Koecher · Krieg Elliptische Funktionen und Modulformen
Max Koecher · Aloys Krieg
Elliptische Funktionen und Modulformen Zweite, überarbeitete Auflage Mit 26 Abbildungen
123
Prof. Dr. Max Koecher † Prof. Dr. Aloys Krieg Lehrstuhl A für Mathematik Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule Aachen Templergraben 55 52062 Aachen E-mail:
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Mathematics Subject Classification (2000): 11F11, 11F25, 11F27, 11F66, 30B50, 33E05
ISBN 978-3-540-49324-2 Springer Berlin Heidelberg New York ISBN 978-3-540-63744-8 1. Aufl. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1998, 2007 Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Text und Abbildungen wurden mit größter Sorgfalt erarbeitet. Verlag und Autor können jedoch für eventuell verbliebene fehlerhafte Angaben und deren Folgen weder eine juristische Verantwortung noch irgendeine Haftung übernehmen. Umschlaggestaltung: WMXDesign GmbH, Heidelberg Herstellung: LE-TEX Jelonek, Schmidt & Vöckler GbR, Leipzig Satz: Reproduktionsfertige Vorlage des Autors Gedruckt auf säurefreiem Papier 175/3100YL - 5 4 3 2 1 0
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013
x F (x) := a
dt p(t)
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( 1"" A' 011? 16#73 A " 01"I?16#"3' D 5 :
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2
−2
, p(t) 4 r ∈ C
p(t)
q(t) := p (r) · t3 + 12 p (r) · t2 + 16 p (r) · t +
1 (iv) p (r) 24
∈ C[t].
G
G = p(G)
2
G≡r
H :=
1 G−r
073
H 2 = q(H)
!"#
$ 0∗3 G ≡ r H = 1/(G − r) ( H ≡ 0 G = r + 1/H. ) G ≡ r G : G = p(G)5 $#
2
H = (G − r)−4 · G = (G − r)−4 · p(G) = H 4 · p 2
2
073' , H G : 073' : q(0) = 0∗3
2
G =H
−4
2
· H = (G − r) · q 4
1 G−r
1 +r H
1 (iv) p (0) 24
= q(H),
= 0
H ≡ 0'
= p(G).
2
7
q H 35 ; ' H αH + β 5 α, β ∈ C5 α = 0' q ! q(t) = 4t − c t − c 0I3 ' D* ; 5 : D I' H! ; D 7' H ; 5 ( 1B" : ' #$$ 01B1?1B2"3 0%# # &5 #?23' ! ( : ' ' ' 01B1"?1B263 ( 1B @ E : < 8 0' # ( &3' $ 9 ( 1B" : '' % 016"?1B773 0: ' R1B"S )T5 I?115 & R12#BT5 KI3 % p(t) 9 ' $ a, b ∈ C5 a = b p(a) = p(b) = 0' ; 0 = γ ∈ C% γ · (G − a), Grad p(t) = 3, H := γ · (G − a)/(G − b), Grad p(t) = 4. 3
2
3
03 H Q 4 H = AH 4 + BH 2 + C, A, B, C ∈ C, AC = 0. 2
: 0 = γ ∈ C < % ! 0"3 H = C · q(H), q(t) = (1 − t ) · (1 − k t ), k ∈ C, k = 0, 1' F k ' ; G * ) ' H : 9 0I3 2
2
2 2
2
2
p(t) = 4(t − a)(t − b)(t − c)
5 ;'8' k 2 = (b − a)/(c − a).
p(t) H I5 k ** : < 9 ' $ * ! ) H 2
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x 0
dt (1 −
t2 )(1
− k 2 t2 )
) 0 H 3 % ! # , ! t = sin ψ 03 ; ) 4
I
ϕ
063
0
dψ , 1 − k 2 sin2 ψ
ϕ = arcsin x,
% ( ' ' - "# A 8 * ; ( 5 G Q 03 ; <; ! ( $ G % , ; p(t) := 1 − t 5 '' k = i 035 4
x
013
√
F (x) := 0
dt , 0 ≤ x ≤ 1. 1 − t4
: 1 − t = (1 − t)(1 + t + t + t ) ≥ 1 − t 0 ≤ t ≤ 1 ) F (1) =: σ 0: ' !3' 4 F : [[0, 1]] → [[0, σ]] ( ( E G : [[0, σ]] → [[0, 1]] $ G = 1 − G , G(0) = 0 , G (0) = 1' 03 . H'.' 01B?16S ) * 5 ? ? 9 * 1211?1213 16"# ( $ : F % ("& % " x ≥ 0 4
2
2
3
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2F (x) = F
√
1 − x4 2x · 1 + x4
.
E G < ." " u ≥ 0
G(2u) = $#
; t
2G(u)G(u) . 1 + G4 (u)
;
t · dt = 2s(1 − s )/(1 + s )
2
= 2s2 /(1 + s4 ) 2 1 − t4 = (1 − s4 )/(1 + s4 )
;
√
, s √
2
4
4 2
· ds,
√ dt ds = 2· √ . 4 1−t 1 + s4
5 t = 2r · √1 − r /(1 + r )5 √1dt− t = 2 · √1dr− r .
= 2r 2 /(1 − r 4 )
√ ds dr = 2· √ , 4 1 − r4 1+s
8 * '
4
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"
03 / 4 G : 0I3
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2
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G(u + v) =
G(u)G(v) + G(v)G (u) . 1 + G2 (u)G2 (v)
8 "5 * ) < ; ( ' % Q : ;' 8 * : , *5 E : ) 4 0135 '' G : Q 4 035 : 4 ' ( * * 4 ; ' G ( * 03 < G(iu) = iG(u)' 073
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1 2
p=
−a a ,q= ,a>0 0 0
z=
x , y
((x + a)2 + y 2 ) · ((x − a)2 + y 2) = a4
' ( (x +y ) = 2a (x −y )' 9 5 9 2a = 1 :; 5 D p, q √2 ; % (x + y ) = x − y ' 03 2
2 2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
6
4 D x = r cos ϕ , y = r sin ϕ , r ≥ 0 , 0 ≤ ϕ < 2π5
5 ( 03 ( r = cos 2ϕ , 0 ≤ ϕ < 2π ' 073 ) 5 8 < s = s(t) D ! r = r(t) ϕ = ϕ(t) : Q s =x +y =r +r ·ϕ 0I3 ' 2
2
2
2
2
2
2
, $ 0 ,
s = 2
$#
r2 . 1 − r4
073 rr = − sin 2ϕ · ϕ 5
r 2 r = sin2 2ϕ · ϕ = (1 − cos2 2ϕ) · ϕ = (1 − r 4 ) · ϕ . 2
2
0I3 <
2
2 2 s = r · 1 +
r4 1 − r4
=
2
r2 . 1 − r4
2
8 < ( V 5 r D! (< ' ( 8 < R √
F (R) := 0
dr , 1 − r4
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D Q 5 ( ; G D r = r R = r 8 ; √ P
Q
R = 2r ·
1 − r 4 /(1 + r 4 )
' 8 4 5 V : R r ( 1−r R = 4r · ;(' r = 1 2t+ t t = 1 2R (1 + r ) −R - ( C* ; F : V ! ( ; : ' < 4
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013
E(x) := 0
1 + At2 + Bt4 √ dt 1 + Ct2 + Dt4
; " 4 03
x2 y 2z 2 x2 + y 2 + z 2 B+ BD E(x) + E(y) − E(z) = xyz · −A − 2 6
√ x 1 + Cy 2 + Dy 4 + y 1 + Cx2 + Dx4 z := . 1 − Dx2 y 2
073 5 4 A = B = 0 :G ; ,; : " '' ) $* x2 y 2 + 2 = 1 , a > 0 , b > 0, a2 b
V y=
b√ 2 b x a − x2 , y = − √ , 0 ≤ x < a. a a a2 − x2
< 8 < ) 4 1 a
x 4 x/a√ a + (b2 − a2 )s2 1 + kt2 b2 − a2 √ ds = a √ dt , k := , a2 a2 − s2 1 − t2 0
0
( s = at ' x/a
a 0
1 + kt2 dt (1 − t2 )(1 + kt2 )
5 03 4 8 < ! '
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!" % 3
( 12' A ! F ' , ( 1B : C '' # 016B#?1B""S 1BB * J 3 ' 8 < 6 : 9' ' & 01B#?1B23' E G H "' H ' ) 8 / : .'H'A' '& 01B#I?1B"135 (< ;( 8 2 : '& I : & ' ,( & 4 ! / A 1B6+B 05 6 5 7?7BB3 '& 8 ! A 1B2 0# ( 5 I2?723 * ) * 4 8 ; E! * ) % 95 ( ( ; '& ( ' ! @ 4 ' $ ( * * 4 , : 12 ( ' $ 5 & F : '& 8 ; ( $ (' ) '& H ; ϕ % ) 063 1
'
ϕ
013
u := u(ϕ) := 0
dψ 1 − k 2 sin2 ψ
: % 0R1B"S )T5 1I3 8 -5 ϕ = am u E : 013 4
sin ϕ = sin(am u) ,
cos ϕ = cos(am u) ,
1 − k 2 sin2 ϕ = ∆(am u)
9 .' " 0162B?1B"S . A
!3 ; sn u , cn u , dn u' 03 '& ; 5 4 03 ;( N < O D 5 < 4K 2iK K := u(π/2)' ) H < '& : ' ! $ : & '& ( 0#' '&5 # ( 5 1?B3' $ ,' 1#% # 23 3
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5 D : C 5 03 f : C \ D → C * 03 D : D D ' J D : C 5 ( ; - c ∈ C E U : c 5 D ∩ U ' 4 U - < E : c ' XM : 5 {z ∈ D ; |z| ≤ ρ} - ρ > 0 ' 013 f c ∈ D 5 ( f c * ; 5 ( *: ; F m E U : c 5 (z − c) · f (z) U \ {c} < ' 03 8 ; 9 : * : f 5 f = 0 C *5 ( ; - c ∈ C n ∈ Z5
E U : c * 4 g : U → C $ f (z) = (z − c) · g(z) z ∈ U \ {c} g(c) = 0' 073 n =: ord f ) f c' C * 4 ( M ; ' (
* 5 8 * : * 4 ; 5 4 ' 03 f g αf , α ∈ C , f + g f · g ( * D = D , α = 0 , D ⊂D ∪D , D ⊂ D ∪D ' 9 ) <; 9 0 = f ∈ M
C' 1/f C *
f
f
f
f
m
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c
αf
f
f +g
f
g
fg
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g
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3 * 4 C ,* C / ' $( / f (c) := ∞ c ∈ D < - ; - * 4 f f : C → P(C) := C ∪ {∞}' @ * M E 5 α α =∞, = 0 , α · ∞ = ∞ α = 0 (' c+∞=∞, 0 ∞ - +
f
1
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' : ( 0 D : f - f ∈ M' $ ; Per f D : f ' 03 5 Per f 8 C ' 4 0D'3 z ∈ C5 ( , : 0D'3 < 5 0D'13 M
; : 0D'3' 9 Per f = C - 4 f ' 1
f
f
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f
$ " f ∈ M
Per f , 8 (C, +)#
$# ) Per f 5 *( : ω ∈ Per f , n ≥ 15 ω := lim ω ' 0D'13 D + ω = D 5 D C ' ) f c *5 f c + ω * f (c) = f (c + ω ) n' 2 9 ) <; f f (c) = f (c + ω)' n
f
n→∞
f
n
f
n
$ 8 G D ' " "8$ " f ∈ M
! 0 9
17
0)3 Per f = {0}' 0))3 : , , ! & + , ω ∈ C \ {0} : ! Per f = Zω := {mω ; m ∈ Z}' 0)))3 : , ω , ω ∈ C \ {0} ! : !
03 Per f = Zω + Zω := {m ω + m ω ; m , m ∈ Z}' 03 ω , ω
,0 ", R# 03 τ := ω /ω !" Im τ > 0, |Re τ | ≤ |τ | ≥ 1# ω , ω ∈ C \ {0} Q < R5 ( ω /ω
' $# , Per f = {0}' Per f 5 1013 ω ∈ Per f $ 0 < |ω | = inf{|ω| ; 0 = ω ∈ Per f }' 0∗3 ; < D H Rω ' - " +0 Per f ∩ Rω = Zω ' $# CQ Zω ⊂ Per f ∩ Rω ' 4 ω ∈ Per f ∩ Rω α ∈ R ω = αω ' (< m ∈ Z |α − m| < 1 < f
f
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|ω − mωf | = |α − m| · |ωf | < |ωf |.
ω ω ω − mω ; Per f ∩ Rω G5 ω = mω 0∗3' 2 Per f ∩ Rω ⊂ Zω ' f
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f
f
Per f H 05 Rω 5 0))3 8 * ' F $ ! 5 Zω = Zω ω, ω ∈ C ω = ±ω *; ' Zω = Per f ! ' 9 1013 $ ω ∈ Per f \ Zω
•
... ......... ......... .......... ......... .......... ......... . . . . . . . . ...... ......... ......... .......... f ......... .......... ......... . . . . . . . . ....... .......... .......... . . . . . . . . .. ......... ......... .........
f
(∗∗) |ω1 | = inf{|ω| ; ω ∈ Per f \ Zωf }.
, ω := ω ' τ := ω /ω ∈/ R 8 * ' ω , ω < R' ) ' ω −ω ;5 ! $ < Im τ > 0 ' 0∗3 |ω | ≥ |ω |, |τ | ≥ 1. 2
f
1
2
1
1
1
1
2
2
•ω
0
' % D
f
f
•
•
1
f
f
•ω
. .. ... .. ... 1 ... .. ... ....................................... . ................................... .. .. ................................................................... ... 2 ............................................................. .... . . ... .. ... .. .. ... ... . ... .. ... .... .. ... . .. . .. ... .. .. . ... .. .. ... .. .... ... .. . . .. ... .. .. . ... .. .. ... ... ... .. .. ..... .... .. .. .. ... ... ... ... ... .... .... . ... .. 1 ......................... .. .................................. .. ................................... .. .................................. ...................................................................... .
ω + ω2 •
ω •
•ω
0•
•ω
' 7% D
1I
0∗∗3
|ω1 ± ω2 | ≥ |ω1|,
|τ ± 1| ≥ |τ |
|Re τ | ≤ 1/2' CQ Zω + Zω ⊂ Per f ' , ω ∈ Per f ' ω , ω R!8 : C 5 α , α ∈ R ω = α ω + α ω ' 9 (< m ∈ Z β = α − m , |β | ≤ , j = 1, 2' 1
2
1
j
j
j
1
2
1 1
2
2 2
j
1 2
j
ω := ω − m1 ω1 − m2 ω2 = β1 ω1 + β2 ω2 ∈ Per f.
) β = 05 ω = 0 8 * ' 9 β ω ∈ Per f \ Zω
1
1
= 0
5
f
|ω |2 = |β1 ω1 + β2 ω2 |2 = (β12 · |τ |2 + 2β1 β2 · Re τ + β22 ) · |ω2 |2 ≤ (β12 + |β1 | |β2| + β22 ) · |τ |2 · |ω2 |2 ≤ 34 |ω1 |2 ,
( 03 ' * ; 0∗∗3' ω = 0
Per f = Zω + Zω 5 '' 0)))3' 22
1
2
$ V
@ n ≥ 15 ;'8' V = R ' $ Ω : V J V 5 ( R!8 (ω , ω , . . . , ω ) : V Ω = Zω + Zω + . . . + Zω ' (ω , ω , . . . , ω ) $ : Ω' $ ω ∈ Ω 4 ω = m ω + m ω + . . . + m ω m , m , . . . , m ∈ Z ,
ω ω , ω , . . . , ω ", Z# CQ Ω λΩ := {λω ; ω ∈ Ω} H V 5 0 = λ ∈ R' ) 4 0)))3 D Per f H R!@ C' ) 4 ! : ( n
1
2
n
1
2
n
1
1 1
2 2
2
n n
n
1
2
n
1
2
n
, 3 Ω C , C#
$# 4 ρ > 0 M = {ω ∈ Ω; |ω| ≤ ρ}' ) ' ρ ρ/|ω |
;5 $ < Ω = Zτ + Z, τ = x + iy ∈ C, y > 05 ' ) ω = mτ + n ∈ M m, n ∈ Z5 2
ρ2 ≥ |mτ + n|2 = (mx + n)2 + m2 y 2 ≥ m2 y 2 ,
|m| ≤ ρ/y' ρ ≥ |mx + n| ≥ |n| − |mx|,
M '
|n| ≤ ρ (1 + |x|/y) . 2
1"
3 $ 8 ( 4 ! / 8 : ") *+#" R12IT5 ))5 15 K5 A 12' 3 4< 0))3 0)))3 - +
("&9 " 8 G = {0} (Rn , +)
/ 9
03 G # 03 : ,
,0 & c , . . . , c 1
G = Zc1 + . . . + Zcr #
r
∈ Rn , 1 ≤ r ≤ n
$ $ / ;'8' ' R12B"T5 )'"'"' 3 4 ! ( 8 D ! Per f ! * 4 f ' Per f = {0} N 4O ; 5 - : F ) ' ) 0 = ω ∈ C5
; 4 f Per f = Zω' (< f (z) = exp(2πiz/ω)' 9 - - 5 H' " R##T5 ,; 1'7'5 ; - ! ; 4 f Per f = Zω C\{0} * 4 F $ f (z) = F (exp(2πiz/ω)) z ∈ C. 8 : K7 ; ( 5 ; - H Ω C * 4 f Ω = Per f 5 $! : H C :' 9 8 F ! ' 9 : +"+ ) A 1B7" < .'H'A' '& 0# ( 5 7?"#3 4 5 ( : N < O D ! * 4 5 ; 5 F G! ;( ' , $ ( ,* $ " % Ω 8 (C, +) ω1 , ω2, ω3 ∈ Ω ,
, m1 , m2 , m3 ∈ Z m1 ω1 + m2 ω2 + m3 ω3 = 0.
- $ : Ω Q < ' 4 8 ( ; 8;<" 2 7 + 2 N
ω , ω , ω ∈ C , m , m , m ∈ Z : ! % |m |, |m |, |m | ≤ N, 03 1
2
3
1
2
3
1
03
2
3
√ 6 2 |m1 ω1 + m2 ω2 + m3 ω3 | < √ · max{|ω1 |, |ω2|, |ω3|} N
'
1
; M := max{|ω |, |ω |, |ω |}
m, w := m ω + m ω + m ω m = (m , m , m ) , w = (ω , ω , ω ). , J ( * V C * 0 ! < 2K Q(K) ; 5 Q(K) := {z ∈ C ; |Re z| ≤ K , |Im z| ≤ K}' 4 m = (m , m , m ) ∈ Z 0 ≤ m ,m ,m ≤ N 0∗3 m, w ∈ Q(T ) T := 3MN ' : Q(T ) ( t ' < F : Q(T ) t V < 2T /t' ; m ∈ Z 0∗3 (N + 1) ' 9 ! , 4 (N + 1) > t ( ;( D m , w m , w V < 2T /t'
< Q ; 0 = m ∈ Z 03 √
m, w ∈ Q (2T /t)5 | m, w | ≤ 2 · 2T /t' 0∗∗3 (< t ∈ Z (N + 1) > t ≥ (N + 1) − 1' (N + 1) > t t ≥ N ' 0∗∗3 03' 2 F $ : '& 1013 ρ > 0 |ω| ≥ ρ 0 = ω ∈ Ω' 4 J N , : 03 22 9 ' : '&
8 ( 4 ! ! ' 8 ( % ) Ω E ** : C ω , ω ∈ Ω < R5 : '& Ω ⊂ Qω + Qω ' 013 $#
1
1 1
2 2
1
2
3
2
3
3 3
t
1
2
3
1
2
3
3
1
2
3
2
3
3
3
2
3
3/2
3
2
3/2
3/2
1
1
2
2
, : , N ∈ N : !
1 (Zω1 + Zω2 ). N ω ∈ Ω
Ω⊂
( 5 ''5 <
$#
0 = ωk =
013 J 9
1 (rk ω1 + sk ω2 ) ∈ Ω , k ∈ N Nk
5
; F r , s , N , ggT(r , s , N ) = 1 N → ∞ k → ∞'
D Zω + Zω $ < 0 ≤ r , s ≤ N 5 |ω | ≤ |ω | + |ω | k ∈ N 5 ( *( : H : : (ω ) ' Ω 5 ( * '2 k
k
k
k
k k∈N
k
k
k
k
k
k
k
1
1
2
2
16
8 0: ' ' $& R12B#T5 ,; "'"'13 - E **
; H ** ( ' 9 D! * Ω E ** ! H ** 5 ' Zω + Zω ⊂ Ω Ω ( H ' ! GL (2; Z) 1
2
a b ; a, b, c, d ∈ Z Mat(2; Z) := U = c d
; ! ! * $ E := ( )' H ** $ Mat(2; Z) J
; ", Z ( GL (2; Z) ; ! % (1) GL (2; Z) := {U ∈ Mat(2; Z) ; V ∈ Mat(2; Z) UV = V U = E}. 1 0 0 1
=> %" &8("& " U ∈ Mat(2; Z) 0/ 9
03 U ∈ GL (2; Z)' 03 det U = ±1' 03 U , ", Q U ∈ Mat(2; Z)# 0:3 -,, U : Z → Z , x → Ux ,7# 0:3 -,, U : Z → Z , x → Ux 7# 0:3 Q ' $# )* 03 ⇒ 03 ⇒ 0:3 ⇒ 0:3 =⇒ 03% $ u, v ∈ Z Uu = Uv = 5 '' UV = E V := (u, v)' det U · det V = 15 03' 03 =⇒ 03% : ( 1 d −b a b . U = U= c d det U −c a 2 −1
2
2
2
2
2
1 0
0 1
−1
9 H ** GL (2; Z) 9 SL (2; Z) := {U ∈ GL (2; Z) ; det U = 1} 03 : GL (2; Z)5 + ; ", Z' GL (2; Z) = SL (2; Z) ∪ SL (2; Z) ·
1 0 0 −1
SL (2; Z) ) GL (2; Z)' H ** GL (2; Z) ;(' SL (2; Z) N GJ O ; < % 4 U = ( ) ∈ GL (2; Z) ; < ±1 = det U = ad − bc5 ;'8' c d ! ' E a b c d
+/& +8$ " c, d ∈ Z !
, '
∗ ∗ ∈ SL (2; Z). U= c d
1B
< U , ! ( 10 k1 ) k ∈ Z ,#
c, d 5 a, b ∈ Z ad−bc = 15 ''5 U = ( ) G ; SL (2; Z)' ) V ∈ SL (2; Z) ( V = ( )5 $#
∗ ∗ c d
∗ ∗ c d
V U −1 =
( V U
−1
= ( 10 k1 )
d −b −c a
∗ ∗ 0 1
=
a b c d
∈ SL (2; Z),
k ∈ Z'
2
3 8 * U = 2E ; 5 ? H ; ;
, G* ? 8 N U : Z → Z - :O XM : ;!,; ' 3 $ < ; ! : ; 8 * % ;
- +
2
2
514 229 832 040 89 144 3 10 2 3 3 1 , , , , 832 040 1 346 269 144 233 2 7 3 5 2 1
G ;'8' ; SL (2; Z)' 3 $ n × n ; ' : @'1'1 ' R12B"T5 .*')5 ' ) R126T5 .*'))' 1 -"8$ " Ω C (ω1 , ω2 ) $ Ω# "
ω1 , ω2 ∈ C
9
3
ω ω + Ω
U ∈ Mat(2; Z) , ω ω =U . 013 ω ω 3
(ω , ω ) $ Ω
' U 013 + 1
2
1 2
1
GL (2; Z) # $#
1 2
2
3 , ω , ω D : Ω5 a, b, c, d ∈ Z 1
2
ω1 = aω1 + bω2 ,
ω2 = cω1 + dω2,
ω ω a b =U 0∗ 3 U = c d ∈ Mat(2; Z). ω ω H 0∗35 G ω ω ; Ω' 3 ) (ω , ω ) 8 : Ω5 V ∈ Mat(2; Z) $ = V ' $ 1 2
1
1 2
1
2
ω1 ω2
2
ω1 ω2
ω1 ω1 =VU ω2 ω2
ω1 ω1 = UV . ω2 ω2
12
< 5 V U = 5 "013' 5 0∗3 ; < < R' ) W ∈ Mat(2; Z) 4 ω ω = W U ωω . ω , ω - ( : ω , ω Z' ω , ω
8 : Ω' 2
(ω1 , ω2 ) (ω1 , ω2 ) R UV = E U ∈ GL (2; Z) U ∈ GL (2; Z) (ω1 , ω2 ) ω1 , ω2 ∈ Ω ω1 ω1 =W , ω2 ω2 1
1 2
2
1
u+ω .. .. .. ... ... ... ... . ... ... ... ......... ... ... .. .......... .. ... ... ........... .. ... ... .. .......................... ..... .... ..... ..... . . ....................... . ... . . . ... . .... . . ................. ... .. .. ... ..................... .. ... ... ....................... ... ... ... .. ........................... .. ... ... ... ..................... ..... ω2 ... ... ....................................... . . . . .... . . . .... . . . ..... . . ... .. ... ω2 ...... ω1 .......................................................................... ... .. ... ... . .................. ... ... ... ... .................. ... ... ... ... .............................. . . . . . . . .... . . . . . .......... .. ... ... ... ................. .... ... ... ... ................. ... ... .. ... .......... ... ... .. ... ... ... ... ... .... .... .... .... ..... ω1 . .. .. ... ... ...
•
2
1
2
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ...
◦ u + ω1 + ω2
... ... ... ... ... ...
3(u; ω , ω )
◦
ω + ω2 ◦
ω◦
•
•
1 2
... ... ... ... .. ... ... ... . .. .. .. .. 1 2 .... 2 . .. 1 .. .. ... ... . .. .. ... ... ... ... ... .. ........ ... . . . . . .... . . . .. ... ... . . .. . .. ... ... .. . ... ... ... . . . . . . . . ... . ... .. ... ... ... .. .. .. ... ... .. .. .. 2 .. ... ... ... . .. .. ... .. . .. .. .. ... .. ... . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. ... . ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. . .. ... ........... . . . . . . . . . . ... . . . ... . ............. . . .. ............. .. 1.... .. .............. .. ............. .. . ... .............. ............................ ... .. . . . . .... . . . . . . . ...... . .............. .... .. ................ .. .. ... .. ... ........... . . . . . . . . . . . ... . .......... 1 .. .............. .. ............. .. .............. ............. .. ............. ... ............. . . . . . . . . . . ... . . ......... . ............. 1 2 ..............
ω +ω2 ... 1 ..
•
−1
•
◦ u+ω
•
• u
' I% H
◦ω
3(ω , ω )
0•
' "% D * $ Ω H C (ω , ω ) 8 : Ω' 4 u ∈ C / 0 ; ω , ω $ u3 3(u; ω , ω ) := {u + α ω + α ω ; 0 ≤ α < 1 , 0 ≤ α < 1}' 03 ) 4 u = 0 073 3(ω , ω ) := 3(0; ω , ω ) = {α ω + α ω ; 0 ≤ α < 1 , 0 ≤ α < 1}
3(ω , ω ) H ' A D *! P := 3(u; ω , ω ) , : C ; Ω , % 1
2
1
1
1
2
1 1
2
1
1
2
2
2 2
1 1
1
2 2
2
1
2
2
1
2
, ; 2 7 z ∈ C ,
ω ∈ Ω z + ω ∈ P #
, z z + ω , ω ∈ Ω + P
ω = 0#
$# (< ξ , ξ 1' 1
2
∈R
z − u = ξ ω
1 1
+ ξ 2 ω2
; ξ ξ 1
2
2
9 ; - H : D * 5
#
, - . 0 ,, .
P = 3(u; ω1 , ω2 )
vol Ω := |Im (ω1 ω2 )|
'
,0 ( $ (ω1 , ω2 ) Ω $
u#
! 4< D P ! ; < 0: ' R1226T5 )@'1'3
$#
Re ω1 Re ω2
. F := det Im ω1 Im ω2
$ @ / F = |Im (ω ω )|' ) ω = aω +bω , ω = cω +dω a, b, c, d ∈ Z , ad − bc = ±15 ( 8 : Ω 8! 5 1 2
1
1
2
2
1
2
F = |Im (ω1 ω2 )| = |Im (adω1 ω2 + bcω2 ω1 )| = |ad − bc| · |Im (ω1 ω2 )|,
F
=F
'
2
$ Ω E ** : (C, +)' <
XM : ; C a ≡ b (mod Ω) ⇐⇒ a − b ∈ Ω' 013 XM : ; G 4 a + Ω , a ∈ C5 ( ' E ** : (C, +) Ω 9 : C' 4 ** ( C/Ω := {a + Ω ; a ∈ C} 03 ; D- π ; % π : C −→ C/Ω , π(a) := a + Ω' 073 ) Ω H C5 D* - D ! * P = 3(u; ω , ω ) $ < π| : P −→ C/Ω - :' 0I3 8 C/Ω (a + Ω) + (b + Ω) := (a + b) + Ω 0"3 ' C/Ω H ** 9 Ω' ) ; * : C D- 073 C/Ω5 C/Ω V * 5 ( C/Ω ; * * ' J / <J A : C/Ω Q 5 ( π (A) Q C ' 0I3 C/Ω = "+ C/Ω
1
P
−1
2
1
R : ' ; , D * ; /; ' - + 8 7 5 E ** Ω : (C, +) H 5 ( 4 ** C/Ω * ' 3
....................................... ...................... ........... ........... ........ ........ ...... ...... ..... ... .... ... ... . .. ..... ... ........................................................................................................................................................ . . . . . . . ..... ... .... .... . . .... . . ... . .. ... ... ... .. ... ... ... .. ... .... .... .. .. ... ... .. ... ... ..... ... .... ... ... ... ... .... ... . ... . . ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... .... .... ...... ..................................................................................................................................................................
... ............... ..... ....... ... ... ..................................................................................................................................... ... .. . . .. ... ... .. ... ... ... ..... ... ... ..... .... .. .. ... .. ... ... .. .. .. ... ..... .. .. ... ..... ... .. . ... .. .... .. ... .. .. ... .. .. ... .. . . . . . .. .. ... ... ... ... .. .. ... ... .. ... ... ... ....................................................................................................................................... ... ..... ...............
∨
...................................... ............ ........ ........ ...... ...... ..... .... ..... ... .... . ... ... . ... . . . . . . . ........... ................. . .. . . . . .... .... .. ........... ... . . . . ... ........ . . . .. ........................................ ... ... ... .. . ... . .. .... . . . ..... ..... ...... ...... ........ ........ ........... .........................................
' % C/Ω 5 ;'8' ! 4 013 α α ∈ C 2 - + ?* " #
n
g
g
g∈Zn
n > 1 4 : ;' 013 J |α | < C
, 5 ( C > 0 $ 7 E : Z ' 4 - 8- ϕ : N → Z α : H ;( 5 α ( 5 < E ; 0: ' ' - 5 H' " R##T5 ,; #'I'73 : ;< ϕ ' k∈N
g
g∈E n
n
g∈Zn
ϕ(k)
("& : , 4 ! ,, #
g
, Ω H C 8 (ω , ω )' δ := δ(ω , ω ) := sup{|z − w| ; z, w ∈ 3(ω , ω )} 013 ; G H ' 4 ρ > 0 A (Ω) ; H * 0 ρ5 %""
1
1
2
1
2
ρ
Aρ (Ω) := {ω ∈ Ω ; |ω| ≤ ρ} . ("& " ρ ≥ δ
π π (ρ − δ)2 ≤ Aρ (Ω) ≤ (ρ + δ)2 . vol Ω vol Ω
2
$#
: K := {z ∈ C ; |z| ≤ ρ}
Mρ :=
ρ
3(ω; ω1 , ω2) .
ω∈Ω,|ω|≤ρ
/ : δ Kρ−δ ⊂ Mρ ⊂ Kρ+δ .
= ; 4< 8 * 5 4< K = πρ 4< M = vol Ω · A (Ω) . 2
ρ
ρ
2
ρ
( .% + &8$ " 4
|ω|−α
0=ω∈Ω
α > 2# $#
, ; < α > 2 ∅ = E ⊂ Ω \ {0} ( M ' ,; < c > 0
max{|ω| ; ω ∈ E}
:=
2
An+1 (Ω) − An (Ω) ≤
n ≥ δ'
π · [(n + 1 + δ)2 − (n − δ)2 ] ≤ c2 n vol Ω
c1 :=
|ω|−α
0=ω∈Ω,|ω|≤δ+1
0: ' R1226S )T5 "'1#3
|ω|−α ≤ c1 +
ω∈E
(An+1 (Ω) −An (Ω))n−α ≤ c1 + c2
∞
n1−α =: C < ∞ .
n=1
n∈N,δ
: ( : α ≤ 0' , 0 < α ≤ 2 N ∈ N, N > 2δ' ,; < c > 0 3
AkN (Ω) − A(k−1)N (Ω) ≥
k ∈ Z, k ≥ 2' , E
n
ω∈En
|ω|−α ≥
n
π · (kN − δ)2 − ((k − 1)N + δ)2 ≥ c3 k vol(Ω)
= {ω ∈ Ω ; 0 < |ω| ≤ nN }
'
(AkN (Ω) − A(k−1)N (Ω)) · (kN )−α ≥ c3 N −α ·
k=2
n
k 1−α .
k=2
k α ≤ 2 : 0: ' R1226S )T5 2 "'1#35 : |ω| α ≤ 2' 1−α
k>1
0=ω∈Ω
−α
7
$ @ : ;! / )))''1' .4
03 G := G (Ω) := ω k ∈ Z, k ≥ 3 k
−k
k
0=ω∈Ω
: ' ω −ω ; Ω G5 < E ( ,; B G = (−1) · G 5 k
k
k
, : Gk (Ω) = 0 !" k ≥ 3#
F < J 5 G 9 5 ( ( ( ( ' ( ,; I' 5 G , k ≥ 4 5 '' : 9 : ' $ G ; ; $ ; ( * 4 5 ! D Q G G 0: ' 7'7$3' F 8 * 7G = 3G 11G = 5G G ' ; $ k
k
4
6
8
2 4
- 2 !
10
4
6
ζ(s) :=
∞
n−s , s ∈ R, s > 1.
n=1
8 < H Ω E ** N: 1O 5 ;'8' Ω = Z5 < , : 03 H : F := 2ζ(k) , k ≥ 2 5 ' " @ : π 5 F % k
k
2
5F4 = F22 ,
35F6 = 2F23 .
: ; R12B6T5 @'"'"' 3 0 = ω ∈ C
5 !
Per fn ⊃ Zω
(fn )n∈N
/ * ! & 9 (
: 1 * ! & ! &
C\{0}
f
Per f ⊃ Zω
8 " * 8 (
Ω = Zω1 + Zω2 + C !) ω = m1 ω1 + m2 ω2 ∈ Ω ω ∈ Ω Ω = Zω + Zω m1 m2 1 / Ω 0 n ∈ Z , n > 1" n ω ∈ = 1 m1 , m2 , m3 ∈ Z" 2 " √ √ √ √ |m1 2 + m2 ( 3 + i 5) + m3 i 7| < 1 ∗ 3
/; <
5
m21 + m22 +√ m23 ∗
3 K = Q( d) , d < 0 ; " /(; ' &, : &( √ 1+ d D Ω 8 * ' " Ω = Z + Z 2 , D = d" d ≡ 1 √ (mod 4)" Ω = Z + Zd , D = 4d : Ω + C !/ 1 9 2 |D|
I >
SL (2; Z) # * 1 * ( 11 01 ) ( 10 11 ) Ω = Zω1 + Zω2 + C δ :
? 3
@ :
δ(ω1 , ω2 ) = max{|ω1 + ω2 |, |ω1 − ω2 |}. 3
Ω = Zω1 + Zω2
:
3
Ω
@ 3
+
C
δ(ω1 , ω2 ) ≤ δ(ω1 , ω2 )
+
a, b ∈ R
C
τ := ω1 /ω2 ∈ C \ R , |τ | ≥ 1" |Re τ | ≤
) 7
(ω1 , ω2 )
$ * * 9 & 5 :
|e(ρ) − abπρ | ≤ cρ 2
)
Ω.
C ∈ R : ω1 , ω2 Ω !) ρ > 0 2 2 e(ρ) := (x, y) ∈ Z × Z ; xa + yb ≤ ρ
1 2
c > 0"
δ(ω1 , ω2 ) > C
ρ ≥ 1
5 # 6 *(A @ / # <
Ω = Zi + Z * 0 < c < c" ) 0 = m ∈ Z < c · |m|1−α ≤ (m2 + n2 )−α/2 ≤ c · |m|1−α .
5 ) " + 3
α > 1
:
n∈Z
1 6 *(A 3
Ω = Zω1 + Zω2
+
|ω|−α =
0=g∈Z
0=ω∈Ω
C
: )
α>2 Re (ω1 ω2 ) |ω1 |2 . S= 2 Re (ω1 ω2 ) |ω2 |
(g t Sg)−α/2 , 2
3 k ∈ Z , k > 2 5 Gk (Ω) = 0" √ Z 12 (1 + i 3) + Z k ≡ 0 (mod 6)
Ω = Zi + Z
k ≡ 0 (mod 4)
Ω =
8 * 5 ; H Ω C ! * 4 f Per f = Ω 0: ' 8 1'73' E ! $ ;
4 ! ( 8 4 ' $ ;!8 ( ( K7 ' ) D Ω = Zω + Zω H C' + " $ * 4 ! f C J * ; Ω5 ( Ω Per f D : f 0: ' 1'3 % Ω ⊂ Per f ' 013 D + ω = D ω ∈ Ω5 03 f (z + ω) = f (z) ω ∈ Ω z ∈ C \ D ' 1
f
2
f
f
"
) * 03 5 H z ω G 5 ( , : 5 013 4 : 03' 8 013 03 5 ( 8 : Ω ' $ ; K(Ω) ; Ω * 4 ' 4 0 = f ∈ M c ∈ C 0 ' - 5 H' " R##T5 1'1'73 %" ?: 4 f (z) =
an (z − c)n , am = 0, m ∈ Z,
n≥m
* E : c 5 * ; ! <J : ' ) f c ( 1'1073 ord f := m
4 f c res f := a <' 4 f ∈ K(Ω)5 ω ∈ Ω z
E : c + ω c
c
f (z) = f (z − ω) =
−1
an (z − [c + ω])n
n≥m
ord f = ord f ( res f = res f ' 073 * ; c c+ω , ω ∈ Ω5 D 0;(' 9 w !, 3 : f ∈ K(Ω)' D * < G 5 ; c+ω
c
c+ω
c
, K(Ω) ,+" Ω , 8 .
1 M ! C
0# 3 f ∈ K(Ω) 7 #
$ 8 013 03 5 ( $ " ' f (z)
f (z) g(z) := f (nz + w) 0 = n ∈ Z , w ∈ C
; K(Ω)'
,
% (/& % ) A 1BI6 A' %" 01B#2?1BB35 * 4 5 ; < ! $ < 0A' (' ' 225 66?71# 01BB#33% ("& ; f ∈ K(Ω)
f #
, P D * ' : P * 5 C > 0 |f (z)| ≤ C z ∈ P ' ) z ∈ C 5 D* 1' ω ∈ Ω z + ω ∈ P '
$#
|f (z)| = |f (z + ω)| ≤ C,
f C < ' 9 ,; : %" 0 ' 2 - 5 H' " R##T5 ,; B'7'"3 f ' ("& - f ∈ K(Ω) P
013
resc f = 0.
c∈P
1073 D* 1' , 013
< : : P ' , u (<5 ∂P : P , < ! ' f ∂P ' 9
; $#
± 2πi
u+ω 1
resc f =
c∈P
•u + ω
u•
f (z) dz +
u+ω 2
f (z) dz + u+ω1
u f (z) dz +
u+ω1 +ω2
u+ω 1
f (z) dz u+ω2
u
(f (z) − f (z + ω2 ))dz +
=
1
' 6% ) (
u+ω 1 +ω2
u
u + ω1 + ω2 •
............. .................................. ..... .. ... ... ... ... .... ... .. ... ... ... .. ... .. ... .. ......... . ....... .. ... ... .. ... ... ... .. .. ... ..... . .. .. ... ... ... .. ......................... ............................................................. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . ...................... .................................. .
u + ω2 •.........................................................................................................................
u
(f (z) − f (z + ω1 ))dz . u+ω2
f ∈ K(Ω) , 9 '
2
("& 6 f ∈ K(Ω) P
!" 7 w ∈ C
03
ordc (f − w) = 0,
c∈P
# #
&! +0 - + f
= - + w . f = - + f
P # + 7 . f ∈ K(Ω) P 7 ( # $#
9 1
g(z) :=
f (z) f (z) − w
( * 4 ; Ω res g = ord (f − w)' 8 * ,; 8' f 5 ; f − w 03 9 P 5 f − w ,; 1073 2 D P ' c
c
6
("& 0 = f ∈ K(Ω) P
(ordc f ) · c ∈ Ω.
073
c∈P
$#
2πi
( ,; 8 ; )
f (z) dz (ordc f ) · c = z · f (z) c∈P ∂P
u+ω 1 u f (z) f (z + ω2 ) f (z) f (z + ω1 ) − (z + ω2 ) dz + − (z + ω1 ) dz =± z z f (z) f (z + ω2 ) f (z) f (z + ω1 ) u u+ω u+ω 2 1 f (z) f (z) = ± ω1 dz − ω2 dz . f (z) f (z) u
u+ω2
u
f (u) = f (u + ω ) j
u+ω j
f (z) dz ∈ 2πiZ f (z)
j = 1, 2,
u
073' 2 9 ,; 8 * 4 D 1' C P ' $ ( ( ;( D 1' C D ' C
9 ; ' 8 ( : ' ' ' 5 ( ; < ;( 4' F< 9 ! D ! f ∈ K(Ω) @ 5 ,; . D a , . . . , a b , . . . , b P 5 f a , . . . , a 9 b , . . . , b D ' ( @ - ( ; D ' : ,; 1'6013 4 a + · · · + a ≡ b + · · · + b (mod Ω)' 0I3 ( 9' ' & 1B 05 6 5 1I"? 113' 9 @ : '& J 0I3 & 4 . # r ) * 4 f ' ,<; 8 5 * 4 C 0 * 4 C 1 ' ( 1' 5 r ≥ 2 0I3 $ ; * 4 : 9 ! D ' ' < &8("& + + M
; %" ,<; ; < 5 1
1
1
r
r
1
1
r
1
r
r
r
B
$ ; * 4 ! 8 * 4 ' $ ! ( , ' ; ( %" ,<; ( P < &8("& : , ℘ = ℘Ω
7
' ) #
Ω
%" .4 , 0
013
'
℘(z) = z −2 + a1 z + . . .
$ ( ; < D ; 0: ' '3' 9 1073 5 ℘ D
9 ' ,; ℘ * 4 013 ' ℘ ℘? 0; H Ω3' , 3 ℘ # # ℘(−z) = ℘(z)# : a = 0 013' 3 ℘
Ω 7' ) # $# 3 * 4 f (z) := ℘(−z) − ℘(z) 013 0 *' 9 ,; f 0 013' 2 3 8 * 3 $ ;!,;' 1
G ( 9 : ℘ '
/ Ω
ω/2 !
$ " ; ω ∈ Ω , ω/2 ∈ ℘ # 3 ℘ #
℘ * 4 5
$#
℘ (z + ω) = ℘ (z) = −℘ (−z).
) ω/2 D : ℘ ℘ 5 '' ω/2 ∈/ Ω5 z = −ω/2 ;
< ℘ (ω/2) = −℘ (ω/2), ℘ (ω/2) = 0. , ω , ω 8 : Ω' ) D * P = 3(ω , ω ) ℘ 9 ω /2 , ω /2 , (ω + ω )/2 . 0∗ 3 9 013 ℘ P D 7' C 0' H <J ,; . ; 9 : ℘ P 0 ;< @ 3 3' 9 0∗3 9 : ℘ P ' ) z 9 : ℘ 5 ω ∈ Ω z − ω ∈ P ' z − ω D 0∗3 z : 4 ω/2 ω ∈ Ω5 ω/2 ∈ / Ω' 2
1
2
1
1
2
1
2
2
2
4 ℘ u −u 9 ' $ " - : P # 2 w ∈ C5 w = ℘(ω/2) , ω ∈ Ω , ω/2 ∈ / Ω5 03 ,
+ u, v ∈ P ℘(u) = ℘(v) = w #
u + v ∈ Ω# , + u, v ∈ P ℘(u) = ℘(v) = w
03' $# ( ,; . ℘ ' 9 013 ; w !, : ℘ P 0 ;< @ 3 2' 4< % 3 $ u ∈ P ℘(u) = w' u ** w!, : ℘
℘ (u) = 0' 03 4 ' 3 $ ;( : u, v ∈ P ℘(u) = ℘(v) = w' ,; 2 u + v ∈ Ω'
(< - ; 8 ω , ω : Ω5 ; P := 3(ω , ω ) ; , !8 ; 073 e := ℘(ω /2) , k = 1, 2, 3 ω := ω + ω . 9 8 0I3 ℘(z) − e ** 9 P 5 < z = ω /2 k = 1, 2, 3 ℘(z) − w ;( 9 P w = e , e , e ' 0"3 ω /2, ω /2, ω /2 *( : 5 0I3 e ,e ,e *( : ' 03 $ ; Q ℘% 1
k
2
1
k
3
1
2
2
k
k
1
1
2
3
3
1
2
3
("& " z ∈ C \ Ω
℘ 2 (z) = 4 · (℘(z) − e1 ) · (℘(z) − e2 ) · (℘(z) − e3 )
$#
2
℘ * 4
'
2
' 9 0I3 f P 9 0 ;( ** 3 , f (z) := 4 · (℘(z) − e1 ) · (℘(z) − e2 ) · (℘(z) − e3 )
ω1 /2 , ω2 /2 , ω3 /2 = (ω1 + ω2 )/2.
9 ℘ ' D f ( G 5 f P D 0 ;( C ' 013 2
7#
0∗3 ℘(z) = z + . . . , ℘ (z) = −2z + . . . , ℘ (z) = 4z + . . .
℘ P D z = 0 ;( : C ! ' ℘ /f * 4 D 5 ,; ' @ 0∗3 Y; : z %" ! 2 $ ( 05 5 1 ' −2
−3
2
−6
2
2
−6
3 / 073 < : 8 : Ω ' 8 8 ( e , e , e * ' 3 5 ; < Y; : z z %" !$ ( : ℘ ; ; 5 ;( 4 Q ℘ 5 ( '' ( ' 3 $ 4 f ∈ K(Ω) ;( D C ;'8' - +
1
2
3
2
f (z) :=
4
℘ (z) − ℘ (w) , w ∈ C \ 12 Ω ℘(z) − ℘(w)
0: ' D* "'13' ( 5 f D 1' C , Ω −w + Ω ;' .@ K(Ω) 7013 5 D ℘ D ( G ' ℘ 5 ; G* C' G* C(℘) * ; G* 4 C' ("& 3 ,+" Ω
.
℘# 3 K(Ω) = C(℘)[℘ ]' 3 1 K(Ω) ", C(℘) 2# ,; 7 < - f ∈ K(Ω) f = R(℘) + Q(℘) · ℘ 5 013 ( R Q 4 C ' * 4 N 5 ( 4 ℘ O' $# 3 $ f ∈ K(Ω) ' C : f 5 ; D : f D * 0 ;< @ 35 m' P := 3(ω , ω ) ; G H
N := {c ∈ P ; f (c) = 0}' N ' 03 2 m m = 2k# 2 7 2 u ∈/ f (N ) ,
1
2
0∗3
c1 , . . . , ck , c1 , . . . , ck ∈ P , cj + cj ∈ Ω
!" j = 1, . . . , k
5
u f P
>∗? + &!
1'
71
9 ,; . ; u!, : f m' , c ∈ P f (c) = u ' f 5 f (−c) = u ω ∈ Ω c = ω − c ∈ P ( f (c ) = u' ) 4 c = c ( f (c + z) = f (ω − c + z) = f (−c + z) = f (c − z)5 f (c + z) = −f (c − z) f (c) = 05 u ∈ f (N ) ' c c = ω − c : u!, : f D ' u ∈/ f (N ) - u!, @ 1' 03 f
℘# (< v = u f (N ) < 03 D d , . . . , d , d , . . . , d , d + d ∈ Ω j = 1, . . . , k 5 0∗∗3 v : f P , 0∗∗3 ( 5 ;( @ 1' * 4
1
k
1
k
j
g(z) :=
j
f (z) − u f (z) − v
0∗ ∗ ∗3 9 P , 0∗35 ;( C 15
D P , 0∗∗35 ;( C 15 D : f ' D (∗) (∗∗) *( : 5 1 cj , cj , dj , dj ∈ / Ω. 2
h(z) :=
(℘(z) − ℘(c1 )) · . . . · (℘(z) − ℘(ck )) (℘(z) − ℘(d1 )) · . . . · (℘(z) − ℘(dk ))
$ 0∗∗∗3' V g/h *5 ,; ' g ∈ C(℘) ( f=
vg − u g−1
8 * ' 3 ) f ∈ K(Ω) ! 5 1 1 (f (z) − f (−z)). f = g + h℘ g(z) := (f (z) + f (−z)) h(z) = 2 2℘ (z)
CQ G g h ; K(Ω) ' 9 3 g h 4 : ℘' 2 3 ℘ ∈/ C(℘) 8 * ,; 7'
7
) 4 < ." ; " ", C
,0 8 , X, Y
K(Ω) ∼ = C(X)[Y ]/I(X, Y )
I(X, Y ) Y 2 − 4(X − e1 )(X − e2 )(X − e3 ) + <
C(X)[Y ] ,+ #
/ ! * Φ : C(X)[Y ] → K(Ω) X → ℘ , Y → ℘ . 9 ,; Φ - :' ϕ ∈ C(X)[Y ] : G* C(X) 4 $#
ϕ(X, Y ) = Y 2 − 4(X − e1 )(X − e2 )(X − e3 ) · q(X, Y ) + r(X, Y )
q, r ∈ C(X)[Y ] r(X, Y ) = r (X) + r (X) · Y r (X), r (X) ∈ C(X)' Q ,; 7 ϕ : Φ5 ( r(℘, ℘ ) = 0 ' 013 r(X, Y ) = 0' < Φ = I(X, Y ) 8 * * !,; 2 ' 1
2
1
2
9 ,; K(Ω) , ; ; 1 C 0: ' $& R126T5 '1#83' - ;( $ : K(Ω) < < ." - 2 f, g K(Ω) , . P (X, Y )
C[X, Y ]
P (f, g) = 0.
K(Ω) G* 5 I(X, Y ) )
Y − 4(X − e )(X − e )(X − e ) ; D ' !9 % 4 - ϕ : C/Ω → Z < : ϕ /
- +
C(X)[Y ] Y C(X)
2
1
Grad ϕ :=
2
3
ϕ(c) ∈ Z.
c∈C/Ω
E : C/Ω : ϕ : C/Ω → Z < H ϕ = 0' 8 * ( : (C/Ω) : : C/Ω H ** ' A 0 = f ∈ K(Ω) ϕ : C/Ω −→ Z , ϕ (c + Ω) := ord f 5 f
f
c
77
; ( ' 9 1073 < / : @ c ' ,; . ϕ , f ∈ K(Ω)5 :5 < ; f ' / - : H ** ! * f
Φ : Div (C/Ω) −→ C/Ω , Φ(ϕ) :=
ϕ(c) · c,
c∈C/Ω
: (C/Ω)/Kern Φ ∼= C/Ω'
F 9( :
ϕf ∈ Kern Φ
Φ(ϕf ) =
ϕf (c) · c =
c∈C/Ω
0 = f ∈ K(Ω)
(ordc f ) · (c + Ω)
c∈P
- D * P : Ω' 9 ,; , Ω' ) 1' ( 5 + 7 ϕ ∈ Kern Φ 0 = f ∈ K(Ω) ϕ = ϕf #
5 f ∈ K(Ω) . :&
0, ω1 , ω2 f ! & " 9 P *# 9 a b : f (a + b − z) = f (z) / 2Ω" = 1 f ∈ K(Ω)" 9 & ω/2 , ω ∈ Ω , ω ∈
5& 3
9
3
ω∈Ω
f ∈ K(Ω)
0
f
"
f 3 z = ω/2 9 f " f
2 *# 0
z = ω/2 0 = f ∈ M" * 7 ω ∈ Ω c(ω) ∈ C f (z + ω) = c(ω)f (z) )
z ∈ C \ Df : ordc+ω f = ordc f ) c ∈ C, ω ∈ Ω c∈P ordc f = 0 0 f *" B a, b ∈ C f (z) = aebz ) z ∈ C ? 3 f * ! & " * 7 ω ∈ Ω c(ω) ∈ C f (z + ω) = f (z) + c(ω) : a, b ∈ C f (z) = az + b 5 ℘ (z) = 6℘2 (z) + 2(e1 e2 + e2 e3 + e3 e1 ) 1 ( 9C P (X, Y ) P (℘ , ℘ ) = 0 @ 5 [K(Ω) : C(℘ )] = 3. 1 / & = . < ' e1 , e2 , e3 D 3
> 3
e1 = (1, 0), e2 = (0, 1), e3 = (1, 1) ∈ (Z/2Z)2 . ω1 = aω1 + bω2 , ω2 = cω1 + dω2 # M = ac db ∈ GL (2; Z)" M ∈ GL (2; Z/2Z)" M 8 & 6 mod 2 M 1 {e1 , e2 , e3 } * +,- * 3 " ej = ej · M , j = 1, 2, 3 0
7I
1
f (z) & = f (w) # z = 0 z = −w 3 a0 , . . . , an ∈ C, a1 = 0" B f ∈ K(Ω) E5 #& an z −n + . . . + a0 + . . . 0 = 3 ω1 , ω2 + Ω f ∈ K(2Ω) : ,
8
f
3
Df ⊂ Ω
g(z) := f (z) + f (z + ω1 ) + f (z + ω2 ) + f (z + ω1 + ω2 ) f * , ℘(! & F 3 a, b ∈ C 5 ! & f ∈ K(Ω)" f (a) = f (b) ) " # a ≡ b (mod Ω) > 5 B & f ∈ K(Ω) K(Ω) = C(f )
? 1 /
*
K(Ω)
. ! & " #
6, #
K(Ω) ⊃ C(℘)
E+
! ℘"
H C' . 8("& ? ℘8 4 *< F( ( ( ' ; G ( ) D Ω = Zω
1
+ Zω2
, K ⊂ {(ω1 , ω2 ) ∈ C × C ; ω2 = 0,
ω1 /ω2 ∈ / R} 1 .
#
, 1 α β
α · |m1 i + m2 | ≤ |m1 ω1 + m2 ω2 | ≤ β · |m1 i + m2 | !" m1 , m2 ∈ R (ω1 , ω2 ) ∈ K #
< m + m = 15 |m i + m | = 1 : ; ' 4 (ω , ω , m , m ) → |m ω + m ω | * K × {(m , m ) ∈ R × R S m + m = 1} α β ' ω , ω R < 5 m ω + m ω = 0 (0, 0) = (m , m )' α β *:' 2 $#
2 1
1
1
1
2
2 1
2
1
1 1
2
2 2
2 2
1
1 1 2 2
2
2 2
2
1
2
( ( .% + & ("& ? ℘8 4
013
℘(z; ω1 , ω2 ) := z −2 +
(z − ω)−2 − ω −2
0=ω∈Zω 1 +Zω 2
, 0@ ! 7 1
' $# , K * : 03' (< ρ > 0 * K ⊂ {(ω , ω ) ∈ C × C ; ω = 0, ω /ω ∈/ R}5
03
{(z, ω1 , ω2 ) ∈ C × C × C ; ω2 = 0, ω1 /ω2 ∈ / R, z ∈ / Zω1 + Zω2 }
1
2
2
1
2
K ⊂ Kρ × K , Kρ = {z ∈ C ; |z| ≤ ρ} .
7"
℘
F K (< α D* ' (z, ω , ω ) ∈ K (m , m ) ∈ Z |m i + m | ≥ (ρ + 1)/α |ω| ≥ ρ + 1 ω = m ω + m ω
1
1
2
1
1 1
2
2
2 2
1 1
2zω − z 2
2 − z/ω
|z| −
= 2
=
· (z − ω)2 ω 2 ω (z − ω)2 (1 − z/ω)2 |ω|3 3 ρ 3ρ(ρ + 1)2 ≤ · ≤ . α3 · |m1 i + m2 |3 (1 − ρ/(ρ + 1))2 |ω|3
: D (m , m ) ∈ Z × Z |m i + m | ≤ (ρ + 1)/α
5 8 * : ; ! 2 G (Zi + Z) : ;? 1'2' 1
2
1
2
3
4 H Ω < $ " " k ∈ N, k ≥ 3 4
(z − ω)−k
ω∈Ω
! 7 1 C \ Ω , 0@ #
9 (
. 8("& ? ℘8 4
073
℘(z) := ℘Ω (z) := z −2 +
(z − ω)−2 − ω −2 , z ∈ C \ Ω ,
0=ω∈Ω
7 1 C 0 , 0@ # ℘ ,+" Ω Ω 2# ) 4 .4 , 0 C \ Ω#
%"
℘(z) = z + a z + . . .' 0I3 ; 8 ( $ ;!,; '7 ' ℘(z) ℘. 0; H Ω3' )
5
* 4 , H * ; /! ** D ;< ; 5 4'H'' 01B7?1B"3 ' ' ' 01B1"?1B263 ; ! ' : ; ' 9 5 U @ N ℘O < (G p ( ' −2
2
2
7
F ; ; f (z) := (z − ω) − ω 0 = ω ∈ Ω K := {z ∈ C ; |z| ≤ ρ} , ρ > 0. 5 * <J : ; 073 : ;!,;' - " + 4 073 C $#
−2
ω
−2
ρ
Ω 2# ) 4 #
F $ ρ > 0' $
℘(z) = z −2 +
fω (z) +
|ω|<ρ+1
fω (z).
|ω|≥ρ+1
, * K 5 (< ;( : ;!,; * K ' ℘| D Ω ∩ K D ' C
0' 2 - " + ℘ 0I3' F $ ; ω −ω , 073' : ; ℘(−z) = ℘(z)' 9 f (0) = 0 ω = 0 2 5 %" ! 0 H 0 ' ρ
ρ
Kρ
ρ
ω
- " + ' : ℘(z + ω) = ℘(z) !" ω ∈ Ω z ∈ C\Ω#
F $ : ;!,; ℘ (z) = −2 ·
(z − ω)−3 , z ∈ C \ Ω,
ω∈Ω
: ' $ ℘ (z + ω) = ℘ (z) ω ∈ Ω' ) ω , ω 8 : Ω5 ℘(z + ω ) = ℘(z) + C C j = 1, 2' 4 z := −ω /2 ;(' z = −ω /2 C = C = 05 ℘ ' ℘(z + ω ) = ℘(z) j = 1, 2 ℘ ω ∈ Ω D ' 2 - + 3 ) ,; :
+%.. 0: ' ' - R122"T5 ,; '1'73 5 8 ( - ,; ,* ; ( ' ,; :
+ %.. @ ! ℘!4 ( ' 3 ) 8 * 7 E( ℘ ; <; = : ( ' : A' ! ( 8 ( 5
8 Q ; 073 ℘(z + ω) − ℘(z) ' : ; ' 0R121#T5 ' 6#3'
1
2
j
j
2
1
2
j
j
1
76
℘
013
8A + 1'203 !
Gk := Gk (Ω) :=
ω −k
k ≥ 4.
0=ω∈Ω
9 D* 1'2 * k ≥ 3 9 ' ; J γ := γ(Ω) := min{|ω| ; 0 = ω ∈ Ω}
< ("& " z ∈ C 0 < |z| < γ(Ω)
03
℘(z) = z −2 +
∞ (2n − 1)G2n · z 2n−2 = z −2 + 3G4 · z 2 + 5G6 · z 4 + . . . . n=2
$#
: 1 d = (1 − t)2 dt
ω = 0 1 1 1 − = 2 (z − ω)2 ω 2 ω
1 1−t
0∗ 3
℘(z) = z
+
0=ω∈Ω
=
∞
mtm−1 , |t| < 1,
m=1
1 −1 (1 − z/ω)2
−2
∞
=
∞
m·
m=2
z m−1 m · m+1 ω m=2
z m−1 , |z| < γ, ω m+1
, 0 < |z| < γ.
m−1
z m−1
|z|
· |ω|−3
m · m+1 ≤ γm ω γ
: ;! 1'2 0∗3 m ω : ' 9 ,; 1'B < ℘(z) = z −2 +
mGm+1 · z m−1 , 0 < |z| < γ.
m≥2
D* 1'2 03' ' &A B "+
+
"
013
2
℘. .
℘ 2 = 4℘3 − g2 ℘ − g3
'
7B
g g / g := g (Ω) := 60 G (Ω) g := g (Ω) := 140 G (Ω) . 03 g g ? H Ω' : ! ( %"., O(z ) 4 f (z)5 |f (z)| ≤ C · |z|
C z E : 0
' $# : 2
3
2
2
4
2
3
3
6
3
k
k
℘(z) = z −2 + 3G4 · z 2 + 5G6 · z 4 + O(z 6 )
0: ' 033 ℘2 (z) ℘3 (z) ℘ (z) ℘ 2 (z)
= z −4 + 6G4 + 10G6 · z 2 + O(z 3 ) , = z −6 + 9G4 · z −2 + 15G6 + O(z) , = −2 · z −3 + 6G4 · z + 20G6 · z 3 + O(z 4 ) , = 4 · z −6 − 24G4 · z −2 − 80G6 + O(z) .
< 03 ℘ (z) − 4℘ (z) + g ℘(z) + g = O(z)' 0∗ 3 G , ; K(Ω) D G 5 ( ℘ ℘ D ' 9 0∗3 , 0 *' ,; ' ; 5 4 ' 9 0∗3 ( 2 9 ' 2
3
2
3
Q ; 0135 ." ; :
2℘ = 12℘2 − g2 .
." - " k ∈ N
℘(k) ∈ Z[G4 , G6 , ℘] + Z[G4 , G6 , ℘]℘ .
k = 0 1 ' 03 k = 2 ' 9 ) 8 * ' 2 $#
." 6 " f ∈ K(Ω) / 9
03 f C \ Ω# 03 f ∈ C[℘] + C[℘] · ℘ # $# 03 =⇒ 03% , α℘ ;(' α℘ · ℘ 5 α ∈ C5 n ∈ N 5
5 : f 5 C D H * ; : ' , J res f = 0 ,; '8' 2 03 =⇒ 03% '
n
n
0
0
72
℘
." " n ≥ 4 4 !
073
(n − 3)(2n + 1)(2n − 1)G2n = 3 ·
(2p − 1)(2q − 1)G2p G2q .
p≥2,q≥2 p+q=n
$#
%
< %" ! 03 ℘
+ 30 G4 = 6℘2
(2n − 1)(2n − 2)(2n − 3)G2n z 2n−4 + 30G4
n≥2
= 12
(2n − 1)G2n z 2n−4 + 6 (2p − 1)(2q − 1)G2p G2q z 2p+2q−4 . n≥2
p≥2 q≥2
$ Y; : 8 * ' ,* ; < 0I3 7G = 3G , 11G = 5G G , 143G = 42G G + 25G
2 4
8
10
4
6
12
4
8
2
2 6
= 18G34 + 25G26
." " k ≥ 8
Gk ∈ Q[G4 , G6 ]. ." Ω C +
*
g2 g3 # 3 , G ⊂ C . f
f = 4f 3 − g2 f − g3 2
f (z) = ℘(z + w) , z ∈ G w ∈ C , # f ∈ M
Ω f # Ω g2 (Ω) g3 (Ω) G4 (Ω) G6 (Ω) ,#
$# , f G * 5 ! G ! Q ' ) f U ⊂ G u *
f 9 U 5
; f = 4f − g f − g ' 9 '78 (< w ∈ C ℘(w + u) = f (u) ℘ (w + u) = f (u) 5 ' w −w−2u ;' 4 f (z) g(z) := ℘(z+w) Q 1' C D u ' f (z) = g(z) z ∈ U $ ;! $ ! ; 0: ' ' R###T5 3' ) <; *; f (z) = g(z) z ∈ G' 8 * 5 ℘!4 !,; 1 D 2 D '
3
2
3
I#
, Q 013 4 R G w = f (z) - +
,
w = R(z, w) 0"3 n ∈ N ' $ ("& % $+ 0"3 ! C n
+
R(z, w) w
≤ 2n#
$ / $' 5 )
/ 5 A' 5 9 ( Z 1265 I''I' $ / Q 9' *5 ' ' 5 7?6I 012623' + B "+
+ 9 ℘ = 4℘ − g ℘ − g 013 ( ,; '7 Q ℘ = 4(℘ − e )(℘ − e )(℘ − e ) 03 ( ' ( e , e , e ( '7073 e = ℘(ω /2) , k = 1, 2, 3 , ω := ω + ω 5 073 / 5 ( ω , ω 8 : Ω ' ℘ : 5 @ E X C $
2
3
2
1
1
k
1
2
2
3
2
3
3
k
3
1
2
2
("& :
4X 3 − g2 X − g3 = 4(X − e1 )(X − e2 )(X − e3 ).
'I
." ; " ", C
,0 8 , X, Y
K(Ω) ∼ = C(X)[Y ]/I(X, Y )
5
I(X, Y ) Y 2 − 4X 3 + g2 X + g3 C(X)[Y ] + < #
$ Y; : ,; ." - :
0I3 0"3 03
0 = e1 + e2 + e3
5
g2 = −4(e1 e2 + e2 e3 + e3 e1 ) g3 = 4e1 e2 e3
'
5
I1
℘
." 6 :
g23 − 27g32 = 16(e1 − e2 )2 (e2 − e3 )2 (e3 − e1 )2 = 0.
0I3 0"3 < ; < g = 2(e + e + e ) ;(' g = 16(e e 0∗ 3 0I3 0"3 $#
2
2 1
2 2
2 3
2 2
2 2 1 2
+ e22 e23 + e23 e21 )
'
2(e1 − e2 )2 = 2(e21 + e22 ) − 4e1 e2 = 2g2 − 2e23 + 4e3 (e1 + e2 ) = 2g2 − 6e23 ,
(e1 − e2 )2 = g2 − 3e23 .
; @ e , e , e 8 ;
5 1
2
3
16(e1 − e2 )2 (e2 − e3 )2 (e3 − e1 )2 = 16(g2 − 3e21 )(g2 − 3e22 )(g2 − 3e23 ) = 16g23 − 3 · 16g22 (e21 + e22 + e23 ) + 9 · 16g2 (e21 e22 + e22 e23 + e23 e21 ) − 27 · 16e21 e22 e23 .
0∗3 03 , g − 27g ' 9 '703 e , e , e *( : ' 2 063 ∆ := ∆(Ω) := g − 27g
j := j(Ω) := (12g ) /∆ 0B3 , H Ω' 8 . 3 2
1
2
2 3
3
3 2
2 3
2
3
." :
j = −4 · 123 ·
." " λ :=
(e1 e2 + e2 e3 + e3 e1 )3 . (e1 − e2 )2 (e2 − e3 )2 (e3 − e1 )2
e2 − e3 e1 − e3 j = 256 ·
(1 − λ + λ2 )3 . λ2 (1 − λ)2
3 ∆ 0 43 ; D f (X) := 4X − g X − g , 0: ' % R1227T5 @5 K1#3% ( D f 0 43 4 : f f <5 - +
3
2
3
4 0 −g2 −g3 0 0 4 0 −g2 −g3 12 0 −g 0 0 det 2 = −64∆. 0 12 0 −g2 0 0 0 12 0 −g2
I
3 8 ; N ) : O ' 3 λ $ $' = : ! ; % 9 * ) ' ! .C +""* $ H Ω J 7 ,5 ( ω - * F ω ; Ω G5 '' Ω = Ω' ( 8 * - H 3 4* % Ω = Zω + Zω ω , ω ∈√R 5 3 * % Ω = Zρ + Z ρ = (1 + i 3)' < 1
1 i
2
1
2
+
1 2
, Ω 7 ,
!" z ∈ C \ Ω
℘Ω (z) = ℘Ω (z)
℘ Ω (z) = ℘ Ω (z) .
+ !" z ∈ C \ Ω 9 ℘Ω (z) !" z ∈ R z ∈ iR ℘ Ω (z) !" z ∈ R 0 !" z ∈ iR#
3 3 $ . <
("& " Ω = Zω1 + Zω2 0/ 9
03 g (Ω) g (Ω) , # 03 - G (Ω) k ≥ 4 # 03 & @ e , e , e + 7 # 0:3 Ω 7 ,# $# 03 ⇐⇒ 03% : ( 703 7 ' 03 ⇐⇒ 0:3% 8 * g (Ω) = g (Ω), g (Ω) = g (Ω) 5 Ω 74 g g ' 03 =⇒ 03% e , e , e ,; I 9
D 4X − g X − g ' 9
' 2 03 =⇒ 03% : ( I0"3 I03' 2
3
k
1
2
3
2
2
2
1
3
2
3
3
3
3
2
3
- H * ) ! 9 - +
dt , q(t)
q(t) = 4t3 − c2 t − c3 ,
c 5 c 0: ' !3' 2
3
1 ℘ D ;** + ? # 8
Ω !H 013 (ω , ω ) 8 : Ω ω 1
2
1 i
1
>0
ω2 > 0.
)
I7
℘
5 ω ω ' 1
2
, z ∈ C \ Ω#
3 ℘(z)
ω ∈ Ω , z ∈ + R z ∈ + iR . 03 3 " z ∈ + R, ω ∈ Ω ℘ (z) # " z ∈ + iR, ω ∈ Ω ω 2
$#
ω 2
0 #
ω 2
013
ω 2
℘ (z)
'
− ω) ∈ Ω ℘ ω2 + z = ℘ ω2 + z , ℘ ω2 + z = ℘ ω2 + z 1 (ω 2
073 D* "' ℘ ℘ 5 ℘ ℘ , ! ω ω +ω
;(' < • • • ' , z ∈ 3(ω , ω )5 z • • : 4 03 ' < ℘(z)
5 ( ℘ ( 073 • : *( : ! • D • •
1
1
2
z, ω1 + z, ω1 + ω2 − z, ω2 − z
0•
3(ω , ω ) ' ( * 2 '78' 1
1
............................................................................................................................................................................................................................................... ... .. . ..... .... ... .... ... .... .. ... .... ω +¯ z ω +ω −z . ..... 1 1 2 . .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ....... .... .... .... .... .... .... .... .... ..... .... .... .. .. .... .... ... ... .. . .... . . .... . . . .... .. . .... . . .... . . . . .. .... .. . ... . .. .... .. .. . .......... ........ ........ .......... ........ ........ ........ ........ .......... ........ ........ ........ ........ .......... ........ ........ ........ . ... ... ..... ... .... .... .. ... ... . .... . . .... . . . .... .. . .... . . .... . . . .. .... .. . .... . .. .... ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .......... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .. . ... .... z ω −¯ z 2 ..... .... .. . .... .. .... .... .... . . ... . . ............................................................................................................................................................................................................................................
2
• ω2
•
' B%
2
ω1 ω1 +ω2 ω2 , 2 , 2 2
z .:, z → w = ℘(z) ! w .< ,, ! , , 4 4 ! - > −∞
+∞? ,7 , , # ("&
& 0,
ω1 ............................................................................................................................................................ ω3 .. . •...... 2 ........ 2 •...... . ... . ... ..... ... ... ... ..... ... ... .... .... .... . ......... . . ..... ....... ... .... ... . . . . ..................... ... ...... ... ... ..... ... ... ... ... ..... ... .... ... .... ... ... .... ... .... ω ... .................. . 2 . . . . . . .................................................................................................................................................... ......... 2
@
0•
e1 •
e3 •
e2 •
............... .... ...... ........... .................................................................................................................................................................................................................................................................................. ............... .... ....... ...........
•
' 2% : @ $# $ V ) @ ' 4 z = x + iy 0 < x ≤ ε 5 0 < y ≤ ε ε > 0 x − y − 2ixy 0∗ 3 ℘(z) = z + O(ε ) = + O(ε ). (x + y ) −2
2
2
2
2
2
2 2
II
℘(V ) ; < 5 *; D* ℘(V ) ⊂ H H := {w ∈ C ; Im w < 0}5 0∗∗3 ℘(z + ω/2) = ℘(−z − ω/2) = ℘(−z + ω/2)
℘ ω23 + V = ℘(V ) ⊂ H, = ℘ ω22 + V ⊂ H = {w ∈ C ; Im w > 0} = H, ℘ ω21 + V
H 0∗∗3 D* ,; '. ' 9 '7 ℘ (z) = 0 z ∈ V ' ℘ : V → H *' 4 ε > 0 f (y) := ℘(iy), 0 < y ≤ ε5 ( f (y) = i℘ (iy) = 2y + O(ε), f (y) > 0, ( ' Q ℘ = 4(℘ − e )(℘ − e )(℘ − e ) ℘ (iy) = 0
< f (y) > 0 0 < y < ω /2i' f ) : ]]0, ω /2i]] ( - : ]] − ∞, e ]] ' 2 , : V J < '
2
−3
1
2
3
1
1
1
8 @ : 3(ω , ω ) ( , 1
+ −
2
− +
;(' w! ' e1 < e3 < e2 .
,; - ; ( ) 4 dt g, h ∈ R 4t − gt − h 3
N O% ; g h !H Ω g = g (Ω) h = g (Ω) 5 0 < r < s < 2
ω2 2
3
℘(r)
℘(s)
dt = s − r. 3 4t − gt − h
F $ t = ℘(z) ℘ (z) < 0' D 5 H Ω ;
/ ' : ; I'I'
I"
℘
3 9 H Ω : D * C ' : ; ( $' 0R12"#T5 B1?B73' 3 9 - ; - C ! * <M : ; $ ' $ * *; ,; #$$? 0: ' ))'1'3 ! ' " "< 01B7?1B"3 * ; 1BI+I6 % 3
$ 0 + = 0: ' ' # ( 5 22?I6B3' ) ( :G
H ! * 5 ( @ < '' % 016"? 1B7735 9' ' & 01B#?1B23 .'H'A' '& 01B#I?1B"13 ' , ( ' ' 01B7?1B213 1B21 5
@ 0 @3 8 @ N $ O ; ' * G H 5
0( &5 I223 D< @%
- +
℘
A### ", - , # , "
. + , .
8 ", . , $ 3++ + , ###B
12' A J : : ' ") * 01B"2?12123 4 J 0( 5 7135 : ' " : 4' ' 0R1B2#T5 I 1"#3 (< ; ( ' ) @( ; 8 R1B22T * " : N + D O' $ ' 01B1? 127#3 $ ;*< !8 0-
# $#C5 I7 '3 & 0! # , J (! ' 0R121#T5 ' 675 B#5 B65 213 $ ' ) A 126 8 : ! : . 1 : ' R126T5 8 ! < ; * 4 ; ( % @ ( 1BI+I6 ( $ ℘!4 5 Q 5 σ!4 ζ ! 4 0: ' K3 :( ' $ 1B ' ' ' * $ @ 8 E : ! < : 0( &5 ; * 1B7 4' 3' ℘!4 ( G Q ℘ = 4℘ −g ℘ −g ' 5 / ℘!4 0( σ ζ 3 2
3
2
3
I
: ; ; , 5 ;( 5 ; , :
* : ' : 5 ; F @! : ( ' ( 5 8 * 4 ! ; 9 + ' ;5 : ( ( 5 ( ,: ! 0 3 D; ' ; = H * ! ; ℘!4 * ' ; < 5 : H ! 4 ( ( ' ( 8 : ' - 5 H' " R##T5 *' 115 §45 ' $ ( < / 8 , 2 5 "B?7 012635 4 : ' ' !) Ej :=
ej e2j +ek e 1 −ej
, {j, k, } = {1, 2, 3}
Ej2 = (ej − ek )(ej − e ) ( 10 01 ) : 1
GL (2; C)
Ej Ek = (ek − ej )E
{λEν ; 0 = λ ∈ C , ν = 1, 2, 3} ∪ {λE; 0 = λ ∈ C}
!)
ω∈Ω
ω∈ / 2Ω
#
T
D
℘(ω/4)) − ℘(ω/2) T (z) = Tω (z) := , z ∈ Ω. ℘(z) − ℘(ω/2)
T
! & *)
9 &
Ω
% ! & &
Ω 2 ω/2 + Ω T #
9 9 &
T (z) · T (z + ω/2) = 1 ω1 , ω2 Ω
= 3
:
1 ℘ (ω1 /2) = 6e21 − g2 = 2(e1 −e2 )(e1 −e3 ), ℘(iv) (ω1 /2) = 72e31−6e1 g2 = 24e1 (e1 −e2 )(e1 −e3 ). 2 1 ! ) . 3
e1 , e2 , e3 ) √ ! " g3 = 0 Ω = Zρ + Z" ρ = 12 (1 + i 3) :
1 > 3
ω2 /2 ω3 /2 g2 = 0
*#
e2 = ℘Ω (1/2) > 0, e1 = ℘Ω (ρ/2) = −ρe2 , e3 = ℘Ω (−ρ/2) = −ρe2 . ? +
g3 = 0"
"
p(X, Y, Z) =
−
4 3 g3 X
g2 2 g3 XZ
−Z − 3
(+ 1 2 g3 Y Z
= 0
: 9C : G/ ∗
p(X, Y, Z) = det(XA + Y B − ZE) = 0 A, B ∈ Mat(3; C)
+ ∗" *
#
A
5 # e1
1
, e12 , e13
B
5 #
1 0, ± √−g 3
: 5 (
I6
! "#$ %
# 7#
#
5 A, ∗"
A
: B
B
C
1 B * $ *# 5 & 5 (
{z ∈ C ; 0 < x, y < 1} C Ω = Ziλ + Zλ" 0 = λ ∈ C H : 2 ℘E! & 1+i 9 & 1 2 λ + Ω % 2 @ 0 Ω + " ℘(! & 2 " B 0 = λ ∈ C Ω = Ziλ + Zλ ;
3
# $ % &' ) D < ℘?4
? G : H Ω ( ' ; Ω = Zω + Zω H C' 5+ / -"A Ω λΩ - 0 = λ ∈ C H C' 7'1073 7'013 ℘ (λz) = λ · ℘ (z) G (λΩ) = λ · G (Ω), k ≥ 3. 013 7'7035 7'I063 7'I0B3 k
1
2
−2
λΩ
Ω
g2 (λΩ) = λ−4 · g2 (Ω),
03
−k
k
k
g3 (λΩ) = λ−6 · g3 (Ω),
∆(λΩ) = λ−12 · ∆(Ω),
j(λΩ) = j(Ω).
("& " Ω Ω C 0/ 9
03 : , 0 = λ ∈ C Ω = λΩ# 03 j(Ω ) = j(Ω)' $# 03 =⇒ 03% : 03' 03 =⇒ 03% , ; < j(Ω ) = j(Ω) = 0' g (Ω) = 0 g (Ω ) = 0 7'I0B3' 0 = λ ∈ C
2
2
g2 (Ω ) = λ−4 · g2 (Ω) = g2 (λΩ) .
03 7'I063 g3 (Ω ) = ±λ−6 · g3 (Ω) = ±g3 (λΩ) .
$ ; ' λ iλ5 g (Ω ) = g (λΩ) g (Ω ) = g (λΩ)' < Ω = λΩ 7'74' H j(Ω) = j(Ω ) = 05 g (Ω) = g (Ω ) = 0 g (Ω) = 0 ( g (Ω ) = 0 7'I.' 2
< 8 * ' 2
2
2
3
3
2
3
3
) (ω , ω ) 8 : Ω 0: ' 1'735 0: ' 7'10133 1
2
IB
073 ℘(z; ω , ω ) := ℘ (z) G (ω , ω ) := G (Ω) k ≥ 3' ℘ G : H Ω : 8 < 5 8! 1' 0I3 ℘(z; ω , ω ) = ℘(z; ω , ω ) G (ω , ω ) = G (ω , ω ) k ≥ 3
ω ω a b =U 0"3 U = c d ∈ GL (2; Z), ω ω 03 ω = aω + bω , ω = cω + dω a, b, c, d ∈ Z , ad − bc = ±1' 4 0 = λ ∈ C 013 k ≥ 3 4 01U3 ℘(λz; λω , λω ) = λ · ℘(z; ω , ω ), G (λω , λω ) = λ · G (ω , ω ) . 8 : Ω ω 5 ω R < 5 '' τ := ω /ω ∈/ R' (ω , ω ) (−ω , ω ) 8 : Ω 5 $ < Im τ > 0 ' 5 4 5 ( (0, ω , ω ) *: ' 0I3 01U3 063 ℘(z; ω , ω ) = ω · ℘(z/ω ; τ, 1) G (ω , ω ) = ω · G (τ, 1) k ≥ 3' F E : * 4 ; Ω ( $ < ω = 15 Ω = Zτ + Z τ ∈ H ' , < ,, H / H := {τ ∈ C ; Im τ > 0}' + bω aτ + b 0B3 τ := ωω = aω =
Im τ = |cτad +− d|bc · Im τ cω + dω cτ + d 1
2
Ω
k
1
2
k
k
1
2
1
1 2
1
1
2
1
−2
2
2
1
k
1
2
2
1
2
k
1
−k
2
k
2
1
2
2
2
1
1
1
k
1
2
1
2
1
1
2
2
2
1
−2 2
2
2
k
1
−k 2
2
k
2
1 2
1
2
1
2
2
= : 8 (τ, 1) : Ω ; 8 (τ , 1) H Ω τ ∈ H ; U = ( ) +
", Z5 SL (2; Z) := {U ∈ GL (2; Z) ; det U = 1}5 ; 0: ' 1'"033' 0I3 ( 03 01U3 4 aτ + b z ; , 1 = (cτ + d) · ℘(z; τ, 1) 023 ℘ cτ + d cτ + d ;(' aτ + b , 1 = (cτ + d) · G (τ, 1) k ≥ 4 01#3 G cτ + d
1 cτ +d
a b c d
2
k
k
k
I2
! "#$ %
( ' a, b, c, d ∈ Z ad − bc = 1' # A + ? G F $ ! ( : H 4 Ω = Zτ + Z Im τ > 05 τ ∈ H5 013 τ 5 ' ) 8 ; : 03 G (τ ) := G (τ, 1) = (mτ + n) , k ≥ 4 5 k
k
−k
k
m,n
( , , ; 5 D (0, 0) = (m, n) ∈ Z × Z
; ' 9 G !
H C Q ' ( @ , !D! ( % k
, " τ ∈ H + k ≥ 2
073
(τ + n)−k =
n∈Z
∞ (−2πi)k k−1 2πirτ · r e . (k − 1)! r=1
Q . !D ( 0: ' '
(
$#
- 5 H' " R##T5 ,; 11''13 < D ! π sin πτ
2
(τ + n)−2 , τ ∈ C, τ ∈ / Z.
=
n∈Z
, : - * C5 D : Z <5 <J ' < τ ∈ H5 < ( |e | = e < 1 2πiτ
−2πIm τ
π 2 = sin πτ
2πi eπiτ − e−πiτ
2
= (−2πi)2 e2πiτ
∞ 1 2 = (−2πi) · re2πirτ . (1 − e2πiτ )2 r=1
8 * 073 k = 2 ( ' , <J τ : 5 < 4 ( ! 2 Q τ ' , : 073 Q τ * D 15 , : 073 ,: 4 "! ( ' ! ( "?: ? '
"#
("& " τ ∈ H k ≥ 4
0I3
Gk (τ ) = 2ζ(k) + 2
ζ(s) :=
∞
∞ (2πi)k · σk−1 (m) · e2πimτ , τ ∈ H, (k − 1)! m=1
m−s , s > 1,
m=1
0I3
σs (m) :=
ds , s ∈ R .
d∈N,d|m
4 !" ε > 0 7 $ {τ ∈ H ; Im τ ≥ ε} , 0@ # Gk ! H !"
0"3
Gk
aτ + b cτ + d
= (cτ + d) · Gk (τ ) !" k
a b c d
∈ SL (2; Z) .
0I3 5 G k ≥ 4 : ( ' $# : ; : ;! 1'2 Ω = Zτ + Z 03 k
Gk (τ ) =
n−k +
n=0
(mτ + n)−k = 2ζ(k) + 2
∞
(mτ + n)−k .
m=1 n∈Z
m=0 n∈Z
A ; < D* < Gk (τ ) = 2ζ(k) + 2
∞ ∞ (2πi)k k−1 2πirsτ · r e . (k − 1)! s=1 r=1
, J rs = m ; 0I3' * <J : ; 0I3 2 0"3 E : 101#3' 4 0: ' R12B6T5 @'"'"3 03
< * ; 063 0B3
ζ(4) =
π4 G4 (τ ) = 45
π4 , 90
2π 6 G6 (τ ) = 945
1 + 240 ·
ζ(6) =
∞
π6 945
σ3 (m) · e2πimτ
m=1
1 − 504 ·
∞ m=1
,
σ5 (m) · e
2πimτ
.
"1
! "#$ %
8 1BB1 ' ") * 01B"2?12123 0' # ( . 5 1?3 ; 5 H 5 G 7'7 5 ; ; ' 4 ." 0") *! 03' " m ∈ N k
σ7 (m) = σ3 (m) + 120
σ3 (r)σ3 (s) .
r,s∈N r+s=m
$#
063
: ( ) < 7G G8 (τ ) = 2ζ(8) + 2
8
= 3G24
<J 7'70I3' <
∞ (2π)8 · σ7 (m) · e2πimτ 7! m=1
5 < *; D ; < q = e ' $ Y; : 7ζ(8) = 6ζ (4) 2πiτ
2
2(2π)8 π8 σ7 (m) = 3 7 7! 45 · 45
480σ3 (m) + 240 · 240
σ3 (r)σ3 (s) .
r+s=m
8 * '
2
3 ( N O H 03 ζ(4) ζ(6) : ; (5 ? ζ(k) , k ≥ 4 ? ) < 7'70I3 @ Y; : e ( ' 3 D* Γ(k) (k − 1)!
k > 1 ( ' % * 0A' (' ' !5 16?1" 01BB233' 3 ( ") *!) < ! F H F ' $ - ; - 8 ( 5 F! ( ' $ : GQ 8 ( 5 0 : 3 D ; Y; Z 5 : ' / 9' " 0126B3' : 9' "5 A' 9 '5 B!67 012273% 4 E 0
@ x |x| < 13 ; - +
2πiτ
Fn := Fn (x) :=
; < ) < 0∗ 3 σ (n)x r
n
n
=
xn 1 − xn
m
mr Fm .
"
*< , *: ; F ; ' : /; F F =F (F + F + 1)' ; m
Ak :=
mnFm Fn ,
n
m+n
Bk :=
m+n=k
m
n
Ck := kFk ·
mnFm Fn ,
mFm
m
n−m=k
(
k3 − k Fk , 6 m
Ak = 2Fk · Bk
m(k − m)Fm +
m
Ak + 2Bk − 4Ck =
2
3
n Fn
n
=
mn m,n
k k
=
4
12
12
m>k
k3 − k Fk − 2 m(m − k)Fm . 6 m>k
((m + n)4 + (m − n)4 − 2m4 − 2n4 )Fm Fn
(Ak + 2Bk − 4Ck ) =
k4 k3 − k k
12
6
Fk −
m 6
m
Fm ·
k 4 (m − k) .
k<m
@ ( , , I' "' D ; 5 <
120
2
n3 Fn
=
n
(k 7 − k 3 )Fk . k
0∗3 ") *!) <' ' " 7'703 ;(' 7'I063 013 g (τ ) := 60 G (τ ), g (τ ) := 140 G (τ ) ∆(τ ) := g (τ ) − 27g (τ )
' 063 0B3 < 2
03 073
4
3
(2π)4 g2 (τ ) = 12 (2π)6 g3 (τ ) = 216
3 2
6
1 + 240 ·
∞
σ3 (m) · e2πimτ
m=1
1 − 504 ·
∞ m=1
,
σ5 (m) · e
2πimτ
.
2 3
"7
! "#$ %
("&
∆(τ ) ,+
0I3
∆(τ ) = (2π)12 ·
∞
".:
5
τ (m) · e2πimτ , τ ∈ H
m=1
1D+ τ (m) ∈ Z τ (1) = 1#
∆ : H → C ∆(τ ) = 0 !" τ ∈ H
0"3 ∆ cτaτ ++ db = (cτ + d) · ∆(τ ) !" ac db ∈ SL (2; Z). 8 ; Y; 0I3 τ (m) 5 τ U ; ' $# ; A := σ (m) · e , B := σ (m) · e 5 12
∞
∞
2πimτ
3
2πimτ
5
m=1
m=1
03 073 · ((1 + 240A) − (1 − 504B) ) = (2π) · (e 0∗3 ∆(τ ) = (2π) + . . .) 1728
D ; q = e ' F 9( 5 Y; Z 5 ; < d ≡ d (mod 12) d ∈ Z σ (m) ≡ σ (m) (mod 12) m ∈ N' 8 ;
; Y; 5 A ≡ B (mod 12)' A ; 1728 = 12
(1 + 240A) − (1 − 504B) ≡ 12 (5A + 7B) ≡ 0 (mod 12 )'
9 0∗3 ; Y; ' g g 0: ' ,; 3 ∆ *' < ∆(τ ) = 0 2 7'I.' 8 ; 0"3 0"3 013' 12
3
2
12
2πiτ
2πiτ
3
3
5
5
3
3
2
2
3
3
m
03
2
τ (m)
−24
−1 472 4 830 −6 048 −16 744 84 480 −113 643 −115 920
23 22 26
25 23 29 24
32
33 34 32
9 ∆ * ) : j <J 7'I0B3 ( %
"* %""
"I
013 j(τ ) := (12g (τ )) /∆(τ ) , τ ∈ H' 5 j(τ ) ( ,; 7 τ ∈ C Im τ > 0 < ' g ∆ 703 70I3 "! τ 5 D ; q := e ' F * j G 3
2
2
2πiτ
, f g !" |q| < 1 +
f (q) =
an q n , g(q) =
n≥0
bn q n , an , bn ∈ Z,
n≥0
b0 = 1 g(q) = 0 !" |q| < 1 f /g !" |q| < 1 + 1D+ Z#
F < f g5 f /g |q| < 1 *5 D ; ( 5 Y; ( c ; '
$#
n
cn q n
·
n≥0
( b
0
=1
bn q n
n≥0
=
an q n
n≥0
c0 = a0 , cm = am −
c ; F '
m−1
cn bm−n , m ≥ 1.
n=0
2
m
( ("& ; , j : H → C ,+
".:
03
j(τ ) = e−2πiτ +
jm · e2πimτ = e−2πiτ + 744 + 196884 · e2πiτ + . . .
m≥0
jm ∈ Z !" m ≥ 0# :
073
j
aτ + b cτ + d
= j(τ ) !"
a b ∈ SL(2; Z) . c d
$# * 013 ,; ,; 7' ,* 4 q ∆ 5 D* ( < 03 2 703 70I3' , J 073 M
; : 0"3 70"3'
( *< 0,; '3 5 Y; j *: ' 073 ( ; 9 N ) : O : ' $ E : 073% m
""
! "#$ %
("& - τ, τ ∈ H j(τ ) = j(τ )
, ' ( ac db ) ∈
SL (2; Z)
τ =
aτ + b . cτ + d
9 @ ; j(Zτ + Z) = j(Zτ + Z)' $ Zτ + Z = Zλτ + Zλ 0 = λ ∈ C ,; 1' (τ , 1) (λτ, λ) ;( 8 H ' 9 8! 1' M = ( ) ∈ GL (2; Z) τ = aλτ + bλ, 1 = cλτ + dλ5 τ = ' τ τ H 5 det M = 1 10B3' 2
$#
a b c d
aτ +b cτ +d
$ *< )))'"' < 4 ; ( ! ( - ; ("& 6 2 7 c ∈ C , τ ∈ H j(τ ) = c#
$#
5 j(τ ) = c τ ∈ H ' F (τ ) =
j (τ ) j(τ ) − c
* H' ) !
F (τ )dτ , γ = γ1 + γ2 + γ3 + γ4 + γ5 ,
<
γ∨
γ
γ
γ = ∂G ' 073
−1
F (τ + 1) = F (τ ) , F (−1/τ ) = τ 2 · F (τ ) .
F (τ )dτ + γ1
γ3
−1/2
G
∧ γ
• iγ
•
0
1/2
1
' 1#% ) (
F (τ )dτ =
γ2
............................................................................ ... .... ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... .... ..... 3 ... 1 .... ..... .... .... .. .... ................................................................................. .... ....... . .... ....... 5 ................. ...... 4 ..... .... ..... ... ... ... ... . ... . ... ... ... ... . ... . ... .... ... ..... ... ... ... .... ... .................................................................................................................................................................. ... ... ... ... ...
F (τ )dτ +
γ4
F (τ )dτ = 0. γ5
9 D* 03 ; F (τ ) "!$ ( 4 am e2πimτ ,
F (τ ) =
<
γ2
m≥0
a0 = −2πi .
'
;
F (τ )dτ = 2πi
2πi ·
τ ∈G
ordτ (j − c) =
F (τ )dτ = 2πi . γ
"
* ' τ ∈ H j(τ ) = c' 2 8 , : j(τ )5 '' , H 4 Zτ + Z , τ ∈ H5 ) : j(Ω) H Ω : C <J 7'I0B35 ; ,; 1 0I3 j(Ω) = j (ω /ω ) , Im (ω /ω ) > 0. 8 ,; * 4 1
2
1
2
." c2 , c3 ∈ C c32 − 27c23 = 0
,
Ω
C
c2 = g2 (Ω) c3 = g3 (Ω). $#
9 ,; . H Ω j(Ω) =
3 c
(12c2)3 . − 27c23
c32
% j(Ω) = 05 g (Ω) = 0 , g (Ω) = 0' (< g (Ω) = λ c ' 103 g (λΩ) = λ · g (Ω) = c g (λΩ) = λ · g (Ω) = 0 = c . 3 c = 0% j(Ω) = 05 g (Ω) = 0' (< 0 = λ ∈ C g (Ω) = λ c ' $ g (λΩ) = c j(λΩ) = j(Ω) < c = g (λΩ)' $ ; 5 ' λ iλ ;' 2 $ 4< 7'74' 2 = 0 0 = λ ∈ C
2
6
3
−6
3
3
3
2
2 3
3
3
2
−4
2
2
2
2 2 3
4
2
2
2
5 * + ; ( 5 ; G ℘?4 5 $' Q ) * G ' ! - + +" ( $ 5 $'7013 ?) ; ' ; - +
∞
013
Γ(s) :=
ts−1 e−t dt,
s ∈ C, Re(s) > 0,
0
* 0: ' ' - R122"T5 '7'3' , :
∞ 1
1 √ dx = 3 4x − 4x
1 √ 0
Γ(1/4)2 1 . dt = √ 4 1−t 4 2π
"6
! "#$ %
, x = 1/t ) ;( ' 013
$#
2
∞ ∞ Γ(1/4) = (xy)−3/4 e−(x+y) dx dy. 2
0
, x = r
0
cos2 ϕ, y = r 2 sin2 ϕ
2
<
√ 1 2 Γ(1/4) = 4 2 · e−r dr · dϕ sin(2ϕ) ∞
π/2
2
0
0
π/4
√
= 4 2π · 0
√ 1 dϕ = 4 2π · sin(2ϕ)
1 √ 0
1 dt , 1 − t4
( - - 5 H' " R##T5 1'I'5 2 , t = sin(2ϕ) : ( ' 9 ( ; < ? ; H Zi + Z' ("& ; :
g2 (Zi + Z) = $#
Γ(1/4)8 16π 2
und
g3 (Zi + Z) = 0.
Zi + Z = i(Zi + Z) 103
g3 (Zi + Z) = g3 (i(Zi + Z)) = −g3 (Zi + Z),
< 703 g2 (Zi + Z) = g2 (i) =
g3 (Zi + Z) = 0.
∞ (2π)4 (1 + 240 · σ3 (m) · e−2πm ) > 0. 12 m=1
103 λ ∈ R5 λ > 05 Ω := λ(Zi + Z) = Ziλ + Zλ g (Ω) = 4 g (Ω) = 0 ' 4x − 4x = 4x(x − 1)(x + 1) e = −15 e = 15 e = 0 ,; 7'I' ,; 7' ( ℘ = ℘ 2
3
3
1
2
∞ 1
3
1 √ dx = 3 4x − 4x
Ω
0
λ/2
λ/2 λ dt = , dt = 3 2 4℘(t) − 4℘(t) ℘ (t)
0
( Q '7 ( ℘ (t) < 0 ]]0, λ/2[[ : ( ' D* λ = Γ(1/4) /(2√2π)' 103
2
g2 (Zi + Z) = λ4 · g2 (Ω) =
Γ(1/4)8 . 16π 2
2
"B
℘? ? $ 7013
." Ω = Zi + Z ℘ = ℘Ω +
5
# 0 < R ≤ 1 !"
R √ 0
1 Γ(1/4)2 ξ, dt = √ 4 1−t 2 2π
, ξ ∈ ]]0, 1/2]] ,
℘Ω (ξ) =
Γ(1/4)4 . 8πR2
, ; λ = Γ(1/4) /(2√2π)5 ,;
$#
2
0
λξ = λ ξ
∞
℘ (s) 4℘3 (s)
dx = 4x3 − 4λ4 x
ds = λ
− 4λ ℘(s) 4
R
1
λ2 /R2
√ 0
1 dt, 1 − t4
( , x = λ /t : ( ' 2 $ * $ , ?H ( ' ; D* < 2
2
$ " :
∞ √ 1
$#
1 dx = 4x3 − 4
1 √ 0
√ 1 π · Γ(1/6) . dt = 6 · Γ(2/3) 1 − t6
H , x = t ' 013 < −2
∞ ∞ Γ(1/2) · Γ(1/6) = 0
x−1/2 y −5/6 e−(x+y) dx dy
0
, x = r cos ϕ5 y = r sin ϕ 2
2
∞ π/2 1 1 −1/3 −2/3 −r Γ(1/2) · Γ(1/6) = 2 r (sin ϕ) e dϕ dr = 6Γ(2/3) · √ dt, 1 − t6 0
0
0
( ; , t = (sin ϕ) ' Γ(1/2) = √π 0: ' - - 5 H' " R##T5 1'I'3 8 * ' 2 9 G ( ? ; H Zρ + Z ' √ ("& - ρ = (1 + i 3)'
1/3
1 2
g2 (Zρ + Z) = 0 g3 (Zρ + Z) =
4π 3 · Γ(1/6)6 . 36 · Γ(2/3)6
"2
! "#$ %
ρ(Zρ + Z) = Zρ + Z 103 g (Zρ + Z) = g (ρ(Zρ + Z)) = ρ · g (Zρ + Z), g (Zρ + Z) = 0 ( ρ = 1' < 7073 $#
ρ
2
=ρ−1
2
−4
2
2
2
−4
∞ √ (2π)6 (−1)m σ5 (m) · q m ), q = e−π 3 . (1 − 504 · 216 m=1
g3 (Zρ + Z) =
<;
σ5 (m + 1)q m+1 ≤ σ5 (m)q m
m+1 m
5
π4 ·q <1 90
ζ(5) · q ≤ 25 ·
5 (σ (m)q ) 9 ' 9 %&*? g (Zρ+Z) *:' 103 λ ∈ R5 λ > 05 H Ω = λ(Zρ + Z) = Zλρ + Zλ g (Ω) = 0 g (Ω) = 4
' 1 ;
9 : 4x − 4 ℘(x) = ℘ (x) x ∈ R\Z D* 7'"
5 e = 1 lim ℘ (x) = ∞. ℘?4 ]]0, λ/2]] 5 m
5
m≥1
3
2
3
3
2
∞ 1
x↓0
1 √ dx = 4x3 − 4
0 λ/2
Ω
Ω
℘ (t) 4℘(t)3 − 4
λ/2 dt = λ/2, dt = 0
( Q ,; '7 : ( ' λ = √π · Γ(1/6)/3 · Γ(2/3)' 103 g3 (Zρ + Z) = λ6 · g3 (Ω) =
4π 3 · Γ(1/6)6 . 36 · Γ(2/3)6
2
$ H!4 0: ' - - R122"T5 ''3 - +
1 0
1 Γ(1/3)3 √ √ , dt = 1 − t6 4π 3 2
!) z
∈ C\Z
'
(8 *) τ
#
e1 = α , e2 = β e3 = γ = : + Ω )
α, β, γ ∈ C
g3 (Zρ + Z) =
τ → ℘(z; τ, 1)
9 I
Γ(1/3)3 2π
6 .
! &
H
1
(5 #& 1 #& ℘(z; τ, 1)
g3 (Ω) = 0
α+β+γ =0 *#
+
j(Ω) = 1728"
#
Ω
0 = λ ∈ C
#
Ω = Ziλ + Zλ 0 = λ ∈ C
: +
Ω
)
g2 (Ω) = 0
*#
j(Ω) = 0"
#
√ Ω = Z 12 (1 + i 3)λ + Zλ.
j(Ω) ∈ R =>" # 0 = λ ∈ C " λΩ & 7 ( j(τ ) ∈ R" 2Re (τ ) ∈ Z > e1 , e2 , e3 " # g2 (Ω) g3 (Ω) ∆(Ω) > 0 1 ? Ω + " 2 ℘Ω (z) 2 Ω " # Ω = Ziλ + Zλ ) 0 = λ ∈ C
+ 5
. 6 5 ! &
λ : H → C , λ(τ ) := :
λ λ(τ ) = 0, 1 ) aτ + b a b ∈ SL (2; Z) b ≡ c ≡ 0 (mod 2), = λ(τ ) ) λ c d cτ + d λ(τ + 1) = 1 − λ(τ ), λ(−1/τ ) = 1/λ(τ ).
λ:H→C λ(τ ) = γ
3
℘(1/2; Zτ + Z) − ℘((τ + 1)/2; Zτ + Z) . ℘(τ /2; Zτ + Z) − ℘((τ + 1)/2; Zτ + Z)
# $ D : B *
@ 1 $
γ∈C
γ = 0, 1
τ ∈H
(0 / ) σ9 σ11 " σ3 σ5
&
( & ' ℘ "
( 5 Ω = Zω + Zω D H C ℘(z) = ℘ (z) = ℘(z; ω , ω ) ; G ℘!4 ' 1
2
Ω
1
2
/ Ω " ; " z, w ∈ C z, w, z ± w ∈
013
1 ℘(z + w) + ℘(z) + ℘(w) = 4
℘ (z) − ℘ (w) ℘(z) − ℘(w)
2 .
; ; < , " w ∈ C \ 12 Ω
03
f (z) := f (z; w) :=
1 ℘ (z) − ℘ (w) 2 ℘(z) − ℘(w)
+ Ω ) .
073
z∈Ω
z ∈ −w + Ω
1
& ' " %
<
0I3
1 f (z; w) = − − ℘(w) · z + O(z 2 ) , z = 0, z
1 0"3 f (z; w) = + c(w) + O(z + w) , z = −w. z+w
Y; c(w) ( ' $# J , 073 f ; < , z ∈ w + Ω / ' lim f (z; w) =
z→w
(℘ (z) − ℘ (w)) /(z − w) 1 ℘ (w) 1 lim = 2 z→w (℘(z) − ℘(w)) /(z − w) 2 ℘ (w)
'7 , < :' 8 z = 0 : ! ( ℘(z) = z + O(z )5 ℘ (z) = −2z + O(z) ; 8 ( : 0I3' 8 z = −w '70"3 D :5
2 ,; '8 ; 1 ' −2
2
−3
E# $ -
c(w) = 0' 0"U3 0$ ' 8 ( "'3 * 4 g(z) := (f (z; w)) − ℘(z + w) − ℘(z) − ℘(w) , w ∈ C \ Ω' 9 D* g G D 073 D ' 8 z = 0 g(z) = (z + 2℘(w)) − ℘(w) − z − ℘(w) + O(z) = O(z)5 0∗3
z = −w 1 2
2
−2
g(z) =
−2
1 1 2c(w) 2c(w) − + O(1). + + O(1) = (z + w)2 z + w (z + w)2 z+w
< g G D C , −w + Ω' 9 ,; '8 G D ' $ c(w) = 0 g ,; ' ' 0∗3 g = 0' 4< ω ∈ Ω5 w = ω/2 ∈/ Ω , ! 2 ' ." ; " z ∈ C \ 12 Ω
03 $#
℘(2z) = −2℘(z) +
1 4
4 w → z < 03 013'
℘ (z) ℘ (z)
2 . 2
℘(nz) n = 3, 4, . . . : 5 ! : ( ' 5 ℘(nz) * 4 ℘(z) 0: ' 3' 4 ( 12 ' / Ω ." - " z, w ∈ C z, w, z ± w ∈
063 $#
℘(z + w) − ℘(z − w) = −
℘ (z) · ℘ (w) . (℘(z) − ℘(w))2
; w −w 013 H ' 2
." 6 " z ∈ C z, z + ω1 /2 ∈ / Ω
℘ (z + ω1 /2) =
e1 ℘(z) + e21 + e2 e3 . ℘(z) − e1
4 w := ω /25 ℘ (w) = 05 < Q 2 ,; '7 013 : ( 7'I8'
$#
1
; @ : e , e , e < 4 ' - + 3 D* 4 1
2
1 d ℘ (z) − ℘ (w) = ℘(z) − ℘(z + w) 2 dz ℘(z) − ℘(w)
3
z, w ∈ C
z, w, z ± w ∈ / Ω,
Q ; * 4 D 0 0I3' 3 D* * 4 5 ;( : D D * - D 1' C ' 3 E : ℘ 9 : .'4' " ,* ; 0( & 5 27?2"3' 3 9 Q ℘ (z) · ℘ (w)
D ℘(z), ℘(w) ℘(z + w)' 9 V < 8 Q 7'7013 , - ℘5 ''5 D 0 = P ∈ C[X, Y, Z] P (℘(z), ℘(w), ℘(z + w)) = 0 z, w ∈ C z, w, z + w ∈ / Ω. $*; <
2 P (X, Y, Z) = 4(X + Y + Z)(X − Y )2 − X 2 − Y 2 − 4(4X 3 − g2 X − g3 ) · (4Y 2 − g2 X − g3 ).
<J '' )* R1B27T @ 0 !
' # ( & @ 3 E ( %
7
& ' " %
("& : !" f ! C , - .
f
3
3
e 0 = α ∈ C 3 + # $ $ / '4' 0 0R12#T5 "1"?"13 ' 0R121#T5 .*' ))3' . % ) ( 4 ** C/Ω = {z + Ω ; z ∈ C} 013 ' E := E(Ω) := {(X, Y ) ∈ C × C ; Y = 4X − g X − g } 03 : C × C J 0Y 3 1 ; Ω' ℘!4 * : 03 4 ** 013% 2πiαz
2
3
2
3
$ " -,,
073
Φ : (C/Ω) \ {Ω} −→ E(Ω) , Φ(z + Ω) := (℘(z), ℘ (z))
5
$7 #
Q 7'7013 ; ; <5 8 : Φ
' F (X, Y ) ∈ E (< z ∈ C ℘(z) = X <J '78'
$#
E
Y 2 = 4X 3 − g2 X − g3 = ℘ (z)2 .
$ ; ' z −z5 ℘(z) = X ℘ (z) = Y ' (X, Y ) 8 : Φ Φ - :' , z , z ∈ C\Ω (℘(z ), ℘ (z )) = (℘(z ), ℘ (z )) 5 < z ≡ z (mod Ω), ℘ (z ) = 0, z , z ≡ ω /2, ω /2, ω /2 (mod Ω), ℘ (z ) = 0, '70"3 ;(' '70I3' ℘(ω /2) = e 5 k = 1, 2, 35 *( : ! 0: ' '70335 4 z ≡ z (mod Ω)' Φ - :' 2
1
2
1
1
1
2
1
1
2
2
2
2
1
3
k
1
k
1
2
9 E = E(Ω) ( N O E := E(Ω) := E ∪ {O} O := (∞, ∞) 0I3
I
; Φ ; 8- 0"3
Φ : C/Ω −→ E(Ω),
(℘(z), ℘ (z)) Φ(z + Ω) := O
z∈ / Ω, z ∈ Ω.
- : Φ H ** : C/Ω 0: ' 3 E % 4 P, Q ∈ E (
< P + Q := Φ(Φ (P ) + Φ (Q))5 03 ( C/Ω (u + Ω) + (v + Ω) := (u + v) + Ω ' < ("& ' & "! 03 E(Ω) + , O
: ' −1
−1
Φ : C/Ω → E(Ω)
# " z ∈ C\Ω
−(℘(z), ℘ (z)) = (℘(−z), ℘ (−z)) = (℘(z), −℘ (z)), !" u, v ∈ C u, v, u + v ∈ / Ω
(℘(u), ℘ (u)) + (℘(v), ℘ (v)) = (℘(u + v), ℘ (u + v))' 063 <5 ( , 03 P, Q ∈ E ' 9 1013 ( 063 ;
* D P + Q * : P Q ' ) ! ( *; 4 * : P + Q ' < ''
8 ( ' - + 3 D O = (∞, ∞) <5 ( * : N*- :O % $ ; P (C) ! 7 4 C' - :
2
π : (C × C × C) \ {0} → P2 (C)
0 = α ∈ C' 7 1 ; Ω / PE := PE(Ω) := {π(X, Y, Z) ; Y Z = 4X − g XZ − g Z }' CQ ( (X, Y ) → π(X, Y, 1) ) - E → PE / D O π(0, 1, 0)' 3 4 C/Ω - 4< E : P (C)5 / 0"3 * ' π(X, Y, Z) = π(X , Y , Z ) ⇐⇒ (X, Y, Z) = α(X , Y , Z )
2
2
3
2
2
3
3
"
& ' " %
3 = E# ) Ω - 0: ' '!35 g g ,; 7'"
N
O : E ; % A 4X − g X − g
9 5
< 8 % ' - 2
3
3
.............................. .... ..... ... .... .... ... ... ... ... .. . ... . .. .... ... .... .. .. .... ... .... .. . ... .. .. .. ... ... .. . ... . . . ... .. .. ... ... ... ... ... ... ... .... . ... . . . ..... .. .............................
2
3
... ... ... ... ... . . ... .. ... ... ... . .. ... .............................. .... ....... ....... ... ....... ..... .... ....... .... .... . . ... . . . . . . . ........... ......... ........ ... ... ... ... .. . . . ... ... ... ... ..... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ....... ... ............ .............. .... ....... .... ..... ...... .... ..... ....... .... .......... .................. .... ........... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
.. .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. . .. .. .. ... .. ... . ... .. .. .. .... .. .. .. ... .. .. ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
' 11% $* : 3 : .1 # (< Ω <J I'I g ℘ = 4℘ − 1728' ) 2
2
= 0 , g3 = 123
3
Ω=
Γ(1/3)3 √ (Zρ + Z) 4π 3
8 I'"' $ @ / ; 5 4 (X, Y ) → (U, V ) , U :=
8- :
72 − Y 72 + Y , V := , 12X 12X
E := {(X, Y ) ∈ C × C ; Y 2 = 4X 3 − 1728, X = 0}
! :
F := {(U, V ) ∈ C × C ; U 3 + V 3 = 1}
' E ( 12 (U, V ) → (X, Y ) X :=
U +V '
Y := 72
U −V U +V
5
4 D P : C×C P = (X ( ' 4 P, Q ∈ E X = X 013 * H Γ = Γ P Q% (
P
P , YP )
Q
P,Q
03 Y =a X +b . a b 073 a := XY −− YX , P,Q
P,Q
P,Q
P,Q
P
Q
P,Q
P
Q
bP,Q :=YP − aP,Q XP =
XP YQ − XQ YP . XP − XQ
. .. ... ... ... . ... ... ... ... ... . . ... ... ... ... ........ .. .......... ................... . . . . . . . . ...... .... ............. ...... .... .......... ..... ...... • ... ......................... ......... .. .... ................... ... .......... .......... .. . . . . . . . . . . . .......... . . . ... . . . . . . . ... . .......... ... .......... ... ............ ............ ... ..... ... ... ... .. .... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ......................... ....... ..... ......... ..... ..... ...... ......... .... ...... .............. .... ...... ......... ... ................................... ... ......... ... ......... ... ......... ... ......... ......... ... ......... ... ......... ... ......... ... ......... ......... ... ......... ... ......... . ......... ......... ..... ......... .. ........ ... ..
Q •
P
•P Q
•
H Γ ( : E ( D ' ) 45 E
;5 ( • R 8 ' F D<; ,: /! D P • Q C × C RR • a −X −X , ' 1% H $* 0I3 YX := := a X +b . : CQ P • Q Γ' P •Q
P •Q
1 4
2 P,Q
P
P •Q
P,Q
•
Q
P,Q
$ " ; " X ∈ C
' $# F < 0"3 Y; : X ( 0I3 Y; : X ' ; 0"3 H 4 g X + g = AX + B A, B ∈ C. 0"3 : Γ X = X X = X 5 A = g
B = g 5 H : 0"3' 2 0"3 4X
3
− g2 X − g3 = 4(X − XP )(X − XQ )(X − XP •Q ) + (aP,Q X + bP,Q )2 3
2
2
3
P
Q
2
3
< ." ; " P, Q ∈ E XP = XQ P • Q ∈ E#
D P • Q , * H Γ E' 4 0I3 ! # H P = Q X = X 5 P • Q = O' P
Q
6
& ' " %
) 4 P = Q :% , @ D P ∈ E Y = 0 ; ' P
03
aP :=
12XP2 − g2 , 2YP
bP := YP − aP XP
Y = a X + b P E' , P • P ∈ C × C X := a − 2X , Y := a X +b ' 063 P
P
1 2 4 P
P •P
P •P
P
P
P •P
P
$ " - " X ∈ C
' $# Y; : X ( 063 !
Y; : X ' 4 X = X 0B3 ( 03 2 H : 0B3' <
0B3
4X 3 − g2 X − g3 = 4(X − XP )2 (X − XP •P ) + (aP X + bP )2 3
2
P
." - " P ∈ E YP = 0 P • P ∈ E#
D P • P ;( , * E P
063 * ! # H Y = 05 P • P = O' ! ;A + " ℘8 8- 0"35 / Ω, ℘ (z)) z ∈ 013 Φ : C/Ω −→ E(Ω) , Φ(z + Ω) := (℘(z), O z ∈ Ω,
< ( u, v ∈ C D P, Q : E P := Φ(u + Ω) , Q := Φ(v + Ω)' 03 P
$ " u, v, w ∈ C \ Ω u + v + w ∈ Ω u + Ω v + Ω w + Ω
P • Q = Φ(w + Ω) .
* 4 f (z) := ℘ (z) − (a ℘(z) + b ) D 7' C #5 7 9 C/Ω' 9 f (u) = f (v) = 0 ,; ' f (w) = 0' P, Q R := Φ(w + Ω) , * H E' < ;'8' P • Q = P 5 < a = a b = b I0735 I0I35 I03 I063' (< H E < D P Q , * E' P, Q, R *( : 5 2 G < R = P • Q.
$#
P,Q
P
P,Q
P
P,Q
P,Q
B
I0735 I0I3 u+v +w = 05 ( u+Ω5 v +Ω5 w +Ω *( :
;# $ - #
u, v, w ∈ C\Ω
%
1 ℘(u + v) = ℘(−w) = ℘(w) = a2P,Q − XP − XQ 4 2 1 ℘ (u) − ℘ (v) = − ℘(u) − ℘(v). 4 ℘(u) − ℘(v)
: 4< , ' 4 P ∈ C × C ; J P := (X , −Y ) , P = (X , Y )' 073 / $ ∗
P
P
P
... .. ... ... ... . . ... ... .. ... .. . .. .. .. .. ... ........ .... . ....... ............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... ........ • ... ... . ..... ................ .... .. .. ..... ................ ... .. ..................... ... .. .. ................... ... . ... ................ ...... .. ... . ... ................................ . . . . ... ... .............. ... ... .. .. ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ..... ... .. ... . .... ... . . ... . ... . .. ... .. . . . . ... ... ... .... ... . ... ... .. .. ... ... ... . .. . . ... ... . .. ... .. . . ... .. .. . . .. . .. ... .. .. .. . . . ... . ... .. ... .... . . . . ... .. ... ... ... . .... ..... ...... .... ..... .... ..... ... ......................... ... ... .. .. .. .. .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
P•
.. ... .. ... ... . . ... ... ... ... .... .... . . . .. .... .... ................................. ..... ........... ......... .......... ...... .................. ........... ........................................ .. ..... • ..................................... .... . . . . . . . . . ... ........... ... .............. .. ... .............. ... .............. .............. . . . . . . . ... . . . . . . . . . . .. ................. ... ......... ... ... ... ... ... .... ... .... ... .... ... ... .. ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... . ..... ..................................... .. . . . . . . . . . ...... ... ..... ......... . . . . ...... . . . . . . . . ..... ......... ..... ..... ................................. ..... .... .... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
•P Q
Q •
P
Q •
• P Q
P•
• P +Q
• P +Q
' 17% $* : ("& - (P, Q) → P + Q ! E , ,
0I3
5
! XP = XQ
5
! YP = 0
P + Q = (P • Q)∗
,+#
0"3
2P = (P • P )∗
5
5
# #
03
1 XP +Q := a2P,Q − XP − XQ , YP +Q := −aP,Q XP +Q − bP,Q , 4
5
! XP = XQ ,+#
2
2
& ' " %
063
X2P := 14 a2P − 2XP , Y2P := −aP X2P − bP
'
5
! YP = 0 ",
0B3
−P = P ∗ = (XP , −YP ) .
$#
4 ℘(u) = ℘(v) 03
P + Q = Φ(Φ−1 (P ) + Φ−1 (Q)) = Φ(u + v + Ω) = Φ(−w + Ω) = (℘(w), −℘ (w)) = (Φ(w + Ω))∗ = (P • Q)∗ .
8 * I0I3 ;(' I063 ,; '
2
3 4 03 ! ℘!4 ' ,; :< ! 5 ( 5 X = X Y = ±Y *; (X , Y ) + (X , −Y ) = O 0B3 ' 3 ) @ C×C D (a , a ), (b , b ) (c , c ) ! H 5 ( - +
P
P
P
P
Q
P
Q
P
1
2
1
2
1
2
1 1 1 det a1 b1 c1 = 0 a2 b2 c2
' 4 P, Q ∈ E P, Q P • Q / H ' 9 u, v, w ∈ C \ Ω u + v + w ∈ Ω
1 1 1 det ℘(u) ℘(v) ℘(w) = 0 . ℘ (u) ℘ (v) ℘ (w)
$ Ω H 5 ( g g
' E := E (Ω) := {(X, Y ) ∈ E ; X, Y ∈ Q} 013
: E' 4 "035 "0635 "0B3 ; 5 E := E (Ω) ∪ {O} , O := (∞, ∞)5 03
E ** : E ' - 3 : .1 # 9 8 * 7 D 19 #"" ,
Q
3
Q
Q
2
Q
EQ := {(X, Y ) ∈ Q × Q ; Y 2 = 4X 3 − 1728}
FQ := {(U, V ) ∈ Q × Q ; U 3 + V 3 = 1}
: G X = , Y = 72 ; ' F ! G (1, 0) ;(' (0, 1)5 !D 12 U +V
U −V U +V
Q
6#
,; : 0 ' ' 5 II7?""1 0122"33 G ' : ( 4 n = 3 ; ( 0: ' 1 & R122T5 § 1"3' (12, 72) (12, −72) ; D : E' E H ** C 7' 3 E := {(X, Y ) ∈ C × C ; Y = 4X − 4X + 4}' CQ P := (1, 2) ∈ E "063 2P = (−1, 2) ∈ E ' "03 Q
2
3
Q
073
3P = (0, −2) , 1 7 , , 6P = 4 4
Q
4P = (3, −10) , 11 34 7P = − , − , 9 27
5P = (5, 22) , 19 206 8P = ,− . 25 125
; 5 E ; H ** 5 : P
; ( ' 3 ; Y = 4X − 28X + 25 G H ** 7' - + 3 9 ,; : 'A' 0D' . D' ,' 5 162?12 01233 H ** E ; ' ! $ ( : A' ' 2 : ' 3 9 D : E + . : E5 E ∩ (Z × Z) ' 'A' ; 127 0D' ' ,' 03 5 I1"?I1235 ' : .'' 0# -, 5 #6?#B3' 073 5 ; D : E '' E ** : E ' 3 ' ' % 0D' ) ' . ' 8 12B5 22?1#3 ; 4 J F ( 5 * : ;' @ Q : ( ' : F n 5 (< F ; ! F x, y, g / g := 4x − g x − y ' ) 4 g − 27g = 0 / 2
3
Q
Q
2
3
3
2
Y 2 = 4X 3 − g2 X − g3
2
3 2
2 3
* : 5 D P := (x, y) <' 4 I0I3
I063 ; : @ kP * : (mod n) 5 9 I073 I03 ; n ' @ ( D kP * : (mod n) : n' $ " 0 ' # R1227T5 ' ' "3 R12B6T5 A' ' R12B"T5 ' / 5 G : H ; F 5 ' 5 ,* ?@ 5 8 ? ?9 ( Z 12215 711?7' 9 &" $ *: ; F f J + . 2 0 ' , : R[ .
T35 ( (
, < a, b, c
61
& ' " %
4< f ' $ < 5 f M ! ' D 5 ( F , ; 5 ( : H 0 D : F 3 ; G ** 0: ' '$' !5 < ! ! , 5 . 5 9 ( Z 12#5 *' >@)3' , ; 5 c * ( 5 ab = f ' 013 )
5 8 * * 0: ' 4' 1 & R122T5 § 1I3 ; G D ; : ( 5 1 2
, :
" / ! 2 f
.
+
+ 2 q ! + 2 u, v ,
03
q 2 f = uv(u2 − v 2 )
'
u > v, u ≡ v (mod 2)
4 ; f (< a, b, c 013 q ∈ N5 qa, qb, qc *: * * 5 ( $ < ! qb ' $ ; F u, v u > v > 05 u ≡ v (mod 2) qa = u − v , qb = 2uv , qc = u + v ' 0∗3 $ q f = qa · qb = uv(u − v )5 03' , q, u, v 03 5 / a, b, c 0∗3' 2 $#
2
2
1 2
2
2
2
2
2
f n f 5 n ∈ N5 ; 5 8 ! M ; < ' M ; ≤ 50 2
5, 6, 7, 13, 14, 15, 21, 22, 23, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 46, 47.
$ 361 M ; ≤ 1000' ; 5 ;( : !
; 5 5 F ; ' q ∈ N q |uv(u − v ) (<% 2
2
2
6
uv(u2 − v 2 )
%
a = (u2 − v 2 )/q
b = 2uv/q
c = (u2 + v 2 )/q
?
=
>
?
=
=
>
=
=
?
=
>
?
?=
=
>
>>
?
@
=
?
21/2 65/6 17/6 5/2 35/12 123/20 33/35 253/42 323/30 5301/425 8897/360 99/910
17/2 25/2 41/6 53/3 65/6 97/6 145/6 313/10 337/60 881/60 4901/105 7585/462 106921/9690 1646021/118575 2566561/103320 48029801/90090
>
15/2 7/2 3/2
?
=
=@
?
@
>
?
>
?
?
?
242550 9818424 1220649300 534281163750 330925694400 235370034900
105 462 9690 118575 103320 90090
@
50 72 325 1250 1600 4901
49 49 36 289 81 4900
20/3 28/3 8/3
156/5 24/5 40/3 140/3 168/11 780/323 1700/279 720/287 52780/99
> ?> = =@
22 46 13 38 31 29
M ; ≤ 50 < f = 23, u = 24336, v = 17689, f = 37, u = 777925, v = 1764, f = 47, u = 14561856, v = 2289169.
$ 8 * J N O G : ' / % l
224403517704336969924557513090674863160948472041 8912332268928859588025535178967163570016480830
l
6803298487826435051217540 411340519227716149383203
l
l
l
l
l l
l l
411340519227716149383203 21666555693714761309610
' 1I% ; 1"6 , : < < ( 15 % 12 % "' f = 157' = ( F ;( ! ; ( D : * : % F ! ; ( ν(x) ∈ N 9 : 0 = x ∈ Q ; 8 ; ' $ " "
" / ! 2 f 0/ 9
03 f + # 03 : ,
(x, y) ! 1 Y 4X − 4f X x F Q ν(x) # 3
2
2
=
67
& ' " %
$#
03
03% (< q ∈ N F 5 5 ,
=⇒ u, v, u ≡ v (mod 2) u > v
a = (u2 − v)2 /q ,
c = (u2 + v 2 )/q
b = 2uv/q ,
4< f % a + b = c f = ab' 0∗3 qa, qb, qc *: * * 5 qc = u + v ' , ; x := (c/2) 5 ν(x) ' 0∗3 x ± f = (c/2) ± f = ((a ± b)/2) 5 4x − 4f x = 4x(x − f ) =: y y = c(a − b )/4 ∈ Q ' 03 =⇒ 03% ; α := √x ∈ Q , β := y/α < β = 4x − 4f , '' β + 4f = 4x . 9 @ ; t := ν(α) ' f ; 5 β 4x 9 ν(4x ) = t /4' t β/2, t f, t x *: * ! * ' $ F u, v5 u ≡ v (mod 2)5 u > v 2
2
1 2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
t2 β/2 = u2 − v 2 , t2 f = 2uv , (tα)2 = u2 + v 2 ,
t f ' 2u/t, 2v/t, 2α , ( 2 4< f ' $ " 0 9' & * R1227T5 H' *5 ' ' '5 776?7I# 012B3' 2
1 )& ℘(2z) ℘(3z) ℘(z)
1 (℘ (z)−℘ (w))(℘ (z)−℘ (w)) 4 (℘(z)−℘(w))2
℘ (z + w) = − 12 [℘ (z) + ℘ (w)] + ℘ (2z) = −℘ (z) +
28℘3 (z)−g2 ℘(z)+2g3 2℘ (z)
= = !)
z, w ∈ C
1 ℘ (z)℘ (z) 4 ℘ (z)2
z, w, z ± w ∈ /Ω
−
1 4
−
1 4
℘ (z) ℘ (z)
12℘2 (z)−g2 2℘ (z)
3
3
= −℘ (z) +
g22 16g3
℘(3z0 ) =
5 = 9 &
N2
3℘(z)℘ (z) ℘ (z)
(℘(z)−℘(w))2
℘ (z+ω/2) ℘ (ω/2) = − 12 (℘(z)−℘(w/2)) 2 , ℘ (z) 2
(℘(ω1 /4) − e1 ) = 2e1 + e2 e3 = (e1 − e2 )(e − e ) 1 3 ω 1 1 X − ℘ ω32 X− > X 4 − 2 g2 X 2 −g3 X− 48 g22 = X − ℘ 31 ? 0 z0 ∈ C ℘(z0 ) = 0"
℘ (z)−℘ (w) ℘(z)−℘(w)
−
1 4
3
,
℘ (z) ℘ (z)
3
.
9 &
E"
E"
,
ω/2 ∈ /Ω.
2
N ∈N
(2℘(z)℘(w)− 12 g2 )(℘(z)+℘(w))−g3
=
'
1 4
℘(z + w) + ℘(z − w)
℘(2z0 ) = −
−
℘
ω
1 +ω2
3
X −℘
ω
1 −ω2
3
.
8g3 256g33 − . g2 g24
/
(e1 , 0), (e2 , 0)
(e3 , 0) N .
6I
9 &
N F g2 , g3 ∈ Q N ∈ Z , N > 1 0 P = (x, y) ∈ E N " 6J* x, y ) Q + ≤ N 2 @ E * (R/Z) × (R/Z) 3 Ω 8 & : ER := E ∩ (R × R) = {(℘(z), ℘ (z)) ; z ∈ ω2 + R \Ω, ω ∈ Ω}.
3
ER := ER ∪ {O}
*
(Z/2Z) × (R/Z)
1 9
E6 F
E
=
(x, y) A 9 & Y 2 = 4X 3 − 4f 2X " x H Q ν(x) : ν(y) ≡ 0 (mod 4) = 3 f ∈ N ; f :& * " # x B " x, x + f, x − f H Q ' f ∈ N + Ω * 6 Y 2 = 4X 3 − 4f 2 X 3
f
; :& *
6
) "
F D ζ ! σ!4 D ∆ = g − 27g ' , ( 5 ( ; :; ! : ,' % R12B6T5 *' 1B' ( ( D * ℘!4 ' $ Ω H C (ω , ω ) 8 : Ω' σ 8 9 D ; 0 ' - R122"T5 ,; 7'1'I3 : ;! 1'2 D z ( ) ·e 1− 013 σ(z) := σ(z; Ω) := z · ω - * : C <J : ' σ
; 4 5 , z ∈ Ω 9 1' C ;' ω −ω ; Ω < 5 σ # σ(z) ! ' 9 ; : σ ζ 5 1 1 1 z σ (z) + + , z∈ / Ω. 03 ζ(z) := ζ(z; Ω) := σ(z) = z + z−ω ω ω : < - F ; 5 * : 2 ! ' 3 2
2 3
1
2
z + 12 ω
z 2 ω
0=ω∈Ω
2
0=ω∈Ω
1 1 z z2 + + 2 = 2 z−ω ω ω ω (z − ω)
6"
( )
: 03 : ;! 1'2 - *! C5 H * <5 <J ' ) , ζ , ! #
$ @ 7'1073
σ 073 ζ = = −℘. σ ℘(z + ω) = ℘(z) ω ∈ Ω η(ω) := η(ω; Ω) := ζ(z + ω) − ζ(z) 0I3 : z < ' $ 0"3 η(ω + ω ) = η(ω) + η(ω ) ω, ω ∈ Ω. η : Ω → C H ** * ' 8# " :
η(ω2 ) · ω1 − η(ω1) · ω2 = 2πi,
!
Im (ω1 /ω2 ) > 0.
ζ(z) *: ∂P D ! * P := 3(u; ω , ω )5 ( u (< 5 0 D : P '
; ζ(z)dz = 2πi5
$#
1
2
∂P
ζ D 1' C
1 P '
u+ω 2
ζ(z)dz =
u+ω 1 +ω2
ζ(z)dz + u u+ω 2
∂P
u+ω 1
ζ(z)dz + u+ω2
ζ(z)dz + u+ω1 +ω2
u
ζ(z)dz u+ω1
u
(ζ(z) − ζ(z + ω1 ))dz +
=
u
(ζ(z) − ζ(z + ω2 ))dz , u+ω1
( 5 D (0, ω , ω + ω , ω ) @ ! 2 ; *: ' 0I3 8 * ' 2
1
2
1
." " ,, ω, ω ∈ Ω
η(ω) · ω − η(ω ) · ω ∈ 2πiZ.
F $ : ( 0"3 % ! ' η := η(ω ) , η := η(ω )5 03 1
1
2
2
2
6
; 5 / : 8 ! < ' 0135 03 0I3 < J 0 = λ ∈ C% 063 σ(λz; λΩ) = λ · σ(z; Ω) , ζ(λz; λΩ) = · ζ(z; Ω) , η(λω; λΩ) = · η(ω; Ω). " " % σ * "" " Ω 9 σ ; ! 4 * 4 ; H Ω' F 8 @ : σ z → z + ω , ω ∈ Ω5 / χ : Ω → {±1} ω/2 ∈ Ω, 1, 013 χ(ω) := −1 , ω/2 ∈ / Ω. 1 λ
1 λ
("& " ω ∈ Ω z ∈ C
' $# 4 z ∈ Ω , : 03 0' 103 σ (z) = σ(z) · ζ(z) z ∈ / Ω 10I3 03
σ(z + ω) = χ(ω) · eη(ω)(z+ω/2) · σ(z)
d dz
σ(z + ω) σ(z)
=
σ(z + ω) · η(ω) σ(z)
ω ∈ Ω.
+ ω) ψ(ω) := σ(zσ(z) ·e : z < ' σ 5 < ; < z = −ω/2 0∗ 3 ψ(ω) = −15 ω/2 ∈ / Ω' 10"3 σ(z + 2ω) σ(z + ω) · ·e 0∗∗3 ψ(2ω) = = ψ (ω). σ(z + ω) σ(z) 9 0 = ω/2 ∈ Ω' Ω 5 F n ≥ 1 $ ω := 2 ω ∈ Ω5 ω = 2 ω ∈/ Ω' $ ψ(ω) = ψ(2 ω ) = (ψ(ω )) 0∗∗3 ψ(ω) = 1 0∗3' F 2
< ψ = χ' σ(z + ω) −η(ω)z , ·e σ(z)
−η(ω)(z+ω/2)
−2η(ω)(z+ω)
n
−n
." + f (z) :=
%
z ∈ C, z ∈ / b+Ω
1 2
2n
σ(z−a) σ(z−b)
2
−n−1
!" a, b ∈ C !" ω ∈ Ω
f (z + ω) = eη(ω)(b−a) · f (z)
'
, f ! * 4 ; H Ω P D *! ' 9 ! D : f P <J
' < & " + %
66
( )
@ 5 ; ,; '.5 a , . . . , a b , . . . , b P r ≥ 25 f P , a , . . . , a 9 , b , . . . , b D ' 9 ,; ' & a + . . . + a ≡ b + . . . + b (mod Ω)' 013 8 - ; 5 ( 8 P 1
r
1
1
1
r
r
r
1
r
1
r
< &8("& a1 , . . . , ar b1 , . . . , br + C !"
' {a1 + Ω, . . . , ar + Ω} {b1 + Ω, . . . , br + Ω} 7 !"
03
ω0 := b1 + . . . + br − (a1 + . . . + ar ) ∈ Ω
#
073
f (z) := e−η(ω0 )z ·
σ(z − a1 ) · . . . · σ(z − ar ) σ(z − b1 ) · . . . · σ(z − br )
a1 + Ω, . . . , ar + Ω
b1 + Ω, . . . , br + Ω ,+# $#
: ( 5 1 1013'
2
F( * 4 9 ! D 0 J @ 3 ,; ' 4' $ M
; $ ;!,; " +8("& f + Ω f
P , a1 , . . . , ar
b1 , . . . , br > +0 &! ?
, 1 C
ω0 := b1 + . . . + br − a1 − . . . − ar ∈ Ω : !
f (z) = C ·
σ(z − a1 − ω0 ) · σ(z − a2 ) · . . . · σ(z − ar ) . σ(z − b1 ) · . . . · σ(z − br )
( ℘!4 ( ." ; " z, w ∈ C \ Ω
℘(z) − ℘(w) = −
σ(z + w) · σ(z − w) . σ 2 (z) · σ 2 (w)
6B
, 2w ∈/ Ω ' , w ' ℘(z) − ℘(w) z = 0 D ;( C '70"3 z = ±w - 9 1' C ' 9 ?,; $#
℘(z) − ℘(w) = C · f (z)
f (z) :=
σ(z + w) · σ(z − w) σ 2 (z) · σ 2 (w)
C ' 1013 7'10I3 lim z 2 · f (z) = −1 , lim z 2 · (℘(z) − ℘(w)) = 1,
z→0
z→0
C = −1.
2
." - " z ∈ C\Ω
℘ (z) = −
σ(2z) . σ 4 (z)
*; : H ; w → z '
$#
1 z−w
2
." 6 " z ∈ C \ Ω ω ∈ Ω , ω/2 ∈ / Ω
℘(z) − ℘ (ω/2) = $#
2 σ (z − ω/2) eη(ω)z/2 · . σ(z) · σ (ω/2)
< w = ω/2 : ( 03 4 σ (z + ω/2) = −eη(ω)z · σ (z − ω/2) .
2
9 . ℘(z) − ℘ (ω/2) , ω ∈ Ω \ 2Ω5 V * 4 5 0I3
1 ω σ (z − ω/2) = +··· , ∈ / Ω, ℘(z) − ℘ (ω/2) := −eη(ω)z/2 · σ(z) · σ (ω/2) z 2
/ ' 5 0I3 * 4 ; H Ω ' $ - ." " ω0 ∈ Ω\2Ω
℘(z) − ℘(ω0 /2) := −eη(ω0 )z/2 ·
I
σ(z − ω0 /2) σ(z) · σ(ω0 /2)
) + 2Ω# ! Ω# , ! !
ω20 + Ω#
62
( )
9 ! D $! σ?4 ' 5 ω ∈ Ω $#
=
℘(z + 2ω) − ℘ (ω0 /2) ℘(z) − ℘(ω0 /2) · eη(ω0 )ω−η(ω)ω0
σ (z + 2ω − ω0 /2) = − eη(ω0 )(z+2ω)/2 · σ(z + 2ω) · σ (ω0 /2) = ℘(z) − ℘(ω0 /2),
( ; <; 10"3 1 '
2
, !8 ; ek := ℘ (ωk /2) , k = 1, 2, 3,
ω3 = ω 1 + ω 2 ,
<J '7073 . ,; e2 − e1
0"3
e3 − e1 e3 − e2
2 σ(ω3 /2) = e−η(ω1 )ω2 /2 · , σ(ω1 /2) · σ(ω2 /2) 2 σ(ω2 /2) = eη(ω1 )ω3 /2 · , σ(ω1 /2) · σ(ω3 /2) 2 σ(ω1 /2) = eη(ω2 )ω3 /2 · . σ(ω2 /2) · σ(ω3 /2)
( ( : ( ( (+"8# " " u, v, w, z ∈ C
σ(u − v)σ(u + v) · σ(z − w)σ(z + w) + σ(v − w)σ(v + w) · σ(z − u)σ(z + u) + σ(w − u)σ(w + u) · σ(z − v)σ(z + v) = 0.
4 u, v, w, z ∈ C\Ω < ; U := ℘(u) , V := ℘(v), W
Z := ℘(z) ) < $#
:= ℘(w)
(U − V )(Z − W ) + (V − W )(Z − U) + (W − U)(Z − V ) = 0
'
2
3 ' ") * 0( 5 6?67#3 E : 0 * 4 5 , ! ' 3 / * ; * 4 f - +
#
f (z) :=
℘(z) − e1 , e3 − e1
: /; Q f = (e2 − e1 ) · (1 − f 2 )(1 − χ2 f 2 ) 2
χ2 :=
e3 − e1 = 0, 1. e2 − e1
B#
) % 9 0: ' $'0"33 ' A , A + < H 4 Ω = Zτ + Z τ ∈ C5 Im τ > 05 013 ω = τ , ω = 15 ; ; ; 03 σ(z; τ ) := σ(z; Ω) , η(ω; τ ) := η(ω; Ω) ω ∈ Ω = Zτ + Z
η := η(1; τ ) = η(1; Ω)' 073 % ! 1 η · τ − η(τ ; τ ) = 2πi' 0I3 ( ; ( , !8 ; q := e τ ∈ H , w := e z ∈ C 0"3 √ √
' ,* ; q := e ;(' w := e ' 1
2
2πiτ
2πiz
πiτ
πiz
$ "
03
f (z) := e−ηz
2 /2
·
√ w · σ(z; τ )
!"
063
f (z + 1) = f (z) f (z + τ ) = −
$#
03 ; <
1 · f (z). w
σ(z + 1; τ ) = −eη·(z+1/2) · σ(z; τ ) 1 σ(z + τ ; τ ) = −eη(τ ;τ )·(z+τ /2) · σ(z; τ ) = − √ · eη·τ ·(z+τ /2) · σ(z; τ ) , w q
( 0I3 ' 03 8 * ' ("& G f
035 (1 − wq ) 1 − q 1 (w − 1) 0B3 f (z) = , 2πi (1 − q ) ∞
1 n w
n
n 2
n=1
# #
023
∞ (1 − wq n ) 1 − w1 q n 1 ηz 2 /2 √ 1 e σ(z; τ ) = w−√ . 2πi (1 − q n )2 w n=1
2
B1
( )
|q| < 1 : D * <J z' $# 8 ; , : 0B3 g(z)5 g ; < ; 4 g(z + 1) = g(z) 0"3' 4 z → z + τ wq ;(' q wq ;(' q ' $ n
1 n w
1 n−1 w
n+1
∞ (1 − wq n+1) 1 − w1 q n−1 1 g(z + τ ) = , (wq − 1) 2πi (1 − q n )2 n=1
''
g(z + τ ) wq − 1 1 − 1/w 1 = · =− . g(z) w − 1 1 − wq w
g(z + τ ) = − · g(z)' $ @ ; 5 * 4 h := f /g D 1 τ 5
* 4 ; H 013 ' : D g 9 1' C , z 5 ( 1 q =e w=e = 1 wq = e = 1 =1 w m = 1, 2, . . . ' , z ∈ Ω = Zτ + Z' f 03 1013 9 5 h ' 1 w
2πiz
m
lim
z→0
σ(z; τ ) = 1, z
J h = 1'
2πi(mτ +z)
lim
z→0
m
f (z) = 1, z
lim
z→0
2πi(mτ −z)
g(z) =1 z 2
- + ) D ; 0: ' ' - R122"T5 ,; 7'1'I3 ) < 023 ( * !
( % 8 , : 0B3 9 @ 5 ; 4 F 9 −ηz 2 /2
e
∞ √ (1 − wq n ) 1 − w1 q n · w · σ(z; τ ) = f (z) = F (z) · (w − 1) . (1 − q n )2 n=1
$ 5 < F (z) = 5 : ( ( ' 9 ; 4 C ; 5 5 F (z) = e D q5 G H ' F 8 ( 5 8 ( g ; ; 4 C ' σ ; G D ,; 0$'.' 4 R12"BT5 B'I3 8 * ' 1 2πi
q(z)
B
! " ∆8,
F 9(
,
013
∆(τ ) = (2π)12 · q ·
∞
(1 − q n )24 , q := e2πiτ , Im τ > 0,
n=1
( N O 8 ; ;' 5 ( ( $ ; :;! 5 ( 5 ( *; 4
* ' F ; 03
∞ P := (1 − q n ) , 0 P1 :=
n=1 ∞
P2 :=
1 − q n−1/2 , P3 :=
n=1
∞
(1 + q n ) ,
n=1 ∞
1 + q n−1/2 .
n=1
5 D ( |q| < 1 : ' P0 P1 P2 P3 =
∞
(1 − q 2n ) ·
n=1
∞
(1 − q 2n−1 ) = P0
n=1
; < P P P = 1' 073 9 ( D I023 σ!4 : ( ' ! ; η := η(1; τ ) 1
0I3
2
3
2πi · P02 · σ (1/2; τ ) = 2ieη/8 · P22 , 2πi · P02 · σ (τ /2; τ ) = −q −1/4 eη·τ
2 /8
· P12 ,
2 /8
2πi · P02 · σ ((τ + 1)/2; τ ) = iq −1/4 eη·(τ +1)
· P32 .
E 8 % ! I0I3 70"3 0"3
e1 − e2 = e−η·τ /2 e3 − e1 = e(η·τ −2πi)(τ +1)/2 e3 − e2 = eη·(τ +1)/2
· · ·
σ ((τ + 1)/2; τ ) σ (1/2; τ ) · σ (τ /2; τ )
2 ,
σ (1/2; τ ) σ (τ /2; τ ) · σ ((τ + 1)/2; τ ) σ (τ /2; τ ) σ (1/2; τ ) · σ ((τ + 1)/2; τ )
2 , 2 .
4 0I3 0"3 8 : 073 = !
B7
( )
e2 − e1 = π 2 P04 P38 ,
√ e3 − e1 = 16π 2 qP04 P28 ,
7'I. J
e3 − e2 = −π 2 P04 P18
'
∆(τ ) = 16(e1 − e2 )2 (e2 − e3 )2 (e3 − e1 )2 = (2π)12 · q · P024 · (P1 P2 P3 )16
8 * 013 073' - + ∆!4 4 (2π) I' D ; ' ! : !
12
03
η(τ ) := eπiτ /12 ·
∞
1 − e2πinτ .
n=1
D ( : ' " 0) 5 25
5 .* >@)% 5 ) . 5 6?BI3 ( .'H'A' '& 0# ( 5 1I1?1""3 ' : )))5 K' 1 ;A + " "* %"" 9 I'I013 ( ) : j(τ ) = (12g (τ )) /∆(τ ) , Im τ > 05 / ' H <J I'703
G
2
3
12g2 (τ ) = (2π)
4
∞
1 + 240 ·
σ3 (m) · e
2πimτ
,
m=1
"013 ∆(τ ) = (2π)12 e2πiτ ·
∞
(1 − e2πimτ )24 .
m=1
$ 2πiτ
e
· j(τ ) =
1 + 240 ·
∞
3 σ3 (m) · e
2πimτ
m=1
·
∞ m=1
∞
24 2πimnτ
e
.
n=0
4 *: "! Y; ' $ *! j(τ ) = e−2πiτ +
("&
∞
jm · e2πimτ ,
m=1
".1D+ jm j + 2 #
j / )))''I' m
BI
" # ; H Ω = Zτ +Z, τ ∈ H5 /
013
ϑ(z; τ ) :=
eπin
2 τ +2πinz
.
n∈Z
* ( : .'H'A' '& 1B2
># ( ? ; : * 4 : ( ' $ " 4 013 , 0@ ! C×H# "
! τ ∈ H ϑ(z; τ ) + z
# :
03
)
ϑ(z + 1; τ ) = ϑ(z; τ ) ϑ(z + τ ; τ ) = e−πiτ −2πiz · ϑ(z; τ ).
*5 ε > 0 Im τ 5
K ⊂ C×H |Im z| ≤ 1/ε (z, τ ) ∈ K $#
τ +1 2
|eπin
2 τ +2πinz
∞
|≤1+2·
e−πn
2 ε+2πn/ε
≥ ε
+Ω
< ∞.
n=1
n∈Z
: * <J C × H * z τ ' 013 ϑ(z + 1; τ ) = ϑ(z; τ ) ( ϑ(z + τ ; τ ) = e−πiτ −2πiz ·
τ +1
2
2 τ +2πi(n+1)z
eπi(n+1)
= e−πiτ −2πiz · ϑ(z; τ ).
n∈Z
ϑ
;τ = (−1)n eπin(n+1)τ = (−1)−m−1 eπi(−m−1)(−m)τ = −ϑ( τ +1 ; τ ), 2 n∈Z
ϑ( τ +1 ; τ) 2
m∈Z
' 03 < ϑ + mτ + n; τ = 0
=0
τ +1 2
m, n ∈ Z.
4 ( ." ; " a, b, c, d ∈ C a + b − (c + d) ∈ Z
f (z) :=
ϑ(z − a; τ ) · ϑ(z − b; τ ) ϑ(z − c; τ ) · ϑ(z − d; τ )
+ Ω = Zτ + Z τ ∈ H#
; / " z ∈ C, τ ∈ H ϑ(z; τ ) =
073
=
n∈Z ∞
eπin
2 τ +2πinz
(1 − e2πimτ ) · (1 + eπi(2m−1)τ +2πiz ) · (1 + eπi(2m−1)τ −2πiz ).
m=1
2
B"
( )
$ ; g(z; τ ) , : 073' g(z; τ ) ; 4 z 9 D
$#
z=
τ +1 2
+ mτ + n,
m, n ∈ Z.
J g(z + 1; τ ) = g(z; τ ) ( g(z + τ ; τ ) 1 + e−πiτ −2πiz = = e−πiτ −2πiz . g(z; τ ) 1 + eπiτ +2πiz
9 ϑ(z; τ )/g(z; τ ) ; * 4 ; H Ω = Zτ + Z' 9 %" ,; '' V ' * 4 ϕ : {q ∈ C ; 0 < |q| < 1} → C, q = e 5 $ πiτ
ϕ(q) =
ϑ(z, τ ) = ∞ g(z; τ )
2
q n · e2πinz
n∈Z
.
(1 − q 2m ) · (1 + q 2m−1 · e2πiz ) · (1 + q 2m−1 · e−2πiz )
m=1
9
ϕ(q) =
ϑ(1/4; τ ) = ∞ g(1/4; τ )
in q n
2
n∈Z
(1 − q 2m ) · (1 + iq 2m−1 ) · (1 − iq 2m−1 )
m=1
=
2
i2n q (2n)
n∈Z ∞
(1 − q 4m ) · (1 − q 4m−2 ) · (1 + q 4m−2 )
m=1
=
ϑ(1/2; 4τ ) ∞
(1 − q 8m ) · (1 − q 8m−4 ) · (1 − q 8m−4 )
=
ϑ(1/2; 4τ ) = ϕ(q 4 ). g(1/2; 4τ )
m=1
* < ; ϕ(0) = 1' D ) k ∈ N' ) <; ϕ ≡ ϕ(0) = 1, '' ϑ = g. 2
ϕ 0 ϕ(q 4k ) = ϕ(q)
$ ; τ 3τ /2 ; z = (τ +2)/45 q = e
πiτ
B
, "+"&" "& " q ∈ C ∞
(1 − q m ) =
m=1
|q| < 1
(−1)n q (3n
2 +n)/2
.
n∈Z
3 8 ; p (m) ;(' p (m) ; D : m ;(' , ;5 " D ! ; ; <M : ; (−1) , n ∈ Z (3n + n)/2 = m, p (m) − p (m) = 0, . ) < ( : % " 16"# * ) ( 0: ' .
G 5 .* >@)5 ) ) 5 23' 8 ( #' '& ; 0# ( 5 I2?723' D ; 1, 5, 12, 22, . . . 4 (3n + n)/2 n = −1, −2, −3, −4, . . . *5 <J 4 5 < - ( 1 ; 5 $* ;<' ; / 4 R126T - - R122"T5 )' KKI5"' $ F 5 A ' ' '?@ ' 25 1I?1B1 012B63' 3 ? (0 - +
g
u
n
g
2
u
2
∂ 1 ∂2 ϑ(z; τ ) = ϑ(z; τ ). ∂τ 4πi ∂z 2
4 - n ∈ N ( 0( &5 13 ψn : C \ Ω → C /
2 " ℘8
013 ψ (z) := σ(nz)/σ (z) , ψ = 1. CQ ψ 5 ( n 5 ;(' 5 ( n ' n2
n
1
n
("& ψn + Ω
Ω + ) n2 − 1# 2 ℘ n 2−1 1D+ n ! n ,+# 2 ℘ ℘ n 2−4 n 1D+ − 2 ! n #
3 3
$#
,; <
ψ ∈ K(Ω). 8 * 7'7. ( σ(z) = z + O(z )5 ( 5 ψ n n 2
4 ' 2
ψn (z + ω) = ψn (z) · χ(nω)/χn (ω) = ψn (z),
n
3
n
B6
( )
." ; " n ≥ 2
℘(nz) − ℘(z) = −ψn−1 (z) · ψn+1 (z)/ψn2 (z). $#
: ( 7 013'
." - :
03 073
ψ2 = −℘
2
5
3 1 ψ3 (z) = (℘(z) − ℘(2z))℘ 2 (z) = 3℘4 (z) − g2 ℘2 (z) − 3g3 ℘(z) − g22 2 16
5
ψ4 (z) = −℘ (2z) · ℘ 4 (z) = 5 5 1 1 − ℘ (z) 2℘6 (z) − g2 ℘4 (z) − 10g3 ℘3 (z) − g22℘2 (z) − g2 g3 ℘(z) + g23 − g32 . 2 8 2 32
(4)
$#
03 ,; n = 2' 9 ψ3 (z) = (℘(z) − ℘(2z)) · ℘ 2 (z).
"'15 7'7013 7'7 073' σ(4z) σ(4z) = 4 · ψ4 (z) = 16 σ (z) σ (2z)
σ(2z) σ 4 (z)
4
03 ' ( E '
2
9 ,; - ; D A B , n ≥ 25 A (℘(z)) = ψ (z) · ψ (z) B (℘(z)) = ψ (z)' 0"3 A (℘) = (n − 1)℘ + . . . B (℘) = n ℘ + . . .' 03 4 A (℘(z)) , n ≥ 2. 063 ℘(nz) − ℘(z) = − B (℘(z)) n
n
n
n−1
2
n
n+1
2 n
n
n2
2
n
n2 −1
n
n
D ' ℘. *; 8 4 ψ ;(' D A B ' : ; N *; O 4 6'7' n
n
$ " : 4 ! 9
0B3 023
ψ2n+1 = An+1 (℘)Bn (℘) − An (℘)Bn+1 (℘)
n
5
℘ · ψ2n = An−1 (℘)Bn+1 (℘) − An+1 (℘)Bn−1 (℘)
'
BB
$#
) , ! 7 ; z = 0
σ 2 (u)·σ(v−w)·σ(v+w)+σ 2(v)·σ(w−u)·σ(w+u)+σ 2(w)·σ(u−v)·σ(u+v) = 0 .
4 u = nz , v = mz w = z m > n
' A ; ; m = n + 1 ; n n − 1 m n + 1' < 0B3 023 : 0"3 03' 2 2 ψm+n · ψm−n = ψn2 · ψm−1 · ψm+1 − ψm · ψn−1 · ψn+1
$ D P : H m ≥ 2 ( " . 5 ( ;( G Y; 9 5 ( 0 = α ∈ C m
P (X) = αm X m + αm−2 X m−2 + . . . + α0 .
* P Q% 3 P, Q P + Q H 5 P + Q *! ' 3 P · Q * ' 3 ) P/Q D 5 P/Q * ' , An Bn " #
$# 9 8 ψ , ψ , ψ ( 0"3 A , A , B , B * ' , A , B ν ≤ n * ' 0B3 023 ψ , . . . , ψ * <J 0"3 2 A , B ν ≤ n + 1 ≤ 2n − 2' 2
ν
1
ν
3
4
2
3
2
3
ν
2n−1
ν
3 4 073 0I3 5 G ( 4 ψ 5 ( G ; <' ) - +
n
ψn =
(−1)n−1 · det 2 (2! · . . . · (n − 1)!)
℘ ℘
''
℘(n−1) ℘(n) . (2n−3) ··· ℘
℘ · · · ℘
''
℘(n−1) ℘(n)
''
( 4 ψ / ' R12T5 1BI?12' 3 $ ( N *; O 4 ( 6'7 ' 9 "% %"" ) ( ! F ; * 4 ; ( ' $ ;
q ∈ C 0 < |q| < 1 (<' K ; ( C := C \ {0} * 4 g 5 013 g(qw) = g(w) w ∈ C n
×
q
×
B2
( )
' CQ K E G* G* C * 4 5 C <' $ g(q w) = g(w) n ∈ Z' 4 r > 0 ×
q
n
B := Br := {w ∈ C× ; r < |w| ≤ r/|q|}
Q ' A g ∈ K B ' q
$ " g = 0 C× g(qw) = c · g(w) !" c ∈ C
w ∈ C×
, k ∈ Z c = q k g(w) = g(1) · w k # $#
( g %" ! 05 ∞
g(w) =
aν w ν ,
ν=−∞
< a q = c · a ν ∈ Z ) <;' (< k ∈ Z a = 0 c = q ' $ a = 0 ν = k ' 2 ν
ν
ν
k
k
ν
4 c = 1 < ." 3 g ∈ Kq #
** * 0: ' ,; I3
∞ 1 n 1− q p(w) := pq (w) : = (1 − wq ) · w n=1 n=0 ∞ 1 n−1 n = , w ∈ C× , (1 − wq ) 1 − q w n=1 ∞
03
n
- * : C <J : 5 C *' Q 1 · p(w) w ∈ C . 073 p(qw) = − qw p D w = q , n ∈ Z5 9 ;( C 1' A 4 g ∈ K B : 9 ! D ' , G (< ( % ×
×
×
n
q
< &8 " + ("& : a1 , . . . , am b1 , . . . , bn +
B ' {a1 , . . . , am } {b1 , . . . , bn } . 7 #
0/ 9 : , g ∈ Kq B
al , 1 ≤ l ≤ m
bl , 1 ≤ l ≤ n , ) 7 - + ( +0 #
03
2#
03 : m = n ≥ 2 b
1
· . . . · bm = a1 · . . . · am · q k k ∈ Z#
7 g !"
0I3
g(w) = c · w k ·
03 +
p (w/a1 ) · . . . · p (w/am ) p (w/b1 ) · . . . · p (w/bm )
,
c ∈ C× .
9 :' = : g ; 1/g m ≤ n ' ;
$#
h(w) :=
p (w/a1 ) · . . . · p (w/am ) , p (w/b1 ) · . . . · p (w/bm )
λ :=
a1 · . . . · am = 0. b1 · . . . · bm
h * C 073 h(qw) = λ · h(w)' 03 =⇒ 03 % p(w/a) D w = aq , l ∈ Z5 9 ! $5 ; f := g/h D B' f (qw) = f (w) C = q B f * C ' 9 k ∈ Z = q ( f (w) = f (1) · w ' 0I3 c = f (1) n = m' ) 4 m = n = 1 (< b = a q 5 k = 0 ( a ∈ B b ∈ B' 2 03 =⇒ 03% A 0I3 4 03' ×
l
×
ν∈Z 1 λ
1 λ
×
ν
k
k
1
1
k
1
1
3 p! : * 4
( 5 : 5 ℘!4 ; : 5 ;; N *: O ; ' 3 ) g ∈ K 5 ; h ∈ K D 0 = P ∈ C[g][X] P (g, h) = 0' $ 8 ( ;< P :! Y; @ ; * : P (g, h) Y; ( ' 3 (< τ ∈ H q = e ' F g ∈ K / C ! * 4 gˆ gˆ(z) := g(e ) , z ∈ C' CQ gˆ(z +1) = gˆ(z)' 013 gˆ(z + τ ) = gˆ(z)' / g → gˆ - : * : K G* K(Ω) * 4 ; H Ω := Zτ + Z' $ @ : 03 ,; I - +
q
q
2πiτ
q
2πiz
q
σ(z; τ ) =
1 1 2 e 2 ηz +πiz p(e2πiz ) 2πiP
P :=
∞
(1 − q n )2 .
n=1
$ ;! ?,; * $ ''
℘ (z) = 2 ·
−2
σ(z + ρ1 ) · σ(z + ρ2 ) · σ(z − ρ3 ) , ρj = ωj /2, j = 1, 2, 3. σ 3 (z) · σ(ρ1 ) · σ(ρ2 ) · σ(ρ3 )
σ(2z) σ(z + ρ1 ) · σ(z + ρ2 ) · σ(z − ρ3 ) = , ρj = ωj /2, j = 1, 2, 3. σ(ρ1 ) · σ(ρ2 ) · σ(ρ3 ) σ(z)
21
( )
u, v ∈ C u ≡ v (mod Ω)" ζ(z − u) − ζ(z − v) ! & Ω *# 9 7 9
. f (z; w) # > D " f (z; w) = ζ(z + w) − ζ(z) − ζ(w) ℘ (z) > ζ(z + w) + ζ(z − w) − 2ζ(z) = ℘(z)−℘(w) ? 2ζ(2z) = ζ(z) + ζ (z + ω1 /2) + ζ (z + ω2 /2) + ζ (z − (ω1 + ω2 )/2) 1 ψ3 (z) = 3℘(z)℘ 2 (z) − 4 ℘ (z)2 ℘ (z)/℘ (z) = 2ζ(2z) − 4ζ(z) @ 3 f ∈ M f (z + ω) = c(ω) · f (z) ) ω ∈ Ω : ! & f 9 (
P 2 a1 , . . . , ar 9 b1 , . . . , br $ > : α, β ∈ C
= 3
* +
∗
f (z) = α ·
σ(z − a1 ) · . . . · σ(z − ar ) βz ·e . σ(z − b1 ) · . . . · σ(z − ar )
& ) 7 ! & ∗
f (z + ω) = c(ω) · f (z)
βω+η(ω)(b1 +···+br −a1 −···−ar ).
3
ω ω
c(ω) = e ω1 = U ω2 , U ∈ Mat(2; Z), Im (ω1 /ω2 ) > 0.
:
η(ω )ω − η(ω)ω = 2πi · det U. a ∈ C" a = 0, 1 B f 2 = (1 − f 2 )(1 − af 2 ) ) !) $ λ, µ : Ω → C '
! & *
Θ[λ, µ]
f"
:K
1 * ! &
f
5
f (z + ω) = e−πi(λ(ω)z+µ(ω)) · f (z)
Θ[λ, µ] CEL& Θ[λ, µ] · Θ[λ∗ , µ∗ ] ⊂ Θ[λ + λ∗ , µ + µ∗ ] 0 Θ[λ, µ] = {0}" λ : Ω → C
λ(ω)ω − λ(ω )ω ∈ 2Z,
Θ[λ, µ]
+
z ∈ C, ω ∈ Ω.
)
/ ! & 2 " #
0 !
Θ[λ, µ] = C · fa,b , Ω = Zτ + Z
τ ∈ H"
)
ϑ(·; τ ) ∈ Θ[λ, µ]
)
ω, ω ∈ Ω
µ(ω + ω ) − µ(ω) − µ(ω ) − λ(ω )ω ∈ 2Z.
λ(ω) = 2aω
0
)
a, b ∈ C
2
µ(ω) = aω + bω. fa,b (z) := e−πi(az
2
+bz)
.
E8
λ(mτ + n) = 2m, µ(mτ + n) = m2 τ.
0 = f ∈ K(Ω) a1 , . . . , al * 8 / C 9 Ω" " 7 9 f Ω * aν & aν & : I f aν #
cν,1 cν,lν + ···+ z − aν (z − aν )lν
= 3
f
lν
≥ 1
' 3 5B * 6
f (z) =
l
cν,1 ζ(z − aν ) +
ν=1
C
5
lν (−1)k cν,k ℘(k−2) (z − aν ) + C. (k − 1)!
k=2
0 ## : F 3
a1 , . . . , al ∈ C
# & Ω ! # I ( aν 3 # 6 )
2
5B * ! & *
Ω
Ω
I
9
a1 , . . . , al ∈ C
aν
*+ ℘", - $ $ % ' . /
) D ( <?M ! FG* : ;' $ Ω H C' E + $ E ** Ω H Ω C 8 5 ( Ω H 0: ' '3 5 ( Ω R!8 : C <' ) Ω E ** : Ω5 V : Ω & Ω Ω & , Ω/Ω 5 ( % 0@,'13 F - ω ∈ Ω v ∈ V ω ∈ v + Ω ' 0@,'3 , v , v ∈ V ω ∈ Ω v = v + ω 5 ω = 0' ; $ - @ V : Ω Ω ) [Ω : Ω ]' 4 < - ω ∈ Ω ω =v+ω v ∈ V ω ∈ Ω ' 013 03 , V V ;( @ : Ω Ω 5 ;
- v ∈ V v ∈ V ω ∈ Ω v = v + ω ' E < @ @ ' ∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
1
∗
2
∗
1
∗
2
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
, " + 2 n nΩ 8 Ω
V(n) := {m1 ω1 + m2 ω2 ; m1 , m2 ∈ Z , 0 ≤ m1 < n , 0 ≤ m2 < n} & Ω nΩ# : [Ω : nΩ] = V(n) = n2 #
$ " Ω∗ 8 Ω K(Ω) ⊂ K(Ω∗ )#
; <
=> %" &8("& ? E + " 8 Ω∗ Ω =
Zω1 + Zω2 0/ 9 Ω∗ 8 Ω# : , a, b, c, d ∈ Z ad − bc = 0 Ω∗ = Z(aω1 + bω2 ) + Z(cω1 + dω2 )# : , 0 = n ∈ N nΩ ⊂ Ω∗ # [Ω : Ω∗ ] #
03 03 03 0:3
*+
℘
, ) - # "#$ % . /
03 =⇒ 03% 9 @ ; 8 ω , ω H 5 Ω = Zω + Zω ' Ω ⊂ Ω M ∈ Mat(2; Z)
$#
Ω∗
27
∗
∗ 1
∗ 2
∗ 1
∗
ω1∗ ω2∗
∗ 2
ω1 =M . ω2
ω , ω R!8 : C 5 N ∈ GL (2; R) ∗ 1
∗ 2
∗ ω1 ω ω1 = N 1∗ = NM , ω2 ω2 ω2
NM = E ' $ det M = 0' 03 =⇒ 03% ; n := |ad − bc|' G := n
−1 a b d −b ∈ Mat(2; Z) =± c d −c a
ω1 aω1 + bω2 ω1 a b =G =G , n c d ω2 ω2 cω1 + dω2
''5 nω nω G ; Ω ' 03 =⇒ 0:3% ) [Ω : Ω ] [Ω : nΩ] = n D* ' 0:3 =⇒ 03% , l := [Ω : Ω ]5 ω ∈ Ω' @ l + 1 9 mω + Ω 5 0 ≤ m ≤ l5 ( ;( 5 ''5 0 = k ∈ N kω ∈ Ω ' ,* ; k = 0 kω ∈ Ω kω ∈ Ω ' < Ω
R!8 : C' 2 1
∗
2
∗
2
∗
∗
∗
∗
1
∗
2
∗
) Ω E : Ω5 8 ; 03 [Ω : Ω ] = |ad − bc|' 073 $ !,; ; 5 ω , ω ∈ C *: ; F a, d a|d 5 (ω , ω ) 8 : Ω (aω , dω )
8 : Ω ' 073 ' .@ A + K(Ω ) ?* K(Ω) $ ( Ω E ! : Ω V @ : Ω Ω , : ' 4 v ∈ Ω f ∈ K(Ω ) / * 4 f ∈ K(Ω ) f (z) = f (z + v)' 013 CQ f = f f ∈ K(Ω)' ,* ; ℘ (z) = ℘ (z; Ω ) = ℘(z + v; Ω )5 03
℘ := ℘ ℘!4 ; H Ω ' CQ C(℘) G* * 4 ; Ω G* : C(℘ )' ∗
- +
∗
1
1
∗
2
2
1
∗
∗
∗
∗
v
∗
v
v
∗ v
∗
∗ 0
v
∗
∗
∗
∗
2
2I
4 E X / D 073
P (X) := PΩ,Ω∗ (X) :=
(X − ℘∗v )
v∈V
K(Ω )[X] : H [Ω : Ω ]' 9 103 < P : ( @ V 5 ℘ = ℘ 5 ω ∈ Ω 5 03' , z → z + u , u ∈ Ω5 * 9 ℘ D P ' Y; : P 5 D 9 ℘ 5 * 4 ; H Ω' $ P (X) ∈ C(℘)[X]' 0I3 ∗
∗
∗ v+ω ∗
∗ v
∗
∗
∗ v
∗ v
Ω,Ω∗
, P (X) = PΩ,Ω∗ (X) ∈ K(Ω)[X] +,
K(Ω∗ ) 2 !0 # 1 K(Ω∗ ) ", K(Ω) [Ω : Ω∗ ]#
A ;( 9 : P G , z → z + u5 5 ( ' * G* K(Ω ) 5 K(Ω) ( 5 P ; 5 ℘ *( : ' F < G* K ⊂ K(Ω ) : P (X) C(℘ )' ℘ ∈ K(Ω) 5 K = K(Ω )' 2 $#
u∈Ω
∗
∗ v
∗
∗
∗
< *
* .
("& Ω∗ 8 Ω
K(Ω∗ )
: 1 K(Ω) [Ω : Ω∗ ] + Ω/Ω∗ #
013 / f → f , v ∈ V5 [Ω : Ω ] *( : $ ?H ** ' 8 * 2 *; ? ' $#
v
* ; 8 * ( ℘?4 ' $ " Ω∗ 8 Ω !" z ∈ C \ Ω
℘(z; Ω) =
℘(z + v; Ω∗ ) −
v∈V
$#
9 1013 8 *
v∈V,v∈Ω / ∗
℘(v; Ω∗ ).
∗
*+
℘
℘(z; Ω) = z −2 + = z
2"
, ) - # "#$ % . /
−2
0=ω∈Ω
+
(z + ω)−2 − ω −2
(z + v + ω )−2 − (v + ω )−2 + (z + ω )−2 − ω −2
v∈V,v∈Ω∗ ω ∈Ω∗
= ℘(z; Ω∗ ) + +
0=ω ∈Ω∗
(z + v)−2 − v −2
v∈V,v∈Ω∗
(z + v + ω )−2 − ω −2 − (v + ω )−2 − ω −2
v∈V,v∈Ω∗ 0=ω ∈Ω∗
= ℘(z; Ω∗ ) +
(℘(z + v; Ω∗ ) − ℘(v; Ω∗ )) .
2
v∈V,v∈Ω∗
3 ,; *! - 4< ( % 4 R := C/Ω R := C/Ω - 4< 5 R : G a + Ω → a + Ω
[Ω : Ω ]!< : ;( = : R' G* K ! * 4 R $( G* G! * K * 4 R : H [Ω : Ω ]' : ! C' R1266T5 ,; B'7' 3 A f ∈ K(Ω ) 9 D 07U3 P (X) = (X − f ) ∈ K(Ω)[X]. - +
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
v
v∈V
9 C(℘ ) C(℘) H [Ω : Ω ]' ∗
∗
; ℘!4 H Ω' 4
F n ; < 4 Ω := nΩ' I'1013 G (nΩ) = n · G (Ω) , k ≥ 3, ℘(z; nΩ) = n · ℘( ; Ω) ' 013 D* 1 < 4 v = m ω + m ω , m ,m ∈ Z , 0 ≤ m , m < n 03
@ V(n) : Ω nΩ' 9 n ≥ 2' 9 'B063 D A B C[X] ℘(nz) − ℘(z) = −A (℘(z))/B (℘(z)) 073
'B03 ( D* 'B 0I3 A (X) = (n − 1)X + O(X ) B (X) = n X + O(X )5 ' ℘8 A ℘
∗
−k
k
1 1
−2
k
2 2
1
2
1
2
n
n
n
2
n2
n2 −2
z n
n
n
n
2
n2 −1
n2 −3
2
( O(X ) D : H ≤ r ' /
D P ∈ C[X, Y ] P (X, Y ) := (X − Y ) · B (X) − A (X) , n ≥ 25 0"3 073 P (℘(z), ℘(nz)) = 0 03
0I3 P (X, Y ) = X − n · Y · X + O(X ) + Y O(X )' 063 5 P Y : H 1 ' r
n
n
n
n
n
n2
n
n2 −1
2
n2 −2
n2 −3
n
("& " n ≥ 2
0B3
Pn (X, ℘(nz)) =
(X − ℘ (z + v/n)) .
v∈V(n)
) V ; < @ : Ω nΩ5 D 0∗ 3 (X − ℘ (z + v/n)) . $#
v∈V
103 < D 0∗3 : ( @ ' V * ; @ V(n) ; ' 9 03 P (℘ (z + v/n) , ℘(nz)) = 0' D 0∗3 P (X, ℘(nz)) : H n n : 9 ℘ (z + v/n) , v ∈ V(n)5 ' 2 V
n
2
n
2
$ @ Y; ;( G D ; : X 063 0B3
." ; " n ≥ 2
n2 ℘(nz) =
℘ (z + v/n) .
v∈V(n)
Q ( N *; O 4 * ℘! 4 ' @ %" ! $ ( 9 5 ." - " n ≥ 2
℘ (v/n) = 0.
0=v∈V(n)
) 4 n = 2 < ( 8 ; e + e + e = 0 ; 0: ' 7'I83' , J ; z z/n 0B3 < 1
2
3
*+
℘
, ) - # "#$ % . /
26
." 6 " n ≥ 2
Pn (X, ℘(z)) =
(X − ℘((z + v)/n)).
v∈V(n)
℘.= ℘ ((z + v)/n) , v ∈ V(n),
G* C(℘(z))5 < G* ! ( G* C(℘(z)) : H n ' P (X, ℘(z)) = 0 n!= P n?= ℘!4 ' < " , ; 4 5 ( λ ∈ C f f , f (z) := f (λz)5 ( * 4 ; H ( f ' * 8 * V Ω = Zi + Z ; G ℘!4 % iΩ = Ω
/ 7'1013 ℘ = −℘ (℘ ) = i · ℘ . 4 f ∈ K(Ω) f = R(℘) + Q(℘) · ℘ 'I013 4 P Q' f = R(−℘) + Q(−℘) · i℘
< :< 8 4 f f ∈ K(Ω)' ) , ( :% 4 f ∈ K(Ω) ; < f 0 = λ ∈ C ( K(Ω)5 ( λΩ ⊂ Ω 013 5 f (z + ω) = f (λz + λω) = f (λz) = f (z) ω ∈ Ω. 9 013 λ ∈ Z ' 5 ! "'1 ; < * ;* *; 4 4 ℘ (℘ ) , m ∈ Z5 m = 05 ' 9 'I013 ( = f , m ∈ Z5 m = 05 f ∈ K(Ω)' 03 Ω = Zω + Zω ω = ω · τ τ ∈ H, Ω = ω · (Zτ + Z) , H C' 8 013 Q 4 τ ' $ ; R(τ ) λ ∈ C5 ( 013 ' $ R(τ ) E : C5 Z <' H 03 ' 5 ( R(τ ) = Z ; R(τ ) ' : Ω' 9 8 * Zi + Z H * * S Zρ + Z ρ := 1 + i√3' 2
n
n
λ
λ
i
i
i
i
λ
λ
m
λ
m
m
1
2
1
2
2
1 2
2B
, τ ∈ H# " λ ∈ C 0/ 9
03 λ ∈ R(τ )# 03 : , a, b,c,d ∈ Z λτ = aτ + b λ= cτ+ d# 03 " w := τ1 λ · w = Mw M = ac db ∈ Mat(2; Z)# $# 03 ⇐⇒ 03% λ ∈ R(τ ) ( λ · 1 ∈ Zτ + Z λ · τ ∈ Zτ + Z' 2 03 ⇐⇒ 03% ' 8 ; N* * O ( '' ("& 03 ' √ R(τ ) = Z
τ 0 ./ 2 Q[ −D] ", Q , D ∈ Z , D >√0 / ! R(τ ) 8 4 + 2
Q[ −D]# √ Z Q[ −D] R(τ ) R(τ ) = Z R(τ ) R(τ ) C
E ! ; F ( 5 ( 5 '' H! ' $# $ ( M Mat(2; Z) <J 03 D*! λ 9 M H Z' λ ;! : H 1 ' ) 4 λ ∈/ Z λ M ! ' ) 03 c = 0' , τ λ <!M 5 2
G* Q[√−D] , D ∈ Z , D > 05 ' ! & + @+ E + % Mat(2; Z)
/
M(τ ) := {M ∈ Mat(2; Z) ; cτ + (d − a)τ − b = 0}' 013 ) D* I M = ( ) λw = Mw M ∈ M(τ )' 4 M ∈ M(τ ) λ := cτ + d D* I03 $ : R(τ )' $ 2
a b c d
, M(τ ) 8 Mat(2; Z) M → λ , λw = Mw + 4 R(τ ) #
: <!M FG* √ Q −D , D ∈ Z , D > 0 M , (< √ √ τ = r + s −D ∈ Q[ −D] Im τ > 0' 03 ,* ; r, s ∈ Q, s = 0' , q = q(τ ) @ 9 : 2r r + Ds 5 q := kgV 09 Sp τ 5 9 Norm τ 3' 073 2
2
*+
℘
, ) - # "#$ % . /
22
Sp τ := τ + τ = 2r Norm τ := τ · τ = r + Ds ;' / M(τ ) 013 5 M(τ ) E : Mat(2; Z) ' a b ∈ Mat(2; Z) $ " τ 03 ,
!" M = c d 2
2
0/ 9
03 M ∈ M(τ )' a −c · Norm τ 03 M = c a − c · Sp τ a, c ∈ Z c ≡ 0 (mod q)# $#
< 03 013 5 < a − d = 2rc b = ' 2
−c · Norm τ
9 03 0I3
M(τ ) = Z · E + Zq · T
T :=
0 Norm τ −1 Sp τ
' D* I ,; I < ("& " I03 0/ 9 03 Ω ' # 03 τ + 0 ./ 2 # $+ 073 ' R(τ ) = Zqτ + Z 0"3 , # + R(τ ) ⊂ Zτ + Z#
$ 0"3 ; ( ' 9 D* 03 R(τ ) = {cτ + a − c(τ + τ ) ; a, c ∈ Z , c ≡ 0 (mod q)} = Zqτ + Z' 2 τ = Sp τ − τ q Sp τ ∈ Z 8 * ' $#
."
R(τ ) = Zτ + Z
τ +. , #
- + $ j ?4 H ! * * 5 0 ( 5 ( )@'1'6 ! ' 1 - H √ √ Ω := Zτ + Z τ := −2 = i 2' 013
1##
9 √ ,; I " R(τ ) = Ω = Zτ + Z' F 8 * ℘( −2z; Ω) 4 ℘(z; Ω) ' F *; 8 : ℘(√−2z; Ω) E Ω∗ :=
√
[Ω : Ω∗ ] = 2,
−2 · Ω = Z2 + Zτ,
; ; ; ℘(z) := ℘(z; Ω) ( ℘ (z) := ℘(z; Ω )' 9 ℘(z) = ℘ (z) + ℘ (z + 1) − ℘ (1)' z → √−2z < I'101U3 √ √ ℘( −2z) = − ℘(z) + ℘ z − −2 − ℘ (1)' √ ; e := ℘ −2 , e := ℘ e := ℘ (1 + √−2)' ℘ ( '7 * , : ( 5 "'1013 ∗
∗
∗
∗
1 2
∗
1 2
1 2
1
∗
2
√
1 1 1 ℘( −2z) = e1 − · 2 2 4
1 2
℘ (z) ℘(z) − e1
3
1 2
2 − ℘∗ (1).
9 Q <J ,; '7 ; : ( ! < √ 1 1 (℘(z) − e2 ) · (℘(z) − e3 ) ℘( −2z) = e1 − − ℘∗ (1). 2 2 ℘(z) − e1
4 z = e 1 2
1
√
5
= 12 e1 − ℘∗ (1)
("& " Ω = Z −2 + Z
√ 1 (℘(z) − e2 ) · (℘(z) − e3 ) ℘( −2z) = e1 − . 2 ℘(z) − e1
1 9C ∗P2 (X, Y )
∗ ∗ ℘v √ * C(℘ )" # 2v ∈ Ω Ω = Z 12 (1 + i 7) + Z 1 ℘ 12 (1 + i 7)z; Ω ℘(z; Ω) √ √
3 Ω = Zi 3 + Z √ 1 ℘(i 3z; Ω) √ √ ℘(z;1Ω) 1 1 > 3 Ω = Z 2 (1 + i 3) + Z : ℘ 2 (1 + i 3)z; Ω = − 2 (1 + i 3) · ℘(z; Ω) 1 ? 3 Ω = Zτ + Z , Im τ > 0" + & B √ & ℘(τ z; Ω) 1 9C ℘(z; Ω)" # τ = i τ = 2 ±1 + i 3 ' 3 ) *# + Ω Ω C M; * $ < Ω Ω & " " : Ω ∩ Ω 0 B Ω Ω : : Ω ∩ Ω + C : 3 Ω + Ω + C 5 K(Ω) ∩ K(Ω ) = C
0 * , √ = 3
1#1
0+ 1
0+ 9 A
* 4 ' ' / 0' ' !25 722?I#63 12B 5 9 ℘!4 *; ' ; $ 8 ( %
4 ℘8
" τ ∈ H , Ω = Zτ + Z C + ℘. ℘(z; τ ) = ℘Ω (z)# $+ z ∈ C ℘(z; τ ) = 0 ,
√ ∞ log(5 + 2 6) 24i ξ · ∆(τ + iξ) 1 + 2 · z = mτ + n + ± dξ , m, n ∈ Z. 2 2πi π [g3 (τ + iξ)]3/2 0
$ @ 9 5 < WG H 4 ℘(z; τ ) = ϕ(τ )5 ( ' ; ' !" \' 1 " 02 ! ( ℘. < 5 D * ##3 ; Q
D ; g g 9 ℘!4 ' "8# .'H'A' '& ; 1B2 ># ( I2?72? ! ; : *! 4 ' 8 1B F =H -
/ % A' " 016B?1B7#S 5 5 K I13 ' : )))'$'7' , '& : : = .4 5 < 0 < 8 ; ( 3% 2
ϑ0 (z; τ ) : = i ·
3
eπi(n−1/2)
2
τ +2πi(n−1/2)z+πin
,
n∈Z
ϑ1 (z; τ ) : =
eπin
2 τ +2πinz+πin
,
n∈Z
ϑ2 (z; τ ) : =
eπi(n−1/2)
2
τ +2πi(n−1/2)z
,
n∈Z
ϑ3 (z; τ ) : =
eπin
2 τ +2πinz
n∈Z
z ∈ C τ ∈ H' ! ϑ ( 1 ' : 5 * <J C × H' 9 : ϑ (·, τ ) 3
k
1 ω 2 k
+ Zτ + Z,
ω0 = 0, ω1 = τ, ω2 = 1, ω3 = τ + 1, k = 0, 1, 2, 3.
8 ! @ , ! z → z + ω ω ∈ Ω := Zτ + Z
1#
ν
# 1 7
ϑν (z + 1/2; τ ) ϑν (z + τ /2; τ ) ϑ2 iξ · ϑ1 ϑ3 iξ · ϑ0 −ϑ0 ξ · ϑ3 ϑ1 ξ · ϑ2
ϑν (z + 1; τ ) −ϑ0 ϑ1 −ϑ2 ϑ3
ϑν (z + τ ; τ ) −ζ · ϑ0 −ζ · ϑ1 ζ · ϑ2 ζ · ϑ3
; ξ := e
ζ := e ' ! 9 : 1' C ' $ $ 0 ( ! 8 ( ; 3 $ / ;'8' ' ") * ' #" 0R12IT5 1BB?13' : ' # 0R12B"T5 .*' @3'
5 - 4 4 ϑ(z + a; τ ) · ϑ(z + b; τ ) , ( ϑ ϑ , ϑ , ϑ ϑ , ϑ(z + c; τ ) · ϑ(z + d; τ ) a, b, c, d ∈ C a + b − c − d ∈ Z * 4 ; H Zτ + Z '
9 ; *; 4 ϑ(z; τ ) σ(z; τ ) = e · ϑ = ϑ ϑ (0; τ )
'70I3 ϑ (0; τ ) ϑ (z; τ ) ℘(z; τ ) − e = k = 1, 2, 3. · ϑ (z; τ ) ϑ (0; τ ) 9 .' : ! ,* ; ! ! Θ (z; τ ) := e ν, µ ∈ Z − 14 πiτ −πiz
−πiτ −2πiz
0
z 2 ·η/2
k
1
2
3
1
0
k
0
k
πiτ (n+µ/2)2 +2πiz(n+µ/2)+πinν
µ,ν
n∈Z
Q '
4
F a ≥ b ≥ 0 ( : 4 f = f (a, b) g = g (a, b) , n ∈ N5 / √ f := (f + g ) , g := f g , f := a , g := b' 013 $ ' ' " " 8+ n
n+1
1 2
n
n
n
n
n+1
n
n n
0
, " n ∈ N
03
0 ≤ fn+1 − gn+1 ≤ 12 (fn − gn )
0
1#7
0+ 1
073 $#
'
gn ≤ gn+1 ≤ fn+1 ≤ fn
: ( )
(fn+1 − gn+1 )(fn+1 + gn+1) = 14 (fn − gn )2
(
2(fn+1 + gn+1 ) ≥ fn + gn .
2
03 0 ≤ f − g ≤ 2 · (a − b)' 0I3 073 : 4 (f ) (g ) H ;( % M(a, b) := lim f (a, b) = lim g (a, b)' 0"3 013 √ M , ab = M(a, b)5 03 M(αa, αb) = α · M(a, b) α > 05 063 M(a, b) = a · M (1, b/a) = b · M (a/b, 1) 5 a = 0, b = 0' 0B3 ,: ( A'' % 0167?1B17S 5 5 65 7#I '3 ' .'4' " 01666?1B"6S C( ! !5 1263 : 1I A < <! ' 9 @ ; ( 5 M(a, b)
* ) % 4
a, b5 a ≥ b > 0 n
−n
n
n n
n→∞
n
n n
n→∞
n
a+b 2
x
023
µ(a, b; x) := 0
dϕ a2
cos2
ϕ+
b2
2
sin ϕ
, 0≤x≤
π . 2
$ ; cos ϕ 1 − sin ϕ5 5 µ(a, b; x) ! % ) $'063 ' G ; 2
2
$ " : , + , ,7
π π → 0, , ϕ : 0, 2 2
t → ϕ(t),
! : ! 9
2a sin t , cos ϕ = (10) sin ϕ = (a + b) cos2 t + 2a sin2 t
0113
dϕ a2 cos2 ϕ + b2 sin2 ϕ
=%
(a + b)2 cos2 t + 4ab sin2 t cos t, (a + b) cos2 t + 2a sin2 t dt
a+b 2 2
cos2
. √ 2 2 t+ ab sin t
1#I
$#
;
2a sin t , A := (a + b) cos2 t + 2a sin2 t
(a + b)2 cos2 t + 4ab sin2 t B := cos t (a + b) cos2 t + 2a sin2 t
: /; A + B = 1' < $ ; Q ! ; ϕ : [[0, ]] → [[0, ]] 01#3 2
2
π 2
sin ϕ ·
π 2
dϕ (a + b) cos2 t + 2b sin2 t cos t. = 2a · dt ((a + b) cos2 t + 2a sin2 t)2
ϕ ( < 0113'
2
< ) 023 ("& " 0 ≤ x, y ≤
π 2
sin x =
2a sin y (a + b) cos2 y + 2a sin2 y
µ(a, b; x) = µ
a+b , 2
√ ab; y
'
,* ; µ(a, b) = µ , √ab µ(a, b) := µ a, b; ' $ @ 013 : µ(a, b) = µ(f , g ) n → ∞ µ(a, b) = µ(M, M) = · µ(1, 1) M := M(a, b) 0"3' µ(1, 1) = % : a+b 2
π 2
n
n
1 M
π 2
1 2 = M(a, b) π
π/2 0
dϕ a2
cos2
ϕ + b2 sin2 ϕ
.
$ ; F ( 4 ) : ; 8 : π ( ' $ " 0 R1211T5 ' % +. , ' ' 5 *; 127' A''
D'8' )% -'# A' 5 9 ( Z 12B6' '' #55 U$ ' ' '5 6"?77# 012BI3' 8 $ ; H C' , k, m F 5 * 4 Φ : C × H → C '&. k m5 ( aτ + b z · Φ(z, τ ) 0A4'13 Φ cτ + d , cτ + d = (cτ + d) · e k
2πimcz 2 /(cτ +d)
1#"
0+ 1
0A4'3 0A4'73
a b ∈ SL (2; Z) c d
'
λ, µ ∈ Z' Φ ; "!$ ( 4 Φ(z + λτ + µ, τ ) = e−2πim(λ
Φ(z, τ ) =
2
τ +2λz)
∞ n=0
· Φ(z, τ )
c(n, r)e2πi(nτ +rz) .
r∈Z r 2 ≤4nm
$ / ' ' / 5 = = ! 3 , 5 8< 5 8 ?8 12B"' ) I'1023 ℘!4 '&!4 : H ( ) #' V ;( 0* 3 '&!4 : H ( 1 1# ( ) 1 ! ' '&!4 G * 4 ; 0: ' * )))3 ( ' ! "& &8; "+ .'' 0# -, 5 6?6I3 127 ; ; : ℘!4
$ ( ; F 5 1276 ; < : , ' ; ( ' $ : 4% / Ω := Zτ + Z ("& " τ ∈ H , a, b ∈ C , α ∈ C , α ∈ @
a, b , g2 (τ ) , g3 (τ ) , ℘(α; τ ) aα + bζ(α; τ )
0 , ", Q#
< * ; a = 15 b = 0 5 g (τ ) , g (τ ) Q 5 ℘(α; τ ) ; ' $ " 0 ' % : !" + 2 ' H ! ' ' 25 ,* ?@ 5 8 ? ?9 ( Z 12"6' H'@' # "$5 D' ) ' . ' )5 772?7"# 0126B3' A' . 5 ) : ' ' 5 1B6?1 012BB3' 1 - % ;A + *! < 8 * ( % 3 8 < : $* * ' 3 , J / $ ' 3 *< D ' 3 C W< $* '
3 H < * ' 3 ) < * ,' 3 ' 3 '
α ∈ Ω
2
3
1#
4' 4 ' .. R12IBT5 H' ' 2 R1BBS ))T5 ' ' ' 0' # ( & 35 .'H'A' '& 0# ( 35 'H' R1B2T5 $' R12"#T5 ' " 5 @5 1?7 01223' $ " 0
1' * * 4 / <J C * 4 5 ! : ; H ** * , : C : % $ H ** z → z + ω , ω ∈ Ω5 ( Ω H C ' ) @ = ( < / ;( <J 5 H Ω 4 Ω = Zτ + Z Im τ > 0 ; ' 9 8? )'1' = )'I'1 τ H aτ + b a b 013 τ → Mτ := M = c d ∈ SL(2; Z) cτ + d ' H ) 5 - 4 < * 4 ! 5 , 013 : ( ! @ ; ' * ) F = ! ' Γ := SL(2; Z) = {M ∈ Mat(2; Z) ; det M = 1}' H ** Γ * H ** : * * 10135 ', 5 , < ,, * +
H := {τ ∈ C ; Im τ > 0}.
1#B
%
8 : * ))) 4 ( 5 ! : ( N : : O 5 * H E ( ' $ $ $ ! 10135 ( M ; ! 15 M ∈ SL(2; R)5 ; <' F ( K H 4 : Γ H ' D * G ( ' ' "* %"" " ) )'7'I0B3 ( - H Ω ?) : g g ! ) : 2
3
j = j(Ω) := (12g2 )3 /(g23 − 27g32 )
; ,; )'I'1 5 j(Ω ) = j(Ω) ( Ω = λΩ 0 = λ ∈ C' 8 : j ( H 4 Ω = Zτ + Z τ ∈ H ' ; j(τ ) := j(Zτ + Z) ; 10135 j : ' ( )'I'I (! ' ) ,; )'I'I8 ( ; 5 E : % H j(τ ) = j(τ ) τ , τ ∈ H5 M ∈ Γ τ = Mτ ' 4 Γ\H := {Γτ ; τ ∈ H} Γτ := {Mτ ; M ∈ Γ} $ : Γ 5 ; j 8- j : Γ\H −→ C , j (Γτ ) := j(τ )' ) , Γ\H ' 4 j ' $ * ! 5 ; / ' 4 : Γ' : ' "+ + H ! H ** G : : ( % H E ! ** : Γ 0K73 E ** : SL(2; R) 0KI3' : H ; G
∗
∗
1#2
# 2# #
,( * 3 * 3 8 < 3 $ $
(' @ ( * ' @ ( * ( - ! 5 ( G '
$ 1 $$ ) D ( H C
' * ** : H ( ' ( * H ( ' * " "" 2 × 2 ; 4 M=
a b c d
; (
; det M := ad − bc , Sp M := a + d ,
(
;(' M = −cd −bd ;(' 7 ' $ ; GL(2; C) H *! * : * 2 × 2 ; 5 Mt =
a c b d
GL(2; C) := {M ∈ Mat(2; C) ; det M = 0} .
E ( $ ;' 8 ( : ; M ∈ GL(2; C) M −1 =
1 1 M = det M ad − bc
d −b . −c a
4 M ∈ GL(2; C) Q @ ; τ * F aτ + b 013 Mτ := cτ + d ( / ' ( Φ : τ → Mτ 03 M
∈ C
11#
%
* 4 C 5 , = . ! 3&"*= ! ; ( ' 4 c = 0 Φ
; 4 ' ) 4 c = 0 Φ D ;( : 1' C τ = −d/c' F" +0 , ( Mτ * τ M : τ M : ( ( P : < ; 5 M τ : Mτ ' 013 L, M ∈ GL(2; C) 0 = λ ∈ C ( Q ! @ ; τ τ % Eτ = τ 5 '' Φ = id, 073 0I3 (λM)τ = Mτ , '' Φ = Φ , 0"3 (LM)τ = L Mτ , '' Φ =Φ ◦Φ , M
M
E
λM
LM
03
Mτ − Mτ =
(cτ
, J : 03 τ 063
ΦM (τ ) =
M
L
M
det M · (τ − τ ) + d)(cτ + d) −τ
< τ
→τ
dMτ det M = dτ (cτ + d)2
E : 0I3 , " L, M ∈ GL(2; C) 0/ 9
03 Mτ = Lτ !" τ ∈ C# 03 : , 0 = λ ∈ C M = λL# $# 0"3 073 Mτ = Lτ (L M)τ = τ <M : ' 4< $ < L = E ' Mτ = τ - ; −1
cτ 2 + (d − a)τ − b = 0
5 8 * '
2
A C H 4 0B3 Aτ τ + Bτ + Bτ + C = 0 A, C ∈ R , A = 0 B ∈ C ( ' H
|B| > AC * m ;(' r > 0 ( m = −B/A ;(' r = (|B| − AC)/A ' 023 E 0B3 4 A = 0 |B| > AC ' ) 4 A = 05 B = 0 < 0B3 H C' 2
2
2
2
2
111
# 2# #
F E 8 : H 03 z = Mτ, M ∈ GL(2; C)5 ; ' < τ = M z 0B3 5 *; 9 ( H 4 αzz + βz + βz + γ = 0 α, γ ∈ R β ∈ C . 8 ) * < −1
("& 8 , = ! ' 1
C ", #
, J Q E
<' ) M , 5 / ∞, c = 0, 01#3 M∞ := a/c, c = 0. 3 H 0735 0"3 01#3 5 013
H ** * : GL(2; C) P = C ∪ {∞} ( ' 9 D* Φ = Φ M, L ∈ SL(2; C) M = ±L' @ G 03
< ) / H ** P * , : P H ** P SL(2; C) := SL(2; C)/{±E} 0: ' ' 5 )' %& R122T5 ,; )>'7'13' 3 ) f : U → C ! 5 * 4 H U ⊂ C5 )** Σf : f / - +
M
L
f 3 (Σf )(z) := − f 2
: 063 : /; Σ(Φ
f f
M
2
, z∈U.
◦ f ) = Σf
M ∈ GL(2; C)'
f Σf = ϕ ΦM ◦ f !" M ∈ GL(2; C) # * 5"* *
( , < ,, C H ; 5
* )
H := {τ ∈ C ; Im τ > 0} .
; ( : E5 E := {z ∈ C ; |z| < 1} .
) G H C5 G := {ϕ : G → G ; ϕ *} - G'
11
%
("& -,,
013
ΦC : H → E , τ → Cτ =
τ −i , τ +i
C=
1 −i , 1 i
, 8 ,,
ΦC −1 : E → H,
z → C −1 z = i ·
1+z . 1−z
:
03 H = Φ ◦ E ◦ Φ . 013 #$$?= ! ' $# ϕ : H → C5 τ → Cτ, * C −1
C
τ − i 2 x2 + (y − 1)2
=
|Cτ | = <1 τ + i x2 + (y + 1)2 2
τ ∈ H,
y > 0 |y − 1| < y + 1' ϕ(H) ⊂ E' ψ : E → C,
z+1 , −z + 1
z → C −1 z = i ·
* Im ψ(z) = Re
z+1 −z + 1
=
C −1 =
1 − |z|2 >0 |1 − z|2
1 2i
i i , −1 1
z ∈ E,
ψ(E) ⊂ H' 10"3 1073 < ψ(ϕ(τ )) = C −1 Cτ = τ,
ϕ(ψ(z)) = CC −1 z = z
τ ∈ H5 z ∈ E' Φ * E Φ ' , J 03 @ / ' 2 C
C −1
4 ( E G ( ' ! " $ " ϕ : E → E ϕ(0) = 0#
|ϕ(z)| ≤ |z| !" z ∈ E |ϕ (0)| ≤ 1. , a ∈ E\{0} ϕ(a) = a |ϕ (0)| = 1 λ ∈ R ϕ(z) = eiλ · z !" z ∈ E.
117
# 2# #
$#
ϕ(z)/z, z → ϕ (0),
z = 0, z = 0. F - ; * 0: ' ' - 5 H' " R##T5 ,; 1#'1'13' 4 0 < |z| ≤ r < 1 ( ϕ(E) ⊂ E * ;* F : E → C,
|F (z)| ≤ max |ζ|=r
|ϕ(ζ)| 1 ≤ . |ζ| r
4 r ↑ 1 < |F (z)| ≤ 1 z ∈ E5 '' |ϕ(z)| ≤ |z| z ∈ E |ϕ (0)| = |F (0)| ≤ 1. H |ϕ (0)| = 1 |ϕ(a)| = |a| 0 = a ∈ E5 |F (0)| = 1 |F (a)| = 1' 9 * ;* F : 8 15 '' F (z) = e 5 λ ∈ R5 ϕ(z) = e z z ∈ E. 2
iλ
iλ
G ( * : E 4* 0 ' $ " " ϕ ∈ Aut E
ϕ(0) = 0
λ ∈ R ,
073
ϕ(z) = eiλ · z
!"
z ∈ E.
4 ϕ : 4 073 ϕ ∈ Aut E ϕ(0) = 0' , ϕ ∈ E ϕ(0) = 0' |ϕ(z)| ≤ |z| z ∈ E )* ' , ϕ |ϕ (z)| ≤ |z|'
< J $#
−1
−1
|z| = |ϕ(ϕ−1(z))| ≤ |ϕ−1 (z)| ≤ |z|,
z ∈ E. 9 )* ϕ 4 073' |ϕ(z)| = |z|
2
: GL(2; C) - ; E ** GL(2; R)
: ; ' 4 M ∈ GL(2; R) Im τ = 0 - ; Mτ ∈ C' ) 103 ; τ = τ 5 Mτ = Mτ < det M 013 Im Mτ = · Im τ. |cτ + d| ( H ' ; H
2
11I
%
03 Φ : τ −→ Mτ , M ∈ GL(2; R) , det M > 05 ' 10I3 $ < 5 M E ** M
SL(2; R) := {M ∈ GL(2; R) ; det M = 1} ,
+ ", R5 ' ("& , , ,, H
= ! .
073
ΦM : H → H , τ → Mτ,
5
M ∈ SL(2; R)
H ! H 8 ,, ΦM −1 # + P SL(2; R) := SL(2; R)/{±E}
'
013 Φ (H) ⊂ H M ∈ SL(2; R)' 10"3 1073 Φ ◦ Φ = Φ ◦ Φ = Φ = '
Φ : H → H5 M ∈ SL(2; R)5 *' Φ : SL(2; R) → H, M → Φ , ( 10"3 * H ** Φ = {M ∈ SL(2; R) ; Φ = } = {±E} D* 1' * ; H ** SL(2; R)/{±E} ∼ = Φ(SL(2; R))' , $#
M
M −1
M
M −1
M
E
M
M
M
√ 1 −x 1/ y 0 √ ∈ SL(2; R) M := 0 1 0 y
τ = x+ iy ∈ H' Mτ = i5 SL(2; R) : H * ' , ϕ ∈ H ' M ∈ SL(2; R)5 Ψ := Φ ◦ ϕ Ψ(i) = i ' Ψ := Φ ◦ Ψ ◦ Φ ∈ E Ψ (0) = 0. $ ; λ ∈ R M
∗
∗
C
2iλ
Ψ (z) = e
∗
C −1
· z = ΦK (z),
iλ 0 e ∈ SL(2; C). K= 0 e−iλ
ϕ = ΦM −1 ◦ Ψ = ΦM −1 ◦ ΦC −1 ◦ Ψ∗ ◦ ΦC = ΦL , cos λ − sin λ ∈ SL(2; R). L = M −1 · C −1 · K · C = M −1 · sin λ cos λ
Φ(SL(2; R)) = H'
2
11"
# 2# #
F
τ b 2+ d d Mτ = 1 1 a − 2· c c τ + d/c
c = 0, c = 0,
M ∈ SL(2; R) $ " H + -,,
τ −→ τ + α (α ∈ R) , τ −→ λτ (λ ∈ R, λ > 0) , τ −→ −1/τ .
E Φ ; H ** ' ,;
SL(2; R)
." SL(2; R) + ' +
λ 0 (λ ∈ R, λ = 0) , 0 1/λ
1 α (α ∈ R) , 0 1
0 −1 . 1 0
E )
: H : - H
;(' - H5 ;('
' ) 4 *
' , 8 - H )
)
", #
9 5 4 τ → −1/τ ;
' 9 10B3 1023 ( C H Aτ τ + B(τ + τ ) + C = 0 A, B, C ∈ R B > AC ' E τ → z = −1/τ < ( 2 H ' $#
2
E @ ( H : P = C ∪ {∞} ( J % 9 ,; 1 P N O N O 5 ( ' - + τ → λτ , λ > 05 τ → τ +α τ → −1/τ ; ; ' : /; ; "? 0 µ τ = − λ − µ − (τ + λ) , λµ = 1 . −1 −1 −1
2
9 ,; 7 ; - τ ∈ H ' , ;( ; M, L ∈ SL(2; R) τ =
H " + #"
M ∈ SL(2; R)
τ
= Mi
11
%
5 (L M)i = i 10"3 10735 ''5 M = LK Ki = i' −1
Mi = Li K ∈ SL(2; R)
, " K ∈ SL(2; R) 0/ 9
03 Ki = i' α β 03 K = −β α α + β = 1' 03 K ∈ SO(2) := {M ∈ SL(2; R) S M
}' 0:3 " C := 11 −ii C · K · C = e0 e 0 ϕ ∈ R# 2
2
iϕ
−1
−iϕ
Ki = i αi + β = i(γi + δ) 5 4 K = ; δ = α γ = −β <M : ' XM : ; : 03 03 0:3 2 @ / ' $#
α β γ δ
E ** SO(2) : SL(2; R) V SL(2; R)/SO(2) := {L · SO(2) ; L ∈ SL(2; R)} 013 ' SO(2) 9 SL(2; R) 5 4 *! * 5 4 :' H ** SL(2; R) * Q : V 013% (M, L · SO(2)) −→ (ML) · SO(2) M ∈ SL(2; R)' 03 D* ; 5 SL(2; R)/SO(2) −→ H , L · SO(2) −→ Li ,
C* 03 : < 8- ' H∼ = SL(2; R)/SO(2) .
D* @ < :< ' ("& τ, τ ∈ H τ = τ #
, , λ > 1
, = ! τ → Mτ , M ∈ SL(2; R)
' $# F : + ,; 7 ; ; 5 ; τ = u + iv ∈ H τ = i K ∈ SL(2; R) 5 Ki = i Kτ = λi , λ > 1' 0∗3 ,; ,; 7 5 ϕ ∈ E ϕ(0) = 0 ϕ(Φ (τ )) ∈ ]]0, 1[[ ; / ' ' Mτ = i
Mτ = λi
C
116
# 2# #
F : M ∈ SL(2; R) λ > 1 M τ = i
M τ = λ i' Ki = i Kλi = λ i K = M M ∈ SL(2; R)' D* α β , α + β = 1 αλi + β = iλ (−βλi + α), K= −β α
2
−1
2
λ = λ K = ±E ' τ → Mτ 2 '
, M = ( ) ∈ GL(2; C)' τ ∈ P = C ∪ {∞} : M 5 ( Mτ = τ 5 ( 101#3 τ = ∞ : ( ' 4 τ ∈ C Mτ = τ <M : ;
cτ + (d − a)τ − b = 0' 013 ) M
5 τ τ H 5 4 M = ±E G τ ∈ H Mτ = τ '
! <
a b c d
2
, ; " M ∈ SL(2; R) 0/ 9
03 M
τ H# 03 M : # 03 | Sp M| < 2' c = 0
i a−d + τ= 4 − (Sp M)2 2c 2|c|
a b . !" M = c d
03 ; M $ ' $# CQ 035 G τ ∈ H : 0135 ( 03' $ - G τ ∈ H5 ( 03 ' $ ( : M 4 i Sp M ± 073 λ = 4 − (Sp M) . 2 2 2 03 03 <M : ' 1,2
2
9 ( ; M 4*
' , - " M ∈ SL(2; R) 0/ 9
03 M
+ R ∪ {∞}# 03 M + : # 03 | Sp M| > 2'
11B
%
c = 0 ,
a−d 1 τ= (Sp M)2 − 4 !" M = ± 2c 2c
a b . c d
c = 0 a = d ∞ τ =
b # d−a
; M $ J ,' , J ; M ∈ SL(2; R), M = ±E | Sp M| = 2 ,' D ; ; 1 −1 ** $ ( ' ; G ! ; 4* ' 4 c = 0
5 < τ = (a − d)/2c5 4 c = 0 τ = ∞' ; SL(2; R) - F {±E} (
* 5 * * ; ' - + 0: ' ' R1226T5 B'7'63 ( J 5 * ; SL(2; R) ' D! ' ; SL(2; R) - ; ; ± 19 %"" " H $ 4 γ : [ α, β]] → H
) : H J ( : γ(α) γ(β)5 ( γ ( Q ; ' ) H ; ; < : γ ( 1 ±1 0 1
013
L(γ) := γ
|dτ | = Im τ
β
|γ (ξ)| dξ Im γ(ξ)
α
H* 0 , 0 : γ ' 8 < ) 4 013 : D ' F ; ; Mγ := Φ ◦ γ M ∈ SL(2; R) < ( 1063 7013 M
|(Mγ) | |γ | = . Im Mγ Im γ
013 L(Mγ) = L(γ) M ∈ SL(2; R)' 03 4 z, w ∈ H |z, w| := inf{L(γ) ; γ H : z w} 073 H*-, , -, : z w' ( 5 073 H / 5 H*' , ' 5
03 ) : ;!
|Mz, Mw| = |z, w| M ∈ SL(2; R)' 0I3
112
# 2# #
073 ' ' A ; G ( ; < , 2 + z, w H ,
)
z w #
9 D* 7 ,; I 5 ( 8 * D z = i w = iλ , λ > 15 ( ( ' ) 4 {iy ; y > 0} ; C D '2 $#
w
γz,w γz,w
z
z w
' 1"% C γ ; ( 8 C : z w' ; @ ;( z w H? 5 ( ,; ; ' C G * ,
H ' , ! 8 . ("& 3 " z, w ∈ H |z, w| = L(γ ) γ + ( H : !# 3 : |i, λi| = log λ !" λ ≥ 1# $# , z = w ' (< M ,; I Mz = i Mw = λi , λ > 1' Mγ = γ ' z,w
z,w
z,w
i,λi
λ
0∗ 3
z,w
|i, λi| = L(γi,λi ) =
1 dξ = log λ ξ
1
; ( ' , γ H5 i λi : 5 D ! γ = γ(ξ) , α ≤ ξ ≤ β , γ(α) = i , γ(β) = λi' 4 γ = x + iy β L(γ) = α
|γ (ξ)| dξ ≥ Im γ(ξ)
β α
= log λ = L(γi,λi ) .
|y (ξ)|
dξ ≥ y(ξ)
β α
y (ξ)
dξ = [log y(ξ)]βα y(ξ)
1#
%
073 0∗3' L(γ) = log λ x (ξ) = 05 x(ξ) = 0 ( γ(α) = i5 y (ξ) ≥ 0 ξ ' γ E* ! 2 ; γ L(γ) = log λ' 9 <& H? ( ( % : z, w ∈ H / 0
z − w
013 D(z, w) :=
. z−w 103 < D(Mz, Mw) = D(z, w) M ∈ SL(2; R)' 03 λ−1 073 D(i, λi) = λ ≥ 1 λ+1
,; I 0 ≤ D(z, w) < 1' 0I3 *; 4 %
i,iλ
, " z, w ∈ H
|z, w| = log
|z − w| + |z − w| 1 + D(z, w) = log . 1 − D(z, w) |z − w| − |z − w|
( z = i w = λi λ > 1 ' 9 2 8 * 073 ,; '
$#
." ; 3 1 K H H*1 ,
H.' i
Di,r := {z ∈ H ; |z, i| ≤ r},
r > 0.
D* z → |z, i| 2 * K r ' D* ) : ;?8 ; 0I3 : < % $#
("& " +
(z, w) (z , w ) H × H 0/ 9
03 |z, w| = |z , w |' 03 D(z, w) = D(z , w )' 03 : , M ∈ SL(2; R) Mz = z Mw = w # $# 03 ⇐⇒ 03% : ( D* 0I3' 03 ⇐⇒ 03% ,; I 0I3 z = z = i w = iλ , w λ, λ ≥ 1 ' 9 : ( ,; '
= iλ 2
11
# 2# #
0"3 K := {w ∈ H ; |z, w| = r} z ∈ H r > 0
H*1 H*' z H*4 r' ,; MK := {Mw ; w ∈ K } = K ' 03 z,r
z,r
z,r
M z,r
$ " 3 H*1 1 H # " z = x + iy ∈ H w = u + iv ∈ Kz,r , r > 0 2 2 1 + s2 2sy er − 1 . (u − x)2 + v − y = , s= r 2 2 1−s 1−s e +1
063
F < w ∈ K D* D(z, w) = s ( ! ' : /; 063' - H! (
$#
z,r
0<
2sy 1 + s2 < y 2 1−s 1 − s2
H' ) * a+ib ∈ H
ρ, 0 < ρ < b5 5 (< z =a+i
r > 0
1 − s2 b 1 + s2
2s ρ = . 1 + s2 b
2
5 H? ; * * H ' 063 5 H? * * r > 0 5 - ' ." - (wk )k≥1 H z ∈ H (|z, wk |)k≥1 , 0 #
,+ (wk )k≥1 <0! H#
= {w ∈ H ; |z, w| ≤ r} 5 $# 9 D
H5 ,; : *+ 2 8 * ' H C * H * 5 ; z,r
." 6 z, w ∈ H , z = w #
{τ ∈ H ; |z, τ | = |w, τ |} )
#
1
%
9 D* 7 ,; I $ < z = i
w = λi λ > 1 ' 9 ,; 013 $#
M := {τ ∈ H ; |i, τ | = |λi, τ |}
D τ = x + iy ∈ H 0 = |i − τ |2 · |λi − τ |2 − |i − τ |2 · |λi − τ |2 = 4y(λ − 1) · [x2 + y 2 − λ] . √ M 0 λ 2
C * '
) ; 1013 / τ ∈ H M ∈ GL(2; R) * F Mτ , det M > 0, M τ := 013 Mτ , det M < 0 . 7013 < 29 G " % GL(2; R) " H
Im τ , |cτ + d|2
Im M τ = | det M| ·
M τ ∈ H τ ∈ H M ∈ GL(2; R)' 03 : /; ( (LM) τ = L M τ L, M ∈ GL(2; R)' 073 * GL(2; R) H' 5 '' * ' C* H ** GL(2; R) H ( ; : τ → Mτ, M ∈ SL(2; R)5 ( τ → −τ ' 9 ,"" + % D 2 × 2 "& $
2 × 2 α β S= β γ
*: / 5 ( α > 0 det S > 0 0: ' ' R1226T5 "'1'I3' $ ; Pos (2; R)
*: / 2 × 2 ; ' ; 013
F : H −→ Pos (2; R) , τ −→ Fτ :=
1 y
1 −x , τ = x + iy. −x x2 + y 2
CQ det F = 1 τ ∈ H' w : Pos (2; R) −→ H , S −→ w(S) := 03 τ
1 α
√ −β + i det S
'
17
# 2# #
$ @ / , " S ∈ Pos (2; R) w = w(S) ,
w ∈ H
073
αw 2 + 2βw + γ = 0
'
073 w = w(S) , # ; ( $ " 3 : w(F ) = τ !" τ ∈ H# 3 ' S = √det S · F !" S ∈ Pos (2; R)# 3 -,,
τ
w(S)
]]0, ∞[[ × H −→ Pos (2; R) , (t, τ ) −→ t · Fτ , √ $7 8 ,, S → det S, w(S) #
t · F t > 0 τ ∈ H D : Pos (2; R)
< 8- F : H −→ {S ∈ Pos (2; R) ; det S = 1}. H ** GL(2; R) * Pos (2; R) : G (M, S) −→ M ∗ S := (M ) SM ' 0I3 C* C* : GL(2; R) H <J 2 : < ! % τ
−1 t
−1
("& " L, M ∈ GL(2; R), S ∈ Pos (2; R) τ ∈ H 9
3 (LM) ∗ S = L ∗ (M ∗ S)' 3 w(M ∗ S) = M w(S)' 3 F = | det M| · (M ∗ F )' $# 3 $ @ / 8 * ' ' 9 D* 3 , w˜ = w(M ∗ S) , w = w(S) M ∗ S = w˜ G H : M τ
τ
α ˜ β˜ β˜ γ ˜
˜ −1 t −1 w ˜ 0 = α ˜ w˜ + 2β w˜ + γ˜ = (w˜ 1)(M ) SM 1 z (−cw˜ + a)2 (−cw˜ + a)2 · (z 1)S = · (αz 2 + 2βz + γ) = 2 (det M) (det M)2 1 z = M −1 w ˜ M = ac db z=w w˜ = M w 2
' $ 5 B073' 3 τ = w(S) : ( 3 ( 3 ' 2 : +
1
1
0
1
GL(2; C) 0 , 1
# * 1 * −1 0
,
λ
0
0
1
,
0 = λ ∈ C .
1I
%
a b c d
∈ SL(2; R)
!)
M=
= 3
M ∈ SL(2; R)
n ∈Z
τ ∈H
Im 1Mτ
M n = ±E
= g t Fτ g
Mn
: 1 B
g=
−d c
.
" # ) M M ∈ SL(2; R), M = ±E " " # q ∈ Q 0 < q < 1 " Sp M = 2 cos πq . 0 ! M > % M ∈ SL(2; R) 9 & 2 C 1 * 1 ? 3 M ∈ SL(2; R) ε = 2 Sp M : M n = nεn−1 M − (n − 1)εn E )
n ∈ Z 0 ∓1 , s = Sp M % M ∈ SL(2; R), M = ±E " SL(2; R) & 7 * ±1 s *# C *#
M 1 * & 7 F HE1 & HE6 " m & 1 & *( *# y − 0 / 3 & 6 + w
!) # 0
w
y+ m"
Im m = 12 (y + + y − )
Im w =
y+y− .
@ 1 & *# 9 &
z = 4 + 5i w = 2 + 8i w = 157+2i 277 @ : ) M ∈ GL(2; R)
1 C $ *# !)
z, w, ∈ H
d(z, w) := Sp(Fz Fw−1 ) − 2
d(M z , M w) = d(z, w)
3
z=
d(z, w) > 0 K = {Z ∈ Mat(2; R) ; Z + Z t ∈ Pos (2; R)} J =
73+i 130
z = w.
) 0 −1 1 0
: $
ϕ : H × H −→ K , (τ, w) −→ Z := uJ + vFτ , w = u + iv , 7& )
ϕ((M τ, w)) = (M
M ∈ SL(2; R), λ > 0
−1 t
1 1 ϕ((− , − )) = Z −1 τ w
) ZM −1 , ϕ((τ, w + 1)) = Z + J , ϕ((τ, λw)) = λZ , 1 0 . , ϕ((τ, −w)) = Z t , ϕ((−τ , w)) = Dt Z t D , D = 0 −1
/ ) D ( ** ' $ (
4 ** H ' & + E ' 0 ' 3 ( ( $ H ** Γ := SL(2; Z) := {M ∈ Mat(2; Z) ; det M = 1}
: ' F( ; Γ ( ; % 0 −1 1 1 . 013 J :=
T := 1 0 0 1 ; : 1 m 03 J = −E T = m ∈ Z. 0 1 2
m
1"
/
$ @ / (JT ) = (T J) = −E ' 073
; 013 * τ −→ −1/τ τ −→ τ + 1' 0I3 ( )'1'" 3
3
+/& + $ " 2 ! + 2 c, d , '
M ∈ Γ M =
∗∗ cd
# 3 + ' + : !
T m m ∈ Z#
$ 8 H ** Γ
("& ' Γ ' + J T + #
, ∆ : J T ; E ** : Γ' 03 ∈ Γ' ; ) |c|5 −E ∈ ∆' , M = M ∈ ∆ ' ) 4 c = 0 03 M = ±T ∈ ∆' , c = 0' 4
m ∈ Z ∗ ∗ M = JT M = 0 ≤ c = a + mc < |c| . c ∗ ) : ; < M ∈ ∆ M = T J M ∈ ∆, ∆ = Γ. 2 $#
a b c d
m
m
−m
−1
- $ : Γ D 4 J T JT J · · · · JT J 0"3 m , . . . , m ∈ Z ε, δ 0 1 ' 073 ε = δ = 0 ' (
' ε
1
m1
m2
mk
δ
k
." ; ', τ → Mτ , M ∈ Γ
-,, τ → τ + 1 τ → −1/τ + #
, ; 0: ' 0733 −1 1 , U = E, 03 U := −T J = −1 0 < $; : Γ5 ; C ! ' 3
." - ' Γ ' + J U )
4 ,+# 3 + #
1
%
3 2 × 2 ; M G* ) < M JM = det M · J ; 5 **
- +
t
Γ = {M ∈ Mat(2; Z) ; M t JM = J}
' 3 ) 8 ; 5 Γ H ** ;( $; J U / J = U = E ( J U = UJ ( ' : ' R12B7T5 "I?""' 3 H ** P SL(2; Z) := SL(2; Z)/{±E} ( D* 1'1 ,; 1'7 * ; H ** ' , ( ! ; : τ → Jτ = −1/τ τ → Uτ = 1 − 1/τ C 7' PSL(2; Z) D ;( ; H ** C 7' 3 8 ; ; 013 J ;(' T 0( N) : O N O 3 ( : ' ' , : ( 8 ; T ;(' U ' <" " "* F / 013 F := &τ ∈ H ; − < Re τ ≤ , |τ | ≥ 1 |τ | > 1 − < Re τ < 0'
: F ! 4 ' CQ ( F : H Re τ = ±
8 $ 5 : : C ! ' F F = {τ ∈ H ; | τ | ≤ , |τ | ≥ 1}, F = {τ ∈ H ; | τ | < , |τ | > 1} • ; ;(' ρ ρ i ◦ • Q : F' * ! i 03 ρ := + i√3 ρ = −1 G ; F5 (< 4
2
3
2
1 2
1 2
1 2
1 2
◦
1 2
1 2
1 2
3
√ ρ2 = ρ − 1 = −ρ = − 12 + 12 i 3
1 2
.... . . . . . . . . . . . . ..... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ .... . . . . . . . . . . . . . . ........ . . . ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... .... . . . . . . . . . . . . . . . . ....... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ ..... . . . . . . . . . . . . . . . ........ ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... .... . . . . . . . . . . . . . . . . ........ .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ . ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... ..... . . . . . . . . . . . . . . ......... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... . .. ...... . . . . . . . . . . . . . . . . ....... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ ..... . . . ................................................... . . . . . . ........ ................ . . ..... 2 .... . ....................... ............. .... ............ ... ....... ...... ........ .... ......... ........ ...... .... . . . .... ......... . .... .. ..... . . . ... . . ... .. .... .... . . . ..... . ... .. ... . . ... . .... . . ... .. .... ... . . . ... ... ... ... ... . . . ... ... ... ... . . . ... .. ... ... ... . . . . . ... .... .... ..... .. ... .... .... ..... ... .. ... ... . .. .... .. ..... ..... .. .... ... ... . ... .
−1/2
0
1/2
' 1% 4 ! ;( ; F5 ; F G'C ! √ 073 Im τ ≥ 3 τ ∈ F. 8 ; 1013 103 < 1 2
16
/
3 2 7 τ ∈ H , M ∈ Γ Mτ ∈ F# 3 τ Mτ, M ∈ Γ, + F τ = Mτ # M = ±E
("&
!
A
0I3
τ = Mτ = i
M = ±J
0"3
M = ±U, ±U 2
τ = Mτ = ρ
'
$ F , ** Γ' $# 3 9 D* )'1'7 H Zτ + Z C' $ D (c, d) ∈ Z × Z (c, d) = (0, 0) 03 |mτ + n| ≥ |cτ + d| (m, n) ∈ Z × Z, (m, n) = (0, 0)' 9 c d ' 9 $ < ; ? 1 ∈ Γ 03 *; |T Lτ | ≥ 1 m ∈ Z' <
L = m
; τ = T Lτ = m + Lτ 5 < 1 1 − < Re τ ≤
|τ | ≥ 1. 2 2 ) 4 − < Re τ < 0 |τ | = 1 ; τ Jτ = −1/τ = −τ ' 3 ) 4 c = 0 Mτ = τ + m m ∈ Z' 013 m = 0 M = ±E ' $ < c > 0 ' 4 τ = x + iy
< 1'7013 073 1√ 1√ y 0∗ 3 3 ≤ Im Mτ =
3 ≤ y. 2 |cτ + d| 2 a b c d
m
m
1 2
2
$ # : c = 1 d ∈ {0, ±1}#
0∗3 c ≤ 15 c = 1' 9 √ |τ + d| ≥ 2|x + d|y, 3|x + d| ≤ 1 0∗3' |x| ≤ < |d| ≤ 1' 2 9 ( 4< d = 0 d = ±1 ; % = T J 5 Mτ = m − 1/τ ' 4 |τ | > 1 d = 09 $ M =
< |cτ + d|
$#
2
≥ c2 y 2
3 2 4
2
1 2
m −1 1 0
m
|Re(−1/τ )| = |Re(τ )|/|τ |2 < 1/2
m = 0 |Mτ | = |−1/τ | < 1 * ' |τ | = 1 ' Mτ = m − τ = (m − x) + iy ; 8 / 5
1B
%
4< m=0,
;(' m=1,
G ' d = ±19
τ = Mτ = i ,
M = T J = −U
|τ + d|
2
τ = Mτ = ρ
= (x ± 1)2 + y 2 ≥ y 2 +
1√ 3 ≤ Im Mτ ≤ f (y) 2
0∗∗3
M =J
f (y) :=
1 4
5
y y 2 + 1/4
0∗3' f (y) y ≥ f √3 = 5 √ Im Mτ = y = 3 0∗∗∗3 0∗∗3' x = τ = Mτ = ρ' 0∗ ∗ ∗3 < 1 2
1 2
1 2
√
3
1 2
d +
1
1 = , 2 2
1 2
d = −1 M = ∗1 −1∗ $ < ; ! 1 - ; M = T (T J) m ∈ Z. T Jρ = ρ Mρ = ρ m = 0 M = U ' m
.
2
2
4 M ∈ Γ τ ∈ F |cτ + d| = c |τ | + 2cd · τ + d 1'7013 2
2
2
2
2
≥ c2 − |cd| + d2 = (|c| − |d|)2 + |cd| ≥ 1.
$ " τ ∈ F !" M ∈ Γ
Im Mτ ≤ Im τ
9 ,; 8
'
MF := {Mτ ; τ ∈ F} , M ∈ Γ ,
H < 'G ' ) F F ' ' 8 ; : 8 MF : F 5 : F : C , : ' ' 8 D* 1'7 ( : C ' , J ; 5 C ! ;( D H '
12
/
. . ...................... ................................... ............................................................................................................................. ................................. ............................................................................................................................... ................................................................................................................................... ............................................. ................................................................................................................. .................................. ............................................................................................................................... ....................................... ................................................................................................................................ ....................................... . .................................. ................................................................................................................................... ............................................ .............................................................................................................................. .................................. ....................................................................................................................... .................................. ............................................................................................................................... ........................................... ........................................................................................................................... ............................................................................................................................ ................................... ..... . ............................................ ................................................................................................................................. .................................. ........................................................................................................................... .................... . ............................................................................................ ...................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................ . . . . . . . . .............. . . . . . . .. . ......................................................................................... . . . . . ......................... . ............................................ . . . . . . . . . . . . .................................................... . . . . . . .......... ........ ........................................................................................................ ................................. ..................................... ..... ............ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................ . . . . . ...................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . .. . ............................................................................. ...................................................................... . . . . . . . . . . .............. . . . .............. .................................................................................................................... ...................... . . ................................................. ......................... . . . . ...... . . . . . . . ....................................... . . . . ... . ............ . ............... ......................................................... ................................ ......................................... .................................... ................................................... ................ ........................ ............................................... ................. ................................ .................................. ......... .................... ........................................... .............................. ..................................... ............................................. ..................... ..................................... ....... . .................................. .......................................... . .................. ..... ................................................ . ...................................... ... ............................ .............. ....................................... ......................... . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................. . . . . .......................... ..... . . ......... ......................................... ................. . . . . ............................................... . . . . . . . . . ...................................... . . . . . . . . . . . . ............ ....................... .... . ..... ............................................ .............................................. . . . ........ .... . . . . . . . . . . ................................... ... ........... .. ........................................... ..... .. .............................................. . . . . . . . . . . . . . . . . .................................... .. ............ .. ............... .......................................................... ......... . . . . . ................................................... . . . . . . . . . . . .......................................... ............. . .. ................................................................ ...................... .............................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... .................... ......... ........ ................. . ......... ........ ........ ........ .. .. ....... .. .. ...... .................. ............. ............... ................ ... ...... ........... ..... ....... ..... ..... . .. .. . .... ... ... .... ...... .... ... ..... .... ... .. . ........ ......... ... ........ ... ........ . . . . . . . . ... .. .... ... ....... .. . . .......... . . ....... . . . ......... ........ . ....... ...... .. ..... .... .... ..... ... .. .
F
−1
0
1
' 16% 8 : F ' < 4" *" 4 τ ∈ H / Γ := {M ∈ Γ ; Mτ = τ }' 013 CQ Γ E ** : Γ5 τ # ,; 03 Γ = {±E, ±J} , Γ = {±E, ±U, ±U } , Γ = {±E}, τ ∈ F, τ = i, ρ . τ ∈ H J Γ5 ( Γ = {±E}' i ρ 4* ' ) τ 4* 5 M ∈ Γ Mτ ∈ F' 4 ** Γ = MΓ M 073
Γ Γ - 5 Mτ 4* ' ,; ;(' 03 τ
τ
i
2
ρ
τ
τ
Mτ
τ
−1
τ
." ; Γ
Mi Mρ
M ∈ Γ#
4 ε > 0 ( 0I3 V := {τ ∈ H ; y ≥ ε, |x| ≤ }
& ! < ε H' 9 013 073 0"3 F ⊂ F ⊂ V ε ≤ 12 √3. 1 ε
ε
ε
... . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... ..... .. . .. . .. . .. . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... ..... . . . . . . . . . . . . .. . .. . .. . .. . . . . . . . . . .ε. . . . . . ..... . . . . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . .. ..... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... ...... . .. . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... .........................................................................................................................................
V
iε −1/ε
1/ε
' 1B% @
17#
%
("& ε > 0 , M ∈ Γ : !
MVε ∩ Vε = ∅. $#
0∗ 3
) M ∈ Γ τ ∈ V Mτ ∈ V 5 1'7013 ε
1 ≥( ε
) Mτ )
−1
=
ε
|cτ + d|2 ≥ c2 y ≥ εc2 , y
|c| ≤
1 . ε
: c' 4 c = 0 Mτ = τ + m, m ∈ Z : M ∈ Γ' H c = 05 < 0∗3 1 ≥y ε
1 (cx + d)2 ≥ ≥ ε(cx + d)2 , ε y
|d| ≤
1 1 1 + |cx| ≤ + 2 . ε ε ε
: G ;( F : M 5 2 $ < ; ! 1 : M ' $ MF M ∈ Γ MF ∩ F = ∅ J , F' ,; ." - F , #
9 ,; F, JF, UF U F 9 : F 2
." 6 K ⊂ H MF ∩ K = ∅ !"
M ∈ Γ#
$#
(< ε ≤
1 2
√
3
K ⊂ V : ( ,;'
9 H " Γ\H
2
ε
( /
Γ\H := {Γτ ; τ ∈ H} 013
$
Γτ := {Mτ ; M ∈ Γ} τ ∈ H 03
Γ' , - π : H −→ Γ\H , τ −→ π(τ ) := Γτ ' 073 8 : ,; ("& : 0 π ! F , π : F → Γ\H ,7#
9 ,; F ∩ Γτ = ∅ - τ ∈ H5 ''5 $ < - :' , τ, τ ∈ F π(τ ) = π(τ )5 Γτ = Γτ 5 ' 9 03 M ∈ Γ τ = Mτ ' 2 G τ Mτ ; F ,; τ = Mτ = τ '
$#
171
/
< Γ\H F ) /; Γ ! ; ' 8 4 ( 5 V Γ\H ; D 5 < 8 Γ∞ = Q ∪ {∞}5 */; ' ................................................... ........ ... ... ..................... ... .... ....... ........... ..... .. .... ... ..... .. .... ... .... ... .... ... .... ... .... ... .... ... .... .... ... .... ..... ... .... ... .... ... .... ... .... ... .... ... .... ... .... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . ........... .... ................... ......... .... ......... ... . . ......... ......... .....................................................
◦
•
.......... ................... .......................... ...... ........ .... ...... ... ... .. . ......... ... ....... . . . . .... ............ . .............. ........ .... . . . . . . . . . .... . . . ........................ . ... ..... .... ..... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... .... .... ..... ... .... .... ..... .... .... .... .... .... .... .... .... .. .... .. ... . . ..... .... . . ....... . . . .... ............ ...........................................
•
........................ .......... ....... ....... ...... ◦ ..... .... .... ... ... ... . . ... .. ........ ........ ........ . ..... . ....... .. . .. .... .... ....... ...... .. .... ... .......... ......... . . . . . ... ............ . .................................................... .... ... . ... ... ... .... ... .... ..... ....... ...... ............ ...... ......................
' 12% */; : Γ\H !9 # % D 2 × 2 "&
* SL(2; R)5 GL(2; R) : G Mτ , det M > 0, τ → M τ := 013 Mτ , det M < 0, H' $ 4 : H ; C* : 1 0 03 GL(2; Z) = Γ ∪ Γ · 0 −1
9 2
( ( ' / N < O : F 073 L := {τ ∈ H ; − ≤ Re τ ≤ 0 |τ | ≥ 1}5
< ,; ( ("& 3 2 τ ∈ H , M ∈ GL(2; Z) M τ ∈ L# 3 τ M τ , M ∈ GL(2; Z) + 1 L M = ±E # 3 τ M τ , M ∈ GL(2; Z) + L τ = M τ # 3 4 L , GL(2; Z)# 4 * τ : L ;'8' −τ = τ 5 τ = iy5 ;(' 1/τ = τ 5 |τ | = 15 ;(' −(τ + 1) = τ 5 τ = − ' 9 1'2 ( 1 1 −x 0I3 ]]0, ∞[[×H −→ Pos (2; R) , (t, τ ) −→ t · F , F := y −x x + y , 1 2
1 2
τ
τ
2
2
17
%
8- 5 ,; 1'2
t (M, S) −→ M ∗ S := M −1 SM −1
C* : GL(2; R) Pos (2; R) : < ' 8 ; 8 : ]]0, ∞[[×L 0I3 P5 073 ∈ Pos (2; R) ; 0 ≤ 2β ≤ α ≤ γ ' P= S= 0"3 ,; 1'2 ,; < ." 3 2 7 S ∈ Pos (2; R) , M ∈ GL(2; Z) : . ! M SM ∈ P# 3 S M SM, M ∈ GL(2; Z) + 1 P M = ±E # 3 S M SM M ∈ GL(2; Z) + P S = M SM # 4 *: / , 0 /
'' % .'4' " ; ' " ( F ;( 8 4 : Γ
0( & 5 1##? 1#"3' α β β γ
t
t
t
t
{M ∞ ; M ∈ Γ} = Q ∪ {∞}
M ∈ Γ < ord M = 3 ⇐⇒ ord M = 4 ⇐⇒ ord M = 6 ⇐⇒
=
/ 7# " C
!)
Γ
Sp M = −1 " Sp M = 0 " Sp M = 1 .
1 *
n * ' " B * M ∈ Γ M τ ∈ F ) τ = n1 + n1 i ∈ H !B & Γ" τ /(; ' &, Q[i] > 0 τ √ Q[i 3] n ∈ N 5
0
y= ? 5
1 n,
F = {τ ∈ H ; |x| ≤ ◦
n ≡ 1, 2( 4) 1 2
|mτ + n| ≥ 1 )
y=
√ 3 n ,
n ≡ 2( 4).
(m, n) ∈ Z × Z, (m, n) = (0, 0)},
(m, n) ∈ Z × Z, m = 0}. √ F N3 1 & λiO " λ ≥ 2/ 3" " ) 7 τ ∈ F L ( & *# τ λi * * F F HE& B" " τ τ F" & *# τ τ * F @ !) # τ ∈ F B M ∈ Γ M τ = −τ F α β ∈ Pos (2; R) ; −α ≤ 2β < α ≤ γ . 1 D R := S =
F = {τ ∈ H ; |x| <
1 2
|mτ + n| > 1 )
β
γ
S ∈ Pos (2; R) B M ∈ Γ M t SM ∈ R +, S T = M t SM M ∈ Γ, M = ±E " * R" S = T = λE , λ > 0 , M = ±J 2 −1 , λ > 0 , M = ±U M = ±U 2 . S=T =λ
'
−1
2
177
3 /
F 5 & E$ w ∈ L !B {M ∈ GL(2; Z) ; M w = w} = 3 K L 6 & H" M ∈ Γ 5 M K ∩ L = ∅ 3 Fτ ∈ Pos (2; R) # @ D !) τ ∈ F 5 # Fτ ,- 1 1 2y 2y 5 # " # τ = ρ > 1 # :D ϕ K $ : a b ∈ K ; |b + c| ≤ a ≤ d , |b − c| ≤ 1 , det Z ≥ 1 . ϕ(F × F) = Z = 1 '
c
d
! 2 / ) D ( @ 5 ( 4 ! ; E ** ** ' $ ; ( Γ = SL(2; Z) ** Λ E ** : Γ' " "* % E + , ∆ ; < E ** : SL(2; R)' $ F : H . , : ∆5 ( % 048'#3 F 0 :3 H' 048'13 F - τ ∈ H M ∈ ∆ Mτ ∈ F' 048'3 H G τ Mτ, M ∈ ∆5 ; Q : F5 M = ±E ' 8 ; MF := {Mτ ; τ ∈ F} 8 : F τ → Mτ 5 0 :3 F ⊂ H 4 ! : ∆5 ( MF ' 048'1L3 H = 048'L3 F ∩M F= ∅ , M ∈ ∆ ⇒ M = ±E ' ) ∆ = Λ E ** : Γ5 Λ ;<' ) 4 048'1L3 ,; : 0: ' 6"&" R##1T5 § 17 35 - 4 D ;' $ ; F '013 / : H' 9 ,; ' F
4 : Γ , ' , Λ : Λ −E
; E ** : Γ $ Γ= ΛM 013
- F : Γ Λ 5 ( Γ 013 ;< @ 5 - ) [Γ : Λ ] ' ) 013 *< M ◦
M ∈∆ ◦
1≤ν≤[Γ:Λ ]
ν
ν
17I
%
- ( 4 Λ D ' ; ; $ F(Λ) := M F' 03
1≤ν≤[Γ:Λ ]
ν
("& F(Λ) , Λ#
' (< 5
048'#3% , D : ' 9 ,; '7 :
: ' < * :
: ' (< ,; ' ' 9 013 048'13% F
' $
τ ∈ H, τ ∈ / F(Λ) ε>0 F ⊂ Vε $# τ Vε M ∈Γ MVε ∩ Vε = ∅ ν Mν F ∩ Vε = ∅ τ F(Λ) F(Λ) H τ ∈H L∈Γ Lτ ∈ F M ∈Λ ν L−1 = ±M −1 Mν ±M = Mν L Mτ = Mν Lτ ∈ Mν F ⊂ F(Λ).
048'3% , τ Mτ 5 M ∈ Λ5 D : F(Λ) U Q E : τ F(Λ)' 9 :
@ : U $ < MU = {Mz ; z ∈ U} ⊂ F(Λ) ' $ ( U= U U := U M F
( U ; ,; : D ' , $ < U = ∅ z ∈ U ' U ⊂ M F w := M z
D : F' ν Mz ∈ M F' w := M MM w D : F w D : F' ) w ' J T F 5 J ,; ' w = w ( M MM = ±E 5 M = ±MM ' ±M ∈ Λ ν = 1 M = ±E ' 2 ν
ν
ν
◦
1
1
−1 1
1
ν
−1 ν
ν
◦
1
ν
1
−1 ν
1
ν
1
E + : F(Λ) : 8 M ∞ : ∞' ! / < : M 0135 + ,
ΛM ∞ Λ ' $ < ; ! '1 J 5 Q ∪ {∞} ,*; : Γ ' ; '7 J τ ∈ H
Λ5 ( M ∈ Λ Mτ = τ M = ±E ' A 4* : Λ 4* : Γ5 '' ' - + : 4 : ( 0, ' ' ! ; < . ! 0# ' # ( 5 16I?#13' 5" + &+ $ n ≥ 1 F' 4 L, M ∈ Mat(2; Z) ( 1 + L ≡ M (mod n) * ( ! <5 ''5 X ∈ Mat(2; Z) L = M + nX ' $ 8 * ; * ; 013 LM ≡ L M (mod n), L ≡ L (mod n) M ≡ M (mod n)' / ν
ν
ν
17"
3 /
03 Γ[n] := {M ∈ Γ ; M ≡ E (mod n)}' D- Z → Z/nZ, x → x := x + nZ5 073
; 2 × 2 ; a b 0I3 (2; Z) → (2; Z/nZ), M = c d → M = ac
b . d
F 8 ( < ,; G ( ; ! $ " a, b, c ∈ Z c = 0 ggT (a, b, c) = 1'
x ∈ Z
ggT (a + xb, c) = 1 .
, x D D; p5 c5 a 5 (
D 1 ' 5 D; q $ q|(a + xb) q|c' E# 9 q|a' q x' q|(a+xb), q|a, q x q|b * ;
ggT (a, b, c) = 1' ;# 9 q a' q|x q|(a + xb) *; q|a * ' 2 a + xb c ' $#
( ; ("& -,,
φ : Γ → SL(2; Z/nZ),
M → M ,
7 1 Γ[n] # Γ[n]
Γ Γ/Γ[n] . + SL(2; Z/nZ)#
E ** Γ[n] : Γ J < + (mod n)5 F n ! : Γ[n]' $# det M = det M M ∈ (2; Z) 8 : φ SL(2; Z/nZ) ' 9 013 φ H ** * 5 : 03 Γ[n] 9 Γ ' , K = ∈ Mat(2; Z) K ∈ SL(2; Z/nZ) $ < γ = 05 γ γ + n ; ' αδ − βγ ≡ 1 (mod n) ggT (γ, δ, n) = 1' 9 r ∈ Z5 ggT (γ, d) = 1 d = δ + rn' 9 αd − βγ = αδ − βγ + αrn = 1 + sn s ∈ Z. α β γ δ
17
%
ggT (γ, d) = 1 x, y ∈ Z 5 γy − dx = s.
M :=
α + xn β + yn ∈ SL(2; Z) γ δ + rn
M = K,
det M = (α + xn) · d − (β + yn)γ = 1 + sn + n(xd − yγ) = 1.
φ - : * ; H ** )* : Γ/Γ[n] SL(2; Z/nZ)' , [Γ : Γ[n]] = SL(2; Z/nZ) < ∞.
2
H M ≡ L (mod n) M, L ∈ Γ5 ML ≡ E(mod n)
*; 4 L ' M L 9 Γ[n] < −1
−1
." 2 ' + L M Γ
,
> . 4.? , Γ[n]
L ≡ M (mod n) #
) ,; ( %
[Γ : Γ[n]] = #SL(2; Z/nZ) = n3
1 − p−2
n≥2.
p|n
$ $ / ' R12B7T5 7?"5 A' % R12IT5 7"5 '' - R1266T5 1?7' , " n ≥ 2 ,+ Γ[n] # # Mτ = τ !"
τ ∈ H M ∈ Γ[n] ! M = ±E n = 2 M = E n > 2#
H Mτ = τ M = ±E Γ[n]5 τ 4* : ' '7 τ = Li τ = Lρ
L ∈ Γ'
< L MLi = i L MLρ = ρ' A ; ,; ' ( L ML = ±J L ML = ±U , ±U . Γ[n] 9 : Γ 5 ( ±J ±U ±U ; Γ[n] G ' 4' 2 8 * 4 n = 2 ( % 9 $#
Γ
−1
−1
−1
−1
2
2
03
1 0 0 1
0 −1 1 0
= E, = J,
1 1 = T, 0 1 −1 1 = U, −1 0
1 0 = −UT, 1 1 0 −1 = U2 1 −1
176
3 /
@ 9 : Γ[2] Γ' ,; 1 < 4 : Γ[2] 4' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . .... . . . .. .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... .... . . . . . . . . . . . . ...................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . ............................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . .... .... . . . . . . . . . .............................. . . . . . . . . . . . . . . . .............................. . . . . . ... . . . . . . . . ................................. . . . . . . . . . . . . . ................................. . . . . . . . . . .... .... . . . . ....................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................... . . . . ... . . . . . .................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................... . . .... .... . ............... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................. . .... . .................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................. . .... ........... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. . . ....... . . . . . . . . . . . . . . ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............... ..... ............... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. . . . . . ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ . . .. . . ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ . ...... . . . . . ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. . . . . ... . . . . ............ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... . ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... . . . ... . . . ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ . . . ...... . . . . . . . . . .... . . . . .. . . . . ..... . . . . . . . .... . .... . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . .. . . . . .... . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . .. . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . .......... ..... . . . . . . . . . . . . ... . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . ..... . . . . . . . . . . . ..... . . . . . . .. . . . . . . . ....... . . . . . . . . . . . . . . . ......... .... . . . . . . . . . . .... . . . . . . ... . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . .... . . . . . . . . . .... . . . . . . . .. . . . . . . . ... . . ... . . . . . . . . . .... . . . . . . . .. . . . . . . . ... . . . . . . . . ...... ... . . . . . . . . . .... . . . . . . . .. . . . . . . . . .... . . . . . . . . .... ... . . . . . . . . .... . . . . . . . .. . . . . . . . .... . . . . . . . . .... . . . . . ... . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . .... . . . . . . .... . . . . . . . . .. . . . . . . . . ..... . . . . . . . ...... .... . . . . . ... . . . . 2. . . . . .. . . . . . . . . . .... . . . . . . . . .... ... . . . . . . ... . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . ... . . . . . . . ..... .... . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . .... . . . . . ... .... . . . .... . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .... . . . . .... ... . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . ... . . . .... ... . . . ... . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . .... .... . . .... . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .... . . . .. .. . . . .. . . . . ................................. . . ... . . ........................... . . . . . . .... . . . .... .... . . ... . . . .......... . . . . .......... . ............ . . . ........... . . . ... ............... . ......... . . ... .... . . . .... . . .......... . . . .. . .. . .. . ... . . . ........ . ............ . . .... . ..... .... ... . .... .... . .... . ... .... . ... .. .. . .... ..... .... . ... . ... ... ... .... ... ... ... .. . ... .... .... ..... .. .. .. . . .......... ............... .. .... ....... ......... ...... ..... .... ...... ...... .... .....
F
TF
JF
UF
U F
−1/2
0
UT F
1/2
1
3/2
' #% 4 : Γ[2] 4 H ** 5 ; H ** Γ[2] <M : 5 .'4' " ? ( 9 ( ? 1B#B 4 ! 0( & 5 1##?1#"3' ' .+ &+ $ E ** Λ : Γ J 1 + 5 ( F
n ≥ 1 Γ[n] ⊂ Λ' n J ! : Λ' CQ -
; ** : Γ ) Γ' JF $ ( : 8 * H **
(1) Γ0 [n] :=
a b c d
∈ Γ ; c ≡ 0 (mod n) .
4 n = 2% $ @ : Γ Γ [2] % E, J U 5 '' 0
2
Γ = Γ0 [2] ∪ (Γ0 [2] · J) ∪ (Γ0 [2] · U 2 ) .
.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... ... . . . . . . ............................................................................................ . . . . . . . . . . . . . .... . ..... . . . . . . . ............................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................ . . . . . . . ... .... . . . .................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................ . . ... .. .......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... .. ............... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................. ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ .. . . . . . . ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... . ... ...... . . . . . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............ . . . .... ..... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... . . . . . . ... .... . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . .. .... . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . ... .... . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . ... . . . . . ... ... . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . ... . . . . . . . . . . ... . . . . . . .. ... . . . . . . . . . ... . . . . . . . .. .... . . . . . . . . .... . . . . . . . ... .... . . . . . . . .... . . . . . . . . .. .... . . . . . . . .. . . . . . . . . .. ... . . . . . . . .... . . . . . . . . ... ... . . . . . . . .. . . . 2 . . . . . . .... . . . . . . . . .... . . . . . . . . . ... ... . . . . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . .. ... . . . . ... . . . . . . . . . . . . ... ... . . . ... . . . . . . . . . . .. .... . . . ... . . . . . . . . . . .. ... . . . .... . . . . . . . . . . ... .... . . . . ... . . . . . . ....................... . . ... ............ . .. ... . . ... . . . . . ............... ......... ... . ... . . ......... . .... . ... . . ....... .. . .... ....... ... ... . ... ... . .. . ... .... .... ... .. ........ ....... ....... ....... ..... ....... ..
U F
−1/2
0
1/2
' 1% 4 : Γ [2] 0
$ 4 ,; 1 4' Γ [2] Γ ) 0
17B
%
5 Γ[2] Γ [2] ) 2 03 Γ [2] = Γ[2] ∪ (Γ[2] · T ) . ; Γ [n] E ** a b ∈ Γ; b ≡ 0 (mod n) 073 Γ [n] := M = c d / ' $ Q Γ [n] = J · Γ [n] · J ' $ H ** Γ [n] ;(' Γ [n] / ' R12BT5 I1?"1' : ,; ; ;'8' 3
0
0
0
0
0
−1
0
0
0
[Γ : Γ0 [n]] = [Γ : Γ0 [n]] = n
1+
1 p
.
p|n
( E ** ** ( 4' 5 ' R1B2#T5 ' 5 ' ) R126T5 .*' @)))5 A' % R12IT5 .*' >)'75 '' - R1266T5 .*' 1' - + 3 $ E ** Λ : Γ : ) !
; ** ; ' $ 8 * ( ; : '
H' 0' ' 25 22?11B 112?1I 01BB633' 8 * / ' R12B7T5 66?625 ' 0A' (' ' !5 1B?1 012613S 12I5 2I?1#2 0126I33' 3 Γ [n] Γ [n] n > 1 9 Γ' .+ &+ ( E ** : Γ5 Γ[2] ' ("& 3 Γ/Γ[2] + S # 3 Γ[2] + ' +
−E, T JT J ' 013 $# 3 9 ,; Γ/Γ[2] * ; SL(2; Z/2Z) H ** * : * 0
0
3
2
2
−1
1 0 1 , , ⊂ (Z/2Z)2 . 0 1 1
3 $ ; Λ : ; (1) ; E ** : Γ[2]' , M ∈ Γ[2]' a + 2mc ∗ a ∗ T M= ;(' (JT J ) M = c ∗ c − 2ma ∗ L ∈ Λ a b LM=
|a | ≤ |c |, c = 0. c d 2m
2
−1 m
1
1
1
1
1
1
1
1
172
3 /
a c 5 |a | < |c |'
L ∈ Λ a b LM=
|c | < |a |. c d 9 : , / L ∈ Λ 1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
LM = ±
2
2
1 r , r ∈ Z. 0 1
LM ∈ Γ[2] r LM = ±T ∈ Λ5 M ∈ Λ' 2 E ** : Γ5 Γ[2] 5 8- ; E ** : Γ/Γ[2]5 : S ' : E ** : S ! * Γ[2] Γ' H ** S ; 7 E ** C ' *
; ** Γ [2] , Γ [2] Γ := Γ[2] ∪ Γ[2] · J ' 03 Γ J = * ' 4 M ∈ Γ M ∈ Γ 5 ( M ≡ E(mod 2) M ≡ J(mod 2)' 073 XM : a + b + c + d ≡ 0(mod 2) 0I3 ' / 5 ,;5 03 03 r
3
3
3
0
0
ϑ
ϑ
ϑ
." Γϑ 8 Γ C
Γ = Γϑ ∪ (T · Γϑ ) ∪ (U 2 · Γϑ ) = Γϑ ∪ (Γϑ · T ) ∪ (Γϑ · U) Γϑ ' + J T 2 + #
9 ,; 1
F(Γϑ ) := F ∪ T F ∪ UF
4 : Γ ' 4 ! F 0: ' I3' ϑ
ϑ
... ...................................................................... .... ....................................................................... .... ........................................................................ .... ........................................................................................................ .... ....................................................................... .... ........................................................................................................ .... ......................................................................... .... ....................................................................... .... ........................................................................................................ ... ........................................................................ ..... ......................................................................................................... .... ........................................................................ .... ........................................................................................................ .... ............................................................................................................ ................ . . ... . . ................ . . . . ............... . . ... .... ............................ ............................. ................................... ................. . . . . . . . . . . . . . ......... ........... ........ . . . . . . ............... ...... .................. . . . . . . ..... ..... . . . . . . . . . . ....... ........................... .... . . . . . . . ..... .................... .... . . . . . .... ................ ... . . . ... ... ....... ........... ... . .. ......... ...... .... ..... .... .. .
F
TF
UF
−1/2
0
1/2
1
3/2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ............................................................................................................... ........................................................................... .............................................................................................................. ............................................................................. ........................................................................................ ................................................................................................... ............................................................................ ............................................................................................................. .. ....................................ϑ ....................................... ............................................................................................................... ............................................................................. ............................................................................ .............................................................................................................. ........................................................................................................................ ................................ .......................................... ........ . . . . . . ..... . ........ ................. ............................ ..... . . . . . ..... ....... . . . . ..... .......................... ................... ...... . . . .... ................. ..... . . ...... ............... ................ ....... . .... ............... ............... ........... ............ .... ....... ........... ............ ......... .......... ........ ......... ....... ....... ........ ... ........ .. .......
F
•i
−1
0
' % 4 : Γ
ϑ
1
1I#
%
; S E ** C 7' ! *
; ** Γ [2] := Γ[2] ∪ (Γ[2] · U) ∪ (Γ[2] · U )' 0"3 3
2
N
, ΓN [2] + Γ 2# ΓN [2] + ' + T 2 −U
03
Γ = ΓN [2] ∪ ΓN [2] · T
-,,
χ : Γ → {±1},
'
M → (−1)ac+bc+bd ,
, % Γ 1 χ = ΓN [2]#
$# 03 0"3 03' Γ [2] E ** : )
9 ' 9 ,; 0"3 ( Γ [2] ; : T 5 JT J = U T U, −E U 5 ( U = E : T −U ' ) Γ E ** : Γ : ) 5 M ∈ Γ M ∈ Γ5 [Γ : Γ ] ≥ 3 <' G T , J = −E, U = U ; Γ ' Γ [2] ⊂ Γ H ' 4 M ∈ Γ : /; N
−1
2
2
N 2
3
∗
2
∗
2
∗
∗
4
−1
2
2
∗
N
χ(MJ) = (−1)bd−ad+ac = −χ(M) = χ(M) · χ(J), χ(MT ) = (−1)ac+(a+b)c+(a+b)(c+d) = −χ(M) = χ(M) · χ(T ).
Γ ,; '1 : J T ; ( 5 χ(ML) = χ(M) · χ(L) M, L ∈ Γ. χ(T ) = χ(−U) = 1 Γ [2] ⊂ χ' χ(T ) = −1 < 2 H ' 2
N
3 8 H ** Γ 5 ! = * ϑ(τ ) := ϑ(0; τ ) 0: ' )''60133 N) : ; ** O ; 0: ' $ ; * )))3' 3
; ** Γ [2], Γ [2] Γ - Γ' $ <!
- +
ϑ
0
0
Γ0 [2] = J · Γ0 [2] · J −1 ,
ϑ
Γϑ = U · Γ0 [2] · U −1 .
3 9 R12B"T5 ))''5 Γ [2] ** : GL(2; Z)' !9 E + F < - M ∈ Γ ( 5 C ' N
("& " ±E = M ∈ Γ 0/ 9
03 M ) 3, 4 6# 03 M ) #
1I1
3 /
03 | Sp M| < 2' 0:3 : , τ ∈ H Mτ = τ # 0:3 : , L ∈ Γ L ML ∈ {±J , ±U , ±U }# $# 03 =⇒ 03% :' 03 =⇒ 03% M C 5 $ ( : M 8 1' s := Sp M $ ( 4 −1
λ1,2 =
2
1 2
s±
√
s2 − 4 .
) 4 s > 2 (< $ ( GJ 15 4 s < −2 (< $ ( −1' 9 :' = ; −M 5 s = 2 ;
' ,; : #$$+ M = 2M − E
) 2
M n = nM − (n − 1)E, n ∈ N.
M = ±E M 4 C ' $ |s| < 2' 03 =⇒ 0:3% : ( D* 1'"' 2 0:3 =⇒ 0:3 =⇒ 03% : ( ,; '5 '7073 '7 ." ; Λ 8 Γ
Λ Γ 7
+
{E} , {±E} , {±E, ±J} , {E, U, U 2 } {±E, ±U, ±U 2 } . t $# S := (2; R) M ∈ Λ L∈Λ L L ∈ t LM Λ M SM = S √ τ = w(S) ∈ H S = det S · Fτ Λ Γτ Γ τ ∈F
$ D ' L ; < 5 ' 9 1'2 ' ,; 1'2 5 E ** : ' 9
- ( ' 8 * '7073 $ < 2 '703' ." - 3 8 Γ ) 1, 2, 3, 4
6#
3 M
∈ Γ , Λ Γ Λ∗ = M ΛM −1 0 F ! Λ" M F := {M τ ; τ ∈ F} ! Λ∗ 3 F ! Γ[n], n ≥ 1" M ∈ Γ : M F ! ( Γ[n]
: : 6 * : : 6 *
{E}
6 *
n > 2 {E} * Γ[n] {τ ∈ H ; |x| ≤ 1, |τ − 1/2| ≥ 1/2, |τ + 1/2| ≥ 1/2} ! Γ[2]
1 D Fϑ := {τ ∈ H ; |τ | ≥ 1 , −1 < x ≤ 1 , |τ | > 1 ) − 1 < x < 0}
Fϑ ! Γϑ +, τ M τ, M ∈ Γϑ M = ±E " * Fϑ " τ = M τ = i M = ±J > 3 Λ Γϑ : Λ Γϑ & 7 * {E}, {±E} {±E, ±J} !) =
1I
%
n ∈ Z , n ≥ 2 : + Γ0 [n] / 5 4" # −1 ; 8 (mod n) 0 n " / Γ0 [n] & 5 3 6 Γ0 [n] # 1 * −E, T JT n J −1 * " # n = 1, 2, 3 4 3 p 9 * : J, J −1 T k J, k = 0, 1, . . . p−1 " L C 8 E A & & Γ Γ0 [p] 1 3 * Γ0 [p] @ 3 p 9 * : {τ ∈ H ; |x| ≤ p/2, |τ − n| ≥ 1 ) 0 = n ∈ Z, |n| ≤ p/2} ! Γ0 [p] ΓN [2] # * 1 * M 2 , M ∈ Γ ΓN [2] # * 1 * LM L−1 M −1 " L, M ∈ GL(2; Z) a b ∈ Γ; a ≡ d ≡ 1(mod n), c ≡ 0(mod n)} 6 * " Γ1 [n] := { c d ? 3
) n > 1 & 2 Γ 1 [Γ : Γ1 [n]] : I & * Γ[n] GL(2; Q) SL(2; R) & 7 * Γ" Γ1 [n2 ] : 1 {τ ∈ H ; |τ − 1| ≥ 1, |τ + 1| ≥ 1} ! + { n1 01 ; n ∈ Z} = !)
1
Λ
Γ
Λ := Λ ∪ (−E)Λ Γ[3] Γ "
8 / C 2 (
& 1 *<
Γ/Γ[3] ∼ = A4 .
1 ! ) 1 B * 3 +
Γ[3]
&**
Γ"
*#
Γ[3]
Γ
.
7# F
1 6 *
3
3
1 8 / C /; 3 *
Γ[3]
#+
) D ( ( E ! ** : SL(2; R)' 4 H ** ( @ : ' 2 4 ' ** Γ N O E ** N* O H ** SL(2; R)' E 8 Q E ** : SL(2; R) < ; G 5 / (
$ $ : Mat(2; R) 013
|M| :=
√ Sp(M t M) = a2 + b2 + c2 + d2 ,
M=
a b , c d
G 8 Q R Mat(2; R) ' |LM| ≤ |L| · |M| L, M ∈ Mat(2; R)' 03 $ Λ E ** : SL(2; R)' ) Λ : 4
1I7
!+
5 ( Λ E ** : SL(2; R)' E ! ** Λ : SL(2; R) J 5 ( - τ ∈ H - 4 (M ) : *( : ; M Λ 4 (M τ ) < * H ;' Q - τ ∈ H H % 0 '13 {Mτ ; M ∈ Λ} H5 '' < * H' 0 '3 {M ∈ Λ ; Mτ = τ } ' $ ; 5 : H ** ! ' Mat(2; R)
k k≥1
k
k
k≥1
("& " 8 Λ SL(2; R) 0/ 9
03 Λ # 03 Λ # 03 2 7 + 1 K L H , M ∈ Λ : ! (MK) ∩ L = ∅#
$#
0∗3
; ; <
τ ∈ H (Lk )k≥1 SL(2; R) Lk τ → τ !" k → ∞
(Lk )k≥1 , 0 #
9 ,; 1'7 (<
'
' 4
N ∈ SL(2; R) τ = Ni Pk := $# N −1 Lk N Qk := J −1 Pk J Pk i → i Qk i → i Im (Pk i) → 1 Im (Qk i) → 1 ∗ ∗ ak bk Qk = Pk = −bk ak ck d k
5
1'7013
b + a → 1 . ; P < ( 03 ; L ' 2 03 =⇒ 03% 5 Λ ' τ, τ ∈ H 4 (M ) : *( : ; Λ M τ → τ k → ∞' 4 N := M M ∈ Λ : H? <J 1'0I3 |τ, N τ | = |M τ, M τ | −→ |w, w| = 0 k −→ ∞ . H? * (G * 5 N τ −→ τ k −→ ∞' 0∗∗3 c2k + d2k → 1
2 k
k
k
k
k k≥1
k
k
2 k
k
k+1
k
−1 k
k+1
1II
%
9 0∗3 4 (N ) < ' Λ 5 N : : ; :' $ ( 0∗∗3 k N τ = τ k ≥ k ' ( M τ = M N τ = M τ = · · · = M τ k ≥ k 5 '' M M τ = τ ' 0∗3 : Λ
: : ; M M 5 : M * ; ' 03 =⇒ 03% 5 * K L : H $ (MK) ∩ L = ∅ : M ∈ Λ' 9 1'6 K L H? D := {w ∈ H ; |w, i| ≤ r}
; ' H w ∈ (M D) ∩ D : M ∈ Λ5 τ = M w D : D' 8 : 1'0I3 k k≥1
k
0
k
0
−1 k
0
k+1
k
k0
k
−1 k
k
k0
k0
k
−1 k
k
k
k
k
k
|Mk i, i| ≤ |Mk i, Mk τk | + |Mk τk , i| = |i, τk | + |wk , i| ≤ 2r
4 (M i) ( < * H ; ' 03 =⇒ 03% 5 Λ ' M ∈ Mat(2; R) 4 : *( : M ∈ Λ $ lim M = M 0* ( P3 . SL(2; R) Mat(2; R) 5 M ∈ SL(2; R)' 4 τ ∈ H k
k≥1
k
k→∞
k
lim (Mk τ ) = Mτ =: w .
k→∞
) K := {τ } L * E : w H5 M τ ∈ L 22 J k5 (M K) ∩ L = ∅ : k' k
k
<
4 ε > 0 z ∈ H
K := {w ∈ H ; |z, w| < ε} 013 1'6 E : z' 1'0I3 MK = K M ∈ SL(2; R)' 03 9 Λ E ** : SL(2; R)' z,ε
z,ε
M z,ε
$ " 2 7 z ∈ H , ε = εΛ (z) > 0 Mz ∈ Kz,ε , M ∈ Λ
!" Mz = z #
$# < 4 : *( : M M z → z' Λ 5 * '
k
k
." 2 7 z ∈ H , δ = δΛ (z) > 0
073
Mz = z ! #
Kz,δ ∩ MKz,δ = ∅
M ∈Λ
∈ Λ 2
1I"
!+
; δ = ε' w 5 |w, z| < δ |Mz, w| = |z, M w| < δ 5 |Mz, z| ≤ |Mz, w| + |w, z| < ε
Mz = z' 2 E K J :' z ( 4! * : Λ' $#
1 2
−1
z,δ
("& Λ , H ' #
' " 4")+ $ ( Λ E ** : SL(2; R)' 4 z ∈ H / ' 2 01B"I?1213
P = P (z) := {w ∈ H ; |z, w| ≤ |z, Mw| M ∈ Λ} . ) ; ,; ' < Λ
("& z Λ
PΛ (z) ,
Λ ## PΛ (z) , H 2 τ ∈ H , M ∈ Λ Mτ ∈ PΛ (z)# τ Mτ, M ∈ Λ + 1 PΛ (z) ! M = ±E #
'
3 3 3
3 4 M ∈ Λ {w ∈ H ; |z, w| ≤ |M z, w|} D* 1'6 : H' P : H' 3 4 τ ∈ H µ := inf{|z, Mτ | ; M ∈ Λ} (< 4 (M ) Λ $ |z, M τ | −→ µ' 0∗3 H µ = 05 : 4 M τ z' Λ 5 L ∈ Λ M τ = Lτ J k' Lτ = z ∈ P' , µ > 0' 1'6 −1
$#
k k≥1
k
k
k
Kz,2µ (z) = {w ∈ H ; |z, w| ≤ 2µ}
* E : z H' 9 1'68 $ ! < 5 4 (M τ ) : ' Λ ! 5 L ∈ Λ M τ = Lτ J k' 0∗3 < µ = |z, Lτ | Lτ ∈ P' 3 9 @ ; Q E U : τ H U ⊂ P' Mτ D : P 5 :
@ ! : U MU := {Mw ; w ∈ U} ⊂ P ' 4 w ∈ U |z, w| ≤ |z, Lw| |z, Mw| ≤ |z, LMw| L ∈ Λ . , ; L = M L = M ;( E 5 |z, w| = |z, Mw| = |M z, w| w ∈ U' U !
k
k≥1
k
−1
−1
1I
%
Q 5 z = M z 1'6.' z 4* 2 : Λ 5 M = ±E ' −1
4 P : Λ : ;< : H? 5 : H?H ' Q : P ,; : 08' :' 6"&" R##1T5 K17 3
' ; 5 ( P = {w ∈ H ; |z, w| < |z, Mw| ± E = M ∈ Λ}. - + 3 = H ** : ) :< ! < ' : ' ' - 0' F' 5 "B?6 012"233' 3 $ : H ** ; < 4 / ' R12B7T5 .*' )5 A' % R12IT5 .*' )))5 )@5 @))5 .'' R12BBT' 3 E ( 8 * ; 5 G(λ) λ > 0 : ◦
J=
0 −1 1 0
1 λ 0 1
; E ** : SL(2; R)5 * ; D! λ' ) G(1) = Γ ,; '1 G(2) = Γ 7'I' $' ; 0' # ( 5 "22?135 H ** G(λ) 5 ( λ ≥ 2 λ = 2 cos , q ∈ Z , q ≥ 3 . ' 0A' 9 ' !5 1#B?11"3 1267 8 ( ' ϑ
π q
!) p = 2, 3 √ G( p) = ∆ ∪ J∆
∆= M =
a √ c p
√ b p d
; a, b, c, d ∈ Z , det M = 1 .
√ G( p) & SL(2; R) ∆ SL(2; R) & 7 * Γ0 [p] & ' √ 1√ F := τ ∈ H ; |x| ≤ 2 p , |τ | ≥ 1 ! G( p) ) p = 2, 3 √ 1√ 1√ = : !B & G( p) 9 & M i M τ , τ = 2 p + i 2 4 − p" √ M ∈ G( p) ) p = 2, 3 1 7# !B B *
3 O 8 * ' E; ' &, :
SL(2; O) & M 1 !B & & + Λ : LM = M ) L ∈ Λ ? 3 Λ SL(2; R) M ∈ SL(2; R) : + Λ & " # Λ∗ = M ΛM −1 & !) z ∈ H M PΛ (z) = PΛ∗ (M z) 3 M ∈ SL(2; R)" M = ±E " Λ M * SL(2; R) : + Λ & " # M C +
> 3
1I6
!+
λ ∈ R , λ > 1 : PΓ (λi) = F λ ∈ R , λ > 1 : PΓϑ (λi) = Fϑ $ = 3 Γ∞ = {± T n ; n ∈ Z} : PΓ∞ (z) = {τ ∈ H ; |Re (τ − z)| ≤ 1/2} ) 7 z ∈ H 5 & SL(2; R) */ cos(π/n) sin(π/n) * 2n 3 Gn , n > 2" 3
@ 3
− sin(π/n)
SL(2; R)
cos(π/n)
:
Fn := {τ ∈ H ; x ≤ 0 , τ τ + 2x cot(2π/n) ≥ 1} ! =
PΛ (z)
H(3
Gn
1 &
z
* 4 ( , ! : C5 < H 5 5 '!
, !
H5 < ',
aτ + b a b ∈ Γ := SL(2; Z) τ −→ Mτ := M= c d cτ + d : ' ( 8 * 4 5 H * 5 , j = j(τ )5 ( )'I'I ))'$'7 ' $ ( 5 j ' @+ ""% " 9 4 5 : 5 4 f : H → C : ) 5 ( ! @ ( % f (Mτ ) = γ (τ ) · f (τ ) M ∈ Γ' 013 γ (τ ) N O 45
( ' , 013 MN : M : ( (MN )τ = M(Nτ )5 < 0 4 f (τ ) = 03 8 γ (τ ) = γ (Nτ ) · γ (τ ) M, N ∈ Γ τ ∈ H 03 γ ' N.; ?8 O X ! ' ) dMτ = (cτ + d) 073 γ (τ ) := dτ
- D ; : 03' - F k ! * +
M
M
MN
M
N
M
−2
1"#
/4 %
0I3 f (Mτ ) = (cτ + d) · f (τ ) M ∈ Γ '! ' H ** <J ))''1 τ −→ τ + 1 τ −→ −1/τ 0"3
; ( 5 0I3 8 f (τ + 1) = f (τ ) f (−1/τ ) = τ · f (τ ) 03
; ' ) )'I'1 ( 5 ? G 8 * : ! 4 ' $ ( 8 * ;; ( 5
; 03 : ;% ' " " # ) 8 & : I' "' 16IB 16' B' 16"# ' "
= *4 013 ϑ(τ ) := e = 1 + 2 · q q := e τ ∈ H. k
k
k
∞
πin2 τ
n2
πiτ
n=1
n∈Z
) F < ? A' " =H -
/ % 0D 1B3 0: ' )''63' ) 9 : .'4' " 0( 5 I7?II"3 9 ( A 1B#B5 ( 0 < )''6013 / '& ? ϑ(z; τ )3 ( ( ' ) ( : .'H'A' '& 0# ( 5 12B?723
2
(−1)n q n cos(2nx)
n∈Z
8 Θ ; * 4 ! : ( ' ) 8 ; : )''6 ϑ(τ ) ϑ(0; τ )' CQ ϑ(τ ) *? <J : H5 ϑ : H → C * ' $ ϑ(τ + 2) = ϑ(τ ) τ ∈ H' 03 8 ) 5 ? ( 5 " "" 0
ϑ (−1/τ ) = τ /i · ϑ(τ ) !" τ ∈ H' 073 F( ; ; (< 5 *: *: '
1"1
( , ϑ(iy)5 5 ? ( < ? ( 1 * ! 5 Q ; 4
$#
y>0
2
e−π(n+t) y , t ∈ R,
ϕ(t) :=
n∈Z
"? < ϑ(iy) = ϕ(0) =
αm ,
m∈Z
1
−2πimt
ϕ(t) · e
αm :=
∞ dt = −∞
0
2 /y
αm = βm (y) · e−πm
2
e−πt y · e−2πimt dt.
∞
βm (y) :=
√
e−π(t
√ 2 y+im/ y )
−∞
1 dt = √ · βm/√y (1). y
9 #" $ ) ; < β (1) = β : m 0: ' ' - 5 H' " R##T5 1'I'73
< β i ϑ(iy) = √ · ϑ y > 0. y y , ; y = 1 5 β = 1 ( ϑ(iy) > 0' ! 2 4 ; ' $ 8 ( , / ;'8' ' R12B6T5 162?1B1' 8 - ; f (τ ) := ϑ (τ )5 < ; 03 f (τ + 2) = f (τ ) f (−1/τ ) = τ · f (τ )' 0I3 : : f = ϑ : τ → τ + 2 τ → −1/τ ; H ** : * : H' = * Γ ))'7'I f (Mτ ) = (cτ + d) · f (τ ) M ∈ Γ . $ ? ))'7'I ? ; 4 ! 5 : % ; g(τ ) := · ϑ (τ ) · ϑ (τ + 1) · ϑ (1 − 1/τ ) 0"3
: /; 03 073 g(τ + 1) = i · g(τ ) g (−1/τ ) = i · τ · g(τ )' : D ; : g , : 03 ; k = 12' : ,; I'" 3' m
8
4
8
ϑ
4
1 τ
2
ϑ
2
2
3
1"
/4 %
' , F D 5 4 ;
( , ; ' $ ( : 5 8 M 2 × 2 ; ; : M = ; ' τ H ( 4 τ = x + iy ' " F < ( C* : SL(2; R) * 4 H <% , ; k ∈ Z f H *' : D : H5 f H\D * ' 4 M ∈ SL(2; R) < H * 4 f |M = f | M (f |M)(τ ) := (cτ + d) · f (Mτ ) τ ∈ H \ D ' 013 8 k ∈ Z ( : ; ' F ))'1'10"3 @ / (f |M)|N = f |(MN ) M, N ∈ SL(2; R)' 03 / (M, f ) → f |M C* * 4 H5 ( ' f k5 ( % 0'13 f H *' 0'3 f | M = f M ∈ Γ' CQ 4 : H ( k @ C' < M = −E 0'3 5 < ab cd
f
f
k
−k
f ◦M
k
, 3 0#
$ ( 4 : ;5 k ' 03
,; ))''1 0'3 ; f (τ + 1) = f (τ ) f (−1/τ ) = τ · f (τ )' 0'L3 , J ; ))'1'10635 013 4 k
073 '
(f |M)(τ ) =
,
dMτ dτ
k/2
· f (Mτ )
$ ; (
E := {z ∈ C ; |z| < 1}
1"7
% ,
Q $ C' 8 / H → E \ {0}, τ → z := e2πiτ ,
- : 1 * * 4 ' ) f H * D D * D 1 0: ' )'1'35 0: ' ' - 5 H' " R##T5 ,; 1'7'3 E \ {0} * 4 fˆ f (τ ) = fˆ (e ) τ ∈H\D ' 013 ) fˆ E\{0} * 4 5 ; G 4 f 4 013 H * * D 1' 5 D : fˆ 0 < G P E ; ! J 5 5 f , ∞ 5 ( fˆ * E ; ' f , ∞ G D5 0 , < : fˆ %" ?$ ( : fˆ 0 * 0: ' ' - 5 H' " R##T5 ,; 1''73 03 α (m) · z , fˆ(z) = f
2πiτ
f
f
m
m≥m0
* E : 0 *? <J : ' 013 f "? 073 f (τ ) = α (m) · e f
2πimτ
m≥m0
( 5
γ > 0 Im τ > γ *? <J : ' ) Y; %" ? 0: ' ' - 5 H' " R##T5 1'1'73 ; 0I3
αf (m) =
w+1 f (τ ) · e−2πimτ dτ
5
w
( ) Im w > γ ;'8' < , : w w + 1 ; ' $ " " ! H 1 f = 0
0/ 9
03 f , ∞ # 03 : , γ > 0 ! : ! 9 03 f ! , {τ ∈ H ; Im τ > γ} # 03 : , m ∈ Z + 7 ε > 0 C , 0
1"I
/4 %
|f (τ )| ≤ C · e−2πm0 ·Im τ
!" τ
Im τ ≥ γ + ε#
, m0 ' m ∈ Z αf (m) = 0#
03 !" γ > 0# $# ( @ : fˆ E : 0 ; ! * % fˆ %" ? 4 035 ( ˆ ≤ C · |z| ' 2
<; H |f(z)| f ! H
m0
) m ( (<5 = @ ! : fˆ 05 f , ∞ ) −m m < 0 5 5 m ≥ 0 5 ) m 5 m > 0 ' ; 0"3 ord f := m . 0
0
0
0
0
0
∞
0
$ 4 f J '! . ( f : H ( k ∞ G D 5 ( % 0'13 f H *' 0'3 f | M = f M ∈ Γ' 0'73 f ∞ G D' 0'73 ; ( 0'7L3 f ; "?$ ( 4 f (τ ) = α (m) · e 5
' - +B
k
k
f
m≥m0
2πimτ
γ > 0 Im τ ≥ γ *? <J : ' f g αf + βg , α , β ∈ C5 f · g G D ∞ 5 8 10135 '! k
& V ", C , # $ J 013 V ·V ⊂V f u¨r k, ∈ Z. D* 1 V = {0} k ' 03 k
k
k
k+
1""
% ,
, J ∈V 0 = f ∈ V ' 073 $ : H ( 0 J '! ' 013 073 K := V 0I3 G* 5 4 V ! : H ( <' - + 3 9 '! : ' ! 0# # ( 5 1"2?163' $ ; < ' ! * ) % 9 ' $ 4 5 ; ** Γ5 ; *
; ** Γ[2] G 0: ' )'$'5 )'7'I$5 )'I'63' ;
@ ! * 4 ) : g g ;(' ∆ 0: ' )'I'135 : : H' ( 0: ' )'7'63' $ 8 4' ' 2' *( : 2 ; /
8< 0 < 8 15 75 I5 "3 5 ' : / # # -,. # ( ; < : ' 5 : = ))'8I - : +0 ' # ( ! ' 3 ' ! ; , ( 1 := e ; 0# # ( 5 16I?#135 *< : ( ( 5 ; ' "& $ f : H ( k J + '! k 5 ( f H * ( f ∞ D ' f ; : H ( k 5 ( % 0'1U3 f : H → C *' 0'U3 f | M = f M ∈ Γ' 0'7U3 f τ ∈ H Im τ ≥ γ , γ > 05 < ' 0'7U3 ; 0'7]3 f ; "?$ ( 4 f (τ ) = α (m) · e 5 1 f
−k
k
0
2
3
τ
k
f
m≥0
2πimτ
2πiτ
1"
/4 %
γ > 0 {τ ∈ H ; Im τ ≥ γ} <J : ! ' M + '! k , 8 . & V ' $ ; f J + ! 0 % ! 35 ( f ∞ 9 5 ( α (0) = 0 ' @ ,*! ; : H ( k ( S ; ' Q S ⊂M ⊂V k ∈ Z' 0'7]3 α (0) = lim f (iy) f ∈ M ' 013 ) 7013 < M ·M ⊂M , S ·M ⊂S k, ∈ Z' 03 8 ( ( ,* ; : k
k
f
k
k
k
f
k
k
k
y→∞
k+
k
k+
$ " f ∈ Mk γ > 0
f (τ ) − αf (0) = O e−2πIm τ
! ' {τ ∈ H ; Im τ ≥ γ}#
) ( @ ( J G* K = V ! @ < M ; : H ( ! ' ! 4 +"% A 4 f ∈ M ( f˜ : H → R < f˜(τ ) := (Im τ ) · |f (τ )| , τ ∈ H' 013 ))'1'7013 1013 < Q f˜(Mτ ) = f˜(τ ) M ∈ Γ5 03 f˜ Γ : 4 '
4 F ))'' * ; ; 0
k
k
k/2
, ϕ : H → R !" Im τ ≥
ϕ(Mτ ) = ϕ(τ )
1 2
√
3 , 0
!" M ∈ Γ,
ϕ ! H , 0 #
9 ))''073 ϕ * ; 4 F < ' 9 ,; ))'' ( 5 ϕ H < ' 2
$#
, (
1"6
% ,
("& : Mk = {0} !" k < 0#
9 0'7]3 f * ; τ Im τ ≥ √3 < ' k : 5 f˜' 9 D* ϕ = f˜ ( 5 f˜ H < ' ( f "? < "? Y;!
<J 0I3 1 2
$#
1 2πmy
αf (m) = e
f (x + iy) · e−2πimx dx , m ≥ 0
·
'
0
013 |αf (m)| ≤ y
−k/2
1 ·e
2πmy
·
˜ + iy)dx ≤ C · y −k/2 · e2πmy f(x
0
: y < C ' , : y < 5 y → 0 < α (m) = 0 2 m ≥ 05 f ≡ 0' f
1 " F"
"013 <'
. J& 4 f ∈ M ( f˜ ( k
("& " k > 0 f ∈ Mk 9
3 f˜
! H , 0 w ∈ H : !
f ∈ Sk #
f˜(τ ) ≤ f˜(w) !" τ ∈ H.
3 f ∈ S
k
αf (m) = O mk/2 !" m ∈ N.
3 ) f ,*; 5 f˜ ( I Im τ ≥ √3 < ' 8 * D* "' ) f˜ ! < 5 ( I α (0) · y F < ' k > 0 ˜ )=0 α (0) = 05 f ∈ S ' $ ; : w lim f(τ I' 3 ( f "? ( 8 ( : ,; " |α (m)| ≤ C · y ·e y > 0' , : y < 5 y = 1/m , m > 05
< 1 2
$#
f
f
k
f
8 * '
k/2
y→∞
−k/2
2πmy
|αf (m)| ≤ C · e2π · mk/2 ,
2
1"B
/4 %
5 * A(H) 1 ! &
f : H→C f (τ ) =
* ,
∞
"
E8 !
H ∪ {∞}
(
αf (m) · e2πimτ , τ ∈ H"
m=0
A(H) K CE$ " * 1 B(H) 7 f ∈ A(H)" * ≥ 0
/- A
/
5 *
5
αf (m) = O(m ) !)
f ∈ B(H)
)
m ≥ 1
*
& κ(f ) := inf ≥ 0 ; αf (m) = O m
)
m≥1
'
B(H) A(H) 3 * ) f, g ∈ B(H)<
κ(f + g) ≤ max{κ(f ), κ(g)}" κ(f · g) ≤ κ(f ) + κ(g) + 1 0 f ∈ A(H) (Im τ )κ · f (τ ) ) κ ≥ 0 H / & " κ(f ) ≤ κ = 0 f ∈ Sk " , f * B(H) κ(f ) ≤ k/2
0 f ∈ B(H)" & E8
Df (s) :=
∞
,
f
*
B(H)
αf (m) · m−s
m=1
)
s∈C
Re (s) > κ(f ) + 1 f (τ ) = ϑ(2τ ) 5= , B(H) A(H) ' f ∈ Mk D ! &
> : ! & ?
*
B(H)
κ(f ) = 0
Df (s) = 2ζ(2s)
f ∗ : H −→ C , τ −→ f (−τ ). ∈ Mk f ∗∗ = f : E6J* f " # f ∗ = f : E6J* f /" # f ∗ = −f Mk * * 1 (6J* @ f ∈ Mk 3 * " # * 7 γ > 0 6 α β " : f ∗
f ∈ Mk k ≡ 0 (mod 6) !) f ∈ Sk 3
|f (τ )| ≤ α · e−βy √ ρ = 12 (1 + i 3) 5
r∈Q
)
τ ∈H
f (i) = 0"
lim f (r + iy) = 0. y↓0
!)
f ∈ Mk " f ∈ / Sk " k > 0
r∈Q
lim |f (r + iy)| = ∞. y↓0
y ≥ γ.
k ≡ 0 (mod 4)"
f (ρ) = 0"
1"2
5
3 # 8 * ; *4
013 G (τ ) := (mτ + n) k ≥ 3 ;
−k
k
m,n
<J )'1'203 ;(' )'7'013' , , ; 5 , D (m, n) ∈ Z×Z (m, n) = (0, 0) ; ' C( ( $ G )'KI ( 5 : 8 ( ( % k
, 2 7 1 K H , 1 γ
δ γ · |mi + n| ≤ |mτ + n| ≤ δ · |mi + n| !" m, n ∈ R τ ∈ K#
< m + n : ; ' 4 $#
2
2
=1
5 |mi + n| = 1
(τ, m, n) → |mτ + n|
* K × {(m, n) ∈ R × R ; m + n = 1} γ
δ ' Im τ τ ∈ K *: 2
< 5 γ > 0' 2
2
) ; )'1'2 < .% + & $ " " k ∈ Z k ≥ 3 Gk , * 0@
# Gk ! H# $#
9 D* : ; : (m + n ) α > 1
2 −α
2
m,n
( ; ( ' ( 8 ( / 0' # ( &5 1163% E m +n ≥ |mn|
< 2
2
(m + n )
E
2 −α
α>1
≤4
m≥1
−2α
m
+4
2
2
−α
m
≤ 4(ζ(2α) + ζ 2(α)) < ∞
m≥1
- E : (Z × Z) \ {(0, 0)}'
2
1#
/4 %
$ M
; 0: ' )'I'0"33 : ! ! ' "" $ " " k ∈ Z k ≥ 3 M ∈ Γ Gk |k M =
Gk # #
03
'
Gk (Mτ ) = (cτ + d)k · Gk (τ ) , τ ∈ H
$#
(m , n ) = (m, n) · M < XM : ;?,; )'1'" (m, n) (m , n ) D 2 ; F ' (m · Mτ + n) · (cτ + d) = m τ + n
M = −E < ." ; : Gk = 0 !" k ≥ 3#
* ) ( ,; I'5 8 ( 8 ; ; * 4 G % 4 k ≥ 4 073
Gk (τ ) = 2ζ(k) + 2 ·
∞ (2πi)k · σk−1 (m) · e2πimτ . (k − 1)! m=1
$ ;( <J 5 G ? 1 · G , k ≥ 4 , 0I3 G := 2ζ(k) k
∗ k
k
; ' - D ; F (m, n) ∈ (Z × Z) \ {(0, 0)}
4 (m, n) = (tµ, tν) t ∈ N µ, ν ∈ Z <5 G (τ ) = · (mτ + n) , k ≥ 4 ' 0IU3 ∗ k
−k
1 2
ggT (m,n)=1
( ( : G ' ; Γ := {±T ; n ∈ Z} = {M ∈ Γ ; c = 0}' 0"3 N M : Γ \ ΓO 5 M @ V : Γ Γ < 5 $ Γ M = Γ Γ M = Γ N M, N ∈ V M = N ' ) $ < ; ? ))''1 1| M(τ ) = (cτ + d) k ≥ 4' 03 G (τ ) = ∗ k
n
∞
∞
∞
M ∈V
∞
∞
∗ k
∞
−k
k
M :Γ∞ \Γ
M :Γ∞ \Γ
11
5
: ( " 0: ' ' - 5 H' " R##T5 ,; 11'7'13 (2πi) · B , k ≥ 2 , 063 2ζ(k) = − k! ( "?2 B 2 4 6 8 10 12 B − − − 0B3 k
k
k
1 6
k
− B2kk
1 30
−24
1 42
−504
240
1 30
5 66
691 2730
−264
480
65520 691
14 7 6
−24
073 < 023
G∗k (τ ) = 1 −
∞ 2k · σk−1 (m) · e2πimτ , k ≥ 4 Bk m=1
G (τ ) = 1 + 240 · σ (m) · e 01#3 ∞
2πimτ
5
σ5 (m) · e2πimτ
'
∗ 4
3
.
m=1
0113
G∗6 (τ ) = 1 − 504 ·
∞
m=1
9 @ ; 5 @ < ; ! H ( k ≥ 4 9 % ("& " k ≥ 4 9
3 G ∈ M ' 3 M = C · G ⊕ S = C · G ⊕ S ' $# 3 : ( : ;? ( 03 073' 3 4 f ∈ M f − α (0) · G ,*; ' k
k
k
k
∗ k
k
k
k
∗ k
f
2
." - " k ≥ 4 f ∈ Mk
013 $#
αf (m) = −αf (0) ·
2k · σk−1 (m) + O mk/2 , Bk
m ∈ N.
: ( 3 ,; 5 023 3 : ,; 1''
mr ≤ σr (m) =
r > 1 * ;
d|m
dr = mr
d|m
d−r ≤ ζ(r) · mr
2
1
/4 %
0173 α (m) = O(m ) f ∈ M , k ≥ 4 5
<; f ∈/ S : ( ' 8 ? ( 2 % 4 $ " 3 : G (i) = 0 !" k ≡ 0 ( mod 4) +
G (i) = 0# 3 : G (ρ) = 0 !" k ≡ 0(mod 6) + G (ρ) = 0 , ρ := (1 + i√3)# $# $ i(Zi + Z) = Zi + Z ρ(Zρ + Z) = Zρ + Z ( ρ = ρ − 1' : ; 013 G (i) = i · G (i) G (ρ) = ρ · G (ρ)' 2 - + 9 (
' 9 : 4''.' - 'D'4' ) +!$ 08 ' ' ' ,' 5 12?16# 0126#33 k > 2 9 ! : G F $ ' : ; 8' & R126IT5 )))'1'' " ∆ ( )'7'I063 )'I'7 ' 9 )'I'7013 ∆ := (60G ) − 27(140G ) 013 / ' ? 1 03 ∆(Mτ ) = (cτ + d) · ∆(τ ) τ ∈ H M ∈ Γ
,; )'I'7 ; 5 ∆ "?$ ( 4 k−1
f
k
k
k
6
k
1 2
4
2
−k
k
−k
k
k
k
k
4
3
6
2
12
073
∆(τ ) = (2π) · 12
∞
5
τ (m) · e2πimτ , τ ∈ H
m=1
;5 Y; τ (m) ; F τ (1) = 1 ' $ ; τ (m) ( )'I'703 ' 0135 03 073 < ( ("& : ∆ ∈ S ' ( ( * 4 : ( 9 : ∆ )'7'I. ( D (! )''"013' ( 0 3 : ( 5 ,; I'1 '
8 ( ' ;( <J 5 @ ; ; ' ) 073 /
12
0I3
∆∗ (τ ) := (2π)−12 · ∆(τ ) =
∞ m=1
'
τ (m) · e2πimτ , τ ∈ H
17
5
10I35 1063 10B3 : /; - ; 1 (G − G ). 0"3 ∆ = 1728 *; "! 0"3 5 ! /; : ; F ' ( 5 N: ! O 8 Y; τ (m) ' 8 - ( ' 9 ! 8 0 m = 10 3 ' ' % 0 ' A' 5 I2?I77 012I633 @ * 5 τ (m) = 0 m ' 8 8 ( % & ' ∗
∗3 4
∗2 6
15
# $ 01BB6?12#3 ( ! 9< : ' 9 H' ' $ ( N? O ' , ( $ (! ( ; 5 ! : <% : H ' E 12#7 5 $ 0 8 ! ( 3 , ; 5 ( 121# :G ' ) 8 H' ' $ $ ' 9 $ ( 1# ! ) < 0 ( 3 ; D; ' $ : 4 ( *;
W ' $ : $ -"7 : 121I 1216 . F ;( ' -"7 : 7 A ' 0 : τ (m) m ≤ 30 3 : -"75 ; 4 τ (m) . 5 ''5 τ (mn) = τ (m) · τ (n) m, n ∈ N ' ( ; : 'A' 0D' . D' ,' 5 116?1I 012#33 ( ' $' ; 8 ( ,; )@'1'I' -"7 ;(' : ; :
;?$ ! Y; τ (m)' , ;'8' τ (m) ≡ σ (m) (mod 691) m ∈ N 0: ' 3' $ :
; 4 τ (7m + 3) ≡ 0 (mod 7) τ (23m + k) ≡ 0 (mod 23) m ∈ N, ' (%""
11
1I
/4 %
( k M 9 23 ' * < : -"7 * @ < 9 5 ( ;( : D' ! 0D ' ' ) $, '5 67?7#6 0126I33 ,* ; ( ! ( ( % # $ +0 " + p |τ (p)| ≤ 2p11/2 .
; 4 τ (m) ( -"7 = .
' $ " 0 H' ) % 4 7 ' D 5 8 12BB' 8'.' % 4 7 I , * &' ,* !@ 5 9 ( Z 12B"?122I' 8' .' 5 ' ) ' 5 9' 75 I?2 012BB3' H' ' $% 4 7 ' 7' W'5 . 5 9 ( Z 126B' 'H' - 5 A' ) ' ,' !5 1?" 012B63' ,' -"7% % ' . 5 9 ( Z 12' ,' -"7% , 5 ) 4 5 8 12"6' "* %"" j <J )'7'I0B3 ;(' )'I'I013 / V ;( ; : H ( 12% j := (720 G ) /∆ = G /∆ ' 013 j * 0 9 : ∆ * 3 H' ? 1 ; 03 ;
j(Mτ ) = j(τ ) M ∈ Γ τ ∈ H' 03 ,; )'I'I ( 5 < 013 "?$ ! ( 4 4
073
j(τ ) = e−2πiτ +
j
m
∗3 4
3
∞
∗
5
jm · e2πimτ , τ ∈ H
m=0
' F
∈Z
("& j '! # #
j ∈ K = V0 .
9 ? 1 j(i) = 12 = 1728 , j(ρ) = 0' 0I3 9 ,; )'' j *: ; F ' ; % 3
m
1"
5
jm
23 · 3 · 31 22 · 33 · 1 823 211 · 5 · 2 099 2 · 35 · 5 · 355 679 214 · 33 · 45 767 23 · 52 · 2 143 · 777 421 213 · 36 · 11 · 132 · 383 33 · 5 · 7 · 271 · 174 376 673 217 · 3 · 53 · 199 · 41 047 22 · 37 · 5 · 4 723 · 15 376 021 212 · 35 · 52 · 132 · 5 366 467
' 7 j m = 100 0) ' ' !5 7B2? I## 012"733' Q ( $ ! < 5 < : ' 0 ' !25 12?1" 012733
' - 0 ' A' ' 15 76?IB 0127233 ( ( % $ * 4 m
√
e4π m jm ∼ =√ 2 · m3/4
m → ∞.
F j :
; % ' ' %
12I 0 ' A' ' 15 IBB?"#3
; m
(m + 1) · jm ≡ 0 (mod 24)
m ≥ 1'
("& % 0 " m ≡ 0 (mod 2 3 5 7 ) a b c d
' $ $ / A' % R12IT5 .*' >)'I5 '' R122#T5 .*' I' - + 4 j ( : ' ! 0# ' # ( 5 16I?#13 A 1B66 9 & + ' ! ; - ; ; 9( 5
N O 4 v [= j] 5 4 F ** - : C 0 : "'3' 9 , - ; / 013 4' 0' ' 5 111?16 01B6233 ; ' !9 ) F /
H ** : 1267 < 8' '' ' $ ; GJ * H ** F C jm ≡ 0 (mod 23a+8 32b+3 5c+17d )
1
/4 %
' H ** ( ' ' $ 8 χ ; 246 · 320 · 59 · 76 · 112 · 133 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71 ∼ 808 · 1051
ν
ν
χν
1 1 12 BB7 1 2 B6 7 BI #2 7 I " 1B "7B 6"# #6
A' $ ( F < Y; j ) : % m
j1 = χ2 + χ1 , j2 = χ3 + χ2 + χ1 , j3 = χ4 + χ3 + 2χ2 + 2χ1 .
A'H' 4 08 ' ' ' ,' 5 7"?7"73 12625 8 : j @ V 5 ; * F → GL(V ) 5 ,: ! < ' '' ' 12B F E ** H ** 12 BB7?
0) : ' ' 15 1?1#3' )' 5 A' %)$
' " @ ?C* ' $ " 0 A' #)$ ,' 5 8 ' ' ,' 5 7#7? 772 012623' )' 5 A' %)$ ' "% & ) - , ' ' D 5 8 12BB' H' 5 A '
' '!@ ' !5 12!12I 0##73' H' 5 ' ' 2'5 7B1?I#2 012B23' m
m
m
!) ε > 0 *
Vε := {τ ∈ H ; |x| ≤ 1/ε , y ≥ ε}
" &'
!) '
ε>0
τ ∈H
H
u∈R γ > 0
00 =
1 γ
ε
· |τ | ≤ |τ + u| ≤ γ · |τ |
|mτ + n| ≥ γ · |mi + n| :
γ = 1 + |u|/y
5 )
m, n ∈ R
τ ∈ Vε
E8 Gk & ) k ≥ 4 7 L &
/- 1 = 3
m∈Z, m≥1
Qk,m (τ ) :=
k≥4
limy→∞ Gk (iy) = 2ζ(k)
: &
e2πim·Mτ · (cτ + d)−k =
M:Γ∞ \Γ
()
ϕ|k M (τ )"
M:Γ∞ \Γ
m
16
5
ϕ(τ ) := e2πimτ "
# $
7 L &
E6J* Qk,m
!)
τ ∈H
∞
k>1
/- 5
Qk,m ∈ Sk
√ Γ((k − 1)/2) 1−k ·y π· , Γ(k/2)
|τ + u|−k du =
−∞
#
H
Γ(s) + E! & * τ ∈ H k > 1
!)
−k
|τ + m|
∞
m∈Z
> !)
M=
a b
γ = 1 + 1/y.
−∞
∈ SL(2; R)
cd
|τ + u|−k du
≤γ · k
τ, w ∈ H
D
) := ( d b ) ∈ SL(2; R) M {τ, w} := (w + M τ ) · (cτ + d) , M c a
){w, τ } M {τ, w} = M ε > 0 k ≥ 4
() τ
&
!)
Pk (τ, w) :=
w
(M {τ, w})−k
M∈Γ
/- ) !)
k≥4
(τ, w) ∈ Vε × Vε
Pk (−τ , w) = Pk (τ, −w) $
w∈H
!)
Pk (·, w) ∈ Sk
Pk (τ, w) = Pk (w, τ ).
E6J* Pk (τ, iv)
3
k>2
? 0
k≥4
w ∈ H 0 k & L Pk (·, w)
#
Γw
00 =="
E E5 #& Pk (τ, w) w
" & ' *# C
8 #
Pk (τ, w) = 2 · !)
!B
m≥1
k>1
∞ (2πi)k k−1 · m · Qk,m (τ ) · e2πimw , τ, w ∈ H. (k − 1)! m=1
& 8
Rk,m (τ ) :=
(ατ 2 + 2βτ + γ)−k , S =
α
β
β
γ
, τ ∈ H"
S∈Sym(2;Z),detS=−m
& & E /- 5 Rk,m !) D
S ∈ Sym(2; R)
S
8
:= {M t SM ; M ∈ Γ}
Rk (τ ; S) := (
α β β γ
k
Vk = K(j )k/2
1 & 5 )
Mk
(ατ 2 + 2βτ + γ)−k
∆
k >1
&
, τ ∈ H"
§1
Rk (·, S) ∈ S2k
§2
& # :
L# +#
!)
)∈ S
& & E /- 5 @ !)
∈ S2k : (6J* Rk,m (τ )
§3
: * 2 (
# $ <
1B
/4 %
∆(τ ) = 0 ) τ ∈ H Sk = ∆ · Mk−12 ) k ≥ 0 Sk = {0} ) k < 12" M0 = C, M2 = {0} Mk = C · Gk = C · G∗k ) k = 4, 6, 8, 10 !) k ≥ 0 k [ 12 ], k ≡ 2 (mod 12), dimC Mk = k [ 12 ] + 1, k ≡ 2 (mod 12).
$
! 4' $ f = 0 : H ( k , : ' 4 w ∈ H %" ?$ ( f (τ ) = γ(m) · (τ − w) , γ(r) = 05
G + f ∈ Vk '
013
5
m
m≥r
* E : w *? <J : ' )''1 / ) : f w ord f := r ' 03 4 f w 9 ;(' D5 - 03 *: : ' , f ≡ 0 ! H5 w
ordz f |k M = ordM z f
!" z ∈ H M ∈ SL(2; R).
, !" 0 = f ∈ Vk !"
ordz f = ordM z f
z ∈ H M ∈ Γ.
8 035 ( w * 4 g f (τ ) = (τ − w) · g(τ ) g(w) = 0. 4 M ∈ Γ z := M w 1'1013 ))'1'103 $#
r
−1
(f |k M)(τ ) = (cτ + d)−k · (Mτ − Mz)r · g(Mτ ) = (τ − z)r · h(τ ), h(τ ) = (cτ + d)−k−r · (cz + d)−r · g(Mτ ) .
h z * h(z) = 0'
2
1'0"3 ( C : f ∞ <% 9 0'7L3 ; f "?$ ( 4 f (τ ) = α (m) · e , α (m ) = 05 073 f
m≥m0
2πimτ
f
0
12
) 4 %
; ord f := m ' 0I3 ord f * ; w F := F ∪ {∞} 0"3
<' / w ∈ F 2 w = i, 3 w = ρ, 03 ord w := 1 . 9 ))''7 F 2 · ord w w ∈ F C 4 ** : w ∞
0
w
∗
∗
Γw = {M ∈ Γ ; Mw = w}
0: ' ))''70133' ( ?: $ A " '! f = 0 k 9
w∈F∗
k 1 · ordw f = . ord w 12
9 , 5 9 ! D : f G ( 073 F < ' $ ( ( @ D ' " E" D +" , 0 = f ∈ V ' ( D 9 ! : f ;< ) ∗
k
013
F (τ )dτ
F := f /f
γ
< γ 5 /; 4 ! F *' 4 w ∈ H res F = ord f ' 03 ) f J ) < : τ 1073 5 < 5 ( "? : f : f :! 5 "? F 4 F (τ ) = 2πi · ord f + α (m) · e ' 073 w
w
∞
F
m≥1
2πimτ
γ ( ( < : F (<%
16#
/4 %
'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''<'''''''''γ'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' ''' γ ''' ''''''''' ''' ' '''' ''' '' '' '' κ κ '' • ''' w• w − 1 '' ' '''''''''' ' '''''''''' '''' ''' '' '''''>'''''κ''''''' ' ∧'' γ ' γ '' ' ' ' ∨''' ''''''κ '''''''''''''κ'''''''''''''''''''''' ''' • '''''''''''''''''''''''κ'''''''''''''''' κ ''''''' ''''''' '' • γ '' γ i • '' '''' ''γ − z γ '' ρ ρ γ1
0
1
1
1
4
1
3
2
2
•
2
1 z
2
1
3
2
2
2
' 7% ) (
•
) 4* - * : F5 f 9 ? D ;5 ( κ ;(' κ : ε > 0 ) : F ;' ε ; (< 5 J :' * ( 9 ? D : f @ : ε ' γ H ? ;(' γ , γ ;(' κ , κ ' γ ; (< 5 f {τ ∈ H ; Im τ ≥ y } ( D 9 ' 9 : γ
; ( 03 2πi · ord f = F (τ )dτ ' 0I3
ν
ν
µ
µ
0
0
w
◦
w∈F
γ
5 , : 0I3 : : ε < ' , ε → 0 ( ' ( : γ ; ( G 5 G @ : F ' f (Mτ ) = (cτ + d) · f (τ ) < Q kc dMτ = + F (τ ) M ∈ Γ. 0"3 F (Mτ ) · dτ cτ + d k
' F + γν γν
; < 013
9 073 Y; 1'0I3
F (τ )dτ = −2πi · ord∞ f. γ0
161
) 4 %
F 9( : 03 F (τ )dτ + γ1
< :
F (τ )dτ = 0
ε
γ1
; < F (τ + 1) = F (τ ) <J 0"3' 9 035 γ −γ 5 ( ; E C '
0"3 4 M = J = 1
τ → τ + 1
1
0 −1 1 0
073 0I3
F (Jτ ) ·
k dJτ = + F (τ ), dτ τ
F (Jτ ) ·
F (τ )dτ =
dJτ dτ = k · dτ
σ
Jσ
dτ + τ
σ
F (τ )dτ σ
- σ H5 D : F Q' γ = −(Jγ ) 0I3 2
2
F (τ )dτ = −k ·
F (τ )dτ + γ2
γ2
dτ . τ
γ2
0"3
lim
F (τ )dτ +
ε→0
γ2
ρ = −k ·
F (τ )dτ γ2
dτ k = 2πi · . τ 12
i
, κ ;(' κ * −1/z ;(' z5 ( lim F (τ )dτ + F (τ )dτ = −2πi · ord f ' 013
F + κµ κµ
3
3
z
ε→0
κ3
κ3
70I3 ,
lim
F (τ )dτ +
ε→0 Jκ3
F (τ )dτ κ3
'
9 #" $ ) ; G ) ) : |τ − z| = ε ; ( ' 013 −2πi · res F ' 03 8 * 013' z
16
/4 %
F 9( : lim 03 ε→0
F (τ )dτ = −
2πi · ordρ f = lim ε→0 6
κ2
,
0∗ 3
−resρ F · lim
ε→0 κ2
F (τ )dτ κ2
dτ . τ −ρ
(< α = α(ε) ∈ R |eiα − ρ| = ε ,
π π <α< , 3 2
.. .... ... ρ+iε ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . ........ .... .............. ... 2 ................... ..... .......... .... . ......... . . .... ......... ... . ......... . .... ........ .... .......... .... ............ ................. .. .............. ............... . . . . . . . .............. . ............... ....... eiα .... ................. ............... ... .............. ............. .... ........ ... .....
; ϕ = ϕ(ε) ;( e ρ + iε 0 ' I3' ) 0∗3 τ = ρ + εe , + ϕ ≤ t ≤ < 0∗3 iα
π 2
i · ordρ f · lim ϕ(ε) = − ε→0
•
π 2
it
•
κ
ϕ •ρ
' I% κ
πi · ordρ f 3
2
( 03' ) 03 * ' 4 ;( ) * :' @G < J 2πi · ord f lim F (τ )dτ = − 073 2 i
ε→0
κ4
( 0I3
F (τ )dτ = −2πi · ordw f
F (τ )dτ + κ1
'
κ1
F $ H ( : 0I3 ) , <J H 0135 03 0"3 ' ( 0135 035 073 0I3' 2
!) 0 = f ∈ Vk 6
i f
!)
+ 4
ρ f
0 = f ∈ K
≡ k (mod 12),
i f
≡ k/2 (mod 2)
i f ρ f
= 5 (&
f ∈ K"
H
3
ρ f
≡ k/2 (mod 3).
"
∞
9
167
! /4 %
# /4'
( H ( ' ( ; $! ! 0 ; : H (35 ! 0 9: ( H <J ,; )'7'I.3 8 ;
* 4 ( ' ; M C?@ ; : H ( k S E ,*; M ' ) D* 1'1 013 M = {0} k ; ' ) 0 = f ∈ M 5 f H ∞ *' ) H ( 7'15 k 03 ord f + ord f + ord f + ord f = , 0 = f ∈ M , 12 k
k
k
k
k
1 2
1 3
i
∞
ρ
w
k
w∈F\{i,ρ}
? : ' 4 k = 4, 6, 8, 10 03 G 4< k ord f ord f ord f f C 9 # # 1 ρ 1 073 I 1/3 1/2 # 1 # 1 # ρ B 2/3 # 1 1 ρ 1 1# 5/6 # k 12
∞
, : 9
3 M 3 M 3 M 3 M
i
ρ
'
= {0} !" k < 0 = C S0 = {0} # 2 = {0} ∗ k = C · Gk = C · Gk Sk = {0} !" k = 4, 6, 8 10# k
'
0
$# 3 4 0 = f ∈ M (< , : 03 :' 3 < f 5 ( H ( g = f − f (i) ∈ M
* ' 3 α + β + γ = ? : ; F α, β, γ G' 3 ( 073 G 9 ? '15 G , 9 * C 2 ' ∈ M 0 = f ∈ M 5 3' k
0
1 2
1 3
1 6
k
k
f Gk
0
k
3 G F + # , ρ
1' ) # 3 G F + # , i 1' ) #
." ; 6
4
16I
/4 %
$ Q ℘?4 ; 5 ∆ H 9 ' C * 4 9 H ( ! ' F < '073 ord ∆ = 1' 0I3 03 < ∞
("& : ∆(τ ) = 0 !" τ ∈ H#
) 1'I03 ( M ·M ⊂M
S · M ⊂ S 0"3 ; ( ' k
k+
k
k+
k, l ∈ Z
$ " " k ≥ 0
Sk = ∆ · Mk−12 .
0"3 ; < ∆ · M ⊂ S ' 9 ,; ∆ H ' 4 f ∈ S g := f /∆ H * : H ( k − 12' "?$ ( ∆(τ ) = (2π) · e · (1 + . . .) f (τ ) = e · (α (1) + . . .) $#
k−12
k
k
12
2πiτ
2πiτ
f
g(τ ) = f (τ )/∆(τ ) = (2π)−12 · (αf (1) + . . .).
g ∞ D ; ' $ 5 S ⊂ ∆ · M ' 2
g ∈ Mk−12
k
k−12
,* ; < D* ." - : S12 = C · ∆ = C · ∆∗
'
" k ≥ 0 Mk *
k
dimC Mk =
12
k 12
! k ≡ 2 (mod 12),
,
+ 1 , ! k ≡ 2 (mod 12).
9 D* 0 ≤ k < 12' < ; < ∞ M ; 5 ,; '1 dim M = 1 + dim S , k ≥ 45
dim S = dim M , k ≥ 12'
$#
k
k
k
k
k−12
16"
! /4 %
$ ) k ; 5 M ? dim M = 1 + dim M k ≥ 12 ' , 2 5 4 ' ; 073 : ( 6 · ord f + 4 · ord f ≡ k (mod 12) 0 = f ∈ M : 03 ; 8 ( : k (mod 12) # I B 1# ord f (mod 2) # 1 # 1 # 1 03 ord f (mod 3) # 1 # 1 k
k
k−12
i
ρ
k
i
ρ
." 6 " 0 = f ∈ Mk ord∞ f < dim Mk #
,;5 α (m) = 0 0 ≤ m < dim M f = 0 ' $# H ( 8 : 03 4 f = 0 ord f + + + , k ≡ 2 (mod 12) , k ≥ 12 ord f , . dim M − 1 ≥ ord f 5 ( : ( ' 2 " + + ) D* 1 ( @ < M k ≤ 10 ' 1 ;(' 1 < < f
∞
1 2
1 3
k
1 3
∞
∞
k
k
013
M12 = C · G∗12 + C · ∆ , M14 = C · G∗ , 14 Mk = C · G∗k + C · ∆ · G∗k−12 , M = C · G∗ + C · G∗ · ∆ + C · ∆2 , 24 24 12
S12 = C · ∆ , S14 = {0} , Sk = C · ∆ · G∗k−12 k = 16, 18, 20, 22, 26 , S24 = C · G∗12 · ∆ + C · ∆2
(' 9 8 ; 5 ( - ( ? G * G ;' 4 : ) < % G ;
M = C · G G5 γ G = γ · G ' 5 γ = 15 G = G 5 '' 3·G =7·G ' 03 8 G '10B3' < 073 G · G = G , 5 · G · G = 11 · G , 0I3 G · G = G , 2 · 3 · 5 · G · G = 11 · 13 · G . ∗ k
8
k
∗ 8
∗2 4
∗2 4
∗ 8
∗2 4
∗ 8
2 4
8
k
∗ 4
∗ 6
∗ 10
∗2 4
∗ 6
∗ 14
4
6
10
2 4
6
14
16
/4 %
) 4 k = 12 : ( ;( <J ! ∆ <J '0I3' ∗
$ " :
∆∗ =
1 691 691 (G∗3 − G∗2 (G∗ − G∗2 (G∗3 − G∗12 ). 6 ) = 6 ) = 1728 4 762048 12 432000 4
H : '0"3' ; A := σ (m) · e
B := σ (m) · e 5 $#
2πimτ
11
5
m≥1
'1023 '10B3 1008 · 65 A 0"3 G (τ ) = 1 + 691 ( ∗ 12
G∗12 − G∗2 6 =
2πimτ
m≥1
G∗6 (τ ) = 1 − 504B.
1008 · (65 + 691) 2πiτ 1008 · 756 2πiτ ·e ·e +··· = +··· . 691 691
, ,*; M 5 @ : ∆ 5 2 ;( H ' H < ' ∗
12
$ M
; # $ .+ &0 : τ (m) ≡ σ11 (m) (mod 691) !" m ∈ N. $#
9 ;( H ; 0"3 756 · ∆∗ = 65 · A + 691 · F,
( F "? Y; Z ; ' $ Y;! 2
: 8 * ' 035 073 0I3 ! * 4 5 ,* ;< )'7'7 ' ' -" % M = ( ( ! G ∆ ' @G G ∆' F @ 4 ; G := G := 1 , G := G := 0' 013 4 k ≥ 0 ' $ ) : 1 - +
∗ k
k
∗
k
0
∗ 0
2
∗ 2
166
! /4 %
$ " :
Mk =
) ; M
k
*
C · G∗k−12r · ∆∗r . k 0≤r≤[ 12 ]
= C · G∗k + Sk
, " 7 r, s
03
4r + 6s = k , k ≥ 4
5
" 2 r, s
073
∗s Mk = C · G∗r 4 · G6 ⊕ Sk
, r, s#
G : 03 k ≡ 0 (mod 4) 5 4 k ≡ 2 5 k = 4 + 2 ≥ 65 (< ;'8' r = − 1 s = 1' 9 , : 073 M ' 4 f ∈ M f −α (0)·G ·G
,*; ' 2 $#
(mod 4)
k
k
("& " k ≥ 4
0I3
Mk =
*
∗s C · G∗r 4 G6
∗r 4
f
∗s 6
5
r,s
, ",
" 2 r, s 4r + 6s = k + # $# 9 D* 1 0I3 4 ≤ k < 12 ' 1 073 k ≥ 12
1 (G − G ). ∆ = 1728 $ ) k ; 5 4 G · G 4r + 6s = k @ M * ' ) k ; 5 ; D (r, s) ∈ N × N 4r + 6s = k 5 k ≡ 2 (mod 12)5 ;(' + 1 5 k ≡ 2 (mod 12)' 2 4 8' ∗s ∗ Mk = C · G∗r 4 · G6 ⊕ Mk−12 · ∆
∗
∗r 4
∗3 4
∗2 6
∗s 6
k
0
k 12
0
k 12
C?@ * M := M 0"3
k
= C ⊕ M4 ⊕ M6 ⊕ · · ·
k gerade
'
M · M ⊂ M M : C? $ 5 0"3 ' , ,; ." : M = C[G , G ] G , G ,
,0 ' k
k+
∗ 4
∗ 6
∗ 4
∗ 6
16B
/4 %
,* ; G ∈ C[G , G ] k ≥ 4' ℘? 4 @ < : 5 < G ∈ Q[G , G ]5 )'7'7$ ' 9 "& +"& . J& $ ! ; M f ∈ M 5 "? Y; < ; F 5 ∗ 4
k
∗ 6
k
Z k
013
4
6
k
∞
f (τ ) =
αf (m) · e2πimτ , τ ∈ H, αf (m) ∈ Z
m≥0
'
m=0
CQ M Z? M ·M ⊂M k, ≥ 0' 03 $ ; f ∈ M J 5 ( α (0) = 1 ' '101#3
'10113 G ∈ M , G ∈ M ' G ·G ∈M 4r + 6s = k
D ' / g ∈ M k = 4, 6, 8, 10, 12 I B 1# 1 ' g G G G G G G M = Z·g k = 4, 6, 8, 10' ∆ - ; Z k
Z k
∗ 4
Z
Z k
Z 4
∗r 4
Z k+
∗ 6
∗s 6
f
Z 6
Z k
Z k
k
∗ 4
k
Z k
∗ 6
∗2 4
∗ 4
∗ 6
∗3 4
k
∗
, ; " k ≥ 12
073
MZk = Z · g ⊕ MZk−12 · ∆∗
MZ0 = Z
MZ2 = {0}
!" 7 g ∈ MZk #
,* ; M = Z · g ⊕ Z · ∆ ' $# F < , : 073 , : Z?
, ' 4 f ∈ M f − α (0) · g ,*; M ' 1/∆ H : '0I3 "? Y; Z 5 f − α (0) · g = ∆ · h h ∈ M D* )'I'I' 2 $ ) k Z 12
Z k
∗
12
Z k
∗
f
∗
f
Z k−12
." MZ k ! Z*' 4
Mk # $ MZk ", Z 0 k k gν · ∆∗ν , 0 ≤ ν ≤ 12 ,+# 0 ≤ ν < 12 , ! k ≡ 2 (mod 12)
0I3
5
5
162
! /4 %
, gν ∈ MZk−12ν # $ C*& Mk #
0I3 0 +
$ Z?8 : M 5 ; C?8 : M 5 +, M ' ,* ; 0I3 H ; : M ' ; S := M ∩ S Z? ,*; ;;! "? Y; ' Z k
k
k
Z k
k
Z k
k
, - SZ k ! Z*'#
3 M = Z · G · G ⊕ S !" 7 ( r, s ∈ N 4r + 6s = k# 3 S = ∆ · M ' H ; : M < H ; : S ' $# 3 4 G · G ' 3 F f ∈ S g ∈ M f = g · ∆ ' (∆ ) '0I3
D* )'I'I "?$ ( ;; "? 2 Y; ;5 g ∈ M ' Z k Z k
∗r ∗s 4 6 Z k−12
∗
Z k
0
Z k−12
Z k
∗r 4
Z k
∗s 6
∗
k−12
∗ −1
Z k−12
?
!9 " + " #
ϑ(τ ) :=
2
τ ∈ H,
eπin τ ,
n∈Z
( $'7 ( ' ) $'703 $'7073 ( ϑ(τ + 2) = ϑ(τ ) ϑ(−1/τ ) = τ /i · ϑ(τ ) 013 ; ( ' / ϑ(τ ) + ϑ(τ + 1) =
2
eπin τ (1 + (−1)n ) = 2 · ϑ(4τ ).
n∈Z
013 < 03 ϑ(1 − 1/τ ) = τ /i · (ϑ(τ /4) − ϑ(τ )) = τ /i · e
πi(n+1/2)2 τ
'
n∈Z
("& " τ ∈ H
3 3
3 3
ϑ4 (τ ) − ϑ4 (τ + 1) + τ −2 · ϑ4 (1 − 1/τ ) = 0 −4
'
ϑ (τ ) + ϑ (τ + 1) + τ · ϑ (1 − 1/τ ) = 2 · ϑ8 (τ ) + 2 · ϑ8 (τ + 1) − 2 · ϑ4 (τ )ϑ4 (τ + 1) = 2 · G∗4 (τ ) 8
8
[ϑ (τ ) + ϑ (τ + 1)] · 4
τ
−4
4
[ 52
8
4
8
8
∗
· ϑ (τ ) · ϑ (τ + 1) · ϑ (1 − 1/τ ) = 2 · (τ ) 8
8
'
· ϑ (τ )ϑ (τ + 1) − ϑ (τ ) − ϑ (τ + 1)] = G∗6 (τ ) 4
8
8
'
'
$# 3 , ( f (τ ) ; ' : /; 013 f (τ + 1) = −f (τ ) f (−1/τ ) = −τ · f (τ )' 03 5 2
1B#
/4 %
" Y; 0 ' f = 0 D* 1' 35 3 : : ( 3' 3 ; 5 , ; M G' 03 "! Y; 0 - : e 2 ' < 2 8 * 18'
f 2 ∈ M4 f =0
2
12
2πiτ
3 ,; 1 *;
8
'
." : ϑ(τ ) = 0 !" τ ∈ H
3 9 ,; - f ∈ M 5 D ϑ (τ ) ϑ (τ + 1) ' 3 013 ))'7'I ϑ | M = ϑ M ∈ Γ . < 3 3 ,; 4
- +
k
4
4
8
ϑ8 |4 M = 2 · G∗4 ,
M :Γϑ \Γ
8
4
ϑ
ϑ8 |4 M = 28 · ∗ .
M :Γϑ \Γ
3 03 r = a/c ∈ Q5 a ∈ Z5 c ∈ N5 ggT (a, c) = 1 ∞, , lim |ϑ(r + iy)| = 0, . D' 8 0 ' ' '5 I"!" 0122633 ; 5 ( <; 5 - 4 y↓0
∞ sin n2 πx n=1
n2
D R {a/c ; a, c ∈ Z } Q ; ' 19 B " ."? ) f : H → C * f ≡ 05 f /f : H → C ( *' f (Mτ ) = (cτ + d) · f (τ ) M ∈ Γ Q
k
013
f dMτ kc f (Mτ ) · = + (τ ) f dτ cτ + d f
M=
a b ∈ Γ. c d
,* ; % 03 4 f ∈ K G f f /f ; V ' f Im τ > γ γ > 0 "? 4 f (τ ) = α (m) · e , α (m ) = 05 073
f
m≥m0
2πimτ
f
0
2
1B1
! /4 %
( 5 < f /f "? H
f (τ ) = 2πi · m0 + β(m) · e2πimτ , f m≥1
0I3
Im τ > γ .
,* ; f /f ∞ *' 4 f ∈ V g ∈ V ( * 4 [f, g] < f g . 0"3 [f, g] := · f g − k · f g = f g · − k f g
k
,
3 " f ∈ V
k
g ∈ V [f, g] ∈ Vk++2
'
3 " f ∈ M g ∈ M [f, g] ∈ S # $# 9 013 [f, g] : H ( k + + 2' 0I3 [f, g] ∞ G D' 4 * f, g ( [f, g] * H ∞ "? : [f, g] H ' 2 k
k++2
." ; :
∆∗ = $#
, S
12
." - :
$#
1 · [G∗4 , G∗6 ]. 1728 · 4πi = C∆∗
'
2
[G∗4 , ∆∗ ] = −8πi · G∗6 · ∆∗ .
, S
18
= C · G∗6 · ∆∗
'
2
< * "? 5 ." 6 " m ∈ N
τ (m) =
m (5 · σ3 (m) + 7 · σ5 (m)) − 70 · (3r − 2s) · σ3 (r) · σ5 (s). 12 r≥1,s≥1 r+s=m
." " f ∈ Mk
∆ 1 · [f, ∆] = 12 · f − k · f · ∈ Mk+2 . ∆ ∆
70"3 : C? * M := M = C ⊕ M ⊕ M ⊕ · · · = C[G , G ]' 03 k
k
4
6
4
6
1B
/4 %
$ " " f, g, h ∈ M ! 4 9
063 0B3 023
[f, g] + [g, f ] ≡ 0
5
[f, [g, h]] + [g, [h, f ]] + [h, [f, g]] ≡ 0
5
' $# < f ∈ M 5 g ∈ M h ∈ M ' 9 @ / 8 * ' 2 [f, g · h] = [f, g] · h + g · [f, h] k
m
) < 063 0B3 5 M (f, g) → [f, g] 023 5 g → [f, g] f ∈ M C? M ' 9 M ) * S := S = C·∆ ⊕··· 01#3 %*- , # ; %? %?M' ) < k
k
: M' [M, S] ⊂ S S ) %? %?M' - + 3 < Q ? / ' R121T5 717?71B' 3 < g := k · f · f − (k + 1) · f ∈ S f ∈ M ( 0: ' '' - R1266T5 I'7'13' 3 $ / 8' 0) ' '5 1?61 6?BI 012"133 ( '' - 0A' ) ' ,' 5 1#7?11 012"3 ' ' A' 5 1B1?1B 012"633' $ 8 ! Q ? : ' / 0D' ) ' ,' 5 "6!6" 0122I33'
2
2k+4
k
3 τ ∈ H k > 2 5 f ∈ Mk f (τ ) = 0" # k
L !B 3
Γτ
τ ∈H
:
= !)
f ∈ Mk
Γτ 00 = k = 12 k > 14" k L f ∈ Sk f (τ ) = 0
!B
D
g(τ ) := f (2τ ) · f (τ /2) · f (τ + 1)/2) g ∈ M3k $ f ∈ MZk g ∈ MZ3k 1 f g 3 * ∆∗ (2τ ) · ∆∗ (τ /2) · ∆∗ ((τ + 1)/2) = −∆∗ 3 (τ ) ∗ ∗ ∗3 ∗ G∗ 4 (2τ ) · G4 (τ /2) · G4 ((τ + 1)/2) = G4 (τ ) − 240 · 225 · ∆ (τ ) > 3 ℘(z; τ, 1) ℘E! & * + Zτ + Z /- 0 = : ℘ 1 ; τ, 1 + ℘ τ2 ; τ, 1 + ℘ τ +1 ; τ, 1 = 0 , 1 2 2 τ 2 τ +12 2 ℘ 2 ; τ, 1 + ℘ 2 ; τ, 1 + ℘ 2 ; τ, 1 = 30 · G4 (τ ) , 3 3 3 ℘ 12 ; τ, 1 + ℘ τ2 ; τ, 1 + ℘ τ +1 = 105 · G6 (τ ) . 2 ; τ, 1 :
'
f ∈ Mk
" C 9C
P (X, Y, Z)
τ + 1 τ 1 ; τ, 1 , ℘ ; τ, 1 , ℘ ; τ, 1 = f (τ ). P ℘ 2 2 2
+#
k/2
1B7
& /4
M * H C 9C ) C X, Y, Z X + Y + Z * 0 ? 3 Ω = Zτ +Z τ ∈ H n ∈ N 3 {v0 , . . . , vm } , m = n2 −1" L C 9 0 v0 = 0 ' f ∈ Mk C 9C P (X1 , . . . , Xm ) +# k/2 P (℘(v1 ; τ, 1), . . . , ℘(vm ; τ, 1)) = f (τ ) ) τ ∈ H 3 k ≥ 12 " k ≡ 2 (mod 12) : f ∈ Mk " ) E k 6J* αf (0) = 1 , αf (m) = 0 ) 1 ≤ m ≤ 12 0 f ∈ Mk αf (m) ∈ Q ) m ≥ 0" B λ ∈ N 5 λ · αf (m) ∈ Z ) m ≥ 0 @ G12 (i) = 0 G12 (ρ) = 0 ∞ ∞ 1 x12 k k 5 k=0 dim Mk · x = (1−x4 )(1−x6 ) " k=0 dim Sk · x = (1−x4 )(1−x6 ) ) |x| < 1 5 f ∈ Mk f (τ ) = 0 ) τ ∈ H" # k = 12l ) l ∈ N0 0 ! f (τ ) = c · ∆(τ )l ) 0 = c ∈ C : $
( /4
;( ( ! ( H ( 7'1 4 k = 0' A f = 05 0 = f ∈ K5 A 1 · ord f = 0. 013 ord w A ?
w
w∈F∗
$ " f ∈ K ! F∗
f #
$# 9 @ ; 4 f = 0 ord f ≥ 05 ord f = 0 013' f (w) = 0 w ∈ F ' f f − f (i) ; K G5 f ' 2 ∗
w
w
013 f − z : f 5 ("& f ∈ K
f F∗ # f i ρ
!" z ∈ C z = f (i) z = f (ρ) - + z *
F∗ - + F∗ >7 &! +0?#
;A + " "* %"" H <J 'I0135 'I073 ( ,; I'1 013 j = G /∆ , ord j = −1 ( ord j ≥ 0 w ∈ H' 4 z ∈ C ( H ( 1013 f := j − z ! 1 · ord (j − z) = 1. 03 ord w ∗3 4
∗
∞
w
w
w∈F
1BI
/4 %
("& ; j : H → C F 7 (
C #
9
3 3 0 12 = 1728 2 F \ {i, ρ}
) # 3 j − 1728 τ = i ) 2 j(τ ) = 1728 !" τ ∈ F \ {i}# 3 j τ = ρ ) 3 j(τ ) = 0 3
!" τ ∈ F \ {ρ}#
3 (< z = 0 03' 'I0I3 j(ρ) = 05 ord j ≥ 1' , : 03 GJ 1/3 j(τ ) = 0 τ ∈ F \ {ρ}5 (< , : 03 ( j(i) = 0 GJ 1 + 1/3' 3 :' 3 z = 0 z = 1728 w = i w = ρ 03' 2 $#
ρ
." ; -,, j : F → C $7 #
A 4 j ' : E! % ("& - : K = C(j)' $# , f ∈ K ' 4 * F u = v 4 f (τ ) − u g(τ ) :=
f (τ ) − v
.
D : f 5 g F 0 ;< @ 3 9 9 p : f − u D 9 q : f − v' u = v (< 5 g , i ρ * 9 ' 9 ,; 1 ; 9 ? ;(' D ' ) ,; g h5 ν
h(τ ) =
µ
j(τ ) − j(pν ) j(τ ) − j(qν )
ν
,
9 D F 5 g h 1
4 ' $ g ∈ C(j) ∗
f=
vg − u ∈ C(j). g−1
2
." - : f ∈ K
! H
f
j #
) k ≥ 4 g, h ∈ M h = 0 5 E k
g h
'
∈ K
1B"
& /4
("& 6 3 '! F + + '!
#
) f ∈ K 5 f = D P Q <J ,; 8' 8 ; r H : P Q5 P (j) · ∆ Q(j) · ∆ ; : H ( 12r' 2 P (j) Q(j)
$#
r
r
E (G F 12 4 J(τ ) := 0 1 '
- +
3
; : 5 5 F \ {i, ρ}
= 1728
1 j(τ ) 1728
' j % ;** +
j : F%
; <
, '! j ! 4 F ! .
0 - , F #
, ,
3 " ∞
ρ ! ]] − ∞, 0]] 3 1 , ρ
i ! [[0, 1728]] 3 " i
∞ ! [[1728, ∞[[# $# "? Y; : j
5 ; < j(−τ ) = j(τ ) τ ∈ H' j <
' 4 τ := − + iy , y > 05 ( j(τ ) = j(−τ ) = j + iy = j − + iy = j(τ )' j H : F
' 4 |τ | = 1 −1/τ = −τ 5 j(τ ) = j(τ )' , ;(' 8- :< j : F → C' 2 1 2
1 2
1 2
$< ( ))''"073 N < O : F
& ' L := τ ∈ H ; − 12 ≤ Re τ ≤ 0 , |τ | ≥ 1
( L j - : H := H ∪ R '
5
9 " +"& 2 0 = f ∈ Mk , k ≥ 12 , α ∈ C
013
ordρ f
f = α · G4
· G6ordi f · ∆ord∞ f +γ(f ) ·
(j − j(w))ordw f
w∈F\{i,ρ}
,
03
γ(f ) :=
w∈F\{i,ρ}
ordw f
'
'
1B
/4 %
∆ · (j − j(w)) ; M G5 , g : 013 ; : H (
$#
12
k := 4 · ordρ f + 6 · ordi f + 12 · (γ(f ) + ord∞ f ).
9 H ( k = k' I'1 ,; f g C ' V f /g G 2 ; M 5 '
0
." :
G∗4 ·
j = −2πi · G∗6 , j
j = −2πi ·
G∗14 . ∆∗
I'03 I'0I3 G G · j /j ; M 5 9 :
j τ = ρ ; ' H ' 2 ; 'I013 j ; I'0I3' ∗ 4
$#
G∗4
6
! : j ( ' !9 . ("& %
("& f . + f 7 ( C -
#
5 f ; a b5 a = b ' ( ; 4
$#
g(z) := 1728 ·
f (z) − a , b−a
# 16B <' F < ,; τ ∈ F\{i, ρ} j(τ ) = g(0)' $ j (τ ) = 0 ( ,; '
E : # * 4 ϕ H5 j(ϕ(z)) = g(z) ϕ(0) = τ ' 9 j (τ ) = 0 τ ∈ H j(τ ) ∈ g(C) ⊂ C\{0, 1728}' ϕ < - : C ;' C ; < 5 ; 0: ' ") *+#" R12IT5 763
; 4 ϕ : C → H ϕ(0) = τ
j(ϕ(z)) = g(z) z ∈ C' 9 ,; : %" e ϕ(z) ' 2 g f ' 0
0
0
0
0
iϕ(z)
,; ( 1B62 : 0 5 1?13 ( ' E 8 ( ") *+#" R12IT5 I7B?I72' : : - +
(
1B6
! η6
' - R122"T5 1#''5 ( ,; : ( ' ' 7 f ∈ Vk ϕ ∈ C[j]" ◦ ϕ · f 1 $ *#
F
C \ {x ∈ R ; x ≤ 0}
H
j 2 j(j−1728) j 3
(−2πi)3 · G∗ 6 = j 2 (j−1728) j−j(w) 6 ∗ 6 > 3 w ∈ H G∗ 12 (w) = 0 : (2πi) · G12 = j 4 (j−1728)3 j 6 j ? (2πi)6 · ∆∗ = j 4 (j−1728)3 ∗ 5 τ ∈ F G∗3 4 (τ ) = ∆ (τ ) τ 1 ∗2 5 τ ∈ F G6 (τ ) = ∆∗ (τ ) τ / $
=
(2πi)2 · G∗4 =
τ1 , . . . , τn ∈ F
# α1 , . . . , αn ∈ C" f ∈ K f (τj ) = αj , j = 1, . . . , n 5 (& ! & C 7
@ 3
B
H
. ,
$ 3
f
g
* ! &
ef (z) + eg(z) = 1"
f
g
&
) η5
D ; : * 4 ' ) 4 ( ! 8 ( ' * ;* 8 D ( 8 ( G ' * + % + # 9 @ : H' 0: ' )'7'63 / : ? , τ ∈ H' G (τ ) := n + (mτ + n) 013 −2
2
n=0
−2
m=0
n∈Z
) ; ,; )'I' 0 H ; ; I'70133 ; < , G2 : H → C !" τ ∈ H
∞ π2 2πinτ 1 − 24 · . G2 (τ ) = σ1 (n) · e 3 n=1 $#
D* )'I' G2 (τ ) = 2ζ(2) + 2 ·
m≥1
= 2ζ(2) − 8π 2 ·
(mτ + n)
−2
n∈Z
m≥1 r≥1
r · e2πirmτ .
1BB
/4 %
: ; ; m
r rm = n ; ' : ( ζ(2) = π /6' CQ 2 "? * 4 H ' 2
;( <J 5 @ ; 03
G∗2 (τ ) =
∞ 1 σ1 (n) · e2πinτ . · G2 (τ ) = 1 − 24 · 2ζ(2) n=1
4 G ;( 5 ( G ! : ' G (τ +1) = G (τ )
2
2
2
("& " τ ∈ H
G2 (−1/τ ) = τ 2 · G2 (τ ) − 2πiτ. $#
H 013
1 π2 · 1+ 2 +2· (mτ + n)−2 + (mτ − n)−2 G2 (τ ) = 3 τ m≥1 n≥1
G2 (−1/τ ) =
π2 (nτ − m)−2 + (nτ + m)−2 . · (1 + τ 2 ) + 2τ 2 · 3 m≥1 n≥1
0∗3 F (τ ) := 2τ1 · τ G (τ ) − G 2
2
2
2
(−1/τ ) = Amn − Amn m≥1 n≥1
n≥1 m≥1
' , : 0∗3 : 5 , : ( ' ( :% 4 1 1 1 1 B := − + − , m ≥ 1 n ≥ 1, mτ + n − 1 mτ + n mτ − n mτ − n + 1 Amn := (mτ + n)−2 + (mτ − n)−2
mn
=
1 1 + (mτ + n)(mτ + n − 1) (mτ − n)(mτ − n + 1)
D* '1
Amn − Bmn = O (m2 + n2 )−3/2 = O m−3/2 · n−3/2
( m
2
+ n2
5 > mn ' : ;
(
1B2
! η6
(Amn − Bmn ) =
m≥1 n≥1
0∗3 0∗∗3
(Amn − Bmn )
5
n≥1 m≥1
F (τ ) =
Bmn −
m≥1 n≥1
Bmn
'
n≥1 m≥1
( ( 5 B = 0' mn
< τ·
m≥1
n≥1
1 1 1 1 − + − m + (n − 1)/τ m + n/τ m − n/τ m − (n − 1)/τ m≥1 2n/τ 2(n − 1)/τ = ϕ(n − 1) − ϕ(n) , = − 2 − m2 [(n − 1)/τ ] [n/τ ]2 − m2 m≥1
Bmn =
( D ( . 0: ' ' - 5 H' " R##T5 ,; 11''13 π cot(πξ/τ ) − 1 ξ = 0, ξ/τ ϕ(ξ) := 0 ξ = 0 ' 9 0∗∗3 τ · F (τ ) = −τ ·
n≥1 m≥1
4 z = x + iy
Bmn = − (ϕ(n − 1) − ϕ(n)) = −ϕ(0) + lim ϕ(n). n→∞
n≥1
lim cot z = i. Im (1/τ ) < 0 τ · F (τ ) = πi5 8 * ' 2 - + )
8 ( / H' 0' # ( 5 7"6?I6B3S *<; 8 (
(
' ") * 0' # ( 5 7?3' : ! ' " R12IT5 1?75 A'?D' R1267T5 2"?25 9' & * R1227T5 D* )))''6' " ""% " % η 9 ' ! 0# # ( 5 1"2?1673 / * 4 η : H → C cot z = i ·
013
eix−y + e−ix+y , eix−y − e−ix+y
η(τ ) := eπiτ /12 ·
∞ m=1
y→−∞
(1 − e2πimτ )
'
12#
/4 %
! η* )''10I3 ?4 : ( ( P CQ η(τ + 1) = e · η(τ )' 03 D : 5 J η(τ ) = 0 τ ∈ H' 073
η
πi/12
("& ; :
η(−1/τ ) =
τ /i · η(τ ) !" τ ∈ H.
F( ; ; (< 5 *: *: ( ' $# 4 τ ∈ H 4 f (τ ) := η (τ )/η(τ )' 013
πi πi e2πimτ 2πirmτ = m· m · e · 1 − 24 · · 1 − 24 · 12 1 − e2πimτ 12 m≥1 m≥1 r≥1 i πi · 1 − 24 · · G2 (τ ) , = σ1 (n) · e2πinτ = 12 4π n≥1
f (τ ) =
( D* 1 : ( ' ,; 1 ; 1 1 1 · 0∗ 3 f − − f (τ ) − = 0. τ τ 2τ 4 η (i/y) 2
g(y) :=
< g (y) =f g(y)
√ , η(iy) y
y > 0,
−i i 1 · 2 − i · f (iy) − =0 y y 2y √ γ η(i/y) = γ · y · η(iy)
0∗3' $ γ = 15 8 * ) <;' ("& - : η 24 = ∆∗
$#
0∗3
' 4 y = 1 2
'
η f := η H *' 013 24
f (τ ) = e2πiτ ·
∞
(1 − e2πimτ )
24
= e2πiτ + · · · ,
m=1
f "? ( α (0) = 0 α (1) = 1' H 03 ,; ; 5 f
f
(
121
! η6
0∗∗3 f| M = f M = T M = J ' T J ,; ))''1 ** Γ ; 5 0∗∗3 M ∈ Γ' f ∈ S 5 f = ∆ 2 I'18' 12
∗
12
9 0∗3
8 ( D ( : ' ." :
∆∗ (τ ) = e2πiτ ·
∞ 24 1 − e2πimτ
!" τ ∈ H.
m=1
3 $ @ : ,; ? ! 4 $'7 ; 5 ψ(τ ) := ϑ(τ )/η(τ ) , τ ∈ H5 ψ (−1/τ ) = ψ(τ ) ' 9 073 ψ H ! *' ( 03 $'703 ψ(τ + 2) = e · ψ(τ ) 5 ψ(Mτ ) = v(M) · ψ(τ ) M ∈ Γ 1' $ ( ; v(M)' F / ?H ** Γ : ! ))'7'I' 3 ' " η?D 16I6 0) 5 6?BI3 F !
(1 − x ) = p(n) · x ' - +
πi/6
ϑ
ϑ
∞
∞
m
n
m=1
n=0
3 D : ∆ .'H'A' '& 0# 5 1"I3 ; ' ' " "+ ""% " % η ' ! : 0 + + - ! : : log η(τ ) ' / ;'8' A' % R12IT5 77B?7II' $ ; * ! s(h, k)5 ; F h, k k > 0 / ∗
(
013
s(h, k) :=
k−1 r r=1
1 − k 2
+ , rh rh 1 · − − . k k 2
: : η ∈ Γ c > 0 ("& % % " M = η(Mτ ) = v(M) ·
a b c d
cτ +d i
· η(τ )
a+d
1
v(M) := eπi( 12c +s(−d,c)− 4 ) #
12
/4 %
$ $ / ;'8' A' % R12IT5 77B?7II5 '' R122#T5 7'I' τ /i · η(τ )' - A ? η (−1/τ ) = 3 .'' 0# -, 5 1BB3 12"I $ ?, ?8 ( 5 : ( @
, 0 ) 4 5 8! 1213 -
2 0HG 127+I5 11?163 ! ( ' : ' # R12B"T5 1?171' $ ; 8 ( 5 ζ !4 : ( 5 : ' ( ## : A' 0 * ' 5 I"6!I"23 : ' 3 4 τ ∈ H s ∈ C Re s > 0 G(τ ; s) :=
(mτ + n)−2 · |mτ + n|−s
m,n
: ;? '1 : ' G(τ ; s) * τ 5 τ ∈ H - Re s > 0 * s' : ; G(τ ; s) @ τ → Mτ 5 M ∈ Γ' : 5 G(τ ; s) s = 0 * ; ; % ("& 3 $ ! τ ∈ H G(τ ; s) + s*:, ! . +, # 3 : G(τ ; 0) =
π π2 − − 8π 2 · σ1 (m) · e2πimτ . 3 Im τ m≥1
3 " 7 M ∈ Γ G(τ ; 0)| M = G(τ ; 0)# 4 $ : 8' & R126IT5 7?B5 ' $ R12B2T5 §6'' , : ( $' 5 12" ; 0' # ( 5 I13' $ @ D* 1 ; 5 G(τ ; 0) + π/Im τ = G (τ ) ' 3 ,; - ; : ,; 15 ( J ' 3 8' & 0' ' H ' 5 I5 I?113 12B
8 ( 5 4 L? ' / ( ' 3 $ ( 8 ( ( )@'I'2 ' !9 < " ) ( - ; f ∈ M 5 ∞ 1 : G C ' ( * @ : ( 5 H ; ' $ : .'' 5 # -, . &5 B?26' 2
2
k
(
127
! η6
) k ≥ 4 t := dim M ' , ; G := 15 013 < I'1 I'03 ? 0I3 ) < k
∗ 0
03
G∗14 ∗ G12t−k+2
= G∗k−12t+12 .
9 ( 073 g := G ·∆ ∈V . j = −2πi · G · ∆ "'I 03 ∗ 12t−k+2
k
∗ 14
0I3
1 1 · j . · 2πi G∗k−12t+12 · ∆∗t−1
J ( ∗−t
∆
2−k
∗−1
gk = −
0"3
∗−t
−2πitτ
(τ ) = e
·
∞ ∞ m=1
24t 2πimnτ
e
.
n=0
4 ; g "?$ ( 4 03 g (τ ) = β (m) · e , β (−t) = 1. k
k
2πimτ
k
k
m≥−t
$ " f ∈ Mk
"*1D+ αf (m) t
063
αf (m) · βk (−m) = 0
'
m=0
·∆ ∈ M ' 9 ! h := G : h H I'1 ( I'03 ? 0I3' I'103 5 f /h ∈ K H * "'8 D j ' 0I3 *; f · g ∈ C[j] · j ' 0B3 , : 063 ( 03 "? Y; : f · g ' 4 ≥ 0 ∗ k−12t+12
$#
k
∗t−1
k
k
j ·
1 dj +1 dj = . dτ + 1 dτ
"? Y; C[j] · j - ( 0'
⊂ V2 2
12I
/4 %
$ ( ; ; 5 β (0) = 0 ' k
("& " k ≥ 4
(−1)k/2 βk (0) < 0
$#
03 , k ≡ 2 (mod 4)'
'
5 ( I'03 '101#3 ' 073 0"3 β (m) > 0 m ≥ −t' 03 , k ≡ 0 (mod 4) , k ≡ 4ν (mod 12) ν ∈ {0, 1, 2}' G =G ' @ ( 0I3 'I0135 G∗12t−k+2 = G∗ν 4 , ν ∈ {0, 1, 2}
k
∗ k−12t+12
∗ν 4
3 dj dj 1−ν/3 = ∆∗1−t−ν/3 · dτ ν −3 dτ · ∆∗−t ) 3t + ν − 3 ∗3−ν d∆∗−t 3 d(G∗3−ν 4 + G . = · ν−3 dτ (3 − ν)t 4 dτ
2πi · gk = −G∗−ν · ∆∗1−t · 4
; 5 β (0) Y;!
"?$ ( : k
1 3t + ν − 3 d · · G∗3−ν · ∆∗−t 4 2πi (3 − ν)t dτ
' "? Y; α(m), m ≥ 05 : G *:' 0"3 J 5 "? Y; γ(m) : · γ(m) < 0 − t ≤ m < 0 γ(0) = 0. ∗3−ν 4
1 2πi
d∆∗−t dτ
2
βk (0) < 0.
N O ' ." k ≥ 4 # : ,
+ '! f ∈ Mk
: !
023
αf (0) = 1
(−1)k/2 αf (t) > 0
$#
!" 0 < m < t#
αf (m) = 0
'
4 t = 1 ' ) 4 t > 1 8
"? 5 γν ∈ Q / 5
12"
* /4 %
f = G∗k +
t−1
γν · G∗k−12ν · ∆∗ν
ν=1
023 ' 03 β (0) + α (t) = 0' ,; 8 * 5 $ I'1.' 2 k
f
3 $ β (0) = −196 560 β (−1) = 24' F β (m) −t < m ≤ 0 4 k ≡ 0 (mod 4) '' @; ' . β (m) / .'' 5 # -, &5 B6' 3 f (τ ) = G (τ ) − · ∆ (τ ) : H ( 1' ) @''6 ( 5 f (τ ) ? ; % ?H ' - +
12
12
k
k
∗ 12
65 520 691
∗
0 f ∈ Mk " , g(τ ) := k · f (τ ) · G2(τ ) + 2πi · f (τ ) * Mk+2 :
f 3 * · G∗k+2 = k · G∗k · G2 + 2πi · G∗k ) k = 4, 6, 8, 12 √ √ 1 = G2 (i) = π G2 (ρ) = 2π/ 3 ) ρ = 2 1 + i 3
G2 |2 M (τ ) = G2 (τ ) − 2πic/(cτ + d) ) M ∈ Γ > 0 n ∈ N g(τ ) := G2 (τ ) − n · G2 (nτ )" g|2 M = g ) M ∈ Γ0 [n] ? χ(M ) := η 2 |1 M (τ )/η 2 (τ ), M ∈ Γ" / τ ∈ H 5 χ12 (M ) = 1 χ 4 & Γ : 4 & Γ $ χj , 0 ≤ j < 12 5 βk (m) ∈ Z ) m ≥ −t @ 1 B 1 ) k = 12, 16, 18, 20, 22, 26 & & g
3 * " #
kπ 2 3
(6J* B
*
f ∈ Mk " , g := f /G∗k−12t+12 * M12(t−1) 0 f 3 * *# MZk " g 3 * *# MZ 12(t−1) 3 f ∈ Mk (6J* τ0 ∈ H f (τ0 ) = 0 : j(τ0 ) ) Q + ≤ Mk 0 j(τ0 ) " # G∗k (τ0 ) = Gk (τ0 ) = 0 3 f H ∞ 5 f |k M = ±f ) M ∈ Γ" # f ∈ Mk f ∈ η 12 · Mk−6 . = !) g(τ ) 5=> g = −4i · η(τ )6 0
* /4'
) ; $ ; ! ;
; ** : ** Γ ( ' - +B & .+ &+ ) *! : n ∈ Z 5 ( ( / < + (mod n) ))'7'03 Γ[n] := {M ∈ Γ ; M ≡ E (mod n)}' $ E ** Λ : Γ J 1 + 5 ( *: n ∈ Z
12
/4 %
Γ[n] ⊂ Λ' A
; ** ) 5 Γ' A H ** * χ : Λ −→ {z ∈ C ; |z| = 1}
J , % Λ' . 5 - M ∈ Λ 1 ! 5 J % ( : < 1 ; '
. χ J 5 *: m ∈ Z χ ≡ 1' 5 χ % mod n Λ 5 ( Γ[n] ⊂ Λ χ(M) = 1 M ∈ Γ[n] ' 8 * 5 F ( 5 ( m
013
Λ = Γ0 [p] ,
p>2
d χ(M) = p
D;,
% ?,
0: ' ))'7'7 @''63 ))'7'I M ∈ Γ[2] , 1, Λ = Γ , χ (M) = 03 −1, M ∈ Γ[2] . ϑ
ϑ
$ " Λ 1 + #
7 , % mod n
Λ % #
H ** 5 C m ' 9 ! ,; 4 ** L ∈ Γ[n] L ∈ Λ5 χ (L) = χ(L ) = 1' 2 , k ∈ Z , Λ
; ** χ . : Λ' $ 4 f : H → C J + '! k + 1 + Λ + % χ5 ( 0'13 f * H' 0'3 f | L = χ(L) · f L ∈ Λ' 0'73 f | M - M ∈ Γ ∞ *' M (Λ, χ) ; : H ( k ; Λ χ Q @ C' 4 : . (< ( ; M (Λ) := M (Λ, 1)' CQ M = M (Γ)'
8 * ( 035 ))'7'I5 ? ! $'7073 I'"03 ϑ ∈ M (Γ , χ )' 073 9 ;
; ** Λ . χ, χ *; % M (Λ, χ) · M (Λ, χ ) ⊂ M (Λ, χ · χ )' 0I3 $# Λ/Γ[n]
m
m
m
k k
k
k
k
k
4
k
2
ϑ
ϑ
k
k+
126
* /4 %
@ ( 0'3 L = −E 5 < : $ ;! ' , ; k ∈ Z , Λ 1 + −E ∈ Λ χ
, % Λ# χ(−E) = (−1)k ! Mk (Λ, χ) = {0}#
4 / (
, - k ∈ Z , Λ 1 + χ , % . Λ M ∈ Γ#
χM (K) := χ(MKM −1 )
!"
K ∈ M −1 ΛM
, % M −1 ΛM -,,
Mk (Λ, χ) −→ Mk (M −1 ΛM , χM ) , f −→ f |k M & #
A + ) 0'73 "?$ ( ,*; : Λ' ("& k ∈ Z , Λ ⊃ Γ[n] 1 + χ , % mod n Λ# f ∈ Mk (Λ, χ) M ∈ Γ ,+ f |k M *:
"
013
f |k M(τ ) =
∞
αf (m; M) · e2πimτ /n , τ ∈ H,
m=0
!" 7 ε > 0 ! ' {τ ∈ H ; Im τ ≥ ε} , 0@ # *1D+ αf (m; M) , !"
"
03
' = Γ[n]'
αf (m; LM) = χ(L) · αf (m; M) !" m ∈ N0 , L ∈ Λ
M ∈Γ
Γ[n] 9 Γ 5 MΓ[n]M f | M ∈ M (Γ[n]) D* 18' 8 g(τ ) := f | M(nτ ) , τ ∈ H5 g * H ∞ ( * D 1' 1' g 5 $ ; $ "?$ ( 013 f | M ' ) L ∈ Λ5 "? $ ( f | LM ' @ ( 0'3 5 03 2 $ "? Y; ' ' K* +"+ & % + ) ! ( ;( G 5 ; ;
; ** ; ; : ** ; ' D ;* ( ( ?C* * )@ ' H = ' −1
$# k
k
k
k
k
12B
/4 %
$ " U 8 G m# g ∈ G g1 , . . . , gm & 4 , G
U
# #
013
m
G=
Ugj
5
j=1
g1 g, . . . , gm g & 4 , #
9 @ ; ; G m E ** U ' Ug , . . . , Ug Ug g, . . . , Ug g *( - G ' 2
$#
1
1
m
m
( = ' ." k ∈ Z Λ 1 + m Γ# $
M1 , . . . , Mm & 4 , Γ
Λ f ∈ Mk (Λ)
3 Sp(f ) := 3 π(f ) :=
m
f |k Mj ∈ Mk
j=1 m
f |k Mj ∈ Mkm
5
'
j=1
f | L = f < / : Sp(f ) π(f ) : @ ' 10I3 <
$#
k
Sp(f )|k M =
m
f |k Mj M = Sp(f )
j=1
π(f )|kmM =
m
f |k Mj M = π(f )
M ∈ Γ.
j=1
2
Sp(f ) f #
4 +"% A +"& ) H ( k ?*:5 < $ M ' k
("& k ∈ Z Λ 1 + χ , % Λ#
Mk (Λ, χ) = {0} ! k < 0 M0 (Λ) = C M0 (Λ, χ) = {0} ! χ = 1#
3 3
5
'
122
* /4 %
, m ∈ N χ = 1 k ≤ 0' ) f ∈ M (Λ, χ)5 G g := f 10I3 ; M (Λ)' := [Γ : Λ] ( π(g) ∈ M <J 7' 3 km < 0 π(g) = 0 ,; 1'"' ) <; *; g = 0 f = 0' 3 ; ; <5 g ' ; M (Λ) G 5 ; α (0; E) = 0 "?$ ( : g ,; ' lim π(g)(iy) = 0 , π(g) = 0 D* I'1' < g = 0 f = 0' 4 - ; f ∈ M (Λ, χ) ' 4 χ = 1 0'3 2 f = 0' $#
m
m
k
km
km
0
g
y→∞
0
! ,% A
<; '
4 *: H ( ( !
("& k ∈ N , Λ 1 + χ , % mod n
Λ# Λ∗ := {L ∈ Λ ; χ(L) = 1} := [Γ : Λ∗ ]# f ∈ Mk (Λ, χ) M ∈ Γ
013
αf (m; M) = 0 !" 0 ≤ m ≤
kn , 12
! f = 0#
f $ : M (Λ ) g = π(f ) M <J 7' *; "? ,; 5 < 013 k α (m) = 0 0 ≤ m ≤ . 12 g = 0 I'1.5 f = 0 ) <;' 2 $#
k
∗
k
g
." :
, kn + 1. dim Mk (Λ, χ) ≤ 12 +
$ ! ( G ; ' E @ ( ,; : -+- / - *; 4 ;'8' 8' & R126IT5 H' " R1261T ' $ R12B2T' 1 (& , k ∈ Z , Λ
; ** χ . : Λ' $ f ∈ M (Λ, χ) J + ! 5 f | M - M ∈ Γ ∞ 9 ' E ,*; ; ( S (Λ, χ)' D* 18 ( - +
k
k
k
##
/4 %
013 f ∈ S (Λ, χ) , M ∈ Γ =⇒ f | M ∈ S (M ) f : H → C5 / ( ( 1'"013 f˜ : H −→ R , τ −→ y · |f (τ )|' 03 k
k
k
−1
ΛM, χM )
'
k/2
("& , k ∈ N Λ 1 + χ , % mod n Λ f ∈ Mk (Λ, χ)#
9 f˜ Λ* # # f˜(Lτ ) = f˜(τ ) !" L ∈ Λ# + ! # f˜
! H , 0
f f ∈ Sk (Λ, χ) αf (m; M) = O mk/2 !" m ∈ N M ∈ Γ#
3 3 3
3 : ( ))'1'7013 0'3 ' 3 8 ( : ,; 1' J 5 f˜ F < 5 ( α (0; E) = 0' 9 := [Γ : Λ ]5 Λ = {±L; L ∈ Λ} M , . . . , M
@ ' 9 ,; ))'7'1 $#
f
F(Λ) :=
1
Mν F
1≤ν≤
4 : Λ' 013 f˜ F(Λ) ! < 5 ( α (0; M ) = 0 1 ≤ ν ≤ 5 α (0; M) = 0 M ∈ Γ ( 0'3 03' 3 8 * ' 3 9 013 3 . $ f|M(τ ) ≤ C τ ∈ H M ∈ Γ. 073 ) *; 4 f
ν
f
1 αf (m; M) = · e2πmy/n · n
n f |M(x + iy) · e−2πimx/n dx 0
; 073 ; y = 1/m ' 1 |αf (m; M)| ≤ · y −k/2 · e2πmy/n · n
n
f|M(x + iy) dx ≤ C · e2π/n · mk/2 .
0
." :
$#
2
S2 (Γ0 [2]) = {0}.
4 f ∈ S (Γ [2]) 9 : 7 2
0
π(f ) ∈ S6 = {0}.
2
' 0 ' ' 5 II7!""1 0122"33 ; 5 - * : 5 '' : !: - +
#1
* /4 %
,*; : H ( 2 ; Γ [r] ' @ H' $ ! 5 - !: G x + y = z 5 n ≥ 35 ! H * : ; 5 : !: ,*; ! : H ( 2 ; Γ [2] ' $ ,*; ' 9 " +"&" ; ( ( ; F , : I ;(' B V ' 4 k ∈ N m ∈ N δ (m) := #{(g , . . . , g ) ∈ Z ; g + . . . + g = m}5 013 * ; δ (0) = 1' ? ϑ(τ ) $'7013 0
n
n
n
0
0
k
1
k
t
k
2 1
2 k
k
03
ϑk (τ ) =
2
2
eπiτ (g1 +...+gk ) =
g1 ,...,gk ∈Z
∞
δk (m) · eπimτ .
m=0
/ ? G (τ ) '10I3 ;(' '103' ("& 3 " τ ∈ H τ 1 4 · G (2τ ) − G ϑ (τ ) = 5 073 3 2 ∗ k
∗ 2
4
∗ 2
1 16 · G (τ ) − G ϑ (τ ) = 0I3 15 3 " m ∈ N 0"3 δ (m) = 8 · d, ∗ 4
8
∗ 4
τ +1 2
'
4
d|m,4 d
03
δ8 (m) = 16 ·
(−1)m−d d3 .
d|m
$#
' ,
))'7'I ! ϑ
∈ M4 (Γϑ ) ∞ τ +1 1 ∗ ∗ 16 · G4 (τ ) − G4 = f (τ ) = αf (m) · eπimτ . 15 2 m=0 8
9 '101#3 α (0) = 1 m ∈ N α (m) f
(∗) =
162 σ3 (m/2) − 16 σ3 (m)
16 σ3 (m) 16 · (−1)m−d d3 . d|m
f
=
16 2 d3 − d3 ,
d|m,2|d
16 σ3 (m),
d|m
2 | m, 2 m,
#
/4 %
G
∗ 4
∈ M4
f (τ + 1) =
: /; f | J = f | T 4
4
1 (16 G∗4 (τ ) − G∗4 (τ /2)), 15
2
=f
'
τ −4 · f (1 − 1/τ ) =
< f ∈ M (Γ )' A ; : /; 4
16 ∗ (G (τ ) − G∗4 (2τ )) 15 4
ϑ
αf (0) = δ8 (0) = 1,
αf (1) = δ8 (1) = 16,
αf (2) = δ8 (2) = 112.
,; " ϑ − f Λ = Λ = Γ 5 k = 4, l = 3, n = 2 5 0I3' $ Y; : "!$ ( 03 0∗3 03' ))'7'I5 103 ! ϑ ∈ M (Γ , χ )' , ∗
8
4
ϑ
2
ϑ
ϑ
∞
1 g(τ ) = (4 · G∗2 (2τ ) − G∗2 (τ /2)) = αg (m) · eπimτ . 3 m=0
9 '103 α (0) = 1 m ∈ N 8 σ (m) − 32σ (m/4), 4 | m 0∗∗3 α (m) = 8 σ (m), 4 m = $ g(τ + 2) = g(τ ) ,; '1 g| J = −g' g
1
1
g
1
d.
d|m,4 d
2
1 τ +1 ∗ ∗ 4 · G2 (2τ ) − G2 · , g(τ + 1) = 3 2 1 τ +1 1 −2 ∗ τ ∗ = G2 − G2 τ ·g 1− τ 3 2 2
))'7'I < g ∈ M (Γ , χ )' A ; : /; 2
αg (0) = δ4 (0) = 1,
ϑ
ϑ
αg (1) = δ4 (1) = 8,
αg (2) = δ4 (2) = 24.
,; " ϑ − g Λ = Γ 5 Λ = Γ[2]5 k = 25 l = 65 n = 2 5 073' $ Y; : "!$ ( 03 2 0∗∗3 0"3' 0"3 < δ (m) ≥ 8 m ∈ N' ." 3
" 2 I F + 2 . 4
ϑ
∗
4
#
3 & .F . + ( ! 1"2 : : ' % " 16IB 8 * D; ; ' :< 8 ( : ' % A 166# 05 5 1B2!#13' + % ' 3 $*; 4 δ (m) 2 ≤ k ≤ 18 ' : ! ' 0D' ' ,'5 , ' 5 !5 I62?I2# 012#633' - +
k
#7
* /4 %
κ(M ) :=
(−1)ac+bc+bd
D 4 &
χϑ = κ|Γϑ η 12 ∈ S6 (Γ, κ) = 0
n∈Z, n>1
f ∈ Mk "
,
g(τ ) := f (nτ )
h(τ ) :=
n−1 j=0
Γ
5
f ((τ + j)/n)
Mk (Γ0 [n]) n ∈ Z , n > 1 : ! & f (τ ) := ∆(nτ )/∆(τ ) H ) f (M τ ) = f (τ ) ) M ∈ Γ0 [n] . # 3 * F > 3 Λ 6 * Γ k ∈ Z : Sp : Mk (Λ) −→ Mk *
3
6 = 7& L& ? 3
n ∈ Z , n > 1
: $
√ Φn : Mk (Γ0 [n]) −→ Mk (Γ0 [n]) , f (τ ) −→ ( nτ )−k · f (−1/nτ )" L&
Mεk (Γ0 [n])
Φn ◦ Φn = id
!)
ε = ±1
D
:= {f ∈ Mk (Γ0 [n]) ; Φn (f ) = εf }
: − Mk (Γ0 [n]) = M+ k (Γ0 [n]) ⊕ Mk (Γ0 [n])
!)
f ∈ Mk
5 * !)
q∈Q
f (τ ) + ε · nk/2 · f (nτ ) ∈ Mεk (Γ0 [n]) Fϑ ! Γϑ $
ordq f := ord∞ f |M,
M ∈Γ
= 3
0 = f ∈ Mk (Γϑ )
M ∞ = q.
: +#
2 ord∞ f + ord1 f +
1 2
ordi f +
ordw f =
k 4
w∈Fϑ ,w=i
3
p
9 *
f ∈ Mk
f (τ ) −
1 p
p−1
: ,
f (τ + j/p) =
αf (m)e2πimτ
m≥,p m
j=0
Mk (Γ0 [p2 ]) √ @ 3 G( p), p = 2, 3" E+ 00 = 1 D * , * √ √ √ 1 Mk (G( p))" Γ G( p) * : Mk (G( p)) + * Mk (Γ0 [p]) $ ? 3 f ∈ Mk , N ∈ SL(2; Q) n ∈ N" nN ** : , f |k N * Mk (Γ[n2 ]) 3 f ∈ Mk N ∈ 1 (2; Z) N = n > 0 : f |k N ∈ Mk (Γ[n]) 24 3 n ∈ N k = n+1 ∈ N : , (η(τ )η(nτ ))k * Sk (Γ0 [n]) = 3 n ∈ N 12 k = 12/n : , η 2k * Sk (Γ[n]) ∗ 3 n > 1, f ∈ Mk (Γ0 [n]), χ 4 & mod n χ(M ) := χ(d) *
3
fχ (τ ) :=
∞
χ(m)αf (m)e2πimτ .
m=0
χ(l)e−2πilr/n f (τ + r/n)
f − χ(τ ) =
fχ ∈ Mk (Γ0 [n ], χ ) χ " fχ (τ ) = c · r mod n χ(r)f (τ + r/n)
0
1 n
2
l,r mod n 2
Φn2 fχ = c˜ · fχ
#I > 3
/4 %
χ
4 & modN !) k > 2 , Ek (τ ; χ) :=
χ(m)(mτ + n)−k
m,n∈Z
*
Mk (Γ0 [N ], χ)
? !) 6 *
Λ
dim Mk (Λ) − dim Sk (Λ) ≤ [Γ : Λ]
!" $' 01BB6?12I63 1276 0' # ( 5 II?6#63 ! : ( / $ * T : M −→ M , n ∈ N5 @ ; : H ( k 0: ' )))'1'I3' 4
D; p : T f ∈ M 0: ' 1'10633% n
k
k
p
(Tp f )(τ ) := p
k−1
k
p 1 aτ + b . · f (pτ ) + · f p b=1 p
N ?C* O : *( ; : H : $ * : M ' = S ,*; ' ) 8 0 8 @ ; E ** ** 3 <; ( % F 8 * ∆ $ T 5
0: ' ,; 1'I3 k
k
k
n
Tn ∆ = τ (n) · ∆
n ∈ N.
9 ' 012#?12BI35 , : 5 A! 1272 0A ' ' '!@ ' 5 I2?6"3 S ,* 5 ( 5 ? C* T ; ,* - ' $ ,<; ; 5 H ! ( ' ) - @ M
85 $ T 5 n ∈ N5 ' ** SL(2; Z) ( ( Γ ; 2 ×2 ; ( 4 M = ( ) ' k
n
k
k
n
a b c d
#
1
56
+ 6,
G " " " V (H) $ ; V (H) C?@ 4 f $ % 0D'13 f H *' 0D'3 f * D 1' 0D'73 f ∞ G D' 9 )))'1' γ > 05 f Im τ > γ *? <J : "? 4 013 f (τ ) = α (m) · e , m ∈Z,
2πimτ
f
0
m≥m0
( ' 4 *: ; F a, d f ∈ V (H) ( * 4 T f < 03 (T f )(τ ) := f ((aτ + b)/d) . a,d
a,d
b (mod d)
b : (mod d) ' @ ;( :< (mod d) - ( ;; @ : d 5 < 03 ( 0D'3 : (mod d) ' , ;'8' : 1 d ' CQ T f 5 ''5 073 T (αf + βg) = α · T f + β · T g f, g ∈ V (H) α, β ∈ C . a,d
a,d
a,d
a,d
, " f ∈ V (H) Ta,d f ∈ V (H)
Ta,d f ,
0I3 $#
(Ta,d f )(τ ) = d ·
9 T
αf (md) · e2πimaτ .
m≥m0 /d
a,d f
(Ta,d f )(τ ) =
"*4
* H' 013
αf (m) · e2πimaτ /d ·
m≥m0
b (mod d)
e2πimb/d .
; , ( , ! d, d|m, e = 0, . < 5 ; m md 0I3' 0D'3 2
0D'73 T f ' 2πim/d b
b (mod d)
a,d
#6
67
4 n ∈ N k ∈ Z ( *) T V (H) / 0"3 T f := n · d ·T f . (k) n
(k) n
−k
k−1
a,d
ad=n,d>0
$*; T f (τ ) = n 03 (k) n
k−1
·
d−k ·
ad=n,d>0
f ((aτ + b)/d) .
b (mod d)
4 D; p * ; 1 T f (τ ) = p 063 · f (pτ ) + · p (k) p
k−1
f ((τ + b)/p) .
b (mod p)
F 9( 0B3 n T f =T f f ∈ V (H) , : 03 a = n/d ; ' : & V (H)# ( 073 0I3 T D* < (k) n
(k+2) n
(k) n
$ "
023
"*1D+ g = Tn(k)f ,
αg (m) =
dk−1 · αf mn/d2
d|(m,n)
! m0 = 0, 0, m ≥ 1, ! m0 > 0, nm0 , ! m0 < 0.
,
αg (0) = σk−1 (n) · αf (0) αg (1) = αf (n).
4 ( *: d
(m, n) ; GJ : m n' $# 0"3 0I3
Tn(k) f (τ ) = nk−1 · d−k · (Ta,d f )(τ ) ad=n
= nk−1 ·
ad=n
=
ad=n
ak−1 ·
d1−k ·
αf (md) · e2πimaτ ,
m≥m0 /d
m≥am0 /n
αf (mn/a) · e2πimaτ .
#B
1
+ 6,
9 ma = r <
Tn(k) f (τ ) = ak−1 · αf nr/a2 · e2πirτ , r,a
( , ; r a a > 0, a|n , a|r r ≥ a m /n ; ' a *: : (n, r) < 5 < 023 8 : m = 0, 0, a m /n ≥ m /n > 0, m > 0, nm , m < 0. 2 2
0
0
2
0
0
0
0
0
,* ; D; ( ." " + p
αTp(k) f (m) = - +
'
! p m, αf (mp) , k−1 αf (mp) + p · αf (m/p) , ! p| m.
: T
( f |T f | T !
(k) n f
(k) n
k n
"" n G + * / ?C* Tn ;; 2 × 2 ; !
n5 ? ( ? = ! n* ) % Γ := {M ∈ Mat(2; Z) ; det M = n} , n ∈ N. 013 CQ Γ = Γ ** ' * Γ * : : Γ 5 n
1
n
Γ · Γn = Γn = Γn · Γ .
$ V ⊂ Γ J 4 Γ Γ5 ( % 0 @'13 F - M ∈ Γ L ∈ Γ LM ∈ V' 0 @'3 , M , M ∈ V M = LM L ∈ Γ5 L = E ' 8 <M : ;
0 @3 Γ = ΓM - . n
n
n
1
2
1
2
n
M ∈V
G : : Γ Γ / ( ' n
#2
67
9 M M Γ 0/ 5 F M ∼ M 5 ( L ∈ Γ M = LM 5 - : : Γ Γ <M : ; ' 0 @'13 * : 0 0/ ' + # : ' ( : 5 1
1
2
n
1
2
2
n
V = Γ : Γn
; ( ' ) : 4 - *4 . % ("& '
03
Γ : Γn =
M=
a b ∈ Mat(2; Z) ; ad = n , d > 0, b (mod d) 0 d
4 Γn Γ#
0 @'13% , M = ( ) ∈ Γ ' (< γ, δ ∈ Z γa + δc = 0' α, β ∈ Z αδ − βγ = 1' $#
a b c d
LM =
n
a b a b α β = c d γ δ 0 d
L :=
α β ∈Γ. γ δ
det(LM) = det M = n a d = n' d 5 ( ' L −L ;'
m
T LM =
1 m 0 1
>0
a b a b + md = 0 d 0 d
b d ; ' T LM 03 ' 0 @'3% , M M 03 L ∈ Γ M = LM 5
: <
m
a b α β a b = , γ δ 0 d 0 d
αδ − βγ = 1 ,
γa = 05 γ = 0 ? d d *: ? α = δ = 1' A ; a = a, d = d b = b + βd' b b @ (mod d) 5 b = b β = 05 L = E ' 2
." - + : 7 4 Γn
Γ
σ1 (n) =
d|n
d.
1#
1
+ 6,
$ ;( @ D ! - ( 4 Γ 5 : : $ ' ; : 03 $#
d|n
1 =
b (mod d)
d = σ1 (n). 2
d|n
3 Γ : Γ * * 5 V
- +
n
Γ \ Γn := {Γ · M ; M ∈ Γn } , Γ · M := {LM ; L ∈ Γ},
π : Γn −→ Γ \ Γn ,
π(M) = Γ · M,
/ ' 9 / : V : Γ Γ $ < π| : V → Γ \ Γ 8- ' 3 ) V : : Γ Γ5 n
V
n
n
V := {M ; M ∈ V} , t
V# = {M # ; M ∈ V},
t
( M * M = ( M) · M - : M ; 5 Q : : Γ Γ' ? : : $ ' ' G " ? ; / : f |M M ∈ SL(2; R) )))'1'1 ( f | M = f |M M ∈ GL(2; R) det M > 0 H * 4 f / 013 (f |M)(τ ) := (f | M)(τ ) := (cτ + d) · f (Mτ ) . : /; ( 03 (αf + βg)|M = α · f |M + β · g|M (f |M)|N = f |(MN ) M, N ∈ GL(2; R) det M > 0 det N > 0' 9 )))'1'7 G : H ( k ; V (H)' ) 8 ; V ⊂ V (H)' t
−1
#
n
k
−k
k
k
("& Γ : Γn 4 Γn Γ f ∈ Vk
073
Tn f := Tn(k) f = nk−1 ·
Tn f + Vk #
f |k M
M ∈Γ:Γn
5 , ' H ( k ( : ; '
11
67
; , : 073 f ' $ ;( : : Γ Γ - 4 L Γ 5 ; 0'3 )))'1'15 f |L = f 5 f ( & Γ : Γ ,0 # @ ( , Γ : Γ ' , : 073 , ? : ,; ' : 103 ∗
$#
n
∗
n
n
f ∗ (τ ) = nk−1 ·
d−k ·
ad=n
f ((aτ + b)/d) = Tn(k) f (τ ) ∈ V (H).
b (mod n)
4 N ∈ Γ Γ : Γ {MN ; M ∈ Γ : Γ } : ! : Γ Γ' 03 n
n
n
Tn f = nk−1 ·
f |k (MN ) = nk−1 ·
M ∈Γ:Γn
(f |M)|N = (Tn f )|N,
M ∈Γ:Γn
T f : H ( k '
2
n
F 1 < ." -
.) Tn(k) : Mk → Mk ,
n ≥ 1 : .
+ ! + ! ,, #
, J ,* ;< m = 0, 1 : 1 α (0) = σ (n) · α (0) , α (1) = α (n) . 0I3 - + CQ ( ,; :G ( ( )))'6'7' ) ?C* ,*
;
; ** Γ [p] / 0: ' 3' ( " + $ 0 = f ∈ V (H) J : ! ,+" *) T , n ≥ 1 + : λ (n) ∈ C ( T f = λ (n) · f . 013 ) f $ ; ?C* T , n ≥ 15 J f
: ! ' 9 1 f = 0 $ 5 ( "? Y; 8 03 λ (n) · α (m) = d · α mn/d Tn f
k−1
f
Tn f
f
0
(k) n
f
(k) n
f
(k) n
f
k−1
f
f
2
d|(m,n)
m, n ∈ N ' , ; * ; m = 15 < 073 λ (n) · α (1) = α (n)
f
f
f
1
1
+ 6,
$ " " * f ∈ Mk 0/ 9
03 f : ! # 03 : α (1) = 0 !" m ∈ N , n ∈ N f
0
αf (m) · αf (n) = αf (1) ·
dk−1 · αf (mn/d2 ).
d|(m,n)
: λf (n) = αf (n)/αf (1) n ∈ N
0I3
αf (m) · αf (n) = αf (1) · αf (mn)
!" ! m n#
0 : ( 3 ( ( k = 12 ∆ ;(' ∆ ' 9 )))''0I3 ∆ (τ ) = (2π) · ∆(τ ) = τ (m) · e τ (1) = 1
τ (m) ; F ' 9 )))'I'18 ∆ 4 ; ,*; : H ( 12' ? C* T = T 7 ,*; ,*; ! 5 < ? ( ? ∗
∗
∞
−12
2πimτ
m=1
(k) n
n
("&
∆ : ! 9
Tn ∆ = τ (n) · ∆
!"
n∈N
!" m, n ∈ N
0"3
τ (m) · τ (n) =
d11 · τ (mn/d2 ) .
d|(m,n)
+
τ (mn) = τ (m) · τ (n) ,
! (m, n) = 1 ,
!" + p
063 τ (p ) = τ (p ) · τ (p) − p · τ (p ) , r ≥ 1' @ < S k = 16, 18, 20, 22, 26 ' ,*; G · ∆ k $ ' $ ( G ,*; J ( ' ! <; < r+1
r
11
r−1
k
k−12
, n > 1 0 = f ∈ Sk # Tn f = λf (n) · f
λf (n) ∈ C !
|λf (n)| ≤ nk/2 · σ−1 (n) .
17
67
9 ,; )))'1' w = u + iv ∈ H $ f˜(τ ) := y · |f (τ )| ≤ f˜(w) τ ∈ H . 0B3 103 $#
k/2
k−1 k/2 −k
|λf (n) · f˜(w)| = |Tv · d · f ((aw + b)/d) n f (w)| = n a,b,d
≤ n−1+k/2 ·
f˜((aw + b)/d) ≤ n−1+k/2 · σ1 (n) · f˜(w) ,
a,b,d
˜ = 0 σ (n) = n · σ (n) ( 0B3 ' f(w) 2 8 * ' - + ,; ( 12# : 'A' 0D' . ' D' ,' 5 116?1I3 ( ' , 8 ( ; ?C* $ * T ' $'
# A *< 0' # ( 5 II?6#63 : 8 ' !9 ;A + " "* %"" 9 )))''I 013 j := (720G ) /∆
H * 5 ∞ D 1' C
03 j(τ ) = e + j ·e , τ ∈H, −1
1
(12) n
4
3
∞
−2πiτ
2πimτ
m
m=0
*: ; F j ' 4 T := T T j ,; 7 ( 5 103 H * ' )))'"'8 < m
(0) n
n
n
("& " 7 n ≥ 1 Tn j n j #
N * O "? : T j % n
, " n ≥ 1
n · (Tn j)(τ ) = e−2πinτ + 744 · σ1 (n) + njn · e2πiτ + · · · .
$#
9 1023 j αTn j (m) =
−1
=1
d−1 · jmn/d2
m ≥ −n
d|(m,n)
( m = −1' $ : 9 : Y; : m 5 ( , mn = −d 5 ( d = n
m = −n ' Y; 1023 2 n · σ (n) = σ (n) ( j = 744' 0
2
−1
1
0
1I
1
+ 6,
." ; 2 7 m ∈ N , γm γmn Z
j m = γm +
m
nγmn · Tn j.
n=1
D ; : 03 < "? j Y; Z' 4
γ ∈ Z
$#
m
mn
jm −
m
nγmn · Tn j
n=1
H ∞ * 5 γ ' j
n · T j ;; "? Y; 5 γ ;' 2 m
m
n
m
8 ( D* < D ; : j ." - " n ≥ 1
Tn Q[j] ⊂ Q[j].
n? ℘? 4 )'6'7 j ?4 ; ' ( ? : ( '
19 "+
+
, 2 7 n ∈ N , Fn (X, Y ) ∈ Q[X, Y ] : ! Fn (X, j(τ )) = (X − j(Mτ )) !" τ ∈ H .
013
M ∈Γ:Γn
Fn (X, Y ) X ,+# Y 7 σ1 (n)#
,
$#
03
Fn (X) :=
(X − j(Mτ )).
M ∈Γ:Γn
j Γ? : 5 < 03 : @ ' , r = σ (n) M , . . . , M , ? : 03' 1
Fn (X) =
1
r
r
(−1)k Pk (j(M1 τ ), . . . , j(Mr τ )) · X r−k ,
k=0
( P k? D r E ' 4 D ; k
1"
67 r
j(Mν τ )k = (nTn (j k ))(τ ) ∈ Q[j(τ )]
ν=1
"8' 8 0: ' R1226T5 B'7'23 D D ; ! 5 '' P (j(M τ ), . . . , j(M τ )) ∈ Q[j(τ )]. 073 j(τ ) ; 5 D F (X, Y ) ∈ Q[X, Y ] $ 013' CQ F (X, Y ) X H r '
G D ∞ 4 073 C r = σ (n) P 5 4 "?$ ( k
1
r
n
n
1
r
e−2πi(aτ +b)/d = ± e−2πirτ .
d|n b (mod d)
4 P (j(M τ ), . . . , j(M τ )) 0 ≤ k < r D j(τ ) :
H < r k = r D j(τ ) : H r' F (X, Y ) Y H r ' 2 k
1
r
n
) )'6'7 F (X, Y ) = 0 ' n' : ( F (X, Y ) = X − Y ' $ < "?$ ( : j(τ ) n
1
F2 (X, Y ) = X 3 + Y 3 − X 2 Y 2 + 1.488(X 2Y + XY 2 ) − 162.000(X 2 + Y 2 ) + 40.773.375 XY + 8.748.000.000(X + Y ) − 157.464.000.000.000.
4 ( @ G ( $ " n ∈ N / ! , + M ∈ Γn ' + K, L ∈ Γ
1 0 . KML = 0 n
03 G ( : 4 M = ( ) ad = n ' n M 5 a d ' 9 ))'7' x ∈ Z5 xa + b d ' (< α, β ∈ Z α(xa + b) + βd = 1' 8 * $#
a b 0 d
K=
α β , −d xa + b
L=
1 αa x −1 . · 0 1 1 0
2
, K = V ( G* ' ( ; ; 0
1
1
+ 6,
("& n ∈ N n > 1 / ! #
Fn (X, j) ∈ K[X] +,# :
Fn (X, Y ) = Fn (Y, X)
Fn (X, X) ∈ Q[X]\{0}.
4 L ∈ Γ < M ML : : Γ Γ' f (τ ) → f (Lτ ) * F < ! G* K = K[j(Mτ ), M ∈ Γ ] : F (X, j) K' F M ∈ Γ (< K, L ∈ Γ < $# n
n
n
n
j(Mτ ) = j((L−1 τ )/n).
4 9 X = j(Mτ )5 M ∈ Γ 5 D F (X, j) * ; 9 X = j(τ /n) ( : *! : K K' F (X, j) ; K' ∈ Γ F (j(nτ ), j(τ )) = 0 τ ∈ H' $ ; τ τ /n5 F (j(τ )5 j(τ /n)) = 0 τ ∈ H' F (j(τ ), Y ) ∈ K[Y ] Y − j(τ /n) ( ) ;< F (Y, j(τ ))' D D* H σ (n) 5 c ∈ Q n
n0 01
n
n
n
n
n
n
n
1
Fn (X, Y ) = c Fn (Y, X).
, c = ±1' 4 c = −1 F (X, X) = 0' F (X, j) X − j 5 ( ( σ (n) > 1 ) ;< 2 ( *' < c = 1 F (X, X) = 0. 9 + / F ( : ,; ; ( n
n
1
n
("& τ ∈ H + 0 */ 2 j(τ )
, 2 #
H G τ ∈ H ; <?M FG* 5 ;
√ 1 τ = (b + ia D), b ∈ Z, a, d, D ∈ N, D M . d √ √ √
i D = i/ D = J i D5 F < $#
τ
1 0 0D
√ √ j(i D) = j(i D/D). √ j(i) = 1728 ∈ Q D>1 j(i D) √ X) ∈ Q[X]\{0} FD (X, ad = n M = a0 db ∈ Γn M i D = τ
,; 9 D 5 ' , j(τ ) 9 D
D* ' 4 j(i√D) ! ' 9 D*
√ √ Fn (X, j(i D)) ∈ Q(j(i D))[X], √ Q(j(i D))
Q'
2
16
67
) Ω H * * 5 j(Ω) % 0 ( : j ' 9 ,; )'6'" Ω 4 Ω = λ(Zτ + Z) 0 = λ ∈ C τ ∈ H5 ; <?M FG* G' j(Ω) = j(τ ) ,; ." ; 0 ( j , 2 # ." - n ∈ N n > 1 / ! c ∈ C Fn (c, c) = 0#
τ ∈ H j(τ ) = c 7 τ + 0 * / 2 #
$# $ ; : τ ,; )))'"' )'I'I.' 9 D*! c = j(τ ) 9 D F (X, j(τ ))5 j(τ ) = j(Mτ )
M ∈ Γ ' 9 ,; )))'"' )'I'I8 K ∈ Γ τ = KMτ ' n M 5 KM ∈ ZE ' : )'6'" G τ ;
2
<?M FG* ' - + L 7 + " M' 9 $! : % - $( : Q5 - ?$( : Q ?H ** 5 G* : $ ( ; ' ; $ ( ; 5 $* e , α ∈ Q5 $( : Q' ,: 9 + + & % $ 0 :< 3 8 ( : % 0( . &5 7?1135 ;( 0 ( 3 : & 01BI?121735 ' 25 127?7 01BB35 J :< 8 ( : ! & 0# -,# 5 "7?3' $ H / %# 0R12BT5 *' 1I3' $ <?M FG* K G 5 ( $* j ?4 ;' 4 τ ∈ K ∩ H ,;5 K(j(τ )) $( : K ' ( 0: ' & R12#BT5 § 113 ; 5 G* ( ' $ ( 4 5 ( $( : K 5 / % R12B6T5 .*' 1#' 1' & D 0# -,# 5 2#?723 4 8 $( FG* ' n
n
2πiα
0 p 9 * " [Γ : Γ0 [p]] = p + 1 00== 3 M0, M1, . . . , Mp
L C 8 &
Γ=
p
Γ
Γ0 [p]"
Γ0 [p]Mj .
j=0
:
p 0 0 1
Mj
#
0 −1 p 0
Mj , j = 0, 1, . . . , p,
1B
1
*# 8 C
+ 6,
Γ g(τ ) = f (pτ ) ∈ Mk (Γ0 [p]) $ 000= 1 :D 3 000= Tp f = pk−1 Sp(g) . = 5 |τ (n)| ≤ n5 · σ1 (n) ) n ∈ N (2)
!) 7 n ≥ 1 Tn j = p(j) · j " # p(j) 9C j + n − 1 > 3 n > 1 V = {M1 , . . . , Mr } , r = σ1 (n)" 8 C Γn Γ 3 P (X1 , . . . , Xr ) C 9C + m : 3
f ∈ Mk
p
Γp
9 * 3
(k)
Pn
: Mk −→ Mmk , f −→ P (f |M1 , . . . , f |Mr ) ,
L& 1 3 E8 C
αP (k) (f ) (0) = nk−1 · P (d1 , . . . , dr ) · αf (0) n
3
Q
R
(k) Pn (f )
?
P = Q · R"
C 9C
=
(k) Qn (f )
·
(k) Rn (f ) )
(4)
{P2 (G4 ) ; P ∈ C[X1 , X2 , X3 ] C } =
* k≥0
f ∈ Mk
M4k
f ∈ Mk , p 9 * " g(τ ) = f (pτ ) ∈ Mk (Γ0 [p]) , r = p + 1 P (X1 , . . . , Xr ) = (k) X1 · . . . · Xr 1 * 6 000= π(g) = Pp (f ) . 3 p 9 * f ∈ Mk Tp f = λf , λ ∈ C : 3
f (τ ) − (Tp f )(pτ ) + pk−1 · f (p2 τ ) =
αf (m) · e2πimτ =: fp (τ ).
m≥1,p | m
fp ∈ Mk (Γ0 [p2 ]) @ 3 f ∈ Mk p 9 * " αf (pm) = 0 ) m ≥ 0 : f = 0 0 f ∈ Mk p 9 * αf (m) = 0 ) m ∈ N0 p | m" f = 0 . f ∈ K = V0 5 E F (k) : E Tn / A(H) B(H) $ 000 V (H) = 1 * B * : 2T2 j 3T3 j 9C j !) 9 * p −Fp (X, X) 9C Q[X] + 2p √ > 5 −F2 (X, X) = (X − 123 ) · (X − 203 ) · (X + 153 )2 1 j(i 2) = 203 √ 1 # # j( 2 (1 + i 7)) = −153 ! 3
$ 56
"%/ % Tn " ! 2 m, n ∈ N
f ∈ V (H)
T f =T T f =T T f . 013 ( ( T T T T ; ' * @ : T T m, n 5 , : 013 m n ' (k) mn
(k) (k) m n
(k) (k) n m
m
m
n
n
n m
" #
12
67
8 ( *:<( * ! ; ' $ " m, n ∈ N ! a1 d1 = m, a2 d2 = n + 2
a1 , a2 , d1 , d2 ! b1 (mod d1 ) b2 (mod d2 ) 7 4.
0!
03
b12 := a2 b1 + b2 d1
4 (mod d1 d2 )#
03 (mod d d ) 9 ) Q ! , (
$# 2
1 2
a2 b˜1 + b˜2 d1 ≡ a2 b1 + b2 d1
(mod d1 d2 )
a b˜ ≡ a b (mod d )5 ? a d ? b˜ ≡ b (mod d )' b˜ b (mod d ) 5 b˜ = b
b˜ d ≡ b d (mod d d )' b˜ ≡ b (mod d ) b˜ = b ' - + 2 03 d d 9 b ;(' b < d ;(' d F ' 2 F $ : 013 1'103 2 1
2 1
1
1
2 1
2 1
1
2
1
1
1
1
1 2
2
1 2
2
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
Tm(k) Tn(k) f (τ )
= (mn)k−1 ·
(d1 d2 )−k ·
a1 d1 =m a2 d2 =n
f ((a2 a1 τ + b12 )/d1 d2 ) ,
b1 (mod d1 ) b2 (mod d2 )
( b 03 ( ' : mn 4 d d d |m d |n 5 1'103 ( 2
< 013' 12
1 2
1
2
# ? Tpr " 7 + p r ∈ N
f ∈ V (H)
T T f =T f +p ·T f. 013 T = T ' 8 ( : 013 ( (
; % pr p
p0
pr+1
k−1
pr−1
1
$ " ; 0! bν 4 (mod pν ) a 4
(mod p) 0!
03
cν := bν + apν
4 (mod pν+1 )
# $#
) Q 8 ;
; ˜bν + a ˜pν ≡ bν + apν (mod pν+1 )
#
1
˜b
ν
≡ bν (mod pν )
5 ˜b
ν
= bν
+ 6,
a˜ ≡ a (mod p)'
2
$ " - 4+ !" ν ≥ 1 4 bν (mod pν ) pν−1
0 4 cν (mod pν−1 )
p* #
$#
'
2
F $ : 013 : ( 1'1035 < 1'1063 4 ν = 0 % (Tpr Tp f ) (τ ) = pr(k−1) ·
r
p−νk ·
Tp f (pr−ν τ + bν )/pν
bν (mod pν )
ν=0
= p(r+1)(k−1) · f (pr+1 τ ) + pr(k−1)−1 ·
f ((pr τ + a)/p)
a (mod p)
+ p
r(k−1)
r ν=1
p−νk
bν (mod pν )
r−ν r−ν 1 p τ + bν p τ + cν + f pk−1 f , pν−1 p pν+1 a (mod p)
( c ( 03 / ' 8 ;(' ν
(Tpr Tp f ) (τ ) = p(r+1)(k−1) · f (pr+1 τ ) r p−(ν−1)k · + pr(k−1) · ν=1
+ pr(k−1) ·
r
f (p(r−1)−(ν−1) τ + bν )/pν−1
bν (mod pν−1 )
p−νk−1 ·
ν=0
f (p(r+1)−(ν+1) τ + cν )/pν+1
cν (mod pν+1 )
= p(r+1)(k−1) · f (pr+1 τ ) + pr(k−1)−(r−1)(k−1) · Tpr−1 f + p(r+1)(k−1) ·
r
p−(ν+1)k ·
ν=0
f (p(r+1)−(ν+1) τ + cν )/pν+1
cν (mod pν+1 )
= pk−1 · Tpr−1 f + Tpr+1 f .
2
." " + p r, s ∈ N0 9
min(r,s)
Tpr Tps =
pν(k−1) · Tpr+s−2ν .
ν=0
, Tpr Tps #
1
67
" #
) s% 4 s = 1 ( 8 * 013 ( 5 s = 0 :' < 013 ) : ;
$
min(r,s)
Tpr Tps+1 =
min(r,s−1)
pν(k−1) · Tpr+s−2ν Tp − pk−1 ·
ν=0
pν(k−1) · Tpr+s−1−2ν ,
ν=0
013
min(r,s)
Tpr Tps+1 =
min(r,s)
pν(k−1) · Tpr+s−2ν+1 +
ν=0
p(ν+1)(k−1) · Tpr+s−2ν−1
ν=0 2ν+1≤r+s
min(r,s−1)
− =
p(ν+1)(k−1) · Tpr+s−2ν−1
ν=0 min(r,s) ν(k−1)
p
· Tpr+s+1−2ν +
ν=0
p(ν+1)(k−1) · Tpr+s−2ν−1 ,
ν
( ; , ν
2ν + 1 ≤ r + s ; ' ;( ,
, 5 ( r > s5 ( min(r, s + 1) = s + 1 ' ) 4 2 ; ν = s' ) : ' ' ;+ *" G " 9 ,; 1'7 ;(' 1'7 !C* T = T , n ≥ 15 $ * @ ! V 5 ( E M ; ' $ ; H : T = T , n ≥ 15 * @ : $ * : M ' / <J H ! 4 013 α T α ∈ C. min(r, s − 1) < ν ≤ min(r, s)
(k) n
n
k
k
k
(k) n
n
k
k
n n
n
n≥1
; End M C? $ * : M ' k
k
("& Hk 8 , End Mk C*- , : Tp !" + p + # " m, n ≥ 1
1
03
Tm Tn =
dk−1 · Tmn/d2 .
d|(m,n)
, 7 Tp p + #
n
*) Tn , n ∈ N
, 03 ( *: : m ; '
1
+ 6,
H *- , > k?# $# 03 , m n 5 03 ( *:< T ' A T < D : 4 T D; p r ∈ N ' 03 4 D; p T , r ∈ N5 D T ' F 8 ( : ( 013 ) r' 03 H :5 03 03 - T D T U D; p' ?C* T T : D; p q : ' 0:3 8 ( : 03 ) ; : D : mn% $ < mn D p5 m = p n = p r + s ≥ 05 k
n
n
pr
pr
p
k
n
p
p
r
0∗ 3
q
s
min(r,s)
Tpr Tps =
pν(k−1) · Tpr+s−2ν =
dk−1 · Tpr ps /d2 ,
d|(pr ,ps )
ν=0
8 * 03' , m n 0 03 ( 35 (< D; p m = m p , n = n p (m , p) = (n , p) = 1 , r ≥ 1, s ≥ 1 . 9 ) : ; 03 m n , : m n' $ 035 03 0∗3 r
s
Tm Tn = Tm Tn Tpr Tps
=
tk−1 · Tm n /t2 ·
t|(m ,n )
=
dk−1 · Tpr ps/d2 ,
d|(pr ,ps )
(td)k−1 · Tmn/(td)2 .
t|(m ,n ) d|(pr ,ps )
td *: : m n < 5 2 03' ." f ∈ Mk 0/ 9
03 f : ! ,+" *) # 03 2 7 + p , λ (p) ∈ C T f = λ (p) · f # 03 " 7 + p m ∈ N α (p) · α (m) = α (1) · (α (mp) + p · α (m/p)) , 073 f
p
f
0
f
f
f
f
k−1
, p | m αf (m/p) = 0 + #
f
" #
7
67
αf (1) = 0
Tn f =
αf (n) ·f αf (1)
!"
n ∈ N.
03 ⇐⇒ 03% A T D ( T U' 03 ⇐⇒ 03% ( 1'1 ( 1'I073 '
$#
n
p
2
3 D ; n / 1'10"3 C* T ( (' X 5 < * ! 03' , < ;'8' k−1
- +
n
Tn∗ := n(1−k)/2 · Tn
Tm∗ Tn∗ =
∗ Tmn/d 2.
d|(m,n)
3 9 ,; - ?C* D T 5 p D;' , 3 T 5 T +T =T ·T r ≥ 1' T # &$ * P Q 5 p
∗ n
∗ pr+1
∗ pr−1
∗ p
∗ pr
∗ pr
r
r
r √ √ X + X 2 − 1 = Pr (X) + Qr (X) · X 2 − 1,
0: ' ' $& 5 D' 9 " R1227T5 1#3 % < T = Q (X) X := T '
Q (X) = 05 Q (X) = 1 : /; ! Q (X) = 2XQ (X) − Q (X) r ≥ 1. 3 4 "? Y; τ (m) : ∆ ,; 1'I - D! ; p r ≥ 1 ∗ pr
1 2
r+1
0
∗ p
1
r+1
r
r−1
τ (pr+1 ) + p11 · τ (pr−1 ) = τ (pr ) · τ (p) .
/ τ (m) := m
5 < :G ; 3 τ (p ) = Q (x) x := τ (p)' CQ -"7?@ )))''7 <M : ; |x| ≤ 15 ; $ ; t x = cos t' 3 / T M (T f )(τ ) := f (−τ )5 H - : T : C? H ' ) f = 0 $ ; H 5 0 = α ∈ C5 αf
"? Y; 0: ' 7'3' ∗
−11/2
∗
r
−1
1 ∗ 2
r+1
−1
k
−1
· τ (m)
k
k
k
I
+ 6,
1
3 $ @ ?C*
;!
** ** / H' " R122IT5 .*' 75
' $ R12B2T5 .*' 5 I' # " " + 7 ; ( 5 ? $ ' , k > 1 α(m) := σk−1 (m) !" 7 + p
m ≥ 1
$#
0∗ 3
α(p) · α(m) = α(mp) + pk−1 · α(m/p).
; ; < 8 * m = p
r
,r≥1
%
α(p) · α(pr ) = α(pr+1 ) + pk−1 · α(pr−1 ).
q := p ' ) p : m5 8 * ( *:< : α ' ) p : m5 m = m p (m , p) = 1 α(pr ) = σk−1 (pr ) = (q r+1 − 1)/(q − 1)
r
k−1
α(p) · α(m) = α(m ) · (α(p) · α(pr )) = α(m ) · (α(pr+1) + pk−1 · α(pr−1 )) = α(pm) + pk−1 · α(m/p) . ."
*4 Gk
: !
2
!" k ≥ 4
Tn Gk = σk−1 (n) · Gk
!" n ≥ 1.
)))''1073 1'70I3 7073 α(m) := σ (m) , 5 ; ( ' 8 * D* ' 2 ? ; $ 5 ! "? Y; : ( ' $#
k−1
m∈N
("& k ≥ 4 f ∈ Mk αf (0) = 1# f : ! ,.
+" Tn !" n > 1
' $# 1'70I3 < $ ( λ (n) = σ f = G∗k
f
g := f − G∗k ∈ Sk , g = 0
*;
Tn g = σk−1 (n) · g.
' < f = G 5
k−1 (n)
∗ k
" #
D* 1'I 0∗ 3 σ (n) − n $
k/2
k−1
2σk−1 (n) − 2n
k/2
"
67
· σ−1 (n) =
d
k−1
+
d|n
=
nk/2
d
d|n
· σ−1 (n) ≤ 0. n k−1 d
−n
k/2
1 d + d n
√ k−2 k n d √ 1− − 1 > 0, d n
; , - , J :
d = √n *: ' 2 * ; 0∗3 f = G ( ' - + : ? G )))''1013' 9 D* )))''1 G G ; @(H)' D* : 1'I ; 5 G $ % T G = σ (n) · G n ∈ N. !9 +"&&" + " + G " ) )))'I'I 5 Z? M ;(' S k ≥ 4 013 M = Z · g ⊕ S - g = G · G 4r + 6s = k ' 4 k > 0 < 1'1 - ; T f ∈M f ∈ M 5 03
1'7 T f ∈S f ∈ S ' 073 (< H ; g , g , . . . , g , t := t := dim S ; ! g ,* : * g , g , . . . , g ' , T g ,* : 5 * ( ( : T '
< ("& " k > 0 % 3 2 7 n ∈ N , , ' A(n) ∈ Mat(t; Z) ∗ k
2
2
2
n
2
1
2
Z k
Z k
Z k
Z k
∗r 4
n
n
∗s 6
Z k
Z k
Z k
Z k
1
2
t
C
k
1
k
2
t
n
: !
T g = A(n)g ' 0I3 3 ' + A(n), n ∈ N
, 0"3 A(m) · A(n) = d · A(mn/d ) !" m, n ∈ N. n
k−1
d|(m,n)
2
n
1
+ 6,
3 ' + A(n), n ∈ N
", Z + 8 HkZ Mat(t; Z) ' + A(p), p + : . + # $#
9 073 a
νµ (n)
Tn gν =
t
aµν (n) · gµ
∈Z
ν = 1, 2, . . . , t.
µ=1
9 ; A(n) := (a (n)) 3' 8 *! 2 ,; 7' µν
." ; : ' + A(n), n ∈ N + ,
2 ≤ t#
$ ( 9 D
$#
det(XE − A(n)) ∈ Z[X].
2
$ ( : A(n) $ ( : T S ' I n
k
." - : Tn n ∈ N ! Mk k > 0 + . , 2 ≤ t#
1'I
." 6 f ∈ Mk : ! αf (1) = 1#
"*1D+ αf (n)
≤ t
'
n ∈ N + , 2
) 4 k = 24, 28, 30, 32, 34 38 S )))'I'1 t = 2' ; 4 k = 24% $ ( q := e ;' 9 )))'I'I8
19 "
k
2πiτ
∗ g1 := G∗2 6 ·∆ =
α1 (m)q m ,
g2 := ∆∗2 =
m≥1
α2 (m)q m ,
q = e2πiτ .
m≥2
H ; : S ' )))''10113 )'I'703 Z 24
g1 = q − 23 · 3 · 43 · q 2 + 22 · 32 · 72 · 139 · q 3 + 26 · 31 · 5527 · q 4 + · · · , g 2 = q 2 − 24 · 3 · q 3 + 23 · 33 · 5 · q 4 + · · · .
9 1'1 "? Y; α (m) f
D; p α (pm) + p · α (m/p) , p | m, α (m) = α (pm) , p m. f
f
Tp f
f
23
f
" #
6
67
; < T2 g1 = −23 · 3 · 43 · g1 + 29 · 36 · 72 · g2
03 A(2) = −2
3
· 3 · 43 · E + A
T2 g2 = g1 + 26 · 3 · 11 · g2
A=
0 29 · 3 6 · 7 2 . 1 23 · 3 · 131
$ * < ; 063 ξ(p) := α (2p) + 2 · 3 · 43 · α (p) , η(p) := α (2p) + 2 - ; - D; p > 2 3
1
0B3
A(p) =
5
1
2
3
· 3 · 43 · α2 (p)
α1 (p) ξ(p) 0 ξ(p) = α1 (p) · E + . α2 (p) η(p) α2 (p) η(p) − α1 (p)
4 ' ?: $ @ : A(2) A(p)% , " 7 + p ≥ 2
A(p) = α1 (p) · E + α2 (p) · A.
; 03 0B3' < @ : A(2) A(p) ξ(p) = 2 · 3 · 7 · α (p) η(p) − α (p) = 2 · 3 · 131 · α (p)5 2 8 * ' $#
9
6
2
2
3
1
2
." √ : ' + A(p) p + 1
Q
144 169 #
$#
$ ( ;; 2 × 2 B G* Q
+
,
2
(Sp B) − 4 det B .
2
3 n ∈ N V 3 E8 C '# 1 (
Γn - Γ∞ (*% " # K ∈ Γ∞ KM1 = M2 M 1 V L L C 8 & Γ Γ∞ " # LM M L 7# / 3C Γ∞ E /; 1 * Γn 1 " (8 ( *
M1
M2
000 > : /
5 !)
k≥4
m ∈ N0 # n ∈ N
$ 000 = !)
Tn Qk,m =
:D
n k−1 · Qk,mn/d2 , d
d|(m,n)
E8 Qk,m
B
1
Tn Qk,1 = nk−1 · Qk,n
= !)
+ 6,
Tn G∗k = σk−1 (n) · G∗k .
k ≥ 4 w ∈ H # :D E8 Pk (·, w) n ∈ N * V # 3 E8 C
$ 00 ? !)
Γn
Γ
:
Tn Pk (τ, w) = nk−1 ·
d−k · Pk (τ, M w) = nk−1 ·
(M {τ, w})−k .
M∈Γn
M∈V
1 $ $ ? ) > 3
H0
Tn , n ≥ 1"
*
k = 28, 30, 32, 34 38 CE End K :
{T j ; T ∈ H0 } = C[j]. ? 3
T =
m n=0
αn Tn , αn ∈ C, αm = 0 : k ∈ N f ∈ Mk a, a , d, d ∈ N
T f = 0
# L *
Ta,d Ta ,d = Taa ,dd
V (H)?
! 57 4 τ = x + iy ∈ H ; dxdy ;( %& "?J C ∼= R 0: ' ' R122S ))T5 K23' @ 013 dv := dv(τ ) := y dxdy. ) %& "? J Ω : H 4 ϕ : H → C 4 " %""
2
−2
ϕ dv = Ω
, &
H → H,
ϕ(τ )dv(τ ). Ω
013 -,,
τ → Mτ , M ∈ GL(2; R) , det M > 0.
013 H*& , & ' $# ) f H *5 8 4 ! f / |f | 0: ' ' - 5 H' " R##T5 )''75I3' < 2
dMτ 2
dxdy = dv(τ ), dv(Mτ ) = (Im Mτ )−2
dτ
( ))'1'7013 ))'1'1063 '
2
2
68
4 %& "? J Ω : H v(Ω) := dv H*0 , 0 : Ω' 4 F ** Γ H?4< 5
Ω
$ "
$#
◦
v(F) = v(F) = v(F) = π/3.
9 ))'' 1
2
1
∞
2 y −2 dydx =
v(F) = − 12
√
√ − 21
1−x2
1 π dx = 2 arcsin 12 = . 3 1 − x2
." ϕ : H → C , 0
#
F
2
ϕdv , .
3 @ 013 ; ))'1' ! : H G @ ' 3 ) D C 0: ' ))'1'73 * !
H5 v(D) = π − (α + β + γ)5 ( α, β, γ ) ( D ; ' F 8 ( D 5 - ( $ ∞ ' " ("" ) ; )))'1'"013 / ! 4 f˜ ( * 8 f, g ∈ M ' / k ∈ Z 4 f, g : H → C ϕ (τ ) := f (τ ) · g(τ ) · (Im τ ) . 013 ))'1'7013 1'7013 03 (det M) · ϕ (τ ) = ϕ (Mτ ) M ∈ GL(2; R) , det M > 0. - +
k
k
f,g
k
f |M,g|M
f,g
, f, g ∈ Mk , k > 0#
3 : ϕ (Mτ ) = ϕ (τ ) !" M ∈ Γ τ ∈ H# 3 ϕ
! H , 0
f g + ! # $# 3 : ( 03 0'U3 )))'1'I' 3 |ϕ| = (f-g) 8 ; )))'1'"013 f g ∈ M 2 8 * ,; )))'1'' f,g
f,g
f,g
2k
M
k
× Sk → C
/ '
("& f, g ∈ Mk f g + !
073
f, g :=
f (τ ) · g(τ ) · (Im τ )k dv(τ ) F
7#
1
+ 6,
,
g, f = f, g' 0I3
f, g C*
f# 0"3 03 f, f ≥ 0 !" f ∈ S f, f = 0 !" f = 0. f, g * f g' $# : ; : 073 1 3 D* ' 8 * 0I3 03 M
; ' 2 8 '7 3 / - f : H → C
f = T f : H → C f (τ ) := f (−τ )' 063 f Q f H *' k
−1
$ " f ∈ Mk #
f + Mk #
"
*1D+
f
f = f ,+#
0
f = −f #
f f F < ' F 9( : f |M = f ,; ))''1 M = T M = J < ' ) 4< : /; 8 * ' *; 8 2 "?$ ( : f : 8 ( ' τ −τ F < : F 9 ! 5 <
$#
M ∈Γ
." f, g ∈ Mk f g + !
'
f , g = g, f
5 f → f : M C? ' ' +" ?* %"" $ ϕ : H → C ' + Γ(ϕ) : ϕ5 Γ(ϕ) := {M ∈ Γ ; ϕ(Mτ ) = ϕ(τ ) τ ∈ H}' 013 ) ( Γ(ϕ) = {±E} ' @ 4 E ** Λ : Γ ( : ;5 −E
' k
, Ω , = H
ϕ dv = Ω
ϕ dv MΩ
!" 7 M ∈ Γ(ϕ) ! , #
71
68
ϕ(Mτ )dv(Mτ ) = ϕ(τ )dv(τ ) D* 1 8 ! * H 0: ' 2 ' R122S ))T5 2'123'
$#
$ " : Λ 8 Γ(ϕ)#
F1 F2 + .
, Λ
ϕ dv = F1
ϕ dv, F2
! , #
F %& "? ' D*
$# F1
2
ϕ dv = F1
1 2 M ∈Λ
1 = 2 M ∈Λ
1 2 M ∈Λ
ϕ dv = M F2 ∩F1
ϕ dv F2 ∩M −1 F1
ϕ dv =
M F1 ∩F2
ϕ dv , F2
M < M H ** Λ' - ; 03 ϕ dv := ϕ dv −1
F
Λ\H
2
/ 5 ) 5 ( F 4 ! : Λ ⊂ Γ(ϕ) ; ' ("& Λ 8 Γ(ϕ)
1 · [Γ(ϕ) : Λ]
ϕ dv = Λ\H
ϕ dv, Γ(ϕ)\H
! , # $#
, F 4 : Γ(ϕ) Γ(ϕ) =
ΛMν
ν
F 9 ' ; ,; ))'7'1 G :=
ν
Mν F
7
1
+ 6,
4 : Λ' D*
ϕ dv = Λ\H
ϕ dv =
ν
G
ϕ dv =
ν
Mν F
ϕ dv = [Γ(ϕ) : Λ] ·
F
ϕ dv . Γ(ϕ)\H
2 (& " +" . #
) ,; )))''1 (
M = CG ⊕ S 013 k ≥ 4 ; ( ' ) ; (5 , 013 ; ?,* ' k
∗ k
k
("& k ≥ 4 f ∈ Sk #
' $# : ( )))''103 G ' ; / ( @ V : Γ Γ ' f |M = f M ∈ Γ
03
Gk , f = G∗k , f = 0
∗ k
∞
G∗k , f =
F
=
M ∈V
F
1|M(τ ) · f (τ ) · (Im τ )k dv(τ )
ϕ1|M,f |M dv =
M ∈V
M ∈V
ϕ1,f dv ,
MF
( ; , 03 D* 1 : ( ' MF ,; ))'7'1 4 : Γ ' Γ ⊂ Γ(ϕ ) 7 ) 4 : Γ 5 ;'8' F := {τ ∈ H ; 0 ≤ x ≤ 1}'
M ∈V
∞
∞
1,f
∞
∞
G∗k , f =
f (x + iy) · y k−2 dxdy. F∞
f ,*; 5 - y > 0 1 f (x + iy)dx = αf (0) = 0 0
)))'1'0I35 03'
2
77
68
! ( *"C +
(
G " G!
$ " p + . 4.
Γp Γ# $#
: (
p 0 , 0 1
1 0 k 1
1 k 1 k = , k p + k2 0 p
k = 0, . . . , p − 1.
9 ,; 1' < : : Γ Γ5 ; ' * < 2
: ' p
( ; 5" "& f, g ∈ Mk f g + ! !"
n∈N
013
T f, g = f, T g '
$ ( , % T ,; '7 ! D T 5 5 8 * - D; n = p ; ( ' F < d −b a b 03 M := M = c d . −c a $ Q M M = MM = (det M) · E ' 073 ; ))'7'03 ; Γ(p) ( *
; ** 0I3 Γ(p) := {M ∈ Γ ; M ≡ ±E (mod p)} , p' f |(λE) = λ · f < 0135 03 073 n
n
n
p
−k
- " + ; ϕf |M,g (M −1 τ ) = ϕf,g|M (τ ) !" M ∈ GL(2; R)
det M > 0
'
- " + - f, g ∈ Mk M ∈ Γp #
3 Γ(p) M Γ(p)M + Γ(ϕ # 3 Γ(p) MΓ(p)M + Γ(ϕ −1
−1
f |M,g )
f,g|M )
# $#
3 4 L ∈ Γ(p), L = ±E + pA , A ∈ Mat(2; Z) L0 := MLM −1 = ±E + MAM ∈ Mat(2; Z)
7I
1
( 073' < L
+ 6,
ML = L M 5 f |M|L = f |(ML) = (f |L )|M = f |M 03 0
∈Γ
0
0
ϕf |M,g (Lτ ) = ϕf |M |L,g|L (τ ) = ϕf |M,g (τ )
g|L = g.
5
' ) ( [Γ : Γ(p)] < ∞ ' 4 8 * ' 2 3 : g ( 3 M M '
Γ(p) ⊂ Γ(ϕf |M,g ) M −1 Γ(p)M ⊃ Γ(p2 ) f
- " + 6 " M ∈ Γp
' $# , F 4 : Γ(p)' M F 4 ! : M Γ(p)M ' 15 ,; 7 D* 1 [Γ : Γ(p)] = [Γ : M −1 Γ(p)M]
−1
−1
[Γ : M
−1
π Γ(p)M] · = 3
dv = [Γ : Γ(p)] ·
dv = F
M −1 F
π . 3
2
- " + M ∈ Γp F , Γ(p)
ϕf |M,g dv =
F
ϕf |M,g dv. M −1 F
Γ(p) 8 * . ) 5 8 * 8 Γ(ϕ )' ! 2 ,; 7'
$# M −1 Γ(p)M
Γ
f |M,g
8 * 8 ,; 7 @ V : Γ Γ
$ < +#
p
Tp f, g =
pk−1 · [Γ : Γ(p)]
Γ(p)\H
ϕf |M,g dv.
M ∈V
@ ( 8 * 5
Tp f, g =
pk−1 · [Γ : Γ(p)]
M ∈V
ϕf,g|M dv.
Γ(p)\H
(< V ;( @ <J ' < M M = pM : < 2 8 * 013'
−1
7"
68
$ ; ; 5 - n ∈ N ! : : Γ Γ 5 ; ' 1 " + & -" : S ( - +
n
k
("& : , $ f1 , . . . , ft t = dim Sk & Sk .
+ ! k ! : ! 9
3 f , f = δ !" ν, µ = 1, . . . , t# 3 3 f : ! ,+" *) # 3 "*1D+ f ν = 1, . . . , t, # $# 0I3 03 ?,* , *: / 4 S ' (S ; , ) < @ ' 9 *; "
T f, g = f, T g f, g ∈ S , n ∈ N' 013 ?C* % T T =T T n, m ∈ N' 03 F 5 C g , . . . , g , t = dim S 5 : (S ; , ) n ∈ N ν
µ
νµ
ν
ν
k
n
k
n
n m
k
m n
1
t
k
k
(n)
Hn := (hνµ ) ∈ Mat(t; C)
$ 073
Tn gµ =
t
(n) hνµ gν , µ = 1, . . . , t.
ν=1
013 03 0I3 H = H H H = H H m, n ∈ N. G $ ' t n
n
n
m
m
n
$ " M ⊂ Mat(q; C) ' <
, ' + #
, 0 q × q ' W t
' + W HW , H ∈ M
, #
: ( ) q5 ( q = 1 : ' ) 4 5 M S 5 ' 9 ,; * 0 R1226T5 B''73 < W
$#
q>1
λE 0 , E = E (r) , 1 ≤ r < q, W SW = 0 T t
7
1
+ 6,
( λ ∈ R $ ( : T ' 4 M A B W MW = A ∈ (r, C), B = C . C D @ : S M λE 0 A B A B λE 0 , = 0∗ 3 0 T C D C D 0 T t
∈ M
t
* ; T C = λC ' 4 - ,* : v : C T v = λv' λ $ ( : T 5 v = 05 C = 0 B = 0' 0∗3
0 A W MW = M ∈ M. 0 D M := {A ; M ∈ M} M := {D ; M ∈ M} - : *( : ; ! F ; q' 9 ) : ; G M M ( ' 2 9 ( M := {H ; n ∈ N} <J 073 ( ' 9 0I3 M *( : ; ' $ < t × t W = (w )5 t
M
M
1
M
2
M
1
n
0"3
λ1 (n) Ln = 0
t
Hn = W Ln W,
' ; 03
fµ :=
t
νµ
'''
0
n∈N
λt (n)
wµν gν , µ = 1, . . . , t,
ν=1
< ; < 063
f ,f = δ ν, µ = 1, . . . , t. 035 073 0"3 n ∈ N ν
Tn fµ =
w µν · Tn gν =
ν
=
σ
µ
νµ
(n) wµν · hσν · gσ =
ν,σ t
(W Ln )σµ · gσ =
t
(Hn W )σµ · gσ
σ
σ
wµσ · λµ (n) · gσ = λµ (n) · fµ ,
2
76
68
0B3 T f = λ (n) · f n ∈ N µ = 1, . . . , t. 9 '7 α (1) = 0' *; f * F : 8 15 α (1) ∈ R ' λ (n) $ ( ;
' 9 '7 "! Y; α (n) = λ (n) · α (1) , n ∈ N5
5 ( f ' * F : 8 1 *; 5 α (1)
( ' 2 8 * ( ' f , . . . , f C : S 5 $ ; ?C* ' 9 "+ *" + " + A n µ
µ
µ
fµ
µ
fµ
fµ
µ
µ
fµ
µ
fµ
1
t
k
*) Tn n ∈ N ! Mk , k > 0
+* , * ", Q ≤ dim Sk
." ; :
'
, 0 = f ∈ M T f = λ (n) · f ' H f ∈ S 5 α (0) = 05 λ (n) = σ (n) ∈ Z 1'70I3' 4 f ∈ S 8 * 2 '"8'
$#
k
f
n
f
k
k−1
f
k
1'I < ." - 0 = f ∈ Mk k > 0 : ! ,+"
*)
αf (1) = 0 F αf (n)/αf (1) n ∈ N +* , * ", Q ≤ dim Sk #
) 8 8 f , . . . , f ,; @ < : ,; 3 ' M 4 5 $ : ? C* T 5 n ∈ N5 $ ( σ (n) ∈ Q ' 1
t
0
n
−1
0 $ k ≥ 4 1 # :D E
8 $ 000 = 000 >
: HE!/ L & $ 000 I, ε H < v(Vε ) = 2/ε2 ) ε > 0 (k−2)! !) m ∈ N f ∈ Sk f, Qk,m = (4πm)k−1 · αf (m) = 0 m ≥ 1 mE E6K* Qk,m 0" Qk,m = 0
!) m, n ≥ 1 nk−1 · αQk,n (m) = mk−1 · αQk,m (n).
E8 Qk,m , m ≥ 1"
8 Sk 3 * k ≥ 16 Qk,1 , . . . , Qk,t , t = dim Sk " Sk · f (−w) ? !) w ∈ H f ∈ Sk f, Pk (·, w) = ik 2k−3π (k−1) 3 k = 12 k ≥ 16 !) w ∈ H /; Pk (·, w) = 0 Pk (−w, w) = 0
> :
k = 12
!)
7B
1
+ 6,
Γw P12 (−w, w) = 0 P12 (τ, w) = P12 (−w, w) · ∆(τ )/∆(w) @ : E8 Pk (·, w) , w ∈ H" 8 Sk !) k = 12 k ≥ 16
# w1 , . . . , wt ∈ F \ {i, ρ} , t = dim Sk " Pk (·, w1 ), . . . , Pk (·, wt ) Sk
k
L !B
!)
τ, w ∈ H
1 @ *# > $ 7# # ) 3 7 (
E
5 3
k,
f ∈ Sk
1
Tn
5
k, , k − ≥ 4
{T f ; T ∈ Hk } = Sk f ∈ Sk g ∈ S
!)
∞ 2 f, G∗k− · g = (k − 1)! · αf (n)αg (n)(4πn)1−k . n=1
#
"8 '
) D ( ; * ; ;( ; ! ! 4 '
* 4 ' % # , (α ) m m≥1
013
D(s) :=
∞
αm · m−s ,
s ∈ C,
m=1
+ ! *4' , * - 2 !
03
ζ(s) :=
∞
m−s ,
m=1
; 4 α = 1, m ∈ N5 G' α = O(m ) χ ∈ R5 ( C > 0 5 |α | ≤ C · m m ≥ 1. : ;: : ! ! m
m
m
χ
χ
("& (αm )m≥1 +
!
*4 D(s) σ0 ∈ R ∪ {±∞} ! : ! 9 D(s) , !" σ = Re s > σ0 # D(s) , !" σ = Re s < σ0 # D(s) ! < ,, {s ∈ C ; Re s > σ0 }# " ρ ∈ R ρ > σ0 D(s) ! < ,, {s ∈ C ; Re s ≥ ρ} , 0@ , 0 #
03 03
σ , 1 + ,+ ! ?4 D(s)' 0
!
72
! 9 %
$#
4 s = σ + it |α
m
· m−s | = |αm | · m−σ
∞ σ0 := inf σ ∈ R ; |αm | · m−σ
' 8 *
:
.
m=1
4 ρ ∈ R ρ > σ 0
∞
|αm · m−s | ≤
m=1
∞
|αm | · mρ < ∞
Re s ≥ ρ.
m=1
- , D(s) ,; : 0: ' ' - 5 H' " R##T5 ,; B'I'3 * 2 Re s > σ ' 0
CQ σ ζ(s)'
0
=1
: ;; - F !
$ " (αm )m≥1 αm = O(mχ ) !" χ ∈ R !"
, 1 + ,+ σ0 +
σ0 ≤ χ + 1.
$#
$ C > 0 |α
m|
∞
≤ C · mχ
! *4 D(s)
m ≥ 1'
|αm | · m−σ ≤ C · ζ(σ − χ) < ∞
σ > χ + 1.
2
m=1
: ;: : ! ? / ;'8' ! / R12B1T5 §§1, 25 4 R126T5 *' 11' "" 4
χ ≥ 0 ; A 4 g : ]]0, ∞[[ → C $ g(y) = O(y ) σ > χ5 ''5 ; σ > χ C > 05 |g(y)| ≤ C · y y > 0' 013 CQ A C?@ ' 4 y → e G ; A ' - +
χ
−σ
σ
σ
−σ
−y
χ
, " g ∈ Aχ
03
∞ {s ∈ C ; σ = Re s > χ} → C, s → Mg (s) :=
g(y)y s−1 dy, 0
0 #
M (s) ?= ! g' g
0
I#
1
$#
+ 6,
4 χ < α < σ < β 013 1
1 |g(y) · y
s−1
| dy ≤ Cα ·
0
y σ−α−1 dy = Cα ·
1 , σ−α
y σ−β−1 dy = Cβ ·
1 . β−σ
0
∞
∞ |g(y) · y s−1| dy ≤ Cβ ·
1
1
) - @ {s ∈ C ; α + ε ≤ σ = Re s ≤ β − ε}, ε > 05 C : ) <J ' A ; : ( - 0: ' - - R122"T5 '7'13 ) ∞ g(y) · y
s−1
dy
1
1
∞ g(y) · y
s−1
dy =
0
g(1/y) · y −s−1 dy
1
5 M (s) {s ∈ C ; σ > χ} * ' g
2
9 ; ( 5 03 ' ;
; B * 4 f {s ∈ C ; σ = Re s > χ}5 ; α, β χ < α < β γ > 1 C > 0 $ 073 |f (s)| ≤ C · (1 + |t|) s = σ + it, α ≤ σ ≤ β. CQ B C?@ 5 C? ' 8 ! χ
−γ
χ
("& " f ∈ Bχ , χ ≥ 0, y > 0 σ > χ 0
(σ) := σ + iR
0I3
1 f (y) := · 2πi ∗
f (s) · y
−s
1 ds := · 2π
(σ)
∞
f (σ + it) · y −σ−it dt
−∞
,
3 f
,0 σ, σ > χ# 3 f ∈ A ' 3 " s ∈ C σ = Re (s) > χ ∗
∗
0"3
χ
∞ f (s) = Mf ∗ (s) = 0
f ∗ (y) · y s−1dy.
!
I1
! 9 %
$#
073 σ > χ γ > 1
0∗ 3
−s
|f (s) · y | · |ds| ≤ 2C · y
−σ
∞ 2C · y −σ . · (1 + t)−γ dt = γ−1 0
(σ)
) : 4 ) : ]]0, ∞[[ ' 3 9 #" $ ) ;
f (s) · y −s ds = 0
∂R
- * R {s ∈ C ; σ > χ}' < : 073 : ( ia ) D ; !
a → ∞, b → ∞' $ ∨ ∧
f (s) · y −s ds =
(α)
f (s) · y −s ds.
0 χ
(β)
3 : ( (∗)' 3 : 3 D*! M ' 9 3 χ < α < σ = Re s < β f ∗ (s) 0
∞
α
∨ −ib
β
∧
>
' "% ) (
0
f ∗ (y)y s0−1 dy
0
=
.............................................................................................. ... ..... ..... .... .... .... ... .... .... ... .... ..... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... .... ..... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... .... ..... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... .... ..... .... .... .... . ...........................................................................................
1 2πi
1 0
∞ 1 s −1 −s f (s)y −s ds y s0−1 dy + f (s)y ds y 0 dy . 2πi 1
(α)
(β)
0∗3 4< ) : < 1 2π
∞
−∞
1 ∞ ∞ y s0 −α−it−1 dy f (α + it)dt + 1 y s0−β−it−1 dy f (β + it)dt 2π −∞
0
1 = 2π
∞
−∞
f (α + it) dt + s0 − (α + it)
∞
−∞
1
f (β + it) dt . β + it − s0
I
1
+ 6,
9 #" $ ) ; 073 1 2πi
∂R
f (z) dz z − s0
- * 5 *: R5 D s ! < , α ≤ Re s ≤ β ' #" $ ) 2
< f (s ) ' 0"3' 0
0
: 03
F "? ' , y = e 03 G(x) := g(e )5 - + x
x
∞ G(x)esx dx.
Mg (s) = −∞
,; E : 0' ' 5 7#"?776 0121#33' E ? : % " * ' 5 A' 4 ' **' '5 7"!76 012263' ' ;A + " "" 4 g(y) := e G ; A ' * ; < D* Re s > 0 ? : g / 5 '' 12
−y
0
013
∞ Γ(s) :=
e−y y s−1 dy,
s ∈ C, Re s > 0.
0
Γ?4 * 4 s?$ ;! ' , * D 1' C , −n, n ∈ N 5
03 Γ(s) = (−1) /n! ' , 4 Γ(s + 1) = s · Γ(s) 073
9 5 1/Γ(s) ; 4 0I3 ' @ 8 ( & ! 0"3 Γ(s) = √1π · 2 · Γ 2s · Γ s +2 1 , * ; Γ 12 = √π,
* 5 ( 0
s=−n
s−1
n
!
I7
! 9 %
03 log Γ(s) − s − log s + s Re s ≥ 0, |s| ≥ ε > 0 < ' : ' - R122"T5 * ' $ " Γ ∈ B ' $# , 0 < α < β ' 9 03 C > 05 |Γ(s)| ≤ C · |e | Re s ≥ α' 4 s = σ + it, α ≤ σ ≤ β < 1 2
0
(s−1/2) log s−s
Re
&
s−
1 2
√ ' log s − s = σ − 12 log σ 2 + t2 − σ − t arg s ≤ δ − π4 |t|.
δ > 05 : α β < 5 |t| − t arg s ≤ (σ − ) log |s| − σ ≤ + π 2
δ 2
1 2
δ 2
π |t|. 4
|Γ(s)| ≤ C · eδ−π|t|/4 = O (1 + |t|)−2
G Γ 073 ; B ' 2 9 ,; Γ ( ( ' ; : 5 4 F z, s ∈ C, z = 0 0
z s := es(log |z|+i arg(z))
< ; '
("& " σ > 0 z ∈ C Re z > 0
063
1 2πi
Γ(s) · z −s ds = e−z .
(σ)
9 ,; Γ (y) y Q ) ∗
$#
> 0
/ '
dΓ∗ (y) d 1 1 −s = Γ(s) · y ds = Γ(s)(−s) · y −s−1 ds dy dy 2πi 2πi (σ) (σ) −1 −1 −s−1 = Γ(s + 1) · y ds = Γ(s) · y −s ds = −Γ∗ (y), 2πi 2πi (σ)
(σ+1)
( 073 ,; 3 ' $ Γ (y) = c · e ! c' 0"3 < ∗
∞
Γ(s) = c · 0
−y
e−y y s−1 dy,
c = 1' 063 z = y > 0' ) ( - 0: ' - - R122"T5 '7'13 * s' 8 * 4 ; ' 2
II
+ 6,
1
% # & +"& 4 k ≥ 4 ! @ M ; : H ( k ! <J )))'1'I' A f ∈ M ; "?$ ( 4
k
k
013
f (τ ) =
∞
αf (m) · e2πimτ
τ ∈ H.
,
m=0
)))''10173
αf (m) = O(mk−1 ).
9 1 : f + ! *4 03
Df (s) :=
∞
αf (m) · m−s
m=1
Re s > k {s ∈ C ; Re s > k} * 4 ' 9 ; 073 D (s) := (2π) · Γ(s) · D (s), Re s > k. −s
f
f
("& " 7 f ∈ Mk , k ≥ 4 9
3 f
!
+ *4 Df (s)
s*:, ! +, , !
! , s = k 4
0I3
s=k Df (s)
=
(2πi)k · αf (0). (k − 1)!
",
D (0) = −α (0) 0"3 3
f
03
f
Df (s) − αf (0) ·
Df (−n) = 0 !" n = 1, 2, 3, . . . .
1 ik − s−k s
∞ =
dy [f (iy) − αf (0)] · y s + ik y k−s y
1
+ 7 & ! {s ∈ C ; α ≤ σ ≤ β}, α, β ∈ R C , 0 # :
063
$#
Df (k − s) = ik · Df (s)
) ) 7013 ∞ Γ(s) = 0
e−r r s−1 dr,
'
Re s > 0
!
I"
! 9 %
r = 2πmy < Γ(s) · (2πm)
∞
−s
=
e−2πmy y s−1 dy,
0
0B3
Df (s) =
∞
−s
αf (m)Γ(s)(2πm)
=
m=1
∞ ∞ 0
∞
αf (m)e−2πmy y s−1 dy
m=1
[f (iy) − αf (0)] · y s−1 dy.
= 0
@ : , ) ,; : - : ; 0: ' ' R122S ))T5 2'1I3 5 σ>k
∞
∞
|αf (m)| ·
m=1
e−2πmy y σ−1 dy < ∞.
0
9 ; ) 0B3 < , y → 1/y ( f (i/y) = (iy) · f (iy) σ > k k
∞
1 [f (iy) − αf (0)] · y
Df (s) =
s−1
[f (iy) − αf (0)] · y s−1 dy
dy +
1
0
∞
∞ [f (iy) − αf (0)] · y s−1 dy +
= 1
1
∞
∞ [f (iy) − αf (0)] · y
=
[f (i/y) − αf (0)] · y −s−1 dy
1
∞
+ αf (0) ·
s−1
[f (iy) − αf (0)] · ik y k−s−1 dy
dy + 1
ik y k−s−1 − y −s−1 dy
1
∞ =
dy + αf (0) · [f (iy) − αf (0)] · y s + ik y k−s y
1
1 ik − , s−k s
03' $ f (iy) − α (0) = O (e ) [[1, ∞[[ )))'1'I' , : 03 - 0: ' - - R122"T5 '1'73 ; 4 - @ C < ' f
−2πy
I
1
+ 6,
03 i = 1 4 063' D (s) * :
D s = k s = 0' 70I3 2k
f
Df (s) = (2π)s ·
1 · Df (s). Γ(s)
Γ(s) , s = 0 D
1 5 ; D (s) ( 03 , s = 0 , < D (0) = −α (0)' D : Γ(s) s = −n5 n ∈ N5 703 9 : D (s) 0"3' , J 1 (2πi) · D (s) = · α (0), D (s) = (2π) · Γ(k) (k − 1)! 0I3' 2 ,; )))'1' α (0) = 0 f ∈ S < f
f
f
f
k
s=k
k
f
s=k
f
f
f
k
." f ∈ Sk + ! Df (s) !" Re s >
, + #
k 2
+1
# : " ( - F !
ζ(s) :=
∞
m−s ,
s ∈ C, Re s > 1,
m=1
( ' ; (< , ?8 ; s 013 ξ(s) := π · Γ( ) · ζ(s), Re s > 1, 2
? )))'$'7 03 ϑ(τ ) = e =1+2· e , τ ∈ H. −s/2
∞
πin2 τ
3
πin2 τ
n=1
n∈Z
-
2 ! ζ(s)
s*:, ! +, # , ! ! ",
, s = 1 4
("&
1'
ζ(0) = − 12 ζ(−2n) = 0
3
ξ(s) −
1 1 − s−1 s
n = 1, 2, 3, . . . .
+ 7 & ! C , 0 # :
ξ(1 − s) = ξ(s) !" s ∈ C.
!
I6
! 9 %
ϑ(i/y) = √y · ϑ(iy) ? )))'$'7 ( 8 ( : ,; I : %
$#
ξ(2s) =
∞
2 −s
Γ(s) · (πn )
=
n=1
=
1 2
∞ ∞ 0
∞
2
e−πn y y s−1 dy
n=1
[ϑ(iy) − 1] · y s−1 dy 0
1 = 2
∞ [ϑ(iy) − 1] · y
s−1
1 dy + 2
1
=
1 2 +
[ϑ(iy) − 1] · y s−1 dy + 1 2
[ϑ(i/y) − 1] · y −s−1 dy
1
∞ 1
∞
∞
1 2
∞
[ϑ(iy) − 1] · y −s−1/2 dy
1
y −s−1/2 − y −s−1 dy
1
=
1 2
∞
dy [ϑ(iy) − 1] · y s + y −s+1/2 + y
1
1 1 . − 2s − 1 2s
( ( ( 8 ( : 2 ,; I' 3 8 ( 4 ;
4 - 0R122#T5 166?1B63 ; ' 3 9 ,<; I " ( ' : 5 ' # ( 5 "21?' 1 E "& ) ; ! ? 4 ; ( ' - +
("& , 2 k ≥ 4
013
D(s) :=
∞
! *4
αm · m−s
m=1
, 1 + ,+ σ0 < ∞#
03
D(s) := (2π)−s · Γ(s) · D(s)
*:, ! +, !"
.
073
D(k − s) = ik · D(s).
IB
1
+ 6,
(
α0 ∈ C ,
0I3
D(s) − α0 ·
1 ik − s−k s
+ 7 & ! C {s ∈ C ; α ≤ Re s ≤ β}, α, β ∈ R , 0
0"3
∞
f (τ ) :=
αm · e2πimτ
m=0
! *4 D (s) = D(s)' , χ = max{k, σ }' : ; : D(χ + ε), ε > 05 8 < , 5 α = O(m )' 4 f : H → C 0"3 *' 8 013 σ ≥ χ + ε, ε > 05 < 5 D ∈ B 7 03' ,; 7 J σ > χ 1 1 0∗3 2πi D(s)y ds = α Γ(s)(2πmy) ds = f (iy) − α , · 2πi + '! k $#
f
0
χ+ε
m
χ
∞
−s
−s
m
m=1
(σ)
0
(σ)
( @ : , ) ,; : - : ; 0: ' ' R1225 ))T5 2'1I3 ' 9 ) 1 I := 2πi
D(s)y
−s
................................................................................................................................................................ ... ..... ..... .... .... .... ... ... .... ..... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... .... ..... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... .... ..... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... .... ..... .... .... .... . ...............................................................................................................................................................
ds
∨
∂R
*: *! R5 D 0 χ <'
; 0I3 - @ ! < 5 : ( ) D ;
! c → ∞, d → ∞' 1 03 α + D(s)y ds = α (iy) 2πi −s
0
∧
−a
0
k
∨
I = α0 · (iy)−k − 1 . k i D(s) − α0 · s−k − 1s
0
<
ic
b
∧
−id
>
' % ) ( −k
1 + 2πi
(b)
D(s)y −s ds.
(−a)
9 0∗3 , : 03 f (iy)' , : 03 : ( 073 0∗3% α0 (iy)−k +
1 2πi
i−k D(k − s)y −s ds = α0 (iy)−k +
1 2πi
(−a)
ik D(s)y s−k ds (k+a)
= (iy)
−k
· f (i/y).
!
I2
! 9 %
) <; f (τ ) = τ · f (−1/τ ) τ ∈ H' / "? 0"3 f (τ + 1) = f (τ )5 2 f ∈ M D = D' - + * ;; J, $ ! 4
A 127 ; 0: ' ' # ( 5 "21?3' 4 ( ; <; D 5 $ - F ( ' : ,; - F ,; : &" 0' # 2# 5 I#?"I 012135 5 I?I" 012135 '5 I#?"I 01233 ' : 5 - " R###T5 @))5 §3' , % % # $ D ;( D ; $ ( * ( D ; ' $ ! ? % −k
k
f
("&
A(s) :=
∞
αm · m−s
B(s) :=
m=1
A(s) · B(s) =
βm · m−s
m=1
+ !" Re s > κ ,
013
∞
∞
! *4
γm · m−s
γm :=
m=1
αd βm/d
d|m
!" Re s > κ#
( ( *: d : m ' $# D : ;( : ∞
A(s) · B(s) =
αν βµ · (νµ)−s , Re s > κ,
ν,µ=1
' νµ = m ;
< 013 γm =
αν βµ .
νµ=m
8 * '
2
." ; " r ∈ R Re s > max {1, r+1} gilt
ζ(s) · ζ(s − r) =
∞ σr (m) · m−s . m=1
"#
1
$#
(< β
m
α
=1
m
= mr
,;5 γ
." - " k ≥ 4
! *4 2
$#
+ 6, m
= σr (m)
'
2
*4 Gk +
(2πi)k · ζ(s) · ζ(s + 1 − k) !" Re s > k. (k − 1)!
: ( )))''1073 '
2
4 α : N → C 5 ( α(mn) = α(m) · α(n) m, n ∈ N ' $ " α : N → C
∞
α(n) =
n=1
∞ p
∞
n=1
α(n) = 0 , .
r
α(p ) ,
r=0
, ", + p + # $#
*:< α(1) = 1' 4 N > 0
:=
N
p≤N
∞
r
α(p )
=
···
r1 ≥0 r2 ≥0
r=0
α (pr11 ) α (pr22 ) · . . . · α prqq ,
rq ≥0
( D; ≤ N p , . . . , p ; ( ' ! *:< : α 1
=
N
r1 ≥0 r2 ≥0
···
N α pr11 pr22 · . . . · prqq = α(n) + α(n),
rq ≥0
n=1
EN := {n ∈ N ; n > N , n
q
G
p 1 , . . . , pq
n∈EN
D }.
N
− α(n) ≤ |α(n)|,
N
( '
n=1
n>N
2
." 6 :
ζ(s) =
p
(1 − p−s )−1
!"
Re s > 1.
!
"1
! 9 %
$#
9 α(n) = n −s
ζ(s) =
∞ p
p−rs .
r=0
9 : ( , ' 2 2 ( " + " G " , 0 = f ∈ S $ ; ?C* T <J 1'I013 "?$ ( k
n
f (τ ) =
∞
αf (m) · e2πimτ , τ ∈ H.
m=1
9 1'I $ < α (1) = 1 α (m) · α (n) = d · α mn/d m, n ≥ 1. f
f
k−1
f
2
f
d|(m,n)
f ; ! ? ( D ; 5 D (s) = α (m) · m Re s > 1 + k/2. 9 I D (s) ; 4 * $ ;
4 D (k − s) = i · D (s) s ∈ C'
D ; 5 D (s) "* ;% f
∞
f
−s
f
m=1
f
k
f
f
f
("& f ∈ Sk , k ≥ 12 k = 14 αf (1) = 1#
0/ 9
: ! ,+" *) # 03 f 03 D (s) = 1 − α (p) · p + p !" Re s > 1 + k/2# $# 03 =⇒ 03% α 1'I *: 5 6 D (s) = F F := α (p )p . 013 α (p ) · α (p) = α (p ) + p · α (p ) r ≥ 2 f
k−1−2s −1
−s
f
p
f
∞
f
p
p
p
f
r−1
f
r
f
−rs
r=0
f
r
k−1
f
r−2
Fp · (1 − αf (p)p−s + pk−1−2s ) =
∞
αf (pr ) · p−rs −
r=0
= 1+
∞ r=1
∞ r=2
αf (pr−1 ) · αf (p)p−rs +
∞
αf (pr−2 ) · pk−1−rs
r=2
αf (pr ) − αf (pr−1 ) · αf (p) + pk−1 · αf (pr−2 ) · p−rs = 1 .
"
1
+ 6,
8 * 03' 03 =⇒ 03% D : ( 5 $ ; "?D ) <; *:< : α' J ! ; ( 5 013 ' α (p) · α (m) = α (mp) + p · α (m/p) m ≥ 1. '7 α (0) = 0 *; 03' 2 f
f
f
k−1
f
f
f
) f ∈ M 5 f ∈ S 5 k > 05 $ ; ?C* α (1) = 15 f = c · G ,; 'I ( c = (2πi) (k − 1)! )))''1073' 65 68 6. Re s > k - + 1 2
k
k
f
−k
k
Df (s) = c · DGk (s) = ζ(s) · ζ(s + 1 − k) =
1 − p−s · 1 − pk−1−s
p
(1 − σk−1 (p) · p−s + pk−1−2s )−1 = p
,; '
) (
8 ( η? ,; )))''5 ? : ( ' $ 5 η : H → C * 4 5 (
9 η ""
013
η(τ ) = eπiτ /12 ·
∞
(1 − e2πimτ ).
m=1
("& " τ ∈ H
' $# * 5 03 τ = iy , y > 05 ; ( ! ' 4 τ = iy 4 013 *:
F ' 8 * 03 <M : ;
log η(i/y) = log η(iy) + log y ' 073 013 < 03
η (−1/τ ) =
τ /i · η(τ )
1 2
0I3
ϕ(y) : = −
=
∞ πy − log η(iy) = − log(1 − e−2πmy ) 12 m=1
∞ ∞ ∞ 1 −2πmny ·e = σ−1 (m) · e−2πmy . n m=1 n=1 m=1
!
"7
! 9 %
6 ∞
D(s) =
σ−1 (m) · m−s = ζ(s) · ζ(s + 1)
Re s > 1.
m=1
70"3 ,; " < D(s) := (2π)−s · Γ(s) · D(s) = 12 ξ(s) · ξ(s + 1) ,
D(−s) = D(s) , s ∈ C.
: ,; "5 ξ(−1) = ξ(2) = π/6 5 D(s) 4 5
D(s) −
π π 1 − − 2 12(s − 1) 12(s + 1) 2s
; 4 s?$ ; < - @ ! C' 9 ( 8 ( : ,; : ' 4 y · D(s) D 1, 0 − 1
, log y , − ' ,; 7 −s
π 12y
ϕ(y) =
∞
πy 12
1 2
∞ 1 · = σ−1 (m) Γ(s)(2πmy)−s ds 2πi m=1
−2πmy
σ−1 (m) · e
m=1
=
1 2πi
D(s)y −s ds =
1 2πi
(2)
=
(2)
D(s)y −s ds +
πy 1 π − + log y 12y 12 2
(−2)
1 2πi
D(s)y s ds +
πy 1 π − + log y 12y 12 2
(2)
= ϕ (1/y) +
πy 1 π − + log y , 12y 12 2
( D(s) = D(−s) ' 0I3 < 073' 3 f ∈ Mk 5 E !)
Re s > k + 1
ζ(2s + 2 − 2k) ·
∞
Re s > k + 1
αf (m2 ) · m−s =
∞
αf (m2 ) · m−s =
m=1
µ
1 − αf (p2 )p−s + αf (p2 )pk−1−2s − p3k−3−3s
p
ζ(s + 1 − k) · = *
αf (1) = 1
m=1
!)
2
∞
αf (m)2 · m−s .
m=1
E! & " ) m, n ≥ 1 αf (mn) =
µ(d) · αf (m/d) · αf (n/d) .
d|(m,n)
−1
.
"I
+ 6,
1
!) 7
m≥1
(m) Df (s)
:=
∞
αf (mn) · n
=
−s
n=1
> !) 7
sE5
m≥1
*
k−1−s
µ(d)αf (m/d) d
· Df (s).
d|m (m)
Df
(s)
! * & B
, 9
ik
s=k
8
m µ(d) (2π) αf (0) · · αf . (k − 1)! d d k
d|m
∞ −s δk (n) := #{(g1 , . . . , gk ) ∈ Zk ; g12 + . . . + gk2 = n} ζk (s) := n=1 δk (n) · n : ζ1 (s) = 2ζ(2s) : E8 ζk (s) ) Re s > k/2 & ζk (s) * sE5 9 = 0 ) n = 1, 2, . . . s = k/2 8 5 ζk (0) = −1 ζk (−n) 1 ξk (s) := π −s Γ(s)ζk (s) * " ξk (s) − s−k/2 − 1s * ? 3
! & ξk ( 2 − s) k
0 ? ζ2 (s) & 4
= 4ζ(s) ·
∞ n=1
= ξk (s) χ(n) · n−s "
#
χ
E
4 (
E8 G2 000? *" E8 8π2 ζ(s)ζ(s − 1) 1 (
1 & *
G2 (−1/τ ) = τ 2 G2 (τ ) − 2πiτ
3 * 000? @ + !
(αm )m≥0
! &
∞
g(τ ) :=
(βm )m≥0 "
αm · e2πimτ
,
h(τ ) :=
m=0
5
∞
C # " #
βm · e2πimτ .
m=0
√ g(τ ) = (−i nτ )−k · h(−1/nτ ),
: * ! &
Dg (s) :=
2π √ n
−s
· Γ(s) ·
∞
n ∈ N.
αm · m−s
m=1
! *
sE5 " β0 α0 − Dg (s) − s−k s
* ! &
Dg (k − s) = Dh (s). 10)∗
3
χ
Df (s, χ) :=
∞
4 & n, f ∈ Mk (Γ0 [n])
χ(m) · αf (m) · m−s
#
Df (s, χ) :=
m=1
:
Df (s, χ)
* 5 B
ε∈C
Df (k − s, χ) = ε · Df (s, χ).
2π n
−s
· Γ(s) · Df (s). |ε| = 1
" !# ? 013 ϑ(τ ) =
2τ
eπim
, τ ∈ H,
m∈Z
? ( )))'$'7 (< ? A 16IB ' " ' ) 12' A ( ? ' 4 ? . 03 ϑ(Z, p, q) := e , πi(g+p)t Z(g+p)+2πi(g+p)t q
g∈Zn
( p, q ∈ C Z * 5 n×n 5 )! < *: / ' ( : : ;: : ( ' $ = 12' A ? $ / , = ! : ' * R126#T' * 5 ; : ( '
H 5 ? 4 : ;( @ τ ∈ H *: / M 4 S ; 5 / ( ' ' $ : - 8 ( ! 4 ; 4 - F ! 0: ' )@'I'"3 F ; *: / 5 < 5 M 4 ' : 013 8 ; ! 03 ( 9 ( ϑ(τ S, 0, 0) 0( &5 773 ϑ(τ S, p, q) 0( &5 IB73 ,* ; ? 073 ϑ(−Z , −q, p) = det Z ·e · ϑ(Z, p, q) 5 ;'8' : ' * R126#T5 )))5 K"5 ( ( ' n
−1
1 i
1/2
−2πipt q
"
1 , 69
? ϑ(τ S, 0, 0) 8 M 4 5 ; 4 ! ; M 4 Q ' ! G ( ( 0: ' ;'8' '85 ,; 'B5 7'"3' E ; ; 5 G 5 5 *! : / M 4 ' ; G H ;'8' . 0: ' A' ' #)$ 9'A'' R1222T3' Q ? @ ;( . '
& 9 /
) D ( 5 ? ; ' " ) ( ! : )'1'" n × n ; ' Mat(n; Z) n × n ! ; Y; Z ; ? ? * $ E := E (n) := [1, . . . , 1] ,
( ( M ; D , . . . , D ; D1 [D1 , . . . , Dr ] := 0
1
'''
0
r
Dr
: ( ' H ** $ ; ( GL(n; Z) := {U ∈ Mat(n; Z) ; V ∈ Mat(n; Z) UV = V U = E}' GL(n; Z) J n5 $ ' + ' => %" & ("& ? " "& " U ∈ Mat(n; Z)
0/ 9
03 U ∈ GL(n; Z)# 03 U ∈ GL(n; Z)# 03 det U = ±1' 0:3 U , >", Q? U ∈ Mat(n; Z)# 0:3 -,, U : Z → Z , g → Ug ,7# 0:3 -,, U : Z → Z , g → Ug 7# t
−1
n
n
n
n
"6
: /
$#
@ )* (i) ⇐⇒ (ii) ⇐⇒ (iv) 3 3 4
5 3 3
(v) =⇒ (vi) =⇒ (iii)
8 ' 0:3 =⇒ 03% ) e , . . . , e 8 : Z 5 @ v , . . . , v ∈ Z Uv = e 5 j = 1, . . . , n5 V = (v , . . . , v ) ∈ Mat(n; Z) UV = E ' det U = ±1' 03 =⇒ 0:3% : ( 1
1
n
n
n
n
j
j
1
U −1 =
n
1 U , det U
( - ;(' * < U ( ;; ! 2 /; 0: ' ' R1226T5 )))5 K3'
+ n SL(n; Z) := {U ∈ Mat(n; Z) ; det U = 1}
9 GL(n; Z) : ) ' $ GL(n; Z) = SL(n; Z) ∪ F · SL(n; Z) F = [−1, 1, . . . , 1]. 8 * : ; . + 5 - F ,* 1 9 ; ' D ; ; H ** S D {1, . . . , n} * H ** ' * D : 0;(' 3 ( * D F 0;(' ,* 3' ( 4 n ≥ m P ∈ Mat(n, m; Z) 5 ( U = (P, ∗) ∈ GL(n; Z) ' ) 4 n = m *: ; ; ' $ . n
$ " " ' P ∈ Mat(n, m; Z) , n ≥ m 0/ 9
03 P # 03 UP V !" U ∈ GL(n; Z) V ∈ GL(m; Z)# 03 : , W ∈ GL(n; Z) W P = , E = E # W = (P, ∗) ( ' $# 5 W P = 2 : /; XM : ; ' E 0
E 0
−1
(m)
"B
1 , 69
) % $ * " ) ! ( $ )@'1' n × n ; ' $ " 2 0 = g = (g1 , . . . , gn )t ∈ Zn , U ∈ GL(n; Z)
Ug = (δ, 0, . . . , 0)t , δ = ggT(g1 , . . . , gn )
'
: ( ) n5 ( n = 1 : ' ) 4 α, β ∈ Z αg + βg = ggT (g , g ) = δ' 8 * $#
n=2
1
U :=
2
1
α β −g2 /δ g1 /δ
2
∈ SL(2; Z).
) 4 n > 2 *; ; < ( ) 5 V ∈ GL(2; Z)5
g = 0 ; ' / ) : ; W ∈ GL(n − 1; Z)5 * ( ) ( 4 ' Y; : Ug ;; Y; : g 5 ggT(g) : ggT(Ug)' , U : U Ug : g ggT(g) = ggT(Ug)' 2 E 0 0 V
n
W 0 0 1
−1
." ; : & 0 = g ∈ Zn
# #
'
ggT(g) = 1#
$# H ggT(g) = 15 g 1 *:' ) U = (g, ∗) ∈ GL(n; Z)5 $ ( ;
0: ' ' R1226T5 7''35 ggT(g) : det U = ±1 5 ggT (g) = 1' 2
." - 3 2 G ∈ Mat(n, m; Z) U, V ∈ GL(n; Z) UG , V G # 3 2 G ∈ Mat(n, m; Z) U, V ∈ GL(m; Z) GU , GV #
, 0;(' 3 h = 0 ν > µ 0;(' n − ν > 3' $# 3 8 : ( ) 5 ! ,* : G ' ; g ∈ Z V ∈ GL(n; Z) V g = (0, . . . , 0, δ) ' 4 ;( : ( ) 5 ; ,* : G ' 2 3 ( 3 G * '
H = (hνµ ) ∈ Mat(n, m; Z) m−µ
n
νµ
t
t
"2
: /
; A, B ∈ Mat(n; Z) J 0/ 5 F A ∼ B5 ( U ∈ GL(n; Z) AU = B ' XM : ; ; ∼ , GL(n; Z) A GL(n; Z) = {AU ; U ∈ GL(n; Z)}' ) 4 det A = 0 ; - XM : ; @ ' ("& A ∈ Mat(n; Z) det A = 0#
,+ , A GL(n; Z) , & 9 b1 bνµ b1 , . . . , bn + 2 , B= , 0 ≤ bνµ < bν !" 1 ≤ ν < µ ≤ n. 0 bn
'''
013
: ( ) n5 ( n = 1 : ' ) 4 8 : 5 A 5 α a 03 A = 0 A , A ∈ Mat(n − 1; Z) , a ∈ Z , α ∈ Z , α det A = 0. 4 9 (< U ε u , V ∈ GL(n − 1; Z) , u ∈ Z 073 U= , ε = ±1. 0 V : αε αu + a V 0I3 AU = 0 AV (< V ε ) : ; u5 Y; : αu + a V ;( 0 |α| − 1 ' , A B 4 013 U ∈ GL(n; Z) AU = B 5 U = A B5 U ' 5 U 0735 A 03 B 4 ' *; 0I3 A V = B εα = β, V = E ε = 1 ) : ; ' 9 b = a + αu u = 05 A = B U = E ' 2 5 ; 013 ! 0: ' ' ) R126T5 1"3' $ $ $#
n>1
t
n−1
t
n−1
t
t
t
t
−1
." 6 q + 2 + !0 '
{A ∈ Mat(n; Z) ; | det A| = q} , GL(n; Z)#
#
1 , 69
<M : ; 5 : ;; ; B 4 013 det B = q ' : q 5 : G ' 2 b b G 5 : B' $#
νµ
ν
Z → Z 5 x → Ux5 U ∈ GL(n; Z) ,; 1 8- 5 < ,; n
n
." " A ∈ Mat(n; Z) det A = 0
(Zn /AZn ) = | det A|. ' ,% D "&
Sym (n; R) := {S ∈ Mat(n; R) ; S = S} 013 ; (
@ n × n ; ' 4 S ∈ Sym (n; R)
n × m A / S[A] := A SA ∈ Sym (m; R)' 03 ) B
m × p 5 < (S[A])[B] = S[(AB)]' 073 $ @ / t
t
("& ?* > "" +/& + , ' S = S1 S2 ∈ Sym (n; R) S1 ∈ Sym (m; R) , det S1 = 0 , 1 ≤ m < n#
S2t S3
0I3
S1 S 2 S2t S3
+
E −S1−1 S2 0 E
, =
S1 0 . 0 S3 − S1−1 [S2 ]
) S ∈ Sym (n; R)5 J Rn −→ R , g −→ g t Sg ,
; S / # S ;(' ; G M ! 4 J G 5 ( S[g] = g Sg > 0 0 = g ∈ R ' 0"3 Pos (n; R) *: / ; Sym (n; R)' 4 1 ≤ m ≤ n ; + , E 03 S := S ∈ Sym (m; R) , E = E , 0 t
n
(m)
(m)
m×m 8 : S ' J det S m* < S # / < (m)
1
: /
063 S ∈ Pos (n; R) =⇒ S ∈ Pos (m; R) 1 ≤ m ≤ n' @ ' R1226T5 '7'5 ( . ! ' (m)
=> %" & ("& ? % D "& " S ∈ Sym (n; R)
0/ 9
03 S ∈ Pos (n; R)# 03 : , W ∈ GL(n; R) S = W W # 03 ' S G # 0:3 " A ∈ GL(n; R) S[A] ∈ Pos (n; R)# 0:3 - < det S , 1 ≤ m ≤ n # 0:3 : , ' V ∈ GL(n; R) V V = E
t
−1
(m)
t
D
S[V ] = D #
0:3 - : S # 0:3 0:3 ,* det S > 0 Sp S > 0 S ∈ Pos (n; R)' 0B3 . 0:3 5 Pos (n; R) Q : Sym (n; R) 5 ( * ) / ' : Sym (n; R) R 8 G ( 0: ' R1226T5 '7'I3 n(n+1)/2
H ""A & ("& 2 7 S ∈ Pos(n; R) , ,.
P ∈ Pos(n; R) S = P 2 #
P F + S : ( 8 ; S := P. 023 5"* + " Sym (n; R) 4 S, T ∈ Sym (n; R) / S > T ⇐⇒ S − T ∈ Pos (n; R)' Pos (n; R) = {S ∈ Sym (n; R) ; S > 0}' 4 < S, T, R ∈ Sym (n; R)5 λ ∈ R5 λ > 0 ( 1/2
A ∈ GL(n; R)
013
S>T
⇐⇒
λS + R > λT + R
⇐⇒
S[A] > T [A].
$ " " S, T ∈ Sym (n; R) S > T 0 = G ∈ Mat(n, m; R)
Sp S[G] > Sp T [G]. , S[g] > T [g] !" 0 = g ∈ Rn #
$#
1 , 69
, G = (g , . . . , g ) g 1
m
r
= 0
Sp S[G] − Sp T [G] = Sp(S − T )[G] =
' ( 70"3 m
(S − T )[gj ] ≥ (S − T )[gr ] > 0.
j=1
2
- *: / *: @ $ : ' , 2 S ∈ Pos (n; R) , α, β ∈ R : !
' $# ( 0:3 XM : ;?,; 7 < ! V ( *: / D $! ( λ : S 5 S[V ] = D' 9 (< *: α, β ∈ R α > λ > β j = 1, . . . , n' αE > D > βE 5 2 V V = E 013 8 * ' $ ( $ < αE > S > βE
j
j
t
("& S ∈ Pos (n; R) , t ∈ R m ≥ 1#
'
{G ∈ Mat(n, m; Z) ; Sp(S[G]) ≤ t} #
F S (< β > 0 S > βE D* '
$#
{G ∈ Mat(n, m; Z) ; Sp(Gt G) ≤ t/β}.
, G = (g )5 8 * νµ
Sp(Gt G) =
m n
2 gνµ .
ν=1 µ=1
4 < $ ' ." S ∈ Pos (n; R) T ∈ Sym (m; R)#
'
03
D(S, T ) := {G ∈ Mat(n, m; Z) ; S[G] = T }
#
Aut S := D(S, S) = {U ∈ Mat(n; Z) ; S[U] = S} 8 GL(n; Z)#
2
7
: /
$ ,;' 70B3 < det S > 0'
: Aut S ⊂ GL(n; Z) XM :! ;?,; 1' E ** : /; 7073' 2 < : D(S, T ) =: (S, T ) ( + T S (S, T ) ; ' Aut S J -
$#
S#
Pos (n; R) / XM : ; 5 ++ . K/ +5 S ∼ T ⇐⇒ U ∈ GL(n; Z) S[U] = T ' 073 1 : S 0I3
S := {T ∈ Pos (n; R) ; T ∼ S} = {S[U] ; U ∈ GL(n; Z)} XM : ; ; ∼' ;( ( - ' $ ϕ : Pos (n; R) → C J 1 5 ( : ϕ : < 5 '' 0"3 ϕ(S[U]) = ϕ(S) S ∈ Pos (n; R) U ∈ GL(n; Z). 9 XM : ;?,; 1 Q :! ' 4 ; U ∈ GL(n; Z) V ∈ GL(m; Z) 8 ; D(S[U], T [V ]) = U −1 D(S, T )V.
; (S, T ) : ' - + ) 4 /
@ ' ) ! ( ;'8' : ' 5 I ! 5 ' 9 ' 15 ,* ?@ 5 8 ? ?9 ( Z 12615 K2 ' $ ( / ' 4 R12BBT' ! ." &" ) S ∈ Pos (n; R)5 / µ(S) := inf{S[g] ; 0 = g ∈ Z } 013
1 ≤ m ≤ n
G = (g , . . . , g ) ∈ Mat(n, m; Z) , 03 µ (S) := inf t ∈ R; G *: , S[g ] ≤ t j = 1, . . . , m ' 9 ,; I {g ∈ Z ; S[g] ≤ t} ' ( ) / 013 03 ' µ(S) J ' : S µ (S) m* > ? ' : S ' ) g ∈ Z µ(S) = S[g]5 Y; : g 5 ''5 g *:' $ µ(S) = µ (S) ≤ µ (S) ≤ . . . ≤ µ (S) 073 n
1
m
m
j
n
m
n
1
2
n
I
1 , 69
0I3 µ (S) > µ (T ) S > T 1 ≤ m ≤ n. 1 µ (S) : 5 '' 0"3 µ (S[U]) = µ (S) U ∈ GL(n; Z) 1 ≤ m ≤ n. ) / 03 ( *: G ;
< ; ( 5 ; 1 ≤ m ≤ n U = U ∈ GL(n; Z) 03 S[U] = T = (t ) , t ≤ t ≤ . . . ≤ t = µ (S). $ <; ;( : m
m
m
m
m
m
ij
11
22
mm
m
("& " S ∈ Pos (n; R)
4 n(n−1)/2
' $# 8 ( ) n5 ( n = 1 : ' 9 S = (s ) ∈ Pos (n + 1; R) , n ≥ 1' µ : 5 G ( ( 03 $ < µ1 (S) · . . . · µn (S) ≤
3
· det S
ij
s11 = µ1 (S) =: σ > 0
' : S ,; 7 M $ < ;
S=
σ 0 0 T
+ , 1 st σ σst = , T ∈ Pos (n, R) , s ∈ Rn . 0 E σs T + σsst
4 1 ≤ m ≤ n 03 *: G = (g , . . . , g ) ∈ Mat(n, m; Z) $ T [g ] ≤ µ (T ) , 1 ≤ j ≤ m' F G (< @ h = (η , . . . , η ) ∈ Z 5 !
Y; : h + G s ;( − + ' G 1
j
m
1 2
t
H :=
m
1 ht 0 G
1 1 2
m
t
m
∈ Mat(n + 1, m + 1; Z)
*:' < 1 ≤ j ≤ m η
j
+ , + , ηj + st gj ηj σ 0 = = σ(ηj + st gj )2 + T [gj ] ≤ 14 µ1 (S) + µm (T ) S 0 T gj gj
(
+ s11 = µ(S) ≤ S
ηj + st gj gj
, ≤ 14 µ1 (S) + µm (T ) .
"
: /
H *: 5 073
5 µ (S) ≤ µ (T )' µ (S) det T = det S < ) : ; T µm+1 (S) ≤ 14 µ1 (S) + µm (T )
4 3
m+1
m
1
µ1 (S) · . . . · µn+1 (S) ≤ ≤
4 n(n+1)/2 3
4 n 3
· µ1 (S) · µ1 (T ) · . . . · µn (T )
· µ1 (S) · det T =
4 n(n+1)/2 3
· det S .
2
@ ( 0735 ." ; LE+
+ % M " 1
γn := inf
det S ; S ∈ Pos (n; R) µ(S)n
γ ≥ ' 063 E 063 n = 1 2 ' 8 γ n ≤ 10 0: ' 8'' ' 5 + = / 5 8< 5 8 ?, 12B5 B3' 4 *: q ∈ Z ; k (q) ; S : ; S ∈ Pos (n; Z) := Pos (n; R) ∩ Mat(n; Z) det S = q ' ; k (q)5 q ≥ 15 J 1 + # n
3 n(n−1)/2 4
n
n
n
." - 1 + kn (q) , q ≥ 1
kn (q) = O q n(n+1)/2
!" q → ∞
'
$# 03 5 ; ; S = (s ) ∈ Pos (n; Z) s ≤ µ (S) 1 ≤ j ≤ n det S = q ; <; ' S ;; 5 *: ; F ,; 1 ≤ s ≤ µ (S) ≤ µ (S) · . . . · µ (S) ≤ · q , 1 ≤ j ≤ n' 1 ≤ i < j ≤ n *: S *: / 5 / ' 70B3 s s − s > 05 |s | < · q' 2 ij
jj
n
jj
n
1
4 n(n−1)/2 3
n
sii sij sij sjj
ii jj
2 ij
ij
4 n(n−1)/2 3
3 n ≥ m 5 1 B G ∈ Mat(n, m; Z) (m) t
" #
H ∈ Mat(m, n; Z) HG = E 0 ! H 0 H G F !) q ≥ 1 */ 1 {G ∈ Mat(n; Z) ; det G = 0 , qG−1 ∈ Mat(n; Z)} A & & GL(n; Z) 1 B
1 , 69
= . * L 8 &
Mat(n; Z)
det A = 0
GL(n; Z)A
)
A ∈
F
!! !) S = (sij ) ∈ Pos (n; R) det S ≤ s11 · s22 · . . . · snn
+ * " #
S : B Sp(ST ) ≥ n · (det S)1/n · (det T )1/n ? E' % 1 B S ∈ Pos (n; R) * : ! S = D[B]" # D D : B B ∈ GL(n; R) > !)
S, T ∈ Pos (n; R)
:& B 5 : !)
S ∈ Pos (n; R)
1 ≤ m ≤ n D G = (g1 , . . . , gm ) ∈ Mat(n, m; Z) νm (S) := inf t ∈ R ; Rang G = m S[gj ] ≤ t ) j = 1, . . . , m
5 1 B
G ∈ Mat(n; Z)
det G = 0
S[G] = T = (tij ) , tmm = νm (S) , 1 ≤ m ≤ n :
νm (S)
6 )
: 1 B
S=
νm (S) ≤ µm (S)
#
det S ≤ ν1 (S) · . . . · νn (S) ≤ µ1 (S) · . . . · µn (S) 2E e (4) , e = (1, 1, 1, 1)t " Pos (5; R) et 5/2 " E = E
µm (S) = νm (S) = ν5 (S) = 2
)
1≤m≤4
#
)
µ5 (S) = 5/2
S = (sij ) ∈ Pos (2; R) s11 < s22 = µ2 (S) : 2|s12 | ≤ s11 + s11 = s22 F ' S ∈ Pos (n; Z) U ∈ GL(n; Z)" S[U ] = (tij ) tij = 0 ) |i − j| ≥ 2 @ 3
$
)
"
, 58 /4'
) D ( ; < : ? 5 ? )))'$'7013 ;(' $013 : ' 4 ? ( ? ( ' ; (5 ? ; 5 5 *: / 5 M ! 4 ; ' ) ( ( 5
; : ? 5 ( H ( @ : I ' " # 6 "" 4 τ ∈ H5 S ∈ Pos (n; R) p, q ∈ C / ; < = *4 S + % (p, q) n
013
Θp,q (τ ; S) :=
g∈Zn
t
eπiτ S[g+p]+2πi(g+p) q .
6
, 69 /4 %
) ,* ; p = q = 0 * : = * : ( ; 03 Θ(τ ; S) := Θ (τ ; S) = e . πiτ S[g]
0,0
g∈Zn
< ? ϑ(τ ) )))'$'7013 ;(' $013 Q n = 15 S = (1) 03' : ; $ " = *4 Θp,q (τ ; S) , 0@
$
'
(p, q, τ, S) ∈ Cn × Cn × H × Pos (n; R)
" ! S ∈ Pos (n; R) Θp,q (τ ; S) (p, q, τ ) ∈ Cn × Cn × H#
J 4 ϕ : G → C5 G ⊂ C Q 5 *5 ( ϕ - @ * ' $# , C ⊂ C × C × H × Pos (n; R) * ' (p, q, τ, S) ∈ C5 p = p + ip 5 q = q + iq 5 τ = x + iy m
n
|Θp,q (τ ; S)| ≤
n
1
2
1
2
πiτ S[g+p]+2πi(g+p)t q
|e
|
g∈Zn
=
e−πyS[g]−2πg (ySp1 +xSp2+q2 )−πyS[p1 ]+πyS[p2]−2πxp1 Sp2−2πp2 q1 −2πp1 q2 . t
t
t
t
g∈Zn
#" $+ )* E 0: ' R1226T5 "'1'"3 5 *: α, β, γ, δ 5 : C < 5 |Θp,q (τ ; S)| ≤ γ
g∈Zn
≤ δ+γ
e−2παg
t g+β
√
gt g
e−παg g = δ + γ · ϑ(iα)n . t
g∈Zn
* , *; * : Θ (τ ; S)' 2 @ D ( p,q
, τ ∈ H S ∈ Pos (n; R) p, q ∈ Cn #
!" h ∈ Zn
U ∈ GL(n; Z)9
3 Θ 3 Θ 3 Θ
p+h,q (τ ; S)
= Θp,q (τ ; S)
p,q+h (τ ; S)
= e2πip h · Θp,q (τ ; S)
p,q (τ ; S[U])
t
= ΘU p,U t−1q (τ ; S)
,
Θ(τ ; S[U]) = Θ(τ ; S).
B
1 , 69
' ) 3 : ( ; <; 2 0:3 XM : ;?,; 1'1' ?9 ( Θ(τ ; S) : , : 1'I0"3' 4 S ∈ Pos (n; R) T ∈ Pos (m; R) / S 0 ∈ Pos (n + m; R). 073 S ⊕ T := 0 T $#
g = ∈ Z a ∈ Z 5 b ∈ Z < Θ(τ ; S ⊕ T ) = Θ(τ ; S) · Θ(τ ; T )' 0I3 ) S ∈ Pos (n; Z) := Pos (n; R) ∩ Mat(n; Z)5 Q S[g] ∈ Z g ∈ Z ' / *; Θ(τ + 2; S) = Θ(τ ; S) , τ ∈ H' 0"3 E < "?$ ( 0: ' 3 a b
n+m
n
m
n
03
Θ(τ ; S) =
( (S, 0) = 1'
∞
(S, m) · eπimτ , τ ∈ H,
m=0
- &
+ & ) < ( ; <M : G 5 ? : H ; ' , V
@ n < ∞' $ G : V J
V 5 ( < g , . . . , g ∈ V G = Zg + . . . Zg ' 013 g , . . . , g $ G' : . 8 )'1'7' ) σ *: / 8 ! V 5 '' (V, σ) @ 5 / = *4 + G 03 Θ (τ ) := e , τ ∈ H. 1
1
1
n
n
n
πiτ ·σ(g,g)
G
g∈G
$ " (V, σ) & G = Zg1 + . . . , +Zgn
V # $+ S = (σ(gν , gµ ))
ΘG (τ ) = Θ(τ ; S)
*' + $ g1, . . . , gn
!"
'
τ ∈H
$# 4 g = γ g + · · · + γ g ∈ G / h = (γ , . . . , γ )
< 8 < : σ 1 1
n n
σ(g, g) = S[h].
1
n
t
∈ Zn 2
2
, 69 /4 %
) S ∈ Pos (n; R) 5 R S 5 *: / 8 @ ' Θ(τ ; S) = Θ (τ ) τ ∈ H' - + , G H 8 013' ) ; 8? )'1' ; 5 h , . . . , h V 8 : G 5 ( U = (u ) ∈ GL(n; Z) n
Zn
1
n
νµ
hν =
n
uµν gµ , ν = 1, . . . , n.
µ=1
D* 13 E < : 8 ' ' " "" ( ; 8 ! ( G ("& % A + ϕ : C → C
n
7 1 1 # #
ϕ(w + g) = ϕ(w)
g ∈ Zn .
!"
,+ ϕ , 0@
013
,
ϕ(w) =
t
ch · e2πih w ,
h∈Zn
"*1D+
03
"*: .
ϕ(z + ξ) · e−2πih (z+ξ) dξ t
ch := [[0,1]]n
,0 z ∈ Cn #
: ( ) n5 ( 4 n = 1 ! 0: ' - - 5 H' " R##T5 1'7'I3' , n > 1
$#
w=
w , wn
z z= , zn
ξ ξ= , ξn
h=
h . hn
4 w ∈ C w → ϕ(w) *' 9 ) : ;
: "?$ ( n
ϕ(w) =
h ∈Zn−1
ch (wn ) = [[0,1]]n−1
ch (wn ) · e2πih
t w
,
z + ξ t · e−2πih (z +ξ ) dξ . ϕ wn
6#
1 , 69
ϕ c * 0: ' - - R122"T5 B''3 * ! D 1' < "? $ ( h
ch (wn ) =
ch · e2πihn wn ,
hn ∈Z
ch = [[0,1]]
=
ch (zn + ξn ) · e−2πihn (zn +ξn ) dξn
[[0,1]]
t ϕ(z + ξ) · e−2πih (z+ξ) dξ dξn .
[[0,1]]n−1
) 5 < 03 ,; : "& 0: ' '
R122S ))T5 2'1B3 ϕ(w) =
2πiht w
ch · e
.
{|ϕ(w)| ; |w | ≤ 2R + 1, j = 1, . . . , n}. z = −i2R(sgn h , . . . , sgn h ) 5 M :=
n
hn ∈Z
h ∈Zn−1
, R > 0 4 h ∈ Z
j
1
n
t
ht z = −i2R(|h1 | + . . . + |hn |).
z 03 |w | ≤ R5 j = 1, . . . , n j
|ch · e2πih w | ≤ |ch | · e2π(|h1 w1 |+...+|hnwn |) ≤ M · e−4πR(|h1 |+...+|hn|) dξ · e2πR(|h1 |+...+|hn |) t
[[0,1]]n
= M · e−2πR(|h1 |+...+|hn |) .
<J : ; 0135
e−2πR(|h1 |+...+|hn|) =
h∈Zn
1 + e−2πR 1 − e−2πR
n
.
2
( ; " "" " S ∈ Pos (n; R) p, q ∈ Cn τ ∈ H
61
, 69 /4 %
√ 073 Θ (−1/τ ; S ) = (τ /i) · det S · e · Θ (τ ; S). n F( ; ; (< 5 *: *: ' $# : D* 1 1 G ( ,; ! ( −1
−q,p
−2πipt q
n/2
p,q
ϕ(p) := Θp,q (iy; S).
: ; ) < h ∈ Z
n
ch =
g∈Zn
t
t
g∈Zn
[[0,1]]n
=
e−πyS[g+p]+2πi(g+p) q · e−2πih p dp e−πyS[g+p]+2πi(g+p) (q−h) dp t
[[0,1]]n
e−πyS[p]+2πip (q−h) dp t
= Rn
−1 [h−q]
= e−π(yS)
−1 (h−q)]
e−πyS[p+i(yS)
dp.
Rn
(< XM : ;?,; 1'7 W ∈ GL(n; R) yS[W ] = E
p = W u5 dp = | det W |du = y (det S) du' W (h − q) = v −n/2
−1/2
t
−1 (h−q)]
e−πyS[p+i(yS)
Rn
=y
e−π(u+iv) (u+iv) du t
dp = | det W | · Rn
−n/2
· (det S)
−1/2
·
n ∞
2
e−π(uj +ivj ) duj .
j=1 −∞
; 5 - ; ) 1 0: ' - - 5 H' " R##T5 1'I'73' < y n/2 ·
√ −1 t t det S · Θp,q (iy; S) = e−π(yS) [h−q] · e2πih p = e2πiq p · Θ−q,p (i/y; S −1). h∈Zn
073 τ = iy5 y > 0' , : 073 * τ ∈ H 5 8 * ) <;' 2
,* ; ?9 ( 5 p = q = 05 ( ." ; " S ∈ Pos (n; R) τ ∈ H
Θ(−1/τ ; S −1 ) = (τ /i)n/2 ·
√ det S · Θ(τ ; S).
6
1 , 69
$ ( ( ,* ; ( ." - S ∈ Pos (n; Z) det S = 1
Θ (−1/τ ; S) = (τ /i)n/2 · Θ(τ ; S) !" τ ∈ H.
$ S [S] = S S ∈ GL(n; Z)' 9 : ( 2
D* 13' −1
$#
3 , G : 4 013 H @ (V, σ)' 8 9 J @ 4 !
- +
√
{γ1 g1 + . . . + γn gn ; 0 ≤ γν ≤ 1 , 1 ≤ ν ≤ n}
: G det S 5 ( S ; G ? ' : ( ; vol(G)' G := {v ∈ V ; σ(v, g) ∈ Z g ∈ G} ( H 5 ; G 0 ; σ3' < h , . . . h ∈ V σ(h , g ) = δ 5 h , . . . , h 8 : G S ; G ?' <M :! Θ (−1/τ ) = (τ /i) · vol(G) · Θ (τ )' ) 4 G = G ( G , vol(G) = 1' 3 ) 8 ; $03 Θ (τ ; S) = ϑ(τ S, p, q)' ( 073 ; ,* ; : $073' $073 Z = iS 5 S ∈ Pos (n; R)5 073 ( 5 ) <; Z ' " "& $ S ∈ Sym (n; R) J 5 ( S[g] = g Sg ∈ 2Z g ∈ Z ' 013 $ . σ
1 −1
n
i
j
ij
1
n/2
Gσ
σ
n
G
σ
p,q
t
n
$ " " ' S = (sνµ ) ∈ Sym (n; R) 0/ 9
03 S # 03 s ∈ 2Z !" ν = 1, . . . , n s ∈ Z !" ν = µ# 03 Sp(ST ) ∈ 2Z !" T ∈ Sym (n; Z)# $# 03 =⇒ 03% < g ν ? $ : e 0135
s ∈ 2Z' 4 ν = µ νν
νµ
ν
νν
S[eν + eµ ] = sνν + sµµ + 2sνµ ∈ 2Z
s ∈ Z' 03 =⇒ 03% , T = (t )5 νµ
νµ
67
, 69 /4 %
Sp(ST ) =
sνν tνν + 2
1≤ν≤n
'
sνµ tνµ ∈ 2Z
1≤ν<µ≤n
03 =⇒ 03% ) g ∈ Z 5 T = gg n
t
∈ Sym (n; Z)
2
Sp(ST ) = S[g].
) S 5 G ∈ Mat(n, m; Z) =⇒ S[G] ' 03 9 ( ? ; 5 *: / ; '
4 013 103 ( , S ∈ Pos (n; Z) #
9
Θ(τ + 1; S) = Θ(τ ; S) Θ(·; S) ,+
!"
"*: ∞
Θ(τ ; S) =
'
τ ∈H
(S, 2m) · e2πimτ , τ ∈ H.
m=0
) ( ( 8 4 $ ; ; ' < ; G ? '
! " 3 " 3 % D "&
("& S ∈ Pos (n; Z)
n 8 , #
$#
4 τ ∈ H / τ1 = −
1 , τ
τ −1 1 τ , τ3 = − = , τ τ2 1−τ 1 τ5 = − = τ − 1 , τ6 = τ5 + 1 = τ. τ4
τ2 = τ1 + 1 =
τ4 = τ3 + 1 =
1 , 1−τ
9 ( D* I 78 <
Θ(τ ; S) = Θ(τ6 ; S) = (τ /i)n/2 · (τ2 /i)n/2 · (τ4 /i)n/2 · Θ(τ ; S).
< τ = i ; 5 Θ(i; S) *:
F 5 1 = (1 + i)n/2
1+i 2
n/2
= eπin/4 ,
( 5 F( ; ; (< 5 2 *: *: ' 4 n 8 ' 4 n = 8 ( 8 * '
6I
1 , 69
$ " '
013
S8 :=
2E A −A 2E
0 1 1 1 −1 0 −1 1 , , A= −1 1 0 −1 −1 −1 1 0
, E = E (4)
G #
A 5 S I '
$#
8
−A2 = At A = AAt = 3E
' 1'70I3
2E A −A 2E
, + 2E E − 12 A = 0 0 E
0 1 E 2
.
CQ det S = 1 XM : ;?,; 2 1'7 *: / ' , , : 1073 S 5 5 ; - n5 8 5 5 5 *: / ' 4 n ≡ 0 (mod 8) ; h ; XM : ;? 5 5 *: / n × n ! ; ' ; 1'"8 ' 8 8
8
n
h8 = 1 ,
h16 = 2 ,
h24 = 24.
9 A'D' R1267T5 *' "'5 h32 > 80.000.000 .
- +
3 $ ; S <M : ( A 1B67 : '
H' / .. 0' ' 15 7?7B23' n = 8 5 ( 127B : 'A' 0: ' A' ' D **' 5 I1?I3 ( ' 3 $ h16 = 2 : $'
0' ' , ' ' E :' 5 77?776 012I133' $ / 5 ; Pos (24; Z) ( 1267 : ' 0A' 9 !5 1I?16B3 8
: '
) k @ : 45 (τ /i) = τ τ ∈ H' ,; " ( D* I 78
1 " # " +"& k
k
("& S ∈ Pos (n; Z) = *4 Θ(τ ; S) + '! n2 *:
"
Θ(τ ; S) =
∞ m=0
(S, 2m) · e2πimτ , τ ∈ H.
6"
, 69 /4 %
8 * Θ(τ ; S ) ∈ M ( )))''101#3 8
4
= CG∗4
' (S, 0) = 1
." ; :
Θ(τ ; S8 ) = G∗4 (τ )
!"
τ ∈H
' G )))''18 $ : : ; ' (S8 , 2m) = 240 · σ3 (m)
!"
m≥1
." - S ∈ Pos (n; Z) #
(S, 2m) = −
n · σ n2 −1 (m) + O mn/4 Bn/2
!" m → ∞.
3 $ : H ' , G H @ (V, σ)' G 5 ( σ(g, g) ∈ 2Z g ∈ G' 5 ; G ? S 0: ' 3 ' 8 73 ,; " 5 H 5 ( n @ : 8 ' ) G 5 H 5 ? Θ (τ ) ; : H ( n/2' 3 ,; " ( ;
: 8' & 0' ' 15 "11?"7 012723S 8 6B#3 $' 0' # ( 5 B6?BB3 ( ' - +
G
) (
5 Pos (24; Z) 5 2 ' G ; % ? ' ! 5 A' $ ; 0: ' A' ' #)$ 9'A'' R1222T5 .*' B'"3' 4 D; p > 2 a ∈ Z / 4 (mod p)5 ( p a
; α ≡ a (mod p)
G α ∈ Z ;' α ≡ a (mod p) G α ∈ Z ;5 a / (mod p)' / % ?, a ∈ Z p|a , 0, a = 1, a M (mod p) , p −1, a M 9 (mod p) . $ A "013 p = 11 p = 3 .
2
2
A :=
0 et −e B
∈ Mat(12; Z), e = (1, . . . , 1)t ∈ Z11 ,
B=
i−j 11
. 1≤i,j≤11
6
1 , 69
= − A ' : /; $ % ? , 0: ' 4 R126T5 *' 23 A A = 11E. 013 −a 11
a 11
t
("& '
03
L24 :=
4E A − 2E At − 2E 4E
, E = E (12) ,
G !"
073
µ(L24 ) = 4
'
A 5 (A − 2E)(A − 2E) = 15E 013' M $ < ; 1'7 , + 4E 0 E (2E − A) 4E A − 2E = . 0I3 0 0 E A − 2E 4E E L 5 *: / ' ; 0I3
L > E' 4 g ∈ Z g g ≥ 16 $#
t
1 4
t
1 4
24
24
24
1 8
t
L24 [g] > 18 E[g] ≥ 2
: 1'I' F 9( : 073 L [g] ≥ 4 g ∈ Z 0 < g g ≤ 15 ; ( ' < 5 : <; 5 : ! ( 5 ;'8' : D. ( ' 2 24
24
t
9 )))'I' f ∈ M α (0) = 1 α (1) = 0' ,;
*; 12
f
f
." ; = *4 Θ(τ ; S8 )3 = Θ(τ ; S8 ⊕ S8 ⊕ S8 ) Θ(τ ; L24 )
,0 # :
Θ(τ ; L24 ) = G∗4 (τ )3 − 720∆∗ (τ ) = G∗12 (τ ) − =
5 7 ∗ 3 G4 (τ ) + G∗6 (τ )2 12 12
∆∗ (τ ) =
65 520 ∗ ∆ (τ ) 691
1 (Θ(τ ; S8 ⊕ S8 ⊕ S8 ) − Θ(τ, L24 )) 720
66
, 69 /4 %
(L24 , 2m) =
65 520 (σ11 (m) − τ (m)) 691
!"
m≥1
'
5 5 ,; )))'I'7 10I3 ." - " k ≡ 0 (mod 4) 7 f ∈ Mk ,.
= *4 + G 2k × 2k ' + #
; L G H ( : A' % A! 126 0. A' ' 5 "1?"3 F * R ' 8 "3 (< ! / : ' 5 S : 5
; Pos (24; Z) µ(S) > 2 ' ! L 8 073 ' F / : H : A' ' #)$ 9'A'' R1222T' ) / % ?H '? @ : . 9
- +
24
24
24
µ(S) 0: ' 1'"0133 S ∈ Pos (n; Z) J ( ' E : 1'"
29 < "
µ(S) ≤
4 (n−1)/2 3
.
) S 5 <; ( : ' ("& S ∈ Pos (n; Z) #
µ(S) ≤ 2
n 24
+ 2.
8 ( 5 µ(S) > 2 + 2 ' ? Θ(·; S) ∈ M , k = n/25 ,; ' "? Y; + 1' (S, 0) = 1 , (S, 2m) = 0 , 1 ≤ m ≤ dim M = + 1 )))'I'1 k ≡ 0 (mod 4) ( 2 * ; )))''"' $#
n 24
k
k 12
k
k 12
$ 5 S ∈ Pos (n; Z) µ(S) = 2 + 2 ! ( ' ) G 5 H @ (V, σ)5 J G 5 ( ; G ? ! 5 '' σ(g, g) ≥ 2 + 2 g ∈ G , g = 0' n 24
n 24
6B
1 , 69
8 * ; S , S H L ' 8
8
⊕ S8
' 9 ,; 6 % ?
24
Θ(τ ; S) * 3 k ≡ 0 (mod 4) , k ≥ 12 : E8 Z S ∈ Pos (2k; Z) ZE1 Mk R ∈ Pos (24; Z) : ) .& E Tn , n ≥ 1" * , E8< 3 Θ(τ ; L24 ) + (R,2n) Tn Θ(τ ; R) = σ11 (n) − (R,2n) 720 720 Θ(τ ; S8 )
"
3
3
Θ(τ ; R) & 5 *) Tn (R, 2n) > 0 G∗k (τ ) ) k = 12, 16, 20 A & E8 S ∈ Pos (2k; Q) q ∈ Z" qS qS −1 : 1 q 1 0 = Θ(·, S) , Θ(·; S)|k = Θ(·; S). Θ(·, S)|k 0 1 q 1
> 3
χϑ
!)
n>1
= 1
000 D 4 &
:
(4k)
ϑ
? : $
Γϑ
= Θ(·; E ) ∈ M2k (Γϑ , χkϑ ) := id−1 " χ : Γ0 [4] → C , χ ac db 4k
4 & !)
k∈N
!)
m∈N
ϑ(2τ )2k = Θ(τ ; 2E (2k) ) ∈ Mk (Γ0 [4], χk )
(S8 , 2r) · (S8 , 2s) = 480 · σ7 (m) .
r+s=m
0 e A ∈ Sym(16, Z)" E = E (8) , A = −e ∈ Mat(8; Z)" S16 := 2E B At 4E e = (1, . . . , 1)t ∈ Z7 , B = i−j " D 7 1≤i,j∈7 5 (S16 , 2m) = 480 · σ7 (m) ) m ∈ N : 1 B
! 7 4 1
) D ,* ; < . + ( ( ' 4 k ≡ 0 (mod 4) ? ! ( ? ; 5 5 *: / M 4 ' 8 ( ( ?C* ' # " "+"+ " 4 q ∈ N A, B ∈ Mat(n, m; Z) / 1 + (mod q) 1 A ≡ B (mod q) ⇐⇒ (A − B) ∈ Mat(n, m; Z)5 013 q (
; - * ' E Q @! ; 4 A ≡ A (mod q) , B ≡ B (mod q) =⇒ AB ≡ A B (mod q)' 03
8 4
62
2
F 5 - : ; 5 ;
@ ;
; (mod q) ; ' , q ∈ N S = (sij ) ∈ Sym (n; Z) , n ≥ 2 q s11 ! #
, ' U ∈ GL(n; Z) ' R ∈ Sym(n − 1; Z) s11 0 (mod q). S[U] ≡ 0 R
$#
ggT(s , q) = 1 u ∈ Z s ' 8 * 11
2≤j≤n
j
U=
1 ut 0 E
11 uj
+ s1j ≡ 0 (mod q)
, ut = (u2 , . . . , un ).
2
) q D ; D;5 ( - @ ' ("& p + ∈ N S ∈ Sym (n; Z)#
,
U ∈ GL(n; Z)
D
S[U] ≡ D (mod p ).
, n > 1 S = 0' S S , δ(S) = ggT(s )5 ; 5 $ < δ(S) = 1 ' ) : S p 5 (<
D V 5 D* S[V ] ; ( ' p : s j = 1, . . . , n' δ(S) = 1 i, j , i = j 5 p s ' (< V ∈ GL(n; Z) e + e ,* ' : S[V ] S[e + e ] = s + s + 2s ( p = 2 p ' A ; ( D* 2 S[V ] ( < * ) 8 * ' $#
1 δ(S)
ij
jj
ij
i
i
j
j i
j
ij
3 ,; ( : ' ) 0( 5 3 ( ' 4 D ; : 2 '' G 5 @ ; / ' : 5 ''5 F 2 × 2 8G 0: ' 13' 3 G *< ,; = 1' ) 4 : ( 8 ( 9 : M 4 G* . = 2 5 - +
SL(n; Z) −→ SL(n; Z/pZ),
- * modp ; 5 - : H ** ! * ' : ' " R12B"T5 6?B'
B#
1 , 69
.+ & mod p % ." ) ; (5 : 5 ; @ / 5 modp 4 ;' F
( ( 4 5 ( @ ;
) : modq ;' $ " ; q ∈ N !" A ∈ Mat(n; Z) 0/ 9
03 : , B ∈ Mat(n; Z) AB ≡ BA ≡ E (mod q)# 03 det A q ! # $# 03 =⇒ 03% $ (det A) · (det B) ≡ 1 (mod q)' 03 =⇒ 03% (< α ∈ Z α · det A ≡ 1 (mod q)' < 8 * B = αA 5 ( A ; A - 0: ' ' 2 R1226T5 7'' 7''I3' 9 ; (5 M
; modp G '
$ " - p + a, b, c ∈ Z p a p b#
,+ 1 +
ax2 + by 2 ≡ c (mod p)
(x, y) ∈ Z × Z# $#
{ax2 + pZ ; x ∈ Z} ∩ {c − by 2 + pZ ; y ∈ Z}
5 ( p a p b (mod p) p > 2 ;(' p = 2 '
(
p+1 2
;(' 2
, q ∈ N S = (sij ) ∈ Sym (n; Z) , n ≥ 2# :
s11 ≡ 0 (mod q) α = ggT(s12 , . . . , s1n ) + q ! #
, U ∈ GL(n; Z) (1, 0, . . . , 0)t R ∈ Sym(n − 2; Z) : !
S[U] ≡
Q 0 (mod q) , 0 R
0 α . α 0
Q=
, s = (s , . . . , s ) ' 9 1' V GL(n − 1; Z) V s = (α, 0, . . . , 0) ' 9 < , +
$#
12 t
T =S
1 0 0 V
1n
t
∈
t
=
T1 T2 T2t T3
,
0 α α β
T1 ≡
(mod q).
9 B ∈ Mat(2; Z) T B ≡ E (mod q)' (< γ ∈ Z 2αγ + β ≡ 0 (mod q)' 1 γ Q 0 A −BT . (mod q) U = , A= T [U] ≡ 0 1 0 R 0 E 2 1
2
8 4
B1
2
$ (G = 8 ( ; ) n $ D; q = 2 0: ' 8 133' $ $ " 6 S ∈ Sym(n; Z) #
U ∈ GL(n; Z)
S[U] = [Q1 , . . . , Qr , 0] (mod 2),
Qj =
1 ), j = 1, . . . , r, 0
0 1
, 2r 4 S ", Z/2Z #
@ D* <
("& p > 2 + S ∈ Sym (n; Z) n = 2k # (−1)k det S / 4 (mod p) , α1 , . . . , αk ∈ Z
U ∈ GL(n; Z) : ! 0 D (mod p) , D = [α1 , . . . , αk ]. S[U] ≡ D 0
013
: ( ) k ,; 1 ! 5 S (mod p) d , . . . , d ' ; ; <5 03 *: g ∈ Z S[g] ≡ 0 (mod p)
' ; ( ;( 4< % 03 $ j > 15 −d d M (mod p) ' ;
; α + d d ≡ 0 (mod p) G ' ) ' α α + βp
β ∈ Z ;5 ))'7' ggT(α, d ) = 1 ' @ g = αe + d e 03' 03 −d d j = 2, . . . , n M 9 (mod p)' n ≥ 4' 9 8 α, β ∈ Z $#
1
n
n
1 j
2
1 j
1
1
1 j
1 j
d1 α2 + d2 β 2 + d3 ≡ 0 (mod p).
@ g = (α, β, 1, 0, . . . , 0) 03' 9 (< g 03 ,* U D* t
S[U] ≡
Q 0 0 R
(mod p) ,
Q=
0 α1 α1 0
,
R ∈ Sym (n − 2; Z),
' 4 k = 1 ' 4 k > 1 (−1) det R M (mod p) 5 * ) U < 5 R (mod p) ( H ' *; U :
D P 5 5 S[UP ] 4 013 ' 2 k−1
B
1 , 69
) ,* M 4 ,; ( 0 ' " R12B"T5 ))5 K73% - +
F 1 char F = 2 S ∈ Sym (4k; F) 0 = det S F F #
/ 4 (F4k , S) . ,#
) < ( ; (mod p)5 ( p ! D; ' ( / : D(S, T ) Aut S 5 S ∈ Pos (n; Z)5 1'I03' ) : ( ( ! ; ' " +
Un : = GL(n; Z),
013
Ap (S) : = {HUn ; H ∈ Mat(n; Z), | det H| = pn/2 , S[H] ≡ 0 (mod p)}.
$ " S1 , . . . , Sh & 1
G n × n ' + n = 2k # S ,, ' 1 p > 2 + # H ∈ Mat(n; Z) | det H| = pk S[H] ≡ 0 (mod p)
3
pH −1 ∈ Mat(n; Z).
3 -,, h
{GAut Sj ; G ∈ D(S, pSj )} −→ Ap (S) ,
GAut Sj −→ GUn ,
j=1
$7 # -,,
3
h
{(Aut Sj )G ; G ∈ D(Sj , pS)} −→ Ap (S) ,
(Aut Sj )G −→ pG−1 Un ,
j=1
$7 #
3 , S[H] = pT ' 8 T ∈ U ' <
$#
n
pH −1 = T −1 H t S ∈ Mat(n; Z).
3 S[G] = pS det S = det S = 1 | det G| = p ' : Aut S ⊂ U 5 ( Ψ 5 ( / ' , G ∈ D(S, pS ) H ∈ D(S, pS ) GU = HU '
U ∈ U G = HU ' j
j
k
j
n
i
j
n
n
1 1 Si = S[G] = S[HU] = Sj [U]. p p
n
B7
2
8 4
S , . . . , S @ 5 < ; < i = j U ∈ Aut S ' Ψ - :' , HU ∈ A (S) ' T := S[H] 5
*: / ' U ∈ U 1 ≤ j ≤ h S = T [U]' 9 HU ∈ D(S, pS ) 1
h
i
n
1 p
p
n
j
j
Ψ(HUAut Sj ) = HUn .
ψ - :' 2 3 8 ( ( : 3 ' 8 < A (S)5 < 8 ; p
." :
Ap (S) =
h (S, pSj ) j=1
(Sj , Sj )
=
h (Sj , pS) j=1
(Sj , Sj )
.
F 5 < : A (S) *; ; ' ; G ( p
, ; p + H ∈ Mat(n; Z) : .
!
| det H| = pr , r ≤ n,
pH −1 ∈ Mat(n; Z).
,
pn−r & g ∈ Zn (mod p) H −1 g ∈ Zn #
$# : ( ) n5 ( n = 1 : ' XM : ;?,; 1'1 G ( $ < 5 H = (h ) 4 1'013 ' h = 1 h = p' 03 H = 10 H0 , H ∈ Mat(n − 1; Z) , det H = p , pH ∈ Mat(n − 1; Z)' g G ij
11
11
r
−1
γ −1 , γ ∈ Z , g ∈ Zn−1 , H g ∈ Zn−1 . g= g
9 ) : ; p 03 H = 0p Hh , h ∈ Z , det H = p t
pH ; 5 H −1
n−1
t−1
h ∈ Zn−1
G g (mod p)' , pH ∈ Mat(n − 1; Z)'
n−1−r
r−1
−1
' G
g pγ + ht H −1 g −1 , g ∈ Zn−1 , H g ∈ Zn−1 , γ ∈ Z. g
BI
1 , 69
9 ) : ; g (mod p) p G ! 2 '
n−r
( ; 0 S (mod p) ' , - p > 2 + S ∈ Sym (n; Z) , n = 2k (−1)k det S / 4 (mod p) #
- + & g ∈ Zn (mod p) S[g] ≡ 0 (mod p) p2k−1 + pk − pk−1 #
9 ,; $ < S ≡ ( ) (mod p)
D p det D ' g = , a, b ∈ Z 5 < $#
0 D D 0
a b
k
S[g] ≡ 2at Db (mod p).
H a ≡ 0 (mod p)5 b (mod p) p G ' H a ≡ 0 (mod p)5 b (mod p) ( p det D p G ' ) 4 p − 1 G a (mod p)' 2 k
k−1
k
A ; G ( ; A (S) *; ' p
("& p > 2 + n = 2k S ∈ Sym (n; Z) (−1)k det S / 4 (mod p) #
3 :
Ap (S) = a(p, k) :=
k−1
(pj + 1).
j=0
3 k > 1 g ∈ Z
, g ≡ 0 (mod p) S[g] ≡ 0 (mod p) ,
a(p, k − 1) , HUn ∈ Ap (S) : ! H −1 g ∈ Zn n
' $ >! ?# : ( ) k ' ) 4 k = 1 ,; $ < S ≡ ( ) (mod p) p s ' A ; 9 1'013 5 ! 1 0 p 0 U U 0 p 0 1 ; A (S) G ' , k > 1' < m M5 / 0 s s 0
2
2
p
{(HUn , g (mod p)) ; HUn ∈ Ap (S), g ∈ Zn , g ≡ 0 (mod p) , H −1 g ∈ Zn } ,
;( : ' 5 M ! @ g ( S[H] ≡ 0 (mod p) S[g] ≡ 0 (mod p) ' 03 4 HU ∈ A (S) pH ∈ Mat(n; Z) ' 9 D*! p ; @ g (mod p) H g ∈ Z ' m = (p − 1) · A (S)' n
−1
p
−1
k
k
p
n
B"
2
8 4
03 , g ∈ Z , g ≡ 0 (mod p)5 S[g] ≡ 0 (mod p)' (< 1' U ∈ U U g = (δ, 0, . . . , 0) 5 p δ' (1, 1)? Y; : S[U] δ S[g] p ' 9 :
< : U <J D* $ < n
−1
n
g = δe1
t
−2
S≡
Q 0 0 R
(mod p) ,
Q=
0 α α 0
, p α,
' R ∈ Sym (n − 2; Z)5 (−1) det R ( M (mod p)' ; H 9! 1'013 det H = p , S[H] ≡ 0 (mod p) H g ∈ Z . ; 8 1'013 5 H : 4 ( ) ' 9 ; S[H] ≡ 0 (mod p) * ; H : S (mod p) 5 5 H G G ∈ Mat(n − 2; Z) : 4 1'013 , 1 0 A 0 ; , A= H= k−1
−1
k
n
1 0 0 ∗
det G = pk−1 , R[G] ≡ 0 (mod p) .
0 p
0 G
9 ) : ; g a(p, k−1) G HU ' 3 ( ' D* 8 ( m = (p +p −p − 1) · a(p, k − 1)' H m ( n
2k−1
k
k−1
Ap (S) = (pk−1 + 1) · a(p, k − 1) = a(p, k).
2
G " T " " # 9 '68 ( ( 5 8 ? ?C* ( : ? ( ' H ; *; ; (
F +
p
("& S1 , . . . , Sh & 1 G n × n ' + n = 2k # S ,, '
1 p > 2 + #
013 $#
k−2 −1 h (S, pSj ) · Θ(·; Sj ). Tp Θ(·; S) = (pj + 1) · (Sj , Sj ) j=0 j=1
/ ; < f (τ ) :=
h (S, pSj ) j=1
(Sj , Sj )
· Θ(τ ; Sj ) ∈ Mk .
B
1 , 69
<
Gj G ∈ D(S, pSj )
- ( @ GAut S 5 (
f (τ ) =
j
h
eπiτ S[Gj ][g]/p =
HUn ∈Ap (S) g∈Z
j=1 Gj g∈Zn
eπiτ S[Hg]/p ,
n
( ( ; , 73 : ( ' S[Hg] ≡ 0 (mod 2p) HU ∈ A (S) g ∈ Z . 8 ; ( "? Y; : f α (m)5 n
n
p
f
αf (m) = {(HUn , g) ; g ∈ D(S, 2mp) , HUn ∈ Ap (S) , H −1g ∈ Zn }.
$ (S, 2m/p) @ g ∈ D(S, 2mp) g ≡ 0 (mod p)' $ g H g ∈ Z HU ∈ A (S) : 735 ,; 7 a(p, k) G HU ' (S, 2mp) − (S, 2m/p) @ g ∈ D(S, 2mp) $ ! g ≡ 0 (mod p)' ) g 5 ,; 73
a(p, k − 1) HU ∈ A (S) H g ∈ Z ' a(p, k) ,; 7 ( −1
n
n
p
n
n
p
−1
n
αf (m) = (S, 2m/p) · a(p, k) + ((S, 2mp) − (S, 2m/p)) · a(p, k − 1) = a(p, k − 1) · (S, 2mp) + pk−1 (S, 2m/p) .
D* 'I J ( )@'1'15 "? Y! ·f T Θ(·; S) ' $ ; : 2 "?$ ( 013' - + 3 4 013 p = 2' ( ( G ' ) ( 8 ( ' 3 4 013 D ;* *;' 4 * - ! 5 ( HGJ ; ( ! ! ' 013 '' 5 ? '' < ' ! # " $ "*" " # ) ( ( ,* ; @ < +' ? ( ? ' 1 a(p,k−1)
p
("& S1 , . . . , Sh & 1 G n × n ' + n = 2k #
013
h 1 j=1 (S1 ,S1 )
1 (Sj ,Sj )
+ ...+
1 (Sh ,Sh )
· Θ(τ ; Sj ) = G∗k (τ ) , τ ∈ H.
8 4
B6
2
f (τ ) ∈ M , : 013 : ( ; ; N 9 ' ) p > 2 D;5 ( ,; I
$#
k
Tp f =
h 1 1 · · Tp Θ(·; Sj ) N j=1 (Sj , Sj )
h 1 1 · · = N · a(p, k − 1) i=1 (Si , Si )
h (Sj , pSi ) j=1
(Sj , Sj )
· Θ(·; Si) .
7 ,; 7 Tp f =
h a(p, k) 1 · · Θ(·; Si ) = (pk−1 + 1) · f. N · a(p, k − 1) i=1 (Si , Si )
α (0) = 1 8 * ,; )@''I'
2
f
@ m? "? Y; , : 0135 )))''1023 ." " m ≥ 1 h (Sj , 2m) j=1
2k =− (Sj , Sj ) Bk
1 1 +···+ (S1 , S1 ) (Sh , Sh )
· σk−1 (m).
3 $ ( @ ,; ( 127" : .'' 0# -,# 5 7?I#"3 ( ' ,; ,* ; 5 5 *: / ; ( 12I1 : $'
0' ' , ' ' E :' 5 77?7763 *<* ' 3 9 : 013 HGJ - +
M(n) :=
1 1 +···+ (S1 , S1 ) (Sh , Sh )
J ' @ H 5 5 *: / n × n ; ' )+ ' @! HGJ % M(n) =
k−1 |Bk | |B2j | · , n = 2k. 2k j=1 4j
9 < J 0: ' A' ' #)$
BB
1 , 69
9'A'' R1222T5 .*' 1'3% 1 -
n
1 696729600 691 277667181515243520000 1027637932586061520960267 129477933340026851560636148613120000000 4890529010450384254108570593011950899382291953107314413193123 121325280941552041649762780685623131486814208000000000
8 16 24 32
≈ 1, 4 · 10−9 ≈ 2, 5 · 10−18 ≈ 7, 9 · 10−15 ≈ 4, 0 · 107
h(8) = 1 M(8)
' 3 ) 4 n > 8 ,; ? ;( ! < 5 - 013 N O ? ' 3 "? Y; : G ;; ' 4 n = 24 $ ; : 2 < ? 0 h > 13 ,;' , <
8 ( : '68 Q % ?H '
3 8 ( ,; ( @ ! : '?H' 6"&& 0 2 5 12B63' ) , ' "*+ 0) : ' ' !5 B?22 012BI33 :' 4 H C V ! G* * : '?H' 6"&& 0 ! '5 1?1 012BI33' $ ( $ ( 12" : ' 0 ' '5 1?B63 ' (S8 , S8 ) = Aut (S8 ) = 696.729.600
∗ 12
12
3 S
α1 , . . . , αr ∈ Z
∈ Sym (n; Z) ≥ 1 : U ∈ GL(n; Z) A1 , . . . , As ∈ Mat(2; Z) 5
#
1 *
S[U ] ≡ [α1 , . . . , αr , A1 , . . . , As ] (mod 2 ) , r + 2s = n. 5 1 B
S ∈ Sym (n; Z) U ∈ GL(n; Z)
S ∈ Sym (n; Z) det S = 1" # n ≡ 0 (mod 4) n = 2k
= 3
: :
5
S[U ] ≡ [D1 , . . . , Dk ] (mod 4) , Dj =
0 1
1 0
,
2 1 , j = 1, . . . , k. 1 2
S ∈ Sym (n; Z) , n = 2k " : : 22k−1 +2k−1 L& g ∈ Zn (mod 2) S[g] ≡ 0 (mod 4) 22k−1 − 2k−1 L& g ∈ Zn (mod 2) S[g] ≡ 2 (mod 4) > 3 S ∈ Sym (n; Z) , n = 2k " : a2 (S) * 1 $ * A & & HUn | det H| = 2k " 2 S[H]
3
5
a2 (S) = a(2, k) =
k−1 j=0
(2j + 1).
B2
!+ 2 % ;% < % 84
0
k>1
g ∈ Zn , g ≡ 0 (mod 2)" S[g] ≡ 0 (mod 4)" HUn 5
a(2, k − 1)
A & &
| det H| = 2k , H −1 g ∈ Zn ,
1
2 S[H]
p = 2 p = 2 9 * p (S8 , pS8 ) = 2(p + 1)(p2 + 1)(p3 + 1) · (S8 , S8 )
? 1 $ A = 6 = ) ) !) 7
#+ 1 ' : ' ; ' 74 ) D ( ; < D ' , 5 ? ,*; ; ( ' ( ; 5 ? ; *: / M 4 ;
; ** ' 5" ,) , X , . . . , X E C5 : ! ( ( α ∈ N ; 1
013
''
X1
n 0
''
α1
n
X = , α = , X α := X1α1 · . . . · Xnαn , α! := α1 ! · . . . · αn ! . Xn αn
4 r ∈ N ; P C?@ r C[X , . . . , X ]5 013 03 P = P (X) = p(α)X ; p(α) ∈ C, α + . . . + α = r . (n) r
0
1
n
(n) r
α
1
n
α∈Nn 0
8 073 dim P = {α ∈ N (n) r
n 0
n+r−1 . ; α1 + . . . + αn = r} = r
' $# ) , ; 013 03 / ( ,! * P (n)
$ " {(ht X)r ; h ∈ Rn } : + Pr (n) r
6 7 t ∂ ∂ P (X), Q(X) = α! · p(α) · q(α) = P , . . . , ∂Xn Q(X). ∂X1 α∈Nn 0
) P (X) ∈ P 5 h ∈ R (n) r
6
n
7
P (X), (htX)r
= r! · P (h).
2#
1 , 69
, U : (h X) 5 h ∈ R 5 * C?E : P ' - P (X) ∈ U P (h) = 0 h ∈ R . $ ) n ; ; ) <; P ≡ 05 2 U = P ' P (X) ∈ P 5 ( t
r
(n) r
n
⊥
n
(n) r
(n) r
∆P (X) ≡ 0, ∆
∆=
∂2 ∂2 + ...+ . 2 ∂X1 ∂Xn2
%?)
Hr(n) := {P (X) ∈ Pr(n) ; ∆P (X) ≡ 0}
E : P ' CQ (n) r
(n)
(n)
H0 = C, H1 = CX1 + . . . + CXn , Hr(1) = {0}
$ 8 : H
r ≥ 2.
(n) r
, n ≥ 2 r ≥ 1#
(n−1)
φ : Hr → Pr(n−1) × Pr−1 , P (X) →
(P (X)
Xn =0
,
∂(P (X))
,
∂Xn Xn =0
& 0# $#
, X = (X , . . . , X ∼
n−1 )
1
P (X) =
∆P
r
t
' P (X) ∈ P 4 (n) r
∼
∼
(n−1)
Pj (X ) ∈ Pr−j .
Pj (X )Xnj ,
j=0
r
= ∆Pr−1 = 0
∆P (X) =
r−2 r ∼ ∼ ∆Pj (X ) Xnj + j(j − 1)Pj (X )Xnj−2 j=0
=
j=2
r−2 8
∼ ∼ 9 ∆Pj (X ) + (j + 2)(j + 1)Pj+2 (X ) Xnj .
j=0
P 5 ( ∼
Pj+2 (X ) =
P
(n−1)
0
∈ Pr
5P
∼ −1 ∆Pj (X ), j = 0, . . . , r − 2, (j + 2)(j + 1) (n−1)
1
∈ Pr−1
' 8 *
∼
P0 (X ) = P (X)
Xn =0
∼
, P 1 (X ) =
∂P (X)
.
∂Xn Xn =0
2
21
!+ 2 % ;% < % 84
073 < ." " n ≥ 2 r ≥ 1
H
(n) r
=
n+r−3 n+r−2 . + r−1 r
; ; 8 D ! ' ("& " n ≥ 2 r ∈ N0 0/ 9
03 P (X) ∈ H . 03 P (X) ,
", C (n) r
(ut X)r , u ∈ Cn ut u = 0.
03
$#
=⇒
03%
(u X) ∈ H . 03 =⇒ 03% , U : (u X) √5 u ∈ C 5 u u = 05 * E : H ' 4 h ∈ R γ = ±i h h' ∆(ut X)r = r(r − 1) · ut u · (ut X)r−2 = 0, t
(n) r
r
n−1
h ∈ Cn , u= γ
n
t
r
(n) r
t
t
t
u u = 0,
∼ ∼ t r t r−1 φ((u X) ) = (h X ) , γr(h X ) t
r
8 ; D* ' < φ(U) $ ∼
∼
((ht X )r , 0), (0, (g t X )r−1 ), h, g ∈ Rn−1 ,
$; : P
(n−1) r
(n−1)
× Pr−1
'
(n−1)
φ(U) = Pr(n−1) × Pr−1
U = H D* ' (n) r
2
4 S ∈ Pos (n; R) V ( ; 1'7023' ) P (X) ∈ H 5 / ( = *4 S + P (X) 013 Θ(τ ; S, P ) := P (S g) e . " # & " ,)
(n) r
S 1/2
1/2
πiτ S[g]
n
g∈Z
< 013 ( * <J (τ, S) ! < C·
g∈Zn
(g tg)r/2 · e−εg g < ∞, C > 0, ε > 0. t
2
1 , 69
Θ(·; S, P ) * τ ∈ H' Θ0,q (τ ; S) =
t
eπiτ S[g]+2πig q
g∈Zn
( 03 Θ(τ ; S, P ) = (2πi)
−r
∂ Θ0,q (τ ; S) · P S 1/2 ∂q
∂ ∂q
,
q=0
=
∂ , . . . , ∂q∂n ∂q1 (n)
("& S ∈ Pos (n; Z) P (X) ∈ Hr
r > 0#
.
Θ(·; S, P ) ∈ Sr+n/2
"*:
073
t
Θ(τ ; S, P ) =
∞
m=1
P (S 1/2 g) · e2πimτ .
g∈D(S,2m)
< 073 E 013 P (0) = 0' Q Θ(τ + 1; S, P ) = Θ(τ ; S, P )' ,; '" 03
? ! '7073
$#
∂ · Θ0,q (−1/τ ; S) Θ(−1/τ ; S, P ) = (2πi)−r · P S 1/2 ∂q q=0
−r n/2 −1 1/2 ∂ = (2πi) · P S ∂q · τ · Θq,0(τ ; S )
.
q=0
4 u ∈ C u u = 0 n
t
2 −1 ∂ ut S 1/2 ∂q eπiτ S [g+q] −1 ∂ ut S 1/2 · S −1 (g + q) eπiτ S [g+q] = (2πiτ ) · ut S 1/2 ∂q =
−1 2πiτ · ut S 1/2 · S −1 S 1/2 u + (2πiτ · ut S 1/2 S −1 (g + q))2 · eπiτ S [g+q]
= (2πiτ )2 · (ut S 1/2 S −1 (g + q))2 · eπiτ S
−1 [g+q]
.
4 r ∈ N )
r r −1 −1 ∂ ut S 1/2 ∂q eπiτ S [g+q] = (2πi)r · ut S 1/2 S −1 (g + q) · eπiτ S [g+q] .
,; 1 ∂ P (S 1/2 ∂q )eπiτ S
−1 [g+q]
|q=0
= (2πiτ )r · P (S 1/2 S −1 (g + q)) · eπiτ S = (2πiτ )r · P (S 1/2 · S −1 g) · eπiτ S[S
−1 [g+q]
−1 g]
q=0
.
27
!+ 2 % ;% < % 84
< , h = S
Θ(−1/τ ; S, P ) = τ r+n/2 ·
−1
g
P (S 1/2 · S −1 g) · eπiτ S[S
−1 g]
g∈Zn
= τ
r+n/2
· Θ(τ ; S, P ).
9 * ; u ∈ C
2
n
P (X) = (ut X)2 −
1 n
(n)
ut u · X t X ∈ H2
.
, ; - ; u = S v5 v ∈ C 5 P 1/2
n
." ; " 7 S ∈ Pos (n; Z) v ∈ Cn
Θ(τ ; S, P ) =
((v t Sg)2 −
1 n
S[v] · S[g]) · eπiτ S[g] ∈ S2+n/2 .
g∈Zn
" n = 8, 16, 24 Θ(·; S, P ) ≡ 0 !" m ∈ N
(v t Sg)2 =
1 n
S[v] · (S, 2m) .
g∈D(S,2m)
F ; ,; ( S
$#
)))'I''
6
= S10 = S14 = {0}
<J
9 ( * ; S = S '"013' 8
." - " 7 v ∈ C8
g∈Z
((v t S8 g)8 −
1 128
(v t S8 v)4 (g t S8 g)4 ) · eπiτ S8 [g] = cv · ∆∗ (τ )
8
cv =
(v t S8 g)8 − 30(v t S8 v)4 .
g∈D(S8 ,2)
4 u ∈ C : /; P (X) ∈ H
$#
(8) 8
8
P (X) = (ut X)8 − 75 (ut u) · (ut X)6 · (X t X) + 7 − 96 (ut u)3 · (ut X)2 · (X t X)3 +
S
12
= C∆∗
1 (ut u)4 768
,;
Θ(τ ; S8 , P ) = cu ∆∗ (τ ),
7 (ut u)2 12
cu =
g∈D(S8 ,2)
· (ut X)4 · (X t X)2
· (X t X)4 .
1/2
P (S8 g).
2
2I
1 , 69
9 Q(X) = (ut X)6 −
15 (ut u) 16
· (ut X)4 · (X t X) +
45 (ut u)2 224
· (ut X)2 · (X t X)2
(8)
5 − 896 (ut u)3 · (X t X)3 ∈ H6 ,
Q(X) = (ut X)4 − 12 (ut u) · (ut X)2 · (X t X) +
1 (ut u)2 40
(8)
· (X t X)2 ∈ H4
(8)
Q(X) = (ut X)2 − 18 (ut u) · (X t X) ∈ H2 .
S = S = S = {0} Θ(·; S , Q) ≡ 0 Q' "? $ ( (S [g]) Q(S g) · e ≡ 0 r ∈ N . 6
8
10
8
r
8
1/2
πiτ S[g]
0
g∈Z8
8
J
Θ(τ ; S8 , P ) =
1/2
(ut S8 g)8 −
1 (ut u)4 (g t S8 g)4 128
· eπiτ S8 [g] .
g∈Z8
9 ; u = S
1/2
v
; (S , 2) = 240 <J '' 8
2
< * ; v ∈ D(S , 2)5 ; 5 8
(v t S8 g)8 = 624
g∈D(S8 ,2)
5 c = 144 8' @ "? Y; 8 ; ' v
." 6 v ∈ D(S8 , 2) !" m ∈ N
(v t S8 g)8 − 480 · m4 · σ3 (m) = 144 · τ (m) .
g∈D(S8 ,2m)
3 $ D 0' # 5 6B2?21B3 ; ' 3 ( / I? 5 5 H 9 0: ' ' #)$, ' R1222T5 *' 1B3' ' ( + " "< , S ∈ Sym(n; Z) det S = 0' J 013 N := min{q ∈ N ; qS } ! S ' S ∈ Sym(n; Q) N NS ' ( $ ( - +
(
−1
−1
−1
!+ 2 % ;% < % 84
2"
("& S ∈ Sym(n; Z) det S = 0 ! N #
9
3 3 ' S[U] U ∈ GL(n; Z) , ! ! N # 3 q ∈ N qS N|q# 3 N|2 det S # 3 " + p p|N
p| det S #
3 N = 1
S # , : , : 1'I0"35 D! ( det S 0- :
@ 3 ' ] 'I03 qS 5 $# 3 (S[V ]) = S [V ( q(S[V ]) ' 3 , qS g = ggT (N, q) ∈ N' α, β ∈ Z g = αq + βN ' −1
−1
−1
−1
t−1
−1
−1
gS −1 = α(q · S −1 ) + β(N · S −1 )
' $ g = N 5 N|q 013' 3 - S = det S · S ; 0: ' R1226T5 7'' 7''I35 2 det S · S ' 9 : ( 3' 3 N ⇒ O , p D; p|N ' 3 p| det S J 4 p = 25 det S 5 ( ( ' 3 7'. ( $ < −1
−1
S ≡ [Q, . . . , Q] (mod 2),
0 1 , Q= 1 0
' R1226T5 7''5 s ≡ 0 (mod 2)' det S · S 5 4 ( 3 ' N ⇐ O , p D; p N ' α ∈ Z αN ≡ 1 (mod p)' T := αNS ∈ Sym(n; Z) ii
−1
−1
S · T = αN · E ≡ E (mod p).
, S (mod p) : Z/pZ5 '' p det S '
3 : ( 3'
2
F ( E : ? ; S ∈ Pos (n; Z) ( $ K N > 1 < ' "+ "" : ( ( ! ? . 013 Θ (τ ; S) := e πiτ S[g+p]+2πiq t (g+p)
p,q
g∈Zn
Θ(τ ; S) = Θ
0,0 (τ ; S)
?9 ( '
2
1 , 69
$ " S ∈ Pos (n; Z) N ∈ N N · S −1 #
!" M = ( ac db ) ∈ Γ c = 0
% Θ(Mτ ; S) =
n τ + d/c 1 ·√ ϕS (M, q) · ΘS −1 q,0 (τ, S), · i det S q:Zn /SZn
,
03
%
ϕS (M, q) :=
t
eπi(aS[p]−2p q+dS
−1 [q])/c
.
p:Zn /cZn
$#
: ( F Mτ =
a 1 1 − · . c c2 τ + d/c
g ∈ Z 4 g = ch + p5 h ∈ Z 5 p : Z /cZ ; n
n
n
n
S[g] = c2 S[h] + 2cht Sp + S[p] ≡ S[p] (mod 2c).
Θ(Mτ ; S) =
eπiS[g]·M τ
g∈Z
n
=
2 ·1/(τ +d/c))
eπiS[ch+p]((a/c)−(1/c)
p:Zn /cZn h∈Zn πiaS[p]/c
=
e
=
πiaS[p]/c
e
p:Zn /cZn
=
τ +d/c i
eπiS[h+p/c]·(−1/(τ +d/c))
h∈Zn
p:Zn /cZn
·
n
·
√ 1 det S
· Θp/c,0
−1 ;S τ +d/c
·
n
eπiaS[p]/c · Θ0,−p/c (τ + d/c; S −1), n
p:Z /cZ
( ; , ? '7 ( ' 9 g ∈ Z 4 g = Sh + q5 h ∈ Z 5 q : Z /SZ ; n
n
=
n
eπiaS[p]/c · Θ0,−p/c (τ + d/c; S −1) n
p:Z /cZ
=
n
S −1 [g] = S[h] + 2ht q + S −1 [q].
n
eπiaS[p]/c+πiS
p:Zn /cZn q:Zn /SZn h∈Zn πiτ S[h+S −1 q]
e
q:Zn /SZn h∈Zn
·
−1 [Sh+q](τ +d/c)−2πipt (Sh+q)/c
p:Zn /cZn
t
eπi(aS[p]+dS[h]+2dh q+dS
−1 [q]−2pt Sh−2pt q)/c
.
!+ 2 % ;% < % 84
26
ad − bc = 1 < aS[p − dh] ≡ aS[p] − 2pt Sh + dS[h] (mod 2c).
; , p ;
t
eπi(aS[p−dh]−2(p−dh) q+dS
−1 [q])/c
p:Zn /cZn
=
t
eπi(aS[r]−2r q+dS
−1 [r])/c
= ϕS (M, q) .
r:Zn /cZn
, < : h 5 < , h 2 ? 8 * ' $ ( ,* ; ( ." ( +0+ d ≡ 0 (mod N) +
% Θ(Mτ ; S) = $#
n τ + d/c 1 ·√ ΘS −1 q,0 (τ ; S). · ϕS (M, 0) · i det S q:Zn /SZn
ad − bc = 1 dS
−1
[q] ∈ 2Z
aS[p − dS −1 q] ≡ aS[p] − 2pt q + dS −1 [q] (mod 2c).
dS
−1
q ∈ Zn −1 ϕS (M, q) = eπiaS[p−dS q]/c p:Zn /cZn
=
eπiaS[r]/c = ϕS (M, 0).
2
r:Zn /cZn
! " # & + " "& ( N
/
Γ0 [N] =
(
a b ∈ Γ ; c ≡ 0 (mod N) M= c d
))'7'7013' 5 M ∈ Γ (N ) N > 1 d = 0 ' 0
("& ; S ∈ Pos (n; Z) ! N > 1#
!"
M ∈ Γ0 [N]
Θ(Mτ ; S) = χS (M) ·
χS (M) =
−1/τ −c/d i
√
·
cτ + d
√
cτ + d
τ i
n
·
n
· Θ(τ ; S)
p:Zn /dZn
eπibS[p]/d .
9 : √cτ + d '
2B $#
1 , 69
) 4 c = 0 M = ±T 5 χ (M) = √d −n
m
S
Θ(Mτ ; S) = Θ(τ + m; S) = Θ(τ ; S),
8 * ' , c = 0'
b −a MJ = . d −c
Mτ = (MJ) −1/τ ,
9 I MJ M −1/τ τ ( ' $ Θ(Mτ ; S) = Θ(MJ −1/τ ; S) % = % =
n −1/τ − c/d 1 ·√ ΘS −1 q,0(−1/τ ; S) · ϕS (MJ, 0) · i det S q:Zn /SZn n
−1/τ − c/d · i
%
τ i
n
· ϕS (MJ, 0) ·
1 · det S
n
Θ0,−S −1 q (τ ; S −1 ), n
q:Z /SZ
( ; , ? '7 : ( ' g ∈ Z 4 g = Sh + p5 h ∈ Z 5 p : Z /SZ ; n
n
g tS −1 q ≡ pt S −1 q mod Z,
Θ0,−S −1 q (τ ; S −1 ) =
=
eπiτ S
−1 [g]−2πig t S −1 q
q:Zn /SZn g∈Zn
q:Zn /SZn
n
S −1 [g] = S[h + S −1 p].
n
eπiτ S[h+S
−1 p]
p:Zn /SZn h∈Zn
e−2πip S t
−1 q
.
q:Zn /SZn
; , < : @ q' $ ; q q + r5 r ∈ Z 5 n
0=
e−2πip S t
−1 q
· 1 − e−2πipt S −1 r .
q:Zn /SZn
, 0 J 4 p S r ∈ Z r ∈ Z 5 '' S p ∈ Z ' ) 4 - , 15 , t
−1
−1
n
n
(Zn /SZn ) = det S
1' ' ;'8' p = 0 (< 5 , h Θ(τ ; S)' A ; 8 * I03' 2
!+ 2 % ;% < % 84
22
E < F 5 χ (M) *; ; ' S
("& - S ∈ Pos (n; Z) ! N > 1#
3 3
χS (M)4 = 1 !" M ∈ Γ0 [N]# n ≡ 0 (mod 2)
χS : Γ0 [N] → {±1} , %
n/2 d |d| χS (M) = n/2 (−1)n/2 det S d · |d| p
!" c = 0, !" c = 0,
! p + p ≡ d (mod c) #
; ; $# 3 ,
· p
φS (M) := |d|−n/2 ·
φ (M) S
% !,' n
eπibS[q]/d.
q:Z /dZ
4
= χS (M)
4
n
,; I (
Θ4 (·; S) M = φS (M)4 · Θ4 (·; S) 2n
M ∈ Γ [N]' Θ(·; S) : ( 5 )))'1'103 0
φS (MM )4 = φS (M)4 · φS (M )4
M, M ∈ Γ (N )' $ φ (T ) = 1 m ∈ Z' , c = 0' 9 ! D;; 0: ' 4 R126T5 *' 63 D; p 4 p = d + mc5 m ∈ Z' $ φ (M) = φ (MT ) 5
S
4
0
S
m
m 4
S
φS (MT m ) = p−n/2 ·
n
eπi(b+ma)S[q]/p . n
q:Z /pZ
9 ,; 7'1 G ( $ < : 4 S ≡ [2s1 , . . . , 2sn ] (mod p)
' 8 " , 0: ' - - 5 H' " R##T5 1I'7'5 4 R126T5 *' 23 φS (MT m ) = p−n/2 ·
n j=1
=
εnp
·
p
e2πi(b+ma)sj qj /p
qj =1
n sj (b + ma) j=1
2
p
, εp =
1, i,
p ≡ 1 (mod 4) p ≡ 3 (mod 4).
7##
1 , 69
$ φ (M) ∈ {±1, ±i}5 χ (M) = 1 M ∈ Γ [N]' 3 ) n 5 $ % ?, S
ε2p
=
4
S
−1 p
m
,
φS (MT ) =
−1 p
0
n/2 n (−1)n/2 det S sj = . · p p j=1
) 4 M ∈ Γ [N] 0
Θ(·; S)
M=
n/2
φ : Γ [N] → {±1} χ ( $ ' S
0
S
d |d|
n/2 φS (M) · Θ(·; S).
: Γ0 [N] → {±1}
. 2
M
; < )))'6'1 ." ; S ∈ Pos (n; Z) ! N > 1 n ≡ 0 (mod 2)#
Θ(·; S) ∈ Mn/2 (Γ0 [N], χS ).
: ,; χ ,; 8
. ' 8 < 0'73 2 I'
$#
S
, ; 8 * S = ( )' N = 3 2 1 1 2
Θ(·; S) ∈ M1 (Γ0 [3], χS ),
χS (M) =
d . 3
." - S ∈ Pos (n; Q) N ∈ N NS NS −1
# " n ≡ 0 (mod 2)
∼
Θ(·; S) ∈ Mn/2 (Γ[N], χS ). $#
, : NS N ' M ∈ Γ[N] 2
∼
∼
Θ(Mτ ; S) = Θ(M τ /N; NS) =χS (M) · (cτ + d)n/2 · Θ(τ ; S)
∼
M=
a b/N cN d
∈ Γ0 [N 2 ],
∼
∼
χS (M) = χN S (M ).
2
$ D : & 0R126I35 *' )>3 . * 0' 15 IIB?I"I 012"733' - +
( ? ; D '
7#1
!+ 2 % ;% < % 84
!) P (X) ∈ P(n) /; < r (n)
P (X) ∈ Hr (n) K P (x)Q(x)dx = 0 ) K = {x ∈ Rn ; xt x ≤ 1} 7 Q(X) ∈ Pν (n) % P (X) ∈ Pr * :
P (X) =
(X t X)j · Pj (X)
ν < r
(n)
Pj (X) ∈ Hr−2j .
0≤j≤r/2
K = {x ∈ Rn P xt x = 1}
= $
7 9C
C[X1 , . . . , Xn ]
3 (
9C
r≥2
!)
(n)
∆ : Pr
(n)
→ Pr−2
5 (n)
dim Hr(n) = dim P(n) r − dim Pr−2 . >
χS ≡ 1
n ≡ 0 (mod 4) det S H N S ∈ Sym(n; Z)" n ≡ 0 (mod 2) (−1)n/2 det S ≡ 0, 1 (mod 4)
" #
? !)
0 $ # C ! * ! & )
LE8 3 χ
N " N > 1"
L(χ, s) :=
∞
4 & mod
χ(m) · m−s , Re s > 1.
m=1
: 6 * * 3
χ
"
χ(−1) = 1"
2L(χ, s) = N
−s/2
N
χ(m) ·
∞ 8
m=1
L(χ, s)
L(χ, s) σ0 = 1 π −s/2 s L(χ, s) := N Γ 2 L(χ, s)
: 0 (
9 dy . y s/2 Θm/N,0 (iy; 1) + y (1−s)/2 Θ0,−m/N (iy; 1) y
1
* C ! * * ! &
s
) ! &(
L(χ, 1 − s) = εχ · L(χ, s) L(χ, s) @ !)
* ! &
u, v ∈ C" τ ∈ H
εχ ∈ C,
|εχ | = 1.
L(χ, −2n) = 0" n ∈ N0
Θ∗u,v (τ ) :=
(n + u)eπi(n+u)
2
τ +2πi(n+u)v
.
n∈Z
Θ∗−v,u (−1/τ ) = τ ·
τ /i · e−2πiuv · Θ∗u,v (τ ) π −s/2 s+1 Γ 2 · L(χ, s) 3 χ " χ(−1) = −1" L(χ, s) = N
:
:
0
∞ 8 N 9 dy √ . y (s+1)/2 Θ∗m/N,0 (iy) + iy 1−s/2 Θ∗0,−m,N (iy) 2L(χ, s) = N −s/2 π · χ(m) · y m=1 1
L(χ, s)
* C ! * * ! &
s
) ! &(
L(χ, 1 − s) = εχ · L(χ, s) L(χ, s)
* ! &
εχ ∈ C, |εχ | = 1.
L(χ, 1 − 2n) = 0" n ∈ N
7#
1 , 69
(+ < 4
@ - F ( F ! ; *: / 5 M 4 5 ! F ' ( ( ? '7 ( * 4 ; F ' ( ,* ;
? ? ' ( ; 4 ; -? : ! ? ;( ; ' & : " ) ( * : : ' 4 013 ζ(T ; s) := (T [g]) , T ∈ Pos (n; R) , s ∈ C , Re s > n/2,
g∈Z
−s
n
2 ! ' *< , , ; 5 g = 0 , ; ' ,* ;! < n = 1 - F ζ(1; s) = 2ζ(2s).
F E : ; G $ " 4
03
(g t g)−k
g∈Zn
!" k > n/2#
: ( ) n ; 03 ϕ(n; k) ' ) 4 n = 1 8 *
$#
ϕ(1; k) = 2ζ(2k).
) n > 15 5 0 Y; : g ' $ (g t g)−k .
ϕ(n; k) ≤ n · ϕ(n − 1; k) + 2n ·
g∈Nn
E ;(
g t g = γ12 + . . . + γn2 ≥ n(γ12 · . . . · γn2 )1/n .
ϕ(n; k) ≤ n · ϕ(n − 1; k) + 2n n−k · ζ (2k/n)n .
< : ; k > n/2'
2
&+
= 4 ")
7#7
: ;: F ("& 4 013 !" T ∈ Pos (n; R) s ∈ C Re s > n/2 ,
073
ζ(T [U]; s) = ζ(T ; s)
!" U ∈ GL(n; Z)#
9 D* 1'I ; T β > 0 T > βE ' : ; ' XM : ;?,; 1'1 2 E 073' F : , : 1'I0"3' ;") & + & : " ? '7 G ( 1013 F < ( - F )@'I'"' G $#
, T ∈ Pos (n; R) T > αE , α > 0#
,
1 C
|Θ(iy; T ) − 1| ≤ C · y −n/2 · e−αy
$#
!" y > 0.
y > 0
013 013
|Θ(iy; T ) − 1| ≤ ϑ(iαy)n − 1.
y ≥ 1. 9 ? '7 ;(' )))'$'7073 ϑ(iαy) = (αy) · ϑ(i/αy) = O(y ) 0 < y ≤ 1. 013 < 8 * ' 2 ) ; )@'I'I073 ; ( 03 ξ(T ; s) := π Γ(s) · ζ(T ; s). ("& 3 T ∈ Pos (n; R) 2 ! ζ(T ; s) |Θ(iy; T ) − 1| = O(e−2αy )
n
−n/2
n
−n/2
−s
s*:, ! +, # , s = n/2 + E# ) 4
ress=n/2 ζ(T ; s) =
π n/2 √ . Γ (n/2) · det T
7#I
1 , 69
",
073 ζ(T ; 0) = −1 3
ζ(T ; −m) = 0 !" m = 1, 2, 3, . . . .
ξ(T ; s) −
(det T )−1/2 1 − s − n/2 s
+ s*:, ! +, # : .
(det T )−1/2 · ξ(T −1 ; $#
)
∞ Γ(s) :=
n − s) = ξ(T ; s). 2
e−x · xs−1 dx , Re s > 0,
0
x = πyT [g] , y > 0 , 0 = g ∈ Z ' , ) Re s > n/2 ( D* : 5 n
∞
ξ(T ; s) =
e−πyT [g] · y s−1dy =
g∈Zn 0
∞ (Θ(iy; T ) − 1) · y s−1 dy. 0
, y → 1/y < Re s > n/2 1 (Θ(iy; T ) − 1) · y s−1 dy +
ξ(T ; s) = 0
1
∞ (Θ (i/y; T ) − 1) · y
=
∞ (Θ(iy; T ) − 1) · y s−1dy
−s−1
∞ dy + (Θ(iy; T ) − 1) · y s−1dy .
1
1
? '7 ∞ (Θ (i/y; T ) − 1) · y
−s−1
∞ dy =
1
Θ(iy; T −1)y n/2 (det T )−1/2 − 1 · y −s−1dy
1
∞ =
(Θ(iy; T 1
−1
) − 1)(det T )
−1/2
y
n −s−1 2
∞ dy +
y n/2 (det T )−1/2 − 1 y −s−1dy
1
∞ n (det T )−1/2 1 . = (Θ(iy; T −1) − 1) · (det T )−1/2 · y 2 −s−1 dy + − s − n/2 s 1
&+
= 4 ")
7#"
Re s > n/2 ∞
0I3
ξ(T ; s) = 1
dy n (Θ(iy; T −1) − 1) · (det T )−1/2 · y 2 −s + (Θ(iy; T ) − 1) · y s y
+
(det T )−1/2 1 − s − n/2 s
.
D* ) 0I3 s ∈ C ; 4 : s' ,;
) 0I3' : 9 : ζ(T ; s) 073 D H?4 <J )@'I'7' ξ(T ; s) s = 0
−1 Γ(s) s = 0 D
1 5 G D : ζ(T ; s) s = 0 ( ζ(T ; 0) = −1' 2 - +
0"3 ζ(T ; s) =
g∈Z2
3
(T [g])−s =
∞
(am2 + 2bmn + cn2 )−s , T =
m,n=−∞
a b > 0, b c
( ;
: ' 0( &5 I2"3 A 1BB2
: , : 1'I0"3 ' $ 5 ζ(T ; s) * s?$ s = 1 D 1' C ! H %" ? s = 1 0 +! 5 : ' !3' ,*< ( ζ(T ; s) ; D 5 N ; 1?D O <?M F! G* 5 F ' : ; : ' & # ) 0A' (' ' 5 B?11# 012#33 A 12I2' 3 @ 0"3 *: / ; ( A 12#7 : D' 0' ' !15 1I?II 012#73 1'5 #"?1 012#633 : ' ' "") & # 4 τ ∈ H s ∈ C Re s > 1 / *
*4 013
E(τ ; s) :=
m,n∈Z
y |mτ + n|2
2
.
.% + & $ " " ε > 0 s ∈ C Re s > 1
4
013 7 & ! H < ε
Vε := {τ ∈ H ; |x| ≤ 1/ε , y ≥ ε}
7#
1 , 69
, 0@ # : , C > 0 : !
03
|E(τ ; s)| ≤ C · y Re s
!" τ ∈ Vε .
" ! τ ∈ H E(τ ; s) s#
$# <J : ; V 03 )))''1 8 ( : ;? )))''1' : ;: ! 2 * ' ε
$ ( ;( <J 5 *
* 4 ; 5 / 1 y 1 · E(τ ; s) = 073 E (τ ; s) := . 2ζ(2s) 2 |mτ + n| s
∗
2
ggT(m,n)=1
8 ; ** ( Γ / 0I3 Γ := {±T ; n ∈ Z} = {M ∈ Γ ; c = 0}, ))'1'7013 ; )))''103 0"3 E (τ ; s) = (Im Mτ ) = ϕ| M(τ ), ϕ(τ ) := y . n
∞
∗
s
0
M :Γ∞ \Γ
s
M :Γ∞ \Γ
) M ∈ Γ 5 < L LM @ ! : Γ Γ ' ∞
%""& $ " s ∈ C Re s > 1 M ∈ Γ
E(Mτ ; s) = E(τ ; s) E ∗ (Mτ ; s) = E ∗ (τ ; s) !" τ ∈ H.
))'1'2013 / ; τ ∈ H
∈ Pos (2; R). 03 $ @ / |mτ + n| −n , = F [g] , g = 063 m y ( 0B3 F =F = F [J]. 063 023 E(τ ; s) = ζ(F ; s). 1 Fτ := y
1 −x −x x2 + y 2
2
τ
−1 τ
−1/τ
τ
τ
&+
7#6
= 4 ")
0B3 1073 < ζ(F ,* ; : ,;
−1 τ ; s)
' (
= ζ(Fτ ; s)
*4 E(τ ; s) . s*:, ! +, # , s = 1 + E# ) 4 π # ",
("& *
E(τ ; 0) = −1 E(τ ; −m) = 0 !" m = 1, 2, 3, . . . .
E(τ ; s) := π −s Γ(s) · E(τ ; s)
C ! +, !"
E(τ ; 1 − s) = E(τ ; s),
E(τ ; s) −
1 1 − 1−s s
+ s*:, ! +, #
4 ( ( ( 5 : ! ; 4 ; ' , C 1 C \ {0, 1} 1 .
C χ : !
|E(τ ; s)| ≤ C · y χ
!"
√ 1
τ ∈ F s ∈ C.
4 τ ∈ F |x| ≤ y ≥ 3' : /; 1 1 F > E F = F [J] > E. 4y 4y <; ; D* <
! C |Θ(it; T )−1| ≤ C ·e t ≥ 1 , T = F T = F , τ ∈ F. (< χ > 05 Re s ≤ χ 1 − Re s ≤ χ s ∈ C' 9 0I3 : C < C $#
1 2
2
−1 τ
τ
τ
1
1
−t/4y
−1 τ
τ
2
∞ |E(τ ; s)| ≤ C2 + 2C1 ·
e−t/4y · tχ−1 dt ≤ C2 + 2C1 · Γ(χ) · (4y)χ . 2
1
4 : τ ;( *5 $ , %*)
- + E(τ ; s)
∼
=y
2
∂2 ∂2 + ∂x2 ∂y 2
.
7#B
1 , 69
$ <
∼
E(τ ; s) = s(s − 1) · E(τ ; s).
A + * ? 5 ;
? ? E(τ ; s) "?$ ( ' - K ? ?
Gk (τ )
013
1 Ks (y) := 2
∞
ts−1 · e−(t+1/t)y/2 dt ,
y > 0,
s∈C,
0
' ) ( $ ( $ " 2 7 ε > 0 C > 0
03
|Ks (y)| ≤ C · e−y
!"
y ≥ ε, |Re s| ≤ 1/ε.
" 7 y > 0 s → Ks (y) + #
*
$#
∞ s−1
2Ks (y) =
t
−(t+1/t)y/2
·e
1 dt +
1
ts−1 · e−(t+1/t)y/2 dt
0
∞ dt (ts + t−s ) · e−(t+1/t)y/2 . = t 1
$ K (y) = K s
1 |Ks (y)|·e ≤ 2
∞
y
−s (y)
Re s
t
' 4 y ≥ ε Re s ≤ 1/ε ( t + 1/t ≥ 2 −Re s
+t
−(t+1/t−2)y/2
·e
∞ dt ≤
1
t1/ε ·e−(t+1/t−2)ε/2 dt =: C .
1
03 * : s → K (y) - ! 2 0: ' - - R122"T5 '1'73' s
; ("& " s ∈ C s = 0, 1 τ ∈ H
073
"*:
E(τ ; s) = 2ξ(2s) · y s + 2ξ(2 − 2s) · y 1−s +4 |n|s−1/2 σ1−2s (|n|) · y 1/2 · Ks−1/2 (2π|n|y) · e2πinx . n∈Z
7#2
&+
= 4 ")
$#
, ; < Re s > 1' (
−s
E(τ ; s) = π Γ(s) · =
y |mτ + n|2
m,n∈Z −s
2 −s s
π Γ(s)(n ) y +
n∈Z
= 2ξ(2s) · y s +
ts−1
m∈Z 0 ∞
= 2ξ(2s) · y +
y
= 2ξ(2s) · y + y
1/2
2 +m2 y 2 )/y
e−πt((mx+n)
s
dt
2
ts−1 Θmx,0 (it/y; 1)e−πtm y dt ∞
1/2
m∈Z s
π Γ(s)
y |mτ + n|2
n∈Z
m∈Z 0 s
−s
m∈Z n∈Z
∞
= 2ξ(2s) · y s +
s
·
2
ts−3/2 Θ0,−mx (iy/t; 1)e−πtm y dt
0
∞
−2πimnx
·
e
m∈Z n∈Z
2 t+n2 /t)
ts−3/2 e−πy(m
dt,
0
( ? '7 : ( ' 9 ∞ s−3/2
t
−πym2 t
·e
dt = π
1/2−s
1 · y 1/2−s · |m|1−2s . Γ s− 2
0
4 n = 0 : ( , t =
∞ s−3/2
t
−πy(m2 t+n2 /t)
·e
n r m
< 013
n s−1/2 ∞
dt = · r s−3/2 · e−π|mn|y(r+1/r) dr m
0
n s−1/2
= 2 · Ks−1/2 (2π|mn|y). m
0
E(τ ; s) 2ξ(2s)y s + 2ξ(2s − 1)y 1−s + 2
n s−1/2
y 1/2 Ks−1/2 (2π|mn|y) · e−2πimnx . m m=0,n=0
F −mn 0735 ( ξ(2s − 1) = ' 4 ; 5 2 073 ( s ∈ C : ' - + 3 |n| ·σ (|n|) K (2π|n|y) s → 1 − s : 5 4 - ; "? Y; '
ξ(2 − 2s)
s−1/2
1−2s
s−1/2
71#
1 , 69
3 $ "?$ ( : F / 4 R12BBT' ! & Y; %" ?$ ( : E(τ ; s) s = 1 ' = ( ! η?4 0: ' )))5 K3 ' F <; : ( (
013
1 lim ζ(s) − s→1 s−1
= C = lim
m→∞
m 1 k=1
k
− log m .
0: ' ;'8' R12B6T5 )@'7'I35 ( C " 1 ; ' ("& % & " τ ∈ H
03
π lim E(τ ; s) − s→1 s−1
$#
√ = 2π C − log 2 − log( y · |η(τ )|2) .
) < − log(1 − q) =
∞ 1 m q m m=1
|q| < 1
< )))''013 −2π log |η(τ )|2 = −2π log(η(τ ) · η(τ )) ∞ −πy/6 2πinτ −2πinτ (1 − e )(1 − e ) = −2π log e n=1 ∞ ∞
=
1 π2 y + 2π · (e2πinmτ + e−2πinmτ ) 3 m n=1 m=1
=
∞ −∞ π2 σ−1 (r) · e2πirτ + 2π σ−1 (|r|) · e2πirτ , y + 2π 3 r=1 r=−1
( : ; ' ,; I
,; 7 E(τ ; s) =
√ Γ(s − 1/2) πs E(τ ; s) = 2ζ(2s)y s + 2 π ζ(2s − 1)y 1−s Γ(s) Γ(s) 4π s s−1/2 √ + |n| σ1−2s (|n|) y Ks−1/2 (2π|n|y) e2πinx. Γ(s) n∈Z
&+
= 4 ")
711
I013 1 K1/2 (y) = 2
∞
−1/2
t 0
= e−y ·
∞
−(t+1/t)y/2
·e
= e−y ·
∞
dt t1/2 + t−1/2 · e−(t+1/t)y/2 t
1
1 −1/2 1/2 −1/2 2 t + t−3/2 · e−(t −t ) y/2 dt 2
1
∞
1 dt = 2
e−r
2 y/2
% dr =
π −y e , 2y
0
( - - 5 H' " R##T5 1I'7'75 : ( ' ;
π s→1 s−1 4π · |n|y σ−1 (|n|) · K1/2 (2π|n|y) · e2πinx = R + 2ζ(2)y + Γ(1) n∈Z lim E(τ ; s) −
= R+
π2 σ−1 (|n|) · e−2π|n|y+2πinx y + 2π 3 n∈Z
= R − 2π · log |η(τ )|2,
( R (
√ Γ(s − 1/2) 1−s π y lim 2 π · ζ(2s − 1) − s→1 Γ(s) s−1 √ Γ(s − 1/2) 1−s f (1)/2 = lim f (s)ζ(2s − 1) − , f (s) = 2 π · · y , f (1) = 2π, s→1 s−1 Γ(s) = 2π C + 12 f (1),
( 013 : ( ' 9
1 f (s)
Γ (1/2) Γ (1) f (1) = π − − log y . =π· 2 f (s) s=1 Γ(1/2) Γ(1)
Q @ ** )@'I'70"3 Γ (s) 1 Γ (s/2) 1 Γ ((s + 1)/2) = log 2 + + . Γ(s) 2 Γ(s/2) 2 Γ((s + 1)/2)
s = 1 (
Γ (1) Γ (1/2) − = 2 log 2 Γ(1) Γ(1/2)
8 * 03'
2
71
1 , 69
3 ,; % 0( &5 5 7I6? I2"S ( &5 1?173 ; ' $ : 8 ( : 0' ' 5 71?71 012"733' $ ( H ; ;'8' ,; : # L?4 ;
* : * * ' : 4 R12B"T5 K7'"' 3 Γ? : $ * %?C* 5 ( 5 ( ! ' ,
! ; ; ' $ 8 / ' R12B7T ' 4 R12B"T ! * A' 5 4' ")5 A' R122BT' 1 # .% ) ( $ ! : '' - 0D' . D' ,' '!5 7"6?763 A 12725 < <; : "? Y; : ,*; ' , ;( ; f, g ∈ M "? Y; α (m)
α (m) 5 / ! ? - +
∼
k
f
g
013
Df,g (s) :=
∞
αf (m) · αg (m) · m−s ,
m=1
( )))''10173 s ∈ C Re s > 2k − 1 : ' D (s) J -*1 : D (s) D (s) 0: ' )@'I'I033' 8 ;
·, · ( ?,* )@'7'0735 f,g
f
g
("& f, g ∈ Mk f g + ! ,+ Df,g (s) + s*:, # $ s = k E# ) 4
ress=k Df,g (s) = 3 ·
22k π k−1 · f, g (k − 1)!
# G
Df,g (s) := (2π)−2s Γ(s)Γ(s + 1 − k) · ζ(2s + 2 − 2k) · Df,g (s),
1 Df,g (s) − π 1−k f, g · 2
1 1 − s−k s+1−k
+ s*:, ! +, .
Df,g (2k − 1 − s) = Df,g (s).
&+
= 4 ")
$#
4 Re s > k ( ) 6
I=
717 7
∗
f (τ ) · E (τ ; s + 1 − k) , g(τ ) .
f (τ )g(τ )y = O(e ) τ ∈ F ,; )))'1' : ; : I : ;? 7' / @ ! V : Γ Γ ' 70"3 D* )@'7' k
−2πy
∞
I =
y k f (τ )g(τ ) · F
=
(Im Mτ )s+1−k dv
M ∈V
f (Mτ )g(Mτ ) · (Im Mτ )s+1 dv =
M ∈V F
f (τ )g(τ ) · y s+1dv , F∞
( F 4 : Γ ' ) : Γ 5 )@'7'7 ;'8' ∞
∞
∞
F∞ = {τ ∈ H ; 0 ≤ x ≤ 1}
(< ' 9 ; f g "? ' ( 4 f g ,*; 5 ! : "? Y; 0: ' ,; )))'1' )))''101733 Re s > 3k/2 : ; :5 : s , ) : ' α (0)α (0) = 0 f
g
∞ 1 I = αf (m)αg (n) · e2πi(m−n)x dx · e−2π(m+n)y · y s−1dy m≥0 n≥0
=
0
∞ αf (m)αg (m) ·
m≥1
0
y s−1 · e−4πmy dy = (4π)−s Γ(s) · Df,g (s) .
0
6 7 1 03 D (s) = π · f (τ ) · E(τ ; s + 1 − k) , g(τ ) 2 Re s > 3k/2' 9 ,; 7 D* 7 , : 03 ! * * s?$ ; :
D s = k s = k − 1
f,g
1−k
1 res Df,g (s) = − res Df,g (s) = π 1−k f, g . s=k s=k−1 2
4 : D (s) 4 : ,; 7' ; ( 8 * 4 ! 2 '
E(τ ; s)
f,g
71I
1 , 69
$ $ < 5 ( ( f g ,*; ' / : D (s) f g 5 5 4 f = g = G ; ' f,g
∗ k
, k ≥ 4 #
073
DG∗k ,G∗k (s) =
2k Bk
2
ζ(s) · ζ(s + 1 − k)2 · ζ(s + 2 − 2k) , Re s > 2k − 1. ζ(2s + 2 − 2k)
DG∗k ,G∗k (s) ,+ + s* :, ! , s = 2k − 1 s = k #
DG∗k ,G∗k (s) := (2π)−2s Γ(s)Γ(s + 1 − k) · ζ(2s + 2 − 2k) · DG∗k ,G∗k (s) s*:, ! +, # + 0
! , s = 0, k −1, k, 2k −1
DG∗k ,G∗k (2k − 1 − s) = DG∗k ,G∗k (s).
: ( "?$ ( )))''1023' ! *: 5 ( "?D 5 , <J% $#
DG∗k ,G∗k (s) =
2k Bk
2 2 2k 2 −s · σk−1 (m) · m = · Fp B k p m≥1
Fp =
σk−1 (pn )2 · p−ns =
n≥0
=
p(k−1)(n+1) − 1 2 n≥0
(1 −
pk−1 − 1
· p−ns
1 − p2k−2−2s . − pk−1−s )2 (1 − p−s )
p2k−2−s )(1
: ζ(s) "?D <J )@'I'6 .
< 073' * 4 ; D ,; )@'I'"5 ( ; 5 s = k D 5 ζ(s) s = 2 − k 4
9 ' @ ** )@'I'70"3 4 )@'I'7073
< D (s) G∗k ,G∗k
k Bk
2 (2π)1−2k ξ(s)ξ(s + 1 − k)2 ξ(s + 2 − 2k)
k/2 (s + 1 − 2j)(s + 2 − k − 2j). j=1
8 * ,; )@'I'"'
2
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71"
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4 0 = f = g ∈ S ! ? D (s) s = k
D' 8 : ;; : ! ?
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N
k
|αf (n)|2 = O(N k+ε )
f,f
N →∞
-
ε > 0.
n=1
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ζ(E (2) ; s) = 4ζ(s)·L(s; χ) = E(i; s)" # χ E mod4 ζ(E (4) ; s) = 8(1 − 22−2s ) · ζ(s) · ζ(s − 1) 000 ζ(E (8) ; s) = 16(1 − 21−s + 24−2s ) · ζ(s) · ζ(s − 3) 000 ζ(S8 ; s) = 240 · 2−s · ζ(s) · ζ(s − 3) 520 ζ(L24 ; s) = 65691 · 2−s · (ζ(s) · ζ(s − 11) − D∆∗ (s)) 0L !) m ≥ 2 (L24 , 2m) = 0 (mod 65 520)
π K3/2 (y) = 2y · e−y · (1 + y1 ) ) y > 0
4 &
=
> ?
= − 12 (Ks+1 (y) + Ks−1 (y)) ) y > 0 s ∈ C ∞ 2 π3 σ3 (n) · (2nπ + 1) · e−2πn @ ζ(3) = π E(i; 2) − 45 − 2 n=1 3 T ∈ Pos (2; R) , s ∈ C , Re s > 1 !) n ≥ 1 Tn ζ(T ; s) d
dy Ks (y)
3 * 0L #D !) 9 *
p
*#
n∈N
:=
ζ(T [At ]; s)
A∈Γ:Γn
Tp ζ(T ; s) = (1 + p1−2s ) · ζ(T ; s) , Tn ζ(T ; s) = σ1−2s (n) · ζ(T ; s) . !)
n≥1
s∈C
Re (s) > 1 Tn E(τ ; s) := E(M τ ; s) = σ1−2s (n) · E(τ ; s). M∈Γ:Γn
T ∈ Pos (2; R) ξ ∗ (T ; s) := (det T )s/2 π −s Γ(s) · ζ(T ; s) : ) ξ ∗ (T ; s) ξ ∗ (T ; 1 − s) = ξ ∗ (T ; s) = 3 K = Q( d) , d < 0 ; " /E; ' &, : ( √ 1 & D o * , 8 * ' " " o = Z + Z 2 (1 + d) √ D = d" d ≡ 1 (mod 4)" *# o = Z + Z d D = 4d !) a ∈ C * N (a)−s : 8 & ) N (a) = aa = |a|2 ζo (s) := 3
! & √
0=a∈o
Re (s) > 1 * ! * sE5 2π : ! & ξo (s) := |D|s/2 (2π)−s Γ(s) · ζo (s) ) 9 s = 1 8 √ −D ! &
ξo (1 − s) = ξo (s).
$
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H Aut S Bk C C [D1 , . . . , Dr ] Df Df (s) Df,g (s) D(S, T ) dv = y −2dxdy D(z, w) E E E(Ω) E(τ ; s), E ∗ (τ ; s) e1 , e2 , e3 F F(Λ) f |k M
f, g Gk , Gk (Ω), Gk (τ ) G∗k , G∗k (τ ) g2 , g3 GL(2; C) GL(n; Z) H Hk (n) Hr
Im z J j, j(Ω), j(τ ) jm K = V0 Ks (y) K(Ω) M M Mat(n; Z)
* ** : H 11 * ** S "?F 11 G* * F " 71# D , . . . , D < " D * 4 C 11
; f ; ! ! II -? : 71 : T S * @ B ** : < : z w 1# $ " $ 111
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4 1 4 E ** Λ : Γ 17I ,* 1"5 1# ?,* : f g 2 ? 75 I25 1"25 1B6 ? 1#5 1BB ?) : 7B H ** : H 2 C 1#2
H ** : H n 165 " C IB5 111 ? : H ( k 1 @ D : H r n @ 2# ) < : z ∈ C ∈ Γ 1I ) : I15 "I5 1I "? Y; : j "I G* 1"" K ? ?4 7#B G* * 4 ; H Ω " G* * 4 C 11 ; 166 n × n ; Z 165 " 1
0 −1 1 0
r
7I
8;%#
Mk MZk Mk (Λ), Mk (Λ, χ) Mτ = M τ Mt M N N0 O ordc f ℘, ℘Ω , ℘(z; ω1 , ω2) P(C) (n) Pr Per f Pos (n; R)
5
P SL(2; C) P SL(2; R) Q R Re z resc f
S S Sk SZk
Sk (Λ), Sk (Λ, χ) SL(2; R) SL(2; Z) = Γ S∼T T (k) Tn Tn U V (H)
5
Vk Vε vol Ω v(Ω)
@ ; : H ( k 1" Z? ; : H ( k ; "? Y; 16B @ ; : H ( k ;
; ** Λ 0 ; . χ3 12 1#25 11# * 1#2 - 1#2 {1, 2, 3, . . .}5 F N ∪ {0} %"?, 7B5 1"6 C : f , c 11 ℘?4 7I5 7" C ∪ {∞} 11 @ D : H r n @ B2 D : f 1 *: / n × n ; R 15 1 H ** 1115 11I G* F G*
F : z ∈ C
: f , c " : S 7 ,*; 1B @ ,*; : H ( k 1" Z? ,*; : H ( k ! ; "? Y; 162 @ ,*; : H ( k ;
; ** Λ 0 ; . χ3 122 * ; H ** : H R 11I ** 165 1#6 XM : ; 7 ;; ∈ Γ 1I ?C* #"5 #6 ∈ Γ 1" @ H ∪ {∞} * 5 * ! 4 # @ : H ( k 1"I @ G ε H 12 @ H : Ω # * 4< : Ω 2 11 01
−1 1 −1 0
7"
8;%#
|z, w| Z ∆, ∆(Ω), ∆(τ ) ∆ ∼
∆∗ , ∆∗ (τ ) δk (m) Γ = SL(2; Z) Γn Γ : Γn Γ[n] Γ0 [n] Γϑ Γτ Γ(ϕ) Γ(s) η(τ ) σk (m) ϑ(τ ) ϑ(τ, z) Θp,q (τ ; S) Θ(τ ; S) Θ(τ ; S, P ) τ τ (m) ζ(s) ζ(T ; s) 3(u; ω1, ω2 ), 3(ω1 , ω2 ) (S, T )
5
* : z w 11B ; F I15 "75 1 %!C* 2# * %!C* 7#6 15 17 ; : m , : k V #1 ** 1I {M ∈ Mat(2; Z); det M = n}5 ! n? C #B : : Γ Γ #2 {M ∈ ΓS M ≡ E( mod n)}5 *
; ** , n 17" {M ∈ ΓS c ≡ 0( mod n)}5
; ** 176 {M ∈ ΓS M ≡ E, J( mod 2)}5 ?H ** 172 {M ∈ Γ; Mτ = τ }5 4 ** : τ Γ 12 ) : ; ** 4 ϕ 7# H?4 I ! $ 1B2 ( "# '& ? BI5 1"# ? . ?9 ( 6 ? ; D P 21 $ H -"7 "75 17 - F 75 I F 7#7 D * 12 ; : T S 7 n
% ℘
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