Angewandte Mathematik mit Mathcad. Lehr- und Arbeitsbuch 2: Komplexe Zahlen und Funktionen, Vektoralgebra und Analytische Geometrie, Matrizenrechnung, Vektoranalysis, 3. Auflage

W

Josef Trölß

Angewandte Mathematik mit Mathcad Lehr- und Arbeitsbuch Band 2 Komplexe Zahlen und Funktionen Vektoralgebra und Analytische Geometrie Matrizenrechnung Vektoranalysis Dritte, aktualisierte Auflage

SpringerWienNewYork

Mag. Josef Trölß Asten/Linz, Österreich

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Mit zahlreichen Abbildungen

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ISBN ISBN

978-3-211-76744-3 SpringerWienNewYork 978-3-211-71176-7 2. Aufl. SpringerWienNewYork

Vorwort Dieses Lehr- und Arbeitsbuch aus dem vierbändigen Werk "Angewandte Mathematik mit Mathcad" richtet sich vor allem an Schülerinnen und Schüler höherer Schulen, Studentinnen und Studenten, Naturwissenschaftlerinnen und Naturwissenschaftler, sowie Anwenderinnen und Anwender, speziell im technischen Bereich, die sich über eine computerorientierte Umsetzung mathematischer Probleme informieren wollen und dabei die Vorzüge von Mathcad möglichst effektiv nützen möchten. Dieses vierbändige Werk wird ergänzt durch das Lehr- und Arbeitsbuch "Einführung in die Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung und in die Qualitätssicherung mithilfe von Mathcad". Als grundlegende Voraussetzung für das Verständnis und die Umsetzung mathematischer und technischer Aufgaben mit Mathcad sind die im Band 1 (Einführung in Mathcad) angeführten Grundlagen. Computer-Algebra-Systeme (CAS) und computerorientierte numerische Verfahren (CNV) vereinfachen den praktischen Umgang mit der Mathematik ganz entscheidend und erfahren heute eine weitreichende Anwendung. Bei ingenieurmäßigen Anwendungen kommen CAS und CNV nicht nur für anspruchsvolle mathematische Aufgabenstellungen und Herleitungen in Betracht, sondern auch als Engineering Desktop Software für alle Berechnungen. Mathcad stellt dazu eine Vielfalt von leistungsfähigen Werkzeugen zur Verfügung. So können mathematische Formeln, Berechnungen, Texte, Grafiken usw. in einem einzigen Arbeitsblatt dargestellt werden. Berechnungen und ihre Resultate lassen sich besonders einfach illustrieren, visualisieren und kommentieren. Werden auf dem Arbeitsblatt einzelne Parameter variiert, so passt die Software umgehend alle betroffenen Formeln und Diagramme des Arbeitsblattes an diese Veränderungen an. Spielerisch lässt sich so das "Was wäre wenn" untersuchen. Damit eignet sich diese Software in hervorragender Weise zur Simulation vieler Probleme. Auch die Visualisierung durch Animation kommt nicht zu kurz und fördert das Verständnis mathematischer Probleme. Ein weiterer Vorteil besteht auch darin, dass die meisten mathematischen Ausdrücke mit modernen Editierfunktionen in gewohnter standardisierter mathematischer Schreibweise dargestellt werden können.

Gliederung des zweiten Bandes In diesem Band wird eine leicht verständliche anwendungsorientierte und anschauliche Darstellung des mathematischen Stoffes gewählt. Definitionen, Sätze und Formeln werden für das Verständnis möglichst kurz gefasst und durch zahlreiche Beispiele aus Naturwissenschaft und Technik und anhand vieler Abbildungen und Grafiken näher erläutert. Dieses Buch wurde weitgehend mit Mathcad 14 (M011) erstellt, sodass die vielen angeführten Beispiele leicht nachvollzogen werden können. Sehr viele Aufgaben können aber auch mit älteren Versionen von Mathcad gelöst werden. Bei zahlreichen Beispielen werden die Lösungen teilweise auch von Hand ermittelt. Im vorliegenden Band werden folgende ausgewählte Stoffgebiete behandelt: x

Komplexe Zahlen und Funktionen: Darstellungsmöglichkeiten komplexer Zahlen, Darstellungsformen komplexer Zahlen, Rechnen mit komplexen Zahlen, Anwendungen komplexer Größen: komplexe Darstellung von sinusförmigen Größen, Überlagerung von Schwingungen gleicher Frequenz; Berechnungen im Wechselstromkreis: Widerstands- und Leitwertoperatoren und Wechselstromleistung, Ortskurven, komplexe Wechselstromrechnung im Schwingkreis, Amplituden- und Phasengang bei Vierpolen.

x

Vektoralgebra und analytische Geometrie: Vektoren, Grundrechenoperationen von Vektoren, Darstellung der Vektoren im kartesischen Koordinatensystem, Vektorräume: Untervektorräume, lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension; Betrag eines Vektors, Produkte von Vektoren: Skalarprodukt, Vektorprodukt, Spatprodukt; analytische Geometrie: Teilung einer Strecke, Geradendarstellung, Ebenendarstellung, Darstellung nichtlinearer geometrischer Gebilde.

x

Matrizenrechnung: Reelle Matrizen: Transposition, Gleichheit von Matrizen, Multiplikation von Matrizen, Determinanten, reguläre und singuläre Matrix, inverse Matrix, orthogonale Matrix, Rang einer Matrix, Spur einer Matrix, verallgemeinerte inverse Matrix, Untermatrizen, verschiedene Matrixzerlegungen, lineare Gleichungssysteme, quadratische lineare Gleichungssysteme; komplexe Matrizen: konjugiert komplexe Matrix, konjugiert transponierte Matrix, hermitesche Matrix, schiefhermitesche Matrix, unitäre Matrizen, komplexe quadratische lineare Gleichungssysteme; Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix: Eigenwerte und Eigenvektoren einer Diagonal- bzw. Dreiecksmatrix, Eigenwerte und Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix, Eigenwerte und Eigenvektoren einer hermiteschen Matrix, verallgemeinertes Eigenwertproblem; Matrixnormen und Konditionszahlen. Anwendungen der Matrizenrechnung in der Elektrotechnik: einfache Anwendungen in der linearen Netzwerktechnik, Anwendungen in der Vierpoltheorie; Anwendungen in der Mechanik, Anwendungen in der Computergrafik, Anwendungen in der linearen Optimierung, Anwendungen in der Ökonomie.

x

Vektoranalysis: Raumkurven: vektorielle Darstellung einer Kurve, Ableitung einer Vektorfunktion, Tangentenund Hauptnormaleneinheitsvektor und Krümmung einer Kurve; Flächen im Raum: vektorielle Darstellung einer Fläche, Kurven auf Flächen; ebene und räumliche Koordinatensysteme: zweidimensionale Koordinatensysteme (Kartesisches System und Polarkoordinatensystem), dreidimensionale Koordinatensysteme (Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten); Skalar- und Vektorfelder, klassische Differentialoperatoren: Gradient eines Skalarfeldes, Divergenz eines Vektorfeldes, Rotation eines Vektorfeldes; Mehrfachanwendung der Differentialoperatoren, Linien- und Kurvenintegrale, Oberflächenintegrale von Vektorfeldern, Integralsätze von Gauß und Stokes.

Spezielle Hinweise Beim Erstellen eines Mathcad-Dokuments ist es hilfreich, viele mathematische Sonderzeichen verwenden zu können. Ein recht umfangreicher Zeichensatz ist die Unicode-Schriftart "Arial". Eine neue Mathematikschriftart (Unicode-Schriftart "Mathcad UniMath") von Mathcad erweitert die verfügbaren mathematischen Symbole (wie z. B. griechische Buchstaben, mathematische Operatoren, Symbole und Pfeile) beträchtlich. Einige Sonderzeichen aus der Unicode-Schriftart "Arial" stehen auch im "Ressourcen-Menü" von Mathcad zu Verfügung (QuickSheets-Gesonderte Rechensymbole). Spezielle Zeichen finden sich auch in anderen Zeichensätzen wie z. B. Bookshelf Symbol 2, Bookshelf Symbol 4, Bookshelf Symbol 5, MT Extra, UniversalMath1 PT, Castellar und CommercialScript BT. Empfohlen wird aber der Einsatz von reinen Unicode-Schriftarten. Zum Einfügen verschiedener Zeichen aus verschiedenen Zeichensätzen ist das Programm Charmap.exe sehr nützlich. Dieses Programm finden Sie unter Zubehör-Zeichentabelle in Microsoft-Betriebssystemen. Es gibt aber auch andere nützliche Zeichentabellen-Programme. Viele Zeichen können aber auch mithilfe des ASCII-Codes (siehe Zeichentabelle) eingefügt werden (Eingabe mit Alt-Taste und Zifferncode mit dem numerischen Rechenblock der Tastatur). Damit Variable zur Darstellung von Vektoren und Matrizen von normalen Variablen unterschieden werden können, werden diese hier in Fettschreibweise dargestellt. Die Darstellung von Vektoren mit Vektorpfeilen als Variablen ist in Mathcad nur dann möglich, wenn z. B. die Schriftart "Tvector" installiert wird. Der Vektorpfeil über mathematische Ausdrücke (in der Symbolleiste-Matrix) stellt einen Vektorisierungsoperator dar. Zur Darstellung von komplexen Variablen wird hier die Fettschreibweise mit Unterstreichung gewählt. Texte und Variable werden in diesem Buch in der Schriftart Arial dargestellt. Damit Variable, denen bereits ein Wert zugewiesen wurde, wertunabhängig auch für nachfolgende symbolische Berechnungen mit den Symboloperatoren (live symbolic) verwendet werden können, werden diese einfach redefiniert (z. B. x:=x). Davon wird öfters Gebrauch gemacht.

Danksagung Eine große Hilfe waren beim Erstellen dieses Buches die vielen Beiträge im Internet und einige im Anhang angeführte Bücher, von denen ich viel gelernt habe und deren Ideen und Vorschläge sich in einigen Bereichen dieser Arbeit widerspiegeln. Mein außerordentlicher Dank gebührt meinen geschätzten Kollegen Hans Eder und Bernhard Roiss für ihre Hilfestellungen bei der Herstellung des Manuskriptes, für wertvolle Hinweise und zahlreiche Korrekturen. Hinweise, Anregungen und Verbesserungsvorschläge sind jederzeit willkommen. Linz, im Februar 2008

Josef Trölß

Inhaltsverzeichnis

1. Komplexe Zahlen und Funktionen

1 ... 102

1.1 Allgemeines

1

1.2 Definition einer komplexen Zahl

1

1.3 Darstellungsmöglichkeiten komplexer Zahlen

3

1.4 Darstellungsformen komplexer Zahlen

6

1.5 Rechnen mit komplexen Zahlen

13

1.5.1 Addition und Subtraktion von komplexen Zahlen

14

1.5.2 Multiplikation und Division von komplexen Zahlen

16

1.5.3 Potenzieren von komplexen Zahlen

28

1.5.4 Wurzelziehen (Radizieren) von komplexen Zahlen

30

1.5.5 Logarithmieren von komplexen Zahlen

37

1.6. Anwendungen von komplexen Zahlen

38

1.6.1 Komplexe Darstellung von sinusförmigen Größen

38

1.6.2 Überlagerung von Schwingungen gleicher Frequenz

44

1.6.3 Berechnungen im Wechselstromkreis

49

1.6.3.1 Widerstands- und Leitwertoperatoren und Wechselstromleistung 1.7 Ortskurven

50 64

1.7.1 Geradlinige Ortskurven

65

1.7.2 Ortskurve durch Inversion komplexer Größen

68

1.7.3 Komplexe Wechselstromrechnung im Schwingkreis

76

1.7.4 Amplitudengang und Phasengang bei Vierpolen

89

2. Vektoralgebra und analytische Geometrie

103 ... 216

2.1 Vektoren

103

2.2 Grundrechenoperationen für Vektoren

104

2.2.1 Addition von Vektoren

104

2.2.2 Subtraktion von Vektoren

106

2.2.3 Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl

107

2.3 Darstellung der Vektoren im kartesischen Koordinatensystem

108

2.4 Vektorräume

110

2.4.1 Untervektorräume

114

2.4.2 Lineare Unabhängigkeit

115

2.4.3 Basis und Dimension

118

2.5 Betrag eines Vektors

120

2.6 Produkte von Vektoren

125

2.6.1 Skalarprodukt

125

Inhaltsverzeichnis

2.6.2 Vektorprodukt

132

2.6.3 Spatprodukt

140

2.7 Analytische Geometrie

143

2.7.1 Teilung einer Strecke

143

2.7.2 Geradendarstellung

146

2.7.3 Ebenendarstellung

165

2.7.4 Darstellung nichtlinearer geometrischer Gebilde

185

3. Matrizenrechnung 3.1 Reelle Matrizen

217 ... 359

217

3.1.1 Transposition

228

3.1.2 Gleichheit von Matrizen

232

3.1.3 Multiplikation von Matrizen

232

3.1.4 Determinanten

235

3.1.5 Reguläre und singuläre Matrix

242

3.1.6 Inverse Matrix

243

3.1.7 Orthogonale Matrix

247

3.1.8 Rang einer Matrix

249

3.1.9 Spur einer Matrix

255

3.1.10 Verallgemeinerte inverse Matrix

256

3.1.11 Untermatrizen

257

3.1.12 Verschiedene Matrixzerlegungen

263

3.1.13 Lineare Gleichungssysteme

267

3.1.14 Quadratische lineare Gleichungssysteme

273

3.2 Komplexe Matrizen

280

3.2.1 Konjugiert komplexe Matrix

282

3.2.2 Konjugiert transponierte Matrix

283

3.2.3 Hermitesche Matrix

284

3.2.4 Schiefhermitesche Matrix

285

3.2.5 Unitäre Matrix

286

3.2.6 Komplexe quadratische lineare Gleichungssysteme

287

3.3 Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix

288

3.3.1 Eigenwerte und Eigenvektoren einer Diagonal- bzw. Dreiecksmatrix

295

3.3.2 Eigenwerte und Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix

297

3.3.3 Eigenwerte und Eigenvektoren einer hermitschen Matrix

298

3.3.4 Verallgemeinertes Eigenwertproblem

301

3.4 Matrixnormen und Konditionszahlen

302

Inhaltsverzeichnis

3.5 Anwendungen der Matrizenrechnung

305

3.5.1 Anwendungen der Matrizenrechnung in der Elektrotechnik

305

3.5.1.1 Einfache Anwendungen in der Netzwerktechnik

305

3.5.1.2 Anwendungen in der Vierpoltheorie

309

3.5.2 Anwendungen in der Mechanik

326

3.5.3 Anwendungen in der Computergrafik

330

3.5.4 Anwendungen in der linearen Optimierung

348

3.5.5 Anwendungen in der Ökonomie

356

4. Vektoranalysis 4.1 Raumkurven

360 ... 484

360

4.1.1 Vektorielle Darstellung einer Kurve

360

4.1.2 Ableitung einer Vektorfunktion

364

4.1.3 Tangenten- und Hauptnormaleneinheitsvektor und Krümmung einer Kurve

373

4.2 Flächen im Raum

383

4.2.1 Vektorielle Darstellung einer Fläche

383

4.2.2 Kurven auf Flächen

389

4.3 Ebene und räumliche Koordinatensysteme

391

4.3.1 Zweidimensionale Koordinatensysteme

391

4.3.2 Dreidimensionale Koordinatensysteme

395

4.3.2.1 Zylinderkoordinaten

395

4.3.2.2 Kugelkoordinaten

400

4.4 Skalar- und Vektorfelder

405

4.4.1 Skalarfelder

405

4.4.2 Vektorfelder

407

4.5 Klassische Differentialoperatoren

413

4.5.1 Der Gradient eines Skalarfeldes

413

4.5.2 Die Divergenz eines Vektorfeldes

425

4.5.3 Die Rotation eines Vektorfeldes

431

4.6 Mehrfachanwendung der Differentialoperatoren

439

4.7 Linien- und Kurvenintegrale

447

4.8 Oberflächenintegrale von Vektorfeldern

460

4.9 Integralsätze von Gauß und Stokes

473

Inhaltsverzeichnis

Anhang

485 ... 545

Übungsbeispiele

485 ... 538

Literaturverzeichnis

539 ... 540

Sachwortverzeichnis

541 ... 545

Komplexe Zahlen und Funktionen

1. Komplexe Zahlen 1.1 Allgemeines Im Bereich der reellen Zahlen sind die Rechenoperationen erster und zweiter Stufe (+, - , . , : ) unbeschränkt ausführbar (außer der Division durch 0!). Dies gilt nicht für die Rechenoperationen 3. Stufe wie Potenzieren! Dieses Problem führt unweigerlich zum Begriff der komplexen Zahlen. Eine breite Anwendung finden komplexe Zahlen z. B. in der Elektro-, Regelungs- und Nachrichtentechnik. Beispiel 1.1.1: Lösung der quadratischen Gleichung: 2

gegebene Gleichung

2

umgeformte Gleichung

x 1=0 x = 1

Im Reellen sind Zahlen wie

1 nicht erklärt! Denn es gibt keine reelle Zahl x mit der Eigenschaft

x2

= -1 ! Die Quadrate von positiven und negativen Zahlen sind immer positiv! Es ist daher notwendig, neue Zahlen zu konstruieren (vor Einführung der negativen Zahlen gab es ja auch die Zahl -1 nicht).

1.2 Definition einer komplexen Zahl Der formale Wurzelausdruck gekennzeichnet: j=

1 heißt imaginäre Einheit und wird durch das Symbol j

1 .

(1-1)

Das Quadrat der imaginären Einheit j ergibt dann die reelle Zahl -1: 2

j = 1

(1-2)

Bemerkung: In der Mathematik wird statt j meist der Buchstabe i verwendet. In den physikalischen und technischen Anwendungen ist, um Verwechslungen mit der Stromstärke i zu vermeiden, der Buchstabe j gebräuchlich. Für die imaginäre Einheit wird nachfolgend j häufig verwendet. Mit j = 1 darf nicht mit den für nichtnegative Radikanden gültigen Wurzelgesetzen gerechnet werden, wie das nachfolgende Beispiel zeigt: 1 = j ˜ j =

1 ˜

1 =

( 1) ˜ ( 1) =

1 = 1 !!!

Mit dieser Definition ist die oben angeführte Gleichung lösbar: 2

x 1=0

x1 = j

Probe:

j = 1

2

x2 = j

Lösungen der Gleichung

2

( j ) = 1

Seite 1

Komplexe Zahlen und Funktionen

Potenzen der imaginären Einheit: Positive Potenzen: 0

1

j =1

2

j =j

3

j = 1

2

4

j = j ˜ j = j

2

2

5

j =j ˜j =1

4

6

j =j ˜j =j

4

2

j = j ˜ j = 1

Negative Potenzen: 0

j =1

j

1

=

1 j

=

j j˜j

= j

j

2

=

1 j

2

= 1

j

3

=

1 j

3

=

1 j

=j

j

4

=

1 j

4

=1

Allgemein gilt: j

4˜n

=1 , j

4˜n 1

=j

,

j

4˜n 2

= 1 , j

4˜n 3

= j

(1-3)

mit n  . Definitionen: Unter einer imaginären Zahl j ˜ y oder y ˜ j

(1-4)

verstehen wir das formale Produkt aus der reellen Zahl y und der imaginären Einheit j. Unter einer komplexen Zahl z verstehen wir die formale Summe aus einer reellen Zahl x und einer imaginären Zahl j.y: z = x  y˜ j = x  j ˜ y

( x,y )

(1-5)

Wir schreiben z auch in Zahlenpaarform: z = ( x ; y) . Die komplexe Zahl  z* = z = x  j ˜ y

(1-6)

heißt die zu z = x  j ˜ y konjugiert komplexe Zahl. Bemerkung: "Imaginär" bedeutet "nur in der Vorstellung existierend" im Vergleich zu reell (wirklich). "Komplex" heißt "zusammengesetzt", nämlich aus einer "reellen Zahl und einer imaginären Zahl". x und y . j heißen Komponenten von z. Daher heißt diese Darstellung der komplexen Zahl Komponentendarstellung. Sie wird auch algebraische Form, kartesische Form oder Normalform genannt. x heißt Realteil und y heißt Imaginärteil von z. Wir schreiben: Re(z) = x und Im(z) = y. Eine komplexe Zahl kann damit auch in folgender Form geschrieben werden: z = Re(z) + j . Im(z). Die Menge = { z| z = x + j . y šx,y } heißt Menge der komplexen Zahlen. In der Mathematik wird eine komplexe Zahl häufig nur mit z bezeichnet. In den Anwendungen werden komplexe Größen durch Unterstreichen gekennzeichnet (z. B. U, Z , I usw.). Wir verwenden hier generell die Schreibweise mit Unterstreichen.

Seite 2

Komplexe Zahlen und Funktionen

1.3 Darstellungsmöglichkeiten komplexer Zahlen Betrachten wir den Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl als kartesische Koordinaten eines Punktes P der x-y-Ebene, so kann jeder komplexen Zahl z genau ein Bildpunkt P(z) = (x ; y) zugeordnet werden. Es gilt auch die Umkehrung. z = x + j . y œ P(z) = (x ; y)

(1-7)

Die Bildebene heißt komplexe Ebene oder Gauß'sche Zahlenebene. Die beiden Koordinatenachsen werden als reelle und imaginäre Achsen bezeichnet. In Mathcad muss die imaginäre Einheit i bzw. j in der Form 1i bzw. 1j (ohne Malpunkt!) eingegeben werden. Falls wir die Eins vergessen, interpretiert Mathcad i bzw. j als normale Variable! Wir verwenden hier in Mathcad zur Darstellung einer komplexen Zahl ein eigenes Format (Fett mit Unterstreichen).

Beispiel 1.3.1: x 3

y 2

Real- und Imaginärteil gegebene komplexe Zahl

z x j˜y

Gauß'sche Zahlenebene

imaginäre Achse

3

Re( z)

Im( z)

2

z

Im( z) 1

0

1

2

3

4

Re( z) reelle Achse

Abb. 1.3.1 Bildliche Darstellung einer komplexen Zahl durch einen Punkt in der Gauß'schen Zahlenebene. Die Bildpunkte der reellen Zahlen liegen dabei auf der reellen Achse und die Bildpunkte der imaginären Zahlen auf der imaginären Achse.

In den Anwendungen werden komplexe Zahlen (Größen) oft durch komplexe Zeiger dargestellt. Es handelt sich hier um eine bildliche Darstellung der komplexen Zahl z in Form eines Pfeils, der vom Koordinatenursprung aus zum Bildpunkt P(z) = (x ; y) gerichtet ist. Diese geometrische Darstellungsform der komplexen Zahl darf nicht mit einem Vektor verwechselt werden! Zeiger und Vektoren unterliegen unterschiedlichen Rechengesetzen.

Seite 3

Komplexe Zahlen und Funktionen

Beispiel 1.3.2: ORIGIN  1 zeiger ( z ) 

x1 m 0 y1 m 0 x2 m Re ( z ) y2 m Im ( z ) x3 m Re ( z ) y3 m Im ( z )

§ π  winkel x y ·  3 3 ¸ ©3 ¹ · §π y4 m y3  cos ¨  winkel  x3 y3 ¸ 3 © ¹

x4 m x3  sin ¨

x5 m Re ( z )

Dieses Unterprogramm liefert die Endpunkte der Teilstrecken, aus denen ein Zeiger zusammengesetzt ist.

y5 m Im ( z )

§  © § y6 m y3  sin ¨ winkel  x3 y3  ©

x6 m x3  cos ¨ winkel x3 y3 

π·

¸

6¹ π·

¸

6¹

X m erweitern ( x y) gegebene komplexe Zahl

z1  4  j ˜ 4 ¢ ²

 1

xz1  zeiger z 1

x- und y-Werte der Endpunkte der Zeigerteilstrecken

¢2²



yz1  zeiger z 1

gegebene komplexe Zahl (konjugiert komplexe Zahl von z 1 )

z2  4  j ˜ 4 ¢ ²

 1

xz2  zeiger z 2

¢2²



yz2  zeiger z 2

x- und y-Werte der Endpunkte der Zeigerteilstrecken

Seite 4

Komplexe Zahlen und Funktionen

Bildpunkte und Zeiger 10

imaginäre Achse

8



Im z1

4

y z1

2



Im z2

z1

6

 10

8

6

4

2

y z2

0

2

4

6

8

10

geometrische Punkt- und Zeigerdarstellung einer komplexen Zahl in der Gauß'schen Zahlenebene

2 4

 z2 = z1

6

Wegen der Zeigerdarstellung ist hier auf eine gleichmäßige Einteilung der Achsen zu achten!

8  10





Re z1 x z1 Re z2 x z2 reelle Achse

Abb. 1.3.2 Bemerkung: z 2 ist die zu z 1 konjugiert komplexe Zahl (Vorzeichenwechsel im Imaginärteil). Die zugehörigen Bildpunkte bzw. Zeiger liegen dabei spiegelsymmetrisch zur reellen Achse. Unter dem absoluten Betrag z =

2

2

x  y ( |z| t 0 )

(1-8)

der komplexen Zahl z = x  j ˜ y verstehen wir die Länge des zugehörigen Zeigers. Der absolute Betrag hat folgende Eigenschaften: z = z

*

;

z =

z˜z

*

;

z1 ˜ z2 = z1 ˜ z2

;

z1 z2

=

z1 z2

.

 Wir schreiben nach (1-6) in Mathcad anstatt z * für die konjugiert komplexe Zahl z 1 . 1 Der Querstrich kann nach Eingabe der Variablen z 1 mithilfe der Anführungszeichentaste <"> eingegeben werden.

Seite 5

(1-9)

Komplexe Zahlen und Funktionen

1.4 Darstellungsformen komplexer Zahlen Eine komplexe Zahl z kann in drei verschiedenen Formen dargestellt werden: 1. Komponentenform (algebraische oder kartesische bzw. Normalform): Sie wurde bereits oben besprochen. 2. Trigonometrische Form oder Polarform: Darstellung mithilfe von Polarkoordinaten. 3. Exponentialform: Sie erhalten wir aus der Polarform mithilfe der Euler'schen Beziehungen.

Darstellung in trigonometrischer Form oder Polarform: Gauß'sches Koordinatensystem:

Den Bildpunkt P(z) einer komplexen Zahl z = x + j . y können wir durch die Polarkoordinaten r und M festlegen.

Abb. 1.4.1 Eine in Komponentenform z = x  j ˜ y vorliegende komplexe Zahl lässt sich mithilfe der Transformationsgleichungen x = r ˜ cos ( φ), y = r ˜ sin ( φ)

(1-10)

und unter Berücksichtigung des Quadranten, in dem der zugehörige Bildpunkt liegt, in die trigonometrische Form oder Polarform z = x  j ˜ y = r ˜ cos ( φ)  j ˜ r ˜ sin ( φ) = r ˜ cos ( φ)  j ˜ sin ( φ)

(1-11)

überführen. Wir schreiben z auch in Zahlenpaarform: z = ( r ; φ)

(1-12)

Umgekehrt gilt auch: Eine in Polarform z = r ˜ ( cos ( φ)  j ˜ sin ( φ) ) vorliegende komplexe Zahl lässt sich mithilfe der Transformationsgleichungen x = r ˜ cos ( φ), y = r ˜ sin ( φ)

(1.13)

in die Komponentenform z=x j˜y

(1-14)

überführen. Es gilt dabei: r= z =

2

2

x y

und tan ( φ) =

y x

.

(1-15)

Seite 6

Komplexe Zahlen und Funktionen

Bemerkung: r steht hier für den Betrag von z (Länge des Zeigers). M = arg(z) heißt Argument, Winkel oder Phase von z. Für Re(z) = 0 und Im(z) = 0 ist M unbestimmt! Der Übergang von einer komplexen Zahl z zu ihrer konjugiert komplexen Zahl bedeutet geometrisch eine Spiegelung des Bildpunktes P(z) an der reellen Achse. Dabei tritt ein Vorzeichenwechsel im Argument M ein (Drehung im mathematisch negativen Drehsinn), r bleibt dabei unverändert. Die konjugiert komplexe Zahl zu z lautet daher in Polarform:  z = r ˜ ( cos ( φ)  j ˜ sin ( φ) ) = r ˜ ( cos ( φ)  j ˜ sin ( φ) ) .

(1-16)

Winkelbestimmung: Bei der Winkelbstimmung M ist besondere Sorgfalt geboten. Die Winkelkoordinate M ist unendlich vieldeutig, denn jede weitere volle Umdrehung im Koordinatensystem führt zum gleichen Bildpunkt. Wir beschränken uns daher bei der Winkelangabe meist auf den im Intervall 0 d M < 2Sgelegenen Wert. Er wird auch öfters Hauptwert genannt. Beschränken wir uns wie vereinbart auf das Intervall 0 d M < 2S, so ergibt sich der Winkel Maus:

§ y· ¸ © x¹

für den I. Quadranten,

(1-17)

§ y·  π ¸ © x¹

für den II. und III. Quadranten,

(1-18)

§ y·  2 ˜ π ¸ © x¹

für den IV. Quadranten.

(1-19)

φ = arctan ¨

φ = arctan ¨

φ = arctan ¨

Die arctan-Funktion heißt in Mathcad atan. Der Winkel M kann in Mathcad mit der Funktion winkel berechnet werden: φ = winkel ( x y)

0 d M < 2S.

(1-20)

Im technischen Bereich wird häufig der kleinstmögliche Drehwinkel als Hauptwert angegeben. Drehung im Gegenuhrzeigersinn (I. und II. Quadrant): positiver Drehwinkel von 0 bis S. Drehung im Uhrzeigersinn (III. und IV. Quadrant): negativer Drehwinkel von 0 bis -S. Die Drehung erfolgt dabei aus der positiv-reellen Achse heraus. Die Hauptwerte des Winkels liegen demgemäß dann im Intervall -S < M d S Damit ergeben sich folgende Berechnungsformeln für M: φ=

§ x · if y t 0 ¸ © r¹ § x· arccos ¨ ¸ if y  0 © r¹ arccos ¨

(1-21)

Für die reellen Zahlen z = x + j . 0 = x ist φ=

0 if x ! 0 "unbestimmt"

(1-22) if x = 0

π if x  0 

Seite 7

Komplexe Zahlen und Funktionen

Für die imaginären Zahlen z = 0 + j . y ist M wie folgt gegeben: φ=

π

if y ! 0

2 3 2

(1-23)

˜ π if y  0

Die arccos-Funktion heißt in Mathcad acos. Der Winkel M kann in Mathcad mit den Funktionen arg oder atan2 berechnet werden: φ = arg ( z ) ; φ = atan2 ( x y)

(1-24) mit -S < M d S

Es gilt nämlich: arg ( x  j ˜ y) = atan2 ( x y)

(1-25)

Achtung:

§ y · in Mathcad liefert nur Werte im Bereich -S/2 < M < S/2 (- 90° < M < 90°)! ¸ © x¹

Die Funktion atan ¨ Quadrant I II III IV

x + +

y + + -

M liegt zwischen 0° und 90° 90° und 180° 180° und 270° 270° und 360°

tan(M) + + -

Beispiel 1.4.1: x  3

y 3

Real- und Imaginärteil

z  x  y˜ j

z

komplexe Zahl in Komponentenform

3  3j

 z 3  3j

Konjugierte komplexe Zahl in Komponentenform

Re ( z )

3

Im ( z )

3

Real- und Imaginärteil von z

 Re z

3

 Im z

3

Real- und Imaginärteil der konjugiert komplexen Zahl von z



r

z



r

4.243

Betrag der komplexen Zahl (Länge des Zeigers)

Der Winkel zwischen reeller Achse und Zeiger kann auf verschiedene Art und Weise berechnet werden: Winkel in Radiant

φ1  arg ( z )

π  arg ( z ) d π

φ1

φ2  atan2 ( x y)

φ2

135 ˜ Grad

π  φ2 d π

§ y· φ3  atan ¨ ¸ © x¹

φ3

45 ˜ Grad

atan im Bereich -S/2 < M3 < S/2

φ  winkel ( x y)

φ

135 ˜ Grad

2.356

Winkel in Grad

Seite 8

φ1

135 ˜ Grad Winkel in °

Winkel im Bereich 0 d M < 2S

Komplexe Zahlen und Funktionen

z  r ˜ ( cos ( φ)  j ˜ sin ( φ) )

Polarkoordinatenform

z

numerische Auswertung

3  3j

°  Grad

Graddefinition

z 1  10 ˜ ( cos ( 30 ˜ °)  j ˜ sin ( 30 ˜ °) )

gegebene komplexe Zahl in Polarform

§ ©

§ π ·  j ˜ sin § π · · ¸ ¨ ¸¸ © 3 ¹ © 3 ¹¹

gegebene komplexe Zahl in Polarform

z 2  8 ˜ ¨ cos ¨

¢1² xz  zeiger ( z )

x- und y-Werte der Endpunkte der Zeigerteilstrecken

¢2² yz  zeiger ( z ) ¢ ²

 1

xz1  zeiger z 1

x- und y-Werte der Endpunkte der Zeigerteilstrecken

¢2²



yz1  zeiger z 1

¢ ²

 1

xz2  zeiger z 2

x- und y-Werte der Endpunkte der Zeigerteilstrecken

¢2²



yz2  zeiger z 2

Lage der Bildpunkte und Zeiger 10 Im( z)

8

 Im z

6

 z

imaginäre Achse

Im( z)

z1

4

yz

2



Im z1

 10

8

6

4

2

y z1



Im z2

0

2

4

6

2

 z

y z2

4 6

z2

8  10

 Re( z) Re z Re( z) x z Re z1 xz1 Re z2 xz2





reelle Achse

Abb. 1.4.2

Seite 9



8

10

Komplexe Zahlen und Funktionen

Darstellung ohne Zeigerspitzen: Bereichsvariable

k  1  2 T

T

xz  ( 0 Re ( z ) ) xz* 

 T Re z

0

Ursprung und Bildpunkt

yz  ( 0 Im ( z ) )



0

yz* 

 T Im z



Ursprung und Bildpunkt

Lage der Bildpunkte und Zeiger Re( z)

Im( z)

z

2

§ 0 · ¨ ¸ ©Im( z) ¹ k  Im z



3

1 4 3

§ 0 · ¨ ¸ ©Im z ¹ k

2 1

0

1

2

3

4

1 2

 z

2

Im( z) imaginäre Achse

imaginäre Achse

4

3

Im( z)

Lage der Bildpunkte und Zeiger

4

1

yz  Im z



4 3 2 1

y z*

 Im z



3

0

1

2

3

4

1 2 3

4

4

 § 0 · § 0 · ¸ Re z ¨  ¸ ©Re( z) ¹ k ©Re z ¹ k

Re( z) ¨

 Re( z) xz Re z xz*



reelle Achse

reelle Achse

Abb. 1.4.3

Abb. 1.4.4

 Der komplexe Zeiger z liegt symmetrisch zum konjugiert komplexen Zeiger z bezüglich der reellen Achse. Darstellung in Exponentialform: Unter der Verwendung der von Euler stammenden Formeln j ˜φ

e

 j ˜φ

= cos ( φ)  j ˜ sin ( φ) und e

= cos ( φ)  j ˜ sin ( φ)

(1-26)

erhalten wir aus der Polarform für z = r ˜ ( cos ( φ)  j ˜ sin ( φ) ) und deren konjugiert komplexen Zahl  z = r ˜ ( cos ( φ)  j ˜ sin ( φ) ) die als Exponentialform bezeichnete Darstellungsform: j ˜φ

z= z ˜e

j ˜φ

= r˜ e

   j ˜φ  j ˜φ und z = z ˜ e = r˜ e .

(1-27)

Wir schreiben z auch hier in Zahlenpaarform: z = ( r ; M ). Eine in Exponentialform vorliegende komplexe Zahl z lässt sich mithilfe der Transformations- gleichungen x = r cos(M) und y = r sin(M) in die Komponentenform z = x + j . y überführen: j ˜φ

z = r˜ e

= r ˜ ( cos ( φ)  j ˜ sin ( φ) ) = r ˜ cos ( φ)  j ˜ r ˜ sin ( φ) = x  j ˜ y

Seite 10

(1-28)

Komplexe Zahlen und Funktionen

Beispiel 1.4.2: x 8

y 3

Real- und Imaginärteil

z  x  y˜ j

z

8  3j

komplexe Zahl in Komponentenform

r

r

8.544

Betrag von z

z

φ  winkel ( x y)

φ

20.556 ˜ Grad

j ˜( φ 10˜FRAME˜Grad)

Winkel in Grad

Winkel im Bereich 0° d M < 360°

Exponentialform mit FRAME-Parameter

z  r˜ e

¢1² xz  zeiger ( z )

x- und y-Werte der Endpunkte der Zeigerteilstrecken

¢2² yz  zeiger ( z ) Bereichsvariable

φ  0 0.01  2 ˜ π x ( φ)  r ˜ cos ( φ)

y ( φ)  r ˜ sin ( φ)

Parameterdarstellung für den Kreis

Zeiger in der Gauß'schen Ebene

yz y( φ)

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Re( z)

z Im( z)

FRAME von 0 bis 36

 10 9  8  7  6  5  4 3  2  1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9  10 xz x( φ)

Abb. 1.4.5

Seite 11

z

8  3j

Komplexe Zahlen und Funktionen

Zusammenhang zwischen Kreis- und Hyperbelfunktionen: Im Komplexen besteht zwischen Kreis- und Hyperbelfunktionen folgender Zusammenhang: cos ( x) = cosh ( j ˜ x)

cosh ( x) = cos ( j ˜ x)

sin ( x) = j ˜ sinh ( j ˜ x)

sinh ( x) = j ˜ sin ( j ˜ x)

tan ( x) = j ˜ tanh ( j ˜ x)

tanh ( x) = j ˜ tan ( j ˜ x)

(1-29)

Beweis: Durch Addition und Subtraktion der Euler'schen Beziehungen j ˜x

e

= cos ( x)  j ˜ sin ( x)

(1-30)

 j ˜x

e = cos ( x)  j ˜ sin ( x) erhalten wir j ˜x

e

j ˜x

e

 j ˜x

e

 j ˜x

e

= 2 ˜ cos ( x)

(1-31)

= 2 ˜ j ˜ sin ( x)

Damit ergibt sich durch Umformung j ˜x

cos ( x) =

e

 j ˜x

e 2

j ˜x

= cosh ( j ˜ x)

bzw.

sin ( x) =

e

 j ˜x

e 2˜ j

= j ˜ sinh ( j ˜ x) .

Den Zusammenhang mit tan(x) erhalten wir aus der Beziehung tan ( x) =

(1-32)

sin ( x)

. cos ( x) Setzen wir für j . x das Argument x und für x das Argument -j x, so ergibt sich unter Ausnutzung der Symmetrieeigenschaften und unter Berücksichtigung von j2 = -1: cos ( j ˜ x) = cosh ( x) (cos(-x) = cos(x)) Ÿ cos ( j ˜ x) = cosh ( x) sin ( j ˜ x) = j ˜ sinh ( x) (sin(-x) = - sin(x)) Ÿ sin ( j ˜ x) = j ˜ sinh ( x)/ *j sinh ( x) = j ˜ sin ( j ˜ x) Die anderen Beziehungen werden analog bewiesen.

(1-33) Ÿ

Ähnlich wie im Reellen ergeben sich im Komplexen die Beziehungen: cos ( x  j ˜ y) = cos ( x) ˜ cosh ( y)  j ˜ sin ( x) ˜ sinh ( y) cos ( x  j ˜ y) = cos ( x) ˜ cosh ( y)  j ˜ sin ( x) ˜ sinh ( y) sin ( x  j ˜ y) = sin ( x) ˜ cosh ( y)  j ˜ cos ( x) ˜ sinh ( y) sin ( x  j ˜ y) = sin ( x) ˜ cosh ( y)  j ˜ cos ( x) ˜ sinh ( y) tan ( x  j ˜ y) =

tan ( x  j ˜ y) =

sin ( 2 ˜ x) cos ( 2 ˜ x)  cosh ( 2 ˜ y) sin ( 2 ˜ x) cos ( 2 ˜ x)  cosh ( 2 ˜ y)

j˜

j˜

sinh ( 2 ˜ y) cos ( 2 ˜ x)  cosh ( 2 ˜ y) sinh ( 2 ˜ y) cos ( 2 ˜ x)  cosh ( 2 ˜ y)

Seite 12

(1-34)

Komplexe Zahlen und Funktionen

Analoge Beziehungen ergeben sich mit den Hyperbelfunktionen: cosh ( x  j ˜ y) = cosh ( x) ˜ cos ( y)  j ˜ sinh ( x) ˜ sin ( y)

(1-35)

cosh ( x  j ˜ y) = cosh ( x) ˜ cos ( y)  j ˜ sinh ( x) ˜ sin ( y) sinh ( x  j ˜ y) = sinh ( x) ˜ cos ( y)  j ˜ cosh ( x) ˜ sin ( y) sinh ( x  j ˜ y) = sinh ( x) ˜ cos ( y)  j ˜ cosh ( x) ˜ sin ( y) tanh ( x  j ˜ y) =

tanh ( x  j ˜ y) =

sinh ( 2 ˜ x) cosh ( 2 ˜ x)  cos ( 2 ˜ y) sinh ( 2 ˜ x) cosh ( 2 ˜ x)  cos ( 2 ˜ y)

j˜

j˜

sin ( 2 ˜ y) cosh ( 2 ˜ x)  cos ( 2 ˜ y) sin ( 2 ˜ y) cosh ( 2 ˜ x)  cos ( 2 ˜ y)

Der Beweis wird mithilfe der reellen Summensätze, den oben angeführten Beziehungen und folgenden Zusammenhängen geführt: cos 2 (x) + sin2 (x) = 1 cosh2 (x) - sinh2 (x) = 1 sin(2 x) = 2 sin(x) cos(x) sinh(2 x) = 2 sinh(x) cosh(x) cos(2 x) = cos 2 (x) - sin2 (x) cosh(2 x) + sinh2 (x) + sinh2 (x)

1.5 Rechnen mit komplexen Zahlen Auf der Zahlenmenge  lassen sich, wie bei reellen Zahlen, auch die vier Grundrechenarten ( + ; - ; . ; : ) erklären. Bei der Festlegung dieser Rechenoperationen ist aber zu beachten, dass die reellen Zahlen einen Sonderfall der komplexen Zahlen darstellen (   ). Die vier Grundrechenarten müssen so festgelegt werden, dass reelle und komplexe Zahlen den gleichen Grundgesetzen genügen (Permanenzprinzip). Es gibt jedoch eine Ausnahme: Für komplexe Zahlen lässt sich kein Anordnungsaxiom formulieren. Daher haben z. B. Ungleichungen, wie z 1 > z 2 oder z 1 < z 2 , keinen Sinn! Die vier Grundrechenoperationen für komplexe Zahlen genügen, im Einklang mit den reellen Zahlen, folgenden Grundgesetzen: 1. Die Summe z 1 + z 2 , die Differenz z 1 - z 2 , das Produkt z . z 2 und der Quotient z1 /z 2 zweier komplexer Zahlen z 1 und z 2 ergeben wiederum eine komplexe Zahl. Die Division durch 0 ist nicht erlaubt! 2. Die Addition und die Multiplikation sind kommutative Rechenoperationen. Für beliebige Zahlen z 1 , z 2 gelten stets die Kommutativgesetze: z1 + z2 = z2 + z1 z1 . z2 = z2 . z1 3. Die Addition und die Multiplikation sind assoziative Rechenoperationen. Für beliebige Zahlen z 1 , z 2 , z 3 gelten stets die Assoziativgesetze: z 1 + (z 2 + z 3 ) = (z 1 + z 2 ) + z 3 z 1 . (z 2 . z 3 ) = (z 1 . z 2 ) . z 3 4. Die Addition und die Multiplikation sind über das Distributivgesetz miteinander verbunden ( z 1 , z 2 , z 3   z 1 . (z 2 + z 3 ) = z 1 . z 2 + z 1 . z 3 Eine Zahlenmenge mit diesen Eigenschaften wird als Körper bezeichnet. Die Menge  der komplexen Zahlen bildet somit einen Körper.

Seite 13

Komplexe Zahlen und Funktionen

1.5.1 Addition und Subtraktion von komplexen Zahlen Die Addition und die Subtraktion lassen sich nur in der Komponetenform durchführen. Realteil und Imaginärteil werden jeweils für sich addiert bzw. subtrahiert: z 1 = x1  j ˜ y1 ; z 2 = x2  j ˜ y2













(1-36)

z = z 1  z 2 = x1  j ˜ y1  x2  j ˜ y2 = x1  x2  j ˜ y1  y2 = x  j ˜ y













(1-37)

 z = z 1  z 1 = x1  j ˜ y1  x1  j ˜ y1 = 2 ˜ x1

(1-38)

z = z 1  z 2 = x1  j ˜ y1  x2  j ˜ y2 = x1  x2  j ˜ y1  y2 = x  j ˜ y







(Das Ergebnis ist reell)

 z = z 1  z 1 = x1  j ˜ y1  x1  j ˜ y1 = j ˜ 2 ˜ y1 (Das Ergebnis ist imaginär) (1-39)







Beispiel 1.5.1 Gegeben sind folgende komplexe Zahlen: z2  3  j

§ § π· § π ·· z 3  2 ˜ ¨ cos ¨ ¸  j ˜ sin ¨ ¸ ¸ © © 4¹ © 4 ¹¹

z = z1  z2

z = z1  z2

 z = z1  z1

z = z3  z4

z = z3  z4

z  z1  z2

z

z1  6  j ˜ 4 Gesucht sind:

( 6  j ˜ 4)  ( 3  j ) z  z1  z2 ( 6  j ˜ 4)  ( 3  j )

9  3j

z o 9  3j

Auswertung über komplexer Ebene ergibt z

3  5j

Auswertung über komplexer Ebene ergibt

z

12

z o 12

 z  z1  z1

z

8j

z o 8j

z3

2 ˜ (1  j )

1.414  1.414j

9  3j

z o 3  5j

 z  z1  z1

z3 o

 z = z1  z1

z4 o 2 ˜ z4

3  2j

3.464  2j

Seite 14

3  5j

j˜

z4  4 ˜ e

π 6

Komplexe Zahlen und Funktionen

z  z3  z4

z

4.878  3.414j

z rechteckig o

2  2˜

3



22 ˜j



z  z3  z4

z

2.05  0.586j

z rechteckig o

2  2˜

3



22 ˜j



Geometrische Deutung: ¢ ²

 1

xz1  zeiger z 1

¢ ²

 2

yz1  zeiger z 1

¢ ²

 1

xz2  zeiger z 2

¢ ²

 2

yz2  zeiger z 2 ¢ ²



1



2

xzD  zeiger z 1  z 2 yzD  zeiger z 1  z 2

¢ ²

1



2

yzs  zeiger z 1  z 2

¢ ²

 1

xzN  zeiger z 2

¢ ²



xzs  zeiger z 1  z 2

¢ ²

x- und y-Werte der Endpunkte der Zeigerteilstrecken

¢ ²

 2

yzN  zeiger z 2

Zeiger in der Gauß'schen Ebene

yz1 yz2 yzs yzD yzN

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

z2

 10 9  8  7  6  5  4 3  2  1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 z 2 3 4 z1  z2 z1 5 6 z1  z2 7 8 9  10

Addition und Subtraktion erfolgen wie bei zweidimensionalen Vektoren nach der Parallelogrammregel.

xz1 xz2 xzs xzD xzN

Abb. 1.5.1 Für komplexe Zahlen gilt die Dreiecksungleichheit z 1  z 2 d z 1  z 2 bzw. z 1  z 2 d z 1  z 2 .

Seite 15

(1-40)

Komplexe Zahlen und Funktionen

Bemerkung: Bei der numerischen Auswertung einer komplexer Zahl ist darauf zu achten, dass die Toleranzschwelle richtig festgelegt ist. Siehe dazu Registerblatt Ergebnisformat-Toleranz.

z 2  5.3451  0.000781 ˜ j z2

5.3451  7.81i u 10

z2

5.3451

4

komplexe Toleranzschwelle 4 komplexe Toleranzschwelle 3 (unterdrückt bzw. setzt Im(z) = 0 !)

1.5.2 Multiplikation und Division von komplexen Zahlen Unter dem Produkt bzw. Quotienten zweier komplexen Zahlen verstehen wir folgende komplexe Zahlen: z 1 = x1  j ˜ y1 ; z 2 = x2  j ˜ y2 ;













z = z 1 ˜ z 2 = x1  j ˜ y1 ˜ x2  j ˜ y2 = x1 ˜ x2  y1 ˜ y2  j ˜ x1 ˜ y2  x2 ˜ y1 = x  j ˜ y

z=

z1 z2

x1 ˜ x2  y1 ˜ y2

=

2

2

j˜

x2 ˜ y1  x1 ˜ y2 2

x2  y2

2

=x j˜y

( z2 z 0 )

x2  y2

(1-41)

(1-42)

Bei der Multiplikation wird wie im Reellen zuerst gliedweise ausmultipliziert und dabei die 2

Beziehung j = 1 berücksichtigt.





2



z = z 1 ˜ z 2 = x1  j ˜ y1 ˜ x2  j ˜ y2 = x1 ˜ x2  j ˜ x1 ˜ y2  j ˜ x2 ˜ y1  j ˜ y1 ˜ y2 = x1 ˜ x2  y1 ˜ y2  j ˜ x1 ˜ y2  x2 ˜ y1 Bei der Division werden zuerst Zähler und Nenner mit dem konjugiert komplexen Nenner erweitert.









2

Dadurch wird der Nenner reell. Wenn wir wieder die Beziehung j = 1 berücksichtigen und den Zählerausdruck aufteilen, dann erhalten wir: 2 x1  j ˜ y1 ˜  x2  j ˜ y2 x1 ˜ x2  j ˜ x1 ˜ y2  j ˜ x2 ˜ y1  j ˜ y1 ˜ y2  z= = = z2 x2  j ˜ y2 ˜ x2  j ˜ y2 x2 ˜ x2  j ˜ x2 ˜ y2  j ˜ x2 ˜ y2  j 2 ˜ y2 ˜ y2 x1 ˜ x2  y1 ˜ y2  j ˜  x2 ˜ y1  x1 ˜ y2 x1 ˜ x2  y1 ˜ y2 x2 ˜ y1  x1 ˜ y2 = = j˜

z1

2

2

2

x2  y2

2

x2  y2

2

2

x2  y2

Wie hier ersichtlich ist, lässt sich demgemäß eine reelle Quadratsumme in ein Produkt von konjugiert komplexen Zahlen zerlegen: 2

2







x2  y2 = x2  j ˜ y2 ˜ x2  j ˜ y2

(1-43)

Seite 16

Komplexe Zahlen und Funktionen

Die Multiplikation und die Division vereinfachen sich wesentlich, wenn wir die komplexen Zahlen in Polarform bzw. Exponentialform darstellen:

 



 

z 1 = r1 ˜ cos φ1  j ˜ sin φ1 j˜φ1

z 1 = r1 ˜ e



; z 2 = r2 ˜ cos φ2  j ˜ sin φ2

j˜φ2

; z 2 = r2 ˜ e

;

 







z = z 1 ˜ z 2 = r1 ˜ r2 ˜ cos φ1  φ2  j ˜ sin φ1  φ2



j˜ φ1 φ2

z = z 1 ˜ z 2 = r1 ˜ r2 ˜ e

bzw.







z = z 1 ˜ z 2 = r1 ˜ r2 φ1  φ2

(Polarform)

(1-44)

(Exponentialform)

(1-45)

(Zahlenpaarform)

(1-46)

Das heißt, bei der Multiplikation werden die Beträge multipliziert und die Argumente addiert. z=

z=

z=

z1 z2 z1 z2 z1 z2

r1

=

r2 r1

=

=

r2

 







˜ cos φ1  φ2  j ˜ sin φ1  φ2



j φ1 φ2

˜e



§¨ r1 · φ1  φ2¸ ¨© r2 ¸¹

(Polarform)

(1-47)

(Exponentialform)

(1-48)

(Zahlenpaarform)

(1-49)

Das heißt, bei der Division werden die Beträge dividiert und die Argumente subtrahiert. Bei der Multiplikation wird wie im Reellen zuerst gliedweise ausmultipliziert. Wenn wir wieder die 2

Beziehung j = 1 berücksichtigen und die Summensätze

 



 

 

 

 

cos φ1  φ2 = cos φ1 ˜ cos φ2  sin φ1 ˜ sin φ2 sin φ1  φ2 = sin φ2 ˜ cos φ1  cos φ2 ˜ sin φ1

(1-50)

anwenden, dann erhalten wir:

      2 = r1 ˜ r2 ˜ § cos  φ1 ˜ cos  φ2  j ˜ cos  φ1 ˜ sin  φ2  j ˜ sin  φ1 ˜ cos  φ2  j ˜ sin  φ1 ˜ sin  φ2 · © ¹ = r1 ˜ r2 ˜ ªcos  φ1 ˜ cos  φ2  sin  φ1 ˜ sin  φ2  j ˜  sin  φ2 ˜ cos  φ1  cos  φ2 ˜ sin  φ1 º ¬ ¼ = r1 ˜ r2 ˜  cos  φ1  φ2  j ˜ sin  φ1  φ2 .

z = z 1 ˜ z 2 = r1 ˜ cos φ1  j ˜ sin φ1 ˜ r2 ˜ cos φ2  j ˜ sin φ2

Rechnen wir mit der Exponentialform und wenden wir wie im Reellen ein Potenzgesetz an, so erhalten wir: j ˜φ1

z = z 1 ˜ z 2 = r1 ˜ e

j˜φ2

˜ r2 ˜ e



j φ1 φ2

= r1 ˜ r2 ˜ e

.

Seite 17

Komplexe Zahlen und Funktionen

Bei der Division werden zuerst Zähler und Nenner mit dem konjugiert komplexen Nenner erweitert: z=

z1

=

z2

r1

˜

r2

cos φ1  j ˜ sin φ1 ˜ cosφ2  j ˜ sin φ2 . cos φ2  j ˜ sin φ2 ˜ cosφ2  j ˜ sin φ2

Durch Ausmultiplizieren erhalten wir:

z=

r1 r2

˜







  2 2 cos  φ2  sin  φ2



2





cos φ1 ˜ cos φ2  j ˜ sin φ2 ˜ cos φ1  j ˜ sin φ1 ˜ cos φ2  j ˜ sin φ1 ˜ sin φ2

2

.

Der Nenner ist wegen sin2 (M) + cos 2 (M) = 1. Wenn wir wieder die Beziehung j = 1 berücksichtigen, erhalten wir schließlich: z=

r1 r2









 





 º¼ .

˜ ªcos φ1 ˜ cos φ2  sin φ1 ˜ sin φ2  j ˜ sin φ1 ˜ cos φ2  cos φ1 ˜ sin φ2 ¬

Mithilfe der Summensätze cos φ1  φ2 = cos φ1 ˜ cos φ2  sin φ1 ˜ sin φ2 sin φ1  φ2 = sin φ2 ˜ cos φ1  cos φ2 ˜ sin φ1

 



 

 

 

 

kann schließlich z noch weiter vereinfacht werden: z=

r1 r2

 







˜ cos φ1  φ2  j ˜ sin φ1  φ2 .

Rechnen wir mit der Exponentialform und wenden ein Potenzgesetz an, so erhalten wir

z=

z1 z2

j ˜φ1

=

r1 ˜ e

j ˜φ2

r2 ˜ e

=

r1 r2



j˜ φ1  φ2

˜e

.

Beispiel 1.5.2 Gegeben sind folgende komplexe Zahlen: z1  2  j ˜ 2

z2  1  j ˜ 3

Gesucht sind: z  z1 ˜ z2

z

8  4j

z o 8  4j

 z  z1 ˜ z1

z

8

zo8

 z  z2 ˜ z2

z

10

z o 10

Seite 18

Komplexe Zahlen und Funktionen

Beispiel 1.5.3 Gegeben sind folgende komplexe Zahlen: z 1  4 ˜ ( cos ( 327 ˜ Grad)  j ˜ sin ( 327 ˜ Grad) )

z 2  7 ˜ ( cos ( 290 ˜ Grad)  j ˜ sin ( 290 ˜ Grad) )

Gesucht sind: z  z1 ˜ z2

z

6.299  27.282j

 z  z1 ˜ z1

z

16

z

 z  z2 ˜ z2

z

49

z

rechteckig

o 16 vereinfachen rechteckig

o 49 vereinfachen

Beispiel 1.5.4 Gegeben ist folgende komplexe Zahl: j˜

z 2˜ e

π 4

zo

2 ˜ (1  j )

Gesucht ist z 1 = 3 ˜ z und ihre geometrische Deutung. z1  3 ˜ z z1

4.243  4.243j

z 1 o ( 3  3j) ˜

2

Geometrische Deutung: ¢1² xz  zeiger ( z ) ¢2² yz  zeiger ( z )

x- und y-Werte der Endpunkte der Zeigerteilstrecken

¢1²



xz1  zeiger z 1

¢ ²

 2

yz1  zeiger z 1

Zeiger in der Gauß'schen Ebene

yz yz1

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Die Multiplikation einer komplexen Zahl mit einer reellen Zahl k (k > 0) entspricht einer Streckung bzw. Stauchung des Zeigers auf das k-fache, wobei der Winkel M erhalten bleibt. Multiplizieren wir jedoch mit einer negativen Zahl k (k < 0), so wird der Zeiger z um das |k|-fache gestreckt oder gestaucht und anschließend um 180° in positiver oder negativer Richtung gedreht.

z1

z

0 1

2

3

4

5

6

x z xz1

7

8

9

10

Abb. 1.5.2

Seite 19

Komplexe Zahlen und Funktionen

Beispiel 1.5.5 Gegeben sind folgende komplexe Zahlen: j˜

z1  2 ˜ e

π

j˜

4

z2  4 ˜ e

π 6

Gesucht ist z = z 1 ˜ z 2 und ihre geometrische Deutung. z  z1 ˜ z2

z

2.071  7.727j

Geometrische Deutung: ¢ ²

 1

xz1  zeiger z 1

x- und y-Werte der Endpunkte der Zeigerteilstrecken

¢2²



yz1  zeiger z 1

¢ ²

 1

xz2  zeiger z 2

¢ ²

 2

yz2  zeiger z 2

x- und y-Werte der Endpunkte der Zeigerteilstrecken ¢1² xz  zeiger ( z ) ¢2² yz  zeiger ( z )

Zeiger in der Gauß'schen Ebene 10 9

z

8 yz1

Die Multiplikation zweier komplexen Zahlen z =z 1 . z 2 entspricht geometrisch

7

einer Drehstreckung bzw. Drehstauchung des Zeigers z 1 (Streckung bzw. Stauchung

6

yz2

5

yz

4

um das r2 -fache und Drehung um den Winkel (M2 > 0) im positiven Drehsinn bzw.

3

z1

2

Drehung um den Winkel (M2 < 0) im

z2

negativen Drehsinn).

1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

xz1 xz2 xz

Abb. 1.5.3

Seite 20

Komplexe Zahlen und Funktionen

Beispiel 1.5.6 Gegeben ist folgende komplexe Zahl: z 4 j˜3 Gesucht ist der Zeiger z 1, der aus der Drehung von z um -30° entsteht. r

z

r

φ  arg ( z )

φ

j ˜φ

z1  r ˜ e

Betrag

5 0.644

 j˜

˜e

φ

Argument

36.87 ˜ Grad

π 6

z1

4.964  0.598j

z1

5

gesuchter Zeiger

Geometrische Deutung: ¢1² xz  zeiger ( z ) ¢2² yz  zeiger ( z )

x- und y-Werte der Endpunkte der Zeigerteilstrecken

¢1²



xz1  zeiger z 1

¢ ²

 2

yz1  zeiger z 1

x ( φ)  r ˜ cos ( φ)

Kreis in Parameterdarstellung

y ( φ)  r ˜ sin ( φ)

Bereichsvariable

φ  π π  0.01  π Zeiger in der Gaußschen Ebene 10 8 6 4 yz yz1 y( φ)

z

2  10  8

6

4

2

z1 0

2

4

6

8

10

2 4 6 8  10 x z xz1 x( φ)

Abb. 1.5.4

Seite 21

Komplexe Zahlen und Funktionen

Beispiel 1.5.7 Gegeben ist folgende komplexe Zahl: z = (3 ; 30°). Gesucht ist der Zeiger z 2 , der aus der Streckung von z um das k = 3fache (z 1 = k z) und der Drehung um den Winkel von 60° hervorgeht. Streckungsfaktor

k 3 j˜30˜Grad

gegebener Zeiger

z 3˜ e

z

z1  k ˜ z

z1

7.794  4.5j

gestreckter Zeiger

zr 2

z9j2

gesuchter Zeiger

j˜60˜Grad

z2  z1 ˜ e

2.598  1.5j

Geometrische Deutung: ¢1² xz  zeiger ( z )

x- und y-Werte der Endpunkte der Zeigerteilstrecken

¢2² yz  zeiger ( z ) ¢ ²

 1

xz1  zeiger z 1

¢ ²

 2

yz1  zeiger z 1

x- und y-Werte der Endpunkte der Zeigerteilstrecken

¢ ²

 1

xz2  zeiger z 2

¢ ²

 2

yz2  zeiger z 2

x ( φ)  r ˜ cos ( φ)

Kreis in Parameterdarstellung

y ( φ)  r ˜ sin ( φ)

Bereichsvariable

φ  π π  0.01  π Zeiger in der Gauß'schen Ebene 10 8

z2

6 yz

4

yz1

2

yz2 y( φ)

 10  8  6  4  2 0 2

z1 z 2

4

6

8

10

Abb. 1.5.5

4 6 8  10 xz x z1 x z2 x( φ)

Seite 22

Komplexe Zahlen und Funktionen

Beispiel 1.5.8 Gegeben ist folgende komplexe Zahl: z  2 ˜ Gesucht sind:

z1 = j ˜ z

r

z

r

φ  arg ( z )

φ

z2 = j ˜ z1

z3 = j ˜ z2

z4 = j ˜ z3

Betrag

4.899 0.785

3.

3  j ˜ 2˜

φ

Argument

45 ˜ Grad

Die imaginäre Einheit j lässt sich in Exponentialform darstellen:

j˜90˜Grad

j = 1˜ e

j˜90˜Grad

z1  e

j˜

oder j = 1 ˜ e

j ˜45˜Grad

˜ r˜ e

π 2

.

(1-51)

z1 = j ˜ z 2

z2  j ˜ z1

z2 = j ˜ z1 = j ˜ z

z3  j ˜ z2

z3 = j ˜ z2 = j ˜ j ˜ z = j ˜ z

z4  j ˜ z3

z4 = j ˜ z3 = j ˜ j ˜ z = j ˜ z

2

3

3

4

z4

3.464  3.464j

z

Geometrische Deutung: ¢1² xz  zeiger ( z ) ¢2² yz  zeiger ( z ) ¢ ²

 1

xz1  zeiger z 1

¢ ²

 2

yz1  zeiger z 1

x- und y-Werte der Endpunkte der Zeigerteilstrecken

¢1²



xz2  zeiger z 2

¢ ²

 2

yz2  zeiger z 2

¢ ²

 1

xz3  zeiger z 3

¢ ²

 2

yz3  zeiger z 3

x ( φ)  r ˜ cos ( φ)

Kreis in Parameterdarstellung

y ( φ)  r ˜ sin ( φ)

Bereichsvariable

φ  π π  0.01  π

Seite 23

3.464  3.464j

Komplexe Zahlen und Funktionen

Zeiger in der Gauß'schen Ebene

yz

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

z1

yz1 yz2

z = z4 Die Multiplikation einer komplexen Zahl z mit der imaginären Einheit j bedeutet geometrisch eine Drehung des Zeigers z um 90° gegen den Uhrzeigersinn.

 10  9 8 7 6 5 4 3 2 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 z2 4 z3 5 6 7 8 9  10

yz3 y( φ)

x z xz1 xz2 xz3 x( φ)

Abb. 1.5.6 Die Multiplikation einer komplexen Zahl z 1 mit j n (n ²) entspricht einer Drehung des Zeigers z 1 um n . 90° gegen den Uhrzeigersinn. Wenden wir ein Potenzgesetz wie im Reellen an, dann ergibt sich nämlich: j˜φ1

n

z = z 1 ˜ j = r1 ˜ e

 j˜90˜Grad

n

˜ e

j ˜φ1

= r1 ˜ e

j ˜n˜90˜Grad

˜e



j˜ φ1  n˜90˜Grad

= r1 ˜ e



(1-52)

Ist n = 1, so wird der Zeiger z 1 um 90° gedreht. Spezielle Werte des Faktors e jM:

j ˜2˜n˜π

e

j˜

=1

j ˜( 2˜n  1 )˜π

e

e j˜

= 1

π 2

j˜

=j

e

3˜π

e

2

j˜

= j

e

2˜π 3

=

3

=

Gegeben sind folgende komplexe Zahlen: z 2  1  j

Gesucht sind: z

z1 z2

z

3.5  0.5j

zo

7 2



Seite 24

2

j˜

3 2

4˜π

Beispiel 1.5.9

z1  3  4 ˜ j

1

1 2

˜j

1 2

j˜

3 2

(1-53)

Komplexe Zahlen und Funktionen

z

z1  z1

z

0.28  0.96j

zo

z

z2  z2

z

j

zoj

7 25



24 25

˜j

Beispiel 1.5.10 Gegeben sind folgende komplexe Zahlen: z 1  2.5 ˜ ( cos ( 100 ˜ Grad)  j ˜ sin ( 100 ˜ Grad) )

z 2  1.5 ˜ ( cos ( 20 ˜ Grad)  j ˜ sin ( 20 ˜ Grad) )

Gesucht sind: z

zr 

z1

z

z2 1  z1

zr

0.289  1.641i

0.069  0.394j

Reziproke Zahl zu z

Beispiel 1.5.11 Gegeben sind folgende komplexe Zahlen: j˜

z1  6 ˜ e

π 4

z 1 o ( 3  3j) ˜

Gesucht sind z =

z

zr 

2

z2 

5 4

j˜

2˜π

˜e

3

z2 o 

5 8



5j ˜

3

8

z1

1 bzw. z r = und ihre geometrische Deutung. z2 z2

z1 z2 1 z2

z

1.242  4.636j

zr

0.4  0.693j

Geometrische Deutung: ¢ ²

 1

xz1  zeiger z 1

¢ ²

 2

yz1  zeiger z 1

¢ ²

 1

xz2  zeiger z 2

¢ ²

 2

yz2  zeiger z 2

x- und y-Werte der Endpunkte der Zeigerteilstrecken ¢1² xz  zeiger ( z )

xzr  zeiger z r

¢2² yz  zeiger ( z )

yzr  zeiger z r

¢ ²

 1

¢ ²

 2

Seite 25

Komplexe Zahlen und Funktionen

Zeiger in der Gauß'schen Ebene 6

z1

4.8 3.6 yz1

Die Division zweier komplexer Zahlen z =z 1 / z 2 entspricht

2.4

geometrisch einer Drehstreckung bzw. Drehstauchung des Zeigers z 1 (Streckung bzw. Stauchung

z 2 1.2

yz2 yz

 6  4.8  3.6  2.4  1.2 0 1  1.2

yzr

1.2

2.4

3.6

4.8

6

um das 1/r2 -fache und Drehung um den Winkel (M2 > 0) im positiven

z  2.4

Drehsinn bzw. Drehung um den Winkel (M2 < 0) im negativen

 3.6

Drehsinn.

 4.8

z=

6

z1 z2

xz1 xz2 xz x zr

Abb. 1.5.7 Beispiel 1.5.12 Gegeben ist folgende komplexe Zahl z  2 ˜ Gesucht sind:

z1 =

r

z

r

φ  arg ( z )

φ

z

z1

z2 =

j

3.

3  j ˜ 2˜ z3 =

j

z2

z4 =

j

z3 j

Betrag

4.899

φ

0.785

Argument

45 ˜ Grad

Der Kehrwert der imaginären Zahl 1/j lässt sich in Exponentialform (unter Anwendung eines Potenzgesetzes im Reellen) darstellen: 1 j

1

=

z2 

z3 

z4 

z1 j z2 j z3 j

j ˜90˜Grad

= 1˜ e

bzw.

1˜ e

 j˜90˜Grad

z1  e

 j ˜90˜Grad

j ˜45˜Grad

˜ r˜ e

z1 = j z2 =

z3 =

z4 =

1

z1 j z2 j z3 j

1 j

 j˜

= 1˜ e

π 2

(1-54)

˜z

=j

=j

=j

2

3

4

˜z

˜z

˜z

z4

Seite 26

3.464  3.464j

z

3.464  3.464j

Komplexe Zahlen und Funktionen

Geometrische Deutung: ¢1² xz  zeiger ( z )

xz1  zeiger z 1

¢2² yz  zeiger ( z )

yz1  zeiger z 1

¢ ²

x- und y-Werte der Endpunkte der Zeigerteilstrecken

¢ ²

 1

xz3  zeiger z 3

¢ ²

 2

yz2  zeiger z 2

¢ ²

 2

 1

xz2  zeiger z 2

¢ ²

 1

¢ ²

 2

yz3  zeiger z 3

x ( φ)  r ˜ cos ( φ)

Kreis in Parameterdarstellung

y ( φ)  r ˜ sin ( φ)

Bereichsvariable

φ  π π  0.01  π

Zeiger in der Gauß'schen Ebene

yz

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

z3

yz1 yz2 yz3 y( φ)

z = z4 Die Division einer komplexen Zahl z durch die imaginäre Einheit j bedeutet geometrisch eine Drehung des Zeigers z um 90° im Uhrzeigersinn.

 10  9 8 7 6 5 4 3 2 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 z2 z1 5 6 7 8 9  10 x z xz1 xz2 xz3 x( φ)

Abb. 1.5.8 Die Division einer komplexen Zahl z 1 durch j n (n ²) entspricht einer Drehung des Zeigers z 1 um n . (-90°) im Uhrzeigersinn. Wenden wir ein Potenzgesetz wie im Reellen an, dann ergibt sich nämlich:

z=

z1 j

n

j ˜φ1

=

r1 ˜ e



j˜90˜Grad

1˜ e

j˜φ1



= r1 ˜ e n

 j˜n˜90˜Grad

˜e

Ist n = 1, so wird der Zeiger z 1 um -90° gedreht.

Seite 27



j ˜ φ1 n˜90˜Grad

= r1 ˜ e



(1-55)

Komplexe Zahlen und Funktionen

1.5.3 Potenzieren von komplexen Zahlen Unter der n-ten Potenz (n ²) einer komplexen Zahl z verstehen wir nach dem Satz von Moivre folgende komplexe Zahl: z = r ˜ ( cos ( φ)  j ˜ sin ( φ) ) ; n

n

n

z 1 = z = [ r ˜ ( cos ( φ)  j ˜ sin ( φ) ) ] = r ˜ ( cos ( n ˜ φ)  j ˜ sin ( n ˜ φ) ) (Polarform) n

n

(1-56)



z 1 = z = r n ˜ φ (Zahlenpaarform)

(1-57)

In Exponentialform ergibt sich (Faktor r und Summand M treten jeweils n-mal auf): j ˜φ

z = r˜ e

;

n



n = r ˜ ej˜φ ˜ r ˜ ej˜φ ....r ˜ ej˜φ = r ˜ r ˜ r.... ˜ r ˜ ej˜( φφ....φ) = rn ˜ ej˜n˜φ

j ˜φ

z1 = z = r ˜ e

(1-58)

Beweis des Satzes von Moivre mithilfe der vollständigen Induktion: 1) n = 1; n = 2; n= 3 1

A(1): ( cos ( φ)  j ˜ sin ( φ) ) = cos ( φ)  j ˜ sin ( φ) 2

2

2

A(2): ( cos ( φ)  j ˜ sin ( φ) ) = cos ( φ)  j ˜ 2 ˜ cos ( φ) ˜ sin ( φ)  j ˜ sin ( φ) 2

2

2

= cos ( φ)  sin ( φ)  j ˜ 2 ˜ cos ( φ) ˜ sin ( φ) = cos ( 2 ˜ φ)  j ˜ ( sin ( 2 ˜ φ) ) A(3): sin2 (M) = 1 - cos 2 (M) 3

3

2

2

( cos ( φ)  j ˜ sin ( φ) ) = cos ( φ)  3 ˜ cos ( φ) ˜ sin ( φ)  j ˜ 3 ˜ sin ( φ) ˜ cos ( φ)  j ˜ sin ( φ) 3

3



3

= cos ( φ)  3 ˜ cos ( φ)  3 ˜ cos ( φ)  j ˜ 3 ˜ sin ( φ)  3 ˜ sin ( φ)  sin ( φ)



3

= 4 ˜ cos ( φ)  3 ˜ cos ( φ)  j ˜ 3 ˜ sin ( φ)  4 ˜ sin ( φ)

3

3

3



= cos(3 ˜ φ)  j ˜ sin (3 ˜ φ)

2) Annahme A(n) ist gültig: n

A(n): ( cos ( φ)  j ˜ sin ( φ) ) = cos ( n ˜ φ)  j ˜ sin ( n ˜ φ) 3) Muss auch für A(n+1) gültig sein: n1

n

1

A(n+1): ( cos ( φ)  j ˜ sin ( φ) ) = ( cos ( n ˜ φ)  j ˜ sin ( n ˜ φ) ) ˜ ( cos ( φ)  j ˜ sin ( φ) ) = ( cos ( n ˜ φ)  j ˜ sin ( n ˜ φ) ) ˜ ( cos ( φ)  j ˜ sin ( φ) ) = ( cos ( n ˜ φ) ˜ cos ( φ)  sin ( n ˜ φ) ˜ sin ( φ) )  j ˜ ( sin ( n ˜ φ) ˜ cos ( φ)  cos ( n ˜ φ) ˜ sin ( φ) ) = cos ( n ˜ φ  φ)  j ˜ sin ( n ˜ φ  φ) = cos [ ( n  1) ˜ φ]  j ˜ sin [ ( n  1) ˜ φ] 4) gilt für alle n ² (gilt auch für n   und auch für n  4).

Seite 28

Komplexe Zahlen und Funktionen

Beispiel 1.5.13 Gegeben ist folgende komplexe Zahl z  1  j ˜

3.

4

Gesucht ist:

z 1 = z = x1  j ˜ y1

r

z

r

φ  arg ( z )

φ

4

Betrag

2 φ

1.047

Argument

60 ˜ Grad



z 1 = 2 4 ˜ 60 ° = 16 ˜ [ cos ( 240°)  j ˜ sin ( 240°) = 16 ˜ ( cos ( 60 °)  j ˜ sin ( 60 °)  §1 3· j˜ ¸ = 8 ˜ 1  j ˜ 3 = 8 ˜ z 2 ¹ ©2

z 1 = 16 ˜ ¨

z 1  [ r ˜ ( cos ( φ)  j ˜ sin ( φ) ) ] 4

4

j ˜4˜φ

z1  r ˜ e

1  j ˜



3

4

komplex o 8  8 ˜

3˜ j

z1

8  13.856i

z1

8  13.856j

z

4

8  13.856j

gesuchte komplexe Zahl

Das Potenzieren kann auch in Komponentenform durchgeführt werden. Dies ist aber händisch wesentlich aufwendiger.

Geometrische Deutung: ¢1² xz  zeiger ( z ) ¢2² yz  zeiger ( z )

¢ ²

 1

xz1  zeiger z 1

x- und y-Werte der Endpunkte der Zeigerteilstrecken

¢2²



yz1  zeiger z 1

Zeiger in der Gauß'schen Ebene 15 12 9 6

yz1

z

3

yz  15  12  9

6

3

0

3

6

9

12

3 6 9  12

z1

 15 xz x z1

Abb. 1.5.9

Seite 29

15

Das Potenzieren einer komplexen Zahl (n ²) bedeutet eine wiederholte Multiplikation. Dies entspricht geometrisch einer Drehstreckung bzw. Drehstauchung des Zeigers.

Komplexe Zahlen und Funktionen

Beispiel 1.5.14 Gegeben ist folgende komplexe Zahl z  3  z 1 = z = x1  j ˜ y1 2 1 j

=

2 ˜ (1  j ) (1  j ) ˜ (1  j )

z

2j

r

z

r

φ  arg ( z )

φ

2.236

=

2  2˜ j 2

2

r=

8

j ˜8˜φ

z1  r ˜ e

Damit ergibt sich z zu:

=1j

2

2 1 =

φ

0.464

z 1  [ r ˜ ( cos ( φ)  j ˜ sin ( φ) ) ] 8

.

1j

8

Gesucht ist:

Es gilt:

2

z = 3  (1  j ) = 2  j

Betrag

5

Argument

26.565 ˜ Grad

z1

527  336i bzw.

z1

527  336j

z

8

527  336j

gesuchte komplexe Zahl

1.5.4 Wurzelziehen (Radizieren) von komplexen Zahlen Für reelle Zahlen gilt: b=

n

n

a œ b = amit n ²und a,b +

Für komplexe Zahlen definieren wir: z0 =

n

 n = zmit n ², z z0 und z 

z œ z 0

Mit z = r ˜ ( cos ( φ)  j ˜ sin ( φ) ) gilt dann nach Satz von Moivre: 1

z0 =

n

z=z

n

1

= [ r ˜ ( cos ( φ)  j ˜ sin ( φ) ) ]

n

1

=r

§ 1 · ¨ n φ¸ z 0 = z = ¨ r  ¸ (Zahlenpaarform) n¹ ©

n

§ ©

§ φ ·  j ˜ sin § φ · · (Polarform) ¸ ¨ ¸¸ © n¹ © n ¹¹

˜ ¨ cos ¨

(1-59)

1 n

(1-60)

In Exponentialform und unter Anwendung des Satzes von Moivre (siehe Beweis oben) gilt dann j ˜φ

mit z = r ˜ e : 1

1

z0 = z

n





j ˜φ

= r˜ e

1

n

=r

n

j˜

˜e

φ n

(1-61)

Seite 30

Komplexe Zahlen und Funktionen

Bemerkung: Kosinus- und Sinusfunktion sind periodische Funktionen mit der kleinsten Periode von 2 S. Daher gilt: cos(M) = cos(M + k* 2* S) bzw. sin(M) = sin(M + k* 2* S). Im Komplexen muss dieses periodische Verhalten berücksichtigt werden! Daher steht

n

z nicht für eine komplexe Zahl z 0,

 n

sondern für n verschiedene komplexe Zahlen z 0 z 1 z 2 ... z n 1, für die gilt: z k = z (k = 0, 1, 2, 3, ..., n-1). Also gibt es k Wurzeln! z 0 heißt Hauptwert, z 1 z 2 ... ˜ z n 1 heißen Nebenwerte. Für k = n, n+1, n+2, ... und für negative k wiederholen sich die Werte wegen der Periodizität der Kosinusund Sinusfunktion. Die oben angeführte Definition muss daher noch modifiziert werden: 1

zk =

n

z=z

n

1

= [ r ˜ ( cos ( φ  k ˜ 2 ˜ π)  j ˜ sin ( φ  k ˜ 2 ˜ π) ) ]

1

zk =

n

z=z

n

n

(Polarform)

(1-62)

1

=r

n

§ φ  k ˜ 2 ˜ π ·  j ˜ sin § φ  k ˜ 2 ˜ π · · ¸ ¨ ¸¸ n n © ¹ © ¹¹

§ ©

˜ ¨ cos ¨

1

§ 1 · ¨ ¸ φ  k ˜ 2 ˜ π n n z k = z = ¨ r  ¸ (Zahlenpaarform) n © ¹

(1-63)

In Exponentialform unter Berücksichtigung der Periodizität ergibt sich dann: j ˜φ

z = r˜ e

; 1

1 n

zk = z

j ˜( φk˜2˜π)º

= ª¬r ˜ e

n

1

j˜

φ k˜2˜π

n ¼ =r ˜e

n

(k = 0, 1, 2, 3, ..., n-1)

(1-64)

Beispiel 1.5.15 Gegeben ist folgende komplexe Zahl z1 = (10 ; 60°). Gesucht ist:

zk =

z1

1

z k = 10

z 0 = 10

z 1 = 10

2

§ ©

§ 60 ˜ °  k ˜ 360 ˜ ° ·  j ˜ sin § 60 ˜ °  k ˜ 360 · · ¸ ¨ ¸¸ 2 2 © ¹ © ¹¹

in Polarform

˜ ¨ cos ¨

1

1

2

2

˜ ( cos ( 30 ˜ °)  j ˜ sin ( 30 ˜ °) ) = 10

1

˜

3 2

 j ˜ 10

2

˜

1 2

1

1

2

2

˜ ( cos ( 30 ˜ °  180 ˜ °)  j ˜ sin ( 30 ˜ °  180 ˜ °) ) = 10

gesuchte Wurzeln 1

˜

3 2

 j ˜ 10

2

˜

1 2

gegebene komplexe Zahl

z1  10 ˜ ( cos ( 60 ˜ Grad)  j ˜ sin ( 60 ˜ Grad) )

Seite 31

Komplexe Zahlen und Funktionen

z1

Die Wurzel liefert in Mathcad nur den Hauptwert!

2.739  1.581j

Winkel zwischen -S und +S

φ  arg ( z1) ORIGIN  0

Bereichsvariable für die Wurzelwerte

k  0  1

§ φ k˜2˜π · ¸ 2 © ¹ z1 ˜ e j ˜¨

zk  z0

2.739  1.581j

z1

2.739  1.581j

z

§ 2.739  1.581j · ¨ ¸ © 2.739  1.581j ¹

Haupt- und Nebenwert

Geometrische Deutung: ¢0² xz  zeiger ( z1)

¢ ²

 0

xz0  zeiger z 0

¢1² yz  zeiger ( z1)

yz0  zeiger z 0

x ( φ) 

y ( φ) 

¢1²



z 0 ˜ cos ( φ)

¢ ²

 0

xz1  zeiger z 1

¢1²



yz1  zeiger z 1

x- und y-Werte der Endpunkte der Zeigerteilstrecken

Kreis in Parameterdarstellung

z 0 ˜ sin ( φ)

Bereichsvariable

φ  π π  0.01  π Zeiger in der Gauß'schen Ebene 10

z1

8 6 4

yz

yz1 y( φ)

z0

2

yz0  10  8

6

4

z1

2

0

2

4

6

8

10

2 4 6 8  10 xz x z0 x z1 x( φ)

Abb. 1.5.10

Seite 32

Zweiteilung des Kreises mit Radius r = |z 0 |

Komplexe Zahlen und Funktionen

Beispiel 1.5.16 Gegeben ist folgende komplexe Zahl z1 = 8. Gesucht ist: 3

8

z1

3

z1

Im Reellen!

2

gegebene komplexe Zahl

z1  8 3

zk =

Die Wurzel liefert in Mathcad nur den Hauptwert!

2

Winkel zwischen -S und +S

φ  arg ( z1)

φ

ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

k  0  2

Bereichsvariable für die Wurzelwerte

zk 

3

§ φk˜2˜π · ¸ 3 ¹ 8˜ e ©

0 ˜ Grad

2 §¨ ·¸ ¨ 1  1.732j ¸ ¨ 1  1.732j ¸ © ¹

j ˜¨

z

Geometrische Deutung: ¢0² xz  zeiger ( z1)

¢0²

x- und y-Werte der Endpunkte der Zeigerteilstrecken

¢0²



xz2  zeiger z 2

¢ ²

 1

x ( φ) 

¢ ²

 1

yz0  zeiger z 0



yz1  zeiger z 1

¢ ²

 0

xz0  zeiger z 0

¢1² yz  zeiger ( z1) xz1  zeiger z 1

Haupt- und Nebenwerte

¢ ²

 1

yz2  zeiger z 2

z 0 ˜ cos ( φ)

y ( φ) 

Kreis in Parameterdarstellung

z 0 ˜ sin ( φ)

Bereichsvariable

φ  π π  0.01  π Zeiger in der Gauß'schen Ebene 8 6 yz

4

z1

yz0 yz1 yz2 y( φ)

2

z0 8

6

4

2

z2

0

2

z1 4

6

8

2

Dreiteilung des Kreises mit Radius r = |z 0 |

4 6 8

Abb. 1.5.11

x z xz0 xz1 xz2 x( φ)

Seite 33

Komplexe Zahlen und Funktionen

Die Zeigerspitzen liegen auf einem regulären Polygon (regelmäßiges n-Eck mit nt3 Seiten): gegebene komplexe Zahl

z1  8 φ  arg ( z1)

φ

Winkel zwischen -S und +S

0

ORIGIN  0 n 3

Wurzelexponent (Seitenanzahl eines regulären Polygon)

k  0  n  1

Bereichsvariable für die Wurzelwerte

Haupt- und Nebenwerte: n

zk 

§ φ k˜2˜π · ¸ n ¹ z1 ˜ e © j ˜¨

z



2 §¨ ·¸ ¨ 1  1.732j ¸ ¨ 1  1.732j ¸ © ¹



Bildpunktkoordinaten

xk  Re z k

yk  Im z k

P  erweitern ( x y)

Lage der Bildpunkte

T

P

1 · § 2 1 ¨ ¸ © 0 1.732 1.732 ¹



x1  stapeln x x0 T

x1

T

y1





y1  stapeln y y0



Eckpunktskoordinaten zur Darstellung der Seiten

( 2 1 1 2 ) ( 0 1.732 1.732 0 )

2

y1 ¢1² P

2

0

2

Abb. 1.5.12

Seiten 2 des regelmäßigen n-Ecks Zugehörige Bildpunkte

¢0² x1 P

Seite 34

Komplexe Zahlen und Funktionen

Eine algebraische Gleichung n-ten Grades n

n1

an ˜ x  an 1 ˜ x

2

 ....  a2 ˜ x  a1 ˜ x  a0 = 0

(1-65)

(x , an z 0 , ai i =0, 1, 2, ..., n)) hat höchstens n reelle Lösungen (Wurzeln). Lösen wir die Gleichung im Komplexen, so besagt der Fundamentalsatz der Algebra: Eine algebraische Gleichung n-ten Grades n

an ˜ z  an 1 ˜ z

n1

2

 ....  a2 ˜ z  a1 ˜ z  a0 = 0

(1-66)

(z , an z 0 , ai i =0, 1, 2, ..., n)) besitzt in der Menge  der komplexen Zahlen stets genau n Lösungen (Wurzeln). Das Polynom vom Grade n lässt sich im komplexen Zahlenbereich in Linearfaktoren zerlegen: n

an ˜ z  an 1 ˜ z

n1

2









 ....  a2 ˜ z  a1 ˜ z  a0 = an ˜ z  z 1 ˜ z  z 2 ˜ .... ˜ z  z n



(1-67)

z 1 , z 2 , z 3 , ..., z n sind dabei die n Lösungen (n Polynomnullstellen) der algebraischen Gleichung. Bei ausschließlich reellen Koeffizienten (ai ) treten komplexe Lösungen der algebraischen Gleichung immer paarweise auf, nämlich als Paare zueinander konjugiert komplexer Zahlen. Wenn nämlich z 1 eine Lösung ist, so ist z 1 * ebenfalls eine Lösung.

Beispiel 1.5.17 Lösen Sie die nachfolgend angegebene algebraische Gleichung und zerlegen Sie das Polynom in Linearfaktoren: 3

2

3

2

z  z  4˜ z  4 = 0

z  z  4˜ z  4 = 0

hat als Lösung(en)

z z

Redefinition

§¨ 2j ·¸ ¨ 2j ¸ ¨ 1 ¸ © ¹

§¨ z1 ·¸ §¨ 1 ·¸ ¨ z ¸  z 3  z 2  4 ˜ z  4 = 0 auflösen z o ¨ 2j ¸ ¨ 2¸ ¨ 2j ¸ ¨© z3 ¸¹ © ¹ 3

2

z  z  4 ˜ z  4 = ( z  1) ˜ ( z  2 ˜ j ) ˜ ( z  2 ˜ j )

z  z1 ˜ z  z2 ˜ z  z3 erweitern

3

Zerlegung in Linearfaktoren

2

o z  z  4˜ z  4

Seite 35

Komplexe Zahlen und Funktionen

Beispiel 1.5.18 Lösen Sie die nachfolgend angegebene algebraische Gleichung und stellen Sie die Bildpunkte in der Gauß'schen Zahlenebene dar. n

Die algebraische Gleichung z  1 = 0 (z , n ²) heißt Kreisteilungsgleichung und deren Lösungen z k = (1 ; k * 360°/n) (k = 0, 1, 2, ..., n-1) werden n-te Einheitswurzeln genannt. 6

z =1

Diese Kreisteilungsgleichung hat genau 6 Lösungen!

ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

n 6

Wurzelexponent (Seitenanzahl eines regulären Polygon)

k  0  n  1

Bereichsvariable für die Wurzelwerte 1 § · ¨ ¸ ¨ 0.5  0.866j ¸ ¨ 0.5  0.866j ¸ ¨ ¸ 1 ¨ ¸ ¨ 0.5  0.866j ¸ ¨ ¸ © 0.5  0.866j ¹

Haupt- und Nebenwerte:

§ k˜2˜π · ¸ n ¹ zk  1 ˜ e © j ˜¨

z





xk  Re z k

Bildpunktkoordinaten

yk  Im z k

Lage der Bildpunkte

P  erweitern ( x y) T

P

0.5 · § 1 0.5 0.5 1 0.5 ¨ ¸ © 0 0.866 0.866 0 0.866 0.866 ¹



x1  stapeln x x0 T

x1





y1  stapeln y y0

y1

y ( φ)  1 ˜ sin ( φ)

y( φ)

2

z3

z1

1

1

z4

Kreis in Parameterdarstellung

Die Bildpunkte liegen in der Gauß'schen Zahlenebene an den Ecken eines regelmäßigen Sechsecks.

y1 ¢1² P

( 0 0.866 0.866 0 0.866 0.866 0 )

Bereichsvariable

φ  π π  0.01  π

z2

Eckpunktskoordinaten zur Darstellung der Seiten T

( 1 0.5 0.5 1 0.5 0.5 1 )

x ( φ)  1 ˜ cos ( φ)



0 1

1

z5

¢0² x1 P x( φ)

z0

2

Die Lösungen z 0 und z 3 sind reell. z 1 und z 5 bzw. z 2 und z 4 sind paarweise zueinander konjugiert komplexe Zahlen.

Abb. 1.5.13

Seite 36

Komplexe Zahlen und Funktionen

1.5.5 Logarithmieren von komplexen Zahlen Im Bereich der reellen Zahlen ist der natürliche Logarithmus einer positiven reellen Zahl folgendermaßen definiert: x

a=e

œ x = ln ( a)(a +)

(1-68)

Unter Beachtung des Permanenzprinzips können wir diesen Begriff auf den komplexen Bereich übertragen. Wie bereits ausgeführt, kann jede komplexe Zahl z (z z0) in der Exponentialform j˜( φ k˜2˜π)

z = r˜ e

(k  )

mit r > 0 und 0 d M < 2 Sdargestellt werden. Wir verstehen dann unter dem natürlichen Logarithmus einer komplexen Zahl z die unendlich vielen komplexen Zahlen j ˜( φ k˜2˜π)º

j˜( φ k˜2˜π)º ¼ = ln ( r)  ln ª¬e ¼ = ln ( r)  j ˜ ( φ  k ˜ 2 ˜ π)

ln ( z ) = ln ª¬r ˜ e

(1-69)

k  . Für k = 0 erhalten wir den Hauptwert: ln ( z ) = ln ( r)  j ˜ φ (0 d M < 2S)

(1-70)

ln(r), mit r = |z|, ist sein Realteil und das Argument M der Imaginärteil der komplexen Zahl z (Hauptwert). Die übrigen Werte heißen Nebenwerte. Sie ergeben sich aus dem Hauptwert durch Addition ganzzahliger Vielfacher von 2 S j. Die verschiedenen komplexen Zahlen stimmen also im Realteil überein. Bemerkung: ln(z) ist für jede komplexe Zahl (z z0) erklärt (auch für negative reelle Zahlen). Die Rechengesetze für Logarithmen komplexer Zahlen sind die gleichen wie im Reellen. Wie bereits hingewiesen wurde, wird in der Technik der Hauptwert des Arguments M auf das Intervall -S < M d S beschränkt. Bei dieser Festlegung ändern sich auch der Haupt- und die Nebenwerte des Logarithmus einer komplexen Zahl entsprechend.

Beispiel 1.5.19 Berechnen Sie den natürlichen Logarithmus folgender komplexen Zahl: gegebene komplexe Zahl

z  5  j ˜ 6 r

z

r

φ  arg ( z )

φ

j˜( φ k˜2˜π)

z = r˜ e ln ( z )

7.81 2.266

Exponentialform

2.055  2.266j

Betrag φ

129.806 ˜ Grad

ln ( z ) = ln ( r)  j ( φ  k ˜ 2 ˜ π)

Argument Logarithmus von z

Hauptwert

k  0  2

Bereichsvariable für Hauptwert und 2 Nebenwerte

lnzk  [ ln ( r)  j ˜ ( φ  k ˜ 2 ˜ π) ]

Logarithmuswerte in einem Vektor zusammengefasst

§¨ 2.055  2.266j ·¸ lnz ¨ 2.055  8.549j ¸ ¨ 2.055  14.832j ¸ © ¹

Hauptwert und 2 Nebenwerte

Seite 37

Komplexe Zahlen und Funktionen

1.6. Anwendungen von komplexen Zahlen 1.6.1 Komplexe Darstellung von sinusförmigen Größen Bei der Behandlung von Schwingungsproblemen ist die komplexe Rechnung der reellen Rechnung aufgrund der einfacheren komplexen Rechengesetze überlegen. Die komplexe Darstellung von Wechselstromgrößen ist in der Elektro- und Nachrichtentechnik unentbehrlich. Viele Probleme lassen sich mithilfe dieser symbolischen Methode analog denen in der Gleichstromlehre lösen. Es gelten im Komplexen die Formeln für Reihen- und Parallelschaltung, aber auch die Kirchhoff'schen Regeln sowie das Ohm'sche Gesetz. Ausgehend von der Funktionsgleichung einer harmonischen mechanischen Schwingung oder elektrischen Schwingung, wie z. B. Wechselspannung oder Wechselstrom, soll die symbolische Methode erläutert und eingeführt werden. y ( t) =  ˜ sin ( ω ˜ t  φ) = A ˜ sin ( ω ˜ t  φ) = A 0 ˜ sin ( ω ˜ t  φ) (mechanische Schwingung)













u ( t ) = Û ˜ sin ω ˜ t  φu = Umax ˜ sin ω ˜ t  φu = U0 ˜ sin ω ˜ t  φu (Wechselspannung)













i ( t ) = Î ˜ sin ω ˜ t  φi = Imax ˜ sin ω ˜ t  φi = I0 ˜ sin ω ˜ t  φi (Wechselstrom)

(2-1) (2-2) (2-3)

Die physikalischen Größen bedeuten: Â, A, A0 Schwingungsamplitude mit der entsprechenden Einheit Û, Umax , U0 Scheitelwert der Spannung in V Î, Imax , I 0 Scheitelwert des Stromes in A Z= 2 . S. f Kreisfrequenz in 1/s f Frequenz der Schwingung in Hz T = 1/f Perioden- oder Schwingungsdauer der Schwingung in s M, M Z.t2 - Z.t1 , M = Mu - Mi Phasenverschiebungswinkel (Phasenwinkel oder Nullphasenwinkel) in rad oder Grad. Die Beschränkung auf Sinusschwingungen ist deshalb gerechtfertigt, weil sich Kosinusschwingungen immer auf Sinusschwingungen zurückführen lassen:

§ ©

y ( t) =  ˜ cos ( ω ˜ t  φ) =  ˜ sin ¨ ω ˜ t  φ 

π·

¸

2¹

Seite 38

(2-4)

Komplexe Zahlen und Funktionen

y ( t) =  ˜ sin ( ω ˜ t  φ)



y ( t) = Im ( y) =  ˜ sin ( ω ˜ t  φ)





u ( t ) = Û ˜ sin ω ˜ t  φu



i ( t ) = Î ˜ sin ω ˜ t  φi



u ( t ) = Im ( u) = Û ˜ sin ω ˜ t  φu





i ( t ) = Im ( i) = Î ˜ sin ω ˜ t  φi



y =  ˜ ( cos ( ω ˜ t  φ)  j ˜ sin ( ω ˜ t  φ) )

   i = Î ˜  cos  ω ˜ t  φi  j ˜ sin  ω ˜ t  φi u = Û ˜ cos ω ˜ t  φu  j ˜ sin ω ˜ t  φu

j ˜( ω˜tφ)

y= ˜e



j˜ ω˜t φu

u = ۘ e

 i = Θe

j ˜ ω˜tφi

j ˜φ

= ˜e

j ˜ω˜t

˜e

Durchführung der Rechnung mit komplexer Amplitude (Ruhende Zeiger z. B. bei t = 0):

j ˜ω˜t

= ˜ e

= Û ˜ ej˜φu ˜ ej˜ω˜t = Û ˜ ej˜ω˜t

j ˜φ

Â= ˜e

= Î ˜ ej˜φi ˜ ej˜ω˜t = Î ˜ ej˜ω˜t

j ˜φu

j ˜φi

Π= Θe

=

=

j ˜φi

Π= Θe

bzw. bei Zugrundelegung des Effektivwertes mit dem zeitunabhängigen Spannungs- bzw. Stromzeiger

Mit den komplexen Amplituden: Û = ۘ e

j ˜φu

Û = ۘ e

j ˜φu

2 ˜ Ueff ˜ e

U=

2 ˜ Ueff = Ueff

I=

2 ˜ Ieff = Ieff

j˜φi

2 ˜ Ieff ˜ e

Die physikalischen Größen bedeuten: y, u, i

Augenblickswert

y, u, i

Â, Û, Î

komplexe Amplitude oder Scheitelwert

Ueff, Ieff

komplexer Effektivwert

ejZt

Drehfaktor. Die Zeitfunktion der Schwingung beschreibt den Einheitskreis, der durch den Einheitskreiszeiger festgelegt wird.

ejM

Winkelfaktor (gibt die Phasenlage an. Die Bezugsgröße liegt meist in der reellen Achse)

Ueff, I eff

Seite 39

komplexer Zeitwert

Betrag des Effektivwertes

Komplexe Zahlen und Funktionen

Der oben angeführte Zusammenhang soll nun etwas näher erläutert werden. Die durch die Funktionen









y ( t) =  ˜ sin ( ω ˜ t  φ) , u ( t ) = Û ˜ sin ω ˜ t  φu und i ( t ) = Î ˜ sin ω ˜ t  φi (2-5) beschriebenen harmonischen Schwingungen lassen sich in einem Zeigerdiagramm durch einen mit der Winkelgeschwindigkeit Z im positiven Drehsinn um den Nullpunkt rotierenden Zeiger der Länge Â, Û bzw. Î anschaulich darstellen (Abb. 1.6.2). Beispiel 1.6.1 Harmonische mechanische Schwingung (vorerst ohne Einheiten): π

φ

Phasenwinkel

8

ω 2

Kreisfrequenz

 1

Amplitude

t1  0

Zeitpunkt t1 FRAME

t2  0.3 

Zeitpunkt t2

10

Animation: FRAME von 0 bis 30 mit 10 Bilder/s

t  0.5 0.5  0.001  3.5

Bereichsvariable für die Zeit

y ( t)   ˜ sin ( ω ˜ t  φ)

Schwingungsgleichung

xz1  xz2  x2  x

0 0



T



T

 ˜ cos ω ˜ t1  φ



 ˜ cos ω ˜ t2  φ

  ˜ cos ω ˜ t2  φ  t2

t2

yz1 

T



 ˜ cos ω ˜ t2  φ

T

y2

y2 

 0 yt2 T



Ursprung und Zeigerspitze

Ordinatenwert der Zeigerspitze und augenblicklicher Funktionswert

 0 yt2 T



1 φ



y t2

ω

0.5



y t1

yz1 yz2

 0 yt2

y t2

0.5

˜sin( ω˜t)

T

yz2 

y

1

 0 yt1 T



y t1

y( t) 1

 0.5

0

0.5

1

y

 0.5

1

0

1

2

 0.5

1

1

˜cos ( ω˜t) xz1 xz2 x2

t x

Abb. 1.6.2

Seite 40

3

4

Komplexe Zahlen und Funktionen

Der Zeiger befindet sich zum Zeitpunkt t 1 = 0 in der Ausgangsposition. Sein Richtungswinkel gegenüber der Bezugsachse (t-Achse) ist der Phasenwinkel (Nullphasenwinkel)M. In der Zeit t2 dreht sich der Zeiger um Z t2 weiter. Sein Richtungswinkel gegenüber der Bezugsachse ist nunmehrZ t2 + M. Der Ordinatenwert der Zeigerspitze entspricht dabei dem augenblicklichen Funktionswert y(t). Bei der Rotation des Zeigers um den Nullpunkt durchläuft daher die Ordinate nacheinander alle Funktionswerte der Sinusschwingung. Wird also von den Augenblickswerten y(t), u(t) bzw. i(t) abgesehen, so genügt allein die Darstellung des Zeigers, um daraus die Amplitude (Scheitelwert) und Phasenlage M ablesen zu können. In der Praxis ist es nun tatsächlich so, dass die Kenntnis der Augenblickswerte oft von untergeordneter Bedeutung ist. Wir deuten nun die Ebene, in der die Rotation des Zeigers erfolgt, als Gauß'sche Zahlenebene und beschreiben die augenblickliche Lage des Zeigers durch die zeitabhängige komplexe Zahl j ˜( ω˜tφ)

y =  ˜ ( cos ( ω ˜ t  φ)  j ˜ sin ( ω ˜ t  φ) ) =  ˜ e

 





 





i = Î ˜ cos ω ˜ t  φi  j ˜ sin ω ˜ t  φi



j˜ ω˜t φu

= Û ˜ e

u = Û ˜ cos ω ˜ t  φu  j ˜ sin ω ˜ t  φu



j˜ ω˜t φi

= Î ˜ e

j ˜φ

= ˜e

j ˜ω˜t

˜e

j ˜ω˜t

= ˜ e

= Û ˜ ej˜φu ˜ ej˜ω˜t = Û ˜ ej˜ω˜t

= Î ˜ ej˜φi ˜ ej˜ω˜t = Î ˜ ej˜ω˜t

(2-6) (2-7)

(2-8)

Der ruhende Zeiger (Anfangslage des Zeigers zum Zeitpunkt t = 0) wird allein durch die komplexe Schwingungsamplitude gekennzeichnet: j ˜φ

Â= ˜e

j ˜φu

; Û = ۘ e

j˜φi

; Î=Θe

(2-9)

Die komplexe Amplitude Â, Û bzw. Î besitzt den Betrag | Â | = Â , | Û | = Û bzw. | Î | = Î und den Nullphasenwinkel M und legt die Anfangslage des rotierenden Zeigers fest. Die Zeitfunktion e jZt beschreibt die Rotation des Zeigers mit der Winkelgeschwindigkeit Z um den Nullpunkt der komplexen Zahlenebene. Der Momentanwert der Sinusschwingung entspricht dann dem Imaginärteil des rotierenden Zeigers:

 j˜ω˜t =  ˜ sin (ω ˜ t  φ) j ˜ω˜t u ( t ) = Im ( u) = Im  Û ˜ e = Û ˜ sin  ω ˜ t  φu ; j ˜ω˜t i ( t ) = Im ( i) = Re  Î ˜ e = Î ˜ sin  ω ˜ t  φi . y ( t) = Im ( y) = Im  ˜ e

(2-10) (2-11) (2-12)

Liegt eine Schwingung als Kosinusschwingung vor, so ergeben sich für die Berechnung folgende Möglichkeiten: 1. Die Schwingung wird zunächst als sinusförmige Schwingung dargestellt. Anschließend erfolgen die oben angegebenen Rechenschritte. 2. Die Schwingung wird in Kosinusform belassen. Anschließend erfolgen wieder die oben angeführten Rechenschritte. Jedoch bei der Rücktransformation aus dem Komplexen ins Reelle ist der Realteil des Zeigers zu nehmen:

 j˜ω˜t =  ˜ cos (ω ˜ t  φ) j ˜ω˜t u ( t ) = Re ( u) = Re  Û ˜ e = Û ˜ cos  ω ˜ t  φu j˜ω˜t i ( t ) = Re ( i ) = Re  Î ˜ e = Î ˜ cos  ω ˜ t  φi y ( t) = Re ( y) = Re  ˜ e

Seite 41

(2-13) (2-14) (2-15)

Komplexe Zahlen und Funktionen

Beispiel 1.6.2 Zur Zeigerdarstellung verwenden wir wieder das bereits angeführte Unterprogramm: ORIGIN festlegen

ORIGIN  1 zeiger ( z ) 

x1 m 0 y1 m 0 x2 m Re ( z ) y2 m Im ( z ) x3 m Re ( z ) y3 m Im ( z )

§ π  winkel x y ·  3 3 ¸ ©3 ¹ §π · y4 m y3  cos ¨  winkel  x3 y3 ¸ ©3 ¹

x4 m x3  sin ¨

Dieses Unterprogramm liefert die Endpunkte der Teilstrecken, aus denen ein Zeiger zusammengesetzt ist.

x5 m Re ( z ) y5 m Im ( z )

§  © § y6 m y3  sin ¨ winkel  x3 y3  ©

x6 m x3  cos ¨ winkel x3 y3 

π·

¸

6¹ π·

¸

6¹

X m erweitern ( x y) Wir stellen die mechanische Schwingung y ( t) =  ˜ sin ( ω ˜ t  φ) als Zeiger in der komplexen Ebene dar und führen dann die Rücktransformation in die reelle Form durch: φ

π

φ

8

ω 2˜ s

22.5 ˜ Grad

1

Phasenwinkel Kreisfrequenz Amplitude

  8 ˜ cm

Übergang von der reellen Form zur komplexen Form: j ˜( ω˜t φ)

y= ˜e

j ˜φ

= ˜e

j ˜( ω˜t φ)

rotierender Zeiger

y ( t)   ˜ e

§ Â ˜ e ©

j˜¨φ

FRAME · 10

j ˜ω˜t

˜e

¸ ¹

komplexe Schwingungsamplitude Animation: FRAME von 0 bis 65 mit 10 Bilder/s

Seite 42

Komplexe Zahlen und Funktionen

¢1²

§ · xy  zeiger ¨ ¸ © cm ¹

¢2²

˜ cm

§ · yy  zeiger ¨ ¸ © cm ¹

˜ cm

x- und y-Werte der Endpunkte der Zeigerteilstrecken (Achtung auf Einheiten!)

Bereichsvariable für die Zeit

t  0 ˜ s 0.1 ˜ s  π ˜ s

Zeiger in der Gauß'schen Ebene 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Im( y( t) ) cm yy

  =Â

 10 9  8  7  6  5  4 3  2  1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9  10

cm

Re( y( t) ) cm



Â

( 7.391  3.061j ) ˜ cm

Re ( Â)

7.391 ˜ cm

Im ( Â)

3.061 ˜ cm

Â

8 ˜ cm

xy cm

Abb. 1.6.3 Rücktransformation aus der komplexen Form in die reelle Form: j˜( ω˜t φ)º

y ( t) = Im ( y ( t) ) = Im ª¬Â ˜ e Â

Â

φ  arg ( Â)

 φ

¼ = Im (  ˜ cos ( ω ˜ t  φ)  j ˜  ˜ sin ( ω ˜ t  φ) ) =  ˜ sin ( ω ˜ t  φ)

8 ˜ cm 22.5 ˜ Grad

Betrag von  Winkel im Bereich -180° < M d180°

Seite 43

Komplexe Zahlen und Funktionen

1.6.2 Überlagerung von Schwingungen gleicher Frequenz Nach dem Superpositionsprinzip der Physik überlagern sich Schwingungen gleicher Frequenz ungestört. Die Überlagerung von sinusförmigen Schwingungen gleicher Frequenz ergibt wieder eine sinusförmige Schwingung gleicher Frequenz.

Beispiel 1.6.3 Zwei harmonische mechanische Schwingungen y 1 und y 2 sollen additiv (y = y1 + y2 = Âs sin(Z t + Ms)) überlagert werden. Die Berechnung soll zuerst reell und dann komplex durchgeführt werden. Die geometrische Addition der komplexen Schwingungsamplituden soll grafisch dargestellt werden.



1

§ ©

1

§ ©

1

y1 ( t)  5 ˜ cm ˜ sin 2 ˜ s

y2 ( t) = 4 ˜ cm ˜ cos ¨ 2 ˜ s y2 ( t)  4 ˜ cm ˜ sin ¨ 2 ˜ s Â1  5 ˜ cm

φ1  0

Â2  4 ˜ cm

φ2 

ω 2˜ s

˜t



˜t

˜t

π·

π π· § 1 ¸ = 4 ˜ cm ˜ sin ¨ 2 ˜ s ˜ t   ¸ 6 2¹ ©

6¹ π·

¸

3¹ Amplitude und Phasenverschiebung der 1. Schwingung

π

Amplitude und Phasenverschiebung der 2. Schwingung

3

1

gegebene Frequenz

Berechnung im reellen Zahlenbereich: Aus dem Zeigerdiagramm lassen sich für die Überlagerung von 2 Schwingungen zur Berechnung von Âs und Ms folgende Beziehungen geometrisch herleiten: Âs  Âs

2

2



 

φs

7.81 ˜ cm

26.33 ˜ Grad

Berechnung in komplexer Form: 1. Übergang von der reellen Form zur komplexen Form:



j ˜ ω˜t φ1

y1 = Â1 ˜ e

=Â

j˜φ1

1˜ e



j˜ φ1

Â1  Â1 ˜ e



j ˜ ω˜t φ2

y2 = Â2 ˜ e



j˜ φ2

Â2  Â2 ˜ e

j˜ω˜t

˜e

komplexe Schwingungsamplitude der 1. Schwingung

=Â

j˜φ2

2˜ e

 ·¸  ¸¹

§ Â1 ˜ sin φ1  Â2 ˜ sin φ2 φs  atan ¨ ¨© Â1 ˜ cos φ1  Â2 ˜ cos φ2



Â1  Â2  2 ˜ Â1 ˜ Â2 ˜ cos φ1  φ2

j˜ω˜t

˜e

komplexe Schwingungsamplitude der 2. Schwingung

Seite 44

Komplexe Zahlen und Funktionen

2. Addition der komplexen Amplituden: Âs  Â1  Â2

Âs ¢1²

§ Â1 · ¸ xy1  zeiger ¨ © cm ¹

¢1²

§ Â2 · ¸ xy2  zeiger ¨ © cm ¹

¢2²

§ Â1 · ¸ yy1  zeiger ¨ © cm ¹

˜ cm

x- und y-Werte der Endpunkte der Zeigerteilstrecken des Zeigers 1

˜ cm

¢2²

§ Â2 · ¸ ˜ cm yy2  zeiger ¨ © cm ¹

¢1²

§ Âs · ¸ xys  zeiger ¨ © cm ¹

( 7  3.464j ) ˜ cm

x- und y-Werte der Endpunkte der Zeigerteilstrecken des Zeigers 2

˜ cm

¢2²

§ Âs · ¸ yys  zeiger ¨ © cm ¹

˜ cm

x- und y-Werte der Endpunkte der Zeigerteilstrecken des Summenzeigers

˜ cm

Zeiger in der Gauß'schen Ebene 10 9 8 7 yy1

6

cm

5

yy2 cm

Âs  Â1  Â2

Â2

4 3

yys

2

cm

1 2

1

Â1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 2 x y1 x y2 x ys   cm cm cm

Abb. 1.6.4

Âs 

Âs



φs  arg Âs

Âs

7.81 ˜ cm

Betrag von Â

φs

26.33 ˜ Grad

Winkel im Bereich -180° < M d 180°

Seite 45

Komplexe Zahlen und Funktionen

j˜φs

Âs  Âs ˜ e

Âs

komplexe Amplitude

( 7  3.464j ) ˜ cm

j ˜ω˜t

Summenschwingung in komplexer Form

ys = Âs ˜ e

3. Rücktransformation aus der komplexen Form in die reelle Form: j ˜φs j˜ω˜t· j˜ ω˜t φs º §¨ ª« ¸ » ¹ = Im © Âs ˜ e ˜ e ¹ = Im ¬Âs ˜ e ¼

j ˜ω˜t·

y ( t) = Im ys = Im § Âs ˜ e ©





y ( t)  Âs ˜ sin ω ˜ t  φs



Summenschwingung Bereichsvariable

t  0 ˜ s 0.001 ˜ s  6 ˜ s 10 y( t) cm

5

y1( t) cm

0

2

4

6

y2( t) cm

5

 10 t s

Abb. 1.6.5 Beispiel 1.6.4 Die nachfolgenden drei Wechselspannungen werden zur Überlagerung gebracht. Wie lautet die Gleichung der resultierenden Wechselspannung u(t)? f  50 ˜ Hz

Frequenz der Wechselspannungen

ω 2˜ π˜ f

Kreisfrequenz

Û1  150 ˜ V φu1 

2˜ π 3

Û2  220 ˜ V

Û3  120 ˜ V

φu3  0

φu2 













u1 ( t) = Û1 ˜ sin ω ˜ t  φu1

u2 ( t) = Û2 ˜ cos ω ˜ t  φu2 u3 ( t) = Û3 ˜ sin ω ˜ t  φu3

5˜ π 6

Scheitelwerte der Wechselspannungen Nullphasenwinkel für Schwingung 1, 2 und 3

Wechselspannungen

Seite 46

Komplexe Zahlen und Funktionen

Die Wechselspannung u 2 muss noch in Sinusform umgewandelt werden:

§ ©

u2 ( t) = Û2 ˜ cos ¨ ω ˜ t  φu2 

4˜ π

5 ˜ π·

5˜ π π· §  ¸ = Û2 ˜ sin  ω ˜ t  φu2 ¸ = Û2 ˜ sin ¨ ω ˜ t  6 ¹ 6 2¹ ©

neuer Nullphasenwinkel für die Schwingung in Sinusform

3

1. Übergang von der reellen Form zur komplexen Form:



=Û

j˜ ω˜t φu1

u1 = Û1 ˜ e



j ˜φu1

1˜ e

j ˜ω˜t

˜e



j˜ φu1

Û1  Û1 ˜ e



komplexer Scheitelwert der 1. Schwingung

=Û

j˜ ω˜t φu2

u2 = Û2 ˜ e



j ˜φu2

2˜ e

j ˜ω˜t

˜e



j˜ φu2

Û2  Û2 ˜ e



komplexer Scheitelwert der 2. Schwingung

=Û

j˜ ω˜t φu3

u3 = Û3 ˜ e



j ˜φu3

3˜ e

j ˜ω˜t

˜e



j˜ φu3

Û3  Û3 ˜ e

komplexer Scheitelwert der 3. Schwingung

2. Addition der komplexen Amplituden: Û  Û1  Û2  Û3

Û

( 65  60.622j) V komplexer Scheitelwert

Û

Û

Û

88.882 V

φs  arg ( Û)

φs

136.996 ˜ Grad Phasenverschiebung (Winkel im Bereich -180° < M d 180°)

φu  φs  2 ˜ π

φu

223.004 ˜ Grad

§ Im ( Û) ·  π ¸ © Re ( Û) ¹

atan ¨

reeller Scheitelwert (Betrag der komplexen Gesamtamplitude)

Nullphasenwinkel (Phasenverschiebung) der resultierenden Wechselspannung

223.004 ˜ Grad alternative Winkelberechnung

winkel ( Re ( Û) Im ( Û) )

223.004 ˜ Grad

j˜φu

Û ۘ e

( 65  60.622j) V komplexer Scheitelwert

Û

j˜ω˜t

resultierende Wechselspannung in komplexer Form

u = ۘ e

3. Rücktransformation aus der komplexen Form in die reelle Form:



= Im§© Û ˜ ej˜φu ˜ ej˜ω˜t·¹ = Imª¬Û ˜ ej˜ ω˜tφu º¼

j ˜ω˜t

u ( t ) = Im ( u) = Im Û ˜ e

Seite 47

Komplexe Zahlen und Funktionen





resultierende Wechselspannung

u ( t )  Û ˜ sin ω ˜ t  φu













u1 ( t)  Û1 ˜ sin ω ˜ t  φu1 u2 ( t)  Û2 ˜ sin ω ˜ t  φu2 u3 ( t)  Û3 ˜ sin ω ˜ t  φu3 t  0 ˜ s 0.001 ˜ s  0.1 ˜ s

gegebene Teilspannungen

Bereichsvariable

300 u( t)

200

V u1 ( t) 100 V u2 ( t)

0

0.02

0.04

0.06

V u3 ( t) V

 100  200  300 t s

Abb. 1.6.6

Seite 48

0.08

0.1

Komplexe Zahlen und Funktionen

1.6.3 Berechnungen im Wechselstromkreis Weist ein aus Widerständen R, Kondensatoren C und Spulen L bestehendes elektrisches Netzwerk nur Quellen einer festen Frequenz auf, müssen alle Ströme i(t) und Spannungen u(t) Schwingungen derselben Frequenz sein, da die Zusammenhänge sich entweder durch Proportionalität (R), Integration (C) oder Ableitung (L) ergeben, die wieder zu trigonometrischen Zeitfunktionen führen. Wenn wir von den Momentanwerten der Wechselstromgrößen absehen, kann allein mit den komplexen Scheitelwerten bzw. komplexen Effektivwerten gerechnet und als Zeiger (ähnlich wie Vektoren) grafisch dargestellt werden. Die in der komplexen Form dargestellte sinusförmige Wechselspannung



j˜ ω˜t φu

u = ۘ e

= Û ˜ ej˜φu ˜ ej˜ω˜t = Û ˜ ej˜ω˜t =

j ˜ω˜t

2˜ U˜ e

(2-16)

erzeugt den gleichfrequenten sinusförmigen Wechselstrom



j ˜ ω˜t φi

i = Θe

= Î ˜ ej˜φi ˜ ej˜ω˜t = Î ˜ ej˜ω˜t =

j ˜ω˜t

2˜ I˜ e

(2-17)

Die komplexen Scheitelwerte Û und Î hängen im komplexen Bereich und deren Beträge im reellen Bereich über den Faktor

2 mit den Effektivwerten zusammen:

Û=

2 ˜ Ueff =

2˜ U ; Î =

2 ˜ Ieff =

2˜ I;

(2-18)

Û=

2 ˜ Ueff =

2˜ U ;

2 ˜ Ieff =

2˜ I.

(2-19)

Î=

Unter dem Effektivwert verstehen wir den quadratisch zeitlichen Mittelwert während einer Periode. Der Scheitelwert ist im komplexen oder reellen Bereich stets das 2 fache des Effektivwertes. Häufig ist es üblich, die komplexen Effektivwerte im Zeigerdiagramm darzustellen: j ˜φu

U = U˜ e

j˜φi

; I=I˜e

(2-20)

Nehmen wir auf den in der reellen Achse liegenden Strom- bzw. Spannungszeiger Bezug, so gilt: j ˜φu

U = U˜ e

U = Ueff =





= U ˜ cos φu  j ˜ U ˜ sin φu = Uw  j ˜ UB UB 2 2 UW  UB ; tan φu = UW

(2-21)



j ˜φi





= I ˜ cos φu  j ˜ I ˜ sin φu = IW  j ˜ I B IB 2 2 I = Ieff = IW  IB ; tan φi = IW UW und IW heißen Wirkkomponenten, IW und IB Blindkomponenten. I = I˜e

(2-22)



Die Kirchhoff'schen Regeln lauten im Komplexen:

¦ Îk = 0 k

bzw.

¦ Ik = 0 und ¦ Ûk = 0 bzw. ¦ Uk = 0 . k

k

k

Seite 49

(2-23)

Komplexe Zahlen und Funktionen

1.6.3.1 Widerstands- und Leitwertoperatoren und Wechselstromleistung j ˜ω˜t

Legen wir eine Wechselspannung u = Û ˜ e

an einen Widerstand Z , so fließt ein Strom

j ˜ω˜t

i = Θe

. Das Verhältnis u/i liefert dann den komplexen Wechselstromwiderstand:

Z=

u i

j˜ω˜t

=

ۘ e

j ˜ω˜t

Û

=

Î

Θe

j ˜φz

2˜ U

=

2˜ I

=

U

Z=

I

j˜φz

Z= Z ˜e

= Z˜e

U I

j ˜φu

=

U˜ e

j˜φi

I˜e

=

U I



j˜ φu φi

˜e

= U ˜ ej˜φz I

(2-24)

komplexer Scheinwiderstand (Impedanz)

(2-25) Z=R j˜X Z =Z=

2

R X

2

R heißt Wirkwiderstand und X Blindwiderstand

(2-26)

X tan φz = R

(2-27)



[Z]=1:

Wegen der Zeitunabhängigkeit bezeichnen wir den Wechselstromwiderstand als Widerstandsoperator. Den Leitwertoperator Y erhalten wir durch Kehrwertbildung (Spiegelung (Inversion) des Widerstandsoperators): Y=

1 Z

1

=

j˜φz

=

Z˜e

1 Z

 j ˜φz

˜e

 j ˜φz

= Y˜e

Y=G j˜B Y =Y=

2

G B

2

komplexer Scheinleitwert (Admittanz)

(2-28)

G heißt Wirkleitwert und B Scheinleitwert

(2-29)

B tan φz = G



[Y]=1S

(2-30)

Operatoren haben im Gegensatz zu den Zeigern eine unveränderbar definierte Richtung in der komplexen Zahlenebene. Die Lage kann jedoch durch Parallelverschiebung geändert werden. Um eine Verwechslung zwischen Zeigern und Operatoren auszuschließen, werden in grafischen Darstellungen Zeiger als Strecken mit Pfeilspitzen (z. B. U und I) und Operatoren oft nur als Strecken (z. B. Z; Y; S) gekennzeichnet.

Abb. 1.6.7

Seite 50

Komplexe Zahlen und Funktionen

Aus den oben angegebenen Beziehungen folgt das oft als Ohm'sches Gesetz der Wechselstromtechnik bezeichnete Gesetz: U= Z˜I

I = Y˜U

(2-31)

Die komplexen Effektivwerte können auch durch die komplexen Scheitelwerte ersetzt werden: Û= Z˜Î

Î = Y˜Û

(2-32)

Beispiel 1.6.5 j˜

Durch einen komplexen Widerstand Z = 0.00625 ˜ e und Y in der Gauß'schen Ebene dar.

π 3

˜ kΩ fließt ein Strom I = 5 ˜ A . Stellen Sie Z, U, I

π

j˜

3

Z  0.00625 ˜ e

˜ kΩ

Z

( 3.125  5.413j ) Ω

Effektivwert des Stromes

I 5˜ A

I

U Z˜ I

U

( 15.625  27.063j) V

Y

( 0.08  0.139j )

Y

1 Z

Scheinwiderstand

5A

1 Ω

Effektivwert der Spannung

Scheinleitwert

T

xz  ( 0 Re ( Z) )

Anfangs- und Endpunkt des Widerstandsoperators

T

yz  ( 0 Im ( Z) )

T

xY  ( 0 Re ( Y) )

Anfangs- und Endpunkt des Widerstandsleitwertoperators

T

yY  ( 0 Im ( Y ) )

¢1²

§I· xI  zeiger ¨ ¸ © A¹

˜A

¢2²

§I· yI  zeiger ¨ ¸ © A¹

x- und y-Werte der Endpunkte der Zeigerteilstrecken des Stromes ˜A

¢1²

§ U· xU  zeiger ¨ ¸ ©V¹

˜V x- und y-Werte der Endpunkte der Zeigerteilstrecken der Spannung

¢2²

§ U· yU  zeiger ¨ ¸ ©V¹

˜V

Seite 51

Komplexe Zahlen und Funktionen

Zeiger und Operatoren (Gauß'schen Ebene) 30

U= Z˜I yI

U I

20

A yU

10

V

Ω

 20

 10

I

0

10

20

( 3.125  5.413j ) Ω

Y

( 0.08  0.139j )

1 Ω

30

Der Leitwertoperator Y wurde hier um das 100-fache vergrößert.

yY˜100  10

S

5A

Z Z

yz

( 15.625  27.063j) V

Y  20

Abb. 1.6.8

x I x U x z xY˜100    A V Ω S

a) Widerstands- und Leitwertoperatoren des Ohm'schen Widerstandes R

Abb. 1.6.9

Für einen Ohm'schen Widerstand gilt u = R ˜ i und in komplexer Darstellung u = R ˜ i. Daraus erhalten wir: j ˜ω˜t

2˜ U˜ e

= R˜

j˜ω˜t

2˜ I˜ e

(2-33)

Durch Kürzen folgt schließlich das Ohm'sche Gesetz in komplexer Formulierung: U = R˜ I

(2-34)

Damit wird ein Ohm'scher Widerstand durch den reellen Widerstandsoperator dargestellt: Z = ZR = R

(2-35)

Der Leitwertoperator ergibt sich demnach zu: 1 1 Y = YR = = =G ZR R

(2-36)

R heißt Wirkwiderstand (Resistanz) und G Wirkleitwert (Konduktanz). Strom und Spannung sind in Phase, d. h. Mu = Mi und damit M = 0.

Seite 52

Komplexe Zahlen und Funktionen

Zeigerdiagramme (Scheitelwerte und Effektivwerte):

Abb. 1.6.10

Z-Ebene: Widerstandsebene

Y-Ebene: Leitwertebene

Abb. 1.6.11

b) Widerstands- und Leitwertoperatoren der verlustfreien Spule L

Abb. 1.6.12

Für eine Spule gilt das Induktionsgesetz u = us = L ˜

d

i ( t) , (2-37) dt und in komplexer Darstellung (Permanenzprinzip - die Differentiation verläuft nach den gleichen Regeln wie im Reellen) u = L˜

d dt

i.

(2-38)

Daraus erhalten wir: j ˜ω˜t

2˜ U˜ e

= L˜

d dt



=j˜

j ˜ω˜t

2˜ I˜ e

j ˜ω˜t

2˜ ω˜ L˜ I˜ e

.

(2-39)

Durch Kürzen folgt schließlich das Ohm'sche Gesetz in komplexer Formulierung: U= j ˜ ω˜ L˜ I.

(2-40)

Damit wird ein induktiver Widerstand durch den imaginären Widerstandsoperator dargestellt: ZL = j ˜ ω ˜ L = j ˜ X L .

(2-41)

Seite 53

Komplexe Zahlen und Funktionen

Der Leitwertoperator ergibt sich demnach zu: YL =

1 ZL

=

1 j ˜ ω˜ L

= j ˜

1 ω˜ L

= j ˜ B L .

(2-42)

XL heißt induktiver Blindwiderstand (Reaktanz) und BL induktiver Blindleitwert (Suszeptanz). Der Zeiger I wird gegenüber U durch den Faktor j = e j S/2 um 90° gedreht. Phasenmäßig liegt der induktive Wechselstromwiderstand XL um 90° phasenverschoben zum Ohm'schen Widerstand. Für Strom und Spannung ergibt sich die Phasenverschiebung Mu = 90° (S/2 rad), Mi =0° (0 rad) und damit M = Mu.

Zeigerdiagramme (Scheitelwerte und Effektivwerte):

U eilt I um 90° vor bzw. I eilt U um 90° nach Abb. 1.6.13

Z-Ebene: Widerstandsebene

Y-Ebene: Leitwertebene

Abb. 1.6.14

c) Widerstands- und Leitwertoperatoren bei rein kapazitiver Belastung

Abb. 1.6.15

Bei einem Kondensator gilt folgender Zusammenhang zwischen Ladung q, Kapazität C und Spannung: q = C ˜ u bzw. in komplexer Darstellung q = C ˜ u .

Seite 54

(2-43)

Komplexe Zahlen und Funktionen

Differenzieren wir die Gleichung (2-43) nach t und berücksichtigen wir, dass i=

d

q dt gilt, so ergibt sich d dt

q = C˜

(2-44)

d dt

u

bzw. i = C ˜

d dt

u.

(2-45)

Daraus erhalten wir: j˜ω˜t

2˜ I˜ e

= C˜

d



=j˜

j ˜ω˜t

2˜ U˜ e

j˜ω˜t

2˜ ω˜ C˜ U˜ e

. dt Durch Kürzen folgt schließlich das Ohm'sche Gesetz in komplexer Formulierung: I = j ˜ ω ˜ C ˜ U oder U =

1

1

˜I. (2-47) j ˜ ω˜ C ω˜ C Damit wird ein kapazitiver Widerstand durch den imaginären Widerstandsoperator dargestellt: ZC = j ˜

˜ I = j ˜

(2-46)

1

= j ˜ X C . ω˜ C Der Leitwertoperator ergibt sich demnach zu: YC =

1 ZC

= j ˜ ω ˜ C = j ˜ BC .

(2-48)

(2-49)

XC heißt kapazitiver Blindwiderstand (Reaktanz) und BC kapazitiver Blindleitwert (Suszeptanz). Der Zeiger U wird gegenüber I durch den Faktor 1/j = e - jS/2 um -90° gedreht. Phasenmäßig liegt der kapazitive Wechselstromwiderstand XC um -90° phasenverschoben zum Ohm'schen Widerstand. Für Strom und Spannung ergibt sich die Phasenverschiebung Mu = 0°, Mi = 90° und damit M = Mi.

Zeigerdiagramme (Scheitelwerte und Effektivwerte):

U eilt I um 90° nach bzw. I eilt U um 90° vor Abb. 1.6.16 Z-Ebene: Widerstandsebene

Y-Ebene: Leitwertebene

Abb. 1.6.17

Seite 55

Komplexe Zahlen und Funktionen

d) Reihen- und Parallelschaltung Bei einer Reihenschaltung von R-, L- und C-Gliedern addieren sich Real- und Imaginärteile der einzelnen komplexen Widerstände: Z = Z1  Z2  Z3  .... =

Z= Z =

tan ( φ) =

2

§ ¨ ©

¦

R·¸ 

¹

¦ R  j ˜ ¦ XL  XC

ª « ¬

¦

XL  XC º»



(2-50)

2

(2-51)

¼

¦ XL  XC ¦

(2-52)

R

Bei einer Parallelschaltung von R-, L- und C-Gliedern addieren sich Real- und Imaginärteile der einzelnen komplexen Leitwerte:

¦ G  j ˜ ¦ BC  BL

Y = Y 1  Y 2  Y 3  .... =

Y= Y =

tan ( φ) =

§ ¨ ©

¦

2

G·¸ 

¹

ª « ¬

¦ BC  BL º»

(2-53)

2

(2-54)

¼

¦ BC  BL ¦

(2-55)

G

Beispiel 1.6.6 Die Zeiger und Operatoren sollen in einem Diagramm für die nachfolgende Schaltung angegeben werden:

Abb. 1.6.18

R 3˜ Ω

XL  4 ˜ Ω

XC  2 ˜ Ω

gegebene Werte

I 6˜ A

Strom

ZR  R

Widerstandsoperator des Ohm'schen Widerstandes

ZL  j ˜ X L

XL = ω ˜ L

Widerstandsoperator des induktiven Widerstandes

Seite 56

Komplexe Zahlen und Funktionen

ZC  j ˜ XC

XC =

1 ω˜ C

Widerstandsoperator des kapazitiven Widerstandes





Z = ZR  ZL  ZC = R  j ˜ X L  j ˜ X C = R  j ˜ X L  X C = R  j ˜ X Z  ZR  ZL  Z C

Z

( 3  2j) Ω

U Z˜ I

U

( 18  12j) V Effektivwert der Spannung

xR 

0

 T

Re ZR

yR 

0

Im ZR

xL 

0

Re ZL



 T

Anfangs- und Endpunkt des induktiven Widerstandsoperators

T

0

Im ZL

xC 

0

Re ZC

0

Anfangs- und Endpunkt des Ohm'schen Widerstandsoperators

T

yL 

yC 

Scheinwiderstand (Wirkwiderstand R und Blindwiderstand X = XL - XC)



 T

Anfangs- und Endpunkt des kapazitiven Widerstandsoperators

T



Im ZC

T

xz  ( 0 Re ( Z) )

Anfangs- und Endpunkt des Widerstandsoperators

T

yz  ( 0 Im ( Z) )

¢1²

§I· xI  zeiger ¨ ¸ © A¹

˜A x- und y-Werte der Endpunkte der Zeigerteilstrecken des Stromes

¢2²

§I· yI  zeiger ¨ ¸ © A¹

˜A ¢1²

§ U· xU  zeiger ¨ ¸ ©V¹

˜V x- und y-Werte der Endpunkte der Zeigerteilstrecken der Spannung

¢2²

§ U· yU  zeiger ¨ ¸ ©V¹

˜V

Seite 57

Komplexe Zahlen und Funktionen

Zeiger und Operatoren (Gauß'sche Ebene) 20

R Ω

yR Ω yL

ZR

3Ω

ZL

4j Ω

ZC

2j Ω

U= Z˜I Z

Ω yC

I

10

Ω

U

yz Ω

Ω

Z

A

XL  XC

yU

0

I

V

10

 XC

6A ( 18  12j) V

Wird der Zeitpunkt t = 0 so gewählt, dass der Phasenwinkel Mi = 0

XL

yI

( 3  2j) Ω

20

Ω

wird, so ist die Phase M des Widerstandsoperators gleich der Phase der Spannung. Z und U liegen also in Phase. Das Widerstandsdiagramm wird zum Spannungsdiagramm.

xR xL xC xz xI xU      Ω Ω Ω Ω A V

Abb. 1.6.19 2

Z



2

R  XL  XC

Z

3.606 Ω

Z

Z

Z

3.606 Ω

U

U

U

21.633 V

I I

I U Z

I

6A

I

6A

Scheinwiderstand

Effektivwert der angelegten Wechselspannung Effektivwert des Stromes

UR  R ˜ I

UR

18 V

Effektivwert der Teilspannung am Ohm'schen Widerstand

UL  XL ˜ I

UL

24 V

Effektivwert der Teilspannung an der Spule

UC  XC ˜ I

UC

12 V

Effektivwert der Teilspannung am Kondensator

Seite 58

Komplexe Zahlen und Funktionen

e) Wechselstromleistung Für die Wechselstromleistung gelten folgende Zusammenhänge: P = UR ˜ IR Q = UB ˜ IB

Wirkleistung in W

(2-56)

Blindleistung in Var

(2-57)

S = U˜ I

Scheinleistung in VA

(2-58)

Nach dem Leistungsdreieck gilt: 2

2

2

S =P Q P = S ˜ cos φs = U ˜ I cos φs Q = S ˜ sin ( φ) = U ˜ I ˜ sin ( φ)



(2-59) (2-60)



(2-61)

Symbolische Methode:  Komplexe Scheinleistung (für den Strom I ist die konjugierte Größe I* = I einzusetzen):  S = U˜ I

(2-62) j ˜φu

S = U˜ e

 j ˜φi

˜I˜e



j˜ φu φi

= U˜ I ˜ e

= U ˜ I ˜ ej˜φs = S ˜ ej˜φs



S = P  j ˜ Q ; P = Re ( S ) = S ˜ cos φs S =S=

2

2

P Q

(2-63)



; Q = Im ( S) = S ˜ sin φs

Q ; tan φs = P



(2-64)

(2-65)

Abb. 1.6.20 Nachfolgend verwenden wir für die Scheinleistung S den Buchstaben S1, um nicht mit der Einheit Siemens (S) in Konflikt zu kommen.

Seite 59

Komplexe Zahlen und Funktionen

Beispiel 1.6.7 Wie groß sind der Scheinwiderstand Z, die Stromstärke I und die Leistungsanteile S, P, Q der gegebenen Schaltung? Gesucht sind auch die Zeiger- und Operatorendarstellung für die Schaltung.

Abb. 1.6.21 f  50 ˜ Hz

Frequenz

R  250 ˜ Ω

Widerstand

L  0.5 ˜ H

Induktivität

U  220 ˜ V

Effektivwert der Spannung

ZR  R

ZR

250 Ω

komplexer Ohm'scher Widerstand

XL  2 ˜ π ˜ f ˜ L

XL

157.08 Ω

induktiver Blindwiderstand

ZL  j ˜ X L

ZL

157.08j Ω

komplexer induktiver Widerstand

Z  R  j ˜ XL

Z

( 250  157.08j ) Ω

komplexer Scheinwiderstand

Z

Z

Z

295.252 Ω

Scheinwiderstand

φz  arg ( Z)

φz

I= I

U

=

Z U

U Z

Z

U Z˜ I

32.142 ˜ Grad

I = I˜e

I

Effektivwert der Stromstärke

U

0.745 A

=I

( 186.281  117.044j) V komplexer Effektivwert der Spannung

 

S1 

j ˜0 °

U= Z˜I



S1  U ˜ I ˜ cos φz  j ˜ sin φz S1

Nullphasenwinkel

komplexe Scheinleistung

S1 = P  j ˜ Q

( 138.803  87.212j) ˜ V ˜ A S1

S1

φz = φs = φu  φi

 sin  φz cos φz

163.928 ˜ V ˜ A

φi = 0

Betrag der komplexen Scheinleistung Phasenbeziehung

84.673 ˜ %

ca. 85 % der Scheinleistung sind als Wirkleistung verwertbar

53.202 ˜ %

ca. 53 % der Scheinleistung sind Blindleistung

Seite 60

Komplexe Zahlen und Funktionen

zeiger1 ( z ) 

rm z φ m arg ( z ) am am Pm

r r 6

0

Re ZR

yR 

0

Im ZR

if

z !3 Ein anderes Unterprogramm zur Zeigerdarstellung.

z d3

§ cos ( φ) sin ( φ) · § 0 r r  a r r  a · ¨ ¸˜¨ ¸ © sin ( φ) cos ( φ) ¹ © 0 0 a 0 a ¹

 T

xR 

if

30

 T

Anfangs- und Endpunkt des Ohm'schen Widerstandsoperators

xL 

0

yL 



 T

Re ZL

Anfangs- und Endpunkt des induktiven T Widerstandsoperators 0 Im ZL



T

xz  ( 0 Re ( Z) )

Anfangs- und Endpunkt des Scheinwiderstandsoperators

T

yz  ( 0 Im ( Z) )

§ I ˜ 20 · ˜ A ¸ © A ¹

I1  zeiger1 ¨

§ U· ˜ V ¸ ©V¹

x- und y-Werte der Endpunkte der Zeigerteilstrecken des Stromes - beachten Sie hier den Maßstab!

U1  zeiger1 ¨

x- und y-Werte der Endpunkte der Zeigerteilstrecken der Spannung

j  1  5

Bereichsvariable Widerstandsebene - Z Re( U )

Re( Z)

V

Ω

I12 j A

200

U12 j

Z

V yR Ω

Im( Z) Ω Im( U)

U

V

100

yL

Abb. 1.6.22

XL

Ω

UB

yz

0

100

Ω

 100

I

200

300

R

UW I11 j U11 j xR xL xz     Ω Ω Ω A V

Seite 61

Komplexe Zahlen und Funktionen

Beispiel 1.6.8 Wie groß sind der Scheinleitwert Y, die Stromstärke I und die Leistungsanteile S, P, Q der gegebenen Schaltung? Gesucht sind auch die Zeigerund Operatorendarstellung für die Schaltung.

Abb. 1.6.23 ω  3000 ˜ s

1

Kreisfrequenz

R  500 ˜ Ω

Widerstand

C  0.2 ˜ μF

Kapazität

U  150 ˜ V

Effektivwert der Spannung

G

1

G

R

2 u 10

3 1

Wirkleitwert

Ω 1

komplexer Leitwert des Ohm'schen Widerstandes

YR  G

YR

0.002

BC  ω ˜ C

BC

6 u 10

YC  j ˜ B C

YC

6j u 10

Y  YR  YC

Y

2 u 10 3  6j u 10 4 Ω1

Y

Y

Y

2.088 u 10

φy  arg ( Y)

φy

I = Y˜U

U = U˜ e

U U

U

I Y˜U

I

( 0.3  0.09j) A

komplexer Effektivwert des Stromes

I

I

0.313 A

Effektivwert des Stromes

 

S1 S1 

( 45  13.5j) ˜ V ˜ A

S1



T



T

0

Re YR ˜ 1000

yR 

0

Im Y R ˜ 1000

4 1

komplexer kapazitiver Blindwiderstand

Ω

3 1

komplexer Scheinleitwert

Scheinleitwert

Ω

Phasenbeziehung komplexer Effektivwert von Strom und Spannung

=U

komplexer Effektivwert der Spannung

Scheinleistung

Phasenbeziehung

φz = φy = φs = φu  φi φu = 0

S1 = P  j ˜ Q

S1

xR 

kapazitiver Blindwiderstand

Ω

150 V



S1  U ˜ I ˜ cos φy  j ˜ sin φy

4 1

16.699 ˜ Grad j ˜0 °

I

Ω

46.981 ˜ V ˜ A

Anfangs- und Endpunkt des Ohm'schen Widerstandsoperators

Seite 62



T



T

xC 

0

Re YC ˜ 1000

yC 

0

Im Y C ˜ 1000

Anfangs- und Endpunkt des kapazitiven Widerstandsoperators

Komplexe Zahlen und Funktionen

T

xY  ( 0 Re ( Y) ˜ 1000 )

Anfangs- und Endpunkt des Leitwertoperators

T

yY  ( 0 Im ( Y ) ˜ 1000 )

§ I ˜ 10 · ˜ A ¸ © A ¹ § U · ¨ V ¸ U1  zeiger1 ¨ ¸˜V © 100 ¹

x- und y-Werte der Endpunkte der Zeigerteilstrecken des Stromes

I1  zeiger1 ¨

x- und y-Werte der Endpunkte der Zeigerteilstrecken der Spannung

Bereichsvariable

j  1  5

Leitwertebene - Y Re( Y)˜1000

Re( I)˜10

S

A

I12 j A

Beachten Sie hier die verschiedenen Maßstäbe!

3

U12 j V 2

yR Ω

I

1

yC Ω

1

Im( I)˜10˜A 1 Im( Y)˜1000˜S

Y

yY

0

Ω

1

2

U

3

4

1

Abb. 1.6.24 R

I11 j U11 j x R x C x Y     A V Ω Ω Ω

P  Re ( S1)

Wirk- und Blindleistung

Q  Im ( S1) T

P  (0 P P 0 )

T

Koordinaten der Eckpunkte

Q  (0 0 Q 0 )

Leistungsdreieck

Blindleistung

15 10 Q

Abb. 1.6.25

5 0

0

10

20

30 P

Wirkleistung

Seite 63

40

50

Komplexe Zahlen und Funktionen

1.7 Ortskurven Ortskurven werden bei Untersuchungen an Schwingkreisen, Bandfiltern u. dgl., bei Stabilitätsuntersuchungen von Rück- und Gegenkopplungsschaltungen, in der Leitungs- und Antennentheorie, in der Regelungstechnik, in der elektrischen Energietechnik und in vielen anderen Fällen verwendet. Es treten häufig komplexe Größen auf, die noch von einem reellen Parameter abhängen. Solche Abhängigkeiten lassen sich in anschaulicher Weise durch sogenannte Ortskurven in der Gauß'schen Zahlenebene darstellen. Die von einem Parameter p abhängige komplexe Zahl (komplexe Größe) z = z ( p) = x ( p)  j ˜ y ( p)

a dp db

heißt eine komplexwertige Funktion z(p) der reellen Variablen p. Mit dem Parameter p verändert sich auch die Lage der komplexen Zahl (Größe) z = z(p) in der Gauß'schen Zahlenebene. Die Spitze des zugehörigen Zeigers z = z(p) bewegt sich dabei auf einer Kurve, die als Ortskurve der komplexen Zahl (Größe) z = z(p) bezeichnet wird. Als Parameter p treten häufig die positiven Größen Z, R, L und C und damit z. B. folgende komplexwertige Funktionen auf: Z ( R) , Z ( L) , Z ( C) Y ( R), Y ( L) , Y ( C) Z ( ω) Y ( ω) I ( ω) U ( ω)

Widerstandsortskurven Leitwertortskurven Frequenzgang Frequenzgang Frequenzgang Frequenzgang

der Widerstandsfunktion der Leitwertfunktion der Stromfunktion der Spannungsfunktion

Frequenzgang der Übertragungsfunktion: G ( ω) =

Ua ( ω) Ue ( ω)

=

Ua ( ω) Ue ( ω)

j ˜φ( ω )

˜e

j ˜φ( ω )

= G ( ω) ˜ e

(2-66)

Bilden wir den Betrag dieser komplexwertigen Funktionen, so erhalten wir reellwertige Funktionen der Art: Z ( R) , Z ( L) , Z ( C) , X ( ω) Y ( R) , Y ( L) , Y ( C) , B ( ω)

Widerstandsortskurven Leitwertortskurven

Z ( ω) Y ( ω) I ( ω) U ( ω)

der Widerstandsfunktion der Leitwertfunktion der Stromfunktion der Spannungsfunktion

Frequenzgang Frequenzgang Frequenzgang Frequenzgang

A ( ω) = G ( ω) =

φ ( ω)

Ua ( ω) Ue ( ω)

Amplitudenfrequenzgang (Amplitudengang)

(2-67)

Phasenfrequenzgang (Phasengang)

(2-68)

Seite 64

Komplexe Zahlen und Funktionen

1.7.1 Geradlinige Ortskurven Parallele Gerade zur imaginären Achse : Z ( p) = a  j ˜ b ( p)

a ( p) = a = konstant

(2-69)

Parallele Gerade zur reellen Achse: Z ( p) = a ( p)  j ˜ b

b ( p) = b = konstant

(2-70)

g ( p) z konstant

(2-71)

Gerade in beliebiger Lage: Z ( p) = Z1  g ( p) ˜ Z2 Beispiel 1.7.1 Gegeben ist ein Zweipol an einer Wechselspannung mit einer Induktivität L = 1H und einer Frequenz von f = 300 Hz. Gesucht ist die Ortskurve des Scheinwiderstandes Z für R = 100 :, 200 :, 300 :, 400 :.

f  300 ˜ Hz

Frequenz

L  15 ˜ H

Induktivität

Abb. 1.7.1 XL  2 ˜ π ˜ f ˜ L

XL

induktiver Blindwiderstand

28.274 ˜ kΩ

R  0 ˜ Ω 100 ˜ Ω  400 ˜ Ω

Bereichsvariable für den Ohm'schen Widerstand

Z ( R)  R  j ˜ XL

komplexwertige Scheinwiderstandsfunktion

ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

k  0  1

Bereichsvariable Ortskurve von Z 40

Im( Z( R) ) kΩ

Z0

j ˜ XL30

Z1

Z2

Z3

Z4 Z ( R) kΩ

§ 0 · ¨ ¸ ©Im( Z( R) ) ¹ k

20

kΩ

10

0

200

Re( Z( R) ) Ω



§¨ 28.274j ·¸ ¨ 0.1  28.274j ¸ ¨ 0.2  28.274j ¸ ¨ ¸ ¨ 0.3  28.274j ¸ ¨ 0.4  28.274j ¸ © ¹

400

§ 0 · ¨ ¸ ©Re( Z( R) ) ¹ k Ω

Seite 65

Abb. 1.7.2

Komplexe Zahlen und Funktionen

Beispiel 1.7.2 Gegeben ist ein Zweipol an einer Wechselspannung mit einem Ohm'schen Widerstand R = 500 : und einer Frequenz von f = 500 Hz. Gesucht ist die Ortskurve des Scheinwiderstandes Z für L = 10 H, 20 H, 30 H, 40 H.

f  500 ˜ Hz

Frequenz

R  500 ˜ Ω

Ohm'scher Widerstand

Abb. 1.7.3 L  0 ˜ H 10 ˜ H  40 ˜ H

Bereichsvariable für die Induktivität

Z ( L)  R  j ˜ 2 ˜ π ˜ f ˜ L

komplexwertige Scheinwiderstandsfunktion

ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

k  0  1

Bereichsvariable Ortskurve von Z Z4

Im( Z( L) )

100

Z3

kΩ

§ 0 · ¨ ¸ ©Im( Z( L) ) ¹ k

Z2

50

Z ( L) kΩ

Z1

kΩ

0

0.2

0.4

0.5 §¨ ·¸ ¨ 0.5  31.416j ¸ ¨ 0.5  62.832j ¸ ¨ ¸ ¨ 0.5  94.248j ¸ ¨ 0.5  125.664j ¸ © ¹

Z0

 50

Re( Z( L ) ) kΩ



§ 0 · ¨ ¸ ©Re( Z( L) ) ¹ k

Abb. 1.7.4

kΩ

Beispiel 1.7.3 Gegeben ist ein Zweipol an einer Wechselspannung mit einem Ohm'schen Widerstand R = 1000 : und einer Frequenz von f = 600 Hz. Gesucht ist die Ortskurve des Scheinwiderstandes Z für 0.01 PF dC d 0.8 PF.

f  600 ˜ Hz

Frequenz

R  1000 ˜ Ω

Ohm'scher Widerstand

Abb. 1.7.5

Seite 66

Komplexe Zahlen und Funktionen

Ca  0.1 ˜ μF

Anfangskapazität

Ce  0.8 ˜ μF

Endkapazität

Ce  Ca

ΔC 

Schrittweite

3

C  Ca Ca  ΔC  Ce Z ( C)  R  j ˜

Bereichsvariable für die Kapazität

1

komplexwertige Scheinwiderstandsfunktion

2˜ π˜ f˜ C

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

k  1  2

Bereichsvariable Ortskurve von Z 0

0.5

1

Z3

Im( Z( C) ) kΩ

Z4 Z2

1

· § 0 ¨ ¸ Im Z ( ( C ) ) © ¹k

Z ( C)

kΩ

kΩ

2

Z1 3

Re( Z( C ) ) kΩ



· § 0 ¨ ¸ ©Re( Z( C) ) ¹ k kΩ

Abb. 1.7.6

Seite 67

§1  ¨ ¨1  ¨1  ¨ ©1 

2.653j ·

¸

0.796j ¸ 0.468j ¸

¸

0.332j ¹

Komplexe Zahlen und Funktionen

1.7.2 Ortskurve durch Inversion komplexer Größen Unter der Inversion einer komplexen Zahl (Größe) verstehen wir die Bildung ihres Kehrwertes. Fassen wir z als frei wählbare komplexe Variable und w = 1/z als Gleichung einer komplexen Funktion auf, die jeder von null verschiedenen komplexen Zahl in eindeutiger Weise den Kehrwert 1/z als Funktionswert zuordnet, so schreiben wir symbolisch: z |ow = f(z) = 1/z

(2-72)

Die komplexe Funktion w = 1/z kann als eine Abbildung der z-Ebene auf die w-Ebene gedeutet werden. In den Anwendungen wird jedoch meist für die grafische Darstellung der z- und w-Werte eine gemeinsame komplexe Zahlenebene verwendet. Im Nullpunkt z = 0 ist die Funktion nicht definiert. Diesem Punkt ordnen wir dann den "unendlich" fernen Bildpunkt mit der Kennzeichnung " f" zu. Die Umwandlung Y = 1/Z nennen wir also Inversion (Spiegelung am Einheitskreis). Z=R j˜X j ˜φ

Z = Z˜e

Y=

Y=

1 Z

=

1 R j˜X

1 j ˜φ

Z˜e

=

1 Z

=

R 2

R X  j ˜φ

˜e

j˜

2

X 2

R X  j ˜φ

= Y˜e

2

= G  j ˜ B (2-73) (2-74)

Abb. 1.7.7

In der Praxis ist weniger die Inversion von einzelnen komplexen Größen als die Inversion von parameterabhängigen Kurven (Ortskurven) von Bedeutung. Besonders häufig treten dabei Gerade und Kreise als Ortskurven auf. Sie unterliegen folgenden Inversionsregeln: 1. Gerade gelten als entartete Kreise (unendlich großer Durchmesser und der Mittelpunkt im Unendlichen). 2. Gerade, die durch den Ursprung gehen, gehen in sich selbst über. 3. Durch Inversion entsteht aus einer Geraden, die nicht durch den Ursprung geht, ein Kreis durch den Ursprung. 4. Kreise durch den Ursprung gehen bei der Inversion in Geraden über, die nicht durch den Ursprung gehen. 5. Durch Inversion entsteht aus einem Kreis, der nicht durch den Ursprung geht, wieder ein solcher Kreis (Kreistreuheit). 6. Das "Bild" des unendlich fernen Punktes ist der Ursprung und umgekehrt. 7. Punkte der oberen Halbebene werden auf die untere Halbebene abgebildet und umgekehrt.

Seite 68

Komplexe Zahlen und Funktionen

8. Punkte auf dem Inversionskreis bleiben auf dem Inversionskreis. 9. Punkte auf der reellen bzw. imaginären Achse bleiben auf der reellen bzw. imaginären Achse. Zu jeder Z- bzw. U-Ortskurve (eine Gerade bei Serienschaltung; I = konstant) kann eine Y- bzw. I-Ortskurve (ein Kreis bei Serienschaltung; U = konstant) angegeben werden und umgekehrt. Praktisch werden oft die Widerstandsebene und die Leitwertebene in einem Koordinatensystem dargestellt. Dabei ergeben sich aber Maßstabsprobleme. Ist z. B. Z = 10, so ist Y = 1/10. Damit können wir schlecht Z und Y in einem Koordinatensystem darstellen. Daher wählen wir den Inversionskreisradius r0 > 1. Damit gilt: 2 1 Y = r0 ˜ Z Bezeichnungen:

(2-75)

D ... Maßstab des Leitwertes E ... Maßstab des Scheinwiderstandes α' = β' =

α U β I

l1 = α ˜

... Maßstab der Stromkurve bei konstanter Spannung

(2-76)

... Maßstab der Spannungskurve bei konstantem Strom

(2-77)

1 R

; l2 = ⠘ R Abstände (siehe dazu Abbildung 1.7.8)

(2-78)

Abb. 1.7.8

Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke folgt: r0 : l1 = l 2 : r0 Daraus ergibt sich der Inversionskreisradius 2

r0 = l1 ˜ l2 bzw. r0 =

l1 ˜ l2 (geometrisches Mittel aus l und l ). 1

2

(2-79)

Wählen wir für R die doppelte Strecke von von 1/R, dann ist der Mittelpunkt des gesuchten Ortskurvenkreises Z(Z) am Ende der Strecke 1/R.

Seite 69

Komplexe Zahlen und Funktionen

Beispiel 1.7.4 Gegeben ist ein Zweipol an einer Wechselspannung mit einem Ohm'schen Widerstand R = 300 : und einer Induktivität L = 0.318 H. Gesucht sind die Ortskurve des Scheinwiderstandes Z(Z) für den Frequenzbereich f = 0 Hz ... 300 Hz und die Ortskurve des Scheinleitwertes Y(Z) aus der Widerstandsortskurve (maßstäblich).

R  300 ˜ Ω

Ohm'scher Widerstand

L  0.318 ˜ H

Induktivität

Abb. 1.7.9 f  0 ˜ Hz 50 ˜ Hz  300 ˜ Hz

Bereichsvariable für die Frequenz

f1  0 ˜ Hz 1 ˜ Hz  3000 ˜ Hz

Bereichsvariable für die Frequenz

Z ( f)  R  j ˜ 2 ˜ π ˜ f ˜ L

komplexwertige Scheinwiderstandsfunktion

1

Y ( f) 

Z ( f)

komplexwertige Leitwertfunktion

Z ( f)

300 §¨ ·¸ ¨ 300  99.9i ¸ ¨ 300  199.8i ¸ ¨ ¸ ¨ 300  299.7i ¸ Ω ¨ 300  399.6i ¸ ¨ ¸ ¨ 300  499.5i ¸ ¨ 300  599.4i ¸ © ¹

Y ( f)

0.003 §¨ ·¸ ¨ 0.003  0.001i ¸ ¨ 0.002  0.002i ¸ ¨ ¸1 ¨ 0.002  0.002i ¸ ¨ 0.001  0.002i ¸ Ω ¨ ¸ ¨ 0.001  0.001i ¸ ¨ 0.001  0.001i ¸ © ¹

komplexwertige Scheinwiderstandsund Leitwertfunktion

Maßstabswahl: Z0 = 300 : ; Y0 = 1/Z0 = 1/ 300 : = 3. 33 10 -3 S 1 cm l1 = α ˜

10-3 S

100 : ; 2 cm 1

=

2 ˜ cm

˜

1

=

20

3 300 ˜ Ω 3 10 ˜S 1 ˜ cm l2 = ⠘ R = ˜ 300 ˜ Ω = 3 ˜ cm 100 ˜ Ω

R

˜ cm

20 3

˜ cm

6.667 ˜ cm

Y ( ω)  Y ( ω) ˜ 100

Die komplexwertige Funktion wird hier aus Maßstabsgründen mit dem Wert 100 multipliziert!

ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

k  0  1

Bereichsvariable

Seite 70

Komplexe Zahlen und Funktionen

Ortskurve von Z und Y f Hz

Z5 250 ˜ Hz

500

Z4 200 ˜ Hz

Im( Z( f ) )

Widerstandsebene

Ω

Z3 150 ˜ Hz

§ 0 · ¨ ¸ ©Im( Z( f ) ) ¹ k

Z2 100 ˜ Hz

Ω

 

Im Y f1 ˜2 3

10

Z6 300 ˜ Hz

˜S

∞0

§ 0 · ¨ ¸ ˜2 ©Im( Y( f ) ) ¹ k

100

200

300

Z1

50 ˜ Hz

Z0

0 ˜ Hz

400

500

600

700

800

Leitwertebene

3

10

Y0

˜S

Y1 50 ˜ Hz Y2

Y3 200 ˜ Hz

100 ˜ Hz

150 ˜ Hz

 500

Re( Z( f ) ) Ω



§ 0 · ¨ ¸ ©Re( Z( f ) ) ¹ k Ω



 

Re Y f1 ˜2 3

10

˜S



§ 0 · ¨ ¸ ˜2 ©Re( Y( f ) ) ¹ k 3

10

˜S

Abb. 1.7.10 Beispiel 1.7.5 Gegeben ist ein Zweipol an einer Wechselspannung mit einem variablen Ohm'schen Widerstand und einer Induktivität L = 0.007 H. Gesucht sind die Ortskurve des Scheinwiderstandes Z(Z) für den Ohm'schen Bereich R = 0 : ... 6 : und die Ortskurve des Scheinleitwertes Y(Z) aus der Widerstandsortskurve (maßstäblich).

f  50 ˜ Hz

Frequenz

L  0.007 ˜ H

Induktivität

Abb. 1.7.11

Seite 71

Komplexe Zahlen und Funktionen

XL  2 ˜ π ˜ f ˜ L

XL

induktiver Blindwiderstand

2.199 ˜ Ω

R  0 ˜ Ω 1 ˜ Ω  6 ˜ Ω

Bereichsvariable für den Ohm'schen Widerstand

R1  0 ˜ Ω 0.01 ˜ Ω  1000 ˜ Ω

Bereichsvariable für den Ohm'schen Widerstand

Z ( R)  R  j ˜ XL

komplexwertige Scheinwiderstandsfunktion

1

Y ( R) 

Z ( R)

komplexwertige Leitwertfunktion

Z ( R)

§¨ 2.2i ·¸ ¨ 1  2.2i ¸ ¨ 2  2.2i ¸ ¨ ¸ ¨ 3  2.2i ¸ Ω ¨ 4  2.2i ¸ ¨ ¸ ¨ 5  2.2i ¸ ¨ 6  2.2i ¸ © ¹

Y ( R)

§¨ 0.5i ·¸ ¨ 0.2  0.4i ¸ ¨ 0.2  0.2i ¸ ¨ ¸1 ¨ 0.2  0.2i ¸ ¨ 0.2  0.1i ¸ Ω ¨ ¸ ¨ 0.2  0.1i ¸ ¨ 0.1  0.1i ¸ © ¹

Maßstabswahl: Z0 = 2.2 : ; Y0 = 1/Z0 = 1/ 2.2 : = 0.5 S 1 cm l1 = α ˜

1: ; 1 cm 1

1 ˜ cm

1

= 4.5 ˜ cm 0.1 ˜ S 2.2 ˜ Ω 1 ˜ cm l2 = ⠘ R = ˜ 2.2 ˜ Ω = 2.2 ˜ cm Ω R

=

0.1 S ˜

ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

k  0  1

Bereichsvariable

Seite 72

Komplexe Zahlen und Funktionen

Ortskurve von Z und Y Z0

Z1

Z2

Z3

Z4

Z5

Z6 R

2

0˜ Ω

1˜ Ω

2˜ Ω

3˜ Ω

4˜ Ω

5˜ Ω

6˜ Ω

Ω

Widerstandsebene Im( Z( R) ) Ω

§ 0 · ¨ ¸ ©Im( Z( R) ) ¹ k

0∞

1

2

3

Y6

5

6

7

Y5

Ω

Y4

 

Im Y R 1 0.1˜S

4

2

Y3

§ 0 · ¨ ¸ Im ( Y ( R ) ) © ¹k

Leitwertebene Y2

0.1˜S 4

Y1

6

Y0

Re( Z( R ) ) Ω

Beispiel 1.7.6



§ 0 · ¨ ¸ Re ( Z ( R ) ) © ¹k Ω



  

Re Y R 1 0.1˜S

§ 0 · ¨ ¸ Re ( Y ( R ) ) © ¹k 0.1˜S

Abb. 1.7.12

Gegeben ist ein Zweipol an einer Wechselspannung mit einem konstanten Ohm'schen Widerstand R = 1 k: und einer konstanten Induktivität L = 1 H. Gesucht sind die Ortskurve des Scheinwiderstandes Z(Z) für den Frequenzbereich Z = 1000 s -1 ... 5000 s -1 und die Ortskurve des Scheinleitwertes Y(Z) aus der Widerstandsortskurve. Außerdem soll die Ortskurve des Stromes bei konstanter Spannung U = 2 V und die Ortskurve der Spannung bei konstantem Strom I = 2 A im gleichen Koordinatensystem dargestellt werden. Es soll eine maßstäbliche Darstellung gewählt werden. R  1 ˜ kΩ

Ohm'scher Widerstand

L 1˜ H

Induktivität

U 2˜ V

Spannung

I 2˜ A

Strom

Abb. 1.7.13

Seite 73

Komplexe Zahlen und Funktionen

ω  1000 ˜ s ω1  0.1 ˜ s ω2  0.1 ˜ s 1

Y ( ω) 

1

1

10.1 ˜ s

1

1

1

100.1 ˜ s

j˜

R

2000 ˜ s

 5000 ˜ s

1

 100000 ˜ s

1

 3000 ˜ s

Bereichsvariable für die Kreisfrequenz

1

Bereichsvariable für die Kreisfrequenz

1

Bereichsvariable für die Kreisfrequenz

1

komplexwertige Leitwertfunktion

ω˜ L

1

Z ( ω) 

komplexwertige Scheinwiderstandsfunktion

Y ( ω)

§¨ 500  ¨ 800  ¨ 900  ¨ ¨ 941.18  ¨ 961.54  ©

Z ( ω)

500i

·¸ 400i ¸ ¸Ω 300i ¸ 235.29i ¸ ¸ 192.31i ¹

Y ( ω)

§¨ 0.001  0.001i ·¸ ¨ 0.001  0.0005i ¸ ¨ 0.001  0.0003i ¸ 1 ¨ ¸Ω ¨ 0.001  0.0003i ¸ ¨ 0.001  0.0002i ¸ © ¹

I ( ω)  Y ( ω) ˜ U

komplexwertige Stromfunktion

U ( ω)  Z ( ω) ˜ I

komplexwertige Spannungsfunktion

I ( ω)

§¨ 0.002  0.002i ·¸ ¨ 0.002  0.001i ¸ ¨ 0.002  0.001i ¸ A ¨ ¸ ¨ 0.002  0.001i ¸ ¨ 0.002  0i ¸ © ¹

U ( ω)

§¨ 1000  1000i ·¸ 1600  800i ¨ ¸ ¨ ¸V 1800  600i ¨ ¸ ¨ 1882.353  470.588i ¸ ¨ 1923.077  384.615i ¸ © ¹

Maßstabswahl: 1/R = Y0 = 1/1000 : = 10.10 -4 ; Z0 = 1/Y0 = 1000 : 10-4 S ; 10 cm

1 cm l1 = α ˜ α' =

α U

1

=

R

1 ˜ cm 4

˜

˜S 10 1 ˜ cm

= 10

also 1 cm

4

500: also 1 cm 1 1000 ˜ Ω

˜ S˜ 2˜ V

=

= 10 ˜ cm

1 ˜ cm 2 ˜ 10

4

2.10 -4 A

Y ( ω)  Y ( ω) ˜ 50

50 : l2 = ⠘ R = β' =

˜A

β I

=

U ( ω)  U ( ω) ˜ 50

Seite 74

50 ˜ Ω

˜ 1000 ˜ Ω = 20 ˜ cm

1 ˜ cm 50 ˜ Ω ˜ 2 ˜ A

also 1 cm

I ( ω)  I ( ω) ˜ 50

1 ˜ cm

=

1 ˜ cm 100 ˜ V

100 V

Die komplexwertigen Funktionen werden hier aus Maßstabsgründen mit dem Wert 50 multipliziert!

Komplexe Zahlen und Funktionen

ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

k  0  1

Bereichsvariable Ortskurve von Z , U und Y, I 600

1000

Z ( ω)

U ( ω) = Z ˜ I

500

Z1

2000

400

 

Im Z ω 1

Z2

Ω

§ 0 · ¨ ¸ ©Im( Z( ω) ) ¹ k

Z3

 

100

4

˜S

˜S

 

Im I ω 2

0

100

200

300

600

Y4 Y3

5000 4000 3000

Y2

2000

 100

 

700

800

900

3

1u 10

3

1.1u 10

 200

˜A

Im U ω 2

∞

400 Y 500 5

4

2˜10

Widerstandsebene

∞

§ 0 · ¨ ¸ ©Im( Y( ω ) ) ¹ k 4

5000

Z5

Im Y ω 1

10

4000 Z4

200

Ω

10

3000

300

Leitwertebene

 300

Y ( ω)

100˜V

I ( ω) = Y ˜ U Scheinwiderstandsortskurve Scheinwiderstände Leitwertortskurve Leitwerte Stromortskurve Spannungsortskurve

 400

Y1

 500

1000 ω

 600

s

 

Re Z ω 1 Ω



§ 0 · ¨ ¸ Re ( Z ( ω ) ) © ¹k Ω



1

 

Re Y ω 1 4

10



§ 0 · ¨ ¸ Re ( Y ( ω ) ) © ¹k

˜S

4

10

˜S



 

Re I ω 2 4

2˜10

˜A



 

Re U ω 2 100˜V

Abb. 1.7.14 Aus den Ortskurven lassen sich der Scheinwiderstand Z, der Scheinleitwert Y und der Phasenwinkel M ablesen. M gibt die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung an.

Seite 75

Komplexe Zahlen und Funktionen

1.7.3 Komplexe Wechselstromrechnung im Schwingkreis Neben der Ortskurvendarstellung für komplexe Widerstandsfunktionen Z(Z), Ströme I(Z) oder Spannungen U(Z) in Abhängigkeit von der Frequenz ist es üblich, neben dem Betrag der darzustellenden Größe Z(Z), I(Z) und U(Z), auch den Phasenwinkel M(Z) oder die frequenzabhängigen Blindanteile XL(Z, XC(Z) bzw. X(Z) in einem kartesischen Koordinatensystem darzustellen. Beispiel 1.7.7 Bestimmen Sie die Ortskurve Z(f) und die Frequenzgänge Z(f), XL (f), XC(f), X(f) und I(f) sowie den Phasengang Mz(f) von folgendem Serienschwingkreis im Bereich 50 Hz df d 500 Hz. Bestimmen Sie auch die Resonanzfrequenz f res des Schwingkreises. R = 100 ˜ Ω L = 0.5 ˜ H

gegebene Größen

C = 1 ˜ μF U = 220 ˜ V

Abb. 1.7.15 Der komplexe Scheinwiderstand Z ist gegeben durch:



§ ©



Z ( f ) = R  j ˜ XL  j ˜ XC = R  j ˜ XL  XC = R  j ˜ ¨ ω ˜ L 

1

1 · = R  j ˜ §2 ˜ π ˜ f ˜ L  · ¸ ¨ ¸ ω ˜ C¹ 2 ˜ π ˜ f ˜ C¹ ©

Der Betrag des komplexen Scheinwiderstandes ist dann: 2

Z ( f) = Z =

1 § · R  ¨2 ˜ π ˜ f ˜ L  ¸ 2 ˜ π ˜ f ˜ C¹ ©

2

2

Re ( Z ( f) )  Im ( Z ( f ) ) =

Der Phasenwinkel ergibt sich aus:

§ Im ( Z ( f) ) · ¸ © Re ( Z ( f) ) ¹

φ ( f) = arctan ¨

1 §2˜ π˜ f˜ L  · ¨ ¸ 2˜ π˜ f˜ C ¸ = arctan ¨ R © ¹

Der komplexe Strom I ergibt sich aus: I ( f) =

U Z

U

=

§ ©

R  1 ˜ j ˜ ¨2 ˜ π ˜ f ˜ L 

1

· ¸ 2 ˜ π ˜ f ˜ C¹

Der Betrag des komplexen Stromes ist dann: U

I ( f) = 2

§ ©

R  ¨2 ˜ π ˜ f ˜ L 

1

· ¸ 2 ˜ π ˜ f ˜ C¹

2

Seite 76

2

Komplexe Zahlen und Funktionen

Die Resonanzfrequenz kann in verschiedener Weise bestimmt werden: 1. Resonanz ergibt sich, wenn Z = R = Zmin, d. h. wenn Im(Z) = 0 ist (die Blindwiderstände verschwinden):

ω˜ L 

ωres =

1 ω˜ C

§ C˜ L · ¨ ¸ ¨ C˜ L ¸ ¨ C˜ L ¸ ¨ ¸ © C˜ L ¹

hat als Lösung(en)

=0

Da in der Praxis keine negativen Frequenzen vorkommen, ist die 1. Lösung nicht relevant

1 L˜ C

2. Resonanz ergibt sich, wenn M = 0 ( also tan(M)=0) ist: ω˜ L 

1 ω˜ C

R

Diese Gleichung hat dieselben Lösungen wie unter 1.

=0

3. Z(Z) hat genau dann ein Minimum, wenn folgende Bedingungen (Genaueres zur Ableitung, siehe Band 3) erfüllt sind: 2

d dω

Z ( ω) = 0

d

2

dω

Z ( ω) ! 0

Zur Untersuchung des Minimums, kann die Wurzel bei Z(Z) weggelassen werden: 2

§ ©

Z' ( ω R L C)  R  ¨ ω ˜ L 

1

· ¸ ω ˜ C¹

2

d dω

j § · ¨ ¸ ¨ C˜ L ¸ ¨ ¸ j ¨ ¸ C˜ L ¸ d ¨ Z' ( ω R L C) = 0 auflösen ω o ¨ dω C˜ L ¸ ¨ ¸ ¨ C˜ L ¸ ¨ C˜ L ¸ ¨  ¸ © C˜ L ¹

ersetzen ω =

2

d

2

dω

Z' ( ω R L C)

vereinfachen

§ 1  L ˜ ω· ˜ § L  1 · ¸ ¨ 2¸ ©C˜ ω ¹ © C˜ ω ¹

Z' ( ω R L C) o 2 ˜ ¨

Hier ist nur die 3. Lösung von Bedeutung! C˜ L C˜ L

=

1 L˜ C

1 L˜ C 2 o 8˜ L

Seite 77

Die zweite Ableitung ist größer 0!

Komplexe Zahlen und Funktionen

R  100 ˜ Ω

Ohm'scher Widerstand

L  0.5 ˜ H

Induktivität

C  1 ˜ μF

Kapazität

U  220 ˜ V

angelegte Spannung (Effektivwert)

XL ( f )  2 ˜ π ˜ f ˜ L

Frequenzgang des induktiven Blindwiderstandes

XC ( f ) 

1 Frequenzgang des kapazitiven Blindwiderstandes

2˜ π˜ f˜ C

X ( f )  XL ( f )  XC ( f )

Frequenzgang des gesamten Blindwiderstandes

Z ( f)  R  j ˜ X ( f)

Frequenzgang des komplexen Scheinwiderstandes

Z ( f) 

Betrag des komplexen Scheinwiderstandes

Z ( f)

φz ( f)  arg ( Z ( f) )

Phasenwinkel U

I ( f) 

§ ©

2

Betrag des komplexen Stromes

R  ¨2 ˜ π ˜ f ˜ L 

· ¸ 2 ˜ π ˜ f ˜ C¹

1

ωres 

fres 

1

2

Resonanzkreisfrequenz

L˜ C ωres 2˜ π



Zmin  Z fres

fres

225.079

Zmin

100 Ω

1 s

Resonanzfrequenz

Scheinwiderstand Z bei Resonanz (Zmin = R)

f1  50 ˜ Hz

Startfrequenz

f2  500 ˜ Hz

Endfrequenz

N  2000

Schrittanzahl

Δf 

f2  f1

Schrittweite

N

Bereichsvariable für die Frequenz

f  f1 f1  Δf  f2 fz  f1 f1 

f2  f1 3

 f2

Bereichsvariable für die Frequenz

Seite 78

Komplexe Zahlen und Funktionen

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

k  1  2

Bereichsvariable Ortskurve von Z

3

f 2u 103 1.7u 103 Hz überwiegend induktiv 1.4u 103 500 ˜ Hz 1.1u 10 Im( Z( f ) ) 350 ˜ Hz 800 Ω 500 1 fres 225.079 ˜ s 200 0 § ·  100 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 ¨Im Z f ¸  400 res ¹ ©  700 200 ˜ Hz k 3  1u 103 Ω  1.3u 103  1.6u 103 § 0 ·  1.9u 103 ¨Im Z f ¸  2.2u 103 z ¹ © k  2.5u 103 überwiegend kapazitiv  2.8u 103 Ω 50 ˜ Hz  3.1u 103  3.4u 103  3.7u 103  4u 10

 

Darstellung des Frequenzganges von Z(f) in der Gauß'schen Zahlenebene.

 

Re( Z( f ) ) Ω 3

Z( f ) Ω X( f ) Ω XL( f ) Ω XC( f ) Ω I( f ) mA

0 · § 0 · § ¨Re Z f ¸ ¨Re Z f ¸ ©   res ¹ k ©   z ¹ k Ω



Ω

Scheinwiderstand Z, Blindwiderstand X und Strom I

3u 10 3 2.75u 10 3 2.5u 10 3 2.25u 10 3 2u 10 3 1.75u 10 3 1.5u 10 3 1.25u 10 3 1u 10 750 500 250  250 0  500  750 3  1u 10 3  1.25u 10 3  1.5u 10 3  1.75u 10 3  2u 10



Abb. 1.7.16

fres

Zmin überwiegend induktiv

In der Umgebung der Resonanzfrequenz fres

R 100

200

300

überwiegend kapazitiv

400

500

100 Ω

Ω 600

hat der Scheinwiderstand Z(f) ein Minimum und der Strom I(f) ein Maximum. Wir sprechen hier auch von Spannungsresonanz. Abb. 1.7.17

f Hz

Seite 79

Komplexe Zahlen und Funktionen

Phasengang 90 81 72 63 54 45 36 27 18 φz( f ) 9

90

fres

überwiegend induktiv Bei der Resonanzfrequenz fres

Grad  9 0  18  27  36  45  54  63  72  81  90

100

200

300

400

500

ist der Phasenwinkel M = 0°.

600

überwiegend kapazitiv

Abb. 1.7.18  90 f Hz

Beispiel 1.7.8 Bestimmen Sie die Ortskurve Y(f) und die Frequenzgänge B(f), B L (f), BC(f) sowie den Phasengang My(f) von folgendem Serienschwingkreis im Bereich 10 Hz df d 500 Hz. Bestimmen Sie auch die Resonanzfrequenz des Schwingkreises.

R R

L L

C C

U U

R = 15 ˜ Ω

Ohm'scher Wiederstand

L = 0.2 ˜ H

Induktivität

C = 40 ˜ μF

Kapazität

Abb. 1.7.19 Der komplexe Scheinleitwert Y ist gegeben durch: 1 1 1 1 1 1 Y = Y R  Y L  YC =   = =   j ˜ ω ˜ C = G  j ˜ BC  BL ZR ZL ZC Z R j ˜ ω˜ L



Y ( f) =

1 R

§ ©

 j ˜ ¨ω ˜ C 

1

· ¸

ω ˜ L¹

Der Betrag des komplexen Scheinleitwertes ist dann:

Y ( f) = Y =

2

2

Re ( Y ( f ) )  Im ( Y ( f ) ) =

2 2 § 1 ·  §ω ˜ C  1 · ¨ ¸ ¨ ¸ ω ˜ L¹ © R¹ ©

Seite 80



Redefinitionen

Komplexe Zahlen und Funktionen

Der Phasenwinkel ergibt sich aus:

§ ω˜ C  1 · ω˜ L ¸ § Im ( Y ( ω) ) · = arctan ¨ φ ( ω) = arctan ¨ ¨ ¸ ¸ 1 © Re ( Y ( ω) ) ¹ ¨ ¸ R © ¹ Die Resonanzfrequenz kann auf verschiedene Weise bestimmt werden: 1. Resonanz ergibt sich, wenn Y = 1/R = Ymin , d. h. wenn Im(Y) = 0 ist (die Blindwiderstände verschwinden):

ω˜ C 

1 ω˜ L

hat als Lösung(en)

=0

§ C˜ L · ¨ ¸ ¨ C˜ L ¸ ¨ C˜ L ¸ ¨ ¸ © C˜ L ¹

Da in der Praxis keine negativen Frequenzen vorkommen, ist die 1. Lösung nicht relevant. C˜ L C˜ L

=

1 L˜ C

1

ωres =

L˜ C

2. Resonanz ergibt sich, wenn M = 0 ( also tan(M)=0) ist: ω˜ C 

1 ω˜ L

R

Diese Gleichung hat dieselben Lösungen wie unter 1.

=0

3. Z(Z) hat genau dann ein Minimum, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind (siehe Näheres dazu Band 3): d dω

2

Y ( ω) = 0

d

2

dω

Y ( ω) ! 0

Zur Untersuchung des Minimums, kann die Wurzel bei Z(Z) weggelassen werden: 2

1 · § 1· § Y' ( ω R L C)  ¨ ¸  ¨ ω ˜ C  ¸ ω ˜ L¹ © R¹ ©

2

d dω

§ 1  C ˜ ω· ˜ § C  1 · ¸ ¨ 2¸ ©L˜ ω ¹ © L˜ ω ¹

Y' ( ω R L C) o 2 ˜ ¨

j § · ¨ ¸ ¨ C˜ L ¸ ¨ ¸ j ¨ ¸ C˜ L ¸ d ¨ Y' ( ω R L C) = 0 auflösen ω o ¨ dω C˜ L ¸ ¨ ¸ ¨ C˜ L ¸ ¨ C˜ L ¸ ¨  ¸ © C˜ L ¹

Seite 81

Hier ist nur die 3. Lösung von Bedeutung! C˜ L C˜ L

=

1 L˜ C

Komplexe Zahlen und Funktionen

ersetzen ω =

2

d

2

dω

Y' ( ω R L C)

vereinfachen

1 L˜ C 2 o 8˜ C

Die zweite Ableitung ist größer 0!

R  15 ˜ Ω

Ohm'scher Widerstand

L  0.2 ˜ H

Induktivität

C  40 ˜ μF

Kapazität

U  220 ˜ V

angelegte Spannung (Effektivwert)

G

1

Leitwert

R

Frequenzgang des induktiven Blindwiderstandes

XL ( f )  2 ˜ π ˜ f ˜ L

BL ( f ) 

XC ( f )  BC ( f ) 

1

Frequenzgang des induktiven Blindleitwertes

XL ( f ) 1

Frequenzgang des kapazitiven Blindwiderstandes

2˜ π˜ f˜ C 1

Frequenzgang des kapazitiven Blindleitwertes

XC ( f )

B ( f )  BC ( f )  BL ( f )

Frequenzgang des gesamten Blindleitwertes

Y ( f)  G  j ˜ B ( f)

Frequenzgang des komplexen Scheinleitwertes

Y ( f) 

Betrag des komplexen Scheinleitwertes

Y ( f)

φy ( f)  arg ( Y ( f) ) 1

ωres 

fres 

Phasenwinkel Resonanzkreisfrequenz

L˜ C ωres 2˜ π



Ymin  Y f res

fres Ymin

56.27

1

Resonanzfrequenz

s

0.067

1 Ω

Scheinleitwert Y bei Resonanz (Y min = 1/R)

f1  10 ˜ Hz

Startfrequenz

f2  500 ˜ Hz

Endfrequenz

N  2000

Schrittanzahl

Seite 82

Komplexe Zahlen und Funktionen

f2  f1

Δf 

Schrittweite

N

Bereichsvariable für die Frequenz

f  f1 f1  Δf  f2 fz  f1 f1 

f2  f1 5

Bereichsvariable für die Frequenz

 f2

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

k  1  2

Bereichsvariable Ortskurve von Y 0.2

f

Im( Y( f ) )

Hz

S

500 ˜ Hz

0 § · ¨Im Y f ¸ ©   res ¹ k

0.1

402 ˜ Hz 304 ˜ Hz

Darstellung des Frequenzganges von Y(f) in der Gauß'schen Zahlenebene.

206 ˜ Hz

S

108 ˜ Hz

§ 0 · ¨Im Y f ¸ ©   z ¹ k

0

0.02

0.04

0.06

fres0.08

S

10 ˜ Hz  0.1

Re( Y( f ) ) S



0 · § 0 · § ¨Re Y f ¸ ¨Re Y f ¸ ©   res ¹ k ©   z ¹ k S



Seite 83

S

Abb. 1.7.20

Komplexe Zahlen und Funktionen

Scheinwiderstand Z, Blindwiderstand X und Strom I 0.2

fres

Ymin

1 Ω

In der Umgebung der Resonanzfrequenz fres

Y( f ) S

0.067

0.1

B( f )

G

S

hat der Scheinleitwert Y(f) ein Minimum.

S

BL( f ) S BC( f )

0

S

100

200

300

400

500

Abb. 1.7.21

 0.1 f Hz

Phasengang 100 90 80 70 60 50 40 30 20 φy( f ) 10 Grad  10 0  20  30  40  50  60  70  80  90  100

fres

90

Bei der Resonanzfrequenz fres ist der Phasenwinkel M = 0°. 100

200

300

400

500

Abb. 1.7.22  90 f Hz

Seite 84

Komplexe Zahlen und Funktionen

Beispiel 1.7.9 An einem Zweipol (RLC in Serie und ein Kondensator Cp parallel) wird eine Wechselspannung mit verschiedenen Frequenzen f angelegt. Untersuchen Sie das Verhalten des Zweipols.

Zweipol mit folgenden Daten: R = 50 :, L = 80 mH, C = 12.5 nF und C p = 5 nF.

Abb. 1.7.23

Wie lauten der komplexe Scheinwiderstand Z(f) und der komplexe Scheinleitwert Y(f)? Berechnen Sie die Resonanzfrequenz f res (M = 0) und den Scheinwiderstand Zres und den Scheinleitwert Y res bei Resonanz. Wie lautet von Z(f) das Maximum Zmax für fmax und von Y(f) das Minimum Ymin für fmax? Stellen Sie die Ortskurven für den Gesamtwiderstand Z(f) und für den Leitwert Y(f) in Abhängigkeit von der Frequenz im Bereich von f = 25 Hz bis 640 Hz dar. In der Ortskurve von Z sollen die Zeiger bei Zres und Zmax angezeigt werden. In der Ortskurve von Y sollen die Zeiger bei Y res und Ymin angezeigt werden. Stellen Sie den Scheinwiderstand Z = | Z | und den Phasenwinkel M in Abhängigkeit von f dar. Geben Sie für die Frequenz f res den Scheinwiderstand Zres und für die Frequenz fmax den Scheinwiderstand Zmax in der Grafik für den Scheinwiderstand Z an. R  50 ˜ Ω

Ohm'scher Widerstand

L  80 ˜ μH

Induktivität

C  12.5 ˜ nF

Cp  5 ˜ nF

XL ( f )  2 ˜ π ˜ f ˜ L 1

XC ( f ) 

2˜ π˜ f˜ C 1

XCp ( f) 

2 ˜ π ˜ f ˜ Cp

Kapazitäten induktiver Widerstand kapazitiver serieller Widerstand

kapazitiver paralleler Widerstand

Zr ( f )  R  j ˜ X L ( f )  j ˜ X C ( f )

komplexer Widerstand der Reihenschaltung

Zp ( f)  j ˜ X Cp ( f )

komplexer Widerstand des Kondensators

Z ( f) 

Y ( f) 

Zr ( f ) ˜ Zp ( f ) Zr ( f )  Zp ( f ) 1 Z ( f)

komplexer Gesamtscheinwiderstand

komplexer Gesamtscheinleitwert

Seite 85

Komplexe Zahlen und Funktionen

Z ( f) 

Z ( f)

Betrag des komplexen Scheinwiderstandes

Y ( f) 

Y ( f)

Betrag des komplexen Scheinleitwertes Phasenwinkel

φz ( f)  arg ( Z ( f) )

Die Resonanzfrequenz ist jene Frequenz, bei der Im(Z) = 0 ist. TOL  10

 12

Toleranzgrenze für das numerische Verfahren Schätzwert

f1  300 ˜ kHz

   Z  fres

fres  wurzel Im Z f1 f1

fres

Zres 

Zres

209.816 Ω

Yres

0.005

Yres 

1 Zres

Resonanzfrequenz

271.229 ˜ kHz

Scheinwiderstand bei Resonanz

1

Scheinleitwert bei Resonanz

Ω

Das Maximum von Z(f) und das Minimum von Y(f): Schätzwert

f2  300 ˜ kHz fmax  Maximieren ( Z f2)



Zmax  Z fmax Zmax  Ymin  Ymin 







Z fmax 1



Z fmax Y min

arg Z fmax







fmax

maximale Frequenz

301.667 ˜ kHz

Zmax

( 221.322  122.828j) Ω

maximaler komplexer Scheinwiderstand

Zmax

253.121 Ω

maximaler Scheinwiderstand

Ymin

( 0.003  0.002i )

Ymin

0.004

1 Ω

1

minimaler komplexer Scheinleitwert

minimaler Scheinleitwert

Ω

Phasenverschiebung bei fmax

29.029 ˜ Grad

f  25 ˜ kHz 25 ˜ kHz  10 ˜ kHz  640 ˜ kHz

Bereichsvariable für die Frequenz

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

k  1  2

Bereichsvariable

Seite 86

Komplexe Zahlen und Funktionen

Ortskurve von Z 100

ω=∞

Zres

0

100

200

300

Im( Z( f ) ) 0 ·  100 § ¨Im Z ¸ ©  max ¹ k

§0 · ¨ ¸ ©0 ¹ k

Zmax

 200

 300

ω=0  400 0

· § 0 · ¸ ¨ ¸ ©Re Zmax ¹ k ©Zres ¹ k §

Re( Z( f ) ) ¨

Abb. 1.7.24 Ortskurve von Y 0.02

Im( Y( f ) ) S

0.01

· § 0 ¨Im Y ¸ ©  min ¹ k

Ymin Yres

§0 · ¨ ¸ ©0 ¹ k

0

3

5u 10

0.01

0.015

 0.01 Re( Y( f ) ) S

0

· § 0 · ¸ ¨ ¸ ©Re Ymin ¹ k ©Yres ¹ k §

¨

Abb. 1.7.25

Seite 87

0.02

Komplexe Zahlen und Funktionen

Frequenzgang von Z 400

fres fmax kHz kHz

350

Zmax

300 Zmax

Z( f ) 250

Ω

253.121

Ω

Ω R

Ω Zres

200

Ω

209.816

150 100 50

0

100

200

300

400

500

600

f kHz

Abb. 1.7.26 Aufgrund des Parallelkondensators Cp geht bei sehr kleinen Frequenzen der komplexe Widerstand gegen unendlich und bei sehr großen Frequenzen gegen R. Dazwischen liegt ein Maximum sowie ein Minimum des Z-Frequenzganges. Phasengang von Z 20 10  10  20 φz( f )  30  40 Grad  50  60  70  80  90  100

fres 0

100

200

kHz

300

400

500

600

 90

f kHz

Abb. 1.7.27 Bei sehr kleinen und sehr großen Frequenzen hat Z eine Phasenverschiebung von -90 Grad. Bei der Resonanzfrequenz tritt keine Phasenverschiebung auf.

Seite 88

Komplexe Zahlen und Funktionen

1.7.4 Amplitudengang und Phasengang bei Vierpolen Bei der Signalübertragung und Signalverarbeitung stellt sich häufig die Aufgabe, bestimmte Frequenzkomponenten oder Frequenzbereiche des Signals zu dämpfen oder bevorzugt zu übertragen (z. B. Bandbegrenzung; Selektion; Kanaltrennung; Bandbereichsunterdrückung; Impulsformung; Entzerrung usw.). Dafür werden Filter eingesetzt. In der Regelungstechnik interessiert man sich sehr häufig für Regelkreisglieder (z. B. Operationsverstärker). Bei all diesen Aufgaben sind lineare Netzwerke in Form von Vierpolen zu untersuchen.

Abb. 1.7.28 Zur Beschreibung eines Vierpols wird der komplexe Frequenzgang der Übertragungsfunktion G(Z) herangezogen: G ( ω) =

Ua ( ω) Ue ( ω)

=

Ua ( ω) Ue ( ω)

j ˜φ( ω )

˜e

j ˜φ( ω )

= G ( ω) ˜ e

(2-80)

Die grafische Darstellung G(Z) als Ortskurve wird Nyquist-Diagramm genannt. Der Zähler und der Nenner von G(Z) sind jeweils Polynome von s = j Z (und damit der Frequenz f bzw. Z = 2 S f). Der Grad des Zählerpolynoms ist immer kleiner oder gleich dem des Nennerpolynoms. Der Grad des Nennerpolynoms wird Ordnung des Vierpols genannt. Zum Beispiel die Ordnung eines Filters bestimmt die Steilheit des Übergangs von Durchlass- und Sperrbereich und die konstanten Koeffizienten der Polynome bestimmen Art und Charakteristik des Filters. Mithilfe der Laplacetransformation (siehe dazu Band 4) lassen sich mit G(s) (s = j Z) die Ausgangssignale für beliebige Zeitfunktionen der Eingangssignale bestimmen. Die logarithmische Darstellung der Abszisse (Z-Achse) des Amplitudenganges A ( ω) = G ( ω)

(2-81)

und des Phasenganges

§ Im ( G ( ω) ) · = arg ( G ( ω) ) ¸ © Re ( G ( ω) ) ¹

φ ( ω) = arctan ¨

(2-82)

in Abhängigkeit von der Frequenz wird Bodediagramm genannt. Ein Vierpol kann sowohl eine Verstärkung als auch Dämpfung aufweisen. Allgemein wird daher immer von der Übertragungsgröße a gesprochen, die sowohl ein Verstärkungsfaktor als auch ein Dämpfungsfaktor sein kann. Üblicherweise wird die Übertragungsgröße a im log-Maß für die Spannungs-, Strom- und Leistungsberechnung wie folgt herangezogen:

§ Ua ·¸ § Ia · § Pa ·¸ adB = 20 ˜ log ¨ ; adB = 20 ˜ log ¨ ¸ ; adB = 10 ˜ log ¨ ¨© Ue ¸¹ ¨© Ie ¸¹ ¨© Pe ¸¹ Die Einheit für die Dämpfung bzw. Verstärkung ist das Dezibel (dB).

Seite 89

(2-83)

Komplexe Zahlen und Funktionen

Beispiel 1.7.10 Von einem Bandpass, bestehend aus R-C-Hochpass und R-C-Tiefpass, sollen Amplitudengang und Phasengang (Bodediagramm) dargestellt werden. In der Messtechnik und in Schaltungen zur Schwingungserzeugung findet sich oft die angegebene RC-Kombination nach Wien (Wien-Glied). Mit dieser Schaltung lassen sich Phasenverschiebungen zwischen der Eingangs- und Ausgangsspannung herstellen. Der Bandpass ist für einen ganz bestimmten Frequenzbereich durchlässig. Schwingungen mit Frequenzen in der Umgebung der Bandmittenfrequenz f 0 werden relativ gut übertragen, tiefere und höhere Frequenzen werden jedoch mehr und mehr gedämpft. Vorgegebene Daten: R = 100 k: C = 1 PF Abb. 1.7.29 Stellen Sie Amplituden- und Phasengang der komplexen Übertragungsfunktion G(Z) in einem Bodediagramm dar. Vergleichen Sie das Bodediagramm mit der Ortskurve der Übertragungsfunktion und interpretieren Sie das Ergebnis. Bei welcher Kreisfrequenz Z0 bzw. Frequenz f0 wird das Spannungsverhältnis U a /Ue reell, d. h. keine Phasenverschiebung zwischen Ua und Ue ? Bei welcher Frequenz ist die Phasenverschiebung genau 45°? Zeigen Sie, dass Z0 auch jene Kreisfrequenz ist, bei der der Amplitudengang maximal ist. Wie groß ist das Maximum? Amplitudengang und Phasengang der komplexen Übertragungsfunktion G(Z): R R

C C

Reihenschaltung von R und C: Z1 = R 

1

j ˜ ω˜ C

Z2

Z2 =

ω˜ C Ua Ue

=

=

1 R

1



hat als Lösung(en)

1 j ˜ω˜C

1 R

Z2 Z1  Z2

R

nach Z2 Variable

 C˜ ω˜ j

auflösen

Die Wechselstromwiderstände Z1 und

1  j ˜ ω˜ C˜ R

Z2 Z1  Z2

Z2 in komplexer Darstellung.

Spannungsübertragungsfunktion G(Z) (komplexwertige Funktion)

ersetzen Z1 = R  G ( ω R C) 

1

hat als Lösung(en)

R˜ ω˜ C  j

G ( ω) =

Parallelschaltung von R und C:

1

vereinfacht auf Z1 =

Redefinitionen

ersetzen Z2 =

1 j ˜ ω˜ C 1

1 R

C˜ R˜ ω

o

 C˜ ω˜ j

2

2

2

3˜ C˜ R˜ ω  j  C ˜ R ˜ ω ˜ j

vereinfachen

Seite 90

Komplexe Zahlen und Funktionen

Amplitudengang A(Z):

A ( ω R C) 

C˜ R˜ ω

G ( ω R C) vereinfachen o

2

2

2

3˜ C˜ R˜ ω  j  C ˜ R ˜ ω ˜ j Phasengang M(Z): C˜ R˜ ω

§

· ¸ ©3˜ C˜ R˜ ω  j  C ˜ R ˜ ω ˜ j¹

φ ( ω C R)  arg ( G ( ω R C) ) o arg ¨

C1  1 ˜ μF

2

2

2

vorgegebene Daten

R1  100 ˜ kΩ

Das Spannungsverhältnis wird reell, wenn der Imaginärteil der Übertragungsfunktion G(Z) gleich 0 ist:



rechteckig

2

2



2

C˜ R˜ ω˜ C ˜ R ˜ ω  1 o vereinfachen 4 4 4 2 2 2 C ˜ R ˜ ω  7˜ C ˜ R ˜ ω  1

Im ( G ( ω R C) )

Im ( G ( ω) ) = 0



2

2



2

C˜ R˜ ω˜ C ˜ R ˜ ω  1



4

4

4

2

2

2

§ 0 · ¨ ¸ 1 ¨ ¸ annehmen R ! 0 C ! 0 o ¨ C˜ R ¸ auflösen ω ¨ 1 ¸ ¨ ¸ © C˜ R ¹

=0

C ˜ R ˜ ω  7˜ C ˜ R ˜ ω  1

1

ω0  f0 

ω0

R1 ˜ C1 1

f0

2 ˜ π ˜ R1 ˜ C1

10 ˜ s

1.592

0 ist keine brauchbare Lösung! brauchbare Lösung Eine negative Frequenz gibt es nicht!

1

Bandmittenkreisfrequenz 1

Bandmittenfrequenz

s

 



0

Imaginärteil der Spannungsübertragungsfunktion G(Z)

 



0.333

Realteil der Spannungsübertragungsfunktion G(Z)

Im G ω0 R1 C1

Re G ω0 R1 C1

Die Spannungsverschiebung wird 45°, wenn der Imaginärteil der Übertragungsfunktion G(Z) gleich dem Realteil ist: Re ( G ( ω) ) = Im ( G ( ω) ) Re ( G ( ω R C) )

Im ( G ( ω R C) )

2

rechteckig o vereinfachen rechteckig

2

2

3˜ C ˜ R ˜ ω 4

4

4

2

2

2

C ˜ R ˜ ω  7˜ C ˜ R ˜ ω  1



2

2

2



C˜ R˜ ω˜ C ˜ R ˜ ω  1

o vereinfachen 4 4 4 2 2 2 C ˜ R ˜ ω  7˜ C ˜ R ˜ ω  1

Seite 91

Realteil der Spannungsübertragungsfunktion G(Z) Imaginärteil der Spannungsübertragungsfunktion G(Z)

Komplexe Zahlen und Funktionen

Re ( G ( ω R C) ) = Im ( G ( ω R C) )

ω45 

0 §¨ ·¸ ¨ 13  3 ¸ annehmen R ! 0 C ! 0 ¨ ¸ o 2˜ C˜ R ¨ ¸ auflösen ω ¨ 13  3 ¸ ¨ 2 ˜ C ˜ R ¸ © ¹

13  3

ω45

2 ˜ C1 ˜ R1

3.028 ˜ s

1

0 ist keine brauchbare Lösung! brauchbare Lösung Eine negative Frequenz gibt es nicht!

Kreisfrequenz bei 45°

 



0.167

Imaginärteil der Kreisfrequenz bei 45°

 



0.167

Realteil der Kreisfrequenz bei 45°

Im G ω45 R1 C1

Re G ω45 R1 C1

Die Bandmittenfrequenz f0 ist auch jene Frequenz, bei der der Amplitudengang maximal ist: ω1  20 ˜ s

1

Startwert (geschätzt)





Amplitudengang

A1 ( ω)  A ω R1 C1



ωmax  ωmax



Maximieren A1 ω1 10 ˜ s

1



A1 ωmax



0.333

das Maximum liegt bei H(10 s-1 | 1/3)

Weil der Amplituden- und der Phasengang logarithmisch bezüglich der Abszisse (Z-Achse) in Abhängigkeit der Variablen Z dargestellt wird, empfiehlt es sich, die Variable exponentiell laufen zu lassen, damit sie im Grafen äquidistante Werte annimmt: Anzahl der Dekaden

n 3 ωmin  10

n

˜s

1

n

ωmax  10 ˜ s

1

minimale und maximale Kreisfrequenz Anzahl der Schritte

N  20 ˜ n

§ ωmax ·¸ § ωmin ·¸  ln ¨ ¨ s 1 ¸ ¨ s 1 ¸ © ¹ © ¹

ln ¨ Δω 

Schrittweite

N

ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

k  0  N

Bereichsvariable k˜Δω

ω k  ωmin ˜ e

Nach logarithmierter Z-Achse gilt daher:

Vektor der Kreisfrequenzen. Oder mit Z:=logspace(Zmin, Zmax,N).







ln ω k = ln ωmin  k ˜

Seite 92







ln ωmax  ln ωmin N



Komplexe Zahlen und Funktionen

Amplituden- und Phasengang (Bodediagramm): Amplitudengang ω0 1

s 0.4

Maximum

1 3

0.3



A ω k R1 C1

0.2

0.1

3

1u 10

0.01

0.1

1

10

100

3

1u 10

ωk 1

s

Abb. 1.7.30 Frequenzen nahe der Bandmittenfrequenz werden fast vollständig übertragen. Je weiter die Frequenzen von Z0 entfernt sind, desto stärker werden sie gedämpft. Phasengang 100



φ ω k R1 C1



ω 45

ω0

90

50

Grad 45

0

 45  50

 100 3 1u 10

 90 0.01

0.1

1

10

100

3

1u 10

ωk 1

s

Abb. 1.7.31 Bei der Bandmittenfrequenz tritt keine Phasenverschiebung zwischen Ein- und Ausgang auf. Bei Frequenzen kleiner Z0 geht der Phasenwinkel gegen + 90 Grad und bei größeren gegen -90 Grad (Asymptoten bei + 90° und -90°).

Seite 93

Komplexe Zahlen und Funktionen

Nyquist-Ortskurve (kartesische Darstellung): i  0  1

Bereichsvariable Ortskurve 0.2

1 3

0.15

ω45

0.1

 

Imaginärteil

Im G ω k R1 C1



0.05

0 § · ¨Im G ω R C ¸ ©   0 1 1 ¹ i

ω0 0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0 § · ¨Im G ω R C ¸ ©   45 1 1 ¹ i 0.05  0.1

 0.15

 0.2 0 § Re G ω k R1 C1 ¨ ©Re G ω0 R1 C1

 



 

Realteil

Abb. 1.7.32

Seite 94

0 · § · ¸ ¨Re G ω R C ¸ ¹ i ©   45 1 1 ¹ i

0.4

Komplexe Zahlen und Funktionen

Polarkoordinatendarstellung der Ortskurve: Ortskurve

120

90 80 110 100 70

60

130 140

50 40

150



A ω k R1 C1

160



20

170

 A ω 45 R 1 C 1 A ω 0 R 1 C 1

30

10

180

5 10 u 10 0.1001 0.2

190

0 0.4 350

0.3

200

Abb. 1.7.33

340

210

330

220 230 240



250 260 290 270 280



320 310 300



φ ω k R1 C1 φ ω 0 R1 C1 φ ω 45 R1 C1



Um die Verstärkung in Dezibel auf der y-Achse auszugeben, definieren wir eine neue Funktion:

 



AdB ( ω)  20 ˜ log A ω R1 C1

Durch die logarithmische Frequenzachse bedingt, liegen die Messpunkte bei hohen Frequenzen viel enger zusammen als bei tiefen. Um dies zu vermeiden, müssen wir eine äquidistante Teilung für eine logarithmische Frequenzachse durchführen: ωmin  10

N  20

1

˜

1 s

3 1 ωmax  10 ˜ s

4 Frequenzdekaden

Äquidistante Teilung der logarithmischen Frequenzachse: k

§ ωmax ·¸ ω k  ωmin ˜ ¨ ¨© ωmin ¸¹

k  0  N

N

Kreisfrequenzvektor

Verstärkung in dB

0  8.3  16.7



AdB ω k

 25

 33.3

Abb. 1.7.34

 41.7  50 0.1

1

10

100

ωk 1

s

Seite 95

1000

Komplexe Zahlen und Funktionen

Beispiel 1.7.11 Gegeben ist ein RLC-Tiefpassfilter.

Gegebene Daten: R = 4.7 ˜ kΩ L = 1mH C = 1μF

Abb. 1.7.35 Gesucht sind der Amplitudengang und der Phasengang der komplexen Übertragungsfunktion G(Z) und die grafische Darstellung (Bodediagramm) im Bereich von f = 0.01 Hz und f = 10 MHz. Berechnen Sie auch die Grenzfrequenz und untersuchen Sie den Einfluss des Widerstandes R für 100*R , R/1000 und R/10. Interpretieren Sie das Bodediagramm hinsichtlich Resonanz bzw. Resonanzüberhöhung bei Widerstandswerten zwischen 0 : und 50 :. f f

R R

L L

Redefinitionen

C C

Für die Serienschaltung von R, L und C gilt:

Z1 = R  j ˜ ω ˜ L 

Für die Parallelschaltung von C gilt:

1

1

j ˜ ω˜ C

Z2

=

1

Z2 =

1

1 j ˜ ω˜ C

j˜ω˜C

Komplexe Übertragungsfunktion G(Z): 1

G ( ω) =

Ua Ue

=

Z2 Z1

j˜ω˜C

=

R j ˜ ω˜ L 

1

vereinfacht auf G ( ω) =

j ˜ ω˜ C j

G ( f R L C) 

2

C ˜ L ˜ j ˜ ( 2 ˜ π ˜ f)  C ˜ R ˜ 2 ˜ π ˜ f  j Amplitudengang: A ( f R L C) 

G ( f R L C)

Phasengang: φ ( f R L C)  arg ( G ( f R L C) )

Seite 96

Ua Ue

=

Z2 Z1

=

j 2

C˜ L˜ j ˜ ω  C˜ R˜ ω  j

Komplexe Zahlen und Funktionen

R1  4.7 ˜ kΩ

L1  1mH

C1  1μF

Gegebene Daten

Polstellenberechnung vom Amplitudengang. Die Knickfrequenzen sind die positiven Imaginärteile der Polstellen. 1 2º ª 2 2 2 2 2 2 ¬4 ˜ R ˜ π ˜ f ˜ C  4 ˜ π ˜ f ˜ L ˜ C  1 ¼



hat als Lösung(en)



2

1 ª« »º 8 « » 2 « » π « » 2 «  C ˜ § C2 ˜ R2  2 ˜ C ˜ L  R ˜ C4 ˜ R2  4 ˜ C3 ˜ L· » © ¹» « 2 L « » « » 2 2 4 2 3 C ˜ R  2˜ C˜ L  R˜ C ˜ R  4˜ C ˜ L « »  « » 2 2 2 8˜ π ˜ C ˜ L « » « » 1 « » 8 « » 2 π « » « » 2 «  C ˜ §© 2 ˜ C ˜ L  C2 ˜ R2  R ˜ C4 ˜ R2  4 ˜ C3 ˜ L·¹ » 2 « » L « » « » 2 2 4 2 3 2˜ C˜ L  C ˜ R  R˜ C ˜ R  4˜ C ˜ L « » 2 2 2 « » 8˜ π ˜ C ˜ L ¬ ¼

untere Grenzfrequenz:

§ · ¨ 2 ˜ C1 ˜ L1  C12 ˜ R12  R1 ˜ C14 ˜ R12  4 ˜ C13 ˜ L1 ¸ ¸ fgr1  Im ¨ 2 2 2 ¨ ¸ 8 ˜ π ˜ C1 ˜ L1 © ¹

1

fgr1

33.864

fgr2

7.48 u 10

s

obere Grenzfrequenz:

§ · ¨ C12 ˜ R12  2 ˜ C1 ˜ L1  R1 ˜ C14 ˜ R12  4 ˜ C13 ˜ L1 ¸ ¸ fgr2  Im ¨  2 2 2 ¨ ¸ 8 ˜ π ˜ C1 ˜ L1 © ¹

Seite 97

51

s

Komplexe Zahlen und Funktionen

Berechnung der Resonanzfrequenz: Es gibt ein Maximum, wenn die 1. Ableitung des Betrages der Übertragungsfunktion null wird (siehe dazu Band 3):

1

d

1

df 2º ª 2 2 2 2 2 2 ¬4 ˜ R ˜ π ˜ f ˜ C  4 ˜ π ˜ f ˜ L ˜ C  1 ¼





2

0 § ¨ ¨ 2 ˜ 2 ˜ C ˜ L  C2 ˜ R2 ¨ 4˜ π˜ C˜ L = 0 auflösen f o ¨ ¨ 2 2 ¨ 2 ˜ 2 ˜ C ˜ L  C ˜ R 4˜ π˜ C˜ L ©

· ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹

Nur die positive Lösung ist von Interesse:

2˜

fres ( R L C) 

2

2

2˜ C˜ L  C ˜ R



 





A fres 0 ˜ Ω L1 C1 0 ˜ Ω L1 C1



fres 0 ˜ Ω L1 C1

4˜ π˜ C˜ L

4.504 u 10

15

5032.921 ˜ Hz

Bei diesem Spezialfall gibt es keine Dämpfung (R = 0!). Deshalb tritt eine Singularität auf! Mathcad zeigt hier nur einen hohen Wert an!

Wenn der Ausdruck unter der Wurzel gleich null ist, lässt sich errechnen, ab welchem Widerstand eine Resonanzerhöhung auftritt:

§ 2˜ L · ¨ ¸ C 2 2 ¨ ¸ 2 ˜ C ˜ L  C ˜ R auflösen R o ¨ 2˜ L ¸ ¨ ¸ C ¹ ©

RresGr 

2˜ C

L

RresGr

Nur der positive Wert ist von Interesse!

113.137 Ω

Seite 98

Der Widerstand beim Grenzfall wird unten im Bodediagramm eingetragen.

Komplexe Zahlen und Funktionen

AdB ( x)  20 ˜ log ( x)

Definition einer Dämpfungsfunktion in dB

fmin  0.01 ˜ Hz

kleinste Frequenz

fmax  10 ˜ MHz

größte Frequenz

N  500

Anzahl der Schritte

§ fmax ·¸ ¨© fmin ¸¹

log ¨ Δf 

Schrittweite

N

Bereichsvariable

k  0  N f k  fmin ˜ 10

k˜Δf

Vektor der Frequenzwerte. Oder mit f:=logspace(f min,fmax,N). Amplitudengang

  AdB A AdB A AdB A AdB A

20 11.5 3  5.5  14  22.5  31 fk R 1 L 1 C 1  39.5  48 fk 100˜R 1 L 1 C 1  56.5  65 fk 0.001R 1 L 1 C 1  73.5  82 fk 0.1R1 L1 C1  90.5  99  107.5  116  124.5  133  141.5  150 0.01

fgr1

fgr2

Hz

Hz

1 2





0.1

1

10

3

100

1u 10

4

1u 10

5

1u 10

6

1u 10

fk Hz Frequenz in Hz

Abb. 1.7.36 Laut Definition wird die Grenzfrequenz dann erreicht, wenn die Amplitude auf (-3 dB) abgesunken ist. Der vorliegende Tiefpass ist ein Tiefpass 2. Ordnung, daher gibt es zwei Knickfrequenzen. Dadurch gibt es einen Bereich nach der 1. Knickfrequenz, in den der Amplitudengang mit 20 dB pro Dekade fällt, und einen Bereich nach der 2. Knickfrequenz, in den der Amplitudengang mit 40 dB pro Dekade fällt. Mit einer Variation von R lässt sich die Dämpfung und damit auch die Position der beiden Knickfrequenzen bestimmen.

Seite 99

7

1u 10

Komplexe Zahlen und Funktionen

Phasengang



φ



φ



φ



φ

180 170 160 fk R 1 L 1 C 1 150 Grad 140 130 fk 100R 1 L 1 C 1 120 110 Grad 100 fk 0.001R 1 L 1 C 1 90 80 70 Grad 60 50 fk 0.1R1 L1 C1 40 30 Grad 20 10 0 0.01



fgr1

fgr2

Hz

Hz



90





0.1

1

10

3

100

1u 10

4

1u 10

5

1u 10

6

1u 10

7

1u 10

fk Hz Frequenz in Hz

Abb. 1.7.37 Resonanz liegt dann vor, wenn es ein Maximum in der Übertragungsfunktion gibt (dies ist nur dann der Fall, wenn die Polstelle eine konjugiert komplexe Polstelle ist). Amplitudengang 40



fres 0˜Ω L1 C1



Hz 30

  AdB A fk 10˜Ω L 1 C 1 AdB A fk 30˜Ω L 1 C 1 AdB A fk 50˜Ω L 1 C 1 AdB A fk R resGr L1 C1

AdB A fk 0˜Ω L 1 C 1

20

10

3

4

1u 10

1u 10

 10

 20 fk Hz Frequenz in Hz

Abb. 1.7.38

Seite 100

5

1u 10

Komplexe Zahlen und Funktionen

Beispiel 1.7.12 Gegeben ist die Übertragungsfunktion eines Vierpols. Gesucht ist das zugehörige Bodediagramm im Frequenzbereich von 0.01 Hz und 10000 Hz. G1 ( s ) 

( s  .01) ˜ ( s  100) 2

Übertragungsfunktion

s  5.5 ˜ s  15 Zur Darstellung verwenden wir hier das nachfolgende Unterprogramm.





bodediagramm G1 f min fmax Schritte 

ORIGIN m 0 "Frequenzvektor" for N  0  Schritte

fN m

1 2˜ π

˜ 10





log fmin 









log fmax  log fmin Schritte

˜N

"Amplitudengang"  o  o A m 20 ˜ log G1 ( 2 ˜ π ˜ f ˜ j )





"Phasengang" o o 180  φ m arg G1 ( 2 ˜ π ˜ f ˜ j ) ˜ π





km0 for n  0  Schritte  1 Δφ m φn 1  φn if ( Δφ ! 180)  ( Δφ  180) posk m n  1 hk m Δφ kmk1 for m  0  k  1

if k z 0

for r  posm  Schritte φr m φr  hm

§¨ f ·¸ ¨A¸ ¨φ ¸ © ¹ §¨ f ·¸ ¨ A ¸  bodediagramm ( G1 .01 10000 400) ¨φ ¸ © ¹

Das Unterprogramm liefert den Frequenzvektor, die Werte des Amplitudenganges und die Werte für den Phasengang (in Grad) als Vektor zurück. Einheiten dürfen hier nicht eingesetzt werden. Gegebenenfalls herauskürzen!

Seite 101

Komplexe Zahlen und Funktionen

Amplitudengang 30 24.5

Amplitude in dB

19 13.5 8 A

2.5 3

1u 10

0.01

0.1

 31

10

3

100

1u 10

100

1u 10

4

1u 10

 8.5  14  19.5  25 f Frequenz in Hz

Abb. 1.7.39 Phasengang 100 82

Winkel in Grad

64 46 28 φ

10 3

1u 10

0.01

0.1

8

1  26

10

 44  62  80 f Frequenz in Hz

Abb. 1.7.40

Seite 102

3

4

1u 10

Vektoralgebra und analytische Geometrie

2. Vektoralgebra und analytische Geometrie Die Vektorrechnung dient nicht nur zur Beschreibung von geometrischen Sachverhalten, wie z. B. in der analytischen Geometrie, sie ist außerdem ein sehr wertvolles Hilfsmittel zur Beschreibung naturwissenschaftlicher und technischer Probleme. Während in der Mathematik ein Vektor das Element eines Vektorraumes ist, also z. B. eine Abbildung sein kann, verstehen wir in der Physik unter einem Vektor eine physikalische Größe (z. B. Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft), die eine Richtung und einen Betrag, bestehend aus einem Zahlenwert und einer Einheit, besitzt. Dazu unterscheiden wir noch die skalare Größe, die sich eindeutig durch Angabe einer Maßzahl (in physikalisch-technischen Anwendungen außerdem einer Maßeinheit) beschreiben lässt (z. B. Masse, Temperatur, Arbeit, Ladung). Der Begriff "physikalische Größe“ hat in der Mathematik keine Bedeutung. Ein Physiker oder Techniker wird aber natürlich einen in mathematischer Sprache formulierten Vektor als physikalische Größe interpretieren. Die ”Richtung“ wird geometrisch aufgefasst, so dass wir z. B. Verschiebungsvektoren zur Darstellung verwenden. Im Folgenden wird daher der Vektorbegriff zuerst anhand geometrischer Überlegungen entwickelt.

2.1 Vektoren Im zwei- oder dreidimensionalen Raum betrachten wir Pfeile. Ein Pfeil (siehe Abbildung 2.1.1) besteht aus einem Angriffspunkt P0 und einem Zielpunkt P1 .

Abb. 2.1.1

Ein solcher Pfeil kann angesehen werden als die Verschiebung des Punktes P0 in den Punkt P1 oder z. B. in physikalischer Interpretation als eine im Punkt P0 angreifende Kraft. Eine Klasse gleich langer, paralleler und gleich orientierter Pfeile der Ebene oder des Raumes (siehe Abbildung 2.1.2) heißt ein Vektor.

Abb. 2.1.2

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Vektoralgebra und analytische Geometrie

Gebräuchliche Bezeichnungen und Festlegungen: a) Der Pfeil von P0 nach P1 legt dieselbe Verschiebung fest wie alle zu ihm verschiebungsgleichen Pfeile. o Demnach kann jeder dieser verschiedenen Pfeile mit a gekennzeichnet werden, denn jeder stellt denselben Verschiebungsvektor dar oder repräsentiert ihn. Unter dem Vektor von P0 nach P1 verstehen wir die Zusammenfassung aller Pfeile im Raum, die gleich lang und gleich gerichtet sind wie der Pfeil von P0 nach P1 . Alle Vektoren zusammen bilden einen Vektorraum. b) Allgemein schreiben wir für diese Vektoren oft ooo o o a b c, ..., s, ..., v, ...  o  o  o P0 P 1 , P 2 P 3 , ... , AB, ... o o oo  o  o A , B, ..., F, G, ..., F1, F2, ... Für Berechnungen mit Mathcad schreiben wir nachfolgend generell die Vektoren in Fettschreibweise, aber ohne Vektorpfeile!







c) Der Betrag eines Vektors (siehe Abschnitt 2.5) ist die Maßzahl der Länge der Pfeile (Abb. 2.1.1) o a =a

(2-1) o d) Der Nullvektor 0 hat den Betrag 0 und jede Orientierung. e) Der Einheitsvektor ist ein Vektor mit dem Betrag gleich 1. o  o o  o f) Der Gegenvektor (oder inverse Vektor) von einem Vektor a = P 0 P 1 ist a = P1 P0 . Er hat den









gleichen Betrag und die gleiche Richtung, aber entgegengesetzte Orientierung.

2.2 Grundrechenoperationen für Vektoren 2.2.1 Addition von Vektoren o o Als Addition von zwei Verschiebungsvektoren (Translation) a und b definieren wir das Hintereinanderausführen der beiden Verschiebungen. Zwei Vektoren werden also grafisch addiert, indem wir den Anfangspunkt eines Pfeils an den Endpunkt des anderen ansetzen (Abb. 2.2.1).

Abb. 2.2.1

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Abb. 2.2.2

Bezüglich der Addition gelten folgende Gesetze: o o o o a) a  b = b  a Kommutativgesetz (Abb. 2.2.1) (2-2) o o o o o o o o o b) a  b  c = a  b  c = a  b  c Assoziativgesetz (Abb. 2.2.2) (2-3) o o o o o c) a  0 = 0  a = a neutrales Element (2-4) o o o o o d) a  a = a  a = 0 inverses Element (2-5) e) Die Menge der Verschiebungsvektoren V ist abgeschlossen gegenüber der Addition. Die Summe zweier Vektoren ist wieder ein Vektor. Ein Tupel (V,+) mit einer Verknüpfung +: V x V oV heißt kommutative oder abelsche o o Gruppe, wenn außer b) c) und d) noch für alle a , b  V a) gilt.







 

Beispiel 2.2.1:  o Ermitteln Sie grafisch die resultierende Kraft FR .

Abb. 2.2.3

Vektoren dürfen parallel und entlang der Wirkungslinie verschoben werden! Aus dem Kräfteparallelogramm kann dann die resultierende Kraft ermittelt werden.

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2.2.2 Subtraktion von Vektoren o o Als Subtraktion von zwei Verschiebungsvektoren (Translation) a und b definieren wir das o o o Hintereinanderausführen der beiden Verschiebungen a und b . Ein Vektor b wird grafisch subtrahiert, indem wir seinen Gegenvektor addieren (Abb. 2.2.4).

Abb. 2.2.4

Beispiel 2.2.2: o o Die Vektoren a und b spannen ein Parallelogramm ABCD auf.  o  o  o o Bestimmen Sie die Vektoren AC = e1 und BD = f1

 o o o e1 = a  b Abb. 2.2.5

o o o o o f1 = a  b = b  a

Beispiel 2.2.3: o  o o  o o  o Gegeben sind die Vektoren c = AB und b = AC. Bestimmen Sie den Vektor x = BC. Drei Lösungsmöglichkeiten: o o o c x=b Abb. 2.2.6

 o  o  o o AB  BC  CA = 0 o o o o c  x  b = 0



o o o x=b c

Ÿ

Ÿ

o o o x=b c

o  o  o  o o o x = BC = BA  AC = c  b

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2.2.3 Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl o Das Produkt des Vektors a mit einer Zahl O  (Skalar) ist ein Vektor mit folgenden Eigenschaften: o o a) λ ˜ a hat gleiche Richtung wie a (Abb.2.2.7); o o o b) λ ˜ a = λ ˜ a bedeutet den O-fachen Betrag von a (Abb. 2.27); o o c) Für O > 0 sind λ ˜ a und a gleich orientiert (Abb. 2.2.7); o o für O < 0 sind λ ˜ a und a entgegengesetzt orientiert; o o für O = 0 ist λ ˜ a = 0 .

(2-6) (2-7) (2-8)

o o Ist a ein von 0 verschiedener Vektor, so heißt (Abb. 2.2.7)  o 1 o 1 o ea = o ˜ a = ˜ a a a

(2-9)

o der Einheitsvektor in Richtung des Vektors a . Für ihn gilt  o o o  o  o ea = 1 und damit a = a ˜ ea = a ˜ ea .

(2-10)

Abb. 2.2.7

Bezüglich der Multiplikation gelten folgende Gesetze (O, P): o o a) 1 ˜ a = a o o o b) λ ˜ μ ˜ a = ( λ ˜ μ) ˜ a = λ ˜ μ ˜ a o o o o c) λ ˜ a  b = λ ˜ a  λ ˜ b o o o ( λ  μ) ˜ a = λ ˜ a  μ ˜ a

 

Existenz des Einselements

(2-11)

Assoziativgesetz

(2-12)

Distributivgesetze

(2-13)

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Beispiel 2.2.4: o o o o  M ist der Halbierungspunkt der Strecke AB. Es soll m = OM durch a und b ausgedrückt werden. o  o o  o 1  o OM = OA  AM = OA  ˜ AB 2 Abb. 2.2.8

 o o o AB = b  a o o 1 o o m=a ˜ b a 2





2.3 Darstellung der Vektoren im kartesischen Koordinatensystem Wir werden unseren weiteren Überlegungen ein kartesisches Koordinatensystem zugrunde legen. Die Basis bilden dabei sogenannte paarweise orthogonale Einheitsvektoren (siehe Abschnitt 2.4.3). Im ebenen kartesischen Koordinatensystem sind es die Basisvektoren o  o o  o ex = e1 und ey = e2 .

(2-14)

Im dreidimensionalen Raum werden die Basisvektoren o  o o  o  o  o ex = e1 , ey = e2 und ez = e3

(2-15)

so angeordnet, dass ein Rechtssystem entsteht. Die Basisvektoren werden auch kartesische Basis genannt. Siehe dazu Abb. 2.3.1. Rechtssystem: Drehen wir die x-Achse auf kürzestem Weg in Richtung y-Achse, so bewegt sich eine mitgedrehte Rechtsschraube in Richtung der z-Achse. Oder nehmen wir die Finger der rechten Hand und bilden damit die Koordinatenachsen, so ist in einem Rechtssystem der Daumen die x-Achse, der Zeigefinger die y-Achse und der Mittelfinger die z-Achse. o  o Der Pfeil der vom Ursprung O zum Punkt A geht a = OA wird als Ortsvektor bezeichnet. Der Ursprung selbst hat im ebenen kartesischen Koordinatensystem die Koordinaten O(0|0) und im räumlichen kartesischen Koordinantensystem die Koordinanten O(0|0|0). Bemerkungen: In praktischen Anwendungen können wir häufig die Lage des Koordinatensystems (Ursprung und Achsenrichtungen) frei wählen. Wir werden dann die Auswahl so treffen, dass sich Vereinfachungen beim Rechnen ergeben. Öfters kann aber auch auf das Einzeichnen eines Koordinatensystems verzichtet werden. Die Basisvektoren werden auch mit i, j und k bezeichnet.

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Abb. 2.3.1

Die x-Achse wird Abszisse und die y-Achse Ordinate genannt. Die zwei Achsen zerlegen die Ebene in vier Quadranten.

Die drei durch je zwei Achsen bestimmten Ebenen heißen Koordinatenebenen bzw. xy-Ebene, xz-Ebene und yz-Ebene. Durch die Koordinatenebenen wird der Raum in acht Oktanden zerlegt.

Vektoren in Koordinatendarstellung: o Wir nennen ax , ay, az   (oder ai  ) die Koordinaten des Vektors a = a . o § ax · ¨ ¸ a=a= ¨ ay ¸ © ¹

zweidimensionaler Ortsvektor

o §1 · ex = ex = ¨ ¸ ©0 ¹

Basisvektor in x-Richtung

o §0 · ey = ey = ¨ ¸ ©1 ¹

o §0 · 0=0=¨ ¸ ©0 ¹

Basisvektor in y-Richtung

Nullvektor in der Ebene

§¨ ax ·¸ o a = a = ¨ ay ¸ ¨ ¸ ¨© az ¸¹

dreidimensionaler Ortsvektor

§1 · o ¨ ¸ ex = ex = ¨ 0 ¸ ¨0 ¸ © ¹

Basisvektor in x-Richtung

§0 · o ¨ ¸ ey = ey = ¨ 1 ¸ ¨0 ¸ © ¹

Basisvektor in y-Richtung

§0 ·  o ¨ ¸ ez = ez = ¨ 0 ¸ ¨1 ¸ © ¹

Basisvektor in z-Richtung

§0 · o ¨ ¸ 0 = 0 = ¨0 ¸

Nullvektor im Raum

¨0 ¸ © ¹

o  o Für den Ortsvektor a = OA des Punkte A stimmen die Koordinaten des Endpunktes A mit den Koordinaten des Ortsvektors überein.

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Komponentendarstellung eines Vektors: Mit den Basisvektoren kann durch Linearkombination ein Ortsvektor auch in Komponentenform geschrieben werden: o o o o o a = ax  ay = ax ˜ ex  ay ˜ ey

o o o o o o o   a = ax  ay  az = ax ˜ ex  ay ˜ ey  az ˜ ez

a = ax  ay = ax ˜ ex  ay ˜ ey

a = ax  ay  az = ax ˜ ex  ay ˜ ey  az ˜ ez

§1 · §0 · a = ax ˜ ¨ ¸  ay ˜ ¨ ¸ ©0 ¹ ©1 ¹

§¨ 1 ·¸ §¨ 0 ·¸ §¨ 0 ·¸ a = ax ˜ ¨ 0 ¸  ay ˜ ¨ 1 ¸  az ˜ ¨ 0 ¸ ¨0 ¸ ¨0 ¸ ¨1 ¸ © ¹ © ¹ © ¹

2.4 Vektorräume Für die Verschiebungsvektoren konnten bisher eine Reihe von Gesetzmäßigkeiten erkannt werden, etwa die Gruppeneigenschaft bezüglich der Addition oder die Gesetze zur Multiplikation mit Skalaren aus . Wir wollen nun eine Menge mit Verknüpfungen als Vektorraum definieren, die diesen Gesetzen folgen. Anstatt  könnten wir auch einen anderen Körper wie 4 oder  für die Skalare verwenden. Es sei (,+, ·) ein Körper und V eine Menge mit einer inneren Verknüpfung ”+“ zwischen o Elementen aus V und einer äußeren Verknüpfung ”·“, die für jedes O   und jedes a V ein Element o λ ˜ a V definiert. o Ein Element a V heißt ein Vektor, ein Element O   heißt ein Skalar und V heißt ein Vektorraum über dem Körper  bzw. ein -Vektorraum (reeller Vektorraum), wenn die folgenden Eigenschaften gelten: oooo o a) (V,+) ist eine kommutative Gruppe mit a b c 0 a V ((2-2) bis (2-5)). oo b) Es gelten die Gesetze für die Multiplikation von Skalaren O, P   mit Vektoren a b V ((2-11) bis (2-13)). Bemerkung: Jede Menge mit Verknüpfungen, die diese Eigenschaften erfüllen, ist ein Vektorraum! Es muss keinen geometrischen oder physikalischen Bezug für Vektorräume geben. Beispiele für Vektorräume sind z. B. Polynome vom Grad n d 3 oder Matrizen mit m Zeilen und n Spalten (kurz m x n Matrizen). Auf Matrizen werden wir in einem der nächsten Kapitel eingehen. Zu den einfachsten und grundlegendsten Vektorräumen gehören die Räume der n-Tupel. Für n ² ist die Menge aller reellen n-Tupel das n-fache kartesische Produkt n := ××...x. o Unter der Vereinbarung der Spaltenschreibweise für a n

§¨ a1 ·¸ ¨a ¸ 2 o ¨ ¸ a = ¨ ... ¸ mit a1 a2 .... an   ¨ ¸ ¨ ... ¸ ¨© an ¸¹

(2-16)

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Vektoralgebra und analytische Geometrie

ist bezüglich der Addition

§ a1 · § b1 · § a1  b1 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ a2 ¸ ¨ b2 ¸ ¨ a2  b2 ¸ ¨ ¸¨ ¸=¨ ¸ für alle a1 a2 ... an b1 b2 ... bn   ... ... ... ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨a ¸ ¨b ¸ ¨a  b ¸ © n¹ © n¹ © n n¹

(2-17)

und der Vervielfachung

§ a1 · § λ ˜ a1 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ a2 ¸ ¨ λ ˜ a2 ¸ 똨 ¸ = ¨ ¸ für alle λ a1 a2 ... an   ¨ ... ¸ ¨ ... ¸ ¨a ¸ ¨λ ˜ a ¸ n¹ © n¹ ©

(2-18)

n ein reeller Vektorraum. Der Nullvektor im n ist dann gegeben durch:

§0· ¨ ¸ o ¨0¸ 0= ¨ ... ¸ ¨ ¸ ©0¹

(2-19)

Durch Verwendung des Transponierungszeichens "T" können wir die Spalten auch platzsparend als Zeile schreiben (Näheres siehe dazu im Kapitel Matrizen):

§ a1 · ¨ ¸ ¨ a2 ¸  a1 a2 ... an T = ¨ ... ¸ ¨ ¸ ¨a ¸ © n¹

(2-20)

Ist n = 1, so entspricht 1 dem Körper  selbst. Daher ist  selbst der einfachste reelle Vektorraum.

Beispiel 2.4.1: Gegeben:

a

§3 · ¨ ¸ ©1 ¹

b

§ 2 · ¨ ¸ ©1 ¹

Gesucht: c = a + b, d = a - b in Koordinaten- und Komponentendartellung. c=a b=

c a  b

§ 3 · § 2 · § 3  ¨ ¸¨ ¸=¨ ©1 ¹ © 1 ¹ ©1  c

§1 · ¨ ¸ ©2 ¹

2·

§1 · ¸=¨ ¸ 1 ¹ ©2 ¹

d=a b=

§ 3 · § 2 · § 3  ¨ ¸¨ ¸=¨ ©1 ¹ © 1 ¹ ©1 

d a b

Seite 111

d

§5 · ¨ ¸ ©0 ¹

2·

§5 · ¸=¨ ¸ 1 ¹ ©0 ¹

Berechnung händisch Berechnung mit Mathcad

Vektoralgebra und analytische Geometrie

c = a  b = 3 ˜ ex  1 ˜ ey  2 ˜ ex  1 ˜ ey = ( 3  2) ˜ ex  ( 1  1) ˜ ey = 1 ˜ ex  2 ˜ ey





d = a  b = 3 ˜ ex  1 ˜ ey  2 ˜ ex  1 ˜ ey = ( 3  2) ˜ ex  ( 1  1) ˜ ey = 5 ˜ ex Beispiel 2.4.2: Gegeben:

§¨ 1 ·¸ a  ¨3 ¸ ¨2 ¸ © ¹

§¨ 2 ·¸ b ¨ 4 ¸ ¨ 3 ¸ © ¹

Gesucht: c = a + b, d = a - b in Koordinaten- und Komponentendarstellung.

§¨ 1 ·¸ §¨ 2 ·¸ §¨ 3 ·¸ c = a  b = ¨3 ¸  ¨ 4 ¸ = ¨ 7 ¸ ¨ 2 ¸ ¨ 3 ¸ ¨ 1 ¸ © ¹ © ¹ © ¹

c a  b

§¨ 1 ·¸ §¨ 2 ¸· §¨ 1 ¸· d = a  b = ¨ 3 ¸  ¨ 4 ¸ = ¨ 1 ¸ ¨ 2 ¸ ¨ 3 ¸ ¨ 5 ¸ © ¹ © ¹ © ¹

§¨ 3 ·¸ c ¨7 ¸ ¨ 1 ¸ © ¹

d a b

d

§¨ 1 ¸· ¨ 1 ¸ ¨5 ¸ © ¹

Berechnung händisch

Berechnung mit Mathcad

c = a  b = 1 ˜ ex  3 ˜ ey  2 ˜ ez  2 ˜ ex  4 ˜ ey  3 ˜ ez = 3 ˜ ex  7 ˜ ey  1 ˜ ez





d = a  b = 1 ˜ ex  3 ˜ ey  2 ˜ ez  2 ˜ ex  4 ˜ ey  3 ˜ ez = 1 ˜ ex  1 ˜ ey  5 ˜ ez Beispiel 2.4.3: Gegeben: P(3 | -2 | 3), Q(3 | 2 | 2) o o  Gesucht: a = PQ o  o o o  o o o o  a = PQ = PO  OQ = OQ  OP = q  p

§¨ 3 ·¸ p  ¨ 2 ¸ ¨3 ¸ © ¹

§¨ 3 ·¸ q  ¨2 ¸ ¨2 ¸ © ¹

a q  p

§¨ 0 ·¸ a ¨4 ¸ ¨ 1 ¸ © ¹

o Den Vektor a erhalten wir aus dem Differenzvektor der beiden Ortsvektoren ("Zielpunkt minus Angriffspunkt")! Ortsvektoren zu den Punkten P und Q

o o  gesuchter Vektor a = PQ

Beispiel 2.4.4

§¨ 2 ·¸ Gegeben: a = ¨ 4 ¸ ¨1 ¸ © ¹

§¨ 5 ·¸ b = ¨ 2 ¸ ¨ 10 ¸ © ¹

Gesucht: d = 2 ˜ a  3 ˜ b 

1 2

c = 6 ˜ e1  2 ˜ e2  8 ˜ e3

˜c

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Vektoralgebra und analytische Geometrie

§¨ 2 ·¸ §¨ 5 ·¸ § 6 · § 4 · § 15 ·¸ §¨ 3 ·¸ §¨ 22 ·¸ 1 ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ d = 2 ˜ ¨ 4 ¸  3 ˜ ¨ 2 ¸  ˜ ¨ 2 ¸ = ¨ 8 ¸  ¨ 6 ¸  ¨ 1 ¸ = ¨ 1 ¸ ¨1 ¸ ¨ 10 ¸ 2 ¨ 8 ¸ ¨ 2 ¸ ¨ 30 ¸ ¨ 4 ¸ ¨ 32 ¸ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹

Berechnung händisch

§¨ 2 ·¸ a  ¨ 4 ¸ ¨1 ¸ © ¹

gegebene Vektoren

d 2˜ a  3˜ b 

§¨ 5 ·¸ b  ¨ 2 ¸ ¨ 10 ¸ © ¹ 1 2

§¨ 6 ·¸ c ¨ 2 ¸ ¨ 8 ¸ © ¹

˜c

d

§¨ 22 ·¸ ¨ 1 ¸ ¨ 32 ¸ © ¹

Berechnung mit Mathcad

Beispiel 2.4.5: Eine Flussfähre bewegt sich mit der Eigengeschwindigkeit v = 5 m/s relativ zum Fluss vom Uferpunkt A aus auf kürzestem Weg zum gegenüberliegenden Flussufer. Unter welchem Winkel D muss die Fähre gegen die Strömung gesteuert werden, wenn die Strömungsgeschwindigkeit 1.5 m/s beträgt? Wie groß ist dann die resultierende Geschwindigkeit vr der Fähre? Die Vektoren in Koordinatendarstellung lauten: v=

§ v ˜ sin ( α) · ¨ ¸ © v ˜ cos ( α) ¹

§0 · vr = ¨ ¸ © vr ¹

Abb. 2.4.1

Nach Abb. 2.4.1 gilt folgende Vektorgleichung: vr = v  vs

§ 0 · § v ˜ sin ( α) · § vs · ¸¨ ¸ ¨v ¸ = ¨ © r ¹ © v ˜ cos ( α) ¹ © 0 ¹ v 5˜

m

vereinfacht auf

m vs  1.5 ˜ s

s

§ 0 · § vs  v ˜ sin ( α) · ¨v ¸ = ¨ ¸ © r ¹ © v ˜ cos ( α) ¹

gegebene Geschwindigkeiten

Aus der 1. Koordinate lässt sich der Winkel berechnen: sin ( α) =

vs v

§ vs · ¸ ©v¹

α  asin ¨

α

17.458 ˜ Grad

Aus der zweiten Koordinate ergibt sich die resultierende Geschwindigkeit der Fähre: vr  v ˜ cos ( α)

vr

4.77

m s

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vs =

§ vs · ¨ ¸ ©0¹

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2.4.1 Untervektorräume Untervektorräume: Sei V ein -Vektorraum. Eine Teilmenge U Ž V heißt Untervektorraum von V, wenn U z^` und oo o o o wenn für alle a b U und alle O   gilt: a  b U, λ ˜ a U. Ein Untervektorraum U von V ist zusammen mit der durch V gegebenen Addition und Skalarmultiplikation selbst ein -Vektorraum. o  o o   Sei V ein -Vektorraum. Sind a1 a2 .... an  V und λ1 λ2 .... λn , so nennen wir n

¦

k

o

o

o

   o §λ ˜  ak· = λ1 ˜ a1  λ2 ˜ a2  ....  λn ˜ an k © ¹

(2-21)

1

o  o o   eine Linearkombination der Vektoren a1 a2 .... an und λ1 λ2 .... λn heißen die Koeffizienten der Linearkombination. o  o o   Die Menge aller Linearkombinationen der Vektoren a1 a2 .... an n o  o o   o o span{ a1 a2 .... an } = { a V| a =

¦

i

§λ ˜o · © i ai¹ mit λi } Ž V

(2-22)

1

o  o o o  o o     heißt lineare Hülle von a1 a2 .... an. Die lineare Hülle ist der von a1 a2 .... an aufgespannte Untervektorraum von V und damit selbst ein -Vektorraum.

Beispiel 2.4.6: In einem räumlichen kartesischen Koordinatensystem ist jeder Ortsvektor eine Linearkombination der Basisvektoren: o o o o  a = ax ˜ ex  ay ˜ ey  az ˜ ez o o  o 3 Es gilt: span{ ex , ey , ez} =  . o o Die Punkte der xy-Ebene sind Linearkombinationen von ex und ey. Somit entspricht die xy-Ebene o o span{ ex , ey } und kann somit als Untervektorraum aufgefasst werden. Beispiel 2.4.7:

§¨ 1 ·¸ §¨ 1 ˜ λ ·¸ 3 3 Ist V =  , so ist span { ¨ 2 ¸ } = { ¨ 2 ˜ λ ¸   | O  } ein Unterraum von  . ¨0 ¸ ¨ 0 ¸ © ¹ © ¹ 3

Es handelt sich (geometrisch interpretiert) dabei um eine Gerade im dreidimensionalen Raum durch den Nullpunkt.

Seite 114

Vektoralgebra und analytische Geometrie

2.4.2 Lineare Unabhängigkeit Lineare Unabhängigkeit: Betrachten wir Verschiebungsvektoren, deren Repräsentanten parallel zueinander sind, wie in Abbildung 2.4.2, so bezeichnen wir sie als kollineare Vektoren (zu einer Geraden gehörend). o o Zwei zueinander kollineare Vektoren a und b können somit durch Multiplikation mit einem Skalar ineinander übergeführt werden, also o o b = μ ˜ a mit ȝ   oder allgemeiner formuliert o o o λ1 ˜ a  λ2 ˜ b = 0 mit O , O  \ {0}. 1

2

Abb. 2.4.2

o Finden wir aber keine Linearkombination dieser Art, d. h., wenn O1 = O2 = 0 sein muss, damit 0 o o erzeugt werden kann, dann sind a und b nicht kollinear und werden linear unabhängig genannt. oo o Betrachten wir Verschiebungsvektoren a, b und c, deren Repräsentanten nach geeigneter Streckung wie in Abbildung 2.4.3 ein Dreieck als geschlossene Vektorkette bilden, so bezeichnen wir sie als komplanare Vektoren (zu einer Ebene gehörend). Es gilt also dann o o o o λ1 ˜ a  λ2 ˜ b  λ3 ˜ c = 0 mit O , O , O  und nicht alle O sind null. 1 2 3 i o Finden wir aber keine Linearkombination dieser Art, d. h., wenn O1 = O2 = O3 = 0 sein muss, damit 0 o o o erzeugt werden kann, dann sind a , b und c nicht komplanar und werden linear unabhängig genannt.

Abb. 2.4.3

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Vektoralgebra und analytische Geometrie

Dieser Begriff der linearen Unabhängigkeit lässt sich für beliebige Vektorräume formulieren: o  o o   Sei V ein -Vektorraum. Endlich viele Vektoren a1 a2 .... an V heißen linear unabhängig, o  o o   wenn eine Linearkombination von a1 a2 .... an nur dann null sein kann, wenn alle Koeffizienten der Linearkombination null sind (triviale Linearkombination), d. h., wenn aus o o o o    λ1 ˜ a1  λ2 ˜ a2  ....  λn ˜ an = 0 stets folgt, dass O1 = O2 = . . . = O2 = 0. o  o o   Andernfalls heißen die Vektoren a1 a2 .... an linear abhängig, d. h., es gibt dann E , E , . . . ,E  , die 1 2 n nicht alle null sind, mit o o o o    β1 ˜ a1  β2 ˜ a2  ....  βn ˜ an = 0.

Beispiel 2.4.8:

§1 · §0 · § 1 · o ¨ ¸ o ¨ ¸ oo o ¨ ¸ Sind die Vektoren a = ¨ 0 ¸ , b = ¨ 2 ¸ bzw. a, b und c = ¨ 4 ¸ linear unabhängig? ¨0 ¸ © ¹

o o o 0 = λ1 ˜ a  λ2 ˜ b =

¨3 ¸ © ¹

§ λ1 · § 0 · §¨ λ1 ·¸ ¸ ¨ ¸ ¨ ¨ 0 ¸  ¨ 2 ˜ λ2 ¸ = ¨¨ 2 ˜ λ2 ¸¸ ¨ ¸ ¨3 ˜ λ ¸ ¨ ©0 ¹ © 2 ¹ © 3 ˜ λ2 ¸¹

¨6 ¸ © ¹

Sind linear unabhängig, weil hier O1 = O2 = 0 gelten muss.

o o o o o o o Die Vektoren a , b und c sind nicht linear unabhängig, denn es gilt: a  2 ˜ b  c = 0.

Beispiel 2.4.9: o Bei einem Dreibein, dessen Stäbe gelenkig gelagert sind, greift im Gelenk S (z-Achse) eine Gewichtskraft G o o   vom Betrag G = 20 kN (in Richtung x-y-Ebene) an. Welche Reaktionskräfte (Druckkräfte) FA, FB und FC treten in den drei Stäben SA, SB und SC auf? Die Koordinaten der Endpunkte der Stäbe lauten: S = (0;0;2) m A = (2; 1; 0) m, B = (-1; 1; 0) m und C = (1; -2; 0) m. Das Eigengewicht der Stäbe wird nicht berücksichtigt.

§¨ 2 ·¸ SA  ¨ 1 ¸ ˜ m ¨ 2 ¸ © ¹

§¨ 1 ·¸ SB  ¨ 1 ¸ ˜ m ¨ 2 ¸ © ¹

§¨ 1 ·¸ SC  ¨ 2 ¸ ˜ m ¨ 2 ¸ © ¹

Vektoren der drei Stäbe

Die Stabkräfte FA, FB und FC sind zu ihrem jeweiligen Stabvektor parallel (kollineare Vektoren). Es gilt daher: FA = λ1 ˜ SA

FB = λ2 ˜ SB

FC = λ3 ˜ SC

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Vektoralgebra und analytische Geometrie

Im statischen Gleichgewicht muss die folgende Vektorgleichung erfüllt sein: FA  FB  FC  G = 0 3

kN  10 ˜ N

Einheitendefinition

§¨ 2 ·¸ §¨ 1 ·¸ §¨ 1 ·¸ λ1 ˜ ¨ 1 ¸ ˜ m  λ2 ˜ ¨ 1 ¸ ˜ m  λ3 ˜ ¨ 2 ¸ ˜ m  ¨ 2 ¸ ¨ 2 ¸ ¨ 2 ¸ © ¹ © ¹ © ¹

§¨ 0 ¸· §¨ 0 ·¸ ¨ 0 ¸ ˜ kN = ¨ 0 ¸ ˜ kN ¨ 20 ¸ ¨0 ¸ © ¹ © ¹

vereinfacht auf m ˜  2 ˜ λ1  λ2  λ3 ª« º» § 0 · ¨ ¸ « » = ¨0 ¸ m ˜  λ1  λ2  2 ˜ λ3 « » ¨ ¸ «¬20 ˜ kN  2 ˜ m ˜ λ1  2 ˜ m ˜ λ2  2 ˜ m ˜ λ3 »¼ © 0 ¹ λ1  10 ˜

kN m

λ2  10 ˜

kN m

λ3  10 ˜

kN m

Startwerte

Vorgabe









m ˜ 2 ˜ λ1  λ2  λ3 = 0 ˜ kN inhomogenes lineares Gleichungssystem

m ˜ λ1  λ2  2 ˜ λ3 = 0 ˜ kN 20 ˜ kN  2 ˜ m ˜ λ1  2 ˜ m ˜ λ2  2 ˜ m ˜ λ3 = 0 ˜ kN

§¨ λ1 ·¸ ¨ λ ¸  Suchen λ λ λ  1 2 3 ¨ 2¸ ¨© λ3 ¸¹ §¨ λ1 ·¸ ¨λ ¸ ¨ 2¸ ¨© λ3 ¸¹

§¨ 1.111 ·¸ 1 ¨ 5.556 ¸ ˜ kN Lösungsvektor ¨ 3.333 ¸ m © ¹

Die gesuchten Druckkräfte lauten daher: FA  λ1 ˜ SA

FB  λ2 ˜ SB

FC  λ3 ˜ SC

§¨ 2.222 ·¸ FA ¨ 1.111 ¸ ˜ kN ¨ 2.222 ¸ © ¹

§¨ 5.556 ·¸ FB ¨ 5.556 ¸ ˜ kN ¨ 11.111 ¸ © ¹

§¨ 3.333 ·¸ FC ¨ 6.667 ¸ ˜ kN ¨ 6.667 ¸ © ¹

Seite 117

Vektoralgebra und analytische Geometrie

2.4.3 Basis und Dimension Basis:

o  o o   Sei V ein -Vektorraum. Ein n-Tupel ( b1 b2 .... bn ) von Vektoren aus V heißt Basis von V, wenn gilt: o  o o   a) b1 b2 .... bn sind linear unabhängig; o  o o   b) V wird von den Basisvektoren aufgespannt, d. h. V = span{ b1 b2 .... bn }.

Beispiel 2.4.10:

§¨ 1 ·¸ §¨ 0 ·¸ §¨ 0 ·¸ 3 Für den Vektorraum  gilt: span{ ¨ 0 ¸ ¨ 1 ¸ ¨ 0 ¸ } =  . ¨0 ¸ ¨0 ¸ ¨1 ¸ © ¹ © ¹ © ¹ 3

Außerdem sind die drei Einheitsvektoren linear unabhängig, weil nur für O1 = O2 = O3 = 0 gilt: λ §¨ 1 ·¸ §¨ 0 ·¸ §¨ 0 ·¸ §¨ 1 ·¸ §¨ 0 ·¸ λ1 ˜ ¨ 0 ¸  λ2 ˜ ¨ 1 ¸  λ3 ˜ ¨ 0 ¸ = ¨ λ2 ¸ = ¨ 0 ¸ . ¨0 ¸ ¨0 ¸ ¨1 ¸ ¨ ¸ ¨0 ¸ © ¹ © ¹ © ¹ ¨© λ3 ¸¹ © ¹ Damit bilden sie eine Basis des 3 . Wir nennen diese Basis kanonische Basis, die wir bereits im Abschnitt 2.3 als kartesische Basis bei kartesischen Koordinatensystemen kennengelernt haben. Eindeutigkeit der Basisdarstellung: o  o o   o Sei V ein -Vektorraum mit der Basis ( b1 b2 .... bn ). Dann ist jedes a V in eindeutiger Weise als o Linearkombination der Basisvektoren darstellbar, d. h., zu jedem a V gibt es genau ein

 λ1

λ2 ... λn

T n , für das gilt:

o o o o    a = λ1 ˜ b1  λ2 ˜ b2  ....  λn ˜ bn

(2-23)

Beispiel 2.4.11:

2

o  Im  ist mit b1 =

1 §2· o § · ¨ 1 ¸ und  ¨ b2 = 2 ¸ eine Basis gegeben. ¨ ¸ ¨ ¸ ©2¹ ©3¹

Mit (2-23) ist jeder Vektor 2 eindeutig als Linearkombination dieser Basisvektoren darstellbar. o §9 · Betrachtet wir den Vektor a = ¨ ¸, so lässt sich die Komponentenzerlegung geometrisch eindeutig ©8 ¹ mit einem Vektorparallelogramm durchführen (siehe Abbildung 2.4.4).

Seite 118

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Im vorliegenden Beispiel gilt:

§2· §1·  o  o o  o §9 · o §8 · §1 ·  ¨ ¸ 4 ˜ b1  2 ˜ b2 = 4 ˜ 1  2 ˜ ¨ 2 ¸ = ¨ ¸  ¨ ¸ = a1  a2 = ¨ ¸ = a ¨ ¸ ¨ ¸ ©2 ¹ ©6 ¹ ©8 ¹ ©2¹ ©3¹  o  o o a1 und a2 nennen wir auch die Vektorkomponenten von a bezüglich der betrachteten Basis.

Abb. 2.4.4

In einem n-dimensionalen Vektorraum bildet jede Menge von n unabhängigen Vektoren eine Basis, d. h., jeder beliebige Vektor dieses Raumes lässt sich als Linearkombination dieser n Vektoren beschreiben. Besonders bedeutsam als Basisvektoren sind Einheitsvektoren (unter Einheitsvektoren verstehen wir Vektoren mit dem Betrag 1), die paarweise orthogonal zueinander sind. Wir sprechen in diesem Fall von einem Orthogonalsystem (i = 1, 2, ..., n). Damit gilt für das sogenannte Skalarprodukt (siehe Abschnitt 5.6) o o ei ˜ ej = δij

(2-24)

mit der Kronecker-Deltafunktion δij =

0 if i z j

(2-25)

1 otherwise In Mathcad ist die Kronecker-Deltafunktion durch G(i,j) definiert. Ein Orthogonalsystem, das gleichzeitig Basis des Vektorraumes V ist, bezeichnen wir als vollständig. o Für einen beliebigen Vektor a V gilt dann o a=

n

¦

j

§a ˜o · © j ej¹.

(2-26)

1

o  o  o  o Die a sind die Komponenten des Vektors a bezüglich der Basis e1 e2 .... en. Wie bereits erwähnt i o  o o  o  o  o bilden die kartesischen Basisvektoren ex = e1 ey = e2 und ez = e3 ein vollständiges Orthogonalsystem. Für den dreidimensionalen (euklidischen) Raum können wir somit (siehe auch Abschnitt 2.3) explizit schreiben: o o o  o  o  o  o a = ax ˜ ex  ay ˜ ey  az ˜ ez = a1 ˜ e1  a2 ˜ e2  a3 ˜ e3 =

3

¦

j

Seite 119

1

§a ˜o · © j ej¹.

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Dimension: x

o  o o   Besitzt ein -Vektorraum V eine Basis ( b1 b2 .... bn ), so heißt V ein endlichdimensionaler Vektorraum und n die Dimension von V. Wir schreiben dimV = n.

x

o  o o   Besitzt ein -Vektorraum V z{0} für kein n (n dn < f) eine Basis ( b1 b2 .... bn ), so heißt V ein unendlichdimensionaler Vektorraum. Wir schreiben dimV = f.

x

Für den -Vektorraum {0} setzen wir dim {0} = 0.

x

Für den -Vektorraum n gilt dim n = n.

Der Raum der Ortsvektoren aus der Anschauungsebene ist daher ein zweidimensionaler Vektorraum und der ”gewöhnliche“ Raum der Ortsvektoren ein dreidimensionaler Vektorraum. Die Behandlung höherdimensionaler Vektorräume ist mit den entwickelten Werkzeugen kein Problem. In der Physik betrachtet wir z. B. den 6-dimensionalen Phasenraum (6 ) der oo Hamilton'schen Mechanik, aus Orts- und Impulsvektoren gebildet ( r , p ), den wir nicht unbedingt geometrisch interpretieren müssen.

2.5 Betrag eines Vektors Die Abbildung || . || : n o  o o a _o a

n

=

¦

i

ai =

2

2

2

a1  a2  ....  an 

(2-27)

1

heißt euklidische Norm oder Betrag (Länge oder Abstand) auf dem n. Neben der euklidischen Norm ist auch manchmal z. B. die Summennorm oder Maximumnorm von Bedeutung. Wir schreiben in weiterer Folge, wie bereits in Abschnitt 2.1 formuliert, den Betrag mit einfachen Betragsstrichen! Im ebenen bzw. räumlichen Koordinatensystem gilt auch nach Pythagoras (Abb.2.3.1) für den Betrag o eines Vektors a o a

o = a =

o a= a

o = a =

a=

§¨ ax ·¸ = ¨a ¸ © y¹

ax  ay

§¨ ax ·¸ ¨a ¸ = ¨ y¸ ¨© az ¸¹

ax  ay  az .

2

2

2

2

(2-28)

bzw. 2

Seite 120

(2-29)

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Beispiel 2.5.1:  o o Zeigen Sie, dass der Einheitsvektor ea in Richtung eines Vektors a den Betrag gleich 1 besitzt.  o 1 o Nach (2-9) gilt: ea = o ˜ a. Bilden wir davon den Betrag, so erhalten wir: a o  o 1 o a a ea = o ˜ a = o = = 1 a a a Beispiel 2.5.2: In der Physik wird häufig einer skalar formulierten Gleichung durch den Einheitsvektor eine Richtung m˜M zugeordnet. Die Gravitationskraft besitzt den Betrag F = 㠘 . 2 r Sie wirkt entlang der Verbindungslinie der beiden Massen M und m. Wie lautet die Gravitationskraft in Vektorform, die von der Masse M auf die Masse m ausgeübt wird? Der Einheitsvektor, der von der großen Masse zur kleinen Masse zeigt, ist gegeben durch: o o r er = o r Die Richtung der Gravitationskraft ist gegeben durch: o o r er = o r Abb. 2.5.1

o o M˜m r F = 㠘 ˜o 2 r r

Die Gravitationskraft lautet somit:

Siehe dazu auch Kapitel 4.

Beispiel 2.5.3: Zwei Punktladungen Q1 = 1 nC und Q2 = -3 Q1 befinden sich an den Orten X1 = (1; -2; 4) cm und X2 = (-5; 8; -4) cm. Berechnen Sie die elektrische Feldstärke am Ort X = (1; 2; 4) cm. Die elektrische Feldstärke einer Ladung Q im kartesischen Koordinatensystem zerlegt in seine Komponenten lautet (siehe dazu auch Kapitel 4): Q

E=

2

4 ˜ π ˜ ε0 ˜ r

˜ ex =

Q 2

˜

4 ˜ π ˜ ε0 ˜ r

r r

=

Q 3

˜r=

4 ˜ π ˜ ε0 ˜ r

Q 3

2

2

4 ˜ π ˜ ε0 ˜ x  y  z ORIGIN  1 nC  10

9

Q1  1 ˜ nC

˜C

ORIGIN festlegen Einheit definieren Punktladung 1

Seite 121

2

2

§¨ x ·¸ ˜ ¨y ¸ ¨z ¸ © ¹

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Punktladung 2

Q2  3 ˜ Q1 ε 0  8.854 ˜

pF

elektrische Feldkonstante

m

§¨ 1 ·¸ x1  ¨ 2 ¸ ˜ cm ¨4 ¸ © ¹

§¨ 5 ·¸ x2  ¨ 8 ¸ ˜ cm ¨ 4 ¸ © ¹

§¨ 1 ·¸ x  ¨ 2 ¸ ˜ cm ¨4 ¸ © ¹

Ortsvektoren zu den Punktladungen

Q1

E1 

3 2

2

4 ˜ π ˜ ε 0 ˜ ª«§ x1  x1 ·  § x2  x1 ·  § x3  x1 · 1 2 3

©

¹

©

¹

©

2º

2

» ¹¼

Q2

E2 

3 2

2

4 ˜ π ˜ ε 0 ˜ ª«§ x1  x2 ·  § x2  x2 ·  § x3  x2 · 1 2 3

©

E  E1  E2

¹

E

©

¹

©

2º

» ¹¼

§¨ 1.02 ·¸ kV ¨ 6.637 ¸ ˜ ¨ 1.36 ¸ m © ¹

2

§¨ x1  ¨ ˜ ¨ x2  ¨ ¨ x3  ©

x1 · 1¸

§¨ x1  ¨ ˜ ¨ x2  ¨ ¨ x3  ©

x2 · 1¸

¸

x1 2¸

¸

x1 ¸ 3

Feldstärke zwischen Ort X1 und X

¹

¸

x2 2¸

¸

Feldstärke zwischen Ort X2 und X

x2 ¸ 3

¹

gesuchter Feldstärkevektor

Beispiel 2.5.4:  o  o  o  o  o Berechnen Sie die Stabkräfte s 1, s 2, s 3 und Auflagerreaktionen FA, FB des skizzierten Systems o (Abb.2.5.2), wenn die Abstände a, b und die Kraft F gegeben sind.

o F=

Abb. 2.5.2

Seite 122

§¨ F1 ·¸ ¨ F2 ¸ © ¹

gegebene Kraft

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Knoten I: Stabkräfte als Zugkräfte angesetzt!

Abb. 2.5.3

o  o Wir stellen zunächst Richtungsvektoren rI,III und rI,II beliebiger Länge auf. Wenn wir diese Vektoren jeweils durch ihren Betrag teilen, erhalten wir die Einheitsvektoren in Richtung der Kraft. o rI,III o es1 = o rI,III

Einheitsvektor in Richtung der Stabkraft  o s1

 o rI,II o es2 =  o rI,II

Einheitsvektor in Richtung der Stabkraft  o s2

Für die Stabkräfte gilt dann: o rI,III s1  o o o o s 1 = s 1 ˜ es1 = s 1 ˜ o = o ˜ rI,III = S 1 ˜ rI,III rI,III rI,III  o rI,II s2  o o  o  o s 2 = s 2 ˜ es2 = s 2 ˜  = o  o ˜ rI,II = S 2 ˜ rI,II rI,II rI,II Um sich die Rechenarbeit beim Lösen des Gleichungssystems zu erleichtern, können die Stabkräfte nun in folgender Form geschrieben werden:  o § a · s 1 = S1 ˜ ¨ ¸ ©0 ¹

 o § a · s 2 = S2 ˜ ¨ ¸ ©b ¹

Mit der Gleichgewichtsbedingung erhalten wir die folgende Vektorgleichung im Knoten I: o  o  o o F  s1  s2 = 0

bzw.

§ a · § a · § F1 ·¸ ¸  S2 ˜ ¨ ¸ = ¨¨ ©0 ¹ © b ¹ © F2 ¸¹

S1 ˜ ¨

 o  o  o s 1  s 2 = F vereinfacht auf

ª«a ˜  S1  S2 º» §¨ F1 ·¸ = « S2 ˜ b » ¨ F2 ¸ ¬ ¼ © ¹

ª«a ˜  S1  S2 = F1 º» §¨ S1 ·¸ § F2 ˜ a  F1 ˜ b F2 · ¸ auflösen  o ¨ « » ¨ S2 ¸ a˜ b b ¹ S 2 ˜ b = F2 © ¬ ¼ © ¹ Seite 123

Lösungen des Gleichungssystems

Vektoralgebra und analytische Geometrie

F2 ˜ a  F1 ˜ b § a ·  o s1 =  ˜¨ ¸ a˜ b ©0 ¹

 o F2 § a · s2 = ˜¨ ¸ b ©b ¹

vereinfacht auf

vereinfacht auf

 o s1 =

§¨ F2 ˜ a ·  F1 ¸ ¨ b ¸ ¨ ¸ 0 © ¹

§ F2 ˜ a · ¸ b ¸ ¨ F ¸ © 2 ¹

 o ¨ s2 = ¨

Knoten II:

 o § FB · FB = ¨ ¸ © 0 ¹

Abb. 2.5.4

angreifende Kraft im Punkt B

 o Für die Stabkraft s 3 gilt analog wie oben:  o rII,III s3  o o  o  o s 3 = s 3 ˜ es3 = s 3 ˜  = ˜ r = S ˜ r o  o II,III 3 II,III rII,III rII,III  o §0 · s 3 = S3 ˜ ¨ ¸ © b ¹ Mit der Gleichgewichtsbedingung erhalten wir die folgende Vektorgleichung im Knoten II:  o  o  o o FB  s 2  s 3 = 0

bzw.

 o  o  o s 2  s 3 = FB

§ F2 ˜ a · ¨ ¸ § 0 · § FB · ¨ b ¸  S3 ˜ ¨ ¸ = ¨ ¸ © b ¹ © 0 ¹ ¨ F ¸ © 2 ¹

vereinfacht auf

§ F2 ˜ a · ¨  ¸ § FB · b ¨ ¸=¨ ¸ ¨F  S ˜ b ¸ © 0 ¹ 3 © 2 ¹

Daraus folgt: FB = 

a b

˜ F2

a  o § ˜ F · 2¸ ¨ b FB = ¨ ¸ © 0 ¹

S3 = 

F2 b

 o F2 § 0 · § 0 · s3 = ˜¨ ¸ =¨ ¸ b © b ¹ © F2 ¹

Seite 124

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Knoten III:

 o § FAx · ¨ ¸ FA = ¨ FAy ¸ © ¹

Abb. 2.5.5

angreifende Kraft im Punkt A

Mit der Gleichgewichtsbedingung erhalten wir die folgende Vektorgleichung im Knoten III:  o  o  o o s 3  FA  s 1 = 0

bzw.

 o  o  o s 3  s 1 = FA

§F ˜a · § 0 · ¨ 2  F1 ¸ §¨ FAx ·¸ ¸=¨ ¨ ¸¨ b F2 © ¹ ¨ ¸ © FAy ¸¹ 0 © ¹

vereinfacht auf

§ F2 ˜ a · ¨  F1 ¸ §¨ FAx ·¸ ¨ b ¸=¨ ¸ ¨ ¸ © FAy ¹ F2 © ¹

Damit gilt:  o § FAx · ¨ ¸= FA = ¨ FAy ¸ © ¹

§ a ˜ F2  F 1 ˜ b · ¨ ¸ b ¨ ¸ ¨ ¸ F2 © ¹

2.6 Produkte von Vektoren 2.6.1 Skalarprodukt oo Für zwei Vektoren a, b  n nennen wir die Zahl n oo a ˜ b = a1 ˜ b1  a2 ˜ b2  ....  an ˜ bn =

¦ ai ˜ bi

i

(2-30)

1

o o das Skalarprodukt von a und b. o o Das Skalarprodukt ist eine skalare Größe und wird auch als inneres Produkt der Vektoren a und b bezeichnet. Für den zwei- und dreidimensionalen Vektorraum gilt demnach: o o § ax · § bx · ¨ ¸˜¨ ¸ =a ˜b  a ˜b a˜ b = ¨ ay ¸ ¨ by ¸ x x y y © ¹ © ¹

§¨ ax ·¸ §¨ bx ·¸ oo a ˜ b = ¨ ay ¸ ˜ ¨ by ¸ = ax ˜ bx  ay ˜ by  az ˜ bz ¨ ¸ ¨ ¸ ¨© az ¸¹ ¨© bz ¸¹

Ist in einem Vektorraum ein Skalarprodukt erklärt, so ist mit der Einführung einer Metrik (euklidische Metrik d(x,y) - euklidischer Abstand) - also einer Abstandsdefinition zweier Punkte dieser Vektorraum euklidisch.

Seite 125

Vektoralgebra und analytische Geometrie

o o o o Führen wir die vorhergehende Rechnung für die Projektionen von a auf b bzw. b auf a durch (Abb. 2.6.1), so erhalten wir das Skalarprodukt aus oo o  o o  o o o a ˜ b = b ˜ ab = a ˜ ba = a ˜ b ˜ cos ( φ)

(2-31)

oo o o o o a ˜ b = a ˜ b ˜ cos ( α  β) = a ˜ b ˜ cos ( φ).

(2-32)

bzw.

M ist der von beiden Vektoren eingeschlossene Winkel. Siehe dazu auch (2-44).

Abb. 2.6.1

Beispiel 2.6.1

Es soll die Beziehung (2-32) rechnerisch nachgewiesen werden. o a=

§ oa ˜ cos ( α) · ¨ ¸ ¨o ¸ © a ˜ sin ( α) ¹

o b=

§ ob ˜ cos ( β) · ¨ ¸ ¨o ¸ © b ˜ sin ( β) ¹

Koordinatendarstellung beider Vektoren

o o § ax · § bx · ¨ ¸ ˜ ¨ ¸ = a ˜ b  a ˜ b = oa ˜ ob ˜ ( cos ( α) ˜ cos ( β)  sin ( α) ˜ sin ( β) ) = oa ˜ ob ˜ cos ( α  β) a˜ b = ¨ ay ¸ ¨ by ¸ x x y y © ¹ © ¹ Es gelten folgende Gesetze für das Skalarprodukt: oo oo a) a ˜ b = b ˜ a o o o oo oo b) a ˜ b  c = a ˜ b  a ˜ c oo o o o o c) λ ˜ a ˜ b = λ ˜ a ˜ b = a ˜ λ ˜ b

  



Kommutativgesetz

(2-33)

Distributivgesetz

(2-34)

O 

(2-35)

Eigenschaften des Skalarproduktes: a) Sonderfälle: oo o a˜ 0 = 0

(2-36)

oo o2 o 2 2 a˜ a = a = a =a

(2-37)

 

Seite 126

Vektoralgebra und analytische Geometrie

b) Der Betrag eines Vektors kann mithilfe des Skalarproduktes bestimmt werden: Wegen (2-37) gilt: o2 a =

o oo a = a = a˜ a =



oa 2

(2-38)

Es gilt aber auch wegen (2-24) und (2-26): 3

o oo a = a = a˜ a =

¦

i,j

o ªa ˜ a ˜ §o ej ˜ ej·º = i j ¬ © ¹¼

1

3

3

¦ 

i,j



ai ˜ aj ˜ δij =

1

¦

i

2

ai =

2

2

2

a1  a2  a3 .

1

oo o o c) a ˜ b besitzt für M = 0 seinen größten Wert ( cos(0) = 1, a ist parallel zu b ): oo o o a˜ b = a ˜ b

(2-39)

o o Für M = S nimmt das Skalarprodukt seinen kleinsten Wert an ( cos(S) = -1, a ist antiparallel zu b ), nämlich oo o o a˜ b =  a ˜ b

(2-40)

oo o o o o Für M = S/2 wird a ˜ b = 0, auch wenn a und b ungleich null sind ( cos(S/2) = 0, a senkrecht auf b ); also oo o o a ˜ b = 0, wenn a A b

(2-41)

o o d) Der von zwei Vektoren a und b eingeschlossene Winkel M lässt sich aus (2-31) berechnen: oo a˜ b cos ( φ) = o o a ˜ b

§ oa ˜ob Ÿ φ = arccos ¨ o o ¨ © a ˜ b

· ¸ ¸ ¹

(2-42)

o o e) Die Projektion eines Vektors b auf einen (Abb. 2.6.1) zweiten Vektor a erhalten wir aus (2-31): oo o o o  o a ˜ b = a ˜ b ˜ cos ( φ) = a ˜ ba (2-43) o  Durch Division durch a erhalten wir oo  o a˜ b ba = o (2-44) a  o o Der Vektor ba besitzt die gleiche Richtung wie der Vektor a. Daher gilt mit dem Einheitsvektor in o Richtung a und unter Berücksichtigung von (2-44):  o o oo oo ba o  o  o  o  o a a˜ b o ª a˜ b º o « »˜a ba = ba ˜ ea = ba ˜ o = o ˜ a = o o ˜ a = o 2» « a a a ˜ a ¬ a ¼



Seite 127

(2-45)

Vektoralgebra und analytische Geometrie o f) Ein Vektor a bildet mit den Koordinatenachsen der Reihe nach die Winkel D und E bzw. D, E und J, die als Richtungswinkel bezeichnet werden (Abb. 2.6.2). o o o o o Setzen wir in die Beziehung (2-42) für b der Reihe nach die Basisvektoren ex und ey bzw. ex, ey und  o ez ein, so erhalten wir:

§¨ ax ·¸ § 1 · ˜ ¨ ay ¸ ¨© 0 ¸¹ © ¹ o = o

o o a ˜ ex

§¨ ax ·¸ § 1 · ¨ ¸ ¨a ¸ ˜ ¨0 ¸ y ¨ ¸ ¨ ¸ o o ¨© az ¸¹ © 0 ¹ ax ax ax ax a ˜ ex = o = = o = bzw. cos ( α) = o . o = o a a a a ˜ e a ˜1 a

cos ( α) = o a ˜ ex a ˜1 x Analoge Gleichungen können auch für die anderen Richtungswinkel hergeleitet werden. ax ay 2 2 cos ( α) = o , cos ( β) = o , cos ( α)  cos ( β) = 1 , α = 90°  β a a ax ay az 2 2 2 cos ( α) = o , cos ( β) = o , cos ( γ) = o , cos ( α)  cos ( β)  cos ( γ) = 1 a a a

(2-46)

(2-47)

Die Richtungswinkel sind damit voneinander abhängige Größen!

Abb. 2.6.2

Beispiel 2.6.2: Bilden Sie das Skalarprodukt der nachfolgend gegebenen Vektoren.

§¨ 5 ·¸ a  ¨2 ¸ ¨1 ¸ © ¹

§¨ 2 ·¸ b ¨ 1 ¸ ¨4 ¸ © ¹

a ˜ b = 5 ˜ ( 2)  2 ˜ 1  1 ˜ 4 = 4

gegebene Vektoren

a˜ b

Skalarprodukt händisch und mit Mathcad berechnet

4

Seite 128

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Beispiel 2.6.3: o o o  Zeigen Sie, dass die Einheitsvektoren ex, ey und ez die Bedingung der Orthonormalität erfüllen.

§¨ 1 ·¸ ex  ¨ 0 ¸ ¨0 ¸ © ¹

§¨ 0 ·¸ ey  ¨ 1 ¸ ¨0 ¸ © ¹

§¨ 0 ·¸ ez  ¨ 0 ¸ ¨1 ¸ © ¹

ex ˜ ey

0

ex ˜ ez

0

ey ˜ ez

0

die Einheitsvektoren stehen aufeinander senkrecht

ex ˜ ex

1

ey ˜ ey

1

ez ˜ ez

1

das Quadrat des Betrages

Beispiel 2.6.4: Sind die nachfolgend gegebenen Vektoren orthogonal, d. h., stehen sie senkrecht aufeinander? a1 

§3 · ¨ ¸ ©2 ¹

a1 ˜ n1

n1 

§ 2 · ¨ ¸ ©3 ¹

gegebene Vektoren

o o   die Vektoren sind orthogonal (der Vektor n1 heißt auch Normalvektor zu a1)

0

Beispiel 2.6.5: o o o Welche Winkel bildet der Vektor a = 3 ˜ ex  1 ˜ ey mit den beiden Koordinatenachsen (siehe auch Abb. 2.6.2)?

§1 · ¨ ¸ ©0 ¹ §3 · a ¨ ¸ ©1 ¹ ex 

ey 

§0 · ¨ ¸ ©1 ¹

Basisvektoren

Vektor in Koordinatendarstellung

Nach (2-24) gilt: a ˜ ex = a ˜ ex ˜ cos ( α) a ˜ ey = a ˜ ey ˜ cos ( β) Daraus folgt:

§ a ˜ ex ¨© a ˜ ex

·¸ ¸¹

α

18.435 ˜ Grad

§ a ˜ ey ¨© a ˜ ey

·¸ ¸¹

β

71.565 ˜ Grad

α  acos ¨

β  acos ¨

Für Dund E gilt natürlich:

2

cos ( α)  cos ( β)

Beispiel 2.6.6: Zeigen Sie, dass für Vektoren o o o o o2 o2 2 2 2 2 a  b ˜ a  b = a  b = ax  ay  § bx  by · gilt. © ¹





 

Seite 129

2

1

und

α β

90 ˜ Grad

Vektoralgebra und analytische Geometrie

annehmen ax = reell ay = reell

ª«§¨ ax ·¸ §¨ bx ·¸º» ª«§¨ ax ·¸ §¨ bx ·¸º»  ˜  «¨ ay ¸ ¨ by ¸» «¨ ay ¸ ¨ by ¸» ¬© ¹ © ¹¼ ¬© ¹ © ¹¼

2

2

2

2

annehmen bx = reell by = reello ax  ay  bx  by erweitern

Beispiel 2.6.7: o  o o Bestimmen Sie den Vektor ba, wenn die Vektoren a und b gegeben sind.

§¨ 2 ·¸ a  ¨0 ¸ ¨1 ¸ © ¹

§¨ 5 ·¸ b  ¨ 2 ¸ ¨8 ¸ © ¹

ª a˜ b º ˜ a ba  « 2» ¬ a ¼

§¨ 7.2 ·¸ ba ¨ 0 ¸ ¨ 3.6 ¸ © ¹

gegebene Vektoren

o o Projektion des Vektors b auf den Vektor a

Beispiel 2.6.8: o Wie lauten die Richtungswinkel D, E, und J des Vektors a?

§¨ 2 ·¸ a ¨ 1 ¸ ¨ 5 ¸ © ¹

gegebener Vektor

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

§ © § β  acos ¨ © § γ  acos ¨ © α  acos ¨

a1 a a2 a a3 a

· ¸ ¹ · ¸ ¹ · ¸ ¹

α

111.417 ˜ Grad

β

79.48 ˜ Grad

γ

155.905 ˜ Grad

Beispiel 2.6.9: o o Ein Vektor v vom Betrage v = 6 bilde mit der x- und y-Achse jeweils einen Winkel von 60° und mit der z-Achse einen spitzen Winkel (0° < J < 90°). Wie lauten die Koordinaten des Vektors? Aus cos 2 (D) + cos2 (E) + cos2 (J) = 1 folgt: 2

cos ( γ) =

1  cos ( α)  cos ( β)

α  60 ˜ Grad

2

Es kommt hier nur die positive Wurzel in Frage, weil J spitz sein soll!

β  60 ˜ Grad

§

2

γ  acos © 1  cos ( α)  cos ( β)

2·

¹

gegebene Winkel

γ

45 ˜ Grad

Die Koordinaten lauten somit: vx  6 ˜ cos ( α)

vx

3

vy  6 ˜ cos ( β)

Seite 130

vy

3

vz  6 ˜ cos ( γ)

vz

4.243

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Beispiel 2.6.10:  o o o Bestimmen Sie die Projektion Fs des Kraftvektors F in Richtung des Wegvektors s bei gegebenen o o Vektoren F und s.

§¨ 50 ·¸ F  ¨ 30 ¸ ˜ N ¨ 40 ¸ © ¹ F˜s

§¨ 10 ·¸ s  ¨ 10 ¸ ˜ m ¨ 30 ¸ © ¹ 3

ergibt offensichtlich die Größe einer verrichteten Arbeit

1.4 u 10 J

§¨ 12.727 ·¸ Fs ¨ 12.727 ¸ N ¨ 38.182 ¸ © ¹

ª F˜s º ˜s Fs  « 2» ¬ s ¼ Fs ˜ s

gegebene Vektoren

3

1.4 u 10 J

ergibt ebenfalls die Größe einer verrichteten Arbeit

Beispiel 2.6.11: o Eine konstante Kraft F verschiebe einen Massenpunkt (siehe Abb. 2.6.3) vom Punkte P1 (2 m| 4 m| 1 m) aus geradlinig in den Punkt P2 (5 m| 2 m| 3 m). Welche Verschiebungsarbeit wird dabei verrichtet? Wie groß ist der Winkel M zwischen Kraft- und Verschiebungsvektor? Welche Länge hat der Verschiebungsvektor?

Abb. 2.6.3

§¨ 200 ·¸ F  ¨ 30 ¸ ˜ N ¨ 50 ¸ © ¹

§¨ 2 ·¸ r1  ¨ 4 ¸ ˜ m ¨1 ¸ © ¹ §¨ 3 ·¸ s ¨ 2 ¸ m ¨2 ¸ © ¹

s  r2  r1

W F˜ s

§ F˜s · ¸ © F ˜ s ¹

φ  acos ¨

§¨ 5 ·¸ r2  ¨ 2 ¸ ˜ m ¨3 ¸ © ¹

gegebene Kraft und Ortsvektoren

Verschiebungsvektor

W

640 J

Verschiebungsarbeit

φ

41.833 ˜ Grad

Winkel zwischen Kraft und Verschiebungsvektor

o dist ( a b) 

¦ (a  b)

2





dist r2 r1

4.123 m

oder

Seite 131

s

4.123 m

Länge des Verschiebungsvektors

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Beispiel 2.6.12: o o Berechnen Sie die Arbeit W von der Kraft F entlang des Weges s, wenn D 60° und E = 30° beträgt (Abb.2.6.4).

Abb. 2.6.4

s=

§ s ˜ cos ( α) · ¨ ¸ © s ˜ sin ( α) ¹

§ ¨ § s ˜ cos ( 60 ˜ Grad) · s=¨ ¸ =s˜¨ ¨ s ˜ sin ( 60 ˜ Grad ) © ¹ ¨ ©

§ ¨ § F ˜ cos ( β) · § F ˜ cos ( 30 ˜ Grad) · F=¨ F=¨ ¸ ¸ = F˜¨ ¨ F ˜ sin ( β ) F ˜ sin ( 30 ˜ Grad ) © ¹ © ¹ ¨ © §1 3 3 1· 3 W= F˜s= F˜s˜¨ ˜  ˜ ¸ = F˜s˜ 2 2¹ 2 ©2 2

1

· ¸ 2 ¸ 3¸ ¸ 2 ¹

Verschiebungsvektor

· ¸ 2 ¸ 1 ¸ ¸ 2 ¹

Kraftvektor

3

Verschiebungsarbeit

W = Fs ˜ s = F ˜ s ˜ cos ( 30 ˜ Grad)

2.6.2 Vektorprodukt o o oo o o Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt oder äußeres Produkt) a u b ( a , b  3 ) der Vektoren a und b o o o o (gesprochen a kreuz b) von zwei Vektoren ist ein Vektor, der auf a und b senkrecht steht und o o dessen Betrag gleich dem Flächeninhalt des von a und b aufgespannten Parallelogramms ist (Abb. 2.6.5). Da es zwei solcher Vektoren gibt, einen "nach oben" und einen "nach unten", legen wir seine o o o o o Richtung so fest, dass a , b und a u b ein Rechtssystem bilden, d. h., zeigt a in Richtung des o o o Daumens, b in Richtung des Zeigefingers der ausgestreckten Hand, dann zeigt a u b in Richtung des abgewinkelten Mittelfingers ("Rechte-Hand-Regel"). o o Ist M wieder der von a und b eingeschlossene Winkel, dann ist der Flächeninhalt des Parallelogramms A = a ˜ b ˜ sin ( φ). Für den Betrag ds Vektorproduktes gilt daher: o o a u b = a ˜ b ˜ sin ( φ) (0 < M < 180°)

Seite 132

(2-48)

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Abb. 2.6.5

o o o Da der Vektor c (Abb. 2.6.5) auf a und b senkrecht steht, ergeben sich mit den Eigenschaften des Skalarproduktes aus dem Gleichungssystem oo o oo o a ˜ c = 0 , b ˜ c = 0 (mit einem beliebigen gewählten Wert z. B. c z = ax ˜ by  ay ˜ bx ) o o die Koordinaten von a u b zu

§¨ ax ·¸ o o o c = a u b = ¨ ay ¸ u ¨ ¸ ¨© az ¸¹

§¨ bx ·¸ ª« ay ˜ bz  az ˜ by º» §¨ ay ˜ bz  ¨ b ¸ = « a ˜ b  b ˜ a » = ¨ a ˜ b  ¨ y¸ « x z x z » ¨ y z ¨© bz ¸¹ «¬ ax ˜ by  ay ˜ bx »¼ ¨© ax ˜ by 

az ˜ by · ¸ az ˜ by ¸

(2-49)

¸ ay ˜ bx ¸ ¹

oder o o o o o  o c = a u b = ay ˜ bz  az ˜ by ˜ ex  ay ˜ bz  az ˜ by ˜ ey  ax ˜ by  ay ˜ bx ˜ e3 .













(2-50)

Es gelten folgende Gesetze für das Vektorprodukt: o o o o a) a u b = b u a o o o o o o o b) a u b  c = a u b  a u c o o o o o o c) λ ˜ a u b = a u λ ˜ b = λ ˜ a u b













Antikommutativität

(2-51)

Distributivgesetz

(2-52)

O 

(2-53)

Eigenschaften des Skalarproduktes: o o o o o o o a) a u b = 0 œ a ist parallel zu b(d. h. aund b sind kollinear).

(2-54)

o  o o  o  o  o b) Für die Basisvektoren ex = e1, ey = e2 und ez = e3 folgt aus (2-49):  o  o  o  o  o  o  o  o  o e1 u e2 = e3 ; e3 u e3 = e1 ; e3 u e1 = e2

(2-55)

Seite 133

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Die Vertauschung der Reihenfolge ändert aber das Vorzeichen  o  o  o o o o e2 u e1 = e3 usw. und es gilt ei u ei = 0. o c) Multiplizieren wir den resultierenden Vektor in (2-55) wieder skalar mit ei, so folgt o o  o ε i,j,k = ei ˜ § ej u ek · = 1 if "falls (i,j,k) zyklisch aus (1,2,3)" © ¹ 1 if "falls (i,j,k) antizyklisch aus (1,2,3)"

(2-56)

0 otherwise ε i,j,k ist das Levi-Civita-Symbol oder der sogenannte total antisymmetrische Tensor dritter Stufe (H-Tensor). Dieser Tensor ist in Mathcad durch die Funktion ε ( i j k ) definiert! d) Mit dem H-Tensor lassen sich Vektorprodukte der Basisvektoren zusammenfassend formulieren: 3

o o ei u ej =

o §ε ˜  · e © i,j,k k¹ .

¦

k

(2-57)

1

e) Für allgemeine Vektorprodukte gilt entsprechend

o o o c = au b =

3

¦

i,j

3

o ªa ˜ b ˜ §o ei u ej·º = i j ¬ © ¹¼

1

o §ε ˜ a ˜ b ˜  ek · = i,j,k i j © ¹

¦

i,j,k

1

3

¦

k

o §c ˜  ek· k © ¹

(2-58)

1

und mit der abgekürzten Schreibweise 3

ck =

¦ εi,j,k ˜ ai ˜ bj

i,j

( c 1 = a2 ˜ b3  a3 ˜ b2 ; c 2 = a3 ˜ b1  a1 ˜ b3 ; c 3 = a1 ˜ b2  a2 ˜ b1) (2-59)

1

f) Spezielle Produkte: o o o oo o oo o au bu c = a˜ c ˜ b  a˜ b ˜ c

(Graßmann'sche Entwicklungssatz)

(2-60)

o o o oo o oo o au b ˜ c = a˜ c ˜ b  b˜ c ˜ a

(Graßmann'sche Entwicklungssatz)

(2-61)















o o o o oo oo oo oo au b ˜ cu d = a˜ c ˜ b˜ d  a˜ d ˜ b˜ c





   

(2-62)

Die Skalarprodukte in den Klammern auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens sind zuerst zu bilden!

Seite 134

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Beispiel 2.6.13: o o Berechnen Sie den Flächeninhalt des von den beiden Vektoren a und b aufgespannten Parallelogramms. o o Wie groß ist der Winkel M zwischen a und b?

§¨ 1 ·¸ a  ¨ 5 ¸ ˜ m ¨2 ¸ © ¹

§¨ 2 ·¸ b  ¨0 ¸ ˜ m ¨3 ¸ © ¹

§¨ 1 ·¸ a u b = ¨ 5 ¸ ˜ m u ¨2 ¸ © ¹

gegebene Vektoren

§¨ 2 ·¸ §¨ 15  0 ·¸ §¨ 15 ·¸ 2 2 ¨0 ¸ ˜ m = ¨ 4  3 ¸ ˜ m = ¨ 1 ¸ ˜ m ¨3 ¸ ¨ 0  10 ¸ ¨ 10 ¸ © ¹ © ¹ © ¹ §¨ 15 ·¸ 2 c ¨ 1 ¸m ¨ 10 ¸ © ¹

c au b

mit Mathcad ausgewertet

e3 · e2 § e1 ¨ ¸ 2 2 2 ¨ 1 ˜ m 5 ˜ m 2 ˜ m ¸ o e2 ˜ m  15 ˜ e1 ˜ m  10 ˜ e3 ˜ m ¨ ¸ ©2 ˜ m 0 ˜ m 3 ˜ m ¹ A

au b

§ au b · ¸ © a ˜ b ¹

φ  asin ¨

2

A

18.055 m

φ

66.103 ˜ Grad

Vektorprodukt händisch ausgewertet

Determinantenauswertung mit Mathcad (Komponentendarstellung)

Fläche des Parallelogramms o o Winkel zwischen a und b

Beispiel 2.6.14: o C tritt mit einer Geschwindigkeit v in ein räumlich und o  o o zeitlich konstantes Magnetfeld ein. Es erfährt dort eine Lorentz-Kraft von FL = e ˜ v u B . Wie groß ist die o o Kraftwirkung auf das Elektron, wenn v und die Flussdichte B des Magnetfeldes gegeben sind? Ein Elektron mit der Elementarladung e = 1.6 10

-19



§¨ 2000 ·¸ m v  ¨ 2000 ¸ ˜ ¨ 0 ¸ s © ¹

gegebene Geschwindigkeit

§¨ 0 ·¸ V˜s B  ¨ 0.2 ¸ ˜ ¨ 0.1 ¸ m2 © ¹

gegebene Flussdichte (V s / m2 = 1 T)

e  1.6 ˜ 10

 19

˜C

Elementarladung

Seite 135



Vektoralgebra und analytische Geometrie

FL  e ˜ ( v u B)

FL

§ 3.2 u 10  17 · ¨ ¸ ¨  17 ¸ N ¨ 3.2 u 10 ¸ ¨  17 ¸ © 6.4 u 10 ¹

Lorentz-Kraft Nullschwelle auf 20 gesetzt! (Menü-Format-Ergebnisformat-Toleranz)

Beispiel 2.6.15: o Ein Elektron wird mit der Geschwindigkeit v in ein räumlich und zeitlich konstantes elektromagnetisches Feld o o mit der elektrischen Feldstärke E und der magnetischen Flussdichte B eingeschossen. Das Elektron erfährt o o o o in diesem elektromagnetischen Feld eine Kraft F = e ˜ E  e ˜ v u B . a) Welche Voraussetzungen sind notwendig, damit das Elektron kräftefrei bleibt? Welche Eigenschaften o muss E in diesem Sonderfall besitzen? o b) Wie groß ist der Betrag von E, und wie lauten die drei Richtungswinkel D, E und Jdes elektrischen Feldstärkevektors?





ORIGIN festlegen

ORIGIN  1

§¨ 300 ·¸ m v  ¨ 300 ¸ ˜ ¨ 300 ¸ s © ¹ §¨ 1 ·¸ V˜s B  ¨ 1 ¸ ˜ ¨ 2 ¸ m2 © ¹

gegebener Geschwindigkeitsvektor

gegebene Flussdichte

o o a) Im kräftefreien Fall gilt F = 0: o o o o e ˜ E  e ˜ v u B = 0





Ÿ

o o o o E  vu B = 0





Ÿ

o o o o o E =  vu B = Bu v





Abb. 2.6.6

Dies bedeutet nach Abb. 2.6.6: o o o a) E steht senkrecht zu B und v. o o o o o o b) Der Betrag von E, also E = B u v , ist gleich dem Flächeninhalt des von B und v aufgespannten Parallelogramms. oo o c) Die Vektoren B, v und E bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem.

Seite 136

Vektoralgebra und analytische Geometrie

b) Feldstärkeberechnung und Richtungswinkel:

E Bu v

E

§¨ 900 ·¸ V ¨ 300 ¸ ˜ ¨ 600 ¸ m © ¹

E

E

1.122 u 10 ˜

§ E1 · ¸ ©E¹

α

143.301 ˜ Grad

§ E2 · ¸ ©E¹

β

74.499 ˜ Grad

§ E3 · ¸ ©E¹

γ

57.688 ˜ Grad

E

α  acos ¨

β  acos ¨

γ  acos ¨

3

Feldstärkevektor

V m

Betrag des Feldstärkevektors

Richtungswinkel

Beispiel 2.6.16: o An einem starren Körper (Abb. 2.6.7) greift eine Kraft F an, die in der Drehebene liegend angenommen wird. o o o o o o Sie erzeugt ein Drehmoment M = r u F, das in Richtung der Drehachse zeigt. r , F und M bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem. Berechnen Sie den Drehmomentvektor und dessen Betrag.

§¨ 0.2 ·¸ r ¨ 0 ¸ ˜m ¨ 0.1 ¸ © ¹ §¨ 1000 ·¸ F  ¨ 200 ¸ ˜ N ¨ 1000 ¸ © ¹

gegebener Ortsvektor

gegebener Kraftvektor

Betrag des Drehmomentvektors: d = r ˜ sin ( φ) Normalabstand von der Wirkungslinie der Kraft r ist der Abstand des Angriffspunktes P der Kraft vom Drehpunkt M = d ˜ F = r ˜ sin ( φ) ˜ F = r ˜ F ˜ sin ( φ) o o o o M = r u F = r ˜ F ˜ sin ( φ)

Abb. 2.6.7

M ru F

M

§¨ 20 ·¸ ¨ 100 ¸ ˜ N ˜ m ¨ 40 ¸ © ¹

M

M

109.545 ˜ N ˜ m

M

Drehmomentvektor

Betrag von M

Seite 137

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Beispiel 2.6.17: Gegeben ist ein Fachwerk, das aus unbeweglichen Kräften zusammengesetzt ist (Abb. 2.6.8). Bestimmen Sie die  o  o Auflagekräfte FA und FB. Die z-Achse ist normal zur x-y-Ebene und auf den Beobachter gerichtet zu denken.

Abb. 2.6.8 Die Gleichgewichtsbedingungen lauten:

¦

o o Fi = 0

und

i

¦

 o o Mi = 0

i

Die Summe der Kräfte muss verschwinden, also  o o  o o FA  F  FB = 0 Die Kraftkomponenten werden aus der Grafik bestimmt: Fx  10 ˜ kN ˜ cos ( 40 ˜ Grad)

Fx

7.66 ˜ kN

Fy  10 ˜ kN ˜ sin ( 40 ˜ Grad)

Fy

6.428 ˜ kN

Damit gilt:

§ FAx · § Fx · § 0 ˜ kN · § 0 ˜ kN · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¸ ¨ ¨ FAy ¸  ¨ Fy ¸  ¨ FBy ¸ = ¨ 0 ˜ kN ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¸ ¨ © 0 ˜ kN ¹ © 0 ˜ kN ¹ © 0 ˜ kN ¹ © 0 ˜ kN ¹

vereinfacht auf

§ Fx  FAx · § 0 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ Fy  FAy  FBy ¸ = ¨ 0 ¸ ¨ ¸ ¨0 ¸ 0 © ¹ © ¹

o Wir wählen aus praktischen Gründen als Bezugspunkt den Punkt A, weil dann die Momente der Stützkräfte FAx o und FAy gleich 0 sind. Die Summe aller Momente muss verschwinden, also o o o  o o r u F  § rB u FB· = 0 © ¹





Seite 138

Vektoralgebra und analytische Geometrie

ª§ 4 ˜ m · «¨ ¸ «¨ 3 ˜ m ¸ u «¨ 0 ˜ m ¸ ¹ ¬©

§ Fx ·º ª§ 8 ˜ m · ¨ ¸» «¨ ¸ ¨ Fy ¸»  «¨ 0 ˜ m ¸ u ¨ ¸» «¨ ¸ © 0 ˜ kN ¹¼ ¬© 0 ˜ m ¹

§ 0 ˜ kN ·º § 0 ˜ kN ˜ m · ¸ ¨ ¸» ¨ ¨ FBy ¸» = ¨ 0 ˜ kN ˜ m ¸ ¸ ¨ ¸» ¨ © 0 ˜ kN ¹¼ © 0 ˜ kN ˜ m ¹

Das erste Vektorprodukt liefert:

§¨ 4 ˜ m ·¸ ¨3 ˜ m ¸ u ¨0 ˜ m ¸ © ¹

§ Fx · ¨ ¸ ¨ Fy ¸ ¨ ¸ © 0 ˜ kN ¹

§¨ 0 ·¸ ¨ 0 ¸ ˜ kN ˜ m ¨ 2.73 ¸ © ¹

Damit ergibt sich die nichtverschwindende Komponente in z-Richtung: 0 ˜ kN ˜ m · § 0 ˜ kN ˜ m · ¸ ¨ ¸ §¨ 0 ˜ kN ˜ m ¨ ¸ = ¨ 0 ˜ kN ˜ m ¸ ¨ 2.73 ˜ kN ˜ m  8 ˜ m ˜ F ¸ ¨© 0 ˜ kN ˜ m ¸¹ By ¹ © Daraus ergibt sich nun ein lineares Gleichungssystem zur Berechnung der Koordinaten der Auflagekräfte: FAx  1 ˜ kN

FAy  1 ˜ kN

FBy  1 ˜ kN

Startwerte

Vorgabe Fx  FAx = 0 ˜ kN Fy  FAy  FBy = 0 ˜ kN 2.73 ˜ kN  8 ˜ FBy = 0 ˜ kN

§¨ FAx ·¸ ¨ F ¸  Suchen F F F  Ax Ay By ¨ Ay ¸ ¨© FBy ¸¹ §¨ FAx ·¸ ¨F ¸ ¨ Ay ¸ ¨© FBy ¸¹

§¨ 7.66 ·¸ ¨ 6.087 ¸ ˜ kN ¨ 0.341 ¸ © ¹

gesuchte Auflagekraftkomponenten

§ FAx · ¨ ¸ FA  ¨ FAy ¸ ¨ ¸ © 0 ˜ kN ¹

§¨ 7.66 ·¸ FA ¨ 6.087 ¸ ˜ kN ¨ 0 ¸ © ¹

FA

§ 0 ˜ kN · ¨ ¸ FB  ¨ FBy ¸ ¨ ¸ © 0 ˜ kN ¹

§¨ 0 ·¸ FB ¨ 0.341 ¸ ˜ kN ¨ 0 ¸ © ¹

FB

Seite 139

9.784 ˜ kN Auflagekräfte

0.341 ˜ kN

Vektoralgebra und analytische Geometrie

2.6.3 Spatprodukt o o o Das Skalarprodukt eines Vektors a mit dem Vektorprodukt zweier Vektoren b und c heißt Spatprodukt (gemischtes Produkt): o o o a˜ bu c



oo o ( a , b , c  3 )



(2-63)

Sein Ergebnis ist ein Skalar.

o o Dabei ist M bei geometrischer Deutung der von b und c eingeschlossene Winkel (Abb. 2.6.9), also o o A = b ˜ c ˜ sin ( φ) die Fläche des von b und c aufgespannten Parallelogramms. \ ist der Winkel, den o o o a mit b u c einschließt. Daraus ergibt sich, dass das Spatprodukt bis auf das Vorzeichen das o o Volumen des Spats (allgemeines Prisma oder Parallelepiped) angibt, der von den Vektoren a , b o und c aufgespannt wird ( h = a ˜ cos ( ψ)). o o o V = a˜ bu c





(2-64)

o o V = A ˜ h = b u c ˜ a ˜ cos ( ψ) = b ˜ c ˜ sin ( φ) ˜ a ˜ cos ( ψ) = a ˜ b ˜ c ˜ sin ( φ) ˜ cos ( ψ)

(2-65)

Das Spatprodukt lässt sich auch aus folgender dreireihigen Determinante (siehe dazu Abschnitt 3.1.4) berechnen: §¨ ax ay az ·¸ o o o a ˜ b u c = ¨ bx by bz ¸ (2-66)





¨ ¸ ¨© cx cy cz ¸¹

Abb. 2.6.9

Eigenschaften des Spatproduktes:

o o o a) Drei vom Nullvektor verschiedene Vektoren a , b und c sind genau dann komplanar (sie liegen in einer Ebene), wenn das aus ihr gebildete Spatprodukt verschwindet: o o o a˜ bu c = 0





(2-67)

b) Das Spatprodukt ändert seinen Wert nicht, wenn wir die Vektoren "zyklisch" vertauschen: o o o o o o o o o a˜ bu c = c˜ au b = b˜ cu a













("Durchschieberegel")

Seite 140

(2-68)

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Beispiel 2.6.18: Liegen die Punkte A(2 | -1 | -2), B(1 | 2 | 1), C(2 | 3 | 0) und D(5 | 0 | -6) in einer Ebene? Wir wählen den Punkt D als Ecke aus und bilden dazu das Spatprodukt (2-60):

§¨ 2 ·¸ a  ¨ 1 ¸ ¨ 2 ¸ © ¹

§¨ 1 ·¸ b  ¨2 ¸ ¨1 ¸ © ¹

§¨ 2 ·¸ c  ¨3 ¸ ¨0 ¸ © ¹

AD  d  a

BD  d  b

CD  d  c

AD ˜ ( BD u CD)

§¨ 5 ·¸ d  ¨ 0 ¸ gegebene Ortsvektoren ¨ 6 ¸ © ¹ Verschiebungsvektoren

0 Das Spatprodukt ist null, daher liegen die vier Punkte in einer Ebene!

Beispiel 2.6.19: Sind die nachfolgend gegebenen Kräfte komplanar, d. h., liegen sie in einer Ebene? ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

§¨ 2 ·¸ F1  ¨ 1 ¸ ¨4 ¸ © ¹

§¨ 11 ·¸ F2  ¨ 4 ¸ ¨ 11 ¸ © ¹

§¨ 5 ¸· F3  ¨ 2 ¸ ¨1 ¸ © ¹

gegebene Kräfte in N

o  o  o  Zu zeigen ist, dass das Spatprodukt F1 ˜ § F2 u F3· = 0 ˜ N ist. © ¹ Wir verwenden zur Auswertung die Determinantenmethode (Abschnitt 3.1.4):

§¨ F1 F1 F1 ·¸ 1 2 3 ¨ ¸  14 N ¨ F21 F22 F23 ¸ ˜ N 1.066 u 10 ¨ ¸ ¨ F31 F32 F33 ¸ © ¹

Die drei Einzelkräfte liegen in einer Ebene.

Beispiel 2.6.20: Bestimmen Sie das Volumen eines Parallelepipeds, das durch die nachfolgend angegebenen Vektoren aufgespannt wird. dm  10

1

m

Einheitendefinition

§¨ 1 ·¸ a  ¨ 1 ¸ ˜ dm ¨3 ¸ © ¹

§¨ 2 ·¸ b  ¨ 3 ¸ ˜ dm ¨ 2 ¸ © ¹

V1 

( a u b) ˜ c

V1

8 ˜ dm

V1 

a ˜ ( b u c)

V1

8 ˜ dm

§¨ 1 ¸· c  ¨ 2 ¸ ˜ dm ¨ 3 ¸ © ¹

gegebene Vektoren

3

Volumen des Perallelepipeds (Spat)

3

Seite 141

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Beispiel 2.6.21: Eine dreieckige Leiterschleife mit den Eckpunkten P 1 (0.2 m| 0 m| 0 m), P2 (0 m| 0.3 m| 0 m) und P3 (0 m| 0 m| 0.1 m) wird von einem homogenen Magnetfeld mit der magnetischen Flussdichte o T B = ( 10 0 0 ) ˜ T durchflutet. Wie groß ist der Spannungsstoß, der durch die Induktion in der Leiterschleife beim Einschalten des Magnetfeldes zur Zeit t = 0 s entsteht?

Abb. 2.6.10

Der magnetische Fluss ) ist durch das o o Skalarprodukt Φ = B ˜ A gegeben, wobei o der Flächenvektor A senkrecht zur Dreiecksfläche orientiert ist. Aus dem Induktionsgesetz folgt zunächst d) = u dt. Integrieren wir auf beiden Seiten, so ergibt sich der Spannungsstoß aus: ´ µ µ ¶

u dt = Φ

o Der zuerst gesuchte Flächenvektor A ergibt sich aus folgender Überlegung: Nach (2-41) ist der Betrag des o o Vektorproduktes a u b gleich dem Flächeninhalt des Parallelogramms. Das Dreieck P 1 P2 P 3 besitzt nur den o o halben Flächeninhalt des Parallelogramms. Der Vektor, der sich aus dem Vektorprodukt a u b ergibt, steht definitionsgemäß senkrecht zur Parallelogrammfläche und somit auch senkrecht zur Fläche des Dreiecks. o 1 o o Es muss daher für den Flächenvektor gelten: A = ˜ a u b . 2



Der Spannungsstoß ergibt sich dann aus

§¨ 0.2 ·¸ p1  ¨ 0 ¸ ˜ m ¨ 0 ¸ © ¹

§¨ 0 ·¸ p2  ¨ 0.3 ¸ ˜ m ¨ 0 ¸ © ¹

a  p2  p1

b  p3  p 1

´ µ µ ¶



o o 1 o o o u dt = Φ = B ˜ A = ˜ B ˜ a u b . 2



§¨ 0 ·¸ p3  ¨ 0 ¸ ˜ m ¨ 0.1 ¸ © ¹

1 2

˜ B ˜ ( a u b)

Ortsvektoren zu den Eckpunkten des Dreiecks

Seitenvektoren des Dreiecks

§¨ 10 ·¸ V˜s B ¨ 0 ¸ ˜ ¨ 0 ¸ m2 © ¹ Φ



magnetische Flussdichte

Φ

Spannungsstoß

0.15 ˜ V ˜ s

Bemerkung: Berechnen wir das Spatprodukt mithilfe der Determinante (Abschnitt 3.1.4), so ist darauf zu achten, dass keine gemischten Einheiten in der Matrix vorkommen, wenn man diese mit Mathcad auswertet!

Seite 142

Vektoralgebra und analytische Geometrie

2.7 Analytische Geometrie Analytische Geometrie nennt sich derjenige Teil der Mathematik, in dem Punkte, Geraden, Ebenen und andere geometrische Gebilde durch Zahlen und die zwischen diesen Gebilden bestehenden Beziehungen durch Gleichungen dargestellt werden. Die Aufgaben der Geometrie werden also auf Aufgaben der Algebra zurückgeführt. Eine bedeutende Vereinfachung der Rechenverfahren wird in der analytischen Geometrie durch die Vektorrechnung bewirkt, die daher im Folgenden die Grundlage für alle nachfolgenden Überlegungen sein soll. Den Ausführungen in diesem Abschnitt legen wir stets ein kartesisches Koordinatensystem zu Grunde, obwohl alle Ausführungen und Formeln in jedem beliebigen (affinen) Koordinatensystem gelten. Der Vorteil der vektoriellen Behandlung der analytischen Geometrie besteht vor allem darin, dass die analytische Geometrie der Ebene und des Raumes gleichzeitig behandelt werden können. Wenn nichts anderes gesagt wird, gehen wir stets von einem räumlichen kartesischen Koordinatensystem aus. Die Formeln in Vektorschreibweise gelten in der Ebene und im Raum.

2.7.1 Teilung einer Strecke Mittelpunkt einer Strecke:

 Für den Mittelpunkt M der Strecke AB ergibt sich aus Abb. 2.7.1: o 1 o o m= ˜ ab 2





(2-69)

Abb. 2.7.1

Beispiel 2.7.1:  o Stellen Sie den Vektor s a der Schwerlinie s des Dreiecks ABC mit A(2 | -1), B(6 | 3) und C(4 | 7) als a Linearkombination der Ortsvektoren der Eckpunkte dar. a

Abb. 2.7.2

§2 · ¨ ¸ © 1 ¹

b

§6 · ¨ ¸ ©3 ¹

c

§4 · ¨ ¸ ©7 ¹

Ortsvektoren zu den Eckpunkten

 o  o  o o 1 o o o o o 1 s a = OA  OH a = a  ˜ b  c = ˜ 2 ˜ a  b  c 2 2



sa 

Seite 143

1 2

˜ ( 2 ˜ a  b  c)





sa

§ 3 · ¨ ¸ © 6 ¹



Vektoralgebra und analytische Geometrie

Teilungspunkt einer Strecke: Ist T ein von B verschiedener Punkt der Geraden g(A,B), so gibt es genau eine reelle Zahl O, sodass gilt:  o  o AT = λ ˜ BT

(2-70)

 o  o Ist O < 0, so sind AT und BT entgegengesetzt orientiert (Abb. 2.7.3). T heißt innerer Teilungspunkt der  gerichteten Stecke AB.  o  o Ist O > 0, so sind AT und BT gleich orientiert (Abb. 2.7.4). T heißt dann äußerer Teilungspunkt der  gerichteten Strecke AB.  Die reelle Zahl O heißt Teilverhältnis des Punktes T in Bezug auf die gerichtete Strecke AB.  Für den Mittelpunkt der Strecke AB gilt O = -1. Aus den Abb. 2.7.3 und 2.7.4 folgt: o o o o t  a= λ˜ t  b





(2-71)

Daraus folgt durch Umformung: o o o a λ˜b t = (Oz0) 1λ

(2-72)

Abb. 2.7.3

Abb. 2.7.4

Beispiel 2.7.2:  Teilen Sie die Strecke AB (A(-2|10), B(8|-5)) innen im Verhältnis 2:3 und berechnen Sie die Koordinaten des Teilungspunktes.

a

§ 2 · ¨ ¸ © 10 ¹

b

§8 · ¨ ¸ © 5 ¹

gegebene Vektoren

Seite 144

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Es gilt:  AT 2 = 3 BT λ=

2

T ist innerer Teilungspunkt

3

 2  AT =  ˜ BT 3

nach (2-70)

o o 2 o o t a= ˜ t b 3





nach (2-71)

Daraus folgt: o 1 o o t = ˜ 3˜ a  2˜ b 5



Abb. 2.7.5 t

1 5

˜ ( 3 ˜ a  2 ˜ b)

t

§2 · ¨ ¸ ©4 ¹



Damit hat der Teilungspunkt die Koordinaten T(2|4).

Schwerpunkt eines Dreiecks: o 1 o Wegen MS = ˜ MC folgt aus Abb. 2.7.6: 3 o o 1 o o o o 1 1 o o o s = m  ˜ c  m = ˜ 2˜ m  c = ˜ a  b  c 3 3 3













(2-73)

Abb. 2.7.6

Beispiel 2.7.3: Von einem Dreieck ABC kennen wir den Schwerpunkt S(4|1) und zwei Eckpunkte A(0|2), B(6|-2). Wie lauten die Koordinaten des dritten Eckpunktes?

Seite 145

Vektoralgebra und analytische Geometrie

a

§0 · ¨ ¸ ©2 ¹

b

§6 · ¨ ¸ © 2 ¹

s

§4 · ¨ ¸ gegebene Ortsvektoren ©1 ¹

Aus (2-73) folgt: c 3˜ s  a  b

c

§6 · ¨ ¸ ©3 ¹

Der dritte Eckpunkt hat die Koordinaten C(6|3).

2.7.2 Geradendarstellung Vektorielle Punkt-Richtungsform einer Geraden: Geraden gehören wie auch Punkte zu den Grundbegriffen der Geometrie und werden in der Geometrie nicht definiert, sondern nur in Form von Beziehungen zu anderen Grundbegriffen in Axiomen festgelegt. Wir beschreiten hier nicht diesen axiomatischen Weg, sondern betrachten ein festes kartesisches Koordinatensystem und den 2 bzw. 3 in seiner Doppelfunktion als Punktemenge und als Vektorraum. Geraden definieren wir analytisch als Teilmengen von 3 (bzw. 2 ) über Geradengleichungen. o o o o 3 Sind x1 und a  mit a z 0 , so wird durch o o o o 3 g = { x  | x = x1  λ ˜ a , O }

(2-74)

eine Gerade g im 3 festgelegt (Abb. 2.7.7). o o Dabei ist x1 ein Ortsvektor eines Punktes P der Geraden und a ist die Richtung der Geraden. 1 Enthält die Gerade den Ursprung O, so kann für P1 der Punkt O(0|0|0) gewählt werden, und (2-74)) geht über in o o o g = { x 3 | x = λ ˜ a , O } . (2-75) Die Darstellung in Vektorform heißt Punkt-Richtungsform bzw. eine Parameterdarstellung der Geraden g.

Abb. 2.7.7

Seite 146

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Vektorielle Zwei-Punkte-Form einer Geraden: Ist die Gerade g durch zwei verschiedene Punkte P1 und P2 festgelegt (Abb. 2.7.8), so ist der Differenzvektor der Ortsvektoren von P1 und P2 ein Richtungsvektor der Geraden g. o o o o 3 Sind x1 und x2  mit x1 z x2 die Ortsvektoren zweier Punkte einer Geraden g, so ist durch o o o o o 3 g = { x  | x = x1  λ ˜ § x2  x1· , O } © ¹

(2-76)

die Zwei-Punkteform der Geraden g gegeben.

Abb. 2.7.8

Beispiel 2.7.4: Wie lautet die Geradengleichung in Parameterdarstellung, wenn die Gerade g durch P 1 (-2 | 3) mit dem o o T T Richtungsvektor a = ( 7 0 ) bzw. durch P 1 (2 | -3 | 0) mit dem Richtungsvektor a = ( 5 9 1 ) geht. o § 2 · §7 · g: x = ¨ ¸  λ ˜ ¨ ¸ ©3 ¹ ©0 ¹

§2 · §¨ 5 ·¸ o ¨ ¸ g: x = ¨ 3 ¸  λ ˜ ¨ 9 ¸ ¨0 ¸ © ¹

¨1 ¸ © ¹

Setzen wir z. B. P = 2 O, so könnte auch mit P eine andere Parameterdarstellung angegeben werden!

Beispiel 2.7.5: Gegeben sind zwei Punkte A(2 | 1 | 1) und B(-1 | 0 | 3) einer Geraden. Wie lautet die Geradengleichung? Bestimmen Sie für verschiedene O jeweils einen Punkt der Geraden. Wie lautet die Geradengleichung, wenn der Einheitsvektor von A nach B als Richtungsvektor genommen wird? Wie lautet der Punkt, der 5 Einheiten vom Punkt A entfernt liegt?

§¨ 2 ·¸ OA  ¨ 1 ¸ ¨1 ¸ © ¹ AB  OB  OA

§¨ 1 ·¸ OB  ¨ 0 ¸ ¨3 ¸ © ¹ §¨ 3 ·¸ AB ¨ 1 ¸ ¨2 ¸ © ¹

OX ( λ)  OA  λ ˜ AB

gegebene Ortsvektoren

Richtungsvektor von A nach B

Geradengleichung in Parameterdarstellung

Seite 147

Vektoralgebra und analytische Geometrie

OX ( 0)

§¨ 2 ·¸ ¨1 ¸ ¨1 ¸ © ¹

OX ( 1)

OX ( 2)

§¨ 4 ·¸ ¨ 1 ¸ ¨5 ¸ © ¹

AB

OX ( λ)  OA  λ ˜

OX ( 5)

§¨ 1 ·¸ ¨0 ¸ ¨3 ¸ © ¹

Jeder Wert O ergibt einen Punkt der Geraden!

Geradengleichung mit dem Einheitsvektor als Richtungsvektor.

AB

§¨ 2.009 ·¸ ¨ 0.336 ¸ ¨ 3.673 ¸ © ¹

Ein Punkt, der 5 Einheiten von A entfernt liegt!

Koordinatenform der Geradengleichung in Parameterdarstellung: o o T T Mit P (x | y ), a = ax ay und X(x | y) bzw. P (x | y | z ), a = ax ay az und X(x | y | z ) gilt: 1 1 1 1 1 1 1







§ ax · § x1  λ ˜ ax ·¸ § x · §¨ x1 ·¸ bzw. ¨ ¸ = ¨ ¸  λ ˜ ¨¨ ¸¸ = ¨¨ ¸ © y ¹ © y1 ¹ © ay ¹ © y1  λ ˜ ay ¹



x §¨ ax ·¸ §¨ x1  λ ˜ ax ·¸ §¨ x ·¸ §¨ 1 ·¸ ¨ y ¸ = ¨ y1 ¸  λ ˜ ¨ ay ¸ = ¨ y1  λ ˜ ay ¸ . ¨ ¸ ¨ ¸ ¨z ¸ ¨ ¸ © ¹ ¨© z 1 ¸¹ ¨© az ¸¹ ¨© z 1  λ ˜ az ¸¹

Damit kann die Geradengleichung in Parameterform in Koordinatenform geschrieben werden (O ): x = x1  λ ˜ ax y = y1  λ ˜ ay

(2-77)

x = x1  λ ˜ ax y = y1  λ ˜ ay z = z 1  λ ˜ az

(2-78)

bzw.

Parameterfreie Form der Geradengleichung in der Ebene: Durch Elimination des Parameters O aus den Gleichungen einer Geraden g der Ebene erhalten wir durch geeignete Multiplikation und anschließender Addition der Gleichungen: x = x1  λ ˜ ax |.( - ay) y = y1  λ ˜ ay | . ax ---------------------------------ay ˜ x  ax ˜ y = x1 ˜ ay  y1 ˜ ax Setzen wir a = - ay, b = ax und c = x1 ay - y1 ax , so gilt: In der Ebene ist eine Gerade g mit (a,b) z (0,0) durch eine lineare Gleichung mit zwei Variablen festgelegt: g: a ˜ x  b ˜ y  c = 0

(Normalform oder implizite Form)

Seite 148

(2-79)

Vektoralgebra und analytische Geometrie Die Normalform oder implizite Form einer Geraden in der Ebene ist gleichwertig zur Parameterdarstellung einer Geraden, d. h., beide Formen sind ineinander umrechenbar. Aus der Normalform können noch weitere Formen abgeleitet werden (mit diesen Darstellungsformen können aber keine senkrechten Geraden dargestellt werden): Für a, b  \ {0} ist die Achsenabschnittsform einer Geraden im 2 gegeben durch g:

x a



y b

=1

(2-80)

Diese Gerade schneidet die Koordinatenachsen in den Punkten (a|0) und (0|b). Für d, k ist die explizite Form (Funktionsform) einer Geraden im 2 gegeben durch g: y = k ˜ x  d

(2-81)

Diese Gerade schneidet die y-Achse im Punkt (d|0) und besitzt die Steigung k. Für k z 0 schneidet die Gerade die x-Achse im Punkt (-d/k | 0). Bemerkung:

o Der oben benannte Richtungsvektor a einer Geraden g (Abb. 2.7.7) kann auch mithilfe der Steigung k der Geraden oder mithilfe eines anderen Steigungsdreiecks mit den Seiten q und p in folgender Form dargestellt werden: o §1 · o o a = ex  k ˜ ey = ¨ ¸ ©k ¹

o §q · o o oder a = q ˜ ex  p ˜ ey = ¨ ¸ ©p ¹

(2-82)

Damit lautet die Gerade g in Koordinatenform: x = x1  λ y = y1  λ ˜ k

(2-83)

Geraden, die parallel zur y-Achse liegen, können damit nicht festgelegt werden, weil solchen Geraden keine Steigung zugeordnet werden kann! Normalvektorform und Hesse'sche Normalform der Geradengleichung: In der Ebene kann eine Gerade auch durch einen Punkt und einen ihrer Normalvektoren festgelegt werden. Im Raum ist aber eine Gerade durch einen Punkt und einen ihrer Normalvektoren nicht eindeutig bestimmt! o o o Es sei n z 0 ein Normalvektor der Geraden g (Abb. 2.7.7), x1 der Ortsvektor des gegebenen Punktes o o o P (x |y ) und X(x|y) ein beliebiger Punkt der Geraden g in der Ebene. Weil die Vektoren x  x1 und n 1 1 1 aufeinander normal stehen, folgt: o o o oo o o n ˜ § x  x1· = 0 bzw. n ˜ x = n ˜ x1 . © ¹

(2-84)

Wir nennen jede der beiden Gleichungen die Normalvektorform der Geradengleichung in 2 .

Seite 149

Vektoralgebra und analytische Geometrie

 o  o Wählen wir insbesondere in (2-84) einen Normalvektor en = n0, der auch Einheitsvektor ist, so nennen wir die Gleichung Hesse'sche Normalform (HNF) der Geradengleichung im 2 :  o o o  oo  o o n0 ˜ § x  x1· = 0 bzw. n0 ˜ x = n0 ˜ x1. © ¹

(2-85)

Nach Ausführung der Skalarmultiplikation in (2-84) erhalten wir die Normalform oder implizite Form der Geradengleichung: nx ˜ x  ny ˜ y = nx ˜ x1  ny ˜ y1 (= konstant). (2-86) Setzen wir nx ˜ x1  ny ˜ y1 = c, nx = a und ny = b, so erhalten wir wieder die gleiche Form der impliziten Geradengleichung wie in (2-72): a ˜ x  b ˜ y  c = 0. Hieraus ist ersichtlich, dass die Koeffizienten a und b die Koordinaten eines Normalvektors einer Geraden g sind: o §a · n=¨ ¸. ©b ¹

(2-87)

 o Mit dem Normalvektor als Einheitsvektor n0 =

1 2

2

a b

§a · ¸ ergibt sich die Hesse'sche Normalform in ©b ¹

˜¨

Koordinatenschreibweise zu a˜ x b˜ y c 2

2

= 0.

(2-88)

a b

o § ax · ¨ ¸ können zwei Normalvektoren mit der gleichen Länge wieoa angegeben Zu jedem Vektor a = ¨ ay ¸ © ¹ werden (Abb. 2.7.9): o § ay · o § ay · ¨ ¸ ¨ ¸. n= bzw. n = (2-89) ¨ ax ¸ ¨ ax ¸ © ¹ © ¹ Bemerkung: §¨ ay ·¸ o o Jeder Vektor λ ˜ ist zu n kollinear und daher ebenfalls ein Normalvektor zu a! ¨ ax ¸ © ¹

Abb. 2.7.9

Seite 150

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Beispiel 2.7.6: Wie lautet die parameterfreie Form der Geradengleichung bei gegebener Vektorform in impliziter Form, expliziter Form und Achsenabschnittsform? o §2 · §2 · x=¨ ¸  똨 ¸ ©1 ¹ ©3 ¹

gegebene Vektorform der Geradengleichung

x=2 λ˜2

|.3

y=1 λ˜3

| . (-2)

g:

|+

3˜ x 2˜ y 4 = 0

implizite Form der Geradengleichung

Durch Division durch 4 der impliziten Form erhalten wir: 3 4

˜x

2 4

˜y=

4 4

Daraus folgt die Achsenabschnittsform: x 4



y 2

=1

3

Durch Umformung der impliziten Form auf y = f(x) erhalten wir die explizite Form: y=

3 2

˜x 2

Beispiel 2.7.7: Aus einer gegebenen impliziten Form einer Geradengleichung g soll eine Parameterdarstellung angegeben werden. g:

gegebene Geradengleichung

2˜ x 3˜ y= 6

Wir wählen x = O1 (es könnte auch y = O1 gewählt werden) und setzen in die Gleichung ein. Daraus kann dann y errechnet werden: 2 ˜ λ1  3 ˜ y = 6

Ÿ

y = 2 

2 3

˜ λ1

Wird nun O1 durch 3 O ersetzt, so ergibt sich die Geradengleichung in Koordinatenform zu: g:

x= 3˜ λ y = 2  2 ˜ λ

Die Parameterdarstellung lautet somit: o x=

§0 · §3 · ¨ ¸  똨 ¸ © 2 ¹ ©2 ¹

Seite 151

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Beispiel 2.7.8: Ermitteln Sie die Gleichung der Geraden g durch den Punkt P(3 | 2) mit der Steigung k = 4/7 in Vektorform und Koordinatenform. In Vektorform:

§1 o §3 · x=¨ ¸  똨4 ¨ ©2 ¹ ©7

· ¸ ¸ ¹

oder (2-82)

o §3 · §7 · x=¨ ¸  똨 ¸ ©2 ¹ ©4 ¹

In Koordinatenform: x=3 λ y=2

4 7

x= 3  7˜ λ

oder ˜λ

y= 2  4˜ λ

Beispiel 2.7.9: Liegen die Punkte P1 (2|3) oder P2 (3|5) auf der nachfolgend gegebenen Geraden? o §3 · §1 · x=¨ ¸  똨 ¸ ©4 ¹ ©1 ¹

gegebene Gerade

§2 · §3 · §1 · ¨ ¸ = ¨ ¸  똨 ¸ ©3 ¹ ©4 ¹ ©1 ¹

vereinfacht auf

§2 · §λ  3 · ¨ ¸=¨ ¸ ©3 ¹ ©λ  4 ¹

Die Vektorgleichung ist für O = -1 erfüllt. P1 liegt auf der Geraden g.

§3 · §3 · §1 · ¨ ¸ = ¨ ¸  똨 ¸ ©5 ¹ ©4 ¹ ©1 ¹

vereinfacht auf

§3 · §λ  3 · ¨ ¸=¨ ¸ ©5 ¹ ©λ  4 ¹

Es gibt kein gemeinsames O. P2 liegt nicht auf der Geraden g.

Beispiel 2.7.10: Liegt der Punkt P(1|7|5) auf der nachfolgend gegebenen Geraden.

§3 · §¨ 1 ·¸ o ¨ ¸ x = ¨5 ¸  λ ˜ ¨ 1 ¸

¨3 ¸ ¨1 ¸ © ¹ © ¹ §¨ 1 ·¸ §¨ 3 ·¸ §¨ 1 ·¸ ¨7 ¸ = ¨5 ¸  λ ˜ ¨ 1 ¸ ¨5 ¸ ¨3 ¸ ¨1 ¸ © ¹ © ¹ © ¹

gegebene Gerade

vereinfacht auf

§¨ 1 ·¸ §¨ 3  λ ·¸ ¨7 ¸ = ¨λ  5 ¸ ¨5 ¸ ¨λ  3 ¸ © ¹ © ¹

Die Vektorgleichung ist für O = 2 erfüllt. P liegt daher auf der Geraden g.

Beispiel 2.7.11: Wie lautet der Schnittpunkt der folgenden Geraden? Welchen Winkel schließen diese Geraden ein? o §2 · §2 · g1 : x = ¨ ¸  λ ˜ ¨ ¸ ©0 ¹ ©2 ¹

o §0 · §2 · g2 : x = ¨ ¸  μ ˜ ¨ ¸ ©4 ¹ © 1 ¹

§2 · §2 · §0 · §2 · ¨ ¸  똨 ¸ = ¨ ¸  온 ¸ ©0 ¹ ©2 ¹ ©4 ¹ © 1 ¹

vereinfacht auf

gegebene Geradengleichungen

§2 ˜ λ  2 · § 2 ˜ μ · ¨ ¸=¨ ¸ © 2 ˜ λ ¹ ©4  μ ¹

Seite 152

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Vorgabe 2˜ λ  2 = 2˜ μ Bei symbolischer Auswertung sind keine Startwerte erforderlich!

2˜ λ = 4  μ m  Suchen ( λ μ) o

§λ · ¨ ¸ m ©μ ¹

§1 · ¨ ¸ ©2 ¹

1

μ

§0 · §2 · ¨ ¸  온 ¸ ©4 ¹ © 1 ¹

x2

2

gesuchte Parameter

§4 · ¨ ¸ ©2 ¹

Ortsvektor des Schnittpunktes

ORIGIN festlegen

ORIGIN  1

x1 

λ

§2 · §2 · ¨ ¸  똨 ¸ ©0 ¹ ©2 ¹

§4 · ¨ ¸ ©2 ¹

x1

x2 

Der Schnittpunkt ist daher: S(4|2). Sx  x1 1

Koordinaten des Schnittpunktes

Sy  x1 2

Der Schnittwinkel ergibt sich mithilfe der beiden Richtungsvektoren:

ª « φ  acos « « « ¬

§2 · § 2 · ¨ ¸˜¨ ¸ © 2 ¹ © 1 ¹ §2 · § 2 · ¨ ¸ ˜ ¨ ¸ © 2 ¹ © 1 ¹

º » » » » ¼

φ

λ  2 2  0.01  3

71.565 ˜ Grad

Bereichsvariable für die Parameter

μ  1 1  0.01  4

§2 · §2 · ¨ ¸  똨 ¸ ©0 ¹ ©2 ¹

x1 ( λ) 

x2 ( μ) 

6 5 4 3 2 1

x1( λ) 2 x2( μ) 2 2

Geradengleichungen

Bereichsvariable

i  1  2

Sy

§0 · §2 · ¨ ¸  μ˜ ¨ ¸ ©4 ¹ © 1 ¹

1

1 2 3 4

Sx

Sy 0

1

2

3

4

5

6

x1( λ) 1 x2( μ) 1 Sx

Seite 153

7

8

Abb. 2.7.10

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Beispiel 2.7.12: Wie lautet der Schnittpunkt der folgenden Geraden? Welchen Winkel schließen diese Geraden ein ?

g1 :

§1 · §¨ 2 ·¸ o ¨ ¸ x = ¨1 ¸  λ ˜ ¨1 ¸

¨0 ¸ ¨1 ¸ © ¹ © ¹ §¨ 1 ·¸ §¨ 2 ·¸ §¨ 2 ·¸ §¨ 1 ·¸ ¨ 1 ¸  λ ˜ ¨ 1 ¸ = ¨ 0 ¸  μ ˜ ¨ 1 ¸ ¨0 ¸ ¨1 ¸ ¨2 ¸ ¨2 ¸ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹ λ λ

g2 :

§2 · §¨ 1 ·¸ o ¨ ¸ x = ¨ 0 ¸  μ ˜ ¨ 1 ¸

vereinfacht auf

¨2 ¸ © ¹

§¨ 2 ˜ λ  1 ·¸ ¨ λ1 ¸ ¨ λ ¸ © ¹

¨2 ¸ © ¹ §¨ μ  2 ·¸ = ¨ μ ¸ ¨2 ˜ μ  2 ¸ © ¹

gegebene Geradengleichungen

Schnitt der Geraden

Redefinitionen

μ μ

§¨ 2 ˜ λ  1 = μ  2 ·¸ ( λ μ )  ¨ λ  1 = μ ¸ auflösen λ μ o ( 0 1 ) ¨ λ = 2˜ μ  2 ¸ © ¹

λ

μ

0

1

gesuchte Parameter

oder: Vorgabe 2˜ λ  1 = μ  2 λ  1 = μ λ = 2˜ μ  2 m  Suchen ( λ μ) o

§0 · ¨ ¸ © 1 ¹

§¨ 1 ·¸ §¨ 2 ·¸ x1 ( λ)  ¨ 1 ¸  λ ˜ ¨ 1 ¸ ¨0 ¸ ¨1 ¸ © ¹ © ¹

§λ · ¨ ¸ m ©μ ¹

λ

x1 ( λ)

§¨ 1 ·¸ ¨1 ¸ ¨0 ¸ © ¹

x2 ( μ)

§¨ 1 ·¸ ¨1 ¸ ¨0 ¸ © ¹

0

μ

1

gesuchte Parameter

Ortsvektor des Schnittpunktes. Der Schnittpunkt lautet also: S(1|1|0).

oder:

§¨ 2 ·¸ §¨ 1 ·¸ x2 ( μ)  ¨ 0 ¸  μ ˜ ¨ 1 ¸ ¨2 ¸ ¨2 ¸ © ¹ © ¹ ª « « « φ  acos « « « « ¬

§¨ 2 ·¸ §¨ 1 ·¸ ¨ 1 ¸ ˜ ¨ 1 ¸ ¨1 ¸ ¨ 2 ¸ © ¹ © ¹ §¨ 2 ·¸ §¨ 1 ·¸ ¨ 1 ¸ ˜ ¨ 1 ¸ ¨1 ¸ ¨ 2 ¸ © ¹ © ¹

ORIGIN  1

§ x1 ( 5) 1 · ¨ ¸ X1  ¨ x1 ( λ) 1 ¸ Y1  ¨ x1 ( 10 ) ¸ 1¹ ©

º » » » » » » » ¼

φ

60 ˜ Grad

Winkel zwischen g1 und g2

ORIGIN festlegen

§ x1 ( 5) 2 · ¨ ¸ ¨ x1 ( λ) 2 ¸ Z1  ¨ x1 ( 10 ) ¸ 2¹ ©

§ x1 ( 5) 3 · ¨ ¸ Vektoren mit den x-, y- und z-Werten von 3 Punkten ¨ x1 ( λ) 3 ¸ der Geraden g 1 ¨ x1 ( 10 ) ¸ 3¹ © Seite 154

Vektoralgebra und analytische Geometrie

§ x2 ( 3) 1 · ¨ ¸ X2  ¨ x2 ( μ) 1 ¸ Y2  ¨ x2 ( 6) ¸ 1 ¹ ©

§ x2 ( 3) 2 · ¨ ¸ ¨ x2 ( μ) 2 ¸ Z2  ¨ x2 ( 6) ¸ 2 ¹ ©

§ x2 ( 3) 3 · ¨ ¸ ¨ x2 ( μ) 3 ¸ ¨ x2 ( 6) ¸ 3 ¹ ©

Vektoren mit den x-, y- und z-Werten von 3 Punkten der Geraden g2

Diagrammformat: Allgemein: Streuungsdiagramm, 3D-Rahmen Darstellung: Punktoption-Punkte zeichnen, Linienoption-Linien

( X1 Y1 Z1) ( X2 Y2 Z2) Abb. 2.7.11 Eine weitere Möglichkeit zur Darstellung von Geraden im Raum:

S1 ( u)  x1 ( λ)

Schnittpunkt als Funktion von u

S1 ( λ)

§¨ 1 ·¸ ¨1 ¸ ¨0 ¸ © ¹

Diagrammformat: Allgemein: Streuungsdiagramm, 3D-Rahmen Darstellung: Linienoption-Linien QuickPlot-Daten: Beginn -2, Ende 2, Schrittweite 20

x1 x2 S1 Abb. 2.7.12

Seite 155

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Beispiel 2.7.13: Berechnen Sie eine implizite Gleichung der Geraden g, die durch die Punkte A(-1 | 6), B(5 | 2) geht. Die Koordinaten des Normalvektors sind nach (2-80) die Koeffizienten der Variablen: o ª5  ( 1) º § 6 · o  §3 · a = AB = « » = ¨ ¸ = 2˜ ¨ ¸ ¬ 2  6 ¼ © 4 ¹ © 2 ¹ o §2 · n=¨ ¸ ©3 ¹

Richtungsvektor der Geraden g Normalvektor (2-82)

Punkt A g: 2 ˜ x  3 ˜ y = 2 ˜ ( 1)  3 ˜ 6 = 16 Punkt B g: 2 ˜ x  3 ˜ y = 2 ˜ 5  3 ˜ 2 = 16 Die implizite Gleichung der Geraden g lautet damit: 2 ˜ x  3 ˜ y = 16 Beispiel 2.7.14: Berechnen Sie die implizite Gleichung der Geraden g, die durch den Punkt P(-1 | 3) geht und parallel zur Geraden g 1 : 2 x + 3 y + 5 = 0 ist. o §2 · Die Geraden g und g haben denselben Normalvektor n = ¨ ¸. 1 ©3 ¹ 2 ˜ x  3 ˜ y = 2 ˜ ( 1)  3 ˜ 3 = 7 Die implizite Gleichung der Geraden g lautet damit: 2˜ x 3˜ y= 7 Beispiel 2.7.15: Berechnen Sie die implizite Gleichung der Geraden g, die durch den Punkt P(2 | 3) geht und die Steigung k = 4/5 hat. o §1 · Für den Richtungsvektor gilt nach (2-75): a = ¨ ¸. ©k ¹ Ein Normalvektor ist dann nach (2-82): Normalvektor.

o n=

§4 · o §4 ·  §k · ¨ ¸ 1 §4 · ¨ ¸ = 5 = ˜ ¨ ¸. Damit ist aber n1 = ¨ ¸ auch ein © 1 ¹ ¨ ¸ 5 © 5 ¹ © 5 ¹ © 1 ¹

4 ˜ x  5 ˜ y = 4 ˜ 2  5 ˜ 3 = 7 Die implizite Gleichung der Geraden g lautet damit: 4˜ x 5˜ y 7 = 0

Seite 156

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Beispiel 2.7.16: Gegeben ist die explizite Darstellung einer Geraden g: y = 3 x + 5. Wie lautet die Parameterdarstellung der Geraden?

§ 5 · x2 = ¨ 3 ¸ ¨ ¸ © 0 ¹

§0 · x1 = ¨ ¸ ©5 ¹

Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenachsen

o §1 · §1 · a=¨ ¸ =¨ ¸ ©k ¹ ©3 ¹

Verschiebungsvektor zwischen P 1 und P2

Die Geradengleichung in Parameterform lautet damit: o §0 · §1 · x=¨ ¸  똨 ¸ ©5 ¹ ©3 ¹ Parameterfreie Form der Geradengleichung im Raum: Durch Elimination des Parameters O aus je zwei Gleichungen in (2-78) erhalten wir für eine Gerade g des Raumes: x = x1  λ ˜ ax | . (-ay) y = y1  λ ˜ ay | . ax

| . (-az)

z = z 1  λ ˜ az

| . ay

g: ay ˜ x  ax ˜ y = x1 ˜ ay  y1 ˜ ax

(2-90)

az ˜ y  ay ˜ z = y1 ˜ az  z 1 ˜ ay Im Raum ist eine Gerade g durch zwei lineare Gleichungen mit drei Variablen festgelegt!

Beispiel 2.7.17: Wie lautet die parameterfreie Form der Geradengleichung?

§2 · §¨ 2 ·¸ o ¨ ¸ x = ¨1 ¸  λ ˜ ¨ 1 ¸ ¨3 ¸ © ¹

g:

gegebene Geradengleichung in Parameterdarstellung

¨ 3 ¸ © ¹

x= 2  2˜ λ

|.1

y=1 λ

|.2

|+

z = 3  3˜ λ g:

|.3

|+

|.1

x 2˜ y 4 = 0 3˜ y z  6 = 0

Seite 157

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Normalabstand eines Punktes von einer Geraden: Zu den Grundaufgaben der analytischen Geometrie gehört auch die Berechnung von Abständen zwischen Punkten und Geraden bzw. zwischen Geraden. o Wir betrachten dazu eine Gerade g durch den Punkt P1 mit Richtung a. Um den Abstand eines Punktes P von dieser Geraden zu berechnen, fällen wir das Lot auf die Gerade mit dem Lotpunkt Q  g (Abb. 2.42). o  Zur Berechnung des Abstandes d = PQ lassen sich u. a. verschiedene Beziehungen herleiten: o o o o 3 Durch x1 und a  mit a z 0 sei eine Gerade o o o o 3 g = { x  | x = x1  λ ˜ a, O }

(2-91)

o 3 im  gegeben, wobei x1 der Ortsvektor des Geradenpunktes P ist. 1 a) Dem rechtwinkeligen Dreieck in Abb. 2.7.13 entnehmen wir: o   d = P1P ˜ sin ( φ) = P1P ˜ sin ( φ)

(2-92)

oo o o   o b) Aus PQ ˜ a = 0 und PQ = PP1  λ ˜ a folgt (Abb. 2.7.13): o o o o PP1 ˜ a o  PQ = PP1  ˜a o 2 a

(2-93)



o  Für den Abstand d = PQ ergibt sich durch Herleitung: o o PP1 u a o  d = PQ = o a

(2-94)

Der Fußpunkt Q des Lotes auf die Gerade ist gegeben durch den Ortsvektor: o o o o o PP1 ˜ a o o q = OQ = x1  ˜ a = x1  o 2 a



o

o

o § OP  x1· ˜ a o © ¹ ˜a o 2 a



(2-95)

c) Den Normalabstand d des Punktes P von der Geraden g erhalten wir in der Ebene, wenn wir im Term o der linken Seite der Hesse'schen Normalform der Geradengleichung (2-85) den Ortsvektor x durch o o  den Ortsvektor p = OP ersetzen. o o o  a˜ x b˜ y c d = n0 ˜ § p  x1· bzw. in Koordinatenform d = © ¹ 2 2 a b

Seite 158

(2-96)

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Abb. 2.7.13

Beispiel 2.7.18: o §0 · §3 · Eine Gerade sei gegeben durch g: x = ¨ ¸  λ ˜ ¨ ¸ ©2 ¹ © 2 ¹ Bestimmen Sie den Normalabstand des Punkte P(5|4) von der Geraden. Wie lautet der Fußpunkt Q des Lotes von P auf g?

§0 · ¨ ¸ ©2 ¹ §3 · a ¨ ¸ © 2 ¹ §5 · p ¨ ¸ ©4 ¹

Ortsvektor zu einem Punkt auf der Geraden

x1 

Richtungsvektor

Ortsvektor zum Punkt P  o Vektor P1P

P1P  p  x1 P1P

Abstand von P1 nach P

5.385

§ P1P ˜ a · ¸ © P1P ˜ a ¹

φ  acos ¨ d

P1P ˜ sin ( φ)

φ

55.491 ˜ Grad

d

4.438

Normalabstand von P nach Q (2-92)

oder: o Vektor PP1

PP1  x1  p

PQ  PP1  d

PQ

PP1 ˜ a



a

2

˜a

PQ

d

§ 2.462 · ¨ ¸ © 3.692 ¹ 4.438

 o Vektor PQ (2-85)

Normalabstand von P nach Q

o Q ist der Schnittpunkt von g mit der Normalen h auf g durch P. Ein Richtungsvektor n von h ist Normalvektor o §2 · von g: n = ¨ ¸. ©3 ¹

Seite 159

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Eine Parameterdarstellung von h lautet somit: h:

o §5 · §2 · x= ¨ ¸  온 ¸ ©4 ¹ ©3 ¹

Für den Schnittpunkt gilt:

§0 · § 3 · §5 · §2 · ¨ ¸  똨 ¸ = ¨ ¸  μ˜ ¨ ¸ ©2 ¹ © 2 ¹ © 4 ¹ ©3 ¹

vereinfacht auf

§ 3 ˜ λ · §5  2 ˜ μ · ¨ ¸=¨ ¸ ©2  2 ˜ λ ¹ ©4  3 ˜ μ ¹

Vorgabe 3˜ λ = 5  2˜ μ

lineares Gleichungssystem für O und P

2  2˜ λ = 4  3˜ μ

§¨ 11 ¨ 13 m  Suchen ( λ μ) o ¨ 16 ¨  13 © OQ 

§0 · §3 · ¨ ¸  똨 ¸ ©2 ¹ © 2 ¹

·¸ ¸ ¸ ¸ ¹

§λ · ¨ ¸ m ©μ ¹

λo

11 13

OQ

§ 2.538 · ¨ ¸ © 0.308 ¹

Ortsvektor zum Punkt Q

OQ

§ 2.538 · ¨ ¸ © 0.308 ¹

Ortsvektor zum Punkt Q (2-95)

μo

16 13

Oder:

OQ  x1 

PP1 ˜ a



a

2

˜a

Beispiel 2.7.19:

§ 1 · §¨ 1 o ¨ ¸ Eine Gerade sei gegeben durch g: x = ¨ 1 ¸  λ ˜ ¨ 2 ¨ 1 ¸ © ¹

¸· ¸ ¨ 2 ¸ © ¹

Bestimmen Sie den Normalabstand des Punktes P(-2 | 3 | 4) von der Geraden. Wie lautet der Fußpunkt Q des Lotes von P auf g?

§¨ 1 ·¸ x1  ¨ 1 ¸ ¨ 1 ¸ © ¹

Ortsvektor zu einem Punkt auf der Geraden

§¨ 1 ·¸ a ¨ 2 ¸ ¨ 2 ¸ © ¹

Richtungsvektor

§¨ 2 ·¸ p ¨ 3 ¸ ¨4 ¸ © ¹

Ortsvektor zum Punkt P

Seite 160

Vektoralgebra und analytische Geometrie

o Vektor PP1

PP1  x1  p

OQ  x1 

PP1 ˜ a



a

2

§¨  4 ·¸ ¨ 3¸ ¨ 5¸ OQ o ¨  ¸ ¨ 3¸ ¨ 1¸ ¨©  3 ¸¹

˜a

§¨ 1.333 ·¸ OQ ¨ 1.667 ¸ ¨ 0.333 ¸ © ¹

Ortsvektor zum Punkt Q (2-95)

Ortsvektor zum Punkt Q

PQ  p  OQ

§¨  2 ¨ 3 ¨ 14 PQ o ¨ ¨ 3 ¨ 13 ¨© 3

d

d

6.403

Normalabstand von P nach Q

d

6.403

Normalabstand von P nach Q

PQ

·¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸¹

Oder:

d

PP1 u a a

Beispiel 2.7.20: Bestimmen Sie den Normalabstand des Punkte P(10 | 3 | -4) von der Geraden. Wie lautet der Fußpunkt Q des Lotes von P auf g? Eine Gerade sei gegeben durch g: §2 · §¨ 0 ·¸ o ¨ ¸ x = ¨3 ¸  λ ˜ ¨ 1 ¸

¨4 ¸ © ¹

¨ 1 ¸ © ¹

§¨ 2 ·¸ x1  ¨ 3 ¸ ¨4 ¸ © ¹

Ortsvektor zu einem Punkt auf der Geraden

§¨ 0 ·¸ a ¨ 1 ¸ ¨ 1 ¸ © ¹

Richtungsvektor

§¨ 10 ·¸ p ¨ 3 ¸ ¨ 4 ¸ © ¹

Ortsvektor zum Punkt P

Seite 161

Vektoralgebra und analytische Geometrie

o Vektor PP1

PP1  x1  p PP1 u a

d

d

a

OQ  x1 

PP1 ˜ a



a

˜a

2

9.798

§¨ 2 ·¸ OQ ¨ 7 ¸ ¨0 ¸ © ¹

Normalabstand von P nach Q

Ortsvektor zum Punkt Q (2-95)

Beispiel 2.7.21: Berechnen Sie den Normalabstand des Punktes P(-5 | 4) von der Geraden g: 3 x - 4 y - 4 = 0. 1

n0 

2

3  ( 4) p

2

§3 · ¸ © 4 ¹

˜¨

§ 5 · ¨ ¸ ©4 ¹

genormter Normalvektor

Ortsvektor zum Punkt P

x1 

§0 · ¨ ¸ © 1 ¹

d

n0 ˜ p  x1

Punkt auf der Geraden





d

7

Normalabstand des Punktes P von der Geraden g

d

7

Normalabstand des Punktes P von der Geraden g

oder:

d

3 ˜ ( 5)  4 ˜ 4  4 2

3  ( 4)

2

Abstand zweier Geraden:

o Wir betrachten nun eine Gerade g durch den Punkt P1 mit Richtung a und eine zweite Gerade h o durch den Punkt P2 mit Richtung b. o o o Im Weiteren sei a u b z 0, d. h., die beiden Geraden sind nicht parallel. Wir betrachten nun, um den Abstand der Geraden zu berechnen, das Lot von der einen Geraden auf die andere Gerade (siehe Abb. 2.7.14). o o o o PP1 ˜ a o oo   Nach (2-95) gilt für einen beliebigen Punkt P der Geraden h: PQ = PP1  ˜ a mit PQ ˜ a = 0. o 2 a



oo o  o o  Nun muss zusätzlich auch noch PQ ˜ b = 0 und nach Abb. 2.7.14 PP1 = μ ˜ b  P1P2 gelten. Daraus lässt o  sich der Abstand d = PQ herleiten.

Seite 162

Vektoralgebra und analytische Geometrie

o o o o 3 a) Durch x1 und a  mit a z 0 sei eine Gerade o o o o 3 g = { x  | x = x1  λ ˜ a, O } o 3 im  gegeben, wobei x1 der Ortsvektor des Geradenpunktes P ist. 1 o o o o 3 Weiters sei durch x2 und b  mit b z 0 eine Gerade o o o o 3 h = { x  | x = x2  μ ˜ b, P} o 3 im  gegeben, wobei x2 der Ortsvektor des Geradenpunktes P ist. 2 Der Abstand d der beiden Geraden ist dann gegeben durch: o o  o a u b ˜ P1P2 d= o o au b





o o o für a u b z 0.

(2-97)

o o Sind a und b kollinear, also die Gerade g parallel zur Geraden h, dann ist der Abstand gegeben durch: o  o a u P1P2 d= o a

o o o für a u b = 0.

(2-98)

Abb. 2.7.14

Beispiel 2.7.22: Wie groß ist der Abstand der Geraden g zur Geraden h?

§1 · §¨ 1 ·¸ o ¨ ¸ g: x = ¨ 1 ¸  λ ˜ ¨ 1 ¸ ¨4 ¸ © ¹

¨1 ¸ © ¹

§4 · §¨ 3 ·¸ o ¨ ¸ h: x = ¨ 0 ¸  μ ˜ ¨ 3 ¸ ¨3 ¸ © ¹

¨3 ¸ © ¹

Seite 163

Vektoralgebra und analytische Geometrie

§¨ 1 ·¸ a  ¨1 ¸ ¨1 ¸ © ¹

au b

§¨ 3 ·¸ b  ¨3 ¸ ¨3 ¸ © ¹

§¨ 0 ·¸ ¨0 ¸ ¨0 ¸ © ¹

Die beiden Geraden g und h sind also parallel!

§¨ 4 ·¸ §¨ 1 ·¸ P1P2  ¨ 0 ¸  ¨ 1 ¸ ¨3 ¸ ¨4 ¸ © ¹ © ¹ d

Richtungsvektoren

a u P1P2

Vektor vom Punkt P1 zum Punkt P2

d

a

3.266

Abstand der Geraden g zur Geraden h (2-98)

Beispiel 2.7.23: Wie groß ist der Abstand der Geraden g zur Geraden h?

§2 · §¨ 0 o ¨ ¸ g: x = ¨ 3 ¸  λ ˜ ¨ 1 ¨4 ¸ © ¹

§¨ 0 ·¸ a ¨ 1 ¸ ¨ 1 ¸ © ¹

·¸ ¸ ¨ 1 ¸ © ¹

§¨ 2 ·¸ b  ¨ 1 ¸ ¨0 ¸ © ¹

§¨ 1 ·¸ b u a ¨2 ¸ ¨2 ¸ © ¹ §¨ 2 ·¸ x1  ¨ 3 ¸ ¨4 ¸ © ¹

§¨ 1 ·¸ x2  ¨ 0 ¸ ¨2 ¸ © ¹

( a u b) ˜ P1P2 au b

§¨ 1 ·¸ §¨ 2 ¸· ¨ 0 ¸  μ ˜ ¨ 1 ¸ ¨2 ¸ ¨0 ¸ © ¹ © ¹

Richtungsvektoren

Die beiden Geraden g und h sind nicht parallel! g und h werden auch windschiefe Geraden genannt.

P1P2  x2  x1 d

o h: x =

Ortsvektoren zu den Punkten P 1 und P2

Vektor vom Punkt P1 zum Punkt P2 d

4.333

Abstand der Geraden g zur Geraden h (2-97)

Seite 164

Vektoralgebra und analytische Geometrie

2.7.3 Ebenendarstellung Vektorielle Punkt-Richtungsform einer Ebene: Wir betrachten auch hier ein festes kartesisches Koordinatensystem und 3 in seiner Doppelfunktion als Punktemenge und als Vektorraum. Ebenen definieren wir analytisch als Teilmengen von 3 über Ebenengleichungen. oo o oo 3 Sind x1, a , b  mit linear unabhängigen Richtungsvektoren a, b der Ebene, so wird durch o o o o o 3 E = { x  | x = x1  λ ˜ a  μ ˜ b, OP }

(2-99)

eine Ebene E im 3 festgelegt (Abb. 2.7.15). Die Darstellung in Vektorform heißt Punkt-Richtungsform bzw. eine Parameterdarstellung der Ebene E.

Abb. 2.7.15

Vektorielle Drei-Punkteform einer Ebene: o o o 3 3 Sind x1, x2, x3  drei nicht kollineare Punkte einer Ebene E im  , so ist durch o o o o o o o 3 E = { x  | x = x1  λ ˜ § x2  x1·  μ ˜ § x3  x1·, O, P } © ¹ © ¹ die Drei-Punkteform der Ebene E gegeben (Abb. 2.7.16).

Seite 165

(2-100)

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Abb. 2.7.16

Beispiel 2.7.24: Wie lautet die Ebenengleichung in Parameterdarstellung, wenn die Ebene E durch P1 (3 | 5 | 1) verläuft und o o T T ihre Richtungsvektoren a = ( 2 5 1 ) und b = ( 5 1 3 ) sind?

E:

§3 · §¨ 2 ·¸ §¨ 5 ·¸ o ¨ ¸ x = ¨5 ¸  λ ˜ ¨5 ¸  μ ˜ ¨1 ¸ ¨1 ¸ © ¹

¨1 ¸ © ¹

vereinfacht auf

o x=

¨3 ¸ © ¹

§¨ 5 ˜ μ  2 ˜ λ  3 ·¸ ¨ μ  5˜ λ  5 ¸ ¨ 3˜ μ  λ  1 ¸ © ¹

Beispiel 2.7.25: Gegeben sind die Punkte A(-1 | 1 | 3), B(-1 | 3 | 2) und C(5 | 2 | 6) einer Ebene. Wie lautet die Ebenengleichung? Bestimmen Sie für verschiedene O und P jeweils einen Punkt der Ebene.

§¨ 1 ·¸ OA  ¨ 1 ¸ ¨3 ¸ © ¹ AB  OB  OA

AC  OC  OA

§¨ 1 ·¸ OB  ¨ 3 ¸ ¨2 ¸ © ¹

§¨ 5 ·¸ OC  ¨ 2 ¸ ¨6 ¸ © ¹

gegebene Ortsvektoren

AB

§¨ 0 ·¸ ¨2 ¸ ¨ 1 ¸ © ¹

Vektor von A nach B (Richtungsvektor)

AC

§¨ 6 ·¸ ¨1 ¸ ¨3 ¸ © ¹

Vektor von A nach C (Richtungsvektor)

Geradengleichung in Parameterdarstellung

OX ( λ μ)  OA  λ ˜ AB  μ ˜ AC

OX ( 0 1)

§¨ 5 ·¸ ¨2 ¸ ¨6 ¸ © ¹

OX ( 1 2)

§¨ 11 ·¸ ¨5 ¸ ¨8 ¸ © ¹

OX ( 2 2)

§¨ 11 ·¸ ¨7 ¸ ¨7 ¸ © ¹ Seite 166

Jeder Wert für O und P ergibt einen Punkt der Ebene.

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Koordinatenform der Ebenengleichung in Parameterdarstellung: o To T Mit P (x | y | z ), a = ax ay az , b = bx by bz und X(x | y | z ) gilt: 1 1 1 1









x §¨ ax ·¸ §¨ bx ·¸ §¨ x1  λ ˜ ax  μ ˜ bx ·¸ §¨ x ·¸ §¨ 1 ·¸ ¨ y ¸ = ¨ y1 ¸  λ ˜ ¨ ay ¸  μ ˜ ¨ by ¸ = ¨ y1  λ ˜ ay  μ ˜ by ¸. ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨z ¸ ¨ ¸ © ¹ ¨© z1 ¸¹ ¨© az ¸¹ ¨© bz ¸¹ ¨© z1  λ ˜ az  μ ˜ bz ¸¹ Damit kann die Ebenengleichung in Parameterform in Koordinatenform geschrieben werden (O, P ): x = x1  λ ˜ ax  μ ˜ bx y = y1  λ ˜ ay  μ ˜ by z = z 1  λ ˜ az  μ ˜ bz

(2-101)

Parameterfreie Form der Ebenengleichung: Durch Elimination der Parameters O und P aus den Gleichungen in Koordinatenform erhalten wir durch geeignete Multiplikation und anschließender Addition der Gleichungen eine lineare Gleichung mit drei Variablen ( (a | b | c) z (0 | 0 | 0) ): E: a ˜ x  b ˜ y  c ˜ z  d = 0

(Normalform oder implizite Form)

(2-102)

Die Normalform oder implizite Form einer Geraden in der Ebene ist gleichwertig zur Parameterdarstellung einer Geraden, d. h., beide Formen sind ineinander umrechenbar.

Beispiel 2.7.26: Wie lautet die parameterfreie Form der Ebenengleichung?

§2 · §¨ 2 o ¨ ¸ x = ¨3 ¸  λ ˜ ¨ 2 ¨1 ¸ © ¹

·¸ §¨ 3 ·¸ ¸  μ ˜ ¨ 5 ¸ ¨ 1 ¸ ¨1 ¸ © ¹ © ¹

gegebene Ebenengleichung in Parameterdarstellung

Koordinatenform: x= 2  2˜ λ  3˜ μ y= 3  2˜ λ  5˜ μ

|.5 |+ | . (-3)

E:

15 ˜ x  5 ˜ y  20 ˜ z = 35

|.3

|.1

|+ |+

z = 1  1˜ λ  1˜ μ

5˜ x 3˜ y= 1  4˜ λ

Ÿ

y 5˜ z = 8  3˜ λ

Ÿ

|.5

Ÿ

|.4

implizite Ebenengleichung

Beispiel 2.7.27: Ermitteln Sie eine Parameterform der Ebenengleichung, wenn die implizite Form der Ebenengleichung gegeben ist. E:

x 2˜ y z = 3

gegebene implizite Ebenengleichung

Seite 167

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Wir verwenden zwei Variable als Parameter (z. B. y = O und z = P) und setzen diese in die Gleichung ein: x 2˜ λ  μ = 3

Ÿ

x= 3  2˜ λ  μ

Damit erhalten wir die Koordinatenform: x=3-2O+P y= O z= P Und daraus folgt eine Parameterform:

§3 · §¨ 2 ·¸ §¨ 1 ·¸ o ¨ ¸ x = ¨0 ¸  λ ˜ ¨ 1 ¸  λ ˜ ¨0 ¸ ¨0 ¸ © ¹

¨0 ¸ © ¹

¨1 ¸ © ¹

Normalvektorform und Hess'esche Normalform der Ebenengleichung: Im Raum kann eine Ebene durch einen Punkt und einen ihrer Normalvektoren eindeutig bestimmt werden. o o o Es sei n z 0 ein Normalvektor der Geraden g (Abb. 2.7.17), x1 der Ortsvektor des gegebenen Punktes o o o P (x | y | z ) und X(x | y | z) ein beliebiger Punkt der Ebene. Weil die Vektoren x  x1 und n 1 1 1 1 aufeinander normal stehen, folgt: o o o oo o o n ˜ § x  x1· = 0 bzw. n ˜ x = n ˜ x1 © ¹

(2-103)

Wir nennen jede der beiden Gleichungen die Normalvektorform der Ebenengleichung in 3 . o  o  Wählen wir insbesondere in (2-103) einen Normalvektor en = n0, der auch Einheitsvektor ist, so nennen wir die Gleichung Hesse'sche Normalform (HNF) der Ebenengleichung im 3 : o o o oo  o o   n0 ˜ § x  x1· = 0 bzw. n0 ˜ x = n0 ˜ x1 © ¹

(2-104)

Nach Ausführung der Skalarmultiplikation in (2-104) erhalten wir die Normalform oder implizite Form der Ebenengleichung: nx ˜ x  ny ˜ y ˜ nz ˜ z = nx ˜ x1  ny ˜ y1  nz ˜ z 1 (= konstant)

(2-105)

Setzen wir nx ˜ x1  ny ˜ y1  nz ˜ z 1 = d, nx = a, ny = b und nz = c, so erhalten wir wieder die gleiche Form der impliziten Ebenengleichung wie in (2-102): a ˜ x  b ˜ y  c ˜ z  d = 0. Hieraus ist ersichtlich, dass die Koeffizienten a, b und c die Koordinaten eines Normalvektors einer Ebene E sind:

§a · o ¨ ¸ n = ¨b ¸

(2-106)

¨c ¸ © ¹

Seite 168

Vektoralgebra und analytische Geometrie

 o Mit dem Normalvektor als Einheitsvektor n0 = Normalform in Koordinatenschreibweise zu a˜ x b˜ y c˜ z  d 2

2

a b c

2

§¨ a ·¸ ˜ ¨ b ¸ ergibt sich die Hesse'sche 2 2 2 ¨ ¸ a b c ©c ¹ 1

= 0.

(2-107)

Abb. 2.7.17

Beispiel 2.7.28: Liegt der Punkt P(11| - 3 | 1) in der nachfolgend gegebenen Ebene?

§3 · §¨ 0 ·¸ §¨ 4 ·¸ o ¨ ¸ x = ¨ 1 ¸  λ ˜ ¨ 6 ¸  μ ˜ ¨ 2 ¸ ¨2 ¸ © ¹

¨5 ¸ © ¹

¨1 ¸ © ¹

§¨ 11 ·¸ §¨ 3 ·¸ §¨ 0 ·¸ §¨ 4 ·¸ ¨ 3 ¸ = ¨ 1 ¸  λ ˜ ¨ 6 ¸  μ ˜ ¨ 2 ¸ ¨1 ¸ ¨2 ¸ ¨5 ¸ ¨1 ¸ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹ μ μ

gegebene Ebene

λ λ

vereinfacht auf

§¨ 11 ·¸ §¨ 4 ˜ μ  3 ·¸ ¨ 3 ¸ = ¨ 2 ˜ μ  6 ˜ λ  1 ¸ ¨ 1 ¸ ¨ μ  5˜ λ  2 ¸ © ¹ © ¹

Redefinitionen

§¨ 4 ˜ μ  3 = 11 ·¸ §μ · ( μ λ )  ¨ 2 ˜ μ  6 ˜ λ  1 = 3 ¸ auflösen ¨ ¸ o ( 2 1 ) ©λ ¹ ¨ μ  5 ˜ λ  2 = 1 ¸ © ¹ §¨ 3 ·¸ §¨ 0 ·¸ §¨ 4 ·¸ xE ( λ μ)  ¨ 1 ¸  λ ˜ ¨ 6 ¸  μ ˜ ¨ 2 ¸ ¨2 ¸ ¨5 ¸ ¨1 ¸ © ¹ © ¹ © ¹

Die Vektorgleichung ist erfüllt, wenn P = 2 und O = -1 ist. Der Punkt P liegt also in der gegebenen Ebene.

Ebene als Funktion von O und P

Seite 169

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Punkt der Ebene

xE1 ( λ μ)  xE ( λ μ)

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm 3D-Rahmen Darstellung: Drahtmodell QuickPlot-Daten: Bereich 1 Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 20 Bereich 2 Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 20 Diagramm 2: Allgemein: Datenpunkte 3D-Rahmen Darstellung: keine Linien, Punkte zeichnen QuickPlot-Daten: Bereich 1 Beginn 0, Ende 0, Schrittweite 1 Bereich 2 Beginn 0, Ende 0, Schrittweite 1 xE xE1 Abb. 2.7.18 Beispiel 2.7.29: o Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene, die den Punkt P1 (2 | - 5 | 3) enthält und auf der der Normalvektor n steht.

§¨ 4 ·¸ n = ¨2 ¸ ¨5 ¸ © ¹ §¨ 4 ·¸ ª«§¨ x ·¸ §¨ 2 ·¸º» ¨ 2 ¸ ˜ «¨ y ¸  ¨ 5 ¸» = 0 ¨ 5 ¸ «¨ z ¸ ¨ 3 ¸» © ¹ ¬© ¹ © ¹¼ 4 ˜ x  2 ˜ y  5 ˜ z  13 = 0

gegebener Normalvektor

annehmen ALLE(S) = reell o 4 ˜ x  2 ˜ y  5 ˜ z  13 = 0 erweitern Ebenengleichung in impliziter Form

Beispiel 2.7.30: o Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene, die den Punkt P1 (2 | - 3 | -1) enthält und auf der der Normalvektor n steht. Wie lautet die Hesse'sche Normalform der Ebenengleichung? n = ex  2 ˜ ey  4 ˜ ez

gegebener Normalvektor in Komponentendarstellung

§¨ 1 ·¸ §¨ x ·¸ §¨ 1 ·¸ §¨ 2 ·¸ ¨ 2 ¸ ˜ ¨ y ¸ = ¨ 2 ¸ ˜ ¨ 3 ¸ annehmen x = reell y = reell z = reell o x  2 ˜ y  4 ˜ z = 4 ¨ 4 ¸ ¨ z ¸ ¨ 4 ¸ ¨ 1 ¸ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹ Seite 170

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Ebenengleichung in impliziter Form

x 2˜ y 4˜ z = 4

§¨ 1 ·¸ n  ¨ 2 ¸ ¨4 ¸ © ¹ n0 

1 n

n o

T

˜n

n0 o

ª«§¨ x ·¸ §¨ 2 ·¸º» n0 ˜ «¨ y ¸  ¨ 3 ¸» = 0 «¨ z ¸ ¨ 1 ¸» ¬© ¹ © ¹¼ x 2˜ y 4˜ z  4 1

21

21

Normalvektor in Koordinatendarstellung

§ 21 2 ˜ 21 4 ˜ 21 · ¨  ¸ 21 21 © 21 ¹

annehmen x = reell annehmen y = reell o

21 ˜ ( x  2) 21

Normalvektor als Einheitsvektor



2˜

21 ˜ ( y  3) 21



4˜

21 ˜ ( z  1) 21

annehmen z = reell

=0

Hesse'sche Normalform in Koordinatenform

2

Beispiel 2.7.31:

§3 · §¨ 0 ·¸ §¨ 4 ·¸ o ¨ ¸ Wie lautet die Hesse'sche Normalform der Ebene x = ¨ 1 ¸  λ ˜ ¨ 6 ¸  μ ˜ ¨ 2 ¸? ¨2 ¸ © ¹

§¨ 3 ·¸ x1  ¨ 1 ¸ ¨2 ¸ © ¹

¨1 ¸ © ¹

Ortsvektor zum Punkt P 1 der Ebene

§¨ 0 ·¸ a  ¨6 ¸ ¨5 ¸ © ¹

§¨ 4 ·¸ b  ¨2 ¸ ¨1 ¸ © ¹

n au b

n o 4˜

¨5 ¸ © ¹

n

Richtungsvektoren der Ebene

§¨ 4 ·¸ ¨ 20 ¸ ¨ 24 ¸ © ¹

ein Normalvektor der Ebene

Betrag des Normalvektors

62

4 ˜ x  20 ˜ y  24 ˜ z = n ˜ x1 o 20 ˜ y  4 ˜ x  24 ˜ z = 80 1 ˜ x  5 ˜ y  6 ˜ z  20 62

=0

implizite Form der Ebene

Hesse'sche Normalform der Ebene

Seite 171

=0

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Normalabstand eines Punktes von einer Ebene: o o o o Gegeben sei eine Ebene E: n ˜ § x  x1· = 0 und ein Punkt P mit dem Ortsvektor p (Abb. 2.7.19). © ¹  o o o Der Vektor von P nach P ergibt sich aus P1P = p  x1. Seine Projektion in die Richtung des 1

o  o o  o o Normalvektors n ergibt den Vektor P1D = d, der mit dem Vektor P2P der Länge d = d übereinstimmt.  o o Für die Projektion von P1P auf n gilt nach Gleichung (2-38): o  o ªo §o o· º o ª n ˜ P1Pº o « n ˜ © p  x1¹ » o »˜n=« d=« »˜n o 2 « o 2» « » n ¬ n ¼ ¬ ¼



(2-108)



Für den Betrag gilt dann: o d= d =

o o o o o o ª«on ˜ §op  o § · x1· º» o n ˜ § p  x1· o © ¹ ˜n = © ¹ ˜ n = n ˜ © p  x1¹ « » o 2 o 2 « on » n n ¬ ¼





(2-109)

 o Mit dem Normalvektor als Einheitsvektor n0 behält auch die in (2-96) formulierte Abstandsformel ihre Gültigkeit:  o o o a˜ x b˜ y c  z  d d = n0 ˜ § p  x1· bzw. in Koordinatenform d = © ¹ 2 2 2 a b c

Abb. 2.7.19

Seite 172

(2-110)

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Beispiel 2.7.32: o T Gegeben ist ein Punkt P1 (1 | 0 | 9) und ein Normalvektor n = ( 1 3 5 ) einer Ebene. Bestimmen Sie den Normalabstand des Punktes P(-2 | 1 | 3) zur Ebene.

§¨ 1 ·¸ n  ¨3 ¸ ¨5 ¸ © ¹

Normalvektor der Ebene

§¨ 1 ·¸ x1  ¨ 0 ¸ ¨9 ¸ © ¹ d

n0  d

§¨ 2 ·¸ p ¨ 1 ¸ ¨3 ¸ © ¹



Ortsvektor zum Punkt P1 und zum Punkt P



n ˜ p  x1

d

n 1 n

5.071

Abstand des Punktes P zur Ebene (2-109)

Normalvektor als Einheitsvektor

˜n





n0 ˜ p  x1

d

5.071

Abstand des Punktes P zur Ebene (2-110)

Beispiel 2.7.33: Berechnen Sie den Normalabstand des Punktes P(5 | 4 | -3) von der Ebene E: - 3 x - 4 y + 4 z - 5 = 0.

n0 

§¨ 3 ·¸ ˜ ¨ 4 ¸ 2 2 2 ¨ ( 3)  ( 4)  4 © 4 ¸¹ 1

§¨ 1 ·¸ x1  ¨ 0 ¸ ¨2 ¸ © ¹ d

genormter Normalvektor

§¨ 5 ·¸ p ¨ 4 ¸ ¨ 3 ¸ © ¹



Ortsvektor zum Punkt P 1 und zum Punkt P der Ebene



n0 ˜ p  x1

d

7.496

Normalabstand des Punktes P von der Ebene (2-110)

d

7.496

Normalabstand des Punktes P von der Ebene

oder:

d

3 ˜ 5  4 ˜ 4  4 ˜ ( 3)  5 2

2

2

( 3)  ( 4)  4

Seite 173

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Lagebeziehungen von Gerade und Ebene: Eine Gerade g und eine Ebene E können folgende Lagen zueinander haben: 1. g liegt in der Ebene 2. g und E sind zueinander parallel 3. g und E schneiden einander in einem Punkt Abstand einer Geraden von einer Ebene: o o o o o o Wir setzen voraus, dass g: x = x1  λ ˜ a parallel zu E: n ˜ § x  x0· = 0 verläuft. Dies ist nur dann der Fall, © ¹ o o oo wenn der Richtungsvektor a der Geraden senkrecht auf dem Normalvektor n steht, d. h. n ˜ a = 0 ist (Abb. 2.7.20). Mit den Überlegungen von vorher ((2-109) und (2-110)) gilt hier für den Abstand einer Geraden g von einer Ebene E: o o o n ˜ § x1  x0· © ¹ . d= o n

(2-111)

 o Mit dem Normalvektor als Einheitsvektor n0 ergibt sich dann:  o o o d = n0 ˜ § x1  x0· © ¹

(2-112)

Abb. 2.7.20

Beispiel 2.7.34: Wie groß ist der Abstand zwischen der Geraden g und der Ebene E? o x=

§¨ 0 ·¸ §¨ 1 ·¸ ¨ 1 ¸  λ ˜ ¨ 4 ¸ ¨ 1 ¸ ¨2 ¸ © ¹ © ¹

gegebene Gerade g

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Vektoralgebra und analytische Geometrie

§¨ 2 ·¸ ª«§¨ x ·¸ §¨ 1 ·¸º» ¨ 1 ¸ ˜ «¨ y ¸  ¨ 5 ¸» = 0 ¨ 3 ¸ «¨ z ¸ ¨ 2 ¸» © ¹ ¬© ¹ © ¹¼ x1 

a

n

x0 

§¨ 0 ·¸ ¨1 ¸ ¨ 1 ¸ © ¹ §¨ 1 ·¸ ¨ 4 ¸ ¨2 ¸ © ¹ §¨ 2 ·¸ ¨1 ¸ ¨3 ¸ © ¹ §¨ 1 ·¸ ¨5 ¸ ¨2 ¸ © ¹

n˜a

d

vereinfacht auf

2 ˜ x  13  y  3 ˜ z = 0

gegebene Ebene E

Punkt der Geraden g

Richtungsvektor der Geraden g

Normalvektor der Ebene

Punkt in der Ebene

Gerade und Ebene verlaufen parallel!

0





n ˜ x1  x0

d

n

4.009

Abstand der Geraden von der Ebene (2-111)

oder.: n0  d

1 n

Normalvektor als Einheitsvektor

˜n





n0 ˜ x1  x0

d

4.009

Abstand der Geraden von der Ebene (2-112)

Schnittpunkt und Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene: o o o o o o Wir setzen voraus, dass sich die Gerade g: x = x1  λ ˜ a und die Ebene E: n ˜ § x  x0· = 0 in einem © ¹ o Punkt S schneiden. Dies ist nur dann der Fall, wenn der Richtungsvektor a der Geraden nicht senkrecht o oo auf dem Normalvektor n steht, d. h. n ˜ a z 0 ist (Abb. 2.7.21). o Der Ortsvektor xs des Schnittpunktes S erfüllt dann sowohl die Geradengleichung als auch die Gleichung der Ebene: o o o o o o xs = x1  λs ˜ a und n ˜ § xs  x0· = 0 © ¹

(2-113)

Seite 175

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Durch Einsetzen der Geradengleichung in die Gleichung der Ebene erhalten wir den zu bestimmenden Parameter Os : o o o o o o o o o o o o o o oo n ˜ § xs  x0· = n ˜ § x1  λs ˜ a  x0· = n ˜ § x1  x0  λs ˜ a· = n ˜ § x1  x0·  λs ˜ n ˜ a = 0. Daraus folgt: © ¹ © ¹ © ¹ © ¹



o o o n ˜ § x0  x1· © ¹ λs = oo n˜ a

(2-114)

o Setzen wir diesen Wert in die Geradengleichung ein, so erhalten wir den Ortsvektor xs des Schnittpunktes S:

ªo § o o· º o o « n ˜ © x0  x1¹ » o oo xs = x1  ˜a ( n˜ a z 0) (2-115) o o « » n˜ a ¬ ¼ Für α = 90°  φ bzw. α = 90°  φ (ist abhängig von der Richtung des Normalvektors) lässt sich der o o Winkel aus dem Skalarprodukt der Vektoren n und a berechnen: oo n˜ a cos ( α) = o o (2-116) n ˜ a Mit dem Summensatz cos ( α) = cos ( 90°  / - φ) = cos ( 90°) ˜ cos ( φ)  / - sin ( 90°) ˜ sin ( φ) = +/- sin ( φ) erhalten wir unter Berücksichtigung, dass M im Intervall 0° dM d90° liegt und daher sin(M) positiv ist, aus (2-116): oo n˜ a sin ( φ) = o o (2-117) n ˜ a Daraus ergibt sich der Winkel M durch:

§ on ˜oa φ = arcsin ¨ o o ¨ © n ˜ a

· ¸ ¸ ¹

(2-118)

Abb. 2.7.21

Seite 176

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Beispiel 2.7.35: Eine Ebene und eine Gerade sind gegeben durch: a  11

b 5

c  4

d  10

E ( x y z ) = a ˜ x  b ˜ y  c ˜ z  d = 0

Ebenengleichung

§¨ 5 ·¸ x1  ¨ 5 ¸ ¨0 ¸ © ¹

Ortsvektor zum Punkt P1 und Richtungsvektor der Geraden

§¨ 2 ·¸ a  ¨1 ¸ ¨2 ¸ © ¹

Gesucht wird der Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene und der Winkel zwischen Gerade und Ebene. E ( x y z )  ( a ˜ x  b ˜ y  c ˜ z  d) z1 ( x y)  E ( x y z ) = 0 auflösen z o z1 ( 0 0)

11 ˜ x 4



5˜ y 4



5 2

2.5

§¨ 0 ·¸ x0  ¨ 0 ¸ ¨ 2.5 ¸ © ¹

ein Punkt der Ebene

§¨ a ·¸ n  ¨b ¸ ¨c ¸ © ¹ n˜a

Ebenengleichung nach z aufgelöst

Normalenvektor der Ebene

es gibt einen Schnittpunkt

19

ª n ˜  x0  x1 º »˜a xs  x1  « ¬ n˜a ¼ § a˜ n · ¸ © a ˜ n ¹

φ  asin ¨

§¨ 4.474 ·¸ xs ¨ 0.263 ¸ ¨ 9.474 ¸ © ¹

Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene

φ

Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene

29.8 ˜ Grad

Geradengleichung

g ( λ)  x1  λ ˜ a

Seite 177

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Streuungsdiagramm 3D-Rahmen Darstellung: Linien QuickPlot-Daten: Beginn 0, Ende 10, Schrittweite 20 Diagramm 2: Allgemein: Flächendiagramm 3D-Rahmen Darstellung: Fläche füllen QuickPlot-Daten: Bereich 1 Beginn 0, Ende 20, Schrittweite 20 Bereich 2 Beginn -10, Ende 5, Schrittweite 20 g z1 Abb. 2.7.22 Beispiel 2.7.36: Bestimmen Sie den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene.

§¨ 2 ·¸ §¨ 1 ·¸ OX  λ1  ¨ 5 ¸  λ1 ˜ ¨ 1 ¸ ¨4 ¸ ¨ 3 ¸ © ¹ © ¹

gegebene Gerade

§¨ 2 ·¸ §¨ 3 ·¸ §¨ 3 ·¸ OE ( λ μ)  ¨ 1 ¸  λ ˜ ¨ 1 ¸  μ ˜ ¨ 2 ¸ ¨1 ¸ ¨2 ¸ ¨ 5 ¸ © ¹ © ¹ © ¹

gegebene Ebene

§¨ 2 ·¸ §¨ 1 ·¸ §¨ 2 ·¸ §¨ 3 ·¸ §¨ 3 ¸· ¨ 5 ¸  λ1 ˜ ¨ 1 ¸ = ¨ 1 ¸  λ ˜ ¨ 1 ¸  μ ˜ ¨ 2 ¸ ¨4 ¸ ¨ 3 ¸ ¨ 1 ¸ ¨2 ¸ ¨ 5 ¸ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹

beide Terme gleichsetzen

Gleichungssystem umformen:

§¨ 1 ·¸ §¨ 3 ·¸ §¨ 3 ·¸ §¨ 2 ·¸ §¨ 2 ¸· λ1 ˜ ¨ 1 ¸  λ ˜ ¨ 1 ¸  μ ˜ ¨ 2 ¸ = ¨ 1 ¸  ¨ 5 ¸ ¨ 3 ¸ ¨2 ¸ ¨ 5 ¸ ¨ 1 ¸ ¨ 4 ¸ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹

vereinfacht auf

§¨ 3 ˜ λ  3 ˜ μ  λ1 ·¸ § 4 · ¨ ¸ ¨ 2˜ μ  λ  λ ¸ = ¨ 4 ¸ 1 ¨ ¸ ¨ ¸ ¨© 5 ˜ μ  2 ˜ λ  3 ˜ λ1 ¸¹ © 3 ¹

Koeffizientenmatrix A und Konstantenvektor c aufstellen:

§¨ 1 3 3 ·¸ A  ¨ 1 1 2 ¸ ¨ 3 2 5 ¸ © ¹ A

9

Koeffizientenmatrix

Reguläre Matrix, weil die Determinante ungleich 0 ist.

Seite 178

Vektoralgebra und analytische Geometrie

§¨ 4 ·¸ c  ¨ 4 ¸ ¨ 3 ¸ © ¹

Konstantenvektor

§ λ1 · ¨ ¸ 1 ¨λ ¸ A ˜c ¨ ¸ ©μ ¹

§ λ1 · ¨ ¸ ¨λ ¸ ¨ ¸ ©μ ¹

§¨ 5 ·¸ ¨ 1 ¸ ¨ 4 ¸ © ¹

Lösungsvektor

O1 in die Geradengleichung oder O und P in die Ebenengleichung einsetzen:



OX λ1

OE ( λ μ)

§¨ 7 ·¸ ¨ 10 ¸ ¨ 19 ¸ © ¹

Koordinaten des Schnittpunktes S(-7 | 10 | 19)

§¨ 7 ·¸ ¨ 10 ¸ ¨ 19 ¸ © ¹ Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Streuungsdiagramm 3D-Rahmen Darstellung: Linien QuickPlot-Daten: Beginn -10, Ende 10, Schrittweite 20 Diagramm 2: Allgemein: Flächendiagramm 3D-Rahmen Darstellung: Fläche füllen QuickPlot-Daten: Bereich 1 Beginn -5, Ende 10, Schrittweite 20 Bereich 2 Beginn -5, Ende 2, Schrittweite 20

OX OE Abb. 2.7.23 Beispiel 2.7.37: Bestimmen Sie den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene.

§¨ 6 ·¸ §¨ 4 ·¸ OX ( λ) = ¨ 2 ¸  λ ˜ ¨ 2 ¸ ¨3 ¸ ¨ 5 ¸ © ¹ © ¹

gegebene Gerade

2˜ x y 3˜ z = 2

gegebene Ebene

Seite 179

Vektoralgebra und analytische Geometrie

§¨ 6 ·¸ §¨ 4 ·¸ OX ( λ) = ¨ 2 ¸  λ ˜ ¨ 2 ¸ ¨3 ¸ ¨ 5 ¸ © ¹ © ¹

vereinfacht auf

§¨ 4 ˜ λ  6 ·¸ OX ( λ) = ¨ 2  2 ˜ λ ¸ ¨3  5 ˜ λ ¸ © ¹

Koordinaten der Geradengleichung in die Ebenengleichung einsetzen: 2 ˜ ( 4 ˜ λ  6)  ( 2  2 ˜ λ)  3 ˜ ( 3  5 ˜ λ) = 2 19  5 ˜ λ = 2

hat als Lösung(en)

vereinfacht auf

19  5 ˜ λ = 2

17 5

oder: f ( λ)  2 ˜ ( 4 ˜ λ  6)  ( 2  2 ˜ λ)  3 ˜ ( 3  5 ˜ λ)  2 mit dem Term der Geradengleichung eine Funktion festlegen Startwert λ1  1



λ  wurzel f λ1 λ1

λ

3.4

§¨ 1  4 ˜ λ ·¸ OX ( λ)  ¨ 2  2 ˜ λ ¸ ¨ 3  5˜ λ ¸ © ¹

OX ( λ)

gesuchter Parameter

vereinfachte Geradengleichung

§¨ 12.6 ·¸ ¨ 4.8 ¸ ¨ 14 ¸ © ¹

Ortsvektor zum Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene

Lagebeziehungen von zwei Ebenen: Zwei Ebenen E1 und E2 können folgende Lagen zueinander haben: 1. E1 und E2 fallen zusammen 2. E1 und E2 sind zueinander parallel 3. E1 und E2 schneiden sich längs einer Geraden Abstand zweier paralleler Ebenen

o o o o o o   Wir setzen voraus, dass die Ebenen E : n1 ˜ § x  x1· und E : n2 ˜ § x  x2· = 0 zueinander parallel sind. © ¹ © ¹ 1 2 o o   Dies ist nur dann der Fall, wenn die zugehörigen Normalvektoren n1 und n2 kollinear sind, d. h. o  o o  n1 u n2 = 0 ist (Abb. 2.7.24). Wir erhalten den Abstand zweier paralleler Geraden nach der Abstandsformel (2-111):  o o o n1 ˜ § x2  x1· © ¹ d= o  n2

.

(2-119)

Seite 180

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Abb. 2.7.24

Beispiel 2.7.38: Gegeben sind zwei Ebenen. Wie groß ist der Abstand der beiden Ebenen, wenn sie parallel liegen? E1 :

1 ˜ x  4 ˜ y  2 ˜ z  10 = 0

E2 :

2 ˜ x  8 ˜ y  4 ˜ z  2 = 0

gegebene Ebenen

E1 ( x y z )  1 ˜ x  4 ˜ y  2 ˜ z  10

Terme der Ebenen als Funktion definiert

E2 ( x y z )  2 ˜ x  8 ˜ y  4 ˜ z  2 x z E1 ( x y)  E 1 ( x y z ) = 0 auflösen z o  2 ˜ y  5 2 x

nach z aufgelöste Gleichungen der Ebenen

1

z E2 ( x y)  E 2 ( x y z ) = 0 auflösen z o  2 ˜ y  2 2 Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm 3D-Rahmen Darstellung: Fläche füllen, Drahtmodell QuickPlot-Daten: Bereich 1 Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 1 Bereich 2 Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 1 Diagramm 2: Allgemein: Flächendiagramm 3D-Rahmen Darstellung: Fläche füllen, Drahtmodell QuickPlot-Daten: Bereich 1 Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 1 Bereich 2 Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 1

z E1 z E2 Abb. 2.7.25

Seite 181

Vektoralgebra und analytische Geometrie

§¨ 1 ·¸ n1  ¨ 4 ¸ ¨2 ¸ © ¹

Normalvektor der Ebene E 1

§¨ 2 ·¸ n2  ¨ 8 ¸ ¨4 ¸ © ¹

Normalvektor der Ebene E 2

E1 ( 0 2 1)

0

§¨ 0 ·¸ x1  ¨ 2 ¸ ¨1 ¸ © ¹

Punkt der Ebene E 1

E2 ( 1 1 2)

0

§¨ 1 ·¸ x2  ¨ 1 ¸ ¨2 ¸ © ¹

Punkt der Ebene E 2

§¨ 0 ·¸ n1 u n2 ¨ 0 ¸ ¨0 ¸ © ¹

Die Ebenen liegen parallel!

d





n1 ˜ x2  x1 n1

d

1.964 Abstand der beiden Ebenen

oder: d





n2 ˜ x2  x1 n2

d

1.964

Schnittgerade und Schnittwinkel zweier Ebenen o o o o o o   Wir setzen voraus, dass sich die Ebenen E : n1 ˜ § x  x1· und E : n2 ˜ § x  x2· = 0 längs einer Geraden © ¹ © ¹ 1 2 o o   g schneiden. Dies ist nur dann der Fall, wenn die zugehörigen Normalvektoren n1 und n2 nicht kollinear o  o o  sind, d. h. n1 u n2 z 0 ist (Abb. 2.7.26). Für die Schnittgerade g wählen wir die Darstellung: o o o x = x0  λ ˜ a . (2-120) o o Der Ortsvektor x0 des auf der Geraden liegenden Punktes P und der Richtungsvektor a müssen noch 0 bestimmt werden.

Seite 182

Vektoralgebra und analytische Geometrie

o Der Richtungsvektor a kann aus dem Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren der Ebenen bestimmt werden, weil diese jeweils senkrecht auf der Schnittgeraden stehen: o  o a = n1 u n2 .

(2-121) o Der Punkt P liegt in beiden Ebenen, sodass der Ortsvektor x0 die Gleichungen der beiden Ebenen 0 erfüllen muss:  o o n1 ˜ § x0  © o n2 ˜ § x0  ©

o x1· = 0 , ¹ o x2· = 0 . ¹

(2-122)

Nach dem Ausmultiplizieren der beiden Gleichungen (2-122) erhalten wir ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei unbekannten Koordinaten x0 , y0 und z 0 des Punktes P0 :

 



 



 



n1x ˜ x0  x1  n1y ˜ y0  y1  n1z ˜ z 0  z 1 = 0, n2x ˜ x0  x1  n2y ˜ y0  y1  n2z ˜ z 0  z 1 = 0.

(2-123)

Eine der drei Koordinaten ist frei wählbar, z. B. kann man x0 = 0 setzen. Der Schnittwinkel M zweier Ebenen E1 und E2 ist der Winkel zwischen den zugehörigen Normalvektoren  o  o n1 und n2. Der Winkel kann nach Gleichung (2-35) berechnet werden:

§¨ φ = arccos ¨ ¨©

 o  o n1 ˜ n2  o  o n1 ˜ n2

·¸ ¸ ¸¹

(2-124)

Abb. 2.7.26

Seite 183

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Beispiel 2.7.39: Bestimmen Sie die Schnittgerade g und den Schnittwinkel der nachfolgend gegebenen Ebenen.

§¨ 1 ·¸ §¨ 1 ·¸ §¨ 0 ·¸ E1 ( λ μ)  ¨ 0 ¸  λ ˜ ¨ 0 ¸  μ ˜ ¨ 1 ¸ ¨1 ¸ ¨0 ¸ ¨ 1 ¸ © ¹ © ¹ © ¹

gegebene Ebenen

§¨ 1 ·¸ §¨ 1 ·¸ §¨ 0 ·¸ E2 ( λ μ)  ¨ 0 ¸  λ ˜ ¨ 0 ¸  μ ˜ ¨ 1 ¸ ¨1 ¸ ¨0 ¸ ¨1 ¸ © ¹ © ¹ © ¹ §¨ 1 ·¸ n1  ¨ 0 ¸ u ¨0 ¸ © ¹

§¨ 0 ·¸ ¨1 ¸ ¨1 ¸ © ¹

§¨ 0 ·¸ n1 ¨ 1 ¸ ¨1 ¸ © ¹

Normalvektor der Ebene E1

§¨ 1 ·¸ n2  ¨ 0 ¸ u ¨0 ¸ © ¹

§¨ 0 ·¸ ¨1 ¸ ¨ 1 ¸ © ¹

§¨ 0 ·¸ n2 ¨ 1 ¸ ¨1 ¸ © ¹

Normalvektor der Ebene E1

§¨ 2 ·¸ n1 u n2 ¨ 0 ¸ ¨0 ¸ © ¹

die Ebenen schneiden einander

a  n1 u n2

Richtungsvektor der Geraden g

x §¨ 0 ·¸ ª«§¨ 0 ·¸ §¨ 1 ·¸º» ¨ 1 ¸ ˜ «¨ y0 ¸  ¨ 0 ¸» = 0 ¨ 1 ¸ «¨ ¸ ¨ 1 ¸» © ¹ «¬¨© z 0 ¸¹ © ¹»¼

vereinfacht auf

y0  z 0  1 = 0

x §¨ 0 ·¸ ª«§¨ 0 ·¸ §¨ 1 ·¸º» ¨ 1 ¸ ˜ «¨ y0 ¸  ¨ 0 ¸» = 0 ¨ 1 ¸ «¨ ¸ ¨ 1 ¸» © ¹ «¬¨© z0 ¸¹ © ¹»¼

vereinfacht auf

y0  z 0  1 = 0

Vorgabe y0  z 0  1 = 0 y0  z 0  1 = 0





m  Suchen y0 z 0 o

x0

0

y0

1

§0 · ¨ ¸ ©1 ¹

§¨ x0 ·¸  m ¨ y0 ¸ © ¹ Damit ist x 0 = 0, y0 = 0 und z 0 = 1.

Seite 184

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Somit ist die Schnittgerade gegeben durch:

§¨ 0 ·¸ §¨ 2 ·¸ x1 ( λ)  ¨ 0 ¸  λ ˜ ¨ 0 ¸ ¨1 ¸ ¨0 ¸ © ¹ © ¹ § n1 ˜ n2 ¨© n1 ˜ n2

φ  acos ¨

·¸ ¸¹

φ

90 ˜ Grad

Schnittwinkel

Diagrammformat: Diagramm 1 und 2 Allgemein: Flächendiagramm 3D-Rahmen Darstellung: Fläche füllen QuickPlot-Daten: Bereich 1 Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 10 Bereich 2 Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 10 Diagramm3: Allgemein: Streuungsdiagramm 3D-Rahmen Darstellung: Linien QuickPlot-Daten: Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 20

E1 E2 x1 Abb. 2.7.27

2.7.4 Darstellung nichtlinearer geometrischer Gebilde In der parameterfreien Darstellung wird eine Ebene im 3 durch eine lineare Gleichung (2-94) dargestellt. Analog wird eine Gerade im 2 durch eine lineare Gleichung (2-72) dargestellt und eine Gerade im 3 kann als Schnitt zweier Ebenen durch zwei lineare Gleichungen dargestellt werden, wie im vorangegangenen Abschnitt gezeigt wurde. Auch andere geometrische Gebilde lassen sich in analoger Weise durch nichtlineare Gleichungen oder Ungleichungen beschreiben. Bereits bei der Verwendung quadratischer Gleichungen ergibt sich eine Vielzahl von geometrischen Gebilden: • Die durch Schnitt eines dreidimensionalen geraden Doppelkreiskegels mit einer Ebene entstehenden ebenen Kurven zweiter Ordnung im 2 werden als Kegelschnitte bezeichnet. Zu ihnen gehören Kreis, Ellipse, Hyperbel und Parabel. • Flächen zweiter Ordnung (Quadriken) im 3 : Kugel (Sphäre), Ellipsoid, zweischaliges Hyperboloid, einschaliges Hyperboloid, elliptischer Doppelkegel, elliptisches Paraboloid, hyperbolisches Paraboloid, elliptischer Zylinder, hyperbolischer Zylinder, parabolischer Zylinder etc.

Seite 185

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Kegelschnitte: Aus analytischer Sicht handelt es sich bei den verschiedenen Schnittfiguren um die Punktmengen, deren Koordinaten (x | y) einer algebraischen quadratischen Gleichung 2. Grades folgender Form genügen: 2

2

2

A˜ x  B˜ y  C˜ x  D˜ y  E = 0

2

( A  B z 0)

(2-125)

Die konstanten Koeffizienten dieser Gleichung entscheiden über die Art eines Kegelschnittes: A=B A˜ B ! 0, A z B A˜B 0 A = 0 , B z 0 oder B = 0 , A z 0

Kreis Ellipse Hyperbel Parabel

Kreis und Kreisscheibe: o Sei m 2 \ {0} und r > 0. Es heißt o o o2 o 2 2 2 2 2 2 k = { x  | x  m = r } = { x  | x  x0  y  y0 = r }











(2-126)

ein Kreis im 2 (Abb. 2.7.28). Der Kreis ist also der geometrische Ort aller Punkte X, die vom Kreismittelpunkt M den gleichen Abstand r besitzen:  MX = r = konstant .

(2-127)

Es heißt o o o2 2 o 2 2 2 2 2 K = { x  | x  m d r } = { x  | x  x0  y  y0 d r }











(2-128)

eine abgeschlossenen Kreisscheibe im 2 (Abb. 2.7.28). Die Gleichung

x  x0 2  y  y0 2 = r2

M(x | y ) 0

0

(2-129)

heißt Hauptform (Koordinatenform) der Gleichung des Kreises. Die Gleichung 2

2

2

x y =r

M(0 | 0)

(2-130)

heißt Mittelpunktsgleichung oder Normalform (Koordinatenform) der Gleichung des Kreises.

Seite 186

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Die Gleichungen (2-120) und (2-121) sind implizite Formen. Die Gleichung (2-130) kann explizit aufgelöst werden: 2

y=

2

r x 2

oberer Halbkreis 2

y= r  x

(2-131)

unterer Halbkreis

Von den möglichen Lagen einer Geraden zum Kreis (Passante, Tangente, Sekante) ist nur für die Tangente t (Abb. 2.7.28) eine allgemeine Gleichung interessant:

x1  x0 ˜ x  x0  y1  y0 ˜ y  y0 = r2

M(x | y ) und P (x | y ) 0

0

1

1

1

(2-132)

Es lässt sich jedoch für eine Gerade g: y = k ˜ x  d eine Berührbedingung herleiten, die Auskunft über die Lage einer Geraden g zu einem Kreis gibt:

x0 ˜ k  y0  d 2 = r2 ˜ k2  1

M(x | y ) 0

0

(2-133)

Abb. 2.7.28

Beispiel 2.7.40: Repräsentiert die nachfolgende algebraische Gleichung einen Kreis? Bestimmen Sie allenfalls den Mittelpunkt und den Radius. 2

2

x  y  4 ˜ x  6 ˜ y  23 = 0

gegebene algebraische Gleichung

Die gegebene Gleichung repräsentiert wegen A = B einen Kreis. Durch quadratische Ergänzung lässt sich die Kreisgleichung auf die folgende Hauptform bringen: 2

2

x  4 ˜ x  y  6 ˜ y = 23

ordnen der Glieder

x2  4 ˜ x  4  y2  6 ˜ y  9 = 23  4  9

quadratische Ergänzung

2

2

( x  2)  ( y  3) = 36

Hauptform der Kreisgleichung

Der Mittelpunkt ist daher M(2 | -3) und der Radius r = 6.

Seite 187

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Beispiel 2.7.41: Ermitteln Sie die Schnittpunkte, falls vorhanden, einer Geraden g mit einem Kreis. 2

2

( x  3)  ( y  1) = 50

gegebene Kreisgleichung

x y=6

gegebene Geradengleichung

Vorgabe 2

2

Lösung des Gleichungssystems

§ 4 2 · ¨ ¸ ©2 8 ¹

§¨ x1 x2 ·¸  X ¨ y1 y2 ¸ © ¹

( x  3)  ( y  1) = 50 x y=6

X  Suchen ( x y) o

x1 x2

4

y1 y2

2

2 Koordinaten der Schnittpunkte der Geraden mit dem Kreis

8

Beispiel 2.7.42: Ermitteln Sie den Schnittpunkt, falls vorhanden, einer Geraden g mit einem Kreis. Stellen Sie, wenn möglich, die Tangentengleichung im Berührungspunkt auf. 2

2

( x  3)  ( y  1) = 50

gegebene Kreisgleichung

x y=8

gegebene Geradengleichung

Die Geradengleichung kann explizit aufgelöst werden: y = x  8 k  1

d 8

Steigung und Achsenabschnitt der Geraden

x0  3

y0  1

Koordinaten des Mittelpunktes des Kreises

r

Radius des Kreises

50





ª x ˜ k  y  d 2 = r2 ˜ k2  1 º 0 ¬ 0 ¼

1

Die Berührbedingung (2-133) ist erfüllt (1 ... wahre Aussage)

Vorgabe 2

2

( x  3)  ( y  1) = 50

Lösung des Gleichungssystems

x y=8

§¨ x1 ·¸ §2 ·  Suchen ( x y) o ¨ ¸ ¨ y1 ¸ ©6 ¹ © ¹

x1

2

Seite 188

y1

6

Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden mit dem Kreis

Vektoralgebra und analytische Geometrie

x1 

§¨ x1 ·¸ ¨y ¸ © 1¹

x1

§2 · ¨ ¸ ©6 ¹

Ortsvektor zum Schnittpunkt P1

m

§¨ x0 ·¸ ¨y ¸ © 0¹

m

§ 3 · ¨ ¸ ©1 ¹

Ortsvektor zum Mittelpunkt des Kreises

Die Tangente t im Punkte P1 hat den Normalvektor: MP 1  x1  m

§5 · ¨ ¸ ©5 ¹

MP 1

Es ist daher auch n

§ 1 · ¨ ¸ © 1 ¹

ein Normalvektor. n ˜ x1 o 8 Die Geradengleichung lautet daher implizit bzw. explizit: x  y = 8 yo ( x)  1  yu ( x)  1 

bzw.

Vergleiche die gegebene Geradengleichung

y = x  8

50  ( x  3) 50  ( x  3)

2

oberer und unterer Halbkreis 2

Tangentengleichung

y ( x)  x  8

x0

yo( x)

20

10

yu( x) y1

Abb. 2.7.29 y0

y( x)  10

5

0

5

10

 10 x x x1 x

Seite 189

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Beispiel 2.7.43: Errichten Sie von einem Punkt P(8 | 6) aus die Tangenten an den folgenden Kreis: 2

2

( x  3)  ( y  1) = 5 x0  3 r

Koordinaten des Mittelpunktes des Kreises

y0  1

Radius des Kreises

5

Nach (2-124) gilt:

x1  x0 ˜ x  x0  y1  y0 ˜ y  y0 = r2

Tangente am Kreis



hat als Lösung(en)







xp  3 ˜ ( x  3)  yp  1 ˜ ( y  1) = 5

xp  8



yp  1

Koordinaten des Punktes P (auch Pol genannt)

yp  6





yp  ( x  3) ˜ xp  3  4



yp  ( x  3) ˜ xp  3  4 yp  1

o5 x

Term der sogenannten Polaren

Vorgabe 2

2

( x  3)  ( y  1) = 5

Schnitt des Kreises mit der sogenannten Polaren

y=5 x

§5 2 · X  Suchen ( x y) o ¨ ¸ ©0 3 ¹ x1

4

y1

2

x2

2

y2

8

§¨ x1 x2 ·¸  X ¨ y1 y2 ¸ © ¹ Koordinaten der Berührungspunkte der Tangenten (sie liegen auf der Polaren) Redefinition

y y Die Tangenten haben die Darstellung:

x1  x0 ˜ x  x0  y1  y0 ˜ y  y0 = r2 auflösen y

o9 x

x2  x0 ˜ x  x0  y2  y0 ˜ y  y0 = r2 auflösen y

o

ypol ( x)  x  5

5˜ x 7



3 7

Polare

y1t ( x)  2 ˜ x  10 y2t ( x) 

1 2

Tangentengleichungen ˜x 2

Seite 190

Vektoralgebra und analytische Geometrie

yo ( x)  1 

5  ( x  3)

yu ( x)  1 

5  ( x  3)

2

oberer und unterer Halbkreis 2

x0 yo( x) 5

yu( x) yp y1t( x) y2t( x)

y0

y1

0

5

Abb. 2.7.30

10

y2 ypol( x)

5 x x xp x x x1 x2 x

Ellipse: Für a, b > 0 beschreibt die Punktmenge

2  y  y0 2 = 1



x  x0 o 2 Ell = { x  | 2 a

2

}

(2-134)

b

die Hauptform einer Ellipse im 2 mit der Hauptachse a und Nebenachse b (Abb. 2.7.31). a und b werden auch Halbachsen genannt. Der Mittelpunkt ist gegeben durch M(x0 | y0 ). F1 und F2 heißen Brennpunkte. Die Brennweite e ist gegeben durch e 2 = a2 - b2 . Die Ellipse ist der geometrische Ort aller Punkte P, für die die Summe der Entfernungen von den Brennpunkten konstant ist:  P1F1  P2F2 = 2 ˜ a = konstant . Die Gleichung 2

x

2

a

2



y

2

2

2

2

(2-135)

2

2

2

= 1 oder b ˜ x  a ˜ y = a ˜ b

M(0 | 0)

b

heißt Mittelpunktsgleichung oder Normalform (Koordinatenform) der Gleichung der Ellipse.

Seite 191

(2-136)

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Die Gleichungen (2-126) und (2-128) sind implizite Formen. Die Gleichung (2-136) kann explizit aufgelöst werden: y=

b

˜

a b y= ˜ a

2

2

a x 2

(-a d x d a) 2

a x

oberer Teil der Ellipse

(2-137)

unterer Teil der Ellipse

Die Tangente t im Punkt P1 (Abb. 2.7.31) ist gegeben durch: 2

2

2

2

b ˜ x1 ˜ x  a ˜ y1 ˜ y = a ˜ b

M(0 | 0) und P (x | y ) 1

1

(2-138)

1

Es lässt sich auch hier für eine Gerade g: y = k ˜ x  d eine Berührbedingung herleiten: 2

2

2

2

a ˜k b =d

M(0 | 0)

(2-139)

Abb. 2.7.31

Beispiel 2.7.44: Wird durch die gegebene Kegelschnittgleichung eine Ellipse beschrieben? Wenn ja, bestimmen Sie die Ellipsengleichung. 2

2

16 ˜ x  4 ˜ y  10 ˜ x  20 ˜ y  15 = 0 Hier ist A = 16 und B = 4 und A B = 64 > 0. Es liegt eine Ellipse vor. 2

2

16 ˜ x  10 ˜ x  4 ˜ y  20 ˜ y = 15

ª

2

16 ˜ «x  2 ˜

¬ § ©

16 ˜ ¨ x 

5

10 2 ˜ 16 2

˜x

Glieder ordnen

2 § 5 · º»  4 ˜ ª«y2  2 ˜ 20 ˜ y  ¨ ¸ 2˜ 4 © 16 ¹ ¼ ¬

·  4 ˜ §y  ¸ ¨ 16 ¹ ©

5·

2

185

¸ = 2¹ 16

2 § 5 · º» = 15  25  25 ¨ ¸ 16 © 2¹ ¼

vereinfachte Gleichung

Seite 192

quadratische Ergänzung

Vektoralgebra und analytische Geometrie

§ ©

16 ˜ ¨ x 

5

· ¸ 16 ¹

2

185

§ ©

4 ˜ ¨y  

2

¸

2¹

185

16

§x  5 · ¨ ¸ 16 ¹ ©

5·

=1

umgeformte Gleichung

16 2

§y  5 · ¨ ¸ 2¹ © 

185

2

185

256

=1

Hauptform der Ellipse

64

Beispiel 2.7.45: Ermitteln Sie die Schnittpunkte, falls vorhanden, einer Geraden g mit einer Ellipse. 2

2

4 ˜ x  25 ˜ y = 100

gegebene Ellipsengleichung

2 ˜ x  3 ˜ y = 50

gegebene Gerade

Vorgabe 2

2

4 ˜ x  25 ˜ y = 100

Lösung des Gleichungssystems

2˜ x 3˜ y= 2

§ 15 ˜ 33 25 25 15 ˜ 33 · ¨   ¸ 34 34 34 34 ¨ ¸ X  Suchen ( x y) o ¨ 3 5 ˜ 33 5 ˜ 33 3 ¸ ¨   ¸ 17 17 17 ¹ © 17 x1

3.27

y1

1.513

x2

1.799

y2

1.866

§¨ x1 x2 ·¸  X ¨ y1 y2 ¸ © ¹

Koordinaten der Schnittpunkte der Geraden mit der Ellipse

Beispiel 2.7.46: Ermitteln Sie den Schnittpunkt, falls vorhanden, einer Geraden g mit einer Ellipse. Stellen Sie, wenn möglich, die Tangentengleichung im Berührungspunkt auf. 2

2

9 ˜ x  4 ˜ y = 36

gegebene Ellipsengleichung

4 ˜ x  2 ˜ y = 10

gegebene Geradengleichung

Die Geradengleichung kann explizit aufgelöst werden: y = 2 ˜ x  5 k  2

d 5

Steigung und Achsenabschnitt der Geraden

Seite 193

Vektoralgebra und analytische Geometrie

a 2

Halbachsen der Ellipse

b 3

a2 ˜ k2  b2 = d2

Die Berührbedingung (2-139) ist erfüllt (1 ... wahre Aussage)!

1

Vorgabe 2

Lösung des Gleichungssystems

2

9 ˜ x  4 ˜ y = 36 4 ˜ x  2 ˜ y = 10

§¨ 8 ·¸ ¨5¸ x  Suchen ( x y) o ¨9¸ ¨5¸ © ¹ §¨ x1 ·¸ ¨ y1 ¸ © ¹

x1 

x1

2

2

§¨ x1 ·¸  x ¨ y1 ¸ © ¹

§ 1.6 · ¨ ¸ © 1.8 ¹ 2

Ortsvektor zum Schnittpunkt P1

2

b ˜ x1 ˜ x  a ˜ y1 ˜ y = a ˜ b auflösen y o 5  2 ˜ x

2

2

3˜

yu ( x)  

( x  2) ˜ ( x  2) 2

3˜

vergleiche die gegebene Geradengleichung

ª 3 ˜ ( x  2) ˜ ( x  2) º « » Ellipsengleichung explizit aufgelöst 2 « » hat als Lösung(en) « 3 ˜ ( x  2) ˜ ( x  2) » « » 2 ¬ ¼

9 ˜ x  4 ˜ y = 36

yo ( x) 

Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden mit der Ellipse

oberer und unterer Teil der Ellipse

( x  2) ˜ ( x  2)

y ( x)  2 ˜ x  5

2 Tangentengleichung

Seite 194

Vektoralgebra und analytische Geometrie

4

a

a

3

b

2 yo( x)

1

yu( x) y1

3

2

1

0

1

2

3

Abb. 2.7.32

1

y( x)

2 3

b

4 x x x1 x

Hyperbel: Für a, b > 0 beschreibt die Punktmenge

2  y  y0 2 = 1



x  x0 o 2 Hyp = { x  | 2 a

2

}

(2-140)

b

die Hauptform einer Hyperbel im 2 mit der Hauptachse a und Nebenachse b (Abb. 2.7.33). a und b werden auch Halbachsen genannt. Der Mittelpunkt ist gegeben durch M(x0 | y0 ). F1 und F2 heißen Brennpunkte. S1 und S2 heißen Scheitelpunkte der Hyperbel. Die Brennweite e ist gegeben durch e2 = a2 + b2 . Die Hyperbel ist der geometrische Ort aller Punkte P 1 , für die die Differenz der Entfernungen von den Brennpunkten konstant ist:  P1F1  P2F2 = 2 ˜ a = konstant .

(2-141)

Die Gleichung 2

x

2

a

2



y

2

2

2

2

2

2

2

= 1 oder b ˜ x  a ˜ y = a ˜ b

M(0 | 0)

(2-142)

b

heißt Mittelpunktsgleichung oder Normalform (Koordinatenform) der Gleichung der Hyperbel.

Seite 195

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Die Gleichungen (2-140) und (2-142) sind implizite Formen. Die Gleichung (2-142) kann explizit aufgelöst werden: y=

b

2

2

˜ x a a b 2 2 y= ˜ x  a a

(| x | ta)

oberer Teil der Hyperbel

(2-143)

unterer Teil der Hyperbel

Die Tangente t im Punkt P1 (Abb. 2.7.33) ist gegeben durch: 2

2

2

2

b ˜ x1 ˜ x  a ˜ y1 ˜ y = a ˜ b

M(0 | 0) und P (x | y ) 1

1

1

(2-144)

Es lässt sich auch hier für eine Gerade g: y = k ˜ x  d eine Berührbedingung herleiten: 2

2

2

2

a ˜k b =d

M(0 | 0)

(2-145)

Die Hyperbel besitzt zwei Asymptoten, die durch M gehen: b y = y0  ˜ x  x0 a





M(x | y ) 0

0

(2-146)

b y = y0  ˜ x  x0 a





Abb. 2.7.33

Beispiel 2.7.47: Wird durch die gegebene Kegelschnittgleichung eine Hyperbel beschrieben? Wenn ja, bestimmen Sie die Hyperbelgleichung. 2

2

4 ˜ x  9 ˜ y  16 ˜ x  72 ˜ y  164 = 0 Hier ist A = 4 und B = -9 und A B = -36 < 0. Es liegt eine Hyperbel vor. 2

2

4 ˜ x  16 ˜ x  9 ˜ y  72 ˜ y = 164

Glieder ordnen

Seite 196

Vektoralgebra und analytische Geometrie

§ ©

16

2

4 ˜ ¨x  2 ˜

72 § 2 2· 2 2 ˜ y  4 ¸ = 164  4 ˜ 2  9 ˜ 4 ¸  9 ˜ ¨y  2 ˜ 2˜ 9 ¹ © ¹

2·

2˜ 4

˜x 2

2

2

4 ˜ ( x  2)  9 ˜ ( y  4) = 36 4 ˜ ( x  2)

2

36 ( x  2)

2

9





9 ˜ ( y  4) 36

( y  4)

quadratische Ergänzung

vereinfachte Gleichung

2

=1

umgeformte Gleichung

2

4

=1

Hauptform der Ellipse

Der Mittelpunkt ist M(-2 | 4), die Halbachsen a = 3, b = 2. Beispiel 2.7.48: Ermitteln Sie die Schnittpunkte, falls vorhanden, einer Geraden g mit einer Hyperbel. 2

2

x  2˜ y = 7

gegebene Hyperbelgleichung

x  y = 2

gegebene Gerade

Vorgabe 2

2

x  2˜ y = 7 x  y = 2

X  Suchen ( x y) o

§ 3 5 · ¨ ¸ © 1 3 ¹

x1

3

y1

1

x2

5

y2

3

§¨ x1 x2 ·¸  X ¨ y1 y2 ¸ © ¹

Lösung des Gleichungssystems

Koordinaten der Schnittpunkte der Geraden mit der Hyperbel

Beispiel 2.7.49: Ermitteln Sie den Schnittpunkt, falls vorhanden, einer Geraden g mit einer Hyperbel. Stellen Sie, wenn möglich, die Tangentengleichung im Berührungspunkt auf. 2

2

gegebene Hyperbelgleichung

x y =9 5 4

˜x y=

9 4

gegebene Geradengleichung

Die Geradengleichung kann explizit aufgelöst werden: y=

5 4

˜x

9 4

Seite 197

Vektoralgebra und analytische Geometrie

k

5

9

d

4

a 3

Steigung und Achsenabschnitt der Geraden

4

Halbachsen der Hyperbel

b 3

a2 ˜ k2  b2 = d2

Die Berührbedingung (2-145) ist erfüllt (1 ... wahre Aussage)!

1

Vorgabe 2

2

x y =9 5 4

˜x y=

9 4

§¨ x1 ·¸ §5 ·  Suchen ( x y) o ¨ ¸ ¨ y1 ¸ ©4 ¹ © ¹ x1 

§¨ x1 ·¸ ¨ y1 ¸ © ¹

x1

§5 · ¨ ¸ ©4 ¹

Lösung des Gleichungssystems

Ortsvektor zum Schnittpunkt P1

y y

Redefinition

2

2

2

2

b ˜ x1 ˜ x  a ˜ y1 ˜ y = a ˜ b auflösen y o

2

2

hat als Lösung(en)

x y =9

5˜ x 4



9 4

§  x2  9 · ¨ ¸ ¨ 2 ¸ © x 9 ¹

vergleiche die gegebene Geradengleichung

Hyperbelgleichung explizit aufgelöst

2

yo ( x) 

x 9 oberer und unterer Teil der Hyperbel 2

yu ( x)   x  9

y ( x) 

5 4

˜x

y1t ( x)  x

9 4

Tangentengleichung

Asymptoten

y2t ( x)  x

Seite 198

Vektoralgebra und analytische Geometrie

20 yo( x) 10

yu( x) y1 y( x)

 10

5

0

5

10

y1t( x) y2t( x)

Abb. 2.7.34

 10

 20 x x x1 x x x

Parabel: Für p > 0 beschreibt die Punktmenge o 2 2 Par = { x  | y  y0 = 2 ˜ p ˜ x  x0 } (2-147) die Hauptform einer Parabel im 2 (Abb. 2.7.35). F heißt Brennpunkt und S(x0 | y0 ) Scheitelpunkt.  p Die Strecke SF = e = wird Brennweite genannt. 2 Die Parabel ist der geometrische Ort aller Punkte P, die von einem festen Punkt F (Brennpunkt) und einer festen Geraden (Leitlinie) gleich weit entfernt sind:









  PF = PQ . Die Gleichung

(2-148)

2

y = 2˜ p˜ x

S(0 | 0)

(2-149)

heißt Scheitelgleichung der Parabel in 1. Hauptlage. Für p > 0 und xt0 (bzw. xtx0 ) ist die Parabel nach rechts geöffnet. Für p < 0 und x d 0 (bzw. x d x0 ) ist die Parabel nach links geöffnet. 2

x = 2˜ p˜ y

S(0 | 0)

(2-150)

heißt Scheitelgleichung der Parabel in 2. Hauptlage. Für p > 0 und yt0 (bzw. yty0 ) ist die Parabel nach oben geöffnet. Für p < 0 und y d 0 (bzw. y d y0 ) ist die Parabel nach unten geöffnet. Die Tangente t im Punkt P1 (Abb. 2.7.35) ist gegeben durch:





y1 ˜ y = p ˜ x1  x

S(0 | 0) und P1 (x1 | y1 )

(2-151)

Es lässt sich auch hier für eine Gerade g: y = k ˜ x  d eine Berührbedingung herleiten: p = 2˜ k˜ d

M(0 | 0)

(2-152)

Seite 199

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Abb. 2.7.35

Beispiel 2.7.50: Wird durch die gegebene Kegelschnittgleichung eine Parabel beschrieben? Wenn ja, bestimmen Sie die Parabelgleichung. 2

y  2 ˜ x  4 ˜ y  10 = 0 Hier ist A = 0 und B = 1 (z0). Es liegt eine Parabel vor. 2

Glieder ordnen

y  4 ˜ y = 2 ˜ x  10 2

2

2

quadratische Ergänzung

y  4 ˜ y  2 = 2 ˜ x  10  2 2

vereinfachte Gleichung

2

Hauptform der Parabel

( y  2) = 2 ˜ x  14 ( y  2) = 2 ˜ ( x  7)

Der Scheitelpunkt ist S(2 | -7) und der Parameter p = 1. Beispiel 2.7.51: Ermitteln Sie die Schnittpunkte, falls vorhanden, einer Geraden g mit einer Parabel. 2

y = 4˜ x

gegebene Parabelgleichung

2 ˜ x  5 ˜ y = 12

gegebene Gerade

Vorgabe 2

y = 4˜ x 2 ˜ x  5 ˜ y = 12

X  Suchen ( x y) o

x1

4

y1

4

§¨ x1 x2 ·¸  X ¨ y1 y2 ¸ © ¹

§4 9 · ¨ ¸ ©4 6 ¹ x2

9

y2

6

Lösung des Gleichungssystems

Koordinaten der Schnittpunkte der Geraden mit der Parabel

Seite 200

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Beispiel 2.7.52: Bestimmen Sie den Schnittpunkt, falls vorhanden, einer Geraden g mit einer Parabel. Stellen Sie, wenn möglich, die Tangentengleichung im Berührungspunkt auf. 2

gegebene Parabelgleichung

y = 6˜ x 3

x  y =

gegebene Geradengleichung

2

Die Geradengleichung kann explizit aufgelöst werden: 3

y= 1˜ x

2

k 1

3

d

Steigung und Achsenabschnitt der Geraden

2

Parameter p

p 3 ( p = 2 ˜ k ˜ d)

Die Berührbedingung (2-152) ist erfüllt (1 ... wahre Aussage)!

1

Vorgabe 2

y = 6˜ x 3

x  y =

2

§3· §¨ x1 ·¸  Suchen ( x y) o ¨ 2 ¸ ¨ y1 ¸ ¨ ¸ © ¹ ©3¹ x1 

§¨ x1 ·¸ ¨y ¸ © 1¹

x1

Lösung des Gleichungssystems

§ 1.5 · ¨ ¸ © 3 ¹

Ortsvektor zum Schnittpunkt P1 Redefinition

y y 3 y1 ˜ y = p ˜ x1  x auflösen y o x  2



2

hat als Lösung(en)

y = 6˜ x

yo ( x) 



6˜

yu ( x)   6 ˜

y ( x)  x 

3 2

vergleiche die gegebene Geradengleichung

§ 6 ˜ x· ¨ ¸ © 6˜ x ¹

Parabelgleichung explizit aufgelöst

x oberer und unterer Teil der Parabel x

Tangentengleichung

Seite 201

Vektoralgebra und analytische Geometrie

15

p

10 yo( x) 5

yu( x) y1 y( x)

 10

5

0

5

10

Abb. 2.7.36

5

 10 x x x1 x

Flächen 2. Ordnung: Quadratische Gleichungen im dreidimensionalen Raum beschreiben gekrümmte Flächen. Diese Flächen besitzen eine Gleichung der Form: 2

2

2

A˜ x  B˜ y  C˜ z  D = 0

(2-153)

Die Form der Fläche bestimmen die Koeffizienten A, B, C und die Konstante D. Allgemein können die Raumflächen in verschiedenen Formen dargestellt werden: z = f ( x y)

explizite Darstellung

(2-154)

F ( x y z ) = 0

implizite Darstellung

(2-155)

x = x ( λ μ) , y = y ( λ μ) , z = z ( λ μ)

Parameterdarstellung

(2-156)

Nachfolgend werden Kugel, Ellipsoid, Hyperboloid, Kegel, Paraboloid und Zylinder kurz dargestellt. Kugel: Mittelpunktsgleichung oder Normalform: 2

2

2

2

x y z =r

(2-157)

Parameterdarstellung (Abb. 2.7.37) mit den Parametern -  [0, S] (Polwinkel) und M [0, 2 S[ (Azimutwinkel): x = r ˜ sin ( ϑ) ˜ cos ( φ) y = r ˜ sin ( ϑ) ˜ sin ( φ) z = r ˜ cos ( ϑ)

(2-158)

Seite 202

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Abb. 2.7.37

Beispiel 2.7.53: Stellen Sie grafisch eine Kugel und eine schneidende Ebene in einem Koordinatensystem dar (Quickplot). z E ( x y) 

1 3

˜x

1 3

˜ y  0.5

gegebene Ebene

x ( φ ϑ)  2 ˜ sin ( ϑ) ˜ cos ( φ) y ( φ ϑ)  2 ˜ sin ( ϑ) ˜ sin ( φ)

gegebener Kreis in Parameterdarstellung

z ( φ ϑ)  2 ˜ cos ( ϑ)

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm 3D-Rahmen Darstellung: Fläche füllen QuickPlot-Daten: Bereich 1 Beginn -2, Ende 2, Schrittweite 1 Bereich 2 Beginn -2, Ende 2, Schrittweite 12 Diagramm 2: Allgemein: Flächendiagramm 3D-Rahmen Darstellung: Fläche füllen, Drahtmodell QuickPlot-Daten: Bereich 1 Beginn 0, Ende 6.28, Schrittweite 50 Bereich 2 Beginn 0, Ende 3.14, Schrittweite 50 z E ( x y z ) Abb. 2.7.38

Seite 203

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Beispiel 2.7.54: Eine Kurve f(x) soll auf einer Kugeloberfläche so dargestellt werden, dass sich die Kurve auf der Kugeloberfläche dreht. ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

m  40

n  40

i  0  m

j  0  n

φi  i ˜

2π

ϑj  j ˜

m



Bereichsvariablen für die Kugel

π

Parameterwerte Mj (Azimutwinkel) und -i (Polwinkel)

n



Xki j  sin ϑj cos φi

 

Parameterdarstellung einer Kugel in Matrixform (siehe dazu nächstes Kapitel)

Yki j  sin ϑj sin φi



Zki j  cos ϑj

f ( x)  0.5 ˜ sin ( x)

2

n  300

k  0  n

a  10 ˜ π

x1 k  k ˜

gegebene Kurve Bereichsvariable für die Kurve a n

Vektor der x-Werte



˜ cos §¨ 2π ˜

k  FRAME ·



˜ sin §¨ 2π ˜

k  FRAME ·





xpk  cos f x1 k

ypk  cos f x1 k

©

©

n

n

¸ ¹

¸ ¹

Parameterdarstellung der gegebenen Kurve

zp k  sin f x1 k

Animation: z. B. FRAME von 0 bis 50

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Streuungsdiagramm 3D-Rahmen Darstellung: Linien Diagramm 2: Allgemein: Flächendiagramm 3D-Rahmen Darstellung: Fläche füllen, Umrisslinien

( xp yp zp ) ( Xk Yk Zk) Abb. 2.7.39

Seite 204

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Ellipsoid: Mittelpunktsgleichung (kanonische Form oder Normalform) eines Ellipsoids (Abb. 2.7.40) mit den Halbachsen a > 0, b > 0 und c > 0: 2

x

2

a

2



y

2



b

z c

2 2

=1

(2-159)

Parameterdarstellung mit den Parametern M und -: x = a ˜ sin ( ϑ) ˜ cos ( φ) y = b ˜ sin ( ϑ) ˜ sin ( φ) z = c ˜ cos ( ϑ)

(2-160)

Abb. 2.7.40

Beispiel 2.7.55: Stellen Sie grafisch ein Ellipsoid für folgende gegebene Halbachsen dar: a 3

b 2

§¨ a ˜ sin ( ϑ) ˜ cos ( φ) ·¸ Ell ( φ ϑ)  ¨ b ˜ sin ( ϑ) ˜ sin ( φ) ¸ ¨ ¸ c ˜ cos ( ϑ) © ¹

c 1

gegebene Halbachsen

Parameterdarstellung der Ellipse

Seite 205

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: Fläche füllen, Drahtmodell QuickPlot-Daten: Bereich 1 Beginn 0, Ende 6.28, Schrittweite 50 Bereich 2 Beginn 0, Ende 3.14, Schrittweite 50 Beleuchtung: Beleuchtung aktivieren Schema 1 Ell Abb. 2.7.41 Beispiel 2.7.56: Stellen Sie grafisch ein Ellipsoid mit Parametergleichungen in Matrixform dar. a 3

b 2

m  40

n  40

i  0  m

j  0  n

φi  i ˜

2π m

ϑj  j ˜



c 1

gegebene Halbachsen

Bereichsvariablen

π

Parameterwerte Mi und -j

n



Xei j  a ˜ sin ϑj cos φi

Parameterdarstellung eines Ellipsoids in Matrixform (siehe dazu nächstes Kapitel)

 

Yei j  b ˜ sin ϑj sin φi



Zei j  c ˜ cos ϑj

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: Fläche füllen, Drahtmodell Beleuchtung: Beleuchtung aktivieren Schema 1

( Xe Ye Ze) Abb. 2.7.42

Seite 206

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Hyperboloid: Mittelpunktsgleichung (kanonische Form oder Normalform) eines Hyperboloids mit den Halbachsen a > 0, b > 0 und c > 0: 2

x

2

2



a

2

a

2



b

2

x

y

c

2



y

2

z



b

z c

2 2

=1

(einschalig - Abb. 2.7.43)

(2-161)

= 1

(zweischalig - Abb. 2.7.44)

(2-162)

2 2

Parameterdarstellung (Abb. 2.7.43) mit dem Parameter M: x=

2

2

2

2

a  z ˜ cos ( φ)

(2-163)

y = b  z ˜ sin ( φ) z=c˜z

Abb. 2.7.43

Abb. 2.7.44

Beispiel 2.7.57: Stellen Sie grafisch ein einschaliges Hyperboloid dar. a 2

b 2

c 1

gegebene Halbachsen

§ a2  z2 ˜ cos ( φ) · ¨ ¸ ¨ ¸ Hyperboloid ( φ z )  ¨ b2  z 2 ˜ sin ( φ) ¸ ¨ ¸ c˜z © ¹ Seite 207

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: Fläche füllen, Drahtmodell QuickPlot-Daten: Bereich 1 Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 50 Bereich 2 Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 50 Beleuchtung: Beleuchtung aktivieren Schema 1

Hyperboloid Abb. 2.7.45

Beispiel 2.7.58: Stellen Sie ein zweischaliges Hyperboloid grafisch dar.

2

x

2

2



a

a 1

y

2

b



z c

§ c ˜ a2 ˜ b2  a2 ˜ y2  b2 ˜ x2 ¨ ¨ a˜ b ¨ ¨ c ˜ a2 ˜ b2  a2 ˜ y2  b2 ˜ x2 ¨ a˜ b ©

2 2

= 1

hat als Lösung(en)

b 1

Hyperboloid_pos ( x y) 

gegebene Halbachsen

c 2

c˜

2

2

· ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹

2

2

2

2

a ˜b  a ˜y  b ˜x a˜ b

Hyperboloid im positiven Bereich

Hyperboloid im negativen Bereich

Hyperboloid_neg ( x y)  Hyperboloid_pos ( x y)

Seite 208

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: Fläche füllen, Drahtmodell QuickPlot-Daten: Bereich 1 Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 20 Bereich 2 Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 20 Diagramm 2: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: Fläche füllen, Drahtmodell QuickPlot-Daten: Bereich 1 Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 20 Bereich 2 Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 20 Beleuchtung: Beleuchtung aktivieren Schema 1

Hyperboloid_pos Hyperboloid_neg Abb. 2.7.46 Kegel:

Mittelpunktsgleichung (kanonische Form oder Normalform) eines Kegels (Abb. 2.7.47) mit den Halbachsen a > 0, b > 0 und c > 0: 2

x

2

a

2



y

2

b



z c

2 2

=0

(2-164)

Abb. 2.7.47

Seite 209

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Beispiel 2.7.59: Es soll ein Kegel und eine Ebene, die den Kegel schneidet, dargestellt werden. i  0  40

j  0  40

Xki j 

§ j  20 · ˜ cos § 2 ˜ π ˜ i · ¨ ¸ ¨ ¸ © 10 ¹ © 40 ¹

Yki j 

§ j  20 · ˜ sin § 2 ˜ π ˜ i · ¨ ¸ ¨ ¸ © 10 ¹ © 40 ¹

Zki j 

10

Xei j  0.5 

Zei j 

Parameterdarstellung für einen Kegel in Matrixform (siehe dazu nächstes Kapitel)

j  20

Ebenenneigung

φ  30 ˜ Grad

Yei j 

Bereichsvariablen

§ j  20 · ˜ sin ( φ) ¨ ¸ © 8 ¹

i  20

Parameterdarstellung für eine Ebene in Matrixform (siehe dazu nächstes Kapitel)

8 j  30

§¨ Xk ·¸ K  ¨ Yk ¸ ¨ Zk ¸ © ¹

8

˜ cos ( φ)  1.1

§¨ Xe ·¸ E  ¨ Ye ¸ ¨ Ze ¸ © ¹

Matrizen in einem Vektor zusammengefasst

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: Fläche füllen, keine Linien Diagramm 2: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: Fläche füllen, keine Linien Beleuchtung: Beleuchtung aktivieren Schema 1

K E Abb. 2.7.48

Seite 210

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Paraboloid: Mittelpunktsgleichung (kanonische Form oder Normalform) eines Paraboloids mit a > 0, b > 0 und dem Parameter p > 0: 2

x

2

2



a

2

2

= 2˜ p˜ z

(elliptisches Paraboloid- Abb. 2.7.49)

(2-165)

= 2˜ p˜ z

(hyperbolisches Paraboloid - Abb. 2.7.50)

(2-166)

b

2

x

y

2



a

y

2

b

Abb. 2.7.49

Abb. 2.7.50

Beispiel 2.7.60: Stellen Sie ein elliptisches Paraboloid grafisch dar. a 2

b 3

c 2

gegebene Daten

§ x2 y2 · ¸ EllParaboloid ( x y)  c ˜ ¨  ¨ a2 b2 ¸ © ¹

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: Fläche füllen, Drahtmodell QuickPlot-Daten: Bereich 1 Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 20 Bereich 2 Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 20

EllParaboloid Abb. 2.7.51

Seite 211

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Beispiel 2.7.61: Stellen Sie ein hyperbolisches Paraboloid grafisch dar. a 2

b 2

c 2

§ x2 y2 · ¸ HypParaboloid ( x y)  c ˜ ¨  ¨ a2 b2 ¸ © ¹

HypParaboloid HypParaboloid Abb. 2.7.52

gegebene Daten

Funktionsdefinition

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: Fläche füllen, Drahtmodell QuickPlot-Daten: Bereich 1 Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 20 Bereich 2 Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 20 Diagramm 2: Allgemein: Umrissdiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: Umrisse füllen, Umrisslinien QuickPlot-Daten: Bereich 1 Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 20 Bereich 2 Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 20

Beispiel 2.7.62: Es soll ein elliptischer Paraboloidspiegel dargestellt werden. Im Fokus dieses Spiegels soll eine Lichtquelle in Form einer kleinen Kugel leuchten. N  60 i  0  N φi 

2π

i

N

1

Xki j 

2 1

Yki j  Zki j 

rj 

j  0  N

2 1 2

10 ˜ j N

ϑj 

π§

N· ¨j  ¸ N© 2¹



Bereichsvariable für die Kugel Parameterwerte Mj (Azimutwinkel) und -i (Polwinkel)



˜ sin ϑj cos φi

 

˜ sin ϑj sin φi

Parameterdarstellung einer Kugel in Matrixform (siehe dazu nächstes Kapitel)



˜ cos ϑj

Radien in einem Vektor gespeichert

Seite 212

Vektoralgebra und analytische Geometrie



Pxi j  rj cos φi



Parameterdarstellung für einen elliptischen Paraboloidspiegel in Matrixform (siehe dazu nächstes Kapitel)

Pyi j  rj sin φi

Pzi j 

rj 2 16

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: Fläche füllen, keine Linien Diagramm 2: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: Fläche füllen, keine Linien Beleuchtung: Beleuchtung aktivieren Licht 1 bis 4 ein

( Px Py Pz) ( Xk Yk Zk  1) Abb. 2.7.53 Zylinder: Mittelpunktsgleichung (kanonische Form oder Normalform) eines Zylinders mit den Halbachsen a > 0 und b > 0: 2

x

2

2



a

y

2

=1

(elliptischer Zylinder)

(2-167)

b

Für a = b = r ergibt sich ein gerader Zylinder. 2

x

2

a

2



y

2

=1

(hyperbolischer Zylinder)

(2-168)

b

Parameterdarstellung für den elliptischen Zylinder mit dem Parameter M: x = a ˜ cos ( φ) y = b ˜ sin ( φ) z=z

(2-169)

Seite 213

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Beispiel 2.7.63: Stellen Sie einen elliptischen Zylinder grafisch dar. a 5

gegebene Halbachsen

b 1

§¨ a ˜ cos ( φ) ·¸ EllZylinder ( φ z )  ¨ b ˜ sin ( φ) ¸ ¨ ¸ z © ¹

Parameterdarstellung eines elliptischen Zylinders

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: Fläche füllen, Drahtmodell QuickPlot-Daten: Bereich 1 Beginn 0, Ende 6.28, Schrittweite 50 Bereich 2 Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 50

EllZylinder Abb. 2.7.54 Beispiel 2.7.64: Stellen Sie einen hyperbolischen Zylinder grafisch dar.

2

x

2

2



a

a 2

y

2

=1

b

b 7

hat als Lösung(en)

§ b ˜ x2  a2 ¨ ¨ a ¨ ¨ b ˜ x2  a2 ¨ a ©

· ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹

hyperbolischer Zylinder

gegebene Daten

HypZylinder_pos ( x y) 

b˜

2

2

x a a

hyperbolischer Zylinder als Funktion definiert

HypZylinder_neg ( x y)  HypZylinder_pos ( x y)

Seite 214

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: Fläche füllen, Drahtmodell QuickPlot-Daten: Bereich 1 Beginn 2, Ende 3, Schrittweite 50 Bereich 2 Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 50 Diagramm 2: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: Fläche füllen, Drahtmodell QuickPlot-Daten: Bereich 1 Beginn 2, Ende 3, Schrittweite 50 Bereich 2 Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 50 HypZylinder_pos HypZylinder_neg Abb. 2.7.55 Beispiel 2.7.65: Auf einem geraden Zylindermantel soll sich eine Kurve f(x) durch Animation drehen. i  0  40

j  0  40

Bereichsvariablen

§ 2 ˜ π ˜ i· ¸ © 40 ¹

Xzi j  cos ¨

§ 2 ˜ π ˜ i· ¸ © 40 ¹

Yzi j  sin ¨

Parameterdarstellung eines geraden Zylinders in Matrixform (siehe dazu nächstes Kapitel)

j  20

Zz i j 

10

n  500

k  0  n

f ( x)  sin ( x) ˜ cos ( 2 ˜ x)

ª ¬

§ k  5 ˜ FRAME ·º ¸» n © ¹¼

ª ¬

§ k  5 ˜ FRAME ·º ¸» n © ¹¼

Bereichsvariable gegebene Funktion

x1 k  cos «2π ˜ ¨ y1k  sin «2π ˜ ¨

Parameterdarstellung der gegebenen Funktion (Die Punkte x1k, y1k liegen auf einem Kreis mit Radius 1, die Punkte z1k liegen darüber in der Höhe f(xk))

§ k ˜ 10 ˜ π · ¸ n © ¹

z1k  f ¨

Seite 215

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Animation z. B. mit FRAME von 0 bis 50. Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Streuungsdiagramm Achsenformat: Kein Darstellung: Linien Diagramm 2: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat: Kein Darstellung: Fläche füllen, Drahtmodell ( x1 y1 z1) ( Xz Yz Zz ) Abb. 2.7.56 Beispiel 2.7.66: Ein ebener Zylinder soll durch eine Ebene geschnitten werden. i  0  40

j  0  40

Bereichsvariablen

§ 2 ˜ π ˜ i· ¸ © 40 ¹

Xzi j  2 ˜ cos ¨

§ 2 ˜ π ˜ i· ¸ © 40 ¹

Yzi j  2 ˜ sin ¨ Zz i j 

j  20 10 Neigungswinkel der Ebene

φ  60 ˜ Grad Xei j 

Parameterdarstellung eines geraden Zylinders in Matrixform (siehe dazu nächstes Kapitel)

j  20 8

˜ sin ( φ)

Yei j 

i  20 8

Zei j 

j  30 8

˜ cos ( φ)  0.6

Parameterdarstellung einer Ebene in Matrixform

Die Ellipse als ebener Zylinderschnitt.

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat: Kein Darstellung: Fläche Füllen, keine Linien, Punkte zeichnen Diagramm 2: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat: Kein Darstellung: Fläche füllen, Drahtmodell ( Xz Yz Zz ) ( Xe Ye Ze) Abb. 2.7.57

Seite 216

Matrizenrechnung

3. Matrizenrechnung Die Matrizenrechnung hat für die schnelle Erfassung und die quantitative Auswertung ökonomischer und technologischer Prozesse immer größere Bedeutung gewonnen. Immer wenn wir uns mit großen Mengen von Daten beschäftigen müssen, organisieren wir die Daten in Datenreihen (Vektoren) oder Tabellen (Matrizen), um die Berechnungen übersichtlicher zu machen. Vektoren (siehe Kapitel 2) und Matrizen sind grundlegende Begriffe der linearen Algebra und linearen Optimierung. Rechenoperationen mit Vektoren und Matrizen vereinfachen die Beschreibung komplizierter Berechnungen, z. B. die Lösung von linearen Gleichungssystemen. Matrizen kommen aber auch in der Statistik zur Anwendung (Datenmatrix, Korrelationsmatrix). Wie bereits im Abschnitt 2.4 ausgeführt wurde, gehören die Räume der n-Tupel zu den einfachsten und grundlegendsten Vektorräumen. Das Musterbeispiel dafür ist der n, auf dem eine Addition und eine skalare Multiplikation elementweise definiert ist. Ein Trippel (V, +, .), bestehend aus einer Menge V, einer Abbildung (genannt Addition) + : V x V oV , (x,y) |ox + y

(3-1)

und einer Abbildung (genannt skalare Multiplikation), . : x V oV , (O, x) |oO x

(3-2)

heißt ein reeller Vektorraum, wenn für die Abbildungen "+" und "." die Gesetze (2-2) bis (2-5) und (2-11) bis (2-13) erfüllt sind. Weitere Beispiele für Vektorräume sind Polynome vom Grad n d 3 oder Matrizen mit m Zeilen und n Spalten (kurz (m x n)-Matrizen).

3.1 Reelle Matrizen Unter einer reellen (m x n)-Matrix oder Matrix vom Typ (m, n) verstehen wir ein rechteckiges Schema reeller Zahlen mit m Zeilen und n Spalten. Die reellen Zahlen in der Matrix heißen Elemente oder Koeffizienten der Matrix. Die Elemente einer Matrix A werden durch a i k = a i, k bezeichnet, wobei i = 1, 2, ..., m Zeilenindex und k = 1, 2, ..., n Spaltenindex genannt wird.

§ a1 1 .... a1 n · ¨ ¸ A = ¨ ... .... ... ¸ =  ai k ¨a ¸ © m 1 .... am n ¹

(3-3)

Matrizen werden in der Regel mit Großbuchstaben A, B, C, ... abgekürzt. Eine Matrix A kann auch in der Form (a ik) = (a i, k ) geschrieben werden. Nachfolgend werden allgemein Matrizen und die Elemente der Matrizen in Fettschreibweise dargestellt. Um zu zeigen, dass die (m x n)-Matrizen einen Vektorraum mxn bilden, müssen wir auf diese eine Addition und eine skalare Multiplikation (wie auf Vektoren, Abschnitt 2.4) definieren (O ):

ai k  bi k = ai k  bi k

(3-4)

bzw.

§ a1 1 .... a1 n · § b1 1 .... b1 n · § a1 1  b1 1 .... a1 n  b1 n · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ... .... ... ¨ ... .... ... ¸  ¨ ... .... ... ¸ = ¨ ¸ ¨a ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © m 1 .... am n ¹ © bm 1 .... bm n ¹ © am 1  bm 1 .... am n  bm n ¹

Seite 217

Matrizenrechnung

Die Subtraktion von Matrizen kann auf die Addition zurückgeführt werden:

ai k  bi k = ª¬ai k  bi k º¼

(3-5)

Zwei Matrizen A und B vom gleichen Typ (m,n) werden addiert bzw. subtrahiert, indem wir die entsprechenden Matrixelemente addieren bzw. subtrahieren!







λ ai k = λ ai k bzw.

(3-6)

§ a1 1 .... a1 n · § λ a1 1 .... λ a1 n · ¨ ¸ ¨ ¸ λ ¨ ... .... ... ¸ = ¨ ... .... ... ¸ ¨a ¸ ¨ ¸ © m 1 .... am n ¹ © λ am 1 .... λ am n ¹ Jetzt müssten noch die Gesetze (2-2) bis (2-5) und (2-11) bis (2-13) nachgerechnet werden, was jedoch dem Leser überlassen wird. Matrizen vom gleichen Format (m,n) bilden den Vektorraum mxn . Spezielle Matrizen: a) Nullmatrix: Eine (m x n)-Matrix, deren Elemente aus lauter Nullen besteht, heißt Nullmatrix.

§¨ 0 .... 0 ·¸ O = ¨ .... .... .... ¸ ¨ 0 .... 0 ¸ © ¹

(3-7)

b) Einheitsmatrix: Eine (n x n)-Matrix (n-reihige quadratische Matrix oder Matrix n-ter Ordnung), deren Hauptdiagonalelemente gleich 1 sind (ai,i = 1 mit i = 1, 2, ..., n), heißt n-reihige Einheitsmatrix E.

§1 ¨ ¨0 E= ¨ .... ¨ ©0

0

....

0

· ¸ 1 .... 0 ¸ .... .... .... ¸ ¸ 0 ...0... 1 ¹

(3-8)

c) Diagonalmatrix: Eine (n x n)-Matrix (n-reihige quadratische Matrix oder Matrix n-ter Ordnung), deren Elemente außerhalb der Hauptdiagonale gleich 0 sind (ai,k = 0 für i z k), heißt Diagonalmatrix.

§¨ a1 1 0 ¨ 0 a2 2 ¨ ¨ .... .... ¨ 0 0 ©

....

0

·¸ .... 0 ¸ ¸ .... .... ¸ .... an n ¸¹

(3-9)

Seite 218

Matrizenrechnung

d) Dreiecksmatrix: Eine (n x n)-Matrix (n-reihige quadratische Matrix oder Matrix n-ter Ordnung) wird als obere bzw. untere Dreiecksmatrix bezeichnet, wenn alle Elemente ober- bzw. unterhalb der Hauptdiagonalen verschwinden (ai,k = 0 für i < k bzw. ai,k = 0 für i > k).

§¨ a1 1 0 ¨ a2 1 a2 2 ¨ ¨ .... .... ¨ an 1 an 2 ©

....

0

§¨ a1 1 a1 2 ·¸ ¨ 0 a2 2 .... 0 ¸ ¸ bzw. ¨ .... .... ¸ ¨ .... .... ¸ ¨ 0 0 ..... an n ¹ ©

.... a1 n ·

¸ .... a2 n ¸ ¸ .... .... ¸ .... an n ¸¹

(3-10)

e) Symmetrische Matrix: Eine (n x n)-Matrix (n-reihige quadratische Matrix oder Matrix n-ter Ordnung) A = (ai,k ) heißt symmetrisch, wenn für alle i und k (i,k = 1, 2, ..., n) gilt:

ai k = ak i .

(3-11)

Die Elemente einer symmetrischen Matrix sind also spiegelsymmetrisch zur Hauptdiagonalen angeordnet. f) Schiefsymmetrische Matrix: Eine (n x n)-Matrix (n-reihige quadratische Matrix oder Matrix n-ter Ordnung) A = (ai,k ) heißt schiefsymmetrisch, wenn für alle i und k (i,k = 1, 2, ..., n) gilt:

ai k = ak i .

(3-12)

Die Hauptdiagonalelemente einer schiefsymmetrischen Matrix sind alle 0. Für i = k gilt nach (3-12) nämlich: ai, i = - ai,i und damit 2 ai, i = 0. g) Spaltenmatrix: Eine (m , 1)-Matrix mit nur einer Spalte wird Spaltenmatrix oder m-dimensionaler Spaltenvektor genannt (siehe dazu Abschnitt 2.4).

§¨ a1 ·¸ ¨ a2 ¸ Am 1 = ¨ ¸ ¨ ... ¸ ¨ am ¸ © ¹

(3-13)

h) Zeilenmatrix: Eine (1 , n)-Matrix mit nur einer Zeile wird Zeilenmatrix oder n-dimensionaler Zeilenvektor genannt.



A1 n = a1 a2 .... an



(3-14)

Eine (m x n)- Matrix enthält demnach genau m Zeilenvektoren A m,1 m und n Spaltenvektoren A1, n n. Eine (1x1)-Matrix ist eine Zahl!

Seite 219

Matrizenrechnung

Bemerkung: In Mathcad kann für den Index i und k der Beginn (Ursprung) über die Systemvariable ORIGIN festgelegt werden. Ist z. B. der ORIGIN := 0, so ist der Zeilenindex durch i = 0, 1, 2, ..., m-1 und der Spaltenindex durch k = 0, 1, 2, ..., n-1 festgelegt. Zur Auswahl der Zeilen- und Spaltenvektoren ist der Operator M< > (Matrixspalte) aus der Symbolleiste Matrix vorgesehen. Beispiel 3.1.1: In Mathcad können Matrizen auf verschiedene Art und Weise erzeugt werden (siehe dazu auch Band 1, Einführung in Mathcad): Erzeugen einer Matrix oder eines Vektors mithilfe der Symbolleiste Matrix:

§¨ ¨ ¨ ©

·¸ ¸ ¸ ¹

Mit der Tabulatortaste kann von einem Platzhalter zum anderen gesprungen werden. Dies ermöglicht eine schnelle Eingabe der Matrixelemente. Es können hiermit maximal (10x10)-Matrizen erzeugt werden.

Große Matrizen lassen sich, z. B. wie folgt, erzeugen: ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

m  20

Anzahl der Zeilen und Spalten

n  20

i  1  m

Bereichsvariablen (Matrizen-Indizes)

k  1  n Erzeugen einer Matrix

Mi k  i k 1

M

1 2 3 4 5 6 7 8

2

3

4

5

6

7

1 2

2 4

3 6

4 8

5 10

6 12

7 14

3 4 5 6 7 8

6 8 10 12 14 16

9 12 15 18 21 24

12 16 20 24 28 32

15 20 25 30 35 40

18 24 30 36 42 48

21 28 35 42 49 ...

Die nicht sichtbaren Matrixelemente können mithilfe von Laufleisten eingesehen werden.

Weitere Möglichkeiten: Einlesen von reinen ASCII-Dateien als Matrizen, in denen die Zahlenwerte spaltenförmig angeordnet sind. Einlesen von Bereichen eines EXCEL-Files als Matrizen. Es können auch Texte (Strings) in den Zellen enthalten sein. Diese werden in der Matrix unter Anführungszeichen dargestellt. Eingefügte Tabellen können ebenfalls als Matrizen behandelt werden.

Seite 220

Matrizenrechnung

Beispiel 3.1.2: Bestimmung des größten oder kleinsten Wertes und Sortieren von Matrixelementen:

§¨ 8 1 2 ·¸ A  ¨ 6.9 3 6 ¸ ¨ 2 4 10 ¸ © ¹

gegebene Matrix

max ( A)

min ( A)

10

ª« §¨ 3 ·¸º» max «17 A 46 ¨ 5 ¸» « ¨ 18 ¸» ¬ © ¹¼

ª« §¨ 3 ¸·º» min «17 A 46 ¨ 5 ¸» « ¨ 18 ¸» ¬ © ¹¼

46

§¨ 2 4 10 ·¸ ¨ 6.9 3 6 ¸ ¨ 8 1 2 ¸ © ¹

spsort ( A 1)

Größter und kleinster Wert der Matrix A.

3

18

Größter und kleinster Wert von Zahlen, einer Matrix und eines Vektors.

spsort(A, n) gibt eine Matrix zurück, deren Zeilen so umgeordnet werden, bis die Werte in der Spalte n in aufsteigender Reihenfolge angeordnet sind.

Beispiel 3.1.3: Der Vektorisierungsoperator aus der Symbolleiste Matrix: o π ·· ¨§ §¨ π ¸¸ 2 ¸¸ ¨ ¨ sin ¨¨ π π ¸¸

¨¨ ©© 3

4

¸¸ ¹¹

1 · § 0 ¨ ¸ © 0.866 0.707 ¹

 o § § 0.2 10.0 6.5 · · log ¨ ¨ ¸¸ © © 1 8.7 1000.0 ¹ ¹

oder

𠨧 sin ( π) sin §¨ ·¸ ·¸ © 2¹ ¸ ¨ ¨ § π· § π· ¸ ¨ sin ¨ ¸ sin ¨ ¸ ¸ © © 3¹ © 4¹ ¹

§ 0.699 1 0.813 · ¨ ¸ 0.94 3 ¹ © 0

oder

§ log ( 0.2) log ( 10.0) log ( 6.5) · ¨ ¸ © log ( 1) log ( 8.7) log ( 1000.0) ¹

§ 0.699 1 0.813 · ¨ ¸ 0.94 3 ¹ © 0

 o 2 §¨ 1 4 ·¸ ¨ 2 6 ¸ ¨3 2 ¸ © ¹

 o § 1 1 ·

¨ ¸ ¨ 2 6 ¸ ! 0 ¨ 5 9 ¸ © ¹

§¨ 1 16 ·¸ ¨ 4 36 ¸ ¨9 4 ¸ © ¹ §¨ 0 1 ·¸ ¨1 0 ¸ ¨1 0 ¸ © ¹

 o 4 25 § ·

¨ ¸ © 16 9 ¹

§2 5 · ¨ ¸ ©4 3 ¹

logischer Vergleich

Seite 221

1 · § 0 ¨ ¸ © 0.866 0.707 ¹

Matrizenrechnung

Beispiel 3.1.4: Auffinden von Matrixelementen mithilfe eines Unterprogramms: ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

§¨ 1 5 10 ·¸ M ¨ 5 3 0 ¸ ¨ 4 2 7 ¸ © ¹

gegebene Matrix

c ( x)  x = max ( M) c1 ( x)  x = min ( M)

logische Bedingungen zur Elementauswahl

c2 ( x)  ( x ! 3) ( x  6)

UND-Verknüpfung

Finden ( M c ) 

im1 Am0 for m  1  zeilen ( M) for n  1  spalten ( M)





if c Mm n = 1 ¢i² §m · A m¨ ¸ ©n¹

Funktion zum Auffinden von Matrixelementen (erstellt mit der Symbolleiste Programmierung)

imi1 A A  Finden ( M c )

A

§1 · ¨ ¸ ©3 ¹

Maximum beim Element A1,3

A  Finden ( M c1)

A

§3 · ¨ ¸ ©1 ¹

Minimum beim Element A3,1

A  Finden ( M c2)

A

§1 2 · ¨ ¸ ©2 1 ¹

Elemente x > 3 und x < 7, also hier die Zahl 5, beim Element A1,2 und A2,1

Beispiel 3.1.5: Erzeugen einer Matrix Z von Funktionswerten: ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

f ( x y)  sin ( x  y)

gegebene Funktion

xu  2π

xo  2π

Endwerte des x-Bereichs

yu  π

yo  π

Endwerte des y-Bereichs

xn  40

yn  20

Anzahl der Punkte

Seite 222

Matrizenrechnung

i  0  xn  1

k  0  yn  1

Bereichsvariable

xo  xu xi  xu  i xn  1

Vektor der x-Werte

yo  yu yk  yu  k yn  1

Vektor der y-Werte



Zi k  f xi yk



Matrix der z-Werte

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat: Rundum Achsen: Automatische Gitterwerte, nummeriert, Beschriftung Darstellung: Fläche füllen, Farbschema Drahtmodell, Volltonfarbe

Z Abb. 3.1.1 2

2

f ( x y)  x  y

gegebene Funktion

m  20

Anzahl der Zeilen der Matrix

n  20

Anzahl der Spalten der Matrix

Z  matrix ( m n f)

Matrix der z-Werte

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat: Ecke Achsen: Automatische Gitterwerte, nummeriert, Beschriftung Darstellung: Fläche füllen, Farbschema Drahtmodell, Farbschema Hintergrundebene füllen

Z Abb. 3.1.2

Seite 223

Matrizenrechnung

Beispiel 3.1.6: Elektrisches Potential von 3 Punktladungen: i  0  80 xi  yk 

6 80

Bereichsvariablen

k  0  80

Vektor der x-Werte

i

6 80

Vektor der y-Werte

k

K  9 u 10

9

Konstante Konstante

ε  0.002 x1  1.0

y1  2.5

z1  0

x2  4.0

y2  2.5

z2  0

x3  2.5

y3  3.

z3  0

q1  10 u 10

6

q2  10 u 10 q3  10 u 10

Koordinaten der Punktladungen

6

Ladungen

6

z-Wert über der x-y-Ebene

z  0.3

V1 ( x y) 

V2 ( x y) 

V3 ( x y) 

K q1

x  x1 2  y  y1 2  z  z1 2  ε K q2

x  x2 2  y  y2 2  z  z2 2  ε K q3

x  x3 2  y  y3 2  z  z3 2  ε

V ( x y)  V1 ( x y)  V2 ( x y)  V3 ( x y)



Potentialanteile

Vi k  V xi yk



Gesamtpotential der Punktladungen

Potentialmatrix

Seite 224

Matrizenrechnung

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Umrissdiagramm Achsen: Automatische Gitterwerte, nummeriert Darstellung: keine Füllung, Umrisslinien, Volltonfarbe

V Abb. 3.1.3

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat: Rundum Achsen: Automatische Gitterwerte, nummeriert, Beschriftung Darstellung: Umrisse füllen, Drahtmodell, Volltonfarbe

V Abb. 3.1.4 Beispiel 3.1.7: Der in Abb. 3.1.5 dargestellte mechanische Gelenksmechanismus soll in einer Animation gezeigt werden.

Gegebene Parameter: a 2 R  0.7 φ  45Grad

Abb. 3.1.5

Seite 225

 Abstand AB der fix verankerten Gelenke in A und B  Abstand BC des verschiebbaren Gelenks in C Winkel

Matrizenrechnung

ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

i  0  36

Bereichsvariable

φi  45Grad  10Grad i

verschiedene Winkel M in einem Vektor zusammengefasst

Aus der Geometrie folgt:

§ R sin  φi · ¸ © a  R cos  φi ¹

verschiedene Winkel D in einem Vektor zusammengefasst

α i  atan ¨

si 

R sin φi 2  R cos φi  a 2

verschiedene Abstände AC in einem Vektor zusammengefasst

Die Anfangs- und Endpunkte (Punkte mit den x-, y- und z-Koordinaten) des Mechanismus werden zeilenweise in einer Matrix zusammengefasst: 0 0 ª« 0 a1 « « a1  b1 cos ( c1) b1 sin ( c1) M ( a1 b1 c1 d1 )  « «( a1  2b1 )cos ( d1 ) ( a1  2b1 )sin ( d1 ) « 0 0 ¬

 o M a R φ0 α 0





0· 0 §¨ 0 ¸ 0¸ 0 ¨ 2 ¨ 2.495 0.495 0 ¸ ¨ ¸ ¨ 3.335 0.662 0 ¸ ¨ 0 ¸ 0¹ 0 ©

0º

»

0»

» » 0» » 0¼ 0

Die Koordinaten der Anfangs- und Endpunkte der gegenwärtigen Position

¢i² ¢0² X1  M a R φi α i





¢i² ¢1² Y1  M a R φi α i





Koordinaten aller möglichen Punkte (Matrixspalten)

¢i² ¢2² Z1  M a R φi α i





Für die Animation wird die Variable i für den i-ten Spaltenvektor durch den Parameter FRAME ersetzt: ¢FRAME² X  X1

¢FRAME² Y  Y1

§¨ 0 ·¸ ¨ 2 ¸ ¨ 2.495 ¸ ¨ ¸ ¨ 3.335 ¸ ¨ 0 ¸ © ¹

§¨ 0 ·¸ ¨ 0 ¸ ¨ 0.495 ¸ ¨ ¸ ¨ 0.662 ¸ ¨ 0 ¸ © ¹

X

Y

¢FRAME² Z  Z1

Z

§¨ 0 ·¸ ¨0 ¸ ¨0 ¸ ¨ ¸ ¨0 ¸ ¨0 ¸ © ¹

Seite 226

Matrizenrechnung

FRAME von 0 bis 36 für eine Umdrehung

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Streuungsdiagramm Achsenformat: Kein Achsen: Automatische Gitterwerte, Achsenbegrenzungen: X-Achse: Mindestwert -3, Höchstwert 6 Y-Achse: Mindestwert -3, Höchstwert 3 Z-Achse: Mindestwert -1, Höchstwert 1 Darstellung: Linien, Volltonfarbe Punkte zeichnen, Symbol Felder, Farbschema ( X Y Z) Abb. 3.1.6 Beispiel 3.1.8: Geben Sie für die unter a) bis f) angegebenen speziellen Matrizen jeweils ein Beispiel an. O=

§0 0 0 · ¨ ¸ ©0 0 0 ¹

§1 ¨ ¨0 E= ¨0 ¨ ©0

eine (2x3)-Nullmatrix

0 0 0·

¸

1 0 0¸

eine (4x4)-Einheitsmatrix

0 1 0¸

¸

0 0 1¹

§¨ 1 0 0 ·¸ D = ¨ 0 4 0¸ ¨ 0 0 5¸ © ¹ a

eine (3x3)-Diagonalmatrix

§2 · ¨ ¸ ©5 ¹

diag ( a)

§¨ 1 0 0 ·¸ UD = ¨ 2 2 0 ¸ ¨ 8 0 7¸ © ¹ §3 ¨ ¨0 OD = ¨0 ¨ ©0

§2 0 · ¨ ¸ ©0 5 ¹

Die Funktion diag erzeugt aus einem Vektor eine Diagonalmatrix.

eine (3x3)-Untere Dreiecksmatrix (oder untere Dreiecksmatrix 3. Ordnung)

4 0 1 · 7

¸

6 0¸

0

0 9¸

0

0 1¹

eine (4x4)-Obere Dreiecksmatrix (oder obere Dreiecksmatrix 4. Ordnung)

¸ Seite 227

Matrizenrechnung

§¨ 2 5 3 ·¸ S=¨5 6 4 ¸ ¨ 3 4 8 ¸ © ¹

eine symmetrische Matrix (3x3)

2

gegebene Funktion

f ( i k )  i ( k  1)  5 Matrix_Symmetrisch ( n f ) 

for i  ORIGIN  n  ORIGIN  1

Unterprogramm zur Erzeugung einer symmetrischen Matrix (erstellt mit der Symbolleiste Programmierung)

for k  ORIGIN  i

 Mi k m f ( i k)

Mk i m Mi k



M

S1  Matrix_Symmetrisch ( 4 f)

Matrix_Schiefsymmetrisch ( n f) 

S1

§ 5 ¨ ¨ 4 ¨ 1 ¨ ©4

4 1

4

· ¸ 3 3 13 ¸ 3 7 22 ¸ ¸ 13 22 31 ¹

symmetrische (4x4)-Matrix

for i  ORIGIN  n  ORIGIN  1 for k  ORIGIN  i

 Mi k m f ( i k)

Mk i m Mi k

M

SS  Matrix_Schiefsymmetrisch ( 4 f)

3.1.1 Transposition

§5 ¨ ¨ 4 SS ¨ 1 ¨ ©4

4

1



Unterprogramm zur Erzeugung einer schiefsymmetrischen Matrix (erstellt mit der Symbolleiste Programmierung)

4

· ¸ 3 3 13 ¸ 3 7 22 ¸ ¸ 13 22 31 ¹

schiefsymmetrische (4x4)-Matrix

Ist A = (a i, k ) mxn , so heißt die durch (a i, k T) = (a k, i)

(3-15)

definierte Matrix AT = (ai, k T) nxm die transponierte Matrix von A. Die Transposition bedeutet also das Vertauschen von Zeilen und Spalten. Für die Transposition gelten folgende Rechengesetze: T

AT

=A

(3-16)

T

T

T

( A  B) = A  B T

(3-17)

T

( λA) = λ A

(3-18)

Die Transposition ist wegen (3-17) und (3-18) eine sogenannte lineare Abbildung! Eine Abbildung L: V o W von Vektorräumen heißt linear, wenn sie Addition und Multiplikation mit Skalaren enthält, also L(v1 +v2 ) = L(v1 ) +L(v2 ), L(O v) = O L(v).

Seite 228

Matrizenrechnung

Beispiel 3.1.9: Wie lauten die Zeilen- und Spaltenvektoren der gegebenen Matrix A? Wandeln Sie zeilenweise und spaltenweise die Matrix A in einen Vektor um. A

§ 2 5 1 · ¨ ¸ © 3 4 9 ¹

gegebene (2 x 3)-Matrix

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

¢1² a1s  A

a1s

¢2² a2s  A

a2s

¢3² a3s  A

a3s

§2 · ¨ ¸ ©3 ¹ §5 · ¨ ¸ © 4 ¹ § 1 · ¨ ¸ ©9 ¹

1. Spaltenvektor 2. Spaltenvektor

3. Spaltenvektor

¢1²T

T a1z  ª¬( A) º¼

a1z

( 2 5 1 )

1. Zeilenvektor

T a2z  ª¬( A) º¼

a2z

( 3 4 9 )

2. Zeilenvektor

ze  zeilen ( A)

ze

2

Anzahl der Zeilen:

sp  spalten ( A)

sp

3

Anzahl der Spalten:

¢sp² Spalte ( M sp)  M

Spalte ( A 3)

¢2²T

3. Spaltenvektor

T

ª T ¢ze²º Zeile ( M ze)  ¬ M ¼



Zeile ( A 2)

( 3 4 9 )

2. Zeilenvektor

ORIGIN festlegen

ORIGIN  0 n  ze ˜ sp

§ 1 · ¨ ¸ ©9 ¹

n

6

Anzahl der Vektorelemente

k  0  n  1

Bereichsvariable

ak  A

zeilenweise Umwandlung der Matrix A in einen Vektor

§ k · mod( k sp) ¸ © sp ¹

floor¨

T

a

( 2 5 1 3 4 9 )

ak  A

§k· ¸ © ze ¹

mod( k ze ) floor¨

T

a

spaltenweise Umwandlung der Matrix A in einen Vektor

( 2 3 5 4 1 9 )

Seite 229

Matrizenrechnung

Mithilfe eines Unterprogramms (erstellt mit der Symbolleiste Programmierung): Matrix_Vektor ( M) 

¢0² amM for i  1  spalten ( M)  1 if spalten ( M) ! 1



¢i² a m stapeln a M



a a  Matrix_Vektor ( A) T

a

spaltenweise Umwandlung der Matrix A in einem Vektor

( 2 3 5 4 1 9 )

Beispiel 3.1.10: Bilden Sie A + B und A - B. Stimmen die Gesetze (3-16) bis (3-18) für die nachfolgend gegebenen Matrizen (z. B. O = 2) ? Zeigen Sie mit der Funktion erweitern(A, B, C, ...), dass Matrizen gleicher Zeilenzahl zu einer Matrix zusammengefügt werden können. Analog fasst die Funktion stapeln(A, B, C, ...) zwei Matrizen gleicher Spaltenzahl übereinander zu einer gemeinsamen Matrix zusammen. Bilden Sie die Submatrix (Untermatrix) mit Zeilen 2 bis 3 und Spalten 1 bis 3 der Matrix A und mit Zeilen 1 bis 2 und Spalten 1 bis 3 der Matrix M.

§¨ 6 9 4 ·¸ A  ¨ 3 5 2 ¸ ¨ 0 9 1 ¸ © ¹ M1 

§¨ 5 2 6 ·¸ B  ¨ 0 1 2 ¸ ¨ 5 2 7 ¸ © ¹

§ 2.5 3.1 · ¨ ¸ © 1.1 5.7 ¹

A

M3 

§ 4.8 1.0 · ¨ ¸ © 2.9 3.8 ¹

1

2

3

4

19.11

3.53

2.63

19.03

0.56

2

1.12

2.63

17.29

14.43

0.29

3

14.16

4.35

3.38

6.82

7.35

4

16.05

10.53

15.96

2.9

8.05

§¨ 6 3 0 ·¸ ¨ 9 5 9 ¸ ¨ 4 2 1 ¸ © ¹

( A  B)

gegebene Matrizen

5

1

T

gegebene Matrizen

ORIGIN festlegen

§¨ 11 7 10 ·¸ A  B ¨ 3 6 4 ¸ ¨ 5 7 6 ¸ © ¹ T

§2 · ¨ ¸ © 3 ¹

M2 

ORIGIN  1 M

C  ( 4 1 5 )

§¨ 11 3 5 ·¸ ¨ 7 6 7 ¸ ¨ 10 4 6 ¸ © ¹

§¨ 1 11 2 ·¸ A  B ¨ 3 4 0 ¸ ¨ 5 11 8 ¸ © ¹ T T

A

T

§¨ 6 9 4 ·¸ ¨ 3 5 2 ¸ ¨ 0 9 1 ¸ © ¹ T

A B

§¨ 11 3 5 ·¸ ¨ 7 6 7 ¸ ¨ 10 4 6 ¸ © ¹ Seite 230

gegebene eingefügte Tabelle

Addition und Subtraktion

(3-16)

(3-17)

Matrizenrechnung

T

( 2 ˜ A)

§¨ 12 6 0 ·¸ ¨ 18 10 18 ¸ ¨ 8 4 2 ¸ © ¹

T

2˜ A

§¨ 12 6 0 ·¸ ¨ 18 10 18 ¸ ¨ 8 4 2 ¸ © ¹

§¨ 6 9 4 5 2 6 ·¸ ¨ 3 5 2 0 1 2 ¸ ¨ 0 9 1 5 2 7 ¸ © ¹

M  erweitern ( A B)

M

M4  erweitern ( M1 M2 M3)

M4

M1  stapeln ( C B)

§ 4 ¨ ¨5 M1 ¨0 ¨ ©5

U  submatrix ( A 2 3 1 3)

U

U1  submatrix ( M 1 2 1 3)

U1

§ 2.5 3.1 2 4.8 1 · ¨ ¸ © 1.1 5.7 3 2.9 3.8 ¹ 1

(3-18)

nebeneinander zusammengefügte Matrizen

nebeneinander zusammengefügte Matrizen

5

· ¸ 2 6 ¸ 1 2 ¸ ¸ 2 7 ¹

übereinander zusammengefügte Matrizen

§ 3 5 2 · ¨ ¸ © 0 9 1 ¹

Untermatrix der Matrix A (Zeile 2 bis 3 und Spalte 1 bis 3)

§6 9 4 · ¨ ¸ © 3 5 2 ¹

Untermatrix der Matrix M (Zeile 1 bis 2 und Spalte 1 bis 3)

Beispiel 3.1.11: Für symmetrische Matrizen gilt stets: AT = A. Zeigen Sie diesen Zusammenhang für die gegebene Matrix A.

§¨ 3 2 4 ·¸ A  ¨ 2 5 7 ¸ ¨ 4 7 9 ¸ © ¹ T

A

§¨ 3 2 4 ·¸ ¨ 2 5 7 ¸ ¨ 4 7 9 ¸ © ¹

gegebene symmetrische Matrix

Es gilt: AT = A. Damit ist die Matrix A symmetrisch!

Beispiel 3.1.12: Für schiefsymmetrische Matrizen gilt stets: AT = - A (sämtliche Matrixelemente ändern beim Transponieren ihr Vorzeichen). Zeigen Sie diesen Zusammenhang für die gegebene Matrix A.

§¨ 0 5 8 ·¸ A  ¨ 5 0 3 ¸ ¨ 8 3 0 ¸ © ¹ T

A

§¨ 0 5 8 ·¸ ¨5 0 3 ¸ ¨ 8 3 0 ¸ © ¹

gegebene schiefsymmetrische Matrix

§¨ 0 5 8 ·¸ A ¨ 5 0 3 ¸ ¨ 8 3 0 ¸ © ¹

Es gilt: AT = - A. Damit ist die Matrix A schiefsymmetrisch!

Seite 231

Matrizenrechnung

3.1.2 Gleichheit von Matrizen Zwei Matrizen A = (a i, k ) mxn und B = (b

i, k )

mxn heißen gleich, A = B, wenn für alle

i = 1, 2, ..., m und k = 1, 2, ..., n gilt: (a i, k ) = (b

i, k ).

(3-19)

Beispiel 3.1.13: Sind die nachfolgend gegebenen Matrizen gleich? A

§1 2 · ¨ ¸ ©4 7 ¹

§1 2 · ¨ ¸ ©4 7 ¹

B

§2 1 · ¨ ¸ ©4 7 ¹

C

( A = B)

1

Matrix A und B sind gleich

( A = C)

0

Matrix A und C sind ungleich

gegebene Matrizen

3.1.3 Multiplikation von Matrizen Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor:



Für x = x1 x2 .... xn

ª A˜ x = « « ¬k

T n und A = (a i, k) mxn wird

n

n

¦

a1 k ˜ xk

1

T

n

¦

k

m

A ˜ x  durch

a2 k ˜ xk

....

1

º am k ˜ xk » » ¼

¦

k

1

(3-20)

definiert. Das lässt sich übersichtlicher auch so schreiben:

§ a1 1 .... a1 n · § x1 · § a1 1 ˜ x1  a1 2 ˜ x2  ....  a1 n ˜ xn · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ .... ¨ ... .... ... ¸ ˜ ¨ ... ¸ = ¨ ¸ ¨a ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © m 1 .... am n ¹ © xn ¹ © am 1 ˜ x1  am 2 ˜ x2  ....  am n ˜ xn ¹

(3-21)

Eine (mxn)-Matrix definiert also eine Abbildung vom n in den m. Auch hier liegt eine lineare Abbildung vor, denn es gilt für alle x y  n und O  : A ˜ ( x  y) = A ˜ x  A ˜ y A ˜ ( λ ˜ x) = λ ˜ A ˜ x

(3-22) (3-23)

Multiplikation einer Matrix mit einer Matrix: Sei A = (ai,k )  mxn und B = (bi,k )  nxp mit i = 1, 2, ... , m und k = 1, 2, ... , p. Dann ist das Produkt C = (c i,k ) = A * B definiert durch n

ci k = ai 1 ˜ b1 k  ai 2 ˜ b2 k  ....  ai n ˜ bn k =

¦

j

ai j ˜ bj k .

(3-24)

1

Das Matrixelement ci,k des Matrixproduktes A * B ist das skalare Produkt aus dem i-ten Zeilenvektor von A und dem k-ten Spaltenvektor von B.

Seite 232

Matrizenrechnung

Für die Dimension der Matrizen gilt: (mxn) mal (nxp) ergibt (mxp)! Die Produktbildung ist also nur möglich, wenn die Spaltenzahl von A mit der Zeilenzahl von B übereinstimmt! Für die Matrizenmultiplikation gelten folgende Rechengesetze bei passenden Matrixformaten: A ˜ ( B ˜ C) = ( A ˜ B) ˜ C

Assoziativgesetz

(3-25)

A ˜ ( B  C) = A ˜ B  A ˜ C

Distributivgesetz

(3-26)

( A  B) ˜ C = A ˜ C  B ˜ C

Distributivgesetz

(3-27)

T

T

T

( A ˜ B) = B ˜ A

(3-28)

A˜ E = E˜ A = A

(3-29)

Beispiel 3.1.14: Verschiedene Matrixprodukte:

§3 1 · §2 · §3 ˜ 2  1 ˜ 3 · §9 · ¨ ¸˜¨ ¸ =¨ ¸=¨ ¸ ©4 0 ¹ ©3 ¹ ©4 ˜ 2  0 ˜ 3 ¹ ©8 ¹

(2 x 2)-Matrix mal (2 x 1)-Matrix ergibt eine (2 x 1)-Matrix

§2 1 · ¸ = ( 3 ˜ 2  1 ˜ 3 3 ˜ 1  1 ˜ 2 ) = ( 9 5 ) (1 x 2)-Matrix mal (2 x 2)-Matrix ergibt eine (1 x 2)-Matrix ©3 2 ¹

(3 1 ) ˜ ¨

§1 · § 8 4 1 · ¨ ¸ § 8 ˜ 1  4 ˜ 2  1 ˜ 4 · § 12 · ¨ ¸ ˜ ¨2 ¸ = ¨ ¸=¨ ¸ © 1 2 0 ¹ ¨ ¸ © 1 ˜ 1  2 ˜ 2  0 ˜ 4 ¹ © 3 ¹ ©4 ¹

(2 x 3)-Matrix mal (3 x 1)-Matrix ergibt eine (2 x 1)-Matrix

§ 2 1 5 1 ·¸ § 3 4 1 · ¨ ¨ ¸ ˜ ¨ 3 0 4 3¸ © 1 2 0 ¹ ¨ ¸ © 2 2 4 0¹

(2 x 3)-Matrix mal (3 x 4)-Matrix ergibt eine (2 x 4)-Matrix

§1 ¨ ¨ 1 ¨0 ¨ ©1

0 3·

¸ §1 · 1 3¸ ¨ ¸ ˜ ¨3 ¸ 3 5¸ ¨ ¸ ¸ ©5 ¹ 2 4¹

§ 16 · ¨ ¸ ¨ 17 ¸ ¨ 34 ¸ ¨ ¸ © 27 ¹

§ 0 0 ·¸ § 8 4 1 · ¨ ¨ ¸ ˜ ¨0 0 ¸ © 1 2 5 ¹ ¨ ¸ ©0 0 ¹ §1 0 · §0 0 · ¨ ¸˜¨ ¸ ©0 0 ¹ ©0 1 ¹

§0 0 · ¨ ¸ ©0 0 ¹

§0 0 · ¨ ¸ ©0 0 ¹

§ 4 1 27 15 · ¨ ¸ © 8 1 3 5 ¹

(4 x 3)-Matrix mal (3 x 1)-Matrix ergibt eine (4 x 1)-Matrix

(2 x 3)-Matrix mal (3 x 2)-Matrix ergibt eine (2 x 2)-Matrix

(2 x 2)-Matrix mal (2 x 2)-Matrix ergibt eine (2 x 2)-Matrix

Seite 233

Matrizenrechnung

Beispiel 3.1.15: Überprüfen Sie das Assoziativgesetz.

A

§ 1 3 · ¨ ¸ © 2 5¹

§ 8 4 1 4 · ¨ ¸ © 1 2 5 0 ¹

B

§2 ¨ ¨ 4 C ¨3 ¨ ©1

8

· ¸ 9 ¸ 7 ¸ ¸ 2 ¹

gegebene Matrizen

A ˜ ( B ˜ C)

§ 74 10 · ¨ ¸ © 127 295 ¹

(3-25)

( A ˜ B) ˜ C

§ 74 10 · ¨ ¸ © 127 295 ¹

(2 x 2)-Matrix mal (2 x 4)-Matrix mal (4 x 2)-Matrix ergibt eine (2 x 2)-Matrix

Beispiel 3.1.16: Überprüfen Sie die Distributivgesetze.

§¨ 2 5 8 ·¸ A  ¨ 1 6 9 ¸ ¨ 10 4 7 ¸ © ¹

§¨ 9 10 4 ·¸ C ¨ 8 9 4 ¸ ¨ 2 5 6 ¸ © ¹

gegebene Matrizen

§¨ 38 39 52 ·¸ ¨ 81 126 64 ¸ ¨ 1 49 ¸ 3 ¹ ©

§¨ 38 39 52 ·¸ A ˜ B  A ˜ C ¨ 81 126 64 ¸ ¨ 1 49 ¸ 3 ¹ ©

(3-26)

§¨ 37 5 58 ·¸ ( A  B) ˜ C ¨ 19 63 110 ¸ ¨ 9 24 132 ¸ © ¹

§¨ 37 5 58 ·¸ A ˜ C  B ˜ C ¨ 19 63 110 ¸ ¨ 9 24 132 ¸ © ¹

(3-27)

A ˜ ( B  C)

§¨ 3 5 9 ·¸ B ¨ 2 4 6¸ ¨ 1 2 5 ¸ © ¹

Beispiel 3.1.17: Überprüfen Sie die Gesetze (3-28) und (3-29).

§¨ 2 5 8 ·¸ A  ¨ 1 6 9 ¸ ¨ 10 4 7 ¸ © ¹ T

( A ˜ B)

A˜ E

§¨ 3 5 9 ·¸ B ¨ 2 4 6¸ ¨ 1 2 5 ¸ © ¹

§¨ 4 24 45 ·¸ ¨ 14 37 20 ¸ ¨ 88 18 101 ¸ © ¹

§¨ 2 5 8 ·¸ ¨ 1 6 9 ¸ ¨ 10 4 7 ¸ © ¹

E  einheit ( 3)

T

T

B ˜A

E

§¨ 1 0 0 ·¸ ¨0 1 0 ¸ ¨0 0 1 ¸ © ¹

§¨ 4 24 45 ·¸ ¨ 14 37 20 ¸ ¨ 88 18 101 ¸ © ¹

§¨ 2 5 8 ·¸ E ˜ A ¨ 1 6 9 ¸ ¨ 10 4 7 ¸ © ¹

Seite 234

gegebene Matrizen

(3-28)

(3-29)

Matrizenrechnung

Beispiel 3.1.18: Gilt für Matrizen das Kommutativgesetz A B = B A?

A

§0 1 · ¨ ¸ ©0 1 ¹

A˜ B

B

§0 0 · ¨ ¸ ©0 0 ¹

§1 1 · ¨ ¸ ©0 0 ¹

B˜ A

§0 2 · ¨ ¸ ©0 0 ¹

gegebene Matrizen

Das Kommutativgesetz gilt allgemein nicht für Matrizen!

3.1.4 Determinanten Wir können die Determinante von jeder (nxn)-Matrix bestimmen. Für nichtquadratische Matrizen ist die Determinante nicht definiert. Zuerst wollen wir die Berechnung der Determinanten von (2x2)bzw. (3x3)-Matrizen besprechen. Unter der Determinante einer (2x2)-Matrix (quadratische Matrix) A = (ai,k ) verstehen wir den sich aus

D=

§ a1 1 a1 2 · ¨ ¸ = a1 1 ˜ a2 2  a2 1 ˜ a1 2 © a2 1 a2 2 ¹

(3-30)

ergebenden Zahlenwert (Produkt der Hauptdiagonalelemente minus dem Produkt der Nebendiagonalelemente). D heißt hier auch 2-reihige Determinante oder Determinante 2. Ordnung. Unter der Determinante einer (3x3)-Matrix (quadratische Matrix) A = (ai,k ) verstehen wir den sich aus

§ a1 1 a1 2 a1 3 · ¨ ¸ D = ¨ a2 1 a2 2 a2 3 ¸ ¨a ¸ © 3 1 a3 2 a3 3 ¹

(3-31)

D = a1,1 a2,2 a3,3 + a1,2 a2,3 a3,1 + a1,3 a2,1 a3,2 - a3,1 a2,2 a1,3 - a3,2 a2,3 a1,1 - a3,3 a2,1 a1,2 ergebenden Zahlenwert. Die Auswertung erfolgt hier nach der Regel von Sarrus. Wir schreiben zuerst die ersten beiden Spalten der Matrix hinten an. Die Determinante ergibt sich dann aus der Summe der Produkte der Hauptdiagonalelemente minus der Summe der Produkte der Nebendiagonalelemente (siehe Abb. 3.1.7). D heißt hier auch 3-reihige Determinante oder Determinante 3. Ordnung. Für Determinanten werden verschiedene symbolische Schreibweisen verwendet: D, det(A), |A|, |ai,k |. In Mathcad steht zur Determinantenbildung |x| aus der Matrix-Symbolleiste zur Verfügung.

Abb. 3.1.7

Seite 235

Matrizenrechnung

Beispiel 3.1.19: Wie lauten die Determinanten der gegebenen Matrizen?

§4 5 · A ¨ ¸ © 3 2 ¹ D = det ( A) = D

A

§¨ 4 5 3 ·¸ B  ¨ 3 2 1 ¸ ¨0 3 1 ¸ © ¹

§¨ 1 0 0 ·¸ §0 0 · E  ¨0 1 0 ¸ O  ¨ ¸ ©0 0 ¹ ¨0 0 1 ¸ © ¹

§¨ a1  λ b1 ·¸ gegebene Matrizen ¨ c d1  λ ¸ 1 © ¹

§4 5 · ¨ ¸ = 4( 2)  3 ˜ 5 = 23 © 3 2 ¹ D

Determinante der Matrix A

23

§¨ 4 5 3 ·¸ D = det ( B) = ¨ 3 2 1 ¸ = 4( 2) 1  5 ˜ 1 ˜ 0  3 ˜ 3 ˜ 3  0 ˜ ( 2) ˜ 3  3 ˜ 1 ˜ 4  ( 1) ˜ 3 ˜ 5 = 8 ¨0 3 1 ¸ © ¹ D

B

D

8

Determinante der Matrix B

D

E

D

1

Determinante der Einheitsmatrix E

D

O

D

0

Determinante der Nullmatrix O

§¨ a1  λ b1 ·¸ 2 o λ  a1 λ  a1 d1  b1 c 1  λ d1 ¨ c ¸ © 1 d1  λ ¹

symbolische Auswertung der Determinante

Determinanten vom Typ (n,n) mit n t3 werden berechnet, indem wir eine Rechenregel erklären, mit der sich die Berechnung einer Determinante vom Typ (n,n) zurückführen lässt auf die Berechnung von n Determinanten vom Typ (n-1,n-1). Durch die sukzessive Anwendung dieser Rechenregel zur Reduktion der Elementezahl in der Determinante, erhalten wir nach mehrfachen Schritten ein Reduktionsverfahren zur Berechnung von insgesamt n (n - 1) (n - 2) ... 3 Determinanten vom Typ (2,2). Für dieses Reduktionsverfahren definieren wir zwei neue Begriffe. Unterdeterminante: Zu jedem Element a i,k des Zahlenschemas der Determinante (bzw. der Matrix) vom Typ (n,n) existiert eine Unterdeterminante Di,k vom Typ (n-1,n-1). Die Unterdeterminante wird gebildet, in dem wir die i-te Zeile und k-te Spalte der ursprünglichen Determinante herausstreichen. Algebraisches Komplement: Versehen wir die Unterdeterminante D i,k mit einem Vorzeichen sgn(Di,k ), wobei die Vorzeichenregel sgn(Ui,k ) = (-1)i+k (Schachbrettregel) verwendet wird, so entsteht das algebraische Komplement von a i,k in D: Ai,k = (-1)i+k Di,k .

(3-32)

Seite 236

Matrizenrechnung

Laplacescher Entwicklungssatz: Eine n-reihige Determinante lässt sich nach den Elementen einer beliebigen Zeile oder Spalte wie folgt entwickeln: n

¦

D=

k

ai k ˜ Ai k

Entwicklung nach der i-ten Zeile

(3-33)

ai k ˜ Ai k

Entwicklung nach der k-ten Spalte

(3-34)

1

n

D=

¦

i

1

Die Berechnung des algebraischen Komplements vom Typ (n-1, n-1) verläuft nach dem gleichen Verfahren; d. h., wir müssen die Zeilen- oder Spaltenentwicklungen so lange wiederholen, bis die verbleibenden algebraischen Komplemente vom Typ (3,3) oder (2,2) sind. Es ist offensichtlich, dass die Berechnung der Determinanten vom Typ (n,n) mit n t 4 eine große Anzahl von Einzelrechnungen erfordert. Aus diesem Grund ist es zweckmäßig zu versuchen, durch geeignete Umformungen der Matrix bzw. ihrer Determinante den Rechenaufwand zu verringern. Diese Umformungen müssen so geschehen, dass sie zwar das Aussehen der Matrix, aber nicht den Wert der Determinanten verändern. Umformungen, die den Wert der Determinante nicht verändern, aber den Rechenaufwand im Regelfall verringern, können wir nun so formulieren: Rechenregeln für n-reihige Determinanten: R1:

Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn Zeilen und Spalten miteinander vertauscht werden: det(AT) = det(A)

R2:

(3-35)

Für zwei n-reihige Matrizen A und B gilt stets det(A . B) = det(A) . det(B)

R3:

Die Determinante einer n-reihigen Dreiecksmatrix A besitzt den Wert det(A) = a1,1 a2,2 a3,3 ... an,n

R4:

(3-36)

(Produkt der Hauptdiagonalelemente)

(3-37)

Die Determinante des O-fachen einer (nxn)-Matrix A ist das On-fache der Determinante von A: det(O A) = On det(A)

(3-38)

R5:

Gemeinsame Faktoren einer Zeile bzw. Spalte dürfen vor die Determinante gezogen werden.

R6:

Bei Vertauschen zweier Spalten oder Zeilen ändert eine Determinante ihr Vorzeichen.

R7:

Eine Determinante besitzt den Wert null, wenn sie mindestens eine der folgenden Bedingungen erfüllt: 1. Alle Elemente einer Zeile oder Spalte sind null. 2. Zwei Zeilen oder Spalten sind gleich. 3. Zwei Zeilen oder Spalten sind zueinander proportional. 4. Eine Zeile oder Spalte ist als Linearkombination der übrigen Zeilen oder Spalten darstellbar.

Seite 237

Matrizenrechnung

R8:

Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn wir zu einer Zeile bzw. Spalte ein beliebiges Vielfaches einer anderen Zeile bzw. anderen Spalte addieren.

R9:

Die Determinante des O-fachen einer Zeile einer (nxn)-Matrix A ist das O-fache der Determinante von A: det(Oz 1 , z 2 , ..., z n)) = O det(A)

(3-39)

Beispiel 3.1.20: Zeigen Sie den Zusammenhang det(AT) = det(A) und det(A B) = det(A) det(B) mit gegebenen Matrizen.

§¨ 2 9 1 ·¸ A ¨ 5 8 4 ¸ ¨ 3 5 1 ¸ © ¹ T

A

§¨ 4 3 1 ·¸ B ¨ 1 6 9¸ ¨ 3 2 1 ¸ © ¹

226

A˜ B

A

8.588 u 10

3

gegebene Matrizen

det(AT) = det(A) Regel (3-35)

226

A ˜ B

8.588 u 10

3

det(A B) = det(A) det(B) Regel (3-36)

Beispiel 3.1.21: Berechnen Sie die Determinante der nachfolgend gegebenen Matrix.

§1 ¨ ¨0 A ¨0 ¨ ©0

3 4 5 ·

¸

7¸

5

1

0

2

8¸

0

0

4¹

gegebene Matrix

¸

Nach Regel 3 (3-37) gilt:

§1 ¨ ¨0 D= ¨0 ¨ ©0 D

3 4 5 ·

¸

7¸

5

1

0

2

8¸

0

0

4¹

A

= 1 ˜ 5 ˜ 2 ˜ 4 = 40

Produkt der Hauptdiagonalelemente

¸ D

40

Beispiel 3.1.22: Zeigen Sie den Zusammenhang det(3 A) = 3n det(A) mit einer gegebenen Matrix.

A

§2 1 · ¨ ¸ ©5 3 ¹

3˜ A

9

gegebene (2x2)-Matrix 2

3 ˜ A

9

det(3 A) = 32 det(A) Regel (3-38)

Seite 238

Matrizenrechnung

Beispiel 3.1.23: Berechnen Sie die 3-reihige Determinante mithilfe des Entwicklungssatzes von Laplace.

§¨ 2 4 5 ·¸ A  ¨ 3 9 27 ¸ ¨ 2 6 12 ¸ © ¹

gegebene Matrix

Nach Regel 5 kann aus der zweiten Zeile der Faktor 3 und aus der 3. Zeile der Faktor 2 vor die Determinante geschrieben werden:

§¨ 2 4 5 ·¸ D = ¨ 3 9 27 ¸ = 3 ˜ 2 ˜ ¨ 2 6 12 ¸ © ¹

§¨ 2 4 5 ·¸ ¨1 3 9 ¸ ¨1 3 6 ¸ © ¹

Wir entwickeln nach der ersten Spalte:



D = 6 a1 1 ˜ A1 1  a2 1 ˜ A2 1  a3 1 ˜ A3 1 D = 6 ˜ ª¬a1 1 ˜ ( 1)

ª ¬

D = 6 ˜ «2 ˜

1 1

˜ D1 1  a2 1 ˜ ( 1)

21

˜ D2 1  a3 1 ˜ ( 1)

3 1

˜ D3 1º¼

§3 9 · §4 5 · §4 5 · º ¨ ¸  1˜ ¨ ¸  1˜ ¨ ¸ » = 6 ˜ [ 2 ˜ ( 18  27 )  1 ˜ ( 24  15 )  1 ˜ ( 36  15 ) ] = 36 ©3 6 ¹ ©3 6 ¹ ©3 9 ¹ ¼

Beispiel 3.1.24: Berechnen Sie die 3-reihige Determinante mithilfe des Entwicklungssatzes von Laplace.

§¨ 2 0 1 ·¸ A  ¨3 1 2 ¸ ¨2 1 2 ¸ © ¹

gegebene Matrix

Wir entwickeln sinnvollerweise nach der zweiten Spalte, weil hier eine Null vorkommt: D = a1 2 ˜ A1 2  a2 2 ˜ A2 2  a3 2 ˜ A3 2 D = a1 2 ˜ ( 1) 3

1 2

ª ¬

D = 0 ˜ ( 1) ˜ «

˜ D1 2  a2 2 ˜ ( 1)

22

˜ D2 2  a3 2 ˜ ( 1)

3 2

˜ D3 2

§3 2 · 4 §2 1 · 5 §2 1 · º ¨ ¸  1 ˜ ( 1) ˜ ¨ ¸  1 ˜ ( 1) ˜ ¨ ¸» ©2 2 ¹ ©2 2 ¹ ©3 2 ¹ ¼

D=0 2 1=1

Seite 239

Matrizenrechnung

Beispiel 3.1.25: Zeigen Sie mit einer gegebenen Matrix, dass sich beim Vertauschen zweier Zeilen das Vorzeichen einer Determinante ändert.

§¨ 2 A  ¨3 ¨2 © §¨ 3 B  ¨2 ¨2 © A

0 1·

¸

gegebene Matrix

1 2¸ 1 1 0 1

¸ 2¹ 2· ¸ 1¸ ¸ 2¹

wie Matrix A, aber 1. und 2. Zeile vertauscht

1

B

1

Beispiel 3.1.26: Warum sind die Determinanten der nachfolgend gegebenen Matrizen null (Regel 7)?

§2 ¨ ¨7 A ¨7 ¨ ©5

8

9

0·

5

1

0¸

§¨ 1 2 3 ·¸ B  ¨ 4 3 5 ¸ ¨1 2 3 ¸ © ¹

¸

8 2 0 ¸ 9

1

¸

0¹

§1 1 · C ¨ ¸ ©4 4 ¹

§¨ 1 1 3 ·¸ D  ¨4 4 3 ¸ ¨5 5 6 ¸ © ¹

gegebene Matrizen

A

0

Alle Elemente der vierten Spalte sind 0.

B

0

1. und 3. Zeile sind gleich.

C

0

Die 2. Zeile ist das Vierfache der 1. Zeile.

D

0

Die 3. Zeile lässt sich durch Addition der 1. und 2. Zeile bilden.

Beispiel 3.1.27: Wir dürfen zu einer Zeile beliebige Vielfache anderer Zeilen oder Linearkombinationen anderer Zeilen addieren, ohne den Wert der Determinanten zu verändern. Ideal ist, wenn unter der Hauptdiagonalen möglichst viele Nullen stehen. Für lineare Gleichungssysteme ist dieses Rechenverfahren unter dem Namen Gauß-Algorithmus bekannt. Stehen unter der Hauptdiagonalen nur Nullen, so ergibt sich der Wert der Determinanten als Produkt der Elemente der Hauptdiagonalen. Die nachfolgenden Unterprogramme ermöglichen elementare Zeilenumformungen (auch für (mxn)-Matrizen): T

vert_z1_mit_z2 ( A z1 z2) 

BmA

¢z1² ¢z2² T B m A

 ¢z2² ¢z1² T  B m A

Vertauschen von Zeile z1 mit Zeile z2 der Matrix A

T

B c_mal_z ( A c z ) 

T

BmA

¢z² ¢z² T B mc A



Multiplikation einer Zeile z der Matrix A mit einer Zahl c

T

B

Seite 240

Matrizenrechnung

z1_und_c_mal_z2 ( A z1 c z2) 

T

BmA

¢z1² ¢z2² ¢z1² T T B m A c A



Ersetzen der Zeile z1 der Matrix A durch z1 + c. z2



T

B ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

§¨ 1 3 4 ·¸ A  ¨1 4 2 ¸ ¨2 7 9 ¸ © ¹

gegebene Matrix

A1  z1_und_c_mal_z2 ( A 2 1 1)

A2  z1_und_c_mal_z2 ( A1 3 2 1)

A3  z1_und_c_mal_z2 ( A2 3 1 2)

A1

§¨ 1 3 4 ·¸ ¨ 0 1 2 ¸ ¨2 7 9 ¸ © ¹

z2 = z2 -1. z1

A2

§¨ 1 3 4 ·¸ ¨ 0 1 2 ¸ ¨0 1 1 ¸ © ¹

z3 = z3 -2 . z1

A3

§¨ 1 3 4 ·¸ ¨ 0 1 2 ¸ ¨0 0 3 ¸ © ¹

z3 = z3 -1. z2

A = A1 = A2 = A3 = 1 ˜ 1 ˜ 3 = 3

Determinante der Matrix A

A

zum Vergleich mit Mathcad

3

3

D

–

i

A3i i

D

3

1

§ 4 12 ¨ ¨ 2 6 B ¨1 7 ¨ © 0 10

Determinante ist gleich dem Produkt der Elemente der Hauptdiagonale

1 2 · 4

¸

0¸

2

1¸

3

9¹

gegebene Matrix

¸

§ 1 · B1  c_mal_z ¨ B  2¸ © 2 ¹

B2  vert_z1_mit_z2 ( B1 1 2)

B1

B2

§4 ¨ ¨1 ¨1 ¨ ©0 §1 ¨ ¨4 ¨1 ¨ ©0

12 1 2 ·

¸

3

2

0¸

7

2

1¸

10

3

9¹

3

2

0·

¸ ¸

12 1 2 ¸ 7

2

1¸

10

3

9¹

Seite 241

z2 = 1/2 z2

¸

z1 mit z2 vertauschen

Matrizenrechnung

B3  z1_und_c_mal_z2 ( B2 2 4 1)

B4  z1_und_c_mal_z2 ( B3 3 1 1)

B5  vert_z1_mit_z2 ( B4 2 4)

B6  z1_und_c_mal_z2 ( B5 3 1 2)

B7  z1_und_c_mal_z2 ( B6 4 3 3)

B3

B4

§1 ¨ ¨0 ¨1 ¨ ©0

3

2

0·

¸

0

9 2 ¸

7

2

1¸

10

3

9¹

§1 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ©0

3

2

0·

0

¸ ¸

9 2 ¸

10

0

1¸

10

3

9¹

§1 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ©0

3

2

0·

10

3

9¸

10

0

3

B6

§1 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ©0

3

B7

§1 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ©0

B5

0

z2 = z2 - 4.z1

z3 = z3 - z1

¸ ¸

1¸

z2 mit z4 vertauschen

¸

9 2 ¹ 2

0

· ¸ 10 3 9 ¸ 0 3 8 ¸ ¸ 0 9 2 ¹ 2

z3 = z3 - z2

0

· ¸ 10 3 9 ¸ 0 3 8 ¸ ¸ 0 0 26 ¹

z4 = z4 - 3 z3

B = 2 ˜ B7 = 2 ˜ 1 ˜ 10 ˜ ( 3) ˜ 26 = 1560

nach Regel 3 (3-37) und 9 (3-39)

B

zum Vergleich mit Mathcad

1560

3.1.5 Reguläre und singuläre Matrix Eine (nxn)-Matrix A heißt regulär, wenn die Determinante einen von null verschiedenen Wert besitzt. Andernfalls nennen wir sie singulär.

Beispiel 3.1.28: Sind die gegebenen Matrizen regulär?

§2 1 · A ¨ ¸ ©4 2 ¹

§¨ 2 3 8 ·¸ B  ¨ 3 5 1 ¸ ¨6 2 7 ¸ © ¹

gegebene Matrizen

A

0

die Matrix A ist singulär

B

317

die Matrix B ist regulär

Seite 242

Matrizenrechnung

3.1.6 Inverse Matrix Gibt es zu einer (nxn)-Matrix A eine (nxn)-Matrix A-1 mit 1

A˜ A

1

=A

˜A= E,

(3-40)

so heißt A-1 die zu A inverse Matrix, Kehrmatrix oder Umkehrmatrix. Die Multiplikation einer Matrix A mit ihrer inversen A -1 ergibt also die Einheitsmatrix E. A und A-1 sind kommutativ! Eine inverse Matrix A -1 einer Matrix A existiert aber nur dann, wenn die Matrix A regulär ist! Mit Mathcad bestimmen wir die inverse Matrix mit dem Symbol X-1 in der Matrix-Symbolleiste. Falls die Matrizen A und B regulär sind, gelten nachfolgende Gesetze. Mit (3-40) und (3-36) erhalten wir: 1 = det(E) = det(A . A-1 ) = det(A) . det(A-1 ). Es gilt also: det ( A) =

A 1

(3-41)

1 det  A

1

=A

( A ˜ B)

ª¬( A)Tº¼

1

1

1

(3-42) 1

=B



1

= A

1

˜A

(3-43)

T

(3-44)

Zur Berechnung der inversen Matrix werden nachfolgend zwei Verfahren angegeben. a) Verwendung von Unterdeterminanten: Zur Berechnung der inversen Matrix führen wir zuerst die zur regulären Matrix A adjungierte Matrix A adj ein:

§¨ A1 1 A1 2 T ¨ A2 1 A2 2 Aadj =  Ai k = ¨ .... ¨ .... ¨ An 1 An 2 ©

T A A ¸ §¨ 1 1 2 1 ¨ A1 2 A2 2 .... A2 n ¸ ¸ =¨ .... .... .... ¸ ¨ .... ¨ A1 n A2 n .... An n ¸¹ ©

.... A1 n ·

.... An 1 ·

¸

.... An 2 ¸

¸ ¸ .... An n ¸¹ ....

....

(3-45)

Dabei ist Ai,k = (-1)i+k Di,k das unter (3-32) angeführte algebraische Komplement. Die inverse Matrix A -1 berechnet sich dann aus: 1

A

=

1 det ( A)

˜ Aadj

(3-46)

Die Berechnung der inversen Matrix mithilfe von Determinanten erfordert, wie wir hier erkennen können, einen hohen Rechenaufwand. Daher sei hier nachfolgend noch die einfachere Berechnungsmöglichkeit nach dem Gauß-Jordan-Algorithmus angeführt.

Seite 243

Matrizenrechnung

b) Berechnung der inversen Matrix mithilfe elementarer Zeilenumformungen: Die inverse Matrix A-1 kann schrittweise wie folgt berechnet werden: Zunächst wird aus der (nxn)-Matrix A und der (nxn)-Matrix E die neue erweiterte Matrix

§¨ a1 1 a1 2 ¨ a2 1 a2 2 ( A|E) = ¨ ¨ .... .... ¨ an 1 an 2 ©

.... a1 n

1

....

0

¸· 0 1 .... 0 ¸ ¸ .... .... .... .... ¸ 0 0 0 1 ¸¹

.... a2 n ....

0

....

.... an n

(3-47)

vom Typ (nx2n) gebildet. Diese erweiterte Matrix (A|E) wird nun mithilfe elementarer Zeilenumformungen (Vertauschung zweier Zeilen oder Multiplikation einer Zeile mit O z 0 bzw. Addition eines beliebigen Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile) so umgeformt, dass die Einheitsmatrix E den ursprünglichen Platz von A einnimmt. Die inverse Matrix B = A-1 finden wir dann auf dem ursprünglichen Platz der Einheitsmatrix E:

§¨ 1 ¨0 ¨ ¨ .... ¨0 ©

0

....

0

b1 1 b1 2 .... b1 n ·

1

....

0

b2 1 b2 2 .... b2 n ¸

.... .... .... 0

0

1

¸

....

....

bn 1 bn 2



1 ¸ = E|A .... .... ¸ .... bn n ¸¹



(3-48)

Beispiel 3.1.29: Gibt es für die Matrix A eine inverse Matrix? Wenn ja, wie lautet sie. 8 · §¨ 2 3 ¸ A  ¨ 1.5 2.5 0.5 ¸ ¨ 6 ¸ 2 7 ¹ ©

gegebene Matrix

D

die Matrix A ist regulär

1

A

1

A

A

D

158.5

§¨ 0.117 0.032 0.136 ·¸ ¨ 0.047 0.391 0.082 ¸ ¨ 0.114 0.139 0.003 ¸ © ¹ §¨ 1 0 0 ·¸ ˜ A ¨0 1 0 ¸ ¨0 0 1 ¸ © ¹

die zu A inverse Matrix

1

A˜ A

§¨ 1 0 0 ·¸ ¨0 1 0 ¸ ¨0 0 1 ¸ © ¹

Seite 244

nach (3-40)

Matrizenrechnung

Beispiel 3.1.30: Zeigen Sie die Richtigkeit der Gesetze (3-41) bis (3-45) mit den gegebenen Matrizen.

§¨ 1 2 7 ·¸ A  ¨5 6 1 ¸ ¨ 4 2 9 ¸ © ¹ A

100

B

§ A = 1 · ¨ 1 ¸ A © ¹ ª 1 ¬A



§¨ 2 5 3 ·¸ B  ¨ 9 10 7 ¸ ¨ 4 1 2 ¸ © ¹



( A ˜ B)

1

1

º

= A¼ 1

=B

(3-42) ist erfüllt

1 1

˜A



die Matrizen sind regulär

(3-41) ist erfüllt

1

T ªª Tº  1 1 º ¬¬( A) ¼ = A ¼



191

gegebene Matrizen

1

1

(3-43) ist erfüllt

(3-44) ist erfüllt

Beispiel 3.1.31: Berechnen Sie, falls vorhanden, unter Verwendung von Unterdeterminanten die inverse Matrix von A. A

A

§2 0 · ¨ ¸ ©1 1 ¹ 2

gegebene Matrix

die Matrix A ist regulär

Die inverse Matrix erhalten wir aus:

§¨ 1 0 ·¸ a  a § · 2 2 1 2 1 1 1 § 1 0· ¨ 2 1 ¸ A = ˜ Aadj = ˜¨ ¸= ˜¨ ¸= ¸ det ( A) det ( A) © a2 1 a1 1 ¹ 2 © 1 2 ¹ ¨ 1 1¸ ¨ © 2 ¹ §¨ 1 0 ·¸ §2 0 · ¨ 2 ¸ §¨ 1 0 ·¸ Es gilt: A A-1 = E ¨ ¸˜¨ ¸ © 1 1 ¹ 1 1 ©0 1 ¹ ¨ ¸ © 2 ¹ Beispiel 3.1.32: Berechnen Sie, falls vorhanden, unter Verwendung von Unterdeterminanten die inverse Matrix von A.

§¨ 3 8 4 ·¸ A  ¨1 0 1 ¸ ¨7 2 1 ¸ © ¹

gegebene Matrix

Seite 245

Matrizenrechnung

A

T

A

die Matrix A ist regulär

50

§¨ 3 1 7 ·¸ ¨8 0 2 ¸ ¨4 1 1 ¸ © ¹

§ A1 1 A2 1 ¨ 1 1 A = ˜ ¨ A1 2 A2 2 det ( A) ¨A © 1 3 A2 3

transponierte Matrix von A

ª §0 « ¨ « ©1 A3 1 · ¸ 1 « §1 A3 2 ¸ = ˜ « ¨ 50 « © 1 ¸ A3 3 ¹ « §1 « ¨ ¬ ©0

§¨ 2 0 8 ·¸ §¨ 3 8 4 ·¸ ˜ ¨ 6 25 1 ¸ ˜ ¨ 1 0 1 ¸ 50 ¨ ¸ ¨ ¸ © 2 50 8 ¹ © 7 2 1 ¹ 1

§¨ 1 0 0 ·¸ ¨0 1 0 ¸ ¨0 0 1 ¸ © ¹

2·

§8 ¨ ©4 §3 ¨ ©4 §3  ¨ ©8

¸ 1¹ 7· ¸ 1¹ 7· ¸ 2¹



§8 ¨ ©4 §3  ¨ ©4 §3 ¨ ©8

2·

¸ 1¹ 7· ¸ 1¹ 7· ¸ 2¹

0·

¸ 1¹ 1· ¸ 1¹ 1· ¸ 0¹

º » » 2 0 8 · » 1 §¨ ¸ ˜ ¨ 6 25 1 ¸ »= » 50 ¨ 2 50 8 ¸ © ¹ » » ¼

Es gilt: A-1 A = E

Beispiel 3.1.33: Bestimmen Sie die inverse Matrix von B, falls vorhanden, unter Anwendung des Gauß-Jordan-Algorithmus.

§¨ 1 1 3 ·¸ B  ¨2 1 4 ¸ ¨4 0 3 ¸ © ¹

gegebene Matrix

Wir verwenden hier die im Beispiel 3.1.27 angegebenen Unterprogramme:

B|E  erweitern ( B einheit ( 3) )

B1  z1_und_c_mal_z2 ( B|E 2 2 1)

B2  z1_und_c_mal_z2 ( B1 3 4 1)

B3  c_mal_z ( B2 1 2)

B|E

B1

B2

B3

§¨ 1 1 3 1 0 0 ·¸ ¨2 1 4 0 1 0 ¸ ¨4 0 3 0 0 1 ¸ © ¹ §¨ 1 ¨0 ¨4 © §¨ 1 ¨0 ¨0 ©

1

3

1

erweiterte Matrix

0 0·

¸

1 2 2 1 0 ¸

¸

0

3

0

0 1¹

1

3

1

0 0·

¸

1 2 2 1 0 ¸

z3 = z3 - 4.z1

¸ 4 9 4 0 1 ¹

§¨ 1 1 3 1 0 0 ·¸ ¨ 0 1 2 2 1 0 ¸ ¨ 0 4 9 4 0 1 ¸ © ¹

Seite 246

z2 = z2 - 2.z1

z2 = -1.z2

Matrizenrechnung

B4  z1_und_c_mal_z2 ( B3 3 4 2)

B5  c_mal_z ( B4 1 3)

B6  z1_und_c_mal_z2 ( B5 1 3 3)

B7  z1_und_c_mal_z2 ( B6 2 2 3)

B8  z1_und_c_mal_z2 ( B7 1 1 2)

B4

§¨ 1 1 3 1 0 0 ·¸ ¨ 0 1 2 2 1 0 ¸ ¨ 0 0 1 4 4 1 ¸ © ¹

z3 = z3 + 4.z2

B5

§¨ 1 1 3 1 0 0 ·¸ ¨ 0 1 2 2 1 0 ¸ ¨ 0 0 1 4 4 1 ¸ © ¹

z3 = -1.z3

B6

§¨ 1 1 0 13 12 3 ·¸ ¨ 0 1 2 2 1 0 ¸ ¨ 0 0 1 4 4 1 ¸ © ¹

z1 = z1 -3.z3

B7

§¨ 1 1 0 13 12 3 ·¸ ¨ 0 1 0 10 9 2 ¸ ¨ 0 0 1 4 4 1 ¸ © ¹

z2 = z2 -2.z3

B8

§¨ 1 0 0 3 3 1 ·¸ ¨ 0 1 0 10 9 2 ¸ ¨ 0 0 1 4 4 1 ¸ © ¹

z1 = z1 -1.z2

Die gesuchte inverse Matrix zu B ergibt sich dann aus: 1

B

= submatrix ( B8 1 3 4 6)

§¨ 1 0 0 ·¸ Binv ˜ B ¨ 0 1 0 ¸ ¨0 0 1 ¸ © ¹

Binv  submatrix ( B8 1 3 4 6)

Binv

§¨ 3 3 1 ·¸ ¨ 10 9 2 ¸ ¨ 4 4 1 ¸ © ¹

Es gilt: B-1 B = E

3.1.7 Orthogonale Matrix Eine (nxn)-Matrix A heißt orthogonal, wenn Folgendes gilt: T

T

A˜ A = A ˜ A = E

(3-49)

Eine orthogonale Matrix geht beim Transponieren in die inverse Matrix über: T

1

A =A

(3-50)

Diesen Zusammenhang erhalten wir, wenn wir (3-49) von links mit der inversen Matrix A -1 multiplizieren: A-1 (A AT) = A-1 E ŸA-1 A AT = A-1 E ŸE A T A-1 E

Seite 247

Matrizenrechnung

Mit den Rechenregeln für n-reihige Determinanten (3-36) und (3-35) folgt aus (3-49):



T

det A ˜ A

= det (A) ˜ det AT = det (A) ˜ det (A) = (det (A))2 = det (E) = 1

(3-51)

Die Determinante einer orthogonalen Matrix A besitzt also den Wert +1 oder -1: det ( A) = 1 oder det ( A) = 1

(3-52)

Eine orthogonale Matrix ist wegen (3-52) stets regulär. Sind A und B orthogonal, so ist auch das Produkt A B orthogonal. Die Zeilenvektoren bzw. Spaltenvektoren einer orthogonalen Matrix A bilden ein orthonormiertes System. Sie stellen also zueinander orthogonale Einheitsvektoren dar. Es gilt nämlich: Bei der Matrixmultiplikation A AT wird der i-te Zeilenvektor von A skalar mit dem k-tem Spaltenvektor von AT multipliziert: n

¦

j

§ ai j ˜ aj kT · = © ¹

1

n

¦

j

ai j ˜ ak j = 1 für i = k und 0 für i z k (i,k = 1,2, ..., n).

(3-53)

1

Diese Beziehung bedeutet aber, dass die Zeilenvektoren einer orthogonalen Matrix normiert sind, also Einheitsvektoren darstellen und zueinander orthogonal sind. Die gleiche Aussage gilt auch für Spaltenvektoren einer orthogonalen Matrix.

Beispiel 3.1.34: Ist die gegebene Matrix regulär bzw. orthogonal? A

§1 1 · ¨ ¸ ©2 1 ¹

A

1 T

A˜ A

§2 3 · ¨ ¸ ©3 5 ¹

gegebene Matrix die Matrix ist wegen det(A) z 0 regulär die Matrix ist wegen A AT z E nicht orthogonal (3-49)

Beispiel 3.1.35: Wie lauten die Transformationsgleichungen bei der Drehung des kartesischen ebenen Koordinatensystems um den Winkel M für einen beliebigen Punkt der Ebene? Wie lautet die zugehörige Transformationsmatrix? Ist die Transformationsmatrix orthogonal?

Abb. 3.1.8

Seite 248

Matrizenrechnung

Aus der Geometrie in Abb. 3.1.8 folgen die Transformationsgleichungen: u = x cos ( φ)  y sin ( φ) v = x sin ( φ)  y cos ( φ) Diese können in Form einer Matrixgleichung geschrieben werden:

§ u · § cos ( φ) sin ( φ) · § x · ¨ ¸=¨ ¸¨ ¸ © v ¹ © sin ( φ) cos ( φ) ¹ © y ¹ Die Transformationsmatrix lautet somit: Dr ( φ) 

§ cos ( φ) sin ( φ) · ¨ ¸ © sin ( φ) cos ( φ) ¹

Die Transformationsmatrix ist orthogonal, denn es gilt (3-49): Redefinition

φ φ T

Dr ( φ) ˜ Dr ( φ) vereinfachen o

§1 0 · ¨ ¸ ©0 1 ¹

Es gilt auch (3-50): T

Dr ( φ) o

§ cos ( φ) sin ( φ) · ¨ ¸ © sin ( φ) cos ( φ) ¹

Dr ( φ)

1

vereinfachen o

§ cos ( φ) sin ( φ) · ¨ ¸ © sin ( φ) cos ( φ) ¹

3.1.8 Rang einer Matrix Der Rang einer Matrix kann auf verschiedene Art und Weise bestimmt werden. a) Bestimmung des Ranges r einer Matrix A unter Verwendung von Unterdeterminanten: Unter dem Rang einer (mxn)-Matrix A verstehen wir die höchste Ordnung r aller von null verschiedenen Unterdeterminanten von A. Wir schreiben dafür: rg ( A) = r

(3-54)

Der Rang r ist höchstens gleich der kleineren der beiden Zahlen m und n: rg ( A) d {m,n}

(3-55)

Das heißt: rg(A) dm für m dn bzw. rg(A) d n für n < m. Rangbestimmung (für m d n): 1. Zuerst bestimmen wir die m-reihigen Unterdeterminanten von A (Abschnitt 3.1.4). Der Rang r = m, wenn es unter ihnen wenigstens eine von null verschiedene gibt. 2. Sind alle m-reihigen Unterdeterminanten von A gleich null, so ist r höchstens gleich m-1. Es ist daher zu prüfen, ob es nicht eine von null verschiedene (m-1)-reihige Unterdeterminante von A gibt. Ist dies der Fall, so ist r = m-1, andernfalls ist r höchstens gleich m-2. Dieses Verfahren wird dann so lange fortgesetzt, bis sich eine von null verschiedene Unterdeterminante von A ergibt. Für den Fall, dass m > n ist, muss in diesem Verfahren die Zahl m durch n ersetzt werden.

Seite 249

Matrizenrechnung

Beispiel 3.1.36: Bestimmen Sie den Rang der gegebenen Matrix:

§¨ 1 1 1 0 ·¸ A  ¨ 1 2 1 3 ¸ ¨ 2 1 0 3 ¸ © ¹

gegebene Matrix

Der Rang dieser (3x4)-Matrix kann höchstens gleich 3 sein (rg(A) d3). Zuerst werden alle (m = 3) Unterdeterminanten bestimmt: ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

§¨ 1 1 1 ·¸ A1  ¨ 1 2 1 ¸ ¨ 2 1 0 ¸ © ¹

§¨ 1 1 0 ·¸ A2  ¨ 1 2 3 ¸ ¨ 2 1 3 ¸ © ¹

A1

0

A2

0

§¨ 1 1 0 ·¸ A3  ¨ 1 1 3 ¸ ¨ 2 0 3 ¸ © ¹ A3

0

§¨ 1 1 0 ·¸ A4  ¨ 2 1 3 ¸ ¨1 0 3 ¸ © ¹ A4

0

Alle 3-reihigen Unterdeterminanten sind null. Daher kann der Rang von A höchstens 2 sein(Rg(A) d 2). Wir prüfen, ob es nicht eine 2-reihige Unterdeterminante gibt, die ungleich null ist. zum Beispiel durch Streichen der 3. Zeile und der 2. und 3. Spalte erhalten wir eine Unterdeterminante die ungleich null ist: A5 

§ 1 1· ¨ ¸ © 1 2 ¹

A5

3

Die Matrix A hat also den Rang r = 2 (rg(A) = 2). b) Rangbestimmung durch elementare Umformungen der Matrix A: Eine Matrix A ändert nicht ihren Rang, wenn sie den folgenden elementaren Umformungen unterworfen wird: 1. Vertauschen von 2 Zeilen (oder Spalten). 2. Die Elemente einer Zeile (oder Spalte) werden mit O z 0 multipliziert oder durch eine solche Zahl dividiert. 3. Zu einer Zeile (oder Spalte) wird ein beliebiges Vielfaches einer anderen Zeile (bzw. anderen Spalte) addiert. Der Rang einer (mxn)-Matrix A kann wie folgt bestimmt werden: Zuerst wird die Matrix A mithilfe elementarer Umformungen auf eine sogenannte Trapezform (Abb. 3.1.9) gebracht (bi z 0 für i = 1, 2, ... , r). Der Rang der Matrix A ist dann gleich der Anzahl r der nichtverschwindenden Zeilen: Rg(A) = r.

Abb. 3.1.9

Seite 250

Matrizenrechnung

Beispiel 3.1.37: Bestimmen Sie den Rang der gegebenen Matrix:

§¨ 1 1 1 0 ·¸ A  ¨ 1 2 1 3 ¸ ¨ 2 1 0 3 ¸ © ¹ Wir verwenden hier die im Beispiel 3.1.27 angegebenen Unterprogramme:

B1  z1_und_c_mal_z2 ( A 3 1 2)

B2  z1_und_c_mal_z2 ( B1 2 1 3)

B3  z1_und_c_mal_z2 ( B2 3 1 1)

B1

§¨ 1 1 1 0 ·¸ ¨ 1 2 1 3 ¸ ¨ 1 1 1 0 ¸ © ¹

z3 = z3 - z2

B2

§¨ 1 1 1 0 ·¸ ¨ 0 3 2 3¸ ¨ 1 1 1 0 ¸ © ¹

z2 = z2 - z3

B3

§¨ 1 1 1 0 ·¸ ¨0 3 2 3 ¸ ¨0 0 0 0 ¸ © ¹

z3 = z3 + z1

Die Matrix B3 hat die gewünschte Trapezform. Der Rang der Matrix A beträgt somit: rg(A) = 2. c) Lineare Unabhängigkeit von Vektoren ((mxn)-Matrix) Der Rang r einer (mxn)-Matrix A ist definiert als die maximale Anzahl der linear unabhängigen Spaltenvektoren (Spaltenrang rgs(A)) bzw. Zeilenvektoren (Zeilenrang rgz(A)). rg ( A) = rgs ( A) = rgz ( A) d min{m,n}

(3-56)

Zur Erinnerung aus Abschnitt 2.4.2: Eine Menge von n Vektoren a 1 , a2 , ..., an m heißen linear unabhängig, wenn für jede Linearkombination mit (O i ) n

¦ λi ai = 0 stets

i

λ1 = λ2 = .... = λn gilt.

(3-57)

1

Andernfalls heißen die a1 , a2 , ..., an linear abhängig. Die linearen Abhängigkeit ist nur dann gegeben, wenn eine der folgenden drei Eigenschaften gilt: 1. Die Menge von n Vektoren a1 , a2 , ..., an m enthält den Nullvektor. 2. Die Menge von n Vektoren a1 , a2 , ..., an m enthält zwei gleiche oder zwei kollineare Vektoren. 3. Mindestens einer der n Vektoren kann als Linearkombination der übrigen dargestellt werden. Die n Spaltenvektoren a1 , a2 , ..., an einer (mxn)-Matrix A stellen z. B. eine solche Menge von n Vektoren dar (A = (a1 , a2 , ..., an)).

Seite 251

Matrizenrechnung

Wir können demnach die lineare Vektorgleichung λ1 a1  λ2 a2  ....  λn an = 0

(3-58)

auch als Matrizengleichung schreiben:

§¨ a1 1 a1 2 ¨ a2 1 a2 2 ¨ .... ¨ .... ¨ am 1 am 2 ©

·¸ §¨ λ1 ·¸ § 0 · ¨ ¸ .... a2 n ¸ ¨ λ2 ¸ ¨ 0 ¸ ¸˜¨ ¸ = .... .... ¸ ¨ .... ¸ ¨ .... ¸ ¨ ¸ .... am n ¸¹ ¨ λn ¸ © 0 ¹ © ¹ .... a1 n

oder A λ = 0

(3-59)

Dabei handelt es sich um ein homogenes lineares Gleichungssystem mit n unbekannten Koeffizienten O1 , O2 , ..., On. Es ist bekannt, dass ein solches System immer lösbar ist. Nachfolgend wollen wir aber noch zwei Fälle unterscheiden: 1.Fall: Der Rang r der aus den n Spaltenvektoren a1 , a2 , ..., an gebildeten Koeffizientenmatrix A ist gleich der Anzahl n der vorgegebenen Vektoren: rg ( A) = n

(3-60)

In diesem Fall gibt es genau eine Lösung von (3-59) die triviale Lösung λ = 0. Die n Spaltenvektoren sind also linear unabhängig. 2.Fall: Der Rang r der aus den n Spaltenvektoren a1 , a2 , ..., an gebildeten Koeffizientenmatrix A ist kleiner als die Anzahl n der vorgegebenen Vektoren: rg ( A)  n

(3-61)

In diesem Fall gibt es unendlich viele Lösungen von (3-59) für die unbekannten Koeffizienten (nicht alle O i sind null). Die n Spaltenvektoren sind also linear abhängig.

Beispiel 3.1.38: Welchen Rang r besitzt die nachfolgend gegebene Matrix A?

§¨ 2 1 2 ·¸ A = ¨6 4 4 ¸ ¨5 4 3 ¸ © ¹

gegebene Matrix

Zum Nachweis, ob die Spaltenvektoren linear unabhängig sind, lösen wir das Gleichungssystem: λ §¨ 2 1 2 ·¸ §¨ 1 ·¸ §¨ 0 ·¸ ¨ 6 4 4 ¸ ˜ ¨ λ2 ¸ = ¨ 0 ¸ ¨5 4 3 ¸ ¨ ¸ ¨0 ¸ © ¹ ¨© λ3 ¸¹ © ¹

Seite 252

Matrizenrechnung

Durch elementares Umformen (siehe oben b)) erhalten wir das äquivalente System: λ §¨ 2 1 2 ·¸ §¨ 1 ·¸ §¨ 0 ·¸ ¨ 0 1 10 ¸ ˜ ¨ λ2 ¸ = ¨ 0 ¸ ¨ 0 0 7 ¸ ¨ ¸ ¨ 0 ¸ © ¹ ¨© λ3 ¸¹ © ¹ Offenbar kann das Gleichungssystem mit O1 = O2 = O3 = 0 gelöst werden. Die Spaltenvektoren sind daher linear unabhängig. Der Rang der Matrix A ist daher: rg(A) = 3. Beispiel 3.1.39: Welchen Rang r besitzt die nachfolgend gegebene Matrix A?

§¨ 2 4 16 ·¸ A = ¨ 1 3 7 ¸ ¨ 2 2 2 ¸ © ¹

gegebene Matrix

Zum Nachweis, ob die Spaltenvektoren linear unabhängig sind, lösen wir das Gleichungssystem: λ §¨ 2 4 16 ·¸ §¨ 1 ·¸ §¨ 0 ·¸ ¨ 1 3 7 ¸ ˜ ¨ λ2 ¸ = ¨ 0 ¸ ¨ 2 2 2 ¸ ¨ ¸ ¨ 0 ¸ © ¹ ¨© λ3 ¸¹ © ¹ Durch elementares Umformen (siehe oben b)) erhalten wir das äquivalente System λ §¨ 2 4 16 ·¸ §¨ 1 ·¸ §¨ 0 ·¸ ¨ 0 5 15 ¸ ˜ ¨ λ2 ¸ = ¨ 0 ¸ ¨0 0 0 ¸ ¨ ¸ ¨0 ¸ © ¹ ¨© λ3 ¸¹ © ¹ Offensichtlich gibt es neben O1 = O2 = O3 weitere Lösungen. Wir können O3 beliebig wählen, weil Gleichung drei immer stimmt. Mit O3 = 1 erhalten wir O2 = -3 und O1 = -2. Die Spaltenvektoren von A sind also linear abhängig. Der Rang der Matrix A ist daher: rg(A) < 3. d) Lineare Unabhängigkeit von Vektoren ((nxn)-Matrix) Sei A eine (nxn)-Matrix mit n Spaltenvektoren des n-dimensionalen Raumes n. Für eine (nxn)-Matrix A gilt stets: rg(A) d n. Für reguläre bzw. singuläre Matrizen gilt insbesondere: det ( A) z 0 (reguläre Matrix) œrg(A) = n œlinear unabhängige Vektoren

(3-62)

det ( A) = 0 (singuläre Matrix) œrg(A) < n œlinear abhängige Vektoren

(3-63)

Unter den n Spaltenvektoren des n-dimensionalen Raumes n gibt es maximal n linear unabhängige Vektoren. Mehr als n Vektoren sind also stets linear abhängig. e) Rangbestimmung mit Mathcad Mit Mathcad kann der Rang einer (mxn)-Matrix A mit der Funktion rg(A) bestimmt werden!

Seite 253

Matrizenrechnung

Beispiel 3.1.40: Bestimmen Sie den Rang der gegebenen Matrix.

§¨ 1 2 4 ·¸ A  ¨0 2 2 ¸ ¨1 3 1 ¸ © ¹ A rg ( A)

gegebene Matrix

Die Matrix A ist regulär. Daher ist der Rang der Matrix: rg(A) = n = 3. Die Spaltenvektoren der Matrix A sind somit linear unabhängig.

8

Rangbestimmung mit der Mathcadfunktion rg(A)

3

Beispiel 3.1.41: Bestimmen Sie den Rang der gegebenen Matrix.

§¨ 2 4 16 ·¸ A  ¨ 1 3 7 ¸ ¨ 2 2 2 ¸ © ¹ A rg ( A)

2.132 u 10 2

 14

gegebene Matrix

Die Matrix A ist singulär. Daher ist der Rang der Matrix: rg(A) < 3. Die Spaltenvektoren der Matrix A sind somit linear abhängig. Der Rang der Matrix ist gleich 2.

Beispiel 3.1.42: Sind die drei Spaltenvektoren (Basisvektoren) des dreidimensionalen Raumes linear unabhängig?

§¨ 1 0 0 ·¸ E3  ¨ 0 1 0 ¸ ¨0 0 1 ¸ © ¹ E3

1

gegebene Matrix

Die Einheitsmatrix E 3 ist regulär. Daher ist der Rang der Matrix: rg(A) = 3. Die Spaltenvektoren (Basisvektoren) der Matrix A sind somit linear unabhängig.

Beispiel 3.1.43: Im Beispiel 3.1.38 wurde gezeigt, dass die Spaltenvektoren der gegebenen Matrix A linear unabhängig sind. Sind die Vektoren noch linear unabhängig, wenn wir einen beliebigen Vektor a4 hinzufügen?

§¨ 1 ·¸ a4  ¨ 3 ¸ ¨7 ¸ © ¹

gegebener Vektor

Durch Hinzufügen eines beliebigen Vektors a4 werden die Vektoren linear abhängig!

Seite 254

Matrizenrechnung

Es gelten folgende Gesetzmäßigkeiten bei passender Ordnung von A und B: rg ( A) = rg ( A)

(3-64)

rg A

 T = rg (A)

(3-65)

rg ( A)  rg ( B) d rg ( A  B) d rg ( A)  rg ( B)

(3-66)

rg ( A ˜ B) d min {rg(A), rg(B)}

(3-67)



rg En = n

(En ... (nxn)-Einheitsmatrix)

(3-68)

Beispiel 3.1.44: Überprüfen Sie mit Mathcad die Gesetze (3-64) bis (3-68).

§¨ 1 5 7 ·¸ A  ¨3 2 6 ¸ ¨8 9 4 ¸ © ¹

§¨ 2 4 5 ·¸ B ¨ 1 5 3 ¸ ¨ 10 7 2 ¸ © ¹

rg ( A)

rg ( A)

 T

rg A

3 3

rg ( A)  rg ( B) rg ( A B)



rg E2

gegebene Matrizen

(3-64) (3-65)

3

rg ( A  B)

3

§1 0 · ¨ ¸ ©0 1 ¹

3

rg ( A) 0

E2 

3

rg ( A)  rg ( B)

6

(3-66) (3-67)

min{3,3} = 3

(3-68)

2

3.1.9 Spur einer Matrix Sei A = (a i,k ) eine (nxn)-Matrix. Dann heißt die Summe der Diagonalelemente Spur von A. Wir schreiben dafür: n

sp ( A) =

¦

i

ai i

(3-69)

1

Mit Mathcad kann die Spur einer (nxn)-Matrix A mit der Funktion sp(A) bestimmt werden! Für die Spur der (nxn)-Matrizen A und B gelten folgende Gesetzmäßigkeiten: sp ( k ˜ A  B) = k ˜ sp ( A)  sp ( B) (k 

 T

(3-70)

sp ( A) = sp A

(3-71)

sp ( A ˜ B) = sp ( B ˜ A) (gilt auch, wenn A und B (mxn)-Matrizen sind)

(3-72)



T

x, y n, dann gilt: sp x ˜ y

= sp y ˜ xT = xT ˜ y Seite 255

(3-73)

Matrizenrechnung

Beispiel 3.1.45: Berechnen Sie die Spur der folgenden Matrizen: 4 10

§6 ¨ ¨ 5 A ¨ 2 ¨ ©2

4

· ¸ 8 5 ¸ 2 7 3 ¸ 4 ¸ 3 5 8 ¹

B

§4 0 · ¨ ¸ ©2 5 ¹

gegebene Matrizen

sp ( A) = 6  2  7  8 = 23 Spur der Matrix A sp ( B) = 4  5 = 9 sp ( A)

23

sp ( B)

9

Spur der Matrix B

mit Mathcad berechnet

Beispiel 3.1.46: Überprüfen Sie mit Mathcad die Gesetze (3-70) bis (3-73).

§¨ 1 9 5 ·¸ A  ¨ 3 2 8 ¸ ¨ 1 5 8 ¸ © ¹

§¨ 3 4 7 ·¸ B  ¨9 1 4 ¸ ¨ 2 1 2 ¸ © ¹

sp ( 3A)

3 sp ( A)

15

sp ( A  B) sp ( A)

T

sp x ˜ y



15

sp A

sp ( B ˜ A)

23

sp y ˜ x



3 (3-71)

5

105

T

(3-72)

105



§¨ 3 ¸· gegebene Matrizen y  ¨ 5 ¸ und Vektoren ¨2 ¸ © ¹ (3-70)

sp ( A)  sp ( B)

 T

5

sp ( A ˜ B)



3

§¨ 1 ¸· x  ¨ 2 ¸ ¨5 ¸ © ¹

23

T

x ˜y

23

(3-73)

3.1.10 Verallgemeinerte inverse Matrix Sei A = (a i,k ) eine (nxm)-Matrix mit m t n. Dann heißt die (nxm)-Matrix Aginv verallgemeinerte Inverse oder g-Inverse (generalized Inverse) von A falls gilt: A ˜ Aginv ˜ A = A

(3-74)

Zu jeder Matrix A existiert eine g-Inverse, die aber im Allgemeinen nicht eindeutig ist. Mit Mathcad kann die verallgemeinerte Inverse einer (nxn)-Matrix (quadratische Matrix) A mit der Funktion Aginv = geninv(A) bestimmt werden, und es gilt, wenn A regulär ist: Aginv A = E.

Seite 256

Matrizenrechnung

Ist Aginv eine g-Inverse der Matrix A, dann gelten folgende Gesetzmäßigkeiten:









rg ( A) = rg A ˜ Aginv = rg Aginv ˜ A



rg ( A) d rg Aginv

(3-75)



(3-76) 1

A regulär Ÿ Aginv = A

(3-77)

Beispiel 3.1.47: Überprüfen Sie mit Mathcad die Gesetze (3-75) bis (3-77).

§¨ 1 9 5 ·¸ A  ¨ 3 2 8 ¸ ¨ 1 5 8 ¸ © ¹

gegebene Matrix

Aginv  geninv ( A)

Aginv

§¨ 1 9 5 ·¸ A ˜ Aginv ˜ A ¨ 3 2 8 ¸ ¨ 1 5 8 ¸ © ¹

(3-74)



rg ( A)

3

rg A ˜ Aginv

rg ( A)

3

rg Aginv

A

179







3

§¨ 0.134 0.263 0.346 ¸· ¨ 0.179 0.017 0.128 ¸ ¨ 0.095 0.022 0.162 ¸ © ¹





rg Aginv ˜ A

3

(3-75) (3-76)

3

damit ist A regulär

g-Inverse von A

1

A

§ 0.134 0.263 0.346 · ¨ ¸ ¨ 0.179 0.017 0.128 ¸ ¨ 0.095 0.022 0.162 ¸ © ¹

(3-77)

3.1.11 Untermatrizen Matrizen können in Untermatrizen aufgespaltet werden. Die Elemente einer solchen aufgespaltenen "Hypermatrix" sind dann ihrerseits Untermatrizen. So ergibt z. B. das dyadische Produkt von zwei Hypervektoren

A=

§ A1 · ¨ ¸ und B =  B1 B2 © A2 ¹

(3-78)

die Produktmatrix C=

§ A1 ˜ B1 A1 ˜ B2 · ¨ ¸, © A2 ˜ B1 A2 ˜ B2 ¹

(3-79)

deren Elemente Matrizen sind.

Seite 257

Matrizenrechnung

Beispiel 3.1.48: Aus den Hypervektoren A und B soll die Hypermatrix (Produktmatrix) C = A . B gebildet werden. Wie lautet dazu die transponierte Matrix von C? ORIGIN festlegen

ORIGIN  1

A1 

A

§1 3 · ¨ ¸ © 5 1 ¹ §¨ A1 ·¸ ¨ A2 ¸ © ¹

ª§ 1 3 · º «¨ ¸» © 5 1 ¹ » « A «§ 3 2 · » «¨ ¸» ¬© 7 9 ¹ ¼

§ 3 2 · ¨ ¸ © 7 9¹

A2 

A

§ {2,2} · ¨ ¸ © {2,2} ¹

B

ª§ 4 6 · § 5 2 · º «¨ ¸ ¨ ¸» ¬© 9 1 ¹ © 8 3 ¹ ¼

§¨ A1 ˜ B1 A1 ˜ B2 ·¸ C ¨ A2 ˜ B1 A2 ˜ B2 ¸ © ¹

T

C

ª§ 31 «¨ «© 11 « § 29 «¨ ¬ © 17

9

· § 6 ¸ ¨ 29 ¹ © 109 11 · § 1 ¸ ¨ 7 ¹ © 107

C

§ 4 6 · ¨ ¸ © 9 1 ¹

B1 

B

 B1

§ {2,2} {2,2} · ¨ ¸ © {2,2} {2,2} ¹

16 · º

¸» ¹» 0 · » ¸ » 41 ¹ ¼ 51

B2

§5 2 · ¨ ¸ ©8 3 ¹

B2 



B

gegebene Matrizen

Hypervektoren

( {2,2} {2,2} )

Anzeige der Untermatrizen (Ergebnisformat-Anzeige Option-Geschachtelte Felder erweitern)

ª § 31 « ¨ « © 11 C «§ 6 «¨ ¬© 109

§ 29 ¨ © 17 16 · § 1 ¸ ¨ 51 ¹ © 107 9

· ¸ 29 ¹

11 ·

º ¸» 7 ¹ » 0 ·» ¸» 41 ¹ ¼

gesuchte Matrix

transponierte Matrix von C

Beispiel 3.1.49: Aus den folgenden Vektoren und Matrizen sollen verschiedene Matrizen mit Untermatrizen hergestellt werden. ORIGIN  0

a

§1 · ¨ ¸ ©2 ¹

ORIGIN festlegen

§a · ¨ ¸ ©b ¹

b  (2 4 )

B

K0  1

K1  einheit ( 2)

K2 

§ {2,1} · B ¨ ¸ © {1,2} ¹

ª« § 1 · º» ¨ ¸ B « ©2 ¹ » «( 2 4 ) » ¬ ¼

Hypermatrix B

§1 · ¨ ¸ ©2 ¹

B1

(2 4 )

Matrixkomponenten

( {2,1} {1,2} )

B

ª§ 1 · º «¨ ¸ ( 2 4 ) » ¬© 2 ¹ ¼

transponierte Matrix

B0 T

B

T

 K0

Seite 258

2 a



gegebene Vektoren und Matrizen

Matrizenrechnung

C  erweitern ( B B)

ª« § 1 · § 1 · º» ¨ ¸ ¨ ¸ C « ©2 ¹ ©2 ¹ » «( 2 4 ) ( 2 4 ) » ¬ ¼

erweiterte Matrix

§¨ 1 ·¸ K ¨ {2,2} ¸ ¨ {1,3} ¸ © ¹

1 º» «ª « §1 0 · » « ¨0 1 ¸ » K ¹ » « © «ª §1 ·º» ««1 2 ¨ 2 ¸ » » ¬¬ © ¹¼¼

Hypermatrix K

K0

K1

1

K2 0 0

§1 0 · ¨ ¸ ©0 1 ¹

K2 0 1

1

K2

ª §1 ·º «1 2 ¨ ¸ » ¬ ©2 ¹¼

K2 0 2

2

§1 · ¨ ¸ ©2 ¹

Matrixkomponenten

Elemente von Untermatrizen

Beispiel 3.1.50: Es soll mit Mathcad eine Hypermatrix (multidimensionales Array) Mi,j,k = xi . yj . z k erzeugt werden. Dies ist in Mathcad jedoch nur für zwei Dimensionen möglich. Die k-te Dimension muss individuell erstellt werden. ORIGIN festlegen

ORIGIN  0 i  0  3

j  0  3

k  0  3

Bereichsvariablen

xi  i  1

yj  j  1

zk  k  1

gegebene Vektoren

§1 · ¨ ¸ ¨2 ¸ x ¨3 ¸ ¨ ¸ ©4 ¹

§1 · ¨ ¸ ¨2 ¸ y ¨3 ¸ ¨ ¸ ©4 ¹

z

§1 · ¨ ¸ ¨2 ¸ ¨3 ¸ ¨ ¸ ©4 ¹

M0i j  xi ˜ yj ˜ z 0

§1 ¨ ¨2 M0 ¨3 ¨ ©4

M1i j  xi ˜ yj ˜ z 1

§2 ¨ ¨4 M1 ¨6 ¨ ©8

M2i j  xi ˜ yj ˜ z 2

§3 ¨ ¨6 M2 ¨9 ¨ © 12

3

2

4

· ¸ 4 6 8 ¸ 6 9 12 ¸ ¸ 8 12 16 ¹ 6

4

erzeugte Untermatrix mit konstantem k = 0

8

· ¸ 8 12 16 ¸ 12 18 24 ¸ ¸ 16 24 32 ¹ 6

9

erzeugte Untermatrix mit konstantem k = 1

12 ·

¸

12 18 24 ¸

erzeugte Untermatrix mit konstantem k = 2

18 27 36 ¸ ¸ 24 36 48 ¹

Seite 259

Matrizenrechnung

M3i j  xi ˜ yj ˜ z 3

§ M0 · ¨ ¸ ¨ M1 ¸ M ¨ M2 ¸ ¨ ¸ © M3 ¹

T

M

ª§ 1 «¨ «¨ 2 «¨ 3 «¨ ¬© 4

3

4

· ¸ 4 6 8 ¸ 6 9 12 ¸ ¸ 8 12 16 ¹

§2 ¨ ¨4 ¨6 ¨ ©8

12 16 ·

¸

16 24 32 ¸

erzeugte Untermatrix mit konstantem k = 3

24 36 48 ¸

¸

32 48 64 ¹

§ {4,4} · ¨ ¸ ¨ {4,4} ¸ ¨ {4,4} ¸ ¨ ¸ © {4,4} ¹

M

2

8

§4 ¨ ¨8 M3 ¨ 12 ¨ © 16

8

6

4

Matrix mit den 4 Untermatrizen

§3 ¨ ¨6 ¨9 ¨ © 12

· ¸ 8 12 16 ¸ 12 18 24 ¸ ¸ 16 24 32 ¹

12 ·

9

6

¸ 12 18 24 ¸ 18 27 36 ¸ ¸ 24 36 48 ¹

§4 ¨ ¨8 ¨ 12 ¨ © 16

12 16 · º

8

¸»

16 24 32 ¸ » 24 36 48 ¸ »

¸»

32 48 64 ¹ ¼

Untermatrizen:

M0

§1 ¨ ¨2 ¨3 ¨ ©4

2

3

4

· ¸ 4 6 8 ¸ 6 9 12 ¸ ¸ 8 12 16 ¹

M1

§2 ¨ ¨4 ¨6 ¨ ©8

4

6

8

· ¸ 8 12 16 ¸ 12 18 24 ¸ ¸ 16 24 32 ¹

M2

§3 ¨ ¨6 ¨9 ¨ © 12

6

9

12 ·

¸ 12 18 24 ¸ 18 27 36 ¸ ¸ 24 36 48 ¹

M3

§4 ¨ ¨8 ¨ 12 ¨ © 16

8

12 16 ·

¸

16 24 32 ¸ 24 36 48 ¸

¸

32 48 64 ¹

Elemente in den Untermatrizen:

M0 0 0

M1 1 1

1

z = 0, x = 0, y = 0

M2 1 3

8

z = 1, x = 1, y = 1

M3 3 3

24

z = 2, x = 1, y = 3

64

z = 3, x = 3, y = 3

Die Matrix M mit Untermatrizen kann mit einem Unterprogramm schneller erzeugt werden: M

for k  0  zeilen ( z )  1 for i  0  zeilen ( x)  1 for j  0  zeilen ( y)  1 ZMi j m xi yj z k ZM1k m ZM ZM1

M

§ {4,4} · ¨ ¸ ¨ {4,4} ¸ ¨ {4,4} ¸ ¨ ¸ © {4,4} ¹

T

M

ª§ 1 «¨ «¨ 2 «¨ 3 «¨ ¬© 4

2

3

4

· ¸ 4 6 8 ¸ 6 9 12 ¸ ¸ 8 12 16 ¹

§2 ¨ ¨4 ¨6 ¨ ©8

4

6

8

· ¸ 8 12 16 ¸ 12 18 24 ¸ ¸ 16 24 32 ¹

Seite 260

§3 ¨ ¨6 ¨9 ¨ © 12

6

9

12 ·

¸ 12 18 24 ¸ 18 27 36 ¸ ¸ 24 36 48 ¹

§4 ¨ ¨8 ¨ 12 ¨ © 16

8

12 16 · º

¸»

16 24 32 ¸ » 24 36 48 ¸ »

¸»

32 48 64 ¹ ¼

Matrizenrechnung

Beispiel 3.1.51: Mithilfe von Hypermatrizen sollen Pfeilspitzen für Vektoren erzeugt und dargestellt werden. ORIGIN festlegen

ORIGIN  1 Koordinaten von zwei Vektoren: x1 1  0

y11  0

Koordinaten des Anfangspunktes

x1 2  8

y12  9

Koordinaten des Endpunktes

x2 1  5

y21  5

Koordinaten des Anfangspunktes

x2 2  3

y22  6

Koordinaten des Endpunktes

x1

§0 · ¨ ¸ ©8 ¹

y1

§0 · ¨ ¸ © 9 ¹

x2

§ 5 · ¨ ¸ ©3 ¹

y2

§5 · ¨ ¸ ©6 ¹

x- und y-Koordinaten zu einem Vektor zusammengefasst

x- und y-Koordinaten zu einem Vektor zusammengefasst

Unterprogramm zur Berechnung der Pfeilspitzen eines Vektors:

§¨ X1 m ¨ ¨ x2  © §¨ X2 m ¨ ¨ x2  © §¨ Y1 m ¨ ¨ y2  © §¨ Y2 m ¨ ¨ y2  © §X · ¨ ¸ ©Y ¹

vektorpfeil ( x y) 

x2

¸· §π ·¸ sin ¨  winkel  x2  x1 y2  y1 ¸ ¸ ©3 ¹¹ x2 ·¸ π· ¸ § cos ¨ winkel  x2  x1 y2  y1  ¸ ¸ 6¹ ¹ © y2 ·¸ §π ·¸ cos ¨  winkel  x2  x1 y2  y1 ¸ ¸ ©3 ¹¹ y2 ¸· π· ¸ § sin ¨ winkel  x2  x1 y2  y1  ¸ ¸ 6¹ ¹ ©

Ein Vektorpfeil besteht aus zwei Geradenstücken mit jeweils einem Anfangs- und Endpunkt:

T

vektorpfeil ( x1 y1)

ªª§ 8 · º ««¨ ¸» ««© 7.051 ¹ » ««§ 8 · » ««¨ ¸» ¬¬© 7.798 ¹ ¼

ª§ 9 · º º «¨ ¸»» «© 8.685 ¹ » » «§ 9 · » » «¨ ¸»» ¬© 8.021 ¹ ¼ ¼

T

vektorpfeil ( x2 y2)

Seite 261

ªª§ 3 · º ««¨ ¸» ««© 2.203 ¹ » ««§ 3 · » ««¨ ¸» ¬¬© 2.079 ¹ ¼

ª§ 6 · º º «¨ ¸»» «© 5.396 ¹ » » «§ 6 · » » «¨ ¸»» ¬© 6.389 ¹ ¼ ¼

Matrizenrechnung

X1  vektorpfeil ( x1 y1) 1 Y1  vektorpfeil ( x1 y1) 2

X1

ª§ 8 · º «¨ ¸» «© 7.051 ¹ » «§ 8 · » «¨ ¸» ¬© 7.798 ¹ ¼

Y1

ª§ 9 · º «¨ ¸» «© 8.685 ¹ » «§ 9 · » «¨ ¸» ¬© 8.021 ¹ ¼

Anfangs- und Endpunkte der Geradenstücke eines Vektors

X2  vektorpfeil ( x2 y2) 1 Y2  vektorpfeil ( x2 y2) 2

X2

ª§ 3 · º «¨ ¸» «© 2.203 ¹ » «§ 3 · » «¨ ¸» ¬© 2.079 ¹ ¼

Y2

ª§ 6 · º «¨ ¸» «© 5.396 ¹ » «§ 6 · » «¨ ¸» ¬© 6.389 ¹ ¼

Anfangs- und Endpunkte der Geradenstücke eines Vektors

10

y1 5

y2 Y11 Y12

 10

5

0

Y21 Y22

5

 10 x1 x2 X11 X1 2 X21 X2 2

Abb. 3.1.10

Seite 262

5

10

Matrizenrechnung

3.1.12 Verschiedene Matrixzerlegungen Mathcad stellt zahlreiche Funktionen für die Matrizenzerlegung zur Verfügung. Cholesky-Zerlegung: Eine symmetrische Matrix A, die positiv definit ist (xT A x > 0 für alle x z), kann mit der Funktion cholesky in eine untere Dreiecksmatrix L (Lower) zerlegt werden. Es gilt dann für diese Matrix A mit L = cholesky(A): T

A= L˜L

(3-80)

Beispiel 3.1.52: Zerlegen Sie die gegebene symmetrische Matrix A in eine untere Dreiecksmatrix.

§¨ 1 2 1 ·¸ A  ¨ 2 7 2 ¸ ¨ 1 2 40 ¸ © ¹ A

gegebene symmetrische Matrix

positive Determinante

101

L  cholesky ( A)

T

L˜L

L

§¨ 1 2 1 ·¸ ¨ 2 7 2 ¸ ¨ 1 2 40 ¸ © ¹

0 0 · §¨ 1 ¸ 0 ¸ ¨ 2 1.732 ¨ 1 2.309 5.802 ¸ © ¹

untere Dreiecksmatrix

L LT ergibt die Matrix A

PLU-Zerlegung: Sei A eine (nxn)-Matrix (quadratische Matrix). Die Funktion lu(A) gibt eine Matrix mit drei quadratischen Matrizen P, L und U vom Typ (nxn) zurück (lu(A) = (P L U)). L ist dabei eine untere (Lower) und U eine obere (Upper) Dreiecksmatrix. Die Matrix P steht für Permutationen der Zeilen. Für diese drei Matrizen gilt: P˜A= L˜U 1 1

Wegen A folgt

1

A

P

(3-81)

= ( P A)

1 1

=U

L

1

= ( L U)

1

1 1

=U

L

P.

Beispiel 3.1.53: Zeigen Sie den Zusammenhang nach Gleichung (3-81).

§¨ 1 3 8 ·¸ A  ¨4 5 6 ¸ ¨ 1 5 10 ¸ © ¹

gegebene Matrix

Seite 263

Matrizenrechnung

ORIGIN festlegen

ORIGIN  1

M  lu ( A)

M

0 0 4 5 6 · §¨ 0 1 0 1 ¸ ¨ 0 0 1 0.25 1 0 0 6.25 8.5 ¸ ¨ 1 0 0 0.25 0.28 1 0 0 7.12 ¸ © ¹

P  submatrix ( M 1 3 1 3)

L  submatrix ( M 1 3 4 6)

§¨ 0 1 P ¨0 0 ¨1 0 © §¨ 1 L ¨ 0.25 ¨ 0.25 ©

(3x9)-Matrix mit den Matrizen P, L und U

0·

¸

Matrix P

1¸

¸

0¹ 0

0·

1

0¸

¸

untere Dreiecksmatrix L

¸ 0.28 1 ¹

U  submatrix ( M 1 3 7 9)

6 · §¨ 4 5 ¸ U ¨ 0 6.25 8.5 ¸ ¨ 0 0 7.12 ¸ © ¹

obere Dreiecksmatrix U

§¨ 4 5 6 ·¸ P ˜ A ¨ 1 5 10 ¸ ¨ 1 3 8 ¸ © ¹

§¨ 4 5 6 ·¸ L ˜ U ¨ 1 5 10 ¸ ¨ 1 3 8 ¸ © ¹

P A und L U stimmen offensichtlich überein

§¨ 0 0 0 ·¸ P ˜ A  L ˜ U ¨0 0 0 ¸ ¨0 0 0 ¸ © ¹

1

A

§¨ 0.449 0.056 0.326 ·¸ ¨ 0.191 0.101 0.213 ¸ ¨ 0.14 0.045 0.039 ¸ © ¹

1 1

U

L

P

§¨ 0.449 0.056 0.326 ·¸ ¨ 0.191 0.101 0.213 ¸ ¨ 0.14 0.045 0.039 ¸ © ¹

OU-Zerlegung: Sei A ein Vektor oder eine Matrix (muss nicht quadratisch sein). Die Funktion qr(A) gibt eine Matrix zurück, deren erste n Spalten eine quadratische orthogonale Matrix O und deren restliche Spalten eine obere Dreiecksmatrix U bilden (qr(A) = (O U)). Für diese drei Matrizen gilt: A= O˜U

(3-82)

Beispiel 3.1.54: Zeigen Sie den Zusammenhang nach Gleichung (3-82).

§ 1 ¨ ¨ 3.1 A ¨ 2 ¨ © 0

2

1 ·

4

4

¸ ¸ 5.1 1 ¸ ¸ 0.9 5 ¹

ORIGIN  1

gegebene Matrix

ORIGIN festlegen

Seite 264

Matrizenrechnung

M  qr ( A)

M

0.254 0.464 0.807 3.822 1.099 2.459 ·

§ 0.262 ¨ ¨ 0.811 ¨ 0.523 ¨ © 0

0.111

0.344

0

0.84

0.06

0.129

0

0

0.133

0.877

0.462

0

0

§ 0.262 ¨ ¨ 0.811 O ¨ 0.523 ¨ © 0

O  submatrix ( M 1 4 1 4)

§ 0.262 ¨ ¨ 0.254 ¨ 0.464 ¨ © 0.807

1

O

T

O˜ O

§1 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ©0

0.811 0.523

0

· ¸ 0.133 ¸ 0.46 0.84 0.111 0.06 0.877 ¸ ¸ 0.344 0.129 0.462 ¹

T

O

5.232 ¸ 0

(4x7)-Matrix mit den Matrizen O und L

¸ ¹

0.254 0.464 0.807 ·

¸ ¸ 0.84 0.06 0.129 ¸ ¸ 0.133 0.877 0.462 ¹

§ 0.262 ¨ ¨ 0.254 ¨ 0.464 ¨ © 0.807

0.46

0.111

0.811 0.523

0.344

orthogonale Matrix

0

· ¸ 0.133 ¸ 0.46 0.84 0.111 0.06 0.877 ¸ ¸ 0.344 0.129 0.462 ¹

O ist eine orthogonale Matrix

0 0 0·

¸

1 0 0¸ 0 1 0¸

¸

0 0 1¹

U  submatrix ( M 1 4 5 7)

§ 1 ¨ ¨ 3.1 OU ¨ 2 ¨ © 0

¸

6.754 3.094 ¸

0.46

2

1 ·

4

4

¸ ¸ 5.1 1 ¸ ¸ 0.9 5 ¹

§ 3.822 1.099 2.459 · ¨ ¸ 6.754 3.094 ¸ 0 ¨ U ¨ 0 5.232 ¸ 0 ¨ ¸ 0 ¹ 0 © 0

obere Dreiecksmatrix

demnach gilt O U = A

UDV-Zerlegung: Die Singulärwertzerlegung einer (mxn)-Matrix A (m t n) hat die Form T

A = U˜ D˜ V .

(3-83)

Die Funktion svd(A) liefert die Matrix U und V. U ist eine (mxn)-Matrix, V eine (nxn)-Orthogonalmatrix. D = diag(d) ist eine (nxn)-Diagonalmatrix mit den Singulärwerten di ! 0 als Elemente. Die Singulärwerte lassen sich mit der Funktion d = svds(A) berechnen. Die einzelnen Matrizen U, D und VT liefern als eingebettete Matrizen auch die neue Funktion svd2(A).

Seite 265

Matrizenrechnung

Beispiel 3.1.55: Zeigen Sie den Zusammenhang nach Gleichung (3-83). ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

§¨ 1 3 ·¸ A  ¨2 5 ¸ ¨3 9 ¸ © ¹

gegebene Matrix

M  svd ( A)

M

U  submatrix ( M 1 zeilen ( A) 1 spalten ( A) )

§¨ 0.278 0.15 ·¸ U ¨ 0.474 0.881 ¸ ¨ 0.835 0.449 ¸ © ¹

V  submatrix ( M zeilen ( A)  1 zeilen ( M) 1 spalten ( A) ) V

§1 0 · ¨ ¸ ©0 1 ¹

T

V˜V

d

§ 11.354 · ¨ ¸ © 0.279 ¹

D  diag ( d)

D

0 · § 11.354 ¨ ¸ 0.279 ¹ © 0

U˜ D˜ V

0.15

·¸ 0.881 ¸ ¸ 0.449 ¸ 0.944 ¸ ¸ 0.329 ¹

(5x2)-Matrix mit den Matrizen U und V

§ 0.329 0.944 · ¨ ¸ © 0.944 0.329 ¹

V ist orthogonal

d  svds ( A)

T

§¨ 0.278 ¨ 0.474 ¨ 0.835 ¨ ¨ 0.329 ¨ 0.944 ©

Vektor der Singulärwerte

aus Singulärwerten d i > 0 eine Diagonalmatrix bilden

§¨ 1 3 ·¸ ¨2 5 ¸ ¨3 9 ¸ © ¹

U D VT ergibt wie erwartet A

Oder:

§ d1 · ¨ ¸ ¨ U1 ¸  svd2 ( A) ¨ V1 ¸ © T¹

§ 11.354 · d1 ¨ ¸ © 0.279 ¹

U1

§¨ 0.278 0.15 ·¸ ¨ 0.474 0.881 ¸ ¨ 0.835 0.449 ¸ © ¹

V1T

§ 0.329 0.944 · ¨ ¸ © 0.944 0.329 ¹

aus Singulärwerten d1 i > 0 eine

D1  diag ( d1)

Diagonalmatrix bilden U1 ˜ D1 ˜ V1T

§¨ 1 3 ·¸ ¨2 5 ¸ ¨3 9 ¸ © ¹

U D1 V1T ergibt wie erwartet A

Seite 266

Matrizenrechnung

3.1.13 Lineare Gleichungssysteme Unter einem linearen Gleichungssystem ((mxn)-System) mit Unbekannten x1 , x2 , ..., xn verstehen wir ein System von Gleichungen der Form a1 1 ˜ x1  a1 2 ˜ x2  a1 3 ˜ x3  ....  a1 n ˜ xn = c1 a2 1 ˜ x1  a2 2 ˜ x2  a2 3 ˜ x3  ....  a2 n ˜ xn = c2 a3 1 ˜ x1  a3 2 ˜ x2  a3 3 ˜ x3  ....  a3 n ˜ xn = c3 .................................................................................. am 1 ˜ x1  am 2 ˜ x2  am 3 ˜ x3  ....  am n ˜ xn = cm

(3-84)

wobei die Skalare ai k bekannte Koeffizienten und ci bekannte Konstanten sind. Fassen wir die Skalare ai k zur (mxn)-Matrix und xi und ci zu den (nx1)- bzw. (mx1)Spaltenvektoren zusammen, so lässt sich ein lineares Gleichungssystem als Matrixgleichung

§ a1 1 ¨ ¨ a2 1 ¨a A x = c bzw. ¨ 3 1 ¨ .... ¨ © am 1

· § x1 · § c1 · ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ a2 n ¸ ¨ x2 ¸ ¨ c2 ¸ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ a3 n ˜ x3 = c3 ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ .... ¸ ¨ .... ¸ ¨ .... ¸ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ am n ¹ © xn ¹ © cm ¹

a1 2

a1 3

.... a1 n

a2 2

a2 3

....

a3 2

a3 3

....

....

....

....

am 2 am 3 ....

(3-85)

schreiben. Für c = 0 (Nullvektor) heißt das Gleichungssystem homogen, andernfalls inhomogen. Ein lösbares System heißt konsistent, andernfalls inkonsistent. Offensichtich ist ein homogenes Gleichungssystem stets konsistent (dies gilt wegen der trivialen Lösung x1 = x2 = ... = xn = 0). Das inhomogene Gleichungssystem A x = c besitzt entweder genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen oder überhaupt keine Lösung. Das homogene Gleichungssystem A x = 0 besitzt entweder genau eine Lösung, nämlich die triviale Lösung x = 0 (Nullvektor), oder unendlich viele Lösungen. Das Lösungsverfahren, mit dem jedes System von linearen Gleichungen behandelt werden kann, heißt Gauß'sches Eliminationsverfahren oder Gauß-Algorithmus. Es beruht auf folgenden elementaren Zeilenumformungen (siehe dazu auch Abschnitt 3.1.8 b)): 1. Zwei Gleichungen dürfen miteinander vertauscht werden. 2. Jede Gleichung darf mit einer Zahl O z 0 multipliziert werden. 3. Zu jeder Gleichung darf ein Vielfaches einer anderen Gleichung addiert werden. Mit diesem Lösungsverfahren kann nun jedes Gleichungssystem auf ein äquivalentes System b1 1 ˜ x1  b1 2 ˜ x2  ....  b1 r ˜ xr  b1 r 1 ˜ xr1  ....  b1 n ˜ xn = d1 b2 2 ˜ x2  ....  a2 r ˜ xr  b2 r1 ˜ xr 1  ....  b2 n ˜ xn = d2 ............................................................................. ar r ˜ xr  br r1 ˜ xr 1  ....  br n ˜ xn = dr 0 = d r 1 0 = d r 2 ............ 0 = dm übergeführt werden (bi z 0 für i = 1, 2, ... ,r).

Seite 267

(3-86)

Matrizenrechnung

Das lineare (mxn)-Gleichungssystem ist aber offensichtlich nur dann lösbar, wenn alle Elemente dr+1 , dr+2 , ..., dr verschwinden d. h. null sind! Wir können dann das äquivalente Gleichungssystem in Matrixform schreiben:

§¨ b1 1 b1 2 ¨ 0 b2 2 ¨ 0 ¨ 0 ¨ 0 0 B ˜ x = d bzw. ¨ 0 ¨ 0 ¨ 0 0 ¨ ¨ .... ..... ¨ 0 0 ©

§ x1 · § d1 · ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ x ¸ ¨ b2 n 2 ¸ ¨ d2 ¸ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ .... ¸ ¨ .... ¸ ¨ .... ¸ br n ¸ ¨ xr ¸ ¨ dr ¸ ¸˜¨ ¸=¨ ¸ 0 ¸ ¨ xr 1 ¸ ¨ 0 ¸ ¸ ¨ .... ¸ ¨ 0 ¸ 0 ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ .... ¸ ¨ .... ¸ ¨ .... ¸ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ 0 ¹ © xn ¹ © 0 ¹

.... b1 r b1 r1 .... b1 n · .... a2 r b2 r1 .... ....

....

....

....

0

ar r

br r1

....

0

0

0

0

0

0

0

0

....

....

....

....

0

0

0

0

(3-87)

Die äquivalente Matrix B und die erweiterte Matrix (B|d) sind dann von trapezförmiger Gestalt und enthalten jeweils in den letzten (n - r)-Zeilen nur Nullen. Sie stimmen daher in ihrem Rang überein (Abschnitt 3.1.8 b)): rg ( B) = rg ( B|d)

(3-88)

Nachdem aber das Gleichungssystem B x = d durch elementare Zeilenumformungen aus dem Gleichungssystem A x = c hervorgeht, sind sowohl A und B als auch (A|c) und (B|d) ranggleich. Das lineare (mxn)-Gleichungssystem A x = c ist dann und nur dann lösbar, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix A mit dem Rang der erweiterten Matrix (A|c) übereinstimmt: rg ( A) = rg ( A|c)

(r dm, r dn

(3-89)

Im Falle der Lösbarkeit besitzt das lineare Gleichungssystem folgende Lösungsmenge: 1. Für r = n genau eine Lösung; 2. Für r  n unendlich viele Lösungen, wobei n - r der insgesamt n Unbekannten frei wählbare Parameter sind. Für den Fall, dass rg ( A) z rg ( A|c) gilt, ist das lineare Gleichungssystem unlösbar. Bei einem homogenen linearen Gleichungssystem A x = 0 ist rg ( A) = rg ( A|c) immer erfüllt. Das System ist daher immer lösbar und besitzt wenigstens die triviale Lösung x1 = x2 = ... = xn = 0. Sie ist die einzige Lösung, wenn r = n ist. Von null verschiedene Lösungen existieren nur für r < n. Mit der in Abschnitt 3.1.10 definierten verallgemeinerten inversen Matrix gilt: 1. Das lineare (mxn)-Gleichungssystem A x = c ist genau dann lösbar, wenn A ˜ Aginv ˜ c = c . 2. Im Falle der Lösbarkeit erhalten wir den Lösungsvektor





x = Aginv ˜ c  E  Aginv ˜ A ˜ w

(3-90)

mit beliebigen w n.

Seite 268

Matrizenrechnung

Beispiel 3.1.56: Besitzt das folgende Gleichungssystem eine Lösung (m > n)? 4 x1 -

x2 -

x1 -x1 +

x3 = 6

+ 2 x3 = 0 2 x2 + 2 x3 = 2

3 x1 -

x2

§4 ¨ ¨1 A ¨ 1 ¨ ©3

=3

1 1 ·

¸ ¸ 2 2 ¸ ¸ 1 0 ¹ 0

2

Koeffizientenmatrix

§6 · ¨ ¸ ¨0 ¸ c ¨2 ¸ ¨ ¸ ©3 ¹

Konstantenvektor

§4 ¨ ¨1 A|c ¨ 1 ¨ ©3

A|c  erweitern ( A c)

rg ( A)

3

rg ( A|c)

( rg ( A) = rg ( A|c) )

3

1

1 1 6 ·

¸

0¸

0

2

2

2

2¸

1

0

3¹

erweiterte Matrix

¸

Das Gleichungssystem ist lösbar und hat wegen r = n = 3 genau eine Lösung! richtige Aussage

Aufsuchen der Lösung mithilfe des Gauß-Algorithmus. Wir verwenden hier die im Beispiel 3.1.27 angegebenen Unterprogramme: ORIGIN  1

B1|d1  vert_z1_mit_z2 ( A|c 1 2)

ORIGIN festlegen

B1|d1

B2|d2  z1_und_c_mal_z2 ( B1|d1 3 3 1) B2|d2

B3|d3  z1_und_c_mal_z2 ( B2|d2 2 4 1) B3|d3

§1 ¨ ¨4 ¨ 1 ¨ ©3 §1 ¨ ¨4 ¨ 4 ¨ ©3 §1 ¨ ¨0 ¨ 4 ¨ ©3

Seite 269

0

2

0·

¸

1 1 6 ¸ 2

2

2¸

1

0

3¹

0

2

0·

z1 mit z2 vertauschen

¸ ¸

1 1 6 ¸ 2

4 2 ¸

1

0

3¹

0

2

0·

z3 = z3 - 3.z1

¸ ¸

1 9 6 ¸ 2

4 2 ¸

1

0

¸

3¹

z2 = z2 - 4.z1

Matrizenrechnung

B4|d4  z1_und_c_mal_z2 ( B3|d3 3 4 1)

B5|d5  z1_und_c_mal_z2 ( B4|d4 4 3 1)

B6|d6  z1_und_c_mal_z2 ( B5|d5 3 2 4)

B4|d4

B5|d5

B6|d6

§1 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ©3 §1 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ©0 §1 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ©0

2

0

0·

¸

1 9 6 ¸ 2

4

2¸

1

0

3¹

0

2

0·

¸ ¸

1 9 6 ¸ 4

2

2¸

¸

2

0

0·

¸

1 9 6 ¸ 8 8 ¸

0

¸

2

0

0

B7|d7

0

B8|d8

§1 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ©0

· ¸ 1 9 6 ¸ 0 24 24 ¸ ¸ 3 3 ¹ 0 0

B9|d9  c_mal_z ( B8|d8 8 4)

B9|d9

§1 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ©0

B|d  z1_und_c_mal_z2 ( B9|d9 4 1 3)

§1 ¨ ¨0 B|d ¨0 ¨ ©0

0

z3 = z3 + 2.z1

1 6 3 ¹

· ¸ 1 9 6 ¸ 0 8 8 ¸ ¸ 0 3 3 ¹

B8|d8  c_mal_z ( B7|d7 3 3)

z4 = z2 - 3.z1

1 6 3 ¹

§1 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ©0

B7|d7  z1_und_c_mal_z2 ( B6|d6 4 1 2)

z3 = z2 + 4.z1

0

2

z3 = 3.z3

0

2

· ¸ 6 ¸ 1 9 0 24 24 ¸ ¸ 0 24 24 ¹ 2

z4 = z4 - z2

z4 = 8.z4

0

· ¸ 1 9 6 ¸ 0 24 24 ¸ ¸ 0 ¹ 0 0

z4 = z4 + z3

Damit ergibt sich das äquivalente gestaffelte lineare Gleichungssystem: x1 +

2 x3 = 0 - x2 - 9 x3 = 6 -24 x3 = 24

Durch rückwertiges Auflösen des Gleichungssystems erhalten wir dann die Lösungen: x3 = -1, x2 = 3, x1 = 2

Seite 270

Matrizenrechnung

Aufsuchen der Lösungen mithilfe von Mathcad: Setzen wir das Gauß'sche Eliminationsverfahren in B|d weiter fort, sodass links von der Spalte d eine Diagonalmatrix mit lauter Einsen entsteht, so können wir die Lösungen direkt ablesen. Dafür steht in Mathcad die Funktion zref(A|c) (Zeilenreduktion) zur Verfügung:

zref ( A|c)

§1 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ©0

0 0

2

· ¸ 1 0 3 ¸ 0 1 1 ¸ ¸ 0 0 0 ¹

x1 = 2 x2 = 3 x3 = 1

Symbolische Lösung mithilfe des Operators auflösen: x1  x1

x2  x2

x3  x3

Redefinitionen

§ 4 ˜ x1  x2  x3 = 6 · ¨ ¸ x1  2 ˜ x3 = 0 ¨ ¸ x x x  ¨  1 2 3 x  2 ˜ x  2 ˜ x = 2 ¸ auflösen x1 x2 x3 o ( 2 3 1 ) ¨ 1 ¸ 2 3 ¨ ¸ 3 ˜ x1  x2 = 3 © ¹ x1

2

x2

3

x3

1

Lösungen

Symbolische Lösung mit dem Lösungsblock: Vorgabe 4 ˜ x1  x2  x3 = 6 x1  2 ˜ x3 = 0 x1  2 ˜ x2  2 ˜ x3 = 2 3 ˜ x1  x2 = 3

§¨ x1 ·¸ ¨ x ¸  Suchen x x x  1 2 3 ¨ 2¸ ¨© x3 ¸¹

§¨ x1 ·¸ § 2 · ¨ ¸ ¨x ¸ o ¨ 3 ¸ 2 ¨ ¸ ¨ ¸ ¨© x3 ¸¹ © 1 ¹

Lösungen

Lösungen mithilfe der g-Inversen Matrix (x = Aginv c): ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

§¨ 0.239 0.041 0.16 0.082 ·¸ ¨ 0.365 0.431 0.613 0.138 ¸ ¨ 0.208 0.443 0.047 0.113 ¸ © ¹

Aginv  geninv ( A)

Aginv

x  Aginv ˜ c

§¨ 2 ·¸ x ¨3 ¸ ¨ 1 ¸ © ¹

x1

Seite 271

2

x2

3

x3

1

g-Inverse Matrix

Lösungen

Matrizenrechnung

Die Lösungen können für m > n aus der Gauß'schen Normalgleichung N x = AT c mit N = AT A berechnet werden. Ist N regulär (|A| z0 bzw. Rg(A) = n)

§¨ 27 9 4 ·¸ N  A ˜ A ¨ 9 6 5 ¸ ¨ 4 5 9 ¸ © ¹ T

1

N

318

rg ( A)

§¨ 2 ·¸ x ¨3 ¸ ¨ 1 ¸ © ¹

T

x N

Ÿ x = N-1 AT c.

˜A ˜c

Beispiel 3.1.57:

3

N = AT A ist eine reguläre Matrix

Lösungsvektor

Besitzt das folgende Gleichungssystem eine Lösung? 3 x1 - 3 x2 = 1 - x1 + 5 x2 = 4 5 x1 + 2 x2 = 10

§¨ 3 3 ·¸ A  ¨ 1 5 ¸ ¨ 5 2¸ © ¹

Koeffizientenmatrix

§¨ 1 ·¸ c ¨ 4 ¸ ¨ 10 ¸ © ¹

Konstantenvektor

rg ( A)

rg ( erweitern ( A c) )

2

( rg ( A) = rg ( erweitern ( A c) ) )

0

3 Das Gleichungssystem ist also nicht lösbar (inkonsistentes Gleichungssystem)!

falsche Aussage

oder: erweitern ( A c)

§ 1 5 · ¨ ¸ © 5 2¹

189

Die erweiterte Matrix ist regulär, also rg(A|c) = 3

Es gibt eine von null verschiedene Unterdeterminante der Matrix A. Damit gilt: rg(A) = 2 (3-54).

27

Beispiel 3.1.58: Besitzt das folgende Gleichungssystem eine Lösung? x1 + 2 x2 - 2 x3 = 7 2 x1 + 3 x2 2 x1 +

=0

x2 + 8 x3 = -28

§¨ 1 2 2 ·¸ A  ¨2 3 0 ¸ ¨2 1 8 ¸ © ¹ §¨ 7 ·¸ c ¨ 0 ¸ ¨ 28 ¸ © ¹

(3-62).

Koeffizientenmatrix

Konstantenvektor

Seite 272

Matrizenrechnung

rg ( A)

2

rg ( erweitern ( A c) )

2

das Gleichungssystem ist lösbar

Wegen rg(A) < 3 gibt es unendlich viele Lösungen:

zref ( erweitern ( A c) )

x1 = 6 O - 21

§¨ 1 0 6 21 ·¸ ¨ 0 1 4 14 ¸ ¨0 0 0 0 ¸ © ¹

x2 = - 4 O + 14 x3 = 0 (n - r = 3 - 2 = 1)

3.1.14 Quadratische lineare Gleichungssysteme Unter einem quadratischen linearen Gleichungssystem ((nxn)-System) mit Unbekannten x1 , x2 , ..., xn verstehen wir ein System von Gleichungen der Form a1 1 ˜ x1  a1 2 ˜ x2  a1 3 ˜ x3  ....  a1 n ˜ xn = c1 a2 1 ˜ x1  a2 2 ˜ x2  a2 3 ˜ x3  ....  a2 n ˜ xn = c2 a3 1 ˜ x1  a3 2 ˜ x2  a3 3 ˜ x3  ....  a3 n ˜ xn = c3 .................................................................................. an 1 ˜ x1  an 2 ˜ x2  an 3 ˜ x3  ....  an n ˜ xn = cn

(3-91)

wobei die Skalare ai k bekannte Koeffizienten und ci bekannte Konstanten sind. Fassen wir die Skalare ai k zur (nxn)-Matrix und xi und ci zu den (nx1)- bzw. (nx1)Spaltenvektoren zusammen, so lässt sich dieses lineare Gleichungssystem als Matrixgleichung

§ a1 1 ¨ ¨ a2 1 ¨a A ˜ x = c bzw. ¨ 3 1 ¨ .... ¨ © an 1

§ x1 · § c1 · ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ a2 n ¸ ¨ x2 ¸ ¨ c2 ¸ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ a3 n ˜ x3 = c3 ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ .... ¸ ¨ .... ¸ ¨ .... ¸ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ an n ¹ © xn ¹ © cn ¹

a1 2 a1 3 .... a1 n · a2 2 a2 3 .... a3 2 a3 3 .... ....

....

....

an 2 an 3 ....

(3-92)

schreiben. Für c = 0 (Nullvektor) heißt das Gleichungssystem homogen, andernfalls inhomogen. Für ein quadratisches lineares Gleichungssystem gelten im Wesentlichen alle weiteren der im letzten Abschnitt 3.1.13 angeführten Bezeichnungen und Gesetzmäßigkeiten. Für quadratische inhomogene lineare (nxn)-Gleichungssysteme A x = c gelten folgende äquivalente Aussagen zu det(A) z 0: 1. Das System besitzt genau eine Lösung, wenn gilt: rg ( A) = rg ( A|c) = r = n

(3-93)

Damit sind alle Zeilenvektoren der Matrix A linear unabhängig (siehe (3-62)). 2. Die Determinante der Matrix A ist ungleich null: det ( A) z 0

(3-94)

Damit ist die Matrix A regulär und es existiert die inverse Matrix von A.

Seite 273

Matrizenrechnung

Das Gleichungssystem kann dann in einfacher Weise gelöst werden: a) Mithilfe der inversen Matrix: Wir multiplizieren zuerst die Matrixgleichung mit der inversen Matrix von links: 1

A

˜ A˜ x = A

1

1

c Ÿ E ˜ x = A

˜ c(E ... Einheitsmatrix)

(3-95)

Damit erhalten wir den Lösungsvektor x aus: 1

x=A

˜c

(3-96)

b) Mithilfe der Cramer-Regel: Mit (3-96) und (3-46) erhalten wir mit D = det(A):

§ D1 · §¨ c1 ˜ A1 1  c2 ˜ A2 1  ....  cn ˜ An 1 ·¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ D2 ¸ ˜ A  c ˜ A  ....  c ˜ A c 1 1  2 2 2  2 n n  2 1 1 1 x=A ˜c= ˜¨ ¸ = ˜¨ ¸ D ......... ¨ ¸ D ¨ .... ¸ ¨ c1 ˜ A1 n  c2 ˜ A2 n  ....  cn ˜ An n ¸ ¨D ¸ © ¹ © n¹

(3-97)

Wenn wir in der Koeffizientenmatrix A nacheinander die erste Spalte, die zweite Spalte usw. durch den Konstantenvektor c ersetzen, so erhalten wir mit diesen Matrizen die Hilfsdeterminanten D 1 , D2 , ..., Dn. Beispielsweise ergibt sich dann D 1 aus:

§¨ c1 a1 2 a1 3 ¨ c2 a2 2 a2 3 D1 = ¨ ¨ .... .... .... ¨ cn an 2 an 3 ©

.... a1 n ·

¸ .... a2 n ¸ ¸ .... .... ¸ .... an n ¸¹

(3-98)

Entwickeln wir D 1 nach den Elementen der 1. Spalte, dann erhalten wir wie in (3-97) angeführt: D1 = c1 ˜ A1 1  c2 ˜ A2 1  ....  cn ˜ An 1

(3-99)

Mit diesen Hilfsdeterminanten Di und der Determinante D erhalten wir dann nach Cramer alle Lösungen des Gleichungssystems aus: xi =

Di D

( D z0 und i = 1, 2, ..., n)

(3-100)

Bemerkung: Das homogene System A x = 0 hat unter den oben angeführten Bedingungen genau eine Lösung, nämlich die triviale Lösung x = 0 (Nullvektor). Es gelten auch die unter (3-90) angeführten Beziehungen über die verallgemeinerte inverse Matrix.

Seite 274

Matrizenrechnung

Für quadratische inhomogene lineare (nxn)-Gleichungssysteme A x = c gelten folgende äquivalente Aussagen zu det(A) = 0: 1. Die Determinante der Matrix A ist gleich null: det ( A) = 0

(3-101)

Damit ist die Matrix A singulär (siehe (3-63)) 2. Das System besitzt unendlich viele Lösungen mit (n - r) Parametern, wenn gilt: rg ( A) = rg ( A|c) = r  n

(3-102)

Dies gilt auch für das homogene System A x = 0. 3. Das System besitzt keine Lösung, wenn gilt: rg ( A) z rg ( A|c)

(3-103)

Hier liefert Mathcad mit der verallgemeinerten inversen Matrix eine Näherungslösung mit minimaler Abweichung: xnäh = geninv ( A) c mit A xnäh  c = Minimum Die Genauigkeit der Berechnung von geninv(A) hängt in Mathcad vom Toleranzparameter TOL ab! Bemerkung: In Mathcad stehen unter anderem zur Lösung eines linearen quadratischen Gleichungssystem die Funktion llösen(A,c) zur Verfügung.

Beispiel 3.1.59: Lösen Sie, wenn möglich, folgendes quadratische Gleichungssystem: 3 x1  2 x2  3 x3 = 4 2 x1  2 x2  6 x3 = 6 5 x1  4 x2  3 x3 = 5

§¨ 3 2 3 ·¸ A  ¨2 2 6 ¸ ¨5 4 3 ¸ © ¹ A

rg ( A)

1

3

Koeffizientenmatrix

Konstantenvektor

Die Matrix ist regulär, d. h., es gibt genau eine Lösung des Gleichungssystems

12

( A z 0)

§¨ 4 ·¸ c  ¨6 ¸ ¨5 ¸ © ¹

1... Die Aussage ist wahr 0... Die Aussage ist falsch rg ( erweitern ( A c) )

Rangvergleich

3

Lösung mithilfe der inversen Matrix: 1

x A

˜c

§¨ 0.5 ·¸ x ¨ 0 ¸ ¨ 0.833 ¸ © ¹

T

x o

§1 0 5· ¨ ¸ 6¹ ©2 Seite 275

Lösungsvektor

Matrizenrechnung

§¨ 4 ·¸ A ˜ x ¨6 ¸ ¨5 ¸ © ¹

oder

( A ˜ x = c)

Probe

1

Lösung mithilfe der Funktion llösen:

x  llösen ( A c)

§1· ¨2¸ ¨ ¸ xo¨0¸ ¨5¸ ¨ ¸ ©6¹

Lösungsvektor

Lösung mithilfe der UO-Zerlegung (3-81): Aus L U = P A folgt: L U x = P c. Multiplizieren wir die letzte Gleichung von Links mit (L U)-1 , so erhalten wir: (L U)-1 L U x = (L U)-1 P c. Damit gilt mit (3-43) für den Lösungsvektor: x = U -1 L-1 P c. ORIGIN festlegen

ORIGIN  1

M  lu ( A)

M

P  submatrix ( M 1 3 1 3)

L  submatrix ( M 1 3 4 6)

U  submatrix ( M 1 3 7 9)

§¨ 5 4 3 ·¸ P ˜ A ¨3 2 3 ¸ ¨2 2 6 ¸ © ¹ 1

x U

˜L

1

˜P˜c

3 · §¨ 0 0 1 1 0 0 5 4 ¸ ¨ 1 0 0 0.6 1 0 0 0.4 1.2 ¸ ¨ 0 1 0 0.4 1 1 0 0 ¸ 6 ¹ ©

§¨ 0 0 1 ·¸ P ¨1 0 0 ¸ ¨0 1 0 ¸ © ¹ §¨ 1 0 0 ·¸ L ¨ 0.6 1 0 ¸ ¨ 0.4 1 1 ¸ © ¹ §¨ 5 4 U ¨ 0 0.4 ¨0 0 © §¨ 5 4 L ˜ U ¨3 2 ¨2 2 ©

(3x9)-Matrix mit den Matrizen P, L und U

Matrix P

untere Dreiecksmatrix L

3

·¸ 1.2 ¸ ¸ 6 ¹ 3· ¸ 3¸ ¸ 6¹

§¨ 0.5 ·¸ x ¨ 0 ¸ ¨ 0.833 ¸ © ¹

obere Dreiecksmatrix U

P A und L U stimmen offensichtlich überein

Lösungsvektor

Seite 276

Matrizenrechnung

Lösung mithilfe der Zeilenreduktion (Gauß-Algorithmus): 1· § ¨1 0 0 2 ¸ ¨ ¸ zref ( erweitern ( A c) ) o ¨ 0 1 0 0 ¸ ¨ ¸ 5 ¨0 0 1 ¸ 6¹ ©

x1 = 1/2 ¢4² x  zref ( erweitern ( A c) )

x2 = 0 x3 = 5/6

§1· ¨2¸ ¨ ¸ xo¨0¸ ¨5¸ ¨ ¸ ©6¹

Lösung mithilfe der Cramer-Regel: Cramer ( A c) 

Fehler ( "Die Matrix ist nicht regulär !" ) if

A =0

n m spalten ( A) Dm A for i  1  n

Cramer-Regel mit einem Unterprogramm realisiert

A1 m A ¢i² A1 m c D1 i m A1 xm

1 D

D1

x

§¨ 0.5 ·¸ x ¨ 0 ¸ ¨ 0.833 ¸ © ¹

x  Cramer ( A c)

Lösungsvektor

Lösung mithilfe des Operators auflösen: x1  x1

x2  x2

x3  x3

Redefinitionen

§¨ 3x1  2x2  3x3 = 4 ·¸ §1 0 5· x  ¨ 2x1  2x2  6x3 = 6 ¸ auflösen x1 x2 x3 o ¨ ¸ ¨ ¸ 6¹ ©2 ¨© 5x1  4x2  3x3 = 5 ¸¹ x1 1

0.5

x1 2

0

x1 3

0.833

Lösungen

Lösung mithilfe eines Lösungsblocks: T

x  (1 1 1 )

Startwerte

Vorgabe A˜ x = c x  Suchen ( x)

§¨ 0.5 ·¸ x ¨ 0 ¸ ¨ 0.833 ¸ © ¹

Lösungsvektor

Seite 277

§1· ¨2¸ ¨ ¸ T x o¨0¸ ¨5¸ ¨ ¸ ©6¹

Matrizenrechnung

Lösungen mithilfe der g-Inversen Matrix (x = Aginv c): Aginv  geninv ( A)

generalisierte inverse Matrix

x  Aginv ˜ c

§1· ¨2¸ ¨ ¸ xo¨0¸ ¨5¸ ¨ ¸ ©6¹

Beispiel 3.1.60:

Lösungsvektor

Lösen Sie, wenn möglich, folgendes quadratische Gleichungssystem:

§¨ 1 1 1 ·¸ §¨ x ·¸ §¨ 1 ·¸ ¨ 1 2 1 ¸ ˜ ¨ y ¸ = ¨ 2 ¸ ¨ 1 1 5 ¸ ¨ z ¸ ¨ 0 ¸ © ¹ © ¹ © ¹ §¨ 1 1 1 ·¸ A  ¨ 1 2 1 ¸ ¨ 1 1 5 ¸ © ¹

Koeffizientenmatrix

§¨ 1 ·¸ c  ¨2 ¸ ¨0 ¸ © ¹

Konstantenvektor

A

Das Gleichungssystem hat entweder unendlich viele oder keine Lösung.

0

rg ( A)

2

rg ( erweitern ( A c) )

3

Das Gleichungssystem ist unlösbar!

§¨ 1 0 3 0 ·¸ zref ( erweitern ( A c) ) o ¨ 0 1 2 0 ¸ ¨0 0 0 1 ¸ © ¹ Beispiel 3.1.61: Lösen Sie, wenn möglich, folgendes quadratische Gleichungssystem:

§1 ¨ ¨0 ¨ 1 ¨ ©2

§x · · ¨ 1 ¸ §0 · ¸ ¨ ¸ 2 0 2 ¸ ¨ x2 ¸ ¨ 5 ¸ ˜¨ ¸ = 1 2 2 ¸ ¨ x3 ¸ ¨ 4 ¸ ¸ ¨ ¸ 4 2 8 ¹ ¨x ¸ ©8 ¹ © 4¹ 1

1

3

Seite 278

Matrizenrechnung

§1 ¨ ¨0 A ¨ 1 ¨ ©2

1

1

3

· ¸ 2 0 2 ¸ 1 2 2 ¸ ¸ 4 2 8 ¹

§0 · ¨ ¸ ¨5 ¸ c ¨4 ¸ ¨ ¸ ©5 ¹ A

Konstantenvektor

Das Gleichungssystem hat entweder unendlich viele oder keine Lösung!

0

rg ( A)

Koeffizientenmatrix

3

rg ( erweitern ( A c) )

§¨ 1 ¨ ¨ zref ( erweitern ( A c) ) o ¨ 0 ¨ ¨0 ¨ ©0

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen!

3

3

·¸ 2 ¸ 5 ¸ 1 0 1 ¸ 2 ¸ 0 1 1 4 ¸ ¸ 0 0 0 0 ¹ 0 0

3

x1 = 3 O + 3/2 x2 = O + 5/2 x3 = - O x4 = 0 (n - r = 4 - 3 = 1)

Beispiel 3.1.62: Lösen Sie, wenn möglich, folgendes quadratische Gleichungssystem: Ax = c

§¨ 2 3 1 ·¸ A  ¨ 3 1 18 ¸ ¨ 3 10 15 ¸ © ¹

Koeffizientenmatrix

§¨ 14 ·¸ c  ¨ 10 ¸ ¨ 30 ¸ © ¹

Konstantenvektor

A rg ( A)

Das Gleichungssystem hat entweder unendlich viele oder keine Lösung!

0 2

rg ( erweitern ( A c) )

3

Das Gleichungssystem ist unlösbar!

Näherungslösung: xnäh  geninv ( A) c

§¨ 1.922 ·¸ xnäh ¨ 3.065 ¸ ¨ 0.416 ¸ © ¹

§¨ 13.455 ·¸ A xnäh ¨ 10.182 ¸ ¨ 30.182 ¸ © ¹ Seite 279

A xnäh  c

0.603

Matrizenrechnung

3.2 Komplexe Matrizen In diesem Abschnitt soll eine kurze Einführung in die komplexe Matrizenrechnung gegeben werden. Dazu setzen wir die grundlegenden Kenntnisse über komplexe Zahlen voraus, wie sie im Kapitel 1 in diesem Buch beschrieben wurden. Wie reelle Matrizen finden auch komplexe Matrizen eine weit verbreitete Anwendung, wie z. B. bei der Behandlung von Netzwerken und Vierpolen. Besondere Bedeutung haben dabei spezielle quadratische Matrizen wie hermitesche, schiefhermitesche und unitäre Matrizen. Unter einer komplexen (m x n)-Matrix oder Matrix vom Typ (m, n) verstehen wir ein rechteckiges Schema komplexer Zahlen mit m Zeilen und n Spalten. Die komplexen Zahlen in der Matrix heißen Elemente oder Koeffizienten der Matrix. Die Elemente einer Matrix A werden durch a i k = a i, k bezeichnet, wobei i = 1, 2, ..., m Zeilenindex und k = 1, 2, ..., n Spaltenindex genannt wird.

§ a1 1 .... a1 n · ¨ ¸ A = ¨ ... ... ¸ =  ai k =  bi k  j ˜ ci k .... ¨a ¸ © m 1 .... am n ¹













A = bi k  j ˜ ci k = Re ai k  j ˜ Im ai k = B  j ˜ C

(3-104)

(3-105)

Matrizen werden in der Regel mit Großbuchstaben A, B, C, ... abgekürzt. Nachfolgend werden allgemein komplexe Matrizen und die Elemente der Matrizen in Fettschreibweise mit Unterstreichen dargestellt. Die in Abschnitt 3.1 definierten Rechenoperationen, Rechenregeln und Aussagen für reelle Matrizen lassen sich sinngemäß auch auf komplexe Matrizen übertragen. Sie werden daher in diesem Abschnitt nicht mehr explizit angeführt.

Beispiel 3.2.1: Zeigen Sie: A = Re(A) + j Im(A). Bilden Sie A + B und A - B. Stimmen die Gesetze (3-16) bis (3-18), (3-28) und (3-29) auch für die nachfolgend gegebenen Matrizen (z. B. O = 2)? Zeigen Sie mit der Funktion erweitern(A, B, C, ...), dass Matrizen gleicher Zeilenzahl zu einer Matrix zusammengefügt werden können. Analog fasst die Funktion stapeln(A, B, C, ...) zwei Matrizen gleicher Spaltenzahl übereinander zu einer gemeinsamen Matrix zusammen. Bilden Sie die Submatrix (Untermatrix) mit Zeilen 2 bis 3 und Spalten 1 bis 3 der Matrix A. Gegebene Matrizen: 4 j 4 §¨ 1  j ¸· A  ¨ 3  2 ˜ j 5  4 ˜ j 2  5 ˜ j ¸ ¨ 0 ¸ j 4 ˜ j ¹ ©

9 j · §¨ 6  3 ˜ j 2  7 ˜ j ¸ 0 j 2  3 ˜ j ¸ B ¨ ¨5  2 ˜ j 2  4 ˜ j ¸ 7 © ¹

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

Re ( A)

§¨ 1 4 4 ·¸ ¨ 3 5 2 ¸ ¨0 0 0 ¸ © ¹

Re ( A)  j ˜ Im ( A)

Im ( A)

§¨ 1 1 0 ·¸ ¨ 2 4 5 ¸ ¨ 0 1 4 ¸ © ¹

4 §¨ 1  j 4  j ·¸ ¨ 3  2j 5  4j 2  5j ¸ ¨ 0 ¸ j 4j ¹ ©

C  ( 4  j 1  8 ˜ j 5 )

Matrix der Real- und Imaginärteile

komplexe Matrix A

Seite 280

Matrizenrechnung

§¨ 7  4j 6  6j 13  j ·¸ A  B ¨ 3  2j 5  3j 4  8j ¸ ¨ 5  2j 2  3j 7  4j ¸ © ¹ §¨ 1  j 3  2j 0 ·¸ ¨ 4  j 5  4j j ¸ ¨ 4 2  5j 4j ¸ © ¹

T

A

( A  B)

T

( 2A)

T T

A

§¨ 7  4j 3  2j 5  2j ·¸ ¨ 6  6j 5  3j 2  3j ¸ ¨ 13  j 4  8j 7  4j ¸ © ¹

T

§¨ 2  2j 6  4j 0 ·¸ ¨ 8  2j 10  8j 2j ¸ ¨ 8 4  10j 8j ¸ © ¹

M  erweitern ( A B)

M

§¨ 5  2j 2  8j 5  j ¸· A  B ¨ 3  2j 5  5j 2j ¸ ¨ 5  2j 2  5j 7  4j ¸ © ¹

T

4 §¨ 1  j 4  j ·¸ ¨ 3  2j 5  4j 2  5j ¸ ¨ 0 ¸ j 4j ¹ ©

T

A B

T

2A

Addition und Subtraktion

(3-16)

§¨ 7  4j 3  2j 5  2j ·¸ ¨ 6  6j 5  3j 2  3j ¸ (3-17) ¨ 13  j 4  8j 7  4j ¸ © ¹

§¨ 2  2j 6  4j 0 ·¸ ¨ 8  2j 10  8j 2j ¸ ¨ 8 4  10j 8j ¸ © ¹

4 6  3j 2  7j 9  j · §¨ 1  j 4  j ¸ j 2  3j ¸ ¨ 3  2j 5  4j 2  5j 0 ¨ 0 ¸ j 4j 5  2j 2  4j 7 ¹ ©

(3-18)

nebeneinander zusammengefügte Matrizen

M1  stapeln ( C B)

5 § 4  j 1  8j · ¨ ¸ 6  3j 2  7j 9  j ¸ ¨ M1 ¨ 0 j 2  3j ¸ ¨ ¸ © 5  2j 2  4j 7 ¹

übereinander zusammengefügte Matrizen

U  submatrix ( A 2 3 1 3)

§ 3  2j 5  4j 2  5j · U ¨ ¸ j 4j ¹ © 0

Untermatrix der Matrix A (Zeile 2 bis 3 und Spalte 1 bis 3)

§¨ 23  17j 2  21j 29  2j ·¸ A B ¨ 12  50j 28  48j 13  3j ¸ ¨ 8  20j 17  8j 3  26j ¸ © ¹

T

( A B)

§¨ 23  17j 12  50j 8  20j ·¸ ¨ 2  21j 28  48j 17  8j ¸ ¨ 29  2j 13  3j 3  26j ¸ © ¹

A einheit ( 3)

4 ·¸ §¨ 1  j 4  j ¨ 3  2j 5  4j 2  5j ¸ ¨ 0 ¸ j 4j ¹ ©

Multiplikation zweier Matrizen

T T

B A

§¨ 23  17j 12  50j 8  20j ·¸ ¨ 2  21j 28  48j 17  8j ¸ ¨ 29  2j 13  3j 3  26j ¸ © ¹

4 ·¸ §¨ 1  j 4  j einheit ( 3) A ¨ 3  2j 5  4j 2  5j ¸ ¨ 0 ¸ j 4j ¹ ©

Seite 281

(3-28)

(3-29)

Matrizenrechnung

Beispiel 3.2.2: Gibt es für die Matrix A eine inverse Matrix? Wenn ja, wie lautet sie. 3  4˜ j 8  2˜ j · §¨ 2  j ¸ 0.5 ¸ A  ¨ 1.5  3 ˜ j 2.5  4 ˜ j ¨ 6  9˜ j ¸ 2˜ j 7 © ¹ D

1

A

A

D

gegebene Matrix

die Matrix A ist regulär

265.5  338j

§¨ 0.028  0.074i 0.014  0.063i 0.052  0.081i ·¸ ¨ 0.019  0.037i 0.103  0.211i 0.04  0.052i ¸ ¨ 0.129  0.022i 0.129  0.042i 0.02  0.009i ¸ © ¹

§¨ 1 0 0 ·¸ 1 A ˜ A ¨0 1 0 ¸ ¨0 0 1 ¸ © ¹

die zu A inverse Matrix

§¨ 1 0 0 ·¸ ¨0 1 0 ¸ ¨0 0 1 ¸ © ¹

1

A˜ A

nach (3-40)

3.2.1 Konjugiert komplexe Matrix







Ersetzen wir in einer komplexen Matrix A = ai k = bi k  j ˜ ci k jedes Matrixelement ai k durch  das zugehörige konjugiert komplexe Element ai k , so erhalten wir die konjugiert komplexe Matrix   A = ai k = bi k  j ˜ ci k (3-106)



 

A=B j˜C



 Ÿ A = B  j ˜ C

(3-107)

Den Querstrich erhalten wir in Mathcad mit der Anführungszeichentaste <">! Es gelten folgende Rechengesetze:   A=A

(3-108)

   ( A  B) = A  B

(3-109)

   ( A ˜ B) = A ˜ B

(3-110)

Beispiel 3.2.3: Überprüfen Sie mit Mathcad die Gesetze (3-108) bis (3-110). A

§ j 2  1 ˜ j 3  2 ˜ j · ¨ ¸ © j 5  4 ˜ j 1  2 ˜ j ¹

B

3 ˜ j 4 § 2 j ¨ © 5  3 ˜ j 2  2 ˜ j 1 

j·

¸

j¹ gegebene Matrizen

3 ˜ j 4j · §¨ 2  j ¸ 1j ¸ C  ¨ 5  3 ˜ j 2  2 ˜ j ¨1  5 ˜ j 4  3 ˜ j 9  2 ˜ j ¸ © ¹

Seite 282

Matrizenrechnung

 A

§ j 2  j 3  2j · ¨ ¸ © j 5  4j 1  2j ¹

  A

§ j 2  j 3  2j · ¨ ¸ © j 5  4j 1  2j ¹

 B

3j 4 j· § 2 j ¨ ¸ © 5  3j 2  2j 1  j ¹

konjugiert komplexe Matrizen

(3-108)

 § 2  2j 2  2j 7  3j · ( A  B) ¨ ¸ 3j ¹ © 5  2j 3  2j

  A B

 § 1  14j 27  3j 31  5j · ( A ˜ C) ¨ ¸ © 23  26j 3  29j 3  25j ¹

  A˜ C

§ 2  2j 2  2j 7  3j · ¨ ¸ 3j ¹ © 5  2j 3  2j § 1  14j 27  3j 31  5j · ¨ ¸ © 23  26j 3  29j 3  25j ¹

(3-109)

(3-110)

3.2.2 Konjugiert transponierte Matrix Eine konjugiert transponierte Matrix erhalten wir dadurch, indem wir die konjugiert komplexe Matrix einer komplexen Matrix A = ai k = bi k  j ˜ ci k transponieren:







T  T T  A =  ai k =  bi k  j ˜ ci k

(3-111)

Die Operationen "Konjugieren" und "Transponieren" können vertauscht werden: 

T T  A =  A

(3-112)

Beispiel 3.2.4: Bilden Sie aus der gegebenen Matrix die konjugiert komplexe Matrix und zeigen Sie den Zusammenhang (3-111). 3 ˜ j 2 j · §¨ 5  j ¸ 6 j ¸ A  ¨ 1  3 ˜ j 2  2 ˜ j ¨ 7  5 ˜ j 10  3 ˜ j 8  2 ˜ j ¸ © ¹  A

3j 2 j · §¨ 5  j ¸ ¨ 1  3j 2  2j 6  j ¸ ¨ 7  5j 10  3j 8  2j ¸ © ¹

T A



zugehörige komplexe Matrix

§¨ 5  j 1  3j 7  5j ·¸ ¨ 3j 2  2j 10  3j ¸ ¨ 2  j 6  j 8  2j ¸ © ¹

§¨ 5  j 1  3j 7  5j ·¸ T A ¨ 3j 2  2j 10  3j ¸



¨2  j ©

6 j

8  2j

gegebene Matrix

komplexe transponierte Matrix



T T damit gilt:  A =  A

¸ ¹

Seite 283

Matrizenrechnung

3.2.3 Hermitesche Matrix







Eine komplexe (nxn)-Matrix A = ai k = bi k  j ˜ ci k = B  j ˜ C heißt hermitesch, wenn T A= A (3-113)



gilt (i = 1, 2, ..., n und k = 1, 2, ..., n). Eine hermitesche Matrix hat folgende Eigenschaften: 1. Die Hauptdiagonalelemente ai i einer hermiteschen Matrix A sind immer reell (i = k):  ai i = ai i

(3-114)

Eine komplexe Zahl mit dieser Eigenschaft kann nur reell sein (der zugehörige Bildpunkt liegt auf der reellen Achse).  2. Im Reellen ist A = A . Damit gilt aber für eine hermitesche Matrix: T T T A = A = A Ÿ A = A



(3-115)

Das heißt, die Matrix A ist symmetrisch! Im Reellen sind also die Begriffe symmetrisch und hermitesch identisch. 3. Eine hermitesche Matrix A = B  j ˜ C besitzt einen symmetrischen Realteil B und schiefsymmetrischen Imaginärteil C. Es gilt auch die Umkehrung. Es gilt nämlich mit (3-112) und (3-17): T T T T A = B  j ˜ C = A = ( B  j ˜ C) = B  j ˜ C



(3-116)

Mit B = BT gilt: Der Realteil B muss eine symmetrische Matrix sein. Mit C = - CT gilt: Der Imaginärteil muss eine schiefsymmetrische Matrix sein.

Beispiel 3.2.5: Zeigen Sie, dass die gegebene Matrix hermitesch ist. A

§ 1 1 ¨ ©1  j 3

A

§ 1 1j· ¨ ¸ ©1  j 3 ¹

A

1

B  Re ( A)

C  Im ( A)

j

· ¸ ¹

gegebene Matrix T  A

§ 1 1 j· ¨ ¸ ©1  j 3 ¹

die Matrix A ist hermitesch

A besitzt reelle Hauptdiagonalelemente und eine reellwertige Determinante

§1 ¨ ©1 §0 C ¨ ©1 B

1·

B = BT

1 ·

C = CT

¸ 3¹ ¸ 0 ¹

Seite 284

1

1

der Realteil B ist symmetrisch

der Imaginärteil ist schiefsymmetrisch

Matrizenrechnung

3.2.4 Schiefhermitesche Matrix







Eine komplexe (nxn)-Matrix A = ai k = bi k  j ˜ ci k = B  j ˜ C heißt schiefhermitesch, wenn T A= A (3-117)



gilt (i = 1, 2, ..., n und k = 1, 2, ..., n). Eine schiefhermitesche Matrix hat folgende Eigenschaften: 1. Die Hauptdiagonalelemente ai i einer schiefhermiteschen Matrix A sind immer imaginär, wenn wir als Grenzfall die Zahl Null dazunehmen (i = k): T  A =  A = A



(3-118)

Eine komplexe Zahl mit dieser Eigenschaft kann nur imaginär sein (Richtungsumkehr des zugehörigen Zeigers).  2. Im Reellen ist A = A . Damit gilt aber für eine schiefhermitesche Matrix: T T T A =  A = A Ÿ A = A



(3-119)

Das heißt, die Matrix A ist schiefsymmetrisch! Im Reellen sind also die Begriffe schiefsymmetrisch und schiefhermitesch identisch. 3. Eine schiefhermitesche Matrix A = B  j ˜ C besitzt einen schiefsymmetrischen Realteil B und symmetrischen Imaginärteil C. Es gilt auch die Umkehrung. Es gilt nämlich mit (3-118) und (3-12): T T T T A = B  j ˜ C =  A = ( B  j ˜ C) = B  j ˜ C



(3-120)

Mit B = - BT gilt: Der Realteil B muss eine schiefsymmetrische Matrix sein. Mit C = CT gilt: Der Imaginärteil muss eine symmetrische Matrix sein.

Beispiel 3.2.6: Zeigen Sie, dass die gegebene Matrix schiefhermitesch ist. A

5  2˜ j · § 4u j ¨ ¸ gegebene Matrix © 5  2 ˜ j 8 ˜ j ¹

A

5  2j · § 4j ¨ ¸ © 5  2j 8j ¹

A

3

B  Re ( A)

C  Im ( A)

T A



5  2j · § 4j ¨ ¸ © 5  2j 8j ¹

die Matrix A ist schiefhermitesch

A besitzt imaginäre Hauptdiagonalelemente und eine reellwertige Determinante

§0 ¨ © 5 §4 C ¨ © 2 B

5·

B = BT

2 ·

C = CT

¸ 0¹ ¸ 8 ¹

Seite 285

1

1

der Realteil B ist schiefsymmetrisch

der Imaginärteil ist symmetrisch

Matrizenrechnung

3.2.5 Unitäre Matrizen







Eine komplexe (nxn)-Matrix A = ai k = bi k  j ˜ ci k = B  j ˜ C heißt unitär, wenn T T A˜ A = A ˜ A = E





(3-121)

gilt (i = 1, 2, ..., n und k = 1, 2, ..., n). Eine unitäre Matrix hat folgende Eigenschaften: 1. Eine unitäre Matrix A ist stets regulär, denn es gilt: det ( A) = 1

det ( A) z 0

Ÿ

(3-122)

Es gibt daher zu jeder unitären Matrix A eine inverse Matrix A-1 . T 1 2. Die konjugiert transponierte Matrix A ist identisch mit der inversen Matrix A :



T 1  A = A

(3-123)

3. Die inverse einer unitären Matrix ist ebenso wie das Produkt unitärer Matrizen wiederum eine unitäre Matrix.  4. Im Reellen ist A = A und A = A . Damit gilt aber für eine unitäre Matrix: T T A˜ A = A˜ A = E



(3-124)

Das heißt, die Matrix A ist orthogonal! Im Reellen sind also die Begriffe unitär und orthogonal identisch.

Beispiel 3.2.7: Zeigen Sie, dass die gegebene Matrix hermitesch ist.

§0 j · ¨ ¸ © j 0 ¹

A

T A˜ A



T  A

A

§1 0 · ¨ ¸ ©0 1 ¹

§0 j · ¨ ¸ © j 0 ¹ 1

gegebene Matrix

die Matrix A ist unitär

1

A

§0 j · ¨ ¸ © j 0 ¹

T 1 Es gilt offensichtlich: A = A

Der Betrag der Determinante ist 1!

Seite 286



Matrizenrechnung

3.2.6 Komplexe quadratische lineare Gleichungssysteme Unter einem komplexen quadratischen linearen Gleichungssystem ((nxn)-System) mit Unbekannten x1 , x2 , ..., xn verstehen wir ein System von Gleichungen der Form a1 1 ˜ x1  a1 2 ˜ x2  a1 3 ˜ x3  ....  a1 n ˜ xn = c1 a2 1 ˜ x1  a2 2 ˜ x2  a2 3 ˜ x3  ....  a2 n ˜ xn = c2 a3 1 ˜ x1  a3 2 ˜ x2  a3 3 ˜ x3  ....  a3 n ˜ xn = c3

(3-125)

.................................................................................. an 1 ˜ x1  an 2 ˜ x2  an 3 ˜ x3  ....  an n ˜ xn = cn wobei ai k bekannte Koeffizienten und ci bekannte Konstanten sind. Fassen wir die ai k zur (nxn)-Matrix und xi und ci zu den (nx1)- bzw. (nx1)-Spaltenvektoren zusammen, so lässt sich dieses Gleichungssystem als Matrixgleichung

§ a1 1 ¨ ¨ a2 1 ¨a A x = c bzw. ¨ 3 1 ¨ .... ¨ © an 1

§ x1 · § c1 · ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ a2 n ¸ ¨ x2 ¸ ¨ c2 ¸ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ a3 n ˜ x3 = c3 ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ .... ¸ ¨ .... ¸ ¨ .... ¸ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ an n ¹ © xn ¹ © cn ¹

a1 2 a1 3 .... a1 n · a2 2 a2 3 .... a3 2 a3 3 .... ....

....

....

(3-126)

an 2 an 3 .... schreiben. Für c = 0 (Nullvektor) heißt das Gleichungssystem homogen, andernfalls inhomogen.

Beispiel 3.2.8: Wie lautet die Lösung des folgenden komplexen Gleichungssystems? j · §3  j §1  j · ¨ ¸˜x=¨ ¸ © 2  j 3  2j ¹ © 2˜ j ¹ 1 j · §3  j §1  j · x ¨ ¸ ˜¨ ¸ © 2  j 3  2j ¹ © 2˜ j ¹

j · §3  j ¨ ¸ © 2  j 3  2j ¹

x

§ 0.44  0.28j · ¨ ¸ © 0.6  0.6j ¹

Seite 287

10  5j

Die Determinante der Koeffizientenmatrix ist ungleich null

Lösungsvektor

Matrizenrechnung

3.3 Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix Die Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren ist sehr wichtig in der Mathematik, Physik und Technik. Anwendungen finden sich z. B. bei der Berechnung von Eigenfrequenzen schwingender Systeme, Differentialgleichungen (z. B. Schrödinger-Gleichung), Hauptträgheitsmomenten, affinen Abbildungen, Kegelschnitten u. a. m. Die Eigenwerte einer quadratischen Matrix A nxn (bzw. A nxn) sind diejenigen reellen oder komplexen Zahlen O i, für die die Gleichung A ˜ xi = λi ˜ xi = λi ˜ E ˜ xi

(bzw. A ˜ xi = λi ˜ xi = λi ˜ E ˜ xi)

(3-127)

eine nichttriviale Lösung hat. Jeder Vektor xi z 0 (bzw. xi z 0) mit A ˜ xi = λi ˜ xi bzw. A ˜ xi = λi ˜ xi) heißt Eigenvektor der Matrix A (bzw. A) zum Eigenwert Oi ( bzw. Oi). Ist xi (bzw. xi) Eigenvektor von A (bzw. A) zum Eigenwert Oi (bzw. Oi), so sind alle Vielfachen α ˜ xi (bzw. α ˜ xi) (D \ {0}) auch Eigenvektoren zum Eigenwert Oi (bzw. Oi). Falls Oi (bzw. Oi) ein Eigenwert der Matrix A (bzw. A) ist, so muss gelten: A ˜ xi = λi ˜ xi bzw.









œ A  λ i ˜ E ˜ xi = 0

(3-128)

A ˜ xi = λi ˜ xi ) œ A  λi ˜ E ˜ xi = 0 Dieses homogene Gleichungssystem hat aber nach (3-102) entweder unendlich viele Lösungen oder nur die triviale Lösung. Nach Definition (3-127) kann die triviale Lösung aber nicht Eigenvektor sein. Damit ergibt sich, dass für einen Eigenvektor folgende Beziehung gelten muss:









xi z 0 ( zw. xi z 0) œ det A  λ i ˜ E = 0(bzw. det A  λi ˜ E = 0)

(3-129)

Die Determinante ist ein Polynom n-ten Grades in O i ( bzw. Oi). Dies wird als charakteristisches Polynom p(O i) (bzw. p( Oi)) der Matrix A (bzw. A) bezeichnet. Die Eigenwerte von A sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms vom Grade n. Die Menge aller Eigenwerte heißt Spektrum V(A) = { O | O Eigenwert von A} bzw. V(A) = { O | O Eigenwert von A}

(3-130)

Die Eigenvektoren zu O V(A)( bzw. O V(A) ) erzeugen den Eigenraum (Unterraum des n) EO(A) = {x n | (A - O E) x = 0} bzw. EO(A) = {x n | (A - O E) x = 0} Für A nxn hat das charakteristische Polynom p(O) Grad n, also n Nullstellen. Ist O k-fache Nullstelle, so ist O Eigenwert der algebraischen Vielfachheit k. Ist O komplexe Nullstelle, so ist (A - O E) nxn mit denEigenvektoren in EO(A) Žn.

Seite 288

(3-131)

Matrizenrechnung

Für die n Eigenwerte O i einer (nxn)-Matrix (u. U. komplex und nicht alle verschieden) gelten folgende Eigenschaften: n

–

1. det ( A) =

i

λi

(3-132)

1

n

2. sp ( A) =

¦

i

λi

(3-133)

1

3. A regulär œ alle Eigenwerte λi z 0 4. A und AT haben dasselbe charakteristische Polynom und damit dieselben Eigenwerte. 5. Ist O Eigenwert einer regulären Matrix A, so ist 1/O ein Eigenwert von A-1 . 6. Eine (nxn)-Matrix A ist genau dann regulär, wenn sämtliche Eigenwerte von null verschieden sind. 7. Ist A orthogonal (AT A = E) Ÿ O i = r1. 8. Sind alle Eigenwerte voneinander verschieden, so gehört zu jedem Eigenwert genau ein linear unabhängiger Eigenvektor, der bis auf einen (beliebigen) konstanten Faktor eindeutig bestimmt ist. Die n Eigenvektoren werden normalerweise normiert und sind linear unabhängig. 9. Tritt ein Eigenvektor dagegen k-fach auf, so gehören hierzu mindestens ein, höchstens aber k linear unabhängige Eigenvektoren. 10. Die zu verschiedenen Eigenwerten gehörenden Eigenvektoren sind immer linear unabhängig. Bemerkung: Die Lösung der Eigenwertaufgabe ist sehr rechenintensiv, da die Eigenwerte O i ( bzw. Oi) als Lösungen des charakteristischen Polynoms bestimmt werden und anschließend für jeden Eigenwert das gegebene Gleichungssystem gelöst werden muss. Zur Bestimmung der Nullstellen existieren Berechnungsformeln nur für Polynome bis zum vierten Grad! Deshalb können wir auch von Mathcad nicht erwarten, dass es für n > 4 immer exakte Lösungen findet! Es existieren aber zahlreiche Näherungsverfahren. Zur Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren stehen in Mathcad die Funktionen eigenwerte(A), eigenvek(A , O) bzw. eigenvektoren(A) zur Verfügung.

Beispiel 3.3.1: Wie lauten die Eigenwerte, Eigenvektoren, Spur und Determinante der nachfolgend gegebenen Matrix?

A

§ 2 5 · ¨ ¸ ©1 4 ¹

ORIGIN  1

gegebene Matrix

ORIGIN festlegen

Seite 289

Matrizenrechnung

Bestimmung der Eigenwerte: A  λ ˜ einheit ( 2) o

§ λ  2 5 · ¨ ¸ 4 λ¹ © 1 2

p ( λ) 

A  λ ˜ einheit ( 2) o λ  2λ  3

λ  p ( λ) = 0 auflösen λ o λ1

λ2

1

§ 1 · ¨ ¸ ©3 ¹

charakteristisches Polynom

Vektor der Eigenwerte

Eigenwerte

3

Der zu O1 gehörige Eigenvektor: homogenes lineares Gleichungssystem

( A  1 ˜ E) ˜ x = 0

§ 1 5 · §¨ x1 ·¸ § 0 · =¨ ¸ ¨ ¸˜ © 1 5 ¹ ¨© x2 ¸¹ © 0 ¹

vereinfacht auf

§ x1  5x2 · § 0 · ¨ ¸= ¨ x  5x ¸ ¨© 0 ¸¹ 2 ¹ © 1

Das Gleichungssystem reduziert sich auf folgende Gleichung: x1  5x2 = 0 x1 und x 2 sind damit frei wählbar. Wir wählen z. B. x2 = D ( \ {0}) dann ist x 1 = -5 D x1 =

§ 5 ˜ α · § 5 · ¨ ¸ = ᘠ¨ ¸ © α ¹ ©1 ¹

Nach Normierung ergibt sich der Eigenvektor zu:

x1 

§ 5 · ¸ 26 © 1 ¹

1

˜¨

x1

§ 0.981 · ¨ ¸ © 0.196 ¹

x1

1

Länge 1

Der zu O2 gehörige Eigenvektor: homogenes lineares Gleichungssystem

( A  3 ˜ E) ˜ x = 0

§ 5 5 · §¨ x1 ·¸ § 0 · =¨ ¸ ¨ ¸˜ © 1 1 ¹ ¨© x2 ¸¹ © 0 ¹

vereinfacht auf

§¨ 5x1  5x2 ·¸ § 0 · = ¨ x  x ¸ ¨© 0 ¸¹ 1 2 © ¹

Das Gleichungssystem reduziert sich auf folgende Gleichung: x1  x2 = 0 x1 und x 2 sind damit frei wählbar. Wir wählen z. B. x2 = E ( \ {0}) dann ist x 1 = -E x2 =

§ β · § 1 · ¨ ¸ = ☠¨ ¸ ©β ¹ ©1 ¹ Seite 290

Matrizenrechnung

Nach Normierung ergibt sich der Eigenvektor zu:

x2 

§ 1 · ¸ 2 ©1 ¹

1

x2

˜¨

§ 0.707 · ¨ ¸ © 0.707 ¹

x2

1

Länge

Die normierten Eigenvektoren sind damit linear unabhängig (Eigenschaft 10). sp ( A) = λ1  λ2 = 1  3 = 2 det ( A) = λ 1 ˜ λ2 = 1 ˜ 3 = 3

sp ( A) A

Spur der Matrix A

2

Determinante der Matrix A

3

Direkte Berechnung mit den Mathcadfunktionen: λ  eigenwerte ( A)



x1  eigenvek A λ1

x1

λ



§ 0.981 · ¨ ¸ © 0.196 ¹

§ 1 · ¨ ¸ ©3 ¹

reelle Eigenwerte



x2  eigenvek A λ2

x2



§ 0.707 · ¨ ¸ © 0.707 ¹

genormte Eigenvektoren der Länge 1

oder: X  eigenvektoren ( A)

X

¢1² x1  X

x1

¢2² x2  X

§ 0.981 0.707 · ¨ ¸ © 0.196 0.707 ¹ § 0.981 · ¨ ¸ © 0.196 ¹

x2

§ 0.707 · ¨ ¸ © 0.707 ¹

genormte Eigenvektoren der Länge 1

Beispiel 3.3.2: Wie lauten die Eigenwerte, Eigenvektoren, Spur und Determinante der nachfolgend gegebenen Matrix?

A

§ 1 1 · ¨ ¸ ©1 1 ¹

gegebene Matrix

ORIGIN festlegen

ORIGIN  1

Direkte Berechnung mit den Mathcadfunktionen: λ  eigenwerte ( A)



x1  eigenvek A λ1

x1

λ



§ 0.005  0.707i · ¨ ¸ © 0.707  0.005i ¹

§1  j · ¨ ¸ ©1  j ¹

komplexe Eigenwerte



x2  eigenvek A λ2

x2



§ 0.005  0.707i · ¨ ¸ © 0.707  0.005i ¹ Seite 291

komplexe Eigenvektoren

Matrizenrechnung

x1

1

x2

genormte Einheitsvektoren

1

Probe: A x = O x A ˜ x1

§ 0.702  0.712j · ¨ ¸ © 0.712  0.702j ¹

λ1 ˜ x1

§ 0.702  0.712j · ¨ ¸ © 0.712  0.702j ¹

A ˜ x2

§ 0.702  0.712j · ¨ ¸ © 0.712  0.702j ¹

λ2 ˜ x2

§ 0.702  0.712j · ¨ ¸ © 0.712  0.702j ¹

Die Funktion eigenvek(A,O) ermittelt mit einem inversen Iterationsalgorithmus einen korrespondierenden Eigenvektor zu einem bekannten Eigenwert. Die Funktion eigenvektoren(A) liefert dagegen im Allgemeinen nicht dieselben Eigenvektoren, denn sie berücksichtigt nicht die Vorgabe von bekannten Eigenwerten. Hier wird eine Hessenberg-Reduktion gekoppelt mit einem Dekompositions-Algorithmus angewendet. Beide Funktionen liefern aber ein brauchbares Ergebnis, weil es ja zu gegebenen Eigenwerten viele Eigenvektoren gibt! X  eigenvektoren ( A)

§ 0.707 · ¨ ¸ © 0.707j ¹

¢1² X

¢1² X

1

¢2² X

§ 0.707 0.707 · ¨ ¸ © 0.707j 0.707j ¹

X

¢2² X

§ 0.707 · ¨ ¸ © 0.707j ¹

1

Matrix mit Eigenvektoren

genormte Eigenvektoren

Länge 1

Probe: A x = O x ¢1² A˜ X

§ 0.707  0.707j · ¨ ¸ © 0.707  0.707j ¹

¢1² λ1 ˜ X

§ 0.707  0.707j · ¨ ¸ © 0.707  0.707j ¹

¢2² A˜ X

§ 0.707  0.707j · ¨ ¸ © 0.707  0.707j ¹

¢2² λ2 ˜ X

§ 0.707  0.707j · ¨ ¸ © 0.707  0.707j ¹

Zusammenhang der Eigenvektoren: z

x1

x1 1



¢1² X 1

§ 0.005  0.707i · ¨ ¸ © 0.707  0.005i ¹

sp ( A) = λ1  λ2 = 1  j  1  j = 2 det ( A) = λ 1 λ2 = ( 1  j ) ˜ ( 1  j ) = 2

z

6.561 u 10

¢1² z˜X

sp ( A) A

3

j

§ 0.005  0.707i · ¨ ¸ © 0.707  0.005i ¹ 2

2

Die normierten Eigenvektoren sind damit linear unabhängig (Eigenschaft 10).

Seite 292

Beide Eigenvektoren unterscheiden sich nur durch einen Produktfaktor! Spur der Matrix A Determinante der Matrix A

Matrizenrechnung

Beispiel 3.3.3: Wie lauten die Eigenwerte, Eigenvektoren, Spur und Determinante der nachfolgend gegebenen Matrix?

§ 1 3 0· ¨ ¸ B  ¨ 3 1 0 ¸ ¨ ¸ © 0 0 3¹

gegebene Matrix

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

Bestimmung der Eigenwerte:

§1  λ 0 · 3 ¨ ¸ B  λ einheit ( 3) o ¨ 0 ¸ 3 λ  1 ¨ ¸ 0 3 λ¹ © 0 p ( λ) 

2

3

charakteristisches Polynom

B  λ einheit ( 3) o 3λ  λ  4λ  12

§¨ 2 ·¸ λ  p ( λ) = 0 auflösen λ o ¨ 2 ¸ ¨3 ¸ © ¹ λ1

2

λ2

2

λ3 T

λ  eigenwerte ( B)

λ

Vektor der Eigenwerte

Eigenwerte

3

mit der Mathcadfunktion berechnet

( 2 2 3 )

Die zu Oi gehörigen normierten Eigenvektoren:



x1  eigenvek B λ1

x1

§¨ 0.866 ·¸ ¨ 0.5 ¸ ¨ 0 ¸ © ¹





x2  eigenvek B λ2

x2



§¨ 0.5 ·¸ ¨ 0.866 ¸ ¨ 0 ¸ © ¹



x3  eigenvek B λ3

x3

sp ( B) = λ1  λ2  λ3 = 2  2  3 = 3

§¨ 0 ·¸ ¨0 ¸ ¨1 ¸ © ¹

sp ( B)

det ( B) = λ 1 ˜ λ2 ˜ λ3 = 2 ˜ ( 2) ˜ 3 = 12

B

3 12

Die normierten Eigenvektoren sind damit linear unabhängig (Eigenschaft 10). Probe: B x = O x

B ˜ x1

§¨ 1.732 ·¸ ¨ 1 ¸ ¨ 0 ¸ © ¹

2 ˜ x1

§¨ 1.732 ·¸ ¨ 1 ¸ ¨ 0 ¸ © ¹

Seite 293



Spur der Matrix A Determinante der Matrix A

Matrizenrechnung

B ˜ x2

§¨ 1 ·¸ ¨ 1.732 ¸ ¨ 0 ¸ © ¹

B ˜ x3

§¨ 0 ·¸ ¨0 ¸ ¨3 ¸ © ¹

2 ˜ x2

§¨ 1 ·¸ ¨ 1.732 ¸ ¨ 0 ¸ © ¹ §¨ 0 ·¸ ¨0 ¸ ¨3 ¸ © ¹

3 ˜ x3

Beispiel 3.3.4: Wie lauten die Eigenwerte und Eigenvektoren der nachfolgend gegebenen Matrix?

§¨ 4j 1 10 ·¸ 7 7 ¸ M ¨2 ¨ 1 1  j 4j ¸ © ¹

gegebene Matrix

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

Bestimmung der Eigenwerte: 10 §¨ λ  4j 1 ¸· M  λ einheit ( 3) o ¨ 2 7 λ 7 ¸ ¨ 1 ¸ 1  j λ  4j ¹ © p ( λ) 

2

charakteristisches Polynom

§¨ 8.672  0.6021j ·¸ o ¨ 0.6395  2.949j ¸ Gleitkommazahl 4 ¨ 1.032  3.551j ¸ © ¹

auflösen λ

λ  p ( λ) = 0

λ1

3

M  λ einheit ( 3) o 7λ  λ  ( 3  7j)λ  97

λ2

8.672  0.602j

0.639  2.949j

λ3

Vektor der Eigenwerte

1.032  3.551j

Eigenwerte

λ  eigenwerte ( M) T

λ

mit der Mathcadfunktion berechnet

( 8.672  0.602j 0.639  2.949j 1.032  3.551j )

Die zu Oi gehörigen normierten Eigenvektoren:



x1  eigenvek M λ1

x1



§¨ 0.271  0.051j ·¸ ¨ 0.891  0.322j ¸ ¨ 0.163  0.015j ¸ © ¹



x2  eigenvek M λ2

x2



§¨ 0.177  0.953j ·¸ ¨ 0.049  0.215j ¸ ¨ 0.094  0.058j ¸ © ¹ Seite 294



x3  eigenvek M λ3

x3



§¨ 0.043  0.683j ·¸ ¨ 0.452  0.069j ¸ ¨ 0.566  0.045j ¸ © ¹

Matrizenrechnung

Probe: M x = O x

M x1

§¨ 2.316  0.609j ·¸ ¨ 7.918  2.259j ¸ ¨ 1.423  0.033j ¸ © ¹

M x2

§¨ 2.923  0.088i ·¸ ¨ 0.666  0.007i ¸ ¨ 0.111  0.314i ¸ © ¹

M x3

§¨ 2.471  0.553j ·¸ ¨ 0.711  1.534j ¸ ¨ 0.743  1.963j ¸ © ¹

λ1 x1

§¨ 2.316  0.609j ·¸ ¨ 7.918  2.259j ¸ ¨ 1.423  0.033j ¸ © ¹

λ2 x2

§¨ 2.923  0.088i ·¸ ¨ 0.666  0.007i ¸ ¨ 0.111  0.314i ¸ © ¹

λ3 x3

§¨ 2.471  0.553j ·¸ ¨ 0.711  1.534j ¸ ¨ 0.743  1.963j ¸ © ¹

3.3.1 Eigenwerte und Eigenvektoren einer Diagonal- bzw. Dreiecksmatrix Die Eigenwerte einer (nxn)-Diagonal- bzw. Dreiecksmatrix A (bzw. A) sind identisch mit den Hauptdiagonalelementen (i = 1, 2, ..., n): λi = ai i

(bzw. λi = ai i)

(3-134)

Beispiel 3.3.5: Wie lauten die Eigenwerte und die Eigenvektoren der folgenden Matrix?

§¨ 2 0 0 ·¸ A  ¨ 5 3 0 ¸ ¨ 3 0 4¸ © ¹

gegebene untere Dreiecksmatrix

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

i  1  3

Bereichsvariable

λi  Ai i

λ

λ  eigenwerte ( A)

λ

T

T

(2 3 4 )

Eigenwerte

(4 3 2 )

mit der Mathcadfunktion errechnet

Die zu Oi gehörigen normierten Eigenvektoren:



x1  eigenvek A λ1

x1

§¨ 0 ·¸ ¨0 ¸ ¨1 ¸ © ¹





x2  eigenvek A λ2

x2



§¨ 0 ·¸ ¨1 ¸ ¨0 ¸ © ¹



x3  eigenvek A λ3

x3

Seite 295

§¨ 0.188 ·¸ ¨ 0.941 ¸ ¨ 0.282 ¸ © ¹



Matrizenrechnung

Beispiel 3.3.6: Wie lauten die Eigenwerte und die Eigenvektoren der folgenden Matrix? A

§2 1 · ¨ ¸ ©0 2 ¹

gegebene obere Dreiecksmatrix

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

i  1  2

Bereichsvariable

λ1i  Ai i

λ1

λ  eigenwerte ( A)

λ

T

T

doppelte Eigenwerte

(2 2 )

mit der Mathcadfunktion errechnet

(2 2 )

Die zu Oi gehörigen normierten Eigenvektoren:



x1  eigenvek A λ1 x1





x2  eigenvek A λ2

§ 1 · ¨ ¸ ©0 ¹

x2



§ 1 · ¨ ¸ ©0 ¹

Die Matrix A hat doppelten Eigenwert 2, aber nur einen linear unabhängigen Eigenvektor, denn A - 2 E hat den Rang 1:

A  2 ˜ einheit ( 2) o

§0 1 · ¨ ¸ ©0 0 ¹

rg ( A  2 ˜ einheit ( 2) )

1

Beispiel 3.3.7: Wie lauten die Eigenwerte und die Eigenvektoren der folgenden Matrix?

§ 3 ¨ ¨0 A ¨0 ¨ ©0

0 0 0· j

¸

0 0¸

0 5 0¸ 0 0 j

gegebene Diagonalmatrix

¸ ¹

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

i  1  4

Bereichsvariable

λi  Ai i

λ

λ  eigenwerte ( A)

λ

T

T

( 3 j 5 j )

Eigenwerte

( 3 j 5 j )

mit der Mathcadfunktion errechnet

Es gibt also zwei einfache und einen doppelten Eigenwert!

Seite 296

Matrizenrechnung

Die zu Oi gehörigen normierten Eigenvektoren:



x1  eigenvek A λ1

x1





x2  eigenvek A λ2

§1 · ¨ ¸ ¨0 ¸ ¨0 ¸ ¨ ¸ ©0 ¹

x2



§ 0 · ¨ ¸ ¨ 0.483 ¸ ¨ 0 ¸ ¨ ¸ © 0.876 ¹



x3  eigenvek A λ3

x3



§0 · ¨ ¸ ¨0 ¸ ¨1 ¸ ¨ ¸ ©0 ¹



x4  eigenvek A λ4

x4

§ 0 · ¨ ¸ ¨ 0.483 ¸ ¨ 0 ¸ ¨ ¸ © 0.876 ¹

3.3.2 Eigenwerte und Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix Die Eigenwerte und Eigenvektoren einer symmetrischen (nxn)-Matrix A besitzen folgende Eigenschaften: 1. Alle n Eigenwerte sind reell. 2. Es gibt genau n linear unabhängige Eigenvektoren. 3. Zu jedem einfachen Eigenwert gehört genau ein linear unabhängiger Eigenvektor und zu jedem k-fachen Eigenwert dagegen genau k linear unabhängige Eigenvektoren. 4. Je zwei zu verschiedenen Eigenwerten gehörende Eigenvektoren sind zueinander orthogonal. 5. Der Rang von A (rg(A)) ist gleich der Anzahl der von null verschiedenen Eigenwerten. 6. Spektralzerlegung: Schreiben wir die Eigenvektoren xi als Spalten einer Matrix O, so ist O orthogonal ( also O -1 = OT ) und

T

A= O˜ ˘ O

§ λ1 .... 0 · ¨ ¸ mit Λ = ¨ .... .... .... ¸ ¨ 0 .... λ ¸ n¹ ©

(3-135)

Beispiel 3.3.8: Wie lauten die Eigenwerte und die Eigenvektoren der folgenden Matrix? A

§1 2 · ¨ ¸ © 2 2 ¹

gegebene symmetrische Matrix T

λ  eigenwerte ( A)

λ

die Eigenvektoren sind reell

( 2 3 )

Die zu Oi gehörigen normierten Eigenvektoren:



x1  eigenvek A λ1 x1

§ 0.894 · ¨ ¸ © 0.447 ¹

x1 ˜ x2

0





x2  eigenvek A λ2 x2



§ 0.447 · ¨ ¸ © 0.894 ¹

die Eigenvektoren sind orthogonal (das Skalarprodukt verschwindet)

Seite 297



Matrizenrechnung

Beispiel 3.3.9: Führen Sie eine Spektralzerlegung der Matrix M durch.

M

§1 4 · ¨ ¸ ©4 2 ¹

gegebene symmetrische Matrix

λ  eigenwerte ( M)

λ

§ 2.531 · ¨ ¸ © 5.531 ¹

reelle Eigenwerte

O  eigenvektoren ( M)

O

§ 0.75 0.662 · ¨ ¸ © 0.662 0.75 ¹

Matrix der Eigenvektoren

§ 0.75 0.662 · ¨ ¸ © 0.662 0.75 ¹

1

O

T

O

§ 0.75 0.662 · ¨ ¸ © 0.662 0.75 ¹

ORIGIN festlegen

ORIGIN  1 Λ

§ λ1 0 · ¨ ¸ © 0 λ2 ¹

Λ

0 · § 2.531 ¨ ¸ 5.531 ¹ © 0

0 · § 2.531 ¨ ¸ 5.531 ¹ © 0

diag ( λ)

die Matrix O ist orthogonal

die aus den Eigenwerten gebildete Diagonalmatrix oder die Diagonalmatrix mit der Funktion diag gebildet

Es gilt: 1

O˜ ˘ O

§1 4 · ¨ ¸ ©4 2 ¹

Spektralzerlegung

3.3.3 Eigenwerte und Eigenvektoren einer hermiteschen Matrix Die Eigenwerte und Eigenvektoren einer hermiteschen (nxn)-Matrix A = Eigenschaften (vergleiche dazu symmetrische Matrizen):

ª  Tº ¬ A ¼ besitzen folgende

1. Alle n Eigenwerte sind reell. 2. Es gibt genau n linear unabhängige Eigenvektoren. 3. Zu jedem einfachen Eigenwert gehört genau ein linear unabhängiger Eigenvektor und zu jedem k-fachen Eigenwert dagegen genau k linear unabhängige Eigenvektoren.

Beispiel 3.3.10: Wie lauten die Eigenwerte, Eigenvektoren der nachfolgend gegebenen Matrix? A

§ 1 j · ¨ ¸ ©j 1 ¹

gegebene Matrix

Seite 298

Matrizenrechnung

ORIGIN festlegen

ORIGIN  1

A

§ 1 j · ¨ ¸ ©j 1 ¹

§ 1 j · ¨ ¸ ©j 1 ¹

T  A

die Matrix A ist hermitesch

Bestimmung der Eigenwerte: A  λ ˜ einheit ( 2) o

§ 1  λ j · ¨ ¸ 1 λ¹ © j 2

p ( λ) 

λ  p ( λ) = 0 auflösen λ o λ1

charakteristisches Polynom

A  λ ˜ einheit ( 2) o λ  2λ

§0 · ¨ ¸ ©2 ¹

λ2

0

Vektor der Eigenwerte Eigenwerte (alle Eigenwerte sind reell)

2

Der zu O1 gehörige Eigenvektor: homogenes lineares Gleichungssystem

( A  0 ˜ E) ˜ x = 0

§ 1 j · §¨ x1 ·¸ § 0 · =¨ ¸ ¨ ¸˜ © j 1 ¹ ¨© x2 ¸¹ © 0 ¹

vereinfacht auf

§¨ x1  j x2 ·¸ § 0 · = ¨ j x  x ¸ ¨© 0 ¸¹ © 1 2¹

Das Gleichungssystem reduziert sich auf folgende Gleichung (beide Gleichungen sind linear abhängig multiplizieren wir die erste Gleichung mit j, dann erhalten wir die zweite Gleichung): bzw.

x1  jx2 = 0

x1 = j x2

x1 und x 2 sind damit frei wählbar. Wir wählen z. B. x1 = D ( \ {0}) dann ist x2 = 1/j x 1 = -j x 1 = -j D  x1 =

§ α · §1· ¨ ¸ = ᘠ¨ ¸ © j ˜ α ¹ © j ¹

Der normierte Vektor muss die Bedingung x1 = 1 erfüllen  §1 x1 ˜ x1 = α ˜ ¨ © j

· §1 · 2 2 2 ¸ ˜ α¨ ¸ = α ˜ 1  j = 2 ˜ α ¹ ©j ¹

 x1 ˜ x1 =

x1 =



2

2˜ α = α˜



2=1

Skalarprodukt

Normierungsbedingung

Damit lautet der zum Eigenwert λ1 = 0 gehörige normierte Eigenvektor mit dem Normierungsfaktor α = x1 

§1· ¸ 2 © j ¹

1

˜¨

x1

§ 0.707 · ¨ ¸ © 0.707j ¹

x1

1

Länge 1

Der zu O2 gehörige Eigenvektor: ( A  2 ˜ E) ˜ x = 0

homogenes lineares Gleichungssystem

Seite 299

1 2

:

Matrizenrechnung

§ 1 j · §¨ x1 ·¸ § 0 · =¨ ¸ ¨ ¸˜ © j 1 ¹ ¨© x2 ¸¹ © 0 ¹

vereinfacht auf

§¨ x1  ¨ jx  © 1

jx2 · ¸ x2

¸ ¹

=

§0 · ¨ ¸ ©0 ¹

Das Gleichungssystem reduziert sich auf folgende Gleichung (beide Gleichungen sind linear abhängig multiplizieren wir die zweite Gleichung mit j, dann erhalten wir die erste Gleichung): x1  jx2 = 0

bzw.

x1 = j x2

x1 und x 2 sind damit frei wählbar. Wir wählen z. B. x1 = E ( \ {0}), dann ist x 2 = -1/j x 1 = j x1 = j E x2 =

§ β · §1 · ¨ ¸ = ☠¨ ¸ ©j ˜ β ¹ ©j ¹

Nach Normierung ergibt sich der zweite Eigenvektor zu: x2 

§1 · ¸ 2 ©j ¹

1

§ 0.707 · ¨ ¸ © 0.707j ¹

x2

˜¨

x2

1

Länge 1

Direkte Berechnung mit den Mathcadfunktionen: λ  eigenwerte ( A)

λ

§2 · ¨ ¸ ©0 ¹

reelle Eigenwerte

X  eigenvektoren ( A) ¢1² X

¢1² X

X

§ 0.707j · ¨ ¸ © 0.707 ¹

¢2² X

¢2² X

1

§ 0.707 · ¨ ¸ © 0.707j ¹ 1

§ 0.707j 0.707 · ¨ ¸ © 0.707 0.707j ¹

genormte Eigenvektoren

Länge 1

Probe: (A - O E) x = 0

A  λ1 ˜ einheit (2) ˜ X 1

¢ ²

§0 · ¨ ¸ ©0 ¹

¢ ²

§0 · ¨ ¸ ©0 ¹

A  λ2 ˜ einheit (2) ˜ X 2

Seite 300

Matrix mit Eigenvektoren

Matrizenrechnung

3.3.4 Verallgemeinertes Eigenwertproblem Das oben angeführte Eigenwertproblem lässt sich verallgemeinern. Die Eigenwerte der quadratischen Matrizen A nxn und B nxn sind diejenigen reellen O i, für die die Gleichung: A ˜ xi = λi ˜ B ˜ xi

(3-136)

eine nichttriviale Lösung hat. Jeder Vektor xi z 0 mit A ˜ xi = λi ˜ B ˜ xi heißt Eigenvektor der Matrizen A und B. Zur Bestimmung der Eigenwerte und der Eigenvektoren stehen für dieses Problem in Mathcad die Funktionen genwerte(A,B) und genvektoren(A,B) zur Verfügung.

Beispiel 3.3.11: Wie lauten die Eigenwerte, Eigenvektoren des nachfolgend gegebenen verallgemeinerten Eigenwertproblems A x = OB x?

A

§2 4 · ¨ ¸ ©5 7 ¹

B

§5 1 · ¨ ¸ ©8 2 ¹

gegebene Matrizen

ORIGIN festlegen

ORIGIN  1 Berechnung der Eigenwerte O mit der Funktion genwerte:

λ  genwerte ( A B)

λ

§ 2.303 · ¨ ¸ © 1.303 ¹

λ1

λ2

1.303

2.303

Eigenwertevektor

Eigenvektoren

Berechnung der Eigenvektoren mit der Funktion genvektoren: X  genvektoren ( A B)

X

¢1² x1  X

x1

x1

1.016

¢2² x2  X

x2

§ 0.178 0.623 · ¨ ¸ 1 © 1 ¹ § 0.178 · ¨ ¸ © 1 ¹

x2

Eigenwertematrix

§ 0.623 · ¨ ¸ © 1 ¹

genormte Eigenvektoren

Länge 1

1.178

Probe: A x - O B x = 0

A ˜ x1  λ1 ˜ B ˜ x1

0 §¨ ·¸ ¨© 1.776 u 10  15 ¸¹

A ˜ x2  λ2 ˜ B ˜ x2

Seite 301

0 §¨ ·¸ ¨© 2.22 u 10  15 ¸¹

Matrizenrechnung

3.4 Matrixnormen und Konditionszahlen Zur Normierung von Matrizen werden nachfolgend einige Matrixnormen definiert. Zur Berechnung dieser Normen stehen in Mathcad die Funktionen norme, norm1, norm2 und normi zur Verfügung. Für eine quadratische Matrix A nxn definieren wir folgende Normen: 1. Euklidische Norm: n



A

e = norme ( A) =

n

¦ ¦

i

1 k

ai k 2

(3-137)

1

2. Norm der maximalen Spaltenbetragssumme (L1-Norm):



A

§

1 = norm1 ( A) = maxk ¨

n

¦

¨ ©i

ai k

1

· ¸ ¸ ¹

(3-138)

3. Spektralnorm (L2-Norm):



A

2 = norm2 ( A) =





T

max eigenwerte A A



(3-139)

4. Norm der maximalen Zeilenbetragssumme (Unendlichnorm):



A

§

∞ = normi ( A) = maxi ¨

n

¦

¨ ©k

ai k

1

· ¸ ¸ ¹

(3-140)

Unter der Voraussetzung, dass die Matrix A regulär ist, führen wir noch einige Konditionszahlen an. Die Konditionszahl spielt eine große Rolle bei einem linearen Gleichungssystem A x = c mit fehlerbehaftetem c. Eine Änderung 'c hat eine Änderung der Lösung 'x zur Folge. Es lässt sich zeigen, dass der relative Fehler von x kleiner gleich der Konditionszahl, multipliziert mit dem relativen Fehler von c ist ((3-145)). Die Konditionszahlen cond(A) sind definiert als Produkt der Matrixnormen von A und A -1. Zur Berechnung sind in Mathcad die Funktionen conde, cond1, cond2 und condi vorgegeben:



1



(3-141)



1



(3-142)



1



(3-143)

conde ( A) = norme ( A) norme A cond1 ( A) = norm1 ( A) norm1 A cond2 ( A) = norm2 ( A) norm2 A



1

condi ( A) = normi ( A) normi A



(3-144)

Für die Lösung A ˜ x = c und A ˜ ( x  Δx) = c  Δc gilt die Beziehung: Δx x

d cond ( A)

Δc

(3-145)

c

Seite 302

Matrizenrechnung

Beispiel 3.4.1: Die nachfolgende Matrix soll mit den oben angeführten Normen normiert werden. Falls möglich, berechnen Sie auch die Konditionszahlen.

§¨ 1.01 2.02 3.61 ·¸ A  ¨ 3.45 0.66 2.83 ¸ ¨ 0.72 0.43 2.16 ¸ © ¹

gegebene Matrix

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

n 3

i  1  n

n

norme ( A)

6.622

Bereichsvariablen

k  1  n n

¦ ¦

i

1 k

Ai k 2

euklidische Norm

6.622

1

n

norm1 ( A)

8.6

vk 

¢k²  A i ¦

i

norm2 ( A)

5.709

6.94





T

max eigenwerte A A

vi 

ª T ¢i²º ¬ A ¼k

¦ 

k



max ( v)

1

die Matrix A ist regulär

7.508



1



16.933



1



30.105



1



14.463

conde ( A)

16.933

norme ( A) norme A

cond1 ( A)

30.105

norm1 ( A) norm1 A

cond2 ( A)

14.463

norm2 ( A) norm2 A

condi ( A)

23.579

Norm der maximalen Spaltenbetragssumme (L1-Norm)



1

normi ( A) normi A



Spektralnorm (L2-Norm)

5.709

Die Konditionszahlen: A

8.6

1

n

normi ( A)

max ( v)

23.579

Seite 303

6.94

Norm der maximalen Zeilenbetragssumme (Unendlichnorm)

Matrizenrechnung

Beispiel 3.4.2: Zeigen Sie, dass für die Gleichungssysteme A x1 = c1 und A (x1 +'x) = c1 +'c die Abschätzung (3-145) gilt. A

c1 

§1 4 · ¨ ¸ ©3 5 ¹

gegebene Koeffizientenmatrix

§1 · ¨ ¸ ©2 ¹

Konstantenvektor

rb  4%

Fehlerfaktor

j  1  2

Bereichsvariable





fehlerbehafteter Vektor

c2  c1 ˜ ª1  rnd ( 2) rb  rb º ¼ j j ¬ c2

§ 0.96 · ¨ ¸ © 1.951 ¹ fehlerbehaftete Änderung

Δc  c2  c1

Δc

§ 0.04 · ¨ ¸ © 0.049 ¹







x1  llösen A c1

x1

§ 0.429 · ¨ ¸ © 0.143 ¹

x2  x1 x1 x2  x1 x1

conde ( A)

x2

2.236 %

0.022

Δc c1 Δc c1

§ 0.429 · ¨ ¸ © 0.133 ¹

prozentuelle relative Fehler

0.028

relative Fehler

Konditionszahl. Sie drückt aus, um welchen Faktor sich der relative Fehler von c1 in x1 vervielfachen kann. Oder anders formuliert: Wenn die letzte wesentliche Ziffer der Eingabewerte unsicher war (log(cond(A)) ist die Schätzung der Anzahl der unsicheren Dezimalen des Ergebnisses).

0.862

§¨ x2  x1 Δc ¸· d conde ( A) ˜ ¨© x1 c1 ¸ ¹

Lösungen der Gleichungssysteme A x1 = c1 und A x2 = c2

2.828 %

7.286

log ( conde ( A) )



x2  llösen A c2

1

die Beziehung (3-145) ist erfüllt

Seite 304

Matrizenrechnung

3.5 Anwendungen der Matrizenrechnung Die Matrizenrechnung erfährt heute auf dem Computer eine sehr weitreichende Anwendung. Sei es die Berechnung von elektrischen Netzwerken, die Berechnung von Deformationen in der Elastizitätstheorie, die Berechnung der Statik eines Fachwerkes oder die Kostenrechnung in der Ökonomie. Aber auch in der Bildverarbeitung und Visualisierung, CAD-Technik, Computergrafik und in der Statistik kommen Matrizen zur Anwendung. Nicht unerwähnt sollen auch die Anwendungen in der linearen Optimierung, Spieltheorie und Bedienungstheorie bleiben. Diese Aufzählung, die noch weiter fortgesetzt werden könnte und auch Teile des großen Bereichs des Operations Research abdeckt, zeigt aber bereits, dass in diesem Abschnitt nicht auf alle Anwendungsaspekte eingegangen werden kann. Es wird daher nachfolgend daraus eine kleine Auswahl getroffen. Nicht eingegangen wird hier auf die bei der Berechnung mit Matrizen oft auftretenden numerischen Probleme und die damit notwendigen Fehlerabschätzungen. Es sollte jedenfalls in Mathcad, im Menü-Extras-Arbeitsblattoptionen-Berechnung "Bei Matrizen strikte Singularitätsprüfung durchführen" angehakt sein.

3.5.1 Anwendung der Matrizenrechnung in der Elektrotechnik Nachdem häufig in der Nachrichtentechnik und Elektrotechnik lineare Zusammenhänge zwischen den zu betrachtenden Größen bestehen bzw. nichtlineare Zusammenhänge durch lineare Beziehungen angenähert werden können, wird die Matrizenrechnung mit Vorteil angewendet. Anwendungen finden wir vor allem auf den Gebieten der Berechnung linearer Netzwerke, Vierpoltheorie, elektrischer Maschinen und Untersuchung elektromagnetischer Felder. Hier soll nur auf die ersten beiden Gebiete eingegangen werden.

3.5.1.1 Einfache Anwendungen in der linearen Netzwerktechnik Zunächst setzen wir voraus, dass die zu betrachtenden elektrischen Netze keine äußeren Einströmungen enthalten und zwischen den Zweigen keine induktiven Kopplungen bestehen. Für die Knotenpunkte eines elektrischen Netzes gilt für die Zweigströme I1 , I2 , ..., In das erste Kirchhoff'sche Gesetz:

§¨ m1 1 m1 2 ¨ m2 1 m2 2 ¨ .... ¨ .... ¨ mm 1 mm 2 ©

.... m 1 n

· I · ¸ §¨ 1 ¸ §¨ 0 ¸· .... m 2 n ¸ ¨ I2 ¸ ¨ 0 ¸ ¸˜¨ ¸ = ... ¸ ¨ .... ¸ ¨ .... ¸ .... ¨ ¸ .... m m n ¸¹ ¨© In ¸¹ © 0 ¹

bzw. M ˜ I = 0

(3-146)

Für die Maschen eines elektrischen Netzes gilt das zweite Kirchhoff'sche Gesetz:

§¨ Z1 1 Z1 2 ¨ Z2 1 Z2 2 ¨ .... ¨ .... ¨ Zn 1 Zn 2 © bzw.

m I m ¸ §¨ 1 ·¸ §¨ 1 1 2 1 .... Z2 n ¸ ¨ I2 ¸ ¨ m 1 2 m 2 2 ¸˜¨ ¸  ¨ .... .... ... ¸ ¨ .... ¸ ¨ .... ¸ ¨ ¸ ¨ .... Zn n ¹ © I n ¹ © m 1 n m 2 n .... Z1 n ·

§ Uq · U1 · ¨ 1 ¸ § ¸ ¨ ¸ ¨ Uq ¸ .... m m 2 ¸ ¨ U2 ¸ ¨ ¸ ˜ ¨ ¸ = ¨ 2 ¸¸ (3-147) ... ¸ ¨ .... ¸ .... ¨ .... ¸ ¸ ¨ ¸ .... m m n ¹ © Um ¹ ¨ U ¸ q © n¹ .... m m 1 ·

T

Z ˜ I  M ˜ U = Uq

Dabei ist Z die Impedanz-Matrix (Widerstands-Matrix), I die Spaltenmatrix der Zweigströme, MT die transponierte Koeffizientenmatrix M, U die Spaltenmatrix der Knotenpotentiale und U q die Spaltenmatrix der Zweigurspannungen.

Seite 305

Matrizenrechnung

Beispiel 3.5.1: Wie muss der variable Widerstand R x einer Wheatstone'schen Brücke eingestellt werden, damit die Brücke C-D stromlos wird?

Gegebene Werte: R1  15 ˜ Ω R2  25 ˜ Ω R3  3 ˜ Ω

Abb. 3.5.1 Unter der Annahme, dass zwischen C und D ein Strom I C fließt, gilt nach der Maschenregel für die Maschen 1 und 2: (1)

R1 ˜ I1  Ri ˜ IC  R3 ˜ I3 = 0 ˜ V

(2)

R2 ˜ I2  Rx ˜ I4  Ri ˜ IC = 0 ˜ V

Der Widerstand R x wird nun so eingestellt, dass der Strom I C = 0 wird. Dann gilt aber auch I2 = I 1 und I4 = I 3 . Das Gleichungssystem geht dann über in: (1) (2)

R1 ˜ I1  R3 ˜ I3 = 0 ˜ V

§¨ R1 R3 ·¸ §¨ I1 ·¸ § 0 · ˜ = ˜V ¨ R2 Rx ¸ ¨ I2 ¸ ¨© 0 ¸¹ © ¹ © ¹

bzw.

R2 ˜ I1  Rx ˜ I3 = 0 ˜ V

(R I = U)

Das lineare homogene Gleichungssystem ist nur dann nichttriveal lösbar, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix R verschwindet:

D=

§¨ R1 R3 ·¸ =0 ¨ R2 Rx ¸ © ¹

§¨ R1 R3 ·¸ =0 ¨ R2 Rx ¸ © ¹

vereinfacht auf

R2 ˜ R3  R1 ˜ Rx = 0

Daraus folgt:

Rx 

R2 ˜ R3 R1

Rx

5Ω

gesuchter Widerstand

Beispiel 3.5.2: Berechnen Sie die Zweigströme der gegebenen Schaltung. R1  20

R2  30

R3  25

R4  15

Uq1  20

Seite 306

Uq2  40

gegebene Daten (in : und V)

Matrizenrechnung

Abb. 3.5.2 Mit der Maschenregel und der Knotenregel ergibt sich folgendes Gleichungssystem: (1)

I1 ˜ R1  I2 ˜ R2  I1 ˜ R3 = 0 ˜ V

(2)

I3 ˜ R4  I2 ˜ R2 = Uq 1  Uq 2

(3)

I1  I2  I3 = 0 ˜ A

Nun ordnen wir das Gleichungssystems und multiplizieren noch die Gleichung (3) mit 1 :: (1)

R1  R3 ˜ I1  R2 ˜ I2 = 0 ˜ V

(2)

R2 ˜ I2  R4 ˜ I3 = Uq1  Uq2

(3)

1Ω ˜ I1  1 ˜ Ω ˜ I2  1 ˜ Ω ˜ I3 = 0 ˜ V

Das Gleichungssystem kann nun in Matrixform R I = U geschrieben werden: ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

§ R1  R3 R2 0 · ¨ ¸ R ¨ 0 R2 R4 ¸ ˜ Ω ¨ ¸ 1 1 ¹ © 1

Koeffizientenmatrix (Widerstandsmatrix)

0 § · ¨ ¸ U  ¨ Uq 1  Uq 2 ¸ ˜ V ¨ ¸ 0 © ¹

Konstantenvektor (Knotenpotentialvektor)

R

2.475 u 10

Ω

3

Die Matrix R ist regulär. Es gibt daher eine inverse Matrix R-1 .

Die Zweigströme ergeben sich dann aus: 1

I R

˜U

I

§¨ 0.242 ·¸ ¨ 0.364 ¸ ˜ A ¨ 0.606 ¸ © ¹ Seite 307

I1

0.242 A

I2

0.364 A

I3

0.606 A

Matrizenrechnung

Beispiel 3.5.3: Für einen verzweigten Gleichstromkreis mit Uq1 = 24 V, Uq 2 = 12 V, R1 = R2 = 100 :, R3 = R4 = 500 : und R5 = 300 : ergeben sich mithilfe der Kirchhoff'schen Gesetze folgende Gleichungen: I1 ˜ R1  I3 ˜ R3 = Uq1 I2 ˜ R2  I4 ˜ R4 = Uq2 I3 ˜ R3  I4 ˜ R4  I5 ˜ R5 = 0 ˜ V I1  I3  I5 = 0 ˜ A I2  I4  I5 = 0 ˜ A Nun ordnen wir das Gleichungssystem und multiplizieren noch die letzten beiden Gleichungen mit 1 :Dann kann das Gleichungssystem wieder in Matrixform R I = U geschrieben werden und daraus die Zweigströme berechnet werden. gegebene Knotenpotentiale in V

U01  24

U02  12

R1  100

R2  100

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

§¨ R1 ¨0 ¨ R ¨ 0 ¨ ¨1 ¨© 0 R

0 R2 0 0 1

R3

1

I1

˜U

57.9 ˜ mA

R5  300

gegebene Widerstände in :

Koeffizientenmatrix (Widerstandsmatrix)

Reguläre Matrix (Determinante ist ungleich null) Es existiert die inverse Matrix.

8

§ U01 · ¨ ¸ ¨ U02 ¸ ¨ ¸˜V U ¨ 0 ¸ ¨ 0 ¸ ¨ ¸ © 0 ¹

I R

R4  500

0

·¸ 0 R4 0 ¸ ¸ R3 R4 R5 ¸ ˜ Ω ¸ 1 0 1 ¸ 0 1 1 ¸¹

1.68 u 10

Ω

0

R3  500

Konstantenvektor (Knotenpotentialvektor)

I

I2

§¨ 57.9 ·¸ ¨ 2.1 ¸ ¨ 36.4 ¸ ˜ mA ¨ ¸ ¨ 23.6 ¸ ¨ 21.4 ¸ © ¹ 2.1 ˜ mA

gesuchter Stromvektor

I3

36.4 ˜ mA

Seite 308

I4

23.6 ˜ mA

I5

21.4 ˜ mA

Matrizenrechnung

Weitere Lösungsmöglichkeit mit der Funktion llösen:

I  llösen ( R U)

I

§¨ 57.9 ·¸ ¨ 2.1 ¸ ¨ 36.4 ¸ ˜ mA ¨ ¸ ¨ 23.6 ¸ ¨ 21.4 ¸ © ¹

Lösungsvektor

Probe:

R˜ I

§¨ 24 ·¸ ¨ 12 ¸ ¨ 0 ¸V ¨ ¸ ¨0 ¸ ¨0 ¸ © ¹

3.5.1.2 Anwendungen in der Vierpoltheorie Vierpole werden in der Elektrotechnik, Elektronik und Nachrichtentechnik zur Beschreibung von Systemen der Energie- und Informationsverarbeitung verwendet. Die Vierpoltheorie stellt nun auf Basis der Matrizenrechnung geeignete Verfahren zur Verknüpfung serieller und paralleler Verarbeitung der Vierpole zur Verfügung. Wichtig dabei ist der Umstand, dass die Beschreibung der Vierpole als "black boxes" lediglich durch die an den Klemmen der Ein- und Ausgänge zugehörigen Spannungen und Ströme möglich sein muss (Abb. 3.5.3). Siehe dazu auch Abschnitt 1.7.4. Voraussetzungen für das Rechnen mit Vierpolen: 1. Lineare Bauelemente für die Vierpole: Passive lineare Vierpole: Diese enthalten ausschließlich lineare Verbraucherbauteile, also im Wesentlichen ideale R, L und C. Aktive lineare Vierpole: Diese enthalten auch Spannungs- und Stromquellen. 2. Die Signale müssen periodisch sein und somit nach Fourier (siehe dazu Band 4) in harmonische Sinus- und Cosinusschwingungen zerlegbar sein. 3. Es dürfen nur stationäre Betriebszustände mit der Vierpolschreibweise behandelt werden. Vierpolgleichungen: Die Vierpolgleichungen können in Widerstandsform, Leitwertform, Hybridform und Kettenform angegeben werden.

Abb. 3.5.3

Seite 309

Matrizenrechnung

a) Widerstandsform: Diese Form eignet sich besonders für Vierpole, bei denen der Eingang von einer Spannungsquelle gespeist wird, deren Lastwiderstand sich aus einer Reihenschaltung von Teilwiderständen zusammensetzt, sowie für die Berechnung der Reihenschaltung von Vierpolen. U1 = Z1 1 ˜ I1  Z1 2 ˜ I2 U2 = Z2 1 ˜ I1  Z2 2 ˜ I2

(3-148)

In Matrizenschreibweise:

§ U1 · § Z1 1 Z1 2 · § I1 · ¨ ¸=¨ ¸ ˜ ¨ ¸ bzw. U = Z ˜ I © U2 ¹ © Z2 1 Z2 2 ¹ © I2 ¹

(3-149)

Die Widerstands-Parameter Zi,k sind die Kenngrößen eines Vierpols in Widerstandsform. Die Matrix Z heißt Impedanz-Matrix (Widerstands-Matrix). b) Leitwertform: Diese Form eignet sich besonders für Vierpole, deren Eingang von einer Stromquelle gespeist wird mit einem Lastleitwert, der sich aus einer Parallelschaltung von Teilleitwerten zusammensetzt, sowie für die Berechnung der Parallelschaltung von Vierpolen. I1 = Y1 1 ˜ U1  Y1 2 ˜ U2

(3-150)

I2 = Y2 1 ˜ U1  Y2 2 ˜ U2 In Matrizenschreibweise:

§ I1 · § Y1 1 Y1 2 · § U1 · ¨ ¸=¨ ¸ ˜ ¨ ¸ bzw. I = Y ˜ U I Y Y 2 2  1 2  2 © ¹ © ¹ © U2 ¹

(3-151)

Die Leitwert-Parameter Yi,k sind die Kenngrößen eines Vierpols in Leitwertform. Die Matrix Y heißt Admittanz-Matrix (Leitwert-Matrix). Die Leitwertparameter haben analoge Bedeutung wie oben angegeben. c) Hybridform: Die Hybridform ist besonders für Vierpole geeignet, bei denen der Eingang von einer Spannungsquelle gespeist wird, deren Lastwiderstand sich aus der Parallelschaltung von Teilleitwerten zusammensetzt, sowie für die Berechnung von Reihen-Parallelschaltung von Vierpolen. U1 = H1 1 ˜ I1  H1 2 ˜ U2 I2 = H2 1 ˜ I1  H2 2 ˜ U2

(3-152)

In Matrizenschreibweise:

§ U1 · § H1 1 H1 2 · § I1 · ¨ ¸=¨ ¸ ˜ ¨ ¸ bzw. V1H = H ˜ V2H © I2 ¹ © H2 1 H2 2 ¹ © U2 ¹ Die Hybrid-Parameter Hi,k sind die Kenngrößen eines Vierpols in Hybridform. Die Matrix H heißt Hybridmatrix.

Seite 310

(3-153)

Matrizenrechnung

d) Kettenform: Diese Form eignet sich besonders für Vierpole, deren Eingang von einer Stromquelle gespeist wird, deren Lastwiderstand sich aus einer Reihenschaltung von Teilwiderständen zusammensetzt, sowie für die Berechnung der Kettenschaltung von Vierpolen.

 

U1 = A1 1 ˜ U2  A1 2 ˜ I2 I1 = A2 1 ˜ U2  A2 2 ˜ I2

(3-154)

In Matrizenschreibweise:

§ U1 · § A1 1 A1 2 · § U2 · ¨ ¸=¨ ¸ ˜ ¨ ¸ bzw. V1K = A ˜ V2K I A A 1 2  1 2  2 © ¹ © ¹ © I2 ¹

(3-155)

Die Ketten-Parameter Ai,k sind die Kenngrößen eines Vierpols in Kettenform. Die Matrix A heißt Kettenmatrix. Zwischen den Vierpolparametern bestehen Beziehungen, die nun zusammengestellt werden: Impedanz-Admittanzmatrix: Es gilt mit (3-149) U = Z ˜ I und mit (3-151) I = Y ˜ U . Aus diesen Gleichungen folgt: U = Z ˜ Y ˜ U . 1

Damit muss Z ˜ Y = E sein, d. h. entweder Z = Y oder Y = Z Es gilt daher: § Y2 2 Y1 2 · § Z1 1 Z1 2 · 1 1 Y = ˜¨ ¸=Z=¨ ¸ det ( Y) © Y 2 1 Y1 1 ¹ © Z2 1 Z2 2 ¹ Z

1

1

.

(3-156)

§ Z2 2 Z1 2 · § Y1 1 Y1 2 · ¸=Y=¨ ¸ det ( Z) © Z2 1 Z1 1 ¹ © Y2 1 Y2 2 ¹ 1

=

(3-157)

˜¨

Impedanz-Kettenmatrix: Es gilt mit (3-149) U = Z ˜ I und mit (3-155) V1K = A ˜ V 2K und damit U1 = Z1 1 ˜ I1  Z1 2 ˜ I2 (1) (2)

U2 = Z2 1 ˜ I1  Z2 2 ˜ I2

bzw. (1*) U1 = A1 1 ˜ U2  A1 2 ˜ I2 (2*)

 I1 = A2 1 ˜ U2  A2 2 ˜  I2

Aus (2*) erhalten wir: (1**) U2 =

1 A2 1

˜ I1 

A2 2 A2 1

˜ I2

Setzen wir nun U2 aus dieser Gleichung in (1*) ein, so erhalten wir eine zweite Gleichung: (2**) U1 =

A1 1 A2 1

˜ I1  A1 1 ˜

A2 2 A2 1

˜ I2  A1 2 ˜ I2 =

A1 1 A2 1

˜ I1 

A1 1 ˜ A2 2  A1 2 ˜ A2 1 A2 1

˜ I2

Vergleichen wir nun (1**) und (2**) mit (1) und (2), so ergibt sich die Matrix Z zu: Z=

1 A2 1

§ A1 1 A1 1 ˜ A2 2  A1 2 ˜ A2 1 · § A1 1 det ( A) · 1 ˜¨ ¸= ¸ A2 2 A2 2 ¹ © 1 ¹ A2 1 © 1

˜¨

Seite 311

(3-158)

Matrizenrechnung

Admittanz-Kettenmatrix: Es gilt mit (3-151) I = Y ˜ U und mit (3-155) V 1K = A ˜ V2K und damit (1) I1 = Y 1 1 ˜ U1  Y1 2 ˜ U2 (2)

I2 = Y 2 1 ˜ U1  Y2 2 ˜ U2

bzw. (1*) U1 = A1 1 ˜ U2  A1 2 ˜ I2 (2*)

 I1 = A2 1 ˜ U2  A2 2 ˜  I2

Aus (1*) erhalten wir: (1**) I2 = 

1 A1 2

˜ U1 

A1 1 A1 2

˜ U2

Setzen wir nun I2 aus dieser Gleichung in (2*) ein, so erhalten wir eine zweite Gleichung: (2**) I1 = A2 1 ˜ U2 

A2 2 A1 2

˜ U1  A2 2 ˜

A1 1 A1 2

˜ U2 =

A2 2 A1 2

˜ U1 

A2 1 ˜ A1 2  A2 2 ˜ A1 1 A1 2

˜ U2

Vergleichen wir nun (1**) und (2**) mit (1) und (2), so ergibt sich die Matrix Y zu:

Y=

1 A1 2

§ A2 2 A2 1 ˜ A1 2  A1 1 ˜ A2 2 · § A2 2 det ( A) · 1 ˜¨ ¸= ¸ A1 2 A1 1 ¹ © 1 ¹ A1 2 © 1

˜¨

Alle anderen Umrechnungen erfolgen in ähnlicher Weise wie oben.

Tabelle mit den Umrechnungen der Vierpolparameter:

Abb. 3.5.4

Seite 312

(3-159)

Matrizenrechnung

Berechnung der Matrizenelemente: Zur Berechnung eines Vierpols sind, wie aus den oben angeführten Gleichungen hervorgeht, vier Parameter notwendig (Z11, Z12 , Z21, Z22 usw.). Um diese Parameter zu bestimmen, sind vier lineare Gleichungen notwendig. Diese erhalten wir aus dem Leerlaufversuch (Abb. 3.5.5) und Kurzschlussversuch (Abb. 3.5.6).

I1 , U1 und U2 werden gemessen und I2 = 0

Abb. 3.5.5 Im Leerlauf erhält dann mit I2 = 0 die reduzierten Gleichungssysteme: 1)

U1 = Z1 1 ˜ I1

(2)

U2 = Z2 1 ˜ I1

(3-160)

(1*) U1 = A1 1 ˜ U2 (2*) I1 = A2 1 ˜ U2

(3-161)

Daraus können die Parameter Z1 1 und Z2 1 bzw. A1 1 und A2 1 berechnet werden.

I1 , I2 und U1 werden gemessen und U2 = 0

Abb. 3.5.6 Bei Kurzschluss erhält dann mit U2 = 0 die reduzierten Gleichungssysteme: 1) (2)

U1 = Z1 1 ˜ I1  Z1 2 ˜ I2 0 = Z2 1 ˜ I1  Z2 2 ˜ I2

(3-162)

(1*) U1 = A1 2 ˜ I2 (2*) I1 = A2 2 ˜ I2

(3-163)

Daraus können mit den Ergebnissen des Leerlaufversuchs die Parameter Z1 2 und Z2 2 bzw. A1 2 und A2 2 berechnet werden. Vierpole können durch Serienschaltung bzw. Parallelschaltung kombiniert werden:

Seite 313

Matrizenrechnung

a) Serienschaltung:

Abb. 3.5.7

Es gilt: U = U'  U'' , I = I' = I'' . Damit erhalten wir: U = Z' ˜ I  Z'' ˜ I = ( Z'  Z'') ˜ I

(3-164)

Abb. 3.5.8

Es gilt: V 1K = A' ˜ V'2K , V'2K = A'' ˜ V2K. Damit erhalten wir: V1K = A' ˜ A'' ˜ V 2K = A ˜ V2K

(3-165)

b) Parallelschaltung:

Abb. 3.5.9

Es gilt: I' = Y' ˜ U , I'' = Y'' ˜ U und I = I'  I'' . Damit erhalten wir: I = I'  I'' = Y' ˜ U  Y'' ˜ U = ( Y'  Y'') ˜ U = Y ˜ U

Seite 314

(3-166)

Matrizenrechnung

Beispiel 3.5.4: Ermitteln Sie aus der gegebenen Schaltung die zugehörigen Vierpolmatrizen A und Y.

Abb. 3.5.10

Laut Schaltung gilt:



U1 = U2  Z1 ˜ I2 I2 = I2 = I1



Allgemein gilt:

 I1 = A2 1 ˜ U2  A2 2 ˜  I2 U1 = A1 1 ˜ U2  A1 2 ˜ I2

Vergleichen wir beide Gleichungssysteme, so ergibt sich die Kettenmatrix zu: A=

§ 1 Z1 · ¨ ¸ ©0 1 ¹

(3-167)

Mit den Kettenparameter erhalten wir die Admittanz-Matrix (Leitwert-Matrix): Y=

1 A1 2

§ A2 2 det ( A) · 1 § 1 1 · ˜¨ ¸= ¸ A1 1 ¹ Z1 © 1 1 ¹ © 1

(3-168)

˜¨

Die Widerstandsmatrix Z existiert wegen A2 1 = 0 nicht!

Beispiel 3.5.5: Ermitteln Sie aus der gegebenen Schaltung die zugehörigen Vierpolmatrizen A und Z.

Abb. 3.5.11

Laut Schaltung gilt:

Allgemein gilt:

U1 = U2

U1 = A1 1 ˜ U2  A1 2 ˜ I2



I1 = Y1 ˜ U2  I2

 I1 = A2 1 ˜ U2  A2 2 ˜  I2

Seite 315

Matrizenrechnung

Vergleichen wir beide Gleichungssysteme, so ergibt sich die Kettenmatrix zu:

§ 1 0 ·¸ § 1 0· ¨ A=¨ ¸ ¸=¨ 1 © Y 1 1 ¹ ¨ Z1 1 ¸ © ¹

(3-169)

Mit den Kettenparameter erhalten wir die Widerstandsmatrix und die Admittanz- (Leitwert-) Matrix:

Z=

1 A2 1

§ A1 1 det ( A) · 1 § 1 1 · ˜¨ ¸= ¸ A2 2 ¹ Y 1 © 1 1 ¹ © 1

˜¨

§ 1 1 · ¨ Y Y ¸ §Z Z · ¨ 1 1 ¸ = ¨ 1 1¸ = ¨ 1 1 ¸ ¨ Z1 Z1 ¸ ¹ ¨Y Y ¸ © © 1 1¹

(3-170)

Die Admittanz-Matrix (Leitwert-Matrix) Y existiert wegen A1,2 = 0 nicht!

Beispiel 3.5.6: Ermitteln Sie aus der gegebenen Schaltung die zugehörige gesamte Kettenmatrix A .

Abb. 3.5.12

Es gilt: V 1K = A' ˜ A'' ˜ V2K = A ˜ V 2K Mit (3-167) und (3-169) erhalten wir die gesamte Kettenmatrix für diese Schaltung: Z1 § · Z1 ¸ §¨ 1 0 ·¸ ¨ 1  ¨ Z2 ¸ § 1 Z1 · A = A' ˜ A'' = ¨ ¸ ˜ ¨ 1 1¸ = ¨ ¸ © 0 1 ¹ ¨ Z2 ¸ ¨ 1 ¸ 1 © ¹ ¨ ¸ Z2 © ¹

Seite 316

(3-171)

Matrizenrechnung

Beispiel 3.5.7: Ermitteln Sie aus dem gegebenen S-Glied (oder der Dreiecksschaltung) die zugehörige gesamte Kettenmatrix A .

Abb. 3.5.13

Es gilt: V 1K = A' ˜ A'' ˜ A''' ˜ V 2K = A ˜ V2K Mit (3-167) und (3-169) erhalten wir die gesamte Kettenmatrix für diese Schaltung:

1

0·

1

0·

§¨ ¸ § 1 Z1 · §¨ ¸ A = A' ˜ A'' ˜ A''' = ¨ 1 ˜¨ ˜¨ 1 ¸ ¸ ¸ ¨ Z2 1 ¸ © 0 1 ¹ ¨ Z3 1 ¸ © ¹ © ¹

Z1 § · ¨ 1 Z1 ¸ Z3 ¨ ¸ =¨ ¸ Z1 ¨ 1 1 Z1 ¸ ¨ Z  Z ˜ Z  Z Z  1¸ 2 3 3 2 © 2 ¹

(3-172)

Beispiel 3.5.8: Ermitteln Sie aus dem gegebenen T-Glied (oder der Sternschaltung) die zugehörige gesamte Kettenmatrix A .

Abb. 3.5.14

Es gilt: V 1K = A' ˜ A'' ˜ A''' ˜ V 2K = A ˜ V2K Mit (3-167) und (3-169) erhalten wir die gesamte Kettenmatrix für diese Schaltung:

A = A' ˜ A'' ˜ A''' =

§ 1 Z1 · § 1 0 · § 1 Z2 · §¨ 1  Z1 ˜ Y Z2  ¸˜¨ ¨ ¸˜¨ ¸= Y © 0 1 ¹ © Y 1 ¹ © 0 1 ¹ ¨©

Seite 317

Z1 ˜ Z2 ˜ Y  Z1 · ¸ Z2 ˜ Y  1

¸ ¹

(3-173)

Matrizenrechnung

Beispiel 3.5.9: Gegeben ist ein symmetrisches T-Glied mit den Ohm'schen Widerständen R1 = 10 : und R2 = 20:. Die Eingangsgrößen sind U 1 und I1 . Die Ausgangsgrößen U 2 und I2 .

R1  10 ˜ Ω vorgegebene Werte R2  20 ˜ Ω

Abb. 3.5.15 a) Bestimmen Sie die Widerstandsmatrix Z, Leitwertmatrix Y und Kettenmatrix A dieses Vierpols und zeigen Sie, dass die Kettenmatrix orthogonal ist. b) Wie lauten die Spannungswerte U1 und U2 für I1 = 0.5 A und I2 = 2 A? c) Welche Ströme I1 und I 2 fließen bei Gleichspannungen U 1 = 10 V und U 2 = 5 V? d) Die Ausgangsgrößen besitzen die Werte U 2 = 10 V, I 2 = 0.1 A. Welche Werte besitzen die zugehörigen Eingangsgrößen U1 und I 1 ? a) Bestimmen Sie die Widerstandsmatrix Z, Leitwertmatrix Y und Kettenmatrix A dieses Vierpols und zeigen Sie, dass die Kettenmatrix orthogonal ist. Mit der Maschenregel für 1 und 2 ergibt sich folgendes Gleichungssystem:





1:

R1 ˜ I1  R2 ˜ I1  I2  U1 = 0

2:

R1 ˜ I2  R2 ˜ I1  I2  U2 = 0





Durch das Auflösen der Gleichungen nach U 1 und U2 erhalten wir die Widerstandsform:





R1 ˜ I1  R2 ˜ I1  I2  U1 = 0

hat als Lösung(en)

R1 ˜ I1  R2 ˜ I1  R2 ˜ I2

R1 ˜ I2  R2 ˜ I1  I2  U2 = 0



hat als Lösung(en)

R1 ˜ I2  R2 ˜ I1  R2 ˜ I2

U1 = R1 ˜ I1  R2 ˜ I1  R2 ˜ I2

durch Faktorisierung, ergibt

U1 = I1 ˜ R1  R2  R2 ˜ I2

U2 = R2 ˜ I1  R2 ˜ I2  R1 ˜ I2

durch Faktorisierung, ergibt

U2 = R2 ˜ I1  I2 ˜ R1  R2

bzw.

Widerstandsform









Widerstandsmatrix: R2 · § I1 · §¨ U1 ·¸ §¨ R1  R2 ¸˜¨ ¸ = ¨ U2 ¸ ¨ R2 R1  R2 ¸ ¨ I2 ¸ © ¹ © ¹ © ¹

U= Z˜I

R2 · §¨ R1  R2 ¸ Z= ¨ R2 R1  R2 ¸ © ¹

Widerstandsmatrix

Seite 318



Matrizenrechnung

Die Leitwertmatrix Y ergibt sich aus der inversen Widerstandsmatrix Z-1 : R1  R1

Redefinitionen

R2  R2

R2 R1  R2 § · ¨ ¸  1 2 2 ¨ R1  2 ˜ R2 ˜ R1 ¸ R2 · R  2 ˜ R2 ˜ R1 §¨ R1  R2 ¸ o¨ 1 ¸ ¨ R ¸ ¨ ¸ R1  R2 R1  R2 R2 2 © ¹ ¨ ¸ 2 ¨ R 2  2˜ R ˜ R ¸ 2 1 R1  2 ˜ R2 ˜ R1 ¹ © 1 R2 R1  R2 § · ¨ ¸  2 ¨ R 2  2˜ R ˜ R R1  2 ˜ R2 ˜ R1 ¸ 2 1 1 ¨ ¸ Y= ¨ ¸ R1  R2 R2 ¨ ¸ 2 ¨ R 2  2˜ R ˜ R ¸  2 ˜ R ˜ R R 2 1 2 1 ¹ 1 © 1

Leitwertmatrix

Kettenmatrix: Mit (3-173) gilt: R § ¨ 1  1 R1  R2 ¨ A=¨ ¨ 1 ¨ R © 2 R § ¨1  1 R  1 R2 ¨ ¨ ¨ 1 ¨ R © 2

Z

R1 ˜ R1 R2 R1 R2

R1 ˜ R1 R2 R1 R2

·

 R1 ¸

¸ ¸ ¸ ¸ ¹

1

·

 R1 ¸

1

¸ ¸ o1 ¸ ¸ ¹

R2 · §¨ R1  R2 ¸ ¨ R ¸ R  R 2 1 2¹ ©

R2 R1  R2 § · ¨ ¸  2 ¨ R 2  2˜ R ˜ R R1  2 ˜ R2 ˜ R1 ¸ 2 1 1 ¨ ¸ Y ¨ ¸ R1  R2 R2 ¨ ¸ 2 ¨ R 2  2˜ R ˜ R ¸ 2 1 R1  2 ˜ R2 ˜ R1 ¹ © 1 Y=Z

Kettenmatrix

Die Kettenmatrix ist orthogonal!

Z

§ 30 20 · ¨ ¸Ω © 20 30 ¹

Widerstandsmatrix Z

Y

§ 0.06 0.04 · 1 ¨ ¸ © 0.04 0.06 ¹ Ω

Leitwertmatrix Y

1

Seite 319

Matrizenrechnung

R1  10 ˜ Ω

gegebene Werte

R2  20 ˜ Ω

R § ¨ 1  1 R1  R2 ¨ A=¨ ¨ 1 ¨ R © 2

R1 ˜ R1 R2 R1 R2

·

 R1 ¸

1

¸ ¸ ¸ ¸ ¹

R § ¨ 1  1 R1  R2 ¨ ¨ ¨ 1 ¨ R © 2

R1 ˜ R1 R2 R1 R2

·

§ 3 · 25 ˜ Ω ¸ ¸ ¨¨ 2 ¸ Kettenmatrix A ¸o¨ ¸ 1 3 ¸ ¨ ¸ ¸ © 20 ˜ Ω 2 ¹ ¹

 R1 ¸

1

b) Wie lauten die Spannungswerte U1 und U 2 für I1 = 0.5 A und I2 = 2 A? Die gewünschten Größen erhalten wir aus der Widerstandsform: R2 · § I1 · §¨ U1 ·¸ §¨ R1  R2 ¸˜¨ ¸ = ¨ U2 ¸ ¨ R ¸ ¨ ¸ R  R 2 1 2 ¹ © I2 ¹ © ¹ ©

U= Z˜I

§¨ U1 ·¸ § 30 20 · §¨ I1 ·¸ = ٘ ¨ U2 ¸ ¨© 20 30 ¸¹ ¨ I2 ¸ © ¹ © ¹

Einsetzen der Stromwerte

§¨ U1 ·¸ § 30 20 · § 0.5 · = ٘ ˜A ¨ U2 ¸ ¨© 20 30 ¸¹ ¨© 2 ¸¹ © ¹

vereinfacht auf

Widerstandsform

§¨ U1 ¸· § 55.0 ˜ A ˜ Ω · = ¨ U2 ¸ ¨© 70.0 ˜ A ˜ Ω ¸¹ © ¹

c) Welche Ströme I1 und I2 fließen bei Gleichspannungen U 1 = 10 V und U2 = 5 V? Die gewünschten Größen erhalten wir aus der Leitwertform:

§¨ I1 ·¸ § 0.06 0.04 · §¨ U1 ·¸ =¨ ˜S˜ ¸ ¨ I2 ¸ © 0.04 0.06 ¹ ¨ U2 ¸ © ¹ © ¹ §¨ I1 ·¸ § 0.06 0.04 · § 10 ˜ V · =¨ ˜S˜¨ ¸ ¸ ¨ I2 ¸ © 0.04 0.06 ¹ © 5˜ V ¹ © ¹

vereinfacht auf

§¨ I1 ·¸ § 0.4 ˜ S ˜ V · = ¨ I2 ¸ ¨© 0.1 ˜ S ˜ V ¸¹ © ¹

d) Die Ausgangsgrößen besitzen die Werte U 2 = 10 V, I 2 = 0.1 A. Welche Werte besitzen die zugehörigen Eingangsgrößen U1 und I1 ? Die gewünschten Eingangsgrößen erhalten wir aus der Kettenform:

§ 3 · 25 ˜ Ω ¸ U §¨ U1 ·¸ ¨¨ 2 ¸ ˜ §¨ 2 ·¸ = ¨ I1 ¸ ¨ 1 3 ¸ ¨ I2 ¸ © ¹ ¨ ¸ © ¹ 2 ¹ © 20 ˜ Ω · § 3 25 ˜ Ω ¸ §¨ U1 ·¸ ¨¨ 2 ¸ ˜ §¨ 10 ˜ V ·¸ = ¨ I1 ¸ ¨ 1 3 ¸ © 0.1 ˜ A ¹ © ¹ ¨ ¸ 2 ¹ © 20 ˜ Ω

Gleitkommaauswertung ergibt

Seite 320

§¨ U1 ¸· § 15 ˜ V  2.5 ˜ A ˜ Ω · ¸ =¨ ¨ I1 ¸ ¨ V  0.15 ˜ A ¸ © ¹ © 2˜ Ω ¹

Matrizenrechnung

U1  15 ˜ V  2.5 ˜ A ˜ Ω I1 

V 2˜ Ω

 0.15 ˜ A

12.5 V

0.35 A

Beispiel 3.5.10: Für die nachfolgende Schaltung wurden mittels Leerlauf- und Kurzschlusses die Kettenparameter bestimmt. Wie lauten die unbekannten Widerstände R1 und R2 ?

Abb. 3.5.16

Die Gleichungen mit den bekannten Kettenparametern lauten: U1 = A11 ˜ U2  A12 ˜ I2 = 6.187125 ˜ U2  198.75 ˜ I 2 I1 = A21 ˜ U2  A 22 ˜ I2 = 0.247915 ˜ Ω

1

˜ U2  8.125 ˜ I2

Die gegebene Schaltung ist aus drei gleichartigen Vierpolen zusammengesetzt. Nach (3-170) gilt demnach: Z1 §¨ · 1 Z1 ¸ ¨ Z2 ¸ A' = ¨ ¸ ¨ 1 ¸ 1 ¨ Z2 ¸ © ¹ Für die gesamte Kettenmatrix gilt: R §¨ 1  10 10 ·¸ §¨ 1  1 R ·¸ §¨ 1  50 50 ·¸ 1¸ ¨ R2 20 60 ¨ ¸ ¨ ¸ A = A' ˜ A'' ˜ A''' = ˜¨ ˜ ¸ ¨ 1 ¸ ¨ ¸ 1 1 ¸ ¨ 1 ¸ ¨ 1 ¸ ¨ 20 1 ¸ © 60 © ¹ ¨© R2 ¹ ¹ Die gesuchte Matrix A'' erhalten wir durch folgende Umformung: A'

1

˜ A ˜ A'''

A'' = A'

1

1

= A'

˜ A ˜ A'''

1

1

§¨ 1  10 10 ·¸ 20 ¨ ¸ A''  ¨ 1 ¸ 1 ¸ ¨ 20 © ¹

1

˜ A' ˜ A'' ˜ A''' ˜ A'''

1

= E ˜ A'' ˜ E

gesuchte Matrix

§¨ 1  50 50 ·¸ 60 § 6.187125 198.75 · ¨ ¸ ˜¨ ¸˜¨ ¸ 1 © 0.247915 8.125 ¹ 1 ¸ ¨ 60 © ¹ Seite 321

1

Matrizenrechnung

A''

§ 1.75 30.018 · ¨ ¸ © 0.025 0.999 ¹

R1  A'' 1 2 ˜ Ω R2 

1 A'' 2 1

˜Ω

R1

30 Ω

R2

40 Ω

gesuchte Widerstände

Beispiel 3.5.11: Aus dem nachfolgend gegebenen Wienglied soll die Spannungsübertragungsfunktion G(Z) und die Bodediagramme im Frequenzbereich f min = 10 Hz und fmax = 100 kHz mit R = 15.9 k: und C = 10 nF bestimmt werden. Siehe dazu auch Beispiel 1.7.10. Die Abb. 3.5.17 zeigt das Wienglied aufgelöst in eine Kettenschaltung von vier elementaren Vierpolen, deren Matrixdarstellung in A-Parametern darunter steht. Die Multiplikation dieser Matrizen liefert die Kehrwerte der Transferfunktionen, insbesondere die gesuchte Spannungsübertragungsfunktion. Die Spannungsübertragungsfunktion ergibt sich aus dem Kehrwert von A11.

Abb. 3.5.17 U1 · § U1 1 ¨ U = G ( ω) I ¸ 2 ¸ ¨ 2 A= = A1 ˜ A2 ˜ A3 ˜ A4 ¨ I1 I1 ¸ ¨ ¸ U2 I2 ¹ ©

Kettenmatrix für diese Schaltung

1 § · § 1 0· 0· §1 R · ¨1 ¸ ˜ §¨ 1 j ˜ ω˜ C ¸ ˜ ¨ 1 A=¨ ¸˜ ¸ ¸ ¨ 1 ¸ ©j ˜ ω ˜ C 1 ¹ ©0 1 ¹ ¨ 1 ©0 ¹ ©R ¹ vereinfacht auf

ª«3  § 1 · ˜ j  C ˜ R ˜ ω ˜ j R  § 1 · ˜ j º» ¨ ¸ ¨ ¸ © C ˜ R ˜ ω¹ © C ˜ ω¹ » « A= « » 1  C˜ ω˜ j 1 « » R ¬ ¼ 3

§ 1 · ˜ j  C˜ R˜ ω˜ j ¨ ¸ © C ˜ R ˜ ω¹

Auswertung über komplexer Ebene ergibt

Seite 322

1 § ¨ C ¨ R 3  ¨C ˜ R ˜ ω  ω ©

· ¸ ¸ ¸˜j ¹

Matrizenrechnung

A1 1 =



2

2



2

3˜ R˜ ω˜ C  R ˜ ω ˜ C  1 ˜ j

G ( ω) =

R˜ ω˜ C 1 A1 1

=

R˜ ω˜ C

Spannungsübertragungsfunktion

2 2 2 3 ˜ R ˜ ω ˜ C   R ˜ ω ˜ C  1 ˜ j

R˜ 2˜ π˜ f ˜ C

G ( f R C) 

2

2

2

3 ˜ R ˜ 2 ˜ π ˜ f ˜ C  ª¬R ˜ ( 2 ˜ π ˜ f ) ˜ C  1º¼ ˜ j

A ( f R C) 

Amplitudengang

G ( f R C)

Phasengang

φ ( f R C)  arg ( G ( f R C) )

Darstellung des Amplituden- und Phasenganges mit logarithmisch äquidistanten Werten: fmin  10 ˜ Hz

unterste Frequenz

fmax  100 ˜ kHz

oberste Frequenz

n  100

Anzahl der Schritte

§ fmax ·¸ ¨© fmin ¸¹

log ¨ Δf 

Schrittweite

n

ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

k  0  n

Bereichsvariable

f k  fmin ˜ 10

k˜Δf

R  15.9 ˜ kΩ

Vektor der Frequenzwerte gegebener Widerstand und gegebene Kapazität

C  10 ˜ nF

Amplitudengang 0.4 1 3

0.3





A fk R C 0.2 0.1 0 10

100

3

1u 10 fk Hz

Frequenz

Abb. 3.5.18

Seite 323

4

1u 10

5

1u 10

Matrizenrechnung

Bestimmung des Maximums: f1  950 ˜ Hz

Startwert

A1 ( f ) 

Amplitudengang

G ( f R C)





f0  Maximieren A1 f 1 f0

1000.974 ˜ Hz



A1 f 0

0.333

Maximum Phasengang

100

f0

80 60



φ fk R C Grad



90

40 20  2010  40

100

3

1u 10

 60  80  100

4

1u 10

5

1u 10

 90

fk Hz Frequenz

Abb. 3.5.19 Beispiel 3.5.12: Ein Transistor, ein Bauelement mit drei Anschlüssen, kann als Vierpol beschrieben werden (Abb. 3.5.20). Diese formale Beschreibung ist für die Netzwerktheorie und die Simulation wichtig. Der Transistor ist dann ganz allgemein durch eine Matrix definiert, die zwei der Variablen U1 , I 1 , U2 ,I2 auf die beiden anderen abbildet.

Abb. 3.5.20 Die Beschreibung durch eine Y-Matrix ist für die Netzwerkberechnung recht nützlich, hat aber den Nachteil, dass die darin auftretenden Y-Parameter nicht sehr anschaulich sind und die physikalische Funktion, zumindest bei bipolaren Transistoren, nur sehr indirekt beschreiben. Sehr viel häufiger verwendet wird daher die Hybrid- oder H-Matrix, die durch eine zunächst recht willkürlich erscheinende Abbildung definiert ist:

Seite 324

Matrizenrechnung

§ U1 · § H1 1 H1 2 · § I1 · ¨ ¸=¨ ¸˜¨ ¸ © I2 ¹ © H2 1 H2 2 ¹ © U2 ¹ Die Transistorkennlinien sind allgemein hochgradig nichtlinear, d. h., die Parameter (Matrixelemente) hängen daher von den Größen selbst ab, zwischen denen sie vermitteln. Bei sogenannten Großsignalanwendungen muss dies berücksichtigt werden. Die H- oder Y-Parameter sind dann nicht konstant, sondern hängen von den anliegenden Spannungen ab. Anders ist es bei sogenannten Kleinsignalanwendungen. Dort legen wir einen Arbeitspunkt fest, um den die Spannungen und Ströme nur geringfügig verändert werden. Die H- oder Y-Matrizen vermitteln dann den Zusammenhang zwischen kleinen Spannungs- und Stromänderungen, am Arbeitspunkt werden die Kennlinien linearisiert, die H-Parameter sind durch die Steigungen der Kennlinien im Arbeitspunkt definiert und damit konstant. Aus den Transistorkennlinien, die hier nicht explizit abgebildet werden, ist zu erkennen, dass die Steigungen der Kennlinien über relativ große Bereiche einigermaßen konstant sind. Das heißt, dass die Angabe konstanter Parameter (wie wir sie in Datenblättern für Transistoren finden) eine sehr gute Näherung für Kleinsignalanwendungen ist. In den Datenblättern der Transistoren sind die H-Parameter für die Emitterschaltung und für einen bestimmten Arbeitspunkt angegeben. Dieser ist festgelegt durch Kollektorspannung und Emitter- bzw. Kollektorstrom (meist 5V/2mA, bei 25 °C). Für andere Arbeitspunkte benötigen wir Korrekturfaktoren, die entsprechenden Kurvenblättern zu entnehmen sind. Die physikalische Bedeutung der H-Parameter ergibt sich sehr einfach, wenn wir die bei den einzelnen Parametern genannten Zusatzbedingungen in die Ausgangsgleichungen einsetzen und interpretieren: Eingangswiderstand (bei kurzgeschlossenem Ausgang: U2 = 0): U1 ΔUBE | UCE = konst | U2 = 0 = H1 1 = I1 ΔIB Spannungsrückwirkung (bei offenem Eingang: I 1 = 0): U1 ΔUBE | I1 = 0 = | IB = konst H1 2 = U2 ΔUCE Stromverstärkung (bei kurzgeschlossenem Ausgang: U2 = 0): I2 ΔIC | UCE = konst | U2 = 0 = H2 1 = I1 ΔIB Ausgangsleitwert (bei offenem Eingang: I 1 = 0): I2 ΔIC | I1 = 0 = | IB = konst H2 2 = U2 ΔUCE Für einen Transistor BC 548 C in Emitterschaltung bei einer Temperatur von 25 °C, UCE = 5 V, IC = 2 mA und einer Frequenz f = 2kHz folgende H-Parameter: Kurzschluss - Eingangswiderstand:

H11 = 8.7 k:

Leerlauf - Spannungsrückwirkung: Kurzschluss - Stromverstärkung: Leerlauf - Ausgangsleitwert: Damit gilt die Matrizengleichung:

H12 = 3 10-4 H21 = 600 H22 = 60 PS

§¨ UBE ·¸ § 8.7 ˜ kΩ 3 ˜ 10  4 · §¨ IB ·¸ ¸˜ =¨ ¨ IC ¸ ¨ 600 ¨ ¸ 60 ˜ μS ¸¹ © UCE ¹ © ¹ ©

bzw.

§ UBE · §¨ 8.7 ˜ kΩ 3 ˜ 10  4 ·¸ § IB · ˜¨ ¨ ¸= ¸ 60 ˜ μS ¸¹ © 5 ˜ V ¹ © 2 ˜ mA ¹ ¨© 600

Seite 325

Matrizenrechnung

3.5.2 Anwendungen in der Mechanik Im Bereich der Mechanik wird die Matrizenrechnung auch sehr häufig angewendet. Sei es bei der Berechnung von Stabkräften, Fachwerken, Durchbiegung eines Trägers, Biegeschwingungen, kritischen Drehzahlen, Torsionsschwingungen, Massen- oder Flächenträgheitsmomenten. Aber auch beim Lösen von Problemen in der Struktur- und Kontinuumsmechanik findet die Matrizenrechnung mithilfe der Methode der finiten Elemente (FEM) eine weitreichende Anwendung. Nachfolgend werden hier aus einigen Bereichen nur einige Beispiele angeführt.

Beispiel 3.5.13: Gegeben sei ein räumliches Fachwerk (Bockgerüst - belastetes Dreibein) mit den Knotenpunkten A(3 | -2 | 0), B(5 | 2 | 1), C(-6 | 3 | 2) und D(0 | 0 | 7). Im Punkt D greift einen Kraft F an. Gesucht sind die Stabkräfte FA, FB und FC. 3

kN  10 ˜ N

Einheitendefinition

§¨ 4 ·¸ F = ¨ 0.125 ¸ ˜ kN ¨ 4.125 ¸ © ¹

gegebene Kraft

§¨ 3 ·¸ FA = α ˜ AD = α ˜ ¨ 2 ¸ ¨7 ¸ © ¹

§¨ 5 ¸· FB = ⠘ BD = ⠘ ¨ 2 ¸ ¨6 ¸ © ¹

§¨ 6 ¸· FC = 㠘 CD = 㠘 ¨ 3 ¸ gesuchte Stabkräfte ¨5 ¸ © ¹

Das System befindet sich im Gleichgewicht, wenn alle Kräfte verschwinden: FA  FB  FC  F = 0

§¨ 3 ·¸ §¨ 5 ·¸ §¨ 6 ·¸ §¨ 4 ·¸ α ˜ ¨ 2 ¸  ⠘ ¨ 2 ¸  㠘 ¨ 3 ¸ = ¨ 0.125 ¸ ˜ kN ¨7 ¸ ¨6 ¸ ¨ 5 ¸ ¨ 4.125 ¸ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹ vereinfacht auf

§¨ 6 ˜ γ  5 ˜ β  3 ˜ α ·¸ §¨ 4 ˜ kN ·¸ ¨ 2 ˜ α  2 ˜ β  3 ˜ γ ¸ = ¨ 0.125 ˜ kN ¸ ¨ 5 ˜ γ  6 ˜ β  7 ˜ α ¸ ¨ 4.125 ˜ kN ¸ © ¹ © ¹

inhomogenes lineares Gleichungssystem

Dieses Gleichungssystem kann in Matrizenform A x = F geschrieben werden:

§¨ 3 5 6 ·¸ §¨ α ·¸ §¨ 4 ˜ kN ·¸ ¨ 2 2 3 ¸ ˜ ¨ β ¸ = ¨ 0.125 ˜ kN ¸ ¨ 7 6 5 ¸ ¨ γ ¸ ¨ 4.125 ˜ kN ¸ © ¹ © ¹ © ¹ §¨ α ·¸ ¨β ¸  ¨γ ¸ © ¹

1 §¨ 3 5 6 ·¸ §¨ 4 ·¸ ¨ 2 2 3 ¸ ˜ ¨ 0.125 ¸ ˜ kN ¨7 6 5 ¸ ¨ 4.125 ¸ © ¹ © ¹

§¨ α ¸· ¨β ¸ ¨γ ¸ © ¹ Seite 326

§¨ 250 ·¸ ¨ 500 ¸ N ¨ 125 ¸ © ¹

Lösungen des Gleichungssystem

Matrizenrechnung

§¨ 3 ·¸ FA  α ˜ ¨ 2 ¸ ¨7 ¸ © ¹

§¨ 0.75 ·¸ FA ¨ 0.5 ¸ ˜ kN ¨ 1.75 ¸ © ¹

§¨ 5 ·¸ FB  ⠘ ¨ 2 ¸ ¨6 ¸ © ¹

§¨ 2.5 ·¸ FB ¨ 1 ¸ ˜ kN ¨ 3 ¸ © ¹

§¨ 6 ·¸ FC  㠘 ¨ 3 ¸ ¨5 ¸ © ¹

§¨ 0.75 ·¸ FC ¨ 0.375 ¸ ˜ kN ¨ 0.625 ¸ © ¹

gesuchte Stabkräfte

Die inverse Matrix A-1 ist unabhängig von der aufgesetzten Last. Die Stabkräfte lassen sich deshalb mit derselben Inversen für verschiedene Belastungen berechnen. Beispiel 3.94: Auf einem zweifach abgestützten Träger wirken die Kräfte F1 und F2 (Abb. 3.5.21). Wie groß sind die Kräfte FA und FB? F1  300 ˜ N F2  260 ˜ N α  45Grad

gegebene Daten

β  35 ˜ Grad l1  0.25 ˜ m l2  0.85 ˜ m l3  0.45 ˜ m

Abb. 3.5.21

Aus folgenden Gleichgewichtsbedingungen erhalten wir ein Gleichungssystem mit den gesuchten Größen:

¦ Fxi = 0

Die Summe der Kräfte in x-Richtung muss verschwinden!

¦ Fyj = 0

Die Summe der Kräfte in y-Richtung muss verschwinden!

¦ Mk = 0

Die Summe aller Drehmomente muss verschwinden!

i

j

k

(1)

FBx  F1 ˜ cos ( α)  F2 ˜ cos ( β) = 0

(2)

FA  FBy  F1 ˜ sin ( α)  F2 ˜ sin ( β) = 0

(3)

F1 ˜ sin ( α) ˜ l1  F2 ˜ sin ( β) ˜ l1  l2  FBy l1  l2  l3 = 0







Seite 327



Matrizenrechnung

F1 ˜ cos ( α)  F2 ˜ cos ( β) § · 0 0· F §1 ¨ ¸ § · Bx ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ 1 1¸ F1 ˜ sin ( α)  F2 ˜ sin ( β) ¨0 ˜ ¨ FBy ¸ = ¨ ¸ ¨ l 1  l 2  l3 ¸ ¨ ¸ ¨ l1 l1  l2 ¸ ¨0 0 ¸ ¨ FA ¸ ¹ ¨ F1 ˜ sin ( α) ˜ m  F2 ˜ sin ( β) ˜ m ¸ m © ¹ © © ¹

§¨ FBx ·¸ ¨F ¸  ¨ By ¸ ¨© FA ¸¹ §¨ FBx ·¸ ¨F ¸ ¨ By ¸ ¨© FA ¸¹

0 0· §1 ¨ ¸ 1 1¸ ¨0 ¨ l1  l2  l3 ¸ ¨0 0¸ m © ¹

1

F1 ˜ cos ( α)  F2 ˜ cos ( β) § · ¨ ¸ ¨ ¸ F1 ˜ sin ( α)  F2 ˜ sin ( β) ˜¨ ¸ l1 l1  l2 ¸ ¨ ¨ F1 ˜ sin ( α) ˜  F2 ˜ sin ( β) ˜ ¸ m m ¹ ©

Das Gleichungssystem in Matrizenform.

Lösungsvektor mithilfe der inversen Matrix.

§¨ 0.847 ·¸ ¨ 140.049 ¸ N ¨ 221.213 ¸ © ¹

Lösungsvektor

Beispiel 3.5.14: Mit einer Welle sind in symmetrischer Anordnung drei starre Zylinderscheiben vom gleichen Massenträgheitsmoment J verbunden (Abb. 3.5.22). Die Welle kann im Vergleich zu den Zylinderscheiben nahezu als masselos angesehen werden. Verdrehen wir die Scheiben gegeneinander, so führen sie infolge der elastischen Rückstellmomente Torsionsschwingungen um die Wellenachse aus. Bestimmen Sie die Eigenkreisfrequenzen dieses Systems.

Abb. 3.5.22

Zur Bestimmung der Eigenkreisfrequenzen dieses Torsionsschwingers liegt folgendes lineare Gleichungssystem vor:

§ c  ω2 ˜ J · § A1 · c 0 ¨ ¸ ¨ ¸ §¨ 0 ·¸ ¨ ¸ ˜ ¨A ¸ = ¨0 ¸ 2 2˜ c  ω ˜ J c ¨ c ¸ ¨ 2¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨A ¸ ©0 ¹ 2 0 c c  ω ˜ J¹ © 3¹ © c ist die Torsionsfederkonstante der elastischen Welle. Das Gleichungssystem ist nur dann nichttrivial lösbar, wenn die Koeffizientendeterminante verschwindet:

§ c  ω2 ˜ J · c 0 ¨ ¸ ¨ ¸ o 4 ˜ J 2 ˜ ω4 ˜ c  J3 ˜ ω6  3 ˜ J ˜ ω2 ˜ c2 2 2˜ c  ω ˜ J c ¨ c ¸ ¨ ¸ 2 0 c c  ω ˜J¹ ©

Seite 328

Matrizenrechnung

0 § ¨ 0 ¨ ¨ J˜c ¨ J ¨ ¨ 3˜ J˜ c 2 4 3 6 2 2 4 ˜ J ˜ ω ˜ c  J ˜ ω  3 ˜ J ˜ ω ˜ c = 0 auflösen ω o ¨ J ¨ ¨ J˜c ¨  J ¨ ¨ 3˜ J˜ c ¨ J ©

· ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹

Physikalisch kommen nur Kreisfrequenzen Z > 0 in Frage:

ω1 =

J˜c J

=

c J

ω2 =

3˜

J˜c J

=

3˜ c J

gesuchte Eigenkreisfrequenzen

Beispiel 3.5.15: Ein Autorad rotiert um die Achse durch den Schwerpunkt in Richtung des Vektors v (Auswuchten eines Autorades). Bestimmen Sie die Haupträgheitsmomente (Eigenwerte O1 , O2 und O3 ) mit der Achsenrichtung v 1 , v2 und v 3 (zugehörige Eigenvektoren). Die zugehörige Matrix A heißt Trägheitstensor des starren Körpers. Zeigen Sie auch, dass die gegebene Matrix A symmetrisch ist.

§6 ˜ 2 2 · 2 ¨ ¸ A  ¨ 2 9 ˜ 2 3 ˜ 2 ¸ ¨ ¸ © 2 3 ˜ 2 9 ˜ 2 ¹

gegebene Matrix A (Trägheitstensor)

A = AT

Die Matrix A ist symmetrisch, was auch direkt ersichtlich ist.

1

Berechnung der Haupträgheitsmomente mithilfe der charakteristischen Gleichung: det ( A  λ ˜ E) = 0 ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

λ  eigenwerte ( A)

λ Gleitkommazahl 4 o ( 16.97 11.31 5.657 )

λ1 Gleitkommazahl 4 o 16.97

λ2 Gleitkommazahlλ34 Gleitkommazahl o 11.31 4 o 5.657

T

Bestimmung der zugehörigen Eigenvektoren:

A  λi ˜ E ˜ v1 = 0

Seite 329

Eigenwerte

Matrizenrechnung



v1  eigenvek A λ1



§¨ 0.707 ·¸ v1 ¨ 0.5 ¸ ¨ 0.5 ¸ © ¹ v1

1



v2  eigenvek A λ2



§¨ 0.707 ·¸ v2 ¨ 0.5 ¸ ¨ 0.5 ¸ © ¹ v2



v3  eigenvek A λ3

§¨ 0 ·¸ v3 ¨ 0.707 ¸ ¨ 0.707 ¸ © ¹

1

v3



genormte Eigenvektoren der Länge 1

1

Probe:

§¨ 8 ·¸ A ˜ v1 ¨ 5.657 ¸ ¨ 5.657 ¸ © ¹

§¨ 8 ·¸ λ1 ˜ v1 ¨ 5.657 ¸ ¨ 5.657 ¸ © ¹

§¨ 4 ·¸ A ˜ v2 ¨ 2.828 ¸ ¨ 2.828 ¸ © ¹

§¨ 4 ·¸ λ2 ˜ v2 ¨ 2.828 ¸ ¨ 2.828 ¸ © ¹

§¨ 0 ·¸ A ˜ v3 ¨ 12 ¸ ¨ 12 ¸ © ¹

§¨ 0 ·¸ λ3 ˜ v3 ¨ 12 ¸ ¨ 12 ¸ © ¹

3.5.3 Anwendungen in der Computergrafik Computerprogramme erlauben es, Werkstücke, Automobile, Motoren, Gebäude und dgl. grafisch am Bildschirm darzustellen und auf beliebige Ebenen zu projizieren. Voraussetzung dafür sind Algorithmen, mit deren Hilfe die Koordinaten vieler Bildpunkte etwa nach einer Drehung, Verschiebung oder Projektion eines geometrischen Objektes berechnet werden können. In der Mechanik gehen wir häufig den umgekehrten Weg. Hier werden häufig Koordinatensysteme in geeigneter Form transformiert. Wir wollen hier einige Transformationen behandeln, welche im CAD-Bereich oder z. B. für eine Robotersteuerung besonders wichtig sind. Wir betrachten dabei sowohl den 3D-Raum als auch den 2D-Raum (x-y-Ebene). Wir gehen dabei von umkehrbaren (affinen) Abbildungen aus. Typische affine Abbildungen sind z. B. Verschiebungen (Translationen), Stauchungen und Streckungen (Maßstabsänderungen), Drehungen, Scherungen, Spiegelungen, Drehstreckungen, Drehspiegelungen usw. Auf die Vorteile homogener Koordinaten, die z. B. eine einheitliche Behandlung aller Transformationen ermöglichen, wird hier nicht eingegangen. Eine affine Abbildung kann allgemein in folgender Matrizenform geschrieben werden: x1 = A ˜ x  d

(3-174)

x1 , x sind Vektoren im 2- oder 3-dimensionalen Raum. A ist die quadratische Transformationsmatrix, für die det ( A) z 0 gelten muss, andernfalls wäre die Abbildung nicht umkehrbar. d ist ein Verschiebungs- bzw. Translationsvektor.

Seite 330

Matrizenrechnung

Beispiel 3.5.16: Ein Rechteck, das durch die vier Eckpunkte A(0|0), B(1|0), C(1|1) und D(0|1) gegeben ist, soll um die x-Achse bzw. y-Achse gespiegelt werden. ORIGIN festlegen

ORIGIN  1

a

§0 · ¨ ¸ ©0 ¹

b

§1 · ¨ ¸ ©0 ¹

P  erweitern ( a b c d a)

¢1²

x

Sx 

¢2²

PT

y

PT

c

§1 · ¨ ¸ ©1 ¹

P

§0 1 1 0 0 · ¨ ¸ ©0 0 1 1 0 ¹

§¨ 0 ·¸ ¨1 ¸ ¨1 ¸ x ¨ ¸ ¨0 ¸ ¨0 ¸ © ¹

d

§0 · ¨ ¸ ©1 ¹

Vektoren zu den Eckpunkten des Vierecks Die 4 Vektoren mit den Koordinanten der Eckpunkte werden in einer Matrix zusammengefasst. Der letzte Vektor muss wieder der erste sein, damit der Linienzug geschlossen gezeichnet werden kann.

§¨ 0 ·¸ ¨0 ¸ ¨1 ¸ y ¨ ¸ ¨1 ¸ ¨0 ¸ © ¹

x- und y-Koordinaten der Eckpunkte werden in einem Vektor zusammengefasst

§1 0 · ¨ ¸ © 0 1 ¹

Matrix zur Spiegelung um die x-Achse Transformationsgleichung

PSp  Sx ˜ P

¢1²

x1 

§ P T· © Sp ¹

¢2²

y1 

§ P T· © Sp ¹

§¨ 0 ·¸ ¨1 ¸ ¨1 ¸ x1 ¨ ¸ ¨0 ¸ ¨0 ¸ © ¹

§¨ 0 ¸· ¨0 ¸ ¨ 1 ¸ y1 ¨ ¸ ¨ 1 ¸ ¨0 ¸ © ¹

1

2

Die gespiegelten x- und yKoordinaten werden spaltenweise selektiert.

2 1 y y1

2

1

0 1 2 x x 1

Sy 

§ 1 0 · ¨ ¸ © 0 1¹

PSp  Sy ˜ P

Matrix zur Spiegelung um die y-Achse

Transformationsgleichung

Seite 331

Abb. 3.5.23

Matrizenrechnung

¢1²

x1 

§ P T· © Sp ¹

§¨ 0 ¸· ¨ 1 ¸ ¨ 1 ¸ x1 ¨ ¸ ¨0 ¸ ¨0 ¸ © ¹

¢2²

y1 

§ P T· © Sp ¹

§¨ 0 ·¸ ¨0 ¸ ¨1 ¸ y1 ¨ ¸ ¨1 ¸ ¨0 ¸ © ¹

Die gespiegelten x- und yKoordinaten werden spaltenweise selektiert.

2 1 y y1

2

1

0

1

2

Abb. 3.5.24

1 2 x x 1

S0  Sx ˜ Sy

S0

§ 1 0 · ¨ ¸ © 0 1 ¹

Transformationsgleichung

PSp  S0 ˜ P

¢1²

x1 

§ P T· © Sp ¹

Matrix zur Spiegelung um die x- und y-Achse (Spiegelung um den Ursprung oder Drehung um 180° um den Ursprung)

¢2²

y1 

§ P T· © Sp ¹

§¨ 0 ¸· ¨ 1 ¸ ¨ 1 ¸ x1 ¨ ¸ ¨0 ¸ ¨0 ¸ © ¹

§¨ 0 ¸· ¨0 ¸ ¨ 1 ¸ y1 ¨ ¸ ¨ 1 ¸ ¨0 ¸ © ¹

Die gespiegelten x- und yKoordinaten werden spaltenweise selektiert.

2 1 y y1

2

1

0

1

1 2 x x 1

Seite 332

2

Abb. 3.5.25

Matrizenrechnung

Beispiel 3.5.17: Eine gegebene Fläche im Raum soll um die xy-Ebene gespiegelt werden. Programm zur Berechnung der Koordinaten der Gitterpunkte einer räumlichen Fläche:





Gitter n x1 y1 f 

km1 for i  1  n for j  1  n x m  x1  y m  y1  ¢k² K m

2 ˜ x1 ˜ i n

n2 ... Anzahl der darzustellenden Gitterpunkte

2 ˜ y1 ˜ j n

-x1 dx dx1 , -y1 dy dy1 x- und y-Bereich f ... gegebene Flächenfunktion

§¨ x ·¸ ¨ y ¸ ¨ f ( x y) ¸ © ¹

kmk1 T

K



2

2

f ( x y)  sin x  2 ˜ y x1  1



gegebene Flächenfunktion x- und y-Bereich ( - x1 dx dx1 , - y1 dy dy1 )

y1  1

n  25

n2 ... Anzahl der darzustellenden x- und y-Gitterpunkte

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen



K  Gitter n x1 y1 f ¢1² x K



Matrix mit den Gitterpunkten für die gegebene Flächenfunktion

¢2² y K

P  erweitern ( x y z )

§¨ 1 0 0 ·¸ Sxy  ¨ 0 1 0 ¸ ¨ 0 0 1 ¸ © ¹ T

PSp  Sxy ˜ P

¢1²

T x1  § PSp · © ¹

¢3² z K

Selektion der x-, y- und z-Koordinaten

Die Vektoren x, y und z werden zu einer Matrix zusammengefasst.

Matrix zur Spiegelung an der xy-Ebene (det(Sxy) < 0)

Transformationsgleichung

¢2²

T y1  § PSp · © ¹

¢3²

T z 1  § PSp · © ¹

Seite 333

Die gespiegelten x- , y- und zKoordinaten der Gitterpunkte werden spaltenweise selektiert.

Matrizenrechnung

x0  0

dx 

w wx0



y0  0





f x0 y0





z 0  f x0 y0

dy 



w wy0



z0

x-, y- und z-Koordinate für die Tangentialfläche durch den Ursprung

0



Ableitungen (Näheres siehe dazu Band 3)

f x0 y0





Gleichung der Tangentialfläche im Punkt P(x0 |y0 |z 0 )

T1 ( x y)  dx ˜ x  x0  dy ˜ y  y0  z 0



(hier ist es die xy-Ebene)



Matrix der Gitterpunkte für die Tangentialfläche

K  Gitter n x1 y1 T1 ¢1² xt  K

¢2² yt  K

¢3² zt  K

Koordinaten der Gitterpunkte werden vektorweise selektiert.

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm Rahmen anzeigen Darstellung: Fläche füllen, Drahtmodell Diagramm 2: Allgemein: Flächendiagramm Rahmen anzeigen Darstellung: Fläche füllen, Drahtmodell Diagramm 3: Allgemein: Flächendiagramm Rahmen anzeigen Darstellung: Fläche füllen, Drahtmodell







( x y z )  x1 y1 z 1  xt yt z t

Abb. 3.5.26 Beispiel 3.5.18: Ein Rechteck, das durch die vier Eckpunkte A(0|0), B(2|0), C(2|1) und D(0|1) gegeben ist, soll entlang der x-Achse gestreckt oder gestaucht werden. ORIGIN festlegen

ORIGIN  1

a

§0 · ¨ ¸ ©0 ¹

b

§2 · ¨ ¸ ©0 ¹

P  erweitern ( a b c d a)

c

§2 · ¨ ¸ ©1 ¹

P

§0 2 2 0 0 · ¨ ¸ ©0 0 1 1 0 ¹

d

§0 · ¨ ¸ Vektoren zu den Eckpunkten des Vierecks ©1 ¹ Die 4 Vektoren mit den Koordinanten der Eckpunkte werden in einer Matrix zusammengefasst. Der letzte Vektor muss wieder der erste sein, damit der Linienzug geschlossen gezeichnet werden kann.

Seite 334

Matrizenrechnung

¢1²

x

§¨ 0 ·¸ ¨2 ¸ ¨2 ¸ x ¨ ¸ ¨0 ¸ ¨0 ¸ © ¹

¢2²

PT

y

PT

§¨ 0 ·¸ ¨0 ¸ ¨1 ¸ y ¨ ¸ ¨1 ¸ ¨0 ¸ © ¹

x- und y-Koordinaten der Eckpunkte werden in einem Vektor zusammengefasst.

a Slider oder Schieberegler (Minimum -10, Maximum 10, Teilstrichfähigkeit 1) a

a

a

5

Sx ( a) 

0.6 Matrix zur Streckung oder Stauchung um den Faktor a entlang der x-Achse (für a = 1 ergibt sich eine identische Abbildung)

§a 0 · ¨ ¸ ©0 1 ¹

Transformationsgleichung

PSt  Sx ( a) ˜ P

¢1²

x1 

§ P T· © St ¹

¢2²

y1 

§ P T· © St ¹

§¨ 0 ¸· ¨ 1.2 ¸ ¨ 1.2 ¸ x1 ¨ ¸ ¨ 0 ¸ ¨ 0 ¸ © ¹

§¨ 0 ·¸ ¨0 ¸ ¨1 ¸ y1 ¨ ¸ ¨1 ¸ ¨0 ¸ © ¹

Die gespiegelten x- und y- Koordinaten werden spaltenweise selektiert.

2

1

y y1

Abb. 3.5.27 5

0

5

1 x x 1

Beispiel 3.5.19: Eine gegebene Fläche im Raum soll entlang der x-Achse um den Faktor a gestreckt bzw. gestaucht werden. f ( x y) 

x1 

y 2

§ x ·  x cos ( y) ¸ © 3¹ 3

sin ¨

π 3

y1 

π 3

gegebene Flächenfunktion

x- und y-Bereich ( -x1 dx dx1 , -y1 dy dy1 )

n  25

n2 ... Anzahl der darzustellenden x- und y-Gitterpunkte

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

Seite 335

Matrizenrechnung



K  Gitter n x1 y1 f ¢1² x K



Matrix mit den Gitterpunkten

¢2² y K

¢3² z K

Selektion der x-, y- und z-Koordinaten

Die Vektoren x, y und z werden zu einer Matrix zusammengefasst

P  erweitern ( x y z ) a

a

Slider oder Schieberegler (Minimum -10, Maximum 10, Teilstrichfähigkeit 1) a

a

5

2

§¨ a 0 0 ·¸ Sxy ( a)  ¨ 0 1 0 ¸ ¨0 0 1 ¸ © ¹

Matrix zur Streckung oder Stauchung um den Faktor a entlang der x-Achse (für a = 1 ergibt sich eine identische Abbildung)

T

Transformationsgleichung

PSt  Sxy ( a) ˜ P ¢1²

¢2²

T x1  § PSt · © ¹

T y1  § PSt · © ¹

¢3²

T z 1  § PSt · © ¹

Die gespiegelten x- , y- und zKoordinaten der Gitterpunkte werden spaltenweise selektiert.

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm Rahmen anzeigen Darstellung: Fläche füllen, Drahtmodell Diagramm 2: Allgemein: Flächendiagramm Rahmen anzeigen Darstellung: Fläche füllen, Drahtmodell





( x y z )  x1 y1 z 1

Abb. 3.5.28

Seite 336

Matrizenrechnung

Beispiel 3.5.20: Ein Dreieck mit den Eckpunkten A(-2|0), B(2|0) und D(0|3) soll in x-Richtung durch Scherung verändert werden. Der Flächeninhalt bleibt dabei gleich, d. h., die Determinante der Transformationsmatrix ist gleich 1. ORIGIN festlegen

ORIGIN  1

a

§1 · ¨ ¸ ©0 ¹

b

§0 · ¨ ¸ ©2 ¹

P  erweitern ( a b c a)

¢1²

x

¢2²

PT

y

PT

c

§ 1 · ¨ ¸ ©0 ¹

Vektoren zu den Eckpunkten des Dreiecks

P

§ 1 0 1 1 · ¨ ¸ ©0 2 0 0 ¹

Die 3 Vektoren mit den Koordinanten der Eckpunkte werden in einer Matrix zusammengefasst. Der letzte Vektor muss wieder der erste sein, damit der Linienzug geschlossen gezeichnet werden kann.

§1 · ¨ ¸ ¨0 ¸ x ¨ 1 ¸ ¨ ¸ ©1 ¹

§0 · ¨ ¸ ¨2 ¸ y ¨0 ¸ ¨ ¸ ©0 ¹

x- und y-Koordinaten der Eckpunkte werden in einem Vektor zusammengefasst

a Slider oder Schieberegler (Minimum -10, Maximum 10, Teilstrichfähigkeit 1)

a

a 5

Ssx ( a) 

a

0.8 Matrix zur Scherung um den Faktor a entlang der x-Achse (für a = 0 ergibt sich eine identische Abbildung)

§1 a · ¨ ¸ ©0 1 ¹

Transformationsgleichung

PSch  Ssx ( a) ˜ P ¢1²

x1 

§ P T· © Sch ¹

¢2²

y1 

§ P T· © Sch ¹

§ 1 · ¨ ¸ ¨ 1.6 ¸ x1 ¨ 1 ¸ ¨ ¸ © 1 ¹

§0 · ¨ ¸ ¨2 ¸ y1 ¨0 ¸ ¨ ¸ ©0 ¹

Die gespiegelten x- und y- Koordinaten werden spaltenweise selektiert.

2

1

y y1

Abb. 3.5.29 4

2

0

2

4

1 x x 1

Seite 337

Matrizenrechnung

Beispiel 3.5.21: Für eine gegebene Fläche im Raum soll die Scherung entlang der x-Achse proportional zu y gezeigt werden.



3

2

f ( x y)  10 ˜ x  y x1  1



gegebene Flächenfunktion x- und y-Bereich ( -x1 dx dx1 , -y1 dy dy1 )

y1  1

n  25

n2 ... Anzahl der darzustellenden x- und y-Gitterpunkte

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen



K  Gitter n x1 y1 f ¢1² x K



Matrix mit den Gitterpunkten

¢2² y K

P  erweitern ( x y z )

¢3² z K

Die Vektoren x, y und z werden zu einer Matrix zusammengefasst.

a

a

Selektion der x-, y- und z-Koordinaten

Slider oder Schieberegler (Minimum -10, Maximum 10, Teilstrichfähigkeit 1)

a

a

5

0.6

§¨ 1 a 0 ·¸ Ssch ( a)  ¨ 0 1 0 ¸ ¨0 0 1 ¸ © ¹ T

PSch  Ssch ( a) ˜ P ¢1²

Matrix zur Scherung um den Faktor a entlang der x-Achse proportional zur y-Achse (für a = 0 ergibt sich eine identische Abbildung)

Transformationsgleichung ¢2²

T x1  § PSch · © ¹

T y1  § PSch · © ¹

¢3²

T z 1  § PSch · © ¹

Die gespiegelten x- , y- und zKoordinaten der Gitterpunkte werden spaltenweise selektiert.

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm Rahmen anzeigen Darstellung: Fläche füllen, Drahtmodell Diagramm 2: Allgemein: Flächendiagramm Rahmen anzeigen Darstellung: Fläche füllen, Drahtmodell

Abb. 3.5.30





( x y z )  x1 y1 z 1

Seite 338

Matrizenrechnung

Beispiel 3.5.22: Ein Dreieck soll um einen bestimmten Winkel M gedreht und anschließend mithilfe des Translationsvektors d verschoben werden. ORIGIN festlegen

ORIGIN  1

a

§ 4 · ¨ ¸ ©1 ¹

d

§3 · ¨ ¸ ©0 ¹

b

§4 · ¨ ¸ © 3 ¹

Vektoren zu den Eckpunkten des Dreiecks

Verschiebungsvektor

P  erweitern ( a b c a)

¢1²

x

§0 · ¨ ¸ ©6 ¹

c

P

¢2²

PT

y

§ 4 4 0 4 · ¨ ¸ © 1 3 6 1 ¹

PT

§ 4 · ¨ ¸ ¨4 ¸ x ¨0 ¸ ¨ ¸ © 4 ¹

§1 · ¨ ¸ ¨ 3 ¸ y ¨6 ¸ ¨ ¸ ©1 ¹

Die 3 Vektoren mit den Koordinanten der Eckpunkte werden in einer Matrix zusammengefasst. Der letzte Vektor muss wieder der erste sein, damit der Linienzug geschlossen gezeichnet werden kann.

x- und y-Koordinaten der Eckpunkte werden in einem Vektor zusammengefasst

φ Slider oder Schieberegler (Minimum 0, Maximum 10, Teilstrichfähigkeit 1)

φ

φ

φ

2

D ( φ) 

200.535 ˜ Grad

§ cos ( φ) sin ( φ) · ¨ ¸ © sin ( φ) cos ( φ) ¹

Matrix zur Drehung um den Winkel M (für M = 0 ergibt sich eine identische Abbildung)

d  erweitern ( d d d d)

Der Translationsvektor muss auf dieselbe Dimension wie die Punktematrix gebracht werden

PD  D ( φ) ˜ P  d

Transformationsgleichung

¢1²

x1 

§ P T· © D ¹

§ 7.097 · ¨ ¸ 1.798 ¸ ¨ x1 ¨ 5.105 ¸ ¨ ¸ © 7.097 ¹

¢2²

y1 

§ P T· © D ¹

Die gespiegelten x- und y-Koordinaten werden spaltenweise selektiert.

§ 0.467 · ¨ ¸ 1.406 ¸ ¨ y1 ¨ 5.619 ¸ ¨ ¸ © 0.467 ¹

Seite 339

Matrizenrechnung

5

y y1

5

0

5

10

Abb. 3.5.31

5

x x 1

Beispiel 3.5.23: Eine gegebene Fläche im Raum soll um einen Winkel gedreht werden. 2

3

f ( x y)  x  y  1

gegebene Flächenfunktion

x1  1

x- und y-Bereich ( -x1 dx dx1 , -y1 dy dy1 )

y1  1

n2 ... Anzahl der darzustellenden x- und y-Gitterpunkte

n  25

ORIGIN festlegen

ORIGIN  1



K  Gitter n x1 y1 f ¢1² x K



Matrix mit den Gitterpunkten

¢2² y K

¢3² z K

Selektion der x-, y- und z-Koordinaten

Die Vektoren x, y und z werden zu einer Matrix zusammengefasst.

P  erweitern ( x y z ) α

Slider oder Schieberegler (Minimum 0, Maximum 6, Teilstrichfähigkeit 1) α α

α

229.183 ˜ Grad

§¨ cos ( α) sin ( α) 0 ·¸ Dz ( α)  ¨ sin ( α) cos ( α) 0 ¸ ¨ 0 ¸ 0 1¹ ©

Matrix zur Drehung um den Winkel D um die z-Achse (für D = 0 ergibt sich eine identische Abbildung)

T

Transformationsgleichung

PD  Dz ( α) ˜ P ¢1²

x1 

§ P T· © D ¹

¢2²

y1 

§ P T· © D ¹

¢3²

z1 

§ P T· © D ¹

Seite 340

Die gespiegelten x- , y- und zKoordinaten der Gitterpunkte werden spaltenweise selektiert.

Matrizenrechnung

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm Rahmen anzeigen Darstellung: Fläche füllen, Drahtmodell

Abb. 3.5.32

x1 y1 z1 0 0 §¨ 1 ·¸ Dx ( β)  ¨ 0 cos ( β) sin ( β) ¸ ¨ 0 sin ( β) cos ( β) ¸ © ¹

Matrix zur Drehung um den Winkel E um die x-Achse (für E = 0 ergibt sich eine identische Abbildung)

§¨ cos ( γ) 0 sin ( γ) ·¸ Dy ( γ)  ¨ 0 1 0 ¸ ¨ sin ( γ) 0 cos ( γ) ¸ © ¹

Matrix zur Drehung um den Winkel J um die y-Achse (für J = 0 ergibt sich eine identische Abbildung)

Beispiel 3.5.24: Ein Dreieck soll um einen Faktor a gestreckt und anschließend gedreht werden. ORIGIN festlegen

ORIGIN  1

a

§ 4 · ¨ ¸ ©0 ¹

b

§4 · ¨ ¸ ©0 ¹

P  erweitern ( a b c a)

¢1²

x

PT

D ( φ) 

Sxy ( a) 

¢2²

y

PT

§ cos ( φ) sin ( φ) · ¨ ¸ © sin ( φ) cos ( φ) ¹ §a 0 · ¨ ¸ ©0 a ¹

c

§0 · ¨ ¸ ©3 ¹

Vektoren zu den Eckpunkten des Dreiecks

P

§ 4 4 0 4 · ¨ ¸ ©0 0 3 0 ¹

Die drei Vektoren mit den Koordinanten der Eckpunkte werden in einer Matrix zusammengefasst. Der letzte Vektor muss wieder der erste sein, damit der Linienzug geschlossen gezeichnet werden kann.

§ 4 · ¨ ¸ ¨4 ¸ x ¨0 ¸ ¨ ¸ © 4 ¹

§0 · ¨ ¸ ¨0 ¸ y ¨3 ¸ ¨ ¸ ©0 ¹

x- und y-Koordinaten der Eckpunkte werden in einem Vektor zusammengefasst.

Matrix zur Drehung um den Winkel M Matrix zur Streckung in x- und y-Richtung um den Faktor a

Seite 341

Matrizenrechnung

ϕ

Slider oder Schieberegler (Minimum 0, Maximum 10, Teilstrichfähigkeit 1)

φ φ

φ

Drehwinkel

200.535 ˜ Grad

a

a

Slider oder Schieberegler (Minimum 1, Maximum 5, Teilstrichfähigkeit 1) a

a

2

Streckungsfaktor

1.5

DS ( φ a)  D ( φ) ˜ Sxy ( a)

Drehstreckungsmatrix

PDS  DS ( φ a) ˜ P

Transformationsgleichung

¢1²

x1 

§ P T· © DS ¹

¢2²

y1 

Die gespiegelten x- und yKoordinaten werden spaltenweise selektiert.

§ P T· © DS ¹

10

5 y y1

 10

5

0

5

10

5

 10 x x 1

Abb. 3.5.33 Beispiel 3.5.25: Mittels verschiedener hintereinander ausgeführter Abbildungen soll die Parameterdarstellung einer Spiralfeder ermittelt und die Spiralfeder schließlich grafisch dargestellt werden.

§0· ¨ ¸ a  r3  ¨ 0 ¸ ¨r ¸ © 3¹

gegebener Ausgangsvektor

Seite 342

Matrizenrechnung

1. Transformation: Rotation des Ausgangsvektors um die y-Achse.

§¨ cos ( v) 0 sin ( v) ·¸ Dy ( v)  ¨ 0 1 0 ¸ ¨ sin ( v) 0 cos ( v) ¸ © ¹

Drehmatrix um die y-Achse

§ r3 ˜ sin ( v) · ¨ ¸ Dy ( v) ˜ a  r3 o ¨ 0 ¸ ¨ r ˜ cos ( v) ¸ ©3 ¹

Drehung des Ausgangsvektors um die y-Achse

2. Transformation: Verschiebung um r 2 in x-Richtung.

§ r2 · ¨ ¸ d1  r2  ¨ 0 ¸ ¨ ¸ ©0¹

Verschiebungsvektor in x-Richtung

§ r2  r3 ˜ sin ( v) · ¨ ¸ Dy ( v) ˜ a  r3  d1  r2 o ¨ 0 ¸ ¨ r ˜ cos ( v) ¸ © 3 ¹

Der gedrehte Ausgangsvektor wird in x-Richtung verschoben.

3.Transformation: Rotation um die z-Achse (ergibt einen Torus der parallel zur xy-Ebene liegt).

§¨ cos ( u) sin ( u) 0 ·¸ Dz ( u)  ¨ sin ( u) cos ( u) 0 ¸ ¨ 0 ¸ 0 1¹ ©

Rotationsmatrix um die z-Achse

ª«cos ( u) ˜ r2  r3 ˜ sin ( v) »º Dz ( u) ˜  Dy ( v) ˜ a  r3  d1  r2 o « sin ( u) ˜  r2  r3 ˜ sin ( v) » « » «¬ »¼ r3 ˜ cos ( v)

Der unter 2. entstandene Vektor wird um die z-Achse gedreht.

4. Transformation: Verschiebung um r 1 in x-Richtung.

§ r1 · ¨ ¸ d2  r1  ¨ 0 ¸ ¨ ¸ ©0¹

Verschiebungsvektor in x-Richtung

ª«r1  cos ( u) ˜  r2  r3 ˜ sin ( v) »º Dz ( u) ˜  Dy ( v) ˜ a  r3  d1  r2  d2  r1 o « sin ( u) ˜  r2  r3 ˜ sin ( v) » « » «¬ »¼ r3 ˜ cos ( v)

Seite 343

Der unter 3. entstandene Vektor wird in x-Richtung verschoben.

Matrizenrechnung

5. Transformation: Rotation um die y-Achse.

§ § u· § u· · ¨ cos ¨ p ¸ 0 sin ¨ p ¸ ¸ © ¹¸ ¨ © ¹ Dy1 ( u p)  ¨ 0 1 0 ¸ ¨ ¸ u u ¨ sin §¨ ·¸ 0 cos §¨ ·¸ ¸ © © p¹ © p¹ ¹





Drehmatrix um die y-Achse

  d2 r1 º¼

Dy1 ( u p) ˜ ªDz ( u) ˜ Dy ( v) ˜ a r3  d1 r2 ¬

§ § u· § u· · ¨ cos ¨ p ¸ 0 sin ¨ p ¸ ¸ ªcos ( u) ˜  sin ( v) ˜ r3  r2  r1 º © ¹¸ « » ¨ © ¹ « sin ( u) ˜  sin ( v) ˜ r3  r2 » 1 0 ¨ 0 ¸˜ « » ¨ ¸ u· u· § § « »¼ cos ( v ) ˜ r 3 ¨ sin ¨ ¸ 0 cos ¨ ¸ ¸ ¬ © © p¹ © p¹ ¹

Der unter 4. entstandene Vektor wird um die y-Achse gedreht.

ergibt

ª«cos § u · ˜ r  cos ( u) ˜ r  r ˜ sin ( v)  r ˜ sin § u · ˜ cos ( v) »º ¨ ¸ ª1 2 3 º¼ 3 ¨© p ¸¹ « © p¹ ¬ » « » sin ( u) ˜  r2  r3 ˜ sin ( v) « » « § u· » u· § «¬sin ¨© p ¸¹ ˜ ª¬r1  cos ( u) ˜  r2  r3 ˜ sin ( v) º¼  r3 ˜ cos ¨© p ¸¹ ˜ cos ( v) »¼

In diesem Vektor stehen die Parametergleichungen für die gesuchte Fläche.

Teilungsfaktor

p  10 r1  10

r2  3

gegebene Radien

r3  2

§ u · ˜ r  cos ( u) ˜ r  r ˜ sin ( v)  r ˜ sin § u · ˜ cos ( v) ¸ ª1 2 3 º¼ 3 ¨© p ¸¹ © p¹ ¬

x ( u v)  cos ¨



y ( u v)  sin ( u) ˜ r2  r3 ˜ sin ( v)



Parametergleichungen

§ u · ˜ r  cos ( u) ˜ r  r ˜ sin ( v)  r ˜ cos § u · ˜ cos ( v) ¸ ª1 2 3 º¼ 3 ¨© p ¸¹ © p¹ ¬

z ( u v)  sin ¨

ORIGIN festlegen

ORIGIN  1 m1  400

n1  25

i  1  m1

k  1  n1

ui 

i m1

˜ 2˜ p˜ π

vk 

k n1

˜ 2˜ π

Bereichsvariable

Parameter u und v als Vektoren

Seite 344

Matrizenrechnung







X1i k  x ui vk





Y1i k  y ui vk



Z1i k  z ui vk

Matrizen der x-, y- und z-Werte

Spiralfeder

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat rundum Darstellung: Fläche füllen, Drahtmodell Achsen: Teilstriche, automatische Gitterwerte, Achsenformat nummeriert, Beschriftung XY-Hintergrundebene: Hintergrundebene füllen, Rahmen für Hintergrundebene

( X1 Y1 Z1) Abb. 3.5.34 Beispiel 3.5.26: Eine gegebene Ellipse soll um 120 Grad gegen den Uhrzeigersinn gedreht werden: 2

2

2

bzw.

4˜ y  x = 4

x

4

2



y

implizite Ellipsengleichung

=1

1

2

4x

f ( x) 

explizite Ellipsengleichung (positiver Anteil im 1. und 2. Quadranten)

2

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

i  1  101

Bereichsvariable

x1 i  2 

i1

Vektor der x-Werte von -2 bis +2

25



T

T

x  erweitern x1 umkehren ( x1 )

T



Vektor der x-Werte (für alle 4 Quadranten) T

oT o T·  §  y  erweitern © f ( x1 ) umkehren f ( x1 ) ¹



φ

2˜ π

D ( φ) 

3

§ cos ( φ) sin ( φ) · ¨ ¸ © sin ( φ) cos ( φ) ¹



Vektor der y-Werte (für alle 4 Quadranten)

Drehwinkel

Drehmatrix

Seite 345

Matrizenrechnung

T

P  erweitern ( x y)

Matrix der Datenpunkte der gegebenen Ellipse

P1  D ( φ) ˜ P

Transformationsgleichung

¢1²

T x1  § P1 · © ¹

Extrahierung der Daten für die gedrehte Ellipse

¢2²

T·

§P © 1 ¹

y1 

2

2

2 1

1 y y1

 2.5

 1.25

0

1.25

2.5

Abb. 3.5.35

1

1

2 x x 1

Beispiel 3.5.27: Eine Ellipse in Mittelpunktslage wurde um den Ursprung des Koordinatensystems gedreht. Bestimmen Sie die Drehmatrix und die Ellipse in Hauptachsenlage. 2

2

Ellipsengleichung (Kegelschnittgleichung) der gedrehten Ellipse

2.92 ˜ x  2.88 ˜ x ˜ y  2.08 ˜ y = 16

Die Ellipsengleichung kann auch in Matrixform geschrieben werden: T

x1 ˜ A ˜ x1 = 16

mit x1 = (x y)T und der symmetrischen Matrix

x x

Redefinitionen

y y

§ 2.92 1.44 · § x · ¸ ˜ ¨ ¸ = 16 © 1.44 2.08 ¹ © y ¹

(x y ) ˜ ¨

vereinfachen

ORIGIN festlegen

λ  eigenwerte ( A)

Eigenwerte der Matrix A

§4 · ¨ ¸ ©1 ¹

λ1

¢1² D  eigenvek A λ1





4

§ 2.92 1.44 · ¨ ¸ © 1.44 2.08 ¹

2

o 2.92 ˜ x  2.08 ˜ y  2.88 ˜ x ˜ y = 16 Gleitkommazahl 3

ORIGIN  1

λ

2

A

λ2

1

¢2² D  eigenvek A λ2





Spaltenvektoren der Drehmatrix

Seite 346

Matrizenrechnung

§ 0.8 · ¨ ¸ © 0.6 ¹

¢1² D

§ 0.6 · ¨ ¸ © 0.8 ¹

¢2² D

normierte Eigenvektoren:

Es gilt die Transformationsgleichung: x1 = xalt = D xneu

§ 0.8 0.6 · ¨ ¸ © 0.6 0.8 ¹

D

D

symmetrische Drehmatrix

die Matrix D ist regulär

1

¢1² ¢2² D ˜D

Die Spalten- und Zeilen-Vektoren stehen aufeinander senkrecht.

0

Die Matrix D ist orthogonal! 1

D

§ 0.8 0.6 · ¨ ¸ © 0.6 0.8 ¹

=

§ 0.8 0.6 · ¨ ¸ © 0.6 0.8 ¹

T

D

Aus der Transformation: xalt = D xneu folgt durch Transponieren xalt T = xneuT DT. Damit erhalten wir aus der Matrixgleichung für die gedrehte Ellipse: T

x1 ˜ A ˜ x1 = 16

Ÿ

T

Dneu  D ˜ A ˜ D

T

T

xneu ˜ D ˜ A ˜ D ˜ xneu = 16

§4 0 · ¨ ¸ ©0 1 ¹

Dneu

T §x· §4 0 · §x· 2 2 ¨ ¸ ˜¨ ¸ ˜ ¨ ¸ = 16 o 4 ˜ x  y = 16 y y 0 1 © ¹ © ¹ © ¹

Ÿ

T

xneu ˜ Dneu ˜ xneu = 16

gesuchte Drehmatrix

gesuchte Ellipsengleichung

Dividieren wir die Gleichung durch 16, so erhalten wir die Normalform der Ellipsengleichung: 2

x

4

2



y

16

2

=1

a 2

bzw.

x

2

a b 4

t  0 0.02  2 ˜ π x ( t)  a ˜ cos ( t ) y ( t)  b ˜ sin ( t ) x1 ( t)  0.8 ˜ x ( t)  0.6 ˜ y ( t) y1 ( t)  0.6 ˜ x ( t )  0.8 ˜ y ( t)

2



y

2

=1

Ellipse mit den Halbachsen a = 2 und b = 4

b

Haupt- und Nebenachsenabschnitt Bereichsvariable

Parameterdarstellung der gesuchten Ellipse

Parameterdarstellung der ursprünglich transformierten Ellipse

Seite 347

Matrizenrechnung

4

2 y( t) y1( t)

4

2

0

2

4

Abb. 3.5.36

2

4 x( t) x1 ( t)

3.5.4 Anwendungen in der linearen Optimierung Unter einem Optimierungsproblem verstehen wir ein Problem, bei dem das Minimum oder Maximum einer Funktion, der sogenannten Zielfunktion, bestimmt werden muss. Im Gegensatz zur nichtlinearen Optimierung ist bei der linearen Optimierung die Zielfunktion eine lineare Funktion. Typischerweise hängt die Zielfunktion von mehreren unabhängigen Variablen ab, die auch noch einige einschränkende Bedingungen, die Nebenbedingungen oder Restriktionen, erfüllen müssen. Bei der linearen Optimierung sind auch diese Nebenbedingungen als lineare Gleichungen oder Ungleichungen formuliert. Wegen der Linearität können wir sowohl die Zielfunktion als auch die Restriktionen in Vektor- bzw. Matrixform umschreiben und die optimale Lösung mit den Methoden der Matrizenrechnung bestimmen. Falls die Zielfunktion von n d 2 Veränderlichen abhängt, kann das Problem auch grafisch gelöst werden (in speziellen Fällen auch bei n > 2). Der erste und vielleicht der wichtigste Schritt ist die Modellbildung: die Aufgabenstellung aus der Alltagssprache in die Sprache der Mathematik zu übersetzen, d. h. die zu optimierende Funktion und die den Nebenbedingungen entsprechenden linearen Gleichungen und Ungleichungen aufzustellen. Wichtig dabei ist die korrekte Fixierung und formale Beschreibung der Variablen x k mit Angabe der Maßeinheiten! Als solche kommen nur Größen in Betracht, auf die wir direkten Einfluss haben, also z. B. Produktionsmengen in Produktionsplanungsproblemen, zu mischende Mengen in Mischungsproblemen, zu zerschneidende Stangen oder Platten in Zuschnittproblemen usw. Die Menge der Alternativen mithilfe von Ungleichungen und Gleichungen beschreibt den zulässigen Bereich. Zu beachten ist dabei das Relationszeichen: a) " = ": vollständige Ausnutzung gegebener Ressourcen b) " d": gegebene Ressourcen sind nicht zu überschreiten (c)" t": Sicherung gewisser Mindestgrößen, wie z. B. Mindestumsatz, untere Schranke für die Warenproduktion zur Sicherung einer effizienten Produktion usw. Die Variablen unterliegen oftmals noch den Nichtnegativitätsbedingungen: Diese dürfen nicht vergessen werden und ergeben sich zumeist aus Vorzeichenbeschränkungen für ökonomische Größen.

Seite 348

Matrizenrechnung

Die Aufgabe der linearen Optimierung kann folgendermaßen formuliert werden: Die Zielfunktion f n



¦ cj ˜ xj

f x1 x2 .... xn =

k

(3-175)

1

soll unter den Restriktionen (Nebenbedingungen) n

n

¦

k

ai k ˜ xk = bi bzw.

1

n

¦

k

ai k ˜ xk d bi bzw.

1

¦

k

ai k ˜ xk t bi

(3-176)

1

für alle i = 1, 2, ..., m und unter den Nichtnegativitätsbedingungen xk t 0

(3-177)

für alle k = 1, 2, ..., r (r < n) ein Minimum oder Maximum werden. Unter Verwendung der Matrizenrechnung schreiben wir die lineare Optimierungsaufgabe mithilfe des Zielfunktionsvektors c, der Koeffizientenmatrix A und dem Vektor b in folgender Form:





T

f x1 x2 .... xn = c ˜ x o Minimum oder Maximum

(3-178)

A ˜ x = b bzw. A ˜ x d b bzw. A ˜ x t b

(3-179)

xk t 0 für alle k = 1, 2, ..., r

(3-180)

Beispiel 3.5.28: Lösen Sie die folgende lineare Optimierungsaufgabe grafisch.





f x1 x2 = 5 ˜ x1  8 ˜ x2

Die Zielfunktion soll ein Maximum werden.

5 ˜ x1  2 ˜ x2 d 24 x1  5 ˜ x2 d 24

Nebenbedingungen

x1  x2 d 6 x1 t 0

Nichtnegativitätsbedingungen

x2 t 0 Lösungsschritte: 1. Menge der zulässigen Lösungen im Koordinatensystem einzeichnen: Zunächst werden die den zulässigen Bereich begrenzenden Geraden der Reihe nach eingezeichnet. a) Einzeichnen einer Geraden. Diese teilt die Ebene in zwei Halbebenen. Der zulässige Bereich liegt in genau einem dieser Halbräume. b) Bestimmung des richtigen Halbraumes durch Einsetzen eines Punktes, der nicht auf der Geraden liegt, in die betrachtete Ungleichung. Erfüllt er diese, so liegt er im richtigen Halbraum, sonst im falschen. Markieren des richtigen Halbraumes. Der zulässige Bereich ergibt sich als Durchschnitt aller so markierten Halbräume. Wenn der zulässige Bereich leer ist, dann ist die lineare Optimierungsaufgabe nicht lösbar. Ansonsten ist der zulässige Bereich zu schraffieren.

Seite 349

Matrizenrechnung

2. Optimierung: Es wird eine Niveaulinie c 1 x1 + c 2 x2 = d der Zielfunktion eingezeichnet. Dabei kann eine beliebige Zahl d > 0 verwendet werden, da d den Anstieg der Geraden nicht ändert, sondern lediglich die Lage durch Verschiebung bestimmt (,,Niveau"). Die Niveaulinie muss durch Parallelverschiebung über dem zulässigen Bereich so weit wie möglich in Optimierungsrichtung verschoben werden. Wenn diese Verschiebung bis in das Unendliche möglich ist, so ist die lineare Optimierungsaufgabe nicht lösbar. Ansonsten ergibt sich dabei die Niveaulinie c 1 x1 + c 2 x2 = f 0p : Dabei ist f0p der optimale Zielfunktionswert. Jeder zulässige Punkt auf dieser Niveaulinie ist die optimale Lösung der lineare Optimierungsaufgabe. 3. Berechnung der optimalen Lösung(en): Hier sind zwei Fälle möglich: a) Die optimale Lösung ist eindeutig. Dann gibt es zwei den zulässigen Bereich begrenzende Geraden, deren Schnittpunkt die optimale Lösung ist. Zur Berechnung der optimalen Lösung ist das durch diese beiden Geraden bestimmte lineare Gleichungssystem zu lösen. b) Es gibt unendlich viele optimale Lösungen. Dann gibt es auch (mindestens) einen Schnittpunkt von zwei Geraden, der einer optimalen Lösung entspricht. Dieser Schnittpunkt wird berechnet. Wird die Menge optimaler Lösungen durch zwei solcher Schnittpunkte begrenzt, so ist sie gleich der Menge aller konvexen Linearkombinationen dieser zwei Schnittpunkte. Wenn das nicht der Fall ist, so kann die Menge aller optimaler Lösungen mithilfe der Punkt-Richtungsform für die Gerade, auf der die optimalen Lösungen liegen, angegeben werden. Der dabei verwendete Parameter muss im Vorzeichen beschränkt werden. Folgende Lösungsfälle sind möglich: a) Das Vorhandensein einer eindeutigen optimalen Lösung. b) Unendlich viele optimale Lösungen. c) Die Lineare Optimierungsaufgabe ist nicht lösbar (der zulässige Bereich ist leer).

x1

 2˜

24

x2 24

5

d1

2

x1



24

x2 24

d1

§ 24 x1  ¨ 5 ¨ © 0

· ¸ ¸ ¹

§ 0 y1  ¨ 24 ¨ © 2

· ¸ ¸ ¹

Schnittpunkte der Geraden mit der x 1 - und x 2 -Achse

§ 24 · x2  ¨ ¸ ©0 ¹

§ 0 y2  ¨ 24 ¨ © 5

· ¸ ¸ ¹

Schnittpunkte der Geraden mit der x 1 - und x 2 -Achse

5

x1 6



x2 6

d1

x3 

5 ˜ x1  8 ˜ x2 = 100 x1 100



x2 100

5

8

x1

x2

43.5 5



43.5 8

=1

=1

§6 · ¨ ¸ ©0 ¹

y3 

§0 · ¨ ¸ ©6 ¹

Schnittpunkte der Geraden mit der x 1 - und x 2 -Achse

gewählte Niveaulinie

§ 100 x ¨ 5 ¨ © 0

· ¸ ¸ ¹

§ 43.5 · xp  ¨ 5 ¸ ¨ ¸ © 0 ¹

§ 0 y  ¨ 100 ¨ © 8

· ¸ ¸ ¹

§ 0 · yp  ¨ 43.5 ¸ ¨ ¸ © 8 ¹

Seite 350

Schnittpunkte mit der x 1 - und x 2 -Achse (Niveaulinie)

Schnittpunkte mit der x 1 - und x 2 -Achse (Parallele zur Niveaulinie)

Matrizenrechnung

Abb. 3.5.37

x1max { 1.5

x2max { 4.5



5 ˜ x1  8 ˜ x2





optimale Lösung (globale Zuweisung!)

f x1 x2 

f x1max x2max

optimale Lösung der Zielfunktion

43.5

Beispiel 3.5.29: In einem Betrieb werden zur Erzeugung der Produkte P 1 und P2 die Maschinen A, B und C eingesetzt. Die für die Fertigstellung nötigen Maschinenzeiten sowie die höchstmögliche wöchentliche Ausnützung sind in nachfolgender Tabelle ersichtlich: Maschine

Zeit in Stunden für ein kg von P1 P2

A B C

4 10 8

Größtmögliche Nutzung in Stunden

8 4 1

80 100 64

Produkt P1 liefert als Gewinn b = 380 Euro pro kg, Produkt P2 a = 200 Euro pro kg. Welche Menge jedes Produktes soll erzeugt werden, damit der größtmögliche Gewinn erzielt wird? x ... pro Woche erzeugte Menge P 1 in kg y ... pro Woche erzeugte Menge P 2 in kg f ( x y) = a ˜ x  b ˜ y

Die angenommene Zielfunktion soll ein Maximum werden!

a  380

Koeffizienten der Zielfunktion

b  200

4 ˜ x  8 ˜ y d 80 10 ˜ x  4 ˜ y d 100

Nebenbedingungen

8 ˜ x  y d 64 xt0

yt0

Nichtnegativitätsbedingungen

Seite 351

Matrizenrechnung

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

§a · ¨ ¸ ©b ¹

Zielfunktionsvektor

c

§¨ 4 8 ·¸ A  ¨ 10 4 ¸ ¨ 8 1¸ © ¹

Koeffizientenmatrix (Koeffizienten der Nebenbedingungen)

§¨ 80 ·¸ b  ¨ 100 ¸ ¨ 64 ¸ © ¹

Vektor der Konstanten

Grafische Veranschaulichung Die zu erfüllenden linearen Ungleichungen in den Variablen x und y teilen die x-y-Ebene jeweils in eine erlaubte und eine unerlaubte Halbebene auf. Die Durchschnittsmenge der erlaubten Halbebenen ergibt ein konvexes Polyeder und stellt den Lösungsbereich für alle Ungleichungen dar. Die Zielfunktion z(x,y) ist ebenfalls eine lineare Funktion in den gesuchten Größen x und y. Kurven mit z = konstant stellen deshalb Geraden in der x-y-Ebene dar. Diese Geradenschar besteht aus lauter parallelen Geraden mit unterschiedlichen z-Werten. Das konvexe Polyeder wird von zwei dieser Geraden berührt. Eine dieser Berührungsgeraden ist die gesuchte optimale Lösung mit maximalem z-Wert. fz ( x z ) 

y1 ( x) 

y2 ( x) 

y3 ( x) 

z  a˜ x

Die Gerade für z = konstant in der x-y-Ebene.

b b1  A1 1 ˜ x A1 2

Die erlaubten und unerlaubten Halbebenen werden durch eine Trenngerade voneinander getrennt. Diese Trenngeraden erhalten wir durch Umformen der Ungleichungen nach y.

b2  A2 1 ˜ x A2 2 b3  A3 1 ˜ x A3 2

ymin ( x)  min y1 ( x) y2 ( x) y3 ( x)





ein Teil des konvexen Polyeders

§ § b1 xmax  max ¨ ¨ A

·· ¸¸ ¹¹

Wegen yt 0 kann für x ein maximaler Wert aus den Ungleichungen bestimmt werden.

©©

x  0 

xmax 200

1 1

 xmax

b2

b3

A2 1

A3 1

Bereichsvariable

Seite 352

Matrizenrechnung

30 y1( x) y2( x) 20

y3( x) ymin( x) 0 fz( x 4000)

Abb. 3.5.38 10

fz( x 3800)

Zulässiger Bereich 0

0

5

10

15

20

x

Durch Änderung des z-Wertes in der Funktion f z(x,z) kann näherungsweise grafisch die optimale Lösung (die Gerade berührt das konvexe Polyeder) bestimmt werden. T

§x· ¸ ©y¹

f ( x y)  c ˜ ¨ x 7

y  10

Die zu optimierende Zielfunktion soll ein Maximum werden.

Startwerte (Schätzwerte): Können hier näherungsweise aus dem Diagramm abgelesen werden.

Vorgabe

§x· ¸db ©y ¹

A˜ ¨

xt0

yt0

Matrixungleichung

Nichtnegativitätsbedingungen

§¨ xmax ·¸  Maximieren ( f x y) ¨ ymax ¸ © ¹

Klicken wir mit der rechten Maustaste auf Maximieren, so können aus dem sich öffnenden Kontextmenü verschiedene Lösungsalgorithmen eingestellt werden. Außerdem können die Konvergenztoleranz und die Toleranz für Nebenbedingungen mit TOL bzw. CTOL verändert werden (Menü-Extras-Arbeitsblattoptionen).

§¨ xmax ·¸ ¨ ymax ¸ © ¹

f xmax ymax

§ 7.2 · ¨ ¸ © 6.4 ¹





4016

Maximalwert der Zielfunktion

Es sollen also zu den genannten Bedingungen wöchentlich 7.2 kg des Produktes P1 und 6.4 kg des Produktes P2 erzeugt werden. Der Gewinn beträgt dabei 4016 Euro.

Seite 353

Matrizenrechnung

Beispiel 3.5.30: Es soll eine Mischung aus zwei Vitaminpräparaten P1 und P2 so zusammengestellt werden, dass sie den täglichen Mindestbedarf an Vitamin A, B, D und E enthält (Nebenbedingungen) und die Gesamtkosten (Zielfunktion) minimal sind. Vitamin

Vitaminpräparat P1 P2

Tagesbedarf

A C D E

0.2 mg 20 mg 2 mg 0 mg

0.4 mg 10 mg 4 mg 10 mg

2 mg 100 mg 10 mg 20 mg

Kosten pro g

0.3 Euro

0.6 Euro

f ( x y) = a ˜ x  b ˜ y

die zu minimierende Zielfunktion

a  0.3

Koeffizienten der Zielfunktion

b  0.6

0.2 ˜ x  0.4 ˜ y t 2 20 ˜ x  10 ˜ y t 100 2 ˜ x  4 ˜ y t 10

Nebenbedingungen

0 ˜ x  10 ˜ y t 20 xt0

Nichtnegativitätsbedingungen

yt0

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

§a · ¨ ¸ ©b ¹

Zielfunktionsvektor

c

§ 0.2 ¨ ¨ 20 A ¨ 2 ¨ © 0

0.4 ·

¸ ¸ 4 ¸ ¸ 10 ¹ 10

§ 2 · ¨ ¸ 100 ¸ ¨ b ¨ 10 ¸ ¨ ¸ © 20 ¹ fz ( x z ) 

y1 ( x) 

Koeffizientenmatrix (Koeffizienten der Nebenbedingungen)

Vektor der Konstanten

z  a˜ x b b1  A1 1 ˜ x A1 2

Gerade für z = konstant in der xy-Ebene

Trenngerade

Seite 354

Matrizenrechnung

b2  A2 1 ˜ x

y2 ( x) 

A2 2 Die erlaubten und unerlaubten Halbebenen werden durch eine Trenngerade voneinander getrennt. Diese Trenngeraden erhalten wir durch Umformen der Ungleichungen nach y.

b3  A3 1 ˜ x

y3 ( x) 

A3 2

y4 ( x)  2



ymax ( x)  max y1 ( x) y2 ( x) y3 ( x) y4 ( x)

§ § b1 xmax  max ¨ ¨ A ©©

x  0 

xmax 200

1 1

b2

b3

A2 1

A3 1

9

y2( x)

8

y3( x)

7

y4( x) ymax( x) 0 fz( x 5)

ein Teil des konkaven Polyeders

·· ¸¸ ¹¹

Wegen yt 0 kann für x ein maximaler Wert aus den Ungleichungen bestimmt werden. A4,1 ist hier gleich 0! Bereichsvariable

 xmax

10 y1( x)



xmin1

6

Zulässiger Bereich

5

Abb. 3.5.39 4 ymin1

3

fz( x 3.5) 2 1 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

Durch Änderung des z-Wertes in der Funktion fz(x,z) kann näherungsweise grafisch die optimale Lösung (die Gerade berührt das konkave Polyeder) bestimmt werden. T

§x· ¸ ©y¹

f ( x y)  c ˜ ¨ x 4

y 4

Die zu optimierende Zielfunktion soll ein Minimum werden.

Startwerte (Schätzwerte): Können hier näherungsweise aus dem Diagramm abgelesen werden.

Seite 355

Matrizenrechnung

Vorgabe

§x· ¸tb ©y¹

Matrixungleichung

A˜ ¨

xt0

§¨ xmin ·¸ ¨ ymin ¸ © ¹

yt0

 Minimieren ( f x y)

§¨ xmin ·¸ ¨ ymin ¸ © ¹

§ 3.333 · ¨ ¸ © 3.333 ¹

Nichtnegativitätsbedingungen Klicken wir mit der rechten Maustaste auf Minimieren, so können aus dem sich öffnenden Kontextmenü verschiedene Lösungsalgorithmen eingestellt werden. Außerdem können die Konvergenztoleranz und die Toleranz für Nebenbedingungen mit TOL bzw. CTOL verändert werden (Menü-Extras-Arbeitsblattoptionen).



f xmin ymin

xmin1 { 3.333



3

ymin1 { 3.333

Minimalwert der Zielfunktion

globale Zuweisung

Es sollen also zu den genannten Bedingungen wöchentlich 3.3 g des Vitaminpräparates P 1 und 3.3 g des Vitaminpräparates P2 zusammengemischt werden. Der Gesamtkosten betragen dabei 3 Euro.

3.5.5 Anwendungen in der Ökonomie Wie bereits erwähnt, wird auch in der Ökonomie die Matrizenrechnung recht häufig angewandt. Seien es z. B. die Berechnung des Erlöses, die Berechnung der benötigten Rohstoffmengen oder die Berechnung der Gesamtkosten. Mithilfe von Verflechtungsmodellen werden ökonomische und technologische Systeme sowie die quantitativen Beziehungen und Abhängigkeiten ihrer Teilsysteme veranschaulicht und das Gesamtsystem wird mathematisch aufbereitet. In vielen Industriezweigen, so u. a. im Maschinenbau und in der chemischen Industrie, durchlaufen viele Erzeugnisse die einzelnen Produktionsstufen in unmittelbarer Folge ohne Verzweigung. In solchen Fällen sprechen wir von geraden oder auch linearen Verflechtungen. Bei Querverbindungen sprechen wir jedoch von verzweigten Modellen. Nachfolgend werden auch in diesem Abschnitt nur einige einfache Beispiele angeführt.

Beispiel 3.5.31: Ein Kaufmann deckt seinen Bedarf bei den Großhändlern G1 und G2 . Für 6 bestimmte Waren sind die Preise je Mengeneinheit gegeben durch:

§4 · ¨ ¸ ¨5 ¸ ¨2 ¸ p1  ¨ ¸ ¨3 ¸ ¨1 ¸ ¨ ¸ ©4 ¹

§5 · ¨ ¸ ¨4 ¸ ¨3 ¸ p2  ¨ ¸ ¨2 ¸ ¨2 ¸ ¨ ¸ ©3 ¹

A  (7 6 5 4 3 6 )

Preise je Mengeneinheit von G 1 und G2

gegebene Matrix mit den Warennummern A i

Seite 356

Matrizenrechnung

Wo kann der Kaufmann billiger einkaufen, bei G1 oder bei G 2 ? Wie viele Geldeinheiten kann er ersparen, wenn er die Käufe verteilt?

ª § 4 ·º « ¨ ¸» « ¨ 4 ¸» « ¨ 2 ¸» P  erweitern «p1 p2 ¨ ¸» « ¨ 2 ¸» « ¨ 1 ¸» « ¨ ¸» ¬ © 3 ¹¼

P

§4 ¨ ¨5 ¨2 ¨ ¨3 ¨1 ¨ ©4

5 4·

¸

4 4¸ 3 2¸

Preismatrix (in der letzten Spalte stehen die minimalen Preise je Mengeneinheit)

¸ 2 2¸ 2 1¸ ¸ 3 3¹

Erlösmatrix

Er  A ˜ P Er

( 107 106 91 )

Der Kaufmann kann bei G1 seinen Bedarf um 107 und bei G 2 um 106 Geldeinheiten decken. Wenn er bei G1 die Waren A1 , A3 und A5 und bei G2 die Waren A2 , A4 und A6 kauft, so zahlt er nur 91 Geldeinheiten. Beispiel 3.5.32: Ein Betrieb stellt aus den Rohstoffen R1 , R2 und R3 die Zwischenprodukte Z1 , Z2 , Z3 und Z4 her. Aus diesen werden in einem weiteren Fabrikationsgang die Endprodukte E1 und E2 gewonnen. Der jeweilige Materialverbrauch ist durch folgende Tabellen gegeben: Z1

Z2

Z3

Z4

E1

E2

R1

2

3

4

1

Z1

1

3

R2

5

2

7

3

Z2

4

2

R3

4

0

3

2

Z3

1

2

Z4

3

4

Welche Rohstoffmengen werden bei der Herstellung von 100 Einheiten E 1 und 300 Einheiten E 2 verbraucht? Die Zahl 7, das Element R23 der Rohstoffmatrix R, gibt an, dass 7 Einheiten von R2 zur Herstellung einer Einheit Z3 benötigt werden. Die Zahl 2, das Element Z32 der Matrix Z, gibt an, dass 2 Einheiten Z3 zur Herstellung einer Einheit E2 gebraucht werden. Die Materialverbrauchsmatrix ergibt sich aus:

§1 §¨ 2 3 4 1 ·¸ ¨ ¨4 M = R ˜ Z = ¨5 2 7 3 ¸ ˜ ¨ 4 0 3 2 ¸ ¨¨ 1 © ¹ ©3 §1 3 · ¸ §¨ 2 3 4 1 ·¸ ¨ 4 2¸ ¨ M  ¨5 2 7 3 ¸ ˜ ¨ 4 0 3 2 ¸ ¨¨ 1 2 ¸¸ © ¹ ©3 4 ¹

3·

¸

2¸ 2¸

¸

4¹

M

§¨ 21 24 ·¸ ¨ 29 45 ¸ ¨ 13 26 ¸ © ¹

Materialverbrauchsmatrix

Für den Gesamtverbrauch gilt: Verbrauchsmatrix = Materialverbrauchsmatrix . Anzahlmatrix

Seite 357

Matrizenrechnung

A

§ 100 · ¨ ¸ © 300 ¹

Anzahlmatrix

V M˜A

§¨ 9300 ·¸ ¨ 16400 ¸ ¨ 9100 ¸ © ¹

V

Verbrauchsmatrix

Zur Herstellung von 100 Einheiten E 1 und 300 Einheiten E2 werden 9300 Einheiten R 1 , 16400 Einheiten R 2 und 9100 Einheiten R 3 benötigt. Beispiel 3.5.33: Der Materialfluss einer Produktion ist aus folgenden Tabellen zu erkennen: Z1

Z2

Z3

Z4

R1

2

1

0

1

R2

3

2

1

0

R3

0

0

3

R4

1

0

R5

2

1

E1

E2

E3

Z1

1

2

0

Z2

2

0

1

2

Z3

1

1

1

4

1

Z4

1

0

2

0

2

E2

E3

R3

2

0

R5

0

3

Welche Rohstoffmengen werden zur Herstellung von 50 Einheiten E 1 , 100 Einheiten E2 und 200 Einheiten E 3 benötigt? Zur Herstellung von 1 Einheit E2 brauchen wir 2 Einheiten Z1 , 1 Einheit Z3 und zusätzlich 2 Einheiten R 3 .

§¨ 2 ¨3 ¨ M = M1 ˜ M2  M3 = 0 ¨ ¨1 ¨2 © §¨ 2 ¨3 ¨0 M ¨ ¨1 ¨2 ©

1 0 1· 2 1 0 3 0 4 1 0

§¨ 50 ·¸ A  ¨ 100 ¸ ¨ 200 ¸ © ¹ V M˜A

¸ §1 0¸ ¨ ¸ ¨2 2 ˜ ¸ ¨1 1¸ ¨ ¸ ©1 2¹

1 0 1· 2 1 0 3 0 4 1 0

¸ §1 0¸ ¨ ¸ ¨2 2 ˜ ¸ ¨1 1¸ ¨ ¸ ©1 2¹

§¨ 0 ¸ ¨0 0 1¸ ¨  0 1 1¸ ¨ ¸ ¨0 0 2¹ ¨ ©0 2 0·

§¨ 0 ¸ ¨0 0 1¸ ¨  0 1 1¸ ¨ ¸ ¨0 0 2¹ ¨ ©0 2 0·

0 0· 0 2 0 0

¸ 0¸ ¸ 0 ¸ 0¸ ¸ 3¹

M

0 0·

¸

0 0¸

¸ ¸ 0 0¸ ¸ 0 3¹ 2 0

§¨ 5 ¨8 ¨5 ¨ ¨6 ¨6 ©

Materialverbrauchsmatrix

4 3·

¸

7 3¸

¸ ¸ 6 6¸ ¸ 4 8¹ 5 7

Anzahlmatrix

V

§¨ 1250 ·¸ ¨ 1700 ¸ ¨ 2150 ¸ ¨ ¸ ¨ 2100 ¸ ¨ 2300 ¸ © ¹

Verbrauchsmatrix: Zur Herstellung von 50 Einheiten E 1 , 100 Einheiten E2 und 200 Einheiten E3 benötigen wir bei dem gegebenen Materialfluss 1250 Einheiten R 1 , 1700 Einheiten R 2 , 2150 Einheiten R 3 , 2100 Einheiten E4 und 2300 Einheiten R 5 .

Seite 358

Matrizenrechnung

Beispiel 3.5.34: Es soll eine Gesamtkostenrechnung für den Rohstoff- und Energiebedarf einschließlich der entstehenden Lohnkosten durchgeführt werden, wenn das Produktionsprogramm bekannt ist. Es sollen 50 Einheiten vom Endprodukt E1 und 60 Einheiten vom Endprodukt E 2 produziert werden. Der Bedarf an Zwischenprodukten für die Endprodukte ist der Tabelle A und der Rohstoffbedarf für die Zwischenprodukte der Tabelle B1 zu entnehmen. Den Energiebedarf und die Lohnkosten, die bei der Herstellung und bei der Verarbeitung je Einheit Zi entstehen, gibt die Tabelle B2 an. Es sind die Gesamtkosten für das vorgesehene Produktionsprogramm zu ermitteln, wenn die Kosten für eine Einheit R1 2 Kosteneinheiten, für eine Einheit R2 3 Kosteneinheiten und für eine Energieeinheit 0.5 Kosteneinheiten betragen. Tabelle A:

Tabelle B 1:

Tabelle B2 :

R1

R2

E

L

Z1

Z2

Z3

E1

3

0

2

Z1

0

1

Z1

0.5

2

E2

0

1

3

Z2

3

2

Z2

0.8

5

Z3

1

0

Z3

0.2

4

B1 und B2 können unter dem Oberbegriff Einsatzgrößen zur Tabelle B zusammengefasst werden. Einsatzgrößen sind die Rohstoffe R 1 und R2 , der Energieverbrauch E und die Lohnkosten L. Tabelle B: R1

R2

E

L

Z1 Z2 Z3

1 2 0

0.5 0.8 0.2

2 5 4

0 3 1

Der Kostenvektor lautet KT = ( KR1 KR2 KE KL ) = (2 3 0.5 1) , weil eine Lohneinheit gleich einer Kosteneinheit ist, d. h. der Umrechnungsfaktor hier den Wert 1 hat. Die Gesamtkosten können nun mithilfe der nachstehenden Anordnung bestimmt werden: Planzahlen (Absatz) P

m

Produktion der Endprodukte

m

Produktion der Zwischenprodukte

Kosten

m

mA mB mK

G = P˜ A˜ B˜ K

Gesamtkosten (Produkt der Teilsystemmatrizen - vierstufiges lineares Modell)

§ 2 · §¨ 0 1 0.5 2 ·¸ ¨ ¸ 3 §3 0 2 · G  ( 50 60 ) ˜ ¨ ¸ ˜ ¨ 3 2 0.8 5 ¸ ˜ ¨¨ ¸¸ ©0 1 3 ¹ ¨ ¸ 0.5 © 1 0 0.2 4 ¹ ¨ ¸ © 1 ¹ G

3539.5

Die Gesamtkosten für das vorgesehene Produktionsprogramm betragen 3539.5 Kosteneinheiten.

Seite 359

Vektoranalysis

4. Vektoranalysis Die Vektoranalysis ist u. a. ein notwendiges mathematisches Werkzeug zum Verständnis der theoretischen Physik (z. B. Mechanik oder Elektrodynamik). Sie behandelt Vektorfunktionen mit den Mitteln der Differential- und Integralrechnung. Natürlich kann auch hier nicht auf alle Aspekte dieses Themas eingegangen werden. Wir wollen daher hier nur einen Einblick in die Vektoranalysis gegeben. Die Ausführungen sind nicht immer mathematisch streng, sondern sollen auf anschauliche Weise einige Anwendungen der Vektoranalysis klar machen. Für das bessere Verständnis sollten jedenfalls zuerst die Kapitel 2 und 3 in diesem Band wiederholt werden. Aber auch die Grundlagen der Differential- und Integralrechnung, wie sie im Band 3 dieser Serie besprochen werden, sollten für das Verständnis dieses Kapitels zuerst ausführlich studiert werden.

4.1 Raumkurven 4.1.1 Vektorielle Darstellung einer Kurve Wir betrachten nun Vektoren, die eine Abhängigkeit von äußeren Parametern aufweisen. Ein typisches Beispiel hierzu sind Raumkurven. Wir wählen im dreidimensionalen euklidischen Raum ein festes Koordinatensystem (Abb. 4.1.1). So kann z. B. die Position eines Teilchens, idealisiert durch einen Massenpunkt P, durch den Ortsvektor r(t) festgelegt werden. Der Ortsvektor kann sich als Funktion der Zeit als äußerer Parameter ändern. o In einem zeitunabhängigen, vollständigen Orthogonalsystem ei = ei werden dann die Komponenten des Vektors zeitabhängige Funktionen: 3  o r ( t) = r ( t) =

¦

i

1

§¨ x1 ( t) ·¸ § x ( t) ¨ o § x ( t) ˜ e · = ¨ x ( t) ¸ = ¨ y ( t) i¹ 2 © i ¨ ¸ ¨© x3 ( t) ¸¹

·¸ ¸ ( t1 d t d t2) ¨ z ( t) ¸ © ¹

(4-1)

Für den Ortsvektor einer ebenen Kurve gilt demnach: 2  o r ( t) = r ( t) =

¦

i

1

§ x ( t) · § x ( t) ˜ o · = ¨ 1 ¸ = §¨ x ( t) ·¸ e i¹ ¨ © i ¸ © x2 ( t) ¹ © y ( t) ¹

(4-2)

Somit kann die Kurve (Trajektorie oder die Bahnkurve) selbst durch diesen parameterabhängigen Ortsvektor (Vektorfunktion des Parameters t) beschrieben werden. Als Parameter wird meist die Zeit verwendet, kann aber auch, wie z. B. bei Kreisbewegungen, ein Winkel sein.

Abb. 4.1.1

Seite 360

Vektoranalysis

Beispiel 4.1.1: Für einen Körper, der mit der Geschwindigkeit vom Betrag v0 waagrecht abgeschossen wird (waagrechter Wurf eines Körpers ohne Luftwiderstand), wird die dabei durchlaufene Bahnkurve durch die folgenden Parametergleichungen bzw. durch die folgende Vektorfunktion beschrieben: ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

m v0  30 ˜ s

gewählter Betrag der Abschussgeschwindigkeit

g

9.807

m s

Erdbeschleunigung (in Mathcad bereits vordefiniert)

2

x ( t)  v0 ˜ t y( t)  

r ( t) 

g 2

˜t

Parametergleichungen 2

§ x ( t) · ¨ ¸ © y ( t) ¹

Vektorfunktion (zeitabhängiger Ortsvektor)

t  0 ˜ s 0.01 ˜ s  4 ˜ s

t1 

FRAME 10

˜s

ª§ 0 ˜ m · º «¨ r ( t) ¸ » «© 1 ¹ » r1 ( t)  «§ 0 ˜ m · » «¨ ¸» ¬© r ( t) 2 ¹ ¼

Bereichsvariable

z. B. FRAME von 0 bis 40

Vektorfunktion zur grafischen Darstellung des zeitabhängigen Ortsvektors (ohne Vektorpfeilspitze)

Wurfparabel 0 r( t) 2

 2

r1 t1

50

100

 20  40

Abb. 4.1.2

 60  80



r ( t) 1 r 1 t1 1

Seite 361

Vektoranalysis

Beispiel 4.1.2: Für einen Körper, der mit der Geschwindigkeit vom Betrag v0 unter einem Winkel D gegen die Horizontale abgeschossen wird (schiefer Wurf eines Körpers ohne Luftwiderstand), wird die dabei durchlaufene Bahnkurve (Wurfparabel) durch die folgenden Parametergleichungen bzw. durch die folgende Vektorfunktion beschrieben: ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

m v0  40 ˜ s

gewählter Betrag der Abschussgeschwindigkeit

α  30 ˜ Grad

gewählter Abschusswinkel

x ( t)  v0 ˜ cos ( α) ˜ t

Parametergleichungen g

y ( t)  v0 ˜ sin ( α) ˜ t  ˜ t 2

§ x ( t) · ¨ ¸ © y ( t) ¹

r ( t) 

Vektorfunktion (zeitabhängiger Ortsvektor) g

2

v0 ˜ sin ( α) ˜ t  ˜ t = 0 2 t2 

2 ˜ v0 ˜ sin ( α) g

t  0 ˜ s 0.01 ˜ s  t2 t1 

t2 40

2

˜ FRAME

ª§ 0 ˜ m · º ¸» «¨ © r ( t) 1 ¹ » « r1 ( t)  «§ 0 ˜ m · » «¨ ¸» ¬© r ( t) 2 ¹ ¼

0 §¨ ¨ 2 ˜ v0 ˜ sin ( α) ¨ g ©

hat als Lösung(en)

t2

·¸ ¸ ¸ ¹

Nullstellen der Wurfparabel

4.079 s

Bereichsvariable FRAME von 0 bis 40

Vektorfunktion zur grafischen Darstellung des zeitabhängigen Ortsvektors (ohne Vektorpfeilspitze)

Wurfparabel 20 r( t) 2



r1 t1 2

10

Abb. 4.1.3

0

50

100



r( t) 1 r1 t1 1

Seite 362

Vektoranalysis

Beispiel 4.1.3: Geladene Teilchen, die schief in ein homogenes Magnetfeld eingeschossen werden, bewegen sich auf einer Schraubenlinie um die Feldrichtung (z. B. z-Achse). Die Bahnkurve lässt sich durch die folgenden Parametergleichungen bzw. durch die folgende Vektorfunktion beschreiben: ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

R  10 ˜ cm

gewählter Radius der Bahnkurve

ω 3˜ π˜ s c  50 ˜

1

gewählte Kreisfrequenz

cm

gewählte Konstante

s

x ( t)  R ˜ cos ( ω ˜ t ) Parametergleichungen (v = c t)

y ( t)  R ˜ sin ( ω ˜ t) z ( t)  c ˜ t

§¨ x ( t) ·¸ r ( t)  ¨ y ( t) ¸ ¨ z ( t) ¸ © ¹

Vektorfunktion (zeitabhängiger Ortsvektor)

t  0 ˜ s 1 ˜ s  35 ˜ s

Bereichsvariable

X ( t) 

t1 

§0 ˜ m · ¨ ¸ © x( t) ¹ FRAME 35

Y ( t) 

§0 ˜ m · ¨ ¸ © y( t) ¹

Z ( t) 

§0 ˜ m · ¨ ¸ © z ( t) ¹

Vektorfunktionen zur grafischen Darstellung des zeitabhängigen Ortsvektors (ohne Vektorpfeilspitze)

FRAME von 0 bis 35

˜s

Schraubenlinie Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Streuungsdiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: Linien und Punkte zeichnen Achsen: Teilstriche, automatische Gitterwerte, Achsenformat nummeriert, Beschriftung QuickPlot-Daten: Beginn 0, Ende 1, Schrittweite 35 Diagramm 2: Allgemein: Streuungsdiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: Linien und Punkte zeichnen

   

r  X t1 Y t1 Z t1

Abb. 4.1.4

Seite 363

Vektoranalysis

Nachfolgend eine alternative grafische Darstellung des Problems: n  36

Anzahl der Parameterwerte

k  0  n  1

Bereichsvariable

§ ©

xk  0.1 ˜ cos ¨ 3 ˜ π ˜

§ ©

yk  0.1 ˜ sin ¨ 3 ˜ π ˜

z k  0.5 ˜

k

· ¸

n  1¹ k

· ¸

n  1¹

Koordinatenvektoren x, y und z

k n 1

Schraubenlinie

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Streuungsdiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: Linien und Punkte zeichnen Achsen: Teilstriche, automatische Gitterwerte, Achsenformat nummeriert, Beschriftung

( x y z ) Abb. 4.1.5

4.1.2 Ableitung einer Vektorfunktion  o Wir betrachten zuerst den Differenzvektor Δr in Abb. 4.1.6:  o o  o Δr = r ( t  Δt)  r ( t )

(4-3)

Dividieren wir nun diesen Vektor durch den Skalar Δt z 0, so erhalten wir den in gleicher Richtung liegenden Vektor

§¨ x ( t   o  o o ¨ Δr r ( t )  r ( t  Δt) ¨ y ( t  = =¨ Δt Δt ¨ ¨ z (t  ¨©

Δt)  x ( t)

·¸ Δt ¸ Δt)  y ( t) ¸ ¸ Δt ¸ Δt)  z ( t) ¸ ¸¹ Δt

Seite 364

(4-4)

Vektoranalysis

Der Vektor (4-4) geht beim Grenzübergang 't o 0 in den sogenannten Tangentenvektor (Abb. 4.1.6) über, der die Richtung der Tangente im Kurvenpunkt P festlegt:

 o Δr

lim

Δt o 0 Δt

=

lim Δt o 0

§ ¨ ¨  o o ¨ r ( t )  r ( t  Δt) =¨ Δt ¨ ¨ ¨ ©

x ( t  Δt)  x ( t)

· ¸ Δt Δt o 0 ¸ y ( t  Δt)  y ( t) ¸ lim ¸ Δt Δt o 0 ¸ z ( t  Δt)  z ( t ) ¸ lim ¸ Δt Δt o 0 ¹ lim

(4-5)

Dieser Tangentenvektor stellt in Anlehnung an die Differentialrechnung für Funktionen (Band 3)  o die komponentenweise erste Ableitung des Vektors r ( t) dar. Wir können daher schreiben:

3 o d r ( t) = dt

¦

i

1

o· §d ¨ xi ( t) ˜ ei¸ © dt ¹

§d · §d · ¨ x1 ( t) ¸ ¨ x( t) ¸ ¨ dt ¸ ¨ dt ¸ ¨d ¸ ¨d ¸ = ¨ x2 ( t) ¸ = ¨ y ( t) ¸ ¨ dt ¸ ¨ dt ¸ ¨d ¸ ¨d ¸ ¨ x3 ( t) ¸ ¨ z ( t) ¸ © dt ¹ © dt ¹

(4-6)

Für die erste Ableitung einer Vektorfunktion in der Ebene gilt dann:

o d r ( t) = dt

2

¦

i

1

o· §d ¨ xi ( t) ˜ ei¸ © dt ¹

§d · §d · ¨ x1 ( t) ¸ ¨ x( t) ¸ ¨ dt ¸ = ¨ dt ¸ = ¨d ¸ ¨d ¸ ¨ x2 ( t) ¸ ¨ y( t) ¸ © dt ¹ © dt ¹

(4-7)

Wir nennen daher eine Vektorfunktion differenzierbar, wenn ihre Vektorkoordinaten differenzierbare Funktionen eines Parameters t sind.

Abb. 4.1.6

Seite 365

Vektoranalysis

o  Sind die Vektorkoordinaten der Vektorfunktion r ( t) n-mal differenzierbar, so existieren auch die höheren Ableitungen:

3 k o d  r ( t) = k dt

¦

i

1

§¨ dk o·¸ xi ( t) ˜ ei ¨ dt k ¸ © ¹

§ ¨ ¨ ¨ ¨ =¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ©

· § dk · ¸ ¨ x( t) ¸ ¸ ¨ dt k ¸ dt ¸ ¨ ¸ ¸ ¨ ¸ k k d d x2 ( t) ¸ = ¨ y( t) ¸ k dt ¸ ¨ dt k ¸ ¸ ¨ ¸ k ¸ ¨ dk ¸ d x ( t) ¸ ¨ z ( t) ¸ k 3 k dt ¹ © dt ¹ k

d

x ( t) k 1

(k = 1, 2, 3 ..., n)

(4-8)

Für die höheren Ableitungen eines Ortsvektors in der Ebene gilt dann:

2 k o d  r ( t) = k dt

¦

i

1

§¨ dk o·¸ xi ( t) ˜ ei ¨ dt k ¸ © ¹

§ ¨ ¨ =¨ ¨ ¨ ©

· § dk · ¸ ¨ x( t) ¸ ¸ ¨ dt k ¸ dt ¸=¨ ¸ k ¸ ¨ dk ¸ d x ( t) ¸ ¨ y( t) ¸ k 2 k dt ¹ © dt ¹ k

d

x ( t) k 1

(k = 1, 2, 3 ..., n)

(4-9)

Bemerkungen: Alle Ableitungen des Ortsvektors sind wiederum Vektoren! In den technisch-naturwissenschaftlichen Anwendungen wird die Bahnkurve eines Massenpunktes häufig durch einen zeitabhängigen Ortsvektor beschrieben. Durch einmaliges Differenzieren des Ortsvektors nach dem Zeitparameter t erhalten wir dann den Geschwindigkeitsvektor (Tangentenvektor) und durch zweimaliges Differenzieren den Beschleunigungsvektor! o d  o v( t) = r ( t) dt

(4-10)

2 o o d o d  r ( t) a ( t) = v( t) = 2 dt dt

(4-11)

Ableitungsregeln für Vektorfunktionen: Im Wesentlichen gelten die im Band 3 angeführten Ableitungsregeln. o o Sind a ( t ) und b ( t ) differenzierbare Vektorfunktionen und f(t) eine differenzierbare skalare Funktion des Parameters t, so gelten speziell folgende Ableitungsregeln: a) Summenregel d o o d o d o a ( t)  b ( t) = a ( t)  b ( t) dt dt dt





(4-12)

Seite 366

Vektoranalysis

b) Produktregel Für Skalarprodukte: d o o d o o o d o a ( t) ˜ b ( t) = a ( t) ˜ b ( t)  a ( t) ˜ b ( t) dt dt dt





(4-13)

Für Vektorprodukte: d o o d o o o d o a ( t) u b ( t) = a ( t) u b ( t)  a ( t) u b ( t) dt dt dt





(4-14)

Für Produkte aus einer skalaren und einer Vektorfunktion: d dt

f (t) ˜ a(ot) = d f (t) ˜ a(ot)  f (t) ˜ d a(ot)

(4-15)

dt

dt

Bogenlänge s einer Kurve in der Ebene und im Raum: Die Berechnung der Bogenlänge s wird für Kurven in der Ebene im Band 3, Abschnitt 4.6.1 ausführlich dargestellt. Das Bogendifferential (Linienelement) ds ergibt sich für Kurvengleichungen in expliziter Form y = f(x) zu: 2

ds =

§d · 1  ¨ f ( x) ¸ ˜ dx © dx ¹

Zwischen der Tangentensteigung

(4-16) d dx

o  f ( x) und den Ableitungen der beiden Vektorkomponenten von r ( t)

besteht der Zusammenhang: d d dx

f ( x) =

dt d dt

y( t) (4-17) x( t)

Mit (4-15) und mithilfe der Beziehung dx =

d dt

x ( t) ˜ dt ergibt sich das Bogendifferential ds in

Parameterform zu: 2

ds =

§d · ¨ y( t) ¸ dt ¸ ˜ d x( t) ˜ dt = 1 ¨ ¨d ¸ dt ¨ x( t) ¸ © dt ¹

2

2

§d · §d · ¨ x( t) ¸  ¨ y ( t) ¸ ˜ dt © dt ¹ © dt ¹

(4-18)

Bei einer Raumkurve erweitert sich (4-18) entsprechend zu: 2

ds =

2

2

§d · §d · §d · ¨ x ( t) ¸  ¨ y( t) ¸  ¨ z ( t) ¸ ˜ dt © d t ¹ © dt ¹ © d t ¹

Seite 367

(4-19)

Vektoranalysis

Das Bogendifferential kann dann kurz wie folgt geschrieben werden: ds =

o d r ( t) ˜ dt dt

(4-20)

Hieraus folgt die wichtige Beziehung d dt

s =

o d r ( t) dt

(4-21)

Das heißt die erste Ableitung der Bogenlänge nach dem Parameter t ist gleich dem Betrag (Länge) des Tangentenvektors. Die Länge des Tangentenvektors ist also ein Maß für die Änderungsgeschwindigkeit der Bogenlänge! Die Bogenlänge einer Kurve kann dann wie folgt berechnet werden: t t ´2 o ´2 d µ s= 1 ds = µ r ( t ) dt µ µ dt ¶t 1 ¶t

(4-22)

1

Beispiel 4.1.4: Wie lauten der Geschwindigkeitsvektor und der Beschleunigungsvektor für den waagrechten Wurf (Beispiel 4.1.1)? Wie groß ist die Bogenlänge der Bahnkurve zwischen t 1 = 0 s und t2 = 4 s? ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

m v0  30 ˜ s

gewählter Betrag der Abschussgeschwindigkeit

t t

Redefinitionen

v0  v0

§¨ v0 ˜ t ·¸ r ( t)  ¨ g 2 ¸ ¨2 ˜ t ¸ © ¹

Vektorfunktion (zeitabhängiger Ortsvektor)

§d · ¨ r ( t) 1 ¸ ¨ dt ¸ v ( t)  ¨d ¸ ¨ r ( t) 2 ¸ © dt ¹

v ( t) o

§ v0 · ¨ ¸ © g ˜ t ¹

Geschwindigkeitsvektor (4-10)

§ ¨ ¨ a ( t)  ¨ ¨ ¨ ©

a ( t) o

§0 · ¨ ¸ © g ¹

Beschleunigungsvektor (4-11)

· ¸ 2 ¸ dt ¸ 2 ¸ d r ( t) 2 ¸ 2 dt ¹ 2

d

r ( t) 1

Seite 368

Vektoranalysis

oder:

§d · ¨ v ( t) 1 ¸ ¨ dt ¸ a ( t)  ¨d ¸ ¨ v ( t) 2 ¸ © dt ¹

a ( t) o

§0 · ¨ ¸ © g ¹

Unter der Wirkung der Erdanziehung überlagern sich bei der Bewegung eines Körpers die gleichförmig-geradlinige Bewegung in der Richtung von v 0 und die Fallbewegung in vertikaler Richtung nach unten.

Abb. 4.1.7

v ( t)

a ( t) 

a ( t) annehmen g  0 o g

t1  0 ˜ s t ´2 µ sB  v ( t ) dt µ ¶ t1

v( t) o



v( t) 

g˜ t

2  

v0

2

Betrag des Geschwindigkeitsvektors Betrag des Beschleunigungsvektors

t2  4 ˜ s

Anfangs- und Endzeitpunkt

sB

Bogenlänge der Bahnkurve (4-22)

148.465 m

Bereichsvariable

t  t1 0.001 ˜ s  t2 Bahnkurve 0

r( t) 2

50

100

 20

m



r t2 2 m

 40

Abb. 4.1.8  60

 80



r ( t) 1 r t2 1  m m

Seite 369

Vektoranalysis

Geschwindigkeitsdiagramm

Beschleunigungsdiagramm

50 v( t) m

 9.8

45

a( t) m

40

2 s

s

35 30

0

1

2

3

4

 9.805  9.81  9.815

0

1

2

3

4

t

t

s

s

Abb. 4.1.9

Abb. 4.1.10

Beispiel 4.1.5: Wie lauten der Geschwindigkeitsvektor und der Beschleunigungsvektor für den schiefen Wurf (Beispiel 4.1.2)? Wie groß ist die Bogenlänge der Bahnkurve zwischen den beiden Nullstellen? ORIGIN festlegen

ORIGIN  1 m v0  20 ˜ s

v0

72 ˜

km h

gewählter Abschusswinkel (Animation - FRAME von 0 bis 40 )

α  ( 30  FRAME ) ˜ Grad t t

v0  v0

gewählter Betrag der Abschussgeschwindigkeit

Redefinitionen

α α

§¨ v0 ˜ cos ( α) ˜ t ·¸ r ( t)  ¨ g 2¸ ¨ v0 ˜ sin ( α) ˜ t  2 ˜ t ¸ © ¹

Vektorfunktion (zeitabhängiger Ortsvektor)

§d · ¨ r ( t) 1 ¸ ¨ dt ¸ v ( t)  ¨d ¸ ¨ r ( t) 2 ¸ © dt ¹

v ( t) o

§¨ v0 ˜ cos ( α) ·¸ ¨ v0 ˜ sin ( α)  g ˜ t ¸ © ¹

Geschwindigkeitsvektor

§ ¨ ¨ a ( t)  ¨ ¨ ¨ ©

a ( t) o

§0 · ¨ ¸ © g ¹

Beschleunigungsvektor

· ¸ 2 ¸ dt ¸ 2 ¸ d r ( t) 2 ¸ 2 dt ¹ 2

d

r ( t) 1

v( t) o

 v0 ˜ sin (α)  g ˜ t 2   v0 ˜ cos (α) 2

v( t) 

v ( t)

a ( t) 

a ( t) annehmen g  0 o g

Betrag des Geschwindigkeitsvektors

Betrag des Beschleunigungsvektors

Seite 370

Vektoranalysis

Die Flugzeit kann auf zwei verschiedene Arten errechnet werden: t2  2 ˜ v0 ˜

sin ( α) g



t2  wurzel r ( t) 2 t 0.1 ˜ s 100 ˜ s

ts 



t2 2



t2

2.039 s

t2

2.039 s

2. Nullstelle

ts

1.02 s

Steigzeit

ymax  r ts 2

ymax

t ´2 s B  µ v ( t ) dt ¶

sB

0˜s

5.099 m

37.198 m

maximale Steighöhe

Bogenlänge der Bahnkurve

Bereichsvariable

t  0 ˜ s 0.2 ˜ s  2 ˜ t2 Flugbahn-Bahnkurve 60 50 r ( t) 2

r ts 1



r t2 1



m

m

40

Weg in y-Richtung

m r ( t) 1

30

m r ( t) 2 m r ( t) 1

20 10

ts

1.02 s

t2

2.039 s

α

30 ˜ Grad



ymax

r ts 1

17.662 m

ymax

5.099 m

m

m 0

10

20

30

40

50

60



r t2 1

 10

35.324 m

 20 r ( t) 1 m Weg in x-Richtung

Abb. 4.1.11 In der Abb. 4.1.11 entstehen die Funktionswerte der Wurfparabel durch Subtraktion der Strecken des freien Falls von den Funktionswerten auf der Geraden der gleichförmigen Bewegung. Die Punkte auf der Geraden haben alle gleiche Zeitabstände und repräsentieren damit auch gleiche Strecken.

Seite 371

Vektoranalysis

Geschwindigkeitsdiagramm ts

30 v( t) 20 m s

10

0

1

2

3

4

t s

Abb. 4.1.12 Beispiel 4.1.6: Wie lauten der Geschwindigkeitsvektor und der Beschleunigungsvektor für geladene Teilchen, die schief in ein homogenes Magnetfeld eingeschossen werden (Beispiel 4.1.3)? Wie groß ist der bei drei vollen Umläufen (Zeit T = 2 S/Z für einen Umlauf) zurückgelegte Weg sB ? ORIGIN  1

ORIGIN festlegen ω ω

R R

c c

Redefinitionen

t t

§¨ R ˜ cos ( ω ˜ t) ·¸ r ( t)  ¨ R ˜ sin ( ω ˜ t) ¸ ¨ ¸ c˜t © ¹

Vektorfunktion (zeitabhängiger Ortsvektor)

§d · ¨ r ( t) 1 ¸ ¨ dt ¸ ¨d ¸ v ( t)  ¨ r ( t) 2 ¸ ¨ dt ¸ ¨d ¸ ¨ r ( t) 3 ¸ © dt ¹

§¨ R ˜ ω ˜ sin ( ω ˜ t) ·¸ v ( t) o ¨ R ˜ ω ˜ cos ( ω ˜ t) ¸ ¨ ¸ c © ¹

Geschwindigkeitsvektor

§ ¨ ¨ ¨ ¨ a ( t)  ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ©

§ R ˜ ω2 ˜ cos ( ω ˜ t) · ¨ ¸ 2 a ( t) o ¨ R ˜ ω ˜ sin ( ω ˜ t) ¸ ¨ ¸ 0 © ¹

Beschleunigungsvektor

· ¸ 2 ¸ dt ¸ ¸ 2 d r ( t) 2 ¸ 2 dt ¸ ¸ 2 ¸ d r ( t) 3 ¸ 2 dt ¹ 2

d

r ( t) 1

o o Die z-Komponente des Beschleunigungsvektors verschwindet. Dies bedeutet wegen F = m ˜ a, dass auf ein geladenes Teilchen in einem homogenen Magnetfeld stets eine Kraft (Lorentz-Kraft) wirkt, die senkrecht zur Feldrichtung steht.

Seite 372

Vektoranalysis

v ( t)

annehmen R ! 0 ω ! 0 t ! 0 c ! 0 o vereinfachen

2

2

R ˜ ω ˜  cos ( ω ˜ t)

Betrag der Ableitung des 2 2 sin ( ω ˜ t)  c

2 2 2 Ortsvektors R ˜ω ˜

2˜π

´ ω µ µ s B1 = 3 ˜ µ ¶

1

R2 ˜ ω2  c2

0

2

dt o s B1 =

6˜ π˜

2

2

R ˜ω c ω

2

der bei drei vollen Umläufen zurückgelegte Weg

Beispiel 4.1.7: o Wie lautet die Kraft F, die auf einen Körper der Masse m = konstant bzw. m = m(t) einwirkt? o o o Die Kraft F ( t) ist die zeitliche Änderung des Impulses p ( t ) = m ˜ v ( t) (dynamisches Grundgesetz): o d o d o o o o d d o d F ( t) = p ( t) = m ˜ v ( t) = m ˜ v ( t )  m ˜ v ( t ) = m ˜ v ( t )  m ˜ a ( t) nach (4-11) und (4-15) dt dt dt dt dt





Bei konstanter Masse gilt:

d dt

o o m = 0. Damit erhalten wir das vereinfachte Kraftgesetz: F ( t ) = m ˜ a ( t).

4.1.3 Tangenten- und Hauptnormaleneinheitsvektor und Krümmung einer Kurve Jedem Massenpunkt, der sich auf einer ebenen oder räumlichen Bahnkurve bewegt und durch  o einen Ortsvektor r ( t ) beschrieben wird, können in eindeutiger Weise zwei Einheitsvektoren, der  o Tangenteneinheitsvektor (Geschwindigkeitseinheitsvektor) v0 ( t ) und der Hauptnormalen o einheitsvektor n0 ( t), zugeordnet werden (Abb. 4.13).

Abb. 4.1.13

Seite 373

Vektoranalysis

 o Den Tangenteneinheitsvektor (Geschwindigkeitseinheitsvektor) v0 ( t )) erhalten wir aus dem o d  o Tangentenvektor (Geschwindigkeitsvektor) v ( t ) = r ( t) durch Normierung: dt  o  o  o 1 1 d v0 ( t ) = ˜ r ( t) = o ˜ v ( t ) (4-23) o dt d v( t) r ( t) dt  o Der Hauptnormaleneinheitsvektor n0 ( t ) kann folgendermaßen hergeleitet werden:  o  o Differenzieren wir das Skalarprodukt v0 ( t) ˜ v0 ( t) = 1 nach dem Parameter t mithilfe der Produktregel (4-13), so erhalten wir: o  o o  o  o d  o d §  d  v0 ( t) ˜ v0 ( t) · = v0 ( t) ˜ v0 ( t )  v0 ( t ) ˜ v0 ( t ) = 0 ¹ dt dt © dt

(4-24)

Der Ausdruck (4-24) kann aber wegen der Kommutativität des Skalarproduktes vereinfacht werden:  o d  o 2 ˜ v0 ( t) ˜ v0 ( t) = 0 dt

 o d  o v0 ( t ) ˜ v0 ( t ) = 0 (4-25) dt o d  Dieser Ausdruck bedeutet aber, dass der Vektor v0 ( t ) senkrecht auf dem Tangenteneinheitsvektor dt stehen muss. Normieren wir diesen Vektor, so erhalten wir den Hauptnormaleneinheitsvektor:  o n0 ( t) =

bzw.

o 1 d  ˜ v0 ( t ) o dt d  v0 ( t) dt

(4-26)

Der Hauptnormaleneinheitsvektor zeigt in die Richtung der Kurvenkrümmung (siehe dazu Band 3, Abschnitt 3.2.14)! Wir versuchen zuerst den Geschwindigkeitsvektor in jeweils eine Tangential- und Normalkomponente zu zerlegen: o  o  o  o  o v ( t) = vt ( t )  vn ( t ) = vt ˜ v0 ( t )  vn ˜ n0 ( t )

(4-27)

o Der Geschwindigkeitsvektor v ( t ) zeigt in Richtung der Tangente (Abb. 4.1.13) und lässt sich in der Form o o  o  o v ( t) = v ( t ) ˜ v0 ( t ) = v ( t) ˜ v0 ( t) = schreiben.

2

2

2

o §d · §d · §d ·  ¨ x( t) ¸  ¨ y ( t) ¸  ¨ z ( t) ¸ ˜ v0 ( t) © dt ¹ © dt ¹ © dt ¹

(4-28)

o Die Geschwindigkeit v ( t) besitzt nach (4-28) nur eine Komponente, die Tangentialkomponente vt = v ( t) =

d dt

s ( t) . Die Normalkomponente vn ist stets null!

Seite 374

Vektoranalysis

Wir versuchen nun den Beschleunigungsvektor in jeweils eine Tangential- und Normalkomponente zu zerlegen (Abb. 4.1.14): o  o  o  o  o a ( t ) = at ( t )  an ( t) = at ˜ v0 ( t )  an ˜ n0 ( t)

(4-29)

Den Beschleunigungsvektor erhalten wir durch Differenzieren des Geschwindigkeitsvektors nach der Zeit t: o d o d  o  o o d d  a ( t ) = v ( t) = § v ( t ) ˜ v0 ( t ) · = v ( t) ˜ v0 ( t )  v ( t) ˜ v0 ( t) ¹ dt dt dt © dt Setzen wir nun

(4-30)

o o  o d  d  v0 ( t ) = v0 ( t) ˜ n0 ( t) aus (4-26) in (4-30) ein, so erhalten wir schließlich: dt dt

o d  o o  o  o  o d  a ( t ) = v ( t) ˜ v0 ( t )  v ( t) ˜ v0 ( t) ˜ n0 ( t) = a ( t ) ˜ v0 ( t)  a ( t ) ˜ n0 ( t ) dt dt

(4-31)

Die Beschleunigung besitzt also die Tangentialkomponente  o  o d  o  o at ( t ) = at ˜ v0 ( t) = v ( t ) ˜ v0 ( t) = a ( t ) ˜ v0 ( t) dt

(4-32)

und die Normalkomponente  o  o o  o o  o  o d  an ( t) = an ˜ n0 ( t ) = v ( t) ˜ v0 ( t) ˜ n0 ( t) = a ( t ) ˜ n0 ( t ) = a ( t ) ˜ n0 ( t) dt (Zentripedalbeschleunigung).

(4-33)

Abb. 4.1.14

In vielen Anwendungen stellt der Kurvenparameter t die Zeit dar, und der Ortsvektor ist damit von der Zeit abhängig. Gehen wir nicht von einer zeitabhängigen Darstellung des Ortsvektors aus, so kann auch der geometrische Parameter, die Bogenlänge s, als Kurvenparameter verwendet werden. Der Ortsvektor hängt dann von s ab. In diesem Zusammenhang sprechen wir von einem natürlichen Parameter und o nennen die Parameterdarstellung r ( s ) eine natürliche Darstellung der Kurve. In diesem wichtigen Sonderfall ist der Ortsvektor der Kurve eine Vektorfunktion der Bogenlänge s, die von einem bestimmten Punkt der Kurve aus gemessen wird. Der zugehörige Tangentenvektor wird sich dann im Allgemeinen von Kurvenpunkt zu Kurvenpunkt verändern (Abb. 4.1.15).

Seite 375

Vektoranalysis

Der zugehörige Tangentenvektor Tangenteneinheitsvektor: o d o  v0 ( s ) = r ( s ) mit ds

d o r ( s ) ist dann bereits normiert und identisch mit dem ds

o  d o r ( s) = 1 v0 ( s ) = ds

Bei einer beliebigen Raumkurve kennzeichnet der Vektor

(4-34) o d  v0 ( s ) die Änderungsgeschwindigkeit des ds

o  Tangenteneinheitsvektors v0 ( s ). Schreiten wir in positiver Richtung längs der Kurve um das o  Bogenelement ds fort, so ändert sich der Vektor v0 ( s ) um o d   o d v0 ( s ) = v0 ( s ) ˜ ds ds

(4-35)

Je größer diese Änderung bei festem ds ist, umso stärker ist sie gekrümmt. Die Änderungso d  v0 ( s ) des Tangenteneinheitsvektors charakterisiert also in gewisser Weise die geschwindigkeit ds Krümmung der Kurve an der betreffenden Stelle. Für die Abweichung einer Kurve vom geradlinigen Verlauf ist die positive Größe κ = κ ( s) =

o d  v0 ( s ) ds

(4-36)

ein geeignetes Maß und wird als Kurvenkrümmung bezeichnet. Die Krümmung N ist von der Bogenläge abhängig. Der reziproke Wert der Krümmung ρ (s) =

1 κ (s)

=

1 o d  v0 ( s ) ds

(4-37)

o d  v0 ( s ) des Tangentends o  einheitsvektors zeigt in die Richtung des Hauptnormaleneinheitsvektors n0 ( s ), seine Länge ist die Krümmung N. Es gilt somit mit N > 0 wird als Krümmungsradius bezeichnet. Die Änderungsgeschwindigkeit

o o  d  v0 ( s ) = κ ˜ n0 ( s ) ds

(4-38)

o  Ist die Raumkurve von einem Parameter t abhängig, also r ( t), so gilt für die Krümmung einer Kurve

κ = κ ( t) =

2 o o d d  r ( t) r ( t) u 2 dt dt

§ d o · ¨ r ( t) ¸ © dt ¹

(4-39)

3

Die Kurvenkrümmung einer Raumkurve ist stets positiv. Bei ebenen Kurven gilt jedoch: Ist N < 0, so hat die Kurve eine Rechtskrümmung. Ist N > 0, so hat die Kurve eine Linkskrümmung.

Seite 376

Vektoranalysis

Abb. 4.1.15

Beispiel 4.1.8: Ein Massenpunkt bewegt sich auf einer Kreisbahn in der Ebene mit dem Radius R = 2 m gegen den Uhrzeigersinn mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit Z = 0.5 s-1 . Die Kreisbahn wird durch den nachfolgend gegebenen Ortsvektor beschrieben. Wie lauten der Geschwindigkeitseinheitsvektor und der Hauptnormaleneinheitsvektor. Wie lauten der Geschwindigkeitsvektor und der Beschleunigungsvektor? ORIGIN festlegen

ORIGIN  1 R R

r ( t) =

Redefinitionen

ω ω

§ R ˜ cos ( ω ˜ t) · ¨ ¸ © R ˜ sin ( ω ˜ t) ¹

Ortsvektor der Kreisbahn

ªd º « ( R ˜ cos ( ω ˜ t) ) » «dt » v ( t) = «d » « ( R ˜ sin ( ω ˜ t) ) » ¬ dt ¼

vereinfacht auf v ( t ) =

§ R ˜ ω ˜ sin ( ω ˜ t) · ¨ ¸ © R ˜ ω ˜ cos ( ω ˜ t) ¹

ªd º « ( R ˜ sin ( ω ˜ t) ˜ ω) » «dt » a ( t) = «d » « ( R ˜ cos ( ω ˜ t) ˜ ω) » ¬ dt ¼

vereinfacht auf a ( t ) =

§ R ˜ ω2 ˜ cos ( ω ˜ t) · ¨ ¸ ¨ ¸ 2 © R ˜ ω ˜ sin ( ω ˜ t) ¹

Geschwindigkeitsvektor

Beschleunigungsvektor

Betrag des Geschwindigkeitsvektors:

§ R ˜ ω ˜ sin ( ω ˜ t) · ¨ ¸ © R ˜ ω ˜ cos ( ω ˜ t) ¹

annehmen R ! 0 ω ! 0 t ! 0 o R˜ ω˜ vereinfachen



cos ( ω ˜ t)

2  

sin ( ω ˜ t)

2

Betrag des Beschleunigungsvektors.

§ R ˜ ω2 ˜ cos ( ω ˜ t) · ¨ ¸ ¨ ¸ 2 © R ˜ ω ˜ sin ( ω ˜ t) ¹

annehmen R ! 0 ω ! 0 t ! 0 2 o R˜ ω ˜ vereinfachen

1 1 § R ˜ ω ˜ sin ( ωt) · § sin ( ω ˜ t) · v0 ( t) = ˜ v ( t) = ˜¨ ¸=¨ ¸ v ( t) R ˜ ω © R ˜ ω ˜ cos ( ω ˜ t) ¹ © cos ( ω ˜ t) ¹

Seite 377



cos ( ω ˜ t)

2  

sin ( ω ˜ t)

2

Geschwindigkeitseinheitsvektor

Vektoranalysis

Ableitung des Geschwindigkeitseinheitsvektors:

§d · ¨ sin ( ω ˜ t) ¸ d ¨ dt ¸ v0 ( t) = ¨ ¸ dt d ¨ cos ( ω ˜ t) ¸ © dt ¹

vereinfacht auf

d dt

v0 ( t) =

§ ω ˜ cos ( ω ˜ t) · ¨ ¸ © ω ˜ sin ( ω ˜ t) ¹

Betrag der Ableitung des Geschwindigkeitseinheitsvektors: annehmen ω ! 0 t ! 0

§ ω ˜ cos ( ω ˜ t) · v0 ( t) = ¨ ¸ dt © ω ˜ sin ( ω ˜ t) ¹ d

n0 ( t ) =

1 d dt

v0 ( t)

˜

ersetzen ω ˜ t = α

o

vereinfachen

d dt

v0 ( t) = ω ˜

§ cos ( ω ˜ t) · 1 § ω ˜ cos ( ω ˜ t) · ˜¨ v0 ( t) = ¸ = ¨ ¸ ω © ω ˜ sin ( ω ˜ t) ¹ dt © sin ( ω ˜ t) ¹ d



cos ( α)

2  

sin ( α)

2

Hauptnormaleneinheitsvektor

Der Hauptnormaleneinheitsvektor n0 ( t) zeigt also in Richtung des Kreismittelpunktes und ist antiparallel zum Ortsvektor r ( t). Bei einer Kreisbewegung mit einer konstanten Geschwindigkeit v(t) = v ist

d dt

v = 0. Damit ist die

Tangentialkomponente at ( t) der Beschleunigung gleich null (4-32)! 2

§ cos ( ω ˜ t) · 2 ¸ = ω ˜ r ( t) © sin ( ω ˜ t) ¹

an ( t) = a ( t) ˜ n0 ( t) = R ˜ ω ˜ ¨

Kreisradius

R 2˜ m ω  0.5 ˜ s

1

Kreisfrequenz

r ( t) 

§ R ˜ cos ( ω ˜ t) · ¨ ¸ © R ˜ sin ( ω ˜ t) ¹

Ortsvektor der Kreisbahn

v ( t) 

§ R ˜ sin ( ω ˜ t) ˜ ω · ¨ ¸ © R ˜ cos ( ω ˜ t) ˜ ω ¹

Geschwindigkeitsvektor

2

an ( t)  ω ˜ r ( t)

Zentripetalbeschleunigung

t  0 ˜ s 0.01 ˜ s  4 ˜ π ˜ s

Bereichsvariable

t1 

4˜ π 40

Normalkomponente der Beschleunigung (Zentripetalbeschleunigung)

˜ FRAME ˜ s

ª§ 0 ˜ m · º «¨ r ( t) ¸ » «© 1 ¹ » r1 ( t)  «§ 0 ˜ m · » «¨ ¸» ¬© r ( t) 2 ¹ ¼

FRAME von 0 bis 40

Vektorfunktion zur grafischen Darstellung des zeitabhängigen Ortsvektors (ohne Vektorpfeilspitze)

Seite 378

Vektoranalysis

r ( t) 1 ª§ «¨ s «¨ «¨ r ( t) 1 «¨ v ( t) 1  s «© v1 ( t)  «§ r ( t) 2 «¨ s «¨ «¨ r ( t) 2 «¨ v ( t) 2  s ¬©

·º ¸» ¸» ¸» ¸» ¹» ·» ¸» ¸» ¸» ¸» ¹¼

Vektorfunktion zur grafischen Darstellung des zeitabhängigen Geschwindigkeitsvektors (ohne Vektorpfeilspitze)

r ( t) 1 ª§ ·º «¨ ¸» 2 «¨ ¸» s «¨ ¸» «¨ r ( t) 1 ¸» «¨ 2  an ( t) 1 ¸ » ¹» «© s an1 ( t)  «§ r ( t) 2 ·» ¸» «¨ 2 ¸» «¨ s ¸» «¨ «¨ r ( t) 2  a ( t) ¸ » n 2 ¸» «¨ 2 ¬© s ¹¼

Vektorfunktion zur grafischen Darstellung des zeitabhängigen Beschleunigungsvektors (ohne Vektorpfeilspitze)

Kreisbewegung

r( t) 2

2

m



r1 t1 2 m



v1 t1 2

0

m s

Abb. 4.1.16



an1 t1 2 m 2 s

2

2

0 r ( t) 1 m

 1 m

 1

v1 t1

r 1 t1 

2



m s

 1

an1 t1 

m 2 s

Seite 379

Vektoranalysis

Beispiel 4.1.9: Für eine nachfolgend gegebene Raumkurve (t > 0) sollen die Tangential- und Normalkomponenten von Geschwindigkeit und Beschleunigung berechnet werden. t t

Redefinition

§t · ¨ ¸ r ( t)  ¨ t2 ¸ ¨ ¸ ©t ¹

gegebene Raumkurve

Raumkurve

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Streuungsdiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: Linien und Punkte zeichnen Achsen: Teilstriche, automatische Gitterwerte, Achsenformat nummeriert, Beschriftung QuickPlot-Daten: Beginn 0, Ende 1, Schrittweite 20

r Abb. 4.1.17 Für die Geschwindigkeit existiert nur eine Tangentialkomponente:

§¨ 1 ·¸ v ( t) = r ( t) = ¨ 2 ˜ t ¸ dr ¨ 1 ¸ © ¹ d

Geschwindigkeitsvektor

§¨ 1 ·¸ ¨ 2 ˜ t ¸ annehmen t ! 0 o ¨ 1 ¸ © ¹ vt = v ( t) =

2  4˜ t

2

2˜

2

2˜ t  1

Betrag des Geschwindigkeitsvektors

Tangentialkomponente des Geschwindigkeitsvektors

Für die Berechnung des Beschleunigungsvektors gehen wir von folgenden Beziehungen aus: d dt

v0 ( t) =

v ( t) §d · d ˜ n0 ( t ) ¨ v0 ( t) ¸ ˜ s =  κ ( t) ˜ n0 ( t) ˜ v( t) = κ ( t) ˜ v( t) ˜ n0 ( t) = ρ ( t) © ds ¹ dt

a ( t ) = at ˜ v0 ( t)  an ˜ n0 ( t) =

§ v ( t) · ˜ n ( t) = d v( t) 2 v ( t) ˜ v0 ( t)  v ( t) ˜ ¨ ˜ v0 ( t)  κ ( t) ˜ v ( t) ˜ n0 ( t) ¸ 0 © ρ ( t) ¹ dt dt d

Seite 380

Vektoranalysis

1

at = a ( t ) =

d dt

v ( t) =

d dt

2

2  4˜ t =

1 2



˜ 2  4˜ t

2



2

˜ 8˜ t =

2  4˜t

§¨ 1 ·¸ §¨ 0 ·¸ §¨ 2 ¸· 2 o o d d  ¨2 ˜ t ¸ u ¨2 ¸ ¨0 ¸ r ( t) r ( t) u 2 ¨ ¸ ¨ ¸ ¨2 ¸ dt dt © 1 ¹ ©0 ¹ = © ¹ κ= = 3 3 § d o · § 2  4 ˜ t 2· © ¹ ¨ r ( t) ¸ 2 © dt ¹ 2  4˜ t



2˜

2

an = κ ( t) ˜ v ( t) =

2 3

2  4 ˜ t 2



˜ 2  4˜ t

4˜ t

2

2˜

=

3

2˜

2

Krümmung der Kurve 3

2  2  4 ˜ t2 2

2

2  4˜ t

2

=

Tangentialkomponente 2

Normalkomponente der Beschleunigung

2

Beispiel 4.1.10: Die Bahnkurve einer Ellipse ist durch den nachfolgenden Ortsvektor gegeben. Bestimmen Sie die Krümmung und den Krümmungsradius dieser Kurve.

r ( t) =

§ a ˜ cos ( t) · ¨ ¸ © b ˜ sin ( t) ¹

Mit xt =

d dt

gegebener Ortsvektor (0 d t d 2 S

x ( t) , yt =

d dt

2

y ( t) , xtt =

d

dt

2

x ( t) und ytt = 2

§ xt · § xtt · ¨ ¸ ¨ ¸ 2  o  o ¨ yt ¸ u ¨ ytt ¸ d d r ( t) r ( t) u ¨ ¸ ¨ ¸ 2 dt dt ©0 ¹ © 0 ¹ = κ ( t) = = 3 3 § d o · 2 ¨ r ( t) ¸ § x 2  y 2· © dt ¹ t ¹ © t

d

dt

2

x ( t) erhalten wir für die Krümmung:

0 § · ¨ ¸ 0 ¨ ¸ ¨x ˜ y  y ˜ x ¸ © t tt t tt ¹ 3

§ x 2  y 2· t ¹ © t

2

Damit gilt für die Krümmung einer ebenen Kurve:

κ ( t) =

xt ˜ ytt  yt ˜ xtt 3

§ x 2  y 2· t ¹ © t

2

xt = a ˜ sin ( t )

xtt = a ˜ cos ( t )

yt = b ˜ cos ( t )

ytt = b ˜ sin ( t )

Ableitungen der Parametergleichungen

Seite 381

Vektoranalysis

κ ( t) =

( a ˜ sin ( t ) ) ˜ ( b ˜ sin ( t ) )  ( b ˜ cos ( t ) ) ˜ ( a ˜ cos ( t) ) 3

a2 ˜ sin (t)2  b2 ˜ cos (t)2

ergibt

κ ( t) =

2

a ˜ b ˜ cos(t)2  a ˜ b ˜ sin (t)2 3

a2 ˜ sin (t)2  b2 ˜ cos (t)2

vereinfacht auf a˜ b

κ ( t) =

Krümmung der Kurve

3

a2 ˜ sin (t)2  b2 ˜ cos (t)2

2

3

ρ ( t) =

1 κ ( t)

2 2 2 2 2  a ˜ sin ( t )  b ˜ cos ( t ) =

a 3

b 2

r ( t) 

§ a ˜ cos ( t) · ¨ ¸ © b ˜ sin ( t) ¹

a˜ b

gewählte Halbachsen der Ellipse Ortsvektor

a˜ b

κ ( t) 

Krümmungsradius der Kurve

Krümmungsfunktion

3

a2 ˜ sin (t)2  b2 ˜ cos(t)2

2

Bereichsvariable

t  0 0.001  2 ˜ π Ellipse in Hauptlage 2 1 r( t) 2

4

2

0

2

4

Abb. 4.1.18

1 2 r( t) 1

Krümmungsfunktion 0.8 0.6 κ( t)

Abb. 4.1.19

0.4 0.2

0

2

4

6

t

Seite 382

8

2

Vektoranalysis

4.2 Flächen im Raum 4.2.1 Vektorielle Darstellung einer Fläche Flächen im Raum lassen sich auch durch Ortsvektoren beschreiben, die von zwei reellen Parametern u und v abhängen:

§ x ( u v) o o o  o ¨ r ( u v) = x ( u v) ˜ ex  y ( u v) ˜ ey  z ( u v) ˜ ez = ¨ y ( u v)

·¸ ¸ ¨ z ( u v) ¸ © ¹

(4-40)

Die Fläche wird dabei von einem Netz von Parameterkurven (Gitterlinien oder Koordinatenlinien) durchzogen. Wir nennen sie kurz u-Linien und v-Linien (Abb. 4.2.1). Längs einer solchen Linie ist jeweils einer der beiden Parameter konstant, d. h., die Parameterkurven hängen nur noch von einem Parameter ab:  o r ( u v = const) ... u-Linien  o r ( u = const v) ... v-Linien

(4-41)

Da längs einer u-Linie der Parameter v konstant bleibt und längs einer v-Linie der Parameter u konstant bleibt, erhalten wir analog wie nach (4-6) die Tangentenvektoren aus (Abb. 4.2.1): o w o w o w o w  o tu = r ( u v) = x ( u v) ˜ ex  y ( u v) ˜ ey  z ( u v) ˜ ez wu wu wu wu o w o w o w o w  o tv = r ( u v) = x ( u v) ˜ ex  y ( u v) ˜ ey  z ( u v) ˜ ez wv wv wv wv

(4-42) (4-43)

Hier sind wegen der Abhängigkeit des Ortsvektors von u und v formal die partiellen Ableitungen zu verwenden. Es wird hier vorausgesetzt, dass sie existieren.

Abb. 4.2.1

Seite 383

Vektoranalysis

o Die Tangentialebene in einem Flächenpunkt P(x0 |y0 |z 0 ) der Fläche r ( u v) wird dabei von den beiden o o o o Tangentenvektoren tu und tv aufgespannt, wenn die Bedingung tu u tv z 0 erfüllt ist. o o Unter dieser Voraussetzung steht das Vektorprodukt tu u tv senkrecht auf der Tangentialebene. Durch Normierung dieses Vektorproduktes erhalten wir den Normaleneinheitsvektor der Fläche, der auch o  Flächennormale n0 genannt wird: o o tu u tv o  n0 = o o tu u tv

(4-44)

o Ist r ( u v) der Ortsvektor eines beliebigen Punktes Q der Tangentialebene, so liegt nach Abb. 4.2.1 o o o o   der Vektor PQ = r  r0 in dieser Ebene und steht damit senkrecht zur Flächenormale n0 im Flächenpunkt P. Das Skalarprodukt dieser Vektoren verschwindet also und bildet daher die Gleichung der Tangentialebene an diese Fläche mit dem festen Flächenpunkt P(x0 |y0 |z 0 ): o o o  n0 ˜ § r  r0· = 0 © ¹

(4-45)

o  o Die Flächennormale n0 steht in einem Punkt P der Fläche r ( u v) auf dem Flächenelement dA senkrecht. Das Flächenelement dA lässt sich daher mithilfe der Differentiale du und dv der beiden Flächenparameter in folgender Form darstellen: o o dA = t u u tv ˜ du ˜ dv

(4-46)

Beispiel 4.2.1: Durch den nachfolgend gegebenen Ortsvektor wird die Mantelfläche eines Rotationsparapoloids beschrieben, die durch die Rotation der Normalparabel um die z-Achse entstanden ist. Wie lautet die Gleichung der Tangentialebene im Flächenpunkt P mit den Parameterwerten u = 1 und v = 1?

§ u · ¨ ¸ v r ( u v)  ¨ ¸ ¨ 2 2¸ ©u  v ¹

gegebener Ortsvektor

Tangentenvektoren des Flächenpunktes P(1 | 1 | 2):

§¨ 1 ·¸ tu ( u v) = r ( u v) = ¨ 0 ¸ wu ¨2 ˜ u ¸ © ¹

§¨ 1 ·¸ tu ( u v)  ¨ 0 ¸ ¨2 ˜ u ¸ © ¹

§¨ 0 ·¸ tv ( u v) = r ( u v) = ¨ 1 ¸ wv ¨2 ˜ v ¸ © ¹

§¨ 0 ·¸ tv ( u v)  ¨ 1 ¸ ¨2 ˜ v¸ © ¹

w

w

Seite 384

tu ( 1 1)

§¨ 1 ·¸ ¨0 ¸ ¨2 ¸ © ¹

tv ( 1 1)

§¨ 0 ·¸ ¨1 ¸ ¨2 ¸ © ¹

Vektoranalysis

Vektorprodukt der Tangentenvektoren und Normaleneinheitsvektor:

tu ( 1 1) u tv ( 1 1)

n0 

§¨ 2 ·¸ ¨ 2 ¸ ¨1 ¸ © ¹

tu ( 1 1) u tv ( 1 1)

T

§ 2 2 1 · ¸ © 3 3 3¹

n0 o ¨ 

tu ( 1 1) u tv ( 1 1)

Gleichung der Tangentialebene im Punkt P:

ª«§¨ x ·¸ §¨ 1 ·¸º» n0 ˜ «¨ y ¸  ¨ 1 ¸» = 0 «¨ z ¸ ¨ 2 ¸» ¬© ¹ © ¹¼ §¨ 2 ·¸ ª«§¨ x ·¸ §¨ 1 ·¸º» ˜ ¨ 2 ¸ ˜ «¨ y ¸  ¨ 1 ¸» = 0 3 ¨ ¸ «¨ ¸ ¨ ¸» © 1 ¹ ¬© z ¹ © 2 ¹¼ 1

vereinfacht auf

 z 3



 2˜ y 3



 2˜ x 3



2 3

=0

Die Gleichung für die Tangentialebene kann noch durch Multiplikation mit 3 vereinfacht werden: 2 ˜ x  2 ˜ y  1 ˜ z  2 = 0 bzw. z ( x y)  2 ˜ x  2 ˜ y  2

Rotationsparaboloid

r z Abb. 4.2.2

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: keine Füllung, Drahtmodell, Volltonfarbe Achsen: automatische Gitterwerte, Achsenformat nummeriert, Beschriftung QuickPlot-Daten: Bereich 1: Beginn -50, Ende 50, Schrittweite 20 Bereich 2: Beginn -50, Ende 50, Schrittweite 20 Diagramm 2: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: keine Füllung, Drahtmodell, Volltonfarbe Achsen: automatische Gitterwerte, Achsenformat nummeriert, Beschriftung QuickPlot-Daten: Bereich1: Beginn -100, Ende 100, Schrittweite 20 Bereich2: Beginn -100, Ende 100, Schrittweite 20

Seite 385

Vektoranalysis

Flächen im Raum werden auch häufig durch die Funktion z = f(x,y) dargestellt. Ein beliebiger Punkt P auf einer solchen Fläche besitzt dann die Koordinaten P(x,y,z = f(x,y)). Damit kann jeder Punkt einer solchen Fläche durch Ortsvektoren beschrieben werden, die von den reellen Parametern x und y abhängen: o o o o  r ( x y) = x ˜ ex  y ˜ ey  f ( x y) ˜ ez =

§¨ x ·¸ ¨ y ¸ ¨ f ( x y) ¸ © ¹

(4-47)

Die Fläche wird dabei auch von einem Netz von Parameterkurven (Gitterlinien oder Koordinatenlinien) durchzogen. Wir nennen sie kurz x-Linien und y-Linien. Längs einer solchen Linie ist jeweils einer der beiden Parameter konstant, d. h., die Parameterkurven hängen nur noch von einem Parameter ab: o  r ( x y = const) ... x-Linien o  r ( x = const y) ... y-Linien

(4-48)

Da längs einer x-Linie der Parameter y konstant bleibt und längs einer y-Linie der Parameter x konstant bleibt, erhalten wir analog wie nach (4-42) und (4-43) die Tangentenvektoren:

o w o tx = r ( x y) wx

o w o ty = r ( x y) wy

§ 1 · ¨ ¸ § 1 · 0 ¨ ¸=¨ 0 ¸ = ¸ ¨w ¸ ¨ ¨ ¨ f ( x y) ¸ © fx( x y) ¸¹ © wx ¹ 0 § · ¨ ¸ § 0 · 1 ¨ ¸=¨ 1 ¸ = ¸ ¨w ¸ ¨ ¨ ¨ f ( x y) ¸ © fy( x y) ¸¹ © wy ¹

(4-49)

(4-50)

o Die Tangentialebene in einem Flächenpunkt P(x0 |y0 |z 0 ) der Fläche r ( x y) wird auch hier von den beiden o o o o Tangentenvektoren tx und ty aufgespannt, wenn die Bedingung tx u ty z 0 erfüllt ist. o o Unter dieser Voraussetzung steht, wie bereits erwähnt, das Vektorprodukt tx u ty senkrecht auf der Tangentialebene. Durch Normierung dieses Vektorproduktes erhalten wir den Normaleneinheitsvektor o  der Fläche, der auch Flächennormale n0 genannt wird:

§ 1 · ¨ ¸ 0 ¨ ¸u o o ¨ tu u tv fx ( x y) ¸ o  © ¹ n0 = o o = § 1 · tu u tv ¨ ¸ ¨ 0 ¸u ¨ f ( x y) ¸ ©x ¹

§ 0 · ¨ ¸ ¨ 1 ¸ ¨ f ( x y) ¸ ©y ¹ = § 0 · ¨ ¸ ¨ 1 ¸ ¨ f ( x y) ¸ ©y ¹

§ fx ( x y) · ¨ ¸ 1 ˜ ¨ fy ( x y) ¸ 2 2 ¸ fx ( x y)  fy ( x y)  1 ¨ © 1 ¹

Seite 386

(4-51)

Vektoranalysis

o Die Tangentialebene im Flächenpunkt P(x |y |z ) ergibt sich mit dem Ortsvektor r0 nach der 0 0 0 Vektorgleichung:

o o o  n0 ˜ § r  r0· = 0 © ¹

§ fx x0 y0 · §¨ x  ¨ ¸ bzw. ¨ fy  x0 y0 ¸ ˜ ¨ y  ¨ ¸ ¨ 1 © ¹ ¨© z 

x0 · ¸

y0 ¸ = 0

(4-52)

¸ z0 ¸ ¹

Die partiellen Ableitungen sind im fest vorgegebenen Flächenpunkt P zu bilden. Der Normierungso  faktor von n0 kann hier weggelassen werden. Bilden wir das Skalarprodukt auf der linken Seite der Vektorgleichung (4-52), so erhalten wir die Gleichung für die Tangentialebene in der impliziten Form















fx x0 y0 ˜ x  x0  fy x0 y0 ˜ y  y0  z  z 0 = 0

(4-53)

Lösen wir die implizite Gleichung nach z auf, so erhalten wir die Gleichung für die Tangentialebene in expliziter Form













z = fx x0 y0 ˜ x  x0  fy x0 y0 ˜ y  y0  z 0

(4-54)

Das Flächenelement dA lässt sich hier in den kartesischen Flächenparametern x und y ausdrücken: o o dA = t x u ty ˜ dx ˜ dy =

2

2

fx ( x y)  fy ( x y)  1 ˜ dx ˜ dy

(4-55)

Beispiel 4.2.2: Die Fläche z = f(x,y) = x e x y kann durch den nachfolgend gegebenen Ortsvektor beschrieben werden. Wie lautet die Gleichung der Tangentialebene im Flächenpunkt P mit den Parameterwerten x = 1 und y = 0?

§ x · ¨ ¸ r ( x y)  ¨ y ¸ ¨ x˜y ¸ ©x ˜ e ¹

gegebener Ortsvektor

Tangentenvektoren des Flächenpunktes P(1 | 0 | 1): 1 · § ¨ ¸ 0 tx ( x y) = r ( x y) = ¨ ¸ wx ¨ x˜y x˜y ¸ ©e  x ˜ y ˜ e ¹

1 · § ¨ ¸ 0 tx ( x y)  ¨ ¸ ¨ x˜y x˜y ¸ ©e  x ˜ y˜ e ¹

0 · § ¨ ¸ w 1 ty ( x y) = r ( x y) = ¨ ¸ wy ¨ x˜y ¸ ©x ˜ x ˜ e ¹

0 · § ¨ ¸ 1 ty ( x y)  ¨ ¸ ¨ x˜y ¸ ©x ˜ x ˜ e ¹

w

Seite 387

tx ( 1 0)

§¨ 1 ·¸ ¨0 ¸ ¨1 ¸ © ¹

ty ( 1 0)

§¨ 0 ·¸ ¨1 ¸ ¨1 ¸ © ¹

Vektoranalysis

Vektorprodukt der Tangentenvektoren und Normaleneinheitsvektor:

tx ( 1 0) u ty ( 1 0)

n0 

§¨ 1 ·¸ ¨ 1 ¸ ¨1 ¸ © ¹

tx ( 1 0) u ty ( 1 0) tx ( 1 0) u ty ( 1 0)

T

§ ©

n0 o ¨ 

3 3



· ¸ 3 ¹

3

3

3

Gleichung der Tangentialebene im Punkt P:

ª«§¨ x ·¸ §¨ 1 ·¸º» n0 ˜ «¨ y ¸  ¨ 0 ¸» = 0 «¨ z ¸ ¨ 1 ¸» ¬© ¹ © ¹¼ 1

§¨ 1 ·¸ ª«§¨ x ·¸ §¨ 1 ·¸º» ˜ ¨ 1 ¸ ˜ «¨ y ¸  ¨ 0 ¸» = 0 3 ¨ ¸ «¨ ¸ ¨ ¸» © 1 ¹ ¬© z ¹ © 1 ¹¼

3

2

vereinfacht auf

 3˜ z 3



 3˜ y 3

Die Gleichung für die Tangentialebene kann noch durch Division von x  y  z = 0



3 3

 3˜ x 3

=0

vereinfacht werden:

bzw. z ( x y)  x  y

r z Abb. 4.2.3

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: keine Füllung, Drahtmodell, Volltonfarbe Achsen: automatische Gitterwerte, Achsenformat nummeriert, Beschriftung QuickPlot-Daten: Bereich 1: Beginn -1.5, Ende 1.5, Schrittweite 20 Bereich 2: Beginn -1.5, Ende 1.5, Schrittweite 20 Diagramm 2: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: Fläche füllen, Volltonfarbe, keine Linien Achsen: automatische Gitterwerte, Achsenformat nummeriert, Beschriftung QuickPlot-Daten: Bereich 1: Beginn -1, Ende 1, Schrittweite 20 Bereich 2: Beginn -1, Ende 1, Schrittweite 20

Seite 388

Vektoranalysis

4.2.2 Kurven auf Flächen Die Flächenparameter u und v können auch Funktionen einer Variablen t sein, also u = u ( t) und v = v ( t )

(4-56)

Der Ortsvektor, der letztlich nur mehr von t abhängig ist

§ x ( u ( t) v ( t) ) o  o ¨  r ( u ( t ) v ( t) ) = r ( t) = ¨ y ( u ( t) v ( t) )

·¸ ¸ ¨ z ( u ( t) v( t) ) ¸ © ¹

(4-57)

o beschreibt eine auf der Fläche r ( u v) verlaufende Kurve, die auch Flächenkurve genannt wird. Der zum Parameter t gehörige Punkt P der Flächenkurve besitzt dann (durch Anwendung der Kettenregel) folgenden Tangentenvektor: o w o d o d o d d w o d r ( t) = r ( u v) ˜ u ( t )  r ( u v) ˜ v ( t) = tu ˜ u ( t )  tv ˜ v ( t) dt wu dt wv dt dt dt

(4-58)

o d o d o d r ( t) = u ( t) ˜ tu  v( t) ˜ tv dt dt dt o o Die Vektoren tu und tv sind die Tangentenvektoren an die durch den Kurvenpunkt P(u(t)|v(t)) gehenden Parameterlinien der Fläche.

Beispiel 4.2.3: Geladene Teilchen, die schräg in ein homogenes Magnetfeld eintreten, bewegen sich auf der Mantelfläche eines Zylinders, der durch den nachfolgend gegebenen Ortsvektor beschrieben wird. Die Flächenparameter u und v sind dabei wie folgt von der Zeit abhängig: u(t) = Z t; v(t) = c t. Wie lautet der Tangentenvektor dieser Flächenkurve?

§¨ R ˜ cos ( u) ·¸ r ( u v) = ¨ R ˜ sin ( u) ¸ ¨ ¸ v © ¹

Ortsvektor

§¨ R ˜ sin ( u) ·¸ tu = r ( u v) = ¨ R ˜ cos ( u) ¸ wu ¨ ¸ 0 © ¹

§¨ 0 ·¸ tv = r ( u v) = ¨ 0 ¸ wv ¨1 ¸ © ¹

w

d dt

u ( t) = ω

d dt

v( t) = c

w

Tangentenvektoren

Ableitungen der Parameter

§¨ R ˜ sin ( ω ˜ t) ·¸ §¨ 0 ·¸ §¨ R ˜ ω ˜ sin ( ω ˜ t) ·¸ r ( t) = u ( t ) ˜ tu  v ( t) ˜ tv = ω ˜ ¨ R ˜ cos ( ω ˜ t ) ¸  c ˜ ¨ 0 ¸ = ¨ R ˜ ω ˜ cos ( ω ˜ t) ¸ dt dt dt ¨ ¸ ¨1 ¸ ¨ ¸ c 0 © ¹ © ¹ © ¹ d

d

d

Dieses Ergebnis stimmt mit dem Ergebnis in Beispiel 4.1.6 überein.

Seite 389

Vektoranalysis

gewählter Radius der Bahnkurve

R  10 ˜ cm ω 3˜ π˜ s c  50 ˜

1

cm s

§¨ R ˜ cos ( u) ·¸ r ( u v)  ¨ R ˜ sin ( u) ¸ ¨ ¸ v © ¹ §¨ R ˜ cos ( ω ˜ t) ·¸ r1 ( t)  ¨ R ˜ sin ( ω ˜ t) ¸ ¨ ¸ c˜t © ¹

gewählte Kreisfrequenz gewählte Konstante

Ortsvektor für die Zylindermantelfläche

Ortsvektor der Flächenkurve

r r1 Abb. 4.2.4 Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: keine Füllung, Drahtmodell Achsen: Teilstriche, automatische Gitterwerte, Achsenformat nummeriert, Beschriftung QuickPlot-Daten: Beginn 0, Ende 6.26, Schrittweite 20

Diagramm 2: Allgemein: Streuungsdiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: Linien, Volltonfarbe QuickPlot-Daten: Beginn 0, Ende 8, Schrittweite 200

Seite 390

Vektoranalysis

4.3 Ebene und räumliche Koordinatensysteme 4.3.1 Zweidimensionale Koordinatensysteme a) Kartesische Koordinaten Die einfachste Wahl einer Basis des 2 führt auf das bekannte kartesische Koordinatensystem. o o Hier wählen wir Einheitsvektoren ex und ey in x- und y-Richtung als Basisvektoren und kommen so zu der bekannten Darstellung eines Vektors (Abb. 4.3.1). o o o §x· r = x ˜ ex  y ˜ ey = ¨ ¸ ©y¹

(4-59)

b) Polarkoordinaten Das zweite häufig verwendete Koordinatensystem ist das Polarkoordinatensystem. Die Polarkoordinaten (r, M) eines Punktes P der Ebene sind hier nicht durch die Projektion auf die o x- und y-Achse gegeben, sondern durch die Länge r des Vektors r und den Winkel M, den er mit der x-Achse einschließt, wobei der Winkel im mathematisch positiven Drehsinn (entgegen dem Uhrzeigersinn) gemessen wird (Abb. 4.3.1 . Zwischen den kartesischen Koordinaten und den Polarkoordinaten besteht dann folgender Zusammenhang: x = r ˜ cos ( φ)

r=

2

2

x y

( r t 0 ; 0 d φ  2 ˜ π)

œ y = r ˜ sin ( φ)

tan ( φ) =

(4-60)

y x

 Der Koordinatenursprung eines Polarkoordinatensystems, auch als Pol bezeichnet, hat die Abstandskoordinate r = 0, die Winkelkoordinate M ist aber unbestimmt. Das Polarkoordinatensystem ist ein krummliniges Koordinatensystem (Abb. 4.3.2), in Mathcad Kreisdiagramm genannt, mit folgenden Koordinatenlinien: r = const. : Konzentrische Kreise um den Koordinatenursprung (M-Linien) M = const.: Vom Koordinatenursprung nach außen laufende Strahlen (r-Linien)

Abb. 4.3.1

Abb. 4.3.2

Seite 391

Vektoranalysis

o o  Als natürliche Basis verwenden wir in Polarkoordinaten die folgende Orthogonalbasis ( er ˜ eφ = 0 ): o o r § cos ( φ) · er = =¨ Tangenteneinheitsvektor an die r-Koordinatenlinie (4-61) ¸ r © sin ( φ) ¹ o § sin ( φ) ·  eφ = ¨ (4-62) Tangenteneinheitsvektor an die M-Koordinatenlinie ¸ © cos ( φ) ¹ o Die Vektoren zeigen jeweils in die Richtung, in der sich r ändert, wenn wir r bzw. M erhöhen (Abb. 4.3.1) im Gegensatz zu den kartesischen Einheitsvektoren. o o o Der Übergang von der kartesischen Basis ex und ey zur Basis in Polarkoordinaten er und φ kann aus Abb. 4.3.1 abgelesen werden: o § cos ( φ) · o o er = cos ( φ) ˜ ex  sin ( φ) ˜ ey = ¨ ¸ © sin ( φ) ¹ o § sin ( φ) · o o  eφ = sin ( φ) ˜ ex  cos ( φ) ˜ ey = ¨ ¸ © cos ( φ) ¹

(4-63)

Der Übergang lässt sich auch durch eine Transformationsmatrix D beschreiben (siehe dazu Abschnitt 3.5.3 Drehmatrix): o

o

§¨ o § · §¨ e ·¸ er ·¸ x § cos ( φ) sin ( φ) · ¨ ex ¸ = ˜ = D ˜ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ o¸ o o ¨ eφ ¸ © sin ( φ) cos ( φ) ¹ ¨ ey ¸ ¨ ey ¸ © ¹ © ¹ © ¹

(4-64)

Die Matrix D ist orthogonal: det ( D) =

§ cos ( φ) sin ( φ) · 2 2 ¨ ¸ = cos ( φ)  sin ( φ) = 1 © sin ( φ) cos ( φ) ¹

(4-65)

Umgekehrt gilt für die Rücktransformation von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten mithilfe der inversen Matrix D -1 : o

§¨ e ·¸ §¨ o ·¸ §¨ o e er ¸· x r § cos ( φ) sin ( φ) · 1 ˜ ¨ ¨o ¸ = ¨ ¸ ˜ ¨ o¸ = D o¸ ¨ ey ¸ © sin ( φ) cos ( φ) ¹ ¨ eφ ¸ ¨ eφ ¸ © ¹ © ¹ © ¹

(4-66)

Für einen beliebigen Vektor o o o a = ax ˜ ex  ay ˜ ey

(4-67)

in kartesischen Koordinaten und einem Vektor o o o  a = ar ˜ er  aφ ˜ eφ

(4-68)

in Polarkoordinaten besteht dann über die Matrix D bzw. D-1 folgender Zusammenhang:

Seite 392

Vektoranalysis

bzw.

§¨ ar ·¸ § cos ( φ) sin ( φ) · §¨ ax ·¸ = ˜ ¨ aφ ¸ ¨© sin ( φ) cos ( φ) ¸¹ ¨ ay ¸ © ¹ © ¹

(4-69)

§¨ ax ·¸ § cos ( φ) sin ( φ) · §¨ ar ·¸ = ˜ ¨ ay ¸ ¨© sin ( φ) cos ( φ) ¸¹ ¨ aφ ¸ © ¹ © ¹

(4-70)

o Ein Vektor a ist an sich unabhängig vom Koordinatensystem. Erst die Komponenten eines Vektors sind von der Wahl des Koordinatensytems abhängig!

Beispiel 4.3.1: Für einen Massenpunkt, der sich auf einer Kreisbahn in der Ebene mit dem Radius R = 2 m gegen den Uhrzeigersinn mit konstanter Winkelgeschwindigkeit Z = 0.5 s -1 bewegt, sollen der Ortsvektor, der Geschwindigkeitsvektor und der Beschleunigungsvektor in Polarkoordinaten dargestellt werden (siehe dazu Beispiel 4.1.8). ORIGIN festlegen

ORIGIN  1 R R

ω ω

t t

Redefinitionen

r ( t) =

§ R ˜ cos ( ω ˜ t) · ¨ ¸ © R ˜ sin ( ω ˜ t) ¹

Ortsvektor der Kreisbahn

v ( t) =

§ R ˜ sin ( ω ˜ t) ˜ ω · ¨ ¸ © R ˜ cos ( ω ˜ t) ˜ ω ¹

Geschwindigkeitsvektor

a ( t) =

§ R ˜ cos ( ω ˜ t) ˜ ω2 · ¨ ¸ ¨ 2 ¸ © R ˜ sin ( ω ˜ t) ˜ ω ¹

Beschleunigungsvektor

Mit M = Z t ergibt sich für die Kreisbahn in Polarkoordinaten die Gleichung: r ( φ) = r ( ω ˜ t) = R

Polarkoordinatengleichung für die Kreisbahn

Die allgemeine Darstellung des Geschwindigkeitsvektors und Beschleunigungsvektors in Polarkoordinaten lautet: v = vr ˜ er  vφ ˜ eφ

a = ar ˜ er  aφ ˜ eφ

Für den Übergang von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten gilt nach (4-69):

§¨ vr ·¸ § cos ( φ) sin ( φ) · §¨ vx ·¸ = ˜ ¨ vφ ¸ ¨© sin ( φ) cos ( φ) ¸¹ ¨ vy ¸ © ¹ © ¹

§¨ ar ¸· § cos ( φ) sin ( φ) · §¨ ax ·¸ = ˜ ¨ aφ ¸ ¨© sin ( φ) cos ( φ) ¸¹ ¨ ay ¸ © ¹ © ¹

§¨ vr ·¸ § cos ( ω ˜ t) sin ( ω ˜ t) · § R ˜ sin ( ω ˜ t) ˜ ω · = ˜ ¨ v ¸ ¨© sin ( ω ˜ t) cos ( ω ˜ t) ¸¹ ¨© R ˜ cos ( ω ˜ t) ˜ ω ¸¹ φ © ¹

vereinfacht auf

Seite 393

§¨ vr ·¸ § 0 · = ¨ v ¸ ¨© R ˜ ω ¸¹ φ © ¹

Vektoranalysis

Der Massenpunkt besitzt also nur eine konstante tangentiale Geschwindigkeitskomponente in Übereinstimmung mit Beispiel 4.1.8:

§ sin ( ω ˜ t) · ¸ © cos ( ω ˜ t) ¹

v ( t) = 0 ˜ er  ω ˜ R ˜ eφ = ω ˜ R ˜ eφ = ω ˜ R ˜ ¨ Für den Beschleunigungsvektor gilt:

§¨ ar ·¸ § cos ( ω ˜ t) sin ( ω ˜ t) · §¨ R ˜ cos ( ω ˜ t) ˜ ω2 ·¸ = ˜ ¨ aφ ¸ ¨© sin ( ω ˜ t) cos ( ω ˜ t) ¸¹ ¨ 2 ¸ © ¹ © R ˜ sin ( ω ˜ t) ˜ ω ¹

vereinfacht auf

§¨ ar ¸· § R ˜ ω2 · ¸ =¨ ¨ aφ ¸ ¨ 0 ¸ ¹ © ¹ ©

Der Massenpunkt besitzt also nur eine konstante radiale Beschleunigungskomponente in Übereinstimmung mit Beispiel 4.1.8 (Zentripetalbeschleunigung): 2

2

2

§ cos ( ω ˜ t) · ¸ © sin ( ω ˜ t) ¹

a ( t) = ar ˜ er  aφ ˜ eφ = R ˜ ω ˜ er  0 ˜ eφ = R ˜ ω ˜ er = R ˜ ω ˜ ¨ Kreisradius

R 2˜ m ω  0.5 ˜ s

1

Kreisfrequenz Kreisbahn in Polarkoordinaten

r ( t)  R 2

§ cos ( ω ˜ t) · ¸ © sin ( ω ˜ t) ¹

a ( t)  R ˜ ω ˜ ¨

Beschleunigungsvektor

k  1  2

Bereichsvariable

t  0 ˜ s 0.01 ˜ s  2 ˜ π ˜ s

Bereichsvariable

t1 

4˜ π 20

˜ FRAME ˜ s

R §¨ 2 ¨ s a1 ( t)  ¨ ¨ R  a ( t) ¨ s2 ©

·¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹

FRAME von 0 bis 20

Vektorfunktion zur grafischen Darstellung des zeitabhängigen Beschleunigungsvektors (ohne Vektorpfeilspitze)

Seite 394

Vektoranalysis

90 3

120

2.75 2.5 2.25

150

30

2 1.75 1.5

r( t) R

60

180

0 Abb. 4.3.3

 k

a1 t1

210

330

240

300 270 t t1 t1

4.3.2 Dreidimensionale Koordinatensysteme 4.3.2.1 Zylinderkoordinaten Bei räumlichen Problemen mit Axial- oder Zylindersymmetrie bzw. Rotationssymmetrie verwenden wir häufig Zylinderkoordinaten. Die Zylinderkoordinaten U, M und z eines Raumpunktes P(x | y | z) bestehen aus den Polarkoordinaten U und M des Projektionspunktes P'(x| y| 0) in der x-y-Ebene und der kartesischen Höhenkoordinate z (Abb. 4.3.4). Zwischen den kartesischen Koordinaten und den Zylinderkoordinaten besteht dann folgender Zusammenhang: x = ρ ˜ cos ( φ) y = ρ ˜ sin ( φ) z=z

ρ= œ

2

2

x y y tan ( φ) = x z=z

( ρ t 0 ; 0 d φ  2 ˜ π ; ∞  z  ∞)

(4-71)

Die Berechnung von M erfolgt mit den nachfolgend in Abb. 4.3.8 angegebenen Beziehungen. Koordinatenflächen entstehen, wenn jeweils eine der drei Zylinderkoordinaten festgehalten wird: U = const.: Zylindermantel M = const.: Halbebene durch die z-Achse z = const.: Parallele Ebene zur x-y-Ebene in der Höhe z Koordinatenlinien entstehen, wenn jeweils zwei der drei Zylinderkoordinaten festgehalten werden: M, z = const.: Halbgerade senkrecht zur z-Achse ( ρ t 0; U-Linie) U , z = const.: Kreis um die z-Achse parallel zur x-y-Ebene (M-Linie) U , z = const.: Mantellinie des Zylinders (z-Linie) Die Koordinatenlinien stehen in jedem Punkt, mit Ausnahme des Koordinatenursprungs, paarweise senkrecht aufeinander. Die Zylinderkoordinaten sind daher wie die kartesischen Koordinaten orthogonale räumliche Koordinaten.

Seite 395

Vektoranalysis

Abb. 4.3.4

Als natürliche Basis verwenden wir in Zylinderkoordinaten die folgende Orthogonalbasis: Tangenteneinheitsvektor an die U-Koordinatenlinie (axial nach außen gerichtet): o § cos ( φ) · ¸  o ρ ¨ eρ = = ¨ sin ( φ) ¸ ρ ¨ ¸ © 0 ¹

(4-72)

Tangenteneinheitsvektor an die M-Koordinatenlinie (tangiert den Kreis U = const. um die z-Achse in der Höhe z):  o eφ =

§¨ sin ( φ) ·¸ ¨ cos ( φ) ¸ ¨ 0 ¸ © ¹

(4-73)

Tangenteneinheitsvektor an die z-Koordinatenlinie (verläuft in der Mantellinie des Zylinders, d. h. parallel zur z-Achse):

§0 ·  o ¨ ¸ ez = ¨ 0 ¸ ¨1 ¸ © ¹

(4-74)

 o  o  o Die Einheitsvekoren eρ und eφ ändern sich von Punkt zu Punkt, der Einheitsvektor ez bleibt dagegen unverändert (Abb. 4.3.4). Sie stehen aber stets senkrecht aufeinander und bilden ein rechtshändiges System ("Rechtsschraubensystem").

Seite 396

Vektoranalysis

   o o o o  o o Der Übergang von der kartesischen Basis ex, ey und ez zur Basis in Zylinderkoordinaten eρ , eφ und ez, kann wie bei ebenen Polarkoordinaten durch eine orthogonale Transformationsmatrix D beschrieben werden (siehe dazu Abschnitt 3.5.3 Drehmatrix um die z-Achse um den Winkel M): o

o o · § §e · §e · e ¨ ρ ¸ § cos ( φ) sin ( φ) 0 · ¨ x ¸ ¨ x¸ ¸ ¨o ¸ ¨ ¨o ¸ o¸ ¨ ¨ eφ ¸ = ¨ sin ( φ) cos ( φ) 0 ¸ ˜ ¨ ey ¸ = D ˜ ¨ ey ¸ ¸ o¸ ¨ ¸ ¨© 0 ¨ ¸ 0 1 ¹ ¨ o o ¨e ¸ ¨e ¸ ¨e ¸ © z¹ © z¹ © z¹

(4-75)

Umgekehrt gilt für die Rücktransformation von Zylinderkoordinaten in kartesische Koordinaten mithilfe der inversen Matrix D-1 : o

o

o

§e · § · § · ¨ x ¸ § cos ( φ) sin ( φ) 0 · ¨ eρ ¸ ¨ eρ ¸ ¸ ¨ ¨o ¸ ¨ o¸ o¸  1 ¨ ¨ ey ¸ = ¨ sin ( φ) cos ( φ) 0 ¸ ˜ ¨ eφ ¸ = D ˜ ¨ eφ ¸ ¸ o¸ ¨ ¸ ¨ 0 ¨ ¸ 0 1¹ ¨ o o ¨e ¸ © ¨e ¸ ¨e ¸ © z¹ © z¹ © z¹

(4-76)

Für einen beliebigen Vektor o o o o  a = ax ˜ ex  ay ˜ ey  az ˜ ez

(4-77)

in kartesischen Koordinaten und einem Vektor o o o o    a = aρ ˜ eρ  aφ ˜ eφ  az ˜ ez

(4-78)

in Zylinderkoordinaten besteht dann über die Matrix D bzw. D-1 folgender Zusammenhang:

§¨ aρ ·¸ § cos ( φ) sin ( φ) 0 · §¨ ax ·¸ ¨ ¸ ¨ a ¸ = ¨ sin ( φ) cos ( φ) 0 ¸ ˜ ¨ a ¸ φ ¨ ¸ ¨ ¨ y¸ ¸ 0 1 ¹ ¨a ¸ ¨© az ¸¹ © 0 © z¹

(4-79)

§¨ ax ·¸ § cos ( φ) sin ( φ) 0 · §¨ aρ ·¸ ¨ ¸ ¨ a ¸ = ¨ sin ( φ) cos ( φ) 0 ¸ ˜ ¨ a ¸ y ¨ ¸ ¨ ¨ φ¸ ¸ 0 1¹ ¨a ¸ ¨© az ¸¹ © 0 © z¹

(4-80)

o Ein Vektor a ist auch hier unabhängig vom Koordinatensystem. Erst die Komponenten des Vektors sind von der Wahl des Koordinatensytems abhängig!

Seite 397

Vektoranalysis

Beispiel 4.3.2: Wie lauten der Geschwindigkeitsvektor und der Beschleunigungsvektor für geladene Teilchen, die schief in ein homogenes Magnetfeld eingeschossen werden (Beispiel 4.1.6) in Zylinderkoordinaten?

§¨ R ˜ cos ( ω ˜ t) ·¸ r ( t) = x ( t) ˜ ex  y ( t) ˜ ey  z ( t) ˜ ez = ¨ R ˜ sin ( ω ˜ t) ¸ ¨ ¸ c˜t © ¹ §d · ¨ x ( t) ¸ ¨ dt ¸ R ˜ ω ˜ sin ( ω ˜ t) · ¨ ¸ §¨ ¸ d d d d v ( t) = x ( t) ˜ ex  y ( t) ˜ ey  z ( t) ˜ ez = ¨ y ( t) ¸ = ¨ R ˜ ω ˜ cos ( ω ˜ t) ¸ dt dt dt ¨ dt ¸ ¨ ¸ c ¹ ¨d ¸ © ¨ z ( t) ¸ © dt ¹ §d · ¨ vx ( t) ¸ ¨ dt ¸ § R ˜ ω2 ˜ cos ( ω ˜ t) · ¨ ¸ ¨ ¸ d d d d 2 a ( t) = vx ( t) ˜ ex  vy ( t) ˜ ey  vz ( t) ˜ ez = ¨ vy ( t) ¸ = ¨ R ˜ ω ˜ sin ( ω ˜ t) ¸ dt dt dt ¨ dt ¸ ¨ ¸ 0 ¨d ¸ © ¹ ¨ vz ( t) ¸ © dt ¹

Vektorfunktion (zeitabhängiger Ortsvektor)

Geschwindigkeitsvektor in kartesischen Koordinaten

Beschleunigungsvektor in kartesischen Koordinaten

Die allgemeine Darstellung des Geschwindigkeitsvektors und Beschleunigungsvektor in Polarkoordinaten lautet: v = vρ ˜ eρ  vφ ˜ eφ  vz ˜ ez

a = aρ ˜ eρ  aφ ˜ eφ  az ˜ ez

Für den Übergang von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten gilt nach (4-79):

§¨ vρ ·¸ § cos ( ω ˜ t) sin ( ω ˜ t) 0 · §¨ vx ·¸ ¨ ¸ ¨ v ¸ = ¨ sin ( ω ˜ t) cos ( ω ˜ t) 0 ¸ ˜ ¨ v ¸ φ ¨ ¸ ¨ ¨ y¸ ¸ 0 0 1 ¹ ¨v ¸ ¨© vz ¸¹ © © z¹

§¨ aρ ¸· § cos ( ω ˜ t) sin ( ω ˜ t) 0 · §¨ ax ·¸ ¨ ¸ ¨ a ¸ = ¨ sin ( ω ˜ t) cos ( ω ˜ t) 0 ¸ ˜ ¨ a ¸ φ ¨ ¸ ¨ ¨ y¸ ¸ 0 0 1 ¹ ¨a ¸ ¨© az ¸¹ © © z¹

§¨ vρ ·¸ § cos ( ω ˜ t) sin ( ω ˜ t) 0 · § R ˜ ω ˜ sin ( ω ˜ t) · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ v ¸ = ¨ sin ( ω ˜ t) cos ( ω ˜ t) 0 ¸ ˜ ¨ R ˜ ω ˜ cos ( ω ˜ t) ¸ ¨ φ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ 0 0 1¹ © c ¨© vz ¸¹ © ¹ vereinfacht auf

§¨ vρ ·¸ § 0 · ¨ ¸ ¨v ¸ = ¨R ˜ ω ¸ φ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨© vz ¸¹ © c ¹ Seite 398

Vektoranalysis

§¨ R ˜ ω ˜ sin ( ω ˜ t) ·¸ v ( t) = 0 ˜ eρ  R ˜ ω ˜ eφ  c ˜ ez = R ˜ ω ˜ eφ  c ˜ ez = ¨ R ˜ ω ˜ cos ( ω ˜ t) ¸ ¨ ¸ c © ¹ Für den Beschleunigungsvektor gilt:

§¨ aρ ·¸ § cos ( ω ˜ t) sin ( ω ˜ t) 0 · § R ˜ ω2 ˜ cos ( ω ˜ t) · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ a ¸ = ¨ sin ( ω ˜ t) cos ( ω ˜ t) 0 ¸ ˜ ¨ 2 φ R ˜ ω ˜ sin ( ω ˜ t) ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ 0 0 1¹ ¨© az ¸¹ © 0 © ¹ vereinfacht auf

§¨ aρ ·¸ § 2 R ˜ ω ·¸ ¨ ¨a ¸ = ¨ ¨ φ ¸ ¨ 0 ¸¸ ¨© az ¸¹ © 0 ¹ §¨ cos ( φ) ·¸ a ( t) = R ˜ ω ˜ eρ  0 ˜ eφ  0 ˜ ez = R ˜ ω ˜ ¨ sin ( φ) ¸ ¨ 0 ¸ © ¹ 2

2

Der Massenpunkt besitzt also nur eine konstante radiale Beschleunigungskomponente. Linien- oder Bogenelement ds in Zylinderkoordinaten: Das Linien- oder Bogenelement, die geradlinige Verbindung zweier differentiell benachbarter Punkte, ist in Zylinderkoordinaten gegeben durch: ds =

2

2

2

dρ  ρ ˜ dφ  dz

2

(4-81)

Das Flächenelement dA auf dem Zylindermantel mit U = const.: Ein Flächenelement dA besitzt, wie nachfolgend in Abb. 4.3.5 angegeben, den Inhalt dA = ρ ˜ dφ ˜ dz

(4-82)

Das Volumselement dV eines Zylinderkörpers: Ein Volumselement dV eines Zylinderkörpers besitzt, wie nachfolgend in Abb. 4.3.6 angegeben, den Inhalt dV = dA ˜ dz = ρ ˜ dρ ˜ dφ ˜ dz

(4-83)

Seite 399

Vektoranalysis

Abb. 4.3.5

Abb. 4.3.6

4.3.2.2 Kugelkoordinaten Bei räumlichen Problemen mit Kugel- oder Radialsymmetrie verwenden wir häufig Kugelkoordinaten. Die Kugelkoordinaten r, - und M eines Raumpunktes P(x | y | z) bestehen aus der Abstandskoordinate r und zwei Winkelkoordinaten - und M (Abb. 4.3.7). Zwischen den kartesischen Koordinaten und den Kugelkoordinaten besteht dann folgender Zusammenhang: x = r ˜ sin ( ϑ) ˜ cos ( φ) y = r ˜ sin ( ϑ) ˜ sin ( φ)

r= œ

2

2

x y z

2

y

sin ( φ) =

2

2

x

cos ( φ) =

2

x y

z = r ˜ cos ( ϑ)

cos ( ϑ) =

z r

x y 2

tan ( ϑ) =

2

tan ( φ) =

(4-84)

( r t 0; 0 d ϑ d π; 0 d φ  2 ˜ π) Für die Umrechnung der Koordinaten M und - gelten die nachfolgenden Beziehungen in Abb. 4.3.8.

Seite 400

x

2

x y z

y

Vektoranalysis

Abb. 4.3.7

Koordinatenflächen entstehen, wenn jeweils eine der drei Kugelkoordinaten festgehalten wird: r = const. : Kugeloberfläche - = const.: Mantelfläche eines Kegels (Kegelspitze im Koordinatenursprung) M = const. : Halbebene durch die z-Achse Koordinatenlinien entstehen, wenn jeweils zwei der drei Kugelkoordinaten festgehalten werden: -, M = const.: Radialer Strahl vom Koordinatenursprung nach außen (r-Linie) r , - = const.: Breitenkreis mit dem Radius r sin(-) (M-Linie) r , M = const.: Längenkreis (--Linie) Die Koordinatenlinien stehen in jedem Punkt, mit Ausnahme des Koordinatenursprungs, paarweise senkrecht aufeinander. Die Kugelkoordinaten sind daher wie die kartesischen Koordinaten und Zylinderkoordinaten orthogonale räumliche Koordinaten.

Seite 401

Vektoranalysis Abb. 4.3.8 Als natürliche Basis verwenden wir in Kugelkoordinaten die folgende Orthogonalbasis: Tangenteneinheitsvektor an die r-Koordinatenlinie (axial nach außen gerichtet; steht senkrecht auf der Kugeloberfläche r = const.): o § sin ( ϑ) ˜ cos ( φ) · ¸ o r ¨ er = = ¨ sin ( ϑ) ˜ sin ( φ) ¸ r ¨ ¸ cos ( ϑ) © ¹

(4-85)

Tangenteneinheitsvektor an die M-Koordinatenlinie (Längenkreis; steht senkrecht auf der Koordinatenfläche - = const., d. h. auf dem Kegelmantel mit dem Öffnungswinkel 2-) o  eϑ =

§¨ cos ( ϑ) ˜ cos ( φ) ·¸ ¨ cos ( ϑ) ˜ sin ( φ) ¸ ¨ ¸ sin ( ϑ) © ¹

(4-86)

Tangenteneinheitsvektor an die M-Koordinatenlinie (Breitenkreis; steht senkrecht auf der Koordinatenfläche M = const.):

ªsin( φ) º» o «  eϕ = « cos ( φ) » « 0 » ¬ ¼

(4-87)

o o o   Die Einheitsvekoren er , eϑ und eφ ändern sich von Punkt zu Punkt (Abb. 4.30). Sie stehen aber stets senkrecht aufeinander und bilden ein rechtshändiges System ("Rechtsschraubensystem"). o o o o  o  Der Übergang von der kartesischen Basis ex , ey und ez zur Basis in Kugelkoordinanten er , eϑ und o  eφ kann durch eine orthogonale Transformationsmatrix D beschrieben werden: o

o · §o §e · §e · e ¨ r ¸ § sin ( ϑ) ˜ cos ( φ) sin ( ϑ) ˜ sin ( φ) cos ( ϑ) · ¨ x ¸ ¨ x¸ ¸ ¨o ¸ ¨ ¨o ¸ o¸ ¨ ¨ eϑ ¸ = ¨ cos ( ϑ) ˜ cos ( φ) cos ( ϑ) ˜ sin ( φ) sin ( ϑ) ¸ ˜ ¨ ey ¸ = D ˜ ¨ ey ¸ ¸ ¨ ¨ ¸ ¨ sin ( φ) ¨ ¸ cos ( φ) 0 o o ¹ ¨ o ¸¸ ¨e ¸ © ¨ ¸ © φ¹ © ez ¹ © ez ¹

(4-88)

Umgekehrt gilt für die Rücktransformation von Kugelkoordinaten in kartesische Koordinaten mithilfe der inversen Matrix D -1 : o

§e · §o §o · · e ¨ x ¸ § sin ( ϑ) ˜ cos ( φ) cos ( ϑ) ˜ cos ( φ) sin ( ϑ) · ¨ r ¸ ¨ er ¸ ¸ ¨ ¨o ¸ ¨ o¸ o¸  1 ¨ sin ( ϑ ) ˜ sin ( φ ) cos ( ϑ ) ˜ sin ( φ ) cos ( φ ) = ¨ ¸ ˜ ¨ eϑ ¸ = D ˜ ¨ eϑ ¸ ¨ ey ¸ ¸ ¨ ¨ ¸ ¨© ¨ ¸ cos ( ϑ) sin ( ϑ) 0 o o ¹ ¨ o ¸¸ ¨e ¸ ¨e ¸ e © z¹ © φ¹ © φ¹

Seite 402

(4-89)

Vektoranalysis

Für einen beliebigen Vektor o o o o  a = ax ˜ ex  ay ˜ ey  az ˜ ez

(4-90)

in kartesischen Koordinaten und einem Vektor o o o o   a = ar ˜ er  aϑ ˜ eϑ  aφ ˜ eφ

(4-91)

in Kugelkoordinaten besteht dann über die Matrix D bzw. D-1 folgender Zusammenhang:

§¨ ar ·¸ § sin ( ϑ) ˜ cos ( φ) sin ( ϑ) ˜ sin ( φ) cos ( ϑ) · §¨ ax ¸· ¨ ¸ ¨ a ¸ = ¨ cos ( ϑ) ˜ cos ( φ) cos ( ϑ) ˜ sin ( φ) sin ( ϑ) ¸ ˜ ¨ a ¸ ϑ ¨ ¸ ¨ ¨ y¸ ¸ cos ( φ) 0 ¨© aφ ¸¹ © sin ( φ) ¹ ¨© az ¸¹

(4-92)

§¨ ax ·¸ § sin ( ϑ) ˜ cos ( φ) cos ( ϑ) ˜ cos ( φ) sin ( φ) · §¨ ar ·¸ ¨ ¸ ¨ a ¸ = ¨ sin ( ϑ) ˜ sin ( φ) cos ( ϑ) ˜ sin ( φ) cos ( φ) ¸ ˜ ¨ a ¸ y ¨ ¸ ¨ ¨ ϑ¸ ¸ cos ( ϑ) sin ( ϑ) 0 ¨© az ¸¹ © ¹ ¨© aφ ¸¹

(4-93)

o ar , aϑ und aφ sind die mit einem Vorzeichen versehenen Projektionen des Vektors a auf die drei o o o   Basisvektoren er , eϑ und eφ . Diese positiven oder negativen skalaren Größen sind die Vektoro koordinaten oder skalaren Vektorkomponenten des Vektors a im Kugelkoordinatensystem. o Ein Vektor a ist auch hier unabhängig vom Koordinatensystem. Erst die Komponenten des Vektors sind von der Wahl des Koordinatensytems abhängig!

Beispiel 4.3.3: Wenn sich ein Massenpunkt auf dem Breitenkreis einer Kugel mit dem Radius r bewegt, so ist die Bahn durch die Angabe der Breitenkoordinate - eindeutig festgelegt. Wie lautet in diesem Falle der Geschwindigkeitsvektor? Die allgemeine Darstellung des Geschwindigkeitsvektors lautet: v = vr ˜ er  vϑ ˜ eϑ  vφ ˜ eφ Für den Übergang von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten gilt nach (4-93):

§¨ vr ·¸ § sin ( ϑ) ˜ cos ( φ) sin ( ϑ) ˜ sin ( φ) cos ( ϑ) · §¨ vx ·¸ ¨ ¸ ¨ v ¸ = ¨ cos ( ϑ) ˜ cos ( φ) cos ( ϑ) ˜ sin ( φ) sin ( ϑ) ¸ ˜ ¨ v ¸ ¨ ϑ¸ ¨ ¨ y¸ ¸ cos ( φ) 0 ¨© vφ ¸¹ © sin ( φ) ¹ ¨© vz ¸¹ Unter Berücksichtigung von

d dt

r = 0 und

d dt

ϑ = 0 , weil auf dem Breitenkreis r und - feste Größen sind,

erhalten wir:

Seite 403

Vektoranalysis

§¨ vx ·¸ ¨v ¸ ¨ y¸ ¨© vz ¸¹

§d · ªd º ¨ x ( t) ¸ « ( r ˜ sin ( ϑ) ˜ cos ( φ) ) » §¨ · d ¨ dt ¸ «dt » ¨ r ˜ sin ( ϑ) ˜ sin ( φ) ˜ dt φ ( t) ¸¸ ¨d ¸ «d » ¨ ¸ = ¨ y ( t) ¸ = « ( r ˜ sin ( ϑ) ˜ sin ( φ) ) » = d ¨ ¨ dt ¸ « dt » ¨ r ˜ sin ( ϑ) ˜ cos ( φ) ˜ dt φ ( t) ¸¸ ¨d ¸ « d » ¨ ¸ ( r ˜ cos ( ϑ) ) 0 ¨ z ( t) ¸ « » © ¹ © dt ¹ ¬ dt ¼

Die Transformationsgleichung lautet somit:

§¨ d ¸· ˜ §¨ vr ·¸ § sin ( ϑ) ˜ cos ( φ) sin ( ϑ) ˜ sin ( φ) cos ( ϑ) · ¨ r ˜ sin ( ϑ) ˜ sin ( φ) dt φ ( t) ¸ ¨ ¸ ¸ ¨ v ¸ = ¨ cos ( ϑ) ˜ cos ( φ) cos ( ϑ) ˜ sin ( φ) sin ( ϑ) ¸ ˜ ¨ ϑ d ¨ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ r ˜ sin ( ϑ) ˜ cos ( φ) ˜ dt φ ( t) ¸¸ cos ( φ) 0 ¨© vφ ¸¹ © sin ( φ) ¹ ¨ ¸ 0 © ¹ vereinfacht auf 0 · §¨ vr ·¸ §¨ ¸ 0 ¸ ¨v ¸ = ¨ ¸ ¨ ϑ¸ ¨ d ¨© vφ ¸¹ ¨ r ˜ φ ( t) ˜ sin ( ϑ) ¸ © dt ¹ v ( t) = r ˜ sin ( ϑ) ˜

d dt

φ ( t) ˜ eφ

Mit Z = const. und M = Z t erhalten wir das bereits bekannte Ergebnis: v ( t) = r ˜ sin ( ϑ) ˜ ω ˜ eφ = R ˜ ω ˜ eφ

(R = r sin(-) ... Radius des Breitenkreises)

Linien- oder Bogenelement ds in Kugelkoordinaten: Das Linien- oder Bogenelement, die geradlinige Verbindung zweier differentiell benachbarter Punkte, ist in Kugelkoordinaten gegeben durch: ds =

2

2

2

2

2

2

dr  r ˜ dϑ  r ˜ sin ( ϑ) ˜ dφ

(4-94)

Das Flächenelement dA auf der Kugeloberfläche mit r = const.: Ein Flächenelement dA besitzt nach Abb. 4.3.9 den Inhalt 2

dA = r ˜ sin ( ϑ) ˜ dϑ ˜ dφ

(4-95)

Das Volumselement dV eines Kugelkörpers: Ein Volumselement dV eines Kugelkörpers besitzt nach Abb. 4.3.9 den Inhalt 2

dV = dA ˜ dr = r ˜ sin ( ϑ) ˜ dr ˜ dϑ ˜ dφ

(4-96)

Seite 404

Vektoranalysis

Abb. 4.3.9

4.4 Skalar- und Vektorfelder Eine physikalische Größe, die eine Funktion des Ortes ist, wird als Feld bezeichnet. Der Begriff des Feldes stellt ein fundamentales Konzept in der Physik dar. Wir unterscheiden zwischen Skalarfeldern und Vektorfeldern als die einfachsten Sonderfälle des allgemeinen Begriffs des Tensorfeldes.

4.4.1 Skalarfelder o Ein Skalarfeld f r ist eine skalarwertige (reellwertige) Funktion. Dabei wird jedem Raumpunkt o r = ( x y z ) eine Zahl (Skalar) zugeordnet. o f: G o , Gebiet G 3 , (x,y,z) |o f r = f ( x y z )heißt stationäres Skalarfeld. Beispiele für stationäre Skalarfelder sind z. B. Druckfelder (Druckverteilungen), Potentialfelder (Potential eines elektrostatischen Feldes), Ladungsdichtefelder (Ladungsdichte einer kontinuierlichen Ladungsverteilung) usw. o  3 f: G x T o , Gebiet G  , T = [t , t ] , (x,y,z) |o f r = f ( x y z t)heißt instationäres





1



2

Skalarfeld. Als Beispiel kann hier ein Temperaturfeld (Temperaturverteilung eines Körpers oder in einem Raum) genannt werden. Skalarfelder können stetig oder stetig differenzierbar sein. Nachfolgend werden nur stationäre, d. h. zeitunabhängige Skalarfelder besprochen. Abb. 4.4.1 zeigt einen Ausschnitt des skalaren Feldes f(x,y,z) = x + y + z. Wenn die Funktionswerte nur von dem senkrechten Abstand U von einer Achse abhängen, heißt f(U) axiales Feld. Wenn die Werte der Funktion f nur von dem Abstand r von einem Zentrum abhängen, heißt f(r) ein zentrales Feld. Den Verlauf skalarer Felder im Raum können wir durch Niveauflächen veranschaulichen (z. B. o Äquipotentialflächen). Dies sind die Flächen im Raum, auf denen f( r ) = f(x, y, z) konstante Werte besitzt. Sie werden bestimmt durch { ( x, y, z ) | f(x,y,z) = const. }.

Seite 405

Vektoranalysis

In einem axialsymmetrischen Feld bilden die Oberflächen von Kreiszylindern um die z-Achse Niveauflächen (z. B. Äquipotentialflächen eines geladenen Zylinders). In einem zentralsymmetrischen Feld bilden die Oberflächen von Kugeln um den Koordinatenursprung Niveauflächen (z. B. Äquipotentialflächen einer Punktladung). In Zylinderkoordinaten bzw. Kugelkoordinaten ist ein Skalarfeld gegeben durch f(U,M,z) bzw. f(r,-, M). In einem ebenen skalaren Feld, z. B. im Feld f(x,y,0), das in der x-y-Ebene liegt, bezeichnen wir als Niveaulinien die Kurven, auf denen f konstant bleibt. Diese Linien, auf denen Punkte gleichen Drucks, Potentials usw. liegen, heißen Isobaren, Äquipotentiallinien usw. In Polarkoordinaten ist ein Skalarfeld gegeben durch f(r,M). Oft ist es üblich, nur die Niveaulinien einzuzeichnen, die gewissen gleichmäßig aufeinanderfolgenden Funktionswerten entsprechen. Je enger diese so gezeichneten Niveaulinien liegen, umso stärker ist das Wachstum von f (denken wir z. B. dabei an die Höhenlinien in geographischen Karten).

Abb. 4.4.1 Beispiel 4.4.1: o c Wir betrachten die Funktion f r = = r



c 2

2

x y z

2

. Grafisch stellen wir solche Felder durch

o zwei-dimensionale Schnitte dar, in denen die Flächen f r = const als sogenannte Niveaulinien (Höhenlinien) erscheinen. Der Abstand der Linien entspricht dabei gleichen Wertunterschieden der Konstanten.



Abb. 4.4.2

Seite 406

Vektoranalysis

4.4.2 Vektorfelder o Von einem Skalarfeld unterscheidet sich ein Vektorfeld. Hier wird jedem Punkt r = ( x y z ) eines Raumbereichs die Menge von durch Richtung und Betrag gekennzeichneten Vektoren oo o o o T F r = § Fx r Fy r Fz r · zugeordnet.



©

   ¹

Es handelt sich also um eine vektorwertige Funktion. o oo o F : G o 3 , Gebiet G 3 , (x,y,z) o F r = F( x y z )



§¨ Fx( x y z) oo o o o  o F r = F( x y z ) = Fx ( x y z ) ˜ ex  Fy ( x y z ) ˜ ey  Fz ( x y z ) ˜ ez = ¨ Fy ( x y z ) ¨

·¸ ¸ ¸ ¨© Fz ( x y z ) ¸¹



heißt stationäres Vektorfeld. Für eine physikalische Größe mit Vektorcharakter gilt für jeden regulären Raumpunkt immer nur ein Vektor. Ausnahmen bilden Quellen und Senken, welche irreguläre Punkte darstellen. Beispiele für stationäre Vektorfelder sind z. B. Kraftfelder (Gravitationsfeld), Geschwindigkeitsfelder usw. o oo o  3 3 F: G x T o  , Gebiet G  , T = [t , t ] , (x,y,z,t) o F r = F( x y z t)heißt instationäres 1



2

Vektorfeld. Als Beispiele können hier z. B. zeitabhängige elektrische und magnetische Felder genannt werden. Vektorfelder können stetig oder stetig differenzierbar sein. Nachfolgend werden nur stationäre, d. h. zeitunabhängige Vektorfelder besprochen. Abb. 4.4.3 zeigt oo o T einen Ausschnitt des Vektorfeldes F r = F( x y z ) = ( 0 x  z 0) .



Zur Veranschaulichung von Vektorfeldern benutzen wir Feldlinien (Stromlinien). Diese sind Kurven, oo bei denen gemäß Abb. 4.4.3 in jedem Punkt P der Feldvektor F r ein Tangentenvektor ist. Durch oo jeden Punkt P des Feldes geht eine Feldlinie (Abb. 4.4.4). Außer in den Punkten, in denen F r nicht oo definiert ist oder F r = 0 ist, schneiden die Feldlinien einander nicht. Die Gesamtheit der Feldlinien (durch eine Fläche) bezeichnen wir als den Fluss des Vektorfeldes.





Abb. 4.4.3

Seite 407



Vektoranalysis

Abb. 4.4.4

Die Feldlinien lassen sich aus der Bedingung oo oo o o do o F r u r = 0 oder F r u dr = 0 (4-97) dt oo do bestimmen, weil der Feldvektor F r stets zum Tangentenvektor r der Feldlinie verläuft. Das dt o differentielle Wegelement dr liegt ebenfalls in der Kurventangente.







Spezielle Vektorfelder: a) Ebene Vektorfelder: oo oo F r hängt nicht von z ab, die Vektoren F r liegen in der x-y-Ebene oder parallel dazu. Dieses Vektorfeld ist also im gesamten Raum definiert. Häufig betrachten wir es aber nur in der x-y-Ebene:





o o o § Fx ( x y) · ¨ ¸ F( x y) = Fx ( x y) ˜ ex  Fy ( x y) ˜ ey = ¨ Fy( x y) ¸ © ¹

(4-98)

In ebenen Polarkoordinaten erhalten wir dann die Darstellung o o  o F( r φ) = Fr ( r φ) ˜ er  Fφ ( r φ) ˜ eφ

(4-99)

Beispiel 4.4.2: Die Feldlinien des nachfolgend gegebenen Vektorfeldes sind radial nach innen gerichtet (Abb. 4.4.5). o o o o F( x y) = x ˜ ex  y ˜ ey = r

o ( r t R)

Die Feldlinien des nachfolgend gegebenen Vektorfeldes sind radial nach außen gerichtet (Abb. 4.4.6). o o o o F( x y) = x ˜ ex  y ˜ ey = r

o ( r t R)

Seite 408

Vektoranalysis

Abb. 4.4.5

Abb. 4.4.6

Beispiel 4.4.3: In der Umgebung eines stromdurchflossenen Leiters mit dem senkrechten Abstand r vom Leiter und einer Stromstärke I in z-Richtung lässt sich das Magnetfeld durch den nachfolgend gegebenen magnetischen Feldstärkevektor beschreiben. Zeigen Sie, dass die ringförmig in der x-y-Ebene verlaufenden Feldlinien konzentrische Kreise darstellen. o H( x y) =

§¨ y ·¸ ˜¨x ¸ 2 2˜ π˜ r ¨ 0 ¸ © ¹ I

magnetischer Feldstärkevektor

Die Feldlinien müssen nach (4-97) die folgende Bedingung erfüllen: o o o H( x y) u dr = 0

ª« I « « 2 ˜ π ˜ r2 ¬

§¨ y ·¸º» ˜ ¨ x ¸» u ¨ 0 ¸» © ¹¼

§¨ dx ·¸ §¨ 0 ·¸ ¨ dy ¸ = ¨ 0 ¸ ¨ 0 ¸ ¨0 ¸ © ¹ © ¹

vereinfacht auf

0 ª º « » §¨ 0 ·¸ 0 « »= 0 « I ˜ ( dx ˜ x  dy ˜ y) » ¨¨ ¸¸ « » ©0 ¹ 2 2˜ π˜ r ¬ ¼

Damit erhalten wir die Differentialgleichung 1. Ordnung (siehe dazu auch Band 4), die wir durch Trennung der Variablen wie folgt lösen: y ˜ dy  x ˜ dx = 0

bzw.

y ˜ dx = x ˜ dx

Durch beidseitiges Integrieren erhalten wir: ´ µ µ ¶

´ µ y dy =  µ ¶

x dx  C

vereinfacht auf

1 2

2

˜y =

1 2

2

˜x C

Durch Umformung ergeben sich für C > 0 konzentrische Kreise um den Nullpunkt der x-y-Ebene mit r 2 = 2 C: 2

2

2

x  y = 2˜ C = r

Seite 409

Vektoranalysis

Abb. 4.4.7

Beispiel 4.4.4:

o Wie lautet die Darstellung des nachfolgend gegebenen Geschwindigkeitsfeldes v ( x y) in Polarkoordinaten? o o o o o 1 2 2 mit v( x y) = vx ( x y) ˜ ex  vy ( x y) ˜ ey = ˜ § y ˜ ex  x ˜ ey· x y z0 ¹ 2 2 © x y In Zylinderkoordinaten hat das Feld die Darstellung: o o  o v( r φ) = vr ( r φ) ˜ er  vφ ( r φ) ˜ eφ Die gesuchten Vektorkoordinaten lassen sich unter Verwendung von (4-60) und (4-69) wie folgt berechnen: 1 vr ( r φ) = vx ( x y) ˜ cos ( φ)  vy ( x y) ˜ sin ( φ) = ˜ ( y ˜ cos ( φ)  x ˜ sin ( φ) ) 2 2 x y 1 vr ( r φ) = ( r ˜ sin ( φ) ˜ cos ( φ)  r ˜ cos ( φ) ˜ sin ( φ) ) = 0 2 r 1 vφ ( r φ) = vx ( x y) ˜ sin ( φ)  vy ( x y) ˜ cos ( φ) = ˜ ( y ˜ sin ( φ)  x ˜ cos ( φ) ) 2 2 x y 1 1 vφ ( r φ) = ˜ ( r ˜ sin ( φ) ˜ sin ( φ)  r ˜ cos ( φ) ˜ cos ( φ) ) = 2 r r

wegen sin 2 (M) + cos2 (M) = 1

Damit lautet das Geschwindigkeitsfeld in Polarkoordinaten: o o 1  v( r φ) = ˜ eφ r b) Homogenes Vektorfeld:

oo Ein homogenes Vektorfeld liegt dann vor, wenn der Feldvektor F r in jedem Punkt des Feldes die gleiche Richtung und den gleichen Betrag hat:



oo  o F r = const



(4-100)

Seite 410

Vektoranalysis

Beispiel 4.4.5: Zwischen den Platten eines geladenen Plattenkondensators herrscht ein homogenes konstantes elektrisches Feld E0 in y-Richtung, das durch den nachfolgend gegebenen Feldstärkevektor beschrieben wird. Die Platten des Plattenkondensators liegen parallel zur x-z-Ebene.

§0 · oo o o  o ¨ ¸ E r = 0 ˜ ex  E 0 ˜ ey  0 ˜ ez = ¨ E 0 ¸



konstantes elektrisches Vektorfeld

¨ ¸ ©0 ¹

c) Axialsymmetrisches (Zylindersymmetrisches) Vektorfeld:

oo Betrachten wir einen festen Kreiszylinder um die z-Achse mit dem Radius U, dann hat F r in jedem Oberflächenpunkt die gleiche Länge und ist parallel oder antiparallel zur Flächennormalen. Im axialsymmetrischen Feld sind alle Geraden, die die z-Achse rechtwinkelig schneiden, Feldlinien (Abb. 4.4.8). o oo  o r F r = f ( ρ) ˜ o = f ( ρ) ˜ eρ r



mit ρ =

o o o  o 2 2 x  y und r = x ˜ ex  y ˜ ey  0 ˜ ez



(4-101)

 o eρ ist ein axial nach außen gerichteter Einheitsvektor. Der Betrag des Feldvektors ergibt sich zu: oo Fr



= F ( ρ) = f ( ρ)

(4-102)

Beispiel 4.4.6: In der Umgebung eines homogen geladenen Zylinders besitzt das elektrische Feld Zylindersymmetrie. Bei gegebener positiver Ladungsdichte UL , Zylinderradius R und elektrischer Feldkonstante H0 gilt für den elektrischen Feldstärkevektor: 2

o  o ρL ˜ R o 1  E( ρ) = f ( ρ) ˜ eρ = ˜ ˜ eρ 2 ˜ ε0 ρ

mit

ρtR

Abb. 4.4.8

Seite 411

Vektoranalysis

d) Zentralsymmetrisches (Kugelsymmetrisches oder Radiales) Vektorfeld:

oo Betrachten wir eine feste Kugel um den Koordinatenursprung mit dem Radius r, dann besitzt F r in jedem Oberflächenpunkt die gleiche Länge und ist parallel oder antiparallel zur Flächennormalen. Im zentralsymmetrischen Feld sind alle Geraden durch den Koordinatenursprung Feldlinien. o oo o r F r = f ( r) ˜ o = f ( r) ˜ er mit r = r



2

2

x y z

2



o o o  o und r = x ˜ ex  y ˜ ey  z ˜ ez

(4-103)

o er ist ein axial nach außen gerichteter Einheitsvektor. Der Betrag des Feldvektors ergibt sich zu: oo Fr



= F ( r) = f ( r)

(4-104)

Beispiel 4.4.7: oo oo Das elektrische Feld E r einer positiven Punktladung Q und das Gravitationsfeld F r der Erde sind klassische Beispiele für zentralsymmetrische Felder. Grafisch lassen sich solche Vektorfelder durch oo zwei-dimensionale ebene Schnitte darstellen, in denen die Flächen konstanter Feldstärke E r = const oo bzw. F r = const als Äquipotentiallinien erscheinen, an denen wir das Feld lokal durch einen Vektorpfeil charakterisieren. Das elektrische Feld in der Umgebung einer positiven Punktladung Q ist gegeben durch (H0 bedeutet die elektrische Feldkonstante):









o o E˜ r =



o o o Q r Q ˜ er = ˜ = ˜r 2 2 r 3 4 ˜ π ˜ ε0 ˜ r 4 ˜ π ˜ ε0 ˜ r 4 ˜ π ˜ ε0 ˜ r Q

o o E˜ r



=

Q 4 ˜ π ˜ ε0

˜

1 2

r

=

const 2

r

Das Gravitationsfeld der Erde ist immer zentral zum Erdmittelpunkt gerichtet. Nach dem Gravitationsgesetz von Newton wird eine Masse m im Abstand r vom Erdmittelpunkt von der Erdmasse M mit folgender Kraft angezogen (J bedeutet die Gravitationskonstante): o o o oo m˜M o m˜M r m˜M o 1 const F ˜ r = 㠘 ˜ er = 㠘 ˜ = 㠘 ˜r F r = γ˜m˜M˜ = 2 2 3 2 2 r r r r r r





Abb. 4.4.9

Abb. 4.4.10

Seite 412

Vektoranalysis

4.5 Klassische Differentialoperatoren Weitere Eigenschaften der Felder werden durch die Differentialoperatoren Gradient, Divergenz und Rotation charakterisiert.

4.5.1 Der Gradient eines Skalarfeldes Existieren für eine skalare Funktion f alle partiellen Ableitungen und sind diese stetig, so ist f (total) differenzierbar. Die partiellen Ableitungen 1. Ordnung einer differenzierbaren skalaren Funktion f ermöglichen Aussagen über die Änderung des Funktionswertes f(x,y,z), wenn wir von einem Punkt P aus in Richtung der betreffenden Koordinaten fortschreiten (siehe dazu auch Band 3, Abschnitt 3.8.2). Beim Fortschreiten um dx ändert sich f(x,y,z) um

w wx

f ( x y z ) ˜ dx. Das Entsprechende gilt auch für

die y- und die z-Richtung. Betrachten wir nun den Funktionswert von f in der Entfernung o o o o  dr = dx ˜ ex  dy ˜ ey  dz ˜ ez

(4-105)

dann ist die gesamte Änderung df(x,y,z) von f die Summe der Änderungen in den einzelnen Richtungen, also: df ( x y z ) =

w wx

f ( x y z ) ˜ dx 

w wy

f ( x y z ) ˜ dy 

w wz

f ( x y z ) ˜ dz

(4-106)

o Diesen Ausdruck nennen wir das totale Differential der Funktion f( r ) = f(x,y,z). Die diversen partiellen Ableitungen geben an, "wie empfindlich" f auf Änderungen der entsprechenden Variablen reagiert, und das totale Differential kombiniert diese Information für den Fall, dass sich alle Variablen ändern. o Der Ausdruck df(x,y,z) in Gleichung (4-106) hängt linear von dr ab. Wir können ihn daher als Skalarprodukt auffassen: w wx

f ˜ dx 

w wy

f ˜ dy 

w wz

f ˜ dz =

o o o  o· §w o w o w  ¨ f ˜ ex  f ˜ ey  f ˜ ez¸ ˜ §© dx ˜ ex  dy ˜ ey  dz ˜ ez·¹ wy wz © wx ¹

Den Ausdruck in der ersten Klammer bezeichnen wir dabei als den Gradienten des Skalarfeldes f in kartesischen Koordinaten:

§w · ¨ f ( x y z ) ¸ ¨ wx ¸ ¨ ¸ o o o  w w w w grad ( f) = f ( x y z ) ˜ ex  f ( x y z ) ˜ ey  f ( x y z ) ˜ ez = ¨ f ( x y z ) ¸ wx wy wz ¨ wy ¸ ¨w ¸ ¨ f ( x y z) ¸ © wz ¹

(4-107)

Unter dem Gradienten eines differenzierbaren Skalarfeldes f verstehen wir also den aus den partiellen Ableitungen 1. Ordnung von f gebildeten Vektor. Bei einem ebenen Skalarfeld f(x,y) reduziert sich der Gradient des Feldes f auf zwei Komponenten. Siehe dazu Band 1, Einführung in Mathcad, Nabla-Operator.

Seite 413

Vektoranalysis

Das totale Differential df(x,y,z) von (4-106) kann dann in folgender Form geschrieben werden: o df ( x y z ) = grad ( f ) ˜ dr

(4-108)

o Das ist also die Änderung von f in Richtung dr, und wir nennen die rechte Seite deshalb auch die o o Richtungsableitung von f an der Stelle r in Richtung dr. Betrachten wir zunächst nur ein ebenes Skalarfeld f(x,y), so steht der Gradient eines solchen Feldes in jedem Punkt P senkrecht auf der durch P verlaufenden Niveaulinie von f(x,y) (Abb. 4.5.1). Auf einer Niveaulinie ist wegen f(x,y) = const. stets df(x,y) = 0. Somit ist das Skalarprodukt o grad ( f) ˜ dr = 0 .

(4-109)

Dies ist aber nur möglich, wenn die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Der Gradient zeigt also immer in die Richtung des größten Zuwachses von f(x,y). Der Betrag des Gradienten ist daher ein Maß für die Änderung des Skalarfeldes senkrecht zu den Niveaulinien. Entsprechende Aussagen gelten auch für ein räumliches Skalarfeld f(x,y,z). Die Gleichung (4-109) besagt, dass der Vektor grad ( f ) auf allen beliebigen Änderungen, die in der Fläche f(x,y,z) = const. liegen, gemäß Abb. 4.5.2 senkrecht steht, d. h., dass er die Richtung der Flächennormalen (Niveauflächen)  o haben muss. Es gilt also, dass der Vektor grad ( f ) parallel zum Normaleneinheitsvektor n0 steht und ferner gilt o  o df = grad ( f ) ˜ dr = grad ( f) ˜ dr ˜ n0 , (4-110) woraus die Änderung der Funktion f für diejenige Richtung ihren größten Wert haben wird, für die o dr parallel zu grad ( f) verläuft. Der Vektor grad ( f ) weist somit normal zur Fläche in Richtung des stärksten Anstieges der Funktion f(x,y,z).

Abb. 4.5.1

Abb. 4.5.2

Seite 414

Vektoranalysis

Um eine einheitliche Schreibweise der Differentialoperatoren Gradient, Divergenz und Rotation zu erhalten, führen wir noch den Nabla-Operator, benannt nach der Dreiecksform eines althebräisches Harfeninstruments, ein (siehe dazu Band 1, Einführung in Mathcad, Nabla-Operator):

§w ¨ ¨ wx o ¨w ∇=¨ ¨ wy ¨w ¨ © wz

· ¸ ¸ ¸ §w · o §w · o §w ·  o ¸ = ¨ ¸ ˜ ex  ¨ ¸ ˜ ey  ¨ ¸ ˜ ez ©wy ¹ ©wz ¹ ¸ © wx ¹ ¸ ¸ ¹

(4-111)

Damit können wir den Gradienten in kartesischer Form schreiben:

§w · ¨ f ( x y z) ¸ ¨ wx ¸ ¨w ¸ o ∇ f ( x y z ) = ¨ f ( x y z ) ¸ ¨ wy ¸ ¨w ¸ ¨ f ( x y z ) ¸ © wz ¹

(4-112)

In Zylinderkoordinaten gilt: o    o 1 w o w o w ∇ f ( ρ φ z ) = f ( ρ φ z ) ˜ eρ  ˜ f ( ρ φ z ) ˜ eϕ  f ( ρ φ z ) ˜ ez ρ wφ wρ wz In Kugelkoordinanten gilt:

(4-113)

o o o o 1 w   1 w w f ( r ϑ φ) ˜ eϕ ˜ ∇ f ( r ϑ φ) = f ( r ϑ φ) ˜ er  ˜ f ( r ϑ φ) ˜ eϑ  (4-114) r wϑ r ˜ sin ( ϑ) wφ wr Der Gradient ist eine Form der Ableitung, daher gelten für die Gradientenbildung die üblichen o Ableitungsregeln, sofern sie sinnvoll übertragbar sind. Insbesonders gilt für konstante Vektoren a : oo o grad a ˜ r = a

 o oo ªo o 2º grad ¬ a ˜ r ¼ = 2 ˜ a ˜  a ˜ r n n2 o grad  r = n ˜ r ˜r

(4-115) (4-116)

(4-117) o r § 1· grad ¨ ¸ =  (4-118) 3 ©r¹ r Sind f1 und f 2 skalare Felder und c eine Konstante, dann gelten noch folgende Ableitungsregeln:

  



  

grad c ˜ f1 = c ˜ grad f1 grad f1  f2 = grad f1  grad f2 grad f1 ˜ f2 = f1 ˜ grad f2  f2 ˜ grad f1







(4-119) (4-120)



Seite 415

(4-121)

Vektoranalysis

Beispiel 4.5.1: oo oo Es sei f ( x y z ) = n ˜ r . Aus der analytischen Geometrie wissen wir, dass n ˜ r = nx ˜ x  ny ˜ y  nz ˜ z = d die Gleichung einer Ebene ist. Die Niveauflächen des skalaren Feldes f sind also parallele Ebenen mit dem o Normalenvektor n. Wie lautet der Gradient des Feldes f? Nach (4-115) gilt: oo o grad n ˜ r = n



Der Gradient dieses Feldes ist also der Normalenvektor der Ebenen.

Beispiel 4.5.2: o2 2 2 2 Es sei f ( x y z ) = r = x  y  z . Für jeden festen Wert f ( x y z ) = c ergibt sich eine Kugel als



Niveaufläche mit dem Radius

c. Wie lautet der Gradient dieses Feldes?

Nach (4-117) gilt: o o o  o ªo 2º grad ¬ r ¼ = 2 ˜ r = 2 ˜ x ˜ ex  2 ˜ y ˜ ey  2 ˜ z ˜ ez



Beispiel 4.5.3: o o2 o Ein skalares Feld sei gegeben durch f ( x y z ) = a u r mit einem konstanten Vektor a. Die Niveauflächen o o o o o f ( x y z ) = const sind hier Zylinder mit einer gemeinsamen Achse a, denn a u r ist ein Vektor, der auf a und r





o o2 o o 2 2 2 2 senkrecht steht. Nun ist aber a u r = au r = ( a ˜ r ˜ sin ( φ) ) = a ˜ ( r ˜ sin ( φ) ) . r ˜ sin ( φ) = ρ ist aber, wie wir in Abb. 4.5.3 sehen, der Abstand von der Achse. Wie lautet der Gradient des skalaren Feldes?







Der Gradient berechnet sich wie folgt ((4-116), (4-119)):

Abb. 4.5.3

o o ª 2 2 o o 2º 2 o grad ( f) = grad ¬a ˜ r  a ˜ r ¼ = 2 ˜ a ˜ r  2 ˜ a ˜ a ˜ r

 o o o grad ( f) = 2 ˜ a u  a u r



Beispiel 4.5.4: Ein scheibenförmiger Körper mit dem Radius R, dem Trägheitsmoment Tund dem Torsionsmodul G hängt an einem zylindrischen Draht der Länge L und schwingt (Abb. 4.5.4) um dessen Achse. Bestimmen Sie aus der nachfolgend gegebenen Schwingungsdauer T den Gradienten der skalaren Funktion T.

T ( θ G L R) =

2˜ π˜

L˜ θ 2

R ˜

Schwingungsdauer

G

Seite 416

Vektoranalysis

Abb. 4.5.4

grad ( T ( θ G L R) ) =

§ L ¨ ¨ 2 ˜ R2 ˜ θ ˜ G ¨ L˜ θ ¨ ¨ 2 2˜ R ˜ G˜ G ¨ 2˜ 𘠨 θ ¨ ¨ 2 ˜ R2 ˜ L ˜ G ¨ ¨ 2 ˜ L ˜ θ ¨ 3 R ˜ G ©

· ¸ ¸ ¸ § θ 1 · ¸ ¨ ¸ ¸ ¨ 1 ¸ ¸ = T ( θ G L R) ˜ ¨ G ¸ ¸ ¨ 1 ¸ ¸ ¨ L ¸ ¸ ¨ 1¸ © 4 ˜ R ¹ ¸ ¸ ¸ ¹

Beispiel 4.5.5: Gegeben ist das skalare Feld f(x,y) = x2 + y2 . Stellen Sie dieses skalare Feld und für f(x,y) = const = c die zugehörigen Niveaulinien (Höhenlinien) grafisch dar. 2

2

f ( x y)  x  y

skalares Feld Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: Fläche füllen, Farbschema, Drahtmodell, Volltonfarbe Achsen: automatische Gitterwerte, nummeriert, Automatische Skalierung QuickPlot-Daten: Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 25 Diagramm 2: Allgemein: Umrissdiagramm Darstellung: Umrisse füllen, Umrisslinien, Volltonfarbe QuickPlot-Daten: Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 25 Spezial: Füllen, Linien zeichnen

f f Abb. 4.5.5

Seite 417

Vektoranalysis

Umrisslinien Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Umrissdiagramm Darstellung: keine Füllung, Umrisslinien QuickPlot-Daten: Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 25 Spezial: Linien zeichnen, Automatische Umrisse, nummeriert

Abb. 4.5.6

f Beispiel 4.5.6:

Für das nachfolgend gegebene skalare Feld sollen die zugehörigen Niveaulinien dargestellt werden 3

f ( x y) 

2

2

y ˜ x y

2

f1 ( x y)  wenn ( f ( x y)  1 f ( x y) 0) I  99

K  99

i  1  I  1

k  1  K  1

ª 2 § I  1·  2 ˜ § k  K  1·º Ni k  f1 « ˜ ¨ i  ¸ ¨ ¸» 2 ¬I © 2 ¹ K © ¹¼

skalares Feld Mit der Konstante (hier 1) kann der darzustellende Bereich geändert werden.

Bereichsvariable

Matrix zur Darstellung des Umrissdiagramms

Niveaulinien Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Umrissdiagramm Darstellung: Umrisse füllen, Umrisslinien, Volltonfarbe Spezial: Füllen, Linien zeichnen, Automatische Umrisse, nummeriert

N

Abb. 4.5.7

Seite 418

Vektoranalysis

Beispiel 4.5.7: Gegeben ist das nachfolgend angeführte skalare Feld (radialsymmetrische Schwingung). Zu diesem Feld soll das zugehörige Gradientenfeld (Vektorfeld) berechnet werden. Das skalare Feld, die zugehörigen Niveaulinien und das Gradientenfeld sollen grafisch veranschaulicht werden. ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

x x

Redefinitionen

y y

§

2·

2

f ( x y)  cos © x  y

skalares Feld (radialsymmetrische Schwingung)

¹

§ x ˜ sin § x2  y2· © ¹ ¨ ¨ 2 2 x y ¨ ∇2 ( f x y) o ¨ § 2 2· ¨  y ˜ sin © x  y ¹ ¨ 2 2 x y ©

§w · ¨ f ( x y) ¸ ¨ wx ¸ ∇2 ( f x y)  ¨w ¸ ¨ f ( x y) ¸ © wy ¹

· ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹

Der Gradient eines skalaren Feldes ist ein Vektorfeld, das in die Richtung der größten Änderung von f zeigt.

Siehe dazu Band 1, Einführung in Mathcad, Nabla-Operator.

nx  31

Anzahl der x- und y-Werte

ny  31

i  0  nx  1

k  0  ny  1

xmin  2 ˜ π

xmax  2 ˜ π

ymin  2 ˜ π

ymax  2 ˜ π

minimale und maximale x- und y-Werte

i xi  xmin  ˜ xmax  xmin nx  1



k



Bereichsvariablen



yk  ymin  ˜ ymax  ymin ny  1



Fi k  f xi yk

Koordinatenvektoren





Wertematrix des skalaren Feldes





N  ErstellenGitter f xmin xmax ymin ymax nx ny



GRADi k  ∇2 f xi yk fx  i k

GRADi k 0



fy  i k

Wertematrix für die Niveaulinien des skalaren Feldes (erstellt mithilfe der Funktion "ErstellenGitter")

Wertematrix des Gradientenfeldes

GRADi k 1

Die Komponenten fx und fy des Gradientenfeldes müssen in Form von Wertematrizen vorliegen!

Seite 419

Vektoranalysis

Skalares Feld Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: Fläche füllen, Farbschema, Drahtmodell, Volltonfarbe Achsen: automatische Gitterwerte, nummeriert, Automatische Skalierung

Abb. 4.5.8 F

Niveaulinien Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Umrissdiagramm Darstellung: Umrisse füllen, Umrisslinien, Volltonfarbe Spezial: Füllen, Linien zeichnen

Abb. 4.5.9 N

Vektorfeld-Diagramm Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Vektorfeld-Diagramm Bilder-Rahmen anzeigen Darstellung: Keine Füllung, Drahtpfeile, Volltonfarbe Die Pfeile veranschaulichen den Verlauf der Feldlinien.

fx fy

Abb. 4.5.10

Seite 420

Vektoranalysis

Beispiel 4.5.8: Gegeben ist das nachfolgend angeführte skalare Feld (Schwingung). Zu diesem Feld soll das zugehörige Gradientenfeld (Vektorfeld) berechnet werden. Das skalare Feld und das Gradientenfeld sollen grafisch veranschaulicht werden. ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

x x

Redefinitionen

y y

skalares Feld (Schwingung)

f ( x y)  sin ( x) ˜ cos ( y)

§w · ¨ f ( x y) ¸ ¨ wx ¸ ∇2 ( f x y)  ¨w ¸ ¨ f ( x y) ¸ © wy ¹

Der Gradient wird hier mit dem NablaOperator definiert.

∇2 ( f x y) o

§ cos ( x) ˜ cos ( y) · ¨ ¸ © sin ( x) ˜ sin ( y) ¹

∇x y f ( x y) o

§ cos ( x) ˜ cos ( y) · ¨ ¸ © sin ( x) ˜ sin ( y) ¹

Der Gradient eines skalaren Feldes ist ein Vektorfeld, das in die Richtung der größten Änderung von f zeigt. Siehe dazu Band 1, Einführung in Mathcad, NablaOperator.

Anzahl der x- und y-Werte

n  41 i  0  n  1

k  0  n  1

xmin  2 ˜ π

xmax  2 ˜ π

ymin  2 ˜ π

ymax  2 ˜ π

Bereichsvariablen

minimale und maximale x- und y-Werte

i xi  xmin  ˜ xmax  xmin n 1



k





yk  ymin  ˜ ymax  ymin n1



Fi k  f xi yk





Wertematrix des skalaren Feldes



GRADi k  ∇2 f xi yk fx  i k

Koordinatenvektoren

GRADi k 0



fy  i k

Wertematrix des Gradientenfeldes

GRADi k 1

Die Komponenten fx und fy des Gradientenfeldes müssen in Form von Wertematrizen vorliegen!

Seite 421

Vektoranalysis

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: Fläche füllen, Farbschema, Drahtmodell, Volltonfarbe Achsen: automatische Gitterwerte, Nummeriert, Automatische Skalierung Diagramm 2: Allgemein: Vektorfeld-Diagramm Bilder-Rahmen anzeigen Darstellung: Keine Füllung, Drahtpfeile, Volltonfarbe Abb. 4.5.11





F  fx fy

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Vektorfeld-Diagramm Bilder-Rahmen anzeigen Darstellung: Pfeile füllen, Drahtpfeile, Volltonfarbe

Abb. 4.5.12

fx fy Beispiel 4.5.9: Die Anziehungskraft einer Masse M, die sich im Ursprung O(0|0|0) befindet, auf eine Masse m im Punkt P(x|y|z) o lässt sich durch ein Vektorfeld F, das Gravitationsfeld (newtonsches Gravitationsgesetz), beschreiben. Leiten Sie aus dem nachfolgend gegebenen Gravitationspotential V(r) das Gravitationsfeld aus der Beziehung o F = grad ( V ( r) ) her. J bedeutet die Gravitationskonstante.

V ( r) = 㠘

m˜M r

Gravitationspotential

Seite 422

Vektoranalysis

1 §¨ w ¨ wx x2  y2  z2 ¨ ¨w 1 o F r = γ˜m˜M˜¨ wy 2 2 2 x y z ¨ ¨ 1 ¨w ¨ wz x2  y2  z 2 ©



·¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹

x ª « « « 2 2 2 « x y z « y « = 㠘 m ˜ M ˜ « « 2 2 2 « x y z « z « « « 2 2 2 ¬ x y z

  

o o m˜M o m˜M r m˜M o F r = 㠘 ˜ r = 㠘 ˜ = 㠘 ˜ er 3 2 2 r r r r



3

2 3



2

º » » » » » » m˜M » = 㠘 » » 2 2 2 x y z » » » » ¼



3

2

3

2

§¨ x ·¸ ˜ ¨y ¸ ¨z ¸ © ¹

Gravitationsgesetz von Newton (Zentralfeld)

Dieses Gravitationsfeld ist ein Gradientenfeld (Potentialfeld)! Die Herleitung stimmt mit der Ableitungsregel (4-118) überein! o Wie schon ausgeführt wurde, kann eine Fläche im Raum in vektorieller Form r ( u v) oder aber auch in expliziter Form z = f(x,y) dargestellt werden. Eine Fläche im Raum kann aber auch durch eine implizite Gleichung der Form F(x,y,z) = 0 beschrieben werden. Eine solche Fläche kann aber dann als eine spezielle Niveaufläche eines skalaren Feldes f der Form f ( x y z ) = F ( x y z ) = const = c

(4-122)

betrachtet werden. Weil aber der Gradient des skalaren Feldes f(x,y,z) = F(x,y,z) stets senkrecht auf den Niveauflächen steht, verläuft er auch senkrecht zu der Fläche F(x,y,z) = 0 und ist somit ein Normalvektor dieser Fläche. o  Die im Flächenpunkt P(x |y |z ) mit dem Ortsvektor r0 errichtete Tangentialebene lässt sich dann in 0 0 0 der Form o o grad F x0 y0 z 0 ˜ § r  r0· = 0 © ¹





(4-123)

o darstellen, wobei r der Ortsvektor eines beliebigen Punktes Q(x|y|z) der Tangentialebene ist (siehe dazu auch Abb. 4.2.1). Hier sind nach der Gradientenbildung die Koordinaten des Punktes P einzusetzen.

Beispiel 4.5.10: Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene im Punkt P(1|1|15) auf der Fläche mit der Gleichung (x - 1)2 + (y - 1)2 + z = 15 (F(x,y,z) = c). Die Gleichung der Fläche ist eine spezielle Niveaufläche des skalaren Feldes f(x,y,z) = (x - 1)2 + (y - 1)2 + z. 2

2

f ( x y z )  ( x  1)  ( y  1)  z

Seite 423

Vektoranalysis

x x

y y

z z

Redefinitionen

x0  1

y0  1

z 0  15

Koordinaten des Punktes P

d

fx ( x y z ) 

dx d

fy ( x y z ) 

dy

f ( x y z )

fx ( x y z ) o 2 ˜ x  2

f ( x y z )

fy ( x y z ) o 2 ˜ y  2

f ( x y z )

fz ( x y z ) o 1

0

fy x0 y0 z 0

d

fz ( x y z ) 

dz









fx x0 y0 z 0











Komponenten des Gradienten



0







fz x0 y0 z 0





fx x0 y0 z 0 ˜ x  x0  fy x0 y0 z 0 ˜ y  y0  fz x0 y0 z 0 ˜ z  z 0 = 0

1

Tangentialebene im Punkt P

Damit lautet die Gleichung für die Tangentialebene im Punkt P: z = z 0 = 15 2

f ( x y)  15  ( x  1)  ( y  1)

2

Funktion für die räumliche Fläche





x-y-z-Koordinaten für den Punkt P der Fläche

x0  1

y0  1

m  25

n  25

Anzahl der x- und y-Werte

i  0  m  1

k  0  n  1

Bereichsvariablen

§ ©

xi  wenn ¨ x0 = 0 

2˜ i m1

z 0  f x0 y0

 1 

2˜ i m1

· ¹

˜ x0¸ Koordinatenvektoren für die Fläche

2˜ k 2˜ k § · yk  wenn ¨ y0 = 0   1  ˜ y0¸ n  1 n  1 © ¹ 5 1 i 1 i § · xt  wenn ¨ x0 = 0    ˜ x0  ˜ ˜ x0¸ 3 3 m  1 3 m  1 i © ¹ Koordinatenvektoren für die Tangentialfläche 5 1 k 1 k § · yt  wenn ¨ y0 = 0    ˜ y0  ˜ ˜ y0¸ 3 n1 3 n1 3 k © ¹

T ( x y) 

· §w ¨wx f  x0 y0 ¸ ˜  x  x0  © 0 ¹

· §w ¨ wy f  x0 y0 ¸ ˜  y  y0  z0 © 0 ¹

Seite 424

Gleichung der Tangentialebene

Vektoranalysis



X1i k  xi

Y1i k  yk

F1i k  f xi yk

Xt

Yt

Zt

 xt i k i

 yt i k k



Matrizen zur Flächendarstellung

 T § xt yt · i k i k

©

¹

Matrizen zur Darstellung der Tangentialebene im Punkt P

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: Fläche füllen, Farbschema, Drahtmodell, Volltonfarbe Achsen: automatische Gitterwerte, Beschriftung nummeriert, Automatische Skalierung Diagramm 2: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: Fläche füllen, Volltonfarbe, Linienoptionen: Drahtmodell, Volltonfarbe Abb. 4.5.13





( X1 Y1 F1)  Xt Yt Zt

4.5.2 Die Divergenz eines Vektorfeldes Wir betrachten in einer strömenden Flüssigkeit, die durch ein Geschwindigkeitsfeld o T v = vx vy vz beschrieben wird, ein abgegrenztes Volumenelement dV = dx dy dz.





Durch die in Abb. 4.5.14 hintere differentielle Fläche dz dy tritt näherungsweise die eintretende Flüssigkeitsmenge vx ˜ dz ˜ dy (4-124) und durch die dazu im Abstand dx parallele Fläche dz dy tritt diese Flüssigkeitsmenge

§ · w ¨ vx  vx ˜ dx¸ ˜ dz ˜ dy wx © ¹

(4-125)

wieder aus. Als Differenz zwischen abgeflossener und zugeflossener Menge ergibt sich somit

§ · w w ¨ vx  vx ˜ dx¸ ˜ dz ˜ dy  vx ˜ dz ˜ dy = vx ˜ dx ˜ dy ˜ dz wx wx © ¹

(4-126)

und analog für die übrigen Flächenpaare

§ · w w ¨ vy  vy ˜ dy¸ ˜ dx ˜ dz  vy ˜ dx ˜ dz = vy ˜ dx ˜ dy ˜ dz wy wy © ¹ § · w w ¨ vz  vz ˜ dz¸ ˜ dx ˜ dy  vz ˜ dx ˜ dy = vz ˜ dx ˜ dy ˜ dz wz wz © ¹

Seite 425

(4-127) (4-128)

Vektoranalysis

Durch Addition der einzelnen Beiträge in x-, y- und z-Richtung ergibt sich somit aus dem Grenzwert der "Volumengewinn" an Flüssigkeit pro Volumen dV = dx dy dz und Zeiteinheit: lim Vo0

1 ª §w · º w w ˜ ¨ vx  vy  vz ¸ ˜ dx ˜ dy ˜ dz» « wy wz ¹ ¬ dx ˜ dy ˜ dz © wx ¼

(4-129)

Der Grenzwert ist hier aber unabhängig von der Gestalt des Volumens. Er existiert, wenn die partiellen Ableitungen existieren. Wir erhalten als Ergebnis eine skalare Größe, die Divergenz ("Quellstärke" oder o "Quellstärke pro Volumenelement") des Geschwindigkeitsfeldes v ( x y z ) genannt wird. o o w w w div v = div ª¬v ( x y z )º¼ = vx ( x y z )  vy ( x y z )  vz ( x y z ) wx wy wz



(4-130)

Bei einem ebenen Vektorfeld reduziert sich die Divergenz auf zwei Summanden! Im Volumenelement dV wird somit in der Zeiteinheit das Flüssigkeitsvolumen o §w · w w div v ˜ dV = ¨ vx  vy  vz ¸ ˜ dV wy wz ¹ ©wx



(4-131)

"erzeugt" oder "vernichtet". o Die skalare Größe div v lässt sich daher wie folgt anschaulich deuten (Abb. 4.5.15): o div v ! 0: Im Volumenelement befindet sich eine "Quelle". o div v  0: Im Volumenelement befindet sich eine "Senke". o div v = 0: Im Volumenelement befindet sich weder eine "Quelle" noch eine "Senke", d. h., das Vektorfeld ist an dieser Stelle "quellenfrei" (bei FlüssigkeitenvVolumentreu, inkompressibel).

  



Quellenfreie Vektorfelder, die in den Anwendungen eine Rolle spielen, sind z. B.: homogene Vektorfelder (elektrische Felder in einem Plattenkondensator), elektrisches Feld einer Punktladung, Gravitationsfeld einer Masse, Magnetfeld in der Umgebung eines stromdurchflossenen geraden Leiters usw.

Abb. 4.5.14

Abb. 4.5.15

Seite 426

Vektoranalysis

o o o Die Divergenz eines Vektorfeldes ( v , F , E usw.) lässt sich formal als skalares Produkt aus NablOperator (4-111) und Feldvektor darstellen:

§w ¨ ¨ wx o o ¨w ∇˜v = ¨ ¨ wy ¨w ¨ © wz

· ¸ ¸ § vx( x y z) · ¸ ¸ ¨ w w w ¨ ¸ ˜ vy( x y z) ¸ = vx( x y z)  vy( x y z)  vz ( x y z) ¨ ¸ wx wy wz ¸ ¨ ¸ v ( x  y  z ) ¸ © z ¹ ¸ ¹

(4-132)

In Zylinderkoordinaten gilt: o o 1 w 1 w w ∇ ˜ v ( ρ φ z ) = ˜ ρ ˜ vρ  ˜ vϕ  vz ρ wρ ρ wφ wz





(4-133)

In Kugelkoordinanten gilt: oo 1 w§2 1 1 w w ∇ ˜ v ( r ϑ φ) = ˜ ˜ ˜ r ˜ vr·  vϑ ˜ sin ( ϑ)  v ¹ r ˜ sin ( ϑ) wϑ 2 wr © r ˜ sin ( ϑ) wφ φ r





(4-134)

o o o Für die Divergenzbildung gelten folgende Rechenregeln, wenn r , A und B differenzierbare o Vektorfelder, f ein differenzierbares Skalarfeld, a ein konstanter Vektor und c eine reelle Konstante sind: o div r = 3

(4-135)

n o n 2 o o n n div r ˜ r = n ˜ r ˜ r ˜ r  3 ˜ r = ( n  3) ˜ r

(4-136)

o o div a u r = 0



(4-137)

o div a = 0

(4-138)

  





o o div c ˜ A = c ˜ div A

(4-139)

o o o div A  a = div A

(4-140)

 







o o o o div A  B = div A  div B









(4-141)

o o o div f ˜ A = grad ( f) ˜ A  f ˜ div A





(4-142)

Seite 427

Vektoranalysis

Ein zylindersymmetrisches oder axialsymmetrisches Vektorfeld ist vom Typ o o o  ρ F = f ( ρ) ˜ eρ = f ( ρ) ˜ ρ

(4-143)

Dieses Feld besitzt nur eine skalare Vektorkomponente in radialer Richtung: Fρ = f ( ρ) Fϑ = 0, Fφ = 0

(4-144)

Für die Divergenz des Vektorfeldes gilt nach (4-133) folgender Ausdruck: o 1 w 1 w ρ ˜ Fρ = ˜ ( ρ ˜ f ( ρ) ) div F = ˜ ρ wρ ρ wρ







(4-145)

Ein kugel- oder radialsymmetrisches Vektorfeld (Zentralfeld) ist vom Typ o o o r F = f ( r) ˜ er = f ( r) ˜ r

(4-146)

Dieses Feld besitzt nur eine skalare Vektorkomponente in radialer Richtung: Fr = f ( r), Fϑ = 0, Fφ = 0

(4-147)

Für die Divergenz des Vektorfeldes gilt nach (4-134) folgender Ausdruck: o 1 w 2 1 w§2 r ˜ Fr· = ˜ div F = ¹ 2 ˜ wr r ˜ f ( r) 2 wr © r r







(4-148)

Beispiel 4.5.11: Wie lautet die Divergenz des nachfolgend gegebenen Vektorfeldes im Punkt P(1|2|3)? ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

§ x˜ y · ¨ ¸ v ( x y z )  ¨ x ˜ z ¸ ¨ 2 2¸ ©x ˜ y ˜ z ¹

gegebenes Vektorfeld

∇3 ( D x y z ) 

w wx

D ( x y z ) 1  2

w wy

D ( x y z ) 2 

w wz

D ( x y z ) 3

Definition der Divergenz mithilfe des Nabla-Operators.

∇3 ( v x y z ) o 2 ˜ y ˜ z ˜ x  y

Die Divergenz des Vektorfeldes ist ein skalares Feld!

∇3 ( v 1 2 3)

Divergenz im Punkt P

14

Seite 428

Vektoranalysis

Beispiel 4.5.12: o Bei einer Kugel mit konstanter Ladung Q herrscht im Inneren der Kugel die nachfolgend gegebene Feldstärke E (Kugelradius R und elektrische Feldkonstante H0 ). Bestimmen Sie die Divergenz dieses kugelsymmetrischen Vektorfeldes.

§¨ x ·¸ E ( x y z ) = ˜r= ˜ ¨y ¸ 3 3 4 ˜ π ˜ ε0 ˜ R 4 ˜ π ˜ ε0 ˜ R ¨ z ¸ © ¹ Q

Q

Q

div ( E ( x y z ) ) =

3

elektrische Feldstärke im Inneren der Kugel ( r d R )

gilt nach (4-139)

˜ div ( r)

4 ˜ π ˜ ε0 ˜ R div ( r) =

w wx

x

w wy

y

w wz

Divergenz eines Ortsvektors im Raum

z =11 1=3

Wenn ein Ortsvektor nur eine Radialkomponente besitzt, erhalten wir nach (4-148) das gleiche Ergebnis:





div ( r) = div r ˜ er =

div ( E ( x y z ) ) =

1

˜

w

2 wr

r2 ˜ r =

r

3˜ Q 3

4 ˜ π ˜ ε0 ˜ R

=

1

2

w 3 3˜ r r = =3 2 wr 2 r r ˜

Q 4

3

˜ π ˜ R ˜ ε0 3

=

ρel ε0

Divergenz des elektrischen Feldes (Uel bedeutet die Ladungsdichte)

Es gilt: div ( E ( x y z ) ) ! 0. Dies bedeutet, dass jeder Punkt im Inneren der geladenen Kugel eine Quelle des elektrischen Feldes ist. Beispiel 4.5.13: Zwei Kugelelektroden sind im Abstand d voneinander auf der x-Achse angeordnet (Abb. 4.5.16). Stellen Sie das elektrische Feld zwischen den beiden Kugelelektroden dar.

Abb. 4.5.16

Seite 429

Vektoranalysis

ORIGIN festlegen

ORIGIN  0 ε 0  8.854 ˜ 10 Q1  10

2

Q2  10

 12

˜

F

elektrische Feldkonstante

m

gewählte Ladung

˜C

2

gewählte Ladung

˜C

Abstand der Ladungen auf der x-Achse

d  0.2 ˜ m

Das gesamte elektrische Feld ergibt sich aus der Überlagerung der beiden Einzelfelder am Ort P(x|y):

ª« Q1 ˜ x « « « x2  y2 1 E ( x y)  ˜« 4 ˜ π ˜ ε 0 « Q1 ˜ y « « « x2  y2 ¬

3

2

 



3

Q2 ˜ ( x  d)



3

ª¬( x  d) 2  y2º¼ Q2 ˜ y



2

2

3

ª¬( x  d) 2  y2º¼

2

»º » » » » » » » » ¼ Anzahl der x- und y-Werte

n  20 i  0  n  1

Bereichsvariablen

k  0  n  1

xmin  1 ˜ d

xmax  2 ˜ d

ymin  0.5 ˜ d

ymax  0.5 ˜ d

minimale und maximale x- und y-Werte

i x1 i  xmin  ˜ xmax  xmin n 1



k





y1k  ymin  ˜ ymax  ymin n 1 Ex

i k





 E x1 i y1k 0

Ey

i k

Koordinatenvektoren





 E x1 i y1k 1

Die Komponenten Ex und Ey des elektrischen Feldes müssen in Form von Wertematrizen vorliegen!

Ex Enorm_x

i k



i k

2 2 § Ex ·  § Ey · i  k i  k © ¹ © ¹

Ey Enorm_y

Seite 430

i k



i k

2 2 § Ex ·  § Ey · i  k i  k © ¹ © ¹

normalisiertes elektrisches Feld

Vektoranalysis

Normalisiertes Feld in der x-y-Ebene

+

-

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Vektorfeld-Diagramm Bilder-Rahmen anzeigen Darstellung: Keine Füllung, Drahtpfeile, Volltonfarbe

Positive Ladungen (+) wirken als Quelle, negative Ladungen (-) als Senken für das elektrische Feld. Die Feldlinien zeigen vom positiven Pol weg und hin zum negativen Pol.

Enorm_x Enorm_y

Abb. 4.5.17

4.5.3 Die Rotation eines Vektorfeldes Wir betrachten eine strömende Flüssigkeit, die sich durch ein Rohr mit dem Radius r bewegt. Ordnen wir jedem Punkt der Flüssigkeit den zugehörigen Geschwindigkeitsvektor zu, dann erhalten wir, wie auch schon im letzten Abschnitt angegeben, das vektorielle Geschwindigkeitsfeld o T v = vx vy vz der Flüssigkeit.





Die Strömungsgeschwindigkeit ist in der Mitte des Rohres am größten, nimmt jedoch, durch Reibungskräfte bedingt, zur Rohrwand hin ab (Abb. 4.5.18). Kleine in die Strömung gebrachte Kugeln rotieren in Wandnähe infolge des Geschwindigkeitsgefälles um ihre Achsen und erlauben somit einen anschaulichen Einblick in die Bewegung der dortigen Wasserteilchen. Diese Rotation lässt sich nun durch einen Vektor mit der Bezeichnung "Rotation des Geschwindigkeitsfeldes" beschreiben.

Abb. 4.5.18

Seite 431

Vektoranalysis

Allgemein definieren wir die Rotation eines Vektorfeldes wie folgt: Unter der Rotation eines Vektorfeldes

§¨ vx ( x y z ) o v ( x y z ) = ¨ vy ( x y z )

·¸ ¸ ¨ ¸ ¨© vz ( x y z) ¸¹

(4-149)

verstehen wir das Vektorfeld o o §w · o §w · o §w w w w ·  rot v = ¨ vz  vy¸ ˜ ex  ¨ vx  vz ¸ ˜ ey  ¨ vy  vx¸ ˜ ez wz ¹ wx ¹ wy ¹ ©wy © wz ©wx

(4-150)

§w · w ¨ vz  vy ¸ wz ¸ ¨ wy ¨w ¸ o w rot v = ¨ vx  vz ¸ wx ¸ ¨ wz ¨w ¸ w ¨ vy  vx ¸ wy ¹ © wx

(4-151)





Bei einem ebenen Vektorfeld

§¨ vx( x y) ·¸ o v ( x y) = ¨ v ( x y) ¸ © y ¹

(4-152)

verschwindet sowohl die x-Komponente als auch die y-Komponente. Es gilt dann o o §w w ·  rot v = ¨ vy  vx¸ ˜ ez wy ¹ ©wx



(4-153)

Die Rotation an einem Punkt ist definiert, wenn das Vektorfeld dort endlich, eindeutig und differenzierbar ist. oo o Die Rotation eines Vektorfeldes ( v , F, E usw.) lässt sich formal als Vektorprodukt aus Nabla-Operator (4-111) und Feldvektor darstellen:

§w ¨ ¨ wx o o ¨w ∇u v = ¨ ¨ wy ¨w ¨ © wz

· ¸ ¸ ¸ ¸u ¸ ¸ ¸ ¹

§¨ vx( x y z) ·¸ ¨ v ( x y z) ¸ ¨ y ¸ ¨© vz ( x y z ) ¸¹

§w · w ¨ vz  vy ¸ wz ¸ ¨ wy ¨w ¸ w = ¨ vx  vz ¸ wx ¸ ¨ wz ¨w ¸ w ¨ vy  vx ¸ wy ¹ © wx

Seite 432

(4-154)

Vektoranalysis

Mithilfe der Determinantenauswertung nach (3-31) besteht eine weitere Berechnungsmöglichkeit der Rotation: o

o  o §e e e y z ¨ x ¨ o w w rot v = ¨ w ¨ wx wy wz ¨v © x vy vz



· ¸ ¸ §w o · o §w · o §w w w w ·  ¸ = ¨ vz  vy¸ ˜ ex  ¨ vx  vz ¸ ˜ ey  ¨ vy  vx¸ ˜ ez wz ¹ wx ¹ wy ¹ © wz ©wx ¸ ©wy ¸ ¹ (4-155)

In Zylinderkoordinaten gilt: o §1 w ·  w ¨ ˜ vz  vϕ ¸ ˜ eρ  wz ¹ © ρ wφ o §w ·  w  ¨ vρ  vz ¸ ˜ eφ  wρ ¹ © wz o 1 ªw º  w vρ» ˜ ez  ˜ «  ρ ˜ vφ  ρ ¬wρ wφ ¼

o rot ª¬v ( ρ φ z )º¼ =

(4-156)

In Kugelkoordinaten gilt o rot ª¬v ( r ϑ φ)º¼ =

ª 1 ªw ºº o w ˜ «  sin ( ϑ) ˜ vϕ  vϑ»» ˜ er  « wφ ¼¼ ¬ r ˜ sin ( ϑ) ¬wϑ o 1 w ª 1 º  w « ˜ vr  ˜  r ˜ vφ » ˜ eϑ  r wr ¬ r ˜ sin ( ϑ) wφ ¼ o 1 1 ª w w º   « ˜  r ˜ vϑ  ˜ vr» ˜ eφ r wϑ ¼ ¬ r wr

(4-157)

o o o Für die Rotationsbildung gelten folgende Rechenregeln, wenn r , A und B differenzierbare Vektorfelder, o f ein differenzierbares Skalarfeld, a ein konstanter Vektor und c eine reelle Konstante sind: o o rot r = 0

(4-158)

n o o rot r ˜ r = 0

(4-159)

o o o rot a u r = 2 ˜ a



(4-160)

o o rot a = 0

(4-161)

  





o o rot c ˜ A = c ˜ rot A

(4-162)

o o o rot A  a = rot A

(4-163)

 







Seite 433

Vektoranalysis

o o o o rot A  B = rot A  rot B









(4-164)

o o o rot f ˜ A = grad ( f) ˜ A  f ˜ rot A





(4-165)

o Die Rotation erzeugt ein vektorielles Feld, das als Wirbelfeld des Vektorfeldes v bezeichnet wird. o o o Ein Vektorfeld v heißt in einem Bereich rotations- oder wirbelfrei, wenn dort überall rot v = 0 gilt.



Wirbelfreie Vektorfelder, die in den Anwendungen eine Rolle spielen, sind z. B.: Homogene Vektorfelder (elektrische Felder in einem Plattenkondensator), zylinder- oder axialsymmetrische Vektorfelder (elektrisches Feld in der Umgebung eines geladenen Zylinders), kugel- oder radialsymmetrische Vektorfelder (elektrisches Feld einer Punktladung, Gravitationsfeld einer Masse) usw. Ein zylindersymmetrisches oder axialsymmetrisches Vektorfeld ist vom Typ o o o  ρ F = f ( ρ) ˜ eρ = f ( ρ) ˜ ρ

(U > 0)

(4-166)

Dieses Feld besitzt nur eine skalare Vektorkomponente in radialer Richtung: Fρ = f ( ρ), Fϑ = 0, Fφ = 0

(4-167)

Für die Rotation des Vektorfeldes gilt nach (4-154) folgender Ausdruck: o o o  rot F = rot § f ( ρ) ˜ eρ· = 0 (alle partiellen Ableitungen verschwinden)



©

¹

(4-168)

Ein kugel- oder radialsymmetrisches Vektorfeld (Zentralfeld) ist vom Typ o o o r F = f ( r) ˜ er = f ( r) ˜ r

(r > 0)

(4-169)

Dieses Feld besitzt nur eine skalare Vektorkomponente in radialer Richtung: Fr = f ( r), Fϑ = 0, Fφ = 0

(4-170)

Für die Rotation des Vektorfeldes gilt nach (4-155) folgender Ausdruck: o o o rot F = rot § f ( r) ˜ er· = 0 (alle partiellen Ableitungen verschwinden)



©

¹

Seite 434

(4-171)

Vektoranalysis

Beispiel 4.5.14: Das Geschwindigkeitsfeld der laminaren Rohrströmung einer viskosen, inkompressiblen Flüssigkeit konstanter Dichte in einem zylindrischen Rohr vom Radius r ist durch das nachfolgend angegebene Vektorfeld gegeben. Wie lautet die Rotation dieses Feldes? Wie lautet die Rotation im Punkt P 1 (1| 0 | 0) und P2 (-1| 0 | 0). Stellen Sie das Geschwindigkeitsfeld grafisch dar. 0 § · ¨ ¸ v ( x y z ) = c ˜ ¨ r2  x2  y2 ¸ ¨ ¸ 0 © ¹

2

2

2

x y dr

gegebenes Geschwindigkeitsfeld

§w · w ¨ vz  vy ¸ wz ¸ ¨ wy 0 · ¨w ¸ §¨ ¸ w rot ( v ( x y z ) ) = ¨ vx  vz ¸ = ¨ 0 ¸ wx ¸ ¨ ¨ wz ¸ © 2 ˜ x ¹ ¨w ¸ w ¨ vy  vx ¸ wy ¹ © wx

Der Rotationsvektor steht zur x-y-Ebene senkrecht

ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

c 1

r

8

gewählte Konstante und gewählter Radius

0 § · ¨ ¸ v ( x y z )  c ˜ ¨ r2  x2  y2 ¸ ¨ ¸ 0 © ¹

Geschwindigkeitsfeld

§w · w ¨ R ( x y z) 2  R ( x y z ) 1 ¸ wz ¨ wy ¸ ¨w ¸ w rot3 ( R x y z )  ¨ R ( x y z ) 0  R ( x y z ) 2 ¸ wx ¨ wz ¸ ¨w ¸ w ¨ R ( x y z) 1  R ( x y z) 0 ¸ wy © wx ¹

mögliche Definition der Rotation mit Mathcad

§¨ 0 ·¸ rot3 ( v x y z ) o ¨ 0 ¸ ¨ 2 ˜ x ¸ © ¹

Auswertung mit Mathcad. Das Geschwindigkeitsfeld ist ein Wirbelfeld!

rot3 ( v 1 0 0)

§¨ 0 ·¸ ¨0 ¸ ¨ 2 ¸ © ¹

rot3 ( v 1 0 0)

§¨ 0 ·¸ ¨0 ¸ ¨2 ¸ © ¹

Ein Schaufelrädchen würde sich in diesem Punkt P1 im Uhrzeigersinn drehen! Siehe dazu auch Abb. 4.5.18.

Ein Schaufelrädchen würde sich in diesem Punkt P2 gegen den Uhrzeigersinn drehen! Siehe dazu auch Abb. 4.5.18.

Seite 435

Vektoranalysis

Anzahl der x- und y-Werte

n  20 i  0  n  1

Bereichsvariablen

k  0  n  1

xmin  2

xmax  2 minimale und maximale x- und y-Werte

ymin  2

ymax  2

i xi  xmin  ˜ xmax  xmin n 1



k





yk  ymin  ˜ ymax  ymin n1





vx  v xi yi 0 0 i k

vnorm_x  i k

Koordinatenvektoren



vx i k 2 2 § vx ·  § vy · © i k¹ © i k¹

Normalisiertes Feld in der x-y-Ebene

vnorm_x vnorm_y



vy  v xi yi 0 1 i k

Die Komponenten vx und vy des Geschwindigkeitsfeldes müssen in Form von Wertematrizen vorliegen!

vnorm_y  i k

vy i k 2 2 § vx ·  § vy · © i k¹ © i k¹

normalisiertes Geschwindigkeitsfeld

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Vektorfeld-Diagramm Bilder-Rahmen anzeigen Darstellung: Keine Füllung, Drahtpfeile, Volltonfarbe

Abb. 4.5.19

Seite 436

Vektoranalysis

Beispiel 4.5.15: In der Umgebung eines stromdurchflossenen geraden Leiters mit dem senkrechten Abstand r vom Leiter und einer Stromstärke I in z-Richtung lässt sich das Magnetfeld durch das nachfolgend gegebene Vektorfeld beschreiben. Geben Sie das Vektorfeld in Zylinderkoordinaten an und bestimmen Sie daraus die Rotation und die Divergenz. Stellen Sie das Magnetfeld auch grafisch dar. ORIGIN festlegen

ORIGIN  0

§¨ y ·¸ H ( x y z ) = ˜¨x ¸ 2 2˜ π˜ r ¨ 0 ¸ © ¹ I

gegebenes Magnetfeld

Überführung in Zylinderkoordinaten:

§ y ¨ 2 2 ¨x y §¨ y ·¸ I I ¨ x H ( x y z ) = ˜¨x ¸= ˜ ¨ 2 2 ˜ π 2˜ π˜ r ¨ 0 ¸ ¨ x2  y2 © ¹ ¨ © 0 H ( ρ φ z ) =

H ( ρ φ z ) =

ª y

I 2˜ π

˜«

2 2 ¬x  y

I 2˜ π˜ ρ

· ¸ ¸ ¸= I ¸ 2˜ π ¸ ¸ ¹

o y  o· x §x ˜  eρ  ˜ eϕ¸  2 ρ ρ © ¹ x  y2

˜¨

o  ˜ eϕ

y

§

˜¨

2

2

©x  y

o ˜ ex 

x 2

2

x y

o· o  ˜ ey  0 ˜ ez¸

¹

o x  o· oº  §y ˜  eρ  ˜ eϕ¸  0 ˜ ez» ρ ©ρ ¹ ¼

˜¨

magnetisches Feld in Zylinderkoordinaten (z-Komponente ist 0)

Mit den Feldkomponenten HU = 0 und H z = 0 erhalten wir nach (4-154): o 1 w o   w ρ ˜ Hϕ ˜ ez rot [ H( ρ φ z ) ] =  Hϕ ˜ eρ  ˜ ρ wρ wz





HM ist von z unabhängig: rot [ H( ρ φ z ) ] =

o 1 w § o o  I 1 w ·  ρ ˜ Hϕ ˜ ez = ˜ ¨ ρ ˜ ˜ ¸ ˜ ez = 0 2 ˜ π ˜ ρ¹ ρ wρ ρ wρ ©





Dieses Feld ist wirbelfrei (4-168)!

Für die Divergenz gilt nach (4-143):

div ( H) =

I 1 w § 1 w · ˜ ( ρ ˜ f ( ρ) ) = ˜ ¨ ρ ˜ ¸ =0 2 ˜ π ˜ ρ¹ ρ wρ © ρ wρ

Dieses Feld ist quellenfrei!

Seite 437

Vektoranalysis

I 1˜ A

gewählte Stromstärke durch den Leiter

§ y · ¨ 2 2¸ ¨ x y ¸ I ¨ ¸ H ( x y z )  ˜ x ¸ 2˜ π ¨ ¨ x2  y2 ¸ ¨ ¸ 0 © ¹

magnetisches Feld in kartesischen Koordinaten

n  21

Anzahl der x- und y-Werte

i  0  n  1

k  0  n  1

xmin  2 ˜ m

xmax  2 ˜ m

ymin  2 ˜ m

ymax  2 ˜ m

Bereichsvariablen

minimale und maximale x- und y-Werte

i xi  xmin  ˜ xmax  xmin n 1



k





yk  ymin  ˜ ymax  ymin n1



Koordinatenvektoren





Wertematrix des Vektorfeldes

Hi k  H xi yk 0 hx

i k



Hi k 0

hy

i k



Hi k 1

Die Komponenten hx und hy des Vektorfeldes müssen in Form von Wertematrizen vorliegen!

Magnetfeld Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Vektorfeld-Diagramm Bilder-Rahmen anzeigen Darstellung: Keine Füllung, Drahtpfeile, Volltonfarbe

Abb. 4.5.20

hx hy

Seite 438

Vektoranalysis

4.6 Mehrfach-Anwendung der Differentialoperatoren Laplace-Operator: Wir gehen wieder von einer differenzierbaren skalaren Funktion f(x,y,z) aus, wie sie im Abschnitt 4.5.1 beschrieben wurde. Das Hintereinanderausführen der Differentialoperatoren "div" und "grad" bzw. das skalare Produkt o des Nabla-Operators ∇ führt zum sogenannten Laplace-Operator Δ (Differentialoperator 2. Ordnung): o o o o o2 div ( grad ( f) ) = ∇ ˜ ∇ ˜ f = ∇ ˜ ∇ ˜ f = ∇ ˜ f = Δf

 



2

d

Δf ( x y z ) =

2



2

d

f ( x y z ) 

2

dx

(4-172)

2

f ( x y z ) 

dy

d

dz

2

f ( x y z )

(4-173)

Bei einem ebenen Problem reduziert sich der Laplace-Operator auf 2

Δf ( x y) =

2

d

2

f ( x y z ) 

dx

d

2

f ( x y z )

(4-174)

dy

In Polarkoordinaten ergibt sich der Laplace-Operator zu 2

Δf ( r φ) =

d

2

dr

f ( r φ) 

2 1 w 1 d f ( r φ) ˜ ˜ f ( r φ)  2 dφ2 r wr r

(4-175)

Der Laplace-Operator in Polarkoordinaten enthält auch die 1. Ableitung im Gegensatz zur kartesischen Darstellung. In Zylinderkoordinaten ergibt sich der Laplace-Operator zu

Δf ( ρ φ z ) =

2 2 ªw § w ·º 1 d d ˜ « ¨ ρ ˜ f ( ρ φ z ) ¸»  ˜ f ( ρ φ z )  f ( ρ φ z ) 2 2 ρ ¬wρ © wρ ¹¼ ρ2 2 2 dφ dz

1

(4-176)

Der Laplace-Operator in Zylinderkoordinaten enthält auch die 1. Ableitung im Gegensatz zur kartesischen Darstellung. In Kugelkoordinaten ergibt sich der Laplace-Operator zu (4-177)

Δf ( r ϑ φ) =

1 2

r

˜

ªw § 2 w º 2 1 d « r ˜ f ( r ϑ φ) ·  1 ˜ ªw § sin ( ϑ) ˜ w f ( r ϑ φ) ·º  » f ( r ϑ φ) ˜ ¨ ¸ « ¨ ¸ » «wr © wr » wϑ ¹ sin ( ϑ) ¬wϑ © ¹¼ sin ( ϑ) 2 dφ2 ¬ ¼

Der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten enthält auch die 1. Ableitung im Gegensatz zur kartesischen Darstellung.

Seite 439

Vektoranalysis

Die homogene Differentialgleichung 2. Ordnung Δf = 0

(4-178)

heißt Laplace-Gleichung. Die Lösungen dieser Differentialgleichung heißen harmonische Funktionen. Die inhomogene Differentialgleichung 2. Ordnung mit der Störfunktion g Δf = g

(4-179)

heißt Poisson- oder Potentialgleichung. Die Lösungen dieser Differentialgleichung heißen Potentialfunktionen.

Beispiel 4.6.1: Es soll gezeigt werden, dass die Funktion f(r) = ln(1/r) (r > 0) im Zweidimensionalen eine harmonische Funktion ist, d. h. eine spezielle Lösung der Laplace-Gleichung Δf = 0 darstellt.

§ 1 · = ln r 1 = 1 ˜ ln ( r) ¸ ©r¹



f ( r) = ln ¨

ª« « 2 2 f ( x y)  ln ¬ x  y



1º



2

» » ¼

Darstellung in kartesischer Form

2

2

d

Δ2 ( f x y) 

Umformung mithilfe der Logarithmusgesetze

2

d

f ( x y) 

2

dx

f ( x y)

dy

Die Funktion f(r) = ln(1/r) ist also eine Lösung der Laplace-Gleichung!

Δ2 ( f x y) vereinfachen o 0

Beispiel 4.6.2: Es soll gezeigt werden, dass das räumliche skalare Feld f(r) = ln(r) (r > 0) eine spezielle Lösung der 1 Poisson-Gleichung Δf = darstellt. 2 r

ª« « 2 2 2 f ( x y z )  ln ¬ x  y  z



1º



2

» » ¼

Darstellung in kartesischer Form

2

Δ3 ( f x y z )  r r

d

2

2

d

f ( x y z ) 

dx

2

2

f ( x y z ) 

dy

dz

2

f ( x y z )

Redefinition Das Ergebnis ist also vereinfachen

Δ3 ( f x y z )

d

2

2

2

o

2

ersetzen x  y  z = r

1 2

r

1 2

.

r Die Funktion f(r) = ln(r) ist also eine Lösung der Poisson-Gleichung!

Seite 440

Vektoranalysis

Beispiel 4.6.3: Gesucht sind diejenigen Lösungen f(r) der Laplace-Gleichung Δf = 0, die Rotationssymmetrie besitzen, d. h. nur von der Abstandskoordinaten r abhängen. Nach (4-175) gilt: 2

d

Δf ( r) =

f ( r φ) 

2

dr

1 w ˜ f ( r φ) = 0 r wr

bzw.

f '' ( r) 

1 r

˜ f ' ( r) = 0

Laplace-Gleichung

Diese Differentialgleichung 2. Ordnung kann durch Substitution auf eine Differentialgleichung 1. Ordnung gebracht werden (siehe dazu Band 4): u = f ' ( r)

Substitution

u' = f '' ( r)

Damit lautet die Differentialgleichung 1. Ordnung: u' 

1 r

bzw.

˜u=0

d dr

u

u

=0

r

Durch Trennung der Variablen kann dann auf beiden Seiten integriert werden: du dr ´ µ µ µ ¶

=

u

du

Ÿ

r

´ µ du = µ u µ ¶

1

1

r

u

dr

=

dr r

ln ( u) = ln ( r)  C

Ÿ

Setzen wir die Konstante C = ln(C1) und wenden die Logarithmusregeln an, dann erhalten wir:



ln ( u ˜ r) = ln C1

Mit der Umkehrfunktion folgt schließlich: bzw.

u ˜ r = C1

u=

C1 r

Durch Rücksubstitution und anschließende Integration erhalten wir dann: ´ µ f ( r) = C1 ˜ µ µ ¶

1 r

dr = C1 ˜ ln ( r)  C2

Damit lauten die rotationssymmetrischen Lösungen mit den noch zu bestimmenden Konstanten C1, C2 : f ( r) = C1 ˜ ln ( r)  C2

Seite 441

Vektoranalysis

Quellenfreies Vektorfeld:

o o Wir gehen von zwei Vektorfeldern F und E aus. o o o o Ein Wirbelfeld F = rot E = ∇ u E ist stets quellenfrei, d. h. es genügt der Bedingung



o o div F = div rot E



  = o∇ ˜ o∇ u oE = 0

§w ¨ ¨ wx ¨w o div rot E = ¨ ¨ wy ¨w ¨ © wz

 

=

w w wxwy

(4-180)

· §w · w ¸ ¨ Ez  Ey ¸ wz ¸ ¨ wy ¸ ¸ ¨w ¸ w ¸ ˜ ¨ Ex  Ez ¸ wx ¸ ¨ wz ¸ ¸ ¨w ¸ w ¸ ¨ Ey  Ex ¸ wy ¹ © wx ¹ Ez 

w w wxwz

Ey 

w w wywz

Ex 

w w wywx

Ez 

w w wz wx

Ey 

w w wz wy

Ex = 0

(4-181)

o Wenn wir voraussetzen, dass die Vektorkoordinaten von E stetige partielle Ableitungen 2. Ordnung besitzen, so heben sich nach dem Satz von Schwarz (Band 3, Abschnitt 10.3) in (4-181) die gemischten partiellen Ableitungen auf. o Umgekehrt lässt sich auch zeigen, dass ein quellenfreies Vektorfeld F stets als Rotation eines o Vektorfeldes E dargestellt werden kann: o oo o o o o div F = ∇ ˜ F = 0 Ÿ F = rot E = ∇ u E





(4-182)

o Das Vektorfeld E heißt Vektorpotential und ist bis auf den Gradienten einer skalaren Funktion f eindeutig bestimmt. Quellenfreie Vektorfelder, die in den Anwendungen eine Rolle spielen, sind z. B.: homogene Vektorfelder (elektrische Felder in einem Plattenkondensator), elektrisches Feld einer Punktladung, Gravitationsfeld einer Masse, Magnetfeld in der Umgebung eines stromdurchflossenen geraden Leiters usw.

Beispiel 4.6.4: Ist das nachfolgend gegebene Vektorfeld quellenfrei? ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

§ x2 ˜ y · ¨ ¸ v ( x y z )  ¨ z ¸ ¨ ¸ ©x ˜ y ˜ z ¹

gegebenes Vektorfeld

Seite 442

Vektoranalysis

∇3 ( D x y z ) 

w wx

D ( x y z ) 1 

w wy

D ( x y z ) 2 

w wz

D ( x y z ) 3

Das Vektorfeld v ist nicht Rotation eines anderen Vektorfeldes, also nicht quellenfrei!

∇3 ( v x y z ) o 3 ˜ x ˜ y

Beispiel 4.6.5: o o  Ein homogener in z-Richtung gerichteter Elektronenstrahl mit der Stromdichte i = I0 ˜ ez erzeugt ein ringförmiges Magnetfeld um die z-Achse. Dieses Magnetfeld besitzt die nachfolgend gegebene o o Feldstärke H. Ist das durch rot H entstehende Vektorfeld quellenfrei?



H ( ρ) =

1 2

magnetische Feldstärke des Elektronenstrahls

˜ I0 ˜ ρ ˜ eϕ

Mit den Feldkomponenten HU = 0 und H z = 0 erhalten wir nach (4-156): o 1 w o   w ρ ˜ Hϕ ˜ ez rot [ H( ρ φ z ) ] =  Hϕ ˜ eρ  ˜ ρ wρ wz





HM ist von z unabhängig: rot [ H( ρ φ z ) ] =

I0 ˜ ρ ·  o 1 w § o I0 1 o o o    1 w ¸ ˜ ez = ˜ ˜ w ρ2 ˜ ez = I0 ˜ ez = i ρ ˜ Hϕ ˜ ez = ˜ ¨ ρ ˜ ˜ 2 ¹ 2 ρ wρ ρ wρ ρ wρ ©





Für die Divergenz gilt nach (4-138):

§§ 0 ·· ¨¨ ¸¸ div ( H) = div ¨ ¨ 0 ¸ ¸ = 0 ¨¨ I ¸¸ ©© 0 ¹¹

Dieses Feld ist quellenfrei!

Wirbelfreies Vektorfeld:

o Wir gehen von einem Vektorfeld F und einem skalaren Feld f aus. o o o Ein wirbelfreies Vektorfeld hat die Eigenschaft rot F = 0 . Ein Gradientenfeld F = grad ( f) ist stets wirbelfrei, d.h. es genügt der Bedingung



o o o o rot F = rot ( grad ( f) ) = ∇ u ∇ ˜ f = 0

(4-183)

§w w w w · f  f ¸ ¨ y z w w w z w y ¨ ¸ §0 · ¨w w w w ¸ ¨ ¸ f  f ¸ = ¨0 ¸ rot ( grad ( f) ) = ¨ z x w w w z w z ¨ ¸ ¨0 ¸ © ¹ ¨w w w w ¸ f  f ¸ ¨ © wxwy wywx ¹

(4-184)





Seite 443

Vektoranalysis

Wenn wir voraussetzen, dass die Vektorkoordinaten von rot ( grad ( f) ) stetige partielle Ableitungen 2. Ordnung besitzen, so heben sich nach dem Satz von Schwarz (Band 3, Abschnitt 10.3) in (4-184) die gemischten partiellen Ableitungen auf und jede Komponente des Vektors ist dann gleich null. o Umgekehrt lässt sich auch zeigen, dass ein wirbelfreies Vektorfeld F stets als Gradient eines skalaren Feldes f dargestellt werden kann: o o o o o rot F = ∇ u F = 0 Ÿ F = grad ( f)



(4-185)

Wirbelfreie Vektorfelder, die in den Anwendungen eine Rolle spielen, sind z. B.: homogene Vektorfelder (elektrische Felder in einem Plattenkondensator), zylinder- oder axialsymmetrische Vektorfelder (elektrisches Feld in der Umgebung eines geladenen Zylinders), kugel- oder radialsymmetrische Vektorfelder (elektrisches Feld einer Punktladung, Gravitationsfeld einer Masse) usw.

Beispiel 4.6.6: Ist das nachfolgend gegebene Vektorfeld ein Gradientenfeld? ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

§¨ y ·¸ v ( x y z )  ¨ x ¸ ¨0¸ © ¹

gegebenes Vektorfeld

rot3 ( R x y z )

§w · w ¨ R ( x y z) 2  R ( x y z ) 1 ¸ wz ¨ wy ¸ ¨w ¸ w ¨ R ( x y z ) 0  R ( x y z ) 2 ¸ wx ¨ wz ¸ ¨w ¸ w ¨ R ( x y z) 1  R ( x y z) 0 ¸ wy © wx ¹

§¨ 0 ·¸ rot3 ( v x y z ) o ¨ 0 ¸ ¨ 2 ¸ © ¹

mögliche Definition der Rotation mit Mathcad

Das gegebene Vektorfeld ist nicht wirbelfrei, daher auch kein Gradientenfeld!

Beispiel 4.6.7: Ist das gegebene Gradientenfeld wirbelfrei? ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

k 1

Konstante

Seite 444

Vektoranalysis

k

F1 ( x y z ) 

3

x2  y2  z2 2

rot3 ( R x y z )

§¨ x ·¸ ˜ ¨y ¸ ¨z ¸ © ¹

gegebenes Gradientenfeld

§w · w ¨ R ( x y z) 2  R ( x y z ) 1 ¸ wz ¨ wy ¸ ¨w ¸ w ¨ R ( x y z ) 0  R ( x y z ) 2 ¸ wx ¨ wz ¸ ¨w ¸ w ¨ R ( x y z) 1  R ( x y z) 0 ¸ wy © wx ¹

§¨ 0 ·¸ rot3 ( F1 x y z ) o ¨ 0 ¸ ¨0 ¸ © ¹

mögliche Definition der Rotation mit Mathcad

Das gegebene Gradientenfeld ist wirbelfrei. Wie bereits erwähnt, sind kugelsymmetrische Vektorfelder immer wirbelfrei.

Quellen- und wirbelfreie Vektorfelder: o Ein quellen- und zugleich wirbelfreies Vektorfeld F muss die folgenden Gleichungen erfüllen: o div F = 0 und



o o rot F = 0



(4-186)

Ein solches Vektorfeld ist dann wegen der Wirbelfreiheit als Gradient eines skalaren Feldes f (Potentialfunktion) darstellbar: o F = grad ( f)

(4-187)

Damit erhalten wir durch Einsetzen von (4-185) in die erste Gleichung von (4-184) und der Beziehung von (4-170) o div F = div ( grad ( f) ) = Δf = 0



(4-188)

Also ist die zugehörige Potentialfunktion eine Lösung der Laplace-Gleichung (ansonsten eine Lösung der Poisson-Gleichung). Ein solches Feld wird auch ein Laplace-Feld genannt.

Beispiel 4.6.8: Das Potential M im Außenraum einer positiv geladenen Kugel mit dem Radius R ist durch die nachfolgende Gleichung gegeben. Prüfen Sie, ob diese Funktion unter Berücksichtigung der Kugelsymmetrie die LaplaceGleichung erfüllt. Bestimmen Sie weiters die elektrische Feldstärke aus dem negativen Gradienten des o Potentials ( E = grad ( φ)). φ ( r) =

Q 4 ˜ π ˜ ε0 ˜ r

rtR

elektrisches Potential außerhalb einer geladenen Kugel (H0 bedeutet die Feldkonstante)

Seite 445

Vektoranalysis

Die Laplace-Gleichung lautet unter Berücksichtigung der Kugelsymmetrie nach (4-177): 1

d

§2 d · ˜ ¨ r ˜ φ ( r) ¸ = 0 2 dr ¹ r dr © d

dr

φ ( r) =

Q 2

4 ˜ π ˜ ε0 ˜ r

1

Q ªd § 2 ·¸º» = 1 ˜ § d Q · = 0 ˜ « ¨r ˜ 2 2 2 ¨ 4˜ π˜ ε ¸ 0¹ r «dr ¨ 4 ˜ π ˜ ε 0 ˜ r ¸» r © dr

¬ ©

Die Potentialfunktion erfüllt also die Laplace-Gleichung

¹¼

o o o w d E = grad ( φ) =  φ ( r) ˜ er =  φ ( r) ˜ er wr dr

elektrisches Feld ergibt sich aus dem negativen Gradienten

o o o· o Q Q d d§ E =  φ ( r) ˜ er =  ¨ ˜ er¸ = ˜ er dr dr © 4 ˜ π ˜ ε 0 ˜ r ¹ 4 ˜ π ˜ ε 0 ˜ r2

elektrisches Feld außerhalb der geladenen Kugel ( r t R )

Das elektrische Feld ist außerhalb der geladenen Kugel quellen- und wirbelfrei! o E ( r) = E =

Q

Betrag des elektrischen Feldes. Die Feldstärke nimmt mit zunehmender Entfernung r vom Kugelmittelpunkt ab.

2

4 ˜ π ˜ ε0 ˜ r Beispiel 4.6.9:

Ein elektrisches Feld wird von einer Raumladung mit der ortsabhängigen Ladungsdichte ρel ( x y z ) erzeugt. ρel o o verknüpft Die Feldstärke E und die Ladungsdichte ρel ( x y z ) sind über die Maxwell-Gleichung div E = ε0 (H0 bedeutet die Feldkonstante). Zeigen Sie, dass das Potential M der Poisson-Gleichung genügt.



Das elektrische Feld ist der negative Gradient des Potentials: o E = grad ( φ) Daraus berechnen wir die Divergenz (die Quellen des elektrischen Feldes sind die Ladungen): ρel o div E = div ( grad ( φ) ) = div ( grad ( φ) ) = Δφ = ε0



Δφ =

ρel ε0

bzw.

Δφ = 

ρel ε0

Die gesuchte Poisson-Gleichung (Potentialgleichung). Bei einem ladungsfreien Feld geht diese Gleichung in die Laplace-Gleichung über.

Seite 446

Vektoranalysis

4.7 Linien- oder Kurvenintegrale Grundsätzlich unterscheiden wir zwischen zwei Arten von Kurvenintegralen oder Linienintegralen.  o T 3 Sei C: [ t , t ] o G( ), r ( t ) = ( x ( t ) y ( t) z ( t) ) eine stückweise stetig differenzierbare Raumkurve, 1

2

 o  o o d die die Punkte P und P ( r t1 und r t2 ) verbindet, und r ( t ) der zugehörige Tangentenvektor der 1 2 dt





Kurve. Kurvenintegral 1. Art: o Für stetige Skalarfelder f : G(3 ) o, f r = f ( x y z ) ist das Kurvenintegral 1. Art definiert durch



(4-189)

Eine Anwendung findet dieses Integral z. B. bei der Berechnung der Bogenlänge (siehe dazu (4-22))  o  o mit z. B. der Massendichte ρ r ( t) = f r ( t) = 1, statischer Momente, Trägheitsmomente usw.

 

Kurvenintegrale 2. Art: o o T 3 Für stetige Vektorfelder F : D( ) o , F = Fx ( x y z ) Fy ( x y z ) Fz ( x y z ) ist das Kurvenintegral 2. Art definiert durch



=



(4-190)

t

=

´2 § · µ ¨ F ( x ( t ) y ( t) z ( t) ) ˜ d x ( t)  F ( x ( t) y ( t ) z ( t) ) ˜ d y ( t )  F ( x ( t) y ( t ) z ( t) ) ˜ d z ( t) ¸ dt x y z µ © dt dt dt ¹ ¶t 1

Eine Anwendung findet dieses Integral z. B. bei der Berechnung der Arbeit und der Zirkulation (Strömungslehre), bei der Untersuchung von Potentialfeldern usw. o Ist F ein Kraftfeld, das z .B. einen Massenpunkt von einem Punkt P1 aus längs der Kurve C in einem Punkt P2 verschiebt, so bedeutet (4-191)

die physikalische Arbeit, die das Kraftfeld an einem Massenpunkt verrichtet. Sie kann positiv (Verschiebung in Richtung des Kraftfeldes) oder negativ (gegen die Richtung des Kraftfeldes) sein. Eine besondere Rolle spielen in den Anwendungen Potentialfelder (konservative Felder). Zu ihnen gehören z. B. die bereits erwähnten homogenen und kugelsymmetrischen Kraftfelder.

Seite 447

Vektoranalysis

Bemerkungen:

o o Das Wegelement d r wird häufig bei verschiedenen Anwendungen auch durch das Symbol d s (infinitesimaler Verschiebungsvektor) gekennzeichnet. Der Wert eines Kurvenintegrals (Linienintegrals) 2. Art hängt im Allgemeinen nicht nur vom Anfangspunkt P1 und Endpunkt P2 des Integrationsweges ab, sondern auch noch vom eingeschlagenen Verbindungsweg. In der Praxis kommen oft Kurven vor, die nur stückweise eine stetige Ableitung haben, die also durch Aneinanderhängen von endlich vielen Kurven mit stetiger Ableitung entstehen. Ein Beispiel ist die Integration über den Rand eines Dreiecks. Dafür addieren wir einfach die entsprechenden Kurvenintegrale. Für ein Kurvenintegral längs eines geschlossenen Integrationsweges C mit dem Anfangs- und Endpunkt P1 , auch Umlaufintegral genannt, wird meist ein Kreissymbol über das Integralzeichen geschrieben. In Mathcad ist diese Schreibweise nicht möglich. Die Kurvenintegrale gelten auch für ebene Probleme.

Beispiel 4.7.1: Berechnen Sie die Masse m1 des Bogens der Kurve y = ln(x) zwischen x 1 = 1 und x 2 = 4, wenn die lineare Dichte U der Kurve in jedem Punkt gleich dem Quadrat seiner Abszisse ist. x x ´ 2 ´ 2 2 µ µ m1 = ρ ds = x ds µ µ ¶x ¶x 1

ds =

1

1 y'

2

2

§ 1· 1  ¨ ¸ ˜ dx = ©x¹

˜ dx =

2

x ˜

2

1x x

x2 1 ´ µ dx = ˜ 2 µ ¶ x1

1

´ µ m1  µ µ ¶

2

1x x

˜ dx

Bogenelement 3

x2

´ µ m1 = µ µ ¶x

Kurvenintegral 1. Art zur Berechnung der Masse

x2 1 ´ µ 1  x ˜ 2 ˜ x dx = ˜ 2 µ ¶ 2

2



2

1 x d 1 x

x1

=

1 2

˜

x1

1  x2 2

| x2

3 2

4 2

x ˜

2

1 x x

dx

m1

22.421

Maßzahl der Masse

1

Beispiel 4.7.2:

Berechnen Sie das Kurvenintegral 1. Art I =

´ µ µ ¶

x ˜ y ˜ z ds wenn C der Bogen der Kurve x = t , y =

, z=

1 2

2

˜ t zwischen t = 0 und t = 1 ist.

Seite 448

1 3

˜

8˜ t

3

Vektoranalysis

I=

´ µ 2 µ ˜ x ˜ y ˜ z ds = 3 µ ¶

´ µ µ ¶

1

1

9

t

2

˜

0

´ 9 µ 2 2 2 2 µ 2 §d · §d · §d · ˜ µ t ˜ ( 1  t ) dt ¨ x ( t ) ¸  ¨ y ( t ) ¸  ¨ z ( t ) ¸ dt = 3 ¶0 © dx ¹ © d y ¹ © d z ¹

1

´ 9 µ 16 ˜ 2 2 µ 2 ˜ µ t ˜ ( 1  t) dt vereinfachen o I = I= 3 ¶0 143 Beispiel 4.7.3: T o §  o t · Berechnen Sie das Kurvenintegral längs der Kurve r ( t) = ¨ cos ( t ) sin ( t )  ¸ (0 dt d2 S) für das Vektorfeld F 2 ˜ π¹ © .

§¨ y ·¸ o F( x y z ) = ¨ x ¸

gegebenes Vektorfeld

¨1¸ © ¹

´ µ t2 µ o ´ o   µ f r ( t ) ˜ d r ( t ) dt = µ µ µ dt µ ¶t 1 µ ¶

2˜π



0

´ µ µ ¶

2˜π

0

§ sin ( t) · 2˜π §¨ sin ( t) ·¸ ¨ ¸ ´ cos ( t ) ¸ dt = µ §¨ sin ( t) 2  cos ( t) 2  1 ¸· dt ¨ cos ( t) ¸ ˜ ¨ µ 2 ˜ π¹ © ¨ 1 ¸ ¨ 1 ¸ ¶ © ¹ ¨ ¸ 0 © 2˜ π ¹

§ sin ( t) 2  cos ( t) 2  1 · dt = ´ µ ¨ ¸ µ 2 ˜ π¹ © ¶

2˜π

0

Kurvenintegral 2. Art

§ 1  1 · dt = 2 ˜ π ˜ § 1  1 · = 1  2 ˜ π Wert des Kurven¨ ¸ ¨ ¸ integrals 2. Art 2 ˜ π¹ 2 ˜ π¹ © ©

Beispiel 4.7.4: Wie lautet jeweils der Wert des Kurvenintegrals längs der Kurven C 1 und C 2 (0 dt d1) für das ebene o Vektorfeld F( x y)? r1 ( t) 

§t · ¨ ¸ ©t ¹

Kurve C1

r2 ( t) 

§ t· ¨ ¸ © t ¹

Kurve C2

F ( x y) 

§¨ x2 ˜ y ·¸ ¨© x  y ¸¹

gegebenes Vektorfeld

Seite 449

Vektoranalysis

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

t  0 0.001  1

Bereichsvariable Kurve C1 und C2

1

0.8

r1( t) 2 0.6 r2( t) 2

Abb. 4.7.1 0.4

0.2

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

r1( t) 1 r2( t) 1

t ´ ´ oo o ´ 2o  o  o µ µ µ F r ( t ) ˜ d r ( t ) dt = µ F r r = d µ µ dt ¶ µ ¶ ¶t





0

1

´ µ µ µ ¶

1

0



1

0

§¨ t3 ·¸ § 1 · ˜ ¨ ¸ dt ¨© 2 ˜ t ¸¹ © 1 ¹

§¨ t3 ·¸ § 1 · 5 ˜ ¨ ¸ dt vereinfachen o ¨© 2 ˜ t ¸¹ © 1 ¹ 4

Wert des Kurvenintegrals entlang des Weges C1

1

´ µ oo o  o d F r dr = µ F r ( t ) ˜ r ( t ) d t = µ µ µ dt µ ¶t ¶ 1 0

´ µ µ ¶

´ µ µ µ µ ¶

1

t o ´ 2o 



1 · §¨ t2 ·¸ §¨ ¸ ˜ ¨ 2 ˜ t ¸ dt ¨t  t ¸ ¨ © ¹ © 1 ¸¹

1 · §¨ t2 ·¸ §¨ ¸ 41 ˜ ¨ 2 ˜ t ¸ dt vereinfachen o ¨t  t ¸ ¨ 30 © ¹ © 1 ¸¹

Wert des Kurvenintegrals entlang des Weges C2

Der Wert eines Kurvenintegrals hängt also nicht nur von den beiden Endpunkten P 1 (0|0) und P2 (1|1) der betrachteten Kurven ab, sondern auch von dem Weg, der dabei zurückgelegt wurde.

Seite 450

Vektoranalysis

Beispiel 4.7.5: Wir betrachten zwei Kurven im Raum C1 : t o(t, t, t)T (0 dt d1) und C 2 : t o(t, t2 , t 3 )T (0 dt d1), die beide den Punkt P1 (0|0|0) mit den Punkt P 2 (1|1|1) verbinden. Wie lautet jeweils der Wert des Kurvenintegrals für o das gegebene Vektorfeld K? ORIGIN festlegen

ORIGIN  0 x1 ( t )  t

Parametergleichungen der Kurve C 1

y1 ( t )  t z1 ( t )  t

§¨ x1 ( t) ·¸ r1 ( t)  ¨ y1 ( t ) ¸ ¨ z1 ( t) ¸ © ¹

Ortsvektor für die Raumkurve C1

x2 ( t )  t y2 ( t )  t z2 ( t )  t

2

Parametergleichungen der Kurve C 2

3

§¨ x2 ( t) ·¸ r2 ( t)  ¨ y2 ( t ) ¸ ¨ z2 ( t) ¸ © ¹

Ortsvektor für die Raumkurve C2

Raumkurven

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Streuungsdiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: Linien und Punkte zeichnen Achsen: Teilstriche, automatische Gitterwerte, Achsenformat nummeriert, Beschriftung QuickPlot-Daten: Beginn 0, Ende 1, Schrittweite 20 Diagramm 2: Allgemein: Streuungsdiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: Linien und Punkte zeichnen Achsen: Teilstriche, automatische Gitterwerte, Achsenformat nummeriert, Beschriftung QuickPlot-Daten: Beginn 0, Ende 1, Schrittweite 20

r1 r2 Abb. 4.7.2

§ y2 · ¨ ¸ K ( x y z )  ¨ x ˜ z ¸ ¨ ¸ © 1 ¹

gegebenes Vektorfeld

Seite 451

Vektoranalysis

´ µ t2 o d oo o ´ o  o µ K r dr = µ K r ( t ) ˜ r ( t ) dt = µ µ dt µ ¶t µ 1 ¶

´ µ µ ¶



1



0

´ µ µ µ µ µ ¶

1

0

§ t2 · § 1 · ¨ ¸ ¨ ¸ 5 ¨ t2 ¸ ˜ ¨ 1 ¸ dt vereinfachen o 3 ¨ ¸ ¨1 ¸ © ¹ ©1¹

Wert des Kurvenintegrals entlang des Weges C1

´ µ t2 o d oo o ´ o  o µ K r dr = µ K r ( t ) ˜ r ( t ) dt = µ µ dt µ ¶t µ 1 ¶

´ µ µ ¶



1



0

´ µ µ µ µ µ ¶

1

0

§ t2 · § 1 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ t 2 ¸ ˜ ¨ 1 ¸ dt ¨ ¸ ¨1 ¸ ©1¹ © ¹

§ t4 · § 1 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ t 4 ¸ ˜ ¨ 2 ˜ t ¸ dt ¨ ¸ ¨ 2¸ © 1 ¹ ©3 ˜ t ¹

§ t4 · § 1 · ¨ ¸ ¨ ¸ 23 ¨ t4 ¸ ˜ ¨ 2 ˜ t ¸ dt vereinfachen o 15 ¨ ¸ ¨ 2¸ ˜ 3 t ¹ ©1¹ ©

Wert des Kurvenintegrals entlang des Weges C2

Der Wert des Kurvenintegrals hängt also auch hier nicht nur von den beiden Endpunkten P 1 (0|0|0) und P 2 (1|1|1) der betrachteten Kurven ab, sondern auch von dem Weg, der dabei zurückgelegt wurde. Beispiel 4.7.6 o Wie groß ist die Arbeit, die das ebene Kraftfeld F an einem Massenpunkt bei einer gradlinigen Verschiebung von P1 (0|0) nach P2 (2|2) verrichtet?

§2 ˜ t · ¨ ¸ ©2 ˜ t ¹

r ( t) 

F ( x y) 

§¨ x ˜ y2 ·¸ ¨© x ˜ y ¸¹

Kurve C (0 dt d1) von P1 nach P2

gegebenes ebenes Kraftfeld

´ t ´ oo o ´ 2o  o  o µ d µ W = µ F r dr = µ F r ( t ) ˜ r ( t ) dt = µ µ dt ¶ µ ¶t ¶ 1



1



0

´ µ W=µ µ ¶

1

0

§ t3 · § 2 · ¨ ¸ ˜ ¨ ¸ dt ¨ 2 ¸ ©2 ¹ ©t ¹

§ t3 · § 2 · ¨ ¸ ˜ ¨ ¸ dt vereinfachen o W = 7 ¨ 2 ¸ ©2 ¹ 6 ©t ¹

Zahlenwert, für die vom Kraftfeld entlang des Weges C geleistete Arbeit

Seite 452

Vektoranalysis

Konservative Vektorfelder oder Potentialfelder: Der Wert des Linien- oder Kurvenintegrals eines Vektorfeldes entlang einer Kurve C, die zwei Punkte P1 und P2 verbindet, ist in der Regel, wie vorher aus einigen Beispielen zu entnehmen ist, abhängig von der Verbindungskurve. Es gibt allerdings eine wichtige Kategorie von Vektorfeldern, für die das Linien- oder Kurvenintegral nur vom Anfangspunkt P1 und Endpunkt P2 , nicht aber vom eingeschlagenen Verbindungsweg der beiden Punkte abhängt, also wegunabhängig ist. o Ein Vektorfeld F heißt konservativ oder ein Potentialfeld, wenn das Linien- oder Kurvenintegral ´ oo o µ µ F r dr ¶



nur vom Anfangs- und Endpunkt, nicht aber vom eingeschlagenen

Verbindungsweg C der beiden Punkte P1 und P2 abhängt. Ein Linienintegral ´ oo o ´ µ µ µ F r dr = µ ¶ ¶



Fx ( x y z ) ˜ dx  Fy ( x y z ) ˜ dy  Fz ( x y z ) dz

(4-192)

ist wegunabhängig, wenn die lineare Differentialform oo o F r ˜ d r = Fx ( x y z ) ˜ dx  Fy ( x y z ) ˜ dy  Fz ( x y z ) ˜ dz



(4-193)

vollständig ist. Dies bedeutet aber, dass diese Differentialform das totale oder vollständige Differential df einer ortsabhängigen Funktion (Potentialfunktion) f(x,y,z) darstellt: df = Fx ˜ dx  Fy ˜ dy  Fz ˜ dz =

w wx

f ˜ dx 

w wy

f ˜ dy 

w wz

f ˜ dz

(4-194)

Es gilt dann nämlich: ´ oo o ´ µ µ µ F r dr = µ ¶ ¶



=

´ µ w w w Fx ˜ dx  Fy ˜ dy  Fz dz = µ f ˜ dx  f ˜ dy  f dz wy wz µ wx ¶

=

(4-195)

P ´ 2 µ 1 df = f P2  f P1 = f x2 y2 z 2  f x1 y1 z 1 µ ¶ P1

  





Das Linienintegral hängt also in diesem Fall nur vom Anfangspunkt P1 und dem Endpunkt P2 des Integrationsweges ab. Das Vektorfeld mit dieser Eigenschaft ist also ein konservatives Feld oder Potentialfeld und die Funktion f(x,y,z) heißt dann Potentialfunktion oder auch kurz Potential des Vektorfeldes. Es erhebt sich nun die Frage nach dem Kriterium dafür, dass der Ausdruck (4-194) ein totales Differential ist. Wir setzen in einem einfach zusammenhängenden Gebiet G voraus, dass es den Integrationsweg C enthält, in ihm die drei Funktionen Fx , Fy und Fz definiert und die Ableitungen stetig sind.

Seite 453

Vektoranalysis

Ist nun (4-192) das totale Differential einer Potentialfunktion f(x,y,z), gelten also die Gleichungen Fx =

w wx

f , Fy =

w wy

w

f , Fz =

wz

f

(4-196)

bzw.

so ist

§w · ¨ f¸ ¨ wx ¸ ¨w ¸ o F( x y z ) = grad ( f ( x y z ) ) = ¨ f ¸ , ¨ wy ¸ ¨w ¸ ¨ f¸ © wz ¹ w wy w wx

Fx = Fz =

w w wywx

f ,

w w wxwz

f ,

w wz

w w

Fx =

w wy

wz wx

Fz =

w

f ,

w w wywz

wz

Fy =

(4-197)

w w wz wx

f ,

w wx

Fy =

w w wxwy

f ,

(4-198)

f .

Alle diese Ableitungen sind nach Voraussetzung stetig. Es gelten aber dann nach dem Satz von Schwarz die Beziehungen (Integrabilitätsbedingung) w wz w wz w wy

Fy = Fx = Fx =

w wy w wx w wx

Fz bzw. Fz bzw.

Fy bzw.

w wy w wz w wx

Fz  Fx 

Fy 

w wz w wx w wy

Fy = 0

(4-199)

Fz = 0

Fx = 0

Somit müssen in jedem Gebiet G die Gleichungen (4-199) erfüllt sein, damit der Ausdruck (4-194) ein totales Differential einer Potentialfunktion f ist und somit das Kurvenintegral wegunabhängig ist. Die Bedingungen (4-199) lassen sich auch durch die Gleichung o o rot F = 0



(4-200)

beschreiben. Bemerkungen: Die zuvor angestellten Betrachtungen gelten auch in der Ebene. Ein einfach zusammenhängendes Gebiet ist ein Gebiet, in dem sich jede in ihm liegende geschlossene Kurve auf einen Punkt "zusammenziehen" lässt, ohne das Gebiet zu verlassen. In der Ebene könnte es z. B. ein rechteckiges Gebiet oder ein kreisförmiges Gebiet sein. Die x-y-Ebene ohne den Nullpunkt stellt ein zweifach zusammenhängendes Gebiet dar (Gebiet mit einem sogenannten "Loch").

Seite 454

Vektoranalysis

Sind C1 und C 2 zwei verschiedene Verbindungswege der Punkte P1 und P2 , so gilt wegen der Wegunabhängigkeit ´ o o ´ o o µ µ µ F d r = µ F dr ¶ ¶

(4-201)

Dies bedeutet, dass im Falle der Wegunabhängigkeit das Linienintegral längs einer geschlossenen Kurve verschwindet. Eigenschaften eines konservativen Vektorfeldes oder Potentialfeldes: o Ein konservatives Vektorfeld F besitzt in einem einfach zusammenhängenden Gebiet die folgenden gleichwertigen Eigenschaften: ´ oo o µ 1. Das Linien- oder Kurvenintegral µ F r dr ¶



längs einer Kurve C, die zwei beliebige Punkte P 1

und P2 verbindet, ist unabhängig vom eingeschlagenen Verbindungsweg, solange dieser vollständig im Gebiet liegt. 2. Das Linien- oder Kurvenintegral einer im Gebiet liegenden geschlossenen Kurve C hat stets den Wert null: ´ oo o µ µ F r dr = 0 ¶



(4-202)

o 3. Das Vektorfeld F ist überall im Gebiet als Gradient einer Potentialfunktion f darstellbar (d. h., konservative Felder sind Gradientenfelder): o F = grad ( f)

(4-203)

o 4. Das Vektorfeld F ist im Gebiet wirbelfrei: o o rot F = 0



(4-204)

o o 5. Das Skalarprodukt F ˜ d r ist das totale oder vollständige Differential einer Potentialfunktion f: o o df = F ˜ d r

(4-205)

Seite 455

Vektoranalysis

Kugel- oder radialsymmetrische Vektorfelder (Zentralfelder): Wie bereits in (4-169) ausgeführt wurde, verschwindet die Rotation eines kugelsymmetrischen o o Vektorfeldes oder Zentralfeldes F = f ( r) ˜ er in jedem Bereich, der den Nullpunkt r = 0 nicht enthält: o rot F = 0



(r > 0)

(4-206)

Es ist daher jedes Zentralfeld in jedem einfach zusammenhängenden Gebiet, das den Nullpunkt nicht enthält, konservativ. Der Raum ohne Nullpunkt (der Nullpunkt ist die einzig singuläre Stelle im Raum) stellt für ein Zentralfeld ein einfach zusammenhängendes Gebiet dar, weil sich jede geschlossene Kurve C ober- oder unterhalb des Nullpunktes auf einen Punkt zusammenziehen lässt. ´ oo o µ Das Linien- oder Kurvenintegral µ F r dr ¶



ist daher nur vom Anfangs- und Endpunkt abhängig,

nicht aber vom eingeschlagenen Verbindungsweg C der beiden Punkte. Für jede geschlossene Kurve C, die nicht durch den Nullpunkt verläuft, gilt: ´ oo o µ µ F r dr = 0 ¶



(4-207)

Beispiel 4.7.7: Zeigen Sie, dass das nachfolgend gegebene ebene Vektorfeld konservativ oder ein Potentialfeld und daher wegunbhängig ist. o o o o 3 4 o F( x y) = Fx ( x y) ˜ ex  Fy ( x y) ˜ ey = 4 ˜ x ˜ y ˜ ex  x ˜ ey

gegebenes Vektorfeld

Das gegebene Vektorfeld ist konservativ, weil die Integrabilitätsbedingung (4-199) erfüllt ist: w wy

Fx ( x y) =

w wy

4 ˜ x3 ˜ y = 4 ˜ x3

w wx

Fy ( x y) =

w 4 3 x = 4˜ x wx

Wegen (4-201) ist das Vektorfeld ein Gradientenfeld: o F( x y) = grad ( f ( x y) )

3

o § Fx · § 4 ˜ x ˜ y · ¨ ¸=¨ ¸ F= ¨ Fy ¸ ¨ 4 ¸ © ¹ © x ¹

§w · ¨ f ( x y) ¸ ¨ wx ¸ = ¨w ¸ ¨ f ( x y) ¸ © wy ¹

w 3 f ( x y) = 4 ˜ x ˜ y nach x und berücksichtigen, dass die Integrationskonstante C wx noch von der Variablen y abhängig ist: Wir integrieren zuerst

Seite 456

Vektoranalysis

´ µ w f ( x y) = µ f ( x y) dx = µ wx ¶

´ µ µ ¶

´ 3 µ 4 ˜ x ˜ y dx = 4 ˜ y ˜ µ ¶

3

4

x dx = x ˜ y  C ( y)

Die so erhaltene Funktion wird nun nach y differenziert: w wy

f ( x y) =

w wy

x4 ˜ y  C(y) = x4  C' (y)

Diese Ableitung muss natürlich mit der zweiten Komponente des Gradienten übereinstimmen, also: 4

4

Damit muss C' (y) = 0 sein. Durch Integration ergibt sich dann die Konstante zu: C(y) = const. = C0

x  C ' ( y) = x

Damit lautet die Potentialfunktion f schließlich: 4

f ( x y) = x ˜ y  C0 df ist dann das totale Differential (4-205): o o 3 4 df ( x y) = 4 ˜ x ˜ y ˜ dx  x ˜ dy = F ˜ d r Das Linienintegral ist wegunabhängig, und für einen beliebigen, von Punkt P1 (x1 |y1 ) nach P 2 (x2 |y2 ) führenden Integrationsweg C gilt somit: ´ oo o ´ µ µ µ F r dr = µ ¶ ¶



C

P2

P2 (x2 ,y2 ) 4 4 4 1 df ( x y) = f ( x y) | = x ˜ y  C0 | = x2 ˜ y2  x1 ˜ y1 (x1 ,y1 ) P1 1

´ 3 4 4 ˜ x ˜ y ˜ dx  x dy = µ ¶P

C

Beispiel 4.7.8: Wir wenden uns in diesem Beispiel der Frage zu, welche Wärmemenge U wir durch Änderung des Zustandes einer gegebenen Menge eines idealen Gases erhalten. Wird die Zustandsänderung durch eine Kurve C in der p-V-Ebene charakterisiert, so lässt sich diese Wärmemenge U durch das nachfolgende Kurvenintegral ausdrücken. Ist dieses Kurvenintegral wegunabhängig? ´ µ U=µ µ ¶

cp R

˜ p ˜ dV 

cv R

˜ V dp

C Betrachten wir die Wärmekapazitäten c p und c v des Gases bei konstantem Volumen und konstantem Druck als unveränderlich, so ist wegen c p z c v die Integrabilitätsbedingung hier offenbar verletzt:

§ cp · cp ¨ ˜ p¸ = wp © R ¹ R w

§ cv · cv ¨ ˜ V¸ = wV © R ¹ R w

Daraus folgt, dass die Wärmemenge U nicht etwa eine Funktion des Gaszustandes ist, sondern von dem Prozess abhängt, der zu diesem Zustand führte. Selbst bei einem zyklischen Prozess, der das Gas in seinen ursprünglichen Zustand zurückversetzt, kann Wärme gewonnen oder verloren werden.

Seite 457

Vektoranalysis

Multiplizieren wir die differentielle Größe dU der Wärmemenge mit 1/T, wobei die absolute Temperatur des Gases T = p V/R ist, so erhalten wir: dU = dU T

=

cp R

cv

˜ p ˜ dV 

cp T˜R

R

˜ p ˜ dV 

˜V˜d cv T˜R

˜ V ˜ dp =

cp p˜ V

˜ p ˜ dV 

cv

dV dp ˜ V ˜ dp = c p ˜  cv ˜ V p

p˜ V

dU/T ist dann ein totales Differential. Das Kurvenintegral ist somit wegunabhängig: ( V p )

´ 1 µ dU = µ T ¶ V p 1 1





( V p)

´ 1 1 µ cp ˜ ˜ dV  c v ˜ dp µ V p ¶ V p 1 1





Durch dieses Integral wird eine physikalische Größe, die sogenannte Entropie S, definiert. Sie ist eine Funktion des Gaszustandes. Stammfunktionen sind dann mit C0 als Konstante: S = c p ˜ ln ( V)  c v ˜ ln ( p)  C0 Beispiel 4.7.9: Eine Rakete mit mR = 50 000 kg soll von der Erde aus in h = 600 km Höhe steigen. Wie groß ist die zu verrichtende Hubarbeit? o Eine Masse m erfährt im Gravitationsfeld der Erdmasse mE die Kraft F: o o 㠘 m ˜ mE r 㠘 m ˜ mE o o r F = 㠘 m ˜ mE ˜ = ˜ = ˜ er 3 2 2 r r r r Dieses Zentralfeld ist konservativ und daher ist das Arbeitsintegral (Wegintegral) wegunabhängig: r h

´ oo o ´ E µ µ W = µ F r dr = µ ¶ µ ¶r E C



㠘 mR ˜ mE 2

r

24

Erdmasse

˜ kg

6

rE  6.37 ˜ 10 ˜ m

Erdradius

h  600000 ˜ m

Höhe über der Erde

γ  6.673 ˜ 10

 11

· ¸ h ¹

Raketenmasse

mR  50000 ˜ kg mE  6 ˜ 10

§1  1 © rE rE 

dr = 㠘 m R ˜ m E ˜ ¨

˜

m

3

kg ˜ s

§1  1 © rE rE 

W  㠘 mR ˜ mE ˜ ¨

Gravitationskonstante

2

· ¸ h ¹

W

2.705 u 10

11

J

Seite 458

Hubarbeit

Vektoranalysis

Beispiel 4.7.10: o Auf einen Elektronenstrahl, der mit konstanter Geschwindigkeit v senkrecht in ein homogenes Magnetfeld mit o  o der Flussdichte B eingeschossen wird, wirkt die Lorentz-Kraft FL. Die Lorentz-Kraft wirkt dabei als Zentripetalkraft und zwingt die Elektronen auf eine Kreisbahn K um die Feldrichtung als Achse (Abb. 4.7.3). Verrichtet das Magnetfeld eine Arbeit an den Elektronen?  o o o FL = e ˜ v u B





Lorentz-Kraft

Abb. 4.4.7.3

 o o dW = FL ˜ dr = 0

Die Vektoren stehen senkrecht!

Oder:  o o  o o o o o dW = FL ˜ dr = FL ˜ v ˜ dt = e ˜ v u B ˜ v ˜ dt = 0





Das Spatprodukt verschwindet, weil es zwei gleiche Vektoren enthält!

Damit ist das geschlossene Linienintegral, das die vom Magnetfeld verrichtete Arbeit pro Umlauf beschreibt, gleich null:

W=

´ µ µ ¶

 o o FL d r = 0

K

Seite 459

Vektoranalysis

4.8 Oberflächenintegrale von Vektorfeldern Noch wichtiger als die Integration skalarer Funktionen über Flächen (siehe dazu Band 3) ist z. B. in der Elektrotechnik oder der Dynamik von Gasen oder Flüssigkeiten die Integration von Vektorfeldern. o Zur näheren Erläuterung gehen wir von einem Geschwindigkeitsfeld stationärer Strömungen v aus und betrachten den Flüssigkeitsfluss durch das Flächenelement dA einer Fläche A im Raum (Abb. 4.8.1). Der Fluss durch das Flächenelemenet dA beträgt pro Zeiteinheit: dV dt

o  o o  o = v ˜ dA = § v ˜ n0· ˜ dA

©

(4-208)

¹

 o  o dA ist das orientierte vektorielle Flächenelement der Fläche A in Richtung der Flächennormale n0 (Normaleneinheitsvektor). Die Orientierung der Fläche im Raum ist damit durch die Flächennormale eindeutig festgelegt. Um den Gesamtfluss durch die Fläche A zu erhalten, also die in der Zeiteinheit durch die Fläche A strömende Flüssigkeitsmenge, brauchen wir nur alle Beiträge aufsummieren, d. h. integrieren. Der Gesamtfluss ist durch das folgende Oberflächenintegral oder Flussintegral gegeben: ´ o o ´ µ µ µ v dA = µ ¶ ¶ (A)

 o §o v ˜ n0· dA © ¹

(4-209)

(A)

Die Integration erfolgt dabei über eine Fläche (A) im Raum (Oberfläche). Dieses Oberflächenintegral wird auch Flussintegral des Vektorfeldes oder Fluss des Feldvektors durch die Fläche A oder auch Flächenintegral des Feldvektors über die orientierte Fläche A genannt. Das Oberflächenintegral wird oft mit zwei Integralzeichen dargestellt. Wird über eine geschlossene Fläche A integriert, so wird auch wie beim geschlossenen Kurvenintegral öfters ein Kreis über das Integralzeichen gezeichnet. Diese Darstellung kann in Mathcad nicht geschrieben werden. Solche Integrale werden auch Hüllenintegrale oder Fluss des Feldvektors durch eine geschlossene Fläche genannt.

Abb. 4.8.1

Seite 460

Vektoranalysis

o Oberflächenintegrale können für alle Arten von Vektorfeldern F bestimmt werden, sie sind natürlich nicht, wie in diesem Beispiel angeführt, auf Geschwindigkeitsfelder beschränkt. Die Berechnung eines Oberflächenintegrals ´ o o ´ µ µ µ F dA = µ ¶ ¶ (A)

o

 §o F ˜ n0· dA © ¹

(4-210)

(A)

unter Verwendung symmetriegerechter Koordinaten kann stets auf ein Doppelintegral zurückgeführt werden und erfolgt in vier Schritten: 1. Zuerst werden geeignete Koordinaten ausgewählt, die sich der Symmetrie des Problems in optimaler Weise anpassen. Zur Auswahl stehen kartesische Koordinaten oder die bereits öfters erwähnten Zylinder- und Kugelkoordinaten. o o   2. Anschließend wird die Flächennormale n0 und daraus das Flächenelement dA in den gewählten o o  Koordinaten bestimmt sowie das Skalarprodukt F ˜ dA berechnet. 3. Jetzt werden die Integrationsgrenzen im gewählten Koordinatensystem bestimmt. 4. Anschließend wird das Integral berechnet. o Ist die vom Vektorfeld F( x y z ) durchflutete Fläche A durch einen von den Parametern u und v abhängigen Ortsvektor (4-40)

§¨ x ( u v) o r ( u v) = ¨ y ( u v)

·¸ ¸ ¨ z ( u v) ¸ © ¹

(4-211)

gegeben, dann besitzt das Oberflächenintegral die folgende Gestalt: ´ o o ´ µ µ µ F dA = µ ¶ ¶ (A)

´

´

¶

¶

o  o o o µ µ §o F ˜ § tu u tv· du dv F ˜ n0· dA = µ µ © ¹ © ¹

(A)

(4-212)

(A)

Die Integralberechnung erfolgt dann wieder in vier Schritten: 1. Das Vektorfeld wird zunächst durch die Flächenparameter u und v ausgedrückt: o o F( x y z ) o F( u v)

(4-213)

2. Nachdem wir die Tangentenvektoren (4-42) und (4-43) o w o o w o tu = ª¬r ( u v)º¼ und tv = ª¬r ( u v)º¼ wu wv

(4-214)

an die Parameterlinien u und v der Fläche gebildet haben, kann anschließend das Spatprodukt o o o o oo F ˜ § tu u tv· = det § F tu tv· ausgeführt werden.

©

¹

©

¹

3. Bestimmung der Integrationsgrenzen im erhaltenen Doppelintegral. 4. Berechnung des Doppelintegrals.

Seite 461

Vektoranalysis

Bemerkung: Ist auf der räumlichen Fläche A ein Vektorfeld gegeben, das jedem Flächenpunkt die dortige o o  o  Flächennormale n0 zuordnet, also F = n0 , so erhalten wir das folgende Doppelintegral zur Berechnung des Flächeninhaltes A der räumlichen Fläche: ´ µ A= µ ¶ (A)

´ µ 1 dA = µ ¶

´ µ µ ¶

o o t u u t v du dv

(4-215)

(A)

o o Das Flächenelement dA = t u u tv ˜ du ˜ dv wurde bereits in (4-46) festgelegt.

Beispiel 4.8.1: o Wie groß ist der Fluss des Vektorfeldes F durch die im 1. Oktant gelegene Fläche der Ebene x + 2 y + 2 z = 2 (Abb. 4.8.2)?

§ 5 ˜ z ·¸ o ¨ F = ¨ 2 ˜ y ¸

gegebenes Vektorfeld

¨ 2 ¸ © ¹

E1 ( x y z )  x  2 ˜ y  2 ˜ z  2

Ebene als Funktion definiert

x z E1 ( x y)  E1 ( x y z ) = 0 auflösen z o 1  y  2

nach z aufgelöste Gleichung der Ebene

z E2 ( x y)  0

Ebene mit z = 0

z E1 z E2

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm 3D-Rahmen Darstellung: Fläche füllen, Drahtmodell QuickPlot-Daten: Bereich 1 Beginn 0, Ende 2, Schrittweite 1 Bereich 2 Beginn 0, Ende 1, Schrittweite 1 Diagramm 2: Allgemein: Flächendiagramm 3D-Rahmen Darstellung: Fläche füllen, Drahtmodell QuickPlot-Daten: Bereich 1 Beginn 0, Ende 2, Schrittweite 1 Bereich 2 Beginn 0, Ende 1, Schrittweite 1 Abb. 4.8.2

Seite 462

Vektoranalysis

Die Projektionsfläche A' der gegebenen Fläche A auf die x-y-Ebene im 1. Oktant wird begrenzt durch die Gerade (z = 0): x + 2 y = 2 bzw. y = -1/2 x + 1. Die Ebene der Gleichung x + 2 y + 2 z = 2 kann als eine Niveaufläche des skalaren Feldes f(x,y,z) = x + 2 y + 2 z aufgefasst werden. Der Gradient dieser Funktion steht überall senkrecht auf dieser Ebene. Es lässt sich daher daraus mit (4-112) der Normaleneinheitsvektor (Flächennormale) berechnen:

§¨ 9 ˜ z ·¸ F ( x y z )  ¨ 6 ˜ y ¸ ¨ 3 ¸ © ¹

Vektorfeld

f ( x y z )  x  2 ˜ y  2 ˜ z

skalares Feld

§w · ¨ f ( x y z ) ¸ ¨ wx ¸ ¨w ¸ ∇3 ( f x y z )  ¨ f ( x y z ) ¸ ¨ wy ¸ ¨w ¸ ¨ f ( x y z) ¸ © wz ¹

n0 ( x y z ) 

§¨ 1 ·¸ ∇3 ( f x y z ) o ¨ 2 ¸ ¨2 ¸ © ¹ §¨ 1 ·¸ ∇x y z f ( x y z ) o ¨ 2 ¸ ¨2 ¸ © ¹

∇3 ( f x y z )

T

n0 ( x y z ) o

∇3 ( f x y z )

F ( x y z ) ˜ n0 ( x y z ) ersetzen z =

1 2

mit Mathcad eigenen Operator ausgewertet

Normaleneinheitsvektor

Skalarprodukt des Vektorfeldes mit der Flächennormalen

F ( x y z ) ˜ n0 ( x y z ) o 3 ˜ z  4 ˜ y  2 x  2 ˜ y  2 ˜ z = 2 auflösen z o 1  y 

§1 2 2· ¨ ¸ ©3 3 3¹

Gradient des skalaren Feldes

x 2

gegebene Ebene nach z auflösen

˜ x y 1 o 5  7˜ y

3˜ x 2

z im Skalarprodukt ersetzen

Die Projektion des differentiellen Flächenelements dA in die x-y-Ebene ergibt das infinitesimale Rechteck mit  o dem Flächeninhalt dA' = dy dx. Andererseits ist aber diese Projektion auch das skalare Produkt dA mit dem  o Einheitsvektor ez . Es gilt daher:

§¨ 1 ·¸ ¨ 3 ¸ §0 ·  o  o  o  o ¨2¸ ¨ ¸ 2 dA' = dA ˜ ez = dA ˜ § n0 ˜ ez· = dA ˜ ¨ ¸ ˜ ¨ 0 ¸ = dA ˜ = dy ˜ dx © ¹ 3 ¨ 3 ¸ ¨© 1 ¸¹ ¨2¸ ¨© 3 ¸¹ dA =

3 2

˜ dy ˜ dx

das gesuchte Flächenelement dA

Wir integrieren nun über den Bereich A', der sich durch die Projektion der gegebenen Fläche A auf die x-y-Ebene im 1. Oktant ergibt. Die Integration verläuft von x = 0 bis x = 2 und von y = 0 bis y = -1/2 x + 1.

Seite 463

Vektoranalysis

Das Oberflächenintegral (Flussintegral) ergibt sich dann zu: ´ § 5  3 ˜ x  7 ˜ y· ˜ 3 ˜ dy dx 3 µ = ˜µ ¨ ¸ 2 2 µ © ¹ 2 ¶

´ ´ o  o µ µ F ˜ n0 dA = µ µ µ ¶ ¶ (A)

2

0

´ µ µ µ ¶



1 2

˜x 1

5

3 2

˜ x  7 ˜ y dy d x

0

(A' )

´ 3 µ ˜µ 2 µ ¶

2

0

´ µ µ µ ¶



1 2

˜x 1

§ 5  3 ˜ x  7 ˜ y· y x o 5 ¨ ¸d d 2 2 © ¹

0

Beispiel 4.8.2: o Wie groß ist der Fluss des Vektorfeldes F durch einen Zylindermantel A, wobei der Radius des Zylinders R = 5 und die Höhe h = 10 ist? o F=

§y· ¨ ¸ ¨x¸ ¨ 2¸ ©z ¹

gegebenes Vektorfeld

ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

h  10

Höhe des Zylinders

ρ 5

Radius des Zylinders

i  0  80 φi  i ˜

2π 80

Bereichsvariablen

j  0  80 zj 



Xzi j  ρ ˜ cos φi

j 80

˜h

Vektoren der Winkel M und z-Werte



Yzi j  ρ ˜ sin φi

Matrizen der x-, y- und z-Werte (Zylinderkoordinaten)

Zz i j  z j

Zylinder Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm Ecke, Rahmen anzeigen Darstellung: Fläche füllen, keine Linien Beleuchtung: Beleuchtung aktiv

Abb. 4.8.3 ( Xz Yz Zz )

Seite 464

Vektoranalysis

Der Zylindermantel mit der Gleichung x2 + y2 = 25 und 0 d z d 10 kann als Niveaufläche des skalaren Feldes f(x,y,z) = x2 + y2 aufgefasst werden. Der Gradient dieser Funktion steht überall senkrecht auf diesen Zylindermantel. Es lässt sich daher daraus mit (4-112) der Normaleneinheitsvektor (Flächennormale) berechnen:

§y· ¨ ¸ F ( x y z )  ¨ x ¸ ¨ 2¸ ©z ¹ 2

Vektorfeld

2

f ( x y z )  x  y

skalares Feld

§w · ¨ f ( x y z ) ¸ ¨ wx ¸ ¨w ¸ ∇3 ( f x y z )  ¨ f ( x y z ) ¸ ¨ wy ¸ ¨w ¸ ¨ f ( x y z) ¸ © wz ¹

§¨ 2 ˜ x ·¸ ∇3 ( f x y z ) o ¨ 2 ˜ y ¸ ¨ 0 ¸ © ¹

∇3 ( f x y z )

n0 ( x y z ) 

T

§¨ 2 ˜ x ·¸ ∇x y z f ( x y z ) o ¨ 2 ˜ y ¸ ¨ 0 ¸ © ¹

Gradient des skalaren Feldes

mit Mathcad eigenen Operator ausgewertet

∇3 ( f x y z )

n0 ( x y z ) o

x ª« «¬  x 2   y 2

y



x

Für die Punkte auf dem Zylindermantel gilt Flächennormale zu:

2  

2

y

2

º »¼

0»

Normaleneinheitsvektor

2

x  y = 5. Damit ergibt sich die benötigte

§¨ x ·¸ n0 ( x y z )  ˜ ¨y ¸ 5 ¨ ¸ ©0 ¹ 1

F ( x y z ) ˜ n0 ( x y z ) annehmen ALLE(S) ! 0 o

2˜ x˜ y 5

Skalarprodukt des Vektorfeldes mit der Flächennormalen

Zur weiteren Berechnung wählen wir wegen der Zylinderfläche natürlich Zylinderkoordinaten: annehmen ALLE(S) ! 0 F ( x y z ) ˜ n0 ( x y z )

ersetzen x = 5 ˜ cos ( φ) o 10 ˜ cos ( φ) ˜ sin ( φ) ersetzen y = 5 ˜ sin ( φ)

Dieses Ergebnis kann mit 2 sin(M) cos(M) = sin(2 M) vereinfacht werden. Das Flächenelement dA ergibt sich nach (4-82) zu: dA = ρ ˜ dz ˜ dφ = 5 ˜ dz ˜ dφ

Seite 465

Vektoranalysis

Die Integration verläuft von z = 0 bis z = 10 und von M = 0 bis M = 2 S. Der Fluss durch den Zylindermantel lässt sich dann durch folgendes Doppelintegral in Zylinderkoordinaten berechnen: ´ o  ´ o µ µ F ˜ n0 dA = µ µ ¶ ¶ (A)

´ 5 ˜ sin ( 2 ˜ φ) ˜ 5 ˜ dz dφ = 25 ˜ µ ¶

2π

0

´ µ ¶

10

sin ( 2 ˜ φ) dz dφ

0

(A)

´ 25 ˜ µ ¶

2π

0

´ µ ¶

10

sin ( 2 ˜ φ) dz dφ o 0

0

Der Gesamtfluss des Vektorfeldes ist durch den gesamten Zylindermantel null! Beispiel 4.8.3: o Wie groß ist der Fluss des Vektorfeldes F durch die geschlossene Halbkugelschale x 2 + y2 + z 2 = 1, z t 0? o F=

§ y · ¨ ¸ ¨x ¸ ¨ 2¸ ©x ¹

gegebenes Vektorfeld

ORIGIN festlegen

ORIGIN  0 n  80 i  0  n ϑi 

π 2˜ n

Bereichsvariablen

j  0  n φj 

˜i





Xi j  sin ϑj cos φi

2˜ π n

j

Vektoren der Winkel - und M

 

Zi j  cos ϑj

Yi j  sin ϑj sin φi



Matrizen der x-, y- und z-Werte (Kugelkoordinaten)

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm 3D-Rahmen Darstellung: Fläche füllen, Gouraud-Schatten, keine Linien Beleuchtung: Beleuchtung aktiv, Licht Richtung Licht1:1,0,4 und Licht2:1,1,1

Abb. 4.8.4 ( X Y Z)

Seite 466

Vektoranalysis

Die durch die Gleichung x 2 + y2 + z 2 = 1, z t 0 beschriebene Oberfläche einer Halbkugel kann als Niveaufläche des skalaren Feldes f(x,y,z) = x2 + y2 + z 2 aufgefasst werden. Der Gradient dieser Funktion steht überall senkrecht auf dieser Fläche. Es lässt sich daher daraus mit (4-112) der Normaleneinheitsvektor (Flächennormale) berechnen:

§ y · ¨ ¸ F ( x y z )  ¨ x ¸ ¨ 2¸ ©x ¹ 2

Vektorfeld

2

f ( x y z )  x  y  z

2

skalares Feld

§w · ¨ f ( x y z ) ¸ ¨ wx ¸ ¨w ¸ ∇3 ( f x y z )  ¨ f ( x y z ) ¸ ¨ wy ¸ ¨w ¸ ¨ f ( x y z) ¸ © wz ¹ n0 ( x y z ) 

T

n0 ( x y z ) o

∇3 ( f x y z ) ∇3 ( f x y z )

§¨ 2 ˜ x ¸· ∇3 ( f x y z ) o ¨ 2 ˜ y ¸ ¨2 ˜ z ¸ © ¹

Gradient des skalaren Feldes

Normaleneinheitsvektor

x ª« «¬  x 2   y 2   z 2

y



Für die Punkte auf der Halbkugeloberfläche gilt Flächennormale zu:

x

2   2

y

z

2  

2

z

2

º»  x 2   y 2   z 2 »¼

2

x  y  z = 1. Damit ergibt sich die benötigte

§¨ x ·¸ n0 ( x y z )  ¨ y ¸ ¨z ¸ © ¹ 2

F ( x y z ) ˜ n0 ( x y z ) annehmen ALLE(S) ! 0 o x ˜ z

Skalarprodukt des Vektorfeldes mit der Flächennormalen

Zur weiteren Berechnung wählen wir wegen der Kugeloberfläche natürlich Kugelkoordinaten: annehmen ALLE(S) ! 0 F ( x y z ) ˜ n0 ( x y z )

2

§ cos ( 2 ˜ ϑ)  1 · ¸ 2¹ 2 ©

ersetzen x = sin ( ϑ) ˜ cos ( φ)o cos ( φ) ˜ cos ( ϑ) ˜ ¨ ersetzen z = cos ( ϑ)

§ cos ( 2 ˜ ϑ)  1 · = sin ( ϑ) 2 ¸ 2 2¹ ©

¨

Das Flächenelement dA ergibt sich nach (4-95) zu: 2

dA = r ˜ sin ( ϑ) ˜ dϑ ˜ dφ = 1 ˜ sin ( ϑ) ˜ dϑ ˜ dφ

Seite 467

Vektoranalysis

Die Integration verläuft von - = 0 bis - = S/2 und von M = 0 bis M = 2 S. Der Fluss durch die Halbkugelschale lässt sich dann durch folgendes Doppelintegral in Kugelkoordinaten berechnen: ´ o  ´ o µ µ F ˜ n0 dA = µ µ ¶ ¶ (A) ´ µ µ ¶

(A)

2π

0

´ µ 2 2 sin ( ϑ) ˜ cos ( φ) ˜ cos ( ϑ) ˜ sin ( ϑ) dϑ dφ = µ ¶

3

2

sin ( ϑ) ˜ cos ( ϑ) ˜ cos ( φ) ˜ dϑ dφ

(A)

π

´2 µ π 3 2 µ sin ( ϑ) ˜ cos ( ϑ) ˜ cos ( φ) dϑ dφ o ¶ 4 0

Wie würde dann wohl der Gesamtfluss durch die gesamte Oberfläche der Kugel lauten? Beispiel 4.8.4: o Wie groß ist der Fluss des homogenen Feldes E durch den Grafen der Funktion f(x,y) = x y + y2 über der Kreisscheibe K: x2 + y2 d 9? o E=

§0 · ¨ ¸ ¨0 ¸ ¨E ¸ © 3¹

gegebenes homogenes Vektorfeld

§ u · ¨ ¸ v r ( u v)  ¨ ¸ ¨ 2¸ ©u ˜ v  v ¹

die gegebene Funktion durch einen Ortsvektor beschrieben (Parametrisierung der Funktion)

§¨ 1 ·¸ tu ( u v) = r ( u v) = ¨ 0 ¸ wu ¨v ¸ © ¹

§¨ 0 ·¸ 1 tv ( u v) = r ( u v) = ¨ ¸ wv ¨u  2 ˜ v¸ © ¹

§¨ 1 ·¸ tu ( u v)  ¨ 0 ¸ ¨v ¸ © ¹

§¨ 0 ·¸ tv ( u v)  ¨ 1 ¸ ¨u  2 ˜ v¸ © ¹

§¨ v ·¸ tu ( u v) u tv ( u v) o ¨ u  2 ˜ v ¸ ¨ ¸ 1 © ¹

Vektorprodukt der Tangentenvektoren

w

§0 · ¨ ¸ ¨ 0 ¸ ˜  tu ( u v) u tv ( u v) o E3 ¨E ¸ © 3¹

w

oder

0 · §0 1 ¨ ¸ 1 ¨0 0 ¸ o E3 ¨E v u  2 ˜ v ¸ © 3 ¹

Seite 468

Tangentenvektoren

Ergebnis des Spatproduktes

Vektoranalysis

´ ´ o o ´ o  o µ µ µ = = d F A ˜ n d F A 0 µ µ µ ¶ ¶ ¶ (A)

(K)

´ o o o µ F ˜ § tu u tv· du dv = µ © ¹ ¶

(K)

´ µ µ ¶

´ µ µ ¶

E 3 du dv = 9 ˜ π ˜ E 3

Die Kreisfläche hat den Flächeninhalt von 9 S.

(K)

Der Fluss hängt gar nicht von der Funktion f ab, er ist für alle Grafen über der Kreisscheibe (K) gleich. Beispiel 4.8.5: Durch die Gleichung z 2 = x2 + y2 und 0 d z d 5 wird ein Kegelmantel (Abb. 4.8.5) beschrieben. Wie groß ist die Mantelfläche M dieses Kegels? i  0  30 φi  i ˜

2˜ π 30

Bereichsvariablen

j  0  30

r1j  j ˜

5 30

r2j  j ˜

5



Y1i j  r1j sin φi



Y2i j  r2j sin φi

X1i j  r1j cos φi X2i j  r2j cos φi

Vektoren der Winkelwerte und Radien

30

 

Z1i j  r1j Z2i j  0

Matrizen der x-, y- und z-Werte des Kegels (Parameterdarstellung) Matrizen der x-, y- und z-Werte für konzentrische Kreise in der x-y-Ebene (Parameterdarstellung)

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm Ecke, Rahmen anzeigen Darstellung: Fläche füllen, Drahtmodell Diagramm 2: Allgemein: Flächendiagramm Ecke, Rahmen anzeigen Darstellung: Fläche füllen, Drahtmodell

Abb. 4.8.5 ( X1 Y1 Z1) ( X2 Y2 Z2)

x § · ¨ ¸ y r ( x y)  ¨ ¸ ¨ 2 2¸ © x y ¹

Kegelmantel durch einen Ortsvektor dargestellt (Parametrisierung der Funktion)

Seite 469

Vektoranalysis

1 §¨ ·¸ 0 ¨ ¸ w tx ( x y) = r ( x y) = ¨ ¸ x wx ¨ ¸ ¨© x2  y2 ¸¹

0 §¨ ·¸ 1 ¨ ¸ w ty ( x y) = r ( x y) = ¨ ¸ y wy ¨ ¸ ¨© x2  y2 ¸¹

1 §¨ ·¸ 0 ¨ ¸ tx ( x y)  ¨ ¸ x ¨ ¸ ¨© x2  y2 ¸¹

0 §¨ ·¸ 1 ¨ ¸ ty ( x y)  ¨ ¸ y ¨ ¸ ¨© x2  y2 ¸¹

x § · ¨ ¸ 2 2 ¨ x y ¸ ¨ ¸ y tx ( x y) u ty ( x y) o ¨ ¸ ¨ x2  y2 ¸ ¨ ¸ 1 © ¹

Vektorprodukt der Tangentenvektoren

2

2

x  y = ρ, so erhalten wir für den Betrag des Vektorproduktes:

Setzen wir als Abkürzung 2

tx ( x y) u ty ( x y) =

Tangentenvektoren

x

2

ρ

2



y

2

2

1=

2

ρ ρ

=

2

ρ

2

ρ

Die Mantelfläche berechnet sich nach (4-215). Der Integrationsbereich entspricht dabei der Projektion des Kegelmantels in die x-y-Ebene (Abb. 4.8.5), also einem Kreis mit Radius r = 5.

M=

´ µ µ ¶

1 dA =

(A)

´ µ µ ¶

´ µ µ ¶

(A)

o o t x u t y dx dy =

2˜

´ µ µ ¶

´ µ µ ¶

1 dx dy =

2 ˜ 25 ˜ π

(A)

Das Doppelintegral bedeutet den Flächeninhalt A = r2 S = 52 S des Kreises der Projektionsfläche. Im Folgenden seien noch einige Spezialfälle aufgelistet: o o  1. Der Fluss eines homogenen Vektorfeldes F = const durch eine beliebige geschlossene Fläche A im Raum (Oberfläche) verschwindet: ´ o o µ µ F dA = 0 ¶

(4-216)

(A)

Seite 470

Vektoranalysis

2. Der Fluss eines zylindrischen Vektorfeldes durch die Oberfläche eines Zylinders: Der Fluss eines zylindrischen Vektorfeldes o o  F = f ( ρ) ˜ eρ

(4-217)

durch die geschlossene Oberfläche A eines (koaxialen) Zylinders mit Radius U = r und Höhe h um die z-Achse beträgt ´ o o ´ µ µ µ F dA = µ ¶ ¶ (A)

´ o  ´ o o µ µ § §oF ˜  · n0 dA = F ˜ eρ· dA = f ( r) ˜ 1 dA = f ( r) ˜ 2 ˜ π ˜ r ˜ h µ µ © © ¹ ¹ ¶

(4-218)

¶

(A)

(A)

(M)

Das letzte Doppelintegral repräsentiert die Mantelfläche M = 2 S r h des Zylinders. 3. Der Fluss eines kugelsymmetrischen Vektorfeldes durch die Oberfläche einer Kugel: Der Fluss eines kugelsymmetrischen Vektorfeldes o o F = f ( r) ˜ er

(4-219)

durch die geschlossene Oberfläche A einer Kugel mit Radius r beträgt ´ o o ´ µ µ µ F dA = µ ¶ ¶ (A)

´ o o ´ o 2 µ µ § §oF ˜  F ˜ er· dA = f ( r) ˜ 1 dA = f ( r) ˜ 4 ˜ π ˜ r n0· dA = µ µ © © ¹ ¹ ¶

(4-220)

¶

(A)

(A)

(A)

Das letzte Doppelintegral repräsentiert die Kugeloberfläche A = 4 S r2 . Bemerkung: Für Zentralfelder, vom Typ f ( r) =

c 2

, gilt unabhängig vom Kugelradius

r

´ o o c 2 2 µ µ F dA = f ( r) ˜ 4 ˜ π ˜ r = 2 ˜ 4 ˜ π ˜ r = 4 ˜ π ˜ c = const ¶ r (A)

(4-221)

Der Vektorfluss durch konzentrische Kugelschalen bleibt also konstant.

Beispiel 4.8.6: Ein positiv geladener linearer Leiter mit der Ladungsdichte O (Ladung pro Längeneinheit) und der elektrischen o Feldkonstante H0 besitzt in der Umgebung ein zylindrisches oder axialsymmetrisches elektrisches Feld E( ρ). Wie groß ist der Fluss des Feldstärkevektors durch die geschlossenen Oberfläche (A) eines koaxialen Zylinders mit dem Radius r und der Höhe h?

Seite 471

Vektoranalysis

o E( ρ) =

λ 2 ˜ π ˜ ε0 ˜ ρ

  o o ˜ eρ = f ( ρ) ˜ eρ

gegebener Feldstärkevektor (U > 0)

Für U = r und (4-216) gilt: ´ µ µ ¶

´ o  ´ o o  λ˜h λ µ µ § §o E ˜ n0· dA = ˜ 2˜ π˜ r˜ h = E ˜ eρ· dA = f ( r) ˜ 1 dA = f ( r) ˜ 2 ˜ π ˜ r ˜ h = µ µ © © ¹ ¹ ε0 2 ˜ π ˜ ε0 ˜ r ¶ ¶

(A)

(A)

(A)

Der Fluss durch die Zylinderoberfläche ist unabhängig vom Radius r des Zylinders und proportional zu h. Beispiel 4.8.7: Eine positiv geladene Punktladung Q (Beispiel 4.4.19) besitzt ein kugel- oder radialsymmetrisches o elektrisches Feld E( r). Wie groß ist der Fluss dieses Vektorfeldes durch die Oberfläche (A) einer konzentrischen Kugel mit dem Radius r? o E( r) =

Q 2

4 ˜ π ˜ ε0 ˜ r

o o ˜ er = f ( r) ˜ er

gegebener Feldstärkevektor (r > 0)

Mit (4-218) gilt: ´ µ µ ¶

o

´

´

 o o 2 µ µ § §o E ˜ n0· dA = E ˜ er· dA = f ( r) ˜ 1 dA = f ( r) ˜ 4 ˜ π ˜ r = µ µ © © ¹ ¹ ¶ ¶

(A)

(A)

Q

2

2

˜ 4˜ π˜ r =

4 ˜ π ˜ ε0 ˜ r

Q ε0

(A)

Der Fluss durch die Kugeloberfläche ist unabhängig vom Radius r. Beispiel 4.8.8: o Wie groß ist der Fluss der stationären Strömung v durch eine Kugeloberfläche (KO) vom Radius r um den Ursprung? o v =

o x o 3 x

gegebenes Geschwindigkeitsfeld der stationären Strömung



Zur Berechnung des Flusses verwenden wir natürlich Kugelkoordinaten. Die Integration verläuft dann von - = 0 bis - = S und von M = 0 bis M = 2 S. Der Fluss durch die Kugeloberfläche lässt sich dann durch folgendes Doppelintegral in Kugelkoordinaten berechnen: o  o dA = r ˜ x ˜ sin ( ϑ) ˜ dϑ ˜ dφ

das vektorielle Flächenelement in Kugelkoordinaten

Seite 472

Vektoranalysis

´ ´ o ´ o o µ o µ x µ µ µ µ v d A = µ 3 dA = µ ¶ µ µ r ¶ ¶ (KO) 3

(KO) 2˜π

´ ˜µ 3 ¶ 0 r r

´ µ ¶

´ o µ o µ x ˜ r ˜ x ˜ sin ( ϑ) dϑ dφ = µ 3 µ r ¶

3

2˜π

´ ˜µ 3 ¶ 0 r r

´ µ ¶

π

sin ( ϑ) dϑ dφ

0

(KO)

π

sin ( ϑ) dϑ dφ o 4 ˜ π

0

Der Fluss ist insbesondere unabhängig vom Radius r der Kugel (4-221). Das kann auch erwartet werden, weil die Stärke der Strömung quadratisch mit dem Radius abnimmt, während die Fläche der Sphäre quadratisch mit dem Radius wächst.

4.9 Integralsätze von Gauß und Stokes Mit diesen Integralsätzen wird die Beziehung zwischen Kurvenintegralen, Oberflächenintegralen und mehrdimensionalen Integralen hergestellt. Sie verknüpfen die lokalen Größen Divergenz und Rotation mit globalen Größen. Der Integralsatz von Gauß: Wir haben bereits früher die Divergenz eines Vektorfeldes als seine Quelldichte eingeführt. Betrachten wir die Fluss-Bilanz über die Oberfläche eines dreidimensionalen Bereichs V, so ist aus physikalischen Gründen einleuchtend, dass der Überschuss des austretenden Flusses über den eintretenden gerade die gesamte Quelle im Inneren des Bereichs wiedergibt. Das heißt, dass der Fluss durch die Oberfläche eines Volumens gleich der Summe seiner Quellen ist oder was im Volumen an Feld entsteht (beschrieben durch die Divergenz oder Quellstärke), strömt durch die Oberfläche hinaus. Sei V ein kompakter Bereich (Volumen), dessen Rand A (Hüllfläche, die das Volumen umschließt) eine Fläche im Sinne des letzten Abschnittes. Die Parametrisierung dieser Fläche sei wieder so gewählt, dass die Normale überall aus dem Bereich V heraus weist. o Sei F ( x y z ) ein Vektorfeld auf einer offenen Umgebung von V mit stetigen partiellen Ableitungen. Dann gilt: ´ o o ´ µ µ µ F dA = µ ¶ ¶ (A)

(A)

´ o  o µ §o F ˜ n0· dA = µ div F dV © ¹ ¶



(4-222)

(V)

Im Stömungsmodell hat das Vektorfeld die Bedeutung des Geschwindigkeitsfeldes einer strömenden Flüssigkeit. Der Integralsatz von Gauß besagt dann (von links nach rechts gelesen), dass die Flüssigkeitsmenge, die in der Zeiteinheit durch die geschlossene Hülle A fließt, gleich ist, der im Gesamtvolumen V in der Zeiteinheit "erzeugte" bzw. "vernichtete" Flüssigkeitsmenge. Mathematisch heißt dies, dass ein Oberflächenintegral eines Vektorfeldes über eine geschlossene Oberfläche eines Volumens in ein Volumenintegral über die Divergenz des Vektorfeldes umgewandelt werden kann und umgekehrt. o Bei einem quellenfreien Vektorfeld ( div F = 0 ) ist der Gesamtfluss durch die geschlossene Oberfläche A gleich null!



Seite 473

Vektoranalysis

Eine Anwendung des Integralsatzes von Gauß findet sich z. B. in der Darstellung der 1. MaxwellGleichung: o o Die Quellstärke des elektrischen Feldes E ist durch die Ladungsdichte ρ r = ρ ( x y z ) bestimmt:



o o o ρ r div E = ∇ ˜ E = ε0





differentielle Form der 1. Maxwell-Gleichung

(4-223)

Die Integration der differentiellen Form über ein Volumen V liefert:

´ µ µ ¶

´ µ o div E dV = µ µ µ ¶

(V)

(V)



o ρ r

 dV

(4-224)

ε0

Die Anwendung des Integralsatzes von Gauß auf die linke Seite liefert schließlich: ´ ´ o o µ µ µ µ E dA = µ ¶ µ ¶ (A)

o ρ r

 dV

ε0

Integraldarstellung der 1. Maxwell-Gleichung

(4-225)

(V)

Der Fluss des elektrischen Feldes durch eine geschlossene Fläche A (Oberfläche) im dreidimensionalen Raum ist gleich der von dieser Fläche eingeschlossenen Ladung.

Beispiel 4.9.1: o Wie lautet der Fluss des Vektorfeldes F durch die Oberfläche eines Zylinders, wie in Abb. 4.8.3 dargestellt, mit dem Radius r = 3 und h = 10? 3

§ o ¨x F=¨ y

· ¸ ¸ ¨ ¸ © z ¹

gegebenes Vektorfeld

Es gilt nach (4-222): ´ o  ´ o µ µ F ˜ n0 dA = µ µ ¶ ¶ (A)

o div F dV



(V)

Wir versuchen das Volumenintegral zu berechnen: o w 3 w w 2 2 div F = x  y  z = 3 ˜ x  1  1 = 3 ˜ x wx wy wz



Divergenz des Vektorfeldes

Seite 474

Vektoranalysis

´ µ µ ¶

´ o µ div F dV = 3 ˜ µ ¶



(V)

2

zu berechnendes Volumenintegral

x dV

(V)

Mithilfe der Zylinderkoordinaten erhalten wir: ´ µ 3˜ µ ¶

´ 2 µ x dV = 3 ˜ µ ¶

(V)

2

( ρ ˜ cos ( φ) ) ˜ ρ ˜ dz ˜ dρ dφ

(V)

Die Integrationsgrenzen dieses Dreifachintegrals lauten: z = 0 bis z = 10, U = 0 bis U = 3, M = 0 bis M = 2 S: ´ µ 3˜ µ ¶

´ x dV = µ ¶ 2

2˜π

0

´ µ ¶

3

0

´ µ ¶

10

3

2

ρ ˜ cos ( φ) dz dρ dφ

vereinfacht auf

0

´ µ 3˜ µ ¶

2

x dV =

405 ˜ π 2

Der Fluss des Vektorfeldes durch die geschlossenen Zylinderfläche A beträgt demnach: ´ o  ´ o µ µ F ˜ n0 dA = µ µ ¶ ¶ (A)

o 405 div F dV = ˜π 2



(V)

Beispiel 4.9.2: o Wie lautet der Fluss des Vektorfeldes v durch die Oberfläche einer Vollkugel V um den Ursprung O(0|0|0) mit dem Radius r? o v =

o r o 3 r



=

o r

§ x2  y2  z2· © ¹

3

gegebenes Vektorfeld

o Auf dieses Vektorfeld kann der Integralsatz von Gauß nicht angewendet werden, denn v ist auf V nicht o differenzierbar. Im Ursprung O(0|0|0) ist es nicht einmal stetig! Überall sonst in 3 ist allerdings div v = 0.. Wir betrachten nun als Bereich V eine Hohlkugel um den Ursprung mit dem inneren Radius r1 und äußeren Radius r 2 . Wir bezeichnen mit A1 die innere Kugelfläche und mit A2 die äußere Kugelfläche (Abb. 4.9.1).



Abb. 4.9.1

Auf A2 zählt der Fluss weg vom Nullpunkt positiv, auf A1 aber negativ, weil das aus V herausragende vektorielle Oberflächenelement in die kleine Kugel hineinzeigt!

Seite 475

Vektoranalysis

Nach dem Integralsatz von Gauß ist wegen des Verschwindens der Divergenz und wegen der Orientierung der beiden Randkomponenten A1 und A2 der Fluss gleich null: ´ µ µ ¶

o µ div  v dV = µ

´ o v dA 1  ¶

V

A1

´ o µ µ v dA 2 = 0 ¶

A2

Beispiel 4.9.3: Wir betrachten einen positiv geladenen, sehr langen Zylinder mit Radius R und Länge L mit der konstanten o Ladungsdichte Uel mit der z-Achse als Zylinderachse wie in Abb 4.8.3. Wie groß ist die Feldstärke E des elektrischen Feldes im Innen- und Außenraum des Zylinders (Abb. 4.9.2)?

Abb. 4.9.2

o Für den Fluss des Feldstärkevektors E durch die Zylinderoberfläche A gilt nach dem Integralsatz von Gauß (4-222): ´ o o ´ µ µ µ E dA = µ ¶ ¶ (A)

´  o o µ §o E ˜ n0· dA = µ div E dV © ¹ ¶



(A)

(V)

Wegen der Zylindersymmetrie gilt für das elektrische Feld und für den Normaleneinheitsvektor: o  o E = E ( ρ) ˜ eρ

 o  o n0 = eρ

und

o  o  o  o E ˜ n0 = E ( ρ) ˜ eρ ˜ eρ = E ( ρ) Wegen der fehlenden Feldstärkekomponenten in Richtung der z-Achse kann die Integration im Oberflächenintegral auf den Zylindermantel AM beschränkt werden. Der Integralsatz von Gauß lautet damit: ´ µ µ ¶ (A)

E ( ρ) dA =

´ µ µ ¶

(AM)

´ µ E ( ρ) dA = µ ¶

o div E dV



(V)

Seite 476

Vektoranalysis

E(U) ist auf dem Mantel des Zylinders mit Radius U konstant und das Doppelintegral bedeutet dann die Mantelfläche des Zylinders: ´ µ µ ¶

E ( ρ) dA = E ( ρ) ˜

(AM)

´ µ µ ¶

1 dA = E ( ρ) ˜ 2 ˜ π ˜ ρ ˜ L

(AM)

Der Integralsatz von Gauß reduziert sich dann auf: ´ µ E ( ρ) ˜ 2 ˜ π ˜ ρ ˜ L = µ ¶

o div E dV



(V) Das Volumenintegral (Dreifachintegral) muss für zwei verschiedene Fälle berechnet werden. Zuerst betrachten wir den Innenraum (U d R) des geladenen Zylinders mit der konstanten Ladungsdichte Uel. Hier gilt nach der o o ρel 1. Maxwell-Gleichung (4-221): div E = ∇ ˜ E = . ε0 Demnach ergibt sich mithilfe des Integralsatzes von Gauß die elektrische Feldstärke im inneren des Zylinders:



´ ρel o µ ρel div E dV = µ dV = ε0 µ ε0 ¶ (V) (V)

´ µ E ( ρ) ˜ 2 ˜ π ˜ ρ ˜ L = µ ¶

E ( ρ) =

ρel 2 ˜ ε0



´ µ ˜ µ ¶

1 dV =

ρel ε0

2

˜ρ ˜π˜L

(V)

Das letzte Dreifachintegral repräsentiert das Volumen des koaxialen Zylinders mit dem Radius U und der Länge L.

elektrische Feldstärke im Inneren des geladenen Zylinders (U d R)

˜ρ

o Im Außenraum (U > R) des geladenen Zylinders ist das elektrische Feld quellenfrei, denn es gilt: div E = 0. Demnach liefert für U > R das Volumenintergal keinen Beitrag. Damit kann die Integration auf das Volumen VR des Zylinders beschränkt werden:



´ ρel o µ ρel div E dV = µ dV = ε0 µ ε0 ¶ (VR) (VR)

´ µ E ( ρ) ˜ 2 ˜ π ˜ ρ ˜ L = µ ¶

2

E ( ρ) =

ρel ˜ R

2 ˜ ε0

ε 0  8.854 ˜ 10 R  5 ˜ cm

˜



1

1 dV =

ρel ε0

2

˜R ˜π˜L

Das letzte Dreifachintegral repräsentiert das Volumen des Zylinders mit dem Radius R und der Länge L.

(VR)

elektrische Feldstärke im Außenraum des geladenen Zylinders (U t R)

ρ

 12

´ µ ˜ µ ¶

˜

F m

elektrische Feldkonstante gewählter Zylinderradius

Seite 477

Vektoranalysis

C

5

ρel  10 ˜

m

gewählte Ladungsdichte

2

Bereichsvariable

ρ  0 ˜ cm 0.01 ˜ cm  30 ˜ cm ρel

E ( ρ) 

2 ˜ ε0

˜ ρ if ρ d R elektrische Feldstärke des homogenen und positiv geladenen Zylinders

2

ρel ˜ R

2 ˜ ε0

˜

1 ρ

if ρ ! R

Elektrische Feldstärke

14

3u 10

R

E( R )

14

2u 10 E( ρ)

Abb. 4.9.3

14

1u 10

0

0

0.1

0.2

0.3

ρ elektrische Feldstärke bei einem homogenen Zylinder

Der Integralsatz von Stokes: Sei A eine (parametrisierte) Fläche im Raum 3 mit stückweiser glatter, orientierter und geschlossener Randkurve C. Die Orientierung der Randkurve wird wie folgt festgelegt: Ein Beobachter, der in die o o   Richtung dA = n0 ˜ dA blickt, durchläuft die Randkurve C dabei so, dass die Fläche links liegen bleibt. Dies gilt auch für Flächen, die von mehreren (einfach) geschlossenen Kurven begrenzt werden (Abb. 4.9.4). o Sei F ( x y z ) ein Vektorfeld auf einer offenen Umgebung von A mit stetigen partiellen Ableitungen. Dann gilt: ´ o o ´ µ µ µ F dr = µ ¶ ¶ C

(A)

o o ´ µ rot F dA = µ ¶



o o  rot F ˜ n0 dA



(4.226)

(A)

o Das rechts stehende Flächenintergral beschreibt den Fluss des Vektors rot F durch die Fläche A und wird auch als Wirbelfluss bezeichnet.



Seite 478

Vektoranalysis

Der Integralsatz von Stokes bedeutet dann (von rechts nach links gelesen), dass der Wirbelfluss eines o o Vektors F durch eine Fläche A gleich der Zirkulation von F längs der Randkurve C dieser Fläche ist. Oder anders ausgedrückt: Alles, was an Wirbeln innerhalb der Fläche A entsteht (beschrieben durch die Rotation oder Wirbelstärke), addiert sich zu einer Gesamtzirkulation entlang der Umrandung C. Mathematisch heißt dies, dass ein Kurven- oder Linienintegral eines Vektorfeldes über eine geschlossene Kurve C in ein Flächenintegral über die Rotation des Vektorfeldes umgewandelt werden kann und umgekehrt.

Abb. 4.9.4

Der Wirbelfluss durch eine geschlossene Fläche A (Oberfläche eines räumlichen Bereichs wie z.B. die Kugel- oder Würfeloberfläche) ist gleich null: ´ o o ´ µ µ µ F dr = µ ¶ ¶

o o ´ µ rot F dA = µ ¶



o  o rot F ˜ n0 dA = 0



(4-227)

C (A) (A) o Ist F = grad ( f) ein Vektorfeld, welches ein Potential f besitzt und A eine geschlossene Fläche (Oberfläche eines räumlichen Bereichs), dann gilt nach (4-227): ´ o o ´ µ µ F d r =  µ µ ¶ ¶ C

o rot ( grad ( f ) ) dA und rot ( grad ( f ) ) = 0

(4-228)

(A)

o o o Sei F = rot w ein Vektorfeld, welches ein Vektorpotential w besitzt. Dann gilt für jede geschlossene Fläche A (Oberfläche eines räumlichen Bereichs) nach dem Satz von Stokes



´ o o ´ µ µ µ F dA = µ ¶ ¶ (A)

o o rot w dA = 0



(4-229)

(A)

Das ist eine notwendige Bedingung für die Existenz eines Vektorpotentials, so wie (4-226) eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz eines gewöhnlichen Potentials ist. o Für den Fall eines ebenen Vektrofeldes F vereinfacht sich der Satz von Stokes zu: ´ o o ´ µ µ F d r = µ µ ¶ µ ¶ C

´ µ µ µ ¶

§w · w ¨ Fy  Fx¸ dx dy (Green'sche Formel) wy ¹ © wx

(A)

Seite 479

(4-230)

Vektoranalysis Eine Anwendung des Integralsatzes von Gauß findet sich z. B. in der Darstellung der 3. und 4. MaxwellGleichung, die das magnetische und das elektrische Feld miteinander verbinden. Dieses Gesetz wird Ampere'sches Gesetz genannt. o Das Ampere'sche Gesetz besagt, dass wir durch einen Strom i oder die Änderung eines elektrischen o Flusses ) ein Magnetfeld B erhalten. Dieses Feld umschließt den Strom bzw. den sich ändernden elektrischen Fluss. Im einfachsten Fall eines stromdurchflossenen Drahtes erhalten wir ein kreisförmiges Magnetfeld um den Draht, bei mehreren stromdurchflossenen Drähten ergibt sich ein aus geschlossenen Magnetfeldlinien bestehendes Feld um diese Drähte. Diese geschlossenen Feldlinien sind typisch für ein Wirbelfeld. Differentielle Form des Ampere'schen Gesetzes: o o o wo rot B = ∇ u B = μ0 ˜ ε 0 ˜ E  μ0 ˜ i wt



(4-231)

Die Integration der differentiellen Form über die Fläche A und die Anwendung des Satzes von Stokes liefert die Integralform: ´ ´ o o ´ o o µ wo o µ µ B r i =  ˜ d μ ˜ d A μ ˜ ε E dA 0 µ 0 0 µ µ ¶ ¶ µ wt ¶ C

(4-232)

(A)

Beispiel 4.9.4: o Mit einem gegebenen Vektorfeld F soll der Integralsatz von Stokes demonstriert werden. Die Fläche sei dabei die obere Halbsphäre (Mantelfläche der oberen Halbkugel z t 0) vom Radius R. Die Randkurve der oberen Halbsphäre ist der Kreis vom Radius R.

§ y3 · ¨ ¸ F1 ( x y z )  ¨ 2 ¸ x ¨ ¸ ©z ¹

gegebenes Vektorfeld

Wir berechnen zuerst das Randintegral: o  r ( t) =

Randkurve (Kreis) in der x-y-Ebene mit positiven Umlaufsinn (0 d t d 2 S)

´ µ 2˜π o· o §d  o o ´ o µ F dr = µ F r ( t ) ˜ ¨ r ( t ) ¸ dt = µ µ © dt ¹ µ ¶ 0 µ ¶

´ µ µ ¶

2˜π



C ´ µ ¶

§¨ R ˜ cos ( t) ·¸ ¨ R ˜ sin ( t) ¸ ¨ ¸ 0 © ¹

0

2˜π

R4 ˜ sin (t)4  R3 ˜ cos (t)3 dt

§ R3 ˜ sin ( t) 3 · § R ˜ sin ( t) · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ R2 ˜ cos ( t) 2 ¸ ˜ ¨ R ˜ cos ( t) ¸ dt ¨ ¸ ¨ ¸ 0 ¹ 0 © ¹ © 4

vereinfacht auf



0

Seite 480

3˜ π˜ R 4

Vektoranalysis

Berechnung des Flächenintegrals (Wirbelfluss): ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

§w · w ¨ R ( x y z) 2  R ( x y z ) 1 ¸ wz ¨ wy ¸ ¨w ¸ w rot3 ( R x y z )  ¨ R ( x y z ) 0  R ( x y z ) 2 ¸ wx ¨ wz ¸ ¨w ¸ w ¨ R ( x y z) 1  R ( x y z) 0 ¸ wy © wx ¹

mögliche Definition der Rotation mit Mathcad

0 · § ¨ ¸ 0 rot3 ( F1 x y z ) o ¨ ¸ ¨ 2¸ ©2 ˜ x  3 ˜ y ¹

Rotation des Vektorfeldes

o  o Mithilfe von Kugelkoordinaten und dem vektoriellen Oberflächenelement dA = R ˜ sin ( ϑ) ˜ r erhalten wir: ´ µ ´ o o µ µ µ rot F dA = µ ¶ µ µ (A) ¶

0 · § ¨ ¸ 0 ¨ ¸ ¨ 2¸ ©2 ˜ x  3 ˜ y ¹



´ µ o µ dA = µ µ µ ¶

2˜π

0

π

´2 µ µ µ µ ¶ 0

0 · § ¨ ¸ 0 ¨ ¸ d ϑ dφ ¨ 2 2 2¸ © 2 ˜ R ˜ sin ( ϑ) ˜ cos ( φ)  3 ˜ R ˜ sin ( ϑ) ˜ sin ( φ) ¹

(A)

´ µ µ µ µ µ ¶

2˜π

0

π

´2 µ µ µ µ ¶ 0

0 · § §¨ R ˜ sin ( ϑ) ˜ cos ( φ) ·¸ ¨ ¸ 0 ¨ ¸ ˜ R ˜ sin ( ϑ) ˜ ¨ R ˜ sin ( ϑ) ˜ sin ( φ) ¸ dϑ dφ ¨ ¸ ¨ 2 2 2¸ R ˜ cos ( ϑ) © ¹ © 2 ˜ R ˜ sin ( ϑ) ˜ cos ( φ)  3 ˜ R ˜ sin ( ϑ) ˜ sin ( φ) ¹

vereinfacht auf

3 4

4

˜π˜R

Der Satz von Stokes ist damit erfüllt. Wir versuchen das Flächenintegral noch mithilfe des Flächennormaleneinheitsvektors zu berechnen. Die Oberfläche der Halbkugel kann als eine Niveaufläche der skalaren Funktion f(x,y,z) = x2 + y2 + z 2 aufgefasst werden. Der Gradient steht dann senkrecht auf dieser Fläche: 2

2

f ( x y z )  x  y  z

2

skalare Funktion

Seite 481

Vektoranalysis

§w · ¨ f ( x y z ) ¸ ¨ wx ¸ ¨w ¸ ∇3 ( f x y z )  ¨ f ( x y z ) ¸ ¨ wy ¸ ¨w ¸ ¨ f ( x y z) ¸ © wz ¹

n0 ( x y z ) 

∇3 ( f x y z ) ∇3 ( f x y z )

§¨ 2 ˜ x ¸· ∇3 ( f x y z ) o ¨ 2 ˜ y ¸ ¨2 ˜ z ¸ © ¹

Gradient von f

ª « 2 «  x  « n0 ( x y z ) o « «  x 2  « « « 2 ¬  x 

x

º »  y 2   z 2 » » y » 2 2  y  z » » z » »  y 2   z 2 ¼

Normaleneinheitsvektor

Unter Berücksichtigung von x 2 + y2 + z 2 = R2 (Gleichung der Halbkugel) gilt: Redefinition

R R

§¨ x ·¸ n0 ( x y z R)  ˜ ¨y ¸ R ¨ ¸ ©z ¹ 1

Normaleneinheitsvektor

NR ( x y z )  rot3 ( F1 x y z ) ˜ n0 ( x y z R) NR ( x y z ) annehmen ALLE(S) ! 0 o



2

z˜ 2˜ x 3˜ y



R

o Normalkomponente von rot F



Zur weiteren Berechnung wählen wir wegen der Kugeloberfläche natürlich Kugelkoordinaten: annehmen ALLE(S) ! 0 NR ( x y z )

ersetzen x = R ˜ sin ( ϑ) ˜ cos ( φ) ersetzen y = R ˜ sin ( ϑ) ˜ sin ( φ)



ersetzen z = R ˜ cos ( ϑ) vereinfachen Das Flächenelement dA auf der Kugeloberfläche lautet in Kugelkoordinaten: dA = R ˜ sin ( ϑ) ˜ dϑ ˜ dφ Das Flächenintegral (Wirbelfluss) berechnet sich dann aus: ´ µ µ ¶

o o ´ µ rot F dA = µ ¶



2



o R ˜ cos ( ϑ) ˜ sin ( ϑ) ˜ ª¬2 ˜ cos ( φ)  3 ˜ R ˜ sin ( ϑ) ˜ cos ( φ)  1 º¼

o o  rot F ˜ n0 dA



Seite 482

Vektoranalysis

´ µ µ ¶

2˜π

0

π

´2 3 µ 3˜ π˜ R 2 ª º µ R ˜ cos ( ϑ) ˜ sin ( ϑ) ˜ ¬2 ˜ cos ( φ)  3 ˜ R ˜ sin ( ϑ) ˜ cos ( φ)  1 ¼ ˜ R ˜ sin ( ϑ) dϑ dφ o  ¶ 4





0

Wir erhalten, wie zu erwarten war, das gleiche Ergebnis wie oben. Beispiel 4.9.5: Ein sehr langer gerader Leiter mit der Querschnittsfläche AL wird von einem konstanten Strom I in Richtung o  o z-Achse mit der Stromdichte i = i0 ˜ ez durchflossen (Abb. 4.9.5). Dieser Strom erzeugt in der Umgebung o o o des Leiters ein ringförmiges Magnetfeld B = μ0 ˜ H. Wegen der Zylindersymmetrie kann der Betrag von B o  o nur vom Abstand U abhängen. Bei Verwendung von Zylinderkoordinaten gilt daher: B = μ0 ˜ H ( ρ) ˜ eφ .

Abb. 4.9.5

Nach (4-231) und (4-232) gilt: ´ o o ´ µ µ µ B dr = µ ¶ ¶ C

(A)

´ o o o  o µ rot B ˜ n0 dA = μ0 ˜ µ i dA ¶



(AL)

o Wir berechnen zunächst das links stehende Kurvenintegral. Weil der Feldvektor B zum o Tangenteneinheitsvektor t0 parallel ist, gilt: o o o o o  o  o  o B ˜ dr = § B ˜ t0· ˜ ds = § B ˜ eφ· ˜ ds = μ0 ˜ H ( ρ) ˜ eφ ˜ eφ ˜ ds = μ0 ˜ H ( ρ) ˜ ds © ¹ © ¹ ´ o o ´ µ µ µ B dr = µ ¶ ¶ C

C

´ µ μ0 ˜ H ( ρ) ds = μ0 ˜ H ( ρ) ˜ µ ¶

 o  o (wegen eφ ˜ eφ = 1)

1 ds = μ0 ˜ H ( ρ) ˜ 2 ˜ π ˜ ρ

C

Das letzte Kurvenintegral beschreibt den Umfang der kreisförmigen Feldlinie in Abb. 4.9.5.

Seite 483

Vektoranalysis

o o  Beim Fluss des Vektors rot B durch die Kreisfläche A (Abb. 4.9.5) ist die Flächennormale n0 , o  die in z-Richtung zeigt, identisch mit dem Einheitsvektor ez . o o o  o o  o o  o    Es gilt daher: rot B ˜ n0 = μ0 ˜ i ˜ ez = μ0 ˜ i0 ˜ ez ˜ ez = μ0 ˜ i0 (wegen ez ˜ ez = 1). Die Integration ist nur über den Leiterquerschnitt A L zu erstrecken, weil außerhalb des Leiters die Stromdichte null ist. Das rechts stehende Doppelintegral stellt den Wirbelfluss des Magnetfeldes dar und liefert die konstante Stromstäke I = i0 AL :





´ µ µ ¶

´ o o  rot B ˜ n0 dA = μ0 ˜ µ µ ¶



(A)

´ µ i0 dA = μ0 ˜ i0 ˜ µ ¶

(AL)

1 dA = μ0 ˜ i0 ˜ AL = μ0 ˜ I

(AL)

Der Integralsatz von Stokes liefert dann insgesamt: μ0 ˜ H ( ρ) ˜ 2 ˜ π ˜ ρ = μ0 ˜ I H ( ρ) =

I 2˜ π

˜

1

Die magnetische Feldstärke H(U) ist vom Abstand U indirekt proportional abhängig!

ρ

gewählte Stromstärke

I  10 ˜ A

ρ  0.5 ˜ cm 0.5 ˜ cm  0.001 ˜ cm  10 ˜ cm I

H ( ρ) 

2˜ π

˜

1

Bereichsvariable

magnetische Feldstärke

ρ

4

3 H ( ρ) A

2

cm

Abb. 4.9.6 1

0

0

2

4

6

8

ρ cm

Seite 484

10

Übungsbeispiele

1. Komplexe Zahlen 1.5.1 Addition und Subtraktion von komplexen Zahlen Beispiel 1: Gegeben sind folgende komplexe Zahlen: z1  4  j ˜ 4

z2  5  j

Stellen Sie z1 und z 2 in Polar- und Exponentialform dar. Führen Sie dann folgende Berechnungen durch: z = z1  z2 z=

 ˜ z1  z1 2 1

 z = z1  z1

z = z1  z2





z=

 z = z1  z1

 ˜ z1  z1 2˜ j 1





Stellen Sie z 1 und z 2 , sowie alle berechneten komplexen Zahlen, jeweils als Bildpunkt und als Zeiger in der Gauß'schen Zahlenebene dar. Beispiel 2: Die folgenden komplexen Zahlen sind in Polar- und Exponentialform anzugeben. Wie lauten dazu die konjugiert komplexen Zahlen? z1 = 2  j ˜ π

z 2 = 4.5  2.4 ˜ j

z 3 = 3  j ˜ 5

z 4 = 6

Beispiel 3: Stellen Sie die in Polar- und Exponentialform gegebenen komplexen Zahlen in kartesischer Form dar.

§ 3 ˜ π ·  j ˜ sin § 3 ˜ π · · ¸ ¨ ¸¸ © 4 ¹ © 4 ¹¹

§ ©

z 1 = 4 ˜ ¨ cos ¨

z 2 = 2 ˜ ( cos ( 210Grad)  j ˜ sin ( 210 ˜ Grad) )  j˜

j˜35˜Grad

z3 = 5 ˜ e

3˜π

z4 = 2 ˜ e

2

Zeigen Sie, dass für die gegebenen komplexen Zahlen nachfolgende Zusammenhänge und die Dreiecksungleichheiten gelten: *

z1 = z1

; z3 =

*

z3 ˜ z3 ; z1 ˜ z2 = z1 ˜ z2 ;

z1 z2

z 1  z 2 d z 1  z 2 bzw. z 1  z 2 d z 1  z 2

Seite 485

=

z1 z2

.

Übungsbeispiele

1.5.2 Multiplikation und Division von komplexen Zahlen Beispiel 1: Gegeben sind folgende komplexe Zahlen: z1 = 8  j

z 2 = 4  j ˜ 5

Gesucht sind:  z = z1 ˜ z1

z = z1 ˜ z2

 z = z2 ˜ z2

Beispiel 2: Gegeben sind folgende komplexe Zahlen:

§ ©

z 1 = 5 ˜ ( cos ( 120 ˜ Grad)  j ˜ sin ( 120 ˜ Grad) )

§ π ·  j ˜ sin § π · · ¸ ¨ ¸¸ © 2 ¹ © 2 ¹¹

z 2 = 2 ˜ ¨ cos ¨

Gesucht sind:  z = z1 ˜ z1

z = z1 ˜ z2

 z = z2 ˜ z2

Beispiel 3: j˜

Gegeben ist folgende komplexe Zahl:

z = 10 ˜ e

π 6

1 Gesucht ist z 1 = ˜ z und ihre geometrische Deutung (grafische Darstellung von z und z ). 1 2 Beispiel 4: Gegeben sind folgende komplexe Zahlen:

§ z1  7 ˜ e ©

 ¨j ˜

π·

j˜

¸

4¹

z2  4 ˜ e

2˜π 3

Gesucht ist z = z 1 ˜ z 2 und ihre geometrische Deutung (grafische Darstellung von z und z 1 und z 2 ). z  z1 ˜ z2

z

7.247  27.046i

Beispiel 5: Gegeben ist folgende komplexe Zahl: z  6  j ˜ 2 Gesucht ist der Zeiger z 1, der aus der Drehung von z um 120° entsteht. Stellen Sie z und z 1 grafisch dar.

Seite 486

Übungsbeispiele

Beispiel 6: Gegeben ist folgende komplexe Zahl z = (10 ; - 60°). Gesucht ist der Zeiger z 2, der aus der Streckung von z um das k = 1/2-fache (z 1 = k z) und der Drehung um den Winkel von 90° hervorgeht. Stellen Sie z und z 1 und z 2 grafisch dar. Beispiel 7: Zerlegen Sie in ein Produkt von zwei Binomen: 2

2

2

c d

2

a 5

2

16 ˜ a  25 ˜ b

Beispiel 8: Gegeben sind folgende komplexe Zahlen: z1 = 9  2 ˜ j

z2 = 3  j

Gesucht sind: z=

z1

z1 z=  z1

z2

z2 z=  z2

Beispiel 9: Gegeben sind folgende komplexe Zahlen: j˜

z1 = 9 ˜ e

3˜π 4

z2 =

9 10

j˜

˜e

2˜π 3

z1

1 bzw. z r = und ihre geometrische Deutung. z2 z2

Gesucht sind z =

Beispiel 10: Gegeben sind folgende komplexe Zahlen: z1 = 6  j ˜ 3

Gesucht ist z =

z2 = z1 z2

1 j

4

und ihre geometrische Deutung.

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2

2

x y

Übungsbeispiele

1.5.3 Potenzieren von komplexen Zahlen Beispiel 1: Gegeben sind folgende komplexe Zahlen: z1 = 1  j

z2 = 3  j ˜

3

Berechnen Sie mit den binomischen Formeln und mit Moivre: 2

z = z1

3

z = z2

Stellen Sie z1 , z 2 , z 1 2 und z 2 3 als Zeiger dar und interpretieren Sie z 1 2 und z 2 3 . Beispiel 2: Berechnen Sie:

z = ( 2  j ˜ 3)



5

z = ( 4  j ˜ 3)

 j˜30°

z = 3˜ e

§ π ·  j ˜ sin § π · ·º ¸ ¨ ¸ ¸» © 3¹ © 3 ¹ ¹¼

ª § ¬ ©

3

5 10

z = «2 ˜ ¨ cos ¨

3 §3 j· ¨ ¸ ©2 j¹

z=

1.5.4 Wurzelziehen (Radizieren) von komplexen Zahlen Beispiel 1: Berechnen Sie:

3

1

5

3 j˜4

7 j˜4

Stellen Sie die Lösungen grafisch dar und interpretieren Sie die Lösungen. Beispiel 2: Berechnen Sie alle reellen und komplexen Lösungen und stellen Sie die Lösungen grafisch dar: 6

z  1=0

8

z  1=0

Beispiel 3: Berechnen Sie alle reellen und komplexen Lösungen und stellen Sie die Lösungen grafisch dar: 2

x  x 1=0

4

2

x  6 ˜ x  25 = 0

1 x 4



Beispiel 4: Zerlegen Sie in Linearfaktoren: 3

2

x  x  4˜ x 4

4

2

x  2˜ x  3

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1 x 3



1 x 2

=0

Übungsbeispiele

1.5.5 Logarithmieren von komplexen Zahlen Beispiel 1: Berechnen Sie den natürlichen Logarithmus folgender komplexen Zahl: z = 1  j ˜ 4 Geben Sie den Hauptwert und die ersten 10 Nebenwerte an. Beispiel 2: Berechnen Sie den natürlichen Logarithmus folgender komplexen Zahl (Hauptwert):

ln ( 1)

ln ( 2  j )

π § j˜ · ¨ 3¸ ln © 2 ˜ e ¹

ln ( j )

1.6. Anwendungen von komplexen Zahlen 1.6.1 Komplexe Darstellung von sinusförmigen Größen Beispiel 1: Wandeln Sie die Momentanwertgleichung u(t) = 45.5 V sin(Z t - 20.2°) in alle Formen der komplexen Spannungsgleichungen um. Beispiel 2: Die gegebene komplexe Spannungsgleichung U = 30 V + j 11 V soll in die Exponentialform umgeformt werden. Beispiel 3: Ermitteln Sie die Zeigerlänge und die Phase folgender Spannung: U = 110 V + j 60 V. Beispiel 4: In welchem Quadranten liegen folgende komplexe Größen: Z = 20 : + j 30 :; Y = 0.1 S - j 0.3 S; S = - 10 kW + j 5 kVar. Beispiel 5: Wandeln Sie die gegebenen komplexen Größen in die trigonometrische Schreibweise um: S = 100 W + j 80 Var; Z = 8 : - j 10 :; Y = - 0.2 S - j 0.3 S; I = 8 A - j 10 A. Beispiel 6: Geben Sie die Komponentenform für folgende elektrische Größen an: U = 220 V (-cos(150°) - j sin(150°)) ; I = 3 A (-cos(30°) + j sin(30°)). Beispiel 7: Stellen Sie für folgende Typenschildangabe die Komponentenform und Exponentialform her: a) S = 10 kVA , cos(M) = 0.8 b) S = 60 kVA , cos(M) = 0.7

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Übungsbeispiele

Beispiel 8: Am Eingang eines Verstärkers liegt das Signal Ue = 10 e- j 22° mV an. Der Verstärker hat den Faktor v = 10 und eine Phasenverschiebung von 33°. Stellen Sie die Ausgangsspannung Ua in Exponentialform dar.

1.6.2 Überlagerung von Schwingungen gleicher Frequenz Beispiel 1: Zwei harmonische mechanische Schwingungen y 1 und y2 sollen subtraktiv (y = y1 - y2 = ÂD sin(Z t + MD)) überlagert werden. Die Berechnung soll zuerst reell und dann komplex durchgeführt werden. Die geometrische Subtraktion der komplexen Schwingungsamplituden soll grafisch dargestellt werden. Stellen Sie anschließend die zeitabhängigen Größen y, y1 und y2 in einem kartesischen Koordinatensystem dar.



1

§ ©

1

y1 ( t)  6 ˜ cm ˜ cos 3 ˜ s y2 ( t)  3 ˜ cm ˜ sin ¨ 4 ˜ s

˜t



˜t

π·

¸

3¹

Beispiel 2: Die nachfolgenden drei Wechselströme werden zur Überlagerung gebracht. Wie lautet die Gleichung der resultierenden Wechselströme i(t) = i1 (t) + i2 (t) - i3 (t)? f  50 ˜ Hz

Frequenz der Wechselströme

ω 2˜ π˜ f

Kreisfrequenz

Î1  18 ˜ mA

Î2  21 ˜ mA

φi2 

2˜ π

§ ©

5 ˜ π·









i1 ( t) = Î1 ˜ cos ¨ ω ˜ t 

3

i2 ( t) = Î2 ˜ sin ω ˜ t  φi2

Scheitelwerte der Wechselströme Nullphasenwinkel

φi3  0

3

Î3  22 ˜ mA

¸ ¹ Wechselspannungen

i3 ( t) = Î3 ˜ sin ω ˜ t  φi3

1.6.3 Berechnungen in Wechselstromkreisen Beispiel 1: Stellen Sie folgende Größen in Komponentenform und Exponentialform dar: a) I = 3.7 A bei Voreilung gegenüber der Spannung um 37°; b) U = 110 V bei Nacheilung gegenüber dem Strom um 28°. Beispiel 2: Geg.: a) Z = 10 : + j 20 : b) S = 5 kW - 3 kVar; c) U = 3 V + j 5 V Ges.: Betrag der komplexen Größen und Phasenwinkel und die grafische Darstellung. Um welche Art von Verbraucher handelt es sich?

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Übungsbeispiele

Beispiel 3: In einem Drehstromverbraucher fließt in einem Strang die Stromstärke I = 3 e-j 42° A. Berechnen Sie die Stromstärke in den beiden anderen Strängen in Exponentialform und stellen Sie die 3 Zeiger in einem Koordinatensystem dar. Beispiel 4: Ein Verbraucher nimmt S = 16 kVA auf. 70 % seiner Scheinleistung sind echte Wirkleistung und 71 % seiner Scheinleistung sind induktive Blindleistung. Bestimmen Sie die Komponenten- und Exponentialform von S. Beispiel 5: Welche Scheinleistung ergibt sich, wenn durch Z = 20 e j40° : ein Strom von I = 8.4 e -j18° A fließt? Beispiel 6: Ein Drehstromverbraucher nimmt S = 15 e j 32° kVA auf die Spannung beträgt U = 380 e j 10° V.  Berechnen Sie den Strom I ( S = 3 ˜ U ˜ I ). Beispiel 7: f  50 ˜ Hz

Frequenz

R  250 ˜ Ω

Widerstand

L  0.5 ˜ H

Induktivität

C  0.3 ˜ μF

Kapazität

U  220 ˜ V

Effektivwert der Spannung

Wie groß ist der Scheinleitwert Y, die Stromstärke I, der Scheinwiderstand Z und die Leistungsanteile S, P, Q der gegebenen Schaltung. Gesucht sind auch die Zeiger- und Operatorendarstellung für die Schaltung. Beispiel 8: f  60 ˜ Hz

Frequenz

R1  50 ˜ Ω

Widerstand

R2  80 ˜ Ω

Widerstand

L  0.16 ˜ H

Induktivität

C  20 ˜ μF

Kapazität

U  500 ˜ V

Effektivwert der Spannung

Wie groß sind die Scheinleitwerte Y1 , Y2 , Y, die Stromstärke I, der Scheinwiderstand Z und die Leistungsanteile S, P, Q der gegebenen Schaltung. Gesucht sind auch die Zeiger- und Operatorendarstellung für die Schaltung.

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Übungsbeispiele

Beispiel 9: Gesucht ist der Gesamtfrequenzgang G(s) = G1 (s) . G2 (s) . G3 (s) einer zusammengesetzten Regelstrecke. Stellen Sie G1 (s), G2 (s), G3 (s) und G(s) in einem Koordinatensystem dar. Berechnen Sie das Ausgangssignal, wenn am Eingang eine Spannung Ue = 20 e j 110° V angelegt ist (G(s) = Ua /Ue ).

Beispiel 10: Gesucht ist der Gesamtfrequenzgang G(s) = G1 (s) * G2 (s) * G3 (s) einer zusammengesetzten Regelstrecke. Es gilt: s = p = j Z und T1 = T2 = T3 = T.

Beispiel 11: Gesucht ist der Gesamtfrequenzgang G(s) = G1 (s) * G2 (s) * G3 (s) von 3 Integralgliedern. Es gilt: p = j Z und T1 = T2 = T3 = T.

Beispiel 12: Gegeben ist eine Regelstrecke mit einer Störgröße Uz. Gesucht ist: a) Gesamtfrequenzgang G(s); b) Die Ausgangsspannung Ua , wenn Ue = 20 e-j 20° mV; c) Die Ausgangsspannung Ua , wenn zu b) an der Störstelle Z eine Störspannung Uz = 5 e j 30° V wirkt (Anleitung: Ua = ( G1 (s) G2 (s) Ue + Uz) G3 (s))

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Übungsbeispiele

Beispiel 13: Gesucht ist der Gesamtfrequenzgang G(s) = G1 (s) + G2 (s) + G3 (s) einer zusammengesetzten Regelstrecke. Stellen Sie G1 (s), G2 (s), G3 (s) und G(s) in einem Koordinatensystem dar.

1.7 Ortskurven Beispiel 1: Gesucht ist die Ortskurve U(Z) = I (R+ j Z L) für R = 20 :, L = 0.5 H und I = I = 2.6 A für 0 s-1 d Z d 100 s-1 . Beispiel 2: Für die dargestellte Schaltung sind die Ortskurve des komplexen Widerstandes und die zugehörige Leitwert-Ortskurve als Funktion von R gesucht (maßstäblich). f = 50 ˜ Hz L = 25 ˜ mH L1 = 100 ˜ mH R1 = 250 ˜ Ω 0 ˜ Ω d R d 100 ˜ Ω Beispiel 3: Für die gegebene Reihenschaltung ist die Ortskurve der Spannung U in Abhängigkeit von der Kapazität C gesucht (maßstäblich). ω = 5000 ˜ s

1

R = 280 ˜ Ω I = I = 20 ˜ mA

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0.5 ˜ μF d C d 3 ˜ μF

Übungsbeispiele

Beispiel 4: Für eine Reihenschaltung von R und L an Wechselspannung sind die Ortskurven Z(Z), Y(Z) und I(Z) gesucht (maßstäblich). Dabei ist R = 1 k:, L = 5.0 H, U = 2 kV und 0 s-1 d Z d 400 s-1 . Beispiel 5: Für eine Parallelschaltung von R = 100 : und L = 6.37 mH ist die Leitwert-Ortskurve in Abhängigkeit von der Frequenz f zu bestimmen und daraus durch Inversion die Widerstandsortskurve abzuleiten und maßstäblich darzustellen (2 kHz d f d20 kHz). Reihenschaltung von R und L an Wechselspannung sind die Ortskurven Z(Z), Y(Z) und I(Z) gesucht (maßstäblich). Dabei ist R = 1 k:, L = 5.0 H, U = 2 kV und 0 s-1 d Z d 400 s-1 . Beispiel 6: Für die gegebene Parallelschaltung ist die Ortskurve Z(f) gesucht (maßstäblich). RL = 20 ˜ Ω RC = 30 ˜ Ω C = 30 ˜ μF

10 ˜ Hz d f d 1000 ˜ Hz

L = 0.2 ˜ H U = 220 ˜ V

1.7.3 Komplexe Wechselstromrechnung im Schwingkreis Beispiel 1: Bestimmen Sie die Ortskurve Z(f) und die Frequenzgänge Z(f) und I(f) sowie den Phasengang Mz(f) rechnerisch und grafisch von folgendem Schwingkreis im Bereich 0 Hz df d 200 Hz. Bestimmen Sie auch die Resonanzfrequenz fres, Zmax und Zres des Schwingkreises.

R = 20 ˜ Ω L = 0.1 ˜ H C = 32 ˜ μF U = 110 ˜ V

Seite 494

Übungsbeispiele

Beispiel 2: Bestimmen Sie die Ortskurve Z(f) und die Frequenzgänge Z(f) und X(f) sowie den Phasengang Mz(f) rechnerisch und grafisch von folgendem Schwingkreis im Bereich 0 Hz df d 300 Hz. Bestimmen Sie auch die Resonanzfrequenz fres, Zmax und Zres des Schwingkreises.

R = 55 ˜ Ω L = 2˜ H C1 = 4 ˜ μF C2 = 2 ˜ μF

Beispiel 3: Bestimmen Sie die Frequenzgänge X(f) und B(f) rechnerisch und grafisch (in einem Koordinatensystem) von folgendem Reaktanz-Zweipol im Bereich 0 Hz df d 150 Hz. Bestimmen Sie auch die Nullstelle von X(f) (Resonanzfrequenz fres ) und B(f) (Kennfrequenz fp) des Schwingkreises.

L = 0.2 ˜ H C1 = 50 ˜ μF C2 = 1 ˜ μF

1.7.4 Amplitudengang und Phasengang bei Vierpolen Beispiel 1: Stellen Sie für den Tiefpassfilter und dem Hochpassfilter den Amplituden- und Phasengang der komplexen Übertragungsfunktion G(Z) in einem Bodediagramm dar. Vergleichen Sie das Bodediagramm mit der Ortskurve der Übertragungsfunktion und interpretieren Sie das Ergebnis. Bei welcher Kreisfrequenz Z0 bzw. Frequenz f0 wird das Spannungsverhältnis Ua /Ue reell, d. h. keine Phasenverschiebung zwischen U a und U e ? Bei welcher Frequenz ist die Phasenverschiebung genau 45°?

R = 5 ˜ kΩ C = 1 ˜ μF

Seite 495

Übungsbeispiele

Beispiel 2: An einem RLC-Filter (Bandsperre) soll die Übertragungsfunktion, der Amplitudengang, der Phasengang, obere und untere Grenzfrequenz und die Grafen des Amplituden und Phasenganges ermittelt und interpretiert werden.

R = 500 ˜ Ω L = 0.1 ˜ H C = 1 ˜ μF

Leiten Sie die Übertragungsfunktion G(Z) her und bestimmen Sie den Amplituden- und Phasengang rechnerisch und grafisch. Berechnen Sie die Bandmittenfrequenz Z0 und die obere und untere Grenzkreisfrequenz Z

gu

und Z

go

( A ( ω) =

1 2

).

Stellen Sie den Amplitudengang auch in dB dar. Beispiel 3: Leiten Sie die Übertragungsfunktion für einen PID-Regler G(Z) her und bestimmen Sie den Amplituden- und Phasengang rechnerisch und grafisch. Stellen Sie den Amplitudengang in dB dar. R2 Ua = 1  j ˜ ω ˜ R2 ˜ C R2 Ue = R1  1  j ˜ ω ˜ R2 ˜ C

R1 = 100 ˜ Ω C = 1 ˜ μF

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R2 = 500 ˜ Ω

Übungsbeispiele

2. Vektoralgebra und analytische Geometrie 2.2 Grundrechenoperationen für Vektoren Beispiel 1: Gegeben:

§¨ 2 ·¸ a  ¨ 1 ¸ b  ¨3 ¸ © ¹

§¨ 2 ·¸ ¨ 4 ¸ c ¨ 2 ¸ © ¹

§¨ 1 ·¸ ¨5 ¸ ¨ 2 ¸ © ¹

Gesucht: c = a + b, d = a - b in Koordinaten- und Komponentendarstellung. Beispiel 2: Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes C des Parallelogramms ABCD mit den Eckpunkten A(0|2), B(6|4) und D(1|6). Beispiel 3:

§¨ 1 ·¸ Gegeben: a = ¨ 5 ¸ ¨ 2 ¸ © ¹ Gesucht: d = 5 ˜ a 

b = 3 ˜ e1  4 ˜ e2  7 ˜ e3

1 2

˜b

1 3

c = 6 ˜ e1  3 ˜ e2  3 ˜ e3

˜c

Beispiel 4: Ein Passagierflugzeug, dessen Geschwindigkeit gegenüber Luft konstant 950 km/h beträgt, fliegt in östlicher Richtung eine Strecke 2000 km. Es weht ein Wind mit 40 km/h aus Nordost. Wie groß ist die Fluggeschwindigkeit v über dem Boden und wie lange ist die Flugdauer?

2.4 Vektorräume Beispiel 1: Sind alle Geraden und Ebenen des n , die nicht durch 0 gehen, Untervektorräume? Beispiel 2:

§1 · §0 · §1 · o ¨ ¸ o ¨ ¸ o o o ¨ ¸ Sind die Vektoren a = ¨ 2 ¸ , b = ¨ 2 ¸ bzw. a , b und c = ¨ 2 ¸ linear unabhängig? ¨0 ¸ © ¹

¨1 ¸ © ¹

¨6 ¸ © ¹

Seite 497

Übungsbeispiele

Beispiel 3: Ein Ausleger besteht aus zwei Stäben. Im Gelenk S greift unter einem Winkel D = 25° gegen die Vertikale o eine Kraft F vom Betrag F = 5 kN an. Bestimmen Sie unter Vernachlässigung des Eigengewichtes der  o  o Stäbe die in den Stäben auftretenden Reaktionskräfte (Zug- und Druckkraft) FA und FB . Die Abstände sind durch a = 3 m und b = 2 m gegeben.

Beispiel 4:

2

 o Im  ist mit b1 =

1 §3· o § · ¨ 1 ¸ und  ¨ b2 = 4 ¸ eine Basis gegeben. ¨ ¸ ¨ ¸ ©3¹ ©4¹

o § 13 · Ist der Vektor a = ¨ ¸ als Linearkombination dieser Basisvektoren darstellbar? © 17 ¹ Beispiel 5: o §8 · o §4 · o §1 · Ein Vektor c = ¨ ¸ soll in der Richtung der Vektoren a = ¨ ¸ und b = ¨ ¸ zerlegt werden. ©9 ¹ ©2 ¹ ©3 ¹ Wie lautet die Zerlegung?

2.5 Betrag eines Vektors Beispiel 1: Bestimmen Sie den Betrag des nachfolgend gegebenen Feldstärkevektors und den zugehörigen Richtungsvektor der Länge 1.

§¨ 2.21 ·¸ V E = ¨ 4.75 ¸ ˜ ¨ 0.17 ¸ m © ¹

Seite 498

Übungsbeispiele

Beispiel 2: Eine DC 10 „fliegt“ in nordwestlicher Richtung mit vm = 930 km/h relativ zur Erde. Es bläst eine steife Brise aus Westen mit w = 120 km/h relativ zur Erde. Mit welcher Geschwindigkeit v0 und in welche Richtung würde das Flugzeug ohne Windablenkung fliegen?

2.6 Produkte von Vektoren 2.6.1 Skalarprodukt Beispiel 1: Bilden Sie das Skalarprodukt der nachfolgend gegebenen Vektoren.

§¨ 2 ·¸ a = ¨8 ¸ ¨4 ¸ © ¹

§¨ 1 ·¸ b = ¨ 3 ¸ ¨ 6 ¸ © ¹

Beispiel 2: Sind die nachfolgend gegebenen Vektoren orthogonal?

§¨ 3 ·¸ a=¨ 4 ¸ ¨ 2 ¸ © ¹

§¨ 2 ·¸ b = ¨1 ¸ ¨5 ¸ © ¹

Beispiel 3: o o oo o o Beweisen Sie den Satz des Pythagoras. Anleitung: c = a  b; a ˜ b = 0.

Seite 499

Übungsbeispiele

Beispiel 4: Beweisen Sie den Satz von Thales. Er besagt, dass jedes Dreieck, dessen Grundseite der Durchmesser oo o o o eines Kreises ist und dessen Spitze auf dem Kreis liegt, rechtwinkelig ist. Anleitung: u ˜ v = 0 ; a = b .

Beispiel 5: o o Wie groß ist der Winkel M, den die beiden Vektoren a und b miteinander einschließen?

§¨ 1 ·¸ a = ¨2 ¸ ¨4 ¸ © ¹

§¨ 3 ·¸ b=¨5 ¸ ¨8 ¸ © ¹

Beispiel 6: Wie groß sind die Richtungswinkel D, E und J des folgenden Vektors:

§¨ 3 ·¸ a = ¨ 2 ¸ ¨ 4 ¸ © ¹ Beispiel 7:  o  o Von zwei Kräften F1 und F2 sind Betrag und Richtung bekannt. Bestimmen Sie den Betrag und die  o  o Richtung der Resultierenden F1  F2 , wenn F = 100 N, D = 80°, E = 120°, J d90° und F = 130°, 1 1 1 1 2 D2 = 60°, E2 = 40°, J2 t 90° sind. Beispiel 8: o o Wie lautet die Projektion eines Vektors b auf einen Vektor a?

§¨ 3 ·¸ a = ¨0 ¸ ¨4 ¸ © ¹

§¨ 4 ·¸ b = ¨ 1 ¸ ¨7 ¸ © ¹

Seite 500

Übungsbeispiele

Beispiel 9: o Eine Kraft F vom Betrag F = 60 N, die einen Körper von P1 (2 m| - 2 m| 1 m) nach P2 (3 m| 4 m| 5 m) o bewegt, besitzt die Richtung des Vektors r . Welche Arbeit W wird von der Kraft verrichtet?

§¨ 1 ·¸ r=¨ 3 ¸˜m ¨2 ¸ © ¹ Beispiel 10: o o o  o Welche Arbeit verrichtet die Kraft F = § 310 ˜ ex  240 ˜ ey  350 ˜ ez· ˜ N, die einen Körper längs des © ¹ o o o  o § · Weges s = 4 ˜ ex  15 ˜ ey  3 ˜ ez ˜ m verschiebt? © ¹ Beispiel 11: o Eine Punktladung Q = 10 -8 C soll in einem konstanten elektrischen Feld mit der Feldstärke E vom Punkt o P1 (-2 m| 3 m| 4 m) aus geradlinig längs des Richtungsvektors a in positiver Richtung um 4 m verschoben werden. Welche Arbeit wird an der Punktladung verrichtet? Welchen Winkel M bildet der an der o o Punktladung angreifende Kraftvektor F mit dem Verschiebungsvektor s?

2.6.2 Vektorprodukt Beispiel 1: o o Berechnen Sie den Flächeninhalt des von den beiden Vektoren a und b aufgespannten o o Parallelogramms. Wie groß ist der Winkel M zwischen a und b?

§¨ 2 ·¸ a  ¨ 4 ¸ ˜ m ¨1 ¸ © ¹

§¨ 1 ·¸ b  ¨6 ¸ ˜ m ¨5 ¸ © ¹

gegebene Vektoren

Beispiel 2: o o Berechnen Sie das Vektorprodukt der gegebenen Vektoren a und b mithilfe der Determinante.

Seite 501

Übungsbeispiele

§¨ 3 ·¸ a ¨ 5 ¸ ¨ 1 ¸ © ¹

§¨ 2 ·¸ b  ¨ 3 ¸ ¨6 ¸ © ¹

Beispiel 3: Wie groß ist der Flächeninhalt des Dreiecks mit den Eckpunkten A(2 m| 1 m| 0 m), B(4 m| 0 m| -2 m) und C(1 m| 1 m| 1 m)? Beispiel 4: o Ein Elektron mit der Elementarladung e = 1.6 10-19 C tritt mit einer Geschwindigkeit v in ein räumlich  o o o und zeitlich konstantes Magnetfeld ein. Es erfährt dort eine Lorentz-Kraft von FL = e ˜ v u B . o o Wie groß ist die Kraftwirkung auf das Elektron, wenn v und die Flussdichte B des Magnetfeldes gegeben sind?



§¨ 0 ·¸ m v  ¨ 2000 ¸ ˜ ¨ 0 ¸ s © ¹

gegebene Geschwindigkeit

§¨ 0.1 ·¸ V˜s B ¨ 0 ¸ ˜ ¨ 0 ¸ m2 © ¹

gegebene Flussdichte (V s / m2 = 1 T)

Beispiel 5:  o  o Wie groß sind die Stützkräfte FA und FB und deren Beträge des gegebenen Fachwerkes?

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Übungsbeispiele

Beispiel 6: Bestimmen Sie die Tangentialgeschwindigkeit eines Körper auf einer Kreisbahn, der sich o o o mit der Winkelgeschwindigkeit Z um eine Drehachse dreht ( v = ω u r ).

§¨ 0 ·¸ 1 ω=¨ 0 ¸˜ ¨ 10 ¸ s © ¹

§¨ 0.2 ·¸ r = ¨ 0.3 ¸ ˜ m ¨ 0.5 ¸ © ¹

gegebene Vektoren

Beispiel 7: In einem geraden Leiter fließt ein Strom von I = 5 A. Der Leiter verlaufe in der x-y-Ebene eines  o Koordinatensystems mit einer Steigung von M= 30° zur x-Achse. Welche Kraft FL, zerlegt nach Betrag und Einheitsvektor, wirkt auf eine Länge von L0 = 8 cm, wenn im Raum eine magnetische o Flussdichte B = ( 1, 2, -3)T herrscht?

ª§ Lx ·

«¨ ¸ FL = I ˜ ( L u B) = I ˜ «¨ Ly ¸ u «¨ ¸ «¬¨© Lz ¸¹

§¨ Bx ·¸º» ¨ B ¸» ¨ y ¸» ¨© Bz ¸¹»¼

§ cos ( φ) B ¨ x ¨ = I ˜ L0 ˜ ¨ sin ( φ) B y ¨ ¨ 0 Bz ©

 o ex ·¸  o¸ ey ¸ ¸  o ez ¸ ¹

2.6.3 Spatprodukt Beispiel 1: oo o Bestimmen Sie das Volumen des durch die Vektoren a, b und c aufgespannten Parallelepipeds (Spat).

§¨ 1 ·¸ a  ¨ 1 ¸ ¨3 ¸ © ¹

§¨ 2 ·¸ b ¨ 3 ¸ ¨ 2 ¸ © ¹

§¨ 1 ·¸ c ¨ 2 ¸ ¨ 3 ¸ © ¹

Beispiel 2: Liegen die Punkte A(6 | 9 | 4), B(0 | 5 | 2), C(0 | 0 | 4) und D(6 | 2 | 8) bzw. A1 (2 | -1 | -2), B1 (1 | 2 | 1), C1 (2 | 3 | 0) und D1 (5 | 0 | -6) in einer Ebene?

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Übungsbeispiele

2.7. Analytische Geometrie 2.7.1 Teilung einer Strecke Beispiel 1:  Gegeben sind zwei Punkte M(1 | 4) und A(-3 | 6). M ist der Mittelpunkt der Strecke AB. Wie lauten die Koordinaten von B? Beispiel 2:  Die Strecke AB , mit A(-1 | -3) und B(7 | 1), wird in vier gleich lange Teilstrecken zerlegt. Berechnen Sie die Koordinaten der Teilungspunkte. Beispiel 3:  Gegeben ist die Strecke AB mit A(-5 | 9) und B(9 | 2). Berechnen Sie die Koordinaten des inneren Teilungspunktes für das Verhältnis 5:2. Beispiel 4:  Gegeben ist die Strecke AB mit A(-5 | 9) und B(9 | 2). Berechnen Sie die Koordinaten des äußeren Teilungspunktes für das Verhältnis 11:4. Beispiel 5: Von einem Dreieck ABC kennen wir den Schwerpunkt S(3 | 3 | 3) und zwei Eckpunkte B(-1 | -2 | -3), C(4 | 2 | 0). Wie lauten die Koordinaten des dritten Eckpunktes?

2.7.2 Geradendarstellung Beispiel 1: Wie lautet die Geradengleichung in Parameterdarstellung, wenn die Gerade g durch P1 (4 | -1) mit dem o o T T Richtungsvektor a = ( 2 1 ) bzw. durch P1 (3 | -5 | 1) mit dem Richtungsvektor a = ( 2 5 4 ) geht. Beispiel 2: Gegeben sind zwei Punkte A(-3 | 2 | 1) und B(-4 | 5 | 1) einer Geraden. Wie lautet die Geradengleichung? Bestimmen Sie für verschiedene O jeweils einen Punkt der Geraden. Wie lautet die Geradengleichung, wenn der Einheitsvektor von A nach B als Richtungsvektor genommen wird? Wie lautet der Punkt, der drei Einheiten vom Punkt A entfernt liegt? Beispiel 3: Ermitteln Sie die Gleichungen der Trägergeraden der Schwerlinien des Dreiecks ABC mit A(-2 | 1), B(4 | -3) und C(2 | 3). Beispiel 4: Wie lautet die parameterfreie Form der Geradengleichung bei gegebener Vektorform in impliziter Form, expliziter Form und Achsenabschnittsform? o § 1 · § 3 · x= ¨ ¸  똨 ¸ ©3 ¹ © 1 ¹

gegebene Vektorform der Geradengleichung

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Übungsbeispiele

Beispiel 5: Aus einer gegebenen impliziten Form einer Geradengleichung g soll eine Parameterdarstellung angegeben werden. g:

4 ˜ x  5 ˜ y = 2

gegebene Geradengleichung

Beispiel 6: Ermitteln Sie die Gleichung der Geraden g durch den Punkt P(-4 | -1) mit der Steigung k = 1/2 in Vektorform und Koordinatenform. Beispiel 7: Stellen Sie fest, ob die drei Punkte A, B und C auf einer Geraden liegen: a) A(2 | 3), B(10 | 7), C(-6 | -1) b) A(3 | 4 | -2), B(-1 | -3 | 5), C(-5 | -10 | 11) Beispiel 8: Wie lautet der Schnittpunkt der folgenden Geraden? Welchen Winkel schließen diese Geraden ein?

g1 :

o §1 · §1 · x=¨ ¸  똨 ¸ ©0 ¹ ©1 ¹

g2 :

o §0 · §3 · x= ¨ ¸  온 ¸ ©5 ¹ © 1 ¹

gegebene Geradengleichungen

Beispiel 9: Wie lautet der Schnittpunkt der folgenden Geraden? Welchen Winkel schließen diese Geraden ein?

g1 :

§2 · §¨ 0 o ¨ ¸ x = ¨1 ¸  λ ˜ ¨ 1 ¨3 ¸ © ¹

·¸ ¸ ¨ 1 ¸ © ¹

g2 :

§1 · §¨ 1 ·¸ o ¨ ¸ x = ¨1 ¸  μ ˜ ¨0 ¸ ¨1 ¸ © ¹

gegebene Geradengleichungen

¨2 ¸ © ¹

Beispiel 10: Berechnen Sie eine implizite Gleichung der Geraden g, die durch die Punkte A(3 | -4), B(-2 | 8) geht. Beispiel 11: Berechnen Sie die implizite Gleichung der Geraden g, die durch den Punkt P(2 | -5) geht und parallel zur Geraden g1 : -3 x - 2 y - 6 = 0 ist. Beispiel 12: Berechnen Sie die implizite Gleichung der Geraden g, die durch den Punkt P(-4 | -7) geht und die Steigung k = - 2/3 hat. Beispiel 13: Gegeben ist die explizite Darstellung einer Geraden g: y = - 4 x + 8. Wie lautet die Parameterdarstellung der Geraden?

Seite 505

Übungsbeispiele

Beispiel 14: Wie lautet die parameterfreie Form der Geradengleichung? o §2 · §2 · x=¨ ¸  똨 ¸ ©1 ¹ ©3 ¹

gegebene Geradengleichung in Parameterdarstellung

Beispiel 15: Wie lautet die parameterfreie Form der Geradengleichung?

§ 1 · §¨ 4 ·¸ o ¨ ¸ x = ¨ 3 ¸  λ ˜ ¨ 5 ¸ ¨2 ¸ © ¹

gegebene Geradengleichung in Parameterdarstellung

¨8 ¸ © ¹

Beispiel 16: o § 3 · §4 · Eine Gerade sei gegeben durch g: x = ¨ ¸  λ ˜ ¨ ¸ ©1 ¹ ©7 ¹ Bestimmen Sie den Normalabstand des Punkte P(3 | 2) von der Geraden. Wie lautet der Fußpunkt Q des Lotes von P auf g? Beispiel 17:

§2 · §¨ 5 o ¨ ¸ Eine Gerade sei gegeben durch g: x = ¨ 3 ¸  λ ˜ ¨ 1

·¸ ¸ ¨ 4 ¸ © ¹

¨4 ¸ © ¹

Bestimmen Sie den Normalabstand des Punktes P(4 | -5 | 2) von der Geraden. Wie lautet der Fußpunkt Q des Lotes von P auf g ? Beispiel 18: Berechnen Sie den Normalabstand des Punktes P(6 | -2) von der Geraden g: -4 x + 3 y + 7 = 0. Beispiel 19: Wie groß ist der Abstand der Geraden g zur Geraden h?

§1 · §¨ 0 o ¨ ¸ g: x = ¨ 9 ¸  λ ˜ ¨ 3 ¨5 ¸ © ¹

·¸ ¸ ¨ 1 ¸ © ¹

§8 · §¨ 4 o ¨ ¸ h: x = ¨ 8 ¸  μ ˜ ¨ 3 ¨4 ¸ © ¹

·¸ ¸ ¨ 3 ¸ © ¹

Beispiel 20: Welche Lage besitzen die folgenden Geraden g1 und g2 zueinander? Bestimmen Sie gegebenenfalls Abstand, Schnittpunkt und Schnittwinkel.

§5 · §¨ 2 ·¸ o ¨ ¸ g: x = ¨ 1 ¸  λ ˜ ¨ 1 ¸ ¨0 ¸ © ¹

¨3 ¸ © ¹

§1 · §¨ 6 ·¸ o ¨ ¸ h: x = ¨ 1 ¸  μ ˜ ¨ 3 ¸ ¨5 ¸ © ¹

¨ 9 ¸ © ¹ Seite 506

Übungsbeispiele

2.7.3 Ebenendarstellung Beispiel 1: Wie lautet die Ebenengleichung in Parameterdarstellung, wenn die Ebene E durch P1 (-2 | 6 | -1) verläuft o o T T und ihre Richtungsvektoren a = ( 3 2 8 ) und b = ( 2 3 5 ) sind? Beispiel 2: Gegeben sind die Punkte A(2 | -2 | 5), B(1 | 2 | -4) und C(3 | -5 | 7) einer Ebene. Wie lautet die Ebenengleichung? Bestimmen Sie für verschiedene Ound P jeweils einen Punkt der Ebene. Beispiel 3: Wie lautet die parameterfreie Form der Ebenengleichung? o x=

§¨ 1 ·¸ §¨ 3 ·¸ §¨ 7 ·¸ ¨ 2 ¸  λ ˜ ¨ 4 ¸  μ ˜ ¨ 2 ¸ ¨ 1 ¸ ¨ 5 ¸ ¨ 3 ¸ © ¹ © ¹ © ¹

gegebene Ebenengleichung in Parameterdarstellung

Beispiel 4: Ermitteln Sie eine Parameterform der Ebenengleichung, wenn die implizite Form der Ebenengleichung gegeben ist. E: 2 ˜ x  5 ˜ y  z = 4

gegebene implizite Ebenengleichung

Beispiel 5: Liegt der Punkt P(3| 1 | -3) in der nachfolgend gegebenen Ebene?

§1 · §¨ 1 ·¸ §¨ 0 ·¸ o ¨ ¸ x = ¨ 1 ¸  λ ˜ ¨ 0 ¸  μ ˜ ¨ 1 ¸ ¨1 ¸ © ¹

¨3 ¸ © ¹

gegebene Ebene

¨2 ¸ © ¹

Beispiel 6: Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene, die den Punkt P1 (-1 | 2 | 5) enthält und auf der der Normalvektor o n steht.

§¨ 2 ·¸ n=¨1 ¸ ¨ 3 ¸ © ¹

gegebener Normalvektor

Beispiel 7: Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene, die den Punkt P1 (-2 | 5 | 2) enthält und auf der ein Normalvektor o n steht. Wie lautet die Hesse'sche Normalform der Ebenengleichung? n = 3 ˜ ex  5 ˜ ey  3 ˜ ez

gegebener Normalvektor in Komponentendarstellung

Seite 507

Übungsbeispiele

Beispiel 8:

§1 · §¨ 1 ·¸ §¨ 4 ¸· o ¨ ¸ Wie lautet die Hesse'sche Normalform der Ebene x = ¨ 2 ¸  λ ˜ ¨ 2 ¸  μ ˜ ¨ 5 ¸ ? ¨ 5 ¸ © ¹

¨3 ¸ © ¹

¨ 7 ¸ © ¹

Beispiel 9: o T Gegeben ist ein Punkt P1 (-3 | 1 | 10) und ein Normalvektor n = ( 2 2 3 ) einer Ebene. Bestimmen Sie den Normalabstand des Punktes P(-10 | 5 | 15) zur Ebene. Beispiel 10: Berechnen Sie den Normalabstand des Punktes P(10 | -5 | 5) von der Ebene E: - 10 x + 5 y + 3 z + 6 = 0. Beispiel 11: Wie groß ist der Abstand zwischen der Geraden g und der Ebene E?

§5 · §¨ 2 ·¸ o ¨ ¸ x = ¨3 ¸  λ ˜ ¨5 ¸ ¨6 ¸ © ¹

gegebene Gerade g

¨1 ¸ © ¹

3˜ x y z  1 = 0

gegebene Ebene E

Beispiel 12: Eine Ebene und eine Gerade sind gegeben durch: o T E: P0 (3 | 4 | 1) und n = ( 2 1 1 ) o T g: P1 (2 | 1 | 5) und a = ( 3 4 0 ) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene und den Winkel zwischen Gerader und Ebene. Beispiel 13: Bestimmen Sie den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene.

§¨ 1 ·¸ §¨ 2 ·¸ OX  λ1  ¨ 2 ¸  λ1 ˜ ¨ 1 ¸ ¨ 3 ¸ ¨ 1 ¸ © ¹ © ¹

gegebene Gerade

§¨ 1 ·¸ §¨ 2 ·¸ §¨ 4 ·¸ OE ( λ μ)  ¨ 2 ¸  λ ˜ ¨ 3 ¸  μ ˜ ¨ 3 ¸ ¨ 1 ¸ ¨ 1 ¸ ¨ 7 ¸ © ¹ © ¹ © ¹

gegebene Ebene

Seite 508

Übungsbeispiele

Beispiel 14: Bestimmen Sie den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene.

§¨ 1 ·¸ §¨ 1 ·¸ OX ( λ) = ¨ 2 ¸  λ ˜ ¨ 1 ¸ ¨3 ¸ ¨2 ¸ © ¹ © ¹

gegebene Gerade

3 ˜ x  5 ˜ y  4 ˜ z = 25

gegebene Ebene

Beispiel 15: Gegeben sind zwei Ebenen. Wie groß ist der Abstand der beiden Ebenen, wenn sie parallel liegen? o  T E : P (3 | 5 | 6) und n1 = ( 1 3 2 ) 1 1 o  T E : P (1 | 5 | -2) und n2 = ( 3 9 6 ) 2 2 Beispiel 16: Bestimmen Sie die Schnittgerade g und den Schnittwinkel der nachfolgend gegebenen Ebenen.

§¨ 1 ·¸ §¨ 1 ·¸ §¨ 2 ·¸ E1 ( λ μ)  ¨ 0 ¸  λ ˜ ¨ 1 ¸  μ ˜ ¨ 1 ¸ ¨1 ¸ ¨3 ¸ ¨5 ¸ © ¹ © ¹ © ¹

gegebene Ebenen

§¨ 1 ·¸ §¨ 1 ·¸ §¨ 1 ·¸ E2 ( λ μ)  ¨ 1 ¸  λ ˜ ¨ 1 ¸  μ ˜ ¨ 2 ¸ ¨ 2 ¸ ¨1 ¸ ¨2 ¸ © ¹ © ¹ © ¹ 2.7.4 Darstellung nichtlinearer geometrischer Gebilde Beispiel 1: Repräsentiert die nachfolgende algebraische Gleichung einen Kreis? Bestimmen Sie allenfalls den Mittelpunkt und den Radius. 2

2

x  y  2 ˜ x  4 ˜ y  10 = 0

gegebene algebraische Gleichung

Beispiel 2: Stellen Sie die Gleichung des folgenden Kreises auf: M(7 | 1), r = 5. Beispiel 3: Ermitteln Sie die Schnittpunkte, falls vorhanden, einer Geraden g mit einem Kreis. 2

2

x  2 ˜ x  y  14 ˜ y  1 = 0

gegebene Kreisgleichung

x  2 ˜ y = 1

gegebene Geradengleichung

Seite 509

Übungsbeispiele

Beispiel 4: Ermitteln Sie den Schnittpunkt, falls vorhanden, einer Geraden g mit einem Kreis. Stellen Sie, wenn möglich, die Tangentengleichung im Berührungspunkt auf. 2

2

( x  12 )  ( y  8) = 36

gegebene Kreisgleichung

5 ˜ x  12 ˜ y = 71

gegebene Geradengleichung

Beispiel 5: Errichten Sie von einem Punkt P(2 | 5) aus die Tangenten an den folgenden Kreis: 2

2

( x  2)  ( y  5) = 9 Beispiel 6: Wird durch die gegebene Kegelschnittgleichung eine Ellipse beschrieben? Wenn ja, bestimmen Sie die Ellipsengleichung. 2

2

2 ˜ x  5 ˜ y  3 ˜ x  2 ˜ y  20 = 0 Beispiel 7: Ermitteln Sie die Schnittpunkte, falls vorhanden, einer Geraden g mit einer Ellipse. 2

2

9 ˜ x  4 ˜ y = 36

gegebene Ellipsengleichung

4 ˜ x  5 ˜ y = 20

gegebene Gerade

Beispiel 8: Ermitteln Sie den Schnittpunkt, falls vorhanden, einer Geraden g mit einer Ellipse. Stellen Sie, wenn möglich, die Tangentengleichung im Berührungspunkt auf. 2

2

5 ˜ x  2 ˜ y = 36

gegebene Ellipsengleichung

3 ˜ x  2 ˜ y = 1

gegebene Geradengleichung

Beispiel 9: Wird durch die gegebene Kegelschnittgleichung eine Hyperbel beschrieben? Wenn ja, bestimmen Sie die Hyperbelgleichung. 2

2

5 ˜ x  2 ˜ y  4 ˜ x  6 ˜ y  58 = 0 Beispiel 10: Ermitteln Sie die Schnittpunkte, falls vorhanden, einer Geraden g mit einer Hyperbel. 2

2

x  y = 15

gegebene Hyperbelgleichung

3 ˜ x  y = 10

gegebene Gerade

Seite 510

Übungsbeispiele

Beispiel 11: Ermitteln Sie den Schnittpunkt, falls vorhanden, einer Geraden g mit einer Hyperbel. Stellen Sie, wenn möglich, die Tangentengleichung im Berührungspunkt auf. 1 2

2

2

gegebene Hyperbelgleichung

˜x  y =1

gegebene Geradengleichung

y=x 1 Beispiel 12:

Wird durch die gegebene Kegelschnittgleichung eine Parabel beschrieben? Wenn ja, bestimmen Sie die Parabelgleichung. 2

2˜ y  5˜ x 2˜ y 4 = 0 Beispiel 13: Ermitteln Sie die Schnittpunkte, falls vorhanden, einer Geraden g mit einer Parabel. 2

4˜ y = x

gegebene Parabelgleichung

x 2˜ y= 6

gegebene Gerade

Beispiel 14: Ermitteln Sie den Schnittpunkt, falls vorhanden, einer Geraden g mit einer Hyperbel. Stellen Sie, wenn möglich, die Tangentengleichung im Berührungspunkt auf. 2

gegebene Parabelgleichung

y = 4˜ x y=

1 2

gegebene Geradengleichung

˜x 2

Beispiel 15: Stellen Sie grafisch eine Kugel und eine schneidende Ebene in einem Koordinatensystem dar (Quickplot). z=

1 2

˜x

1 2

˜y 1

gegebene Ebene

x ( φ θ) = 3 ˜ sin ( θ) ˜ cos ( φ) y ( φ θ) = 3 ˜ sin ( θ) ˜ sin ( φ)

gegebener Kreis in Parameterdarstellung

z ( φ θ) = 3 cos ( θ) Beispiel 16: Stellen Sie grafisch ein Ellipsoid für folgende gegebene Halbachsen dar: x = 5 ˜ sin ( θ) ˜ cos ( φ) y = 3 ˜ sin ( θ) ˜ sin ( φ)

Parameterdarstellung der Ellipse

z = 2 ˜ cos ( θ)

Seite 511

Übungsbeispiele

Beispiel 17: Stellen Sie grafisch ein einschaliges Hyperboloid dar. 2

2

2

2

x=

3  z ˜ cos ( φ)

y=

3  z ˜ sin ( φ)

Parameterdarstellung des Hyperboloids

z=z Beispiel 17: Stellen Sie grafisch einen Kegel dar. i  0  30 φi  i ˜

j  0  30

2˜ π

rj  j ˜

30

10 30



x1 i j  rj cos φi



Parametergleichungen für einen Kegel und seine Spiegelung

y1i j  rj sin φi z1i j  1.5 rj z2  z1 Beispiel 18:

Stellen Sie ein elliptisches Paraboloid grafisch dar. a 3

b 2

§ x2

z=c˜¨

¨ a2 ©

c 1

gegebene Daten

2·



y

¸

2¸

b

¹

Beispiel 19: Stellen Sie einen elliptischen Zylinder grafisch dar. a 5

b 1

gegebene Halbachsen

x = 4 ˜ cos ( φ) y = 2 ˜ sin ( φ)

Parameterdarstellung eines elliptischen Zylinders

z=z

Seite 512

Übungsbeispiele

3. Matrizenrechnung 3.1 Reelle Matrizen Beispiel 1: Bilden Sie A + B, A - B, A B, 2 C + D, - 4 C - 6 D und C D auf konventionelle Art und mithilfe von Mathcad numerisch und symbolisch. A

§ 2 5 · ¨ ¸ © 1 4 ¹

B

§ 3 1· ¨ ¸ © 5 2 ¹ gegebene Matrizen

§¨ 6 9 4 ·¸ C  ¨ 3 5 2 ¸ ¨ 0 9 1 ¸ © ¹

§¨ 5 2 6 ·¸ D  ¨ 0 1 2 ¸ ¨ 5 2 7 ¸ © ¹

Beispiel 2: Berechnen Sie: A A = A2 und B B B = B3 .

§¨ 3 2 6 ·¸ A  ¨ 7 2 1 ¸ ¨ 8 0 5 ¸ © ¹

§¨ 1 3 8 ·¸ B  ¨ 2 5 1 ¸ ¨9 2 4 ¸ © ¹

gegebene Matrizen

Beispiel 3: Bilden Sie AT und BT auf konventionelle Art und mithilfe von Mathcad numerisch und symbolisch. Wie lauten die Zeilen- und Spaltenvektoren der gegebenen Matrix A? Wandeln Sie zeilenweise und spaltenweise die Matrix A in einem Vektor um.

§ 1 7 4· A ¨ ¸ © 3 9 2 ¹

§¨ 4 5 ·¸ B ¨ 1 4¸ ¨ 2 8 ¸ © ¹

gegebene Matrizen

Beispiel 3: Gilt für die gegebene Matrix A: AT = A und für BT = -B? Wenn ja, warum?

§¨ 1 1 2 ·¸ A  ¨ 1 3 3 ¸ ¨ 2 3 4 ¸ © ¹

§¨ 2 2 5 ·¸ B  ¨ 2 0 1 ¸ ¨5 1 3 ¸ © ¹

gegebene Matrizen

Beispiel 4: Wie lauten die Determinanten der gegebenen Matrizen? Berechnen Sie die Determinanten zum Vergleich auch mit Mathcad auf verschiedene Art und Weise.

§ 1 2 · A ¨ ¸ © 5 2 ¹

§¨ 4 5 3 ·¸ B  ¨ 3 2 1 ¸ ¨0 3 1 ¸ © ¹

§3  λ 2 · ¨ ¸ © 1 4  λ ¹

Seite 513

gegebene Matrizen

Übungsbeispiele

Beispiel 5: Berechnen Sie mit der Regel von Sarrus die Determinanten folgender Matrizen:

§¨ 1 5 8 ·¸ A ¨ 3 5 9 ¸ ¨ 2 7 10 ¸ © ¹

§¨ 5 0 1 ·¸ B  ¨ 3 8 9 ¸ ¨ 1 1 2¸ © ¹

Beispiel 6: Wie lautet der Wert folgender Determinanten? (Berechnung mithilfe des Entwicklungssatzes von Laplace und mithilfe von Mathcad.)

§1 ¨ ¨ 3 ¨1 ¨ ©0

4 1 5·

§1 ¨ ¨1 ¨0 ¨ ©3

¸ 1 0 3¸ 2 1 6¸ ¸ 3 3 0¹

0 8

2

· ¸ 2 2 2 ¸ 1 4 1 ¸ ¸ 0 2 4 ¹

Beispiel 7: Warum verschwinden die nachfolgend gegebenen Determinanten?

§ 1 2 3 · ¨ ¸ 4 8 0 ¸ ¨ det ( A) = ¨1 ¸ 1 3 ¸ ¨ ©2 ¹

§¨ 1 0 4 ·¸ det ( A) = ¨ 7 0 8 ¸ ¨0 0 2 ¸ © ¹ Beispiel 8:

Berechnen Sie durch elementare Umformungen den Wert der folgenden Determinante:

§¨ 4 6 8 ·¸ A = ¨ 3 1 4¸ ¨ 2 4 0 ¸ © ¹ Beispiel 9: Wie lautet das Drehmoment M = r x F für r = ( 1 - 2 6 )T m und F = (10 12 20)T N? o o o  ez

§e e ¨ x y o o o M = ru F = ¨ r r ¨ x y ¨F F © x y

· ¸ ¸ rz ¸ Fz ¸ ¹

Seite 514

Übungsbeispiele

Beispiel 10: Sind folgende Vektoren komplanar (d. h., liegen sie in einer Ebene)?

§¨ 1 ·¸ a  ¨2 ¸ ¨2 ¸ © ¹

§¨ 0 ·¸ b  ¨ 4 ¸ ¨3 ¸ © ¹

§¨ 3 ·¸ c  ¨ 6 ¸ ¨ 15 ¸ © ¹

Zeigen Sie, dass das folgende Spatprodukt verschwindet:

§¨ ax ay az ·¸ a ˜ ( b u c) = ¨ bx by bz ¸ ¨ ¸ ¨© c x c y c z ¸¹ Beispiel 11: Sind die gegebenen Matrizen regulär oder singulär?

§¨ 1 2 5 ·¸ A  ¨ 2 4 3 ¸ ¨ 3 0 2 ¸ © ¹

§¨ 4 1 3 ·¸ B ¨ 0 1 1 ¸ ¨ 8 1 9 ¸ © ¹

Beispiel 12: Gibt es für die Matrizen A, B und C eine inverse Matrix? Wenn ja, wie lauten sie?

§¨ 1 3 2 ·¸ A  ¨ 4 1.5 5 ¸ ¨ 2.3 1 3 ¸ © ¹

§ ¨ ¨ B= ¨ ¨ ©

1 2 1 2

1

· ¸ 2¸ 1 ¸ ¸ 2¹

§¨ 3 1 4 ·¸ C  ¨ 0 1 2 ¸ ¨1 2 0 ¸ © ¹

Beispiel 13: Bestimmen Sie die inverse Matrix von A, falls vorhanden, unter Anwendung des Gauß-JordanAlgorithmus.

§¨ 3 4 9 ·¸ A  ¨ 4 1 5 ¸ ¨ 2 6 5 ¸ © ¹ Beispiel 14: Sind die nachfolgend gegebenen Transformationsmatrizen S und D orthogonal?

§¨ 1 0 0 ·¸ S  ¨0 1 0 ¸ ¨ 0 0 1 ¸ © ¹ §¨ cos ( α) sin ( α) 0 ·¸ D = ¨ sin ( α) cos ( α) 0 ¸ ¨ 0 ¸ 0 1¹ ©

Spiegelung eines Raumpunktes um die x-y-Ebene

Drehung des räumlichen Koordinatensystems um die z-Achse

Seite 515

Übungsbeispiele

Beispiel 15: Bestimmen Sie den Rang der gegebenen Matrizen auf verschiedene Art und Weise:

§¨ 2 3 0 ·¸ A ¨ 0 5 7¸ ¨ 2 1 8 ¸ © ¹

§1 ¨ ¨2 C ¨6 ¨ ©7

§¨ 1 2 2 9 ·¸ B  ¨ 3 1 1 5 ¸ ¨ 8 1 2 6 ¸ © ¹

0

3 ·

3

4

¸ ¸ 10 5 ¸ ¸ 2 1 ¹

Beispiel 16: Berechnen Sie die Spur der folgenden Matrizen:

§1 ¨ ¨2 A ¨ 5 ¨ ©4

3 0

1

· ¸ 4 5 1 ¸ 1 8 9 ¸ ¸ 7 8 10 ¹

B

§6 1 · ¨ ¸ ©0 9 ¹

Beispiel 17: Bestimmen Sie die verallgemeinerte inverse Matrix zu A.

§¨ 2 10 3 ·¸ A ¨ 1 3 5 ¸ ¨ 2 2 7 ¸ © ¹ Beispiel 18: Aus den Hypervektoren A und B soll die Hypermatrix (Produktmatrix) C = A B gebildet werden. Wie lautet dazu die transponierte Matrix von C?

A1 

A

§ 3 1· ¨ ¸ © 3 5 ¹

§ 1 1 · ¨ ¸ © 4 5¹

A2 

§¨ A1 ·¸ ¨ A2 ¸ © ¹

B

 B1

B2



B1 

§ 5 9 · ¨ ¸ © 1 2 ¹

B2 

§7 1 · ¨ ¸ ©2 2 ¹

gegebene Matrizen

Hypervektoren

Beispiel 19: Stellen Sie die gegebenen Ortsvektoren als Vektorpfeile in einem kartesischen Koordinatensystem dar.

a

§ 3 · ¨ ¸ ©3 ¹

b

§5 · ¨ ¸ © 4 ¹

Seite 516

Übungsbeispiele

Beispiel 20: Geben Sie eine Cholesky-Zerlegung der Matrix A an.

§¨ 3 4 2 ·¸ A  ¨ 1 5 6 ¸ ¨ 5 1 20 ¸ © ¹ Beispiel 21: Geben Sie eine PLU-Zerlegung der Matrix A an.

§¨ 3 4 2 ·¸ A  ¨ 1 5 6 ¸ ¨ 5 1 20 ¸ © ¹ Beispiel 22: Geben Sie eine UO-Zerlegung der Matrix A an.

§ 3 ¨ ¨5 A ¨ 5 ¨ ©0

4

2

· ¸ 2.5 1.3 ¸ 5 1.6 ¸ ¸ 3.3 4 ¹

Beispiel 23: Geben Sie eine UDV-Zerlegung der Matrix A an.

§¨ 2 9 ·¸ A  ¨ 1 3 ¸ ¨2 5 ¸ © ¹ Beispiel 24: Besitzt das folgende Gleichungssystem eine Lösung (m > n)? Wenn ja, dann lösen Sie das Gleichungssystem mit allen zur Verfügung stehenden Methoden. 2 x1 -

x2 -

x1

x3

+ 5 x3

- 3 x1 + x2 - 2 x3 4 x1 -

x2

= -3 =8 =0 =1

Beispiel 25: Besitzt das folgende Gleichungssystem eine Lösung? 2 x1 - 2 x2 = 6 - x1 + 3 x2 = 2 4 x1 + 3 x2 = 1

Seite 517

Übungsbeispiele

Beispiel 26: Besitzt das folgende Gleichungssystem eine Lösung? x1 + 5 x2 - 5 x3 = 9 4 x1 -

x2

3 x1 +

x2 + 2 x3 = - 10

=0

Beispiel 27: Lösen Sie, wenn möglich, mit allen zur Verfügung stehenden Methoden, folgendes quadratische Gleichungssystem: 2 ˜ x1  4 ˜ x2  5 ˜ x3 = 1 3 ˜ x1  7 ˜ x2  5 ˜ x3 = 8 2 ˜ x1  3 ˜ x2  9 ˜ x3 = 10 Beispiel 28: Lösen Sie, wenn möglich, mit allen zur Verfügung stehenden Methoden, folgendes quadratische Gleichungssystem: 10 ˜ x1  4 ˜ x2  5 ˜ x3 = 13 2 ˜ x1  8 ˜ x2  7 ˜ x3 = 35 7 ˜ x1  x2  9 ˜ x3 = 20

3.2 Komplexe Matrizen Beispiel 1: Bilden Sie A + B, A - B, 3 A - 8 B, und A B. j 4  3˜ j · §¨ 2  3j ¸ A  ¨ 1  j 2  2 ˜ j 5  9 ˜ j ¸ ¨ 0 ¸ j 2 ˜ j ¹ ©

§¨ 2  2 ˜ j 7  9 ˜ j 10  j ·¸ 2 j 3  4 ˜ j ¸ B ¨ ¨7  9 ˜ j 1  4 ˜ j ¸ 20 ¹ ©

Beispiel 2: Berechnen Sie: A A = A2 und B B B = B3 . A

2j · § j ¨ ¸ © 4 ˜ j 4  3 ˜ j ¹

B

§ 3  j 6  j · ¨ ¸ © 2  4 ˜ j 2 ¹

Beispiel 3: Bilden Sie AT und BT auf konventionelle Art und mithilfe von Mathcad numerisch und symbolisch. Wie lauten die Zeilen- und Spaltenvektoren der gegebenen Matrix A? j 2 j 5 · § A ¨ ¸ © 2  4 ˜ j 3  2 ˜ j 2 ˜ j ¹

§¨ 2 ˜ j 7  3 ˜ j ·¸ 4  7˜ j ¸ B ¨ 4 ¨ 10 6  1 ˜ j ¸ © ¹ Seite 518

Übungsbeispiele

Beispiel 4: Gibt es für die Matrix A eine inverse Matrix? Wenn ja, wie lautet sie? 5  2 ˜ j 3  5 ˜ j · §¨ 1  j ¸ 10 ¸ A  ¨ 5.5  6 ˜ j 10  3 ˜ j ¨ 8 j ¸ 4 ˜ j j © ¹ Beispiel 5: Bilden Sie die zugehörige komplexe Matrix und die konjugiert transponierte Matrix.

§¨ 2  j 3  5 ˜ j 1  7 ˜ j ·¸ 1  3˜ j 2.4 ¸ A ¨ 6˜ j ¨ 4.2  j 2 ˜ j ¸ j © ¹ Beispiel 6: Welche der nachfolgend angegebenen Matrizen sind hermitesch, und welche sind schiefhermitesch?

§¨ 1 j 0 ·¸ A  ¨ j 0 1 ¸ ¨ 0 1 1¸ © ¹

2j 1  2˜ j · §¨ 1 ¸ 1 5  4˜ j ¸ B ¨ 2  j ¨1  2 ˜ j 5  4 ˜ j ¸ 0 © ¹

C

§ 2 ˜ j 1  j · ¨ ¸ © 1  j 3 ˜ j ¹

Beispiel 7: Sind die nachfolgend angegebenen Matrizen unitär?

A

§ 2 1  3 ˜ j 1  3 ˜ j · ¨ ¸ ˜ ¨ 2 ˜ j 3 j 3j ¸ 12 ¨ ¸ 2 2 © 2 ¹

1

B

§j 0· ¨ ¸ ©0 j ¹

Beispiel 8: Wie lautet die Lösung des folgenden komplexen Gleichungssystems? j §2  j · § 2j · ¨ ¸˜x=¨ ¸ ©5  j 8  3 ˜ j ¹ ©2  3 ˜ j ¹

3.3 Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix Beispiel 1: Wie lauten die Eigenwerte, Eigenvektoren, Spur und Determinante der nachfolgend gegebenen Matrix? A

§ 3 4· ¨ ¸ © 1 5 ¹ Seite 519

Übungsbeispiele

Beispiel 2: Wie lauten die Eigenwerte, Eigenvektoren, Spur und Determinante der nachfolgend gegebenen Matrix? A

§ 1 1· ¨ ¸ © 1 1 ¹

Beispiel 3: Wie lauten die Eigenwerte, Eigenvektoren, Spur und Determinante der nachfolgend gegebenen Matrix?

§¨ 2 1 1 ·¸ A ¨ 2 3 4 ¸ ¨ 1 1 2 ¸ © ¹ Beispiel 4: Wie lauten die Eigenwerte und Eigenvektoren der nachfolgend gegebenen Matrix?

§¨ 2 ˜ j 1  j 1 ·¸ 5 2 ˜ j ¸ A  ¨3 ˜ j ¨ 3 4  j 10 ¸ © ¹ Beispiel 5: Zeigen Sie, dass die aus den Eigenvektoren der Matrix A gebildete Matrix orthogonal ist.

§¨ 7 2 0 ·¸ A  ¨2 6 2 ¸ ¨0 2 5 ¸ © ¹ Beispiel 6: Wie lauten die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden symmetrischen Matrizen?

A

§1 2 · ¨ ¸ © 2 3 ¹

B

§ 2 5 · ¨ ¸ © 5 6 ¹

Beispiel 7: Wie lauten die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden schiefsymmetrischen Matrix?

§¨ 0 3 3 ·¸ A  ¨ 3 0 1 ¸ ¨3 1 0 ¸ © ¹

Seite 520

Übungsbeispiele

Beispiel 8: Wie lauten die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden hermiteschen Matrix? A

§ 5 2˜ j · ¨ ¸ © 2 ˜ j 1 ¹

Beispiel 9: Wie lauten die Eigenwerte, Eigenvektoren des nachfolgend gegebenen verallgemeinerten Eigenwertproblems A x = OB x?

A

§1 3 · ¨ ¸ ©2 9 ¹

B

§ 3 4 · ¨ ¸ © 5 1 ¹

Beispiel 10: Die nachfolgende Matrix soll mit den angeführten Normen normiert werden. Falls es möglich ist, berechnen Sie auch die Konditionszahlen.

§¨ 2.8 5 5.3 ·¸ A  ¨ 1 6 4 ¸ ¨ 2 1 4.7 ¸ © ¹ 3.5 Anwendungen der Matrizenrechnung 3.5.1 Anwendung der Matrizenrechnung in der Elektrotechnik Beispiel 1: Berechnen Sie die Zweigströme der gegebenen Schaltung.

R1 = 6 ˜ Ω R2 = 12 ˜ Ω

gegebene Daten

R3 = 10 ˜ Ω Uq1 = 10 ˜ V

Beispiel 2: Berechnen Sie die Zweigströme der gegebenen Schaltung. R1 = 8 ˜ Ω R2 = 10 ˜ Ω R3 = 16 ˜ Ω Uq1 = 24 ˜ V

Seite 521

gegebene Daten

Übungsbeispiele

Beispiel 3: Bestimmen Sie die Kettenmatrix A des T-Gliedes. Die Ausgangsgrößen besitzen die Werte U2 = 12 V und I2 = 0.2 A. Welche Werte besitzen die zugehörigen Eingangsgrößen?

Beispiel 4: Bestimmen Sie für die dargestellte symmetrische S-Schaltung die Eingangsspannung U 1 und den Eingangsstrom I1 , wenn die Ausgangsspannung U 2 = 24 V und der Ausgangsstrom I2 = 1.5 A gegeben sind.

Beispiel 5: Aus der nachfolgend gegebenen Schaltung soll die Spannungsübertragungsfunktion G(Z) und die Bodediagramme im Frequenzbereich fmin = 10 Hz und f max = 200 kHz mit R = 20 k:R1 = 5 : und C = 20 nF bestimmt werden.

Seite 522

Übungsbeispiele

3.5.2 Anwendungen in der Mechanik Beispiel 1: Gegeben sei ein räumliches Fachwerk (Bockgerüst - belastetes Dreibein) mit den Knotenpunkten A(2 | -5 | 1), B(3 | -2 | 0), C(-5 | 2 | 1) und D(0 | 0 | 10). Im Punkt D greift eine Kraft F an. Gesucht sind die Stabkräfte FA, FB und FC. 3

kN  10 ˜ N

Einheitendefinition

§¨ 2 ·¸ F = ¨ 0.7 ¸ ˜ kN ¨ 5.2 ¸ © ¹

gegebene Kraft

Beispiel 2: Auf einem zweifach abgestützten Träger wirken die Kräfte F1 und F2 . Wie groß sind die Kräfte FA und FB? F1  350 ˜ N F2  500 ˜ N α  45Grad

gegebene Daten

l1  0.6 ˜ m l2  1.4 ˜ m l3  0.25 ˜ m Beispiel 3: Zwei identische Massen m sind durch zwei elastische Federn mit der Federkonstante c1 und einer weiteren Feder zwischen den Massen mit der Federkonstante c2 miteinander verbunden (Kopplung zweier schwingungsfähiger Systeme). Dieses System schwingt mit Normalschwingungen in Richtung der Systemachse. Bestimmen Sie die unbekannten Kreisfrequenzen Z1 und Z2 aus den Eigenwerten O i der gegebenen Systemmatrix A. c 2 · § c1  c2 ¨ ¸ m m ¨ ¸ = §¨ α β ·¸ A= ¨ c 2 c 1  c 2 ¸ © β α ¹ ¨ ¸ m © m ¹

ω1 = ω0 =

λ1

Seite 523

ω2 =

λ2

Übungsbeispiele

Beispiel 4: Ein homogener Träger der Länge L = 2 m ist auf zwei Stützen an den Enden gelagert und wird durch drei Kräfte F1 = 2 kN, F2 = 5 kN und F3 = 4 kN, die gleichmäßig verteilt sind, belastet. Wie groß sind die Durchbiegungen y1 , y2 und y3 , wenn die Koeffizientenmatrix A der Einflusszahlen gegeben ist und die Matrixgleichung y = A F gilt? Die Biegesteifigkeit beträgt E I = 5*10 10 N mm 2 .

§¨ 8 12 7 ·¸ A = λ ˜ ¨ 12 15 12 ¸ ¨ 7 12 8 ¸ © ¹

3

Matrix der Einflusszahlen mit

λ=

L

768 ˜ E ˜ I

3.5.3 Anwendungen in der Computergrafik Beispiel 1: Ein Dreieck, das durch die drei Eckpunkte A(0|0), B(2|0) und C(1|3) gegeben ist, soll um die x-Achse bzw. y-Achse gespiegelt werden. Beispiel 2: Eine gegebene Fläche im Raum soll um die xy-Ebene gespiegelt werden.



2

2

f ( x y)  cos 4 ˜ x  4 ˜ y



gegebene Flächenfunktion

Beispiel 3: Ein Viereck, das durch die vier Eckpunkte A(0|0), B(2|-1), C(3|1) und D(0|1) gegeben ist, soll entlang der x-Achse um den Faktor 2 gestreckt bzw. um den Faktor 1/2 gestaucht werden. Beispiel 4: Ein Dreieck mit den Eckpunkten A(-3|0), B(1|0) und D(0|2) soll in y-Richtung durch Scherung verändert werden. Beispiel 5: Ein Viereck soll um einen Winkel M = S/2 gedreht und anschließend mithilfe des Translationsvektors d verschoben werden.

a1 

d

§ 4 · ¨ ¸ © 2 ¹

a2 

§5 · ¨ ¸ ©2 ¹

§0 · ¨ ¸ © 3 ¹

a3 

§2 · ¨ ¸ ©4 ¹

a4 

§ 2 · ¨ ¸ ©3 ¹

Vektoren zu den Eckpunkten des Vierecks

Verschiebungsvektor

Beispiel 6: Eine gegebene Fläche im Raum soll um einen Winkel D = 30° um die y-Achse gedreht werden. f ( x y)  x  y  2

gegebene Flächenfunktion

Seite 524

Übungsbeispiele

Beispiel 7: Eine gegebene Ellipse soll um 100 Grad im Uhrzeigersinn gedreht werden: 2

x

9

2



y

implizite Ellipsengleichung

=1

4

Beispiel 8: Eine Ellipse in Mittelpunktslage wurde um den Ursprung des Koordinatensystems gedreht. Bestimmen Sie die Drehmatrix und die Ellipse in Hauptachsenlage. 2

2

3 ˜ x  10 ˜ x ˜ y  4 ˜ y = 25

Ellipsengleichung (Kegelschnittgleichung) der gedrehten Ellipse

Beispiel 9: Ein räumliches Objekt definiert durch die Eckpunkte

§¨ 4 4 4 4 4 4 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 ·¸ O  ¨ 0 2 3 15 16 18 18 0 0 18 18 16 15 3 2 0 ¸ ¨0 0 6 6 0 0 9 9 9 9 0 0 6 6 0 0 ¸ © ¹ wird zuerst um 30° gedreht, dann an der xy-Ebene gespiegelt, in y-Richtung um den Faktor 2 gestreckt und zum Schluss noch um 60° um die x-Achse gedreht. Die so entstehende Figur soll dann noch durch die Projektionsmatrix Pxy in die xy-Ebene projiziert werden (Aufriss).

§¨ 1 0 0 ·¸ Pxy = ¨ 0 1 0 ¸ ¨0 0 0 ¸ © ¹

Projektionsmatrix

3.5.4 Anwendungen in der linearen Optimierung Beispiel 1: Lösen Sie die folgende lineare Optimierungsaufgabe grafisch:





f x1 x2 = 2 ˜ x1  3 ˜ x2

Die Zielfunktion soll ein Maximum werden.

2 ˜ x1  4 ˜ x2 d 16 2 ˜ x1  1 ˜ x2 d 10

Nebenbedingungen

4 ˜ x2 d 12 x1 t 0

Nichtnegativitätsbedingungen

x2 t 0

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Übungsbeispiele

Beispiel 2: In einem Betrieb werden zur Erzeugung der Produkte P1 und P2 die Maschinen A, B und C eingesetzt. Die für die Fertigstellung nötigen Maschinenzeiten sowie die wöchentliche Ausnützung sind aus der nachfolgenden Tabelle zu entnehmen: Maschine Zeit in Stunden für 1 kg von größtmögliche Nutzung in Stunden P2 P1 A B C

4 10 8

8 4 0

80 100 64

Das Produkt P1 liefert als Gewinn € 380 und das Produkt P2 € 200 pro kg. Welche Menge jedes Produktes soll erzeugt werden, damit ein größtmöglicher Gewinn erzielt wird? Beispiel 3: Aus zwei Gasen soll ein möglichst billiges Mischgas hergestellt werden, wobei die Verbrennungsenergie nicht unter 1200 kJ gehen darf und der Schwefelgehalt höchstens 4 g/m3 zu betragen hat. Der Heizwert von G1 beträgt 1200 kJ/m 3 und von G2 1000 kJ/m 3 , der Schwefelgehalt von G1 liegt bei 2 g/m3 , von G2 bei 6 g/m 3 . 1 m 3 des 1. Gases kostet € 6, und 1 m3 des 2. Gases € 10.

3.5.5 Anwendungen in der Ökonomie Beispiel 1: Drei verschiedene Fertigprodukte F1 , F2 und F3 setzen sich aus den drei Baugruppen B1 , B2 und B 3 zusammen. Die Baugruppen wiederum setzen sich aus den vier Einzelteilen E1 , E2 , E3 und E4 zusammen. Die jeweils benötigten Stückzahlen kann aus den nachfolgenden Tabellen entnommen werden (z. B. die Baugruppe B 2 benötigt von E1 3 Stück, von E2 4 Stück, von E3 1 Stück und von E4 2 Stück). Entsprechend benötigt das Fertigprodukt F2 von B 1 1 Stück, von B2 4 Stück und von B 3 3 Stück. Einzelteil E1 E2 E3 E4

Baugruppe B1 B2 4 3 5 4 3 1 0 2

Baugruppe B3 1 0 5 1

B1 B2 B3

Fertigprodukte F1 F2 F3 2 1 3 1 4 2 2 3 0

Die Materialkosten je Stück Einzelteil betragen pT = (2 3 1 4) €. Bezeichnungen: ... Stückzahlen der Baugruppen B 1 , B2 und B 3 b1 , b2 , b3 f1 , f2 , f3

...

Stückzahlen der Fertigteile F1 , F2 und F3

e1 , e2 , e3 , e4

...

Stückzahlen der Einzelteile E1 , E2 , E3 und E4

a) Geben Sie die Materialflüsse in den beiden Zusammensetzungen in Form einer Matrixgleichung an. b) Wie lautet die zahlenmäßige Verflechtung zwischen den Eingangsgrößen (Stückzahlen der Einzelteile) und den Ausgangsgrößen (Stückzahlen der Fertigprodukte)? c) Wie viele Einzelteile sind notwendig, um 500 Stück von F1 , 300 Stück von F2 und 400 Stück von F3 zu produzieren? Wie hoch sind dabei die Materialkosten?

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Übungsbeispiele

4. Vektoranalysis 4.1 Raumkurven Beispiel 1: Eine bestimmte Bahnkurve ist durch die nachfolgend gegebene Vektorfunktion beschrieben. Stellen Sie die Bahnkurve grafisch dar.

ª« 1 ˜ t2 ˜ ( t  12 ) ˜ ( t  8) ˜ ( t  4) 2 »º « 65 » r ( t) = « 3 » « 20 ˜ t ˜ ( t  4) ˜ ( t  8) ˜ ( t  4) » ¬ ¼

gegebene Vektorfunktion ( t t 0 )

Beispiel 2: Eine bestimmte Bahnkurve ist durch die nachfolgend gegebene Vektorfunktion beschrieben. Stellen Sie die Bahnkurve grafisch dar.

§ sin ( t) · ¨ ¸ t r ( t) = ¨ ¸ e ¨ ¸ © cos ( 2 ˜ t) ¹

gegebene Vektorfunktion ( t t 0 )

Beispiel 3: Wie lauten der Geschwindigkeitsvektor und der Beschleunigungsvektor für die nachfolgend gegebenen Ortsvektoren? Stellen Sie dazu die zugehörigen Diagramme dar (bei selbst gewähltem R und Z und t t 0 ) und berechne die Bogenlänge der Bahnkurve zwischen t 1 = 0 s und t 2 = 5 s? a) r ( t) =

b)

§ R ˜ cos ( ω ˜ t) · ¨ ¸ © R ˜ sin ( ω ˜ t) ¹

r ( t) =

ª R ˜ ( t  sin ( t) º « » ¬R ˜ ( 1  cos ( t) ) ¼

Beispiel 4: Wie lauten der Geschwindigkeitsvektor und der Beschleunigungsvektor für die nachfolgend gegebene Bahnkurve? Stellen Sie die Bahnkurve grafisch dar.

§ e t ˜ sin ( t) · ¨ ¸ r ( t) = ¨  t e ˜ cos ( t) ¸ ¨ ¸ t © ¹

gegebener Ortsvektor der Bahnkurve ( t t 0 )

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Übungsbeispiele

Beispiel 5: Für die nachfolgend gegebenen parameterabhängigen Vektoren soll die erste Ableitung des Skalarund Vektorproduktes bestimmt werden.

§t · ¨ 2¸ r1 ( t) = ¨ t ¸ ¨ 3¸ ©t ¹

§ e t · ¨ ¸ r2 ( t) = ¨  t ¸ e ¨ ¸ © t ¹

a)

b)

r1 ( t) ˜ r2 ( t)

gegebene Vektoren

r1 ( t) u r2 ( t)

Beispiel 6: Für die durch den nachfolgend gegebenen Ortsvektor einer Raumkurve ist der Tangenten- und Hauptnormaleneinheitsvektor sowie die Krümmung der Kurve für den Parameterwert t = S/4 zu bestimmen. o o o  gegebener Ortsvektor für die Raumkurve r ( t) = cos ( 2 ˜ t ) ˜ ex  4 ˜ sin ( 2 ˜ t ) ˜ ey  5 ˜ t ˜ ez Beispiel 7: Bestimmen Sie für die Raumkurve r(t) die Bogenlänge im Intervall 0 s dt d 1 s sowie die Krümmung und den Krümmungsradius für den Parameterwert t = 0.5 s

§t · ¨ 2¸ r ( t) = ¨ t ¸ ¨ 2¸ ©t ¹

gegebener Ortsvektor für die Raumkurve

Beispiel 8: Eine Bahnkurve ist durch den Ortsvektor r(t) gegeben. a) Wie lautet die Bahnkurve in expliziter Form? b) Wie groß ist die Bogenlänge s im Intervall 0 s dt d 2 s? c) Wie groß ist die Krümmung der Kurve für t = 1.5 s? d) Wie lautet der Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor? Wie lauten die Tangentialund Normalkomponenten von Geschwindigkeit und Beschleunigungsvektor? e) Stellen Sie das Problem grafisch dar. o o 2 r ( t) = t ˜ ex  t ˜ ey

gegebener Ortsvektor für die Raumkurve

Beispiel 9: Ein Massenpunkt bewegt sich auf einer Bahn in der Ebene, die durch den nachfolgend gegebenen Ortsvektor beschrieben wird. Wie lauten die Tangential- und Normalkomponenten von Geschwindigkeit und Beschleunigungsvektor?  2˜t

r ( t) = e

o o  2˜t ˜ cos ( t ) ˜ ex  e ˜ sin ( t ) ˜ ey

gegebener Ortsvektor für die Raumkurve

Seite 528

Übungsbeispiele

4.2 Flächen im Raum Beispiel 1: Durch den nachfolgend gegebenen Ortsvektor wird eine Fläche im Raum beschrieben. Wie lautet die Gleichung der Tangentialebene im Flächenpunkt P mit den Parameterwerten u = 2 und v = 2? Stellen Sie das Problem grafisch dar.

§ 3 ˜ cos ( 3 ˜ u) · ¨ ¸ r ( u v)  ¨ 3 ˜ sin ( 3 ˜ u) ¸ ¨ ¸ 2 v © ¹

gegebener Ortsvektor

Beispiel 2: Durch den nachfolgend gegebenen Ortsvektor wird eine Fläche im Raum beschrieben. Wie lautet die Gleichung der Tangentialebene im Flächenpunkt P mit den Parameterwerten u = 1 und v = 1? Stellen Sie das Problem grafisch dar.

§¨ u  r ( u v)  ¨ u  ¨ v ©

v·

¸

v¸

gegebener Ortsvektor

¸ ¹

Beispiel 3: Ein Massenpunkt bewegt sich auf der Mantelfläche einer Kugel mit Radius R = 4 m, die durch den nachfolgend gegebenen Ortsvektor beschrieben wird. Die Flächenparameter u und v sind dabei wie folgt o o 2 von der Zeit abhängig: u(t) = t; v(t) = t . Wie lauten die Tangentenvektoren tu und tv ? Wie lautet der Geschwindigkeitsvektor? Wie groß ist der Betrag der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = S s? Wie lautet o  die Flächennormale n0 für die Parameterwerte u = v = S/2? Stellen Sie die Kugelfläche und die Flächenkurve grafisch dar.

§¨ R ˜ sin ( u) ˜ cos ( v) ·¸ r ( u v) = ¨ R ˜ sin ( u) ˜ sin ( v) ¸ ¨ R ˜ cos ( u) ¸ © ¹

Parameterdarstellung einer Kugeloberfläche (0 d u d π ; 0 d v  2 ˜ π )

4.3 Ebene und räumliche Koordinatensysteme Beispiel 1: Wie lautet das nachfolgende Vektorfeld in Polarkoordinaten? o o o 2 F = x ˜ y ˜ ex  y ˜ ey

gegebenes Vektorfeld

Beispiel 2: Wie lautet das nachfolgende Vektorfeld in Zylinderkoordinaten? o o o o  F = y ˜ ex  2 ˜ ey  x ˜ ez

gegebenes Vektorfeld

Seite 529

Übungsbeispiele

Beispiel 2: Für die Bahnkurve eines Masseteilchens gelten die nachfolgend gegebenen Parametergleichungen. Wie lautet der Geschwindigkeitsvektor in Zylinderkoordinaten und der Betrag dieses Vektors zum Zeitpunkt t = 1 s? t

x=e

t

˜ sin ( t )

y=e

˜ cos ( t)

z = 2˜ t

Parametergleichungen der Bahnkurve

Beispiel 3: Das nachfolgend gegebene Geschwindigkeitsfeld soll in Kugelkoordinaten dargestellt werden. o v( x y z ) =

§¨ y ·¸ ˜¨ x ¸ 2 2 ¨ ¸ x y ©0 ¹ z

gegebenes Geschwindigkeitsfeld

4.4 Skalar- und Vektorfelder Beispiel 1: Stellen Sie das gegebene Skalarfeld und die zugehörigen Niveaulinien grafisch dar. 2

2

gegebenes Skalarfeld

f ( x y) = x  y Beispiel 2:

Stellen Sie das gegebene Skalarfeld und die zugehörigen Niveaulinien grafisch dar. 4

4

f ( x y) = x  4 ˜ x ˜ y  y  0.9

xmin = 2

xmax = 2

ymin = 2

ymax = 2

Beispiel 3: Stellen Sie das gegebene Skalarfeld und die zugehörigen Niveaulinien grafisch dar. f ( x y)  cos ( x  sin ( y) )

xmin = 0

xmax = 2 ˜ π

ymin = 0

ymax = 2 ˜ π

Beispiel 4: Das Skalarfeld für eine zweidimensionale Temperaturverteilung ist nachfolgend gegeben. Stellen Sie die Isothermen (Niveaulinien) der zweidimensionalen Temperaturverteilung grafisch dar. 50

ϑ ( x y) =

2

 20

2

zweidimensionale Temperaturverteilung

15 ˜ x  30 ˜ y  5 Beispiel 5: Stellen Sie von den nachfolgend gegebenen Vektorfeldern jeweils das zugehörige Vektorfelddiagramm dar. a)

o § x · F=¨ ¸ ©y ¹

b)

o § x ˜ e y · ¨ ¸ v= ¨ x¸ ©y ˜ e ¹

Seite 530

Übungsbeispiele

Beispiel 6: Stellen Sie von dem nachfolgend gegebenen Vektorfeld das zugehörige Vektorfelddiagramm dar. o v( x y) =

y ª« «¬ 1  x2 ˜ y 





º» x»¼

xmin = 2

xmax = 2

ymin = 4

ymax = 4

Beispiel 7: Stellen Sie von dem nachfolgend gegebenen Vektorfeld das zugehörige Vektorfelddiagramm dar. Fx ( x y) = y Fy ( x y) = x

Vektorfeldkomponenten

xmin = 2

xmax = 2

ymin = 2

ymax = 2

4.5 Klassische Differentialoperatoren Beispiel 1: Bestimmen Sie das Gradientenfeld der Funktion f(x,y) = sin(x) cos(x) und stellen Sie es grafisch dar (xmin = -2, xmax = 2, ymin = -4 und ymax = 4). Beispiel 2: Wie lautet der Gradient der Funktion f(x,y,z) = x y + x2 y z + y z3 ? Beispiel 3: o Wie lautet das zum Potential M(r) = 1/ r gehörige Kraftfeld F = grad ( φ ( r) )? Beispiel 4: Das Dach eines Gebäudes (siehe Abbildung - Schnitt durch die x-z-Ebene) ist gegeben als Graf der Funktion f(x,y) = sin(2 x) cos(y) (-4 dx d 1; -1 dy d 0). An den Kanten x0 = 1, -1 dy0 d 0 stößt es gegen eine vertikale Mauer. Wie lautet das Gradientenfeld und die Gleichung der Tangentialebene an der Stelle (x0 |y0 |z 0 = f(x0 ,y0 ))? Stellen Sie das Skalarfeld f und das zugehörige Gradientenfeld (Geschwindigkeitsfeld des abfließenden Regenwassers) grafisch dar.

Seite 531

Übungsbeispiele

Beispiel 5: Wie lautet die Gleichung der Tangentialebene, die im Punkt P(2|1|5) an die Zylindermantelfläche F(x,y,z) = x2 + y2 - 5 = 0 angelegt werden kann? Beispiel 6: Wie lautet der Gradient des folgenden in Zylinderkoordinaten gegebenen Skalarfeldes? φ

gegebenes Skalarfeld

f ( ρ φ z ) = ρ ˜ e  z Beispiel 7:

Bestimmen Sie die Divergenz des Gradientenfeldes des skalaren Feldes f(x,y,z) = (x - 2)2 + (y - 4)2 + z 2 . Beispiel 8: Wie lautet die Divergenz des gegebenen Vektorfeldes im Punkt P(2|1|1)?

§ x ˜ y  x2 ˜ z 2 · ¸ o ¨ v = ¨ 2˜ y˜ z ¸ ¨ 2 ¸ © x ˜ y  y˜ z ¹

gegebenes Vektorfeld

Beispiel 9: Verschwindet die Divergenz des Gradienten des räumlichen radialsymmetrischen Skalarfeldes f? f ( r) = a 

c

räumliches radialsymmetrisches Skalarfeld (Konstanten a, b > 0; r > 0)

r

Beispiel 10: Ist das gegebene Geschwindigkeitsfeld wirbelfrei? o v=

1 2

2

x y

o o ˜ § x ˜ ex  y ˜ ey·

©

¹

gegebenes Geschwindigkeitsfeld

Beispiel 11: Wie lautet die Rotation des folgenden Vektorfeldes im Punkt P(1|1|1)? o F=

1 2

2

x y z

2

o o o  ˜ § x ˜ ex  y ˜ ey  z ˜ ez ·

©

¹

Beispiel 12: Wie sind die Konstanten a und b zu wählen, damit das gegebene Vektorfeld wirbelfrei ist?

§ 2 ˜ x ˜ z 2  y3 ˜ z · ¨ ¸ o ¨ ¸ 2 F= a˜ x˜ y ˜ z ¨ ¸ ¨ 2 3¸ ©2 ˜ x ˜ z  b ˜ x ˜ y ¹ Seite 532

Übungsbeispiele

Beispiel 13: o Wie lautet die Rotation des Vektorfeldes v ?

§ x ·¸ o ¨ v = ¨x ˜ y¸ ¨ 1 ¸ © ¹

Beispiel 14: Wie lautet die Divergenz und Rotation des in Zylinderkoordinaten gegebenen Vektorfeldes? o o 1  F( ρ φ z ) = ˜ eρ 2 ρ

gegebenes Vektorfeld

4.6 Mehrfach-Anwendung der Differentialoperatoren Beispiel 1: o Zeigen Sie, dass das Vektorfeld F wirbelfrei ist und damit als Gradient eines skalaren Feldes f(x,y,z) darstellbar ist. Wie lautet dieses skalare Feld f (Potentialfeld)?

o G=

§ 2 ˜ x ˜ z  y2 · ¨ ¸ ¨ 2˜ x˜ y ¸ ¨ ¸ 2 x © ¹

gegebenes Vektorfeld

Beispiel 2: Die Funktion f(r) = 1/r ist eine Lösung der Laplace-Gleichung 'f = 0 im Raum. Ist diese Funktion auch eine Lösung in der Ebene? Beispiel 3: Welche Funktion ergibt sich, wenn der Laplace-Operator auf das Skalarfeld f(x,y,z) = (x2 + x2 + z 2 )2 angewendet wird? Beispiel 4: Wie lauten die Lösungen der Laplace-Gleichung 'f(M) = 0 in der Ebene, wenn f nur vom Polarwinkel M abhängt? Beispiel 5: o Ist das gegebene Vektorfeld v Rotation eines anderen Vektorfeldes? o v =

§ x2 ˜ y · ¨ ¸ ¨ z ¸ ¨ ¸ ©x ˜ y ˜ z ¹

Beispiel 6: o Ist F ein Gradientenfeld?

§ x · o ¨ ¸ F = ¨ y ¸ ¨0¸ © ¹

Seite 533

Übungsbeispiele

4.7 Linien- oder Kurvenintegrale Beispiel 1: Berechnen Sie die Masse des Bogens der Kurve y = ex zwischen x1 = 0 und x2 = 5, wenn die lineare Dichte U der Kurve in jedem Punkt gleich dem Quadrat seiner Abszisse ist. Beispiel 2: T o §  t · Berechnen Sie das Kurvenintegral längs der Kurve r ( t) = ¨ cos ( t) sin ( t )  ¸ (0 dt d2 S) für das 2 ˜ π¹ © o Vektorfeld F.

§¨ y ·¸ o F( x y z ) = ¨ x ¸

gegebenes Vektorfeld

¨1¸ © ¹

Beispiel 3: Wie lautet jeweils der Wert des Kurvenintegrals längs der Kurven C 1 und C2 (0 dt d4) für das o ebene Vektorfeld F( x y)? Stellen Sie die Kurven C 1 und C 2 grafisch dar.

§¨ t ·¸ ¨2¸ r1 ( t)  ¨t ¸ ¨2¸ © ¹ §¨ t ·¸ r2 ( t)  ¨ t ¸ ¨2 ¸ © ¹ § x3 ˜ y2 · ¨ ¸ F ( x y)  ¨ 2 ¸ ©x  y ¹

Kurve C 1

Kurve C 2

gegebenes Vektorfeld

Beispiel 4: Wir betrachten zwei Kurven im Raum C1 : t o(t2 , t2 , t2 )T (0 dt d1) und C2 : t o(t3 , t, t)T (0 dt d1), die beide den Punkt P1 (0|0|0) mit dem Punkt P2 (1|1|1) verbinden. Wie lautet jeweils der Wert des o Kurvenintegrals für das gegebene Vektorfeld E ? Stellen Sie die Kurven C 1 und C 2 grafisch dar. x1 ( t )  t y1 ( t )  t z1 ( t )  t

2 2

Parametergleichungen der Kurve C1

2

Seite 534

Übungsbeispiele

x2 ( t )  t y2 ( t )  t z2 ( t )  t

2

Parametergleichungen der Kurve C2

3

§ y · ¨ ¸ E ( x y z )  ¨ x ˜ z 2 ¸ ¨ ¸ © 1 ¹

gegebenes Vektorfeld

Beispiel 5: o Wie groß ist die Arbeit, die das ebene Kraftfeld F an einem Massenpunkt bei einer gradlinigen Verschiebung von P1 (0|0) nach P2 (4|4) verrichtet? F ( x y) 

§¨ x2 ˜ y ·¸ ¨© x ˜ y ¸¹

gegebenes ebenes Kraftfeld

Beispiel 6: Zeigen Sie, dass das nachfolgend gegebene ebene Vektorfeld konservativ oder ein Potentialfeld ist und daher wegunabhängig ist. Außerdem berechnen Sie das Arbeitsintegral. ´ o o µ µ F dr für einen beliebig gewähltem Weg vom Punkt P1(1|0) nach P2(3|5). ¶ C o o o F( x y) = x ˜ ex  y ˜ ey

gegebenes Vektorfeld

Beispiel 7: Zeigen Sie, dass das folgende Linienintegral wegunabhängig ist. Außerdem bestimmen Sie die zugehörige Potentialfunktion. ´ µ µ ¶

x

y

e ˜ dx  x ˜ e dy

C Beispiel 8: Zeigen Sie, dass die Linienintegrale von A(0|0) nach B(1|1) entlang der Kurven y = x, y = x2 und y = sin(S x/2) gleich 1 sind. o §y· F=¨ ¸ ©x¹

gegebenes Vektorfeld

Seite 535

Übungsbeispiele

Beispiel 9: o Für das nachfolgend gegebene Feld F soll zuerst die Integrabilitätsbedingung überprüft werden und o  T anschließend das Umlaufintegral entlang vom Einheitskreis r ( t) = ( cos ( t) sin ( t ) ) (0 dt d2S) berechnet werden. Ist das Feld konservativ? o F=

y 2

2

x y

o ˜ ex 

x 2

2

x y

o ˜ ey

gegebenes Vektorfeld

Beispiel 10:

Ist dS ( T V) =

Cv

˜ dT 

R

˜ dV ein vollständiges Differential der Entropiefunktion S(T,V) des T V idealen Gases? Wenn ja, bestimmen Sie diese Funktion. T ist die absolute Temperatur, V das Volumen, Cv die Molwärme bei konstantem Volumen und R die allgemeine Gaskonstante. Beispiel 11: o 2 o Ist das räumliche Kraftfeld F = r ˜ r konservativ? Wenn ja, bestimmen Sie das Potential f(x,y,z) des Feldes. Beispiel 12: T o 2 2 Gegeben ist das Kraftfeld F = 2 ˜ x  3 ˜ y 9 ˜ x ˜ y  2 ˜ y . Gibt es eine Funktion f(x,y), so dass o F = grad ( f ( x y) ) gilt? Wenn ja, bestimmen Sie diese Funktion.





4.8 Oberflächenintegrale von Vektorfeldern Beispiel 1: o Wie groß ist der Fluss des Vektorfeldes F durch die im 1. Oktant gelegene Fläche der Ebene x + y + z = 1? Stellen Sie die Fläche grafisch dar.

o F=

§4 ˜ y· ¨ ¸ ¨ x2 ¸ ¨ ¸ ©x ˜ z ¹

gegebenes Vektorfeld

Beispiel 2: o Wie groß ist der Fluss des Vektorfeldes F durch einen Zylindermantel A, wobei der Radius des Zylinders R = 2 und die Höhe h = 5 ist? Stellen Sie den Zylinder grafisch dar.

o F=

§¨ x ˜ y ·¸ ¨ x ¸ ¨ sin ( z ) ¸ © ¹

gegebenes Vektorfeld

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Übungsbeispiele

Beispiel 3: o Wie groß ist der Fluss des Vektorfeldes F durch die geschlossene Halbkugelschale x2 + y2 + z 2 = 4, z t 0 ? Stellen Sie die Halbkugelschale grafisch dar. o F=

§¨ x ˜ y ·¸ ¨ z ¸ ¨ y ¸ © ¹

gegebenes Vektorfeld

Beispiel 4: Durch die Rotation der Normalparabel z = x2 um die z-Achse entsteht ein Rotationsparaboloid. Der Mantel dieses Paraboloids wird durch die Gleichung z = x2 + y2 beschrieben. Wie groß ist der Flächeninhalt dieses Mantels mit der Höhe h = 5? Stellen Sie das Rotationsparaboloid grafisch dar. Beispiel 5: o o c  Wie groß ist der Fluss des in Zylinderkoordinaten dargestellten Vektorfeldes F = ˜ eρ (U > 0, ρ c = konst.) durch die Oberfläche eines koaxialen Zylinders mit dem Radius R und der Höhe h (die Zylinderachse sei die z-Achse)?

4.9 Integralsätze von Gauß und Stokes Beispiel 1: o Wie lautet der Fluss des Vektorfeldes F durch die (geschlossene) Oberfläche eines Zylinders mit der Zylinderachse z, mit dem Radius r = 2 und h = 5 (0 dz d5)? 2

§x · o ¨ ¸ F = ¨ x ¸

gegebenes Vektorfeld

¨ 2¸ ©z ¹

Beispiel 2: o Der Integralsatz von Gauß soll für das ebene Vektorfeld F und für die Kreisfläche mit Radius R = 2 und o der Randkurve C um den Ursprung verifiziert werden. Die Kreisfläche hat den Radius r und den o  1 o Normaleneinheitsvektor n0 = o ˜ r . r

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Übungsbeispiele

Beispiel 3: Gegeben sei die Mantelfläche der Halbkugel x2 + y2 + z 2 = 4 (z t0) und C die kreisförmige Randkurve in o der x-y-Ebene. Wie groß ist der Wirbelfluss des Vektorfeldes F durch diese Fläche auf zwei verschiedene Arten? (Die Flächennormale ist nach außen gerichtet und die Randkurve C wird im Gegenuhrzeigersinn durchlaufen.)

§ y3 · ¨ ¸ o ¨ F = y ˜ z2 ¸ ¨ ¸ ¨ 2 ¸ ©y ˜ z ¹

gegebenes Vektorfeld

Beispiel 4: o o  2 Ein Vektorfeld ist in Kugelkoordinaten gegeben: F( r ϑ φ) = r ˜ cos ( φ) ˜ eϑ. Bestätigen Sie die Aussage, dass der Vektorfluss durch eine Kugelschale mit dem Radius R verschwindet.

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Literaturverzeichnis

Literaturverzeichnis Dieses Literaturverzeichnis enthält einige Werke über Mathematik, Elektrotechnik, Elektronik, Regelungstechnik, Maschinenbau, Signalverarbeitung, Mechanik und Physik. Es soll dem Leser zu den Ausführungen dieses Buches bei der Suche nach vertiefender Literatur eine Orientierungshilfe sein. ANTON, H. (1995). Lineare Algebra. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag. BUCHMAYR, B. (2002). Werkstoff- und Fertigungstechnik mit Mathcad. Heidelberg: Springer. DAVIS, A. (1999). Lineare Schaltungsanalyse. Bonn: mitp-Verlag. FICHTENHOLZ, G.M. (1986). Differential- und Integralrechnung 3. Berlin: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften. FISCHER, G. (1997). Lineare Algebra. Wiesbaden: Vieweg. FORSTER, O. (1999). Analysis 3. Braunschweig, Wiesbaden: Vieweg. GEORG, O. (1999). Elektromagnetische Felder. Berlin: Springer. GÖTZ, H. (1990). Einführung in die digitale Signalverarbeitung. Stuttgart:Teubner. GREINER, W. (1993). Mechanik 1 und 2. Thun: Harri Deutsch. GREUEL, O. (1985). Mathematische Ergänzungen und Aufgaben für Elektrotechniker. Leipzig: VEB. JÄNICH, K. (2004). Lineare Algebra. Berlin, Heidelberg, New York: Springer. KUYPERS, F. (1993). Klassische Mechanik. Weinheim: VHC. LEUPOLD, W. (1982). Mathematik Band III. Thun und Frankfurt/Main: Harri Deutsch. MAEYER, M. (1998). Signalverarbeitung. Braunschweig, Wiesbaden: Vieweg. MARTI, K., GRÖGER, D. (2000). Einführung in die lineare und nichtlineare Optimierung. Heidelberg: Physika. NEUMANN, K., MORLOCK, K. (1993). Operations Research. München: Carl Hanser. OSE, G. (1981). Mathematik Band IV. Thun und Frankfurt/Main: Harri Deutsch. PAPULA, L. (2001). Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band 1. Wiesbaden: Vieweg. PAPULA, L. (2001). Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band 2. Wiesbaden: Vieweg. PAPULA, L. (1997). Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band 3. Wiesbaden: Vieweg. SCHLÜTER, G. (2000). Digitale Regelungstechnik. Leipzig: Fachverlag. SCHMUTZER, E. (1991). Grundlagen der theoretischen Physik. Teil 1. Berlin: Deutscher Verlag der Wissenschaften. SPERLICH, V. (2002). Übungsaufgaben zur Thermodynamik mit Mathcad. Leipzig: Fachbuchverlag. STEPHAN, W. (2001). Leistungselektronik. Leipzig: Carl Hanser.

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Literaturverzeichnis

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Sachwortverzeichnis

Sachwortverzeichnis

A Ableitung einer Vektorfunktion 364 Ableitungsregeln 366 absoluter Betrag 5 Abstand zweier Geraden 162 Abstand zweier paralleler Ebenen 180 Achsenabschnittsform 149 Addition 13, 14 Addition von Vektoren 104 Admittanz 311 Äquipotentialflächen 405 algebraische Gleichung n-ten Grades 35 algebraisches Komplement 236, 237 Ampere'sches Gesetz 480 Amplitude 41 Amplitudengang 89, 323 analytische Geometrie 103, 143 Angriffspunkt 103 Antikommutativität 133 antisymmetrischer Tensor 134 Anwendungen der Matrizenrechnung 305 Anwendungen von komplexen Zahlen 38 arg(z) 8 arccos(z), arctan(z) 7 Assoziativgesetz 13, 105, 107 atan2(x,y) 8 Auflagerreaktion 122 Augenblickswert 39 axialsymmetrisches Vektorfeld 411 Azimutwinkel 202

Computergrafik 330 cond 302 cond1 302 cond2 302 condi 302

B

E

Bahnkurve 360 Bandfilter 64 Basis 118 Basisvektoren 108 Beschleunigungsvektor 368 Betrag eines Vektors 104, 120 Blindleistung 59 Blindkomponenten 49 Bode-Diagramm 89, 101 Bogendifferential 368 Bogenelement 376, 399, 404 Bogenlänge 367, 368

Ebenendarstellung 165 Ebenengleichung 167 Ebene 395 ebene Vektorfelder 408 Eigenwerte 288, 291, 295, 297, 298 eigenvek 291 Eigenvektoren 288, 291, 295, 297, 298 Eigenwertproblem 301 Einheitsmatrix 218 Einheitsvektor 104 107 Einheitswurzeln 36 elektrisches Feld 472 elektrische Feldkonstante 122 elektrische Feldstärke 121, 136, 429, 477 elektrisches Netzwerk 49 Elektrotechnik 305 Ellipse 186, 191, 192, 381

C Cholesky-Zerlegung 263 Cramer-Regel 274, 277

D Darstellungsform komplexer Zahlen 6 Determinanten 235 Determinantenmethode 141 Diagonalmatrix 218, 295 Differentialoperatoren 413, 439 Dimension 118, 120, 233 Distributivgesetz 13, 107, 126, 133 Divergenz 425 Division 16, 26, 27 Drehfaktor 39 Drehsinn 20 Drehstauchung 20, 26, 28 Drehstreckung 20, 26, 28 Drehung 20, 24, 26, 27 dreidimensionale Koordinatensysteme 395 Dreiecksmatrix 219, 295 Dreiecksungleichheit 15 Drei-Punkte-Form 165 Doppelintegral 461, 462 Drehmoment 137 dyadisches Produkt 257

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Sachwortverzeichnis

Ellipsoid 205 erweitern 231 H-Tensor 134 euklidische Norm 120, 302 Euler'sche Beziehungen 12 Exponentialform 6, 10, 17

homogenes Vektorfeld 410 Hybridform 258 Hyperbel 186, 195, 196 Hyperbelfunktionen 12 Hypermatrix 258 Hyperboloid 207 Hypervektoren 257

F I Fachwerk 138 Feldlinien 407 Feldstärkevektor 137 Flächenelement 387, 399, 404 Flächen im Raum 383 Flächennormale 384 Flächen zweiter Ordnung 185, 202 Filter 89 FRAME 40, 42, 204, 361, 362, 363, 378 Frequenz 38 Frequenzgang 79 Flussdichte 136, 142 Flussintegral 460

imaginäre Einheit 1, 23 imaginäre Achse 5 imaginäre Zahl 2 Imaginärteil 2 Impedanz 311 implizite Form 148 Integrabilitätsbedingung 454 Integralsätze von Gauß und Stokes 473 inverses Element 105 Inversionskreis 68 Inversion komplexer Größen 68 inverse Matrix 243, 244

G

K

Gauß-Algorithmus 267 Gauß'sches Eliminationsverfahren 267 Gauß'sche Zahlenebene 3 Gegenvektor 104 geninv 256 Geradendarstellung 146 geradlinige Ortskurven 65 Geschwindigkeitsfeld 436 Geschwindigkeitsvektor 368 gestreckt 19 gestaucht 19 Gitter 333 Gitterlinien 383 Gleichheit von Matrizen 232 Graddefinition 9 Gradient 413 Gradientenfeld 423 Graßmann'scher Entwicklungssatz 134 Gravitationsfeld 423 Gravitationskraft 121 Gravitationspotential 422 Green'sche Formel 479 Grundrechenarten 13

kartesische Koordinaten 391 Kegel 209 Kegelschnitte 185, 186 Kehrwert 26 Kettenform 311 Kirchhoff'sche Regeln 49 kommutative Gruppe 110 Kommutativgesetz 13, 105, 126 komplexe Amplitude 39, 44, 47 komplexer Bereich 38 komplexe Darstellung von sinusförmigen Größen 38 komplexe Ebene 3 komplexer Effektivwert 39, 49 komplexe Matrizen 280 komplexe quadratische Gleichungssysteme 287 komplexer Scheitelwert 47, 49 komplexe Toleranzschwelle 16 komplexe Zahl 1 komplexer Zeiger 3 komplexwertige Funktion 64 Komponentenform 6 Kondensatoren 49 Konduktanz 52 konjugiert komplexe Matrix 282 konjugiert komplexe Zahl 5, 7, 36 konjugiert transponierte Matrix 283 Konditionszahlen 302 konservative Vektorfelder 453 Koordinatensysteme 391 Körper 13, 110 Kreis 186

H harmonische Schwingung 40, 44 Hauptwert 31, 37 Hauptnormaleneinheitsvektor 373 hermitesche Matrix 284, 298 Hesse'sche Normalform 149, 150, 168

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Sachwortverzeichnis

Kreisfrequenz 363 Kreisscheibe 186 Kreisteilungsgleichung 36 Kreis- und Hyperbelfunktionen 12 cos(z), sin(z), tan(z), cosh(z), sinh(z), tanh(z) Kronecker-Deltafunktion 119 Kreuzprodukt 132 Krümmung 373, 376 Krümmungsradius 376 Kugel 202 Kugelkoordinaten 400 kugelsymmetrisches Vektorfeld 412, 456 Kurven auf Flächen 389 Kurvenintegrale 447 Kurvenkrümmung 376 Kurzschluss 313 L Lagebeziehungen 180 Laplace'scher Entwicklungssatz 237 Laplace-Operator 439 Laplace-Transformation 89 Länge des Zeigers 57 Leitwertebene 50, 71 Leitwertform 310 Leitwertfunktion 64 Leitwertoperatoren 50, 52, 53, 54 Leitwertortskurven 64 Levi-Civita-Symbol 134 Linearfaktoren 35 Linearkombination 114, 116, 251 lineare Gleichungssysteme 267 lineare Hülle 114 lineare Optimierung 348 lineare Unabhängigkeit 115, 251 Linienelement 399, 404 Linienintegrale 447 llösen 275 Logarithmieren 37 logarithmische Frequenzachse 95 Logarithmus 37 Lorentz-Kraft 136

Minimum 222 Moivre 28 Momentanwert 41 Multiplikation 13, 16, 24 Multiplikation eines Vektors 107 Multiplikation von Matrizen 232 N Nebenbedingungen 349 Nebenwerte 31, 37 Netzwerktechnik 305 Neutrales Element 105 nichtlineare geometrische Gebilde 185 Nichtnegativitätsbedingungen 349 Niveauflächen 405 Niveaulinien 414 Normalabstand 158, 172 Normalform 148 Normalvektor 150, 174 Normalvektorform 149 n-reihige Determinante 237 n-Tupel 118 Nullmatrix 218 Nullphasenwinkel 41 Nullvektor 104, 111 Nyquist-Diagramm 89 Nyquist-Ortskurve 94 O Oberflächenintegrale 460 Ohm'sches Gesetz 51 Ökonomie 356 Optimierungsproblem 348 orthogonale Einheitsvektoren 108 orthogonale Matrix 247, 248, 286 Orthogonalsystem 119 ORIGIN 220 Ortskurve 64 Ortsvektor 360 OU-Zerlegung 264 P

M Magnetfeld 142, 437 Maßstab 69 Matrizenrechnung 217 Matrixnormen 302 Matrixzerlegungen 263 Maximum 98, 222 Maxwell-Gleichung 474 Mechanik 326 mechanische Schwingung 38, 42 Menge der komplexen Zahlen 2

Parabel 186, 199 Paraboloid 211 Parallelepiped 141 parameterfreie Form 148, 157 Parallelschaltung 56, 314 Passante 187 Periodendauer 38 Pfeil 103 Phasenfrequenzgang 64 Phasengang 64, 89, 323 Phasenlage 41

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Sachwortverzeichnis

Phasenwinkel 41 PLU-Zerlegung 263 Produkte von Vektoren 125 Produktregel 367 Projektion eines Vektors 127 Poisson-Gleichung 440 Polarform 6, 10, 17 Polarkoordinaten 6, 391 Polynomnullstellen 35 Potentialfelder 453 Potentialgleichung 440 Potenzieren von komplexen Zahlen 28 Punkt-Richtungsform 146, 165 Q quadratische lineare Gleichungssysteme 273 quellenfreie Vektorfelder 426, 437, 442 quellen- und wirbelfreie Vektorfelder 445 R radialsymmetrisches Vektorfeld 412, 456 Radizieren 30 Rangbestimmung 25 Rang einer Matrix 249 Raumkurven 360, 367 Realteil 2 Rechnen mit komplexen Zahlen 13 Rechtssystem 108 reelle Achse 5 reelle Lösung 38 reelle Matrizen 217 reeller Bereich 38 regelmäßiges Sechseck 36 reguläre Matrix 242 Reihenschaltung 56 Resistanz 52 Restriktionen 349 Resonanz 47 Resonanzfrequenz 77 Richtungswinkel 128 Rotation 431 rotierende Zeiger 40 Rücktransformation 42, 47 S Satz von Stokes 473, 480 Satz von Moivre 28 Scheinleitwert 50, 75 Scheinleistung 59 Scheinwiderstand 75 Scheitelwert 38, 41 Schieberegler 335, 336,337, 338, 339, 340, 342 schiefhermitesche Matrix 285

Schnittgerade 182 Schnittpunkt 175 Schnittwinkel 175, 182 Schwerpunkt 145 Schwingkreis 76 Schwingungsproblem 38 Schwingungsamplitude 38, 41 Sekante 187 Serienschaltung 314 Signalübertragung 89 singuläre Matrix 242 Skalarfelder 405 Skalarprodukt 119, 125 Slider 335, 336,337, 338, 339, 340, 342 Spalte 229 Spaltenmatrix 219 Spannungsfunktion 64 Spannungsresonanz 79 Spannungsstoß 142 Spatprodukt 140 Spektralnorm 302 spezielle Matrizen 218 Spiegelung am Einheitskreis 68 Spulen 49 Spur 255 Stabkräfte 123 stapeln 231 Stauchung 20, 26 Streckung 20, 26 Stromfunktion 64 Stromlinien 407 Submatrix 231 Subtraktion 14 Subtraktion von Vektoren 106 Summenregel 366 Summensätze 18 Superpositionsprinzip 44 Symmetrieeigenschaften 12 symmetrische Matrix 219, 297 T Tangenteneinheitsvektor 373, 392 Tangente 187 Tangentenvektor 365 Tangentialebene 384, 386 Teilung einer Strecke 143 Teilungspunkt 144 Trajektorie 360 Transistor 324 Transformationsgleichungen 10 Translation 104, 106 transponierte Matrix 228 Transponierungszeichen 111 Transposition 228 trigonometrische Form 6

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Sachwortverzeichnis

totales Differential 414 Toleranz 16 U Überlagerung von Schwingungen 44 Übertragungsfunktion 89 Übungsbeispiele 485 unitäre Matrizen 286 Unterdeterminante 236, 243 Untermatrizen 257 Unterprogramm-Zeiger 4 Untervektorräume 114 UDV-Zerlegung 265 V Vektoralgebra 103 Vektoranalysis 360 Vektoren 103 Vektorfelder 405, 407 vektorielle Darstellung einer Kurve 360 Vektorpfeile 104 Vektorprodukt 132 Vektorräume 110, 217 verallgemeinerte inverse Matrix 256 Verschiebungsarbeit 131 Verschiebungsvektor 104, 106, 131 Vierpole 89, 309 Vierpolparameter 312 Vierpoltheorie 309 vollständige Induktion 28 Volumselement 399, 404 W Wechselspannung 38 Wechselstrom 38 Wechselstromgröße 38, 49 Wechselstromleistung 50, 59 w-Ebene 68

Widerstände 49 Widerstandsebene 50, 71 Widerstandsform 310 Widerstandsoperatoren 50, 52, 53, 54 Widerstandsortskurven 64 Winkel(x,y) 7, 8 Winkelbestimmung 7 Winkelfaktor 39 Wirbelfluss 479 wirbelfreies Vektorfeld 443 Wirkkomponenten 49 Wirkleistung 59 Wirkleitwert 50 Wirkungslinie 103 Wurzeln 35 Wurzelziehen 30 Z Zahlenpaarform 2, 6, 17 z-Ebene 68 Zeiger 4, 41, 42 Zeiger1 61 Zeigerdiagramm 44 Zeile 229 Zeilenmatrix 219 Zeilenumformungen 244 Zentralfelder 471 zentralsymmetrisches Vektorfeld 412 Zielfunktion 349 zref 279 Zugkräfte 123 Zylinder 213 Zylinderkoordinaten 395 zylindersymmetrisches Vektorfeld 411 zweidimensionale Koordinatensysteme 391 Zwei-Punkte-Form 147

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