechnung des Widerstandes für den aperiodischen Fall

C

L  1 ˜ mH

C  1 ˜ PF

Raper ( L  C)

63.246 :

Widerstand für den aperiodischen Fall

ms  10

3

Einheitendefinition

˜s

W  R˜ C

W

0.02 ms

b L˜ C

b

1 u 10

t  0˜ s

W 100

U0  1 ˜ V

gegebene Daten

R  20 ˜ :

Zeitkonstante a = W

9 2

s

Z0 

1 b

Z0

3.162 u 10

41

s

Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung

Bereichsvariable für die Zeit

 50 ˜ W

2



u a t  0:˜C  b  U0



V



u a t  10˜:˜C  b  U0

1.5



V



u a t  20˜:˜C  b  U0

U0



V

1

V



u a t  R aper( L  C)˜C  b  U0



V



u a t  100˜:˜C  b  U 0



0.5

V

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

t ms

Abb. 5.29 Ist R kleiner als im aperiodischen Grenzfall, dann schwingt das System (leichtes bis starkes Überschwingen). Ist R = 0 :, so ist das System ungedämpft und schwingt mit einer bestimmten Frequenz. Ist R > R aper , so ist das System stärker gedämpft und die Sprungantwort geht langsam auf das Niveau der Eingangsspannung. Dies liegt daran, weil durch den höheren Widerstand ein kleinerer Strom fließt. Zusammenhang zwischen den Lösungsfällen und den Polstellen der Übertragungsfunktion: Der Zusammenhang zwischen den Lösungsfällen und den Polstellen soll über eine Videoanimation (FRAME von 0 bis 100) nachfolgend veranschaulicht werden: R  ( 100  FRAME ) ˜ :

Widerstand mit der FRAME-Variable

Seite 184

Laplace-Transformation

P  Polstellen ( R  L  C)

P

§ 1.127 u 10 4 · 1 ¨ ¨ 4 s © 8.873 u 10 ¹

Polstellen der Übertragungsfunktion

Polstellen

4

4 10



Im P0 s

4

2 10

1



Im P1 s

5

4

1 10

1

4

8 10

4

6 10

4

4 10

2 10

0

Abb. 5.30

4

2 10

4

4 10



Re P0 s







Re P1 s

1

Sprungantwort

2

u a t  R˜C  b  U0

1



1.5

U0

V

V



u a t  R aper( L  C)˜C  b  U0



1

Abb. 5.31

V 0.5

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

t ms

Für R > Raper : 2 reelle Polstellen in der Übertragungsfunktion - daher aperiodische Systemantwort. Für R = Raper : 1 reelle Polstelle (Doppellösung) in der Übertragungsfunktion - daher aperiodischer Grenzfall. Für R < Raper : 2 konjugiert komplexe Polstellen in der Übertragungsfunktion - daher gedämpfte Schwingung als Systemantwort. Für R = 0 : : Die Polstellen sind rein imaginär - daher ungedämpfte Schwingung als Systemantwort. b) Bestimmen Sie den Amplitudengang und Phasengang der komplexen Übertragungsfunktion G(s) und stellen Sie diesen im Bereich von f = 0.01 Hz und f = 10 MHz in einem Bode-Diagramm dar. Berechnen Sie weiters die Grenzfrequenz und untersuchen Sie den Einfluss des Widerstandes R = 4 k: ( 100 R ; Raper ; R /1000 ). G ( s  R  L  C) 

1 2

Übertragungsfunktion des Systems

L˜ s ˜ C  R˜ C˜ s  1

Seite 185

Laplace-Transformation

R R

L L

C C

f f

Redefinitionen

In der Übertragungsfunktion wird zuerst s durch 2 Sf j ersetzt: 1

G ( f  R  L  C)  G ( s  R  L  C) ersetzen  s = 2 ˜ S ˜ f ˜ j o

2

2

4 ˜ L ˜ S ˜ f ˜ C  2 ˜ i ˜ R ˜ C ˜ S ˜ f  1 Amplitudengang: A ( f  R  L  C) 

G ( f  R  L  C)

1

A ( f  R  L  C) o

1 2 ª 2 2 2 2 2 2º ˜ ˜ ˜ f ˜ C  1  4˜ R ˜ C ˜ S ˜ f ¼  4 L S ¬





Phasengang: M ( f  R  L  C)  arg ( G ( f  R  L  C) )

1

§

M ( f  R  L  C) o arg ¨

·

2 2 © 4 ˜ L ˜ S ˜ f ˜ C  2 ˜ i ˜ R ˜ C ˜ S ˜ f  1 ¹

Berechnung der Grenzfrequenzen (Knickfrequenzen) aus den Polstellen des Amplitudenganges: R  4000

L  10

3

C  10

Gegebene Daten ohne Einheiten zur Lösung der Gleichung

6

§ f1 · 1 ¨ 2 ¨ f2 ¸ ª 2 2 2 2 2 2 2º ¨ ¸  ¬ 1  4˜ S ˜ f ˜ L˜ C  4˜ R ˜ S ˜ f ˜ C ¼ = 0 ¨ f3 ¸ ¨ © f4 ¹





§ 636579.9810 ˜ i · ¨ auflösen  f ¨ 39.7912 ˜ i ¸ o ¨ 39.7912 ˜ i ¸ gleit  10 ¨ © 636579.9810 ˜ i ¹

Die Lösung der Gleichung liefert zwei positive Grenzfrequenzen:



fgr1

39.791 Hz



fgr2

6.366 u 10 Hz

fgr1  Im f3 ˜ Hz fgr2  Im f1 ˜ Hz R  4 ˜ k:

L  mH

untere Grenzfrequenz 5

obere Grenzfrequenz gegebene Daten

C  PF

fmin  0.01 ˜ Hz

kleinste Frequenz

fmax  10 ˜ MHz

größte Frequenz

N  500

Anzahl der Schritte

§ fmax · ¨© fmin ¹

log ¨ 'f 

Schrittweite

N

Bereichsvariable

k  0  N

Seite 186

2

Laplace-Transformation

fk  fmin ˜ 10

k˜'f

Vektor der Frequenzwerte AdB = 20 log(ua /u e )

AdB ( x)  20 ˜ log ( x)

§¨ ¨ dB3  20 ˜ log ¨ ©

U0 V

2

 

AdB A fk  R  L  C

 

· ¸

dB3

¹



AdB A fk  100˜R  L  C



 

AdB A fk  R aper( L  C)  L  C

§ § © ©

AdB ¨A¨fk 

R 1000

·· ¹¹

 L C



Definition einer Dämpfungsfunktion in dB:

Abfall um 3 dB

3.01

50 40 30 20 10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 0.01

Amplitudengang

0.1

1

fgr1

fgr2 dB3

Hz

Hz

10

100

3

4

1 10

1 10

5

1 10

6

1 10

7

1 10

fk Hz Frequenz in Hz

Abb. 5.32 20 10 0 M fk  R  L  C 10 20 Grad 30 40 M fk  100R  L  C 50 60 Grad 70 M fk  R aper( L  C)  L  C 80 90 100 Grad 110 120 R § · 130 M ¨ fk   L C 140 © 1000 ¹ 150 Grad 160 170 180 190 200 0.01

 



Phasengang



fgr1

fgr2

Hz

Hz



 90



 180

0.1

1

10

100

3

1 10 fk

Hz Frequenz in Hz

Abb. 5.33

Seite 187

4

1 10

5

1 10

6

1 10

7

1 10

Laplace-Transformation

Die Grenzfrequenz wird dann erreicht, wenn die Amplitude auf -3 dB abgesunken ist. Der vorliegende Tiefpass ist ein Tiefpass 2. Ordnung, daher gibt es zwei Knickfrequenzen. Dadurch gibt es einen Bereich nach der 1. Knickfrequenz, indem der Amplitudengang mit 20 dB pro Dekade fällt, und einen Bereich nach der 2. Knickfrequenz, wo der Amplitudengang mit 40 dB pro Dekade fällt. Zwischen den Knickfrequenzen liegt eine reelle Doppellösung (aperiodischer Grenzfall), wo die 2 Knickfrequenzen soweit zusammengerückt sind, dass sie sich überlagern. Man kann nun den Bereich der -20dB pro Dekade nicht mehr erkennen. Grundsätzlich kann man sagen, dass der Widerstand die Dämpfung der Übertragungsfunktion beeinflusst. c) Interpretieren Sie das Bode-Diagramm hinsichtlich Resonanz bzw. Resonanzüberhöhung bei Widerstandswerten zwischen 0 : und 100 :. R R

L L

Redefinitionen

C C

Resonanz entsteht dann, wenn es ein Maximum in der Übertragungsfunktion gibt. Ein solches Maximum ergibt sich nur dann, wenn die Polstelle eine konjugiert komplexe Polstelle ist. Die Frage ist nun, bei welcher Frequenz nimmt der Amplitudengang ein Maximum an ? Dazu bilden wir die erste Ableitung, setzen sie gleich null und lösen die Gleichung nach der Frequenz f auf: 1

A ( f  R  L  C) o

Amplitudengang

1 2 ª 2 2 2 2 2 2º ¬ 4 ˜ L ˜ S ˜ f ˜ C  1  4 ˜ R ˜ C ˜ S ˜ f ¼





ª « « « « 1 ˜ d A ( f  R  L  C) auflösen  f o « 4 ˜ S ˜ C df « « « « 1 ˜ ¬4 ˜ S ˜ C

2

0 1





ª¬ 2 ˜ C ˜ 2 ˜ L  R2 ˜ C º¼

2

L 1





ª¬ 2 ˜ C ˜ 2 ˜ L  R2 ˜ C º¼

2

L

º » » » » » » » » » ¼

Von diesen drei (mathematischen) Lösungen kommt nur die positive Lösung in Betracht

1

fres ( R  L  C) =



1 4˜ S ˜ C



ª¬ 2 ˜ C ˜ 2 ˜ L  R2 ˜ C º¼ ˜

2

gesuchte Resonanzfrequenz

L

Dieser Ausdruck lässt sich noch händisch vereinfachen zu:

fres ( R  L  C) =

1 S

2

2

4˜ L˜ C 2˜ R ˜ C

˜

2

2

2

4 ˜L ˜C

=

1 S

§

1

˜

4˜ L˜ C

˜ ¨1 

©

2

R ˜ C· 2˜ L

¹

=

1 2˜ S

˜

1 L˜ C

2

˜

1

R ˜C 2˜ L

Berücksichtigen wir noch den Dämpfungsgrad D und die Kreisfrequenz Z0 der ungedämpften Schwingung, so erhalten wir die Resonanzfrequenz in vereinfachter Form: D ( R  L  C) 

R Raper ( L  C)

D ( R  L  C) o

1 2

˜

R 1

§ L· ¨ © C¹

2

Seite 188

Laplace-Transformation

R

D ( R  L  C) 

2

C

˜

Dämpfungsgrad (ein Maß für die relative Dämpfung eines Ausgleichsvorganges)

L

1

Z 0 ( L  C) 

Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung

L˜ C

fres ( R  L  C) 

Z 0 ( L  C) 2˜ S

1  2 ˜ D ( R  L  C)

˜

2

Resonanzfrequenz

1

§ 1 · ¨ 1 © L ˜ C¹ fres ( 0  L  C) o ˜ 2

2

Das Ergebnis zeigt, dass die Resonanzfrequenz f res für R > 0 :immer kleiner ist als f0 = Z0 /2S, welche

S

gleichzeitig die Resonanzfrequenz für R = 0 : darstellt.

Berechnung der Resonanzüberhöhung : Resonanzüberhöhung tritt auf, wenn die Resonanzfrequenz einen positiven reellen Wert hat. Dies ist der Fall, wenn die Diskriminante in der Gleichung zur Berechnung der Resonanzfrequenz grösser 0 ist. Bei einem komplexen Ergebnis der Wurzel tritt keine Resonanz auf ! 1 1 ª « 1 « ˜ 2 2 ˜ ( L ˜ C) 2 2 «C R  1  2 ˜ D ( R  L  C) = 0 auflösen  R o « 1 1 « 1 2 2 « ˜ 2 ˜ ( L ˜ C) ¬C

RGrRes ( L  C)  R0

RGrRes ( L  C)



44.721 :



º » » » Nur die positive Lösung ist von Interesse. » » » ¼ Grenzwiderstand Resonanzüberhöhung (Amplitudenberechnung)

Ares ( R  L  C)  A f res ( R  L  C)  R  L  C R1  0 ˜ :





fres0  fres R1  L  C f0 

Z 0 ( L  C)

fres0 f0

2˜ S

3

5.033 u 10 Hz 3

5.033 u 10 Hz

Resonanzfrequenz bei R = 0 : (fres0 = f0 )

Bei diesem Spezialfall gibt es keine Dämpfung (R = 0 : !). Deshalb tritt eine Singularität auf!



Die Polstellen des Amplitudenganges sind konjugiert komplex!

§ 31622.777i · 1 ¨ © 31622.777i ¹ s



Polstellen R1  L  C R2  30 ˜ :





fres0  fres R2  L  C

fres0

3

3.733 u 10 Hz

Seite 189

Laplace-Transformation





Ares R2  L  C



Amplitude bei R = 30 :

1.197

§ 15000  27838.822i · 1 ¨ © 15000  27838.822i ¹ s



Polstellen R2  L  C

Die Polstellen des Amplitudenganges sind konjugiert komplex!

R3  100 ˜ :





fres0  fres R3  L  C





Ares R3  L  C



fres0

4

1.007i u 10 Hz

Amplitude bei R = 10 :

0.755

§ 11270.167 · 1 ¨ © 88729.833 ¹ s



Polstellen R3  L  C





fres0  fres RGrRes ( L  C)  L  C





Ares RGrRes ( L  C)  L  C



fres0

Die Polstellen des Amplitudenganges sind reell, daher keine Resonanz!

7.5i u 10

5

Hz



§ 22360.68  22360.68i · 1 ¨ © 22360.68  22360.68i ¹ s



 



AdB A fk  30˜:  L  C

 

AdB A fk  R GrRes( L  C )  L  C

 

AdB A fk  100˜:  L  C

fres( 0˜:  L  C)

30

 

AdB A fk  20˜:  L  C

Die Polstellen des Amplitudenganges sind noch konjugiert komplex.

Amplitudengang

40

 

Die Resonanzfrequenz ist im Grenzfall noch komplex! Amplitude im Grenzfall R = R GrRes

1

Polstellen RGrRes ( L  C)  L  C

AdB A fk  0˜:  L  C

Die Resonanzfrequenz ist komplex!



Hz 20



10

3

4

1 10

1 10

10 20 fk Hz Frequenz in Hz

Abb. 5.34 Achtung: Der aperiodische Grenzfall ist nicht der Fall, bei dem eine Resonanzüberhöhung auftritt (die Diskriminante D und das Ergebnis unterscheiden sich nur um den Faktor 2. Das ist logisch, weil eine 1 Resonanzüberhöhung erst bei D ( R  L  C)  auftritt (genau dann ergibt sich auch eine positive 2 Resonanzfrequenz).

Seite 190

Laplace-Transformation

Die Darstellung des Amplitudenganges im nicht logarithmierten Koordiantensystem zeigt auf andere Weise den Bereich der Resonanzüberhöhung: Z 0 ( L  C)

f0 

f0

2˜ S

fR20  fres ( 20 ˜ :  L  C) f

f0



f0

10 10

3

Resonanzfequenz bei R = 0 :

5.033 u 10 Hz

fR20

3

Resonanzfequenz bei R = 20 :

4.502 u 10 Hz

Bereichsvariable für die Frequenz

˜ 1.01  2 ˜ f 0 5 fR20

f0

Hz

Hz

4 A( f  0˜:  L  C ) A( f  20˜:  L  C )

3

A( f  30˜:  L  C )



A f  R GrRes( L  C )  L  C



Ares( 20˜:  L  C)

2

Ares( 30˜:  L  C)

A( f  100˜:  L  C) 1

2000

4000

6000

8000

4

1 10

f Hz

Abb. 5.35 Der Dämpfungsgrad gibt ebenfalls Auskunft über das Verhalten des Systems: D ( 20 ˜ :  L  C)





D Raper ( L  C)  L  C D ( 100 ˜ :  L  C)

D < 1 ... oszillatorischer Ausgleichsvorgang (das System ist Schwingungsfähig die Pole der Übertragungsfunktion sind konjugiert komplex)

0.316

1

1.581

D = 1 ... aperiodischer Grenzfall

D > 1 ... aperiodischer Ausgleichsvorgang (das System ist nicht schwingungsfähig die Pole der Übertragungsfunktion sind reell)

Seite 191

z-Transformation

6. z-Transformation Seit Jahren findet zunehmend eine Umstellung von der analogen Technik auf die Digitaltechnik statt. Am wirksamsten ist die digitale Darstellung bei der Speicherung und Übertragung von Signalen. Die Vermittlung jeder Information geschieht durch ein physikalisches Medium, dem die Nachricht in Form eines Signals aufgeprägt wird. Zur Übertragung und Speicherung ist oft eine Umwandlung vorteilhaft. Die Information ist damit in der kontinuierlichen Änderung einer Zeitfunktion enthalten. Die Zeitfunktion y = f(t) beschreibt also den Zusammenhang der abhängigen Variablen y von der unabhängigen Variablen t (siehe Fourier-Transformation und Laplace-Transformation). Die digitale Signalverarbeitung ist ein Teilgebiet der allgemeinen Signalverarbeitung und der Systemtheorie. Im Unterschied dazu ist ein zeitdiskretes Signal y n = f(n) = fn nur für ganzzahlige Werte der unabhängigen Variablen n definiert. Einerseits kann für ein zeitdiskretes Signal die unabhängige Variable von sich aus bereits diskret sein, andererseits können zeitdiskrete Signale f(n) durch aufeinanderfolgende Stichprobenentnahmen der Amplituden eines Vorganges mit kontinuierlicher unabhängiger Variablen entstehen, wie z.B. digitale Audiosignale. Zwischen den kontinuierlichen und zeitdiskreten Signalen bestehen daher sehr enge Beziehungen, und die für kontinuierliche Signale gültigen Gesetze und Methoden können sehr häufig auf zeitdiskrete Signale übertragen werden. Normalerweise findet die Diskretisierung der Zeitachse in gleichförmigen Abständen statt. Der Zeit entspricht eine Nummerierung n der Abtastzeitpunkte ( t = n T A mit TA als Abtastperiodendauer od. Ts Samplingperiodendauer). Neben der Diskretisierung der Zeitachse ergibt sich bei der digitalen Darstellung auch eine Diskretisierung der Amplituden. Diese wird durch die Wortbreite des verwendeten Zahlenformats bestimmt. Ein zeitdiskretes Signal kann so als eine mathematische Folge geschrieben werden. Bei ganzzahligen Werten von n schreibt man y(n) = yn = f(tn) = f(n) = fn. Der Zusammenhang eines kontinuierlichen Signals sinZ0 t) = sin(2 Sf0 t) zu einem zeitdiskreten Signal ergibt sich folgendermaßen: Für eine bestimmte Abtastfrequenz f A (oder Samplingfrequenz f s ) ergibt sich in Abhängigkeit von N die resultierende Frequenz des Signals durch f 0 = fA/N . Mit den Abtastzeitpunkten t = tn = n TA ( n = 1, 2, ..., N) und T A = 1/fA lässt sich dann folgender Zusammenhang herstellen:





§

fA

©

N

sin 2 ˜ S ˜ f0 ˜ tn = sin ¨ 2 ˜ S ˜

·

2 ˜ S ˜ f0 2˜ S § 2 ˜ S ˜ n · = sin : ˜ n : = Z ˜ T = = mit .  0 0 0 A fA N © N ¹

˜ n ˜ TA = sin ¨

¹

Im Gegensatz zu periodischen Signalen wächst die Frequenz bei wachsendem Abtastimpulsabstand :0





j ˜ : 0 2˜S ˜n

j ˜2˜S˜n

j ˜: 0˜n

j˜2˜S˜n

=e ˜e =e (normierte Frequenz) nicht immer weiter an, denn es gilt: e . Das bedeutet, dass :0 identisch zu :0 +2S und demnach mit 2S periodisch ist. Es braucht daher bei der Behandlung zeitdiskreter Signale nur ein Frequenzbereich der Länge 2 S betrachtet werden (0 d:0 d2S und 0 df0 dfA) . Bei weiterer Überlegung zeigt sich, dass :0 nur dann periodisch ist, wenn :0 /2S eine rationale Zahl ist. Im letzten Kapitel wurde die Laplace-Transformation als eine Erweiterung der zeitkontinuierlichen Fourier-Transformation entwickelt. Anlass für diese Erweiterung war die Tatsache, dass man sie, verglichen mit der Fourier-Transformation, auf eine größere Klasse von Signalen anwenden kann, da es viele Signale gibt, für die die Fourier-Transformierte nicht konvergiert, die Laplace-Transformierte dagegen schon. Die z-Transformation ist das zeitdiskrete Gegenstück zur Laplacetransformation, d. h. die Verallgemeinerung der Fourier-Transformation (siehe Abschnitt 3.1 DFT) zeitdiskreter Signale. Sie wird z.B. für die digitale Signalverarbeitung und Prozessdatenverarbeitung benötigt, oder um z.B. das Frequenz- und Antwortverhalten eines digitalen Filters zu bestimmen. Dabei wird einer Folge von abgetasteten Messwerten y n =f(tn) mit Zeitverzögerungen, Rückkopplungen, Addierern und Multiplizierern eine Funktion F(z) zugewiesen. Mit dieser Transformation können aber auch lineare Differentialgleichungen bzw. Differenzengleichungen gelöst werden.

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z-Transformation

Die z-Transformation ist eine Verallgemeinerung der Fourier-Transformation. Die Fourier- Transformation ist definiert für Signale der Form e j:0 . Sie beschreiben die Punkte des Einheitskreises in der komplexen Zahlenebene. Diese Einschränkung läßt sich durch eine Erweiterung der Zahlenfolgen auf die gesamte komplexe Zahlenebene aufheben. Die z-Transformation ermöglicht die Einführung eines allgemeineren Frequenzganges auch für nicht stabile Systeme. Für eine Folge = (n  ) heißt die Laurentreihe (siehe dazu auch Abschnitt 2.4)

Z{f(n)} = F(z) = ... + f-2 z2 + f-1 z + f0 + f1 z-1 + f2 z-2 + ...

(z )

z-transformierte von f(n), falls die Reihe konvergiert. Bei der z-Transformation wird also jeder Folge von Zahlenwerten eine Funktion der komplexen Variablen z zugeordnet: f

Z {f(n)} =

F ( z) =

¦

n

f

§ f ( n) ˜ 1 · ¨ n z ¹ ©

(6-1)

F(z) ist dann die Bildfunktion der Zahlenfolge . Diese Darstellung bezeichnet man als zweiseitige z-Transformation, da die Folge sowohl im positiven als auch negativen Bereich der Zahlenachse definiert ist. Für kausale Folgen, für die f[n]=0 für n < 0 gilt, ist die zweiseitige und die einseitige z-Transformation identisch. Auf das Unterstreichen der komplexen Variablen z wird, wie in der Literatur üblich, verzichtet. Die z-Transformation ist nur bestimmbar, wenn die Reihe konvergiert. Das Konvergenzgebiet einer z-Transformierten ist typischerweise ein Ringgebiet in der z-Ebene. Konvergenz liegt dann vor, wenn r < |z| < R gilt, wobei die Spezialfälle r o0und R ofmöglich sind. Die Größe des inneren Radius r hängt von dem transformierten Signal ab.

Abb.6.1

Wird in der Definition der z-Transformation z = O ej : mit der normierten Frequenz : = Z T A gesetzt, so wird die z-Transformation als Fourier-Transformierte des mit O-n gewichteten Signals f(n) definiert: F(z) = Z{ f ( n) } = F f

=

¦

n

f

{ f ( n) ˜ O  n }

§  n j˜: 0˜n· © f ( n) ˜ O ˜ e ¹=

(6-2) f

¦

n

 nº ª « f ( n) ˜ § O ˜ ej˜: 0· » = ¬ © ¹ ¼

f

f

n ¦ f (n) ˜ z

n

f

Unter der Voraussetzung, dass f(n) = 0 für alle n < n 0 (sogenanntes rechtsseitiges Signal) gilt, klingt jedes Signal durch geeignete Gewichtung, d.h. hinreichend große Wahl von O für n o f gegen Null ab, so dass die z-Transformierte berechenbar wird (konvergiert). Siehe Abbildung 6.2.

Seite 193

z-Transformation

Bereichsvariable

n  2  10 O

1

Parameter

2

2 10 ) ( n)

) ( n )˜ n 5

0

5

10 5

0

5

n

n

2

) ( n )˜ O

Abb.6.2

1

n

) ( n)˜n˜O 5

10

0

5

n

5

0

5

10

10 1

n

n

Für die Konvergenz der z-Transformation von rechtsseitigen Signalen ist allein der Faktor O entscheidend, die normierte Frequenz : spielt dabei keine Rolle. Der Konvergenzbereich der z-Transformation in der z-Ebene mit z = O e j: ist daher das Äußere einer Kreisfläche mit Kreisradius O und Mittelpunkt z = 0. Bei linksseitigen Signalen ist der Konvergenzbereich der z-Transformation das Innere des Kreises! Bei der Umkehrung der z-Transformation soll aus einer gegebenen Funktion der komplexen Variablen z auf die dazugehörige Zahlenfolge geschlossen werden. Die Rücktransformation (Umkehrtransformation) ist ein komplexes Kurvenintegral längs einer Kurve C in der komplexen z-Ebene. Die Kurve C schließt den Ursprung ein und liegt im Gebiet der Konvergenz von F(z). -1

Z {

F (z)

} = f ( n) =

´ µ ˜µ 2˜ S ˜ j ¶ 1

F ( z) ˜ z

n1

dz

(6-3)

C Liegt der Einheitskreis z = e j: (-S d:< S) im Konvergenzbereich der z-Transformation, kann dieser für die inverse z-Transformation benutzt werden. Damit wird die inverse z-Transformation zur inversen Fourier-Transformation: dz j˜: Mit dz = j ˜ e ˜ d: bzw. d: = folgt: j˜z ´ µ f ( n) = ˜µ 2˜ S ˜ j ¶ 1

F (z) ˜ z

n 1

S

´ j˜: j˜:˜( n  1 ) j˜: dz = F e ˜e ˜ j ˜ e d: ˜µ 2 ˜ S ˜ j ¶ S 1



Seite 194

(6-4)

z-Transformation

Durch weitere Vereinfachung erhalten wir schliesslich: S

´ 1 j˜: j˜:˜n  j˜: j˜: f ( n) = F e ˜e ˜e ˜ j ˜ e d: = ˜µ ¶ 2˜ S ˜ j S 2˜ S 1



´ ˜µ ¶

S

 j˜: ˜ ej˜:˜n d:

F e

(6-5)

S

In der Praxis wird eine Rücktransformation über das komplexe Kurvenintegral meist nicht angewendet. Es existieren mehrere einfachere Möglichkeiten die inverse z-Transformation zu berechnen. Dazu gehört die Partialbruchzerlegung, die Verwendung von Tabellen mit bekannten Transformationspaaren, die Entwicklung von Potenzreihen und wie bereits im Kapitel LaplaceTransformation beschrieben, die Anwendung des Residuenkalküls (siehe dazu Abschnitt 6.3). Das Residuenkalkül lässt sich für die z-Transformation wie folgt formulieren: -1

Z {

F (z)

} = f(n) =

¦

Residuen F (z) ˜ zn1

(6-6)

( Pole( F( z) )

Die Berechnung der Residuen ist besonders einfach, wenn es sich bei den Singularitäten von F(z) ausschließlich um Pole handelt. Ist etwa z0   ein Pol erster Ordnung, so ist das Residuum in diesem Pol durch



Residuum F ( z ) ˜ z

n 1

=

lim z o z0





(6-7)

ª« 1 º m 1 d ª z  z m ˜ F ( z) ˜ zn1º » ˜ 0 ¼» « ( m  1) m 1 ¬ ds ¬ ¼

(6-8)

ª z  z ˜ F ( z ) ˜ z n1 º 0 ¬ ¼

gegeben. Hat der Pol z 0   die Ordnung m t 2, so gilt



Residuum F ( z ) ˜ z

n 1

=

lim z o z0

6.1 z-Transformationen elementarer Funktionen Beispiel 6.1: Bestimmen Sie die z-Transformierte der nachfolgend gegebenen endlichen Einheitssprungfolge: f ( n) 

1 if 0 d n d 4

Einheitssprungfolge

0 otherwise

Bereichsvariable

n  1  5 2

z-Transformierte: 4

F ( z) =

f( n ) 2 1

0 1 2 3 4 5 6

n

¦

n

z

n

=1 z

1

z

2

z

3

z

4

0

Das Konvergenzgebiet umfasst die ganze z-Ebene außer dem Nullpunkt (0 < |z| < f). Hier sind die Folgeglieder der endlichen Einheitsimpulsfolge direkt in der z-Transformierten ablesbar.

Abb. 6.3

Seite 195

z-Transformation

Beispiel 6.2: Bestimmen Sie die z-Transformierte der nachfolgend gegebenen Folge: f ( n) 

3 if n = 0 2 if

n =1

1 if

n =2

gegebene Folge

0 otherwise Bereichsvariable

n  4  4

z-Transformierte:

4

2

2

f( n )

n  f ( n) ˜ z ¦

F ( z) =

n

2

2

5 4

3

2

1

0 1

2

3

F ( z) = z  2 ˜ z  3  2 ˜ z

4 5

1

z

2

Das Konvergenzgebiet umfasst die ganze z-Ebene außer dem Nullpunkt (0 < |z| < f). Hier sind die Folgeglieder der Folge direkt in der z-Transformierten ablesbar.

n

Abb. 6.4 Beispiel 6.3:

Bestimmen Sie die z-Transformierte der zeitdiskreten Einheitssprungfolge ( V(n) = )(n) - Heavisidefunktion). Nach der z-Transformation führe man auch die Rücktransformation mit Mathcad durch. ) ( n) =

1 if n t 0

Ist bereits in Mathcad vordefiniert!

0 if n  0 V ( n)  ) ( n)

Einheitssprungfolge

n  2  5

Bereichsvariable Transformation der Einheitssprungfolge:

Einheitssprungfolge 2

f

Z{V(n)} =

1

V ( n)

F ( z) =

¦

n 3

2

1

0 1

2

3

4

5

0

ª § 1 · nº 1 z «1 ˜ ¨ »= = ¬ © z ¹ ¼ 1  z 1 z  1

Hier liegt eine unendliche geometrische Reihe vor mit q = 1/z und |q| < 1. Die z-Transformierte der Einheitssprungfolge konvergiert für r = 1 und R = fd.h. für |z| > 1.

6

1 n

Abb. 6.5 symbolische Auswertung mithilfe von Mathcad: f

F ( z) =

¦

n

0

1 z

n

vereinfacht auf

F ( z) =

z z1

Seite 196

F(z) hat eine Nullstelle bei z = 0 und eine Polstelle bei z = 1.

z-Transformation

) ( n)

hat z-Transformation

n n

Redefinition

F ( z )  ) ( n) ztrans  n o

z

z

z1

z1

z

V ( n) 

z1

hat inverse z-Transformation

z ( z  1)

1

n t0

invztrans  z o 1

Beispiel 6.4: Bestimmen Sie die z-Transformierte einer nachfolgend angegebenen Rechteckfolge . Nach der z-Transformation führe man auch die Rücktransformation mit Mathcad durch.





frec n  n0 

1 if 0 d n d n0  1



bzw.







frec n  n0 = ) ( n)  ) n  n0

Rechteckfolge

0 otherwise n0  3 Bereichsvariable

n  2  8

2 1



frec n  n 0



Abb. 6.6 2

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1 n

Transformation der Rechteckfolge: n01

Z{



} = F ( z) = ¦

frec n  n0

n

0

ª § 1 · nº z  n 0  1 z  z 1  n 0 «1 ˜ ¨ »= = z1 ¬ © z ¹ ¼ z 1  1

Hier liegt eine endliche geometrische Reihe vor mit q = 1/z und |q| z 1. Die z-Transformierte der Einheitssprungfolge konvergiert also für |z| z 1. Beispiel 6.5: Bestimmen Sie die z-Transformierte des Einheitsimpulses oder Dirac-Deltaimpulses (G(n) = Dirac(n) = '(n)). Nach der z-Transformation führe man auch die Rücktransformation mit Mathcad durch. G ( n) 

1 if n = 0 0 if n z 0

definierter Einheitsimpuls (Delta-Impuls oder Dirac-Stoß)

Für eine Folge f(n) gilt: f(n) . G(n) = f(0) . G(n) (G(n) ist nur für n = 0 von null verschieden; Ausblendeigenschaft). Der Einheitsimpuls kann aus der Einheitsimpulsfolge durch die erste Differenz gebildet werden: G(n) = V(n) - V(n-1). Die entspricht der Ableitung des Dirac-Stoßes aus dem Einheitsimpuls durch die erste Ableitung.

Seite 197

z-Transformation

Ebenso kann der Einheitssprung durch die laufende Summe des Einheitsimpulses dargestellt werden: n

V ( n) =

f

¦

k

¦

G ( k ) und

n

f

G ( n) = 1 .

f

Bereichsvariable

n  2  5

Einheitsimpuls

Verzögerter Einheitsimpuls

2

2

1

G ( n) 3

2

1

1

G ( n1) 0

1

2

3

4

5

6

3

2

1

1

0

1

2

3

1 n

n

Abb. 6.7

Abb. 6.8

f

Z{G(n)} =

F ( z) =

n 0  G ( n) ˜ z = z = 1 ¦

n

Transformation des Delta-Impulses

f

Die z-Transformierte des Delta-Impulses konvergiert auf der gesamten z-Ebene. z-Transformation und Rücktransformation mithilfe von Mathcad: Redefinition

n n

' ( n) ztrans  n o 1

1 invztrans  z o ' ( n)

Beispiel 6.6: Das nachfolgend angegebene Signal u(t) (Rampe) wird mit einer Abtastzeit T A = 4 ms abgetastet. Bestimmen Sie die z-Transformierte dieses abgetasteten Signals. ms  10

3

u ( t) 

Einheitendefinition

˜s

0 ˜ V if t  4 ˜ ms 3 4

˜

V ms

˜ ( t  4 ˜ ms) if 4 ˜ ms d t d 12 ˜ ms gegebenes Signal

6 ˜ V otherwise t  0 ˜ ms  0.01 ˜ ms  20 ˜ ms

Bereichsvariable

TA  4 ˜ ms

Abtastzeit

n  0  5

Bereichsvariable

Seite 198

4

5

6

z-Transformation

7 6 5 4 3 2 1

u ( t) V

Abb. 6.9

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 t ms



7 6 5 4 3 2 1



u n˜TA V

1

Abb. 6.10

1 0

1

2

3

4

5

6

n

Die z-Transformierte ergibt sich aus: f

Z{u(n)} =

n 0 1 2 3 4 5 ¦ u(n) ˜ z = 0 ˜ z  0 ˜ z  3 ˜ z  6 ˜ z  6 ˜ z  6 ˜ z  ....

F ( z) =

n

F ( z) = 3 ˜ z

F ( z) = 3 ˜ z

2

2

0

  3  z 4  z 5  .... = 3 ˜ z 2  6 ˜ z 3 ˜ 1  z 1  z 2  ....

 6˜ z

 6˜ z

3

f

˜

¦

n

F ( z) = 3 ˜ z

2

 6˜ z

3

˜

2

˜

1z 1z

n

Hier liegt eine geometrische Reihe mit q = 1/z vor!

0

1 1 z

F ( z) = 3 ˜ z

z

1

= 3˜ z

2

˜

1 z 1 z

1 1

 6˜ z

3

˜

1 1 z

1

=

3˜ z

2

 3˜ z

1z

1 1

gesuchte z-Transformierte

Beispiel 6.7: Für eine Exponentialfolge f(n) = C a n soll für C = 1 die z-Transformierte bestimmt werden. Nach der z-Transformation führe man auch die Rücktransformation mit Mathcad durch. a  0.95 n

Basis

f ( n)  a

abklingende rechtsseitige Exponentialfolge

n  0  20

Bereichsvariable

Seite 199

3 1

 6˜ z

3

z-Transformation

2

f( n )

1

0 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Abb. 6.11

2 n

Basis

a  0.95 n

alternierend abklingende rechtsseitige Exponentialfolge

f ( n)  a

2

Abb. 6.12

f( n )

1

0 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

2 n

Transformation der Exponentialfolge:

Z{ an } = F ( z) =

f

f

n n ¦ a ˜ z = ¦

n

0

n

0

n

a § a· = 1 = z  1. mit ¨ a z za ©z¹ 1 z

Hier liegt eine geometrische Reihe vor mit q = a/z und |q| < 1. Die Konvergenzradien bestimmen sich zu r = |a| und R = f ,d.h. die Exponentialfolge konvergiert für |z| > |a|. Für a = 1 ergibt sich die z-Transformierte für die Einheitssprungfolge. z-Transformation und Rücktransformation mithilfe von Mathcad: n n

Redefinitionen

a a n

F ( z )  a ztrans  n o

z za

Hat eine Nullstelle bei z = 0 und eine Polstelle bei z = a

Seite 200

n

F ( z ) invztrans  z o a

z-Transformation

Bemerkung: Das komplexe exponentielle Signal stellt genau wie im Analogbereich ein wichtiges Grundsignal dar. In der allgemeinsten Schreibweise lautet es: f(n) = C a n , wobei C und a komplexe Zahlen sein können. Sind C und a reell, so ergeben sich für a > 1 eine exponentiell wachsende Funktion, für 0 < a < 1 eine exponentiell fallende Funktion und für negative Werte von a entsprechende Funktionen mit alternierenden Vorzeichen. Setzt man a = e E , so erhält man die Exponentialfolge f(n) = C eEn. Im Fall, dass E = j :0 , also rein imaginär ist, ergibt sich: j˜n˜: 0

f ( n) = C ˜ e

.

Diese Folge steht über die Eulerschen Beziehungen im engen Zusammenhang zu einer Cosinusfolge:





f ( n) = A ˜ cos n ˜ : 0  M . Die entsprechenden Umformungen lauten: j ˜n˜: 0

e













= cos n ˜ : 0  j ˜ sin n ˜ : 0 und A ˜ cos n ˜ : 0  M =

A

j ˜M

˜e

j ˜n˜: 0

˜e

A

 j ˜M

˜e

 j˜n˜: 0

˜e

. 2 2 Das zeitdiskrete Signal wird durch seine normierte Frequenz :0 und die Phase M bestimmt. Die komplexe Schreibweise gestattet die einfache Behandlung von periodischen Schwingungsverläufen durch einen rotierenden Zeiger in der komplexen Zahlenebene. 

Beispiel 6.8: Der Zusammenhang zu einem kontinuierlichen Sinussignal sin( Z t) ergibt sich durch sin(Z n TA) = sin(n :0 ) mit :0 = 2 S f TA und f = fA/N. Für eine rechtsseitige Sinusfolge f(n) = sin(n :0 ) soll die z-Transformierte bestimmt werden. :0 

S

normierte Frequenz

8





f ( n)  sin n ˜ : 0

Sinusfolge

n  0  16

Bereichsvariable 1

f( n )

1

0 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17

1 n

Seite 201

Abb. 6.13

z-Transformation

Transformation der Sinusfolge: f



Z{

sin n ˜ : 0

} = F (z) = 1

=

2˜ j 1

=

2˜ j

j ˜: 0

˜

¦

n

1 § j˜n˜: 0  1· ˜ ˜z ¹  ©e 2˜ j

0

z

˜

j ˜: 0

ze



1 2˜ j

z

˜

 j ˜: 0

¦

n

f

0

§  j˜n˜: 0  1· ˜z ¹ ©e

¦

n

ª§ j˜n˜: 0  j˜n˜: 0·  1º e ¬© e ¹˜z ¼

0

 2 z  2 ˜ z ˜ cos  : 0  1 z ˜ sin : 0

=

ze

 j ˜: 0

e

mit

¦

n 0 f

f

§ sin  n ˜ : ˜ z  n· = 1 ˜ 0 © ¹ 2˜ j

e

 1 und

z

z

 1. j˜: 0

 j˜: 0

F(z) hat eine Nullstelle bei z = 0 und jeweils eine Polstelle bei z = e und z = e . Die Konvergenzradien bestimmen sich zu r = 1 und R = f, d.h. die z-Transformierte der rechtsseitigen Sinusfolge konvergiert für |z| < 1. z-Transformation mithilfe von Mathcad:



Redefinitionen

n n

:0  :0





sin n ˜ : 0 ztrans  n o sin : 0 ˜ Beispiel 6.9:

z



1  2 ˜ z ˜ cos : 0  z

2

Vergleichen Sie die Laplace-Transformierte eines nachfolgend angegebenen abgetasteten zeitkontinuierlichen Signals mit der z-Transformierten. f

fa ( t) =

¦ f (n) ˜ G t  n ˜ TA

n

abgetastetes zeitkontinuierliches Signal

0

L { fa ( t) } =

´ µ µ µ µ ¶

f

f

 s˜t

¦ f (n) ˜ G t  n ˜ TA ˜ e

n

0

f

dt =

¦

n

 n˜s˜TA· s˜TA § © f ( n) ˜ e ¹ = Z{ f ( n) } mit z = e

0

f

.

Konvergenzbereiche im Vergleich:

Abb. 6.14

Seite 202

z-Transformation

6.2 Eigenschaften der z-Transformation Der Umgang mit der z-Transformation kann mithilfe von Sätzen, wie bereits bei der LaplaceTransformation gezeigt wurde, vereinfacht werden. Nachfolgend werden auch hier einige wichtige angeführt. Linearität (Superpositionssatz): Die z-Transformation ist invariant gegenüber der Multiplikation mit einer Konstanten und der Addition, d.h. es gilt das Superpositionsprinzip. Aus zwei Folgen f 1 (n) und f 2 (n) wird mit den Konstanten D, E  eine neue Folge f(n) gebildet in der Form f(n) = D f1 (n) + E f2 (n). Die zugehörige z-Transformierte ergibt sich dann zu: f

Z { D ˜ f1 (n)  E ˜ f2 (n) } = F (z) = ¦ n

f

F ( s) = D ˜

f

f

§ f ( n) ˜ z n·  E ˜ ©1 ¹

¦

n

¦

n

f

ª D ˜ f ( n)  E ˜ f ( n) ˜ z 1º , bzw. 1 2 ¬ ¼ § f ( n) ˜ z n· = D ˜ F1( z)  E ˜ F2( z) ©2 ¹

f

Damit gilt:

Z {D f1(n) + E f2(n) } = D F1(z) + E F2(z)

(6-9)

Die z-Transformierte einer Summe von Folgen ist gleich der Summe der z-Transformierten der einzelnen Folgen. Allgemein gilt für n Folgen: n

n

Z { ¦ D k ˜ fk (n) } = ¦ D k ˜ Fk( z) ( k

1

k

6-10)

1

Beispiel 6.10: Führen Sie eine z-Transformation und Rücktransformation der Folge f(n) = g(n) - G(n) mit g(n) = 2 0.5n für n t 0 und g(n) = 0 für n < 0 durch.

Z {g(n) - G(n) } = 2 F1(z) + F2(z) = F ( z) = 2 ˜

z z  0.5

1

F ( z) = 2 ˜

z z  0.5

1

vereinfacht auf

siehe Beispiel 6.5 und 6.7

F ( z) =

2˜ z  1 2˜ z  1

z-Transformation und Rücktransformation mithilfe von Mathcad: n

2˜ z  1

§ 1 ·  ' ( n) ztrans  n o 2 ˜ z  1 2˜ ¨ 2˜ z  1 © 2¹

n

§ 1 ·  ' ( n) invztrans  z o 2 ˜ ¨ 2˜ z  1 © 2¹

Seite 203

z-Transformation

Zeitverschiebung (Verschiebungssätze): Wird ein zeitdiskretes Signal f(n) auf der Zeitachse um k Abtastwerten verzögert (nach rechts verschoben), so gilt für die zugehörige z-Transformierte: f

 f ( n  k) ˜ z n .

Z { f ( n  k) } = ¦ n

f

Mit der Substitution n - k = m erhalten wir f

Z { f ( m) } = ¦ m

ª¬ f ( m) ˜ z  ( km) º¼ = z k ˜

f

f

m ¦  f ( m) ˜ z .

m

f

-k

F(z)

Daraus ergibt sich schliesslich:

Z { f(n - k) } =

z - k Z { f(n) } = z

(6-11)

Spezialfall k = 1: Für die Verschiebung um ein Abtastintervall ergibt sich daher:

Z { f(n - 1) } =

z - 1 Z { f(n) } = z

-1

F(z)

(6-12)

Wird ein zeitdiskretes Signal f(n) um k Abtastwerte nach links verschoben, so gilt für die zugehörige z-Transformierte

n

k 1

ª

f

Z { f ( n  k) } = ¦

f

n

¬

0

Beispiel 6.11: Bestimmen Sie die z-Transformierte der nachfolgend angegebenen Folge. f ( n) =

n3

a

if n t 3 š a  1

gegebene Folge

0 otherwise f(n) entsteht durch Verschiebung der Folge g(n) = a n um k = 3 nach rechts:

Z {f(n)} = z - 3 F(z) =

z

3

˜

z za

º

f (n  k) ˜ z n = zk ˜ « F (z)  ¦ f (n) ˜ z n » « »

vereinfacht auf

1 2

z ˜ ( z  a)

Seite 204

¼

(6-13)

z-Transformation

Modulationssatz: Wird eine Folge f(n) mit einer Exponentialfolge c n multipliziert (c und von Null verschieden), dann gilt für die z-Transformierte: f

f

f (n) ˜ cn ˜ z n = ¦

L { cn ˜ f (n) } = ¦ n

n

f

f

 nº ª « f ( n) ˜ §¨ z · » . ¬ ©c¹ ¼

Es gilt demnach:

L { cn ˜ f (n) }

z = F §¨ · ©c¹

(6-14)

Konvergiert F(z) für |z| > r, so konvergiert F(z/c) für |z| > r c. Je nach Wert der Konstanten c erhält man mehrere praktische Fälle: Ist c reell und 0 < c < 1: Das Signal wird exponentiell gedämpft. Ist c reell und c > 1: Das Signal wird exponentiell entdämpft. Ist c komplex und |c| = 1: Das Signal wird in der Regel komplex. Es erfolgt eine spektrale Rotation (Drehung der z-Ebene um den Ursprung) um den Winkel -arg(c). Ist c = - 1: Drehung der z-Ebene um den Ursprung um 180°; ist das Signal reell, so entspricht dies einer Spiegelung von F(z) an der imaginären Achse der z-Ebene.

Beispiel 6.12: Wie lautet die z-Transformierte der Folge f(n) = a n cos(n :0 ).





F ( z )  cos n ˜ : 0 ztrans  n o z ˜

 2 1  2 ˜ z ˜ cos  : 0  z cos : 0  z

Mithilfe des Modulationssatzes folgt:

§z· o z ˜ a © a¹

z cos : 0  a



F¨

1  2˜

z



˜ cos : 0  a

z

2

vereinfachen o z ˜

2

 2 2 a  2 ˜ z ˜ cos  : 0 ˜ a  z

a

z-Transformierte von f(n) zum Vergleich:

n





a ˜ cos n ˜ : 0 ztrans  n o z ˜

 2 2 a  2 ˜ z ˜ cos  : 0 ˜ a  z cos : 0 ˜ a  z

Seite 205

cos : 0 ˜ a  z

z-Transformation

Differentiation im z-Bereich: Eine konvergente Potenzreihe kann innerhalb ihres Konvergenzbereiches differenziert werden. Ist F(z) die z-Transformierte der Folge f(n) dann gilt für die z-Transformierte von n f(n):

Z{

n ˜ f ( n)

} = z ˜ d F ( z)

(6-15)

dz

Die Herleitung erfolgt am einfachsten durch Differenzieren und Multiplikation mit -z:

z ˜

d dz

f

F ( z ) = z ˜

¦

n

ª¬( n) ˜ f ( n) ˜ z  n1º¼ =

0

f

n  n ˜ f ( n) ˜ z . ¦

n

0

Beispiel 6.13: Bestimmen Sie die z-Transformierte der nachfolgend angegebenen Rampenfolge. Führen Sie auch eine Rücktransformation mit Mathcad durch. f ( n)  n

Rampenfolge

n  0  5

Bereichsvariable 6 5 4 3 2 1

f( n )

1

1

Abb. 6.15 0

1

2

3

4

5

6

n

Transformation der Rampenfolge: f

n  n˜ z ¦

Z{ n } =

n

Es gilt

d dz

0

z

n

= n˜ z

f

Z{ n } =

.



¦

n

0

 n1

. Daraus erhalten wir n ˜ z

§ d  n· d = z ˜ ¨z ˜ z dz © dz ¹

f

¦

n

0

z

n

n

= z ˜

= z ˜ d

d dz

z

dz z  1

z

n

.

= z ˜

( z  1)  z ( z  1)

2

=

z ( z  1)

2

Die z-Transformierte von f(n) = n hat eine Nullstelle bei z = 0 und eine doppelte Polstelle bei z = 1. direkte symbolische Auswertung der z-Transformation mit Mathcad: f

n ¦ n ˜ z

n

0

ergibt

z ( z  1)

2

Seite 206

z-Transformation

z-Transformation und Rücktransformation mithilfe von Mathcad: Redefinition

n n

z

z

n ztrans  n o

( z  1)

2

( z  1)

invztrans  z o n

2

Beispiel 6.14: Bestimmen Sie die z-Transformierte der nachfolgend angegebenen Folge. Führen Sie auch eine Rücktransformation mit Mathcad durch. n

gegebene Folge

f ( n) = n ˜ a

Transformation der Folge:

Z{

n

n˜ a

f

z a˜ z zaz n n d  n ˜ a ˜ z = z ˜ = z ˜ = ¦ 2 2 dz z  a ( z  a) ( z  a)

}=

n

(siehe Beispiel 6.7).

0

direkte symbolische Auswertung der z-Transformation mithilfe von Mathcad: f

a n n  n˜ a ˜ z o z˜ ¦ 2 ( z  a)

n

0

z-Transformation und Rücktransformation mithilfe von Mathcad: n

n ˜ a ztrans  n o z ˜

a ( z  a)

z˜

2

a

n

( z  a)

2

invztrans  z o n ˜ a

Faltungssatz: Unter dem Faltungsprodukt f 1 (n) * f2 (n) zweier Folgen f 1 (n) und f2 (n) verstehen wir: f

f ( n) = f1 ( n) * f2 ( n) =

f

¦ 

k

¦

f1 ( k ) ˜ f2 ( n  k ) =

k

f

 f2 ( k) ˜ f1 ( n  k)

(6-16)

f

Das Symbol " * " bedeutet das Faltungssymbol. Sind F(z) = Z

{ f ( n) }, F1(z) = Z { f1 ( n) } und F2(z) = Z { f2 ( n) } die zugehörigen z-Transformierten,

dann gilt:

Seite 207

z-Transformation

f

Z{

f1 ( n) * f2 ( n)

¦  f1 ( k ) ˜ f2 ( n  k ) }

}=Z{

k f

=

f

¦

n

f

f

f

f ª º ª f ( m ) ˜ z  ( m  k) º » « f ( k) ˜ ¬2 ¼» «1 m  f ¬ ¼

¦

k

f

=

¦

k

f

=

¦

k

¦

f ª º § f ( n  k ) ˜ z  n· » « f ( k) ˜ ©2 ¹» «1 n f ¬ ¼

f

=

ªª f º  1º «« » f ( k ) ˜ f ( n  k ) 1 2 » ˜ z »» nach Definition der z-Transformation «« ¬¬ k  f ¼ ¼

¦

Grenzwerte existieren

¦

§ f ( k) ˜ z k· ˜ ©1 ¹

f

¦

m

f

§ f ( m) ˜ z m· . ©2 ¹

f

Das letzte Produkt ergibt sich aus dem Satz von Cauchy für absolut konvergente Reihen. Der Faltungssatz lautet damit:

Z{

f1 ( n) * f2 ( n)

} = Z { f1 ( n) } . Z { f2 ( n) } = F1 ( z ) ˜ F2 ( z)

(6-17)

Die z-Transformierte des Faltungsproduktes f1 (n) * f2 (n) ist gleich dem Produkt der z-Transformierten von f1 (n) und f2 (n).

Beispiel 6.15: Bestimmen Sie die z-Transformierte des Faltungsproduktes f 1 (n) * f2 (n) nachfolgend angegebenen Folgen. f1 ( n)  ) ( n)  ) ( n  2)

Rechteckfolge

n

f2 ( n) 

§ 8 · ˜ ) ( n) ¨ © 10 ¹

Bereichsvariable

n  1  0  14

f1( n)

Exponentialfolge

1.5

1.5

1

1 f2( n)

0.5

0.5

2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415

2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415

0.5

0.5 n

n

Abb. 6.16

Abb. 6.17

Seite 208

z-Transformation

f1 (n) mit f2 (n) gefaltet ergibt: Bereichsvariable

k  1  0  14 f ( n) 

¦  f1 ( k) ˜ f2 ( n  k)

Faltung der beiden Folgen

k

n1  n1

11

11

f ( n1 )

0.193

Einzelschritte bei der Faltung

1.5 1

f1( k)

0.5

f2( n1 k)

Abb. 6.18 2

1 0 0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1 k 3 2 f( n )

1 2

1

Abb. 6.19 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1 n

Transformation des Faltungsproduktes: f

Z{

f ( n) }

= Z{ f1 ( n) * f2 ( n) } = Z {

¦ f1(k) ˜ f2(n  k) } = Z { f1(n) } . Z { f2(n) } = F1(z) ˜ F2(z)

k

n n

Redefinitionen

k k

F1 ( z )  f 1 ( n) ztrans  n o

0

z1 z

z1 F ( z )  F1 ( z ) ˜ F2 ( z ) o 5 ˜ 5˜ z  4

z F2 ( z )  f 2 ( n) ztrans  n o 5 ˜ 5˜ z  4 z-Transformierte des Faltungsproduktes

Seite 209

Transformation der beiden Folgen

z-Transformation

Grenzwertsätze (Anfangs- und Endwerttheorem): Das Anfangs- und das Endwerttheorem geben über das Verhalten einer Folge f(n) für n = 0 + (exakter: beim rechtsseitigen Grenzwert) Auskunft, d.h. über das Verhalten zu Beginn eines Vorganges, bzw. über den stationären Zustand, nachdem der Vorgang beendet ist (n o f). Bei der Anwendung dieser Theoreme kann das dynamische Verhalten eines Systems bis zu einem gewissen Grad direkt im z-Bereich (ohne Rücktransformation) beurteilt werden. Der Anfangswert f(0) und der Endwert f( f) einer Originalfolge f(n) lassen sich (sofern sie überhaupt existieren) ohne Rücktransformation durch Grenzwertbildung aus der zugehörigen Bildfunktion F(z) = Z {f(n)} wie folgt berechnen: Anfangswerttheorem: f ( 0) =

lim f ( n) = lim F ( z )  zof no0

(6-18)

Endwerttheorem: f (f) =

lim

f ( n) =

nof

lim

[ ( z  1) ˜ F ( z ) ]

(6-19)

zo1

Der Endwert existiert nur, wenn

lim

f ( n) existiert und endlich ist bzw. wenn die Pole von F(z)

nof

innerhalb des Einheitskreises liegen (Ausnahme: ein einfacher Pol bei z = 1).

Beispiel 6.16: Bestimmen Sie den Anfangs- und Endwert der nachfolgend gegebenen z-Transformierten und führen Sie dann eine Rücktransformation mit Mathcad durch.

F ( z) 

0.6 ˜ z

gegebene z-Transformierte

2

z  1.7 ˜ z  0.7 2

z  1.7 ˜ z  0.7 = 0

lim

auflösen  z § .70 · o¨ gleit  2 © 1. ¹

F (z) o 0

Anfangswert

[ ( z  1) ˜ F ( z ) ] o 2.

Endwert

zof

lim

Polstellen (ein Pol innerhalb des Einheitskreises, der andere auf dem Einheitskreis)

zo1

f (f) =

lim zo1

f ( n) 

0.6 ˜ z ª ( z  1) ˜ º = « » ( z  1 ) ˜ ( z  0.7 ) ¬ ¼

0.6 ˜ z 2

z  1.7 ˜ z  0.7 n  0  20

lim zo1

§ 0.6 ˜ z · = 0.6 = 2 ¨ 0.3 © z  0.7 ¹

invztrans  z n n o 2.0 ˜ 1.0  2.0 ˜ .70 gleit  2 Bereichsvariable

Seite 210

Rücktransformierte

z-Transformation

3 2 f( n )

1

Abb. 6.20

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 1 n

lim no0



f ( n) o 0

lim

f ( n) o 2.

nof

Die Grenzwerte stimmen mit denen von oben überein!

Beispiel 6.17: Bestimmen Sie den Anfangs- und Endwert der nachfolgend gegebenen z-Transformierten. 1.5 ˜ z

F ( z) 

gegebene z-Transformierte

2

z  1.732 ˜ z  1 2

p  z  1.732 ˜ z  1 = 0

p0 lim

1

p1

F (z) o 0

1

auflösen  z § .866  .500 ˜ i · o¨ gleit  3 © .866  .500 ˜ i ¹

Polstellen

Beide Pole liegen auf dem Einheitskreis, daher existiert der Endwert nicht Anfangswert

zof

Seite 211

z-Transformation

6.3. Rücktransformation aus dem Bildbereich in den Originalbereich Um aus dem Bildbereich die gesuchte Originalfolge f(n) zu erhalten, muss man die Bildfunktion F(z) mittels der inversen z-Transformation in den Originalbereich rücktransformieren.

In der Praxis wird eine Rücktransformation, wie bereits oben erwähnt, über das komplexe Kurvenintegral meist nicht angewendet. Es existieren auch bei der z-Transformation mehrere einfachere Möglichkeiten, die inverse z-Transformation zu berechnen. Sie werden nachfolgend kurz beschrieben. Wie bereits oben in einigen Beispielen aufgezeigt wurde, kann mit Mathcad eine Rücktransformation durchgeführt werden. Es ist aber nicht zu erwarten, dass alle möglichen Rücktransformationen auch ausgeführt werden können, zumal es sich in Mathcad, wie bereits erwähnt wurde, um einen eingeschränkten Maple-Symbolkern handelt. Partialbruchzerlegung: Wie bei der Laplace-Transformation kontinuierlicher Signale, so treten auch bei der z-Transformation diskreter Signale meist gebrochen rationale z-Transformierte auf. Sie können zunächst, wie bereits im Abschnitt 5.3 beschrieben wurde, in eine Summe von Partialbrüchen zerlegt werden. Die Partialbrüche können dann mithilfe einer Korrespondenztabelle, die in zahlreichen Werken über die z-Transformation zu finden sind, rücktransformiert werden. Eine gebrochen rationale Funktion hat die allgemeine Form

F ( z) =

Z ( z) N(z)

n

an ˜ z  an 1 ˜ z

=

z

m

 bm 1 ˜ z

n 1

m 1

 an 2 ˜ z

 bm 2 ˜ z

n 2

m 2

2

 ....  a2 ˜ z  a1 ˜ z  a0 2

(6-20)

 ....  b2 ˜ z  b1 ˜ z  b0

wobei ak , bk  und m,n ²sind. Zur Durchführung der Partialbruchzerlegung müssen die Nullstellen von N(z) (Polstellen) bekannt sein. Unter Beachtung des Fundamentalsatzes der Algebra kann





N(z) = z  z1

D1





˜ z  z2

D2





˜ z  z3

D3



.... z  z i



Di





.... z  z r

Dr

(6-21)

geschrieben werden, wobei die s i die voneinander verschiedenen Wurzeln der Gleichung N(s) = 0 sind und die Di ( D ²) die Vielfachheit der Wurzeln s i bedeuten. Zusätzlich können noch Pole bei z = 0 und z = f auftreten. Polstellen können nur außerhalb des Konvergenzbereichs auftreten.

Seite 212

z-Transformation

Beispiel 6.18: Die nachfolgend angegebene z-Transformierte F(z) soll mithilfe der Partialbruchzerlegung rücktransformiert werden. Die Rücktransformation soll auch mithilfe von Mathcad durchgeführt werden. Die Nullstellen und die Polstellen von F(z) und die Rücktransformierte f(n) sollen grafisch dargestellt werden. F ( z) 

2 ˜ z ˜ ( 18 ˜ z  5)

gegebene z-Transformierte

( 4 ˜ z  1) ˜ ( 3 ˜ z  1)

§ 0 · z N  2 ˜ z ˜ ( 18 ˜ z  5) = 0 auflösen  z o ¨ 5 ¨ © 18 ¹

Nullstellen von F(z)

§¨ 1 · ¨4¸ z p  ( 4 ˜ z  1) ˜ ( 3 ˜ z  1) = 0 auflösen  z o ¨1¸ ¨ ©3¹

Polstellen von F(z)

Nullstellen,Polstellen und Einheitskreis 1

Im§zN

©

Im§zN

©

Im§zp

©

0.5

·

1¹

·

0¹

Im§zp

©

·

0¹

1

0.5

0

0.5

1

·

Abb. 6.21

1¹

sin( M )

0.5

1 Re§zN

©

·  Re§zN ·  Re§zp ·  Re§zp ·  cos( M ) © 1¹ © 0¹ © 1¹

0¹

F ( z ) konvert  teilbruch  z o 3 

1 4˜ z  1



2 3˜ z  1

Partialbruchzerlegung

3 invztrans  z o 3 ˜ ' ( n) 1 4˜ z  1 2

invztrans  z o ' ( n) 

§ 1· ¨ © 4¹

n

§ 1· invztrans  z o 2 ˜ ' ( n)  2 ˜ ¨ 3˜ z  1 © 3¹

die einzelnen Summanden rücktransformiert n

Seite 213

z-Transformation

n

§ 1·  2 ˜ § 1· f ( n)  F ( z ) invztrans  z o ¨ ¨ © 4¹ © 3¹

n

zum Vergleich die Rücktransformierte mithilfe von Mathcad

n  0  10

Bereichsvariable Originalbereich

4 3 2

f( n )

Abb. 6.22 1 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

1 n

Beispiel 6.19: Die nachfolgend angegebene z-Transformierte F(z) soll mithilfe der Partialbruchzerlegung rücktransformiert werden. Zur Rücktransformation soll eine Korrespondenztabelle verwendet werden. Es sollen auch die Nullstellen und die Polstellen von F(z) und die Rücktransformierte f(n) grafisch dargestellt werden. z1

F ( z) 

gegebene z-Transformierte

2

z  2.5 ˜ z  1 Nullstelle

z N  z  1 = 0 auflösen  z o 1 2

z p  z  2.5 ˜ z  1 = 0

auflösen  z § .5 · o¨ gleit  1 © 2. ¹

Polstellen

1



Im zN

0.5

Im§zp

·

Im§zp

·

© ©

sin( M )

0¹

2

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

1¹

0.5

1



Re zN  Re§zp

©

·  Re§zp ·  cos( M ) © 1¹

0¹

Abb. 6.23

Seite 214

2

2.5

3

z-Transformation

F ( z) z

konvert  teilbruch  z 1. 2. 1. o   gleit  1 z z  .5 z  2. 2˜ z

F ( z) = 1 

z

1



1

z-Transformierte (Partialbruch-zerlegt)

z2

2 n

§ 1 · ˜ ) ( n)  2n ˜ ) ( n) f ( n) = G ( n)  2 ˜ ¨ © 2¹

F ( z)

Partialbruchzerlegung von F(z)/z

Rücktransformierte mithilfe einer Korrespondenztabelle

invztrans  z n n o 1. ˜ ' ( n)  1.00 ˜ 2.00  2.00 ˜ .500 gleit  3

Rücktransformierte zum Vergleich mithilfe von Mathcad

Rücktransformation mithilfe des Residuenkalküls:

Beispiel 6.20: Die nachfolgend gegebene z-Transformierte soll mithilfe des Residuenkalküls rücktransformiert werden.

F ( z) =

z

gegeben z-Transformierte (konvergiert für |z| > a)

za

Die z-Transformierte hat einen Pol 1. Ordnung für z = a. Daher gilt für deren Rücktransformierte: n ª z º « » = an ˜ ) ( n) f ( n) = lim ( z  a) ˜ z  a¼ zoa ¬

Rücktransformation auf Basis einer Laurent-Reihenentwicklung: Eine Rücktransformation kann auf Basis einer Laurent-Reihenentwicklung der z-Transformierten an der Entwicklungsstelle z 0 = 0 erfolgen, wobei man die Folgeelemente f(n) durch Koeffizientenvergleich gewinnt. Die z-Transformierte einer Folge f(n) ist gegeben durch: f

F ( z) =

n 2 1 1 ¦ f (n) ˜ z = ....  f (2) ˜ z  f (1) ˜ z  f (0)  f (1) ˜ z  ....

n

(6-22)

f

Die Laurent-Reihe der Funktion F(z) an der Entwicklungsstelle z = z 0 lautet dann: f

F (z) =

¦

n

ª c ˜  z  z  nº = ....  c 2 ˜  z  z 2  c 1 ˜  z  z  c  c ˜  z  z  1  .... (6-23) 0 0 0 0 1 0 ¬ n ¼

f

Aus dem Koeffizienten c n kann dann auf den entsprechenden Folgewert f(-n) geschlossen werden.

Seite 215

z-Transformation

Beispiel 6.21: Gesucht ist die Rücktransformierte von F(z). 2

z  2˜ z  5

F ( z) =

3

gegebene z-Transformierte

2

z  2˜ z  z  2 Die Partialbruchzerlegung führt auf die Form 2

z  2˜ z  5 3

1

konvert  teilbruch  z o

2

z2

z  2˜ z  z  2



2 2

z 1

Die Reihenentwicklung wird separat auf die einzelnen Summanden angewendet. Dies ist aufgrund der Linearität der z-Transformation zulässig. Entwicklung des ersten Summanden in z: 1

1

=

z2

1

˜

2

z

1

1

=

2

f

¦

˜

n

2

§z· ¨ © 2¹

0

n

für |z| < 2

Entwicklung des ersten Summanden in z -1: 1

z

=

z2

1

1  2˜ z

1

=z

1

f

§ 2· ¨ ©z¹

¦

˜

n

0

n

für |z| > 2

Entwicklung des zweiten Summanden in z: 2

= 2˜

2

z 1

f

1 1   z 2

ª¬( 1) n ˜ z 2˜nº¼

¦

= 2˜

n

für |z| < 1

0

Entwicklung des zweiten Summanden in z -1: 2˜ z

2

1 z

= 2˜ z

2

2

1

˜



1  z

2



= 2˜ z

2

f

˜

¦

n

0

2˜nº ª « ( 1) n ˜ §¨ 1 · » ¬ ©z¹ ¼

für |z| > 1

Linearkombinationen:

F ( z) =

1 2

n

f

˜

¦

n

0

§z·  2˜ ¨ © 2¹

f

¦

n

ª¬( 1) n ˜ z 2˜nº¼

für |z| < 1

0

Einige Summanden mit Mathcad ausgewertet: 1 2

3

˜

¦

n

3

n

0

§z·  2˜ ¨ © 2¹

¦

n

ª¬( 1) n ˜ z 2˜nº¼

vereinfacht auf

0

Seite 216

5 2



1 4

˜z

15 8

2

˜z 

1 16

3

4

˜ z  2˜ z  2˜ z

6

z-Transformation

F ( z) =

5 2

1



˜z

4

15

1

2

˜z 

8

16

3

4

6

˜ z  2 ˜ z  2 ˜ z  .....

Durch Koeffizientenvergleich ergeben sich die folgenden Werte: f ( 0) =

5

1

f ( 1) =

2

f ( 2) =

4

15

f ( 3) =

8

1 16

Zum Vergleich die Reihenentwicklung mit Mathcad: 2

z  2˜ z  5 3

5

reihe  z = 0  7 o

2

2

z  2˜ z  z  2

F ( z) =

1 2

n

f

§ z ·  2 ˜ z 2 ˜ ¨ © 2¹

¦

˜

n

0

F ( z ) = ....  2 ˜ z

6

 4˜ z

4

1 4

˜z

15 8

¦

2

1

n

0



2



1 4

˜z

1 8

1

2

˜z 

2˜nº ª « ( 1) n ˜ §¨ 1 · » ¬ ©z¹ ¼

f

 2˜ z



16

65

3

˜z 

32

1

4

˜z 

64

5

˜z 

für 1 < |z| < 2

2

˜z 

1 16

3

˜ z ....

Durch Koeffizientenvergleich ergeben sich die folgenden Werte: f ( 6) = 2

f ( 0) =

f ( 5) = 0

1

F ( z) = z

1

f ( 1) =

2 1

F ( z ) = ....10 ˜ z

4

§ 2· 2  2˜ z ˜ ¨ ©z¹

¦

n

f ( 2) =

n

f

˜

f ( 4) = 4

0

4

 4˜ z

3

z

f

¦

n

0

f ( 3) = 0 1

f ( 3) =

8

f ( 2) = 2

f ( 1) = 0

1 16

2˜nº ª « ( 1) n ˜ §¨ 1 · » ¬ ©z¹ ¼

für |z| > 2

1

Durch Koeffizientenvergleich ergeben sich die folgenden Werte: f ( 4) = 10

f ( 3) = 4

f ( 2) = 0

f ( 1) = 1

f ( 0) = 0

Zum Vergleich die Reihenentwicklung mit Mathcad: 2

z  2˜ z  5 3

2

z  2˜ z  z  2

ersetzen  z = z reihe  z = 0  8

1 3

4

5

6

o 1 ˜ z  4 ˜ z  10 ˜ z  16 ˜ z  30 ˜ z  64 ˜ z

Seite 217

7

255 128

˜z

6

z-Transformation

6.4 Anwendungen der z-Transformation Die Systemtheorie beschäftigt sich mit der mathematischen Beschreibung des dynamischen Verhaltens von Systemen. Die Gestalt der Systeme ist im wesentlichen unerheblich. Technische Systeme werden in gleicher Weise beschrieben wie z.B. physikalische, chemische, biologische oder ökonomische. Als System verstehen wir eine abgegrenzte funktionale Einheit, die über bestimmte, im Allgemeinen von der Zeit abhängige Größen mit der Umgebung in Wechselwirkung steht. Wirken auf ein System in Abhängigkeit der Zeit physikalische Größen von außen ein (Eingangsgrößen), dann reagiert das System in bestimmter Weise darauf und die physikalischen Größen in diesem System erfahren zeitliche Veränderungen. Die interessierenden nach außen in Erscheinung tretenden Größen werden Ausgangsgrößen genannt. Ein Vorgang in einem solchen System, in dem z.B. Energie, Materie oder auch Information umgeformt, transportiert oder auch gespeichert wird, heißt ein Prozess. Damit ein dynamisches System aus seiner Umgebung herausgelöst oder von anderen Systemen getrennt theoretisch untersucht werden kann, ist Rückwirkungsfreiheit vorauszusetzen. Das heißt, die Umgebung oder andere Systeme wirken nicht auf das betrachte System zurück. Nur dann ist auch eine Zuordnung der nach außen in Erscheinung tretenden physikalischen Größen zu Eingangs- und Ausgangsgrößen eindeutig. Das dynamische Verhalten von Systemen bei zeitkontinuierlichen Eingangs- und Ausgangsgrößen (analoge Übertragung) wird mithilfe von Differentialgleichungen beschrieben. Das dynamische Verhalten von Systemen bei zeitdiskreten Eingangs- und Ausgangsgrößen (diskrete oder digitale Übertragung) wird mithilfe von Differenzengleichungen beschrieben. Ein System kann als beliebiger Prozess zur Transformation von Signalen aufgefasst werden. Das Eingangssignal x(n) = x n wird durch das System in das Ausgangssignal y (n) = yn übergeführt. Dabei kann aus verschiedenen Teilprozessen durch Zusammenschalten ein komplexes System entstehen. Beispielsweise könnte ein zusammengesetztes System folgendermaßen aussehen:

Abb. 6.24 Diesen Prozess beschreibt folgende nichtlineare Differenzengleichung:



y ( n) = 2 ˜ x ( n)  x ( n)

2



2

.

Für die Folgeglieder der Eingangsgrößen und Ausgangsgrößen schreibt man auch: x(n) = xn bzw. y(n) = yn = f(n) = fn oder auch um die Zeitabhängigkeit auszudrücken x(t) = xt bzw. y(t) = yt .

Seite 218

z-Transformation

6.4.1 Lösungen von Differenzengleichungen Die Eigenschaften "Linearität" (die Differentialgleichung bzw. Differenzengleichung ist linear in den Ableitungen bzw. linear in den Verzögerungen um ein Zeitintervall der Ein- und Ausgangsgrösse) und "Zeitinvarianz" (die Differentialgleichung bzw. Differenzengleichung enthält nur konstante von der Zeit unabhängige Größen) sind für die Analyse von Systemen sehr wesentlich. Systeme mit diesen Eigenschaften werden als lineare zeitinvariante Systeme (LTI-Systeme bzw. LTD-Systeme "linear, time invariant, discret") bezeichnet. Ein Grossteil dieser Systeme lässt sich durch lineare Differentialgleichungen bzw. Differenzengleichungen beschreiben. Gleichungen dieses Typs beschreiben das sequentielle Verhalten vieler verschiedener Vorgänge. In der Praxis sind allerdings Systeme oft nichtlinear und zeitvariant. Es lässt sich aber vielfach zumindestens ein Teilbereich finden in dem das System linear ist.

Abb. 6.25 Im Unterschied zu zeitkontinuierlichen Systemen, wie sie bereits im Kapitel 5.4 beschrieben wurden, ist ein zeitdiskretes (digitales) System nur für ganzzahlige Werte der unabhängigen Variablen n oder t definiert. Einen wichtigen Sonderfall der allgemeinen Differenzengleichungen bilden Gleichungen, bei denen das Ausgangssignal y(n) aus dem gewichteten Momentanwert x(n), den vergangenen Eingangswerten x(n-i) und den vergangenen Ausgangswerten y(n - i) (i  ²) gebildet wird. Eine einfache lineare Differenzengleichung 1. Ordnung, die nur Verzögerungen um ein Zeitintervall berücksichtigt, schreibt sich in der Form: y(n) = b0 x(n) + b1 x(n - 1) - a1 y(n - 1)

(6-24)

Eine lineare Differenzengleichung 2. Ordnung enthält zweifach verzögerte Glieder des Eingangsund Ausgangssignals: y(n) = b0 x(n) + b1 x(n - 1) + b2 x(n - 2) - a1 y(n - 1) - a2 y(n - 2)

(6-25)

Es müssen nicht alle Glieder in der Gleichung aufscheinen. Die Ordnung wird nach dem Glied mit der höchsten Verzögerung benannt.

Seite 219

z-Transformation

Systeme beliebiger Ordnung lassen sich nach Einführung des redundanten Parameters a 0 (ohne Einschränkung kann a 0 = 1 gesetzt werden; a N, bM z 0) durch eine allgemeine Differenzengleichung beschreiben: N

M

¦ 

k

M

¦ 

ak ˜ y ( n  k ) =

0

k

0



bk ˜ x ( n  k ) bzw. y ( n) =

N

¦ 

k

¦ ak ˜ y(n  k) (6-26)

bk ˜ x ( n  k ) 

0

k

1

Die konstanten Koeffizienten ak , bk  charakterisieren das lineare zeitinvariante System. Um die Reaktion des beschriebenen Systems auf ein Eingangssignal x(n) angeben zu können, müssen N aufeinanderfolgende Anfangsbedingungen y(0 ), y(1), ..., y(N-1) gegeben sein. Die Folgeglieder y(n) können dann für aufeinanderfolgende Werte iterativ berechnet werden. Da für die folgenden Werte immer die Werte der vorausgegangenen Berechnung benötigt werden, wird die zu dieser rekursiven Verfahrensweise gehörige Gleichung als rekursive Gleichung bezeichnet. Im Spezialfall N = 0 reduziert sich die oben angeführte Gleichung zu: M

y ( n) =

¦ bk ˜ x(n  k)

k

(6-27)

0

In diesem Fall berechnet sich der Ausgangswert nur aus momentanen und vergangenen Eingangswerten und nicht aus vergangenen Ausgangswerten. Diese Gleichung wird daher nichtrekursive Gleichung genannt und entspricht ausserdem der Faltungsgleichung. Systeme die durch eine solche Gleichung beschrieben werden, besitzen eine endliche Impulsantwort und werden in der Systemtheorie als FIR-Systeme (finit impuls response) bezeichnet. Rekursive Systeme, wie sie oben beschrieben wurden (mit N t 1) besitzen eine unendliche Impulsantwort und werden als IIR-Systeme (infinit impulse response) bezeichnet. Nur für lineare zeitinvariante Differentialgleichungen und Differenzengleichungen gibt es eine allgemeine Lösungstheorie (siehe Kapitel 8), für nichtlineare im Allgemeinen nicht ! Eine weitere Methode, mit der auch nichtlineare Differenzengleichungen gelöst werden können, ist die rekursive Berechnung der Folgeglieder. Sehr effizient ist die Rechnerunterstützte rekursive numerische Berechnung der Folgeglieder z.B. mithilfe von Mathcad (siehe auch Kapitel 8). Es sei jedoch darauf hingewiesen, dass nicht jede Differenzengleichung rekursiv gelöst werden kann. In der Praxis der digitalen Systeme sind sowohl die Genauigkeit der Eingangsgrössen als auch die Darstellungsgenauigkeit der Koeffizienten und die Rechengenauigkeit beschränkt, denn jeder Computer hat nur eine begrenzte Stellenzahl. Auch eine empfindliche Abhängigkeit der Lösung von den Anfangswerten ist kein Einzelfall. Minimale Veränderungen können oft dramatische Auswirkungen nach sich ziehen. Daraus ergeben sich weitreichende Konsequenzen, die sich z.B. bei der Signalverarbeitung in Quantisierungsrauschen, Instabilität, Rundungsrauschen und verringerter Aussteuerbarkeit bemerkbar machen. Der Umweg über den z-Bereich (Bildbereich) bietet eine bequeme Methode zur Lösung einer linearen Differenzengleichung mit konstanten Koeffizienten, zumal auch die Anfangsbedingungen sofort berücksichtigt werden können, ohne erst eine allgemeine Lösung angeben zu müssen. Eine Rücktransformation der Lösung in den Zeitbereich erfolgt mit den unter Abschnitt 6.3 angegebenen Methoden. Wegen der häufig vorkommenden linearen Differenzengleichungen erster und zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten soll deren Lösung nachfolgend näher betrachtet werden.

Seite 220

z-Transformation

Für die Transformation der Differenzengleichungen in den z-Bereich (Bildbereich) wendet man die Verschiebungssätze an: Mit den Anfangsbedingungen f(0), f(1), ... ergeben sich folgende Zusammenhänge:

Z { f(n+1)} = z F(z) - f(0) z Z { f(n+2)} = z2 F(z) - f(0) z 2 - f(1) z usw.

(6-28)

Die inhomogene lineare Differenzengleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten vom Typ y ( n  1)  a ˜ y ( n) = x ( n)

(6-29)

mit dem Anfangswert y(0) wird mithilfe der z-Transformation gliedweise unter Berücksichtigung der Linearitäts- und Verschiebungseigenschaft in die algebraische Gleichung z ˜ Y ( z )  y ( 0) ˜ z  a ˜ Y ( z ) = X ( z )

(6-30)

mit der Lösung Y (z) =

X ( z )  y ( 0) ˜ z

(6-31)

za

übergeführt. Die Rücktransformation von Y(z) liefert dann mit den bereits bekannten Methoden die gesuchte Originalfunktion y(n).

Beispiel 6.22: Lösen Sie die nachfolgende inhomogene lineare Differenzengleichung. Die Anfangsbedingung lautet: y(0) = 1. y ( n  1) 

1 2

mit

˜ y ( n) = x ( n)

x ( n) = 2 ˜ G ( n)

gegebene Differenzengleichung

Die Anwendung der z-Transformation ergibt: Y (z) =

X ( z )  y ( 0) ˜ z za

=

2  1˜ z z

1 2

2

=

z

1 2

z



z

1 2

Lösung mithilfe einer Transformationstabelle: 2 z

1

hat als Rücktransformierte die Darstellung:

§ 1· 2˜ ¨ © 2¹

hat als Rücktransformierte die Darstellung:

§ 1· ¨ © 2¹

2

z z

1

n 1

für n t 1 und 0 für n = 0

n

für n t 0

2

y ( n) 

§ 1· ¨ © 2¹

n

§ 1· © 2¹

2˜ ¨

if n = 0 n1



§ 1· ¨ © 2¹

die gesuchte Lösungsfolge

n

if n t 1

Seite 221

z-Transformation

Rekursive Lösung der Differenzengleichung: 1

y ( 1) = x ( 0) 

2

˜ y ( 0) = 2 

1

1 2

˜1

1· 1 § § 1· y ( 2) = x ( 1)  ˜ y ( 1) = 0  ˜ ¨ 2  = ˜2 ¨ 2 2 © 2¹ 2 © 2¹ 1

y ( 3) = x ( 2) 

2

1

˜ y ( 2) = 0 

1 2

ª1

˜«

¬2

˜2

2

2 2 § 1 · º» = § 1 · ˜ 2  ¨ ¨ © 2¹ ¼ © 2¹

§ 1· ¨ © 2¹

3

3 3 4 ª§ 1 ·2 1· º 1· 1· § § § « » y ( 4) = x ( 3)  ˜ y ( 3) = 0  ˜ ¨ ˜2 ¨ = 2˜ ¨ ¨ 2 2 ¬© 2 ¹ © 2¹ ¼ © 2¹ © 2¹

1

§ 1· y ( n) = 2 ˜ ¨ © 2¹

n 1

1

§ 1· ¨ © 2¹

n

Für den ersten Summanden muss n t 1 und für den zweiten Summanden n t 0 sein!

Lösung mithilfe von Mathcad: 2 z

§ 1· invztrans  z o 4 ˜ ' ( n)  5 ˜ ¨ 1 © 2¹ z

n

Rücktransformation mit Mathcad

2

G ( n) 

1 if n = 0

Definition des Einheitsimpulses

0 otherwise

§ 1· y1 ( n)  4 ˜ G ( n)  5 ˜ ¨ © 2¹

n

Die Lösung, die Mathcad liefert!

Bereichsvariable

n  0  10 3 2 y( n ) 1

y1 ( n ) 1

0

1

2

3

4

5

6

1 n

Abb. 6.26

Seite 222

7

8

9

10

11

z-Transformation

Beispiel 6.23: Lösen Sie die nachfolgende inhomogene lineare Differenzengleichung. Die Anfangsbedingung lautet: y(0) = y 0 = 2. n

gegebene Differenzengleichung

y ( n  1)  3 ˜ y ( n) = n ˜ 2

Die Anwendung der z-Transformation ergibt:





z ˜ Y ( z )  y0  3 ˜ Y ( z ) =

Y (z) =

y0 ˜ z z3

2˜ z ( z  2)

2

2˜ z



( z  3) ˜ ( z  2)

2

Durch Partialbruchzerlegung erhält man: 2˜ z ( z  3) ˜ ( z  2) Y (z) =

y0 ˜ z z3



2

konvert  teilbruch  z o

6 z3



6

4



3  z

( z  2)

2



6 z2

4



z2

6

( z  2)

2

Lösung mithilfe einer Transformationstabelle: n

n1

y ( n) = y0 ˜ 3  6 ˜ 3

n 1

 6˜ 2

n2

 4 ˜ ( n  1) ˜ 2



n



n

= y0  2 ˜ 3  ( 3  n  1) ˜ 2

für n t 1

Damit lautet die Lösung mit dem Anfangswert y 0 = 2 für n t 0 : n

n

die gesuchte Lösungsfolge

y ( n)  4 ˜ 3  ( 2  n) ˜ 2

Lösung mithilfe von Mathcad: y0 ˜ z z3

2˜ z



n

( z  3) ˜ ( z  2)

n

n

n

invztrans  z o y0 ˜ 3  2 ˜ 3  2 ˜ 2  2 ˜ n 2 Anfangswert

y0  2 n

n

n

n

y1 ( n)  y0 ˜ 3  2 ˜ 3  2 ˜ 2  2 ˜ n

Die gleiche Lösung liefert Mathcad

n  0  5

Bereichsvariable 1000

y( n ) 500

Abb. 6.27

y1 ( n )

1

0

1

2

3 n

Seite 223

4

5

6

z-Transformation

Die inhomogene lineare Differenzengleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten vom Typ y ( n  2)  a ˜ y ( n  1)  b ˜ y ( n) = x ( n)

(6-32)

mit dem Anfangswerten y(0) und y(1) wird mithilfe der z-Transformation gliedweise unter Berücksichtigung der Linearitäts- und Verschiebungseigenschaft in die algebraische Gleichung 2

2

z ˜ Y ( z )  y ( 0) ˜ z  y ( 1) ˜ z  a ˜ ( z ˜ Y ( z )  y ( 0) ˜ z )  b ˜ Y ( z ) = X ( z )

(6-33)

mit der Lösung 2

Y (z) =

X ( z )  y ( 0) ˜ z  a ˜ y ( 0) ˜ z  y ( 1) ˜ z

(6-34)

2

z  a˜ z  b übergeführt. Die Rücktransformation von Y(z) liefert dann mit den bereits bekannten Methoden die gesuchte Originalfunktion y(n).

Beispiel 6.24: Lösen Sie die nachfolgende inhomogene lineare Differenzengleichung 2. Ordnung. Die Anfangsbedingungen lauten: y(0) = y0 = 1 und y(1) = y1 = 1. n

gegebene lineare Differenzengleichung 2. Ordnung

y ( n  2)  3 ˜ y ( n  1)  2 ˜ y ( n) = 2

Die Anwendung der z-Transformation ergibt: z 2 2 z ˜ Y ( z )  y0 ˜ z  y1 ˜ z  3 ˜ z ˜ Y ( z )  y0 ˜ z  2 ˜ Y ( z ) = z2





Durch Umformung folgt:

z2  3 ˜ z  2 ˜ Y (z) = y0 ˜ z2  3 ˜ z  y1 ˜ z  z z 2 Y (z) =

2

y0 ˜ z  3 ˜ z 2



y1 ˜ z



2

z  3˜ z  2

Y (z) =

2

z  3˜ z  2



y0 ˜ z  3 ˜ z  2 2

z  3˜ z  2



z



y1 ˜ z  2 ˜ y0 2

2

z



z  3˜ z  2

y1 ˜ z  2 ˜ y0 Y ( z ) = y0   ( z  1) ˜ ( z  2)



( z  2) ˜ z  3 ˜ z  2

2

z ( z  1) ˜ ( z  2)

2

Durch Partialbruchzerlegung erhält man: y0  y0

y1  y1



( z  2) ˜ z  3 ˜ z  2

Redefinitionen

Seite 224

z-Transformation

y1 ˜ z  2 ˜ y0 ( z  1) ˜ ( z  2) z ( z  1) ˜ ( z  2)



2

 2 ˜ y1  y0

 y1  2 ˜ y0

konvert  teilbruch  z o

z2

z1 1

konvert  teilbruch  z o

z1

2



( z  2)

2



1 z2

Lösung mithilfe einer Transformationstabelle:

Y ( z ) = y0 

2 ˜ y0  y1 z1





2 ˜ y1  2 ˜ y0



n 1

y ( n) = 2 ˜ y0  y1 ˜ 1

z2

1





z1





n 1

 2 ˜ y1  2 ˜ y0 ˜ 2

1 z2 n 1

1

2



( z  2) n 1

2

2 n2

für n t 1

 2 ˜ ( n  1) ˜ 2

Die Rücktransformation von y 0 liefert y 0 G(n) = y0 , wenn n = 0 sonst 0. Damit lautet die Lösung der Differenzengleichung: y0  1 y ( n) 

Anfangsbedingungen

y1  1

ª 2 ˜ y  y  1   y  y  1 ˜ 2n  n ˜ 2n1º 0 1 1 0 ¬ ¼

für n t 0

n n n

n1

symbolische Auswertung mit den Anfangsbedingungen

y ( n) o 2  2  n ˜ 2

Lösung mithilfe von Mathcad:

y1 ( n) 

2

y0 ˜ z  3 ˜ z



2



z  3˜ z  2

y1 ˜ z

z



2

z  3˜ z  2



n



2

invztrans  z o 2  2 

( z  2) ˜ z  3 ˜ z  2

1 2

n

˜2 ˜n

Bereichsvariable

n  0  5 60

y( n )

40

y1 ( n )

20

1

0

1

2

3 n

Abb. 6.28

Seite 225

4

5

6

z-Transformation

Beispiel 6.25: Lösen Sie die nachfolgende inhomogene lineare Differenzengleichung 2. Ordnung. Die Anfangsbedingungen lauten: y(0) = y0 = 0 und y(1) = y1 = 1. n

gegebene lineare Differenzengleichung 2. Ordnung

y ( n  2)  2 ˜ y ( n  1)  2 ˜ y ( n) = 2

Die Anwendung der z-Transformation ergibt: z 2 2 z ˜ Y ( z )  y0 ˜ z  y1 ˜ z  2 ˜ z ˜ Y ( z )  y0 ˜ z  2 ˜ Y ( z ) = z2





Unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen ergibt sich durch Umformung:

z2  2 ˜ z  2 ˜ Y (z) = z  z z 2 z

Y (z) =



2

2

z

2

=



( z  2) ˜ z  2 ˜ z  2

z  2˜ z  2

z z

2



( z  2) ˜ z  2 ˜ z  2

Durch Partialbruchzerlegung erhalten wir: 2

z z

2



1

konvert  teilbruch  z o

z2

( z  2) ˜ z  2 ˜ z  2

Y (z) =

1 z2





1 2

z  2˜ z  2

1 2

z  2˜ z  2

Lösung mithilfe einer Transformationstabelle:

-1

Z {

1 z2

} = 2n1 für n t 1 und 0 für n = 0

-1

1

Z {

2

2

1

}=

sin ( Z )

z  2 ˜ a ˜ z ˜ cos ( Z )  a 2

Aus a = 2 folgt a =

n 2

˜a

˜ sin [ ( n  1) ˜ Z ] für n t 1 und 0 für n = 0

2 und aus a ˜ cos ( Z ) = 1 folgt Z =

S 4

.

Damit ergibt sich die Rücktransformierte zu: n1

y ( n) = 2



1

§S· ©4¹

sin ¨

˜

 2 n2 ˜ sin ª«( n  1) ˜ S »º ¬

4¼

§ S · = 1 , cos § S · = 1 und sin(D - = sin(D) cos(E) - cos(D) sin(E) erhalten wir schließlich: E) ¨ ©4¹ ©4¹ 2 2

Mit sin ¨

Seite 226

z-Transformation

n1

y ( n) = 2

 2 n2 ˜ §¨ sin §¨ n ˜ S · ˜

2˜



n 1

y ( n)  2



4¹

©

©

1 2

§ ©

 cos ¨ n ˜

 2 n2 ˜ §¨ sin §¨ n ˜ S ·  cos §¨ n ˜ S · · ©

4¹

©

4¹

˜

1

· 2¹

mit n t 0

4 ¹¹

©

S·

Bereichsvariable

n  0  10

600

400 y( n ) 200

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

n

Abb. 6.29

6.4.2 Übertragungsverhalten von Systemen Die z-Transformation ist ein wesentliches Hilfsmittel zur Analyse und Beschreibung von LTI- bzw. LTD- Systemen, wie sie bereits im Kapitel 6.4.1 beschrieben wurden. Wir betrachten zunächst ein System, das auf das Eingangssignal x(n) mit dem Antwortsignal y(n) reagiert. Das System kann zunächst durch seine Impulsantwortfunktion g(n) charakterisiert werden. Aus der Faltungseigenschaft ergibt sich die z-Transformierte des Ausgangssignals Y(z) aus der z-Transformierten des Eingangssignals X(z) multipliziert mit der z-Transformierten der Impulsantwort G(z). G(z) wird als Übertragungsfunktion oder Systemfunktion bezeichnet. Siehe Abb. 6.30.

Abb. 6.30 Die im Abschnitt 6.4.1 angeführte allgemeine Differenzengleichung für lineare zeitinvariante Systeme kann unter der Annahme verschwindender Anfangsbedingungen (y(0) = 0, y(1) = 0 , ....) nun unter Berücksichtigung der Linearitäts- und Verschiebungseigenschaft einfach z-Transformiert werden: N

¦

k

0

§ a ˜ z k ˜ Y ( z)· = © k ¹

M

¦

k

§ b ˜ z k ˜ X ( z)· © k ¹

0

Seite 227

(6-35)

z-Transformation

Diese algebraische Gleichung in z kann nun auf d ie Systemfunktion oder Übertragungsfunktion G(z) umgeformt werden: M

G ( z) =

Y (z) X (z)

¦

=

k

0

N

¦

k

M

§ b ˜ z  k· © k ¹

§ b ˜ z Nk· © k ¹

¦

=

§ a ˜ z  k· © k ¹

0

k

0

N

¦

k

(6-36)

§ a ˜ z Nk· © k ¹

0

Die Form mit den negativen Exponenten geht in die Form mit den positiven Exponenten über, wenn man Zähler und Nenner erweitert. Die Übertragungsfunktion ist immer rational. Der Konvergenzbereich muss gesondert überprüft werden. Anhand der Pol- und Nullstellen der Übertragungsfunktion kann die Kausalität (der Zählergrad von G(z) darf nicht grösser als der Nennergrad bezüglich z sein) und die Stabilität überprüft werden. Ist das System kausal (sind alle Abtastwerte eines Eingangssignals x(n) Null für n < n 0 , so kann auch das Ausgangssignal y(n) für n < n 0 keine von Null verschiedenen Abtastwerte besitzen), liegt der Konvergenzbereich außerhalb des äußeren Pols. Für ein stabiles System müssen alle Pole innerhalb des Einheitskreises liegen. Wird z auf dem Einheitskreis ermittelt ( z = e j: ), dann reduziert sich G(z) auf den Frequenzgang G(:) des Systems, vorausgesetzt, der Einheitskreis liegt im Konvergenzbereich für G(z). Für z = ej: entspricht die z-Transformation der Fourier-Transformation. Bei Kenntnis der Übertragungsfunktion G(z) kann daher nach folgendem Schema für jedes Eingangssignal x(n) das Ausgangssignal y(n) berechnet werden (vergleiche auch die Analogie zu den Ausführungen über die Laplace-Transformation):

Abb. 6.31 Beispiel 6.26: Wie lautet die Übertragungsfunktion G(z) der gegebenen Differenzengleichung mit verschwindenden Anfangsbedingungen ? Wie lautet die Impulsantwort g(n) und der Frequenzgang G(:) des Systems ? y ( n) 

1 2

˜ y ( n  1) = x ( n) 

1 3

gegebene lineare Differenzengleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

˜ x ( n  1)

Die Anwendung der z-Transformation ergibt unter Berücksichtigung der Linearitäts- und Verschiebungseigenschaft: Y (z) 

1 2

Y (z) ˜ z

1

= X ( z) 

1 3

˜ X ( z) ˜ z

1

z-Transformierte Gleichung

Seite 228

z-Transformation

Daraus ergibt sich die Übertragungsfunktion:

G ( z) =

1

1

Y (z)

=

X (z)

˜z

3 1

1

˜z

2

1

=

1

Die Übertragungsfunktion hat bei z 0 = - 1/3 eine

6˜ z  2

Nullstelle und bei zp = 1/2 eine Polstelle. Sie

6˜ z  3

liegen innerhalb des Einheitskreises in der z-Ebene auf der reellen Achse. Das System ist daher stabil.

z-Transformation mithilfe von Mathcad: 1

y ( n) 

2 1

x ( n) 

3

hat Z-Transformation

˜ y ( n  1)

hat Z-Transformation

˜ x ( n  1)

1 2 1 3

˜ ztrans ( y ( n)  n  z ) ˜

˜ ztrans ( x ( n)  n  z ) ˜

2˜ z  1 z 3˜ z  1 z

Damit ergibt sich 1 2

˜ Y ( z) ˜

2˜ z  1 z

=

1 3

3˜ z  1

˜ X (z) ˜

z

und daraus die Übertragungsfunktion: 3˜z 1

G ( z) =

Y (z)

=

X (z)

2 3

˜

z

vereinfacht auf

2˜z 1

G ( z) =

Y (z) X (z)

=

2 3

˜

3˜ z  1 2˜ z  1

z

Die Impulsantwort des Systems erhält man durch Rücktransformation der Übertragungsfunktion: 1

1

3

G ( z) =

1

1

2

˜z ˜z

1 1

1

= 1

1

n

§ 1 · ˜ V ( n)  1 ˜ § 1 · ¨ ¨ 3 © 2¹ © 2¹

g ( n) =

1 1

1 3 1 2

˜z

2

˜z ˜z

1



1 3

z

˜ 1

1

1 2

Übertragungsfunktion (Partialbruchzerlegung) ˜z

n 1

Impulsantwort (händische Auswertung)

˜ V ( n  1)

1

§ 1· invztrans  z o ˜ ' ( n)  ˜ ¨ 3 3 © 2¹ 2

1

1

n

§ 1 · ˜ ) ( n)  1 ˜ § 1 · g ( n)  ¨ ¨ 3 © 2¹ © 2¹

5

n

Impulsantwort (mithilfe von Mathcad)

n1

Impulsantwort (V(n) = )(n))

˜ ) ( n  1)

Definition des Einheitsimpulses G ( n)  wenn ( n = 0  1  0)

g1 ( n) 

§ 1· ˜ G ( n)  ˜ ¨ 3 3 © 2¹

2

5

n

Impulsantwort

Seite 229

z-Transformation

Bereichsvariable

n  0  10

Impulsantwort des Systems

1.5 1

g( n)

0.5

g1( n )

Abb. 6.32

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

0.5 n

Frequenzgang: 1 G(: )  1

1 3 1 2

 j ˜:

˜e

Frequenzgang der Übertragungsfunktion  j ˜:

˜e

Bereichsvariable

:  2 ˜ S  2 ˜ S  0.01  2 ˜ S

Amplitudengang 3 2

G( : )

Abb. 6.33 1

8

6

4

2

0

2

4

6

8

:

Beispiel 6.27: Wie lautet die Übertragungsfunktion G(z) der gegebenen Differenzengleichung mit verschwindenden Anfangsbedingungen ? Wie lautet die Impulsantwort g(n) und der Frequenzgang und Phasengang des Systems ? y ( n)  a1 ˜ y ( n  1) = x ( n)

gegebene lineare Differenzengleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Die Anwendung der z-Transformation ergibt unter Berücksichtigung der Linearitäts- und Verschiebungseigenschaft: Y ( z )  a1 ˜ Y ( z ) ˜ z

1

= X (z)

Daraus ergibt sich die Übertragungsfunktion:

Seite 230

z-Transformation

G ( z) =

Y (z) X (z)

1

=

1  a1 ˜ z

1

Die Übertragungsfunktion hat bei z 0 = 0 eine Nullstelle

z

=

und bei z p = a1 eine Polstelle. Sie liegen innerhalb des

z  a1

Einheitskreises in der z-Ebene auf der reellen Achse, wenn a 1 < 1 ist. Das System ist für a 1 < 1 stabil. Das System konvergiert für |z| > a1 .

z0  0

Nullstelle

z p  0.8

Polstelle (a 1 = 0.8 gewählt)

:  2 ˜ S  2 ˜ S  0.01  2 ˜ S

Bereichsvariable

Einheitskreis, Nullstelle und Polstelle 1



0.5

Im z0

z-Ebene



Im zp

1

 j˜:

0.5

0

0.5

1

Im e

Abb. 6.34

0.5

1



 j˜:



Re z0  Re zp  Re e

Die Impulsantwort des Systems erhalten wir durch Rücktransformation der Übertragungsfunktion: 1

g ( n)  1

8

˜z

10

1

§ 4· invztrans  z o ¨ © 5¹

n

Impulsantwort für a 1 = 0.8

Bereichsvariable

n  0  10

Impulsantwort des Systems

1.5 1

g( n)

Abb. 6.35 0.5

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

n

Seite 231

9

10

11

z-Transformation

Amplituden- und Phasengang: 1

G(: )  1 A (: ) 

8 10

komplexer Frequenzgang  j ˜:

˜e

Amplitudengang

G(: )

Redefinition

: : 5

A (: ) o

symbolische Auswertung des Amplitudenganges

1 2 ª § º «25 ˜ ¨ 1  4 ˜ cos ( : )·  16 ˜ sin ( : ) 2» 5 ¬ © ¹ ¼

2

Phasengang

M ( : )  arg ( G ( : ) )

Amplitudengang

Phasengang 1

6 4

A( : )

M(:) 10

2

10

5

0

5

10

:

5

0

5

10

1 :

Abb. 6.36

Abb. 6.37

Beispiel 6.28: Ein System (digitales Filter) bestehe aus einem Addier-, einem Multiplizier- und einem Verzögerungsglied. Untersuchen Sie das System im Zeitbereich und im Frequenzbereich. a) Das Systems soll mit einer Einheitssprungfolge angesteuert werden: Untersuchung des Filters im Zeitbereich:

yn1  a1 ˜ yn = xn

zugehörige Differenzengleichung (x(n) = xn und y(n) = yn)

Die Lösung der Differenzengleichung liefert die Sprungantwort des Systems (Ausgangssignal). Abb. 6.38 a1  0.75 gegebener Multiplikator

Seite 232

z-Transformation

4

N 2

Anzahl der gewählten Abtastwerte

n  0  N  1

Bereichsvariable

Vn  1

Einheitssprungfolge

xn  V n

Eingangssignal (Einheitssprungfolge)

y0  0

Anfangswert für die Differenzengleichung

yn1  a1 ˜ yn  xn

Differenzengleichung für das Ausgangssignal. Die einzelnen Folgeglieder werden rekursiv berechnet.

yG = a1 ˜ yG  1

Aus der Differenzengleichung ergibt sich der Grenzwert für das Ausgangssignal.

yG 

1

yG

1  a1

Fixpunkt

4

Ein- und Ausgangssignal

6

yG

5 4 3 2 1

xn yn yn

1

1 2 3 4

Abb. 6.39 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12

13 14

15

16

5 n

Untersuchung des Filters im Bildbereich (z-Bereich):

Abb. 6.40 Durch z-Transformation der Differenzengleichung erhält man: Y (z)  k ˜ Y (z) ˜ z

G ( z) =

Y (z) X (z)

=

1

= X ( z) 1

1 k˜z

1

=

z zk

digitale Übertragungsfunktion für das System

Seite 233

z-Transformation z

X (z) 

z-Transformierte des Einheitssprunges

z1 1

G ( z) 

Übertragungsfunktion für das System

z  a1

Y ( z)  G ( z) ˜ X ( z)

Die z-Transformierte der Sprungantwort (Ausgangssignal) hat Pole bei z1p = - a1 und z 2p = 1.

z 1p  a1

Polstellen

z 2p  1

Für die Rücktransformation in den Zeitbereich wählen wir einen geeigneten Radius für den kreisförmigen Integrationsweg (siehe Definition inverse z-Transformation). Die Pole von Y(z) müssen innerhalb des Integrationsweges der z-Ebene liegen.



r  wenn a1  1  2  2 ˜ a1 x ( M )  r ˜ cos ( M )



gewählter Radius für den Integrationsweg Parameterdarstellung für den kreisförmigen Integrationsweg

y ( M )  r ˜ sin ( M )

Bereichsvariable

M  0  0.01  2 ˜ S

Integrationsweg und Polstellen 2

y( M )

Abb. 6.41

0 2

0

0

Die Polstellen liegen innerhalb des gewählten Kreises im Konvergenzgebiet.

2

2 x( M )  z1p  z2p 2˜S

n

yn 

´ ˜µ 2 ˜ S ¶0 r



j ˜M

Y r˜ e

˜ ej˜n˜M dM



yn  wenn yn  TOL  0  yn

Inverse z-Transformation nach Substitution z = r e jM Sprungantwort des Systems (Ausgangssignal)



Zu kleine Werte werden auf Null gesetzt. Ein- und Ausgangssignal

6 5

xn

yG

4

yn

3

yn

2

Abb. 6.42

1 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 n

Vergleiche dazu Abb. 6.39.

Seite 234

10

11 12

13 14

15

16

z-Transformation

Untersuchung des Filters im Frequenzbereich: TA  10

4

gewählte Abtastzeit (oder Samplingzeit T s )

˜s

2˜ S

ZA 

ZA

TA

G ( z) =

4 1

6.3 u 10 s

1

Abtastkreisfrequenz (oder Samplingkreisfrequenz Zs )

Digitale Übertragungsfunktion für das System. Das System konvergiert für |z| > a1 und verhält sich stabil für |z| < 1

z  a1

Die zugehörige analoge Übertragungsfunktion (Frequenzgang) erhalten wir durch Substitution z=e

j˜Z˜TA

=e

j˜:

(Einheitskreis) aus der digitalen Übertragungsfunktion.

1

G(Z ) 

j ˜Z˜TA

e A (Z ) 

Frequenzgang  a1 Amplidudengang

G (Z )

Phasengang

M ( Z )  arg ( G ( Z ) )

Z  0˜ s

A( Z )

1

 0.001 ˜ Z A  2 ˜ Z A

Bereichsvariable

Amplitudengang

6 5 4 3 2 1

M( Z)

1

0

0.5

1

1.5

4 3 2 1 1 0 2 3 4

2

Phasengang

S

1 1

S 2

Z

Z

ZA

ZA

Abb. 6.43

Abb. 6.44

Amplituden- und Phasengänge digitaler Filter sind, durch die Abtastung bedingt, periodisch mit der Abtastkreisfrequenz ZA, und der Frequenzgang ist symmetrisch zu ZA/2. Aufgrund des Abtasttheorems kann der Frequenzgang nur bis ZA/2 genützt werden (siehe dazu Abschnitt 3.1).

Seite 235

z-Transformation

b) Das Systems soll mit einem Einheitsimpuls angesteuert werden: Untersuchung des Filters im Zeitbereich: Gn 

1 if n = 0 Einheitsimpuls

0 otherwise xn  G n

Eingangssignal (Einheitsimpuls)

y0  0

Anfangswert für die Differenzengleichung

yn1  a1 ˜ yn  xn

Differenzengleichung für das Ausgangssignal (rekursive Lösung)

2

xn

1

yn

Abb. 6.45

yn

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1 n

Untersuchung des Filters im Bildbereich (z-Bereich): z-Transformierte des Einheitsimpulses

X (z)  1 G ( z) 

1

Digitale Übertragungsfunktion für das System

z  a1

Y ( z) = G ( z) ˜ X ( z) = G ( z)

Die z-Transformierte der Impulsantwort besitzt einen Pol bei zp = - a1 . Es ist dieselbe Polstelle wie bei G(z).

z p  a1

Polstelle

r  2 ˜ a1

gewählter Radius des Integrationsweges

M  0  0.01  2 ˜ S

Bereichsvariable

2

y( M ) 0

2

0

2

Die Polstelle liegt innerhalb des gewählten Kreises!

Abb. 6.46 2 x( M )  zp

Seite 236

z-Transformation

2˜S

n

´ ˜µ 2 ˜ S ¶0 r

gn 

Inverse z-Transformation nach Substitution z = r e jM.

j ˜M j ˜n˜M G r ˜ e ˜ e dM



gn  wenn yn  TOL  0  yn

Die Sprungantwort des Systems (Ausgangssignal) y(n) ist wegen X(z) = 1 identisch mit der Impulsantwort g(n).



Zu kleine Werte werden auf null gesetzt. Impulsantwort des Systems

2 Gn 1 gn

Abb. 6.47

gn 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1 n

c) Das Systems soll mit einem Rechteckimpuls mit der Breite T 1 < 5 T A angesteuert werden: Untersuchung des Filters im Zeitbereich: 4

N 2

Anzahl der gewählten Abtastwerte

n  0  N  1

Bereichsvariable

T1  5 ˜ TA

Impulsbreite

xn 

1 if n ˜ TA d T1

Eingangssignal (Rechteckimpulsfolge)

0 otherwise y0  0.187

Anfangswert für die Differenzengleichung

yn1  a1 ˜ yn  xn

Differenzengleichung für das Ausgangssignal (rekursive Lösung) Ein- und Ausgangssignal

4 3

xn

2

yn

Abb. 6.48

yn

1

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 n

Seite 237

10

11

12

13

14

15

16

z-Transformation

Untersuchung des Filters im Bildbereich (z-Bereich): Werden spezielle äquidistante z-Werte am Einheitskreis der z-Ebene gewählt und in die z-Transformierte eingesetzt, so kann ein Zusammenhang mit der Fast-Fourier-Transformation erkannt werden (siehe dazu Abschnitt 3.1): k  0  N  1 j ˜2˜S˜

zk  e

Bereichsvariable

k N

gewählte spezielle äquidistante z-Werte

2 1



Im zk

2

1

0

1

2

gewählte äquidistante z-Werte am Einheitskreis

1 2

Abb. 6.49



Re zk N 1

X (z) 

§ xn ˜ z  n· © ¹

¦

n

Wegen des finiten Signals wird aus der unendlichen Reihe eine endliche Reihe

0

Die z-Transformierte an den äquidistanten Punkten am Einheitskreis erhalten wir über die Fast-Fourier-Transformation der Abtastwerte: N1



X zk =

¦

n

k §  j ˜2˜S˜ ˜n· ¨ N © xn ˜ e ¹ = N ˜ CFFT ( x)

0 0

X (z)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

6 2.631-3.938i -0.707-1.707i 0.676+0.134i 1-1i -0.09-0.451i 0.707+0.293i 0.783-0.523i 0 0.783+0.523i 0.707-0.293i -0.09+0.451i 1+1i 0.676-0.134i -0.707+1.707i 2.631+3.938i

0

N ˜ CFFT ( x)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Seite 238

6 2.631-3.938i -0.707-1.707i 0.676+0.134i 1-i -0.09-0.451i 0.707+0.293i 0.783-0.523i 0 0.783+0.523i 0.707-0.293i -0.09+0.451i 1+i 0.676-0.134i -0.707+1.707i 2.631+3.938i

z-Transformation

Umgekehrt gilt natürlich, dass die Abtastwerte über die inverse Fast-Fourier-Transformation bestimmt werden können: 1

xn =

1 N

N

  =

˜ ICFFT X z k

T

1 N

¦

˜

k

0

0

˜ ICFFT ( X ( z ) )

0

k § j ˜2˜S˜ ˜n· ¨ N © X  z k ˜ e ¹

N 1

1 1

2 1

3 1

4 1

5 1

6 1

7 0

8 0

9 0

0

Mit der IFFT ergibt sich die Antwort des digitalen Systems auf den endlichen Rechteckimpuls: 1

G ( z) 

digitale Übertragungsfunktion für das System

z  a1

 

z-Transformierte der Impulsantwort an den äquidistanten Punkten

Yk  G z k ˜ X z k

Für die Berechnung des Ausgangssignals gilt demnach der Zusammenhang:

1

yn =

N 1

y

N 1

˜

¦

k

0

k § j ˜2˜S˜ ˜n· ¨ 1 N © Yk ˜ e ¹ = N ˜ ICFFT ( Y)

Berechnung des Ausgangssignals mithilfe von Mathcad

˜ ICFFT ( Y)

N

Ein- und Ausgangssignal

4 xn

3

yn

2

yn

1

1

Abb. 6.50

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12

13 14

15

16

1 n

d) Das Systems soll sinusförmig angesteuert werden: Erregt man ein digitales System mit einer beliebigen Zeitfunktion x(n) , so kann die Antwort des Systems y(n) mittels Faltung y(n) = x(n) * g(n) bestimmt werden (siehe Abschnitt 6.2): TA  10

4

2˜ S

ZA 

TA 4

N 2

gewählte Abtastzeit (oder Samplingzeit T s )

˜s

ZA

4 1

6.3 u 10 s

Abtastkreisfrequenz (oder Samplingkreisfrequenz Zs ) Anzahl der gewählten Abtastwerte

Seite 239

z-Transformation

Bereichsvariable

n  0  N  1

§ ZA

xn  sin ¨

˜ n ˜ TA

© 10

2˜S

n

gn 

´ ˜µ 2 ˜ S ¶0 r

·

sinusförmiges Eingangssignal

¹



j ˜M

G r˜ e

˜ ej˜n˜M dM

Impulsantwort über die inverse z-Transformation (siehe unter c) weiter oben im Beispiel)

Die Impulsantwort g n erhält man auch über die inverse Fourier-Transformation:

1

gIFFT 

N

n

k § j˜2˜S˜ ˜n· ¨ N © G  z k ˜ e ¹

N 1

˜

¦

k

=

1 N

ICFFT ( G ( z ) )

0

¦ §© gIFFTn  gn·¹

2

4.165 u 10

4

quadratischer Fehler

n

n

yn 

xnk ˜ gk

¦

k

Antwort des Systems (Ausgangssignal) mittels Faltung

0



yn  wenn yn  TOL  0  yn



Zu kleine Werte werden auf null gesetzt.

Y ( z) = G ( z) ˜ X ( z)

Eine Multiplikation im z-Bereich korrespondiert mit der Faltung im Zeitbereich.

y ( n) = x ( n) * g ( n)

Antwort des Systems auf sinusf. Erregung

3 2 xn 1 yn yn

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12

13 14

15

16

Abb. 6.51

1 2 3 n

Die Ausgangsfolge ist im eingeschwungenen Zustand wieder sinusförmig mit der gleichen Frequenz wie die Eingangsfolge, jedoch zu dieser phasenverschoben.

Seite 240

Differentialgleichungen

7. Differentialgleichungen 7.1 Allgemeines Zahlreiche Probleme, wie z.B. zeitabhängige Prozesse, werden in den Natur- und Wirtschaftswissenschaften sowie in der Physik und Technik durch Differential- oder Differenzengleichungen beschrieben. Differential- und Differenzengleichungen haben einen engen Zusammenhang. Differenzengleichungen ergeben sich durch Diskretisierung von Differentialgleichungen. Geht man aber von einer diskreten zu einer kontinuierlichen (stetigen) Betrachtungsweise eines Prozesses über, so gehen die beschreibenden Differenzengleichungen in Differentialgleichungen über. Auf Differential- und Differenzengleichungen wird bereits im Kapitel 5 und 6 kurz eingegangen. Differenzengleichungen werden im Kapitel 8 ausführlicher behandelt. Zur Beschreibung eines praktischen Problems wird dabei zuerst fachbezogen ein mathematisches Modell in Form von Differential- oder Differenzengleichungen formuliert. Danach wird mithilfe der mathematischen Theorie eine exakte oder mithilfe der Numerik eine numerische Lösung gesucht. Wie auch bei algebraischen und transzendenten Bestimmungsgleichungen sind auch hier nur Sonderfälle von Differenzen- und Differentialgleichungen exakt lösbar. In den meisten Fällen ist man auf numerische Näherungsmethoden und damit auf den Einsatz von Computern angewiesen. Auf die genaue Darstellung der Theorie und Numerik kann auch in diesem Kapitel nicht eingegangen werden. Wie bereits im Band Einführung in Mathcad dargestellt, stehen neben zahlreichen numerischen auch exakte Lösungsmöglichkeiten von bestimmten Differential- und Differenzengleichungen zur Verfügung. Zusatz-Software, wie Numerical Recipes und Solve and Optimization, erweitern die Lösungsmöglichkeiten in Mathcad auf diesem Gebiet. Darüber hinaus bieten auch Programme, wie z.B. Matlab, Maple und Mathematica, solche Möglichkeiten. Zur numerischen Lösung von Differential- und Differenzengleichungen stehen auch noch viele andere Programmsysteme und Programmbibliotheken, wie z.B. FEMLAB, ANSYS, PLTMG, ODEPACK und DIFFPACK, zur Verfügung. Eine Gleichung, die mindestens einen Differentialquotienten enthält, heißt Differentialgleichung. Unterschieden wird zwischen gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen. Jede stetige Funktion, welche die erforderlichen Ableitungen besitzt und die Differentialgleichung identisch erfüllt, ist eine Lösung oder ein Integral der Differentialgleichung. Der Graph der Lösungsfunktion heißt Lösungskurve oder Integralkurve. Die Menge aller Funktionen, die eine Differentialgleichung erfüllen, heißt allgemeine Lösung oder allgemeines Integral dieser Differentialgleichung. Sind die gesuchten Funktionen nur von einer Variablen x abhängig (y = f(x)), so liegt eine gewöhnliche Differentialgleichung vor. Sind die gesuchten Funktionen dagegen von mehreren Variablen abhängig (u = f(x,y,...)) und kommen die Ableitungen nach diesen Variablen in der Differentialgleichung vor, so spricht man von einer partiellen Differentialgleichung. Bei praktischen Aufgaben sind meistens nicht allgemeine Lösungen sondern spezielle Lösungen, die gewisse Bedingungen erfüllen, gesucht. Demnach unterscheidet man zwischen Anfangs-, Randwert- und Eigenwertaufgaben. Sind dagegen mehrere Differentialgleichungen voneinander abhängig, so nennt man dies ein Differentialgleichungssystem. Systeme treten sowohl bei gewöhnlichen als auch partiellen Differentialgleichungen auf. Integralgleichungen unterscheiden sich zu Differentialgleichungen dadurch, dass in ihren Gleichungen keine Ableitungen und die unbekannten Lösungsfunktionen innerhalb von Integralen vorkommen. Falls zusätzlich auch Ableitungen der Lösungsfunktionen vorkommen, spricht man von Integrodifferentialgleichungen. Auf diese Gleichungen wird hier nur kurz in Form von Beispielen eingegangen. Die höchste auftretende Ableitung in einer Differentialgleichung bestimmt die Ordnung der Differentialgleichung. Wenn in einer Differentialgleichung die gesuchten Funktion y und deren Ableitungen y', y'', ..., y(n) höchstens in erster Potenz auftreten und nicht miteinander multipliziert werden (also alle Ableitungen linear auftreten), so spricht man von einer linearen Differentialgleichung. Ist dies nicht der Fall, so spricht man von einer nichtlinearen Differentialgleichung.

Seite 241

Differentialgleichungen

Gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung in impliziter (7-1) bzw. expliziter (7-2) Form (falls die implizite Form nach der n-ten Ableitung auflösbar ist): ( n)

F ª¬ x  y ( x)  y' ( x)  y'' ( x)  ....  y ( n)

y

( x) º¼ = 0

( n1)

( x) = f ª¬ x  y ( x)  y' ( x)  ....  y

(7-1)

( x) º¼

(7-2)

Beispiel 7.1: 2

y'  3 ˜ x ˜ y = 0 2

y''  p ˜ y = 0

2

bzw.

y' = 3 ˜ x ˜ y

bzw.

y'' = p ˜ y

2

gewöhnliche lineare Differentialgleichung 2. Ordnung (1.Grades)

x

gewöhnliche lineare Differentialgleichung 2. Ordnung (1. Grades)

y''  y'  y = e ( 4)

6

y

gewöhnliche lineare Differentialgleichung 4. Ordnung (1. Grades)

 a ˜ y''  b ˜ y = c ˜ x

2

5

gewöhnliche nichtlineare Differentialgleichung 2. Ordnung (3. Grades)

=0

gewöhnliche nichtlineare Differentialgleichung 1. Ordnung (2. Grades)

y ˜ y' = y'' ˜ x 4

2

y' 

9˜ y

gewöhnliche lineare Differentialgleichung 1. Ordnung (1. Grades)

2

gewöhnliche nichtlineare Differentialgleichung 1. Ordnung (3. Grades)

y ˜ y'  5 = 0

Partielle Differentialgleichung n-ter Ordnung in impliziter (7-3) Form:

§¨ ¨ ©

F x  y  ....  u ( x  y  ....) 

w wx

u

w wy

2

u

2

w

2

wx

u

w

2

wy

u

w w wx wy

·

u  .... = 0

(7-3)

¹

Partielle Differentialgleichungen erster Ordnung können auf gewöhnliche Differentialgleichungssysteme zurückgeführt werden. Auf diese Differentialgleichungen kann hier nicht eingegangen werden. Lösungsmöglichkeiten mit Mathcad finden sich im Buch "Einführung in Mathcad".

Beispiel 7.2: 2

Mit dem in Band 1 bereits formulierten Laplace Operator ' =

2

w

2

wx



2

w

2

wy



w

wz

2

können wir z.B.

folgende partielle Differentialgleichungen formulieren: Potentialgleichung (elliptische Differentialgleichung)

'u = 0

'u 

1 c

'u 

2

1

2

d

˜

dt w

˜

2 c wt

2

w

wt

Wärmeleitungsgleichung (parabolische Differentialgleichung)

u=0

2

'u = a ˜

Wellengleichung (hyperpolische Differentialgleichung)

u=0

2

u  b˜

w wt

u  c˜u

Telegraphengleichung

Seite 242

Differentialgleichungen

Lösungsmethoden: a) Exakte Lösungsmethoden: Exakte Lösungsmethoden sind nur für spezielle Klassen von Differentialgleichungen bekannt. Sie beruhen auf folgenden allgemeinen Methoden und sind sowohl für gewöhnliche als auch partielle Differentialgleichungen anwendbar: 1) Ansatzmethode: Es werden elementare mathematische Funktionen vorgegeben und mit frei wählbaren Parametern so gewählt, dass sie Lösungsfunktionen der Differentialgleichung sind. Dazu gehört z.B. auch der Potenzreihenansatz für Lösungsfunktionen (Potenzreihenlösungen). 2) Transformationsmethode (Reduktionsmethode): Dazu gehört die Reduktion der Ordnung einer Differentialgleichung oder die Zurückführung partieller auf gewöhnliche Differentialgleichungen bzw. gewöhnlicher Differentialgleichung auf algebraische oder transzendente Gleichungen. Dies erreicht man z.B. durch Anwendung von Integraltransformationen wie Fourier- und Laplacetransformation (siehe dazu Kapitel 4 und 5). 3) Superpositionsmethode: Aus einer Reihe berechneter unabhängiger Lösungen für eine Differentialgleichung wird durch Linearkombination die allgemeine Lösung so konstruiert, dass gewisse Anfangs- und Randbedingungen erfüllt sind. 4) Greensche Methode: Sie ist bei Randwertaufgaben gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen von Bedeutung. 5) Integralgleichungsmethode: Eine gewöhnliche oder partielle Differentialgleichung wird in eine äquivalente Integralgleichung übergeführt. 6) Variationsmethode: Eine gewöhnliche oder partielle Differentialgleichung wird in eine äquivalente Variationsgleichung bzw. in eine Aufgabe der Variationsrechnung übergeführt. Man denke dabei an Extremalprinzipien der Physik wie z.B. das Hamilton'sche oder Fermat'sches Prinzip. Aus der Vielzahl der bekannten exakten Lösungsmethoden für bestimmte Sonderfälle (bestimmte Klassen) von Differentialgleichungen werden nachfolgend nur einige wichtige näher behandelt. Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen: In diesem Kapitel betrachten wir nur sogenannte klassische Lösungen von Differentialgleichungen. Stetige Lösungsfunktionen y(x) für gewöhnliche Differentialgleichungen n-ter Ordnung sollen auf dem Lösungsinterval [a, b] bis zur Ordnung n stetig differenzierbar sein (Lösungsraum ist der Raum der n-mal stetig differenzierbaren Funktionen) und die Differentialgleichung identisch erfüllen. Stetige Lösungsfunktionen u(x,y,...) für partiellen Differentialgleichungen m-ter Ordnung sollen auf dem betrachteten Lösungsgebiet G stetige partielle Ableitungen bis zur Ordnung m besitzen und die Differentialgleichung identisch erfüllen. Nach modernen Theorien wird dieser Lösungsbegriff oft abgeschwächt, wenn keine klassischen Lösungen existieren. Man spricht in diesem Zusammenhang dann von schwachen oder verallgemeinerten Lösungen, die auch bei praktischen angewandten Aufgaben Anwendung finden. Anwendern in Natur- und Wirtschaftswissenschaften sowie in der Physik und Technik interessieren die Existenz und Eindeutigkeit bei Differentialgleichungen nur bedingt, weil sie meist bei den zu untersuchenden Problemen vom betrachteten Modell in Form einer Differentialgleichung eine Lösung erwarten.

Seite 243

Differentialgleichungen

b) Numerische Lösungsmethoden: Wie bereits vorher angeführt, ist man bei vielen praktischen Aufgaben auf numerische Lösungsmethoden angewiesen, weil nur spezielle Sonderfälle von Differentialgleichungen exakt gelöst werden können. Für numerische Berechnungen von gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen lassen sich z.B. folgende Methoden angeben: 1) Diskretisierungsmethoden: Die zu lösende Differentialgleichung wird im Lösungsintervall [a, b] bzw. Lösungsgebiet G in nur endlich vielen Werten einiger oder aller unabhängigen Variablen betrachtet, die als Gitterpunkte und deren Abstände als Schrittweiten bezeichnet werden. Es können dafür als Hauptvertreter Differenzenmethoden angeführt werden, bei denen z.B. in einer Differentialgleichung auftretende Differentialquotienten der Lösungsfunktion im Lösungsgebiet durch Differenzenquotienten angenähert werden. Differentialgleichungen werden hier also durch Differenzengleichungen angenähert. Wird das Lösungsgebiet G einer partiellen Differentialgleichung nicht bezüglich aller Variablen diskretisiert, so nennt man diese Methoden Semidiskretisierungs- oder Halbdiskretisierungsmethoden. Es gibt eine Reihe von Einschritte- und Mehrschrittemethoden. Zu den klassischen expliziten Einschrittemethoden zählen die Euler-Cauchy-Methode (Polygonzugmethode) und Runge-Kutta-Methode. Diese Methoden lassen sich auch als implizite Einschrittemethoden formulieren. Einige bekannte Mehrschrittmethoden sind z.B. Nyström-, Milne-, Adams-, Simpson- BDF (backward differentiation formulas)- und NDF (numerical differentiation formulas )-Methoden. Eine Reihe genannter Ein- und Mehrschrittemethoden liefern nicht für alle Differentialgleichungen zufriedenstellende Ergebnisse. Sie versagen z.B. für sogenannte steife Differentialgleichungen, die zur Beschreibung von Modellen in der Regelungstechnik, elektrischen Netzwerktechnik als auch chemischer und biologischer Reaktionen dienen. Es kann gezeigt werden, dass zur Lösung steifer Differentialgleichungen geeignete numerische Methoden implizit sein müssen, wie z.B. die oben genannten BDF- und NDF-Methoden. NDF-Methoden sind modifizierte BDF-Methoden. Einer Differentialgleichung ist nicht immer anzusehen, ob sie steif ist oder nicht. So können z.B. für den Anwender zur Beurteilung folgende charakteristische Merkmale herangezogen werden: a) Die allgemeine Lösung steifer Differentialgleichungen setzt sich als Lösungsfunktionen mit stark unterschiedlichen Wachstumsverhalten zusammen. b) Es gibt sowohl langsam veränderliche als auch schnell veränderliche Lösungsfunktionen, wobei mindestens eine schnell fallende auftritt. Bei der in Mathcad vordefinierten Funktionen sollten bei jeder zu lösenden Differentialgleichung zum Vergleich auch die vordefinierten Lösungsfunktionen für steife Differentialgleichungen herangezogen werden. Um eine Konvergenzbeschleunigung herbeizuführen, werden auch sogenannte Extrapolationsmethoden zur numerischen Lösung einer Differentialgleichung herangezogen. 2) Projektions- oder Ansatzmethoden: Es werden Näherungen (Ansatz oder Basisfunktionen) für Lösungsfunktionen durch eine endliche Linearkombination frei wählbarer Parameter (Koeffizienten) und vorgegebener Funktionen konstruiert. Als Näherung für die Lösungsfunktionen liefern diese Methoden einen analytischen Ausdruck, im Gegensatz zu Diskretisierungsmethoden, die nur Funktionswerte in endlich vielen vorgegebenen Gitterpunkten liefert. Zu diesen Methoden gehören Kollokations- und Variationsmethoden (Ritz- Galerkin- und Finite-Elemente). 3) Schießmethoden: Differenzenverfahren und Variationsmethoden zur Lösung von Randwertproblemen für gewöhnliche Differentialgleichungen Die numerische Lösung von Randwertaufgaben wird auf die numerische Lösung einer Folge von Anfangswertaufgaben zurückgeführt. Näherungsverfahren (numerische Methoden) können nur Anfangs- bzw. Randwertprobleme lösen und keine allgemeinen Lösungen von Differentialgleichungen bestimmen. Es existiert eine sehr große Anzahl solcher Näherungsverfahren. Deshalb werden nachfolgend auch nur gewisse Standardmethoden kurz besprochen, die auch in Mathcad zur Anwendung kommen. Bei numerischen Methoden ist aufgrund ihrer Fehlerproblematik (Rundungsfehler, Diskretisierungsfehler, Fehlerordnung und Konvergenzfragen) zu beachten, dass sie nicht immer akzeptable Näherungswerte liefern müssen ! Berechnete Ergebnisse in Programmsystemen wie z.B. in Mathcad müssen daher kritisch betrachtet werden! Ein Vergleich von Berechnungen unterschiedlicher Näherungsverfahren ist daher oft nützlich und notwendig!

Seite 244

Differentialgleichungen

7.2 Die gewöhnliche Differentialgleichung Eine gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung für eine skalare Funktion y(x) bzw. y(t) hat nach (7-1) die implizite Form: ( n 1)

F ª¬ x  y ( x)  y' ( x)  y'' ( x)  ....  y

( n 1)

F ª¬ t  y ( t)  y' ( t )  y'' ( t )  ....  y

( n)

( x) º¼ = 0 bzw.

( n)

( t) º¼ = 0 .

( x)  y

˜ ( t)  y

(7-4)

Wenn sich die implizite Form nach der höchsten Ableitung auflösen lässt, so erhält man aus der impliziten die explizite Form: ( n)

( x) = f ª¬ x  y ( x)  y' ( x)  ....  y

( n)

( t) = f ª¬ t  y ( t)  y' ( t)  ....  y

y y

( n1)

( n1)

( x) º¼ bzw.

(7-5)

( t) º¼ .

Der Parameter x bzw. t kann auf ein Intervall eingeschränkt werden. Tritt der Parameter x bzw. t nicht explizit als Argument von f auf, so spricht man auch von einer autonomen Differentialgleichung. Die allgemeine Lösung y einer Differentialgleichung n-ter Ordnung, besitzt im Allgemeinen n freie Parameter (Integrationskonstanten), die durch sogenannte Anfangsbedingungen festgelegt werden können. Die Integrationskonstanten werden bei physikalischen oder technischen Problemen im Allgemeinen durch bekannte Funktionswerte und Ableitungen zu Beginn eines Vorganges bestimmt. Nachfolgend werden gewisse Sonderfälle der gewöhnlichen Differentialgleichung besprochen. Zur Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen stehen in Mathcad folgende Numerikfunktionen zur Verfügung (siehe dazu auch Band Einführung in Mathcad): a) Für gewöhnliche Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit Anfangsbedingungen oder für ein Differentialgleichungssystem: Dazu werden verschiedene Funktionen bereitgestellt. Allerdings muss zuerst eine Differentialgleichung n-ter Ordnung y(n) = f(x,y,...,y(n-1)) und auch die Anfangswerte in ein System 1. Ordnung umgeschrieben werden: Y0 = y ; Y '0 = Y 1 (= y ' ) ; Y '1 = Y 2 (= y'' ) ; Y '2 = Y 3 (= y''' ) ; ... ; Y 'n-1 = f(x, Y 0 , Y1 , ..., Yn-1) (= y(n) ). Die Anfangswerte y(xa ), y '(xa ), ..., y(n-1)(x a ) müssen in Form eines Vektors aw geschrieben werden. Außerdem ist eine Vektorfunktion D(x,Y) zu definieren, die die rechte Seite des Differentialgleichungssystem als Komponenten enthält. Y ist ein Vektor mit unbekannten Funktionswerten.

ª y  xa º « » « y'  xa » aw := « » « ....... » « ( n1) x »  a ¼ ¬y

Y1 §¨ · ¨ ¸ ..... und D ( x  Y) := ¨ ¸ Yn 1 ¨ ¸ ¨ f  x  Y0  Y1  ....  Yn1 © ¹

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(7-6)

Differentialgleichungen

Runge-Kutta-Methode vierter Ordnung mit fester Schrittweite:





Z := rkfest aw  xa  xe  N  D

(7-7)

Runge-Kutta-Methode vierter Ordnung mit ungleichmäßiger Schrittweite (gibt die Lösung jedoch an Punkten mit gleichem Abstand zurück):





(7-8)



(7-9)

Z : = Rkadapt aw  xa  xe  N  D Bulirsch-Stoer-Verfahren:



Z : = Bulstoer aw  xa  xe  N  D

Differentialgleichungslöser für steife Systeme: Ein Differentialgleichungssystem der Form y' = A . y + h heißt steif, wenn die Matrix A fast singulär ist. Unter diesen Bedingungen kann eine von rkfest bestimmte Lösung oszillieren oder instabil sein. Implizites Runge-Kutta-Radau 5-Verfahren:





Z : = Radau aw  xa  xe  N  D

(7-10)

Bulirsch-Stoer-Verfahren:





(7-11)



(7-12)

Z : = Stiffb aw  xa  xe  N  D  J Rosenbrock Verfahren:



Z : = Stiffr aw  xa  xe  N  D  J

Stiffb und Stiffr benötigen gegenüber den anderen Funktionen noch ein zusätzliches Argument J. J bedeutet die Jacobi-Matrix (n . (n+1) Matrix) mit den partiellen Ableitungen von D.

§w ¨ D1 ¨ wx ¨ .... J:= ¨ ¨w ¨ wxDn ©

w wy0

D1 ....

.... w wy0

w wyn 1

....

Dn ....

D1

.... w wyn 1

Dn

· ¸ ¸ ¸ ¸

(7-13)

¹

Funktionsargumente: aw muss ein Vektor aus n Anfangswerten oder einem einzelnen Anfangswert sein. xa , xe sind Endpunkte des Intervalls, an dem die Lösung für Differentialgleichungen ausgewertet wird. Anfangswerte in Y sind die Werte bei x a . N ist die Anzahl der Punkte hinter dem Anfangspunkt, an denen die Lösung angenähert werden soll. Hiermit wird die Anzahl der Zeilen (1 + N) in der Matrix bestimmt, die von den Funktionen zurückgegeben wird. Z ist eine Matrix von der Größe (N+1) x (n+1). Die erste Spalte enthält die x-Werte (oder Zeitpunkte für x = t) x = xa , xa +'x ... x e mit der Schrittweite 'x = (x e - xa ) / N, die zweite Spalte die gesuchte Lösung y zu den entsprechenden x-Werten, die 3. Spalte die erste Ableitung y' und die Spalte n die (n-1)-te Ableitung y (n-1).

Seite 246

Differentialgleichungen

Differentialgleichungslöser zum Auswerten des Endwertes: Wenn man sich nur für den Wert der Lösungsfunktion am Endpunkt x e des Lösungsintervalls interessiert, und nicht der Wert über eine Anzahl von x-Werten in regelmäßigen Abständen im Integrations intervall [x a ,xe ], so können die folgenden Funktionen verwendet werden: Z : = bulstoer aw  xa  xe  Genau  D  kmax  Abstand (7-14)

 Z : = rkadapt  aw  xa  xe  Genau  D  kmax  Abstand Z : = radau  aw  xa  xe  Genau  D  kmax  Abstand Z : = stiffb  aw  xa  xe  Genau  D  J  kmax  Abstand Z : = stiffr  aw  xa  xe  Genau  D  J  kmax  Abstand

(7-15) (7-16) (7-17) (7-18)

Diese Funktionen werden klein geschrieben und haben die gleichen Eigenschaften wie die schon oben angeführten Funktionen. Sie haben aber einige zusätzliche Argumente: "Genau" bestimmt die Genauigkeit der Lösung (ein Wert um 0.001 liefert gewöhnlich gute Lösungen). "kmax" gibt die maximale Anzahl von Zwischenpunkten an. "Abstand" legt den kleinsten zulässigen Abstand zwischen den Werten fest. b) Numerische Auswertungsmöglichkeiten von Randwertproblemen: Bei vielen Anwendungsfällen kann aber davon ausgegangen werden, dass die Werte der Lösung an den Randpunkten bekannt sind. Kennt man zwar einige aber nicht alle Werte der Lösung und ihrer ersten (n-1)-Ableitungen am Anfang x a bzw. am Ende x e des Integrationsintervalls, so müssen die fehlenden Anfangswerte bestimmt werden. Dazu stellt Mathcad die Funktionen "sgrw" bzw. "grwanp" bereit. Sind die fehlenden Anfangswerte an der Stelle x a bestimmt, so kann ein Randwert problem als Anfangswertproblem mithilfe der Funktionen "sgrw" bzw. "grwanp" und der oben angeführten Funktionen gelöst werden: S := sgrw v  xa  xe  D  lad  abst (7-19)





Funktionsargumente: xa , xe und D(x,Y) sind die bereits oben angeführten Argumente. v ist ein Vektor mit Schätzwerten für die in x a nicht angegebenen Größen. lad(xa ,v) ist eine vektorwertige Funktion, deren n Elemente mit den n unbekannten Funktionen in xa korrespondieren. Einige dieser Werte werden Konstanten sein, die durch die Anfangsbedingungen bestimmt sind, andere werden unbekannt sein, aber von "sgrw" gefunden werden. abst(xa ,Y) ist eine vektorwertige Funktion mit genausoviel Elementen wie v. Jedes Element bildet die Differenz zwischen der Anfangsbedingung an der Stelle x e und dem zugehörigen Erwartungswert der Lösung. Der Vektor "abst" misst, wie genau die angebotene Lösung die Anfangs bedingungen an der Stelle x e trifft. Eine Übereinstimmung wird mit einer Null in jedem Element angezeigt. S ist das von "sgrw" gelieferte Vektorergebnis mit den in x a nicht spezifizierten Werten. Mit den in S gelieferten Anfangswerten kann dann mit den oben angeführten Funktionen das Anfangswertproblem gelöst werden. Falls zwischen x a und xe die Ableitung eine Unstetigkeitsstelle x s aufweist, sollte anstatt der Funktion sgrw die Funktion "grwanp" eingesetzt werden: S := grwanp v1  v2  xa  xe  xs  D  lad1  lad2  abst (7-20)





Zusätzliche Funktions Argumente: v1 ist ein Vektor mit Schätzwerten für die in x a nicht angegebenen Größen, v 2 für die Größen in x e . xs ist eine Unstetigkeitsstelle zwischen x a und xe . lad1(xe ,v1 ) ist eine vektorwertige Funktion, deren n Elemente mit den n unbekannten Funktionen in xa korrespondieren. Einige dieser Werte werden Konstanten sein, die durch die Anfangsbedingungen bestimmt sind. Falls ein Wert unbekannt ist, soll der entsprechende Schätzwert von v1 verwendet werden.

Seite 247

Differentialgleichungen

lad2(x e ,v2 ) entspricht der Funktion lad1, allerdings für die von den n unbekannten Funktionen bei x e angenommenen Werte. abst(xs ,Y) ist eine n-elementige vektorwertige Funktion, die angibt, wie die Lösungen bei x s übereinstimmen müssen. S ist das von "grwanp" gelieferte Vektorergebnis mit den in x a nicht spezifizierten Werten. Mit den in S gelieferten Anfangswerten kann dann mit den oben angeführten Funktionen Anfangswertproblem gelöst werden. c) Numerische Auswertungsmöglichkeiten von Anfangs- und Randwertproblemen: Mit der Funktion Gdglösen können beliebige Differentialgleichungen und Differentialgleichungssysteme n-ter Ordnung, abhängig von Anfangs- oder Randbedingungen, mithilfe eines Lösungsblocks numerisch gelöst werden. Voraussetzung ist, dass der Ableitungsterm der höchsten Ableitung linear ist (die Terme mit Ableitungen niedriger Ordnung können auch nichtlinear sein) und die Anzahl der Bedingungen gleich der Ordnung der Differentialgleichung ist. Ein solcher Lösungsblock kann z.B. folgendes Aussehen haben: Vorgabe

(7-21)

2

d

y ( x)  y ( x) = 0 oder in Primnotation: y'' ( x)  y ( x) = 0 (Primsymbol mit <Strg> + ) 2 dx Anfangswertproblem: y ( 0) = 5 y' ( 0) = 5 Oder Randwertproblem: y ( 0) = 1

Ableitung immer in Primnotation !

y ( 2) = 3





y:= Gdglösen x  xb  Schritte

Gibt eine Funktion y(x) numerisch zurück !

Vorgabe

(7-22)

2

d

2

2

u ( t) = 3 ˜ v( t)

dx Anfangswertproblem: u ( 0) = 1.2

u' ( 0) = 1.2

d

2

2

u ( t) = 2 ˜

d

dx

dt

v ( 0) = 1

2

v( t)  4 ˜ u ( t)

v' ( 0) = 1

Ableitung immer in Primnotation !

§f · ª§ u · º ¨ := Gdglösen «¨  tb  Schritte» Gibt einen Vektor mit Funktionen f(t) und g(t) numerisch zurück ! ©g ¹ ¬© v ¹ ¼ Funktionsargumente: x ist die reelle Integrationsvariable bzw. ein Vektor mit den gesuchten Funktionen. xb bzw. tb ist der reelle Wert des Endpunktes des Integrationsintervalls. Schritte ist ein optionaler ganzzahliger Parameter für die Anzahl der zu berechnenden Punkte. Fehlt dieser, so verwendet Mathcad eine interne Schrittweite. Standardmäßig verwendet Gdglösen für die Lösung ein Runge Kutta-Verfahren mit fester Schrittweite. Klickt man mit der rechten Maustaste auf den Namen Gdglösen, so kann bei Anfangswertaufgaben im Kontextmenü zwischen fester oder adaptiver Schrittweite bzw. für steife Differentialgleichungen gewählt werden. Die oben angeführten Funktionen erlauben keine Einheiten in den Argumenten !

Seite 248

Differentialgleichungen

7.2.1 Die gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung Die einfachste Form gewöhnlicher Differentialgleichungen ist die Differentialgleichung erster Ordnung. Neben der gesuchten Lösungsfunktion y(x) bzw. y(t) tritt nur noch ihre erste Ableitung y'(x) bzw. y'(t) auf. Die gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung lautet in impliziter Form: F ( x  y ( x)  y' ( x) ) = 0 bzw. F ( t  y ( t)  y' ( t) ) = 0 (7-23) Wenn sich die implizite Form nach der ersten Ableitung auflösen lässt, erhält man die explizite Form: y' ( x) = f ( x  y ( x) ) bzw. y' ( t ) = f ( t  y ( t) ) (7-24) Eine stetige Funktion y(x) bzw. y(t) heißt Lösungsfunktion (Lösung) einer Differentialgleichung erster Ordnung, wenn sie eine stetige Ableitung besitzt und die Differentialgleichung identisch erfüllt. Methoden zur Berechnung exakter Lösungen existieren bei Differentialgleichungen erster Ordnung nur für bestimmte Sonderfälle! Nachfolgend werden dazu einige Methoden betrachtet. Geometrische Deutung der Differentialgleichung erster Ordnung: Betrachtet man in y'(x) = f(x,y) x und y als unabhängige Variable und setzt in die Differentialgleichung die Koordinaten eines Punktes P 1 (x 1 |y1 ) ein, so erhält man die Steigung in diesem Punkt: y' 1 = f(x1 ,y1 ) = tan(D) = k1

(7-25)

Das Wertetripel (x 1 , y1 ,y' 1) heißt Linienelement im Punkt P1 und kann durch ein kurzes Tangentenstück in diesem Punkt veranschaulicht werden. Die Menge aller Linienelemente nennt man das Richtungsfeld der gegebenen Differentialgleichung. Lösungen der Differentialgleichung sind dann diejenigen Kurven (Integralkurven), die in das gezeichnete Richtungsfeld hineinpassen. Anfangswertaufgaben: Die allgemeine Lösung y = f(x,C) einer Differentialgleichung erster Ordnung hängt noch von einer frei wählbaren Integrationskonstante C  ab. Gibt man eine Anfangsbedingung y(x 0 ) = y0 vor, so ist eine eindeutige Lösungsfunktion y(x) bestimmt. Solche Aufgaben, die in der Praxis häufig auftreten, nennt man Anfangswertaufgaben. Häufig ist die Anfangsbedingung für den Anfangspunkt xa des Lösungsintervalls [x a , xe ] gegeben (x 0 = xa ). Näherungsverfahren nach Euler (Streckenzugverfahren): Das Anfangswertproblem y' = f(x,y) mit dem Anfangswert: y 0 = y(x0 ) soll im Intervall [xa ,xe ] näherungsweise nach Euler gelöst werden: xe  xa Man teilt das Intervall in n gleiche Teile der Länge 'x = h = und setzt mit k = 1, 2, ..., n n x0 = xa ; xk = xa  k ˜ h ; y1 = y0  h ˜ f x0  y0 ; y2 = y1  h ˜ f x1  y1 usw., d.h. allgemein





yk = yk1  h ˜ f xk1  yk 1









(7-26)

Die Lösungskurve wird durch einen Polygonzug mit den Punkten P(x k ,yk ) approximiert. Umgeformt bedeutet dies die Darstellung der Differentialgleichung 1. Ordnung als Differenzengleichung (siehe dazu auch Kapitel 8): 'y 'x

=

yk  yk1 'x



= f xk 1  yk1



(7-27)

Seite 249

Differentialgleichungen

Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung: Das Anfangswertproblem y' = f(x,y) mit dem Anfangswert: y 0 = y(x0 ) soll im Intervall [xa ,xe ] näherungsweise nach Runge-Kutta gelöst werden. Wie beim Verfahren von Euler wird die Lösungskurve der Differentialgleichung y ' = f(x,y) durch einen Streckenzug approximiert. Anders als beim Verfahren nach Euler wird hier für die Steigung der einzelnen Strecken des Streckenzuges ein mittlerer Wert m angesetzt, wobei das Steigungsverhalten der Lösungskurve in den beiden Randpunkten und in der Intervallmitte berücksichtigt wird, allerdings mit unterschiedlicher Gewichtung. Für y ' = f(x) ist das Verfahren identisch mit der Integration nach Simpson. Man teilt das Intervall in n gleiche Teile der Länge 'x = h =

xe  xa

und setzt mit k = 1, 2, ..., n n x0 = xa ; xk = xa  k ˜ h und berechnet vier Streckenzüge verschiedener Steigungen k 1 ( f  x  y  h) = f ( x  y)

 k 3 ( f  x  y  h) = f  x  .5 ˜ h  y  .5 ˜ h ˜ k 2 ( f  x  y  h) k 4 ( f  x  y  h) = f  x  h  y  h ˜ k 3 ( f  x  y  h) k 2 ( f  x  y  h) = f x  .5 ˜ h  y  .5 ˜ h ˜ k 1 ( f  x  y  h)

und daraus die mittlere Steigung rk ( f  x  y  h) =

h 6



˜ k 1 ( f  x  y  h)  2 ˜ k 2 ( f  x  y  h)  2 ˜ k 3 ( f  x  y  h)  k 4 ( f  x  y  h)



Schließlich erhält man allgemein die zugehörigen y-Werte aus





yk = yk1  rk f  xk1  yk 1  h

(7-28)

Siehe dazu auch das Unterprogramm im Band Einführung in Mathcad Kapitel 18 Beispiel 18.17.

Beispiel 7.3: Für die gegebene Differentialgleichung soll das Richtungsfeld im Intervall [x a , xe ] = [xmin, xmax] und die exakte Lösung durch den Punkt x 0 = xa = xmin im Richtungsfeld dargestellt werden. Die Lösung soll auch mit dem Euler-Verfahren und Runge-Kutta-Verfahren angenähert werden. d dx

y ( x) =

f ( x  y) 

4 S 4 S

§ 2 ˜ x· © S ¹

gegebene Differentialgleichung erster Ordnung

§ 2 ˜ x· © S ¹

Term auf der rechten Seite der Differentialgleichung

˜ cos ¨

˜ cos ¨

y ( x)  2 ˜ sin ¨

§ 2 ˜ x· © S ¹

exakte Lösung durch den Punkt P(0|0)

n1  20

m1  20

Anzahl der Schritte-1 in x- und y-Richtung

xmin  0

xmax  10

Randpunkte der x-Werte

ymin  3

ymax  3

Randpunkte der y-Werte

Seite 250

Differentialgleichungen

i  0  n1

xi  xmin  i ˜

xmax  xmin

yk  ymin  k ˜ Xi  k  1

Bereichsvariablen

k  0  m1

Vektor der x-Werte

n1 ymax  ymin

Vektor der y-Werte

m1



Yi  k  f xi  yk



Werte werden in Matrizen zusammengefasst (Steigungsdreieck)

Richtungsfeld (Vektorfelddiagramm)

Abb. 7.1

( X  Y)

Fi  k 

 1  f  xi  yk ˜ j

1  f xi  yk ˜ j

komplexe Berechnung (siehe Abschnitt 15.1 Band 1 Einführung in Mathcad)

Richtungsfeld (Vektorfelddiagramm)

Abb. 7.2

F

Seite 251

Differentialgleichungen

Das nachfolgende Unterprogramm kann zur Berechnung des Richtungsfeldes verwendet werden: f : Name des Funktionsterms (y ' = f(x,y)) xmin und xmax : kleinster und größter x-Wert n1, m1: Anzahl der Schritte-1 in x- und y-Richtung x, y: Vektoren der x- und y-Werte ORIGIN 0





Richtungsfeld f  xmin  xmax  nx  ny  x  y 

nm0 for i  0  nx for j  0  ny for l  0  40

xmax  xmin ˜ ( l  20)

x1 n m

y1n m

 xi

f  xi  y j ˜  xmax  xmin ˜ ( l  20 ) 80 ˜ nx ˜



2

1  f xi  y j

80 ˜ nx ˜



1  f xi  y j



2

 yj

nmn1

§ x1 · ¨ © y1 ¹





X  Richtungsfeld f  xmin  xmax  n1  m1  x  y

Das Unterprogramm liefert eine Matrix mit Matrizen.

x0  xmin

Anfangsbedingung (x0 und y0 sind Vektorkomponenten)

y0  0

n

20 n

h

Kontextmenü mit rechter Maustaste: Mathsoft Slider Control-Objekt Eigenschaften z.B. Minimum 20, Maximum 200

Anzahl der Schritte für das Euler- und Runge-Kutta-Verfahren

20 xmax  xmin n

h

0.5

Schrittweite

k  1  n

Bereichsvariable

xk  xmin  k ˜ h

Vektor der x-Werte



yk  yk 1  h ˜ f xk 1  yk1 x1 0  xmin

y10  0

x1 k  xmin  k ˜ h



Vektor der y-Werte (Euler-Verfahren; Iteration) Anfangsbedingung (x1 0 und y10 sind Vektorkomponenten) Vektor der x-Werte

Seite 252

Differentialgleichungen

k 1 ( f  x1  y1  h)  f ( x1  y1)









k 2 ( f  x1  y1  h)  f x1  .5 ˜ h  y1  .5 ˜ h ˜ k 1 ( f  x1  y1  h) k 3 ( f  x1  y1  h)  f x1  .5 ˜ h  y1  .5 ˜ h ˜ k 2 ( f  x1  y1  h)



k 4 ( f  x1  y1  h)  f x1  h  y1  h ˜ k 3 ( f  x1  y1  h)

Streckenzüge verschiedener Steigungen



mittlere Steigung: rk ( f  x1  y1  h)  y1k 

h 6



˜ k 1 ( f  x1  y1  h)  2 ˜ k 2 ( f  x1  y1  h)  2 ˜ k 3 ( f  x1  y1  h)  k 4 ( f  x1  y1  h)

y1k1  rk f  x1k1  y1k1  h

x  xmin  xmin 

xmax  xmin 20 ˜ n1



Vektor der y-Werte (Runge-Kutta-Verfahren; Iteration)

Bereichsvariable für die exakte Lösung

 xmax

Abb. 7.3 Spur 1: Format Punkte ; Spur2: Format Punkte Bei großen Schrittweiten h ist das Euler-Verfahren (Streckenzugverfahren) sehr ungenau. Wesentlich besser konvergiert das Verfahren von Runge und Kutta.

Seite 253

Differentialgleichungen

7.2.1.1 Separable Differentialgleichungen 1. Ordnung Lässt sich eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung auf die Form y' = f ( x  y) = g ( x) ˜ h ( y)

(7-29)

bringen, so kann die Differentialgleichung durch Trennung bzw. Separation der Variablen gelöst werden: 1. Trennung der beiden Variablen: d dx

y = g ( x) ˜ h ( x) Ÿ

dy h ( y)

= g ( x) ˜ dx

(7-30)

2. Integration auf beiden Seiten (Bestimmung der Stammfunktionen) der Gleichung (7-30): ´ µ µ µ ¶

1 h ( y)

dy =

´ µ µ ¶

g ( x) dx  C Ÿ H ( y) = G ( x)  C

(7-31)

3. Auflösung der impliziten Gleichung (7-31) vorliegenden allgemeinen Lösung nach der Variablen y (falls überhaupt möglich). 4. Bestimmung der Integrationskonstanten aus der Anfangsbedingung y(x 0 ) = y0 (falls gegeben).

Beispiel 7.4: Bestimmen Sie die Lösung der nachfolgend gegebenen linearen Differentialgleichung 1.Ordnung mit der Anfangsbedingung y(0) = 1 und stellen Sie die Lösung im zugehörigen Richtungsfeld dar: d dx

dy y ´ µ µ µ ¶

gegebene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung

y=y

Trennung der Variablen

= dx

1 y

dy =

´ µ µ ¶

Integration auf beiden Seiten

1 dx

oder

ln ( y)  C1 = x  C2

oder

ln ( y) = x  C

ln ( y) = x  ln ( C)

Implizite Gleichung explizit nach y auflösen: ln ( y) = x  C3

Ÿ

x C 3

y=e

C3

=e

x

x

˜ e = C˜ e

Lösungen der Differentialgleichung

oder:

 x  ln (C) = ln C ˜ ex

ln ( y) = x  ln ( C) = ln e

Seite 254

Ÿ

x

y = C˜ e

Differentialgleichungen

Bestimmung einer Lösung mithilfe der Anfangsbedingung: 0

y ( 0) = C ˜ e = 1

Ÿ

C=1

x

y=e

gesuchte Lösung

f ( x  y)  y

Term auf der rechten Seite der Differentialgleichung

x

exakte Lösung durch den Punkt P(0|1)

y ( x)  e n1  20

m1  20

Anzahl der Schritte-1 in x- und y-Richtung

xmin  3

xmax  4

Randpunkte der x-Werte

ymin  3

ymax  3

Randpunkte der y-Werte

i  0  n1

k  0  m1

Bereichsvariablen

xi  xmin  i ˜

xmax  xmin

yk  ymin  k ˜

Vektor der x-Werte

n1 ymax  ymin

Vektor der y-Werte

m1





X  Richtungsfeld f  xmin  xmax  n1  m1  x  y

Liefert eine Matrix mit Matrizen.

x0  0

Anfangsbedingung (x0 und y0 sind Vektorkomponenten)

x  xmin  xmin 

y0  1 xmax  xmin

 xmax

Bereichsvariable für die exakte Lösung

Abb. 7.4

Spur 1: Format Punkte; Spur2: Format Punkte

Seite 255

Differentialgleichungen

Beispiel 7.5: Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der nachfolgend gegebenen nichtlinearen Differentialgleichung 1. Ordnung und 2. Grades. Stellen Sie die Lösung für C = 0, C = 4 und C = 8 im zugehörigen Richtungsfeld dar. y˜

d dx

gegebene nichtlineare Differentialgleichung 1. Ordnung 2. Grades

y2=0

Trennung der Variablen

y ˜ dy = 2 ˜ dx ´ µ µ ¶

´ µ y dy =  µ ¶

Integration auf beiden Seiten

2 dx

2

y

2

2

bzw.

= 2 ˜ x  C1

y = 4 ˜ x  2 ˜ C1

oder mit C = 2 C1

2

y = 4 ˜ x  C

Implizite Gleichung explizit nach y auflösen: y=

und

4 ˜ x  C

f ( x  y) 

y =  4 ˜ x  C

2

Term auf der rechten Seite der Differentialgleichung (Singularität bei y = 0)

y

Bereichsvariable

C  0  4  8 y ( x  C) 

exakte Lösung durch den Punkt P(0|1)

4 ˜ x  C

n1  20

m1  20

Anzahl der Schritte-1 in x- und y-Richtung

xmin  5

xmax  2

Randpunkte der x-Werte

ymin  4

ymax  4

Randpunkte der y-Werte

i  0  n1

k  0  m1

Bereichsvariablen

xi  xmin  i ˜

xmax  xmin

yk  ymin  k ˜

Vektor der x-Werte

n1 ymax  ymin

Vektor der y-Werte

m1



yk  wenn yk = 0  0.01  yk



Werte mit y = 0 werden durch einen Wert ungleich null ersetzt.





X  Richtungsfeld f  xmin  xmax  n1  m1  x  y

x  xmin  xmin 

xmax  xmin 20 ˜ n1

 xmax

Liefert eine Matrix mit Matrizen.

Bereichsvariable für die exakte Lösung

Seite 256

Differentialgleichungen

Abb. 7.5

Spur 1: Format Punkte; Spur2: Format Punkte; Spur3: Format Punkte

7.2.1.2 Gleichgradige oder homogene Differentialgleichungen 1. Ordnung Liegt eine gleichgradige (homogene) Differentialgleichung der Form

§ y· © x¹

y' = f ¨

(7-32)

vor, oder kann sie auf diese Form gebracht werden, so kann diese Differentialgleichung durch Substitution u=

y

(7-33)

x

mit y = u x und y' = u ' x + u auf die separierbare Form u' ˜ x  u = f ( u)

(7-34)

für die Funktion u(x) gebracht werden, die dann durch Trennung der Variablen (Abschnitt 7.2.1.1) gelöst werden kann.

Beispiel 7.6: Lösen Sie folgendes Anfangswertproblem mit y(1) = 2: 2

y' =

2

y x y˜ x

gegebene Differentialgleichung (x z0 und y z0)

Durch Division der rechten Seite durch x 2 erhalten wir folgende gleichgradige Differentialgleichung: 2

y

2

y' =

1

x

y x

Seite 257

Differentialgleichungen

Mit der Substitution u = y/x, also y = u x, erhalten wir mit y' = u' x + u die separable Differentialgleichung: 2

u' ˜ x  u =

u 1 u

bzw.

§ u2  1 · 1 1 u' = ˜ ¨ u = ˜ x © u ¹ x u 1

Durch Trennung der Variablen ergibt sich: u ˜ du =

1 x

˜ dx

Nach beidseitiger Integration folgt dann: ´ µ u du = µ µ ¶

´ µ µ ¶

1

dx  C

x

ergibt

1 2

2

˜ u = ln ( x)  C

Durch Rücksubstitution und Berücksichtigung des Anfangswertes erhalten wir: 2 ˜ ln  x

u= y = x˜

2 ˜ ln  x

y ( 1) = 1 ˜ y = x˜

C C

C=2

2 ˜ ln  x

4

umgeformte allgemeine Lösungen allgemeine Lösungen (u = y/x) C ist daher gleich 4 gesuchte Lösung

Beispiel 7.7: Wie lautet die allgemeine Lösung der nachfolgend gegebenen Differentialgleichung ? Stellen Sie für verschiedene C-Werte die Lösungen grafisch dar. y' =

x y

gegebene Differentialgleichung (x zy)

x y

Durch Division der rechten Seite durch x erhalten wir folgende gleichgradige Differentialgleichung: 1 y' = 1

y x y x

Mit der Substitution u = y/x, also y = u x, erhalten wir mit y' = u' x + u die separable Differentialgleichung:

u' ˜ x  u =

1u 1u

bzw.

2 1 u 1 1u § · u' = ˜ ¨ u = ˜ x ©1 u ¹ x 1 u

1

Durch Trennung der Variablen ergibt sich schließlich: 1 x

˜ dx =

1 u 2

˜ du

1u

Seite 258

Differentialgleichungen

Nach beidseitiger Integration folgt dann: ´ µ µ µ ¶

´ µ dx = µ x µ ¶

1u

1

2

du  C1

ergibt

ln ( x) =

1

1 u

2



2

˜ ln 1  u

 atan(u)  C1

Durch Anwendung der Logarithmusgesetze und durch Rücksubstitution erhalten wir:

§

2

ln © x ˜

ln

1 u

· = arctan ( u)  C ¹ 1

§ 2 · ¨ x˜ 1  y § y·  C = arctan ¨ 1 ¨ 2 © x¹ x ¹ ©

Bringt man x unter die Wurzel und wendet auf beiden Seiten der impliziten Gleichung die Umkehrfunktion an, so erhalten wir schließlich die Form der impliziten Gleichung:

2

§ y · C § y· § y· arctan¨ arctan¨ 1 C1 © x¹ © x¹ = C ˜ e © x¹ =e ˜e

arctan¨

2

x y =e

Diese implizite Gleichung kann mithilfe der Transformationsgleichungen in Polarkoordinatenform übergeführt werden: r=

2

2

und

x y

M

§ y· © x¹

M = arctan ¨

r ( M  C)  C ˜ e

logarithmische Spiralen

C  0.2  0.4  1

Bereichsvariable

M  0  0.01  4 ˜ S

Bereichsvariable

Abb. 7.6

Seite 259

Differentialgleichungen

7.2.1.3 Exakte Differentialgleichungen 1. Ordnung Eine gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung der Form P ( x  y)  Q ( x  y) ˜ y' ( x) = 0

(7-35)

heißt exakt, wenn eine Stammfunktion u(x,y) existiert mit P ( x  y) =

w wx

u ( x  y) und Q ( x  y) =

w wy

u ( x  y)

(7-36)

Die Lösungen lassen sich dann implizit als Niveaulinien darstellen, u ( x  y) = C

(7-37)

wobei die Konstante C durch die Anfangsbedingung festgelegt werden kann. Man schreibt eine exakte Differentialgleichung auch in der Form P ( x  y) ˜ dx  Q ( x  y) dy = 0

(7-38)

um die symmetrische Behandlung der Variablen x und y hervorzuheben. In Anlehnung an die Theorie der Arbeitsintegrale (siehe dazu Band 1 Abschnitt 4.7) ist bei stetig differenzierbaren Funktionen P und Q die Integrabilitätsbedingung w wy

P ( x  y) =

w wx

Q ( x  y)

(7-39)

notwendig für die Existenz von u(x,y). Sie ist hinreichend, falls das betrachtete Definitionsgebiet G einfach zusammenhängend ist. Anders ausgedrückt ist (7-38) genau dann eine exakte Differentialgleichung, wenn du = P ( x  y) ˜ dx  Q ( x  y) dy = 0

(7-40)

ein vollständiges Differential einer Funktion u(x,y) ist. Zur Lösung einer exakten Differentialgleichung gehen wir wie folgt vor: 1. Wir setzen w u ( x  y) = P ( x  y) (7-41) wx und integrieren auf beiden Seiten und fügen zuletzt noch eine noch nicht bestimmte Funktion M(y) hinzu: u ( x  y) =

´ µ µ ¶

P ( x  y) dx  M ( y)

(7-42)

2. Die anschließende Differentiation nach y von (7-42) liefert dann w wy

u ( x  y) =

§´ · ¨ µ P ( x  y) dx  M ( y) = Q ( x  y) µ wy ¨© ¶ ¹ w

3. Die weitere Integration über M(y) liefert dann die Lösung: du = 0 Ÿ u(x,y) = C

Seite 260

(7-43)

Differentialgleichungen

Beispiel 7.8: Es soll die nachfolgend gegebene Differentialgleichung gelöst werden: ( 2 ˜ x  y  1) ˜ dx  ( x  3 ˜ y  2) ˜ dy = 0

gegebene Differentialgleichung

Mit P ( x  y) = 2 ˜ x  y  1 und Q ( x  y) = x  3 ˜ y  2

gilt die Integrabilitätsbedingung:

w wy

P ( x  y) = 1 =

w wx

Q ( x  y)

Damit ist die gegebene Differentialgleichung exakt und es gilt. w

also

du = ( 2 ˜ x  y  1) ˜ dx  ( x  3 ˜ y  2) ˜ dy

wx

u ( x  y) = P ( x  y)

w

und

wy

u ( x  y) = P ( x  y)

Durch Integration erhalten wir:

u ( x  y) =

´ µ µ ¶

P ( x  y) dx  M ( y) =

´ µ µ ¶

´ µ µ ¶

P ( x  y) dx  M ( y) = x  y ˜ x  x  M ( y)

( 2 ˜ x  y  1) dx  M ( y)

ergibt

u ( x  y) =

w

Mit

wy

2

u ( x  y) = x 

d dy

M ( y)

und

w wy

u ( x  y) = Q ( x  y) = x  3 ˜ y  2

erhalten wir:

x

d dy

bzw.

M ( y) = x  3 ˜ y  2

d dy

M ( y) = 3 ˜ y  2

Durch Integration der letzten Gleichung folgt:

M ( y) =

´ µ µ ¶

ergibt

3 ˜ y  2 dy  C1

M ( y) =

3 2

2

˜ y  2 ˜ y  C1

Damit folgt für die Lösung : 2

u ( x  y) = x  y ˜ x  x 

3 2

2

˜ y  2 ˜ y  C1 = C2

Ÿ

Seite 261

2

x  y˜ x  x 

3 2

2

˜ y  2˜ y= C

Differentialgleichungen

7.2.1.4 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung Eine Differentialgleichung der Form y'  p ( x) ˜ y = q ( x)

(7-44)

heißt inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung. q(x) heißt Störfunktion . Ist die Funktion q(x) = 0, so heißt die Differentialgleichung der Form y'  p ( x) ˜ y = 0

(7-45)

homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung . Die Koeffizientenfunktionen p(x) und die Störfunktion q(x) werden im Lösungsintervall I Ž als stetig vorausgesetzt. a) Exakte Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung Die Lösung der homogenen Differentialgleichung 1. Ordnung ergibt sich durch Trennung der Variablen: y'  p ( x) ˜ y = 0

ln  y

´

= µµ

´ µ µ µ ¶

Ÿ

´ µ dy =  µ y ¶ 1

p ( x) dx

Ÿ

p ( x) dx  ln  C 

¶

Daraus erhalten wir die Lösung ohne und mit eingesetzter Anfangsbedingung x0 , y0 = y(x 0 ): ´ µ  µ p( x) dx ¶

yh = C ˜ e

x

bzw.

´  µ p( t) dt ¶x

yh = y0 ˜ e

0

(7-46)

b) Exakte Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung Die allgemeine Lösung setzt sich aus der Lösung der homogenen Differentialgleichung y h und einer partikulären (speziellen) Lösung y p der inhomogenen Differentialgleichung zusammen: y = yh + yp . Die partikuläre Lösung y p wird durch Variation der Konstanten C ermittelt. Zuerst wird für yp die Lösung der homogenen Differentialgleichung herangezogen. Die Konstante C wird variiert, d.h. durch C(x) ersetzt. Anschließend wird y p differenziert: ´ µ  µ p ( x) dx ¶

yp = C ( x) ˜ e

´ µ  µ p( x) dx ¶

yp' = C' ( x) ˜ e

´ µ  µ p ( x) dx ¶

yp' = e

´ µ  µ p( x) dx ´ ¶ d µ

 C ( x) ˜ e

˜ ( C' ( x)  C ( x) ˜ p ( x) )

Seite 262

˜

dx µ ¶

p ( x) dx

Differentialgleichungen

yp und yp' werden nun in die inhomogene Differentialgleichung eingesetzt. Aus dieser Gleichung kann schließlich C(x) bestimmt werden: ´ µ  µ p ( x) dx ¶

( C' ( x)  C ( x) ˜ p ( x) ) ˜ e

´ µ  µ p ( x) dx ¶

 C ( x) ˜ p ( x) ˜ e

= q ( x)

´ µ µ p ( x) dx ¶

C' ( x)  C ( x) ˜ p ( x)  C ( x) ˜ p ( x) = q ( x) ˜ e ´ µ µ p ( x) dx ¶

C' ( x) = q ( x) ˜ e

Durch Integration auf beiden Seiten ergibt sich C(x) zu: ´ µ µ µ C ( x) = µ ¶

´ µ µ p( x) dx ¶

q ( x) ˜ e

dx

Wegen der speziellen Lösung wird keine Integrationskonstante hinzugefügt. Damit erhalten wir die partikuläre Lösung in der Form:

´ µ  µ p ( x) dx ¶

yp = C ( x) ˜ e

·

§´ ¨µ ´ µ ¨µ µ ¶ ¨µ = µ q ( x) ˜ e ¨¶ ©

¸ ¸

p( x) dx

´ µ  µ p( x) dx ¶

dx ˜ e

(7-47)

¹

Damit erhalten wir die Lösung ohne und mit eingesetzter Anfangsbedingung x0 , y0 = y(x 0 ):

´ µ  µ p( x) dx ¶

y = yh  yp = e

x

´  µ p( t) dt ¶x

y = yh  yp = e

0

§´ ¨µ ´ µ ¨µ µ ¶ µ ¨ ˜ µ q ( x) ˜ e ¨¶ ©

· p ( x) dx

¸ ¸

dx  C

(7-48)

¹

§´ x · t ¨µ ´ µ p ( x) dx ¨µ ¸ ¶x µ 0 ¨ ¸ dt  y0 ˜ µ q ( t) ˜ e ¨ ¶x © 0 ¹

(7-49)

Die Lösungsformeln (7-48) bzw. (7-49) sind auch für die Sonderfälle p(x) = 0 und q(x) = 0, also auch für die homogene Differentialgleichung, einsetzbar! Bemerkung: Eine partikuläre Lösung y p kann auch durch einen geeigneten Lösungsansatz, der noch einen oder mehrere Parameter enthält und von der Störfunktion abhängig ist, ermittelt werden.

Seite 263

Differentialgleichungen

Zur Berechnung in Mathcad definieren wir die vorher genannten Lösungsformeln jeweils als Funktion: Allgemeine Lösung mit einer Konstanten C 1 :

§´

·

· ¨µ

§´ ¨µ  µ ¨¶ y  x  p  q  C1  e ©

p ( x) dx

´ µ µ p ( x) dx ¶

¨µ

¹ ˜ ¨ µ q (x) ˜ e ¨µ

©¶

dx  C1

¸ ¸

(7-50)

¹

Spezielle Lösung mit der Anfangsbedingung x 0 , y0 = f(x0 ): x



´  µ p ( t) dt ¶x



0

y1 x  p  q  x0  y0  e

§ ´x · t ¨µ ´ µ p( x) dx ¨µ ¸ ¶x µ 0 ¨ ¸ dt  y0 ˜ µ q ( t) ˜ e ¨ ¶x © 0 ¹

(7-51)

Wenn die Differentialgleichung von der Variablen t abhängig ist, kann (7-51) in folgender Form geschrieben werden:

t



´  µ p( x) dx ¶t



y1t t  p  q  t0  y0  e

0

· § ´t x ¨µ ´ µ p( t) dt ¨µ ¸ ¶t µ 0 ¨ ¸ dx  y0 ˜ µ q ( x) ˜ e ¨ ¶t © 0 ¹

(7-52)

Beispiel 7.9: Wie lautet die allgemeine Lösung der nachfolgend gegebenen Differentialgleichung ? 2

homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung

y'  3 ˜ x ˜ y = 0

Wir lösen diese Differentialgleichung durch Trennung der Variablen: d dx

2

Ÿ

y = 3 ˜ x ˜ y

3

 x  ln( C )

yh = e

´ µ µ µ ¶

ln( C)

=e

x

˜e

´ µ dy = µ y ¶ 1

3

x

2

3 ˜ x dx  ln ( C)

ergibt

3

= C˜ e

gesuchte allgemeine Lösung

Lösung mithilfe der Lösungsformel (7-50): x x

Redefinition 2

p ( x)  3 ˜ x





q ( x)  0

Koeffizientenfunktion und Störfunktion

 3 ˜ C1

gesuchte allgemeine Lösung

y x  p  q  C1 o exp x

Seite 264

3

ln ( y) = x  ln ( C)

Differentialgleichungen

Beispiel 7.10: Die Zerfallsgeschwindigkeit der unzerstrahlten Masse

d

M ( t) einer radioaktiven Substanz ist der vorhandenen dt Masse M(t) und einer Zerfallskonstanten O proportional. Damit ergibt sich die homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung: d M ( t) = O ˜ M ( t) dt Zum Zeitpunkt t = 0 ist die unzerstrahlte Masse M 0 vorhanden. Gesucht ist die grafische Darstellung des Zerfallgesetzes M(t) des E-Strahlers Tritium mit einer Halbwertszeit von 12 Jahren. Die Differentialgleichung kann durch Trennung der Variablen einfach gelöst werden: dM M

Ÿ

= O ˜ dt

 O ˜t

´ µ µ µ ¶

´ µ dM =  µ M ¶ 1

O dt  ln ( C)

ergibt

ln ( M) = O ˜ t  ln ( C)

allgemeine Lösung der Differentialgleichung

M ( t) = C ˜ e

Durch Einsetzen der Anfangsbedingung erhält man schließlich: 0

also C = M 0

M ( 0) = C ˜ e = M0  O ˜t

gesuchtes Zerfallsgesetz

M ( t ) = M0 ˜ e

Bestimmung dr Halbwertszeit T H: 1 2

 O ˜TH

˜ M0 = M0 ˜ e

TH =

ln ( 2)

hat als Lösung(en)

ln ( 2) O

Halbwertszeit

O

Jahre  Jahr

Einheitendefinition

M0  10 ˜ mg

gewählte Ausgangssubstanz Halbwertszeit von Tritium

TH  12 ˜ Jahre O



nach Variable T H auflösen

ln ( 2)

O

TH



 O ˜t

M t  M0  O  M0 ˜ e

1.83 u 10

9 1

Zerfallskonstante

s

Zerfallsgesetz Bereichsvariable

t  0 ˜ Jahre  0.2 ˜ Jahre  48 ˜ Jahre

Seite 265

Differentialgleichungen

Masse



M t  M0  O

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0



mg

M0

mg

Jahre





5 mg





2.5 mg





1.25 mg





0.625 mg

M 12 ˜ Jahre  M0  O

2

TH

M 24 ˜ Jahre  M0  O M 36 ˜ Jahre  M0  O

0

6

12

18

24

30

36

42

48

M 48 ˜ Jahre  M0  O

t Jahre Zeit

Abb. 7.7

10



M t  M0  O



mg

halblogarithmische Darstellung auf Exponentialpapier

1 0.1 0.01

0

4

8

12 16 20 24 28 32 36 40 44 48

Abb. 7.8

t Jahre

Beispiel 7.11: Eine arretierte Zylinderscheibe wird von einem biegsamen Seil umschlungen, das an einem Ende durch die Gewichtskraft belastet wird. Mit welcher Kraft F0 müssen wir man am anderen Ende des Seils einwirken, um ein Abgleiten der Masse m zu verhindern, wenn der Haftreibungskoeffizient den Wert P 0 = 0.5 besitzt ? Die Anfangsbedingung lautet: S(0) = F 0 . Infolge der Haftreibung zwischen Seil und Zylinderscheibe ist die Seilkraft S nicht konstant, sondern eine vom Zentriwinkel M abhängige Größe. Ermitteln Sie die Seilkraft S(M) durch Trennung der Variablen mithilfe der Laplacetransformation und mit einem Näherungsverfahren. Die Seilkraft soll für F 0 = 100 N grafisch dargestellt werden.

Abb. 7.9

Im Gleichgewichtszustand gilt: d dM

S (M ) = P 0 ˜ S (M )

Anfangsbedingung:

bzw.

d dM

S (M )  P 0 ˜ S (M ) = 0

S ( 0) = F0

Seite 266

homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung

Differentialgleichungen

Exakte Lösung der Differentialgleichung durch Trennung der Variablen: ´  µ  P 0 dM µ ¶

ergibt

S (M ) = C ˜ e



S ( M ) = C ˜ exp P 0 ˜ M



Anfangsbedingung einsetzen und nach C auflösen:





vereinfacht auf

F0 = C ˜ exp P 0 ˜ 0



S ( M ) = F0 ˜ exp P 0 ˜ M



F0 = C

gesuchte Lösungsfunktion für die Seilkraft

Am Seilende mit der Gewichtskraft G = m g gilt (M = S): S ( S ) = F0 ˜ exp ( 0.5 ˜ S ) = G F0 ˜ exp ( 0.5 ˜ S ) = G

hat als Lösung(en)

.20787957635076190855 ˜ G Gleichung nach F0 auflösen

Ein Abgleiten der Masse m wird verhindert, wenn die am einen Seilende wirkende Seilkraft rund 20% des am anderen Seilende angehängten Gewichtes beträgt. P 0  0.5

Reibungskoeffizient

F0  100 ˜ N

Kraft bei M = 0



S ( M )  F0 ˜ exp P 0 ˜ M



Funktion (Seilkraft) Bereichsvariable

M  0  0.01  S

Seilkraft

600

S( S ) N

S( M ) 500 N F0 N

S

400

S (S )

481.048 N

S ( 0)

100 N

Grad

300 200 100 0

0

20

40

60

80

100

120

140

M Grad

Abb. 7.10

Seite 267

160

180

200

Differentialgleichungen

Exakte Lösung der Differentialgleichung mithilfe der Laplace-Transformation: Näheres siehe Kapitel 5 Laplace-Transformation. d dM

homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung

S (M )  P 0 ˜ S (M ) = 0

S ( 0) = F0

Anfangsbedingung

S ( s ) ˜ s  F0  P 0 ˜ S ( s ) = 0

Laplacetransformierte Gleichung (direkte Übersetzung)

F0  F0

Redefinition für die symbolische Auswertung

P0  P0

S ( s ) ˜ s  F0  P 0 ˜ S ( s ) = 0 auflösen  S ( s ) o



Laplacetransformierte S(s)

s  P0

auflösen  S ( s ) o F0 ˜ exp P 0 ˜ t invlaplace  s



S ( s ) ˜ s  F0  P 0 ˜ S ( s ) = 0 S ( M ) = F0 ˜ exp P 0 ˜ M

F0





nach Variable S(s) auflösen und inverse -Transformation durchführen

gesuchte Seilkraft

Näherungsverfahren (Runge-Kutta-Methode (7-7)): d dM

homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung

S (M )  P 0 ˜ S (M ) = 0

P 0  0.5

S ( 0) = F0

Anfangsbedingung

gegebene Werte

F0  100 ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

aw 0  F0

aw ist ein Vektor mit den Anfagsbedingungen für die Differentialgleichung

D ( M  S)  P 0 ˜ S0

Die Vektorfunktion D enthält die umgeformte Differentialgleichung in der Darstellung D(M,S):=(S 1 ,...,Sn-1,S(n))T. Die letzte Komponente ist die nach S (n) umgeformte Differentialgleichung

N1  300

Anzahl der Winkelschritte für die numerische Berechnung

Ma  0

Anfangswinkel

Me  S

Endwinkel





Z  rkfest aw  M a  M e  N1  D ¢0² M Z

Runge-Kutta-Methode. Die Lösung Z ist eine (N+1)x(n+1) Matrix. Die erste Spalte Z <0> enthält die Winkel M, die nächste Spalte Z <1> die Lösungsfunktion S(M) und die letzte Spalte Z die Ableitung S(n-1)(M).

¢1² S Z ˜N

Im Runge-Kutta-Verfahren sind keine Einheiten zulässig !

k  0  zeilen ( Z)  1

Bereichsvariable

Seite 268

Differentialgleichungen

Seilkraft S

500 Sk N

400

S0

100 N

300

F0

Szeilen( Z)  1

200

N

481.048 N

100 0

Abb. 7.11 0

20

40

60

80

100 120 140 160 180 200 Mk Grad

Näherungsverfahren (mithilfe des Lösungsblockes (7-21)): P 0  0.5

F0  100

gegebene Werte

b S

Endwert des Integrationsintervalls

n  200

Anzahl der Schritte

Vorgabe d dM1

S ( M1)  P 0 ˜ S ( M1) = 0

homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung Anfangsbedingung

S ( 0) = F0 S  Gdglösen ( M1  b  n)

Die Funktionswerte S können nur mit S( M) in Tabellenform ausgegeben werden!

500 F0

400 300

S ( 0)

100 N

S( M1 ) 200 N 100

S (S )

481.048 N

N

0

0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 M1 Grad

Abb. 7.12

Seite 269

Differentialgleichungen

Beispiel 7.12: Wie lautet die Lösung der nachfolgend gegebenen Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung y(0) = 2 ? inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten (p(x) = 1)

y'  y = x

Wir lösen zuerst die homogene Differentialgleichung durch Trennung der Variablen: d dx

´ µ µ µ ¶

Ÿ

y = y

 x ln( C )

ln( C)

yh = e

=e

x

˜e

´ µ dy =  µ y ¶ 1

x

= C˜ e

ergibt

1 dx  ln ( C)

ln ( y) = x  ln ( C)

gesuchte homogene Lösung

Eine partikulär Lösung erhalten wir durch Variation der Konstanten C: x

x

yp ( x) = C ( x) ˜ e

yp' ( x) = C' ( x) e

x

 C ( x) ˜ e

Ansatz und Ableitung

Einsetzen in die inhomogene Differentialgleichung: x

x

x

C' ( x) ˜ e

 C ( x) ˜ e

´ µ C ( x) = µ ¶

x ˜ e dx = e ˜ ( x  1)

x

x

 C ( x) ˜ e

=x

x

x

yp ( x) = e ˜ ( x  1) ˜ e

x

Ÿ

C' ( x) = x ˜ e

C(x) erhält man mithilfe der partiellen Integration

=x 1 x

y ( x) = yh ( x)  yp ( x) = C ˜ e

 x 1

allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung 1. Ordnung

Mit der Anfangsbedingung ergibt sich dann die Lösung zu: 0

y ( 0) = C ˜ e

Ÿ

1=2

x

y ( x) = yh ( x)  yp ( x) = 3 ˜ e

 x 1

C=3 gesuchte Lösung

Lösung mithilfe der Lösungsformel (7-50) und (7-51): Redefinition

x x p ( x)  1



q ( x)  x

Koeffizientenfunktion (Konstante) und Störfunktion



y x  p  q  C1 vereinfachen o x  1  C1 ˜ exp ( x)

gesuchte allgemeine Lösung

y1 ( x  p  q  0  2) vereinfachen o x  1  3 ˜ exp ( x)

gesuchte Lösung

Seite 270

Differentialgleichungen

Beispiel 7.13: Einem Patienten werden pro Minute 5 mg eines Medikamentes durch Tropfinfusion zugeführt; gleichzeitig werden 5% des jeweils im Blut vorhandenen Medikamentes durch die Nieren ausgeschieden. Damit wird die zeitliche Änderung der im Blut vorhandenen Medikamentenmenge med(t) durch die nachfolgend gegebene Differentialgleichung angegeben. Wie lautet die Lösung der Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung med(0) = 0. d dt

med ( t ) = 5 

1 20

˜ med ( t )

oder d dt

med ( t ) 

1 20

˜ med ( t ) = 5

inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten (p(t) = 1/20)

Lösung mithilfe der Lösungsformel (7-52): t  t Redefinition p ( t) 

1 20

q ( t)  5

Koeffizientenfunktion (Konstante) und Störfunktion

§ 1 ˜ t·  1· ˜ exp § 1 ˜ t· ¨ © 20 ¹ ¹ © 20 ¹

§ ©

y1t ( t  p  q  0  0) vereinfachen o 100 ˜ ¨ exp ¨

Lösung mit Einheiten

t  0 ˜ min  1 ˜ min  120 ˜ min

Bereichsvariable

Menge des Medikamentes

 0.05 · § ˜t ¨ min med ( t)  100 ˜ mg ˜ © 1  e ¹

100 90 80 70 med( t) 60 mg 50 40 30 20 10 0

gesuchte Lösung

Tropfinfusion

Abb. 7.13

0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 t min Zeit

Seite 271

Differentialgleichungen Beispiel 7.14: In einem Gleichstromkreis, in dem ein Ohmscher Widerstand R = 1 k : und eine Kapazität C = 20 PF in Serie geschaltet sind, wird zum Zeitpunkt t = 0 s über einen Schalter eine konstante Spannungsquelle U 0 = 100 V geschaltet. Wie groß ist die Teilspannung u C am Kondensator, wenn u C(0 s) = 0 V ist ? Welcher Strom i fließt im Stromkreis ? Ermitteln Sie die Spannung u C mithilfe der Lösungsformel (7-49), mithilfe der Laplace-Transformation und mit einem Näherungsverfahren. Die Spannung u C und der Strom i sollen auch grafisch dargestellt werden.

Abb. 7.14

Nach der Maschenregel (Kirchhoff 2) gilt: uR + uC = U0 mit

uR = R ˜ i = R ˜ C ˜ u'C = W ˜ u'C

W = R˜ C

Die zugehörige Differentialgleichung lautet somit: W˜

d dt

uC  uC = U0

uC ( 0 ˜ s ) = 0 ˜ V

bzw.

d dt

uC 

1 W

˜ uC =

U0 W

inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten p(t) = 1/ W)

Anfangsbedingung

Mit der Lösungsformel (7-49) erhalten wir:

´ µ µ µ ¶

uC ( t) = e

§´ ¨µ ´ µ 1 µ dt ¨ µ µ W ¨µ U µ ¶ 0 ˜ ¨µ ˜e ¨µ W ©¶

· 1 W

dt

¸ ¸ dt  C¸

ergibt

§ 1 ˜ t· ˜ § exp § 1 ˜ t· ˜ U  C· ¨ ¨ 0 © W ¹ © ©W ¹ ¹

uC ( t ) = exp ¨

¹

Anfangsbedingung einsetzen und nach C auflösen ergibt C = -U 0 :

§ 1 ˜ 0· ˜ § exp § 1 ˜ 0· ˜ U  C· ¨ ¨ 0 ©W ¹ © ©W ¹ ¹

0 = exp ¨

§ 1 ˜ t· ˜ § exp § 1 ˜ t· ˜ U  U · ¨ ¨ 0 0 © W ¹ © ©W ¹ ¹

uC ( t ) = exp ¨

hat als Lösung(en)

U0

vereinfacht auf

uC ( t) = U0 ˜ ¨ 1  exp ¨

Seite 272

§ ©

§ 1 ˜ t· · © W ¹¹

Differentialgleichungen

§ 1 ˜ t· · © W ¹¹

§ ©

Spannung am Kondensator

uC ( t) = U0 ˜ ¨ 1  exp ¨ d

i ( t) = C ˜

dt

uC ( t)

Stromstärke durch den Kondensator

§ 1 ˜ t· · © W ¹¹

§ ©

U0

i ( t) = C ˜

R˜ C

ms  10

3

§ 1 ˜ t· = I ˜ exp § 1 ˜ t· ¨ 0 ©W ¹ ©W ¹

˜ exp ¨

C  20 ˜ PF

§ 1 ˜ t· · © W ¹¹

§ ©

uC ( t)  U0 ˜ ¨ 1  exp ¨

R

§ 1 ˜ t· ©W ¹

W

U0  100 ˜ V

W  R˜ C

W

0.02 s

vorgegebene Größen

Funktionsgleichung für die Spannung am Kondensator

Funktionsgleichung für den Strom

˜ exp ¨

U0

ut ( t) 

Stromstärke durch den Kondensator

Bereichsvariable

t  0 ˜ s  0.0001 ˜ s  6 ˜ W

U0

W

§ 1 ˜ t· ©W ¹

˜ exp ¨

Einheitendefinition

˜s

R  1000 ˜ :

i ( t) 

U0

durch Differentiation, ergibt

U0 ˜ ¨ 1  exp ¨

Anlauftangente

˜t

uC ( W )

63.212 V

110 100 U0 V

90

W

5˜W

80

ms

ms

V

70 u C( t)

60

V

50

u C( W )

Abb. 7.15

40

u t( t)

30

V

20 10 0

0

10

20

30

40

50

60

70

80

t ms

it ( t )  i (W )

U0 R



U0 R˜ W

36.788 mA

˜t

Anlauftangente

Strom zum Zeitpunkt W

Seite 273

90

100

110

120

Differentialgleichungen

110 100 W

5˜W

ms

ms

R

90 80

mA

70

i( t)

60 50

i( W )

mA

40

mA

i t( t)

30 20

U0

mA

Abb. 7.16

10 0

10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

t ms

Exakte Lösung der Differentialgleichung mithilfe der Laplace-Transformation: Näheres siehe dazu Kapitel 5 Laplace-Transformation. d dt

uC ( t) 

1 W

˜ uC ( t) =

U0

Anfangsbedingung:

U(s) ˜ s  0 

1 W

inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten p(t) = 1/W)

W

uC ( 0 ˜ s ) = 0 ˜ V

˜ U(s) =

U0

Laplacetransformierte Gleichung (direkt übersetzt)

W˜s

Redefinitionen

U0  U0

W W

U(s) ˜ s  0 

1 W

˜ U(s) 

U0 W˜s

auflösen  U ( s ) § § t · · o U0 ˜ ¨ 1  exp ¨ invlaplace  s © © W ¹¹

§ t · · © W ¹¹

§ ©

Nach Variable F(s) auflösen und inverse -Transformation durchführen

Kondensatorspannung

uC ( t) = U0 ˜ ¨ 1  exp ¨

Näherungsverfahren (Runge-Kutta-Methode (7-7)): d dt

uC =

U0 W



1 W

Anfangsbedingung:

R  1000

inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten p(t) = 1/W)

˜ uC uC ( 0) = 0

C  20 ˜ 10

6

U0  100

W  R˜ C

Seite 274

W

0.02

vorgegebene Größen ohne Einheiten

Differentialgleichungen

aw ist ein Vektor mit den Anfangsbedingungen für die Differentialgleichung Hier könnte die 2. Komponente weggelassen werden !

§0 · ¨ ©0 ¹

aw 

§¨ U0 1 ·  ˜ U0 D ( t  U)  ¨ W W ¸ ¨ 0 © ¹

D enthält die umgeformte Differentialgleichung in der Darstellung

N1  300

Anzahl der Zeitschritte für die numerische Berechnung

ta  0

Anfangszeitpunkt

te  5 ˜ W

Endzeitpunkt

D(t,U):=(U1 ,...,Un-1,u (n)(U))T. Die letzte Komponente ist die nach u (n) umgeformte Differentialgleichung Hier könnte die 2. Komponente weggelassen werden !





Z  rkfest aw  ta  te  N1  D ¢0² t Z ˜s

Runge-Kutta-Methode. Die Lösung Z ist eine (N+1)x(n+1) Matrix. Die erste Spalte Z <0> enthält die Zeitpunkte t, die nächste Spalte Z <1> die Lösungsfunktion u C(t) und die letzte

Zeitwerte

Spalte Z die Ableitung u C(n-1)(t). ¢1² uc  Z ˜ V

Kondensatorspannungswerte

k  0  zeilen ( Z)  1

Bereichsvariable

100 U0 V uc

k

W

5˜W

ms

ms

50

Abb. 7.17

V

0

0

20

40

60

80

100

120

tk ms

Beispiel 7.15: An einer Serienschaltung mit Widerstand R und Induktivität L wird zum Zeitpunkt t = 0 s eine sinusförmige Wechselspannung u e = Umax sin(Z t + Mu ) angelegt. Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf der Spannung an der Spule u L (t) und der Spannung am Widerstand u R(t) sowie des Stromes i(t). Zum Einschaltzeitpunkt t = 0 s muss der Strom i(t) null sein, da wegen der Spule eine sprungartige Stromänderung nicht möglich ist. Die Schaltung soll für folgende Daten berechnet werden: L = 0.8 H, R = 50 :Umax = 100 V, f = 50 Hz, Mu = 0.

Seite 275

Differentialgleichungen

Abb. 7.18



ue ( t) = Umax ˜ sin Z ˜ t  M u uL ( t) = L ˜

d dt



Eingangsspannung allgemeine Darstellung der Spannung an der Spule (Induktionsgesetz)

i ( t)

allgemeine Darstellung der Spannung am ohmschen Widerstand

uR ( t) = R ˜ i ( t )

Nach der Maschenregel (Kirchhof 2) gilt: uR + uC = ue Die zugehörige Differentialgleichung lautet somit: d dt d dt

i ( t) 

i ( t) 

R L 1 W

˜ i ( t) =

˜ i ( t) =

Umax L Umax L





inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten





Differentialgleichung mit Zeitkonstante

˜ sin Z ˜ t  M u

˜ sin Z ˜ t  M u

W =

L R

Mit der Lösungsformel (7-49) erhalten wir:

p ( t) =

R

q ( t) =

L

´ µ µ µ ¶

i ( t) = e

Umax L

˜ sin ( Z ˜ t)

§´ ¨µ ´ µ R µ ¨ dt µ µ L ¨µ U µ ¶ max ˜ ¨µ ˜ sin  Z ˜ t  M u ˜ e L ¨µ ©¶

· R L

dt

¸ ¸ dt  C¸ ¹

vereinfacht auf







§ R ˜ t· ˜ C ˜ R2  exp § R ˜ t· ˜ C ˜ Z 2 ˜ L2 ¨ © L ¹ © L ¹



Umax ˜ Z ˜ L ˜ cos Z ˜ t  M u  Umax ˜ R ˜ sin Z ˜ t  M u  exp ¨ i ( t) =

2

2

2

R  Z ˜L

Seite 276

Differentialgleichungen

Durch Vereinfachung des letzten Ausdruckes erhalten wir: i ( t ) = ih ( t )  i p ( t ) Umax § R ˜ t·  ˜  R ˜ sin  Z ˜ t  M u  Z ˜ L ˜ cos  Z ˜ t  M u © L ¹ R2  Z 2 ˜ L2

i ( t) = C ˜ exp ¨ Mit R=

2

2

2

R  Z ˜ L ˜ cos ( M1) = Z ˜ cos ( M1) 2

Z˜L=

2

2

R  Z ˜ L ˜ sin ( M1) = Z ˜ sin ( M1)

erhalten wir durch Division: sin ( M1) cos ( M1)

Z˜L

= tan ( M1) =

§ Z ˜ L· © R ¹

M1 = arctan ¨

R

ip (t) kann dann noch mithilfe des Summensatzes sin( D- E) = sin(D) cos(E) - cos(D) sin(E) und -M = Mu - M1 vereinfacht werden: ip ( t ) =

Umax 2

2

2



ip ( t ) =

2

Umax ˜



2

2

2



Umax 2

2

2



˜ sin Z ˜ t  M u  M1 =

R  Z ˜L

ip ( t ) =



2

R Z ˜L

2



˜ Z ˜ cos ( M1) ˜ sin Z ˜ t  M u  sin ( M1) ˜ cos Z ˜ t  M u

R Z ˜L

Umax 2

2

2







˜ sin Z ˜ t  M u  M1

R Z ˜L

˜ sin ( Z ˜ t  M )

R Z ˜L

§ R ˜ t·  © L ¹

i ( t ) = ih ( t)  ip ( t) = C ˜ exp ¨

Umax 2

2

2

˜ sin ( Z ˜ t  M )

gesuchte allgemeine Lösung

R Z ˜L

Anfangsbedingung i ( 0 ˜ s ) = 0 ˜ A einsetzen und nach C auflösen: Umax

§ R ˜ 0·  © L ¹

0 = C ˜ exp ¨

i ( t) =

Umax 2

2

2

R  Z ˜L

2

2

2

˜ sin ( Z ˜ 0  M )

hat als Lösung(en)

R Z ˜L

§ ©

Umax 1

R2  Z 2 ˜ L2 2 § R ˜ t· ˜ sin ( M )· © L ¹ ¹

˜ ¨ sin ( Z ˜ t  M )  exp ¨

Mit sin(-M) = - sin(M) erhalten wir schließlich:

Seite 277

˜ sin ( M )

Differentialgleichungen

Umax

i ( t) =

2

2

§ R ˜ t· ˜ sin ( M ) · © L ¹ ¹

§ ©

˜ ¨ sin ( Z ˜ t  M )  exp ¨

2

R  Z ˜L

gesuchte Lösung

Vorgegebene Daten: Frequenz der Eingangsspannung

f  50 ˜ Hz Z  2˜ S ˜ f

314.159 s

Z

1

Kreisfrequenz

Umax  100 ˜ V

Amplitude der Eingangsspannung

M u  0 ˜ Grad

Phasenwinkel der Eingangsspannung

R  50 ˜ :

Widerstand

L  0.8H

Induktivität

W

L

W

R

0.016 s

Zeitkonstante

t1  0 ˜ s

Anfangszeitpunkt

t2  0.08 ˜ s

Endzeitpunkt

N1  800

Anzahl der Schritte

't 

t2  t1

Schrittweite

N1

Bereichsvariable

t  t1  t1  't  t2 ms  10

3

Einheitendefinition

˜s



ue ( t)  Umax ˜ sin Z ˜ t  M u

§ Z ˜ L· © R ¹

M  M u  atan ¨

i ( t) 

Umax 2

2

2

R Z ˜L uR ( t)  R ˜ i ( t ) uL ( t)  L ˜

d dt

i ( t)

§ ©



Eingangsspannung

Phasenverschiebung

§ R ˜ t· ˜ sin ( M )· © L ¹ ¹

˜ ¨ sin ( Z ˜ t  M )  exp ¨

Spannung am Widerstand

Spannung an der Spule

Der Gesamtstrom i(t) kann in iein(t) und in istat(t) zerlegt werden:

Seite 278

Gesamtstrom

Differentialgleichungen

Umax

iein ( t) 

2

2

§ ©

2

R Z ˜L Umax

istat ( t) 

2

2

§ R ˜ t· ˜ sin ( M ) · © L ¹ ¹

˜ ¨ exp ¨

2

˜ sin ( Z ˜ t  M )

Ausgleichsstrom

stationärer Strom

R  Z ˜L

Ströme beim Einschalten

900 807.14

i ein( t)

714.29

Stöme

mA

621.43

i stat( t)

528.57

mA

435.71

i( t)

342.86

mA

250

W

5˜W

ms

ms

i ein( t)  i ein( 0˜s) 157.14 mA i ein( t)  i ein( 0˜s) mA

64.29 28.57 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

121.43 214.29 307.14 400 t ms Zeit Ausgleichsstrom stationärer Strom Gesamtstrom Begrenzungslinie Begrenzungslinie

Abb. 7.19 Interpretation der Ströme: i ( t ) = iein ( t)  istat ( t)

Gesamtstrom

iein ( t) = ih ( t)

Der Ausgleichsstrom iein ist so groß, dass zum Einschaltzeitpunkt t = 0 s der Strom i(0 s) = 0 A beträgt (in der Anfangsbedingung festgelegt). Nach theoretisch unendlich langer Zeit verschwindet der Ausgleichsstrom. Entspricht der Lösung der homogenen Differentialgleichung.

istat ( t) = ip ( t)

Stationärer Strom istat ist jener Strom, der sich theoretisch nach unendlich langer Zeit einstellt; praktisch wird er nach t = 5 W erreicht. Entspricht der partikulären Lösung der inhomogenen Differentialgleichung.

Seite 279

Differentialgleichungen

Spannungen beim Einschalten

120 u e ( t)

100 80

V

60

Spannung

u L ( t)

W

5˜W

ms

ms

40

V

20

u R( t) V

20

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

40

i ( t)

60

10˜mA

80 100 120 t ms Zeit Eingangsspannung Spannung an der Spule Spannung am Widerstand Gesamtstrom

Abb. 7.20 Der Strom i(t) wurde zum besseren Vergleich durch 10 dividiert, a) i(t) und uR(t) sind in Phase b) Phasenverschiebung zwischen i(t) und uL(t) beträgt 90 Grad c) Phasenverschiebung zwischen i(t) und ue (t) beträgt

§ Z ˜ L· © R ¹

M 1  atan ¨

M1

78.75 Grad

d) Phasenverschiebung zwischen uL(t) und ue (t) beträgt M 2  90 ˜ Grad  M 1

Abb. 7.21

M2

11.25 Grad

Beispiel 7.16: Für einen RC-Tiefpass soll, ausgehend von der Kirchhoffschen Maschengleichung, die Differentialgleichung des Übertragungssystems abgeleitet werden. Gesucht wird die Ausgangsspannung u a (t) und die Spannung uR(t) an einem einstufigen Tiefpass mit Eingangsimpulsspannung ue t  Tp = ) ( t)  2 ˜ ) t  2 ˜ Tp  ) t  5 ˜ Tp .













Seite 280

Differentialgleichungen

Abb. 7.22

Überlagerung zweier verschieden langer Spannungsimpulse:











ue t  Tp  ) ( t)  2 ˜ ) t  2 ˜ Tp  ) t  5 ˜ Tp



Tp  1

Impulslänge (Tp bestimmt die Längen der beiden Impulse)

t  1  1  0.01  8

Bereichsvariable Impulsspannung

2



u e t  Tp

2

0

2

4

6

Abb. 7.23

8

2 t

Die Differentialgleichungen werden mithilfe der Maschengleichungen gewonnen: ue ( t)  ua ( t)  uR ( t) = ue ( t)  ua ( t)  i ( t ) ˜ R = 0 ue ( t)  ua ( t)  R ˜ C ˜ ue ( t)  ua ( t)  W ˜

d dt

d dt

i ( t) =

ua ( t) = 0

ua ( t) = 0

d dt

q ( t) = C ˜

d dt

uc ( t) = C ˜

W = R˜ C inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Exakte Lösung der Differentialgleichung mithilfe der Laplace-Transformation: Näheres siehe dazu Kapitel 5 Laplace-Transformation. Anfangsbedingung:

ua ( 0) = ua0 = 0

W W

Redefinition

Ue ( s )  Ua ( s )  W ˜ s ˜ Ua ( s )  W ˜ ua0 = 0 auflösen  Ua ( s ) o

Seite 281

Ue ( s )  W ˜ ua0 W˜s1

d dt

ua ( t)

Differentialgleichungen

t t

Redefinition und Periodendauer

Tp  1









) ( t)  2 ˜ ) t  2 ˜ Tp  ) t  5 ˜ Tp laplace  t o

1 s

Ua ( s ) =

1

 2˜

s

 2˜



exp 2 ˜ Tp ˜ s





s



exp 5 ˜ Tp ˜ s

1 s

 2˜

s



s



exp ( 5 ˜ s ) s



s

Laplacetransformierte

1 W˜s

exp ( 2 ˜ 1 ˜ s )

exp ( 2 ˜ s )

exp ( 5 ˜ 1 ˜ s ) s

hat inverse Laplace-Transformation

1 W˜s

§ t ·  2 ˜ ) ( t  2)  2 ˜ ) ( t  2) ˜ exp ª ( t  2)º  ) ( t  5)  ) ( t  5) ˜ exp ª ( t  5)º « » « » ©W¹ ¬ W ¼ ¬ W ¼

1  exp ¨

Hier muss noch eine Sprungfunktion angefügt werden, um u a für t < 0 zu erzwingen:





ua t  Tp  W 

ª« § t ·  2 ˜ ) t  2 ˜ T  2 ˜ ) t  2 ˜ T ˜ exp ª«  t  2 ˜ Tp º» »º ˜ ) ( t) 1  exp ¨    p p W « ©W¹ ¬ ¼ » « ª » ª  t  5 ˜ Tp º º »» «  « )  t  5 ˜ Tp  )  t  5 ˜ Tp ˜ exp « » W ¬ ¬ ¬ ¼¼ ¼

W  Zeitkonstante (0.1, 0.2, ... 1)

1 0.1

2

Impulsdauer u. Zeitkonstante sind gleich

1 Spannungen

W



u e t  Tp





u a t  Tp  W



2

0

2

4

6

8

Die Impulse werden durch den Tiefpass stark verzehrt.

1

2 t Zeit Eingangsspannung Ausgangsspannung

Abb. 7.24

Seite 282

Differentialgleichungen

Die Spannung u R(t) ergibt sich aus der Differenz von Ein- und Ausgangsspannung:











uR t  Tp  W  ue t  Tp  ua t  Tp  W



Spannungen am RC-Tiefpass

2

Spannungen

1



u e t  Tp





u R t  Tp  W



2

0

2

4

6

8

Abb. 7.25 1

2 t Zeit Eingangsspannung Spannung an R

Das näherungsweise differenzierende Verhalten bei kleiner Zeitkonstante ist hier gut zu erkennen.

7.2.1.5 Nichtlineare Differentialgleichungen 1. Ordnung Wie bereits bei linearen Differentialgleichungen ausgeführt, existieren auch für nichtlineare Differentialgleichungen nur für Sonderfälle exakte Lösungen. So kann z.B. die nichtlineare Bernoullische Differentialgleichung 1. Ordnung und n-ten Grades n

y' ( x)  p1 ( x) ˜ y ( x)  p2 ( x) ˜ ( y ( x) ) = 0

(n > 1)

(7-53)

mittels der Substitution v ( x) = ( y ( x) )

1 n

(7-54)

in folgende inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung für v(x) übergeführt werden: v' ( x)  ( 1  n) ˜ p1 ( x) ˜ v ( x)  ( 1  n) ˜ p2 ( x) = 0

(7-55)

Für die meisten nichtlinearen Differentialgleichungen werden zur Lösung z.B. die oben angeführten Näherungsverfahren verwendet. Es werden in diesem Abschnitt dazu nur einige Beispiele angeführt.

Seite 283

Differentialgleichungen

Beispiel 7.17: Es soll die nachfolgend gegebene Bernoullische Differentialgleichung exakt gelöst werden. 2

Bernoulli'sche nichtlineare Differentialgleichung 1. Ordnung zweiten Grades

y' ( x)  y ( x)  x ˜ y ( x) = 0

v ( x) =

1

Substitutionsgleichung

y ( x)

Aus der Substitutionsgleichung folgt: y ( x) =

1

und

v ( x)

y' ( x) =

v' ( x) v ( x)

2

Wir setzen nun in die Differentialgleichung ein: v' ( x) v ( x)

2

1



1

 x˜

v ( x)

v ( x)

2

=0

Durch Multiplikation mit (-1) v(x) 2 folgt: inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung

v' ( x)  v ( x)  x = 0 Mit der Lösungsformel (7-50) erhalten wir:

Redefinition

x x p ( x)  1



Koeffizientenfunktion (Konstante) und Störfunktion

q ( x)  x



y x  p  q  C1 vereinfachen o x  1  C1 ˜ exp ( x)



gesuchte allgemeine Lösung v(x) für die inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung

x



v ( x) = y x  p  q  C1 = x  1  C1 ˜ e y ( x) =

1 v ( x)

=

1

gesuchte allgemeine Lösung y(x) der Bernoullischen nichtlineare Differentialgleichung 1. Ordnung zweiten Grades

x

x  1  C1 ˜ e

Beispiel 7.18: Bestimmen Sie für den freien Fall mit Luftwiderstand die Geschwindigkeit v(t), den Fallweg s(t) und die Beschleunigung a(t). Es gelten die Anfangsbedingungen v(0 s) = 0 m/s und s(0 s) = 0 m. Nach welcher Zeit t hat ein Fallschirmspringer der Masse m = 100 kg 95% die Endgeschwindigkeit erreicht, wenn im freien Fall seine stationäre Geschwindigkeit v s = vmax = 180 km/h beträgt ? Wie groß ist nach dieser Zeit t der zurückgelegte Weg s(t) und die Beschleunigung a(t) ? Die Gleichgewichtsbedingung lautet: F = F G + FL m˜

d dt

v ( t) = m ˜ g  k ˜ v( t)

2

bzw.

d dt

§ ©

v( t) = g ˜ ¨ 1 

k m˜g

Durch Trennung der Variablen erhalten wir:

Seite 284

˜ v ( t)

2·

¹

nichtlineare Differentialgleichung 1. Ordnung und 2. Grades

Differentialgleichungen

´ µ µ µ µ ¶

1 1

k

2

dv = g ˜

˜v

m˜g

Mit der Substitution u =

´ µ µ ¶

1 dt

k m˜g

˜ v und dv =

m˜g k

˜ du ergibt sich: 1

´ m˜g µ ˜µ k µ ¶

1 2

du = g ˜

1 u

´ µ µ ¶

1 dt  C1

ergibt

§m ˜ ¨ ©

g·

2

k¹

˜ artanh ( u) = g ˜ t  C1

Durch Rücksubstitution folgt: m˜g k

§ · k ˜ v ( t) = g ˜ t  C1 © m˜g ¹

˜ artanh ¨

Berücksichtigt man die Anfangsbedingung v(0) = 0, so folgt C 1 = 0. Durch Umformung und mit der Umkehrfunktion erhalten wir schließlich:

§ · k ˜ v ( t) = © m˜g ¹

artanh ¨

k m˜g

m˜g

˜ g˜ t

§ · k ˜ g˜ t © m˜g ¹

˜ v ( t) = tanh ¨

m˜g

v( t) =

k

k

· § k ˜ g˜ t © m˜g ¹

˜ tanh ¨

Geschwindigkeits-Zeit Gesetz

Die stationäre Geschwindigkeit (maximal erreichbare Geschwindigkeit) erhält man aus:

vs = vmax =

lim tof

§ m˜g § ·· k ¨ ˜ tanh ¨ ˜ g˜ t = k © © m˜g ¹¹

m˜g k

Damit lässt sich das Geschwindigkeits-Zeit Gesetz vereinfachen zu:

§ g ˜ t· © vs ¹

v ( t) = vs ˜ tanh ¨

Aus v ( t) =

s ( t) =

´ µ µ ¶

d dt

s ( t) erhalten wir das Weg-Zeit Gesetz:

´ µ v ( t) dt = vs ˜ µ µ ¶

§ g ˜ t· dt  C = v ˜ ln § cosh § g ˜ t· · ˜ vs  C 2 s ¨ ¨ 2 © vs ¹ © © vs ¹ ¹ g

tanh ¨

wegen tanh(x) = sinh(x)/cosh(x) und sinh(x) dx = dcosh(x)

Seite 285

Differentialgleichungen

Berücksichtigen wir die Anfangsbedingung s(0) = 0, so folgt C 2 = 0. Wir erhalten dann schließlich:

s ( t) =

vs

2

§ g ˜ t· · © vs ¹ ¹

§ ©

˜ ln ¨ cosh ¨

g

Das Beschleunigungs-Zeit Gesetz erhalten wir aus folgenden Zusammenhang: 2

d

dt

2

d

s ( t) =

dt

v ( t) = a ( t) = g 

k m

k

2

˜ v ( t) = g 

m

2

§ g ˜ t· = g  k ˜ m ˜ g ˜ tanh § g ˜ t· ¨ k m © vs ¹ © vs ¹

2

2

˜ vs ˜ tanh ¨

2 § g ˜ t· · © vs ¹ ¹

§¨ ¨©

a ( t) = g ˜ 1  tanh ¨

Fallschirmspringer: m

vs  50 ˜

stationäre Geschwindigkeit

s

§ g ˜ t· © vs ¹

hat als Lösung(en)

0.95 ˜ vs = vs ˜ tanh ¨

t95 

s ( t) 

1.8317808230648232137 g

vs

2

g

§ g ˜ t· · © vs ¹ ¹

§ ©

t95

296.725 m



47.5



0.956

s t95

§ g ˜ t· © vs ¹

v t95

2 § g ˜ t· · © vs ¹ ¹

g

˜ vs

Nach dieser Zeit erreicht der Springer 95% seiner Endgeschwindigkeit.

9.339 s



˜ ln ¨ cosh ¨

v ( t)  vs ˜ tanh ¨

§¨ ¨©

˜ vs

1.8317808230648232137

m

Geschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt

s

m

a ( t)  g ˜ 1  tanh ¨

a t 95

t  0 ˜ s  0.01 ˜ s  15 ˜ s

Bereichsvariable

s

zurückgelegter Weg

2

Seite 286

Beschleunigung zu diesem Zeitpunkt

Differentialgleichungen

s-t-Diagramm

600

Weg

s( t)



s t95

t95

400

m

s

m

Abb. 7.26

200

0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

t s Zeit vs

v-t-Diagramm

60

m

Gescwindigkeit

s

v( t)

t95

40

s

m s

Abb. 7.27

20

0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

t s Zeit

a-t-Diagramm

Beschleunigung

10

t95

a ( t)

s

m s

5

2



a t95

Abb. 7.28

m 2 s

0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

t s Zeit

Beispiel 7.19: Vergleichen Sie die Lösung der gegebenen nichtlinearen Differentialgleichung erster Ordnung und 2. Grades mit der Anfangsbedingung y(0) = 1/2 numerisch und grafisch im Intervall [0, 1], wenn sie mit rkfest, Rkadapt und Bulstoer berechnet wird. 2

2

y' = x  y

nichtlineare Differentialgleichung 1. Ordnung und 2. Grades

Seite 287

Differentialgleichungen

ORIGIN festlegen

ORIGIN  0 aw 0 

1

aw ist ein Vektor mit den Anfagsbedingungen für die Differentialgleichung

2 2

D ( x  Y)  x  Y

2

Die Vektorfunktion D enthält die umgeformte Differentialgleichung in der Darstellung D(x,Y):=(Y 1 ,...,Yn-1,Y(n))T. Die letzte Komponente ist die nach Y(n) umgeformte Differentialgleichung

N1  10

Anzahl der Schritte für die numerische Berechnung

xa  0

Anfangswert

xe  1

Endwert





Runge-Kutta-Methode (fest)

ZrK  rkfest aw  xa  xe  N1  D ¢0² xrK  ZrK ¢1² yrK  ZrK





Runge-Kutta-Methode (adaptiv)





Bulstoer-Methode

ZRK  Rkadapt aw  xa  xe  N1  D ¢0² xRK  ZRK ¢1² yRK  ZRK ZBu  Bulstoer aw  xa  xe  N1  D ¢0² xBu  ZBu ¢1² yBu  ZBu





k  0  zeilen ZrK  1 0

ZrK

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Bereichsvariable

1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0.5 0.527 0.558 0.598 0.649 0.716 0.804 0.92 1.075 1.286 1.58

0

ZRK

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0.5 0.527 0.558 0.598 0.649 0.716 0.804 0.92 1.075 1.286 1.58

Seite 288

0

ZBu

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0.5 0.527 0.558 0.598 0.649 0.716 0.804 0.92 1.075 1.286 1.58

Differentialgleichungen

2

1.5 y rK y RK

1

y Bu 0.5

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

xrK  xRK  x Bu

Abb. 7.29

7.2.1.6 Steife Differentialgleichungen 1. Ordnung Differentialgleichungen und Differentialgleichungssysteme der Physik, Chemie oder Biologie besitzen oft die Eigenschaft aus unterschiedlich schnell exponentiell abklingenden Anteilen zu bestehen. Das Verhältnis von größter zur kleinsten Abklingkonstanten ist im Wesentlichen die Steifheit des Systems. Ist diese Steifheit groß, so versagen herkömmliche numerische Lösungsmethoden wie das Runge-Kutta-Verfahren. Numerische Instabilitäten oder Oszillationen können die Folge sein. Wenn z.B. die numerisch gefundene Lösung extrem von der zeitlichen Schrittweite abhängt, sollten man auf der Hut sein. Am besten versucht man in solchen Fällen anstatt der numerischen Lösungsfunktion "rkfest" (Runge-Kutta-Methode) eine der beiden Lösungsfunktionen "Stiffb" (Burlisch-Stoer-Methode für steife Differentialgleichungssysteme) oder "Stiffr" (Rosenbrock-Methode für steife Differentialgleichungssysteme). Nachfolgend soll dies an einem Beispiel demonstriert werden.

Beispiel 7.20: Anhand der nachfolgend gegebenen steifen Differentialgleichung 1.Ordnung soll die Lösung, ermittelt mithilfe verschiedener numerischer Lösungsverfahren in Mathcad, mit der exakten Lösung im Intervall [0, 5] verglichen werden. d dx

y ( x) = 20 ˜ ( y  arctan ( x) ) 

1 2

1x

steife Differentialgleichung 1. Ordnung Anfangsbedingung

y ( 0) = 1  20˜x

y ( x)  e

exakte Lösung der Differentialgleichung

 atan ( x)

ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

aw 0  1

Vektorkomponente mit Anfangsbedingung

D ( x  Y)  20 ˜ ( Y  atan ( x) ) 

1 2

Vektorfunktion mit der umgeformten Differentialgleichung

1x

Seite 289

Differentialgleichungen

J1 ( x  Y) 

ª 20  2 ˜ x º 20 » « 2 « 1  x2 2 » 1x ¬ ¼



Jacobi Matrix (1x2 Matrix)



N1  40

Anzahl der Zeitschritte für die numerische Berechnung

xa  0

Anfangswert

xe  5

Endwert





Lösung mit rkfest

ZrK  rkfest aw  xa  xe  N1  D ¢0² xrK  Z ¢1² yrK  Z





Lösung mit Rkadapt





Lösung mit Bulstoer

ZRK  Rkadapt aw  xa  xe  N1  D ¢0² xRK  ZRK ¢1² yRK  ZRK ZBu  Bulstoer aw  xa  xe  N1  D ¢0² xBu  ZBu ¢1² yBu  ZBu aw1 0  1



ZStb  Stiffb aw1  xa  xe  N1  D  J1



Lösung mit Stiffb

¢0² xStb  ZStb ¢1² yStb  ZStb



ZStr  Stiffr aw1  xa  xe  N1  D  J1



Lösung mit Stiffr

¢0² xStr  ZStr ¢1² yStr  ZStr x  0  0.01  5

Bereichsvariable

Seite 290

Differentialgleichungen

2 1.67 y rK y( x)

1.33 1

rkfest liefert hier kein brauchbares Ergebnis !

0.67 0.33 0

Abb. 7.30 0

1

2

3

4

5

xrK  x Näherung rkfest Exakte Lösung 1.5 1.25 y RK y( x)

1 0.75 0.5

Abb. 7.31

0.25 0

0

1

2

3

4

5

x RK  x Näherung Rkadapt Exakte Lösung 1.5 1.25 y Bu y( x)

1 0.75 0.5

Abb. 7.32

0.25 0

0

1

2

3

4

5

x Bu  x Näherung Bulstoer Exakte Lösung 1.5 1.25 y Stb

1

y Str 0.75 y( x)

0.5

Abb. 7.33

0.25 0

0

1

2

3

4

xStb  x Str  x Näherung Stiffb Näherung Stiffr Exakte Lösung

Seite 291

5

Differentialgleichungen

7.2.2 Die gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung Eine weitere wichtige Form gewöhnlicher Differentialgleichungen ist die Differentialgleichung zweiter Ordnung. Neben der gesuchten Lösungsfunktion y(x) bzw. y(t) tritt noch ihre erste Ableitung y'(x) bzw. y'(t) und ihre zweite Ableitung y''(x) bzw. y''(t) auf. Die gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung lautet in impliziter Form: F ( x  y ( x)  y' ( x)  y'' ( x) ) = 0 bzw. F ( t  y ( t)  y' ( t)  y'' ( t) ) = 0

(7-56)

Wenn sich die implizite Form nach der zweiten Ableitung auflösen lässt, erhalten wir die explizite Form: y'' ( x) = f ( x  y ( x)  y' ( x) ) bzw. y'' ( t) = f ( t  y ( t)  y' ( t ) )

(7-57)

Eine Funktion y(x) bzw. y(t) heißt Lösungsfunktion (Lösung) einer Differentialgleichung zweiter Ordnung, wenn sie stetige Ableitungen y'(x) und y''(x) besitzt und die Differentialgleichung identisch erfüllt. Auf die Problematik der Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen wurde bereits weiter oben hingewiesen. Methoden zur Berechnung exakter Lösungen existieren bei Differentialgleichungen zweiter Ordnung nur für bestimmte Sonderfälle! Nachfolgend werden dazu einige Methoden betrachtet. In den technischen und naturwissenschaftlichen Anwendungen spielen lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung eine besondere Rolle (siehe dazu auch Abschnitt 5.4). Die inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung hat die Form a ( x) ˜ y'' ( x)  b ( x) ˜ y' ( x)  c ( x) ˜ y ( x) = f ( x) ,

(7-58)

wobei die Koeffizientenfunktionen a(x), b(x) und c(x) und die Störfunktion f(x) auf der rechten Seite als stetig vorausgesetzt werden. Setzen wir voraus, dass a(x) z 0 ist, so kann Differentialgleichung durch a(x) dividiert werden. Man erhält dann die Form y'' ( x)  a1 ( x) ˜ y' ( x)  a0 ( x) ˜ y ( x) = s ( x)

(7-59)

Auch hier setzen wir wieder die Koeffizientenfunktionen a 1 (x) und a0 (x) und die Störfunktion s(x) als stetig voraus. Ist die Störfunktion f(x) = 0 bzw. s(x) = 0, so nennen wir diese Differentialgleichung homogen. Die allgemeine Lösung y = f(x,C 1 ,C2 ) einer Differentialgleichung zweiter Ordnung hängt noch von zwei frei wählbaren Integrationskonstanten C 1 ,C2  ab. Um diese zwei Konstanten bestimmen zu können, werden dazu verschiedene Bedingungen gestellt: Anfangswertaufgaben: Geben wir eine Anfangsbedingung y(x 0 ) = y0 und y'(x0 ) = y1 (Punkt und Steigung) vor, so ist eine eindeutige Lösungsfunktion y(x) bestimmt. Solche Aufgaben, die in der Praxis häufig auftreten, nennen wir auch hier Anfangswertaufgaben. Häufig ist die Anfangsbedingung für den Anfangspunkt x a des Lösungsintervalls [x a , xe ] gegeben (x 0 = xa ). Randwertaufgaben: Bei Randwertaufgaben sind zwei Bedingungen y(x 0 ) = y0 und y(x1 ) = y1 (zwei Randpunkte) für zwei verschiedene x-Werte (x 0 und x1 ) aus dem Lösungsintervall [x a , xe ] für die Lösungsfunktion y(x) gegeben. Häufig wird für die Randbedingungen der Anfangspunkt x a und der Endpunkt xe des Lösungsintervalls [x a , xe ] gewählt (x 0 = xa und x1 = xe ).

Seite 292

Differentialgleichungen Eigenwertaufgaben: Bei manchen Problemen stößt man auf eine Randwertaufgabe, deren Differentialgleichung noch von einen freien Parameter O enthält. Man interessiert sich dabei für alle diejenigen Werte des Parameters, die zu einer nicht-trivialen Lösung führen. Diese Werte heißen dann Eigenwerte und die zugehörigen Lösungen Eigenlösungen oder Eigenfunktionen. Aus dem Randwertproblem ist also dann ein sogenanntes Eigenwertproblem geworden. Exakte Lösungsmethoden: Exakte Lösungsmethoden wurden bereits in Kapitel 7.1 erwähnt. Einige Lösungsmethoden wurden nachfolgend speziell auch für Sonderfälle von Differentialgleichungen 1. Ordnung angeführt. Einige Methoden sollen hier auch für gewöhnlich Differentialgleichungen 2. Ordnung vorgestellt werden. 1. Ansatzmethode:



Ansatzmethoden spielen bei linearen Differentialgleichung eine große Rolle. Für Sonderfälle können allgemeine und spezielle Lösungen konstruiert werden. Bei nichtlinearen Differentialgleichungen sind Ansatzmethoden nur bei gewissen Sonderfällen erfolgreich. Zur Konstruktion allgemeiner Lösungen für Sonderfälle homogener linearer Differentialgleichungen werden Exponentialfunktionen y(x) = e O x bzw. Potenzfunktionen y(x) = x O mit einem frei wählbaren Parameter vorgegeben. Zur Konstruktion spezieller Lösungen für inhomogene lineare Differentialgleichungen wird der folgende Ansatz gemacht: m

y ( x) =

¦

k

ck ˜ uk ( x)

(7-60)

1

Die Funktionen uk (x) sind dabei bekannt, weil sie sich aus der Klasse der Störfunktionen der rechten Seite der Differentialgleichung ergeben. Nur die Parameter c k sind frei wählbar. Zur Konstruktion spezieller Lösungen inhomogener linearer Differentialgleichungen 2. Ordnung wird der Ansatz y ( x) = C1 ( x) ˜ y1 ( x)  C2 ( x) ˜ y2 ( x)

(7-61)

gemacht und mittels der Methode der Variation der Konstanten C 1 (x) und C 2 (x) bestimmt. Die Funktionen y 1 (x) und y2 (x) sind vorgegeben, weil sie ein Fundamentalsystem der zugehörigen Differentialgleichung bilden. 2. Potenzreihenmethode: Falls die Differentialgleichung eine Potenzreihenentwicklung gestattet, kann die Lösungsfunktion in Form von Potenzreihen konstruiert werden (Potenzreihenansatz). Unter Potenzreihenlösungen versteht man Lösungsfunktionen y(x) von Differentialgleichungen, die sich als endliche oder unendliche konvergente Potenzreihen der Form m

y ( x) =

¦

k

0

ª c k ˜  x  x0 kº bzw. y( x) = ¬ ¼

f

¦

k

ª c k ˜  x  x0 kº ¬ ¼

(7-62)

0

darstellen lassen. Die Konstanten c k werden nach dem Einsetzen des Potenzreihenansatzes in die Differentialgleichung durch Koeffizientenvergleich bestimmt. 3. Laplace-Transformation: Näheres dazu siehe Kapitel 5.

Seite 293

Differentialgleichungen

7.2.2.1 Einfache gewöhnliche Differentialgleichungen 2. Ordnung Von den Differentialgleichungen 2. Ordnung werden hier nur diejenigen angeführt, die sich leicht auf eine Differentialgleichung 1.Ordnung zurückführen lassen. Die Differentialgleichung 2. Ordnung y'' ( x) = f ( x)

(7-63)

kann durch zweimalige Integration gelöst werden:

y' ( x) =

´ µ µ ¶

´ µ y ( x) = µ µ µ ¶

f ( x) dx  C1

(7-64)

§´ · ¨ µ f ( x) dx  C dx  C 1 2 ¨µ ©¶ ¹

(7-65)

Beispiel 7.21: Wie lautet das Geschwindigkeits-Zeit Gesetz v(t) und Weg-Zeit Gesetz s(t) für den freien Fall eines Körpers (ohne Luftwiderstand)? Die Anfangsbedingung lautet: s(0 s) = 0 m und s'(0 s) = v(0 s) = v 0 gelten. Es gilt für das Kräftegleichgewicht: F = - G 2

m˜

d

dt

2

dt

2

a=

d

dt

v( t) =

2

2

d

bzw.

s ( t) = m ˜ g

s ( t) =

´ µ µ ¶

d dt

s ( 0 ˜ s ) = C2 = 0 ˜ m t

d dt

v=g

Ÿ d dt t

Anfangsbedingung

C = v0

s ( t) = g ˜ t  v0

2

2

 v0 ˜ t  C2

Geschwindigkeit-Zeit Gesetz

zweite Integration

Anfangsbedingung

2

2

 v0 ˜ t

Differentialgleichung 2. Ordnung für den freien Fall

erste Integration

bzw.

g ˜ t  v0 dt = g ˜

bzw.

allgemeine Darstellung der Beschleunigung

g dt = g ˜ t  C1

v ( t) = g ˜ t  v0

s ( t) = g ˜

s ( t) = g

v( t)

v ( 0 ˜ s ) = g ˜ 0 ˜ s  C1 = v0

´ µ s ( t) = µ ¶

2

Weg-Zeit Gesetz

Seite 294

Differentialgleichungen

Die Differentialgleichung 2. Ordnung y'' ( x) = f ( x  y' ( x) )

(7-66)

kann mittels der Substitution u(x) = y'(x) und mit u'(x) = y''(x) auf die Differentialgleichung 1. Ordnung



u' ( x) = f ( x  u ( x) ) mit der Lösung u x  C1



(7-67)

gebracht werden. Die Lösung der Differentialgleichung 2. Ordnung erhält man dann aus

y ( x) =

´ µ µ ¶





u x  C1 dx  C2

(7-68)

Beispiel 7.22: Lösen Sie das folgende Randwertproblem: gegebene Differentialgleichung 2. Ordnung

x ˜ y''  y' = 0 y ( 1) = 2 y'' =

y' x

y ( 5) = 3

umgeformte Differentialgleichung

= f ( x  y')

Ÿ

u = y'

Randbedingungen

u' = y''

Substitutionsgleichung und Ableitung

Wir setzen in die Differentialgleichung ein und erhalten: u' =

u

bzw.

x

x ˜ u' = u

Durch Trennung der Variablen ergibt sich schließlich: du u

=

u

und

x

´ µ µ µ ¶

´ µ du = µ u µ ¶ 1

1



dx

Ÿ

ln ( u) = ln ( x)  ln C1

C1 ˜ x dx

Ÿ

y = C1 ˜

x

Ÿ

Durch Rücksubstitution ergibt sich die Lösung y: y' = u = C1 ˜ x

Ÿ

´ µ µ ¶

1 dy =

´ µ µ ¶

2

x

2

 C2

Mit den Randbedingungen können schließlich die unbekannten Konstanten bestimmt werden: 2

y ( 1) = C1 ˜

1

2

 C2 = 2 lineares Gleichungssystem

2

y ( 5) = C1 ˜

5

2

 C2 = 3

Seite 295

u = C1 ˜ x

Differentialgleichungen

Vorgabe 2

C1 ˜

1

 C2 = 2

2 2

C1 ˜

5

Lösung des Gleichungssystem mithilfe des Lösungsblocks

 C2 = 3

2

§¨ 5 ¨ 12  Suchen  C1  C2 o ¨ ¨ 53 © C2 ¹ ¨ © 24 § C1 ·

y ( x) =

2

5 12

˜

x

2

53



· ¸ ¸

C1 o

5 12

C2 o

53 24

¹

gesuchte Lösung

24

Die Differentialgleichung 2. Ordnung y'' ( x) = f ( y ( x) )

(7-69)

kann durch Multiplikation auf beiden Seiten mit y' y'' ˜ y' = f ( y) ˜ y'

(7-70)

und unter Berücksichtigung von y'' ˜ y' =

1 d 2 ˜ y' 2 dx

(7-71)

auf die Form 1 d 2 d ˜ y' = f ( y) ˜ y 2 dx dx

(7-72)

gebracht werden. Multiplizieren wir (7-72) mit 2 dx und integrieren wir dann die Gleichung auf beiden Seiten, so erhalten wir: 2

y' = 2 ˜

´ µ µ ¶

f ( y) dy  C1

(7-73)

Durch Wurzelziehen erhalten wir schließlich eine Differentialgleichung 1. Ordnung

y' =

2˜

´ µ µ ¶

f ( y) dy  C1 ,

(7-74)

die durch Trennung der Variablen gelöst werden kann. Allerdings muss oft eine noch recht schwierige Integration durchgeführt werden.

Seite 296

Differentialgleichungen

Beispiel 7.23 Welche Geschwindigkeit muss ein Körper haben, damit er sich vom Gravitationsfeld der Erde lösen kann ?

F ( r) = J ˜

m˜M

Gravitationsgesetz

2

r

Das Gravitationsgesetz lässt sich noch umformen: FG = F ( R) m˜g= J˜

m˜M

also

2

2

J ˜ M = g˜ R

R

2

F ( r) = m ˜ g ˜

Abb. 7.34

R

2

r

Gleichgewichtsbedingung: F = F(s) 2

R

m ˜ s'' ( t) = m ˜ g ˜

s

Differentialgleichung 2. Ordnung

2

Durch Vereinfachung und Multiplikation mit s' und mit (7-72) folgt: 2

s'' ˜ s' = g ˜

2

R s

Ÿ

˜ s'

2

1 d 2 R d ˜ s' = g ˜ ˜ s 2 dt 2 dt s

Schließlich erhält man durch Multiplikation mit 2 dt und anschließender Integration: ´ µ 2 µ s' = µ µ ¶

2

2 ˜ g ˜

R s

2

ds

Ÿ

2

2

2

s' = v = 2 ˜ g ˜

R

s

 C1

Annahme: Die Geschwindigkeit v = 0 für r of. Damit ist C1 = 0 und es gilt: v( s) = R ˜

2˜

g s

gesuchte Lösungsfunktion für die Geschwindigkeit

Durch Trennung der Variablen und Integration erhält man das Weg Zeit Gesetz. Mit der Anfangsbedingung s(t=0) = R lässt sich dann auch noch die zweite Konstante bestimmen. 6

R  6.371 ˜ 10 ˜ m

Erdradius

v ( R) 

Mindestgeschwindigkeit an der Erdoberfläche (zweite kosmische Geschwindigkeit)

v ( R)

2˜ g˜ R

11.178

km s

Seite 297

Differentialgleichungen

Beispiel 7.24 Aus der Abb. 7.34 erhalten wir für ein mathematisches Pendel mit der Pendellänge L die nachfolgend gegebene Differentialgleichung. Die Anfangsbedingungen lauten: M' (D) = 0 und zwischen 0 und D ergibt sich ein Viertel der Schwingungsdauer T. Wie lautet die Lösung der Differentialgleichung? Gleichgewichtsbedingung: F = F T Differentialgleichung 2. Ordnung

m ˜ s'' = m ˜ g ˜ sin ( M )

Mit s = L M und s'' = L M'' lässt sich dann die Differentialgleichung schreiben: M'' = 

Abb. 7.35

g L

2

˜ sin ( M ) = Z 0 ˜ sin ( M )

Durch Multiplikation der Gleichung mit M' ergibt sich dann: 2

M'' ˜ M' = Z 0 ˜ sin ( M ) ˜ M'

bzw. mit (7-72)

1 d 2 2 d ˜ M' = Z 0 ˜ sin ( M ) ˜ M 2 dt dt ´

2 µ

2

M' = 2 ˜ Z 0 ˜

µ ¶

2

sin ( M ) dM = 2 ˜ Z 0 ˜ cos ( M )  C1 2

Mit der Anfangsbedingung M' (D) = 0 folgt: M' =

C1 = 2 ˜ Z 0 ˜ cos ( D )

2

2 ˜ Z 0 ˜ ( cos ( M )  cos ( D ) )

Der Wurzelausdruck kann mit cos ( x) = 1  2 ˜ sin

M' = Z 0 ˜

ª ¬

2 ˜ « 1  2 ˜ sin

2§ x ·

¨ umgeformt werden zu: © 2¹

2§ M ·

2§ D · º 2§ D · 2§ M ·  1  2 ˜ sin ¨  sin ¨ ¨ » = 2 ˜ Z 0 ˜ sin ¨ © 2¹ © 2 ¹¼ © 2¹ © 2¹

Durch Trennung der Variablen ergibt sich dann: ´ µ t= µ ¶

´ µ ˜ 1 dt = 2 ˜ Z0 µ µ µ ¶ 1

1 sin

2§ D ·

dM 2§ M ·

 sin ¨ ¨ © 2¹ © 2¹

Die Integration zwischen 0 und D ergibt ein Viertel der Schwingungsdauer: ´ µ = ˜ 4 2 ˜ Z0 µ µ µ ¶ T

1

D

0

1 sin

2§ D ·

dM 2§ M ·

 sin ¨ ¨ © 2¹ © 2¹

Seite 298

Differentialgleichungen

§ M · = sin § D · ˜ sin ( v) ergibt sich dann: ¨ © 2¹ © 2¹

Durch Substitution von sin ¨

sin

2§ D ·

2§ M ·  sin ¨ = ¨ © 2¹ © 2¹

sin

§ § D · ˜ sin ( v)· = arcsin ¨ sin ¨ 2 © © 2¹ ¹

M

2§ D ·

2§ M · 2 § D · ˜ 1  sin2( v) = sin § D · ˜ cos ( v)  sin ¨ ˜ sin ( v) = sin ¨ ¨ ¨ © 2¹ © 2¹ © 2¹ © 2¹

d und die Ableitung

dv

1

M = 2˜ 1  sin

2§ D ·

2 ¨ ˜ sin ( v) © 2¹

§ D · ˜ cos ( v) © 2¹

˜ sin ¨

Integrationsgrenzen: Für M = 0 folgt v = 0 und für M = D folgt v = S/2 S

´ T 1 µ = ˜ 4 2 ˜ Z0 µ µ µ ¶

D

0

1 sin

2§ D ·

2§ M ·

 sin ¨ ¨ © 2¹ © 2¹

´2 µ µ µ µ 2 ˜µ dM = 2 ˜ Z0 µ µ ¶

1 1  sin

0

2§ D ·

2

§D· ˜ cos ( v) © 2¹

˜ sin ¨

¨ ˜ sin ( v) © 2¹ § D · ˜ cos ( v) sin ¨ © 2¹

dv

S S

´2 µ ˜µ T= Z0 µ µ µ ¶ 4

0

1 2

§ D · ˜ sin ( v) © 2¹

1  sin ¨

´2 µ µ 4 µ dv = ˜ Z0 µ ¶ 2 0

1 2 · § ¨ 1  sin §¨ D · ˜ sin ( v) 2 © © 2¹ ¹

2

dv

elliptisches Integral 2. Art

Der Nenner im Integranden kann nach der Binomischen Reihe und gliedweiser Integration ausgewertet werden:

§D· z = sin ¨ © 2¹

2

und

w = sin ( v)

2

1 2

1  z ˜ w2

konvertiert in die Reihe

1

1 2

2

˜z˜w 

3 8

2

4

˜z ˜w 

5 16

S

´2 µ 1 3 2 5 2 4 3 6 ˜ µ 1  ˜ z ˜ sin ( v)  ˜ z ˜ sin ( v)  T= ˜ z ˜ sin ( v) dv Z0 µ 2 8 16 ¶ 4

ergibt

0

T=

4 Z0

§ 1 ˜ S  1 ˜ S ˜ z  9 ˜ S ˜ z 2  25 ˜ S ˜ z 3  ....· 8 128 512 ©2 ¹

˜¨

T = 2˜ S ˜

T = 2˜ S ˜

2 4 6 § · 4 D· 36 D· 100 D· § § § ¨ ˜ 1  ˜ sin ¨  ˜ sin ¨  ˜ sin ¨  .... g © 8 128 512 © 2¹ © 2¹ © 2¹ ¹

L

L g

Schwingungsdauer für kleine Winkel D !

Seite 299

3

6

 8

˜z ˜w  O w

Differentialgleichungen

7.2.2.2 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten a) Die lineare homogene Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten: Die lineare homogene Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten ist ein Sonderfall von (7-59). Die Koeffizientenfunktionen a 1 (x) = a1 und a0 (x) = a0 sind konstant (a0 , a1 ) und die Störfunktion (oder Störglied) s(x) = 0. y'' ( x)  a1 ˜ y' ( x)  a0 ˜ y ( x) = 0

(7-75)

Diese Differentialgleichung besitzt folgende Eigenschaften: 1. Ist y1 (x) eine Lösung der Differentialgleichung, so ist auch die mit einer beliebigen Konstanten C () multiplizierte Funktion yh ( x) = C ˜ y1 ( x)

(7-76)

eine Lösung der Differentialgleichung. 2. Sind y1 (x) und y2 (x) zwei Lösungen der Differentialgleichung, so ist auch die Linearkombination yh ( x) = C1 ˜ y1 ( x)  C2 ˜ y2 ( x)

(7-77)

eine Lösung der Differentialgleichung (C1 , C2 ). 3. Ist yh(x) = v(x) + j w(x) eine komplexwertige Lösung der Differentialgleichung, so sind auch der Realteil v(x) und der Imaginärteil w(x) reelle Lösungen der Differentialgleichung. Zwei Lösungen y 1 (x) und y2 (x) einer homogenen linearen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten werden als Basislösungen oder Basisfunktionen bezeichnet, wenn die mit ihnen gebildete Wronski-Determinante





W y1 ( x)  y2 ( x) =

§ y1 ( x) y2 ( x) · ¨ © y'1 ( x) y'2 ( x) ¹

(7-78)

von null verschieden ist. Zwei Basislösungen werden als linear unabhängige Lösungen bezeichnet. Ist die WronskiDeterminante dagegen gleich null, so werden diese Lösungen als linear abhängig bezeichnet.





Ist also die Wronski-Determinante W y1 ( x)  y2 ( x) z 0 , so ist die allgemeine Lösung von (7-75) als Linarkombination zweier linear unabhängiger Basislösungen (Lösungen) y 1 (x) und y2 (x) in der Form yh ( x) = C1 ˜ y1 ( x)  C2 ˜ y2 ( x)

(C1 , C2 )

(7-79)

darstellbar. Die der allgemeinen Lösung (7-79) zugrunde liegenden Basislösungen bilden ein Fundamentalsystem (Fundamentalbasis) der Differentialgleichung (7-75).

Seite 300

Differentialgleichungen

Ein Fundamentalsystem der homogenen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten lässt sich durch einen Lösungsansatz in Form einer Exponentialfunktion O ˜x

y ( x) = e

(7-80)

durch Bestimmung des Faktors O gewinnen. Bildet man die Ableitungen O ˜x

y' ( x) = O ˜ e

2

O ˜x

und y'' ( x) = O ˜ e

(7-81)

und setzt y(x), y'(x) und y''(x) in die Differentialgleichung (7-75) ein, dann erhalten wir folgende quadratische Gleichung in Normalform: 2

O ˜x

O ˜x

y'' ( x)  a1 ˜ y' ( x)  a0 ˜ y ( x) = O ˜ e

§ O 2  a1 ˜ O  a0· ˜ eO˜x = 0 © ¹

O ˜x

(e

 a1 ˜ O ˜ e

O ˜x

 a0 ˜ e

=0

z 0)

2

O  a1 ˜ O  a0 = 0

(7-82)

Sie wird charakteristische Gleichung der homogenen Differentialgleichung (7-75) genannt. Sie besitzt die Lösungen

O1 = 

a1 2



a1

2

4

 a0 und O 2 = 

a1 2

a1



2

4

Nach der Beschaffenheit der Diskriminante D1 =

a1

 a0

(7-83)

2

4

 a0 unterscheiden wir drei Fälle.

1. Fall: D1 > 0 Die charakteristische Gleichung besitzt also zwei verschiedene reelle Lösungen O1 und O2 . Die Lösungsfunktionen O 1˜x

y1 ( x) = e

O 2˜x

und y2 ( x) = e

(7-84)

sind wegen O 1˜x · §¨ eO 1˜x O1 ˜ e § y1 ( x) y2 ( x) · W  y1 ( x)  y2 ( x) = ¨ = ¨ ¸ y' y' ( x ) ( x ) 1 2 © ¹ ¨ O 1 ˜ eO 1˜x O 2 ˜ eO 2˜x © ¹





O 1˜x

W y1 ( x)  y2 ( x) = e

O 2˜x

˜ O2 ˜ e

O 1˜x

 O1 ˜ e

O 1˜x

˜ O1 ˜ e





 O 1  O 2 ˜x z 0

= O2  O1 ˜ e

(7-85)

linear unabhängig und bilden somit ein Fundamentalsystem der Differentialgleichung (7-75). Die allgemeine Lösung lautet dann: O 1˜x

yh ( x) = C1 ˜ y1 ( x)  C2 ˜ y2 ( x) = C1 ˜ e

O 2˜x

 C2 ˜ e

Seite 301

(O , O ) 1

2

(7-86)

Differentialgleichungen

Beispiel 7.25 Wie lautet die allgemeine Lösung der gegebenen Differentialgleichung ? homogene lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

y''  3 ˜ y'  2 ˜ y = 0 charakteristische Gleichung: 2

O  3˜ O  2 = 0

O1 = 

3 2

9





4

8 4

= 1

O1 = 

3 2

9



4

8



4

= 2

Fundamentalsystem der Differentialgleichung: x

 2˜x

und

y1 ( x) = e

y2 ( x) = e

allgemeine Lösung der Differentialgleichung: x

yh ( x) = C1 ˜ e

 2˜x

(C1 , C2 )

 C2 ˜ e

2. Fall: D1 = 0 Die charakteristische Gleichung besitzt also nur eine reelle Doppellösung O 1 = O 2 = 

a1 2

.

Wir erhalten in diesem Falle zunächst nur eine Lösungsfunktion: a1



2

y1 ( x) = y2 ( x) = e

˜x

(7-87)

Mit dem Lösungsansatz 

a1

y ( x) = C ( x) ˜ e

2

˜x

(7-88)

kann durch Variation der Konstanten die allgemeine Lösung der Differentialgleichung bestimmt werden: 

y' ( x) = C' ( x) ˜ e

§ ©

y'' ( x) = ¨ C'' ( x) 

a1 2

a1 2

˜x



a1 2



˜ C ( x) ˜ e

· ¹



˜ C' ( x) ˜ e

a1 2

a1 2

˜x



˜x

a1



a1 § · = ¨ C' ( x)  ˜ C ( x) ˜ e 2 © ¹

§ 2 ©

˜ ¨ C' ( x) 

2 §¨ ·  a1 y'' ( x) = ¨ C'' ( x)  a1 ˜ C' ( x)  ˜ C ( x) ˜ e 4 © ¹

a1 2

a1 2

· ¹



˜ C ( x) ˜ e

a1 2 a1 2

˜x

(7-89) ˜x

˜x

Seite 302

(7-90)

Differentialgleichungen

2 §¨ ·  a1 a1 ¨© C'' ( x)  a1 ˜ C' ( x)  4 ˜ C ( x)  a1 ˜ C' ( x)  2 ˜ C ( x)  a0 ˜ C ( x)¹ ˜ e

C'' ( x) 

a1

a1 2

˜x

=0

2

˜ C ( x)  a0 ˜ C ( x) = 0

4

§¨ a12 · C'' ( x)  ¨  a0 ˜ C ( x) = 0 © 4 ¹ Daraus folgt wegen D = 0: C'' ( x) = 0

(7-91)

Durch zweimalige Integration erhalten wir schließlich C ( x) = C1 ˜ x  C2

(7-92)

Die allgemeine Lösung für die homogenen Differentialgleichung (7-75) lautet somit: 

yh ( x) = C1 ˜ x ˜ e a1



2

y1 ( x) = x ˜ e

a1 2

˜x



a1 2

 C2 ˜ e

˜x



und y2 ( x) = e

˜x





a1



= C1 ˜ x  C2 ˜ e a1 2

2

˜x

( C1, C2 )

(7-93)

˜x

(7-94)

sind wegen

§¨ ¨ § y1 ( x) y2 ( x) · W  y1 ( x)  y2 ( x) = ¨ = ¨ ¨  y' y' ( x ) ( x ) 2 © 1 ¹ ¨ ¨© e §¨ ¨ ¨ ¨  ¨ ¨© e



x˜ e a1 2

˜x



a1 2

a1 2

˜x

˜ x˜ e

a1 2

˜x

x˜ e a1 2

˜x



a1 2

a1 2

˜x



˜ x˜ e

a1 2

˜x

a1

· ¸ e ¸ a1 ¸ a1  2 ˜x ¸  ˜e 2 ¹ 

2

˜x

· ¸ 2 e ¸ o exp §¨ 1 ˜ a ˜ x· z0 1 a1 ¸ ©2 ¹  ˜ x a1 2 ¸  ˜e 2 ¹ 



a1



2

˜x

linear unabhängig und bilden somit ein Fundamentalsystem der Differentialgleichung (7-75).

Seite 303

(7-95)

Differentialgleichungen

Beispiel 7.26 Wie lautet die allgemeine Lösung der gegebenen Differentialgleichung ? homogene lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

y''  8 ˜ y'  16 ˜ y = 0 charakteristische Gleichung: 2

O  8 ˜ O  16 = 0

O1 =

8 2



16  16 = 4

O2 =

8 2



16  16 = 4

Fundamentalsystem der Differentialgleichung: 4˜x

4˜x

und

y1 ( x) = x ˜ e

y2 ( x) = e

allgemeine Lösung der Differentialgleichung: 4˜x

yh ( x) = C1 ˜ x ˜ e

4˜x

 C2 ˜ e





4˜x

= C1 ˜ x  C2 ˜ e

(C1 , C2 )

3. Fall: D1 < 0 Die charakteristische Gleichung besitzt jetzt konjugiert komplexe Lösungen:

O1 = 

a1 2



§¨ a12 · a1 1 2 ¨  a0 =   j ˜ ˜ 4 ˜ a0  a1 = N  j ˜ Z 2 2 © 4 ¹



§¨ a12 · a1 1 2 ¨  a0 =   j ˜ ˜ 4 ˜ a0  a1 = N  j ˜ Z 4 2 2 © ¹

und O2 = 

a1 2

(7-96)

Das Fundamentalsystem der homogenen Differentialgleichung (7-75) besteht in diesem Fall aus den komplexen Lösungen ( N  j˜Z )˜x

y1 ( x) = e

( N  j˜Z )˜x

und y2 ( x) = e

(7-97)

Die Wronsky-Determinante ist nämlich ungleich null:





W y1 ( x)  y2 ( x) =

( N  j˜Z )˜x ( N  j˜Z )˜x ª º § y1 ( x) y2 ( x) · e e « » = ¨ « ( N  j˜Z )˜x ( N  j˜Z )˜x » © y'1 ( x) y'2 ( x) ¹ (N  j ˜ Z ) ˜ e ¬ (N  j ˜ Z ) ˜ e ¼

( N  j˜Z )˜x ( N  j˜Z )˜x ª º e e « » vereinfachen o 2 ˜ j ˜ Z ˜ exp ( 2 ˜ x ˜ N ) (7-98) « ( N  j˜Z )˜x ( N  j˜Z )˜x » (N  j ˜ Z ) ˜ e ¬ (N  j ˜ Z ) ˜ e ¼

Seite 304

Differentialgleichungen

Mithilfe der Euler'schen Beziehungen j ˜z

e

 j ˜z

= cos ( z )  j ˜ sin ( z ) und e

= cos ( z )  j ˜ sin ( z )

(7-99)

lässt sich das komplexe Fundamentalsystem auf ein reelles überführen: ( N  j˜Z )˜x

( N  j˜Z )˜x

y ( x) = C1 ˜ y1 ( x)  C2 ˜ y2 ( x) = C1 ˜ e N˜x

y ( x) = C1 ˜ e N˜x

y ( x) = e

N˜x

y ( x) = e

˜e

j˜Z˜x

N˜x

 C2 ˜ e

 j˜Z˜x

˜e

 C2 ˜ e N˜x

=e

˜ §© C1 ˜ e

j˜Z˜x

 j˜Z˜x·

 C2 ˜ e

¹

˜ ª¬ C1 ˜ ( cos ( Z ˜ x)  j ˜ sin ( Z ˜ x) )  C2 ˜ ( cos ( Z ˜ x)  j ˜ sin ( Z ˜ x) ) º¼









˜ ª¬ C1  C2 ˜ cos ( Z ˜ x)  j ˜ C1  C2 ˜ sin ( Z ˜ x) º¼

(7-100)

Ist y(x) = v(x) + j w(x) eine komplexwertige Lösung der Differentialgleichung, so sind auch der Realteil v(x) und der Imaginärteil w(x) reelle Lösungen der Differentialgleichung. N˜x

y1 ( x) = e

N˜x

˜ cos ( Z ˜ x) und y1 ( x) = e

˜ sin ( Z ˜ x)

(7-101)

bilden wegen





W y1 ( x)  y2 ( x) =

N˜x N˜x § · e ˜ cos ( Z ˜ x) e ˜ sin ( Z ˜ x) ¨ ¨ N˜x N˜x N˜x N˜x © N ˜ e ˜ cos ( Z ˜ x)  Z ˜ e ˜ sin ( Z ˜ x) N ˜ e ˜ sin ( Z ˜ x)  Z ˜ e ˜ cos ( Z ˜ x) ¹

N˜x N˜x § · e ˜ sin ( Z ˜ x) e ˜ cos ( Z ˜ x) ¨ ¨ N˜x N˜x N˜x N˜x © N ˜ e ˜ cos ( Z ˜ x)  Z ˜ e ˜ sin ( Z ˜ x) N ˜ e ˜ sin ( Z ˜ x)  Z ˜ e ˜ cos ( Z ˜ x) ¹

vereinfacht auf exp ( 2 ˜ x ˜ N ) ˜ Z z 0

(7-102)

ein reelles Fundamentalsystem. Die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung (7-75) lautet daher: N˜x

yh ( x) = e



˜ C1 ˜ cos ( Z ˜ x)  C2 ˜ sin ( Z ˜ x)



(C , C ) 1

2

(7-103)

Setzt man C1 = A ˜ cos ( M ) und C2 = A ˜ sin ( M ) und wenden wir anschließend den Summensatz cos(D) cos(E) - sin(D) sin(E) = cos(D + E) an, so kann (7-103) in folgender Form geschrieben werden: N˜x

yh ( x) = A ˜ e

˜ cos ( Z ˜ x  M )

(A, M)

mit tan ( M ) = 

sin ( M ) cos ( M )

=

C2 C1

und A =

2

C1  C2

2

Seite 305

(7-104)

Differentialgleichungen

Beispiel 7.27 Wie lautet die allgemeine Lösung der gegebenen Differentialgleichung ? homogene lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

y''  4 ˜ y'  13 ˜ y = 0

charakteristische Gleichung: 2

O  4 ˜ O  13 = 0

§ 2  3 ˜ i · § N  Z ˜ j · =¨ ¨ © 2  3 ˜ i ¹ © N  Z ˜ j ¹

hat als Lösung(en)

(i = j)

Fundamentalsystem der Differentialgleichung:  2˜x

y1 ( x) = e

˜ cos ( 3 ˜ x)

 2˜x

und

y2 ( x) = e

˜ sin ( 3 ˜ x)

allgemeine Lösung der Differentialgleichung:  2˜x

yh ( x) = C1 ˜ e

 2˜x

˜ cos ( 3 ˜ x)  C2 ˜ e

 2˜x

˜ sin ( 3 ˜ x) = e



˜ C1 ˜ cos ( 3 ˜ x)  C2 ˜ sin ( 3 ˜ x)



(C1 , C2 )

oder  2˜x

yh ( x) = A ˜ e

˜ cos ( 3 ˜ x  M )

(A, M )

Ein wichtiges Anwendungsgebiet für lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten sind Schwingungsprobleme (siehe dazu auch Band Einführung in Mathcad, Abschnitt 15.2 und Kapitel 5 in diesem Band). Bei der freien Schwingung wird ein schwingungsfähiges System nach einmaligen Anstoß mit einer Kraft, einem Drehmoment oder einer Spannung usw. sich selbst überlassen. Es sind also keine von außen einwirkenden Kräfte, Drehmomente oder Spannungen usw. vorhanden. Man unterscheidet hier zwischen einer freien ungedämpften Schwingung (keine Dämpfung) und einer freien gedämpften Schwingung (mit Dämpfung). Freie Schwingungen werden durch homogene lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten beschrieben. Nachfolgend sollen stellvertretend für viele ähnliche Systeme drei Systeme betrachtet werden (Abb. 7.35).

Abb. 7.36

Seite 306

Differentialgleichungen

Gleichgewichtsbedingung:

(7-105)

F = FD + Fr

uL + uR + uC = 0

Kräfte:

Spannungen: 2

F= m˜

d

dt FD = E ˜

2

d dt

d

y ( t)

uL = L ˜

y( t)

uR = R ˜ i ( t )

Fr = k ˜ y ( t)

dt

Ströme:

i ( t)

1 ´ µ ˜ C µ ¶

uC =

iC + iR + iL = 0

1 ´ µ ˜ L µ ¶

iL =

u ( t)

iR =

i dt

u dt

R

iC = C ˜

d dt

u ( t)

Durch Einsetzen in die Gleichgewichtsbedingungen und anschließender Differentiation der Gleichung, erhält man aus der Differential-Integralgleichung die Differentialgleichung: (7-106) 2

m˜

d

dt

2

y ( t) = E ˜

2

m˜

d

dt

2

2

d

dt

2

y

yE˜ E

˜

d

m dt

2

d

dt

2

y  2˜ G˜

d dt

dt

dt

y( t)  k ˜ y ( t)

L˜

d dt d

L˜

dt k m

2

i  R˜

2

d

˜y=0

dt

2

i

dt

2

d dt

i

1 C

i dt = 0

i  2˜ G˜

d dt

C˜

d dt

C˜

d

dt

2

i  Z0 ˜ i = 0

2

d

dt

2

u

2

u

1

˜

dt

2

u  2˜ G˜



R

1 ´ µ ˜ L µ ¶

d

d dt

u

1 L˜ C

˜u=0

2

u  Z0 ˜ u = 0

Abklingkonstante oder Dämpfungsexponent: G=

E

G=

2˜ m

R

G=

2˜ L

1 2˜ R˜ C

(7-107)

Eigenkreisfrequenz des dämpfungslosen Systems (Kennkreisfrequenz): Z0 =

k

Z0 =

m

1 L˜ C

Z0 =

1 L˜ C

(7-108)

Die charakteristische Gleichung 2

2

O  2 ˜ G ˜ O  Z0 = 0

(7-109)

hat die Lösungen O 1 = G 

2

2

G  Z 0 , O 2 = G 

2

G  Z0

2

(7-110)

Die verschiedenen O-Werte liefern die möglichen Schwingungsfälle.

Seite 307

u dt

1 d 1 ˜ u ˜u=0 R dt L

R ˜ C dt

2

d

u ( t)

u ( t)  2

˜i=0

R d 1 ˜i=0 ˜ i L dt L˜ C

2

d

2

y  Z0 ˜ y = 0

1 ´ µ ˜ C µ ¶

i ( t)  R ˜ i ( t)  2

y k˜y=0

y

d

d

Differentialgleichungen

Zur Charakterisierung der verschiedenen Fälle benutzen wir den Dämpfungsgrad G D= Z0

(7-111)

Freie ungedämpfte Schwingung: D = 0 Damit ist G = 0, d.h., es handelt sich um eine ungedämpfte Schwingung mit der Kreisfrequenz Z0 und Lösungen der charakteristischen Gleichung sind konjugiert komplex (imaginär): O 1 = j ˜ Z 0 , O 2 = j ˜ Z 0

(7-112)

Die Lösung der Differentialgleichung lautet (y(t) , i(t), u(t)):











yh ( t) = C1 ˜ cos Z 0 ˜ t  C2 ˜ sin Z 0 ˜ t = A ˜ sin Z 0 ˜ t  M



(7-113)

Freie gedämpfte Schwingung: 0 < D < 1 Damit ist G < Z0 und die Lösungen der charakteristischen Gleichung sind konjugiert komplex: 2

O 1 = G  j ˜

2

Z 0  G = G  j ˜ Z , O 1 = G  j ˜

2

2

Z 0  G = G  j ˜ Z

(7-114)

Die Lösung der Differentialgleichung lautet (y(t) , i(t), u(t)):  G ˜t

yh ( t) = e



 G˜t



˜ C1 ˜ cos ( Z ˜ t)  C2 ˜ sin ( Z ˜ t) = A ˜ e

˜ sin ( Z ˜ t  M )

(7-115)

Das System führt eine gedämpfte Sinusschwingung mit zeitlich abnehmender Amplitude A e - Gt aus. Die Eigenfrequenz 2

2

Z=

2

Z0  G = Z0 ˜ 1  D weicht umso mehr von der Kennkreisfrequenz Z0 ab, je größer der Dämpfungsgrad D ist.

(7-116)

Aperiodischer Grenzfall: D = 1 Damit ist G = Z0 und die charakteristische Gleichung hat eine Doppellösung (die Diskriminante ist null) O 1 = O 2 = G

(7-117)

Die Lösung der Differentialgleichung lautet (y(t) , i(t), u(t)):



 G ˜t



yh ( t) = C1 ˜ t  C2 ˜ e

(7-118)

Diese Funktion ist nicht mehr periodisch! Aperiodischer Fall: D > 1 Damit ist G > Z0 und es herrscht eine starke Dämpfung. Die charakteristische Gleichung hat die Lösungen: O 1 = G 

2

2

G  Z 0 = G  w , O 2 = G 

2

2

G  Z 0 = G  w

(7-119)

Die Lösung der Differentialgleichung lautet (y(t) , i(t), u(t)):  G ˜t

yh ( t) = e

w˜t

˜ §© C1 ˜ e

 w˜t·

 C2 ˜ e

(7-120)

¹

Seite 308

Differentialgleichungen

Mit C1  C2 = A1 und C1  C2 = B1 erhält man eine andere Darstellung durch Umformung:  G ˜t

yh ( t) = e

B1 ª A1 w˜t  w˜t w˜t  w˜t º ˜ e e  ˜ e e » 2 ¬ 2 ¼

 G 1˜t

yh ( t) = e



˜«









˜ A1 ˜ cosh ( w ˜ t )  B1 ˜ sinh ( w ˜ t )



(7-121)

Beispiel 7.28 Ein homogener zylindrischer Körper mit der Masse m 0 = 20 kg und der Querschnittsfläche A = 100 cm 2 taucht in eine Flüssigkeit der Dichte U = 2000 kg/m 3 zur Hälfte ein. Zur Zeit t = 0 s wird der Körper kurz nach unten angestoßen und beginnt dann um die Gleichgewichtslage zu schwingen. Wie lautet die Lösung der zugehörigen Differentialgleichung unter Berücksichtigung des Auftriebs und einer geschwindigkeitsproportionalen Reibungskraft mit einem Reibungskoeffizienten E = 2.4 kg/s ? Anfangsbedingungen: y(0 s) = 0 m und v(0 s) = y'(0 s) = v 0 = 2 m/s . o  o  o m 0 ˜ a = FD  FA

Gleichgewichtsbedingung

2

m0 ˜

d

dt

y ( t) = E ˜

2

2

m0 ˜

d

dt

2

d

dt

2

y( t)  2 ˜ G ˜

dt

d

y( t)  E ˜

2

d

dt

d

homogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

y( t)  U ˜ g ˜ A ˜ y( t) = 0

2

dt

bzw.

y ( t)  U ˜ g ˜ A ˜ y ( t)

mit

y( t)  Z 0 ˜ y( t) = 0

G=

E

2

und

2 ˜ m0

Z0 =

U ˜ g˜ A m0

charakteristische Gleichung: 2

2

O  2 ˜ G ˜ O  Z0 = 0

nach Variable O auflösen

§¨ G  ¨ ¨ G  ©

O 1 = G 

G  Z0

O 2 = G 

G  Z0

2

2·

2

2

G  Z0 G  Z0

¸ ¹

2

2

2

2

freie gedämpfte Schwingung:

O 1 = G  j ˜

G  Z0

 G ˜t

yh ( t) = e  G ˜t

e

2

2

Z 0  G = G  j ˜ Z



˜ C1 ˜ cos ( Z ˜ t)  C2 ˜ sin ( Z ˜ t)



˜ C1 ˜ cos ( Z ˜ t)  C2 ˜ sin ( Z ˜ t)





O 2 = G  j ˜

2

2

Z 0  G = G  j ˜ Z

allgemeine Lösung der freien gedämpften Schwingung



durch Differentiation, ergibt





G ˜ exp ( G ˜ t) ˜ C1 ˜ cos ( Z ˜ t)  C2 ˜ sin ( Z ˜ t)  exp ( G ˜ t) ˜ C1 ˜ sin ( Z ˜ t) ˜ Z  C2 ˜ cos ( Z ˜ t) ˜ Z

Seite 309



Differentialgleichungen

Anfangsbedingungen: y(0 s) = 0 m und v(0 s) = y'(0 s) = v 0 = 2 m/s:  G˜0





˜ C1 ˜ cos ( Z ˜ 0)  C2 ˜ sin ( Z ˜ 0) hat als Lösung(en)

0=e





0

Nach C 1 auflösen



v0 = G ˜ exp ( G ˜ 0) ˜ 0 ˜ cos ( Z ˜ t)  C2 ˜ sin ( Z ˜ 0)  exp ( G ˜ t) ˜ 0 ˜ sin ( Z ˜ 0) ˜ Z  C2 ˜ cos ( Z ˜ 0) ˜ Z

nach C2 auflösen

hat als Lösung(en) v0 exp ( G ˜ t) ˜ Z v0

yh ( t) =

 G˜t

˜e

Z

Lösung der homogenen Differentialgleichung

˜ sin ( Z ˜ t)

m

v0  2 ˜

Anfangsgeschwindigkeit

s

E  2.4 ˜

kg

Dämpfungsfaktor

s

Masse des Körpers

m0  20 ˜ kg U  2000 ˜

kg m

Dichte des Körpers

3 2

Fläche des Körpers

A1  100 ˜ cm G

E

U ˜ g ˜ A1

Z0 

Z

m0 2

Z0  G v0

yh ( t) 

Z v0

y1 ( t) 

v( t) 

Z d dt

0.06

G

2 ˜ m0

2

 G ˜t

˜e



Dämpfungsfaktor

s

3.132

Z0

Z

1

3.131

1

Eigenfrequenz des ungedämpften Systems

s

1

Eigenfrequenz des gedämpften Systems

s

Schwingungsgleichung

˜ sin ( Z ˜ t)

 G ˜t

˜e

yh ( t)

t  0 ˜ s  0.01 ˜ s  20 ˜ s

y2 ( t)  

v0 Z

 G˜t

˜e

Einhüllende Kurven

Geschwindigkeitsfunktion

Bereichsvariable

Seite 310

Differentialgleichungen

4 yh ( t) m

˜5 2

y1 ( t) m y2 ( t) m

˜5 0

˜5

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

v( t) 2

m s

4 t s

Abb. 7.37 Lösung mithilfe der Laplace-Transformation: 2

d

dt

2

y( t)  2 ˜ G ˜

d

2

dt

y( t)  Z 0 ˜ y( t) = 0

Anfangsbedingungen: y(0 s) = 0 m und v(0 s) = y'(0 s) = v 0 = 2 m/s 2

2

Y ( s ) ˜ s  s ˜ y ( 0)  y' ( 0)  2 ˜ G ˜ ( y ( 0)  Y ( s ) ˜ s )  Z 0 ˜ Y ( s ) = 0 2

Laplacetransformierte (direkt übersetzt)

2

Y ( s ) ˜ s  s ˜ 0  v0  2 ˜ G ˜ ( 0  Y ( s ) ˜ s )  Z 0 ˜ Y ( s ) = 0 v0  v0

G G

Redefinitionen

Z0  Z0

2

v0 2

s  2 ˜ G ˜ s  Z0

2

Z 0  G

1 ª « 2 exp ( G ˜ t) 2 2 yh ( t) = v0 ˜ ˜ sin «¬§© Z 0  G ·¹ 1

§ Z 0 2  G 2· © ¹ 2

2

Z = Z0  G

2

2

s  2 ˜ G ˜1s  Z 0

ª « 2 2 2 2 sin «§ Z 0  G · invlaplace  s 2 ¬ © ¹ 2 o v0 ˜ exp ( G ˜ t) ˜ §© Z 0  G ·¹ ˜ 2 2 vereinfachen 1

Mit

v0

2

Y ( s ) ˜ s  s ˜ 0  v0  2 ˜ G ˜ ( 0  Y ( s ) ˜ s )  Z 0 ˜ Y ( s ) auflösen  Y ( s ) o

º » ˜ t»¼

º » ˜ t»¼

2

inverse Transfor mation

Lösung der Differentialgleichung

2

folgt:

Seite 311

Differentialgleichungen

v0

yh ( t) =

 G˜t

˜e

Z

vereinfachte Lösung der Differentialgleichung

˜ sin ( Z ˜ t)

Lösung mit einem Näherungsverfahren (Runge-Kutta-Methode): 2

d

dt

2

y( t)  2 ˜ G ˜

d dt

2

y( t)  Z 0 ˜ y( t) = 0

Anfangsbedingungen: x(0 s) = 0 m und v(0 s) = x'(0 s) = v 0 = 2m/s v0  2

G

E  2.4 E

2 ˜ m0

G

m0  20

0.06

Z0 

U  2000

U ˜ g ˜ A1 m0

Z0

3.132

A1  100 ˜ 10

4

g  9.81

vorgegebene Werte ohne Einheiten

Umwandlung der Differentialgleichung 2. Ordnung in ein System 1. Ordnung: Y0 = y

Y'0 = Y1 = y'

Y'1 = Y2 = Y''

Y1 = y' 2

Y2 = 2 ˜ G ˜ Y1  Z 0 ˜ Y0 aw 

§0· ¨ © v0 ¹

D ( t  Y) 

aw ist ein Vektor mit den Anfagsbedingungen

Y1 § · Die Vektorfunktion D enthält die umgeformte Differentialgleichung in der ¨ Darstellung D(t,Y):=(Y1 ,...,Yn-1,y(n)(Y))T. Die letzte Komponente ist die ¨ 2 ˜ G ˜ Y  Z 2 ˜ Y 1 0 0¹ © nach y(n) umgeformte Differentialgleichung

N1  300

Anzahl der Zeitschritte für die numerische Berechnung

ta  0

Anfangszeitpunkt

te  20

Endzeitpunkt





Z  rkfest aw  ta  te  N1  D

Runge-Kutta-Methode. Die Lösung Z ist eine (N+1)x(n+1) Matrix. Die erste Spalte Z <0> enthält die Zeitpunkte t, die nächste Spalte Z <1> die Lösungsfunktion x(t), und die letzte Spalte Z die Ableitung x(n-1)(t).

¢0² t Z ˜ s

Zeitwerte

¢1² x Z ˜ m

Wegwerte

¢2² m v Z ˜ s

Geschwindigkeitswerte

k  0  zeilen ( Z)  1

Bereichsvariable

Seite 312

Differentialgleichungen

4

xk m

2 ˜5

vk

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

m s

2

4 tk s

Abb. 7.38 Beispiel 7.29 In einem Gleichstromkreis sind ein kapazitiver, ein Ohm'scher und ein induktiver Widerstand in Serie geschaltet (siehe Abb. 7.35). Der Kondensator soll zum Zeitpunkt t = 0 s aufgeladen sein, also eine Spannung U 0 besitzen. Gesucht ist der Strom i(t) beim Schließen des Serienkreises. Anfangsbedingungen: i(0 s) = 0 A und für t = 0 s ist u L(0 s) = - u C(0 s) = U0 d.h. i'(0 s) = U0 /L. Gleichgewichtsbedingung (7-105) - Kirhoffsches Gesetz

uL(t) + uR(t) + uC(t) = 0 L˜

d

i ( t)  R ˜ i ( t) 

dt

1 ´ µ ˜ C µ ¶

i ( t ) dt = 0

Differential-Integralgleichung

Durch Differentiation der Differential-Integralgleichung und Umformung erhält man die Differentialgleichung: 2

d

L˜

dt

2

i ( t)  R ˜

Mit G =

R 2˜ L

dt

2

dt

i ( t) 

2

1 C

und Z 0 =

2

d

d

i ( t)  2 ˜ G ˜

d dt

2

d

˜ i ( t) = 0

dt 1

L˜ C

2

i ( t) 

R d 1 ˜ i ( t) = 0 ˜ i ( t)  L dt L˜ C

erhält man schließlich die Differentialgleichung in vereinfachter Form:

2

i ( t)  Z 0 ˜ i ( t) = 0

charakteristische Gleichung (charakteristisches Polynom 2. Ordnung): 2

2

O  2 ˜ G ˜ O  Z0 = 0 O 2 = G  D=

G Z0

2

G  Z0

2

O 1 = G 

2

G  Z0

2

Lösungen

Dämpfungsgrad

Seite 313

Differentialgleichungen

a) freie ungedämpfte Schwingung (D = 0) G=0

O1 = j ˜ Z0



Lösungen der charakteristischen Gleichung

O2 = j ˜ Z0





ih ( t) = C1 ˜ cos Z 0 ˜ t  C2 ˜ sin Z 0 ˜ t



allgemeine Lösungen der homogenen Differentialgleichung

Anfangsbedingungen: i(0 s) = 0 A und für t = 0 s ist uL(0 s) = - u C(0 s) = U0 d.h. i'(0 s) = U0 /L









Ÿ

ih ( 0) = C1 ˜ cos Z 0 ˜ 0  C2 ˜ sin Z 0 ˜ 0 = 0



ih ( t) = C2 ˜ sin Z 0 ˜ t d dt



durch Differentiation, ergibt





ih ( 0) = C2 ˜ cos Z 0 ˜ 0 ˜ Z 0 =





ih ( t) = Imax ˜ sin Z 0 ˜ t =

U0 L ˜ Z0

U0

Ÿ

L



˜ sin Z 0 ˜ t



3



Z0

U0

Imax

L ˜ Z0



ih ( t)  Imax ˜ sin Z 0 ˜ t

3.162 u 10

41

C2 =

U0 L ˜ Z0

Eigenkreisfrequenz

s

Scheitelwert

0.316 A



Stromfunktion (allgemeine Lösung)

Bereichsvariable

t  0 ˜ ms  0.001 ˜ ms  1 ˜ ms 0.4 0.2 ih ( t) 0

A

0.2

0.4

0.6

0.2 0.4 t ms

Abb. 7.39

Seite 314



ih ( t) = C2 ˜ cos Z 0 ˜ t ˜ Z 0

Definition von ms

L˜ C

Imax 

dt

gewählte Größen

˜s

1

Z0 

d

allgemeine Lösung

U0  100 ˜ V L  0.01 ˜ H C  100 ˜ nF ms  10

C1 = 0

0.8

Differentialgleichungen

b) freie gedämpfte Schwingung D) Schwingungsfall (schwache Dämpfung, 0 < D < 1) G  Z0 2

O 1 = G  j ˜ N = G

Z0  G 2

Z=

 G ˜t

ih = e

2

Z0  G

O 2 = G  j ˜

2

Z0  G

2

2

Lösungen der charakteristischen Gleichung

Dämpfungsfaktor und Schwingkreisfrequenz



˜ C1 ˜ cos ( Z ˜ t)  C2 ˜ sin ( Z ˜ t)



allgemeine Lösungen der Differentialgleichung

Anfangsbedingungen: i(0 s) = 0 A und für t = 0 s ist uL(0 s) = - u C(0 s) = U0 d.h. i'(0 s) = U0 /L  G ˜0

ih ( 0) = e

 G˜t

ih ( t ) = e d dt d dt d dt





˜ C1 ˜ cos ( Z ˜ 0)  C2 ˜ sin ( Z ˜ 0) = 0

Ÿ

C1 = 0

durch Differentiation, ergibt

˜ C2 ˜ sin ( Z ˜ t)

ih ( t) = G ˜ exp ( G ˜ t) ˜ C2 ˜ sin ( Z ˜ t)  exp ( G ˜ t) ˜ C2 ˜ cos ( Z ˜ t) ˜ Z

ih ( 0) = G ˜ exp ( G ˜ 0) ˜ C2 ˜ sin ( Z ˜ 0)  exp ( G ˜ 0) ˜ C2 ˜ cos ( Z ˜ 0) ˜ Z =

ih ( 0) = C2 ˜ cos ( Z ˜ 0) ˜ Z =  G˜t

˜ sin ( Z ˜ t)

U0  100 ˜ V

R  200 ˜ :

R 2˜ L 1

Z0 

2

Z0  G G Z0

Imax 

U0 L˜ Z

2

L

L  0.01 ˜ H

C  100 ˜ nF

C2 =

U0 L˜ Z

= Imax

3.16228 u 10

Z

3 u 10

D

0.316

Imax

gewählte Größen

Dämpfungsfaktor

4 1

1 u 10 s

Z0

L˜ C

Z

D

G

Ÿ

L

allgemeine Lösung und Scheitelwert

ih = Imax ˜ e

G

U0

U0

41

Eigenkreisfrequenz

s

41

Schwingkreisfrequenz

s

Dämpfungsgrad

Scheitelwert

333.333 mA

Seite 315

Differentialgleichungen

 G ˜t

i ( t )  I max ˜ e

Stromfunktion (allgemeine Lösung)

˜ sin ( Z ˜ t)

Spannung am Ohm'schen Widerstand

uR ( t)  R ˜ i ( t ) uL ( t)  L ˜

d dt

Spannung am induktiven Widerstand

i ( t)

uC ( t)  uR ( t)  uL ( t)

Spannung am kapazitiven Widerstand

t  0 ˜ ms  0.001 ˜ ms  0.4 ˜ ms

Bereichsvariable

250 210 i( t)

170

mA

130 u R( t) V u L ( t)

90 50

V

10

u C( t)

30

V

70

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

Abb. 7.40

110 150 t ms

E) aperiodischer Grenzfall (D = 1) G = Z0

Dämpfungsfaktor und Lösungen der charakteristischen Gleichung

O 1 = O 2 = G





 G ˜t

allgemeine Lösungen der Differentialgleichung

ih = C1  C2 ˜ t ˜ e

Anfangsbedingungen: i(0) = 0 und für t=0 ist uL(0)= - uC(0) = U0 d.h. i'(0) = U0 /L:





 G˜0

ih ( 0) = C1  C2 ˜ 0 ˜ e  G˜t

ih ( t) = C2 ˜ t ˜ e d dt

=0

Ÿ

C1 = 0 d

durch Differentiation, ergibt

ih ( 0) = exp ( G ˜ 0) ˜ C2  C2 ˜ 0 ˜ G ˜ exp ( G ˜ 0) =

dt

ih ( t) = exp ( G ˜ t) ˜ C2  C2 ˜ t ˜ G ˜ exp ( G ˜ t)

U0 L

Seite 316

Ÿ

C2 =

U0 L

Differentialgleichungen

U0  100 ˜ V 1

Z0 

G

R 1˜ :

1s

Z0

L˜ C R 2˜ L G

D

Z0 U0

iG ( t ) 

L

G

1s

D

1

L  0.5 ˜ H

1

gewählte Größen für den Grenzfall

C 2˜ F

Eigenkreisfrequenz

1

Dämpfungsfaktor

Dämpfungsgrad

 Z 0˜t

Stromfunktion für den Grenzfall

˜t˜e

J) aperiodischer Fall (Kriechfall D > 1)

2

w=

G  Z0  G˜t

G  Z0

2

2

O 2 = G 

2

G  Z0

2

Dämpfungsfaktor und Lösungen der charakteristischen Gleichung

Konstante w˜t

 w˜t·

˜ §© C1 ˜ e

ih ( t ) = e Mit

2

O 1 = G 

G ! Z0

 C2 ˜ e

und

C1  C2 = A1

allgemeine Lösungen der Differentialgleichung

¹

C1  C2 = B1

erhält man eine andere Darstellung durch Umformung:

B1 ª A1  G ˜t w˜t  w˜t w˜t  w˜t º ˜ e e  ˜ e e » = e 1 ˜  A1 ˜ cosh ( w ˜ t)  B1 ˜ sinh ( w ˜ t) 2 ¬ 2 ¼

 G˜t



˜«

ih ( t ) = e







Anfangsbedingungen: i(0) = 0 und für t=0 ist u L(0)= - uC(0) = U0 d.h. i' (0) = U0 /L:  G 1˜0

Mit ih ( 0) = e

 G 1˜t

ih ( t ) = e d dt





˜ A1 ˜ cosh ( w ˜ 0)  B1 ˜ sinh ( w ˜ 0) = 0 folgt A1 = 0 . durch Differentiation, ergibt

˜ B1 ˜ sinh ( w ˜ t )









ih ( t) = G 1 ˜ exp G 1 ˜ t ˜ B1 ˜ sinh ( w ˜ t )  exp G 1 ˜ t ˜ B1 ˜ cosh ( w ˜ t ) ˜ Z

Mit

d dt



U0  100 ˜ V G1 

R



1 L˜ C G1 Z 01

R 2˜ : G1

2˜ L

Z 01  D









ih ( 0) = G 1 ˜ exp G 1 ˜ 0 ˜ B1 ˜ sinh ( w ˜ 0)  exp G 1 ˜ 0 ˜ B1 ˜ cosh ( w ˜ 0) ˜ w =

2s

D

1

1s

Z 01 2

L  0.5 ˜ H

1

C 2˜ F

Eigenkreisfrequenz

Seite 317

L

folgt B1 =

gewählte Größen für den Kriechfall

Dämpfungsfaktor

Dämpfungsgrad

U0

U0 w˜ L

.

Differentialgleichungen

2

w1 

2

w1

G 1  Z 01 U0

iK ( t ) 

 G 1˜t

˜e

w1 ˜ L

1.732 s



˜ sinh w1 ˜ t

1

Konstante



Stromfunktion für den Kriechfall Bereichsvariable

t  0 ˜ s  0.001 ˜ s  15 ˜ s

Aperiodischer Grenzfall und Kriechfall

100 i G( t)

75

A i K( t)

50

Abb. 7.41

A 25

0

2

4

6

8

10

12

14

16

t s

Lösung der homogenen Differentialgleichung mithilfe der Laplace-Transformation: 2

d

dt

2

i ( t)  2 ˜ G ˜

d dt

2

I ( s) ˜ s  s ˜ 0 

U0  U0

U0 L

2

 2 ˜ G ˜ s ˜ I ( s)  2 ˜ G ˜ 0  Z 0 ˜ I ( s)

L L

2

I ( s) ˜ s  s ˜ 0 

Anfangsbedingungen: i(0) = 0 und für t = 0 ist uL(0) = - u C(0) = U0 d.h. i'(0) = U0 /L.

2

i ( t)  Z 0 ˜ i ( t) = 0

U0 L

G G

Z0  Z0

Differentialgleichung in die Laplacetransformierte übersetzt. Redefinitionen

Z Z

a) freie ungedämpfte Schwingung (D = 0)

2

L ˜ §© s  2 ˜ G ˜ s  Z 0

Dämpfungsfaktor

G 0 invlaplace  s

U0

vereinfacheno

2 2 L ˜ §© s  2 ˜ G ˜ s  Z 0 ·¹

ih ( t ) =

U0

2

 2 ˜ G ˜ s ˜ I ( s )  2 ˜ G ˜ 0  Z 0 ˜ I ( s ) auflösen  I ( s ) o

U0 L ˜ Z0



˜ sin Z 0 ˜ t

entwickeln

U0 L ˜ Z0



˜ sin Z 0 ˜ t





Stromfunktion (allgemeine Lösung)

Seite 318

2·

¹

Differentialgleichungen

b) freie gedämpfte Schwingung D) Schwingungsfall (schwache Dämpfung, 0 < D < 1) G G

Redefinition

G  Z0

und

2

2

2





Z = Z0  G = Z0  G ˜ Z0  G



1 º ª « » 2 2 2 « 2 sin § Z 0  G · ˜ t» invlaplace  s 2 2· ¬© ¹ ¼ § o U0 ˜ exp ( G ˜ t) ˜ © Z 0  G ¹ ˜ 2 2 vereinfachen L ˜ §© Z 0  G ·¹ 1

U0 2

L ˜ §© s  2 ˜ G ˜ s  Z 0

ih ( t ) =

U0 L

2·

¹

exp ( G ˜ t)

˜

Z

Stromfunktion (allgemeine Lösung)

˜ sin ( Z ˜ t)

E) aperiodischer Grenzfall ( D = 1) G = Z0 U0  U0

L L U0

2

L ˜ §© s  2 ˜ Z 0 ˜ s  Z 0

iG ( t ) =

U0 L

Redefinitionen

Z0  Z0

2·

invlaplace  s o

¹

 Z 0˜t

U0 L



˜ t ˜ exp Z 0 ˜ t



Stromfunktion für den Grenzfall

˜t˜e

J) aperiodischer Fall (Kriechfall D > 1)

Z=

G ! Z0

2

G  Z0

2 1

G 2

Z0  1

w

2

G  Z0

2

wo3

2

vorgegebene Größen 1

U0 2

L ˜ §© s  2 ˜ G ˜ s  Z 0

iK ( t ) =

U0 w˜ L

 G ˜t

˜e

2·

invlaplace  s o

¹

˜ sinh ( w ˜ t )

1 3

˜

U0 L

§ 1 · ¨ 2 ˜ exp ( 2 ˜ t) ˜ 3 ˜ sinh © 3 ˜ t¹ 2

Stromfunktion für den Kriechfall

Seite 319

Differentialgleichungen

Numerische Lösung der homogenen Differentialgleichung mithilfe von rkfest: 2

d

dt

2

i ( t)  2 ˜ G ˜

d

2

dt

i ( t)  Z 0 ˜ i ( t) = 0

Differentialgleichung

Anfangsbedingungen: i(0) = 0. Im Zeitbereich ist für t = 0 u L(0) = - uC(0) = U0 d.h. i'(0) = U0 /L Umwandlung der Differentialgleichung 2. Ordnung in ein System von Differentialgleichungen 1.Ordnung durch Substitution: I0 = i

I1 =

d dt

U0  5

I0 =

d dt

I2 =

i

L  0.5

d dt

2

I1 =

d

dt

2

i

Z0  1

§¨ 0 · aw  ¨ U0 ¸ ¨ L © ¹

G  0.5

vorgegebene Größen (ohne Einheit)

aw ist ein Vektor mit den Anfangsbedingungen für die Differentialgleichung n-ter Ordnung Die Vektorfunktion D enthält die umgeformte

I1 § · ¨ D ( t  I)  ¨ 2 ˜ G ˜ I  Z 2 ˜ I 1 0 0¹ ©

Differentialgleichung in der Darstellung D( t,I):=(I1 ,...,In-1,i(n)(I))T.

N1  400

Anzahl der Zeitschritte für die numerische Berechnung

ta  0

Anfangszeitpunkt

te  10

Endzeitpunkt



Die letzte Komponente ist die nach i (n) umgeformte Differentialgleichung. In rkfest sind keine Einheiten zulässig, daher werden sie gekürzt oder weggelassen!



Runge-Kutta-Methode. Die Lösung Z ist eine (N+1)x(n+1)

Z  rkfest aw  ta  te  N1  D

Matrix. Die erste Spalte Z <0> enthält die Zeitpunkte t, die

¢0² t Z ¢1² i Z

nächste Spalte Z <1> die Lösungsfunktion i(t), und die letzte Spalte Z die Ableitung i (n-1)(t). In rkfest sind keine Einheiten zulässig !

¢2² i´  Z

Bereichsvariable

k  0  zeilen ( Z)  1

Freie gedämpfte Schwingung

10 ik

5

i´k

Abb. 7.42 0

2

4

6

8

5 tk

Seite 320

10

12

Differentialgleichungen

numerische Lösung der homogenen Differentialgleichung mithilfe von Gdglösen: U0  5

Spannung

L  0.5

Induktivität

Z0  1

Eigenfrequenz

G  0.5

Dämpfungskonstante

N1  100

Anzahl der Zeitschritte für die numerische Berechnung

Vorgabe 2

d

dt

2

i ( t)  2 ˜ G ˜

i ( 0) = 0



d dt

2

Differentialgleichung

i ( t)  Z 0 ˜ i ( t) = 0

i' ( 0) =

U0

Anfangsbedingungen

L

Für die gesuchte Funktion i werden die in der Differentialgleichung vorkommenden Parameter angegeben!



i G  Z 0  Gdglösen ( t  15  N1)

Mathsoft Slider Control-Objekt Eigenschaften (siehe Band Einführung in Mathcad Kap. 19.2.3.7): Minimum 0 Minimum 1 Maximum 10 Maximum 5 Teilstrichfähigkeit 1 Teilstrichfähigkeit 1 Skript bearbeiten: Outputs(0).Value = Slider.Position/10

G1 

Z 01 

2 G1

1

0.2

Z 01





1

i1  i G 1  Z 01

Stromfunktion in Abhängigkeit von G und Z0

t  0  0.01  10

Bereichsvariable Verschiedene Lösungsfälle

10

i1( t)

3.33 3.33

0

2

4

6

10 t

Abb. 7.43

Seite 321

8

10

Differentialgleichungen

Beispiel 7.30 Lösen Sie die die nachfolgend gegebene Differentialgleichung mit gegebenen Randbedingungen: homogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

y''  y = 0

Randbedingungen: y(0) = 2, y(S/2) = 3 charakteristische Gleichung: 2

O 1=0 O1 = j

Lösungen der charakteristischen Gleichung

O2 = j

Die exakte allgemeine Lösung der Differentialgleichung lautet nach (7-112): yh ( x) = C1 ˜ cos ( x)  C2 ˜ sin ( x) Bestimmung der Konstanten mit den Randbedingungen: yh ( 0) = C1 ˜ cos ( 0)  C2 ˜ sin ( 0) = 2

§ S · = C ˜ cos § S ·  C ˜ sin § S · = 3 ¨ ¨ 1 2 ©2¹ ©2¹ ©2¹

yh ¨

Ÿ

C1 = 2

Ÿ

C2 = 3

Die exakte allgemeine Lösung mit den Randbedingungen lautet daher: yh ( x)  2 cos ( x)  3 sin ( x) Näherungslösung mit Runge Kutta: Rückführung der Differentialgleichung 2. Ordnung auf ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung: Y0 ' = Y1

lineares Differentialgleichungssystem 1. Ordnung

Y1 ' = Y0 Randwerte: y(0) = 2, y(S/2 = 3

xa  0

xe 

§ Y1 · D ( x  Y)  ¨ © Y0 ¹

S 2

Anfangs- und Endwert des Lösungsintervalls Die Vektorfunktion D enthält die umgeformte Differentialgleichung in der Darstellung D(x,Y):=(Y 1 ,...,Yn-1,y(n)(Y))T. Die letzte Komponente ist die nach y(n) umgeformte Differentialgleichung (wie bei Anfangswertproblem)

Umwandlung des Randwertproblems in ein Anfangswertproblem: v10  0

Spaltenvektor für die Schätzungen der Anfangswerte im Punkt x a , die nicht gegeben sind. Hier ist kein Schätzwert notwendig.

Seite 322

Differentialgleichungen





y(0) (bekannt)

§ 2 · ¨ © v10 ¹



lad xa  v1 

Nicht notwendige Komponente auf null gesetzt

Dieser Vektor enthält zuerst die gegebenen Anfangswerte und anschließend die Schätzwerte aus dem Vektor v für die fehlenden Anfangswerte im Punkt x a .

Dieser Vektor hat die gleiche Anzahl der Komponenten wie der Schätzvektor v und enthält die Differenzen zwischen denjenigen Funktionen Yi, für die



abst xe  Y  Y0  3

Randwerte im Punkt xe gegeben sind, und ihren gegebenen Werten im Punkt x e .



S  sgrw v1  xa  xe  D  lad  abst S



Berechnung der fehlenden Anfangsbedingungen

(3 )

Der von sgrw gelieferte fehlende Anfangswert Y 1 (0) = y' (0) = 3 gestattet nun die Lösung der Aufgabe als Anfangswertproblem mit rkfest: S0

3

aw 

§ 2 · y(0) = 1 ¨ © S0 ¹ y'(0) = 3

aw ist ein Vektor mit den Anfangsbedingungen

Anzahl der Zeitschritte für die numerische Berechnung

N1  10





Z  rkfest aw  xa  xe  N1  D ¢0² x Z ¢1² y Z

Runge-Kutta-Methode. Die Lösung Z ist eine (N+1)x(n+1) Matrix. Die erste Spalte Z <0> enthält die x-Werte, die nächste Spalte Z <1> die Lösungsfunktion y(x) und die letzte Spalte Z die Ableitung y(n-1)(x).

¢2² y´  Z

Bereichsvariable

k  0  zeilen ( Z)  1

x1  0  0.01 

S

Bereichsvariable

2

Näherungs- und Exakte-Lösung

5 4 yk y´ k yh ( x1)

3 2

Abb. 7.44

1 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1 2 3 x k  x k  x1

Seite 323

1.2

1.4

1.6

Differentialgleichungen

Beispiel 7.31 Bestimmen Sie die Euler-Knickkraft für einen beidseitig gelenkig gelagerten Druckstab (z.B. Fachwerkstäbe, Pleuelstangen usw.) von der Länge L mit der Druckkraft F. Schlanke Bauglieder verlieren bei Belastung durch Druckkräfte in Achsenrichtung ihre Tragfähigkeit durch plötzliches Ausweichen das Ausknicken. Die Differentialgleichung der Knickung ergibt sich aus dem Gleichgewicht zwischen dem der Ausbiegung proportionalen Moment der äußeren Kräfte und dem der Biegesteifigkeit proportionalen Moment der inneren Kräfte. Die Kraft, die das Ausknicken verursacht, heißt Knickkraft. Sie ist von der Stablänge und Biegesteifigkeit als auch von den Lagerungsbedingungen abhängig. An der Stelle x beträgt die seitliche Ausbiegung y und das Moment der äußeren Kräfte M = F y. Das Moment der inneren Kräfte ist durch M(x) = - E I y'' gegeben. I ist dabei das axiale Trägheitsmoment des Stabquerschnittes (konstantes Flächenmoment) und E das stoffabhängige Elastizitätsmodul. Die Randbedingungen sind gegeben durch y(0) = 0 und y(L) = 0.

Gleichgewichtsbedingung

E ˜ I ˜ y'' = F ˜ y y'' 

F E˜I

homogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten (Differentialgleichung der Biegelinie)

˜y=0

2

mit

y''  a ˜ y = 0

2

a =

F E˜I

Abb. 7.45

charakteristische Gleichung: 2

2

O a =0 O1 = j ˜ a

O2 = j ˜ a

Lösungen der charakteristischen Gleichung

Die exakte allgemeine Lösung der Differentialgleichung lautet nach (7-112): yh ( x) = C1 ˜ cos ( a ˜ x)  C2 ˜ sin ( a ˜ x) Bestimmung der Konstanten mit den Randbedingungen: yh ( 0) = C1 ˜ cos ( 0)  C2 ˜ sin ( 0) = 0

Ÿ

C1 = 0

y ( L) = C2 ˜ sin ( a ˜ L) = 0

Ÿ

C2 kann nicht null sein, weil sonst der Stab nicht ausknicken würde!

Es muss also gelten: sin ( a ˜ L) = 0 Somit ergibt sich für a die Beziehung: a˜ L = S ˜ n

mit n = 1, 2, 3, ...

Seite 324

Differentialgleichungen

an =

S

Fn

˜n=

L

Eigenwerte a n der Randwertaufgabe

E˜I

Nur für diese Werte der Konstanten a, die Eigenwerte a n der Randwertaufgabe , hat die Differentialgleichung bei gegebenen Randbedingungen eine Lösung. Zu den Eigenwerten a n gehören die Eigenfunktionen





yh = C2 ˜ sin an ˜ x n

und bestimmte Werte für die Kraft F: Fn =

S

2

2

2

˜E˜I˜n

L

Der kleinste Wert von Fn (n = 1) ist der Wert Fk bei dem bereits die Knickung des Stabes erfolgt, die sogenannte Knickkraft. Fk =

S

2

Knickkraft

˜E˜I

2

L

gewählte Konstante

C2  10 ˜ mm 5

B  5 ˜ 10 ˜ N ˜ m

2

gewählte Biegesteifigkeit B = E I Länge des gelagerten Stabes

L  30 ˜ cm Fk 

S

2

2

˜B

Fk

7

5.483 u 10 N

Knickkraft

L a ( n) 

S L

Eigenwerte

˜n

yh ( n  x)  C2 ˜ sin ( a ( n) ˜ x)

Eigenfunktionen

x  0 ˜ cm  0.01 ˜ cm  30 ˜ cm

Bereichsvariable Eigenfunktionen

0.01 yh ( 1  x )

L

yh ( 2  x )

cm

yh ( 3  x )

0

5

10

15

yh ( 4  x )

0.01 x cm

Abb. 7.46

Seite 325

20

25

30

Differentialgleichungen

b) Die lineare inhomogene Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten: Die lineare inhomogene Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten ist ein Sonderfall von (7-59). Die Koeffizientenfunktionen a 1 (x) = a1 und a0 (x) = a0 sind konstant (a0 , a1 ) und die Störfunktion (oder Störglied) s(x) z 0. y'' ( x)  a1 ˜ y' ( x)  a0 ˜ y ( x) = s ( x)

(7-122)

Bereits in Abschnitt 7.2.1.4 wurde gezeigt, dass sich die allgemeine Lösung einer inhomogenen Differentialgleichung 1. Ordnung aus der Lösung der homogenen Differentialgleichung und einer partikulären Lösung addiert. Dies gilt auch für inhomogene lineare Differentialgleichgungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Die allgemeine Lösung von (7-122) ergibt sich durch y ( x) = yh ( x)  yp ( x)

(7-123)

wobei y h(x) die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung und y p(x) eine partikuläre (spezielle) Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ist. y p(x) erhält man durch die Methode der Variation der Konstanten oder mit einem angepassten Lösungsansatz (der im Wesentlichen vom Typ der Störfunktion abhängt) durch Vergleich der Koeffizienten. Für in den Anwendungen besonders häufig auftretenden Störfunktionen s(x) werden nachfolgend einige Lösungsansätze y p angeführt: 1. s(x) ist eine Polynomfunktion vom Grade n: 2

n

s ( x) = Pn ( x) = c 0  c 1 ˜ x  c 2 ˜ x  ....  c n ˜ x 2

(7-124) n

yp ( x) = Qn ( x) = b0  b1 ˜ x  b2 ˜ x  ....  bn ˜ x , für c 0 z 0

(7-125)

yp ( x) = x ˜ Qn ( x) , für c 0 = 0 und c 1 z 0

(7-126)

2

yp ( x) = x ˜ Qn ( x) , für c 0 = c 1 = 0

(7-127)

2. s(x) ist eine Exponentialfunktion: m˜x

s ( x) = a ˜ e

(7-128)

m ist keine Lösung der charakteristischen Gleichung: m˜x

yp ( x) = b ˜ e

(7-129)

m ist eine einfache Lösung der charakteristischen Gleichung: m˜x

yp ( x) = b ˜ x ˜ e

(7-130)

m ist eine Doppellösung der charakteristischen Gleichung: 2

m˜x

yp ( x) = b ˜ x ˜ e

(7-131)

Seite 326

Differentialgleichungen

3. s(x) ist eine Sinus- oder Kosinusfunktion oder eine Linearkombination von beiden: s ( x) = a ˜ cos ( m ˜ x)  b ˜ sin ( m ˜ x)

(7-132)

j ˜ m ist keine Lösung der charakteristischen Gleichung: yp ( x) = A ˜ cos ( m ˜ x)  B ˜ sin ( m ˜ x) = C ˜ sin ( m ˜ x  M )

(7-133)

j ˜ m ist eine Lösung der charakteristischen Gleichung: yp ( x) = A ˜ x ˜ cos ( m ˜ x)  B ˜ x ˜ sin ( m ˜ x) = C ˜ x ˜ sin ( m ˜ x  M )

(7-134)

Bei periodischen Störfunktionen s ( x) = A ˜ cos ( m ˜ x) oder s ( x) = B ˜ sin ( m ˜ x) verwendet man auch oft komplexe Lösungsansätze: yp ( x) = C ˜ e

j˜( m˜x M )

(7-135)

Beispiel 7.32 Die gegebene Differentialgleichung soll durch Variation der Konstanten und durch einen geeigneten Lösungsansatz gelöst werden. 2

y'' ( x)  3 ˜ y' ( x)  2 ˜ y ( x) = x

inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

homogene Differentialgleichung: y'' ( x)  3 ˜ y' ( x)  2 ˜ y ( x) = 0 charakteristische Gleichung: 2

hat als Lösung(en)

O  3˜ O  2 = 0

§1 · ¨ ©2 ¹

homogene Lösung (7-86): x

2˜x

yh ( x) = C1 ˜ e  C2 ˜ e

Variation der Konstanten: x

2˜x

yp ( x) = C1 ( x) ˜ e  C2 ( x) ˜ e d dx

yp ( x) =

durch Differentiation, ergibt

§d · §d · ¨ C1 ( x) ˜ exp ( x)  C1 ( x) ˜ exp ( x)  ¨ C2 ( x) ˜ exp ( 2 ˜ x)  2 ˜ C2 ( x) ˜ exp ( 2 ˜ x) © dx ¹ © dx ¹

Wir wählen C1 (x) und C 2(x) so, dass gilt:

§d · §d · ¨ C1 ( x) ˜ exp ( x)  ¨ C2 ( x) ˜ exp ( 2 ˜ x) = 0 © dx ¹ © dx ¹ Damit gilt:

Seite 327

Differentialgleichungen

d dx

durch Differentiation, ergibt

yp ( x) = C1 ( x) ˜ exp ( x)  2 ˜ C2 ( x) ˜ exp ( 2 ˜ x)

d d dx dx

yp ( x) =

§d · §d · ¨ C1 ( x) ˜ exp ( x)  C1 ( x) ˜ exp ( x)  2 ˜ ¨ C2 ( x) ˜ exp ( 2 ˜ x)  4 ˜ C2 ( x) ˜ exp ( 2 ˜ x) © dx ¹ © dx ¹

In die inhomogene Differentialgleichung eingesetzt erhalten wir:

§ C1' ( x) ˜ ex  C1 ( x) ˜ ex  2 ˜ C2' ( x) ˜ e2˜x  4 ˜ C2 ( x) ˜ e2˜x  3 ˜ C1 ( x) ˜ ex  6 ˜ C2 ( x) ˜ e2˜x·  = x2 © ¹ x 2˜x· §  © 2 ˜ C1 ( x) ˜ e  2 ˜ C2 ( x) ˜ e ¹ vereinfacht auf 2

C1' ( x) ˜ exp ( x)  2 ˜ C2' ( x) ˜ exp ( 2 ˜ x) = x

Es ist also das folgende lineare Gleichungssystem in C 1 '(x) und C2 '(x) zu lösen: 2

C1' ( x) ˜ exp ( x)  2 ˜ C2' ( x) ˜ exp ( 2 ˜ x) = x C1' ( x) ˜ exp ( x)  C2' ( x) ˜ exp ( 2 ˜ x) = 0 Redefinition

x x Vorgabe

2

C1' ˜ exp ( x)  2 ˜ C2' ˜ exp ( 2 ˜ x) = x

Lösungsblock C1' ˜ exp ( x)  C2' ˜ exp ( 2 ˜ x) = 0

§ x2 ¨ ¨ exp ( x) Suchen  C1'  C2' o ¨ 2 ¨ x ¨ 2 © exp ( x)

· ¸ ¸ ¸ ¹

Die Lösungen lauten: 2

x

2

C1' ( x) = x ˜ e

 2˜x

C2' ( x) = x ˜ e

Durch partielle Integration folgt schließlich: ´ µ C1 = µ ¶

x ˜ e

´ µ C2 = µ ¶

x ˜e

2

2

x

 2˜x

dx

vereinfacht auf

dx

vereinfacht auf

2

C1 = x ˜ exp ( x)  2 ˜ x ˜ exp ( x)  2 ˜ exp ( x)

C2 =

1 2

2

˜ x ˜ exp ( 2 ˜ x) 

Seite 328

1 2

˜ x ˜ exp ( 2 ˜ x) 

1 4

˜ exp ( 2 ˜ x)

Differentialgleichungen

Die partikuläre Lösung lautet damit: 1

2

yp ( x) = x  2 ˜ x  2 

2

2

˜x 

1 2

˜x

1

vereinfacht auf

4

yp ( x) =

1 2

2

˜x 

3 2

˜x

7 4

Die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ergibt sich dann zu: x

2˜x

y ( x) = yh ( x)  yp ( x) = C1 ˜ e  C2 ˜ e



1 2

2

˜x 

3 2

˜x

7 4

Lösung der Differentialgleichung mithilfe eines Ansatzes nach (7-125): 2

yp ( x) = b0  b1 ˜ x  b2 ˜ x

durch Differentiation, ergibt d dx

yp ( x) = b1  2 ˜ b2 ˜ x

durch Differentiation, ergibt d d dx dx

yp ( x) = 2 ˜ b2

Der Ansatz und die Ableitungen werden nun in die inhomogene Differentialgleichung eingesetzt: 2·

2 ˜ b2  3 b1  2 ˜ b2 ˜ x  2 ˜ §© b0  b1 ˜ x  b2 ˜ x





2



2 ¹=x

durch Zusammenfassen von Termen, ergibt 2



0

2 ˜ b2 ˜ x  6 ˜ b2  2 ˜ b1 ˜ x  2 ˜ b2  3 ˜ b1  2 ˜ b0 = x  0 ˜ x  0 ˜ x Durch Koeffizientenvergleich erhalten wir: 2 ˜ b2 = 1 6 ˜ b2  2 ˜ b1 = 0 2 ˜ b2  3 ˜ b1  2 ˜ b0 = 0 Die Lösung dieses linearen Gleichungssystems lautet: Vorgabe 2 ˜ b2 = 1 6 ˜ b2  2 ˜ b1 = 0 2 ˜ b2  3 ˜ b1  2 ˜ b0 = 0



Suchen b0  b1  b2

7

T o §¨ 4 ©

3

1

· 2 2¹

Daraus ergibt sich die gleiche partikuläre Lösung wie oben zu: yp ( x) =

7 4



3 2

˜x

1 2

2

˜x

Seite 329

Differentialgleichungen

Beispiel 7.33 Die gegebene Differentialgleichung soll durch einen geeigneten Lösungsansatz gelöst werden. inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

2

y'' ( x)  2 ˜ y' ( x) = x  x  1

homogene Differentialgleichung: y'' ( x)  2 ˜ y' ( x) = 0 charakteristische Gleichung: 2

hat als Lösung(en)

O  2˜ O = 0

§0 · ¨ ©2 ¹

homogene Lösung (7-86): 2˜x

yh ( x) = C1  C2 ˜ e

Lösung der Differentialgleichung mithilfe eines Ansatzes nach (7-126): 2

3

yp ( x) = b0 ˜ x  b1 ˜ x  b2 ˜ x durch Differentiation, ergibt d dx

2

yp ( x) = b0  2 ˜ b1 ˜ x  3 ˜ b2 ˜ x

durch Differentiation, ergibt d d dx dx

yp ( x) = 2 ˜ b1  6 ˜ b2 ˜ x

Der Ansatz und die Ableitungen werden nun in die inhomogene Differentialgleichung eingesetzt: 2·

2 ˜ b1  6 ˜ b2 ˜ x  2 ˜ §© b0  2 ˜ b1 ˜ x  3 ˜ b2 ˜ x

2 ¹ =x  x 1

durch Zusammenfassen von Termen, ergibt 2





2

6 ˜ b2 ˜ x  6 ˜ b2  4 ˜ b1 ˜ x  2 ˜ b1  2 ˜ b0 = x  x  1 Durch Koeffizientenvergleich erhält man folgendes lineares Gleichungssystem: 6 ˜ b2 = 1 6 ˜ b2  4 ˜ b1 = 1 2 ˜ b1  2 ˜ b0 = 1

Seite 330

Differentialgleichungen

Die Lösung dieses linearen Gleichungssystems lautet: Vorgabe 6 ˜ b2 = 1 6 ˜ b2  4 ˜ b1 = 1 2 ˜ b1  2 ˜ b0 = 1



Suchen b0  b1  b2

1

1

T o §¨ 0

· 6 ¹

2

©

Daraus ergibt sich die partikuläre Lösung zu: yp ( x) = 

1 2

2

˜x 

1 6

3

˜x

Die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung lautet dann: 2˜x

y ( x) = yh ( x)  yp ( x) = C1  C2 ˜ e



1 2

2

˜x 

1 6

3

˜x

Beispiel 7.34 Die gegebene Differentialgleichung soll durch einen geeigneten Lösungsansatz gelöst werden. inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

3˜x

y'' ( x)  4 ˜ y ( x) = e

homogene Differentialgleichung: y'' ( x)  4 ˜ y ( x) = 0 charakteristische Gleichung: 2

hat als Lösung(en)

O 4=0

§2 · ¨ © 2 ¹

homogene Lösung (7-86): 2˜x

yh ( x) = C1 ˜ e

 2˜x

 C2 ˜ e

Lösung der Differentialgleichung mithilfe eines Ansatzes nach (7-129): 3˜x

yp ( x) = b ˜ e

m = 3 ist keine Lösung der charakteristischen Gleichung

durch Differentiation, ergibt d dx

yp ( x) = 3 ˜ b ˜ exp ( 3 ˜ x)

Seite 331

Differentialgleichungen

durch Differentiation, ergibt d d dx dx

yp ( x) = 9 ˜ b ˜ exp ( 3 ˜ x)

Der Ansatz und die Ableitungen werden nun in die inhomogene Differentialgleichung eingesetzt: 3˜x

9˜ b˜ e

3˜x

 4˜ b˜ e

3˜x

1

hat als Lösung(en)

=e

(nach Variable b auflösen)

5

Damit ergibt sich die partikuläre Lösung zu: yp ( x) =

1 5

3˜x

˜e

Die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung lautet dann: 2˜x

y ( x) = yh ( x)  yp ( x) = C1 ˜ e

 2˜x

 C2 ˜ e



1 5

3˜x

˜e

Beispiel 7.35 Die gegebene Differentialgleichung soll durch einen geeigneten Lösungsansatz gelöst werden. 2˜x

y'' ( x)  4 ˜ y' ( x)  4 ˜ y ( x) = e

inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

homogene Differentialgleichung: y'' ( x)  4 ˜ y' ( x)  4 ˜ y ( x) = 0 charakteristische Gleichung: 2

§2 · ¨ ©2 ¹

hat als Lösung(en)

O  4˜ O  4 = 0

Doppellösung

homogene Lösung (7-93):





2˜x

yh ( x) = C1 ˜ x  C2 ˜ e

Lösung der Differentialgleichung mithilfe eines Ansatzes nach (7-131): 2

2˜x

yp ( x) = b ˜ x ˜ e

m = 2 ist eine Doppellösung der charakteristischen Gleichung

durch Differentiation, ergibt d dx

2

yp ( x) = 2 ˜ b ˜ x ˜ exp ( 2 ˜ x)  2 ˜ b ˜ x ˜ exp ( 2 ˜ x)

durch Differentiation, ergibt d d dx dx

2

yp ( x) = 2 ˜ b ˜ exp ( 2 ˜ x)  8 ˜ b ˜ x ˜ exp ( 2 ˜ x)  4 ˜ b ˜ x ˜ exp ( 2 ˜ x)

Seite 332

Differentialgleichungen

Der Ansatz und die Ableitungen werden nun in die inhomogene Differentialgleichung eingesetzt:

2 ˜ b ˜ exp (2 ˜ x)  8 ˜ b ˜ x ˜ exp (2 ˜ x)  4 ˜ b ˜ x2 ˜ exp (2 ˜ x)  2 2 2˜x  4 ˜  2 ˜ b ˜ x ˜ exp ( 2 ˜ x)  2 ˜ b ˜ x ˜ exp ( 2 ˜ x)  4 ˜ b ˜ x ˜ e

2˜x

=e

vereinfacht auf 2 ˜ b ˜ exp ( 2 ˜ x) = exp ( 2 ˜ x)

1

hat als Lösung(en)

(nach Variable b auflösen)

2

Damit ergibt sich die partikuläre Lösung zu: yp ( x) =

1 2

2

2˜x

˜x ˜e

Die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung lautet dann:





2˜x

y ( x) = yh ( x)  yp ( x) = C1 ˜ x  C2 ˜ e



1 5

2

2˜x

˜x ˜e

2˜x

=e

§ ©

˜ ¨ C1 ˜ x  C2 

1 5

2·

˜x

¹

Beispiel 7.36 Die gegebene Differentialgleichung soll durch einen geeigneten Lösungsansatz gelöst werden. y'' ( x)  y ( x) = sin ( x)

inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

homogene Differentialgleichung: y'' ( x)  y ( x) = 0 charakteristische Gleichung: 2

O 1=0

hat als Lösung(en)

§i · ¨ © i ¹

homogene Lösung (7-103): yh ( x) = C1 ˜ cos ( x) ˜ C1 ˜ sin ( x) Lösung der Differentialgleichung mithilfe eines Ansatzes nach (7-134): m = 1 = Z : j m ist eine Lösung der charakteristischen Gleichung: yp ( x) = A ˜ x ˜ cos ( x)  B ˜ x ˜ sin ( x) durch Differentiation, ergibt d dx

yp ( x) = A ˜ cos ( x)  A ˜ x ˜ sin ( x)  B ˜ sin ( x)  B ˜ x ˜ cos ( x)

durch Differentiation, ergibt d d dx dx

yp ( x) = 2 ˜ A ˜ sin ( x)  A ˜ x ˜ cos ( x)  2 ˜ B ˜ cos ( x)  B ˜ x ˜ sin ( x)

Seite 333

Differentialgleichungen

Der Ansatz und die Ableitungen werden nun in die inhomogene Differentialgleichung eingesetzt: 2 ˜ A ˜ sin ( x)  A ˜ x ˜ cos ( x)  2 ˜ B ˜ cos ( x)  B ˜ x ˜ sin ( x)  A ˜ x ˜ cos ( x)  B ˜ x ˜ sin ( x) = sin ( x) vereinfacht auf 2 ˜ A ˜ sin ( x)  2 ˜ B ˜ cos ( x) = sin ( x) Koeffizientenvergleich: 2 ˜ A = 1

Ÿ

A=

2˜ B = 0

Ÿ

B=0

1 2

Damit ergibt sich die partikuläre Lösung zu: yp ( x) = 

1 2

˜ x ˜ cos ( x)

Die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung lautet dann: y ( x) = yh ( x)  yp ( x) = C1 ˜ cos ( x) ˜ C1 ˜ sin ( x) 

1 2

˜ x ˜ cos ( x)

Beispiel 7.37 Die gegebene Differentialgleichung soll durch einen geeigneten Lösungsansatz gelöst werden. y'' ( x)  y' ( x)  y ( x) = x ˜ cos ( x)  sin ( x)

inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

homogene Differentialgleichung: y'' ( x)  y' ( x)  y ( x) = 0 charakteristische Gleichung: 2

O O1=0

hat als Lösung(en)

homogene Lösung (7-103): 

yh ( x) = e

1 § ¨ 1 1 ¨  ˜ i ˜ 32 ¨ 2 2 ¨ 1 ¨ 1 1 2 ¨  ˜i˜3 © 2 2

· ¸ ¸ ¸ ¸ ¹

x 2

§ ©

§ 3 · § 3 ·· ˜ x ˜ C1 ˜ sin ¨ ˜x © 2 ¹ © 2 ¹¹

˜ ¨ C1 ˜ cos ¨

Lösung der Differentialgleichung mithilfe eines Ansatzes nach (7-133) und (7-134): yp ( x) = A ˜ x ˜ cos ( x)  B ˜ x ˜ sin ( x)  C ˜ cos ( x)  D ˜ sin ( x)

Seite 334

Differentialgleichungen

durch Differentiation, ergibt d dx

yp ( x) = A ˜ cos ( x)  A ˜ x ˜ sin ( x)  B ˜ sin ( x)  B ˜ x ˜ cos ( x)  C ˜ sin ( x)  D ˜ cos ( x)

durch Differentiation, ergibt d d dx dx

yp ( x) = 2 ˜ A ˜ sin ( x)  A ˜ x ˜ cos ( x)  2 ˜ B ˜ cos ( x)  B ˜ x ˜ sin ( x)  C ˜ cos ( x)  D ˜ sin ( x)

Der Ansatz und die Ableitungen werden nun in die inhomogene Differentialgleichung eingesetzt: 2 ˜ A ˜ sin ( x)  A ˜ x ˜ cos ( x)  2 ˜ B ˜ cos ( x)  B ˜ x ˜ sin ( x)  C ˜ cos ( x)  D ˜ sin ( x)  = x ˜ cos ( x)  sin ( x)  A ˜ cos ( x)  A ˜ x ˜ sin ( x)  B ˜ sin ( x)  B ˜ x ˜ cos ( x)  C ˜ sin ( x)  D ˜ cos ( x)   A ˜ x ˜ cos ( x)  B ˜ x ˜ sin ( x)  C ˜ cos ( x)  D ˜ sin ( x) vereinfacht auf 2 ˜ A ˜ sin ( x)  2 ˜ B ˜ cos ( x)  A ˜ cos ( x)  A ˜ x ˜ sin ( x)  B ˜ sin ( x)  = x ˜ cos ( x)  sin ( x)  B ˜ x ˜ cos ( x)  C ˜ sin ( x)  D ˜ cos ( x) Herausheben (händisch): B ˜ x ˜ cos ( x)  A ˜ x ˜ sin ( x)  ( A  2 ˜ B  D) ˜ cos ( x)  ( 2 ˜ A  B  C) ˜ sin ( x) = x ˜ cos ( x)  sin ( x) Koeffizientenvergleich: B=1 A = 0

Ÿ

A=0

A  2˜ B  D = 0

Ÿ

2 D=0

Ÿ

D = 2

2 ˜ A  B  C = 1

Ÿ

1  C = 1

Ÿ

C=2

Damit ergibt sich die partikuläre Lösung zu: yp ( x) = x ˜ sin ( x)  2 ˜ cos ( x)  2 ˜ sin ( x) Die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung lautet dann:



y ( x) = yh ( x)  yp ( x) = e

x 2

§ ©

§ 3 · § 3 ·· ˜ x ˜ C1 ˜ sin ¨ ˜ x  ( x ˜ sin ( x)  2 ˜ cos ( x)  2 ˜ sin ( x) ) © 2 ¹ © 2 ¹¹

˜ ¨ C1 ˜ cos ¨

Seite 335

Differentialgleichungen

Wir betrachten hier im Gegensatz zu freien Schwingungen (siehe Abb. 7.35) ein schwingungsfächiges System, das von außen mit einer periodischen Kraft, einem Drehmoment oder einer Spannung usw. angeregt wird. In diesem Zusammenhang spricht man von einer erzwungenen Schwingung. Erzwungene Schwingungen werden durch inhomogene lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten beschrieben. Nachfolgend sollen stellvertretend für viele ähnliche Systeme drei Systeme betrachtet werden (Abb. 7.46). Wirkt auf den mechanischen Schwingkreis eine äußere periodische Kraft oder wird in die elektrischen Schwingkreise eine Wechselspannung geschaltet, so entstehen erzwungenen Schwingungen.

Abb. 7.47

Gleichgewichtsbedingung für die in Abb. 7.46 dargestellten Systeme: F + FD + Fr = F(t) = Fmax sin(Ze t)

(7-136)

uL + uR + uC = u(t) = U max sin(Ze t)

(7-137)

iC + iR + iL

(7-138)

= i(t) = Imax sin(Ze t)

Mithilfe dieser Gleichungen und den Beziehungen aus (7-105) ergeben sich die zugehörigen Differentialgleichungen (für sinusförmige Anregung, Wechselspannung und Wechselstrom): 2

m˜

d

dt

2

yE˜

2

L˜

d

dt

2

i  R˜

2

C˜

d

dt

2

u

d dt

d dt



y  k ˜ y = F0 ˜ sin Z e ˜ t

i

1 C



(7-139)



˜ i = Umax ˜ Z e ˜ cos Z e ˜ t



1 d 1 ˜ u  ˜ u = Imax ˜ Z e ˜ cos Z e ˜ t R dt L



(7-140)



(7-141)

Dividieren wir diese Gleichungen durch m bzw. L bzw. C und benützen zu den Abkürzungen (7-107) und (7-108) noch a0 =

Fmax m

bzw.

a0 =

Umax ˜ Z e L

bzw. a0 =

Imax ˜ Z e C

so erhalten wir die vereinfachten Differentialgleichungen:

Seite 336

(7-142)

Differentialgleichungen

2

d

dt

2

2

d

dt

2

d

y  2˜ G˜

i  2˜ G˜

dt d

2

2

d

u  2˜ G˜





i  Z 0 ˜ i = a0 ˜ cos Z e ˜ t

dt

2

d

2

y  Z 0 ˜ y = a0 ˜ sin Z e ˜ t

2



(7-143)





u  Z 0 ˜ u = a0 ˜ cos Z e ˜ t

dt dt Ze bezeichnet hier die Erregerfrequenz.

(7-144)



(7-145)

Ausgehend von der freien gedämpften Schwingung mit G < Z0 (0 < D < 1), erhalten wir für den Schwingkreis nach den Ergebnissen von (7-113) die Lösung der homogenen Differentialgleichung:  G ˜t

yh ( t) = e



 G˜t



˜ C1 ˜ cos ( Z ˜ t)  C2 ˜ sin ( Z ˜ t) = A ˜ e

˜ sin ( Z ˜ t  M )

(7-146)

Sie beschreibt eine freie gedämpfte Schwingung mit der Eigenkreisfrequenz : Z=

2

Z0  G

2

(7-147)

Eine partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung (7-143), (7-144) oder (7-145) kann durch einen reellen Lösungsansatz (7-133)



yp ( t) = A0 ˜ sin Z e ˜ t  M





(7-148)



ip ( t) = I0 ˜ sin Z e ˜ t  M up ( t) = U0 ˜ sin Z e ˜ t  M



(7-149)



(7-150)

oder durch den nach (7-135) gegebenen komplexen Lösungsansatz yp ( t) = A0 ˜ e ip ( t) = I0 ˜ e



j˜ Z e˜t M 0



j˜ Z e˜t M 0

up ( t) = U0 ˜ e



=A

=I

j˜ Z e˜t M 0









0 ˜ cos Z e ˜ t  M 0  j ˜ sin Z e ˜ t  M 0









0 ˜ cos Z e ˜ t  M 0  j ˜ sin Z e ˜ t  M 0

=U













0 ˜ cos Z e ˜ t  M 0  j ˜ sin Z e ˜ t  M 0

(7-151) (7-152)



(7-153)

gewonnen werden. Die einwirkende sinusförmige Kraft, die einwirkende sinusförmige Spannung oder der einwirkende sinusförmige Strom, müssen dann ebenfalls in komplexer Form dargestellt werden: F ( t) = Fmax ˜ e i ( t) = Imax ˜ e



=F

j˜ Z e˜t



=I

j˜ Z e˜t

u ( t) = Umax ˜ e

















max ˜ cos Z e ˜ t  j ˜ sin Z e ˜ t

= Umax ˜

j˜ Z e˜t



max ˜ cos Z e ˜ t  j ˜ sin Z e ˜ t





cos Z e ˜ t  j ˜ sin Z e ˜ t

(7-154) (7-155) (7-156)

Das reelle Ergebnis erhalten wir aus dem Imaginärteil:



yp ( t) = Im yp , F ( t) = Im ( F ( t) ), i ( t ) = Im ( i ( t) ) und u ( t ) = Im ( u ( t) )

Seite 337

(7-157)

Differentialgleichungen

Wegen der einfacheren Rechnung (siehe dazu auch Band 1) wählen wir die Komplexrechnung zur Lösung der inhomogenen Differentialgleichung und setzen den Phasenwinkel (Phasenverschiebung) M0 negativ an. Herleitung der wichtigsten Beziehungen über die Komplexrechnung: Inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten in komplexer Darstellung: 2

d

dt

2

2

d

dt

2

d

y  2˜ G˜

dt d

i  2˜ G˜

dt

2

d

dt

2

u  2˜ G˜

j˜Z e˜t

2

y  Z 0 ˜ y = a0 ˜ e

Umax ˜ Z e j˜Z e˜t j˜Z e˜t· j˜Z e˜t 1 d§ = j˜ ˜e = j ˜ a0 ˜ e ˜ © Umax ˜ e ¹ L L dt

2

i  Z0 ˜ i =

d dt

(7-158)

(7-159)

Imax ˜ Z e j˜Z e˜t j˜Z e˜t· j˜Z e˜t 1 d§ = j˜ ˜e = j ˜ a0 ˜ e ˜ © Imax ˜ e (7-160) ¹ C C dt

2

u  Z0 ˜ u =

Komplexer Ansatz für die partikuläre Lösung:



j˜ Z e˜t M 0

yp ( t) = A0 ˜ e



j˜ Z e˜t M 0

ip ( t) = I0 ˜ e

=A

=I



j ˜ Z e˜t M 0

up ( t) = U0 ˜ e

j˜Z e˜t  j˜M 0 ˜e 0˜e j˜Z e˜t  j˜M 0

0˜e

(7-161)

˜e

=U

0˜e

j˜Z e˜t

(7-162)

 j˜M 0

˜e

(7-163)

Erste Ableitung: d

yp ( t) = j ˜ Z e ˜ A0 ˜ e

dt d

ip ( t) = j ˜ Z e ˜ I0 ˜ e

dt d

j˜Z e˜t

j˜Z e˜t

up ( t) = j ˜ Z e ˜ U0 ˜ e

dt

 j˜M 0

˜e

(7-164)

 j˜M 0

˜e

j˜Z e˜t

(7-165)

 j˜M 0

˜e

(7-166)

Zweite Ableitung (j 2 = -1): 2

d

dt

2

2

y ( t) = j ˜ Z e ˜ A0 ˜ e 2 p

j˜Z e˜t

 j˜M 0

˜e

2

= Z e ˜ A0 ˜ e

j˜Z e˜t

 j˜M 0

˜e

(7-167)

2

d

dt

j˜Z e˜t  j˜M 0 j˜Z e˜t  j˜M 0 2 2 2 i ( t) = j ˜ Z e ˜ I0 ˜ e ˜e = Z e ˜ I0 ˜ e ˜e 2 p

(7-168)

2

d

dt

j˜Z e˜t  j˜M 0 j˜Z e˜t  j˜M 0 2 2 2 u ( t) = j ˜ Z e ˜ U0 ˜ e ˜e = Z e ˜ U0 ˜ e ˜e 2 p

Seite 338

(7-169)

Differentialgleichungen

Durch Einsetzen dieser Ableitungen in die Differentialgleichung in komplexer Form erhalten wir jeweils die Gleichung: 2

Z e ˜ A0 ˜ e

j˜Z e˜t

 j˜M 0

˜e

 2 ˜ G ˜ j ˜ Z e ˜ A0 ˜ e

j˜Z e˜t

 j˜M 0

˜e

2

 Z 0 ˜ A0 ˜ e

j˜Z e˜t

 j˜M 0

˜e

j ˜Z e˜t

= a0 ˜ e

(7-170)

bzw. 2

Z e ˜ I0 ˜ e bzw. 2

j˜Z e˜t

Z e ˜ U0 ˜ e

 j˜M 0

˜e

j˜Z e˜t

 2 ˜ G ˜ j ˜ Z e ˜ I0 ˜ e

 j˜M 0

˜e

j˜Z e˜t

 2 ˜ G ˜ j ˜ Z e ˜ U0 ˜ e

j˜Z e˜t

Dividieren wir diese Gleichungen durch A0 ˜ e (7-170) anschließend mit e Gleichungen zu: 2

j˜M 0

a0

2

A0

2

j ˜ Ze  2 ˜ G ˜ Ze  j ˜ Z0 = 2

 j˜M 0

˜e

j˜Z e˜t

2

 Z 0 ˜ I0 ˜ e 2

2

j ˜ Ze  2 ˜ G ˜ Ze  j ˜ Z0 =

a0 I0 a0 I0

˜e

j˜M 0

˜e ˜e

bzw.

j˜M 0 j˜M 0

j˜Z e˜t

 Z 0 ˜ U0 ˜ e

bzw. I0 ˜ e

j˜Z e˜t

bzw. (7-171) und (7-172) mit  j ˜ e

Z e  j ˜ 2 ˜ G ˜ Z e  Z 0 = 2

 j˜M 0

˜e

 j˜M 0

˜e

j˜Z e˜t

 j˜M 0

˜e

bzw. U0 ˜ e

j˜M 0

j˜Z e˜t

= j ˜ a0 ˜ e

j˜Z e˜t

j ˜Z e˜t

= j ˜ a0 ˜ e

(7-171)

(7-172)

und multiplizieren wir

2

(j = -1), so vereinfachen sich diese

a

§ Z 02  Z e2·  j ˜  2 ˜ G ˜ Z e = 0 ˜ e j˜M 0 © ¹ A0 2

bzw. 2 ˜ G ˜ Z e  j ˜ §© Z e  Z 0 2

bzw. 2 ˜ G ˜ Z e  j ˜ §© Z e  Z 0

2·

¹

2·

=

a0 I0 a0

˜e

¹ = I ˜e 0

j˜M 0 j˜M 0

(7-173) (7-174) (7-175)

Auf der linken Seite dieser Gleichungen steht eine komplexe Zahl z in Komponentenform und auf der rechten Seite eine komplexe Zahl in Exponentialform (Abb. 7.47):

Abb. 7.48

Nach Abb. 7.47 ergeben sich jeweils folgende zwei Beziehungen: 1) Der Betrag von z (Phythagoras): 2

2 § a0 · 2 2 2 2 = §© Z 0  Z e ·¹  4 ˜ G ˜ Z e ¨ A © 0¹

(7-176)

2

2 § a0 · 2 2 2 2 = §© Z e  Z 0 ·¹  4 ˜ G ˜ Z e ¨ © I0 ¹

(7-177)

2

2 § a0 · 2 2 2 2 = §© Z e  Z 0 ·¹  4 ˜ G ˜ Z e ¨ © U0 ¹

(7-178)

Seite 339

Differentialgleichungen

Daraus kann jeweils durch Umformung die Amplitude bestimmt werden: a0

A0 =

2

§ Z 0 2  Z e 2·   2 ˜ G ˜ Z e 2 © ¹ a0

I0 =

m˜

2

2·

§ Z 0 2  Z e 2·   2 ˜ G ˜ Z e 2 © ¹ Umax ˜ Z e

§ Z e 2  Z 0 2·   2 ˜ G ˜ Z e 2 © ¹

L˜

Imax ˜ Z e

=

2

§Z e  Z 0 © ¹   2 ˜ G ˜ Z e

2

(7-180)

2

§ Z e 2  Z 0 2·   2 ˜ G ˜ Z e 2 © ¹ a0

(7-179)

2

=

2

U0 =

Fmax

=

C˜

2

2·

2

§Z e  Z 0 © ¹   2 ˜ G ˜ Z e

(7-181) 2

Diese Darstellungen können mithilfe von 2

Z0 =

k m

und G =

E

(7-182)

2˜ m

bzw. 2

Z0 =

1 L˜ C

und G =

R

(7-183)

2˜ L

bzw. 2

Z0 =

1 L˜ C

1

und G =

(7-184)

2˜ R˜ C

durch Umformung auf folgende Form gebracht werden: Fmax

A0 = Ze ˜

2

E 

§ k  Z ˜ m· ¨ e © Ze ¹

Umax

I0 = 2

§ ©

R  ¨Ze ˜ L  U0 =

1

· Ze ˜ C ¹

2

(7-185)

2

=

Umax

Imax 2

§ 1 ·  §Z ˜ C  1 · ¨ ¨ e Ze ˜ L ¹ © R¹ ©

(7-186)

Z

2

=

Imax Y

Beachten Sie die Analogien zwischen Mechanik und Elektrotechnik: k mo1/C, m moL und E moR

Seite 340

(7-187)

Differentialgleichungen

2) tan(M0 ) = Im(z)/Re(z):



tan M 0 =

2 ˜ G ˜ Ze 2

Z0  Ze

2

=

E k Ze

 Ze ˜ m

2





tan M 0 = tan M z =

Ze  Z0





Ze  Z0 2 ˜ G ˜ Ze

Ze ˜ L 

2

=

2 ˜ G ˜ Ze 2

tan M 0 = tan M y =

(7-188)

=

Ze ˜ C

R Ze ˜ C 

2

1 (7-189)

1 Ze ˜ L

1

(7-190)

R

Daraus kann der Phasenwinkel M0 bestimmt werden. Es sind jedoch die in Abb. 7.49 bzw. Abb. 7.50 dargestellten Fälle zu unterscheiden.

Abb. 7.49

Abb. 7.50

Seite 341

Differentialgleichungen

Für den Phasenwinkel ergibt sich aus Abb. 7.48: M0 =

§ 2 ˜ G ˜ Ze · if Z e  Z 0 ¨ Z 02  Z e2 © ¹

arctan ¨ S

(7-191)

if Z e = Z 0

2

§ 2 ˜ G ˜ Ze · S  if Z e ! Z 0 2 ¨ Z 02  Z e2 © ¹

arctan ¨

In Mathcad (siehe dazu Kapitel 3 Band 1 Einführung in Mathcad) können wir den Phasenwinkel wie folgt definieren (praktisch wird oft der Phasenwinkel mit negativen Vorzeichen dargestellt):





M0 Z0  G  Ze =

§ 2 ˜ G ˜ Ze · if Z e  Z 0 ¨ Z 02  Z e2 © ¹ § 2 ˜ G ˜ Ze · atan ¨  S if Z e ! Z 0 ¨ Z 02  Z e2 © ¹ atan ¨

(7-192)

Für den Phasenwinkel der elektrischen Schwingkreise ergibt sich aus Abb. 7.49:

M0 =

§¨ Z e2  Z 02 · arctan ¨ if Z e  Z 0 © 2 ˜ G ˜ Ze ¹

(7-193)

0 if Z e = Z 0

§¨ Z e2  Z 02 · if Z e ! Z 0 arctan ¨ © 2 ˜ G ˜ Ze ¹ In Mathcad (siehe dazu Kapitel 3 Band 1 Einführung in Mathcad) können wir den Phasenwinkel wie folgt definieren:

§ 2 ˜ G ˜ Ze · ¨ Z 02  Z e2 © ¹

M 0 Z 0  G  Z e = atan ¨





(7-194)

Mit A0 und M0 (aus (7-185) und (7-191)) kann dann die reelle partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung (mechanischer Schwingkreis) angegeben werden:







j ˜ Z e˜t M 0

ª

yp ( t) = Im yp ( t) = Im ¬ A0 ˜ e

º = A ¼



0 ˜ sin Z e ˜ t  M 0



(7-195)

Mit I0 und M0 (aus (7-186) und (7-192)) kann dann die reelle partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung (elektrischer Serienschwingkreis) angegeben werden:





ª



j˜ Z e˜t M 0

ip ( t) = Im ip ( t) = Im ¬ I0 ˜ e

º = I ¼



0 ˜ sin Z e ˜ t  M 0

Seite 342



(7-196)

Differentialgleichungen

Mit I0 und M0 (aus (7-186) und (7-192)) kann dann die reelle partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung (elektrischer Parallelschwingkreis) angegeben werden:





j ˜ Z e˜t M 0

ª



up ( t) = Im up ( t) = Im ¬ U0 ˜ e

º = U ¼



0 ˜ sin Z e ˜ t  M 0



(7-197)

Die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten bei angenommener schwacher Dämpfung lautet somit:  G ˜t

y ( t) = yh ( t)  yp ( t) = A ˜ e

 G˜t

i ( t ) = ih ( t )  i p ( t ) = A ˜ e



˜ sin ( Z ˜ t  M )  A0 ˜ sin Z e ˜ t  M 0



˜ sin ( Z ˜ t  M )  I0 ˜ sin Z e ˜ t  M 0

 G˜t

u ( t ) = uh ( t)  up ( t) = A ˜ e







˜ sin ( Z ˜ t  M )  U0 ˜ sin Z e ˜ t  M 0

(7-198) (7-199)



(7-200)

Die unbestimmten Konstanten A und M müssen durch die Anfangsbedingungen bestimmt werden (z.B. y(0) = 0, y'(0) = 0). Hingegen hängen A 0 (bzw. I0 und U0 ) und M0 im Wesentlichen von den Parametern G und Z0 und der Amplitude F max (bzw. I max und Umax) ab. Die Lösung der homogenen Differentialgleichung y h(t) (bzw. i h(t) und uh(t)) wird stets nach einer Anfangszeit vernachlässigbar klein (flüchtiger Beitrag zur Gesamtlösung). Solange beide Lösungsanteile wirksam sind, spricht man von einem Einschwingvorgang. Nach dem Einschwingen wirkt nur noch die partikuläre Lösung y p(t) (bzw. ip(t) und up(t)) der inhomogenen Differentialgleichung. Sie wird stationäre Lösung genannt. Das System schwingt jetzt ungedämpft mit der Erregerkreisfrequenz Ze . Die Schwingungsamplitude A 0 (bzw. I0 und U0 ) und der Phasenwinkel M0 hängen von der Erregerkreisfrequenz Ze ab: A0 = A0 (Ze ) bzw. I0 = I0 (Ze ) bzw. U0 = U0 (Ze ) und M0 = M0 (Ze ). Wir bezeichnen diese Abhängigkeit, wie bereits in Band 1 und in Kapitel 5 in diesem Band dargestellt wurde, Frequenzgang (der Amplitude) und Phasengang (Phasenverschiebung zwischen Erregersystem und der stationären Lösung). Der Frequenzgang wird auch Amplituden- oder Resonanzfunktion genannt. Die Resonanzfunktion A0 (Ze ) (bzw. I0 = I0 (Ze ) und U0 = U0 (Ze )) hat füZe = 0 (statischer Fall) den von null verschiedenen Wert: Aus (7-179) und mit (7-182), (7-142) erhalten wir für den mechanischen Schwingkreis:





A0 Z e = 0 =

a0 Z0

2

=

F0 m ˜ Z0

2

=

F0

(7-201)

k

Aus (7-179) und mit (7-182), (7-141) erhalten wir für den mechanischen Schwingkreis:





I0 Z e = 0 =

a0 Z0

2

=

Umax ˜ Z e L ˜ Z0

2

= Umax ˜ C ˜ Z e

(7-202)

Aus (7-181) und mit (7-184), (7-142) erhalten wir für den mechanischen Schwingkreis:





U0 Z e = 0 =

a0 Z0

2

=

Imax ˜ Z e C ˜ Z0

2

= Imax ˜ L ˜ Z e

Seite 343

(7-203)

Differentialgleichungen

Die Resonanzfunktion besitzt außerdem ein Maximum, wenn der Ausdruck N m(Ze ) bzw. N e (Ze ) unter der Wurzel in A0 (Ze ) bzw. I0 (Ze ) und U0 (Ze ) ein Minimum annimmt: 2

2·

2

2·

Nm Z e = §© Z 0  Z e



Ne Z e = §© Z e  Z 0



2

2 2 ¹  4 ˜ G ˜ Ze

(7-204)

2

2 2 ¹  4 ˜ G ˜ Ze

(7-205)

Die Ableitungen lauten: 2 2· 2 2 2· § 2  ¹ ˜  2 ˜ Z e  8 ˜ G ˜ Z e = 4 ˜ Z e ˜ © Z e  Z 0  2 ˜ G ¹ 2 2 2 2 2 2 N''m  Z e = 4 ˜ §© Z e  Z 0  2 ˜ G ·¹  2 ˜ Z e ˜ 4 ˜ Z e = 4 ˜ §© 3 ˜ Z e  Z 0  2 ˜ G ·¹

N'm Z e = 2 ˜ §© Z 0  Z e bzw.

2 2· 2 2· 2 § 2  ¹ ˜ 2 ˜ Z e  8 ˜ G ˜ Z e = 4 ˜ Z e ˜ ©Z e  Z 0  2 ˜ G ¹ 2 2 2 2 2 2 N''e  Z e = 4 ˜ §© Z e  Z 0  2 ˜ G ·¹  2 ˜ Z e ˜ 4 ˜ Z e = 4 ˜ §© 3 ˜ Z e  Z 0  2 ˜ G ·¹

N'e Z e = 2 ˜ §© Z e  Z 0

(7-206) (7-207) (7-208) (7-209)

Notwendige und hinreichende Bedingung für ein Minimum: N' m(Ze ) = 0 bzw. N' e (Ze ) = 0 und N'' m(Ze ) > 0 bzw. N'' e (Ze ) > 0 2

2

4 ˜ Z e ˜ §© Z e  Z 0  2 ˜ G

ª

¹ = 0 Ÿ Ze = Zr =

2

N''m Z e = Z r = 4 ˜ «¬3 ˜ §© Z 0  2 ˜ G





2

2·

2·

2

Z0  2 ˜ G

2

 Z0  2 ˜ G

º 2»

2

(7-210) 2

= 8 ˜ §© Z 0  2 ˜ G

2·

2

¼ ¹ !0 2 2 ª 2 2 2 2 2º 2 N''e  Z e = Z r = 4 ˜ «¬3 ˜ §© Z 0  2 ˜ G ·¹  Z 0  2 ˜ G »¼ = 8 ˜ §© Z 0  2 ˜ G ·¹ ! 0 ¹

(7-211) (7-212)

Damit liegt bei der sogenannten Resonanzfrequenz Zr ein Minimum für Nm(Ze ) bzw.N e (Ze ) und zugleich für die Resonanzfunktion A0 (Ze ), I0 (Ze ) und U0 (Ze ) ein Maximum vor:

Ze = Zr =

Z0

2

2

§ G · = Z ˜ 1  2 ˜ D2  2 ˜ G = Z0 ˜ 1  2 ˜ ¨ 0 © Z0 ¹ 2

(7-213)

Bei vorhandener Dämpfung gilt stets: 2

Zr = Z0 ˜

1  2 ˜ D  Z = Z0 ˜

2

1  D  Z0

(7-214)

Von einem mechanischen System ausgehend schwingt dieses bei der Resonanzfrequenz Zr mit größtmöglicher Amplitude. In diesem Falle spricht man vom Resonanzfall. Daraus resultiert auch der Name Resonanzkurve. Fmax Fmax A0max = A0 Z e = Z r = = (7-215) 2˜ m˜ G˜ Z 2 2 2 ˜ m ˜ G ˜ Z0  G







Umax ˜ Z r



I0max = I0 Z e = Z r =

2˜ L˜ G˜





U0max = U0 Z e = Z r =

2

Z0  G

2

=

Imax ˜ Z r 2˜ C˜ G ˜

2

Z0  G

2

Umax ˜ Z r 2˜ L˜ G˜ Z =

Imax ˜ Z r 2˜ C˜ G ˜ Z

Seite 344

(7-216)

(7-217)

Differentialgleichungen

Beispiel 7.38 Ein gedämpftes schwingungsfähiges mechanisches System mit der Masse m 0 = 0.5 kg, einer Federkonstante k = 0.5 N/m und einem Reibungsfaktor E = 0.4 kg/s wird durch eine periodische Kraft mit der Amplitude Fmax = 1 N und der Erregerfrequenz Ze = 0.9 s -1 zu erzwungenen Schwingungen angeregt. Zur Zeit t = 0 s soll y(0 s ) = 1cm und y' (0 s) = 0 cm/s sein. Stellen Sie die homogene, partikuläre und allgemeine Lösung der zugehörigen Differentialgleichung grafisch dar. Für den Fall G = 0.4 s-1, 0.3 s -1, 0.2 s -1, 0 s -1 sollen auch die Resonanzkurven und die Phasenverschiebungen jeweils in einem Koordinatensystem dargestellt werden. schwingende Masse

m0  1.5 ˜ kg k  0.1 ˜

N

Federkonstante

cm k

Z0 

Z0

m0

E  1.6 ˜

Eigenfrequenz

Reibungsfaktor

s

2 ˜ m0 2

Z

1

kg

E

G

2.582 s

Z0  G

2

1

Dämpfungsfaktor

1

Eigenkreisfrequenz der freien Schwingung

G

0.533 s

Z

2.526 s

Amplitude der periodischen Kraft

Fmax  1 ˜ N Z e  0.9 ˜ s Zr  a0 

1

Erregerfrequenz

2

Z0  2 ˜ G

2

Fmax m0

Zr

2.469 s

a0

0.667

1

m s



Resonanzfrequenz

Kraft pro Masse (Beschleunigung)

2

a0



A0 a0  Z 0  G  Z e 

2

§ Z 0 2  Z e 2·   2 ˜ G ˜ Z e 2 © ¹



A0 a0  Z 0  G  Z e





M0 Z0  G  Ze 



M0 Z0  G  Ze





Resonanzamplitude

11.233 cm

§ 2 ˜ G ˜ Ze · if Z e  Z 0 ¨ Z 02  Z e2 © ¹ § 2 ˜ G ˜ Ze · S  atan ¨ if Z e ! Z 0 ¨ Z 02  Z e2 © ¹ atan ¨

Phasenverschiebung

0.162

Bestimmung der unbekannten Konstanten A und Maus den Anfangsbedingungen:

Seite 345

Differentialgleichungen

 G˜t

y ( t ) = A1 ˜ e



˜ sin ( Z ˜ t  M )  A0 ˜ sin Z e ˜ t  M 0



durch Differentiation, ergibt d dt





y ( t) = A1 ˜ G ˜ exp ( G ˜ t) ˜ sin ( Z ˜ t  M )  A1 ˜ exp ( G ˜ t ) ˜ cos ( Z ˜ t  M ) ˜ Z  A0 ˜ cos Z e ˜ t  M 0 ˜ Z e

A1  1

Startwerte

M 1

Vorgabe A1 ˜ sin ( M )  G

A1 ˜ s

1



A0 a0  Z 0  G  Z e cm







˜ sin M 0 Z 0  G  Z e Z

˜ sin ( M )  A1 ˜ cos ( M ) ˜ s

1



= 1



A0 a0  Z 0  G  Z e cm







˜ cos M 0 Z 0  G  Z e

˜

§ A1 ·  Suchen ( A1  M ) ¨ ©M ¹  G ˜t

yh ( t)  A1 ˜ cm ˜ e

homogene Lösung

˜ sin ( Z ˜ t  M )









yp ( t)  A0 a0  Z 0  G  Z e ˜ sin Z e ˜ t  M 0 Z 0  G  Z e



partikuläre Lösung

y ( t)  yh ( t)  yp ( t)

allgemeine Lösung

t  0 ˜ s  0.01 ˜ s  10 ˜ s

Bereichsvariable

0.2

0.1 yh ( t) yp ( t)

0

1

2

3

4

5

6

7

y( t) 0.1

0.2 t

Abb. 7.51

Ze  0 ˜ s

1

 0.001 ˜ s

1

 4 ˜ s

1

Bereichsvariable

Seite 346

8

9

10

Ze s

1

=0

Differentialgleichungen

Resonanzkurve

0.8



A0 a0  Z 0  G  Z e A0 §©a 0  Z 0  0.3˜s



1

 Z e·¹

1 A0 §©a 0  Z 0  0.2˜s  Z e·¹

A0 §©a 0  Z 0  0˜s

1

ZrZ0

0.64

 Z e·¹

0.48





A0 a 0  Z 0  G  Z r

0.32 0.16 0

0

0.67

1.33

2

2.67

3.33

4

Ze

Abb. 7.52 Phasenverschiebung (Frequenzgang)

1



M0 Z0  G  Ze



ZrZ0

M 0 §©Z 0  0.3˜s

1

 Z e·¹

M 0 §©Z 0  0.2˜s

1

 Z e·¹

M 0 §©Z 0  0˜s 

1

 Z e·¹

0





M0 Z0  G  Zr

1

2

S 2

S 3

4

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Ze

Abb. 7.53 -Gt

Für t ofwird wegen e o0 die Lösung der homogenen Differentialgleichung gleich null. Es bleibt nur noch yp (t) (bzw. ip (t) und u p (t)) übrig. Die Lösung der homogenen Differentialgleichung beschreibt einen Kriechvorgang oder eine gedämpfte oder ungedämpfte Schwingung. Weil aber praktisch immer eine gewisse Dämpfung vorhanden ist, wird die Lösung der homogenen Differentialgleichung stets nach einer Anfangszeit vernachlässigbar klein. Solange beide Lösungsanteile wirksam sind, spricht man von Einschwingvorgang. Nach dem Einschwingen wirkt nur noch die spezielle (partikuläre) Lösung. Wir nennen diese daher stationäre Lösung. Die stationäre Lösung hat die gleiche Frequenz wie die einwirkende Kraft (bzw. Strom oder Spannung), jedoch eine andere Amplitude und Phasenverschiebung. Die erzwungene Schwingung eilt stets der erregende Schwingung nach und nähert sich für große Frequenzen den Wert - S der Phasenverschiebung. a0

-1

Bei fehlender Dämpfung (G = 0 s ) ist A0 =

2

Z0  Ze

2

, M 0 = 0 für Z e  Z 0 und A0 =

a0 2

Ze  Z0

2

, M 0 = S

für Z e ! Z 0. Der Phasensprung von M0 = 0 auf M0 = -S ist in der Abbildung gut ersichtlich. Für den Resonanzfall Ze = Zr = Z0 wird die Amplitude unendlich groß (Systemzerstörung)!

Seite 347

Differentialgleichungen

Numerische Lösung der inhomogenen Differentialgleichung mithilfe von Gdglösen: Anzahl der Zeitschritte für die numerische Berechnung

N1  500 Vorgabe 2

d

dt

2

y( t)  2 ˜ G ˜

d dt

2

y( t)  Z 0 ˜ y( t) =

a0 m s

y ( 0) = 1





˜ sin Z e ˜ t



2

Anfangsbedingungen

y' ( 0) = 0



y G  Z 0  Z e  Gdglösen ( t  100  N1 ) Dämpfungskonstante

Eigenfrequenz

Erregerfrequenz

G 

Z0 

Ze 

8 G

14

0.8

Z0

7

1.4

Ze

0.7

Slider-Einstellungen: Editor: Outputs(0).Value = Slider.Position/10 Mathsoft Slider Control-Objekt: Minimum 0, Maximum 20, bzw. Minimum 1, Maximum 20, bzw. Minimum 0, Maximum 20



y1  y G  Z 0  Z e



numerische Berechnung in Abhängigkeit von G, Z0 und Ze Bereichsvariable

t  0  0.01  20 1 2˜S Z0

0.33 y1( t) 0.33

0

5

10

15

20

Die inhomogene Differentialgleichung zeigt Resonanzverhalten, wenn die Erregerfrequenz Ze in die Nähe der Eigenfrequenz Z0 gelangt. T=

1 t

Abb. 7.54

Seite 348

2˜ S Z0

Differentialgleichungen

7.2.2.3 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit nicht konstanten Koeffizienten Wir wollen hier einige wichtige Sonderfälle der homogenen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung, bei denen die Koeffizientenfunktionen eine spezielle Form haben und reelle Konstanten enthalten sind, kurz behandeln. Bei den hier vorgestellten Sonderfällen von Differentialgleichungen lassen sich die exakten Lösungen im Allgemeinen nicht durch endlich viele elementare mathematische Funktionen darstellen. Hier führen Potenzreihenansätze zum Ziel, die durch (7-62) beschrieben wurden. Derartige Differentialgleichungen spielen bei vielen Anwendungen in Physik und Technik eine Rolle. Sie treten z.B. bei folgenden Problemen auf: Potential in Gebieten, die von kreiszylindrischen Flächen begrenzt sind (elektrostatisches Potential, Geschwindigkeitspotential), Wärmeleitung in Kreiszylindern, Wellenausbreitung längs zylindrischer Leiter (Sommerfeldsche Drahtleitung, Wendelleitung), Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen und Schallwellen in kreiszylindrischen Hohlleitern und Schwingungen in zylindrischen Resonatoren, Wellenausbreitung um die Erde, Schwingungen einer Kreismembran, Wechselstromwiderstand eines Kreisplattenkondensators, Stromverdrängung in zylindrischen Leitern, Streuung elektromagnetischer Wellen und Schallwellen an kugeligen Hindernissen, Streuung von Elementarteilchen an Kernen, Wellenfeld der Kegelantenne, Spektrum einer sinusförmigen frequenzmodulierten Schwingung, Richtdiagramme von Antennen-Kreisgruppen, Störung von Planetenbahnen durch andere Planeten, Wellenausbreitung längs Leitungen mit veränderlicher Dämpfung u.a.m. Die Lösungen dieser Differentialgleichungen sind Besselsche Funktionen 1.Art, Besselfunktionen 2. Art (Neumannfunktionen), Besselfunktionen 3. Art (Hankelfunktionen), AiryscheBesselfunktionen, Sphärische-Besselfunktionen Jakobi- Polynomfunktionen, TschebyscheffPolynomfunktionen, Legendre-Polynomfunktionen, Laguerre-Polynomfunktionen, Hermitesche-Polynomfunktionen, Hypergeometrische-Funktionen u.a.m. Für einige Fälle existieren Lösungsfunktionen in Mathcad, die nachfolgend kurz beschrieben werden. Besselsche Differentialgleichungen: 2

x ˜

2

d

2

dx

y ( x)  x ˜

d dx

2

2

y ( x)  x  n

˜ y(x) = 0

(7-218)

Die reelle Konstante n t 0 gibt die Ordnung an. Die Potenzreihendarstellung der Lösungen wird Besselfunktionen 1. Art und 2. Art (zweiter Art der Ordnung n oder Neumannfunktionen) bzw. 3. Art (Hankelfunktionen) bezeichnet. Mathcad unterstützt alle Besselfunktionen für komplexe Argumente und in fraktionellen oder negativen Ordnungen. Diese werden nachfolgend zusammengefasst. Alle Besselfunktionen, außer der Airyschen Funktion und der sphärischen Besselfunktion, werden skaliert wiedergegeben. Besselfunktionen erster und zweiter Art: Die nullte Ordnung der Besselfunktion der ersten Art (n = 0): Die erste Ordnung der Besselfunktion der ersten Art (n = 1): Die n-te Ordnung der Besselfunktion der zweiten Art ( 1 dn d100): Die nullte Ordnung der Besselfunktion der zweiten Art (n = 0): Die erste Ordnung der Besselfunktion der zweiten Art (n = 1): Die n-te Ordnung der Besselfunktion der zweiten Art (x > 0, 1 dn d100):

Seite 349

J0(z). J1(z). Jn(n,z). Y0(z). Y1(z). Yn(n,z).

Differentialgleichungen

Modifizierte (hyperbolische) Besselsche Differentialgleichung: 2

2

x ˜

d

2

y ( x)  x ˜

dx

d dx

2

2

y ( x)  x  n

˜ y(x) = 0

Modifizierte (hyperbolische) Besselfunktionen: Die nullte Ordnung der modifizierten Besselfunktion der ersten Art (n = 0): Die erste Ordnung der modifizierten Besselfunktion der ersten Art (n = 1): Die n-te Ordnung der modifizierten Besselfunktion der zweiten Art (1 dn d100): Die nullte Ordnung der modifizierten Besselfunktion der zweiten Art (n = 0): Die erste Ordnung der modifizierten Besselfunktion der zweiten Art (n = 1): Die n-te Ordnung der modifizierten Besselfunktion der zweiten Art (x > 0,1 dn d100):

(7-219)

I0(z). I1(z). In(n,z). K0(z). K1(z). Kn(n,z).

Modifizierte Bessel'sche Differentialgleichung: 2

2

x ˜

d

2

y ( x)  2 ˜ x ˜

dx

d dx

2

y ( x)  ª¬ x  n ˜ ( n  1) º¼ ˜ y ( x) = 0

(7-220)

Hankelfunktionen (Linearkombination von Hn = Jn +/- j Yn): Hankelfunktion (Besselfunktion der 3. Art) 1. Art ( 1 dn d100): Hankelfunktionen (Besselfunktion der 3. Art) 2. Art (1 dn d100):

H1(n,z). H2(n,z).

Airysche Differentialgleichung: 2

d

2

y ( x)  x ˜ y ( x) = 0

(7-221)

dx

Airy'sche Funktionen: Airy'sche Funktion (keine Skalierung): Airy'sche Funktion (keine Skalierung):

Ai(z). Bi(z).

In Mathcad sind noch folgende Lösungsfunktionen für Sonderfälle gegeben: Bessel-Kelvin-Funktionen: Imaginäre Bessel-Kelvin-Funktion n-ter Ordnung x reell, n ganze positive Zahl): Reelle Bessel-Kelvin-Funktion n-ter Ordnung (x reell, n ganze positive Zahl):

bei(n,x). ber(n,x).

Sphärische Besselfunktionen: Die n-te Ordnung der sphärischen Besselfunktion der ersten Art: Die n-te Ordnung der sphärischen Besselfunktion der zweiten Art:

Beispiel 7.39 Es sollen die in Mathcad implementierten Besselfunktionen dargestellt werden. Besselfunktionen 1. Art: Jn x  0  0.01  10

Bereichsvariable

Seite 350

js(n,z). ys(n,z).

Differentialgleichungen

J0( x)

1

1

0.5

Jn ( 0  x) 0.5 Jn ( 1  x)

J1( x)

Jn ( 2  x) 0

5

10

0

0.5

5

10

0.5 x

x

Abb. 7.55

Abb. 7.56

Besselfunktionen 2. Art: Yn Bereichsvariable

x  0.1  0.11  20 1

Y0 ( x)

1

0

5

10

15

20

Y1 ( x)

Yn ( 0  x)

Yn ( 2  x)

1

0

Yn ( 1  x)

2

5

10

15

20

1

2 x

x

Abb. 7.57

Abb. 7.58

Modifizierte Besselfunktionen 1. Art: In x  0.1  0.22  2

Bereichsvariable

3

I0( x)

3

In( 0  x)

2

2

In( 1  x)

I1( x)

In( 2  x)

1

0

0

0.5

1

1.5

1

0

2

0

1

x

x

Abb. 7.59

Abb. 7.60

Seite 351

2

Differentialgleichungen

Modifizierte Besselfunktionen 2. Art: Kn Bereichsvariable

x  0.1  0.12  2 10

10

Kn ( 0  x)

K0 ( x) K1 ( x)

Kn ( 1  x)

5

5

Kn ( 2  x)

0

0

0.5

1

1.5

0

2

0

0.5

1

x

1.5

2

x

Abb. 7.61

Abb. 7.62

Airysche Funktionen 1. und 2. Art: Ai, Bi x  8  8  0.12  3

Bereichsvariable 15

1

10

0.5 Ai( x)

5

Bi( x) 10

5

0

5

10

5

0.5

0

5

0

5

5

x

x

Abb. 7.63

Abb. 7.64

Bessel-Kelvin-Funktionen: bei, ber x  10  10  0.1  5 Bereichsvariable 100 5 50 bei( 1  x)

ber( 1  x) 10

5

0

5

10

5

5

50

x

x

Abb. 7.65

Abb. 7.66

Seite 352

Differentialgleichungen

Sphärische Besselfunktionen: js, ys Bereichsvariable

x  0  0.10  10

1

0.2

0.5

js( 2  x)

ys(  1  x) 0

5

10

0

0.2

5

0.5 x

x

Abb. 7.67

Abb. 7.68

Beispiel 7.40: Gesucht sind die Lösungen der Bessel'schen Differentialgleichung. k 1

Parameter

n  400

Anzahl der Zeitschritte für die numerische Berechnung

Vorgabe 2

x ˜

2

d

2

y ( x)  x ˜

dx y ( 1) =

1

d dx

y' ( 1) =

2

2

y ( x)  x  k

2

˜ y(x) = 0

1

homogene lineare Diffgl. 2. Ordnung mit nicht konstanten Koeffizienten (Bessel'sche-Differentialgleichung) Anfangsbedingungen

4

y  Gdglösen ( x  30  n) f ( x)  Jn ( k  x)

exakte Lösung der Differentialgleichung (Besselfunktionen)

x  0  0.01  30

Bereichsvariable

1

y( x)

0.5

f( x)

Abb. 7.69 5

10

15

20

0.5 x

Seite 353

25

30

10

Differentialgleichungen

Jacobi-Differentialgleichung:

1  x2 ˜

2

d

2

y ( x)  [ b  a  ( a  b  2) ˜ x ] ˜

dx

d dx

y ( x)  n ˜ ( n  a  b  1) ˜ y ( x) = 0

(7-222)

Jacobi-Polynom-Funktion vom Grad n ( a  b ! 1, n positive ganze Zahl): Jac(n,a,b,x)

Beispiel 7.41: Gesucht sind die Lösungen der Jacobi-Differentialgleichung. Bereichsvariable

x  1  1  0.01  1

10

Jac ( 5  2.3  1.5  x) Jac ( 4  5.7  2.5  x)

1

Jac ( 3  7.9  5.5  x)

0.5

0

0.5

1

Abb. 7.70

10 x

Tschebyscheff'sche-Differentialgleichung (Sonderfall der Jacobi-Differentialgleichung): 2

( 1  x) ˜

2

d

2

dx

y ( x)  x ˜

d

2

dx

y ( x)  n ˜ y ( x) = 0

(7-223)

Tschebyscheff'schen Polynoms vom Grad n der ersten Art ( n positive ganze Zahl): Tcheb(n,x) 2

( 1  x) ˜

2

d

2

dx

y ( x)  3 ˜ x ˜

d dx

y ( x)  n ˜ ( n  2) ˜ y ( x) = 0

Tschebyscheff'schen Polynoms vom Grad n der zweiten Art ( n positive ganze Zahl): Ucheb(n,x)

Beispiel 7.42: Gesucht sind die Lösungen der Tschebyscheff'schen-Differentialgleichung 1. und 2. Art. x  1  1  0.01  1

Bereichsvariable

Seite 354

(7-224)

Differentialgleichungen

1

Tcheb( 2  x) Tcheb( 3  x)

1

Tcheb( 4  x)

0.5

0

0.5

1

Abb. 7.71

0.5

1

Abb. 7.72

1 x 5

Ucheb ( 2  x) Ucheb ( 3  x)

1

Ucheb ( 4  x)

0.5

0

5 x

Legendre-Differentialgleichung (Sonderfall der Jacobi-Differentialgleichung):

1  x2 ˜

2

d

2

y ( x)  2 ˜ x ˜

dx

d dx

y ( x)  n ˜ ( n  1) ˜ y ( x) = 0

Legendre-Polynome vom Grad n (n positive ganze Zahl): Leg(n,x)

Beispiel 7.43: Gesucht sind die Lösungen der Legendre-Differentialgleichung. Bereichsvariable

x  1  1  0.01  1

Pn ( n  x) 

1 n

2 ˜ n

n

˜

d

nº ª 2 x 1 ¼ ¬ n

dx





Legendre Polynome vom Grad n

Seite 355

(7-225)

Differentialgleichungen

1 Leg( 2  x) Leg( 3  x) Leg( 4  x)

1

0.5

0

0.5

1

Abb. 7.73

Pn ( 4  x)

1 x

Hermite'sche-Differentialgleichung: 2

d

2

y ( x)  2 ˜ x ˜

dx

d dx

y ( x)  2 ˜ n ˜ y ( x) = 0

(7-226)

Hermite'schen-Polynome vom Grad n (n positive ganze Zahl): Her(n,x)

Beispiel 7.44: Gesucht sind die Lösungen der Hermite'schen-Differentialgleichung. Bereichsvariable

x  2  2  0.01  2 n

x

Hn ( n  x)  ( 1) ˜ e

n

2

˜

d

§  x2 · e ¹ n©

Hermite'sche Polynome vom Grad n

dx

100 Her( 2  x) 50

Her( 3  x)

Abb. 7.74

Her( 4  x) H n ( 4  x)

2

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

50 x

Laguerre-Differentialgleichung: 2

x˜

d

2

dx

y ( x)  ( 1  x) ˜

d dx

y ( x)  n ˜ y ( x) = 0

Laguerre-Polynome vom Grad n (n positive ganze Zahl): Lag(n,x)

Seite 356

(7-227)

Differentialgleichungen

Beispiel 7.45: Gesucht sind die Lösungen der Laguerre-Differentialgleichung. Bereichsvariable

x  0  0.01  5 n

d

x

Ln ( n  x)  e ˜

n

dx

xn ˜ e x

Laguerre-Polynom vom Grad n (Mathcad hat bei Lag(n,x) eine andere Normierung)

10

Lag( 2  x)

5

Lag( 3  x)

Abb. 7.75

Lag( 4  x) L n ( 2  x)

0

1

2

3

4

5

5 x

Gauß'sche- oder hypergeometrische Differentialgleichung : 2

x ˜ ( 1  x) ˜

d

2

y ( x)  [ c  ( a  b  1) ˜ x ] ˜

dx

d dx

y ( x)  a ˜ b ˜ y ( x) = 0

(7-228)

Gauß'sche-hypergeometrische Funktionen: (a, b, c reelle Zahlen ): fhyper(a,b,c,x) Viele Funktionen sind Sonderfälle der Gauß'schen- hypergeometrischen Funktion: z.B. ln(1+x) = x fhyper(1,1,2,-x) asin(x) = x fhyper(0.5,0.5,1.5,x2 ) Konfluente hypergeometrische Differentialgleichung: 2

x˜

d

2

dx

y ( x)  ( b  x) ˜

d dx

y ( x)  a ˜ y ( x) = 0

Konfluente hypergeometrische Funktionen: (a, b reelle Zahlen): mhyper(a,b,x) Viele Funktionen sind Sonderfälle der konfluenten hypergeometrischen Funktion: z.B. exp(x) = mhyper(1,1,x) exp(x) sinh(x) = x mhyper(1,2,2 x)

Seite 357

(7-229)

Differentialgleichungen

Beispiel 7.46: Gesucht sind die Lösungen der hypergeometrischen Differentialgleichung. Bereichsvariable

x  1  1  0.01  1

6

4

fhyper( 0.5  1  1.5  x) fhyper( 1  1  2  x)

Abb. 7.76

fhyper( 1  1  3  x)

2

1

0.5

0

0.5

1

x

x  1  1  0.01  1

Bereichsvariable

f ( x)  ln ( 1  x)

g ( x)  x ˜ fhyper ( 1  1  2  x)

ln(1+x) = x fhyper(1,1,2,-x)

ª ( 1) k kº ln ( 1  x) « ˜x» = x ¬k  1 ¼

hypergeometrische Reihe

f

fhyper ( 1  1  2  x) = 1 

¦

k

1



f1 ( x)  asin ( x)

2

g1 ( x)  x ˜ fhyper 0.5  0.5  1.5  x



asin(x) = x fhyper(0.5,0.5,1.5,x2 )

2 f( x) 1

0.5

0

0.5

1

g ( x) f1 ( x) g 1 ( x)

2

Abb. 7.77

4

6 x

Beispiel 7.47: Gesucht sind die Lösungen der konfluenten hypergeometrischen Differentialgleichung. x  1  1  0.01  1

Bereichsvariable

Seite 358

Differentialgleichungen

3

2

mhyper( 0.5  1  x) mhyper( 1  1  x)

Abb. 7.78

mhyper( 1  1.5  x)

1

1

0.5

0

0.5

1

x

x  1  1  0.01  2

Bereichsvariable

f ( x)  exp ( x)

g ( x)  mhyper ( 1  1  x)

exp(x) = mhyper(1,1,x)

f1 ( x)  exp ( x) ˜ sinh ( x)

g1 ( x)  x ˜ mhyper ( 1  2  2 ˜ x)

exp(x) sinh(x) = x mhyper(1, 2, 2 x)

10

f( x) 5

g ( x) f1 ( x) g 1 ( x)

Abb. 7.79 1

0.5

0

0.5

5 x

Seite 359

1

1.5

2

Differentialgleichungen

7.2.2.4 Nichtlineare Differentialgleichungen 2. Ordnung In diesem Abschnitt sollen nur einige Beispiele von nichtlinearen Differentialgleichungen 2. Ordnung behandelt werden. Beispiel 7.48: Die Durchhängekurve einer Freileitung hat die Form einer sogenannten Kettenlinie. Dabei wird die Form der Kettenlinie von der horizontalen Spannkraft S, dem Gewicht der Leitung pro Längeneinheit G L , der Mastenhöhe H und dem Mastenabstand 2 a beeinflusst. Wie lautet die Durchhängekurve, wenn sie durch die Punkte P1 (-a | 0) und P 2 (a | 0) gehen soll ? Für den Mastabstand a = 200 m, der Masthöhe 30 m, der Spannkraft S = 1500 kN und der Gewichtskraft pro Länge G L = 2 kN/m soll die Durchhängekurve grafisch dargestellt werden. Es soll auch noch die Leitungslänge und der Durchhang f d berechnet werden. Wir betrachten zur Herleitung der zugehörigen Differentialgleichung ein Stück Seil der Länge 's nach Abb. 7.78.

Nach Abb. 7.80 gilt: F = FL  'G S ˜ tan ( D  'D ) = S ˜ tan ( D ) 

tan ( D  'D )  tan ( D ) =

tan ( D  'D )  tan ( D ) =

G L˜ S G L˜ S

G

˜ 's

L

˜ 's 2

˜

1

§ 'y · ˜ 'x ¨ © 'x ¹

Abb. 7.80

Aus der letzten Gleichung folgt weiters durch Umformung mit der Gewichtskraft pro Länge GL = G/L : tan ( D  'D )  tan ( D ) 'x

=

GL S

˜

1

§ 'y · ¨ © 'x ¹

2

Mit dem Grenzübergang 'x o 0 und tan y' folgt die zugehörige nichtlineare Differentialgleichung 2. Ordnung für die Kettenlinie (Durchhängkurve): 2

GL

§d · y ( x) = ˜ 1¨ y 2 S © dx ¹ dx d

Durch Substitution z =

2

nichtlineare Differentialgleichung 2. Ordnung

d

y lässt sich die nichtlineare Differentialgleichung 2. Ordnung auf eine dx Differentialgleichung 1. Ordnung überführen: d dx

z =

GL S

˜

1z

2

substituierte Differentialgleichung 1. Ordnung

Seite 360

Differentialgleichungen

Diese Differentialgleichung kann dann durch Trennung der Variablen gelöst werden: ´ µ µ µ ¶

1 1 z

2

dz =

GL

arsinh ( z ) =

S

GL ´ µ ˜ S µ ¶

ergibt

1 dx  C1

hat als Lösung(en)

˜ x  C1

arsinh ( z ) =

GL S

˜ x  C1

§ GL ˜ x  C1 ˜ S · S © ¹

sinh ¨

nach z auflösen

§ GL ˜ x  C1 ˜ S · S © ¹

z = sinh ¨

Durch Rücksubstitution und nachfolgende Integration ergibt sich dann als Lösung der Differentialgleichung: d dx

§ GL ˜ x  C1 ˜ S · S © ¹

y = sinh ¨

´ µ µ ¶

§ GL

´ µ 1 dy = µ µ ¶

§ GL ˜ x  C1 ˜ S ·

sinh ¨

S

©

¹

cosh ¨ ergibt

dx  C2

§ GL · ˜ x  C1 © S ¹ ˜SC 2

y=

© S

˜ x  C1

GL

· ¹ ˜SC 2

cosh ¨ y=

Lösung der Differentialgleichung

GL

Mithilfe der Randbedingungen P1 (-a | 0) und P 2 (a | 0) erhalten wir schließlich eine spezielle Lösung. Mit

GL S

˜ a = c kann das folgende transzendente Gleichungssystem gelöst werden: Redefinition

S S Vorgabe



cosh c  C1



GL



cosh c  C1 GL



Suchen C1  C2



˜ S  C2 = 0



˜ S  C2 = 0

0 i˜S ª« »º vereinfachen o « 1 exp ( c ) 1 exp ( c ) » ˜ S ˜ ( 1  exp ( 2 ˜ c ) ) ˜ « 2 ˜ S ˜ ( 1  exp ( 2 ˜ c) ) ˜ GL 2 GL »¼ ¬

Damit ist C 1 = 0 und C 2 : C2 =

1 2

˜ S ˜ ( 1  exp ( 2 ˜ c ) ) ˜

exp ( c ) GL

c c  e  e ˜S S = =

2 ˜ GL

Seite 361

GL

˜ cosh ( c ) = 

S GL

§ GL · ˜a © S ¹

˜ cosh ¨

Differentialgleichungen

y=

S GL

§ GL · § GL · · ˜ x  cosh ¨ ˜a  H © S ¹ © S ¹¹

§ ©

˜ ¨ cosh ¨





y x  S  GL  a  H 

S GL

Kettenlinie unter Berücksichtigung der Randwerte und der Masthöhe H

§ GL · § GL · · ˜ x  cosh ¨ ˜a  H © S ¹ © S ¹¹

§ ©

˜ ¨ cosh ¨

Kettenlinie als Funktion der Parameter

Länge einer Freileitung (Bogenlänge):

§ GL · º 1  exp ¨ 2 ˜ ˜a » S ªd º © ¹ ˜S » 1  «  y  x  S  GL  a  H » dx vereinfachen o 1 ¬dx ¼ » ¼ 2 § GL · ˜a ˜ GL exp ¨ 2 ˜ © S ¹

ª´a «µ 2 ˜ «µ «µ ¶ ¬ 0

2

§

GL

©

S

1  exp ¨ 2 ˜





s1 S  GL  a 

· ¹˜ S

˜a 1

GL

Länge der Freileitung

2 § GL · ˜a exp ¨ 2 ˜ © S ¹ 3

kN  10 N

Definition von kN

a  100 ˜ m

halber Mastabstand

H  30 ˜ m

Masthöhe

S  1500 ˜ kN

Spannkraft

GL  2 ˜

kN

Gewicht pro Länge

m





fd  H  y 0 ˜ m  S  GL  a  H





s1 S  GL  a

200.593 m

x  a  a  0.01 ˜ m  a

fd

6.677 m

Durchhang fd Seillänge Bereichsvariable

Seite 362

Differentialgleichungen

Freileitung (Kettenlinie)



y x  S  GL  a  H

30

a



a

m

m

m 20

H  fd m 10

100

50

0

50

100

x m

Abb. 7.81 Beispiel 7.49: Der Absprung eines Fallschirmspringers soll inklusive der Öffnungsphase des Schirms durch eine Differentialgleichung beschrieben und numerisch gelöst werden. Nach dem Absprung (Flugphase 1) in 1000 m mit der Anfangsgeschwindigkeit v 0 = 0 m/s hat der Springer im freien Fall eine Querschnittsfläche A 1 = 0.5 m2 und einen Luftwiderstandsbeiwert von c w1 = 0.4. Nach 10 s wird der Fallschirm geöffnet (Öffnungsphase). In dieser Phase, die 2 s dauert, nimmt der Luftwiderstandsbeiwert linear auf den Wert c w2 = 1.3 zu. In der Gleitphase (Flugphase 2) beträgt die Fläche des Springers mit offenem Fallschirm A 2 = 20 m2 . Der Springer hat eine Masse von m s = 80 kg und die Luftdichte beträgt im Durchschnitt U = 1.3 kg/m3 . a) Stellen Sie die Differentialgleichungen für die erste und letzte Flugphase auf. b) Stellen Sie auch für den gemeinsamen Faktor K(t) = c w A U / (2 ms) alle drei Flugphasen graphisch dar. c) Nach der Lösung der Differentialgleichung sollen schließlich das s-t, v-t und a-t Diagramm dargestellt werden.

ms  80kg U  1.3

kg m

3

Masse des Springers

Dichte der Luft

Abb. 7.82 a) Stellen Sie die Differentialgleichungen für die erste und letzte Flugphase auf: F = G  FL

Gleichgewichtsbedingung (Gesamtkraft = Gewichtskraft + Luftwiderstandskraft)

2

ms ˜

d

dt

s ( t) = ms ˜ g  2

A1 ˜ c W1 ˜ U 2

§d · ˜ ¨ s ( t) © dt ¹

2

nichtlineare Differentialgleichung 2. Ordnung

Seite 363

Differentialgleichungen

Durch Umformung erhalten wir schließlich die Form: 2

§d · s ( t) = g  K ˜ ¨ s ( t) 2 © dt ¹ dt

d

2

Flugphase 1 (nach Absprung): 2

§d · s ( t) = g  K1 ˜ ¨ s ( t) 2 © dt ¹ dt

d

2

Differentialgleichung für die Flugphase 1 Luftwiderstandsbeiwert des Springers

c W1  0.4 A1  0.5 ˜ m

2

c W1 ˜ A1 ˜ U

K1 

2 ˜ ms

Fläche des Springers K1

1.625 u 10

3 1

m

Faktor K1 für die 1. Flugphase

Flugphase 2 (Gleitphase): 2

§d · s ( t) = g  K2 ˜ ¨ s ( t) 2 © dt ¹ dt

d

2

Differentialgleichung für die Flugphase 2

Luftwiderstandsbeiwert mit offenem Fallschirm

c W2  1.3 A2  20 ˜ m

2

c W2 ˜ A2 ˜ U

K2 

2 ˜ ms

Fläche des Springers mit offenem Fallschirm K2

0.211

1 m

Faktor für die 2. Flugphase

b) K(t) für alle drei Flugphasen: Öffnungsphase: Von der 10. Sekunde bis zur 12. Sekunde ändert sich der Faktor vor v k

K2  K1 2

d  K1  k ˜ 10

1

k

0.105

d

1.047

m 1 m

Steigung der Geraden

Achsenabschnitt der Geraden

Faktor K vor v2 für alle 3 Flugphasen: K ( t) 

K1 ˜ m if t  10

K1 bis zur Öffnungsphase

( k ˜ t  d) ˜ m if 10 d t d 12

(k t+d) zw. Flughase 1 & 2

K2 ˜ m otherwise

sonst K2

t  0  0  0.01  20

Bereichsvariable

Seite 364

2

linear von K1 auf K2:

Differentialgleichungen

Öffnungs phase

K( t)

10

0.2

K2 12 Flugphase 2

1 m

Abb. 7.83

0.1 Flugphase 1

0

0

2

4

K1 6

8

10

12

14

t s

c) Lösung der Differentialgleichung und Darstellung der s-t, v-t und a-t Diagramme: h  1000

der Absprung erfolgt zum Zeitpunkt t = 0 s in der Höhe h = 1000 m

v0  0

beim Absprung ist v(0 s) = 0 m/s

g1  9.81

Erdbeschleunigung in m/s 2

ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

aw 

§h· ¨ © v0 ¹

Vektor mit den Anfangsbedingungen

tmin  0

Endpunkte des Intervalls, an denen die Lösung für die Differentialgleichung ausgewertet werden soll.

tmax  20

Zeitschritte

ts  0.2

N1 

tmax  tmin ts

N1

Anzahl der Punkte

100

Y1 ª º « » «g1  K ( t) ˜  Y 2 » 1 ¼ ¬

D1 ( t  Y) 



Z  rkfest aw  tmin  tmax  N1  D1

Vektorfunktion. Enthält die umgeformte Differentialgleichung. Die letzte Komponente enthält die explizite Differentialgleichung.



Runge-Kutta- Verfahren 4. Ordnung zum Lösen von Differentialgleichungen 1. Ordnung

Seite 365

Differentialgleichungen

t 0

Z

h=s

v

1

2

0

0

1·103

0

1

0.2

999.804

-1.962

2

0.4

999.216

-3.921

3

0.6

998.236

-5.875

4

0.8

996.866

-7.821

5

1

995.108

-9.758

6

1.2

992.964

-11.683

7

1.4

990.436

-13.593

8

1.6

987.528

-15.486

9

1.8

984.243

-17.36

10

2

980.585

-19.213

11

2.2

976.559

-21.044

12

2.4

972.169

-22.849

i  0  N1

Lösungsmatrix

Iteration über dem Wertebereich

j  1  N1

Z¢0² ˜ s

Spalte 0

¢1² h Z ˜m

Spalte 1

¢2² m v Z ˜ s

Spalte 2

a0  g1

Der Nullten-Komponente die Erdbeschleunigung zuweisen

t

aj 

Z j  2  Z j 1  2

a a˜

ts

a0

9.81

Beschleunigung als Differenzenquotient (3.Spalte (Geschwindigkeit v))

m s

2

t  0s  0s  0.01s  100s

Bereichsvariable

Seite 366

Differentialgleichungen

Absprung

s - t - Diagramm

1000

Weg

800 hi

Freier Fall

10˜s

Zum Zeitpunkt t = 0 s in einer Höhe von 1000 m erfolgt der Absprung. Nach 10 s öffnet sich der Fallschirm. Ca. 3 s später ist der Fallschirm vollständig geöffnet und der Weg (Höhe h) nimmt linear mit der Zeit t ab.

13˜s

600

m

Schirm öffnung

400

Gleitphase

200

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

ti

Abb. 7.84

s Zeit

v - t - Diagramm 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Geschwindigkeit

10 v i

10˜s

20

m

30

s

40

13s

50 60

Nach dem Absprung nimmt die Geschwindigkeit schnell zu (bis ca. 66 m/s). Sobald der Springer an der Reißleine zieht, wird er stark abgebremst. Wenn der Schirm vollständig geöffnet ist, bleibt die Geschwindigkeit gleich (ca. (6.8 m/s).

70 ti

Abb. 7.85

s Zeit

Gleich nach dem Absprung beschleunigt der Springer mit

a - t - Diagramm

80

Beschleunigung

70 60 ai

50

m

40

2

30

s

10˜s

13s

20 10 10

0

2

4

6

8

10

12

14

ti s Zeit

Seite 367

16

18

20

a = g = 9.81m/s 2 Die Beschleunigung nimmt bis 10 s langsam ab. Wenn der Springer die Reißleine zieht, verzögert er kurzzeitig mit über 7g. Nach ca. 13 s hat sich ein Gleichgewicht zwischen Erdbeschleunigung und Luftwiderstand eingestellt (a = 0 m/s2 ). Abb. 7.86

Differentialgleichungen

7.2.3 Die gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung Bei gewöhnlichen Differentialgleichungen n-ter Ordnung treten neben der gesuchten Lösungsfunktion y(x) bzw. y(t) noch ihre Ableitungen y'(x) (bzw. y'(t)), y''(x) (bzw. y''(t)), ... y (n)(x) (bzw. y(n)(t)) auf. Die gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung lautet in impliziter Form: ( n)

F ª¬ x  y ( x)  y' ( x)  y'' ( x)  ....  y

( n)

( x) º¼ = 0 bzw. F ª¬ t  y ( t)  y' ( t )  y'' ( t )  ....  y

( t) º¼ = 0

(7-230)

Wenn sich die implizite Form nach der n-ten Ableitung auflösen lässt, erhalten wir die explizite Form: ( n 1)

y'' ( x) = f ª¬ x  y ( x)  y' ( x)  ....  y

( n1)

( x) º¼ bzw. y'' ( t) = f ª¬ t  y ( t)  y' ( t)  ....  y

( t) º¼

(7-231)

Eine Funktion y(x) bzw. y(t) heißt Lösungsfunktion (Lösung) einer Differentialgleichung n-ter Ordnung, wenn sie stetige Ableitungen y'(x), y''(x), ..., y (n)(x) besitzt und die Differentialgleichung identisch erfüllt. Auf die Problematik der Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen wurde bereits weiter oben hingewiesen. Methoden zur Berechnung exakter Lösungen existieren bei Differentialgleichungen n-ter Ordnung nur unter gewissen Voraussetzungen. In den technischen und naturwissenschaftlichen Anwendungen spielen, wie bereits erwähnt, lineare Differentialgleichungen eine besondere Rolle. Die inhomogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung hat die Form ( n)

An ( x) ˜ y

( n1)

( x)  An1( x) ˜ y

( x)  ....  A1 ( x) ˜ y' ( x)  A0 ( x) ˜ y ( x) = f ( x)

(7-232)

wobei die Koeffizientenfunktionen A k (x) (k = 0, 1, ..., n) und die Störfunktion f(x) auf der rechten Seite der Differentialgleichung auf dem offenen Intervall von x als stetig vorausgesetzt werden. Setzen wir voraus, dass An(x) z 0 ist (keine Nullstellen), so kann dien Differentialgleichung durch An(x) dividiert werden. Man erhält dann die Form ( n)

y

( n 1)

( x)  an 1( x) ˜ y

( x)  ....  a1 ( x) ˜ y' ( x)  a0 ( x) ˜ y ( x) = s ( x)

(7-233)

Ist die Störfunktion f(x) = 0 bzw. s(x) = 0, so nennt man diese Differentialgleichung homogen. Die allgemeine Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung hat nach dem Superpositionsprinzip (siehe Abschnitt 7.2.1.4 und 7.2.2) die Form yh ( x) = C1 ˜ y1 ( x)  C2 ˜ y2 ( x)  ....  Cn ˜ yn ( x)

(7-234)

C1, C2 , ..., Cn sind dabei frei wählbare Konstanten und die Funktionen y 1 (x), y2 (x), ..., yn(x) (Basisfunktionen) bilden ein Fundamentalsystem, d.h., sie sind linear unabhängig. Linear unabhängig sind jedoch die Lösungsfunktionen nur dann, wenn für alle x im Lösungsintervall ]a, b[ die Wronski-Determinante ungleich null ist: y2 ( x) ª y1 ( x) « y2' ( x) « y1' ( x) W ( x) = « .... « .... «y ( n1) ( x) y ( n1) ( x) 2 ¬1

....

yn ( x)

º » yn' ( x) » .... » z0 .... .... » ( n 1) » .... yn ( x) ¼

Seite 368

(7-235)

Differentialgleichungen

Derartige Fundamentalsysteme können nur für lineare Differentialgleichungen mit speziellen Koeffizienten bestimmt werden. Kennt man ein derartiges Fundamentalsystem, dann ist die Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung bekannt. Die allgemeine Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung ergibt sich, wie bereits in Abschnitt 7.2.1.4 und 7.2.2 hingewiesen wurde, aus der Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung y h(x) und einer speziellen Lösung y s (x) der inhomogenen Differentialgleichung: y ( x) = yh ( x)  ys ( x)

(7-236)

Spezielle Lösungen können auch hier mithilfe eines geeigneten Ansatzes oder durch Variation der Konstanten ermittelt werden. Auf die umfassende Lösungstheorie für lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung kann hier nicht weiter eingegangen werden. Wir beschränken uns in weiterer Folge auf lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. a) Die lineare homogene Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten: In Analogie zu den homogenen linearen Differentialgleichungen 2.Ordnung mit konstanten Koeffizienten gelten auch hier folgende Aussagen: Die lineare homogene Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten ist ein Sonderfall von (7-233). Die Koeffizientenfunktionen a k (x) = a k (k = 0, 1, ..., n-1) sind konstant (ak ) und die Störfunktion (oder Störglied) s(x) = 0. ( n)

y

( n 1)

( x)  an 1 ˜ y

( x)  ....  a1 ˜ y' ( x)  a0 ˜ y ( x) = 0

(7-237)

Diese Differentialgleichung besitzt die allgemeine Lösung y h(x) der Form yh ( x) = C1 ˜ y1 ( x)  C2 ˜ y2 ( x)  ....  Cn ˜ yn ( x) (C1, C2 , ..., Cn )

(7-238)

mit n linear unabhängigen Basislösungen y 1 (x), y2 (x), ..., yn(x) und der Eigenschaft W ( x) z 0

(Wronski-Determinante)

(7-239)

Die der allgemeinen Lösung (7-238) zugrunde liegenden Basislösungen bilden ein Fundamentalsystem (Fundamentalbasis) der Differentialgleichung (7-237). Ein Fundamentalsystem lässt sich, wie bei der linearen Differentialgleichung 2. Ordnung bereits gezeigt wurde, durch den Lösungsansatz in Form einer Exponentialfunktion mit einem unbekannten Parameter O gewinnen: O ˜x

y ( x) = e

(7-240)

Setzen wir diesen Ansatz und deren Ableitungen in die Differentialgleichung (7-237) ein, so erhalten wir eine Bestimmungsgleichung für den Parameter O: n

O  an 1 ˜ O

n1

 ....  a1 ˜ O  a0 = 0

(7-241)

Diese algebraische Gleichung n-ter Ordnung wird charakteristische Gleichung genannt und besitzt nach dem Fundamentalsatz der Algebra genau n reelle oder komplexe Lösungen O1 , O2 , ..., On. Nachdem aber die Basislösungen selbst noch von der Art dieser Lösungen abhängig sind, werden folgende drei Fälle unterschieden:

Seite 369

Differentialgleichungen

Fall 1: Alle Lösungen sind reell und voneinander verschieden Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (7-237) ist als Linearkombination von folgenden n Basislösungen darstellbar: O 1˜x

yh ( x) = C1 ˜ e

O 2˜x

 C2 ˜ e

O n˜x

 ....  Cn ˜ e

(7-242)

Fall 2: Es gibt mehrfache reelle Lösungen O 1 = O 2 = .... = O r = N

(7-243)

Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (7-237) ist dann als Linearkombination von folgenden r Basislösungen darstellbar: N˜x

yh ( x) = C1 ˜ e

N˜x

 C2 ˜ x ˜ e

2

N˜x

 C3 ˜ x ˜ e

r 1

 ....  Cr ˜ x

N˜x

˜e

(7-244)

Ist N eine r-fache Lösung der charakteristischen Gleichung (7-241), so ist die Konstante C jeweils durch eine Polynomfunktion C(x) vom Grade r - 1 ersetzt werden. Fall 3: Es treten konjugiert komplexe Lösungen auf Ist O 1 = N  j ˜ Z und O 2 = N  j ˜ Z eine einfache konjugiert komplexe Lösung der charakteristischen Gleichung (7-241), so erhält man als zugehörige Basisfunktionen die beiden komplexen Exponentialfunktionen O 1˜x

y1 = e

O 2˜x

y2 = e

( N  j˜Z )˜x

=e

( N  j˜Z )˜x

=e

N˜x

=e

N˜x

=e

˜ ( cos ( Z ˜ x)  j ˜ sin ( Z ˜ x) )

(7-245)

˜ ( cos ( Z ˜ x)  j ˜ sin ( Z ˜ x) )

(7-246)

Ist y(x) = v(x) + j v(x) eine komplexwertige Lösung der Differentialgleichung, so sind auch der Realteil v(x) und der Imaginärteil w(x) reelle Lösungen der Differentialgleichung (siehe dazu lineare Differentialgleichung 2. Ordnung). Daher sind die reellen, linear unabhängigen Lösungen N˜x

y1 ( x) = e

N˜x

˜ sin ( Z ˜ x) und y1 ( x) = e

˜ cos ( Z ˜ x)

(7-247)

Basisfunktionen der Differentialgleichung (7-235). Sie liefern für die allgemeine Lösung den Beitrag N˜x

C1 ˜ e

N˜x

˜ sin ( Z ˜ x)  C2 ˜ e

N˜x

˜ cos ( Z ˜ x) = e



˜ C1 ˜ sin ( Z ˜ x)  C2 ˜ cos ( Z ˜ x)



(7-248)

Bei einer r-fachen konjugiert komplexen Lösung O1 und O2 müssen die Konstanten im Beitrag durch Polynomfunktionen C 1 (x) und C 2 (x) vom Grade r - 1 ersetzt werden. Es besteht eine nicht unwesentliche Schwierigkeit bei der Lösung der charakteristischen Gleichung, weil ab Grad 5 keine Lösungsformeln mehr existieren! Dies gilt natürlich auch für den in Mathcad integrierten Maple Kern. Bei den meisten praktischen Aufgaben sind meist nicht die allgemeinen Lösungen der Differentialgleichung von Bedeutung, sondern spezielle Lösungen die vorgegebene Bedingungen erfüllen. Während bei einer Differentialgleichung 1. Ordnung nur Anfangswerte möglich sind, können ab der 2. Ordnung auch Rand- und Eigenwertaufgaben auftreten, wie bereits weiter oben gezeigt wurde.

Seite 370

Differentialgleichungen

Beispiel 7.50: Gegeben sei die nachfolgende Differentialgleichung 3. Ordnung mit den Anfangsbedingungen y(0) = y0 = 20, y'(0) = y'0 = 2 und y''(0) = y'' 0 = - 2. Wie lautet deren Lösung ? 3

d

dt

3

2

y( t)  4

d

dt

3

2

y ( t)  1 ˜

d dt

homogene lineare Differentialgleichung 3. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

y( t)  4 y ( t) = 0

2

O  4˜ O  O  4 = 0

charakteristische Gleichung

§¨ 1 · O  4 ˜ O  O  4 = 0 auflösen  O o ¨ 4 ¸ ¨ 1 © ¹

Lösungen der charakteristischen Gleichung

3

2

Die allgemeine Lösung ist eine Linearkombination von y1 (t), y2 (t), und y3 (t): 1˜t

4˜t

y ( t) = C1 ˜ y1 ( t)  C2 ˜ y2 ( t)  C3 ˜ y3 ( t) = C1 ˜ e

 C2 ˜ e

 1˜t

 C3 ˜ e

Die Konstanten C1 , C2 und C3 werden aus den Anfangsbedingungen bestimmt. 1˜t

y1 ( t)  e y'1 ( t) 

y''1 ( t) 

d dt

4˜t

y2 ( t)  e

y1 ( t)

y'2 ( t) 

y'1 ( t)

y''2 ( t) 

d dt

d dt

 1˜t

y3 ( t)  e

y2 ( t)

y'3 ( t) 

y'2 ( t)

y''3 ( t) 

d dt

d dt

y3 ( t)

d dt

Basisfunktionen und Ableitungen

y'3 ( t)

Damit kann jetzt zur Bestimmung der Konstanten mithilfe der Anfangsbedingungen ein Gleichungssystem formuliert werden: y0 = C1 ˜ y1 ( 0)  C2 ˜ y2 ( 0)  C3 ˜ y3 ( 0) y'0 = C1 ˜ y'1 ( 0)  C2 ˜ y'2 ( 0)  C3 ˜ y'3 ( 0)

lineares Gleichungssystem

y''0 = C1 ˜ y''1 ( 0)  C2 ˜ y''2 ( 0)  C3 ˜ y''3 ( 0)

§ y0 · § y1 ( 0) y2 ( 0) y3 ( 0) · § C1 · ¨ ¨ ¨ ¨ y'0 ¸ = ¨ y'1 ( 0) y'2 ( 0) y'3 ( 0) ¸ ˜ ¨ C2 ¸ ¨ y'' ¨ ¨ © 0 ¹ © y''1 ( 0) y''2 ( 0) y''3 ( 0) ¹ © C3 ¹

lineares Gleichungssystem in Matrixform

Seite 371

Differentialgleichungen

§ C1 · ¨ ¨ C2 ¸  ¨C © 3¹

§ y1 ( 0) y2 ( 0) y3 ( 0) · ¨ ¨ y'1 ( 0) y'2 ( 0) y'3 ( 0) ¸ ¨ ( 0) y''2 ( 0) y''3 ( 0) ¹ © y''1

§ C1 · ¨ ¨ C2 ¸ ¨C © 3¹

§¨ 14.667 · ¨ 1.467 ¸ ¨ 6.8 © ¹

1

§ y0 · ¨ ˜ ¨ y'0 ¸ ¨ y'' © 0¹

umgeformte Matrixgleichung

Lösungsvektor mit den gesuchten Konstanten

y ( t)  C1 ˜ y1 ( t)  C2 ˜ y2 ( t)  C3 ˜ y3 ( t)

spezielle Lösungsfunktion

t  0  0.01  2

Bereichsvariable

30

Globale Definition der Anfangsbedingungen (damit kann hier sehr gut experimentiert werden):

20 y( t)

y0 { 20

10

0

0

0.5

1

1.5

2

y'0 { 2

y''0 { 2

Abb. 7.87

t

Numerische Lösung der homogenen Differentialgleichung mithilfe von Gdglösen: Vorgabe 3

d

dt

3

2

x( t)  4

d

dt

x ( 0) = 20

2

x ( t)  1 ˜

d dt

Differentialgleichung

x( t)  4 x ( t) = 0

x' ( 0) = 2

Anfangsbedingungen

x'' ( 0) = 2

x  Gdglösen ( t  2)

Das Lösungsintervall wurde hier von 0 bis 2 gewählt (ohne Zeitschritte)!

t  0  0.01  2

Bereichsvariable Exakte- und Näherungslösung

x( t)

20

y( t)

Abb. 7.88

0

0

0.5

1

1.5

t

Seite 372

2

Differentialgleichungen

Beispiel 7.51: Wie lautet die allgemeine Lösung der nachfolgend gegebenen Differentialgleichung ? 4

3

d

4

d

y ( x)  6 ˜

3

dx

2

y ( x)  12 ˜

dx

d

2

y ( x)  10 ˜

dx

d dx

y ( x)  3 ˜ y ( x) = 0

§3 · ¨ 4 3 2 ¨1 ¸ O  6 ˜ O  12 ˜ O  10 ˜ O  3 = 0 auflösen  O o ¨1 ¸ ¨ ©1 ¹ 3˜x

y ( x) = C1 ˜ e

x

x

2

x

homogene lineare Differentialgleichung 4. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Lösungen der charakteristischen Gleichung

allgemeine Lösung der Differentialgleichung

 C2 ˜ e  C3 ˜ x ˜ e  C4 ˜ x ˜ e

Beispiel 7.52: Wie lautet die allgemeine Lösung der nachfolgend gegebenen Differentialgleichung ? 4

2

d

4

y ( x)  3 ˜

dx

d

2

homogene lineare Differentialgleichung 4. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

y ( x)  4 ˜ y ( x) = 0

dx

§ 1 · ¨ 4 2 ¨ 1 ¸ O  3 ˜ O  4 = 0 auflösen  O o ¨ 2˜ i ¸ ¨ © 2 ˜ i ¹ x

x

y ( x) = C1 ˜ e  C2 ˜ e

Lösungen der charakteristischen Gleichung

 C3 ˜ sin ( 2 ˜ x)  C4 ˜ cos ( 2 ˜ x)

allgemeine Lösung der Differentialgleichung

b) Die lineare inhomogene Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten: Die lineare inhomogene Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten ist ein Sonderfall von (7-233). Die Koeffizientenfunktion a k (x) = ak sind konstant (a k ) und die Störfunktion (oder Störglied) s(x) z 0. ( n)

y

( n 1)

˜ ( x)  an 1 ˜ y

˜ ( x)  ....  a1 ˜ y' ( x)  a0 ˜ y ( x) = s ( x)

(7-249)

Die allgemeine Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung ergibt sich, wie bereits in Abschnitt 7.2.1.4 und 7.2.2 bzw. weiter oben hingewiesen wurde, aus der Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung y h(x) und einer partikulären (speziellen) Lösung y p(x) der inhomogenen Differentialgleichung: y ( x) = yh ( x)  yp ( x)

(7-250)

yp(x) erhält man durch die Methode der Variation der Konstanten oder mit einem angepassten Lösungsansatz (der im wesentlichen vom Typ der Störfunktion abhängt) durch Vergleich der Koeffizienten.

Seite 373

Differentialgleichungen

Variation der Konstanten: Haben wir ein Fundamentalsystem y1 (x), y2 (x), ..., yn(x) für die homogenen Differentialgleichung gefunden, dann suchen wir die partikuläre Lösung in der Form n

yp ( x) =

Ck ( x) ˜ yk ( x)

¦

k

(7-251)

1

Setzen wir y p(x) und die Ableitungen in die Differentialgleichung ein, dann erhalten wir ein von x abhängiges Gleichungssystem, das in Matrixform folgende Gestalt hat Y(x) C(x) = S(x): y2 ( x) ª y1 ( x) « y2' ( x) « y1' ( x) « .... .... « «y ( n2) ( x) y ( n2) ( x) 2 «1 « ( n 1) ( n1) ( x) y2 ( x) ¬y1

.... .... .... .... ....

yn ( x)

º § C1' ( x) · » §¨ 0 · yn' ( x) » ¨ ¨ C2' ( x) ¸ ¨ 0 ¸ » .... » ˜ ¨¨ .... ¸ = ¨¨ .... ¸¸ ( n 2) » ¨ C ' ( x) ¸ ¨ 0 ¸ yn ( x) ¸ » ¨ n 1 ¨ ( n1) » C ' ( x) ¹ © s ( x) ¹ ( x) ¼ © n yn1

(7-252)

Als Nächstes integrieren wir die aus dem Gleichungssystem C(x) = Y-1(x) S(x) gewonnenen Funktionen:

Ck ( x) =

´ µ µ ¶

Ck' ( x) dx (k = 1, 2, ..., n)

(7-253)

Die Integrationskonstante kann hier beliebig gewählt werden, z.B. gleich null. Lösungsansätze: Für in den Anwendungen besonders häufig auftretenden Störfunktionen s(x) werden n achfolgend einige Lösungsansätze y p angeführt: 1. s(x) ist eine Polynomfunktion vom Grade n: 2

n

s ( x) = Pn ( x) = c 0  c 1 ˜ x  c 2 ˜ x  ....  c n ˜ x 2

(7-254) n

yp ( x) = Qn ( x) = b0  b1 ˜ x  b2 ˜ x  ....  bn ˜ x , für c 0 z 0 k

yp ( x) = x ˜ Qn ( x) , für c 0 = c 1 = .... = c k 1 = 0

(7-255) (7-256)

2. s(x) ist eine Exponentialfunktion: m˜x

s ( x) = a ˜ e

(7-257)

m keine Lösung der charakteristischen Gleichung: m˜x

yp ( x) = b ˜ e

(7-258)

m ist eine r-fache Lösung der charakteristischen Gleichung: r

m˜x

yp ( x) = b ˜ x ˜ e

(7-259)

Seite 374

Differentialgleichungen

3. s(x) ist eine Sinus- oder Kosinusfunktion oder eine Linearkombination von beiden: s ( x) = a ˜ cos ( m ˜ x)  b ˜ sin ( m ˜ x)

(7-260)

j ˜ m ist keine Lösung der charakteristischen Gleichung: yp ( x) = A ˜ cos ( m ˜ x)  B ˜ sin ( m ˜ x) = C ˜ sin ( m ˜ x  M )

(7-261)

j ˜ m ist eine r-fache Lösung der charakteristischen Gleichung: r

r

r

yp ( x) = A ˜ x ˜ cos ( m ˜ x)  B ˜ x ˜ sin ( m ˜ x) = C ˜ x ˜ sin ( m ˜ x  M )

(7-262)

Bei periodischen Störfunktionen s ( x) = A ˜ cos ( m ˜ x) oder s ( x) = B ˜ sin ( m ˜ x) verwenden wir auch oft komplexe Lösungsansätze: yp ( x) = C ˜ e

j˜( m˜x M )

(7-263)

Hinweise: Besteht die Störfunktion s(x) aus einer Summe von Störgliedern, z.B. s(x) = s 1 (x) + s2 (x), so erhält man den Lösungsansatz für y p(x) = yp1(x) + yp2(x) als Summe der Lösungsansätze für die einzelnen Störglieder. Besteht die Störfunktion aus einem Produkt von Störfaktoren, z.B. s(x) = s 1 (x) s2 (x), so erhalten wir oft, aber leider nicht in allen Fällen, den Lösungsansatz für y p(x) = yp1(x) yp2(x) als Produkt der Lösungsansätze für die einzelnen Störfaktoren. Die unbekannten Lösungen können wieder aus Anfangswerten oder Randwerten bestimmt werden. Das Anfangswertproblem mit y(x 0 ) = y0 , y'(x0 ) = y'0 , ..., y(n-1)(x 0 ) = y(n-1)0 ist eindeutig lösbar auf dem ganzen Intervall, auf dem s(x) definiert und steig ist. Bei Randbedingungen müssen die Lösungen nicht existieren. Es kann auch mehrere Lösungen geben.

Beispiel 7.53: Wie lautet die allgemeine Lösung der folgenden Differentialgleichung ? y''' ( x)  y'' ( x)  y' ( x)  y ( x) = x 3

2

inhomogene lineare Differentialgleichung 3. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

O  O  O  1=0

ckarakteristische Gleichung

§¨ 1 · O  O  O  1 auflösen  O o ¨ 1 ¸ ¨1 © ¹

Lösung der charakteristischen Gleichung (mit einer Vielfachheit von 2)

3

2

x

y1 ( x)  e

x

y2 ( x)  x ˜ e

Fundamentalsystem für die homogene Gleichung

x

y3 ( x)  e

x x º ªex x˜ e e « » « Y ( x)  ex ( x  1) ˜ ex e x » « » « x x x » ¬e ( x  2) ˜ e e ¼

Funktionalmatrix Y

Seite 375

Differentialgleichungen

x x

W ( x) 

Redefinition 2

Die Wronsky Determinante ist ungleich null!

Y ( x) o 4 ˜ exp ( x) ˜ exp ( x)





yh x  C1  C2  C3 = C1 ˜ y1 ( x)  C2 ˜ y2 ( x)  C3 ˜ y3 ( x)

allgemeine Lösung der homogenen Gleichung

Für die partikuläre Lösung ist folgendes Gleichungssystem zu lösen: x x º ªex x˜ e e « » §¨ C1 ( x) · §¨ 0 · « x x  x » ˜ C ( x) = ¨ 0 ¸ «e ( x  1) ˜ e e » ¨¨ 2 ¸ ¨ C ( x) « x ©x ¹ x x » ¬e ( x  2) ˜ e e ¼ © 3 ¹

bzw.

Y ( x) ˜ C ( x) = S ( x)

§¨ 0 · S ( x)  ¨ 0 ¸ ¨x © ¹ ª« 1 ˜ exp ( x) ˜ ( 2 ˜ x  1) ˜ x »º « 4 » « » 1 1 C ( x)  Y ( x) ˜ S ( x) vereinfachen o « ˜ exp ( x) ˜ x » 2 « » « » 1 ˜ x ˜ exp ( x) «¬ »¼ 4 ´ µ C1 ( x)  µ µ ¶ ´ µ C2 ( x)  µ µ ¶ ´ µ C3 ( x)  µ µ ¶

1 4

1 2

1 4

˜ exp ( x) ˜ ( 2 ˜ x  1) ˜ x dx o

˜ exp ( x) ˜ x dx o

˜ x ˜ exp ( x) dx o

1 2

1

1 2

˜ exp ( x) ˜ x 

˜ x ˜ exp ( x) 

4

2

˜ x ˜ exp ( x) 

1 4

1 2

5 4

Lösung des Gleichungssystems

˜ exp ( x) ˜ x 

˜ exp ( x)

˜ exp ( x)

5 4

˜ exp ( x)

Koeffizient 1

Koeffizient 2

Koeffizient 3

yp ( x)  C1 ( x) ˜ y1 ( x)  C2 ( x) ˜ y2 ( x)  C3 ( x) ˜ y3 ( x) vereinfachen o x  1

partikuläre Lösung

y ( x) = yh ( x)  yp ( x) = C1 ˜ y1 ( x)  C2 ˜ y2 ( x)  C3 ˜ y3 ( x)  yp ( x)

allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung

x

x

x

y ( x) = C1 ˜ e  C2 ˜ x ˜ e  C3 ˜ e

 x 1

Seite 376

Differentialgleichungen

Beispiel 7.54: Gesucht ist die allgemeine Lösung der folgenden inhomogenen Differentialgleichung: inhomogene lineare Differentialgleichung 3. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

2˜x

y''' ( x)  5 ˜ y'' ( x)  8 ˜ y' ( x)  4 ˜ y ( x) = x  3 ˜ e 3

2

charakteristisches Polynom

p3 ( O )  O  5 ˜ O  8O  4

§¨ 1 · p3 ( O ) auflösen  O o ¨ 2 ¸ ¨2 © ¹

Lösung der charakteristischen Gleichung (mit einer Vielfachheit von 2)

x

y1 ( x)  e

2˜x

Fundamentalsystem für die homogene Gleichung

y2 ( x)  e

2˜x

y3 ( x)  x ˜ e

x

2˜x

yh ( x) = C1 ˜ y1 ( x)  C2 ˜ y2 ( x)  C3 ˜ y3 ( x) = C1 ˜ e  C2 ˜ e

2˜x

 C3 ˜ x ˜ e

allgemeine Lösung der homogenen Gleichung

partikuläre Lösung für den Störungsanteil f 1 (x) = x: yp1 ( x) = b0  b1 ˜ x

Lösungsansatz

yp1' ( x) = b1

1. Ableitung

yp'' ( x) = 0

2. Ableitung

Einsetzen in die inhomogene Differentialgleichung:





0  5 ˜ 0  8 ˜ b1  4 ˜ b0  b1 ˜ x = x





4 ˜ b1 ˜ x  8 ˜ b1  4 ˜ b0 = x Bestimmen der Koeffizienten durch Koeffizientenvergleich: 8 ˜ b1  4 ˜ b0  4 ˜ b1 ˜ x = x

Ÿ

4 ˜ b1 = 1

Ÿ

b1 = 

4 ˜ b1 ˜ x  8 ˜ b1  4 ˜ b0 = x

Ÿ

8 ˜ b1  4 ˜ b0 = 0

Ÿ

8˜ ¨

yp1 ( x) = 

1 2



1

˜x

4

1 4

§ 1 ·  4 ˜ b = 0 0 ©4¹

erster Lösungsanteil

partikuläre Lösung für den Störungsanteil f 2 (x) = 3 e2 x: Unter Beachtung, dass O = 2 eine doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist, kann folgender Lösungsansatz gemacht werden. 2

2˜x

yp2 ( x) = b ˜ x ˜ e

Seite 377

Ÿ

b0 = 

1 2

Differentialgleichungen

2

2˜x

durch Differentiation, ergibt

yp2 ( x) = b ˜ x ˜ e d

2

dx d

yp2 ( x) = 2 ˜ b ˜ x ˜ exp ( 2 ˜ x)  2 ˜ b ˜ x ˜ exp ( 2 ˜ x) 2˜x

dx d

yp2 ( x) = 2 ˜ b ˜ e

2˜x

dx

yp2 ( x) = 2 ˜ b ˜ e

d d dx dx d d

2

ersten Ableitung

2

durch Differentiation, ergibt

˜ x x

˜ x x

2

yp2 ( x) = 4 ˜ b ˜ exp ( 2 ˜ x) ˜ x  x  2 ˜ b ˜ exp ( 2 ˜ x) ˜ ( 2 ˜ x  1) 2˜x

dx dx d d

yp2 ( x) = 2 ˜ b ˜ e

2˜x

dx dx

yp2 ( x) = 2 ˜ b ˜ e

d d d dx dx dx d d d dx dx dx



2



zweite Ableitung



2



durch Differentiation, ergibt

˜ 2˜ x  4˜ x 1

˜ 2˜ x  4˜ x 1





2

yp2 ( x) = 4 ˜ b ˜ exp ( 2 ˜ x) ˜ 2 ˜ x  4 ˜ x  1  2 ˜ b ˜ exp ( 2 ˜ x) ˜ ( 4 ˜ x  4) 2˜x

yp2 ( x) = 4 ˜ b ˜ e





2

dritte Ableitung

˜ 2˜ x  6˜ x 3

Einsetzen in die inhomogene Differentialgleichung: 2˜x

3˜ e

2˜x

= 4˜ b˜ e





2

2˜x

˜ 2˜ x  6˜ x 3  5˜ 2˜ b˜ e





2

2˜x

˜ 2˜ x  4˜ x 1  8˜ 2˜ b˜ e

vereinfacht auf

Ÿ

3 ˜ exp ( 2 ˜ x) = 2 ˜ b ˜ exp ( 2 ˜ x)

yp2 ( x) =

3 2

2

2˜x

˜x ˜e

b=

3 2

zweiter Lösungsanteil

Damit lautet die partikuläre Lösung: yp ( x) = yp1 ( x)  yp2 ( x) = 

1 2



1 4

3

˜x

2

2

2˜x

˜x ˜e

Die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ist dann gegeben durch: x

2˜x

y ( x) = yh ( x)  yp ( x) = C1 ˜ e  C2 ˜ e

2˜x

 C3 ˜ x ˜ e



1 2



Seite 378

1 4

˜x

3 2

2

2˜x

˜x ˜e

2

2

2˜x

˜ x  x  4˜ b˜ x ˜ e

Differentialgleichungen

Beispiel 7.55: Wie lautet die allgemeine Lösung der nachfolgend gegebenen Differentialgleichung? ( 4)

y

inhomogene lineare Differentialgleichung 4. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

( x)  2 ˜ y'' ( x)  y ( x) = x ˜ cos ( x) 4

2

charakteristisches Polynom

p(O )  O  2 ˜ O  1

§i · ¨ ¨ i ¸ p ( O ) auflösen  O o ¨i ¸ ¨ © i ¹

Lösung der charakteristischen Gleichung

y1 ( x) = C1 ˜ sin ( x) y2 ( x) = C2 ˜ x ˜ sin ( x)

Fundamentalsystem für die homogene Gleichung

y3 ( x) = C3 ˜ cos ( x) y4 ( x) = C4 ˜ x ˜ cos ( x)









yh ( x) = y1 ( x)  y2 ( x)  y3 ( x)  y4 ( x) = C1  C2 ˜ x ˜ sin ( x)  C3  C4 ˜ x ˜ cox ( x)

allgemeine Lösung der homogenen Gleichung

Aufsuchen einer partikulären Lösung für die inhomogene Gleichung: Wir schreiben zuerst die Differentialgleichung in komplexer Form: ( 4)

y

˜ ( x)  2 ˜ y'' ( x)  y ( x) = x ˜ e

j˜x

Realteil der Euler'schen Form

Dann können wir den folgenden Ansatz machen: 2





j ˜x

yp ( x) = x ˜ b0  b1 ˜ x ˜ e durch Differentiation, ergibt d dx





2

2

vereinfacht auf d dx





yp ( x) = 2 ˜ x ˜ b0  b1 ˜ x ˜ exp ( i ˜ x)  x ˜ b1 ˜ exp ( i ˜ x)  i ˜ x ˜ b0  b1 ˜ x ˜ exp ( i ˜ x)

2

yp ( x) = i ˜ x ˜ exp ( i ˜ x) ˜ §© 2 ˜ i ˜ b0  3 ˜ i ˜ x ˜ b1  x ˜ b0  x ˜ b1·¹

durch Differentiation und Vereinfachung ergibt

Seite 379

Differentialgleichungen

d d dx dx





yp ( x) = 2 ˜ exp ( i ˜ x) ˜ b0  6 ˜ exp ( i ˜ x) ˜ x ˜ b1  4 ˜ i ˜ exp ( i ˜ x) ˜ x ˜ b0  2

2

3

 6 ˜ i ˜ exp ( i ˜ x) ˜ x ˜ b1  x ˜ exp ( i ˜ x) ˜ b0  x ˜ exp ( i ˜ x) ˜ b1

durch Differentiation und Vereinfachung ergibt d d d

2

dx dx dx

2

3·

yp ( x) = i ˜ exp ( i ˜ x) ˜ §© 6 ˜ b0  18 ˜ b1 ˜ x  6 ˜ i ˜ b1  6 ˜ i ˜ x ˜ b0  9 ˜ i ˜ x ˜ b1  x ˜ b0  b1 ˜ x

¹

durch Differentiation und Vereinfachung ergibt d d d d dx dx dx dx





yp ( x) = 12 ˜ exp ( i ˜ x) ˜ b0  36 ˜ exp ( i ˜ x) ˜ b1 ˜ x  24 ˜ i ˜ exp ( i ˜ x) ˜ b1  8 ˜ i ˜ exp ( i ˜ x) ˜ x ˜ b0  2

2

3

 12 ˜ i ˜ exp ( i ˜ x) ˜ x ˜ b1  exp ( i ˜ x) ˜ x ˜ b0  exp ( i ˜ x) ˜ b1 ˜ x

Einsetzen in die inhomogene Differentialgleichung und Vereinfachung: 8 ˜ exp ( i ˜ x) ˜ b0  24 ˜ exp ( i ˜ x) ˜ b1 ˜ x  24 ˜ i ˜ exp ( i ˜ x) ˜ b1 = x ˜ exp ( i ˜ x) Nach dem Ordnen und anschließendem Koeffizientenvergleich erhalten wir schließlich die unbekannten Konstanten: 8 ˜ exp ( i ˜ x) ˜ b0  24 ˜ i ˜ exp ( i ˜ x) ˜ b1  24 ˜ exp ( i ˜ x) ˜ b1 ˜ x = x ˜ exp ( i ˜ x)

Ÿ

24 ˜ b1 = 1

b1 = 

1 24

§ 1·=0 © 24 ¹

2



j ˜x



yp ( x) = x ˜ b0  b1 ˜ x ˜ e

1

hat als Lösung(en)

8 ˜ exp ( i ˜ x) ˜ b0  24 ˜ i ˜ exp ( i ˜ x) ˜ ¨ 

8

˜i

§ 1 ˜ j  1 ˜ x· ˜ ( cos ( x)  j ˜ sin ( x) ) 24 ¹ ©8

2

=x ˜¨

vereinfacht auf yp ( x) =

1 8

2

˜ i ˜ x ˜ cos ( x) 

1 8

2

˜ x ˜ sin ( x) 

1 24

3

˜ x ˜ cos ( x) 

1 24

3

˜ i ˜ x ˜ sin ( x)

Für den reellwertigen Anteil der Lösung ergibt sich: yp ( x) =

1 8

2

˜ x ˜ sin ( x) 

1 24

3

˜ x ˜ cos ( x)

Die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung lautet demnach:









y ( x) = yh ( x)  yp ( x) = C1  C2 ˜ x ˜ sin ( x)  C3  C4 ˜ x ˜ cox ( x) 

§ ©

y ( x) = ¨ C1  C2 ˜ x 

1 8

2·

˜x

¹

§ ©

˜ sin ( x)  ¨ C3  C4 ˜ x 

1 24

3·

˜x

Seite 380

¹

1 8

˜ cox ( x)

2

˜ x ˜ sin ( x) 

1 24

3

˜ x ˜ cos ( x)

Differentialgleichungen

7.2.4 Differentialgleichungssysteme 7.2.4.1 Lineare Differentialgleichungssysteme 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Die vorgestellten Lösungsmethoden können verallgemeinert werden, um auch Systeme linearer DGL mit mehr als zwei Gleichungen anzugehen. Ein lineares gekoppeltes inhomogenes Differentialgleichungssystem 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten ai,k  (i, k = 1, 2, ..., n) und stetigen Störfunktionen s i(x) auf I = [a,b]  hat die folgende Form: d y1 ( x) = a1  1 ˜ y1 ( x)  a1  2 ˜ y2 ( x)  .........  a1  n ˜ yn ( x)  s 1 ( x) (7-264) dt d

y2 ( x) = a2  1 ˜ y1 ( x)  a2  2 ˜ y2 ( x)  .........  a2  n ˜ yn ( x)  s 2 ( x) dt ---------------------------------------------------------------------------------------------------d yn ( x) = an  1 ˜ y1 ( x)  an  2 ˜ y2 ( x)  .........  an  n ˜ yn ( x)  s n ( x) dt Durch Einführung der Vektoren

§d · ¨ y1 ( x) ¸ ¨ dx § y1 ( x) · § s 1 ( x) · ¸ ¨d ¨ ¨ ¨ y2 ( x) ¸ ¨ y2 ( x) ¸ ¨ s 2 ( x) ¸ x d d ¸ , Y ( x) = ¨ ¨ ¸ und S ( t) = ¨ ¸, Y ( x) = ¸ ¨ . ¨ . ¸ ¨ . ¸ dx ¸ ¨ ¨ . ¸ ¨ . ¸ ¸ ¨ . ¨ ( x) ¨ ( x) © yn ¹ © sn ¹ ¸ ¨d ¨ yn ( x) © dx ¹

(7-265)

kann das Differentialgleichungssystem mit der quadratischen Matrix A (n x n Matrix) in Matrixform geschrieben werden: d dx

Y ( x) = A ˜ Y ( x)  S ( x)

(7-266)

o Ist S ( x) = 0 , so ist das Differentialgleichungssystem homogen. Alle Lösungen des inhomogenen Differentialgleichungssystem erhält man aus der allgemeinen Lösung yh(x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + ... +Cn yn(x) des homogenen Systems und einer partikulären Lösung yp(x) des inhomogenen Systems in der Form y ( x) = yh ( x)  yp ( x) = C1 ˜ y1 ( x)  C2 ˜ y2 ( x)  ....  Cn ˜ yn ( x)  yp ( x)





(7-267)

T

Das Anfangswertproblem mit den Anfangsbedingungen Y x0 = Y0 = y01 y02 .... y0n (x 0 I) hat unter den oben gegebenen Voraussetzungen genau eine auf ganz I = [a,b] definierte Lösung. Für solche Systeme mit konstanten Koeffizienten lassen sich exakte Lösungen mittels Lösungsansatzmethoden oder Methode der Variation der Konstanten oder Laplacetransformation (u.a.m.) konstruieren (analog zu Differentialgleichungen n-ter Ordnung).

Seite 381

Differentialgleichungen

7.2.4.2 Homogenes lineares Differentialgleichungssystem 1. Ordnung Für das homogene lineare Differentialgleichungssystem 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten d dx

Y ( x) = A ˜ Y ( x)

(7-268)

machen wir den Lösungsansatz O ˜x

Y ( x) = e

˜y

(7-269)

wobei y ein konstanter unbekannter Vektor und O eine unbekannte Zahl ist. Durch Einsetzen in das Differentialgleichungssystems ergibt sich O ˜x

O˜e

O ˜x

˜y= A˜e

˜ y œ O ˜ y = A ˜ yœ A ˜ y = O ˜ y

(7-270)

Dies ist die Eigenwertgleichung für die Matrix A. Somit ist O Eigenwert von A und y ist ein zugehöriger Eigenvektor. Die Eigenwertgleichung hat nur dann nicht-triviale Lösungen, wenn die charakteristische Gleichung der Matrix A Null ist: det ( A  O ˜ E) = 0

(7-271)

E bedeutet die Einheitsmatrix. Näheres siehe dazu Band 1 dieser Serie. a) Sind alle Eigenwerte (Nullstellen der charakteristischen Gleichung) O1 , O2 , ..., On einfach (d.h.paarweise verschieden und reell) mit zugehörigen Eigenvektoren y 1 , y2 , ..., yn, so ist O 1˜x

Yh ( x) = C1 ˜ y1 ˜ e

O 2˜x

 C2 ˜ y2 ˜ e

O n˜x

 ....  Cn ˜ yn ˜ e

(7-272)

mit Ci die allgemeine Lösung des homogenen Systems. O 1˜x

Die Funktionen y1 ˜ e

O 2˜x

 y2 ˜ e

O n˜x

, ..., yn ˜ e

bilden ein Fundamentalsystem, d.h. ein

System von n linear unabhängigen Lösungen. b) Sind N  j ˜ Z und N  j ˜ Z ( Z z 0) ein Paar konjugiert komplexer Eigenwerte von A mit zugehörigen Eigenvektoren y1 = a  j ˜ b und y2 = a  j ˜ b, so sind N˜x

e ˜ ( sin ( Z ˜ x) ˜ a  cos ( Z ˜ x) ˜ b) und N˜x

e

(7-273)

˜ ( cos ( Z ˜ x) ˜ a  sin ( Z ˜ x) ˜ b)

Lösungen des Differentialgleichungssystems. Im Allgemeinen besitzt A keine n linear unabhängigen Hauptvektoren (die charakteristische Gleichung hat Nullstellen mit Vielfachheiten). Zur Angabe der allgemeinen Lösung müssen dann sogenannte Hauptvektoren bestimmt werden. Auf dieses Thema wird hier nicht näher eingegangen.

Seite 382

Differentialgleichungen

Beispiel 7.56: Wie lauten die Lösungen des gegebenen linearen Differentialgleichungssystems ? y1' = y1  3 ˜ y2

homogenes lineares Differentialgleichungssystem 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

y2' = 2 ˜ y1  2 ˜ y2

§ y1' · § 1 3 · § y1 · =¨ ˜¨ ¨ © y2' ¹ © 2 2 ¹ © y2 ¹ A

Differentialgleichungssystem in Matrixform

§ 1 3 · ¨ © 2 2 ¹

Koeffizientenmatrix

ORIGIN festlegen

ORIGIN  1 Bestimmung der Eigenwerte: A  O ˜ einheit ( 2) o

p(O ) 

3 · § 1  O ¨ 2  O ¹ © 2

A  O ˜ einheit ( 2) o 4  3 ˜ O  O

O1  p ( O ) = 0 auflösen  O o O11

4

§ 4 · ¨ ©1 ¹

O  eigenwerte ( A)

O1

charakteristisches Polynom Vektor der Eigenwerte (Nullstellen des charakteristischen Polynoms) Eigenwerte

1

O12

2

1

O2

4

mit der Mathcadfunktion berechnet (die Lösungen O1 und O2 werden hier vertauscht ausgegeben!)

Die zu Oi gehörigen normierten Eigenvektoren:



y1  eigenvek A  O 1 y1



§ 0.832 · ¨ © 0.555 ¹ O 1˜x

z 1 ( x)  e

z 1 ( x) o C1  C1



y2  eigenvek A  O 2 y2

§ 0.832 ·

˜¨

© 0.555 ¹

§ .832 ˜ exp ( 4 ˜ x) · ¨ © .555 ˜ exp ( 4 ˜ x) ¹ C2  C2

Yh ( x)  C1 ˜ z 1 ( x)  C2 ˜ z 2 ( x)



§ 0.707 · ¨ © 0.707 ¹ O 2˜x

z 2 ( x)  e

z 2 ( x) o

Eigenvektoren sind bezüglich Länge und Orientierung nicht eindeutig bestimmt! In Mathcad sind sie auf die Länge 1 normiert!

§ 0.707 ·

˜¨

© 0.707 ¹

zwei Basislösungen

§ .707 ˜ exp ( x) · ¨ © .707 ˜ exp ( x) ¹

Redefinitionen allgemeine Lösung des homogenen Differentialgleichungssystems in Vektorform

Seite 383

Differentialgleichungen

Yh ( x) o

§ .832 ˜ exp ( 4 ˜ x) ˜ C1  .707 ˜ exp ( x) ˜ C2 · ¨ © .555 ˜ exp ( 4 ˜ x) ˜ C1  .707 ˜ exp ( x) ˜ C2 ¹

allgemeine Lösung des homogenen Differentialgleichungssystems in Vektorform

Wie bereits in Abschnitt 7.2.3 ausgeführt wurde, kann das Differentialgleichungssystem auch wie folgt gelöst werden (Fallunterscheidung beachten!): O1

1

Lösung des charakteristischen Polynoms (zwei verschiedene reelle Lösungen)

4

O2

Die Lösung y1 (x) und deren Ableitung lautet somit: x

 4˜x

nach (7-245)

y1 ( x) = C1 ˜ e  C2 ˜ e x

 4˜x

y1' ( x) = C1 ˜ e  C2 ˜ 4 ˜ e

Wir setzen nun diese zwei Gleichungen in die nach y 2 umgeformte erste Differentialgleichung des Systems ein:

Ÿ

y1' = y1  3 ˜ y2 y2 =

1 3

x

y2 =  4˜x

˜ §© C1 ˜ e  C2 ˜ 4 ˜ e

1 3

˜ y1'  y1





x

 4˜x·

 C1 ˜ e  C2 ˜ e

2

x  4˜x ¹ = 3 ˜ C1 ˜ e  C2 ˜ e

Die allgemeine Lösung des inhomogenen Differentialgleichungssystems lautet in Vektorform: x  4˜x · § § y1 ( x) · ¨ C1 ˜ e  C2 ˜ e Yh ( x) = ¨ =¨ ¸ 2 © y2 ( x) ¹ ¨ ˜ C1 ˜ ex  C2 ˜ e 4˜x ©3 ¹

allgemeine Lösung des homogenen Differentialgleichungssystems in Vektorform (ohne Normierungsfaktoren)

Beispiel 7.57: Man löse das nachfolgend gegebene lineare Differentialgleichungssystem 1. Ordnung: homogenes lineares Differentialgleichungssystem 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

y1' = y1  y2 y2' = y1  y2

§ y1' · § 1 1 · § y1 · =¨ ˜¨ ¨ © y2' ¹ © 1 1 ¹ © y2 ¹ A

Differentialgleichungssystem in Matrixform

§ 1 1· ¨ © 1 1 ¹

Koeffizientenmatrix

ORIGIN festlegen

ORIGIN  1 Bestimmung der Eigenwerte: A  O ˜ einheit ( 2) o

p(O ) 

§1  O 1 · ¨ © 1 1  O ¹

A  O ˜ einheit ( 2) o 2  2 ˜ O  O

2

charakteristisches Polynom

Seite 384

Differentialgleichungen

O1  p ( O ) = 0 auflösen  O o O11

1i

§1  i · ¨ ©1  i ¹

Vektor der Eigenwerte (Nullstellen des charakteristischen Polynoms) Eigenwerte

1i

O12

O  eigenwerte ( A)

O1

1i

O2

mit der Mathcadfunktion berechnet

1i

Die zu Oi gehörigen normierten Eigenvektoren:



y1  eigenvek A  O 1 y1





y2  eigenvek A  O 2

§ 0.005  0.707i · ¨ © 0.707  0.005i ¹

y2



a  Re y1



b  Im y1

x

ª ¬



§ 0.005  0.707i · ¨ © 0.707  0.005i ¹

a

§ 0.005 · ¨ © 0.707 ¹

b

§ 0.707 · ¨ © 0.005 ¹

Real- und Imaginärteil

§ 0.005 · § 0.707 · º  cos ( x) ˜ ¨ » © 0.707 ¹ © 0.005 ¹ ¼

z 1 ( x)  e ˜ « sin ( x) ˜ ¨

zwei Basislösungen x

ª ¬

§ 0.005 · § 0.707 · º  sin ( x) ˜ ¨ » © 0.707 ¹ © 0.005 ¹ ¼

z 2 ( x)  e ˜ « cos ( x) ˜ ¨

C1  C1

Redefinitionen

C2  C2

allgemeine Lösung des homogenen Differentialgleichungssystems in Vektorform

Yh ( x)  C1 ˜ z 1 ( x)  C2 ˜ z 2 ( x)

ª« 1 ˜ exp ( x) ˜ 5 ˜ C ˜ sin ( x)  707 ˜ C ˜ cos ( x)  707 ˜ C ˜ sin ( x)  5 ˜ C ˜ cos ( x) »º  1 1 2 2 1000 « » Yh ( x) faktor o « 1 » ˜ exp ( x) ˜  707 ˜ C1 ˜ sin ( x)  5 ˜ C1 ˜ cos ( x)  707 ˜ C2 ˜ cos ( x)  5 ˜ C2 ˜ sin ( x) » « ¬ 1000 ¼ Wie bereits in Abschnitt 7.2.3 ausgeführt wurde, kann das Differentialgleichungssystem auch wie folgt gelöst werden (Fallunterscheidung beachten!): O1

1i

O2

Lösung des charakteristischen Polynoms (zwei konjugiert komplexe Lösungen)

1i

Die Lösung y1 (x) und deren Ableitung lautet somit: x





x





y1 ( x) = e ˜ C1 ˜ sin ( x)  C2 ˜ cos ( x)

nach (7-247) x



y1' ( x) = e ˜ C1 ˜ sin ( x)  C2 ˜ cos ( x)  e ˜ C1 ˜ cos ( x)  C2 ˜ sin ( x)

Seite 385



Differentialgleichungen

Wir setzen nun diese zwei Gleichungen in die nach y 2 umgeformte erste Differentialgleichung des Systems ein:

Ÿ

y1' = y1  y2

y2 = y1'  y1

x





x





x





x



y2 = e ˜ C1 ˜ sin ( x)  C2 ˜ cos ( x)  e ˜ C1 ˜ cos ( x)  C2 ˜ sin ( x)  e ˜ C1 ˜ sin ( x)  C2 ˜ cos ( x) y2 = e ˜ C1 ˜ cos ( x)  C2 ˜ sin ( x)



Die allgemeine Lösung des inhomogenen Differentialgleichungssystems lautet in Vektorform: x § y1 ( x) · ª« e ˜  C1 ˜ sin ( x)  C2 ˜ cos ( x) »º Yh ( x) = ¨ = © y2 ( x) ¹ «¬ ex ˜  C1 ˜ cos ( x)  C2 ˜ sin ( x) »¼

allgemeine Lösung des homogenen Differentialgleichungssystems in Vektorform (ohne Normierungsfaktoren)

Beispiel 7.58: Gegeben ist ein lineares Differentialgleichungssystem mit drei Gleichungen. Wie lautet die allgemeine Lösung dieses Systems ? y1' = y1 homogenes lineares Differentialgleichungssystem 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

y2' = 2 ˜ y3 y3' = y2  2 ˜ y3

§ y1' · § 1 0 0 · § y1 · ¨ ¨ ¨ y = ¨ 2' ¸ ¨ 0 0 2 ¸ ˜ ¨ y2 ¸ ¨ ¨y ¨ © 3' ¹ © 0 1 2 ¹ © y3 ¹

Differentialgleichungssystem in Matrixform

§¨ 1 0 0 · A  ¨0 0 2 ¸ ¨ 0 1 2 © ¹

Koeffizientenmatrix

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

p(O ) 



A  O ˜ einheit ( 3) o ( 1  O ) ˜ 2  2 ˜ O  O

2

§¨ 1 · O  p ( O ) = 0 auflösen  O o ¨ 1  i ¸ ¨1  i © ¹ O1

1

1i

O2

T

O  eigenwerte ( A) O1

1i

O3 O

O2

1i

charakteristisches Polynom

Vektor der Eigenwerte

Eigenwerte

1i (1  i 1  i 1 ) O3



mit der Mathcadfunktion berechnet

1

Seite 386

Differentialgleichungen

Die zu Oi gehörigen normierten Eigenvektoren:



y1  eigenvek A  O 1

y1



0 §¨ · ¨ 0.159  0.801i ¸ ¨ 0.48  0.321i © ¹



y2  eigenvek A  O 2

y2



0 §¨ · ¨ 0.159  0.801i ¸ ¨ 0.48  0.321i © ¹

§¨ 0 · a ¨ 0.159 ¸ ¨ 0.48 © ¹



a  Re y1



b  Im y1

b



y3  eigenvek A  O 3

y3



§¨ 1 · ¨0 ¸ ¨0 © ¹

Real- und Imaginärteil

§¨ 0 · ¨ 0.801 ¸ ¨ 0.321 © ¹

§¨ 1 · z 1 ( x)  e ˜ ¨ 0 ¸ ¨0 © ¹ x

ª« §¨ 0 · §¨ 0 · »º z 2 ( x)  e ˜ « ( sin ( x) ) ˜ ¨ 0.159 ¸  cos ( x) ˜ ¨ 0.801 ¸ » « ¨ 0.48 ¨ 0.321 » ¬ © ¹ © ¹¼ x

Basislösungen

ª« §¨ 0 · §¨ 0 · »º z 3 ( x)  e ˜ « cos ( x) ˜ ¨ 0.159 ¸  sin ( x) ˜ ¨ 0.801 ¸ » « ¨ 0.48 ¨ 0.321 » ¬ © ¹ © ¹¼ x

§ y1 · ¨ Yh ( x) = ¨ y2 ¸ = C1 ˜ z 1 ( x)  C2 ˜ z 2 ( x)  C3 ˜ z 3 ( x) ¨y © 3¹

allgemeine Lösung des homogenen Differentialgleichungssystems in Vektorform

C1  C1

Redefinitionen

C2  C2

C3  C3

Yh ( x)  C1 ˜ z 1 ( x)  C2 ˜ z 2 ( x)  C3 ˜ z 3 ( x) exp ( x) ˜ C1 ª º « » « 3 ˜ exp ( x) ˜  53 ˜ C2 ˜ sin ( x)  267 ˜ C2 ˜ cos ( x)  53 ˜ C3 ˜ cos ( x)  267 ˜ C3 ˜ sin ( x) » Yh ( x) faktor o « 1000 » « 3 » « ˜ exp ( x) ˜  160 ˜ C2 ˜ sin ( x)  107 ˜ C2 ˜ cos ( x)  160 ˜ C3 ˜ cos ( x)  107 ˜ C3 ˜ sin ( x) » ¬ 1000 ¼

Seite 387

Differentialgleichungen

7.2.4.3 Inhomogenes lineares Differentialgleichungssystem 1. Ordnung Für das inhomogene lineare Differentialgleichungssystem 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten d dx

Y ( x) = A ˜ Y ( x)  S ( x)

(7-274)

gibt es ebenfalls verschiedene Lösungsverfahren. Nachfolgend soll das Einsetzungs- oder Eliminationsverfahren kurz beschrieben werden. Es wird dabei versucht, durch Differentiation von Gleichungen und geschicktes Einsetzen bis auf eine Variable alle anderen Variablen zu eliminieren. Dies führt zu einer Differentialgleichung n-ter Ordnung. Dieses Verfahren eignet sich auch zur Lösung eines homogen linearen Differentialgleichungssystem, wie es im letzten Abschnitt beschrieben wurde. Es soll kurz anhand eines Systems mit zwei Differentialgleichungen beschrieben werden.

§ y1' · § a11 a12 · § y1 · § s 1 ( x) · =¨ ˜¨ ¨ ¨ © y2' ¹ © a21 a22 ¹ © y2 ¹ © s 2 ( x) ¹

(7-275)

Die beiden Lösungsfunktionen y 1 (x) und y2 (x) werden wie folgt bestimmt: 1. Die erste Differentialgleichung wird nach y 2 aufgelöst und nach x differenziert: 1 y2 = ˜ y1'  a11 ˜ y1  s 1 ( x) a12



y2' =

1 a12





˜ y1''  a11 ˜ y1'  s 1' ( x)



(7-276) (7-277)

2. Die Gleichungen (7-276) und (7-277) werden dann in die zweite Differentialgleichung eingesetzt: 1 a12





˜ y1''  a11 ˜ y1'  s 1' ( x) = a21 ˜ y1 

a22 a12





˜ y1'  a11 ˜ y1  s 1 ( x)  s 2 ( x)

(7-278)

3. Die Gleichung (7-278) wird dann noch nach der unbekannten Funktion y 1 und deren Ableitungen geordnet:













y1''  a11  a22 ˜ y1'  a11 ˜ a22  a12 ˜ a21 ˜ y1 = s 1' ( x)  a22 ˜ s 1 ( x)  a12 ˜ s 2 ( x) (7-279) Mit den Abkürzungen





a1 =  a11  a22 = Sp ( A)

(Spur von A)

a0 = a11 ˜ a22  a12 ˜ a21 = det ( A) (Determinante von A) s g ( x) = s 1' ( x)  a22 ˜ s 1 ( x)  a12 ˜ s 2 ( x) = s 1' ( x)  det ( B)





(7-280) (7-281) (7-282)

wobei sich det(B) aus der Hilfsmatrix B (die 1. Spalte der Matrix A wird durch die Störfunktionen ersetzt) B=

§ s 1 ( x) a12 · ¨ © s 2 ( x) a22 ¹

(7-283)

Seite 388

Differentialgleichungen

ergibt, kann (7-279) dann in der Form y1''  a1 ˜ y1'  a0 ˜ y1 = s g ( x)

(7-284)

geschrieben werden. Diese inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten liefert dann die erste Lösungsfunktion y 1 (x). Sie kann nach den in Abschnitt 7.2.2.2 bzw. Abschnitt 7.2.3 angeführten Methoden gelöst werden. 4. Die zweite Lösung y 2 (x) ergibt sich dann durch Einsetzen von y 1 (x) und y1 '(x) in (7-277). Dieses hier vorgestellte Eliminationsverfahren kann auch bei linearen Systemen von Differentialgleichungen mit nicht konstanten Koeffizienten herangezogen werden. In diesem Fall lassen sich dann die Verfahren zur Lösung linearer Differentialgleichungen n-ter Ordnung verwenden (siehe Abschnitt 7.2.3). Auch nichtlineare Systeme lassen sich auf diese Weise umformen.

Beispiel 7.59: Mithilfe des Einsetzungs- oder Eliminationsverfahren ist folgendes Gleichungssystem zu lösen: y1' = y1  3 ˜ y2  x

inhomogenes lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten

x

y2' = 2 ˜ y1  2 ˜ y2  e A

§ 1 3 · ¨ © 2 2 ¹

A

4

a0 

A

sp ( A)

Koeffizientenmatrix

Determinante der Koeffizientenmatrix

a0

Spur von A

3

a1  sp ( A) B ( x) 

Koeffizient der Differentialgleichung 2. Ordnung

4

a1

Koeffizient der Differentialgleichung 2. Ordnung

3

§¨ x 3 · ¨© e x 2 ¹

Hilfsmatrix

Determinante von B

B ( x) o 2 ˜ x  3 ˜ exp ( x) x

s g ( x) = s 1' ( x)  det ( B) = 1  2 ˜ x  3 ˜ e x

y''  3 ˜ y1'  4 ˜ y1 = 1  2 ˜ x  3 ˜ e 2

O  3 ˜ O  4 = 0 auflösen  O o  4˜x

yh1 ( x) = C1 ˜ e

x

 C2 ˜ e

§ 4 · ¨ ©1 ¹

gemeinsame Störfunktion inhomogene Differentialgleichung 2. Ordnung für y 1 Lösungen der charakteristischen Gleichung

allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung

Seite 389

Differentialgleichungen

Eine partikuläre Lösung gewinnt man nach (7-255) und (7-258) durch den Lösungsansatz x

yp1 ( x) = b0  b1 ˜ x  b ˜ e

x

= A  B˜ x  C˜ e

x

yp1' ( x) = B  C ˜ e

Ableitungen

x

yp1'' ( x) = C ˜ e

Einsetzen in die inhomogene Differentialgleichung: x

C˜ e



x

 3˜ B  C˜ e

 4 ˜ A  B ˜ x  C ˜ e x = 1  2 ˜ x  3 ˜ e x

vereinfacht auf 6 ˜ C ˜ exp ( x)  3 ˜ B  4 ˜ A  4 ˜ B ˜ x = 2 ˜ x  1  3 ˜ exp ( x) Ordnen und Koeffizientenvergleich: 3 ˜ B  4 ˜ A  4 ˜ B ˜ x  6 ˜ C ˜ exp ( x) = 1  2 ˜ x  3 ˜ exp ( x) 3˜ B  4˜ A = 1 4 ˜ B = 2 6 ˜ C = 3 Vorgabe 3˜ B  4˜ A = 1 4 ˜ B = 2 6 ˜ C = 3

§¨ 5 · ¨ 8 ¸ ¨ 1 ¸ Suchen ( A  B  C) o ¨ ¸ ¨ 2 ¸ ¨ 1 ¸ ¨© 2 ¹ yp1 ( x) = 

5 8



1 2

˜x

1 2

Lösung des Gleichungssystems

x

gesuchte partikuläre Lösung

˜e

Die gesuchte allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung 2. Ordnung für die erste der beiden Lösungsfunktionen des Systems lautet:  4˜x

y1 ( x) = yh1 ( x)  yp1 ( x) = C1 ˜ e

x

 C2 ˜ e 

5 8



1 2

˜x

Seite 390

1 2

x

˜e

Differentialgleichungen

Die zweite Lösung des Systems erhalten wir aus (7-277) y2 =

1 a12





˜ y1'  a11 ˜ y1  s 1 ( x) =  4˜x

y1' ( x) = 4 ˜ C1 ˜ e

y2 =

1

§ 3 ©

 4˜x

˜ ¨ 4 ˜ C1 ˜ e

x

 C2 ˜ e 

1 2

x

 C2 ˜ e 

1 3  1 2





˜ y1'  y1  x 1

x



Ableitung von y1 nach x

˜e

2

1

x

˜e

2

 4˜x

 C1 ˜ e

x

 C2 ˜ e 

5 8



1 2

˜x

1 2

x

˜e

· ¹

x

durch Zusammenfassen von Termen, ergibt 2

y2 ( x) = C1 ˜ exp ( 4 ˜ x) 

3

˜ C2 ˜ exp ( x) 

3 8



1 2

˜x

zweite Lösungsfunktion für das gegebene Differentialgleichungssystem

Das inhomogene lineare Differentialgleichungssystem 1.Ordnung mit konstanten Koeffizienten besitzt dann folgende allgemeine Lösung:  4˜x

y1 ( x) = C1 ˜ e

5

x

 C2 ˜ e 

y2 ( x) = C1 ˜ exp ( 4 ˜ x) 

2 3

8



1 2

˜x

1 2

˜ C2 ˜ exp ( x) 

x

˜e 3 8



C1 , C2  1 2

˜x

Beispiel 7.60: Die in Abb. 7.89 gegeben Schaltung wir zum Zeitpunkt t = 0 s an eine Gleichspannung U 0 geschaltet. Berechnen Sie die in der Schaltung auftretenden Einschaltmaschenströme i 1 und i2 . Zum Zeitpunkt t= 0 s sollen beide Maschen stromlos sein.

Abb. 7.89

Für jede Masche gilt, dass die Summe der Spannungen gleich null ist: Masche 1: u L1 + uRm = U0 Masche 2: u L2 + uRm + uR = 0

Seite 391

Differentialgleichungen

Wir setzen in die Maschengleichungen ein und erhalten folgendes Differentialgleichungssystem: L˜

L˜

d dt d dt





i1 ( t)  R ˜ i1 ( t)  i2 ( t)  U0 = 0



inhomogenes lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten



i 2 ( t )  R ˜ i 1 ( t )  i2 ( t )  R ˜ i 2 ( t ) = 0

Die Differentialgleichungen lassen sich durch Umformung vereinfachen: d dt d dt

i1 ( t ) = 

i2 ( t ) =

R



L

R



˜ i 1 ( t )  i2 ( t ) 



U0 L



˜ i1 ( t )  i 2 ( t )  R ˜ i2 ( t )

L

bzw.

bzw.

d dt d dt

i1 ( t ) = 

i2 ( t ) =

1 W

1 W

˜ i1 ( t ) 

˜ i1 ( t ) 

1 W

2 W

˜ i2 ( t ) 

U0 L

mit

˜ i2 ( t )

Dieses System kann auch in Matrixform geschrieben werden:

§ 1 1 · ¨ § U0 · W W ¸ § i1 · ¨ ¨ = ˜¨ ¨ L ¸ ¨ © i2' ¹ ¨¨ 1 2 ¸ © i2 ¹ ¨ 0 © ¹ © W W ¹ § i1' ·

§¨ 1 1 · ¨ W W ¸ A(W )  ¨ 1 2 ¸ ¨ W W © ¹

Koeffizientenmatrix

L L

Redefinitionen

A(W ) o

1 W

a0 

Determinante der Koeffizientenmatrix

2

A(W )

1

a0 o

sp ( A ( W ) ) o

3

W

Koeffizient der Differentialgleichung 2. Ordnung

2

Spur von A

W

a1  sp ( A ( W ) ) a1 o

3

Koeffizient der Differentialgleichung 2. Ordnung

W

§ U0 1 · ¨ L W ¸ B  U0  L  W  ¨ ¨ 2 ¸ ¨ 0 W ¹ ©



B U0  L  W



o 2 ˜

Hilfsmatrix

U0

Determinante von B

L˜ W

s g ( t) = s 1' ( t)  det ( B) = 0  det ( B) = 2 ˜

U0 L˜ W

gemeinsame Störfunktion

Seite 392

W =

L R

Differentialgleichungen

i1'' 

2

O 

3 W

3 W

1

˜ i1' 

W

2

1

˜O

W

˜ i1 = 2 ˜

2

W

ih1 ( x) = C1 ˜ e

inhomogene Differentialgleichung 2. Ordnung für i 1

L˜ W

§¨ .382 auflösen  O ¨ W o ¨ 2.618 gleit  4 ¨ © W

=0

 .382

U0

 2.618

˜t

W

 C2 ˜ e

· ¸ ¸

Lösungen der charakteristischen Gleichung

¹

˜t

allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung

Eine partikuläre Lösung gewinnt man nach (7-255) durch den Lösungsansatz das Störglied ist konstant

i1p = b0 i1p' = 0

Ableitungen

i1p'' = 0

Einsetzen in die inhomogene Differentialgleichung:

i1'' 

1 W

2

3 W

1

˜ i1' 

W

˜ b0 = 2 ˜

ip1 ( t) = 2 ˜

2

U0 L˜ W

U0 L

˜ i1 = 2 ˜

U0 L˜ W

auflösen  b0 o 2 ˜

U0 L

˜W

partikuläre Lösung

˜W

Die gesuchte allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung 2. Ordnung für die erste der beiden Lösungsfunktionen des Systems lautet:  .382 W

i1 ( t) = ih1 ( t)  ip1 ( t) = C1 ˜ e

 2.618

˜t

 C2 ˜ e

W

˜t

 2˜

U0 L

˜W

Die zweite Lösung des Systems erhalten wir aus (7-275) i2 =

1 a12



˜ i1'  a11 ˜ i1  s 1 ( t)  .382

i1' ( t) =

.382 W

˜ C1 ˜ e

W

 2.618

˜t



2.618 W

˜ C2 ˜ e

W

˜t

Ableitung der ersten Lösungsfunktion

 .382  2.618  .382  2.618 ª § · º ˜t ˜t ˜t ˜t « .382 ¨ U0 U0» 2.618 1 W W W W i2 = W ˜ « ˜ C1 ˜ e  ˜ C2 ˜ e  ˜ ¨ C1 ˜ e  C2 ˜ e  2˜ ˜W  » L W W © ¬ W ¹ L¼

Seite 393

Differentialgleichungen

vereinfacht auf

i2 =

§ 191 ˜ t· ˜ L  809 ˜ C ˜ exp § 1309 ˜ t· ˜ L  500 ˜ U ˜ W zweite Lösungsfunktion ¨ 2 0 für das gegebene © 500 ˜ W ¹ © 500 ˜ W ¹ Differential-

309 ˜ C1 ˜ exp ¨

1

˜

500

L

gleichungssystem

Bestimmung der Konstanten für das Anfangswertproblem: i1 ( 0 ˜ s ) = 0 ˜ A  .382 W

C1 ˜ e

 2.618

˜0

W

 C2 ˜ e

˜0

 2˜

U0 L

C1 ˜ L  C2 ˜ L  2 ˜ U0 ˜ W

vereinfacht auf

˜W =0

L

i2 ( 0 ˜ s ) = 0 ˜ A

1 500

§ 191 ˜ 0· ˜ L  809 ˜ C ˜ exp § 1309 ˜ 0· ˜ L  500 ˜ U ˜ W ¨ 2 0 © 500 ˜ W ¹ © 500 ˜ W ¹ =0

309 ˜ C1 ˜ exp ¨ ˜

L

vereinfacht auf

1 500

˜

309 ˜ C1 ˜ L  809 ˜ C2 ˜ L  500 ˜ U0 ˜ W L

=0

Vorgabe C1 ˜ L  C2 ˜ L  2 ˜ U0 ˜ W

=0

L 1 500

˜

309 ˜ C1 ˜ L  809 ˜ C2 ˜ L  500 ˜ U0 ˜ W L

§ 1059 U0 · ¨ ˜ ˜W L 559 ¨ ¸ Suchen  C1  C2 o ¨ 59 U0 ¸ ¨ ˜ ˜W © 559 L ¹

=0

Lösung des Gleichungssystem

Die Maschenströme werden dann durch folgende Gleichungen beschrieben:

i1 ( t ) =

1059 559

˜

U0 L

 .382

˜W˜e

W

˜t



59 559

˜

U0 L

 2.618

˜W˜e

W

˜t

 2˜

U0 L

˜W

Durch Einsetzen und vereinfachen erhält man den zweiten Maschenstrom:

i2 ( t ) =

i2 ( t ) =

1 279500 1 279500

§ 191 ˜ t·  47731 ˜ exp § 1309 ˜ t·  279500 ¨ © 500 ˜ W ¹ © 500 ˜ W ¹

327231 ˜ exp ¨ ˜ U0 ˜ W ˜

˜

U0 ˜ W L

L  191  1309 § · ˜t ˜t ¨ 500˜W 500˜W ˜ © 327231 ˜ e  47731 ˜ e  279500 ¹

Seite 394

=0

Differentialgleichungen

R  200 ˜ : vorgegebene Daten

L  1000 ˜ mH U0  100 ˜ V

W

3

Definition der Einheit ms

˜s

L

Zeitkonstante

5 ms

W

R

 .382

i1 ( t ) 

i2 ( t ) 

1059 559

˜

1 279500

U0 L

˜

W

˜W˜e

U0 ˜ W L

 2.618

˜t



59 559

Strom

˜t

 2˜

L

˜W

Maschenströme

U0

R

i 1 ( t) 1

50

Maschenstrom i2

1

2˜U0

0

U0

Bereichsvariable

Maschenstrom i1

2

0

L

˜W˜e

W

 191  1309 · § ˜t ˜t ¨ 500˜W 500˜W ˜ © 327231 ˜ e  47731 ˜ e  279500 ¹

t  0 ˜ s  0.001 ˜ s  0.1 ˜ s

A

˜

U0

Strom

ms  10

i 2 ( t) A

R 0.5

0

100

0

50

t

t

ms Zeit

ms Zeit

Abb. 7.90

100

Abb. 7.91

Nach ca. 50 ms fließen in der Schaltung konstante Maschenströme, wie aus den Grenzwerten in den Abbildungen zu erkennen ist. Beispiel 7.61: In einem Vierpol sind ein Ohm'scher Widerstand R und eine Induktivität L zusammengeschaltet. An den Eingangsklemmen wird zum Zeitpunkt t = 0 s eine sinusförmige Wechselspannung u e = Umax sin(Zt angelegt. Bestimmen Sie mithilfe der Laplace-Transformation den zeitlichen Verlauf der Ausgangsspannung ua , wenn das Netzwerk im Einschaltzeitpunkt t = 0 s stromlos ist.

Abb. 7.92

Seite 395

Differentialgleichungen

Aus den 2 Maschen ergeben sich mit der Maschenregel (Kirchhoff) folgende zwei Gleichungen: uL + u R = u e uL = u a L˜ d dt

d dt

bzw.

i ( t )  R ˜ i ( t ) = Umax ˜ sin ( Z ˜ t)

i ( t) =

R L

˜ i ( t) =

Umax

˜ sin ( Z ˜ t)

L

inhomogenes lineares Differentialgleichungssystem 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

und L˜

d dt

i ( t ) = ua ( t)

Anfangsbedingung: i(0) = 0 Transformation vom Original- in den Bildbereich: ( s ˜ I  0) 

R L

Umax

˜I=

L

Z

˜

2

s Z

2

hat als Lösung(en)

Umax ˜

Z

 s 2  Z 2 ˜ ( R  L ˜ s)

nach I auflösen (I = I(s))

L ( s ˜ I  0) = Ua ( s ) I aus der ersten Gleichung in die zweite Gleichung eingesetzt und umgeformt:

ª

 s 2  Z 2

¬

Ua ( s ) = Umax ˜ Z ˜

s

ª s2  Z 2 ˜ § s  R ·º « ¨ » L ¹¼ ¬ ©



ª Umax º » = L˜ s˜ « L ˜ (R  L ˜ s) ¼ « ¬

Z

Ua ( s ) = L ˜ s ˜ I = L ˜ s ˜ « Umax ˜



= Umax ˜ Z ˜

˜

º » R ·º § ˜ ¨s  »» L ¹¼ ¼ ©

Z



ª s2  Z 2 « ¬



s Bildfunktion mit

ª s 2  Z 2 ˜ § s  1 ·º « ¨ » W ¹¼ ¬ ©





Rücktransformation in den Zeitbereich: Umax ˜ Z ˜

s



ª 2  Z2 «s ¬ §

Umax ˜ Z ˜ W ˜ ¨



§ ˜ ¨s  ©

1

2 2 ©1 Z ˜ W

1 ·º

hat inverse Laplace-Transformation

»

W ¹¼ 1

˜ cos ( Z ˜ t) 

2

1 Z ˜W

2

1

˜ Z ˜ W ˜ sin ( Z ˜ t) 

Durch Herausheben erhält man schließlich ua ( t) = Umax ˜ Z ˜

W 2

1 Z ˜W

2

§ t · · © W ¹¹

§ ©

˜ ¨ cos ( Z ˜ t)  W ˜ Z ˜ sin ( Z ˜ t)  exp ¨

Die ersten beiden Summanden in Klammer können noch vereinfacht werden: cos ( Z ˜ t)  W ˜ Z ˜ sin ( Z ˜ t) = A ˜ sin ( Z ˜ t  M )

Seite 396

2

1 Z ˜W

2

§ t · · © W ¹¹

˜ exp ¨

W =

L R

Differentialgleichungen

Mit A=

1  (Z ˜ W )

2

und

1

tan ( M ) =

Z˜W

=

sin ( M ) cos ( M )

erhält man den vereinfachten Ausdruck für die Ausgangsspannung: t

ua ( t) =

Umax ˜ Z ˜ W 2

1 Z ˜W

2

˜ sin ( Z ˜ t  M ) 

Umax ˜ Z ˜ W 2

1 Z ˜W

2

˜e

W

Umax  10 ˜ V gewählte Größen

L  10 ˜ mH R  100: W

L

W

R

Z  2˜ S ˜ s

1 u 10

4

1

§ 1 · ©Z ˜ W¹

M  atan ¨

s

Zeitkonstante

Kreisfrequenz M

1.57

ue ( t)  Umax ˜ sin ( Z ˜ t) ˜ ) ( t)

Phasenverschiebung

Eingangsspannung

 t· §¨ Umax ˜ Z ˜ W Umax ˜ Z ˜ W W ua ( t)  ¨ ˜ sin ( Z ˜ t  M )  ˜ e ¸ ˜ ) ( t) 2 2 ¨ 1  Z2 ˜ W2 1 Z ˜W © ¹

t  0.1 ˜ s  0.1 ˜ s  0.001 ˜ s  2s

Ausgangsspannung

Bereichsvariable

10

u e ( t) V u a ( t)

0.5

0

0.5

1

1.5

2

mV

10 t s

Abb. 7.93 Das Übertragungsverhalten eines solchen Systems wird meist im Laplace-Bereich (Bildbereich) untersucht. Siehe dazu Abschnitt 5.4.3.

Seite 397

Differentialgleichungen

7.2.4.4 Umformung von Differentialgleichungen n-ter Ordnung in Differentialgleichungsysteme 1. Ordnung Zur numerischen Lösung von linearen Differentialgleichungen und insbesondere von nichtlinearen Differentialgleichungen ist die Differentialgleichung n-ter Ordnung in ein System von n Differentialgleichungen 1. Ordnung umzuwandeln, wie weiter oben bereits gezeigt wurde. Diese Umformung soll am Beispiel der inhomogenen linearen Differentialgleichung 4-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten vorgestellt werden: ( 4)

y

 a3 ˜ y'''  a2 ˜ y''  a1 ˜ y'  a0 ˜ y = s ( x)

(7-285)

Zur Umformung werden bei einer Differentialgleichung n-ter Ordnung n unabhängige Variable benötigt. Bei der Differentialgleichung 4. Ordnung müssen dann 4 unabhängige Variable y 1 , y2 , y3 , y4 (bzw. y 0 , y1 , y2 , y3 , wenn der Index bei 0 beginnen soll) gefunden werden. In der Regel wird y als erste Variable gewählt und die (n-1) ersten Ableitungen als restliche Variable: y1 = y

(7-286)

y2 = y' y3 = y'' y4 = y''' Zuerst differenzieren wir die Gleichungen (7-286) y1' = y'

(7-287)

y2' = y'' y3' = y''' ( 4)

y4' = y

und vergleichen dann die Gleichungen (7-286) mit den Gleichungen (7-287). So erhalten wir das gesuchte Differentialgleichungssystem von 4 Differentialgleichungen 1. Ordnung: y1' = y2

(7-288)

y2' = y3 y3' = y4 ( 4)

y4' = y

= a3 ˜ y4  a2 ˜ y3  a1 ˜ y2  a0 ˜ y1  s ( x)

Dieses Differentialgleichungen können dann zu einer Matrixgleichung zusammengefasst werden:

bzw.

§ y1' · § y1 · § 0 1 0 0 · §¨ y1 · § 0 · ¨ ¨ ¨ y2' ¸ d ¨ y2 ¸ ¨ 0 ¨ y2 ¸ ¨¨ 0 ¸ 0 1 0 ¸˜¨ ¸  y' = ¨ ¸= ¨ ¸ =¨ ¨ ¸ ¨ y3 ¸ ¨ 0 ¸ 0 0 1 0 y y x d ¨ 3' ¸ ¨ 3¸ ¨ ¨ ¨y ¨y a0 a1 a2 a3 ¹ ¨ y © © 4' ¹ © 4¹ © 4 ¹ © s ( x) ¹

(7-289)

y' = A ˜ y  S ( x)

(7-290)

Seite 398

Differentialgleichungen

Die Umformung von einer Differentialgleichung n-ter Ordnung in n Differentialgleichungen 1. Ordnung ist auch für nichtlineare Systeme möglich. Die Matrixschreibweise ist dagegen nicht üblich! Das oben gezeigte Beispiel kann leicht auf das Schema der Umformung einer Differentialgleichung n-ter Ordnung übertragen werden:

§¨ y1' · §¨ y1 · § 0 1 .... 0 · § y1 · § 0 · ¨ ¨ ¨ ¨ .... ¸ d ¨ .... ¸ ¨ .... .... .... ¨ .... ¸ ¨ .... ¸ 0 ¸ y' = ¨ ˜¨ ¸= ¨ ¸= ¸¨ ¸ 0 .... 1 ¸ yn 1 ¨ yn1 ' ¸ dx ¨ yn1 ¸ ¨¨ 0 ¨ ¸ ¨ 0 ¨ yn' ¨ yn ¨ © ¹ © ¹ © a0 a1 .... an1 ¹ © yn ¹ © s ( x) ¹

(7-291)

Beispiel 7.62: Lösen Sie die gegebene lineare Differentialgleichung mithilfe des Runge-Kutta Verfahrens für die Anfangsbedingungen y(0) = 0, y'(0) = 1, y''(0) = 2 im Intervall [x a , xe ] = [0, 20]. y''' ( x)  2 ˜ y'' ( x)  4 ˜ y' ( x)  3 ˜ y ( x) = 5 ˜ sin ( x)

inhomogene lineare Differentialgleichung 3. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

y''' ( x) = 2 ˜ y'' ( x)  4 ˜ y' ( x)  3 ˜ y ( x)  5 ˜ sin ( x)

die nach y''' aufgelöste explizite Gleichung

Nach (7-286) lautet das zugehörige lineare Differentialgleichungssystem 1. Ordnung: y1' = y2 y2' = y3

lineares Differentialgleichungssystem 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

y3' = y''' = 2 ˜ y3  4 ˜ y2  3 ˜ y1  5 ˜ sin ( x)

§ y1' · § 0 1 0 · § y1 · § 0 · ¨ ¨ ¨ ¨ ¸ ¨ y2' ¸ = ¨ 0 0 1 ¸ ˜ ¨ y2 ¸  ¨ 0 ¨ ¨ ¨y ¨ © 3' ¹ © 3 4 2 ¹ © y3 ¹ © 5 ˜ sin ( x) ¹

Differentialgleichungssystem in Matrixform

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

§¨ 0 · aw  ¨ 1 ¸ ¨2 © ¹

aw ist ein Vektor mit den Anfangsbedingungen für die Differentialgleichung 3. Ordnung

Die Vektorfunktion D enthält die umgeformte Differentialgleichung in der Darstellung (ORIGIN =1)

Y2 § · ¨ Y3 D ( x  Y)  ¨ ¸ ¨ 2 ˜ Y  4 ˜ Y  3 ˜ Y  5 ˜ sin ( x) 3 2 1 © ¹

D(t,Y):=(Y 2 ,...,Yn-1,y(n)(Y))T. Die letzte Komponente ist

n  500

Anzahl der Schritte für die numerische Berechnung.

xa  0

Anfangswert

xe  20

Endwert

die nach y (n) umgeformte Differentialgleichung.

Seite 399

Differentialgleichungen

Runge-Kutta-Methode. Die Lösung Z ist eine (N+1)x(n+1) Matrix. Die erste Spalte Z <1> enthält die x-Werte, die





zweite Spalte Z <2> die Lösungsfunktion y 1 (x), die dritte

Z  rkfest aw  xa  xe  n  D

Spalte Z<3> die erste Ableitung der Lösungsfunktion y 1 und die letzte Spalte Z <4> die zweite Ableitung der Lösungsfunktion y 1 ¢1² x Z

Vektor der x-Wete

¢2² y1  Z

Vektor der Funktionswerte der Lösungsfunktion für die Differentialgleichung 3. Ordnung

¢3² y2  Z

Vektor der Funktionswerte der ersten Ableitung der Lösungsfunktion für die Differentialgleichung 3.Ordnung

¢4² y3  Z

Vektor der Funktionswerte der zweiten Ableitung der Lösungsfunktion für die Differentialgleichung 3. Ordnung Lösung der Dffgl. 3. Ordnung

2

y1 0

5

10

15

20

Abb. 7.94

2 x

1. Ableitung der Lösungsfunktion

2

y2 0

5

10

15

20

Abb. 7.95

20

Abb. 7.96

2 x

2. Ableitung der Lösungsfunktion

2

y3 0

5

10

15

2 x

Seite 400

Differentialgleichungen

3D-Phasenplot

Verschidene 2D_Phasenplots 2

1 y1 y2

2

1

0

1

2

1

2

y1  y2  y3

y2  y3

Abb. 7.97

Abb. 7.98

Beispiel 7.63: Lösen Sie die gegebene lineare Differentialgleichung mithilfe des Runge-Kutta Verfahrens für die Anfangsbedingungen y(0) = 0, y'(0) = 1, y''(0) = 2, y'''(0) = 0 im Intervall [x a , xe ] = [0, 20]. ( 4)

y

( 4)

y

inhomogene nichtlineare Differentialgleichung 4. Ordnung und 6. Grades

x

( x) ˜ y'' ( x) ˜ x  y'' ( x) ˜ y' ( x) = x ˜ e x

˜ ( x) =

x˜ e

 y'' ( x) ˜ y' ( x)

y'' ( x) ˜ x

x

=

e

y''



y'

die nach y (4) aufgelöste explizite Gleichung

x

Nach (7-286) lautet das zugehörige Differentialgleichungssystem 1. Ordnung: y1' = y2 y2' = y3 Differentialgleichungssystem 1. Ordnung

y3' = y4 ( 4)

y4' = y

x

=

e

y3



y2 x

ORIGIN  1

§0 · ¨ ¨1 ¸ aw  ¨2 ¸ ¨ ©0 ¹ Y2 §¨ · ¨ ¸ Y3 ¨ ¸ Y4 D ( x  Y)  ¨ ¸ ¨ x ¸ Y2 ¸ ¨e ¨ Y3  x © ¹

ORIGIN festlegen aw ist ein Vektor mit den Anfangsbedingungen für die Differentialgleichung 4-ter Ordnung

Die Vektorfunktion D enthält die umgeformte Differentialgleichung in der Darstellung (ORIGIN =1) D(t,Y):=(Y 2 ,...,Yn-1,y(n)(Y))T. Die letzte Komponente ist die nach y (n) umgeformte Differentialgleichung.

Seite 401

Differentialgleichungen

n  500

Anzahl der Schritte für die numerische Berechnung.

xa  5

Anfangswert

xe  35

Endwert Runge-Kutta-Methode. Die Lösung Z ist eine (N+1)x(n+1) Matrix. Die erste Spalte Z <1> enthält die x-Werte, die



zweite Spalte Z <2> die Lösungsfunktion y 1 (x), die dritte



Z  rkfest aw  xa  xe  n  D

Spalte Z<3> die erste Ableitung der Lösungsfunktion y 1 , die vierte Spalte Z<4> die zweite und die letzte Spalte Z<5> die dritte Ableitung der Lösungsfunktion y 1

¢1² x Z

Vektor der x-Werte

¢2² y1  Z

Vektor der Funktionswerte der Lösungsfunktion für die Differentialgleichung 4. Ordnung

¢3² y2  Z

Vektor der Funktionswerte der ersten Ableitung der Lösungsfunktion für die Differentialgleichung 4.Ordnung

¢4² y3  Z

Vektor der Funktionswerte der zweiten Ableitung der Lösungsfunktion für die Differentialgleichung 4. Ordnung

¢5² y4  Z

Vektor der Funktionswerte der dritten Ableitung der Lösungsfunktion für die Differentialgleichung 4. Ordnung

Lösung der Dffgl. 4. Ordnung

2000

y1

1000

Abb. 7.99

5

10

15

20

25

30

35

x

1. Ableitung der Lösungsfunktion

500

y2

Abb. 7.100 5

10

15

20

25

x

Seite 402

30

35

Differentialgleichungen

2. Ableitung der Lösungsfunktion

100

y3

5

10

15

20

25

30

35

Abb. 7.101

100 200 x

3. Ableitung der Lösungsfunktion

100

y4

5

10

15

20

25

30

35

Abb. 7.102

100 200 x

7.2.4.5 Lineare Differentialgleichungssysteme 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Mechanische oder elektromagnetische gekoppelte schwingungsfähige Systeme werden oft durch gekoppelte lineare Differentialgleichungssysteme 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten beschrieben. Die Eigenschaften solcher Systeme sollen hier nur exemplarisch an einigen Beispielen gezeigt werden. Das erste Beispiel werden wir mithilfe des bereits im Abschnitt 7.2.4.3 behandelten Einsetzungs- oder Eliminationsverfahren lösen. Außerdem werden wir es, wie in Abschnitt 7.2.4.4 beschrieben, auf ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung zurückführen und mit den Methoden nach Abschnitt 7.2.4.2 lösen. Das zweite Beispiel lösen wir in Matrixform mit einen komplexen Ansatz und Überführung in die sogenannte Normalform.

Beispiel 7.64: Die Abbildung 7.101 zeigt zwei schwingungsfähige mechanische Systeme mit der Federkonstante c 1 und der Masse m 1 bzw. mit der Federkonstante c2 und der Masse m 2 , die über eine Kopplungsfeder der Federkonstante c 12 miteinander verbunden sind. Welche Differentialgleichungen beschreiben dieses System und wie lauten ihre Lösungen, wenn das System einmal kurz ausgelenkt wird? Wir wählen m1 = m2 = 1 kg , c1 = c2 = 1 N/m und c12 = 4 N/m. Unter den Anfangsbedingungen a) x 1 (0 s) = x2 (0 s) = A = 5 cm, x1 '(0 s) = x2 '(0 s) = 0 m/s und b) x1 (0 s) = A = 5 cm, x2 (0 s) = - A = 5 cm, x1 '(0 s) = x2 '(0 s) = 0 m/s sollen die Eigenmoden (Normalschwingungen) bestimmt werden.

Seite 403

Differentialgleichungen

Abb. 7.103

Unter Berücksichtigung, dass keine Reibungskräfte wirken und die Rückstellkräfte der Federn durch das Hook'sche Gesetz F = - c x beschrieben werden, gelten folgende gekoppelte Bewegungsgleichungen: Wird die erste Masse m 1 aus der Ruhelage nach rechts ausgelenkt, dann wirkt von links die Kraft F L1 = - c x1 und von rechts die Fraft FR1 = - c12 (x1 -x2 ) also insgesamt F1 = FL1 + FR1 = - c1 x1 - c12 (x1 -x2 ). Entsprechend ist die Kraft auf die Masse m 2 gegeben durch F2 = FL2 + FR2 = - c2 x2 - c12 (x2 - x1 ). 2

m1 ˜

d

dt



x ( t) = c 1 ˜ x1 ( t)  c 12 ˜ x1 ( t)  x2 ( t) 2 1

2

m2 ˜

d

dt



homogenes lineares Differentialgleichungssystem 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten



x ( t) = c 2 ˜ x2 ( t)  c 12 ˜ x2 ( t)  x1 ( t) 2 2

Durch Umformung erhalten wir: x1'' 

x2'' 

c1 m1 c2 m2

˜ x1 

˜ x2 

c 12 m1 c 12 m2





˜ x1  x2 = 0

x1''  bzw.

x2  x1

x2'' 

c1  c12 m1

c2  c12 m2

˜ x1 

˜ x2 

c 12 m1 c 12 m2

˜ x2 = 0

˜ x1 = 0

a) Das Differentialgleichungssystem lässt sich durch das Eliminationsverfahren auf eine Differentialgleichung 4. Ordnung zurückführen: Durch Einsetzen der gegebenen Federkonstanten und Massen (ohne Einheiten), erhalten wir die vereinfachte Differentialgleichung in der Form: x1''  5 ˜ x1  4 ˜ x2 = 0 x2''  5 ˜ x2  4 ˜ x1 = 0 Die erste Gleichung wird nach x 2 aufgelöst und dann zweimal nach der Zeit differenziert: x2 =

1 4



˜ x1''  5 ˜ x1



x2'' =

1 4

˜ ª¬x1

( 4)

 5 ˜ x1''º¼

Setzen wir dann die letzten beiden Gleichungen in die zweite Differentialgleichung ein, dann erhalten wir eine homogene lineare Differentialgleichung 4. Ordnung mit konstanten Koeffizienten für die erste Lösungsfunktion x1(t): 1 4

˜ ª¬x1

( 4)

 5 ˜ x1''º¼  5 ˜

1 4





˜ x1''  5 ˜ x1  4 ˜ x1 = 0

Seite 404

Differentialgleichungen

Vereinfachung der Gleichung: x1 x1

( 4) ( 4)

 5 ˜ x1''  5 ˜ x1''  25 ˜ x1  16 ˜ x1 = 0 homogene lineare Differentialgleichung 4. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

 10 ˜ x1''  9 ˜ x1 = 0

Die charakteristische Gleichung lautet: 4

2

biquadratische Gleichung

O  10 ˜ O  9 = 0

Mathcad liefert hier bei symbolischer Lösung einen recht unansehnlichen Ausdruck. Wir substituieren daher zuerst u = O2 : 2

u  10 ˜ u  9 = 0 auflösen  u o u1 = 1

§ 9 · ¨ © 1 ¹

Lösungen der quadratischen Gleichung

u2 = 9

Durch Rücksubstitution erhalten wir die gesuchten Lösungen der charakteristischen Gleichung: O1 = j

O2 = j

O3 = 3 ˜ j

O 4 = 3 ˜ j

Die zugehörigen Lösungsfunktionen ergeben sich nach (7-243) und (7-244) zu x1 ( t) = e

j˜t

 j˜t

x2 ( t) = e

x3 ( t) = e

j˜3˜t

 j˜3˜t

x4 ( t) = e

mit den Eigenkreisfrequenzen Z01 = 1 s-1 und Z02 = 3 s-1 des Systems und bilden ein komplexes Fundamentalsystem der Differentialgleichung 4. Ordnung. Mithilfe der Euler'schen Beziehungen erhalten wir schließlich ein reelles Fundamentalsystem:



x1 ( t) = sin 1 ˜ s

1

t





x2 ( t) = cos 1 ˜ s

1

˜t





x3 ( t) = sin 3 ˜ s

1

˜t





x4 ( t) = cos 3 ˜ s

1

˜t

Die erste Lösungsfunktion für das gegebene Differentialgleichungssystem 2. Ordnung ist dann die Linearkombinantion dieser Basislösungen:



x1 ( t) = C1 ˜ sin 1 ˜ s

1





t  C2 ˜ cos 1 ˜ s

1





˜ t  C3 ˜ sin 3 ˜ s

1





˜ t  C4 ˜ cos 3 ˜ s

1

˜t



Bilden wir die beiden ersten Ableitungen (die Einheiten lassen wir einfachheitshalber vorerst wieder weg): x1' ( t) = C1 ˜ cos ( t)  C2 ˜ sin ( t )  3 ˜ C3 ˜ cos ( 3 ˜ t)  3 ˜ C4 ˜ sin ( 3 ˜ t ) x1'' ( t) = C1 ˜ sin ( t )  C2 ˜ cos ( t)  9 ˜ C3 ˜ sin ( 3 ˜ t )  9 ˜ C4 ˜ cos ( 3 ˜ t ) und setzen dann x 1 '' und x1 in die umgeformte Differentialgleichung des Systems ein, dann erhalten wir die zweite Lösung: x2 = x2 =

1 4 1 4



˜ x1''  5 ˜ x1





˜ ª C1 ˜ sin ( t )  C2 ˜ cos ( t)  9 ˜ C3 ˜ sin ( 3 ˜ t )  9 ˜ C4 ˜ cos ( 3 ˜ t )  º «  5 ˜ C ˜ sin ( t)  C ˜ cos ( t)  C ˜ sin ( 3 ˜ t)  C ˜ cos ( 3 ˜ t) » 1 2 3 4 ¬ ¼





Seite 405



Differentialgleichungen

vereinfacht auf x2 = C1 ˜ sin ( t )  C2 ˜ cos ( t)  C3 ˜ sin ( 3 ˜ t )  C4 ˜ cos ( 3 ˜ t )



x2 ( t) = C1 ˜ sin 1 ˜ s

1





˜ t  C2 ˜ cos 1 ˜ s

1





˜ t  C3 ˜ sin 3 ˜ s

1





˜ t  C4 ˜ cos 3 ˜ s

1

˜t



a) Das Differentialgleichungssystem lässt sich auch nach Abschnitt 7.2.4.4 auf ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung zurückführen und mit den Methoden nach Abschnitt 7.2.4.2 lösen: x1''  5 ˜ x1  4 ˜ x2 = 0

x1'' = 5 ˜ x1  4 ˜ x2

bzw:

x2''  5 ˜ x2  4 ˜ x1 = 0

x2'' = 4 ˜ x1  5 ˜ x2

wir setzen:

Ableitungen :

Durch Vergleich:

u1 = x1

u1' = x1'

u1' = u2

u2 = x1'

u2' = x1''

u2' = 5 ˜ u1  4 ˜ u3

Ÿ

u3 = x2

Ÿ

u3' = x2'

u4 = x2'

u4' = x2''

u3' = u4 u4' = 4 ˜ u1  5 ˜ u3

Damit erhalten wir ein lineares Differentialgleichungssystem 1. Ordnung in Matrixform:

§ u1' · § 0 1 ¨ ¨ u2' ¸ ¨¨ 5 0 ¨ ¸=¨ ¨ u3' ¸ ¨ 0 0 ¨u © 4' ¹ © 4 0

§ u1 · ¨ 0 4 ¸ ¨ u2 ¸ ˜¨ ¸ 0 1 ¸ ¨ u3 ¸ 5 0 ¹ ¨ u4 © ¹

§0 ¨ ¨ 5 A ¨0 ¨ ©4

O

0

1

0

0·

0

4

0¸

0

0

0·

Koeffizientenmatrix

1¸

0 5 0 ¹

§ 3˜ i · ¨ ¨ 3 ˜ i ¸ A  O ˜ einheit ( 4) = 0 auflösen  O o ¨ i ¸ ¨ © i ¹



1



1

Z 01  Im O 3 ˜ s Z 02  Im O 1 ˜ s

Z01 Z02

1s

Eigenwerte (Nullstellen der charakteristischen Gleichung)

1

Eigenkreisfrequenzen des Systems 3s

1

Die zugehörigen Lösungsfunktionen können wieder wie oben nach (7-243) und (7-244) angegeben werden.

Seite 406

Differentialgleichungen

Eigenmoden (Normalschwingungen) des Systems: a) Die beiden Massen werden aus der Ruhelage x 1 (0 s) = x2 (0 s) = A = 5 cm ausgelenkt. Die Geschwindigkeit der beiden Massen beträgt dabei x 1 '(0 s) = x2 '(0 s) = 0 m/s



1



1

x1 ( t) = C1 ˜ sin 1 ˜ s x2 ( t) = C1 ˜ sin 1 ˜ s





1





1

˜ t  C2 ˜ cos 1 ˜ s ˜ t  C2 ˜ cos 1 ˜ s





1





1

˜ t  C3 ˜ sin 3 ˜ s ˜ t  C3 ˜ sin 3 ˜ s





1





1

˜ t  C4 ˜ cos 3 ˜ s ˜ t  C4 ˜ cos 3 ˜ s

˜t



˜t



Die Konstanten werden durch Einsetzen der Anfangsbedingungen bestimmt: x1 ( 0 ˜ s ) = C2  C4 = A

Ÿ

und C4 = 0

C2 = A

x2 ( 0 ˜ s ) = C2  C4 = A

Für die Ableitungen lassen wir die Einheiten einfachheitshalber wieder weg: x1' ( t) = C1 ˜ cos ( t)  C2 ˜ sin ( t )  C3 ˜ 3 ˜ cos ( 3 ˜ t)  C4 ˜ 3 ˜ sin ( 3 ˜ t ) x2' ( t) = C1 ˜ cos ( t)  C2 ˜ sin ( t )  C3 ˜ 3 ˜ cos ( t)  C4 ˜ 3 ˜ sin ( t) x1' ( 0) = C1  3 ˜ C3 = 0

Ÿ x2' ( 0) = C1  3 ˜ C3 = 0

C1 = 0

und

C3 = 0

Die Eigenmoden oder Normalschwingungen des Systems lauten somit:

  1 ˜ t 1 5 ˜ cm ˜ cos  1 ˜ s ˜t

x1 ( t)  5 ˜ cm ˜ cos 1 ˜ s x2 ( t) 

Eigenmoden oder Normalschwingungen

Bereichsvariable

t  0 ˜ s  0.01 ˜ s  20 ˜ s 5 x1 ( t) cm 0

x2 ( t)

5

10

15

20

Abb. 7.104

cm

5 t s

Die beiden Massen der gekoppelten Systeme schwingen in Phase (in positiver x-Richtung bzw. negativer x-Richtung) mit gleicher Kreisfrequenz Z01 = 1 s-1 und Amplitude. Die Kreisfrequenz entspricht dabei der Eigenkreisfrequenz der entkoppelten Systeme.

Seite 407

Differentialgleichungen

b) Die beiden Massen werden aus der Ruhelage entgegengesetzt mit x1 (0 s) = A = 5 cm und x2 (0 s) = - A = 5 cm ausgelenkt. Die Geschwindigkeit der beiden Massen beträgt dabei x1 '(0 s) = x2 '(0 s) = 0 m/s Die Konstanten werden wieder durch Einsetzen der Anfangsbedingungen bestimmt: x1 ( 0 ˜ s ) = C2  C4 = A

Ÿ

x2 ( 0 ˜ s ) = C2  C4 = A

C2 = 0

und C4 = A

C1 = 0

und C3 = 0

Für die Ableitungen gilt wie oben: x1' ( 0) = C1  3 ˜ C3 = 0

Ÿ

x2' ( 0) = C1  3 ˜ C3 = 0

Die Eigenmoden oder Normalschwingungen des Systems lauten somit:



x1 ( t)  5 ˜ cm ˜ cos 3 ˜ s x2 ( t) 

1

˜t



1 5 ˜ cm ˜ cos  3 ˜ s ˜t

Eigenmoden oder Normalschwingungen

Bereichsvariable

t  0 ˜ s  0.01 ˜ s  10 ˜ s 5 x1 ( t) cm 0

x2 ( t)

2

4

6

8

10

Abb. 7.105

cm

5 t s

Die beiden Massen der gekoppelten Systeme schwingen in Gegenphase (eine in positiver x-Richtung die andere in negativer x-Richtung bzw. die eine und die andere bewegen sich aufeinander zu) mit der gleichen Frequenz Z02 = 3 s-1 und Amplitude. Die beiden Schwingungen überlagern sich ungestört. Beispiel 7.65: Zuletzt betrachten wir die in Abb.7.103 dargestellten in einer Ebene angeordneten gleich langen mathematischen Pendel im Abstand d und der Länge L mit gleichen Massen m, die über eine Kopplung (z.B. Feder der Ruhelänge d und der Federkonstante k) miteinander wechselwirken. Die Masse der Aufhängung wird vernachlässigt. Die Auslenkungen werden als klein angenommen, sodass sin(x) durch x ersetzt werden kann. Wird ein Pendel ausgelenkt, so wird über die Kopplung ein Teil der Energie auf das zweite Pendel übertragen, vom zweiten auf das dritte Pendel und umgekehrt. Neben den Eigenfrequenzen des Systems sollen die Eigenmoden bestimmt und grafisch dargestellt werden.

Seite 408

Differentialgleichungen

Abb.7.106 Wenn das linke Pendel um x 1 und das mittlere Pendel um x 2 bzw. das rechte Pendel nach rechts ausgelenkt werden, dann verändert sich die Länge der Feder um 'd1 = r (sin(x1 ) - sin(x2 )) |r (x1 - x2 ) bzw. 'd2 = r (sin(x3 ) - sin(x2 )) | r (x3 - x2 ) für kleine Auslenkungen. Deshalb ist die Kraft, die auf das linke Pendel ausgeübt wird F1 = - k 'd1

| - k r (x1 - x2).

Die Kraft auf das mittlere Pendel ergibt sich demnach aus F2 = - k (- 'd1 ) + k ('d2 ) | k r (x1 - x2 ) + k r (x3 - x2 ). Die Kraft auf das rechte Pendel ergibt sich dann aus F3 = - k ('d2 ) | - k r (x3 - x2 ). Diese Kräfte erzeugen ein Drehmoment MF1 = r F1 = - k r2 (x 1 - x2 ) MF2 = r F2 = - k r2 (x 2 - x1 ) + k r2 (x3 - x2 ) MF3 = r F3 = - k r2 (x 1 - x2 ) Die durch die Gewichtskraft hervorgerufenen Momente an den Pendeln sind MG1 = - L m g sin(x 1 ) | - m g L x1 MG2 = - L m g sin(x 2 ) | - m g L x2 MG3 = - L m g sin(x 3 ) | - m g L x3 Beachten wir, dass für eine Punktmasse m an einem Faden der Länge L das Trägheitsmoment durch J = m L2 ist, dann erhalten wir die linearisierten zugehörigen Bewegungsgleichungen aus M ges = 6 Mi:

Seite 409

Differentialgleichungen

2

m˜L ˜

2

d

dt 2

m˜L ˜

2



2

d

dt

m˜L ˜

2 x ( t) = m ˜ g ˜ L ˜ x1 ( t)  k ˜ r ˜ x2 ( t)  x1 ( t) 2 1

2 2 x ( t) = m ˜ g ˜ L ˜ x2 ( t)  k ˜ r ˜ x2 ( t)  x1 ( t)  k ˜ r ˜ x3 ( t)  x2 ( t) 2 2



2

d

dt



2 x ( t) = m ˜ g ˜ L ˜ x3 ( t)  k ˜ r ˜ x3 ( t)  x2 ( t) 2 3







homogenes lineares Differentialgleichungssystem 2.Ordnung mit konstanten Koeffizienten



Durch Umformung erhalten wir das System in folgender Form: 2 § g k ˜ r2 · k˜r ¨ x ( t)   ˜ x1 ( t)  ˜ x2 ( t) = 0 2 1 ¨ L m ˜ L2 2 dt m˜L © ¹ 2

d

2

2

d

dt

2

k˜r

x2 ( t) 

2

˜ x1 ( t) 

m˜L

2 § g 2 ˜ k ˜ r2 · k˜r ¨  ˜ x2 ( t)  ˜ x3 ( t) = 0 ¨L 2 2 m˜L ¹ m˜L ©

2

§ g k ˜ r2 · x ( t)  ˜ x2 ( t)  ¨  ˜ x3 ( t) = 0 2 3 2 ¨ L m ˜ L2 dt m˜L © ¹ 2

k˜r

d

Mit den Kreisfrequenzen Z0 =

g L

2

und

Zk =

k˜r

2

m˜L

lässt sich schließlich das Differentialgleichungssystem in folgender Form als Matrixgleichung schreiben: 2 2 § 2 · 0 Z k § x1'' ( t) · ¨ Z 0  Z k § x1 ( t) · ¨ ¨ ¸ ˜ ¨ x ( t) 2 2 2 ¨ x2'' ( t) ¸  ¨ Z k2 Z k Z0  2 ˜ Zk ¸ ¨ 2 ¸ ¨ x ( t) ¨ x ( t) 2 2 2 © 3'' ¹ ¨ © 3 ¹   Z 0 Z Z k 0 k © ¹

bzw. . 2

d

dt

2

x ( t)  A ˜ x ( t) = 0

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

g  9.81

Erdbeschleunigung

L 1

Länge eines Pendels

m 1

Masse eines Pendels

k 1

Kopplungsfaktor zwischen 2 Pendeln

r

1 2

Abstand

Seite 410

Differentialgleichungen

Zp 

g L

2

Zp

3.132

k˜r

Zk 

Zk

2

Frequenzen

0.5

m˜L

2 § Z p 2  Z k2 · 0 Z k ¨ ¨ ¸ 2 2 2 2 A Z k Zp  2 ˜ Zk ¨ Z k ¸ ¨ 2 2 2 Z k 0 Zp  Zk ¹ ©

Koeffizientenmatrix

Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren: j˜Z 0˜t

Durch einen komplexen Lösungsansatz der Form x ( t) = xa ˜ e lineares Gleichungssystem:

erhält man ein komplexes

§ x ˜ j2 ˜ Z 2 ˜ ej˜Z 0˜t · § x ˜ ej˜Z 0˜t · ¨ a1 0 ¨ a1 §0 ¨ ¨ ¸ ¸ ¨ · j ˜ Z ˜ t j ˜ Z ˜ t ¨ xa2 ˜ j2 ˜ Z 02 ˜ e 0 ¸  A ˜ ¨ xa2 ˜ e 0 ¸ = ¨ 0 ¸ ¨ ¨ ¸ ¸ ¨© 0 ¹ ¨ x ˜ j2 ˜ Z 2 ˜ ej˜Z 0˜t ¨ x ˜ ej˜Z 0˜t 0 © a3 ¹ © a3 ¹ Durch Kürzen vereinfacht sich dieses System zu:

§ Z 02 · ¨ §¨ 1 · §¨ 0 · ¨ 2¸  A˜ 1 = 0 ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ Z 0 ¸ ¨1 ¨ ¨ © ¹ ©0 ¹ 2  Z © 0 ¹ 2

Für eine nicht triviale Lösung, muss die Determinante von A  Z 0 ˜ E verschwinden: 2

A  Z0 ˜ E = 0 O  eigenwerte ( A)

o Z0  O

Z0 2 muss somit Eigenwert von A sein

§¨ 9.81 · ¨ 10.06 ¸ ¨ 10.56 © ¹

O

Z0

§¨ 3.132 · ¨ 3.172 ¸ ¨ 3.25 © ¹

T

§¨ 2.006 · ¨ 1.981 ¸ ¨ 1.934 © ¹

2˜ S Z0

Eigenfrequenzen des Systems gekoppelter Oszillatoren. Bereichsvariable

k  1  3 Tk 

normierte Eigenwerte der Matrix A

k

Vektor der Periodendauern (für die einzelnen Eigenmoden)

Seite 411

Differentialgleichungen

Bestimmung der normierten Eigenvektoren zu den Eigenwerten: 0 · §¨ 10.06 0.25 A ¨ 0.25 10.31 0.25 ¸ ¨ 0 0.25 10.06 © ¹

A ist eine symmetrische Matrix

¢k² U  eigenvek A  O k

§¨ 0.577 0.707 0.408 · U ¨ 0.577 0 0.816 ¸ ¨ 0.577 0.707 0.408 © ¹





Matrix der Eigenvektoren

Die Eigenvektoren müssen folgenden Gleichungen genügen:

¢1² ¢1² A ˜ U  O1 ˜ U

1

U

§¨ 0 · ¨0 ¸ ¨0 © ¹

§¨ 0.577 0.577 0.577 · 0 0.707 ¸ ¨ 0.707 ¨ 0.408 0.816 0.408 © ¹

§¨ 1 0 0 · U ˜ U ¨0 1 0 ¸ ¨0 0 1 © ¹ T

¢2² ¢2² A ˜ U  O2 ˜ U

T

U

§¨ 0 · ¨0 ¸ ¨0 © ¹

§¨ 0.577 0.577 0.577 · 0 0.707 ¸ ¨ 0.707 ¨ 0.408 0.816 0.408 © ¹

¢3² ¢3² A ˜ U  O3 ˜ U

§¨ 0 · ¨0 ¸ ¨0 © ¹

die Matrix U der Eigenvektoren ist unitär (orthogonal)

Für eine reelle unitäre Matrix gilt die Gleichung: UT U = E

Die symmetrische Matrix A kann mit einer unitären Matrix U auf Diagonalform gebracht werden (Siehe Band 1 Kapitel 3 Matrizenrechnung):

/  diag ( O )

1

U˜ / ˜ U

/

0 · §¨ 9.81 0 0 ¸ ¨ 0 10.06 ¨ 0 0 10.56 ¹ ©

0 · §¨ 10.06 0.25 ¨ 0.25 10.31 0.25 ¸ ¨ 0 0.25 10.06 © ¹

die aus den Eigenwerten gebildete Diagonalmatrix

Spektralzerlegung (U / U-1 = A)

0 · §¨ 9.81 0 U ˜ A˜ U ¨ 0 10.06 0 ¸ ¨ 0 0 10.56 ¹ © T

Diagonalform (UT A U = /)

Transformation der Bewegungsgleichung auf Normalkoordinaten: 2

d

dt

2

x ( t)  A ˜ x ( t) = 0

x ( t) = U ˜ K ( t)

ursprüngliche Bewegungsgleichung

der Vektor x wird durch Normalkoordinaten K in der Bewegungsgleichung ersetzt

Seite 412

Differentialgleichungen

2

d

dt

2

2

d

dt

2

Die Bewegungsgleichung kann dann mit UT von links multipliziert werden.

( U ˜ K ( t) )  A ˜ U ˜ K ( t) = 0

2

T

( E ˜ K ( t) )  U ˜ A ˜ U ˜ K ( t) =

d

dt

2

2

( E ˜ K ( t) )  / ˜ K ( t) =

d

dt

2

K ( t)  / ˜ K ( t) = 0

Zu lösen ist dann Bewegungsgleichung für Normalkoordinaten: Wegen der Diagonalform von UT A U = / = diag(O) handelt es sich um ein entkoppeltes Differentialgleichungssystem in den

2

d

dt

2

K ( t)  / ˜ K ( t) = 0

Normalkoordinanten K(t) =(K1(t),K2(t),K3(t))T.

Zur Bestimmung der Eigenmoden wird jeweils nur eine Normalkoordinate von null verschieden angenommen. Dadurch erhält man dann eine rein harmonische Bewegung mit der Wurzel des zugehörigen Eigenwertes als Kreisfrequenz. Eigenmode 1:

§¨ 1 · C1  ¨ 0 ¸ ¨0 © ¹

§¨ 1 · C2  ¨ 0 ¸ ¨0 © ¹

gewählte Anfangsbedingungen

Die Lösung der Bewegungsgleichung in Normalkoordinaten kann mithilfe des Vektorisierungsoperators berechnet werden: o  o allgemeine Lösung mit den Integrationskonstanten C1 und C2 K ( t)  C1 ˜ cos Z0 ˜ t  C2 ˜ sin Z0 ˜ t







Rücktransformation auf Lagekoordinaten der einzelnen Pendel (Oszillatoren). Jedes Pendel führt eine Bewegung aus, die sich aus der Überlagerung von Eigenmoden zusammensetzt.

x ( t)  U ˜ K ( t)

t  0

T1 20



 T1

Bereichsvariable Eigenmode 1

1 x( t) 1 x( t) 2 0

x( t) 3

0.2

0.4

0.6

1 t T1

Alle Pendel schwingen in Phase mit gleicher Amplitude.

Seite 413

0.8

Abb.7.107

Differentialgleichungen

Eigenmode 2:

§¨ 0 · C1  ¨ 1 ¸ ¨0 © ¹

§¨ 0 · C2  ¨ 1 ¸ ¨0 © ¹

gewählte Anfangsbedingungen

o  o K ( t)  C1 ˜ cos Z0 ˜ t  C2 ˜ sin Z0 ˜ t

allgemeine Lösung mit den Integrationskonstanten C1 und C2

x ( t)  U ˜ K ( t)

Rücktransformation auf Lagekoordinaten der einzelnen Pendel (Oszillatoren)



t  0

T2 20







 T2

Bereichsvariable Eigenmode 2

1 x( t) 1 x( t) 2 0

x( t) 3

0.2

0.4

0.6

0.8

Abb.7.108

1 t T2

Pendel 1 und 3 schwingen gegenphasig und das mittlere Pendel ist in Ruhe. Eigenmode 3:

§¨ 0 · C1  ¨ 0 ¸ ¨1 © ¹

§¨ 0 · C2  ¨ 0 ¸ ¨1 © ¹

gewählte Anfangsbedingungen

o  o K ( t)  C1 ˜ cos Z0 ˜ t  C2 ˜ sin Z0 ˜ t

allgemeine Lösung mit den Integrationskonstanten C1 und C2

x ( t)  U ˜ K ( t)

Rücktransformation auf Lagekoordinaten der einzelnen Pendel (Oszillatoren)



t  0

T3 20

 T3







Bereichsvariable

Seite 414

Differentialgleichungen

Eigenmode 3

2 x ( t) 1

1

x ( t) 2 0

x ( t) 3

0.2

0.4

0.6

0.8

Abb.7.109

1 2 t T3

Pendel 1 und 3 schwingen gleichphasig und das mittleres Pendel schwingt gegenphasig mit doppelter Amplitude. Lösung der Bewegungsgleichung mit bestimmten Anfangsbedingungen: x01 

x02 

x03 

0

2

v01 

0

v02 

v03 

1 § x01 · ¨ x0  ¨ x02 ¸ ¨x © 03 ¹

0

x0

§ v01 · ¨ v0  ¨ v02 ¸ ¨v © 03 ¹

§¨ 0 · ¨2 ¸ ¨0 © ¹

1

v0

§¨ 1 · ¨0 ¸ ¨1 © ¹

gewählte Anfangsorte und Anfangsgeschwindigkeiten

Einsetzen der Anfangsbedingungen: T

C1  U ˜ x0

Integrationskonstanten C1 und C2

T

C2  U ˜ v0 o  o K ( t)  C1 ˜ cos Z0 ˜ t  C2 ˜ sin Z0 ˜ t

allgemeine Lösung in Normalkoordinaten mit Integrationskonstanten C1 und C2 .

x ( t)  U ˜ K ( t)

Rücktransformation auf Lagekoordinaten der einzelnen Pendel (Oszillatoren). Jedes Pendel führt eine Bewegung aus, die sich aus der Überlagerung von Eigenmoden zusammensetzt.









o o   o o K' ( t)  C1 ˜ Z0 ˜ sin Z0 ˜ t  C2 ˜ Z0 ˜ cos Z0 ˜ t











Seite 415

Ableitung der allgemeinen Lösung in Normalkoordinaten mit Integrationskonstanten C1 und C2 .

Differentialgleichungen

Geschwindigkeitsvektor

v ( t)  U ˜ K' ( t)

t  0

T1 100

Bereichsvariable

 20 ˜ T1

Eigenmoden der drei Pendeln

10

5 5 x ( t) 1  5 x ( t) 2 0

x ( t) 3  5

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Abb.7.110

5 5

10 t

Geschwindigkeitsmoden der drei Pendeln

20

10 10 v( t) 1  10 v( t) 2 0

v( t) 3  10

5

10

15

20

25

30

35

40

45  10

10

20 t

Seite 416

Abb.7.111

Differenzengleichungen

8. Differenzengleichungen 8.1 Allgemeines Für die Umsetzung einer Differentialgleichung in eine Differenzengleichung sollen hier noch einige Zusammenhänge beschrieben werden. Die Kenngrößen der Differentialgleichung sind in vielen Fällen zeitabhängig. Daher werden auch oft die diskreten Zeitpunkte durch t 0 , t 1 , t 2 , t 3 , ... und die diskreten Folgen durch y(t) oder yt beschrieben. Ein Differentialquotient dy/dt wird durch den Differenzenquotienten 'y/'t ersetzt. Unter der Annahme, dass t nur ganzzahlige Werte annimmt (d.h. 't = 1), wird aus diesem Differenzenquotienten die erste Differenz 'y. Diese Differenz hängt davon ab, zwischen welchen Zeitpunkten diese Differenz gebildet wird. Wir schreiben: 'yt = yt+1 - yt

(8-1)

Die zweite Differenz wird dann wie folgt gebildet: '2 yt = '('yt) = 'yt+1 - 'yt = (yt+2 - yt+1) - (yt+1 - yt) = yt+2 - 2 yt+1 + yt

(8-2)

Die k-te Ableitung d k y/dtk wird durch die Differenz der Ordnung k ersetzt: 'k yt = '('k-1 yt) = 'k-1 yt+1 - 'k-1 yt

(8-3)

Für Differenzen gelten ähnliche Regeln wie für Differentialquotienten: '(k yt) =k 'yt

konstanter Faktor k

(8-4)

'(y1t + y2t) = 'y1t + 'y2t

Summenregel

(8-5)

'(y1t . y2t) = y2 t 'y1t + y1t 'y2t

Produktregel

(8-6)

'(y1t/y2t) = (y2t 'y1t - y1t 'y2t) / (y1t y1t+1)

Quotientenregel

(8-7)

Nur für lineare zeitinvariante Differentialgleichungen und Differenzengleichungen gibt es eine allgemeine Lösungstheorie, für nichtlineare im Allgemeinen nicht! Für die Berechnung einer geschlossenen Lösung einer linearen zeitinvarianten Differenzengleichung wird meist ein Verfahren angewandt, bei dem analog zu Differentialgleichungen vorgegangen wird. Die Lösung ergibt sich aus zwei Anteilen, der sogenannten homogenen und partikulären Lösung. Die partikuläre Lösung muss unter Berücksichtigung des vorliegenden Eingangssignales x(n) (oder x(t)) bestimmt werden, was nur für eine eingeschränkte Klasse von Eingangssignalen einfach möglich ist. Im Abschnitt 6.4.1 wurde bereits gezeigt, wie mithilfe der z-Transformation Differenzengleichungen gelöst werden können. Eine weitere Methode, mit der auch nichtlineare Differenzengleichungen gelöst werden können, ist die rekursive Berechnung der Folgeglieder . Sehr effizient ist die Rechnerunterstützte rekursive numerische Berechnung der Folgeglieder z.B. mithilfe von Mathcad.

Seite 417

Differenzengleichungen

8.2. Lineare Differenzengleichungen Eine inhomogene lineare Differenzengleichung k-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten hat folgende Form: yn  a1 ˜ yn1  a2 ˜ yn 2  ..  ak ˜ yn k = b0 ˜ xn  b1 ˜ xn1  .. bk ˜ xn k

(8-8)

y ( n)  a1 ˜ y( n  1)  ....  ak ˜ y ( n  k ) = b0 ˜ x ( n)  b1 ˜ x ( n  1)  ....  bk ˜ x ( n  k )

(8-9)

yt  a1 ˜ yt 1  a2 ˜ yt2  ..  ak ˜ ytk = b0 ˜ xt  b1 ˜ xt1  .. bk ˜ xt k

(8-10)

bzw. oder

Die Koeffizienten a1  a2  ..  ak  b0  b1  ..  bk . Sind alle bk = 0, so ist die Gleichung homogen. Die Indizes können beliebig verschoben werden, d.h. es kann jede ganze Zahl dazugezählt werden. Die gesuchte Lösung für die Lösungsfolge y n = y(n) bzw. y t = y(t) (mit n = 0, 1, 2, ... bzw. t = 0, 1, 2, ...) ergibt sich als Summe aus der allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung und einer speziellen Lösung der inhomogenen Gleichung. Es seien hier nachfolgend vier wichtige Sonderfälle von Differenzengleichungen besonders erwähnt. Homogene lineare Differenzengleichung 1. Ordnung:

yt+1 + a yt = 0 mit a 

(8-11)

Allgemeine Lösung: Ansatz: yt = c1 Dt (c 1 , D z 0). In die Differenzengleichung eingesetzt: yt+1 + a yt = c1 D t+1 + a c1 D t = 0. Die Division durch c1 D t ergibt D + a = 0 und damit D = - a. Die Lösungsfolge lautet damit: yt = c1 ( - a)

t

(8-12)

Inhomogene lineare Differenzengleichung 1. Ordnung:

yt+1 + a yt = b mit a,b 

(8-13)

Die allgemeine Lösung setzt sich aus der Lösung der homogenen Gleichung und einer partikulären Lösung der inhomogenen Gleichung zusammen: yt = yht + ypt. Die partikuläre Lösung: ypt = c2 . In die Differenzengleichung eingesetzt: ypt+1 + a ypt = c2 + a c 2 = b. Daraus folgt: c2 = b/(1+a), falls a z -1. Damit ist ypt = c2 = b/(1+a). Für a = -1 machen wir den Ansatz: ypt = c2 t. In die Differenzengleichung eingesetzt: c2 (t+1) + (-1) c2 t = b. Daraus folgt: c2 = b/((t+1) - t) = b. Damit ist ypt = c2 = b t.

Seite 418

Differenzengleichungen

Die Lösungsfolge lautet damit: yt = c1 (-a) t + b/(1+a) für a z -1 yt = c1 (-a)

t+

(8-14)

b t für a = -1

(8-15)

Homogene lineare Differenzengleichung 2. Ordnung:

yt+2+ a1 yt+1 + a2 yt = 0 mit a 1,a2 

(8-16)

Allgemeine Lösung: Ansatz: yt = c1 D t (c 1 , D z 0). In die Differenzengleichung eingesetzt: c1 D t+2 + a1 c1 D t+1 + a2 c1 D t = 0. Durch Division von c1 D t ergibt sich die charakteristische Gleichung D2 + a1 D + a2 = 0 mit den Lösungen

D1 = 

a1 2

2



a1 4

a1

 a2 , D 2 =   2

2

a1 4

2

 a2

, D=

a1

4

 a2

(8-17)

Es sind drei Fälle zu unterscheiden: Fall 1: D = 0, D1 =D 2 = D (doppelte reelle Nullstelle) Die allgemeine Lösungsfolge lautet damit: yt = c1 D t + c2 t D t

(8-18)

Fall 2: D > 0, D1 zD 2 (zwei reelle Lösungen) Die allgemeine Lösungsfolge lautet damit: yt = c1 D1 t + c2 D2 t

(8-19)

Fall 3: D < 0, D1 zD2 (zwei konjugiert komplexe Lösungen) Mit D1 = a + b j , D2 = a - b j , a = - a1 /2 , b = (- D)1/2, D1 = r (cos(M) + j sin(M), D2 = r (cos(M) - j sin(M), r = | D | = (a2 +b2 )1/2 = (a1 2 /4 + a2 - a1 2 /4)1/2= a2 1/2, cos(M) = a/r = - a1 /(2a2 1/2), sin(M) = b/r = ( 1 - a 1 2 /(4a2 ))1/2 erhält man die allgemeine Lösungsfolge yt = A1 ( a + b j) t + A2 (a - b j) t = A1 ( r (cos(M) + j sin(M) ) t + A2 r (cos(M) - j sin(M) t . Mit der Formel von de Moivre vereinfacht sich der letzte Ausdruck zu: yt = r t ( (A1 +A2 ) cos(M t) + (A1 - A2 ) j sin(M t) ). Setzt man c1 = A1 + A2 , c2 = (A 1 - A2 ) j und tan(M) = b/a, dann vereinfacht sich die Lösungsfolge. Die allgemeine Lösungsfolge lautet damit: yt = r t ( c1 cos(Mt) + c2 sin(Mt) )

(8-20)

Inhomogene lineare Differenzengleichung 2. Ordnung:

yt+2+ a1 yt+1 + a2 yt = b mit a1,a2,b 

(8-21)

Die allgemeine Lösung setzt sich aus der Lösung der homogenen Gleichung und einer partikulären Lösung der inhomogenen Gleichung zusammen: yt = yht + ypt.

Seite 419

Differenzengleichungen

Die partikuläre Lösung: ypt = c. In die Differenzengleichung eingesetzt: c + a1 c + a2 c = b. Daraus folgt: c = b/(1+a 1 +a2 ), falls a1 +a2 z -1. Damit ist ypt = b/(1+a1 +a2 ). Für a1 +a2 = -1 machen wir den Ansatz: ypt = c t. In die Differenzengleichung eingesetzt: c (t+2) + a1 c (t+1) + a2 c t = b. Daraus folgt: c = b/(a1 +2). Damit ist ypt =b/(a1 +2) t, falls a1 +a2 = -1 und a1 z- 2 ( für a1 = - 2 und a2 = 1 gibt es keine Lösung!). Die allgemeine Lösungsfolge lautet damit: yt = yht + ypt = r t ( c1 cos(M t) + c2 sin(M t) ) + b/(1+a1 +a2 ) falls a1 +a2 z -1

(8-22)

yt = yht + ypt = r t ( c1 cos(M t) + c2 sin(M t) ) + b/(a1 +2) t falls a1 +a2 = -1 und a1 z - 2

(8-23)

Die unbekannten Konstanten erhält man für die oben angeführten Differenzengleichungen aus den Anfangsbedingungen. Nachfolgend soll das Systemverhalten von einigen Systemen simuliert werden. Beispiel 8.1: Gegeben ist eine Differenzengleichung 1. Ordnung der Form yt+1 + a yt = b (a, b ) mit dem Anfangswert y0 . Berechnen Sie die Lösungsfolge für a) a = 0.8, b = 5, y0 = 4 und t = 0,1, ... , 10 ; b) a = 1.5, b = 5, y0 = 3 und t = 0,1, ... , 20 ; c) a = 1, b = 4, y0 = 3.1 und t = 0,1, ... , 20 ; d) a = 1/2, b = 2, y0 = 1/2 und t = 0,1, ... , 10 . ORIGIN a)

ORIGIN festlegen

0

a  0.8

b 5

gegebene Werte

y0  4

t  0  10

Bereichsvariable

yt1  a ˜ yt  b

rekursive Berechnung der Folgeglieder

T

y

0 0

1 4

2 1.8

3

3.56

2.152

4 3.278

5

6

2.377

3.098

7 2.521

8 2.983

9 2.614

10 2.909

Die allgemeine Lösung lautet: yt = c1 (-a) t + b/(1+a) für a z -1. t t

Redefinition

b 0 c 1  c 1 ˜ ( a)  = y0 1 a

b t yt = c 1 ˜ ( a)  1 a

auflösen  c 1 o 1.222 gleit  4

Bestimmung der Konstanten c 1 aus der Anfangsbedingung

vereinfachen t o yt = 1.222 ˜ ( 1.) ˜ exp ( .2231 ˜ t)  2.778 gleit  4

Seite 420

Differenzengleichungen

t  0  10

tG 

t

Berechnung der Folgeglieder mit der Lösungsformel

yt  1.222 ˜ ( 1.) ˜ exp ( .2231 ˜ t)  2.778 T

0

y

1 4

0

b

Bereichsvariable

2 1.8

3

3.56

1a

4

2.152

5

3.279

2.377

tG

Fixpunkt

2.778

6

7

3.098

8

2.522

2.983

9

10

2.614

2.909

5 4 yt

Die Folgeglieder oszillieren um den Fixpunkt tG.

tG

3 2 1

Abb. 8.1 0

2

4

6

8

10

t

Wenn wir für die lineare Differenzengleichung 1. Ordnung y t+1 = - a yt + b die Gerade y = - a x + b und die Hilfsgerade y = x zeichnen, so kann mit einem sogenannten Web-Plot ( Spinnengewebe (Cobweb)) das Langzeitverhalten der Folgeglieder grafisch dargestellt werden. Dieser Web-Plot entsteht dadurch, wenn wir zuerst für x = y 0 den y 1 -Wert auf der Geraden y = - a x + b ablesen. Die Hilfsgerade dient dazu, den Wert y 1 wieder auf die x-Achse zu spiegeln, sodass erneut das nächste Folgeglied y 2 auf der Geraden y = - a x + b abgelesen werden kann. Fahren wir in dieser Weise fort, so erhalten wir einen Web-Plot. Zieht sich die so entstehende Punktfolge auf den Schnittpunkt der beiden Geraden zusammen, so konvergieren die Folgeglieder gegen die Schnittstelle. Die Schnittstelle ist Lösung der Gleichung - a x + b = x. Daraus ergibt sich der Wert b/(1 - a). Eine solche Zahl heißt stabiler Fixpunkt (Gleichgewichtspunkt) der Differenzengleichung, wenn dieser Wert Grenzwert der Folge < y t > ist.. x  0  5

y ( x)  a ˜ x  b

y1 ( x)  x

Bereichsvariable und Hilfsfunktionen

Die Konvergenz zeigt dieser Web-Plot

6

tG

y0

Die Folgeglieder ziehen sich oszillierend auf die Schnittstelle tG zusammen.

y( x) y1( x)

4

y t 1 y t 1

tG

2

2.778

Abb. 8.2 0

1

2

3 x  x  yt  yt

Seite 421

4

5

Differenzengleichungen

b)

a  1.5

b 5

gegebene Werte

y0  3

t  0  20

Bereichsvariable

yt1  a ˜ yt  b

Rekursive Berechnung der Folgeglieder

T

y

0

1

0

3

2 0.5

3 4.25

4

-1.375

5 7.063

6

-5.594

13.391

Die allgemeine Lösung lautet: yt = c1 (-a) t + b/(1+a) für a z -1. t t

Redefinitionen

c1  c1

b 0 c 1  c 1 ˜ ( a)  = y0 1 a

auflösen  c 1 o 1. gleit  4

Bestimmung der Konstanten c 1 aus der Anfangsbedingung

vereinfachen t o yt = ( 1.) ˜ exp ( .4055 ˜ t )  2. gleit  4

b t yt = c 1 ˜ ( a)  1 a

Bereichsvariable

t  0  20 t

Berechnung der Folgeglieder mit der Lösungsformel

yt  ( 1.) ˜ exp ( .4055 ˜ t )  2. T

y

0 0

1 3

2 0.5

3 4.25

4

-1.375

5 7.063

-5.595

6 13.393

4000 2000

Abb. 8.3

yt

0

5

10

15

20

2000 4000 t

x  0  10 tG 

b 1a

t  1  5

y ( x)  a ˜ x  b tG

2

y1 ( x)  x

Bereichsvariable und Hilfsfunktionen Fixpunkt

Bereichsvariable

Seite 422

Differenzengleichungen

Web-Plot

15

tG

Die Folgeglieder konvergieren nicht zum Schnittpunkt. Die Folge ist divergent.

y0

10 y( x) y1( x)

5

y t 1

tG

y t 1

6

4

2

0

2

4

6

8

2

10

5

Abb. 8.4 10 x  x  yt  yt

c)

a 1

b 4

gegebene Werte

y0  3.1

t  0  20

Bereichsvariable

yt1  a ˜ yt  b

Rekursive Berechnung der Folgeglieder

T

y

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

3.1

0.9

3.1

0.9

3.1

0.9

3.1

0.9

3.1

0.9

10 3.1

Die allgemeine Lösung lautet: yt = c1 (-a) t + b/(1+a) für a z -1. t t

Redefinitionen

c1  c1

auflösen  c 1 o 1.100 gleit  4

b 0 c 1  c 1 ˜ ( a)  = y0 1 a

Bereichsvariable

t  0  20 t

Berechnung der Lösungsfolge mit der Lösungsformel

yt  1.100 ˜ ( 1.)  2. T 0

Anfangsbedingung

vereinfachen t o yt = 1.100 ˜ ( 1.)  2. gleit  4

b t yt = c 1 ˜ ( a)  1 a

y

Bestimmung der Konstanten c 1 aus der

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

3.1

0.9

3.1

0.9

3.1

0.9

3.1

0.9

3.1

0.9

Seite 423

10 3.1

Differenzengleichungen

4 3 yt

2

Abb. 8.5

1 0

5

10

15

20

t

x  0  10 tG 

y ( x)  a ˜ x  b

b

tG

1a

Bereichsvariable und Hilfsfunktionen

y1 ( x)  x

Fixpunkt

2

Bereichsvariable

t  0  5

Web-Plot

10 tG

y0

Der Wep-Plot ist ein sich periodisch wiederholendes Rechteck.

5

y( x) y1( x) y t 1

0

2

4

6

8

10

tG

2

y t 1 5

Abb. 8.6 10 x  x  yt  yt

d)

a

1

b 2

2

y0 

1

gegebene Werte

2

t  0  10

Bereichsvariable

yt1  a ˜ yt  b

Rekursive Berechnung der Folgeglieder

T

y

0 0

1 0.5

1.75

2 1.125

3 1.438

4

5

1.281

1.359

6

7

8

1.32

1.34

1.33

Die allgemeine Lösung lautet: yt = c1 (-a) t + b/(1+a) für a z -1. t t

c1  c1

Redefinitionen

Seite 424

9 1.335

10 1.333

Differenzengleichungen

0

c 1  c 1 ˜ ( a) 

b 1 a

auflösen  c 1 o .8333 gleit  4

= y0

Bestimmung der Konstanten c 1 aus der Anfangsbedingung

vereinfachen 1. t o yt = .8333 ˜ ( 1.) ˜ exp ( .6931 ˜ t)  1.333 gleit  4

b t yt = c 1 ˜ ( a)  1 a

Bereichsvariable

t  0  10

tG 

b

tG

1a

yt  .8333 ˜ ( 1.) T

0

y

Fixpunkt

˜ exp ( .6931 ˜ t)  1.333

Berechnung der Lösungsfolge mit der Lösungsformel

1 0.5

0

( 1. t)

1.333

2

1.75

1.125

3

4

1.437

5

1.281

6

7

8

1.32

1.34

1.33

1.359

9 1.335

10 1.332

2 1.5 yt

tG

1

Abb. 8.7

0.5

0

2

4

6

8

10

t

x  0  3

y ( x)  a ˜ x  b

Bereichsvariable und Hilfsfunktionen

y1 ( x)  x

Bereichsvariable

t  0  5

Web-Plot

3 y0

y( x) y1( x)

Die Lösungsfolge konvergiert gegen den Schnittpunkt.

tG

2

yt yt

tG

1.333

1

0

0.5

1

1.5

2

x  x  yt 1  yt 1

Seite 425

2.5

3

Abb. 8.8

Differenzengleichungen

Beispiel 8.2: Wir betrachten ein dynamisches Marktmodell mit Preiserwartungen. Zuerst legen wir folgende Größen fest: p ... Preis pE ... Gleichgewichtspreis (equilibrium price) xE ... Gleichgewichtsmenge (equilibrium quantity) Modelgleichungen: xD = a ˜ p  b t t

Nachfragefunktion (demandfunction)

xS = c ˜ E § p ·  d t t

Produktionsfunktion (supply function)

xD = xS t t

Gleichgewichtszustand (equilibrium condition)

© .¹

Die indizierte Variable t wird hier nach der Eingabe von t mit einem nachfolgenden Punkt noch etwas tiefer gestellt! Wir betrachten den Markt-Gleichgewichtszustand xD = xS unter der statischen t t Preiserwartungshypothese: E § p

· = pt  1 . © t¹

ORIGIN

ORIGIN festlegen

0

c  0.4

d 0

Vorgaben

a  0.5

b  1.5

p0  0.4

Preis in der Periode 0 bevor die Produktion anläuft

pmax  4

maximaler Preis

Tmax  30

Anzahl der simulierten Perioden

t  1  Tmax

Bereichsvariable für die Perioden

xD = a ˜ p  b t t

Nachfragefunktion (demandfunction)

xS = c ˜ p d t 1 t

Produktionsfunktion (supply function)

Gleichgewichtspunkt: a˜ x b = c˜ x d

hat als Lösung(en)

bd

pE 

pE

ca

1.667



xS ( p)  c ˜ p  d

xE  xS pE

( b  d) ( a  c) Gleichgewichtspreis xE

0.667

Aus dem Gleichgewichtszustand ergibt sich: a˜ p  b = c˜ p t

t 1

d

bzw.

Seite 426

Gleichgewichtsmenge

Differenzengleichungen

a˜ p  c˜ p t

t 1

lineare Differenzengleichung 1. Ordnung

=d b

Die Lösung der Differenzengleichung lautet: t

§c·  p p   p0  pE ˜ ¨ E t © a¹

Preisfunktionenfolge

Der Preis konvergiert gegen seine Gleichgewichtsvariablen, wenn | c/a| < 1 ist. xS  c ˜ p d t 1 t

Die Produktion in der Periode t ist eine Funktion des Preises in t-1.

xD  a ˜ p  b t t

Die Nachfrage in der Periode t ist eine Funktion des Preises in t

for t  1  Tmax

tstop 

Ausscheiden von negativen Werten.

break if xS  0 › p  0 › xD  0 t t t

tstop

30

Periodenende

t

stab 

c a

1

stab

1

Stabilitätskriterium

 wenn  max  xS ! xE  max  xS ˜ 1.2  xE ˜ 1.2

max 1  wenn max ( p) ! pE  max ( p) ˜ 1.2  pE ˜ 1.2

Erweiterung der Preisachse

max 2 

Erweiterung der Produktionsachse

Hinweis 

"Der Preis konvergiert nicht !"

if stab = 0

"Der Preis konvergiert nicht ! Das System kollabiert vor der Periode Tmax." "Die Stabilität ist gewährleistet!" t  1  tstop

if t stop  Tmax

otherwise

Zeitperioden Preis

Produktion

3 1

Preis

Produktion

pE

2

xE

0.5

1

0

10

20

30

0

Periode t

20 Periode t

Abb. 8.9 Hinweis

10

Abb. 8.10

"Die Stabilität ist gewährleistet!"

Seite 427

30

Differenzengleichungen

v  1  3  2 ˜ t stop  1 ppw  p

w  0  2  2 ˜ t stop

ppv  p

w 2

T

2 0

p

0

1 0.4

T 0

T

0

xx

0

pp  0 

0.856

1

2

2.68

2.68

1

2

0.16

0.16

0

pmax 300

3

2.68

0.4

2.315

5

1.148

3

6

2.082

4

0.856

3

2.315

4

5

1.072

7

1.335

5

0.856

1.072

Vektoren

2

4

0.342

8

1.932

6

7

2.315

1.148

6

7

0.342

0.926

9

1.454

10

1.837

8 1.148

8 0.926

9 2.082

9 0.459

1.531 10 2.082

10 0.459

Bereichsvariable

 pmax

D ( pp )  a ˜ pp  b

xx v  xD v 1

2 2

0

pp

xx w  xS w

v 1

Bereichsvariablen

k  0  t stop ˜ 2

S ( pp )  c ˜ pp  d

Hilfsfunktionen für Nachfrage und Produktion

Um zu sehen, in welcher Periode man ist, setzt man eine Zeitmarke W= 1: W 1

Zeitmarke

Web-Plot

4

xE pp k

3

Preis

pp pp

2

pE

Nachfrage und Produktionszyklen. Spinnennetz von Preis und Produktion.

1.5

Abb. 8.11

pW 1

0

0.5

1

xxk  D( pp)  S( pp)  x S Menge

W

Zeitpfad Nachfrage Produktion Zeitmarke

Seite 428

Differenzengleichungen

Beispiel 8.3: Ein RL-Serienkreis soll bei anliegender Gleich- bzw. Wechselspannung eingeschalten werden. Die zugehörige Differentialgleichung soll in eine Differenzengleichung umgeformt und durch Rekursion gelöst werden. gegebene Daten: ms  10

3

˜s

Einheitendefinition

U0  220 ˜ V

konstante Spannung

u ( t) =

Wechselspannung

2 ˜ U0 ˜ ( sin ( Z ˜ t) )

f  50 ˜ Hz

Frequenz

Z  2˜ S ˜ f

Kreisfrequenz

Abb. 8.12 Induktivität

L  0.1 ˜ H L

W

L˜ di dt 'i 't

W

R di dt

L



'i =

1 W

˜i=

˜i=

Ohmscher Widerstand Zeitkonstante

5 ms

inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung

 R ˜ i = u ( t) R



R  20 ˜ :

u ( t)

di

L

dt



1 W

˜i=

u ( t) L

u ( t) L

§ u ( t)  1 ˜ i· ˜ 't ¨ W ¹ © L

umgeformte Differentialgleichung

Differentialquotient durch Differenzenquotienten ersetzen

umgeformte Gleichung

i n 1  i n =

§ u  tn 1 · ¨  ˜ in ˜ 't W © L ¹

Differenzengleichung für den gesuchten Strom

i n 1 = i n 

§ u  tn 1 · ¨  ˜ in ˜ 't W © L ¹

umgeformte Differenzengleichung

Rekursive Berechnung der Lösungen: i0  0 ˜ A

Anfangsbedingung

n  0  500

Bereichsvariable

't  0.5 ˜ ms

Zeitschritt (Abtastzeit 't = Ts )

tn  n ˜ 't

diskreter Zeitwertevektor

Seite 429

Differenzengleichungen

i n 1  i n 

§ U0 1 · ¨  ˜ in ˜ 't W © L ¹

I0  max ( i)

I0

Rekursive Berechnung maximaler Strom

11 A

15

I0

10

W

5˜W

ms

ms

A

in A

5

0

5

10

15

20

25

30

tn ms

Abb. 8.13 T un 

1

T

f

Periodendauer

20 ms

 

2 ˜ U0 ˜ sin Z ˜ tn

i n 1  i n 



angelegte diskrete Wechselspannung

§ un 1 · ¨  ˜ in ˜ 't © L W ¹

Rekursive Berechnung (angelegte Wechselspannung)

2˜U 0 400

V

T ms

in A

˜20

200

un

0

V

50

100

150

200

400 tn ms

Abb. 8.14

Seite 430

200

250

Differenzengleichungen

Beispiel 8.4: Beim nachfolgenden System (Tiefpassfilter) soll für digitale Eingangsspannungen u e die Systemantwort u a ermittelt werden: a) ue (t) = U0 V(t) = U0 )(t) ()(t) ... Einheitssprung - Heavisidefunktion) b) ue (t) = U0 ( )(t) - 2 )(t - 2 Tp ) + )(t - 5 Tp )) (Überlagerung verschieden T p langer Spannungsimpulse) c) ue (t) = 0.5 V G(t) (G(t) ... Einheitsimpuls - Delta Impuls) d) ue (t) = U0 sin( 10 t) )(t) und ue (t) = U0 sin( 30 t) )(t) (Sinusfunktionen) R  1 ˜ k:

Ohm'scher Widerstand

C  1 ˜ PF

Kapazität des Kondensators

W  R˜ C

W

U0  1 ˜ V

Spannungsamplitude

Zeitkonstante

1 ms

Abb. 8.15 Maschengleichung für die Schaltung: ue ( t)  ua ( t)  uR ( t) = ue ( t)  ua ( t)  i ( t ) ˜ R = 0 ue ( t)  ua ( t)  R ˜ C ˜ ue ( t)  ua ( t)  W ˜

d dt

d dt

mit

i ( t) =

d dt

q ( t) = C ˜

d dt

uc ( t) = C ˜

d dt

ua ( t)

Differentialgleichung 1. Ordnung

ua ( t) = 0

vereinfachte Differentialgleichung

ua ( t) = 0

Näherungsweises Ersetzen des Differentialquotienten durch Differenzenquotienten: ue ( t)  ua ( t)  W ˜



'ua ( t) 't



ue tn  ua tn  W ˜



=0

bzw.





ua tn1  ua tn 't

=0

Wobei die tn die diskreten und äquidistanten liegende Zeitpunkte sind, zu welchen der Vorgang betrachtet wird. In weiterer Folge werden die Abkürzungen u n = u(tn ) und Ts = 't = tn+1 - tn (Abtastzeitpunkt) verwendet: ua ue  ua  W ˜ n n ua

=

ua

=

n1

n1

1 W

n 1

 ua n

Ts

=0

nach ua aufgelöst n1

˜ § ue ˜ Ts  ua ˜ Ts  W ˜ ua · n n n

©

¹

Ts

W § · ˜ ¨ ue  ua  ˜ ua W n n Ts © n ¹

Differenzengleichung für den Tiefpassfilter

Seite 431

Differenzengleichungen

Eingangsspannungen: 1

Tp  1 ˜ s

1

Z 1  5 ˜ ms

eine zum Zeitpunkt t = 0 eingeschaltene konstante Spannung

ue1 ( t)  U0 ˜ ) ( t)





vorgegebene Werte

Z 2  15 ˜ ms











ein zum Zeitpunkt t = 0 eingeschaltener Spannungsimpuls (Tp bestimmt die Längen der beiden Impulse)

ue2 t  Tp  U0 ˜ ) ( t)  2 ˜ ) t  2 ˜ Tp  ) t  5 ˜ Tp G ( t) 

1 if t = 0 Delta-Impuls

0 otherwise

ein zum Zeitpunkt t = 0 eingeschaltener konstanter kurzer Spannungsimpuls

ue3 ( t )  0.5 ˜ V ˜ G ( t)

 ue5  t  Z 2 

 U0 ˜ sin  Z 2 ˜ t ˜ ) ( t)

ue4 t  Z 1  U0 ˜ sin Z 1 ˜ t ˜ ) ( t)

geschaltener Sinus

Mit der Wahl der Zeitkonstanten W des darzustellenden Zeitintervalls und der Zahl N der Rechenschritte (die Abtastzeit Ts sollte viel kleiner als die Zeitkonstante W sein) erhalten wir: 1 ms

W

Tp  1 ˜ ms

t1  10 ˜ ms

N  300

t1

Ts 

Ts

N

0.033 ms

n  0  N

Eingangsspannungen diskretisiert:



ue1  ue1 n ˜ Ts n T

ue1

0 0

1

1

2 1



3

4

1

1

2

3

5 1

6 1

7 1

8 1

9 1

10 1

1

V



ue2  ue2 n ˜ Ts  Tp n T

ue2

0 0

1 1



1

ue3  ue3 n ˜ Ts n T

ue3

0 0

1

4 1

5 1

6 1

7 1

8 1

9 1

1

V

1

0.5

2 0



3 0

4 0

5 0

6 0

7 0

8 0

9 0

0

V



ue4  ue4 n ˜ Ts  Z 1 n T

ue4

0 0

1 0



0.166

2 0.327

3 0.479

4 0.618

5 0.74

6 0.841

7 0.919

8 0.972

9 0.997

V



ue5  ue5 n ˜ Ts  Z 2 n T

ue5

0 0

1 0

0.479

2 0.841

3 0.997

4 0.909

Seite 432

5 0.598

6 0.141

7 -0.351

8 -0.757

9 -0.978

V

Differenzengleichungen

Anfangsbedingungen und Differenzengleichungen: ua1  0 ˜ V 0

ua1

n1

Ts

W § · ˜ ¨ ue1  ua1  ˜ ua1 W n n n Ts © ¹



T

0

ua1

1 0

0

0.033

T

0

0.066

1 1

0

3 0.097

4 0.127

5

6

0.156

7

0.184

8

0.211

0.238

9

V

0.263

Spannungsabfall an R

uR1  ue1  ua1 n n n uR1

2

2

0.967

3

0.934

0.903

W

·

4 0.873

5

6

0.844

7

0.816

8

0.789

0.762

9

V

0.737

ua2  0 ˜ V 0

ua2

n1

Ts



W

§

˜ ¨ ue2  ua2  n

©

T

n

0

ua2

0

0

T

0

¹

1

2

3

4

5

6

7

0.033

0.066

0.097

0.127

0.156

0.184

0.211

1 1

0

n

V

Spannungsabfall an R

uR2  ue2  ua2 n n n uR2

Ts

˜ ua2

2

0.967

3

0.934

0.903

4 0.873

5 0.844

6 0.816

7

8

0.789

9

0.762

0.737

V

ua3  0 ˜ V 0

ua3

n1

Ts



W

T

ua3

§

˜ ¨ ue3  ua3  n

©

0 0

1 0

uR3  ue3  ua3 n n n T

uR3

0 0

n

Ts

˜ ua3

2

0.017

0.016

· n

¹ 3

0.016

4 0.015

5 0.015

6 0.014

7 0.014

8 0.013

9 0.013

V

Spannungsabfall an R

1 0.5

W

-0.017

2 -0.016

3 -0.016

4 -0.015

ua4  0 ˜ V 0

Seite 433

5 -0.015

6 -0.014

7 -0.014

8 -0.013

9 -0.013

V

Differenzengleichungen

ua4

n1

Ts

W § · ˜ ¨ ue4  ua4  ˜ ua4 W n n n Ts © ¹



T

0

ua4

1

0

0

0

T

0

3

4

5

6

7

8

9

10

0.0163

0.0317

0.0512

0.0742

0.0998

0.1271

0.1553

0.1833

5

6

7

8

9

10

1

0

0

V

Spannungsabfall an R

uR4  ue4  ua4 n n n uR4

2 0.0055

2

0.166

3

0.322

4

0.463

0.587

0.689

0.767

0.82

0.845

0.842

0.812

V

ua5  0 ˜ V 0

ua5

n1

Ts

W § · ˜ ¨ ue5  ua5  ˜ ua5 W n n n Ts © ¹



T

ua5

0

1

0

uR5  ue5  ua5 n n n T

0

uR5

2

0

0

0

0.016

4

5

0.0753

0.1031

6

7

0.1196

0.1203

8 0.1046

9 0.0759

V

Spannungsabfall an R 1

0

3 0.0435

2

0.479

0.825

3

4

0.954

5

0.834

0.495

6

7

0.022

-0.471

8 -0.861

9 -1.053

V

Grafische Darstellung der Spannungen (nur jedes k-te-Glied wegen der Übersichtlichkeit): t  0 ˜ ms  Ts  t1

k 6

Bereichsvariablen

n  0  k  N

Sprungantwort des RC-Tiefpassfilters

1.5

Spannungen

u e1( t) ue1 n

1

ua1

n

uR1

n

0.5

Abb. 8.16

0

2

4

6

n˜Ts n˜Ts n˜Ts   ms ms ms ms Zeit t



Eingangsspannung Eingangsspannung Ausgangsspannung Spannung an R

Seite 434

8

10

Differenzengleichungen

Sprungantwort des RC-Tiefpassfilters



Spannungen

u e2 t  Tp



1

ue2 n 0

ua2

2

4

6

8

10

n

uR2 n

1

Abb. 8.17 2 n˜Ts n˜Ts n˜Ts   ms ms ms ms Zeit t



Eingangsspannung Eingangsspannung Ausgangsspannung Spannung an R

Impulsantwort des RC-Tiefpassfilters

Spannungen

ue3( t) 0.04 ue3

n

ua3

0.02

n

uR3

n

0

2

4

6

8

10

Abb. 8.18 0.02 n˜Ts n˜Ts n˜Ts   ms ms ms ms Zeit t



Eingangsspannung Eingangsspannung Ausgangsspannung Spannung an R

k 2

n  0  k  N

Bereichsvariablen

Seite 435

Differenzengleichungen

Sinusantwort des RC-Tiefpassfilters



Spannungen

u e4 t  Z 1



1

ue4

n

ua4 n

0

2

4

6

8

10

Abb. 8.19

1 n˜Ts n˜Ts  ms ms ms Zeit t



Eingangsspannung Eingangsspannung Ausgangsspannung

Sinusantwort des RC-Tiefpassfilters



Spannungen

u e5 t  Z 2



1

ue5

n

ua5

n

0

2

4

6

8

10

Abb. 8.20

1 n˜Ts n˜Ts  ms ms ms Zeit t



Eingangsspannung Eingangsspannung Ausgangsspannung

Das Langzeitverhalten (eingeschwungener Zustand) der Ausgangsfolge heißt Sinusantwort des Systems. Sie verläuft phasenverschoben zur Eingangsfolge und hat die gleiche Frequenz. Der Wert der Sinusantwort verringert sich umso mehr, je höher die Frequenz der Eingangsfolge ist (digitaler Tiefpassfilter).

Seite 436

Differenzengleichungen 8.3 Nichtlineare Differenzengleichungen Nachfolgend sollen noch einige nichtlineare Differenzengleichungen und Systeme von Differenzengleichungen betrachtet und gelöst werden. Beispiel 8.5: Gegeben ist eine nichtlineare Differenzengleichung 1.Ordnung y n =1/2 (yn-1 + y0 / yn-1) zur Berechnung der Quadratwurzel aus x mit dem Anfangswert y 0 = x1 . Berechnen Sie die Quadratwurzel für x1 = 2, 2.5, 3. ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

x1  2

gegebener Wert und Anfangswert (Schätzwert)

y0  x1

Bereichsvariable

n  1  10 yn 

1 2

T

§

˜ ¨ yn 1 

©

x1

Nichtlineare Differenzengleichung 1. Ordnung). Rekursive Berechnung der Folgeglieder.

yn 1 ¹

0

y

·

1

0

2

x  1  1  0.001  3

x1 · ¨x  =x 2© x ¹ 1§

2 1.5

1.417

y ( x)  x

4

5

1.414

1.414

6

x1 · ¨x  2© x ¹

§ 1 ¨ 2 ¨ x1 ¨ ¨ 1 ¨ x 2 © 1

7

1.414

1§

y1 ( x) 

hat als Lösung(en)

8

1.414

xG

10

1.414

1.414

Bereichsvariable und Hilfsfunktionen

·

1

¸ ¸ ¸

xG  x1

2

Fixpunkt

¹

Die Lösungsfolge konvergiert sehr schnell gegen den Schnittpunkt.

y0

2.5

y1 ( x) yn

9

1.414

Web-Plot

3

y( x)

3 1.414

xG

1.414

x1

2

2

yn

x1

1.5

1.414

Abb. 8.21 1

1

1.5

2

2.5

x  x  yn  1  yn  1

Seite 437

3

Differenzengleichungen

Beispiel 8.6: Gegeben ist eine nichtlineare Differenzengleichung (logistische Differenzengleichung) der Form yn+1 - a yn = - a yn yn (a ) mit dem Anfangswert y 0 = 0.1 und a = 2. Berechnen Sie die Lösungsfolge. ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

a 2

gegebener Wert und Anfangswert

y0  0.1

Bereichsvariable

n  0  10



yn1  a ˜ yn ˜ 1  yn T

0

y

0



Logistische Differenzengleichung (nichtlineare Differenzengleichung 1. Ordnung. Rekursive Berechnung der Folgeglieder.

1 0.1

x  0  0.001  0.6

a ˜ x ˜ ( 1  x) = x

2

0.18

3

0.295

4

0.416

5

0.486

6 0.5

7 0.5

9 0.5

10 0.5

0.5

y ( x)  x

y1 ( x)  a ˜ x ˜ ( 1  x)

Bereichsvariable und Hilfsfunktionen

hat als Lösung(en)

ª 0 º « » « ( a  1) » ¬ a ¼

xG 

a1 a

xG

0.5

Fixpunkt

Web-Plot

0.6 y0

xG

y( x) y1 ( x) 0.4 yn 1 yn 1

8 0.5

Die Lösungsfolge konvergiert gegen den Schnittpunkt.

xG

0.2

0.5

Abb. 8.22 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x  x  yn  yn

Beispiel 8.7: Gegeben ist eine nichtlineare Differenzengleichung (logistische Differenzengleichung) der Form yn+1 - a yn = - a yn yn (a ) mit dem Anfangswert y 0 = 0.1 bzw. y0 = 0.101 und a = 4. Berechnen Sie die Lösungsfolgen und vergleichen Sie diese. ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

n  0  10

Bereichsvariable

a 4

y0  0.1

yn1  a ˜ yn ˜ 1  yn

a 4

y10  0.101

y1n 1  a ˜ y1n ˜ 1  y1n







Seite 438

Logistische Differenzengleichungen (nichtlineare Differenzengleichungen 1. Ordnung). Rekursive Berechnung der Folgeglieder.

Differenzengleichungen

T

0

y

1 0.1

0 T

y1

0

1

0.101

0

2

0.36

0.3632

3

4

5

6

7

8

0.9216

0.289

0.8219

0.5854

0.9708

0.1133

0.402

2

3

4

5

6

7

8

0.9251

0.277

0.8011

0.6373

0.9246

0.2788

0.8042

1

yn y1n

0.5

0

Abb. 8.23

0

2

4

6

8

10

n

Hier zeigt sich bereits eine empfindliche Abhängigkeit von den Anfangswerten ! Kleine Änderungen wirken sich bereits dramatisch aus ! Eine empfindliche Abhängigkeit der Lösung von den Anfangswerten ist ein Kennzeichen eines chaotischen Verhaltens ! Beispiel 8.8: Es soll folgende nichtlineare Differenzengleichung (Ricker Gleichung) yt = yt-1 exp( r (1- yt-1 )) (r ) auf ihr chaotisches Verhalten untersucht werden. ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

r  2.7

"wirklicher Populationswachstumsparameter"

y0  0.3

Anfangswert

Tmax  5  FRAME

Maximum der Zeitperioden (FRAME z.B. 0 bis 15 mit 1 Bild/s)

t  1  Tmax





yt  yt 1 ˜ exp ª¬r ˜ 1  yt1 º¼

nichtlineare Differenzengleichung 1. Ordnung

2

yt

1

0

Abb. 8.24

1

1.5

2

2.5

3 t

Seite 439

3.5

4

4.5

5

Differenzengleichungen

Bestimmung der Fixpunkte: x x

Redefinitionen

r r





yt = yt1 ˜ exp ª¬r ˜ 1  yt 1 º¼

nichtlineare Differenzengleichung 1. Ordnung

x = x ˜ exp [ r ˜ ( 1  x) ]

zu lösende Gleichung

f ( x  r)  x ˜ exp [ r ˜ ( 1  x) ]

Funktionsdefinition

§0 · ¨ ©1 ¹

x  f ( x  r) = x auflösen  x o d dx

f ( x  r) = 0 auflösen  x o

§1 · ymax ( r)  f ¨  r ©r ¹ T 0

1 0.3

1

maximaler Wert von f

2.027

2

1.986

3

0.139

4

1.419

u10  y0 T

0

1 0.3

T

v1

u1t  yfloor( 0.5˜t)

0

0 0

2 0.3

1 0

1.986

t  0  2 ˜ Tmax  1

x  0

ymax ( r) 200

5

0.458

6

1.979

7

0.971

8

0.113

9

0.402

10

0.962

0.148

Bereichsvariable

t  1  2 ˜ Tmax

u1

§0 · ¨ ©1 ¹

x

Bestimmung des Maximums

r

ymax ( r)

0

y

Fixpunkte

 ymax ( r)

1.986

2 1.986

umordnen der Folgewerte

v1t  yfloor[ 0.5˜( t 1) ]

3 1.986

3 0.139

4

5

0.139

4

0.139

5

0.139

1.419

6 1.419

6 1.419

7 1.419

7 0.458

8 0.458

8 0.458

t1  0  Tmax

Bereichsvariable

ymax ( r)

Bereichsvariable

2.027

Seite 440

9 0.458

9 1.979

10 1.979

10 1.979

Differenzengleichungen

Web-Plot

2.5 y0

ymax( r)

x1

2 f( x  r) 1.5

x

y0

y t1

0.3

Fixpunkt

v1t

1

x1

1

0.5

Abb. 8.25 0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

x  x  yt1 1  u1t f(x,r) x(t) = x(t+1) Folgeglieder Trajektorie

Nachfolgend soll noch das Feigenbaum-Diagramm bei variablem Parameter r dargestellt werden, das ein typisch chaotisches System zeigt: Auflösung für die Grafik AL = 1 ... AL = 7 (bei höherer Auflösung als 1 wird die Rechenzeit sehr hoch)

AL  3 ru  1.5

ro  4

Bereich des Parameters r

yu  0

yo  5

Bereich der y-Achse

k  0  AL ˜ 100

Bereichsvariable

ro  ru rk  ru  ˜k AL ˜ 100

Bereichsvariable für r

yk  0  0.3

Anfangswert

t  1  100 ˜ AL

Bereichsvariable



yk  t  f yk  t 1  rk t

100 ˜ AL 2



 100 ˜ AL

Berechnung der Folgeglieder Bereichsvariable

Seite 441

Differenzengleichungen

Abb. 8.26

Beispiel 8.9: Freier Fall mit Luftwiderstand. Ein Körper der Masse m 1 = 100 kg fällt aus einer bestimmten Anfangshöhe h = 2000 m mit einer bestimmten Anfangsgeschwindigkeit v 0 = 0 m/s. Die Reibungskraft F L wird proportional v

2

angenommen.

Der Proportionalitätsfaktor k = 0.2 kg/m (k = 1/2 c w A U). Der Weg s und die Geschwindigkeit v in Abhängigkeit von der Zeit soll numerisch durch Iteration bestimmt werden. Geben Sie auch das s-t, v-t und a-t Diagramm an. Die Bewegungsgleichung in Vektor- und Differenzenform: o o  o F = G  FL v ( 0) = 0 ˜

a ( t) = g 

o o o o m1 ˜ a = m 1 ˜ g  k ˜ v ˜ v

Ÿ

m

Anfangsbedingung

s k m1

˜ v ( t)

2

v ( t  't) = v ( t)  a1 ( t) ˜ 't s ( t  't) = s 0  v ( t) ˜ 't  Abb. 8.27

s ( t  't) = s 0  v ( t) ˜ 't 

m v0  0 ˜ s

Anfangsgeschwindigkeit v 0

m1  100 ˜ kg

Masse des Körpers

h  2000 ˜ m

Anfangshöhe h

Seite 442

Ÿ

a = f ( v)

Ÿ

v ( t  't)  v ( t) = a ( t ) ˜ 't

v ( t  't)  v ( t ) 2 a ( t ) ˜ 't 2

˜ 't

˜ 't

Differenzengleichungen

k

§ 0.1  FRAME · ˜ kg ¨ 20 ¹ m ©

Proportionalitätsfaktor der Reibungskraft (FRAME von 0 bis 15 und 1 Bild/s)

ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

v0  v0

Geschwindigkeit zum Startzeitpunkt (Vektorkomponente; Anfangswert)

s0  h

Anfangshöhe (Vektorkomponente; Anfangswert)

a ( v)  g 

k m1

2

Beschleunigung in Abhängigkeit der Geschwindigkeit

v

't  0.02 ˜ s

Schrittweite für die Zeit

n  1000

maximale Anzahl der Zeitschritte

i  0  n

Zeitschrittindex

Nichtlineare Differenzengleichungen: Iteration (Rekursive Berechnung) der zwei Variablen s und v (einfaches Eulerverfahren)



Geschwindigkeit zum (i+1)-ten Zeitschritt

vi1  vi  a vi ˜ 't si1  si  vi ˜ 't 



a vi 2

˜ 't

2

Position zum (i+1)-ten Zeitschritt

Die nichtlinearen Differenzengleichungen könnten z.B. auch in Vektorform zusammengefasst und gelöst werden: vi  a  vi ˜ 't § · § vi1 · ¨ =¨ ¨ a  vi 2¸ ˜ 't © si1 ¹ ¨ si  vi ˜ 't  2 © ¹

Geschwindigkeit zum (i+1)-ten Zeitschritt Position zum (i+1)-ten Zeitschritt

Die nichtlinearen Differenzengleichungen k önnten z.B. auch mit einem verbesserten Eulerverfahren gelöst werden:

ª«

k

¬

m1

ª

't

vi1 = vi  g  « si1 = si  « vi 

¬

2

ª

˜ « vi 

¬

't 2

ª

k

¬

m1

˜ «g 

§ kg m vg  wenn ¨ k = 0 ˜ 0˜  m s ©

ª

k

¬

m1

˜ «g 

 2ȼ ȼ

˜ vi

2º

» ˜ 't » ¼¼ ¼

 2»º »º ˜ 't

˜ vi

¼¼

g ˜ m1 · k

¹

vg

99.029

Seite 443

m s

Grenzgeschwindigkeit

Differenzengleichungen

s-t Diagramm 0

5

10

15

20

 si h m

1000

Abb. 8.28 h 2000 i˜'t s vg

v-t Diagramm

100 vi m s

k

0.1

kg m

50

vg 0

0

5

10

15

20

99.029

Abb. 8.29

i˜'t s

a-t Diagramm 10



a vi m 2 s

5

0

Abb. 8.30

0

5

10

15

i˜'t s

Seite 444

20

m s

Anhang - Übungsbeispiele

1. Unendliche Zahlenreihen Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz und bestimmen Sie den Summenwert: Beispiel 1: f

1

¦

(konvergent)

n

3 1 1

n

Beispiel 2: f

1

¦

n

(divergent)

n

1

Beispiel 2: f

1

¦

(konvergent)

2

n 1

n

Beispiel 3: f

1

¦

n

(konvergent)

n

n˜ 5

1

Beispiel 4: 3

1

2

2

3



3

3

3



4

4

 ....

(konvergent)

 ....

(konvergent)

Beispiel 5: 2

1

2

2

3



2

3

4



2

4

Beispiel 6: 1 1˜ 2

1



3

1



3˜ 2

5



5˜ 2

1 7

 ....

(konvergent)

7˜ 2

Beispiel 7: 1 2



2 2

2



3 3

2



4 4

 ....

(konvergent)

2

Seite 445

Anhang - Übungsbeispiele

Beispiel 8: 2

1

2

2

2

2

3



4



3

(konvergent)

 ....

4

Beispiel 9: 1

1



1˜ 3

3˜ 5

1



5˜ 7

1



7˜ 9

 ....

§ ©

(konvergent) s n = ¨ 1 

2· 3¹



n 1 · § 2  3 ·  ....  § n  ¨ ¨ © 3 5¹ © 2 ˜ n  1 2 ˜ n  1¹

Untersuchen Sie folgende Reihen auf absolute bzw. bedingte Konvergenz: Beispiel 10: 1 1

1



1



2

1



3

4

(bedingt konvergent)

 ....

Beispiel 11: 1 2

2



3

1

˜

3



3

4

2

1

˜

3



3

4 5

˜

1 3

 ....

(absolut konvergent)

4

Beispiel 12: 3

2

2

3

5



2

5

7



2

7

(absolut konvergent)

 ....

2. Potenzreihen Beispiel 1: Untersuchen Sie die nachfolgende Potenzreihe auf Konvergenz und bestimmen Sie das Konvergenzintervall: 3

x

x

3

5



x

5

7



x

7

 ....

Beispiel 2: Untersuchen Sie die nachfolgende Potenzreihe auf Konvergenz und bestimmen Sie das Konvergenzintervall: ( x  1) 1



( x  1) 2

2



( x  1) 3

3

 ....

Beispiel 3: f(x) = sin(x) soll in den Stützstellen 0, S/6, S/2, 5S/6 und S durch ein Näherungspolynom angenähert werden. In einer Grafik soll die Funktion und das Näherungspolynom zum Vergleich grafisch dargestellt werden.

Seite 446

Anhang - Übungsbeispiele

Beispiel 4: In der Beizanlage eines Stahlwerkes wird zwischen dem prozentuellen Schwefelsäuregehalt und der Dichte der Beizflüssigkeit folgender Zusammenhang gemessen: H2 SO4 in %

|

0

|

5

|

10

|

20

|

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Dichte in kg/dm3 | 1.0000 | 1.0355 | 1.0718 | 1.1468 | Bestimmen Sie einen funktionalen Zusammenhang durch eine ganzrationale Funktion. Beispiel 5: Durch 7 Punkte soll bei einer gegebenen Funktion y = (1+x) 1/2 ein Polynom gelegt werden. Die Punkte sollen symmetrisch um die Entwicklungsstelle x 0 = 10 gewählt werden. Zum Vergleich soll mittels kubischer Spline-Interpolation und linearer Interpolation eine Ausgleichskurve durch die Punkte gefunden werden.

2.3 Taylorreihen Beispiel 1: a) Wie lautet die Taylorreihe an der Stelle x 0 = 0 der Funktion f(x) = sin(2 x - S/2) ? b) Auf welchem Intervall konvergiert diese Reihe ? c) Wie lautet das Restglied nach Lagrange für diese Reihe ? d) Stellen Sie die Funktion und die Näherungspolynome bis zum 7. Grad grafisch dar. e) Stellen Sie den absoluten und relativen Fehler im Vergleich von Funktion und Taylorpolynomen grafisch dar. Beispiel 2: Bestimmen Sie die Potenzreihen der folgenden Funktionen: a)

E ˜t

f ( x) = e

b)

˜ cos ( Z ˜ t)

 E ˜t

g ( x) = e

c)

˜ sin ( Z ˜ t)

h ( x) = sin ( x)

2

d)

k ( x) = cos ( x)

2

Beispiel 3: Zeigen Sie die Richtigkeit der nachfolgenden Näherungen. Unter welchen Voraussetzungen gelten diese Näherungen? a)

t ˜ sin ( 2 ˜ t )

|

2˜ t

c)

1 x

|

1

2

x 2

b) c)

t

e

4

˜ cos ( 2 ˜ t)

|

1 t

1 x

|

1

x 4

d)

1 n

1 x

|

1

x n

Beispiel 4: Zeigen Sie, das sich aus der Reihe für 1/(1-x) durch Differentiation die Reihen für 1/(1-x) 2 und 1/(1-x) 3 ergeben.

Seite 447

Anhang - Übungsbeispiele

Beispiel 5: Zeigen Sie den nachfolgenden Zusammenhang und bestimmen Sie das Konvergenzintervall der beiden Funktionen: arccos ( x) =

S 2

 arcsin ( x) ´ µ arcsin ( x) = µ µ ¶

Anleitung (Reihenentwicklung des Integranden):

x

1 1t

2

dt

0

Beispiel 6:

Berechnen Sie die folgenden Integrale durch vorhergehende Reihenentwicklung :

a) Integralsinuns:

´ Si ( x) = µ µ ¶

x

sin ( t) t

b) Integralcosinus:

dt

0

´ µ µ µ ¶

c)

´ Co ( x) = µ µ ¶

x

cos ( t) t

dt

0

x

x

t

e t

d)

dt

´ S µ ˜t µ 2 ˜ sin ( t) dt µ e ¶ 0

0

Beispiel 7: ´ Berechnen Sie die Bogenlänge s = µ ¶

a 2

1  y' dx für die Parabel y =

0

h 2

2

˜ x für h = 1 m und

a a = 4 m. Entwickeln Sie zuerst den Integranden in eine Reihe und brechen Sie die Reihe nach dem vierten Glied ab. Zur Vereinfachung lässt sich O = h/a setzen. Vergleichen Sie den errechneten Wert der Bogenlänge, den man aus der Näherungsformel erhält, mit dem Wert, der sich durch numerische Berechnung des Integrals ergibt, auf 4 Nachkommastellen. Beispiel 8: Für welche Winkel ist der prozentuelle Fehler kleiner als 1%, wenn man tan (D) | Dsetzt ? Beispiel 9: Zwei Körper der gleichen Wärmekapazität C und den unterschiedlichen Temperaturen T 1 und T2 werden in thermischen Kontakt gebracht. Es findet ein Temperaturausgleich statt, und die Entropie s des Systems ändert sich um 's.

§ T1  T2 · ¨ 2 ˜ T1 ˜ T2 © ¹

's = 2 ˜ C ˜ ln ¨

T2 = T1  'T

Für diese Gleichung ist eine Näherungsformel zu entwickeln, wobei in der Reihenentwicklung nach dem sich ergebenden quadratischen Glied abzubrechen ist. Anleitung: T1  T2 2

=

1

'T · § ˜ 2 ˜ T1  'T = T1 ˜ ¨ 1  2 2 ˜ T1





©

¹

T1 ˜ T2 =

§ a · = ln ( a)  ln ( b) © b¹

ln ¨

Seite 448





T1 ˜ T1  'T = T1 ˜

1

'T T1

Anhang - Übungsbeispiele

Beispiel 10: Die Dichte U eines Festkörpers hängt wie folgt von der Temperatur ab: U (-) =

U0 1 J˜-

Dabei ist U0 die Dichte bei -0 = 0 °C und J der Ausdehnungskoeffizient.

Beschreiben Sie die Temperaturabhängigkeit der Dichte U durch eine lineare Näherungsfunktion. Beispiel 11: Der Luftdruck in Abhängigkeit von der Höhe h über dem Meeresniveau ist durch die barometrische Höhenformel gegeben: h

p = p0 ˜ e

h0

mit

p0 = 1013 ˜ mbar

h0 = 7991 ˜ m

Geben Sie eine Lineare Näherung für p in Abhängigkeit von h an. Bis zu welcher Höhe h ist die Abweichung der Näherung höchstens 5% ? Beispiel 12: Die Kapazität eines Zylinderkondensators ist gegeben durch: C=

2˜ S ˜ H ˜ L

§ R· ©r¹

ln ¨

Zeigen Sie, dass aus diesen Zusammenhang durch Reihenentwicklung des Nenners die Berechnungsformel für den Plattenkondensator gewonnen werden kann, wenn die Reihe nach dem 1. Glied abgebrochen und berücksichtigt wird, dass R = r + s ist. Setzen Sie außerdem A = 2 * S * s * L. (Lösung: C = A H/d) Beispiel 13: In einem RL-Zweipol liegt eine lineare Rampenspannung u(t) = k t an. Zum Zeitpunkt t = 0 wird der Stromkreis durch einen Schalter geschlossen. Für die Stromstärke im Stromkreis gilt:

ª § R ·º « L ¨ L ˜t » i ( t) = ˜ «t  ˜ ©e  1¹ » R ¬ R ¼ k

Zeigen Sie durch Abbruch der Taylorreihe von i(t), dass der Strom anfänglich quadratisch mit der Zeit ansteigt. Beispiel 14: Entwickeln Sie die Funktion f(x,y) = e - x cos(y) um den Entwicklungspunkt x=0 und y= S/2 in eine Taylorreihe mit Termen niedriger als 4.Ordnung. Beispiel 15: Vergleichen Sie grafisch die mehrdimensionale Taylor-Approximation im Vergleich mit der nachfolgend angegebenen Funktion.

Seite 449

Anhang - Übungsbeispiele

ORIGIN  0

§ x2 · 2 2 f ( x  y)  sin ¨  y  cos y ©4 ¹



Grad der Approximation

n 8 x0  0

Flächenfunktion

Entwicklungspunkt der Taylorentwicklung

y0  0

x0  r d x d x0  r

Definitionsbereich (Region) der Darstellung

y0  r d y d y0  r r  1.2

2.4 Laurentreihen Beispiel 1: Bestimmen Sie die Residuen von y = 1/(x 2 - x). Beispiel 2: Bestimmen Sie die Residuen von y = 1/ ( x (x +2)3 ). Beispiel 3: Bestimmen Sie die Potenzreihe und das Residuum von y = 1/ tan(x) beim Pol x = 0 . Beispiel 4: Bestimmen Sie die Residuen von y = 1/ ( z 2 (z - 6) ).

3. Fourierreihen Beispiel 1: In einem Zweiweggleichrichter fließt ein Strom i = I max | sin(Z0 t) | für 0 < Z0 t d2S . Führen Sie für diesen Strom eine Fourieranalyse durch und geben Sie die Fourierreihe an. Lösung:

i ( t) =

4 ˜ I max S

§ 1  1 ˜ cos 2 ˜ Z ˜ t  1 ˜ cos 4 ˜ Z ˜ t  1 ˜ cos 6 ˜ Z ˜ t  ....·  0 3˜ 5  0 5˜ 7  0 ¹ ©2 1˜ 3

˜¨

Beispiel 2: Es soll eine Fourieranalyse bzw. deren Rücktransformation für eine periodische Kippschwingung u(t) = Û/T0 *t für 0 d t < T0 mit Û = 5 V und der Periodendauer T 0 = 2 Ss reell und komplex durchgeführt werden. Stellen Sie das reelle und komplexe Frequenzspektrum grafisch dar. Vergleichen Sie auch die Originalfunktion mit einem geeignet gewählten Fourierpolynom grafisch. Wie groß ist der Klirrfaktor ? Beispiel 3: Es soll eine Fourieranalyse bzw. deren Rücktransformation für eine periodische Rechteckspannung u(t) = - Û für - T0 /2 < t < 0 und 0 < t < T0 /2 mit Û = 10 V und der Periodendauer T 0 = 2 Ss reell und komplex durchgeführt werden. Stellen Sie das reelle und komplexe Frequenzspektrum grafisch dar. Vergleichen Sie auch die Originalfunktion mit einem geeignet gewählten Fourierpolynom grafisch. Wie groß ist der Klirrfaktor ?

Seite 450

Anhang - Übungsbeispiele Beispiel 4: Es soll eine Fourieranalyse bzw. deren Rücktransformation für eine periodische Rechteckstrom i(t) (z.B. "Ankerstrombelag einer Drehstromwicklung") mit der Amplitude Î = 5 A und der Periodendauer T 0 = 2 Ss reell durchgeführt werden. 3 i(t) = 0 A für 0 s < t dS/6 s und A für S/6 s < t d5S/6 s und 0 A für 5S/6 s < t dS s . 2 Beispiel 5: Für den gegebenen Filter soll die Übertragungsfunktion ermittelt und in einem Bode-Diagramm im Bereich 100 Hz d f d 10 MHz dargestellt und interpretiert werden. Stellen Sie dazu auch noch die Nyquist-Ortskurve dar. Durch Fourieranalyse und Fouriersynthese soll die Antwort des Filters auf die gegebene periodische Eingangsspannung u e (t) berechnet und interpretiert werden. R  500:

Widerstand

L  100mH

Induktivität

C  1 ˜ PF

Kapazität

ue .. . Eingangsspannung ua . .. Ausgangsspannung i .. .... Gesamtstrom R ..... Ohm'scher Widerstand L ...... Induktivität C ...... Kapazität T0 = ue (t) = (2 Umax)/T 0 für -T0 /2 < t < T0 /2

2˜ S 500

˜s

Umax = 10 ˜ V

Periodendauer der Eingangsspannung Amplitude der Eingangsspannung

Beispiel 5: Ein periodisches Signal u(t) mit der Periodendauer T 0 wird an n äquidistanten Stellen abgetastet. Durch die Variation der Variablen n verändern wir die Abtastfrequenz. Vergleichen Sie für die 3 Fälle ( nmax * Z0 , 2 * nmax * Z0 , 4 * nmax * Z0 ) jeweils das Amplitudenspektrum des Messsignals in einer Graphik und interpretieren Sie, wann das Abtasttheorem erfüllt ist. Gegeben: Z0  1 ˜ s T0  2 ˜

1

S Z0

nmax  8

f0  T0

Z0 2˜ S 6.283 s

0.159 Hz

Kreisfrequenz und Frequenz des Messsignals Periodendauer des abzutastenden Signals

n  0  nmax

Die höchste Harmonische n maxZ0 ist hier 8 Z0 , eine

b0  0 ˜ V

rnd(x) Gibt eine gleichmäßig verteilte Zufallszahl zwischen 0 und x zurück.

an  rnd ( 1) ˜ V bn  rnd ( 1) ˜ V

f0

Abtastung müsste laut Abtasttheorem mit mindestens 16 Z0 erfolgen.

nmax

u ( t) 

¦ an ˜ cosn ˜ Z 0 ˜ t  bn ˜ sin n ˜ Z 0 ˜ t

n

Zeitfunktion des Messsignals

0

Seite 451

Anhang - Übungsbeispiele

Z max  nmax ˜ Z 0

Z max

8s

1

maximale Frequenz

Gesucht: 1. Ermitteln Sie das des Amplitudenspektrums des Messsignals mittels FFT und stellen Sie das Spektrum grafisch dar. 2. Führen Sie die Abtastung für 3 Fälle durch: 1. Fall: nmax . Z0 ; 2. Fall: 2 . nmax . Z0 ; 3. Fall: 4 . nmax . Z0 . 3. Vergleichen Sie für die 3 Fälle jeweils das Amplitudenspektrum des Messsignals in einer Grafik und interpretieren Sie, wann das Abtasttheorem erfüllt ist. 4. Führen Sie die Rücktransformation für die 3 Fälle durch und vergleichen Sie jeweils in einer Grafik das Messsignal mit dem rücktransformierten Signal. Beispiel 6: Für das nachfolgend angegebene abgetastete Signal ist eine FFT und CFFT Analyse durchzuführen. Vergleichen Sie grafisch die Frequenzspektren. Führen Sie eine Rücktransformation durch und stellen Sie das Signal grafisch dar. 7

i  0  2  1

§

Bereichsvariable

si  sin ¨ 6 ˜ S ˜

©

i

·  sin § 40 ˜ S ˜ i · ¨ 6 6 2 ¹ 2 ¹ ©

Signal

4. Fourier-Transformation Beispiel 1: Für die Faltung einer Zeitfunktion f(t) mit dem Dirac-Impuls gilt: f(t) * G(t) = f(t) . Wie lautet die Fouriertransformierte dieses Faltungsproduktes ? Für die Fouriertransformierte des Dirac-Impulses gilt: F { G(t) } = 1. Das Spektrum des Dirac-Impulses G(t) hat also den konstanten Wert 1. Beispiel 2: Ein Dreiecksimpuls f'(t) kann durch die Faltung des Rechteckimpulses mit sich selbst dargestellt werden: f'(t) = frec(t,T1 ) * frec(t,T1 ). Bestimmen Sie die Fouriertransformierte des Dreieckimpulses. (Lsg. F'(f) = sinc2 (S T 1 f)) Beispiel 3: Bestimmen Sie die Fouriertransformierte eines Dreiecksimpulses f '(t) und stellen Sie den Dreiecksimpuls und dessen Fouriertransformierte mit geeigneten Werten grafisch dar. (Lsg. F'(f) = sinc2 (S T 1 f)) f' ( t) =

1 T1

§

˜ ¨1 

0 if

©

t

· if T1 ¹

t d T1

Anleitung:

t ! T1

Seite 452

´ µ µ ¶

a˜x

x˜ e

a˜x

dx =

e

2

a

˜ ( a ˜ x  1)

Anhang - Übungsbeispiele

Beispiel 4: Bestimmen Sie die Fouriertransformierte eines Cosinusquadratimpulses und stellen Sie den Cosinusquadratimpuls und dessen Fouriertransformierte mit geeigneten Werten grafisch dar. (Lsg. F(f) = sinc(2 S T 1 f).1/(1-(2 T1 f)2 )

1

f ( t) =

S˜t

§

T1

˜ cos ¨

·

2

Anleitungen: if

© 2 ˜ T1 ¹

0 if

2

cos ( x) =

t d T1

1 2

˜ ( 1  cos ( 2 ˜ x) )













sin S  2 ˜ S ˜ f ˜ T1 = sin 2 ˜ S ˜ f ˜ T1

t ! T1





sin S  2 ˜ S ˜ f ˜ T1 = sin 2 ˜ S ˜ f ˜ T1 Beispiel 5: Bestimmen Sie die Fouriertransformierte eines Gauß-Impulses und stellen Sie den Gauß-Impuls und und dessen Fouriertransformierte mit geeigneten Werten grafisch dar. (Lsg. F(f) = 2/W . e-(2 Sf W) / (4 S) )

f ( t) =

1 W

§t· ©W¹

2

 j ˜2˜S˜f˜t

Anleitungen:

e

= cos ( 2 ˜ S ˜ f ˜ t)  j ˜ sin ( 2 ˜ S ˜ f ˜ t)

 S˜¨

˜e

´ µ µ ¶

Beispiel 6:

b

f

2 2

 a ˜x

e

˜ cos ( b ˜ x) dx =

0

S 2˜ a

˜e

2

( 2˜a )

2

Führen Sie für das nachfolgend angegebene Signal u i eine FFT durch und stellen Sie das Signal und das Fourierspektrum grafisch dar. Führen Sie auch eine Rücktransformation durch und vergleichen Sie das Originalsignal mit dem rücktransformierten Signal grafisch. Das Signal soll mit einer Frequenz von 4 kHz abgetastet werden.  ti





ui = A ˜ cos ti ˜ Z  M ˜ e A = 1˜ V

T1

Signal

f = 2 ˜ Hz

M = 20 ˜ Grad

gegebene Daten

T1  5 ˜ s

5. Laplace-Transformation Beispiel 1: Führen Sie für die nachfolgenden Signale eine Laplace-Transformation und deren Rücktransformation mithilfe von Mathcad durch (über das Symbolik-Menü und mit Symboloperatoren). Stellen Sie unter Annahme geeigneter Parameter in den Signalen die Signale auch grafisch dar. Lösen Sie das Integral in g) auch mithilfe der Euler'schen Beziehung sin(Z t) = (e jZt - e-jZt)/2j. a)

f ( t) =

d)

f ( t) = ln ( t) ˜ ) ( t)

g)

a ˜ t ˜ ) ( t)

L {f(t)} =

´ µ ¶

f

 a˜t

A˜e

b)

f ( t) = sin ( a ˜ t) ˜ ) ( t)

e)

f ( t) = t ˜ e

a˜t

 s˜t

˜ sin ( Z ˜ t) ˜ e

˜ ) ( t)

c)

f ( t) = cos ( Z ˜ t  M ) ˜ ) ( t)

f)

f ( t) = e

A=2

dt

0

Seite 453

 D ˜t

a = 0.5

˜ cos ( Z ˜ t) ˜ ) ( t) Z=1

Anhang - Übungsbeispiele

5.1. Eigenschaften der Laplace-Transformation Beispiel 1: Berechnen Sie die Laplacetransformierte der nachfolgenden Signale mithilfe des Superpositionssatzes und führen Sie mit Mathcad eine Rücktransformation durch. Stellen Sie die Signale unter der Annahme geeigneter Werte auch grafisch dar. a)

f ( t) = ( 3  10 ˜ t ) ˜ ) ( t)

c)

f ( t) = 2 ˜ t  4 ˜ t  5 ˜ cos ( t ) ˜ ) ( t)



2





t



b)

f ( t) = 5 ˜ e

d)

f ( t) = C ˜ 1  e

 2 ˜ sin ( Z ˜ t) ˜ ) ( t)





 O ˜t

Beispiel 2: Berechnen Sie die Laplacetransformierte der nachfolgenden Signale mithilfe der Verschiebungssätze und führen Sie mit Mathcad eine Rücktransformation durch. Stellen Sie die Signale unter der Annahme geeigneter Werte auch grafisch dar.

§ ©

a)

f ( t) = sin ¨ t 

d)

f ( t) = e

t a

S· 2¹

˜ ) ( t)

˜ ) ( t)

b)

f ( t) = sin ( t  2) ˜ ) ( t)

e)

f ( t) = cos ( t  4)

2

c)

f ( t) = ( t  5) ˜ ) ( t)

f)

f ( t) = ( t  3) ˜ ) ( t)

2

Beispiel 3: Berechnen Sie die Laplacetransformierte der nachfolgenden Signale mithilfe des Ähnlichkeitsatzes und führen Sie mit Mathcad eine Rücktransformation durch. Stellen Sie die Signale unter der Annahme geeigneter Werte auch grafisch dar. a)

2

f ( t) = ( 2 ˜ t) ˜ ) ( t)

b)

f ( t) = cos ( 4 ˜ t) ˜ ) ( t)

c)

2

f ( t) = sin ( Z ˜ t) ˜ ) ( t)

Beispiel 4: Berechnen Sie die Laplacetransformierte der nachfolgenden Signale mithilfe des Dämpfungssatzes und führen Sie mit Mathcad eine Rücktransformation durch. Stellen Sie die Signale unter der Annahme geeigneter Werte auch grafisch dar. a)

 2˜t

f ( t) = 2 ˜ e

˜ ) ( t)

b)

 4˜t

f ( t) = t ˜ e

c)

˜ ) ( t)

 3˜t

f ( t) = e

˜ cos ( 2 ˜ t) ˜ ) ( t)

Beispiel 5: Berechnen Sie die Laplacetransformierte der nachfolgenden Signale mithilfe des Ableitungssatzes für Originalfunktionen die 1. Ableitung und führen Sie mit Mathcad eine Rücktransformation durch (f(0) = 0). Stellen Sie die Signale unter der Annahme geeigneter Werte auch grafisch dar. a)

f ( t) = sinh ( a ˜ t ) ˜ ) ( t)

b)

4

f ( t) = t ˜ ) ( t)

c)

f ( t) = sin ( Z ˜ t  S ) ˜ ) ( t)

Beispiel 6: Berechnen Sie die Laplacetransformierte der folgenden Differentialgleichungen: a)

2 ˜ y' ( t )  3 ˜ y ( t ) = t

y(0) = 0

b)

2 ˜ y'' ( t )  5 ˜ y' ( t )  4 ˜ y ( t ) = 0

Seite 454

y(0) = 1, y'(0) = 2

Anhang - Übungsbeispiele

Beispiel 7: Berechnen Sie die Laplacetransformierte des Ableitungssatzes für Bildfunktionen und führen Sie mit Mathcad eine Rücktransformation durch. Geg.:

f ( t) = sin ( Z ˜ t) ˜ ) ( t)

F ( s) =

Z 2

s Z Ges:

2

und

f1 ( t) = t ˜ sin ( Z ˜ t) ˜ ) ( t)

2

f2 ( t) = t ˜ sin ( Z ˜ t) ˜ ) ( t)

Beispiel 8: Berechnen Sie unter Verwendung des Integralsatzes für Originalfunktionen die Laplacetransformierten der folgenden Integrale: t

t

a)

´ µ cos ( W ) dW ¶

b)

0

´ 3 µ W dW ¶ 0

Beispiel 9: Bestimmen Sie aus f(t) = sin(Z t) unter Verwendung des Integralsatzes für Bildfunktionen die sin ( Z ˜ t) Laplacetransformierte von g ( t ) = . t Beispiel 10: Bestimmen Sie mithilfe des Faltungssatzes die zur Bildfunktion gehörige Originalfunktion f(t). a)

F ( s) =

2˜ s

s2  1 2

b)

F ( s) =

1 ( s  4) ˜ ( s  2)

Beispiel 11: Berechnen Sie mithilfe des Faltungssatzes folgende Faltungsprodukte: t * e -t , et * cos(t). Beispiel 12: Welchen Anfangswert und Endwert besitzen die zu den nachfolgend gegebenen Bildfunktionen zugehörigen Originalfunktionen f(t) ? Bestimmen sie auch die Originalfunktionen. a)

F ( s) =

3 s ˜ ( s  1)

b)

F ( s) =

2˜ s 2

s 8



1 s

2

Seite 455

s

c)

F ( s) =

e s1 s

2

Anhang - Übungsbeispiele

5.2. Rücktransformation aus dem Bildbereich in den Originalbereich Beispiel 1: Die gegebenen Bildfunktionen sollen zuerst mittels Partialbruchzerlegung umgeformt und dann rücktransformiert werden. Zur Kontrolle soll eine Rücktransformation direkt mit Mathcad durchgeführt werden.

a)

d)

F ( s) =

F ( s) =

1

b)

s ˜ ( s  a) U0 L

˜

2

s 

2

F ( s) =

2˜ s  2˜ s  4 ( s  5)

1 2

2

e)

F ( s) =

s  s ˜ 2 ˜ G  Z0

c)

3



2



f)

F ( s) =

s˜ s  2˜ s  2

Bestimmen Sie die Lösung folgender inhomogenen linearen Differentialgleichungen 1.Ordnung:

b)

c)

d dt

d

y ( t)  3 ˜ y( t) = t

Anfangswert: y(0) = 2

y ( t)  2 ˜ y ( t ) = cos ( t)

Anfangswert: y(0) = 4

3˜

dt

d dt

t

y ( t)  y ( t) = e

Anfangswert: y(0) = 1

Beispiel 2: Bestimmen Sie die Lösung folgender inhomogenen linearen Differentialgleichungen 2.Ordnung:

a)

2

d

dt

b)

y ( t)  2 ˜ y' ( t )  y ( t) = cos ( 2 ˜ t)

Anfangswerte: y(0) = 1 und y'(0) = 0

y( t)  y( t) = t

Anfangswerte: y(0) = 1 und y'(0) = 1

y ( t)  6 ˜ y' ( t )  10 ˜ y ( t ) = 30 ˜ cos ( 2 ˜ t )

Anfangswerte: y(0) = 0 und y'(0) = 0

2

d

dt

c)

2

2

2

d

dt

2

Seite 456

2 3

s ˜ ( s  1) ˜ ( s  2)

Beispiel 1:

2˜

1

5˜ s  2 2

5.3 Anwendungen der Laplace-Transformation 5.3.1 Lösungen von Differentialgleichungen

a)

˜s

( s  1) ˜ ( s  1)

4 2

F ( s) =

1

Anhang - Übungsbeispiele

Beispiel 3: Für ein schwingungsfähiges mechanisches System mit der Masse m = 2 kg und der Federkonstante k = 2 N/m, das auf ein fahrbares Fahrgestell aufgebaut ist und mit einer konstanten Beschleunigung a = 2m/s2 beschleunigt wird, gilt folgende Differentialgleichung: 2

m˜

d

dt

2

x ( t)  k ˜ x( t) = m ˜ a ˜ ) ( t)

2

Z0 =

k m

Lösen Sie die Differentialgleichung für die Anfangswerte x(0 s) = 0 m und v(0 s) = x'(0 m) = 0m/s und stellen Sie die Lösung grafisch dar.

5.3.2 Laplace-Transformation in der Netzwerkanalyse Beispiel 1: Wie reagiert der Strom i(t) in einem L-C-Zweipol auf eine sprunghafte Änderung einer angelegten Spannung u(t) = U 0 )(t). Zum Zeitpunkt t = 0 s gilt: i(0 s) = 0 A. Stellen sie i(t) grafisch dar.

Gegebene Daten: Angelegte Spannung: U 0 = 10 V Induktivität: L = 1 H Kapazität: C = 25 PF 1

2

Z0 =

L˜ C

Beispiel 2: Wie reagiert der Strom i(t) in einem R-C-Zweipol auf eine sprunghafte Änderung einer angelegten Spannung u(t) = U 0 )(t). Zum Zeitpunkt t = 0 s gilt: i(0 s) = 0 A. Stellen sie i(t) grafisch dar. Gegebene Daten: Angelegte Spannung: U 0 = 100 V Widerstand: R1 = 100 : Widerstand: R2 = 500 : Kapazität: C = 20 PF W = R˜ C

Seite 457

1 R

=

1 R1



1 R2

Anhang - Übungsbeispiele

5.3.3 Übertragungsverhalten von Systemen Beispiel 1: Übertragungsverhalten eines Tiefpassfilters Unter der Annahme, das System ist energielos zum Zeitpunkt t = 0, ist das Verhalten der nachfolgenden Schaltung mit R = 5 k: und C = 1 PF beim Anlegen eines Spannungsimpulses u e (t) =U 0 )(t) = 1 V )(t) gesucht. Die Sprungantwort u a (t) und deren Anlauftangente für t = 0s ist grafisch darzustellen. Für den Tiefpassfilter sollen auch jeweils der Amplitudengang und der Phasengang im Bereich von f = 0.01 Hz und f = 10 MHz dargestellt werden. Da der Amplituden- und der Phasengang normalerweise halblogarithmisch mit der Variablen f dargestellt wird, empfiehlt es sich, die Variable f exponentiell laufen zu lassen, damit sie im Graphen äquidistante Werte annimmt. Für den Amplitudengang ist zusätzlich noch eine doppeltlogarithmische Darstellung zu verwenden. Außerdem ist die Grenzfrequenz fg = 1/(2SRC) zu berechnen und in die Graphen einzutragen.

Beispiel 2: Unter der Annahme, das System ist zum Zeitpunkt t = 0 energielos, ist das Verhalten der nachfolgenden Schaltung mit R = 5 k: und C = 1 PF beim Anlegen einer Spannung ue (t) =U 0 sin(Zt) )(t) = 1 V sin( 3 s-1 t) )(t) gesucht. Die Sprungantwort u a (t) ist grafisch darzustellen.

Beispiel 3: An einem RLC- Filter (Bandsperre) soll die Übertragungsfunktion, der Amplitudengang, der Phasengang, obere und untere Grenzfrequenz und die Graphen des Amplituden und Phasenganges, ermittelt und interpretiert werden.

Vorgegebene Daten: L = 0.1 H R = 500 : C = 1 PF

Seite 458

Anhang - Übungsbeispiele

1. Leiten Sie die Übertragungsfunktion G(Z) her. Untersuchen Sie die Sprungantwort des Filters auf eine Gleichspannung mit Amplitude U 0 = 1 V, 2. Bestimmen Sie den Amplitudengang A(Z). 3. Bestimmen Sie den Phasengang M(Z). 4. Berechnen Sie die Bandmittenfrequenz Z0 , die untere Grenzfrequenz Zgu und die obere Grenzfrequenz Zgo ( aus A ( Z ) =

1 2

).

5. Stellen Sie den Amplituden- und Phasengang grafisch dar und interpretieren Sie die Grafik

6. z-Transformation 6.1 z-Transformationen elementarer Funktionen Beispiel 1: Bestimmen Sie die z-Transformierte der Folge ...f(-2) = 0, f(-1) = 0, f(0) = 2, f(1) = 4, f(2) = 6, f(3) = 4, f(4) = 2, f(5) = 0, f(6) = 0,... Geben Sie den Konvergenzbereich der Bildfunktion an und stellen Sie die Folge grafisch dar. Beispiel 2: Gegeben ist die z-Transformierte F(z) = 2 + 4 z -1 + 6 z -2 + 4 z -3 + 2 z -4. Wie lautet die zugehörige Folge im Originalbereich ? Stellen Sie die Folge grafisch dar. Beispiel 3: Bestimmen Sie die z-Transformierte der zeitdiskreten Einheitssprungfolge f (n) =3 )(n). Nach der z-Transformation führe man auch die Rücktransformation mit Mathcad durch. Stellen Sie die Folge f(n) grafisch dar. Beispiel 4: Bestimmen Sie die z-Transformierte des Einheitsimpulses oder Dirac-Deltaimpulses f(n) = 5 G(n). Nach der z-Transformation führe man auch die Rücktransformation mit Mathcad durch. Stellen Sie die Folge f(n) grafisch dar. Beispiel 5: Das nachfolgend angegebene Signal u(t) (Rampe) wird mit einer Abtastzeit T A = 2 ms abgetastet. Bestimmen Sie die z-Transformierte dieses abgetasteten Signals. ms  10 u ( t) 

3

Einheitendefinition

˜s

0 ˜ V if t  2 ˜ ms 3 4

˜

V ms

˜ ( t  2 ˜ ms) if 2 ˜ ms d t d 10 ˜ ms

Gegebenes Signal

0 ˜ V otherwise

Seite 459

Anhang - Übungsbeispiele

Beispiel 6: Der Zusammenhang zu einem kontinuierlichen Sinussignal cos( Z t) ergibt sich durch cos(Z n TA) = cos(n :0 ) mit :0 = 2 S f T A und f = f A/N. Für eine rechtsseitige Kosinusfolge f(n) = cos(n :0 ) soll die z-Transformierte bestimmt werden. :0 

S

normierte Frequenz

6

6.2 Eigenschaften der z-Transformation Beispiel 1: Führen Sie eine z-Transformation und Rücktransformation der Folge f(n) = 0.9 n V(n) - 0.5n V(n) (n t 0) durch (Superpositionssatz). Beispiel 2: Bestimmen Sie die z-Transformierte der nachfolgend angegebenen Folge (Zeitverschiebungssatz). f ( n) =

n2

a

if n t 2 š a  1

gegebene Folge

0 otherwise Beispiel 3: Wie lautet die z-Transformierte der Folge f(n) = 0.5 n sin(n :0 ) (Modulationssatz)? Beispiel 4: Wie lautet die z-Transformierte der Folge f(n) = n 0.5n (Differentiation im z-Bereich)? Beispiel 5: Bestimmen Sie die z-Transformierte des Faltungsproduktes f 1 (n) * f2 (n) nachfolgend angegebenen Folgen. f1 ( n)  ) ( n)  ) ( n  1) n

f2 ( n) 

§ 6 · ˜ ) ( n) ¨ © 10 ¹

Beispiel 6: Bestimmen Sie den Anfangs- und Endwert der nachfolgend gegebenen z-Transformierten und führen Sie dann eine Rücktransformation mit Mathcad durch. 2

F ( z) 

z  0.8 ˜ z  1 2

gegebene z-Transformierte

z  1.4 ˜ z  0.4

Seite 460

Anhang - Übungsbeispiele

6.3. Rücktransformation aus dem Bildbereich in den Originalbereich Beispiel 1: Die nachfolgend angegebene z-Transformierte F(z) soll mithilfe der Partialbruchzerlegung rücktransformiert werden. Die Rücktransformation soll auch mithilfe von Mathcad durchgeführt werden. Die Nullstellen und die Polstellen von F(z) und die Rücktransformierte f(n) sollen grafisch dargestellt werden. 3 F ( z) 

5 6

˜z

1

§  1 ˜ z  1· ˜ § 1  1 ˜ z  1· ¨1 ¨ 3 4 © ¹ © ¹

gegebene z-Transformierte

6.4 Anwendungen der z-Transformation 6.4.1 Lösungen von Differenzengleichungen Beispiel 1: Lösen Sie die nachfolgende inhomogene lineare Differenzengleichung mithilfe einer Transformationstabelle und mithilfe von Mathcad. Die Anfangsbedingung lautet: y(0) = 2. y ( n  1) 

1 3

mit

˜ y ( n) = x ( n)

x ( n) = 4 ˜ G ( n)

gegebene Differenzengleichung

Beispiel 2: Lösen Sie die nachfolgende inhomogene lineare Differenzengleichung mithilfe einer Transformationstabelle und mithilfe von Mathcad. Die Anfangsbedingung lautet: y(0) = y0 = 1. n

gegebene Differenzengleichung

y ( n  1)  2 ˜ y ( n) = n ˜ 3 Beispiel 3:

Lösen Sie die nachfolgende inhomogene lineare Differenzengleichung 2. Ordnung. Die Anfangsbedingungen lauten: y(0) = y 0 = 0 und y(1) = y1 = 1. y ( n  2) 

1 2

n

˜ y ( n  1)  3 ˜ y ( n) = 3

gegebene lineare Differenzengleichung 2. Ordnung

6.4.2 Übertragungsverhalten von Systemen Beispiel 1: Wie lautet die Übertragungsfunktion G(z) der gegebenen Differenzengleichung mit verschwindenden Anfangsbedingungen ? Wie lautet die Impulsantwort g(n) und der Frequenzgang G(:) des Systems ? y ( n) 

1 4

˜ y ( n  1) = x ( n) 

1 5

˜ x ( n  1)

gegebene lineare Differenzengleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Seite 461

Anhang - Übungsbeispiele

Beispiel 2: Die Differenzengleichung eines FIR-Filters, das am Ausgang den Mittelwert der letzten 3 Signalwerte ausgibt, lautet: y ( n) =

1 3

˜ x ( n) 

1 3

˜ x ( n  1) 

1 3

˜ x ( n  2)

gegebene lineare Differenzengleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Wie lautet die Übertragungsfunktion G(z) der gegebenen Differenzengleichung mit verschwindenden Anfangsbedingungen ? Beispiel 3: Wie lautet die Übertragungsfunktion G(z) der gegebenen Differenzengleichung mit verschwindenden Anfangsbedingungen ? Wie lauten die Impulsantwort g(n) und der Frequenzgang und Phasengang des Systems ? gegebene lineare Differenzengleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

y ( n)  0.5 ˜ y ( n  1) = x ( n) Beispiel 4:

Wie lautet die Übertragungsfunktion G(z) der gegebenen Differenzengleichung mit verschwindenden Anfangsbedingungen ? Wie lauten die Impulsantwort g(n) und der Frequenzgang und Phasengang des Systems ? y ( n) 

1 2

˜ y ( n  1) = x ( n) 

1 3

˜ x ( n  1)

gegebene lineare Differenzengleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

7. Differentialgleichungen 7.2.1 Die gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung Beispiel 1: Für die gegebene Differentialgleichung soll das Richtungsfeld im Intervall [x a , xe ] = [-3, 3] und die exakte Lösung durch den Punkt P(2|0) im Richtungsfeld dargestellt werden. Die Lösung soll auch mit dem Euler-Verfahren und Runge-Kutta-Verfahren angenähert werden. y' ( x)  5 ˜ x = 0

Um welche Differentialgleichung handelt es sich ?

Beispiel 2: Für die gegebene Differentialgleichung soll das Richtungsfeld im Intervall [x a , xe ] = [-3, 3] und die exakte Lösung durch den Punkt P(1|2) im Richtungsfeld dargestellt werden. Die Lösung soll auch mit dem Euler-Verfahren und Runge-Kutta-Verfahren angenähert werden. y' ( x)  2 ˜ y = 0

Um welche Differentialgleichung handelt es sich ?

Beispiel 3: Für die gegebene Differentialgleichung soll das Richtungsfeld im Intervall [x a , xe ] = [-2, 2] und die exakte Lösung durch den Punkt P(0|2) im Richtungsfeld dargestellt werden. Die Lösung soll auch mit dem Euler-Verfahren und Runge-Kutta-Verfahren angenähert werden. y' ( x)  x ˜ y = 0

Um welche Differentialgleichung handelt es sich ?

Seite 462

Anhang - Übungsbeispiele

Beispiel 4: Die Geschwindigkeitsverteilung eines strömenden Flusses von der Breite 2 a = 100 m und der Geschwindigkeit v 0 = 2 m/s in der Mitte des Flusses sei als Funktion des Abstandes x von der

§

Mittellinie als parabolisch angenommen: vF ( x) = v0 ˜ ¨ 1  ¨

2·

x

2

.

a ¹ © An den Ufern, d.h. an den Randstellen x = +/- a, ist die Flussgeschwindigkeit v F = 0. Ein Schwimmer mit der Eigengeschwindigkeit v E = konst. schwimmt, um den Fluß möglichst schnell zu überqueren, relativ zum Flusse in Richtung der positiven x-Achse senkrecht zur Strömungsrichtung. Bestimmen Sie die möglichen durchschwommenen absoluten Bahnen und eine bestimmte Bahn, wenn der Schimmer im Punkt P(-a | 0m) startet ? Wie weit wird der Schwimmer abgetrieben ? Anleitung: Stellen Sie das Problem grafisch dar.

tan ( D ) =

d dx

y=

vF Um welche Differentialgleichung handelt es sich ?

vE

Beispiel 5: Wie lautet die allgemeine Lösung der gegebenen Differentialgleichung ? Um welche Differentialgleichung handelt es sich ? y ( x) ˜ y' ( x)  x = 0 Beispiel 6: Wie lautet die Lösung der gegebenen Differentialgleichung, wenn sie durch den Punkt P(

S 4

gehen soll ? Um welche Differentialgleichung handelt es sich ? 2

y' ( x)  y ( x)  1 = 0 Beispiel 7: Lösen Sie folgende Differentialgleichung. Um welche Differentialgleichung handelt es sich ? x ˜ y' ( x)  y  x = 0 (x z0) Beispiel 8: Lösen Sie folgendes Anfangswertproblem y(2) = 2 und stellen Sie die Kurve in einem Polarkoordinatenpapier dar. Um welche Differentialgleichung handelt es sich ? y' ( x) = 5 ˜

x y x y

(x zy)

Beispiel 9: Wie lautet die allgemeine Lösung der folgenden Differentialgleichung ? Um welche Differentialgleichung handelt es sich ?

x2  2 ˜ y(x) ˜ y' (x)  2 ˜ x ˜ y(x) = 0 Seite 463

|

3)

Anhang - Übungsbeispiele

Beispiel 10: Lässt sich die gegebene Differentialgleichung durch Multiplikation mit dem Faktor 1/x 2 in eine exakte Differentialgleichung überführen ? Wenn ja, dann lösen Sie diese Differentialgleichung. y ( x)  x ˜ ( 2 ˜ x ˜ y ( x)  1) ˜ y' ( x) = 0 Beispiel 11: Exponentielles Wachstum tritt immer dann auf, wenn die Änderung der Zahl der Individuen einer Population (Frösche oder Seerosen in Teich, Bakterien in Nährlösung, verzinstes Kapital oder Entnahme der Zinserträge usw. sich proportional zur Zahl der Individuen und einer Vermehrungsrate verändert. Die Differentialgleichung dN = O N dt beschreibt solche Zusammenhänge. Lösen Sie sie unter der Anfangsbedingung N(t = 0) = N 0 . Beispiel 12: Wie lautet die Lösung der Differentialgleichung eines Sonderfalls des beschränkten Wachstums ? Um welche Differentialgleichung handelt es sich ? d dx

g ( x) = k ˜ ( G  g ( x) )

k und G sind Konstanten

Beispiel 13: Lösen Sie mit verschiedenen Methoden folgende Differentialgleichungen und bestimmen Sie den Typ der Differentialgleichung. Machen Sie auch eine Probe. a)

b)

c)

d)

d dx d dx d dx d dx

y ( x) 

4 x

˜ y ( x) = 2 ˜ x 

4 x

y ( x)  5 ˜ y ( x) = 26 ˜ sin ( x)

s1 ( x) 

s1 ( x) x

= cos ( x)

s1 ( x)  tan ( x) ˜ s1 ( x) = 2 ˜ sin ( x)

Beispiel 14: Wie reagiert der Strom i(t) in einem R-L-Zweipol auf eine sprunghafte Änderung der Spannung U(t) = U 0 )(t) von außen ? Lösen Sie das Problem exakt mithilfe der Lösungsformel, mithilfe der Laplacetransformation und mithilfe eines Näherungsverfahrens unter der Annahme, dass zum Zeitpunkt t = 0 s der Strom i(0 s ) = 0 A ist. Stellen Sie mit selbst gewählten Werten dieses Problem auch grafisch dar. Für die Summe der Spannungen gilt: uL(t) + uR(t) = U0 Beispiel 15: Wie groß ist die maximale Geschwindigkeit vmax =

lim

v ( t) die eine fallende Kugel der Masse m

tof

erreicht, wenn der Luftwiderstand mit F L = - k v(t) angesetzt wird und die Erdanziehung als konstant angenommen wird ?

Seite 464

Anhang - Übungsbeispiele

Beispiel 16: Unter der Annahme, dass ein Körper zum Zeitpunkt t = 0 h die Anfangstemperatur -a = 20 °C hat und mit einer Umgebungstemperatur -u = 80 °C (-u > -a ) aufgewärmt wird, gilt folgende Differentialgleichung: d- = - k (- - -u) dt. Wie lautet die Funktion für den Aufwärmvorgang, wenn nach 1h der Körper eine Temperatur von 70 °C hat ? Stellen Sie das Problem grafisch mit Anlauftangente dar. Beispiel 17: Ein PT 1 -Regelkreis wird durch die nachfolgend gegebene Differentialgleichung beschrieben. Dabei ist ue (t) = U0 )(t) das konstante Eingangssignal und u a (t) das gesuchte Ausgangssignal. Für das Ausgangssignal gilt: u a ( 0 s) = 0V. T bedeutet die Zeitkonstante und K den Beiwert. Lösen Sie dieses Problem und stellen Sie es durch selbstgewählte Werte grafisch dar. T˜

d dt

ua ( t)  ua ( t) = K ˜ ue ( t)

Beispiel 18: Die Aufladung eines Kondensators mit der Kapazität C über einen Ohm'schen Widerstand wird durch die gegeben Differentialgleichung beschrieben. Wie lautet die Lösung für das Anfangswertproblem uc (0 s) = 0 V ? Stellen Sie die Lösung und ihre Anlauftangente für R = 1 k :, C = 20 PF und U 0 = 220 V dar. R˜ C˜

d dt

uC ( t)  uc ( t) = U0

Beispiel 19: Lösen Sie näherungsweise mit rkfest, Rkadapt und Bulstoer die gegebene Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung y(0) = 1/2 und vergleichen Sie die Näherungslösungen mit der gegebenen exakten Lösung im Intervall [0, 4]. Um welche Differentialgleichung handelt es sich ? 2

y' ( x) = y ( x) ˜ ( cos ( x)  sin ( x) )  y ( x)

y ( x) =

1 x

exakte Lösung

2 ˜ e  sin ( x) Beispiel 20: Ein Ball m0  0.2 kg, r  0.2 m, c w  0.4 wird mit der Anfangsgeschwindigkeit v 0 = 10 m/s lotrecht nach oben geworfen. Durch den Luftwiderstand F R, der quadratisch mit der Geschwindigkeit steigt, wird die Bewegung beeinflusst. Die Dichte der Luft sei U  1.3 kg/m3 . Bestimmen Sie aus der zugehörigen Differentialgleichung y(t) und v(t) und mithilfe des Differenzenquotienten die Funktion a(t), und stellen Sie das Problem grafisch dar.

Seite 465

Anhang - Übungsbeispiele

Erdbeschleunigung

g  9.81 2

Querschnittsfläche

A r ˜S

K

cw ˜ A ˜ U

Konstanter Produktfaktor

2 ˜ m0

v0  10

Anfangsgeschwindigkeit ( v(t = 0) = v 0 )

U 2 FR = c w ˜ A ˜ ˜ v ( t ) 2

Reibungskraft

7.2.2 Die gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung Beispiel 1: Wie lautet das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz v(t) und Weg-Zeit-Gesetz s(t) eines Körpers für den senkrechten Wurf nach oben (ohne Luftwiderstand) ? Die Anfangsbedingung lautet: s(0 s) = 0 m und s'(0 s) = v(0 s) = v0 gelten. Beispiel 2: Wie lautet die allgemeine Lösung der gegebenen Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung y(0) = 1 und y'(0) = 2 y'' ( x) ˜ cos ( x)  y' ( x) ˜ sin ( x) = 0 Beispiel 3: Wie lautet die allgemeine Lösung der gegebenen Differentialgleichung ? y'' ( x)  y' ( x)  1 = 0 Beispiel 4: Wie lautet die allgemeine Lösung der gegebenen Differentialgleichung ? y( x)

Anleitung: Substitution u =

y'' ( x) = e

´ 2 ˜ e  C1 und 2 ˜ µ µ µ ¶ y

Beispiel 5:

´ 2 µ ˜µ du = 2 C1 µ u  C1 µ µ ¶ 1

Wie lautet jeweils die allgemeine Lösung der gegebenen Differentialgleichung ? a)

y'' ( x)  2 ˜ y' ( x)  3 ˜ y ( x) = 0

b)

2˜

2

d

dt c)

2

x ( t)  20 ˜

d dt

x ( t)  50 ˜ x ( t ) = 0

y'' ( x)  4 ˜ y' ( x)  13 ˜ y ( x) = 0

Seite 466

1

§ u · 1 ¨ © C1 ¹

du

Anhang - Übungsbeispiele

Beispiel 6: Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme exakt, mithilfe der Laplacetransformation und mithilfe numerischer Methoden: a)

y'' ( x)  y' ( x)  6 ˜ y ( x) = 0

y(0) = 2 und y'(0) = 0

b)

y'' ( x)  4 ˜ y' ( x)  5 ˜ y ( x) = 0

y(0) = S und y'(0) = 0

c)

4˜

2

d

dt

2

x ( t)  4 ˜

d dt

x(0) = 5 und x'(0) = -1

x( t)  x( t) = 0

Beispiel 7: Besitzt die gegebene Differentialgleichung die linear unabhängigen Lösungen x 1 und x2 ? x'' ( t)  2 ˜ x' ( t )  2 ˜ x ( t ) = 0 t

x1 ( t) = e

t

˜ cos ( t)

x2 ( t) = e

˜ sin ( t)

Beispiel 9: Ein einseitig eingespannter homogener Balken (Kragbalken) der Länge L wird am freien rechten Ende durch eine Kraft F nach unten gebogen. Wie lautet die Gleichung der Biegelinie y(x), wenn y(0) = 0 und y'(0) = 0 gegeben sind. Wie groß ist die größte Durchbiegung y max ? y'' ( x) =

M ( x) E˜I

mit

zugehörige Differentialgleichung

M ( x) = F ˜ ( L  x)

Beispiel 10: Einer auf zwei Auflager in A und B gestützter Träger mit der Länge L wird durch eine Dreieckslast belastet. Wie lautet die Gleichung der Biegelinie und die Durchbiegung bei x = L/3 und x = 2/3 L ? Es gelte die Randbedingung y(0) = 0 und y(L) = 0.

y'' ( x) =

M ( x) E˜I

mit

M ( x) =

F 3

2·

§

x

¨ ©

L

˜ x ˜ ¨1 

2

zugehörige Differentialgleichung

¹

Beispiel 11: Die Nickbewegung eines Kraftfahrzeuges unmittelbar nach dem Stillstand beim Bremsen kann in einer Näherung als gedämpfte Drehschwingung des Fahrzeuges um seinen Schwerpunkt angesehen werden. Lösen Sie die gegebene Differentialgleichung für M(0) = 0.1 und M'(0) = 0. 2

d

dt

2

M ( t)  5.2 ˜ s

1 d

˜

dt

M ( t)  67.6 ˜ s

2

˜ M ( t) = 0

Seite 467

Anhang - Übungsbeispiele

Beispiel 12: In einem elektromagnetischen Parallelschwingkreis ist L = 100 mH, C = 92 PF und R = 54.3 :. Zum Zeitpunkt t = 0 s gilt: u(0 s) = 5 V und u'(0 s) = 2.22 V/ms. Berechnen Sie G, Z, A und M und stellen Sie die Lösung der zugehörigen Differentialgleichung grafisch dar.

Beispiel 13: Wie lautet jeweils die allgemeine Lösung der gegebenen Differentialgleichungen ? 2

a)

y'' ( x)  y' ( x)  2 ˜ y ( x) = 3 ˜ x  4 ˜ x  5

b)

y'' ( x)  10 ˜ y' ( x)  25 ˜ y ( x) = 3 ˜ e

c)

y'' ( x)  2 ˜ y' ( x)  10 ˜ y ( x) = 3 ˜ sin ( 2 ˜ x)

5˜x

Beispiel 14: Lösen Sie folgende Anfangswertprobleme:

a)

2

d

dt

b)

x( t)  6 ˜

2

d

dt c)

2

2

x( t)  2 ˜

d dt d dt

x ( t)  10 ˜ x ( t ) = cos ( t)

x(0) = 0 und x'(0) = 3

x ( t)  17 ˜ x ( t ) = 2 ˜ sin ( 5 ˜ t )

y(S) = 0 und y'(S) = 1

 2˜t

y'' ( x)  2 ˜ y' ( x)  3 ˜ y ( x) = e

y(0) = 0 und y'(0) = 1

Beispiel 15: Ein schwingungsfähiges mechanisches Feder-Masse-System mit den Kenngrößen m = 10 kg, E = 35 kg/s und k = 80 N/m wird durch eine von außen einwirkende Kraft F = 10 N sin(1s -1 t) zu erzwungenen Schwingungen angeregt. Zur Zeit t = 0 s soll y(0 s ) = 10 cm und y' (0 s) = 0 cm/s sein. Wie lautet die allgemeine Lösung der Schwingungsgleichung ? Wie lautet die stationäre Lösung der Schwingungsgleichung ? Stellen Sie die stationäre Lösung, die Resonanzamplitude und die Phasenverschiebung grafisch dar. Beispiel 16: Bei einem Serienschwingkreis LRC wird zum Zeitpunkt t = 0 s der Stromkreis geschlossen. Je nach Bauteilgrößen können verschiedene Schwingungsarten (Schwingungsfall ( G < Z0 ), aperiodischer Grenzfall (G = Z0 ), kriechende Dämpfung (G >Z0 ) auftreten.

Seite 468

Anhang - Übungsbeispiele

Gesucht: 1. Allgemeine Herleitung der Funktionen für die Spannungen uL, uR, uC und den Strom i. 2. Grafische Darstellung und Schwingungsart bei U0 = 10 V, R = 100 :, C = 25 PF, L = 1 H. 3. Verhalten des Schwingkreises bei U0 = 100 V, R = 1000 :, C = 6.25 PF, L = 1 H. a) Welcher Fall tritt bei der Schaltung auf ? b) Spannungsverlauf u C = f(t) Es gilt:

i ( t) = C ˜

d dt

c) Stromverlauf i = f(t) d) Maximaler Strom Imax

uC ( t)

Anfangsbedingungen: i(0 s) = 0 A und u C(0 s)= 0 V

Beispiel 17: Bilden die Lösungen x1 = x und x2 =

x ein Fundamentalsystem für die gegebene

Differentialgleichung ? y'' ( x) 

1 2˜ x

˜ y' ( x) 

1 2

˜ y ( x) = 0

2˜ x

Beispiel 18: Eine Rakete startet senkrecht von der Erde nach oben. Untersuchen Sie die Auswirkung eines exponentiell abnehmenden Luftwiderstandes. Die Erdbeschleunigung sei konstant. Stellen Sie das s-tund das v-t-Diagramm grafisch dar. g  9.81

konstante Erdbeschleunigung

m0  8000

Startmasse in kg

dm  45

Masseverlust in kg/s

FS  130000

Schubkraft in N

y ( 0) = 0

Anfangsauslenkung

y' ( 0) = 0

Anfangsgeschwindigkeit  0.00013˜y

exponentielle Abnahme der Luftdichte

U ( y)  1.3 ˜ e

m0  dm ˜ t ˜

2

d

dt

2





2

s = FS  m0  dm ˜ t ˜ g  0.8 ˜ U ˜ v

Seite 469

gegebene Differentialgleichung

Anhang - Übungsbeispiele

Beispiel 19: Für die Bewegung eines Fadenpendels der Länge L = 0.5 m und der Masse m gilt für den Auslenkwinkel M(t) die nachfolgend gegebene Differentialgleichung. Das Pendel soll aus der Ruhelage heraus M(0) = 0 mit einer anfänglichen Winkelgeschwindigkeit von M'(0) = 1 in Bewegung gesetzt werden. Bestimmen Sie den Auslenkwinkel M(t) und die Winkelgeschwindigkeit M'(t) und stelle diese Funktionen grafisch dar. 2

d

dt

2

M ( t) =

g L

˜ sin ( M ( t) )

7.2.3 Die gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung Beispiel 1: Gegeben ist die nachfolgende Differentialgleichung 3. Ordnung mit den Anfangsbedingungen y(0) = y0 = 10, y'(0) = y'0 = 1 und y''(0) = y'' 0 = 0. Wie lautet die Lösung der Differentialgleichung ? y''' ( x)  6 ˜ y'' ( x)  11 ˜ y' ( x)  6 ˜ y ( x) = 0 Beispiel 2: Gegeben ist die nachfolgende Differentialgleichung 3. Ordnung mit den Anfangsbedingungen y(0) = y0 = 0, y'(0) = y' 0 = 0 und y''(0) = y''0 = 0. Wie lautet die Lösung der Differentialgleichung ? 2 ˜ y''' ( x)  5 ˜ y'' ( x)  6 ˜ y' ( x)  2 ˜ y ( x) = 0 Beispiel 3: Gegeben ist die nachfolgende Differentialgleichung 4. Ordnung. Wie lautet die Lösung der Differentialgleichung ? ( 4)

y

˜ ( x)  4 ˜ y''' ( x)  5 ˜ y'' ( x)  4 ˜ y' ( x)  4 ˜ y ( x) = 0

Beispiel 4: Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme:

a)

4

d

dt

4

2

dt

5

d b)

dt

5

d

y ( t)  10 ˜

2

y ( t)  9 ˜ y( t) = 0

3

x( t)  5 ˜

d

dt

3

x ( t)  4 ˜

d dt

x( t) = 0

y(S) = 6, y'(S) = 0, y''(S) = 0, y'''(S) = 0

x(0) = 0, x'(0) = 0, x''(S) = 0, x'''(0) = 0, x (4)(0) = 10

Seite 470

Anhang - Übungsbeispiele

Beispiel 5: Wie lauten die allgemeinen Lösungen der folgenden Differentialgleichungen ? a)

y''' ( x)  2 ˜ y'' ( x)  y' ( x) = 5 ˜ cos ( x)

b)

y''' ( x)  3 ˜ y'' ( x)  3 ˜ y' ( x) = x  6 ˜ e

c)

y''' ( x)  3 ˜ y' ( x)  2 ˜ y ( x) = 2 ˜ cos ( x)  3 ˜ sin ( x)

d)

x

x

( 4)

t

( t )  2 ˜ x'' ( t)  x ( t) = t ˜ e

Beispiel 6: Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme: ( 5)

a)

v

b)

y''' ( x)  9 ˜ y' ( x) = 18 ˜ x

v(0) = 1, v'(0) = -1, v''(0) = 1, v'''(0) = 0, v(4)(0) = -2

( t )  v' ( t) = 2 ˜ t  2

y(S) = S2, y'(S) = 2 S, y''(S) = 10

Beispiel 7: Ein Druckstab der Länge L, der beidseitig gelenkig gelagert ist, ist von beiden Seiten längs des Stabes mit einer Kraft F eingespannt und wird sinusförmig belastet. Mit den Randbedingungen y(0) = y(L) = 0 und y''(0) = y''(L) = 0 soll die für dieses Problem gegebene Differentialgleichung gelöst werden. ( 4)

E˜I˜y

§ S ˜ x· ( x)  F ˜ y'' ( x) = Q0 ˜ sin ¨ © L ¹

E I bedeutet die konstante Biegesteifigkeit

7.2.4 Differentialgleichungssysteme Beispiel 1: Wie lauten die Lösungen der gegebenen linearen Differentialgleichungssysteme ? a)

y1' = 5 ˜ y1  y2 y2' = 4 ˜ y1  y2

b)

y1' = 3 ˜ y1  2 ˜ y2 y2' = 6 ˜ y1  3 ˜ y2

Beispiel 2: Wie lauten die Lösungen folgender Anfangswertprobleme? a)

y1' = 3 ˜ y1  5 ˜ y2

y1 (0) = 1, y2 (0) = 1

y2' = y1  y2 b)

y1' = y1  4 ˜ y2

y1 (0) = 0, y2 (0) = 2

y2' = y1  y2

Seite 471

c)

y1' = y1  2 ˜ y2 y2' = y2

Anhang - Übungsbeispiele

Beispiel 3: Wie lauten die Lösungen des gegebenen linearen Differentialgleichungssystems ? y1' = y2  y3 y2' = y1  y3 y3' = y1  y2 Beispiel 4: Wie lauten die Lösungen folgender Anfangswertprobleme? a)

y1 (0) = 0, y2 (0) = -1

y1' = 2 ˜ y1  2 ˜ y2  t t

y2' = 2 ˜ y1  3 ˜ y2 ˜ 3 ˜ e t

x1 (0) = - 0.5, x2 (0) = 0

x1' = x1  4 ˜ x2  e

b)

t

y2' = y1  y2  2 ˜ e Beispiel 5:

Lösen Sie die gegebene lineare Differentialgleichung mithilfe des Runge-Kutta Verfahrens für die Anfangsbedingungen y(0) = 2, y'(0) = 3, y''(0) = 0 im Intervall [x a , xe ] = [0, 10]. y''' ( x)  5 ˜ y'' ( x)  2 ˜ y' ( x)  3 ˜ y ( x) = 2 ˜ sin ( 2 ˜ x) Beispiel 6: Die Auslenkungen zweier gekoppelter Pendel aus der Ruhelage beschreibt das nachfolgend gegebene Differentialgleichungssystem. Führen Sie das System in ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung über und bestimmen Sie die Lösungen dieses Systems. y1'' ( x) = 7 ˜ y1  y2 y2'' = 4 ˜ y1  7 ˜ y2 Beispiel 7: Auf einer freidrehbaren Welle mit einer Drehfederkonstante c befinden sich 2 Drehmassen mit den Massenträgheitsmomenten J. Die Wellenenden sind mit den Massen starr eingespannt. M1 und M2 sind die Drehwinkel der beiden Massen, von einer Ausgangslage M = 0 ausgehend. Auf die Massen wirken dann Momente, die dem Betrage nach gleich sind. Das dynamische Grundgesetz der Drehung kann dann für jede Masse angeschrieben werden: 2

J˜

d

dt

2

J˜

d

dt



M ( t) = c ˜ M 2 ( t)  M 1 ( t) 2 1

Z0 =



M ( t) = c ˜ M 2 ( t)  M 1 ( t) 2 2

2˜ c J



Seite 472

Anhang - Übungsbeispiele

Bestimmen Sie die Eigenschwingungen dieses Torsionsschwingers mit den zugehörigen Eigenkreisfrequenzen Z mithilfe des Lösungsansatzes: M 1 ( t) = A1 ˜ sin ( Z ˜ t)

M 2 ( t) = A2 ˜ sin ( Z ˜ t) Stellen Sie die Eigenschwingungen mit selbst gewählten Größen grafisch dar Beispiel 8: Ein Massenpunkt bewegt sich in der x-y-Ebene und genügt folgenden Differentialgleichungen: 2

d

dt

2

x( t) =

d dt

y( t)

2

d

d y( t) =  x ( t) dt dt 2

Bestimmen Sie die Bahnkurve für die Anfangswerte x(0) = y(0) = 0, x'(0) = 0, y'(0) = 2 und stelle die Bahnkurve grafisch dar. Beispiel 9: Lösen Sie analog das im Beispiel 7.65 dargestellte Problem für zwei gekoppelte Pendel.

8. Differenzengleichungen Beispiel 1: Ermitteln Sie die Lösung der folgenden Differenzengleichungen und stellen Sie das Ergebnis grafisch dar. Stellen Sie jeweils dafür einen Web-Plot her und untersuchen Sie, ob ein stabiler Fixpunkt vorliegt. a) yn = 1/2 yn-1 + 2 ; y0 = 8 b) yn = - 1/2 yn-1 + 4 ; y0 = 5 c) yn = 3/4 yn-1 + 0.25 ; y0 = 1 d) yn = - yn-1 + 4 ; y0 = 2 Beispiel 2: Ermitteln Sie die ersten 20 Glieder der Lösungsfolge der folgenden logistischen Differenzengleichungen und stellen Sie das Ergebnis grafisch dar. Stellen Sie jeweils dafür einen Web-Plot her und untersuchen Sie, ob ein stabiler Fixpunkt vorliegt. a) yn = 2 yn-1 (1- yn-1) ; y0 = 0.1 und y0 = 0.101 b) yn = 0.001 yn-1 (1000- yn-1) ; y0 = 1 Beispiel 3: Ermitteln Sie die ersten 50 Glieder der Lösungsfolge der folgenden nichtlinearen Differenzengleichungen und stellen Sie das Ergebnis grafisch dar. a) yn = 1.5 cos(y n-1) ; y0 = 0.5 b) yn = 4 cos(y n-1) ; y0 = 0.501

Seite 473

Anhang - Übungsbeispiele

Beispiel 4: Ermitteln Sie die ersten 20 Glieder der Lösungsfolge der folgenden Differenzengleichungen 2. Ordnung und stellen Sie das Ergebnis grafisch dar. a) yn = yn-1 - 0.9 yn-2 ; y0 = 1 und y1 = 1 b) yn = yn-1 - 0.2 yn-2 ; y0 = 1 und y1 = 0 Beispiel 5: Der Umsatz eines Unternehmens steigt von einem anfänglichen Jahresumsatz von € 50 000 pro Jahr um durchschnittlich 3 %. Stellen Sie dazu eine Differenzengleichung auf und lösen Sie sie. Beispiel 6: Zu Beginn eines Jahres wird ein einmaliger Betrag von € 500 bei einer jährlichen Verzinsung von p = 4 % auf ein Sparkonto eingezahlt. Am Ende eines jeden Jahres wird € 20 abgehoben. Beschreiben Sie den Vorgang durch eine Differenzengleichung und lösen Sie sie. St ellen Sie das Ergebnis grafisch dar. Beispiel 7: Ermitteln Sie das Übertragungsverhalten eines RC-Gliedes für eine Eingangsfolge ue n = U0 )(n) aus der Kenntnis seiner Reaktion auf das Anlegen einer Gleichspannung U 0 = 10 V zur Zeit t = 0 s. Für diese Schaltung gelte für die Zeitkonstante W = R C = 0.1 s. Für die Spannung an Kondensator zur Zeit t t0 s gilt: ua (t) = U0 (1 - e - t/W). Hinweis: Ermitteln Sie die zugehörige Differenzengleichung aus der Spannung am Kondensator ( ua n-1 für tn-1 = (n-1) 't und uan für tn = n 't ). Wählen Sie für die Abtastzeit 't = 0.01 s. Stellen Sie die Ausgangsfolgeglieder und die Eingangsfolgeglieder grafisch dar. Beispiel 8: Ein diskretes System ist durch die Differenzengleichung y n = 0.5 yn-1 + un-1 und y0 = 0 gegeben. Berechnen Sie seine a) Sprungantwort, d.h. u n = )(n) b) Impulsantwort, d.h. u n = G(n). Stellen Sie die Ausgangsfolgeglieder und die Eingangsfolgeglieder grafisch dar. Beispiel 9: Ein digitales Filter ist als diskretes System durch y n = 0.9048 y n-1 + un + un-1 und y0 = 0 gegeben. Zeigen Sie, dass sich das System wie ein Hochpass verhält (sinusförmige Eingangsfolgen mit niedrigeren Frequenzen werden stärker gedämpft als solche mit höheren Frequenzen), wenn a) un = sin(1/30 n) )(n) b) un = sin(3/10 n) )(n) . Stellen Sie die Ausgangsfolgeglieder und die Eingangsfolgeglieder grafisch dar.

Seite 474

Anhang - Korrespondenztabellen

Korrespondenztabellen zur Laplace- und z-Transformation

Laplace-Transformierte

Stellvertretende Funktion f(t)

z-Transformierte

L { f(t) } = F(s) bzw. F(p)

oder Zahlenfolge f(t = n T) = f(t )

Z{f(tn)} = F(z)

n

mit f(t) = 0 für t < 0. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- n˜T˜s

n

e G ( t  n ˜ T) z (n = 0, 1, ...) -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1 z 1 s z1 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1 T˜z t 2 2 s ( z  1) -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2 z1 2 2 t T ˜z˜ 3 3 s ( z  1) -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------m

m

t (m = 1, 2, ...)

m 1

T

m

˜z˜

z

m 1

 .... m 1

s ( z  1) -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1 z z a˜t e = (a ) a˜T sa z  za ze -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------z n 1 alternierende z1 z n n a = a ˜ cos ( n ˜ S ) diskrete Folgen za -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1

1

s ˜ ( s  a)

a



§ 1  e a˜T · z ¨ ˜ a © ¹ ( z  1) ˜ z  e a˜T



 a˜t

˜ 1e





-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1 1 1 z z  a˜t  b˜t § · ˜ e e ˜¨   a˜T  b˜T ( s  a) ˜ ( s  b) ba b a ze ©z  e ¹ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



( b  a) ˜ s ( s  a) ˜ ( s  b)

 b˜t

b˜ e



a˜t

 a˜ e

Seite 475



 a˜T

z ª¬z ˜ ( b  a)  b ˜ e

z  e a˜T ˜ z  e b˜T

¼

 b˜T º

 a˜ e

Anhang - Korrespondenztabellen

Laplace-Transformierte

Stellvertretende Funktion f(t)

z-Transformierte

L { f(t) } = F(s) bzw. F(p)

oder Zahlenfolge f(t = n T) = f(t )

Z{f(tn)} = F(z)

n

mit f(t) = 0 für t < 0. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1

 a˜T

T˜e

 a˜t

( s  a)

t˜e

2

˜z

z  e a˜T 2

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------m

t

m 1

m

a˜t

˜e

m

§ z · m¨ da © z  ea˜T ¹ d

(m = 1, 2, ...)

( s  a) -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Z sin ( Z ˜ T) sin ( Z ˜ t) z˜ 2 2 2 s Z z  2 ˜ cos ( Z ˜ T) ˜ z  1 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s z  cos ( Z ˜ T) cos ( Z ˜ t) z˜ 2 2 2 s Z z  2 ˜ cos ( Z ˜ T) ˜ z  1 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s ˜ sin ( M )  Z ˜ cos ( M ) z ˜ sin ( M )  sin ( Z ˜ T  M ) sin ( Z ˜ t  M ) z˜ 2 2 2 s Z z  2 ˜ cos ( Z ˜ T) ˜ z  1 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Z

 a˜t

2

2

e

 a˜T

˜ sin ( Z ˜ t)

z˜

e 2

˜ sin ( Z ˜ T)

 a˜T

 2˜a˜T

( s  a)  Z z  2˜ e ˜ cos ( Z ˜ T) ˜ z  e -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------sa

 a˜t

2

2

e

 a˜T

˜ cos ( Z ˜ t) z ˜

ze 2

˜ cos ( Z ˜ T)

 a˜T

 2˜a˜T

( s  a)  Z z  2˜ e ˜ cos ( Z ˜ T) ˜ z  e -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------( s  a) ˜ sin ( M )  Z ˜ cos ( M ) 2

2

 a˜t

e

 a˜T

˜ sin ( Z ˜ t  M )

z˜

z ˜ sin ( M )  e 2

˜ sin ( Z ˜ T  M )

 a˜T

 2˜a˜T

( s  a)  Z z  2˜ e ˜ cos ( Z ˜ T) ˜ z  e -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2˜ Z ˜ s

 s 2  Z 2

2

t ˜ sin ( Z ˜ t)

T˜z˜

z2  1 ˜ sin (Z ˜ T)

z2  2 ˜ cos (Z ˜ T) ˜ z  1

2

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2

s Z

2

 s 2  Z 2

2

t ˜ cos ( Z ˜ t)

T˜z˜

z2  1 ˜ cos (Z ˜ T)  2 ˜ z 2 z2  2 ˜ cos (Z ˜ T) ˜ z  1

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2

a

s ˜ ( s  a)

 a˜t

2

1e

( 1  a ˜ t)

Seite 476

z z1



z za

 a˜T

 a˜ T˜ e

˜

z

z  e a˜T

2

Anhang - Literaturverzeichnis

Literaturverzeichnis Dieses Literaturverzeichnis enthält einige deutsche Werke über Mathcad, Algebra, Analysis und Differential- und Integralrechnung. Es sollte dem Leser zu den Ausführungen dieses Buches bei der Suche nach vertiefender Literatur eine Orientierungshilfe geben. BENKER, H. (2005). Differentialgleichungen mit Mathcad und Matlab. Berlin: Springer. BLATTER, C. (1992). Analysis 2. Berlin: Springer. FICHTENHOLZ, G. M. (1978). Differential- und Integralrechnung II. Berlin: VEB. FORSTER, O. (1999). Analysis 3. Wiesbaden: Vieweg. FÖLLINGER, O. (1993). Laplace. und Fourier-Transformation. Heidelberg: Hüthing. GÖTZ, H. (1990). Einführung in die digitale Signalverarbeitung. Stuttgart: Teubner. HESSELMANN, N.(1987). Digitale Signalverarbeitung. Würzburg: Vogel. KLINGEN, F. (2001). Fouriertransformation für Ingenieure und Naturwissenschaftler.Berlin: Springer. KRÜGER, K. (2001). Transformationen. Wiesbaden: Vieweg. LEUPOLD, W. (1982). Mathematik Band III. Thun und Frankfurt/Main: Harri Deutsch. LEUPOLD, W. (1987). Analysis für Ingenieure. Thun und Frankfurt/Main: Harri Deutsch. MAEYER, M.(1998). Signalverarbeitung. Braunschweig - Wiesbaden: Vieweg. MARKO, H. (1995). Methoden der Systemtheorie. Berlin: Springer. MEYBERG, K., VACHENAUER, P. (1997). Höhere Mathematik 2. Berlin: Springer. PAPULA, Lothar (2001). Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band 1. Wiesbaden: Vieweg. PAPULA, Lothar (2001). Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band 2. Wiesbaden: Vieweg. RAUERT, H., FISCHER, I. (1978). Differential- und Integralrechnung II. Heidelberg: Springer. SCHLÜTER, G. (2000). Digitale Regelungstechnik. Leipzig: Fachbuchverlag. TRÖLSS, J. (2005). Angewandte Mathematik mit Mathcad (Lehr und Arbeitsbuch) Band 1: Einführung in Mathcad. Wien: Springer. TRÖLSS, J. (2005). Angewandte Mathematik mit Mathcad (Lehr und Arbeitsbuch) Band 2: Komplexe Zahlen und Funktionen, Vektoralgebra und analytische Geometrie, Matrizenrechnung, Vektoranalysis. Wien: Springer. TRÖLSS, J. (2006). Angewandte Mathematik mit Mathcad (Lehr und Arbeitsbuch) Band 3: Differential- und Integralrechnung. Wien: Springer. WAGNER, A.(2001). Elektrische Netzwerkanalyse. Norderstedt: BoD. WALTER, W. (1995). Analysis 2. Berlin: Springer. WÜST, R. (1995). Höhere Mathematik für Physiker. Berlin: Walter de Gruyter.

Seite 477

Anhang - Sachwortverzeichnis

Sachwortverzeichnis A

D

Abklingkonstante 307 Ableitungssatz 147, 149 absoluter Fehler 28, 31 absolute Konvergenz 8 Abtastfrequenz 96, 192 Abtastraten 96 Abtaststellen 95 Abtasttheorem 96 Abtastwerte 94, 95 Abtastzeitpunkte 94, 192 Ähnlichkeitssatz 122, 145 Airysche Differentialgleichung 350 Aliasing 96 alternierende Reihe 3, 8 Amplitude 56 Amplitudengang 82, 185 Amplitudenspektrum 56, 71, 112 Anfangsbedingungen 245, 248 Anfangswertaufgaben 249, 292 Anfangswerttheorem 153, 210 Ankerstrombelag 77 Ansatzmethode 243, 244, 293 aperiodischer Grenzfall 308 aperiodisches Signal 109, 112 Approximationsfunktionen 17 Approximationspolynom 20 arithmetische Reihe 2, 4

Dämpfungsexponent 307 Dämpfungssatz 146 DFT 94, 98 Dichtefunktion 48, 49 Differentiation im z-Bereich 206 Differentiation im Zeitbereich 125 Differentialgleichungen 160 Differentialgleichung 1. Ordnung 249 Differentialgleichungssysteme 245, 248, 381 Differenzengleichung 218, 219, 241, 417 Differenzierglied 177 Dirac- Impuls 117, 197 Dirichlet 54 Discret Fourier Transform 98 Diskrete Fourier-Transformation 94 Diskrete- und zeitdiskrete Systeme 417 Diskretisierungsmethoden 244 divergent 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Divergenz 5, 6, 7

B Bandweite 96 bedingte Konvergenz 8 Bernoullische Differentialgleichung 283 Bessel-Kelvin-Funktionen 350 Besselfunktionen 349 Bessel'sche Differentialgleichungen 349 Bilddatei 105 Bildbereich 155, 160, 212 Binomialreihe 40 binomischer Lehrsatz 40 Bode-Diagramm 81, 188 Bulirsch-Stoer-Verfahren 246, 289

E Effektivwerte 56 Eigenmoden 406 Eigenwertaufgaben 293 Eigenwerte 382 Eigenwertgleichung 382 Einheitsimpuls 197 Einheitsimpulsfolge 195, 196 Einheitssprung 116 Einstein 45 Einweggleichrichter 63 elementare Funktionen 195 Elementarsignale 115, 136 Endwerttheorem 153, 210 Energiespektrum 112 Energie-Theorem von Rayleigh 131 Entwicklungsstelle 13 Euler-Knickkraft 324 Euler-Formeln 42, 62, 305 Euler-Verfahren 249, 253 exakte Differentialgleichung 260 Exponentialfolge 201

C F Cauchy 6 CFFT 99 charakteristische Gleichung 301 Cobweb 421

Fallgeschwindigkeit 43 Fallschirmspringer 363 Faltung im Zeitbereich 126

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Anhang - Sachwortverzeichnis

Faltungssatz 151, 207 Faltungsprodukt 126, 151 Faltungssymbol 126 Fast Fourier-Transformation 98,132 Fehlerabschätzung nach Lagrange 25 Feldstärke 46 FFT 98, 99, 132 Filter 232 Fourier-Transformation 109 Fourierintegral 109, 112 Fourieranalyse 54 Fourierkoeffizienten 57, 66 Fourierpolynom 55, 66, 71 Fourierreihen 54 Fourierspektrum 112 Fouriersynthese 66, 69 freie gedämpfte Schwingung 308 freier Fall 44, 285, 294 Freileitung 360 Freileitungsseil 46 Frequenzspektrum 56, 66, 68, 71 Frequenzverschiebung 123 Fundamentalsystem 300 Funktionenreihen 13 Funktionentheorie 52 Funktionsgenerator 89

inverse diskrete Fourier-Transformation 94, 112 inverse Laplace-Transformation 136 Extremwertaufgaben 146 J Jakobi-Differentialgleichung 354 Jacobi-Matrix 246 K

G Gaußsche Differentialgleichung 357 Generatorspannung 90 geometrische Reihe 3, 4, 7 gerade Funktion 16 gewöhnliche Differentialgleichung 242, 292, 294, 368 gleichgradige Differentialgleichung 257 Greensche Methode 243, 245 H Hankelfunktionen 350 Harmonische 56 harmonische Reihe 1, 4, 5 Hermitesche-Differentialgleichung 356 Hermite'sche-Polynome 356 homogene Differentialgleichung 257 homogene lineare Differentialgleichung 262 I ICFFT 100 IDFT 94 IFFT 99, 132 inhomogene Differentialgleichung 163, 262, 326 Integralgleichungsmethode 243 Integralsatz 150, 151 Interpolationsfunktionen 17, 20

Kettenlinie 46, 360 kinetische Energie 45 Klirrfaktor 56 Knickfrequenz 83 Koeffizientenmatrix 21 komplexe Fourierkoeffizient 63 komplexe Fourierreihe 62 komplexe Spektraldichte 112 komplexes Frequenzspektrum 85 Kondensatorspannung 45 konfluente hypergeometrische Funktionen 357 konfluente hypergeometrische Differentialgleichung 357 Konturintegral 52 Kosinussignal 115 konvergent 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Konvergenz 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Konvergenz von Potenzreihen 13 Konvergenzintervall 13 Konvergenzkriterien 3 Konvergenzradius 13 L Laguerre-Differentialgleichung 356 Laguerre-Polynome 356 Längenkontraktion 45 Lagrange 25 Laplace-Transformation 135 Laurentreihen 52, 193, 215 LDT-Systeme 219, 227 Leibnizkriterium 8 Legendre-Differentialgleichung 355 Legendre-Polynome 355 L'Hospital 7 lineare Differentialgleichung 161, 262, 300, 349 Linearisierungsformel 25 Linearität 120, 143, 203 Linienspektum 56 LTI-Systeme 175, 219, 227 Luftwiderstand 43 M MacLaurin-Reihe 24 magnetisches Feld 46

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Anhang - Sachwortverzeichnis

Majorantenkriterium 3, 7 mathematisches Pendel 298 mehrdimensionale Funktion 50 Minimalprinzip 95 Minorantenkriterium 4 Modulationssatz 123, 205 N Nachfragefunktion 426 Netzwerkanalyse 166 nichtlineare Differentialgleichung 283, 360 Normalschwingungen 406 Normalverteilung 48, 49 Nyquist-Ortskurve 81, 83 O Orthogonalität 57 Oversampling 96 P Partialbrüche 17 Partialbruchzerlegung 155, 212 Partialsumme 1, 2, 17 Partialsummenfolge 1, 2 partielle Differentialgleichung 242 periodische Funktion 54 Phasenform 56 Phasengang 82, 185 Phasenlage 56 Phasenspektrum 112 Phasenwinkel 342 Polynomfunktionen 17 positive Reihe 3 Potentialgleichung 242 Potenzreihen 13 Potenzreihenmethode 293 Projektionsmethoden 244 Q quadratischer Fehler 22 Quotientenkriterium 8, 13 R Radan-Verfahren 246, 250 Rampenspannung 45 Randwertproblem 247, 248, 292 RC-Tiefpass 280 Rechteckfolge 197 Rechteckimpuls 109, 116 Rechteckspannung 64, 78

relativer Fehler 28, 34 relativistisch 45 Residuum 53, 136, 195 Restglied 24 Restglied von Lagrange 25 RGBLESEN 105 RGBSCHREIBEN 108 Richtungsfeld 251, 252 Rosenbrock-Verfahren 246, 289 Ruhemasse 45 Rücktransformation 39 Runge-Kutta-Methode 244, 246 S Sampling-Theorem 96 Sägezahnimpuls 70 Sägezahnspannung 70 Samplingraten 96 Schallgeschwindigkeit 44 Scheitelwert 56 Schießmethoden 244 schnelle Fourier-Transformation 98, 99 separable Differentialgleichung 254 Shannon 96 Singularität 52 Sinusfolge 201 Sinussignal 115 Spektraldichte 112 Spektrallinien 111 Spektrum 112 sphärische Besselfunktionen 350 steife Differentialgleichung 289 Streckenzugverfahren 249 Stützstellen 20 Superpositionsmethode 243 Superpositionssatz 120, 143, 203 T Taylorpolynom 24 Taylorreihen 23 Telegraphengleichung 242 Testsignale 115, 136 Tiefpassfilter 181, 280 Transformation 39 Transformationsmethode 243 Tschebyscheff'sche Differentialgleichung 354 U Übertragungsfunktion 81, 92, 175 Übertragungsverhalten von Systemen 175 unendliche Reihe 1 unendliche Zahlenfolge 1

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Anhang - Sachwortverzeichnis

unendliche Zahlenreihe 1 ungerade Funktion 16 V Variationsmethode 243 Vergleichskriterien 3 Vergleichsreihen 3 Verschiebungssatz 121, 144, 204, 221 W Wärmeleitungsgleichung 242

Web-Plot 421 Wellengleichung 242 Wronski-Determinante 300, 368 Wurzelkriterium 6, 9 Z Zeitbereich 155, 160, 212 Zeitskalierung 122, 145 Zeitverschiebung 121, 144, 204 z-Transformation 192 Zylinderscheibe 266 Zylinderspule 46

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