Angewandte Mathematik mit Mathcad, Band 3. Differential- und Integralrechnung

W

Josef Trölß Angewandte Mathematik mit Mathcad Lehr- und Arbeitsbuch Band 3: Differential- und Integralrechnung

SpringerWienNewYork

Josef Trölß Puchenau/Linz, Österreich

Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdruckes, der Entnahme von Abbildungen, der Funksendung, der Wiedergabe auf photomechanischem oder ähnlichem Wege und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. © 2006 Springer-Verlag/Wien Printed in Austria SpringerWien New York ist ein Unternehmen von Springer Science + Business Media springer.at Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Buch berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürfen. Produkthaftung: Sämtliche Angaben in diesem Fachbuch/wissenschaftlichen Werk erfolgen trotz sorgfältiger Bearbeitung und Kontrolle ohne Gewähr. Insbesondere Angaben über Dosierungsanweisungen und Applikationsformen müssen vom jeweiligen Anwender im Einzelfall anhand anderer Literaturstellen auf ihre Richtigkeit überprüft werden. Eine Haftung des Autors oder des Verlages aus dem Inhalt dieses Werkes ist ausgeschlossen. Satz: Reproduktionsfertige Vorlage des Autors Druck: Börsedruck Ges.m.b.H., 1230 Wien, Österreich Gedruckt auf säurefreiem, chlorfrei gebleichtem Papier - TCF SPIN: 11558675

Mit zahlreichen Abbildungen

Bibliografische Informationen der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.ddb.de abrufbar.

ISBN-10 ISBN-13

3-211-29689-1 SpringerWienNewYork 987-3-211-29689-9 SpringerWienNewYork

Vorwort Dieses Lehr- und Arbeitsbuch aus dem vierbändigen Werk "Angewandte Mathematik mit Mathcad" richtet sich vor allem an Schülerinnen und Schüler höherer Schulen, Studentinnen und Studenten, Naturwissenschaftlerinnen und Naturwissenschaftler und Anwender, speziell im technischen Bereich, die sich über eine computerorientierte Umsetzung mathematischer Probleme informieren wollen und dabei die Vorzüge von Mathcad möglichst effektiv nützen möchten. Dieses vierbändige Werk wird ergänzt durch das Lehr- und Arbeitsbuch "Einführung in die Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung und in die Qualitätssicherung mithilfe von Mathcad". Als grundlegende Voraussetzung für das Verständnis und die Umsetzung mathematischer und technischer Aufgaben mit Mathcad gelten die im Band 1 ( Einführung in Mathcad) angeführten Grundlagen. Computer-Algebra-Systeme (CAS) und computerorientierte numerische Verfahren (CNV) vereinfachen den praktischen Umgang mit der Mathematik ganz entscheidend und erfahren heute eine weitreichende Anwendung. Bei ingenieurmäßigen Anwendungen kommen CAS und CNV nicht nur für anspruchsvolle mathematische Aufgabenstellungen und Herleitungen in Betracht, sondern auch als Engineering Desktop Software für alle Berechnungen. Mathcad stellt dazu eine Vielfalt von leistungsfähigen Werkzeugen zur Verfügung. So können mathematische Formeln, Berechnungen, Texte, Grafiken usw. in einem einzigen Arbeitsblatt dargestellt werden. Berechnungen und ihre Resultate lassen sich besonders einfach illustrieren, visualisieren und kommentieren. Werden auf dem Arbeitsblatt einzelne Parameter variiert, so passt die Software umgehend alle betroffenen Formeln und Diagramme des Arbeitsblattes an diese Veränderungen an. Spielerisch lässt sich so das "Was-wäre-Wenn" untersuchen. Damit eignet sich diese Software in hervorragender Weise zur Simulation vieler Probleme. Auch die Visualisierung durch Animation kommt nicht zu kurz und fördert das Verständnis mathematischer Probleme. Ein weitere Vorteil besteht auch darin, dass die meisten mathematischen Ausdrücke mit modernen Editierfunktionen in gewohnter standardisierter mathematischer Schreibweise dargestellt werden können.

Gliederung des dritten Bandes In diesem Band wird eine leicht verständliche anwendungsorientierte und anschauliche Darstellung des mathematischen Stoffes gewählt. Definitionen, Sätze und Formeln werden für das Verständnis möglichst kurz gefasst und durch zahlreiche Beispiele aus Naturwissenschaft und Technik und anhand vieler Abbildungen und Grafiken näher erläutert. Dieses Buch wurde weitgehend mit Mathcad 12 erstellt, sodass die vielen angeführten Beispiele leicht nachvollzogen werden können. Sehr viele Aufgaben können aber auch mit älteren Versionen von Mathcad gelöst werden. Bei zahlreichen Beispielen werden die Lösungen teilweise auch von Hand ermittelt. Im vorliegenden Band werden folgende ausgewählte Stoffgebiete behandelt: x

Folgen, Reihen und Grenzwerte: reelle Zahlenfolgen, Eigenschaften von Folgen, arithmetische- und geometrische Folgen, arithmetische endliche Reihen, geometrische endliche Reihen, Grenzwerte von unendlichen Folgen, Grenzwerte von unendlichen Reihen, geometrische unendliche Reihen.

x

Grenzwerte einer reellen Funktion und Stetigkeit: Grenzwerte einer reellen Funktion, Stetigkeit von reellen Funktionen, Eigenschaften stetiger Funktionen, Verhalten reeller Funktionen im Unendlichen,

x

Differentialrechnung: Differenzen- und Differentialquotient (Sekante und Tangente), Ableitungsregeln von reellen Funktionen in kartesischer Darstellung, Parameterdarstellung und Polarkoordinatendarstellung , Krümmung ebener Kurven, Grenzwerte von unbestimmten Ausdrücken, Kurvenuntersuchungen, Extremwertaufgaben, Differential einer Funktion (angenäherte Funktionswertberechnung und Fehlerbestimmung), Näherungsverfahren zum Lösen von Gleichungen (Newton-Verfahren und Regula Falsi), Interpolationskurven, Funktionen in mehreren Variablen, partielle Ableitungen, Fehlerrechnung, Ausgleichsrechnung.

x

Integralrechnung: unbestimmtes Integral, bestimmtes Integral, Integrationsmethoden, uneigentliches Integral erster und zweiter Art, numerische Integration (Mittelpunkts- und Trapezregel, Kepler- und Simpsonregel), Berechnung der Bogenlänge, Flächenberechnung (ebene Flächen und Matelflächen von Rotationskörpern), Volumsberechnung, Schwerpunktsberechnung, Trägheitsmomente, Biegelinien, Arbeitsintegrale, hydromechanische Berechnungen, Mittelwerte, Mehrfachintegrale.

Spezielle Hinweise Beim Erstellen eines Mathcad-Dokuments ist es hilfreich, viele mathematische Sonderzeichen verwenden zu können. Dafür stehen z.B. folgende Schriftarten zur Verfügung: Symbol, Bookshelf Symbol 2, Bookshelf Symbol 4, Bookshelf Symbol 5, MT Extra, UniversalMath1 PT und IBM techexplorer Symbol A bis D. Einige Sonderzeichen stehen auch im "Ressourcen-Menü" von Mathcad zu Verfügung ( QuickSheets Rechensymbole). Zum Einfügen verschiedener Zeichen ist z.B. das Programm Charmap.exe sehr nützlich. Dieses Programm finden Sie unter Zubehör-Zeichentabelle in Microsoft-Betriebssystemen. Viele Zeichen können aber auch aus dem ASCII-Code gewählt werden (Eingabe mit Alt-Taste und Zifferncode mit dem numerischen Rechenblock der Tastatur). Texte und Variable werden in diesem Buch in der Schriftart Arial dargestellt. Zur Darstellung von komplexen Variablen wird hier die Fettschreibweise mit Unterstreichung gewählt. Damit Variable zur Darstellung von Vektoren und Matrizen von normalen Variablen unterschieden werden können, werden diese hier in Fettschreibweise dargestellt. Die Darstellung von Vektoren mit Vektorpfeilen wird vor allem in Definitionen und Sätzen verwendet. Damit Variable, denen bereits ein Wert zugewiesen wurde, wertunabhängig auch für nachfolgende symbolische Berechnungen mit den Symboloperatoren (live symbolic) verwendet werden können, werden diese einfach redefiniert (z.B. x:=x). Davon wird öfters Gebrauch gemacht.

Mein außerordentlicher Dank gebührt meinen geschätzten Kollegen Hans Eder und Bernhard Roiss für ihre Hilfestellungen bei der Herstellung des Manuskriptes, für wertvolle Hinweise und zahlreiche Korrekturen. Hinweise, Anregungen und Verbesserungsvorschläge sind jederzeit willkommen. Linz, im Januar 2006

Josef Trölß

Inhaltsverzeichnis

1. Folgen, Reihen und Grenzwerte 1.1 Folgen

1 ... 34

1

1.1.1 Arithmetische Folgen

9

1.1.2 Geometrische Folgen

13

1.2 Reihen

20

1.2.1 Arithmetische endliche Reihen

20

1.2.2 Geometrische endliche Reihen

22

1.3 Grenzwerte von unendlichen Folgen

26

1.4 Grenzwerte von unendlichen Reihen

29

2. Grenzwerte einer reellen Funktion und Stetigkeit

35 ... 62

2.1 Grenzwerte einer reellen Funktion

35

2.2 Stetigkeit von reellen Funktionen

40

2.2.1 Eigenschaften stetiger Funktionen

44

2.2.2 Verhalten reeller Funktionen im Unendlichen

46

3. Differentialrechnung 3.1 Die Steigung der Tangente - Der Differentialquotient 3.1.1 Die physikalische Bedeutung des Differentialquotienten 3.2 Ableitungsregeln für reelle Funktionen

63 ... 252

63 69 73

3.2.1 Ableitung der linearen Funktion

73

3.2.2 Potenzregel

73

3.2.3 Konstanter Faktor und Summenregel

76

3.2.4 Produktregel

78

3.2.5 Quotientenregel

79

3.2.6 Kettenregel

81

3.2.7 Ableitungen von Funktionen und Relationen in impliziter Darstellung

85

3.2.8 Ableitung der Exponential- und Logarithmusfunktion

90

3.2.9 Ableitung von Kreis- und Arkusfunktionen

99

3.2.10 Ableitung von Hyperbel- und Areafunktionen

105

3.2.11 Höhere Ableitungen

111

3.2.12 Ableitungen von Funktionen in Parameterdarstellung

114

3.2.13 Ableitungen von Funktionen in Polarkoordinatendarstellung

123

3.2.14 Krümmung ebener Kurven

128

3.2.15 Grenzwerte von unbestimmten Ausdrücken

134

Inhaltsverzeichnis

3.3 Kurvenuntersuchungen

138

3.4 Extremwertaufgaben

177

3.5 Das Differential einer Funktion

190

3.5.1 Angenäherte Funktionswertberechnung

191

3.5.2 Angenäherte Fehlerbestimmung

194

3.6 Näherungsverfahren zum Lösen von Gleichungen

198

3.6.1 Das Newton-Verfahren

198

3.6.2 Das Sekantenverfahren (Regula Falsi)

203

3.7 Interpolationskurven

207

3.8 Funktionen in mehreren unabhängigen Variablen

217

3.8.1 Allgemeines

217

3.8.2 Partielle Ableitungen

222

3.9 Fehlerrechnung

236

3.10 Ausgleichsrechnung

242

4. Integralrechnung

253 ... 413

4.1 Das unbestimmte Integral

253

4.2 Das bestimmte Integral

256

4.3 Integrationsmethoden

264

4.3.1 Grundintegrale

264

4.3.2 Integration durch Substitution

272

4.3.3 Partielle Integration

277

4.3.4 Integration durch Partialbruchzerlegung

280

4.4 Uneigentliche Integrale

287

4.4.1 Uneigentliche Integrale 1. Art

287

4.4.2 Uneigentliche Integrale 2. Art

291

4.5 Numerische Integration

294

4.5.1 Mittelpunkts- und Trapezregel

294

4.5.2 Kepler- und Simpsonregel

298

4.6 Anwendungen der Integralrechnung

306

4.6.1 Bogenlänge einer ebenen Kurve

306

4.6.2 Berechnung von Flächeninhalten

315

4.6.2.1 Berechnung von Flächeninhalten unter einer Kurve

315

4.6.2.2 Berechnung von Flächeninhalten zwischen zwei Kurven

322

4.6.2.3 Mantelflächen von Rotationskörpern

329

4.6.3 Volumsberechnung

334

Inhaltsverzeichnis

4.6.4 Berechnung von Schwerpunkten

342

4.6.4.1 Schwerpunkt eines Kurvenstückes

343

4.6.4.2 Schwerpunkt einer Fläche

345

4.6.4.3 Schwerpunkt einer Drehfläche

352

4.6.4.4 Schwerpunkt eines Drehkörpers

353

4.6.5 Berechnung von Trägheitsmomenten

356

4.6.5.1 Das Massenträgheitsmoment

356

4.6.5.2 Das Flächenträgheitsmoment

361

4.6.6 Berechnung von Biegelinien

366

4.6.7 Berechnung von Arbeitsintegralen

378

4.6.8 Berechnungen aus der Hydromechanik

387

4.6.9 Berechnung von Mittelwerten

390

4.7 Mehrfachintegrale

402

4.7.1 Doppelintegrale

402

4.7.2 Dreifachintegrale

408

Anhang

414... 486

Übungsbeispiele

414

Literaturverzeichnis

479

Sachwortverzeichnis

481

Folgen, Reihen und Grenzwerte

1. Folgen, Reihen und Grenzwerte 1.1 Folgen Reelle Zahlenfolgen heißen solche Funktionen, bei denen die Definitionsmenge D eine Menge natürlicher Zahlen ( D Ž ² bzw. D Ž ² ) und der Wertebereich W eine Menge reeller Zahlen ist.

o W   n |of(n) = an

f: D

(1-1)

Die Elemente des Wertebereichs heißen Glieder der Zahlenfolge. Die Glieder, also die Zahlen a0 , a1 , a2 ... , bzw. a1 , a2 , a3 ... sind die zu den Platzhaltern 1, 2, 3 ... (Indizes) gehörigen Funktionswerte. Bezeichnungen: f(n) = an

Funktionsgleichung

an

allgemeines Glied der reellen Folge (Termdarstellung)

a0 bzw. a 1

1. Glied der Folge oder Anfangsglied

ak

k-tes Glied der Folge

an!= a0, a1, a2, ... , an!

bzw. an!= a1, a2, a3, ... , an!

endliche Folge

an!= a0, a1, a2, a3, ... !

bzw. an!= a1, a2, a3, .a3, ...!

unendliche Folge

Beispiel 1.1.1: n

 { 1, 2, 3, ..., 10 }

Definitionsmenge

an!=1/n != 1; 1/2; 1/3; ... ; 1/10 >

endliche Folge

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

n  1  10

Bereichsvariable

an 

1

Folgeglieder in einem Vektor zusammengefaßt

n

Vektorausgabe in Tabellenform: an

a 1

Verschiedene Ausgabeformen der Folgeglieder: T

1

1

1

1

1/1

2

0.5

2

1/2

3

0.333

3

1/3

4

0.25

4

1/4

5

0.2

5

1/5

6

0.167

6

1/6

7

0.143

7

1/7

8

0.125

8

1/8

9

0.111

9

1/9

10

0.1

10

1/10

§ ©

a o ¨1

a2 o a10 o

· 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ¹ 1

1

1

1

a2

2 1 10

Seite 1

a10

1

1

0.5

0.1

1

1

1

a2

a10

1

1 2 1 10

symbolische Ausgabe in Vektorform symbolische und numerische Ausgabe der Folgeglieder

Folgen, Reihen und Grenzwerte

Eigenschaften von Folgen: Eine Folge ak ! heißt 1. streng monoton steigend, wenn für alle k 2. monoton steigend, wenn für alle k

 D gilt:

3. streng monoton fallend, wenn für alle k 4. monoton fallend, wenn für alle k 5. konstant, wenn für alle k

 D gilt:

 D gilt:

 D gilt:

6. nach oben beschränkt, wenn für alle k

7. nach unten beschränkt, wenn für alle k Ku heißt untere Schranke von 8. beschränkt, wenn für alle k

 D gilt:

ak < ak+1

(1-2)

ak d ak+1

(1-3)

ak > ak+1

(1-4)

ak t ak+1

(1-5)

ak = ak+1

(1-6)

ak d K o

(1-7)

ak t Ku

(1-8)

|ak | d M

(1-9)

ak!

Ko heißt obere Schranke von

M heißt Schranke von

 D gilt:

 D gilt:

ak!

 D gilt:

ak!

Ko, K u, M  Beispiel 1.1.2: Geg.:

an = 1/10 ( n 2 -1)

Ges.:

Berechnen Sie die ersten 10 Glieder der Folge (n > 0) und stellen Sie diese Folgeglieder grafisch dar.

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

n  1  10

Bereichsvariable

an 

1 10

§ ©

T

a o ¨0 a1 o 0

an

2

˜ n 1

allgemeines Folgeglied

3

4

3

12

7

24

63

10

5

2

5

2

5

10

a2 o

3

a3 o

10

4

8

· 10 ¹ 99

a4 o

5

symbolische Ausgabe in Vektorform

3

a5 o

2

12

a6 o

5

a10 o

2

99 10

1

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 0

7

a

1

2

3

4

5

6

7

8

9

n

Abb. 1.1.1

Seite 2

10

11

1

0

2

3/10

3

4/5

4

3/2

5

12/5

6

7/2

7

24/5

8

63/10

9

8/1

10

99/10

numerische Ausgabe in Vektorform

Folgen, Reihen und Grenzwerte

Beispiel 1.1.3: Geg.:

an = (-1)n 2/n

Ges.:

Berechnen Sie die ersten 10 Glieder der Folge (n > 0) und stellen Sie diese Folgeglieder grafisch dar.

ORIGIN  1

a a

n1 

ORIGIN festlegen und Redefinition der Variablen a

64 n  1  n1

Bereichsvariable 2

n

an  ( 1) ˜

n

§ ©

T

Steuerung der Bereichsvariablen mit einem Schieberegler (Slider)

allgemeines Folgeglied

a o ¨ 2 1 a1 o 2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

3

2

5

3

7

4

9

5

11

6

a2 o 1

a3 o

2 3

a4 o

1 2

· ¹

symbolische Ausgabe in Vektorform

a5 o

2

a6 o

5

1 3

a10 o

1 5

2

Wenn für alle k  D ak . ak+1 < 0 gilt, so heißt die

1

Folge alternierende Folge ! 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

an 1 2 3

Abb. 1.1.2 n

Beispiel 1.1.4: Geg.:

an = 2 cos( n S/6 )

Ges.:

Berechnen Sie die ersten 10 Glieder der Folge (n > 0) und stellen Sie diese Folgeglieder grafisch dar.

ORIGIN  1

a a

n  1  10

ORIGIN festlegen und Redefinition der Variablen a Bereichsvariable

§ ©

an  2 ˜ cos ¨ n ˜

S· 6¹

allgemeines Folgeglied

1 1 · § 1 ¨ T 2 2 2 a o ©3 1 0 1 3 2 3 1 0 1 ¹

a5

1

a1 o 3

2



716035 413403

Vorsicht bei der Ausgabe im Format Bruch! Maschinenzahlen!

1

a2 o 1

a3 o 0

a4 o 1

a5 o 3

Seite 3

2

a6 o 2

a10 o 1

Folgen, Reihen und Grenzwerte

2 1

0

an

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Abb. 1.1.3

1 2 3 n

Beispiel 1.1.5: Geg.:

an = 2

Ges.:

Berechnen Sie die ersten 10 Glieder der Folge (n > 0) und stellen Sie diese Folgeglieder grafisch dar.

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

n  1  10

Bereichsvariable

an  2

allgemeines Folgeglied (konstante Folge)

T

a o (2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 )

symbolische Ausgabe in Vektorform

a1 o 2

a4 o 2

a2 o 2

a3 o 2

a5 o 2

a6 o 2

a10 o 2

Konstante Folge 3

2 an

Abb. 1.1.4 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

n

Beispiel 1.1.6: Geg.:

an = 3 n / (2 n -1)

Ges.:

Es soll gezeigt werden, dass die Folge streng monoton fällt und die Zahl 1 eine untere Schranke ist. Stellen Sie die ersten 10 Folgeglieder grafisch dar.

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

Seite 4

Folgen, Reihen und Grenzwerte

n  1  10 an 

Bereichsvariable

3˜ n

allgemeines Folgeglied

2˜ n  1

§ ©

a o ¨3 2

9

12

5

7

a1 o 3

a2 o 2

T

· 3 11 13 5 17 19 ¹ 5

18

21

8

9

a3 o

27

30

a4 o

5

symbolische Ausgabe in Vektorform

12

5

a5 o

7

a6 o

3

18 11

a10 o

30 19

4

3 an

2

Abb. 1.1.5 1 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

n

an ! an 1 3˜ n 2˜ n  1

!

3 ˜ ( n  1) 2 ˜ ( n  1)  1

an t Ku

hat als Lösung(en)

Ku = 1

3˜ n 2˜ n  1

t1

hat als Lösung(en)

3˜ n t 2˜ n  1

§¨ n  1 · 2 ¸ ¨ ¨ 1 ¸ ¨ 2 n © ¹

Gilt für alle n > 1/2 und damit für alle n  ². Die Folge ist daher streng monoton fallend. n < -1/2 kommt hier nicht in Frage, weil n eine natürliche Zahl sein soll.

§ n d 1 · ¨1 ¨ n ©2 ¹

Gilt für alle n > 1/2 und damit für alle n  ². Die Folge ist daher nach unten beschränkt. n d -1 kommt hier nicht in Frage, weil n eine natürliche Zahl sein soll.

händische Lösung (gilt für alle n

 ²)

Beispiel 1.1.7: an = (10 n - 7) / n2

Geg.:

Es soll nachgewiesen werden, dass die Zahl 4 eine obere und die Zahl 0 eine untere Schranke der Folge ist. Stellen Sie die ersten 10 Folgeglieder grafisch dar.

Ges.:

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

n  1  10

Bereichsvariable

an 

10 ˜ n  7

allgemeines Folgeglied

2

n T

§ ©

a o ¨3

13

23

4

9

· 16 25 36 7 64 81 100 ¹ 33

43

53

9

73

83

93

Seite 5

symbolische Ausgabe in Vektorform

Folgen, Reihen und Grenzwerte

a1 o 3

a2 o

13

a3 o

4

23

a4 o

9

33

a5 o

16

43

a6 o

25

53 36

a8 o

73 64

4 4

3 an

2

Abb. 1.1.6 1 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

n

an d Ko ( 10 ˜ n  7) 2

d4

hat als Lösung(en)

t0

hat als Lösung(en)

Gilt für alle n  ². Die Folge ist daher nach oben beschränkt.

n

n

an t Ku ( 10 ˜ n  7) 2

n

7 10

dn

Gilt für alle n t 7/10 und damit für alle n  ². Die Folge ist daher nach unten beschränkt.

Anstatt das allgemeine Glied a n in Termdarstellung anzugeben, kann eine Folge durch eine sogenannte Rekursionsformel (rekursiv bedeutet zurücklaufend) festgelegt werden. In diesem Fall wird das erste Glied (oder auch die ersten beiden) und zusätzlich eine Rechenvorschrift angegeben, die es gestattet, alle folgenden Glieder jeweils aus dem vorhergehenden Glied zu berechnen.

Beispiel 1.1.8: Geg.:

b1 = 1 und die Rekursionsformel b n+1 = bn + n2

Ges.:

Wie lauten die ersten 14 Folgeglieder. 2

b4 = b3  3 = 6  9 = 15

b1 = 1

2

Berechnung der ersten 6 Folgeglieder mit der Rekursionsformel

b2 = b1  1 = 1  1 = 2

2

b5 = b4  4 = 15  16 = 31

b3 = b2  2 = 2  4 = 6

2

b6 = b5  5 = 31  25 = 56

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

n  1  13

Bereichsvariable

b1  1

Anfangswert (Wert des 1. Folgegliedes)

2

Seite 6

Folgen, Reihen und Grenzwerte

2

bn  1  bn  n

T

1

b

1

Rekursionsformel (Differenzengleichung)

2

3

1

2

4 6

5

15

6

31

7

56

92

8

9

10

11

12

13

14

141

205

286

386

507

651

820

Beispiel 1.1.9: Geg.:

f0 = 1 , f1 = 1 und die Rekursionsformel fn+1 = fn + fn-1

Ges.:

Wie lauten die ersten 15 Folgeglieder.

f0 = 1

f4 = f3  f2 = 3  2 = 5

f1 = 1

f2 = f1  f0 = 1  1 = 2

f5 = f4  f3 = 5  3 = 8

f3 = f2  f1 = 2  1 = 3

f6 = f 5  f4 = 8  5 = 13

ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

n  1  14

Bereichsvariable

f0  1

f1  1

Anfangswerte

fn 1  fn  fn1

T

0

f

0

Rekursionsformel (Differenzengleichung) 1

1

Berechnung der ersten 6 Folgeglieder mit der Rekursionsformel

2 1

3 2

4 3

5 5

6 8

7

13

8

21

9

34

55

10 89

11

12

144

233

Diese Folge wird Fibonacci-Folge genannt.

Beispiel 1.1.10: Geg.:

x = a und die Rekursionsformel zur Berechnung von

Ges.:

Berechnen Sie

1

3

ORIGIN festlegen

n  1  9

Bereichsvariable

x1  3

Anfangswert (Startwert)

ª 3 « ¬ 1

˜ « 2 ˜ xn 

º» xn 2 »¼ x1

a: x

n+1

= 1/3 ( 2 x + a/x

3 auf 5 Nachkommastellen genau.

ORIGIN  1

xn1 

3

Rekursionsformel (Differenzengleichung)

Seite 7

n

2 n

)

Folgen, Reihen und Grenzwerte

1 1

3

2

2.1111111111

3

1.6317841387

4

1.4634119891

5

1.4425541251

6

1.4422496346

7

1.4422495703

8

1.4422495703

9

1.4422495703

10

1.4422495703

x

3

3

Anzeige auf 10 Nachkommastellen

1.4422495703

Beispiel 1.1.11: Geg.:

un = 2 int(n/2) und vn = n mod 2

Ges.:

Wie lauten die ersten 15 Folgeglieder.

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

n  1  15

Bereichsvariable

§ n· © 2¹

un  2 ˜ floor ¨

int = floor. Gibt die größte ganze Zahl zurück, die nicht größer als der Wert von x = n/2 ist.

vn  mod ( n  2)

Modulo-Funktion. Liefert den Rest der Division n/2, wenn der Zähler größer als der Nenner ist, sonst ist das Ergebnis gleich dem Zähler.

T

1

u

2

1

0

T

1

v

1

3 2

2 1

4 2

3 0

5 4

4 1

6 4

5 0

7 6

6 1

8 6

7 0

9 8

8 1

10 8

9 0

10

10 1

0

11 10

11 1

12 12

12 0

13 12

13 1

Beispiel 1.1.12: Geg.:

an = 1 für n ungerade und an = 2n für n gerade.

Ges.:

Wie lauten die ersten 10 Folgeglieder.

ORIGIN  1 f ( n) 

ORIGIN festlegen

for k  1  n k

ck m 2

§k· = k © 2¹ 2

if floor ¨

ck m 1 otherwise

Unterprogramm (Funktion) zur Berechnung der Folgeglieder. floor(k/2) = k/2 ist dann gleich, wenn k eine gerade Zahl ist.

c

Seite 8

14 14

14 0

15 14

15 1

Folgen, Reihen und Grenzwerte

n  10

Anzahl der Folgeglieder

a  f ( n)

Berechnung der Folgeglieder mit dem Unterprogramm

T

1

a

2

1

1

3 4

4 1

5

6

16

1

7 64

8 1

9

256

10 1

1024

Beispiel 1.1.13: Geg.:

z 1 = 1 und die Rekursionsformel zn+1 =( 5 z n + 3) mod 16

Ges.:

Berechnen Sie die Folgeglieder solange, bis sie sich wiederholen.

ORIGIN  1 a 5

r 3

k  16

Vorgabegrößen

n  1  19

Bereichsvariable

zn  1

Anfangswert



z n1  mod a ˜ z n  r  k

T

1

z

1

2 1

8



Pseudozufallsgenerator (liefert Zahlen zwischen 0 und k - 1)

3

4

5

11

10

6

7

8

12

15

14

5

9

10 9

11

0

12

3

2

13

14

13

15

4

7

p k z1 

1 p

˜z

T

Pseudozufallszahlen zwischen 0 und 1 1

z1

1

0.063

2

3 0.5

4

0.688

0.625

5 0.313

6 0.75

7 0.938

8 0.875

9 0.563

10 0

1.1.1 Arithmetische Folgen In einer arithmetischen Folge ist die Differenz d zweier benachbarter Glieder konstant, aber von Null verschieden (für d = 0 liegt eine konstante Folge vor). a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 = ... = an+1 - an = d

(1-10)

Mit a1 a2 = a1 +d a3 = a2 + d = a1 + d + d = a 1 + 2 d a4 = a3 + d = a1 + 2 d + d = a 1 + 3 d usw. erhalten wir das allgemeine Folgeglied: an = a1 + (n - 1) d

mit d  und n ² bzw.

an = a0 + n d

mit d  und n ² 



Seite 9

(1-11)

Folgen, Reihen und Grenzwerte

Mit (1-10) erhalten wir durch Addition das allgemeine Folgeglied aus dem sich daraus ergebenden arithmetischen Mittel seiner Nachbarglieder: an-1 = an - d an+1 = an + d -----------------------an-1 + an+1 = 2 an und damit an = 1/2 (an-1 + an+1 )

(1-12)

Arithmetische Folgen treten überall dort auf, wo sich ein gewisser Anfangswert mehrmals um einen festen Wert vermehrt oder verringert.

Beispiel 1.1.14: Geg.:

an = 2 + (n - 1) 1/2

Ges.:

Berechnen Sie die ersten 10 Glieder der Folge und stellen Sie diese Folgeglieder grafisch dar.

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

n  1  10

Bereichsvariable

an  2  ( n  1) ˜

§ ©

T

a o ¨2

5 2

3

1

allgemeines Folgeglied

2 7

9

4

2

2

5

11 2

· 2 ¹

13

6

symbolische Ausgabe in Vektorform

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

an an

d = 1/2 Die Folge ist streng monoton steigend. a3 

1

Die Folgeglieder bilden eine Menge äquidistanter Punkte, die auf einer Geraden liegen.

2

a1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Abb. 1.1.7

n

Beispiel 1.1.15: Geg.:

an = 4 + (1 - n) 5/7

Ges.:

Berechnen Sie die ersten 10 Glieder der Folge, und stellen Sie diese Folgeglieder grafisch dar.

ORIGIN  1

a a

n  1  10 an  4  ( 1  n) ˜

ORIGIN festlegen und Redefinition von a Bereichsvariable

5

allgemeines Folgeglied

7

Seite 10

Folgen, Reihen und Grenzwerte

§ ©

T

a o ¨4

23

18

13

8

3

2

7

7

7

7

7

7

5 4 3 2 1

an an

1 2 3 4 5

1

12

17

7

7

· ¹

symbolische Ausgabe in Vektorform

a1 5 a3  7

3

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

d = - 5/7 Die Folge ist streng monoton fallend 11

Abb. 1.1.8 n

Beispiel 1.1.16: Einem Festplattenlager von anfänglich B 0 = 5000 Stück werden täglich durchschnittlich 186 Stück entnommen. Wie groß ist der Lagerbestand nach 21 Tagen ? Nach wie vielen Tagen sinkt der Lagerbestand erstmals unter 500 Stück ? ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

Stk  1

Einheitendefinition

k  25

Anzahl der Tage

t  0  k

Bereichsvariable

B0  5000 ˜ Stk

Lagerbestand

d  186 ˜ Stk

konstante Differenz

Bt  B0  d ˜ t

arithmetische Folge

5000  t1 ˜ ( 186)  500

hat als Lösung(en)

t1  24

Nach dem 24. Tag sinkt der Lagerbestand erstmals unter 500 Stk.

750 31

 t1

Ÿ

750 31

§ 750 · © 31 ¹

24.19 und floor ¨

6000 21

t1

Anzahl

4500 Bt

3000

Stk B 21 500

1500

0 1 2 3

4 5 6

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 t Tage

Abb. 1.1.9

Seite 11

24

Folgen, Reihen und Grenzwerte

Beispiel 1.1.17: Im Allgemeinen verlieren Wirtschaftsgüter (Gebäude, Computer, PKW, Büroeinrichtungen usw.) mit der Zeit ihren Wert. Wir sprechen dann vom Buch- oder Restwert eines Wirtschaftsgutes. Die Art der Wertverminderung und ihre Aufteilung auf die gesamte Nutzungsdauer heißt Abschreibung des Gutes. Hier soll die lineare Abschreibung eines Gutes anhand eines Beispiels besprochen werden. Eine Stanzmaschine wird zu einem Preis von R 0 = 70 000 € (Anschaffungskosten oder 0-ter Restwert) angeschafft. Die Nutzungsdauer beträgt 7 Jahre, wobei mit einem Schrottwert im 7. Jahr von 4000 € gerechnet wird. Wir gehen hier von einem konstanten jährlichen Abschreibungsbetrag aus. Bestimmen Sie die Restwertfolge R n . n ... Nutzungsdauer in Jahren A1 ... Abschreibung nach dem 1. Jahr R1 = R0 - A1 R2 = R1 - A2

A2 ... Abschreibung nach dem 2. Jahr

------------------------------Rn = Rn-1 - An

An ... Abschreibung nach dem n. Jahr

Nach unserer Annahme gilt: A1 = A2 = ... = An = A ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

€ 1

Währungsdefinition (eine Variable schreiben und mit < Umschalt> + <Strg> + in den Textmodus wechseln, Eurozeichen eingeben und wieder mit der gleichen Tastenkombination den Textmodus verlassen)

n  1  7

Bereichsvariable

R0  70000 ˜ €

Anschaffungskosten (0-ter Restwert)

R7  4000 ˜ €

Schrottwert im 7. Jahr

R7 = R0  7 ˜ A

hat als Lösung(en)

A

1 7

˜ R7 

1 7

1 7

Rn  Rn 1  A

˜ R0

A

˜ R7 

1 7

˜ R0

Abschreibung pro Jahr

9428.571 €

allgemeines Bildungsgesetz für den Restwert

R

8 10

4

€

R0

0 0

6 10

4

70000

1

60571.429

R0

2

51142.857

€

3

41714.286

Rn

4

32285.714

€

5

22857.143

6

13428.571

7

4000

4 10

4

Abb. 1.1.10 2 10

4

R7 1

0

1

2

3

4

0 n Jahre

Seite 12

5

6

7

8

Folgen, Reihen und Grenzwerte

1.1.2 Geometrische Folgen Eine geometrische Folge ist dadurch gekennzeichnet, dass der Quotient q je zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant ist (q z 0): q=

an 1

(1-13)

an

Mit a1 a2 = a1 q a3 = a2 q = a 1 q q = a1 q 2 a4 = a3 q = a 1 q 2 q = a 1 q 3 usw. erhalten wir das allgemeine Folgeglied: an = a1 q n-1

mit q \ {0} und n ² bzw.

an = a0 q n

mit q \ {0} und n ² 

(1-14)

 Drei aufeinanderfolgende Folgeglieder ak-1 , ak , ak+1 lassen sich immer in der Form a k : q , a k , ak q schreiben. Es gilt daher: ( ak : q ) ( ak q ) = a k 2 . Daraus folgt, dass der Absolutbetrag jedes inneren Folgegliedes einer geometrischen Folge gleich dem geometrischen Mittel seiner Nachbarglieder ist:  

ak =

§ ak · ¨ ˜  ak ˜ q = ©q¹

ak 1 ˜ ak1

(1-15)

Allgemein können wir sagen: Ist a 1 > 0 bzw. a0 > 0, so nimmt die geometrische Folge für q > 1 zu. Sie ist konstant für q = 0, sie nimmt ab für 0 < q < 1 und sie ist alternierend für q < 0. GeometrischeFolgen treten überall dort auf, wo die Änderung von einem Folgeglied zum nächsten nicht absolut, sondern relativ (prozentuell) ist. Geometrische Folgen bilden in Form der sogenannten Vorzugs- oder Normzahlen die Grundlage für die Typisierung von Hauptabmessungen in der Technik und ermöglichen die Wahl zweckmäßiger Größenabstufungen bei Drehzahlen, Vorschüben, Gewindedurchmessern, Längen, Rohren, Stäben, Platten und dergleichen mehr. Bei konsequenter Verwendung werden die wirtschaftliche Fertigung durch Reduzierung von Werkzeugen und Vorrichtungen gefördert, und das Austauschen von Einzelteilen erleichtert. Zahlreiche Anwendungen geometrischer Folgen finden sich aber auch z.B. bei der Beschreibung physikalischer Vorgänge und bei wirtschaftsmathematischen Berechnungen.

Beispiel 1.1.18: Geg.:

an = 1/4 (3/2)n-1

Ges.:

Berechnen Sie die ersten 10 Glieder der Folge und stellen Sie diese Folgeglieder grafisch dar.

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

Seite 13

Folgen, Reihen und Grenzwerte

n  1  10

Bereichsvariable

§ 3· 4 © 2¹ 1

an 

T

a o

n1

˜¨

a3

allgemeines Folgeglied

a2

3

o

q

2

3

Der Quotient von zwei Folgegliedern ist konstant!

2

§ 1 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 · symbolische Ausgabe in Vektorform ¨ © 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 ¹ 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

an an

7

q = 3/2 Die Folge ist streng monoton steigend.

8 a 1˜q

7

Die Folgeglieder bilden eine Menge von Punkten, die auf einer Exponentialkurve liegen.

a7

1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Abb. 1.1.11

n

Beispiel 1.1.19: Zwischen den Längen 15 mm und 210 mm sind weitere vier Längen so einzuschalten, dass eine geometrische Stufung erreicht wird. Bestimmen Sie die Folge dieser Längen. ORIGIN  1 L1  15 ˜ mm

L6  210 ˜ mm

5

L6 = L1 ˜ q 5

q

nach dem Bildungsgesetz einer geometrischen Folge

L6

q

L1

n  1  6 n 1

T

Quotient

1.695

Bereichsvariable

Ln  L1 ˜ q

1

L

gegebene Längen

1

15

allgemeines Bildungsgesetz 2

3

4

25.4

43.1

73.1

5 123.9

6

mm

numerische Ausgabe in Vektorform

210

Beispiel 1.1.20: Bei einer Drehmaschine ist die niedrigste Drehzahl 20 min -1 und die höchste 100 min -1. Dazwischen liegen weitere vier Drehzahlen, die geometrisch abgestuft sind. Wie lautet die Folge der Drehzahlen ? ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

Seite 14

Folgen, Reihen und Grenzwerte

n1  20 ˜ min

1

n6  100 ˜ min

1

gegebene Drehzahlen

5

n6 = n1 ˜ q 5

q

nach dem Bildungsgesetz einer geometrischen Folge

n6

q

n1

k  1  6

Bereichsvariable k 1

nk  n1 ˜ q T

1

n

Quotient

1.38

1

20

allgemeine Bildungsgesetz 2

3

4

5

6

27.6

38.1

52.5

72.5

100

min

1

numerische Ausgabe in Vektorform

Beispiel 1.1.21: Von 1 : ausgehend soll in 6 bzw. 12 prozentuell gleich großen Stufen der Wert 10 : erreicht werden. Berechnen Sie die Zwischenwerte der Folge. ORIGIN  1 E61  1 ˜ :

E67  10 ˜ : 6

E67 = E61 ˜ q 6

q

gegebene Widerstände

nach dem Bildungsgesetz einer geometrischen Folge

E67

q

E61

Quotient

1.468

Erhöhen wir, mit 1 beginnend, stets um 46,8 % den Wert 10.

|47 %, so erreichen wir nach 6 solcher Stufen

6

q = 10 heißt Stufensprung der Normzahlenreihe E6 (hier wird oft der Begriff Reihe statt Folge benützt). Daraus werden die sogenannten Hauptwerte der Normzahlen der Grundreihe E6 abgeleitet, die vereinbarungsgemäß mit zwei Nachkommastellen angegeben wird.

k  1  10

Bereichsvariable k 1

E6k  E61 ˜ q T

allgemeines Bildungsgesetz

1

E6

1

1

2

3

4

5

6

1.468

2.154

3.162

4.642

6.813

7

8 10

14.678

9 21.544

Daraus lassen sich die Hauptwerte der Normzahlen der Reihe E6 ableiten: E6  1.00

1.50

2.20

3.20

4.70

6.80

Seite 15

10.00

14.70 21.50

31.60

10 31.623

:

Folgen, Reihen und Grenzwerte

E121  1 ˜ :

E1213  10 ˜ :

gegebene Widerstände

12

E1213 = E121 ˜ q 12

q

nach dem Bildungsgesetz einer geometrischen Folge

E1213

q

E121

k  1  15

Quotient

1.212

Bereichsvariable k 1

E12k  E121 ˜ q T

1

E12

1

allgemeines Bildungsgesetz

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1 1.21 1.47 1.78 2.15 2.61 3.16 3.83 4.64 5.62 6.81 8.25

13

14

15

:

10 12.12 14.68

Daraus lassen sich wieder die Hauptwerte der Normzahlen der Reihe E12 ableiten: E12  1.00

1.20

1.50

1.80

2.20

2.60

3.20

3.80

4.70

5.60

Hier ist zwischen 2 benachbarten Gliedern der E6 Reihe noch ein Glied dazwischengeschaltet. Beispiel 1.1.22: In der Physik sprechen wir von einer gedämpften Schwingung, wenn die Amplitude A, d.h. die maximale Auslenkung aus der Ruhelage, mit der Zeit abnimmt. Dabei bilden die Amplituden A 1 , A2 , A3 , ... im Allgemeinen eine geometrische Folge. Ermitteln Sie das Bildungsgesetz für die Amplitudenfolge und geben Sie die ersten 10 Glieder an. Welche Amplitude ist als Erste unter 5% der Anfangsamplitude ? ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

A1  2 ˜ cm

Ausgangsamplitude

G  0.5 ˜ s

1

Z  2˜ S ˜ s T

Dämpfungsfaktor

1

2˜ S

Kreisfrequenz T

Z  G˜t

s ( t )  A1 ˜ e

1s

˜ cos ( Z ˜ t)

 G˜t

Schwingungsdauer Schwingungsgleichung

A ( t )  A1 ˜ e

zeitabhängige Amplitude

t  0 ˜ s  0.001 ˜ s  5 ˜ s

Zeitbereich

Seite 16

Folgen, Reihen und Grenzwerte

gedämpfte Schwingung 2

s( t)

T

2˜T

1

2

1

cm A( t) cm

0

 A( t)

3

4

5

Abb. 1.1.12

cm 1

2 t s

Mit A(t) = A1 e - Gt erhalten wir folgendes Bildungsgesetz: t=0

A1 = A1

t=T

A2 = A1 e - G T = A 1 q

t=2T

A3 = A1 e - G 2T = A1 (e - G T)2 = A1 q 2

...................................................................................................................

A n = A 1 q n-1 n  1  10

Bereichsvariable

  G˜T

An  A1 ˜ e

T

n 1

1

A

1

allgemeines Bildungsgesetz

2

3

4

5

6

7

2 1.213 0.736 0.446 0.271 0.164

0.1

8

9

0.06

10

cm

0.037 0.022

Amplitude als Erste unter 5% der Anfangsamplitude:

  G˜T

A1 ˜ e

n1

  G˜T

2 ˜ cm ˜ e

 0.1 ˜ cm

n1

§ 1· © 20 ¹  1

 0.1 ˜ cm

Ungleichung

  G˜T  ln §¨ 201 ·

( n  1) ˜ ln e

©

¹

logarithmierte Ungleichung

ln ¨ n

  G˜T

Lösung der Ungleichung

ln e

n

6.991

Somit ist A7 die erste Amplitude, die kleiner als 5% der Anfagsamplitude A 1 ist.

Seite 17

Folgen, Reihen und Grenzwerte

Beispiel 1.1.23: Unterjährige Verzinsung. 15000 € sind zu 5% pro Jahr angelegt. Die Verzinsung wird quartalweise durchgeführt. Wie groß ist der Betrag nach 10 Jahren. ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

n  10

Jahre

€ 1

Einheitendefinition

K0  15000 ˜ €

Anfangskapital

p 5˜ %

Zinsfuß (p/m % ... relativer Zinsfuß)

p § · ¨ 4 Kn  K0 ˜ ¨ 1  100 ˜ % ¹ ©

4˜n

K10

verzinstes Kapital nach 10 Jahren

24654.292 €

Beispiel 1.1.24: 32000 € sind in 5 Jahren durch ganzjährige Zinseszinsen auf 38006 € angewachsen. Wie groß ist der Zinsfuß p ? ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

€ 1

Einheitendefinition

n 5

Jahre

K0  32000 ˜ €

Anfangskapital

K5  38006 ˜ €

Kapital nach 5 Jahren

§ ©

Kn = K0 ˜ ¨ 1  n

r

n

· n = K0 ˜ r 100 ˜ % ¹

Kn K0

p

r

1.035

Bildungsgesetz für die Kapitalfolge

p  ( r  1)

p

3.5 %

Zinsfuß

Beispiel 1.1.25: Eine Maschine wir zu einem Preis von R 0 = 70000 € angeschafft Die Nutzungsdauer betrage 7 Jahre, wobei mit einem Schrottwert von 4000 € gerechnet wird (vergleiche Bsp. 1.17). Bei der sogenannten geometrisch-degressiven Abschreibung werden im jeden Jahr gleichbleibend p% vom jeweiligen Restwert abgeschrieben. Bestimmen Sie die Folge der Restwerte. ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

€ 1

Einheitendefinition

n  1  7

Bereichsvariable

Seite 18

Folgen, Reihen und Grenzwerte

R0  70000 ˜ €

Anschaffungskosten (0-ter Restwert)

R7  4000 ˜ €

Schrottwert im 7. Jahr

n ... Nutzungsdauer in Jahren R1 = R0 - A1 = R0 - R0 p = R0 (1 - p)

A1 ... Abschreibung nach dem 1. Jahr

R2 = R1 - A2 = R1 - R1 p = R1 (1 - p) = R0 (1 - p)2 A2 ... Abschreibung nach dem 2. Jahr ------------------------------Rn = Rn-1 - An = R0 (1 - p)n

An ... Abschreibung nach dem n. Jahr

Nach unserer Annahme gilt also auch für den Abschreibungsbetrag: An = R0 p (1 - p) n-1 R7 = R0 ˜ ( 1  p)

7

Restwert im 7 Jahr

R7 = R0 ˜ ( 1  p)

7

Daraus folgt:

7

p 1 

R7

p

R0

33.561 %

Die jährliche Abschreibung beträgt somit ca. 34 % Rn  R0 ˜ ( 1  p)

n

Restwertfolge

R geometrisch-degressive Abschreibung

€

8 0

7

0

70000

1

46507.305

R0

6

2

30898.992

10000˜€

5

3

20528.984

Rn

4

4

13639.253

10000˜€

3

5

9061.784

6

6020.56

7

4000

2 1 1

0

1

2

3

4

0 n Jahre

Abb. 1.1.13

Seite 19

5

6

7

8

Folgen, Reihen und Grenzwerte

1.2 Reihen Werden die Glieder einer endlichen Zahlenfolge < a 1 , a2 , a3 , ... an > aufsummiert, so entsteht eine endliche Reihe mit n-Gliedern: n

¦

a1  a2  a3  ....  an =

k

ak

(1-16)

1

Werden die Glieder einer unendlichen Zahlenfolge < a1 , a2 , a3 , ... an, ... > aufsummiert, so entsteht eine unendliche Reihe mit unendlich vielen Gliedern: f

a1  a2  a3  ....  an  .... =

¦ k

ak

(1-17)

1

Werden die ersten n-Glieder einer Folge addiert, so heißt diese Summe n-te Partialsumme (Teilsumme) der zugehörigen Reihe: s1 = a1

1.Partialsumme

s2 = a1  a2

2.Partialsumme

s3 = a1  a2  a3

3.Partialsumme

-------------------------------------------------------------------------sn = a1  a2  a3  ....  an n-te Partialsumme

(1-18)

sn heißt Summenwert einer aus n-Gliedern bestehenden Reihe. < s1 , s2 , s3 , ... sn > endliche Partialsummenfolge < s1 , s2 , s3 , ... sn, ... > unendliche Partialsummenfolge

(1-19) (1-20)

1.2.1 Arithmetische endliche Reihen Durch Aufsummieren der Folgeglieder einer endlichen arithmetischen Folge < a1 , a1 + d, a2 + d, a3 + d, ... , an + (n - 1) d > erhalten wir eine endliche arithmetischen Reihe:





n



s n = a1  a1  d  a1  2 ˜ d  ....  a1  ( n  1) ˜ d =

¦ k

ª¬ a1  ( k  1) ˜ dº¼

(1-21)

1

Der Wert der Summe s n ergibt sich aus folgender Addition: sn = a1 + (a1 +d) + (a1 +2d) + ... + a1 + (n - 1) d sn = a1 + (n - 1) d + a1 + (n - 2) d + a1 + (n - 3) d + ... + a1 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2 sn = (2 a1 + (n - 1) d) + (2 a1 + (n - 1) d) + (2 a1 + (n - 1) d) + ... + (2 a1 + (n - 1) d) Daraus folgt der Summenwert: 2 sn = n (2 a1 + (n - 1) d) sn = sn =

n 2 n 2

˜ ª¬ 2 ˜ a1  ( n  1) ˜ dº¼ bzw. ˜ ª¬ a1  a1  ( n  1) ˜ dº¼ =

n 2

(1-22)



˜ a1  an

Seite 20



(1-23)

Folgen, Reihen und Grenzwerte

Beispiel 1.2.1: Berechnen Sie die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis n. n n

Redefinition von n n

1

¦

sn =

k

1

2

n

1

k o s n = ˜ ( n  1)  ˜ n  2 2 2

sn =

1

k

n  100 sn =

1 2

¦

1 k faktor o s n = ˜ n ˜ ( n  1) 2

1

gewähltes n

˜ n ˜ ( n  1) o s n = 5050

Summenwert

Beispiel 1.2.2: Berechnen Sie die Summe der ersten n ungeraden natürlichen Zahlen. n n

Redefinition n

¦

sn =

k

n

2

( 2 ˜ k  1) o s n = ( n  1)  2 ˜ n  1

sn =

1

¦ k

2

( 2 ˜ k  1) vereinfachen o s n = n

1

Beispiel 1.2.3: Berechnen Sie die Summe der ersten n geraden natürlichen Zahlen. n

¦

sn =

k

n

2

( 2 ˜ k ) o s n = ( n  1)  n  1

sn =

1

¦ k

( 2k ) faktor o s n = n ˜ ( n  1)

1

Beispiel 1.2.4: Drei Zahlen bilden eine arithmetische Folge. Ihre Summe ist 27 und ihr Produkt 585. Wie heißen diese Zahlen ? d d

Redefinition

a2  d  a2  a2  d = 27 a2  d ˜ a2 ˜ a2  d = 585

Gleichungssystem

-------------------------------------------Aus der ersten Gleichung folgt:

a2  d  a2  a2  d = 27 auflösen  a2

o9

a2  9

Folgeglied a2

Aus der zweiten Gleichung folgt:

a2  d ˜ a2 ˜ a2  d = 585 auflösen  d a1 = 5

a2 = 9

a3 = 13

oder

o

§4 · ¨ © 4 ¹

a1 = 13

a2 = 9

Seite 21

a3 = 5

gesuchte Folgeglieder

Folgen, Reihen und Grenzwerte

Beispiel 1.2.5: Auf einer trapezförmigen schrägen Dachfläche liegen in der obersten Reihe 50 Ziegel. In der zweiten Reihe liegen 54 und in der letzten Reihe 102 Ziegel. Wie viele Ziegel liegen auf dieser Dachfläche, wenn die Anzahl der Ziegel pro Reihe eine arithmetische Folge bilden ? ORIGIN  1 an = a1  ( n  1) ˜ d

Bildungsgesetz einer arithmetischen Folge

a1  50

an  102

a2  54

102 = 50  ( n  1) ˜ 4



n

s 14 

hat als Lösung(en)



˜ a1  an

2

s 14

d = a2  a1

d=4

Anzahl der Reihen

14

n  14

1064 Ziegel liegen auf der Dachfläche

1064

1.2.2 Geometrische endliche Reihen Durch Aufsummieren der Folgeglieder einer geometrischen Folge < a1 , a2 q , a3 q 2 , ... , an qn-1 > erhalten wir eine endliche geometrische Reihe: n 1

2

s n = a1  a1 ˜ q  a1 ˜ q  ....  a1 ˜ q

n

§ a1 ˜ qk1· © ¹

¦

=

k

(1-24)

1

Der Wert der Summe s n ergibt sich aus folgender Multiplikation von (1-24) mit q und Subtraktion: sn q

=

+ a1 q2

+ a1 q

+ ... + a1 q n - 1

+ a1 qn

sn = a1 + a1 q + a1 q2 + ... a1 qn -1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------sn q - sn = a1 q n - a1 Ÿ sn (q - 1) = a1 (qn - 1) Daraus folgt der Summenwert: n

s n = a1 ˜

q 1 q1

n

= a1 ˜

1q

1 q

für q z 1

(1-25)

Beispiel 1.2.6: Berechnen Sie die Summe der ersten n Zweierpotenzen, und beweisen Sie das Ergebnis mithilfe der vollständigen Induktion (Induktionsbeweis). n n

Redefinition n 1

sn =

¦

k

k

n

2 o sn = 2  1

0

Seite 22

Folgen, Reihen und Grenzwerte

Induktionsbeweis: Für alle n ² gilt: Aussage: A(1), A(2), A(3), ... Annahme: für alle n ² gilt auch A(n) Behauptung: gilt auch für A(n+1) 0

1

A(1):

s1 = 2 = 1 = 2  1

A(2):

s2 = 2  2 = 3 = 2  1

0

1

2

0

1

2

0

1

2

3

A(3): s3 = 2  2  2 = 7 = 2  1 ---------------------------------------------------------------------n1

A(n):

s n = 2  2  2  ....  2

A(n+1):

s n1 = 2  2  2  ....  2

0

1

n1

2

n

=2 1 n1

n

2 =2

1

 n

n

n 1

2  1 2 =2

1

w.z.b.w. (q.e.d.)

Beispiel 1.2.7: Berechnen Sie die Summe der ersten n Potenzen einer reellen Zahl x. n 1

sn =

¦

k

n

x

k

n 1

1

x o sn =  x 1 x 1

sn =

0

¦

k

k

n

x 1

x faktor o s n = x 1

x z1

0

Beispiel 1.2.8: a) Zu jedem Jahresbeginn wird ein Betrag R = 2000 € auf ein Rentenkonto eingezahlt und dort mit p = 5% verzinst. b) Zu jedem Jahresende wird ein Betrag R = 2000 € auf ein Rentenkonto eingezahlt und dort mit p = 5% verzinst. Bestimmen Sie den Wert dieser Rente (vorschüssiger Rentenendwert E 20 bzw. nachschüssiger Rentenendwert E 20) am Ende bzw. am Anfang des 20. Jahres und jeweils den Rentenbarwert B20. a) Die erste Einzahlung wird 20 Jahre die zweite 19 Jahre, ..., die letzte Einzahlung 1 Jahr verzinst. Wir setzen q = 1+p. 20

E20 = R ˜ q

19

 R˜ q

p  0.05

18

 R˜ q

 19  q18  q17  ....  R ˜ q  1

2

 ....  R ˜ q  R ˜ q = R ˜ q ˜ q



Zinsen

Geometrische Reihe mit n = 20 Gliedern! q 1  p € 1

Einheitendefinition

R  2000 ˜ €

Einzahlung zu Jahresbeginn 20

E20  R ˜ q ˜

q

1

q1

E20

69438.504 €

vorschüssiger Rentenendwert

Seite 23

Folgen, Reihen und Grenzwerte

E20

B20 

B20

20

Rentenbarwert (abzinsen des Rentenendwertes)

26170.642

q

b) Die erste Einzahlung erfolgt erst am Ende des ersten Jahres und wird daher nur 19 Jahre verzinst usw. Wir setzen wieder q = 1+p. 19

E20 = R ˜ q

20

E20  R ˜

q

18

 R˜ q 1

q 1

E20

B20 

20

2

 19  q18  q17  ....  R ˜ q  1

 ....  R ˜ q  R = R ˜ q

E20

66131.908 €

nachschüssiger Rentenendwert

B20

24924.421

Rentenbarwert (abzinsen des Rentenendwertes)

q

Beispiel 1.2.9: Sie nehmen einen Kredit von K 0 = 20000 € bei einem jährlichen Zinssatz p = 7% auf. Für die Rückzahlung wird vereinbart, dass Sie 5000 € nach dem ersten Jahr, 4000 € nach dem zweiten Jahr, 6000 € nach dem dritten Jahr zurückzahlen. Der Rest soll am Ende des vierten Jahres zurückgezahlt werden. Wie hoch ist dieser Restbetrag ? Das sogenannte Äquivalenzprinzip besagt, dass Kapitalien nur miteinander verglichen werden können, wenn Sie auf den gleichen Zeitpunkt bezogen werden. Wir müssen also hier den Wert aller Zahlungen auf einen einzigen Zeitpunkt bestimmen. Eine jährliche Rückzahlung im k-ten Jahr wird auch Annuität A k genannt. Die Annuität muss einerseits die im k-ten Jahr anfallenden Zinsen Z k abdecken, andererseits vermindert sie die jeweilige noch bestehende Restschuld. Diese Restschuldminderung wird (Kapital-) Tilgung T k im k-ten Jahr genannt. A k = Zk + Tk. Wir beziehen alle Zahlungen auf das Ende des vierten Jahres:

ORIGIN  0

A  A1

p  0.07

Zinsen

q 1  p

Quotient

€ 1

Einheitendefinition

K0  20000 ˜ €

Kredit K0

T1  5000 ˜ €

Tilgung im 1. Jahr

T2  4000 ˜ €

Tilgung im 2. Jahr

T3  6000 ˜ €

Tilgung im 3. Jahr

4

K0 ˜ q

3

T1 ˜ q

2

T2 ˜ q

K  K1

ORIGIN festlegen und Redefinitionen

26215.92 €

Wert des Kredites

6125.215 €

Wert der Rückzahlung im 1. Jahr

4579.6 €

Wert der Rückzahlung im 2. Jahr

Seite 24

Folgen, Reihen und Grenzwerte

1

T3 ˜ q

Wert der Rückzahlung im 3. Jahr

6420 €

K0 ˜ q  §© T1 ˜ q  T2 ˜ q  T3 ˜ q 4

3

1·

2

¹

fällige Restschuld am Ende des 4. Jahres

9091.105 €

Unter der Annahme von jährlichen und gleichbleibenden Ratenzahlungen A (Annuitäten) und nachschüssiger Rückzahlung (d.h. die erste Rückzahlung erfolgt ein Jahr nach der Kreditvergabe) und die weiteren Rückzahlungen erfolgen in Jahresabständen gilt: Der Endwert der Schuld muss gleich dem Endwert eines nachschüssigen Rentenvorganges sein. n

n

K0 ˜ q = A ˜

q 1

n

Ak = K0 ˜ q ˜ n 4

hat als Lösung(en)

q 1 ( q  1)

n

K0 ˜ q ˜

( q  1)

qn  1

Annuität für die Rückzahlung einer Schuld K 0 in n Jahren

qn  1

k  0  n  1

Jahre

p  0.07

Zinsen

q 1  p € 1

Einheitendefinition

K0  20000 ˜ €

Kredit K0

n

Ak  K0 ˜ q ˜

( q  1)

Annuität für die Rückzahlung einer Schuld K 0 in n Jahren

qn  1

Z0  K0 ˜ p

A0

5904.562 €

T0  A0  Z0

S0  K0  T0

K1  S0

Z1  K1 ˜ p

A1

5904.562 €

T1  A1  Z1

S1  K1  T1

K2  S1

Z2  K2 ˜ p

A2

5904.562 €

T2  A2  Z2

S2  K2  T2

K3  S2

Z3  K3 ˜ p

A3

5904.562 €

T3  A3  Z3

S3  K3  K3

Tilgungsplan: Schuld am Jahresanfang

Zinsen

Annuität

Tilgung

Schuld

K

Z

Ak

T

S

0

0

0

0

0

0

20000

0

1400

0

5904.562

0

4504.562

0

15495.438

1

15495.438

1

1084.681

1

5904.562

1

4819.882

1

10675.556

2

10675.556

2

747.289

2

5904.562

2

5157.273

2

5518.283

3

5518.283

3

386.28

3

5904.562

3

5518.283

3

0

Seite 25

Folgen, Reihen und Grenzwerte

1.3 Grenzwerte von unendlichen Folgen Zuerst sollen einige Beispiele untersucht werden, wie sich Folgeglieder einer unendlichen Folge verhalten, wenn wir den Index immer weiter erhöhen: < an> = < 1/n > = < 1, 1/2, 1/3, 1/4, ..., 1/n, ... > Die Glieder der Folge streben mit wachsendem n gegen einen bestimmten Wert, nämlich gegen 0. Wir sagen, die Folge konvergiert gegen 0 oder die Folge hat den Grenzwert 0. Solche Folgen mit Grenzwert 0 heißen Nullfolgen. < an> = < n > = < 1, 2, 3, 4, ..., n, ... > Die Glieder dieser Folge werden unbegrenzt groß . Wir sagen, die Folge ist divergent bzw. die Folge besitzt keinen Grenzwert oder die Folge besitzt den uneigentlichen Grenzwert " f". Definition: Eine unendliche Folge an!= a1 , a2 , a3 , ... !heißt konvergent gegen den Grenzwert a , wenn folgendes gilt: Zu jedem H > 0 gibt es eine Zahl N  ² , so dass für alle n > N gilt: | an - a| < H(1-26) Das heißt, in jeder beliebig kleinen H-Umgebung von a liegen alle bis auf endlich viele Folgeglieder. Wenn eine Folge a n gegen a konvergiert schreiben wir: lim nof

an = a

(1-27)

Der limes (lat. Grenze) für n gegen unendlich von an ist gleich a,

Beispiel 1.3.1: ORIGIN  1 an  1 

lim nof

n  1  20

ORIGIN und Bereichsvariable festlegen

1

allgemeines Folgeglied

n

§1  1 · o 1 ¨ n¹ ©

an  1  H

a 1 H

Grenzwert der Folge (a = 1) H-Umgebung von a = 1 (Abstand des Folgegliedes a n von 1)

1 10

Für H = 1/ 10 gilt:

|an - 1| = | 1 - 1/n - 1 | = 1/n < H,daher ist n > 10.

2

n1 ( a) 

n m 20 for k  1  n

aH

N m k  1 if

1

a

n1 ( a)

aH

11

Fast alle an liegen in dem

an

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021

1

Streifen a rH (HUmgebung von a = 1), nämlich ab n = 11. Abb. 1.3.1

n

Seite 26

ak  a t H

Folgen, Reihen und Grenzwerte

Bei der Grenzwertberechnung können unbestimmte Ausdrücke folgender Form auftreten: 0 f 0 0 f  0˜ ff  f0 f 1 . 0 f Sätze über Folgen: 1. Jede beschränkte und monotone Folge ist konvergent. 2. Jede konvergente Folge ist beschränkt. 3. Jede nicht beschränkte Folge ist divergent. 4. Eine konvergente bzw. divergente Folge bleibt konvergent bzw. divergent, wenn endlich viele Glieder abgeändert werden. 5. Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist eindeutig bestimmt, d.h. die Folge besitzt höchstens einen Grenzwert. Aus

an = a und

lim nof

lim

6.

nof

lim

7.

nof

lim

8.

nof

c ˜ an

=c˜

an  bn an ˜ bn

=

lim nof

=

lim nof

lim

9.

=

n o f bn

lim

10.

nof

lim nof

n

q

bn = b folgt:

an = c ˜ a

lim nof

lim an

lim nof

an  an ˜

c 

lim nof

lim nof

(1-28)

bn = a  b (gilt auch für die Subtraktion)

bn = a ˜ b

(1-29) (1-30)

an = bn

a

(alle bn z 0 ; a,b , b z0)

b

= 0 für |q| < 1 oder 1 für q = 1 oder "f" für q > 1

(1-31)

(1-32)

nof

Kein Grenzwert für q d-1! 1

11.

lim

n

q =

nof

lim

q

n

= 0 für q = 0 oder 1 für q > 1

(1-33)

nof

Beispiel 1.3.2: Berechnen Sie folgende Grenzwerte mit Mathcad und händisch unter Anwendung der Grenzwertsätze: lim

7

nof n

lim nof

lim nof

o0

§3  2  5 · o 3 ¨ 2 n n ¹ © ª§ n  1 ·  § n  1 ·º o 1 «¨ ¨ » 2 ¬© n ¹ © 2 ˜ n ¹¼

Nullfolge

3 

lim

lim

nof n

nof

n 1

lim nof

n 1

lim nof

2





lim

1

Seite 27

n 1

1 

lim nof

5

n o f n2

n o f 2˜ n

1 n

lim

2

=3

=

1 n

=

1 2

Division von Zähler und Nenner durch n

Folgen, Reihen und Grenzwerte

Beispiel 1.3.3: Berechnen Sie folgende Grenzwerte mit Mathcad und händisch unter Anwendung der vorher genannten Grenzwertsätze:

2

3˜ n  2˜ n  5

lim

n o f 5 ˜ n2  7 ˜ n  1

3

o

3

2

3˜ n  2˜ n  5

lim

n o f 5 ˜ n2  7 ˜ n  1

5

=

2 n



lim

5 2

n

nof 5 7  1 2 n

n

3˜

lim

n2 n 1

nof

o3

3˜

lim

n2 n 1

nof

3 =

2 n

lim nof 1

1

=3

n lim nof

§1  ¨ ©

1·

n

1

o exp ( 1)

n¹

exp ( 1) = e = e

Beispiel 1.3.4: Berechnen Sie das Endkapital bei stetiger Verzinsung (augenblickliche Verzinsung) eines Kapitals K0 = 2000 € . Der Jahreszinsfuß beträgt 3 %. € 1

Währungseinheit

p  0.03

Jahreszinsen

K0  2000 ˜ €

Anfangskapital Jahr

p· § K  K0 ˜ ¨ 1  m¹ ©

m

m 1

m

Monate

p· § K  K0 ˜ ¨ 1  m¹ ©

m

Tage

p· § K  K0 ˜ ¨ 1  m¹ ©

m  12

m  360

Lassen wir m über alle Grenzen wachsen und setzen p/m = 1/n, so gilt: m

p· 1· § § K = K0 ˜ ¨ 1  = K0 ˜ ¨ 1  m¹ n¹ © ©

K=

lim nof

p ª n º ª§ « 1· º » « K0 ˜ «¨ 1  n » » ¬ ¬© ¹¼ ¼

K  K0 ˜ exp ( p)

K

n˜p

n ª§ 1· º « » = K0 ˜ ¨ 1  n¹ ¼ ¬©

ergibt

p

K = exp ( p) ˜ K0

2060.909 €

Seite 28

K

2060 €

K

2060.832 €

K

2060.906 €

=

3 5

Folgen, Reihen und Grenzwerte

1.4 Grenzwerte von unendlichen Reihen Genau dann, wenn die Partialsummenfolge < s 1 , s2 , s3 , ... sn, ... > konvergiert, d.h. den Grenzwert s hat, wird dieser Reihe s als Wert zugeschrieben. Wir sagen: Die Reihe konvergiert und hat die Summe s (s ). f

¦

s = a1  a2  a3  ....  an  .... =

k

ak

(1-34)

1

Sätze über Reihen: f

1. Eine unendliche Reihe

¦ k

ak heißt konvergent, wenn ihre Partialsummenfolge

1

< sn > konvergiert. Den Grenzwert s der Partialsummenfolge bezeichnen wir als Summe der Reihe: f

¦

s = a1  a2  a3  ....  an  .... =

k

n

ak =

lim nof

1

sn =

¦

lim nof

k

ak

(1-35)

1

Divergiert dagegen die Folge der Partialsummen der gegebenen Reihe, so heißt diese divergent. Sie hat keinen endlichen Summenwert ! 2. Die Summe einer konvergenten Reihe ist eindeutig bestimmt. 3. Eine konvergente bzw. divergente Reihe bleibt konvergent bzw. divergent, wenn endlich viele Glieder abgeändert werden. f

4. Konvergiert

¦ k f

k

¦

ak gegen s, so konvergiert auch

1

k f

¦

Divergiert

f

ak , so divergiert auch

1

¦ k

c ˜ ak

gegen c s (c ).

(1-36)

1

c ˜ ak .

(1-37)

1

f

5. Konvergiert

¦ k

ak , dann gilt

lim

an = 0 (die Umkehrung gilt nicht !).

(1-38)

ak divergent (die Umkehrung gilt nicht !).

(1-39)

nof

1 f

lim

6. Gilt

nof

an z 0 , so ist

¦ k

1

Beispiel 1.4.1: ORIGIN  0

FRAME

nmax  5  FRAME

Anzahl der Folgeglieder

n  1  nmax

Bereichsvariable

an 

0

Animation mit FRAME von 0 bis 15 und 1 Bild/s

f

1 2

gegebene Folge

2˜ n

S0  0

ORIGIN festlegen und Animationsparameter

¦ n

Sn  Sn 1  an

1

2 1 2˜ n

o

1 12

˜S

2

0.822

n-te Partialsummenfolge (Rekursiv)

Seite 29

Summenwert der Reihe

Folgen, Reihen und Grenzwerte

Summe  S

n max

n

an 0

0.8

an 0

0.3

an

0.2

0

2

4

Sn 0

0

0

1

0

0.5

0

0.5

1

2

1

0.125

1

0.625

2

3

2

0.056

2

0.681

3

4

3

0.031

3

0.712

4

5

4

0.02

4

0.732

6

Abb. 1.4.1

n Summe 0.8 Sn Sn  1

0.3

Sn 0

2

4

6

0.2

Abb. 1.4.2

n

Beispiel 1.4.2: Berechnen Sie die ersten 64 Partialsummen der folgenden Reihe durch Iteration und berechnen Sie die Summe der Reihe: ORIGIN  1 f

¦ n

1

gegebene Reihe

n

1

n  1  64

Bereichsvariable

s1  1

Iterationsbeginn festlegen (Startwert)

sn1  sn 

1 n1

Partialsumme rekursiv definiert

Seite 30

Folgen, Reihen und Grenzwerte

n

sn

Die ersten 64 Partialsummen

1

1

2

1.5

3

1.833

4

2.083

5

2.283

6

2.45

7

2.593

8

2.718

9

2.829

10

2.929

Daraus lässt sich bestenfalls eine gewisse Tendenz ableiten s4

2.083

s8

s4 ! 2

2.718

s8 ! 2.5

s16

3.381

s16 ! 3.3

s64

4.744

s64 ! 4

Die Partialsummenfolge ist nicht beschränkt und divergiert. f

¦ n

1

of

n

Die Reihe ist divergent!

1

Beispiel 1.4.3: Berechnen sie den Summenwert folgender Reihe numerisch und symbolisch: f

1

¦ n

=

n ˜ ( n  1)

1 2



1 6



1 12



1 20

1



30

 ....

1 f

100000

1

¦

n

n ˜ ( n  1)

o

100000 100001

0.999990000099999

¦ n

1

1 n ˜ ( n  1)

ergibt

1

1

Beispiel 1.4.4: Berechnen sie den Summenwert folgender Reihe numerisch und symbolisch: 100000

1

¦

n

n ˜ ( n  1) ˜ ( n  2)

f

0.249999999950002

1

¦ n

1 n ˜ ( n  1) ˜ ( n  2)

ergibt

1 4

1

Beispiel 1.4.5: Berechnen sie den Summenwert folgender Reihe numerisch und symbolisch: 1 2

2





2

2

3 3

 ..

2

10

¦ n

n n

f

1.98828125

1 2

¦

n n

o2

1 2

n

Beispiel 1.4.6: Berechnen sie den Summenwert folgender Reihe numerisch: 2

2

1

2

100

¦ n

2



3

3

 .. f

2

n

n

¦

5.43656365691809

1

n

Seite 31

1

2

n

n

o 2 ˜ exp ( 1)

5.43656365691809

Folgen, Reihen und Grenzwerte

Beispiel 1.4.7: Berechnen sie den Summenwert folgender Reihe numerisch und symbolisch: 1 1˜ 3



1 3˜ 5



1

1000

f

1

¦

n

 ..

5˜ 7

( 2 ˜ n  1) ˜ ( 2 ˜ n  1)

1

¦

0.499750124937531

1

n

( 2 ˜ n  1) ˜ ( 2 ˜ n  1)

o

1 2

1

Die geometrische unendliche Reihe ( a1 = a): n 1

2

a  a ˜ q  a ˜ q  ....  a ˜ q

f

 .... =

k 1 ¦ a ˜ q k

(1-40)

1

Die n-te Partialsumme 2

n 1

2

n 1

s n = a  a ˜ q  a ˜ q  ....  a ˜ q

(1-41)

hat den Summenwert sn = a  a ˜ q  a ˜ q  ....  a ˜ q

n

= a˜

1q

1q

=

a 1q



a 1q

n

˜q .

(1-42)

1. Fall q > 1 lim nof

sn =

lim nof

§ a  a ˜ qn· = f (Satz 10 über Folgen). ¨ ©1  q 1  q ¹

(1-43)

2. Fall q = -1 lim nof

s n existiert nicht (Satz 10 über Folgen).

(1-44)

3. Fall |q| < 1 lim nof

sn =

lim nof

§ a  a ˜ qn· = a ¨ 1 q ©1  q 1  q ¹

(1-45)

Also eine geometrische Reihe ist genau dann konvergent, wenn |q| < 1 gilt ! a . Ihre Summe ist also s = 1q

Beispiel 1.4.8: f

¦ k

1

a 1

§ 1· ¨ © 2¹

k 1

=1

q

1 2

1 2



1 4



1 8 s



1 16

 .....

a 1 q

gegebene geometrische Reihe

s

2

Faktoren und Summenwert

nmax  5  FRAME

Animation für FRAME von 0 bis 15 mit 1 Bild/s

n  1  nmax  1

Bereichsvariable

nu  1  3  nmax

Bereichsvariable (ungerade Zahlen)

Seite 32

Folgen, Reihen und Grenzwerte

¦ ª¬a ˜ q

n

s ( q  a  i)  ( 0 d i) 



˜ ( n d i)º¼

Summe  s q  a  nmax



n

Partialsummen 2.5

Summe

Summe s( q  a  nu 2)

§ nmax ·  1¹ ©q s1  a ˜ ( q  1)

2

s( q  a  nu 1) s( q  a  nu 1)

1.9375

1.5

s( q  a  nu)

s1

s( q  a  nu 1)

1.938

1

s( q  a  nu) 0.5

1

0

1

2

3

4

5

6

Abb. 1.4.3

nu 1  nu 1  nu  nu  nu 1  nu

Auswertung als Grenzwert mit der Summenformel und direkte Berechnung der Reihe:

lim nmax o f

ª« § nmax · »º  1¹ ©q « a ˜ ( q  1) » o 2 ¬ ¼

Summe 

f

a

Summe

1 q

k 1 ¦ a ˜ q vereinfachen

2

k

o2

1

Berechnung des Summenwertes mithilfe der Partialsummenfolge: s1 = 1 s 2 = 1 + 1/2 = 3/2

Partialsummenfolge

-------------------------n

§ 1·  1 ¨ ª § 1 · nº © 2¹ » sn = 1 ˜ = 2 ˜ «1  ¨ 2¹ ¼ 1 ¬ © 1

lim nof

ª ª § 1 · nº º «2 ˜ «1  ¨ »» = ¬ ¬ © 2 ¹ ¼¼

lim nof

2

ª2 ˜ § 1  1 ·º = 2 « ¨ n » 2 ¹¼ ¬ ©

Beispiel 1.4.9: f

¦ k

1

§ 1 · ¨ © 2¹

k 1

=1

1 2



1 4



1 8



1 16

 .....

gegebene alternierende geometrische Reihe

ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

nmax  5  FRAME

Anzahl der Folgeglieder (FRAME von 0 bis 15 und 1 Bild/s)

n  1  nmax

Bereichsvariable

a0  1

q  n 1

an  a0 q

1

Anfangsglied und Quotient

2

s

geometrische Folge

Seite 33

a1 1 q

so

1 3

Summenwert der Reihe

Folgen, Reihen und Grenzwerte

S0  0

Sn  Sn 1  an

Summe  S

n-te Partialsumme (rekursiv definiert)

Partialsummen

n max

nu  1  3  nmax

Bereichsvariable (ungerade)

ng  2  4  nmax

Bereichsvariable (gerade) an

Sn 0

ang

0.8

0

0

1

0

1

1

-0.5

1

0.5

anu

2

0.25

2

0.75

0

3

-0.125

3

0.625

4

0.0625

4

0.6875

0.3

ang 0

0

2

4

6

0.2

anu 0.7

Abb. 1.4.4 ng  nu  ng  ng  nu  nu

Sng

Summe

Summe

0.8

Snu

0.688

Sng 1 Sng 0.3

Snu 1 Snu

0

2

4

6

Abb. 1.4.5

0.2 ng  nu  ng  ng  nu  nu

Endliche geometrische Reihe: n max

s n  a0 ˜

1q

1 q

sn

0.688

numerische Auswertung

Unendliche geometrische Reihe:

s

a0 1 q

f

s

0.667

¦ k

1

§ 1 · ¨ © 2¹

Seite 34

k 1

o

2 3

numerische und symbolische Auswertung

Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit

2. Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit 2.1 Grenzwert einer reellen Funktion Der Begriff des Grenzwertes einer reellen Funktion mit der Funktionsgleichung y = f(x) kann auf den Begriff des Grenzwertes einer Folge zurückgeführt werden . Dazu lassen wir die unabhängige Variable x eine gegen x0 konvergierende Zahlenfolge < x n >, die Abszissenfolge, durchlaufen und betrachten die Ordinatenfolge < y n = f(xn > der zu xi gehörigen Funktionswerte f(x i). Die Annäherung x o x0 bedeutet, dass x nacheinander die Werte jeder beliebigen gegen x 0 konvergierenden Folge < xn > annehmen kann. Bei x o x0 + wird zusätzlich verlangt, dass alle xn > x0 , bei x o x0 - alle x n < x0 sind. Definition: a) Eine reelle Funktion y = f(x) sei in einem die Stelle x 0 enthaltenen, offenen Intervall (einer Umgebung von x 0 ), nicht notwendigerweise an der Stelle x 0 selbst, definiert. Weiters kann dort < xn > jede beliebige Folge sein, die gegen x 0 konvergiert ( xn z x0 ). Konvergieren alle Folgen < y n = f(xn) > der Funktionswerte gegen den gleichen Grenzwert G , so heißt G Grenzwert der Funktion y = f(x) an der Stelle x 0 . Wir schreiben dafür: lim

f ( x) = G

(2-1)

x o x0

b) Ist < xn > eine beliebige von rechts nach x 0 konvergierende Folge, und konvergiert dabei die Folge < yn = f(xn) > stets gegen den Grenzwert G r, so heißt Gr rechtsseitiger Grenzwert der Funktion y = f(x) an der Stelle x 0 . Wir schreiben dafür: lim f ( x) = Gr  x o x0

(2-2)

c) Ist < xn > eine beliebige von links nach x 0 konvergierende Folge, und konvergiert dabei die Folge < yn = f(xn) > stets gegen den Grenzwert G L, so heißt GL linksseitiger Grenzwert der Funktion y = f(x) an der Stelle x 0 . Wir schreiben dafür: lim f ( x) = GL  x o x0

(2-3)

d) Existieren der rechtsseitige und linksseitige Grenzwert an der Stelle x 0 , und stimmen diese überein, so existiert auch der Grenzwert der Funktion y = f(x) an der Stelle x 0 . Es gilt auch die Umkehrung. e) Werden die Funktionswerte f(x n) für jede gegen x 0 konvergierende Folge < xn > beliebig groß oder klein, so schreiben wir: lim x o x0

f ( x) = f

bzw.

lim

f ( x) = f .

(2-4)

x o x0

Dieser Grenzwert wird uneigentlicher Grenzwert der Funktion genannt. Entsprechendes gilt auch für den rechts- bzw. linksseitigen Grenzwert der Funktion an der Stelle x0 . In all diesen Fällen heißt x 0 Unendlichkeitsstelle oder Polstelle der Funktion.

Seite 35

Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit

Beispiel 2.1.1: Wir betrachten zwei Abszissenfolgen < x n > der Funktion f: y = x 2 , die den Grenzwert x 0 zustreben und die zugehörigen Ordinatenfolgen < y n = f(xn ) > : ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

n  1  100

Bereichsvariable

x1 n  2 

1

x2 n  2 

n

T

1

x1

2

1

1

T

1

x2

1

nof

y1n 

1·

§2  ¨ ©

lim

T

n¹

lim nof

4

x2n 2

2.25

3.063

2

2.778

4

1.9

1.917

8

1.857

6

1.875

7

8

1.929

1.938

§2  1 · o 2 ¨ 2 ˜ n¹ ©

5

3.063

3 3.361

7

1.833

4

2

lim nof

2

3.24 5

3.516

o4

6 3.361

3.516

7

3.674

§2  1 · ¨ 2 ˜ n¹ ©

8

3.449

6

3.61

x  0  0.001  2.5

Bereichsvariable

8

3.719

3.754

o4

6 4

9

10

3.568 9

2

10

3.781

1

lim 0.5

1

3.61

3.802

Funktion f: y = x2 mit x gegen 2. Er stimmt hier mit dem Funktionswert an der Stelle 2 überein.

3

0

1.95

Alle diese x-Folgen streben gegen 2 und die zugehörigen f(x)-Folgen gegen 4. 4 ist der Grenzwert G der

7

4

10

1.944

Grenzwerte der Folgen

8

y1

9

1.9

2

Funktionsgleichung

5

10

Grenzwerte der Folgen

7

f ( x)  x

f( x)

9 1.889

Ordinatenfolgen

3

2.25

6 1.8

5

1.875

lim

1

§2  1 · ¨ n¹ ©

5

1.75

3

2

1 1

1.833

y2n 

1 T

1.75

4

nof

1

y2

3 1.667

o2

x1n 2

y1

Abszissenfolgen

2˜ n

1.5

2 1.5

1

1.5

2

x  x1

Abb. 2.1.1

Seite 36

2.5

xo2

f ( x) o 4

Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit

Beispiel 2.1.2: Wir betrachten die Funktion f: y = 1 für x t0 und y = 0 für x < 0 . Untersuchen Sie den rechts- und linksseitigen Grenzwert mit x o 0. f ( x) =

1 if x t 0

= ) ( x)

Heavisidefunktion

0 otherwise x  5  5  0.1  5 2

Der rechts- und linksseitige Grenzwert stimmt hier nicht überein !

1 ) ( x) 6

4

2

0

2

4

lim ) ( x) o 1  xo0

6

lim ) ( x) o 0  xo0

1 x

Abb. 2.1.2 Beispiel 2.1.3: Untersuchen Sie die Funktion g: y =

g ( x) 

1 x 1 1 x 1

1 x 1

if x ! 1

Funktionsdefinition

if x  1

x  2  2  0.001  2

Bereichsvariable 10 8 6 4 2

g ( x)

2

, ob sie einen Grenzwert mit x o 1 besitzt.

1

2 4 6 8 10

1

0

Liefert jeweils an der Polstelle einen unbestimmten Grenzwert !

1

2

1 of  x 1 xo1 lim

1 o f  x 1 xo1 lim

x

Abb. 2.1.3

Seite 37

Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit

Bei der Grenzwertberechnung kommen verschiedene Methoden zur Anwendung. Es kann, wenn uneigentliche Grenzwerte (siehe Kapitel 1) vorkommen, vorteilhaft sein, Funktionsterme zu kürzen oder zu erweitern. Hilfreich können bei der Bestimmung von Grenzwerten auch einige Grenzwertsätze sein, die genau jenen für Folgen (siehe Kapitel 1) entsprechen. Ein sehr hilfreicher Satz zur Bestimmung von Grenzwerten ist der Satz von L' Hospital, der jedoch erst später besprochen wird. Grenzwertsätze für reelle Funktionen: lim

Existieren die Grenzwerte

f ( x) und

x o x0

( f ( x) r g ( x) ) =

lim

a)

lim

x o x0

( f ( x) ˜ g ( x) ) =

x o x0

lim

( c ˜ f ( x) ) = c ˜

lim

lim

g ( x)

(2-5)

f ( x) .

lim

g ( x)

(2-6)

x o x0

f ( x) mit c \ {0}

(2-7)

x o x0

lim lim

lim

g ( x) , dann gilt:

x o x0

x o x0

x o x0

c)

f ( x) r 

x o x0

lim

b)

lim x o x0

f ( x)

x o x0 g ( x)

=

f ( x)

x o x0

lim

mit

g ( x) z 0

lim

(2-8)

x o x0

g ( x)

x o x0

Beispiel 2.1.4: Untersuchen Sie folgende Grenzwerte mithilfe der Grenzwertsätze: x  5  5  0.001  5

lim x o 1.5

=

1.5  2

x o 1.5

 1.5

lim

1

xo3 x 3 5

xo3

1

xo3

=

lim

( x  3)

= "1/0"

Unbestimmter Ausdruck !

xo3

1  x 3

of

x

Abb. 2.1.5

lim x o 1.5

Anwendung des Grenzwertsatzes (2-8) ist unzulässig ! lim

10



§ 5 ˜ x  1  x· o 3.9285714285714285714 ¨ © x 2 ¹

1 0

( x  2)

3.929

lim 3

5

lim

Polstelle x = - 2 !

10

x 3

( 5 ˜ x  1)

lim x o 1.5

x o 1.5

5 ˜ 1.5  1

lim Abb. 2.1.4

§ 5 ˜ x  1  x· = ¨ © x 2 ¹

Polstelle x = 3 !

Seite 38

lim xo3

1  x 3

o f

=x

Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit

10

x  x 2

lim

2

x 2

xo2

2

xo2

=

lim

5

0

5

( x  2)

= "0/0"

xo2

x  x 2 x 2

x2  x  2

lim

2

Unbestimmter Ausdruck ! Anwendung des Grenzwertsatzes (2-8) ist unzulässig !

10

2

x  x 2 x

x 1

vereinfacht auf

x 2

Abb. 2.1.6 ( x  1) o 3

lim

Der Graph hat eine Lücke bei x = 2 !

xo2

lim

10

cos ( x)

lim

1

x 1

xo1

=

lim

5

0

5

= "cos(1)/0"

( x  1)

xo1

cos ( x) x 1

cos ( x)

xo1

Unbestimmter Ausdruck ! Anwendung des Grenzwertsatzes (2-8) ist unzulässig !

10

lim

x

xo1

Abb. 2.1.7

f ( x) 

cos ( x) 

of

x 1

lim xo1



x 1

o f

Polstelle x = 1 !

sin ( x)

gegebene Funktion (Oszillationsstelle bei x 1 = 0)

x

x1  0

Oszillationsstelle

x  10  10  0.01  10

Bereichsvariable lim 2

lim

sin ( x) x

x o x1

=

10

0

10

sin ( x)

xo0

lim

= "0/0" x

xo0

f( x) 1

cos ( x)

Unbestimmter Ausdruck ! Anwendung des Grenzwertsatzes (2-8) ist unzulässig !

2

lim x 0

f ( x) o 1

Grenzwert

x o x1

Abb. 2.1.8 lim f ( x) o 1  x o x1

linksseitiger Grenzwert

lim f ( x) o 1  x o x1

rechtsseitiger Grenzwert

Die Oszillationsstelle x = 0 kann durch die Definition f(0) = 1 geschlossen werden !

Seite 39

Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit

Beispiel 2.1.5: Werten Sie für die Fallgeschwindigkeit eines Körpers mit Luftwiderstand folgenden Grenzwert mit k gegen 0 aus:

§ ¨ ¨ lim ¨ m0 ˜ g ˜ ko0 © § ¨ ¨ lim ¨ m0 ˜ g1 ˜ ko0 ©

 2˜k˜s1

·

m0

¸

1e

1 1

ergibt

¹

k

 2˜k˜s1 m0

1e

· ¸ ¹

k

1

2

s 2 § 1· 2 2 ˜¨ ˜ m ˜g ¨© m0 ¹  0

1

annehmen  m0 ! 0

1

2

§ s1 · ¨ o 2 ˜ ˜ g1 annehmen  s 1 ! 0 © g1 ¹ 2

vereinfachen

§ ¨ ¨ lim ¨ m0 ˜ g1 ˜ ko0 ©

 2˜k˜s1 m0

1e k

·

1 1

¸

2

1

s 2 § 1· 2 vereinfachen o 2 ˜ ¨ ˜  m0 ˜ g1 ¨ ¹ © m0 ¹

Beispiel 2.1.6: Für die erzwungene Schwingung ist für den Resonanzfall folgender Grenzwert mit G gegen 0 auszuwerten:

lim G o0

ª e G˜t § G ·º « ˜ ¨ Z ˜ t  sin ( Z ˜ t)  G ˜ t ˜ cos ( Z ˜ t)  ˜ sin ( Z ˜ t) » ergibt « 2 © Z ¹»¼ ¬ Z

( Z ˜ t  sin ( Z ˜ t) ) Z

2

ª e G˜t § G ( Z ˜ t  sin ( Z ˜ t) ) ·º lim « ˜ ¨ Z ˜ t  sin ( Z ˜ t)  G ˜ t ˜ cos ( Z ˜ t)  ˜ sin ( Z ˜ t) » vereinfachen o « 2 » 2 Z © ¹¼ G o0 ¬ Z Z 2.2 Stetigkeit von reellen Funktionen Eine stetige Funktion ("nicht sprunghafte Funktion") ist - vereinfacht gesagt - dadurch gekennzeichnet, dass wir ihren Graph "in einem Zuge" zeichnen können. Definition: a) Eine Funktion f: y = f(x) heißt an der Stelle x 0 (x0 D) stetig, wenn dort Grenzwert und Funktionswert existieren und übereinstimmen. D.h. lim x o x0



f ( x) = G und G = f x0

(2-9)

Trifft auch nur eine der beiden Bedingungen nicht zu, so heißt die Funktion an der Stelle x 0 unstetig. b) Eine Funktion f heißt stetig, wenn sie an allen Stellen des Definitionsbereichs stetig ist.

Seite 40

Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit

Bemerkung: Existiert an einer Definitionslücke x0 der Grenzwert

lim

f ( x) = c (c ), so kann die Funktion

x o x0

durch die zusätzliche Definition f(x 0 ) = c stetig fortgesetzt werden. Die Lücke wird dadurch geschlossen (behebbare Unstetigkeitsstelle). Viele elementare Funktionen sind stetig. Auch die Summe, Produkt, Kehrwert und Verkettung (Hintereinanderausführung) von stetigen Funktionen führen wieder auf stetige Funktionen.

Beispiel 2.2.1: f ( x) 

x if 0 d x d 3

f1 ( x) = wenn [ ( 0 d x) ˜ ( x d 3)  x  wenn ( x ! 3  x  1  0) ]

oder

Funktion

x  1 if x ! 3 x1  3

x2  3.5 

'x  x2  x1

 

'y  f x2  f x1

'x

0.5

'y

0.5

FRAME

lim ( x  1) o 2  x o x1 lim x o x1



f x1



x o3

3

lim 'x o 0

lim 'x o 0

f x1  'x  f x1

35

mithilfe der Variablen FRAME definierter Parameter FRAME: 0 bis 15 mit 1 Bild/s x-Wert und y-Wert Differenz

rechtsseitiger Grenzwert

linksseitiger Grenzwert

Funktionswert Der Grenzwert sollte bei Stetigkeit 0 werden!

ª¬ x1  'x  1  x1º¼ o 1

x  0  0.01  5

Bereichsvariable

Seite 41

Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit

Stetigkeit 4

Linksseitiger Grenzwert

lim x o3x  1 x o x1

 f x1 'x

x2

f x1

3 y-Achse

f( x)

 f x2

Die Funktion f(x) ist an der Stelle x 1

f x1

2

lim ( x  1) o 2  x o x1 1

0

unstetig.

Rechtsseitiger Grenzwert

0

1

2

3

4

5

x  x1  x2 x-Achse

Abb. 2.2.1 Beispiel 2.2.2: Untersuchen Sie die Funktion f(x) = sign(x) (Vorzeichenfunktion) auf Stetigkeit. x  2  2  0.01  2

Bereichsvariable sign ( 0.1)

1

sign ( 0)

0

sign ( 0.1)

1

2

lim sign ( x) o 1  xo0

1 sign( x) sign( 0)

1

lim sign ( x) o 1  xo0

2

Die Funktion ist an der Stelle x 0 = 0 unstetig,

2

0

2

Liefert hier den falschen Wert!

sonst stetig ! x 0

Abb. 2.2.2 Beispiel 2.2.3: Untersuchen Sie die Funktion f(x) = V(x - a) = )(x - a) (allgemeine Heavisidefunktion) auf Stetigkeit. x  2  2  0.01  2

Bereichsvariable 2

) ( 1  1)

1 ) ( x 1 )

2

0

2

1

) ( 0.1  1)

lim ) ( x  1) o 1  xo1

0

lim ) ( x  1) o 0  xo1

1

Die Funktion ist an der Stelle x = 1 unstetig, sonst stetig !

2 x

Abb. 2.2.3

Seite 42

Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit

Beispiel 2.2.4: Untersuchen Sie die Funktion f(x) = )(x - a) - )(x - b) (Pulsfunktion) auf Stetigkeit. x  2  2  0.01  4

Bereichsvariable lim ( ) ( x  1)  ) ( x  2) ) o 1  xo1

2 1 ) ( x 1 )  ) ( x 2)

2

0

2

4

lim ( ) ( x  1)  ) ( x  2) ) o 0  xo1

1 2

Die Funktion ist an den Stellen x = 1 und x = 2 unstetig, sonst stetig !

x

Abb. 2.2.4 Beispiel 2.2.5: Untersuchen Sie die Funktion f(x) = ()(x) - )(x - S)) sin(x) (Fensterfunktion) auf Stetigkeit. f ( x)  ( ) ( x)  ) ( x  S ) ) ˜ sin ( x)

Funktionsgleichung

x  2  2  0.01  4

Bereichsvariable 2 1

f( x)

2

0

2

4

Die Funktion ist überall stetig !

1 2 x

Abb. 2.2.5 Beispiel 2.2.6: Untersuchen Sie die Funktion f(x) = x sin(1/x) auf Stetigkeit.

§ 1· ©x¹

f ( x)  x ˜ sin ¨ x

3 3 3   0.001  S S S

Funktionsgleichung (Oszillationsstelle bei x = 0)

Bereichsvariable

Seite 43

Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit

1

Die Funktion ist bei x = 0 unstetig ! 0.5

f( x)

lim

f ( x) o 0

xo0

x 1

x

0.5

0

0.5

1

Der Grenzwert bei x = 0 existiert. Die Oszillationsstelle (Definitionslücke) kann durch die Zusatzdefinition f(0) = 0 stetig geschlossen werden !

0.5 1 x

Abb. 2.2.6 Beispiel 2.2.7: Untersuchen Sie die Funktion f(x) = (x 2 -1)/(x-1) auf Stetigkeit. 2

f ( x) 

x 1

Funktionsgleichung (gebrochenrationale Funktion - Lücke bei x = 1)

x 1

x  2  2  0.01  2

Bereichsvariable Die Funktion ist bei x = 1 unstetig !

4

lim

3

f ( x) o 2

xo1 f( x)

2

2

1 2

1

Der Grenzwert bei x = 1 existiert. Die Lücke (Definitionslücke) kann durch die Zusatzdefinition f(1) = 2 stetig geschlossen werden ! 0

1

2 2

x 1

1

x 1

x 1

vereinfacht auf

x 1

Abb. 2.2.7

2.2.1 Eigenschaften stetiger Funktionen Stetige Funktionen besitzen eine Reihe von nennenswerten Eigenschaften: Zwischenwertsatz: In einem abgeschlossenen Intervall I = [a, b] nehmen stetige Funktionen jeden Wert zwischen f(a) und f(b) an. Nullstellensatz: Ist f eine in I = [a, b] stetige Funktion, deren Funktionswerte an den Randpunkten a und b verschiedene Vorzeichen haben, so gibt es mindestens einen Wert x 0 ] a, b[ mit f(x0 ) = 0. Extremwertsatz: Eine in einem abgeschlossenen Intervall I = [a, b] stetige Funktion f ist in I beschränkt und hat hier ein absolutes Maximum bzw. Minimum (absolute Extremwerte). Relative Extremwerte (relatives Maximum bzw. Minimum) werden im Abschnitt 3.3 näher besprochen.

Seite 44

Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit

Beispiel 2.2.8: Besitzt die Funktion y = x3 - x - 3 im Intervall [0, 2] eine Nullstelle ? a 0

b 2

Intervallrandpunkte

3

f ( x)  x  x  3 f ( a)

3

f ( b)

Funktion Es liegt mindestens eine Nullstelle innerhalb des Intervalls!

3

x0  wurzel ( f ( x)  x  a  b)

x0

x  4  4  0.01  4

Bereichsvariable

Nullstelle

1.672

10 x0 b f( x)

4

2

0

f( b) f( a) 4

2

10 x

Abb. 2.2.8 Beispiel 2.2.9: Besitzt die Funktion y = x3 - 2 x + 5 im Intervall [-3, 2] eine Nullstelle ? a  3

b 2

Intervallrandpunkte

3

f ( x)  x  2 ˜ x  5

Funktion

x  4  4  0.01  4

Bereichsvariable f( b)

a

b

4

f( x)

2

0

2

4

f( a) 20 x

Abb. 2.2.9 f ( a)

16

x1  1



absolutes Minimum

f ( b)

Startwert (Näherungswert)

x2  1



0.816

Startwert (Näherungswert)



xmax  Maximieren f  x1 xmax

absolutes Maximum

9



xmin  Minimieren f  x2



f xmax



6.089

xmin

relatives Maximum

0.816



f xmin



3.911

relatives Minimum

Seite 45

Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit

2.2.2 Verhalten reeller Funktionen im Unendlichen In vielen Anwendungen wird öfters das Langzeitverhalten einer physikalischen Größe untersucht. Z.B. wird bei Schwingungsvorgängen das stationäre Verhalten untersucht, also das Verhalten nach dem Einschwingvorgang. Um solche Verhalten untersuchen zu können, sind Grenzwertuntersuchungen notwendig. Definition: a) Konvergiert für jede Folge < x n > mit xn ofbzw. xn of die Folge < f(xn) > stets gegen denselben Grenzwert G, so heißt G Grenzwert der Funktion für xn ofbzw. xn of. Wir schreiben dafür: lim

f ( x) = G bzw.

lim

xof

f ( x) = G

(2-10)

xof

Ist G gleich "+ f"oder "- f ", so sprechen wir auch von einem uneigentlichen Grenzwert. Es gelten hier auch die vorher genannten Grenzwertsätze.

b) Eine Gerade g: x = a (Parallele zur y-Achse) heißt Asymptote der Funktion f: y = f(x), wenn gilt: f ( x) = f ;

lim xoa

lim

f ( x) = f

(2-11)

xoa

a heißt Pol der Funktion f. c) Existiert speziell der Grenzwert

lim

f ( x) = d, dann hat der Graph der Funktion f eine

x o +/-f

horizontale Asymptote mit der Gleichung y = d. d) Eine Gerade g: y = k x + d heißt Asymptote der Funktion f: y = f(x), wenn gilt: ( f ( x)  g ( x) ) = 0 bzw.

lim x o +/-f

[ f ( x)  ( k ˜ x  d) ] = 0

lim

(2-12)

x o +/-f

Oder k=

lim x o +/-f

f ( x) x

und d =

lim

( f ( x)  k ˜ x)

x o +/-f

Beispiel 2.2.10: Untersuchen Sie die Funktion f: f(x) = tan(x) ; D = \ { (2 k +1) S/2 } mit k . f ( x)  tan ( x)

Funktionsgleichung

x  2 ˜ S  2 ˜ S  0.001  2 ˜ S

Bereichsvariable

Seite 46

(2-13)

Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit

Die Funktion besitzt bei xk = (2 k +1) S/2 Polstellen und an diesen Stellen Asymptoten mit den Gleichungen xk = (2 k +1) S/2

lim xo

S



f ( x) o f

lim xo

2

S



f ( x) o f

Grenzwerte

2

Beispiel 2.2.11: Untersuchen Sie die Funktion f: f(x) = 1/(x-1) ; D = \ { 1 } . 1

f ( x) 

Funktionsgleichung

x 1

x  5  5  0.001  5

Bereichsvariable

x0  1

Polstelle 5

Die Funktion besitzt bei x0 = 1 eine Polstelle und

x0

3 1 f( x)

6

4

2

0

1 0

2

4

3 5 x

Abb. 2.2.11 lim f ( x) o f  xo1

lim f ( x) o f  xo1 Grenzwerte

lim

f ( x) o 0

xof

lim

f ( x) o 0

xof

Beispiel 2.2.12: Untersuchen Sie die Funktion f: f(x) = x/(x+1) ; D = \ { -1 } . f ( x) 

x x 1

Funktionsgleichung

Seite 47

6

an dieser Polstelle eine Asymptote mit der Gleichung x = 1. Die Funktion nähert sich ebenfalls asymptotisch der x-Achse. Die x-Achse mit der Gleichung y = 0 ist ebenfalls Asymptote.

Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit

x  5  5  0.001  5

Bereichsvariable

Die Funktion besitzt bei x0 = - 1 eine Polstelle (einfache Polstelle) und an dieser Polstelle eine Asymptote mit der Gleichung x = - 1. Die Funktion nähert sich asymptotisch der Geraden y = 1. y = 1 ist ebenfalls eine Asymptote. Abb. 2.2.12 lim f ( x) o f  x o 1

lim f ( x) o f  x o 1

f ( x) o 1

lim

f ( x) o 1

lim

xof

Grenzwerte

xof

Beispiel 2.2.13: Untersuchen Sie die Funktion f: f(x) = (x 2 + 1)/(x2 -4) ; D = \ { -2, 2 } . 2

f ( x) 

x 1

Funktionsgleichung

2

x 4 x x

Redefinition

2

x  4 = 0 auflösen  x o

§2 · ¨ © 2 ¹

Polstellen

x  5  5  0.001  5

Bereichsvariable Die Funktion besitzt bei x1 = - 2 und bei x2 = 2

5 2

2

3

1

1 f( x)

6

4

2

1 0

2

4

6

3 5

eine Polstelle (zweifache Polstelle) und an diesen Polstellen eine Asymptote mit der Gleichung x = - 2 bzw. x = 2. Die Funktion nähert sich ebenfalls asymptotisch der Geraden y = 1. y = 1 ist ebenfalls eine Asymptote.

x

Abb. 2.2.13 lim f ( x) o f  x o 2 lim xof

f ( x) o 1

lim f ( x) o f  x o 2 lim

f ( x) o 1

lim f ( x) o f  xo2 Grenzwerte

xof

Seite 48

lim f ( x) o f  xo2

Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit

Beispiel 2.2.14: Berechnen Sie die Asymptoten der nachfolgenden unecht gebrochen rationalen Funktion und stelle die Funktion und Asymptoten grafisch dar. a 1

Konstante 2

2˜ x

f ( x) 

Funktionsgleichung

2

x a k

f ( x)

lim xof

d

x

o0

Steigung der Asymptote

( f ( x)  k ˜ x) o 2

lim

Achsenabschnitt der Asymptote

xof

y ( x)  k ˜ x  d

Asymptotengleichung

x  a  4  a  4  0.001  a  3

Bereichsvariable 3 2.5 2

f( x)

Die Funktion nähert sich asymptotisch der Geraden y = 2.

1.5

y( x)

1 0.5 3

2

1

0

1

2

3

x

Abb. 2.2.14 Beispiel 2.2.15: Berechnen Sie die Asymptoten der nachfolgenden unechtgebrochen rationalen Funktion und stelle die Funktion und Asymptoten grafisch dar. a 5

Konstante 2

f ( x) 

k

Funktionsgleichung

x a

lim xof

d

2

5˜ x  1

lim

f ( x) x

x a

in Partialbrüche zerlegt, ergibt 2

o5

( f ( x)  k ˜ x) o 25

1  5˜ a

Steigung der Asymptote

5˜ x 5˜ a 

Achsenabschnitt der Asymptote

5 x + 5 a ist der Term für die Asymptotengleichung

xof

y ( x)  k ˜ x  d

5˜ x  1

Asymptotengleichung

Seite 49

x a

Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit

x  a  2  a  2  0.0001  a  2

Bereichsvariable

Die Funktion nähert sich asymptotisch der Geraden x = a und y = k x +d. x = a und y = k x + d sind Asymptoten. Die Kurve hat bei x1 = a einen Pol.

Abb. 2.2.15

Beispiel 2.2.16: Berechnen Sie die Asymptoten der nachfolgenden Funktion und stelle die Funktion und Asymptoten grafisch dar. 2

x

f ( x)  x ˜ e

Funktion

x  1  1  0.001  20

Bereichsvariable lim

1

of

x2 ˜ e x

o 25 ˜ exp ( 5)

xof

lim f( x)

x2 ˜ e x

xo5

0.5

lim

x2 ˜ e x

o0

xof 0

5

10

15

20

x

Asymptote mit der Gleichung y = 0

Abb. 2.2.16 Beispiel 2.2.17: Berechnen Sie die Asymptoten für die Feldstärke eines Kugelkondensators. E ( x) =

lim xo0

Abb. 2.2.17

Q 4 ˜ S ˜ H0

˜

1 2

x

§k ˜ 1 · o f ¨ 2 © x ¹

=k˜

1

elektrische Feldstärke

2

x

lim xof

x = 0 ist eine Polstelle

Seite 50

§k ˜ 1 · o 0 ¨ 2 © x ¹

x- und y-Achse sind Asymptoten

Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit

Q  100 ˜ 1.6 ˜ 10 H 0  8.8542 ˜ 10

 12

Q

E ( x) 

 19

4 ˜ S ˜ H0

˜

˜

˜C

gegebene Ladung

A˜s

elektrische Feldkonstante

V˜m

1

elektrische Feldstärke

2

x

x  0 ˜ cm  0.01 ˜ cm  10 ˜ cm

E( x)

1 10

5

7.5 10

6

5 10

6

2.5 10

6

V cm

Bereichsvariable

Abb. 2.2.18

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x cm

Beispiel 2.2.18: Berechnen Sie die Asymptoten für die magnetische Feldstärke H eines stromdurchflossenen Leiters. Außerhalb des Leiters mit Radius r gilt für die magnetische Feldstärke: lim

H ( x) = 0

und

lim

xof

H ( x) = 0

H ( x) =

I 2˜ S ˜ x

=

k x

ist Asymptote

H ( x) = 0

xof

Innerhalb des Leiters gilt unter der Annahme, dass die Stromverteilung über dem Leiterquerschnitt gleichmäßig ist: I I ( x) I

=

A ( x) A

2

=

x ˜S 2

r ˜S

2

=

x

2

Ÿ

I

I ( x) =

r

1 2

H ( x) 

2

˜x

und damit

H ( x) =

r

I 5˜ A r

2

I ( x) 2˜ S ˜ x

2

=

gegebener Strom

˜ mm

gegebener Radius I

2˜ S ˜ x I 2

if ( x ! r) › ( x  r) magnetische Feldstärkefunktion ˜ x if r d x d r

2˜ r ˜ S x  5 ˜ mm  5 ˜ mm  0.01 ˜ mm  5 ˜ mm

Bereichsvariable

M  0  0.1  2 ˜ S

Bereichsvariable

Seite 51

2

˜x

r

2˜ S ˜ x

=

I 2

2˜ r ˜ S

˜x

Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit

20 r

r

mm 10

mm

r˜sin( M ) mm 0 H ( x)

6

4

2

0

2

4

6

A cm

10

20 r˜cos ( M ) mm



x mm

Abb. 2.2.19 Beispiel 2.2.19: Die elektrische Feldstärke in der Umgebung einer elektrischen Doppelleitung ist gegeben durch E(x) = k.1/(a2 - x2 ) (k = a.Q/(SH0 l). Bestimmen Sie den Grenzwert mit x gegen ± f und den links und rechtsseitigen Grenzwert mit x gegen -a und +a der Funktion E(x). Stellen Sie die Funktion zuerst grafisch dar. a  0.5

k 1

E ( x)  k ˜

1 2

2

gegebene Werte elektrische Feldstärke

Pol 2.Ordnung bei x1 = -a und x2 = a

a x

x  1  1  0.001  1 Bereichsvariable

10 a

a 5 0

E( x)

1

0 5

10 x

Abb. 2.2.20

Seite 52

1

Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit

E ( x) o 0

lim

lim x o a

E ( x) o 0

lim

xof

y = 0 ist Asymptote

xof



E ( x) o f

lim x o a

lim E ( x) o f  xoa



E ( x) o f

x = - a ist Asymptote

lim E ( x) o f  xoa

x = a ist Asymptote

Beispiel 2.2.20: Gegeben ist eine belastete Gleichstromquelle mit variablen Aussenwiderstand. Stellen Sie U = f(x), I = f(x), K = f(x) und P = f(x) in einem Koordinatensystem dar und bestimmen Sie die Asymptoten.

U0 = 85 ˜ V

gegebene Daten

Ri = 10 ˜ :

Abb. 2.2.21 (1) Spannungsfunktion: U = I ˜ Ra =

U0 Ra  Ri

˜ Ra

: Ri

U=

Ra U0 ˜ Ri Ra

U0 ˜ x

U0 ˜ x

lim

x 1

xof x 1

(2) Stromfunktion: I=

U0

I=

Ra

o U0

Asymptote bei U = U 0

o0

Asymptote bei I = 0

1 U0

U0 Ri

lim

x 1

Ri

xof x 1

(3) Wirkungsgradfunktion:

K=

Pab Pzu

=

U˜ I U0 ˜ I

Ra

2

=

I ˜ Ra 2



I ˜ Ra  Ri

Ra

: Ri

Ra  Ri =

K=

Ri

Ra Ri

K = f ( x) =

x x 1

Ri

Ri

Ri

I = f ( x) =

Ra

U0

: Ri

Ra  Ri

x=

1

Ri U = f ( x) =

Substitution:

lim

x

xof x 1

o1

Seite 53

1

Asymptote bei K = 1

Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit

(4) Leistungsfunktion: 2

2 2 U0 ˜ Ra §¨ U0 · Pab = U ˜ I = I ˜ Ra = ˜ Ra = ¨© Ra  Ri ¹ Ra  Ri 2 2

2

U0

Ri

Pab = f ( x) =

: Ri2

§¨ Ra ¨© Ri

2

U0

˜x

( x  1)

lim

2

Ri

o0

x o f ( x  1) 2

Ri  10 ˜ :

Innenwiderstand

x  0  0.01  30

x = Ra /Ri Bereichsvariable

I ( x) 

x 1

x 1

1

( x  1)

2

¹

2

U0

U0 Ri

=

˜x

Asymptote bei Pab = 0

angelegte Spannung

U0 ˜ x

·

2

Ri

˜x

U0  85 ˜ V

U ( x) 

U0 ˜ Ri ˜ Ri

Pab =

2

U0

Ra

K ( x) 

x x 1

Pab ( x) 

Ri

˜x

( x  1)

2

Funktionen

Ra = Ri

200

1 U0 V U ( x)

150

V I( x) A

100

Pab( x) W K ( x) %

50

100

0

5

10

15

20

25

30

x

Abb. 2.2.22 Beispiel 2.2.21: Untersuchen Sie den (verlustfreien) Reihenschwingkreis (Resonanzkreis) auf Asymptoten und Nullstellen, und stellen Sie die Blindwiderstände X, X L und X C in einem Koordinatensystem grafisch dar.

Seite 54

Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit

L = 3 ˜ mH gegebene Daten C = 5 ˜ nF Abb. 2.2.23 XL = Z ˜ L

XC =

1 Blindwiderstände

Z˜C

1 X = XL  XC = Z ˜ L  Z˜C Z˜L

1

lim

Zof Z˜C

o0

Asymptote bei XC = 0 , Polstelle bei Z = 0 und Asymptote bei Z = 0

Gesamtblindwiderstand 2

1

vereinfacht auf

Z˜C Z˜L

lim

Z˜C

Z˜L

in Partialbrüche zerlegt, ergibt

1 Z˜C

1 Z˜C

Z

Zof

Z ˜ L˜ C 1

oL

und

=k

lim Zof

§Z ˜ L  1  L ˜ Z· o 0 ¨ Z˜C © ¹

=d

Asymptote bei XL = Z L , Polstelle bei Z = 0 und Asymptote bei Z = 0 Nullstellen X = 0 d. h. X L = X C: Z˜L

1 Z˜C

=0

Ÿ

2

Z ˜ L˜ C= 1

Ÿ

Zr =

1

Resonanzfrequenz

L˜ C

L  3 ˜ mH gegebene Daten C  5 ˜ nF XL ( f)  2 ˜ S ˜ f ˜ L

XC ( f) 

1

X ( f)  2 ˜ S ˜ f ˜ L 

2˜ S ˜ f˜ C

f  1 ˜ kHz  1 ˜ kHz  0.01kHz  300 ˜ kHz

1 2˜ S ˜ f˜ C

Bereichsvariable

fr  fr

1 2˜ S ˜

L˜ C

41.094 kHz

5000

XL( f) :

0

fr

:

kHz

überwiegend induktiv

XC( f)

0 :

:

0

50

100

150

200

300

(Spannungsresonanz)

X( f)

überwiegend kapazitiv

:

250

Saugkreis, bevorzugt durchlässig für Ströme der Frequenz f r

5000 f kHz

Abb. 2.2.24

Seite 55

Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit

Beispiel 2.2.22: Untersuchen Sie den (verlustfreien) Parallelschwingkreis (Resonanzkreis) auf Asymptoten und Nullstellen, und stellen Sie die Blindleitwerte B, B L und B C in einem Koordinatensystem grafisch dar. L L

C C

Redefinitionen

L = 5 ˜ mH gegebene Daten C = 4 ˜ nF Abb. 2.2.25 1

BL =

XL

BC =

1

=

1 XC

induktiver Blindleitwert

Z˜L

=Z˜C

lim

Zof Z˜L

o0

Asymptote bei BL = 0 , Polstelle bei Z = 0 und Asymptote bei Z = 0

kapazitiver Blindleitwert

1 B = BC  BL = Z ˜ C  Z˜L

Gesamtblindleitwert 2

1

Z˜C

1

vereinfacht auf

Z˜L

Z ˜ L˜ C 1

in Partialbrüche zerlegt, ergibt

Z˜L

C˜ Z 

1 L˜ Z

2

Z ˜L˜C  1 Z˜L

lim

oC

Z

Zof

=k

und

lim Zof

§ Z ˜ C  1  Z ˜ C· o 0 ¨ Z˜L © ¹

=d

Asymptote bei BC = Z C, Polstelle bei Z = 0 und Asymptote bei Z = 0 Nullstellen B = 0 d. h. B C = B L : Z˜C

X=

1 B

1 Z˜L

2

Z ˜ L˜ C= 1

=0

1

=

Z˜C

1

Z˜L 2

o0

2

Z o f Z ˜ L˜ C 1

L  5 ˜ mH BL ( f)  fr 

C  4 ˜ nF 1

2˜ S ˜ f˜ L 1

2˜ S ˜

L˜ C

1

Resonanzfrequenz

L˜ C

Gesamtblindwiderstand

Z ˜ L˜ C 1

Z˜L

Z˜L

lim

=

Zr =

BC ( f)  2 ˜ S ˜ f ˜ C fr

35.588 kHz

f  1 ˜ kHz  1 ˜ kHz  0.01kHz  300 ˜ kHz

Asymptote bei X = 0 Polstelle bei Zr und damit Asymptote bei Zr gegebene Daten B ( f)  2 ˜ S ˜ f ˜ C 

1 2˜ S ˜ f˜ L

Resonanzfrequenz

Bereichsvariable

Seite 56

Blindleitwertfunktionen

Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit

fr BL ( f)

kHz

0.005

S

überwiegend kapazitiv

BC ( f) 0

S

50

100

150

200

250

300

Sperrkreis, sperrt Ströme der Frequenz f r (Stromresonanz)

B( f) S

überwiegend induktiv 0.005

f kHz

Abb. 2.2.26 X ( f) 

2˜ S ˜ f˜ L 2

Blindwiderstand

( 2 ˜ S ˜ f) ˜ L ˜ C  1

Abb. 2.2.27 Beispiel 2.2.23: Untersuchen Sie den (verlustfreien) Filter auf Asymptoten und Nullstellen, und stellen Sie den Blindwiderstand X in einem Koordinatensystem grafisch dar. C1 = 5 ˜ nF C2 = 8 ˜ nF

gegebene Daten

L = 2 ˜ mH R=0 Abb. 2.2.28

Seite 57

Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit





1 Z1 = j ˜ XC = j ˜ Z ˜ C1 1

Z2 =

Y

Z2 = j ˜

1

=

j˜B

1



=

komplexer Widerstand



j ˜ BC  BL

=

1 1 · § j ˜ ¨ Z ˜ C2  Z ˜ L¹ ©

=

Z˜L

1

§¨ Z 2 ˜ L ˜ C  1 · 2 j˜¨ Z ˜ L © ¹

=

Z˜L

erweitern

2 j ˜ § Z ˜ L ˜ C2  1· mit j / j © ¹

komplexer Widerstand

2

1  Z ˜ L ˜ C2

1 · Z˜L §  ¨ 1  Z 2 ˜ L ˜ C2 Z ˜ C1 © ¹

Z = Z2  Z1 = j ˜ ¨

Z˜L

X=

2



1  Z ˜ L ˜ C2

Z ˜ C1

Polstellen:

L L

§ 1  Z 2 ˜ L ˜ C · ˜ Z ˜ C = 0 2¹ 1 ©

Z1 = 0 Zr =

lim Zof

§ Z ˜ L ˜ C1  1  Z ˜ L ˜ C2·

© vereinfacht auf X =

1

2

2

¹

§ 1  Z ˜ L ˜ C · ˜ Z ˜ C 2¹ 1 © 2

Polstelle und Asymptote bei Z1 = 0 1 L ˜ C2

Z˜L 1 · §¨  o0 ¨ 1  Z 2 ˜ L ˜ C2 Z ˜ C1 © ¹

Polstelle und Asymptote bei Zr

Asymptote bei X = 0

1 ª« 1 « « L˜ C  L˜ C 2 1 2 2 2 « § Z ˜ L ˜ C1  1  Z ˜ L ˜ C2· = 0 auflösen  Z o © ¹ « 1 « 1 « « L ˜ C  L ˜ C 2 1 2 ¬

Nullstellen:

º» » » » » » » » ¼

Z0 =

1 L ˜ C1  L ˜ C2

L  2 ˜ mH C1  5 ˜ nF

gegebene Daten

C2  8 ˜ nF 2˜ S ˜ f˜ L

X ( f) 



2

1  ( 2 ˜ S ˜ f ) ˜ L ˜ C2 fr 

1 2˜ S ˜

L ˜ C2

fr

1 2 ˜ S ˜ f ˜ C1

39.789 kHz

Blindwidwerstand

f0 

1 2˜ S

Seite 58

˜

1 L ˜ C1  L ˜ C2

f0

31.213 kHz

Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit f  1 ˜ kHz  1 ˜ kHz  0.01kHz  200 ˜ kHz

Bereichsvariable

Bei f0 widerstandsloser Filter. Der Filter sperrt Ströme der Frequenz f r.

Abb. 2.2.29 Beispiel 2.2.24: Eine Kugel der Masse m 0 und der Geschwindigkeit v stößt zentral und elastisch auf eine zweite Kugel der Masse M0 . Aus dem Impuls- und Energieerhaltungssatz lässt sich die Geschwindigkeit v n der ersten Kugel nach dem Stoß herleiten. Wie groß ist v n , wenn der Stoß gegen ein festes Hindernis erfolgt ? Stellen Sie den Zusammenhang grafisch dar.

m0  M0 ˜ v

lim

o v

m0  M0

M0 o f

gleich große Geschwindigkeit in entgegengesetzter Richtung

Abb. 2.2.30 m0  10 ˜ kg

v  20 ˜

m

gegebene Werte

s

M0  0 ˜ kg  1 ˜ kg  100 ˜ kg



vn M0 



vn M0 m s

Bereichsvariable

m0  M0 ˜ v

Geschwindigkeit nach dem Stoß

m0  M0 25 20 15 10 5 5 0 10 15 20 25

20

40

60

80

100 v

M0 kg

Seite 59

Abb. 2.2.31

Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit

Beispiel 2.2.25: Regen wir ein schwingungsfähiges mechanisches oder elektrisches System (Oszillator) mit einer sinusförmigen Kraft bzw. Spannung der Kreisfrequenz Ze an, so schwingt auch das System nach Abklingen des Einschwingvorganges sinusförmig mit der gleichen Frequenz ( y = y 0 (Ze ) sin( Ze t + M)). Die Amplitude ist von der Erregerfrequenz Ze abhängig. Für die Amplitude und die Phasenverschiebung lassen sich folgende Beziehungen herleiten, we nn ein mechanisches System angenommen wird, das mit der Kraft F(t) = F 0 sin(Ze t) angetrieben wird:



F0

y0 Z e =



M Ze =

m0 ˜

Z 0  Z e

Frequenzgang der Amplitude 2

2

§ 2 ˜ G ˜ Ze ·

if Z e  Z 0

¨Z 2  Z 2 e ¹ © 0

2

Redefinition

 4 ˜ G ˜ Ze

artan ¨ S

m0  m 0

Phasengang der Amplitude

if Z e = Z 0

§ 2 ˜ G ˜ Ze ·

artan ¨

¨Z 2  Z 2 e ¹ © 0

 S if Z e ! Z 0

Z0 ist die Eigenfrequenz des Oszillators im ungedämpften Fall. G ist der Dämpfungsfaktor. a) Wie verhalten sich die Amplitude y 0 und die Phasenverschiebung bei sehr kleinen, sowie bei großen Erregerfrequenzen Ze ? b) Skizzieren sie die Funktionen für Z0 und G = 0.3 s-1 und untersuchen Sie sie auf Stetigkeit. a)

F0

lim Ze o 0

m0 ˜

1

o

1

2

§ Z 2  Z 2·  4 ˜ G 2 ˜ Z 2 e ¹ e © 0

§ Z 4· © 0 ¹

˜

F0 m0

2

Bei sehr kleinen Frequenzen schwingen Erreger und Oszillator nahezu phasengleich. Der Oszillator wirkt wie starr verbunden und schwingt mit der Amplitude F 0 /(Z0 2 m0 ). F0

lim

Z 0  Z e

Ze o f m ˜ 0

lim Ze o 0

lim Ze o f

o0 2

die Ze Achse ist Asymptote

 4 ˜ G ˜ Ze

§ 2 ˜ G ˜ Ze ·

artan ¨

2

¨Z 2  Z 2 e ¹ © 0

M(Ze ) = 0 ist Asymptote

o artan ( 0)

§ § 2 ˜ G ˜ Ze · · ¨ artan ¨  S o artan ( 0)  S ¨ ¨Z 2  Z 2 e ¹ © © 0 ¹

Seite 60

M(Ze ) = - S ist Asymptote

Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit

b)

Z0  1 ˜ s

1

G  0.3 ˜ s

1

F0  100 ˜ N Eigenfrequenz, Dämpfungsfaktor und Kraftamplitude

F0



y0 Z e 

§ Z 2  Z 2·  4 ˜ G 2 ˜ Z 2 e ¹ e © 0

m0 ˜

§ 2 ˜ G ˜ Ze ·



atan ¨

M Ze 

if Z e  Z 0

¨Z 2  Z 2 e ¹ © 0

S 2

if Z e = Z 0

Phasengang der Amplitude

§ 2 ˜ G ˜ Ze ·

atan ¨

¨Z 2  Z 2 e ¹ © 0

Ze  0 ˜ s

1

Amplitudengang oder Frequenzgang der Amplitude

2

 0.01 ˜ s

1

 S if Z e ! Z 0

 10 ˜ s

1

Bereichsvariable Amplitudengang

20



y0 Z e

Z0

10

m

Abb. 2.2.32

0

2

4

6

8

10

Ze 1

s

Phasengang



M Ze

Grad

20 0 40 60 80 100 120 140 160 180 200

2

4

6

S

8

2

10

Grad Z0

S

Abb. 2.2.33

Grad

Ze 1

s

Bei hohen Frequenzen kann der Erreger nicht mehr folgen und hinkt ihm um fast die halbe Periode nach. Dazwischen erreicht die Amplitude einen Höchstwert (Resonanz). lim Ze o Z0





M Ze

=

lim Ze o Z0





M Ze

S = M Z0 = 2



Seite 61

Die Funktion ist stetig.

Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit

Logarithmische Darstellung von Amplituden- und Phasengang: ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

Z min  0.01 ˜ s Z max  10 ˜ s

1

gewählte unterste Erregerfrequenz

1

gewählte oberste Erregerfrequenz

n  500

Anzahl der Schritte

§ Z max · ¨© Z min ¹

log ¨ 'Z 

Schrittweite

n

k  0  n

Bereichsvariable

Ze  Zmin ˜ 10 k

k˜'Z

Vektor der Erregerfrequenzwerte Amplitudengang

20

15 y0 § Z e

©

m

· k¹

Z0 1

Bodediagramm

s

10

5

0 0.01

0.1

1 Ze

10

Abb. 2.2.34

k

1

s Erregerfrequenz

0 20 40 60 M §Z e · © k¹ 80 Grad 100 120 140 160 180 200 0.01

Phasengang

Z0 s

 90

Bodediagramm

1

 180

Abb. 2.2.35 0.1

1 Ze

k

1

s Erregerfrequenz

Seite 62

10

Differentialrechnung Steigung der Tangente - Der Differentialquotient 3. Differentialrechnung Die Differentialrechnung und Integralrechnung, zusammengefasst auch Infinitesimalrechnung genannt, stellen die Grundlage für die höhere Analysis dar. Sie wurde in der zweiten Hälfte des 17. Jahrhunderts etwa gleichzeitig und unabhängig voneinander von Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 1716) und Isaac Newton (1643 - 1727) entwickelt. Während Leibniz vom Tangentenproblem ausging, gelangte Newton durch die Untersuchung physikalischer Probleme zur Differentialrechnung. Newton erkannte auch, dass die Integration als Umkehrung der Differentiation aufgefasst werden kann. Die Infinitesimalrechnung wurde zu einem wichtigen Hilfsmittel bei der Beschreibung und Erforschung der Natur. Zusammen mit anderen Gebieten der Mathematik konnte die theoretische und praktische Leistungsfähigkeit bis zum heutigen Tag entscheidend verbessert werden, sowohl bei der Verbindung von Mathematik und Naturwissenschaft als auch bei den direkten Anwendungsmöglichkeiten der Mathematik in Technik und Produktion. In der Technik treten oft zwei wesentliche Probleme auf: x Die Untersuchung des Änderungsverhalten einer physikalischen Größe führt auf eine neue physikalische Größe (Tangentenproblem). Z.B. die Änderung des zurückgelegten Weges pro Zeit führt zur Geschwindigkeitsänderung. x Die Untersuchung der Fläche unter einer Kurve als Maß einer neuen physikalischen Größe (Flächen- problem). Z.B. die Fläche unter der Geschwindigkeitskurve im v-t Diagramm ist ein Maß für den zurückgelegten Weg.

3.1 Die Steigung der Tangente - Der Differentialquotient Mithilfe des Differenzenquotienten kann die Steigung der Sekante s zwischen zwei Kurvenpunkten P1 und P2 von y = f(x) berechnet werden. Wir berechnen damit den mittleren Anstieg der Kurve (mittlere Änderungsrate von y) im Intervall [ x 1 , x1 + 'x ] bzw. [ x1 , x1 + h]. Dieser mittlere Anstieg ändert sich jedoch von Intervall zu Intervall (ausgenommen bei der linearen Funktion). 2

f ( x)  ( x  5)  50

gegebene Funktion

x  0  0.001  8

Bereichsvariable







ys x1  x2  x  f x1  x1  1

 

f x2  f x1

x2  7 

x2  x1



FRAME

y2  y  y1 = x2 



x  x1

y1 x1

x  x1

Intervallrandpunkte (FRAME von 0 bis 20)

5

'x  x2  x1 'y  f x2  f x1

x - Werte Differenz

 

Funktionswertdifferenz Sekante



f x1  'x

50

y-Achse

f( x)



ys x1  x2  x

 f x2



Sekantengleichung

x1

x2

s

40



Ds

f x1



Steigung der Sekante:

P2

ks 





f x1  'x  f x1

f x1

ks

'x = h

30

2



Ds 0

'x

D s  atan k s

P1 20

'y

1

2

3

4

5

x  x  x1  x2 x-Achse

Seite 63

6

7

8

63.435 Grad

9

Abb. 3.1.1

Differentialrechnung Steigung der Tangente - Der Differentialquotient Differenzenquotient: 'y 'x

y2  y1

=

x2  x1 bzw. mit 'x = h 'y 'x



=

  = f x1  'x  f x1 = k

f x2  f x1 x2  x1

x2  x1



s = tan D s

(3-1)



f x1  h  f x1

=

(3-2)

h

Beispiel 3.1.1: Geben Sie den Differenzenquotienten der Funktion y = f(x) = 2 x + 1 an der Stelle x 0 an. 'y 'x

=



 = 2 ˜ x0  'x  1  2 ˜ x0  1 = 2 = k

f x0  'x  f x0 'x

'x

s=k

Beispiel 3.1.2: Geben Sie den Differenzenquotienten der Funktion y = 3 x 2 + 1 an der Stelle x0 an und berechnen Sie ihn für P 0 (x0 | y0 ) = P0 (1 | y0 ) und 'x = 0.1. 'y 'x 'y 'x

=



 = 3 ˜ x0  'x 2  1  3 ˜ x02  1 = 3 ˜ x02  6 ˜ x0 ˜ 'x  3 ˜ 'x2  1  3 ˜ x02  1

f x0  'x  f x0 'x

'x

'x

= 6 ˜ x0  3 ˜ 'x

ks =

'y 'x

= 6 ˜ 1  3 ˜ 0.1 = 6.3

Steigung der Sekante in den Punkten P 0 (1 | y0 ) und P( 1.1 | y)

Gelangt die Sekante s bei der Annäherung von P 2 an P1 in die Grenzlage t, so ist aus ihr eine Tangente geworden, die wir rechnerisch dadurch festlegen können, dass wir ihren Anstieg k T = tan(DT) ermitteln. Dieser ergibt sich aber als der Grenzwert des Sekantenanstiegs, wenn 'x gegen Null strebt. Also

lim

'y

'x o 0 'x

=

lim

y2  y1 'x

'x o 0

=

lim





f x1  'x  f x1 'x

'x o 0



= k T = tan D T

(3-3)

bzw. mit 'x = h

lim





f x1  h  f x1 h

ho0



= k T = tan D T

(3-4)

Durch geeignete Umformungen lässt sich dieser Grenzwert, wenn er überhaupt vorhanden ist, berechnen. Wir nennen diesen Grenzwert den Differentialquotienten oder auch die 1. Ableitung der Funktion f an der Stelle x 1 . Das Bilden dieses Grenzwertes nennen wir Differenzieren oder Ableiten. Wir schreiben die 1. Ableitung der Funktion f: y = f(x) an der Stelle x 1 , den genannten Grenzwert, mit verschiedenen Abkürzungen:







y' x1 = f ' x1 = f x x1 =

 dx d

f x1 =

d dx



y x1 =

lim

'y

'x o 0 'x

Seite 64

(3-5)

Differentialrechnung Steigung der Tangente - Der Differentialquotient Für das oben angeführte Beispiel mit f(x) = - (x - 5) 2 + 50 gilt: kT 





f x1  'x  f x1

lim

'x

'x o 0









o8

Steigung der Tangente







yT x1  x  f x1  k T ˜ x  x1

y  y1 = k T ˜ x  x1

xT  0  0.001  4 x1 1

Bereichsvariable

'x

6

x2

7

'y

12

ks

2

Tangentengleichung

Daten wie weiter oben angegeben

'y

ks 

'x

Steigung der Sekante

x3  1

Stelle x3





c  x3  yT  x3  x3

c x3  yT x3  x3  1 k

x4  x3  1  x3

Steigungsdreieck (Tangente) Gegenkathete des Steigungsdreiecks Sekante und Tangente

60 x1

f( x)





yT x1  xT



y-Achse

ys x1  x2  x



 f x2 c x 3

x1 'x

t

FRAME von 0 bis 30



50

f x1  'x

f x1



s 40



f x1

'x

6

ks

2

kT

8



D T  atan k T 30

k

dy

DT

DT

82.875 Grad

'x = dx 20

0

1

2

3

4

5

6

x  xT  x  x1  x2  x4  x3 x-Achse

Beispiel 3.1.3: Bilden Sie die 1. Ableitung der Funktion f: y = x 2 - 1 an der Stelle x 0 = 2. 'y 'x

=



'x



f ' x0  f ' ( 2)

 = x0  'x 2  1  x02  1 = 2 ˜ x

f x0  'x  f x0

lim 'x o 0

4

'x

2 ˜ x0  'x

0  'x

o 2 ˜ x0

= kT

Seite 65

7

8

9

Abb. 3.1.2

Differentialrechnung Steigung der Tangente - Der Differentialquotient Beispiel 3.1.4: Bilden Sie die 1. Ableitung der Funktion f: y = x 3 an der Stelle x0 = 1. 'y 'x

=



 = x0  'x 3  x03

f x0  'x  f x0 'x

'x

x0  'x 3  x03 'x



f ' x0  f ' ( 1)

lim 'x o 0

2

2

3 ˜ x0  3 ˜ x0 ˜ 'x  'x

vereinfacht auf

§ 3 ˜ x 2  3 ˜ x ˜ 'x  'x2· o 3 ˜ x 2 0 0 © 0 ¹

= kT

3

Beim Grenzwertübergang kann die Annäherung an eine Stelle x 0 von der rechten oder von der linken Seite her erfolgen, also 'x positive und negative Werte annehmen. Die Funktion f besitzt an der Stelle x 0 eine linksseitige Ableitung f l'(x0 ) bzw. eine rechtsseitige Ableitung fr'(x0 ) (eine links bzw. rechtsseitige Tangente), wenn folgender Grenzwert existiert:



f 'l x0 =

lim 'x o 0

'y  'x



bzw. f 'r x0 =

'y

lim 'x o 0

(3-6)

 'x

Ist die Funktion f in einer Umgebung von x 1 stetig und ist fl'(x0 ) = fr'(x0 ), so gilt: f '(x0 ) = fl'(x0 ) = fr'(x0 ).

Beispiel 3.1.5: Bilden Sie die 1. Ableitung der Funktion f: y = | x | an der Stelle x0 = 0. y ( x) 

Funktionsgleichung

x

x1  4  4  0.1  4

Bereichsvariable 4

Die Funktion ist an der Stelle x 0 = 0 stetig! y( x1 )

2

4

2

0

2

Abb. 3.1.3

4

x1

'y 'x

=



 = x0  'x  x0 = 1

f x0  'x  f x0



f 'r x0 =

'x lim

'x o 0

'x



1 =1

'y 'x

=



 = x0  'x  x0 = 1

f x0  'x  f x0



f 'l x0 =

'x lim

'x o 0

'x



1 = 1

Die Grenzwerte stimmen nicht überein, daher ist die Funktion an der Stelle x 0 = 0 nicht differenzierbar !

Seite 66

Differentialrechnung Steigung der Tangente - Der Differentialquotient Definition: a) Eine Funktion f: y = f(x) ( D Ž  und W Ž  ) heißt an der Stelle x 0  D differenzierbar, wenn der folgende Grenzwert existiert :



f ' x0 =

 dx d

f x0 =

'y

lim

'x o 0 'x

=





f x0  'x  f x0

lim

'x

'x o 0

(3-7)

b) Eine Funktion f: y = f(x) heißt an jeder Stelle x  D differenzierbar, wenn in ganz D die Grenzwerte existieren. Wir schreiben dann: d

y ' = f ' ( x) =

f ( x) =

dx

lim

'y

'x o 0 'x

=

lim

f ( x  'x)  f ( x)

'x o 0

'x

(3-8)

Die Ableitungen von Funktionen sind wiederum Funktionen derselben Argumentwerte. Satz: Ist eine Funktion f: y = f(x) an der Stelle x 0 differenzierbar, dann ist sie dort auch stetig.

fx ( x) 

d

Ableitungsfunktion

f ( x)

dx



k T  f x x1





kT

Steigung der Tangente

8



 



yT x1  x  f x1  fx x1 ˜ x  x1 x1  1 

FRAME

FRAME von 0 bis 35 mit 2 Bilder/s

5

x2  x1  1  x1



Bereichsvariable für die Ankathete des Steigungsdreiecks





c x2  yT x1  x1  1







k  c x1  yT x1  x1



k 1  0  f x x1

Tangente

Ankathete des Steigungsdreiecks Gegenkathete des Steigungsdreiecks

Funktionswert der Ableitungsfunktion

Seite 67

Differentialrechnung Steigung der Tangente - Der Differentialquotient Funktion- und Ableitungsfunktion 60 f( x)



yT x1  x





40

kT

fx( x)

30

Funktionswert der Ableitungsfunktion:

f x1 y-Achse

Tangentensteigung:

f(x)

50

 c x 2 fx x1

20 10

x1

k

f ' (x) 1

k1

8

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1



fx x1

8

10

Abb. 3.1.4

20 x  x  x1  x  x1  x2  x1  x1 x-Achse

Beispiel 3.1.6: Bilden Sie die 1. Ableitung der Funktion f: y = c mit c . 'y 'x

=

f ( x  'x)  f ( x) 'x

f ' ( x) 

lim

=

cc 'x

0

=

'x

=0

0 o0

Die 1. Ableitung einer konstanten Funktion ist an jeder Stelle 0 (waagrechte Tangente !).

'x o 0

Beispiel 3.1.7: Bilden Sie die 1. Ableitung der Funktion f: y = x 3 . 'y 'x

=

f ( x  'x)  f ( x) 'x 3

=

3

'x

3

( x  'x)  x

vereinfacht auf

'x f ' ( x) 

3

( x  'x)  x

lim

2

2

3 ˜ x  3 ˜ x ˜ 'x  'x

3 ˜ x2  3 ˜ x ˜ 'x  'x2

2

o 3˜ x

Die Ableitungsfunktion der Funktion y = x 3 .

'x o 0

Es gilt offensichtlich für die Ableitung von y = x r mit r   und r z 0: y ' = r x r-1

(3-9)

Seite 68

Differentialrechnung Steigung der Tangente - Der Differentialquotient Ist eine Funktion f: y = f(x) an der Stelle x differenzierbar, so gilt: dy dx

= f ' ( x)

(3-10)

Der Differentialquotient (dies rechtfertigt auch diese Bezeichnung) kann in die Differentiale dy und dx aufgespalten werden: dy = f '(x) dx

(3-11)

dy heißt Differential einer Funktion f: y = f(x) an der Stelle x. Es bedeutet den Zuwachs der Tangentenordinate, wenn sich x um 'x = dx ändert. außer der 1. Ableitung einer Funktion lassen sich, falls sie existieren, auch höhere Ableitungen bilden. Sie werden folgendermaßen definiert: 2

3

d

f "(x) = (f '(x))' =

2

f ( x) , f '''(x) = (f "(x))' =

dx (n)

3

f ( x) , ... ,

(3-12)

dx n

(n-1)

f (x) = (f

d

(x))' =

d

n

f ( x)

dx

Wir nennen die Ableitung der 1. Ableitung die zweite Ableitung, die Ableitung der zweiten Ableitung die dritte Ableitung usw.

3.1.1 Die physikalische Bedeutung des Differentialquotienten Differentialrechnung Mathematik Physik z.B. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------unabhängige Variable x Abszisse x Zeit t unabhängige Variable y Ordinate y Weg s Funktionsgleichung y = f(x) Kurve y = f(x) Weg-Zeit Gesetz s = f(t) Differenzenquotient 'y/'x Anstieg der Sekante Mittlere Geschwindigkeit v m Differentialquotient dy/dx (Ableitung)

Anstieg der Tangente Augenblicksgeschwindigkeit v(t) (Leibniz) (Newton)

Beispiel 3.1.8: Für den freien Fall eines Körpers (ungleichförmige Bewegung) unter Vernachlässigung des Luftwiderstandes gilt für den zurückgelegten Weg: s = g/2 t 2 . In der Zeit t + 't legt der Körper den Weg s + 's zurück, also s  's =

's =

g 2

g 2

2

( t  't ) =

2

˜t 

g 2

g 2

2

˜ t  2 ˜ t ˜ 't  't

2

˜ t  2 ˜ t ˜ 't  't

's g § 2 ˜ t ˜ 't  't vm = = ˜¨ 't 't 2 ©

2·

¹

2

2



= g2 ˜ 2 ˜ t ˜ 't  't2

= g˜ t 

g 2

˜ 't

oder:

Seite 69

Differentialrechnung Steigung der Tangente - Der Differentialquotient g 2 's s ( t  't )  s ( t) vm = = = 't 't v( t) =

's

lim

't o 0 't

=

d

2

˜ ( t  't ) 

't o 0

t2  2 ˜ s 

't  t2  t 1

't

g

s 1' ( t) 

d

2 dt

˜t

lim

dt

t1  1 ˜ s

s1 ( t) 

2

˜t

2

FRAME 10

˜s

Momentangeschwindigkeit

Zeitpunkte

FRAME von 1 bis 10

Zeitdifferenz

1s

Weg - Zeit Gesetz



v1  s 1' t 1

v1

g vm  g ˜ t 1  ˜ 't 2





9.807

vm

  s 1  t 2  s 1  t 1 

s T t1  t  s 1 t 1  s 1' t1 ˜ t  t1



2

mittlere Geschwindigkeit

˜ 't

§ g ˜ t  g ˜ 't· o g ˜ t ¨ 2 © ¹

2

s 1 ( t)



g

= g˜ t 

't v( t) 

s ( t)

g



ss t1  t2  t  s1 t1

t2  t1

14.71

m

Steigung der Tangente an der Stelle t1 (Geschwindigkeit v1 )

s m

Steigung der Sekante

s

Tangente

t  t1

Sekante

t  0 ˜ s  0.01 ˜ s  3 ˜ s

Bereichsvariable s-t und v-t Diagramm

30

Weg und Geschwindigkeit

s1 ( t)

t1

 ss t1  t2  t s1  t1 s1  t2

sT t1  t

't

t2

20

vm



10

v1

s1 t1

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Abb. 3.1.5 t  t  t  t1  t2  t Zeit

Bahnbeschleunigung beim freien Fall: v = g t 'v v ( t  't )  v ( t) g ˜ ( t  't)  g ˜ t am = = = =g 't 't 't 'v

't o 0 't

9.807

3

10

lim

14.71

v1

v( t)

a ( t) =

1s

=

lim

g =g

mittlere Bahnbeschleunigung

Momentanbeschleunigung

't o 0

Seite 70

m s m s

Differentialrechnung Steigung der Tangente - Der Differentialquotient Beispiel 3.1.9: Gleichmäßig beschleunigte Bewegung ohne Luftwiderstand mit Anfangsgeschwindigkeit: s = v0 t + g/2 t2 . m v0  30 ˜ s

t t

Anfangsgeschwindigkeit

g 2 s ( t )  v0 ˜ t  ˜ t 2 v( t) 

d

Weg-Zeit Gesetz

v ( t ) o 30 ˜

s ( t)

dt

m s

Geschwindigkeit-Zeit Gesetz

 g˜ t

t  0 ˜ s  0.001 ˜ s  8 ˜ s



Bereichsvariable für die Zeit

  



st t1  t  s t1  v t1 ˜ t  t1 t1  3 ˜ s 

FRAME 5

Tangentengleichung im Punkt P(t 1 | s1 )

˜s

Animation: FRAME von 0 bis 20 mit 1 Bild/s

tt  t 1  2 ˜ s  t 1  2 ˜ s  0.001 ˜ s  t 1  1 ˜ s



 't  t1  s t  t1  t 1

't t2  s t t1  t1  1 ˜ s 's 

Bereichsvariable für die Tangente

t2  t1  1 ˜ s  t 1

't = 1 im Steigungsdreieck k = 's im Steigungsdreieck



m v1  0 ˜  v t1 s

v1 = k ... Ableitungswert an der Stelle t 1 Tangente und Ableitung

600

s ( t) s( t)

 s t1 400

Weg s und Geschwindigkeit v

st t1  tt

500

v( t)

 't t2 v t1

300

's

200

v( t) v1

100

0

0

1

2

3

4 t  tt  t1  t  t1  t2  t1  t1 Zeit t

Abb. 3.1.6

Seite 71

5

6

7

8

Differentialrechnung Steigung der Tangente - Der Differentialquotient Eine kleine Übersicht über wichtige Differentialquotienten aus Physik und Technik: Translation

Rotation

s = s(t) Weg - Zeit Gesetz v = v(t) Geschwindigkeit a = a(t) Beschleunigung

M = Mt) Winkel - Zeit Gesetz Z = Z(t) Winkelgeschwindigkeit D = D(t) Winkelbeschleunigung

's vm = 't

Zm =

v( t) =

mittlere Geschwindigkeit lim

's

't o 0 't

'v am =  't a ( t) =

=

d

s ( t ) Momentangesch.

'v

't o 0 't

Z ( t) =

=

d

v ( t ) Momentanbesch.

Dm =

mittlere Winkelgeschwindigkeit

't lim

'M

'Z

lim

'Z

d

=

't o 0 't

dt

M ( t)

Momentanwinkelgesch.

dt

mittlere Winkelbeschleunigung

't

D ( t) =

d

=

't o 0 't

dt

mittlere Beschleunigung lim

'M

Z ( t)

Momentanwinkelbesch.

M ( t)

Drehmoment

dt

Dynamische Grundgesetze:

F= m˜

d

v ( t) = m ˜

dt F=

d

2

d

dt

2

s ( t ) Kraftgesetz

M=J˜

d

2

d

Z ( t) = J ˜

dt M=

p ( t)

dt

d

dt

2

L ( t)

dt

Arbeit und Leistung: Fm =

'W

mittlere Kraft

's

F ( s) =

lim

'W

's o 0 's

=

d

W ( s ) Kraft

'W

Pm =

mittlere Leistung

't

P ( t) =

lim

'W

=

't o 0 't

ds

d

W ( t)

Leistung

P ( A)

Intensität

dt

Intensität: Im =

'P 'A

mittlere Intensität

I ( A) =

lim

'P

=

'A o 0 'A

d dA

Energiedichte: 'W wm = 'V

mittlere Energiedichte

w ( V) =

'W

lim

=

'V o 0 'V

d

W ( V)

Energiedichte

dV

Strom und Stromdichte: im = Jm =

'q 't 'I 'A

mittlerer Wechselstrom

mittlere Stromdichte

i ( t) =

J ( A) =

lim

'q

't o 0 't

lim

'I

'A o 0 'A

Seite 72

=

d

q ( t)

Wechselstrom

dt =

d dA

I ( A)

Stromdichte

Differentialrechnung Ableitungsregeln 3.2 Ableitungsregeln für Funktionen 3.2.1 Ableitung der linearen Funktion Lineare Funktion f: y = k x + d , D =  und W =  . y ' ( x) =

d

( k ˜ x  d) = k , D' =  und W' = { k }

(3-13)

dx

Beispiel 3.2.1: Bilden Sie die 1. Ableitung der folgenden Funktionen händisch und mithilfe von Mathcad: y' = 0

(1) y = 3

(2) y =

1 2

˜x

(3) y = x  2

y' = 1/2

y ' ( x) 

y' = 1

y ' ( x) 

§ 1 ˜ x· o 1 ¨ 2 dx © 2 ¹ d

d

( x  2) o 1

dx 1

y' = 6

y ' ( x) 

(5) s = v ˜ t  s 0

s' = v

s ' ( t) =

(6) v = a ˜ t  v0

v' = a

(4) y = 6 ˜ x 

2

§6 ˜ x  1 · o 6 ¨ 2¹ dx © d

d dt

v ' ( t) =

d dt

v ˜ t  s0

vereinfacht auf

s ' ( t) = v

a ˜ t  v0

vereinfacht auf

v ' ( t) = a

(7) Vergrößern wir bei konstant gehaltener Ladung Q eines Plattenkondensators den Plattenabstand s um ds, so vergrößert sich die Energie auf Grund der geleisteten Arbeit. Wie groß ist dann die Kraftwirkung zwischen den beiden Kondensatorplatten ? W=

1 2

2

˜

Q

C

2

=

Q

2

˜

s H 0. ˜ H r ˜ A

W = f ( s) = k ˜ s

und

F=

d

W

ds

· §¨ Q2 s vereinfacht auf F= ˜ ds ¨© 2 H 0. ˜ H r ˜ A ¹ d

F=

1 2

2

˜

Q

H 0. ˜ H r ˜ A

2

=

Q

2

˜

1 C˜ s

2

=

C˜ U

2˜ s

mit

3.2.2 Potenzregel Potenzfunktion: f: y = x r , D Ž  und W Ž  , r \ { 0 , 1 }. Potenzregel: y ' ( x) =

d r r 1 x = r˜ x , D' Ž  und W' Ž (Ableitungsfunktion) dx

Seite 73

(3-14)

Q = C˜ U

Differentialrechnung Ableitungsregeln Beispiel 3.2.2: Bilden sie die 1. Ableitung der folgenden Funktionen händisch und mithilfe von Mathcad: 2

(1)

y=x

(2)

y= 2˜ x

3

y' = 2 x

y ' ( x) =

y' = 6 x2

y ' ( x) =

d 2 x dx

d dx

2 ˜ x3

1

(3)

y=x

vereinfacht auf

y ' ( x) = 2 ˜ x

vereinfacht auf

y ' ( x) = 6 ˜ x

vereinfacht auf

y ' ( x) =

2

1

3

y' = 1/3 x

- 2/3

y ' ( x) =

d

x

3

1 2

dx 3˜ x

3

1

(4)

y=

x=x

2

y' = 1/ 2 x - 1/2

y ' ( x) =

d

x

vereinfacht auf

y ' ( x) =

1 1

dx 2˜ x

2

Beispiel 3.2.3: x an der Stelle x = 2 ?

Wie groß ist die Steigung und der Steigungswinkel der Tangente von y = 1

y=

x=x

2

y ' ( x) 

d

x

y ' ( 2)

0.354

Steigung k der Tangente

dx D  atan ( y ' ( 2) )

D

19.471 Grad

Steigungswinkel der Tangente

Beispiel 3.2.4: An welchen Stellen besitzt die Funktion y = 1/x die Tangentensteigung -1/2 ? y=

1 x

1

=x

y ' ( x) =

d 1 x dx

vereinfacht auf

2

=

x

1

hat als Lösung(en)

2

oder: ORIGIN  1

1 2

x

Es gilt: y'(x) = k 1

y ' ( x) =

§ 1 ¨ 2 ¨2 ¨ 1 ¨ 2 © 2

· ¸ ¸ ¹

ORIGIN festlegen

§ 1 ¨ 2 1 1 ¨2 x = auflösen  x o ¨ 1 2 2 x ¨ 2 © 2

· ¸ ¸

x1

1.414

x2

1.414

¹

Die Funktion besitzt an den Stellen x 1 und x 2 die Tangentensteigung -1/2.

Seite 74

Differentialrechnung Ableitungsregeln Beispiel 3.2.5: Berechnen Sie den Schnittwinkel M zwischen den Graphen der Funktion f: y =

1

x und g: y = x

.

Schnittpunkt der Graphen: x=

1

hat als Lösung(en)



x0  1

1

x



tan ( D ) = f ' x0

tan ( E ) = g ' x0

Steigungen der Tangenten

M=DE

Winkel zwischen den Tangenten



tan ( D )  tan ( E )



tan ( M ) = tan D  E =



f ' x0 

2˜

 

1



g ' x0 

x0

D  atan f ' x0

Summensatz 1. Art

1  tan ( D ) ˜ tan ( E )

1

Steigungen der Tangenten

2

x0 D

 

E  atan g ' x0

26.565 Grad

  1  f '  x0 ˜ g '  x0 § f '  x0  g '  x0 · atan ¨ ¨© 1  f '  x0 ˜ g '  x0 ¹ f ' x0  g ' x0

tan ( M ) =

M

f ( x) 

x-Wert des Schnittpunktes

g ( x) 



 



 

45 Grad

M

Winkel zwischen den Tangenten

71.565 Grad

gegebene Funktionen

x



t1 ( x)  f x0  f ' x0 ˜ x  x0

Tangente von f(x) an der Stelle x 0



t2 ( x)  g x0  g ' x0 ˜ x  x0

Tangente von g(x) an der Stelle x 0

x  0  0.001  5

Bereichsvariable

3 x0 f( x) 2 g ( x) t1( x) t2( x)

0

0

1

2

Abb. 3.2.1



f x0

M=DE

1

Steigungswinkel der Tangenten

Winkelberechnung mit dem Summensatz 1. Art

1

x

E

3

4

x

Seite 75

5

Differentialrechnung Ableitungsregeln Beispiel 3.2.6: Bestimmen Sie im Punkt P(1 | 1) des Graphen y = x 2 die Normale auf den Graphen. Zwei Geraden stehen Normal aufeinander, wenn k k N = - 1 gilt. x0  1

x-Wert des Punktes P





f ' x0  2 ˜ x0

f ' x0

1 k

kN 

y = kN ˜ x  d

1=

kN =

Steigung der Tangente im Punkt P

2 1

Steigung der Normalen

2 1 2

˜1 d

hat als Lösung(en)

3

Achsenabschnitt

2

2

f ( x)  x

gegebene Funktion



 



t1 ( x)  f x0  f ' x0 ˜ x  x0

Tangente im Punkt P

3 tN ( x)  k N ˜ x  2

Normalen im Punkt P

x  0  0.001  3

Bereichsvariable

3 x0 f( x)

2

t1( x) tN( x)

1

0

Abb. 3.2.2



f x0

0

1

2

3

x

3.2.3 Konstanter Faktor und Summenregel Konstanter Faktor und Summenregel: Ein konstanter Produktfaktor c bleibt beim Differenzieren erhalten: y(x) = c f(x)

y'(x) = c f '(x)

(c )

(3-15)

Die Summe oder Differenz von Funktionen kann gliedweise differenziert werden: y(x) = f1 (x) r f 2 (x) r f3 (x) r... rfn(x)

y'(x) = f1 '(x) r f 2 '(x) r f3 '(x) r... rfn'(x)

Seite 76

(3-16)

Differentialrechnung Ableitungsregeln Beispiel 3.2.7: Die Strahlungsintensität eines schwarzen Körpers bei der absoluten Temperatur T ist gegeben durch I(T) = V T 4 . Die Strahlungskonstante beträgt V = 5.67 10 - 8 W/(m2 K4 ). Wie groß ist die Änderung der Strahlungsintensität bei der Temperatur T = 285 K ? I ( T) = V ˜ T

4

d

durch Differentiation, ergibt

I ( T) = 4 ˜ V ˜ T

3

dT V  5.67 ˜ 10

8

W

˜

2

m ˜K IT  4 ˜ V ˜ T

T  285 ˜ K

4

3

IT

Strahlungskonstante und Temperaturwert T W

5.25

Ableitungswert bei der Temperatur T = 285 K

2

m ˜K

Beispiel 3.2.8: Bewegt sich ein Körper der Masse m, so besitzt er die kinetische Energie E k. Wie groß ist die Änderung der kinetischen Energie bezüglich der Geschwindigkeit ? 2

Ek ( v) = d dv

m˜v

durch Differentiation, ergibt

2

d dv

Ek ( v) = m ˜ v = p

Ek ( v) = m ˜ v

Die Änderung der kinetischen Energie nach der Geschwindigkeit ist gleich dem Impuls!

Beispiel 3.2.9: Bilden sie die 1. Ableitung der folgenden Funktionen: 2

(1) y = x  x

y' = 2 x+1 y ' ( x) =

d dx

5

(2) y = 7 ˜ x 

1 2

3

˜x

2

vereinfacht auf y ' ( x) = 2 ˜ x  1

y' = 35 x4 + 3/2 x2 y ' ( x) =

3

x2  x

(3) y = 8 ˜ x  7 ˜ x  x  15

§ 7 ˜ x5  1 ˜ x3· ¨ 2 dx © ¹ d

4

vereinfacht auf y ' ( x) = 35 ˜ x 

3 2

2

˜x

y' = 24 x2 - 14 x + 1

y ' ( x) =

d dx

8 ˜ x3  7 ˜ x2  x  15

2

vereinfacht auf y ' ( x) = 24 ˜ x  14 ˜ x  1

Beispiel 3.2.10: Wie groß ist die Steigung der Kurve y = 1/3 x 3 + 1 im Punkt P(1 | 4/3) ? Wie groß ist der Steigungswinkel der Tangente im Punkt P und wie lautet die Tangentengleichung ? y=

1 3

3

˜x  1

y' = x2

k = tan ( D ) = y ' ( 1)

tan ( D ) = 1

y=k˜x d

Gleichung der Tangente

4 3

=1d

Ÿ d=

1

Steigung der Tangente

y ' ( 1) = 1 hat als Lösung(en)

1 4

Achsenabschnitt der Tangente

3

Seite 77

˜S

y=x

Steigungswinkel der Tangente

1 3

Gleichung der Tangente

Differentialrechnung Ableitungsregeln Beispiel 3.2.11: Für den senkrechten Wurf nach unten (ohne Luftwiderstand) gilt s = v 0 t + g/2 t2 . Wie groß ist die Momentangeschwindigkeit in jedem Zeitpunkt und wie groß ist die Momentanbeschleunigung in jedem Zeitpunkt. v( t) =

d

s ( t) =

dt a ( t) =

d

v( t) =

dt

§ v ˜ t  g ˜ t 2· ¨ 0 2 dt © ¹

vereinfacht auf

v0  g ˜ t dt

vereinfacht auf

d

d

v( t) =

d dt

a ( t) =

d

s ( t ) = v0  g ˜ t v( t) = g

dt

Beispiel 3.2.12: In welchen Punkten der Parabel y = (x 2 /2) - 3 x + 4 ist die Steigung der Tangente 1 bzw. -1 ? y=

1 2

2

˜ x  3˜ x 4

y ' ( x) =

x 3=1

Ÿ

x  3 = 1

Ÿ

§ 1 ˜ x2  3 ˜ x  4· ¨ dx © 2 ¹ d

x1 = 4

y1 = 0

x2 = 2

y2 = 0

vereinfacht auf

y ' ( x) = x  3

Koordinaten der gesuchten Punkte

3.2.4 Produktregel Produktregel: y(x) = u(x) . v(x)

y'(x) = u'(x) . v(x) + v'(x) . u(x)

(3-17)

Beispiel 3.2.13: Bilden sie die 1. Ableitung der folgenden Funktionen händisch und mithilfe von Mathcad: (1)

y = 2 ˜ x ˜ ( x  1)

y ' = 2 (x - 1) + 1 2 x = 4 x - 2 y ' ( x) =

d

[ 2 ˜ x ˜ ( x  1) ]

vereinfacht auf

y ' ( x) = 4 ˜ x  2

vereinfacht auf

y ' ( x) = 2 ˜ x

dx (2)

y = ( 2  x) ˜ ( 2  x)

y ' = -1 (2 + x) + 1 (2 - x) = - 2 x y ' ( x) =

d

[ ( 2  x) ˜ ( 2  x) ]

dx (3)

2



y = x  x  1 ˜ ( x  1)

y ' = (2 x + 1) (x - 1) + 1 (x2 + x + 1) y ' ( x) =

d dx

(4)

2

§

1

©

x

y = x ˜ ¨x 



1

·

2

¹

x





ª¬ x2  x  1 ˜ ( x  1)º¼

vereinfacht auf

2

y ' ( x) = 3 ˜ x

y ' = 2 x (x - 1/x - 1/x2 ) + (1 + x -2 + 2 x -3) x2 y ' ( x) =

ªx2 ˜ § x  1  1 ·º « ¨ 2 » x dx x ¹¼ ¬ © d

Seite 78

vereinfacht auf

2

y ' ( x) = 3 ˜ x  1

Differentialrechnung Ableitungsregeln 3.2.5 Quotientenregel Quotientenregel: Sei y ( x) =

u ( x) v ( x)

mit v(x) z0.

Aus der Produktregel folgt: y = u/v Ÿu = v y Ÿu' = v' y+ y' v Ÿ y' v = u' - v' y Ÿ y' = (u' - v' y)/v y' = (u' - v' (u/v))/v . Durch Vereinfachung des Bruches erhalten wir schließlich die Quotientenregel: y ' ( x) =

u ' ( x) ˜ v ( x)  v ' ( x) ˜ u ( x) ( v ( x) )

(v(x) z0)

2

Ÿ

(3-18)

Beispiel 3.2.14: Bilden sie die 1. Ableitung der folgenden Funktionen händisch und mithilfe von Mathcad: 2

(1) y =

4˜ x  1 2˜ x

y ' ( x) =

2

2

x 1

y ' ( x) =

2

§ 4 ˜ x2  1 · ¨ dx © 2 ˜ x ¹ d

vereinfacht auf y ' ( x) =

y ' ( x) =

2

x  5˜ x 6 x 3

y ' ( x) =

vereinfacht auf y ' ( x) =

2 2 x2  1 2

2˜ x˜ x  1  2˜ x˜ x  1

x 1

(3) y =



2

4˜ x

y ' ( x) =

(2) y =



8˜ x˜ 2˜ x  2˜ 4˜ x  1

§ x2  ¨ dx ¨ x2  © d

1·

2 1 2

4 ˜ x2  1

˜

2

x

4 ˜ x2  1

˜

2

x

vereinfacht auf y ' ( x) = 4 ˜

vereinfacht auf y ' ( x) = 4 ˜

1¹

2



( 2 ˜ x  5) ˜ ( x  3)  1 ˜ x  5 ˜ x  6 ( x  3)

y ' ( x) =

1

§ x2  5 ˜ x  6 · ¨ x 3 dx © ¹ d

2

vereinfacht auf

vereinfacht auf

x

x2  1 2 x

x2  1 2 y ' ( x) = 1

y ' ( x) = 1

Beispiel 3.2.15: Wie groß ist die Steigung der Tangente der Funktion y = (x+1)/(x-1) an der Stelle x 1 = 0 und x 2 = 2 ? y=

x 1

y ' ( x) =

x 1

x1  0 y ' ( x) 

x2  2 2 ( x  1)

2

§ x  1· ¨ dx © x  1 ¹ d

vereinfacht auf

y ' ( x) =

( x  1)

Stelle 0 und 2



y ' x1

2

2



y ' x2

2

Seite 79

Steigungen der Tangenten

2

Differentialrechnung Ableitungsregeln Beispiel 3.2.16: Unter welchem Winkel schneidet der Graph der Funktion y = (x 2 - 4)/(x+1) die x-Achse ? 2

y=

x 4

gegebene Funktion

x 1

2

x 4 x 1

Gleichung zur Nullstellenbestimmung

=0

x1  2

y ' ( x) =

y ' ( x) 

x2  2

Nullstellen der Funktion

§ x2  4 · ¨ dx © x  1 ¹ d

vereinfacht auf



k 1  y ' x1

2

k1

x2  2 ˜ x  4 ( x  1)

x2  2 ˜ x  4 ( x  1)

y ' ( x) =

1.333

2

Ableitungsfunktion

Ableitungsfunktion



k 2  y ' x2

k2

Steigungen der Tangenten

4



M1

53.13 Grad

Winkel zwischen x-Achse und gegebener Kurve



M2

75.964 Grad

Winkel zwischen x-Achse und gegebener Kurve

M 1  atan k 1 M 2  atan k 2

Beispiel 3.2.17: Nach dem Boyle - Mariottschen Gesetz gilt V = c/p. Wie groß ist die Volumsänderung beim Druck p ? V ( p) =

c

d

durch Differentiation, ergibt

p

dp

V ( p) =

c 2

p

Beispiel 3.2.18: Bestimmen Sie den Verlauf der Wellen- und Gruppengeschwindigkeit in der Umgebung einer Absorptionslinie: k (Z ) =

k (Z ) =

B · ¨A  2 2 c¨ Z0  Z © ¹

Z§

Wellenzahl

B · ¨A  2 2 c¨ Z0  Z © ¹

Z§

durch Differentiation, ergibt

2

B Z B º ª »  2˜ ˜ k (Z ) = ˜ «A  2 c « c dZ § Z 2  Z 2· » § Z 2  Z 2· ¬ © 0 ¹¼ 0 © ¹ d

1

Seite 80

Wellengeschwindigkeit

Differentialrechnung Ableitungsregeln

vgr ( Z ) =

d

1

Z ( k) =

dk

d dZ

vgr ( Z ) =

Gruppengeschwindigkeit

k (Z ) 1

2 º» ª« 1 ª B B º  2˜ Z ˜ ˜ «A  » «c « 2» c § Z 2  Z 2· » § Z 2  Z 2· » «¬ ¬ © 0 ¹¼ © 0 ¹ ¼

vgr ( Z ) = c ˜

§ Z 2  Z 2· © 0 ¹

vereinfacht auf

2

§ A ˜ Z 4  2 ˜ A ˜ Z 2 ˜ Z 2  A ˜ Z 4  B ˜ Z 2  Z 2 ˜ B· 0 0 0 © ¹

3.2.6 Kettenregel Kettenregel: 2

2

Eine Funktion wie z.B. y = x  1 nennen wir verkettete Funktion, wobei x + 1 als "innere Funktion" und die Wurzel als "äußere Funktion" bezeichnet wird.

h ... äußere Funktion g ... innere Funktion y = h(g(x))

Abb. 3.2.3 Sei y = h(g(x)) = h(z) mit z = g(x). Dann gilt: y' = h'(z) g'(x) bzw.

d

y=

dx

d

h˜

dz

d

z

(3-19)

dx

Wenn die innere Funktion wieder eine Funktion von einer Funktion ist, lässt sich die Kettenregel analog anwenden. Sei also y = f(g(h(x))) mit y = f(z) , z = g(w) und w = h(x). Dann gilt: y' = f'(z) . g'(w) . h'(x) bzw.

d dx

y=

d dz

y˜

d dw

Seite 81

z˜

d dx

w

(3-20)

Differentialrechnung Ableitungsregeln Beispiel 3.2.19: Bilden sie die 1. Ableitung händisch und mit Mathcad der folgenden Funktionen:

(1)

y = ( 2 ˜ x  1)

3

h = z3 und z = g(x) = 2 x + 1 2

bzw.

y ' ( x) = 6 ˜ ( 2 ˜ x  1)

2

händisch auswerten

3

vereinfacht auf

y ' ( x) = 6 ˜ ( 2 ˜ x  1)

2

mit Mathcad auswerten durch vereinfachen

y ' ( x) = 3 ˜ ( 2 ˜ x  1) ˜ 2

y ' ( x) =

d

( 2 ˜ x  1)

gegebene Funktion

dx

(2)

y=

2

x  2˜ x 3

h = z1/2 und z = g(x) = x2 + 2 x - 3 1

y ' ( x) =

y ' ( x) =

2

1

2

˜ x  2˜ x 3

2 d

2

x  2˜ x 3

˜ ( 2 ˜ x  2)

Ableitungsfunktion ( x  1)

vereinfacht auf y ' ( x) =

1

dx

x2  2 ˜ x  3 (3)

y=

3˜ x 1

h = z1/2 und z = g(x) = 3 x + 1

gegebene Funktion

1

y ' ( x) =

y ' ( x) =

1 2

( 3 ˜ x  1)

d

2

˜3

3˜ x 1

Ableitungsfunktion 3

vereinfacht auf y ' ( x) =

1

dx 2 ˜ ( 3 ˜ x  1) Damit gilt offensichtlich bei Verkettung mit einer Quadratwurzel: y=

(4)

f ( x)

2

x 1

y ' ( x) = 2 ˜ x ˜

x  1

y ' ( x) =

dx

(3-21)

f ( x)

gegebene Funktion

2

2

3˜ x

3

2˜



2˜

3

y= x  1 ˜

d

f ' ( x)

y' =



ª x2  1 ˜ x3  1º ¬ ¼

˜ x 1

Ableitungsfunktion

3

x 1

vereinfacht auf

y ' ( x) =

1 2

3  7 ˜ x  4  3 ˜ x ˜ x˜ 1

x3  1 Seite 82

2

2

2

Differentialrechnung Ableitungsregeln

(5)

3 ˜ x2  1 y= ( x  1)

y ' ( x) =

3

gegebene Funktion

2





2

3˜ 3˜ x  1

2

ª¬( x  1) 2º¼

y ' ( x) =

d

3 ˜ x2  1

dx

( x  1)



2

2



˜ 6 ˜ x ˜ ( x  1)  2 ˜ ( x  1) ˜ 3 ˜ x  1

Ableitungsfunktion

2

3

vereinfacht auf

2

3

2  6 ˜ x2  9 ˜ x  1 2  y ' ( x) = 2 ˜ 3 ˜ x  1 ˜ 3

( x  1)

1

(6)

2

x

y=

2

= x˜ x  1

gegebene Funktion

2

x 1 1

2

y ' ( x) = 1 ˜ x  1

y ' ( x) =

y=

1



2

2

˜ x 1

x

d dx

(7)

2

3 2

˜ 2˜ x˜ x

vereinfacht auf

vereinfacht auf

y ' ( x) =

3

2

x 1

3

x2  1 2

1

y ' ( x) =

1

x2  1 2

( 2 ˜ x  3) ˜ ( x  2)

gegebene Funktion 1

y ' ( x) =

y ' ( x) =

1

˜ [ ( 2 ˜ x  3) ˜ ( x  2) ]

2 d

( 2 ˜ x  3) ˜ ( x  2)

2

˜ [ 2 ˜ ( x  2)  1 ˜ ( 2 ˜ x  3) ]

vereinfacht auf

Ableitungsfunktion

1

y ' ( x) =

1

dx 2 ˜ [ ( 2 ˜ x  3) ˜ ( x  2) ]

(8)

y=

( 2 ˜ x  3)

3

f(z) = (z) 1/2 mit z = g(w) = w3 und w = h(x) = 2 x - 3

˜ ( 4 ˜ x  1)

2

gegebene Funktion

1

y ' ( x) =

y ' ( x) =

1 2 d

˜ ª¬( 2 ˜ x  3)

( 2 ˜ x  3)

3º

¼

3

2

2

˜ 3 ˜ ( 2 ˜ x  3) ˜ 2

vereinfacht auf

Ableitungsfunktion

y ' ( x) =

3 1

dx

ª¬( 2 ˜ x  3) 3º¼ Seite 83

2

˜ ( 2 ˜ x  3)

2

Differentialrechnung Ableitungsregeln Beispiel 3.2.20: Aus einem kugelförmigen Ballon entweicht Gas mit einer Geschwindigkeit von 54 l/min. Wie schnell nimmt die Oberfläche des Ballons ab, wenn der Radius am Anfang 3.6 m beträgt ?

V ( t) =

4˜ S

3

˜ r ( t) = f ( r ( t) )

3

Volumen und Oberfläche

2

AM ( t) = 4 ˜ S ˜ r ( t ) = g ( r ( t ) )

54 l = 54 dm3 Abb. 3.2.4 V ( t) =

4˜ S 3

˜ r ( t)

3

dt

2

durch Differentiation, ergibt d

2 d

4 ˜ S ˜ r ( t) ˜

dt d dt

vereinfacht auf

2

˜

d

r ( t ) dt

V ( t) =

AM ( t ) = 8 ˜ S ˜ r ( t ) ˜ AM ( t )

d

r ( t)

Volumenstrom (theoretisch)

r ( t)

dt

dt

dt

AM ( t ) =

2 d

V ( t) = 4 ˜ S ˜ r ( t) ˜

d

r ( t)

dt

= V ( t)

d dt

8 ˜ S ˜ r ( t) ˜

AM ( t )

d

d dt

AM ( t) = 4 ˜ S ˜ r ( t ) d

durch Differentiation, ergibt

= V ( t)

d

r ( t)

dt

2 r ( t)

dt

§

2 36 ˜ dm

˜ ¨ 54 ˜

©

3·

dm

d

vereinfacht auf

min ¹

dt

AM ( t ) =

2

˜

d

r ( t ) dt

2

V ( t ) = 3 ˜

dm

min

Die Oberfläche verkleinert sich um 3 dm 2 pro Minute. Beispiel 3.2.21: Aus einem konischen Trichter läuft Wasser mit der Geschwindigkeit von 8 cm 3 /s aus. Der Radius der Öffnung des Trichters sei R = 8 cm und die Höhe des Trichters H = 16 cm. Bestimme die Geschwindigkeit, mit der der Wasserspiegel sinkt, wenn er h = 4 cm über der Trichterspitze steht. r ( t) R

=

V ( t) =

h ( t)

r ( t)

ähnliche Dreiecke

8 ˜ cm

H 1 3

2

˜ S ˜ r ( t) ˜ h ( t) =

A1 ˜ v1 = A2 ˜ v2

1 3

=

h ( t) 16 ˜ cm

Ÿ

r ( t) =

h ( t) 2

2

§ h ( t) · ˜ h ( t) = 1 ˜ S ˜ h ( t) 3 12 © 2 ¹

˜S˜¨

Volumen

Kontinuitätsgleichung

Abb. 3.2.5 V ( t) =

d dt

1 12

h ( t) =

˜ S ˜ h ( t)

3

durch Differentiation, ergibt

d dt

4 2

S˜h

˜

d

V ( t)

1 4

2 d

˜ S ˜ h ( t) ˜

dt

Sinkgeschwindigkeit des Wasserspiegels (theoretisch)

dt

h  16 ˜ cm  4 ˜ cm

V ( t) =

Höhe des Wasserspiegels

Seite 84

h ( t)

Volumenstrom (theoretisch)

Differentialrechnung Ableitungsregeln

d

3

V ( t ) = 8 ˜

cm

Auslaufgeschwindigkeit (Volumenstrom)

s

dt

3 § 2 cm cm · d ¨ h ( t) = ˜ 8 ˜ o h ( t) = ˜ 2 9˜ S s s ¹ dt dt S˜h ©

2

4

d

9˜ S

˜

cm

0.071

s

cm s

Die Sinkgeschwindigkeit beträgt in 4 cm Höhe 0.071 cm pro Sekunde.

3.2.7 Ableitungen von Funktionen und Relationen in impliziter Darstellung Ableitungen von Funktionen und Relationen in impliziter Darstellung : y = 3 x2 - 2 x + 1

y = f(x)

explizite Funktionsgleichung

(3-22)

3 x2 - 2 x - y = - 1

F(x,y) = c

implizite Funktionsgleichung

(3-23)

x2 + y2 = r2

F(x,y) = c

implizite Gleichung - Relation

(3-24)

Wenn x die unabhängige und y die abhängige Variable bezeichnet, so differenzieren wir gliedweise jeden Term der Gleichung nach x. Jeder Term, der y enthält, ist mit der Kettenregel abzuleiten, da y von x abhängig ist. Danach lösen wir die erhaltene Gleichung nach y' auf.

Beispiel 3.2.22: Bilden Sie die 1. Ableitung der folgenden Funktionen und Relationen händisch und mithilfe von Mathcad: 2

(1)

3

2

y x =0

y=x

2

3˜ y ˜ y '  2˜ x= 0

3

2

y ( x)  x = 0

3

implizite und explizite Form

Ÿ

F( x, y, y' ) = 0

durch Differentiation, ergibt

y'=

2 3

x

˜

2

y' = f(x,y)

y

2 d

3 ˜ y ( x) ˜

y ( x)  2 ˜ x = 0

dx (2)

y=

2˜ y˜ y '  2˜ x = 0

F( x, y, y' ) = 0

2

2

2

2

y ( x)  x = 0

x

y= x

y x =0

implizite und explizite Form

Ÿ

durch Differentiation, ergibt

y'=

x

y' = f(x,y)

y

2 ˜ y ( x) ˜

d dx

(3)

3

2

y  x ˜y x=0 2

implizite Form 2

3˜ y ˜ y '  2˜ x˜ y  y ' ˜ x  1 = 0 y'=

1  2˜ x˜ y 2

2

F( x, y, y' ) = 0

y' = f(x,y)

3 ˜ y  x

Seite 85

y ( x)  2 ˜ x = 0

Differentialrechnung Ableitungsregeln 3

2

y ( x)  x ˜ y ( x)  x = 0

durch Differentiation, ergibt

2 d

3 ˜ y ( x) ˜

2 d

y ( x)  2 ˜ x ˜ y ( x)  x ˜

dx

y ( x)  1 = 0

dx

Beispiel 3.2.23: Bilden Sie die 1. Ableitung der Kreisgleichung: 2

2

2

x y =r

Kreis in Hauptlage

2˜ x  2˜ y˜ y ' = 0

F( x, y, y' ) = 0

2

2

2

Ÿ

y'=

( x  m)  ( y  n) = r

Kreis in allgemeiner Lage mit M(m|n)

2 ˜ ( x  m)  2 ˜ ( y  n) ˜ y ' = 0

F( x, y, y' ) = 0

Ÿ

y'=

Ÿ

y'=

x

y' = f(x,y)

y

( x  m) ( y  n)

y' = f(x,y)

Beispiel 3.2.24: Bilden Sie die 1. Ableitung der Ellipsengleichung: 2

x

2

2

y



2

a

Ellipse in Hauptlage

=1

b

2˜ x

2˜ y˜ y '



2

2

a

F( x, y, y' ) = 0

=0

2

2

( y  n)



2

y' = f(x,y)

2

Ellipse in allgemeiner Lage mit M(m|n)

=1

2

a

2

a ˜y

b

( x  m)

b ˜ x

b

2 ˜ ( x  m) 2



2 ˜ ( y  n) ˜ y ' 2

a

=0

F( x, y, y' ) = 0

Ÿ

2

y'=

b ˜ ( x  m) 2

y' = f(x,y)

a ˜ ( y  n)

b

Beispiel 3.2.25: Bilden Sie die 1. Ableitung der Hyperbelgleichung: 2

x

2

2

y



2

a

Hyperbel in Hauptlage

=1

b

2˜ x



2

2˜ y˜ y ' 2

a

F( x, y, y' ) = 0

=0

Ÿ

2

a

2



b ˜x 2

a ˜y

b

( x  m)

2

y'=

( y  n) 2

2

=1

Hyperbel in allgemeiner Lage mit M(m|n)

b

Seite 86

y' = f(x,y)

Differentialrechnung Ableitungsregeln 2 ˜ ( x  m) 2

2 ˜ ( y  n) ˜ y '



2

a

2

Ÿ

F( x, y, y' ) = 0

=0

y'=

b ˜ ( x  m) 2

y' = f(x,y)

a ˜ ( y  n)

b

Beispiel 3.2.26: Bilden Sie die 1. Ableitung der Parabel: 2

y  2˜ p˜ x= 0

Scheitelgleichung der Parabel (symmetrisch zur x-Achse und Brennpunkt F(p/2|0))

2

y ( x)  2 ˜ p ˜ x = 0

durch Differentiation, ergibt

2 ˜ y ( x) ˜

d

y ( x)  2 ˜ p = 0

F( x, y, y' ) = 0

dx y'=

p

y' = f(x,y)

y

Beispiel 3.2.27: Bilden Sie die 1. Ableitung der Astroide (Sternkurve): 2

x

3

2

y

3

2

=a

2

x

3

3

2

 y ( x)

3

implizite Form 2

=a

3

2

durch Differentiation, ergibt

1

3˜ x

3



2 1

3 ˜ y ( x)

§d · y ( x) = 0 © dx ¹

˜¨

F( x, y, y' ) = 0

1

implizite Ableitung mithilfe von Symboloperatoren

3

1

2 1

3˜ x

2



3

1

3˜ y

˜ y' = 0

y

hat als Lösung(en)

3

1

3

x

3

1

y'=

y

3

y' = f(x,y)

1

x

3

2 2· § 2 d ¨ 3 3 3 f ( x  y)  © x  y( x)  a ¹

dx

auflösen 

d dx

1

y ( x)

o ersetzen  y ( x) = y

y

3

1

x

3

Seite 87

f ( 1  1)

Differentialrechnung Ableitungsregeln Beispiel 3.2.28: Bestimmen Sie die Steigung des Graphen im Punkt P 1 (1| y1 > 0), den Steigungswinkel der Tangente im P 1 und die Tangentengleichung durch P 1 der folgenden Relation: 2

2

y  x ˜y=3

implizite Gleichung

1 § ¨1 1 ¨  ˜ 13 2 2 ¨2 2 y  y1  1 ˜ y1 = 3 auflösen  y1 o ¨ 1 ¨1 1 2 ¨  ˜ 13 ©2 2 2

2˜ y˜ y '  2˜ x˜ y  y ' ˜ x = 0 y ' ( x  y)  2 ˜ x ˜

y

2 ˜ y  x2

 

D  atan y ' x1  y1



· ¸ ¸ ¸ ¸



D



ORIGIN festlegen

x1  1

x-Wert des Punktes P1

y1

y2

2.303

1.303

¹

hat als Lösung(en)

y ' x1  y1

ORIGIN  1

1.277

51.944 Grad

y  2.303 = 1.277 ˜ ( x  1)

hat als Lösung(en)

y = 1.277 ˜ x  1.026

Tangentengleichung in P 1

2 ˜ x ˜

y

2 ˜ y  x2

Steigung der Tangente in P 1 Steigungswinkel der Tangente in P 1 1.026  1.277 ˜ x

Beispiel 3.2.29: Gegeben ist die folgende Relation p.V = c . Bestimmen Sie die 1. Ableitung von p nach V (p = f(V)): p˜ V = c

implizite Gleichung

p '˜ V  p = 0

p'=

Setzen wir p = c/V ein, dann folgt:

p'=

p

p' = f(p,V)

V c V

p' = f(V)

2

Ableitungen der Umkehrfunktionen: Beispiel: y = 2 x +3 y' = 2

y = f(x) explizite Funktionsgleichung y' = f (x)'

x = 1/2 y - 3/2 (x = 1/2 y - 3/2)'

x = fu(y) Umkehrfunktion von y = f(x) 1 = 1/2 y' implizite Differentiation

Ÿ

Für die Ableitung der Umkehrfunktion gilt demnach: Ÿ

(x = fu(y))' f ( x) ' =

1

fu (y) '

bzw.

1 = fu'(y) . y' d dx

y=

1 d

x

dy

Seite 88

(3-25)

(3-26)

Differentialrechnung Ableitungsregeln Beispiel 3.2.30: Bilden Sie die 1. Ableitung der folgenden Funktionen: (1)

x

a)

y'=

(3)

(4)

2˜

x=y

2

y ' = 2˜ x

b)

x=

y

y = ( x  5)

implizite Ableitung

1=

2

a)

y ' = 2 ˜ ( x  5)

b)

x=5

2

1 = 2˜ y˜ y '

x=

a)

g

Funktion und Umkehrfunktion

x

y=x

s=

x=y 1

2

b)

(2)

2

y=

˜t

y

1

˜y'

2˜

y

x=5

y

1=

2

bzw.

y

1

bzw.

˜y'

2˜

1 2˜ y

=

1 2˜

x

x= y

Funktion und Umkehrfunktion

implizite Ableitung

y ' = 2˜

x=5

Funktion und Umkehrfunktion

y

implizite Ableitung

y ' = 2˜

y= 2˜ x

y = 2 ˜ ( x  5)

y

2˜ s

t=

y'=

bzw.

g

t=

2˜ s

Funktion und Umkehrfunktion

g

s ' = g˜ t

a)

2

b)

2˜ s

t=

g

1=

g

2˜ s

2˜

˜s'

implizite Ableitung

bzw.

y=

s ' = g˜

2˜ s g

= g˜ t

g 1

(5)

2

x˜ y = 1

1

y=

x

=x

2

1

implizite und explizite Darstellung der Funktion

x

3

a)

b)

y'=

1 2

˜x

2

2

1˜ y  2˜ y˜ y ' ˜ x = 0

hat als Lösung(en)

2

1

y'=

1 2

˜

y x

=

1 2

˜

x

3

2

x

1

=

1 2

˜x

2

Seite 89

˜

y x

implizite Ableitung

Differentialrechnung Ableitungsregeln 3.2.8 Ableitung der Exponential- und Logarithmusfunktion Exponentialfunktion: f: y = a x , D Ž  und W Ž + , a +\ { 1 } y ' ( x) =

d

x

+

x

+

a = a ˜ ln ( a) , D' Ž  und W' Ž  , a  \ { 1 }

(3-27)

dx Sonderfälle: y = ex

y = 10 x x

y' ( x) = e

y = 2x x

x

y' ( x) = 10 ˜ ln ( x)

y' ( x) = 2 ˜ ln ( 2)

(3-28)

Logarithmusfunktion: f: y = loga (x) = ln(x)/ln(a) , D Ž + und W Ž  , a +\ { 1 } ln ( x) lg ( x) lb ( x) y = loga ( x) = = = ln ( a) lg ( a) lb ( a) y ' ( x) =

(3-29)

1 1 + loga ( x) = ˜ , D' Ž  \ { 0 } und W' Ž  \ { 0 } , a  \ { 1 } ln ( a) x dx d

(3-30)

Sonderfälle: y = ln(x)

y' ( x) =

y = lg(x)

1 x

y' ( x) =

y = lb(x) 1

ln ( 10 )

˜

1

y' ( x) =

x

1 ln ( 2)

˜

1  x

Beispiel 3.2.31: Bilden Sie die 1. Ableitung händisch und mithilfe von Mathcad der folgenden Funktionen: (1)

x

y ' ( x) =

d dx

(2)

y ' ( x) = 3 ˜ e

3 ˜ ex x

y= 1  2˜ e y ' ( x) =

d dx

(3)

x

y= 3˜ e

1  2 ˜ ex

x

y= e  2˜ x y ' ( x) =

d dx

ex  2 ˜ x

vereinfacht auf

y ' ( x) = 3 ˜ exp ( x)

x

y ' ( x) = 2 ˜ e

vereinfacht auf

y ' ( x) = 2 ˜ exp ( x)

x

y ' ( x) = e  2 vereinfacht auf

y ' ( x) = exp ( x)  2

Seite 90

(3-31)

Differentialrechnung Ableitungsregeln (4)

O ˜x

d

y ' ( x) =

dx (5)

O ˜x

y=c˜e

y ' ( x) = c ˜ O ˜ e

c ˜ eO˜x

y ' ( x) = c ˜ O ˜ exp ( O ˜ x)

vereinfacht auf

5˜x

5˜x

y ' ( x) = 5 ˜ e

y=e

5˜x

d

y ' ( x) =

y ' ( x) = 5 ˜ exp ( 5 ˜ x)

vereinfacht auf

e

dx (6)

 2˜x

 2˜x

y ' ( x) = 2 ˜ e

y=e

 2˜x

d

y ' ( x) =

y ' ( x) = 2 ˜ exp ( 2 ˜ x)

vereinfacht auf

e

dx (7)

3˜x

x

d

y ' ( x) =

dx (8)

x

3˜x

 3˜ e

y=e

x

y ' ( x) = 3 ˜ e

e3˜x  3 ˜ e x

ergibt

 3˜ e

y ' ( x) = 3 ˜ exp ( 3 ˜ x)  3 ˜ exp ( x)

2

x

2

y ' ( x) = 2 ˜ x ˜ e

y=e

d

y ' ( x) =

x

 2

2

y ' ( x) = 2 ˜ x ˜ exp x

vereinfacht auf

e

dx 1

2

ln ( y) = x ˜ ln ( e) x

(9)

y=e

y

2

2

x

 2˜ x˜ e

˜ y ' = 2˜ x

2

Implizite Differentiation nach dem Logarithmieren! x

2

2

y ' ( x) = x ˜ e

2

x

 2˜ e

2

2

x

 x˜ e

2

2

˜ 2˜ x

2 §¨  x2 x · d ¨ 2 2 y ' ( x) = © e  2˜ x˜ e ¹

dx



(10) y =

§ 1· ¨ © 2¹

x

§ 1· y ' ( x) = ¨ dx © 2 ¹ x

d dx

¹

§ 1 · ˜ ln § 1 · ¨ ¨ © 2¹ © 2¹

x

x

y ' ( x) = 2

vereinfacht auf x

(11) y = x ˜ 3

y ' ( x) =

©

x

y ' ( x) =

d

2

 2  2 ˜ x2 ˜ exp x2 ˜ exp §¨ 21 ˜ x2·

y ' ( x) = x  2 ˜ exp x

vereinfacht auf

x

˜ ln ( 2)

2

y ' ( x) = 2 ˜ x ˜ 3  3 ˜ ln ( 3) ˜ x

x2 ˜ 3x

vereinfacht auf

x

2

x

y ' ( x) = 2 ˜ x ˜ 3  x ˜ 3 ˜ ln ( 3)

Seite 91

Differentialrechnung Ableitungsregeln Beispiel 3.2.32: Berechnen Sie die Zerfallsgeschwindigkeit beim radiaktiven Zerfall. t  O ˜t

N ( t ) = N0 ˜ e

= N0 ˜ e

W

Zerfallsgesetz

Zerfallsgeschwindigkeit:  O ˜t

d

N ( t ) = N0 ˜ e

durch Differentiation, ergibt

O  0.0002

Zerfallskonstante

N0  1000

Anzahl der Kerne zur Zeit t = 0 s

dt

 O ˜t

N ( t )  N0 ˜ e

vN ( t)  N0 ˜ O ˜ exp ( O ˜ t)

t  0 ˜ min  0.01 ˜ min  500 ˜ min

Bereichsvariable

N ( t ) = N0 ˜ O ˜ exp ( O ˜ t)

Zerfallsgesetz und Zerfallsgeschwindigkeit

1000

0

400

600

vN ( t) 0.1

500

N( t)

200

0

200

400

0.2

600

t

t

min

min

Abb. 3.2.6

Abb. 3.2.7

Beispiel 3.2.33: Berechnen Sie die Abkühlungsgeschwindigkeit eines Körpers der Anfangstemperatur -a und der Umgebungstemperatur -u (konstant). t





- = -a  -u ˜ e

W

 -u

Abkühlungsgesetz von Newton

t





W

- ( t) = - a  - u ˜ e d

- ( 0) =



W

0=



durch Differentiation, ergibt

¨ ©W ¹

˜t -



˜t-

 -a  -u W

a

- ( t) =



˜ exp § t ·

 -a  -u W

¨ ©W¹

Steigung der Anlauftangente

W

 -a  -u W

d dt

˜ exp § 0 · = k = - a  - u

 -a  -u

dt - T ( t) =

 -u

Tangentengleichung a -a

hat als Lösung(en)

- a  - u Seite 92

˜W

Schnittstelle mit der t-Achse

Differentialrechnung Ableitungsregeln Gleichung zur Bestimmung der Schnittstelle der Tangente und -u-Geraden

- u = - T ( t)



˜t -

 -a  -u

-u =

W

W

hat als Lösung(en)

a

W  0.2 ˜ min

Zeitkonstante

°C  1

Grad-Definition

- a  100 ˜ °C

Anfangstemperatur

- u  25 ˜ °C

Umgebungstemperatur

Schnittstelle mit der -u - Geraden

t

- a  - u ˜ e W  - u  - a  - u ( t)  ˜t-

- ( t)  -T

-a

v-

Tangentengleichung

a

W

ta 

Abkühlungsgesetz

˜W

Schnittstelle mit der t-Achse

- a  - u  - a  - u § t · ( t)  ˜ exp

Abkühlungsgeschwindigkeit

¨ ©W¹

W

t  0 ˜ min  0.001 ˜ min  1 ˜ min

Bereichsvariable -a

Abkühlungsgesetz 100 W

- ( t) - T( t)

ta

min min 50

-u

0

0.2

0.4

0.6

Abb. 3.2.8

0.8

t min

Abkühlungsgeschwindigkeit 0

v- ( t)

0.2

0.4

0.6

5

0.8

Abb. 3.2.9

10 t min

Seite 93

Differentialrechnung Ableitungsregeln Beispiel 3.2.34: Ein- und Ausschaltvorgang eines R-L Serienkreises an Gleichspannung. Zeigen Sie, dass i(t) = I (1 - e -t/W) für den Einschaltvorgang und i(t) = I e-t/Wfür den Ausschaltvorgang die zugehörige Differentialgleichung erfüllt. uR ( t) = i ( t) ˜ R uL ( t) = L ˜ W =

d

Spannung am Widerstand

Spannung an der Spule

i ( t)

dt

L

Zeitkonstante

R

Abb. 3.2.10 Einschaltvorgang: U = uR ( t)  uL ( t) U = i ( t) ˜ R  L ˜

2. Kirchhoffsche Gesetz

d

i ( t)

dt

d

i ( t) 

dt

R · § ˜t ¨ U L i ( t) = ˜ ©1  e ¹

R L

˜ i ( t) =

U

d

L

dt

durch Differentiation, ergibt

R

d

i ( t) 

i ( t) =

dt

 R ·º ª § ˜t » « ¨ U R · R U U § L ˜ exp ¨ ˜t  ˜ « ˜ ©1  e ¹» = L © L ¹ L ¬R ¼ L

1 W

U L

U

˜ i ( t) =

inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung

L

§ R ˜ t· © L ¹

˜ exp ¨

vereinfacht auf

U L

=

U

Probe

L

Ausschaltvorgang: 0 = uR ( t)  uL ( t) 0 = i ( t) ˜ R  L ˜

d

2. Kirchhoffsche Gesetz i ( t)

dt R

i ( t) =

U R

˜e

L

d dt

i ( t) 

R L

i ( t) 

dt

˜t

durch Differentiation, ergibt

d

i ( t) =

dt

R · § ˜t ¨ U · L ˜ exp ¨ ˜t  ˜¨ ˜e =0 L © L ¹ L ©R ¹

U

d

˜ i ( t) = 0

§ R

R

1 W

˜ i ( t) = 0

U L

homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung

§ R ˜ t· © L ¹

˜ exp ¨

Probe

Beispiel 3.2.35: Ein- und Ausschaltvorgang eines R-C Serienkreises an Gleichspannung. Zeigen Sie, dass u C(t) = U (1 - e-t/W) für den Einschaltvorgang und u C(t) = U e-t/Wfür den Ausschaltvorgang die zugehörige Differentialgleichung erfüllt.

Seite 94

Differentialrechnung Ableitungsregeln uR = i ( t ) ˜ R

Spannung am Ohmschen Widerstand

1 ´ µ ˜ uC ( t) = C µ ¶ d

i ( t) = C ˜

dt

Spannung am Kondensator

i ( t ) dt

Strom im Stromkreis

uc ( t)

W = R˜ C

Zeitkonstante

Abb. 3.2.11 Einschaltvorgang: U = uR ( t)  uC ( t) U = i ( t) ˜ R 

U = R˜ C˜

d dt

1 ´ µ ˜ C µ ¶

2. Kirchhoffsche Gesetz i ( t ) dt

/d/dt

0 = R˜

d

i ( t) 

dt

uC ( t)  uC ( t)

1 C

i ( t ) bzw.

d

i ( t) 

dt

homogene lineare ˜ i ( t ) = 0 Differentialgleichung R˜ C 1. Ordnung 1

inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung

1 U uC ( t)  ˜ uC ( t) = R ˜ C R ˜C dt d

t

i ( t) =

U R

˜e

R˜C

d

durch Differentiation, ergibt

i ( t) =

dt

t · § ¨ R˜C uc ( t) = U ˜ © 1  e ¹

U 2

R ˜C

§ t · © R ˜ C¹

˜ exp ¨

U § t · uc ( t) = ˜ exp ¨ R ˜ C dt © R ˜ C¹ d

durch Differentiation, ergibt

t · § ¨ U § t ·  1 U ˜ e R˜C = 0 0 = R˜ ˜ exp ¨ ¨ 2 © R ˜ C¹ C© R ¹ R ˜C

Probe

t · § ¨ t · 1 U § R˜C ˜ exp ¨  ˜ U ˜ ©1  e ¹= R˜ C R˜ C © R ˜ C¹ R ˜ C

U

vereinfacht auf

U R˜ C

=

U R˜ C

Probe

Ausschaltvorgang: 0 = uR ( t)  uC ( t)

0 = i ( t) ˜ R 

0 = R˜ C˜

d dt

1 ´ µ ˜ C µ ¶

2. Kirchhoffsche Gesetz

i ( t ) dt

uC ( t)  uC ( t)

/d/dt

0 = R˜

d dt

i ( t) 

1 C

i ( t ) bzw.

dt

1 uC ( t)  ˜ u ( t) = 0 R˜ C C dt d

t

i ( t) = 

U R

˜e

R˜C

§ t · uC ( t ) = U ˜ exp ¨ R˜ C ©

d

¹

Seite 95

i ( t) 

homogene lineare ˜ i ( t ) = 0 Differentialgleichung R˜ C 1. Ordnung 1

homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung

Differentialrechnung Ableitungsregeln t

i ( t) = 

U R

˜e

R˜C

durch Differentiation, ergibt

©

¹

durch Differentiation, ergibt

t · § ¨ 1 U § t ·  1 ˜  U ˜ e R˜C = 0 ˜ ˜ exp ¨ ¨ 2 C © R ˜ C¹ R ˜ C © R ¹ R

R˜ C

i ( t) =

dt

§ t · uC ( t ) = U ˜ exp ¨ R˜ C

U

d

1 2

R

˜

U C

§ t · © R ˜ C¹

˜ exp ¨

U § t · ˜ exp ¨ uC ( t) = R˜ C dt © R ˜ C¹ d

Probe

§ t ·  1 ˜ § U ˜ exp § t · · = 0 ¨ ¨ © R ˜ C¹ R ˜ C © © R ˜ C ¹¹

˜ exp ¨

Probe

Beispiel 3.2.36: Bilden Sie die 1. Ableitung der folgenden Funktionen händisch und mithilfe von Mathcad: (1)

y = 3 ˜ ln ( x) y ' ( x) =

d

y ' ( x) = 3 ˜

( 3 ˜ ln ( x) )

1 x

vereinfacht auf

y ' ( x) =

dx

(2)

y = x ˜ ln ( x)

y ' ( x) =

d

y ' ( x) = 1 ˜ ln ( x) 

( x ˜ ln ( x) )

1 x

3 x

˜x y ' ( x) = ln ( x)  1

vereinfacht auf

dx 1 (3)

y=

ln ( x)

y ' ( x) =

(4)

y ' ( x) =

x

x

˜ x  1 ˜ ln ( x) 2

x d ln ( x) dx x

vereinfacht auf

y ' ( x) =

( 1  ln ( x) ) 2

x

 2

y = ln x

y ' ( x) =

1 2

˜ 2˜ x

x y ' ( x) =

d

 2

ln x

vereinfacht auf

2

y ' ( x) = 2 ˜ ( ln ( x) ) ˜

dx (5)

y = ( ln ( x) )

y ' ( x) =

d

( ln ( x) )

2

vereinfacht auf

y ' ( x) =

2 x

1 x y ' ( x) = 2 ˜

dx

Seite 96

ln ( x) x

Differentialrechnung Ableitungsregeln

(6)

§

y ' ( x) =

d dx



·

2

y = ln © x 

ª « 1 1 2 y ' ( x) = ˜ «1  ˜ x  1 2 2 ¬ x x  1

x  1¹

§

ln © x 

2

·

x  1¹

vereinfacht auf

1



2

º » ˜ 2 ˜ x» ¼ 1

y ' ( x) =

1

x2  1 2 Beispiel 3.2.37: Bilden Sie die 1. Ableitung der folgenden Funktionen über die Umkehrfunktion bzw. durch Logarithmieren: d (1)

x

y=e

x = ln ( y ( x) )

durch Differentiation, ergibt

1=

d (2)

x

y=a

ln ( y ( x) ) = x ˜ ln ( a)

durch Differentiation, ergibt

y ( x)

dx

x

y ' ( x) = 1 ˜ y ( x) = e

y ( x)

y ( x)

dx

= ln ( a)

y ( x)

x

y ' ( x) = ln ( a) ˜ y ( x) = ln ( a) ˜ a

(3)

y = ln ( x)

y( x)

e

=x

durch Differentiation, ergibt

d

y ( x) ˜ exp ( y ( x) ) = 1

dx y ' ( x) =

(4)

y = loga ( x)

y( x)

a

=x

durch Differentiation, ergibt

y = u ( x) ˜ v ( x)

exp ( y ( x) )

y( x) d

a

˜

=

1 x

y ( x) ˜ ln ( a) = 1

dx y ' ( x) =

(5)

1

1 ln ( a)

˜

1 y( x)

a

=

1 ln ( a)

˜

1 x

ln ( y ( x) ) = ln ( u ( x) )  ln ( v ( x) ) durch Differentiation, ergibt d

d

y ( x)

dx y ( x)

=

d

u ( x)

dx u ( x)



v ( x)

dx v ( x)

Ÿ

· §d d ¨ d u ( x) dxv ( x) x y ' ( x) = u ( x) ˜ v ( x) ˜ ¨  = u ' ( x) ˜ v ( x)  v ' ( x) ˜ u ( x) v ( x) ¹ © u ( x) Produktregel

Seite 97

Differentialrechnung Ableitungsregeln (6)

y = ( u ( x) )

v( x)

ln ( y ( x) ) = v ( x) ˜ ln ( u ( x) ) durch Differentiation, ergibt d

d

y ( x)

dx y ( x)

d

=

v ( x) ˜ ln ( u ( x) )  v ( x) ˜

dx

y ' ( x) = ( u ( x) )

v( x)

u ( x)

dx

Ÿ

u ( x)

§ ©

˜ ¨ v ' ( x) ˜ ln ( u ( x) )  u ' ( x) ˜

v ( x) · u ( x) ¹

1

(7)

y = ( a  b ˜ x)

x

ln ( y ( x) ) =

1 x

˜ ln ( a  b ˜ x)

durch Differentiation, ergibt d

y ( x)

dx y ( x)

=

1 2

˜ ln ( a  b ˜ x) 

x

1 x

˜

b ( a  b ˜ x)

Ÿ

1

y ' ( x) = ( a  b ˜ x)

(8)

 c˜x

b ª 1 ˜ ln ( a  b ˜ x)  1 ˜ º 2 x ( a  b ˜ x) » ¬x ¼

x

˜«

ln ( y ( x) ) = c ˜ x ˜ ln ( a)

y=a

durch Differentiation, ergibt d

y ( x)

dx y ( x)

Ÿ

= c ˜ ln ( a)  c˜x

y ' ( x) = c ˜ ln ( a) ˜ a

(9)

s = c p ˜ ln ( T)  C

Entropie bei isobarer Zustandsänderung

Ges.: T(s) und dT/ds ? s C

ln ( T) =

sC cp

Ÿ

T ( s) = e

cp

s C

T ( s) = e

cp

durch Differentiation, ergibt

d ds

Seite 98

T (s) =

1 cp

ª ( s  C)º » ¬ cp ¼

˜ exp «

Differentialrechnung Ableitungsregeln 3.2.9 Ableitung von Kreis- und Arkusfunktionen Ableitungen der Kreisfunktionen: Sinusfunktion: f: y = sin(x) , D =  und W = [-1 , +1]. y ' ( x) =

d

sin ( x) = cos ( x) , D' =  und W' = [-1 , +1]

(3-32)

dx Kosinusfunktion: f: y = cos(x) , D =  und W = [-1 , +1]. y ' ( x) =

d

cos ( x) = sin ( x) , D' =  und W' = [-1 , +1]

(3-33)

dx Tangensfunktion: f: y = tan(x) = sin(x)/cos(x) , D = \ {(2k+1) S/2} und W = . y ' ( x) =

d dx

1

tan ( x) =

( cos ( x) )

= 1  ( tan ( x) )

2

2

, D' = \ {(2k+1) S/2 } und W' = 

(3-34)

Kotangensfunktion: f: y = cot(x) = cos(x)/sin(x) , D = \ {k S} und W = . y ' ( x) =

d dx

= ª¬ 1  ( cot ( x) )

1

cot ( x) = 

( sin ( x) )

2

2º

¼ , D' = \ {k S} und W' = 

(3-35)

Ableitungen der Arkusfunktionen: Arkussinusfunktion: f: y = arcsin(x) , D = [-1 , +1] und W = [-S/2 , +S/2] usw. y ' ( x) =

d

1

arcsin ( x) =

dx

, D' = ]-1 , +1[

(3-36)

2

1x

Arkuskosinusfunktion: f: y = arccos(x) , D = [-1 , +1] und W = [0 , S] usw. y ' ( x) =

d

1

arccos ( x) = 

dx

, D' = ]-1 , +1[

(3-37)

2

1x

Arkustangensfunktion: f: y = arctan(x) , D = und W = ]-S/2 , +S/2[ usw. y ' ( x) =

d dx

1

arctan ( x) =

, D' = 

2

(3-38)

1 x

Arkuskotangensfunktion: f: y = arccot(x) , D =  und W = ]0 , S[ usw. y ' ( x) =

d dx

arccot ( x) = 

1 2

, D' = 

1x



Seite 99

(3-39)

Differentialrechnung Ableitungsregeln Beispiel 3.2.38: Bilden Sie die 1. Ableitung der folgenden Funktionen händisch und mithilfe von Mathcad: (1)

y = a ˜ sin ( x) y ' ( x) =

d

y ' ( x) = a ˜ cos ( x)

( a ˜ sin ( x) )

y ' ( x) = a ˜ cos ( x)

vereinfacht auf

dx (2)

y = sin ( a ˜ x) y ' ( x) =

d

y ' ( x) = a ˜ cos ( a ˜ x)

sin ( a ˜ x)

y ' ( x) = cos ( a ˜ x) ˜ a

vereinfacht auf

dx (3)

y = sin ( 2 ˜ x  c ) y ' ( x) =

d

y ' ( x) = 2 ˜ cos ( 2 ˜ x  c )

sin ( 2 ˜ x  c )

y ' ( x) = 2 ˜ cos ( 2 ˜ x  c )

vereinfacht auf

dx (4)

y = r ˜ sin ( Z ˜ t  M ) y ' ( t) =

d

y ' ( t) = r ˜ Z ˜ cos ( Z ˜ t  M )

( r ˜ sin ( Z ˜ t  M ) )

vereinfacht auf

§x· ©c¹

y ' ( x) = cos ¨

y ' ( t) = r ˜ cos ( Z ˜ t  M ) ˜ Z

dt (5)

y ' ( x) =

(6)

§ c ˜ sin § x · · ¨ ¨ dx © © c ¹¹

vereinfacht auf

§x· © 2¹

y ' ( x) =

d

y = cos ¨

y ' ( x) =

d dx

(7)

§x· ©c¹

y = c ˜ sin ¨

§x· © 2¹

cos ¨

d

2

§x· © 2¹

sin ¨

vereinfacht auf

y = cos ( 4 ˜ x  1)

y ' ( x) =

1

§x· ©c¹

y ' ( x) = cos ¨

y ' ( x) =

1 2

§ 1 ˜ x· ©2 ¹

˜ sin ¨

y ' ( x) = 4 sin ( 4 ˜ x  1)

cos ( 4 ˜ x  1)

vereinfacht auf

y ' ( x) = 4 ˜ sin ( 4 ˜ x  1)

dx (8)

y = r ˜ cos ( Z ˜ t  M )

y ' ( t) =

d

y ' ( t) = r ˜ Z sin ( Z ˜ t  M )

( r ˜ cos ( Z ˜ t  M ) )

vereinfacht auf

y ' ( t) = r ˜ sin ( Z ˜ t  M ) ˜ Z

dt (9)

y = ( cos ( c ˜ x) )

y ' ( x) =

d

2

( cos ( c ˜ x) )

y ' ( x) = 2 ˜ cos ( c ˜ x) ˜ ( 1) ˜ sin ( c ˜ x) ˜ c = c ˜ sin ( 2 ˜ c ˜ x) 2

vereinfacht auf

y ' ( x) = 2 ˜ cos ( c ˜ x) ˜ sin ( c ˜ x) ˜ c

dx

Seite 100

Differentialrechnung Ableitungsregeln 2

2

(10) y = x ˜ cos ( x) y ' ( x) =

d dx

y ' ( x) = 2 ˜ x ˜ cos ( x)  sin ( x) ˜ x

x2 ˜ cos(x)

(11) y = cos ( x) ˜ sin ( x) y ' ( x) =

d

2

y ' ( x) = 2 ˜ x ˜ cos ( x)  x ˜ sin ( x)

vereinfacht auf

y ' ( x) = sin ( x) ˜ sin ( x)  cos ( x) ˜ cos ( x)

( cos ( x) ˜ sin ( x) )

2

y ' ( x) = 2 ˜ cos ( x)  1

vereinfacht auf

dx (12) y =

1 cos ( x)

y ' ( x) =

(13) y =

y ' ( x) =

( cos ( x) ) 1

d

2

vereinfacht auf

cos ( x)

y ' ( x) =

sin ( x)  1 d sin ( x)  cos ( x) dx sin ( x)  1

˜ sin ( x)

( cos ( x)  sin ( x) ) ˜ ( sin ( x)  1)  cos ( x) ˜ ( sin ( x)  cos ( x) )

vereinfacht auf

1

y ' ( x) = 1 ˜ tan ( x) 

( x ˜ tan ( x) )

2

( cos ( x)  sin ( x)  1)

2  2 ˜ sin (x)  cos(x)2 2 ˜ x = tan ( x)   1  tan ( x) ˜ x 2

y ' ( x) =

cos ( x) d

2

( sin ( x)  1)

(14) y = x ˜ tan ( x)

y ' ( x) =

1

y ' ( x) =

dx cos ( x)

sin ( x)  cos ( x)

y ' ( x) =

sin ( x)

y ' ( x) = tan ( x)  x  x ˜ tan ( x)

vereinfacht auf

2

dx

 2

(15) y = tan x

y ' ( x) =

1

 2

2

˜ 2˜ x

cos x y ' ( x) =

d

 2

dx

(16) y = cot ( 3 ˜ x)  tan ( 3 ˜ x)

y ' ( x) =

1 sin ( 3 ˜ x)

y ' ( x) =

d

 2 ·¹ ˜ x

§

y ' ( x) = 2 ˜ © 1  tan x

vereinfacht auf

tan x

2

( cot ( 3 ˜ x)  tan ( 3 ˜ x) ) vereinfacht auf

1

˜3

cos ( 3 ˜ x)

2

˜3

y ' ( x) =

dx

2

2



3

cos ( 3 ˜ x) ˜ 1  cos ( 3 ˜ x) 1

(17) y = ln



cos ( x)



y ' ( x) =

1 cos ( x)

y ' ( x) =

d

ln



cos ( x)



vereinfacht auf

˜

1 2

˜ ( cos ( x) )

y ' ( x) =

dx

Seite 101

2

˜ ( sin ( x) )

1 2 ˜ cos ( x)

˜ sin ( x)

2



Differentialrechnung Ableitungsregeln Beispiel 3.2.39: Für einen gedämpften Schwingkreis gilt:  G˜t

uC ( t) = U0 ˜ e

§ ©

˜ ¨ cos ( Z ˜ t) 

G

˜ sin ( Z ˜ t)

Z

· ¹

Kondensatorspannung

Bestimmen Sie den Strom i = C du C/dt. i ( t) = C ˜

ªU ˜ e G˜t ˜ § cos ( Z ˜ t)  G ˜ sin ( Z ˜ t)·º « 0 ¨ » Z dt ¬ © ¹¼ d

i ( t ) = C ˜ U0 ˜ exp ( G ˜ t) ˜ sin ( Z ˜ t) ˜ 2

mit

i ( t) =

G Z Z U0 Z˜L

2

2

=

2

G  Z0  G

vereinfacht auf

 G 2  Z 2 Z

2

=

Z

1

folgt

Z ˜ L˜ C

˜ exp ( G ˜ t) ˜ sin ( Z ˜ t)

Stromfunktion

Beispiel 3.2.40: Leiten Sie die Ableitungsregeln für die Arkusfunktionen mithilfe impliziten Differentiation bzw. der Umkehrfunktionen her: (1)

y = arcsin ( x)

1 = cos ( y ( x) ) ˜

durch Differentiation, ergibt

x = sin ( y ( x) )

d

y ( x)

dx y' =

1 dx

=

1

1

=

cos ( y)

1  sin ( y)

dy

1

= 2

mit

2

2

1x

d

durch Differentiation, ergibt

y ( x) = asin ( x)

2

sin ( y)  cos ( y) = 1

y ( x) =

1 1

dx

1  x2 (2)

y = arccos ( x)

x = cos ( y ( x) )

asin(x) = arcsin(x)

2

1 = sin ( y ( x) ) ˜

durch Differentiation, ergibt

d

y ( x)

dx y' =

1 dx

=

1 sin ( y)

dy

y ( x) = acos ( x)

=

1 1  cos ( y)

= 2

1 2

durch Differentiation, ergibt

d

y ( x) =

1 1

1  x2 y = arctan ( x)

x = tan ( y ( x) )

2

1x

dx

(3)

2

sin ( y)  cos ( y) = 1

mit

durch Differentiation, ergibt

Seite 102

acos(x) = arccos(x)

2



1 = 1  tan ( y ( x) )

2

˜ d y(x) dx

Differentialrechnung Ableitungsregeln

y' =

1

1

=

dx

1  tan ( y)

2

1

=

2

1x

dy

durch Differentiation, ergibt

y ( x) = atan ( x)

d dx

(4)

y = arccot ( x)

y' =

1

1

dx

1  cot ( y ( x) )

2

atan(x) = arctan(x)

2

x 1



1 = 1  cot ( y ( x) )

durch Differentiation, ergibt

x = cot ( y ( x) )

=

1

y ( x) =

2

1

=

2

1x

dy

durch Differentiation, ergibt

y ( x) = acot ( x)

d

1

y ( x) =

dx

acot(x) = arccot(x)

2

x 1

Beispiel 3.2.41: Bilden Sie die 1. Ableitung händisch und mithilfe von Mathcad der folgenden Funktionen: (1)

y = arcsin ( 2 ˜ x)

2

y ' ( x) =

1  ( 2 ˜ x) y ' ( x) =

d

asin ( 2 ˜ x)

2

vereinfacht auf

2

y ' ( x) =

1

dx

1  4 ˜ x2 2 1 (2)

y = arcsin

y ' ( x) =

 x

d

asin

y ' ( x) =

 x

2



˜x

1 2

1x

vereinfacht auf

1

y ' ( x) =

1

dx 2˜ x

(3)

y = ( arcsin ( x) )

2

y ' ( x) = 2 ˜ arcsin ( x) ˜

2

1

˜ ( 1  x)

1 2

1x y ' ( x) =

d

( asin ( x) )

2

asin ( x)

y ' ( x) = 2 ˜

vereinfacht auf

1

dx

1  x2 2 y ( x) = ( asin ( x) )

2

durch Differentiation, ergibt

d dx

y ( x) = 2 ˜

asin ( x) 1

1  x2 2 Seite 103

2

˜ d y(x) dx

Differentialrechnung Ableitungsregeln (4)

y = x ˜ arcsin ( x)

x

y ' ( x) = 1 ˜ arcsin ( x) 

2

1x 1

y ' ( x) =

d

( x ˜ asin ( x) )

vereinfacht auf

y ' ( x) =



2

asin ( x) ˜ 1  x

1

dx

1  x2 (5)

§x· © a¹

y = arccos ¨

y ' ( x) = 

1 a

d dx

§x· © a¹

arccos ¨

vereinfacht auf

2

1

˜

§x· ¨ © a¹

1

y ' ( x) =

2  x

2

1

y ' ( x) =

1





ª  a2  x2 º » a˜ « « 2 » a ¬ ¼ (6)

§

y ' ( x) =

§ 1· ©x¹

y ' ( x) =

dx

vereinfacht auf



§ x ·  a ˜ ln a2  x2 © a¹ 2

y = x ˜ arctan ¨

y ' ( x) =

(9)

§ 1· ©x¹



y ' ( x) =



 x

y = arccot e

d dx

 x

arccot e

2

vereinfacht auf

y ' ( x) =

Seite 104

2

1x

§x· 1 ¨ © a¹

2

˜x

§x· © a¹

1

 x

1

y ' ( x) = atan ¨

vereinfacht auf

y ' ( x) =

2˜

1

1 e

y ' ( x) =

2

1x

§ 1 · = 1 2 2 ©x ¹ x  1

§x·  1 ˜ © a¹ a



2˜ x

˜

˜¨

y ' ( x) = 1 ˜ arctan ¨

§ x ˜ arctan § x ·  a ˜ ln a2  x2 · ¨ ¨ dx © © a¹ 2 ¹ d

x

§ 1· ¨ ©x¹

1

2

1

y ' ( x) = atan ( x)

1 1

arctan ¨

2



1 x vereinfacht auf

d

x

y ' ( x) = 1 ˜ arctan ( x) 

y = arctan ¨

y ' ( x) =

(8)

¹

§ x ˜ arctan ( x)  ln § 1  x2· · © © ¹¹

d dx

(7)

2·

y = x ˜ arctan ( x)  ln © 1  x

2

x

2

˜e

exp ( x) ( 1  exp ( 2 ˜ x) )

a 2

˜

1 2

2

a x

˜ 2˜ x

Differentialrechnung Ableitungsregeln 3.2.10 Ableitung von Hyperbel- und Areafunktionen Ableitungen der Hyperbelfunktionen : Hyperbelsinus - sinus hyperbolicus: f: y = sinh(x) = (ex - e-x)/2 , D =  und W =  . y ' ( x) =

d

sinh ( x) = cosh ( x) , D' =  und W' = [1 , f[

(3-40)

dx Hyberbelkosinus - cosinus hyperbolicus: f: y = cosh(x) = (e x + e-x)/2 , D =  und W = [1 , f[ . y ' ( x) =

d

cosh ( x) = sinh ( x) , D' =  und W' = 

(3-41)

dx Hyberbeltangens - tangens hyperbolicus: f: y = tanh(x) = sinh(x)/cosh(x) , D = und W = ]-1 ,+1[ . y ' ( x) =

d

1

tanh ( x) =

dx

( cosh ( x) )

2

= 1  ( tanh ( x) )

2

, D' = und W' Ž 

(3-42)

Hyberbelkotangens - cotangens hyperbolicus: f: y = coth(x) = cosh(x)/sinh(x) , D = \ {0} und W \ [-1 , +1] . y ' ( x) =

d

coth ( x) = 

dx

1 ( sinh ( x) )

2

= 1  ( coth ( x) )

2

, D' = \ {0}

(3-43)

 Einige wichtige Beziehungen zwischen Kreis- bzw. Hyperbelfunktionen: cos 2 x + sin2 x = 1

cosh 2 x - sinh 2 x = 1

(3-44)

sin(2x) =2 sin(x)cos(x)

sinh(2x) = 2 sinh(x) cosh(x)

(3-45)

cos(2x) = cos2 x - sin 2 x

cosh(2x) = cosh 2 x + sinh2 x

(3-46)

sin2 x = 1/2 (1 - cos(2x))

sinh2 x = 1/2 (cosh(2x) -1)

(3-47)

cos 2 x = 1/2 (1 + cos(2x))

cosh 2 x = 1/2 (cosh(2x) + 1)

(3-48)

1/sin2 x = 1 + cot 2 (x)

1/sinh 2 x = - 1 + coth 2 (x)

(3-49)

1/cos2 x = 1 + tan 2 (x)

1/cosh2 x = 1 - tanh2 (x)

(3-50)

Seite 105

Differentialrechnung Ableitungsregeln x  3  3  0.01  3

Bereichsvariable 5

20

0 3

10

1 sinh( x)

1

tanh( x) 4

cosh( x)

2

0

2

4

4

coth ( x)

2

1

10

0

1

2

4

3

20

5 x

x

Abb. 3.2.12

Abb. 3.2.13

Beispiel 3.2.42: Bilden Sie die 1. Ableitung der folgenden Funktionen händisch und mithilfe von Mathcad: (1)

y = sinh ( k ˜ x)

y ' ( x) =

d

y ' ( x) = k ˜ cosh ( k ˜ x)

sinh ( k ˜ x)

y ' ( x) = cosh ( k ˜ x) ˜ k

vereinfacht auf

dx (2)



y = sinh k ˜

y ' ( x) =

d



x



sinh k ˜

y ' ( x) =



x



k 2˜

˜ cosh k ˜



x

x

vereinfacht auf

y ' ( x) =

dx

1 2

1· § ¨ k 2 ˜ cosh © k ˜ x ¹ ˜ 1

x (3)

y=

1

y ' ( x) =

sinh ( x)

y ' ( x) =

d

cosh ( x) sinh ( x)

1

vereinfacht auf

dx sinh ( x)

2

§

y=

x

2

y ' ( x) =

 ln ( sinh ( x) )  x ˜ coth ( x)



· = cosh ( x) ˜ 1  coth ( x) 2 2 © sinh ( x) ¹ 1

= cosh ( x) ˜ ¨

y ' ( x) =



cosh ( x)

1  cosh (x)2

2

(4)

2

y ' ( x) = x 

sinh ( x)

§ x2 · ¨  ln ( sinh ( x) )  x ˜ coth ( x) vereinfacht auf dx © 2 ¹ d

ª

1

˜ cosh ( x)  « 1 ˜ coth ( x) 

y ' ( x) = x ˜

¬

cosh ( x)

1  cosh (x)2

y ' ( x) = x ˜ coth ( x)

Seite 106

2

2

§ 1 · ˜ xº ¨ » 2 © sinh ( x) ¹ ¼

Differentialrechnung Ableitungsregeln Beispiel 3.2.43: Das Weg- Zeitgesetz für den zurückgelegten Weg s des freien Falls unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes lautet:

s ( t) =

vs

2

g

§

§ g ˜ t ··

©

© vs ¹ ¹

g ... Erdbeschleunigung vs ... stationäre Geschwindigkeit

˜ ln ¨ cosh ¨

Bestimmen Sie die Geschwindigkeit und Beschleunigung.

s ( t) =

vs

2

g

§

§ g ˜ t ··

©

© vs ¹ ¹

§

sinh ¨ g ˜

˜ ln ¨ cosh ¨

d

s ( t)

dt

§ t · s ( t ) = vs ˜ tanh ¨ g ˜ dt © vs ¹ d

durch Differentiation, ergibt a ( t) =

2

d

v ( t) =

ds

d

dt

2

·

© vs ¹ = v ˜ tanh § g ˜ t · ¨ v s dt § t · s¹ © cosh ¨ g ˜ vs © ¹ 2 § dd § t · ·˜g ¨ s ( t ) = 1  tanh ¨ g ˜ ¨ dt dt © © vs ¹ ¹ d

durch Differentiation, ergibt v( t) =

t

s ( t ) = vs ˜

s ( t)

Ableitungen der Areafunktionen:

§

y ' ( x) =

d

1

arsinh ( x) =

dx

x  1¹

, D' = 

(3-51)

x 1

§

§

y = arcosh ( x) = ln © x 

d

1

arcosh ( x)  r

dx

·

2

x  1¹ 2

artan ( x) =

dx



dx

(3-52)

x 1

1 2

D = ]-1 , +1[ und W = 

, D' = \ {-1, 1}

(3-53)

1x

§ x  1· © x  1¹

d

·

D' = \ [-1 , +1]

Areakotangenshyperbolicus: f: y = arcoth ( x) = ln ¨

y ' ( x) =



2

§ 1  x· © 1  x¹

d

+

D = [1 , f[ und W =  ‰ {0} bzw.

x  1¹ D = [1 , f[ und W =  

Areatangenshyperbolicus: f: y = artanh ( x) = ln ¨

y ' ( x) =

D =  und W = 

2

Areakosinushyperbolicus: f: y = arcosh ( x) = ln © x 

y ' ( x) = r

·

2

Areasinushyperbolicus: f: y = arsinh ( x) = ln © x 

arcoth ( x) =

1

D = \ [- 1 , 1[ und W =  \ {0}

D' = \ [-1, 1]

2

1 x

Seite 107

(3-54)

Differentialrechnung Ableitungsregeln x  3  3  0.01  3

Bereichsvariable 5

2 1

1 3

1 arsinh ( x)

1

artanh( x)

0

arcosh( x) 4

 arcosh( x)

2

0

2

4

acoth( x)

4

2

1

1

0

2

4

3

2

5 x

x

Abb. 3.2.14

Abb. 3.2.15

Beispiel 3.2.44: Leiten Sie den Zusammenhang zwischen arsinh(x) und ln(x) her. y

y

y = arsinh ( x) y

y

2˜ x= e  e y

e =x

Ÿ

x = sinh ( y) =

/.ey

Ÿ

2

x 1

2˜y

e

e e 2

y

Ÿ

 2˜ x˜ e  1 = 0

ey 2  2 ˜ x ˜ ey  1 = 0

Die negative Lösung entfällt, weil ey für alle y positiv ist!

Logarithmieren auf beiden Seiten liefert schließlich:

§

y = ln © x 

·

2

x  1¹

Beispiel 3.2.45: Leiten Sie die Ableitungsfunktion für die Areasinushyperbolicus-Funktionen her:

§

2

y = arsinh ( x) = ln © x  (1)

(2)

y ' ( x) =

§ 2 · x  1¹ ¨©

1

§  ©x

1 dx

=

1 cosh ( y)

dy

(3)

y ' ( x) =

d

arsinh ( x)

·

2˜ x

˜ ¨1 

Ÿ

y = arsinh ( x) y ' ( x) =

·

x  1¹ händisch (kann noch vereinfacht werden)

2

x  1¹

2˜

x = sinh ( y) =

1 1  sinh ( y)

= 2

1

mit

2

2

cosh ( y)  sinh ( y) = 1

2

1x

1

vereinfacht auf y ' ( x) =

1

dx

1  x2 Seite 108

2

mithilfe von Mathcad

mithilfe der Umkehrfunktion

Differentialrechnung Ableitungsregeln Beispiel 3.2.46: Bilden Sie die 1. Ableitung händisch und mithilfe von Mathcad von folgenden Funktionen: (1)

§x· © 3¹

y = 3 ˜ arsinh ¨

y ' ( x) =

1

y ' ( x) = 3 ˜

˜

§x· 1¨ © 3¹

§ 3 ˜ arsinh § x · · ¨ ¨ dx © © 3 ¹¹ d

vereinfacht auf

2

1 3

3

y ' ( x) =

1

9  x2 2 (2)

y ' ( x) =

(3)



§ x ·  a ˜ ln a2  x2 © a¹ 2

y = x ˜ artanh ¨



§x·  © a¹

y ' ( x) = 1 ˜ artanh ¨



§ x ˜ artanh § x ·  a ˜ ln a2  x2 · ¨ ¨ dx © © a¹ 2 ¹ d

§

y = arcosh ¨

·

1

y ' ( x) =

2

©1  x ¹

y ' ( x) =



d dx

§

arcosh ¨

·

1 2

1

§x· 1 ¨ © a¹

ª

˜ «

vereinfacht auf y ' ( x) =

©1  x ¹

2

1

˜

2

2

˜ ( 2 ˜ x)

a x

2˜ x



2

1  x2 2

1  x2

2

1

x

˜

1

ª x2 « «  2 ¬ 1 x



Beispiel 3.2.47:

a

a



§x· © a¹

2 ˜ x



x

y ' ( x) = artanh ¨

vereinfacht auf

º »= 2 2 § 1 ·  1 «¬ 1  x2 »¼ ¨ 2 ©1  x ¹ 1

2

˜

2



1

 



2 º º ª » ˜ « 2  x » » « 1  x2 » ¼ ¬ ¼

2

Ein Seil ist zwischen den Punkten A und B aufgehängt, und die Mittellinie hat die Gleichung y = a cosh(x/a) (Kettenlinie). Die Spannweite beträgt 2 L = 200 m. Im Punkt B hat das Seil eine Steigung k = 1. Bestimmen Sie den Durchhang f, und vergleichen Sie den Durchhang von einer Näherungsparabel y = b x 2 + a.

Abb. 3.2.16

Seite 109

Differentialrechnung Ableitungsregeln §x· © a¹

§x· © a¹

y = a ˜ cosh ¨

y ' ( x) = sinh ¨

y ' ( L) = k

y ' ( L) = sinh ¨

Funktion und deren Ableitung

§ L· = k © a¹

§ L· = k © a¹

Ÿ

sinh ¨

L a

§

= arsinh ( k ) = ln © k 

Ableitung an der Stelle L

2

·

k  1¹

Ÿ

a=

L

§

ln © k 

2

·

k  1¹

Für den Punkt B(L | a+f) gilt:

§ L· © a¹

Ÿ

a  f = a ˜ cosh ¨

2

§ L ·  1· © a¹ ¹

§ ©

f = a ˜ ¨ cosh ¨

2

Mit cosh ( x)  sinh ( x) = 1 folgt: cosh ( x) =

§ L· = sinh ( x)  1 bzw. cosh ¨ © a¹ 2

Durchhang der Kettenlinie 2

§ L·  1 = sinh ¨ © a¹

2

k 1

Damit lässt sich der Durchhang wie folgt berechnen:

§ 2 · § L ·  1· = a ˜ § k2  1  1· = L ˜ © k  1  1¹ © ¹ © a¹ ¹ § 2 · ln © k  k  1¹

§ ©

f = a ˜ ¨ cosh ¨

Durchhang der Kettenlinie

Näherungsparabel: 2

y= b˜ x  a

y ' ( x) = 2 ˜ b ˜ x

Funktion und deren Ableitung

y ' ( L) = k

y ' ( L) = 2 ˜ b ˜ L = k

Ableitung an der Stelle L

Ÿ

2˜ b˜ L = k

b=

k

Koeffizient b

2˜ L

Für den Punkt B(L | a+f) gilt:

Ÿ

2

a  f = b˜ L  a 2

f = b˜ L =

k 2˜ L

fK ( k  L)  L ˜

fP ( k  L) 

2

k˜L

Durchhang der Parabel

2

§ 2  1  1· © k ¹ § 2 · ln © k  k  1¹

k˜L 2

˜L =

2

f = b˜ L

fK ( 1  100 ˜ m)

46.996 m

fP ( 1  100 ˜ m)

50 m

Seite 110

Durchhang der Kettenlinie

Durchhang der Parabel

Differentialrechnung Ableitungsregeln 3.2.11 Höhere Ableitungen Gegeben sei eine beliebig oft differenzierbare Funktion f: y = f(x). Mit f lassen sich dann rekursiv folgende Ableitungen bilden:

y ' ( x) = f ' ( x) =

d

2

y , y '' ( x) =

dx

d

2

3

y , y ''' ( x) =

dx

d

3

( 4)

y, y

dx

4

=

d

( n)

4

y , ... , y

dx

n

=

d

n

y , ... (3-55)

dx

Beispiel 3.2.48: Bilden Sie die ersten 6 Ableitungen der folgenden Funktion: 5

2

y ( x) = x  3 ˜ x  5 ˜ x  6

durch Differentiation, ergibt

d

4

y ( x) = 5 ˜ x  6 ˜ x  5

dx 4

y ' ( x) = 5 ˜ x  6 ˜ x  5 d dx

5 ˜ x4  6 ˜ x  5 3

y '' ( x) = 20 ˜ x  6 d dx

20 ˜ x3  6 2

erste Ableitung

vereinfacht auf

zweite Ableitung

vereinfacht auf

y ''' ( x) = 60 ˜ x

dritte Ableitung

60 ˜ x2

vereinfacht auf

d dx

( 4)

y

d

= 120 ˜ x

( 120 ˜ x)

3

20 ˜ x  6

2

60 ˜ x

120 ˜ x

vierte Ableitung

vereinfacht auf

120

dx ( 5)

y

d

= 120

120

fünfte Ableitung

vereinfacht auf

dx ( 6)

y

=0

sechste Ableitung

Seite 111

0

Differentialrechnung Ableitungsregeln Beispiel 3.2.49: Bilden Sie die ersten 3 Ableitungen der folgenden Funktion: x

y ( x) = x ˜ e

d

durch Differentiation, ergibt

y ( x) = exp ( x)  x ˜ exp ( x)

dx x

x

x

y ' ( x) = e  e ˜ x = e ˜ ( 1  x) x

x

erste Ableitung

x

y '' ( x) = e ˜ ( 1  x)  e = e ˜ ( 2  x) x

x

zweite Ableitung

x

y ''' ( x) = e ˜ ( 2  x)  e = e ˜ ( 3  x)

dritte Ableitung

x x 10

d

10

Redefinition

x ˜ ex o 10 ˜ exp (x)  x ˜ exp (x)

zehnte Ableitung

dx

Beweis für die n-te Ableitung durch vollständige Induktion: x

x

x

A(1):

y ' ( x) = e  e ˜ x = e ˜ ( 1  x)

A(2):

y '' ( x) = e ˜ ( 1  x)  e = e ˜ ( 2  x)

x

x

x

Annahme, ist auch für A(n) gültig: Daraus folgt, dass auch A(n+1) gültig sein muss: A(n+1):

( n1)

y

x

( x) = e ˜ ( n  1  x)

Beispiel 3.2.50: Bilden Sie die ersten n-Ableitungen der folgenden Funktion: y ( x) = sin ( x) ( n)

y

§ ©

= sin ¨ x  n ˜

y ' ( x) = cos ( x) S· 2¹

y '' ( x) = sin ( x)

y ''' ( x) = cos ( x)

( 4)

y

= sin ( x)

n-te Ableitung der Funktion y = sin(x)

Beispiel 3.2.51: Zeigen Sie, dass y = sinh ( x) der folgenden Differentialgleichung genügt. 2

d

2

y y=0

homogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstante Koeffizienten

dx

y ( x) = sinh ( x) d

y ( x) = cosh ( x)

dx sinh ( x)  sinh ( x) = 0

durch Differentiation, ergibt

durch Differentiation, ergibt

d

y ( x) = cosh ( x)

2

dx

d

d d

dx

2

y ( x) = sinh ( x)

sinh ( x) o sinh ( x)

dx dx y = sinh(x) ist Lösung der gegebenen Differentialgleichung

Seite 112

Differentialrechnung Ableitungsregeln Beispiel 3.2.52: Höhere Ableitungen mit dem Symboloperatoren: x x

Redefinition

f ( x)  2 ˜ x  3  sin ( x)

3

die zu differenzierende Funktion

Erste Ableitung: d

2

f ( x) o 2  3 ˜ sin ( x) ˜ cos ( x)

dx fx ( x) 

d

2

fx ( x) o 2  3 ˜ sin ( x) ˜ cos ( x)

f ( x)

dx

Ableitung n-ter Ordnung: n 5 n

d

3

n

2

f ( x) o 60 ˜ cos ( x)  183 ˜ sin ( x) ˜ cos ( x)

dx

n

d

fn ( x) 

n

3

2

fn ( x) o 60 ˜ cos ( x)  183 ˜ sin ( x) ˜ cos ( x)

f ( x)

dx

Beispiel 3.2.53: Gegeben ist eine Parabel y = a x 2 + b x + c. Bestimmen Sie den Scheitel der Parabel, wenn f(2) = 3, f '(2) =2 und die zweite Ableitung der Parabel -1 ist. 2

f ( x) = a ˜ x  b ˜ x  c

f ' ( x) = 2 ˜ a ˜ x  b

f '' ( x) = 2 ˜ a

Funktion und Ableitungen

Durch Einsetzen der Werte ergibt sich ein lineares Gleichungssystem: a 1

b 1

c 1

Startwerte (Schätzwerte)

Vorgabe 2

a˜ 2  b˜ 2  c = 3

2˜ a˜ 2  b = 2

§¨ a · ¨ b ¸  Suchen ( a  b  c) ¨c © ¹

§¨ a · ¨b ¸ ¨c © ¹

2

f ( x)  a ˜ x  b ˜ x  c

§¨ 0.5 · ¨ 4 ¸ ¨ 3 © ¹

x  0  0.01  8 5

6

2 ˜ a = 1

Funktionsgleichung und Bereichsvariable

f ' ( x) = 1 ˜ x  4 = 0

4

3 f( x)

f ( 4) 0 1

2 3

4

3

5 6

7

5

8

Abb. 3.2.17 x

Seite 113

waagrechte Tangente im Punkt S(4|5)

Differentialrechnung Ableitungsregeln 3.2.12 Ableitungen von Funktionen in Parameterdarstellung Neben der expliziten Darstellung einer Funktion f: y = f(x) wird auch häufig die Parameterdarstellung verwendet: f: DŽ  o W Ž2

(3-56)

t |o f(t) = (x(t), y(t)) x = x(t) und y = y(t) heißen Parametergleichungen und t heißt Parameter. Häufig werden die Buchstaben t, M, O, D, T usw. als Parameter verwendet. Für jede Kurve gibt es unter bestimmten Voraussetzungen unendlich viele Parameterdarstellungen. Wenn eine Funktion durch eine Gleichung r = r(M) (Polarkoordinatendarstellung - siehe nächsten Abschnitt) gegeben ist, so erhalten wir durch x = r(M) cos(M) und y = r(M) sin(M) eine beliebige Parameterdarstellung. Ableitungen von Funktionen in Parameterdarstellung: Mit xt =

d dt

d

x , yt =

d

y ' ( x) = f ' ( x) =

y und y' =

dt

y=

dx y'=

yt

d

y erhalten wir die erste Ableitung durch:

dx d dt

y˜

d

t =

dx

yt xt

mit xt z 0

xt

(3-57)

Die zweite Ableitung ergibt sich dann aus: ytt ˜ xt  xtt ˜ yt 1 § d · § d · d yt d ˜ t = ˜ ¨ y' ˜ ¨ t = 2 xt © dt ¹ © dx ¹ dt xt dx xt

2

y '' ( x) =

d

2

y=

dx

2

y '' =

d

2

dx

y=

ytt ˜ xt  xtt ˜ yt xt

3

§¨ xt yt · = ˜ ¨ xtt ytt 3 xt © ¹ 1

mit xt z 0

(3-58)

Beispiel 3.2.54: Geben Sie für einen Kreis in Hauptlage eine Parameterdarstellung an. Leiten Sie aus der Parameterform die implizite Form der Kreisgleichung her. Bestimmen Sie die waagrechten und senkrechten Tangenten am Kreis. r 1

Kreisradius

x ( M )  r ˜ cos ( M ) y ( M )  r ˜ sin ( M ) 2

2

2

2

2

2

x = r ˜ cos ( M ) y = r ˜ sin ( M )

Parameterdarstellung des Kreises in Hauptlage mit M [0, 2 S[

Durch Addition folgt:

2

2

2



2

x  y = r ˜ cos ( M )  sin ( M )

 1

Seite 114

2



Differentialrechnung Ableitungsregeln d dM

d

x = xM = r ˜ sin ( M )

dM

y = yM = r ˜ cos ( M ) Ableitungen

xM ( M )  r ˜ sin ( M )

y'=

yM xM

=

yM ( M )  r ˜ cos ( M )

r ˜ cos ( M )

Mz0

r ˜ sin ( M )

und

MzS M  0  0.01  2 ˜ S

Waagrechte Tangenten: y' = 

r ˜ cos ( M ) r ˜ sin ( M )

r ˜ cos ( M ) = 0

Bereichsvariable

1

=0 hat als Lösung(en)

1 2

˜S

yM ( M )

Numerische Lösung:

S

3˜S

2

2

0

2

4

6

8

6

8

ORIGIN  1 TOL  10

 15

1 M

  wurzel  yM  M 2  M 2

M1  2

M 1  wurzel yM M 1  M 1

M2  4

M2 

Abb. 3.2.18

i  1  2



Mi

yM M i Grad

90

0 0

270

L = {(0, 1); (0, -1)}



x Mi



y Mi

0

1

0

-1

Punkte mit Tangenten parallel zur Abszisse

1

Senkrechte Tangenten: 1 y'

=

r ˜ sin ( M ) r ˜ cos ( M )

r ˜ sin ( M ) = 0

=0

Mz

S 2

hat als Lösung(en)

und M z

2

xM ( M )

0

2

4

0 1

Numerische Lösung: ORIGIN  1 TOL  10

S

3˜ S

M

 15

Abb. 3.2.19

  wurzel  xM  M 4  M 4

M3  0

M 3  wurzel xM M 3  M 3

M4  3

M4 

Seite 115

Differentialrechnung Ableitungsregeln i  3  4



Mi

xM M i Grad

0

0

180

0

x Mi



y Mi

1

0

-1

0



L = {(1, 0); (-1, 0)} Punkte mit Tangenten parallel zur Ordinate

2 1

1

Parameterdarstellung eines Kreises in allgemeiner Lage mit M(m | n):

1

x ( M ) = m  r ˜ cos ( M ) y( M )

2

0

1

2

y ( M ) = n  r ˜ sin ( M )

2

Abb. 3.2.20

x( M )

Beispiel 3.2.55: Leiten Sie aus der gegebenen Parameterform die explizite Form der Funktionsgleichung her. Bestimmen Sie die erste und zweite Ableitung der Funktion. x( t) 

t

y( t)  4  t

2

2

Parameterdarstellung einer Funktion mit t  2

t = 2˜ x

2

y = 4  ( 2 ˜ x) = 4  4 ˜ x

t aus der ersten Gleichung in die zweite Gleichung eingesetzt liefert die explizite Funktionsgleichung.

y ( x)  4  4 ˜ x

2

explizite Funktionsgleichung

t  3  3  0.01  3

x1  3  3  0.01  3 20

2

1

Bereichsvariable 20

0

y( t)

1

2

4

2

0

y( x1) 20

20

40

40

x( t)

x1

Abb. 3.2.21

Abb. 3.2.22

Seite 116

2

4

Differentialrechnung Ableitungsregeln

1 xt = 2

yt = 2 ˜ t

xtt = 0

ytt = 2

y'=

yt xt

Ableitungen der Parametergleichungen

=

2 ˜ t 1

= 4 ˜ t

y '' =

ytt ˜ xt  xtt ˜ yt xt

2

3

1

2 ˜

2

=

§ 1· ¨ © 2¹

3

= 8

Beispiel 3.2.56: Leiten Sie aus der gegebenen Parameterform die explizite Form der Funktionsgleichung her. Bestimmen Sie die erste und zweite Ableitung der Funktion. x1 ( t )  3 ˜ ln ( t )

y1 ( t ) 

§ 2 © 3

˜ ¨t 

1· t

Parameterdarstellung einer Funktion mit t +

¹

Elimination des Parameters t: x

x 3

= ln ( t )

Ÿ

t=e

Ÿ

3

x· § x  ¨ 3 §x· 3 3 y = ˜ ©e  e ¹ = 3 ˜ cosh ¨ 2 © 3¹

§x· © 3¹

explizite Darstellung (Kettenlinie)

y ( x)  3 ˜ cosh ¨

explizite Funktionsgleichung

t  1  1  0.01  3

x  3  3  0.01  3

6

6

4

4

y1( t)

y( x) 2

2

0

2

4

4

2

x1( t)

3

4

Abb. 3.2.24

Ableitungen

3

xtt = 2 t

ytt = 3 t 3

xt

2

3 § 1· yt = ˜ ¨ 1  2 2 t ¹ ©

3 xt = t

y'=

0 x

Abb. 3.2.23

yt

Bereichsvariable

2 =

§

1·

©

t

˜ ¨1  3

2

¹

vereinfacht auf

t

Seite 117

y'=

yt xt

=

1 2

2  t  1 ˜

t

Differentialrechnung Ableitungsregeln 3 y '' =

ytt ˜ xt  xtt ˜ yt xt

3

t

=

3

˜

3 t



1 ·º ª3 § ˜ « ˜ ¨1  2 2 » 2 t ¬ t ¹¼ © 3

§ 3· ¨ ©t¹

vereinfacht auf

3

y '' =

ytt ˜ xt  xtt ˜ yt xt

3

=

1 6

˜

Beispiel 3.2.57: Leiten Sie aus der gegebenen Parameterform die explizite Form der Funktionsgleichung her. Bestimmen Sie die erste und zweite Ableitung der Funktion. x ( M )  3 ˜ cos ( M ) 2

x

2

= cos ( M )

Parameterdarstellung einer Ellipse mit M [0, 2S[

y ( M )  2 ˜ sin ( M )

2

3

Umgeformte Parametergleichungen 2

y

2

= sin ( M )

2

2

Durch Addition der beiden Gleichungen erhalten wir die implizite Darstellung der Ellipse in Hauptlage: 2

x

2

2



3

y

2

implizite Darstellung der Ellipse

=1

2

M  4  4  0.01  4

Bereichsvariable 2

y( M )

3

2

1

0

1

2

3

2 x( M )

Abb. 3.2.25

xM = 3 ˜ sin ( M )

yM = 2 ˜ cos ( M )

xMM = 3 ˜ cos ( M )

yMM = 2 ˜ sin ( M )

y'=

yM xM

=

2 ˜ cos ( M ) 3 ˜ sin ( M )

=

2 3

˜ cot ( M )

Ableitungen der Parametergleichungen

erste Ableitung

Seite 118

1 t t

2

Differentialrechnung Ableitungsregeln yMM ˜ xM  xMM ˜ yM

y '' =

xM

3

=

2 ˜ sin ( M ) ˜ ( 3 ˜ sin ( M ) )  ( 3 ˜ cos ( M ) ) ˜ ( 2 ˜ cos ( M ) ) ( 3 ˜ sin ( M ) )

3

vereinfacht auf yMM ˜ xM  xMM ˜ yM

y '' =

xM

3



=

2

9 ˜ sin ( M ) ˜ 1  cos ( M )

2



2

=

9 ˜ sin ( x)

zweite Ableitung

3

Beispiel 3.2.58: Geben Sie für eine archimedische Spirale in Polarkoordinatenform r = r( M) = M eine Parameterdarstellung an und bestimmen Sie die waagrechten und senkrechten Tangenten an der Spirale. x ( M )  M ˜ cos ( M )

y ( M )  M ˜ sin ( M )

Parametergleichungen für die archimedische Spirale

xM ( M )  cos ( M )  M ˜ sin ( M )

yM ( M )  sin ( M )  M ˜ cos ( M )

Ableitungen der Parametergleichungen

Tangenten parallel zur Abszisse: y' =

yM ( M ) xM ( M )

=

sin ( M )  M ˜ cos ( M ) cos ( M )  M ˜ sin ( M )

Ableitung in Parameterform

=0

sin ( M )  M ˜ cos ( M ) = 0

hat als Lösung(en)

M1  0

erste Lösung

0

Die weiteren Lösungen numerisch ermittelt:

  wurzel  yM  M 3  M 3

M2  2

M 2  wurzel yM M 2  M 2

M3  5

M3 

i  1  3

Bereichsvariable yM ( t)



Mi

yM M i 0 2.029 4.913

t  0  0.02  2 ˜ S

0 0

6.28 5.17 4.07 2.96 1.85 0.75 0.36 0 1.46 2.57 3.68

Bereichsvariable

2

4

6

0 t





x Mi

Abb. 3.2.26

y Mi 0

0

-0.897

1.82

0.98

-4.814

L = {(0, 0); (- 0.897, 1.82); (0.98, - 4.814)} Punkte mit Tangenten parallel zur Abszisse

Tangenten parallel zur Ordinate: 1 y'

=

cos ( M )  M ˜ sin ( M ) sin ( M )  M ˜ cos ( M )

=0

cos ( M1)  M1 ˜ sin ( M1) auflösen  M1 o 3.4256184594817281465

Seite 119

Differentialrechnung Ableitungsregeln Die weiteren Lösungen numerisch ermittelt:

 



 



M 4  0.5

M 4  wurzel xM M 4  M 4

M 5  3.5

M 5  wurzel xM M 5  M 5

i  4  5

Bereichsvariable

Mi

xM M i

xM ( t)



0.86

0

3.426

0

2

4

6

t

Abb. 3.2.27





5.1 4.27 3.44 2.61 1.77 0.94 0.11 0.72 0 1.55 2.38

y Mi

x Mi

0.561

0.652

L = {(0.561, 0.652); (- 3.288, - 0.96)}

-3.288

-0.96

Punkte mit Tangenten parallel zur Ordinate

i  1  5 y' ( M ) 

t 1  5  5

Bereichsvariable

sin ( M )  M ˜ cos ( M )

Ableitung in Parameterform

cos ( M )  M ˜ sin ( M )

d ( M )  y ( M )  y' ( M ) ˜ x ( M )

Achsenabschnitt

tangente ( t  M )  y' ( M ) ˜ t  d ( M )

Tangentengleichung

1

y( t)



y Mi

3.5

1.5

0.5

2.5

4.5

6.5

1

 tangente  t1  M 4 tangente t1  M 2

Abb. 3.2.28 3

5



x( t)  x M i  t1  t1

Beispiel 3.2.59: Eine gespitzte Zykloide ist durch folgende Parameterdarstellung gegeben: x(t) = r (t - sin(t)) , y(t) = r (1 - cos(t)). Ermitteln Sie, falls vorhanden, die waagrechten Tangenten für t [0, 2S[ . Zeigen Sie, dass die Zykloide für t = 0 eine senkrechte Tangente besitzt. r 2

gewählter Abrollkreisradius

x ( t )  r ˜ ( t  sin ( t) )

y ( t )  r ˜ ( 1  cos ( t ) )

Parameterdarstellung einer Funktion mit t 

xt = r ˜ ( 1  cos ( t ) )

yt = r ˜ sin ( t )

Ableitungen der Parametergleichungen

Seite 120

Differentialrechnung Ableitungsregeln

y'=

yt xt

=

r ˜ sin ( t ) r ˜ ( 1  cos ( t ) )

=0

Ableitung in Parameterform

t1  S

sin ( t ) = 0



eine Lösung derGleichung



x t1 o 2 ˜ S

y t1 o 4

x- und y-Werte

t  2  2  0.01  8

Bereichsvariable



5

y t1



2˜S˜r

x t1

y( t)

4

2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

x( t)

Abb. 3.2.29 Für t = 0 kann die Ableitungsformel nicht angewendet werden. sin ( t )

lim

t o 0 1  cos ( t )

lim to0

=

sin ( t )  1  cos ( t )

0 0

§ ©

sin ¨ 2 ˜ =

· 2¹ t

§ t · ˜ cos § t · ¨ © 2¹ © 2¹

2 ˜ sin ¨

lim  § t· to0 1  cos ¨ 2 ˜ © 2¹

=

lim  to0

§

2 2 § t ·  sin § t · · ¨ © 2¹ © 2¹ ¹

1  ¨ cos ¨

©

§ t · ˜ cos § t · §t· cos ¨ ¨ © 2¹ © 2 ¹ = lim © 2¹ = f  2 §t· to0 §t· sin ¨ 2 ˜ sin ¨ © 2¹ © 2¹

2 ˜ sin ¨ lim  to0

Die Tangente verläuft senkrecht ! Beispiel 3.2.60: Eine Kugel wird in der Höhe h = 10 m über dem Boden waagrecht mit konstanter Geschwindigkeit v 0 = 10 m/s (ohne Luftwiderstand) in Bewegung gesetzt. Mit welcher Geschwindigkeit trifft sie am Boden auf ? Wie groß ist der Winkel unter dem die Kugel am Boden auftrifft ? Welche Beschleunigung hat die Kugel ?

§ v0 ˜ t · § x( t) · ¨ r ( t) = ¨ =¨ ¸ g © y( t) ¹ ¨ h  ˜ t2 2 © ¹

Ortsvektor

· §d ¨ x( t) §¨ vx( t) · d ¸ = § v0 · ¨ dt = r ( t) = v ( t) = ¸ ¨© g ˜ t ¹ ¨ vy( t) ¨d © ¹ dt ¨ y( t) © dt ¹

Geschwindigkeitsvektor

Seite 121

Differentialrechnung Ableitungsregeln 2

2

vx  vy =

v= v =

d

2

2

v0  g ˜ t

s ( t) =

dt

Betrag des Geschwindigkeitsvektors

2

§ 2 · §d · ¨ d x ( t) ¨ vx ( t) §¨ ax ( t) · d ¨ dt 2 ¸ §0 · dt ¨ ¸ = v ( t) = a ( t) = =¨ ¸=¨ ¨ a ( t) ¨d ¸ ¨ 2 d t ¸ ©g ¹ y © ¹ d ¨ vy ( t) y ( t) © dt ¹ ¨ dt 2 © ¹ 2

t=

2

ax  ay =

a= a =

d dt

x

2

v( t) =

d

dt

2

Betrag des Beschleunigungsvektors

s ( t) = g

y=h

v0

g 2

2

x

˜

parameterfreie Bahnkurve

2

v0

m v0  10 s

Anfangsgeschwindigkeit

h  10 ˜ m

Anfangshöhe

x ( t )  v0 ˜ t

y( t)  h 

vx ( t)  v0

vy ( t)  g ˜ t 2

v( t) 

vx ( t)  vy ( t)

Beschleunigungsvektor

g 2

˜t

2

Parametergleichungen für die Bahnkurve Parametergleichungen für die Geschwindigkeitskomponenten

2

Geschwindigkeitsfunktion

y = 0 am Auftreffpunkt: h

g 2

Ÿ

2

˜t =0



v t0

17.209

t0 

2˜ h

t0

g

1.428 s

m

Auftreffzeit am Boden

Auftreffgeschwindigkeit am Boden

s

Auftreffwinkel: y'=

yt xt

=

tan ( D ) =

g ˜ t v0 g ˜ t 0 v0



tan ( D ) = y ' t0

§ g ˜ t0 · ¨© v0 ¹

D  atan ¨

D 0  D  180 ˜ Grad

D0

125.528 Grad

M 0  180 ˜ Grad  D 0

M0

54.472 Grad

t  0 ˜ s  0.01 ˜ s  1.5 ˜ s

Bereichsvariable

Seite 122

D

54.472 Grad

Differentialrechnung Ableitungsregeln





xT ( O )  x t 0  O ˜ cos D 0

Parameterdarstellung der Tangente im Punkt P(x(t 0 )|0)



yT ( O )  O ˜ sin D 0

O  1 ˜ m  1 ˜ m  0.1 ˜ m  10m

Bereichsvriable

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

y( t) m yT( O ) m

t0 D0

M0

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 5

1.428 s



W  x t0 W

Wurfweite

14.281 m

Abb. 3.2.30

x( t) xT( O )  m m

3.2.13 Ableitungen von Funktionen in Polarkoordinatendarstellung Die Lage eines Punktes in der Ebene kann durch kartesische Koordinaten P(x|y) oder durch die Angabe des Winkels M und der Entfernung r vom Ursprung, also durch P(M| r), festgelegt werden. Ein funktioneller Zusammenhang zwischen r und M ist durch eine Polarkoordinaten- darstellung gegeben: f: D Ž o W Ž M

(3-59)

|o r = f(M)

Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten und umgekehrt: 2

2

2

x y =r

2

2

x y y tan ( M ) = x r=

x = r ˜ cos ( M )

§ y· © x¹

M = arctan ¨

y = r ˜ sin ( M )

(3-60) (3-61) (3-62)

Ableitungen von Funktionen in Polarkoordinatendarstellung: r '( M ) =

d dM

r(M ) =

d dM

f (M )

(3-63)

r' bedeutet nicht die Steigung der Tangente ! tan ( < ) =

r(M ) r '( M )

tan ( D ) =

r ' ( M ) ˜ tan ( M )  r ( M ) r ' ( M )  r ( M ) ˜ tan ( M )

(3-64)

Der Winkel < zwischen Leitstrahl und Tangente spielt bei Polarkoordinaten eine wesentliche Rolle, ähnlich der der Steigung einer Tangente bei kartesischen Koordinaten (siehe Abb. 3.2.31)

Seite 123

Differentialrechnung Ableitungsregeln

Abb. 3.2.31

Beispiel 3.2.61: Gegeben ist ein Kreis in Hauptlage. Geben Sie die Kreisgleichung in Polarkoordinaten an. 2

2

2

x y =r y=

2

implizite Form der Kreisgleichung (Relation)

2

r x

explizite Form der Kreisgleichung

2

2

y= r  x

x = U ˜ cos ( M ) Parametergleichungen des Kreises y = U ˜ sin ( M ) Setzen wir die Parametergleichungen in die implizite Form ein, so erhalten wir die Polarkoordinatenform: 2

2

2

2

2

U ˜ cos ( M )  U ˜ sin ( M ) = r

daraus folgt:

U = r = konstant

M  0  0.01  2 ˜ S

Bereichsvariable

r(M )  3

Kreisgleichung in Polarkoordinatenform

120 140 160 r( M )

180

100 80 4 3 2 1 0

60 40 20 0

200

340

220

Abb. 3.2.32

320 240

260 280 M

300

Seite 124

Differentialrechnung Ableitungsregeln Beispiel 3.2.62 Gegeben ist eine Lemniskate in Polarkoordinaten r 2 = a2 cos(2 M). Geben Sie die Gleichung in kartesischen Koordinaten an. 2

2

r = a ˜ cos ( 2 ˜ M )

Gleichung der Lemniskate

Es gelten folgende Bezieghungen: 2

2

2

2

r =x y

2

2

cos ( 2 ˜ M ) = cos ( M )  sin ( M )

2 2 ˜  cos ( M )  sin ( M )

2

x y =a

x2  y2

2

2

2

2

=a ˜ x y

2

cos ( M ) =

r

x

=

2

sin ( M ) = 2

x y

2 ª x2 y « x y =a ˜  « x2  y2 2 2 x y ¬

Ÿ



x

2

2

2







r

=

y 2

Bereichsvariable

r(M )  3 ˜

Lemniskate in Polarkoordinatenform ( D = [0, 2 S>

cos ( 2 ˜ M )

100 120

Ÿ

80 60

4

140

3

40

2

160

20

1 180

0

0

200

Abb. 3.2.33

340

220

320 240

300 260

280 M

Beispiel 3.2.63: Stellen Sie die archimedische Spirale r = a M grafisch dar und bestimmen Sie den Winkel zwischen Tangente und Leitstrahl. Geben Sie eine Parameterdarstellung für die Spirale an. r(M ) = a ˜ M

durch Differentiation, ergibt r(M )

tan ( < ) = d

dM

r(M )

=

a˜ M a

=M

tan ( < ) = M

M  0  0.01  6 ˜ S

Bereichsvariable

a  0.6

Konstante

d dM

r(M ) = a

Ÿ

Seite 125

< = arctan ( M )

2

x y

implizite Form der Gleichung für die Lemniskate

M  0  0.01  2 ˜ S

r( M )

º » » ¼

y

Differentialrechnung Ableitungsregeln r(M )  a ˜ M

archimedische Spirale in Polarkoordinatenform

Eine Parameterdarstellung für die archimedische Spirale: Abb. 3.2.34

x = a ˜ M ˜ cos ( M ) y = a ˜ M ˜ sin ( M )

Beispiel 3.2.64: Stellen Sie die logarithmische Spirale r = a eM grafisch dar und bestimmen Sie den Winkel zwischen Tangente und Leitstrahl. Geben Sie eine Parameterdarstellung für die Spirale an. M

r(M ) = a ˜ e

durch Differentiation, ergibt

r(M )

tan ( < ) = d

dM

r(M )

d dM

r ( M ) = a ˜ exp ( M )

M

=

a˜ e

M

=1

tan ( < ) = 1

hat als Lösung(en)

Bereichsvariable

a  0.1

Konstante M

r(M )  a ˜ e

4

a˜ e

M  0  0.01  4 ˜ S

1

˜S

Kreisgleichung in Polarkoordinatenform

Eine Parameterdarstellung für die logarithmische Spirale: M

x = a ˜ e ˜ cos ( M ) M

y = a ˜ e ˜ sin ( M )

Abb. 3.2.35

Seite 126

<=

S 4

Differentialrechnung Ableitungsregeln

Beispiel 3.2.65: Stellen Sie die hyperbolische Spirale r = a /M grafisch dar und bestimmen Sie den Winkel zwischen Tangente und Leitstrahl. Geben Sie eine Parameterdarstellung für die Spirale an. r(M ) =

a

durch Differentiation, ergibt

M

d dM

r(M ) =

M

a

r(M )

tan ( < ) = d

dM

=

r(M )

M a M

= M

Ÿ

tan ( < ) = M

a 2

< = arctan ( M )

2

M  0  0.01  6 ˜ S

Bereichsvariable

a  10 r(M ) 

a

hyperbolische Spirale in Polarkoordinatenform

M

120 150 r( M )

90 1000

Eine Parameterdarstellung für die hyperbolische Spirale:

60 30

10

x= 180

0.1

M

˜ cos ( M )

0

y= 210

330 240

a

a M

˜ sin ( M )

300 270 M

Abb. 3.2.36

Beispiel 3.2.66: Stellen Sie die Kardioide (Herzkurve) r = 2 a (1 + cos(M  grafisch dar und bestimmen Sie den Winkel zwischen Tangente und Leitstrahl. r ( M ) = 2 ˜ a ˜ ( 1  cos ( M ) )

r(M )

tan ( < ) = d

dM

=

r(M )

durch Differentiation, ergibt

2 ˜ a ˜ ( 1  cos ( M ) ) 2 ˜ a ˜ sin ( M )

§M· © 2¹

dM

r ( M ) = 2 ˜ a ˜ sin ( M )

2

2 ˜ cos ¨ =

d

§ M · ˜ cos § M · ¨ © 2¹ © 2¹

2 ˜ sin ¨

§ M · = tan § M  S · ¨ © 2¹ © 2 2¹

= cot ¨

M  0  0.001  6 ˜ S

Bereichsvariable

a 2

Konstante

r ( M )  2 ˜ a ˜ ( 1  cos ( M ) )

Kreisgleichung in Polarkoordinatenform

Seite 127

Ÿ <=

M 2



S 2

Differentialrechnung Ableitungsregeln

90 120

60

150 r( M )

30

180

0 02 4 6 8

210

Abb. 3.2.37

330 240

300 270 M

3.2.14 Krümmung ebener Kurven Die Änderung des Steigungswinkels 'D bezogen auf die Änderung der Bogenlänge 's ist ein Maß für die Stärke der mittleren Krümmung der Kurve zwischen zwei Punkten P und P 1 . Die Krümmung im Punkt P wird dementsprechend als Grenzwert dieses Differenzenquotienten definiert: N=

lim

'D

's o 0 's

=

d

D

(3-65)

ds

Der Kehrwert U der Krümmung in P U =

1 N

ist der Krümmungsradius des Krümmungskreises in P.

Abb. 3.2.38

Näherungsweise gilt nach Abb. 3.2.39 für die Bogenlänge:

's =

Abb. 3.2.39

2

2

'x  'y

's

bzw.

'x

=

§ 'y · 1¨ © 'x ¹

2

Durch den Grenzübergang, wenn y = f(x) differenzierbar ist, ergibt sich dann für die Bogenlänge: lim

's

'x o 0 'x

=

d

s =

dx

Seite 128

1  y' ( x)

2

Differentialrechnung Ableitungsregeln Mit tan(D) = y '(x) und damit D = arctan(y '(x)) erhalten wir mit der Kettenregel die Krümmung: N=

d

D =

ds

1 § d · d § d · ˜ y'' ( x) ˜ ¨ D ˜ x = ¨ arctan ( y' ( x) ) ˜ x = 2 dx © ds ¹ dx © ds ¹ 1  y' ( x)

1

d

y'' ( x)

=

1  y' ( x)

3

2

1  y' (x)2

2

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Funktionsdarstellungen: y = f(x) , P(x | y) x = x(t) , y = y(t) , P(x | y) r = r(M) , P(M| r) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Krümmung: y'' ( x)

N=

N=

3

1  y' (x)2 2

xt ˜ ytt  yt ˜ xtt

2

N=

3

§ x 2  y 2· t ¹ © t

r  2 ˜ r'

2

 r ˜ r'' 3

(3-66)

r2  r' 2 2

2

Krümmungsmittelpunkt:

xm = x 

1  y' ( x)

2

2

y'' ( x)

˜ y' ( x)

1  y' ( x)

ym = y ( x) 

xt  yt

xm = x  ˜y xt ˜ ytt  yt ˜ xtt t 2

xt  yt

2

2

(3-67)

2

ym = y  ˜x xt ˜ ytt  yt ˜ xtt t

y'' ( x)

Bei waagrechter Tangente (Extremstellen x 0 ) gilt: y'(x0 ) = 0. Für die Krümmung vereinfacht sich dann die erste Beziehung in (3-66) zu: N=

1 U



= y'' x0

(3-68)

Damit kann mit der zweiten Ableitung eine qualitative Aussage gemacht werden, ob eine Kurve links( N positiv) oder rechtsgekrümmt (N negativ) ist. Die alle Mittelpunkte der Krümmungskreise verbindende Kurve heißt Evolute (entwickeln, entfalten) der Ausgangsfunktion y = f(x). Der Graph von y = f(x) heißt in diesem Zusammenhang Evolvente (hervorwälzen, herauswickeln) der betreffenden Evolute.

Krümmung und Krümmungsradius für eine Funktion y = f(x): 2

d



2

dx0



N x  f  x0 

3



f x0

3

ª «1  « ¬

· §d ¨ d f  x0 © x0 ¹

2º

» » ¼

2

2 ª §d · »º «1  f x « ¨ dx  0 » 0 ¬ © ¹ ¼ U  x  f  x0  · § d2 ¨ f ( x) ¨ dx 2 © 0 ¹

Seite 129

2

Differentialrechnung Ableitungsregeln Beispiel 3.2.67: Bestimmen Sie die Krümmung und Krümmungsmittelpunkte in einem beliebigen Kurvenpunkt und die Krümmung und den Krümmungsmittelpunkt als auch den Krümmungsradius im Punkt P(0|0) der Funktion y = x 2 . 2

y' ( x) = 2 ˜ x

y=x

y'' ( x)

N=

1  y' (x)2

gegebene Funktion und deren Ableitungen

2

=

3

y'' ( x) = 2

Krümmungsfunktion

3

1  4 ˜ x2

2

2

Krümmungsmittelpunkte: xm = x 

1  y' ( x)

ym = y ( x) 

2

y'' ( x)

2

˜ y' ( x) = x 

1  y' ( x) y'' ( x)

2

2

=x 

1  4˜ x 2

˜ 2˜ x

xm = x 

vereinfacht auf

1  y' ( x) y'' ( x)

2

1  4˜ x

ym = y ( x) 

vereinfacht auf

2

Mit P(0|0) gilt:

x  5  5  0.01  5

N=2

und

xm = 0

und

U= ym 

1 N

=

2

1  y' ( x) y'' ( x)

3

˜ y' ( x) = 4 ˜ x 2

2

= 3˜ x 

1 2

1 2

1 2

Bereichsvariable

2

f ( x)  x

gegebene Funktion 3

xm ( x)  4 ˜ x

Parametergleichungen der Krümmungsmittelpunkte (Semikubische Parabel - Neil Parabel)

1 2 ym ( x)  3 ˜ x  2

Evolvente, Krümmung und Evolute 3

2 f( x) 1

N ( x  f  x)

Abb. 3.2.40

ym( x) 4

2

0 1

2 x  x  xm( x)

Seite 130

2

4

Differentialrechnung Ableitungsregeln Beispiel 3.2.68: Bestimmen Sie die Krümmung und Krümmungsmittelpunkte in einem beliebigen Kurvenpunkt und die Krümmung und den Krümmungsmittelpunkt als auch den Krümmungsradius im Punkt P(S/2|1) der Funktion y = sin(x). y = sin ( x) y'' ( x)

N=

y'' ( x) = sin ( x)

y' ( x) = cos ( x)

3

gegebene Funktion und deren Ableitungen

sin ( x)

=

Krümmungsfunktion

3

1  y' (x)2 2 1  cos (x)2 2 Krümmungsmittelpunkte: xm = x 

1  y' ( x)

2

˜ y' ( x) = x 

y'' ( x)

ym = y ( x) 

1  y' ( x) y'' ( x)

1  cos ( x)

2

= sin ( x) 

2

sin ( x) 1  cos ( x) sin ( x)

3  x ˜ sin ( x)  cos ( x)  cos ( x) ˜ cos ( x) =

sin ( x)

2

= 2 ˜

cos ( x)

2

sin ( x)

Für P(S/2|1) gilt:

und

U=

S xm = 2

und

ym = 0

x  2 ˜ S  2 ˜ S  0.01  2 ˜ S

Bereichsvariable

f ( x)  sin ( x)

gegebene Funktion

xm ( x) 

1

N = 1

N

= 1

x ˜ sin (x)  cos(x)  cos (x)3 sin ( x) cos ( x)

Parametergleichungen der Krümmungsmittelpunkte

2

ym ( x)  2 ˜ sin ( x) Evolvente, Krümmung und Evolute 3 S 2

2 f( x) 1

N ( x  f  x) ym( x)

Abb. 3.2.41 4

2

0 1

2 x  x  xm( x)

Seite 131

2

4

Differentialrechnung Ableitungsregeln

Beispiel 3.2.69: Bestimmen Sie die Krümmung und Krümmungsmittelpunkte in einem beliebigen Kurvenpunkt der Funktion x = r (t - sin(t)) und y = r (1 - cos(t)) (spitze Zykloide). x = r ( t  sin ( t ) )

y = r ˜ ( 1  cos ( t ) )

Parametergleichungen der Zykloide

xt = r ( 1  cos ( t ) )

yt = r ˜ sin ( t )

Ableitungen der Parametergleichungen

yt

§t· y' = = = cot ¨ xt r ˜ ( 1  cos ( t ) ) © 2¹ r ˜ sin ( t )

1 d y'' =

2

=

2

1

=

§t· © 2¹

2 ˜ r ˜ sin ¨

3

1  y'2

2

=

zweite Ableitung

4

4 ˜ r ˜ sin ¨

§ t· © 2¹

1 4

§ t· © 2¹

4˜r˜sin¨

y''

erste Ableitung

§ t · ˜ cos § t · ¨ © 2¹ © 2¹

1

N=

2

sin ( t) = 2 ˜ sin ¨

2

§t· © 2¹

x

dt

wegen

1

sin ¨

y'

dt d

§t· © 2¹

˜

§t· 1  cos ( t) = 2 ˜ sin ¨ © 2¹

4

4˜r˜sin¨ 3

2· § ¨ 1  cot §¨ t · © © 2¹ ¹

2

=

3

§¨ 1 · ¨ § t ·2 ¸ ¨ sin ¨ 2 © © ¹ ¹

2

=

1

§t· 4 ˜ r ˜ sin ¨ © 2¹

§ t· © 2¹

Krümmungsfunktion in Parameterform

cot¨

y'

xm = x  y''

2 ˜  1  y' = r ˜ t  r ˜ sin ( t ) 

§t· ˜ sin ¨ 4· § © 2¹ ¨ 4 ˜ r ˜ sin §¨ t · © © 2¹ ¹ 1

2

x(t) und die Ableitungen in (3-67) eingesetzt

§t· 4 © 2 ¹ ˜ 4 ˜ r ˜ sin § t · ¨ §t· © 2¹ sin ¨ 2 © ¹ § t · ˜ sin § t · xm = r ˜ t  r ˜ sin ( t )  = r ˜ t  r ˜ sin ( t )  4 ˜ r ˜ cos ¨ ¨ 2 © 2¹ © 2¹ §t· sin ¨ © 2¹ cos ¨

§ t · ˜ sin § t · = r ˜ t  r ˜ sin ( t)  2 ˜ r ˜ sin ( t) = r ˜ ( t  sin ( t) ) xm = r ˜ t  r ˜ sin ( t )  4 ˜ r ˜ cos ¨ ¨ 2 2 © ¹

© ¹

Seite 132

x- Werte für den Krümmungsmittelpunkt

Differentialrechnung Ableitungsregeln

2

ym = y 

1  y' y''

1

= r  r ˜ cos ( t) 

1

§ t· © 2¹

4˜r˜sin¨

1

˜ 4

§t· © 2¹

2

§t· © 2¹

2

y(t) und die Ableitungen in (3-67) eingesetzt

= r  r ˜ cos ( t)  4 ˜ r ˜ sin ¨

sin ¨

2

2

2

§ t · = r ˜ ( 1  cos ( t) )  4 ˜ r ˜ sin § t · = r ˜ 2 ˜ sin § t ·  4 ˜ r ˜ sin § t · ym = r  r ˜ cos ( t )  4 ˜ r ˜ sin ¨ ¨ ¨ ¨ © 2¹ © 2¹ © 2¹ © 2¹

2

2

§ t · = r ˜ ( 1  cos ( t) ) ym = 2 ˜ r ˜ sin ¨ © 2¹ t  0  0.01  15

Bereichsvariable

r 2

gewählter Abrollkreisradius

x ( t )  r ˜ ( t  sin ( t) ) Funktion in Parameterdarstellung y ( t )  r ˜ ( 1  cos ( t ) ) N ( t) 

1

Krümmungsfunktion

§t· 4 ˜ r ˜ sin ¨ © 2¹

xm ( t)  r ˜ ( t  sin ( t ) )

Parametergleichungen der Krümmungsmittelpunkte (Evolute- verschobene Zykloide)

ym ( t)  r ˜ ( 1  cos ( t ) )

Evolvente und Evolute

5 S˜r

2˜S˜r

y( t) ym( t)

0

5

10

15

20

5 x( t)  xm( t)

Abb. 3.2.42

Seite 133

25

30

35

Differentialrechnung Ableitungsregeln

Krümmungsfunktion 4

2

N ( t) 0

2

4

6

8

10

12

14

16

2

4 t

Abb. 3.2.43

3.2.15 Grenzwerte von unbestimmten Ausdrücken Öfters ergeben sich bei der Anwendung der bekannten Grenzwertsätze (siehe Abschnitt 2.1) unbestimmte Ausdrücke (unbestimmte Formen) der folgender Form: 0 f 0 0 f  0˜ ff  f0 f 1 . 0 f Mithilfe eines Satzes von Johann Bernoulli (von De l' Hospital veröffentlicht - daher auch Regel von l' Hospital genannt) ist es unter bestimmten Vorraussetzungen möglich diese Grenzwerte zu finden. Satz (Regel von l' Hospital):

(3-69)

Eine Funktion f sei durch f ( x) =

Z ( x)

in [a, b] definiert, Z(x) und N(x) stetig in [a, b] und N ( x) differenzierbar in ]a, b[. Ferner seien N(x) und N'(x) in ]a, b[ von Null verschieden und lim

Z ( x) = 0 ,

x o x0

lim

Wenn nun der Grenzwert

lim x o x0

N ( x) = 0 .

x o x0

f ( x) =

lim

lim

Z ' ( x)

x o x0 N ' ( x)

Z ( x)

x o x0 N ( x)

=

lim

existiert, dann ist Z ' ( x)

x o x0 N ' ( x)

.

Seite 134

Differentialrechnung Ableitungsregeln Beispiel 3.2.70: 0 f  , führen: 0 f

Bestimmen Sie folgende Grenzwerte, die auf Ausdrücke der Form

(1)

y=

sin ( x)

sin ( x)

lim

sin ( x)

lim

0

Ÿ

0

lim

l' Hospital

o1

x

xo0

y=

=

x

xo0

(2)

gegebene Funktion

x cos ( x)

=1

1

xo0

Damit gilt:

lim

sin ( x) x

xo0

=1

Berechnung mit Mathcad

1  cos ( x)

gegebene Funktion

2

x

1  cos ( x)

lim

=

2

xo0

x

Damit gilt:

0

Ÿ

0

l' Hospital

1  cos ( x)

lim

2

xo0

(3)

y=

lim

x

ln ( x)

=

1

xo0

sin ( x)

=

2˜ x

0

Ÿ

0

lim

1  cos ( x)

lim

2

xo0

2

2

xo0

l' Hospital

Oder mit Mathcad:

cos ( x)

x

o

1 2

gegebene Funktion

n

x

ln ( x)

lim

=

n

xof

x

Damit gilt:

f

Ÿ

f

lim

l' Hospital ln ( x) n

xof

=0

y=

=

x

xof

n˜x

n1

Oder mit Mathcad:

1

lim

=0

x o f n ˜ xn

ln ( x)

lim

n

xof

x

2

(4)

1

lim

x

o0

x

gegebene Funktion

x

e

2

lim

x

x o f ex

=

f

Ÿ

f

l' Hospital

lim xof

2˜ x x

e

=

f f

Ÿ l' Hospital

2

Damit gilt:

lim

x

x o f ex

lim

x o f ex

2

=0

Oder mit Mathcad:

Seite 135

lim

x

x o f ex

2

o0

=0

=

1 2

Differentialrechnung Ableitungsregeln Beispiel 3.2.71: Bestimmen Sie folgende Grenzwerte, die auf unbestimmte Ausdrücke der Form 0 ˜ f  f  f, führen. 0 f umgeformt. 0 ˜ f wird auf oder 0 f 0 umgeformt. f  f wird auf 0 (1)

y = x ˜ ln ( x)

gegebene Funktion

Ÿ

( x ˜ ln ( x) ) = 0 ˜ ( f )

lim xo0

lim xo0

l' Hospital

1 1 ln ( x)

Umformung auf ln ( x)

lim

1

xo0

=

f f

2

1

˜

=

lim

x ˜ ln (x)2

= 0˜ f

führt zu keinem Ergebnis

xo0

:

f

Ÿ

f

1

lim xo0

l' Hospital

lim

( x ˜ ln ( x) ) = 0

=

x 1 2

Oder mit Mathcad:

lim

§x· © 2¹

gegebene Funktion

ª( S  x) ˜ tan § x ·º = 0 ˜ f « ¨ » ¬ © 2 ¹¼

Ÿ

Ÿ

x o S 1 ˜

Sx

x o S cot § x · ¨

=

0 0

© 2¹ 2 § §x· · = 2 = lim ¨ 2 ˜ sin ¨ © 2¹ ¹ xoS ©

1

2

lim

Umformung

1

lim

l' Hospital

( x ˜ ln ( x) ) o 0

xo0

y = ( S  x) ˜ tan ¨

xoS

x = 0

lim xo0

xo0

lim

0

ln( x)

x

(2)

0

x

x

Damit gilt:

=

1

xo0

Umformung

Ÿ

x

lim

§x· © 2¹

2

sin ¨ Damit gilt:

lim xoS

(3)

y=

1 x



lim xo0

ª( S  x) ˜ tan § x ·º = 2 « ¨ » ¬ © 2 ¹¼

1

Oder mit Mathcad:

lim xoS

ª( S  x) ˜ tan § x ·º o 2 « ¨ » ¬ © 2 ¹¼

gegebene Funktion

sin ( x)

§1  1 · = f  f ¨ © x sin ( x) ¹

Ÿ

lim

sin ( x)  x

x o 0 x ˜ sin ( x)

Umformung

Seite 136

=

0 0

Ÿ

lim

cos ( x)  1

x o 0 sin ( x)  x ˜ cos ( x)

l' Hospital

=

0 0

Differentialrechnung Ableitungsregeln sin ( x)

lim

Ÿ

Damit gilt:

=0

x o 0 cos ( x)  cos ( x)  x ˜ sin ( x)

lim xo0

§1  1 · = 0 ¨ © x sin ( x) ¹

l' Hospital Beispiel 3.2.72: 0

f

0

Bestimmen Sie folgende Grenzwerte, die auf unbestimmte Ausdrücke der Form 0  f  1 , führen. Wir schreiben statt u(x) v(x) : (eln(u(x)))v(x) = e v(x) ln(u(x)) (1)

x

gegebene Funktion

y=x

x

lim

x

=

xo0

e ln( x)

lim

x

Ÿ

xo0

Damit gilt:

x

lim

lim

Umformung x

e

=e

( x˜ln( x) )

xo0

0

=e =1

xo0

Oder mit Mathcad:

=1

lim

x˜ln( x)

xo0

x

lim

siehe Beispiel 3.2.71 (1)

o1

x

xo0

1

(2)

y=x

x

gegebene Funktion 1

lim

x

x

=f

0

Ÿ

xof

lim

§ 1· ¨ x ln x e © ¹ =

xof

Umformung

1

lim

lim

x

§ ©

y = ¨1 

lim xof

lim xof

k·

x

= 1 Oder mit Mathcad:

f

x

x

o1

lim xof

k

xof

x¹

lim

=e

xof

§x˜ln§1 k ·· ¨ ¨ © © x ¹¹

xof

§ ©

ln ¨ 1  Ÿ

lim

k· x¹

1

xof

Umformung

˜¨

=

0 0

x

2

©x ¹

x

=

1 x

§1  k · ¨ x¹ ©

e

k·

§ k ·

1

lim

lim

Umformung

1

§ ©

x˜ln¨1 

Ÿ

=1

§ x ˜ ln § 1  k · · = f ˜ 0 ¨ ¨ x ¹¹ © ©

Damit gilt:

lim

gegebene Funktion x

x

lim xof

2

k

=e

0

=e =1

siehe Beispiel 3.2.70 (3)

x

§1  k · ¨ x¹ ©

l' Hospital

xof

§ 1 ˜ln( x)· ¨ ©x ¹

xof

x¹

Ÿ

=e

1

xof

(3)

x

lim

xof

1

Damit gilt:

e

˜ln( x)

§ k · =k ¨ k ¨1  x¹ ©

Oder mit Mathcad:

lim xof

Seite 137

§1  k · ¨ x¹ ©

x

o exp ( k )

Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen 3.3 Kurvenuntersuchungen Mithilfe der Differentialrechnung können für eine Funktion f: y = f(x) nicht nur die Tangenten in den einzelnen Kurvenpunkten ermittelt werden, sondern es können auch für den Kurvenverlauf wichtige Punkte (Hoch- und Tiefpunkte ; Wendepunkte) bestimmt werden. Die Untersuchung der Monotonie und des Krümmungsverhaltens von f gibt weitere wichtige Hinweise für den Kurvenverlauf. Die Anwendung der Differentialrechnung in diesem Sinne auf die Behandlung von Kurven wird als Kurven- diskussion bezeichnet. Bei einer Kurvendiskussion wollen wir folgende Punkte berücksichtigen: a) von welcher Art ist die zu untersuchende Funktion b) Bestimmung der Definitionsmenge (Sprungstellen, Lücken, Pole) c) Untersuchung der Funktion auf Nullstellen (siehe dazu Nullstellensatz Abschnitt 2.2.1) d) Symmetrieeigenschaften (Axial ( f(- x) = f(x) )- und Zentralsymmetrie ( f(- x) = - f(x) ) e) Untersuchung der Funktion auf Asymptoten f) Extremwerte (Hoch- und Tiefpunkte): Wenn eine Funktion f innerhalb eines bestimmten Intervalls I = [a, b] der Stelle x 0 einen größten bzw. kleinsten Wert besitzt, so hat die Funktion f an dieser Stelle ein absolutes Maximum bzw. Minimum. Befinden sich innerhalb des Intervalls I mehrere größte und kleinste Werte, so hat die Funktion f ein relatives (oder mehrere) Maximum (oder Maxima) bzw. relatives Minimum (oder Minima). Maxima und Minima heißen Extrema. x 0 heißt Extremstelle. Über den Extremstellen befinden sich die Hochpunkte H(x k |yk ) bzw. Tiefpunkte T i(x k |yk ). Siehe dazu Extemwertsatz Abschnitt 2.2.1. Notwendige Bedingung für ein relatives (lokales) Extremum: Ist f(x) an der Stelle x 0 differenzierbar, dann ist x0 eine relative Extremstelle, wenn f '(x 0 ) = 0 gilt. Hinreichende Bedingung für ein relatives (lokales) Extremum: f '(x0 ) = 0 und f ''(x0 ) > 0 Ÿ Minimum an der Stelle x 0 f '(x0 ) = 0 und f ''(x0 ) < 0 ŸMaximum an der Stelle x0

x  1  1  0.01  5

Bereichsvariable

2

f ( x)  ( x  2)  1 2

g ( x)  ( x  2)  1

fx ( x)  4 ˜ ( x  2)

fxx ( x)  4

Funktion und Ableitungen

gx ( x)  4 ˜ ( x  2)

gxx ( x)  4

Funktion und Ableitungen

20

20

10

f( x) fx( x) 2 fxx( x)

10

g ( x)

0

2

4

6

Abb. 3.3.1

10

g x ( x) 2 g xx( x)

20

0

0.4

4

6

10 20

x

fx ( 1.9)

2

fx ( 2.1)

x

0.4

gx ( 1.9)

Seite 138

0.4

gx ( 2.1)

0.4

Abb. 3.3.2

Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen g) Wendepunkte: Punkte, in denen der "Tangentendrehsinn" wechselt, also die Kurve von einer Linkskurve zu einer Rechtskurve (oder umgekehrt) wird, nennen wir Wendepunkte und bezeichnen sie mit W(x k |yk ). Wendepunkte mit waagrechter Wendetangente nennen wir Terrassenpunkte oder Sattelpunkte und bezeichnen sie mit T(x k |yk ) oder S(xk |yk ). Notwendige und hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt: f ''(x0 ) = 0 und f '''(x0 ) z 0 Ÿ x0 ist Wendestelle mit W(x 0 |y0 ) Notwendige und hinreichende Bedingung für einen Terrassenpunkt oder Sattelpunkt: f '(x0 ) = 0, f ''(x0 ) = 0 und f '''(x0 ) z 0 Ÿ Terrassenpunkt T(x0 |y0 ) bzw. Sattelpunkt S(x0 |y0 )

x  3  3  0.01  5 3

Bereichsvariable

2

f ( x)  x  6 ˜ x  9 ˜ x

Funktion und Ableitungen

2

fx ( x)  3 ˜ x  12 ˜ x  9 4

fxx ( x)  6 ˜ x  12

3

g ( x)  x  4 ˜ x

fxxx ( x)  6

x0  2

gxxx ( x)  24 ˜ x  24

x01  0

Funktion und Ableitungen

3

2

2

gx ( x)  4 ˜ x  12 ˜ x

gxx ( x)  12 ˜ x  24 ˜ x

40

10 x0

x01

g ( x)

20

f( x)

g x ( x)

fx( x) 4

2

0

2

fxx( x)

4

6

g xx( x) 5

0

5

g xxx( x) 20 10 x

x

Abb. 3.3.3



fxx x0

0



fxxx x0

6

Abb. 3.3.4



gx x01

0



gxx x01

0



gxxx x01

24

h) Krümmungsverhalten: Die zweite Ableitung gibt einen Hinweis darauf, wie stark sich eine Kurve krümmt. Siehe dazu Abschnitt 3.2.14. (1) Ist f bei x0 zweimal differenzierbar und f ''(x 0 ) < 0, dann ist die Kurve bei x 0 eine Rechtskurve. (2) Ist f bei x0 zweimal differenzierbar und f ''(x 0 ) > 0, dann ist die Kurve bei x 0 eine Linkskurve.

Seite 139

Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen f ''(x0 ) < 0

Rechtskrümmung (von oben konvex)

Abb. 3.3.5

f ''(x0 ) > 0

Linkskrümmung (von oben konkav)

Abb. 3.3.6

i) Monotonie (Steigen und Fallen einer Funktion): Ist f an der Stelle x0 differenzierbar und f '(x 0 ) > 0 bzw. f '(x0 ) < 0, so ist die Funktion bei x0 streng monoton wachsend bzw. streng monoton fallend (es gilt auch die Umkehrung). x  5  5  0.01  5

Bereichsvariable

3

2

f ( x)  x

fx ( x)  3 ˜ x

Funktion und Ableitung

10

fx ( 1) f( x) fx( x)

fx ( 1) 5

0

3 >0 3

5

Abb. 3.3.7 10 x

Seite 140

>0

Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen Polynomfunktionen (ganzrationale Funktionen): Eine Polynomfunktion n-ten Grades (Parabel n-ter Ordnung) hat die Form n

n 1

y = Pn ( x) = an ˜ x  an1 ˜ x

n2

 an 2 ˜ x

2

 ....  a2 ˜ x  a1 ˜ x  a0

D 

(3-70)

an z 0; ak ; k = 0, 1, 2,... n  ak bezeichnen wir als Koeffizienten und a 0 als Absolutglied oder konstantes Glied. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat die Polynomfunktion in  genau n-Nullstellen (x 1 , x2 , ..., xn), die einfach oder mehrfach, reell oder komplex sein können. Damit kann eine Polynomfunktion n-ten Grades in folgender Form geschrieben werden: y = an (x - x1 ) (x - x2 ) (x - x3 ) ... (x - xn)

(3-71)

Beispiel 3.3.1: Untersuchen Sie folgende Funktion auf Nullstellen, Extremstellen und Wendepunkte und stellen Sie die Funktion grafisch dar. x x

Redefinition

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

3

2

f ( x)  2 ˜ x  4 ˜ x  2

Polynomfunktion 3. Grades (nicht symmetrisch wegen x 3 und x 2 )

Ableitungen: fx ( x) 

d

2

f ( x) o 6 ˜ x  8 ˜ x

dx

fxx ( x)  fxxx ( x) 

d dx

fx ( x) o 12 ˜ x  8

d dx

fxx ( x) o 12

fx ( x) faktor o 2 ˜ x ˜ ( 3 ˜ x  4)

erste Ableitung

fxx ( x) faktor o 12 ˜ x  8

zweite Ableitung

2

fxxx ( x) faktor o 2 ˜ 3

dritte Ableitiung

Nullstellen: 1 § · ¨ 1 ¨ ¸ ¨ 1 ˜ 52  1 ¸ 2¸ xN  f ( x) = 0 auflösen  x o ¨ 2 ¨ 1 ¸ ¨1 1 ¸ ¨  ˜ 52 ©2 2 ¹



f xN

§¨ 0 · ¨0 ¸ ¨0 © ¹

§¨ 1 · xN ¨ 1.618 ¸ ¨ 0.618 © ¹

Probe

Seite 141

drei reelle Nullstellen

Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen §¨ xN f § xN · · 1 © 1¹ ¨ ¸ N  ¨ xN2 f § xN2· ¸ © ¹ ¨ ¸ ¨ xN3 f § xN3· © © ¹¹

0· §¨ 1 N ¨ 1.618 0 ¸ ¨ 0.618 0 © ¹

die Koordinaten der Nullstellen zu einer Matrix zusammengefasst

Extremstellen: notwendige Bedingung:

§0· xE  f x ( x) = 0 auflösen  x o ¨ 4 ¨ ©3¹ § 2 · ¨ © 0.37 ¹



f xE

hinreichende Bedingung:



fxx xE

§ 8 · ¨ ©8 ¹

§ xE f § xE · · ¨ 1 © 1¹ E ¨x f §x · © E 2 © E 2¹ ¹

E

2 · § 0 ¨ © 1.333 0.37 ¹

Hochpunkt wegen f xx(xE1) < 0 Tiefpunkt wegen

f xx(xE2) > 0

Extremwerte zu einer Matrix zusammengefasst

oder

§0 2 · E o ¨ 4 10 ¨ © 3 27 ¹

Hochpunkt H Tiefpunkt Ti

Wendestellen: notwendige Bedingung:

2 xW  fxx ( x) = 0 auflösen  x o 3 hinreichende Bedingung:



fxxx xW

f xxx(xW ) z0

12

W

 xW f xW

W

( 0.667 0.815 )

oder

Wo

§ 2 22 · ¨ © 3 27 ¹

Wendepunkt

Seite 142

Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen a  2

b 4

N  400

Anzahl der Schritte

ba

'x 

Intervallrandpunkte

Schrittweite

N

x  a  a  'x  b

Bereichsvariable

20 xW

f( x)

10

fx( x) fxx( x)

2

1

0

1

2

3

Abb. 3.3.8

fxxx( x)



10

f xW

20 x  x  x  x  xW

20

f( x) f§xN

©

f§xN

©

f§xN

©

·

1¹

·

2¹

·

f§xE

·

©

H N3

·

3¹

f§xE

©

10

2

N1

1

0

1¹ 2¹

W

1

Ti

N2

2

10



f xW

20 x  xN  xN  xN  xE  x E  xW 1 2 3 1 2

Seite 143

3

4

Abb. 3.3.9

Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen Beispiel 3.3.2: Untersuchen Sie folgende Funktion auf Nullstellen, Extremstellen und Wendepunkte und stellen Sie die Funktion grafisch dar. Falls Extremstellen vorliegen, bestimmen Sie den Krümmungsradius und stellen Sie die Krümmungskreise ebenfalls grafisch dar. x x

Redefinition

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

f ( x) 

1

3

˜x 

27

1 3

2

˜x  4

Polynomfunktion 3. Grades (nicht symmetrisch wegen x3 und x 2 )

Ableitungen: fx ( x) 

d

f ( x) o

1

dx

9

d

fx ( x) o

fxx ( x)  fxxx ( x) 

dx d

dx

2

˜x  2 9

fxx ( x) o

˜x

2 3

˜x

2

fx ( x) faktor o

1 9

fxx ( x) faktor o

3

2

2 9

fxxx ( x) faktor o

9

˜ x ˜ ( x  6) ˜x

2

2

erste Ableitung

zweite Ableitung

3 dritte Ableitiung

9

Nullstellen:

§¨ 3 · xN  f ( x) = 0 auflösen  x o ¨ 6 ¸ ¨6 © ¹ §¨ 0 · Probe f  xN ¨ 0 ¸ ¨0 © ¹ §¨ xN f § xN · · 1 © 1¹ ¨ ¸ N  ¨ xN2 f § xN2· ¸ © ¹ ¨ ¸ ¨ xN3 f § xN3· © © ¹¹

§¨ 3 · xN ¨ 6 ¸ ¨6 © ¹

§¨ 3 0 · N ¨ 6 0¸ ¨6 0 © ¹

Extremstellen und Krümmungsradius: notwendige Bedingung:

xE  f x ( x) = 0 auflösen  x o

§0 · ¨ ©6 ¹



f xE

§4 · ¨ ©0 ¹

Seite 144

drei reelle Nullstellen

die Koordinaten der Nullstellen zu einer Matrix zusammengefasst

Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen hinreichende Bedingung: Hochpunkt wegen f xx(xE1) < 0

§ 0.667 · ¨ © 0.667 ¹



fxx xE

Tiefpunkt wegen

§ xE f § xE · · ¨ 1 © 1¹ E ¨x f §x · © E 2 © E 2¹ ¹ E

U1 

§0 4 · ¨ ©6 0 ¹

Extremwerte zu einer Matrix zusammengefasst

oder

Eo

©

· 1¹

Hochpunkt H

§0 4 · ¨ ©6 0 ¹

1 f xx § xE

f xx(xE2) > 0

U1 o

Tiefpunkt Ti

3 2 Krümmungsradien

U2 

1 f xx § xE

©

· 2¹

U2 o

3 2

Wendestellen: notwendige Bedingung: xW  fxx ( x) = 0 auflösen  x o 3

hinreichende Bedingung:



fxxx xW W

0.222

 xW f xW

a  4

b 9

N  400 'x 

fxxx(xW ) z0 W

W o (3 2 )

oder

(3 2 )

Intervallrandpunkte Anzahl der Schritte

ba

Schrittweite

N

x  a  a  'x  b

Bereichsvariable

M  0  0.01  2 ˜ S

Bereichsvariable

x1 ( M ) 

y1 ( M ) 

U 1 ˜ cos ( M )

x2 ( M )  U 2 ˜ cos ( M )  xE 2

U 1 ˜ sin ( M )  § f § xE

©©

·  U1 · ¹

1¹

y2 ( M )  U 2 ˜ sin ( M )  § f § xE ·  U 2· 2

©©

Seite 145

¹

¹

Krümmungskreise in Parameterdarstellung

Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen

5

H f( x) f§xN

©

f§xN

©

f§xN

©

·

1¹

·

2¹

·

4

W

1

N1

1¹

f§xE

©

·

3¹

f§xE

©

3

2

·

0

2

4

6

1

2¹

8

N2 = N3 = Ti



f xW

y1( M )

3

y2( M )

5 x  x N  x N  x N  x E  xE  xW  x1( M )  x2 ( M ) 1

2

3

1

2

Abb. 3.3.10 Beispiel 3.3.3: Der Graph einer Polynomfunktion 3.Grades besitzt den Hochpunkt H(1|7) und den Wendepunkt W(2|4). Wie lautet die Funktion? x x

Redefinition 3

2

y ( x) = a ˜ x  b ˜ x  c ˜ x  d

durch Differentiation, ergibt

d

2

y ( x) = 3 ˜ a ˜ x  2 ˜ b ˜ x  c

dx d

2

y ( x) = 3 ˜ a ˜ x  2 ˜ b ˜ x  c

durch Differentiation, ergibt

dx

d d

y ( x) = 6 ˜ a ˜ x  2 ˜ b

dx dx

Aus den gegebenen Bedingungen erhalten wir folgendes lineare Gleichungssystem: 3

2

3

2

H(1|7) ist ein Punkt des Graphen:

7 = a˜ 1  b˜ 1  c˜ 1  d

W(2|4) ist ein Punkt des Graphen:

4 = a˜ 2  b˜ 2  c˜ 2  d

H(1|7): y' (1) = 0

0 = 3˜ a˜ 1  2˜ b˜ 1  c

W(2|4): y ''(2) = 0

0 = 6˜ a˜ 2  2˜ b

2

Seite 146

Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen a 1

b 1

c 1

d 1

Startwerte (Schätzwerte - nur für numerische Lösung erforderlich)

Vorgabe 3

2

3

2

7 = a˜ 1  b˜ 1  c˜ 1  d 4 = a˜ 2  b˜ 2  c˜ 2  d 2

0 = 3˜ a˜ 1  2˜ b˜ 1  c 0 = 6˜ a˜ 2  2˜ b

§¨ 3 §a · ¨ 2 ¨ ¨ b ¸  Suchen ( a  b  c  d) o ¨¨ 9 ¨c ¸ ¨ 27 ¨ ¨ 2 ©d ¹ ¨ 1 © 3

· ¸ ¸ ¸ ¸ ¸

Lösungen des linearen Gleichungssystems

¹

2

y ( x) = a ˜ x  b ˜ x  c ˜ x  d o y ( x) =

3 2

3

2

˜ x  9˜ x 

27

˜x 1

2

gesuchte Polynomfunktion

Beispiel 3.3.4: Ein beidseitig eingespannter Träger der Länge L wird mit einer konstanten Streckenlast q belastet. Die Biegelinie (elastische Linie) bezüglich des Koordinatensystems wird durch die nachfolgend angegebene Polynomfunktion beschrieben. Diskutieren Sie diese Funktion und stellen Sie die Biegelinie grafisch dar. 4

2

x· § y = w ( x) = ˜ ˜ ¨1  2 24 ˜ E ˜ I L¹ L © q˜ L

x

2

Biegelinie ( 0 ˜ m d x d L)

E ...Elastizitätsmodul I ... Flächenträgheitsmoment

Abb. 3.3.11 4

y = w ( x) =

y = w ( x) =

q˜ L

24 ˜ E ˜ I 1 24

2

˜

x

2

L 2

˜ q˜ x ˜

x·

§ ©

˜ ¨1 

( L  x)

vereinfacht auf

L¹

E˜I

ORIGIN festlegen

24

2

y = w ( x) =

erweitert auf

ORIGIN  1 4

= 0.006 ˜ m

2

Redefinition

1

E˜I

2

x x

f ( x) 

q

L 4˜ m

2

3

4

˜ 0.006 ˜ m ˜ x ˜ L  2 ˜ x ˜ L  x



y = w ( x) =

1 24 1 24

4

gegebene Größen

2

˜ q˜ x ˜

2

˜

( L  x)

2

E˜I 2

3

E˜I

Polynomfunktion 4. Grades (nicht symmetrisch wegen x 3 und x 2 )

Seite 147

4

q˜ x ˜ L  2˜ q˜ x ˜ L  q˜ x

Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen Ableitungen: fx ( x) 

d

fx ( x) faktor o

f ( x)

dx d

fxx ( x) 

dx

dx

1000

fxx ( x) faktor o

fx ( x)

d

fxxx ( x) 

1

fxxx ( x) faktor o

fxx ( x)

4

˜ m ˜ x ˜ ( 4 ˜ m  x) ˜ ( 2 ˜ m  x)

1 1000 3 500

4



2

4

˜ m ˜ ( 2 ˜ m  x)

Nullstellen:

§ 0 · ¨ ¨ 0 ¸ xN  f ( x) = 0 auflösen  x o ¨ 4. ˜ m ¸ ¨ © 4. ˜ m ¹



f xN

§0 · ¨ ¨ 0 ¸ m8 ¨0 ¸ ¨ ©0 ¹

§0 · ¨ ¨0 ¸ m xN ¨4 ¸ ¨ ©4 ¹

zwei reelle Doppelnullstellen

Probe

Extremstellen und Krümmungsradius: notwendige Bedingung:

§¨ 0 · xE  f x ( x) = 0 auflösen  x o ¨ 4. ˜ m ¸ ¨ 2. ˜ m © ¹



f xE

§¨ 0 · 8 ¨ 0 ¸m ¨ 0.004 © ¹

hinreichende Bedingung: 3

fxx § xE

©

· 1¹

8 u 10

fxx § xE

©

· 2¹

8 u 10

fxx § xE

· 3¹

4 u 10

©

3

m

m

3

6

Tiefpunkt wegen

f xx(xE1) > 0

6

Tiefpunkt wegen

f xx(xE2) > 0

m

6

Hochpunkt wegen f xx(xE3) < 0

Seite 148

2

˜ m ˜ 8 ˜ m  12 ˜ x ˜ m  3 ˜ x



Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen Wendestellen: notwendige Bedingung:

ª § « ¨ « 2 ˜ ¨1  « © xW  fxx ( x) = 0 auflösen  x o « § « ¨ « 2 ˜ ¨1  ¬ ©

1·

º » 2 ˜3 ˜m» 3 ¹ » » 1· » 1 2 ˜3 ˜m» 3 ¹ ¼

ª § « ¨ « 2 ˜ ¨1  « © « § « ¨ « 2 ˜ ¨1  ¬ ©

1

1·

º » 2 ˜3 ˜m» 3 ¹ » » 1· » 1 2 ˜3 ˜m» 3 ¹ ¼ 1

§ 3.155 · m ¨ © 0.845 ¹

hinreichende Bedingung:

· 1¹

3

fxxx § xW

6.928 u 10

fxxx § xW

6.928 u 10

a 0˜ m

b 4˜ m

©

· 2¹

©

m

3

5

m

fxxx(xW1) z0 5

f xxx(xW2) z0 Intervallrandpunkte

N  400

Anzahl der Schritte

ba

'x 

Schrittweite

N

x  a  a  'x  b

Bereichsvariable

N1 = N2 = Ti1

 f( x) f§xN

©

· 1¹

f§xN

· 3¹

©

1

· 3¹

 f§xW

·

 f§xW

·

© ©

1

2

3

4

5

0.001

 f§xE

©

0

N3 = N4 = Ti2

1¹ 2¹

0.002

W1

W2

0.003

0.004

H 0.005 x  xN  xN  xE  xW  xW 1 3 3 1 2

Abb. 3.3.12 Es ist üblich, die y-Achse nach unten zeigen zu lassen! Daher wird der Hochpunkt zum Tiefpunkt und umgekehrt!

Seite 149

Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen Beispiel 3.3.5: Ein einseitig eingespannter Träger der Länge L = 2 m wird durch eine konstante Streckenlast q(x) = q0 = 115 N/m und zusätzlich am freien Ende durch die Kraft F = 10 00 N belastet. Die Gleichung der Biegelinie lautet dann (Biegelinie bei Einzelbelastung durch das Eigengewicht + Biegelinie bei Einzelbelastung durch die Kraft F): 4

4 3 3 § § 4 x 1 x · F˜L 3 x 1 x · ¨ ¨ y ( x) = y1 ( x)  y2 ( x) = ˜ 1 ˜  ˜  ˜ 1 ˜  ˜ 4 3 3 ˜ E ˜ Iy ¨ 3 L 3 2 L 2 8 ˜ E ˜ Iy ¨ L L ¹ © ¹ ©

q0 ˜ L

0dxdL

Stellen Sie die Biegelinie (Biegeverlauf) dar, wenn der Träger a) nur durch das Eigengewicht belastet b) nur mit einer Kraft F belastet und c) durch Doppelbelastung von F und q 0 belastet wird. Ermitteln Sie das Biegemoment Mb (x) = - E Iy y''(x) und die Querkraft Q(x) = M'b (x) und stellen Sie diese ebenfalls grafisch dar. Für das Elastizitätsmodul wird E = 2.1 1011 N/m 2 und für das Flächenträgheitsmoment Iy = 1.7 10-6 m4 angenommen.

Abb. 3.3.13

F  1000 ˜ N

angreifende Kraft F

L  2000 ˜ mm

Länge L des Trägers

E  2.1 ˜ 10

11

˜

N m

Iy  1.7 ˜ 10

6

Elastizitätsmodul

2

˜m

4

N q0  115 ˜ m

Flächenträgheitsmoment Streckenlast

4

4 3 3 § § 4 x 1 x · F˜L 3 x 1 x · ¨ ¨ y ( x) = ˜ 1 ˜  ˜  ˜ 1 ˜  ˜ 4 3 3 ˜ E ˜ Iy ¨ 3 L 3 2 L 2 8 ˜ E ˜ Iy ¨ L L ¹ © ¹ ©

q0 ˜ L

durch Differentiation, ergibt 3 3 2 § 4 § 3 4 x · 1 3 x · L ¨ ¨ y ( x) = ˜ q0 ˜ ˜  ˜  ˜F˜ ˜  ˜ 4 3 8 3 2 3 E ˜ Iy ¨ 3 ˜ L E ˜ Iy ¨ 2 ˜ L dx L L ¹ © ¹ ©

d

1

4

L

Seite 150

Biegelinie

Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen durch Differentiation, ergibt

d d

y ( x) =

dx dx

1

˜

2

q0 E ˜ Iy

2

˜x 

F

˜x

E ˜ Iy

§ 1 q0 · F 2 ˜ ˜x  ˜x ¨© 2 E ˜ Iy E ˜ Iy ¹

E ˜ I y ˜ ¨

Biegemoment: Mb(x) = - E Iy y''(x)

erweitert auf 1 2

2

˜ q0 ˜ x  F ˜ x

Biegemoment

durch Differentiation, ergibt q0 ˜ x  F

Querkraft: Q(x) = M' b(x) 4

4 § 4 x 1 x · ¨ y1 ( x)  ˜ 1 ˜  ˜ 4 3 L 3 8 ˜ E ˜ Iy ¨ L ¹ ©

q0 ˜ L

Funktionsgleichung für Biegelinie bei Einzelbelastung durch das Eigengewicht

3 § 3 x 1 x · ¨ y2 ( x)  ˜ 1 ˜  ˜ 3 3 ˜ E ˜ Iy ¨ 2 L 2 L ¹ © 3

F˜L

4

y ( x) 

Mb ( x) 

q0 ˜ L

8 ˜ E ˜ Iy 1 2

§

˜ ¨1 

¨ ©

4 3

˜

x L

2

˜ q0 ˜ x  F ˜ x

Q ( x)  q0 ˜ x  F



1 3

˜

4·

x

4

L

¹

Funktionsgleichung für Biegelinie bei Einzelbelastung durch Kraft F

3



F˜L

3 ˜ E ˜ Iy

§

˜ ¨1 

3

¨ ©

2

˜

x L



1 2

˜

3·

x

3

L

Biegelinie bei Doppelbelastung

¹

Biegemoment Querkraft

Maximale Biegung bei Einzelbelastung durch das Eigengewicht: x0  0 ˜ m



y1 x0

0.644 mm

Maximale Biegung bei Einzelbelastung durch die Kraft F:



y2 x0

7.47 mm

Maximale Biegung, maximales Biegemoment und maximale Querkraft bei Doppelbelastung:



y x0

8.114 mm

Mb ( L)



Q x0

2230 N ˜ m 1000 N

'x  0.2 ˜ mm

Schrittweite

x  0 ˜ mm  0 ˜ mm  'x  L

Bereichsvariable

Seite 151

Q ( L)

1230 N

Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen

Biegelinien

0 1

 y1 ( x)

L

2

mm

mm

3

 y2 ( x)

4

mm

5

 y( x)

6 7

mm

8 9 10

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

x mm

Abb. 3.3.14 Biegemoment M b ( x) N˜m 0

0 300 600

L

900 1200

mm

1500 1800 N˜m 2100

M b ( x)

2400 2700 3000

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

x mm

Abb. 3.3.15 Querkraft 1000 1030 1060

L

1090 Q( x) 1120 N

mm

1150 1180 1210 1240 1270 1300

0

200

400

600

800

1000 x mm

Abb. 3.3.16

Seite 152

1200

1400

1600

1800

2000

Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen Gebrochenrationale Funktionen: Eine gebrochenrationale Funktion, falls P n(x) nicht durch P m(x) ohne Rest teilbar ist, hat folgende Form: Pn ( x)

y=

Pm ( x)

n1

n

=

n 2

an ˜ x  an 1 ˜ x m

bm ˜ x

 an2 ˜ x

m 1

 bm1 ˜ x

2

 ....  a2 ˜ x  a1 ˜ x  a0

m 2

 bm 2 ˜ x

2

(3-72)

 ....  b2 ˜ x  b1 ˜ x  b0

D = {x | x šPm(x) z0} und a n, bn z 0; ak mit k = 0, 1, 2,... n; bl mit l = 0, 1, 2,... m ak , bk bezeichnen wir als Koeffizienten und a 0 , b0 als Absolutglieder oder konstante Glieder. Wenn n < m gilt, dann sprechen wir von einer echt gebrochenrationalen Funktion. Wenn n tm gilt, dann sprechen wir von einer unecht gebrochenrationalen Funktion. x0 ist eine Nullstelle wenn gilt: Pn(x 0 ) = 0 und Pm(x 0 ) z 0

(3-73)

x1 ist eine Polstelle, wenn gilt: Pn(x 1 ) z 0 und P m(x 1 ) = 0

(3-74)

Gemeinsame Nullstellen x 0 heißen Lücken, wenn gilt: Pn(x 0 ) = 0 und Pm(x 0 ) = 0

(3-75)

Beispiel 3.3.6: Untersuchen Sie folgende Funktion auf Nullstellen, Polstellen, Lücken, Extremstellen und Wendepunkte, und stellen Sie die Funktion grafisch dar. x x

Redefinition

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

2

x 4

f ( x) 

2

unecht gebrochenrationale Funktion

x  2˜ x 3 Ableitungen: fx ( x) 

2

d

f ( x) vereinfachen o 2 ˜

dx

fxx ( x) 

fxxx ( x) 

x  x 4

x2  2 ˜ x  3

2

3

2

d

2

f ( x) vereinfachen o 2 ˜

dx

3

d

3

dx

2

2 ˜ x  3 ˜ x  24 ˜ x  19

x2  2 ˜ x  3 4

f ( x) vereinfachen o 12 ˜

3

3

2

38 ˜ x  x  2 ˜ x  31  24 ˜ x

x2  2 ˜ x  3 Seite 153

4

Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen Nullstellen:

xN  f ( x) = 0 auflösen  x o

xN

§2 · ¨ © 2 ¹

einfache reelle Nullstelle bei 2 und -2

§2 · ¨ © 2 ¹

f § xN

Probe:

©

·

f § xN

0

1¹

©

·

2¹

0

Polstellen (Nullstellen des Nenners) und Asymptoten: 2

xP  x  2 ˜ x  3 = 0 auflösen  x o xP

§ 3 · ¨ ©1 ¹

§ 3 · ¨ ©1 ¹

D =  \ {- 3, 1}

x = - 3 und x = 1 sind vertikale Asymptoten

2

x 4

lim

o1

2

y = 1 ist eine horizontale Asymptote

x o f x  2˜ x 3 2

x 4

lim

x o  f x2  2 ˜ x  3

o1

Extremstellen: auflösen  x xE 

d

f ( x) = 0

dx

vereinfacheno gleit  4

§ .5000  1.937 ˜ i · ¨ © .5000  1.937 ˜ i ¹

keine reellen Extremstellen

Wendepunkte:

xW 

1 ª« 1 3 « ˜ 75 2 « « 1 2 2 d « 1 1 f ( x) = 0 auflösen  x o 1 3 3 2 ˜ 75   « ˜ 75  dx 20 2 «4 « 1 2 «1 1 1 3 3 « 4 ˜ 75  20 ˜ 75  2  ¬

0.83 §¨ · xW ¨ 0.335  3.366i ¸ ¨ 0.335  3.366i © ¹ W

§ xW f § xW · · © 1 © 1¹ ¹

fxxx § xW

©

W

·

1¹

0.739

( 0.83 0.834 )

Seite 154

2



1 10

˜ 75

3



1 2

1 § ¨ 1 1 1 2 3 ˜i˜3 ˜¨ ˜ 75  2 10 ©2 1 § 1 ¨  1 1 1 2 3 ˜i˜3 ˜¨ ˜ 75  2 10 ©2 1

f xxx(xW1) z0

Wendepunkt

º» » » 2·» » 3 ˜ 75 » ¹» 2·» 3 » ˜ 75 » ¹¼

Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen 2

x 4

f ( x) 

if x z 3 › x z 1

2

x  2˜ x 3

gegebene unecht gebrochenrationale Funktion

0 otherwise g ( x)  1

Asymptote

x  4  4  0.001  4

Bereichsvariable

10 xN

xN

6

2

1

W

f( x)

2

g ( x) f§xW

©

4

·

3

2

1

2

1¹

0

1

2

3

4

Abb. 3.3.17

6

10 x  x  xW

1

Beispiel 3.3.7: Untersuchen Sie folgende Funktion auf Nullstellen, Polstellen, Extremstellen und Wendepunkte, und stellen Sie die Funktion grafisch dar. x x

Redefinition

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

4

f ( x) =

3

2

4˜ x  8˜ x  3˜ x  7˜ x 2

unecht gebrochenrationale Funktion

2

2˜ x  x 4

f ( x) =

3

2

3

4˜ x  8˜ x  3˜ x  7˜ x 2

vereinfacht auf

2

f ( x) =

2˜ x  x 4

f ( x) 

3

2

4˜ x  8˜ x  3˜ x  7˜ x 2

unecht gebrochenrationale Funktion

2

2˜ x  x Ableitungen: fx ( x) 

fxx ( x) 

3

d

f ( x) vereinfachen o

2

4˜ x  3˜ x  2

dx

2

x 2

d

2

dx

3

f ( x) vereinfachen o 4 ˜

x 1 3

x

Seite 155

2

2˜ x  3˜ x  3˜ x 2 x

Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen 3

d

fxxx ( x) 

3

f ( x) vereinfachen o

dx

12 4

x

Nullstellen:

§ 1 · ¨ 1 ¸ xN  f ( x) = 0 auflösen  x o ¨ ¨ 2 ¸ ¨ © 2 ¹ §¨ 1 · xN ¨ 0.5 ¸ ¨ 2 © ¹

einfache reelle Nullstellen

f § xN

Probe:

©

·

1¹

f § xN

0

©

·

2¹

f § xN

0

©

·

3¹

Polstellen (Nullstellen des Nenners) und Asymptoten:

§ 0 · xP  2 ˜ x  x = 0 auflösen  x o ¨ 1 ¨ © 2 ¹ 2

D =  \ {0, -1/2}

§ 0 · ¨ © 0.5 ¹

xP

x = 0 ist eine vertikale Asymptote Bei x = -1/2 hat die Funktion eine Lücke!

Grenzwertuntersuchungen: 4

lim xo

3

2

4˜ x  8˜ x  3˜ x  7˜ x 2 2

1

Die Lücke kann stetig ergänzt werden! Damit ist D = R \ {0}.

o0

2˜ x  x

2 4

3

2

4˜ x  8˜ x  3˜ x  7˜ x 2

lim

2

xof

2˜ x  x 4

3

2

4˜ x  8˜ x  3˜ x  7˜ x 2

lim

2

xof 4

of

of

2˜ x  x 3

2

4˜ x  8˜ x  3˜ x  7˜ x 2 2

in Partialbrüche zerlegt, ergibt

2

2˜ x  3˜ x 3 

2˜ x  x 2

fg ( x)  2 ˜ x  3 ˜ x  3

asymptotische Grenzkurve

Extremstellen: 1.137 · §¨ vereinfacheno ¨ .1935  .6346 ˜ i ¸ ¨ .1935  .6346 ˜ i gleit  4 © ¹

auflösen  x xE 

d dx

f ( x) = 0

eine reelle Extremstelle

Seite 156

2 x

0

Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen

xE

§¨ 1.137 · ¨ 0.194  0.635i ¸ ¨ 0.194  0.635i © ¹

fxx § xE

Ti 

§ xE f § xE · · © 1 © 1¹ ¹

Ti

©

·

f xx(xE1) > 0, daher ein Minimum

6.721

1¹

( 1.137 2.066 )

Tiefpunkt

Wendepunkte: 1 § ¨ 1 ¨ 2 ¨ 1  1 ˜ i ˜ 3 2 d 2 f ( x) = 0 auflösen  x o ¨ 2 2 dx ¨ 1 ¨ 1 1 ¨  ˜ i ˜ 32 © 2 2

xW 

1 §¨ · xW ¨ 0.5  0.866i ¸ ¨ 0.5  0.866i © ¹

fxxx § xW

©

§ xW f § xW · · © 1 © 1¹ ¹

W

W

x  4  4  0.001  4

·

· ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹

f xxx(xW1) z0

12

1¹

Wendepunkt

(1 0 )

Bereichsvariable

10 f( x) 6

fg( x) f§xW

·

f§xN

·

©

1¹

©

f§xN

©

f§xN

©

f§xE

©

N3

1¹

·

2¹

·

4

3

2

N2

2

1

0

Ti

1

2

W = N1

2

3¹

·

6

1¹

10 x  x  xW  xN  xN  xN  xE 1

1

2

Seite 157

3

1

3

4

Abb. 3.3.18

Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen Beispiel 3.3.8: Berechnen Sie die kritischen Größen T c, pc und V c mithilfe der Van der Waals Gleichung. Der kritische Punkt ist ein Wendepunkt (Terrassenpunkt). Das heißt, dass die erste und die zweite Ableitung des Drucks p nach dem Volumen V m gleich null sind. Simulieren Sie die Isothermen von CO 2 mit Hilfe der Van der Waals Gleichung für verschiedene Temperaturen 0, 20, 30.85, 40, 80 °C. ORIGIN  1 R R

T T



a a

b b

R˜ T



p Vm  T  R  a  b 

Vm  b

Redefinitionen

a



Vm

Van der Waals Gleichung

2

R bedeutet die Gaskonstante, T die Temperatur, V m das molare Volumen und a, b sind spezifische gasabhängige Konstanten. Berechnung der ersten Ableitung und auflösen nach T:





pV Vm  T  R  a  b 





d dV m







p Vm  T  R  a  b





pV Vm  T  R  a  b o R ˜



T Vm  T  R  a  b  pV Vm  T  R  a  b = 0 auflösen  T o 2 ˜

a 3

Vm ˜ R

T

Vm  b 2



a

 2˜

Vm

2

˜ Vm  b

Berechnung der zweiten Ableitung, T ersetzen und auflösen nach V m





pVV Vm  T  R  a  b 



d dV m







pV Vm  T  R  a  b





Vc Vm  T  R  a  b  pVV Vm  T  R  a  b = 0





ersetzen  T = T Vm  T  R  a  b auflösen  Vm

o 3˜ b

Vc = 3 ˜ b









Tc Vm  T  R  a  b  pV Vm  T  R  a  b = 0 Tc =

8 27

˜

ersetzen  Vm = 3 ˜ b 8 a o ˜ 27 b ˜ R auflösen  T

a b˜ R

R ˜ Tc a pc =  2 Vc  b Vc

R ˜ TC

Van der Waals Gleichung im kritischen Punkt

ersetzen  VC = 3 ˜ b a

pc =  2 VC  b VC

a 1 a o pc = ˜ ersetzen  TC = ˜ 2 27 b 27 b ˜ R 8

vereinfachen

Seite 158

3

Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen Zusammenfassung: a 1 pc = ˜ 2 27 b

Vc = 3 ˜ b

Tc =

8 27

 pc

a

˜

b˜ R

V c Tc



Simulation der Isothermen von CO2 mit Hilfe der Van der Waals Gleichung: 5

bar  10 ˜ Pa

l

bar ˜ l

a  3.639 ˜

Mol

1 27

˜



8 27

m

2

b  4.267 ˜ 10

2

a 2

3

2

Einheiten

˜

l Mol

Konstanten für CO2

Gaskonstante

K ˜ Mol

pc

74.024 bar

Vc

0.128

Tc

304.444 K

b

Vc  3 ˜ b Tc 

3

bar ˜ l

R  0.083 ˜

pc 

1 u 10

˜



p T  Vm 

a R˜ b R˜ T

Vm  b



l

Daten des kritischen Punktes

Mol

a Vm

Van der Waals Gleichung

2

Np  800

Anzahl der Bildpunkte

i  1  Np

Bereichsvariable

-  ( 0 20 30.85 40 80 )

Temperaturen in °C

T

T  ( -  273.15) ˜ K

Vm  0.065 ˜ i

l Mol

j  1  5

l

Molvolumina in l/Mol

Mol Bereichsvariable

p j  i  p § T j  Vm ·

©

 i ˜ 0.001 ˜

T

§¨ 273.15 · ¨ 293.15 ¸ ¨ 304 ¸ K ¨ ¸ ¨ 313.15 ¸ ¨ 353.15 © ¹

i¹

Druckmatrix

Seite 159

Temperaturen in Kelvin

Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen

Isothermen für CO2 140 Vc 120

pj  i

T = 353.15 ˜ K

l Mol

bar p §Tc  Vm · 100

©

i¹

pc

T = 313.15 ˜ K

bar 80

bar

T = 304 ˜ K

pc

K

bar 60

T = 293.15 ˜ K

40

T = 273.15 ˜ K

20 0.05

0.1

0.15 Vm

0.2 i

l Mol

Vm 

i

l Mol



0.25

Vc l Mol

Abb. 3.3.19 Oberhalb der kritischen Temperatur T c ist eine Verflüssigung allein durch Druck nicht möglich. Nur bei Unterschreiten der kritischen Temperatur lassen sich Gase durch Druck verflüssigen. Nachfolgend sollen noch weitere Beispiele aus verschiedenen Anwendungsgebieten betrachtet werden:

Beispiel 3.3.9: Untersuchen Sie folgende Funktion auf Nullstellen, Extremstellen und Wendepunkte und stellen Sie die Funktion grafisch dar. x x

Redefinition x

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

2

f ( x)  4x ˜ e

gegebene Funktion

Ableitungen: fx ( x) 

d

f ( x)

dx

fxx ( x) 

fxxx ( x) 

d dx

fx ( x)

d dx

fxx ( x)

 2 ˜ 1  2 ˜ x2

fx ( x) faktor o 4 ˜ exp x

 2 ˜ 3  2 ˜ x2

fxx ( x) faktor o 8 ˜ x ˜ exp x

 2 ˜ 3  12 ˜ x2  4 ˜ x4

fxxx ( x) faktor o 8 ˜ exp x

Seite 160

Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen Nullstellen: xN  f ( x) = 0 auflösen  x o 0

 xN f xN o ( 0

N

0)

Extremstellen: notwendige Bedingung: 1 § ¨ 1 ¨ ˜ 22 ¨ 2 xE  f x ( x) = 0 auflösen  x o ¨ 1 ¨ 1 2 ¨ ˜2 © 2

· ¸ ¸ ¸ ¸

§ xE f § xE · · ¨ 1 © 1¹ E ¨x f §x · © E 2 © E 2¹ ¹

E

§ 0.707 1.716 · ¨ © 0.707 1.716 ¹

¹

hinreichende Bedingung: fxx § xE

©

fxx § xE

©

·

6.862

f xx(xE1) < 0, daher ein Maximum (Hochpunkt)

·

6.862

fxx(xE2) > 0, daher ein Minimum (Tiefpunkt)

1¹ 2¹

H

§ xE f § xE · · © 1 © 1¹ ¹

H

( 0.707 1.716 )

Hochpunkt

Ti 

§ xE f § xE · · © 2 © 2¹ ¹

Ti

( 0.707 1.716 )

Tiefpunkt

Wendestellen: notwendige Bedingung:

§ 0 ¨ 1 ¨ ¨ 1 ˜ 62 xW  fxx ( x) = 0 auflösen  x o ¨ 2 ¨ 1 ¨ 1 ¨ ˜ 62 © 2

· ¸ ¸ ¸ ¸ ¸

§¨ xW f § xW · · 1 © 1¹ ¸ ¨ W  ¨ xW2 f § xW2· ¸ © ¹ ¸ ¨ ¨ xW3 f § xW3· © © ¹¹

0 §¨ 0 · W ¨ 1.225 1.093 ¸ ¨ 1.225 1.093 © ¹

¹

hinreichende Bedingung: fxxx § xW

©

·

1¹

24

fxxx § xW

©

·

2¹

10.71

fxxx § xW

©

·

3¹

10.71

§ xW f § xW · · © 1 © 1¹ ¹

W1

(0 0 )

Wendepunkt 1

§ xW f § xW · · © 2 © 2¹ ¹ W3  § xW f § xW · · © 3 © 3¹ ¹

W2

( 1.225 1.093 )

Wendepunkt 2

W3

( 1.225 1.093 )

Wendepunkt 3

W1  W2 

Seite 161

fxxx(xW) z0

Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen Verhalten im Unendlichen: 2 § x · © 4x ˜ e ¹ o 0

lim xof

lim xof

2 § x · © 4x ˜ e ¹ o 0

y = 0 ist Asymptote

grafische Darstellung: x  4  4  0.01  4

Bereichsvariable H

2 f( x)

W2



f xN

1

f§xE

·

f§xE

·

© ©

1¹

0

2¹

3

f§xW

©

· 1¹

f§xW

·

f§xW

·

© ©

2

1

0

2¹

N = W1 1

2

3

1

W3

3¹

Ti

2

x  xN  x E  x E  x W  x W  x W 1

2

1

2

3

Abb. 3.3.20

Beispiel 3.3.10: Untersuchen Sie folgende Funktion auf Nullstellen, Extremstellen und Wendepunkte, und stellen Sie die Funktion grafisch dar. x x

ORIGIN  1

Redefinition 1

g(x  P  V ) 

1 V˜

2˜ S

e

2

§ x P · © V ¹

˜¨

2

ORIGIN festlegen

Gegebene Funktion (Gaußsche Normalverteilung Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion). g(x) dx ist die Wahrscheinlichkeit, dass x einen Wert zwischen x und x+dx annimmt. P ... Mittelwert (Erwartungswert) V ... Standardabweichung (V > 0)

Seite 162

Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen Ableitungen: gx ( x  P  V ) 

d

g(x  P  V )

dx 1

1

gx ( x  P  V ) o

2˜ V

3

˜

2

1

S d

gxx ( x  P  V ) 

dx

2

ª 1 ( x  P ) 2 º » ˜ «2 2 » V ¬ ¼

˜ ( x  P ) ˜ exp «

2

gx ( x  P  V ) 1

ª 1 ( x  P ) 2 º » ˜ ( x  P  V ) ˜ x  P  V gxx ( x  P  V ) faktor o ˜ 2 ˜ exp « ˜ «2 2 » 1 2 V ¬ ¼ 1

2

5

V ˜S gxxx ( x  P  V ) 

d dx

2

gxx ( x  P  V ) 1

1

gxxx ( x  P  V ) faktor o ˜ 2 2

2

ª 1 ( x  P ) 2 º 3 ˜ V 2  x2  2 ˜ x ˜ P  P 2 »˜ ˜ «2 2 » 1 V ¬ ¼

˜ ( x  P ) ˜ exp «

7

V ˜S

2

Nullstellen: Wegen g(x) > 0 (für alle x  D) gibt es keine Nullstellen. Extremstellen: notwendige Bedingung: xE ( P )  gx ( x  P  V ) = 0 auflösen  x o P hinreichende Bedingung:





gxx xE ( P )  P  V gleit  4 o





g xE ( P )  P  V gleit  5 o

.3987 V

3

gxx(xE) < 0, daher ein Maximum (Hochpunkt)

.39892 V

Hochpunkt: H( P| 0.399/V)

Seite 163

Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen Wendestellen: notwendige Bedingung:

xW ( V  P )  gxx ( x  P  V ) = 0 auflösen  x o xW ( V  P ) 1 o P  V

§P  V · ¨ ©P  V ¹

xW ( V  P ) 2 o P  V

hinreichende Bedingung:





gxxx xW ( V  P ) 1  P  V gleit  4 o

.4837 V

4

.2418

g ( V  P  P  V ) gleit  4 o





gxxx xW ( V  P ) 2  P  V gleit  4 o

g ( V  P  P  V ) gleit  4 o

V

W1 (P+ V| 0.242/V)

.4837 V

4

fxxx(xW) z0

.2418 V

Wendepunkte

W2 (PV| 0.242/V) Verhalten im Unendlichen: P 3

lim xof

V 1

Vorgaben (Erwartungswert und Streuung)

2º ª«  1 § x P · » ˜¨ 1 « 2 © V ¹ » e «¬ V ˜ 2 ˜ S »¼ o 0

xE  P

y = 0 ist Asymptote

Erwartungswert

xW  P  V 1

Wendestellen

xW  P  V 2 xW

§4 · ¨ ©2 ¹



g xW  P  V







§ 0.242 · ¨ © 0.242 ¹

PW  erweitern xW  g xW  P  V



Koordinaten der Wendepunkte

PW

§ 4 0.242 · ¨ © 2 0.242 ¹

Matrix mit Wendepunkten

Wendetangenten:







g ( x)  g x1 = k ˜ x  x1

Tangentengleichung (Punkt-Richtungsform)

Seite 164

Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen k 1  gx § xW  P  V · 1

© ¹ k 2  gx § xW  P  V · © 2 ¹

k1

0.242

k2

0.242

Steigungen der Wendetangenten

g1 ( x)  g § xW  P  V ·  k 1 ˜ § x  xW · 1¹ © 1 ¹ ©

Wendetangentengleichungen

g2 ( x)  g § xW  P  V ·  k 2 ˜ § x  xW · 2¹ © 2 ¹ © P P

V V

Redefinitionen

Schnittpunkt der Tangenten mit der x-Achse: g § xW  P  V ·

©

0.242

¹

1

g ( P  V  P  V ) gleit  4 o

g ( P  V  P  V )  k1 ˜ ( x  P  V ) = 0

g1 ( x) = 0

x1 

x2 



 g ( V  P  P  V )  k1 ˜ V  k1 ˜ P



x1

k1 hat als Lösung(en)







 g ( P  V  P  V )  k2 ˜ V  k2 ˜ P

x2

k2

(= P - 2 V)

1

Bereichsvariable

P V

t2

t1

P V

0.4



H

g §xW  P  V· 0.3

©

1

¹

W2

g §xW  P  V·

©

2

¹

W1

0.2

g 1 ( x) g 2 ( x)

0.1 0 0

1

2



(= P + 2 V)

5

k2

 g ( P  V  P  V )  k2 ˜ V  k2 ˜ P

g( x  P  V )





 g ( V  P  P  V )  k1 ˜ V  k1 ˜ P k1

x  0  0.01  7

g xE  P  V

V

hat als Lösung(en)

g ( P  V  P  V )  k2 ˜ ( x  P  V ) = 0

g2 ( x) = 0

.2418

3

4

x  xE  x W  x W  x  x 1 2

Abb. 3.3.21

Seite 165

5

6

7



Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen Beispiel 3.3.11: Untersuchen Sie folgende Funktion auf Nullstellen, Extremstellen und Wendepunkte, und stellen Sie die Funktion grafisch dar. t t

ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

y t  y0  G  Z  y0 ˜ e

˜ sin ( Z ˜ t)

gegebene Funktion (gedämpfte Schwingung)

v0 y0 = Z

Amplitude

v0 ... Anfangsgeschwindigkeit

Kreisfrequenz

Z0 ... Eigenfrequenz

Redefinition





 G˜t

2

Z=

Z0  G

2

(Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung) G ... Dämpfungsfaktor Ableitungen:

















yt t  y0  G  Z 

d dt



y t  y0  G  Z



yt t  y0  G  Z faktor o y0 ˜ exp ( G ˜ t) ˜ ( sin ( Z ˜ t) ˜ G  cos ( Z ˜ t) ˜ Z ) ytt t  y0  G  Z 

§d · ¨ yt  t  y0  G  Z © dt ¹



2

ytt t  y0  G  Z faktor o exp ( G ˜ t) ˜ y0 ˜ G ˜ sin ( Z ˜ t)  2 ˜ G ˜ cos ( Z ˜ t) ˜ Z  sin ( Z ˜ t) ˜ Z

2



Nullstellen und Berührungspunkte mit den Dämpfungskurven:  G˜t

y0 ˜ e

˜ sin ( Z ˜ t) = 0

sin ( Z ˜ t) = 0

hat als Lösung(en)

0

Z˜t=k˜S

tk = k ˜

Hier wird nur eine Nullstelle gefunden! S Z

k ²

Berührungspunkte:  G˜t

y0 ˜ e

˜ sin ( Z ˜ t) = r

Z ˜ tbk = ( 2 ˜ k  1) ˜

Mit Z =

2˜ S T

 G˜t

y0 ˜ e

S 2

Ÿ

sin ( Z ˜ t) = 1

Ÿ

tbk = ( 2 ˜ k  1) ˜

bzw.

sin ( Z ˜ t) = 1

S 2˜ Z

erhalten wir:

tbk = ( 2 ˜ k  1) ˜

T 4

k  ²

Die Berührungsstellen liegen zwischen den Nullstellen !

Seite 166

Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen Extremstellen: notwendige Bedingung: Vorgabe





yt t  y0  G  Z = 0

§Z· ©G¹

atan ¨ Suchen ( t ) o

§Z· ©G¹

atan ¨ tE =

Z

Z

Wegen der Periodizität gilt dann: 1 § § Z ·  k ˜ S· tEx = ˜ ¨ arctan ¨ Z © k ©G¹ ¹

k ²

k ... ungerade ... Maxima k ... gerade ... Minima

Wendestellen: notwendige Bedingung: Vorgabe





ytt t  y0  G  Z = 0

§

atan ¨ 2 ˜ G ˜

©

Suchen ( t ) o

2

G  Z

2

§

atan ¨ 2 ˜ G ˜

¹

tW =

Z

§

atan ¨ 2 ˜ G ˜

©

tWe = k

·

Z

·  k˜S G  Z ¹

©

·

Z 2

G  Z

2

¹

Z

Z

2

2

k ²

Z

Verhalten im Unendlichen: lim tof

§ y ˜ e G˜t ˜ sin ( Z ˜ t) · © 0 ¹

y = 0 ist Asymptote

Amplitudenverhältnis:  G ˜t

y ( t ) = y0 ˜ e

 G˜t

y( t) y ( t  T)

=

 G˜( t T)

˜ sin ( Z ˜ t)

y0 ˜ e

 G˜( t T)

y0 ˜ e



y ( t  T) = y0 ˜ e ˜ sin ( Z ˜ t)

Dämpfungsverhältnis, das Verhältnis bleibt konstant.

˜ sin [ Z ˜ ( t  T) ]

§ y( t) · = ln eG˜T = G ˜ T = / © y ( t  T) ¹

ln ¨

G˜T

=e

˜ sin [ Z ˜ ( t  T) ]

Logarithmisches Dekrement, daraus kann G ermittelt werden.

Seite 167

Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen t  0 ˜ s  0.01 ˜ s  16 ˜ s

Bereichsvariable

y0  0.3 ˜ m

Amplitude

G  0.2 ˜ s Z  1˜ s

1

Dämpfungsfaktor

1

Kreisfrequenz

2˜ S

T

Schwingungsdauer

Z

k  0  4 tk  k ˜

Bereichsvariable

S

Nullstellen

Z

tbk  ( 2 ˜ k  1) ˜

tEx  k

T

Berührungsstellen

4

1§

§ Z ·  k ˜ S· ¨ atan ¨ Z© ©G¹ ¹ §

atan ¨ 2 ˜ G ˜

©

tWe  k

Extremstellen

·  [ ( k  1) ˜ S ] 2 2 G  Z ¹ Z

Wendestellen

Z  G ˜t

y1 ( t)  y0 ˜ e

Dämpfungskurven  G˜t

y2 ( t)  y0 ˜ e

0.4



y t  y0  G  Z



2˜T

T

B 0.2

y1 ( t)

H

y2 ( t)

W

 y tbk  y0  G  Z

y tk  y0  G  Z

0 0

N

2

4

6

8

10

y§tEx  y0  G  Z· k

©

¹

y§tWe  y0  G  Z·

©

k

0.2

¹ 0.4 t  t  t  tk  tbk  tEx  tWe k

Abb. 3.3.22

Seite 168

k

12

14

16

Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen Kosten und Preistheorie (Betriebswirtschaftliche Berechnungen): K(x) ... Kostenfunktion eines Betriebes (Gesamtkosten) Ks (x) = K(x)/x ... Stückkostenfunktion (Gesamtkosten/Stück) Gesucht ist jene Menge x, für die die Kosten pro Stück am geringsten sind. Diese Produktionsmenge heißt Betriebsoptimum. Wir suchen also das Minimum der Stückkostenfunktion K s (x). Beispiel 3.3.12: Bestimmen Sie bei gegebener Kostenfunktion K(x) das Betriebsoptimum und stellen Sie die Kostenfunktion und die Stückkostenfunktion grafisch dar. x x

Redefinition

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

ME  1

Mengeneinheiten

GE  1

Geldeinheiten

3

2

K ( x)  0.05 ˜ x  3 ˜ x  100 ˜ x  1000 Ks ( x) 

Ks ( x) o

Gegebene Kostenfunktion in GE (Geldeinheiten)

K ( x)

Stückkostenfunktion in GE/ME

x 5. ˜ 10

-2

3

2

˜ x  3 ˜ x  100 ˜ x  1000 x

Ableitungen: Ksx ( x) 

Ksxx ( x) 

d dx

Ksx ( x) faktor o

Ks ( x)

d dx

1 10

Ksxx ( x) faktor o

Ksx ( x)

3

1 10

2

x  30 ˜ x  10000

˜

2

x 3

˜

x  20000 3

x

Extremstellen: notwendige Bedingung: Vorgabe Ksx ( x) = 0

§¨ 3.609  15.99 ˜ i · xE  Suchen ( x) gleit  4 o ¨ 3.609  15.99 ˜ i ¸ ¨ 37.22 © ¹ T

eine reelle Extremstelle

hinreichende Bedingung: Ksxx § xE

©

xE 3

· gleit  4 o .1388

3¹

37.22 ME

Ksxx(xE3) !0, daher ein Minimum

Kostengünstigste Produktionsmenge: 37 Mengeneinheiten

Seite 169

Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen grafische Darstellung: x  0  0.001  100

Bereichsvariable

3500

K§xE xE

2625

©

·

3¹

3

ME

K( x) Ks( x)

1750

Abb. 3.3.23 875

0

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

x ME

Unter Betriebsminimum verstehen wir jene Produktionsmenge, bei der die variablen Kosten pro Stück Ksv(x) den kleinsten Wert annehmen. Während die Stückzahlen im Betriebsoptimum zugleich die langfristige Kostenuntergrenze darstellen, geben die variablen Stückkosten K sv(x) im Betriebsminimum die kurzfristige Kostenuntergrenze an.

Beispiel 3.3.13: Bestimmen Sie bei gegebener Kostenfunktion K(x) das Betriebsminimum und stellen Sie die variablen Kosten und die variablen Stückkosten grafisch dar. x x

Redefinition

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

ME  1

Mengeneinheiten

GE  1

Geldeinheiten

3

2

K ( x)  0.05 ˜ x  3 ˜ x  100 ˜ x  1000 3

2

Kv ( x)  0.05 ˜ x  3 ˜ x  100 ˜ x Ksv ( x) =

Kv ( x)

gegebene Kostenfunktion in GE (Geldeinheiten) variable Kosten variable Stückkostenfunktion

x 2

Ksv ( x)  0.05 ˜ x  3 ˜ x  100 Ableitungen: Ksvx ( x) 

Ksvxx ( x) 

d dx

Ksv ( x)

· §d ¨ Ksvx ( x) © dx ¹

Ksvx ( x) faktor o

Ksvxx ( x) faktor o

Seite 170

1 10

˜x 3

1 10

Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen Extremstellen: notwendige Bedingung: Vorgabe Ksvx ( x) = 0 xE  Suchen ( x) o 30. hinreichende Bedingung:



Ksvxx xE ! 0

Ksvxx(xE) !0, daher ein Minimum

xE

Das Betriebsminimum liegt bei 30 Mengeneinheiten

30 ME



Ksv xE

55

GE ME

x  0  0.01  50

Kurzfristige Kostenuntergrenze beträgt 55 GE/ME

Bereichsvariable

200 xE ME

Kv( x) 10



Ksv xE

100

Ksv( x)

Abb. 3.3.24

GE ME

0

0

10

20

30

40

50

x ME

Eine wichtige Größe in der Betriebswirtschaft ist der Gewinn bzw. Verlust , allgemein der Erfolg eines Unternehmens. Zur Ermittlung des Erfolges Erf(x) bei einer bestimmten Ausbringungsmenge x, müssen vom Erlös E(x) die Kosten K(x) abgezogen werden. Erf(x) ... Erfolgsfunktion E(x) ... Erlösfunktion Erf(x) = E(x) - K(x) Wird ein Produkt von vielen angeboten, so ist meist der Preis p eine konstante Größe und E(x) = p x. Ein einziger Anbieter (Monopolist) kann den Preis bestimmen, muss aber berücksichtigen, dass zwischen Preis p und Absatz (Nachfrage) ein funktioneller Zusammenhang besteht: E(x) = n(x) x p = n(x) ... (nichtlineare) Nachfragefunktion Es gilt: Erf(x) > 0 ... weist auf einen Gewinn hin. Erf(x) < 0 ... weist auf einen Verlust hin. Erf(x) = 0 ... das Unternehmen arbeitet gerade kostendeckend, die Nullstellen x1 , x2 nennen wir Gewinnschwellen.

Seite 171

Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen Beispiel 3.3.14: Die Gesamtkosten K(x) lassen sich annähernd durch die nachfolgende Gleichung beschreiben. Berechnen Sie die Gewinnschwellen und den maximalen Gewinn bei einem Marktpreis p = 30 GE. x x

Redefinition

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

ME  1

Mengeneinheiten

GE  1

Geldeinheiten

3

2

K ( x)  0.01 ˜ x  x  40 ˜ x  500

gegebene Kostenfunktion in GE (Geldeinheiten)

E ( x)  30 ˜ x

Erlösfunktion

Erf ( x)  E ( x)  K ( x)

Erfolgsfunktion

Ableitungen: d

Erfx ( x) 

dx

§d · ¨ Erfx( x) © dx ¹

Erfxx ( x) faktor o

K ( x)

Kx ( x) faktor o

Erfxx ( x) 

d

Kx ( x) 

Erfx ( x) faktor o 10 

Erf ( x)

dx

Kxx ( x) 

§d · ¨ Kx( x) © dx ¹

50

3

Kxxx ( x) faktor o

100

2

˜ x  2˜ x

˜x 2

2

100

Kxx ( x) faktor o

§d · ¨ Kxx ( x) © dx ¹

Kxxx ( x) 

3

3

3 50

˜ x  2 ˜ x  40

˜x 2

3 50

Nullstellen: Vorgabe Erf ( x) = 0

§¨ 16.844954207003932543 · xN  Suchen ( x) o ¨ 37.328925293226894475 ¸ Nur die positiven reellen Nullstellen sind brauchbar! ¨ 79.516028913777038068 © ¹ T

xu  ceil § xN · 2

xo  floor § xN · 3

xu

xo

©

38 ME

¹

©

79 ME

¹ untere- und obere Gewinnschwelle (die untere wird aufgerundet, die obere abgrundet)

Seite 172

Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen

Extremstellen (Gewinnmaximum): notwendige Bedingung: Vorgabe Erfx ( x) = 0 T

xE  Suchen ( x) o

Erf § xE

©

Erf § xE

©

§ 5.4446657821974817341 · ¨ © 61.222000884469184933 ¹

·

526.416 GE

Verlust

·

341.231 GE

maximaler Gewinn

1¹ 2¹

xE 1

5.445 ME

xE 2

61.222 ME

Der maximale Gewinn liegt bei 61 Mengeneinheiten und beträgt 341 Geldeinheiten.

Wendestellen der Kostenfunktion: notwendige Bedingung: Vorgabe Kxx ( x) = 0 xW  Suchen ( x) gleit  4 o 33.33 x  0  0.01  100

Bereichsvariable

3000

K( x)

xE

ME

ME

2

2000

E( x) Erf ( x)

xW

fallende_Kosten

steigende_Kosten

Verlust

Verlust Erf §x E

1000

©

Gewinn

0

10

20

30

40

xu

50 x

Abb. 3.3.25

Seite 173

60

·

2¹

GE

70

80

xo

90

100

Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen

Beispiel 3.3.15: Für die Herstellung eines Produktes entstehen einem Betrieb Fixkosten in der Höhe von 1000 GE. Die variablen Kosten lassen sich annähernd durch die Gleichung K v(x) = x3 - 25 x2 + 250 x beschreiben. Der mengenmäßige Umsatz x ändert sich mit dem Preis p nach der Gleichung x = (500 - p) 1/2. Wie lautet die Funktionsgleichung für die Gesamtkosten, für den Erlös und für den Erfolg? Wie lauten die Gewinnschwellen und der maximale Gewinn? Wie groß ist die langfristige und kurzfristige Kostenuntergrenze? x x

Redefinition

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

ME  1

Mengeneinheiten

GE  1

Geldeinheiten

3

2

Kv ( x)  x  25 ˜ x  250 ˜ x

variable Kosten

K ( x) = Kv ( x)  Fixkosten

Kostenfunktion in GE (Geldeinheiten)

3

2

K ( x)  x  25 ˜ x  250 ˜ x  1000 Ks ( x) 

K ( x)

Stückkostenfunktion

x 3

Ks ( x) o

Ksv ( x) =

2

x  25 ˜ x  250 ˜ x  1000

variable Stückkostenfunktion

x Kv ( x) x

3

2

x  25 ˜ x  250 ˜ x

=

x

2

Ksv ( x)  x  25 ˜ x  250 Nachfrage: x=

500  p

hat als Lösung(en)

2

500  x

2

n ( x)  500  x

2

p = 500  x = n ( x) Nachfragefunktion



2

E ( x) = n ( x) ˜ x = 500  x

˜x

Erlösfunktion

3

E ( x)  500 ˜ x  x

Erf ( x)  E ( x)  K ( x)

Erfolgsfunktion 3

2

Erf ( x) o 250 ˜ x  2 ˜ x  25 ˜ x  1000

Seite 174

Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen

Ableitungen: d

Ksvx ( x) 

dx

Ksvxx ( x) 

§d · ¨ Ksvx ( x) © dx ¹

Ksvxx ( x) faktor o 2

Ks ( x)

Ksx ( x) faktor o

3

d

Ksx ( x) 

dx

Ksxx ( x) 

2 2

dx

Ksxx ( x) faktor o 2 ˜ ( x  10 ) ˜

Ksx ( x)

x  10 ˜ x  100 3

x 2

Erfx ( x) faktor o 250  6 ˜ x  50 ˜ x

Erf ( x)

dx

Erfxx ( x) 

2

2 ˜ x  25 ˜ x  1000 x

d

d

Erfx ( x) 

Ksvx ( x) faktor o 2 ˜ x  25

Ksv ( x)

§d · ¨ Erfx( x) © dx ¹

Erfxx ( x) faktor o 12 ˜ x  50

Nullstellen (Gewinnschwellen):

 floor  xo

xu  wurzel ( Erf ( x)  x  0  10 )

xu1  ceil xu

xu1

4 ME

xo  wurzel ( Erf ( x)  x  10  20 )

xo1 

xo1

17 ME

xE 2

61.222 ME

untere- und obere Gewinnschwelle

Extremstellen (Gewinnmaximum): notwendige Bedingung: Vorgabe Erfx ( x) = 0 1 § ¨ 25 5 2 ¨  ˜ 85 T ¨ 6 6 xE  Suchen ( x) o ¨ 1 ¨ 25 5 2  ˜ 85 ¨ 6 6 ©

Erf § xE

©

Erf § xE

©

·

2145.049 GE

·

1483.012 GE

1¹ 2¹

· ¸ ¸ ¸ ¸

xE 1

5.445 ME

Die negative Größe scheidet aus!

¹ maximaler Gewinn

Verlust

Der Gewinnbereich liegt zwischen 4 ME und 17 ME. Der maximale Gewinn liegt bei 12 ME und beträgt 2145 GE.

Seite 175

Differentialrechnung Kurvenuntersuchungen Betriebsoptimum und Betriebsminimum:

xopt  Ksx ( x) = 0

xopt

14.8 § · auflösen  x ¨ o ¨ 1.14  5.72 ˜ i ¸ gleit  3 ¨ 1.14  5.72 ˜ i © ¹

xopt  ceil § xopt · 1

©

Betriebsoptimum

15 ME





Ks xopt

166.667

xmin  Ksvx ( x) = 0

xmin

GE

langfristige Kostenuntergrenze

ME auflösen  x o 12.5 gleit  3



xmin  ceil xmin







Betriebsminimum

13 ME

Ksv xmin

¹

94

GE

kurzfristige Kostenuntergrenze

ME

x  0  0.01  30

Bereichsvariable

5000

xE

xo

1

ME

ME

4000 Erf §x E

K( x) E( x)

©

3000

·

1¹

GE

Erf ( x) 2000 n ( x)

Gewinn

1000

0

xu

5

10

15 x

Abb. 3.3.26

Seite 176

xo

20

25

30

Differentialrechnung Extremwertaufgaben 3.4 Extremwertaufgaben Bei angewandten Aufgaben stellt sich öfters die Frage, ob in einem gewissen Intervall I = [a, b] einer vorgegebenen Funktion y = f(x1 ,x2 ,..) (Zielfunktion) ein Extremwert (Maximum oder Minimum) vorliegt. Die Zielfunktion ist für das vorliegende Problem zu bestimmen und weist oft die Abhängigkeit von mehr als einer Variablen auf. Für diese Fälle können Nebenbedingungen aufgestellt werden (ergeben sich oft aus geometrischen Überlegungen wie dem pythagoräischen Lehrsatz, den Strahlensätzen usw.), um die Zielfunktion auf die Abhängigkeit von einer Variablen y = f(x) überzuführen (siehe dazu auch Abschnitt 3.8.2). Eine Funktion f, die auf einem Intervall I definiert ist, kann an einem Randpunkt oder im Inneren von I = [a, b] einen absoluten Extremwert annehmen (siehe Abschnitt 2.2.1 Extremwertsatz). Folgende Funktionen besitzen dieselben Extremstellen: y = f ( x)  c

und

y = a ˜ f ( x) y= y=

n

f ( x) 1

f ( x)

(3-76)

und

y1 = f ( x) y1 = f ( x)

und

y1 = f ( x) n gerade und f(x)t0 in [a, b]

(3-78)

und

y1 = f ( x) Maximum wird zum Minimum

(3-79)

(3-77)

und Minimum zum Maximum ! Vorgangsweise: a) Aufstellen der Zielfunktion y = f(x1 ,x2 ,..) b) Aufsuchen von Nebenbedingungen c) Extremwerte aufsuchen:

(3-80) (3-81)

f '(x0 ) = 0 und f ''(x0 ) > 0 ... Minimum f '(x0 ) = 0 und f ''(x0 ) < 0 ... Maximum

(3-82)

Beispiel 3.4.1: Von einem quadratischen Blechstück mit den Seitenlängen a = 50.0 cm werden die markierten Quadrate weggeschnitten. Wie lang muss die Seite x dieser Quadrate sein, damit das Volumen V der Schachtel, die aus dem so entstehenden Netz gebildet werden kann, möglichst groß wird ? 2

V ( x) = ( a  2 ˜ x) ˜ x

Zielfunktion aus der Geometrie

V(x) soll ein Maximum werden für x  [0 cm, 25 cm] ORIGIN  1 dm  10

1

˜m

ORIGIN festlegen Einheiten definieren

Abb. 3.4.1 2

V ( x  a)  ( a  2 ˜ x) ˜ x Vx ( x  a)  Vxx ( x  a) 

d

V ( x  a)

dx d dx

Vx ( x  a)

Zielfunktion

Vx ( x  a) faktor o ( 6 ˜ x  a) ˜ ( 2 ˜ x  a) Vxx ( x  a) faktor o 24 ˜ x  8 ˜ a

Seite 177

Ableitungen

Differentialrechnung Extremwertaufgaben a  50 ˜ cm

Seitenlänge des Quadrates

§ 25 ˜ cm · x  Vx ( x  a) = 0 auflösen  x o ¨ 3 ¨ © 25 ˜ cm ¹





Vxx x1  a x1

2 m

Vxx(x1) < 0, daher ein Maximum





8.333 cm

V x1  a



Minimum



Vxx x2  a

2m

x  0 ˜ cm  0.01 ˜ cm  30 ˜ cm

dm

3

9.259 dm

Bereichsvariable



V x1  a

15

dm

x1

10

V( x  a)

Ausschnitte (nur der erste Werte ist brauchbar)



3

cm

3

5

Abb. 3.4.2 0

10

20

30

x cm 2

V1 ( x)  ( 50 ˜ cm  2 ˜ x) ˜ x

Zielfunktion

x  5 ˜ cm

Startwert

x1  Maximieren ( V1  x)

x1

Bestimmung der Extremstelle mithilfe der Mathcadfunktion Maximieren

8.333 cm

Beispiel 3.4.2: Aus einer gegebenen Kreisfläche ist ein Sektor von solcher Größe auszuschneiden, dass ein kegelförmiger Filter mit größtmöglichen Fassungsvermögen hergestellt werden kann.

x x

Redefinition

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

dm  10

1

˜m

Abb. 3.4.3 V ( r  h) = 2

2

S 3

2

h =a r

2

˜r ˜h

Zielfunktion: V(r,h) soll ein Maximum werden

Nebenbedingung (Abb. 3.4.3)

Seite 178

Einheitendefinition

Differentialrechnung Extremwertaufgaben 2˜ S ˜ r = a˜ M

V (M ) =

S 3

2

S

2

˜r ˜h=

3

a

V (M ) =

f1 ( M ) = V ( M )

˜

2

˜M ˜

fMM ( M ) 

d dM

4˜ S

2

2

2

˜

4˜ S  M

2

2

a 

a ˜M 4˜ S

2

˜ a˜

2

2

=

M

d.h.

S

S 3

2

˜

a ˜M 4˜ S

r=

2

2

˜

1 2

a 2˜ S

˜ a˜

M

Radius des Trichters

S

2

˜

4˜ S  M

Volumsfunktion mit einer Variablen

2

Zielfunktion: V(M) soll ein Maximum werden

Nach (3-78) kann die Zielfunktion vereinfacht werden. 2

f (M )  M ˜ 4 ˜ S  M fM ( M ) 

a ˜M

2



4

3

2

2

24 ˜ S

1

hat als Lösung(en)

2



Nach (3-77) können konstante Faktoren weggelassen werden.



3

f (M )

2

fM ( M ) faktor o 2 ˜ M ˜ 8 ˜ S  3 ˜ M

2

Ableitungen

d dM

2

fM ( M )



2

fMM ( M ) faktor o 6 ˜ M ˜ 8 ˜ S  5 ˜ M

2



0 § · ¨ 0 ¸ ¨ ¸ ¨ 0 ¸ ¨ 1 ¸ ¨ M  f M ( M ) auflösen  M o 2 ¨ ˜ 6 2 ˜ S ¸ Nur der Wert M4 ist brauchbar! ¸ ¨ 3 ¸ ¨ 1 ¸ ¨ 2 ¨ ˜ 62 ˜ S © 3 ¹



fMM M 4 o

256 3

M  0  0.01  2 ˜ S

˜S

4

fMM(M4 ) < 0, daher liegt ein Maximum vor

M4

Bereichsvariable (Winkel in Radiant)



1 10

4

f M4 M4

f( M )

5000

Abb. 3.4.4

0

2

4

6

8

M

a  20 ˜ cm

Radius des gewählten Kreises

Seite 179

5.13



f M4

9115.394

Differentialrechnung Extremwertaufgaben 3

a

V1 ( M ) 

2

24 ˜ S

2

M = 360°  D

˜M ˜

M4

2

4˜ S  M



2

V1 M 4

3

3.225 dm

maximales Volumen

Mittenwinkel des Sektors (in Grad), der auszuschneiden ist.

293.939 Grad

D  360Grad  M 4

D

M 4

Startwert

M  Maximieren ( V1  M )

M

66.061 Grad

293.939 Grad

gesuchter Winkel in Grad

Berechnung mithilfe des Näherungsverfahrens "Maximieren"

Beispiel 3.4.3: Ein zylindrischer Behälter aus Blech mit kreisförmiger Grundfläche fasst 1000 cm 3 . Bestimmen Sie die Abmessungen, für die der Metallverbrauch (Oberfläche) am kleinsten ist, wenn der Behälter oben geschlossen ist. x x

Redefinition

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

dm  10

1

˜m

Einheitendefinition

Abb. 3.4.5 2

Ao ( r  h) = 2 ˜ S ˜ r  2 ˜ S ˜ r ˜ h 2

Zielfunktion (soll ein Minimum werden)

Ÿ

3

V ( r  h) = S ˜ r ˜ h = 1000 ˜ cm

3

h=

1000 ˜ cm 2

Nebenbedingung

S˜r 2

3

Ao ( r) = 2 ˜ S ˜ r  2 ˜ S ˜ r ˜ 2

Ao ( r)  2 ˜ S ˜ r  2 ˜

Aor ( r) 

Aorr ( r) 

d dr

1000 ˜ cm 2

vereinfachte Zielfunktion

S˜r 3

1000 ˜ cm r

Ao(r) soll ein Minimum werden 3

Ao ( r)

d dr

Aor ( r) faktor o 4 ˜

3

S ˜ r  500 ˜ cm 2

r

Ableitungen

3

Aor ( r)

Aorr ( r) faktor o 4 ˜

3

S ˜ r  1000 ˜ cm 3

r

Seite 180

Differentialrechnung Extremwertaufgaben 1 ª 1 « 3 5 2 3 « ˜4 ˜ S ˜ cm S « « ª 1 1 1 1 « « 2 3 r  Aor ( r) = 0 auflösen  r o « « 1 1 3 2 2 3 3  ˜i˜ ˜4 ˜ S « 5 ˜ «¬ 2 ˜ S ˜ 4 ˜ S 2 S « 1 1 « ª« 1 1 « « 1 2 3 1 3 2 2 3 3 «5 ˜ « ˜4 ˜ S  ˜i˜ ˜4 ˜ S 2 S ¬ ¬2˜ S





Aorr r1 o 12 ˜ S









º » » » » 1º » » 3» » » ˜ cm » ¼ » 1º » » » 3» » ˜ cm » ¼ ¼

Nur der reelle Wert ist brauchbar!

Die zweite Ableitung ist größer null, daher liegt eine Minimum vor. 3

r1

h

5.419 cm

1000 ˜ cm

h

 2

10.839 cm

Maße für die minimale Oberfläche

S ˜ r1



2

Ao r1

minimale Oberfläche

5.536 dm

r  0 ˜ cm  0.01 ˜ cm  10 ˜ cm

Bereichsvariable

10 Ao ( r) dm



r1

8

Ao r 1

cm

2

dm

6 4

0

2

4

6

8

2

Abb. 3.4.6 10

r cm 3

2

Ao ( r)  2 ˜ S ˜ r  2 ˜ S ˜

1000 ˜ cm

Zielfunktion

S˜r

r  4 ˜ cm

Startwert





r1  Minimieren Ao  r

r1

5.419 cm

Berechnung mithilfe des Näherungsverfahrens "Minimieren"

Eine andere Berechnungsvariante: r r

h h 2

O ( r  h)  2 ˜ r ˜ S  2 ˜ r ˜ S ˜ h 2

V=r ˜S˜h

Redefinitionen Zielfunktion (soll ein Minimum werden) Nebenbedingung (Zusammenhang zwischen den Parametern r und h des Zylinders)

Seite 181

Differentialrechnung Extremwertaufgaben V

h=

Die Höhe h aus der Nebenbedingung

2

r ˜S

1 ª 1 « 3 1 2 3 « ˜4 ˜ V˜S 2˜ S d « ersetzen  O ( r  h) = O ( r  h ( r) ) « dr 1 1 1 1 « 2 3 V o « 1 1 3 2 2 3 3 ersetzen  h ( r) = ˜4 ˜ V˜S  ˜i˜ ˜4 ˜ V˜S 2 « 4˜ S 4 S r ˜S « 1 1 auflösen  r « 1 1 « 1 2 3 1 3 2 2 3 3 « ˜4 ˜ V˜S  ˜i˜ ˜4 ˜ V˜S 4 ˜ S 4 S ¬





r ( V)  O ( r  h) = 0



3

V  1000 ˜ cm

r  r ( V) 1 h







vorgegebenes Volumen

0.0542 §¨ · ¨ 0.0271  0.0469i ¸ m ¨ 0.0271  0.0469i © ¹

r ( V)





V 2

Vektorfunktion

r

0.054 m

optimaler Radius

h

0.108 m

optimale Höhe

r ˜S O ( r  h)

2

minimale Oberfläche

5.536 dm

h umbenennen, weil auf h bereits ein Wert zugewiesen wurde: O ( r)  O ( r  h1 ) ersetzen  h1 =

V 2

2

o 2˜ r ˜ S 

2000 r

r ˜S r  0 ˜ cm  0.01 ˜ cm  10 ˜ cm

3

˜ cm

Bereichsvariable

10

O( r) dm

r1

8



cm

O r1

2

6

4

dm

0

2

4

6 r cm

Seite 182

8

2

Abb. 3.4.7

10

1

3 1

3

º » » » » » » » » » » » ¼

Differentialrechnung Extremwertaufgaben Beispiel 3.4.4: Es soll ein Viereck mit b = 3/4 dm und l = 3 dm in ein Dreieck so eingeschrieben werden, dass die Hyperthenuse L minimal wird.

x x

Redefinition

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

Abb. 3.4.8

2

§ ©

( y  3)  ¨ x 

L ( x  y) 

3·

2

Zielfunktion (soll ein Minimum werden)

4¹

Nebenbedingung: Für ähnliche Dreiecke gilt der Strahlensatz: y 3

=

3

9

hat als Lösung(en)

4˜ y

x

x ist also:

x=

9 4˜ y

4

y  L ( x  y) = 0

y1

§¨ ¨ d ersetzen  L ( x  y) = L ( x ( y)  y) ¨ dy ¨ 2 ¨ o 3 3 9 ¨ ˜2 ersetzen  x ( y) = 8 4˜ y ¨ ¨ 2 auflösen  y ¨ 3 3 ¨ 8 ˜2 ©

· ¸ ˜2 4 ¸ 1 2 ¸ ¸ 3 2 3  ˜i˜3 ˜2 ¸ 8 ¸ 1 2 ¸ 3 2 3 ¸ 2

3



3

8

˜i˜3

˜2

¹

Nur die erste Vektorkomponente ist reell.

1.191

1

ª 2 L ( y)  L ( x  y) ersetzen  x = o « ( y  3)  4˜ y ¬ 9



L y1

4.953

y  0  0.01  3

2 § 9  3 · »º ¨ © 4 ˜ y 4¹ ¼

2

minimale Länge in dm Bereichsvariable

Seite 183

Zielfunktion auf die Abhängigkeit von einer Variable reduzieren

Differentialrechnung Extremwertaufgaben

y1

10



L ( y)

L y1

5

0

1

2

Abb. 3.4.9

3

y

2

L ( y) 

( y  3) 

§ 9  3· ¨ © 4 ˜ y 4¹

2

Zielfunktion

y 1

Startwert

y1  Minimieren ( L  y)

y1

1.191

Berechnung mithilfe des Näherungsverfahrens

Beispiel 3.4.5: Es soll ein Kegel mit maximalen Volumen in eine Kugel eingeschrieben werden

r r

h h

ORIGIN  1 dm  10

1

˜m

x x

Redefinitionen ORIGIN festlegen Einheitendefinition

Abb. 3.4.10 Volumen: VKegel( r  h) =

1 3

2

˜S˜r ˜h

Zielfunktion(soll ein Maximum werden)

Aus der Abbildung 3.4.10: h=R x Nebenbedingungen 2

2

2

R =x r

Nach dem Einsetzen der Nebenbedingungen ist die Zielfunktion nur mehr von einer Variablen abhängig: VKegel ( r  h) 

1 3

2

˜S˜r ˜h

Seite 184

Differentialrechnung Extremwertaufgaben 2

2

2

VKegel ( x)  VKegel ( r  h) ersetzen  h = R  x  r = R  x

§ R · x VKegel ( x) = 0 auflösen  x o ¨ 1 ¨ ˜R dx ©3 ¹

o

1 3



2

2

˜ R x

˜ S ˜ (R  x)

d

nur der positive Radius ist von Bedeutung

1 xmax  x2 o ˜ R 3

§¨ rmax ·  ¨ hmax © ¹

optimaler x-Wert

1 · § ¨ 2 ersetzen  x = xmax 2 ¨ ˜ 2 ˜ R¸ o ¨3 ¸ annehmen  R ! 0 ¨ 4 ¸ vereinfachen ˜R ¨ © 3 ¹

§¨ R2  x2 · ¨ R x © ¹

R  ( 1  FRAME ) ˜ dm VKegel ( x) 

S 3



Änderung des Kugelradius für weitere Simulationen 2

˜ R x

R

xmax 

2

3

optimaler Radius und optimale Höhe

˜ (R  x)

Kegelvolumen

hmax  R  xmax

rmax 

hmax

rmax

0.133 m

x  0 ˜ dm  0.01 ˜ dm  xmax  1 ˜ dm

2

R  xmax 0.094 m

2

optimale Höhe und optimaler Radius

Bereichsvarible

0.002

0.001

VKegel ( x) m

3

R



VKegel xmax m



0

0.5

1

1 dm

1.5

xmax

3

0.001

0.333 dm



VKegel xmax 0.002 x dm



xmax dm

Abb. 3.4.11

Seite 185



3

1.241 dm

Differentialrechnung Extremwertaufgaben Näherungsweise Lösung mit der Funktion "wurzel": x  0 ˜ dm

Startwert

§d · VKegel ( x)  x © dx ¹

xmax1  wurzel ¨

xmax1

0.328 dm



VKegel xmax1



3

1.241 dm

Beispiel 3.4.6: Schubkurbel mit bzw. ohne Exzentrizität: Die Schubkurbel dreht sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit Z. Der Kreuzkopf bewegt sich geradlinig hin und her und erreicht im Punkt K max den oberen Totpunkt. Bestimmen Sie neben der Kreuzkopfposition auch dessen Geschwindigkeit und die Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit und stellen Sie diese grafisch dar. Bestimmen Sie auch den oberen und unteren Totpunkt, den Kolbenhub und die Maxima der Kreuzkopfgeschwindigkeit.

Abb. 3.4.12

dm  10

1

Z  1˜ s T

˜m

Einheitendefinition

1

Kreisfrequenz

2˜ S

T

Z

6.283 s

Periodendauer für eine Kurbelumdrehung

r  4 ˜ dm

Kurbelradius

l  12 ˜ dm

Schubstangenlänge

O

r

O

l

Schubstangenverhältnis

0.333

e  2 ˜ dm L

Exzentrizität oder Versetzung 2

2

( r  l)  e

xp ( t)  r ˜ cos ( Z ˜ t) yp ( t)  r ˜ sin ( Z ˜ t)

L

1.587 m

größter x-Abstand Kreuzkopf-Kurbelachse

Kurbelkoordinaten

Seite 186

Differentialrechnung Extremwertaufgaben 2

xpk ( t) 



2

l  yp ( t)  e

Abstand

xk ( t)  xp ( t)  xpk ( t) vk ( t)  ak ( t) 

d dt

Kreuzkopfposition Geschwindigkeit des Kreuzkopfes

xk ( t) 2

d

dt

Beschleunigung des Kreuzkopfes

x ( t) 2 k

h ( t )  L  xk ( t)

Hub bezogen auf oberen Totpunkt

Bestimmung des oberen und unteren Totpunkts aus den Nullstellen der Kreuzkopfgeschwindigkeit:

 

Z ˜ to

7.186 Grad

 

Z ˜ tu

194.467 Grad

to  0 ˜ s

to  wurzel vk t o  to

tu  T ˜ 0.5

tu  wurzel vk t u  tu

Z ˜ to  Z ˜ tu

187.281 Grad

Durch die Exzentrizität ist der Abstand zwischen dem oberen und unteren Totpunkt nicht mehr 180 Grad. Je größer die Exzentrizität, desto größer die Abweichung von 180 Grad. Kolbenhub:



Hub  h t u

Hub

0.813 m

Bestimmung der absoluten Maxima der Kreuzkopfgeschwindigkeit:

 

Z ˜ t max1

81.168 Grad

vk t max1

 

Z ˜ t max2

294 Grad

vk t max2

tm  0.25 ˜ T

tmax1  wurzel ak tm  tm

tm  0.75 ˜ T

tmax2  wurzel ak tm  tm

t  0 ˜ s  0.01 ˜ T  T

Bereichsvariable

Seite 187





0.405





0.452

m s

m s

Differentialrechnung Extremwertaufgaben 2 Z˜to

Z˜tu

1.5 Grad

Grad

xk( t) m

L m

vk( t) m

1

s

a k( t) m

0.5

2 s





vk tmax1 m

0

s



50

100

150

200

250

300

350

400



vk tmax2

0.5

m s

1 Z˜tmax1 Z˜tmax2  Grad Grad Grad Grad Grad Z˜t



Z˜t



Z˜t



Abb. 3.4.13

Beispiel 3.4.7:

Ein Zylinderkondensator soll bei gegebenem Außendurchmesser 2 r 2 = 2 cm die Spannung U = 10 kV aufnehmen. Zu bestimmen ist die am Innenleiter (r 1 ) auftretende elektrische Feldstärke E 1 bei Radien zwischen r1 = 0.1 cm und r2 = 0.7 cm. Bei welchem Radienverhältnis x = r 2 /r1 ist die Feldstärke E 1 an der Oberfläche des Innenleiters minimal ?

x x

Redefinition

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

Abb. 3.4.14 U˜ E1 =



U

§ r2 · r1 ˜ ln ¨ ¨© r1 ¹



E1 x  r2  U 

=

r2 r1

§ r2 · r1 ˜ ˜ ln ¨ ¨© r1 ¹ r1 r2

=

U˜ x r2 ˜ ln ( x)

Feldstärke mit x = r2 /r1

U˜ x r2 ˜ ln ( x)

Seite 188

Differentialrechnung Extremwertaufgaben





d

E1x x  r2  U 



dx



d

E1xx x  r2  U 

dx









E1 x  r2  U







E1x x  r2  U



ln ( x)  1 r2 ˜ ln ( x)

E1xx x  r2  U faktor o U ˜ r2 x1 = =e r1



x1  E1x x  r2  U auflösen  x o exp ( 1)





E1x x  r2  U faktor o U ˜



2

ln ( x)  2 3

r2 ˜ ln ( x) ˜ x

optimales Radiusverhältnis

U E1xx x1  r2  U vereinfachen o ˜ exp ( 1) r2

ist positiv, daher liegt ein Minimum vor

U  10 ˜ kV

Spannung

r2  1 ˜ cm

Außenleiterradius



U

E1 r1 

r1min 

Ableitungen

Elektrische Feldstärke

§ r2 · r1 ˜ ln ¨ ¨© r1 ¹ r2

r1min

exp ( 1)

minimaler Radius

0.368 cm

r1  0.1 ˜ cm  0.1 ˜ cm  0.001 ˜ cm  0.7 ˜ cm

Bereichsvariable

45



r1min

40

cm

E1 r1 kV

35



E1 r1min

cm



Abb. 3.4.15

kV

30

cm

25

0

0.2

0.4

0.6

0.8

r1 cm

Berechnung mithilfe des Näherungsverfahrens "Minimieren":



E1 r1 

U

§ r2 · r1 ˜ ln ¨ ¨© r1 ¹

Zielfunktion

r1  0.3 ˜ cm

Startwert





r1  Minimieren E1  r1

r1

0.368 cm

optimaler Radius

r2 r1

Seite 189

2.718

Radiusverhältnis e

Differentialrechnung Das Differential einer Funktion 3.5 Das Differential einer Funktion Ist eine Funktion f: y = f(x) an der Stelle x 1 differenzierbar, so gilt: dy dx



= f ' x1

(3-83)

Der Differentialquotient kann in die Differentiale dy und dx aufgespalten werden: dy = f '(x1 ) dx

(3-84)

dy heißt Differential einer Funktion y = f(x) an der Stelle x 1 . Es bedeutet den Zuwachs der Tangentenordinate, wenn sich x 1 um 'x = dx ändert.

Abb. 3.5.1

Beispiel 3.5.1: Bestimmen Sie das Differential an einer beliebigen Stelle x von folgenden Funktionen: 2˜x

 2˜x = 2 ˜ e2˜x ˜ dx

y=e

gegebene Funktion

dy = d e

y = ln ( x)

gegebene Funktion

dy = d ( ln ( x) ) =

2



2

1 x

˜ dx

= 2 ˜ sin (x) ˜ cos(x) ˜ dx

gegebene Funktion

dy = d sin ( x)

4

gegebene Funktion

dy = d x

2

gegebene Funktion

dy = d x  4 = 2 ˜ x ˜ dx

y = sin ( x)

y=x

y=x  4

zugehöriges Differential zugehöriges Differential

zugehöriges Differential

 4 = 4 ˜ x3 ˜ dx

zugehöriges Differential

2

zugehöriges Differential

Seite 190

Differentialrechnung Das Differential einer Funktion 3.5.1 Angenäherte Funktionswertberechnung a) Funktionswertdifferenz: dy ist Näherungswert für die tatsächliche Funktionswertdifferenz 'y, wenn 'x hinreichend klein ist. Die Näherung ist von 1.Ordnung, d.h. die Kurve wird im betrachteten Intervall [x, x+'x] durch die Tangente ersetzt. 'y | dy = y' dx bzw. f(x+'x) - f(x) | dy = f '(x) dx

(3-85)

Beispiel 3.5.2: Geg.: y = x4 , P1 (2|y1 ) , 'x = dx = 0.5. Ges.: 'y |dy

 4 = 4 ˜ x3 ˜ dx = 4 ˜ 23 ˜ 0.5 = 24 = 16

Differential

dy = d x





4

4

'y = y2  y1 = f x1  'x  f x1 = f ( 2  0.5)  f ( 2) = 2.5  2 = 23.0625

Funktionswertdifferenz

dy < 'y, weil 'x = dx = 0.5 zu groß gewählt wurde ! Beispiel 3.5.3: Geg.: y = sin(x) , P1 (S/4|y1 ) , 'x = dx = 0.1047.

Ges.: 'y |dy

§ S · ˜ 0.1047 = 0.0740 ©4¹

dy = d ( sin ( x) ) = cos ( x) ˜ dx = cos ¨

Differential

· §S· §S 'y = y2  y1 = f x1  'x  f x1 = f ¨  0.1047  f ¨ = 0.0700 ©4 ¹ ©4¹

Funktionswertdifferenz ('y |dy)





b) Funktionswertberechnung aus einem benachbarten Wert x 0 : Aus f(x0 +'x) - f(x0 ) | dy = f '(x0 ) dx folgt: f(x0 +'x) | f(x0 ) + f '(x0 ) dx bzw.

(3-86)

f(x0 +'x) | f(x 0 ) + 'x f '(x0 ) bzw. mit 'x = h

(3-87)

f(x0 +h) | f(x 0 ) + h f '(x0 )

(3-88)

Beispiel 3.5.4: Geg.: y = x3 - 4 x2 + 5 x - 6 Ges.: Funktionswert näherungsweise für x = 4.03 3

2

f ( x)  x  4 ˜ x  5 ˜ x  6

gegebene Funktion x0 = 4

2

f ' ( x) = 3 ˜ x  8 ˜ x  5





|

14  0.03 ˜ 21

Stelle x0 und Schrittweite h

Ableitung

f x0  h = f ( 4  0.03) = f ( 4.03) f ( 4.03)

h = 0.03

|

14.63

f ( 4)  0.03 ˜ f ' ( 4)

nach (3-88)

f ( 4.03)

Näherungswert und "exakter" Wert

14.637

Seite 191

Differentialrechnung Das Differential einer Funktion Beispiel 3.5.5: Geg.: y = cos(x) Ges.: Funktionswert näherungsweise für x = 0.005 f ( x)  cos ( x)

gegebene Funktion

f ' ( x) = sin ( x)

Ableitung





|

cos ( 0)  0.005 ˜ sin ( 0)

Stelle x0 und Schrittweite h

h = 0.005

|

f ( 0)  0.005 ˜ f ' ( 0)

nach (3-88)

1

f ( 0.005 )

Näherungswert und "exakter" Wert

f x0  h = f ( 0  0.005 ) = f ( 0.005 ) f ( 0.005 )

x0 = 0

1

Eine genauere Berechnung erlaubt der Mittelwertsatz (Verschärfung der Linearisierungsformel). Mittelwertsatz: Sei f in [x1 , x2 ] stetig und in ]x 1 , x2 [ differenzierbar, dann existiert mindestens eine Zahl [ ]x 1 , x2 [ , sodass gilt: f ' ([) =

 

f x2  f x1

(3-89)

x2  x1

Das heißt, es gibt mindestens einen Punkt P zwischen P 1 und P2 , in dem die Tangente parallel zur Sekante ist.

Setzen wir x 1 = x0 , x2 = x0 + h, x 2 - x1 = h und [ = x0 + - h, dann folgt:





f ' x0  - ˜ h =





f x0  h  f x0

(3-90)

h

Damit erhalten wir durch Umformung:









f x0  h = f x0  h ˜ f ' x0  - ˜ h

(3-91)

- ein positiver echter Bruch mit - ]0, 1[ .

Abb. 3.5.2 Beispiel 3.5.6:

Geg.: y = cos(x) Ges.: Funktionswert näherungsweise für x = 0.005 mithilfe des Mittelwertsatzes f ( x)  cos ( x)

gegebene Funktion

f ' ( x) = sin ( x)

Ableitung

x0 = 0

h = 0.005

-=

1 2

Stelle x0 ,Schrittweite h und gewähltem -

1 § · f x0  h = f ( 0  0.005 ) = f ( 0.005 ) = f ( 0)  0.005 ˜ f ' ¨ 0  ˜ 0.005 2 © ¹





§ 1 ˜ 0.005· ©2 ¹

f ( 0.005 ) = cos ( 0)  0.005 ˜ sin ¨

0.9999875

Seite 192

f ( 0.005 )

0.9999875

Näherungswert und "exakter" Wert

Differentialrechnung Das Differential einer Funktion c) Näherungsformeln für kleine Größen x: Wegen f(x0 +h)

| f(x 0) + h f '(x0) gilt für x0 = 0 und h = x:

f(x) |f(0) + f '(0) x , für |x| << 1

(3-92)

Beispiel 3.5.7: y = sin ( x)

y' = cos ( x)

sin ( x)

|

sin ( 0)  cos ( 0) ˜ x = x

y' = sin ( x)

cos ( x)

|

cos ( 0)  sin ( 0) ˜ x = 1

tan ( x)

|

tan ( 0)  1  tan ( 0)

|

e  e ˜x=1 x

|

( 1  0)  n ˜ ( 1  0)

sin(x) | x y = cos ( x) cos(x) | 1 y' = 1  tan ( x)

y = tan ( x)

2



2

˜x=x

tan(x) | x x

x

y=e ex

x

y' = e

e

0

0

|1+x

y = ( 1  x)

n

y' = n ˜ ( 1  x)

n1

( 1  x)

n

n

n 1

˜ x = 1  nx

(1 +x)n | 1 + n x 1

y = ( 1  x)

1

n

1

1

1

1

1

1

|

( 1  0)

sin ( 0.03)

|

0.03

cos ( 0.005 )

|

1

tan ( 0.02)

|

0.02

|

1  0.001

|

1  2 ˜ 0.03

|

1  2 ˜ 0.009

|

1

y' =

˜ ( 1  x)

n

n

( 1  x)

n

n



n

˜ ( 1  0)

(1+x)1/n | 1+ 1/n x Beispiel 3.5.8: sin ( 0.03)

0.03

cos ( 0.005 ) tan ( 0.02) 0.001

e

2

1.03

0.02

1.001 1.061

1 1.009

1

2

0.982

0.001

e

2

1.03 = ( 1  0.03) 1 1.009

2

2

= ( 1  0.009 )

1

1.06

1.03

1.06

2

2

1.001 1.06 0.982

1

= ( 1  0.06)

2

Seite 193

1 2

˜ 0.06

1.03

n

1

˜x=1

1 n

x

Differentialrechnung Das Differential einer Funktion 3.5.2 Angenäherte Fehlerbestimmung Im Folgenden soll auf die Auswirkung eines Eingabefehlers auf ein Rechenergebnis eingegangen werden, was als Fehlerfortpflanzung bezeichnet wird. Dabei stehen hier Messwerte im Vordergrund, die sogenannte systematische Messfehler besitzen. Systematische Messfehler entstehen durch die Unvollkommenheiten von Messgeräten, etwa durch ungenaue Justierung und ungenaue Messmethoden. Sie treten unter gleichen Messbedingungen immer mit gleichen Betrag und gleichem Vorzeichen auf und sind im Prinzip korrigierbar. Häufig verzichtet man auf diese Korrektur und gibt zum gemessenen Wert nur den maximal möglichen absoluten oder relativen Fehler an. Davon unterscheiden sich die zufälligen Fehler (Ablesefehler, Reibungsfehler, schlechte Kontakte, Rauschen und dergleichen). Sie sind nicht genau erfassbar und daher nicht korrigierbar. Als Messergebnis wird der arithmetische Mittelwert wiederholter Messungen angegeben, ergänzt durch eine statistisch bestimmte Messunsicherheit. Darauf und auf die Auswirkungen zufälliger Fehler auf ein Rechenergebnis (Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz) wird hier vorerst noch nicht eingegangen. Jede Messung einer physikalischen Größe ist fehlerbehaftet, d.h. ihr wahrer Wert x ist nicht bekannt. Ist x0 der gemessene (angezeigte) Wert, so bleibt mit x auch die Messabweichung x 0 - x (auch absoluter Fehler genannt) unbekannt. Um dennoch eine Aussage über die Messunsicherheit machen zu können, begnügen wir uns oft mit einer Abschätzung der Messabweichung: |x 0 - x| d |'x|.

|'x| wird deshalb als Messunsicherheit oder absoluter Maximalfehler der Messung bezeichnet. x = x0 r|'x| bedeutet, dass für den wahren Wert x vermutet wird: x0 -|'x| d x d x0 +|'x|. Die Angabe eines absoluten Maximalfehlers erfolgt in der Regel auf eine oder zwei geltende Ziffern. Auf die gleiche Genauigkeit wird x 0

Abb. 3.5.3

gerundet. Die Größe |'x/x0 | heißt relative Messunsicherheit oder relativer Maximalfehler der Messgröße x. Auswirkung einer Messunsicherheit von einer Messgröße x auf eine von ihr abhängige Größe y = f(x): Ist y = f(x) , x = x0 r|'x| und y0 = f(x0 ), so gilt für den absoluten und relativen Maximalfehler von y (weil |'x| im Allgemeinen klein ist): 'y 'y y0

| dy = f '  x0 ˜ 'x bzw. |

dy y0

=



f ' x0 y0

˜ 'x bzw.  Frel =

Seite 194

(3-93) 'y y0

˜ 100%

(3-93)

Differentialrechnung Das Differential einer Funktion Beispiel 3.5.9: Gemessen wird die Seite eines Quadrates mit a = 8.12 cm r0.5 mm. Wie groß ist näherungsweise der damit verbundene absolute und relative Maximalfehler ( mithilfe des Differentials) der Fläche ? Bestimmen Sie die Fehler auch exakt mithilfe der Wertschranken. Fehlerbestimmung mithilfe des Differentials: 2

'A A0

A0  A1 a0



|



Ax a0 vereinfachen o 2 ˜ a0

A1 ( a)

da



a0  8.12 ˜ cm 'A

d

Ax ( a) 

A1 ( a)  a

Ax a0

˜ 100%

2

˜ 'a



˜ 'a ˜ 100%

A0

65.934 cm

absoluter Fehler

0.812 cm

Ax a0

|

2

A0

Funktion und Ableitung

'a  0.05 ˜ cm A = A 0 r'A = (65.93 r 0.81) cm2

relativer Fehler

1.2 %

Fehlerbestimmung mithilfe der Wertschranken: aun  8.12 ˜ cm  0.05 ˜ cm Aun  aun A0 

1

'A 

1

2

2

2

aob  8.12 ˜ cm  0.05 ˜ cm 2

Aun

Aob  aob

65.125 cm

Aob  Aun

2

Aob

Wertschranken 2

66.749 cm

Wertschranken

2

A0

65.937 cm

A = A 0 r'A

Aob  Aun

2

'A

0.812 cm

Beispiel 3.5.10: Der Spannungsabfall U eines von Gleichstrom durchflossenen Widerstandes R = 10 : wird mithilfe des Ohmschen Gesetzes bestimmt. Wie groß ist der prozentuelle Fehler von U, wenn bei der Messung von I0 = 6.3 A ein Fehler 'I = r0.2 A vorhanden ist? UI ( I) 

U ( I)  R ˜ I I0  6.3 ˜ A

'U U0 'U U0

d



UI I 0 vereinfachen o R

U ( I)

dI

'I  0.2 ˜ A

˜ 100%

|

˜ 100%

|



UI I 0 U0 'I I0

Messwert und Abweichung

˜ 'I ˜ 100% =

˜ 100%

Funktion und Ableitung

R R ˜ I0

˜ 'I ˜ 100% =

3.175 %

Seite 195

'I I0

˜ 100% relativer Fehler

Differentialrechnung Das Differential einer Funktion Beispiel 3.5.11: Der Durchmesser einer Kugel zu d = 5.0 cm r0.1 cm gemessen. Wie groß ist näherungsweise der damit verbundene absolute und relative Maximalfehler ( mithilfe des Differentials) der Oberfläche und des Volumens der Kugel ? Bestimmen Sie die Fehler auch exakt mithilfe der Wertschranken. Oberfläche: Fehlerbestimmung mithilfe des Differentials: 2

d0  5.0 ˜ cm



'O O0

Ox d0

|

˜ 100%

2

absoluter Fehler

3.1 cm



Ox d0 O0

Funktion und Ableitung

berechnete Oberfläche

78.5 cm

˜ 'd



Ox d0 vereinfachen o 2 ˜ S ˜ d0 Messwert und Abweichung

2

O0



|

O ( d)

dd

'd  0.1 ˜ cm

O0  O d0 'O

d

Ox ( d) 

O ( d)  S ˜ d

˜ 'd ˜ 100%

relativer Fehler

4%

O = O0 r'2 = (78.5 r 3.1) cm 2 Fehlerbestimmung mithilfe der Wertschranken: dun  5.0 ˜ cm  0.1 ˜ cm Oun  S ˜ dun O0 

1

'O 

1

2

2

dob  5.0 ˜ cm  0.1 ˜ cm 2

Oob  S ˜ dob

Oun

75.4 cm

Oob  Oun

O0

78.571 cm

Oob  Oun

'O

3.142 cm

2

2

2

Wertschranken 2

Oob

2

81.7 cm

Wertschranken

berechnete Oberfläche

absoluter Fehler

O = O0 r'2 = (78.5 r 3.1) cm 2 Volumen: Fehlerbestimmung mithilfe des Differentials: d0  d0 V ( d) 

Redefinition S 6

3

˜d

d0  5.0 ˜ cm



V0  V d0

Vx ( d) 

d

V ( d)

dd

'd  0.1 ˜ cm V0

3

65.4 cm



1 2 Vx d0 vereinfachen o ˜ S ˜ d0 2 Messwert und Abweichung berechnetes Volumen

Seite 196

Funktion und Ableitung

Differentialrechnung Das Differential einer Funktion

'O 'V V0

|



Vx d0

absoluter Fehler

3.9 cm



Vx d0

|

˜ 100%

3

˜ 'd

˜ 'd ˜ 100%

V0

6%

sehr großer relativer Maximalfehler

V = V0 r'V = (65.4 r 3.9) cm 3 Fehlerbestimmung mithilfe der Wertschranken: dun  5.0 ˜ cm  0.1 ˜ cm dob  5.0 ˜ cm  0.1 ˜ cm S

Vun 

6

3

Vun

61.6 cm

V0

65.5 cm

V  Vun 2 ob

'V

3.9 cm

1

'V 

1

V0

3

V  Vun 2 ob

V0 

'V

˜ dun

˜ 100 ˜ %

3

3

Wertschranken

Vob 

S 6

˜ dob

3

Vob

3

69.5 cm

Wertschranken

berechnetes Volumen

absoluter Fehler

sehr großer relativer Maximalfehler

5.994 %

V = V0 r'V = (65.5 r 3.9) cm 3 Beispiel 3.5.12: Das Flüssigkeitsvolumen in einem kugelförmigen Behälters beträgt V = S/6 h2 (3 D - 2 h). Der Behälterdurchmesser ist D = 2.75 m. Die Höhe der Flüssigkeit wird mit h = 0.720 m r0.005 m gemessen. Wie groß ist näherungsweise der damit verbundene absolute und relative Maximalfehler des Volumens ?

V ( h  D)  Vx ( h  D) 

S 6

2

˜ h ˜ ( 3 ˜ D  2 ˜ h)

d



h0  0.720 ˜ m



'V V0

V0



1.848 m



Vx h0  D

˜ 100%

|



2

Vx h0  D vereinfachen o S ˜ h0 ˜ D  S ˜ h0

dh

V0  V h0  D

|



V ( h  D)

D  2.75 ˜ m

'V

Funktion

˜ 'h



'h  0.005 ˜ m

3

Durchmesser, Messwert und Messabweichung berechnetes Volumen

0.023 m



Vx h0  D V0

3

˜ 'h ˜ 100%

absoluter Fehler

1.24 %

V = V0 r'V = (1.848 r 0.023) cm3

Seite 197

relativer Fehler

Ableitung

Differentialrechnung Näherungsverfahren zum Lösen von Gleichungen 3.6 Näherungsverfahren zum Lösen von Gleichungen Von besonderer Bedeutung als numerisches Verfahren zur Nullstellenbestimmung bzw. der Lösung einer Gleichung sind die sogenannten Iterationsverfahren (iterum-zum zweiten Mal; Wiederholungsverfahren). Gemeinsam ist ihnen, dass wir von einem Startwert (oder auch mehreren Startwerten) ausgehend eine Folge von Näherungswerten x 1 , x2 , x3 , ... berechnen. Dass diese Näherungswerte mehr oder weniger schnell der gesuchten Lösung beliebig nahe kommen, ist nicht von vornherein gesagt. Ist dies der Fall, so heißt die Folge der Näherungswerte x 1 , x2 , x3 , ... konvergent. Der Grenzwert ist eine gesuchte Nullstelle bzw. Lösung der Gleichung.

3.6.1 Das Newton-Verfahren Um die Gleichung f(x) = 0 lösen zu können, wird zuerst beim Startwert x 1 der Graph der Funktion y = f(x) durch seine Tangente t 1 ersetzt. Deren Schnittstelle mit der x-Achse ist ein Näherungswert x2 für die gesuchte Nullstelle der Funktion. Auf diese Weise fahren wir fort und errichtet an der Stelle x 2 die Tangente t2 . Mit dieser Stelle erhalten wir durch den Schnittpunkt mit der x-Achse den nächsten Näherungswert x 3 der Nullstelle usw.

Tangente in P 1 :



y  f  x1 = f '  x1 ˜  x  x1 y  y1 = k ˜ x  x1

Schnittpunkt mit der x-Achse S(x 2 |0):



 



0  f x1 = f ' x1 ˜ x2  x1

Abb. 3.6.1



 



0  f x1 = f ' x1 ˜ x2  x1

Ÿ

x2 =



 =x

f ' x1 ˜ x1  f x1



f ' x1

 

f x1 1 f' x 1

Setzen wir dieses Verfahren fort, dann ergibt sich: Ist x0 eine Lösung der Gleichung f(x) = 0, und ist x 1 ein hinreichend nahe bei x 0 liegender Startwert, so konvergiert die nach

 

f xn xn 1 = xn  , n = 1, 2, 3, ... f ' xn

(3-94)

berechnete Iterationsfolge gegen die Lösung x 0 . Als hinreichende Konvergenzbedingung gilt:

  f '  xn

f xn ˜ f '' xn

1

(3-95)

Seite 198

Differentialrechnung Näherungsverfahren zum Lösen von Gleichungen NN ( x  f  H ) 

im0 while

f ( x) ! H

imi1 break if i ! 10 xmx

Ein Unterprogramm zur Nullstellensuche.

f ( x) d

f ( x)

dx Beispiel 3.6.1: Bei ein Schubkurbeltriebes tritt folgende Bestimmungsgleichung auf: x 3 - x2 - x + 0.04 = 0. Bestimmen Sie die kleinste positive Lösung dieser Gleichung. 3

2

f ( x)  x  x  x  0.04

Funktion ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

0.5

0

f( x)

0.5

1

fx ( x) 

d

fxx ( x) 

f ( x)

dx

x1  0.1

0.5



 fx  x1

x

2

f ( x)

dx

Startwert

f x1 ˜ fxx x1

1

2

d

0.083

x1 ist ein geeigneter Startwert (3-95)

Abb. 3.6.2 n  1  10

Bereichsvariable

xn1  xn 

 fx  xn f xn

iterative Berechnung

1

x

1

0.1

2

0.04103

3

0.03857

4

0.03857

5

0.03857

6

0.03857

7

0.03857

8

0.03857

9

0.03857

10

0.03857

11

0.03857

H  10

5

Genauigkeit

Die Folge konvergiert sehr rasch! Hier sind im Ergebnisformatfenster 5 Dezimalstellen eingestellt!



NN x1  f  H

Seite 199



0.03857

Näherungslösung mit einem Unterprogramm

Differentialrechnung Näherungsverfahren zum Lösen von Gleichungen Beispiel 3.6.2: Ermitteln Sie die Quadrat- und Kubikwurzel einer Zahl a. x= x=

3

2

Ÿ

x a=0

3

Ÿ

x a=0

a

Ÿ

x =a

a

Ÿ

x =a

2

3

f ( x)  x  2

g ( x)  x  2

2

f ( x) = x  a

2

3

g ( x) = x  a

3

Funktionen ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

10

d

fx ( x) 

f( x) 2

g ( x)

1

0

1

fxx ( x) 

f ( x)

dx

2

d

gx ( x) 

gxx ( x) 

g ( x)

dx

2

d

2

f ( x)

dx

Ableitungen

2

d

2

g ( x)

dx

10 x

Abb. 3.6.3

x1  1.3

Startwert aus der Grafik



 fx  x1

f x1 ˜ fxx x1

0.238

n  1  10

geeigneter Startwert (3-95)

x1 1  1.3



Startwert aus der Grafik



 gx  x1 1

g x1 1 ˜ gxx x1 1

 fx  xn f xn

iterative Berechnung

x1 n1  x1 n 

1



 gx  x1 n g x1 n

1.3

1

1.3

2

1.41923

2

1.26114

3

1.41422

3

1.25992

4

1.41421

4

1.25992

5

1.41421

5

1.25992

6

1.41421

6

1.25992

7

1.41421

7

1.25992

8

1.41421

8

1.25992

9

1.41421

9

1.25992

10

1.41421

10

1.25992

11

1.41421

11

1.25992

5

NN x1  f  H

geeigneter Startwert (3-95)

Die Folge konvergiert sehr rasch.

Genauigkeit



iterative Berechnung

1

1

H  10

0.303

Bereichsvariable

xn1  xn 

x



1.41421

2

1.41421

x1

H  10



5

NN x1 1  g  H

Seite 200

Die Folge konvergiert sehr rasch.

Genauigkeit



1.25992

3

2

1.25992

Differentialrechnung Näherungsverfahren zum Lösen von Gleichungen

xn 2  a

xn1 = xn 

2 ˜ xn

=

 2  xn 2  a

2 ˜ xn

2 ˜ xn

x1n 3  a = 2 3 ˜  x1 n

x1 n1 = x1 n 

a 2



=

1§

a · xn  ¨ xn ¹ 2©

3  x1n 3  a = 2 3 ˜  x1 n

3 ˜ x1 n

Heronverfahren für die Quadratwurzel

ª 3 « ¬ 1

˜ « 2 ˜ x1 n 

Heronverfahren für die kubische Wurzel

Radikand 1§

a · xn  ¨ 2© xn ¹

xn1 

Heron Verfahren

ª 3 « ¬ 1

x1 n1 

˜ « 2 ˜ x1 n 

1

x

»º x1n 2 »¼ a

»º x1n 2 »¼ a

1

1

1.3

1

1.3

2

1.41923

2

1.26114

3

1.41422

3

1.25992

4

1.41421

4

1.25992

5

1.41421

5

1.25992

6

1.41421

6

1.25992

7

1.41421

7

1.25992

8

1.41421

8

1.25992

9

1.41421

9

1.25992

10

1.41421

10

1.25992

11

1.41421

11

1.25992

x1

x1  1.3

Startwert



wurzel f x1  x1



Näherungslösung wurzel g x1  x1

1.41401

wurzel ( f ( x)  x  1  1.5)

1.25996

wurzel ( g ( x)  x  1  1.5)

1.41421

Näherungslösung

1.25992

Beispiel 3.6.3: Bei der Untersuchung der Wärmestrahlung ergibt sich die Gleichung e Lösung x > 0 auf drei Dezimalstellen genau. x

f ( x)  e



x 5

1

= 1 - x/5. Gesucht ist die erste

Funktion ORIGIN  1

2

fx ( x) 

1 f( x) 1

-x

1

3

5

7

d dx

x1  4



x

fxx ( x) 

f ( x)

 fx  x1

f x1 ˜ fxx x1

1

ORIGIN festlegen

Abb. 3.6.4

Seite 201

2

d

2

f ( x) Ableitungen

dx

Startwert

0.018

x1 ist ein geeigneter Startwert (3-95)

Differentialrechnung Näherungsverfahren zum Lösen von Gleichungen n  1  10

Bereichsvariable

xn1  xn 

 fx  xn f xn

iterative Berechnung

1

x

1

4

2

5

3

4.96514

4

4.96511

5

4.96511

6

4.96511

7

4.96511

8

4.96511

9

4.96511

10

4.96511

11

4.96511

H  10



Die Folge konvergiert sehr rasch.

5

Genauigkeit

NN x1  f  H



Näherungslösung mit einem Unterprogramm

4.96514

wurzel ( f ( x)  x  4  6)

Näherungslösung mithilfe von der Mathcadfunktion "wurzel"

4.96511

Beispiel 3.6.4: Für den Einweggleichrichter ist der Stromflusswinkel D (0 d D dS/2) aus der folgenden Gleichung zu bestimmen: Ra Ri

=

S

gegebene Gleichung

tan ( D )  D

Ra = 150 ˜ :

Ri = 40 ˜ :

f ( D )  tan ( D )  D 

gegebene Werte

S ˜ 40

Funktion

150 ORIGIN  1

0

0.75

1.5

2.25

3

fx ( x) 

f( D ) 10

d

ORIGIN festlegen fxx ( x) 

f ( x)

dx

x1  1.1



 fx  x1

f x1 ˜ fxx x1

20 D

Abb. 3.6.5

Seite 202

2

d

2

f ( x)

dx

Startwert

0.134

x1 ist ein geeigneter Startwert (3-95)

Ableitungen

Differentialrechnung Näherungsverfahren zum Lösen von Gleichungen n  1  10

Bereichsvariable

 fx  xn f xn

xn1  xn 

iterative Berechnung

1

x

1

1.1

2

1.09301

3

1.09288

4

1.09288

5

1.09288

6

1.09288

7

1.09288

8

1.09288

9

1.09288

10

1.09288

11

1.09288

H  10

Die Folge konvergiert sehr rasch.

5



NN x1  f  H

x3

1.093

Näherungswert in Radiant

x3

62.618 Grad

Näherungswert in Grad

Genauigkeit



Näherungslösung mit einem Unterprogramm

1.09288

wurzel ( f ( x)  x  0.5  1.3)

1.09288

Näherungslösung mithilfe von der Mathcadfunktion "wurzel"

3.6.2 Das Sekantenverfahren (Regula Falsi) Bei diesem Verfahren suchen wir zuerst zwei Stellen x 1 und x2 auf, an denen die Funktion y = f(x) verschiedene Vorzeichen der Funktionswerte hat (vergleiche Nullstellensatz). Durch den Punkt P 1 und P2 wird dann eine Sekante gelegt. Damit ergibt sich ein Schnittpunkt an der Stelle x 3 mit der x-Achse. Durch den Punkt P 1 und P3 wird wieder eine Sekante gelegt usw.

Sekante:



f ( x) = f x1 

 

f x2  f x1 x2  x1

x  x1

Schnittpunkt S(x 3 |0) mit der x-Achse:



0 = f x1 

 

f x2  f x1 x2  x1

x3  x1

Abb. 3.6.6



0 = f x1 

 

f x2  f x1 x2  x1

x3  x1

Ÿ

Seite 203

   

x2  x1 x3 = x1  f x1 ˜ f x2  f x1

Differentialrechnung Näherungsverfahren zum Lösen von Gleichungen Setzen wir dieses Verfahren fort, dann ergibt sich: Ist x0 eine Lösung der Gleichung f(x) = 0 und haben f(x 1 ) und f(x2 ) verschiedene Vorzeichen, also f(x1 ) . f(x2 ) < 0, so konvergiert die nach xn1  xn xn 2 = xn  f xn ˜ f xn 1  f xn

 





, n = 1, 2, 3, ...

(3-96)

berechnete Iterationsfolge gegen die Lösung x 0 .

NS ( f  a  b  H ) 

x1 m a x2 m b im0 while

x2  x1 ! H

    if f ( x) ˜ f  x1  0

x2  x1 x m x1  f x1 ˜ f x2  f x1 x2 m x

Ein Unterprogramm zur Nullstellensuche.

x1 m x otherwise imi1 break if i t 10 x Beispiel 3.6.5: Bei der Untersuchung der Wärmestrahlung ergibt sich, wie schon in Beispiel 3.6.3 angegeben, die Gleichung e -x = 1 - x/5. Gesucht ist die erste Lösung x > 0 auf drei Dezimalstellen genau. x

f ( x)  e



x 5

1

Funktion

2

ORIGIN  1

1

f ( 3)

0.35

f ( 6)

0.202

Funktionswerte

f( x) 1

1

3

5

7

( f ( 3) ˜ f ( 6)  0) 1 x

Abb. 3.6.7

x1  3 n  1  10

ORIGIN festlegen

x2  6

Startwerte Bereichsvariable

Seite 204

1

Logische Auswertung! Im Intervall [3, 6] liegt eine Nullstelle.

Differentialrechnung Näherungsverfahren zum Lösen von Gleichungen



xn2  xn  f xn ˜



xn 1  xn





f xn1  f xn

iterative Berechnung

1

x

1

3

2

6

3

4.9009491651

4

4.9642305688

5

4.9651152804

6

4.9651142317

7

4.9651142317

8

4.9651142317

9

4.9651142317

10

4.9651142317

11

4.9651142317

12

4.9651142317

H  10

Die Folge konvergiert ebenfalls sehr rasch.

 10

Genauigkeit

a 3

b 6

NS ( f  a  b  H )

Intervallgrenzen Näherungslösung mit einem Unterprogramm

4.9651142317

wurzel ( f ( x)  x  a  b)

4.9651142317

Näherungslösung mithilfe von der Mathcadfunktion "wurzel"

Beispiel 3.6.6: Eine Bank bietet dem Kunden folgende Sparmöglichkeit: Der Kunde zahlt fünfmal jeweils zu Jahresbeginn je 1000 € ein und er erhält am Ende des fünften Jahres ein Guthaben von 6000 €. Wie groß müsste der Zinssatz p sein, dass ein Kunde bei den gleichen Einzahlungen nach fünf Jahren den gleichen Endstand erzielt ? q=1 p 5

Endwert der ersten Einzahlung

4

Endwert der zweiten Einzahlung

1000 ˜ q 1000 ˜ q

---------------------------------------------------------------------------------------------------------1000 ˜ q

Endwert der fünften Einzahlung

Wir erhalten damit: 5

4

3

2

1000 ˜ q  1000 ˜ q  1000 ˜ q  1000 ˜ q  1000 ˜ q = 6000 5

4

3

2

q  q q q q=6

§ q5  1 ·

f ( q)  q ˜ ¨

© q 1 ¹

6

4 3 2 q ˜  q  q  q  q  1 = 6

Funktion

Seite 205

bzw.

§ q5  1 · q˜ ¨ = 6 geometrische Folge © q1 ¹

Differentialrechnung Näherungsverfahren zum Lösen von Gleichungen

100

ORIGIN  1

50

f ( 0.8)

ORIGIN festlegen

3.311 Funktionswerte

f( q) 0

0.5

1

1.5

2

f ( 1.5)

13.781

( f ( 0.8) ˜ f ( 1.5)  0)

50 q

1

Logische Auswertung! Im Intervall [0.8, 1.5] liegt eine Nullstelle.

Abb. 3.6.8 q1  0.8

q2  1.5

Startwert

n  1  10

Bereichsvariable



qn  2  qn  f qn ˜



qn  1  qn





f qn  1  f qn

iterative Berechnung

1

q

1

0.8

2

1.5

3

0.936

4

1.004

5

1.072

6

1.061

7

1.061

8

1.061

9

1.061

10

1.061

11

1.061

12

1.061

H  10

Die Folge konvergiert sehr rasch.

6

Genauigkeit

q1  0.8

q2  1.5



NS f  q1  q2  H



Intervallgrenzen Näherungslösung mit einem Unterprogramm

1.061





q  wurzel f ( q)  q  q1  q2 p q  1

p

6.14 %

q

1.061

Näherungslösung mithilfe von der Mathcadfunktion "wurzel" gesuchter Zinssatz

Seite 206

Differentialrechnung Interpolationskurven 3.7 Interpolationskuven Wir sprechen von einer Interpolation, wenn eine Funktion ermittelt werden soll, die an vorgegebenen n+1 Stützstellen x 0 , x1 , x2 , ..., xn die gegebenen Stützwerte y 0 , y1 , y2 , ..., yn annimmt. Die gesuchte Funktion soll ein einfaches Interpolieren ermöglichen, wie die Berechnung der Zwischenwerte genannt wird. Dabei soll sie zwischen den Stützstellen von der gegebenen Funktion (falls diese bekannt ist) möglichst wenig abweichen. Bei allen möglichen Interpolationsfunktionen sind die Polynomfunktionen n-ten Grades von großer Bedeutung: n 1

n

y = Pn ( x) = an ˜ x  an1 ˜ x n

y = Pn ( x) = a0 

¦ k

n2

 an 2 ˜ x

2

 ....  a2 ˜ x  a1 ˜ x  a0 bzw. (3-97)

§ a ˜ xk· © k ¹

(3-98)

1

Es kann Folgendes ausgesagt werden: Sind alle n+1 Stützstellen x0 , x1 , x2 , ..., xn paarweise verschieden, so gibt es dazu genau ein Interpolationspolynom vom Grad n. Bei zunehmender Stützstellenanzahl wird jedoch bei der Verwendung einer einzigen Polynomfunktion der Graph sehr wellig. Häufig verlangen wir aber bei Anwendungen (z.B. Autokarosserien, Flugzeugtragflächen usw.) eine möglichst glatte Kurve durch die Stützpunkte. Die Lösung sind stückweise aus Polynomfunktionen des gleichen niedrigen Grades zusammengesetzte Splines ("biegsames Lineal"). Der einfachste Spline ist ein linearer Spline, der aber nur einen Streckenzug durch die Stützpunkte darstellt. Die häufig gestellten Forderungen, dass der Graph beim Übergang an der Stelle x i keinen Sprung im Funktionswert (Sprungstelle), keinen Sprung in der Steigung (Knick) und keinen Sprung in der Krümmung haben soll, erfüllen am besten kubische Polynome, d.h. die erste und die zweite Ableitung der Kurve soll in jedem Punkt stetig sein . Diese Splines werden kubische Splines genannt. Kubische Splines zeichnen sich geometrisch dadurch aus, dass deren Krümmung, über das Interpolationsintervall betrachtet, minimal ist.

Beispiel 3.7.1: Gegeben ist die Funktion y = x 2 - 2.5 x + 1.8. Ersetzen Sie die Funktion an den Stützstellen x 0 = 1 und x 1 = 2 durch eine lineare Funktion und Berechnen Sie damit den interpolierten Wert an der Stelle x = 1.6. Wie groß ist dabei der Interpolationsfehler ? An welcher Stelle zwischen x 0 und x 1 ist der bei der linearen Interpolation entstehende maximale absolute Fehler am größten ? 2

f ( x)  x  2.5 ˜ x  1.8

gegebene Funktion

ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

x

§1 · ¨ ©2 ¹

y

§ f ( 1) · ¨ © f ( 2) ¹

y=k˜x d

0

y

0

0.3

1

0.8

Stützpunkte

Iterpolationskurve

Durch sukzessives Einsetzen der Werte für xi und yi erhalten wir daraus ein lineares Gleichungssystem aus 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten k und d . 0.3 = d  k ˜ 1 0.8 = d  k ˜ 2

bzw. als Matrixgleichung

y=

§1 1 · §d · ˜¨ = A˜ a ¨ ©1 2 ¹ ©k ¹

Seite 207

Differentialrechnung Interpolationskurven y = A˜ a

Wir erhalten daraus den Lösungsvektor a durch Multiplikation mit A-1 von links, also a = A -1 y (wegen A-1 A = E).

Die Koeffizientenmatrix A dieses lineares Gleichungssystem: i  0  1

Bereichsvariable

o ¢i² i A  x

Ÿ

1

a A

A

§1 1 · ¨ ©1 2 ¹

A

§d · ¨  a ©k ¹

˜y

Die Matrix A ist regulär, daher

1

§d · ¨ ©k ¹

existiert die Matrix A-1. 0 0

-0.2

1

0.5

P ( x)  k ˜ x  d

gesuchtes Interpolationspolynom

x1  1.6

Zwischenstelle x 1

 f  x1 P x1

Näherungswert (Polynomwert)

0.6

exakter Funktionswert

0.36

z  0.5  0.5  0.01  3

Bereichsvariable

2 x1

1

f( z)

 

P x1 f x1

Interpolationsfehler

P( z)

Abb. 3.7.1

wahrer Wert

y 1

0

1

2

3

1 z z x

Interpolationsfehler (Istwert - Sollwert):

 

P x1  f x1

0.24

Maximaler absoluter Fehler (interpolierter Wert - wahrer Wert)

2



F ( x) = P ( x)  f ( x) = 0.5 ˜ x  0.2  x  2.5 ˜ x  1.8 2

F ( x) = P ( x)  f ( x) = 3. ˜ x  2.  1. ˜ x 2

F ( x)  3. ˜ x  2.  1. ˜ x

vereinfacht auf Fehlerfunktion nach unten geöffnete Parabel mit Hochpunkt (Maximum)

Seite 208

Differentialrechnung Interpolationskurven Fx ( x) 

d dx

xmax  Fx ( x) = 0



Fxx xmax



2

d

Fxx ( x) 

F ( x)

2

Ableitungen

F ( x)

dx

auflösen  x o 1.5 gleit  2

berechneter x-Wert

2

Fxx(xmax) < 0, daher liegt ein Maximum vor



Fmax  F xmax



Fmax

maximaler absoluter Fehler

0.25

Beispiel 3.7.2: Durch n gegebene Punkte P k(xk, yk) (k = 1, 2, ... n) ist ein Polynom möglichst niedrigen Grades zu legen. Gesucht sind Zwischenwerte für x = -1, 0.5, 4.

§ 2.8 · ¨ ¨ 0 ¸ ¨ 1 ¸ x ¨ ¸ ¨ 3.2 ¸ ¨ 5.5 ¸ ¨ © 6.1 ¹

§ 5 · ¨ ¨ 2.2 ¸ ¨ 2 ¸ y ¨ ¸ ¨ 4 ¸ ¨ 12.2 ¸ ¨ © 18.4 ¹

ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

Koordinaten der Punkte P k

2

3

4

5

y = a0  a1 ˜ x  a2 ˜ x  a3 ˜ x  a4 ˜ x  a5 ˜ x

6 Punkte, daher Polynom 5. Grades

Durch sukzessives Einsetzen der Werte für xi und yi erhalten wir daraus ein lineares Gleichungssystem aus 6 Gleichungen mit 6 Unbekannten a 1 , ... ,a6 . n 6

Anzahl der Punkte:

i  0  n  1 Bereichsvariable (Indexlaufbereiche)

j  0  n  1 Koeffizintenmatrix:

ª1 « « «1 « «1 A « «1 « «1 « «1 ¬ A

x0

x0 2 x0 3 x0 4 x0 5 º»

x1

x1 2 x1 3 x1 4 x1 5 »

x2

  

x3

x3 2 x3 3 x3 4

x4

x4 2 x4 3 x4 4

x5

x5 2 x5 3 x5 4

»

x2

1.023 u 10

2

8

x2

3

x2

4

» x  2 » » 5» x3 » 5» x4 » 5» x5 ¼ 5

§1 ¨ ¨1 ¨1 A ¨ ¨1 ¨1 ¨ ©1

2.8

21.952

61.466

172.104 ·

¸ ¸ 1 1 1 1 1 ¸ 3.2 10.24 32.768 104.858 335.544 ¸ 5.5 30.25 166.375 915.063 5032.844 ¸ 0

6.1

reguläre Matrix

Seite 209

7.84 0

0

0

0

37.21 226.981 1384.584 8445.963 ¹

Differentialrechnung Interpolationskurven oder:

xi j

Ai  j 

oder:

o

¢i² i A  x

1

a A

˜y

2.8

§1 ¨ ¨1 ¨1 A ¨ ¨1 ¨1 ¨ ©1

2.8

7.84

21.952

172.104 ·

61.466

¸ ¸ 1 1 1 1 1 ¸ 3.2 10.24 32.768 104.858 335.544 ¸ 5.5 30.25 166.375 915.063 5032.844 ¸ 0

0

0

0

0

37.21 226.981 1384.584 8445.963 ¹

6.1

7.84

21.952

172.104 ·

61.466

¸ ¸ ¸ 3.2 10.24 32.768 104.858 335.544 ¸ 5.5 30.25 166.375 915.063 5032.844 ¸ 0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

37.21 226.981 1384.584 8445.963 ¹

6.1

Koeffizienten des Polynoms

T

0

a

0

1 2.2

n 1

P ( x)  a0 

¦ i

2

-6.974

§ ai ˜ xi· © ¹

k  0  2

y1k  P x1 k

3

2.407

4

0.624

-0.283

5 0.026

Interpolationspolynom

1

§¨ 1 · x1  ¨ 0.5 ¸ ¨ 4 © ¹



§1 ¨ ¨1 ¨1 A ¨ ¨1 ¨1 ¨ ©1

gewählte Zwischenwerte und Bereichsvariable

0

0



y1

0 1 2

10.647 -0.624

oder

P ( x1 )

6.868

x  floor ( min ( x) )  floor ( min ( x) )  0.1  ceil ( max ( x) )

0

10.647

1

-0.624

2

6.868

Bereichsvariable

60

P( x) yi

40

20

Abb. 3.7.2

y1k 0

20

3

1.33

0.33

2

3.67

x  x i  x1k

Seite 210

5.33

7

Differentialrechnung Interpolationskurven Beispiel 3.7.3: Durch die gegebenen Messdaten soll eine ganzrationale Funktion gelegt werden. Zum Vergleich soll mittels kubischer Spline-Interpolation eine Ausgleichskurve gefunden werden. T

I  ( 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 )

Messdaten T

U  ( 29 51 101 174 288 446 ) ORIGIN  0

ORIGIN festlegen 2

3

4

Up ( I) = a0  a1 ˜ I  a2 ˜ I  a3 ˜ I  a4 ˜ I  a5 ˜ I

5

Näherungspolynom

Durch Einsetzen der Messdaten in das Näherungspolynom ergibt sich ein lineares Gleichungssystem, das in Matrixform U = A ˜ a geschrieben werden kann. n 6

Anzahl der Messwerte

i  0  n  1

Bereichsvariable

§1 ¨ ¨1 ¨1 A ¨ ¨1 ¨1 ¨ ©1

o

¢i² i A  I

3.456 u 10

A

1

a A T

a

Koeffizientenmatrix

 11

0.1 0.01 0.001

0

0

·

¸ 0.3 0.09 0.027 0.008 0.002 ¸ ¸ 0.4 0.16 0.064 0.026 0.01 ¸ 0.5 0.25 0.125 0.063 0.031 ¸ 0.2 0.04 0.008 0.002

0.6 0.36 0.216

0.13

0

0.078 ¹

reguläre Matrix

˜U

gesuchter Koeffizientenvektor

( 101 1638.5 12379.167 37333.333 57083.333 31666.667 ) 5

¦

Up ( I)  a0 

k

§ ak ˜ Ik· © ¹

Up ( 0.1)

Näherungspolynom

29

1

I  0.1  0.1  0.001  0.7

Bereichsvariable

Interpolationspolynom 600

U

400

U p( I)

Abb. 3.7.3 200

0

0

0.1

0.2

0.3

0.4 I I

Seite 211

0.5

0.6

0.7

Differentialrechnung Interpolationskurven Zum Vergleich Interpolation mit kubischer Splinefunktion: vc  kspline ( I  U) Upk ( I)  interp ( vc  I  U  I)

kspline(vx,vy) gibt einen Vektor aus den zweiten Ableitungen für die Datenvektoren vx (I) und vy (U) zurück. Dieser Vektor wird als das erste Argument der Funktion interp verwendet. Die sich dabei ergebende Spline-Kurve ist an den Endpunkten kubisch. interp(vc,vx,vy,x) führt eine Spline-Interpolation von vy (U) am Punkt x aus und gibt den sich dabei ergebenden Wert zurück.

I  0.1  0.1  0.001  0.7

Bereichsvariable Spline-Interpolationspolynom

600 U U pk( I) U p( I)

400

Abb. 3.7.4 200

0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

I I I

Beispiel 3.7.4: Durch fünf Punkte soll die Kurve einer ganzrationalen Funktion 4. Grades gelegt werden. Zum Vergleich soll mittels kubischer Spline-Interpolation eine Interpolationskurve gefunden werden. Die Ableitungsfunktion soll ebenfalls dargestellt werden. ORIGIN  0

ORIGIN festlegen T

x  (1 2 4 6 9 )

Koordinaten der gegebenen Punkte

T

y  ( 1 2.1 2.8 2 1.8 )

Gegebene Stützpunkte 4 3 y

2

Abb. 3.7.5

1 1

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x 2

3

4

y = a0  a1 ˜ x  a2 ˜ x  a3 ˜ x  a4 ˜ x

ganzrationale Funktion 4. Grades (Näherungspolynom)

Durch sukzessives Einsetzen der Werte für xi und yi erhalten wir daraus ein lineares Gleichungssystem aus 5 Gleichungen mit 5 Unbekannten a 1 , ... ,a5 . Die Koeffizientenmatrix A dieses linearen Gleichungssystems enthält in der i-ten Zeile die i-ten Potenzen von xi . i  0  4

Bereichsvariable

Seite 212

Differentialrechnung Interpolationskurven

o ¢i² i A1  x

A1

y = A1 ˜ a a  A1

§¨ 1 ¨1 ¨1 ¨ ¨1 ¨1 ©

· 16 ¸ 8 2 4 ¸ 4 16 64 256 ¸ 6 36 216 1296 ¸ 1

1

1

1

2.016 u 10

A1

5

reguläre Matrix

9 81 729 6561 ¹

Wir erhalten daraus den Lösungsvektor a durch Multiplikation mit A-1 von links.

1

T

˜y

a 4

P ( x)  a0 

¦ i

§ ai ˜ xi· © ¹

( 0.557 1.751 0.171 0.026 0.003 )

gesuchtes Interpolationspolynom

1

Bei der kubischen Spline-Interpolation wird durch drei benachbarte Punkte (in aufsteigender Reihenfolge) jeweils ein kubisches Polynom gelegt. Diese kubischen Polynome werden dann zur eigentlichen Kurve verbunden. Dadurch wird erreicht, dass die erste und zweite Ableitung der Interpolationskurve in jedem Punkt stetig ist. vc  kspline ( x  y)

kubischer Spline-Vektor vc

Ps ( x)  interp ( vc  x  y  x)

kubische-Interpolationskurve

d

Psx ( x) 

interp ( vc  x  y  x)

Ableitungsfunktion

dx x  floor ( min ( x) )  floor ( min ( x) )  0.1  ceil ( max ( x) )

Bereichsvariable

5 y

3.6

P( x)

2.2

Ps( x)

0.8

Psx( x)

2

10.6 0

Abb. 3.7.6 1

2

3

4

5

6

7

2 x  x x x

Seite 213

8

9

10

Differentialrechnung Interpolationskurven Ein Wertevergleich für t  2  10 : Ps ( t)

P ( t)

-5.678

-4.486

-2.858

-2.45

-0.642

-0.557

1

1

2.1

2.1

2.689

2.693

2.8

2.8

2.499

2.514

2

2

1.551

1.493

1.401

1.3

1.8

1.8

2.996

3.443

Der Vergleich zeigt, dass die Unterschiede der Splinekurve von der Kurve des oben gefundenen Polynoms sich in den Randbereichen stärker bemerkbar machen.

Beispiel 3.7.5: Durch die gegebenen Messdaten soll mittels kubischer Spline-Interpolation eine Ausgleichskurve gefunden werden. ORIGIN  0

§¨ 1 ¨3 ¨5 ¨ ¨4 ¨6 ¨ ¨8 ¨ 11 D ¨ ¨ 12 ¨ 13 ¨ ¨ 14 ¨ 16 ¨ ¨ 17 ¨ 19 ©

· 23.16 ¸ ¸ 24.26 ¸ 27.57 ¸ ¸ 16.63 ¸ 30.41 ¸ ¸ 47.2 ¸ 50.03 ¸ ¸ 60.33 ¸ 59.89 ¸ ¸ 71.18 ¸ 84.27 ¸

ORIGIN festlegen

2.6

0

D  spsort ( D  0) Sortieren der Messdaten

D

¢0² x D ¢1² y D

Extrahierung der Spalten

77.69 ¹

vc  kspline ( x  y)

Spline-Koeffizienten

fA ( x)  interp ( vc  x  y  x)

Anpassungsfunktion (Interpolationsfunktion)

i  0  länge ( x)  1

Bereichsvariable

n  500

Anzahl der Punkte

Seite 214

1

0

1

2.6

1

3

23.16

2

4

27.57

3

5

24.26

4

6

16.63

5

8

30.41

6

11

47.2

7

12

50.03

8

13

60.33

9

14

59.89

10

16

71.18

11

17

84.27

12

19

77.69

Differentialrechnung Interpolationskurven j  0  n

Bereichsvariable

x1 j  min ( x)  j ˜

max ( x)  min ( x)

Bereichsvariable in Vektorform

n

Interpolierte Werte: yi

fA ( 2)



13.775

fA x1j

fA ( 7.71)

27.299

xi  x1j

Abb. 3.7.7

x-y-Daten kubische Spline-Interpolation

Beispiel 3.7.6: Durch die erzeugten Messdaten soll mittels linearer und kubischer Spline-Interpolation eine Ausgleichskurve gefunden werden. 

f ( x)  e

x 4

n 4 x2 i  i ˜

˜ sin ( x)

gedämpfte Schwingung

i  0  n

Bereichsvariable

2˜ S



y2i  f x2 i

n

erzeugte Messdaten

Lineare Interpolation: fL ( x)  linterp ( x2  y2  x)

lineare Interpolationsfunktion

x  x2 0  x2 0  0.01  x2 n

Bereichsvariable für Zwischenwerte

1

y2i

0.5

f( x)

Abb. 3.7.8

fL ( x)

0

1

2

3

4

5

0.5 x2i  x  x

Seite 215

6

7

Differentialrechnung Interpolationskurven Kubische Spline-Interpolation: Je nachdem ob das Spline-Ende linear, parabolisch oder kubisch sein soll, verwenden wir lspline, pspline, oder kspline. vl  lspline ( x2  y2)

vp  pspline ( x2  y2)

vc  kspline ( x2  y2)

Spline-Koeffizienten

fl ( x)  interp ( vl  x2  y2  x) fp ( x)  interp ( vp  x2  y2  x)

Interpolationsfunktionen

fc ( x)  interp ( vc  x2  y2  x)

0.6 y2i f( x) fl ( x)

0.4

0.2

Abb. 3.7.9

fp ( x) fc( x)

0

1

2

3

4

5

0.2

0.4 x2i  x  x  x  x

Quadratische Fehler im Vergleich: x2

´ n 2 µ f ( x)  fL ( x) dx µ ¶x2





0.0624

lineare Interpolation

0

x2

´ n 2 µ f ( x)  fl ( x) dx µ ¶x2





0.0096

Spline mit linearem Ende

f (x)  fp (x) 2 dx

0.0023

Spline mit parabolischem Ende

´ n 2 µ f ( x)  fc ( x) dx µ ¶x2

0.0056

Spline mit kubischem Ende

0

x

´ n µ µ ¶x2

0

x2





0

Seite 216

6

7

Differentialrechnung Funktionen in mehreren unabhängigen Variablen 3.8 Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen 3.8.1 Allgemeines Viele Zusammenhänge lassen sich nicht alleine durch Funktionen y = f(x) mit einer Variablen x beschreiben und in der Ebene 2 darstellen. Kurve im Raum 3 (Parameterdarstellung): f: D Ž oW (Žx x ) 

(3-99)

t ~of(x(t),y(t),z(t))

Beispiel 3.8.1: N  36

Anzahl der Parameterwerte

i  0  N  1

Bereichsvariable

§ i ˜ 6 ˜ S· ©N 1 ¹

xi  cos ¨

§ i ˜ 6 ˜ S· ©N 1 ¹

yi  sin ¨ zi 

i N 1

Koordinatenvektoren x, y, z definieren, die vom Parameter i abhängen. Die gewählten Koordinatenvektoren beschreiben eine Schraubenlinie.

˜3

Schraubenlinie

Die Raumkurve wird mit dem Befehl "3D-Streuungsdiagramm erstellen" aus dem Grafik-Menü erzeugt. In den Platzhalter sind die Vektoren x,y,z einzutragen.

(x  y  z) Abb. 3.8.1 Eine Zuordnung f, die jedem n-Tupel (x 1 , x2 , ..., xn) einer Definitionsmenge D ein Element y einer Wertemenge W zuordnet, heißt Funktion mit n-Variablen. Wir schreiben für die Funktionsgleichung: y = f(x1 , x2 , ..., xn). Funktionen mit zwei unabhängigen Variablen x und y werden im räumlichen Koordinatensystem (3D) dargestellt. Flächen im Raum 3 (explizite Darstellung): f: D Ž(x ) oW (Ž)

(3-100)

 (x,y) ~of(x,y) = z

Seite 217

Differentialrechnung Funktionen in mehreren unabhängigen Variablen Beispiel 3.8.2: Ebene im Raum A x + B y + C z + D = 0 bzw. in kanonischer Form x/a + y/b + z/c = 1. z 1 ( x  y)  x  2 ˜ y  8

z 2 ( x  y)  8

explizite Ebenengleichungen im Raum

Abb. 3.8.2

z1  z2 Beispiel 3.8.3: Darstellung eines Paraboloids. z c

2

=

x

2

a

a 2

2



y

kanonische Form oder Normalform der Gleichung für das Paraboloid

2

b

b 2

§ x2 y2 · z Pa ( x  y)  c ˜ ¨  ¨ a2 b2 © ¹

c 2

Konstanten

explizite Form der Gleichung für das Paraboloid

Abb. 3.8.3

z Pa

Seite 218

Differentialrechnung Funktionen in mehreren unabhängigen Variablen Beispiel 3.8.4: Darstellung eines hyperbolischen Paraboloids. 2

z

=

c

2

x



2

a

y

kanonische Form oder Normalform der Gleichung für das hyperbolische Paraboloid

2

b

a 2

b 2

c 2

§ x2 y2 · z Pa ( x  y)  c ˜ ¨  ¨ a2 b2 © ¹

Konstanten explizite Form der Gleichung für das hyperbolische Paraboloid

Abb. 3.8.4

z Pa Zylinderkoordinaten und rechtwinkelige Koordinaten: M [0, 2 S[ x = r ˜ cos ( M ) y = r ˜ sin ( M )

œ

z=z

2

2

x y y x sin ( M ) = cos ( M ) = r r y tan ( M ) = x r=

Beispiel 3.8.5: Darstellung eines geraden Zylinders. 2

x

2

2



a

a 1

y

2

kanonische Form oder Normalform der Gleichung für den Zylinder

=1

b

b 1

§¨ a ˜ cos ( M ) · z zy ( M  z )  ¨ b ˜ sin ( M ) ¸ ¨ z © ¹

Konstanten

Zylinderkoordinatendarstellung

Seite 219

(3-101)

Differentialrechnung Funktionen in mehreren unabhängigen Variablen

Abb. 3.8.5

z zy

Beispiel 3.8.6: Darstellung eines Hyperpoloids. 2

x

2

2



a

a 2

y

2

b



z c

2 2

kanonische Form oder Normalform der Gleichung für das Hyperboloid

=1 b 2

c 1

§ 2  z 2 ˜ cos ( M ) · ¨ a ¨ ¸ z hy ( M  z )  ¨ b2  z2 ˜ sin ( M ) ¸ ¨ c˜z © ¹

Konstanten

Zylinderkoordinatendarstellung

Abb. 3.8.6

z hy

Seite 220

Differentialrechnung Funktionen in mehreren unabhängigen Variablen Kugelkoordinaten und rechtwinkelige Koordinaten: M [0, 2 S[ , -  [0, S@ x = r ˜ sin ( - ) ˜ cos ( M ) y = r ˜ sin ( - ) ˜ sin ( M )

œ

2

2

x y z y sin ( M ) = r=

2

2

x

cos ( M ) = 2

2

x y z = r ˜ cos ( - )

cos ( - ) =

z r

x y 2

tan ( - ) =

2

x y z

Beispiel 3.8.7: Darstellung einer Kugel. 2

x

2

2



r

y

2



r

z

2

2

=1

r

kanonische Form oder Normalform der Gleichung für die Kugel

r 1

Kugelradius

§¨ r ˜ sin ( - ) ˜ cos ( M ) · z Ku ( M  - )  ¨ r ˜ sin ( - ) ˜ sin ( M ) ¸ ¨ r ˜ cos ( - ) © ¹

Kugelkoordinaten

Abb. 3.8.7

z Ku

Beispiel 3.8.8: Darstellung eines Ellipsoids. 2

x

2

a

2



y

2

b



z c

2 2

=1

kanonische Form oder Normalform der Gleichung für das Ellipsoids

Seite 221

(3-102) 2

tan ( M ) =

y x

Differentialrechnung Funktionen in mehreren unabhängigen Variablen a 1

b 1

c 2

Konstanten

§¨ a ˜ sin ( - ) ˜ cos ( M ) · z Ell ( M  - )  ¨ b ˜ sin ( - ) ˜ sin ( M ) ¸ ¨ c ˜ cos ( - ) © ¹

Parameterdarstellung

Abb. 3.8.8

z Ell

3.8.2 Partielle Ableitungen Gegeben sei eine Funktion in expliziter Form f: z = f(x,y) ( D Ž (x ) und W Ž  ). Da es sich bei den geometrischen Veranschaulichungen von Funktionen mehrerer Veränderlicher um Flächen handelt, ist es einsichtig, dass die Tangentensteigungen in den verschiedenen Richtungen verschieden sind. Deshalb führen wir sogenannte Richtungsableitungen ein (differenzierbar in einer Richtung heißt nicht, dass die Funktion an dieser Stelle differenzierbar ist !). Wir nehmen an, dass f(x,y) in einer offenen Umgebung um (x ; y) definiert ist und dort stetige partielle Ableitungen existieren. Wir bezeichnen den bei festgehaltenem y bzw. x gebildeten Grenzwert z x = z x ( x  y) =

w wx

f ( x  y) =

lim 'x o 0

f ( x  'x  y)  f ( x  y) 'x

(3-103)

als partielle Ableitung 1. Ordnung nach x bzw. z y = z y ( x  y) =

w wy

f ( x  y) =

lim 'x o 0

f ( x  y  'y)  f ( x  y) 'y

(3-104)

als partielle Ableitung 1. Ordnung nach y. Es ist klar, dass die Existenz der beiden Ableitungen nicht die Existenz der Ableitungen in einer beliebigen Richtung garantiert. Die Fläche könnte z.B. in irgendeiner anderen Richtung geknickt sein. Eine Funktion mehrerer Variablen wird also nach einer dieser Variablen partiell abgeleitet, indem wir die restlichen Variablen als Konstante betrachten und nach den bekannten Differentiationsregeln differenzieren.

Seite 222

Differentialrechnung Funktionen in mehreren unabhängigen Variablen

w wx





f x0  y0

bedeutet die Steigung der Tangente ty0 der Schnittkurve sy0 an der Stelle (x 0 ,y0 ) w wy





f x0  y0

bedeutet die Steigung der Tangente tx0 der Schnittkurve sx0 an der Stelle (x 0 ,y0 )

Abb. 3.8.9

Höhere Ableitungen (Ableitungen 2. Ordnung) erhalten wir durch fortgesetzte partielle Differentiation:

z xx =

z yy = z yx =

w w wx wx w w wy wy w w wx wy

2

w

f ( x  y) =

2

f ( x  y)

zweite partielle Ableitung nach x,

(3-105)

f ( x  y)

zweite partielle Ableitung nach y,

(3-106)

wx 2

w

f ( x  y) =

2

wy

f ( x  y)

z xy =

w w wy wx

f ( x  y) gemischte zweite partielle Ableitungen.

(3-107)

Satz von Schwarz: Ist z = f(x,y) eine stetige Funktion, so stimmen die gemischten Ableitungen zweiter Ordnung überein: z xy = z yx bzw.

w w wy wx

f ( x  y) =

w w wx wy

f ( x  y)

(3-108)

Beispiel 3.8.9: Bilden Sie die ersten und zweiten partiellen Ableitungen an der Stelle x 0 = 1 und y 0 = 0: 2

2

f ( x  y)  4 ˜ x  5 ˜ x ˜ y  2 ˜ y

gegebene Funktion

x0  1

Koordinaten eines Punktes in der Ebene

fx ( x  y) 

fy ( x  y) 

y0  1 w wx w wy





3





1

f ( x  y)

fx ( x  y) o 8 ˜ x  5 ˜ y

fx x0  y0

f ( x  y)

fy ( x  y) o 5 ˜ x  4 ˜ y

fy x0  y0

Seite 223

Differentialrechnung Funktionen in mehreren unabhängigen Variablen 2

w

fxx ( x  y) 

2

f ( x  y)

wx

w w

fxy ( x  y) 

wy wx

f ( x  y)

fxx ( x  y) o 8

fyy ( x  y) 

fxy ( x  y) o 5

fyx ( x  y) 

2

w

2

f ( x  y)

fyy ( x  y) o 4

f ( x  y)

fyx ( x  y) o 5

f ( x  y)

fyy ( x  y) o 0

f ( x  y)

fyx ( x  y) o 1

wy

w w wx wy

Beispiel 3.8.10: Bilden Sie die erste partielle Ableitungen an der Stelle x 0 = 2 und y 0 = 3: f ( x  y)  x ˜ y

gegebene Funktion

x0  2 fx ( x  y) 

fy ( x  y) 

y0  3 w wx w wy



3





2

fx ( x  y) o y

fx x0  y0

f ( x  y)

fy ( x  y) o x

fy x0  y0

fxx ( x  y) o 0

fyy ( x  y) 

fxy ( x  y) o 1

fyx ( x  y) 

2 2

f ( x  y)

wx

w w

fxy ( x  y) 



f ( x  y)

w

fxx ( x  y) 

Koordinaten eines Punktes in der Ebene

wy wx

f ( x  y)

2

w

2

wy

w w wx wy

Beispiel 3.8.11: Bilden Sie alle partiellen Ableitungen: f ( x  y)  fx ( x  y) 

2

2

x y w wx

f ( x  y)

gegebene Funktion fx ( x  y) o

1 1

x2  y2 fy ( x  y) 

w wy

f ( x  y)

fy ( x  y) o

fxx ( x  y) 

2

1 1

x2  y2

˜x

˜y

2 2

2

w

2

wx

f ( x  y)

y

fxx ( x  y) vereinfachen o

3

x2  y2 Seite 224

2

Differentialrechnung Funktionen in mehreren unabhängigen Variablen 2

w

fyy ( x  y) 

2

f ( x  y)

wy

w w

fxy ( x  y) 

wy wx

1

fyy ( x  y) vereinfachen o

2

˜x

3

x2  y2 2 f ( x  y)

1

fxy ( x  y) vereinfachen o

˜ x˜ y

3

x2  y2 2 w w

fyx ( x  y) 

wx wy

f ( x  y)

1

fyx ( x  y) vereinfachen o

˜ x˜ y

3

x2  y2 2 Beispiel 3.8.12: Zeigen Sie, dass T = f ( l  g) = 2 ˜ S ˜

w wl

g

die partielle Differentialgleichung l ˜

w wl

T  g˜

w wg

T = 0 erfüllt.

l

f ( l  g)  2 ˜ S ˜

fl ( l  g) 

l

Funktion

g

f ( l  g)

S

fl ( l  g) o

1 2

§ l· ˜g ¨ © g¹ fg ( l  g) 

w wg

f ( l  g)

fg ( l  g) o

S 1

§l· ¨ © g¹ l ˜ f l ( l  g)  g ˜ f g ( l  g) o 0

˜

Ableitungen l 2

g

2

die Funktion f(l,g) erfüllt die partielle Differentialgleichung

Beispiel 3.8.13: Bilden Sie ersten partiellen Ableitungen:



R1 ˜ R2



R R1  R2 

gegebene Funktion

R1  R2









RR1 R1  R2 

RR2 R1  R2 

w wR1 w wR2





R R1  R2





R R1  R2





RR1 R1  R2 vereinfachen o





RR2 R1  R2 vereinfachen o

Seite 225

2

R2

R1  R2 2 2

R1

R1  R2 2

Differentialrechnung Funktionen in mehreren unabhängigen Variablen Differentiation von impliziten Funktionen: Wenn für F(x,y) = 0 (bzw. y = f(x)) F stetig und F x stetig in einer Umgebung von (x 0 ,y0 ) ist, dann gilt: w

y'=

d

y=

dx

wx w wy

F mit F

w wy

Fz0

(3-109)

Wenn für F(x,y,z) = 0 (bzw. z = f(x,y)) F stetig, F x und Fy stetig in einer Umgebung von (x 0 ,y0 ) ist, dann gilt:

w w wx

z =

wx w wz

w

F und F

w wy

wy

z =

w wz

F

w

mit

wz

F

Fz0

(3-110)

Beispiel 3.8.14: Bilden Sie die Ableitung y' der gegebenen Relation an der Stelle (2, 3): 2

2

2

x y =r

gegeben Relation 2

2

F1 ( x  y)  x  y  1

2

2

2

implizite Darstellung ( F ( x  y) = x  y  r = 0 )

konzentrische Kreise w wx

w

F = 2˜ x

w

d dx

y=

wx w wy

d dx

wy

F = F

y ( 2  3) =

F = 2˜ y

2 ˜ x 2˜ y

2 3

F1 Abb. 3.8.10

Seite 226

=

x

partielle Ableitungen

Ableitung der Funktion y = f(x)

y

Ableitung der Funktion y = f(x)

Differentialrechnung Funktionen in mehreren unabhängigen Variablen Beispiel 3.8.15: Bilden Sie die Ableitung y' der gegebenen impliziten Funktion: 3

F ( x  y) = y  x ˜ y  12 = 0

implizite Darstellung der Funktion

3

F1 ( x  y)  y  x ˜ y  12

w wx

w

F=y

wy w

d

y=

dx

wx w wy

2

F = 3˜ y  x

partielle Funktionen

F y

=

Ableitung der Funktion y = f(x)

2

3˜ y  x

F

F1 Abb. 3.8.11 Beispiel 3.8.16: Bilden Sie die Ableitung y' der gegebenen impliziten Funktion: x

y

F ( x  y) = e ˜ sin ( y)  e ˜ sin ( x)  1 = 0 x

implizite Darstellung der Funktion

y

F1 ( x  y)  e ˜ sin ( y)  e ˜ sin ( x)  1

w wx

x

y

F = e ˜ sin ( y)  e ˜ cos ( x) partielle Ableitungen

w wy

x

y

F = e ˜ cos ( y)  e ˜ sin ( x)

w

d dx

y=

wx w wy

F = F

F1 Abb. 3.8.12

Seite 227

x

y

x

y

e ˜ sin ( y)  e ˜ cos ( x) e ˜ cos ( y)  e ˜ sin ( x)

Ableitung der Funktion y = f(x)

Differentialrechnung Funktionen in mehreren unabhängigen Variablen

Beispiel 3.8.17: Bilden Sie die partiellen Ableitungen

2

w wx

w

z und

wy

2

z:

2

F ( x  y  z) = x  3 ˜ x ˜ y  2 ˜ y  3 ˜ x ˜ z  z = 0 w wx

w w wx

w

F = 2˜ x 3˜ y 3˜ z

z =

wx wz

w

F = 3˜ x 4˜ y

wz w

F

w

wy

gegebene implizite Funktionsgleichung

=

2˜ x 3˜ y 3˜ z

w

3˜ x 2˜ z

wy

F

z =

wy w wz

F = 3˜ x 2˜ z

F = F

3˜ x 4˜ y 3˜ x 2˜ z

partielle Ableitungen

partielle Ableitungen der Funktion z = f(x,y)

Differentiation von Funktionen die noch von einem Parameter abhängen (totale Ableitungen): Ist z = f(x,y) , x = x(t) und y = y(t) und sind diese Funktionen differenzierbar, so gilt für die Ableitung: d

z =

dt

§w · §d · §w · §d · ¨ z ˜¨ x  ¨ z ˜¨ y © wx ¹ © d t ¹ © w y ¹ © d t ¹

(3-111)

Ist z = f(x,y) , wobei x = x(u,v) und y = y(u,v) und sind diese Funktionen differenzierbar, so gilt für die Ableitungen: z =

§w · §w · §w · §w · ¨ z ˜¨ x ¨ z ˜¨ y , © wx ¹ ©wu ¹ © wy ¹ ©wu ¹

(3-112)

z =

§w · §w · §w · §w · ¨ z ˜¨ x  ¨ z ˜¨ y . ©wx ¹ © wv ¹ © wy ¹ ©wv ¹

(3-113)

d du d dv

Beispiel 3.8.18: Die Höhe h eines geraden Kreiskegels ist 150 cm und wächst mit 0.2 cm/s. Der Radius x der Grundfläche ist 100 cm und nimmt mit 0.3 cm/s ab. Wie schnell ändert sich sein Volumen ? V = f ( x ( t)  y( t) ) = d

V =

dt d dt

V =

1 3

2

˜ S ˜ x ( t) ˜ y ( t)

Volumenfunktion (parameterabhängige Funktion)

1 S § §w · §d · §w · §d · 2 d 2 d d 2 d · ¨ V ˜ ¨ x  ¨ V ˜ ¨ y = ˜ S ˜ x ˜ y ˜ x  ˜ S ˜ x ˜ y = ˜ ¨2 ˜ x ˜ y ˜ x  x ˜ y 3 3 © dt dt dt dt ¹ © wx ¹ © d t ¹ © w y ¹ © d t ¹ 3

ª 3 ¬ S

§ ©

˜ «2 ˜ 100 ˜ cm ˜ 150 ˜ cm ˜ ¨ 0.3 ˜

Gleitkommaauswertung ergibt

cm ·

2

s

¹

d

V = 7330. ˜

dt

2

 100 ˜ cm ˜ 0.2 ˜

3

cm s

Seite 228

cmº s

» ¼

totale Ableitung

Differentialrechnung Funktionen in mehreren unabhängigen Variablen Beispiel 3.8.19: Bilden Sie die totale Ableitung der gegeben Funktion.

2

2

z = ln x  y d

z =

dt w wx

d

z =



t

dt

y=e

§w · §d · §w · §d · ¨ z ˜¨ x  ¨ z ˜¨ y ©wx ¹ © dt ¹ ©wy ¹ © dt ¹ 2˜ x

w

2

wy

2

x y

z =

t

x=e

2˜ x 2

2





t

˜ e

x y

2

d 2

x y

2˜ y 2

totale Ableitung

2˜ y

z =

Funktion und Parametergleichungen

t

x = e

dt

d

t

y=e

Ableitungen

dt

t

2

˜e

x y

totale Ableitung der gegebenen Funktion

Beispiel 3.8.20: Bilden Sie die totale Ableitung der gegebenen Funktion: 2

2

z = x  x˜ y  y d

z =

dr d

x= 2˜ r  s

§w · §d · §w · §d · ¨ z ˜¨ x  ¨ z ˜¨ y ©wx ¹ © dr ¹ ©wy ¹ © dr ¹

z = ( 2 ˜ x  y) ˜ 2  ( x  2 ˜ y) ˜ 1

y= r  2˜ s d ds

z =

Funktion und Parametergleichungen

§w · §d · §w · §d · ¨ z ˜¨ x  ¨ z ˜¨ y © wx ¹ © ds ¹ ©wy ¹ © ds ¹

vereinfacht auf

d

dr

dr

d

d

totale Ableitungen

z = 5˜ x 4˜ y totale Ableitungen

z = ( 2 ˜ x  y) ˜ 1  ( x  2 ˜ y) ˜ ( 2)

vereinfacht auf

ds

z = 3 ˜ y

ds

Das vollständige Differential oder totales Differential: Die Funktionen dxz = zx (x,y) dx und dyz = zy(x,y) dy

(3-114)

heißen Differentiale. Die Funktion dz = zx (x,y) dx + zy(x,y) dy

(3-115)

heißt vollständiges oder totales Differential. Die Differentiale sind wie im eindimensionalen Fall lineare Näherungen von Funktionswertdifferenzen.

Seite 229

Differentialrechnung Funktionen in mehreren unabhängigen Variablen Wenn die bei Messungen auftretenden Ungenauigkeiten 'x und 'y einer Messgröße x und y hinreichend klein sind, können wir das totale Differential benutzen, um den Gesamtfehler zu ermitteln. Jedenfalls erhalten wir den ungünstigsten Fall, also die größte Gesamtungenauigkeit der Funktion z = f(x,y) (Messgrößen x und y mit x = x 0 ± 'x und y = y 0 ± 'y), wenn statt dem totalen Differential dz 'z =

r^ z x x0  y0 ˜ 'x  z y x0  y0 ˜ 'y }

(3-116)

benutzt wird (siehe dazu Abschnitt 3.8.3). Ein Term P ( x  y) ˜ dx  Q ( x  y) ˜ dy ist genau dann ein vollständiges Differential, wenn gilt: w wy

P ( x  y) =

w wx

Q ( x  y) (Integrabilitätsbedingung)

(3-117)

Das totale Differential dz = z x (x 0 ,y0 ) dx + z y(x 0 ,y0 ) dy einer Funktion mit zwei Variablen gibt die Höhenänderung auf der Tangentialebene an der Stelle (x 0 ,y0 ) an, wenn wir zur Stelle (x0 +dx,y 0 +dy) fortschreiten (siehe Abb. 3.8.13). Das totale Differential gibt daher näherungsweise an, wie sich der Funktionswert z bei kleinen Änderungen der unabhängigen Variablen um dx = 'x bzw. dy = 'y ändert: 'z = f(x0 +dx,y 0 +dy) - f(x 0 ,y0 ) | dz

(3-118)

Abb. 3.8.13

Beispiel 3.8.21: Bilden Sie das totale Differential von folgender Funktion: z = a˜ x b˜ y c dz =

w wx

z ˜ dx 

w wy

z ˜ dy = a ˜ dx  b ˜ dy

gegebene Funktion totales Differential

Beispiel 3.8.22: Bilden Sie das totale Differential von folgender Funktion: z=

2

2

2

r x y

gegebene Funktion

Seite 230

Differentialrechnung Funktionen in mehreren unabhängigen Variablen w wx

x

z = 2

w

2

wy

2

r x y

dz =

w wx

w

z ˜ dx 

wy

y

z = 2

2

2

r x y

x

z ˜ dy =

partielle Ableitungen

2

y

˜ dx 

2

2

2

r x y

2

˜ dy

totales Differential

2

r x y

Beispiel 3.8.23: Zeigen Sie, dass die Entropie ds = dq/T ein vollständiges Differential ist. Für dq gilt: dq = c v ˜ dT  dq T

=

cv T

R1 ˜ T v

˜ dT 

R1 v

v bedeutet das Volumen/kg des Gases, T die Temperatur und R1 die Gaskonstante für ein ideales Gas

˜ dv

˜ dv

Division durch T

§ cv · ¨ o0 wv © T ¹

§ R1 · o 0 ¨ wT © v ¹

w

w

ds ist ein vollständiges Differential (Integrabilitätsbedingung)

Extremwerte von Funktionen z = f(x,y): Eine Funktion z = f(x,y) hat an einer Stelle (x 0 ,y0 ) ein relatives Maximum bzw. ein relatives Minimum wenn gilt: Notwendige Bedingungen für ein Extremum: w wx





w

f x0  y0 = 0 und

wy





f x0  y0 = 0

(3-119)

Gelten diese Gleichungen für (x 0 ,y0 ), so ist das totale Differential dz = 0 d.h. die Tangentialebene ist an der Stelle (x 0 ,y0 ) parallel zur x-y-Ebene. Hinreichende Bedingung für ein Extremum:

§w w w f x y ˜ f x y  ¨ f x0  y0 2 0 0 2 0 0 x y w w © x y w w 2

w





2







2

·¹ ! 0

(3-120)

(Gleich null liefert keine Entscheidung für ein Extremum, bei kleiner Null liegt sicher kein Extremum vor). 2

w

2

w

2





(oder





(oder

f x y  0 2 0 0 wx

f x y ! 0 2 0 0 wx

w





(3-121)





(3-122)

2

f x0  y0  0 ) Maximum

2

f x0  y0 ! 0 ) Minimum

wy 2

w

wy

Seite 231

Differentialrechnung Funktionen in mehreren unabhängigen Variablen Beispiel 3.8.24: Gesucht ist das globale Maximum einer Halbkugel. 2

f ( x  y) 

16  ( x  3)  ( y  2)

2

gegebene Kugelgleichung

Abb. 3.8.14

Notwendige Bedingungen: ersetzen  f ( x  y) = x0  f ( x  y) = 0

w wx

f ( x  y) o3

vereinfachen

Stelle x0

auflösen  x

ersetzen  f ( x  y) = y0  f ( x  y) = 0

w wy

f ( x  y) o2

vereinfachen

Stelle y0

auflösen  y





z 0  f x0  y0

z0

Stelle z0

4

Hinreichende Bedingungen:

§w w · f ( x  y) ˜ f ( x  y)  ¨ f ( x  y) 2 2 © wx wy ¹ wx wy 2

' ( x  y) 





' x0  y0

z xx ( x  y) 

H

 x0

2

w

w

0.063 2

w

2

' x0  y0 ! 0

f ( x  y)

wx

y0 z 0



2

ist größer null (3-120)

1



z xx x0  y0

0.25

z xx(x0 ,y0 ) < 0, dh. es liegt ein absolutes Maximum vor



H

(3 2 4 )

Hochpunkt

Seite 232

Differentialrechnung Funktionen in mehreren unabhängigen Variablen Das Maximum kann hier auch mithilfe der Mathcad-Funktion "Maximieren" bestimmt werden: 2

f ( x  y) 

16  ( x  3)  ( y  2)

x 1

y 1

Startwerte

§¨ xmax ·  Maximieren ( f  x  y) ¨ ymax © ¹



z max  f xmax  ymax H

 xmax

2



§¨ xmax · ¨ ymax © ¹ z max

ymax z max



H

§3 · ¨ ©2 ¹ 4

(3 2 4 )

Beispiel 3.8.25: Gesucht sind die Extremstellen (Abb. 3.8.15) der nachfolgend gegebenen Funktion.



2

2

g ( x  y)  sin ( x) ˜ exp x  y ORIGIN  0 i  0  20 xi  j 

i  10 5



gegebene Flächenfunktion ORIGIN festlegen

j  0  20 yi  j 

Bereichsvariable

j  10 5

x und y Variable als Matrix

o  z  g ( x  y)

z Variable als Matrix

§¨ x · M  ¨y ¸ ¨z © ¹

Gesamtmatrix

Abb. 3.8.15

M

Seite 233

Differentialrechnung Funktionen in mehreren unabhängigen Variablen x x

y y

Redefinitionen

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

notwendige Bedingungen: w wx w wy w wx



2

2

g ( x  y) o cos ( x) ˜ exp x  y



 2 ˜ sin (x) ˜ x ˜ exp x2  y2 2

2

g ( x  y) o 2 ˜ sin ( x) ˜ y ˜ exp x  y



2

2

g ( x  y) = cos ( x) ˜ exp x  y



partielle Ableitungen

 2 ˜ sin (x) ˜ x ˜ exp x2  y2 = 0

Die Exponentialfunktion kann nicht null werden!

cos ( x)  2 ˜ sin ( x) ˜ x = 0

goniometrische Gleichung

f ( x)  cos ( x)  2 ˜ sin ( x) ˜ x

linker Term der Gleichung als Funktion dargestellt

x  1  0.99  4

Bereichsvariable 10 5

f( x) 2

0.8

0.4

1.6

2.8

x1  wurzel ( f ( x)  x  0.8  0)

x1

0.653

x2  wurzel ( f ( x)  x  0.4  1)

x2

0.653

4

Die Lösungen der goniometrischen Gleichung können aus der Grafik näherungsweise gut abgelesen werden. Hier sind nur Hauptwerte der Lösung von Interesse.

5 x

Abb. 3.8.16

w wy



2

2

g ( x  y) = 2 ˜ sin ( x) ˜ y ˜ exp x  y

zwei Lösungen (Hauptwerte) der goniometrischen Gleichung

=0

Diese Gleichung hat nur die triviale Lösung y = 0!

y 0

y-Wert





z1

0.397





z2

0.397

z 1  g x1  y z 2  g x2  y

zugehörige z-Werte

Seite 234

Differentialrechnung Funktionen in mehreren unabhängigen Variablen hinreichende Bedingungen:

§w w · g ( x  y) ˜ g ( x  y)  ¨ g ( x  y) 2 2 © wxwy ¹ wx wy 2

' ( x  y) 



2

w



' x1  y

w

ist größer null

1.481

' x1  y ! 0 2

w

z xx ( x  y) 

2



2



' x2  y

1.481

1

' x2  y ! 0

g ( x  y)

zweite partielle Ableitung

1

wx

 z xx  x2  y z xx x1  y

es liegt ein Minimum vor

1.867 1.867

Ti 

 x1

y z1

H

 x2

y z2

es liegt ein Maximum vor



Ti

( 0.653 0 0.397 )

Tiefpunkt



H

( 0.653 0 0.397 )

Hochpunkt

Das Maximum und Minimum kann auch mithilfe der Mathcad-Funktion "Maximieren" bzw. "Minimieren" bestimmt werden:



2

2

f ( x  y)  sin ( x) ˜ exp x  y x  1



y 0

Startwerte

§¨ xmin ·  Minimieren ( f  x  y) ¨ ymin © ¹



z min  f xmin  ymin Ti 

 xmin

x 1

gegebene Funktion



§¨ xmin · ¨ ymin © ¹

0.397

z min

ymin z min



Ti

§ 0.653 · ¨ © 0 ¹

( 0.653 0 0.397 )

y 0

Startwerte

§¨ xmax ·  Maximieren ( f  x  y) ¨ ymax © ¹

§¨ xmax · ¨ ymax © ¹



z max  f xmax  ymax H

 xmax



ymax z max

z max



H

Tiefpunkt

§ 0.653 · ¨ © 0 ¹ 0.397

( 0.653 0 0.397 )

Seite 235

Hochpunkt

Differentialrechnung Fehlerrechnung 3.9 Fehlerrechnung Eine Anwendung der partiellen Ableitungen liegt in der Fehlerrechnung . Dabei geht es um die Berechnung von Funktionen, deren Variable selbst Messgrößen und daher nur mit begrenzter Genauigkeit bekannt sind (siehe Abschnitt 3.5.2). Weil die Messfehler dx und dy betragsmäßig höchstens gleich |'x| bzw. |'y| sind, gilt: Für die Funktion z = f(x,y) der Messgrößen x und y , mit x = x0 r 'x und y = y0 r 'y, lässt sich der absolute Maximalfehler 'z max abschätzen durch: a) Lineares Fehlerfortpflanzungsgesetz (Maximalfehler): 'z max

| fx x0  y0 ˜ 'x  fy  x0  y0 ˜ 'y 

(3-123)

b) Fehlerfortpflanzungsgesetz von Gauß: 'z

max

2 2 2 2 | fx x0  y0 ˜ 'x  fy  x0  y0 ˜ 'y



(3-124)

Die gemessenen Werte x 0 und y0 sind meistens Mittelwerte und die Messunsicherheiten 'x und 'y sind meistens Standardabweichungen.

Beispiel 3.9.1: Die Widerstände R 1 = R01r 'R1 = (100 r 1) : und R2 = R02 r 'R2 = (500 r 3) : sind parallel geschaltet. Berechnen Sie den Ersatzwiderstand R unter Angabe des Maximalfehlers a) mittels Differentials, b) mittels Fehlerfortpflanzungsgesetz und c) mithilfe der Wertschranken.



R1 ˜ R2



R R1  R2 

Funktion des Ersatzwiderstandes

R1  R2

R01  100 ˜ :

'R1  1 ˜ :

gemessener Wert und Messunsicherheit

R02  500 ˜ :

'R2  3 ˜ :

gemessener Wert und Messunsicherheit



R0  R R01  R02





RR1 R1  R2 



R0

w wR1



83.333 :



R R1  R2

errechneter Wert





RR2 R1  R2 

w wR2





R R1  R2

partielle Ableitungen

a) absoluter Maximalfehler (Abschätzung der Genauigkeit mithilfe des totalen Differentials): 'Rmax  'Rmax









RR1 R01  R02 ˜ 'R1  RR2 R01  R02 ˜ 'R2 0.8 :

absoluter Maximalfehler

R = (83.3 r0.8) :

b) absoluter Maximalfehler (Abschätzung der Genauigkeit mithilfe des Fehlerfortpflanzungsgesetz): 'Rmax  'Rmax



RR1 R01  R02

2 ˜ 'R12  RR2 R01  R02 2 ˜ 'R22

0.7 :

Seite 236

Differentialrechnung Fehlerrechnung c) absoluter Maximalfehler (Berechnung mithilfe der Wertschranken):





Run

84.111 :





Rob

82.555 :

Run  R R01  'R1  R02  'R2 Rob  R R01  'R1  R02  'R2 R0 

1

'R 

1

2

Wertschranken

Rob  Run

R0

83.333 :

errechneter Wert

Run  Rob

'R

0.8 :

absoluter Maximalfehler

2

Beispiel 3.9.2: Von einem allgemeinen Dreieck wurden die Seitenlängen a = (322.4 r 0.2) mm und b = (125.3 r 0.3) mm sowie der eingeschlossene Winkel J = (42.62 r 0.09)° gemessen. Bestimmen Sie den absoluten und relativen Fehler für die Fläche des Dreiecks. a˜ b

A (a  b  J) 

˜ sin ( J )

2

Funktion der Dreiecksfläche

a0  322.4 ˜ mm

b0  125.3 ˜ mm

J 0  42.62 ˜ Grad

gemessene Werte

'a  0.2 ˜ mm

'b  0.3 ˜ mm

'J  0.09 ˜ Grad

Messunsicherheiten





A0  A a0  b0  J 0

Aa ( a  b  J ) 

w wa

A0

A (a  b  J)

2

errechneter Wert für die Fläche

136.77 cm

Ab ( a  b  J ) 

w wb

A (a  b  J)

AJ ( a  b  J ) 

w wJ

A (a  b  J)

absoluter Maximalfehler (Abschätzung der Genauigkeit mithilfe des totalen Differentials): 'Amax  'Amax





Aa a0  b0  J 0 2

0.65 cm

A = (136.77 r 0.65) cm2

'ARel  'ARel

'Amax





˜ 'a  Ab a0  b0  J 0





˜ 'b  AJ a0  b0  J 0

˜ 'J

(positive) Abweichung des maximalen absoluten Fehlers errechneter Wert der Fläche

relativer Fehler

A0 0.5 %

Wert für den relativen Fehler in Prozent

Seite 237

Ableitungen

Differentialrechnung Fehlerrechnung Beispiel 3.9.3: Das Widerstandsmoment W t eines Rohres mit einem kreisförmigen Querschnitt gegen Torsion lässt sich berechnen nach: 4

4

S D d Wt = Wt ( d  D) = ˜ D 16 d und D sind der Innen- bzw. Außendurchmesser des Rohres. Eine Messung dieser Größen ergab dabei folgende Werte: d = ( 60.5 ± 0.4 ) mm , D = ( 75.2 ± 0.5 ) mm . Wie groß ist das Widerstandsmoment des Rohres, und mit welchem absoluten und prozentuellen Maximalfehler ist es behaftet ?

S

Wt ( d  D) 

16

4

˜





Wt d0  D0

Widerstandsmoment

D

D0  75.2 ˜ mm d0  60.5 ˜ mm

4

D d

'd  0.4 ˜ mm

Mittelwert vom Aussendurchmesser und Abweichung

'D  0.5 ˜ mm

48518.304 mm

Mittelwert vom Innendurchmesser und Abweichung

3

berechnetes Widerstandsmoment

absoluter Maximalfehler (Abschätzung der Genauigkeit mithilfe des totalen Differentials):

§w · §w · ¨ Wt  d0  D0 ˜ 'd  ¨ Wt  d0  D0 ˜ 'D © wd ¹ © wD ¹

'Wtmax d

3

1 d Wt ( d  D) o ˜S˜ 4 D dd d

partielle Ableitungen 4

1

d dD

Wt ( d  D) vereinfachen o ˜S˜ 16

1

'Wtmax 

'Wtmax

4



Wt d0  D0

2

D

4

d0

˜ 'd 

D0

2823.254 mm

'Wtmax



3

˜S˜

4

3˜ D  d

3

5.819 %

1 16

˜S˜

4

3 ˜ D0  d0 2

˜ 'D

D0

absoluter Maximalfehler

prozentueller Maximalfehler

Für das Widerstandsmoment ergibt sich dann folgende (indirekte) Messgröße: Wt = ( 48.52 ± 2.82 ) 103 mm3

Seite 238

Differentialrechnung Fehlerrechnung Beispiel 3.9.4: Die Wirkleistung eines sinusförmigen Wechselstromes lässt sich berechnen aus: P = U I cos( M). Dabei sind U und I Effektivwerte und M der Phasenwinkel zwischen Strom und Spannung. Berechnen Sie zunächst den Leistungsfaktor O = cos(M) und dessen absoluten Maximalfehler 'Omax für einen Wechselstrom, dessen Größen U, I und P wie folgt gemessen wurden: U = (200 ± 2 ) V, I = (5 ± 0.1 ) A, P = (800 ± 20 ) W. Bestimmen Sie aus der vorangegangenen Lösung den zugehörigen Phasenwinkel M und dessen absoluten Maximalfehler 'Mmax. U0  200 ˜ V

'U  2 ˜ V

U = U 0 r 'U

I0  5 ˜ A

'I  0.1 ˜ A

I = I0 r ',

P0  800 ˜ W

'P  20 ˜ W

P = P 0 r 'P

P = U ˜ I ˜ cos ( M ) = U ˜ I ˜ O

Funktion des Leistungsfaktors

U˜ I

O U ( U  I  P) 

O0 

Wirkleistung eines sinusförmigen Wechselstromes

P

O ( U  I  P) 

w wU

gemessene Werte (Mittelwerte) und Abweichungen

O ( U  I  P)

P0

O0

U0 ˜ I0

O I ( U  I  P) 

w wI

O ( U  I  P) O P ( U  I  P) 

w wP

O ( U  I  P) partielle Ableitungen

Mittelwert des Leistungsfaktors

0.8

absoluter Maximalfehler (Abschätzung der Genauigkeit mithilfe des totalen Differentials):



'O max  'O max











O U U0  I0  P0 ˜ 'U  O I U0  I 0  P0 ˜ 'I  O P U0  I 0  P0 ˜ 'P 0.044

Für den Leistungsfaktor ergibt sich dann folgende (indirekte) Messgröße: O = 0.8 ± 0.044 Zusammenhang zwischen Leistungsfaktor und Phasenwinkel: Zum Leistungsfaktor O0 = 0.8 gehört der Phasenwinkel M0 = arccos(0.8).

Ÿ

O = cos ( M )



M 0 O 0  acos O 0 'M max  'M max

und

M O (O ) 

Leistungsfaktor O0

O 0  0.8



M ( O )  acos ( O )



M O O 0 ˜ 'O max



M0 O0

36.87 Grad

absoluter Maximalfehler

4.202 Grad

Für den Phasenwinkel ergibt sich dann folgende (indirekte) Messgröße: M = 36.87° ± 4.20°

Seite 239

d dO

M (O)

Differentialrechnung Fehlerrechnung Beispiel 3.9.5: Das Massenträgheitsmoment J eines dünnen homogenen Stabes der Länge L und der Masse M bezüglich einer durch den Schwerpunkt S und senkrecht zur Stabachse verlaufende Bezugsachse errechnet sich aus: J = 1/12 m L2 . In einem Experiment wurden dabei die nachfolgend gegebenen Messwerte (m in g und L in cm) ermittelt (jeweils 10 Einzelmessungen gleicher Genauigkeit). Bestimmen Sie jeweils den Mittelwert und den zugehörigen Fehler des Mittelwertes. Welcher Mittelwert ergibt sich daraus für das Massenträgheitsmoment J, und wie groß ist der mittlere maximale Fehler dieser Größe ? ORIGIN  1 m/g

ORIGIN festlegen L/cm

§ 119.5 ¨ ¨ 119.2 ¨ 121.0 ¨ ¨ 119.7 ¨ 120.3 M ¨ ¨ 120.4 ¨ 119.8 ¨ ¨ 120.4 ¨ 119.2 ¨ © 120.5

20.2 · 19.9 ¸ 19.7 ¸

¸

19.7 ¸ 20.0 ¸

Messwerte

¸ 19.6 ¸ 20.2 ¸ ¸ 20.5 ¸ 19.8 ¸ 20.4 ¹

¢1² m  M ˜ gm T

Extrahierung der Massen

1

m

1

2

119.5

3

119.2

121

4 119.7

¢2² L  M ˜ cm T

L

1

6

120.3

120.4

7 119.8

8

9

10

120.4

119.2

120.5

10

gm

Extrahierung der Längen

1

2

3

4

20.2

19.9

19.7

19.7

n  länge ( m )

5

n

5 20

6

7

8

9

19.6

20.2

20.5

19.8

Bereichsvariable

10

m0  mittelwert ( m )

m0

L0  mittelwert ( L)

L0

120 gm Mittelwerte 20 cm

Seite 240

20.4

cm

Differentialrechnung Fehlerrechnung 1

'm  stdev ( m ) ˜

n 1 1

'L  stdev ( L) ˜

n 1

'm

mittlere Fehler der Mittelwerte (Standardabweichungen der Mittelwerte) 'L

m = m0 ± 'm = (120 ± 0.2) g 1

J ( m  L) 

12

J m ( m  L) 



0.192 gm

0.099 cm

L = L0 ± 'L = (20 ± 0.1) cm

2

˜m˜L

w wm

J ( m  L)



J 0  J m0  L0

Mittelwert und Messunsicherheit der beiden Größen

Funktion des Massenträgheitsmomentes

J L ( m  L) 

J0

w wL

J ( m  L)

2

4 kg ˜ cm

partielle Ableitungen des Massenträgheitsmomentes

Mittelwert des Massenträgkeitsmomentes

absoluter Maximalfehler (Abschätzung der Genauigkeit mithilfe des Fehlerfortpflanzungsgesetz):

Jm m0  L0 ˜ 'm 2  JL m0  L0 ˜ 'L 2

'J 

2

'J

0.04 kg ˜ cm



'J



J m0  L0

1.002 %

prozentueller Maximalfehler

Für das Massenträgkeitsmoment ergibt sich dann folgende (indirekte) Messgröße: J = J0 ± 'J = (4 ± 0.04) kg cm2

Seite 241

Differentialrechnung Ausgleichsrechnung 3.10 Ausgleichsrechnung Mit den Methoden der Ausgleichsrechnung soll aus n gemessenen Wertepaaren (Messpunkten) (x i ; yi) ( i = 1, 2,..., n ) ein möglichst funktionaler Zusammenhang zwischen den Messgrößen X und Y hergeleitet werden. Als Ergebnis wird eine Funktion y = f(x), die sich den Messpunkten "möglichst optimal" anpasst, erwartet. In diesem Zusammenhang bezeichnen wir die Funktion y = f(x) als Ausgleichs- oder Regressionskurve. Zuerst ist eine Entscheidung darüber zu treffen, welcher Funktionstyp der Ausgleichsrechnung zugrunde gelegt werden soll (Gerade, Parabel, Potenz- oder Exponentialfunktion usw.). Eine Entscheidungshilfe liefert dabei das Streuungsdiagramm, in dem die n Messpunkte durch eine Punktwolke dargestellt wird. Als Maß für die Abweichung zwischen Messpunkt und Ausgleichskurve wählen wir die Ordinatendifferenz. Der Abstand des Messpunktes (x i ; yi) von der gesuchten aber noch unbekannten Ausgleichskurve y = f(x) beträgt damit y i - f(xi). Eine objektive Methode zur Bestimmung der "optimalen" Kurve liefert die Gaußsche Methode der kleinsten Quadrate. Danach passt sich diejenige Kurve mit den enthaltenen Parametern a, b, ... den vorgegebenen Messpunkten am besten an, für die die Summe S der Abstandsquadrate aller n-Messpunkte ein Minimum annimmt: n

S ( a  b  ....) =

2 ¦ yi  f xi i

(3-125)

1

Eine notwendige Bedingung (jedoch keinesfalls hinreichend) zur Bestimmung eines Minimums lautet nach den Regeln der Differentialrechnung: Die partiellen Ableitungen 1. Ordnung von S(a,b,...) müssen verschwinden, also w wa

S =0 ,

w wb

S = 0 , ...

(3-126)

Aus diesem Gleichungssystem (von Fall zu Fall muss jedoch entschieden werden, ob tatsächlich ein Minimum vorliegt) lassen sich dann die Parameter a, b, ... und damit die Ausgleichskurve eindeutig bestimmen. Für Ausgleichskurven (Regressions- und Glättungskurven) stehen in Mathcad zahlreiche Funktionen wie achsenabschn, neigung, regress, loess, linie, linanp, genanp, expanp, potanp, loganp, lgsanp, lnanp, sinanp, medgltt, kgltt, strgltt, stdfehl u.a.m. zur Verfügung.

Beispiel 3.10.1: Nachfolgend sollen zuerst Messdaten mit Messfehler simuliert werden, die um eine gegebene Gerade streuen. Für diese Messdaten soll dann mithilfe der Methode der kleinsten Quadrate eine Ausgleichskurve gefunden werden. ORIGIN  1 f ( x) 

1 2

˜x 1

ORIGIN festlegen gegebene Gerade

N  10

Anzahl der Messdaten

i  1  N

Bereichsvariable

'xi  rnd ( 0.2)

'xi ... Fehler der x-Werte

Seite 242

Differentialrechnung Ausgleichsrechnung xi  i  'xi 'yi  ( 1)

fehlerbehaftete x-Werte

floor( rnd( 2 ) )

'yi Fehler der y-Werte (mit "zufälligem" Vorzeichen)

˜ rnd ( 0.4)



yi  f xi

fehlerbehaftete y-Werte

x  0  0.02  11

Bereichsvariable

8 6

f( x) y i  'y i

4

Abb. 3.10.1

y i  'y i 2 0

0

2

4

6

8

10

12

x  xi  xi



yi  f xi  'yi

Fehlerbehaftete y-Werte



xi

'yi

f xi

yi

1

1.5

-0.048

1.452

2.039

2.019

0.213

2.232

3.117

2.559

-0.066

2.492

4.07

3.035

0.023

3.058

5.165

3.582

-0.208

3.374

6.035

4.017

-0.382

3.635

7.142

4.571

-0.185

4.386

8.061

5.03

-0.312

4.719

9.018

5.509

-0.245

5.265

10.029

6.015

0.336

6.351

5 yi

Abb. 3.10.2

2

4

6

8

10

xi

korr ( x  y)

0.989

Hohe Korrelation. Der Korrelationskoeffizient ist ein Maß für die Korrektheit der Hypothese, dass ein linearer Zusammenhang vorliegt.

Seite 243

Differentialrechnung Ausgleichsrechnung Allgemeine symbolische Lösung: n  letzte ( x)

n

n

i

wk ¦ i

w wd

S(k,d) muss ein Minimum werden, d.h. die ersten partiellen Ableitungen müssen verschwinden.

1

n

w

2 ª¬yi   k ˜ xi  d º¼

¦

S ( k  d) 

Bereichsvariable

10



2=0

ª¬yi  k ˜ xi  d º¼

n

vereinfacht auf

1

n

¦ i

2˜

¦ i

ª¬yi   k ˜ xi  d º¼ = 0 2

vereinfacht auf

1

ªyi ˜ xi  k ˜  xi 2  xi ˜ dº = 0 ¬ ¼

1 n

2˜ n˜ d  2˜

¦ i

yi  k ˜ xi = 0

1

Dieses inhomogene lineare Gleichungssystem lässt sich in Mathcad auf verschiedene Art und Weise lösen: k 1

d 1

Startwerte

Vorgabe n

¦

2˜

i

ªyi ˜ xi  k ˜  xi 2  xi ˜ dº = 0 ¬ ¼

1 n

2˜ n˜ d  2˜

¦ i

yi  k ˜ xi = 0

1

§k · ¨  Suchen ( k  d) ©d ¹ k

0.4889

Steigung der Ausgleichsgeraden

d

0.9742

Achsenabschnitt der Ausgleichsgeraden

oder: Vorgabe S ( k  d) = 0

§k · ¨  Minfehl ( k  d) ©d ¹ k

0.4889

Steigung der Ausgleichsgeraden

d

0.9742

Achsenabschnitt der Ausgleichsgeraden

Seite 244

Differentialrechnung Ausgleichsrechnung oder: k  neigung ( x  y)

d  achsenabschn ( x  y)

k

d

0.4889

f ( x)  k ˜ x  d

Steigung und Achsenabschnitt

0.9742

lineare Ausgleichskurve

Fehler bei der linearen Regression: 'i 



yi  f xi

max ( ' )

maximaler Fehler der Einzelwerte

0.473 1

Fm 

Fm

Abweichungen

länge ( x)

2 ' i »º  ¦

˜ ª«

«¬

»¼

i

mittlerer quadratischer Fehler

0.21437

6 yi 4

Abb. 3.10.3

f( x) 2

2

4

6

8

10

xi  x

Beispiel 3.10.2: Bei einem Heißleiter (Halbleiter) nimmt der elektrische Widerstand R mit zunehmender absoluter Temperatur T nach der Gleichung R(T) = A e B/T stark ab. Bestimmen Sie mit den Methoden der Ausgleichsrechnung die Parameter A und B für einen Heißleiter, bei dem die nachfolgenden Messwerte (Temperatur in °C und Widerstand R in :) gefunden wurden. Gesucht ist auch eine Ausgleichskurve im Bereich 10 °C d - d 110°C. ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

°C  1

Einheitendefinition

-/°C R/:

§¨ 20 ¨ 40 ¨ 60 M ¨ ¨ 80 ¨ 100 ©

510 · 290 ¸

¸ ¸ 120 ¸ 178

80

¹

T  ( -  273.15) ˜ K

¢1² -  M ˜ °C T

-

T

T

Temperaturwerte

( 20 40 60 80 100 ) °C

¢2² R M ˜ : T

R

( 510 290 178 120 80 ) :

( 293.15 313.15 333.15 353.15 373.15 ) K

Seite 245

Widerstandswerte

Temperaturwerte in Kelvin

Differentialrechnung Ausgleichsrechnung

n 5

i  1  n

Bereichsvariable

1 10

3

Ri

100

:

Abb. 3.10.4 10 290

300

310

320

330

340

350

360

370

380

Ti K Meßpunkte

Der Punktgraph zeigt bei logarithmierter y-Achse, dass die Punkte auf einer Geraden liegen. Sie sind also Punkte einer Exponentialfunktion. Logarithmieren wir die Exponentialfunktion, dann erhalten wir mit den nachfolgend gegebenen Abkürzungen die Geradengleichung: B1 · § ¨ 1 T ln ( R) = ln © A1 ˜ e ¹ = B1  ln ( A1)

T

Mit

und

R1 = ln ( R)

o § 1  R ·· § korr ¨  ln ¨ © T © : ¹¹

T1 =

1

und

T

k = B1

und

d = ln ( A1)

o § 1  R ·· § d  achsenabschn ¨  ln ¨ © T © : ¹¹

k

d

2515.3535 K B1 d

A1  e ˜ :

2.3542

2515.3535 K Konstante bestimmen

A1

0.09497 : 2515.4

R ( - )  0.095 ˜ e

-  273.15

Funktionsgleichungen 2515.4˜K



Ra T1  0.095 ˜ : ˜ e

R1 = k ˜ T1  d

Korrelationskoeffizient

1

o § 1  R ·· § k  neigung ¨  ln ¨ © T © : ¹¹

B1  k

Ÿ

T1

-  10 ˜ °C  10 ˜ °C  0.1 ˜ °C  110 ˜ °C Bereichsvariable T1  280 ˜ K  280 ˜ K  0.1 ˜ K  380 ˜ K

Seite 246

Steigung und Achsenabschnitt

Differentialrechnung Ausgleichsrechnung

1000



800

:

600

R a T1

Ri

800 R( - ) 600 : Ri

400

:

: 200 0 250

280

310

340

370

400 200 0

400

0

30

60 -

T1 Ti  K K

90

120

150

-i

 °C °C

Abb. 3.10.5

Abb. 3.10.6

Beispiel 3.10.3: Die Spannungs-Stromkennlinie einer Glühlampe ist in guter Näherung gegeben durch: U(I) = c 1 I3 + c2 I . Bestimmen Sie die Koeffizienten c 1 und c 2 aus n vorliegenden Messpunkten (I k ; Uk) (k = 1, 2, ... n) mit einer geeigneten Fitfunktion und stelle die Ausgleichskurve grafisch dar. Für eine spezielle Glühlampe wurden folgende Werte ermittelt: ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

,/A U/V

§¨ 0.2 ¨ 0.3 ¨ 0.4 M ¨ ¨ 0.5 ¨ 0.6 ©

· 100 ¸ ¸ 170 ¸ 285 ¸ 442 ¹

I

n 5

i  1  n

Bereichsvariable

53

¢1² I M ˜A T

Stromwerte

( 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 ) A

¢2² U M ˜ V T

U

Spannungswerte

( 53 100 170 285 442 ) V

Geeignete Fitfunktionen U(I)= c1 f1 (I) + c2 f2 (I) als Vektorfunktion definieren: f ( I) 

§¨ I3 · ¨© I ¹

Die Koeffizienten für den bestmöglichen Fit U(I) = c1 f1 (I) + c2 f2 (I) werden mittels der Funktion linanp bestimmt:

§ I  U  f· ©A V ¹

§ 1508.112 · ¨ © 192.617 ¹

c  linanp ¨

c

U ( I)  c ˜ f ( I)

Dieses Skalarprodukt erzeugt die richtige Linearkombination U(I) = c1 f1 (I)+c2 f2 (I)

Seite 247

Differentialrechnung Ausgleichsrechnung

i  1  länge ( I)

I  min ( I )  min ( I )  0.01 ˜ A  max ( I)

Bereichsvariable

Konstruktion von Fehlerbalken: ai  15 ˜ V Uplus  U  a

Uminus  U  a

Vektoren zur Darstellung von Fehlerbalken

Messpunkte und Fitfunktion 500

Spannung in V

400 Ui 300

Uplus Uminus

Abb. 3.10.7

200

U ( I)

100

0 0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Ii  I  I  I Strom in A

Beispiel 3.10.4: Bestimmen Sie aus n vorliegenden simulierten Messpunkten (t k ; Ik) (k = 1, 2, ... n) eine geeignete Fitfunktion, und stellen Sie die Ausgleichskurve grafisch dar. n  50

Anzahl der Daten

k  1  n

Bereichsvariable

tk 

k 20

c 2˜ s

˜s

Zeitpunkte

1

Parameter  c˜tk

Ik  100 ˜ A ˜ e

 rnd ( 5) ˜ A

simulierte Funktionswerte

100

Ik

50

Abb. 3.10.8

0

0

0.5

1

1.5 tk

Seite 248

2

2.5

Differentialrechnung Ausgleichsrechnung

c1  1 ˜ s

1

Startwert

Vorgabe

¦

2

 c1˜tk· § I  100 ˜ A ˜ e k © ¹ =0

k



c neu  Minfehl c 1

Gesucht wird jener Parameter p, sodass die Summe der Abstandsquadrate nach Gauß verschwindet! c neu

 c˜t

f ( c  t )  100 ˜ A ˜ e

1.808 s

1

optimale Fitfunktion

Strom in Ampere

100

I  o 50 f cneu  t





0

Abb. 3.10.9

0

0.5

1

1.5

t Zeit in Sekunden

Fehler bei der nichtlinearen Regression:

'k 

Ik A

max ( ' ) Fm 

Fm





f c neu  tk



Abweichungen

A maximaler Fehler der Einzelwerte

4.269 1 länge ( t)

0.45397

2º

˜ ª«

 ' i » ¦ « » ¬

i

¼ mittlerer quadratischer Fehler

Seite 249

2

2.5

Differentialrechnung Ausgleichsrechnung

Beispiel 3.10.5: ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

Für folgende Daten soll ein optimale Ausgleichskurve gefunden werden. Daten  1

2

1

1

4.18

2

2

4.67

3

3

5.3

4

4

5.37

5

5

5.45

6

6

5.74

7

7

5.65

8

8

5.84

9

9

6.36

10

10

6.38

¢1² x  Daten

¢2² y  Daten

7

6 y

Abb. 3.10.10

5

4

0

2

4

6

8

10

x

Wir versuchen eine logarithmische Regression der Form y = a ln(x+b) + c:

§¨ 1 · S  ¨0 ¸ ¨4 © ¹

Schätzvektor

§¨ 1.126 · a ¨ 0.734 ¸ ¨ 3.586 © ¹

a  loganp ( x  y  S)





f ( x)  a1 ˜ ln x  a2  a3

Fitfunktion

x  1  1  0.1  länge ( x)

Bereichsvariable

Seite 250

Differentialrechnung Ausgleichsrechnung

7

6 y f( x)

Abb. 3.10.11 5

4

0

1.1

2.2

3.3

4.4

5.5

6.6

7.7

8.8

9.9

11

x x

Beispiel 3.10.6: Für folgenden Daten soll ein optimale Ausgleichskurve gefunden werden. ORIGIN  0

x x

a a

ORIGIN festlegen und Redefinitionen T

T

x  ( 100 250 300 360 450 500 550 )

y  ( .03 .34 .67 1 0.67 .34 0.1 )

1

y

0.5

Abb. 3.10.12

0

0

100

200

300

400

500

600

x

Wir versuchen einen Ansatz mit folgender Exponentialfunktion: a˜( b  x)

2

f ( a  b  x)  e

ersetzen  a = a0 2 o exp ª¬ a0 ˜ a1  x º¼ ersetzen  b = a1



f ( a  b  x)

w wa w wb



Austausch der unbekannten Konstanten durch Vektorkomponenten

e

ersetzen  a = a0 2 2 o a1  x ˜ exp ª¬ a0 ˜ a1  x º¼ ersetzen  b = a1

f ( a  b  x)

ersetzen  a = a0 2 o 2 ˜ a0 ˜ a1  x ˜ exp ª¬ a0 ˜ a1  x º¼ ersetzen  b = a1

a˜( b  x)

2















Seite 251

partielle Ableitung nach a



partielle Ableitung nach b

Differentialrechnung Ausgleichsrechnung

2 ª º exp ª¬ a0 ˜  a1  x º¼ « » « » 2 2º ª F1 ( x  a)  «  a1  x ˜ exp ¬ a0 ˜  a1  x ¼ » « 2º » ª ¬ 2 ˜ a0 ˜  a1  x ˜ exp ¬ a0 ˜  a1  x ¼ ¼

Vektorfunktion

T

S  ( 0.002 300 )

Schätzvektor

§a · ¨  genanp ( x  y  S  F1) ©b ¹

§a · ¨ ©b ¹

x  0  0.01  600

Bereichsvariable

§¨ 7.027 u 10  5 · ¨© 374.543 ¹

1

y f( a  b  x) 0.5

0

100

200

300

400 x x

Abb. 3.10.13

Seite 252

500

600

Integralrechnung Das unbestimmte und bestimmte Integal 4. Integralrechnung Die Integralrechnung hat zwei völlig verschiedene Ausgangspunkte, und daher auch ganz verschiedene Anwendungsgebiete, die aber eng miteinander zusammenhängen. Die eine Aufgabe ist die: Die Ableitung einer Funktion sei gegeben. Wie lautet die ursprüngliche Funktion? Das Aufsuchen der ursprünglichen Funktion heißt Integrieren (Wiederherstellen). Das Integrieren in diesem Sinne ist also die Umkehrung des Differenzierens. In diesem Zusammenhang sprechen wir von einem unbestimmten Integral. Die andere Aufgabe ist folgende: Eine Funktion sei gegeben. Wie groß ist z.B. der Flächeninhalt eines begrenzten Bereiches zwischen Kurve und x-Achse? In diesem Zusammenhang sprechen wir von einem bestimmten Integral.

4.1 Das unbestimmte Integral Es sei f mit y = f(x) eine auf einem Intervall I gegebene Funktion. Unter einer Stammfunktion von f mit y = f(x) verstehen wir eine Funktion F mit y = F(x) auf I = [a, b], für die F'(x) = f(x) gilt. Das Aufsuchen einer Stammfunktion heißt Integrieren (lat.: Integer > ganz, unversehrt). Integrieren ist also in diesem Sinne die Umkehraufgabe des Differenzierens.

Beispiel 4.1.1: Ermitteln Sie die Stammfunktion von f(x) = 3 x 2 + 1. Gesucht ist also eine Funktion F 1 (x), deren Ableitung F1 '(x) = 3 x2 + 1 ist. d dx

x3  x = 3 ˜ x2  1

also

3

F1 ( x) = x  x

ist eine Stammfunktion von f(x)

F2 ( x) = x  x  2

F2 ist aber auch eine Stammfunktion von f(x), denn

C  1  3  15

verschiedene Konstanten (Bereichsvariable)

3

die Ableitung ergibt ebenfalls 3 x 2 + 1

3

F ( x  C)  x  x  C

Stammfunktionen von f(x)

x  3  3  0.01  3

Bereichsvariable

20

Alle Funktionen F(x) + C sind Stammfunktionen von f(x)! F( x  C )

4

2

0

2

4

Format:Punkte 20 x

Abb. 4.1.1

Seite 253

Integralrechnung Das unbestimmte und bestimmte Integal Für Stammfunktionen gilt: Ist F(x) eine Stammfunktion von f(x), so ist jede weitere Stammfunktion G(x) von f(x) in der Form G(x) = F(x) + C darstellbar. Es gilt nämlich für alle x: (G(x) - F(x))' = G'(x) - F'(x) = f(x) - f(x) = 0

(4-1)

Die Ableitung einer Konstanten Funktion ist null. Umgekehrt gilt aber auch: (G(x) - F(x))' = 0 ŸG(x) - F(x) = konstant, also G(x) = F(x) + C

(4-2)

Eine stetige Funktion f besitzt unendlich viele Stammfunktionen. Unsere Hauptaufgabe besteht in der Suche nach den Stammfunktionen gegebener stetiger Funktionen. Im Gegensatz zur Differenzierbarkeit einer Funktion reicht bei der Integrierbarkeit die Stetigkeit bzw. stückweise Stetigkeit auf I = [a, b] aus. Wir definieren: a) Die Menge aller Stammfunktionen F einer stetigen Funktion f heißt unbestimmtes Integral. ´ µ µ ¶

Wir schreiben:

Das Zeichen

´ µ µ ¶

f ( x) dx = F ( x)  C , C .

d (stilisiertes S-Zeichen) heißt Integralzeichen (Integraloperator), f(x) heißt

Integrand, x die Integrationsvariable und C die Integrationskonstante. b) Das Lösen eines (unbestimmten) Integrals ist das Aufsuchen der Stammfunktionen. Grafisch wird ein unbestimmtes Integral durch eine Kurvenschar dargestellt. Bei der Wahl eines speziellen Wertes für die Integrationskonstante C, auch Anfangsbedingung genannt, wird daraus eine Kurve als Graph einer speziellen Stammfunktion ausgewählt. Beispiel 4.1.2: Ermitteln Sie die Stammfunktion für den Wurf eines Körpers nach oben (ohne Luftwiderstand) mit a =

d

v = g.

dt Zum Zeitpunkt t = 0 s soll der Körper eine Anfangsgeschwindigkeit v0 haben.

v=

´ µ µ ¶

g dt = g ˜ t  C

Dies gilt nämlich, weil (- g t + C)' = - g ist ((F(t) +C)' = f(t)).

v ( 0 ˜ s ) = g ˜ 0 ˜ s  C = v0 m v0  30 ˜ s C  1 ˜

m s

3˜

Ÿ

C = v0

Die spezielle Lösung lautet damit: v = - g t + v 0 . Anfangsgeschwindigkeit

m s

 27 ˜

m

verschiedene Konstanten

s

v ( t  C)  g ˜ t  C

Stammfunktionen von f(t)

v1 ( t)  g ˜ t  v0

spezielle Lösung

t  0 ˜ s  0.01 ˜ s  3 ˜ s

Bereichsvariable

Seite 254

Integralrechnung Das unbestimmte und bestimmte Integal

40

Alle Funktionen v(t) = - g t + C (F(t) + C) sind Stammfunktionen von a(t) = - g (f(t) = - g) .

20

v( t  C ) v1 ( t)

0

1

2

3

Format:Punkte 20 t

Abb. 4.1.2 Für die Umkehrung des Integrierens gilt in diesem Fall: d

v( t) =

dt

d

( g ˜ t  C) = g

dt

Beispiel 4.1.3: Ermitteln Sie die Stammfunktion nachfolgender Funktionen. C C a)

b)

Redefinition

f ( x)  x  2

gegebene Funktion

x 2

durch Integration, ergibt

´ µ µ ¶

( x  2) dx  C

ergibt

´ µ µ ¶

f ( x) dx  C o

1 2

1 2

1 2

3

f ( x)  x

2

˜ x  2˜ x C

2

˜ x  2˜ x C

gegebene Funktion

3

durch Integration, ergibt

x

1 4

´ µ µ ¶

x dx  C

´ µ µ ¶

f ( x) dx  C o

2

˜ x  2˜ x

3

ergibt

1 4

1 4

4

˜x

4

˜x  C

4

˜x  C

Seite 255

Integralrechnung Das unbestimmte und bestimmte Integal 4.2 Das bestimmte Integral Das Riemann Integral: Wir betrachten zuerst eine in einem Intervall I = [a, b] monoton steigende stetige Funktion y = f(x). Gesucht ist der Inhalt A der Fläche zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse zwischen a und b. ba . Die dadurch entstehenden Dazu zerlegen wir zuerst das Intervall I in n Teilintervalle 'x = n Randpunkte der Teilintervalle sind a = x 0 , x1 , x2 , ...xn-1, xn = b. Über den Teilintervallen werden Rechtecke gebildet, die einerseits unterhalb der Kurve liegen (eingeschriebene Rechtecke) und andererseits über die Kurve hinausgehen (umgeschriebene Rechtecke). Der Flächeninhalt der eingeschriebenen Rechtecke über dem Intervall [a, b] ist eine untere Schranke des gesuchten Flächeninhalts und heißt Untersumme s u der Funktion y = f(x) bezüglich der gegebenen Intervallzerlegung. Entsprechend ist der Flächeninhalt aller umgeschriebenen Rechtecke eine obere Schranke des gesuchten Flächeninhalts, die Obersumme s o genannt wird.

Beispiel 4.2.1: a 0 Intervall [a,b] b 1 n 5 'x 

Anzahl der Subintervalle b a n  FRAME 2

Intervallbreite (mit Animationsparameter)

f ( x)  x

Funktionsgleichung

x  a  a  0.001  b

Bereichsvariable

Funktionen zur grafischen Veranschaulichung:

Funktion zur Umwandlung einer Bereichsvariablen in einen Vektor:

tp  0  1 Lv_in_Vektor ( a  b  sw)  yp  0  1

km0 for i  a  a  sw  b

Z  0.001

vk m i

fu ( x)  f ( x  mod ( x  a  'x) )

kmk1 v

fo ( x)  f ( x  mod ( x  a  'x)  'x) X  a  Z  ( a  'x)  Z  b  Z

Seite 256

Integralrechnung Das unbestimmte und bestimmte Integal Animation: FRAME von 0 bis 60 mit 5 Bilder/s. In die Animation soll auch die nachfolgende Berechnung einbezogen werden. Untersumme

Obersumme

1

1

fu( x)˜tp

0.8

fo( x)˜tp

0.8

f( x)

0.6

f( x)

0.6

fu( X)˜yp 0.4

fo( X)˜yp 0.4

0.2

0.2

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0

1

0

0.2

0.4

x x X

¦© ©

i  0  länge ( Lv_in_Vektor ( a  b  'x  'x) )  1

i

su T

xu

´ µ ¶

¹

xo = a  'x  a  2 ˜ 'x  b xo  Lv_in_Vektor ( a  'x  b  'x)

Exakte Lösung:

§ f § xu · ˜ 'x· i¹

1

Abb. 4.2.2

xu  Lv_in_Vektor ( a  b  'x  'x) su 

0.8

x x X

Abb. 4.2.1 xu = a  a  'x  b  'x

0.6

1 2

x dx

so 

0.333

0

i

Untersumme und Obersumme

0.24

¦ §©f §©xoi·¹ ˜ 'x·¹

so T

( 0 0.2 0.4 0.6 0.8 )

xo

Für die Untersumme gilt: Die Höhen der Rechtecke sind gleich den Funktionswerten am linken Rand der Teilintervalle.

0.44 ( 0.2 0.4 0.6 0.8 1 )

Für die Obersumme gilt: Die Höhen der Rechtecke sind gleich den Funktionswerten am linken Rand der Teilintervalle.

Es gilt: su d A d so Existiert nun unter den oben genannten Voraussetzungen der Grenzwert der Folgen der Untersummen und der Grenzwert der Obersummen und stimmen diese Grenzwerte überein, so heißt die Funktion integrierbar auf [a, b]. Der gemeinsame Grenzwert wird bestimmtes Integral von y = f(x) auf [a, b] genannt. Wir schreiben: ´ µ ¶

n1

b

a

f ( x) dx =

lim nof

¦ i

0

f xi ˜ 'x

n

=

lim nof

¦ i

f xi ˜ 'x

(4-3)

0

f(x) heißt Integrand; x Integrationsvariable; a, b untere bzw. obere Integrationsgrenze und [a, b] wird Integrationsintervall genannt. Wie schon erwähnt, ist jede "stückweise" stetige Funktion (die Funktionswerte weisen nur endliche Sprünge auf) ist integrierbar. Für die Integrierbarkeit einer Funktion bestehen also weniger strenge Forderungen als für die Differenzierbarkeit.

Seite 257

Integralrechnung Das unbestimmte und bestimmte Integal Betrachten wir nun das oben besprochene Flächenproblem zwischen a und x bei einer stetigen Funktion, wobei also die obere Grenze variabel sein soll. Die Integrationsvariable bezeichnen wir mit t. Wir definieren: x

´ a) Die Funktion F mit F(x) = µ f ( t) dt heißt Integralfunktion von f. ¶ a

Das heißt, dass die Integralfunktion F(x) eine Stammfunktion von F(t) ist. Da Integralfunktionen bei stetigen Funktionen y = f(t) sinnvoll gebildet werden können, besitzt jedenfalls eine auf einem Intervall stetige Funktion eine Stammfunktion. ´ b) Stellt x einen bestimmten Wert b dar, so heißt µ ¶

b

f ( x) dx bestimmtes Integral.

a

Die bisherigen Überlegungen fasst der folgende fundamentale Satz zusammen: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnug: Ist F:[a,b] ------------>  eine beliebige Stammfunktion der stetigen Funktion f:[a,b] ------->  , x |------------> F(x) x |---------> f(x) dann ist F differenzierbar mit F'(x) = f(x) und es gilt: ´ µ ¶

b

f ( x) dx = F ( b)  F ( a)

(4-4)

a

Der Wert eines bestimmten Integrals ist von der Stammfunktion unabhängig; er errechnet sich als Differenz des Stammfunktionswertes der oberen und der unteren Grenze (siehe dazu (4-2)). Bemerkung: Die Integralfunktion F ist diejenige Stammfunktion, für die gilt: F(a) = 0

(4-5)

Beispiel 4.2.2: Berechnen Sie folgende bestimmte Integrale mit einer Stammfunktion: f ( x)  x

Funktionsgleichung

x  0  0.01  5

Bereichsvariable ´ µ ¶

5 1

4

4

x dx

1

f( x)

4 = [ x2 /2] | = 1

2

4

2

2



1

2

o

15 2

Interpretieren wir das bestimmte Integral als Fläche, so stellt das Ergebnis die Maßzahl des Flächeninhalts zwischen Kurve und x-Achse von 1 bis 4 dar.

f( x)˜( 1  x 4)

0

5

Abb. 4.2.3

x

Seite 258

Integralrechnung Das unbestimmte und bestimmte Integal 2

f ( x)  x  1

Funktionsgleichung

x  0  0.01  5

Bereichsvariable ´ µ ¶

10 2

x2  1 dx

= [ x3 /3 + x]

0

f( x) f( x)˜( 0  x 2)

2

5

2 |= 0

3

2

3

3

 2

0

3

0o

14 3

Interpretieren wir das bestimmte Integral als Fläche, so stellt das Ergebnis die Maßzahl des Flächeninhalts zwischen Kurve und x-Achse von 0 bis 2 dar. 0

2

Abb. 4.2.4

x

Ein weiterer wichtiger Satz der Integralrechnung: Mittelwertsatz der Integralrechnung: Wenn f eine stetige Funktion auf ]a, x[ ist, dann gibt es mindestens ein t 0  ]a, x[, für das gilt: x

´ µ f ( t) dt = ( x  a) ˜ f t0 ¶



a

(4-6)

Der Satz besagt, dass die ebene Figur, begrenzt durch die Funktionskurve y = f(x), der x-Achse und den beiden Grenzen a und x, durch ein flächengleiches Rechteck ersetzt werden kann.

Beispiel 4.2.3: Berechnen Sie den Mittelwert der Funktion y = x 2 zwischen 1 und 4. 2

f ( x)  x

Funktionsgleichung

x  0  0.01  5

Bereichsvariable

a 1

Grenzen

b 4

§ x3 · ´ 2 1 ˜ µ x dx = f xm = ˜¨ b  a ¶a b a © 3¹



b

1

1

ym 

b a

xm 

ym

§ b3

˜¨

©3



b |= a

1 b a

§ b3

˜¨

©3



3·

a

3

¹

3·

a

3

¹

ym

7

Mittelwert (Funktionswert an der Stelle x m)

xm

2.646

Stelle xm

Seite 259

Integralrechnung Das unbestimmte und bestimmte Integal

20 a

´ µ ¶

b

b

f ( x) dx

Fläche zwischen Kurve und x-Achse

21

a

f( x) ym˜( ad xd b )

10

( b  a) ˜ ym

ym

0

2

4

6

Rechtecksfläche

21

Abb. 4.2.5

x

Mit dem Mittelwertsatz und den Grenzwertsätzen folgen nun einige Gesetzmäßigkeiten für integrierbare Funktionen f und g: a) Ein konstanter Faktor kann vor das Integral geschrieben werden: x

x

a

a

´ ´ µ k ˜ f ( t) dt = k ˜ µ f ( t) dt , k  ¶ ¶

(4-7)

b) Das Integral einer Summe (gilt auch für die Differenz) ist gleich der Summe bzw. Differenz der Integrale. x

x

x

a

a

a

´ ´ ´ µ ( f ( t )  g ( t ) ) dt = µ f ( t ) dt  µ g ( t ) dt ¶ ¶ ¶

(4-8)

c) Gilt für alle t  ]a, x[: f(t) > g(t), bzw. f(t) = g(t), bzw. f(t) < g(t), dann gilt für die Integrale: x

x

x

x

x

x

a

a

a

a

a

a

´ ´ ´ ´ ´ ´ µ f ( t) dt ! µ g ( t ) dt , bzw. µ f ( t) dt = µ g ( t ) dt , bzw. µ f ( t) dt  µ g ( t ) dt ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶

(4-9)

d) Die Umkehrung der Grenzen ändert das Vorzeichen des Integrals: x

a

a

x

´ ´ µ f ( t) dt = µ ¶ ¶

f ( t ) dt

(4-10)

e) Das Integral kann in Teilintervalle (mit gleichen Integranden) zerlegt werden: x x x ´ 0 ´ ´ µ f ( t) dt = µ f ( t) dt  µ f ( t) dt , x0  ]a, x[ ¶ ¶ ¶x a a

(4-11)

0

Beispiel 4.2.4: Berechnen Sie folgende bestimmte Integrale unter Ausnützung der vorher genannten Gesetzmäßigkeiten: ´ µ ¶

3

1

2

3 ˜ x dx o 26

´ 3˜ µ ¶

3 2

x dx o 26

1

Seite 260

Integralrechnung Das unbestimmte und bestimmte Integal ´ µ ¶

2

´ µ ¶

2

´ µ ¶

4

´ µ ¶

4

( x  1) dx o

1

( x  2) dx o

1

3

x dx o

1

4

x dx o

´ µ ¶

5 2

´ x dx  µ ¶

1

2

2

1 dx o

1

1

´ µ ¶

7

( x  2) dx o

2

255 4

´ µ ¶

1

´ µ ¶

2

5

1

5 2

7 2

255

3

x dx o

Bei vertauschten Grenzen ist das Ergebnis negativ!

4

4

1023

1

2

´ x dx  µ ¶

4

4

4

x dx o

1023

2

5

Einige weitere Eigenschaften von bestimmten Integralen: a) Eine Fläche die oberhalb der x-Achse liegt ist positiv, eine Fläche die unterhalb der x-Achse liegt ist negativ, wenn entlang der positiven x-Achse integriert wird. Über Nullstellen darf daher nicht beliebig hinweg integriert werden ! b) Ist eine Funktion zentralsymmetrisch bzw. achsialsymmetrisch, so kann beim Integrieren diese Eigenschaft genützt werden.

Beispiel 4.2.5: Bestimmen Sie die Maßzahl der Fläche zwischen Kurve und x-Achse im Bereich von a = 0 und b = 2 S: f ( x)  sin ( x)

Funktionsgleichung

x  0  0.01  2 ˜ S

Bereichsvariable

1 S

+ f( x)

0

2

2˜S

4

-

6

8

Abb. 4.2.6

1 x

´ µ ¶

2˜S

´ µ ¶

f ( x) dx o 0

0

f ( x) dx o 2

´ µ ¶

S

0

´ f ( x) dx  µ ¶

2˜S

S

f ( x) dx

´ µ ¶

2˜S

f ( x) dx o 2

S

0

A A

S

Oder durch Austausch der Integrationsgrenzen:

4

´ A1  µ ¶

0

A1

Seite 261

S

4

´ f ( x) dx  µ ¶

S

2˜S

f ( x) dx

Integralrechnung Das unbestimmte und bestimmte Integal Beispiel 4.2.6: Bestimmen Sie die Maßzahl der Fläche zwischen Kurve und x-Achse im Bereich a = -2 und b = 2: 3

2

f ( x)  x  3 ˜ x  3 ˜ x  5

Funktionsgleichung

x  3  3  0.001  4

Bereichsvariable 20 2

2 10

f( x) f( x)˜(  2  x 2)

Abb. 4.2.7 4

2

0

2

4

10 x

TOL  10

 10

Toleranzwert für das Näherungsverfahren

x1  1

Startwert (Näherungswert)





x1  wurzel f x1  x1

x1

x2  1

Startwert (Näherungswert)



x2  wurzel f x2  x2

x2

1.449

f x1



1

f x2

6.217 u 10

 15

0

20 x1

x2 10

f( x)

Abb. 4.2.8

f( x)˜(  2  x 2) 4

2

0

2

4

10 x

A

x x 2 ´ 1 ´ 2 ´ µ µ f ( x) dx  f ( x) dx  µ f ( x) dx µ ¶ ¶x ¶x 2 1

A

14

2

oder:

Maßzahl der Fläche

x ´ 1 A µ f ( x) dx  ¶ 2

x 2 ´ 1 ´ µ f ( x) dx  µ f ( x) dx µ ¶x ¶x 2

A

2

Seite 262

14

Integralrechnung Das unbestimmte und bestimmte Integal

Beispiel 4.2.7: Berechnen Sie das bestimmte Integral im Bereich von a = - S und b = S unter Ausnützung der Symmetrie: f ( x)  sin ( x)

gegebene Funktionsgleichung

x  S  S  0.01  S

Bereichsvariable

1 S f( x)

4

S

2

0

2

4

Abb. 4.2.9

1 x

´ 2˜ µ ¶

S

f ( x) dx o 4

Maßzahl der Fläche

0

Beispiel 4.2.8: Berechnen Sie das bestimmte Integral im Bereich a = -2 und b = 2 mit und ohne Ausnützung der Symmetrie. 2

f ( x)  x

gegebene Funktion

x  2  2  0.01  2

Bereichsvariable

4

f( x)

2

Abb. 4.2.10

2

1

0

1

2

x

´ µ ¶

2

f ( x) dx o

16

2

Maßzahl der Fläche

3

Oder unter Ausnützung der Symmetrie: ´ 2˜ µ ¶

2

0

f ( x) dx o

16

Maßzahl der Fläche

3

Seite 263

Integralrechnung Integrationsmethoden 4.3 Integrationsmethoden Weil das Integrieren stetiger Funktionen, also das Aufsuchen von Stammfunktionen, die Umkehrung des Differenzierens ist, lassen sich manche Differentiationsregeln unmittelbar in Integrationsregeln umwandeln. Ausgangspunkt seien aber zuerst die sogenannten Grundintegrale, deren Richtigkeit sofort durch Ableitungen bestätigt werden können. Neben den Grundintegralen sind noch die Substitution (Umkehrung der Kettenregel), die partielle Integration (Umkehrung der Produktregel) und die Partialbruchzerlegung (Umkehrung der Quotientenregel) von Bedeutung.

4.3.1 Grundintegrale Nachfolgend werden die wichstigsten Grundintegrale zusammengefasst. Wir setzen voraus, dass f und g stetige Funktionen sind. ============================================================================= y = k . f(x) ´ µ µ ¶

y' = k f '(x)

k ˜ f ( x) dx = k ˜

´ µ µ ¶

f ( x) dx , k  

(4-12)

Ein konstanter Faktor kann vor das Integral geschrieben werden. ============================================================================= y = f(x) ± g(x) ´ µ µ ¶

y' = f '(x) ± g '(x)

( f ( x)  g ( x) ) dx =

´ µ µ ¶

f ( x) dx 

´ µ µ ¶

g ( x) dx

(4-13)

Das Integral einer Summe (gilt auch für die Differenz) ist gleich der Summe bzw. Differenz der Integrale. ============================================================================= y=x ´ µ µ ¶

y' = 1

1 dx = x  C

(4-14)

============================================================================= y=kx ´ µ µ ¶

y' = k

k dx = k ˜ x  C

(4-15)

============================================================================= y = xr , r  ´ µ µ ¶

r

x dx =

y' = r xr-1

r 1

x

r 1

 C , r z-1

(4-16)

=============================================================================

Seite 264

Integralrechnung Integrationsmethoden ================================================================================ y = ex ´ µ µ ¶

y' = ex

x

x

e dx = e  C

y = ax ´ µ µ ¶

(4-17)

y' = ax ln(a) x

x

a dx =

a

ln ( a)

 C , a > 0, a z 1

(4-18)

================================================================================ y = ln(x) ´ µ µ µ ¶

1 x

y' = 1/x

dx = ln  x

C

,xz0

(4-19)

================================================================================ y = sin(x) ´ µ µ ¶

y' = cos(x)

cos ( x) dx = sin ( x)  C

y = cos(x) ´ µ µ ¶

y' = - sin(x)

sin ( x) dx = cos ( x)  C

1 cos ( x)

2

1 sin ( x)

dx = tan ( x)  C , x z (2n + 1) S/2

(4-22)

y' = -1/sin2 (x) = - (1 + cot 2 (x))

y = cot(x) ´ µ µ µ ¶

(4-21)

y' = 1/cos2 (x) = 1 + tan2 (x)

y = tan(x) ´ µ µ µ ¶

(4-20)

2

dx = cot ( x)  C , x z n S

(4-23)

================================================================================

Seite 265

Integralrechnung Integrationsmethoden ================================================================================ y = arcsin ( x)

1

y'=

, x 1 2

1x ´ µ µ µ ¶

1

dx = arcsin ( x)  C

(4-24)

2

1x

y = arccos ( x)

1

y'=

, x 1 2

1x ´ µ µ µ ¶

1



dx = arccos ( x)  C

(4-25)

2

1x

y = arctan ( x)

1

y'=

2

1x ´ µ µ µ ¶

1

dx = arctan ( x)  C

2

(4-26)

1 x

y = arccot ( x)

y'=

1 2

1 x ´ µ µ µ ¶



1 2

dx = arccot ( x)  C

(4-27)

1x

================================================================================ y = sinh ( x) ´ µ µ ¶

cosh ( x) dx = sinh ( x)  C

y = cosh ( x) ´ µ µ ¶

y ' = cosh ( x)

(4-28)

y ' = sinh ( x)

sinh ( x) dx = cosh ( x)  C

(4-29)

Seite 266

Integralrechnung Integrationsmethoden

y = tanh ( x)

1

y'=

cosh ( x) ´ µ µ µ ¶

1 cosh ( x)

(4-30)

1

y'=

sinh ( x)

1



sinh ( x)

2

dx = tanh ( x)  C

2

y = coth ( x)

´ µ µ µ ¶

2

= 1  tanh ( x)

2

2

= 1  coth ( x)

2

dx = coth ( x)  C

(4-31)

===============================================================================

§

y = arsinh ( x) = ln © x 

·

2

x  1¹

1

y'=

2

1x ´ µ µ µ ¶

§

1 2

2

dx = arsinh ( x)  C = ln © x 

x 1

·C ¹

(4-32)

1x

§

y = arcosh ( x) = ln © x 

·

2

x  1¹

1

y'=

,x>1

2

x 1

§

y = arcosh ( x) = ln © x 

2

·

x  1¹

y'=

1

,x>1

2

x 1 ´ µ µ µ ¶

§

1

dx = arcosh ( x)  C = ln © x 

2

·C x !0 , ¹

(4-33)

x 1

y = artanh ( x) =

´ µ µ µ ¶

2

x 1

1 2

1 x

1 2

§ 1  x· © 1  x¹

˜ ln ¨

dx = artanh ( x)  C =

y'=

1 2

, x 1

1x

1 2

§ 1x · C ,xz1 © 1x ¹

˜ ln ¨

Seite 267

(4-34)

Integralrechnung Integrationsmethoden

1

y = arcoth ( x) =

´ µ µ µ ¶

1 2

2

§ x  1· © x  1¹

˜ ln ¨

1

y'=

2

x !1

,

1x

§ x 1 ·  C ,xz1 © x 1 ¹

1

dx = arcoth ( x)  C =

˜ ln ¨

2

1 x

(4-35)

===============================================================================

Beispiel 4.3.1: Berechnen Sie folgende Grundintegrale:

(1)

(2)

(3)

(4)

´ µ µ ¶

x dx =

´ µ µ ¶

´ µ 2 12 ˜ x dx = 12 ˜ µ ¶

´ µ µ µ ¶ ´ µ µ µ ¶

3

2

15 4

˜

x

3

C

(4-16)

3

x

2

x dx = 12 ˜

´ µ 15 µ ˜µ x dx = 4 ¶

3

 C= 4˜ x  C

3

3

1

x

(4-12) und (4-16)

2

dx =

15 4

x

˜

3

2

3

 C=

30 12

˜x

2

3

 C=

5 2

˜x

2

C

(4-12) und (4-16)

2 1

3 4

x

dx =

x

1

4

 C = 4˜ x

1

4

C

(4-16)

4

(5)

(6)

(7)

(8)

´ µ µ ¶

x2  6 ˜ x  5 dx = µµ

´

´ µ µ µ ¶

´ µ dx = µ 2 ¶ x

´ µ µ µ ¶

´ µ dx = µ 2 ¶ x

´ µ µ µ ¶

´ § 3  1  1 · dx = 3 ˜ µ µ ¨x x¹ µ © ¶

´ µ x dx  6 ˜ µ ¶ 2

¶

1

1

2

x

2

1

dx = x

x dx =

 C=

1 x

´ µ x dx  µ ¶

3

5 dx =

x

3

2

 6˜

x

2

 5˜ x C

(4-13) bis (4-16)

C

(4-16)

3

x

3

C

´ µ dx  µ x ¶ 1

(4-16)

´ µ µ 1 dx  µ ¶



x

Seite 268

1 2

1

dx = 3 ˜ ln  x

 x 2˜ x

2

C

(4-13) (4-19), (4-14), (4-16)

Integralrechnung Integrationsmethoden

(9)

´ µ µ ¶

ex  sin (x)  1 dx = ex  cos(x)  x  C

(4-13), (4-17), (4-21), (4-14)

(10)

´ µ µ ¶

ex  e x dx = ex  e x  C

(4-13), (4-17)

(11)

´ µ µ ¶

(12)

´ µ µ µ ¶



´ 2 µ x  1 dx = µ ¶



( 1  x)

´ µ dx = µ µ ¶

2

x

x  2 ˜

3

2



x  1 dx =

x

2



4 3

˜x

2

 x C

(4-13), (4-16), (4-14)

1  2 ˜ x  x2 dx = ´µ

2

x · §1 C µ ¨  2  x dx = ln  x  2 ˜ x  2 ¹ µ ©x

x

¶

(4-13), (4-19), (4-14), (4-16)

(13)

´ µ µ ¶

( a ˜ cos ( x)  b ˜ sin ( x) ) dx = a ˜ sin ( x)  b ˜ cos ( x)  C

(4-13), (4-12), (4-20), (4-21)

(14)

´ µ µ µ ¶

5 § 6 x· x   3 ˜ e dx = 6 ˜ tan ( x)  5 ˜ cot ( x)  3 ˜ e  C ¨ 2 2 sin ( x) © cos ( x) ¹

(4-13), (4-22), (4-23), (4-17)

(15)

´ µ µ ¶

3x  10x dx =

(16)

´ µ µ ¶

3 ˜ 1  tan ( x)

(17)

´ µ µ ¶

1  cot(x)2 dx = cot(x)  C

(18)

´ µ µ µ ¶

cos ¨

(19

´ µ µ µ ¶

sin ¨

(20)

´ µ µ µ ¶



2

x

3

ln ( 3)



10

x

ln ( 10 )

C

(4-13), (4-18)

dx = 3 ˜ tan (x)  C

(4-12), (4-22)

(4-23)

2 1 § x · dx = 1 ˜ ´ µ ( 1  cos ( x) ) dx = ˜ ( x  sin ( x) )  C µ 2 2 ¶ © 2¹

(3-48), (4-13), (4-14), (4-20

2 1 § x · dx = 1 ˜ ´ µ ( 1  cos ( x) ) dx = ˜ ( x  sin ( x) )  C µ 2 2 ¶ © 2¹

(3-47), (4-13), (4-14), (4-20

1 2

2  2˜ x

dx =

´ 1 µ ˜µ 2 µ ¶

1 2

1x

dx =

1 2

˜ arctan ( x)  C

Seite 269

(4-12), (4-26)

Integralrechnung Integrationsmethoden ´ µ µ µ ¶

(21)

(22)

(23)

1 2

dx =

3  3˜ x

´ 1 µ ˜µ 3 µ ¶

1 2

dx =

1x

´ µ µ µ ¶

´ 1 µ dx = ˜ 2 µ 2 µ 4  4˜ x ¶

´ µ µ µ ¶

´ 1 µ dx = ˜ 3 µ 2 µ 9  9˜ x ¶

1

1

1 3

˜ artanh ( x)  C =

dx = 2

1x

1

1

dx = 2

1x

1 2

1 3

1 3

˜

1 2

§ 1 x ·  C © 1 x ¹

˜ ln ¨

˜ arcsin ( x)  C

oder: 

˜ arsinh ( x)  C =

1 3

1 2

§

˜ ln © x 

(4-12), (4-34)

˜ arccos ( x)  C (4-12), (4-24)

·

2

x  1¹  C

(4-12), (4-32)

Beispiel 4.3.2: Ein Körper wird mit einer konstanten Anfangsgeschwindigkeit v 0 zum Zeitpunkt t = 0 s nach oben geworfen. Berechnen Sie v und s.

v=

d

a=

s

dt

d

Geschwindigkeit und Beschleunigung

v

dt

ds = v ˜ dt

dv = a ˜ dt ´ µ µ ¶

s=

´ µ µ ¶

1 ds =

v=

´ µ µ ¶

g dt = g ˜ t  C1

´ s=µ µ ¶



zurückgelegter Weg

v dt



Differentiale

v=

´ µ µ ¶

1 dv =

´ µ µ ¶

a dt

Geschwindigkeit

Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz (Stammfunktionen) 2

t g ˜ t  C1 dt = g ˜  C1 ˜ t  C2 2

Weg-Zeit-Gesetz (Stammfunktionen)

Um zwei unbestimmte Konstanten berechnen zu können, sind 2 Anfangsbedingungen notwendig: v ( 0) = v0

v = g ˜ t  C1

s ( 0) = 0

s = g ˜

g 2 s = v0 ˜ t  ˜ t 2

Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz

v = v0  g ˜ t

Weg-Zeit-Gesetz

t

v0 = g ˜ 0  C1

2

Ÿ

C1 = v0

Ÿ

C2 = 0

2

 C1 ˜ t  C2 2

0 = g ˜

Seite 270

0

2

 v0 ˜ 0  C2

Integralrechnung Integrationsmethoden Beispiel 4.3.3: Die Ableitung einer Funktion ist gegeben durch y' = 2 x + 3. Wie lautet die Funktionsgleichung y = f(x) die den Punkt P(1 | 2) enthält ? d

Ÿ

y = 2˜ x 3

dy = ( 2 ˜ x  3) ˜ dx

Differential

dx ´ µ µ ¶

´ µ µ ¶

1 dy =

2

( 2 ˜ x  3) dx

Koordinaten von P(1 | 2) einsetzen: 2

y= x  3˜ x 2

y= 2˜

x

2

 3˜ x C

2

auf beiden Seiten integrieren

Ÿ

2 = 1  3˜ 1  C

C = 2

gesuchte Funktion

Beispiel 4.3.4: Die Steigung einer Kurve ist in jedem Punkte gleich dem Werte der Ordinate. Wie lautet die Funktionsgleichung der Kurve ? d

y = y . Der Differentialquotient lässt sich aufspalten in

dy

= dx. y dx Dies wird auch Trennung der Variablen genannt. Nun kann auf beiden Seiten der Gleichung integriert werden: Es muss folgende Differentialgleichung gelten:

´ µ µ µ ¶

1 y

ln( y)

e

ln( y)

e

dy =

´ µ µ ¶

ln ( y) = x  ln ( C)

1 dx

( x ln( C ) )

Ÿ

=e

oder

ln ( y) = x  C1

x

y = C˜ e

gesuchte Lösungen

x C1

Ÿ

=e

C1

y=e

x

x

˜ e = C˜ e

Beispiel 4.3.5: Welche konstante Kraft muss auf einen Eisenbahnwagon von 10 t Masse wirken, damit seine Anfangsgeschwindigkeit v0 = 2 m/s im Laufe von W = 40 s umgekehrt wird, d.h. in v 1 = - 2 m/s umgewandelt wird ? Die Reibung wird vernachlässigt. F= m˜

d

dynamisches Grundgesetz

v

dt Nach der Aufspaltung des Differentialquotienten in F dt = m dv, kann auf beiden Seiten integriert werden. v

W ´ 1 ´ µ F dt = µ m dv µ ¶ ¶v 0

Ÿ





F ˜ W = m ˜ v1  v0

Kraftstoß = Impulsänderung

m v0  2 ˜ s

m v1  2 ˜ s

Geschwindigkeiten

W  40 ˜ s

m0  10 ˜ 10 ˜ kg

0

F

m0 W

3





˜ v1  v0

F

3

1 u 10 N

Seite 271

Zeit und Masse

gesuchte Kraft

Integralrechnung Integrationsmethoden 4.3.2 Integration durch Substitution Das Ziel der Substitution (Umkehrung der Kettenregel) ist es, das vorgegebene Integral auf ein Grundintegral zurückzuführen. Wir gehen von einer integrierbaren verketteten Funktion y = f(g(x)) aus. Zuerst führen wir eine neue Integrationsvariable u ein, die mit x über g(x) zusammenhängt, also u = g(x). Das Differential von u ergibt sich dann zu: du = g'(x) dx. Das unbestimmte Integral lässt sich dann wie folgt umformen: ´ µ f ( g ( x) ) dx = µ µ ¶

´ µ µ ¶

f ( u) g' ( x)

du

(4-36)

Bei der Substitution am bestimmten Integral müssen auch die Integrationsgrenzen geändert werden: ´ f ( g ( x) ) dx = µ µ a ¶

´ µ ¶

b

u( b)

f ( u)

du

g' ( x)

(4-37)

u( a)

Spezialfälle der Substitution: a) Die innere Funktion ist linear. Für Integrale der Form ´ µ µ ¶

´ µ µ ¶

f ( a ˜ x  b) dx =

f ( a ˜ x  b) dx gilt dann mit u = a x + b und du = a dx: 1 ´ µ ˜ a µ ¶

1

f ( u) du =

a

˜ F ( u)  C =

1 a

˜ F ( a ˜ x  b)  C

(4-38)

b) Im Integranden steht die Ableitung der inneren Funktion g(x) als Produkt ( u = g(x) und du = g'(x) dx ): ´ µ µ ¶

f ( g ( x) ) ˜ g' ( x) dx =

´ µ Für Integrale der Form µ ¶ ´ µ µ ¶

f ( u) du = F ( u)  C = F ( g ( x) )  C

(4-39)

n

( g ( x) ) ˜ g ' ( x) dx gilt dann mit u = g(x) und du = g '(x) dx:

´ µ ( g ( x) ) ˜ g ' ( x) dx = µ ¶ n

´ µ µ Für Integrale der Form µ ¶ ´ µ µ µ ¶

´ µ µ ¶

n

n 1

u du =

u

n 1

 C=

1 n1

˜ ( g ( x) )

n1

C

(4-40)

1

( g ( x) )

´ µ µ 2 ( g ( x) ) ˜ g ' ( x) dx = µ ¶

2

1

˜ g ' ( x) dx gilt dann mit u = g(x) und du = g '(x) dx: 3

1

u

2

du =

u

3

2

3

 C=

2

Seite 272

2 3

˜ ( g ( x) )

2

C

(4-41)

Integralrechnung Integrationsmethoden ´ µ µ g ' ( x) dx = µ 2 ˜ g ( x) µ ¶

´ µ µ µ ¶

´ µ 1 µ 1 d( g ( x) ) = ˜ µ 2 ¶ 2 ˜ g ( x)

 1· § ¨ 2 © g ( x) ¹ dg ( x) =

g ( x)  C

(4-42)

c) Im Zähler des Integranden steht die Ableitung des Nenners ( u = g(x) und du = g '(x) dx ): ´ µ µ µ ¶

´ µ dx = µ g ( x) µ ¶

1

g ' ( x)

u

du = ln  u

 C = ln 

g ( x)

C

(4-43)

Bemerkung: Die Umkehrung der Kettenregel kann nicht immer bei Integralen, in denen der Integrand eine verkettete Funktion darstellt, angewendet werden. Hier helfen manchmal spezielle Substitutionen, wie am Ende dieses Abschnittes gezeigt wird. Beispiel 4.3.6:

(1)

´ µ µ µ ¶

´ µ 1 µ 2 ( 1  2 ˜ x) dx = ˜ µ 2 ¶ 3

5

3

u

2

du =

1 2

u

˜

5

2

5

 C=

1 5

˜u

2

5

 C=

1 5

˜ ( 1  2 ˜ x)

2

C

(4-38), (4-16)

2

u = 1  2˜ x

(2)

´ µ µ ¶

du = 2 ˜ dx

sin ( 2 ˜ x) dx =

1 ´ µ ˜ 2 µ ¶

u = 2˜ x

(3)

´ µ µ ¶

´ µ µ ¶

cos ( 3 ˜ x  1) dx =

3˜x

e

(5)

u=



e t 2

t 2

2

˜ cos ( u)  C = 

1 2

˜ cos ( 2 ˜ x)  C

(4-38), (4-21)

dx =

1 ´ µ ˜ 3 µ ¶

cos ( u) du =

1 3

˜ sin ( u)  C =

1 3

˜ sin ( 3 ˜ x  1)  C

(4-38), (4-20)

du = 3 ˜ dx 1 ´ µ ˜ 3 µ ¶

u = 3˜ x ´ µ µ µ ¶

1

du = 2 ˜ dx

u = 3˜ x 1

(4)

sin ( u) du =

u

e du =

1 3

u

˜e  C=

1 3

3˜x

˜e

C

(4-38), (4-17)

du = 3 ˜ dx

´ µ dt = 2 ˜ µ ¶

t u

u

e du = 2 ˜ e  C = 2 ˜ e

du =

1 2

˜ dt

2

C

dt = 2 ˜ du

Seite 273

(4-38), (4-17)

Integralrechnung Integrationsmethoden

(6)

´ µ µ µ ¶

´ 5 µ dx =  ˜ µ 2 3 ( 4  3 ˜ x) µ ¶

u = 4  3˜ x

(7)

5 ´ µ ˜µ du = 2 3 ¶ u

5

u

5

du =

3

1

˜

u

1

 C=

5 3

˜

1 u

 C=

5 3

˜

1 4  3˜ x

du = 3 ˜ dx

´ µ µ 2 ˜ x  3 dx = µ ¶

´ µ µ ¶

2

1

C

(4-38), (4-16) 3

1

( 2 ˜ x  3)

2

dx =

1 2

( 2 ˜ x  3)

˜

3

2

 C=

3

1 3

˜ ( 2 ˜ x  3)

2

C

(4-38), (4-16)

2

(8)

´ µ µ ¶

7

( 5 ˜ x  3) dx =

1 5

˜

( 5 ˜ x  3)

8

 C=

8

1 40

16

(9)

´ µ ¶

´ µ 1 µ 3 ˜ x  1 dx = ˜ µ 3 ¶1

5

0

u = 3˜ x 1

1

u

3

2

du =

du = 3 ˜ dx

2 9

˜u

(4-38), (4-16)

8

˜ ( 5 ˜ x  3)  C

3· § 3 ¨ 2 2 2 2 ˜ © 16  1 ¹ = ˜ ( 64  1) = 14

16 | = 1

2

9

u ( 0) = 1

9

(4-37), (4-41)

u ( 5) = 16

Wir könnten aber auch zuerst unbestimmt integrieren und hinterher erst das bestimmte integral auswerten. Damit müssen die Grenzen nicht geändert werden!

(10)

´ µ µ µ ¶

u=

´ µ dx = ˜µ 2 2 2 a µ a x µ µ ¶

´ 1 µ dx = ˜ µ 2 a x· µ § 1 ¨ ¶ © a¹

x

1

1

(12)

´ µ µ ¶

´ µ µ µ ¶

a

´ 1 µ dx = ˜ µ a 2 2 µ a x µ µ ¶ x

a

´ µ 4 sin ( x) ˜ cos ( x) dx = µ ¶

´ µ dx = µ 4 cos ( x) µ ¶ 1

2

1 a

˜ arctan ( u)  C =

1 a

§x·  C © a¹

˜ arctan ¨

(4-38), (4-26)

´ µ dx = µ 2 µ x· § 1¨ ¶ © a¹ 1

du =

1u

1

1

du =

a

1

˜ dx

1

u = sin ( x)

(13)

1

du =

a

´ (11) µ µ µ ¶

u=

1

2

1u

˜ dx

§x·  C © a¹

du  C = arcsin ( u)  C = arcsin ¨

(4-38), (4-24)

4

sin ( x) dsin ( x) =

sin ( x) 5

5

C

(4-40)

du = d ( sin ( x) ) = cos ( x) ˜ dx 1 cos ( x)

2

˜

´ µ dx = µ 2 ¶ cos ( x) 1

1  tan (x)2 d(tan (x)) = tan (x)  13 ˜ tan (x)3  C

Seite 274

Integralrechnung Integrationsmethoden ´ µ µ µ ¶

´ µ dx = µ 4 cos ( x) µ ¶ 1

u = tan ( x)

1  tan (x)2 ˜

´ µ dx = µ 2 ¶ cos ( x) 1

du = d ( tan ( x) ) =

cos ( x)

(14)

´ µ µ ¶

´ µ 3 sin ( x) dx = µ ¶

u = cos ( x)

´ µ (15) µ ¶

´ 1 µ x  1 dx = ˜ µ 2 ¶

C

3

(4-39), (4-14), (4-16)

˜ dx

2

©

3

du = d ( cos ( x) ) = sin ( x) ˜ dx

´ µ µ 1 µ 2 x  1 ˜ ( 2 ˜ x) dx = ˜ 2 µ ¶

2

x˜

3

1  cos(x)2 d(cos(x)) = §¨ cos(x)  cos (x)

´ µ 2 sin ( x) ˜ sin ( x) dx = µ ¶

du = sin ( x) ˜ dx

1  u2 du = u  u

1

x

C

3

d x

1

2

¹

(4-39), (4-14), (4-16)

1 2

3·

2



1 =

1 2

˜

x2  1 2 3

C

2 2

u=x  1 ´ µ (16) µ µ ¶ ´ µ (17) µ µ ¶

2

du = d x  1 = 2 ˜ x ˜ dx

´ µ dx = µ 3˜ x 2 µ ¶

1

3

2˜

1 x 2

dx = ln  x  2

C

´ µ (18) µ µ ¶

´ 1 µ dx = ˜ µ 2˜ x 3 2 µ ¶

´ µ (19) µ µ µ ¶

´ 1 µ dx = ˜µ 3 6 µ 1  2˜ x ¶

´ (20) µ µ ¶

´ µ cot ( x) dx = µ µ ¶

´ µ (21) µ µ ¶ ´ (22) µ µ ¶

1

´ µ tanh ( x) dx = µ µ ¶

dx =

2˜ x 3

2

cos ( x) sin ( x)

d( 3 ˜ x  2) =

u=x 2

2

1 2

2

6 ˜ x

x

´ µ µ 1 dx = µ x ˜ ln ( x) µ ¶

3˜ x 2

2˜

(4-41)

2˜ x 3

dx =

du = dx

˜ ln  2 ˜ x  3

1 6

3˜ x 2  C

C



3

˜ ln 1  2 ˜ x

C

(4-42)

(4-43), (4-19)

(4-43), (4-19)

(4-43), (4-19)

dx = ln  sin ( x)

C

(4-43), (4-19)

dx = ln  ln ( x)

C

(4-43), (4-19)

1 x

ln ( x)

sinh ( x) cosh ( x)

dx = ln  cosh ( x)

C

Seite 275

(4-43), (4-19)

Integralrechnung Integrationsmethoden Spezielle Substitutionen: ´ µ (23) µ ¶

2

2

a  x dx

x = a ˜ sin ( t )

Substitution:

a 3

x = a ˜ tanh ( t )

oder:

Konstante 1

´ µ µ ¶

2

2

a  x dx  C o

1 2



2

˜ x˜ 9  x



2



9 2

§ 1 ˜ x·  C ©3 ¹

˜ asin ¨

3

´ µ (24) µ ¶ ´ µ ¶

2

x ˜

2

2

a  x dx  C o

1 4



2

˜ x˜ 9  x



2

1



9 8



2

˜ x˜ 9  x

2



81 8

§ 1 ˜ x·  C ©3 ¹

˜ asin ¨

a 2

x ˜

2

2

a  x dx o

0

´ µ (25) µ ¶

2

81 16

2

x  a dx

˜S

Substitution:

a 3

´ µ (26) µ ¶

x=

a

2

2

x  a dx  C o

1 2



2

˜ x ˜ 9  x

´ µ x  4 ˜ x  3 dx = µ ¶ 2



2

ª« 9 « 2  ˜ ln ¬ x  9  x



2

´ µ (27) µ ¶

2

2

2

1 4

2



˜ ( 2 ˜ x  4) ˜ x  4 ˜ x  3

» »C ¼

2

1º ª« » 2 1 « 2 »  ˜ ln ¬ x  2  x  4 ˜ x  3 ¼  C



2

x = a ˜ tanh ( t )

Substitution:

a a



2

2

x  4 ˜ x  3 dx  C o

x  a dx

1º

( x  2)  1 dx 1

´ µ µ ¶

x = a ˜ cosh ( t )

oder:

cos ( t)

Konstante 1

´ µ µ ¶

oder:

Redefinition 1

´ µ µ ¶



2

2

x  a dx  C o

1 2



2

2

˜ x˜ x  a



2

ª« 1 2 « 2 2  ˜ a ˜ ln ¬ x  x  a



2

Seite 276

1º



2

» »C ¼



x = a ˜ sinh ( t )

Integralrechnung Integrationsmethoden 4.3.3 Partielle Integration Partielle (teilweise) Integration oder Produktintegration (Umkehrung der Produktregel). Gegeben seien zwei differenzierbare Funktionen u(x) und v(x). Aus der Produktregel (u(x) . v(x)) ' = u'(x) . v(x) + v'(x) . u(x) folgt durch Umformung: u(x) . v'(x) = (u(x) . v(x)) ' - v(x) . u'(x)

(4-44)

Durch Multiplikation der Gleichung (4-44) mit dx und anschließender Integration erhalten wir die Regel für die partielle Integration: ´ µ µ ¶

´ µ µ ¶

u ( x) ˜ v ' ( x) dx = u ( x) ˜ v ( x) 

v ( x) ˜ u ' ( x) dx

(4-45)

bzw. mit dv = v'(x) dx und du = u'(x) dx ´ µ µ ¶

u dv = u ˜ v 

´ µ µ ¶

v du

(4-46)

Beispiel 4.3.7:

(1)

´ µ µ ¶

´ x x µ x ˜ e dx = x ˜ e  µ ¶

u=x

Ÿ

x

x

x

x

e dx = x ˜ e  e  C = e ˜ ( x  1)  C x

x

Ÿ

dv = e ˜ dx

du = dx

(keine Integrationskonstante!)

v=e

Bei falschem Ansatz kann sich ein schwierigeres Integral als zuvor ergeben (z.B. u = e x )

(2)

´ µ µ ¶

´ µ 2 x 2 x x ˜ e dx = x ˜ e  2 ˜ µ ¶ 2

u=x

(3)

´ µ µ ¶

Ÿ

2

x

dv = e ˜ dx

x ˜ cos ( x) dx = x ˜ sin ( x) 

2

u=x

Ÿ

x

x

du = 2 ˜ x ˜ dx

2

2

x

x

´ µ µ ¶

Ÿ

´ µ µ ¶

´ µ 1 dv = µ ¶

2

sin ( x) ˜ 2 ˜ x dx = x ˜ sin ( x)  2 ˜

dv = cos ( x) ˜ dx Ÿ

du = 2 ˜ x ˜ dx

v=

v = sin ( x)

Für das letzte Integral muss noch einmal partiell integriert werden: ´ µ µ ¶

x ˜ sin ( x) dx = x ˜ cos ( x) 

u=x

Ÿ

du = 1 ˜ dx

2



x ˜ e dx = x ˜ e  2 ˜ e ( x  1)  C = e ˜ x  2 ˜ x  2  C

´ µ µ ¶

cos ( x) dx = x ˜ cos ( x)  sin ( x) dv = sin ( x) ˜ dx

Seite 277

Ÿ

v = cos ( x)

´ µ µ ¶

x

x

e dx = e

x ˜ sin ( x) dx

Integralrechnung Integrationsmethoden

(4)

´ µ µ ¶

x ˜ cos ( x) dx = x ˜ sin ( x)  2 ˜ ( x ˜ cos ( x)  sin ( x) )  C = x ˜ sin ( x)  2 ˜ x ˜ cos ( x)  2 ˜ sin ( x)  C

´ µ µ ¶

´ µ ln ( x) ˜ 1 dx = x ˜ ln ( x)  µ µ ¶

2

2

Ÿ

u = ln ( x)

(5)

´ µ µ ¶

2

1

du =

x

1

x˜

x

˜ dx

dv = 1 ˜ dx

´ µ arctan ( x) dx = x ˜ arctan ( x)  µ µ ¶

u = arctan ( x) Ÿ

1

du =

dx = x ˜ ln ( x)  x  C = x ˜ ( ln ( x)  1)  C

2

Ÿ

v=x

´ 1 µ x˜ dx = x ˜ arctan ( x)  ˜ µ 2 2 1x µ ¶

2˜ x

1

˜ dx

dv = 1 ˜ dx

Ÿ

2

dx

1 x

v=x

1x

(6)

´ µ µ ¶

arctan ( x) dx = x ˜ arctan ( x) 

´ µ µ ¶

´ µ x ˜ ln ( x) dx = ˜ x ˜ ln ( x)  µ 3 µ ¶ 1

2

(7)

´ µ µ ¶

x ˜ ln ( x) dx =

(8)

du =

1 x

2

3

x

3

˜

x

1

dx =

3

˜ x ˜ ln ( x) 

3

n 1

x

n1

˜

1 x

1 3

3

˜

x

3

 C=

1 3

3

§ ©

˜ x ˜ ¨ ln ( x) 

1· 3¹

C

3

2

dv = x ˜ dx

´ µ ˜ ln ( x)  µ µ ¶

˜ dx

1

C

dx =

n

dv = x ˜ dx

Ÿ

1 n1

v=

n1

˜x

x

3

˜ ln ( x) 

1 n1

n 1

˜

x

n1

C

n1

Ÿ

v=

x

n 1

n1

x ˜ ln ( x) dx =

´ µ In = µ ¶

´ µ n sin ( x) dx = µ ¶

n

n1

˜x

n1

´ µ In = µ ¶

u = sin ( x)

x



˜ ln 1  x

˜ dx

n1

1

Ÿ

u = ln ( x)

1

du =

n

2

3

Ÿ

u = ln ( x)

1

Ÿ

§ ln ( x)  1 ·  C ¨ n  1¹ n  1© x

sin ( x)

n1

˜ sin ( x) dx

du = ( n  1) ˜ sin ( x)

n2

˜ cos ( x) ˜ dx

Seite 278

dv = sin ( x) ˜ dx

Ÿ

v = cos ( x)

Integralrechnung Integrationsmethoden

´ µ In = µ ¶

sin ( x) dx = sin ( x)

´ µ In = µ ¶

sin ( x) dx = sin ( x)

In = sin ( x)

n

n 1

n

n 1

´ µ ˜ cos ( x)  ( n  1) ˜ µ ¶

sin ( x)

´ µ ˜ cos ( x)  ( n  1) ˜ µ ¶

sin ( x)

§´ ¨µ ˜ cos ( x)  ( n  1) ˜ µ ¨¶ ©

n 1

sin ( x)

n2

´ µ dx  µ ¶

n 2

2

˜ cos ( x) dx



n 2

˜ 1  sin ( x)

2

dx

·

n

sin ( x) dx

¹

Die letzte Gleichung kann wie folgt vereinfacht werden: In = sin ( x)

n 1

˜ cos ( x)  ( n  1) ˜ In 2  ( n  1) ˜ In

In  ( n  1) ˜ In = sin ( x) n ˜ I n = sin ( x)

n1

n1

˜ cos ( x)  ( n  1) ˜ In2

˜ cos ( x)  ( n  1) ˜ In2

Daraus ergibt sich die Rekursionsformel für n t 2 : In =

1 n

´ µ (9) I1 = µ ¶

˜ sin ( x)

k˜t

e

n1

˜ cos ( x) 

( n  1) n

˜ In2

´ µ I2 = µ ¶

˜ cos ( Z ˜ t) dt

k˜t

e

˜ sin ( Z ˜ t) dt

Diese Integrale lösen wir einfacher mithilfe der Komplexrechnung (Siehe dazu Band 2 und Literatur über Funktionalanalysis) durch folgenden Ansatz: ´ µ I1  j ˜ I2 = µ ¶

e

´ µ I1  j ˜ I2 = µ ¶

e

´ µ I1  j ˜ I2 = µ ¶

e

I1  j ˜ I2 =

k˜t

k˜t

k˜t

´ µ ˜ cos ( Z ˜ t) dt  j ˜ µ ¶

2

˜ sin ( Z ˜ t) dt

˜ ( cos ( Z ˜ t)  j ˜ sin ( Z ˜ t) ) dt

˜e

k  j˜Z k Z

k˜t

e

2

j˜Z˜t

k˜t

˜e

´ µ dt = µ ¶

( k j˜Z )˜t

e

dt =

Kann nach Euler vereinfacht werden!

1 k  j˜Z

( k j˜Z )˜t

˜e

2

k  j˜Z

k˜t

˜ e ( cos ( Z ˜ t )  j ˜ sin ( Z ˜ t) )

k˜t

e

k Z

1

˜ ( cos ( Z ˜ t )  j ˜ sin ( Z ˜ t) )

k˜t

I1  j ˜ I2 =

=

2

e

˜ ( k ˜ cos ( Z ˜ t)  Z ˜ sin ( Z ˜ t) )  j ˜

2

k Z

Aus dem Realteil ergibt sich I 1 und aus dem Imaginärteil I2 .

Seite 279

2

˜ ( k ˜ sin ( Z ˜ t)  Z ˜ cos ( Z ˜ t) )

Integralrechnung Integrationsmethoden 4.3.4 Integration durch Partialbruchzerlegung Das Ziel dieses Abschnittes ist, gebrochenrationale Funktionen in eine Summe von Brüchen (Partialbrüche oder Teilbrüche) zu zerlegen, damit sie integriert werden können.

m

y=

Pm ( x) Pn ( x)

¦ =

i

0 n

¦ i

§ a ˜ xi· © i ¹ ( ai , bi , x ; m, n ²)

(4-47)

§ b ˜ xi· © i ¹

0

Wir beschränken uns auf echt gebrochenrationale Funktionen (m < n), weil jede unecht gebrochenrationale Funktion in die Summe eine ganzrationalen Terms und eines echt gebrochenrationalen Terms (durch Division der Polynome) zerlegt werden kann. Zur Erinnerung sei hier noch der Fundamentalsatz der Algebra (von C.F. Gauß) angeführt: Jedes Polynom y = bn xn + bn-1 xn-1 + ... + b2 x2 + b1 x + b 0 hat genau n-Nullstellen, die einfach oder mehrfach, reell oder komplex sein können. Sind x1 , x2 , ..., xn reelle Nullstellen mit der Vielfachheit D1 , D2 , ..., Dr sowie x r+1, xr+2, ..., xs komplexe Nullstellen, zu denen jeweils noch eine konjugiert komplexe gehört, mit den Vielfachheiten Er+1, Er+2, ..., Es , so gilt: y = bn (x - x1 )D1 (x - x2 )D2 ... (x - xr)Dr (x2 + pr+1 x + q r+1)Er+1 ... ( x2 + ps x + q s )Es mit D1 +D2 + ...+ Dr + 2 Er+1 + 2 Er+2 + ... + 2 Es = n a) Das Nennerpolynom Q n(x) hat nur einfache reelle Nullstellen: ´ µ µ µ ¶

´ µ dx = µ Pn ( x) µ ¶

Pm ( x)

´ µ = µ µ ¶

Pm ( x)

x  x1 ˜ x  x2 .. x  xn ´ µ dx  µ x  x1 µ ¶ A1

dx

´ µ dx  ..  µ x  x2 µ ¶ A2

(4-48)

An x  xn

dx

Die Koeffizienten A1 , A 2 , ..., An erhalten wir mit unterschiedlichen Methoden: D) durch Koeffizientenvergleich E) durch Einsetzen bestimmter Werte J) durch die Ableitung des Nenners und Ai =

 , mit Q'( xi ) z 0. Q '  xi P xi

Seite 280

Integralrechnung Integrationsmethoden Beispiel 4.3.8: ´ µ dx = µ 2 µ x 4 ¶

´ µ µ µ ¶

1

´ µ dx  µ x 2 µ ¶ A1

A2 x 2

gegebenes Integral (zerlegt in zwei Teilbrüche)

dx

2

Q ( x) = x  4

P ( x) = 1

Zähler- und Nennerpolynom

Nullstellen des Nennerpolynoms: x 1 = 2, x2 = - 2 Koeffizientenvergleich (Methode D): 1

=

2

x 4

A1 x 2



A2

Integrand, zerlegt in drei Partialbrüche

x 2

1 = A1 ˜ ( x  2)  A2 ˜ ( x  2)

Bruchfrei gemachte Gleichung ausmultiplizieren und x herausheben

1 = A1 ˜ x  2 ˜ A1  A2 ˜ x  2 ˜ A2









1 = x ˜ A1  A2  2 ˜ A 1  A 2 A1  A2 = 0



Ÿ

Koeffizientenvergleich auf beiden Seiten der Gleichung

A2 = A1





2 ˜ A1  A2 = 1 Ÿ



Ÿ

2 ˜ A1  A1 = 1

A1 =

1

und

4

A2 =

1 4

Einsetzen bestimmter Werte für x (Methode E): 1 = A1 ˜ ( x  2)  A2 ˜ ( x  2) Wir wählen x = 2 und x = -2: 1

1 = A1 ˜ ( 2  2)  A2 ˜ ( 2  2)

Ÿ

A1 =

1 = A1 ˜ ( 2  2)  A2 ˜ ( 2  2)

Ÿ

A2 = 

4 1 4

Durch die Ableitung des Nenners (Methode J): Zählerpolynom

P ( x) = 1 2

Q ( x) = x  4 = ( x  2) ˜ ( x  2)

Nennerpolynom mit den reellen Wurzeln x 1 = 2 und x 2 = -2

Q ' ( x) = 2 ˜ x

Ableitung des Nennerpolynoms

A1 =

´ µ µ µ ¶

 = 1 = 1 =1 2 ˜ x1 2˜ 2 4 Q '  x1 P x1

´ µ µ 1 dx = µ 2 µ x 4 ¶

´ µ µ 4 dx  µ x 2 µ ¶ 1

A2 =

 = 1 = 1 = 1 2 ˜ x2 2 ˜ ( 2) 4 Q '  x2 P x2

1 4

x 2

dx =

1 4

˜ ln  x  2

Seite 281



1 4

˜ ln  x  2

 C=

1 4

§ x 2 ·  C © x 2 ¹

˜ ln ¨

Integralrechnung Integrationsmethoden Beispiel 4.3.9: ´ µ µ µ ¶

x 1 3

x  x  6˜ x

3

P ( x) = x  1

3

gegebenes Integral

dx

2

2

2



Q ( x) = x  x  6 ˜ x = x ˜ x  x  6

2

x  x  6˜ x= 0

§¨ 0 · ¨ 3 ¸ ¨2 © ¹

hat als Lösung(en)

Koeffizientenvergleich (Methode D): x 1 x ˜ ( x  2) ˜ ( x  3)

=

A1 x



A2 x 2



Zähler- und Nennerpolynoms

drei reelle Nullstellen: x1 = 0, x2 = 2, x3 = -3

A3

Integrand, zerlegt in drei Partialbrüche

x 3

x  1 = A1 ˜ ( x  2) ˜ ( x  3)  A2 ˜ x ˜ ( x  3)  A3 ˜ x ˜ ( x  2)

bruchfrei gemachte Gleichung

vereinfacht auf 2

2

2

x  1 = A1 ˜ x  A1 ˜ x  6 ˜ A1  A2 ˜ x  3 ˜ A2 ˜ x  A3 ˜ x  2 ˜ A3 ˜ x durch Zusammenfassen von Termen, ergibt





2





x  1 = A2  A1  A3 ˜ x  3 ˜ A2  A1  2 ˜ A 3 ˜ x  6 ˜ A 1 A1  A2  A3 = 0 A1  3 ˜ A2  2 ˜ A3 = 1

zu lösendes Gleichungssystem

6 ˜ A1 = 1 Vorgabe A1  A2  A3 = 0 A1  3 ˜ A2  2 ˜ A3 = 1 6 ˜ A1 = 1

§¨ 1 ¨ 6 §¨ A1 · ¨ A ¸  Suchen A  A  A o ¨¨ 3  1 2 3 10 ¨ 2¸ ¨ ¨© A3 ¹ ¨ 2 ¨© 15

· ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹

Lösungen des Gleichungssystem

Seite 282

Integralrechnung Integrationsmethoden

A1 o

1 6

A2 o

3

2

A3 o

10

gesuchte Koeffizienten

15

Einsetzen bestimmter Werte für x (Methode E): x  1 = A1 ˜ ( x  2) ˜ ( x  3)  A2 ˜ x ˜ ( x  3)  A3 ˜ x ˜ ( x  2) Wir wählen die Polstellen: x = 0 und x = 2 und x = -3 1

0  1 = A1 ˜ ( 0  2) ˜ ( 0  3)  A2 ˜ 0 ˜ ( 0  3)  A3 ˜ 0 ˜ ( 0  2)

Ÿ

A1 =

2  1 = A1 ˜ ( 2  2) ˜ ( 2  3)  A2 ˜ 2 ˜ ( 2  3)  A3 ˜ 2 ˜ ( 2  2)

Ÿ

A2 =

3  1 = A1 ˜ ( 3  2) ˜ ( 3  3)  A2 ˜ ( 3) ˜ ( 3  3)  A3 ˜ ( 3) ˜ ( 3  2)

Ÿ

A3 = 

6 3 10 2 15

Durch die Ableitung des Nenners (Methode J): P ( x) = x  1

3

2

2

Q ( x) = x  x  6 ˜ x

Q ' ( x) = 3 ˜ x  2 ˜ x  6

A1 =

x1  1  = 1 = 2 6 Q '  x1 3 ˜ x1  2 ˜ x1  6

A2 =

x2  1  = 2 1 3 = = 2 2 10 Q '  x2 3 ˜ x2  2 ˜ x2  6 3˜ 2  2˜ 2  6

A3 =

x3  1  = 3  1 2 = = 2 2 15 Q '  x3 3 ˜ x3  2 ˜ x3  6 3 ˜ ( 3)  2 ˜ ( 3)  6

´ µ µ µ ¶

Zähler- und Nennerpolynom und Ableitung des Nennerpolynoms

P x1

P x2

P x3

´ µ µ x 1 dx = µ 3 2 µ x  x  6˜ x ¶

1 6

x

1 = =

=

6

˜ ln  x

10 60 1 60

´ µ µ 10 dx  µ x 2 µ ¶

´ µ µ dx  µ µ ¶



˜ ln  x

3

3 10



˜ ln  x  2

18 60



2 15

x 3



˜ ln  x  2

2 15



ª ( x  2) 18 º »C « ( x  3) 8 ˜ x10 » ¬ ¼

˜ ln «

Seite 283

dx

˜ ln  x  3

8 60

C

˜ ln  x  3

C

Integralrechnung Integrationsmethoden

b) Das Nennerpolynom Q n(x) hat mehrfache reelle Nullstellen: ´ µ µ µ ¶

´ µ dx = µ Pn ( x) µ µ ¶

Pm ( x)

Pm ( x)

x  x1

D1





˜ x  x2

´ µ = µ µ ¶

´ µ dx  µ x  x1 µ µ ¶

´ µ + µ µ ¶

´ µ dx  µ x  xr µ µ ¶

D2





.. x  xn

Dr

dx

´ µ µ dx  ..  µ 2 x  x1 µ ¶ A1  2

A1  1





´ µ dx  ..  µ 2 µ x  xr ¶ Ar  2

Ar  1





(4-49)

A

1 D1

x  x1 D 1 Ar  D1

x  xr D r

dx + ... +

dx

Für Vielfachheiten gilt: D1 + D2 + ... + Dr = n. Beispiel 4.3.10: ´ µ µ µ ¶

3˜ x 2 ( x  1)

2

gegebenes Integral

dx

2

P ( x) = 3 ˜ x  2

Q ( x) = ( x  1) = ( x  1) ˜ ( x  1)

Zähler- und Nennerpolynome

Zweifache Nullstelle des Nennerpolynoms: x 1 = x2 = 1 3˜ x 2 ( x  1)

2

=

A x 1



B ( x  1)

Integrand, zerlegt in zwei Partialbrüche

2

Einsetzen bestimmter Werte für x (Methode E): 3 ˜ x  2 = A ˜ ( x  1)  B

bruchfrei gemachte Gleichung

Wir wählen x = 1 und x = 0: 3 ˜ 1  2 = A ˜ ( 1  1)  B

Ÿ

B=1

3 ˜ 0  2 = A ˜ ( 0  1)  1

Ÿ

A=3

´ µ µ µ ¶

´ µ dx = µ 2 µ ( x  1) ¶ 3˜ x 2

´ µ dx  µ x 1 µ ¶ 3

1 ( x  1)

2

dx = 3 ˜ ln  x  1

Seite 284



( x  1) 1

1

C

Lösung des gegebenen Integrals

Integralrechnung Integrationsmethoden Beispiel 4.3.11: ´ µ µ µ ¶

1 3

2

gegebenes Integral

dx

x x

3

2

2

Q ( x) = x  x = x ˜ ( x  1)

P ( x) = 1

Zähler- und Nennerpolynom

Nullstellen des Nennerpolynoms: x 1,2 = 0 , x3 = 1 1 3

A

=

2

x

x x



B 2

x



C

Integrand (zerlegt in drei Partialbrüche)

x 1

Einsetzen bestimmter Werte für x (Methode E ; (Methode J ist hier wegen Q'(0) = 0 nicht anwendbar!) 2

1 = A ˜ x ˜ ( x  1)  B ˜ ( x  1)  C ˜ x

bruchfrei gemachte Gleichung

Wir wählen x = 0 und x = 1 und x = 2: 2

Ÿ

B = 1

2

Ÿ

C=1

Ÿ

A = 1

1 = A ˜ 0 ˜ ( 0  1)  B ˜ ( 0  1)  C ˜ 0 1 = A ˜ 1 ˜ ( 1  1)  B ˜ ( 1  1)  C ˜ 1

2

1 = A ˜ 2 ˜ ( 2  1)  ( 1) ˜ ( 2  1)  1 ˜ 2 ´ µ µ µ ¶

´ µ dx = µ 3 2 µ x x ¶ 1

´ µ dx  µ x µ ¶

´ µ dx  µ 2 µ x ¶ 1

1

1 x 1

dx = ln  x

=



1

x

1

 ln  x  1

§ x 1 ·  1  C © x ¹ x

ln ¨

C

Lösung des gegebenen Integrals

c) Das Nennerpolynom Q n(x) hat mehrfache reelle und komplexe Nullstellen: ´ µ µ µ ¶

´ µ dx = µ Pn ( x) µ µ µ ¶

Pm ( x)

Pm ( x)

x  x1

D1





.. x  xn

Dr

˜ §© x  pr1 ˜ x  qr 1·¹ 2

E r 1

˜ .. ˜ §© x  ps ˜ x  qs·¹

Für Vielfachheiten gilt: D1 +D2 + ...+ Dr + 2 Er+1 + 2 Er+2 + ... + 2 Es = n.

Beispiel 4.3.12: ´ µ µ µ µ ¶

2

x 4

4

dx

gegebenes Integral

a x

Seite 285

2

Es

dx (4-50)

Integralrechnung Integrationsmethoden 2

4

2

4

2

4

A

=

4

ax

a x

B



Zähler- und Nennerpolynom

2

2

C˜ x  D



a x



a ˜ j = a ˜ j , x4 =  a ˜ j = a ˜ j

Nullstellen des Nennerpolynoms: x = a , x = -a , x3 = 1 2 x

2

Q ( x) = a  x = ( a  x) ˜ ( a  x) ˜ a  x

P ( x) = x

2

Integrand, zerlegt in drei Partialbrüche

2

a x

Methode E) Einsetzen bestimmter Werte:

2

2

2

x = A ˜ ( a  x) ˜ a  x

 B ˜ (a  x) ˜ a2  x2  (C ˜ x  D) ˜ (a  x) ˜ (a  x)

bruchfrei gemachte Gleichung

Wählen: x = a und x = -a und x = 0 und x = 2 a

2

2

2

a = A ˜ ( a  a) ˜ a  a 2

 B ˜ (a  a) ˜ a2  a2  (C ˜ a  D) ˜ (a  a) ˜ (a  a)

2

Ÿ

a = 2˜ a˜ 2˜ a ˜ A

2

2

2

a = A ˜ ( a  a) ˜ a  a 2

2

Ÿ

2

1

2

2

˜ ( a  0) ˜ a  0

4˜ a

B=

1

2

4˜ a

2

D= 2

˜ ( a  2 ˜ a) ˜ a  4 ˜ a

´ µ µ µ µ ¶

´ µ µ µ µ ¶

´ µ 2 µ x dx = µ 4 4 µ a x ¶

1 2 2

2

dx =

a x

2

x 4

4

a x

dx = 

´ µ µ 4˜a dx  µ ax µ ¶ 1

´ µ ˜µ 2 2˜ a µ µ µ ¶ 1

1 4˜ a

4˜ a

1 2

 41˜ a ˜ (a  2 ˜ a) ˜ a2  4 ˜ a2  §¨ C ˜ 2 ˜ a  12 · ˜ (a  2 ˜ a) ˜ (a  2 ˜ a) ©

Ÿ ´ µ µ µ µ ¶

1

 41˜ a ˜ (a  0) ˜ a2  02  (C ˜ 0  D) ˜ (a  0) ˜ (a  0) Ÿ

4˜ a =

1 4˜ a

 B ˜ (a  a) ˜ a2  a2  [ C ˜ (a)  D] ˜ (a  a) ˜ (a  a)

a = 2˜ a˜ 2˜ a ˜ B

0 =

A=

¹

C=0 ´ µ µ 4˜a dx  µ ax µ ¶

1 1

§x· ¨ © a¹

˜ ln  a  x



1

1

2

dx =

1 2

2˜ a

1 4˜ a

2 2

dx

2

a x

§x· © a¹

˜ a ˜ arctan ¨

˜ ln  a  x



Seite 286

1 2˜ a

letztes Teilintegral

§x·  C © a¹

˜ arctan ¨

Lösung des gegebenen Integrals

Integralrechnung Uneigentliche Integrale 4.4 Uneigentliche Integrale Die Voraussetzungen der Integration waren bisher, dass das Integrationsintervall und auch der Integrand beschränkt sind. Die Integration kann aber auch auf unbeschränkte Intervalle oder unbeschränkte Funktionen ausgedehnt werden. Die Integrationsaufgabe mit unbeschränktem Integrationsintervall oder unbeschränktem Integranden kann als Grenzwertaufgabe angesehen werden. Das bestimmte Integral heißt uneigentliches Integral, wenn mindestens eine der Integrationsgrenzen unendlich ist oder der Integrand f(x) im Intervall [a , b] nicht beschränkt ist, d.h. eine oder mehrere Polstellen hat.

4.4.1 Uneigentliche Integrale 1. Art Uneigentliche Integrale 1. Art (unendliche Integrationsgrenzen): Ist f(x) im Intervall [a , f[ stetig, so definieren wir ´ µ ¶

+f

a

x ´ 1 f ( x) dx = lim µ f ( x) dx , ¶ x1 o f a

(4-51)

falls der Grenzwert existiert. Ist f(x) im Intervall ]f , b ] stetig, so definieren wir ´ µ ¶

b

b

´ f ( x) dx = lim µ f ( x) dx , x0 o -f ¶x0 -f

(4-52)

falls der Grenzwert existiert. Ist f(x) im Intervall ]- f , f[ stetig, so definieren wir x

+f

a ´ 1 ´ lim µ f ( x) dx , f ( x) dx = lim µ f ( x) dx  ¶ ¶ x0 o -f x0 x1 o f a -f

´ µ ¶

(4-53)

falls beide Grenzwerte existieren.

Abb. 4.4.1

Seite 287

Integralrechnung Uneigentliche Integrale Beispiel 4.4.1: f ( x) 

1

gegebene Funktion

2

x

x  1  1  0.01  10

Bereichsvariable

´ µ ¶

f( x)

f

b

´ f ( x) dx = lim µ f ( x) dx ¶ bof 1 1

1

0.5

´ µ lim µ bof µ ¶

b

1 2

dx =

lim bof

x

nach (4-51)

1·

§1  ¨ ©

b¹

=1

Maßzahl der Fläche

1

0

5

10 b

´ µ f ( x) dx o 1 ¶ bof 1

x

´ µ ¶

lim

Abb. 4.4.2

f

f ( x) dx o 1

1

Beispiel 4.4.2: f ( x) 

1

gegebene Funktion

x

x  1  1  0.01  10

Bereichsvariable

´ µ ¶

1

f

b

f ( x) dx =

1

f( x)

´ lim µ µ bof ¶

0.5

5

10

x

1 x

dx =

lim

b

´ lim µ f ( x) dx o f ¶ bof 1

Der Grenzwert existiert nicht, das heißt das Integral ist divergent.

Beispiel 4.4.3: 1 2

gegebene Funktion

x 4 x  0  0.01  10

Bereichsvariable

Seite 288

( ln ( b)  ln ( 1) ) = f

bof

Abb. 4.4.3

f ( x) 

nach (4-51)

b

1

0

´ µ f ( x) dx ¶ bof 1 lim

´ µ ¶

f

1

f ( x) dx o f

Integralrechnung Uneigentliche Integrale

´ µ ¶

f

b

f ( x) dx =

0

0.2 f( x)

´ µ lim µ bof µ ¶ 5

b

1 ´ dx = ˜ µ 2 4 µ x 4 µ 0 µ ¶

0.1

0

´ µ f ( x) dx ¶ bof 0

10

nach (4-51)

lim

b

1

1

§x· 1 ¨ © 2¹

2

dx

0

x

Abb. 4.4.4 ´ µ lim µ bof µ ¶

b

1

dx =

2

lim bof

x 4

b | = 0

§ 1 ˜ 2 ˜ arctan § x · · ¨ ¨ ©4 © 2 ¹¹

1 2

˜

lim bof

§ arctan § b ·  arctan ( 0) · ¨ ¨ © © 2¹ ¹

0 2

§x· © 2¹

atan¨

S

= 1/2 (S/2 - 0) = S/4

2

Auswertung mit Mathcad:

Maßzahl der Fläche

b

´ 1 µ f ( x) dx o ˜ S ¶ 4 bof 0

1

lim

0

5

10

x

´ µ ¶

f

f ( x) dx o

0

1 4

˜S

Abb. 4.4.5 Beispiel 4.4.4: 2˜x

f ( x)  e

gegebene Funktion

x  3  3  0.01  0

Bereichsvariable

´ µ ¶

1

0

0

f ( x) dx =

f

´ µ f ( x) dx ¶ aof a

nach (4-52)

lim

Maßzahl der Fläche: f( x)

0.5 0

´ 2˜x µ e dx = lim lim ¶ aof a aof 3

2

1 x

Abb. 4.4.6

0





ª 1 e0  e2˜a º = 1 « » 2 ¬2 ¼

Maßzahl der Fläche mit Mathcad ausgewertet: 0

´ 1 µ f ( x) dx o lim ¶ 2 aof a

Seite 289

´ µ ¶

0

f

f ( x) dx o

1 2

Integralrechnung Uneigentliche Integrale Beispiel 4.4.5: 1

f ( x) 

gegebene Funktion

x

x

e e

x  5  5  0.01  5

Bereichsvariable

Nach (4-53) gilt:

0.6

´ µ ¶

f

´ µ µ µ ¶

f

0

lim

f

0.4 f( x) 0.2

´ µ 1 dx = µ x x µ e e ¶

f

5

0 x

5

b

´ ´ µ f ( x) dx  lim µ f ( x) dx ¶ ¶ aof a bof 0

f ( x) dx =

f x

e 2x

e

dx 1

Zähler und Nenner erweitern mit ex

f

x

x

du = e ˜ dx

u=e

Substitution

Abb. 4.4.7 ´ µ µ µ ¶

f

1 x

x

dx =

lim

arctan (1)  arctan ea



aof

e e

arctan eb  arctan (1)

lim bof

f

Nach Auswertung der Grenzwerte ergibt sich die Maßzahl der Fläche zu: ´ µ µ µ ¶

f

1 x

x

dx = ( arctan ( 1)  0) 

e e

§ S  arctan ( 1)· = S ¨ ©2 ¹ 2

f

Mit Mathcad ausgewertet: ´ µ µ µ ¶

f

f

1 x

x

e e

dx o

1 2

˜S

´ µ µ µ ¶

1 x

x

e e

Seite 290

dx o atan ( exp ( x) )

Integralrechnung Uneigentliche Integrale 4.4.2 Uneigentliche Integrale 2. Art Uneigentliche Integrale 2. Art (Polstellen von f(x)): Ist f(x) im Intervall [a, b[ stetig, aber in x = b nicht beschränkt, so definieren wir ´ µ ¶

bH

b

´ f ( x) dx = lim µ ¶ Ho0 a a

f ( x) dx ,

(4-54)

falls der Grenzwert existiert ( H > 0). Ist f(x) im Intervall ]a, b] stetig, aber in x = a nicht beschränkt, so definieren wir ´ µ ¶

b

b

f ( x) dx =

a

´ µ f ( x) dx , ¶ G o 0 aG lim

(4-55)

falls der Grenzwert existiert (G > 0). Ist f(x) im Intervall [a, b] bis auf x = c, a < c < b, stetig, aber in c nicht beschränkt, so definieren wir ´ µ ¶

c H

b

a

f ( x) dx =

´ µ ¶ Ho0 a lim

b

f ( x) dx 

´ µ f ( x) dx , ¶ G o 0 c G lim

(4-56)

falls beide Grenzwerte existieren.

Abb. 4.4.8

Seite 291

Integralrechnung Uneigentliche Integrale Beispiel 4.4.6: 1

f ( x) 

gegebene Funktion 2

1x b 1

Polstelle

x  0  0.001  1

Bereichsvariable

4

0.9 b

Nach (4-54) gilt: ´ µ ¶

bH

b

´ f ( x) dx = lim µ ¶ Ho0 0 0

f ( x) dx

Maßzahl der Fläche:

f( x) 2

0

0.5

1

´ µ lim µ Ho0 µ ¶

1H

1

dx =

( arcsin ( 1  H )  arcsin ( 0) )

lim Ho0

2

1x

0

x

Maßzahl der Fläche mit Mathcad ausgewertet:

Abb. 4.4.9

1H

´ lim µ ¶ Ho0 0

f ( x) dx o

1 2

´ µ ¶

˜S

1

f ( x) dx o

0

1 2

˜S

Beispiel 4.4.7: f ( x) 

1

gegebene Funktion

2

x a 0

Polstelle

x  0.1  0.1  0.01  3

Bereichsvariable

a

Nach (4-55) gilt: ´ µ ¶

2

2

´ f ( x) dx = lim µ f ( x) dx ¶ G o 0 a G a

2

20

Maßzahl der Fläche:

f( x)

0

1

2 x

Abb. 4.4.10

3

´ µ lim µ G o0 µ ¶

2

1 2

x

dx =

lim Go0



§ 1  1 · ¨ © 2 G¹

existiert nicht

0 G

Maßzahl der Fläche mit Mathcad ausgewertet: 2

´ lim µ f ( x) dx o undefined ¶ G o0 G

Seite 292

´ µ ¶

2

0

f ( x) dx o f

Integralrechnung Uneigentliche Integrale Beispiel 4.4.8: 1

f ( x) 

3

gegebene Funktion

x 1

c 1

Polstelle

x  0  0.01  4

Bereichsvariable

Nach (4-56) gilt: ´ µ ¶

c f( x)

c H

4

´ f ( x) dx = lim µ ¶ Ho0 a 0

5

0

2

1H

´ µ µ lim µ ¶ Ho0 0

4

5

b

´ f ( x) dx  lim µ f ( x) dx ¶ G o 0 c G 4

1

( x  1)

3

dx

´ 1 µ µ 3 dx  lim µ ( x  1) ¶ G o 0 1G

x

Abb. 4.4.11 Auswertung der Grenzwerte: 2º ª «3 » 3 lim « ˜ ( x  1) » ¼ H o 0 ¬2

2º ª «3 » 4 3 | lim « ˜ ( x  1) » ¼ 1+G G o 0 ¬2

1- H | + 0

2 2 ºº ª ª «3 « » 3 3» lim « ˜ ¬ ( 1  H  1)  ( 1) ¼ » ¼ H o 0 ¬2

2 2 ºº ª ª «3 « » 3 3 3»  lim « ˜ ¬ ( 4  1)  ( 1  G  1) ¼ » = ˜ 2 ¼ G o 0 ¬2

3 9  1

Maßzahl der Fläche: ´ µ µ µ ¶

4

1 3

dx

3

=

2

x 1

˜

3 9  1

4.62

0

´ µ µ µ ¶

1

0

´ µ µ µ ¶

´ 1 µ dx  µ 3 x 1 µ ¶

2

4

1 3

dx o

x 1

3 2



3 2

˜3

3

4.62

Auswertung mit Mathcad

1 2

4

1 3

x 1

dx o

3 2

˜3

3

1



3 4



3 4

˜i˜3

Achtung nicht über Polstellen hinweg integrieren!

2

0

Seite 293

Integralrechnung Numerische Integration 4.5 Numerische Integration Numerische Methoden sind im Allgemeinen Näherungsverfahren. Im Gegensatz zu den bisher besprochenen bestimmten Integralen gibt es aber viele Integrale, die nicht geschlossen darstellbar sind, d.h. sie besitzen Stammfunktionen, die nicht durch elementare Funktionen ausdrückbar sind. Oft ist die Integration zwar in geschlossener Form möglich, aber zu aufwendig. In diesen Fällen verwenden wir numerische Integrationsverfahren. Führen wir das jeweilige Verfahren hinreichend weit und rechnen mit hinreichend vielen Stellen, um Rundungsfehler klein zu halten oder gar auszuschließen, so können Fehler der Lösung unter eine gewünschte Grenze gebracht werden. Nachfolgend werden einige diese Näherungsverfahren besprochen.

4.5.1 Mittelpunkts- und Trapezregel Wir zerlegen das Integrationsintervall [a, b] in n Teilintervalle der Breite (Schrittweite) 'x = h = (b - a)/n und summieren dann die Rechtecksflächen, deren Höhe mit dem Funktionswert in der Mitte der Teilintervalle übereinstimmt.

Abb. 4.5.1

Als Näherung gilt dann für die Maßzahl der Fläche zwischen Kurve und x-Achse: ´ µ ¶

b

f ( x) dx

a

h· 3 ˜ h· · §§ §  f ¨a   ....  | Mn = h ˜ ¨ f ¨ a  2¹ 2 ¹ ©© © ¹

n

Mn = h ˜

¦ i

ª ¬

§ ©

f «a  ¨i 

1

1· 2¹

Wählen wir die Schrittweite 2 ˜ h =

´ µ ¶

b

a

f ( x) dx

º ¼

˜ h»

Mittelpunktsregel bei n-Rechtecken

ba n

M2n = 2 ˜ h ˜

¦ i

1

ª ¬

§ ©

f «a  ¨i 

1· 2¹

(4-58)

, also 2n Rechtecksflächen, so gilt:

h· 3 ˜ h· · §§ §  f ¨a   ....  | M2n = 2 ˜ h ˜ ¨ f ¨ a  2¹ 2 ¹ ©© © ¹ 2˜n

(4-57)

º ¼

˜ 2 ˜ h» Mittelpunktsregel bei 2n-Rechtecken

 Seite 294

(4-59)

(4-60)

Integralrechnung Numerische Integration Wir zerlegen das Integrationsintervall [a, b] in n Teilintervalle der Breite (Schrittweite) 'x = h = (b - a)/n und summieren dann die Trapezflächen, deren Höhe jeweils 'x = h ist. Die Parallelseiten sind die Funktionswerte an der linken und rechten Grenze der Teilintervalle .

Abb. 4.5.2

Als Näherung gilt dann für die Maßzahl der Fläche zwischen Kurve und x-Achse: ´ µ ¶

b

| Tn =

f ( x) dx

a

Tn =

h 2

h 2

˜ [ ( f ( a)  f ( a  h) )  ( f ( a  h)  f ( a  2 ˜ h) )  ....]

(4-61)

n

¦

˜

i

[ f [ a  ( i  1) ˜ h ]  f ( a  i ˜ h) ]

Trapezregel bei n-Trapezen

(4-62)

1

Die Trapezsumme ist gerade der Mittelwert von der unteren und oberen Riemannsumme. Wählen wir die Schrittweite 2 ˜ h =

´ µ ¶

ba n

, also 2n Trapeze, so gilt:

b

| T2n = h ˜ [ [ ( f ( a)  f ( a  2 ˜ h) )  ( f ( a  2 ˜ h)  f ( a  4 ˜ h) )  ....] ]

f ( x) dx

(4-63)

a 2˜n

T2n = h ˜

¦ i

[ f [ a  ( i  1) ˜ 2 ˜ h ]  f ( a  i ˜ 2 ˜ h) ]Trapezregel bei 2n-Trapezen

(4-64)

1

 Die Trapezregel T n (4-62) erhalten wir auch aus dem Mittelwert von T 2n und M2n:

Tn =

T2n  M2n

(4-65)

2



Seite 295

Integralrechnung Numerische Integration Beispiel 4.5.1: Berechnen Sie die Fläche zwischen x-Achse und der Funktion y = f(x) = x 2 im Bereich a = 0 und b = 1 exakt und mithilfe der Mittelpunkts- und Trapezregel. a 0 Intervallrandpunkte des Intervalls [a,b] b 1 n 2 'x 

Anzahl der Subintervalle b a

Intervallbreite

n  FRAME 2

f ( x)  x

Funktionsgleichung

x  a  a  0.0001  b

Bereichsvariable

Funktionen zur grafischen Veranschaulichung:

Funktion zur Umwandlung einer Bereichsvariablen in einen Vektor:

tp  0  1 Lv_in_Vektor ( a  b  sw)  yp  0  1

Bereichsvariablen

km0 for i  a  a  sw  b

v  0  0.001  1

vk m i

Z  0.0001

kmk1

Konstante v

ª ¬

fm ( x)  f «( x  mod ( x  a  'x) ) 

'xº

»

2¼

Linearisierung der Kurve (Rechtecke)

fu ( x)  f ( x  mod ( x  a  'x) ) Hilfsfunktionen fo ( x)  f ( x  mod ( x  a  'x)  'x)





ft ( x)  fu ( x)  f o ( x)  fu ( x) ˜

mod ( x  a  'x)

Linearisierung der Kurve (Trapeze)

'x

X  a  Z  ( a  'x)  Z  b  Z

§ ©

§ ©

i  0  länge ¨ Lv_in_Vektor ¨ a  'x 'x xm = a  a  3˜  b 2 2

Bereichsvariable 'x 2

··  1 ¹¹

 b  'x

Summationsvariable

xu = a  a  'x  b  'x

Bereichsvariable

'x § · xm  Lv_in_Vektor ¨ a   b  'x 2 © ¹ T

xm

( 0.25 0.75 )

Bereichsvariable

xu  Lv_in_Vektor ( a  b  'x  'x)

Vektor der Mittelpunkte der Rechtecke

Seite 296

T

xu

( 0 0.5 )

Vektor der Anfangspunkte der Trapeze

Integralrechnung Numerische Integration Animation: FRAME von 0 bis 10 mit 1 Bild/s

n  FRAME

2

¦ §©f §©xmi·¹ ˜ 'x·¹

Mn 

i

Mn

0.3125

Abb. 4.5.3

´ µ ¶

1 2

x dx

0.33333

0

Trapezregel 1 ft( x)˜yp

Tn 

¦ i

f( x) 0.5

ft( x)

Tn

§¨ f § xu ·  f § xu  'x· · © i¹ © i ¹ ˜ 'x ¨ 2 © ¹

0.375

ft( X)˜v

Abb. 4.5.4 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x x x X

Beispiel 4.5.2: Berechnen Sie die Fläche zwischen x-Achse und der Funktion y = f(x) = e -x im Bereich a = 0 und b = 4 exakt und mithilfe der Mittelpunkts- und Trapezregel. a 0 Intervallrandpunkte des Intervalls [a,b] b 4 n  50 h

Anzahl der Subintervalle

b a 2˜ n x

Intervallbreite

f ( x)  e

Funktionsgleichung

x  a  a  0.0001  b

Bereichsvariable

Seite 297

Integralrechnung Numerische Integration

Abb. 4.5.5

´ µ ¶

b

f ( x) dx

exakte Lösung (auf fünf Nachkommastellen)

0.98168

a 2˜n

¦

M2n  2 ˜ h ˜

i

1

ª ¬

§ ©

f «a  ¨i 

1· 2¹

º ¼

˜ 2 ˜ h»

M2n

0.9994

Näherungslösung (4-60)

T2n

1.0002

Näherungslösung (4-64)

2˜n

T2n  h ˜

¦ i

Tn 

[ f [ a  ( i  1) ˜ 2 ˜ h ]  f ( a  i ˜ 2 ˜ h) ]

1

T2n  M2n

Tn

2

0.9998

Näherungslösung (4-65)

4.5.2 Kepler- und Simpsonregel Wir zerlegen das Integrationsintervall [a, b] in zwei gleiche Teile mit dem Teilungspunkt xm = (a + b)/2 und der Länge 'x = h = (b - a)/2.

Abb. 4.5.6

Seite 298

Integralrechnung Numerische Integration Die Näherungsformel, die wir für das bestimmte Integral erhalten, wenn wir die Funktion y = f(x) durch eine Parabel p(x) = a 0 + a1 x + a2 x2 ersetzen, welche durch die Punkte P 0 (a | f(a)), P1 (x m | f(xm)) und P2 (b | f(b)) hindurchgeht, lautet: ´ µ ¶

b

f ( x) dx

´

b

| Kn = µ p ( x) dx = ¶

a

a

b a 6



  f (b)º¼Keplerregel

˜ ª f ( a)  4 ˜ f xm ¬

(4-66)

Es ist leicht einzusehen, dass der ermittelte Näherungswert umso besser sein wird, je näher die Stellen a und b auf der x-Achse beieinander liegen. Demnach ist es naheliegend, größere Intervalle [a , b] in eine Summe kleinerer Intervalle zu zerlegen und über jedem Teilintervall die Näherungswerte zu berechnen. Eine methodische Zusammenfassung dieses Gedankens führt zu Näherungsformel von Simpson. Wird das Integrationsintervall [a , b] in 2n gleich breite Teilintervalle zerlegt, dann lässt sich n-mal die Kepler-Regel anwenden, indem immer zwei Teilintervalle zu einem Doppelintervall (n Doppelstreifen) zusammengefasst werden. Für das bestimmte Integral gilt dann folgende Näherungsformel ( Simpsonregel): ´ µ ¶

b

f ( x) dx

| S2n

a

S2n =

b a 6˜ n

Mit der Schrittweite 2 ˜ h = S2n =

h 3

   





˜ ª f ( a)  4 ˜ f x1  f x3  ....  f x2˜n 1  «  2 ˜ f x  f x  ....  f x 2˜n 2  f ( b) 2 4 ¬ b a n





º » ¼

(4-67)

kann dann die Simpsonregel wie folgt geschrieben werden:

˜ ª f ( a)  4 ˜ [ f ( a  h)  f ( a  3 ˜ h)  ....  f [ a  ( n  1) ˜ h ] ]  ¬  [ 2 ˜ [ f ( a  2 ˜ h)  f ( a  4 ˜ h)  ....  f [ a  ( n  2) ˜ h ] ]  f ( a  n ˜ h) ]

º ¼

(4-68)



Mit n = 1 Doppelstreifen und b a 2˜ h = n erhalten wir aus der Simpsonregel die Keplerregel: A=

Abb. 4.5.7

Seite 299

h 3





˜ y0  4 ˜ y1  y2

Integralrechnung Numerische Integration Die Simpsonregel kann für n/2 Doppelstreifen ba h= , m = 1  3  n  1 und k = 2  4  n  2 (n t 4) n in folgender Form geschrieben werden: S2n =

h 3

˜ § f ( a)  4 ˜

¨ ©

¦ f (a  m ˜ h)  2 ˜ ¦ f (a  k ˜ h)  f (a  n ˜ h)· m

k

(4-69)

¹

Die Simpsonregel kann für n Doppelstreifen auch als Unterprogramm ausgeführt werden: Simpson ( f  a  b  n) 

hm

b a

(4-70)

n

S m f ( a)  f ( b) for i  0  n  1

§ ©

S m S  4 ˜ f ¨a  i ˜ h 

h· 2¹

for i  1  n  1 S m S  2 ˜ f ( a  i ˜ h) h 6

˜S

In vielen Fällen liefert die Simpsonregel recht gute Ergebnisse. Bei manchen Fällen kann dies jedoch auch zu Problemen führen. Es sei daher nachfolgend noch eine bessere Methode angeführt. Die Funktion Adapt(f,a,b) benutzt Simpson in einer rekursiven Form zur Berechnung eines Näherungswertes für das bestimmte Integral: Adapt ( f  a  b) 

H m 10

8

(4-71)

S1 m Simpson ( f  a  b  5) S2 m Simpson ( f  a  b  10 ) S1  S2  H

S2 if

§ ©

Adapt ¨ f  a 

a  b· 2

¹

§ a  b  b· otherwise 2 © ¹

 Adapt ¨ f 

Die Arbeitsweise von Adapt nennen wir adaptive Quadratur, da sie sich selbstständig einer gegebenen Situation anpasst und nur soviel an Rechnungen ausführt, als nötig ist. In Mathcad können zur numerischen Berechnung eines bestimmten Integrals zwei Methoden eingesetzt werden: 1. Romberg-Methode (Intervall Bisektionsmethode): Nach jedem Schritt wird jedes Subintervall geteilt, und ein neues Trapez angenähert. Diese Näherung wird einer Liste von vorhergehenden Näherungen hinzugefügt. Aus diesen Daten wird ein Polynom als Näherung gewonnen. Dieses Polynom an der Stelle 0 ist die neue RombergNäherung. 2. Eine Adaptive-Quadratur-Methode. Adaptive Methoden benutzen immer mehr als eine Methode. In Mathcad wird zuerst für jedes Subintervall eine Gauß-Methode mit 10 Punkten und eine Methode von Konrad mit 21 Punkten verwendet. Wenn die Näherung nicht gut genug ist, wird jedes Subintervall weiter unterteilt.

Seite 300

Integralrechnung Numerische Integration Beispiel 4.5.3: Berechnen Sie die Fläche zwischen x-Achse und der Funktion y = f(x) im Bereich a und b exakt, mithilfe der Keplerregel, der Simpsonregel und der Adaptiv-Methode. a  0.5 Randpunkte des Integrationsintervalls b  2.5 xm  'x 

a b

Teilungspunkt

2 ba

Schrittweite

100

x  a  2  a  2  'x  b  2

Bereichsvariable

f ( x)  sin ( x)

Funktion

Zur Illustration des Verfahrens bestimmen wir auch das quadratische Polynom p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 durch die Punkte P0 (a | f(a)), P1 (b | f(b)), P2 (xm | f(xm)). Aus den drei Bestimmungsgleichungen für die Koeffizienten von p(x) erhalten wir mit der Koeffizientenmatrix K und dem Vektor y den Lösungsvektor a: 2

a0  a1 ˜ a  a2 ˜ a = f ( a) lineares Gleichungssystem zur Bestimmung der Polynomkoeffizienten

2

a0  a1 ˜ b  a2 ˜ b = f ( b)

(in Matrizenform: K a = y mit dem Lösungsvektor a = K -1 y)



2

a0  a1 ˜ xm  a2 ˜ xm = f xm

§ 1 a a2 · ¨ ¨ 2 ¸ K ¨1 b b ¸ ¨1 x x 2 m m ¹ ©

§ f ( a) · ¨ y  ¨ f ( b) ¸ ¨ f x © m ¹ 2

p ( x)  a0  a1 ˜ x  a2 ˜ x

1

a K

§¨ 0.124 · a ¨ 1.435 ¸ ¨ 0.459 © ¹

˜y

Näherungspolynom Exakter Wert des Integrals (5 Gleitkommastellen):

Funktion und Näherungspolynom f( a) f( b)

4

a

´ µ ¶

b

f ( x) dx gleit  5 o 1.6787

a

Kepler-Näherung:

2



f xm

Kn  0

f( x) p ( x)

b

2

4

Kn

2

ba 6

§ ©

§ a  b ·  p ( b)· © 2 ¹ ¹

˜ ¨ p ( a)  4 ˜ p ¨

1.6893

Direkt berechnetes Integral über p(x): 4

´ µ ¶

a  b  xm  x

b

a

Abb. 4.5.8

Seite 301

p ( x) dx gleit  5 o 1.6893

Integralrechnung Numerische Integration n 4

n/2 Doppelstreifen

b a

h

Schrittweite

n

m  1  3  n  1 h

S2n 

S2n

3

k  2  4  n  2

˜ § f ( a)  4 ˜

¨ ©

Bereichsvariablen

¦ f (a  m ˜ h)  2 ˜ ¦ f (a  k ˜ h)  f (a  n ˜ h)· m

Simpsonformel

¹

k

Simpsonnäherung

1.6793

n  2  6  30

Bereichsvariable für die Doppelstreifen 2, 6, 10, ..., 30

Simpson ( f  a  b  n)

Adapt ( f  a  b)

Simpson- und Adaptiv-Methode

1.6787

1.6793 1.6787 1.6787 1.6787 1.6787 1.6787 1.6787 1.6787

Beispiel 4.5.4: Berechnen Sie die Fläche zwischen x-Achse und der Funktion y = f(x) im Bereich a und b exakt, mithilfe der numerischen Berechnung von Mathcad, der Simpsonregel und der Adaptiv-Methode. a  1 Randpunkte des Integrationsintervalls b 1 'x 

ba

Schrittweite

400

x  a  2  a  2  'x  b  2 f ( x) 

Bereichsvariable

2

1 x

Funktion

1 a

b

f( x)

0.5

1

0.5

Abb. 4.5.9

0

0.5

x

Seite 302

1

Integralrechnung Numerische Integration

TOL  10

 10

Berechnungstoleranz für das bestimmte Integral

S

A

A

2

´ ARA  µ ¶

exakter Wert und auf 6 Nachkommastellen ausgewertet

1.570796

b

f ( x) dx

ARA

Romberg- und Adaptiv-Methode (mit rechter Maustatste auf das Integral klicken)

1.570796

a

AS  Simpson ( f  a  b  4)

AS

1.541798

Simpson mit 4 Doppelstreifen (4-70)

AA  Adapt ( f  a  b)

AA

1.570796

Adaptive-Methode (4-71)

Relativer Fehler: A  AS

1.846 %

A

Beispiel 4.5.5: Berechnen Sie die Fläche zwischen x-Achse und der Funktion y = f(x) im Bereich a und b exakt, mithilfe der numerischen Berechnung von Mathcad, der Simpsonregel und der Adaptiv-Methode. a 0 Randpunkte des Integrationsintervalls b 2˜ S 'x 

ba

Schrittweite

1000

x  0  'x  2 ˜ S f ( x)  sin ( 4 ˜ x)

Bereichsvariable 2

Funktion

1 a f( x)

b

0.5

0

1

2

3

4

5

6

7

x

Abb. 4.5.10 ´ ARA  µ ¶

b

f ( x) dx

ARA

3.141593

Romberg und Adaptiv

ARA o S

a

AS  Simpson ( f  a  b  5)

AS

3.141593

Simpson mit 5 Doppelstreifen (4-70)

AA  Adapt ( f  a  b)

AA

3.141593

Adaptive-Methode (4-71)

Seite 303

exakter Wert

Integralrechnung Numerische Integration Beispiel 4.5.6: Berechnen Sie die Fläche zwischen x-Achse und der Folge von diskreten Punkten im Bereich a und b exakt, mithilfe der numerischen Berechnung von Mathcad, der Simpsonregel und der Adaptiv-Methode. a 0 Randpunkte des Integrationsintervalls b  20 ba

'x 

Schrittweite

300

x  0  'x  21

Bereichsvariable

f ( x)  x ˜ sin ( x)  x

Funktion

i  0  20

Bereichsvariable für die Punkte

xi  i



yi  f xi

Folge diskreter Punkte

60 a f( x)

b

40

y 20

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

x x

Abb. 4.5.11 Wir lösen die Aufgabe, indem wir durch die Punktfolge mithilfe einer kubischen Spline-Interpolation eine Interpolationskurve legen und die Fläche unter dieser bestimmen: v  kspline ( x  y)

Mit dem Vektor v bilden wir die Interpolationskurve g(x).

g ( x)  interp ( v  x  y  x)

g ( x) f( x)

45 39 a 33 27 21 15 9 3 3 0 9 15

b

2

4

6

8

10

x

Abb. 4.5.12

Seite 304

12

14

16

18

20

Integralrechnung Numerische Integration

Die Grafik zeigt, dass die interpolierte Kurve und die Kurve von f(x) im betrachteten Bereich recht gut übereinstimmen. ´ ARA  µ ¶

b

g ( x) dx

ARA

192.737549

Romberg und Adaptiv (die gesuchte Fläche)

a

´ A µ ¶

b

f ( x) dx

A o sin ( 20 )  20 ˜ cos ( 20 )  200

192.751304

a

Vergleich mit der Fläche unter der Kurve f(x)

AS  Simpson ( g  a  b  4)

AS

183.301808

Simpson mit 4 Doppelstreifen (4-70)

AA  Adapt ( g  a  b)

AA

192.737549

Adaptive-Methode (4-71)

Relativer Fehler: A  AA A

0.007 %

Seite 305

Integralrechnung Bogenlänge einer ebenen Kurve 4.6 Anwendungen der Integralrechnung 4.6.1 Bogenlänge einer ebenen Kurve Wir denken uns die Länge eines beliebig herausgegriffenen Kurvenstückes zwischen P 1 und P2 durch das differentiell kleine Linienelemente ds ersetzt. Die Integration über alle Linienelemete bedeutet, dass wir für unbegrenzt feiner werdende Zerlegungen den Grenzwert der Summe aller Linienelemente bilden. Wir setzen voraus, dass die Funktion y = f(x) und deren Ableitung im Intervall [a, b] stetig sind. Nach dem pythagoräischen Lehrsatz gilt:

ª

ds = dx  dy = « 1  2

2

2

¬

2 § dy · »º ˜ dx2 ¨ © dx ¹ ¼

(4-72)

Damit gilt für das Linienelement: ds =

2

1  ( y' ) ˜ dx

(4-73)

Abb. 4.6.1.1 Für die Summe aller Linienelemente zwischen a und b, also für die Bogenlänge s, gilt dann: ´ s=µ ¶

b

a

´ 1 ds = µ ¶

b 2

1  ( y' ) dx für

adxdb

(4-74)

a

Liegt die Funktion in Parameterdarstellung x = x(t) , y = y(t) vor und ist diese im Intervall [t 1 , t 2 ] differenzierbar, so gilt mit yt a = x t1 , b = x t2 , dx = xt ˜ dt und y' = ( x z 0): xt t





t ´2 µ µ s= µ µ ¶

t

2

´2 §¨ yt · 1 ˜ xt dt = µ µ ¨© xt ¹ ¶

2

2

xt  yt dt

für t1 d t d t2

(4-75)

t1

t1

Liegt die Funktion in Polarkoordinatendarstellung r = r( M) vor, so hat diese Funktion eine Parameterdarstellung der Form x = r(M) cos(M) und y = r(M) sin(M) : ds2 = dx2 + dy2 = (xM dM)2 + (yM dM)2 = [(r' cos(M) - r sin(M))2 + (r' sin(M) + r cos(M))2 ] dM2 = = [r' 2 cos(M)2 - 2 r' r sin(M) cos(M) + r2 sin(M)2 + r' =

[r2

(sin(M)2 M ´ 2 µ s= µ ¶ M1

+

cos(M)2 )

2

+ r'

2

2

(sin(M)2

r ( M )  r' ( M ) dM

+

cos(M)2 ]

2

sin(M)2 + 2 r' r sin(M) cos(M) + r2 cos(M)2 ] dM2 =

dM2

für M 1 d M d M 2

Seite 306

= [ r2 + r' 2 ] dM2

(4-76)

Integralrechnung Bogenlänge einer ebenen Kurve Beispiel 4.6.1.1: Sekantenannäherung der Bogenlänge. Funktion zur Umwandlung einer Bereichsvariablen in einen Vektor:

a 1 Intervall b 2 

Lv_in_Vektor ( a  b  sw) 

3

km0 for i  a  a  sw  b

2

f ( x) 

4˜ x x

n  1  FRAME 'x 

vk m i

gegebene Funktion

kmk1

Anzahl der Intervalle (FRAME von 0 bis 10, 1 Bild/s)

ba

v

Intervalllänge

n

x  0  0.01  4

Bereichsvariable

x1  a  a  'x  b

Bereichsvariable

2.5 a

b

2 f( a) 1.5

f( x)



f x1

f( b)

1 n1

lim

0.5

nof 0

0

0.5

¦ i

0

´ ª« 2 »º µ ª  'yi º « 1  « 'x » ˜ 'x» = µ ¬ ¬ ¼ ¼ µ ¶

b 2

§d · 1  ¨ f ( x) dx © dx ¹

a

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

x  x1

Abb. 4.6.1.2 xb = a  a  'x  b  'x

xb  Lv_in_Vektor ( a  b  'x  'x)

i  0  länge ( Lv_in_Vektor ( a  b  'x  'x) )  1 sb 

¦ i

´ µ µ µ ¶

2

'x  § f § xb  'x·  f § xb · ·

©©

i

¹

©

i¹ ¹

2

Bereichsvariable in einem Vektor umwandeln Bereichsvariable

sb

2.8284271247

Näherung der Bogenlänge

b 2

1

exakte Lösung der Bogenlänge (auf 10 Dezimalstellen)

· §d ¨ f ( x) dx 3.1415926536 © dx ¹

a

Seite 307

Integralrechnung Bogenlänge einer ebenen Kurve Beispiel 4.6.1.2: Berechnen Sie die Bogenlänge der Funktion y = sin(x + 2 sin(x)) zwischen a = 0 und b = 2 S. f ( x)  sin ( x  2 ˜ sin ( x) ) d

fx ( x) 

gegebene Funktion Ableitung

f ( x)

dx

a 0 Randpunkte des Integrationsintervalls b 2˜ S N  200 'x 

Anzahl der Punkte

ba

Schrittweite

N

x  a  a  'x  b

Bereichsvariable

1 a

f( x)

b

0

2

4

6

Abb. 4.6.1.3

oder

´ µ µ ¶

1 x

Bogenlänge nach (4-74): ´ µ s1  µ µ ¶

b 2

§d · 1  ¨ f ( x) dx © dx ¹

s1

9.593

b



1  f x ( x)

2 dx

9.593

a

a

Beispiel 4.6.1.3: Berechnen Sie die Länge der Durchhängekurve einer Freileitung (Kettenlinie) und den Durchhang f b . Dabei wird die Form der Kettenlinie von der horizontalen Spannkraft S h = 1000 kN, dem Gewicht der Leitung pro Längeneinheit G L = 2 kN/m, der Mastenhöhe h = 20 m und dem Mastenabstand b = 200 m beeinflusst: x x



b b



f x  Sh  GL  b  h 

h h

§ GL ¨ © Sh

Redefinitionen

§ GL · § GL ˜ x  cosh ¨ ˜ ¨© Sh ¹ ¨© Sh

˜ ¨ cosh ¨

b ·· 2

¹¹

h

Seite 308

Kettenlinie

Integralrechnung Bogenlänge einer ebenen Kurve Integrand und Integral zur Berechnung Seillänge nach (4-74): 1





g x  Sh  GL  b  h 

1

ªd º «  f  x  Sh  GL  b  h » ¬dx ¼

2

2 § §¨ GL · · ¨ g  x  Sh  GL  b  h o ¨ 1  sinh ˜x ¨ Sh © © ¹ ¹

2

§ GL · b exp ¨ ˜b 1 ´2 ¨© Sh ¹ Sh µ s F Sh  GL  b  h = 2 ˜ µ g x  Sh  GL  b  h dx vereinfachen o s F Sh  GL  b  h = ˜ 1 GL ¶ 0













§ GL · ˜b exp ¨ ¨© Sh ¹ Spezielle Werte für die Freileitung: kN  1000 ˜ N

Einheitendefinition

b  200 ˜ m

Mastabstand

h  20 ˜ m

Masthöhe

Sh  1000 ˜ kN

Spannkraft

kN GL  2 ˜ m

Gewicht pro Länge

b b b b x     2 2 800 2

Bereichsvariable





fd  h  f 0 ˜ m  Sh  GL  b  h

fd

10.033 m

§ GL · ˜b 1 ¨© Sh ¹ Sh

Durchhang fd

exp ¨





s F Sh  GL  b  h 

1

§ GL · ˜b exp ¨ ¨© Sh ¹





s F Sh  GL  b  h

201.336 m

˜

Berechnung der Seillänge der Freileitung

GL

2

Freileitungslänge

Seite 309

2

Integralrechnung Bogenlänge einer ebenen Kurve Freileitung-Kettenlinie 30



f x  Sh  GL  b  h



b

b



20

2

2 h fd

m 10

100

50

0

50

100

x m

Abb. 4.6.1.4 Beispiel 4.6.1.4: Berechnen Sie den Kreisumfang. 2

y ( x  r) 

2

r x

kartesische Darstellung der Funktionsgleichung (oberer Halbkreis)

r 2

Kreisradius

x  r  r  0.01  r

Bereichsvariable 2

r

r

x

y' =

y( x  2 )

2

Ableitung der Funktion (oberer Halbkreis)

2

r x

 y( x  2 )

2

0

2 2

2

x

2

1  y' = 1 

2

2

r x

2

=

r 2

2

Ausdruck unter der Wurzel

r x

x

Abb. 4.6.1.5 Berechnung in kartesischen Koordinanten nach (4-74): ´ u = 2˜ µ ¶

r

´ µ 1  y' dx = 2 ˜ 2 ˜ µ µ ¶

r

2

r

0

´ dx = 4 ˜ µ µ 2 2 r x µ µ ¶

r

r

1

´ µ dx = 4 ˜ r ˜ µ 2 µ x· § ¶ 1 ¨ 0 © r¹ 1

1

du 2

1u

0

Substitution: u =

x

Differential du:

r

du =

1 r

˜ dx Austausch der Grenzen:

1 §S · u = 4 ˜ r ˜ arcsin ( u) | = 4 ˜ r ˜ ( arcsin ( 1)  arcsin ( 0) ) = 4 ˜ r ˜ ¨  0 = 2 ˜ r ˜ S 2 © ¹ 0 x x

r r

Redefinitionen

Seite 310

x=0

Ÿ

u=0

x=r

Ÿ

u=1

Kreisumfang

Integralrechnung Bogenlänge einer ebenen Kurve ´ µ u = 4˜ µ µ ¶

r 2

1

annehmen  r ! 0 o u = 2˜ r˜ S vereinfachen

§d · ¨ y ( x  r) dx © dx ¹

Kreisumfang

0

Berechnung in Parameterdarstellung nach (4-75): x ( M  r)  r ˜ cos ( M ) Parameterdarstellung des Kreises y ( M  r)  r ˜ sin ( M ) xM ( M  r)  r ˜ sin ( M )

Ableitungen

yM ( M  r)  r ˜ cos ( M ) S M2

´ u=µ µ ¶M

´2 µ 2 2 xM  yM dM = 4 ˜ µ ¶ 0

1

´ µ u = 2˜ µ µ ¶

S

´2 µ 2 2 2 2 r ˜ sin ( M )  r ˜ cos ( M ) dM = 4 ˜ µ r dM = 4 ˜ r ˜ M ¶ 0

S/2 |= 0

2˜ r˜ S

S 2

2

§d · §d · ¨ x( M  r)  ¨ y ( M  r) dM © dM ¹ © dM ¹

annehmen  r ! 0 o u = 2˜ r˜ S vereinfachen

Kreisumfang

0

Berechnung in Polarkoordinatendarstellung (r = konstant) nach (4-76): S

´2 µ u = 4˜ µ ¶ 0

S

´2 S/2 µ 2 2 r  r' dM = 4 ˜ µ r dM = 4 ˜ r ˜ M | = ¶ 0 0

oder: ds = r ˜ dM ´ u=µ ¶

2S

0

´ 1 ds = µ ¶

Abb. 4.6.1.6 ´ u=µ ¶

2˜S

r dM vereinfachen o u = 2 ˜ r ˜ S

Kreisumfang

0

Seite 311

2˜S

0

2S r dM = r ˜ M | = 0

2˜ r˜ S

2˜ r˜ S

Integralrechnung Bogenlänge einer ebenen Kurve Beispiel 4.6.1.5: Berechnen Sie die Länge des ersten spitzen Zykloidenbogens. r 1

angenommener Radius des Abrollkreises

x ( t  r)  r ˜ ( t  sin ( t) ) Parameterdarstellung der spitzen Zykloide y ( t  r)  r ˜ ( 1  cos ( t ) ) x1 ( t )  r ˜ sin ( t) Parameterdarstellung des Abrollkreises y1 ( t )  r ˜ cos ( t)  1 t1  0  0.01  2S

Bereichsvariable für den Parameter Spitze Zykloide 2 2˜S˜r

y( t1  r)

1

y1( t1) 0 1

0

1

2

3

4

5

6

7

1 x( t1  r)  x1( t1)  0

Abb. 4.6.1.7 x x

y y

t t

r r

Redefinitionen

x ( t  r)  r ˜ ( t  sin ( t) ) Parameterdarstellung der Zykloide y ( t  r)  r ˜ ( 1  cos ( t ) ) xt ( t  r)  ´ µ s1 = µ ¶

2S

0

d dt

x ( t  r)

yt ( t  r) 

xt (t  r) 2  yt (t  r) 2 dt

d

y ( t  r)

Ableitungen der Parametergleichungen

dt annehmen  r ! 0 o s1 = 8 ˜ r vereinfachen

Seite 312

Achtfacher Radius des Abrollkreises

Integralrechnung Bogenlänge einer ebenen Kurve Beispiel 4.6.1.6: Berechnen Sie den Umfang der Ellipse mit den Ellipsenhalbachsen a = 10 und b = 5. a  10

b 5

Ellipsenhalbachsen

x ( t )  a ˜ cos ( t )

y ( t )  b ˜ sin ( t )

Parameterdarstellung der Ellipse

xt ( t)  a ˜ sin ( t )

yt ( t )  b ˜ cos ( t)

Ableitungen

t  0  0.01  2 ˜ S

Bereichsvariable für den Parameter b 5

a y( t)

a

10

5

0

5

10

Die Berechnung des Umfanges führt auf ein elliptisches Integral: ´ µ u µ ¶

2˜S

xt (t) 2  yt (t) 2 dt

0

b 5

u

48.442

x( t)

Abb. 4.6.1.8 Beispiel 4.6.1.7: Berechnen Sie die Bogenlänge der logarithmischen Spirale r = c e M1 = 0 und M2 = S/2. c 1

k  0.5

kM

mit c = 1 und k = 0.5 im Bereich

Konstanten

k˜M

r ( M  c  k)  c ˜ e

Polarkoordinatengleichung

M  0  0.01  S

Bereichsvariable für den Winkel

120

90

60

150 r( M  c  k)

30

180

0 1

3

210

330 240

270 M

300

Abb. 4.6.1.9

Seite 313

Integralrechnung Bogenlänge einer ebenen Kurve k˜M

r' = c ˜ k ˜ e M ´ 2 µ s1 = µ ¶

=k˜r

M ´ 2 µ r  r' dM = µ ¶ 2

M1

2

2

2

M2 2 ´ µ

2

1  k dM = c ˜

1 k ˜

M1

s1 =

c

2

1k ˜

˜

k

Bogenlänge in Polarkoordinaten nach (4-76)

M1

M ´ 2 µ s1 = r˜ µ ¶

s1 = c ˜

2

r  k ˜ r dM

1 k

2

§

µ ¶M

˜e

vereinfachtes Integral

1

| M1 k˜M 1·

k˜M 2

dM

M2

k˜M

1  k ˜ ©e

k˜M

e

Bogenlänge nach Auswertung des Integrals

¹

e

· § k˜ S c 2 ¨ 2 s1 = ˜ 1  k ˜ © e  1¹

Bogenlänge mit eingesetzten gegebenen Grenzen

k

Berechnung mit Mathcad: c c

k k

f ( M  c  k) 

Redefinitionen

§d · ( r ( M  c  k) )  ¨ r ( M  c  k) © dM ¹ 2

S

· §1 exp ¨ ˜ S ˜ k  1 2 annehmen  c ! 0  k ! 0 2 ©2 ¹ o s1 = c ˜ 1  k ˜ vereinfachen k



0

1



s1 ( c  k )

2.668

s1 ( 5  3)

581.426

2



Integrand

1

´2 µ s1 = µ f ( M  c  k ) dM ¶

s1 ( c  k )  c ˜ 1  k

2

2

§ 1 ˜ S ˜ k·  1 ©2 ¹

exp ¨ ˜



Bogenlänge der logarithmischen Spirale

k

Bogenlänge für verschiedene c und k

Seite 314

Integralrechnung Berechnung von Flächeninhalten 4.6.2 Berechnung von Flächeninhalten 4.6.2.1 Berechnung von Flächeninhalten unter einer Kurve Wir setzen voraus, dass die Funktion y = f(x) , x  [a, b] und deren Ableitung im Intervall [a, b] stetig sind. Summieren wir über alle differentiellen Flächenelemente dA = y dx, so erhalten wir den Flächeninhalt aus: P b ´ 2 ´ µ A= 1 dA = µ y dx µ ¶ ¶ P1

(4-77)

a

Abb. 4.6.2.1 Liegt die Funktion in Parameterdarstellung x = x(t) , y = y(t) vor und ist diese im Intervall [t 1 , t 2 ] differenzierbar, so erhält man den Flächeninhalt A mit a = x t1 , b = x t2 und dx = xt ˜ dt durch





Aufsummieren der Flächenelemente dA = y dx = y x t dt:

t

´2 A = µ y ( t ) ˜ xt ( t) dt µ ¶t

(4-78)

1

Abb. 4.6.2.2 Sektorformel von Leibniz, wenn die Funktion in Parameterdarstellung gegeben ist. Es gilt: tan ( M ( t) ) =

y ( t) x ( t)

( x ( t) z 0)

(4-79)

Differenzieren wir diese Gleichung auf beiden Seiten nach dem Parameter t, so erhalten wir: 1 cos ( M )

˜

2

d

M =

x ˜ yt  xt ˜ y 2

dt

(4-80)

x

Im Nenner auf der rechten Seite der Gleichung (4-80) kann die Parametergleichung eingesetzt werden: 1 cos ( M )

Abb. 4.6.2.3

Seite 315

2

˜

d dt

M =

x ˜ yt  xt ˜ y 2

r cos ( M )

2

(4-81)

Integralrechnung Berechnung von Flächeninhalten

Durch Multiplikation der Gleichung (4-81) mit dem Faktor 1/2 und durch Aufspaltung des Differentialquotienten erhalten wir schließlich aus (4-81): 2

r ˜ dM

=

2

1 2

x ˜ yt  xt ˜ y ˜ dt

(4-82)

Auf der linken Seite der Gleichung (4-82) ist das Differential der Kreissektorformel A = 1/2 r 2 M erkennbar. Damit lautet das differentielle Flächenelement in Parameterdarstellung: 1

dA =

2

x ˜ yt  xt ˜ y ˜ dt

(4-83)

Summieren wir wieder über alle differentiellen Flächenelemente dA, so erhalten wir den Flächeninhalt mit der Sektorformel von Leibniz: t t ´2 ´2 1 µ A= 1 dA = ˜ µ x ˜ yt  xt ˜ y dt µ 2 µ ¶t ¶ t 1





(4-84)

1

Sektorformel von Leibniz, wenn die Funktion in Polarkoordinatendarstellung (r = r( M), M  [M1 ,M2 ]) gegeben ist. Nach (4-82) gilt für das differentielle Flächenelement: 1

dA =

2

2

˜ r ( M ) ˜ dM

(4-85)

Summieren wir auch hier über alle differentiellen Flächenelemente dA, so erhalten wir den Flächeninhalt mit der folgenden Sektorformel von Leibniz: ´ µ A= µ ¶

M2 1 ´ 2 µ 1 dA = ˜ r ( M ) dM 2 µ ¶

OP2

(4-86)

M1

OP1

Beispiel 4.6.2.1: Wie groß ist der Flächeninhalt der Kreisfläche ?

2

2

2

x y =r

Kreisgleichung

Abb. 4.6.2.4 a) Kartesische Darstellung der Kreisgleichung (4-77): 2

y ( x  r) 

2

r x

oberer Halbkreis in kartesischer Darstellung

r

´ 2 A = 4 ˜ µ y ( x  r) dx vereinfachen o A = r ˜ S ¶ 0

Seite 316

Integralrechnung Berechnung von Flächeninhalten b) Parameterdarstellung des Kreis (4-78): x ( M  r)  r ˜ cos ( M ) Parametergleichungen y ( M  r)  r ˜ sin ( M ) 0

´ d 2 µ A = 4˜ y ( M  r) ˜ x ( M  r) dM vereinfachen o A = r ˜ S µ dM µ ¶S 2

Sektorfläche von Leibnitz (4-84): ´ 1 A= ˜µ 2 µ ¶

2S

§ · d d ¨ x( M  r) ˜ y ( M  r)  y( M  r) ˜ x ( M  r) dM dM dM © ¹

annehmen  r ! 0 2 oA=r ˜S vereinfachen

0

b) Polarkoordinatendarstellung (4-86) r ( M  r1 )  r1 1 ´ A= ˜µ 2 ¶

Polarkoordinatengleichung

2˜S 2

r ( M  r1 ) dM o A = S ˜ r1

2

0

Beispiel 4.6.2.2: Wie groß ist der Flächeninhalt zwischen x-Achse und der Funktion y = sin 2 (x) zwischen 0 und S ? f ( x)  sin ( x)

2

gegebene Funktion

x  0  0.01  S

Bereichsvariable

1

A=

0.5

0

1

0

1

2

S

3

4

x

( 1  cos ( 2 ˜ x) ) dx

S ˜ sin ( 2 ˜ x) | = 4 0

S

1

S 2

sin ( x) dx o A =

0

x

S

0



2

´ A=µ ¶

1 ´ sin ( x) dx = ˜ µ 2 ¶ 2

0

S

0 f( x)

´ A=µ ¶

Flächeneinheiten

2

1 2

˜S

Abb. 4.6.2.5 Mit T =

1 f ´ µ ¶

= L

0

2˜ S Z

und L = k ˜

´ sin ( Z ˜ t) dt = µ ¶

T 2

bzw. L = k ˜

S Z

L

2

0

2

cos ( Z ˜ t) dt =

(k  ) gilt nämlich: 

L 2

Seite 317

(4-87)

Integralrechnung Berechnung von Flächeninhalten Beispiel 4.6.2.3: Wie groß ist der Flächeninhalt der Ellipse und Ellipsensektors zwischen M1 und M2 ? x ( M  a)  a ˜ cos ( M ) Parameterdarstellung der Ellipse in Hauptlage y ( M  b)  b ˜ sin ( M ) xM ( M  a)  a ˜ sin ( M )

Ableitungen

yM ( M  b)  b ˜ cos ( M ) a 4

b 2

Halbachsen

M  0  0.001  2 ˜ S

Bereichsvariable

2

y( M  b)

M1 =

S 2 M2 = 0

0

2

4

2

0

2

4

x( M  a)

Abb. 4.6.2.6 S M2

´ A = 4˜ µ µ ¶M

0

´ y ˜ xt dt = 4 ˜ µ µS ¶ 1

´2 µ 2 b ˜ sin ( M ) ˜ ( 1) ˜ a ˜ sin ( M ) dM = 4 ˜ a ˜ b ˜ µ sin ( M ) dM ¶ 0

Beim Vertauschen der Grenzen ändert sich das Vorzeichen!

2 S

´2 1 µ · §M 1 A = 4 ˜ a ˜ b ˜ ˜ µ ( 1  cos ( 2 ˜ M ) ) dM = 4 ˜ a ˜ b ˜ ¨  ˜ sin ( 2 ˜ M ) ¶ 2 0 ©2 4 ¹ a a

b b 0

S/2 |= 0

4˜ a˜ b˜

S 4

= S ˜ a˜ b

Redefinitionen

´ A = 4 ˜ µ y ( M  b) ˜ xM ( M  a) dM o A = S ˜ b ˜ a µ ¶S





2

Sektorformel (Ellipsensektor):

ª´ M2 º « µ ( a ˜ cos ( M ) ˜ b ˜ cos ( M )  b ˜ sin ( M ) ˜ a ˜ sin ( M ) ) dM » faktor o A = 1 ˜ b ˜ a ˜ M  M A= ˜  2 1 » 2 «µ 2 ¶M ¬ 1 ¼ 1

Mit M1 = 0 und M2 = 2 S ist A = S a b !

Seite 318

Integralrechnung Berechnung von Flächeninhalten Beispiel 4.6.2.4: Flächeninhalt unter einem Zykloidenbogen. r 1

angenommener Abrollradius

x ( t )  r ˜ ( t  sin ( t) ) Parameterdarstellung der spitzen Zykloide y ( t )  r ˜ ( 1  cos ( t ) ) x1 ( t)  r ˜ sin ( t )

Parameterdarstellung des Abrollkreises

y1 ( t)  r ˜ cos ( t )  1 t1  0  0.001  2S

Bereichsvariable für den Parameter

Abb. 4.6.2.7 a a

b b

r r

Redefinitionen

x ( t  r)  r ˜ ( t  sin ( t) ) Parametergleichungen y ( t  r)  r ˜ ( 1  cos ( t ) ) ´ A=µ µ ¶

2˜S

y ( M  r) ˜

d dM

x ( M  r) dM

annehmen  r ! 0 2 o A = 3˜ r ˜ S vereinfachen

0

´ 1 A= ˜µ 2 µ ¶

0

§ · d d ¨ x ( M  r) ˜ y( M  r)  y ( M  r) ˜ x( M  r) dM dM dM © ¹

2S

Seite 319

annehmen  r ! 0 2 o A = 3˜ r ˜ S vereinfachen

Integralrechnung Berechnung von Flächeninhalten Beispiel 4.6.2.5: Sektorfläche einer archimedischen Spirale. a 3

gewählte Konstante

r(M )  a ˜ M

Polarkoordinatendarstellung einer archimedischen Spirale

M  0  0.002  2 ˜ S Bereichsvariable r1  0  0.02  6 ˜ S

Abb. 4.6.2.8

Sektorformel von Leibniz: M





A M 1  M 2  a1 

2 1 ´ 2 µ ˜ a1 ˜ M dM µ 2 ¶ M





1

a 3



M1  0



A M1  M2  a

vereinfachen o sammeln  a1

§ 1 ˜ M 3  1 ˜ M 3· ˜ a 2 ¨ 1 6 ©6 2 ¹ 1

M2  2 ˜ S 372.075

Flächeneinheiten

Seite 320

Integralrechnung Berechnung von Flächeninhalten Beispiel 4.6.2.6: Flächeninhalt zwischen Kurve und x-Achse im Bereich von a = -2 bis b = 1. 3

2

f ( x)  x  2 ˜ x  x  2

Funktionsgleichung

a  3

Intervallanfang

b 2

Intervallende

N  800

Anzahl der Schritte

ba

'x 

Schrittweite

N

x  a  a  'x  b

Bereichsvariable 10 2

1 5

f( x)

+ 3

0

2

0-

1

1

2

Abb. 4.6.2.9

5

10 x

Nullstellenbestimmung: a ) Durch Faktorisierung: 3

2

x  2˜ x  x 2

durch Faktorisierung, ergibt

b ) Symbolische Lösung der Gleichung: 3

2

x  2˜ x  x 2 = 0

hat als Lösung(en)

x x

Redefinition

§¨ 1 · ¨ 2 ¸ ¨ 1 © ¹

§¨ 1 · x  2x  x  2 = 0 auflösen  x o ¨ 2 ¸ ¨ 1 © ¹ 3

2

Seite 321

( x  1) ˜ ( x  2) ˜ ( x  1)

Integralrechnung Berechnung von Flächeninhalten c ) Mit der Funktion nullstellen (nur für Polynome):

§ 2 · ¨ ¨ 1 ¸ a  f ( x) koeff  x o ¨2 ¸ ¨ ©1 ¹ ´ (1) A = µ ¶

1

´ (2) A = µ ¶

1

´ (3) A = µ ¶

1

f ( x) dx o A =

2

2

´ f ( x) dx  µ ¶

x  nullstellen ( a)

9

1

f ( x) dx o A =

f ( x) dx o A =

0

gesetzter ORIGIN

§¨ 2 · x ¨ 1 ¸ ¨1 © ¹

x0

37

Variante 1: Integrationsgrenzen vertauschen

12

37

Variante 2: Betrag setzen

12

FE  1

Flächeneinheiten x

´ 2 (4) A1  µ f ( x) dx ¶x

A1

3.083 FE

Variante 3: numerische Lösung

0

4.6.2.2 Berechnung von Flächeninhalten zwischen zwei Kurven Wir betrachten zwei Funktionen y 1 = f(x) und y2 = g(x) deren Graphen eine Fläche im Integrationsintervall [a, b] einschließen.

Abb. 4.6.2.10 Für die Fläche zwischen den beiden Kurven gilt nach Abbildung 4.54: ´ A=µ ¶

b

a

´ 1 dA = µ ¶

2

Nicht über Nullstellen hinweg Integrieren!

4

1

2

ORIGIN

b

( f ( x)  g ( x) ) dx

(4-88)

a

Seite 322

Integralrechnung Berechnung von Flächeninhalten Beispiel 4.6.2.7: Gesucht ist die Fläche zwischen den Schnittpunkten der Kurvenbögen y = f(x) und y = g(x). 2

f ( x)  

x

6

 3˜

x

 x

5

2

g ( x)  a 0

x

3

2



1

obere Kurve

3

untere Kurve

4

b 5

Intervallanfang und Intervallende

x  a  a  0.01  b

Bereichsvariable

4 3 f( x) g ( x)

2

Abb. 4.6.2.11 1

0

1

2

3

4

5

x x

Bestimmung der Schnittpunkte von f(x) und g(x): 1 § ¨5 1 ¨  ˜ 111 2 ¨2 6 x  f ( x1) = g ( x1) auflösen  x1 o ¨ 1 ¨5 1 2 ¨  ˜ 111 2 6 ©

x

§ 4.256 · ¨ © 0.744 ¹

x0

4.256

x1

· ¸ ¸ ¸ ¸ ¹ x-Werte der Schnittpunkte

0.744

Seite 323

Integralrechnung Berechnung von Flächeninhalten Eingeschlossene Fläche schattieren: 4



f( x)˜ x 1  x x0



g ( x ) ˜ x 1  x x 0

x0

x1

2

f( x)

Abb. 4.6.2.12

g ( x)

0

1

2

3

4

5

x x

´ 0 A  µ ( f ( x)  g ( x) ) dx ¶x

A

3.609

numerische Auswertung der Maßzahl des Flächeninhalts

1

1

Ao

37 108

˜ 111

2

symbolische Auswertung der Maßzahl des Flächeninhalts

Beispiel 4.6.2.8: Berechnen Sie den Flächeninhalt der von der Relation y 2 = 4 x und der Funktion y = 2 x - 4 eingeschlossen wird. a 0

Intervallanfang

b 5

Intervallende

N  400

Anzahl der Schritte

'x 

ba

Schrittweite

N

x  a  a  'x  b f1 ( x)  2 ˜ f2 ( x)  2 ˜

Bereichsvariable

x x

Funktionsgleichungen

g ( x)  2 ˜ x  4

Seite 324

Integralrechnung Berechnung von Flächeninhalten

10

5

f1 ( x) f2 ( x)

Abb. 4.6.2.13

g ( x) 0

1

2

3

4

5

5 x

Bestimmung der Schnittpunkte: x1  f2 ( x2) = g ( x2) auflösen  x2 o 1 x2  f1 ( x2) = g ( x2) auflösen  x2 o 4

 g  x2

y1  g x1 y2 

y1 y2

2

P1 (1 | -2)

4

P2 (4 | 4)

Schnittpunkte

Eingeschlossene Fläche mit Punkten schattieren: I  20000

Anzahl der zu erzeugenden Zufallszahlen

x1

1

y1

2

x2

4

y2

4

Schnittpunkte

 runif  I  y1  y2

u  runif I  0  x2 v w

gleichmäßig verteilte Zufallszahlen für x und y Werte

jm0 for i  0  I  1 if

g ui  vi ˜ vi  f1 ui ˜ f2 ui  vi § ui · wj m ¨ © vi ¹

Auswahl der Punkte, die in den Begrenzungslinien liegen.

jmj1 w

Seite 325

Integralrechnung Berechnung von Flächeninhalten

T

w

0

0

1

2

3

4

5

6

7

[2, 1]

[2, 1]

[2, 1]

[2, 1]

[2, 1]

[2, 1]

[2, 1]

[2, 1]

§ 1.043 · ¨ © 1.638 ¹

w0

zeilen ( w)

§ 1.107 · ¨ © 0.497 ¹

w1

ausgewählte Punkte

Anzahl der darzustellenden Punkte

7445

j  0  zeilen ( w)  1

Bereichsvariable

10 x1

x2

f1 ( x) 5 f2 ( x) g ( x)

 wj 1

0

1

2

3

4

5

5



x  x  x  wj 0

Abb. 4.6.2.14 FE  1

Einheitendefinition

x x ´ 1 ´ 2 µ µ A 2˜ f1 ( x) dx  f1 ( x)  g ( x) dx µ µ ¶ ¶ 0 x





A

9 FE

1

Variante: Integration entlang der y-Achse: 2

x= y1

y

x=

4 2 y

´ 2 µ A µ µ ¶y

y 2

y2

2 4

2º ª§ y «¨  2·  y » dy ¬© 2 ¹ 4¼

Nach x aufgelöste Funktionsgleichungen neue Grenzen

A

9 FE

1

Seite 326

Feld von Feldern

Integralrechnung Berechnung von Flächeninhalten

Beispiel 4.6.2.9: Berechnen Sie die Teilkreisfläche unter der Kurve (x + m) 2 + (y + n)2 = r2 sowie den Flächeninhalt zwischen den Kurven (x - m) 2 + (y - n)2 = r2 und (x + m)2 + (y + n)2 = r2 im 1. Quadranten mit r = 1, m = 0.6 und n = 0. r 1

Radius der Kreise

m  0.6 f1 ( x) 

Mittelpunktverschiebung 2

r  ( x  m)

2

2

f2 ( x)   r  ( x  m)

g1 ( x) 

2

r  ( x  m) 2

oberer Halbkreis 2

unterer Halbkreis

2

g2 ( x)   r  ( x  m)

oberer Halbkreis 2

unterer Halbkreis

x  2 ˜ r  2 ˜ r  0.001  2 ˜ r

Bereichsvariable

2 m

m 1

f1( x) f2( x) g 1 ( x)

2

1

g 2 ( x)

0

1

2

Abb. 4.6.2.15

1

2 x

X  m  r  m  0.95  r  m

Bereichsvariable für die X-Werte

h ( x  y)  g1 ( x)  y

Funktion zur Markierung der Fläche

y  0  0.05  1

Bereichsvariable für die y-Werte

Seite 327

Integralrechnung Berechnung von Flächeninhalten

2

1.5 f1( x) g 1 ( x)

1

Abb. 4.6.2.16

h ( X  y) 0.5

A3 A1 0

0.5

1

1.5

2

x x X

Berechnung der schraffierten Fläche und der nichtschraffierten Fläche im 1. Quadranten: ´ A1  µ ¶

r m

´ A2  µ ¶

r m

2

r  ( x  m ) dx

A1

0.224

Schraffierte Fläche

A2

1.347

Fläche unter verschobenen Kreis

A3

1.124

Nichtschraffierte Fläche

0 2

r  ( x  m ) dx

0

A3  A2  A1

Seite 328

Integralrechnung Berechnung von Flächeninhalten

4.6.2.3 Mantelflächen von Rotationskörpern Das Kurvenstück y = f(x) zwischen A(a | c) und B(b | d) überstreicht bei Drehung um die x-Achse bzw. y-Achse den Mantel des Rotationskörpers. Summieren wir hier alle differentiellen Kegelstumpfmantelflächen dA = 2 S y ds, so erhalten wir die Mantelfläche des Rotationskörpers.

Abb. 4.6.2.17

1  y'

Rotation der Funktion y = f(x) um die x-Achse mit ds =

2

˜ dx :

s b B b ´ ´ B ´ ´ µ AM = 1 dA = µ 2 ˜ S ˜ y d s = 2 ˜ S ˜ µ y ds = 2 ˜ S ˜ µ y ˜ µ ¶ ¶ ¶ ¶ sA

A

a

2

1  y' dx

(4-89)

a

Rotation der Funktion in Parameterdarstellung um die x-Achse mit ds =

2

2

xt  yt ˜ dt :

t

´B AM = 2 ˜ S ˜ µ y ˜ µ ¶t

2

2

xt  yt dt

(4-90)

A

1  x'

Rotation der Funktion y = f(x) um die y-Achse mit ds = ´ AM = µ ¶

B

A

´ 2 ˜ S ˜ x ds = 2 ˜ S ˜ µ ¶

d

c

´ x ds = 2 ˜ S ˜ µ ¶

2

˜ dx :

d

x˜

2

1  x' dx

(4-91)

c

Rotation der Funktion in Parameterdarstellung um die x-Achse mit ds =

2

2

xt  yt ˜ dt :

t

´B AM = 2 ˜ S ˜ µ x ˜ µ ¶t

2

2

xt  yt dt

(4-92)

A

Seite 329

Integralrechnung Berechnung von Flächeninhalten Beispiel 4.6.2.10: Berechnen Sie die Oberfläche einer Kugel, die durch Rotation des Halbkreises um die x-Achse bzw. y-Achse entsteht. r 1

Radius des Kreises 2

2

oberer Halbkreis

x  2 ˜ r  2 ˜ r  0.001  2 ˜ r

Bereichsvariable

f ( x) 

r x

r

f( x)

r

d

1

r

0.5

Abb. 4.6.2.18

c

a 1

0.5

b

0

0.5

1

x

r r

x x 2

f ( x) 

Redefinitionen

2

r x

Funktionsgleichung des oberen Halbkreises r

´ µ AM = 2 ˜ S ˜ 2 ˜ µ f ( x) ˜ µ ¶

2

§d · 1  ¨ f ( x) dx © dx ¹

annehmen  r ! 0 2 o AM = 4 ˜ r ˜ S vereinfachen

Rotation um die x-Achse (4-89)

0

2

g ( y) 

2

r y

Umkehrfunktion des oberen Halbkreises r

´ µ AM = 2 ˜ S ˜ 2 ˜ µ g ( y) ˜ µ ¶

2

1

§d · ¨ g ( y) dy © dy ¹

annehmen  r ! 0 2 o AM = 4 ˜ r ˜ S vereinfachen

Rotation um die y-Achse (4-91)

0

3D-Darstellung der Kugel (oder Ellipsoid) 2

x

2

2



a

a 1

y

2

b



z c

2 2

Kugelgleichung mit Radius 1 (implizite Darstellung)

=1

b 1

c 1

§¨ a ˜ sin ( M ) ˜ cos ( - ) · Kugel ( M  - )  ¨ b ˜ sin ( M ) ˜ sin ( - ) ¸ ¨ c ˜ cos ( M ) © ¹

Parameter (Kugel: a = b = c = 1)

Parametergleichungen der Kugel (Vektorfunktion)

Seite 330

Integralrechnung Berechnung von Flächeninhalten

Abb. 4.6.2.19

Kugel Beispiel 4.6.2.11: Berechnen Sie die Mantelfläche der durch Rotation der Parabel y 2 = x um die x-Achse entstehenden Drehparaboloids im Bereich x = 0 und x = 3. f ( x) 

x Parabelbögen

f1 ( x)   x fx ( x) 

1 2˜

Ableitungsfunktion x

x  0  0.01  3

Bereichsvariable Drehparaboloid

1.270

3

f( x) f1 ( x)

0.27 0

1

2

3

0.73

1.73 x

x x a 0 FE  1

Redefinition b 3

Integrationsgrenzen Flächeneinheiten

Seite 331

Abb. 4.6.2.20

Integralrechnung Berechnung von Flächeninhalten ´ µ AM = 2 ˜ S ˜ µ µ ¶

b

1 § · 2 ¨ 1 §d · 2 f ( x) ˜ 1  ¨ f ( x) dx vereinfachen o AM = ˜ S ˜ © 13 ˜ 13  1¹ 6 © dx ¹

a

´ µ AM ( a  b)  2 ˜ S ˜ µ ¶

b

f ( x) ˜

2

1  f x ( x) dx

a

AM ( a  b)

24.019 FE

Mantelfläche des Drehparboloids

3D-Darstellung: rn  40

ri  a 

n  25 b a rn

X1i  j  ri otationsfläche:

i  0  rn

˜i

Mj 



2˜ S n



Y1i  j  f1 ri ˜ cos M j

j  0  ( FRAME  25 )

˜j

Anzahl der Schritte und Bereichsvariable (FRAME von 0 bis 25. Die Zahl 25 bei der Bereichsvariable j löschen!) Bereichsvariable (Vektoren)





Z1i  j  f1 ri ˜ sin M j

Matrizen der x, y und z Werte

Abb. 4.6.2.21

( X1  Y1  Z1) Beispiel 4.6.2.12: Berechnen Sie die Mantelfläche der durch Rotation der gleichseitigen Hyperbel y = 1/x um die y-Achse entstehenden Drehfläche im Bereich y = 1 und y = 3. f ( x) 

1

Funktion

x

x  0.1  0.1  0.01  4

Bereichsvariable

c 1

y-Bereichsgrenzen

d 3

Seite 332

Integralrechnung Berechnung von Flächeninhalten

4 d f( x)

Abb. 4.6.2.22

2 c

0

0

1

2

3

4

x

f1 ( y) 

1

Umkehrfunktion

y

´ µ AM1 = 2 ˜ S ˜ µ µ ¶

d 2

§d · f1 ( y) ˜ 1  ¨ f 1 ( y) dy © dy ¹

vereinfachen o AM1 = 7.6033 gleit  5

gesuchte Maßzahl der Mantelfläche

c

3D-Darstellung: a

1

b 1

3

m  40

ri  a 

n  25

b a m

˜i



X11i  k  ri ˜ sin M k

x-Bereichsgrenzen (x = 1/y)

i  0  m

M k  S 

2˜ S n

k  0  ( FRAME  25 ) Anzahl der Schritte und Bereichsvariable (FRAME von 0 bis 25. Die Zahl 25 bei der Bereichsvariable k löschen!) ˜k



Bereichsvariable (Vektoren)



Y11i  k  ri ˜ cos M k Z11 i  k  f ri

Matrizen der x, y und z Werte

Abb. 4.6.2.23

( X11  Y11  Z11 )

Seite 333

Integralrechnung Volumsberechnung 4.6.3 Volumsberechnung a) Berechnung des Volumens eines Körpers aus der Querschnittsfläche: Betrachten wir an einer Stelle x eines Körpers die Querschnittsfläche A(x) der Stärke dx, so ergibt sich ein Volumselement dV = A(x) dx. Integrieren wir alle Volumselemente von der Querschnittsfläche A a bis A b, dann erhalten wir das Gesamtvolumen.

Abb. 4.6.3.1

A b ´ b ´ µ Vx = 1 dV = µ A ( x) dx µ ¶ ¶ Aa

´ Vy = µ ¶

A(x) ...Querschnittsfläche zur x-Achse

(4-93)

A(y) ... Querschnittsfläche zur y-Achse

(4-94)

a

d

A ( y) dy

c

Beispiel 4.6.3.1: Berechnen Sie das Kugelvolumen.

2

2

2

x y =r

Kreisgleichung

dV = A ( y) ˜ dy differentielles Volumselement 2

2

2

dV = x ˜ S ˜ dy = r  y

Abb. 4.6.3.2 ´ Vy = S ˜ µ ¶

r

r

r2  y2 dy vereinfachen

o Vy =

4 3

3

˜S˜r

Seite 334

Kugelvolumen

˜ S ˜ dy

Integralrechnung Volumsberechnung Beispiel 4.6.3.2: Berechnen Sie das Volumen eines Ellipsoids (Rotation der Ellipse um die x-Achse). 2

x

2

a

2



y

2

2

=1

y =

b

2

b

2

2

2

˜ a x



Ellipsengleichung

a

2

dV = y ˜ S ˜ dx ´ µ Vx = S ˜ µ µ ¶

a

differentielles Volumselement

ª b2 º « ˜ a2  x2 » dx vereinfachen o V = 4 ˜ S ˜ a ˜ b2 x 3 « a2 » ¬ ¼



a



Volumen des Ellipsoids

Beispiel 4.6.3.3: Berechnen Sie das Volumen einer quadratischen Pyramide. Ähnliche Figuren: 2

A ( x) AG

2

x

=

Ÿ

2

a

A ( x) =

2

h

2

˜x

h

dV = A ( x) ˜ dx

differentielles Volumselement

h

2

´ 2 1 2 Vx = ˜ µ x dx vereinfachen o Vx = ˜ a ˜ h 2 ¶ 3 0 h a

Abb. 4.6.3.3 Beispiel 4.6.3.4: Berechnen Sie das Volumen eines Zylinderhufes. Für die schraffierte Dreiecksfläche gilt: A=

1 2

˜ y˜ z =

tan ( D ) =

h

1 2

˜ y ˜ y ˜ tan ( D )

damit ist

r

A=

h 2˜ r

2

˜y

Mit dem Höhensatz folgt für die Fläche A: 2

y = x ˜ ( 2 ˜ r  x) A ( x) =

2˜r

´ ˜µ 2 ˜ r ¶0 h

2˜ r

˜ x ˜ ( 2 ˜ r  x)

Querschnittsfläche

dV = A ( x) ˜ dx differentielles Volumenelement

Abb. 4.6.3.4

V=

h

x ˜ ( 2 ˜ r  x) dx vereinfachen o V =

2 3

2

˜ h˜ r

Seite 335

Ist gleich groß wie das Volumen der Pyramide ABCDS (A = G . h /3)!

Integralrechnung Volumsberechnung Beispiel 4.6.3.5: Berechnen Sie das Volumen einer Pyramide mit beliebiger Grundfläche. A ( x) AG

2

=

x

Ähnliche Figuren

2

h

A ( x) =

AG 2

2

˜x

Querschnittsfläche

h

dV = A ( x) ˜ dx

differentielles Volumenelement

Abb. 4.6.3.5 AG ´ h 1 2 ˜ µ x dx vereinfachen o V = ˜ AG ˜ h V= 2 ¶ 3 0 h Mithilfe dieser Integration zeigt man den Satz von Cavalieri: Alle Körper, bei denen alle in gleichen Abständen von der Grundfläche geführten Parallelschnitte gleiche Flächeninhalte haben, sind raumgleich.

Abb. 4.6.3.6

(z.B. Pyramide, Kegel, Kugel, Zylinderhuf, Ellipsoid, Paraboloid, Hyperboloid usw.) b) Berechnung des Volumens eines Drehkörpers: Die Querschnittsflächen A(x) bzw. A(y) sind Kreise mit dem Radius y = f(x) bzw. x = f(y). Daher folgt aus a): ´ Vx = S ˜ µ ¶

b 2

y dx

Rotation einer Kurve um die x-Achse (y = f(x))

(4-95)

Rotation einer Kurve um die y-Achse (x = f(y))

(4-96)

a d

´ Vy = S ˜ µ ¶

2

x dy

c

Liegt die Funktion in Parameterform (x(t), y(t)) vor, so gilt: t

´2 2 Vx = S ˜ µ y ˜ xt dt µ ¶t

Rotation einer Kurve um die x-Achse

(4-97)

´ Vy = S ˜ µ µ ¶t

Rotation einer Kurve um die y-Achse

(4-98)

1 t2

2

x ˜ yt dt

1

Seite 336

Integralrechnung Volumsberechnung Beispiel 4.6.3.6: Berechnen Sie das Volumen eines Drehkegels.

´ µ Vx ( r  h)  S ˜ µ µ ¶

h 2

§ r ˜ x· dx ¨ ©h ¹

Vx ( r  h) o

h 1˜ m

gewählte Größen

3

Vx ( r  h) o

1 3

2

˜ S ˜ h˜ r

0

r 1˜ m Vx ( r  h)

1.047 m

1 3

˜S˜m

3

Abb. 4.6.3.7 Beispiel 4.6.3.7: Berechnen Sie das Volumen eines Kugelabschnittes.

Mit dem Höhensatz gilt: 2

y = x ˜ ( 2 ˜ r  x) ´ Vx ( r  h)  S ˜ µ ¶

h

x ˜ ( 2 ˜ r  x) dx faktor o

0

1 3

2

˜ S ˜ h ˜ ( h  3 ˜ r)

Mit dem Pythagoras gilt: 2

2

r = U  ( r  h)

Ÿ

2

r=

Abb. 4.6.3.8 ´ µ Vx ( U  h)  S ˜ µ µ ¶

h

ª § U2 º 1 h· 2 2   x» dx faktor o ˜ S ˜ h ˜ h  3 ˜ U 6 ¬ © 2 ˜ h 2¹ ¼



x ˜ «2 ˜ ¨



0

´ Vx ( U  h)  S ˜ µ ¶

ersetzen  r =

h

0

x ˜ ( 2 ˜ r  x) dx

faktor

U

2

2˜ h



h



2 1 2 2 o ˜ S ˜ h˜ h  3˜ U 6

Seite 337



U

2

2˜ h



h 2

Integralrechnung Volumsberechnung Beispiel 4.6.3.8: Eine Parabel y = 1/4 x 2 rotiert um die x-Achse bzw. y-Achse. Wie groß sind die Volumina der Drehkörper, wenn a = 0 und b = h ist ? Vergleichen Sie diese Volumina mit dem Zylindervolumen. Vx  Vx

h h

´ µ Vx = S ˜ µ µ ¶

Redefinitionen

h

Volumen des 1 5 dx o V x = ˜ S ˜ h Rotationskörpers 80 16 4

x

0 2

2

Vz = r ˜ S ˜ h

h

r=

4

Zylindervolumen und Radius des Zylinders

2

§ h2 · 1 5 Vz = ¨ ˜ S ˜ h vereinfachen o V z = ˜S˜h 16 ©4¹ Abb. 4.6.3.9

1 Vx Vz

5

˜S˜h

80

=

Vx

vereinfacht auf

1

Vz

5

˜h ˜S

16 2

x = 4˜ y

y ( 0) = 0

´ Vy = S ˜ µ ¶

=

1 5

y ( b) = h

h

2

4 ˜ y dy o V y = 2 ˜ S ˜ h

0 2

2

Vz = r ˜ S ˜ h

h=

r

Zylindervolumen

4 2

Vz = ( 4 ˜ h) ˜ S ˜ h o Vz = 4 ˜ S ˜ h Abb. 4.6.3.10 Beispiel 4.6.3.9:

Vy Vz

2

=

2˜ h ˜ S

vereinfacht auf

2

Vy Vz

4˜ h ˜ S

=

1 2

Berechnen Sie das Volumen eines Drehellipsoids. 2

y =

2

b

2

2

2

˜ a x



Ellipsengleichung

a

2

dV = y ˜ S ˜ dx ´ µ Vx = S ˜ µ µ ¶

Volumenelement

a 2

b

2

a

2

2

˜ a x

dx o Vx = 43 ˜ S ˜ a ˜ b2

a

Abb. 4.6.3.11

Seite 338

Mit a = b = r erhalten wir das Kugelvolumen

Integralrechnung Volumsberechnung

2

x =

2

a

2

2

2

˜ b y



Ellipsengleichung

b

2

dV = x ˜ S ˜ dy

´ µ Vy = S ˜ µ µ ¶

Volumenelement

b

2

2

a

2

˜ b y

2

dy o Vy = 4 ˜ S ˜ b ˜ a2 3

b

b

Abb. 4.6.3.12 Beispiel 4.6.3.10: Die Funktion y = cosh(x) rotiert um die x-Achse. Wie groß ist das Volumen des Drehkörpers zwischen 0 und 2 ?

´ Vx ( a  b)  S ˜ µ ¶

b 2

cosh ( x) dx

a

Vx ( 0  2)

Abb. 4.6.3.13

Seite 339

24.575

Maßzahl des Volumens

Integralrechnung Volumsberechnung Beispiel 4.6.3.11: Bestimmen Sie das Volumen des Drehhyperboloids.

2

x

2

2



a

2

x =

y

implizite Gleichung der Hyperbel

=1

2

b

2

2

a

2

2

˜ b y



umgeformte Gleichung der Hyperbel

b

2

dV = x ˜ S ˜ dy

differentielles Volumenelement

Abb. 4.6.3.14

´ µ Vy = 2 ˜ S ˜ µ µ ¶

c 2

a

2

2

2

˜ b y

b

dy o Vy = 23 ˜ S ˜ a2 ˜ c ˜ 3 ˜ b 2 c 2

2

b

0

Beispiel 4.6.3.12: Bestimmen Sie das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn die Fläche unter dem ersten spitzen Zykloidenbogens um die x-Achse gedreht wird. t  0  0.01  2 ˜ S

Bereichsvariable

x ( t )  t  sin ( t) Parametergleichungen y ( t )  1  cos ( t ) 2 2˜S y( t)

1

Abb. 4.6.3.15

0

0

1

2

3

4

5

6

x( t)

´ V=S˜µ µ ¶

2˜S 2 d

y( t) ˜

x ( t ) dt o V = 5 ˜ S

2

Maßzahl des Volumens

dt

0

Seite 340

7

Integralrechnung Volumsberechnung Beispiel 4.6.3.13: Bestimmen Sie das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn die Kurve y = x sin(x) 2 im Bereich - 2 S und 2 S um die x-Achse rotiert. 2

Funktion

a  2 ˜ S

b 2˜ S

obere und untere Grenze

n  60

m  35

i  0  n

˜i

Mj 

f ( x)  x ˜ sin ( x)

b a

ri  a 

n



Xi  j  ri

j  0  m

Anzahl der Schritte und Bereichsvariable

2˜ S ˜ j

Bereichsvariable

m





Yi  j  f ri ˜ cos M j



Zi  j  f ri ˜ sin M j

Matrizen der X, Y und Z Werte

5 a



f ri

8

b

6

4

2

0

2

4

6

8

Abb. 4.6.3.16

5 ri

Abb. 4.6.3.17

( X  Y  Z) ´ V=S˜µ ¶

2˜S 2

 2˜S

´ V S˜µ ¶

4

§ ©

3

x ˜ sin ( x) dx o V = S ˜ ¨ 2 ˜ S 

15 16

˜S

· ¹

§ ©

3

V  S ˜ ¨2 ˜ S 

15 16

˜S

· ¹

V

185.565

2˜S 2

4

x ˜ sin ( x) dx

V

 2˜S

Seite 341

185.565

Maßzahl des Volumens

Integralrechnung Berechnung von Schwerpunkten 4.6.4 Berechnung von Schwerpunkten Der Schwerpunkt S eines Körpers ist der Schnittpunkt aller Achsen, für die das resultierende Drehmoment aller Massenteilchen (in einem homogenen Schwerefeld) null ist, d.h., wir können uns die Masse in diesem Punkt konzentriert denken. Die Achsen heißen Schwereachsen. Für den Schwerpunkt einer Fläche bzw. eines Kurvenstückes denken wir uns die Fläche bzw. das Kurvenstück mit Masse belegt.

Abb. 4.6.4.1

Für das Drehmoment von Masseteilchen gilt: M=

¦ Mi = ¦ §© FGi ˜ ri·¹ = ¦ mi ˜ g ˜ ri = g ˜ ¦ mi ˜ ri = g ˜ Mst i

Mst =

i

i

¦ mi ˜ ri heißt statisches Moment

(4-99)

i

(4-100)

i

Einen starren Körper der Masse m können wir uns aus vielen Massenelementen zusammen- gesetzt denken. Betrachten wir von diesem Körper ein bestimmtes Massenelement dm, dann greift an diesem die Gewichtskaft dF G = g dm an. Die Resultierende der Gewichtskräfte aller Massenelemente ist die Gewichtskraft F G = m g des gesamten Körpers. Ihre Wirkungslinie geht durch den Schwerpunkt S(x s |ys |zs ). Seine Lage errechnet sich aus der Momentengleichung, d.h. die Summe der Momente der Einzelkräfte ist gleich dem Moment der resultierenden Kraft: ´ µ ¶

m

r ( m ) ˜ g dm = F G ˜ r = m ˜ g ˜ r .

0

Wenden wir nun die Momentengleichung für die z-Achse, y-Achse und x-Achse an und kürzen wir g aus der Gleichung, so erhalten wir die Schwerpunktskoordinaten: m

´ ˜ µ x dm , xs = m ¶0 1

m

m

´ 1 ´ ˜ µ y dm , z s = ˜ µ z dm ys = m ¶0 m ¶0 1

(4-101)

Die Masse pro Volumen, pro Fläche bzw. pro Länge hängt über der Dichte U zusammen: m U= m = U ˜V, dm = U ˜ dV , (4-102) V m U= m=U˜A , dm = U ˜ dA , (4-103) A m U= m=U˜s , dm = U ˜ ds , (4-104) s Ist ein Körper homogen, d.h. U konstant, so kann in den Gleichungen U gekürzt werden.

Seite 342

Integralrechnung Berechnung von Schwerpunkten 4.6.4.1 Schwerpunkt eines Kurvenstückes Die Koordinaten für den Schwerpunkt eines Kurvenstückes zwischen dem Punkt A und B der Kurve erhalten wir aus den oben angeführten Gleichungen: b

b ´ ´ 1 1 2 ˜ µ x ds = xs = ˜ Msty ˜ µ x ˜ 1  y' dx = s AB ¶a s AB ¶a s AB Msty ...statisches Moment bezüglich der y-Achse.

1

(4-105)

b

b ´ ´ 1 1 2 ˜ µ y ds = ys = ˜ Mstx ˜ µ y ˜ 1  y' dx = s AB ¶a s AB ¶a s AB Mstx ...statisches Moment bezüglich der y-Achse.

1

(4-106)

Beispiel 4.6.4.1: Bestimmen Sie die Schwerpunktskoordinanten der Kettenlinie y = cosh(x) zwischen a = 0 und b = 2. a 0 Integrationsgrenzen b 2 f ( x)  cosh ( x)

Kettenline

x  a  a  0.01  b

Bereichsvariable

´ µ µ µ ¶

b

´ µ µ µ ¶

2

§d · x ˜ 1  ¨ f ( x) dx © dx ¹

a

xs ( a  b) 

´ µ µ µ ¶

ys ( a  b) 

b

b

a

´ µ µ µ ¶

2

1

§d · ¨ f ( x) dx © dx ¹

a

xs ( a  b)

2

§d · f ( x) ˜ 1  ¨ f ( x) dx © dx ¹ b 2

1

§d · ¨ f ( x) dx © dx ¹

a

ys ( a  b)

1.238

2.157

4 xs( a  b ) 3 f( x)

ys( a  b)

S

Abb. 4.6.4.2

2

1

0

0.5

1 x

Seite 343

1.5

2

Integralrechnung Berechnung von Schwerpunkten Beispiel 4.6.4.2: Bestimmen Sie die Schwerpunktskoordinanten eines Viertelkreisbogens mit Radius r. M1  0 M2 

Integrationsgrenzen

S 2

x ( M  r)  r ˜ cos ( M ) Parameterdarstellung des Kreises y ( M  r)  r ˜ sin ( M ) xM ( M  r)  yM ( M  r) 



d dM d dM

x ( M  r) Ableitungen y ( M  r) M ´ 2 µ x ( M  r) ˜ r dM µ ¶ M1



xs M 1  M 2  r 

Wegen der Symmetrie ist x s = ys !

M

´ 2 µ µ ¶M

xM (M  r) 2  yM (M  r) 2 dM

1

M

´ 2 µ µ ¶M

xM (M  r) 2  yM (M  r) 2 dM

annehmen  r ! 0 1 o ˜ r˜ S vereinfachen 2

Viertelkreis

1





xs M 1  M 2  r

annehmen  r ! 0 r o 2˜ vereinfachen S

r  3 ˜ cm

gewählter Kreisradius

M  M 1  M 1  0.01  M 2

Bereichsvariable





xs M 1  M 2  r









ys M 1  M 2  r  xs M 1  M 2  r

0.019 m

3 xs( a  b  r) ys( a  b  r) cm cm

2 y( M  r) cm

S

1

0

1

Abb. 4.6.4.3

2

3

x( M  r) cm

Seite 344

Schwerpunktskoordinaten

Integralrechnung Berechnung von Schwerpunkten ´ Vergleichen wir die statischen Momente Mstx = µ ¶

B

A

´ AMx = 2 ˜ S ˜ µ ¶

B

A

´ y ds und AMy = 2 ˜ S ˜ µ ¶

´ y ds und Msty = µ ¶

B

x ds mit der Mantelfläche

A

B

x ds des Drehkörpers, der durch Rotation von s AB

A

entsteht, so erhalten wir die 2. Guldin-Regel: Der Inhalt einer Drehfläche ist gleich dem Produkt aus der Länge sAB des erzeugenden Bogenstücks (das die Drehachse nicht schneiden darf) und dem Weg seines Schwerpunktes bei einer Umdrehung. AMx = 2 ˜ S ˜ Mstx = 2 ˜ S ˜ ys ˜ s AB

Drehung um die x-Achse

(4-107)

AMy = 2 ˜ S ˜ Msty = 2 ˜ S ˜ xs ˜ s AB

Drehung um die y-Achse

(4-108)

Beispiel 4.6.4.3: Bestimmen Sie die Schwerpunktskoordinanten eines Viertelkreisbogens mithilfe der Guldin-Regel. 4˜S˜r

AMx ys = = 2 ˜ S ˜ s AB

2

2

2˜ S ˜

S˜r

vereinfacht auf

AMx r ys = = 2˜ S 2 ˜ S ˜ s AB

Es gilt: xs = ys

2

4.6.4.2 Schwerpunkt einer Fläche Wir betrachten zuerst den Schwerpunkt eines differentiellen Flächenstücks dA:

Abb. 4.6.4.4

Seite 345

Integralrechnung Berechnung von Schwerpunkten Die Koordinaten für den Schwerpunkt eines Kurvenstückes zwischen dem Punkt A und B der Kurve erhalten wir hier auch aus den oben angeführten Gleichungen: 1 ´ xs = ˜µ A µ ¶

d

1 ´ ˜µ dA = 2 A µ ¶

d

x

c

b

1 1 ´ ˜ µ x ˜ y dx = ˜ x dy = ˜ Msty A 2 A ¶a x

c

(4-109)

Msty ...statisches Moment bezüglich der y-Achse. 1 ´ ys = ˜µ A µ ¶

b

1 ´ ˜µ dA = 2 A µ ¶

b

y

a

y 2

˜ y dx =

1 A

˜

1 ´ ˜µ 2 ¶

a

b 2

y dx =

a

1 A

˜ Mstx

(4-110)

Mstx ...statisches Moment bezüglich der y-Achse. Wird eine Figur oben durch eine Kurve y 1 = f1 (x) und unten durch eine Kurve mit y 2 = f2 (x) begrenzt, so gilt wegen der Additivität der Momente: 1 ´ xs = ˜µ A ¶

b





(4-111)

§ y 2  y 2 · dx 2 ¹ © 1

(4-112)

x ˜ y1  y2 dx

a

1 ´ ys = ˜ ˜µ A 2 ¶ 1

b

a

Beispiel 4.6.4.4: Bestimmen Sie die Schwerpunktskoordinanten der oberen Halbkreisfläche mit Radius r. r r

x x

f ( x  r) 

r x

2

2

r

´ 2 ˜ 2 ˜ µ f ( x  r) dx ¶ 2 0 1

ys ( r) 

oberer Halbkreis

r

´ 2 ˜ µ f ( x  r) dx ¶

ys ( r)

annehmen  r ! 0 4 r o ˜ vereinfachen 3 S

0

r  30 ˜ cm

gewählter Radius

x  r  r  0.001 ˜ cm  r

Bereichsvariable

Seite 346

xs  0 ˜ cm

Integralrechnung Berechnung von Schwerpunkten

xs ys ( r)

0 cm 12.732 cm

Abb. 4.6.4.5 Beispiel 4.6.4.5: Bestimmen Sie die Schwerpunktskoordinanten der halben Ellipse mit den Halbachsen a und b. a a

b b

x x

2

2

b

f ( x  a  b) 

2

2

˜ a x



oberer Ellipse

a

a

´ 2 ˜ 2 ˜ µ f ( x  a  b) dx ¶ 2 0 1

ys ( a  b) 

´ 2˜ µ ¶

ys ( a  b)

a

xs  0

f ( x  a  b) dx Vergleiche a = b = r !

0

a 3

annehmen  a ! 0  b ! 0 4 b o ˜ vereinfachen 3 S

b 2

gewählte Halbachsen

x  a  a  0.01  a

Bereichsvariable

2 xs f( x  a  b)

xs

ys( a  b)

1

ys ( a  b)

S

3

2

1

0

0

1

x

Abb. 4.6.4.6

Seite 347

2

3

0.849

Integralrechnung Berechnung von Schwerpunkten Beispiel 4.6.4.6: Bestimmen Sie die Schwerpunktskoordinanten der von einem Zykloidenbogen und der x-Achse begrenzten Fläche. r r

x x

x ( t  r)  r ˜ ( t  sin ( t) )

Parameterdarstellung der Ellipse

y ( t  r)  r ˜ ( 1  cos ( t ) ) d

xt ( t  r) 

x ( t  r)

dt d

yt ( t  r) 

Ableitungen y ( t  r)

dt

´ µ ¶

0

1 ´ ˜µ 2 ¶

x ( t  r) ˜ y ( t  r) ˜ xt ( t  r) dt

2˜S

xs ( r) 

´ µ ¶

´ µ ¶

x ( t  r) ˜ yt ( t  r) dt

0

xs ( r)

2

y ( t  r) ˜ xt ( t  r) dt

2˜S

ys ( r) 

2˜S

0

2˜S

x ( t  r) ˜ yt ( t  r) dt

0

annehmen  r ! 0 o r˜ S vereinfachen

annehmen  r ! 0 5 o ˜r vereinfachen 6

ys ( r)

r 3

Radius des Abrollkeises

t  0  0.001  2 ˜ S

Bereichsvariable

10 xs( r) y( t  r)

5 ys( r)

S 0

2

4

6

8

10

12

14

x( t  r)

Abb. 4.6.4.7 xs ( r)

9.425

ys ( r)

2.5

Schwerpunktskoordinaten

Seite 348

16

18

20

Integralrechnung Berechnung von Schwerpunkten Beispiel 4.6.4.7: Bestimmen Sie die Schwerpunktskoordinanten der Fläche, die durch den Viertelkreis im 1.Quadranten, der Kurve y 1 = r und x = r begrenzt wird. r r

x x

f ( x  r) 

r x

2

Redefinitionen 2

oberer Halbkreis

f1 ( r)  r

Gerade r

´ µ x ˜ §© r  ¶

2·

2

r x

¹ dx

annehmen  r ! 0

0

xs ( r) 

xs ( r)

r

2 ´ r  µ f ( x  r) dx ¶

vereinfachen

o .774 ˜ r

ys ( r)  xs ( r)

gleit  3

0

r 3

gewählter Radius

x  0  0.001  r

Bereichsvariable

4

3 f( x  r) f1( r)

S

2

ys( r) x

xs ( r)

2.33

ys ( r)

2.33

1

0

1

2

3

x  x  xs( r)  x

Abb. 4.6.4.8 Beispiel 4.6.4.8: Bestimmen Sie die Schwerpunktskoordinanten der Fläche, die durch y = x 2 /2 + 2 und y = x 2 im Bereich a = 0 und dem positiven Schnittpunkt der beiden Kurven eingeschlossen wird. x x 2

f ( x) 

x

2

2 2

gegebene Funktionen

f1 ( x)  x

Seite 349

Integralrechnung Berechnung von Schwerpunkten

x1  f ( x) = f1 ( x) auflösen  x o

´ µ µ ¶ xs 

x10

§2 · ¨ © 2 ¹

Schnittpunktberechnung

´ µ 1 µ ˜ 2 µ ¶

§x · 2 x˜ ¨  2  x dx ©2 ¹ 2

0

´ µ ¶

x10

ys 

f (x)  f1 (x) dx

0

x10

2 ª§ 2 · « x 2 «¨ 2  2  x ¬© ¹

º

 »» dx 2

¼

0

´ µ ¶

x10

f (x)  f1 (x) dx

0

3 xs vereinfachen o 4

8 ys vereinfachen o 5

x  0  0.001  x1 0

Bereichsvariable

5 x10 f x10



4

f( x)

3

f1( x) ys



2

S 1

0

0.5

1

1.5

x  x  xs

Abb. 4.6.4.9

Seite 350

2

xs

0.75

ys

1.6

Integralrechnung Berechnung von Schwerpunkten

1 ´ Vergleichen wir auch hier die statischen Momente Mstx = ˜ µ 2 ¶

b 2

y dx und

a

´ Msty = µ ¶

d

b

x ˜ y dx =

a

´ Vx = S ˜ µ ¶

b

a

1 ´ 2 ˜ µ x dy mit dem Rauminhalt eines Drehkörpers 2 ¶c

´ y dx und Vy = S ˜ µ ¶

b

2

2

x dy , so erhalten wir die 1. Guldin-Regel:

a

Der Rauminhalt V eines Drehkörpers ist gleich dem Produkt aus dem Inhalt A der erzeugenden Fläche (die die Drehachse nicht schneiden darf) und dem Weg seines Schwerpunktes S(x s |ys ) bei einer Umdrehung. Vx = 2 ˜ S ˜ Mstx = 2 ˜ S ˜ ys ˜ A

Drehung um die x-Achse

(4-113)

Vy = 2 ˜ S ˜ Msty = 2 ˜ S ˜ xs ˜ A

Drehung um die y-Achse

(4-114)

Beispiel 4.6.4.9: Bestimmen Sie die Schwerpunkt einer Viertelkreisfläche mithilfe der 1. Guldin-Regel. 4˜S˜r

Vx ys = = 2˜ S ˜ A

3

3˜2

vereinfacht auf

2

2˜ S ˜

r ˜S

Vx 4 r ys = = ˜ 3 S 2˜ S ˜ A

xs = ys

4

Beispiel 4.6.4.10: Bestimmen Sie das Volumen und die Oberfläche eines Torus (Kreisringkörpers) mithilfe der 1. und 2. Guldin-Regel.

1. Guldin-Regel: Vx = 2 ˜ S ˜ ys ˜ A 2

2

2

Vx = 2 ˜ S ˜ R ˜ r ˜ S = 2 ˜ S ˜ r ˜ R 2. Guldin-Regel: AMx = 2 ˜ S ˜ ys ˜ s AB 2

AMx = 2 ˜ S ˜ R ˜ 2 ˜ r ˜ S ˜ S = 4 ˜ S ˜ r ˜ R

Abb. 4.6.4.10

Seite 351

Integralrechnung Berechnung von Schwerpunkten 4.6.4.3 Schwerpunkt einer Drehfläche Für die Schwerpunktbestimmung von Drehflächen (und Drehkörpern) betrachten wir nicht axiale (auf eine Achse bezogene), sondern planare statische Momente (auf eine Ebene bezogene).

Abb. 4.6.4.11

Der Schwerpunkt liegt auf der Drehachse x: s b B ´ b 1 ´ 1 ´ µ ˜ µ x ˜ 2 ˜ S ˜ y ds = xs = x dA = ˜ ˜ µ 2˜ S ˜ x˜ y˜ AM µ AM ¶a AM ¶A ¶s a

1

2

1  y' dx =

1 AM

˜ Myz (4-115)

Mxy = 0 , Mxz = 0 . Das statische Moment bezüglich der Schwerachse ist immer null.

Beispiel 4.6.4.11: Bestimmen Sie den Schwerpunkt einer Halbkugelschale.

Abb. 4.6.4.12

Seite 352

Integralrechnung Berechnung von Schwerpunkten Myz kann auf drei verschiedene Arten berechnet werden: ´ Myz = µ ¶

B

A

´ x dA = µ ¶

R

x ˜ 2 ˜ S ˜ r dx

´ Myz = µ ¶

vereinfacht auf

0

B

3

x dA = r ˜ S

A

S

´ Myz = 2 ˜ S ˜ µ ¶

B

A

´2 µ x ˜ y ds = 2 ˜ S ˜ µ r ˜ cos ( M ) ˜ r ˜ sin ( M ) ˜ r dM ¶ 0

vereinfacht auf ´ Myz = 2 ˜ S ˜ µ ¶

B

§ 1 ˜ r3· ©2 ¹

x ˜ y ds = 2 ˜ S ˜ ¨

A

r

´ µ x ˜ y ds = 2 ˜ S ˜ x˜ µ A µ ¶

´ Myz = 2 ˜ S ˜ µ ¶

B

2

r

2

r x ˜ 2

dx 2

r x

0

vereinfacht auf ´ Myz = 2 ˜ S ˜ µ ¶

B

3

x ˜ y dx = S ˜ r

A

3 Myz S˜r xs = = 2 AM 4˜S˜r

vereinfacht auf

Myz 1 xs = = ˜r 2 AM

S(r/2|0|0)

2

4.6.4.4 Schwerpunkt eines Drehkörpers Für die Schwerpunktbestimmung von Drehkörpern betrachten wir auch hier nicht axiale (auf eine Achse bezogene), sondern planare statische Momente (auf eine Ebene bezogene).

Abb. 4.6.4.13

Seite 353

Integralrechnung Berechnung von Schwerpunkten Der Schwerpunkt liegt auf der Drehachse x: Ab b 1 ´ 1 1 ´ 2 µ ˜ µ x ˜ y ˜ S dx = xs = x dV = ˜ Myz ˜ µ V ¶A V V ¶a

(4-116)

a

Mxy = 0 , Mxz = 0 . Das statische Moment bezüglich der Schwerachse ist immer null.

Beispiel 4.6.4.12: Bestimmen Sie den Schwerpunkt eines Drehkegelkörpers. y x

=

r

Strahlensatz

h r

f ( x) 

h

˜x

Funktion, die den Drehkörper erzeugt

´ S˜µ ¶ xs ( h) 

h 2

x ˜ f ( x) dx

0

´ S˜µ ¶

h 2

f ( x) dx

0

Abb. 4.6.4.14 1 xs ( h)  xs ( h)  ˜ h 2

1 xs ( h) o ˜ h 4

3 xs ( h) o ˜ h 4

von der Spitze gemessen

von der Grundfläche gemessen

h 2˜ m xs ( h)

0.5 m

Beispiel 4.6.4.13: Bestimmen Sie den Schwerpunkt eines Halbkugelkörpers. 2

2

2

y =r x f ( x) 

oberer Halbkreis

2

2

r x r

0

r

´ 2 S ˜ µ f ( x) dx ¶ 0

Abb. 4.6.4.15

3 xs ( r) o ˜ r 8

Seite 354

Redefinition

Funktion, die den Drehkörper erzeugt

´ 2 S ˜ µ x ˜ f ( x) dx ¶ xs ( r) 

r r

Integralrechnung Berechnung von Schwerpunkten Beispiel 4.6.4.14: Bestimmen Sie den Schwerpunkt eines zylinderisch durchbohrten Halbkugelkörpers. 2

2

2

y =R x

oberer Halbkreis

r r

Redefinition 2

2

´ R r µ 2 2 2 S˜µ x ˜ R  x  r dx ¶ xs ( r  R) 





0

2

´ R r µ S˜µ ¶

2

R2  x2  r2 dx

Momente sind additiv!

0

2

Abb. 4.6.4.16

2

§ d D · vereinfachen o 3 ˜ D  d xs ¨  1 16 ©2 2¹

D2  d2

Beispiel 4.6.4.15:

2

Bestimmen Sie den Schwerpunkt eines Drehparaboloids. h h

Redefinition 2

y= a˜ x

1 ´ µ ˜ ys = V µ ¶

2

x =

y

Funktionsgleichung

a

´ y dV = S ˜ µ ¶

h 2

y ˜ x dy

0

Abb. 4.6.4.17

ys ( h) 

S ´ ˜µ a ¶

h

´ S˜µ µ ¶

h

2

y dy 2 ys ( h) o ˜ h 3

0

y a

Schwerpunktskoordinate

dy

0

2 ys ( 1 ˜ m) o ˜ m 3

Schwerpunktskoordinate für h = 1 m

Seite 355

Integralrechnung Berechnung von Trägheitsmomenten 4.6.5 Berechnung von Trägheitsmomenten 4.6.5.1 Das Massenträgheitsmoment Für die kinetische Energie eines Körpers der Masse m und der Geschwindigkeit v gilt: 2

Ek =

m˜v

(4-117) 2 Führt dieser Körper dabei eine Drehbewegung mit der Winkelgeschwindigkeit Z aus, so gilt wegen v = r Z: 2

ER =

m˜r ˜Z

2

2

=

J˜Z

2

2

2

mit J = m ˜ r

(4-118)

J heißt dynamisches Trägheitsmoment oder Massenträgheitsmoment. Im Gegensatz zum statischen Moment stehen beim Trägheitsmoment die Abstände zum Bezugspol bzw. von der Bezugsachse im Quadrat (Moment zweiten Grades). Das Massenträgheitsmoment hat für die Drehbewegung die gleiche Bedeutung wie die Masse für die geradlinige Bewegung, entsprechend den dynamischen Grundgesetzen:

F= m˜

d

v ( t) = m ˜

dt M=J˜

d

2

d

dt Z ( t) = J ˜

dt

2

2

d

dt

2

s ( t ) Translation

(4-119)

M ( t) Rotation

(4-120)

n

2

Da für einen Massenpunkt J = m r und für n Massenpunkte J =

¦ i

§ m ˜ r 2· gilt, errechnet © i i ¹

1

sich das Massenträgheitsmoment bei kontinuierlicher Massenverteilung über alle differentiellen Masseteilchen integriert durch: ´ µ J=µ ¶

2

r ( m ) dm

(4-121)

Ist der Körper homogen, dann gilt mit dm = U dV: ´ µ J=U˜µ ¶

Aus dER =

2

r ( V ) dV

(4-122)

1 2 2 Z ˜ r ˜ dm folgt auch: 2

ER =

´ 2 µ ˜Z ˜µ 2 ¶ 1

2

r dm =

1 2

2

˜Z ˜J

Seite 356

(4-123)

Integralrechnung Berechnung von Trägheitsmomenten Beispiel 4.6.5.1: Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment eines Zylinders, der um die x-Achse rotiert.

dV = 2 ˜ S ˜ y ˜ h ˜ dy ´ µ Jx = U ˜ µ ¶

Volumselement r

´ 3 y dV = 2 ˜ S ˜ h ˜ U ˜ µ y dy ¶ 2

0

r

´ 3 J x ( r  h  U )  2 ˜ S ˜ h ˜ U ˜ µ y dy ¶ 0

1

Jx( r  h  U ) o

2

4

˜ S ˜ h˜ U ˜ r

Abb. 4.6.5.1

Ÿ

2

m = r ˜ S ˜ h˜ U

m

h=

2

r ˜S˜U m 1 2 J = J x ( r  h  U ) ersetzen  h = o J = ˜m˜r 2 2 r ˜S˜U Beispiel 4.6.5.2: Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment eines Hohlzylinders, der um die x-Achse rotiert. dV = h ˜ dA = h ˜ 2 ˜ S ˜ y ˜ dy ´ µ Jx = U ˜ µ ¶

Volumselement

r ´1 3 µ y dV = 2 ˜ S ˜ h ˜ U ˜ y dy µ ¶ 2

r2

r ´1 3 µ J x r  h  U  r1  r2  2 ˜ S ˜ h ˜ U ˜ y dy µ ¶









r2

§ 1 ˜ r 4  1 ˜ r 4· 4 2 ¹ ©4 1

J x r  h  U  r1  r2 o 2 ˜ S ˜ h ˜ U ˜ ¨ Abb. 4.6.5.2 m = m1  m2 = S ˜ h ˜ U ˜ § r1  r2 © 2

2·

¹

ersetzen  h =





J = J x r  h  U  r1  r2

Ÿ

h=

m S ˜ U ˜ § r1  r2 ©

2·

2

m S ˜ U ˜ § r1  r2 © 2

2·

¹o J =

vereinfachen

Seite 357

1 2

˜ § r2  r1 © 2

2·

¹˜m

¹

Integralrechnung Berechnung von Trägheitsmomenten Mit den oben angeführten Beispielen lässt sich nun eine allgemeine Beziehung zur Berechnung des Massenträgheitsmoments eines Drehkörpers bezüglich seiner Symmetrieachse (Schwerachse) aufstellen:

Differentieller Vollzylinder dV x bzw. dV y mit dem Trägheitsmoment dJ x und dJy : dJx =

dJy =

1

4

˜ S ˜ U ˜ y ˜ dx

2 1

4

˜ S ˜ U ˜ x ˜ dy

2

Abb. 4.6.5.3 Mit U = m/V und den differentiellen Trägheitsmomenten erhalten wir dann: b

b

´ 4 m ´ 4 1 J x = ˜ S ˜ U ˜ µ y dx = ˜ S ˜ ˜ µ y dx ¶ 2 Vx ¶a 2 a

(4-124)

y b ´ b 4 m ´ 4 1 µ Jy = ˜ S ˜ U ˜ x dy = ˜ S ˜ ˜ µ x ˜ y' dx (dy = y' dx) µ 2 Vy ¶a 2 ¶y a

(4-125)

1

1

Beispiel 4.6.5.3: Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment eines Drehkegels, der um die x-Achse rotiert. y=

r h

˜x

Jx( r  h  U ) 

Jx( r  h  U ) o

Funktionsgleichung ´ 4 ˜ µ x dx ˜S˜U˜ 4 ¶ 2 0 h r

1

4

10

˜ S ˜ h˜ U ˜ r 2

Abb. 4.6.5.4

h

4

1

m = U ˜ Vx = U ˜

3˜ m 3 2 J = J x ( r  h  U ) ersetzen  h = oJ= ˜m˜r 2 10 r ˜S˜U

Seite 358

r ˜S˜h 3

Ÿ

h=

3˜ m 2

r ˜S˜U

Integralrechnung Berechnung von Trägheitsmomenten Beispiel 4.6.5.4: Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment eines Kreisringkörpers (Torus), der um die x-Achse rotiert.

2

2

2

x  ( y  R) = r

Kreisgleichung des oberen Kreises

2

2

oberer Halbkreis

2

2

unterer Halbkreis

yo ( x  R  r)  R 

r x

yu ( x  R  r)  R 

r x

Jx  Jx

Redefinition

Abb. 4.6.5.5 ´ S˜m˜µ ¶ Jx =

r

§ y ( x  R  r) 4  y ( x  R  r) 4· dx u © o ¹

0

´ 2˜ S ˜ µ ¶

r

§ y ( x  R  r) 2  y ( x  R  r) 2· dx u © o ¹



1 2 2 vereinfachen o J x = ˜ m ˜ 4 ˜ R  3 ˜ r 4



0

Ist die Drehachse keine Schwerachse, so lässt sich mittels Satz von Steiner das Massenträgheitsmoment berechnen: Das Massenträgheitsmoment J g eines Körpers bezüglich irgendeiner Achse g ist gleich der Summe aus dem Trägheitsmoment J s bezüglich der zu g parallelen Schwerachse s und dem Produkt Masse mal dem Quadrat des Abstandes a der beiden Achsen. 2

Jg = Js  m ˜ a

(4-126)

Beweis: ´ J1 = µ µ ¶

x1 dm

´ J2 = µ µ ¶



2



x1  a

2

´ dm = µ µ ¶

´ 2 x1 dm  2 ˜ a ˜ µ µ ¶

´ 2 µ x1 dm  a ˜ µ ¶

Statisches Moment M 1 = 0 bzgl. der Schwerachse 2

J2 = J1  a ˜ m

w.z.b.w.

Abb. 4.6.5.6

Seite 359

1 dm

Integralrechnung Berechnung von Trägheitsmomenten Beispiel 4.6.5.5: Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment einer Kugel, die sich um die Achse g im Abstand a = r/2 dreht.

2

Jg = Js  m ˜ a

Jg =

2 5

2

˜m˜r  m˜

Satz von Steiner

2

13 2 o Jg = ˜m˜r 20 4

r

Abb. 4.6.5.7 Beispiel 4.6.5.6: Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment eines stabförmigen Körpers, der sich um die Achse s und g dreht. ´ µ Js = U ˜ µ ¶

2

x dV l

´2 µ 2 J s = 2 ˜ U ˜ µ x ˜ A dx ¶ 0

l

´2 µ 2 J s1 ( A  l  U )  2 ˜ U ˜ µ x ˜ A dx ¶ 0

Abb. 4.6.5.8

Ÿ

m= U˜A˜l

A=

m l˜U

1 2 m J s = J s1 ( A  l  U ) ersetzen  A = o Js = ˜l ˜m 12 l˜U 2

Jg = Js  m ˜ a Jg =

1 12

2

˜l ˜m  m˜

Satz von Steiner 2

1 2 o Jg = ˜ l ˜ m 3 4

l

Seite 360

J s1 ( A  l  U ) o

1 12

3

˜U˜l ˜A

Integralrechnung Berechnung von Trägheitsmomenten 4.6.5.2 Das Flächenträgheitsmoment Die Flächenträgheitsmomente I (auch als Flächenmomente bezeichnet) einer Querschnittsfläche A und das von diesem hergeleitete Widerstandsmoment W und der Trägheitsradius i sind bei Untersuchungen der Festigkeitslehre erforderlich (bei der Biegebeanspruchung gerader Balken kommt es nicht nur auf die Querschnittsgröße, sondern auch auf die Gestalt des Querschnittes an). Flächenträgheitsmomente sind auch Momente zweiten Grades. Sie sind eigentlich geometrische Größen. Mathematisch gelangen wir jedoch von einem Massenträgheitsmoment in ähnlicher Weise zu einem (axialen) Flächenträgheitsmoment wie vom Massenpunkt zum Flächenschwerpunkt. Bei einer in der x-y-Ebene liegenden Fläche A sprechen wir von einem axialen oder äquatorialen Flächenträgheitsmoment, wenn die Bezugsachse in der Ebene der Fläche liegt. Analog zu den Massenträgheitsmomenten definieren wir die Flächenträgheitsmomente: ´ µ I=µ ¶

2

r ( A ) dA

(4-127)

Abb. 4.6.5.9

´ µ Ix = µ ¶

y dA heißt axiales Flächenträgheitsmoment bez. der x-Achse

´ µ Iy = µ ¶

x dA heißt axiales Flächenträgheitsmoment bez. der y-Achse

2

2

(4-128)

(4-129)

Die Summe der beiden Flächenträgheitsmomenten ´ µ Ip = µ ¶

´ µ 2 r dA = µ ¶

´

y2  x2 dA = µµ ¶

´ µ 2 y dA  µ ¶

2

x dA = Ix  Iy

(4-130)

heißt polares Trägheitsmoment. Die Bezugsachse, hier die z-Achse, steht senkrecht zur Flächenebene. Ähnlich wie beim Massenträgheitsmoment lässt sich ein analoger Zusammenhang zwischen Flächenträgheitsmoment bezüglich einer Schwerachse und einer dazu parallelen Achse angeben. Satz von Steiner: Das Flächenträgheitsmoment Ig einer Fläche bezüglich einer Achse g ist gleich der Summe aus dem Flächenträgheitsmoment Is bezüglich der zu g parallelen Schwerachse s und dem Produkt Flächeninhalt mal dem Quadrat des Abstandes a der beiden Achsen: 2

Ig = Is  A ˜ a

(4-131)

Seite 361

Integralrechnung Berechnung von Trägheitsmomenten Beispiel 4.6.5.7: Berechnen Sie die axialen Flächenträgheitsmomente bezüglich der x- und y-Achse sowie der Schwerachsen und das Polare Flächenträgheitsmoment einer Rechteckfläche.

´ Ix = µ ¶

h

´ Iy = µ ¶

b

1 3 2 y ˜ b dy o Ix = ˜ h ˜ b 3 0 1 3 2 x ˜ h dx o Iy = ˜ b ˜ h 3 0

Abb. 4.6.5.10



1 3 1 1 3 2 2 Ip = ˜ h ˜ b  ˜ b ˜ h faktor o Ip = ˜ b ˜ h ˜ h  b 3 3 3







1 1 2 2 2 Ip = ˜ b ˜ h ˜ h  b = ˜ A ˜ d 3 3

Flächenträgheitsmoment bezüglich der Schwerachsen (Satz von Steiner): 2

Ix = Isx  A ˜ a

2

2

Isx = Ix  A ˜ a = 2

3

b˜ h 3

2

 b˜ h˜

h

 b˜ h˜

b

3

b ˜h

vereinfacht auf

1 2 3 Isx = Ix  A ˜ a = ˜h ˜b 12

vereinfacht auf

1 2 3 Isy = Iy  A ˜ a = ˜b ˜h 12

4 2

Iy = Isy  A ˜ a

Isy = Iy  A ˜ a =

IpSp = Isx  Isy

1 1 1 3 3 2 2 IppS = ˜h ˜b ˜ b ˜ h faktor o IppS = ˜ b˜ h˜ h  b 12 12 12

3

4





1 2 IpSp = ˜A˜d 12

Beispiel 4.6.5.8: Berechnen Sie die axialen Flächenträgheitsmomente bezüglich der x- und y-Achse sowie der Schwerachse s x und einer parallelen Achse zur Schwerachse im Abstand a einer Dreiecksfläche. g h

=

l

Ÿ

hy

dA = l ˜ dy =

g h

l=

g h

˜ ( h  y)

˜ ( h  y) ˜ dy

h

1 g ´ 2 3 Ix = ˜ µ y ˜ ( h  y) dy o Ix = ˜ g˜ h 12 h ¶0 2

Abb. 4.6.5.11

Isx = Ix  A ˜ a =

Seite 362

3

g˜ h 12



g˜ h 2

§ h· © 3¹

˜¨

2

Integralrechnung Berechnung von Trägheitsmomenten 3

Isx =

g˜ h 12

g˜ h



2

2

§ h · o I = 1 ˜ g ˜ h3 sx 36 © 3¹

˜¨

2

§ 2 ˜ h · o I = 1 ˜ g ˜ h3 Ia = ˜ g˜ h  ˜¨ a 4 36 2 © 3 ¹ 1

2

Ia = Isx  A ˜ a

3

g˜ h

Beispiel 4.6.5.9: Berechnen Sie die axialen Flächenträgheitsmomente bezüglich der x- und y-Achse und das polare Flächenträgheitsmoment einer Kreisringfläche und einer Kreisfläche mit Radius r.

dA = 2 ˜ S ˜ r ˜ dr r ´1 2 1 1 4 4 µ Ip = r ˜ 2 ˜ S ˜ r dr o Ip = ˜ r1 ˜ S  ˜ r2 ˜ S µ 2 2 ¶r 2

Abb. 4.6.5.12 Kreisring: r ´1 2 d D 1 1 4 4 µ Ip = r ˜ 2 ˜ S ˜ r dr ersetzen  r2 =  r1 = o Ip = ˜D ˜S ˜d ˜S µ 2 2 32 32 ¶r 2

Kreis (r1 =r D/2, r1 = 0): r ´1 2 µ Ip = r ˜ 2 ˜ S ˜ r dr µ ¶ r2

D ersetzen  r2 = 0  r1 = 2 1 4 o Ip = ˜D ˜S 32 faktor

Wegen der Symmetrie des Kreises ergibt sich: Ip 1 4 Ix = Iy = = ˜D ˜S 2 64

Seite 363

Integralrechnung Berechnung von Trägheitsmomenten Axiales Flächenträgheitsmoment einer Fläche zwischen einer Funktion y = f(x) und der x-Achse:

Für die Rechtecksfläche gilt: dIx =

dIy =

1 3 1 3

3

˜ y ˜ dx =

3

˜ x ˜ dy =

1

2

˜ y ˜ y ˜ dx =

3 1

2

˜ x ˜ x ˜ dy =

3

1 3 1 3

2

˜ y ˜ dA

2

˜ x ˜ dA

Abb. 4.6.5.13 1 ´ Ix = ˜ µ 3 ¶

y2 y2 1 ´ 1 ´ 3 2 µ µ Iy = ˜ x dy = ˜ x ˜ x dy = 3 µ 3 µ ¶y ¶y

b 3

y dx

a

1

´ µ ¶

1

b 2

x ˜ y dx

(4-132)

a

Axiales Flächenträgheitsmoment bezüglich einer beliebigen Schwerachse:

v = y cos(D) - x sin(D)

´ µ Iu = µ ¶

2

v dA

(4-133)

Abb. 4.6.5.14 ´ µ Iu = µ ¶

sin (D )2 y2 ˜ cos (D )2  2 ˜ x ˜ y ˜ sin (D) ˜ cos(D)  x2 ˜ sin (D)2 dA

´ 2 µ Iu = cos ( D ) ˜ µ ¶

2

y dA  sin ( 2 ˜ D ) ˜

2

´ µ µ ¶

´ 2 µ x ˜ y dA  sin ( D ) ˜ µ ¶

Iu = I x ˜ cos ( D )  Ixy ˜ sin ( 2 ˜ D )  Iy ˜ sin ( D ) ´ µ Ixy = µ ¶

2

x ˜ y dA

2

x dA

(4-134)

(4-135)

(4-136)

(4-137)

Ixy heißt Deviationsmoment (Zentrifugal- oder Fliehmoment) und bezieht sich auf zwei zueinander senkrecht stehende Achsen. Ist die x- oder y-Achse eine Symmetrieachse, so ist Ixy = 0 und es gilt: 2

Iu = I x ˜ cos ( D )  Iy ˜ sin ( D )

2

(4-138)

Seite 364

Integralrechnung Berechnung von Trägheitsmomenten Beispiel 4.6.5.10: Berechnen Sie die axialen Flächenträgheitsmomente bezüglich der x- und y-Achse und die axialen Flächenträgheitsmomente bezüglich der Schwerachsen eines Parabelsegments (y 2 = 4 x) im ersten Quadranten im Bereich a = 0 und b = 4. a 0

b 4

Integrationsbereich

x  a  a  0.01  b

Bereichsvariable

f ( x) 

4˜ x

Funktion

f ( x) dx

A

´ A µ ¶

b

10.667

a b

1 ´ 3 ˜ µ ( f ( x) ) dx ¶ 3 a

Ix 

Ix

´ Iy  µ ¶

34.133

1 ´ ˜ µ x ˜ f ( x) dx A ¶a

xs

xs 2

0

ys

0

Iy

73.143

ys

1.5

2

4

b

1 ´ 2 ˜ ˜ µ f ( x) dx ¶ A 2 a 1

ys 

2.4

4

f( x)

2

x ˜ f ( x) dx

a

b

xs 

b

Ix = Isx  A ˜ ys

2

Iy = Isy  A ˜ xs

2

Isx

10.133

Isy

11.703

Ÿ

Isx  Ix  A ˜ ys

2

Isy  Iy  A ˜ xs

2

x

Abb. 4.6.5.15 Beispiel 4.6.5.11: Berechnen Sie das axiale Flächenträgheitsmoment eines Quadrates bezüglich der Diagonale. 4

a Ix = Iy = 12

Vergleichen Sie das Flächenträgheitsmoment eines Rechtecks!

Wegen der Symmetrie gilt: 2

§ S ·  I ˜ sin § S · Iu = Ix ˜ cos ¨ ¨ y ©4¹ ©4¹ 4

Iu ( a) 

Abb. 4.6.5.16

a

12

2

2

4

§ S ·  a ˜ sin § S · ¨ 12 ©4¹ ©4¹

˜ cos ¨

a a

Redefinition

1 4 Iu ( a) o ˜a 12

Ix = Iy = Iu

Seite 365

2

Integralrechnung Berechnung von Biegelinien 4.6.6 Berechnung von Biegelinien Für die Berechnung von Trägern betrachten wir zuerst eine dem Träger belastende Streckenlast q(x) in kN/m. Die Gesamtlast ergibt sich als Inhalt der Fläche unter dem Graphen q(x):

Die Querkraft Q(x) im Abstand x vom Festlager F A berechnet sich aus allen senkrechten Kräften von A bis zur betrachteten Stelle x : x

´ Q ( x) = FA  µ q ( x) dx ¶

(4-139)

0

Abb. 4.6.6.1

Mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung folgt: d

Q' ( x) =

Q ( x) = q ( x)

(4-140)

dx Die Summe der Momente aller links von x angreifenden Kräfte heißt Biegemoment M b(x) an der Stelle x. Es gilt folgender Zusammenhang mit der Querkraft: M'b ( x) =

d dx

Mb ( x) = Q ( x)

(4-141)

Die Linie, welche die im unbelasteten Zustand waagrecht liegenden Trägerachse bei der Biegung annimmt, heißt Biegelinie y(x). Für kleine Durchbiegungen kann diese aus der Differentialgleichung 2. Ordnung der Biegelinie hergeleitet werden (siehe dazu näheres Band 4): 2

y'' =

d

2

dx

y ( x) = 

Mb ( x)

(4-142)

E˜I

E ist der Elastizitätsmodul des Trägermaterials und I das Flächenträgheitsmoment bezogen auf die y-Achse. Es ist üblich, positive Werte von M b(x) und y(x) nach unten aufzutragen (auf der negativen y-Achse). Damit gelten mit den oben angeführten Beziehungen folgende Differentialgleichungen: E ˜ I ˜ y'''' = q ( x) ; E ˜ I ˜ y''' = Q ( x) ; E ˜ I ˜ y'' = Mb ( x)

(4-143)

Bemerkung: Treten Einzelkräfte auf, so hat der Graph der Querkraft Q(x) Sprungstellen und der Graph des Biegemoments M b(x) Knicke. Trotzdem bleibt die Biegelinie y(x) stetig und auch differenzierbar.

Seite 366

Integralrechnung Berechnung von Biegelinien Beispiel 4.6.6.1: Ein zweifach gestützter Träger der Länge L = 4 m besitzt eine konstante Trägerlast q 0 = 10.0 kN/m und eine Biegesteifigkeit E . I = 7.106 Nm2 . Berechnen Sie die Biegelinie y(x). Stellen Sie die Streckenlast q(x), die Querkraft Q(x), das Biegemoment M b (x) und die Biegelinie y(x) grafisch dar. Es gelten die Randbedingungen Mb (0) = M b (L) = 0 und y(0) = y(L) = 0.

Abb. 4.6.6.2

Q' ( x) = q ( x) = q0

Streckenlast

´ Q ( x) = µ µ ¶

Querkraft

q0 dx  C1 o Q ( x) = q0 ˜ x  C1

Aus M'b ( x) = Q ( x) = q0 ˜ x  C1 folgt: ´ Mb ( x) = µ µ ¶

1 2 q0 ˜ x  C1 dx  C2 o Mb ( x) = ˜ q0 ˜ x  C1 ˜ x  C2 2

Die Konstanten C1 und C2 bestimmen wir aus den Randbedingungen: Mb ( 0) = C2 = 0 Mb ( L) =

1

q0 C1 = ˜L 2

2

˜ q0 ˜ L  C1 ˜ L = 0 2

Damit lautet die Querkraft und der Biegemomentenverlauf: q0 §L · Q ( x) = q0 ˜ x  ˜ L = q0 ˜ ¨  x 2 ©2 ¹ Mb ( x) =

1 2

2

˜ q0 ˜ x 

q0 2

˜ L˜ x=

q0 2



2

˜ L˜ x x



Aus der Differentialgleichung der Biegelinie folgt durch zweimaliges integrieren von y:

y'' ( x) =

y' =

Mb ( x) E˜I

´ µ ˜µ 2˜ E˜ I ¶ q0

L ˜ x  x2 dx  C3 o y' = 1 ˜ 2

q0

§ 1 ˜ L ˜ x2  1 ˜ x3·  C 3 3 E˜I ©2 ¹ ˜¨

Seite 367

Integralrechnung Berechnung von Biegelinien ´ µ y=µ µ ¶

y=

1 2

1

˜

2

q0

1 1 q0 § 1 § 1 ˜ L ˜ x2  1 ˜ x3·  C x 3 4· o = ˜ ˜ ¨ ˜ L˜ x  ˜ x  C3 ˜ x  C4 d  C y 3 4 6 3 12 2 E˜I ©2 E ˜ I ¹ © ¹

˜

q0

˜¨

§ 1 ˜ L ˜ x3  1 ˜ x4·  C ˜ x  C 3 4 12 E˜I ©6 ¹ ˜¨

Die Konstanten C3 und C4 bestimmen wir aus den Randbedingungen: y ( 0) = C4 = 0 1

y ( L) = 1 2

˜

˜

2

q0

q0

§ 1 ˜ L ˜ L3  1 ˜ L4·  C ˜ L = 0 3 12 E˜I ©6 ¹ ˜¨

§ 1 ˜ L ˜ L3  1 ˜ L4·  C ˜ L = 0 3 12 E˜I ©6 ¹

y ( x) =

˜¨

3

q0

3

4

˜ L ˜ x 2˜ L˜ x  x

24 ˜ E ˜ I

hat als Lösung(en)

1 24

˜

q0 E˜I

3

˜L



3

kN  10 ˜ N kN q0  10 ˜ m

Streckenlast

L 4˜ m

Länge des Trägers 6

B  8 ˜ 10 ˜ N ˜ m

2

E * I ... Biegesteifigkeit

§L · Q ( x)  q0 ˜ ¨  x 2 ©

Mb ( x) 

y ( x) 

q0 2



2

˜ L˜ x x

q0 24 ˜ B





Biegemoment

3

3

4

˜ L ˜ x 2˜ L˜ x  x

x0  0 ˜ m Q x0

Querkraft

¹

xL  L



20 kN

xsb  150 ˜ mm

Biegelinie

Randpunkte 20 kN

Q xL



maximale Querkraft Startwert



xb  Maximieren Mb  xsb xsy  150 ˜ mm



xb

2000 mm



Mb xb

20000 N ˜ m

maximales Biegemoment

Startwert





xy  Maximieren y  xsy

xy

2000 mm



y xy

Seite 368

4.167 mm

maximale Biegung

Integralrechnung Berechnung von Biegelinien 'x  0.2 ˜ mm

Schrittweite

x  0 ˜ mm  0 ˜ mm  'x  L

Bereichsvariable Streckenlast

q0 kN m

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

L mm

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

x mm

Abb. 4.6.6.3 Querkraft

25 Q( x) kN



Q x0

20 L

15

mm

10 5

kN



0

Q xL

5

kN

10

500

1000

1500

2000

15 20 25 x mm

Abb. 4.6.6.4

Abb. 4.6.6.5

Seite 369

2500

3000

3500

4000

Integralrechnung Berechnung von Biegelinien Biegelinie 0

0.6 1.2 1.8  y( x) 2.4 mm 3 3.6 4.2 4.8 5.4 6

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

xy

L

mm

mm





y xy

mm

x mm

Abb. 4.6.6.6 Beispiel 4.6.6.2: Ein halbseitig eingespannter Träger der Länge L = 3 m wird mit einer Dreieckslast q(x) = (q 0 /L) . x belastet (q 0 = 5.0 kN/m). Der Elastizitätsmodul E beträgt E = 2.1 1011 N/m 2 und das Flächenträgheitsmoment I = 1.688 10 6 mm4 . Berechnen Sie die Biegelinie y(x). Stellen Sie die Streckenlast q(x), die Querkraft Q(x), das Biegemoment M b (x) und die Biegelinie y(x) grafisch dar. Es gelten die Randbedingungen Mb (L) = 0, y(0) = y(L) = 0 und y'(0) = 0.

Abb. 4.6.6.7

x x

y y q0

Q' ( x) = q ( x) = ´ µ Q ( x) = µ µ ¶

q0  q0

L L

Q Q

Mb  M b

˜x

L

Redefinitionen Streckenlast

q0

1 q0 2 ˜ x dx  C1 o Q ( x) = ˜ ˜ x  C1 L 2 L

Querkraft

1 q0 2 Aus M'b ( x) = Q ( x) = ˜ ˜ x  C1 folgt: 2 L ´ µ Mb ( x) = µ µ ¶

MbC ( x) 

1 2

1 6

˜

˜

q0

1 q0 3 2 ˜ x  C1 dx  C2 o Mb ( x) = ˜ ˜ x  C1 ˜ x  C2 6 L L

q0 L

3

˜ x  C1 ˜ x  C2

Seite 370

Integralrechnung Berechnung von Biegelinien Aus der Differentialgleichung der Biegelinie folgt durch zweimaliges Integrieren y: y'' =

Mb E˜I

y' = 

´ ˜µ E˜I µ ¶ 1

· 1 § 1 q0 4 1 2 MbC ( x) dx  C3 o y' = ˜¨ ˜ ˜ x  ˜ C1 ˜ x  C2 ˜ x  C3 E ˜ I © 24 L 2 ¹

§ 1 q0 4 1 · 1 2 y'C ( x)   ˜¨ ˜ ˜ x  ˜ C1 ˜ x  C2 ˜ x  C3 E ˜ I © 24 L 2 ¹ 1 § 1 q0 5 1 1 3 2· y'C ( x) dx  C4 o y = ˜¨ ˜ ˜ x  ˜ C1 ˜ x  ˜ C2 ˜ x  C3 ˜ x  C4 E ˜ I © 120 L 6 2 ¹

´ y=µ µ ¶

Damit ist die Funktion der Biegelinie bis auf die Konstanten bestimmt.

§ 1 q0 5 1 1 3 2· ˜ ˜ x  ˜ C1 ˜ x  ˜ C2 ˜ x  C3 ˜ x  C4 E ˜ I © 120 L 6 2 ¹ 1

yC ( x) 

˜¨

Wenn x = 0 ist, so gilt y(0) = 0: ersetzen  x = 0 o0 auflösen  C4

yC ( x) = 0 C4 = 0

Wenn x = 0 ist, so gilt y'(0) = 0:



§ 1 q0

1 E˜I

˜¨

© 24

˜

L

4

˜x 

1

2

·

˜ C1 ˜ x  C2 ˜ x  C3 = 0 2 ¹

ersetzen  x = 0 o0 auflösen  C3

C3 = 0 Wenn x = L ist das Moment Mb(L) =0: 1 6

2

˜ q0 ˜ L  C1 ˜ L  C2 = 0

Wenn x = L ist, so gilt für die Durchbiegung y(L) = 0 (unter Berücksichtigung C 3 = 0 und C 4 = 0):

§ 1 ˜ q ˜ L4  1 ˜ C ˜ L3  1 ˜ C ˜ L2· = 0 1 2 E ˜ I © 120 0 6 2 ¹ 1

˜¨

Seite 371

Integralrechnung Berechnung von Biegelinien Berechnen von C1 und C 2 : Vorgabe 1

2

˜ q0 ˜ L  C1 ˜ L  C2 = 0

6

§ 1 ˜ q ˜ L4  1 ˜ C ˜ L3  1 ˜ C ˜ L2· = 0 1 2 E ˜ I © 120 0 6 2 ¹ 1

˜¨

§¨ 9 ˜ q ˜ L · 0 ¨ 40 ¸ Suchen  C1  C2 o ¨ 7 2¸ ¨ 120 ˜ q0 ˜ L © ¹ Nun können die Funktionen Q(x), M(x) und y(x) angegeben werden. 3

kN  10 ˜ N kN q0  5 ˜ m

Streckenlast

L 3˜ m

Länge des Trägers

E  2.1 ˜ 10

11

N

˜

m

Elastizitätsmodul

2

6

I  1.688 u 10 ˜ mm q ( x)  Q ( x) 

Mb ( x) 

y ( x) 

q0 L



Flächenträgheitsmoment Streckenlast

˜x

1 2

˜

1 6

q0 L ˜

9

2

˜x 

q0

9

3

L

˜ q0 ˜ L

40

˜x 

40

Querkraft

˜ q0 ˜ L ˜ x 

7 120

2

˜ q0 ˜ L

Biegemoment

ª 1 q0 5 1 § 9 · 3 1 § 7 ˜ q ˜ L2· ˜ x2º» ˜ ˜x  ˜¨ ˜ q0 ˜ L ˜ x  ˜ ¨ E ˜ I ¬ 120 L 6 © 40 2 © 120 0 ¹ ¹ ¼ 1

˜«

x0  0 ˜ m Q x0

4

xL  L

3.375 kN



Q xL

Biegelinie

Randpunkte 4.125 kN maximale Querkraft

xsb  150 ˜ mm

Startwert



xb  Maximieren Mb  xsb



xb

xsy  150 ˜ mm

2012.461 mm



Mb xb

1903.038 N ˜ m

maximales Biegemoment

Startwert





xy  Maximieren y  xsy

xy

1792.613 mm



y xy

Seite 372

3.483 mm

maximale Biegung

Integralrechnung Berechnung von Biegelinien 'x  0.2 ˜ mm

Schrittweite

x  0 ˜ mm  0 ˜ mm  'x  L

Bereichsvariable

Seite 373

Integralrechnung Berechnung von Biegelinien

Biegelinie 0.4 0.8 1.2  y( x) 1.6 mm 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

xy

L

mm

mm





y xy

mm

x mm

Abb. 4.6.6.11 Beispiel 4.6.6.3: Auf einen halbseitig eingespannten Träger der Länge L wirken an den Stellen Lk Punktkräfte (Punktlast) F k und unterschiedliche Streckenlasten q(x) , die nicht notwendigerweise konstant sein müssen. Bei der Bestimmung der Biegelinie soll ein von x abhängiges Flächenträgheitsmoment I(x) ausgewählt werden können. Zwei einfache Situationen des einseitig eingespannten Trägers sind nachfolgend für die Fälle einer Punktlast F am Trägerende und einer Gleichlast q(x) = q 0 dargestellt.

Abb. 4.6.6.12 Konstante Streckenlast q0 Dreieckslast q0/L * x Sinusförmige Streckenlast q0*sin(pi*x/L) Trapezlast (q2-q1)/L

Listenfeld zur Auswahl verschiedener Streckenlasten

Streckenlast:

Trägerlänge:

Kräfteanzahl:

3

4

1

Seite 374

Maximalkraft:

2

Integralrechnung Berechnung von Biegelinien kN q0  Konstante_Streckenlast ˜ m q0

3

1 m

kN





q x  q0  L  q1  q2 

L  Trägerlänge ˜ m

K  Kräfteanzahl

Fmax  Kraft ˜ kN

L

K

Fmax

4m

1

q0 if Streckenlast = 1

Konstante Streckenlast

q0

Dreieckslast

L

˜ x if Streckenlast = 2

§ x · if Streckenlast = 3 q0 ˜ sin ¨ S ˜ © L¹ q2  q1 L Kraft_Angriffspunkte ( K  L) 

sinusförmige Steckenlast

Trapezlast

˜ x  q1 if Streckenlast = 4



for k  0  K  1 Lk m

k1 K



Kraft Fmax 

T



F  Kraft Fmax

L



T

F

kN q1  8 ˜ m

return F (4 ) m

Angriffspunkte der Kräfte

( 0.001 ) kN

mit dem Zufallsgenerator erzeugte Kraft bzw. Kräfte

kN q2  5 ˜ m



for k  0  K  1 Fk m Fmax ˜ rnd ( 1)

˜L

return L L  Kraft_Angriffspunkte ( K  L)

1 kN

Kräfte der Trapezlast



q ( x)  q x  q0  L  q1  q2

Funktion der Streckenlast

Biegemomentenverlauf und Querkraftverlauf: Wenn ein Träger an der Stelle x freigemacht werden soll, muss zur Erhaltung des Gleichgewichts ein links-/rechtsdrehendes Biegemoment M b (x) und eine nach unten bzw. oben wirkende Querkraft Q(x) im linken bzw. rechten Trägerrest angesetzt werden. Weil im rechten Trägerrest nur Kräfte mit Lk > x (wir verwenden zur Auswahl die Heavisidefunktion )( Lk - x)) bzw. Streckenlasten q(x i) mit xi > x wirksam sind (Integration von x bis L), ergibt sich das Drehmomentengleichgewicht und Kräftegleichgewicht aus folgenden Gleichungen. Ein positives Mb (x) bedeutet links- bzw. rechtsdrehendes Biegemoment im linken bzw. rechten Trägerrest. Aufgrund dieser Vorzeichenkonvention erhalten wir hier ein negatives Biegemoment:

ª

K 1

Mb ( x)  «

¦

« ¬k

0

´ ª¬) Lk  x ˜ Fk ˜ Lk  x º¼  µ ¶









L

 



º

q xi ˜ xi  x dxi»

x

» ¼

xi Integrationsvariable

Ein positives Q(x) bedeutet, dass die Querkraft im linken bzw. rechten Trägerteil nach unten bzw. oben wirkt: K 1

Q ( x) 

¦

k

x 0˜ m

´ ) Lk  x ˜ Fk  µ ¶

 

0

L 200





L



q xi dxi

x

 L

Bereichsvariable

Seite 375

Integralrechnung Berechnung von Biegelinien

Streckenlast 3 0 kN m

q ( x)

2

kN m

Abb. 4.6.6.13

q ( x) 1

kN m

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

x m

Querkraft 8 0 6

kN Q( x) kN

4

Abb. 4.6.6.14

Q( x) kN 2

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

x m

Biegemoment 0 M b ( x) kN˜m

5

0 kN˜m

10

Abb. 4.6.6.15

M b ( x) kN˜m

15

20

0

0.5

1

1.5

2

2.5

x m

Seite 376

3

3.5

4

Integralrechnung Berechnung von Biegelinien Numerische Lösung der Differentialgleichung der Biegelinie: 2

d

2

1

y=

E ˜ I ( x)

dx

˜ Mb ( x)

Differentialgleichung der Biegelinie

Das axiale Flächenträgheitsmoment I(x) kann von x abhängig angenommen werden, z.B. wenn sich der Trägerquerschnitt ändert. Wir beschränken uns auf konstante Querschnitte und somit auf konstante axiale Flächenträgheitsmomente. Elastizitätsmodul 

Flächenmoment  Stahl 1

E

2.1 ˜ 10

N

5

mm 1.2 ˜ 10 ˜

mm N

4

2 ˜ 10 ˜

mm

2

I0 

if Elastizitätsmodul = 1

2

10

4

4 ˜ 10

N

5

Stahl 1

2

if Elastizitätsmodul = 2

2 ˜ 10

˜m

4

if Flächenmoment = 1

4 4

m

4

˜m

if Flächenmoment = 2 4

if Flächenmoment = 3

if Elastizitätsmodul = 3

I ( x)  I0

Verlauf des axialen Flächenträgheitsmoments

y ( 0) = 0

Auslenkung an der Einspannstelle x = 0

y' ( 0) = 0

Trägerneigung an der Einspannstelle x = 0

´ y' ( x)  µ µ ¶

x

1



E ˜ I xi

0˜m

´ y ( x)  µ ¶

x

y'(0) = 0 ist im Integral bereits berücksichtigt



y(0) = 0 ist im Integral bereits berücksichtigt

y' xi dxi

0˜m

f  y ( L) x 0˜ m



˜ Mb xi dxi

f L 20

3.354 mm

Durchbiegung

 L

Bereichsvariable

Biegelinie 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

y( x) mm

2

f mm

4 x m

Seite 377

Abb. 4.6.6.16

Integralrechnung Berechnung von Arbeitsintegralen 4.6.7 Berechnung von Arbeitsintegralen Eine physikalische Größe u = f(x,y,z) (stetig differenzierbare Funktion der Raumkoordinaten) heißt ein skalares Feld. Die Flächen im Raum, auf denen u = konstant ist, heißen Niveauflächen. Zur grafischen Darstellung eines skalaren Feldes werden oft Schnittkurven der Niveauflächen mit einer geeigneten Ebene gezeichnet (z.B. Isobaren oder Isothermen auf einer Wetterkarte; Höhenschnittlinie auf einer Landkarte). Siehe Näheres dazu Band 2 Vektoranalysis. Beispiel: Gravitationskraft eines Massenpunktes oder elektrostatische Anziehungskraft: c

F ( x  y  z) =

2

=

c 2

2

x y z

r

(c = Jm M bzw. c = k q Q)

2

(4-144)

Potentialfunktion: u (x  y  z) =

1 F (x  y  z)

2

=

2

x y z

2

(4-145)

c

o Ist eine beliebige vektorielle Größe v( r) eine Funktion der Raumkoordinaten (z.B. Gravitationskraft eines Massenpunktes; Stromdichte in einer Strömung; elektrische oder magnetische Feldstärke et.), so sprichen wir von einem vektoriellen Feld. Beispiel: Gravitationskraft eines Massenpunktes oder elektrostatische Anziehungskraft: c˜x ª « « « 2 2 2 « x y z « §¨ Fx · c˜y oo o « c F r = ¨ Fy ¸ = ˜r=« ¨ ¸ 3 « 2 2 2 r ¨© Fz ¹ « x y z « c˜y « « « 2 2 2 ¬ x y z





 

3

2 3



2

3

2

º » » » » » » o » ; F =F= » » » » » » ¼

2

2

2

Fx  Fy  Fz =

c 2

(4-146)

r



oo In einem Vektorfeld F r können verschiedene Integraloperationen definiert werden. Wir unterscheiden zwischen Linien (oder Kurven)- Flächen- und Volumsintegralen . Die mechanische Arbeit lässt sich damit als Kurvenintegral entlang einer Kurve C definieren:

W=



´ oo o ´ µ F r dr = µ µ µ ¶ ¶

C Gilt Fx =

w wx

u , Fy =

Fx ( x  y  z ) ˜ dx  Fy ( x  y  z ) ˜ dy  Fz ( x  y  z ) dz

(4-147)

C w wy

u , Fz =

w wz

u , so ist das Kurvenintegral unabhängig vom Integrationsweg.



oo u(x,y,z) ist die Potentialfunktion und F r das Potentialfeld.

Seite 378

Integralrechnung Berechnung von Arbeitsintegralen Für die Ebene gilt: o § Fx · o § dx · ¨ F= , dr = ¨ , u ( x  y). ¨F dy ¹ © y © ¹ ´ µ W=µ µ ¶ C

´ µ w w Fx ˜ dx  Fy dy = µ u ˜ dx  u dy = x wy µ w ¶ C

´ µ µ ¶

P ( x  y) ˜ dx  Q ( x  y) dy

(4-148)

C w

P ( x  y) =

w

Q ( x  y) . wy wx Diese Bedingung heißt Integrabilitätsbedingung. Die Integrabilitätsbedingung ist eine notwendige und hinreichende Bedingung zur Prüfung eines Feldes auf Potentialeigenschaft. Ist dz = P(x,y) dx + Q(x,y) dy ein vollständiges Differential, so gilt:

Ist die Kraft F = konstant und wirkt sie entlang des Weges s, so gilt:

W= F˜s

(4-149)

Abb. 4.6.7.1

Ist die Kraft F = konstant, und und haben F und s verschiedene Richtungen, so gilt:

W = Fs ˜ s = F ˜ s ˜ cos ( M )

(4-150)

Abb. 4.6.7.2

Ist die Kraft entlang des Weges abgängig von s, so gilt: s ´ 2 µ W= F ( s ) ˜ cos ( M ) ds µ ¶

(4-151)

s ´ 2 µ W= F ( s ) ds (für M = 0) µ ¶

(4-152)

s1

s1

Abb. 4.6.7.3

Seite 379

Integralrechnung Berechnung von Arbeitsintegralen Beispiel 4.6.7.1: Innerhalb gewisser Grenzen ist die Kraft, die benötigt wird, um eine Feder zu dehnen, zur Dehnung proportional, wobei die Proportionalitätskonstante die Federkonstante k genannt wird. Um eine gegebene Feder der Normallänge von 25 cm um 0.5 cm zu dehnen, wird eine Kraft von 100 N benötigt. Wie groß ist die Arbeit, die verrichtet werden muss, wenn wir die Feder von 27 cm auf 30 cm dehnen ? F ( x) = k ˜ x

Hooksches Gesetz

Die Federkonstante ergibt sich aus: F ( 0.5) cm = k ˜ 0.5 ˜ cm = 100 ˜ N ´ W µ µ ¶

k = 200 ˜

5˜cm

200 ˜

N cm

˜ x dx

W

N

Federkonstante

cm verrichtete Arbeit

21 J

2˜cm

Beispiel 4.6.7.2: Die Federkonstante der Feder an einem Prellbock beträgt 4 MN/m. Wie groß ist die Arbeit, die verrichtet werden muss, wenn wir die Feder um 0.025 m zusammendrücken ? F ( x) = k ˜ x

Hooksches Gesetz

6

MN  10 ˜ N MN

k 4˜ ´ W µ ¶

Einheitendefinition Federkonstante

m 0.025˜m

k ˜ x dx

W

verrichtete Arbeit

1250 J

0˜cm

Beispiel 4.6.7.3: Wie in der Mechanik gezeigt wird, ist die partielle Ableitung der Formänderungsarbeit W eines linearen elastischen System nach der Kraft gleich der Durchbiegung (Verschiebung) f des Kraftangriffspunktes in Richtung der Kraft. Damit können Verformungen mithilfe der Formänderungsarbeit berechnet werden. Mit dem Biegemoment Mb , der konstanten Biegesteifigkeit E I und der Trägerlänge L erhalten wir: ´ ˜µ W= 2˜ E˜ I ¶ 1

´ f= W= ˜µ E˜I µ wF ¶

L

w

2

Mb ( F  x) dx

0

L

1

Mb ( F  x) ˜

w wF

Mb ( F  x) dx

0

Für einen einseitig eingespannten Träger mit einer Einzelkraft am Trägerende ist M b = F x. Berechnen Sie die Formänderungsarbeit W und die Durchbiegung f. W W

Redefinition L

´ 1 2 2 3 2 ˜ µ F x dx o W ( F  L) = W ( F  L) = ˜L ˜F 6˜ E˜ I 2 ˜ E ˜ I ¶0 1

w wF

( F ˜ x) o x

Ableitung des Biegemoments M b

L

´ 1 3 ˜ µ F ˜ x ˜ x dx o f = f= ˜L ˜F 3˜ E˜ I E ˜ I ¶0 1

Formänderungsarbeit

oder:

f=

w wF

Seite 380

W ( F  L)

Durchbiegung

Integralrechnung Berechnung von Arbeitsintegralen Beispiel 4.6.7.4: Wie groß ist die aufgewendete Arbeit W, um einen Körper der Masse m auf die Geschwindigkeit v zu beschleunigen ? F= m˜

d

v ( t) = m ˜

dt

2

d

dt

2

dynamisches Kraftgesetz

s ( t)

s s v ´ 2 ´ 2 ´ 2 d d µ W= F ds = µ m ˜ v ds = µ m ˜ s dv = µ µ µ dt dt ¶s 1 ¶s ¶v 1

v ´ 2 µ m ˜ v dv µ ¶

1

v ´ 2 1 1 2 2 µ W= m ˜ v dv o W = ˜ v2 ˜ m  ˜ v1 ˜ m µ 2 2 ¶v

v1

Die aufgewendete Arbeit entspricht der Änderung der kinetischen Energie!

1

Beispiel 4.6.7.5: Welche Arbeit W gegen die Erdanziehungskraft muss aufgebracht werden, um einen Nachrichtensatelliten der Masse m2 = 1400 kg auf eine geostationäre Bahn in der Höhe h = 36 000 km über der Erdoberfläche zu bringen ? Die Gravitationskonstante beträgt J = 6.67 10-11 Nm2 /kg2 , die Erdmasse m 1 = 5.98 1024 kg und der Erdradius rE = 6.37 106 m. Wie groß ist die Arbeit, wenn der Satellit für eine Planetenerkundungsmission das Gravitationsfeld der Erde völlig verlässt ? Stellen Sie die Arbeit (das Gravitationspotentioal) u (R) = - Wv /m1 als Funktion von R vom Erdmittelpunkt grafisch dar. F ( r) = J ˜

m1 ˜ m2

Gravitationsgesetz

2

r

r h r h ´E ´E 1 µ µ dr Wp = F ( r) dr = J ˜ m1 ˜ m2 ˜ µ µ 2 ¶r r E µ ¶r

Die verrichtete Arbeit oder potentielle Energie, um den Satelliten auf die geostationäre Bahn zu bringen.

E

r h

´E Wp rE  h  J  m1  m2  J ˜ m1 ˜ m2 ˜ µ µ µ ¶r





1 2

dr

r

E

§ 1  1 · Wp rE  h  J  m1  m2 o J ˜ m1 ˜ m2 ˜ ¨ © rE  h rE ¹





f

´ µ W1 rE  J  m1  m2  J ˜ m1 ˜ m2 ˜ µ µ ¶r





1 2

r E

dr

Die verrichtete Arbeit oder potentielle Energie, um den Satelliten aus dem Gravitationsfeld der Erde zu bringen.

m2 W1 rE  J  m1  m2 o J ˜ m1 ˜ rE





Seite 381

Integralrechnung Berechnung von Arbeitsintegralen

J  6.67 ˜ 10

 11 N ˜ m ˜ 2

2

Gravitationskonstante

kg

m1  5.98 ˜ 10

24

˜ kg

Erdmasse

m2  1400 ˜ kg

Satellitenmasse

6

rE  6.37 ˜ 10 ˜ m

Erdradius

h  36000 ˜ km

Höhe der geostationären Bahn

6

MJ  10 ˜ J

Einheitendefinition





Wp rE  h  J  m1  m2

Die verrichtete Arbeit oder potentielle Energie, um den Satelliten auf die geostationäre Bahn zu bringen.

74483.428 MJ

m2 W1 rE  J  m1  m2  J ˜ m1 ˜ rE









W1 rE  J  m1  m2





Die verrichtete Arbeit oder potentielle Energie, um den Satelliten aus dem Gravitationsfeld der Erde zu bringen.

87662.857 MJ

u R  J  m1  m2  





W1 R  J  m1  m2

Gravitationspotential

m1 2

R  1 ˜ km  2 ˜ km  10 ˜ km

Bereichsvariable (für den Abstand vom Erdmittelpunkt) Gravitationspotential 0



u R  J  m1  m2 J



2.5 10

11

5 10

11

7.5 10

11

1 10

10

20

40

60

80

100

kg

Abb. 4.6.7.4

R km

Seite 382

Integralrechnung Berechnung von Arbeitsintegralen Beispiel 4.6.7.6: Industrieabgase werden heute häufig mittels elektrostatischer Filter gereinigt. Das verunreinigte Gas tritt in einen Behälter, in dem ein elektrostatisches Feld mit hoher Spannung aufgebaut wird. Die Staubteilchen werden durch die Spitzenwirkung und Influenz entsprechend hoch aufgeladen und lagern sich an der Behälterwand ab. Der Abstand von der zylindrischen Behälterwand zu einem in der Mitte angebrachten Metallrohr beträgt r = 2 m und die Ladung am Metallrohr Q 2 = 1.3 10-6 C. Das Metallrohr hat einen Durchmesser von 20 cm. Die Dielektrizitätskonstante beträgt H0 = 8.8542 10-12 As/(V m). Berechnen Sie mithilfe des Coulombschen Gesetzes das Potential u(r) = W El/Q1 der Behälterwand gegenüber dem r entfernten Metallrohr. Wie würde das Potential lauten, wenn das Staubteilchen in großer Entfernung (gegen die Größe des Staubteilchens kann die Wegstrecke aus dem Rauchgasrohr als unendlich angenommen werden) von der Behälterwand aufgeladen wird ? F ( r) =

1 4 ˜ S ˜ H0

˜

Q1 ˜ Q2

Coulombsches Gesetz

2

r

r Q1 ˜ Q2 ´2 µ WEl = F ( r) dr = µ 4 ˜ S ˜ H0 ¶r 1

r

´2 1 ˜µ dr µ 2 r µ ¶r

Die verrichtete elektrische Arbeit zwischen Metallrohr und Behälterwand.

1





WEl r1  r2  H 0  Q1  Q2 

r

Q1 ˜ Q2

´2 1 ˜µ dr 2 4 ˜ S ˜ H0 µ r µ ¶r

Die verrichtete elektrische Arbeit als Funktion definiert.

1

Q2 1 § 1  1 · WEl r1  r2  H 0  Q1  Q2 o ˜ Q1 ˜ ˜¨ 4 S ˜ H0 © r2 r1 ¹







f

´ µ ˜ 4 ˜ S ˜ H0 µ µ ¶r Q1 ˜ Q2



WEl1 r1  H 0  Q1  Q2 

1 2

Die verrichtete Arbeit bei einem Staubteilchen, das aus dem Rauchgasrohr tritt.

dr

r 1

Q2 1 WEl1 r1  H 0  Q1  Q2 o ˜ Q1 ˜ 4 S ˜ H 0 ˜ r1





H 0  8.8542 ˜ 10 Q2  1.3 ˜ 10

6

 12

˜

symbolische Auswertung

symbolische Auswertung

A˜s

elektrische Feldkonstante (Dielektrizitätskonstante)

V˜m

˜C

Ladung des Metallrohres

r 2˜ m

Entfernung der Behälterwand zum Metallrohr

r1  0.2 ˜ m

Radius des Metallrohres

r2  r

Entfernung der Behälterwand zum Metallrohr





WEl r1  r2  H 0  Q1  Q2 

1 4

˜ Q1 ˜

Q2

§ 1  1 · S ˜ H0 © r2 r1 ¹ ˜¨

Die verrichtete elektrische Arbeit zwischen Metallrohr und Behälterwand.

Seite 383

Integralrechnung Berechnung von Arbeitsintegralen









u r1  r2  H 0  Q2 

u r1  r2  H 0  Q2

1 4

˜

Q2 S ˜ H0

§ 1  1 · © r2 r1 ¹

˜¨

Das elektrisches Potential (Potentialdifferenz Spannung) der Behälterwand gegenüber dem r entfernten Metallrohr.

52.577 kV

Q2 WEl1 r1  H 0  Q1  Q2  Q1 ˜ 4 ˜ S ˜ H 0 ˜ r1













Die verrichtete Arbeit bei einem Staubteilchen, das aus dem Rauchgasrohr tritt.

Q2

u1 r1  H 0  Q2 

Das elektrisches Potential bei einem Staubteilchen, das von der Behälterwand aufgeladen wird.

4 ˜ S ˜ H 0 ˜ r1

u1 r2  H 0  Q2

Das elektrisches Potential bei einem Staubteilchen, das von der Behälterwand im Abstand r 2 aufgeladen

5.842 kV

wird. Beispiel 4.6.7.7: Berechnen Sie die Arbeit W eines idealen Gases bei isothermer (T = konstant) Expansion (Expansionsarbeit) von Volumen V 1 auf V2 . Es gilt das Boyle-Mariotte-Gesetz p V = konstant. Die Gasarbeit W ist die Fläche gegen die Abszisse, die technische Arbeit W t (entspricht besser der Arbeitsweise der technischen Maschine) die Fläche gegen die Ordinate. k k p˜ V = k

oder

dW = p ˜ dV

p1 ˜ V1 = p2 ˜ V2

Boyle-Mariotte-Gesetz

dW t = V ˜ dp

differentielle Arbeit p p ´ 2 ´ 2 1 µ Wt = V dp = k ˜ µ dp µ p µ ¶p ¶p 1

V V ´ 2 ´ 2 1 µ W= p dV = k ˜ µ dV µ V µ ¶V ¶V 1

1

1

V

´ 2 1 W=k˜µ dV ersetzen  k = p1 ˜ V1 o W = p1 ˜ V1 ˜ ln V2  ln V1 V µ ¶V

 



1

p1

´ Wt = k ˜ µ µ ¶p

Für diesen Fall gilt: W = Wt

1 p

 



dp ersetzen  k = p1 ˜ V1 o Wt = p1 ˜ V1 ˜ ln p1  ln p2

2

Beispiel 4.6.7.8: Wird bei einem abgeschlossenen System keine Wärme zugeführt oder entzogen, so heißen die Zustandsänderungen eines idealen Gases adiabatisch (z.B. näherungsweise bei sehr rascher Kompression). Bestimmen Sie die Arbeit W und W t der adiabatischen Expansion (Expansionsarbeit) eines idealen Gases, wenn p1 = 12.07 bar, p2 = 2.06 bar, V 1 = 9.4 cm3 und der Adiabatenexponent N = 1.3 ist. Es gelten die Adiabatengleichungen p V N = k bzw. p1 V1 N = p2 V2 N. N

p˜ V = k

oder

N

N

p1 ˜ V1 = p2 ˜ V2

Adiabatengleichungen

Seite 384

Integralrechnung Berechnung von Arbeitsintegralen

V2 1 N ´ µ dV vereinfachen o W = p1 ˜ W = p1 ˜ V1 ˜ µ N

N § 1 ˜V · V 2 1 © V1 ¹

V2 ˜ ¨

1  N

V

µ ¶V

1

1

p ´ 1 1

N

N Wt = § p1 ˜ V1 · ˜ µ © ¹ µ

µ µ ¶p

1

p

1

1

 1N

N p1  p1 ˜ p2 N N· § dp vereinfachen o Wt = V1 © ¹ ˜N˜ 1  N

N

N

2

N  1.3

Adiabatenexponent N

5

p1  12.07 ˜ 10 ˜

m

Anfangsdruck

2

N

5

p2  2.06 ˜ 10 ˜

m

Enddruck

2

3

V1  9.4 ˜ cm

Anfangsvolumen 1

§ p1 · V2  V1 ˜ ¨ ¨© p2 ¹

N

V2

§ 1 ˜V · 2 © V1 ¹

 V1 W

1  N

N

N Wt  § V1 · ˜ N ˜ © ¹

p1

3

˜ p2

N

 p1

1  N

Wt  N ˜ W

§ V1 · p ( V)  p1 ˜ ¨ ©V¹

N

12.67 J

Expansionsarbeit

 1N

1

1

Endvolumen

N

V2 ˜ ¨ W  p1 ˜

3

36.625 cm

Wt

Wt

16.471 J

technische Expansionsarbeit

Vergleich der beiden Arbeiten

16.471 J

N

Funktionsgleichung

3

3

V  5 ˜ cm  5.01 ˜ cm  50 ˜ cm

Bereichsvariable

Seite 385

Integralrechnung Berechnung von Arbeitsintegralen

p-V Diagramm

3 10

6

V1 cm

6 2 10

V2

3

cm

3

p ( V)

p1

Pa

Pa

Abb. 4.6.7.5

1 10

6

p2 Pa

0

10

20

30

40

50

V cm

3

Beispiel 4.6.7.9: Wie groß ist der Energieinhalt W einer Spule ohne Eisenkern der Induktivität L = konstant, die von einem Gleichstrom I durchflossen wird ? W W d

u = L˜

Redefinition Induktionsgesetz

i ( t)

dt dW = p ( t ) ˜ dt = u ( t ) ˜ i ( t ) ˜ dt = L ˜

d

i ( t ) ˜ i ( t ) ˜ dt = L ˜ i ( t ) ˜ di

differentielle Arbeit bzw. Energie

dt I

I

´ W = µ 1 dW ¶

´ 1 2 W = L ˜ µ i di o W = ˜ L ˜ I ¶ 2 0

0

Beispiel 4.6.7.10: Wie groß ist der Energieinhalt W eines Kondensators der Kapazität C, der an einer konstanten Spannung U angeschlossen ist ? W W i=

d

Redefinition und

q

dt

C=

d

Ÿ

q

i ˜ dt = C ˜ du

du

dW = p ( t ) ˜ dt = u ( t ) ˜ i ( t ) ˜ dt = u ˜ C ˜ du ´ W = C˜ µ ¶

U

0

u du o W =

1 2

2

˜ C˜ U

differentielle Arbeit bzw. Energie

oder

bzw.

W=

W=

1 2 1 2

Seite 386

2

˜ C ˜ U ersetzen  U =

2

˜ C ˜ U ersetzen  C =

Q C Q U

oW=

oW=

1 2˜ C 1 2

2

˜Q

˜ Q˜ U

Integralrechnung Berechnungen aus der Hydromechanik 4.6.8 Berechnungen aus der Hydromechanik Aus der Bernoulligleichung (Strömungsgleichung) ergibt sich die theoretische Ausflussgeschwindigkeit von Flüssigkeiten aus einem Gefäß zu: vth = 2 ˜ g ˜ h (Torricelli-Formel). Kontinuierliche Strömungen werden mithilfe der Kontinuitätsgleichung beschrieben:

Abb. 4.6.8.1

mt =

d

m ... Massenstrom

dt

d

Vt =

V ... Volumenstrom

(4-153)

dt

Strömende Flüssigkeiten bei konstantem Massenstrom: U=

m V

= konstant

mt = U ˜ V t = U ˜

(4-154)

A1 ˜ s 1 t

=U˜

A2 ˜ s 2 t

=U˜

A3 ˜ s 3 t

= konstant

(4-155)

mt = U ˜ A1 ˜ v1 = U ˜ A2 ˜ v2 = U ˜ A3 ˜ v3 = konstant mt Vt = = A ˜ v = konstant U

(4-156) (4-157)

Strömende Gase: U ist nicht konstant. mt = U 1 ˜ A1 ˜ v1 = U 2 ˜ A2 ˜ v2 = U 2 ˜ A3 ˜ v3 = .... = konstant

(4-158)

mt = U ˜ A ˜ v = konstant

(4-159)

Beispiel 4.6.8.1: Ein mit Wasser gefüllter Behälter besitze im Abstand h von der Wasseroberfläche einen horizontalen rechteckigen Spalt. Ermitteln Sie das pro Sekunde ausströmende Volumen, wenn der Flüssigkeitsstand im Behälter gleich bleibt.

dA = b ˜ dy

differentielle Fläche

theoretischer differentieller Volumenstrom: dVtth = vth ˜ dA = vth ˜ b ˜ dy =

Abb. 4.6.8.2

Seite 387

2 ˜ g ˜ y ˜ b ˜ dy

Integralrechnung Berechnungen aus der Hydromechanik

Vtth =

3 3· § ¨ 2 2 2 2 2 2 y dy o Vtth = 2 ˜ g ˜ b ˜ ¨ ˜ h2  ˜ h1 3 3 © ¹ 1

h ´ 2 µ 2˜ g˜ b˜ µ ¶ h1

1

Die wirkliche Ausflussmenge ist wegen der Reibung und der Zusammenschnürung des Flüssigkeitsstrahls kleiner. P < 1 ... Kontraktionszahl , M < 1 ... Geschwindigkeitszahl , D = P M < 1 ... Ausflusszahl 3· §¨ 3 2 2 Vt = D ˜ Vtth = ˜ D ˜ 2 ˜ g ˜ b ˜ ¨ h2  h1 © ¹ 3

2

tatsächlicher Volumenstrom

Beispiel 4.6.8.2: Ein zylindrischer Behälter mit dem Querschnitt A 1 sei bis zur Höhe h 0 mit Flüssigkeit gefüllt und oben offen. Eine Öffnung aus dem Boden des Behälters habe den Querschnitt A 2 . Berechnen Sie die theoretische Auslaufzeit T bei abnehmenden Flüssigkeitsstand. v1 ... Sinkgeschwindigkeit v2 ... Ausflussgeschwindigkeit v2th =

2 ˜ g ˜ h ... theoretische Ausflussgeschwindigkeit

U ˜ A1 ˜ v1 = U ˜ A2 ˜ v2

Kontinuitätsgleichung

A2 v1 = ˜v A1 2 A2 v1 ( h) = ˜ A1

2˜ g˜ h

d v1 ( h) =  h dt

und

Abb. 4.6.8.3 A2 d  h= ˜ A1 dt

2˜ g˜ h

bzw.

dt =

A1 A2

˜

1 2˜ g˜ h

˜ dh

Differentialgleichung 1. Ordnung

Theoretische Ausflusszeit von h 0 bis h1 : h

A1 ´ 1 1 dt =  ˜µ A µ 2 0 ¶h

´ T=µ ¶

T

h

1 2˜ g˜ h

dh

0

A1 ´ 1 T h0  h1  A1  A2   ˜µ A2 µ ¶h





1 2˜ g˜ h

dh

0

1 1 º ª « » 1 1 2 2 h0 ˜ g A1 «  h1 ˜ g »  2 2 T  h0  h1  A1  A2 o ˜« ˜2  ˜2 » A2 ¬ g g ¼ 1





A1

T h0  0  A1  A2 o A2

2 h0 ˜ g  ˜

g

1

˜2

2

theoretische Ausflusszeit des Gesamtbehälters

Seite 388

Integralrechnung Berechnungen aus der Hydromechanik Beispiel 4.6.8.3: Berechnen Sie die Gesamtkraft und die Kraft, die auf die obere und untere Hälfte eines Halbkreisförmigen Schleusentor wirken. Der Durchmesser an der Wasseroberfläche beträgt d = 2 r = 20 m.

Abb. 4.6.8.4 2

dA = 2 ˜

2

r  y ˜ dy

differentielles Flächenelement

dFy = py ˜ dA = 2 ˜ U ˜ g ˜ y ˜

2

2

r  y ˜ dy

r ´2 µ F U  g  r1  r2  r  2˜ U ˜ g˜ y˜ µ ¶





2

differentielle Kraft auf das Schleusentor in der Tiefe y

2

r  y dy

Kraft auf das Schleusentor in Abhängigkeit von r 1 und r2

r1

3





F U  g  r1  r2  r o

U  1000 ˜

2

˜ § r  r2 3 © 2

2·

¹

2

3

˜U˜g

kg m

r  10 ˜ m 3

F ( U  g  5 ˜ m  10 ˜ m  r)

2·

2

¹ ˜U˜g

Radius des Tores

kN  10 ˜ N

F ( U  g  0 ˜ m  5 ˜ m  r)

2

Dichte des Wassers

3

F ( U  g  0 ˜ m  10 ˜ m  r)

˜ § r  r1 3 © 2

Einheitendefinition 6537.769 kN 2291.363 kN 4246.406 kN

Gesamtkraft in 10 m Tiefe Gesamtkraft in der Mitte des Schleusentors Gesamtkraft auf die untere Hälfte des Schleusentors

Seite 389

Integralrechnung Berechnung von Mittelwerten 4.6.9 Berechnung von Mittelwerten Die Mittelwertbildung von Funktionen mithilfe des bestimmten Integrals gehört beispielsweise in der Elektrotechnik, Nachrichtentechnik und Mechanik ebenfalls zu den Standardaufgaben. Wir unterscheiden mehrere Arten von Mittelwerten. a) arithmetischer Mittelwert (linearer Mittelwert oder Gleichwert): Für eine Funktion f: y = f(x) ist im Intervall [a, b] wegen ´ µ ¶

b



f ( x) dx = f xm ˜ ( b  a)

a

(4-160)

der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von y = f(x) und der x-Achse im Intervall [a, b] gleich dem Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seiten f(x m) und (b - a). Siehe dazu Abschnitt 4.2 Mittelwertsatz der Integralrechnung. Die Integrationsgrenzen können auch unendlich sein.

Beispiel 4.6.9.1: Eine Kraft F, die längs eines Weges x 1 = 1 m bis x2 = 8 m wirkt, sei in der Form F = x 2 /2 N/m2 wegabhängig. Wie groß ist die mittlere Kraft, also jene konstante Kraft, die längs des Weges die gleiche Arbeit verrichtet ? 2

F ( x) 



x

˜

2

N m



Fm x1  x2 

Kraft

2 x ´ 2 µ F ( x) dx ˜ x2  x1 µ ¶x 1

1

arithmetischer Mittelwert der Kraft

1 1 §1 3 N 3 N · Fm x1  x2 o ˜ ¨ ˜ x2 ˜  ˜ x1 ˜ 2 2 x2  x1 6 6 m m ¹ ©

2





b  a = ( b  a) ˜ b  a ˜ b  a





mittlere Kraft

N 1 2 2 Fm x1  x2 vereinfachen o ˜ § x1  x2 ˜ x1  x2 · ˜ © ¹ 2 6 m x1  1 ˜ m

3

3

2



Wegbereich

x2  8 ˜ m





Fm x1  x2

xm 

mittlere Kraft

12.167 N





2

m 2 ˜ Fm x1  x2 ˜ N

xm

4.933 m

x  0 ˜ m  0.01 ˜ m  10 ˜ m

zum Mittelwert Fm gehöriger xm-Wert Bereichsvariable

Seite 390

Integralrechnung Berechnung von Mittelwerten

40





Fm x1  x2 ˜ x1 d xd x2



x1

Die Fläche zwischen Kurve und x-Achse ist gleich der Rechtecksfläche F m* (x2 -x1 )

x2

N F( x) N



˜ x1 d xd x2



20



Fm x1  x2

0

2

4

6



8

10

Abb. 4.6.9.1

x m

Beispiel 4.6.9.2: Ein Gleichstrom wird von einem Wechselstrom überlagert und ist gegeben durch i(t) = 15 mA + 4 mA sin( Z t). Die Frequenz des Wechselstromes beträgt 50 Hz. Bestimmen Sie den arithmetischen Mittelwert des Stromes über eine Periode T. i ( t  Z )  15 ˜ mA  4 ˜ mA ˜ sin ( Z ˜ t) 1 ´ ˜µ T ¶

im ( T  Z ) 

Mischstrom

T

i ( t  Z ) dt

arithmetischer Mittelwert des Stromes

0

im ( T  Z ) o

§ ©

im ¨ T 

2˜ S· T

¹

§ T © 1

˜ ¨ mA ˜

15 ˜ T ˜ Z  4 ˜ cos ( T ˜ Z ) Z

vereinfachen o 15 ˜ mA

f  50 ˜ Hz T

 4˜

mA · Z

¹

Gleichanteil des Mischstromes

Frequenz des Wechselstromes

1 f

Z  2˜ S ˜ f

T

0.02 s

Z

314.159 s

Periodendauer 1

t  0 ˜ s  0.0001 ˜ s  T

Kreisfrequenz des Wechselstromes Bereichsvariable

20 i m( T  Z )

i m( T  Z )

mA

mA i( t  Z )

T

15

Die Fläche zwischen Kurve und 15 mA-Achse wird null. Es bleibt nur der Gleichanteil übrig.

mA

10

0

0.005

0.01

0.015

t s

Seite 391

0.02

Abb. 4.6.9.2

Integralrechnung Berechnung von Mittelwerten Beispiel 4.6.9.3: Ein Strom i = f(t) transportiert in der Zeit dt die Ladungsmenge dq = i dt. t ´2 µ q= i ( t ) dt ist dann die in der Zeit t2  t 1 beförderte Ladungsmenge . Welche gedachte Stromstärke µ ¶



t1



im ist erforderlich, um in der gleichen Zeit die gleiche Ladungsmenge zu transportieren ? Sei i = I max sin(Z t) und t 2 - t1 = T/2. T



´2 1 µ § 2 ˜ S ˜ t· t ˜ µ Imax ˜ sin ¨ d T µ T © ¹ ¶



im I max 

0

2



mittlere Stromstärke



2 im I max o ˜ Imax S Beispiel 4.6.9.4: Bei einem idealen Wechselstrom sind Spannung und Strom in Phase. Bestimmen Sie die Wirkleistung P über eine Periode T.





u t  Z  Umax  Umax ˜ sin ( Z ˜ t)





i t  Z  Imax  Imax ˜ sin ( Z ˜ t) 1 ´ P= ˜µ T ¶

T

0

1 ´ p ( t ) dt = ˜ µ T ¶



Wechselspannung Wechselstrom

T

u ( t ) ˜ i ( t ) dt

Wirkleistung (Mittelwert über die Momentanleistung p(t))

0



P Umax  I max 

1 ´ ˜µ T µ ¶

T

§ 2˜ S U · ˜ i§t  2 ˜ S  I · dt ¨ max max © T ¹ © T ¹

u¨t 

0





1 P Umax  I max o ˜ Umax ˜ Imax 2 P



2 ˜ Ueff 



2 ˜ Ieff o Ueff ˜ I eff

Umax =

2 ˜ Ueff

Imax =

2 ˜ Ieff

Wirkleistung ausgedrückt durch die Effektivwerte

Beispiel 4.6.9.5: Bei einem Wechselstrom sind Spannung u = U max sin(Z t) und Strom i = I max sin(Z t - M) phasenverschoben. Bestimmen Sie die Leistung P über eine Periode T. Bestimmen Sie auch die Wirkleistung bei einer Phasenverschiebung zwischen U und I von M = S2über eine Periode. Hier liegt eine reine induktive Belastung vor. Stellen Sie weiters dieses Problem grafisch dar, wenn U max = 6 V, I max = 4 A und f = 1/2S Hz gegeben sind.

Seite 392

Integralrechnung Berechnung von Mittelwerten





P Umax  I max  M 

´ ˜µ 2˜ S ¶ 1

Substitution:

2S

Umax ˜ sin ( D ) ˜ Imax ˜ sin ( D  M ) dD

0





D=Z˜t

t=0 Ÿ

D=Z˜0=0

dD = Z ˜ dt

t=T Ÿ

D = Z ˜ T = 2˜ S

1

P Umax  I max  M o ˜ Umax ˜ I max ˜ cos ( M ) 2 P



P=



2 ˜ Ueff  1

2 ˜ Ieff  M o Ueff ˜ I eff ˜ cos ( M )

˜ Umax ˜ I max ˜ cos ( M )

2

Wirkleistung (bei Phasenverschiebung)

ersetzen  Umax = Ueff ˜ ersetzen  I max = Ieff ˜

2

2 o P = Ueff ˜ Ieff ˜ cos ( M )

Herleitung der Wirkleistung: 2S

P=

´ ˜ Umax ˜ I max ˜ µ ¶ 2S 0

P=

´ ˜ Umax ˜ I max ˜ µ ¶ 2S 0

P=

´ ˜ Umax ˜ I max ˜ cos ( M ) ˜ µ ¶ 2S 0

P=

P=

1

sin ( D ) ˜ sin ( D  M ) dD

2S

1

sin ( D ) ˜ ( sin ( D ) ˜ cos ( M )  cos ( D ) ˜ sin ( M ) ) dD 2S

1

1 2˜ S 1 2

2

sin ( D ) dD 

˜ Umax ˜ I max ˜ cos ( M ) ˜ S 

1 2S

˜ Umax ˜ I max ˜ cos ( M ) Scheitelspannung

Imax  4A

Scheitelstrom

1 2S

M

Frequenz

Hz

Z  2˜ S ˜ f˜ T

2S

´ ˜ Umax ˜ Imax ˜ sin ( M ) ˜ µ ¶ 2˜ S 0 1

˜ Umax ˜ I max ˜ sin ( M ) ˜ 0

Umax  6V

f

Anwendung Summensatz 1. Art

1 f S

1

Kreisfrequenz

s T

6.283 s

Periodendauer

Phasenverschiebung zwischen u und i

3

M = Mu  Mi

Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom

Mu = 0

Phasenverschiebung der Spannung bei t = 0 s

M i  M

Phasenverschiebung des Stromes bei t = 0 s

Seite 393

sin ( D ) ˜ cos ( D ) dD

Integralrechnung Berechnung von Mittelwerten u ( t )  Umax ˜ sin ( Z ˜ t)

Momentanwert der Spannung



i ( t )  Imax ˜ sin Z ˜ t  M i



Momentanwert des Stromes

p ( t)  u ( t) ˜ i ( t)

Momentanwert der Leistung

t  0 ˜ s  0.001 ˜ s  2S ˜ s

Bereichsvariable Spannungs- und Stromverlauf

10

Umax T

Imax

M

6

s

u ( t) V

2

i ( t) A

0

1

2

3

4

5

6

2

6

10 t s

Abb. 4.6.9.3





P Umax  I max  M o 6 ˜ V ˜ A

Die Leistung über die Periode gesehen ist 6 W. zeitabhängige Leistung

20



P Umax  Imax  M

T

T

p ( t ) dt

0

+

10

p ( t)

´ µ ¶



+ P˜T

0

-

1

2

3

-

10 t

Abb. 4.6.9.4

Seite 394

4

5

6

Integralrechnung Berechnung von Mittelwerten Beispiel 4.6.9.6: Bestimmen Sie die Leistung eines Transistors bei Belastung, wenn folgende Größen gegeben sind: UB

t

Ts ... Schaltzeit

t

i ( t ) = Imax ˜ = ˜ Ts RL Ts

RL ... Lastwiderstand UB ... Betriebsspannung

t · § us ( t) = UB ˜ ¨ 1  Ts © ¹

Schaltspannung

T 2 ´ s U 1 UB B t 1 µ t · § ˜µ dt vereinfachen o P = ˜ P= ˜ ˜ UB ˜ ¨ 1  6 RL RL Ts Ts µ Ts © ¹ ¶

aritmethischer Mittelwert der zeitabhängigen Leistung p(t) = i(t) us(t) während der Zeit Ts

0

Beispiel 4.6.9.7: Der Strom eines Ausschaltvorganges einer Spule an Gleichspannung ist gegeben durch i(t) = I 0 e -t/W. Stellen Sie den Ausschaltstrom für R = 1000 :, L = 1 mH und U 0 = 10 V und der Zeitkonstante W = L/R grafisch dar. Berechnen Sie die Fläche zwischen Stromkurve und t-Achse und interpretieren Sie das Ergebnis. R  1000 ˜ : W I0 

L R U0 R

L  1 ˜ mH 6

W

1 u 10

I0

0.01 A

U0  10 ˜ V

vorgegebene Daten Zeitkonstante

s

Strom vor dem Ausschalten

t

i ( t)  I0 ˜ e Ps  10

6

W

Ausschaltstrom Einheitendefinition

s

t  0 ˜ Ps  0.001 ˜ Ps  6 ˜ W

Strom

I0 mA i( t) mA

˜( 0d td W )

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Bereichsvariable für die Zeit Ausschaltvorgang einer Spule

W ˜ I0 W

5˜W

Ps

Ps

´ µ ¶

f

Abb. 4.6.9.5

i ( t ) dt

0

0

1

2

3 t Ps Zeit

Seite 395

4

5

6

Integralrechnung Berechnung von Mittelwerten t t ´ µ µ µ ¶

f

´ µ µ µ ¶

f

W W

I0  I0

Redefinitionen

t W

I0 ˜ e

dt vereinfachen o

lim tof

0

§ W ˜ exp § t · ˜ I  W ˜ I · ¨ ¨ 0 © ©W¹ 0 ¹

´ µ µ µ ¶

f

t

I0 ˜ e

W

dt

0

annehmen  W ! 0 o W ˜ I0 vereinfachen

t W

I0 ˜ e

I 0 W ist die gespeicherte Ladung in der Spule. Die Fläche zwischen Kurve und

dt = W ˜ I 0

t-Achse ist genauso groß wie die Rechtecksfläche I 0 W

0

´ µ 1 µ I0 = ˜ µ W ¶

f

t

I0 ˜ e

W

dt

Bedeutet den Mittelwert des konstanten Anfangsstromes

0

b) arithmetischer Mittelwert - Gleichrichtwert: Für eine Funktion f: y = f(x) ist im Intervall [a, b] wegen ´ µ ¶

b

f ( x) dx = ym ˜ ( b  a)

(4-161)

a

der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von y = | f(x) | und der x-Achse im Intervall [a, b] gleich dem Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seiten |y m| und (b - a).

Beispiel 4.6.9.8: Bestimmen Sie den Gleichrichtwert eines sinusförmigen Wechselstroms i = I max sin(Z t) bei Zweiweggleichrichtung über eine Periode T. Stellen Sie das Problem grafisch für I max = 2 A und Z = 2*S s-1 dar. T

1 ´ , = Im = i = ˜ µ T ¶0 Imax  I max D=Z˜t=

,=

Gleichrichtwert des Stromes

Redefinition

2˜ S T

´ ˜µ 2˜ S ¶ 2

i ( t ) dt

˜t

dD =

2˜ S T

Grenzen: für t = 0 ist D = 0 und für t = T ist D = 2 S

˜ dt

S

0

I max ˜ sin ( D ) dD vereinfachen o , =

2 S

˜ Imax

Der Gleichrichtwert ist gleich dem linearen Mittelwert über eine halbe Periode !

Wir erhalten als Gleichrichtwert des Wechselstromes einen Wert, der über eine halbe Periode gleichmäßig wirkend dieselbe Ladungsmenge durch den Leiter treibt wie der Wechselstrom.

Seite 396

Integralrechnung Berechnung von Mittelwerten Imax  2 ˜ A Z  2˜ S ˜ s T

maximale Amplitude

1

2˜ S

Kreisfrequenz T

Z

Periodendauer

1s

i ( t )  Imax ˜ sin ( Z ˜ t) 2

,

S

gegebener Strom

˜ Imax

Gleichrichtwert

t  0 ˜ s  0.001 ˜ s  T

Bereichsvariable Gleichrichtwert

2 i ( t)

T

1

A Strom

, A

0

i( t)

Abb. 4.6.9.6

A

1

2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

t s Zeit

Beispiel 4.6.9.9: Bestimmen Sie den Gleichrichtwert eines sinusförmigen Wechselstroms i = I max sin(Z t) für 0 d t d T/2 und i = 0 für T/2 < t d T bei Einweggleichrichtung über eine Periode T. Stellen Sie das Problem grafisch für Imax = 2 A und Z = 2 S s-1 dar. Imax  I max D=Z˜t=

2˜ S

´ ,= ˜µ 2˜ S ¶ 1

, ,

T

˜t

Redefinitionen

dD =

2˜ S T

Grenzen: mit t = 0 ist D = 0 und mit t = T/2 ist D = S

˜ dt

S

I max ˜ sin ( D ) dD vereinfachen o , =

T0

1 S

˜ Imax

´2 1 1 µ , = ˜ µ Imax ˜ sin ( Z ˜ t) dt o , = ˜ Imax S T ¶ 0

Seite 397

Der Gleichrichtwert ist gleich dem linearen Mittelwert über eine halbe Periode!

Integralrechnung Berechnung von Mittelwerten Imax  2 ˜ A Z  2˜ S ˜ s

maximale Amplitude

1

2˜ S

T

T

Z

i ( t) 

Kreisfrequenz Periodendauer

1s

I max ˜ sin ( Z ˜ t) if 0 d t d

T

gegebener Strom

2

0 otherwise 1

,

S

˜ Imax

Gleichrichtwert

t  0 ˜ s  0.001 ˜ s  T

Bereichsvariable Gleichrichtwert

2 T

i ( t) 1

Strom

A

T

2

, A

0

i( t)

Abb. 4.6.9.7

A 1

2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

t s Zeit

c) quadratischer Mittelwert (Effektivwert): Für eine Funktion f: y = f(x) ist im Intervall [a, b] wegen ´ µ ¶

b 2

2

f ( x) dx = ym ˜ ( b  a)

(4-162)

a

der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von y = [f(x)] 2 und der x-Achse im Intervall [a, b] gleich dem Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seiten y m2 und (b - a).

Beispiel 4.6.9.10: Bestimmen Sie den Effektivwert eines sinusförmigen Wechselstroms i = I max sin(Z t) über eine Periode T. Stellen Sie das Problem grafisch für I max = 1 A und Z = 2 S s-1 dar.

Seite 398

Integralrechnung Berechnung von Mittelwerten 1 ´ IEff = ˜ µ T ¶

T

2

2

quadratischer Mittelwert

i ( t ) dt

0

Imax  I max D=Z˜t=

Redefinition

2˜ S T

´ ˜µ 2˜ S ¶ 1

2

IEff =

˜t 2˜S

0

dD =

T

1

T

Z

IEff 

2

T 2˜ S

Grenzen: mit t = 0 ist D = 0 und mit t = T ist D = 2 S

˜ dD

quadratischer Mittelwert

Kreisfrequenz

2˜ S

1

T

dt =

maximale Amplitude

Periodendauer

1s

i ( t )  Imax ˜ sin ( Z ˜ t) IQu 

˜ dt

1 2 2 2 2 I max ˜ sin ( D ) dD vereinfachen o I Eff = ˜ Imax 2

Imax  1 ˜ A Z  2˜ S ˜ s

2˜ S

˜ Imax

gegebener Strom

2

quadratischer Mittelwert (I QU = IEff2 )

I max

IEff

2

Effektivwert des Stromes

0.707 A

t  0 ˜ s  0.001 ˜ s  T

Bereichsvariable quadratischer Mittelwert

1

i( t) A Strom

T

2

T

2

0.5

IQu A

0

i( t) A

Abb. 4.6.9.8 0.5

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

t s Zeit

Seite 399

0.9

1

1.1

Integralrechnung Berechnung von Mittelwerten Beispiel 4.6.9.11: Bestimmen Sie den Effektivwert einer nachfolgen angegebenen D reieckspannung u über eine Periode T. Stellen Sie das Problem grafisch für U max = 5 V und T = 8 s dar.



Umax



u t  T  Umax 

T

˜ t if 0 ˜ s d t d

T 4

4

1 § · Umax ˜ ¨ 2  ˜ t if T

¨ 4 © § 1 ˜t Umax ˜ ¨ T ¨ © 4

ª T «´ Umax « µ 4 2 Ueff = ˜ µ «µ T «µ « ¶0 « ¬

UEff 

3

4

Dreieckspannung

4

¹

3˜

§ ¨ ¨ ©

T

´ 4 2 µ 1 · ˜ t dt  µ T µ µ 4 ¹ µT ¶ 4

Umax  5 ˜ V

1

T

Redefinition

2

UQu 

4

 t d 3˜

¹ T · 4 if 3 ˜ tdT

Umax  Umax

T 8˜ s

T

T

´ 2 § 2  1 ˜ t · dt  µ µ ¨ T µ ¨ µ 4 © ¹ µ T ¶3˜ 4

º » 2 1 1 § · » 2 2 ¨ T ˜ t  4 dt» o Ueff = 3 ˜ Umax ¨ » © 4 ¹ » » ¼

Maximale Amplitude T

˜ Umax

Periodendauer

8s

2

Umax 3

t  0 ˜ s  0.01 ˜ s  T

quadratischer Mittelwert

UEff

2.887 V

Effektivwert der Spannung

Bereichsvariable

Seite 400

Integralrechnung Berechnung von Mittelwerten quadratischer Mittelwert 25



u t  T  U max



Strom

V

2

T 17.5

U Qu V

10



u t  T  U max V

U max

2.5 0

2

4

6

5 t s Zeit

Abb. 4.6.9.9

Seite 401

8

10

Integralrechnung Mehrfachintegrale 4.7 Mehrfachintegrale Bisher wurde ausführlich auf die Integration einer Funktion von einer unabhängigen Variablen eingegangen. Wir sprechen in diesem Zusammenhang von einem gewöhnlichen Integral. Hier soll noch kurz auf die Integration einer Funktion mit zwei bzw. drei Variablen eingegangen werden. Diese Erweiterung des Integrationsbegriffes führt auf Doppel- und Dreifachintegrale, die bei vielen Anwendungen, wie z.B. Flächeninhalt, Schwerpunkt einer Fläche, Flächenträgheitsmomente, Volumen und Masse eines Körpers, Schwerpunkt eines Körpers und Massenträgheitsmomente, auftreten. Im vorhergehenden Abschnitt wurden diese Themen bereits behandelt. Hier wurden Mehrfachintegrale unter Berücksichtigung von gewissen Symmetrieeigenschaften auf gewöhnliche Integrale zurückgeführt.

4.7.1 Doppelintegrale Doppelintegrale (auch zweifaches Integral oder Gebietsintegral genannt ) werden von Funktionen zweier Veränderlicher in kartesischen Koordinaten z = f(x,y ) bzw. in Polarkoordinaten z = F(r, M), erstreckt über einen Bereich A in der x-y Ebene bzw. r- M-Ebene, gebildet. Dazu betrachten wir anschaulicherweise zuerst einen zylindrischen Körper, also ein geometrisches Problem. z = f(x,y) sei eine im Bereich A definierte und stetige Funktion mit f(x,y) t0.

Das Doppelintegral ist die Maßzahl des Rauminhaltes für den zylindrischen Körper, der vom Bereich A in der x-y-Ebene, den auf dem Rand von A errichteten Loten und einem Teil der Fläche z = f(x,y) begrenzt wird. Der Integrationsbereich lässt sich durch die Ungleichungen fu(x) d y d fo(x) und a d x d b beschreiben, wobei y u = fu(x) die untere und yo = fo(x) die obere Randkurve ist und die seitlichen Begrenzungen aus zwei Parallelen zur y-Achse mit den Funktionsgleichungen x = a und x = b bestehen. Das infinitesimale Flächenelement dA mit dA = dx dy ist ein Rechteck. Über diesem Rechteck liegt eine quaderförmige Säule mit dem infinitesimalen Rauminhalt dV = z dA = f(x,y) dx dy = f(x,y) dy dx. Abb. 4.7.1 1. Fall (Abb. 4.7.1): ´ µ µ ¶

´ µ z dA = µ ¶

A

A

´ µ f ( x  y) dA = µ ¶

x=b

x=a

f ( x) ´o µ f ( x  y) dy dx Doppelintegral µ ¶

(4-163)

fu ( x)

Bei diesem Doppellintegral wird von innen nach außen integriert, d.h. zuerst bezüglich der Variablen y (x wird dabei zunächst als Konstante angesehen) und dann erst nach der Variablen x. Die Integrationsgrenzen des inneren Integrals sind dabei von x abhängige Funktionen, die Grenzen des äußeren Integrals dagegen Konstanten.

Seite 402

Integralrechnung Mehrfachintegrale 2. Fall: Der Integrationsbereich lässt sich durch die Ungleichungen f u(y) d x d fo(y) und a d y d b beschreiben, wobei xu = fu(y) die untere und xo = fo(y) die obere Randkurve ist und die seitlichen Begrenzungen aus zwei Parallelen zur x-Achse mit den Funktionsgleichungen y = a und y = b bestehen. ´ µ µ ¶

´ µ z dA = µ ¶

A

A

´ µ f ( x  y) dA = µ ¶

y=b

y=a

x =f ( y) ´ o o µ f ( x  y) dx dy Doppelintegral µ ¶

(4-164)

xu=fu ( y)

Bei diesem Doppelintegral wird ebenfalls von innen nach außen integriert, d.h. zuerst bezüglich der Variablen x (y wird dabei zunächst als Konstante angesehen) und dann erst nach der Variablen y. Die Integrationsgrenzen des inneren Integrals sind dabei von y abhängige Funktionen, die Grenzen des äußeren Integrals dagegen Konstanten. 3. Vertauschbarkeit der Reihenfolge der Integration: Die Reihenfolge der Integration ist eindeutig durch die Reihenfolge der Differentiale dy und dx im Doppelintegral festgelegt! Sie ist nur dann vertauschbar, wenn sämtliche Integrationsgrenzen konstant sind, d.h., wenn ein rechteckiger Integrationsbereich A vorliegt ! 4. Die Funktion f(x,y) = 1: In diesem Fall erhalten wir einen über dem Bereich A liegenden Zylinder der Höhe z = 1. Sein Volumen ist gegeben durch: ´ µ µ ¶

x=b

x=a

f ( x) ´o µ 1 dy dx = µ ¶ fu ( x)

´ µ µ ¶

x=b

x=a

f ( x) ´o µ 1 dx dy µ ¶

(4-165)

fu( x)

Zahlenmäßig beschreibt dieses Doppelintegral zugleich auch den Flächeninhalt des Bereichs A! 5. Die Funktion liegt in Polarkoordinaten z = F(r,M) vor: In vielen Fällen vereinfacht sich das Doppelintegral, wenn wir an Stelle der kartesischen Koordinaten x und y Polarkoordinaten r und M verwendet. Durch Koordinatentransformation geht die Funktion z = f(x,y) in die von r und M abhängige Funktion über: z = f(x,y) = f(r cos(M), r sin(M)) = F(r,M). Der Integrationsbereich lässt sich durch zwei Strahlen M = M1 und M = M2 sowie einer inneren Kurve r = r i(M) und einer äußeren Kurve r = r a (M) begrenzen und durch die Ungleichungen ri(M) dr dra (M) und M1 dM dM2 beschreiben. Das Flächenelement dA ist gegeben durch dA = (r dM) dr = r dr dM. M r ( M) ´ 2 ´a µ µ f ( r ˜ cos ( M )  r ˜ sin ( M ) ) ˜ r dr dM (Doppelintegral in Polarkoordinaten) µ ¶M µ ¶r ( M ) 1

(4-166)

i

Die Integralberechnung erfolgt wieder von innen nach außen, d.h. es wird zuerst nach der Variablen r zwischen den beiden Kurven r = r i(M) und r = ra (M) integriert und anschließend nach der Winkelkoordinate M zwischen den Strahlen M = M1 und M = M2 .

Seite 403

Integralrechnung Mehrfachintegrale Beispiel 4.7.1: Berechnen Sie den Flächeninhalt einer Ellipse in Mittelpunktslage mithilfe eines Doppelintegrals. Stellen Sie das Problem grafisch dar. a 3 y ( x) 

b 2 b a

2

˜

angenommene Halbachsen 2

a x

obere Ellipsenkurve

x  0  0.01  a

Bereichsvariable

a a

2

y( x)

b b

´ µ A ( a  b)  4 ˜ µ ¶

1

a

0

Redefinitionen b

´a µ µ ¶

2

˜ a x

2

1 dy dx

0

A ( a  b) o b ˜ a ˜ S 0

0

2

4

A ( 2 ˜ m  1 ˜ m)

x

6.283 m

2

Flächeinhalt der Ellipse

Abb. 4.7.2 Beispiel 4.7.2: Berechnen Sie den Flächeninhalt zwischen der Kreislinie x 2 + y2 = 25 und der Geraden y = -x + 5 mithilfe eines Doppelintegrals. Stellen Sie das Problem grafisch dar. r 5

Kreisradius

y1 ( x)  x  5

Gerade

y2 ( x) 

2

2

r x

oberer Halbkreis

x  0  0.001  r

Bereichsvariable

5

´ A=µ ¶

5

´ A=µ ¶

5

0

y1( x) y2( x)

´ µ ¶

y2( x)

1 dy dx vereinfachen o A =

y1( x)

2

4

x

Abb. 4.7.3

6

´ A µ ¶

5

0

A

2

( y2 ( x)  y1 ( x) ) dx vereinfachen o A =

0

0

25

´ µ ¶

1 dy dx

y1( x)

7.135

Seite 404

y2( x)

Maßzahl der Fläche



25

25 2

4



˜S

25 4

˜S

Integralrechnung Mehrfachintegrale Beispiel 4.7.3: Berechnen Sie den Flächeninhalt einer Kardioide r( M) = 1 + cos(M) im Intervall 0 d M < 2 S mithilfe eines Doppelintegrals. Stellen Sie das Problem grafisch dar. r ( M )  1  cos ( M )

Polarkoordinatendarstellung der Kardioide

M  0  0.001  2 ˜ S

Bereichsvariable

ri ( M ) = 0

ra ( M ) = 1  cos ( M )

A A

Redefinition

´ A=µ ¶

2˜S

0

´ µ ¶

1 cos( M )

r dr dM o A =

0

3 2

Randkurven

˜S

Abb. 4.7.4 Beispiel 4.7.4: Berechnen Sie die Schwerpunktskoordinaten eines Halbkreises und das Flächenträgheitsmoment bezüglich der Schwerachse s mithilfe eines Doppelintegrals. Stellen Sie das Problem grafisch dar. b

1 ´ µ ˜ xs = A µ ¶

´ 1 µ x dA = ˜µ A ¶a

´ µ µ ¶

b

1 ys = A

˜

y dA =

f ( x) ´o µ x dy dx µ ¶ fu ( x)

f ( x) ´o

´ 1 µ µ y dy dx ˜µ A ¶a µ ¶f ( x) u

in kartesischen Koordinaten

M 2 ra ( M ) ´ 1 ´ 2 µ µ xs = ˜ r ˜ cos ( M ) dr dM µ µ A ¶M ¶r ( M ) 1

Abb. 4.7.5 1 ys = A

´ µ Ix = µ ¶ ´ µ Iy = µ ¶

´ µ y dA = µ ¶

b

2

a

´ µ 2 x dA = µ ¶

b

a

f ( x) ´o

µ µ ¶

fu( x)

kartesische Koordinaten 2

x dy dx

´ µ µ ¶

M1

´ µ µ ¶

ra ( M )

in Polarkoordinaten 2

r ˜ sin ( M ) dr dM

ri ( M )

M r (M) ´ 2 ´a 3 2 µ µ Ix = r ˜ sin ( M ) dr dM µ µ ¶M ¶r ( M )

f ( x) ´o 2 µ y dy dx µ ¶ fu( x)

˜

M2

i

1

M2

´ µ Iy = µ ¶M

1

Seite 405

i

´ µ µ ¶

ra ( M )

ri ( M )

in Polarkoordinaten 3

2

r ˜ cos ( M ) dr dM

Integralrechnung Mehrfachintegrale 0drdR

0dM dS

Bereich

2

A=

R ˜S

Halbkreisfläche

2 ys =

xs = 0 ´ Ix = µ ¶

S

0

´ µ ¶

2 2

R ˜S

´ ˜µ ¶

S

0

´ µ ¶

R

4 R 2 r ˜ sin ( M ) dr dM o ys = ˜ 3 S 0

Schwerpunktskoordinaten (Die Integrationsreihenfolge kann hier vertauscht werden!)

R

1 3 2 4 r ˜ sin ( M ) dr dM o Ix = ˜ S ˜ R 8 0

Is = Ix  A ˜ ys

Flächenträgheitsmoment bzgl. der x-Achse

2

nach Satz von Steiner 2

2

4

1 1 R ˜ S § 4 R· 8 R 4 4 Is = ˜ S ˜ R  ˜¨ ˜ o Is = ˜ S ˜ R  ˜ 2 8 8 9 S ©3 S ¹

Flächenträgheitsmoment bzgl. der Schwerachse

Beispiel 4.7.5: Berechnen Sie die Oberfläche der Funktion f(x,y) = 6 - x 2 - y2 über einem kreisförmigen Integralbereich x2 + y2 d r2 mithilfe eines Doppelintegrals. Stellen Sie das Problem grafisch dar. 2

2

Flächenfunktion

j  1  2  20

Bereichsvariablen

f ( x  y)  6  x  y i  1  2  20

§ i  10  j  10 · 5 ¹ © 5

zi  j  f ¨

Matrix der Funktionswerte

r 2

Radius des kreisförmigen Integralbereichs

´ µ Ao  µ µ µ ¶

r

r

Ao

2

´ r x µ µ µ µ ¶ 2 

2

r x

2

2

Maßzahl der Oberfläche

36.177

´ Ao  µ ¶

2˜S

0

2

§d · §d · 1  ¨ f ( x  y)  ¨ f ( x  y) dy dx © dx ¹ © dy ¹

´ µ ¶

r 2

1  4 ˜ U ˜ U dU dM

Polarkoordinaten

0

zz Abb. 4.7.6

Ao

36.177

Seite 406

Maßzahl der Oberfläche

Integralrechnung Mehrfachintegrale Beispiel 4.7.6: Über dem durch die Gleichung x 2 + y2 = 16 gegebenen Kreis der x-y-Ebene steht ein gerader Zylinder. Er wird durch die Ebene z = f(x,y) = x + y + 2 schief abgeschnitten. Wie groß ist das Volumen zwischen den Ebenen z = 0 und z = x + y + 2 ? Stellen Sie das Problem grafisch dar.

§¨ 4 ˜ cos ( M ) · f ( z  M )  ¨ 4 ˜ sin ( M ) ¸ ¨ z © ¹ g ( x  y)  x  y  2

Zylinder in Zylinderkoordinaten Ebene

r 4

Radius 2

2

r r x ´ ´ V µ µ ( x  y  2) dy dx ¶ ¶ 0

Vo

0

128 3

 8˜ S

Maßzahl des Volumens

fg Abb. 4.7.7 Beispiel 4.7.7: Durch Rotation der Parabel z = 4 - x2 um die z-Achse entsteht ein Rotationsparaboloid, dessen Bodenfläche in die x-y Ebene fällt. Wie groß ist sein Volumen ? Stellen Sie das Problem grafisch dar.

2

2

f ( x  y)  4  x  y



g ( x  y)  0

Rotationsfläche Ebene

In Polarkoordinaten:

2

2

2

2

2

z = 4  r ˜ cos ( M )  r ˜ sin ( M ) = 4  r Integrationsbereich: 0drd2 ´ V µ ¶

2˜S

0

V o 8˜ S

fg Abb. 4.7.8

Seite 407

0 d M  2˜ S ´ µ ¶

2

4  r2 ˜ r dr dM

0

Maßzahl des Volumens

Integralrechnung Mehrfachintegrale 4.7.2 Dreifachintegrale Dreifachintegrale (auch dreifaches Integral, 3-dimensionales Bereichs- oder Gebietsintegral genannt) werden von Funktionen dreier Veränderlicher in kartesischen Koordinaten u = f(x,y,z) bzw. in Zylinderkoordinaten u = F(r,M,z) bzw. in Kugelkoordinaten u = f(r,M,T) gebildet, über einen räumlichen Bereich V. Hier sei jedoch im Gegensatz zu Zweifachintegralen darauf hingewiesen, dass Dreifachintegrale nur im Speziellen eine geometrische Interpretation zulassen. Dazu betrachten wir anschaulicherweise zuerst einen zylindrischen Körper, also ein geometrisches Problem. u = f(x,y,z) sei eine in einem zylindrischen Integrationsbereich V definierte und stetige Funktion, die durch eine Bodenfläche und eine Deckfläche begrenzt wird. Die Projektion dieser Begrenzungsflächen in die x-y-Ebene führt zu einem Bereich A, der durch die Kurven y = fu(x) und y = fo(x) sowie die Parallelen x = a und x = b berandet wird. Der zylindrische Integrationsbereich V kann dann durch die Ungleichungen z u(x,y) dz d zo(x,y), fu(x) dy d f0 (x) und a d x d b beschrieben werden. Das infinitesimale Volumselement dV hat die Form eines Quaders und ist damit gegeben durch dV = dx dy dz = dz dy dx.

Abb. 4.7.9 1. Das Dreifachintegral kann dann über einem zylindrischen Integrationsbereich V beschrieben werden durch: ´ µ µ ¶

´ µ f ( x  y  y) dV = µ ¶

x=b

x=a

f ( x) ´o µ µ ¶ fu( x)

´ µ µ ¶

z=zo( x  y)

f ( x  y  z ) dz dy dx

(4-167)

z=zu ( x  y)

V Bei diesem Dreifachintegral wird auch von innen nach außen integriert, d.h. zuerst bezüglich der Variablen z (x und y werden dabei zunächst als Konstante angesehen), dann nach der Variablen y (x wird dabei zunächst als Konstante angesehen) und dann erst nach x. Nach der Ausführung des ersten Integrationsschrittes, der z-Integration, ist aus dem Dreifachintegral ein Doppelintegral geworden. Der Integrationsbereich ist jetzt der flächenhafte Bereich A, der durch die Projektion des zylindrischen Körpers in die x-y Ebene entsteht.

Seite 408

Integralrechnung Mehrfachintegrale 2. Vertauschbarkeit der Reihenfolge der Integration: Die Reihenfolge der Integration ist nur dann vertauschbar, wenn sämtliche Integrationsgrenzen konstant sind. Bei einer Vertauschung der Integrationsreihenfolge in einem Dreifachintegral müssen die Integrationsgrenzen jeweils neu berechnet werden. 3. Die Funktion f(x,y,z) = 1: In diesem Fall beschreibt das Dreifachintegral das Volumen V des zylindrischen Körpers: ´ µ V=µ ¶

x=b

x=a

f ( x) ´o µ µ ¶ fu( x)

´ µ µ ¶

z=zo( x  y)

1 dz dy dx

(4-168)

z=zu ( x  y)

4. Die Funktion liegt in Zylinderkoordinaten u = F(r,M,z) vor: In vielen Anwendungen treten Körper mit Rotationssymmetrie auf. Zu ihrer Beschreibung werden zweckmäßigerweise Zylinderkoordinaten (r, M, z) verwendet. Die Berechnung des Dreifachintegrals wird dadurch ebenfalls erheblich vereinfacht. Durch Koordinatentransformation geht die Funktion u = f(x,y,z) in die von r , M und z abhängige Funktion über: u = f(x,y,z) = f(r cos(M), r sin(M), z) = F(r, M, z). Die z-Koordinate bleibt dabei unverändert erhalten. Die Integrationsgrenzen müssen neu bestimmt und in Zylinderkoordinaten ausgedrückt werden. Das infinitesimale Volumselement dV lässt sich durch (siehe Abbildung 4.7.10) dV = r dz dr dM ausdrücken. ´ µ µ ¶

M f ( M) ´ 2 ´o µ µ F ( r  M  z ) dV = µ ¶f ( M ) ¶M µ 1

u

´ µ µ ¶

z=zo ( r  M )

F ( r  M  z ) ˜ r dz dr dM

(4-169)

z=zu( r  M )

V Die Integration erfolgt dabei in drei nacheinander auszuführenden gewöhnlichen Integrationsschritten in der Reihenfolge z, r und M.

Transformationsgleichungen: Zylinderkoordinaten und rechtwinkelige Koordinaten x = r ˜ cos ( M ) y = r ˜ cos ( M ) z=z 2

2

x y y tan ( M ) = x z=z r=

Abb. 4.7.10

Seite 409

(4-170)

(4-171)

Integralrechnung Mehrfachintegrale

5. Die Funktion liegt in Kugelkoordinaten u = F(r,-,M) vor: Für kugelsymmetrische Probleme werden zweckmäßigerweise Kugelkoordinaten (r, T, M) verwendet. Die Berechnung des Dreifachintegrals wird dadurch ebenfalls erheblich vereinfacht. Durch Koordinatentransformation geht die Funktion u = f(x,y,z) in die von r , - und M abhängige Funktion über: u = f(x,y,z) = f(r sin(-) cosM), r sin(-) sin(M), r cos(-)) = F(r, -, M). Die Integrationsgrenzen müssen neu bestimmt und in Kugelkoordinaten ausgedrückt werden. Das infinitesimale Volumselement dV lässt sich durch (siehe Abbildung 4.7.11) dV = r 2 sin(-) dr d- dM ausdrücken. ´ µ µ ¶

M f ( M) ´ 2 ´o µ µ F ( r  -  M ) dV = µ ¶f ( M ) ¶M µ 1

u

´ µ µ ¶

z=zo ( -  M )

2

F ( r  -  M ) ˜ r ˜ sin ( - ) dr d- dM

(4-172)

z=zu( -  M )

V Die Integration erfolgt dabei in drei nacheinander auszuführenden gewöhnlichen Integrationsschritten in der Reihenfolge r, - und M.

Abb. 4.7.11

Transformationsgleichungen: Kugelkoordinaten und rechtwinkelige Koordinaten M [0, 2 S[ , -  [0, S] x = r ˜ sin ( - ) ˜ cos ( M ) ; y = r ˜ sin ( - ) ˜ sin ( M ) ; z = r ˜ cos ( - )

r=

2

2

x y z

2

y

sin ( M ) =

2

cos ( - ) =

r

x

cos ( M ) = 2

x y z

(4-173)

tan ( M ) =

2

2

2

2

x y tan ( - ) =

x y z

Seite 410

y x

(4-174)

Integralrechnung Mehrfachintegrale Beispiel 4.7.8: Bestimmen Sie das Volumen eines Drehzylinders mit dem Radius r und der Höhe h, der entsteht, wenn eine Gerade x = r parallel zur z-Achse um die z-Achse rotiert. Berechnen Sie das Volumen in kartesischen Koordinaten und Zylinderkoordinaten. r r

Redefinition

Die Projektion des Zylinders in die x-y Ebene ist ein kreisförmiger Bereich A mit Radius r 2

´ r x µ µ ¶ 2

´ Vz ( r  h)  µ µ ¶

r

´ Vz ( r  h)  µ ¶

2˜S

r

0



r x

r

´ ´ µ µ ¶ ¶ 0

r  30 ˜ cm Vz ( r  h)

2

2

´ µ ¶

h

2

Vz ( r  h) o S ˜ r ˜ h

1 dz dy dx

0

h

2

r1 dz dr1 dM

Vz ( r  h) o S ˜ r ˜ h

0

h  200 ˜ cm

0.565 m

gewählter Radius und gewählte Höhe

3

Beispiel 4.7.9: Bestimmen Sie die Masse eines homogen Kreiskegels mit dem Radius R, der Höhe H und der Dichte U, der dadurch entsteht, wenn die Gerade z = - R/H (x - R) (0 dx dR) um die z-Achse rotiert. Berechnen Sie das Volumen in Zylinderkoordinaten. m=U˜V

Masse des Körpers

Die Mantelfläche wird durch die Funktionsgleichung z = - R/H (r - R) (0 dr dR) beschrieben und bildet die obere Begrenzungsfläche des Kegels. Die Bodenfläche ist Teil der x-y Ebene z = 0. Die Projektion des Kegels in diese Ebene führt zu der Kreisfläche 0 dr dR, 0 dM d2 S. Damit ergeben sich folgende Integrationsgrenzen: z=

H

˜ ( r  R)

z=0

bis

r=0

bis

r=R

M=0

bis

M = 2˜ S

R

r r

Redefinition

´ µ VK ( R  H)  µ ¶

2˜S

0

R  30 ˜ cm

´ µ µ ¶

R

0

´ µ µ ¶



H R

˜( r R)

r dz dr dM

0

H  100 ˜ cm

U  1000 ˜

0.094 m

kg m

m  U ˜ VK ( R  H) VK ( R  H)

VK ( R  H) o

3

1 3

gewählte Daten Masse des Körpers

3

m

94.248 kg

Volumen und Masse

Seite 411

2

˜S˜R ˜H

Integralrechnung Mehrfachintegrale Beispiel 4.7.10: Eine Parabel mit der Gleichung z = y 2 rotiere um die z-Achse. Das Volumen des entstehenden Paraboloides soll berechnet werden, wenn die Höhe des Paraboloides h ist. Dieser parabolische Behälter soll von einem Wasserreservoir aus, das sich in der x-y Ebene befindet, bis zur Höhe z = h mit Wasser gefüllt werden. Welche Arbeit ist dabei mindestens aufzuwenden ? h h

Redefinition

h x ´ h ´ µ µ VP ( h)  µ µ ¶ ¶ 



h

2

hx

2

´ µ ¶

h

1 dz dy dx 2

x y

2

VP ( h) o

1

VP ( h) o

1

2

2

˜h ˜S

In Zylinderkoordinaten: ´ VP ( h)  µ µ ¶

2˜S

0

´ h ´h µ µ r d z dr dM µ ¶2 ¶ 0

2

2

˜h ˜S

r

W = m ˜ g ˜ h = m ˜ g ˜ zs

Die Wassermenge wird von z = 0 um die Stecke h = z s angehoben.

Für den Schwerpunkt eines homogenen Rotationskörpers gilt unter Verwendung von Zylinderkoordinaten (Rotation um die z-Achse): 1 ´ µ ˜ xs = 0 , ys = 0 , z s = V µ ¶

´ µ µ ¶

´ µ µ ¶

z ˜ r dz dr dM

(4-175)

V V ist das Rotationsvolumen.

z s ( h) 

´ ˜µ VP ( h) µ ¶ 1

2˜S

0

´ h ´h µ µ z ˜ r dz dr dM µ ¶2 ¶ 0

z s ( h) o

2 3

˜h

r

m = U ˜ VP ( h)

Masse des Körpers

U U

Redefinitionen

g g

1 3 Wmin ( U  g  h) o ˜ U ˜ h ˜ S ˜ g 3

Wmin ( U  g  h)  U ˜ VP ( h) ˜ g ˜ z s ( h) Beispiel 4.7.11:

Berechnen Sie das Volumen einer Kugel (x 2 + y2 + z2 = r2 ) mithilfe eines Dreifachintegrals in kartesischen Koordinaten und in Kugelkoordinaten. r r

Redefinition

´ VK ( r)  µ µ ¶

r

r

2

´ r x µ µ ¶ 2 

2

r x

2

2

2

2

´ r x y µ µ ¶ 2 2 

1 d z dy dx

VK ( r) o

2

r x y

Seite 412

4 3

3

˜S˜r

Integralrechnung Mehrfachintegrale ´ VK ( r)  µ ¶

2˜S

0

´ µ ¶

S

0

r

´ 2 µ U ˜ sin ( - ) dU d- dM ¶

VK ( r) o

0

4 3

3

˜S˜r

Beispiel 4.7.12: Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment J z eines homogenen Würfels der Kantenlänge a (0 dx da , 0 dy da, 0 dz d a) und der konstanten Dichte U bezüglich einer Kante und bezüglich einer kantenparallelen Schwerpunktachse. Massenträgheitsmoment eines homogenen Körpers in kartesischen Koordinaten: ´ Jz = U ˜ µ µ ¶

´ µ rg dV = U ˜ µ ¶

b

2

a

f ( x) ´o µ µ ¶ fu( x)

z ( x  y) ´ o 2 2 µ x  y dz dy dx µ ¶





(4-176)

zu( x  y)

V rg ist der Abstand des Volumselementes dV von der Bezugsachse g parallel zur Schwerachse, und Uist die konstante Dichte des Körpers. Die Bezugsachse ist die z-Achse. Massenträgheitsmoment eines homogenen Körpers in Zylinderkoordinaten: ´ µ Jz = U ˜ µ ¶

´ µ µ ¶

´ µ µ ¶

3

r dz dr dM

(4-177)

V

´ Jz = U ˜ µ ¶

a

0

´ µ ¶

a

´ µ ¶

a

0

´ µ ¶

a

´ µ ¶

a

x2  y2 dz dy dx o Jz = 2 ˜ U ˜ a5

Massenträgheitsmoment bezogen auf eine Kante

3

0

m m ´ Jz = U ˜ µ ¶

a

0

0

0

x2  y2 dz dy dx ersetzen  U = m3 a

Die Schwerpunktachse ist von der z-Achse d =

a 2

˜

2 2 o Jz = ˜ m ˜ a 3

2 entfernt:

2

Js = Jz  m ˜ d

Js =

2 3

2

nach Satz von Steiner 2

§ a ˜ 2· o J = 1 ˜ m ˜ a2 s 6 ©2 ¹

˜m˜a  m˜¨

Seite 413

Übungsbeispiele

1. Folgen, Reihen und Grenzwerte 1.1 Folgen Beispiel 1: Geben Sie das allgemeine Bildungsgesetz für die nachfolgenden Folgen an, und stellen Sie die ersten 10 Folgeglieder grafisch dar. a) 1; 1/3; 1/5; 1/7, ... ! b) 1; 1/4; 1/9; 1/16, ... c) 1; 4; 9; 16, ...

!

!

Beispiel 2: Zeigen Sie, dass die Folge a) 2n !streng monoton steigt, b) 1/2n !streng monoton fällt, c) (3 n - 2)/(2 n - 1) !streng monoton steigt. Beispiel 3: Untersuchen Sie, ob 1 bzw. 2 eine obere Schranke der Folge (3 n - 2)/(2 n - 1) !ist. Beispiel 4: Ermitteln Sie eine obere und eine untere Schranke für die Folge (4 n + 1)/(2 n - 1) !. Beispiel 5: Geben Sie für die nachfolgenden Folgen die ersten 10 Glieder an, und stellen Sie die ersten 10 Folgeglieder grafisch dar. Untersuchen Sie die Folgen auch auf Monotonie und Beschränktheit. a)

yn ! (-1)n (1/n) !

b) xn !

sin( n . S/2) !

c) z n !

2. 2-n !

d) hn !

1 - 1/n !

Beispiel 6: Geben Sie für die nachfolgenden rekursiv dargestellten Folgen die ersten 10 Glieder an, und stellen Sie die ersten 10 Folgeglieder grafisch dar. a) xn+1 = 1/2 . (1- x n) , x1 = 1 b) xn = xn-12 + 1 , x1 = 1 c) un+1 = un + 1 , u1 = 0,2 d) an+2 = 1/2 . (an+1 + an) , a0 = 0 , a1 = 1

Seite 414

Übungsbeispiele

1.1.1 Arithmetische Folgen Beispiel 1: Wie heißen die ersten 5 Glieder der folgenden arithmetischen Folgen: a) a1 = - 7 , d = 2 b) a3 = 17 , d = - 4 Beispiel 2: Am Beginn eines Geschäftsjahres (einer Rechnungsperiode) kauft eine Firma einen PKW um 15 000 Euro (Anschaffungspreis). Am Ende eines jeden Jahres wird für die Buchhaltung der Buchwert des Wagens ermittelt, indem wir jedesmal 20 % des Anschaffungspreises abziehen (Abschreibung mit gleichbleibender Quote). Auf Grund welcher Funktion kann der Buchwert zu Beginn jedes beliebigen Jahres berechnet werden ? Nach wieviel Jahren ist der Buchwert null ? Stellen Sie die Abschreibung grafisch dar. Beispiel 3: Messungen ergeben, dass die Temperatur zum Erdinneren hin um ca. 3 °C je 100 m zunimmt, wobei in unseren Breiten eine Temperatur von 10 °C in 25 m Tiefe zugrunde zu legen ist. Welche Temperatur herrscht in 2300 m Tiefe ((78,3 °C).

1.1.2 Geometrische Folgen Beispiel 1: Wie heißen die ersten 5 Glieder der folgenden geometrischen Folge: a) a1 = - 7 , q = 3 b) a1 = -1 , q = 2 c) a1 = 4 , q = - 1/2 Beispiel 2: Bei einer Torsionsschwingung zeigen die Amplituden A 4 = 12,8 ° und A 6 = 9,8 °. Bestimmen Sie die geometrische Amplitudenfolge, und geben Sie die Glieder bis n = 6 an. Beispiel 3: Es sollen 6 Rohre mit den Durchmessern von d 1 = 50 mm bis d6 = 500 mm hergestellt werden. Wie sind d2 , d3 , d4 und d5 zu wählen, damit sich eine geometrische Stufung ergibt ? Stellen Sie die Folge der Durchmesser grafisch dar. Beispiel 4: Ein Lichtstrahl verliert beim Durchgang durch eine planparallele Glasplatte 1/10 seiner Intensität I. Wie groß ist die Restlichtstärke beim Durchgang durch sechs gleich beschaffene Glasplatten ? (I = 0.53 I0 ) Beispiel 5: An dem Saugstutzen einer Rotationskapselpumpe wird der Rezipient mit einem Volumen von 3000 cm 3 angeschlossen. Durch den exzentrischen Vollzylinder können je Drehung 200 cm 3 Luft zum Druckstutzen befördert werden. a) Wie groß ist der Druck im Rezipienten nach 5 und nach 10 Umdrehungen, wenn der ursprüngliche Druck 1000 mbar beträgt (p 1 V1 = p2 V2 Boyle-Mariaottesches Gesetz bei konstanter Temperatur) ? (p 5 = 724 mbar; p10 = 525 mbar) b) Wieviel Minuten muss die Pumpe bei 50 Umdrehungen je Minute laufen, um einen Druck von 10-6 mbar zu erreichen ? (t = n/50 = 6,4 min)

Seite 415

Übungsbeispiele

Beispiel 6: Ein Körper beginnt zum Zeitpunkt t = 0 s ohne Luftwiderstand frei zu fallen. Für den Fallweg gilt daher näherungsweise s = 1/2 . 10 . m/s 2 . t2 . a) Zeigen Sie, dass der zurückgelegte Weg nach 1 s, 2 s, 3 s usw., also s 1 , s2 , s3 usw., eine arithmetische Folge bildet. b) Berechnen Sie den zurückgelegten Weg nach 10 s. c) Addieren Sie die Teilwege bis zum Ende der 10. Sekunde, und zeigen Sie, dass die Summe gleich dem Ergebnis von b) ist. Beispiel 7: Ermitteln Sie jene Zahlenfolge < a1 , a2 , ... , a21 > mit a1 = 1 und a 21 = 10, aus denen die Hauptwerte der Normzahlen E20 bestimmt werden. Beispiel 8: Gesucht ist die geometrische Folge < a1 , a2 , ... , a9 > mit a1 = 1, bei der jedes 2. Glied eine Verdoppelung ergibt. Vergleichen Sie auch die Zahlenreihe < 1 ; 1,4 ; 2 ; 2,8 ; 4 ; 5,6 ; 8 ; 11 ; 16 > der Blendenzahlen eines Kameraobjektivs.

1.2 Reihen 1.2.1 Arithmetische endliche Reihen Beispiel 1: Berechnen Sie die Summe folgender Reihen: 20

a)

20

¦ k

b)

k

1

¦ k

20

( 2 ˜ k  1)

1

c)

¦ i

i 2

20

d)

1

¦

 10

n

§1  ¨ ©

n· 2¹

Beispiel 2: 220 m Papier der Stärke 0,2 mm werden auf eine Rolle mit dem Radius 7,5 cm gewickelt. a) Wie viel Lagen ergeben sich ? b) Wie groß ist der Durchmesser der Rolle zum Schluss ? (Umfang der 1. Schicht u 1 = 2 S (r1 +d/2) usw. n = 325 Lagen d = 28 cm) Beispiel 3: Für eine Tiefensonde soll ein 100 m tiefes Loch gebohrt werden. Der erste Bohrmeter kostet € 40. Wie groß sind die Bohrkosten, wenn die Kosten pro Bohrmeter um € 5 linear steigen ?

1.2.2 Geometrische endliche Reihen Beispiel 1: Berechnen Sie die Summe folgender Reihen: n

a)

¦ k

1 k

0 2

n

b)

¦ k

1

ª( 1) k1 ˜ 1 º « k» 2 ¼ ¬

c)

4

6

8

16

x  x  x  ....  x

Seite 416

, mit x = 1,3 und x = - 0.5.

Übungsbeispiele

Beispiel 2: In einer "idealen Atmosphäre" fällt der Luftdruck von 0 m Höhe auf 1000 m Höhe von 1013 mbar auf 890 mbar. Bestimmen Sie den Luftdruck in 2000 m, 3000 m, 4000 m und 5000 m, wenn dieser exponentiell abklingt. Beispiel 3: Sie schreiben einen Brief an 5 Personen mit der Aufforderung, innerhalb einer Woche einen Brief gleichen Inhalts an weitere 5 Personen zu schreiben usw. (Kettenbrief!). Wie viele Personen bekommen in 8 Wochen einen Brief dieser Art, wenn jede angeschriebene Person mitmacht und keine Person zweimal angeschrieben wird ? Wie groß sind die Portokosten, wenn eine Briefmarke € 0,6 kostet ? Beispiel 4: Zu jedem Monatsbeginn wird ein Betrag R = € 100 auf ein Rentenkonto eingezahlt (vorschüssige Monatsrente) und dort mit p 12 = 3 % verzinst. Wie groß ist der Wert der unterjährigen Rente am Ende des 15. Jahres ? Hinweis: Häufig wird in der Praxis statt mit dem Jahreszinssatz p mit dem Monatszinssatz p 12 gearbeitet, der bei monatlicher Kapitalisierung nach einem Jahr die gleichen Zinsen erbringt wie der Jahreseinsatz. Wir sprechen vom äquivalenten monatlichen Zinssatz p 12. Beispiel 5: Zu jedem Monatsende wird ein Betrag R = € 100 auf ein Rentenkonto eingezahlt (nachschüssige Monatsrente) und dort mit p 12 = 3 % verzinst. Wie groß ist der Wert der unterjährigen Rente am Ende des 15. Jahres ? Hinweis: Häufig wird in der Praxis statt mit dem Jahreszinssatz p mit dem Monatszinssatz p 12 gearbeitet, der bei monatlicher Kapitalisierung nach einem Jahr die gleichen Zinsen erbringt wie der Jahreseinsatz. Wir sprechen vom äquivalenten monatlichen Zinssatz p 12. Beispiel 6: Eine Schuld von € 50 000 soll bei 6% in 10 Jahren durch gleich bleibende Annuität getilgt werden. Erstellen Sie einen Tilgungsplan. Beispiel 7: Kann eine Schuld von € 1000 bei 7,5% mit einer Annuität A = € 50 jemals getilgt werden ? Wie groß muss die Annuität mindestens sein, damit wir wenigstens die in jedem Jahr anfallenden Zinsen abdecken kann ?

1.3 Grenzwerte von unendlichen Folgen Beispiel 1: Berechnen Sie folgende Grenzwerte der gegebenen Folgen mit n gegen unendlich: a)

d)

lim

4˜ n  1

n o f 5˜ n  2

lim

3˜ n  1

n o f 5˜ n  2

b)

lim nof

e)

lim nof

§1  n  1 · ¨ © n 2 ˜ n  3¹ § 1· ¨ © 7¹

2

c)

n o f 3 ˜ n2  7 ˜ n  2

n

f)

lim nof

Seite 417

n  5˜ n  3

lim

n

2

Übungsbeispiele

Beispiel 2: Werten Sie für die Fallgeschwindigkeit mit Luftwiderstand folgenden Grenzwert mit k gegen 0 aus:

§ ¨ ¨ lim ¨ m ˜ g ˜ ko0 ©

 2˜k˜s

·

m

¸

1 e

¹

k

Beispiel 3: Für die erzwungene Schwingung ist für den Resonanzfall folgender Grenzwert mit G gegen 0 auszuwerten:

ª e G˜t § G ·º lim « ˜ ¨ Z ˜ t  sin ( Z ˜ t)  G ˜ t ˜ cos ( Z ˜ t)  ˜ sin ( Z ˜ t) » 2 Z © ¹»¼ G o0 « ¬ Z 1.4 Grenzwerte von unendlichen Reihen Beispiel 1: Bestimmen Sie den Summenwert folgender Reihen: f

a)

ª¬ 0.3 ˜ ( 0.1)

¦ k

f

f

k 1º

¼

b)

1

¦ k

ª¬ 0.35 ˜ ( 0.01)

k 1º

¼

c)

¦ k

1

1

k 1 5

Beispiel 2: Prüfen Sie mithilfe von Satz 6 für unendliche Reihen die folgenden Reihen auf Konvergenz: f

a)

¦ n

f

n

b)

2˜ n  1

1

¦ k

1

k

2 1 k

2

Beispiel 3: Bestimmen Sie die Summe der folgender Reihen und gegebenenfalls die Werte der Variablen, für die die Reihe konvergiert: a)

1

3

b)

1

2

c)

a

a

d)

1  3 ˜ x  9 ˜ x  27 ˜ x  ....

5

5

 

9 25 4 25

2

3

27



125 6



125

3



a

9

 ....

(5/2)

 ....

(5/7)

 ....

(3a/(a+3) für |a| < 3)

4

 2

a

27

3

(1/(1-3x) für |x| < 1/3)

Seite 418

Übungsbeispiele

2. Grenzwerte einer reellen Funktion und Stetigkeit 2.1 Grenzwerte einer reellen Funktion Beispiel 1: Bestimmen Sie folgende Grenzwerte, falls sie existieren: a)

d)

( 2 ˜ x)

lim

b)

( 2 ˜ x  3)

lim

xo2

c)

xo2

x 2

lim

e)

xo3 x 2

x2  4 ˜ x  1

lim xo2

2

25  x

lim xo4

Beispiel 2: Berechnen Sie folgende Grenzwerte nach geeigneter Umformung , falls sie existieren:

a)

3

x 4

lim

b)

x o 4 x2  x  12

xo2 3

e)

xo1

2

x 5

2

x  x 2

lim

( x  1)

h

ho0

x 9

2

( x  h)  x

lim

2

4 x

lim

c)

2

xo3

2

d)

2

x  27

lim

f)

2

x 4

lim

x o  2 x2  4

Beispiel 3: Die folgenden Funktionen besitzen eine Definitionslücke. Stellen Sie anhand einer Skizze des Graphen fest, von welcher Art die Definitionslücke (Lücke im Funktionsgraphen, Sprungstelle, Polstelle) ist. Geben Sie dort auch, falls vorhanden, den Grenzwert bzw. die einseitigen Grenzwerte an. a)

y=

x 

e)

2

x

y=e

b)

y=

f)

y=

3

x 2 x 2

2

x x

c)

y=

g)

y = arctan ¨

x 1

2

d)

y=

h)

y=

x  2˜ x x

1 x

2

sin ( x) x

§ 1 · © 1  x¹

1 x 1

Beispiel 4: Zeichnen Sie die Signumfunktion sign(x) = -1 für x < 0 und 0 für x = 0 und +1 für x > 0 und geben Sie die beiden einseitigen Grenzwerte an der Stelle x 0 = 0 an: a)

y = sign ( x)

b)

y = sign ª¬( x  1)

2º

¼

Seite 419

Übungsbeispiele

2.2. Stetigkeit von reellen Funktionen Beispiel 1: Skizzieren Sie den Funktionsgraphen und stellen Sie etwaige Unstetigkeitsstellen der Funktion fest. Existieren die Grenzwerte an den Unstetigkeitsstellen ? a)

y=x 1

für x d 1

und

y=x

für x > 0

b)

y = sin ( x)

für x d S/2

und

y = cos ( x)

für x > S/2

c)

y= 4 x

d)

y = x ˜ sign ( x  1)

e)

y = ( 1  x) ˜ ) ( x)

2

Beispiel 2: Bestimmen Sie die Konstante c so, dass die folgenden Funktionen stetig sind: a)

y=x c

für x d 1

und

y = x

b)

y = 2x  c

für x d 0

und

y=e

für x > 1

x

für x > 0

2.2.1 Eigenschaften stetiger Funktionen Beispiel 1: Bestimmen Sie alle Nullstellen der Funktion y = x 3 - 4 x2 + x + 6 im Intervall [ - 5 , 5 ]. Beispiel 2: Bestimmen Sie alle Extremwerte der Funktion y = x 4 - 2 x - 2 (absolute und relative) im Intervall [ -10 , 10 ] Beispiel 3: Suchen Sie jeweils ein Intervall [a , b] auf, in dem mindestens eine Nullstelle liegt, und bestimmen Sie die Nullstellen.

2.2.2 Verhalten von reellen Funktionen im Unendlichen Beispiel 1: Skizzieren Sie folgende Funktionen und geben Sie an, ob und an welchen Stellen Unstetigkeiten vorliegen, und von welcher Art diese sind. Geben Sie ferner an, an welchen Stellen Asymptoten auftreten. a)

e)

y=

1 x 2 x

y=2

b)

y=

2

1 2

1 x f)

y=

1 cos ( x)

c)

y=

x 4 x 2

3

d)

y=

g)

y=

x  27 x 3 3

im Intervall [-S/2 , 3 S/2]

2

x 1

Seite 420

2

4˜ x  x

Übungsbeispiele

x

h)

y=

x  sin ( x) x

i)

y=

x

e e x

x

j)

50

y=

1

e e

1 e

10

˜( t 40)

Beispiel 2: Die Kapazität C eines aus zwei konzentrischen Kugelschalen mit den Radien r und r+x bestehenden Kugelkondensators beträgt: C = 4 ˜ S ˜ H0 ˜

r ˜ ( r  x) x

Daraus wird im Grenzfall x ofeine einzige Kugelschale. Berechnen Sie die Kapazität. Beispiel 3: Wird eine Masse m von der Erdoberfläche in eine Höhe h gehoben, so beträgt die Hubarbeit W = JM m (1/r - 1/h). J = 6.67 10-11 m3 kg-1s-1 ist die Gravitationskonstante, M = 5.97 10 24 kg die Erdmasse und r = 6370 km der Erdradius. a) Berechnen Sie die Arbeit, um eine Masse von m = 10 kg ins "Unendliche" zu heben (h of). b) Berechnen Sie aus W = m v 2 /2 die dazu nötige Abschussgeschwindigkeit von der Erde (Fluchtgeschwindigkeit): Beispiel 4: Für den Einschaltstrom eine Gleichstromkreises gilt für den Strom i = 5 A (1 - e -t/W) mit der Zeitkonstante W = 7.5 ms. Welcher Endwert wird sich für t of einstellen ? Beispiel 5: Für die Erwärmung einer zum Zeitpunkt t = 0 s in Betrieb gesetzten Maschine gilt: - = 5 -0 (1 - 0.8 e-t/W). -0 ist die Anfangstemperatur, W die Zeitkonstante und - die Temperatur zum Zeitpunkt t. Auf welche Betriebstemperatur wird sich die Maschine schließlich erwärmen ?

3. Differentialrechnung 3.1 Die Steigung der Tangente - Der Differentialquotient Beispiel 1: Untersuchen Sie, ob der Graph der Funktion y = |x 2 - 1| an der Stelle x 0 =-1 bzw. x 0 = 1 eine Tangente besitzt. Stellen Sie die Funktion grafisch dar. Beispiel 2: Untersuchen Sie, ob der Graph der Funktion y = |x | an der Stelle x 0 = 0 eine Tangente besitzt. Stellen Sie die Funktion grafisch dar. Beispiel 3: Berechnen Sie die Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten der Funktion y = - x2 + 2 x + 1 an der Stelle x0 . Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an der Stelle x 0 = 2. Gibt es einen Punkt am Graphen mit waagrechter Tangente ? Stellen Sie die Funktion und die Tangente an der Stelle x 0 grafisch dar.

Seite 421

Übungsbeispiele

Beispiel 4: Berechnen Sie die Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten sowie die Gleichung der Tangente an der Stelle x 0 : 2

a)

f ( x) = x  2

c)

f ( x) = ( 2 ˜ x  1)

2

3

x0 = 2

b)

f ( x) = 2 ˜ x  1

x0 = 1

d)

f ( x) =

1

x0 = 1 x0 = 2

x

Beispiel 5: Untersuchen Sie, ob der Graph der gegebenen Funktionen eine waagrechte Tangente besitzt. Ermitteln Sie bei vorhandener waagrechter Tangente die Koordinaten dieses Punktes und stellen Sie die Tangentengleichung auf. a)

y ( x) = ( x  2)

2

2

f ( x) = x  x  4

b)

c)

3

2

f ( x) = x  x  1

Beispiel 6: Besitzt bei den nachfolgenden Funktionen der Funktionsgraph eine Tangente mit der Steigung k ? Ermitteln Sie bei vorhandener Tangente die Koordinaten dieses Punktes, und stellen Sie die Tangentengleichung auf. a)

§3 · f ( x) = ¨ ˜ x  1 ©4 ¹

2

k=

1

b)

2

3

2

f ( x) = 2 ˜ x  x 

1 2

x0 = 2

Beispiel 7: Untersuchen Sie die nachfolgenden Funktionen auf Stellen, wo sie nicht differenzierbar ist. Stellen Sie die Funktion grafisch dar, und geben Sie die Stellen in der grafischen Darstellung an. a)

f ( x) = x  1

für

xd1

und

f ( x) = x  3

für

x!1

b)

f ( x) = x  1

für

xd2

und

f ( x) = 2 ˜ x  3 für

x!2

c)

f ( x) = x  3

für

xd1

und

f ( x) = x  1

2

2

für

x!1

3.1.1 Die physikalische Bedeutung des Differentialquotienten Beispiel 1: Ein Körper hat gerade den Weg s = 2 m im Freien Fall zurückgelegt. Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Fallgeschwindigkeit, wenn der Fallweg a) um 0.5 m und b) um 0.1 m zunimmt. v= 2˜ g˜ s Beispiel 2: Ein Körper wird zur Zeit t = 0 s aus einer Höhe s 0 = 2 m mit der Geschwindigkeit v 0 = 30 m/s senkrecht nach oben geworfen. Für den zurückgelegten Weg gilt: s(t) = s 0 + v0 t -1/2 g t 2 . Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit (mittlere Änderungsrate des Weges nach der Zeit) für die Zeitintervalle [2s, 2.5s], [2s, 2.01s] und die Momentangeschwindigkeit zur Zeit t = 2 s nach dem Abwurf. Wann erreicht der Körper seine maximale Höhe ? Der Luftwiderstand wird vernachlässigt.

Seite 422

Übungsbeispiele

Beispiel 3: Das Volumen eines Würfels nimmt mit einer Rate von 1 dm 3 pro Minute zu (Volumenstrom). Wie groß ist die mittlere Änderungsrate der Seitenkante, wenn diese gerade 10 dm beträgt ?

3.2 Ableitungsregeln für Funktionen 3.2.1 Ableitung der linearen Funktion Beispiel 1: Bilden Sie die 1. Ableitung der Funktion an der Stelle x 0 . Stellen Sie die Funktion und die Ableitungsfunktion grafisch dar. a)

1

y=

˜x 2

2

b)

f ( x) = x  1

c)

f ( x) = 2  6 ˜ x

Beispiel 2: Bilden Sie die 1. Ableitung der Funktion an der Stelle t 0 . Stellen Sie die Funktion und die Ableitungsfunktion grafisch dar. d)

s ( t ) = v0 ˜ t

e)

v ( t ) = v0  g ˜ t

f)

Z ( t) = Z 0  D ˜ t

c)

f ( t) = t

g)

g ( x) =

3.2.2 Potenzregel Beispiel 1: Bilden Sie die 1. Ableitung der folgenden Funktionen: 3˜a

a)

y=x

e)

y=x ˜

2

x

2˜r

b)

f ( x) = x

f)

f ( x) =

x 3

x

4˜a 3

§ 1 · ¨ 3 ©x ¹

d)

h (z) =

h)

h (z) =

3

z˜

4

z˜

3

2

Beispiel 2: Ermitteln Sie an der Stelle x 0 die Steigung und den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen der Funktion. a)

y=

3

x

x0 = 2

b)

f ( x) =

1

x0 = 1

x

c)

5

f ( x) = x

x0 = 3

Beispiel 3: An welcher Stelle besitzt der Steigungswinkel der Tangente an den Funktionsgraphen den Wert D? a)

2

y=x

D = 30°

b)

f ( x) =

4

x

D = 20°

c)

f ( x) =

1 2

x

Seite 423

D = 30 °

z

z

Übungsbeispiele

Beispiel 4: Ermitteln Sie den Schnittwinkel zwischen den Graphen von: a)

2

y=x

y=

b)

x

1

f ( x) =

y=

x

c)

x

g ( x) = x

1

h ( x) =

2

x

Beispiel 5: An welcher Stelle besitzt der Graph von y = 1/x eine Tangente, die parallel zur Geraden y = -x/2 + 2 verläuft ?

3.2.3 Konstanter Faktor und Summenregel Beispiel 1: Bilden Sie die 1. Ableitung der folgenden Funktionen: a)

2

y = x ˜ ln ( 10 )

b)

2˜ p˜ x

f ( x) =

g ( t) = S ˜ t

c)

2

d)

h (s) =

1 3 ˜ s 5

Beispiel 2: Bilden Sie die 1. Ableitung der folgenden Funktionen: a)

3

2

y=x  x  x

b)

f ( x) =

5 4



6 3



x

x

2 2

4

 2˜ x

2

c)

f ( t) =

x

x

3

3

x

Beispiel 3: Ermitteln Sie an der Stelle x 0 die Normale auf den Graphen und stellen Sie den Graphen, die Tangente und die Normale grafisch dar. a)

2

y=x  x

b)

x0 = 1

y=

2 10

2

˜x 

1 2

˜x 1

x0 = 2

Beispiel 4: An welchen Stellen und unter welchen Winkeln schneidet der Graph mit y = x 2 - 4 x + 1 die x-Achse ?

3.2.4 Produktregel Beispiel 1: Bilden Sie die 1. Ableitung der folgenden Funktionen: a)

3 3

y= x  1 ˜ x  1 1

d)

y=x

3

2

˜ x x

b)

e)

f ( x) =

2

x˜ x  2

.4 · § ¨ 5 1 3 f ( x) = © x x ¹˜ 5

x

Seite 424

2



c)

g ( x) = x  x  1 ˜ ( x  1)

f)

g ( x) = x  2

2

2

Übungsbeispiele

3.2.5 Quotientenregel Beispiel 1: Bilden Sie die 1. Ableitung der folgenden Funktionen: a)

d)

2

x 1

y=

b)

x 1

y=

e)

1 x

f ( x) =

f ( t) =

x 1

c)

2˜ x 1t

f)

1t

g ( x) =

g (s) =

x 3

x x

1s

3

1s

3

3.2.6 Kettenregel Beispiel 1: Bilden Sie die 1. Ableitung der folgenden Funktionen:

 5 3

a)

y= x  x

d)

y = ¨ x

§ ©

1



2

·

2

¹

x

2

b)

f ( x) =

x ˜ ( x  2)

c)

g ( x) =

e)

f ( t) =

t2  4 3

f)

g (s) =

3

2 x 2 x

2˜ g˜ s

Beispiel 2: Wird Sand von einem Förderband geschüttet, so entsteht ein konischer Sandhaufen (Kegel), dessen Höhe h immer gleich 4/3 des Radius r der Grundfläche ist. a) Wie schnell wächst das Volumen, wenn der Radius r der Basis 1m ist und mit einer Geschwindigkeit von 1/8 cm/s wächst ? b) Wie schnell wächst der Radius, wenn er 2m ist und das Volumen mit einer Geschwindigkeit von 10 4 cm3 /s wächst ?

3.2.7 Ableitungen von Funktionen und Relationen in impliziter Darstellung Beispiel 1: Differenzieren Sie implizit und bestimmen Sie die Ableitung an der Stelle x 0 : a)

c)

2

3

x  2˜ x y = 1 3

2˜ y 1  x= 1

x0 = 3

b)

x0 = 0

d)

3

1 x0 = 2

 x=1

x0 = 1

x˜ y = x  2 x 3

y

Seite 425

Übungsbeispiele

Beispiel 2: Geben Sie Gleichung der Tangente im Punkt P(x 0 |y0 >0) an: a)

2

2

2

x  y = 36

x0 = 2

b)

x

2



9

y

4

2

c)

2

3

y =x

d)

x0 = 1

x

3

=1

x0 = 2

=1

1 x0 = 2

2

y

3

Beispiel 3: Berechnen Sie die Steigung der Tangente im Punkt P 1 : a)

2

y  2˜ x= 0

P1 (3.12 | - 2.498)

b)

2

( y  3)  8 ˜ ( x  2) = 0

P1 (6 | - 2.657)

Beispiel 4: Bilden Sie die 1. Ableitung der gegebenen Funktion über die Umkehrfunktion: 1

a)

y=

3

b)

x

y=x

c)

2

s ( t) =

g 2

˜t

2

3.2.8 Ableitung der Exponential- und Logarithmusfunktion Beispiel 1: Bilden Sie die 1. Ableitung der folgenden Funktionen: x

a)

3˜x

y=

 4˜x

f ( x) = 4 ˜ e

t

t

e)

b)

y=e

e e 2

c)

f ( u) =

2

d)

x 1

h ( x) = 2

2˜t 1

e u

2

g ( x) = e

u

f)

2

u

g)

3

g ( t) = 4

x 1

h)

h ( x) = e

x

e e

Beispiel 2: Bilden Sie die 1. Ableitung der folgenden Funktionen:

a)

y = ln ( 2 ˜ x  1)

e)

y = lg ¨

§ 10 · © x¹

 x

b)

f ( x) = ln

f)

f ( u) = ln ( ln ( u) )

2

2

c)

g ( x) = ln x  1

d)

h ( x) = lg x  1

g)

g ( t ) = ln ¨

§ 1  t· © 1  t¹

h)

h ( x) = ln ( 3 ˜ x  4)

Seite 426

2

Übungsbeispiele

i)

x

2

y=x ˜e

j)

f ( u) =

 2

ln u

u

 2˜z

2˜t

k)

g ( z ) = z ˜ ( z  3) ˜ e

l)

h ( t) = ( 3  t) ˜ e

o)

g ( t) = A ˜ 1  e



p)

h ( t) = ( A  B ˜ t) ˜ e

t)

§ t· ¨ T R ( t) = e © ¹

w)

y = ln © x 

d)

h ( x) = x

e m)

q)

u)

 B˜t

y= A˜e

 B˜( x C)

2

y= A˜e

M ( t) =

1 k

 B˜t

f ( t) = A ˜ e

n)

C

s)

g ( r) =

t ˜3

1  r˜ s˜ t  2˜k˜

˜ ln ( k ˜ Z ˜ t  1)

v ( s ) = vs ˜

v)

 C˜t

r˜s

2

 P˜x

I ( x) = I0 ˜ e

r)



 B˜t

1e

b

s m

§

2

2

·

x  1¹

Beispiel 3: Bilden Sie die 1. Ableitung an der Stelle x 0 = 2: a)

2˜x

x

b)

y=x

g ( x) = ( 1  3 ˜ x)

c)

f ( x) = x

x

2˜x 1

Beispiel 4: Zeigen Sie durch Logarithmusbildung und Differenzieren, dass für die Funktion y = x n gilt: y' = n xn-1.

3.2.9 Ableitung von Kreis- und Arkusfunktionen Beispiel 1: Bilden Sie die 1. Ableitung der folgenden Funktionen: a)

y = sin ( 5 ˜ x)

e)

y = t ˜ sin ( t )

2

§x· © 2¹

b)

f ( x) = 2 ˜ cos ¨

f)

f ( x) = e ˜ sin ( x)

x

c)

f ( t) = sin ( t )

g)

g ( x) =

2

sin ( x  cos ( x) ) x

2

d)

h ( z ) = tan ( z )

h)

h ( x) = x  sin ( x)

l)

x ( t ) = sin ¨

p)

y=

t)

y=

2˜ e sin ( x)

i)

y = cos ( x)  3 ˜ tan ( x) j)

f ( x) =

m)

y = cos ( x) ˜ sin ( x)

n)

y = x ˜ tan ( x)

q)

y=

r)

y=

u)

y=

1 tan ( x)

 tan ( x)

2 ˜ tan ( x) 1  tan ( x)

2

v)

2 ˜ cos ( x)

3

y=

x 1  cos ( x) cot ( 3 ˜ x) tan ( x)

sin ( x)

k)

g ( x) =

o)

y = cos ( x)  sin ( x)

s)

y=

x 2

sin ( x) ˜ cos ( x) sin ( x)  cos ( x)

2

§ t  S· ©2 4¹

1 sin ( x) cos ( x) ˜ cos ( x) t

x

w)

Seite 427

y=

§ 1 · ˜ sin ( x) ¨ © 2¹

tan ( x)

x)

y= 3˜ e

2

˜ sin ( 2 ˜ t )

Übungsbeispiele

y)

3

y = x ˜ sin ( x)

2

D)

z)

y ( t ) = r ˜ sin ( Z ˜ t)

J)

y = cot ( t)  2 ˜ tan ( t )

i ( t ) = I0 ˜ sin ( Z ˜ t  M )

t

E)

y= 3˜ e

2

˜ sin ( 2 ˜ t )

2

2

Beispiel 2: Bilden Sie die 1. Ableitung der Funktion an der Stelle x 0 . Stellen Sie die Funktion und die Ableitungsfunktion grafisch dar. S a) b) y = sin ( x) x0 = f ( x) = sin ( 2 ˜ t ) 2

x0 = S

c)

§x· © 2¹

S x0 = 4

f ( x) = 3 ˜ sin ¨

Beispiel 3: In welchem Punkt bzw. Punkten des Graphen hat in [0, 2 S] die Tangente die Steigung k ? a)

y = sin ( x)

k=

1 2

b)

f ( x) = sin ( 2 ˜ t )

k = 0.8

c)

f ( x) = 2 ˜ x  cos ( x)

k=1

Beispiel 4: Beim schrägen Wurf gelten folgende Beziehungen: g 2 y = v0 ˜ sin ( D ) ˜ t  ˜ t  y0 2

x = vo ˜ cos ( D ) ˜ t  x0

Wie groß sind die Geschwindigkeiten in der x- und y-Richtung ? Beispiel 5: Ermitteln Sie an der Stelle x 0 die Steigung und den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen der Funktion. a)

y = cos ( x)

x0 = 0

b)

f ( x) = tan ( x)

x0 = 0

c)

f ( x) = cot ( x)

x0 = 1

Beispiel 6: An welcher Stelle besitzt der Steigungswinkel der Tangente an den Funktionsgraphen den Wert D? a)

y = sin ( 2 ˜ x)

D = 30° b)

f ( x) = tan ( 2 ˜ x)

D = 20°

Beispiel 7: Ermitteln Sie den Schnittwinkel zwischen den Graphen von: a)

y = sin ( x)

y = cos ( x)

für 0 < x S

b)

f ( x) = cos ( x)

y = tan ( x)

für 0 < x S/2

Seite 428

c)

§x· © 2¹

f ( x) = cot ¨

D = 10°

Übungsbeispiele

Beispiel 8: Ermitteln Sie an der Stelle x 0 die Normale auf den Graphen und stellen Sie die Funktion, die Tangente in x0 und die Normale in x 0 grafisch dar. a)

x0 = S

y = sin ( x)

b)

S x0 = 2

y = cos ( x)

Beispiel 9: Bilden Sie die 1. Ableitung der folgenden Funktionen: a)

d)

g)

y = arcsin ( 2 ˜ x)

y=

b)

arctan ( x)

e)

x

 2

f ( x) = arccos x

arcsin ( x)

f ( x) =

x

g ( x) = arctan x  x

f)

§ x3 · g ( x) = ˜ arctan ¨ x ©2¹

i)

g ( x) = arctan © x  1¹

e

y = x ˜ arccot ( x)

h)

f ( x) = tan ( x) ˜ arcsin ( x)

2

c)

1

§

2

Beispiel 10: Ermitteln Sie die Steigung im Punkt P 1 : a)

sin ( x ˜ y)  1 = 0

b)

y=x

x˜sin( x)

P1 (1/2 | S) P1 (3 | y1 )

3.2.10 Ableitung von Hyperbel- und Areafunktionen Beispiel 1: Bilden Sie die 1. Ableitung der folgenden Funktionen: a)

y = sinh ( 2 ˜ x)

b)

f ( x) = 3 ˜ cosh ( 5 ˜ x)

d)

y = tanh e

 k˜x

e)

f ( x) =

g)

y = x ˜ coth x

h)

f ( x) = ln ( x) ˜ cosh ¨

 2

sinh ( 4 ˜ x) 2˜ x

§ x · © x  1¹

§x· © 2¹

c)

g ( x) = tanh ¨

f)

g ( x) = cosh ( x)  sinh ( x)

i)

g ( x) = cos ¨ sinh ¨

2

§ ©

§ x ·· © 2 ¹¹

Beispiel 2: Bilden Sie die 1. Ableitung der folgenden Funktionen: a)

§x· © 4¹

y = arsinh ¨

b)

f ( x) =

 3

arcosh x 2

x

Seite 429

c)

§ 2  x· © 2  x¹

g ( x) = artanh ¨

2

·

Übungsbeispiele

d)

y = arcoth ( 3 ˜ x)

§ 1 ·

f ( t) = arcosh ¨

e)

2

§ s · ¨© 1  s 2 ¹

f)

g ( s ) = artanh ¨

i)

g ( x) =

c)

y = 3 ˜ x  4 ˜ x  x  1

©1 t ¹

g)

2

x

y = x  e ˜ arsinh ( x)

h)



§ x · ˜ artanh x4 © 2¹

f ( x) = ln ¨

arcoth ( x  2) sin ( x)

3.2.11 Höhere Ableitungen Beispiel 1: Berechnen Sie alle Ableitungen bis zu jener, die identisch null ist: a)

2

y= x  6˜ x 3

b)

4

3

y= x  3˜ x  2˜ x 2

5

3

Beispiel 2: Geben Sie die 2. Ableitung an der Stelle x 0 = 2 an: a)

y=

1 2

b)

y=

f)

y=

2˜ x 1

 3˜x

c)

y=e

g)

y = sin ( x)

1  2˜ x

d)

y=

h)

y=e

1 x

x e)

y=

x ˜ sin ( x) x

1 2˜ x

˜ cos ( 3 ˜ x)

3

 0.5˜x

˜ sin ( 4 ˜ x)

Beispiel 3: Für welche Polynomfunktion 3. Grades ist f(a) = - 1, f '(a) = 0, f ''(a) = 2 und f '''(a) = 6 ? Beispiel 4: Die Steigung der Tangente einer Polynomfunktion 2. Grades ist an der Stelle x = 2 gleich 5. Der Punkt P(2|4) liegt auf dem Graphen und die zweite Ableitung ist identisch gleich 4. Wie lautet die Gleichung der Polynomfunktion ? An welcher Stelle besitzt der Graph eine waagrechte Tangente ? Beispiel 5: Zeigen Sie, dass y = e - 3x sin(4 x) und y = e - 3x cos(4 x) die Differentialgleichung y'' + 6 y' + 25 y = 0 erfüllen ? Beispiel 6: Untersuchen Sie, ob y = sin(x) , y = cos(x), y = sinh(x) bzw. y = cosh(x) die Differentialgleichung yd) - y = 0 erfüllt ?

Seite 430

Übungsbeispiele

Beispiel 7: Das Weg-Zeit-Gesetz während des Abbremsens eines Kraftfahrzeuges lautet: s = 40 ˜

m s

m

˜ t  1.5 ˜

s

2

˜t

2

a) Wie lautet das Geschwindigkeits-Zeit Gesetz ? b) Wie groß sind Geschwindigkeit und Beschleunigung bei Bremsbeginn ? c) Wie lang ist der Bremsweg bis zum Stillstand ?

3.2.12 Ableitungen von Funktionen in Parameterdarstellung Beispiel 1: Bilden Sie die Ableitungen y' und y'' der folgenden gegebenen Funktionen in Parameterdarstellung. Führen Sie auch die Parametergleichungen in eine kartesische Form über. Stellen Sie diese Funktionen grafisch dar. 2

a)

x( t) = t  1

y( t) = t  1

c)

x( t) = e

e)

x( t) = e

g)

x( t) = e  e

t

y( t) = 1  t

 a˜t

a˜t

y( t) = e t

t

2

t

t

y( t) = e  e

1

2

b)

x( t) =

d)

x ( t ) = cos ( t)

y ( t ) = sin ( t )

f)

x ( t ) = ln ( t )

y( t) =

h)

x( t) = 2  t

y( t) = t ˜ e

2t

y( t) = t

2

§ 2 © 1

˜ ¨t 

1· t

¹

t

Beispiel 2: Stellen Sie die Gleichung der Tangente im Kurvenpunkt P mit dem Parameter t auf. Stellen Sie diese Funktionen und Tangenten grafisch dar. a)

t

x( t) = 2 ˜ e

t

y( t) = e

t=0

b)

x ( t ) = 2 ˜ cosh ( t )

y ( t ) = sinh ( t )

t=2

Beispiel 3: Bestimmen Sie die waagrechten und senkrechten Tangenten der gegebenen Funktion. Stellen Sie diese Funktionen und Tangenten grafisch dar. a)

x ( t ) = 2 ˜ cos ( t )

y ( t ) = 2 ˜ sin ( t )

b)

x ( t ) = 2  5 ˜ cos ( t )

y ( t ) = 1  3 ˜ sin ( t )

Beispiel 4: Bestimmen Sie die Tangenten und die Steigungswinkel der gegebenen Funktion im Ursprung des Koordinatensystems. Stellen Sie diese Funktionen und Tangenten grafisch dar. x ( t ) = sin ( t )

y ( t ) = sin ( 2 ˜ t )

0 dt <2S

Seite 431

Übungsbeispiele

Beispiel 5: Bestimmen Sie die Punkte mit waagrechten Tangenten der gegebenen Funktion (Kardioide). Stellen Sie diese Funktionen und Tangenten grafisch dar. x ( t ) = 2 ˜ sin ( t )  sin ( 2 ˜ t )

y ( t ) = 2 ˜ cos ( t )  cos ( 2 ˜ t )

0 dt <2S

Beispiel 6: Ein Körper wird in einer Höhe h = 10 m zum Zeitpunkt t = 0 s mit einer Geschwindigkeit v0 = 20 m/s unter einem Winkel von D = 35 ° abgeschossen. Der Luftwiderstand wird vernachlässigt. Für die Bahnkurve gilt: x ( t ) = v0 ˜ t ˜ cos ( D )

1 2 y ( t ) = h  v0 ˜ t ˜ sin ( D )  ˜ g ˜ t 2

a) Bestimmen Sie die Geschwindigkeit in horizontaler und vertikaler Richtung. b) Wie groß ist die Geschwindigkeit, wenn der Körper am Boden auftrifft ? c) Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitels der Bahnkurve.

3.2.13 Ableitungen von Funktionen in Polarkoordinatendarstellung Beispiel 1: Wie lautet die Kurvengleichung in kartesischen Koordinaten ? Stellen Sie diese Funktionen grafisch dar. a)

r(M ) =

2 cos ( 2 ˜ M )

b)

r ( M ) = 4 ˜ cos ( M )

c)

r(M ) =

2 1  cos ( M )

Beispiel 2: Wie lautet die Kurvengleichung in Polarkoordinaten ? Stellen Sie diese Funktionen im kartesischen und im Polarkoordinatensystem dar. 3

a)

y= 3˜ x 2

b)

2

2

x  y  4˜ x= 0

c)

y=x

2

Beispiel 3: Berechnen Sie r' und bestimmen Sie den Steigungswinkel <. Stellen Sie diese Funktionen grafisch dar. a)

r(M ) = 5 ˜ M

2

b)

r(M ) =

2 sin ( M )

Seite 432

Übungsbeispiele

3.2.14 Krümmung ebener Kurven Beispiel 1: Bestimmen Sie den Krümmungsmittelpunkt und den Krümmungsradius der gegebenen Funktionen: 2

2

3

3

y

2

a)

x

b)

x( t) = a ˜

=a

3

im Punkt P1 (a/2 | y 1 > 0)

2

t 1 2

t 1 im Punkt P1 (a/2 | y 1 < 0)

2

y( t) = a ˜ t ˜

t 1 2

t 1 Beispiel 2: Wie groß sind die Krümmung und Krümmungsmittelpunkte in einem beliebigen Punkt der gegebenen Funktion? Stellen Sie die Funktion, die Krümmung und die Krümmungsmittelpunkte in einem Koordinatensystem dar. a)

x

b)

y=e

x ( M ) = 2 ˜ cos ( M )

y ( M ) = 2 ˜ sin ( M )

Beispiel 3: Wie groß sind Krümmung und Krümmungsradius in einem beliebigen Punkt der gegebenen Funktion r(M) = 4 M ? Stellen Sie die Funktion, die Krümmung und die Krümmungsradien in einem Koordinatensystem dar.

3.2.15 Grenzwerte von unbestimmten Ausdrücken Beispiel 1: Bestimmen Sie folgende Grenzwerte: 2

a)

d)

lim

x 1

xo1 x 1

lim

sin ( 2 ˜ x) x

xo0

g)

lim xo0

( x ˜ ln ( 2 ˜ x) )



2

b)

e)

lim

x o 2 x2  3 ˜ x  10

lim

lim

x

c)

f)

x

xof e

h)

lim

e

xof x

lim

xof x 5

lim

x2  x

i)

lim

x ˜ e x

lim

x 



x

xof x

k)

x 2

xof

xof x

j)

x  3˜ x 2

e

x o f cosh ( x)

Seite 433

l)

lim xof

ln ( a ˜ x) 2

x b

Übungsbeispiele

Beispiel 2: Für die Auslenkung eines gedämpften Federpendels gilt:

y( t) =

v0 Z

 G ˜t

˜e

˜ sin ( Z ˜ t)

Z ... Kreisfrequenz, v0 ... Anfangsgeschwindigkeit, G ... Dämpfungsfaktor

Bei größer werdender Dämpfung G geht Z gegen null oder die Schwingungsdauer T gegen unendlich. Ermitteln Sie für diesen aperiodischen Grenzfall y(t). Beispiel 3: Für den freien Fall eines Körpers gilt unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes für die Fallgeschwindigkeit und den Fallweg:

v( s) =

m˜g k

 2˜k˜s · § ¨ m ˜ ©1  e ¹

s ( t) =

m k

§ ©

§ ©

˜ ln ¨ cosh ¨ t ˜

k ˜ g ·· m

¹¹

Leiten Sie durch den Grenzübergang von k o0 das entsprechende Gesetz für den freien Fall ohne Luftwiderstand her.

3.3 Kurvenuntersuchungen Beispiel 1: Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Nullstellen, Extremstellen und Wendepunkte, und stellen Sie die Funktionen grafisch dar. 2

a)

f ( x) = x  3 ˜ x  2

c)

g ( x) = x  2 ˜ x  5 ˜ x  8

3

2

3

2

4

3

b)

y = x  5 ˜ x  8 ˜ x  12

d)

y= x  2˜ x

Beispiel 2: Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Nullstellen, Extremstellen und Wendepunkte, und stellen Sie die Funktionen grafisch dar. a)

y= x 1

b)

f ( x) = x  2

2

Beispiel 3: Ermitteln Sie die Gleichung y = a x2 + b x + c einer Polynomfunktion 2. Grades mit Scheitel S(x | 2). Die Ableitungsfunktion dieser Funktion lautet: y' = 2 x + 1. Beispiel 4: Der Graph einer Polynomfunktion 3. Grades besitzt den Hochpunkt H(1 | 7) und der Wendepunkt W(2 | 4). Wie lautet die Funktion ? Beispiel 5: Der Graph einer Polynomfunktion 3. Grades besitzt einen Wendepunkt W(2 | 1) mit einer zur x-Achse parallelen Tangente und einen Punkt P(3 | 2). Wie lautet die Funktion ?

Seite 434

Übungsbeispiele

Beispiel 6: Gegeben ist die Gleichung der elastischen Linie eines beidseitig eingespannten Trägers mit einer Gleichlast q und einer Länge L. Bestimmen Sie die größte Durchbiegung, die Lage des Wendepunktes und die Steigung der Wendetangente. Stellen Sie das Problem grafisch dar. 3

y ( x) =

2

§ x · ˜ §1  ¨ 24 ˜ E ˜ I © L ¹ © q˜ L

˜¨

x·

2

L¹

q

L = 3˜ m

Annahme:

E˜I

= 0.007 ˜ m

4

Beispiel 7: Ein einseitig eingespannter Träger in A mit einfachem Auflager in B , gleichmäßig verteilter Belastung q und einer Länge L erfährt ein Biegemoment M(x). Gesucht ist die Lage und Größe des maximalen Biegemoments zwischen den Auflagern. Stellen Sie das Problem grafisch dar. M ( x) =

1 8

2

˜ q˜ L 

5 8

˜ q˜ L˜ x

1 2

2

˜ q˜ x

L = 4˜ m

Annahme:

q = 5˜ kN

Beispiel 8: Untersuchen Sie folgende Funktion auf Symmetrie, Nullstellen, Polstellen, Asymptoten, Lücken, Extremstellen und Wendepunkte und stellen Sie die Funktion grafisch dar. 2

a)

d)

y=

y=

3

x

b)

x 1

y=

3

x 1

c)

x

y=

e)

x 2

y=

2

x  5˜ x 4 2

x ˜ ( x  4)

2

x  5 ˜ x  8 ˜ x  16

3

1 x

f)

2

y=

1 x

x 8 2

2˜ x

Beispiel 9: Untersuchen Sie folgende Funktion auf Symmetrie, Nullstellen, Polstellen, Asymptoten, Lücken, Extremstellen und Wendepunkte und stellen Sie die Funktion grafisch dar. x

a)

y=

ln ( 2 ˜ x) x

b)

y = ( x  1) ˜ e

e)

y=

h)

y=

k)

y= 7˜ e

x

x

˜e

d)

y=

g)

y = x˜

j)

y= 5˜ e

2

2

4˜ x x

 4˜t

 2˜ e

e

2 x

2

2

x 4

t

x 4

 4˜t

e

Seite 435

1

c)

y=x

f)

y = x ˜ ln ¨

i)

y=

l)

y = e

x

2

t

2

x!0

2˜ x

§ 4· ©x¹

x x 2 t

 4˜t

 4˜ e

Übungsbeispiele

Beispiel 10: Berechnen Sie die Krümmung und den Krümmungsradius in x 0 . Stellen Sie den Krümmungskreis und die Funktion grafisch dar 2

1

a)

y=x

x0 = 0

b)

y=

d)

y = sin ( x)

S x0 = 2

e)

y = cosh ( x)

x

x0 = 1

c)

y=

x0 = 0

f)

y = tanh ( x)

x

x0 = 1 x0 = 1

Beispiel 11 Diskutieren Sie die standardisierte Normalverteilung im Intervall [- 3, 3]: 

1

M ( u) =

˜e

u

2

2

2S Beispiel 12: Die Kosten für die Herstellung eines bestimmten elektrischen Bauteils betragen in €: K(x) = 0.00001 x3 - 0.023 x2 + 24 x + 3300, 0 d x d 2000 Stück. a) Wie groß sind die Kosten für 1600 Bauteilen ? Wie groß sind in diesem Fall die durchschnittlichen Kosten pro Einheit ? b) Stellen Sie über die Grenzkosten fest, wie viel bei einer gegebenen Produktion von 200, 800 sowie 1500 Bauteilen die nächste produzierte Einheit kosten würde. Beispiel 13: Eine Firma stellt PKW-Anhänger her. Sie könnte wöchentlich bis zu 20 Anhänger herstellen. Die Kosten betragen (Geldeinheit = 100 €): K(x) = 0.1 x 3 - 2.5 x 2 + 25 x + 10, 0 d x d 20 Stück. a) Wie groß sind die durchschnittlichen Kosten bei der Herstellung von 8 Anhängern ? b) Stellen Sie mithilfe der Grenzkosten fest, was es der Firma zusätzlich kostet, wenn es die wöchentliche Produktion von 10 Anhängern auf 11 erhöht. Beispiel 14: Bestimmen Sie aus der Kostenfunktion K(x) die Gewinnschwellen und den optimalen Erfolg (max. Gewinn bzw. min. Verlust) für einen Verkaufspreis von a) 40 GE/ME , b) 2 0 GE/ME, c) 10 GE/ME. 3

2

K ( x) = x  10 ˜ x  40 ˜ x  50 Beispiel 15: Geg.:

3

2

K ( x) = 0.2 ˜ x  31 ˜ x  2250 ˜ x  40000

Kostenfunktion

n ( x) = 2550  x

Nachfragefunktion

a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung für den Erlös und Erfolg. b) Wo liegen die Gewinnschwellen und der maximale Gewinn ? c) Wo liegt die langfristige und die kurzfristige Preisuntergrenze ?

Seite 436

Übungsbeispiele

Beispiel 16: Gegeben ist ein gedämpftes Feder-Masse System. Das System beginne zur Zeit t = 0 s mit einer Geschwindigkeit v 0 = 20 cm/s zu schwingen. Die Eigenfrequenz betrage Z0 = 2 s-1. Untersuchen Sie den Schwingungsverlauf: 1

a)

G = 2˜ s

b)

G = 2.5 ˜ s

= Z0

1

 G ˜t

y ( t ) = v0 ˜ t ˜ e

aperiodischer Grenzfall

v0

y( t) = 2

 G˜t

˜e

§ ©

˜ sinh t ˜

2

G  Z0

2·

2

G  Z0

Kriechfall (aperiodischer Fall)

¹

Beispiel 17: Die augenblickliche Wechselstromleistung ist gegeben durch: p(t) = u(t) i(t). Untersuchen Sie für u(t) = U0 sin(Z t) und i(t) = I0 sin(Z t + M) den zeitlichen Verlauf von p(t) innerhalb einer Periode, wenn U0 = 5 V, I0 = 1 A, Z = 1 s-1 und M = 60° sind. Beispiel 18: Untersuchen Sie den Stromverlauf für R = 50 :, R = 200 : sowie für R = 250 :eines elektrischen Reihenschwingkreises mit L = 1 H und C = 100 PF. Zum Zeitpunkt t = 0 s beginnt sich der mit U0 = 100 V aufgeladene Kondensator zu entladen. G=

R 2˜ L

Dämpfungskonstante

1

Z0 =

Eigenfrequenz

L˜ C

G < Z0 : Schwingfall

i ( t) =

G = Z0 : Aperiodischer Grenzfall

i ( t) =

G > Z0 : Kriechfall (aperiodischer Fall)

i ( t) =

U0 L˜ Z U0 L

 G˜t

˜e

˜ sin ( Z ˜ t)

2

Z0  G

2

 G ˜t

˜t˜e

U0 L˜

Z=

2

 G˜t

˜e

˜ sin

2

G  Z0

§ G 2  Z 2 ˜ t· 0 © ¹

Beispiel 19: Untersuchen Sie den Stromverlauf für R = 50 :, R = 200 : sowie für R = 250 :eines elektrischen Reihenschwingkreises mit L = 1 H und C = 100 PF. Zum Zeitpunkt t = 0 s beginnt sich der mit U0 = 100 V aufgeladene Kondensator zu entladen. Beispiel 20: Die Festigkeit eines Stoffes ist durch seinen kristallinen Aufbau bedingt, wobei bei einem idealen Festkörper die Atome an genau definierten Punkten des Kristallgitters sitzen. Diese regelmäßige Anordnung verleiht dem Festkörper die charakteristischen Eigenschaften wie Härte und Festigkeit. Laborversuche zur Ermittlung der Materialeigenschaften sind bei der Prüfung eines Werkstoffes und bei der Qualitätskontrolle unerläßlich. Mit der Beugung von Röntgenstrahlen an Kristallgittern (1912 Max von Laue) kann der Werkstoff zerstörungsfrei geprüft werden. Dabei lässt sich die Strahlungsintensität nach der Formel I()) = Imax (sin()))2 /)2 berechnen. Zur Abschätzung der Werkstoffgüte (Auffinden etwaiger Störstellen) ist die Kenntnis des genauen Kurvenverlaufes unumgänglich. a) Zeigen Sie I(0) = Imax b) Nullstellen c) Beugungsmaxima d) Wie groß ist die Halbwertsbreite E, d.h. der Abstand der Wendepunkte e) Stellen Sie die Intensität im Bereich [- 4 S, 4 S] grafisch dar.

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Übungsbeispiele

3.4 Extremwertaufgaben Beispiel 1: Ein Rechteck hat einen Umfang von 20 cm. Welches dieser Rechtecke ergibt bei Rotation um die Seite b = x einen Zylinder mit maximalen Volumen ? Beispiel 2: Einer Kugel mit Radius r soll axial ein Zylinder mit maximalem Volumen eingeschrieben werden. Wie lauten die Maße dieses Zylinders ? Beispiel 3: Welcher Punkt P 0 des Funktionsgraphen y = x 2 - 9/2 hat vom Ursprung minimalen Abstand d ? Beispiel 4: Einem Kegel mit der kreisförmigen Grundfläche (r = 5 dm und H = 12 dm) soll ein Zylinder mit maximalen Volumen (Radius x und Höhe y) eingeschrieben werden. Welche Maße hat der Zylinder, und in welchem Verhältnis stehen Kegelvolumen und Zylindervolumen ? Beispiel 5: Ein Potentiometer mit R = R 1 + R2 ist an eine konstante Spannung U angeschlossen. Wie ist R3 zu wählen, sodass die von R 3 aufgenommene Leistung P 3 ein Maximum wird ?



2

2

p ˜ R3 ˜ U

u1

P3 R3 = = R3 R1 = 120 ˜ :





ª R   R  R ˜ p  p2 º 1 2 ¬ 3 ¼ R2 = 480 ˜ :

p=

R1  R2

U = 300 ˜ V

Beispiel 6: Gegeben ist ein Spannungsteiler. Wie ist der Widerstand Ra zu wählen, sodass die von R a aufgenommene Leistung P ein Maximum wird ?



2

2

P Ra = U ˜ I = I ˜ Ra =

U0 = 6 ˜ V

U0 ˜ Ra

Ra  Ri 2

Ri = 1 ˜ :

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R1

Übungsbeispiele

Beispiel 7: Durch zwei parallele Drähte im Abstand a = 5 cm fließen die gegensinnigen Ströme I 1 = 2 A und I2 = 2.5 A. In welchem Punkt ist die magnetische Feldstärke H = H 1 + H2 minimal ? I

H=

2˜ S ˜ r

magnetische Feldstärke für einen Leiter

Beispiel 8: In einem Wechselstromkreis sind ein ohmscher Widerstand R, eine Induktivität L und eine Kapazität C in Serie geschaltet. Beim Anlegen einer Wechselspannung mit dem Effektivwert U und der Kreisfrequenz Z fließt ein Wechselstrom mit dem Effektivwert U I= . Bei welcher Kreisfrequenz Z ist I am größten ? 1 · 2 § R  ¨Z ˜ L  Z ˜ C¹ © Beispiel 9: Der Wirkungsgrad eines Transformators ist gegeben durch: P M ( P) = (Pt 0 W). 5 1 2 ˜W ˜P 250 ˜ W  P  6 ˜ 10 Bei welcher vom Transformator abgegebenen Leistung P ist der Wirkungsgrad am größten ? Beispiel 10: Eine Lampe mit der Lichtstärke I befindet sich in einer Höhe h über dem Punkt A auf einem Schreibtisch. Die Beleuchtungsstärke E im Punkt P auf dem Schreibtisch soll möglichst groß sein. Bestimmen Sie die optimale Höhe h, für die die Beleuchtungsstärke möglichst groß ist.

E=I˜

sin ( M ) 2

r

a = 50 ˜ cm

Beispiel 11: Durch eine Düse austretender Wasserstrahl trifft mit einer Geschwindigkeit w auf das Schaufelrad einer Pelton-Turbine und gibt dabei seine kinetische Energie an das Schaufelrad ab. Das Laufrad hat im Schaufelbereich eine Umfangsgeschwindigkeit u. Für die abgegebene Leistung des Wasserstrahls gilt: P ( u) = U ˜ A ˜ ( 1  cos ( D ) ) ˜ w ˜ ( w  u) ˜ u . Dabei ist U die Dichte des Wassers, A der Austrittsquerschnitt der Düse und D der Umlenkungswinkel des Wasserstrahls. Für welche Umfangsgeschwindigkeit u ist P am größten ?

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Übungsbeispiele

Beispiel 12: Für die Dimensionierung eines Heißwasserspeichers ist die Temperaturabhängigkeit der spezifischen Wärme c(t) von Wasser erforderlich: J J J 2 c ( - ) = 4212.5 ˜  2.117 ˜ ˜ -  0.0311 ˜ ˜ - , 0°C d - d 50°C. 2 3 kg ˜ °C kg ˜ °C kg ˜ °C Wo hat c(t) einen Extremwert ? Beispiel 13: Für den Bau von Sonnenkollektoren ist die Kenntnis der Energieverteilung E der Sonnenstrahlung in Abhängigkeit der Wellenlänge O des Sonnenlichts von Bedeutung. Den Zusammenhang zwischen der Wellenlänge intensivster Sonnenstrahlung Omax und der dazugehörigen Temperatur T beschreibt das sogenannte Wiensche Verschiebungsgesetz: Omax T = b. Die Konstante b ist zu bestimmen. Das Emissionsvermögen E(O) eines schwarzen Körpers ergibt sich aus dem Planckschen Strahlungsgesetz:

· § c˜h c ˜ h ¨ k˜O ˜T E (O ) = ˜ ©e  1¹ 5

1

2

.

O

3.10 8

c= m/s ... Vakuumlichtgeschwindigkeit ; h = 6.626 . 10 k = 1.387 . 10 - 23 JK-1 ... Boltzmann Konstante.

- 34

Js ... Plancksches Wirkungsquantum

a) Bestimmen Sie Omax, d.h. jenes O für das E maximal wird; c˜h , k˜O˜T b) Berechnen Sie die Konstante b im Wienschen Verschiebungsgesetz, c) Berechnen Sie die Wellenlänge intensivster Sonnenstrahlung (T = 6000 K), d) Stellen Sie E(O) für T = 3000K, 4000K, 5000K und 6000K in einem Koordinatensystem dar (O = 0 nm ... 2000 nm). Hinweis: eventuell Substitution x =

Beispiel 14: Eine Eisenschraube mit der Reibungszahl P = tan(M) = 0.2 und dem Steigungswinkel D besitzt den Wirkungsgrad K=

tan ( D )

. tan ( D  M ) Bestimmen Sie den Steigungswinkel, bei dem der Wirkungsgrad maximal wird. Stellen Sie das Problem im Bereich 0° d D d 60° grafisch dar.

Seite 440

Übungsbeispiele

Beispiel 15: Wie muss ein Balken mit rechtwinkeligen Querschnitt der Länge L und dem Durchmesser d sein, damit seine Tragfähigkeit F ein Maximum wird ? Die Tragkraft ist vom Widerstandsmoment W abhängig: 2

F ˜ L = W ˜ Vb

F ( b  h) =

Vb ˜ W L

und

W=

b˜ h 6

2

=

Vb ˜ b ˜ h 6˜ L

Beispiel 16: An welcher Stelle x  [0, L] ist das Biegemoment M(x) eines Balkens mit zwei Stützen im Abstand L am größten, wenn a) M(x) = q/2 (L - x) x (kostante Streckenlast q), b) M(x) = q/6 x (L - x2 /L) (Dreieckslast, die von 0 auf den Wert q linear steigt; x ist der Abstand vom linken Auflager) Beispiel 17: Eine Sammellinse mit der Brennweite f erzeugt von einem Gegenstand G ein reelles Bild B. es gilt: 1/f = -1/g +1/b (g ... Gegenstansweite, b ... Bildweite). Wo müssen G und B liegen, damit e = - g + b möglichst klein wird ? Beispiel 18: In der kinetischen Gastheorie spielt die Maxwell-Verteilung M(c) eine wichtige Rolle. Berechnen Sie das Maximum der Funktion für die Konstante D = 1. c

M (c) =

4 S

˜

c

2

D

3

˜e

D

2

2

3.5 Das Differential einer Funktion Beispiel 1: Berechnen Sie das Differential der Funktion an der Stelle x 0 : 3

1

a)

f ( x) = 2 ˜ x  x

x0 = 2

b)

y=

c)

g ( x) = cos ( x)

S x0 = 3

d)

y=e

x0 = 1

e)

g ( x) = x ˜ ln ( x

x0 = 1

f)

y = sinh ( x)

x0 = 2

1  2˜ x 2˜x

Seite 441

x0 = 2

Übungsbeispiele

3.5.1 Angenäherte Funktionswertberechnung Beispiel 1: Berechnen Sie 'y und dy für: 2

x 3

a)

f ( x) =

b)

y=

c)

y = cos ¨ 2 ˜ x 

2

x 1 x 1

§ ©

S· 2¹

x0 = 1

dx = 0.01

und

dx = 2

x0 = 2

dx = 0.05

und

dx = 0.1

x0 = 0

dx = 0.02

und

dx = 0.2

Beispiel 2: Berechnen Sie mit der Linearisierungsformel : 3

2

a)

f ( x) = x  2 ˜ x  4

b)

y = sin ( 30.2°)

für

x = 2.05

Beispiel 3: Berechnen Sie mit dem Mittelwertsatz : a)

f ( x) = lg ( 9.92)

b)

y = sin ( 10.1°)

Beispiel 4: Berechnen Sie näherungsweise: 2

a)

0.95

f)

e

0.07

3

b) g)

2

1.09

c)

5.1

d)

sin ( 0.01)

e)

cos ( 87.9°)

tan ( 3.94°)

Beispiel 5: Beim Erwärmen einer Kugel mit einem Durchmesser von 20.0 cm vergrößert sich dieser um 1 mm. Berechnen Sie die Volumszunahme exakt und in der Näherung durch das Differential. Beispiel 6: Der elektrische Widerstand eines Heizkörpers, der an eine Spannung von U = 230 V angeschlossen ist, beträgt R = 75 :. Um wie viel Prozent ändert sich der durchfließende Strom I = U/R, um wie viel die Leistung P = U 2 /R, wenn die Spannung um 5 V abfällt ? Beantworten Sie die Fragestellung exakt und in der Näherung durch das Differential. Beispiel 7: Ein ungedämpfter elektrischer Schwingkreis besteht aus Kondensator der Kapazität C = 5 PF und einer Spule der Induktivität L = 0.2 H. Die Schwingungsdauer T für die Stromstärke i(t) wie auch für die Kondensatorspannung uC beträgt nach der Thomson-Formel T = 2 ˜ S ˜ L ˜ C . Berechnen Sie exakt und in der Näherung durch das Differential die Änderung von T, wenn sich C um 0.1 PF sowie um 0.5 PF ändert (L bleibt konstant).

Seite 442

Übungsbeispiele

3.5.2 Angenäherte Fehlerbestimmung Beispiel 1: Die Kante eines Würfels misst a = 13.60 cm r0.5 mm. Wie groß sind der absolute und der relative Maximalfehler des Volumens ? Bestimmen Sie die Fehler auch exakt mithilfe der Wertschranken. Beispiel 2: Für die Fallhöhe h eines Körpers wurde 50.0 m gemessen, wobei ein Fehler von r0.5 m für möglich gehalten wird. Wie groß sind der absolute und der relative Maximalfehler für die Aufschlagsgeschwindigkeit v, wenn v = 2 ˜ g ˜ h gilt ? Beispiel 3: Für kleine Ausschläge eines mathematischen Pendels mit der Pendellänge l gilt für die Schwingungsdauer: l

T = 2˜ S ˜

g

. berechnen Sie den relativen Maximalfehler von T, wenn 'l der Messfehler von l ist.

Beispiel 4: Wie groß ist die Kapazität einer geladenen Kugel vom Radius r = 10.00 cm r0.05 cm, wenn C = 4 S H0 r gilt und H0 = 8.86 10-14 As/Vcm ist ? Beispiel 5: Wie groß ist der Leitwert G, wenn der Widerstand mit R = (650 r5) : gemessen wird ? Beispiel 6: Das Volumen eines Würfels soll durch Messung seiner Seitenkante auf 3% genau bestimmt werden. Wie groß darf in diesem Fall die prozentuelle Messunsicherheit der Seitenkante höchstens sein ?

3.6 Näherungsverfahren zum Lösen von Gleichungen 3.6.1 Das Newton-Verfahren Beispiel 1: Bestimmen Sie die Lösungen der folgenden Gleichungen auf drei Nachkommastellen: 3

3

a)

x  x 1=0

b)

x  3˜ x 3 = 0

d)

x  ln ( x) = 0

e)

x=e

g)

x  ln ( x) = 2

h)

e

j)

x ˜e

k)

2  x=2

2

2

x

=1

x

x

=

x 3

 0.8

x

2

x  3˜ x  1 = 0

f)

x = 1  sin ( x)

i)

2

l)

Seite 443

4

c)

x

1 x

§x· = 3 © 2¹

 sin ¨

˜ lg ( x) 

x 1=2

Übungsbeispiele

Beispiel 2: Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden Gleichungen auf drei Nachkommastellen genau und faktorisieren Sie danach das Polynom: a)

3

2

x  4˜ x  x 5 = 0

3

2

x  x  10 ˜ x  5 = 0

b)

c)

3

2

0.5 ˜ x  x  3 ˜ x  1 = 0

Beispiel 3: Auf ein Sparbuch werden zu Beginn jeden Jahres K 0 = 1000 € eingezahlt. Wie groß ist die Verzinsung p (in % auf zwei Nachkommastellen genau), wenn das Endkapital beträgt: a) K 3 = 3215 € nach 3 Jahren, b) K 9 =9085 € nach 9 Jahren. n

q 1 Kn = K0 ˜ q ˜ mit q = 1 - p/100. q 1 Beispiel 4: Gegeben ist die Kostenfunktion eines Betriebes mit K(x) = x 3 - 14 x2 + 90 x + 145. a) Bei welcher Stückzahl sind die Durchschnittskosten K(x)/x am Geringsten (Betriebsoptimum) ? b) Bestimmen Sie die Gewinnschwellen, wenn zwischen Preis und abgesetzter Warenmenge x die Beziehung p = 155 - 9 x angenommen wird. Beispiel 5: Ein liegender zylindrischer Öltank faßt V = 2500 l Öl. Wie hoch steht das Öl, wenn V 1 = 1500 l eingefüllt sind ? Beispiel 6: Ein halbkugelförmiger Behälter mit dem Radius r = 50 cm wird mit Wasser gefüllt. Wie hoch ist der Wasserstand im Behälter, wenn 50% des Gesamtvolumens eingefüllt werden.

3.6.2 Das Sekantenverfahren (Regula Falsi) Beispiel 1: Bestimmen Sie die Lösungen der folgenden Gleichungen auf drei Nachkommastellen: 3

a)

x  x 1=0

d)

g)

2

b)

x  ln ( x) = 2

sin ( 2 ˜ x) = 1  x

e)

cos ( 2 ˜ x) = x  1

2 ˜ x = tan ( x)

x [1, 2]

2

2

2

c)

x 

f)

2 =1x

h)

tan ( D )  0.25 = 0.5 ˜ sin ( D )

x=4

x

D [0°, 60°]

Beispiel 2: Ein Leitungsseil ist in einer Höhe h = 8.0 m auf zwei Masten befestigt, die voneinander einen Abstand von 50.0 m haben. Die Seilkurve ist durch y = a cosh(x/a) + b gegeben. Berechnen Sie a, wenn der größte Seildurchhang 1.5 m beträgt.

Seite 444

Übungsbeispiele

Beispiel 3: Der Rauminhalt eines geraden Zylinders beträgt V = 2065 cm 3 , die Oberfläche O = 1364 cm 2 . Berechnen Sie den Durchmesser d und die Höhe h des Zylinders. Beispiel 4: Von einem Kugelabschnitt sind V = 305 cm 3 und r = 8.5 cm gegeben. Berechnen Sie die Höhe h des Kugelabschnittes. Beispiel 5: Ein Ball wird in 2.00 m Höhe über dem Erdboden mit einer Anfangsgeschwindigkeit v 0 = 20.0 m/s unter einem Winkel D schräg nach oben geworfen. Welcher Abwurfwinkel D muss gewählt werden, um einen Punkt P(14.0 m | 8.0 m) zu treffen ? 2

y = h  x ˜ tan ( D ) 

g˜ x 2

2 ˜ v0 ˜ cos ( D )

2

. Wie viele Lösungen gibt es und welche davon sind relevant ?

Der Koordinatenursprung befindet sich unter dem Abwurfpunkt. Beispiel 6: Eine Siliziumschaltdiode wird an eine Gleichspannungsquelle U 0 = 2 V angeschlossen. Für die k˜T I · § ˜ ln ¨ 1  . Für eine bestimmte Diode Driftspannung der Diode gilt der Zusammenhang U ( I ) = e I0 © ¹ k˜T = 0.02424 ˜ V und I0 = 20 ˜ PA . Mithilfe des Vorwiderstandes R = 10 : lässt sich nun der gilt: e sogenannte Arbeitspunkt A(U D|ID) der Diode einstellen. Dieser kann ausgehend von der Maschenregel U0 = I R + U bestimmt werden. Stellen Sie die Driftspannung I = f(U) und die Gerade U I  = 1 grafisch dar und bestimmen Sie den Arbeitspunkt A (Schnittpunkt beider Kurven). U0 U0 R

3.7 Interpolationskuven Beispiel 1: Interpolieren Sie die Funktion y =

x zwischen den Stützstellen x 0 = 1 und x 2 = 2 durch eine

1.45 . lineare Funktion und berechnen Sie damit näherungsweise An welcher Stelle zwischen 1 und 2 ist der absolute Fehler betragsmäßig am größten ? Beispiel 2: Berechnen Sie aus der Kenntnis von ln(1.2) und ln(2) durch lineare Interpolation näherungsweise ln(1.5) und berechnen Sie den absoluten Fehler. An welcher Stelle zwischen 1.2 und 2 ist der absolute Fehler betragsmäßig am größten ? Beispiel 3: Bestimmen Sie ein geeignetes Interpolationspolynom, wenn folgende Stützpunkte gegeben sind: a) P0 (0.4|8.16), P1 (1.2|8.56),P2 (2.8|11.28) b) P0 (0.8|1.00), P1 (1.2|5.76),P2 (2.6|10.66), P3 (2.8|12.20)

Seite 445

Übungsbeispiele

Beispiel 4: Der Kraftstoffverbrauch eines PKW pro 100 km wurde für drei Geschwindigkeiten gemessen: 6.0 l bei 70km/h, 7.1 l bei 90 km/h und 9.9 l bei 120 km/h. Berechnen Sie durch quadratisch Interpolation näherungsweise den Treibstoffverbrauch für eine Geschwindigkeit von 100 km/h. Beispiel 5: Nähern Sie die Funktion y = sin(x) im Intervall [0, S/2] zu den Stützstellen 0, S/4, S/2 durch ein geeignetes Interpolationspolynom und vergleichen Sie den interpolierten Wert und den wahren Wert zu x = S/3. Beispiel 6: Ermitteln Sie den kubischen Spline zu den Stützpunkten: a) P0 (0|1), P1 (1|0),P2 (2|0) b) P0 (0|0), P1 (1|1),P2 (2|2), P3 (3|2) c) P0 (0|0), P1 (2|1),P2 (3|2), P3 (5|0) Beispiel 7: Im CAD werden sogenannte Bezier-Kurven verwendet, die eine schnelle Beeinflussung ihrer Form durch wenige Punkte erlauben. Es handelt sich dabei um eine Parameterdarstellung von Kurven, die analog zur Spline-Interpolation stückweise durch Polynome etwa vom Grad 3 erfolgt. Gegeben sei das folgende Bezier-Kurvenstück: o §4 · 3 §5 · 3 §1 · 2 §2 · 2 x = ( 1  t) ˜ ¨  3 ˜ t ˜ ( 1  t) ˜ ¨  3 ˜ t ˜ ( 1  t) ˜ ¨ t ˜¨ , 0 d t d 1. ©1 ¹ ©3 ¹ ©5 ¹ ©1 ¹ Die Kurve ist durch die Punkte P0 (1|1), P1 (2|3),P2 (4|5) und P3 (5|1) gesteuert. Zeigen Sie: a) Die Punkte P0 und P3 sind Punkte der Kurve. b) Die Tangente in P0 ist die Gerade durch P0 und P1 , in P3 die Gerade durch P2 und P3 . c) Stellen Sie die Kurve grafisch dar. Wie liegt die Kurve im Viereck P 0 , P1 , P3 , P4 ?

3.8 Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen 3.8.1 Allgemeines Beispiel 1: Stellen Sie folgende Funktionen grafisch dar: 2

a)

z = 4 ˜ x  y  5

d)

z=

2

x

2˜ 3

y

2˜ 4

2

4x y

b)

z=

e)

z=x y

2



2

2

2

x c)

f)

Seite 446

2

a

2



y

2



b

z c

2 2

§ x· © y¹

z = x ˜ sin ¨

a=2

b=4

c=1

a=1

b=1

c=1

=1

Übungsbeispiele

3.8.2 Partielle Ableitungen Beispiel 1: Bilden Sie die ersten und zweiten partiellen Ableitungen: 3

3

2

2

a)

z=x y

b)

z = x  3˜ x˜ y  y

d)

z = x ˜ cos ( y)  y ˜ cos ( x)

e)

z=e

x˜y

4

3

c)

f ( u  v) = 4 ˜ u  5 ˜ u ˜ v  7 ˜ v  2

f)

z = arctan ¨

§ y· © x¹

Beispiel 2: Bestimmen Sie y ' = dy/dx aus folgenden impliziten Funktionen: 2 2

2

3

3

a)

x  y  4˜ x 6˜ y= 0

c)

x  y  2˜ a˜ x˜ y = 0

im Punkt P(a|a)

3

2

y

3

2 3

b)

x

d)

x ˜ y  e ˜ sin ( y) = 0

=a

x

Beispiel 3: Bestimmen Sie 2

w wx

2

z und

w wy

z aus folgenden impliziten Funktionen:

2

a)

x  y  z  6˜ x= 0

c)

3 ˜ x  4 ˜ y  5 ˜ z = 60

2

2

2

2

b)

z = x˜ y

d)

x˜ y˜ z = a

3

Beispiel 4: Bestimmen Sie

d

z aus folgenden Funktionen:

dt 2

2

a)

z = x  x˜ y  y

c)

z=

y

x=t

y=t 2˜t

t

y=1 e

x=e

x

2

2

2

x y

b)

z=

d)

u=x ˜y

2

2

x = sin ( t) x= 2˜ t

3

y = cos ( t) y= 3˜ t

2

Beispiel 5: Bei Deformation eines geraden Zylinders vergrößerte sich dessen Radius r = 2 dm auf 2.05 dm, und die Höhe h verringerte sich von 10 dm auf 9.8 dm. Ermitteln Sie näherungsweise die Änderung des Volumens V nach 'V | dV. Beispiel 6: Bestimmen Sie

w wu

z und

w wv

z aus folgenden Funktionen:

2

x

a)

z=

c)

z=e

y x˜y

x= u  2˜ v 2

x= s  2˜ s˜ t

y= v 2˜ u

2

y= 2˜ s˜ t  t

2

z = x  2˜ y

b) 2

Seite 447

x= 3˜ u  2˜ v

y= 3˜ u  2˜ v

Übungsbeispiele

Beispiel 7: Bestimmen Sie die vollständigen Differentiale von: 2

z=x ˜y

a)

b)

z=

d)

z=

x˜ y x y

s

c)

u=e

t

2

2

x y

Beispiel 8: Bestimmen Sie den Wert des vollständigen Differentials: z=

y

x=2

x

'x = 0.1

y=1

'y = 0.1

Beispiel 9: Berechnen Sie dz und 'z = f(x+'x,y+'y) - f(x,y) für: z = x˜ y

x=5

'x = 0.1

y=4

'y = 0.2

Beispiel 10: Ein Hohlzylinder besitzt die Radien r = 6.00 cm und R = 8.00 cm sowie die Höhe h = 18 cm. Wie ändert sich sein Volumen, wenn wir den Innenradius um 0.20 cm vergrößern, den Außenradius um 0.10 mm verkleinern und die Höhe um 0.30 cm vergrößern ? Berechnen sie die Änderung exakt und mithilfe des totalen Differentials. Beispiel 11: Berechnen Sie die prozentuelle Änderung der Schwingungsdauer T = 2 ˜ S ˜ L ˜ C einer ungedämpften elektromagnetischen Schwingung, wenn wir die Induktivität L um 4% vergrößern und die Kapazität C um 2% verkleinern. Beispiel 12: Die Leistung P, die in einem elektrische Widerstand R verbraucht wird, ist durch P = U 2 /R in W gegeben. Die Spannung beträgt U = 220 V und der Widerstand R = 8 :. Wie stark ändert sich die Leistung, wenn U um 5 V und R um 0.2 : abnehmen ? Beispiel 13: Bestimmen Sie die Extremstellen der folgenden Funktionen: 2

2

2

2

a)

z = f ( x  y) = x  x ˜ y  y  10 ˜ x  5 ˜ y

b)

z = f ( x  y) = x  x ˜ y  y  9 ˜ x  6 ˜ y  20

c)

z = f ( x  y) = x  8 ˜ y  6 ˜ x ˜ y  1

3

x

d)

z = f ( x  y) = e

2

3



2

˜ x y

Seite 448

Übungsbeispiele

Beispiel 14: Einer Ellipse ist ein Rechteck größten Flächeninhalts einzuschreiben. Bestimmen Sie diesen Flächeninhalt. 2

x

2

a

2



y

2

Ellipsengleichung

=1

b

3.9 Fehlerrechnung Beispiel 1: Berechnen Sie z bzw. f unter Angabe des absoluten und des relativen Maximalfehlers a) mittels Differentials, b) mittels Fehlerfortpflanzungsgesetz und c) mithilfe der Wertschranken: a) b)

2

z=S˜r ˜h

r = (5 r 0.05) dm, h = (12 r 0.1) dm

1

g = (3.92 r 0.01) cm, b = ( 2.41r 0.02) cm

f

=

1 g



1 b

Beispiel 2: Der Durchmesser einer Kugel wurde mit d = (13.2 r 0.1) cm und die Dichte mit U = (7.8 r 0.1) g cm-3 gemessen. Berechnen Sie die Masse m unter Angabe des absoluten und des relativen Maximalfehlers a) mittels Differentials, b) mittels Fehlerfortpflanzungsgesetz und c) mithilfe der Wertschranken. Beispiel 3: Wie groß ist der Flächeninhalt A unter Angabe des absoluten und des relativen Maximalfehlers eines Kreisausschnittes, wenn r = (72.5 r 0.1) cm und D = (152 r 1)° gemessen wurden? Beispiel 4: Wie groß ist der Flächeninhalt A unter Angabe des absoluten und des relativen Maximalfehlers eines Kreisabschnittes, wenn r = (8.2 r 0.05) cm und D = (126 r 1)° gemessen wurden? Beispiel 5: 2

S˜h

˜ ( 3 ˜ r  h) . Berechnen Sie das Volumen V mit 3 Angabe des maximalen Fehlers, wenn h = (54.0 r 0.5) mm und r = (48.0 r 0.5) mm ist. Für das Volumen eines Kugelabschnittes gilt V =

Beispiel 6: Für die Brechzahl n einer Glassorte gilt n = sin( D)/sin(E). Berechnen Sie den relativen Maximalfehler der Brechzahl, wenn der Einfallswinkel D = (35 r 1)° und der Brechungswinkel E = (23 r 1)° gemessen wurde. Beispiel 7: In einem Gleichstromkreis wurden U = (220 r 1.5) V und I = (1.23 r 0.01) A gemessen. Wie groß ist der Widerstand R und dessen relativer Maximalfehler ?

Seite 449

Übungsbeispiele

Beispiel 8: Bei der Widerstandsmessung mit der Wheatstone'schen Messbrücke ergibt sich der zu bestimmende x , wobei R = (1000 r 1) : der bekannte Widerstand und Widerstand aus Rx = R ˜ 1000  x x = (765.8 r 0.3) die Maßzahl der am Maßstab abgelesenen Länge in mm sind. Wie groß ist der Widerstand Rx und dessen relativer Maximalfehler ? Beispiel 9: Bei einem Plattenkondensator wurden A = (83.2 r 0.1) cm 2 und d = (0.15 r 0.01) cm gemessen. Wie groß ist die Kapazität C und dessen relativer Maximalfehler, wenn C durch C = 0.0866 A/d in pF gegeben ist ? Beispiel 10: Bei einer Serienschaltung von zwei Widerständen in einem Gleichstromkreis wurden R 1 = (78 r 1) :, R2 = (54 r 1) : und U = (220 r 3) gemessen. Wie groß ist die Stromstärke I und deren relativer Maximalfehler ?

3.10 Ausgleichsrechnung Beispiel 1: Wir haben Messdaten (Temperatur Ti, Spannung Ui) eines linearen Temperaturmessfühlers aufgenommen und suchen eine lineare Funktion U( T) = k T+d, die diesen Zusammenhang bestmöglich beschreibt. Messdaten: T

T  ( 23.4 17 0 15.4 28 40.1 56.6 70.1 90 )

T

U  ( 2.808 2.869 3.057 3.243 3.398 3.555 3.788 3.985 4.307 )

Die Messwerte verlaufen nur annähernd linear und haben einen leicht parabolischen Anteil. Aus diesem Grund wählen Sie drei Ausgleichsfunktionen F 0(-)=1, F1(-)=-, F2(-)=- 2 als Fitfunktionen und versuchen Sie jene Linearkombination u(-)=a0F0(-)+a1F1(-)+a2F2(-) zu finden, die am besten zu den Messpunkten passt (optimale Parabel). Stellen Sie die Messpunkte, die lineare und die parabolische Ausgleichskurve zum Vergleich in einem Koordinatensystem dar. Bestimmen Sie die Fehler bei linearer und bei polynomialer Regression. Beispiel 2: O ˜t

Die Vermehrung von Bakterien erfolgt nach dem Gesetz P ( t ) = P0 ˜ e Messreihe vor:

§ 1.336 · ¨ ¨ 0.63 ¸ ¨ 0.612 ¸ t ¨ ¸ ¨ 0.217 ¸ ¨ 1.702 ¸ ¨ © 0.31 ¹

§ 23.042 · ¨ ¨ 8.02 ¸ ¨ 8.406 ¸ P ¨ ¸ ¨ 3.413 ¸ ¨ 37.837 ¸ ¨ © 6.552 ¹

. Für P und t liegt folgende

Stellen Sie zuerst die Messpunkte in einem ordinatenlogarithmischen Papier dar.

Seite 450

Übungsbeispiele

Logarithmieren Sie das Gesetz P = P 0 e O.t . Dieses ist nun mit linearer Regression p = p0 + O.t bearbeitbar. Bestimmen Sie den Korrelationskoeffizienten. Stellen Sie die optimale Gerade und die Originalfunktion jeweils in einem Koordinatensystem dar Beispiel 3: Die Abkühlung einer Probe bei einer Umgebungstemperatur von 20 °C beginnt zur Zeit t = 0 min. Danach messen wir folgende Temperaturen zu den angegebenen Zeitpunkten: T

t  ( 12 20 40 60 80 )

min T

-  ( 141 120 89 65 50 )

°C

Stellen Sie zuerst die Messpunkte in einem ordinatenlogarithmischen Papier dar.

Für die zeitliche Temperaturabnahme der Probe wird das Newtonsche Abkühlungsgesetz







t W

- = 20 ˜ °C  - 0  20 ˜ °C ˜ e angenommen. Ermitteln Sie durch eine geeignete Ausgleichsrechnung die Anfangstemperatur -0 und die Zeitkonstante W. Beispiel 4: Nachfolgende Messdaten (x i,yi) wurden aufgenommen, die zuerst fast linear ansteigen und dann eine Sättigung zeigen. Aus diesem Grund wählen wir zwei Ausgleichsfunktionen F1 (x)=x/(1+x), F2 (x)=1-e-2x mit demselben Verhalten als Fitfunktionen. Suchen Sie jene Linearkombination f(x)=a 1 F1 (x)+a2 F2 (x), die am besten zu den Messpunkten passt und stellen Sie die Messdaten und die Fitfunktion grafisch dar.

§0 · ¨ ¨1 ¸ ¨2 ¸ x ¨ ¸ ¨3 ¸ ¨4 ¸ ¨ ©5 ¹

§ 0 · ¨ ¨ 0.52 ¸ ¨ 0.75 ¸ y ¨ ¸ ¨ 0.88 ¸ ¨ 0.92 ¸ ¨ © 0.98 ¹

Messdaten

Beispiel 5: Nachfolgende Messdaten (x i,yi) wurden aufgenommen. Gesucht ist der beste lineare Ausgleich, der mit den Funktionen z, z 2 und ln(z) gefunden werden kann. Also: g(z) = a .z + b.z 2 + c . ln(z) mit unbestimmten Koeffizienten a, b, c !

§¨ 3.113 · ¨ 3.433 ¸ ¨ 4.219 ¸ ¸ ¨ ¨ 4.253 ¸ ¨ 4.533 ¸ x ¸ ¨ ¨ 4.709 ¸ ¨ 5.235 ¸ ¸ ¨ ¨ 5.515 ¸ ¨ 6.865 © ¹

§¨ 6 · ¨ 8 ¸ ¨ 12.5 ¸ ¸ ¨ ¨ 13 ¸ ¨ 14 ¸ y ¸ ¨ ¨ 15.5 ¸ ¨ 20 ¸ ¸ ¨ ¨ 22.5 ¸ ¨ 36 © ¹

Messdaten

Seite 451

Übungsbeispiele

Beispiel 6: Nachfolgende Messdaten (x i,yi) liegen annähernd auf einer Hyberbel. Gesucht ist die beste Fitfunktion mit x y = b bzw. zum Vergleich b x y + d x + f y = 1 D 0

1

0

0.01

0.99

1

0.01

0.94

2

0.01

0.9

3

0.01

0.86

Messdaten

Beispiel 7: E 1

Nachfolgende Messdaten (x i,yi) liegen annähernd auf der Funktion F1 ( x  D  E ) = D ˜ E ˜ x



Gesucht sind die Parameter D und E in der Form, dass sich F1 optimal den Messpunkten anpasst.

§ 0.132 · ¨ ¨ .322 ¸ ¨ .511 ¸ ¸ ¨ ¨ .701 ¸ ¨ .891 ¸ ¸ ¨ ¨ 1.081 ¸ ¨ 1.27 ¸ ¸ ¨ ¨ 1.46 ¸ ¨ 1.65 ¸ ¸ ¨ 1.839 ¸ ¨ x ¨ 2.029 ¸ ¸ ¨ ¨ 2.219 ¸ ¨ 2.409 ¸ ¸ ¨ ¨ 2.598 ¸ ¨ 2.788 ¸ ¸ ¨ ¨ 2.978 ¸ ¨ 3.167 ¸ ¸ ¨ ¨ 3.357 ¸ ¨ 3.547 ¸ ¨ © 3.737 ¹

§ .1 · ¨ ¨ .258 ¸ ¨ .543 ¸ ¸ ¨ ¨ .506 ¸ ¨ .606 ¸ ¸ ¨ ¨ .622 ¸ ¨ .569 ¸ ¸ ¨ ¨ .453 ¸ ¨ .438 ¸ ¸ ¨ .316 ¸ ¨ y ¨ .29 ¸ ¸ ¨ ¨ .195 ¸ ¨ .137 ¸ ¸ ¨ ¨ .09 ¸ ¨ .026 ¸ ¸ ¨ ¨ .032 ¸ ¨ .032 ¸ ¸ ¨ ¨ .021 ¸ ¨ .016 ¸ ¨ © .021 ¹

Messdaten

Seite 452

E

˜ exp D ˜ x



Übungsbeispiele

Beispiel 8: Bei einem Motor wurde die Leistung in kW in Abhängigkeit von der Drehzahl pro Minute (U/ min) gemessen. Es ergaben sich folgende Messpaare: T

n  ( 1400 2000 2600 3200 3600 ) T

P  ( 17.6 30.8 39.2 46.5 50.1 )

U/min kW

Wie lautet die Ausgleichsgerade ? Welche Leistung ist bei einer Drehzahl von 3000 U/min zu erwarten ? Bei welcher Drehzahl is t eine Leistung von 34 kW zu erwarten ? Beispiel 9: Für die Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes R in : eines Metalles gilt in guter Näherung R = R20 + D R20 '-, wobei R 20 der Widerstand bei 20 °C, D der Temperaturkoeffizient und '- = - - 20 °C die Temperaturänderung bezogen auf 20 °C ist. Folgende Messpaare liegen vor:

§0 · ¨ ¨1 ¸ ¨2 ¸ - ¨ ¸ ¨3 ¸ ¨4 ¸ ¨ ©5 ¹

§ 0 · ¨ ¨ 0.52 ¸ ¨ 0.75 ¸ R ¨ ¸ ¨ 0.88 ¸ ¨ 0.92 ¸ ¨ © 0.98 ¹

Ermitteln Sie die Ausgleichsgerade und daraus den Temperaturkoeffizienten D

Beispiel 10: Der Spannungsverlauf bei der Kondensatorentladung folgt dem Gesetz u(t) = U 0 e -t/W ,wobei U0 die Anfangsspannung und W = R C die Zeitkonstante ist. Zur Bestimmung der Zeitkonstanten W wurden folgende Daten gemessen:

§ 0.09 · ¨ ¨ 0.21 ¸ ¨ 0.36 ¸ t ¨ ¸˜s ¨ 0.65 ¸ ¨ 0.90 ¸ ¨ © 1.15 ¹

§ 4.27 · ¨ ¨ 3.21 ¸ ¨ 2.58 ¸ u ¨ ¸˜V ¨ 1.32 ¸ ¨ 0.85 ¸ ¨ © 0.54 ¹

Ermitteln Sie durch eine Ausgleichsrechnung die Zeitkonstante W.

Beispiel 11: Ein Unternehmen stellt Fahrräder her. Die Gesamtkosten K(x) für eine tägliche Produktionsmenge x betragen: T

x  ( 10 20 30 40 50 )

T

K  ( 11 20 28 38 43 )

Stück in 1000 €

Stellen Sie die Wertepaare grafisch dar und ermitteln Sie die Gleichung einer linearen Kostenfunktion. Welche Kosten können bei einer Produktionsmenge von 35 Stück erwartet werden ? Wie würde eine quadratische oder eine kubische Kostenfunktion aussehen ?

Seite 453

Übungsbeispiele

4. Integralrechnung 4.1 Das unbestimmte Integral Beispiel 1: Ermitteln Sie die Stammfunktionen von: a)

f ( x) = 1

d)

f ( x) = x

2

b)

f ( x) = x

e)

f ( x) = x  4

2

c)

f ( x) = x  5

f)

f ( x) = x  x  1

4

Beispiel 2: Ermitteln Sie die Stammfunktionen der gegebenen Funktionen. Geben Sie jeweils eine spezielle Lösung an, wenn die Kurve durch den angegebenen Punkt gehen soll. Stellen Sie das Problem auch grafisch dar. a)

f ( x) = x  1

P(0 | 1)

b)

3

f ( x) = x  3

P(1 | - 2)

4.2 Das bestimmte Integral Beispiel 1: Berechnen Sie folgende bestimmte Integrale mit einer Stammfunktion:

a)

´ µ ¶

5

´ µ ¶

5

b)

1 dx

0

d)

´ µ ¶

3

´ µ ¶

6

c)

x dx

1

3

e)

x dx

2

´ µ ¶

3

´ µ ¶

2

2

x dx

0

( x  2) dx

f)

1

x2  1 dx

1

Beispiel 2:

ªx

Berechnen Sie die mittlere Ordinate und den zugehörigen x-Wert für die Funktion y = 4 ˜ «



¬S

2 § x · »º im ¨ ©S¹ ¼

Intervall zwischen den Nullstellen. Stellen Sie das Problem auch grafisch dar. Beispiel 3: Berechnen Sie folgende bestimmte Integrale, unter Ausnützung des Satzes 4.4:

a)

´ µ ¶

2

´ µ ¶

2

2

5 ˜ x dx

b)

1

d)

1

´ µ ¶

3

´ µ ¶

1

( x  1) dx

c) vergleiche

1

3

x dx

und

2

´ µ ¶

2

( x  3) dx

´ µ ¶

und

1

3

x dx

d) Zerlegen Sie das Integral in zwei Teilintegrale:

Seite 454

2

( x  5) dx

1

´ µ ¶

3

1

6

x dx

Übungsbeispiele

Beispiel 4: Bestimmen Sie die Maßzahl der Fläche zwischen der Kurve y = x 2 - 3 x +1 und der x-Achse im Bereich von a = - 1 und b = 1.5. Stellen Sie das Problem auch grafisch dar. Beispiel 5: Berechnen Sie das bestimmte Integral im Bereich von a und b unter Ausnützung der Symmetrie. Stellen Sie das Problem auch grafisch dar.

a)

´ µ ¶

2 4

´ µ ¶

b)

x dx

2

1 5

x dx

1

4.3 Integrationsmethoden 4.3.1 Grundintegrale Beispiel 1: Bestimmen Sie die Lösung der folgenden Integrale:

a)

´ µ µ µ ¶

d)

´ µ µ ¶

g)

´ µ µ µ ¶

j)

m)

p)

´ µ µ µ ¶ ´ µ µ µ ¶

´ µ µ µ ¶

1

3

˜ x dx

2

b)

x

2 dx

1 x

dx

2

du

2

h)

´ µ µ ¶

4

k)

´ µ µ µ ¶

4  4˜ x

1

dx 2

25  25 ˜ x

2

§ 1 · dx ¨ © 3¹

n)

dx

t

c)

dt

e)

1u

1

1

´ µ µ µ ¶

e

1

´ µ µ µ ¶

q)

´ µ µ µ ¶ ´ µ µ µ µ ¶

dx

1

dt

1t

5  5˜ t

2

dt

1  cos ( x) cos ( x)

2

i)

´ µ µ ¶

cos ( x)

l)

´ µ µ µ ¶

§ u · du sin ¨ © 2¹

o)

´ µ µ µ ¶

2

dx

Seite 455

dv

v

´ µ µ µ ¶

2

1

1

f)

x

x

´ µ µ µ ¶

r)

´ µ µ µ µ ¶

1 t

dt

2

dx

2

1

dx 2

9  9˜ x

x3  x 2 dx 4˜ x

Übungsbeispiele

s)

´ µ µ µ ¶

t

( u  2) ˜ e

du

1a

t)

´ µ µ ¶

x 1

u)

dx

e

´ µ µ µ ¶

1 2 ˜ s ˜ sin ( x)

2

ds

Beispiel 2: Bestimmen Sie die Lösung der folgenden Integrale und stellen Sie das Problem grafisch dar:

a)

´ µ ¶

2

( 2 ˜ x  2) dx

b)

0

d)

´ µ µ ¶

2

´ µ ¶

4

( 4  3 ˜ x) dx

c)

0

§ x  1· x d ¨ © x ¹

e)

´ µ ¶

1

1

1 x

2 ˜ e dx

f)

2

1

´ µ µ µ ¶ ´ µ ¶

§ x2 · ¨  2 dx ©2 ¹

S

( 1  sin ( t ) ) dx

0

Beispiel 3: Die Ableitung einer Funktion ist gegeben durch y' = 2 x - 1. Wie lautet die Funktionsgleichung der Kurve, wenn sie den Punkt P(1 | 2) enthält ? Stellen Sie das Problem auch grafisch dar. Beispiel 4: Die Ableitung einer Funktion ist gegeben durch y' = x 2 - x. Wie lautet die Funktionsgleichung der Kurve, wenn sie den Punkt P(2 | 2) enthält ? Stellen Sie das Problem auch grafisch dar.

4.3.2 Integration durch Substitution Beispiel 1: Bestimmen Sie die Lösung der folgenden Integrale:

a)

d)

´ µ µ ¶

2

( 2  3 ˜ x) dx

´ µ µ µ ¶

g)

´ µ µ µ ¶

j)

´ µ µ ¶

m)

´ µ µ µ ¶

3 1  2˜ x

1 3 t

x

e

dx

dt

dx

arcsin ( x) 2

1x

dx

b)

e)

´ µ µ µ ¶ ´ µ µ µ ¶

1 ( a ˜ x  b)

n

4 3

dx

dx

c)

´ µ µ ¶

5 ˜ x  2 dx

f)

´ µ µ ¶

( 2  5 ˜ x) dx

i)

´ µ µ ¶

e

l)

´ µ µ ¶

cos ( Z ˜ t  M ) dt

o)

´ µ µ ¶

e

6˜ x 5

h)

´ µ µ µ ¶

k)

´ µ µ ¶

sin ( Z ˜ t  M ) dt

n)

´ µ µ µ ¶

sin ¨ 2 ˜ x 

1 1  3˜ u

§ ©

du

S· 6¹

dx

Seite 456

3

2˜v 1

dv

0.9˜t 1.2

dt

Übungsbeispiele

p)

s)

v)

y)

E)

´ µ µ µ ¶

1

dx

q)

´ µ µ ¶

t)

´ µ µ µ ¶

2

2x

´ µ µ µ µ ¶

2

3˜ x  2

dx

3

x  2˜ x

´ µ µ µ ¶

x 2

w)

dx

2

a x

´ µ µ µ µ ¶

dx

z)

 2 dx

J)

´ µ µ µ ¶

4

1 x

´ µ µ ¶

x ˜ cot x

cos ( x) ˜ sin ( x) dx

sin ( x) 5˜

´ µ µ µ ¶ ´ µ µ ¶

3

x

3

dx

r)

´ µ µ ¶

e

u)

´ µ µ ¶

e

x)

´ µ µ µ µ ¶

cos ( x)

5˜ x

dx

2

2  3˜ x

tan ( x) dx

D)

´ µ µ µ ¶

ln ( x)

H)

´ µ µ µ ¶

x

dx

x

x

2

˜ x dx

2

˜ x dx

2

3˜ x  2 3

dx

x  2˜ x

§ x · dx © 2¹

tan ¨

ln ( 2x)

dx

x

Beispiel 2: Bestimmen Sie die Lösung der folgenden Integrale mithilfe von Mathcad:

a)

d)

g)

´ µ µ µ ¶

1

b)

dx 2

9x

´ µ µ µ ¶

1 x˜

´ µ µ µ ¶

e)

dx

2

x 4

1 sin ( x) ˜ cos ( x)

dx

h)

´ µ µ µ ¶

2

16  x

dx

x

´ µ µ µ µ ¶

c)

f)

´ µ µ µ ¶

i)

´ µ µ µ ¶

2

x

dx

2

x 1

´ µ µ µ ¶

1 sin ( x)

4

dx

´ µ µ µ ¶

1 2

x ˜

dx 2

5x

1 cos ( x)

dx

1 1  2 ˜ cos ( x)

2

dx

Beispiel 3: Bestimmen Sie die Lösung der folgenden Integrale und stellen Sie das Problem grafisch dar:

a)

´ µ µ µ ¶

4

0

2

§ x  3· dx ¨ ©2 ¹

b)

´ µ ¶

1 3

( 5  4 ˜ x) dx

2

c)

´ µ µ ¶

1

3

Seite 457

 4 3 dx

2˜ x  5

Übungsbeispiele

d)

´ µ ¶

4

4˜x 2

e)

dx

e

2

´ µ ¶

4

2˜x 2

dx

3

f)

0

´ µ µ ¶

S

§ sin § t ·  cos § t · · x d ¨ ¨ ¨ © © 2¹ © 2 ¹¹

0

4.3.3 Partielle Integration Beispiel 1: Bestimmen Sie die Lösung der folgenden Integrale:

a)

´ µ µ ¶

d)

´ µ µ µ ¶

g)

x ˜ cos ( x) dx

x sin ( x)

´ µ µ ¶

2

dx

3

x ˜ lg ( x) dx

b)

´ µ µ ¶

e)

´ µ µ µ ¶

h)

x

x˜ e

ln ( x)

dx

dx

2

c)

´ µ µ ¶

arccos ( x) dx

f)

´ µ µ ¶

x ˜e

i)

´ µ µ ¶

e

x

´ µ µ ¶

2

x

x ˜2

dx

2

2˜t

 3˜x

dx

˜ sin ( t ) dt

Beispiel 2: Bestimmen Sie die Lösung der folgenden Integrale und stellen Sie das Problem grafisch dar: S

a)

´ µ ¶

1

 2˜x

( 3  x) ˜ e

0

dx

b)

1

´ 2 µ x ˜ sin ( x) dx µ S ¶

c)

0

2

Beispiel 3:

´2 2 µ t· § µ sin ¨ dt µ © 2¹ ¶

Bestimmen Sie eine Rekursionsformel für folgende Integrale:

a)

´ µ In = µ ¶

x ˜ e dx

d)

´ µ In = µ ¶

ln ( x) dx

n

x

n

b)

´ µ In = µ ¶

e)

´ µ µ ¶

n

x ˜ sin ( x) dx

n

tan ( x) dx

Seite 458

c)

´ µ In = µ ¶

n

x ˜ cos ( x) dx

Übungsbeispiele

4.3.4 Integration durch Partialbruchzerlegung Beispiel 1: Bestimmen Sie die Lösung der folgenden Integrale:

a)

d)

g)

´ µ µ µ ¶ ´ µ µ µ ¶ ´ µ µ µ ¶

1

b)

dx

2

x 9

2

3˜ x  2˜ x 1 x ˜ ( x  5) ˜ ( x  7)

1 2˜x

dx

x

 3˜ e

e

dx

Substitution: ex

e)

h)

=u

´ µ µ µ µ ¶

2

x  3˜ x 4

c)

dx

2

x  2˜ x 8

´ µ µ µ µ ¶

2

5˜ x  3˜ x 2 ( x  1)

´ µ µ µ ¶

3

f)

dx

sin ( x)



cos ( x) ˜ 1  cos ( x)

2



´ µ µ µ ¶

x ( x  2)

´ µ µ µ ¶

2

2˜ x 1 ( x  1)

2

dx

dx

Substitution: cos(x) = u

dx

Beispiel 2: Bestimmen Sie die Lösung der folgenden Integrale:

a)

´ µ µ µ ¶

1

b)

dx

3

x x

´ µ µ µ ¶

7˜ x 5

dx

2

x  2˜ x 4

4.4 Uneigentliche Integrale 4.4.1 Uneigentliche Integrale 1. Art Beispiel 1: Bestimmen Sie die Lösungen der folgenden Integrale, falls möglich. Stellen Sie das Problem auch grafisch dar.

a)

´ µ µ µ ¶

f

´ µ ¶

0

1 3

b)

dx

x

2

d)

´ µ µ µ ¶

f

´ µ µ µ ¶

1

´ µ µ µ ¶

f

2

c)

dx

4

x

e)

e dx

f

1 2

f)

dx

x

g)

f

f

1 2

1  4˜ x

dx

h)

´ µ µ ¶

2

´ µ µ µ ¶

f

2

dx

x

1 cosh ( x)

f

Seite 459

1 x 1

dx

f

f

´ µ µ µ ¶

f

1

1

x

´ µ µ ¶

2

dx

i)

f

1 2

x  4˜ x 5

dx

Übungsbeispiele

4.4.2 Uneigentliche Integrale 2. Art Beispiel 1: Bestimmen Sie die Lösungen der folgenden Integrale, falls möglich. Stellen Sie das Problem auch grafisch dar.

a)

´ µ µ µ ¶

3

´ µ µ µ ¶

1

´ µ µ µ ¶

3

1

b)

dx 2

9x

3 3

e)

dx

x

0

g)

1

´ µ µ µ ¶

2

´ µ ¶

1

1

c)

dx 2

1x

x

f)

dx

2

x 1

3

h)

dx

x 2

3

´ µ µ ¶

3

´ µ ¶

1

1 2

dx

x

1 x 1

dx

1

1

1

´ µ µ µ ¶

2

1

0

d)

´ µ µ µ ¶

i)

ln ( x) dx

0

x ˜ ln ( x) dx

0

2

4.5 Numerische Integration 4.5.1 Mittelpunkts- und Trapezregel Beispiel 1: Berechnen Sie die folgenden Integrale numerisch mit Mathcad und vergleichen Sie die Lösung mit den Näherungswerten der Mittelpunktsformel M n und M2n und der Trapezformel T n und T 2n, wenn wir das Integrationsintervall in n = 4 bzw. n = 10 gleich breite Teilintervalle zerlegen. Geben Sie dazu den relativen Fehler (Mathcad Näherung und Mittelpunksformelwert bzw. Trapezformelwert) an. Stellen Sie die Funktion und die Integrationsfläche zuerst grafisch dar. S

a)

´ µ ¶

2

´ µ ¶

3

2

x dx

b)

0

d)

0

´2 µ µ sin ( x) dx ¶

c)

0

3

x dx

e)

´ µ µ ¶

2˜ x 1

1

´ µ ¶

2

2

1  x dx

0

3

1

´ µ ¶

dx

0

Seite 460

f)

1

ln ( x) dx

Übungsbeispiele

4.5.2 Kepler- und Simpsonregel Beispiel 1: Berechnen Sie die folgenden Integrale numerisch mit Mathcad und vergleichen Sie die Lösung mit den Näherungswerten der Keplerregel (n = 1), der Simpsonregel und der adaptiven Methode, wenn wir das Integrationsintervall in n Doppelintervalle zerlegen. Geben Sie dazu den relativen Fehler (Mathcad Näherung und Simpsonformelwert) an. Stellen Sie die Funktion und die Integrationsfläche zuerst grafisch dar. S

a)

´ µ ¶

1

´ µ µ µ ¶

2

3

1  x dx

n=2

b)

0

d)

´ µ µ ¶

3

´ µ µ ¶

3

´ µ ¶

2

1

dx

ln ( x)

n=8

c)

x

dx

n=4

e)

1 2˜ x 1

dx

n=6

f)

2

1 2

dx

n=2

h)

1  2˜ x

´ µ µ ¶

3

´ µ ¶

2

1 x

dx

n=2

1

0

g)

n=4

2

2

e

cos ( x) dx

0

2

0

´ µ µ µ ¶

´2 µ µ ¶

x˜

3

1  x dx

n=8

i)

x

e dx

n = 10

1

0

0

Beispiel 2: Berechnen Sie die Fläche zwischen x-Achse und der Folge von diskreten Punkten im Bereich a und b mithilfe der numerischen Berechnung von Mathcad, der Simpsonregel und der adaptiven Methode. Geben Sie dazu den relativen Fehler (Mathcad Näherung und Simpsonformelwert) an. Stellen Sie das Problem zuerst grafisch dar.

x f(x)

0 1

0,5 1,1

1 1,5

1,5 2,5

2 3,9

x f(x)

3 1.098

5 1,509

7 1,955

9 2,185

11 2,411

4.6.1 Bogenlänge einer ebenen Kurve Beispiel 1: Berechnen Sie die Bogenlänge von: a)

b)

2

y=x

a=0

Werten Sie das Integral numerisch aus, und vergleichen Sie den Wert auf 4 Nachkommastellen mit dem Wert, der sich mit der Simpsonregel für n = 10 Doppelstreifen ergibt. Stellen Sie das Problem auch grafisch dar.

b=1

Kettenlinie:

§x· © 2¹

y = 2 ˜ cosh ¨

a=0

b=2

Werten Sie das Integral analytisch und numerisch aus, und vergleichen Sie den Wert auf 4 Nachkommastellen mit dem Wert, der sich mit der Simpsonregel für n = 10 Doppelstreifen ergibt. Stellen Sie das Problem auch grafisch dar.

Seite 461

Übungsbeispiele

c)

Umfang der gleichseitigen Astroide: 2

x d)

3

2

y

3

Werten Sie das Integral analytisch aus. Stellen Sie das Problem auch grafisch dar.

2

=r

3

Umfang der Ellipse:

Werten Sie das Integral numerisch aus, und vergleichen Sie den Wert auf 4 Nachkommastellen mit dem Wert, der sich mit der Simpsonregel für n = 10 Doppelstreifen ergibt. Stellen Sie das Problem auch grafisch dar.

x = 10 ˜ cos ( t) y = 5 ˜ sin ( t ) e)

Länge des Hyperbelbogens:

Werten Sie das Integral numerisch aus, und vergleichen Sie den Wert auf 4 Nachkommastellen mit dem Wert, der sich mit der Simpsonregel für n = 10 Doppelstreifen ergibt. Stellen Sie das Problem auch grafisch dar.

x = 2 ˜ cosh ( t ) 3 ˜ sinh ( t )

y=

t1 = 0

t2 = arcosh ( 2)

f)

y = sin ( x)

g)

Archimedische Spirale:

r = a˜ M

h)

x=t y=t

a=0

M1 = 0

b=S

M2 = 2 ˜ S

2 3

t1 = 0

Werten Sie das Integral numerisch aus, und vergleichen Sie den Wert auf 4 Nachkommastellen mit dem Wert, der sich mit der Simpsonregel für n = 10 Doppelstreifen ergibt. Stellen Sie das Problem auch grafisch dar.

t2 = 4

Werten Sie das Integral analytisch und numerisch aus, und vergleichen Sie den Wert auf 4 Nachkommastellen mit dem Wert, der sich mit der Simpsonregel für n = 10 Doppelstreifen ergibt. Stellen Sie das Problem auch grafisch dar. Werten Sie das Integral analytisch und numerisch aus, und vergleichen Sie den Wert auf 4 Nachkommastellen mit dem Wert, der sich mit der Simpsonregel für n = 10 Doppelstreifen ergibt. Stellen Sie das Problem auch grafisch dar.

4.6.2 Berechnung von Flächeninhalten 4.6.2.1 Berechnung von Flächeninhalten unter einer Kurve Beispiel 1: Berechnen Sie den Flächeninhalt zwischen Kurve und x-Achse im Bereich a und b und stellen Sie das Problem grafisch dar: a)

2

y = ( x  3) ˜ x  4

a = 1

b=5

a=0

b = 2.8

a = 5

b=5

a = 2

b=1

3 5

b)

y=x

c)

y = sinh ( x)

d)

y = ( x  2) ˜ x  1

2

Seite 462

Übungsbeispiele

Beispiel 2: Berechnen Sie den Flächeninhalt eines Sektors der Hyperbel mit x = 3 cosh(t) und y = 2 cosh(t) im Bereich t = 0 und t = t 1 . Stellen Sie das Problem im Bereich t  [-3 , 3] grafisch dar. Beispiel 3: Berechnen Sie den Flächeninhalt der Kardioide mit r = a (1 + sin( M) und M  [0 , 2S]. Stellen Sie das Problem für a = 2 grafisch dar. Beispiel 4: Berechnen Sie den Flächeninhalt der Lemniskate mit r 2 = a2 cos(2M) und M  [0 , 2S]. Stellen Sie das Problem für a = 2 grafisch dar. Beispiel 5: Berechnen Sie den Flächeninhalt der Spirale mit r = aM im Bereich M1 = S und M2 = 2 S. Stellen Sie das Problem für a = 3 grafisch dar. Beispiel 6: ´ Berechnen Sie jene Stelle a > 0, sodass µ ¶

2

ln ( x) dx = 0 gilt. Stellen Sie das Problem grafisch dar.

a

Beispiel 7: Wie lautet die Gleichung der Waagrechten, die den Flächeninhalt zwischen y = cos(x) und der x-Achse im Intervall [0, S/2] halbiert ? Stellen Sie das Problem grafisch dar.

4.6.2.2 Berechnung von Flächeninhalten zwischen zwei Kurven Beispiel 1: Berechnen Sie die Flächeninhalte zwischen den Kurven und stellen Sie das Problem grafisch dar: 2

a)

y=x

y= 6˜ x 3

b)

y = ln ( x)

y=x 2

c)

y = tan ( x)

y = cot ( x)

d)

y = ( x  1) ˜ x  2 ˜ x  11

e)

2

y=

x



y=0 2

y=x  1

a = 3

b=3

2

y=x

Beispiel 2: Wie groß ist der kleinere Teil der Fläche, der durch die Gerade y = x + 3 vom Kreis x 2 + y2 = 25 abgeschnitten wird ? Stellen Sie das Problem auch grafisch dar.

Seite 463

Übungsbeispiele

Beispiel 3: Wie groß ist die gemeinsame Fläche der Kreise x 2 + y2 = 4 und x2 + y2 = 4 x ? Stellen Sie das Problem auch grafisch dar. Beispiel 4: Beim Betrieb von Maschinen ist die Erwärmungskurve durch - = -max ( 1 - e - t/W) gegeben. Dabei ist - die Übertemperatur (Temperaturdifferenz auf die Umgebungstemperatur), -max der sich nach langem Betrieb einstellende Beharrungswert, t die Betriebsdauer und W die Zeitkonstante. Ermitteln Sie die Fläche Zwischen -max und der Kurve -. Wählen Sie geeignete Größen und stellen Sie das Problem auch grafisch dar. Stellen Sie in dieser Graphik auch die Anlauftangente im Punkt P(0|0) dar. Beispiel 5: Gegeben ist die Funktion y = (x+2) e - x/2. Stellen Sie die Funktion im Bereich [-3, 7] grafisch dar. Bestimmen Sie Nullstelle, Extremwert und Wendepunkt. Berechnen Sie die Fläche zwischen Kurve und x-Achse. Berechnen Sie die Fläche zwischen Kurve und jener Geraden, die durch die Nullstelle und den Wendepunkt geht.

4.6.2.3 Mantelflächen von Rotationskörpern Beispiel 1: Wie groß ist die Mantelfläche, wenn folgende Kurve um die x-Achse rotiert. Stellen Sie das Problem auch grafisch dar: 3

a)

y=x

a=0

b=2

b)

y = cosh ( x)

a=0

b=2

2

c)

2

x



16

y

4

=1

Beispiel 2: Wie groß ist die Mantelfläche, wenn folgende Kurve um die y-Achse rotiert. Stellen Sie das Problem auch grafisch dar: 3

a)

x=y

c=0

d=1

b)

x = ln ( x)

c=0

d=4

Beispiel 3: Wie groß ist die Mantelfläche einer Kalotte (Kugelkappe) mit der Höhe h = h 2 - h 1 , die durch die Rotation eines Kreises x 2 + y2 = r2 um die y-Achse entsteht. Stellen Sie das Problem auch grafisch dar.

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Übungsbeispiele

4.6.3 Volumsberechnung Beispiel 1: Berechnen Sie das Volumen des Kegelstumpfes mit den Endflächenradien R und r und der Höhe h (y = (R - r)/h * x + r). Beispiel 2: Wie groß ist das Volumen eines Drehkörpers, der durch Drehung der Kurve um die x-Achse entsteht ? Stellen Sie das Problem auch grafisch dar. 2

x

a)

y=x

a=0

b=3

b)

y=e

a=0

c)

y = sin ( x)

a=0

b=S

d)

x˜ y = 4

a=

e)

x = 2 ˜ ( t  sin ( t) )

1 2

b=2 b=2

t  [0 , 2S]

y = 2( 1  cos ( t ) ) Beispiel 3: Die Parabel y2 = 4 x schneide den Kreis y 2 = 5 - (x - 2.5)2 in den Punkten P 1 und P2 . Bei Rotation um die x-Achse beschreibt die Fläche einen parabolischen Kugelring mit der Höhe h = x 2 - x1 . Wie groß ist das Volumen des Kugelrings ?

Beispiel 4: Der Hohlraum eines Zylinders aus Stahl wird durch Rotation der Kurve y = e beschrieben. Wie groß ist dieses Volumen zwischen y 1 = 1 und y2 = 10 ?

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2x - 1

um die y Achse

Übungsbeispiele

4.6.4 Berechnung von Schwerpunkten 4.6.4.1 Schwerpunkt eines Kurvenstückes Beispiel 1: Bestimmen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes S(0|y s ) eines Kreisbogens von der Läng b. Hinweis: Polarkoordinaten. Der Schwerpunkt soll von r, s und b abhängen.

b = r˜ M

db = r ˜ dM

Beispiel 2: Bestimmen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes des Parabelbogens y = x 2 zwischen a = 0 und b = 1. Beispiel 3: Bestimmen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes eines Zykloidenbogens mit der Parameterdarstellung x = r (t - sin(t)) und y = r (1 - cos(t)) zwischen a = 0 und b = 2 S r. Beispiel 4: Bestimmen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes eines 1/4 Ellipsenbogens (Rotation um die x-Achse) mit der Parameterdarstellung x = a cos( M)) und y = b sin(M) mithilfe der 2. Guldinregel zwischen x = 0 und x = a.

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Übungsbeispiele

4.6.4.2 Schwerpunkt einer Fläche Beispiel 1: Bestimmen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes der gegebenen Fläche.

Beispiel 2: Bestimmen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes eines Kreisauschnittes.

Beispiel 3: Bestimmen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes der Dreiecksfläche.

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Übungsbeispiele

Beispiel 4: Bestimmen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes der gegebenen Fläche.

Beispiel 5: Bestimmen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes eines dünnen offenen Hohlprofils.

Beispiel 6: Bestimmen Sie den Schwerpunkt einer halben Ellipsenfläche zwischen x = 0 und x = a mithilfe der 1. Guldin-Regel. Beispiel 7: Gegeben ist die Funktion f: y = e x (- x2 + b x +c) und deren Nullstellen f(0) = 0 und fb)= 0. a) Bestimmen Sie die Extremstellen und die Wendepunkte von f und stellen Sie die Funktion im Bereich - 3.5 d x d 2.2 grafisch dar. b) Bestimmen Si jene Grenze x = c, durch die das vom Graph und von der x Achse begrenzte Flächenstück in zwei gleiche Teile zerlegt wird. c) Berechnen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes des vom Graphen und von der x-Achse begrenzten Flächenstücks.

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Übungsbeispiele

4.6.4.3 Schwerpunkt einer Drehfläche Beispiel 1: Bestimmen Sie den Schwerpunkt eines Kegelmantels (Rotation einer geeigneten Kurve um die x-Achse) mit Radius r und Höhe h. Beispiel 2: Bestimmen Sie den Schwerpunkt eines Drehparaboloidmantels (Rotation der Parabel y = a x 2 um die y-Achse) mit Radius r und Höhe h.

4.6.4.4 Schwerpunkt eines Drehkörpers Beispiel 1: Bestimmen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes eines zylinderisch durchbohrten Kegelkörpers. Anleitung:

H=

h˜ R

y=

R h

R r h

˜x R

Beispiel 2: Bestimmen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes eines halben Ellipsenkörpers, wenn eine Ellipse um die x-Achse rotiert (im Bereich x = 0 und x = a). Veranschaulichen Sie das Problem grafisch. Beispiel 3: Bestimmen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes eines Hyperboloids, das durch Drehung der Hyperbel x 2 /9 - y2 /16 = 1 um die y-Achse im Intervall [-3,4] entsteht. Veranschaulichen Sie das Problem grafisch. Beispiel 4: Bestimmen Sie mithilfe der 1. Guldin-Regel das Volumen eines Kegels mit dem Radius r = 10 dm und der Höhe h = 20 dm. Beispiel 5: Bestimmen Sie mithilfe der 1. Guldin-Regel das Volumen des Rotationskörpers der durch Rotation des Flächenstücks zwischen dem Funktionsgraphen y = f(x) und der x-Achse im Intervall [0,a] um die y-Achse entsteht. Veranschaulichen Sie das Problem grafisch. a)

y=x 2

a=4

b)

x

y=e

a=2

Seite 469

c)

y = sin ( x)

a=

S

2

Übungsbeispiele

Beispiel 6: Bestimmen Sie mithilfe der Guldin-Regeln die Oberfläche und das Volumen eines Zylinders mit Radius r und Höhe h.

4.6.5 Berechnung von Trägheitsmomenten 4.6.5.1 Das Massenträgheitsmoment Beispiel 1: Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment einer Kugel mit Radius r, die um die x-Achse rotiert (Zeichnung!) Beispiel 2: Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment eines Schwungrades.

kg

3

U = 7.3 ˜ 10 ˜

m

3

Anleitung: J = J Kranz + JSteg + JNabe

Beispiel 3: Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment eines Drehparaboloidkörpers. Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment auf zwei Arten, wie im Bild angegeben.

Seite 470

Übungsbeispiele

Beispiel 4: Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment eines Vollzylinders, der sich um die Achse g dreht.

Beispiel 5: Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment eines Drehkegelstumpfes mit den Radien R bzw. r und der Höhe h, der sich um die Symmetrieachse dreht (Zeichnung!). Beispiel 6: Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment einer Zylinderscheibe mit Radius R und Dicke h in Bezug auf die Achse durch einen Durchmesser (Zeichnung!).

4.6.5.2 Das Flächenträgheitsmoment Beispiel 1: Berechnen Sie die axialen Flächenträgheitsmomente bezüglich der x-Achse.

Beispiel 2: Berechnen Sie das axiale Flächenträgheitsmoment eines Rechtecks bezogen auf die Diagonale.

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Übungsbeispiele

Beispiel 3: Aus einer Tabelle für Walzprofile entnehmen wir ( |_ 200. 200.20 ) folgende Angaben: 4

Ix = Iy = 2850cm 4

I[ = 4540 ˜ cm

Haupträgheitsmomente 4

IK = 1160 ˜ cm

Überprüfen Sie : 2

Iu = Ix = I[ ˜ cos ( D )  IK ˜ sin ( D )

2

Beispiel 4: Berechnen Sie die axialen Flächenträgheitsmomente Ix und Iy des vom Graphen der Funktion

y=

3  x und den Koordinatenachsen eingeschlossenen Flächenstück (grafische Darstellung!).

Beispiel 5: Berechnen Sie die axialen Flächenträgheitsmomente bezüglich der Koordinatenachsen sowie der dazu parallelen Schwerpunktsachsen für die Fläche unter dem Graphen von a) y = x 2 , a =0 und b = 2; b) y = e x/2 , a =0 und b = 2. (grafische Darstellung!).

4.6.6 Berechnung von Biegelinien Beispiel 1: Ein beidseitig eingespannter Träger der Länge L = 4 m besitzt eine konstante Trägerlast q 0 = 10.0 kN/m und eine Biegesteifigkeit E * I = 7*10 6 Nm 2 . Berechnen Sie die Biegelinie y(x). Stellen Sie die Streckenlast q(x), die Querkraft Q(x), das Biegemoment M b(x) und die Biegelinie y(x) grafisch dar. Es gelten die Randbedingungen y(0) = y(L) = 0, y'(0) = y'(L) = 0. Beispiel 2: Ein einseitig eingespannter Träger der Länge L = 3 m besitzt eine konstante Trägerlast q 0 = 10.0 kN/m und eine Biegesteifigkeit E * I = 3*10 6 Nm 2 . Berechnen Sie die Biegelinie y(x). Stellen Sie die Streckenlast q(x), die Querkraft Q(x), das Biegemoment M b(x) und die Biegelinie y(x) grafisch dar. Es gelten die Randbedingungen Q(0) = q0 * L, Mb(L) = 0, y(0) = 0, und y'(0) = 0. Beispiel 3: Ein Träger, der am linken Ende fest eingespannt ist und am rechten Ende ein freies Lager besitzt, hat eine Länge von L = 3 m und wird mit einer konstanter Trägerlast q 0 = 10.0 kN/m belastet. Der Elastizitätsmodul beträgt E = 2*10 5 N/mm2 und das Flächenträgheitsmoment I = 10-4 m4 . Berechnen Sie die Biegelinie y(x). Stellen Sie die Streckenlast q(x), die Querkraft Q(x), das Biegemoment M b(x) und die Biegelinie y(x) grafisch dar. Es gelten die Randbedingungen Mb(L) = 0, y(0) = y(L) = 0, und y'(0) = 0.

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Übungsbeispiele

4.6.7 Berechnung von Arbeitsintegralen Beispiel 1: Für eine besondere Feder gilt das Kraftgesetz F = 200*N/m*s 3 . Wieviel Arbeit W ist notwendig, wenn die Feder um 5 cm gedehnt wird ? Beispiel 2: Berechnen Sie die Arbeit W eines idealen Gases bei isothermer Kompression (Kompressionsarbeit). Beispiel 3: Berechnen Sie die Arbeit W eines idealen Gases bei adiabatischer Kompression (Kompressionsarbeit). Beispiel 4: Durch ein sich ausdehnendes Gas in einem Zylinder wird ein Kolben so bewegt, dass das Volumen des eingeschlossenen Gases von 250 cm 3 auf 400 cm3 wächst. Bestimmen Sie die geleistete Arbeit, wenn zwischen dem Druck p (N/cm 2 ) und dem Volumen V (cm 3 ) die Gleichung p*V = 3000 besteht.

4.6.8 Berechnungen aus der Hydromechanik Beispiel 1: Innerhalb welcher Zeit fließt das Wasser, das ein zylindrisches Gefäß der Grundfläche A = 420 cm 2 und der Höhe h = 40 cm füllt, durch eine Öffnung im Boden des Gefäßes ab, wenn diese Öffnung einen Querschnitt von A 1 = 2 cm 2 hat ? Die Ausflusszahl beträgt D = 0.6.

4.6.9 Berechnung von Mittelwerten Beispiel 1: Bestimmen Sie den linearen Mittelwert der Funktion y = x 2 /2 über dem Intervall [1,3]. Beispiel 2: Bestimmen Sie den linearen Mittelwert und den Gleichrichtwert der nachfolgend gegebenen Funktion. Stellen Sie weiters dieses Problem grafisch dar, wenn I max = 20 mA und T = 3 ms gegeben sind.

i ( t) =

Imax if 0 ˜ ms d t d 

Imax

if

2

T 3

T 3

tdT

Beispiel 3: Bestimmen Sie die Wirkleistung P aus der nachfolgend gegebenen zeitabhängigen Leistung p(t) im Bereich einer Periode T. 2

2

2

p = u ˜ i = R ˜ I0 ˜ cos ( Z ˜ t)  Z ˜ L ˜ I0 ˜ sin ( Z ˜ t) ˜ cos ( Z ˜ t)

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Z = 2˜ S ˜ f =

2˜ S T

Übungsbeispiele

Beispiel 4: Die Spannung beim Entladevorgang eines Kondensators an Gleichspannung ist gegeben durch uC(t) = U0 e -t/W. Stellen Sie die Kondensatorspannung u C für R = 1000 :, C = 0.1 PF und U 0 = 10 V und der Zeitkonstante W = R*C grafisch dar. Berechnen Sie die Fläche zwischen Spannungskurve und t-Achse und intepretieren Sie das Ergebnis. Beispiel 5: Bestimmen Sie den Gleichrichtwert des Stromes i = 4 A sin( Zt) - 1.4 A cos(2 Z t) + 0.9 A cos(3 Z t) über eine Periode T. Stellen Sie das Problem für T = 5 ms grafisch dar. Beispiel 6: Bestimmen Sie den arithmetischen Mittelwert und den Effektivwert der Spannung u(t) = (U max / T) * t. Stellen Sie das Problem für U max = 20 V und T = 10 ms grafisch dar. Beispiel 7: Bestimmen Sie den arithmetischen Mittelwert, den Gleichrichtwert und den Effektivwert der nachfolgend gegebenen Spannung . Stellen Sie das Problem für Umax = 10 V und T = 3 ms grafisch dar.

u ( t) =

T Umax if 0 ˜ ms d t d 3 

Umax 3

if

T 3

tdT

Beispiel 8: Bestimmen Sie den Effektivwert der nachfolgend gegebenen Spannung . Stellen Sie das Problem grafisch dar.

u ( t) =

 t· º ª § « ¨ » W ¬11 © 1  e ¹  5¼ ˜ V if 0 ˜ P s d t d 40 ˜ P s t § · ¨ W © 121 ˜ e  6¹ ˜ V if 40 ˜ P s d t d 80 ˜ P s

W =

40 ˜ P s ln ( 11 )

Beispiel 9: Um eine Lampe stufenlos und energiesparend regeln zu können, wird eine Phasenanschnittsteuerung (Dimmer) eingesetzt. Das Prinzip besteht darin, die sinusförmige Netzspannung u = U 0 sin(Z t) während jeder Halbwelle erst nach einer Verzögerungszeit W bzw. erst nach einem Zündwinkel D = Z*W an den Verbraucherwiderstand durchzuschalten, sodass kein Energieverbrauch stattfinden kann. Bestimmen Sie den Effektivwert der nachfolgend gegebenen Spannung . Stellen Sie das Problem für T = 3 Ps und W = 0.2 Ps grafisch dar.

u ( t) =

0 ˜ V if k ˜

T 2

dtdk˜

T 2

240 ˜ V ˜ sin ( Z ˜ t) if k ˜

W

T 2

k  , T = 2S/Z

 W d t d ( k  1) ˜

T 2

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Übungsbeispiele

4.7 Mehrfachintegrale 4.7.1 Doppelintegrale Beispiel 1: Berechnen Sie folgendes Doppelintegral und zeigen Sie, dass die Reihenfolge der Integration beliebig ist. ´ µ ¶

2

2

´ µ ¶

1

x2  x ˜ y dx dy

0

Beispiel 2: Berechnen Sie folgendes Doppelintegral und zeigen Sie, dass die Reihenfolge der Integration nicht beliebig ist. ´ µ µ ¶

x

1

S

´2 µ µ x ˜ cos ( y) dx dy ¶ 0

Beispiel 3: Wie groß ist der Flächeninhalt der Fläche, die von den Kurven y = 2 x und y = x 2 und x = 1 eingeschlossen wird ? Lösen Sie das Problem mithilfe eines Doppelintegrals und stellen Sie den Sachverhalt grafisch dar. Beispiel 4: Wie groß ist der Flächeninhalt der Fläche, die von den Kurven y = cos(x) und y = x 2 - 2 eingeschlossen wird ? Lösen Sie das Problem mithilfe eines Doppelintegrals und stellen Sie den Sachverhalt grafisch dar. Beispiel 5: Berechnen Sie mithilfe eines Doppelintegrals den Flächeninhalt, der von der logarithmischen Spirale r(M) = e 0.2 M und den Strahlen M1 = S/3 und M2 = 3/2 S eingeschlossen wird. Stellen Sie den Sachverhalt grafisch dar. Beispiel 6: Wo liegt der Schwerpunkt S der Fläche, die von der Parabel y = - x 2 + 4 und der Geraden y = x + 2 begrenzt wird ? Lösen Sie das Problem mithilfe eines Doppelintegrals und stellen Sie den Sachverhalt grafisch dar. Beispiel 7: Wo liegt der Schwerpunkt S einer Viertelkreisfläche ? Lösen Sie das Problem mithilfe eines Doppelintegrals und stellen Sie den Sachverhalt grafisch dar.

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Übungsbeispiele

Beispiel 8: Wie groß ist der Flächeninhalt der von der Kurve y = cos(x) und y = 0.5 im Bereich [-S/2 , S/2] eingeschlossenen Fläche. Wo liegt der Schwerpunkt auf dieser Fläche ? Wie groß sind die Flächenträgheitsmomente Ix und Iy ? Lösen Sie die Aufgaben mithilfe von Doppelintegralen und stellen Sie den Sachverhalt grafisch dar. Beispiel 9: Berechnen Sie die Flächenträgheitsmomente Ix und Iy eines Kreises mit der Gleichung (x - R) 2 + y2 = R2 . Lösen Sie die Aufgaben mithilfe von Doppelintegralen und stellen Sie den Sachverhalt grafisch dar. Beispiel 10: Berechnen Sie das Volumen eines schräg abgeschnittenen Zylinders mithilfe eines Doppelintegrals. Die Schnittebene liegt parallel zur x-Achse, d.h. z ist nur von y abhängig: z = a y + b. z(-r) = H = a (-r) + b z(r) = h = a r + b Daraus lässt sich a und b berechnen.

Beispiel 11: Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment J z eines geraden Prismas mit den Grundseiten a und b und der Höhe h bezüglich der Schwerachse z. Lösen Sie das Problem mithilfe eines Doppelintegrals und stellen Sie den Sachverhalt grafisch dar.

4.7.2 Dreifachintegrale Beispiel 1: Durch Rotation eines Kurvenstücks z = x (0 dx d4) entsteht ein trichterförmiger Drehkörper. Bestimmen Sie das Volumen dieses Drehkörpers. Lösen Sie das Problem mithilfe eines Dreifachintegrals und stellen Sie den Sachverhalt grafisch dar. Beispiel 2: Durch Rotation einer Ellipse um die z-Achse mit den Halbachsen a und b entsteht ein Rotationsellipsoid. Bestimmen Sie das Volumen dieses Drehkörpers. Lösen Sie das Problem mithilfe eines Dreifachintegrals und stellen Sie den Sachverhalt grafisch dar.

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Übungsbeispiele

Beispiel 3: Zur Bestimmung des Volumens einer dreiseitigen Pyramide ist nachfolgendes Dreifachintegral in kartesischen Koordinaten zu lösen. Stellen Sie den Sachverhalt auch grafisch dar.

V=

´ µ µ ¶

´ 1 dV = µ ¶

a

0

´ µ ¶

 x a

0

´ µ ¶

 x y a

1 dz dy dx

0

Beispiel 4: Zur Bestimmung des Volumens eines elliptischen Querschnittes mit zylindrischer Bohrung ist nachfolgendes Dreifachintegral in Zylinderkoordinaten zu lösen. Stellen Sie den Sachverhalt auch grafisch dar. ´ µ V=µ ¶

2˜S

0

´ µ µ ¶

a

c

b

´a µ µ ¶

2

˜ a r

2

r dz dr dM

0

Beispiel 5: Bestimmen Sie das Volumen und den Schwerpunkt eines homogenen Kugelabschnitts. Lösen Sie die Aufgaben mithilfe von Dreifachintegralen.

Beispiel 6: Wo liegt der Schwerpunkt einer homogenen Halbkugel mit dem Radius R ? Lösen Sie das Problem mithilfe eines Dreifachintegrals und stellen Sie den Sachverhalt grafisch dar. Beispiel 7: Ein kugelförmiger Behälter mit Radius R = 4 m soll von einem h = 15 m unter seinem tiefsten Punkt liegenden Wasserreservoir bis zur Hälfte gefüllt werden. Welche Mindestarbeit muss dafür aufgewendet werden ? Die Dichte des Wassers beträgt U = 1000 kg/m3 .

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Übungsbeispiele

Beispiel 8: Bestimmen Sie das Massenträgheitsmoment J z eines Flügels der Dicke d = 0.05 m bezogen auf die zur Querschnittsfläche senkrechte z-Achse. Die Dichte des Flügels beträgt U = 4500 kg/m3 .

Beispiel 9: Bestimmen Sie das Massenträgheitsmoment J z eines Drehzylinders mit Radius R und Höhe h, der Durch die Rotation einer zu z parallelen Geraden um die z-Achse entsteht. Stellen Sie den Sachverhalt auch grafisch dar.

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Literaturverzeichnis

Literaturverzeichnis

Dieses Literaturverzeichnis enthält einige deutsche Werke über Mathcad, Algebra, Analysis und Differentialund Integralrechnung. Es sollte dem Leser zu den Ausführungen dieses Buches bei der Suche nach vertiefender Literatur eine Orientierungshilfe geben. ANSORGE, R., OBERLE, H.J. (2000). Mathematik für Ingenieure Band 1. Weinheim: Wiley-VCH. BARNER, M., FLOHR, F. (1987). Analysis 1. Berlin: Walter de Gruyter. BLATTER, C. (1991). Analysis 1. Berlin: Springer. BLATTER, C. (1992). Analysis 2. Berlin: Springer. BRÖCKER, T. (1999). Analysis 1. Heidelberg: Spektrum. ERWE, F. (1973). Differential- und Integralrechnung. Mannheim: Wissenschaftsverlag. FORSTER, O. (2001). Analysis 1. Braunschweig: Vieweg. FORSTER, O., WESSOLY, R. (1995). Übungsbuch zur Analysis 1. Braunschweig: Vieweg. FICHTENHOLZ, G. M. (1978). Differential- und Integralrechnung I. Berlin: VEB. FICHTENHOLZ, G. M. (1978). Differential- und Integralrechnung II. Berlin: VEB. FISCHER, G. (1995). Lineare Algebra. Braunschweig 1995. GRAUERT, H., LIEB, I. (1976). Differential- und Integralrechnung I. Heidelberg: Springer. GRAUERT, H., FISCHER, I. (1978). Differential- und Integralrechnung II. Heidelberg: Springer. HEUSER, H. (2000). Lehrbuch der Analysis. Stuttgart: Teubner. HILDEBRANDT, S. (2002). Analysis 1. Berlin: Springer. KABALLO, W. (1996). Einführung in die Analysis. Heidelberg: Spektrum. KÖNIGSBERGER, K. (2001). Analysis 1. Berlin: Springer. LEUPOLD, W. (1982). Mathematik Band III. Thun und Frankfurt/Main: Harri Deutsch. LEUPOLD, W. (1987). Analysis für Ingenieure. Thun und Frankfurt/Main: Harri Deutsch. MEYBERG, K., VACHENAUER, P. (1998). Höhere Mathematik 1. Berlin: Springer. MEYBERG, K., VACHENAUER, P. (1997). Höhere Mathematik 2. Berlin: Springer. OEVEL, W. (1996). Einführung in die numerische Mathematik. Heidelberg: Spektrum. PAPULA, L. (2001). Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band 1. Wiesbaden: Vieweg. PAPULA, Lothar (2001). Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band 2. Wiesbaden: Vieweg.

Seite 479

Literaturverzeichnis

REIFFEN, H.J., TRAPP, H.W. (1996). Differentialrechnung. Heidelberg: Spektrum. RUDIN, W. (1998). Grundlagen der Analysis. München: Oldenbourg. SCHIROTZEK, W., SCHOLZ, S. (2001). Starthilfe Mathematik. Stuttgart: Teubner. STORCH, U., WIEBE, H. (1996). Lehrbuch der Mathematik Band 1. Heidelberg: Spektrum. TRÖLSS, J. (2000). Einführung in die Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung und in die Qualitätssicherung mithilfe von Mathcad. Linz: Trauner. TRÖLSS, J. (2005). Angewandte Mathematik mit Mathcad (Lehr und Arbeitsbuch) Band 1: Einführung in Mathcad. Wien: Springer. TRÖLSS, J. (2005). Angewandte Mathematik mit Mathcad (Lehr und Arbeitsbuch) Band 2: Komplexe Zahlen und Funktionen, Vektoralgebra und analytische Geometrie, Matrizenrechnung, Vektoranalysis. Wien: Springer. TRÖLSS, J. (2006). Angewandte Mathematik mit Mathcad (Lehr und Arbeitsbuch) Band 4: Reihen, Transformationen, Differential- und Differenzengleichungen. Wien: Springer. WALTER, W. (1997). Analysis 1. Berlin: Springer. WALTER, W. (1995). Analysis 2. Berlin: Springer. WOLFF, M., GLOOR, O., RICHARD, C. (1998). Analysis Alive. Basel: Birkhäuser. WÜST, R. (1995). Höhere Mathematik für Physiker. Berlin: Walter de Gruyter.

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Sachwortverzeichnis

Sachwortverzeichnis

A abhängige Variable 69 Abkühlungsgeschwindigkeit 92 Abkühlungsgesetz 92 Ableitung 64 Ableitungen der Areafunktionen 105, 107 Ableitung der Exponentialfunktion 90 Ableitung der Logarithmusfunktion 90 Ableitung der Umkehrfunktion 88 Ableitungen in Parameterdarstellung 114 Ableitungen in Polarkoordinatendarstellung 123 Ableitung von Arkusfunktionen 99 Ableitung von Hyperbelfunktionen 105 Ableitung von Kreisfunktionen 99 Ableitungsfunktionen 67 Ableitungsregeln 73 Abschreibung 18, 19 absoluter Fehler 194 absolutes Maximum 45 absolutes Minimum 45 Abszissenfolge 35, 36 abzinsen 24 adaptive Quadratur 300 adiabatisch 384 alternierend 13 Amplituden 16 Amplitudengang 61, 62 Analysis 63 Anfangskapital 18, 28 angenäherte Funktionswertberechnung 191 angenäherte Fehlerbestimmung 194 Annuität 25 Anschaffungskosten 12, 19 äquidistante Punkte 10 Äquivalenzprinzip 24 Arbeitsintegrale 378 archimedische Spirale 119, 125, 320 Arkuskosinusfunktion 99 Arkuskotangensfunktion 99 Arkussinusfunktion 99 Arkustangensfunktion 99 Areakosinushyperbolicus 107 Areakotangenshyperbolicus 107 Areasinushyperbolicus 107 Areatangenshyperbolicus 107 arithmetische endliche Reihe 20 arithmetische Folgen 9, 10 arithmetisches Mittel 10, 390, 396 Asymptote 46 asymptotisch 47, 48, 49

asymptotische Grenzkurve 156 Augenblicksgeschwindigkeit 69 Ausgangsamplitude 16 Ausgleichsrechnung 242 Ausschaltvorgang 94, 95 Aussenwiderstand 53 axiales Flächenträgheitsmoment 361 axialsymmetrisch 261 B Bahnbeschleunigung 70 Ballon 84 Bernoulligleichung 387 beschränkt 2, 5, 6, 27 bestimmtes Integral 256 Betriebsminimum 170 Betriebsoptimum 169 Biegelinie 147, 150, 366 Biegemoment 150, 366 Biegemomentverlauf 367 Biegesteifigkeit 380 Bisektionsmethode 300 Blindwiderstände 54, 55 Bodediagramm 62 Bogenlänge 128, 306 Boyle-Mariotte 80, 384 Buchwert 12 C Cavalieri 336 Coulombsches Gesetz 383

D Dachfläche 22 Dämpfungsfaktor 16, 61 Dämpfungskurven 166 Definitionslücke 41 degressive Abschreibung 18 Deviationsmoment 364 Differential 69, 190 Differentialgleichung 94, 95, 112, 271 Differentialquotient 64, 69 Differentialrechnung 63 Differentiation von impliziten Funktionen 226 differentielle Arbeit 386 differentieller Volumenstrom 387 differentielles Flächenelement 389

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Differenzengleichung 7 differenzierbar 67, 69 divergent 27, 29 Drehellipsoid 338 Drehfläche 352 Drehkegel 337, 358 Drehkegelkörper 354 Drehkörper 336 Drehmaschine 14 Drehmoment 72, 342 Drehparaboloid 331, 340, 355 Drehzylinder 411 Dreieck 237 Dreieckslast 374 Dreiecksspannung 400 Dreifachintegrale 408 Doppelintegral 402 Drehzahl 14 Durchhang 109 dynamisches Grundgesetz 271 E Effektivwert 398 Einschaltvorgang 94, 95 Einweggleichrichter 202, 397 Elastizitätsmodul 150, 366 elektrische Feldkonstante 51, 383 elektrische Feldstärke 52, 188 elektrostatischer Filter 383 Elemente 1 Ellipsenbogen 347 Ellipse 118, 318, 347, 404 Ellipsoid 221, 330, 335 endliche Folge 1, 20 endliche Reihe 20 endliche geometrische Reihe 34 Energiedichte 72 Energieinhalt 386 Entropie 98 Erfolg 171 Erlös 171 Erregerfrequenz 60, 62 Erwartungswert 162 Eurozeichen 12 Evolute 129 Evolvente 129 Expansionsarbeit 384 Exponentialfunktion 90 Extremstellen 129 Extremwertaufgaben 177 Extremwerte 138, 231 Extremwertsatz 44

F Fallgeschwindigkeit 40 Fehlerbestimmung 194 Fehlerfortpflanzung 194 Fehlerfortpflanzungsgesetz von Gauß 236 Fehlerrechnung 236 Feld von Feldern 326 Feldstärke 50, 51 Fensterfunktion 43 Fibonacci-Folge 7 Flächen im Raum 217 Flächeninhalt 315 Flächeninhalt zwischen zwei Kurven 322 Flächenträgheitsmoment 150, 361 Fliehmoment 364 floor 8 Folgen 1 Formänderungsarbeit 380 freier Fall 69, 107 Freileitung 308 FRAME 29, 32, 33, 41, 63, 65, 67, 70, 71, 185, 232, 233, 297, 307 Frequenzgang 61 Fundamentalsatz der Algebra 141, 280 Funktionen in mehreren unabhängigen Variablen 217 G ganzrationale Funktion 141 Gaußsche Methode 242 Gaußsche Normalverteilung 162 Gebietsintegral 40, 408 gebrochenrationale Funktion 153, 280 gedämpfte Schwingung 16, 166 geometrische endliche Reihe 22 geometrische Folge 13 geometrisches Mittel 13 geometrische Stufung 14 geometrische unendliche Reihe 32 Gesamtblindleitwert 56 gespitzte Zykloide 120 Gewichtskraft 342 Gewinn 171 Gewinnschwellen 171 Gleichrichtwert 396 Gleichstrom 195, 391 Gleichstromquelle 53 Gleichungssystem 21 Gleichwert 390 Glühlampe 247 Gravitationsgesetz 381

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Gravitationskonstante 381 Gravitationskraft 378 Grenzwerte 26, 29, 35, 134 Grenzwertberechnung 26 Grenzwertsätze 38 Grundintegrale 264 Gruppengeschwindigkeit 80 Guldin Regel 345, 351

Integrationsvariable 254, 257 Integrieren 253 Intensität 72 Iterationsbeginn 30 Interpolieren 207 Interpolationskurven 207 Intervall 35 isobare Zustandsänderung 98 isotherme Expansion 384 Isothermen 158 Iterationsfolge 198, 204

H Halbkreis 330 Halbkugel 232 Halbkugelkörper 354 Halbkugelschale Halbleiter 245 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 258 Heavisidefunktion 42, 375 hebbare Unstetigkeitsstelle 41 Heißleiter 245 Herzkurve 127 Hochpunkte 138 höhere Ableitungen 69, 111, 223 Hohlzylinder 357 Hydromechanik 387 Hyperbelfunktion 105 Hyperbelkosinus 105 Hyperbelkotangens 105 Hyperbelsinus 105 Hyperbeltangens 105 hyperbolische Spirale 127 hyperbolisches Paraboloid 219 Hyperboloid 220 I ideales Gas 384 implizite Darstellung 85 implizite Differentiation 88 Impulsänderung 271 Induktionsbeweis 23 induktiver Blindleitwert 56 infinitesimaler Rauminhalt 402 Infinitesimalrechnung 63 Innenwiderstand 54 int 8 Integrabilitätsbedingung 230, 379 Integralfunktion 258 Integralrechnung 253 Integralzeichen 254 Integrand 254, 257 Integration durch Substitution 272 Integrationsgrenze 257 Integrationsintervall 257 Integrationskonstante 254 Integrationsmethoden 264

J Jahreszinsfuß 28 K kapazitiver Blindleitwert 56 Kapitalfolge 18 Kardioide 127, 405 Kegel 184 kegelförmiger Filter 178 Kegelstumpfmantelfläche 329 Keplerregel 298 Kettenlinie 109, 308 Kettenregel 81, 272 kinetische Energie Kirchhoffsche Gesetz 94, 95 Koeffizientenvergleich 280 komplexer Widerstand 58 Kondensatorspannung 102 konischer Trichter 84 konstanter Faktor 76 konstante Folge 2, 4 Kontinuitätsgleichung 84, 387 konvergent 26, 27, 29 konvergierende Folge 35 Konvergenzbedingung 198 Kosinusfunktion 99 Kostenfunktion 169 Kotangensfunktion 99 Kraftgesetz 72 Kraftstoß 271 Kredit 24 Kreis 124 Kreisfläche 316 Kreisfunktionen 99 Kreiskegel 228, 411 Kreisringkörper 351, 359 Kreisumfang 310 Kreuzkopf 186 kritischeTemperatur 160 kritischer Punkt Krümmung 128, 129 Krümmungsmittelpunkt 129

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Krümmungskreis 128, 129 Krümmungsradius 128 Krümmungsverhalten 139 Kugel 184, 196, 221, 330, 360 Kugelabschnitt 337 Kugelkondensator 50 Kugelkoordinaten 221, 410 Kugelvolumen 334 Kurve im Raum 217 Kurvendiskussion 138 Kurvenintegral 378 Kurvenstück 343 Kurvenuntersuchungen 138 L Ladungsmenge 392 Lagerbestand 11 l'Hospital 38 Leistung 72 Leiterquerschnitt 51 Leitstrahl 124 Lemniskate 125 limes 26 lineare Funktionen 73 linearer Mittelwert 390 Linearisierungsformel 192 lineares Fehlerfortpflanzungsgesetz 236 lineares Gleichungssystem 113, 146 Linienelemente 306 Linkskrümmung 140 linksseitige Ableitung 66 linksseitiger Grenzwert 35, 39, 41 logarithmische Spirale 126, 313 Logarithmusfunktion 90 Lücke 41, 153

mittlerer Wechselstrom 72 Mittelpunktsregel 294 Mittelwerte 390 Mittelwertsatz 192 mod 8, 9 monoton 2 monoton fallend 2, 5 monotone Folge 2, 27 monoton steigend 2 Modulo 8 N Näherungsformeln 193 Näherungsverfahren 198, 294 Näherungswert 45 Newton-Verfahren 198 Niveauflächen 378 numerische Integration 294 Nebenbedingungen 177 Nullfolgen 26 Nullstelle 45, 80, 153 Nullstellensatz 44 Nutzungsdauer 12 Normale 76 Normzahlen 13 Normzahlenreihen 14 O obere Schranke 2, 256 Obersumme 256, 257 Ohmsches Gesetz 195 Ordinatenfolge 35, 36 Oszillationsstelle 39 Oszillator 60

M

P

magnetische Feldstärke 51 Mantelflächen 329 Massenträgheitsmoment 240, 356, 413 Maximieren 233 Maximum 138, 177 Mehrfachintegrale 402 Messunsicherheit 194 Methode der kleinsten Quadrate 242 Minimum 138, 177 mittlere Bahnbeschleunigung 70 mittlere Beschleunigung 72 mittlere Energiedichte 72 mittlere Geschwindigkeit 69, 70 mittlere Intensität 72 mittlere Kraft 72 mittlere Leistung 72 mittlere Winkelbeschleunigung 72

Parabel n-ter Ordnung 141 Paraboloid 218 Parallelschwingkreis 56 Parameterdarstellung 114 Partialsumme 20 Partialsummenfolge 20, 29, 33 partielle Ableitungen 222 partielle Integration 277 Phasengang 61 planares statisches Moment 353 Plattenkondensator 73 Platzhalter 1 Polarachse 124 polares Flächenträgheitsmoment 361 Polarkoordinatendarstellung 114, 403 Polstellen 47, 48, 50, 153, 291 Polynomfunktionen 141, 207

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Potentialfeld 378 potentielle Energie 381 Potenzregel 73 Produktintegration 277 Produktregel 78 Pseudozufallszahlen 9 Pulsfunktion 43 Pyramide 336 Q Quadrat 195 quadratische Pyramide 335 quadratischer Mittelwert 398 Querkraft 150, 366 Querschnittsfläche 234, 336 Quotientenregel 79 R radioaktiver Zerfall 92 Rechtskrümmung 140 rechtsseitige Ableitung 66 rechtsseitiger Grenzwert 35, 39, 41 rechtwinkelige Koordinaten 219, 220 reelle Folge 1 reelle Funktionen 35 Regel von l'Hospital 134 Regula Falsi 203 Reihen 20 Reihenschwingkreis 54 Rekursionsformel 6, 79 rekursiv 30, 111 Relationen 85 relativer Fehler 194 relativer Zinsfuß 18 relatives Maximum 45, 231 relatives Minimum 45, 231 relatives Extremum 138 Rentenbarwert 23, 24 Rentenendwert 23, 24 Rentenkonto 23 Resonanz 61 Resonanzfrequenz 56 Resonanzkreis 54, 56 Restschuld 25 Restschuldmilderung 24 Restwert 12, 18 Riemann-Integral 256 Riemannsumme 295 Romberg Methode 300 Rotationskörper 329 Rückzahlung 25

S Sattelpunkt 139 Satz von Cavalieri 336 Satz von Schwarz 223 Satz von Steiner 359, 361 Schieberegler 3 Schleusentor 389 Schnittwinkel 75 Schranke 2, 4 Schrottwert 18 Schubkurbeltrieb 186, 199 Schuld 25 Schwerachsen 362 Schwerefeld 342 Schwerpunkte 342, 412 Schwerpunktskoordinaten 405 Schwingungsdauer 16 Schwingungsgleichung 16 Seillänge 309 Sekante 64 Sekantenverfahren 203 senkrechter Wurf 78 Sektorformel von Leibniz 315, 316 Serienkreis 94 sign 42 Simpsonregel 298 sinusförmiger Wechselstrom 239 Sinusfunktion 99 Slider 3 Spannkraft 308 Spannungsabfall 195 Spannungsfunktion 53 Spannungskennlinie 247 Sperrkreis 57 Splines 207 Stammfunktion 253, 254, 258 Startwert 45 Steigungsdreieck 67 statisches Moment 342 stetig 40, 67 stetige Funktion 40 Stetigkeit 35, 40, 254 Stoß 59 Strahlungsintensität 76 Strahlungskonstante 77 Streckenlast 147, 366, 374 streng monoton 2, 4, 10 Stromdichte 72 Stromflusswinkel 202 Stromfunktion 53, 102 Stromkennlinie 247 Stromresonanz 57

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Stromverteilung 51 Strömungsgleichung 387 Stückkostenfunktion 169 stückweise Stetigkeit 254, 257 Stützstellen 207 Stützwerte 207 Substitution 272 Summe der Reihe 29 Summenregel 76 Summensatz 1. Art 75 Symmetrieeigenschaften 138 systematische Messfehler 194

V

T

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion 162 Wärmestrahlung 201 Wechselstrom 72, 239, 391 Wellengeschwindigkeit 80 Wellenzahl 80 Wendepunkte 138, 139 Wertschranken 195, 196, 197, 237 Widerstandsmoment 238 Widerstände 14 Wirkleistung 239, 392 Wirkungsgradfunktion 53 Wirtschaftsgüter 12 Wurfweite 123

Tangensfunktion 99 Tangente und Ableitung 71 Tangentengleichung 65 Tangentensteigung 68 Teilkreisfläche 327 Teilsumme 20 Terrassenpunkt 139 Tiefpunkte 138 Tilgung 24, 25 Toleranzwert 262 Torricelli-Formel 387 Torus 351, 359 totale Ableitungen 228 totales Differential 229 Träger 147, 150, 366 Trägheitsmomente 356 Transistor 395 trapezförmig 22 Trapezlast 374 Trapezregel 294 U unabhängige Variable 69 unbestimmte Ausdrücke 27, 134 unbestimmtes Integral 253 uneigentliche Integrale 287, 291 uneigentlicher Grenzwert 26, 134 unendliche Folge 1 unendliche geometrische Reihe 34 unendliche Reihe 29 unendliche Zahlenfolge 20 Ungleichung 17 untere Schranke 2, 256 Untersumme 256, 257

Van der Waals 158 variable Kosten 170 Verkettung 82 Verlust 171 vollständiges Differential 229 Volumsberechnung 234 Vorzeichenfunktion 42 Vorzugszahlen 13 W

Z Zahlenfolgen 1 zeitabhängige Amplitude 16 zentralsymmetrisch 261 Zentrifugalmoment 364 Zerfallsgeschwindigkeit 92 Ziegel 22 Zielfunktion 177 Zinseszinsen 18 Zinsfuß 18 Zweiweggleichrichtung 396 Zwischenwertsatz 44 Zykloide 120 Zykloidenbogen 313, 319, 340, 348 Zylinder 219, 357 Zylinderhuf 335 Zylinderkondensator 188 Zylinderkoordinaten 219, 409 zylindrischer Behälter 180, 388

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