Maß und Wahrscheinlichkeit, 2. Auflage

Springer-Lehrbuch

Klaus D. Schmidt

Maß und Wahrscheinlichkeit Zweite, durchgesehene Auflage

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Prof. Dr. Klaus D. Schmidt Technische Universität Dresden Fachrichtung Mathematik Lehrstuhl für Versicherungsmathematik Zellescher Weg 12-14 01062 Dresden Deutschland [email protected]

ISSN 0937-7433 ISBN 978-3-642-21025-9 e-ISBN 978-3-642-21026-6 DOI 10.1007/978-3-642-21026-6 Springer Heidelberg Dordrecht London New York Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Mathematics Subject Classification (2010): 28-01, 60-01 c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2008, 2011  Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Einbandentwurf: WMXDesign GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier Springer ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (www.springer.com)

Vorwort zur 2. Auf lage

Das Manuskript wurde sorgf¨altig durchgesehen und an vielen Stellen korrigiert oder in der Darstellung verbessert. Dabei wurde ich von Georg Berschneider, Sebastian Fuchs, Klaus Th. Hess, Elisabeth L¨oser, Wilfried Schenk und nicht zuletzt von meinen Studenten mit vielen wertvollen Hinweisen unterst¨ utzt. Elisabeth L¨ oser und Christiane Weber haben wieder bei der Erstellung des Symbolverzeichnisses und des Sachverzeichnisses mitgewirkt. Ihnen allen sei herzlich gedankt. Dresden, im Mai 2011

Klaus D. Schmidt

Vorwort zur 1. Auf lage Jede Zeit erfordert ihre eigene Sicht der Dinge. Das Anliegen dieses Buches ist ¨ es, in einer Zeit des Ubergangs von einer Vielfalt von Diplomstudieng¨ angen zu einer noch gr¨ oßeren Vielfalt von Bachelor– und Master–Studieng¨ angen und der damit verbundenen Tendenz zur Verlagerung der Studieninhalte von der Theorie zur Anwendung, die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie im Spannungsfeld zwischen Theorie und Anwendung darzustellen. Als theoretische Grundlage der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die Maß– und Integrationstheorie unverzichtbar, und zu einem gewissen Grad gilt dies auch f¨ ur die Topologie, auf der unter anderem der Begriff der Borelschen σ–Algebra, die Konstruktion des Lebesgue–Maßes und die Konstruktion stochastischer Prozesse beruht. Auf der anderen Seite erfordern Anwendungen der Wahrscheinlichkeitstheorie ein umfangreiches Repertoire an Methoden zur Konstruktion wahrscheinlichkeitstheoretischer Modelle. Grundlegend sind hier zum einen der Begriff der Unabh¨ angigkeit und zum anderen der Begriff der bedingten Erwartung und

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Vorwort

der davon abgeleitete Begriff der bedingten Verteilung. In Anwendungen der Wahrscheinlichkeitstheorie ist schließlich auch die Kenntnis der Eigenschaften spezieller univariater und multivariater Verteilungen erforderlich. Neben der Darstellung der Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie liefert dieses Buch mit zahlreichen Aufgaben auch Ansatzpunkte f¨ ur das Studium spezieller Fragestellungen, von denen einige theoretisch orientiert sind und andere sich aus Anwendungen insbesondere im Bereich der Statistik und der Versicherungsmathematik ergeben. Ein Autor, der st¨arker der angewandten reinen Mathematik als der reinen angewandten Mathematik verhaftet ist, ist geneigt, mathematische Aussagen unter m¨ oglichst allgemeinen Voraussetzungen zu beweisen. Die Aufgabe, ein Lehrbuch zu schreiben, setzt dieser Versuchung nat¨ urliche Grenzen, und so habe ich mich bem¨ uht, zwischen dem Streben nach Allgemeinheit und der Beschr¨ ankung auf das Wesentliche ein Gleichgewicht zu finden. Bei der Arbeit an diesem Buch habe ich vielf¨altige Unterst¨ utzung erhalten: – Klaus Th. Hess und Mathias Zocher haben die Entstehung des Buches begleitet und mir als anregende Gespr¨achspartner zur Seite gestanden. – Lothar Partzsch und Wilfried Schenk haben Teile des Manuskriptes durchgesehen und wertvolle Hinweise gegeben. – Elisabeth L¨ oser, Alexander Ludwig, Andreas Ringel und viele andere Studenten haben zu wesentlichen Verbesserungen beigetragen. – Mandy Karzig hat fast alle Beispiele und Aufgaben zu univariaten und multivariaten Verteilungen u uft. ¨berpr¨ – Christiane Weber hat Teile des Manuskriptes mit der ihr eigenen un¨ ubertrefflichen Sorgfalt korrekturgelesen und zusammen mit Elisabeth L¨ oser bei der Erstellung des Symbolverzeichnisses und des Sachverzeichnisses mitgewirkt. Ihnen allen sei herzlich gedankt. Schließlich danke ich dem Springer–Verlag und insbesondere Clemens Heine f¨ ur die angenehme Zusammenarbeit. Dresden, im November 2008

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Inhaltsverzeichnis

Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Teil I Mengensysteme und Abbildungen 1

Mengensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Topologien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 σ–Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Dynkin–Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 ∩–stabile Mengensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Halbringe und Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 8 14 16 17 19

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Topologische R¨ aume und messbare R¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Urbilder von Mengensystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Topologische R¨aume und stetige Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Messbare R¨aume und messbare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . .

25 25 27 29

3

Produktr¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Produkte und Projektionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Produkte von topologischen R¨aumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Produkte von messbaren R¨aumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33 33 36 39

Teil II Maßtheorie 4

Mengenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Inhalte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Maße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Signierte Maße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43 44 49 57

viii

Inhaltsverzeichnis

5

Fortsetzung von Maßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Eindeutigkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 5.2 Außere Maße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Existenzsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Approximationssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Lebesgue–Maß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63 63 65 67 70 72

6

Transformation von Maßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Bildmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Translationsinvariante Maße auf B(Rn ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Lineare Abbildungen des Lebesgue–Maßes . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79 79 80 85

Teil III Integrationstheorie 7

Messbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 7.1 Messbare Funktionen auf einem Messraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 7.2 Messbare Funktionen auf einem Maßraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

8

Lebesgue–Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 8.1 Positive einfache Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 8.2 Positive messbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 8.3 Integrierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 8.4 Lp –R¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

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Berechnung des Lebesgue–Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 9.1 Integralinduzierte Maße und signierte Maße . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 9.2 Integration nach einem Maß mit Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 9.3 Absolutstetige und singul¨are Maße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 9.4 Integration nach einem Bildmaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 9.5 Integration nach einem eingeschr¨ankten Maß . . . . . . . . . . . . . . . . 165 9.6 Produktmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 9.7 Integration nach einem Produktmaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 9.8 Lebesgue–Integral und Riemann–Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

Teil IV Wahrscheinlichkeitstheorie 10 Wahrscheinlichkeitsr¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 10.1 Wahrscheinlichkeitsr¨aume und Zufallsgr¨ oßen . . . . . . . . . . . . . . . . 194 10.2 Diskrete Wahrscheinlichkeitsr¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 10.3 Symmetrische Wahrscheinlichkeitsr¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 10.4 Endliche Produkte von Wahrscheinlichkeitsr¨ aumen . . . . . . . . . . . 202 10.5 Projektive Familien von Wahrscheinlichkeitsr¨ aumen . . . . . . . . . . 204 10.6 Satz von Andersen/Jessen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

Inhaltsverzeichnis

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11 Unabh¨ angigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 11.1 Unabh¨ angige Familien von Ereignissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 11.2 Unabh¨ angige Familien von Ereignissystemen . . . . . . . . . . . . . . . . 229 11.3 Unabh¨ angige Familien von Zufallsgr¨ oßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 11.4 Produkte von Wahrscheinlichkeitsr¨aumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 12 Univariate Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 12.1 Verteilungen und Verteilungsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 12.2 Transformationen von Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 12.3 Momente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 12.4 Zentrale Momente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 13 Multivariate Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 13.1 Verteilungen und Verteilungsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 13.2 Transformationen von Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 13.3 Randverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 13.4 Unabh¨ angigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 13.5 Verteilungen von Summen von Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . 313 13.6 Momente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 13.7 Zentrale Momente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 14 Konvergenz von Folgen von Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . 331 14.1 Fast sichere Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 14.2 Stochastische Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 14.3 Konvergenz im p–ten Mittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 15 Gesetze der Großen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 15.1 Schwache Gesetze der Großen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 15.2 Starke Gesetze der Großen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 15.3 Satz von Glivenko/Cantelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 15.4 Irrfahrten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 Teil V Vertiefung der Wahrscheinlichkeitstheorie 16 Erzeugende Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 16.1 Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 16.2 Momenterzeugende Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 16.3 Kumulantenerzeugende Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 16.4 Charakteristische Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 17 Schwache Konvergenz und Zentraler Grenzwertsatz . . . . . . . . 391 17.1 Schwache Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 17.2 Straffheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 17.3 Zentraler Grenzwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

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Inhaltsverzeichnis

18 Bedingte Erwartung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409 18.1 Bedingte Erwartung einer positiven Zufallsvariablen . . . . . . . . . 410 18.2 Bedingte Erwartung und bedingte Integrierbarkeit . . . . . . . . . . . 416 18.3 Bedingte Erwartung als Projektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426 18.4 Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428 19 Bedingte Wahrscheinlichkeit und bedingte Verteilung . . . . . . 435 19.1 Bedingte Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 19.2 Bedingte Unabh¨angigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438 19.3 Bedingte Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 19.4 Bedingte Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447 19.5 Bedingte Gesetze der Großen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 20 Regularit¨ at und Satz von Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455 20.1 Regularit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456 20.2 Satz von Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458 Anhang A

Fakult¨ at und Gamma–Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465 A.1 Fakult¨ at und Binomial–Koeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465 A.2 Gamma–Funktion und Beta–Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466

B

Vektorr¨ aume, Ordnung und Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467 B.1 Vektorr¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467 B.2 Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468 B.3 Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469 B.4 Ordnung und Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470

C

Der C.1 C.2 C.3 C.4

Euklidische Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471 Vektoren und Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471 Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474 Ordnung und Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474

Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475 Symbolverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481

Einleitung

Das vorliegende Buch bietet eine Einf¨ uhrung in die Maß– und Integrationstheorie und die Wahrscheinlichkeitstheorie. Diese Teilgebiete der Mathematik sind eng miteinander verbunden: Einerseits bildet die Maß– und Integrationstheorie die unverzichtbare Grundlage f¨ ur die Wahrscheinlichkeitstheorie, und andererseits ist die Wahrscheinlichkeitstheorie neben der Funktionalanalysis das wichtigste Anwendungsgebiet der Maß– und Integrationstheorie. Das Buch ist in f¨ unf Teile gegliedert, deren Inhalte wir im folgenden skizzieren: Teil I – Mengensysteme: Mengensysteme sind Familien von Teilmengen einer Grundmenge und werden nach ihren Stabilit¨ atseigenschaften unter mengentheoretischen Operationen klassifiziert. Die grundlegenden Mengensysteme in der Maß– und Integrationstheorie und damit auch in der Wahrscheinlichkeitstheorie sind die σ–Algebren, die in vielen wichtigen F¨ allen durch eine Topologie erzeugt werden. Daher werden neben den Eigenschaften spezieller Mengensysteme auch die Analogien zwischen Topologien und σ–Algebren und zwischen topologischen und messbaren R¨aumen sowie zwischen stetigen und messbaren Abbildungen dargestellt. Teil II – Maßtheorie: Gegenstand der Maßtheorie sind Abbildungen von einem Mengensystem in die Menge der erweiterten reellen Zahlen. Derartige Abbildungen werden allgemein als Mengenfunktionen bezeichnet und messen die Mengen des Mengensystems, auf dem sie definiert sind. Die wichtigsten Mengenfunktionen sind die Maße, und das Maßproblem ist das Problem der Fortsetzung eines Maßes von einem kleinen Mengensystem auf ein m¨ oglichst großes Mengensystem. Im Fall des Rn f¨ uhrt die L¨ osung des Maßproblems f¨ ur das Volumen von Intervallen auf das Lebesgue–Maß. Teil III – Integrationstheorie: Das Maß einer Menge der σ–Algebra, auf der das Maß definiert ist, kann als Integral ihrer Indikatorfunktion aufgefasst werden. Damit ist ein allgemeines Integral bez¨ uglich einem Maß definiert, das als Lebesgue–Integral bezeichnet wird und zun¨ achst auf positive

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Einleitung

einfache Funktionen und dann auf positive messbare Funktionen und auf eine Klasse beliebiger messbarer Funktionen fortgesetzt wird. Dieser Fortsetzungsprozess, der auch als algebraische Induktion bezeichnet wird, bildet gleichzeitig die Grundlage f¨ ur den Beweis vieler Ergebnisse u ¨ber das Lebesgue– Integral. Die Berechnung des Lebesgue–Integrals kann in vielen F¨ allen durch die Ber¨ ucksichtigung der besonderen Eigenschaften des integrierenden Maßes vereinfacht werden. Im Fall der Integration nach dem Lebesgue–Maß liefert insbesondere der Zusammenhang mit dem Riemann–Integral ein wichtiges Hilfsmittel f¨ ur die Berechnung des Lebesgue–Integrals. Teil IV – Wahrscheinlichkeitstheorie: Die Wahrscheinlichkeitstheorie hat ihren Ursprung in der Untersuchung von Gl¨ ucksspielen. Es ist Kolmogorov zu verdanken, dass die Wahrscheinlichkeitstheorie durch ihre Einbettung in die Maß– und Integrationstheorie zu einer mathematischen Disziplin geworden ist, ohne die beispielsweise die moderne Versicherungsmathematik undenkbar w¨ are. Gegen¨ uber der allgemeinen Maß– und Integrationstheorie ergeben sich in der Wahrscheinlichkeitstheorie Besonderheiten daraus, dass Wahrscheinlichkeitsmaße auf Eins normiert sind. Aufgrund dieser Normierung ist der f¨ ur die Wahrscheinlichkeitstheorie typische und in ihr zentrale Begriff der Unabh¨ angigkeit sinnvoll. Auf diesem Begriff beruht insbesondere das Gesetz der Großen Zahlen, das f¨ ur eine unabh¨angig und identisch verteilte Folge von Zufallsvariablen die Konvergenz der Stichprobenmittel gegen den gemeinsamen Erwartungswert der Zufallsvariablen gew¨ahrleistet und damit eine Grundlage f¨ ur die Sch¨ atzung ihres Erwartungswertes liefert. Teil V – Vertiefung der Wahrscheinlichkeitstheorie: Das Gesetz der Großen Zahlen ist nur ein erstes Ziel der Wahrscheinlichkeitstheorie und eine erste Grundlage f¨ ur die Mathematische Statistik. Da neben der Konvergenz der Stichprobenmittel gegen den Erwartungswert auch die Abweichung der Stichprobenmittel vom Erwartungswert von Interesse ist, stellt sich die Frage nach der n¨ aherungsweisen Berechnung ihrer Verteilungen. Diese Frage wird mit dem Zentralen Grenzwertsatz beantwortet, der eine weitere Grundlage f¨ ur die Mathematische Statistik bildet. Die Annahme der Unabh¨ angigkeit einer Familie von Zufallsvariablen, die in den starken Gesetzen der Großen Zahlen und im Zentralen Grenzwertsatz getroffen wird, ist ein wichtiges Hilfsmittel bei der Konstruktion wahrscheinlichkeitstheoretischer Modelle, aber sie ist in vielen F¨ allen nicht vertretbar. In derartigen F¨ allen ist es oft angemessen, f¨ ur eine Familie von Zufallsvariablen Annahmen u ¨ber ihre bedingte Verteilung bez¨ uglich einem zuf¨alligen Parameter und Annahmen u ¨ber die unbedingte Verteilung des Parameters zu treffen. Diese zweistufige Modellierung ist daher ein weiteres Hilfsmittel bei der Konstruktion wahrscheinlichkeitstheoretischer Modelle. Ein solches Hilfsmittel ist schließlich auch der Satz von Kolmogorov, der die Grundlage f¨ ur die Theorie der stochastischen Prozesse bildet. Ein Buch wie dieses steht im Spannungsfeld zwischen Theorie und Handwerk: Zum einen beruhen Teile der Maß– und Integrationstheorie und der

Einleitung

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Wahrscheinlichkeitstheorie auf Ergebnissen der Topologie und zum anderen ist f¨ ur Anwendungen der Wahrscheinlichkeitstheorie eine gewisse Vertrautheit mit speziellen univariaten und multivariaten Verteilungen sowie die F¨ ahigkeit, mit Verteilungen zu rechnen, unerl¨asslich. Im Hinblick auf Anwendungen der Wahrscheinlichkeitstheorie ist es außerdem wichtig, nicht nur die wesentlichen Ergebnisse der Theorie zu kennen, sondern auch die Beweismethoden zu einem gewissen Grad zu beherrschen. Dies ist die Voraussetzung f¨ ur die F¨ ahigkeit, bei Bedarf neue Ergebnisse zu entdecken und zu beweisen, die zun¨ achst sehr anwendungsspezifisch sein m¨ogen, aber auch die allgemeine Theorie bereichern und sich in ganz anderen Anwendungen als n¨ utzlich erweisen k¨ onnen. Es ist daher nicht das Ziel dieses Buches, m¨oglichst schnell zu m¨ oglichst wichtigen Ergebnissen hinzuf¨ uhren. Statt dessen wird ein mathematischer Begriff zusammen mit den typischen Beweismethoden zun¨ achst ausgeleuchtet, bevor weitere Begriffe eingef¨ uhrt werden. Die Darstellung der allgemeinen Theorie wird durch zahlreiche Beispiele und Aufgaben begleitet. Dies gilt insbesondere f¨ ur die Wahrscheinlichkeitstheorie, in der neben univariaten Verteilungen auch multivariate Verteilungen eingehend behandelt werden und Ansatzpunkte zu speziellen Themen und Anwendungen der Wahrscheinlichkeitstheorie gegeben werden, die u ¨ber den Rahmen dieses Buches hinausgehen. Konventionen: Wir verwenden die in der Maß– und Integrationstheorie und damit auch in der Wahrscheinlichkeitstheorie u ¨bliche Konvention 0 := 0 0 sowie die Konvention 00 := 1 ¯ als Wir bezeichnen eine reelle Zahl x ∈ R und eine Funktion f : Ω → R positiv , wenn x ≥ 0 bzw. f (ω) ≥ 0 f¨ ur alle ω ∈ Ω gilt. Des weiteren setzen wir N0 := N ∪ {0} und f¨ ur m ∈ N setzen wir N(m) := {n ∈ N | m ≤ n} wobei N die Menge der nat¨ urlichen Zahlen {1, 2, . . . } bezeichnet. F¨ ur weitere Bezeichnungen und Begriffe verweisen wir auf das Symbolverzeichnis und das Sachverzeichnis.

Teil I

Mengensysteme und Abbildungen

1 Mengensysteme

Ein Mengensystem ist eine Familie von Teilmengen einer Grundmenge und damit eine Teilmenge der Potenzmenge der Grundmenge. In diesem Kapitel untersuchen wir Mengensysteme, die unter bestimmten mengentheoretischen Operationen stabil sind. Die wichtigsten Mengensysteme sind die Topologien und die σ–Algebren, wobei in der Maßtheorie vor allem die σ–Algebren von Bedeutung sind. Zwischen Topologien und σ–Algebren bestehen Analogien, die es als sinnvoll erscheinen lassen, diese Mengensysteme parallel zu untersuchen. So lassen sich zum Beispiel die Mengen, die einer Topologie oder σ–Algebra angeh¨ oren, nur in seltenen F¨ allen explizit beschreiben. Topologien und σ–Algebren werden daher oft indirekt definiert, indem man ein kleineres Mengensystem angibt, das die Topologie oder die σ–Algebra in einer noch zu pr¨ azisierenden Weise erzeugt. Da bestimmte σ–Algebren durch eine Topologie erzeugt werden, beginnen wir die Untersuchung von Mengensystemen mit Topologien (Abschnitt 1.1) und f¨ uhren erst dann σ–Algebren ein (Abschnitt 1.2). Die n¨ achsten Abschnitte betreffen Mengensysteme, die f¨ ur die Erzeugung von σ–Algebren von Bedeutung sind. Dies sind vor allem Dynkin–Systeme (Abschnitt 1.3) und ∩–stabile Mengensysteme (Abschnitt 1.4) sowie Halbringe und Ringe (Abschnitt 1.5). Im gesamten Kapitel sei Ω eine nichtleere Menge. Wir bezeichnen die Potenzmenge von Ω mit 2Ω F¨ ur A ∈ 2Ω bezeichnen wir die M¨achtigkeit von A mit |A| und das Komplement von A mit A K.D. Schmidt, Maß und Wahrscheinlichkeit, 2. Aufl., Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-21026-6_1, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

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Kapitel 1. Mengensysteme

F¨ ur disjunkte Mengen A, B ∈ 2Ω setzen wir A + B := A ∪ B Eine Familie {Ai }i∈I ⊆ 2Ω heißt disjunkt, wenn Ai ∩ Aj = ∅ f¨ ur alle i, j ∈ I mit i 6= j gilt, und in diesem Fall setzen wir X [ Ai := Ai i∈I

i∈I

Ω

F¨ ur eine Folge {An }n∈N ⊆ 2 heißt die Menge lim inf An := n→∞

∞ \ ∞ [

Ak

n=1 k=n

der Limes inferior der Folge {An }n∈N und die Menge lim sup An := n→∞

∞ [ ∞ \

Ak

n=1 k=n

heißt der Limes superior der Folge {An }n∈N . Es gilt ¯ n o ¯ lim inf An = ω ∈ Ω ¯ ω ∈ An f¨ ur alle außer endlich viele n ∈ N n→∞

und

¯ n o ¯ lim sup An = ω ∈ Ω ¯ ω ∈ An f¨ ur unendlich viele n ∈ N n→∞

und damit lim inf n→∞ An ⊆ lim supn→∞ An . Eine Menge heißt abz¨ ahlbar , wenn sie endlich oder abz¨ ahlbar unendlich ist. Jede Teilmenge der Menge 2Ω heißt Mengensystem auf Ω.

1.1 Topologien Ein Mengensystem T ⊆ 2Ω heißt Topologie auf Ω, wenn es die folgenden Eigenschaften besitzt: (i) Es gilt Ω ∈ T und ∅ ∈ T . S (ii) F¨ ur jede Familie {Qi }i∈I ⊆ T gilt i∈I Qi ∈TT . (iii) F¨ ur jede endliche Familie {Qi }i∈I ⊆ T gilt i∈I Qi ∈ T . Ist T ⊆ 2Ω eine Topologie, so heißt eine Menge A ∈ 2Ω – offen bez¨ uglich T , wenn A ∈ T gilt. – abgeschlossen bez¨ uglich T , wenn A ∈ T gilt. – kompakt bez¨ u glich T , wenn es zu jeder Familie {Q S S i }i∈I ⊆ T mit A ⊆ i∈I Qi eine endliche Menge J ⊆ I gibt mit A ⊆ i∈J Qi . 1.1.1 Beispiele. (1) Die Potenzmenge 2Ω ist eine Topologie auf Ω. (2) Das Mengensystem {∅, Ω} ist eine Topologie auf Ω.

1.1 Topologien

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1.1.2 Beispiel (Topologie eines normierten Raumes). Sei (E , k . k) ein normierter Raum. F¨ ur x ∈ E und ε ∈ (0, ∞) sei ¯ n o ¯ Bk . k (x, ε) := y ∈ E ¯ ky − xk < ε Die Menge Bk . k (x, ε) heißt offene Kugel um x mit Radius ε bez¨ uglich der Norm k . k. Sei ¯ n o ¯ Tk . k := Q ∈ 2E ¯ f¨ ur alle x ∈ Q gibt es ein ε ∈ (0, ∞) mit Bk . k (x, ε) ⊆ Q Dann ist Tk . k eine Topologie auf E und jede offene Kugel bez¨ uglich der Norm k . k ist offen bez¨ uglich der Topologie Tk . k . In der Tat: Wir zeigen zun¨ achst, dass Tk . k eine Topologie auf E ist: (i) Offenbar gilt E ∈ Tk . k und ∅ ∈ Tk . k . (ii) Sei {Qi }i∈I eine beliebige Familie von Mengen in Tk . k und sei [ Q := Qi i∈I

Sei x ∈ Q. Dann gibt es ein i ∈ I mit x ∈ Qi . Wegen Qi ∈ Tk . k gibt es ein ε ∈ (0, ∞) mit Bk . k (x, ε) ⊆ Qi und wegen Qi ⊆ Q folgt daraus Bk . k (x, ε) ⊆ Q. Daher gilt Q ∈ Tk . k . (iii) Sei {Qi }i∈I eine endliche Familie von Mengen in Tk . k und sei \ Q := Qi i∈I

Sei x ∈ Q. F¨ ur alle i ∈ I gilt x ∈ Qi und wegen Qi ∈ Tk . k gibt es f¨ ur alle i ∈ I ein εi ∈ (0, ∞) mit Bk . k (x, εi ) ⊆ Qi . Sei ε := mini∈I εi . Da I endlich ist, gilt ε ∈ (0, ∞) und f¨ urT alle i ∈ I ergibt sich Bk . k (x, ε) ⊆ Bk . k (x, εi ) ⊆ Qi . Daraus folgt Bk . k (x, ε) ⊆ i∈I Qi = Q. Daher gilt Q ∈ Tk . k . Daher ist Tk . k eine Topologie auf E. Wir zeigen nun, dass jede offene Kugel bez¨ uglich der Norm k . k offen bez¨ uglich der Topologie Tk . k ist: Sei x ∈ E und ε ∈ (0, ∞). F¨ ur y ∈ Bk . k (x, ε) sei ηy := ky − xk und εy := ε − ηy . Wegen ηy < ε gilt εy ∈ (0, ∞). F¨ ur alle z ∈ Bk . k (y, εy ) gilt daher kz−xk ≤ kz −yk + ky−xk < εy + ηy = (ε−ηy ) + ηy = ε und damit z ∈ Bk . k (x, ε). Da z ∈ Bk . k (y, εy ) beliebig war, ergibt sich Bk . k (y, εy ) ⊆ Bk . k (x, ε) Da y ∈ Bk . k (x, ε) beliebig war, ergibt sich Bk . k (x, ε) ∈ Tk . k Daher ist jede offene Kugel bez¨ uglich der Norm k . k offen bez¨ uglich der Topologie Tk . k .

F¨ ur einen normierten Raum (E, k . k) wird die in Beispiel 1.1.2 definierte Topologie Tk . k als die von der Norm k . k erzeugte Topologie oder als die Normtopologie bez¨ uglich der Norm k . k bezeichnet.

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Kapitel 1. Mengensysteme

Wir betrachten nun Durchschnitte von Topologien: 1.1.3 Satz. Sei H eine nichtleere Indexmenge und sei {Th }h∈H eine Familie von Topologien auf Ω. Dann ist das Mengensystem \ T := Th h∈H

eine Topologie auf Ω. Beweis. Wir zeigen, dass T die Axiome einer Topologie erf¨ ullt: T (i) F¨ ur alle h ∈ H gilt Ω, ∅ ∈ Th . Daher gilt Ω, ∅ ∈ h∈H TT h =T. (ii) Sei {Qi }i∈I eine beliebige Familie von Mengen in T = h∈H Th . F¨ ur alle h ∈ H und f¨ u r alle i ∈ I gilt dann Q ∈ T . F¨ u r alle h ∈ H folgt daraus i h S S T i∈I Qi ∈ Th . Daher gilt i∈I Qi ∈ h∈H Th = T . T (iii) Sei {Qi }i∈I eine endliche Familie von Mengen in T = h∈H Th . F¨ ur alle h ∈ H und f¨ u r alle i ∈ I gilt dann Q ∈ T . F¨ u r alle h ∈ H folgt daraus i h T T T i∈I Qi ∈ Th . Daher gilt i∈I Qi ∈ h∈H Th = T . Daher ist T eine Topologie auf Ω. 2 Aus Satz 1.1.3 ergibt sich eine wichtige Folgerung: 1.1.4 Folgerung. Zu jedem Mengensystem E ⊆ 2Ω gibt es eine kleinste Topologie auf Ω, die E enth¨ alt. Beweis. Wir betrachten die Familie aller Topologien auf Ω, die E enthalten. Diese Familie ist nichtleer, denn die Potenzmenge 2Ω ist eine Topologie mit E ⊆ 2Ω . Nach Satz 1.1.3 ist der Durchschnitt aller Topologien, die E enthalten, ebenfalls eine Topologie. Diese Topologie enth¨alt E und ist offenbar die kleinste Topologie, die E enth¨alt. 2 F¨ ur ein Mengensystem E ⊆ 2Ω bezeichnen wir die kleinste Topologie auf Ω, die E enth¨ alt, mit τ (E) Diese Topologie wird als die von E erzeugte Topologie bezeichnet und das Mengensystem E wird als Erzeuger der Topologie τ (E) bezeichnet. 1.1.5 Beispiel (Topologie eines normierten Raumes). Sei (E, k . k) ein normierter Raum. Sei ferner ¯ n o ¯ Ek . k := Bk . k (x, ε) ¯ x ∈ E, ε ∈ (0, ∞) Dann gilt Tk . k = τ (Ek . k ) In der Tat: Nach Beispiel 1.1.2 gilt

1.1 Topologien

11 E k . k ⊆ Tk . k

und aus der Definition von τ (Ek . k ) folgt nun τ (Ek . k ) ⊆ Tk . k Sei nun T eine beliebige Topologie auf E mit Ek . k ⊆ T . Sei Q ∈ Tk . k . F¨ ur alle x ∈ Q gibt es ein εx ∈ (0, ∞) mit Bk . k (x, εx ) ⊆ Q. Daraus folgt [ [ Q= {x} ⊆ Bk . k (x, εx ) ⊆ Q x∈Q

x∈Q

S

und damit Q = x∈Q Bk . k (x, εx ). Wegen Bk . k (x, εx ) ∈ Ek . k ⊆ T gilt daher Q ∈ T . Daraus folgt zun¨ achst Tk . k ⊆ T und aus der Definition von τ (Ek . k ) folgt nun Tk . k ⊆ τ (Ek . k ) Daher gilt τ (Ek . k ) = Tk . k .

Auf einem Vektorraum k¨onnen mehrere Normen definiert sein; insbesondere ist jedes strikt positive Vielfache einer Norm wieder eine Norm. Interessanter ist das folgende Beispiel: 1.1.6 Beispiel (Normen auf Rn ). F¨ ur jedes p ∈ [1, ∞] ist die Abbildung k . kp : Rn → R+ mit Ã !1/p X   p  |x | falls p ∈ [1, ∞)  i kxkp := i∈{1,...,n}     max |xi | falls p = ∞ i∈{1,...,n}

n

eine Norm auf R .

Damit stellt sich die Frage, unter welchen Umst¨ anden die von verschiedenen Normen erzeugten Topologien u ¨bereinstimmen. 1.1.7 Beispiel (Topologien ¨ aquivalenter Normen). Sei E ein Vektorraum und seien k . k0 : E → R+ und k . k00 : E → R+ Normen. Die Normen k . k0 und k . k00 heißen ¨ aquivalent, wenn es reelle Zahlen c0 , c00 ∈ (0, ∞) gibt derart, dass f¨ ur alle x ∈ E kxk0 ≤ c00 · kxk00 kxk00 ≤ c0 · kxk0 gilt. Sind k . k0 : E → R+ und k . k00 : E → R+ ¨ aquivalente Normen, so gilt Tk . k0 = Tk . k00

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Kapitel 1. Mengensysteme

In der Tat: Zum Nachweis der behaupteten Identit¨ at gen¨ ugt es, eine der Inklusionen Tk . k0 ⊆ Tk . k00 und Tk . k00 ⊆ Tk . k0 zu zeigen. Sei Q ∈ Tk . k0 . F¨ ur alle x ∈ Q gibt es ein εx ∈ (0, ∞) mit Bk . k0 (x, εx ) ⊆ Q. Daher gilt [ [ [ Q= {x} ⊆ Bk . k00 (x, εx /c00 ) ⊆ Bk . k0 (x, εx ) ⊆ Q x∈Q

und damit Q =

S x∈Q

x∈Q

x∈Q

Bk . k00 (x, εx /c00 ) ∈ Tk . k00 .

Ist E ein endlichdimensionaler Vektorraum, so sind alle Normen auf E aquivalent. In diesem Fall stimmen nach Beispiel 1.1.7 alle von einer Norm ¨ erzeugten Topologien auf E u ¨berein und die von einer beliebigen Norm auf E erzeugte Topologie T (E) wird als nat¨ urliche Topologie auf E bezeichnet. Ist T eine Topologie und E ⊆ T ein Mengensystem mit der Eigenschaft, dass jede Menge in T als Vereinigung von Mengen in E dargestellt werden kann, so heißt E Basis der Topologie T ; in diesem Fall gilt insbesondere T = τ (E). Das folgende Beispiel zeigt, dass die nat¨ urliche Topologie auf Rn eine abz¨ ahlbare Basis besitzt: 1.1.8 Beispiel (Nat¨ urliche Topologie auf Rn ). Sei k . k : Rn → R eine beliebige Norm und sei ¯ n o ¯ Ek . k,Q := Bk . k (x, ε) ¯ x ∈ Qn , ε ∈ Q ∩ (0, ∞) Dann ist Ek . k,Q abz¨ ahlbar und eine Basis der nat¨ urlichen Topologie T (Rn ). In der Tat: Offenbar ist Ek . k,Q abz¨ ahlbar und nach Beispiel 1.1.2 gilt Ek . k,Q ⊆ Tk . k = T (Rn ) Sei nun Q ∈ Tk . k . F¨ ur x ∈ Rn gibt es ein εx ∈ (0, ∞) mit Bk . k (x, εx ) ⊆ Q, und damit gibt es auch ein ηx ∈ Q ∩ (0, ∞) mit Bk . k (x, ηx ) ⊆ Q Außerdem gibt es ein zx ∈ Qn mit kzx −xk < ηx /2 und damit x ∈ Bk . k (zx , ηx /2) F¨ ur alle y ∈ Bk . k (zx , ηx /2) gilt ky−xk ≤ ky−zx k + kzx −xk < ηx /2 + ηx /2 = ηx und damit y ∈ Bk . k (x, ηx ). Daraus folgt Bk . k (zx , ηx /2) ⊆ Bk . k (x, ηx ) Daher gilt

1.1 Topologien Q=

13 [ x∈Q

{x} ⊆

[

Bk . k (zx , ηx /2) ⊆

x∈Q

und damit Q=

[

Bk . k (x, ηx ) ⊆ Q

x∈Q

[

Bk . k (zx , ηx /2)

x∈Q

Daher ist Ek . k,Q eine Basis von Tk . k = T (Rn ).

Ausgehend von der nat¨ urlichen Topologie auf R l¨ asst sich eine Topologie auf ¯ := R ∪ {−∞, ∞} definieren: der Menge R 1.1.9 Beispiel (Nat¨ urliche Topologie n ¯ := Q ∈ 2R¯ T (R)

¯ auf R). Das Mengensystem ¯ o ¯ ¯ Q ∩ R ∈ T (R)

¯ und wird als nat¨ ¯ bezeichnet. Die ist eine Topologie auf R urliche Topologie auf R ¯ besteht offenbar genau aus den Mengen der Form Q, nat¨ urliche Topologie auf R Q ∪ {−∞}, Q ∪ {∞}, Q ∪ {−∞, ∞} mit Q ∈ T (R).

Aufgaben 1.1.A

Sei T eine Topologie auf Ω. Zu jeder Menge A ∈ 2Ω gibt es eine gr¨ oßte offene Menge A◦ mit A◦ ⊆ A und eine kleinste abgeschlossene Menge A• mit A ⊆ A• . Die Menge A◦ heißt das Innere von A, die Menge A• heißt der Abschluss von A, und die Menge ∂A := A• \ A◦ heißt der Rand von A. Der Rand von A ist abgeschlossen.

1.1.B

Sei T eine Topologie auf Ω. Ist K ∈ 2Ω kompakt und A ∈ 2Ω abgeschlossen, so ist K ∩ A kompakt.

1.1.C

Mindestens eine der Topologien 2R und {∅, R} kann nicht durch eine Norm auf R erzeugt werden. Welche?

1.1.D

Topologie eines metrischen Raumes: Sei (E, d) ein metrischer Raum. F¨ ur x ∈ E und ε ∈ (0, ∞) sei ¯ n o ¯ Bd (x, ε) := y ∈ E ¯ d(y, x) < ε Die Menge Bd (x, ε) heißt offene Kugel um x mit Radius ε bez¨ uglich der Metrik d. Sei ¯ n o ¯ Td := Q ∈ 2E ¯ f¨ ur alle x ∈ Q gibt es ein ε ∈ (0, ∞) mit Bd (x, ε) ⊆ Q Dann ist Td eine Topologie auf E. Die Topologie Td wird als die von der Metrik d erzeugte Topologie bezeichnet. Sei ferner ¯ n o ¯ Ed := Bd (x, ε) ¯ x ∈ E, ε ∈ (0, ∞) Dann gilt Td = τ (Ed ).

1.1.E

Hausdorff–R¨ aume: Ein topologischer Raum (E, T ) heißt Hausdorff– Raum, wenn es f¨ ur alle x, y ∈ E mit x 6= y offene Mengen U, V ∈ T gibt mit x ∈ U und y ∈ V sowie U ∩ V = ∅. (1) F¨ ur jeden metrischen Raum (E, d) ist (E, Td ) ein Hausdorff–Raum. (2) In einem Hausdorff–Raum ist jede kompakte Menge abgeschlossen.

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Kapitel 1. Mengensysteme

1.2 σ–Algebren Ein Mengensystem F ⊆ 2Ω heißt σ–Algebra auf Ω, wenn es die folgenden Eigenschaften besitzt: (i) Es gilt Ω ∈ F. (ii) F¨ ur jede Menge A ∈ F gilt A ∈ FS . (iii) F¨ ur jede Folge {An }n∈N ⊆ F gilt n∈N An ∈ F. Ist F ⊆ 2Ω eine σ–Algebra, so heißt eine Menge A ∈ 2Ω messbar bez¨ uglich F, wenn A ∈ F gilt. 1.2.1 Beispiele. (1) Die Potenzmenge 2Ω ist eine σ–Algebra auf Ω. (2) Das Mengensystem ¯ n o ¯ F := A ∈ 2Ω ¯ A oder A ist abz¨ ahlbar ist eine σ–Algebra auf Ω. (3) F¨ ur jede Menge A ∈ 2Ω mit A ∈ / {∅, Ω} ist das Mengensystem F := {∅, A, A, Ω} eine σ–Algebra auf Ω. (4) Das Mengensystem {∅, Ω} ist eine σ–Algebra auf Ω.

1.2.2 Lemma. Sei F eine σ–Algebra auf Ω. Dann gilt: (1) ∅ ∈ F. T (2) F¨ ur jede Folge {An }n∈N ⊆ F gilt n∈N An S ∈ F. T (3) F¨ ur jede endliche Familie {Ai }i∈I ⊆ F gilt i∈I Ai ∈ F und i∈I Ai ∈ F . Beweis. Es gilt ∅ = Ω ∈ F und f¨ ur jede Folge {An }n∈N ⊆ F gilt \ [ An = An n∈N

n∈N

T

und damit n∈N An ∈ F. Damit sind (1) und (2) gezeigt. Schließlich folgt (3) aus (1) und (2), da man jede endliche Familie von Mengen in F mit Hilfe der Mengen ∅ bzw. Ω zu einer Folge in F erweitern kann, ohne die Vereinigung bzw. den Durchschnitt zu ver¨andern. 2 Den n¨ achsten Satz und die anschließende Folgerung beweist man genau wie im Fall von Topologien: 1.2.3 Satz. Sei H eine nichtleere Indexmenge und sei {Fh }h∈H eine Familie von σ–Algebren auf Ω. Dann ist das Mengensystem \ F := Fh h∈H

eine σ–Algebra auf Ω.

1.2 σ–Algebren

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1.2.4 Folgerung. Zu jedem Mengensystem E ⊆ 2Ω gibt es eine kleinste σ–Algebra auf Ω, die E enth¨ alt. F¨ ur ein Mengensystem E ⊆ 2Ω bezeichnen wir die kleinste σ–Algebra auf Ω, die E enth¨ alt, mit σ(E) Diese σ–Algebra wird als die von E erzeugte σ–Algebra bezeichnet und das Mengensystem E wird als Erzeuger der σ–Algebra σ(E) bezeichnet. F¨ ur eine Menge A ∈ 2Ω schreiben wir auch σ(A) anstelle von σ({A}) und bezeichnen σ(A) als die von A erzeugte σ–Algebra. Von Interesse sind unter anderem σ–Algebren auf Ω, die von einer Topologie auf Ω erzeugt werden. Ist T eine Topologie auf Ω, so wird die σ–Algebra B(Ω, T ) := σ(T ) als Borelsche σ–Algebra bez¨ uglich T bezeichnet. Jede Menge B ∈ B(Ω, T ) heißt Borel–Menge von Ω bez¨ uglich T . 1.2.5 Beispiel (Borelsche σ–Algebra auf Rn ). Die σ–Algebra B(Rn ) := σ(T (Rn )) wird als Borelsche σ–Algebra (bez¨ uglich der nat¨ urlichen Topologie) auf Rn bezeichnet; vgl. Aufgabe 1.2.A.

¯ Von Interesse ist auch die Borelsche σ–Algebra auf R: ¯ 1.2.6 Beispiel (Borelsche σ–Algebra auf R). Die σ–Algebra ¯ := σ(T (R)) ¯ B(R) ¯ bezeichnet. Es gilt wird als Borelsche σ–Algebra auf R ¯ n o ¯ = B ∈ 2R¯ ¯¯ B ∩ R ∈ B(R) B(R) ¯ besteht offenbar genau aus den Mengen der Form B, Die Borelsche σ–Algebra B(R) B ∪ {−∞}, B ∪ {∞}, B ∪ {−∞, ∞} mit B ∈ B(R).

Aufgaben 1.2.A

Borelsche σ–Algebra auf Rn : F¨ ur jede Norm k . k : Rn → R+ gilt B(Rn ) = σ(Ek . k,Q ) Insbesondere besitzt die Borelsche σ–Algebra auf Rn einen abz¨ ahlbaren Erzeuger.

1.2.B

Erzeugte σ–Algebra: Bestimmen Sie f¨ ur A ∈ 2Ω die σ–Algebra σ(A).

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Kapitel 1. Mengensysteme

1.3 Dynkin–Systeme Ein Mengensystem D ⊆ 2Ω heißt Dynkin–System auf Ω, wenn es die folgenden Eigenschaften besitzt: (i) Es gilt Ω ∈ D. (ii) F¨ ur jede Menge A ∈ D gilt A ∈ D. P (iii) F¨ ur jede disjunkte Folge {An }n∈N ⊆ D gilt n∈N An ∈ D. 1.3.1 Lemma. Jede σ–Algebra ist ein Dynkin–System. Die Umkehrung der Implikation von Lemma 1.3.1 ist jedoch falsch; vgl. Beispiel 1.3.6. 1.3.2 Lemma. Sei D ein Dynkin–System. Dann gilt f¨ ur alle A, B ∈ D mit B⊆A A\B ∈D Beweis. Wegen B ⊆ A gilt A ∩ B = ∅ und damit A \ B = A ∩ B = A ∪ B = A + B ∈ D. 2 Den n¨ achsten Satz und die anschließende Folgerung beweist man genau wie im Fall von Topologien: 1.3.3 Satz. Sei H eine nichtleere Indexmenge und sei {Dh }h∈H eine Familie von Dynkin–Systemen auf Ω. Dann ist das Mengensystem \ D := Dh h∈H

ein Dynkin–System auf Ω. 1.3.4 Folgerung. Zu jedem Mengensystem E ⊆ 2Ω gibt es ein kleinstes Dynkin–System auf Ω, das E enth¨ alt. F¨ ur ein Mengensystem E ⊆ 2Ω bezeichnen wir das kleinste Dynkin–System auf Ω, das E enth¨alt, mit δ(E) Dieses Dynkin–System wird als das von E erzeugte Dynkin–System bezeichnet und das Mengensystem E wird als Erzeuger des Dynkin–Systems δ(E) bezeichnet. 1.3.5 Folgerung. Sei E ⊆ 2Ω ein Mengensystem. Dann gilt δ(E) ⊆ σ(E) Beweis. Die Behauptung folgt aus Lemma 1.3.1.

2

1.4 ∩–stabile Mengensysteme

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Das folgende Beispiel zeigt, dass das von einem Mengensystem erzeugte Dynkin–System keine σ–Algebra zu sein braucht: 1.3.6 Beispiel. Sei Ω := {1, 2, 3, 4} und sei A := {1, 2} und B := {1, 3}. F¨ ur das Mengensystem E := {A, B} gilt dann δ(E) = {∅, A, A, B, B, Ω} 6= 2Ω = σ(E).

Unter einer zus¨ atzlichen Bedingung an das Mengensystem E, die wir im n¨ achsten Abschnitt behandeln, gilt jedoch δ(E) = σ(E).

1.4 ∩–stabile Mengensysteme Ein Mengensystem C ⊆ 2Ω heißt ∩–stabil , wenn f¨ ur alle A, B ∈ C A∩B ∈ C gilt. Offenbar ist jede Topologie und jede σ–Algebra ∩–stabil. Andererseits muss ein Dynkin–System nicht ∩–stabil sein; vgl. Beispiel 1.3.6. Der folgende Satz kl¨ art die Beziehung zwischen σ–Algebren und Dynkin–Systemen: 1.4.1 Satz. F¨ ur ein Mengensystem F ⊆ 2Ω sind folgende Aussagen ¨ aquivalent: (a) F ist eine σ–Algebra. (b) F ist ein ∩–stabiles Dynkin–System. Beweis. Wegen Lemma 1.2.2 und Lemma 1.3.1 ist jede σ–Algebra ein ∩– stabiles Dynkin–System. Sei nun F ein ∩–stabiles Dynkin–System. (i) Es gilt Ω ∈ F. (ii) F¨ ur jede Menge A ∈ F gilt A ∈ F . (iii) Sei {An }n∈N ⊆ F und ∞ [

A :=

An

n=1

Um zu zeigen, dass A ∈ F gilt, konstruieren wir eine disjunkte Folge {Bn }n∈N ⊆ F mit A=

∞ X

Bn

n=1

Die Folge {Cn }n∈N0 mit Cn :=

n [ k=1

Ak

18

Kapitel 1. Mengensysteme

(und damit C0 = ∅) ist monoton wachsend und die Folge {Bn }n∈N mit Bn := Cn \ Cn−1 ist disjunkt mit Cn =

n X

Bk

k=1

Daher gilt A=

∞ [

An =

n=1

∞ [ n [

Ak =

n=1 k=1

∞ [

Cn =

n=1

∞ X n [ n=1 k=1

Bk =

∞ X

Bn

n=1

Außerdem gilt f¨ ur alle n ∈ N Bn = Cn \ Cn−1 Ã n ! n−1 [ [ = Ak \ Ak k=1

= An \

k=1 n−1 [

Ak

k=1

= An ∩ = An ∩

n−1 [ k=1 n−1 \

Ak Ak

k=1

Da F ein ∩–stabiles Dynkin–System ist, folgt daraus {Bn }n∈N ⊆ F und damit A ∈ F. Damit ist gezeigt, dass F eine σ–Algebra ist. 2 Der folgende Satz zeigt, dass f¨ ur einen ∩–stabilen Erzeuger das erzeugte Dynkin–System mit der erzeugten σ–Algebra u ¨bereinstimmt: 1.4.2 Satz. Sei E ⊆ 2Ω ein ∩–stabiles Mengensystem. Dann ist δ(E) ∩–stabil und es gilt δ(E) = σ(E) Beweis. Ist E leer, so gilt δ(E) = {∅, Ω} = σ(E). Sei also E nichtleer. Nach Folgerung 1.3.5 gilt δ(E) ⊆ σ(E) Zum Beweis der Inklusion σ(E) ⊆ δ(E) gen¨ ugt es zu zeigen, dass das Dynkin–System δ(E) ∩–stabil ist, denn dann ist δ(E) nach Satz 1.4.1 eine σ–Algebra, die E und damit auch σ(E) enth¨ alt.

1.5 Halbringe und Ringe

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F¨ ur B ∈ δ(E) sei ¯ n o ¯ DB := C ∈ 2Ω ¯ C ∩ B ∈ δ(E) Dann ist DB ein Dynkin–System: (i) Es gilt Ω ∩ B = B ∈ δ(E). Daher gilt Ω ∈ DB . (ii) Sei C ∈ DB . Dann gilt C ∩ B ∈ δ(E) und C ∩ B ⊆ B ∈ δ(E). Aus Lemma 1.3.2 folgt C ∩ B = B \ C = B \ (C ∩ B) ∈ δ(E). Daher gilt C ∈ DB . (iii) Sei {Cn }n∈N ⊆ DB disjunkt. Dann ist auch P P die Folge {Cn ∩B}n∈N ⊆ δ(E) disjunkt und es gilt ( C ) ∩ B = n n∈N n∈N (Cn ∩ B) ∈ δ(E). Daher gilt P C ∈ D . n B n∈N Sei E ∈ E. F¨ ur alle F ∈ E gilt, da E ∩–stabil ist, F ∩ E ∈ E ⊆ δ(E) und damit F ∈ DE . Daraus folgt zun¨achst E ⊆ DE und sodann δ(E) ⊆ DE Sei D ∈ δ(E). F¨ ur alle E ∈ E ergibt sich aus der letzten Inklusion D ∈ DE und damit E ∈ DD . Daraus folgt zun¨achst E ⊆ DD und sodann δ(E) ⊆ DD F¨ ur alle C, D ∈ δ(E) ergibt sich aus der letzten Inklusion C ∈ DD und damit C ∩ D ∈ δ(E). Daher ist das Dynkin–System δ(E) ∩–stabil. 2 Aufgaben 1.4.A

Der Durchschnitt einer nichtleeren Familie von ∩–stabilen Mengensystemen auf Ω ist ein ∩–stabiles Mengensystem.

1.4.B

Ein Mengensystem C ⊆ 2Ω heißt ∪–stabil, wenn f¨ ur alle A, B ∈ C A∪B ∈ C gilt. Jede Topologie und jede σ–Algebra ist ein ∪–stabiles Mengensystem.

1.4.C

Ein Mengensystem C ⊆ 2Ω heißt Verband , wenn es ∪–stabil und ∩–stabil ist. Jede Topologie und jede σ–Algebra ist ein Verband.

1.5 Halbringe und Ringe Ein Mengensystem H ⊆ 2Ω heißt Halbring auf Ω, wenn es die folgenden Eigenschaften besitzt: (i) Es gilt ∅ ∈ H. (ii) F¨ ur alle A, B ∈ H gilt A ∩ B ∈ H. (iii) F¨ ur alle A, BP ∈ H gibt es eine endliche disjunkte Familie {Cj }j∈J ⊆ H mit A \ B = j∈J Cj . Der Begriff des Halbringes ist durch das folgende Beispiel motiviert:

20

Kapitel 1. Mengensysteme

1.5.1 Beispiel (Halbring der halboffenen Intervalle auf Rn ). Wir setzen ¯ n o ¯ (a, b) := x ∈ Rn ¯ a < x < b ¯ n o ¯ (a, b] := x ∈ Rn ¯ a < x ≤ b ¯ n o ¯ [a, b] := x ∈ Rn ¯ a ≤ x ≤ b und – – – Das

bezeichnen (a, b) als offenes Intervall , (a, b] als halboffenes Intervall und [a, b] als abgeschlossenes Intervall . Mengensystem ¯ n o ¯ J (Rn ) := (a, b] ¯ a, b ∈ Rn mit a ≤ b

ist ein Halbring und wird als Halbring der halboffenen Intervalle auf Rn bezeichnet.

Das folgende Beispiel zeigt, dass die Borelsche σ–Algebra auf Rn auch durch den Halbring der halboffenen Intervalle des Rn erzeugt wird: 1.5.2 Beispiel (Borelsche σ–Algebra auf Rn ). Es gilt B(Rn ) = σ(J (Rn )) Außerdem enth¨ alt die Borelsche σ–Algebra B(Rn ) alle offenen und alle abgeschlossenen Intervalle und jede abz¨ ahlbare Teilmenge des Rn . In der Tat: Sei x ∈ Rn und ε ∈ (0, ∞). Dann gilt ¸ [µ 1 Bk . k∞ (x, ε) = (x − ε1, x + ε1) = x − ε1, x + ε1 − 1 n n∈N

und damit Bk . k∞ (x, ε) ∈ σ(J (Rn )). Daher gilt Ek . k∞ ⊆ σ(J (Rn )) und insbesondere Ek . k∞ ,Q ⊆ σ(J (Rn )) Nach Beispiel 1.1.8 ist das Mengensystem Ek . k∞ ,Q eine abz¨ ahlbare Basis der Topologie Tk . k∞ . Daraus ergibt sich nun Tk . k∞ ⊆ σ(J (Rn )) und damit σ(Tk . k∞ ) ⊆ σ(J (Rn )) Sei nun J ∈ J (Rn ). Dann gibt es a, b ∈ Rn mit a ≤ b und ¶ \µ 1 J = (a, b] = a, b + 1 n n∈N

n

Da jedes offene Intervall in R eine Menge in Tk . k∞ ist, folgt daraus J ∈ σ(Tk . k∞ ). Daher gilt J (Rn ) ⊆ σ(Tk . k∞ ) und damit σ(J (Rn )) ⊆ σ(Tk . k∞ )

1.5 Halbringe und Ringe

21

Daher gilt B(Rn ) = σ(Tk . k∞ ) = σ(J (Rn )) Außerdem gilt f¨ ur alle a, b ∈ Rn mit a ≤ b ¸ \µ 1 [a, b] = a − 1, b n n∈N und damit [a, b] ∈ B(Rn ), und f¨ ur alle x ∈ Rn ergibt sich dann {x} = [x, x] ∈ B(Rn ). Damit ist auch die abschließende Behauptung gezeigt.

¯ Wir betrachten nun Intervalle auf R: ¯ ¯ 1.5.3 Beispiel (Halbring der halboffenen Intervalle auf R). F¨ ur a, b ∈ R setzen wir ¯ n o ¯ ¯¯ a < x < b (a, b) := x ∈ R ¯ n o ¯ ¯¯ a < x ≤ b (a, b] := x ∈ R ¯ n o ¯ ¯¯ a ≤ x ≤ b [a, b] := x ∈ R und – – – Das

bezeichnen (a, b) als offenes Intervall , (a, b] als halboffenes Intervall und [a, b] als abgeschlossenes Intervall . Mengensystem ¯ n o ¯ := (a, b] ¯¯ a, b ∈ R ¯ mit a ≤ b J (R)

¯ bezeichnet. ist ein Halbring und wird als Halbring der halboffenen Intervalle auf R ¯ Es gilt 1.5.4 Beispiel (Borelsche σ–Algebra auf R). ¯ = σ(J (R)) ¯ B(R) ¯ In der Tat: Sei (a, b] ∈ J (R). ¯ – Im Fall b = −∞ gilt (a, b] ∩ R = ∅ ∈ B(R) und damit (a, b] ∈ B(R). ¯ – Im Fall b ∈ R gilt (a, b] ∩ R = (a, b] ∈ B(R) und damit (a, b] ∈ B(R). ¯ – Im Fall b = ∞ gilt (a, b] ∩ R = (a, ∞) ∈ B(R) und damit (a, b] ∈ B(R). ¯ ⊆ B(R) ¯ und sodann Daraus folgt zun¨ achst J (R) ¯ ⊆ B(R) ¯ σ(J (R)) ¯ Dann gilt Q ∩ R ∈ B(R) und damit Sei nun Q ∈ B(R). ¯ – Im Fall Q ∈ B(R) gilt Q ∈ σ(J (R)) ⊆ σ(J (R)). ¯ – Im Fall Q = {∞} gilt Q = (−∞, ∞] \ R ∈ σ(J (R)). ¯ \ (−∞, ∞] ∈ σ(J (R)). ¯ – Im Fall Q = {−∞} gilt Q = R ¯ Daraus folgt zun¨ achst B(R) ∪ {∞} ∪ {−∞} ⊆ σ(J (R)) und sodann ¯ ⊆ σ(J (R)) ¯ B(R) Damit ist die Behauptung gezeigt.

22

Kapitel 1. Mengensysteme

Wir betrachten abschließend eine weitere Klasse von Mengensystemen, die mit Halbringen verwandt sind: Ein Mengensystem R ⊆ 2Ω heißt Ring auf Ω, wenn es die folgenden Eigenschaften besitzt: (i) Es gilt ∅ ∈ R. (ii) F¨ ur alle A, B ∈ R gilt A \ B ∈ R. (iii) F¨ ur alle A, B ∈ R gilt A ∪ B ∈ R. 1.5.5 Lemma. Jeder Ring ist ein Halbring. Beweis. Wegen A ∩ B = (A ∪ B) \ ((A\B) ∪ (B\A)) ist jeder Ring ∩–stabil. Daraus folgt die Behauptung. 2 Das folgende Beispiel zeigt, dass die Umkehrung der Implikation von Lemma 1.5.5 im allgemeinen falsch ist: 1.5.6 Beispiel. Sei Ω := {1, 2, 3} und H := {∅, {1}, {2}, {3}, Ω}. Dann ist H ein Halbring, aber kein Ring.

Der Durchschnitt einer nichtleeren Familie von Ringen auf Ω ist ein Ring; vgl. Aufgabe 1.5.F. Daher gibt es zu jedem Mengensystem E ⊆ 2Ω einen kleinsten Ring %(E) auf Ω, der E enth¨ alt. Dieser Ring wird als der von E erzeugte Ring bezeichnet und das Mengensystem E wird als Erzeuger des Ringes %(E) bezeichnet. Der folgende Satz gibt eine explizite Darstellung des von einem Halbring erzeugten Ringes: 1.5.7 Satz (Der von einem Halbring erzeugte Ring). Sei H ⊆ 2Ω ein Halbring und sei ¯ ( ) ¯ X Ω ¯ R := A ∈ 2 ¯ A = Hi mit I endlich und {Hi }i∈I ⊆ H disjunkt ¯ i∈I

Dann gilt R = %(H). Beweis. Es gilt H ⊆ R ⊆ %(H). Daher gen¨ ugt es zu zeigen, dass R ein Ring ist. (i) Wegen ∅ ∈ H und H ⊆ R gilt ∅ ∈ R. (ii) Sei A, B ∈ R. Dann gibtPes endliche disjunkte P Familien {Gi }i∈I ⊆ H und {Hj }j∈J ⊆ H mit A = i∈I Gi und B = j∈J Hj , und es gilt à ! à ! X X A\B = Gi \ Hj i∈I

j∈J

1.5 Halbringe und Ringe

23

=

X

Gi ∩

i∈I

=

X\

\

Hj

j∈J

Gi ∩ Hj

i∈I j∈J

=

X\

Gi \ Hj

i∈I j∈J

Da H ein Halbring ist, T gilt Gi \ Hj ∈ R. Da H ∩–stabil ist, ist auch R ∩–stabil und es gilt j∈J \ Hj ∈ R. Da die Familie {Gi }i∈I disjunkt P GiT ist, gilt sogar A \ B = i∈I j∈J Gi \ Hj ∈ R. (iii) Sei A, B ∈ R. Da R ∩–stabil ist, gilt A ∩ B ∈ R, und aus (ii) folgt A \ B ∈ R und B \ A ∈ R. Wegen A ∪ B = (A \ B) + (A ∩ B) + (B \ A) gilt dann auch A ∪ B ∈ R. Daher ist R ein Ring. 2 Aufgaben 1.5.A

Sei H ⊆ 2Ω ein Halbring und sei {Ai }i∈I ⊆ H eine endliche Familie. Dann gibt es eine endliche S disjunkte Familie {Cj }j∈J ⊆ H und eine Familie {Ji }i∈I ⊆ 2J mit i∈I Ji = J derart, dass [

Ai =

i∈I

X

Cj

j∈J

und f¨ ur alle i ∈ I Ai =

X

Cj

j∈Ji

gilt. 1.5.B

Ist der Durchschnitt einer nichtleeren Familie von Halbringen auf Ω ein Halbring?

1.5.C

Jedes offene Intervall des Rn ist eine offene Menge bez¨ uglich der nat¨ urlichen Topologie, und jedes abgeschlossene Intervall des Rn ist eine abgeschlossene Menge bez¨ uglich der nat¨ urlichen Topologie.

1.5.D

Borelsche σ–Algebra auf Rn : Sei ¯ n o ¯ J (Qn ) := (a, b] ¯ a, b ∈ Qn Dann gilt B(Rn ) = σ(J (Qn )).

1.5.E

Jeder Ring ist ein Verband.

1.5.F

Der Durchschnitt einer nichtleeren Familie von Ringen auf Ω ist ein Ring.

1.5.G

F¨ ur ein Mengensystem R ⊆ 2Ω sind folgende Aussagen ¨ aquivalent: (a) R ist ein Ring. (b) R ist ein ∪–stabiler Halbring.

24

Kapitel 1. Mengensysteme

1.5.H

Ideale: Sei R ⊆ 2Ω ein Ring. Ein Mengensystem I ⊆ R heißt Ideal in R, wenn es die folgenden Eigenschaften besitzt: (i) Es gilt ∅ ∈ I. (ii) F¨ ur alle A ∈ I und alle B ∈ R mit B ⊆ A gilt B ∈ I. (iii) F¨ ur alle A, B ∈ I gilt A ∪ B ∈ I. Jedes Ideal in einem Ring ist ein Ring.

1.5.I

Algebren: Ein Mengensystem R ⊆ 2Ω heißt Algebra auf Ω, wenn es die folgenden Eigenschaften besitzt: (i) Es gilt Ω ∈ R. (ii) F¨ ur alle A ∈ R gilt A ∈ R. (iii) F¨ ur alle A, B ∈ R gilt A ∪ B ∈ R. Jede σ–Algebra ist eine Algebra, und jede Algebra ist ein Ring.

1.5.J

σ–Ringe: Ein Mengensystem R ⊆ 2Ω heißt σ–Ring auf Ω, wenn es die folgenden Eigenschaften besitzt: (i) Es gilt ∅ ∈ R. (ii) F¨ ur alle A, B ∈ R gilt A \ B ∈ R.S (iii) F¨ ur jede Folge {An }n∈N ⊆ R gilt n∈N An ∈ R. Jede σ–Algebra ist ein σ–Ring, und jeder σ–Ring ist ein Ring.

1.5.K

σ–Ideale: Sei R ⊆ 2Ω ein σ–Ring. Ein Mengensystem I ⊆ R heißt σ–Ideal in R, wenn es die folgenden Eigenschaften besitzt: (i) Es gilt ∅ ∈ I. (ii) F¨ ur alle A ∈ I und f¨ ur alle B ∈ RSmit B ⊆ A gilt B ∈ I. (iii) F¨ ur jede Folge {An }n∈N ⊆ I gilt n∈N An ∈ I. Jedes σ–Ideal in einem σ–Ring ist ein σ–Ring.

1.5.L

Stellen Sie die Inklusionen zwischen den in diesem Kapitel betrachteten Klassen von Mengensystemen in einem Diagramm dar.

1.5.M

Borelsche σ–Algebra auf R: Sei ¯ n o ¯ E := (−∞, c] ¯ c ∈ R Dann gilt B(R) = σ(E).

1.5.N

¯ Sei Borelsche σ–Algebra auf R: ¯ n o ¯ E¯ := [−∞, c] ¯ c ∈ R ¯ = σ(E). ¯ Dann gilt B(R)

2 Topologische R¨ aume und messbare R¨ aume

In diesem Kapitel betrachten wir Abbildungen zwischen Mengen, die beide mit einer Topologie oder beide mit einer σ–Algebra ausgestattet sind. In beiden F¨ allen sind die wichtigsten Abbildungen durch Eigenschaften ihres Urbildes definiert. Wir erinnern zun¨ achst an die Eigenschaften des Urbildes einer Abbildung und definieren das Urbild eines Mengensystems (Abschnitt 2.1). Wir betrachten sodann topologische R¨aume und stetige Abbildungen zwischen topologischen R¨ aumen (Abschnitt 2.2) sowie messbare R¨aume und messbare Abbildungen zwischen messbaren R¨aumen (Abschnitt 2.3). Die Beweise der allgemeinen Ergebnisse u ¨ber topologische oder messbare R¨ aume und u ¨ber stetige oder messbare Abbildungen verlaufen analog und werden daher nur f¨ ur topologische R¨aume und stetige Abbildungen ausgef¨ uhrt. F¨ ur Abbildungen zwischen topologischen R¨aumen ergibt sich ein interessanter Zusammenhang zwischen der Stetigkeit bez¨ uglich den gegebenen Topologien und der Messbarkeit bez¨ uglich den zugeh¨origen Borelschen σ–Algebren.

2.1 Urbilder von Mengensystemen Im gesamten Abschnitt seien Ω und Ω0 nichtleere Mengen und sei f : Ω → Ω0 eine Abbildung. F¨ ur A ∈ 2Ω heißt die Menge n f (A) := ω 0 ∈ Ω0

¯ o ¯ 0 ur ein ω ∈ A ¯ ω = f (ω) f¨

das Bild von A unter f . K.D. Schmidt, Maß und Wahrscheinlichkeit, 2. Aufl., Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-21026-6_2, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

26

Kapitel 2. Topologische R¨ aume und messbare R¨ aume 0

Die Abbildung f −1 : 2Ω → 2Ω mit ¯ n o ¯ f −1 (A0 ) := ω ∈ Ω ¯ f (ω) ∈ A0 0

heißt Urbild von f und f¨ ur A0 ∈ 2Ω heißt die Menge f −1 (A0 ) das Urbild von 0 A unter f . Das Urbild einer Abbildung kommutiert mit den grundlegenden Operationen der Mengenlehre: 2.1.1 Lemma. (1) Es gilt f −1 (Ω0 ) = Ω und f −1 (∅) = ∅. 0 (2) F¨ ur alle A0 ∈ 2Ω gilt f −1 (A0 ) = f −1 (A0 ) 0

(3) F¨ ur jede Familie {A0i }i∈I ⊆ 2Ω gilt à ! [ [ −1 0 f Ai = f −1 (A0i ) i∈I

und

à f

−1

\

i∈I

i∈I

! A0i

=

\

f −1 (A0i )

i∈I

Insbesondere sind die Urbilder disjunkter Mengen disjunkt. 0

F¨ ur ein Mengensystem E 0 ⊆ 2Ω heißt das Mengensystem ¯ n o ¯ f −1 (E 0 ) := A ∈ 2Ω ¯ A = f −1 (A0 ) mit A0 ∈ E 0 das Urbild von E 0 unter f . 2.1.2 Folgerung. (1) Das Urbild einer Topologie ist eine Topologie. (2) Das Urbild einer σ–Algebra ist eine σ–Algebra. Aufgabe 0

2.1.A

F¨ ur alle A0 , B 0 ∈ 2Ω gilt f −1 (A0 \ B 0 ) = f −1 (A0 ) \ f −1 (B 0 ).

2.1.B

F¨ ur welche der in Kapitel 1 eingef¨ uhrten Klassen von Mengensystemen 0 besitzt das Urbild f −1 (E 0 ) eines Mengensystems E 0 ⊆ 2Ω dieselben Eigen0 schaften wie E ?

2.1.C

Sei Ω := {1, 2, 3} und Ω0 := {1, 2, 3, 4} und sei f : Ω → Ω0 gegeben durch f (ω) := ω Dann gibt es ein Dynkin–System D 0 auf Ω0 derart, dass f −1 (D 0 ) kein Dynkin–System ist.

2.2 Topologische R¨ aume und stetige Abbildungen

27

2.2 Topologische R¨ aume und stetige Abbildungen Ist Ω eine nichtleere Menge und T eine Topologie auf Ω, so wird das Paar (Ω, T ) als topologischer Raum bezeichnet. Sind (Ω, T ) und (Ω0 , T 0 ) topologische R¨aume, so heißt eine Abbildung f : Ω → Ω0 T –T 0 –stetig oder T –stetig oder stetig f¨ ur T oder kurz stetig, wenn f −1 (T 0 ) ⊆ T gilt. Ist Ω eine nichtleere Menge und (Ω0 , T 0 ) ein topologischer Raum, so ist jede Abbildung f : Ω → Ω0 stetig f¨ ur die Topologie 2Ω und aus Folgerung 1.1.4 ergibt sich nun, dass es eine kleinste Topologie τ (f ) auf Ω gibt, f¨ ur die f stetig ist; diese Topologie wird als die von f erzeugte Topologie bezeichnet. Nach Folgerung 2.1.2 ist auch das Mengensystem f −1 (T 0 ) eine Topologie auf Ω, f¨ ur die f offenbar stetig ist. Wir erhalten damit den folgenden Satz: 2.2.1 Satz. Sei Ω eine nichtleere Menge und sei (Ω0 , T 0 ) ein topologischer Raum. Dann gilt f¨ ur jede Abbildung f : Ω → Ω0 τ (f ) = f −1 (T 0 ) Sind also (Ω, T ) und (Ω0 , T 0 ) topologische R¨aume, so ist eine Abbildung f : Ω → Ω0 genau dann stetig, wenn die von f erzeugte Topologie τ (f ) in der Topologie T enthalten ist. 0

2.2.2 Lemma. Sei E 0 ⊆ 2Ω ein Mengensystem und sei f : Ω → Ω0 eine Abbildung. Dann gilt τ (f −1 (E 0 )) = f −1 (τ (E 0 )) Beweis. Wegen E 0 ⊆ τ (E 0 ) gilt f −1 (E 0 ) ⊆ f −1 (τ (E 0 )) und aus Folgerung 2.1.2 folgt, dass f −1 (τ (E 0 )) eine Topologie ist. Daher gilt τ (f −1 (E 0 )) ⊆ f −1 (τ (E 0 )) Zum Nachweis der umgekehrten Inklusion betrachten wir das Mengensystem ¯ n o 0 ¯ T00 := A0 ∈ 2Ω ¯ f −1 (A0 ) ∈ τ (f −1 (E 0 ))

28

Kapitel 2. Topologische R¨ aume und messbare R¨ aume

Dann gilt E 0 ⊆ T00 und aus Lemma 2.1.1 folgt, dass T00 eine Topologie ist. Daher gilt τ (E 0 ) ⊆ T00 und damit f −1 (τ (E 0 )) ⊆ f −1 (T00 ) ⊆ τ (f −1 (E 0 )) Damit ist das Lemma bewiesen.

2

Der folgende Satz erleichtert den Nachweis der Stetigkeit einer Abbildung zwischen topologischen R¨aumen: 2.2.3 Satz (Stetige Abbildungen). Seien (Ω, T ) und (Ω0 , T 0 ) topologische R¨ aume und sei E 0 ein Erzeuger von T 0 und f : Ω → Ω0 eine Abbildung. Dann sind folgende Aussagen ¨ aquivalent: (a) f ist stetig. (b) Es gilt f −1 (E 0 ) ⊆ T . Beweis. Wir nehmen zun¨achst an, dass f stetig ist. Dann gilt f −1 (T 0 ) ⊆ T , und wegen E 0 ⊆ τ (E 0 ) = T 0 ergibt sich daraus f −1 (E 0 ) ⊆ f −1 (T 0 ) ⊆ T . Daher folgt (b) aus (a). Wir nehmen nun an, dass f −1 (E 0 ) ⊆ T gilt. Da T eine Topologie ist, gilt dann auch τ (f −1 (E 0 )) ⊆ T , und mit Lemma 2.2.2 erhalten wir f −1 (T 0 ) = f −1 (τ (E 0 )) = τ (f −1 (E 0 )) ⊆ T . Daher folgt (a) aus (b). 2 2.2.4 Lemma (Komposition). Seien (Ω, T ), (Ω0 , T 0 ) und (Ω00 , T 00 ) topologische R¨ aume und seien f : Ω → Ω0 und g : Ω0 → Ω00 stetig. Dann ist auch die Komposition g ◦ f stetig. Beweis. Es gilt (g ◦ f )−1 (T 00 ) = f −1 (g −1 (T 00 )) ⊆ f −1 (T 0 ) ⊆ T .

2

Wir betrachten nun stetige Abbildungen zwischen normierten R¨ aumen: 2.2.5 Beispiel (Stetige Abbildungen zwischen normierten R¨ aumen). Seien (E, k . k) und (E 0 , k . k0 ) normierte R¨ aume. Eine Abbildung f : E → E 0 heißt stetig in x ∈ E, wenn es f¨ ur alle ε ∈ (0, ∞) ein δ ∈ (0, ∞) gibt derart, dass f¨ ur alle y ∈ E mit ky −xk < δ auch kf (y)−f (x)k0 < ε gilt. F¨ ur eine Abbildung f : E → E 0 sind folgende Aussagen ¨ aquivalent: (a) f ist stetig. (b) F¨ ur alle x ∈ E ist f stetig in x. In der Tat: Sei zun¨ achst f stetig und x ∈ E. F¨ ur alle ε ∈ (0, ∞) gilt Bk . k0 (f (x), ε) ∈ Tk . k0 . Aus der Stetigkeit von f folgt x ∈ f −1 (Bk . k0 (f (x), ε)) ∈ Tk . k . Daher gibt es ein δ ∈ (0, ∞) mit Bk . k (x, δ) ⊆ f −1 (Bk . k0 (f (x), ε)). F¨ ur alle y ∈ E mit ky − xk < δ gilt daher y ∈ Bk . k (x, δ) ⊆ f −1 (Bk . k0 (f (x), ε)) und damit f (y) ∈ Bk . k0 (f (x), ε), also kf (y)−f (x)k0 < ε. Daher ist f f¨ ur alle x ∈ E stetig in x. Sei nun f f¨ ur alle x ∈ E stetig in x und sei Q0 ∈ Tk . k0 . F¨ ur alle x ∈ f −1 (Q0 ) gilt f (x) ∈ Q0 . Daher gibt es ein ε ∈ (0, ∞) mit Bk . k0 (f (x), ε) ⊆ Q0 . Da f stetig in x ist, gibt es ein δ ∈ (0, ∞) mit f (Bk . k (x, δ)) ⊆ Bk . k0 (f (x), ε) ⊆ Q0 und damit Bk . k (x, δ) ⊆ f −1 (Q0 ). Daraus folgt f −1 (Q0 ) ∈ Tk . k . Daher ist f stetig. Damit ist die Behauptung bewiesen.

2.3 Messbare R¨ aume und messbare Abbildungen

29

Aufgaben 2.2.A

Spurtopologie: Sei (Ω, T ) ein topologischer Raum. Dann ist f¨ ur jede nichtleere Menge C ∈ 2Ω das Mengensystem ¯ n o ¯ T (C) := D ∈ 2Ω ¯ D = A ∩ C f¨ ur eine Menge A ∈ T eine Topologie auf C. Die Topologie T (C) heißt Spurtopologie oder kurz Spur von T auf C.

2.2.B

Restriktion: Seien (Ω, T ) und (Ω0 , T 0 ) topologische R¨ aume und sei f : Ω → Ω0 stetig. Dann ist f¨ ur jede nichtleere Menge C ∈ 2Ω die Abbildung f |C : C → Ω0 mit f |C (c) := f (c) T (C)–T 0 –stetig. Die Abbildung f |C heißt Restriktion von f auf C.

2.2.C

Seien (Ω, T ) und (Ω0 , T 0 ) topologische R¨ aume und sei f : Ω → Ω0 stetig. Ω Ist K ∈ 2 kompakt, so ist auch f (K) kompakt.

2.2.D

Bildtopologie: Sei (Ω, T ) ein topologischer Raum, sei Ω0 eine nichtleere Menge und sei f : Ω → Ω0 eine Abbildung. Dann ist das Mengensystem ¯ n o 0 ¯ Tf := A0 ∈ 2Ω ¯ f −1 (A0 ) ∈ T eine Topologie auf Ω0 , f¨ ur die f stetig ist. Die Topologie Tf ist die gr¨ oßte Topologie auf Ω0 , f¨ ur die f stetig ist. Die Topologie Tf heißt Bildtopologie von T unter f .

2.2.E

Stetige Abbildungen zwischen metrischen R¨ aumen: Seien (E, d) und (E 0 , d0 ) metrische R¨ aume. Eine Abbildung f : E → E 0 heißt stetig in x ∈ E , wenn es f¨ ur alle ε ∈ (0, ∞) ein δ ∈ (0, ∞) gibt derart, dass f¨ ur alle y ∈ E mit d(y, x) < δ auch d0 (f (y), f (x)) < ε gilt. F¨ ur eine Abbildung f : E → E 0 sind folgende Aussagen ¨ aquivalent: (a) f ist stetig. (b) F¨ ur alle x ∈ E ist f stetig in x.

2.3 Messbare R¨ aume und messbare Abbildungen Ist Ω eine nichtleere Menge und F eine σ–Algebra auf Ω, so wird das Paar (Ω, F) als messbarer Raum oder als Messraum bezeichnet. Sind (Ω, F ) und (Ω0 , F 0 ) messbare R¨aume, so heißt eine Abbildung f : Ω → Ω0 F–F 0 –messbar oder F –messbar oder messbar f¨ ur F oder kurz messbar , wenn f −1 (F 0 ) ⊆ F gilt.

30

Kapitel 2. Topologische R¨ aume und messbare R¨ aume

Ist Ω eine nichtleere Menge und (Ω0 , F 0 ) ein messbarer Raum, so ist jede Abbildung f : Ω → Ω0 messbar f¨ ur die σ–Algebra 2Ω und aus Folgerung 1.2.4 ergibt sich nun, dass es eine kleinste σ–Algebra σ(f ) auf Ω gibt, f¨ ur die f messbar ist; diese σ–Algebra wird als die von f erzeugte σ– Algebra bezeichnet. Nach Folgerung 2.1.2 ist auch das Mengensystem f −1 (F 0 ) eine σ–Algebra auf Ω, f¨ ur die f offenbar messbar ist. Wir erhalten damit den folgenden Satz: 2.3.1 Satz. Sei Ω eine nichtleere Menge und sei (Ω0 , F 0 ) ein messbarer Raum. Dann gilt f¨ ur jede Abbildung f : Ω → Ω0 σ(f ) = f −1 (F 0 ) Sind also (Ω, F) und (Ω0 , F 0 ) messbare R¨aume, so ist eine Abbildung f : Ω → Ω0 genau dann messbar, wenn die von f erzeugte σ–Algebra σ(f ) in der σ–Algebra F enthalten ist. 0

2.3.2 Lemma. Sei E 0 ⊆ 2Ω ein Mengensystem und sei f : Ω → Ω0 eine Abbildung. Dann gilt σ(f −1 (E 0 )) = f −1 (σ(E 0 )) Der folgende Satz erleichtert den Nachweis der Messbarkeit einer Abbildung zwischen messbaren R¨aumen: 2.3.3 Satz (Messbare Abbildungen). Seien (Ω, F) und (Ω0 , F 0 ) messbare R¨ aume und sei E 0 ein Erzeuger von F 0 und f : Ω → Ω0 eine Abbildung. Dann sind folgende Aussagen ¨ aquivalent: (a) f ist messbar. (b) Es gilt f −1 (E 0 ) ⊆ F. 2.3.4 Lemma (Komposition). Seien (Ω, F ), (Ω0 , F 0 ) und (Ω00 , F 00 ) messbare R¨ aume und seien f : Ω → Ω0 und g : Ω0 → Ω00 messbar. Dann ist auch die Komposition g ◦ f messbar. Wir zeigen nun, dass stetige Abbildungen zwischen topologischen R¨ aumen bez¨ uglich den zugeh¨origen Borelschen σ–Algebren messbar sind: 2.3.5 Satz (Stetigkeit und Messbarkeit). Sei T eine Topologie auf Ω und sei T 0 eine Topologie auf Ω0 . Dann ist jede T –T 0 –stetige Abbildung Ω → Ω0 B(Ω, T )–B(Ω0 , T 0 )–messbar.

2.3 Messbare R¨ aume und messbare Abbildungen

31

Beweis. Sei f : Ω → Ω0 T –T 0 –stetig. Dann gilt f −1 (T 0 ) ⊆ T ⊆ σ(T ) und damit σ(f −1 (T 0 )) ⊆ σ(T ) Aus Lemma 2.3.2 folgt nun f −1 (B(Ω0 , T 0 )) = f −1 (σ(T 0 )) = σ(f −1 (T 0 )) ⊆ σ(T ) = B(Ω, T ) Daher ist f B(Ω, T )–B(Ω0 , T 0 )–messbar.

2

2.3.6 Beispiel. Jede (bez¨ uglich der nat¨ urlichen Topologien auf Rm und Rn ) stetige m n Abbildung f : R → R ist (bez¨ uglich der Borelschen σ–Algebren auf Rm und Rn ) messbar.

Andererseits zeigen die folgenden Beispiele, dass eine messbare Abbildung zwischen topologischen R¨aumen nicht notwendigerweise stetig ist: 2.3.7 Beispiele. (1) Dirichlet–Funktion: Die Dirichlet–Funktion f : R → R mit ½ 1 falls x ∈ Q f (x) := 0 sonst ist messbar, aber nicht stetig. In der Tat: Da Q abz¨ ahlbar ist, gilt Q ∈ B(R). Wegen f −1 ({1}) = Q und −1 f ({0}) = R \ Q gilt f¨ ur alle B ∈ B(R)  falls 0 ∈ B und 1 ∈ B  R  R \ Q falls 0 ∈ B und 1 ∈ /B −1 f (B) = Q falls 0 ∈ / B und 1 ∈ B    ∅ falls 0 ∈ / B und 1 ∈ /B und damit f −1 (B) ∈ B(R). Daher ist f messbar. (2) Monotone Funktionen: Jede monotone Funktion f : R → R ist messbar. In der Tat: Wir nehmen zun¨ achst an, dass f monoton wachsend ist, und betrachten das Mengensystem ¯ n o ¯ E := (−∞, c] ¯ c ∈ R Dann gilt B(R) = σ(E). Da f monoton wachsend ist, gilt f¨ ur alle B ∈ E entweder f −1 (B) ∈ {∅, R} oder es gibt ein a ∈ R mit f −1 (B) ∈ {(−∞, a), (−∞, a]}; in beiden F¨ allen gilt daher f −1 (B) ∈ B(R). Daher gilt f −1 (E) ⊆ B(R), und aus Satz 2.3.3 folgt nun, dass f messbar ist. Wir nehmen nun an, dass f monoton fallend ist, und betrachten die Funktionen g, h : R → R mit g(x) := −f (x) und h(x) := −x. Dann ist g monoton wachsend und damit messbar, h ist stetig und damit messbar, und es gilt f = h ◦ g. Aus Lemma 2.3.4 folgt nun, dass f messbar ist.

32

Kapitel 2. Topologische R¨ aume und messbare R¨ aume

Aufgaben 2.3.A

Spur–σ–Algebra: Sei (Ω, F ) ein messbarer Raum. Dann ist f¨ ur jede nichtleere Menge C ∈ 2Ω das Mengensystem ¯ n o ¯ F (C) := D ∈ 2Ω ¯ D = A ∩ C f¨ ur eine Menge A ∈ F eine σ–Algebra auf C. Die σ–Algebra F (C) heißt Spur–σ–Algebra oder kurz Spur von F auf C.

2.3.B

Restriktion: Seien (Ω, F ) und (Ω0 , F 0 ) messbare R¨ aume und sei f : Ω → Ω0 messbar. Dann ist f¨ ur jede nichtleere Menge C ∈ 2Ω die Abbildung f |C : C → Ω0 mit f |C (c) := f (c) F (C)–F 0 –messbar. Die Abbildung f |C heißt Restriktion von f auf C.

2.3.C

Bild–σ–Algebra: Sei (Ω, F ) ein messbarer Raum, sei Ω0 eine nichtleere Menge und sei f : Ω → Ω0 eine Abbildung. Dann ist das Mengensystem ¯ n o 0 ¯ Ff := A0 ∈ 2Ω ¯ f −1 (A0 ) ∈ F eine σ–Algebra auf Ω0 , f¨ ur die f messbar ist. Die σ–Algebra Ff ist die gr¨ oßte σ–Algebra auf Ω0 , f¨ ur die f messbar ist. Die σ–Algebra Ff heißt Bild–σ–Algebra von F unter f .

3 Produktr¨ aume

In diesem Kapitel f¨ uhren wir ein allgemeines Prinzip zur Konstruktion von topologischen oder messbaren R¨aumen auf dem Produkt der Grundmengen einer Familie von topologischen oder messbaren R¨ aumen ein. Wir definieren zun¨achst das Produkt einer Familie von Mengen und das Produkt einer Familie von Mengensystemen (Abschnitt 3.1). Die Forderung der Stetigkeit bzw. der Messbarkeit aller Projektionen des Produktes der Familie der Grundmengen auf seine Koordinaten f¨ uhrt dann in nat¨ urlicher Weise auf die Definition des Produktes einer Familie topologischer R¨ aume (Abschnitt 3.2) und auf die Definition des Produktes einer Familie messbarer R¨ aume (Abschnitt 3.3). Die Beweise der allgemeinen Ergebnisse u ¨ber Produkte von topologischen oder messbaren R¨ aumen verlaufen analog und werden daher nur f¨ ur Produkte von topologischen R¨ aumen ausgef¨ uhrt. Sei I eine nichtleere Indexmenge und sei H(I) die Familie der endlichen nichtleeren Teilmengen von I.

3.1 Produkte und Projektionen Sei {Ωi }i∈I S eine Familie von nichtleeren Mengen. Die Menge aller Abbildungen ω : I → i∈I Ωi mit ω(i) ∈ Ωi f¨ ur alle i ∈ I heißt das Produkt der Familie {Ωi }i∈I und wird mit Y Ωi Q

i∈I

bezeichnet. F¨ ur ω ∈ i∈I Ωi und i ∈ I setzen wir ωi := ω(i) und nennen ωi die i–te Koordinate von ω. Außerdem identifizieren wir jede Abbildung Q ω ∈ i∈I Ωi mit der Familie {ωi }i∈I ihrer Koordinaten. Dann l¨ asst sich das Produkt der Familie {Ωi }i∈I in der Form K.D. Schmidt, Maß und Wahrscheinlichkeit, 2. Aufl., Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-21026-6_3, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

34

Kapitel 3. Produktr¨ aume

Y

¯ n o ¯ Ωi = {ωi }i∈I ¯ ωi ∈ Ωi f¨ ur alle i ∈ I

i∈I

darstellen; im Fall Ωi = Ω f¨ ur alle i ∈ I setzen wir Y ΩI := Ω i∈I

F¨ ur j ∈ I heißt die Abbildung πj :

Q i∈I

Ωi → Ωj mit

πj (ω) := ωj die Projektion auf die j–te Koordinate. F¨ ur j ∈ I und Aj ∈ 2Ωj erh¨ alt man f¨ ur das Urbild von Aj unter πj die Darstellung Y πj−1 (Aj ) = Bi i∈I

mit

½ Bi :=

Ai Ωi

falls i = j sonst

und damit eine Darstellung als Produkt von Mengen. Sei nun {Ei }i∈I eine Familie von Mengensystemen mit Ei ⊆ 2Ωi f¨ ur alle i ∈ I. Dann heißt das Mengensystem ¯ ( ) ¯ Y Y ¯ Ei = Ai ¯ Ai ∈ Ei f¨ ur alle i ∈ I ¯ i∈I

i∈I

das Produkt der Familie {Ei }i∈I . Es gilt Y Q Ei ⊆ 2 i∈I Ωi i∈I

Erf¨ ullen die Mengensysteme f¨ ur alle i ∈ I die Bedingung Ωi ∈ Ei , so gilt f¨ ur alle j ∈ I Y πj−1 (Ej ) ⊆ Ei i∈I

Diese Bedingung ist f¨ ur jede Familie von Topologien oder σ–Algebren erf¨ ullt. Wir betrachten abschließend den Fall einer abz¨ ahlbaren Indexmenge I. In diesem Fall existiert eine Menge N ⊆ N mit |I| = |N | sowie eine Bijektion I → N und die nat¨ urliche Ordnungsrelation auf N induziert eine vollst¨ andige Ordnungsrelation auf I, sodass das Produkt der Familie {Ωi }i∈I durch ein kartesisches Produkt dargestellt werden kann, in dem die Koordinaten von Q ω ∈ i∈I Ωi vollst¨andig geordnet sind; entsprechend kann auch das Produkt der Familie {Ei }i∈I durch ein kartesisches Produkt dargestellt werden.

3.1 Produkte und Projektionen

35

Q 3.1.1 Beispiel. Sei I = {◦, •}. Dann kann das Produkt i∈I Ωi der Familie {Ωi }i∈I durch die kartesischen Produkte ¯ n o ¯ Ω◦ × Ω• := (ω◦ , ω• ) ¯ ω◦ ∈ Ω◦ , ω• ∈ Ω• und Ω• × Ω◦ :=

¯ n o ¯ (ω• , ω◦ ) ¯ ω• ∈ Ω• , ω◦ ∈ Ω◦

Q dargestellt werden, und das Produkt i∈I Ei der Familie {Ei }i∈I kann durch die entsprechenden kartesischen Produkte ¯ n o ¯ E◦ × E• := A◦ ×A• ¯ A◦ ∈ E◦ , A• ∈ E• bzw. E• × E◦ :=

n A• ×A◦

¯ o ¯ ¯ A• ∈ E• , A◦ ∈ E◦

dargestellt werden.

Das Beispiel zeigt, dass das Produkt einer abz¨ ahlbaren Familie von Mengen oder Mengensystemen im allgemeinen auf mehrere Weisen durch ein kartesisches Produkt dargestellt werden kann. Dessen ungeachtet Q werden wir im Fall zweier Faktoren im allgemeinen Ω1 × Ω2 anstelle von i∈{1,2} Ωi und E1 × E2 Q anstelle von i∈{1,2} Ei schreiben. Sind K, L ⊆ I nichtleer und disjunkt mit K + L = I, so ist die Abbildung à ! à ! Y Y Y Ωi × Ωi → Ωi i∈K

mit

³

i∈L

i∈I

´ {ωi }i∈K , {ωi }i∈L → 7 {ωi }i∈I

eine Bijektion, die es gestattet, diese Produkte miteinander zu identifizieren. Dadurch wird die Bildung von Produkten von Mengen oder Mengensystemen zu einer assoziativen Operation. Sind Ω und Ω0 nichtleere Mengen und ist f : Ω → Ω0 eine Abbildung, so heißt die Abbildung F : Ω → Ω × Ω0 mit F (ω) := (ω, f (ω)) der Graph von f . Aufgabe 3.1.A

Halbringe: Das Produkt einer endlichen Familie von Halbringen ist ein Q Halbring. Insbesondere gilt J (Rn ) = i∈{1,...,n} J (R).

36

Kapitel 3. Produktr¨ aume

3.2 Produkte von topologischen R¨ aumen Sei {(Ωi , Ti )}i∈I eine Familie topologischer R¨aume. Dann gibt es eine kleinste Topologie O Ti i∈I

Q

auf i∈I Ωi , f¨ ur die alle Projektionen stetig sind. Diese Topologie wird als Produkttopologie der Familie {Ti }i∈I bezeichnet und der topologische Raum à ! O Y O (Ωi , Ti ) := Ωi , Ti i∈I

i∈I

i∈I

wird als topologisches Produkt der Familie {(Ωi , Ti )}i∈I oder als Produkt der topologischen R¨ aume (Ωi , Ti ) bezeichnet. Das folgende Beispiel zeigt, dass die nat¨ urliche Topologie auf Rn als Produkttopologie dargestellt werden kann: 3.2.1 Beispiel (Nat¨ urliche Topologie auf Rn ). F¨ ur alle n ∈ N gilt O T (Rn ) = T (R) i∈{1,...,n} n

In der Tat: F¨ ur alle x ∈ R und ε ∈ (0, ∞) gilt Y Bk . k∞ (x, ε) = B| . | (xi , ε) = i∈{1,...,n}

\

πi−1 (B| . | (xi , ε))

i∈{1,...,n}

Da alle Projektionen bez¨ uglich der Produkttopologie N stetig sind, ergibt sich daraus N Bk . k∞ (x, ε) ∈ i∈{1,...,n} T (R). Daher gilt Ek . k∞ ⊆ i∈{1,...,n} T (R) und damit Tk . k∞ ⊆

O

T (R)

i∈{1,...,n}

Sei nun i ∈ {1, . . . , n}. F¨ ur alle x ∈ Rn und f¨ ur alle ε, δ ∈ (0, ∞) mit δ ≤ ε gilt πi (Bk . k∞ (x, δ)) ⊆ πi (Bk . k∞ (x, ε)) = B| . | (πi (x), ε) Daher ist πi f¨ ur alle x ∈ Rn stetig in x, und damit stetig bez¨ uglich der Topologie Tk . k∞ . Damit ist gezeigt, dass alle Projektionen bez¨ uglich der Topologie Tk . k∞ stetig sind, und daraus folgt O T (R) ⊆ Tk . k∞ i∈{1,...,n}

Die Behauptung folgt nun aus T (Rn ) = Tk . k∞ .

Die Darstellung einer Topologie als Produkttopologie kann den Nachweis der Stetigkeit einer Abbildung erleichtern:

3.2 Produkte von topologischen R¨ aumen

37

3.2.2 Satz (Stetige Abbildungen in ein topologisches Produkt). Sei Q (Ω0 , T0 ) ein topologischer Raum und sei f : Ω0 → i∈I Ωi eine Abbildung. Dann sind folgende Aussagen ¨ aquivalent : Q (a) f ist stetig bez¨ uglich der Produkttopologie auf i∈I Ωi . (b) F¨ ur alle i ∈ I ist πi ◦ f stetig. Beweis. Wir nehmen zun¨achst an, dass f bez¨ uglich der Produkttopologie auf Q Ω stetig ist. Da alle Projektionen bez¨ u glich der Produkttopologie stetig i i∈I sind, ist dann auch f¨ ur alle i ∈ I die Komposition πi ◦ f stetig. Daher folgt (b) aus (a). Wir nehmen nun an, dass f¨ ur alle i ∈ I die Komposition πi ◦ f stetig ist. Dann gilt à ! ³ ´ [ [ [ −1 −1 f πi (Ti ) = f −1 πi−1 (Ti ) = (πi ◦ f )−1 (Ti ) ⊆ T0 i∈I

i∈I

i∈I

und damit à ! à à !! à à !! O [ [ −1 −1 −1 −1 −1 f Ti ⊆ f τ πi (Ti ) =τ f πi (Ti ) ⊆ T0 i∈I

i∈I

i∈I

Daher folgt (a) aus (b).

2

3.2.3 Satz. F¨ ur alle i ∈ I sei Ei ein Mengensystem mit Ti = τ (Ei ). Dann gilt à ! O [ −1 Ti = τ πi (Ei ) i∈I

i∈I

Beweis. F¨ ur alle j ∈ I gilt à πj−1 (Tj )

=

πj−1 (τ (Ej ))

=

τ (πj−1 (Ej ))

⊆τ

[

! πi−1 (Ei )

i∈I

Daraus folgt, dass alle Projektionen bez¨ uglich der Topologie τ stetig sind. Daher gilt à ! O [ −1 Ti ⊆ τ πi (Ei ) i∈I

Die umgekehrte Inklusion ist klar.

¡S i∈I

¢ πi−1 (Ei )

i∈I

2

Wir betrachten abschließend das Produkt einer endlichen Familie von Topologien:

38

Kapitel 3. Produktr¨ aume

3.2.4 Satz. Sei I endlich. Dann gilt O

Ã

Ti = τ

i∈I

Y

! Ti

i∈I

Beweis. F¨ ur alle i ∈ I gilt Ωi ∈ Ti . Daher gilt f¨ ur alle j ∈ I Ã ! Y Y −1 πj (Tj ) ⊆ Ti ⊆ τ Ti i∈I

i∈I

Daraus folgt, dass alle Projektionen bez¨ uglich der Topologie τ sind. Daher gilt à ! O Y Ti ⊆ τ Ti i∈I

¡Q i∈I

¢ Ti stetig

i∈I

Sei nun {Ai }i∈I eine Familie von Mengen mit Ai ∈ Ti f¨ ur alle i ∈ I. Da alle Projektionen bez¨ uglich der Produkttopologie stetig sind, gilt f¨ ur alle j ∈ I O −1 πj (Aj ) ∈ Ti i∈I

Da I endlich und jede Topologie ∩–stabil ist, folgt daraus Y \ O Ai = πi−1 (Ai ) ∈ Ti i∈I

i∈I

Daraus ergibt sich zun¨achst

Y

i∈I

Ti ⊆

i∈I

und sodann

à τ

Y

O

Ti

i∈I

! Ti

⊆

i∈I

O

Ti

i∈I

Daraus folgt die Behauptung.

2

Aufgaben 3.2.A

Sei {(Ωi , Ti )}i∈I eine Familie topologischer R¨ aume. Sind K, L ⊆ I nichtleer mit K + L = I, so gilt à ! à ! O O O Ti = Ti ⊗ Ti i∈I

i∈K

i∈L

Hinweis: Verwenden Sie Satz 3.2.2. 3.2.B

Graph: Seien (Ω, T ) und (Ω0 , T 0 ) topologische R¨ aume und sei f : Ω → Ω0 0 stetig. Dann ist der Graph von f T –(T ⊗T )–stetig.

3.3 Produkte von messbaren R¨ aumen

39

3.3 Produkte von messbaren R¨ aumen Sei {(Ωi , Fi )}i∈I eine Familie messbarer R¨aume. Dann gibt es eine kleinste σ–Algebra O Fi i∈I

Q auf i∈I Ωi , f¨ ur die alle Projektionen messbar sind. Diese σ–Algebra wird als Produkt–σ–Algebra oder als Kolmogorovsche σ–Algebra der Familie {Fi }i∈I bezeichnet und der messbare Raum à ! O Y O (Ωi , Fi ) := Ωi , Fi i∈I

i∈I

i∈I

wird als messbares Produkt der Familie {(Ωi , Fi )}i∈I oder als Produkt der messbaren R¨ aume (Ωi , Fi ) bezeichnet. Das folgende Beispiel zeigt, dass die Borelsche σ–Algebra auf Rn als Produkt– σ–Algebra dargestellt werden kann: 3.3.1 Beispiel (Borelsche σ–Algebra auf Rn ). F¨ ur alle n ∈ N gilt O B(Rn ) = B(R) i∈{1,...,n} n

In der Tat: F¨ ur alle a, c ∈ R gilt Y (a, c] = (ai , ci ] = i∈{1,...,n}

\

πi−1 ((ai , ci ])

i∈{1,...,n}

Da alle Projektionen bez¨ uglich der Produkt–σ–Algebra N N messbar sind, ergibt sich daraus (a, c] ∈ i∈{1,...,n} B(R). Daher gilt J (Rn ) ⊆ i∈{1,...,n} B(R), und damit O B(Rn ) ⊆ B(R) i∈{1,...,n}

Sei nun i ∈ {1, . . . , n} und (a, b] ∈ J (R). F¨ ur alle j ∈ {1, . . . , n} und k ∈ N sei ½ (a, b] falls j = i Hj,k := (−k, k] sonst Dann gilt πi−1 ((a, b]) =

[

Y

Hj,k ∈ σ(J (Rn )) = B(Rn )

k∈N j∈{1,...,n}

Damit ist gezeigt, dass alle Projektionen bez¨ uglich der σ–Algebra B(Rn ) messbar sind, und daraus folgt O B(R) ⊆ B(Rn ) i∈{1,...,n}

Damit ist die Behauptung gezeigt.

40

Kapitel 3. Produktr¨ aume

Die Darstellung einer σ–Algebra als Produkt–σ–Algebra kann den Nachweis der Messbarkeit einer Abbildung erleichtern: 3.3.2 Satz (Messbare Abbildungen in einQmessbares Produkt). Sei (Ω0 , F0 ) ein messbarer Raum und sei f : Ω0 → i∈I Ωi eine Abbildung. Dann sind folgende Aussagen ¨ aquivalent: Q (a) f ist messbar bez¨ uglich der Produkt–σ–Algebra auf i∈I Ωi . (b) F¨ ur alle i ∈ I ist πi ◦ f messbar. 3.3.3 Satz. F¨ ur alle i ∈ I sei Ei ein Mengensystem mit Fi = σ(Ei ). Dann gilt à ! O [ Fi = σ πi−1 (Ei ) i∈I

i∈I

Wir betrachten abschließend das Produkt einer abz¨ ahlbaren Familie von σ– Algebren: 3.3.4 Satz. Sei I abz¨ ahlbar. Dann gilt à ! O Y Fi = σ Fi i∈I

i∈I

Die unterschiedlichen Voraussetzungen an die M¨ achtigkeit der Indexmenge in den S¨ atzen 3.2.4 und 3.3.4 haben ihre Ursache darin, dass Topologien unter der Bildung von endlichen Durchschnitten stabil sind, w¨ ahrend σ–Algebren unter der Bildung von abz¨ahlbaren Durchschnitten stabil sind. Aufgaben 3.3.A

Sei {(Ωi , Fi )}i∈I eine Familie messbarer R¨ aume. Sind K, L ⊆ I nichtleer mit K + L = I, so gilt à ! à ! O O O Fi = Fi ⊗ Fi i∈I

3.3.B

i∈K

i∈L

Graph: Seien (Ω, F ) und (Ω0 , F 0 ) messbare R¨ aume und sei f : Ω → Ω0 0 messbar. Dann ist der Graph von f F –(F ⊗F )–messbar.

Teil II

Maßtheorie

4 Mengenfunktionen

In diesem Kapitel betrachten wir Abbildungen von einem nichtleeren Mengensystem nach [0, ∞] oder [−∞, ∞]. Eine derartige Abbildung wird als Mengenfunktion bezeichnet. Die wichtigsten Mengenfunktionen sind Inhalte (Abschnitt 4.1) und Maße (Abschnitt 4.2). Die Bildung der Differenz zwischen zwei Maßen, von denen mindestens eines endlich ist, f¨ uhrt auf den Begriff des signierten Maßes (Abschnitt 4.3). Im gesamten Kapitel sei Ω eine nichtleere Menge und C ⊆ 2Ω ein Mengensystem mit ∅ ∈ C. F¨ ur eine Mengenfunktion µ : C → [0, ∞] und ein nichtleeres Mengensystem D ⊆ C bezeichnen wir die Abbildung µ|D : D → [0, ∞] mit µ|D [D] := µ[D] als Restriktion von µ auf D. F¨ ur Mengenfunktionen µ, ν : C → [0, ∞] und α ∈ R+ definieren wir Mengenfunktionen µ + ν : C → [0, ∞] und αµ : C → [0, ∞] durch (µ+ν)[C] := µ[C] + ν[C] (αµ)[C] := αµ[C] und wir schreiben µ≤ν wenn f¨ ur alle C ∈ C µ[C] ≤ ν[C] gilt. K.D. Schmidt, Maß und Wahrscheinlichkeit, 2. Aufl., Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-21026-6_4, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

44

Kapitel 4. Mengenfunktionen

4.1 Inhalte Eine Mengenfunktion µ : C → [0, ∞] heißt – additiv , wenn f¨ ur je zwei Mengen A, B ∈ C mit A ∩ B = ∅ und A + B ∈ C µ[A + B] = µ[A] + µ[B] –

gilt. endlich additiv , wenn f¨ ur jede endliche disjunkte Familie {Ai }i∈I ⊆ C mit P i∈I Ai ∈ C " # X X µ Ai = µ[Ai ] i∈I

i∈I

gilt. – Inhalt, wenn µ[∅] = 0 gilt und µ endlich additiv ist. Jede endlich additive Mengenfunktion ist additiv. 4.1.1 Beispiele. Sei Ω := N und C := { A ∈ 2Ω | A oder Ω \ A ist endlich}. (1) Die Mengenfunktion µ : C → [0, ∞] mit µ[A] := ∞ ist endlich additiv, aber kein Inhalt. (2) Die Mengenfunktion µ : C → [0, ∞] mit ½ 0 falls A endlich ist µ[A] := ∞ sonst ist ein Inhalt. (3) Die Mengenfunktion µ : C → [0, ∞] mit µ[A] := |A| ist ein Inhalt.

Das folgende Lemma erleichtert den Nachweis der Additivit¨ at einer Mengenfunktion auf einem Ring; vgl. Aufgabe 4.1.A: 4.1.2 Lemma. Sei C ein Ring und sei µ : C → [0, ∞] eine Mengenfunktion. Dann sind ¨ aquivalent: (a) µ ist additiv. (b) µ ist endlich additiv. Beweis. Da C ein Ring ist, enth¨alt C mit jeder endlichen Familie von Mengen auch deren Vereinigung. Wir nehmen an, dass µ additiv ist, und zeigen durch vollst¨ andige Induktion, dass f¨ ur alle n ∈ N und jede disjunkte Familie {Ai }i∈{1,...,n} ⊆ C " n # n X X µ Ai = µ[Ai ] i=1

gilt:

i=1

4.1 Inhalte

• •

45

n = 1: In diesem Fall ist nichts zu zeigen. n → n + 1: Wir nehmen an, die Behauptung sei f¨ ur n bereits bewiesen, und betrachten eine disjunkte Familie {Ai }i∈{1,...,n+1} ⊆ C. Aus der Additivit¨ at von µ folgt dann "n+1 # " n # X X µ Ai = µ Ai + An+1 i=1

i=1

" n # X =µ Ai + µ[An+1 ] i=1

=

n X

µ[Ai ] + µ[An+1 ]

i=1

=

n+1 X

µ[Ai ]

i=1

Daher ist µ endlich additiv.

2

¨ Das folgende Beispiel zeigt, dass die Aquivalenz aus Lemma 4.1.2 f¨ ur Mengenfunktionen auf einem Halbring im allgemeinen nicht gilt: 4.1.3 Beispiel. Sei Ω := {1, 2, 3} und C := {∅, {1}, {2}, {3}, Ω}. Dann ist C ein Halbring, aber kein Ring, und die Mengenfunktion µ : C → [0, ∞] mit   0 falls A = ∅ µ[A] := 1 falls A = {ω} f¨ ur ein ω ∈ Ω  4 falls A = Ω ist additiv, aber nicht endlich additiv.

Die Untersuchung von Inhalten auf einem Halbring wird dadurch erschwert, dass Halbringe im allgemeinen nicht stabil unter der Bildung von Vereinigungen und relativen Komplementen sind; vgl. Beispiel 4.1.3. Hier hilft der folgende Fortsetzungssatz: 4.1.4 Satz. Sei C ein Halbring. Dann besitzt jeder Inhalt C → [0, ∞] eine eindeutige Fortsetzung zu einem Inhalt %(C) → [0, ∞]. Beweis. Sei µ : C → [0, ∞] ein Inhalt. Nach Satz 1.5.7 gilt ¯ ( ) ¯ X Ω ¯ %(C) = A ∈ 2 ¯ A = Hi mit I endlich und {Hi }i∈I ⊆ C disjunkt ¯ i∈I

Ist µ ˜ : %(C) → [0, ∞] ein Inhalt mit µ ˜|C = µ, so gilt ur alle A ∈ %(C) und jede Pf¨ endliche disjunkte Familie {Hi }i∈I ⊆ C mit A = i∈I Hi X X µ ˜[A] = µ ˜ [Hi ] = µ[Hi ] i∈I

i∈I

Andererseits gilt f¨ ur endliche disjunkte Familien {Gi }i∈I ⊆ C und {Hj }j∈J ⊆ C

46

mit

Kapitel 4. Mengenfunktionen

P i∈I

Gi = X

P j∈J

Hj

µ[Gi ] =

X

i∈I

i∈I

X

X

" µ Gi ∩

X

# Hj =

XX

j∈J

µ[Gi ∩ Hj ]

i∈I j∈J

und

j∈J

µ[Hj ] =

" µ Hj ∩

j∈J

X

# Gi =

i∈I

XX

µ[Hj ∩ Gi ]

j∈J i∈I

und damit X

µ[Gi ] =

i∈I

X

µ[Hj ]

j∈J

Daher ist die Abbildung µ ¯ : %(C) → [0, ∞] mit X µ ¯[A] := µ[Hi ] i∈I

P und einer endlichen disjunkten Familie {Hi }i∈I ⊆ C mit A = i∈I Hi wohldefiniert und f¨ ur alle H ∈ C gilt µ ¯[H] = µ[H]. Daher ist µ ¯ eine Fortsetzung von µ und es ist klar, dass µ ¯ ein Inhalt ist. 2 Eine Mengenfunktion µ : C → [0, ∞] heißt – monoton, wenn f¨ ur alle A, B ∈ C mit B ⊆ A µ[B] ≤ µ[A] –

gilt. subadditiv , wenn f¨ ur alle A, B ∈ C mit A ∪ B ∈ C µ[A ∪ B] ≤ µ[A] + µ[B]

–

gilt. endlich subadditiv , wenn f¨ ur jede endliche Familie {Ai }i∈I ⊆ C mit S i∈I Ai ∈ C " # [ X µ Ai ≤ µ[Ai ] i∈I

i∈I

gilt. Jede endlich subadditive Mengenfunktion ist subadditiv, und jede subadditive Mengenfunktion auf einem Ring ist endlich subadditiv. 4.1.5 Lemma. Sei C ein Halbring und sei µ : C → [0, ∞] ein Inhalt. Dann ist µ monoton und endlich subadditiv.

4.1 Inhalte

47

Beweis. Aufgrund von Satz 4.1.4 k¨onnen wir annehmen, dass C ein Ring ist. F¨ ur alle A, B ∈ C mit B ⊆ A gilt µ[B] ≤ µ[B] + µ[A \ B] = µ[B + (A \ B)] = µ[A] Daher ist µ monoton. Sei nun {Ak }k∈{1,...,n} ⊆ C eine endliche Familie und f¨ ur alle k ∈ {1, . . . , n} sei Bk := Ak \

k−1 [

Aj

j=1

Pn Dann Sn ist {Bk }k∈{1,...,n} eine endliche disjunkte Familie in C mit k=1 Bk = at und der Monotonie von µ ergibt k=1 Ak und aus der endlichen Additivit¨ sich nun " n # " n # n n [ X X X µ Ak = µ Bk = µ[Bk ] ≤ µ[Ak ] k=1

k=1

k=1

k=1

Daher ist µ endlich subadditiv.

2

Eine Mengenfunktion µ : C → [0, ∞] heißt endlich, wenn f¨ ur alle A ∈ C µ[A] < ∞ gilt. Eine endliche Mengenfunktion ist genau dann ein Inhalt, wenn sie endlich additiv ist. Aufgaben 4.1.A

Sei C ∪–stabil und sei µ : C → [0, ∞] eine Mengenfunktion. Dann sind aquivalent: ¨ (a) µ ist additiv. (b) µ ist endlich additiv.

4.1.B

Sei C ∪–stabil und sei µ : C → [0, ∞] eine Mengenfunktion. Dann sind aquivalent: ¨ (a) µ ist subadditiv. (b) µ ist endlich subadditiv.

4.1.C

Eine Mengenfunktion µ : C → [0, ∞] heißt subtraktiv , wenn f¨ ur alle A, B ∈ C mit B ⊆ A und A \ B ∈ C sowie µ[B] < ∞ µ[A \ B] = µ[A] − µ[B] gilt. Jede additive Mengenfunktion ist subtraktiv.

4.1.D

Eine Mengenfunktion µ : C → [0, ∞] heißt modular , wenn f¨ ur alle A, B ∈ C mit A ∪ B ∈ C und A ∩ B ∈ C µ[A ∪ B] + µ[A ∩ B] = µ[A] + µ[B] gilt. Jede modulare Mengenfunktion µ : C → [0, ∞] mit µ[∅] = 0 ist additiv, und jede endlich additive Mengenfunktion auf einem Halbring ist modular.

48 4.1.E

Kapitel 4. Mengenfunktionen Einschluss–Ausschluss–Formel (Poincar´ e): Sei C ein Ring und sei µ : C → [0, ∞] additiv und endlich. Dann gilt f¨ ur jede endliche Familie {Ak }k∈{1,...,n} ⊆ C " # " # n [ X X \ i−1 µ Ak = (−1) µ Ak i=1

k∈{1,...,n}

4.1.F

I⊆{1,...,n}, |I|=i

Nullmengen: Sei C ein Ring und sei das Mengensystem n Nµ := N ∈ C

k∈I

µ : C → [0, ∞] ein Inhalt. Dann ist ¯ o ¯ ¯ µ[N ] = 0

ein Ideal in C. Jede Menge N ∈ Nµ heißt µ–Nullmenge. 4.1.G

Eine Mengenfunktion µ : C → [0, ∞] heißt vollst¨ andig, wenn f¨ ur alle A ∈ C mit µ[A] = 0 und alle B ⊆ A B∈C gilt. Ist C ein Ring und µ : C → [0, ∞] ein vollst¨ andiger Inhalt, so ist jede Teilmenge einer µ–Nullmenge selbst eine µ–Nullmenge.

4.1.H

Vervollst¨ andigung: Sei C ein Ring und sei µ : C → [0, ∞] ein Inhalt. Sei ferner ¯ n o ¯ Mµ := A ∈ 2Ω ¯ A ⊆ N f¨ ur ein N ∈ Nµ und Cµ := Dann gilt

¯ n o ¯ A ∈ 2Ω ¯ A = C + D mit C ∈ C und D ∈ Mµ disjunkt n A ∈ 2Ω n = A ∈ 2Ω

Cµ =

¯ o ¯ ¯ A = C ∪ D mit C ∈ C und D ∈ Mµ ¯ o ¯ ¯ A = C4 D mit C ∈ C und D ∈ Mµ

= %(C ∪ Mµ ) Sei ferner µ e : Cµ → [0, ∞] gegeben durch µ e[A] := µ[C] mit (1) (2) (3)

C ∈ C sodass A = C + D f¨ ur ein D ∈ Mµ gilt. Dann gilt: µ e ist wohldefiniert und ein vollst¨ andiger Inhalt mit µ e|C = µ. µ e ist der einzige Inhalt auf Cµ , der µ fortsetzt. Ist C0 ein Ring auf Ω mit C ⊆ C0 und ist µ0 : C0 → [0, ∞] ein vollst¨ andiger Inhalt mit µ0 |C = µ, so gilt Cµ ⊆ C0 und µ0 |Cµ = µ e. Der Inhalt µ e heißt die Vervollst¨ andigung von µ. 4.1.I

Sei C ein Ring und sei µ : C → [0, ∞] ein Inhalt. Zwei Mengen A, B ∈ C heißen µ–¨ aquivalent, wenn µ[A4B] = 0 gilt, und in diesem Fall schreiben wir A =µ B ¨ Dann ist =µ eine Aquivalenzrelation auf C und C/=µ ist ein Ring.

4.2 Maße 4.1.J

49 Sei C ein Ring und sei µ : C → [0, ∞] ein endlicher Inhalt. Dann ist die Abbildung dµ : C/=µ × C/=µ → R+ mit dµ (A, B) := µ[A4B] (wohldefiniert und) eine Metrik.

4.1.K

Sei C ein Halbring und sei µ : C → [0, ∞] ein endlicher Inhalt. Dann ist der eindeutig bestimmte Inhalt µ ¯ : %(C) → [0, ∞] mit µ ¯|C = µ endlich.

4.2 Maße Eine Mengenfunktion µ : C → [0, ∞] heißt P∞ – σ–additiv , wenn f¨ ur jede disjunkte Folge {Ak }k∈N ⊆ C mit k=1 Ak ∈ C "∞ # ∞ X X µ Ak = µ[Ak ] k=1

k=1

gilt. – Maß , wenn µ[∅] = 0 gilt und µ σ–additiv ist. Die folgende Charakterisierung von Maßen ist offensichtlich: 4.2.1 Lemma. Sei µ : C → [0, ∞] eine Mengenfunktion. Dann sind ¨ aquivalent: (a) µ ist ein Maß. (b) µ ist ein σ–additiver Inhalt. 4.2.2 Beispiele. (1) Sei Ω := N und C := { A ∈ 2Ω | A oder Ω \ A ist endlich}. Dann ist die Mengenfunktion µ : C → [0, ∞] mit ½ 0 falls A endlich ist µ[A] := ∞ sonst ein Inhalt, aber kein Maß. (2) Sei Ω := R und C := { A ∈ 2Ω | A oder Ω \ A ist abz¨ ahlbar}. Dann ist die Mengenfunktion µ : C → [0, ∞] mit ½ 0 falls A abz¨ ahlbar ist µ[A] := ∞ sonst ein Maß. (3) Dirac–Maß: F¨ ur jedes ω ∈ Ω ist die Mengenfunktion δ ω : C → [0, ∞] mit ½ 1 falls ω ∈ A δ ω [A] := 0 sonst ein endliches Maß. Das Maß δ ω heißt Dirac–Maß bez¨ uglich ω ∈ Ω.

50

Kapitel 4. Mengenfunktionen

(4) Z¨ ahlmaß: Die Mengenfunktion ζ : 2Ω → [0, ∞] mit ζ[A] := |A| ist ein Maß. Das Maß ζ heißt Z¨ ahlmaß . (5) Lokales Z¨ ahlmaß: Sei C ∈ 2Ω abz¨ ahlbar. Dann ist die Mengenfunktion ζ C : 2Ω → [0, ∞] mit ζ C [A] := |A ∩ C| ein Maß mit ζ C [A] =

X

δ ω [A]

ω∈C

Das Maß ζ C heißt lokales Z¨ ahlmaß bez¨ uglich C.

Der folgende Fortsetzungssatz ist ein Analogon zu Satz 4.1.4: 4.2.3 Satz. Sei C ein Halbring. Dann besitzt jedes Maß C → [0, ∞] eine eindeutige Fortsetzung zu einem Maß %(C) → [0, ∞]. Beweis. Sei µ : C → [0, ∞] ein Maß. Dann ist µ ein Inhalt und nach Satz 4.1.4 gibt es einen eindeutig bestimmten Inhalt µ ¯ : %(C) → [0, ∞] mit µ ¯|C = µ. Wir zeigen nun, dass µ ¯ σ–additiv ist: P∞ Sei A ∈ %(C) und sei {Ak }k∈N ⊆ %(C) eine disjunkte Folge mit A = P k=1 Ak . Dann gibt es eine endliche disjunkte Familie {Bi }i∈I ⊆ C mit A = i∈I Bi und f¨ ur alle P k ∈ N gibt es eine endliche disjunkte Familie {Bk,j }j∈J(k) ⊆ C mit Ak = j∈J(k) Bk,j . Es gilt Bi = Bi ∩ A = Bi ∩

∞ X

Ak = Bi ∩

k=1

∞ X X

Bk,j =

k=1 j∈J(k)

∞ X X

Bi ∩ Bk,j

k=1 j∈J(k)

und Bk,j = Bk,j ∩ A = Bk,j ∩

X

Bi =

i∈I

X

Bi ∩ Bk,j

i∈I

Aus der Definition von µ ¯ und der σ–Additivit¨ at von µ ergibt sich nun µ ¯[A] =

X

µ[Bi ] =

i∈I

∞ X XX

µ[Bi ∩ Bk,j ]

i∈I k=1 j∈J(k)

und ∞ X

µ ¯[Ak ] =

k=1

und damit µ ¯[A] =

∞ X X k=1 j∈J(k)

P∞ k=1

µ[Bk,j ] =

∞ X X X

µ[Bi ∩ Bk,j ]

k=1 j∈J(k) i∈I

µ ¯[Ak ]. Daher ist µ ¯ σ–additiv.

2

4.2 Maße

51

Eine Mengenfunktion µ : C → [0, ∞] heißt – stetigSvon unten, wenn f¨ ur jede monoton wachsende Folge {Ak }k∈N ⊆ C mit k∈N Ak ∈ C " # [ µ Ak = sup µ[Ak ] k∈N

k∈N

–

gilt. stetig von oben, wenn f¨ ur jede monoton fallende Folge {Ak }k∈N ⊆ C mit T A ∈ C und µ[A ] <∞ k 1 k∈N " # \ µ Ak = inf µ[Ak ] k∈N

k∈N

–

gilt. ∅–stetig, wenn f¨ ur jede monoton fallende Folge {Ak }k∈N ⊆ C mit T A = ∅ und µ[A1 ] < ∞ k∈N k inf µ[Ak ] = 0

k∈N

gilt. 4.2.4 Lemma. Sei C ein Ring und sei µ : C → [0, ∞] ein Inhalt. Dann sind aquivalent: ¨ (a) µ ist σ–additiv. (b) µ ist stetig von unten. Beweis. Sei zun¨ achst µ σ–additiv und sei {Ak }k∈N ⊆ C eine monoton wachS sende Folge mit k∈N Ak ∈ C. Sei A0 := ∅ und f¨ ur alle k ∈ N sei Bk := Ak \ Ak−1

P∞ S Dann ist {Bk }k∈N ur Pn eine disjunkte Folge in C mit k=1 Bk = k∈N Ak und f¨ alle n ∈ N gilt k=1 Bk = An . Daraus folgt " # "∞ # [ X µ Ak = µ Bk k∈N

k=1

=

∞ X

µ[Bk ]

k=1

= sup n∈N

n X

= sup µ n∈N

µ[Bk ]

k=1

" n X k=1

= sup µ[An ] n∈N

Daher ist µ stetig von unten.

# Bk

52

Kapitel 4. Mengenfunktionen

Sei P∞nun µ stetig von unten und sei {Ak }k∈N ⊆ C eine disjunkte Folge mit ur alle n ∈ N sei k=1 Ak ∈ C. F¨ Bn :=

n X

Ak

k=1

Dann P∞ ist {Bn }n∈N eine monoton wachsende Folge in C mit k=1 Ak . Daraus folgt "∞ # " # X [ µ Ak = µ Bn k=1

S n∈N

Bn =

n∈N

= sup µ[Bn ] n∈N " n # X = sup µ Ak n∈N

k=1 n X

= sup n∈N

=

∞ X

µ[Ak ]

k=1

µ[Ak ]

k=1

Daher ist µ σ–additiv.

2

4.2.5 Lemma. Sei C ein Ring und sei µ : C → [0, ∞] ein Inhalt. Ist µ stetig von unten, so ist µ stetig von oben. T Beweis. Sei {Ak }k∈N ⊆ C eine monoton fallende Folge mit k∈N Ak ∈ C und µ[A S 1 ] < ∞. Dann ist {A T 1 \ Ak }k∈N eine monoton wachsende Folge in C mit (A \ A ) = A \ 1 k 1 k∈N k∈N Ak ∈ C. Daraus folgt µ[A1 ] − inf µ[Ak ] = µ[A1 ] + sup(−µ[Ak ]) k∈N

k∈N

= sup(µ[A1 ] − µ[Ak ]) k∈N

= sup µ[A1 \ Ak ] k∈N " # [ =µ (A1 \ Ak ) k∈N

"

= µ A1 \

#

\

Ak

k∈N

"

= µ[A1 ] − µ

\

k∈N

# Ak

4.2 Maße

53

und aus µ[A1 ] < ∞ folgt nun " µ

\

# Ak = inf µ[Ak ] k∈N

k∈N

Daher ist µ stetig von oben.

2

Wir notieren eine offensichtliche Folgerung aus Lemma 4.2.4 und Lemma 4.2.5: 4.2.6 Folgerung. Sei C ein Ring und sei µ : C → [0, ∞] ein Maß. Dann ist µ stetig von oben. F¨ ur endliche Inhalte auf einem Ring gilt auch die Umkehrung der Implikation von Lemma 4.2.5: 4.2.7 Lemma. Sei C ein Ring und sei µ : C → [0, ∞] ein endlicher Inhalt. Ist µ stetig von oben, so ist µ stetig von unten. S Beweis. Sei {A S k }k∈N ⊆ C eine monoton wachsende Folge mit k∈N Ak ∈ C und seiTA := k∈N Ak . Dann ist {A \ Ak }k∈N eine monoton fallende Folge in C mit k∈N (A \ Ak ) = ∅. Nach Voraussetzung gilt supk∈N µ[Ak ] ≤ µ[A] < ∞ und damit µ[A] − sup µ[Ak ] = µ[A] + inf (−µ[Ak ]) k∈N

k∈N

= inf (µ[A] − µ[Ak ]) k∈N

= inf µ[A \ Ak ] k∈N

= µ[∅] =0 Daher ist µ stetig von unten.

2

Das folgende Beispiel zeigt, dass im letzten Lemma die Forderung der Endlichkeit des Inhaltes wesentlich ist: 4.2.8 Beispiel. Sei Ω := N und C := { A ∈ 2Ω | A oder Ω \ A ist endlich}. Dann ist die Mengenfunktion µ : C → [0, ∞] mit ½ 0 falls A endlich ist µ[A] := ∞ sonst ein Inhalt und stetig von oben, aber sie ist nicht stetig von unten.

Wir kl¨ aren nun noch den Zusammenhang zwischen der Stetigkeit von oben und der ∅–Stetigkeit:

54

Kapitel 4. Mengenfunktionen

4.2.9 Lemma. Sei C ein Ring und sei µ : C → [0, ∞] ein Inhalt. Dann sind aquivalent: ¨ (a) µ ist stetig von oben. (b) µ ist ∅–stetig. Beweis. Es ist klar, dass (b) aus (a) folgt. Wir nehmen T nun an, dass (b) gilt. Sei {Ak }k∈N ⊆ C eineTmonoton fallende Folge mit k∈N Ak ∈ C und µ[A1 ] < ∞, und sei AT:= k∈N Ak . Dann ist {Ak \ A}k∈N eine monoton fallende Folge in C mit k∈N (Ak \ A) = ∅ und µ[A1 \ A] < ∞. Daraus folgt " # \ µ Ak = µ[A] " # k∈N \ = µ[A] + µ (Ak \ A) k∈N

= µ[A] + inf µ[Ak \ A] k∈N

= inf (µ[A] + µ[Ak \ A]) k∈N

= inf µ[Ak ] k∈N

Daher folgt (a) aus (b).

2

F¨ ur endliche Inhalte auf einem Ring k¨onnen wir die letzten Ergebnisse wie folgt zusammenfassen: 4.2.10 Folgerung. Sei C ein Ring und sei µ : C → [0, ∞] ein endlicher Inhalt. Dann sind ¨ aquivalent: (a) µ ist σ–additiv. (b) µ ist stetig von unten. (c) µ ist stetig von oben. (d) µ ist ∅–stetig. Eine Mengenfunktion ur jede Folge S∞ µ : C → [0, ∞] heißt σ–subadditiv , wenn f¨ {Ak }k∈N ⊆ C mit k=1 Ak ∈ C "∞ # ∞ [ X µ Ak ≤ µ[Ak ] k=1

k=1

gilt. Wegen ∅ ∈ C ist jede σ–subadditive Mengenfunktion µ : C → [0, ∞] mit µ[∅] = 0 endlich subadditiv. 4.2.11 Lemma. Sei C ein Halbring und sei µ : C → [0, ∞] ein Maß. Dann ist µ monoton und σ–subadditiv.

4.2 Maße

55

Beweis. Aufgrund von Satz 4.2.3 k¨onnen wir annehmen, dass C ein Ring ist. Da µ ein Maß ist, ist µ auch ein Inhalt, und aus Lemma 4.1.5 folgt nun, dass µ monoton und endlich subadditiv ist. Nach Lemma 4.2.4 ist µ außerdem stetig von unten. S∞ Sn Sei nun {Ak }k∈N ⊆ C eine Folge mit k=1 ∈ C. Dann ist S∞Ak S S∞{ k=1 Ak }n∈N n eine monoton wachsende Folge in C mit n=1 k=1 Ak = k=1 Ak ∈ C und es gilt "∞ # "∞ n # " n # n ∞ [ [ [ [ X X µ Ak = µ Ak = sup µ Ak ≤ sup µ[Ak ] = µ[Ak ] k=1

n∈N

n=1 k=1

n∈N

k=1

k=1

k=1

Daher ist µ σ–subadditiv.

2

F¨ ur Mengenfunktionen auf einem Halbring erhalten wir die folgende Variante von Lemma 4.2.1: 4.2.12 Lemma. Sei C ein Halbring und sei µ : C → [0, ∞] eine Mengenfunktion. Dann sind ¨aquivalent: (a) µ ist ein Maß. (b) µ ist ein σ–subadditiver Inhalt. Beweis. Sie zun¨ achst µ ein Maß. Dann ist µ ein Inhalt. Da C ein Halbring ist, ist µ nach Lemma 4.2.11 auch σ–subadditiv. Daher folgt (b) aus (a). Sei nun P∞µ ein σ–subadditiver Inhalt und sei {Ak }k∈N ⊆ C eine disjunkte Folge mit k=1 Ak ∈ C. Nach Satz 4.1.4 besitzt µ eine eindeutige Fortsetzung zu einem Inhalt µ : %(C) → [0, ∞] und nach Lemma 4.1.5 ist µ monoton. Daher gilt f¨ ur alle n ∈ N " n # "∞ # "∞ # n n X X X X X µ[Ak ] = µ[Ak ] = µ Ak ≤ µ Ak = µ Ak k=1

k=1

k=1

k=1

k=1

und daraus folgt ∞ X

" µ[Ak ] ≤ µ

k=1

∞ X

# Ak

k=1

Da µ σ–subadditiv ist, gilt außerdem "∞ # ∞ X X µ Ak ≤ µ[Ak ] k=1

k=1

Aus den letzten beiden Ungleichungen folgt nun, dass µ σ–additiv ist. Daher folgt (a) aus (b). 2 Eine Mengenfunktion S µ : C → [0, ∞] heißt σ–endlich, wenn es eine Folge {Ak }k∈N ⊆ C gibt mit k∈N Ak = Ω und µ[Ak ] < ∞ f¨ ur alle k ∈ N.

56

Kapitel 4. Mengenfunktionen

Aufgaben 4.2.A

Ist jede σ–additive Mengenfunktion additiv?

4.2.B

Sei C ein σ–Ring und sei µ : C → [0, ∞] ein Maß. Dann ist das Mengensystem ¯ n o ¯ Nµ := N ∈ C ¯ µ[N ] = 0 ein σ–Ideal in C.

4.2.C

Vervollst¨ andigung: Sei C eine σ–Algebra und sei µ : C → [0, ∞] ein Maß. Sei ferner ¯ n o ¯ Mµ := A ∈ 2Ω ¯ A ⊆ N f¨ ur ein N ∈ Nµ und Cµ :=

¯ n o ¯ A ∈ 2Ω ¯ A = C + D mit C ∈ C und D ∈ Mµ disjunkt

Dann gilt Cµ = σ(C ∪ Mµ ) Sei ferner µ e : Cµ → [0, ∞] gegeben durch µ e[A] := µ[C] mit C ∈ C derart, dass A = C + D f¨ ur ein D ∈ Mµ mit C ∩ D = ∅ gilt. Dann gilt (1) µ e ist wohldefiniert und ein vollst¨ andiges Maß mit µ e|C = µ. (2) µ e ist das einzige Maß auf Cµ , das µ fortsetzt. (3) Ist C0 eine σ–Algebra auf Ω mit C ⊆ C0 und ist µ0 : C0 → [0, ∞] ein vollst¨ andiges Maß mit µ0 |C = µ, so gilt Cµ ⊆ C0 und µ0 |Cµ = µ e. Das Maß µ e ist die Vervollst¨ andigung von µ. 4.2.D

Sei C ∩–stabil, sei µ : C → [0, ∞] ein Maß und sei C ∈ C. Dann ist die Mengenfunktion µC : C → [0, ∞] mit µC [A] := µ[A ∩ C] ein Maß.

4.2.E

Sei {µn }n∈N eine Folge von Maßen C → [0, ∞] und sei {an }n∈N ⊆ R+ . Dann ist die Mengenfunktion µ : C → [0, ∞] mit µ[A] :=

∞ X

an µn [A]

n=1

ein Maß. 4.2.F

Ist jede endliche Mengenfunktion σ–endlich?

4.2.G

Sei C eine σ–Algebra und sei µ : C → [0, ∞] ein σ–endliches Maß. Dann ist jede disjunkte Familie {Ai }i∈I ⊆ C mit µ[Ai ] > 0 f¨ ur alle i ∈ I abz¨ ahlbar.

4.3 Signierte Maße

57

4.3 Signierte Maße ¯ heißt signiertes Maß, wenn sie die folgenden Eine Mengenfunktion ν : C → R Eigenschaften besitzt: (i) ν nimmt h¨ ochstens einen der Werte −∞ und +∞ an. (ii) Es gilt ν[∅] = 0. P (iii) F¨ ur jede disjunkte Folge {Ak }k∈N ⊆ C mit ∞ k=1 Ak ∈ C gilt "∞ # ∞ X X ν Ak = ν[Ak ] k=1

k=1

P∞ ¯ Diese Bedingung ist so zu verstehen, dass die£P Reihe ¤k=1 ν[Ak ] in R ∞ unbedingt konvergent ist und den Grenzwert ν A besitzt. k=1 k Jedes Maß ist ein signiertes Maß, aber nicht jedes signierte Maß ist ein Maß. ¯ ist genau dann ein Maß, wenn ν(C) ⊆ [0, ∞] Ein signiertes Maß ν : C → R gilt. Das folgende Lemma liefert eine einfache M¨ oglichkeit, signierte Maße zu erzeugen, die keine Maße sind: 4.3.1 Lemma. Seien ϕ, ψ : C → [0, ∞] Maße, von denen mindestens eines endlich ist. Dann ist ϕ − ψ ein signiertes Maß. Wir wollen nun zeigen, dass sich jedes signierte Maß auf einer σ–Algebra als Differenz zweier Maße, von denen mindestens eines endlich ist, darstellen l¨ asst. Wir ben¨ otigen das folgende Analogon zu Folgerung 4.2.6: ¯ ein signiertes Maß. Dann 4.3.2 Lemma. Sei C ein Ring und sei ν : C → R T gilt f¨ ur jede monoton fallende Folge {Ak }k∈N ⊆ C mit k∈N Ak ∈ C und |ν[A1 ]| < ∞ " # \ lim ν[Ak ] = ν Ak k→∞

k∈N

Der Beweis von Lemma 4.3.2 ergibt sich durch Wiederholung der in den Beweisen von Lemma 4.2.4 und Lemma 4.2.5 verwendeten Argumente, wobei alle auftretenden Suprema und Infima durch Limites zu ersetzen sind. F¨ ur A ∈ C setzen wir

¯ n o ¯ C(A) := B ∈ C ¯ B ⊆ A

¯ definieren wir Mengenfunktionen und f¨ ur eine Mengenfunktion ν : C → R + − ν : C → [0, ∞] und ν : C → [0, ∞] durch ν + [A] := sup ν[B] B∈C(A) −

ν [A] := sup (−ν[B]) B∈C(A)

58

Kapitel 4. Mengenfunktionen

Die Mengenfunktion ν + heißt die positive Variation oder der Positivteil von ν und die Mengenfunktion ν − heißt die negative Variation oder der Negativteil von ν. F¨ ur signierte Maße auf einer σ–Algebra erhalten wir das folgende Ergebnis: ¯ 4.3.3 Satz (Jordan–Zerlegung). Sei C eine σ–Algebra und sei ν : C → R ein signiertes Maß. Dann sind ν + und ν − Maße, von denen mindestens eines endlich ist, und es gilt ν = ν + − ν − . Beweis. Wir f¨ uhren den Beweis in mehreren Schritten. (1) Wir zeigen zun¨achst, dass die Mengenfunktionen ν + und ν − Maße sind: (i) Es gilt ν + [∅] = ν[∅] = 0. P∞ (ii) Sei nun A ∈ C und {Ak }k∈N ⊆ C eine disjunkte Folge mit k=1 Ak = A. F¨ ur jede Menge B ∈ C(A) gilt dann ν[B] =

∞ X

ν[B ∩ Ak ] ≤

k=1

∞ X

ν + [Ak ]

k=1

und damit ν + [A] ≤

∞ X

ν + [Ak ]

k=1

Sei nun {Bk }k∈N ⊆ C eine Folge mit Bk ∈ C(Ak ) f¨ urPalle k ∈ N. Dann ist n die Folge {Bk }k∈N disjunkt und f¨ ur alle n ∈ N gilt k=1 Bk ∈ C(A) und damit " n # n X X ν[Bk ] = ν Bk ≤ ν + [A] k=1

k=1

Durch Variation u alt man zun¨ achst ¨ber alle derartigen Folgen erh¨ n X

ν + [Ak ] ≤ ν + [A]

k=1

und sodann ∞ X

ν + [Ak ] ≤ ν + [A]

k=1

Daher gilt ∞ X

ν + [Ak ] = ν + [A]

k=1

Damit ist gezeigt, dass ν + ein Maß ist. Da mit ν auch −ν ein signiertes Maß ist, ist auch ν − = (−ν)+ ein Maß.

4.3 Signierte Maße

59

(2) Wir zeigen nun, dass mindestens eines der Maße ν + und ν − endlich ist. Dazu k¨ onnen wir ohne Beschr¨ankung der Allgemeinheit annehmen, dass f¨ ur alle A ∈ C ν[A] < ∞ gilt, und zeigen, dass in diesem Fall ν + endlich ist. Wir f¨ uhren den Beweis durch Widerspruch und nehmen an, dass ν + [Ω] = ∞ gilt. Wir konstruieren nun induktiv eine monoton fallende Folge {An }n∈N ⊆ C mit ν + [An ] = ∞ f¨ ur alle n ∈ N: • n = 1: Sei A1 := Ω •

Dann gilt A1 ∈ C und ν + [A1 ] = ∞. n → n + 1: Sei An ∈ C mit ν + [An ] = ∞ gegeben. Dann gibt es eine Menge Bn ∈ C(An ) mit ν[Bn ] ≥ n und max{ν + [Bn ], ν + [An \ Bn ]} = ∞ und wir setzen ½ Bn falls ν + [Bn ] = ∞ An+1 := An \ Bn sonst

Dann gilt An+1 ∈ C und ν + [An+1 ] = ∞ sowie An+1 ⊆ An . F¨ ur die Folgen {An }n∈N und {Bn }n∈N gilt eine der folgenden Alternativen: – Es gibt unendlich viele n ∈ N mit An+1 = An \ Bn – Es gibt ein m ∈ N mit An+1 = Bn f¨ ur alle n ∈ N(m). Wir untersuchen diese Alternativen getrennt: – Im ersten Fall besitzt die Folge {Bn }n∈N eine disjunkte Teilfolge {Bnk }k∈N und es gilt "∞ # ∞ ∞ X X X ν Bnk = ν[Bnk ] ≥ nk = ∞ k=1

–

k=1

k=1

Im zweiten Fall ist die Folge {Bn }n∈N(m) monoton fallend. In diesem Fall gibt es entweder ein n ∈ N(m) mit ν[Bn ] = ∞ oder es gilt ν[Bn ] < ∞ f¨ ur alle n ∈ N(m) und aus Lemma 4.3.2 folgt " # \ ν Bn = lim ν[Bn ] ≥ lim n = ∞ n∈N(m)

n→∞

n→∞

Daher gibt es in jedem Fall ein B ∈ C mit ν[B] = ∞. Dies widerspricht der Annahme an ν. Daher ist ν + endlich.

60

Kapitel 4. Mengenfunktionen

(3) Zum Beweis der letzten Behauptung k¨onnen wir wieder ohne Beschr¨ ankung der Allgemeinheit annehmen, dass f¨ ur alle A ∈ C ν[A] < ∞ gilt. Dann ist ν + endlich. Sei nun A ∈ C. – Im Fall ν[A] = −∞ gilt ν − [A] = ∞ und damit ν[A] = ν + [A] − ν − [A] –

Im Fall ν[A] ∈ R gilt ν + [A] − ν[A] = sup ν[B] − ν[A] B∈C(A)

= sup (ν[B]−ν[A]) B∈C(A)

= sup (−ν[A \ B]) B∈C(A)

= sup (−ν[C]) C∈C(A)

= ν − [A] und damit ebenfalls ν[A] = ν + [A] − ν − [A] Damit ist auch die letzte Behauptung des Satzes gezeigt.

2

Der folgende Satz pr¨azisiert die Jordan–Zerlegung eines signierten Maßes: ¯ ein 4.3.4 Satz (Hahn–Zerlegung). Sei C eine σ–Algebra und sei ν : C → R + − + signiertes Maß. Dann gibt es disjunkte Mengen Ω , Ω ∈ C mit Ω = Ω + Ω− sowie ν + [A] = ν[A ∩ Ω+ ] und ν − [A] = − ν[A ∩ Ω− ] f¨ ur alle A ∈ C. Beweis. Wir k¨ onnen ohne Beschr¨ankung der Allgemeinheit annehmen, dass ν + endlich ist. Dann gibt es eine Folge {An }n∈N ⊆ C mit ν + [Ω] ≤ ν[An ] + 1/2n und wir setzen

4.3 Signierte Maße

61

Ω+ := Ω− :=

∞ [ ∞ \

Ak

n=1 k=n ∞ \ ∞ [

(Ω \ Ak )

n=1 k=n

Dann gilt Ω+ , Ω− ∈ C sowie Ω+ ∩ Ω− = ∅ und Ω = Ω+ + Ω− . Aus der Jordan– Zerlegung erhalten wir ν − [Ak ] = ν + [Ak ] − ν[Ak ] ≤ ν + [Ω] − ν[Ak ] ≤ 1/2k , und aus Lemma 4.2.12 folgt nun "∞ # ∞ ∞ [ X X 1 1 ν− Ak ≤ ν − [Ak ] ≤ ≤ n−1 2k 2 k=n k=n k=n S∞ Insbesondere gilt ν − [ k=1 Ak ] ≤ 1 < ∞ und aus Folgerung 4.2.6 ergibt sich nun "∞ ∞ # "∞ # \ [ [ − + − − ν [Ω ] = ν Ak = lim ν Ak = 0 n→∞

n=1 k=n +

+

k=n

+

Ferner gilt ν [An ] + ν [Ω \ An ] = ν [Ω] ≤ ν[An ] + 1/2n ≤ ν + [An ] + 1/2n . Da ν + endlich ist, folgt daraus zun¨achst "∞ # \ + ν (Ω \ Ak ) ≤ ν + [Ω \ An ] ≤ 1/2n k=n

und sodann mit Lemma 4.2.4 "∞ ∞ # "∞ # [ \ \ + − + + ν [Ω ] = ν (Ω \ Ak ) = lim ν (Ω \ Ak ) = 0 n→∞

n=1 k=n

k=n

Aus der Jordan–Zerlegung erhalten wir nun f¨ ur alle A ∈ C ν + [A] = ν + [A ∩ Ω+ ] + ν + [A ∩ Ω− ] = ν + [A ∩ Ω+ ] = ν + [A ∩ Ω+ ] − ν − [A ∩ Ω+ ] = ν[A ∩ Ω+ ] und analog zeigt man ν − [A] = −ν[A ∩ Ω− ]. ¯ heißt Eine Mengenfunktion ν : C → R – endlich, wenn f¨ ur alle A ∈ C |ν[A]| < ∞ –

gilt. beschr¨ ankt, wenn sup |ν[A]| < ∞ A∈C

gilt. Jede beschr¨ ankte Mengenfunktion ist endlich.

2

62

Kapitel 4. Mengenfunktionen

Aufgaben 4.3.A

Sei C eine σ–Algebra und seien ϕ, ψ : C → [0, ∞] Maße. Dann ist jede der Mengenfunktionen ϕ ∨ ψ, ϕ ∧ ψ : C → [0, ∞] mit ³ ´ (ϕ ∨ ψ)[A] := sup ϕ[B] + ψ[A \ B] B∈C(A)

(ϕ ∧ ψ)[A] :=

inf

B∈C(A)

³

´ ϕ[B] + ψ[A \ B]

ein Maß. 4.3.B

Formulieren und beweisen Sie f¨ ur Inhalte Analoga zu den Aussagen von Aufgabe 4.3.A.

4.3.C

Formulieren und beweisen Sie f¨ ur endliche signierte Maße Analoga zu den Aussagen von Aufgabe 4.3.A. ¯ ein signiertes Jordan–Zerlegung: Sei C eine σ–Algebra und sei ν : C → R Maß. Dann ist die Mengenfunktion |ν| : C → [0, ∞] mit ¯ ( n ) ¯ X ¯ |ν|[A] := sup |ν[Ak ]| ¯ n ∈ N und {Ak }k∈{1,...,n} ⊆ C(A) disjunkt ¯

4.3.D

k=1

4.3.E

4.3.F

ein Maß und es gilt |ν| = ν + + ν − sowie ν + ∨ ν − = |ν| und ν + ∧ ν − = 0. Das Maß |ν| heißt die totale Variation von ν. ¯ ein signiertes Jordan–Zerlegung: Sei C eine σ–Algebra und ν : C → R Maß. Sind ϕ, ψ : C → [0, ∞] Maße mit ν = ϕ − ψ, so gilt ν + ≤ ϕ und ν − ≤ ψ; im Fall ϕ ∧ ψ = 0 gilt sogar ν + = ϕ und ν − = ψ. ¯ ein signiertes Maß. Hahn–Zerlegung: Sei C eine σ–Algebra und ν : C → R F¨ ur i ∈ {1, 2} seien Pi , Ni ∈ C Mengen mit Pi ∩ Ni = ∅ und Pi + Ni = Ω sowie ν + [A] = ν[A ∩ Pi ] ν − [A] = −ν[A ∩ Ni ]

4.3.G

f¨ ur alle A ∈ C. Dann gilt |ν|(P1 4P2 ) = 0 = |ν|(N1 4N2 ). ¯ ein signiertes Maß. Dann sind folgende Sei C eine σ–Algebra und ν : C → R Aussagen ¨ aquivalent: (a) ν ist endlich. (b) ν ist beschr¨ ankt.

5 Fortsetzung von Maßen

In diesem Kapitel untersuchen wir f¨ ur ein Maß auf einem Mengensystem, das die leere Menge enth¨alt, die Existenz und die Eindeutigkeit einer Fortsetzung zu einem Maß auf einer σ–Algebra, die das gegebene Mengensystem enth¨ alt. Wir beginnen mit einem Eindeutigkeitssatz (Abschnitt 5.1). Als Vorbereitung f¨ ur den Beweis eines Fortsetzungssatzes f¨ uhren wir dann ¨ außere Maße ein und zeigen, dass es zu jedem ¨außeren Maß eine σ–Algebra gibt, f¨ ur die die Restriktion des ¨ außeren Maßes ein Maß ist (Abschnitt 5.2). Wir beweisen sodann den Satz von Caratheodory u ¨ber die Existenz und Eindeutigkeit einer Fortsetzung eines σ–endlichen Maßes von einem Halbring auf die von ihm erzeugte σ–Algebra (Abschnitt 5.3). Aus dem Fortsetzungssatz erhalten wir einen n¨ utzlichen Approximationssatz (Abschnitt 5.4) und das Lebesgue–Maß auf der Borelschen σ–Algebra des Euklidischen Raumes (Abschnitt 5.5). Im gesamten Kapitel sei Ω eine nichtleere Menge.

5.1 Eindeutigkeitssatz In diesem Abschnitt zeigen wir, dass ein σ–endliches Maß auf einem nichtleeren ∩–stabilen Mengensystem h¨ochstens eine Fortsetzung auf die erzeugte σ–Algebra besitzt: 5.1.1 Satz (Eindeutigkeitssatz). Sei F ⊆ 2Ω eine σ–Algebra und sei E ⊆ 2Ω ein ∩–stabiles Mengensystem mit σ(E) = F. Sind µ, ν : F → [0, ∞] Maße mit µ|E = ν|E und ist µ|E σ–endlich, so gilt µ = ν und µ ist σ–endlich. Beweis. Da µ|E σ–endlich ist, gibt es eine Folge {En }n∈N ⊆ E mit [ En = Ω n∈N

und µ[En ] < ∞ f¨ ur alle n ∈ N. K.D. Schmidt, Maß und Wahrscheinlichkeit, 2. Aufl., Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-21026-6_5, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

64

Kapitel 5. Fortsetzung von Maßen

(1) F¨ ur E ∈ E mit µ[E] = ν[E] < ∞ sei ¯ n o ¯ DE := A ∈ F ¯ µ[E ∩ A] = ν[E ∩ A] Dann ist das Mengensystem DE ein Dynkin–System: (i) Es gilt Ω ∈ DE . (ii) Sei A ∈ DE . Dann gilt µ[E ∩ A] = µ[E] − µ[E ∩ A] = ν[E] − ν[E ∩ A] = ν[E ∩ A] und damit A ∈ DE . (iii) Sei {An }n∈N ⊆ DE disjunkt. Dann gilt " # " # ∞ ∞ ∞ ∞ X X X X µ E∩ An = µ[E ∩ An ] = ν[E ∩ An ] = ν E ∩ An n=1

n=1

P

n=1

n=1

und damit n∈N An ∈ DE . Da E ∩–stabil ist, gilt E ⊆ DE und damit δ(E) ⊆ DE Da E ∩–stabil ist, gilt außerdem σ(E) = δ(E), und damit F = σ(E) = δ(E) ⊆ DE Damit ist gezeigt, dass f¨ ur alle E ∈ E mit µ[E] < ∞ und f¨ ur alle A ∈ F µ[E ∩ A] = ν[E ∩ A] gilt. (2) Wir betrachten nun die Folge {En }n∈N ⊆ E. F¨ ur alle n ∈ N0 sei Cn :=

n [

Ek

k=1

und f¨ ur alle n ∈ N sei Bn := Cn \ Cn−1 Dann ist {Bn }n∈N eine disjunkte Folge in F mit n ∈ N gilt Bn ⊆ En . (3) F¨ ur alle A ∈ F gilt wegen (2) A=

∞ X

Bn ∩ A =

n=1

∞ X

P∞ n=1

Bn = Ω, und f¨ ur alle

En ∩ (Bn ∩ A)

n=1

und aus (1) folgt nun wegen µ[En ] < ∞ und Bn ∩ A ∈ F ⊆ DEn µ[A] =

∞ X

µ[En ∩ (Bn ∩ A)] =

n=1

Damit ist gezeigt, dass µ = ν gilt.

∞ X

ν[En ∩ (Bn ∩ A)] = ν[A]

n=1

2

¨ 5.2 Außere Maße

65

Aufgabe 5.1.A

Sei F ⊆ 2Ω eine σ–Algebra und sei A ⊆ 2Ω eine Algebra mit σ(A) = F. Sind µ, ν : F → [0, ∞] endliche Maße mit µ[Ω] = ν[Ω] und µ[A] ≤ ν[A] f¨ ur alle A ∈ A, so gilt µ = ν.

¨ 5.2 Außere Maße Eine Mengenfunktion % : 2Ω → [0, ∞] heißt ¨ außeres Maß , wenn sie folgende Eigenschaften besitzt: (i) Es gilt %[∅] = 0. (ii) % ist monoton. (iii) % ist σ–subadditiv. Jedes Maß 2Ω → [0, ∞] ist ein a¨ußeres Maß, und jedes a ¨ußere Maß ist endlich subadditiv. F¨ ur ein ¨ außeres Maß % : 2Ω → [0, ∞] bestimmen wir nun eine σ–Algebra F(%) derart, dass die Restriktion von % auf F (%) ein Maß ist. Da % σ–subadditiv ist, gen¨ ugt es nach Lemma 4.2.12 zu zeigen, dass die Restriktion von % auf F(%) ein Inhalt ist, und wegen %[∅] = 0 gen¨ ugt es nach Lemma 4.1.2 zu zeigen, dass ¨ die Restriktion von % auf F (%) additiv ist. Diese Uberlegung legt die folgende Definition nahe: F¨ ur ein ¨ außeres Maß % : 2Ω → [0, ∞] sei ¯ n o ¯ F(%) := A ∈ 2Ω ¯ f¨ ur alle E ∈ 2Ω gilt %[E] = %[E ∩ A] + %[E \ A] Wir bezeichnen das Mengensystem F (%) als System der additiven Zerleger bez¨ uglich %. Da jedes ¨außere Maß subadditiv ist, gilt ¯ n o ¯ F(%) = A ∈ 2Ω ¯ f¨ ur alle E ∈ 2Ω gilt %[E] ≥ %[E ∩ A] + %[E \ A] Der folgende Satz zeigt, dass das Mengensystem F(%) eine σ–Algebra ist und dass die Restriktion %|F(%) : F (%) → [0, ∞] von % auf F (%) ein Maß ist: 5.2.1 Satz. Sei % : 2Ω → [0, ∞] ein ¨ außeres Maß. Dann ist F (%) eine σ– Algebra und %|F(%) ist ein Maß. Beweis. Wir untersuchen zun¨achst das Mengensystem F(%). Als erstes zeigen wir, dass F (%) ∩–stabil ist. Sei A, B ∈ F (%) und E ∈ 2Ω . Wegen E \ (A ∩ B) = (E ∩ A) \ B + (E \ A) ∩ B + (E \ A) \ B folgt aus der endlichen Subadditivit¨at von %

66

Kapitel 5. Fortsetzung von Maßen

%[E] ≤ %[E ∩ (A ∩ B)] + %[E \ (A ∩ B)] ≤ %[(E ∩ A) ∩ B] + %[(E ∩ A) \ B] + %[(E \ A) ∩ B] + %[(E \ A) \ B] = %[E ∩ A] + %[E \ A] = %[E] und damit %[E] = %[E ∩ (A ∩ B)] + %[E \ (A ∩ B)] Daher gilt A ∩ B ∈ F(%). Damit ist gezeigt, dass F (%) ∩–stabil ist. Als n¨ achstes zeigen wir, dass F (%) ein Dynkin–System ist: (i) Es gilt Ω ∈ F(%). (ii) F¨ ur alle A ∈ F (%) gilt A ∈ F (%). (iii) Sei {Ak }k∈N ⊆ F(%) disjunkt und E ∈ 2Ω . Wir betrachten zun¨ achst die Menge A1 +A2 . Da F(%) ∩–stabil ist, ergibt sich aus (ii) und den Gesetzen von DeMorgan A1 + A2 ∈ F(%) und es gilt %[E ∩ (A1 +A2 )] = %[E ∩ (A1 +A2 ) ∩ A1 ] + %[E ∩ (A1 +A2 ) \ A1 ] = %[E ∩ A1 ] + %[E ∩ A2 ] Durch vollst¨ andige Induktion ergibt sich sodann " % E∩

n X

# Ak =

k=1

n X

Pn k=1

Ak ∈ F(%) und

%[E ∩ Ak ]

k=1

und aus der Monotonie von % folgt nun " # " # " # n ∞ n ∞ X X X X %[E ∩ Ak ] + % E \ Ak = % E ∩ Ak + % E \ Ak k=1

k=1

" ≤% E∩

k=1 n X

#

"

Ak + % E \

k=1

k=1 n X

# Ak

k=1

= %[E] Daher gilt ∞ X

" %[E ∩ Ak ] + % E \

k=1

∞ X

# Ak ≤ %[E]

k=1

Aus der σ–Subadditivit¨at von % und der letzten Ungleichung folgt nun " # " # ∞ ∞ X X %[E] ≤ % E ∩ Ak + % E \ Ak k=1

k=1

5.3 Existenzsatz

67

" =% ≤

∞ X

#

"

E ∩ Ak + % E \

k=1 ∞ X

"

%[E ∩ Ak ] + % E \

k=1

∞ X

k=1 ∞ X

# Ak #

Ak

k=1

≤ %[E] und damit

" %[E] = % E ∩

∞ X

#

"

Ak + % E \

k=1

∞ X

# Ak

k=1

P∞ Daher gilt k=1 Ak ∈ F (%). Damit ist gezeigt, dass F (%) ein Dynkin–System ist. Da F(%) ein ∩–stabiles Dynkin–System ist, ist F (%) eine σ–Algebra. Wir zeigen nun, dass %|F(%) ein Inhalt ist: (i) Es gilt %|F(%) [∅] = %[∅] = 0. (ii) F¨ ur alle A, B ∈ F(%) mit A ∩ B = ∅ gilt A + B ∈ F(%) und damit %|F(%) [A + B] = %[A + B] = %[(A+B) ∩ A] + %[(A+B) \ A] = %[A] + %[B] = %|F(%) [A] + %|F(%) [B] Daher ist %|F(%) ein Inhalt. Da %|F (%) ein Inhalt ist und mit % auch %|F(%) σ–subadditiv ist, ist %|F (%) nach Lemma 4.2.12 ein Maß. 2 Aufgabe 5.2.A

F¨ ur jedes ¨ außere Maß % : 2Ω → [0, ∞] ist das Maß %|F (%) : F (%) → [0, ∞] vollst¨ andig.

5.3 Existenzsatz Sei E ⊆ 2Ω ein Mengensystem mit ∅ ∈ E und sei µ : E → [0, ∞] eine Mengenfunktion mit µ[∅] = 0. Dann ist die Abbildung µ∗ : 2Ω → [0, ∞] mit ∗

µ [A] :=

inf S {Ek }k∈N ⊆E, A⊆ k∈N Ek

∞ X

µ[Ek ]

k=1

eine Mengenfunktion. Der folgende Satz zeigt, dass µ∗ ein ¨ außeres Maß ist: 5.3.1 Lemma (Konstruktion eines ¨ außeren Maßes). Sei E ⊆ 2Ω ein Mengensystem mit ∅ ∈ E und sei µ : E → [0, ∞] eine Mengenfunktion mit µ[∅] = 0. Dann ist µ∗ ein ¨ außeres Maß.

68

Kapitel 5. Fortsetzung von Maßen

Beweis. Wir zeigen, dass µ∗ die Axiome eines ¨ außeren Maßes erf¨ ullt: (i) Es gilt µ∗ [∅] = 0. (ii) F¨ ur alle A, B ∈ 2Ω mit B ⊆ A gilt µ∗ [B] ≤ µ∗ [A]. (iii) Sei {An }n∈N ⊆ 2Ω . Wir nehmen zun¨achst an, dass f¨ ur alle n ∈ N µ∗ [An ] < ∞ gilt. Sei ε ∈ ur alle n ∈ N eine Folge {En,k }k∈N ⊆ E S(0, ∞). Dann gibt es f¨ mit An ⊆ k∈N En,k und ∞ X

µ[En,k ] ≤ µ∗ [An ] + ε/2n

k=1

Daher gilt " ∗

µ

[

#

" ∗

An ≤ µ

n∈N

≤ ≤ =

[ [

# En,k

n∈N k∈N ∞ X ∞ X

µ[En,k ]

n=1 k=1 ∞ ³ X ∗

µ [An ] + ε/2n

n=1 ∞ X

´

µ∗ [An ] + ε

n=1

Da ε ∈ (0, ∞) beliebig war, folgt daraus " # ∞ [ X ∗ µ An ≤ µ∗ [An ] n∈N

n=1

Diese Ungleichung gilt auch dann, wenn die Bedingung µ∗ [An ] < ∞ f¨ ur ein n ∈ N verletzt ist. Daher ist µ∗ σ–subadditiv. Damit ist gezeigt, dass µ∗ ein ¨außeres Maß ist. 2 Lemma 5.3.1 enth¨alt keine Aussage u ¨ber die Beziehung zwischen der Mengenfunktion µ : E → [0, ∞] und der Restriktion µ∗ |E : E → [0, ∞] des von ihr erzeugten ¨ außeren Maßes. Unter einer zus¨atzlichen Bedingung an das Mengen¨ system E erh¨ alt man jedoch die Ubereinstimmung von µ und µ∗ |E : 5.3.2 Satz (Existenzsatz). Sei E ⊆ 2Ω ein Halbring und sei µ : E → [0, ∞] ein Maß. Dann gilt E ⊆ F(µ∗ ) und µ∗ |E = µ. Insbesondere ist µ∗ |F (µ∗ ) ein Maß und eine Fortsetzung von µ. Beweis. Aufgrund von Satz 4.2.3 k¨onnen wir annehmen, dass E ein Ring ist.

5.3 Existenzsatz

69

(1) Wir zeigen zun¨achst, dass E ⊆ F(µ∗ ) gilt. Sei A ∈ E und E ∈ 2Ω . Da µ∗ ein ¨ außeres Maß ist, gilt µ∗ [E] ≤ µ∗ [E ∩ A] + µ∗ [E \ A] Im Fall µ∗ [E] = ∞ folgt daraus µ∗ [E] = µ∗ [E ∩ A] + µ∗ [E \ A] Wir nehmen nun an, dass µ∗ [E] <S∞ gilt. Dann gibt es zu jedem ε ∈ (0, ∞) eine Folge {Ek }k∈N ⊆ E mit E ⊆ k∈N Ek und ∞ X

µ[Ek ] ≤ µ∗ [E] + ε

n=1

Da E ein S Ring ist, sind {Ek ∩ A}k∈N S und {Ek \ A}k∈N Folgen in E, und wegen E ∩ A ⊆ k∈N Ek ∩ A und E \ A ⊆ k∈N Ek \ A erhalten wir µ∗ [E] ≤ µ∗ [E ∩ A] + µ∗ [E \ A] ≤ = =

∞ X

µ[Ek ∩ A] +

k=1 ∞ ³ X k=1 ∞ X

∞ X

µ[Ek \ A]

k=1

´ µ[Ek ∩ A] + µ[Ek \ A]

µ[Ek ]

k=1 ∗

≤ µ [E] + ε Da ε ∈ (0, ∞) beliebig war, ergibt sich daraus µ∗ [E] = µ∗ [E ∩ A] + µ∗ [E \ A] Daher gilt f¨ ur alle E ∈ 2Ω µ∗ [E] = µ∗ [E ∩ A] + µ∗ [E \ A] und damit A ∈ F(µ∗ ). Damit ist gezeigt, dass E ⊆ F (µ∗ ) gilt. (2) Wir zeigen nun, dass µ∗ |E = µ gilt. Sei A ∈ E. Dann gilt µ∗ [A] ≤ µ[A] S Sei nun {Ek }k∈N ⊆ E eine Folge mit A S ⊆ k∈N Ek . Da E ein Ring ist, ist {A ∩ Ek }k∈N eine Folge in E mit A = k∈N A ∩ Ek , und da µ σ–subadditiv und monoton ist, erhalten wir µ[A] ≤

∞ X k=1

µ[A ∩ Ek ] ≤

∞ X k=1

µ[Ek ]

70

Kapitel 5. Fortsetzung von Maßen

Daher gilt µ[A] ≤ µ∗ [A] und damit µ[A] = µ∗ [A] Damit ist gezeigt, dass µ∗ |E = µ gilt.

2

Aus dem Existenzsatz und dem Eindeutigkeitssatz ergibt sich nun der wichtige Existenz– und Eindeutigkeitssatz von Caratheodory: 5.3.3 Satz (Caratheodory). Sei E ⊆ 2Ω ein Halbring und sei µ : E → [0, ∞] ein σ–endliches Maß. Dann gibt es genau ein Maß µ e : σ(E) → [0, ∞] mit µ e|E = µ. Das Maß µ e ist σ–endlich und es gilt µ e = µ∗ |σ(E) . Beweis. Aus dem Existenzsatz folgt, dass E ⊆ F (µ∗ ) und damit auch σ(E) ⊆ F(µ∗ ) gilt und dass µ∗ |F(µ∗ ) ein Maß und eine Fortsetzung von µ auf F (µ∗ ) ist. Wegen σ(E) ⊆ F (µ∗ ) ist das Maß µ∗ |σ(E) eine Fortsetzung von µ auf σ(E). Da µ σ–endlich ist, folgt nun aus dem Eindeutigkeitssatz, dass µ∗ |σ(E) die einzige Fortsetzung von µ auf σ(E) ist und dass µ∗ |σ(E) σ–endlich ist. 2 Aufgaben 5.3.A

Caratheodory: Sei E ⊆ 2Ω ein Halbring und sei µ : E → [0, ∞] ein σ–endliches Maß. Dann gibt es genau ein Maß µ e : F (µ∗ ) → [0, ∞] mit µ e|E = µ. Das Maß µ e ist σ–endlich und es gilt µ e = µ∗ |F(µ∗ ) .

5.3.B

Sei E ⊆ 2Ω ein Halbring und sei µ : E → [0, ∞] ein Maß. Dann ist das Maß µ∗ |F (µ∗ ) : F (µ∗ ) → [0, ∞] vollst¨ andig.

5.3.C

Vervollst¨ andigung: Sei E ⊆ 2Ω ein Halbring und sei µ : E → [0, ∞] ein σ–endliches Maß. Sei ferner F0 ⊆ 2Ω eine σ–Algebra mit E ⊆ F0 und sei µ0 : F0 → [0, ∞] ein vollst¨ andiges Maß mit µ0 |E = µ. Dann gilt F (µ∗ ) ⊆ F0 ∗ ∗ ∗ und µ0 |F (µ ) = µ |F(µ ) .

5.4 Approximationssatz Aus dem Satz von Caratheodory erh¨alt man den folgenden Approximationssatz f¨ ur endliche Maße: 5.4.1 Satz (Approximationssatz). Sei F ⊆ 2Ω eine σ–Algebra und sei A ⊆ 2Ω eine Algebra mit σ(A) = F. Ist µ : F → [0, ∞] ein endliches Maß, so gibt es f¨ ur jede Menge A ∈ F eine Folge {Cn }n∈N ⊆ A mit lim µ[A4Cn ] = 0

n→∞

5.4 Approximationssatz

71

Beweis. Da A eine Algebra und µ endlich ist, ist insbesondere A ein Halbring und µ|A σ–endlich. Nach dem Satz von Caratheodory gilt daher µ = (µ|A )∗ |F Sei A ∈ F und ε ∈ (0, ∞). Nach Konstruktion des ¨ außeren Maßes (µ|A )∗ gibt S es eine Folge {Ek }k∈N ⊆ A mit A ⊆ k∈N Ek ∈ F und ∞ X

µ|A [Ek ] ≤ (µ|A )∗ [A] + ε/2

k=1

Daher gilt ∞ X

Sei nun E :=

µ[Ek ] ≤ µ[A] + ε/2

k=1

S k∈N

Ek . Da µ σ–subadditiv ist, ergibt sich nun

µ[A] + µ[E \ A] = µ[E] ≤

∞ X

µ[Ek ] ≤ µ[A] + ε/2

k=1

und aus der Endlichkeit von µ folgt dann µ[E \ A] ≤ ε/2 Sn

F¨ ur alle n ∈ N S sei Cn := k=1 Ek . Dann ist {Cn }n∈N eine monoton wachsende Folge in A mit Tn∈N Cn = E, und damit ist {E\Cn }n∈N eine monoton fallende Folge in F mit n∈N E \ Cn = ∅. Da µ endlich ist, gilt limn→∞ µ[E \ Cn ] = 0. F¨ ur alle hinreichen großen n ∈ N gilt daher µ[E \ Cn ] ≤ ε/2 Wegen A ∪ Cn ⊆ E gilt dann f¨ ur alle hinreichen großen n ∈ N µ[A4Cn ] = µ[A \ Cn ] + µ[Cn \ A] ≤ µ[E \ Cn ] + µ[E \ A] ≤ ε/2 + ε/2 = ε Daraus folgt die Behauptung.

2

5.4.2 Folgerung. Sei F ⊆ 2Ω eine σ–Algebra und sei A ⊆ 2Ω eine Algebra mit σ(A) = F. Ist µ : F → [0, ∞] ein endliches Maß, so gibt es f¨ ur jede Menge A ∈ F eine Folge {Cn }n∈N ⊆ A mit lim µ[Cn ] = µ[A]

n→∞

Beweis. F¨ ur alle A, C ∈ F gilt µ[A] − µ[C] = µ[A \ C] − µ[C \ A] ≤ µ[A \ C] + µ[C \ A] = µ[A4C] und damit |µ[A] − µ[C]| ≤ µ[A4C] Die Behauptung folgt nun aus dem Approximationssatz.

2

72

Kapitel 5. Fortsetzung von Maßen

Aufgabe 5.4.A

Sei F ⊆ 2Ω eine σ–Algebra und sei A ⊆ 2Ω eine Algebra mit σ(A) = F. Ist µ : F → [0, ∞] ein endliches Maß, so gibt es f¨ ur jede Menge A ∈ F eine Folge {Cn }n∈N ⊆ A mit lim dµ (A, Cn ) = 0

n→∞

5.5 Lebesgue–Maß Auf dem Halbring J (Rn ) der halboffenen Intervalle des Rn wird in nat¨ urlicher Weise durch  n Y   (bi − ai ) falls a < b λn [(a, b]] := i=1   0 sonst eine Mengenfunktion λn : J (Rn ) → [0, ∞] definiert. Ziel dieses Abschnitts ist es zu zeigen, dass diese Mengenfunktion ein Maß ist und eine eindeutige Fortsetzung zu einem Maß auf der Borelschen σ–Algebra B(Rn ) besitzt. Wir ben¨ otigen die folgende Definition: Eine Menge H ⊆ Rn heißt Halbraum, wenn es ein j ∈ {1, . . . , n} und ein z ∈ R gibt mit ¯ n o ¯ H = x ∈ Rn ¯ xj ≤ z Das folgende Lemma zeigt, dass je zwei disjunkte halboffene Intervalle durch einen Halbraum getrennt werden: 5.5.1 Lemma. F¨ ur alle J1 , J2 ∈ J (Rn ) mit J1 ∩ J2 = ∅ gibt es einen Halbn raum H ⊆ R derart, dass entweder J1 ∩ H = J1 und J2 ∩ H = ∅ oder J2 ∩ H = J2 und J1 ∩ H = ∅ gilt. Beweis. Im Fall J1 = ∅ oder J2 = ∅ ist nichts zu zeigen. Sei nun J1 6= ∅ und J2 6= ∅. Dann gibt es a, b, c, d ∈ Rn mit a < b und c < d sowie J1 = (a, b] J2 = (c, d] und wegen J1 ∩ J2 = ∅ gibt es ein j ∈ {1, . . . , n} mit bj ≤ cj oder dj ≤ aj . Wir k¨ onnen ohne Beschr¨ankung der Allgemeinheit annehmen, dass bj ≤ cj und damit [bj , cj ] = 6 ∅ gilt. Wir w¨ahlen nun ein z ∈ [bj , cj ] und setzen ¯ n o ¯ H := x ∈ Rn ¯ xj ≤ z Dann ist H ein Halbraum und es gilt J1 ∩ H = J1 und J2 ∩ H = ∅.

2

5.5 Lebesgue–Maß

73

5.5.2 Lemma. F¨ ur jedes Intervall J ∈ J (Rn ) und jeden Halbraum H ⊆ Rn n gilt J ∩ H ∈ J (R ) und J \ H ∈ J (Rn ) sowie λn [J] = λn [J ∩ H] + λn [J \ H] Beweis. Im Fall J ∩ H = ∅ oder J \ H = ∅ ist nichts zu zeigen. Sei nun J ∩ H 6= ∅ und J \ H 6= ∅. Dann gibt es a, d ∈ Rn mit a < d und J = (a, d] sowie ein j ∈ {1, . . . , n} und ein z ∈ R mit ¯ n o ¯ H = x ∈ Rn ¯ xj ≤ z Wegen J ∩H 6= ∅ und J \H 6= ∅ gilt aj durch ½ z bi := di ½ z ci := ai

< z < dj . Wir definieren nun b, c ∈ Rn falls i = j sonst falls i = j sonst

Dann gilt J ∩ H = (a, b] ∈ J (Rn ) und J \ H = (c, d] ∈ J (Rn ) und damit λn [J] = λn [(a, d]] =

n Y

(di −ai )

i=1

Y

= (dj −aj )

(di −ai )

i∈{1,...,n}\{j}

Y

= (z −aj )

i∈{1,...,n}\{j}

Y

= (bj −aj ) =

i=1

(bi −ai ) +

n Y

(di −ai )

i∈{1,...,n}\{j}

(bi −ai ) + (dj −cj )

i∈{1,...,n}\{j} n Y

Y

(di −ai ) + (dj −z)

Y

(di −ci )

i∈{1,...,n}\{j}

(di −ci )

i=1

= λn [(a, b]] + λn [(c, d]] = λn [J ∩ H] + λn [J \ H] Damit ist die Behauptung gezeigt. 5.5.3 Lemma. Die Mengenfunktion λn ist ein σ–endliches Maß.

2

74

Kapitel 5. Fortsetzung von Maßen

Beweis. Wir zeigen zun¨achst, dass λn ein Inhalt ist. (i) Es gilt λn [∅] = 0. (ii) F¨ ur P alle m ∈ N und f¨ ur jede disjunkte Familie {Jk }k∈{1,...,m} ⊆ J (Rn ) m n mit k=1 Jk ∈ J (R ) gilt "m # m X X n λ Jk = λn [Jk ] k=1

k=1

Wir f¨ uhren den Beweis dieser Behauptung durch vollst¨ andige Induktion: • m = 1: In diesem Fall ist nichts zu zeigen. • m → m + 1: Wir nehmen an, die Behauptung sei f¨ ur m bereits bewiesen, und betrachten eine disjunkte Familie {Jk }k∈{1,...,m+1} ⊆ Pm+1 n J (Rn ) mit k=1 Jk ∈ J (R ). Nach Lemma 5.5.1 gibt es einen n Halbraum H ⊆ R mit Jm ∩ H = Jm und Jm+1 ∩ H = ∅ oder Jm+1 ∩ H = Jm+1 und Jm ∩ H = ∅. Wir k¨ onnen ohne Beschr¨ ankung der Allgemeinheit annehmen, dass Jm ∩ H = Jm und Jm+1 ∩ H = ∅ gilt. Dann gilt m+1 X k=1 m+1 X

Jk ∩ H = Jk \ H =

k=1

m−1 X k=1 m−1 X

(Jk ∩ H) + Jm (Jk \ H) + Jm+1

k=1

Aus Lemma 5.5.2 und der Voraussetzung folgt nun "m+1 # X n λ Jk k=1

=λ

n

"m+1 X

# Jk ∩ H + λ

k=1

= λn

"m−1 X

n

"m+1 X

#

m−1 X

Jk ∩ H + Jm + λn

λn [Jk ∩ H] + λn [Jm ] +

k=1

=

"m−1 X

# Jk \ H + Jm+1

k=1 m−1 X

λn [Jk \ H] + λn [Jm+1 ]

k=1

m−1 X³

´ λn [Jk ∩ H] + λn [Jk \ H] + λn [Jm ] + λn [Jm+1 ]

k=1

=

Jk \ H

k=1

k=1

=

#

m+1 X

λn [Jk ]

k=1

Damit ist gezeigt, dass λn ein Inhalt ist.

5.5 Lebesgue–Maß

75

Wir zeigen nun, dass λn sogar ein Maß ist. Da J (Rn ) ein Halbring und λn ein Inhalt ist, gen¨ ugt es nach Lemma 4.2.12 zu zeigen, dass λn σ–subadditiv ist. Sei J ∈ J (Rn ) und sei {Jk }k∈N ⊆ J (Rn ) eine Folge mit [ J= Jk k∈N

Wegen λn [∅] = 0 gen¨ ugt es, den Fall zu betrachten, in dem J 6= ∅ und Jk 6= ∅ f¨ ur alle k ∈ N gilt. Dann gibt es a, b ∈ Rn mit a < b und J = (a, b] und f¨ ur alle k ∈ N gibt es ak , bk ∈ Rn mit ak < bk und Jk = (ak , bk ] Sei ε ∈ (0, ∞). Dann gibt es ein aε ∈ (a, b) mit λn [(a, b]] ≤ λn [(aε , b]] + ε und f¨ ur jedes k ∈ N gibt es ein bεk ∈ (bk , ∞) mit λn [(ak , bεk ]] ≤ λn [(ak , bk ]] + ε/2k Es gilt [

[aε , b] ⊆ (a, b] = J =

Jk =

k∈N

[

(ak , bk ] ⊆

k∈N

[

(ak , bεk )

k∈N

Da einerseits das Intervall [aε , b] abgeschlossen und beschr¨ ankt und damit nach dem Satz von Heine/Borel kompakt ist und andererseits jedes der Intervalle (ak , bεk ) offen ist, gibt es eine endliche Menge K ⊆ N mit [ [aε , b] ⊆ (ak , bεk ) k∈K

Daher gilt (aε , b] ⊆ [aε , b] ⊆

S

ε k∈K (ak , bk )

(aε , b] =

[

⊆

S

ε k∈K (ak , bk ]

und damit

(ak , bεk ] ∩ (aε , b]

k∈K n

Da λ ein Inhalt und damit endlich subadditiv und monoton ist, ergibt sich nun λn [J] − ε = λn [(a, b]] − ε ≤ λn [(aε , b]] " # [ n ε ε =λ (ak , bk ] ∩ (a , b] k∈K

76

Kapitel 5. Fortsetzung von Maßen

≤

h i λn (ak , bεk ] ∩ (aε , b]

X k∈K

≤

X

λn [(ak , bεk ]]

k∈K

≤ ≤ =

X³

λn [(ak , bk ]] + ε/2k

´

k∈K ∞ X

λn [(ak , bk ]] + ε

k=1 ∞ X

λn [Jk ] + ε

k=1

Da ε ∈ (0, ∞) beliebig war, folgt daraus n

λ [J] ≤

∞ X

λn [Jk ]

k=1 n

Damit ist gezeigt, dass der Inhalt λ σ–subadditiv und S damit ein Maß ist. Wir zeigen abschließend, dass λn σ–endlich ist. Es gilt k∈N (−k1, k1] = Rn und f¨ ur alle k ∈ N gilt (−k1, k1] ∈ J (Rn ) und λn [(−k1, k1]] = (2k)n < ∞. Damit ist gezeigt, dass λn σ–endlich ist. 2 5.5.4 Satz. Die Mengenfunktion λn besitzt eine eindeutige Fortsetzung zu einem Maß auf B(Rn ) und die Fortsetzung ist σ–endlich. Beweis. Nach Lemma 5.5.3 ist die Mengenfunktion λn : J (Rn ) → [0, ∞] ein σ–endliches Maß. Da das Mengensystem J (Rn ) ein Halbring ist, folgt die Behauptung aus dem Satz von Caratheodory. 2 Das nach dem letzten Satz eindeutig bestimmte Maß B(Rn ) → [0, ∞], das die Mengenfunktion λn : J (Rn ) → [0, ∞] fortsetzt, heißt (n–dimensionales) Lebesgue–Maß und wird wieder mit λn bezeichnet. Im Fall n = 1 schreiben wir λ anstelle von λ1 . Das Lebesgue–Maß ist σ–endlich, aber es ist nicht endlich, denn es gilt λn [Rn ] = ∞. 5.5.5 Folgerung. F¨ ur alle a, b ∈ Rn und f¨ ur jede Menge B ∈ B(Rn ) mit n n (a, b) ⊆ B ⊆ [a, b] gilt λ [B] = λ [(a, b]].

5.5 Lebesgue–Maß

77

Beweis. Im Fall (a, b) = ∅ gilt (a, b] = ∅ und damit λn [(a, b)] = 0 = λn [(a, b]] Im Fall (a, b) 6= ∅ gibt es eine monoton wachsende Folge {bk }k∈N ⊆ (a, b) mit b = supk∈N bk . S Dann ist {(a, bk ]}k∈N eine monoton wachsende Folge in B(Rn ) mit (a, b) = k∈N (a, bk ] und es gilt λn [(a, b)] = sup λn [(a, bk ]] = sup k∈N

n Y

k∈N i=1

(bki − ai ) =

n Y

(bi − ai ) = λn [(a, b]]

i=1

In beiden F¨ allen gibt es eine monoton wachsende Folge {ak }k∈N ⊆ R mit a = supk∈N aTk . Dann ist {(ak , b]}k∈N eine monoton fallende Folge in B(Rn ) mit [a, b] = k∈N (ak , b] und wegen λn [(a1 , b]] < ∞ gilt λn [[a, b]] = inf λn [(ak , b]] = inf k∈N

k∈N

n Y

(bi −aki ) =

i=1

n Y

(bi −ai ) = λn [(a, b]]

i=1

Daher gilt λn [(a, b)] = λn [(a, b]] = λn [[a, b]] und die Behauptung folgt aus der Monotonie von λn .

2

Die folgenden Ergebnisse sind nun evident: 5.5.6 Folgerung. F¨ ur alle x ∈ Rn gilt λn [{x}] = 0. 5.5.7 Folgerung. F¨ ur jede abz¨ ahlbare Menge B ⊆ Rn gilt λn [B] = 0. Wir geben abschließend ein Beispiel f¨ ur eine λ–Nullmenge, die nicht abz¨ ahlbar ist: 5.5.8 Beispiel (Cantor–Menge). Sei Z das System aller Teilmengen von [0, 1], die als Vereinigung von endlich vielen disjunkten abgeschlossenen (und nichtleeren) Intervallen dargestellt werden k¨ onnen, und sei Ψ : Z → Z gegeben durch Ãm ! ÷ ¸ · ¸! m X X 2ai + bi ai + 2bi Ψ [ai , bi ] := ai , + , bi 3 3 i=1 i=1 Dann gilt Z ⊆ B(R) und die Abbildung Ψ ist wohldefiniert. F¨ ur alle A ∈ Z gilt Ψ(A) ⊆ A und λ[Ψ(A)] =

2 λ[A] 3

F¨ ur alle n ∈ N sei Cn := Ψn ([0, 1])

78

Kapitel 5. Fortsetzung von Maßen

Dann ist {Cn }n∈N eine monoton fallende Folge in B(R) und es gilt µ ¶n 2 λ[Cn ] = 3 Sei C :=

\

Cn

n∈N

Dann gilt C ∈ B(R) sowie C 6= ∅ und λ[C] = 0 Die Menge C heißt Cantor–Menge. Wir zeigen in Beispiel 12.1.14, dass die Cantor– Menge nicht abz¨ ahlbar ist.

Aufgaben 5.5.A

Vervollst¨ andigung: Das n–dimensionale Lebesgue–Maß besitzt eine eindeutige Fortsetzung zu einem vollst¨ andigen Maß auf F ((λn )∗ ). Die Fortsetzung ist σ–endlich.

5.5.B

Cantor–Menge:. Die Cantor–Menge ist kompakt.

6 Transformation von Maßen

In diesem Kapitel behandeln wir die Transformation von Maßen unter messbaren Abbildungen und insbesondere die Transformation des Lebesgue–Maßes unter einer affinen Abbildung im Euklidischen Raum. Als erstes zeigen wir, dass eine messbare Abbildung jedem Maß auf ihrem Definitionsbereich ein Maß auf ihrem Bildbereich zuordnet; dies ist ein grundlegendes Ergebnis, das gleichzeitig die Bedeutung der Messbarkeit beleuchtet (Abschnitt 6.1). Als n¨achstes betrachten wir die Translationsinvarianz von Maßen auf der Borelschen σ–Algebra des Euklidischen Raumes und erhalten einerseits eine Charakterisierung des Lebesgue–Maßes unter den translationsinvarianten Maßen und andererseits die Aussage, dass das Lebesgue–Maß nicht zu einem translationsinvarianten Maß auf der Potenzmenge des Euklidischen Raumes fortgesetzt werden kann (Abschnitt 6.2). Abschließend bestimmen wir das Bild des Lebesgue–Maßes unter einer linearen oder affinen Abbildung des Euklidischen Raumes (Abschnitt 6.3).

6.1 Bildmaße Sind (Ω, F ) und (Ω0 , F 0 ) Messr¨aume und ist f : Ω → Ω0 messbar, so ist wegen f −1 (F 0 ) ⊆ F f¨ ur jede Mengenfunktion µ : F → [0, ∞] die Mengenfunktion µf : F 0 → [0, ∞] mit µf [A0 ] := µ[f −1 (A0 )] wohldefiniert. Ist µ ein Maß, so heißt µf das Bildmaß von µ unter f ; diese Bezeichnung wird durch das folgende Lemma gerechtfertigt: 6.1.1 Lemma. Seien (Ω, F) und (Ω0 , F 0 ) Messr¨ aume und sei f : Ω → Ω0 messbar. Dann ist f¨ ur jedes Maß µ : F → [0, ∞] auch µf ein Maß. K.D. Schmidt, Maß und Wahrscheinlichkeit, 2. Aufl., Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-21026-6_6, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

80

Kapitel 6. Transformation von Maßen

Beweis. Es gilt µf [∅] = µ[f −1 (∅)] = µ[∅] = 0 und f¨ ur jede disjunkte Folge {A0k }k∈N ⊆ F 0 gilt "∞ # " Ã∞ !# X X 0 −1 0 µf Ak = µ f Ak k=1

" =µ

k=1 ∞ X

#

f −1 (A0k )

k=1

= =

∞ X k=1 ∞ X

µ[f −1 (A0k )] µf [A0k ]

k=1

Daher ist µf ein Maß.

2

Lemma 6.1.1 zeigt, dass die Messbarkeit einer Abbildung zwischen zwei Messr¨ aumen es der Abbildung erm¨oglicht, ein Maß von ihrem Definitionsbereich in ihren Bildbereich zu transportieren. Das folgende Lemma zeigt, dass das Bildmaß einer Komposition von messbaren Abbildungen iterativ bestimmt werden kann: 6.1.2 Lemma. Seien (Ω, F), (Ω0 , F 0 ) und (Ω00 , F 00 ) Messr¨aume und seien f : Ω → Ω0 und g : Ω0 → Ω00 messbar. Dann gilt f¨ ur jedes Maß µ : F → [0, ∞] µ(g◦f ) = (µf )g Beweis. Mit f und g ist auch g ◦ f messbar und f¨ ur alle A00 ∈ F 00 gilt µ(g◦f ) [A00 ] = µ[(g ◦ f )−1 (A00 )] = µ[f −1 (g −1 (A00 ))] = µf [g −1 (A00 )] = (µf )g [A00 ] Damit ist die Behauptung gezeigt.

2

6.2 Translationsinvariante Maße auf B(Rn ) F¨ ur c ∈ Rn heißt die Abbildung Tc : Rn → Rn mit Tc (x) := c + x Translation bez¨ uglich c. Jede Translation ist bijektiv mit Tc−1 = T−c und sie ist stetig und damit messbar.

6.2 Translationsinvariante Maße auf B(Rn )

81

Ein Maß µ : B(Rn ) → [0, ∞] heißt translationsinvariant, wenn f¨ ur alle c ∈ Rn µTc = µ gilt. 6.2.1 Lemma. F¨ ur ein Maß µ : B(Rn ) → [0, ∞] sind folgende Aussagen aquivalent: ¨ (a) µ ist translationsinvariant. (b) F¨ ur alle c ∈ Rn und B ∈ B(Rn ) gilt µ[c+B] = µ[B]. Beweis. Sei µ translationsinvariant. Dann gilt f¨ ur alle c ∈ Rn und B ∈ B(Rn ) −1 µ[c+B] = µ[Tc (B)] = µ[T−c (B)] = µT−c [B] = µ[B]

Gilt andererseits f¨ ur alle c ∈ Rn und B ∈ B(Rn ) die Gleichung µ[c+B] = µ[B], so erh¨ alt man µTc [B] = µ[Tc−1 (B)] = µ[T−c (B)] = µ[−c+B] = µ[B] und damit µTc = µ f¨ ur alle c ∈ Rn .

2

Wir wenden uns nun dem Lebesgue–Maß zu: 6.2.2 Satz. Das Lebesgue–Maß ist translationsinvariant. Beweis. Das Mengensystem J (Rn ) ist ein ∩–stabiler Erzeuger der Borelschen σ–Algebra B(Rn ) und die Restriktion λn |J (Rn ) des Lebesgue–Maßes auf J (Rn ) ist σ–endlich. Wir zeigen nun, dass f¨ ur alle c ∈ Rn λnTc |J (Rn ) = λn |J (Rn ) gilt. Aus dem Eindeutigkeitssatz folgt dann λnTc = λn . Sei also c ∈ Rn . Dann gilt λnTc [∅] = 0 = λn [∅], und f¨ ur alle a, b ∈ Rn mit a < b gilt λnTc [(a, b]] = λn [Tc−1 ((a, b])] = λn [(a−c, b−c]] n ³ ´ Y = (bi −ci ) − (ai −ci ) =

i=1 n Y

(bi −ai )

i=1

= λn [(a, b]] Damit ist die Behauptung gezeigt.

2

82

Kapitel 6. Transformation von Maßen

Wir zeigen nun, dass das Lebesgue–Maß unter allen translationsinvarianten Maßen auf B(Rn ) durch eine einfache Normierungsbedingung ausgezeichnet ist. 6.2.3 Lemma. Sei µ : B(Rn ) → [0, ∞] ein translationsinvariantes Maß mit µ[(0, 1]] < ∞. Dann gilt µ = µ[(0, 1]] · λn Beweis. F¨ ur m ∈ N betrachten wir die Familie ¯ (n µ ) Y ki − 1 ki ¸ ¯¯ Wm := , ¯ k1 , . . . , kn ∈ {1, . . . , m} m m ¯ i=1 Da µ translationsinvariant ist und jeder der mn W¨ urfel der Familie Wm durch Translation aus jedem anderen W¨ urfel der Familie Wm gewonnen werden kann, gibt es ein cm ∈ [0, ∞] derart, dass f¨ ur alle W ∈ Wm µ[W ] = cm gilt. Andererseits gilt f¨ ur alle W ∈ Wm λn [W ] =

1 mn

Da µ ein Maß ist und die disjunkte Vereinigung aller W¨ urfel aus Wm mit dem Intervall (0, 1] u ¨ bereinstimmt, erh¨alt man " # X X n m cm = µ[W ] = µ W = µ[(0, 1]] = c1 W ∈Wm

W ∈Wm

Daher gilt f¨ ur alle W ∈ Wm µ[W ] = cm = c1

1 = c1 λn [W ] mn

F¨ ur m ∈ N betrachten wir nun die Familie ¯ ½ ¾ ¯ 1 Vm := (a, b] ∈ J (Rn ) ¯¯ bi −ai = f¨ ur alle i ∈ {1, . . . , n} m Unter nochmaliger Verwendung der Translationsinvarianz von µ erhalten wir f¨ ur alle V ∈ Vm µ[V ] = c1 λn [V ] Da sich jede Menge aus J (Qn ) als Vereinigung einer endlichen disjunkten Familie von Mengen aus Vm mit hinreichend großem m ∈ N darstellen l¨ asst, gilt auch f¨ ur alle J ∈ J (Qn )

6.2 Translationsinvariante Maße auf B(Rn )

83

µ[J] = c1 λn [J] Es gilt also µ|J (Qn ) = c1 λn |J (Qn ) Außerdem ist λn |J (Qn ) σ–endlich und das Mengensystem J (Qn ) ist ein Halbring mit σ(J (Qn )) = B(Rn ); vgl. Aufgabe 1.5.D. Aus dem Eindeutigkeitssatz folgt nun µ|B(Rn ) = c1 λn |B(Rn ) Damit ist das Lemma bewiesen.

2

Ein analoges Ergebnis erh¨alt man, wenn man den halboffenen W¨ urfel (0, 1] durch den abgeschlossenen W¨ urfel [0, 1] ersetzt: 6.2.4 Folgerung. Sei µ : B(Rn ) → [0, ∞] ein translationsinvariantes Maß mit µ[[0, 1]] < ∞. Dann gilt µ = µ[[0, 1]] λn Beweis. Wegen µ[(0, 1]] ≤ µ[[0, 1]] < ∞ folgt aus Lemma 6.2.3 µ = µ[(0, 1]] λn Aus Folgerung 5.5.5 ergibt sich ferner λn [[0, 1]] = λn [(0, 1]] = 1. Dann gilt aber µ[[0, 1]] = µ[(0, 1]] · λn [[0, 1]] = µ[(0, 1]] und damit µ = µ[[0, 1]] λn Damit ist die Folgerung bewiesen.

2

Damit gelangen wir zu der angek¨ undigten Charakterisierung des Lebesgue– Maßes: 6.2.5 Satz. Das Lebesgue–Maß ist das einzige translationsinvariante Maß µ : B(Rn ) → [0, ∞] mit µ[[0, 1]] = 1. Wir zeigen abschließend, dass das Lebesgue–Maß keine translationsinvariante Fortsetzung auf der Potenzmenge des Rn besitzt: 6.2.6 Satz. Das Lebesgue–Maß besitzt keine Fortsetzung zu einem transn lationsinvarianten Maß auf 2R . ¨ Beweis. F¨ ur x, y ∈ Rn sei x ∼ y falls x−y ∈ Qn . Dann ist ∼ eine Aquivalenzn ¨ relation auf R und wir bezeichnen die Menge aller Aquivalenzklassen von Rn

84

Kapitel 6. Transformation von Maßen

¨ bez¨ uglich ∼ mit Rn /∼ . Da jede Aquivalenzklasse in Rn /∼ ein Element in (0, 1] ¨ enth¨ alt, bilden die Durchschnitte der Aquivalenzklassen in Rn /∼ mit (0, 1] eine disjunkte Familie von nichtleeren Teilmengen von (0, 1], deren Vereinigung gleich (0, 1] ist. Nach dem Auswahlaxiom gibt es eine Menge Z ⊆ (0, 1] derart, dass Z aus ¨ jeder Aquivalenzklasse von Rn /∼ (bzw. aus ihrem Durchschnitt mit (0, 1]) genau ein Element enth¨alt. Dann gilt X X X X X X Rn = (z + Qn ) = {z + q} = {q + z} = (q + Z) z∈Z q∈Qn

z∈Z

q∈Qn z∈Z

q∈Qn

und wegen Z ⊆ (0, 1] gilt X

(q+Z) ⊆ (0, 2]n

q∈Qn ∩ (0,1] n

Wir nehmen nun an, dass es ein translationsinvariantes Maß µ : 2R → [0, ∞] mit µ|B(Rn ) = λn gibt. Dann gilt f¨ ur alle q ∈ Qn µ[q+Z] = µ[Z] Aus

X

X

µ[Z] =

q∈Qn ∩ (0,1]

µ[q+Z] ≤ µ[(0, 2]n ] = λn [(0, 2]n ] < ∞

q∈Qn ∩ (0,1]

folgt µ[Z] = 0 und damit λn [Rn ] = µ[Rn ] =

X

µ[q+Z] =

q∈Qn

X

µ[Z] = 0

q∈Qn

Dies ist ein Widerspruch.

2

Da das Lebesgue–Maß nach Satz 6.2.2 ein translationsinvariantes Maß auf der Borelschen σ–Algebra B(Rn ) ist, ergibt sich aus dem letzten Satz die folgende offensichtliche Folgerung: n

6.2.7 Folgerung. Es gilt B(Rn ) 6= 2R . Die letzten Ergebnisse zeigen, dass es nicht immer m¨ oglich ist, ein Maß mit gewissen zus¨ atzlichen Eigenschaften auf der Potenzmenge der Grundmenge zu definieren. Dies ist einer der Gr¨ unde daf¨ ur, Maße zu betrachten, die auf einer σ–Algebra oder einem allgemeineren Mengensystem definiert sind. Aufgabe 6.2.A

Hyperebenen: Eine Menge H ⊆ Rn heißt Hyperebene des Rn , wenn es einen Unterraum E ⊆ Rn und einen Vektor d ∈ Rn gibt mit dim(E) ≤ n−1 und H = d + E. F¨ ur jede Hyperebene H ⊆ Rn gilt λn [H] = 0.

6.3 Lineare Abbildungen des Lebesgue–Maßes

85

6.3 Lineare Abbildungen des Lebesgue–Maßes Das folgende Ergebnis zeigt, dass das Bildmaß des Lebesgue–Maßes λn unter einer invertierbaren linearen Abbildung Rn → Rn sich nur um einen strikt positiven Faktor vom Lebesgue–Maß λn unterscheidet. 6.3.1 Satz. Sei T : Rn → Rn gegeben durch T (x) := Dx mit einer invertierbaren Matrix D ∈ Rn×n . Dann gilt λnT =

1 λn | det(D)|

Beweis. Wir zeigen, dass das Maß λnT translationsinvariant ist mit λnT [(0, 1]] =

1 | det(D)|

Aus Lemma 6.2.3 folgt dann die Behauptung des Satzes. (1) Das Maß λnT ist translationsinvariant: Da λn translationsinvariant ist, gilt nach Lemma 6.2.1 f¨ ur alle c ∈ Rn und n B ∈ B(R ) λnT [c+B] = λn [T −1 (c+B)] = λn [T −1 (c)+T −1 (B)] = λn [T −1 (B)] = λnT [B] und aus demselben Lemma folgt nun, dass λnT translationsinvariant ist. (2) Es gilt λnT [(0, 1]] = | det(D)|−1 : Sei n ≥ 3 und f¨ ur k ∈ N sei W k := (0, 1]k Wir zeigen, dass f¨ ur jede invertierbare Matrix D ∈ Rn×n λn [D−1 (W n )] =

1 | det(D)|

gilt. Wir betrachten zun¨achst drei Spezialf¨alle: – Sei D eine Permutationsmatrix. Dann gilt einerseits | det(D)| = 1 und andererseits D−1 (W n ) = W n und damit λn [D−1 (W n )] = λn [W n ] = 1. Daher gilt λn [D−1 (W n )] =

1 | det(D)|

86

–

Kapitel 6. Transformation von Maßen

Sei D eine Elementarmatrix der Form ¶  µ c 0 O  D= 0 1 O I mit c ∈ R \ {0}. Dann gilt | det(D)| = |c| 6= 0 und wegen  µ −1 ¶  c 0 O −1   0 1 D = O I gilt ( D

−1

n

(W ) =

(0, c−1 ] × W n−1 −1

[c

, 0) × W

n−1

falls c > 0 falls c < 0

und damit λn [D−1 (W n )] = |c−1 | = |c|−1 . Daher gilt λn [D−1 (W n )] = –

1 | det(D)|

Wir betrachten abschließend die Elementarmatrix ¶  µ 1 1 O  D= 0 1 O I Dann gilt | det(D)| = 1 und µ D−1 = 

1 −1 0 1 O

¶

 O



I

Zur Bestimmung von D−1 (W n ) betrachten wir die Matrix µ ¶ 1 1 D2 := 0 1 und ihre Inverse µ D−1 2 =

1 −1 0 1

¶

Dann gilt 2 n−2 D−1 (W n ) = D−1 (W 2 × W n−2 ) = D−1 2 (W ) × W

6.3 Lineare Abbildungen des Lebesgue–Maßes

87

2 Zur Bestimmung von D−1 2 (W ) betrachten wir die Vektoren µ ¶ −1 a1 := 1 µ ¶ 0 a2 := 1 µ ¶ 1 a3 := 1 µ ¶ 0 a4 := 0 µ ¶ 1 a5 := 0

und die Mengen ³ ´ A1 := cx({a1 , a2 , a4 }) \ cx({a1 , a4 }) ³ ³ ´´ A2 := cx({a2 , a4 , a5 }) \ cx({a2 , a4 }) ∪ cx({a4 , a5 }) ³ ´ A3 := cx({a2 , a3 , a5 }) \ cx({a2 , a5 }) ³ ´ A4 := cx({a2 , a3 , a4 }) \ cx({a2 , a4 }) ³ ³ ´´ A5 := cx({a3 , a4 , a5 }) \ cx({a3 , a4 }) ∪ cx({a4 , a5 }) (wobei cx(A) die konvexe H¨ ulle einer Menge A bezeichnet). Dann gilt A1 , A2 , A3 , A4 , A5 ∈ B(R2 ) sowie A1 ∩ A2 = A2 ∩ A3 = A4 ∩ A5 = ∅ und A2 + A3 = W 2 = A4 + A5 Wegen D−1 2 a2 = a1 D−1 2 a3 = a2 D−1 2 a4 = a4 D−1 2 a5 = a5 gilt D−1 2 (A4 ) = A1 D−1 2 (A5 ) = A2 und damit −1 −1 2 D−1 2 (W ) = D2 (A4 ) + D2 (A5 ) = A1 + A2

88

Kapitel 6. Transformation von Maßen

Daher gilt 2 n−2 D−1 (W n ) = D−1 = A1 × W n−2 + A2 × W n−2 2 (W ) × W

Da A1 durch Translation aus A3 hervorgeht, geht auch A1 × W n−2 durch Translation aus A3 × W n−2 hervor. Aus der letzten Gleichung und der Translationsinvarianz des Lebesgue–Maßes ergibt sich nun λn [D−1 (W n )] = λn [A1 × W n−2 ] + λn [A2 × W n−2 ] = λn [A3 × W n−2 ] + λn [A2 × W n−2 ] = λn [W 2 × W n−2 ] = λn [W n ] =1 Daher gilt auch in diesem Fall λn [D−1 (W n )] =

1 | det(D)|

Nach Proposition C.1.1 ist jede invertierbare Matrix ein Produkt von Permutationsmatrizen und Elementarmatrizen der vorher betrachteten Art. Aus dem Gezeigten folgt daher, dass f¨ ur jede invertierbare Matrix D ∈ Rn×n λn [D−1 (W n )] =

1 | det(D)|

gilt. Damit ist (2) f¨ ur n ≥ 3 gezeigt. F¨ ur n = 2 verl¨ auft der Beweis von (2) analog, und f¨ ur n = 1 ist (2) trivial. 2 Die S¨ atze 6.2.2 und 6.3.1 lassen sich nun wie folgt zusammenfassen: 6.3.2 Folgerung. Sei T : Rn → Rn gegeben durch T (x) := c + Dx n

mit c ∈ R und einer invertierbaren Matrix D ∈ Rn×n . Dann gilt λnT =

1 λn | det(D)|

Ist D eine Orthogonalmatrix, so gilt λnT = λn . Beweis. Sei S : Rn → Rn gegeben durch S(x) := Dx und sei Tc die Translation bez¨ uglich c. Dann gilt T = Tc ◦ S. Aus Satz 6.3.1 und der Translationsinvarianz des Lebesgue–Maßes folgt nun µ ¶ ¡ ¢ 1 1 1 λnT = λnTc ◦S = λnS T = λn = λnTc = λn c | det(D)| | det(D)| | det(D)| Tc Damit ist die Folgerung bewiesen.

2

Die letzte Aussage der Folgerung wird als Bewegungsinvarianz des Lebesgue– Maßes bezeichnet.

Teil III

Integrationstheorie

7 Messbare Funktionen

Sei Ω eine nichtleere Menge. Eine Abbildung f : Ω → R heißt reelle Funk¯ heißt numerische Funktion. Jede reelle tion und eine Abbildung f : Ω → R Funktion ist eine numerische Funktion. Das eigentliche Interesse gilt reellen Funktionen. Da aber das Infimum und das Supremum einer Folge von reellen Funktionen im allgemeinen keine reelle Funktion sondern nur eine numerische Funktion ist, ist es erforderlich, auch numerische Funktionen zu betrachten. ¯ der erweiterten reellen Neben den u ¨blichen Rechenregeln auf der Menge R Zahlen verwenden wir die in der Integrationstheorie u ¨blichen Konventionen (±∞) · 0 := 0 und 0 · (±∞) := 0. F¨ ur numerische Funktionen betrachten wir im folgenden stets die punktweise definierte Addition, die punktweise definierte Multiplikation und die punktweise definierte Ordnungsrelation. F¨ ur numerische Funktionen f und g setzen wir f ∨ g := max{f, g} f ∧ g := min{f, g} und f + := f ∨ 0 f − := (−f ) ∨ 0 |f | := f ∨ (−f ) Dann gilt f = f + − f − und |f | = f + + f − . K.D. Schmidt, Maß und Wahrscheinlichkeit, 2. Aufl., Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-21026-6_7, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

92

Kapitel 7. Messbare Funktionen

F¨ ur eine Folge {fn }n∈N von numerischen Funktionen heißt die Funktion lim inf fn := sup inf fk n→∞

n∈N k∈N(n)

der Limes inferior der Folge {fn }n∈N und die Funktion lim sup fn := inf sup fk n∈N k∈N(n)

n→∞

heißt der Limes superior der Folge {fn }n∈N , und wir nennen die Folge (punktweise) konvergent, wenn lim inf n→∞ fn = lim supn→∞ fn gilt. In diesem Kapitel betrachten wir zun¨achst verschiedene Klassen messbarer Funktionen auf einem Messraum und untersuchen ihre Struktureigenschaften (Abschnitt 7.1). Wir gehen dann zu einem Maßraum u ¨ ber, der durch die Festlegung eines Maßes auf dem Messraum entsteht, und betrachten fast u ¨ber¨ all bestehende Eigenschaften messbarer Funktionen und die Bildung von Aquivalenzklassen bez¨ uglich des Maßes (Abschnitt 7.2).

7.1 Messbare Funktionen auf einem Messraum Im gesamten Abschnitt sei (Ω, F) ein Messraum. Wir betrachten zun¨achst numerische Funktionen. Eine numerische Funktion ¯ heißt F–messbar oder kurz messbar , wenn sie F –B(R)–messbar ist. 7.1.1 Beispiele. ¯ ist die konstante Funktion f : Ω → R ¯ mit (1) Konstante Funktion: F¨ ur c ∈ R f (ω) := c messbar. ¯ gilt In der Tat: F¨ ur alle B ∈ B(R) f

−1

(B) =

½

Ω ∅

falls c ∈ B sonst

und damit f −1 (B) ∈ F . ¯ mit (2) Indikatorfunktion: F¨ ur A ∈ 2Ω heißt die Funktion χA : Ω → R ½ 1 falls ω ∈ A χA (ω) := 0 sonst Indikatorfunktion von A. Die Indikatorfunktion χA ist genau dann messbar, wenn A ∈ F gilt. ¯ gilt In der Tat: F¨ ur alle B ∈ B(R)  Ω falls 0 ∈ B und 1 ∈ B    A falls 0 ∈ / B und 1 ∈ B −1 χA (B) = Ω \ A falls 0 ∈ B und 1 ∈ /B    ∅ falls 0 ∈ / B und 1 ∈ /B Daraus folgt die Behauptung.

7.1 Messbare Funktionen auf einem Messraum

93

¯ und a, b, c ∈ R ¯ setzen wir F¨ ur eine numerische Funktion f und f¨ ur B ∈ B(R) {f ∈ B} := {ω ∈ Ω | f (ω) ∈ B} {f ∈ / B} := {ω ∈ Ω | f (ω) ∈ / B} und {a < f < b} := {ω ∈ Ω | a < f (ω) < b} {a < f ≤ b} := {ω ∈ Ω | a < f (ω) ≤ b} {a ≤ f < b} := {ω ∈ Ω | a ≤ f (ω) < b} {a ≤ f ≤ b} := {ω ∈ Ω | a ≤ f (ω) ≤ b} sowie {f < c} := {ω ∈ Ω | f (ω) < c} {f ≤ c} := {ω ∈ Ω | f (ω) ≤ c} {f = c} := {ω ∈ Ω | f (ω) = c} {f = 6 c} := {ω ∈ Ω | f (ω) 6= c} {f ≥ c} := {ω ∈ Ω | f (ω) ≥ c} {f > c} := {ω ∈ Ω | f (ω) > c} Die Messbarkeit einer numerischen Funktion l¨asst sich wie folgt charakterisieren: 7.1.2 Satz. F¨ ur eine numerische Funktion f sind folgende Aussagen ¨ aquivalent: (a) f ist messbar. (b) F¨ ur alle c ∈ R gilt {f ≤ c} ∈ F. (c) F¨ ur alle c ∈ R gilt {f < c} ∈ F. (d) F¨ ur alle c ∈ R gilt {f ≥ c} ∈ F. (e) F¨ ur alle c ∈ R gilt {f > c} ∈ F. In diesem Fall gilt {f = c} ∈ F und {f 6= c} ∈ F f¨ ur alle c ∈ R. Beweis. Wir nehmen zun¨achst an, dass (a) gilt. F¨ ur alle c ∈ R gilt dann ¯ ⊆F {f ≤ c} = f −1 ([−∞, c]) ∈ f −1 (B(R)) Daher folgt (b) aus (a). Wir nehmen nun an, dass (b) gilt. F¨ ur das Mengensystem ¯ n o ¯ E¯ = [−∞, c] ¯ c ∈ R ¯ vgl. Aufgabe 1.5.N. F¨ ¯ = B(R); gilt σ(E) ur alle c ∈ R gilt nach Voraussetzung ¯ ⊆ F und sodann f −1 ([−∞, c]) = {f ≤ c} ∈ F. Daraus folgt zun¨ achst f −1 (E) ¯ = f −1 (σ(E)) ¯ = σ(f −1 (E)) ¯ ⊆F f −1 (B(R)) Daher folgt (a) aus (b).

94

Kapitel 7. Messbare Funktionen

¨ Die Aquivalenz von (b), (c), (d), (e) ergibt sich nun aus den Gleichungen {f < c} =

[½ n∈N

1 f ≤c− n

¾

{f ≥ c} = Ω \ {f < c} ¾ [½ 1 {f > c} = f ≥c+ n n∈N

{f ≤ c} = Ω \ {f > c} und die abschließende Behauptung ergibt sich aus den Gleichungen {f = c} = {f ≤ c} \ {f < c} {f 6= c} = Ω \ {f = c} Damit ist der Satz gezeigt.

2

Wir ziehen nun erste Folgerungen aus Satz 7.1.2: 7.1.3 Folgerung. Seien f und g messbare numerische Funktionen und sei ¯ Dann sind die Funktionen af sowie f ∨ g und f ∧ g messbar. Insbea ∈ R. sondere sind die Funktionen f + , f − , |f | messbar. Beweis. Im Fall a = 0 gilt af = 0 und die Messbarkeit von af ist klar; analog argumentiert man in den F¨allen a = ∞ und a = −∞. Im Fall a ∈ (0, ∞) erh¨ alt man f¨ ur alle c ∈ R aus der Messbarkeit von f und Satz 7.1.2 zun¨ achst {af ≤ c} = {f ≤ c/a} ∈ F und durch nochmalige Anwendung von Satz 7.1.2 die Messbarkeit von af ; analog argumentiert man im Fall a ∈ (−∞, 0). F¨ ur alle c ∈ R gilt ferner {f ∨ g ≤ c} = {f ≤ c} ∩ {g ≤ c} {f ∧ g ≥ c} = {f ≥ c} ∩ {g ≥ c} und wie vorher folgt aus Satz 7.1.2 die Messbarkeit von f ∨ g und f ∧ g. Aus dem bereits gezeigten folgt nun die Messbarkeit von f + , f − , |f |. 2 Die Summe von zwei numerischen Funktionen ist unter Umst¨ anden nicht auf der gesamten Grundmenge Ω definiert. Sind jedoch f, g, h numerische Funktionen mit h = f + g, so l¨asst sich zeigen, dass aus der Messbarkeit von f und g die Messbarkeit von h folgt; vgl. Folgerung 7.1.15. Wir betrachten nun Folgen von messbaren numerischen Funktionen:

7.1 Messbare Funktionen auf einem Messraum

95

7.1.4 Folgerung. Sei {fn }n∈N eine Folge von messbaren numerischen Funktionen. Dann gilt: (1) Die Funktionen supn∈N fn und inf n∈N fn sind messbar. (2) Die Funktionen lim inf n→∞ fn und lim supn→∞ fn sind messbar. (3) Ist f eine numerische Funktion und ist die Folge {fn }n∈N konvergent mit f = limn→∞ fn , so ist f messbar. Beweis. Die Messbarkeit von supn∈N fn und inf n∈N fn zeigt man genau wie im Beweis von Folgerung 7.1.3. Wegen lim inf fn = sup inf fk n→∞

n∈N k∈N(n)

lim sup fn = inf sup fk n→∞

n∈N k∈N(n)

sind auch lim inf n→∞ fn und lim supn→∞ fn messbar. Ist schließlich f eine numerische Funktion und die Folge {fn }n∈N konvergent mit f = limn→∞ fn , so gilt f = lim inf n→∞ fn = lim supn→∞ fn und damit ist f messbar. 2 F¨ ur numerische Funktionen f und g setzen wir {f < g} := {ω ∈ Ω | f (ω) < g(ω)} {f ≤ g} := {ω ∈ Ω | f (ω) ≤ g(ω)} {f = g} := {ω ∈ Ω | f (ω) = g(ω)} {f 6= g} := {ω ∈ Ω | f (ω) 6= g(ω)} {f ≥ g} := {ω ∈ Ω | f (ω) ≥ g(ω)} {f > g} := {ω ∈ Ω | f (ω) > g(ω)} Auch diese Mengen sind messbar, wenn f und g messbar sind: 7.1.5 Folgerung. Seien f und g messbare numerische Funktionen. Dann gilt {f < g}, {f ≤ g}, {f = g}, {f 6= g}, {f ≥ g}, {f > g} ∈ F. S Beweis. Nach Satz 7.1.2 gilt {f < g} = q∈Q {f < q} ∩ {q < g} ∈ F und damit {f ≥ g} = Ω \ {f < g} ∈ F, und aus Symmetriegr¨ unden gilt dann auch {f > g} ∈ F und {f ≤ g} ∈ F, und damit {f = g} = {f ≤ g} ∩ {f ≥ g} ∈ F und {f 6= g} = Ω \ {f = g} ∈ F. 2 Wir betrachten nun reelle Funktionen. Eine reelle Funktion heißt F–messbar oder kurz messbar , wenn sie F–B(R)–messbar ist. Aus der in Beispiel 1.2.6 ¯ angegebenen Beziehung zwischen den Borelschen σ–Algebren B(R) und B(R) erkennt man, dass eine reelle Funktion genau dann F –B(R)–messbar ist, wenn sie, aufgefasst als eine numerische Funktion, die die Werte +∞ und −∞ nicht ¯ annimmt, F –B(R)–messbar ist.

96

Kapitel 7. Messbare Funktionen

7.1.6 Lemma. Seien f und g messbare reelle Funktionen. Dann sind auch die Funktionen f + g und f g messbar. Beweis. Nach Beispiel 3.3.1 gilt B(R2 ) = B(R) ⊗ B(R). Daher folgt aus der Messbarkeit von f und g die Messbarkeit der Funktion H : Ω → R2 mit µ ¶ f (ω) H(ω) := g(ω) Da sowohl die Addition + : R2 → R als auch die Multiplikation · : R2 → R stetig und damit messbar ist und da nach Lemma 2.3.4 die Komposition von messbaren Abbildungen messbar ist, sind auch die Funktionen f + g und f g messbar. 2 Sei nun ¯ n o ¯ L0 (F) := f : Ω → R ¯ f ist F –messbar Dann lassen sich die wichtigsten Stabilit¨atseigenschaften der Familie der messbaren reellen Funktionen wie folgt zusammenfassen: 7.1.7 Satz. L0 (F) ist ein Vektorverband. Beweis. Aus Lemma 7.1.6 und Folgerung 7.1.3 ergibt sich zun¨ achst, dass die messbaren reellen Funktionen einen Vektorraum bilden. F¨ ur alle messbaren reellen Funktionen f, g, h mit f ≤ g und f¨ ur alle a ∈ R+ gilt f +h ≤ g +h und af ≤ ag. Daher bilden die messbaren reellen Funktionen einen geordneten Vektorraum. F¨ ur alle messbaren reellen Funktionen f, g sind nach Folgerung 7.1.3 auch f ∨ g und f ∧ g messbare reelle Funktionen. F¨ ur jede messbare reelle Funktion h mit f ≤ h und g ≤ h gilt offenbar f ∨ g ≤ h; damit ist f ∨ g das Supremum von f und g in der Familie aller messbaren reellen Funktionen, und analog zeigt man, dass f ∧ g das Infimum von f und g in der Familie aller messbaren reellen Funktionen ist. Daher bilden die messbaren reellen Funktionen einen Vektorverband. 2 Sei ferner ½ ∞

L (F ) :=

¯ ¾ ¯ ¯ f ∈ L (F) ¯ sup |f (ω)| ≤ c f¨ ur ein c ∈ R ω∈Ω 0

die Familie der beschr¨ankten messbaren reellen Funktionen. 7.1.8 Satz. L∞ (F ) ist ein Vektorverband und ein Ideal in L0 (F ). Wir kommen auf den Raum L∞ (F) erst im n¨ achsten Abschnitt zur¨ uck.

7.1 Messbare Funktionen auf einem Messraum

97

Wir betrachten abschließend eine Familie messbarer reeller Funktionen, die f¨ ur die Integrationstheorie von zentraler Bedeutung ist. Eine reelle Funktion heißt einfach, wenn sie messbar ist und nur endlich viele Werte annimmt. Die wichtigsten Stabilit¨atseigenschaften der Familie der einfachen Funktionen lassen sich wie folgt zusammenfassen: 7.1.9 Satz. Die einfachen Funktionen bilden einen Vektorverband. Beweis. Die Behauptung ergibt sich unmittelbar aus Satz 7.1.7, da sowohl Linearkombinationen als auch das Maximum und das Minimum von zwei einfachen Funktionen nur endlich viele Werte annehmen. 2 Sei f eine einfache Funktion. Dann ist das Bild f (Ω) von f eine endliche Menge und f besitzt die Darstellung X f = aχ{f =a} a∈f (Ω)

Diese Darstellung heißt Standarddarstellung von f . Da f messbar ist, gilt f¨ ur alle a ∈ f (Ω) nach Folgerung 7.1.5 {f = a} ∈ F. Daher ist jede einfache Funktion eine Linearkombination von Indikatorfunktionen von messbaren Mengen; andererseits ist nach Beispiel 7.1.1 und Satz 7.1.9 jede Linearkombination von Indikatorfunktionen von messbaren Mengen eine einfache Funktion. Damit erhalten wir das folgenden Lemma: 7.1.10 Lemma. F¨ ur eine reelle Funktion f sind folgende Aussagen ¨ aquivalent: (a) f ist einfach. (b) Es gibt ein n ∈ N sowie einePFamilie {Ci }i∈{1,...,n} ⊆ F und eine Familie n {ci }i∈{1,...,n} ⊆ R mit f = i=1 ci χCi . Dieses Lemma besitzt ein Analogon f¨ ur positive reelle Funktionen: 7.1.11 Lemma. F¨ ur eine positive reelle Funktion f sind folgende Aussagen aquivalent: ¨ (a) f ist einfach. (b) Es gibt ein n ∈ N sowie eine P Familie {Ci }i∈{1,...,n} ⊆ F und eine Familie n {ci }i∈{1,...,n} ⊆ R+ mit f = i=1 ci χCi . Die Darstellung einer einfachen Funktion durch eine Linearkombination von Indikatorfunktionen von messbaren Mengen ist im allgemeinen nicht eindeutig; dies gilt auch f¨ ur positive einfache Funktionen: 7.1.12 Beispiel. Seien A, B ∈ F und a, b ∈ R+ . Dann gilt f¨ ur alle ω ∈ Ω a χA (ω) + b χB (ω) = a χA\B (ω) + (a+b) χA∩B (ω) + b χB\A (ω) Damit liegen zwei Darstellungen derselben positiven einfachen Funktion vor.

98

Kapitel 7. Messbare Funktionen

Nach Folgerung 7.1.4 ist das Supremum einer monoton wachsenden Folge von positiven einfachen Funktionen eine positive messbare numerische Funktion. Der folgende Satz zeigt, dass andererseits jede positive messbare numerische Funktion als Supremum einer monoton wachsenden Folge von positiven einfachen Funktionen dargestellt werden kann: 7.1.13 Satz (Approximationssatz; positiver Fall). F¨ ur eine positive numerische Funktion f sind folgende Aussagen ¨ aquivalent: (a) f ist messbar. (b) Es gibt eine monoton wachsende Folge {fn }n∈N von positiven einfachen Funktionen mit f = supn∈N fn . Beweis. Es gen¨ ugt zu zeigen, dass (b) aus (a) folgt, denn die umgekehrte Implikation ist wegen Folgerung 7.1.4 klar. Sei also f messbar. F¨ ur n ∈ N und alle k ∈ {0, 1, . . . , 4n } setzen wir ( {k2−n ≤ f < (k+1)2−n } falls k ∈ {0, 1, . . . , 4n − 1} Cn,k := {2n ≤ f } falls k = 4n und f¨ ur n ∈ N definieren wir n

fn :=

4 X

k2−n χCn,k

k=0

Aus der Messbarkeit von f folgt zun¨achst {Cn,k }k∈{0,1,...,4n } ⊆ F und sodann die Messbarkeit von fn . Daher ist fn eine einfache Funktion mit 0 ≤ fn ≤ f , und aus der Gleichung ( Cn+1,2k + Cn+1,2k+1 falls k ∈ {0, 1, . . . , 4n −1} Cn,k = P4n+1 falls k = 4n j=22n+1 Cn+1,j ergibt sich ferner fn ≤ fn+1 . Daher ist {fn }n∈N eine monoton wachsende Folge von positiven einfachen Funktionen mit sup fn ≤ f

n∈N

Sei nun ω ∈ Ω. – Im Fall f (ω) < ∞ gilt f¨ ur alle n ∈ N, die hinreichend groß sind, f (ω) < 2n und damit f (ω) < fn (ω) + 2−n , also f (ω) ≤ supm∈N fm (ω) + 2−n , und damit f (ω) ≤ supm∈N fm (ω). – Im Fall f (ω) = ∞ gilt fn (ω) = 2n f¨ ur alle n ∈ N, und damit f (ω) = ∞ = supn∈N fn (ω). Daher gilt auch f ≤ sup fn n∈N

und damit f = supn∈N fn . Daher folgt (b) aus (a).

2

7.1 Messbare Funktionen auf einem Messraum

99

Aus dem letzten Satz erh¨alt man mit Hilfe der Zerlegung f = f + − f − ein Analogon f¨ ur beliebige numerische Funktionen: 7.1.14 Satz (Approximationssatz; allgemeiner Fall). F¨ ur eine numerische Funktion f sind folgende Aussagen ¨ aquivalent: (a) f ist messbar. (b) Es gibt eine Folge {fn }n∈N von einfachen Funktionen mit f = limn→∞ fn . (c) Es gibt eine Folge {fn }n∈N von einfachen Funktionen mit f = limn→∞ fn und |f | = supn∈N |fn |. Aus dem Approximationssatz folgt, dass die Familie der messbaren numerischen Funktionen unter der Bildung von Summen und Produkten stabil ist: 7.1.15 Folgerung. Seien f, g, h numerische Funktionen mit h = f + g oder h = f g. Sind f und g messbar , so ist auch h messbar. Als eine weitere Anwendung des Approximationssatzes ergibt sich der folgende Faktorisierungssatz, den wir in Kapitel 18 ben¨ otigen: 7.1.16 Satz (Faktorisierungssatz). Sei (Ω0 , F 0 ) ein Messraum und sei g : Ω → Ω0 eine Abbildung und G := σ(g). F¨ ur eine numerische Funktion f sind dann folgende Aussagen ¨ aquivalent: (a) f ist G–messbar. ¯ mit f = h ◦ g. (b) Es gibt eine messbare numerische Funktion h : Ω0 → R Ist f G–messbar und positiv bzw. reell , so kann auch h positiv bzw. reell gew¨ ahlt werden. Beweis. Wir nehmen zun¨achst an, dass f eine positive G–messbare einfache Funktion ist. Dann gibt es eine disjunkte Familie {Gi }i∈{1,...,m} ⊆ G und eine Familie {ai }i∈{1,...,m} ⊆ R+ mit f =

m X

ai χGi

i=1

Nach Definition von G gibt es f¨ ur alle i ∈ {1, . . . , m} eine Menge Hi ∈ F 0 mit −1 Gi = g (Hi ). Sei h :=

m X

ai χHi

i=1

Dann ist h eine positive F 0 –messbare einfache Funktion und f¨ ur alle ω ∈ Ω gilt f (ω) =

m X

ai χGi (ω) =

i=1

und damit f = h ◦ g.

m X i=1

ai χg−1 (Hi ) (ω) =

m X i=1

ai χHi (g(ω)) = h(g(ω))

100

Kapitel 7. Messbare Funktionen

Wir nehmen nun an, dass f eine positive G–messbare numerische Funktion ist. Nach dem Approximationssatz 7.1.13 gibt es eine monoton wachsende Folge von positiven G–messbaren einfachen Funktionen {fn }n∈N mit f = supn∈N fn und nach dem bereits gezeigten gibt es f¨ ur alle n ∈ N eine positive F 0 –messbare einfache Funktion hn mit fn = hn ◦ g. Sei h := supn∈N hn . Dann ist h eine positive F 0 –messbare numerische Funktion und es gilt µ ¶ f = sup fn = sup(hn ◦ g) = sup hn ◦ g = h ◦ g n∈N

n∈N

n∈N

Wir nehmen schließlich an, dass f eine beliebige G–messbare numerische Funktion ist. Dann besitzt f die Zerlegung f = f + − f − und es gibt positive F 0 – messbare numerische Funktionen h1 und h2 mit f + = h1 ◦ g und f − = h2 ◦ g. F¨ ur die Menge H := {h1 < ∞} ∪ {h2 < ∞} gilt g(Ω) ⊆ H und damit f + = (h1 χH ) ◦ g und f − = (h2 χH ) ◦ g. Wegen H ∈ F 0 sind die Funktionen h1 χH und h2 χH F 0 –messbar Damit ist auch die Funktion h := h1 χH − h2 χH F 0 –messbar und es gilt f = f + − f − = (h1 χH ) ◦ g − (h2 χH ) ◦ g = (h1 χH − h2 χH ) ◦ g = h ◦ g Ist f reell, so kann man in der Definition der Funktion h die Menge H durch die Menge H0 := {h1 < ∞} ∩ {h2 < ∞} ersetzen und erh¨ alt eine F 0 –messbare reelle Funktion h0 mit f = h0 ◦ g. 2 Aufgaben 7.1.A

Indikatorfunktion: (1) F¨ ur alle A, B ∈ 2Ω gilt χA∩B = χA χB χA∪B = χA + χB − χA χB χA\B = χA − χA χB χA4B = |χA −χB | Sind A, B disjunkt, so gilt χA+B = χA + χB . (2) F¨ ur alle A, B ∈ 2Ω sind folgende Aussagen ¨ aquivalent: (a) Es gilt B ⊆ A. (b) Es gilt χB ≤ χA . (c) Es gilt χA\B = χA − χB . (3) F¨ ur jede Familie {Ai }i∈I ⊆ 2Ω gilt χTi∈I Ai = inf χAi i∈I

χSi∈I Ai = sup χAi i∈I

Ist die Familie {Ai }i∈I disjunkt, so gilt χPi∈I Ai = (4) F¨ ur jede Folge {An }n∈N ⊆ 2Ω gilt χlim inf n→∞ An = lim inf χAn n→∞

χlim supn→∞ An = lim sup χAn n→∞

P i∈I

χAi .

7.2 Messbare Funktionen auf einem Maßraum

101

7.1.B

F¨ ur eine numerische Funktion f sind folgende Aussagen ¨ aquivalent: (a) f ist messbar. (b) f + und f − sind messbar. (c) Es gibt messbare numerische Funktionen g und h mit f = g − h. In diesem Fall ist auch |f | messbar. Folgt umgekehrt aus der Messbarkeit von |f | die Messbarkeit von f ?

7.1.C

Sei {An }n∈N ⊆ F disjunkt und sei {fn }n∈NPeine Folge von messbaren numerischen Funktionen. Dann ist auch f := ∞ n=1 fn χAn messbar.

7.1.D

Approximationssatz: Vergleichen Sie die Approximationss¨ atze 7.1.13 und 7.1.14 mit dem Approximationssatz 5.4.1.

7.1.E

Zu jeder σ–Algebra G auf Ω mit G ⊆ F gibt es einen Messraum (Ω0 , F 0 ) und eine G–messbare Abbildung g : Ω → Ω0 mit G = σ(g).

7.1.F

Komplexe Funktionen: F¨ ur eine komplexe Funktion f : Ω → C ist – der Realteil Ref : Ω → R mit (Ref )(ω) := Ref (ω), – der Imagin¨ arteil Imf : Ω → R mit (Imf )(ω) := Imf (ω), und – der Betrag |f | : Ω → R mit |f |(ω) := |f (ω)| eine reelle Funktion. Eine komplexe Funktion heißt messbar , wenn sie F – B(R2 )–messbar ist. (1) F¨ ur eine komplexe Funktion f sind folgende Aussagen ¨ aquivalent: (a) f ist messbar. (b) Ref und Imf sind messbar. (2) Die messbaren komplexen Funktionen bilden einen Vektorraum.

7.2 Messbare Funktionen auf einem Maßraum Ist (Ω, F ) ein Messraum und µ : F → [0, ∞] ein Maß, so heißt das Tripel (Ω, F, µ) Maßraum. Ein Maßraum (Ω, F, µ) heißt endlich, wenn µ endlich ist, und er heißt σ–endlich, wenn µ σ–endlich ist. Im gesamten Abschnitt sei (Ω, F, µ) ein Maßraum. Eine Menge N ∈ F heißt µ–Nullmenge oder kurz Nullmenge, wenn µ[N ] = 0 gilt. Das folgende Lemma fasst die wichtigsten Stabilit¨ atseigenschaften der Familie der Nullmengen zusammen; vgl. Aufgabe 4.1.F. 7.2.1 Lemma. (1) Sei N ∈ F eine µ–Nullmenge. Dann ist jede Menge M ∈ F mit M ⊆ N eine µ–Nullmenge. (2) Sei S I abz¨ ahlbar und sei {Ni }i∈I eine Familie von µ–Nullmengen. Dann ist i∈I Ni eine µ–Nullmenge. Beweis. Jedes Maß ist monoton und σ–subadditiv.

2

Nullmengen sind vor allem in der Integrationstheorie von Bedeutung, denn es wird sich zeigen, dass die Eigenschaften einer Funktion auf einer Nullmenge die Eigenschaften ihres Integrals nicht beeinflussen.

102

Kapitel 7. Messbare Funktionen

Von einer Eigenschaft, die f¨ ur jedes ω ∈ Ω entweder gilt oder nicht gilt, sagt man, sie gelte µ–fast ¨ uberall oder kurz fast ¨ uberall , wenn es eine µ–Nullmenge N gibt derart, dass die Eigenschaft f¨ ur alle ω ∈ Ω \ N gilt. Dies bedeutet im allgemeinen jedoch nicht, dass die Menge aller ω ∈ Ω, f¨ ur die die Eigenschaft nicht gilt, selbst eine µ–Nullmenge ist. Insbesondere ergeben sich f¨ ur Funktionen, die auf einer Teilmenge von Ω definiert sind, die folgenden Definitionen: ¯ heißt µ–fast ¨ – Eine Funktion h : Ωh → R uberall definiert , wenn es eine µ–Nullmenge N gibt mit Ω \ Ωh ⊆ N . ¯ heißt µ–fast u – Eine Funktion h : Ωh → R ¨berall konstant , wenn es eine ¯ gibt mit Ω \ Ωh ⊆ N und h(ω) = c f¨ µ–Nullmenge N und ein c ∈ R ur alle ω ∈ Ω \ N . ¯ heißt µ–fast u – Eine Funktion h : Ωh → R ¨berall reell oder µ–fast u ¨berall endlich, wenn es eine µ–Nullmenge N gibt mit Ω \ Ωh ⊆ N und h(ω) ∈ R f¨ ur alle ω ∈ Ω \ N . ¯ und h : Ωh → R ¯ heißen µ–fast u – Zwei Funktionen g : Ωg → R ¨berall gleich, wenn es eine µ–Nullmenge N gibt mit (Ω \ Ωg ) ∪ (Ω \ Ωh ) ⊆ N und g(ω) = h(ω) f¨ ur alle ω ∈ Ω \ N . ¯ heißt µ–fast u – Eine Folge {hn }n∈N von Funktionen hn : Ωhn → R ¨berall ¯ und eine µ–Nullmenge N konvergent, wenn esSeine Funktion h : Ωh → R gibt mit (Ω \ Ωh ) ∪ n∈N (Ω \ Ωhn ) ⊆ N und f¨ ur jedes ω ∈ Ω \ N die Folge ¯ gegen h(ω) konvergiert. {hn (ω)}n∈N in R ¯ – Eine Folge {hn }n∈N von Funktionen hn : Ωhn → uberall S R heißt µ–fast ¨ Cauchy, wenn es eine µ–Nullmenge N gibt mit n∈N (Ω \ Ωhn ) ⊆ N und f¨ ur jedes ω ∈ Ω \ N die Folge {hn (ω)}n∈N eine Cauchy–Folge in R ist. Die Konvergenz µ–fast u ¨berall wird im folgenden ein wichtige Rolle spielen. Das folgende Ergebnis ist offensichtlich und gilt auch dann, wenn alle Funktionen nur µ–fast u ¨berall definiert sind: 7.2.2 Lemma. Sei {fn }n∈N eine Folge von Funktionen. (1) Ist {fn }n∈N µ–fast u ¨berall konvergent und sind f und g Funktionen mit limn→∞ fn (ω) = f (ω) µ–fast ¨ uberall und limn→∞ fn (ω) = g(ω) µ–fast u uberall. ¨berall, so gilt f (ω) = g(ω) µ–fast ¨ (2) Sind alle fn µ–fast ¨ uberall reell , so ist die Folge {fn }n∈N genau dann µ–fast ¨ uberall konvergent gegen eine µ–fast ¨ uberall reelle Funktion, wenn sie µ–fast ¨ uberall Cauchy ist. Das folgende Beispiel zeigt, dass beim Umgang mit µ–fast u ¨berall bestehenden Eigenschaften Vorsicht geboten ist: 7.2.3 Beispiel (Fast u ¨ berall stetige Funktionen). Sei (Ω, F , µ) := (R, B(R), λ). Eine Funktion h : Ωh → R mit Ωh ⊆ Ω heißt µ–fast u ¨berall stetig, wenn es eine µ– Nullmenge N gibt mit Ω \ Ωh ⊆ N und h f¨ ur alle ω ∈ Ω \ N stetig in ω ist. (1) Die Funktion h : Ω → R mit h(ω) := χQ (ω) ist messbar und es gibt eine stetige Funktion f : Ω → R mit µ[{h 6= f }] = 0. Dennoch ist h nicht µ–fast u ¨ berall stetig.

7.2 Messbare Funktionen auf einem Maßraum

103

(2) Die Funktion h : Ω → R mit h(ω) := χR+ (ω) ist messbar und µ–fast u ¨ berall stetig. Dennoch gibt es keine stetige Funktion f : Ω → R mit µ[{h 6= f }] = 0.

¯ und h : Ωh → R ¯ mit Ωg , Ωh ⊆ Ω schreiben wir F¨ ur g : Ωg → R g =µ h wenn es eine Funktion f ∈ L0 (F) und eine µ–Nullmenge N gibt mit (Ω \ Ωg ) ∪ {ω ∈ Ωg | g(ω) 6= f (ω)} ⊆ N (Ω \ Ωh ) ∪ {ω ∈ Ωh | h(ω) 6= f (ω)} ⊆ N Dann gilt g =µ f und h =µ f . 7.2.4 Beispiele. Sei (Ω, F , µ) := (R, B(R), λ). (1) F¨ ur die Funktionen h : Ωh → R mit Ωh := Ω \ {0} und h(ω) := 1/ω und f : Ω → R mit ½ f (ω) :=

0 1/ω

falls ω = 0 sonst

gilt h =µ f . Die Funktion f ist reell und messbar. (2) Dirichlet–Funktion: F¨ ur die Dirichlet–Funktion h : Ω → R mit ½ ∞ falls ω ∈ Q h(ω) := 0 sonst und die Funktion f : Ω → R mit f (ω) := 0 gilt h =µ f . Die Funktion f ist reell und messbar.

Wir betrachten nun die Familie ¯ n o ¯ ¯¯ Ωh ⊆ Ω und es gibt ein f ∈ L0 (F) mit h =µ f L0 (F, µ) := h : Ωh → R Nach Lemma 7.2.1 ist die Vereinigung von zwei µ–Nullmengen eine µ–Null¨ menge. Daher ist =µ eine Aquivalenzrelation auf L0 (F , µ). ¨ F¨ ur h ∈ L0 (F , µ) bezeichnen wir die Aquivalenzklasse, die die Funktion h ent0 h¨ alt, mit [h]µ ; es gilt also [h]µ ⊆ L (F , µ). Nach Definition von =µ enth¨ alt jede ¨ Aquivalenzklasse [h]µ ⊆ L0 (F , µ) einen Repr¨asentanten f ∈ L0 (F), also eine messbare Funktion f : Ω → R mit [h]µ = [f ]µ . Da nach Lemma 7.2.1 sogar die Vereinigung einer abz¨ahlbaren Familie von µ–Nullmengen eine µ–Nullmenge ¯ ist, gibt es zu jeder abz¨ahlbaren Familie {hi }i∈I ⊆ L0 (F , µ) mit hi : Ωhi → R 0 eine gemeinsame µ–Nullmenge N ∈ F und eine Familie {fi }i∈I ⊆ L (F)

104

Kapitel 7. Messbare Funktionen

derart, dass f¨ ur alle i ∈ I sowohl Ω \ Ωhi ⊆ N als auch hi (ω) = fi (ω) f¨ ur alle ω ∈ Ω \ N gilt. Bei der Betrachtung einer abz¨ahlbaren Familie {[fi ]µ }i∈I von ¨ Aquivalenzklassen in L0 (F , µ) k¨onnen und werden wir daher annehmen, dass 0 {fi }i∈I ⊆ L (F) gilt. Sei nun L0 (F, µ) := L0 (F , µ)/=µ ¨ Dann ist L0 (F, µ) die Familie aller Aquivalenzklassen von L0 (F , µ) unter =µ . Die Addition, die Skalarmultiplikation und die Ordnungsrelation auf L0 (F) induzieren in kanonischer Weise eine Addition, eine Skalarmultiplikation und eine Ordnungsrelation auf L0 (F, µ). Mit Satz 7.1.7 erhalten wir daher das folgende Ergebnis: 7.2.5 Satz. L0 (F, µ) ist ein Vektorverband. Sofern keine Missverst¨andnisse zu bef¨ urchten sind, verzichten wir darauf, die ¨ Elemente von L0 (F, µ) als Aquivalenzklassen von L0 (F, µ) zu kennzeichnen. 0 Wir schreiben also f ∈ L (F , µ) anstelle von [f ] ∈ L0 (F, µ) und nehmen dabei ¨ an, dass der Repr¨ asentant f der Aquivalenzklasse [f ] auf ganz Ω definiert und reell ist. Da der Limes einer µ–fast u ¨berall konvergenten Folge reeller Funktionen µ– fast u berall eindeutig bestimmt ist, l¨asst sich diese Art der Konvergenz auch ¨ als Konvergenzbegriff in L0 (F , µ) verstehen. Wir betrachten nun eine weitere Art der Konvergenz: Eine Folge {fn }n∈N messbarer reeller Funktionen konvergiert im Maß µ gegen eine messbare reelle Funktion f , wenn f¨ ur alle ε ∈ (0, ∞) lim µ[{|fn −f | ≥ ε}] = 0

n→∞

gilt. Das folgende Ergebnis zeigt, dass auch der Limes einer im Maß µ konvergenten Folge µ–fast u ¨berall eindeutig bestimmt ist: 7.2.6 Lemma. Sei {fn }n∈N eine Folge messbarer reeller Funktionen, die im Maß µ gegen eine messbare reelle Funktion f und gegen eine messbare reelle Funktion g konvergiert. Dann gilt f (ω) = g(ω) µ–fast ¨ uberall. Beweis. Wegen |f −g| ≤ |f −fn | + |fn −g| gilt f¨ ur alle ε ∈ (0, ∞) {|f −g| ≥ ε} ⊆ {|f −fn | ≥ ε/2} ∪ {|fn −g| ≥ ε/2} und damit µ[{|f −g| ≥ ε}] ≤ µ[{|f −fn | ≥ ε/2}] + µ[{|fn −g| ≥ ε/2}]

7.2 Messbare Funktionen auf einem Maßraum

105

und aus der Voraussetzung folgt nun µ[{|f −g| ≥ ε}] = 0 S Wegen {f 6= g} = {|f −g| > 0} = k∈N {|f −g| ≥ 1/k} ergibt sich daraus " # ∞ [ X µ[{f 6= g}] = µ {|f −g| ≥ 1/k} ≤ µ[{|f −g| ≥ 1/k}] = 0 k∈N

k=1

und damit f (ω) = g(ω) fast u ¨berall.

2

Aufgrund des letzten Lemmas l¨asst sich auch die Konvergenz im Maß µ als Konvergenzbegriff in L0 (F , µ) verstehen. Das folgende Lemma zeigt, dass die Konvergenz im Maß µ mit der linearen Struktur von L0 (F, µ) vertr¨ aglich ist: 7.2.7 Lemma. Sei {fn }n∈N eine Folge von messbaren reellen Funktionen, die im Maß µ gegen eine messbare reelle Funktion f konvergiert, und sei {gn }n∈N eine Folge von messbaren reellen Funktionen, die im Maß µ gegen eine messbare reelle Funktion g konvergiert. Dann konvergiert f¨ ur jede Wahl von a, b ∈ R die Folge {afn +bgn }n∈N im Maß µ gegen af +bg. Beweis. Im Fall a = 0 oder b = 0 ist nichts zu zeigen. Sei nun a 6= 0 6= b. Wegen |(afn +bgn ) − (af +bg)| ≤ |a||fn −f | + |b||gn −g| gilt f¨ ur alle ε ∈ (0, ∞) {|(afn +bgn ) − (af +bg)| ≥ ε} ⊆ {|a||fn −f | ≥ ε/2} ∪ {|b||gn −g| ≥ ε/2} und damit µ[{|(afn +bgn ) − (af +bg)| ≥ ε}] ≤ µ[{|fn −f | ≥ ε/|2a|}] + µ[{|gn −g| ≥ ε/|2b|}] Daraus folgt die Behauptung.

2

Wir vergleichen nun die Konvergenz im Maß mit der Konvergenz fast u ¨berall: 7.2.8 Satz. Sei µ endlich. Dann konvergiert jede Folge von messbaren reellen Funktionen, die µ–fast u ¨berall gegen eine messbare reelle Funktion f konvergiert, auch im Maß µ gegen f . Beweis. Sei {fn }n∈N eine Folge von messbaren reellen Funktionen, die fast u ur ¨berall gegen eine messbare reelle Funktion f konvergiert. Sei ε ∈ (0, ∞). F¨ alle m ∈ N sei \ Am := {|fn −f | < ε} n∈N(m)

Dann ist {Am }m∈N eine monoton wachsende Folge S in F und nach S Voraussetzung gibt es eine Nullmenge N ∈ F mit Ω = N ∪ m∈N Am = m∈N (N ∪Am ). Daher gilt

106

Kapitel 7. Messbare Funktionen

sup µ[Am ] = sup µ[N ∪ Am ] = µ[Ω]

m∈N

m∈N

Da µ endlich ist, folgt daraus inf µ[Ω \ Am ] = 0

m∈N

Wegen {|fm −f | ≥ ε} ⊆ Ω \ Am erhalten wir nun lim µ[{|fm −f | ≥ ε}] = 0

m→∞

und damit die Behauptung.

2

Die folgenden Beispiele zeigen, dass man im letzten Satz auf die Forderung der Endlichkeit des Maßes nicht verzichten kann und dass auch im Fall eines endlichen Maßes aus der Konvergenz im Maß nicht die Konvergenz fast u ¨berall folgt: 7.2.9 Beispiele. (1) Sei (Ω, F , µ) := (R, B(R), λ). Dann ist µ σ–endlich, aber nicht endlich. F¨ ur n ∈ N sei fn : Ω → R gegeben durch fn (ω) :=

1 ω e n

Dann konvergiert die Folge {fn }n∈N fast u ur ¨ berall gegen 0. Andererseits gilt f¨ alle ε ∈ (0, ∞) µ[{fn ≥ ε}] = µ[ [log(nε), ∞) ] = ∞ Daher konvergiert die Folge {fn }n∈N nicht im Maß gegen 0. (2) Sei Ω := (0, 1], sei F die kleinste σ–Algebra auf (0, 1], die alle Intervalle der Form ((k − 1)2−m , k2−m ] mit m ∈ N0 und k ∈ {1, . . . , 2m } enth¨ alt, und sei µ : F → [0, ∞] gegeben durch µ[A] := λ[A]. Dann ist µ endlich. F¨ ur m ∈ N0 und k ∈ {1, . . . , 2m } sei f2m +k−1 gegeben durch f2m +k−1 (ω) := χ((k−1)2−m ,k2−m ] (ω) Dann gilt f¨ ur alle ε ∈ (0, ∞) µ[{f2m +k−1 ≥ ε}] ≤ µ[ ((k−1)2−m , k2−m ] ] = 2−m Daher konvergiert die Folge {fn }n∈N im Maß gegen 0, aber sie ist nicht fast u ¨berall konvergent.

Sei nun

¯ n o ¯ L∞ (F , µ) := [h]µ ∈ L0 (F, µ) ¯ es gibt ein f ∈ [h]µ ∩ L∞ (F)

Da L∞ (F) ein Vektorverband und ein Ideal in L0 (F ) ist, ist auch L∞ (F , µ) ein Vektorverband und ein Ideal in L0 (F , µ).

7.2 Messbare Funktionen auf einem Maßraum

107

Des weiteren gilt f¨ ur alle f, g ∈ L∞ (F) mit f =µ g inf{c ∈ R+ | |f | ≤µ c} = inf{c ∈ R+ | |g| ≤µ c} Daher ist die Abbildung k . k∞ : L∞ (F, µ) → R+ mit k[f ]µ k∞ := inf{c ∈ R+ | |f | ≤µ c} wohldefiniert; im folgenden schreiben wir kf k∞ anstelle von k[f ]µ k∞ . Es ist klar, dass k . k∞ eine Norm ist. Das folgende Lemma zeigt, dass der normierte Raum (L∞ (F, µ), k . k∞ ) vollst¨andig ist: 7.2.10 Lemma (Riesz/Fischer). (L∞ (F , µ), k . k∞ ) ist vollst¨ andig. Beweis. Sei {fn }n∈N eine Cauchy–Folge in (L∞ (F, µ), k . k∞ ). Wir k¨ onnen annehmen, dass {fn }n∈N ⊆ L∞ (F ) gilt. Da die Folge {fn }n∈N eine Cauchy–Folge in (L∞ (F , µ), k . k∞ ) ist, ist f¨ ur jedes ω ∈ Ω die Folge {fn (ω)}n∈N eine Cauchy–Folge und damit in R konvergent. Da die Funktion f : Ω → R mit f (ω) := lim fn (ω) n→∞

messbar ist, erhalten wir zun¨achst f ∈ L0 (F). Außerdem gilt f¨ ur alle ω ∈ Ω |f (ω)| ≤ |f (ω)−fn (ω)| + |fn (ω)−fm (ω)| + |fm (ω)| ≤ |f (ω)−fn (ω)| + kfn −fm k∞ + kfm k∞ F¨ ur m ∈ N hinreichend groß gilt kfn −fm k∞ ≤ 1 f¨ ur alle n ∈ N(m), und f¨ ur n ∈ N(m) hinreichend groß gilt |f (ω) − fn (ω)| ≤ 1. Daher gilt f ∈ L∞ (F ). Sei nun ε ∈ (0, ∞). Dann gibt es ein m ∈ N mit kfn − fm k∞ ≤ ε f¨ ur alle n ∈ N(m), und f¨ ur alle ω ∈ Ω gilt |f (ω) − fm (ω)| = lim |fn (ω)−fm (ω)| ≤ lim kfn −fm k∞ ≤ ε n→∞

n→∞

Daraus ergibt sich kf −fm k∞ ≤ sup |f (ω) − fm (ω)| ≤ ε ω∈Ω

Da ε ∈ (0, ∞) beliebig war, erhalten wir limm→∞ kf −fm k∞ = 0.

2

Nach Lemma 7.2.10 ist (L∞ (F , µ), k . k∞ ) ein Banach–Raum. Außerdem ist die Norm k . k∞ mit der Verbandsstruktur von L∞ (F, µ) in dem Sinne vertr¨ aglich, dass f¨ ur alle f, g ∈ L∞ (F , µ) mit |f | ≤µ |g| k |f | k∞ ≤ k |g| k∞ gilt. Daher ist (L∞ (F, µ), k . k∞ ) ein normierter Vektorverband und aufgrund der Vollst¨ andigkeit sogar ein Banach–Verband. Der folgende Satz fasst die Eigenschaften von (L∞ (F, µ), k . k∞ ) zusammen:

108

Kapitel 7. Messbare Funktionen

7.2.11 Satz. (L∞ (F , µ), k . k∞ ) ist ein Banach–Verband und ein Ideal in L0 (F, µ). Im folgenden werden wir bei den in diesem Abschnitt eingef¨ uhrten Begriffen und Bezeichnungen oft auf die Angabe der σ–Algebra F oder des Maßes µ verzichten. Aufgaben 7.2.A

F¨ ur A, B ∈ F sind ¨ aquivalent: (a) Es gilt A =µ B. (b) Es gilt χA =µ χB .

7.2.B

Sei µ endlich. (1) Die Abbildung dµ : L0 (F , µ) × L0 (F , µ) → R+ mit dµ (f, g) := µ[{f 6= g}] ist (wohldefiniert und) eine Metrik und diese Metrik ist translationsinvariant, aber nicht absolut homogen. (2) F¨ ur alle A, B ∈ F gilt dµ (χA , χB ) = µ[A4B].

7.2.C

Konvergenz im Maß: Sei {fn }n∈N eine Folge von messbaren reellen Funktionen, die im Maß µ gegen eine messbare reelle Funktion f konvergiert, und sei {gn }n∈N eine Folge von messbaren reellen Funktionen, die im Maß µ gegen eine messbare reelle Funktion g konvergiert. Dann konvergiert die Folge {fn ∨ gn }n∈N im Maß µ gegen f ∨ g.

7.2.D

Lokale Konvergenz im Maß: Eine Folge {fn }n∈N von messbaren reellen Funktionen konvergiert lokal im Maß µ gegen eine messbare reelle Funktion f , wenn f¨ ur jede Menge C ∈ F mit µ[C] < ∞ und f¨ ur alle ε ∈ (0, ∞) lim µ[C ∩ {|fn −f | ≥ ε}] = 0

n→∞

gilt. (1) Sei µ σ–endlich. Dann ist der Limes einer lokal im Maß µ konvergenten Folge von messbaren reellen Funktionen µ–fast u ¨ berall eindeutig bestimmt. Kann man auf die Forderung der σ–Endlichkeit von µ verzichten? (2) Jede Folge von messbaren reellen Funktionen, die µ–fast u ¨ berall gegen eine messbare reelle Funktion f konvergiert, konvergiert auch lokal im Maß µ gegen f . (3) Jede Folge von messbaren reellen Funktionen, die im Maß µ gegen eine messbare reelle Funktion f konvergiert, konvergiert auch lokal im Maß µ gegen f . Ist µ endlich, so gilt auch die Umkehrung dieser Implikation. 7.2.E

Sei {fn }n∈N ⊆ L∞ (F, µ) eine Folge, die in L∞ (F , µ) gegen eine Funktion f ∈ L∞ (F , µ) konvergiert. Dann konvergiert die Folge {fn }n∈N auch im Maß gegen f .

8 Lebesgue–Integral

In diesem Kapitel konstruieren wir ein Integral f¨ ur messbare (numerische) Funktionen, die auf einem Maßraum (Ω, F, µ) definiert sind. Dieses Integral wird als Lebesgue–Integral bezeichnet. Ausgangspunkt f¨ ur die Konstruktion des Integrals ist die Interpretation des Maßes µ[A] einer Menge A ∈ F als Integral ihrer Indikatorfunktion χA ; wegen A ∈ F ist χA messbar und wir setzen Z χA dµ := µ[A] Ω

Die Grundidee ist nun, dieses Integral zun¨achst auf Linearkombinationen von messbaren Indikatorfunktionen und sodann auf deren Limites unter der punktweisen Konvergenz fortzusetzen. Die Ausf¨ uhrung dieser Grundidee wird allerdings dadurch erschwert, dass das Maß µ im allgemeinen nicht endlich ist; man betrachte etwa den Maßraum (R, B(R), λ). Es zeigt sich jedoch, dass das Integral f¨ ur messbare Indikatorfunktionen in nat¨ urlicher Weise zun¨ achst zu einem Integral f¨ ur alle positiven einfachen Funktionen (Abschnitt 8.1) und sodann zu einem Integral f¨ ur alle positiven messbaren Funktionen (Abschnitt 8.2) fortgesetzt werden kann; da jede messbare Funktion als Differenz von zwei positiven messbaren Funktionen dargestellt werden kann, l¨ asst sich das Integral schließlich auch f¨ ur bestimmte messbare Funktionen definieren, die nicht positiv sein m¨ ussen (Abschnitt 8.3). Diese drei Schritte der Konstruktion des Integrals werden als algebraische Induktion bezeichnet; wir haben sie bereits im Beweis des Faktorisierungssatzes verwendet, und es wird sich zeigen, dass die algebraische Induktion auch eine grundlegende Technik zum Beweis von Aussagen u ¨ber Integrale ist. Abschließend betrachten wir R¨aume integrierbarer Funktionen (Abschnitt 8.4) und damit erste funktionalanalytische Aspekte der Integrationstheorie. Im gesamten Kapitel sei (Ω, F, µ) ein Maßraum. Im folgenden bezeichnen wir eine numerische Funktion kurz als Funktion. K.D. Schmidt, Maß und Wahrscheinlichkeit, 2. Aufl., Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-21026-6_8, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

110

Kapitel 8. Lebesgue–Integral

8.1 Positive einfache Funktionen In diesem Abschnitt definieren wir das Lebesgue–Integral f¨ ur positive einfache Funktionen. Ausgangspunkt f¨ ur die Konstruktion des Integrals ist die Interpretation des Maßes µ[A] einer Menge A ∈ F als Integral ihrer Indikatorfunktion χA : F¨ ur eine messbare Menge A setzen wir Z χA dµ := µ[A] Ω

R

und nennen Ω χA dµ das Lebesgue–Integral bez¨ uglich µ oder das µ–Integral oder kurz das Integral von χA . Die Indikatorfunktion einer messbaren Menge ist eine positive einfache Funktion. Wir erweitern die Definition des Integrals nun auf beliebige positive einfache Funktionen: F¨ ur eine positive einfache Funktion f mit der Standarddarstellung X f = a χ{f =a} a∈f (Ω)

setzen wir

Z

X

f dµ := Ω

a µ[{f = a}]

a∈f (Ω)

R und nennen Ω f dµ das Lebesgue–Integral bez¨ uglich µ oder das µ–Integral oder kurz das Integral von f ; vgl. Aufgabe 8.1.B. Die Definition des µ–Integrals f¨ ur positive einfache Funktionen ist offensichtlich mit der Definition des µ–Integrals f¨ ur Indikatorfunktionen von messbaren Mengen vertr¨ aglich. Das folgende Lemma liefert eine allgemeine Darstellung des Integrals einer positiven einfachen Funktion, die sich bei der Herleitung der Eigenschaften des Integrals als n¨ utzlich erweist und auch seine Berechnung erleichtern kann: 8.1.1 Lemma. Sei f eine positive einfache Funktion und sei f=

n X

ci χCi

i=1

eine Darstellung von f mit {Ci }i∈{1,...,n} ⊆ F und {ci }i∈{1,...,n} ⊆ R+ . Dann gilt Z n X f dµ = ci µ[Ci ] Ω

i=1

8.1 Positive einfache Funktionen

111

Beweis. Wir betrachten die Standarddarstellung X f = a χ{f =a} a∈f (Ω)

von f . Dann gilt X

a χ{f =a} =

n X

ci χCi

i=1

a∈f (Ω)

und daraus ergibt sich f¨ ur alle a ∈ f (Ω) a χ{f =a} =

n X

ci χCi ∩{f =a}

i=1

Es gen¨ ugt zu zeigen, dass f¨ ur alle a ∈ f (Ω) die Gleichung a µ[{f = a}] =

n X

ci µ[Ci ∩ {f = a}]

(∗)

i=1

gilt, denn dann ergibt sich aus µ sofort X

P

a∈f (Ω) {f

a µ[{f = a}] =

= a} = Ω und der Additivit¨ at von

n X X

ci µ[Ci ∩ {f = a}]

a∈f (Ω) i=1

a∈f (Ω)

=

n X i=1

=

n X

X

ci

"

ci µ

i=1

=

n X

µ[Ci ∩ {f = a}]

a∈f (Ω)

X

# Ci ∩ {f = a}

a∈f (Ω)

ci µ[Ci ]

i=1

und damit die Behauptung des Lemmas. Zum Beweis der Gleichung (∗) zeigen wir, dass f¨ ur alle n ∈ N und f¨ ur jede Wahl von B, D1 , . . . , Dn ∈ F und b, d1 , . . . , dn ∈ R+ mit b χB =

n X

di χDi

i=1

die Gleichung b µ[B] =

n X

di µ[Di ]

i=1

gilt. Wir f¨ uhren den Beweis durch vollst¨andige Induktion:

112

•

Kapitel 8. Lebesgue–Integral

n = 1: Wir betrachten B, D1 ∈ F und b, d1 ∈ R+ mit b χB = d1 χD1 Im Fall d1 = 0 oder D1 = ∅ gilt b = 0 oder B = ∅, und damit b µ[B] = d1 µ[D1 ] Im Fall d1 6= 0 und D1 6= ∅ gilt b = d1 und B = D1 , und damit ebenfalls b µ[B] = d1 µ[D1 ]

•

Damit ist die Behauptung f¨ ur n = 1 gezeigt. n → n + 1: Wir nehmen an, die Behauptung sei f¨ ur n bereits bewiesen, und betrachten B, D1 , . . . , Dn , Dn+1 ∈ F und b, d1 , . . . , dn , dn+1 ∈ R+ mit b χB =

n+1 X

di χDi

i=1

Im Fall dn+1 = 0 oder Dn+1 = ∅ gilt b χB = b µ[B] =

n X

Pn i=1

di χDi , und damit

di µ[Di ]

i=1

=

n+1 X

di µ[Di ]

i=1

Im Fall dn+1 6= 0 und Dn+1 6= ∅ giltPDn+1 ⊆ B und 0 < dn+1 ≤ b. Aus n Dn+1 ⊆ B folgt zun¨achst bPχDn+1 = i=1 di χDi ∩Dn+1 + dn+1 χDn+1 und n damit (b − dn+1 ) χDn+1 = i=1 di χDi ∩Dn+1 , und aus b − dn+1 ∈ R+ folgt nun (b − dn+1 ) µ[Dn+1 ] =

n X

di µ[Di ∩ Dn+1 ]

i=1

Im Fall µ[Dn+1 ] < ∞ erhalten wir aus der letzten Gleichung b µ[Dn+1 ] =

n X

di µ[Di ∩ Dn+1 ] + dn+1 µ[Dn+1 ]

i=1

und wegen 0 < dn+1 ≤ b giltP diese Gleichung auch im Fall µ[Dn+1 ] = ∞. n Außerdem gilt b χB\Dn+1 = i=1 di χDi \Dn+1 , und daraus folgt b µ[B \ Dn+1 ] =

n X i=1

di µ[Di \ Dn+1 ]

8.1 Positive einfache Funktionen

113

Durch Summation ergibt sich nun b µ[B] = b µ[Dn+1 ] + b µ[B \ Dn+1 ] = =

n X i=1 n+1 X

di µ[Di ∩ Dn+1 ] + dn+1 µ[Dn+1 ] +

n X

di µ[Di \ Dn+1 ]

i=1

di µ[Di ]

i=1

Damit ist die Behauptung bewiesen.

2

Mit Hilfe des letzten Lemmas k¨onnen wir nun leicht die elementaren Eigenschaften des Integrals f¨ ur positive einfache Funktionen beweisen: 8.1.2 Lemma. Seien f und g positive einfache Funktionen und sei a ∈ R+ . Dann gilt Z Z Z (f + g) dµ = f dµ + g dµ Ω

und

Ω

Z

Ω

Z af dµ = a

Ω

Im Fall f ≤ g gilt

f dµ Ω

Z

Z f dµ ≤

Insbesondere gilt

R Ω

Ω

g dµ Ω

f dµ ≥ 0.

Beweis. Mit f und g sind auch f + g und af positiv und einfach. Ausgehend von den Standarddarstellungen von f und g gewinnen wir Darstellungen der Form f = g=

n X i=1 n X

ci χBi di χBi

i=1

mit einer disjunkten Familie {Bi }i∈{1,...,n} ⊆ F sowie {ci }i∈{1,...,n} ⊆ R+ und {di }i∈{1,...,n} ⊆ R+ . Dann besitzen f + g und af die Darstellungen f +g = af =

n X i=1 n X i=1

(ci +di ) χBi a ci χBi

114

Kapitel 8. Lebesgue–Integral

und aus Lemma 8.1.1 ergibt sich nun Z n X (f + g) dµ = (ci +di ) µ[Bi ] Ω

i=1

=

n X

ci µ[Bi ] +

i=1

Z =

Z

f dµ +

n X

di µ[Bi ]

i=1

g dµ

Ω

Ω

und Z af dµ = Ω

n X

a ci µ[Bi ]

i=1 n X

=a

ci µ[Bi ]

i=1

Z =a

f dµ Ω

Im Fall f ≤ g gilt ci ≤ di f¨ ur alle i ∈ {1, . . . , n} mit Bi 6= ∅, und daraus folgt Z n X f dµ = ci µ[Bi ] Ω

i=1

≤

n X

di µ[Bi ]

i=1

Z =

g dµ Ω

Die letzte Behauptung des Lemmas ist ohnehin klar.

2

Lemma 8.1.2 besagt, dass das Integral als Abbildung von der Familie der positiven einfachen Funktionen in die Menge der erweiterten reellen Zahlen positiv linear und monoton ist. Aufgaben 8.1.A

Sei f eine positive einfache Funktion. Dann gilt Z X Z f dµ = a χ{f =a} dµ Ω

a∈f (Ω)

Ω

8.1.B

Ist µ endlich, so l¨ asst sich die hier f¨ ur positive einfache Funktionen gegebene Definition des Integrals auf beliebige einfache Funktionen erweitern.

8.1.C

Was ergibt sich aus Lemma 8.1.2 f¨ ur f := χA und g := χB mit A, B ∈ F, wenn A ∩ B = ∅ bzw. A ⊆ B gilt?

8.2 Positive messbare Funktionen

115

8.2 Positive messbare Funktionen In diesem Abschnitt erweitern wir das Lebesgue–Integral auf beliebige positive messbare Funktionen. F¨ ur eine positive messbare Funktion f setzen wir ¯ ½Z ¾ Z ¯ f dµ := sup h dµ ¯¯ h ist einfach mit 0 ≤ h ≤ f Ω

Ω

R

und nennen Ω f dµ das Lebesgue–Integral bez¨ uglich µ oder das µ–Integral oder kurz das Integral von f . Die Definition des µ–Integrals f¨ ur positive messbare Funktionen ist offensichtlich mit der Definition des µ–Integrals f¨ ur positive einfache Funktionen vertr¨aglich. Der folgende Satz u ¨ ber die monotone Konvergenz ist das zentrale Ergebnis der Integrationstheorie: 8.2.1 Satz (Monotone Konvergenz; Levi). Sei {fn }n∈N eine monoton wachsende Folge von positiven messbaren Funktionen. Dann gilt Z Z sup fn dµ = sup fn dµ Ω n∈N

n∈N

Ω

Beweis. Wir bemerken zun¨achst, dass die Funktion supn∈N fn messbar ist. F¨ ur alle k ∈ N gilt fk ≤ supn∈N fn und aus der Definition des Integrals f¨ ur positive messbare Funktionen ergibt sich sofort Z Z fk dµ ≤ sup fn dµ Ω n∈N

Ω

Daher gilt Z

Z

sup k∈N

fk dµ ≤ Ω

sup fn dµ

Ω n∈N

Zum Beweis der umgekehrten Ungleichung betrachten wir eine einfache Funktion h mit 0 ≤ h ≤ supn∈N fn sowie ein α ∈ (0, 1). F¨ ur k ∈ N sei Dk := {αh ≤ fk } Dann gilt Dk ∈ F und mit h sind auch die Funktionen hχDk und αhχDk positiv und einfach. Insbesondere ergibt sich aus der Darstellung h=

m X i=1

ci χCi

116

Kapitel 8. Lebesgue–Integral

von h mit {Ci }i∈{1,...,n} ⊆ F und {ci }i∈{1,...,n} ⊆ R+ die Darstellung hχDk =

m X

ci χCi ∩Dk

i=1

von hχDk . Da die Folge {Dk }k∈N monoton wachsend ist mit und da jedes Maß stetig von unten ist, erhalten wir zun¨ achst Z h dµ = Ω

=

m X i=1 m X

k∈N

Dk = Ω

ci µ[Ci ] ci sup µ[Ci ∩ Dk ] k∈N

i=1

= sup

S

m X

k∈N i=1

ci µ[Ci ∩ Dk ]

Z

= sup k∈N

Ω

hχDk dµ

Wegen 0 ≤ αhχDk ≤ fk erhalten wir außerdem aufgrund der Definition des Integrals von fk Z Z αhχDk dµ ≤ fk dµ Ω

Ω

Unter Verwendung von Lemma 8.1.2 erhalten wir daher Z Z α h dµ = α sup hχDk dµ k∈N Ω Ω Z = sup αhχDk dµ k∈N Ω Z ≤ sup fk dµ k∈N

Ω

Durch Bildung des Supremums u ¨ber α ∈ (0, 1) ergibt sich nun Z Z h dµ ≤ sup fk dµ Ω

k∈N

Ω

und durch Bildung des Supremums u ¨ber alle einfachen Funktionen h mit 0 ≤ h ≤ supn∈N fn ergibt sich sodann aufgrund der Definition des Integrals von supn∈N fn Z Z sup fn dµ ≤ sup fk dµ Ω n∈N

Damit ist der Satz bewiesen.

k∈N

Ω

2

8.2 Positive messbare Funktionen

117

Nach dem Approximationssatz ist eine positive Funktion f genau dann messbar, wenn es eine monoton wachsende Folge {fn }n∈N von positiven einfachen Funktionen gibt mit f = supn∈N fn ; das folgende Ergebnis zeigt, dass f¨ ur jede Wahl der approximierenden Folge das Integral von f mit dem Supremum der Integrale der approximierenden Funktionen fn u ¨bereinstimmt. Dies ist eine unmittelbare Folgerung aus dem Satz u ¨ ber die monotone Konvergenz. 8.2.2 Folgerung. Sei f eine positive messbare Funktion und sei {fn }n∈N eine monoton wachsende Folge von positiven einfachen Funktionen mit f = supn∈N fn . Dann gilt Z Z f dµ = sup fn dµ n∈N

Ω

Ω

Das letzte Ergebnis erweist sich bei der Herleitung weiterer Eigenschaften des Integrals als n¨ utzlich und kann auch seine Berechnung erleichtern. Insbesondere k¨ onnen wir nun zeigen, dass das Integral einer positiven messbaren Funktion dieselben elementaren Eigenschaften besitzt wie das Integral einer positiven einfachen Funktion: 8.2.3 Lemma. Seien f und g positive messbare Funktionen und sei a ∈ R+ . Dann gilt Z Z Z (f + g) dµ = f dµ + g dµ Ω

und

Ω

Z

Ω

Z af dµ = a

Ω

Im Fall f ≤ g gilt

f dµ Ω

Z

Z f dµ ≤

Insbesondere gilt

R Ω

Ω

g dµ Ω

f dµ ≥ 0.

Beweis. Seien {fn }n∈N und {gn }n∈N monoton wachsende Folgen von positiven einfachen Funktionen mit f = sup fn n∈N

g = sup gn n∈N

Dann sind auch {fn + gn }n∈N und {afn }n∈N monoton wachsende Folgen von positiven einfachen Funktionen und es gilt f + g = sup(fn +gn ) n∈N

af = sup afn n∈N

118

Kapitel 8. Lebesgue–Integral

Aus Folgerung 8.2.2 und Lemma 8.1.2 folgt nun Z Z (f +g) dµ = sup (fn +gn ) dµ n∈N Ω Ω µZ ¶ Z = sup fn dµ + gn dµ n∈N Ω Z Ω Z = sup fn dµ + sup gn dµ n∈N Ω n∈N Ω Z Z = f dµ + g dµ Ω

Ω

und Z

Z af dµ = sup Ω

afn dµ Z = a sup fn dµ n∈N Ω Z =a f dµ n∈N

Ω

Ω

Die u ¨brigen Behauptungen sind klar.

2

Lemma 8.2.3 besagt, dass das Integral als Abbildung von der Familie der positiven messbaren Funktionen in die Menge der erweiterten reellen Zahlen positiv linear und monoton ist. Der Satz u ¨ber die monotone Konvergenz l¨asst sich nun auch als Aussage u ¨ber das Integral einer Reihe von positiven messbaren Funktionen formulieren: 8.2.4 Folgerung (Monotone Konvergenz; Levi). Sei {fn }n∈N eine Folge von positiven messbaren Funktionen. Dann gilt ! Z ÃX ∞ ∞ Z X fn dµ = fn dµ Ω

n=1

n=1

Ω

Pn Beweis. Die Folge der Partialsummen k=1 fk ist eine monoton wachsende Folge von positiven messbaren Funktionen. Aus dem Satz u ¨ber die monotone Konvergenz und der Additivit¨at des Integrals folgt nun ! ! Z ÃX Z Ã ∞ n X fk dµ = sup fk dµ Ω

k=1

Ω

= sup n∈N

n∈N

k=1

Z ÃX n Ω

k=1

! fk dµ

8.2 Positive messbare Funktionen

119

= sup n∈N

=

n Z X k=1

∞ Z X k=1

fk dµ

Ω

fk dµ

Ω

Damit ist die Folgerung bewiesen.

2

Wir beweisen nun einige weitere Ergebnisse u ¨ ber das Integral einer positiven messbaren Funktion. Ein gleichzeitig elementares und zentrales Ergebnis, das vielf¨ altige Anwendungen besitzt, ist die folgende Ungleichung von Markov, die wir im Hinblick auf ihre Anwendungen f¨ ur den Betrag einer beliebigen messbaren Funktion formulieren: 8.2.5 Lemma (Ungleichung von Markov). Sei f eine messbare Funktion. Dann gilt f¨ ur alle c ∈ (0, ∞) Z 1 µ[{|f | ≥ c}] ≤ |f | dµ c Ω Beweis. Unter Verwendung von Lemma 8.2.3 ergibt sich Z Z Z 1 1 µ[{|f | ≥ c}] = χ{|f |≥c} dµ ≤ |f | χ{|f |≥c} dµ ≤ |f | dµ c Ω Ω Ω c Damit ist das Lemma bewiesen.

2

Lemma 8.2.5 ist die Basisversion der Ungleichung von Markov. Aus ihr l¨ asst sich eine ganze Schar von Ungleichungen ableiten: 8.2.6 Folgerung (Ungleichung von Markov). Sei f eine messbare Funktion. Dann gilt f¨ ur jede monoton wachsende Funktion h : R+ → R+ und f¨ ur alle c ∈ R+ mit h(c) > 0 Z 1 µ[{|f | ≥ c}] ≤ h ◦ |f | dµ h(c) Ω Beweis. Aus Lemma 8.2.5 ergibt sich µ[{|f | ≥ c}] ≤ µ[{h ◦ |f | ≥ h(c)}] ≤ Damit ist die Folgerung bewiesen.

1 h(c)

Z h ◦ |f | dµ Ω

2

Aus der Ungleichung von Markov folgt zun¨achst, dass jede messbare Funktion, f¨ ur die das Integral ihres Betrages endlich ist, fast u ¨ berall endlich ist:

120

Kapitel 8. Lebesgue–Integral

8.2.7 Lemma. Sei f eine messbare Funktion mit Z |f | dµ < ∞ Ω

Dann ist f µ–fast u ¨berall endlich. Beweis. Aus der Ungleichung von Markov folgt f¨ ur alle n ∈ N Z 1 µ[{|f | = ∞}] ≤ µ[{|f | ≥ n}] ≤ |f | dµ n Ω R und aus der Voraussetzung Ω |f | dµ < ∞ folgt nun µ[{|f | = ∞}] = 0.

2

Aus der Ungleichung von Markov folgt ferner, dass eine messbare Funktion genau dann fast u ¨berall verschwindet, wenn das Integral ihres Betrages verschwindet; dieses Ergebnis ist gleichzeitig eine Anwendung des Satzes u ¨ber die monotone Konvergenz: 8.2.8 Lemma. Sei f eine messbare Funktion. Dann sind folgende Aussagen aquivalent: ¨ (a) Es gilt fR (ω) = 0 µ–fast ¨ uberall. (b) Es gilt Ω |f | dµ = 0. Beweis. Wir nehmen zun¨achst an, dass (a) gilt. F¨ ur n ∈ N sei gn : Ω → R gegeben durch gn (ω) := n χ{f 6=0} (ω) Dann ist {gn }n∈N eine monoton wachsende Folge von positiven messbaren Funktionen mit |f | ≤ supn∈N gn und f¨ ur alle n ∈ N gilt Z gn dµ = n µ[{f 6= 0}] = 0 Ω

Aus dem Satz u ¨ber die monotone Konvergenz folgt nun Z Z Z |f | dµ ≤ sup gn dµ = sup gn dµ = 0 R

Ω

Ω n∈N

n∈N

Ω

und damit Ω |f | dµ = 0. Daher folgt (b) aus (a). Wir nehmen nun an, dass (b) gilt. Aus der Ungleichung von Markov folgt f¨ ur alle n ∈ N Z µ[{|f | ≥ 1/n}] ≤ n |f | dµ = 0 Ω

Daraus ergibt sich µ[{|f | > 0}] = sup µ[{|f | ≥ 1/n}] = 0 n∈N

und damit µ[{|f | = 6 0}] = 0. Daher folgt (a) aus (b).

2

8.2 Positive messbare Funktionen

121

Die letzten beiden Ergebnisse sind typische Beispiele daf¨ ur, wie sich eine fast u ¨berall bestehende Eigenschaft einer positiven messbaren Funktion aus einer Eigenschaft ihres Integrals ergibt. Außerdem zeigt das folgende Beispiel, dass die Ausnahmemenge nicht leer sein muss. Dies ist letztlich der Grund daf¨ ur, u ¨berhaupt fast u ¨berall bestehende Eigenschaften zu betrachten. 8.2.9 Beispiel (Dirichlet–Funktion). ¯ mit Dirichlet–Funktion f : Ω → R ½ ∞ f (ω) := 0

Sei (Ω, F , µ) := (R, B(R), λ). F¨ ur die falls ω ∈ Q sonst

gilt µ[{f damit f (ω) = 0 µ–fast u ¨ berall. Aus Lemma 8.2.8 R 6= 0}] = µ[Q] = 0 und R folgt Ω f dµ = 0 und damit Ω f dµ < ∞, aber es gilt weder f = 0 noch f < ∞.

Andererseits zeigen die folgenden Ergebnisse, dass bei der Integration positiver messbaren Funktionen Nullmengen vernachl¨assigt werden k¨ onnen: 8.2.10 Lemma. Seien f und g positive messbare Funktionen mit f (ω) ≤ g(ω) µ–fast u ¨berall. Dann gilt Z Z f dµ ≤ g dµ Ω

Ω

Beweis. Nach Voraussetzung gilt (f χ{f >g} )(ω) = 0 fast u ¨berall und aus R Lemma 8.2.8 folgt Ω f χ{f >g} dµ = 0. Außerdem gilt f χ{f ≤g} ≤ g. Unter Verwendung von Lemma 8.2.3 erhalten wir Z Z Z Z Z f dµ = f χ{f ≤g} dµ + f χ{f >g} dµ = f χ{f ≤g} dµ ≤ g dµ Ω

Ω

Ω

Ω

Damit ist das Lemma bewiesen.

Ω

2

Insbesondere sind die Integrale von positiven messbaren Funktionen, die sich nur auf einer Nullmenge unterscheiden, identisch: 8.2.11 Folgerung. Seien f und g positive messbare Funktionen mit f (ω) = g(ω) µ–fast ¨ uberall. Dann gilt Z Z f dµ = g dµ Ω

Ω

Dieses Ergebnis legt es nahe, die Definition des Integrals wie folgt zu erweitern: F¨ ur eine Funktion h, die µ–fast u ¨ berall definiert ist und µ–fast u ¨berall mit einer positiven messbaren Funktion f u ¨bereinstimmt, setzen wir Z Z h dµ := f dµ Ω

Ω

122

Kapitel 8. Lebesgue–Integral

R und nennen Ω h dµ das Lebesgue–Integral bez¨ uglich µ oder das µ–Integral oder kurz das Integral von h. Nach Folgerung 8.2.11 ist das µ–Integral von h unabh¨ angig von der Wahl der positiven messbaren Funktion f mit h =µ f . Alle Ergebnisse dieses Abschnitts gelten auch f¨ ur diese Verallgemeinerung des µ–Integrals. Insbesondere bleibt der Satz u ¨ber die monotone Konvergenz auch dann g¨ ultig, wenn man annimmt, dass die Folge {fn }n∈N nur µ–fast u ¨berall monoton wachsend ist. Wir beschließen diesen Abschnitt mit einer Ungleichung, die auf dem Satz u ur einen weiteren ¨ber die monotone Konvergenz beruht und die Grundlage f¨ Konvergenzsatz bildet, den wir im n¨achsten Abschnitt beweisen: 8.2.12 Lemma (Fatou). Sei {fn }n∈N eine Folge von positiven messbaren Funktionen. Dann gilt Z Z lim inf fn dµ ≤ lim inf fn dµ Ω n→∞

n→∞

Ω

Beweis. F¨ ur n ∈ N sei gn := inf fk k∈N(n)

Dann ist {gn }n∈N eine monoton wachsende Folge von positiven messbaren Funktionen mit gn ≤ fn f¨ ur alle n ∈ N und aus dem Satz u ¨ber die monotone Konvergenz ergibt sich Z Z lim inf fn dµ = sup inf fk dµ n∈N k∈N(n) Ω n→∞ ZΩ = sup gn dµ Ω n∈N Z = sup gn dµ n∈N Ω Z = lim gn dµ n→∞ Ω Z = lim inf gn dµ n→∞ ZΩ ≤ lim inf fn dµ n→∞

Damit ist das Lemma bewiesen.

Ω

2

Das folgende Beispiel zeigt, dass man im Lemma von Fatou die Ungleichung im allgemeinen nicht durch eine Gleichung ersetzen kann:

8.2 Positive messbare Funktionen

123

8.2.13 Beispiel. Sei (Ω, F , µ) := (R, B(R), λ). F¨ ur alle n ∈ N sei fn gegeben durch fn (ω) := n χ(0,1/n] (ω) Dann gilt lim R n→∞ fn = 0 und damit lim inf n→∞ Ω fn dµ = 1.

R Ω

lim inf n→∞ fn dµ = 0. Andererseits gilt

Aufgaben 8.2.A

Sei (Ω, F ) ein Messraum und {µn }n∈N eine Folge von Maßen F → [0, ∞]. Sei ferner µ : F → [0, ∞] gegeben durch µ[A] :=

∞ X

µn [A]

n=1

Dann ist µ ein Maß und f¨ ur jede positive messbare Funktion f gilt Z f dµ = Ω

∞ Z X

f dµn

Ω

n=1

8.2.B

Monotone Konvergenz: Was ergibt sich aus Folgerung 8.2.4 im Fall fn := χAn mit einer disjunkten Folge {An }n∈N ⊆ F?

8.2.C

Ungleichung von Markov: Zu jedem c ∈ (0, ∞) gibt es eine messbare Funktion f mit µ[{|f | ≥ c}] =

8.2.D

Z |f | dµ Ω

Lemma von Fatou: Sei {fn }n∈N eine Folge von positiven messbaren R Funktionen mit Ω supn∈N fn dµ < ∞. Dann gilt Z lim sup n→∞

8.2.E

1 c

Z fn dµ ≤

Ω

lim sup fn dµ Ω

n→∞

Sei {An }n∈N ⊆ F. Dann gilt · ¸ µ lim inf An ≤ lim inf µ[An ] n→∞

n→∞

S Im Fall µ[ n∈N An ] < ∞ gilt auch · ¸ lim sup µ[An ] ≤ µ lim sup An n→∞

8.2.F

n→∞

Konstruieren Sie einen endlichen Maßraum (Ω, F, µ) und eine positive ¯ derart, dass f µ–fast u messbare Funktion f : Ω → R ¨ berall endlich ist R und Ω f dµ = ∞ gilt.

124

Kapitel 8. Lebesgue–Integral

8.3 Integrierbare Funktionen In diesem Abschnitt erweitern wir die Definition des Lebesgue–Integrals auf bestimmte messbare Funktionen, die nicht positiv sein m¨ ussen. Eine messbare Funktion f heißt µ–quasiintegrierbar oder kurz quasiintegrierbar , wenn ½Z ¾ Z min f + dµ, f − dµ < ∞ Ω

Ω

gilt; in diesem Fall setzen wir Z Z Z + f dµ := f dµ − f − dµ Ω

Ω

Ω

R

und nennen Ω f dµ das Lebesgue–Integral bez¨ uglich µ oder das µ–Integral oder kurz das Integral von f . Die Definition des µ–Integrals f¨ ur µ–quasiintegrierbare Funktionen ist mit der Definition des µ–Integrals f¨ ur positive messbare Funktionen vertr¨aglich, denn f¨ ur jede positive messbare Funktion f gilt f + = f und f − = 0. Ist f µ–quasiintegrierbar, so ist nach Lemma 8.2.7 f + oder f − µ–fast u ¨berall endlich. Eine messbare Funktion f heißt Lebesgue–integrierbar bez¨ uglich µ oder µ–integrierbar oder kurz integrierbar , wenn ½Z ¾ Z + − max f dµ, f dµ < ∞ Ω

Ω

gilt. Das folgende Lemma charakterisiert die µ–Integrierbarkeit einer messbaren Funktion: 8.3.1 Lemma. Sei f eine messbare Funktion. Dann sind folgende Aussagen aquivalent: ¨ (a) f ist µ–integrierbar. (b) Es gilt Z |f | dµ < ∞ Ω

(c) Es gibt positive messbare Funktionen g und h mit f = g − h und ½Z

¾

Z

max

g dµ, Ω

h dµ Ω

In diesem Fall ist f µ–fast ¨ uberall endlich.

<∞

8.3 Integrierbare Funktionen

125

Beweis. Es gilt |f | = f + + f − und aus Lemma 8.2.3 folgt Z Z Z |f | dµ = f + dµ + f − dµ Ω

Ω

Ω

Daher sind (a) und (b) ¨aquivalent, und es ist klar, dass (c) aus (a) folgt. Wir nehmen nun an, dass (c) gilt, und betrachten positive messbare Funktionen g und h mit f = g − h und ½Z ¾ Z max g dµ, h dµ < ∞ Ω

Ω

Wegen f = g − h ≤ g gilt f + ≤ g und wegen −f = h − g ≤ h gilt f − ≤ h. Aus Lemma 8.2.3 folgt nun Z Z f + dµ ≤ g dµ ZΩ ZΩ f − dµ ≤ h dµ Ω

und damit

Ω

½Z

¾

Z f + dµ,

max Ω

f − dµ

<∞

Ω

Damit ist gezeigt, dass (a) aus (c) folgt. Die letzte Aussage folgt aus Lemma 8.2.7. 2 Aus dem letzten Lemma folgt, dass eine positive messbare Funktion nicht notwendigerweise integrierbar ist; dies gilt sogar f¨ ur positive einfache Funktionen: 8.3.2 Beispiel. Sei f gegeben durch f (ω) := 1 Dann ist f messbar und positiv, und folgende Aussagen sind ¨ aquivalent: (a) µ ist endlich. (b) f ist µ–integrierbar.

Offenbar ist eine positive messbare Funktion genau dann integrierbar, wenn ihr Integral endlich ist. Daher l¨asst sich das letzte Lemma auch wie folgt formulieren: 8.3.3 Folgerung. Sei f eine messbare Funktion. Dann sind folgende Aussagen ¨ aquivalent: (a) f ist µ–integrierbar. (b) |f | ist µ–integrierbar. (c) f + und f − sind µ–integrierbar. (d) Es gibt positive µ–integrierbare Funktionen g und h mit f = g − h.

126

Kapitel 8. Lebesgue–Integral

Das folgende Lemma liefert eine allgemeine Darstellung des Integrals einer integrierbaren Funktion, die sich bei der Herleitung der Eigenschaften des Integrals als n¨ utzlich erweist und auch seine Berechnung erleichtern kann: 8.3.4 Lemma. Sei f eine µ–integrierbare Funktion. Dann gilt f¨ ur jede Wahl von positiven µ–integrierbaren Funktionen g und h mit f = g − h Z Z Z f dµ = g dµ − h dµ Ω

Ω

Ω

Beweis. Seien g und h positive integrierbare Funktionen mit f = g − h. Dann gilt f + − f − = f = g − h und damit f + + h = g + f − , und aus Lemma 8.2.3 folgt nun Z Z Z Z + f dµ + h dµ = g dµ + f − dµ Ω

Ω

Ω

Ω

Da alle Integrale endlich sind, folgt daraus Z Z Z Z f + dµ − f − dµ = g dµ − h dµ Ω

Ω

Ω

Damit ist das Lemma bewiesen.

Ω

2

Das n¨ achste Lemma liefert eine hinreichende Bedingung f¨ ur die Integrierbarkeit einer messbaren Funktion: 8.3.5 Lemma. Seien f und g messbare Funktionen mit |f (ω)| ≤ |g(ω)| µ–fast u ¨berall. Ist g µ–integrierbar , so ist auch f µ–integrierbar. R R Beweis. Nach Lemma 8.2.10 gilt Ω |f | dµ ≤ Ω |g| dµ. 2 Wie im Fall positiver messbarer Funktionen sind auch die Integrale integrierbarer Funktionen, die sich nur auf einer Nullmenge unterscheiden, identisch: 8.3.6 Lemma. Seien f und g messbare Funktionen mit f (ω) = g(ω) µ–fast u aquivalent : ¨berall. Dann sind folgende Aussagen ¨ (a) f ist µ–integrierbar. (b) g ist µ–integrierbar. In diesem Fall gilt Z Z f dµ = g dµ Ω

Ω

Beweis. Es gilt f + (ω) = g + (ω) fast u f − (ω) g − (ω) fast ¨berall ¨berall, R und R = R u + + − und aus Folgerung 8.2.11 ergibt sich nun f dµ = g dµ und f dµ = Ω Ω Ω R − g dµ. 2 Ω Wir beweisen nun ein Analogon zu Lemma 8.2.3:

8.3 Integrierbare Funktionen

127

8.3.7 Lemma. Seien f und g µ–integrierbare reelle Funktionen und sei a ∈ R. (1) Die Funktion f + g ist µ–integrierbar und es gilt Z Z Z (f +g) dµ = f dµ + g dµ Ω

Ω

Ω

(2) Die Funktion af ist µ–integrierbar und es gilt Z Z af dµ = a f dµ Ω

(3) Im Fall f ≤ g gilt

Ω

Z

Z f dµ ≤

Ω

g dµ Ω

(4) Die Funktionen f ∨ g und f ∧ g sind µ–integrierbar. Beweis. Wegen |f + g| ≤ |f | + |g| ist f + g nach Lemma 8.3.5 integrierbar und wegen f = f + − f − und g = g + − g − gilt f + g = (f + + g + ) − (f − + g − ). Aus Lemma 8.3.4 folgt nun Z Z Z + + (f +g) dµ = (f +g ) dµ − (f − +g − ) dµ Ω Ω Ω µZ ¶ µZ ¶ Z Z + + − − = f dµ + g dµ − f dµ + g dµ Ω Ω µZΩ ¶ µZΩ ¶ Z Z + − + − = f dµ − f dµ + g dµ − g dµ Ω Ω Z Ω Z Ω = f dµ + g dµ Ω

Ω

Damit ist (1) gezeigt. Nach Lemma 8.2.3 gilt Z Z |af | dµ = |a||f | dµ Ω Ω Z = |a| |f | dµ Ω +

Daher ist af integrierbar. Wegen f = f − f − gilt −f = f − − f + und damit Z Z Z (−f ) dµ = f − dµ − f + dµ Ω Ω Ω µZ ¶ Z + =− f dµ − f − dµ Ω Z Ω =− f dµ Ω

Im Fall a ∈ R+ gilt af = (af )+ − (af )− = af + − af − und aus Lemma 8.2.3 folgt nun

128

Kapitel 8. Lebesgue–Integral

Z

Z

Z +

af − dµ Ω Ω Z Z + =a f dµ − a f − dµ Ω Ω µZ ¶ Z =a f + dµ − f − dµ Ω Z Ω =a f dµ

af dµ = Ω

af dµ −

Ω

Im Fall a ∈ (−∞, 0) gilt a = −|a| und aus dem bisher gezeigten folgt Z Z af dµ = (−|a|)f dµ Ω Ω Z =− |a|f dµ Ω Z = −|a| f dµ Z Ω =a f dµ Ω

Damit ist (2) gezeigt. Im Fall f ≤ g gilt f + ≤ g + und g − ≤ f − , und damit Z Z + f dµ ≤ g + dµ Ω Ω Z Z g − dµ ≤ f − dµ Ω

Daraus folgt

Ω

Z

Z

Ω

Z f + dµ −

f dµ = ZΩ

f − dµ ZΩ

+

≤

g − dµ

g dµ − Ω

Ω

Z =

g dµ Ω

Damit ist (3) gezeigt. Wegen |f ∨ g| ≤ |f | + |g| und |f ∧ g| ≤ |f | + |g| sind |f ∨ g| und |f ∧ g| nach Lemma 8.3.5 integrierbar. Damit ist (4) gezeigt. 2 Aus Lemma 8.3.7 ergibt sich ein Spezialfall der Ungleichung von Jensen: 8.3.8 Folgerung (Ungleichung von Jensen). Sei f µ–integrierbar. Dann gilt ¯Z ¯ Z ¯ ¯ ¯ f dµ¯ ≤ |f | dµ ¯ ¯ Ω

Ω

R R R Beweis. Nach R R Lemma 8.3.7 gilt Ω f dµ ≤ Ω |f | dµ und − Ω f dµ = (−f ) dµ ≤ Ω |f | dµ. Daraus folgt die Behauptung. 2 Ω

8.3 Integrierbare Funktionen

129

Wir beweisen nun einen Konvergenzsatz f¨ ur integrierbare Funktionen: 8.3.9 Satz (Majorisierte Konvergenz; Lebesgue). Sei {fn }n∈N eine Folge von messbaren reellen Funktionen, die gegen eine reelle Funktion f konvergiert. Wenn supn∈N |fn | µ–integrierbar ist, dann ist auch f µ–integrierbar und es gilt Z lim |fn −f | dµ = 0 n→∞

Ω

Insbesondere ist jede der Funktionen fn µ–integrierbar und es gilt Z Z lim fn dµ = lim fn dµ Ω n→∞

n→∞

Ω

Beweis. Als Limes einer konvergenten Folge von messbaren Funktionen ist f messbar. Sei nun g := sup |fn | n∈N

Nach Voraussetzung ist g integrierbar. Damit ist auch jede der Funktionen fn integrierbar, und wegen |f | ≤ g ist auch f integrierbar. Aus der Dreiecksungleichung ergibt sich nun |fn −f | ≤ |fn | + |f | ≤ 2g und damit 2g − |fn −f | ≥ 0 Nach Voraussetzung gilt

³ ´ lim 2g − |fn −f | = 2g

n→∞

und aus dem Lemma von Fatou folgt nun Z Z ³ ´ 2g dµ = lim 2g − |fn −f | dµ n→∞ Ω ZΩ ³ ´ = lim inf 2g − |fn −f | dµ Ω n→∞ Z ³ ´ ≤ lim inf 2g − |fn −f | dµ n→∞ Ω Z Z ³ ´ = 2g dµ + lim inf −|fn −f | dµ n→∞ ZΩ ZΩ = 2g dµ − lim sup |fn −f | dµ n→∞

Ω

Ω

Da g integrierbar ist, erhalten wir daraus Z lim sup |fn −f | dµ ≤ 0 R

n→∞

Ω

und damit limn→∞ Ω |fn−f | dµ = 0. Die abschließende Behauptung folgt nun aus der Ungleichung von Jensen. 2

130

Kapitel 8. Lebesgue–Integral

Die Voraussetzungen des Satzes u ¨ber die majorisierte Konvergenz sind insbesondere dann erf¨ ullt, wenn eine monoton wachsende Folge von positiven messbaren reellen Funktionen vorliegt, deren Supremum integrierbar ist. Das folgende Beispiel zeigt, dass man im Satz u ¨ber die majorisierte Konvergenz auf die Forderung der Integrierbarkeit von supn∈N |fn | nicht verzichten kann: 8.3.10 Beispiel. Sei (Ω, F , µ) := (R, B(R), λ). F¨ ur n ∈ N sei fn gegeben durch fn (ω) := n χ(0,1/n] (ω) Dann gilt limn→∞ fn = 0. Andererseits gilt Z

Ω

fn dµ = 1 f¨ ur alle n ∈ N, und damit

Z

lim

n→∞

R

fn dµ 6=

lim fn dµ

Ω n→∞

Ω

Daraus folgt, dass supn∈N fn nicht µ–integrierbar ist.

Wie der Satz u ¨ ber die monotone Konvergenz liefert auch der Satz u ¨ ber die majorisierte Konvergenz einen Konvergenzsatz f¨ ur unendliche Reihen: 8.3.11 Folgerung (Majorisierte Konvergenz; Lebesgue). Sei P {fn }n∈N ∞ eine Folge von messbaren reellen Funktionen derart, dass die Reihe n=1 fn Pn gegen eine reelle Funktion konvergiert. Wenn sup | f | µ–integrierbar n∈N k=1 k P∞ ist, dann ist auch die Reihe n=1 fn sowie jede der Funktionen fn µ–integrierbar und es gilt Z ÃX ∞ Ω

! fn dµ =

n=1

∞ Z X n=1

fn dµ

Ω

Beweis. Aus dem Satz u achst die ¨ber P∞die majorisierte Konvergenz folgt zun¨ Integrierbarkeit der Reihe n=1 fn und Z ÃX ∞ Ω

!

Z Ã

fk dµ =

lim

Ω

k=1

n→∞

n X

!

Z ÃX n

fk dµ = lim

n→∞

k=1

Ω

! fk dµ

k=1

Pn Pn−1 Wegen fn = k=1 fk − k=1 fk sind auch alle fn integrierbar, und aus der Linearit¨ at des Integrals folgt nun Z ÃX ∞ Ω

k=1

! fk dµ = lim

n→∞

Z ÃX n Ω

! fk dµ = lim

k=1

Damit ist die Folgerung bewiesen.

n→∞

n Z X k=1

Ω

fk dµ =

∞ Z X k=1

fk dµ

Ω

2

8.3 Integrierbare Funktionen

131

Wir untersuchen die im Satz u ¨ber die majorisierte Konvergenz auftretende Art der Konvergenz etwas n¨aher. Eine Folge {fn }n∈N von µ–integrierbaren reellen Funktionen konvergiert im Mittel (bez¨ uglich µ) gegen eine messbare reelle Funktion f , wenn Z lim |fn −f | dµ = 0 n→∞

Ω

gilt; wegen Z

Z

Z

|f | dµ ≤ Ω

|f −fn | dµ + Ω

|fn | dµ Ω

ist dann auch f µ–integrierbar. Der Satz u ¨ ber die majorisierte Konvergenz liefert also eine hinreichende Bedingung daf¨ ur, dass eine Folge von integrierbaren reellen Funktionen, die gegen eine reelle Funktion f konvergiert, auch im Mittel gegen f konvergiert. Wir vergleichen nun die Konvergenz im Mittel mit der Konvergenz im Maß: 8.3.12 Satz. Jede Folge von µ–integrierbaren reellen Funktionen, die im Mittel gegen eine µ–integrierbare reelle Funktion f konvergiert, konvergiert auch im Maß µ gegen f . Beweis. Sei {fn }n∈N eine Folge von integrierbaren reellen Funktionen, die im Mittel gegen eine reelle Funktion f konvergiert. F¨ ur alle ε ∈ (0, ∞) folgt aus der Ungleichung von Markov Z 1 µ[{|fn −f | ≥ ε}] ≤ |fn −f | dµ ε Ω und daraus folgt die Behauptung.

2

Lemma 8.3.6 legt es nahe, den Begriff der µ–Integrierbarkeit und damit auch die Definition des µ–Integrals wie folgt zu erweitern: Eine Funktion h, die µ– fast u ¨berall definiert ist und µ–fast u ¨berall mit einer µ–integrierbaren Funktion f u bereinstimmt, heißt Lebesgue–integrierbar oder µ–integrierbar oder ¨ kurz integrierbar , und in diesem Fall setzen wir Z Z h dµ := f dµ Ω

R

Ω

und nennen Ω h dµ das Lebesgue–Integral oder das µ–Integral oder kurz das Integral von h. Nach Lemma 8.3.6 ist das µ–Integral von h unabh¨ angig von der Wahl der µ–integrierbaren Funktion f mit h =µ f , und nach Lemma 8.3.1 kann f reell gew¨ahlt werden. Mit dieser Erweiterung wird die ¨ µ–Integrierbarkeit zu einer Eigenschaft bestimmter Aquivalenzklassen von 0 ¨ L (F, µ) unter der Aquivalenzrelation =µ .

132

Kapitel 8. Lebesgue–Integral

Alle Ergebnisse dieses Abschnitts gelten auch f¨ ur diese Verallgemeinerung der µ–Integrierbarkeit und des µ–Integrals. Insbesondere kann die an einigen Stellen getroffene Annahme, dass bestimmte µ–integrierbare Funktionen reell sind, entfallen, und der Satz u ¨ber die majorisierte Konvergenz bleibt auch dann g¨ ultig, wenn nur die Konvergenz µ–fast u ¨berall vorausgesetzt wird. Wir k¨ onnen daher bei der Betrachtung einer abz¨ahlbaren Familie von µ–integrierbaren Funktionen stets annehmen, dass alle Funktionen reell sind. Im Hinblick auf die verschiedenen Arten der Konvergenz l¨ asst sich zusammenfassend sagen, dass – aus der Konvergenz fast u ¨berall unter Zusatzbedingungen die Konvergenz im Mittel und – aus der Konvergenz im Mittel ohne Zusatzbedingungen die Konvergenz im Maß folgt; andererseits zeigen die folgenden Beispiele, dass weder aus der Konvergenz im Maß die Konvergenz im Mittel noch aus der Konvergenz im Mittel die Konvergenz fast u ¨berall folgt: 8.3.13 Beispiele. Sei (Ω, F , µ) := (R, B(R), λ). (1) F¨ ur n ∈ N sei fn gegeben durch fn (ω) := n2 χ(0,1/n] (ω) Dann gilt f¨ ur alle ε ∈ (0, ∞) µ[{fn > ε}] ≤ 1/n Daher konvergiert die Folge {fn }n∈N im Maß gegen 0. Andererseits gilt Z fn dµ = n Ω

Daher konvergiert die Folge {fn }n∈N nicht im Mittel. (2) F¨ ur m ∈ N0 und k ∈ {1, . . . , 2m } sei f2m +k−1 gegeben durch f2m +k−1 (ω) := χ((k−1)2−m ,k2−m ] (ω) Dann gilt

Z

h i f2m +k−1 dµ = µ ((k−1)2−m , k2−m ] = 2−m Ω

Daher konvergiert die Folge {fn }n∈N im Mittel gegen 0, aber sie ist nicht fast u ¨berall konvergent.

F¨ ur eine µ–quasiintegrierbare Funktion f setzen wir Z Z f (ω) dµ(ω) := f dµ Ω

Ω

Die Angabe der Integrationsvariablen ist in vielen F¨ allen hilfreich. Dies gilt insbesondere f¨ ur die folgenden Anwendungen des Satzes u ¨ber die majorisierte Konvergenz:

8.3 Integrierbare Funktionen

133

8.3.14 Lemma (Stetigkeitslemma). Sei (a, b) ⊆ R ein nichtleeres Intervall , sei x0 ∈ (a, b) und sei f : (a, b)×Ω → R eine Funktion mit den folgenden Eigenschaften: – F¨ ur alle x ∈ (a, b) ist die Funktion ω 7→ f (x, ω) messbar. – F¨ ur alle ω ∈ Ω ist die Funktion x 7→ f (x, ω) stetig in x0 . – Es gibt eine µ–integrierbare Funktion h : Ω → R mit sup |f (x, ω)| ≤ h(ω) x∈(a,b)

f¨ ur alle ω ∈ Ω. Dann ist die Funktion F : (a, b) → R mit Z F (x) := f (x, ω) dµ(ω) Ω

stetig in x0 . Beweis. Sei {xn }n∈N ⊆ (a, b) eine Folge mit limn→∞ xn = x0 . Dann ist f¨ ur alle n ∈ N0 die Funktion ω → f (xn , ω) messbar und f¨ ur alle ω ∈ Ω gilt limn→∞ f (xn , ω) = f (x0 , ω) und supn∈N |f (xn , ω)| ≤ h(ω). Aus dem Satz u ¨ber die majorisierte Konvergenz folgt nun Z Z lim F (xn ) = lim f (xn , ω) dµ(ω) = f (x0 , ω) dµ(ω) = F (x0 ) n→∞

n→∞

Ω

Ω

Damit ist das Lemma bewiesen.

2

Ein vergleichbares Ergebnis erh¨alt man f¨ ur die Vertauschung von Differentiation und Integration: 8.3.15 Lemma (Differentiationslemma). Sei (a, b) ⊆ R ein nichtleeres Intervall und sei f : (a, b) × Ω → R eine Funktion mit den folgenden Eigenschaften: – F¨ ur alle x ∈ (a, b) ist die Funktion ω 7→ f (x, ω) µ–integrierbar. – F¨ ur alle ω ∈ Ω ist die Funktion x 7→ f (x, ω) differenzierbar. – Es gibt eine µ–integrierbare Funktion h : Ω → R mit ¯ ¯ ¯ df ¯ sup ¯¯ (x, ω)¯¯ ≤ h(ω) x∈(a,b) dx f¨ ur alle ω ∈ Ω. Dann ist die Funktion F : (a, b) → R mit Z F (x) := f (x, ω) dµ(ω) Ω

differenzierbar und es gilt dF (x) = dx

Z Ω

df (x, ω) dµ(ω) dx

134

Kapitel 8. Lebesgue–Integral

Beweis. Sei x0 ∈ (a, b) und sei {xn }n∈N ⊆ (a, b) eine Folge mit xn 6= x0 f¨ ur alle n ∈ N. Dann ist f¨ ur alle n ∈ N die Funktion gn : Ω → R mit gn (ω) :=

f (xn , ω) − f (x0 , ω) xn − x0

messbar und f¨ ur alle ω ∈ Ω gilt lim gn (ω) =

n→∞

df (x0 , ω) dx

Nach dem Mittelwertsatz gibt es f¨ ur alle n ∈ N und ω ∈ Ω ein zn (ω) ∈ (a, b) mit gn (ω) =

df (zn (ω), ω) dx

Daher gilt sup |gn (ω)| ≤ h(ω)

n∈N

Aus dem Satz u ¨ber die majorisierte Konvergenz folgt nun Z Z df (x0 , ω) dµ(ω) = lim gn (ω) dµ(ω) Ω dx Ω n→∞ Z = lim gn (ω) dµ(ω) n→∞ Ω Z f (xn , ω) − f (x0 , ω) = lim dµ(ω) n→∞ Ω xn − x0 F (xn ) − F (x0 ) = lim n→∞ xn − x0 dF = (x0 ) dx Damit ist das Lemma bewiesen.

2

Aufgaben 8.3.A

Quasiintegrierbare Funktionen: (1) Sei f eine messbare Funktion. Dann sind folgende Aussagen ¨ aquivalent: (a) f ist µ–quasiintegrierbar. (b) f + oder f − ist µ–integrierbar. (c) Es gibt positive messbare Funktionen g und h mit f = g − h derart, dass g oder h µ–integrierbar ist. (2) Sei f eine µ–quasiintegrierbare Funktion. Dann gilt f¨ ur jede Wahl von positiven messbaren Funktionen g und h mit f = g − h und R R min{ Ω g dµ, Ω h dµ} < ∞ Z Z Z f dµ = g dµ − h dµ Ω

Ω

Ω

8.4 Lp –R¨ aume

135

(3) Seien f und g µ–quasiintegrierbare Funktionen, von denen mindestens eine µ–integrierbar ist. Dann ist f +g µ–quasiintegrierbar und es gilt Z Z Z (f +g) dµ = f dµ + g dµ Ω

8.3.B

Ω

Ω

Satz von Pratt: Sei {fn }n∈N eine Folge von messbaren Funktionen, die µ–fast u ¨berall gegen eine Funktion f konvergiert, und seien {gn }n∈N und {hn }n∈N Folgen von µ–integrierbaren Funktionen mit gn ≤ fn ≤ hn f¨ ur alle n ∈ N, die µ–fast u Funktion g bzw. ¨berall Rgegen eine µ–integrierbare R R h R konvergieren. Gilt limn→∞ Ω gn dµ = Ω g dµ und limn→∞ Ω hn dµ = h dµ, so ist f µ–integrierbar und es gilt Ω Z Z lim fn dµ = f dµ n→∞

Ω

Ω

Gilt außerdem gn ≤ 0 ≤ hn f¨ ur alle n ∈ N, so gilt auch Z lim |fn −f | dµ = 0 n→∞

8.3.C

Ω

Integrierbare komplexe Funktionen: Eine Funktion f : Ω → C heißt Lebesgue–integrierbar oder µ–integrierbar oder kurz integrierbar , wenn die reellen Funktionen Ref und Imf µ–integrierbar sind; in diesem Fall setzen wir Z Z Z f dµ := Ref dµ + i Imf dµ Ω

Ω

Ω

R und nennen Ω f dµ das Lebesgue–Integral oder das µ–Integral oder kurz das Integral von f . Die Definition des µ–Integrals f¨ ur µ–integrierbare komplexe Funktionen ist mit der Definition des µ–Integrals f¨ ur µ–integrierbare reelle Funktionen vertr¨ aglich. (1) Jede µ–integrierbare komplexe Funktion ist messbar. (2) Sei f eine messbare komplexe Funktion. Dann sind folgende Aussagen aquivalent: ¨ (a) f ist µ–integrierbar. (b) |f | ist µ–integrierbar. (3) Die µ–integrierbaren komplexen Funktionen bilden einen Vektorraum. (4) Sei f eine µ–integrierbare komplexe Funktion. Dann gilt ¯Z ¯ Z ¯ ¯ ¯ f dµ¯ ≤ |f | dµ ¯ ¯ Ω

Ω

Hinweis: Beweisen Sie die Ungleichung zun¨ achst f¨ ur den Fall, dass der Realteil und der Imagin¨ arteil von f einfach ist, und sodann f¨ ur den allgemeinen Fall unter Verwendung des Approximationssatzes.

8.4 Lp –R¨ aume Im gesamten Abschnitt sei p ∈ [1, ∞). Eine messbare Funktion f heißt p–fach µ–integrierbar oder kurz p–fach integrierbar , wenn |f |p µ–integrierbar ist.

136

Kapitel 8. Lebesgue–Integral

Wir betrachten die Familie ½ Lpµ (F )

:=

¯Z ¾ ¯ p ¯ f ∈ L (F ) ¯ |f | dµ < ∞ 0

Ω

aller p–fach µ–integrierbaren reellen Funktionen und untersuchen zun¨ achst die Eigenschaften von Lpµ (F) als Teilmenge des Vektorverbandes L0 (F ). Wir ben¨ otigen das folgende Lemma: 8.4.1 Lemma. F¨ ur alle a, b ∈ R gilt |a + b| ≤ |a| + |b| und |a ∨ b| ≤ |a| + |b| sowie ³ ´p ³ ´ |a| + |b| ≤ 2p−1 |a|p + |b|p Beweis. Die ersten Ungleichungen sind klar. Da die Funktion ϕ : R+ → R+ mit ϕ(x) := xp konvex ist, gilt f¨ ur alle a, b ∈ R+ µ ¶p a+b ap + bp ≤ 2 2 und daraus folgt f¨ ur alle a, b ∈ R ³ ´p ³ ´ |a| + |b| ≤ 2p−1 |a|p + |b|p Damit ist auch die letzte Ungleichung gezeigt.

2

Aus Lemma 8.4.1 folgt zun¨achst, dass Lpµ (F) ein Vektorverband ist, und es ist dann klar, dass Lpµ (F) sogar ein Ideal in L0 (F ) ist. Sei nun

¯ n o ¯ Lp (F , µ) := [h]µ ∈ L0 (F , µ) ¯ es gibt ein f ∈ [h]µ ∩ Lpµ (F)

Da Lpµ (F ) ein Vektorverband und ein Ideal in L0 (F) ist, ist auch Lp (F , µ) ein Vektorverband und ein Ideal in L0 (F, µ). Nach Lemma 8.3.6 gilt f¨ ur alle f, g ∈ Lpµ (F) mit f =µ g Z Z |f |p dµ = |g|p dµ Ω

Ω

Daher ist die Abbildung k . kp : Lp (F , µ) → R+ mit µZ

¶1/p p

k[f ]µ kp :=

|f | dµ Ω

wohldefiniert; im folgenden schreiben wir kf kp anstelle von k[f ]µ kp .

8.4 Lp –R¨ aume

137

Unser erstes Ziel ist es zu zeigen, dass die Abbildung k . kp eine Norm ist. Offenbar gilt kf kp = 0 genau dann, wenn f = 0 gilt, und f¨ ur alle f ∈ Lp (F , µ) und c ∈ R gilt kcf kp = |c| kf kp ; zu zeigen bleibt also noch, dass f¨ ur alle f, g ∈ Lp (F, µ) die Dreiecksungleichung kf +gkp ≤ kf kp + kgkp gilt. Dies ist die Ungleichung von Minkowski, die wir in Lemma 8.4.3 beweisen. F¨ ur p = 1 ist die Ungleichung von Minkowski trivial, und f¨ ur p = 2 geben wir einen einfachen Beweis am Ende dieses Abschnitts. F¨ ur beliebige p ∈ (1, ∞) ergibt sich die Ungleichung von Minkowski aus der folgenden Ungleichung von H¨ older: 8.4.2 Lemma (Ungleichung von H¨ older). Sei p ∈ (1, ∞) und q ∈ (1, ∞) derart, dass 1/p + 1/q = 1. F¨ ur alle f ∈ Lp (F , µ) und g ∈ Lq (F, µ) gilt dann f g ∈ L1 (F, µ) und kf gk1 ≤ kf kp kgkq Beweis. Wir betrachten zun¨achst f¨ ur α ∈ (0, 1) die Funktion ϕα : (0, ∞) → R mit ϕα (x) := α x + (1−α) − xα F¨ ur alle x ∈ (0, ∞) gilt ϕα (x) ≥ ϕα (1) = 0. F¨ ur alle a, b ∈ (0, ∞) folgt daraus 0 ≤ ϕα (a/b) = α (a/b) + (1−α) − (a/b)α und damit aα b1−α ≤ α a + (1−α) b F¨ ur α := 1/p gilt 1 − α = 1/q. Daher gilt f¨ ur alle a, b ∈ (0, ∞) a1/p b1/q ≤

1 1 a+ b p q

und diese Ungleichung gilt sogar f¨ ur alle a, b ∈ R+ . Im Fall kf kp = 1 = kgkp folgt aus der letzten Ungleichung |f g| = (|f |p )1/p (|g|q )1/q ≤

1 p 1 q |f | + |g| p q

und damit Z Z Z 1 1 1 1 1 1 p |f g| dµ ≤ |f | dµ + |g|q dµ = kf kpp + kgkqq = + = 1 p q p q p q Ω Ω Ω Im Fall kf kp > 0 und kgkp > 0 gilt kf /kf kp kp = 1 = kg/kgkq kq , also ¯ Z ¯ ¯ f g ¯¯ ¯ ¯ kf kp kgkq ¯ dµ ≤ 1 Ω

138

Kapitel 8. Lebesgue–Integral

und damit kf gk1 ≤ kf kp kgkq Im Fall kf kp = 0 oder kgkp = 0 gilt f =µ 0 oder g =µ 0, also auch f g =µ 0, und damit kf gk1 = 0; daher gilt die Ungleichung auch in diesem Fall. 2 Wir k¨ onnen nun die Ungleichung von Minkowski beweisen: 8.4.3 Lemma (Ungleichung von Minkowski). F¨ ur alle f, g ∈ Lp (F , µ) gilt kf +gkp ≤ kf kp + kgkp Insbesondere ist die Abbildung k . kp eine Norm auf Lp (F, µ). Beweis. Im Fall p = 1 ist die Ungleichung klar. Sei nun p ∈ (1, ∞) und sei q ∈ (1, ∞) derart, dass 1/p + 1/q = 1. Im Fall kf +gkp = 0 ist nichts zu beweisen. Sei nun kf + gkp > 0. Wegen 1/p + 1/q = 1 gilt q + p = p q und damit p = (p−1) q. Daraus folgt zun¨achst Z Z k |f +g|p−1 kqq = (|f +g|p−1 )q dµ = |f +g|p = kf +gkpp Ω

Ω

und aus der Ungleichung von H¨older erhalten wir nun kf +gkpp = k |f +g|p k1 ≤ k (|f | + |g|) |f +g|p−1 k1 ≤ k |f | |f +g|p−1 k1 + k |g| |f +g|p−1 k1 ≤ kf kp k |f +g|p−1 kq + kgkp k |f +g|p−1 kq ³ ´ = kf kp + kgkp k |f +g|p−1 kq ³ ´ = kf kp + kgkp kf +gkp/q p ³ ´ = kf kp + kgkp kf +gkp−1 p und damit kf + gkp ≤ kf kp + kgkp Damit ist das Lemma bewiesen.

2

Nach Lemma 8.4.3 ist (Lp (F, µ), k . kp ) ein normierter Raum. Unser n¨ achstes Ziel ist es zu zeigen, dass der normierte Raum (Lp (F , µ), k . kp ) vollst¨ andig ist. Dazu ben¨ otigen wir eine Variante des Satzes u ¨ber die majorisierte Konvergenz und die folgende Eigenschaft der Norm k . kp :

8.4 Lp –R¨ aume

139

8.4.4 Folgerung. F¨ ur jede Folge {fn }n∈N ⊆ Lp (F, µ) gilt ÃZ Ã Ω

∞ X

!p |fn |

!1/p dµ

≤

n=1

∞ X

kfn kp

n=1

Beweis. Nach dem Satz u ¨ber die monotone Konvergenz gilt !p !p Z ÃX Z Ã ∞ n X |fk | dµ = sup |fk | dµ Ω

n∈N

Ω

k=1

Ã

Z =

sup Ω n∈N

k=1 n X

n∈N

|fk |

k=1

Z ÃX n

= sup

!p

Ω

dµ !p

|fk |

dµ

k=1

und aus der Ungleichung von Minkowski folgt nun ÃZ Ã Ω

∞ X

!p |fk |

!1/p dµ

ÃZ Ã = sup n∈N

k=1

Ω

n X

!p |fk |

k=1

≤ sup n∈N

=

∞ X

dµ

k=1

° ° n °X ° ° ° = sup ° |fk |° ° ° n∈N n X

!1/p

p

kfk kp

k=1

kfk kp

k=1

Damit ist die Behauptung bewiesen.

2

Wir beweisen nun eine Variante des Satzes u ¨ber die majorisierte Konvergenz: 8.4.5 Satz (Majorisierte Konvergenz; Lebesgue). Sei {fn }n∈N eine Folge von messbaren Funktionen, die µ–fast u ¨berall gegen eine Funktion f konvergiert. Gilt supn∈N |fn | ∈ Lp (F , µ), so gilt auch f ∈ Lp (F , µ) und lim kfn −f kp = 0

n→∞

Insbesondere gilt fn ∈ Lp (F, µ) f¨ ur alle n ∈ N und lim kfn kp = kf kp

n→∞

140

Kapitel 8. Lebesgue–Integral

Beweis. Nach Voraussetzung ist die Funktion g := sup |fn | n∈N

p–fach integrierbar. Damit ist auch jede der Funktionen fn p–fach integrierbar, und wegen |f | ≤ g ist auch f p–fach integrierbar. Aus Lemma 8.4.1 erhalten wir |fn −f |p ≤ (|fn |+|f |)p ≤ 2p−1 (|fn |p +|f |p ) ≤ 2p−1 (g p +g p ) = (2g)p und damit (2g)p − |fn −f |p ≥ 0 Nach Voraussetzung gilt ³ ´ lim (2g)p − |fn −f |p = (2g)p

n→∞

und aus dem Lemma von Fatou folgt nun Z Z ³ ´ (2g)p dµ = lim (2g)p − |fn −f |p dµ n→∞ Ω ZΩ ³ ´ = lim inf (2g)p − |fn −f |p dµ Ω n→∞ Z ³ ´ ≤ lim inf (2g)p − |fn −f |p dµ n→∞ Ω Z Z ³ ´ p = (2g) dµ + lim inf −|fn −f |p dµ n→∞ ZΩ ZΩ p = (2g) dµ − lim sup |fn −f |p dµ n→∞

Ω

Ω

Da g p–fach integrierbar ist, erhalten wir daraus Z lim sup |fn −f |p dµ ≤ 0 n→∞

Ω

R

und damit limn→∞ Ω |fn − f |p dµ = 0. Die abschließende Behauptung folgt nun aus der Dreiecksungleichung. 2 Wir k¨ onnen nun zeigen, dass der normierte Raum (Lp (F, µ), k . kp ) vollst¨ andig ist. 8.4.6 Lemma (Riesz/Fischer). (Lp (F, µ), k . kp ) ist vollst¨ andig. Beweis. Sei {fn }n∈N eine Cauchy–Folge in (Lp (F, µ), k . kp ). Dann gibt es eine streng monoton wachsende Folge {nk }k∈N ⊆ N mit kfnk+1 −fnk kp ≤ 2−k

8.4 Lp –R¨ aume

141

f¨ ur alle k ∈ N. Aus Folgerung 8.4.4 ergibt sich nun ÃZ Ã !p !1/p ∞ ∞ X X |fn1 | + |fnk+1 −fnk | dµ ≤ kfn1 kp + kfnk+1 − fnk kp Ω

k=1

k=1

≤ kfn1 kp + 1 Daher ist die Funktion g := |fn1 | +

∞ X

|fnk+1 −fnk |

k=1

p–fach integrierbar und wir k¨onnen annehmen, dass g reell ist. Daher gibt es eine messbare reelle Funktion f mit f = fn1 + lim

r→∞

r X ¡ ¢ fnk+1 −fnk k=1

Wir betrachten nun m ∈ N. Dann gilt f − fnm = lim

r→∞

r X ¡ ¢ fnk+1 −fnk k=m

und f¨ ur alle r ∈ N(m) gilt ¯ ¯ r r ∞ ¯X X X ¡ ¢¯¯ ¯ fnk+1 −fnk ¯ ≤ |fnk+1 −fnk | ≤ |fn1 | + |fnk+1 −fnk | = g ¯ ¯ ¯ k=m

k=m

k=1

Da g p–fach integrierbar ist, ergibt sich nun aus dem Satz u ¨ber die majorisierte Konvergenz f − fnm ∈ Lp (F, µ) und ° ° ° ° r r ° °X X ¡ ¢° ¡ ¢° ° ° ° ° kf − fnm kp = ° lim fnk+1 −fnk ° = lim ° fnk+1 −fnk ° r→∞° °r→∞ ° ° k=m

k=m

p

p

p

Wegen f = (f −fnm ) + fnm gilt dann f ∈ L (F, µ) und aus der Absch¨ atzung ° ° r r r °X X X ¡ ¢° ° ° fnk+1 −fnk ° ≤ kfnk+1 −fnk kp = 2−k ≤ 2−m+1 ° ° ° k=m

p

k=m

k=m

ergibt sich nun

° ° r °X ¡ ¢° ° ° kf −fnm kp = lim ° fnk+1 −fnk ° ≤ 2−m+1 r→∞° ° k=m

p

Daher gilt lim kf −fnm kp = 0

m→∞

Da {fn }n∈N eine Cauchy–Folge ist, folgt daraus limn→∞ kf −fn kp = 0.

2

142

Kapitel 8. Lebesgue–Integral

Nach Lemma 8.4.6 ist (Lp (F, µ), k . kp ) ein Banach–Raum. Der folgende Satz fasst die Eigenschaften von (Lp (F, µ), k . kp ) zusammen: 8.4.7 Satz. L0 (F, µ).

(Lp (F , µ), k . kp ) ist ein Banach–Verband und ein Ideal in

Eine Folge {fn }n∈N von p–fach µ–integrierbaren Funktionen konvergiert im p–ten Mittel (bez¨ uglich µ) gegen eine messbare Funktion f , wenn lim kfn −f kp = 0

n→∞

gilt; in diesem Fall ist auch f p–fach µ–integrierbar. Im Fall p = 1 ist die Konvergenz im p–ten Mittel gerade die Konvergenz im Mittel und im Fall p = 2 bezeichnet man die Konvergenz im p–ten Mittel auch als Konvergenz im quadratischen Mittel . Aus der Ungleichung von Markov ergibt sich der folgende Zusammenhang zwischen der Konvergenz im p–ten Mittel und der Konvergenz im Maß: 8.4.8 Satz. Jede Folge von p–fach µ–integrierbaren Funktionen, die im p–ten Mittel gegen eine Funktion f konvergiert, konvergiert auch im Maß µ gegen f . Beweis. Sei {fn }n∈N eine Folge von p–fach µ–integrierbaren Funktionen, die im p–ten Mittel gegen f konvergiert. Da die Funktion h : R+ → R+ mit h(x) := xp monoton wachsend ist, gilt nach der Ungleichung von Markov in der Form von Folgerung 8.2.6 f¨ ur alle ε ∈ (0, ∞) µ[{|fn −f | ≥ ε}] ≤

1 kfn −f kpp εp

Daraus folgt die Behauptung.

2

Wir beziehen nun den Banach–Verband L∞ (F, µ) in die Betrachtung mit ein. Unter zus¨ atzlichen Annahmen an das Maß µ lassen sich die R¨ aume Lp (F , µ) mit p ∈ [1, ∞] untereinander vergleichen: 8.4.9 Beispiele. (1) Folgenr¨ aume: Sei (Ω, F , µ) := (N0 , 2N0 , ζ) mit ζ[A] := |A|. Dann ist jede ¯ messbar und f¨ Funktion f : Ω → R ur alle p ∈ [1, ∞) gilt Z |f |p dµ = Ω

∞ X

|f (n)|p

n=0

¯ mit einer Folge {an }n∈N ⊆ R. ¯ F¨ Wir identifizieren nun jede Funktion Ω → R ur 0 p ∈ {0} ∪ [1, ∞] sei `p := Lp (F , µ)

8.4 Lp –R¨ aume

143

Dann ist `0 der Raum aller Folgen in R und `∞ ist der Raum aller beschr¨ ankten Folgen, und f¨ ur p ∈ [1, ∞) ist `p der Raum aller Folgen {an }n∈N0 mit ∞ X

|an |p < ∞

n=0

Insbesondere ist jede Folge in `p mit p ∈ [1, ∞) eine Nullfolge. Die Folgen in `p heißen p–fach summierbar . Sei p, r ∈ [1, ∞) mit p < r. Dann gilt r/p > 1. F¨ ur jede Folge {an }n∈N0 ∈ `p und alle hinreichend großen n ∈ N0 gilt daher |an |r = (|an |p )r/p ≤ |an |p und damit {an }n∈N0 ∈ `r . Daher gilt `p ⊆ `r . Da jede r–fach summierbare Folge eine Nullfolge und damit beschr¨ ankt ist, gilt außerdem `r ⊆ `∞ . Insgesamt erh¨ alt man f¨ ur alle p, r ∈ (1, ∞) mit p < r `1 ⊆ `p ⊆ `r ⊆ `∞ (2) Endliche Maßr¨ aume: Sei (Ω, F , µ) ein endlicher Maßraum. F¨ ur p, r ∈ [1, ∞) mit p < r gilt r/p > 1. Aufgrund der Ungleichung von H¨ older gilt f¨ ur jede Funktion f ∈ Lr (F , µ) Z |f |p dµ = k |f |p k1 Ω

≤ k |f |p kr/p k 1 kr/(r−p) µZ ³ ¶(r−p)/r ´r/p ¶p/r µZ = |f |p dµ 1r/(r−p) dµ Ω

Ω

= k f kpr (µ[Ω])(r−p)/r und aus der Endlichkeit des Maßes folgt nun f ∈ Lp (F , µ). Daher gilt Lr (F , µ) ⊆ Lp (F , µ). Aus der Endlichkeit des Maßes folgt außerdem L∞ (F , µ) ⊆ Lr (F , µ). Insgesamt erh¨ alt man f¨ ur alle p, r ∈ (1, ∞) mit p < r L∞ (F , µ) ⊆ Lr (F , µ) ⊆ Lp (F , µ) ⊆ L1 (F , µ)

Wir betrachten abschließend den Fall p = 2, der Besonderheiten aufweist und in dem der Beweis der Ungleichungen von H¨older und Minkowski vereinfacht 0 werden R 2 kann. Eine Funktion f ∈2L (F) heißt quadratisch µ–integrierbar , wenn f dµ < ∞ und damit f ∈ L (F ) gilt. µ Ω Sind f und g quadratisch µ–integrierbare Funktionen, so sind f 2 und g 2 µ– integrierbar und wegen |f g| ≤ f 2 χ{|g|≤|f |} + g 2 χ{|g|>|f |} ≤ f 2 + g 2 ist auch das Produkt f g µ–integrierbar. Daher ist die Abbildung h . , . i2 : L2 (F, µ)×L2 (F, µ) → R mit Z hf, gi2 := f g dµ Ω

wohldefiniert, und aus den Eigenschaften des Integrals erh¨ alt man sofort das folgende Ergebnis:

144

Kapitel 8. Lebesgue–Integral

8.4.10 Lemma. Die Abbildung h . , . i2 ist ein Skalarprodukt auf L2 (F , µ). F¨ ur jedes Skalarprodukt gilt die Ungleichung von Cauchy/Schwarz: 8.4.11 Lemma (Ungleichung von Cauchy/Schwarz). f, g ∈ L2 (F, µ) gilt hf, gi22 ≤ hf, f i2 hg, gi2

F¨ ur alle

Beweis. Im Fall g = 0 ist nichts zu zeigen. Im Fall g 6= 0 gilt f¨ ur alle c ∈ R 0 ≤ hf +cg, f +cgi2 = hf, f i2 + 2c hf, gi2 + c2 hg, gi2 und mit c := − hf, gi2 /hg, gi2 ergibt sich daraus die Behauptung.

2

F¨ ur alle f ∈ L2 (F , µ) gilt 1/2

kf k2 = hf, f i2

Aus dieser Gleichung und der Ungleichung von Cauchy/Schwarz erh¨ alt man das folgende Ergebnis, das aus Lemma 8.4.3 bereits bekannt ist: 8.4.12 Lemma. Die Abbildung k . k2 ist eine Norm auf L2 (F , µ). 1/2

Beweis. F¨ ur alle f ∈ L2 (F, µ) folgt wegen kf k2 = hf, f i2 aus den Eigenschaften des Skalarproduktes, dass kf k = 0 genau dann gilt, wenn f = 0 gilt, und dass f¨ ur alle c ∈ R die Gleichung kcf k = |c| kf k gilt. Aus der Ungleichung von Cauchy/Schwarz ergibt sich ferner f¨ ur alle f, g ∈ L2 (F , µ) kf +gk22 = hf +g, f +gi2 = hf, f i2 + 2 hf, gi2 + hg, gi2 1/2

1/2

≤ hf, f i2 + 2 hf, f i2 hg, gi2 ³ ´2 1/2 1/2 = hf, f i2 + hg, gi2 ³ ´2 = kf k2 + kgk2 und damit die Dreiecksungleichung.

+ hg, gi2

2

Unter Verwendung der Normen k . k2 und k . k1 l¨ asst sich die Ungleichung von Cauchy/Schwarz auch in der Form kf gk1 ≤ kf k2 kgk2 schreiben. Sie ist damit ein Spezialfall der Ungleichung von H¨ older, und es ist klar, dass die Dreiecksungleichung f¨ ur die Norm k . k2 ein Spezialfall der Ungleichung von Minkowski ist.

8.4 Lp –R¨ aume

145

Nach Lemma 8.4.6 ist der normierte Raum (L2 (F, µ), k . k2 ) vollst¨ andig. Daher ist (L2 (F , µ), h . , . i2 ) ein Hilbert–Raum. Der folgende Satz fasst die Eigenschaften von (L2 (F , µ), h . , . i2 ) zusammen: 8.4.13 Satz. L0 (F, µ).

(L2 (F , µ), h . , . i2 ) ist ein Hilbert–Verband und ein Ideal in

Aufgaben 8.4.A

Ungleichung von H¨ older: F¨ ur alle f ∈ L1 (F , µ) und g ∈ L∞ (F , µ) gilt 1 f g ∈ L (F , µ) und kf gk1 ≤ kf k1 kgk∞

8.4.B

F¨ ur alle p ∈ [1, ∞) besitzt jede Folge von p–fach µ–integrierbaren Funktionen, die im p–ten Mittel gegen eine p–fach µ–integrierbare Funktion f konvergiert, eine Teilfolge, die µ–fast u ¨berall gegen f konvergiert. Hinweis: Beweis von Lemma 8.4.6.

8.4.C

F¨ ur p ∈ (0, 1) heißt eine messbare Funktion f p–fach µ–integrierbar , wenn |f |p µ–integrierbar ist. Wir setzen ¯Z ½ ¾ ¯ Lpµ (F ) := f ∈ L0 (F ) ¯¯ |f |p dµ < ∞ Ω

und Lp (F , µ) :=

n

¯ o ¯ [h]µ ∈ L0 (F , µ) ¯ es gibt ein f ∈ [h]µ ∩ Lpµ (F )

(1) Lp (F , µ) ist ein Vektorraum. (2) Die Abbildung dp : Lp (F , µ) × Lp (F , µ) mit Z dp (f, g) := |f −g|p dµ Ω

ist (wohldefiniert und) eine Metrik und diese Metrik ist translationsinvariant, aber nicht absolut homogen. (3) Der metrische Raum (Lp (F , µ), dp ) ist vollst¨ andig.

9 Berechnung des Lebesgue–Integrals

Nachdem das Lebesgue–Integral auf der Grundlage eines Maßes konstruiert ist, betrachten wir nun auch Maße, die durch Integrale dargestellt werden k¨ onnen. Ausgangspunkt ist die Beobachtung, dass man zu jeder positiven messbaren Funktion durch Integration ein Maß erh¨ alt, das als unbestimmtes Integral bezeichnet wird (Abschnitt 9.1) und auf den Begriff eines Maßes mit Dichte f¨ uhrt. Maße mit Dichte spielen in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine zentrale Rolle. Sie sind aber auch in der allgemeinen Integrationstheorie von Interesse, da die Berechnung eines Integrals nach einem Maß mit Dichte sich in vielen F¨ allen durch die Kettenregel vereinfachen l¨ asst (Abschnitt 9.2). Schließlich liefert der Satz von Radon/Nikodym eine Bedingung daf¨ ur, dass ein Maß eine Dichte bez¨ uglich einem anderen Maß besitzt (Abschnitt 9.3). Mit der Anwendung der Kettenregel wird das integrierende Maß gewechselt. Dies ist auch das Wesen der Substitutionsregel, bei der ein gegebenes Integral durch ein Integral nach dem Bildmaß des integrierenden Maßes unter einer messbaren Transformation dargestellt wird (Abschnitt 9.4). Um die Vorteile der Substitutionsregel nutzen zu k¨onnen, ist es gelegentlich erforderlich, die Integration nach einem eingeschr¨ankten Maß zu betrachten (Abschnitt 9.5). Das enge Wechselspiel zwischen Maßen und Integralen zeigt sich auch bei der Konstruktion von Produktmaßen (Abschnitt 9.6). Das Hauptergebnis u ¨ber die Integration nach einem Produktmaß ist der Satz von Fubini, der es erm¨ oglicht, Integrale von positiven oder integrierbaren Funktionen in mehreren Variablen durch die sukzessive Integration nach einer einzigen Variablen zu berechnen (Abschnitt 9.7). F¨ ur die Berechnung des Integrals einer Funktion in einer reellen Variablen ist schließlich der Zusammenhang zwischen dem Lebesgue–Integral und dem Riemann–Integral von Nutzen (Abschnitt 9.8). Im gesamten Kapitel sei (Ω, F, µ) ein Maßraum. K.D. Schmidt, Maß und Wahrscheinlichkeit, 2. Aufl., Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-21026-6_9, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

148

Kapitel 9. Berechnung des Lebesgue–Integrals

9.1 Integralinduzierte Maße und signierte Maße Sei f eine messbare Funktion, die positiv oder µ–integrierbar ist. Ist f positiv, so ist f¨ ur alle A ∈ F auch f χA positiv, und ist f µ–integrierbar, so ist f¨ ur alle A ∈ F wegen |f χRA | ≤ |f | auch f χA µ–integrierbar. Daher ist in beiden ¯ mit F¨ allen die Abbildung f dµ : F → R µZ ¶ Z f dµ [A] := f χA dµ Ω

erkl¨ art; zur Vereinfachung der Notation setzen wir Z Z f dµ := f χA dµ A

Ω

R

Die Abbildung f dµ heißt das unbestimmte µ–Integral von f . Der folgende Satz kl¨ art die Eigenschaften des unbestimmten µ–Integrals: 9.1.1 Satz. Sei f messbar. (1) Ist f positiv , so ist das unbestimmte µ–Integral von f ein Maß. (2) Ist f µ–integrierbar , so ist das unbestimmte µ–Integral von f ein endliches signiertes Maß. Beweis. (1) Sei f positiv. Dann gilt Z Z f dµ = f χ∅ dµ = 0 ∅

Ω

Außerdem gilt f¨ ur jede disjunkte Folge {An }n∈N ⊆ F nach dem Satz u ¨ ber die monotone Konvergenz Z Z f dµ = f χP∞ dµ P n=1 An ∞ n=1

An

Ω

! Z Ã X ∞ = f χAn dµ Ω

=

Ω

= =

n=1

Z ÃX ∞

f χAn dµ

n=1

∞ Z X

n=1 Ω ∞ Z X n=1

!

f χAn dµ f dµ

An

Daher ist das unbestimmte µ–Integral von f ein Maß.

9.2 Integration nach einem Maß mit Dichte

149

(2) Sei f µ–integrierbar. Dann sind auch f + und f − µ–integrierbar und nach (1) sind die unbestimmten µ–Integrale von f + und f − Maße, die aufgrund der µ–Integrierbarkeit von f + und f − sogar endlich sind. F¨ ur alle A ∈ F gilt f χA = f + χA − f − χA und damit Z Z Z Z Z Z f dµ = f χA dµ = f + χA dµ − f − χA dµ = f + dµ − f − dµ A

Ω

Ω

Ω

A

A

Daher ist das unbestimmte µ–Integral von f ein endliches signiertes Maß. 2 Aufgaben R

9.1.A

Unbestimmtes Integral: Es gilt

9.1.B

Unbestimmtes Integral: Erweitern Sie den Begriff des unbestimmten Integrals auf µ–quasiintegrierbare Funktionen und zeigen Sie, dass das unbestimmte Integral einer µ–quasiintegrierbaren Funktion ein signiertes Maß ist.

1 dµ = µ.

9.2 Integration nach einem Maß mit Dichte Ein Maß ν : F → [0, ∞] heißt Maß mit µ–Dichte oder kurz Maß mit Dichte, wenn es eine positive messbare Funktion f gibt mit Z ν = f dµ Ist ν ein Maß mit µ–Dichte, so heißt jede positive messbare Funktion f mit Z ν = f dµ µ–Dichte von ν. Offenbar ist ein Maß genau dann ein Maß mit µ–Dichte, wenn es das unbestimmte µ–Integral einer positiven messbaren Funktion ist. 9.2.1 Lemma. Sei ν : F → [0, ∞] ein Maß mit µ–Dichte. Dann ist jede µ–Nullmenge eine ν–Nullmenge. Beweis. Sei f eine µ–Dichte von ν. F¨ ur jede Menge A ∈ F mit µ[A] = 0 gilt dann f χA = 0 µ–fast u ¨berall, und aus Lemma 8.2.8 folgt nun Z Z ν[A] = f dµ = f χA dµ = 0 A

Damit ist die Behauptung gezeigt.

Ω

2

Der folgende Satz zeigt, dass jedes Integral nach einem Maß mit µ–Dichte als Integral nach µ dargestellt werden kann:

150

Kapitel 9. Berechnung des Lebesgue–Integrals

9.2.2 Satz (Kettenregel). Sei ν : F → [0, ∞] ein Maß mit µ–Dichte und sei f eine µ–Dichte von ν. Sei ferner h eine messbare Funktion. (1) Ist h positiv , so gilt Z Z h dν =

hf dµ

(2) h ist genau dann ν–integrierbar, wenn hf µ–integrierbar ist, und in diesem Fall gilt Z Z h dν = hf dµ

Beweis. Sei A ∈ F beliebig. (1) F¨ ur alle C ∈ F gilt Z Z Z χC dν = χC∩A dν = ν[C ∩ A] = A

Ω

Z f dµ =

C∩A

χC f dµ A

Damit ist die Behauptung f¨ ur h = χC mit C ∈ F gezeigt. Aus der positiven Linearit¨ at des Integrals folgt dann die Behauptung f¨ ur den Fall, dass h eine positive einfache Funktion ist, und aus dem Satz u ¨ber die monotone Konvergenz folgt sodann die Behauptung f¨ ur den Fall, dass h eine beliebige positive messbare Funktion ist. (2) Wegen (1) gilt Z Z Z |h| dν = |h|f dµ = |hf | dµ Ω

Ω

Ω

Daraus folgt die Behauptung u ¨ber die Integrierbarkeit von h und hf . Sei nun h ν–integrierbar und damit hf µ–integrierbar. Wegen h = h+ − h− gilt hf = h+ f − h− f = (hf)+ − (hf )− und aus (1) folgt Z Z Z h dν = h+ dν − h− dν A A A Z Z + = h f dµ − h− f dµ A A Z Z = (hf )+ dµ − (hf )− dµ A ZA = hf dµ A

Damit ist die Behauptung bewiesen.

2

Es stellt sich die Frage, ob die µ–Dichte eines Maßes mit µ–Dichte eindeutig bestimmt ist. Das folgende Beispiel zeigt, dass dies im allgemeinen nicht der Fall ist:

9.2 Integration nach einem Maß mit Dichte

151

9.2.3 Beispiel. Sei F := {∅, Ω} und µ[Ω] = ∞. Sei ν := µ Dann ist f¨ ur alle n ∈ N die Funktion fn : Ω → R mit fn (ω) := n eine µ–Dichte von ν. Die Maße µ und ν sind weder endlich noch σ–endlich.

Unser Ziel ist es nun zu zeigen, dass die µ–Dichte eines Maßes ν mit µ–Dichte eindeutig bestimmt ist, wenn mindestens eines der Maße µ oder ν σ–endlich ist. Wir betrachten zun¨achst unbestimmte Integrale von µ–integrierbaren Funktionen: 9.2.4 Lemma. Seien f, g µ–integrierbare Funktionen mit Z Z f dµ ≤ g dµ Dann gilt f ≤ g µ–fast u ¨berall. Beweis. F¨ ur alle n ∈ N sei An := {f ≥ g + 1/n}. Dann ist die Folge {An }n∈N monoton wachsend mit [ {f > g} = An n∈N

F¨ ur alle n ∈ N gilt ¶ Z Z Z µ Z 1 1 1 f dµ + µ[An ] ≤ g dµ + µ[An ] = g+ dµ ≤ f dµ n n n An An An An und damit µ[An ] = 0, da f integrierbar ist. Da die Vereinigung einer Folge von Nullmengen wieder eine Nullmenge ist, ergibt sich µ[{f > g}] = 0. 2 9.2.5 Folgerung. Seien f, g µ–integrierbare Funktionen mit Z Z f dµ = g dµ Dann gilt f = g µ–fast u ¨berall. Der folgende Satz liefert eine Charakterisierung σ–endlicher Maße. Er zeigt insbesondere, dass jedes σ–endliche Maß als unbestimmtes Integral bez¨ uglich einem endlichen Maß dargestellt werden kann, und liefert damit in Verbindung mit der Kettenregel eine M¨oglichkeit, Eigenschaften von unbestimmten Integralen bez¨ uglich einem endlichen Maß auf unbestimmte Integrale bez¨ uglich einem σ–endlichen Maß zu u ¨bertragen:

152

Kapitel 9. Berechnung des Lebesgue–Integrals

9.2.6 Satz. Folgende Aussagen sind ¨aquivalent: (a) µ ist σ–endlich. (b) Es gibt eine µ–integrierbare Funktion h mit 0 < h(ω) < ∞ f¨ ur alle ω ∈ Ω. (c) Es gibt ein endliches Maß ϕ und eine messbare Funktion h mit 0 < h(ω) < ∞ f¨ ur alle ω ∈ Ω und Z ϕ = h dµ In diesem Fall gilt

Z

1 dϕ h und µ und ϕ besitzen dieselben Nullmengen. µ=

Beweis. Wir nehmen zun¨ S achst an, dass (a) gilt. Dann gibt es eine Folge {An }n∈N ⊆ F mit Ω = n∈N An und µ[An ] < ∞ f¨ ur alle n ∈ N. F¨ ur alle n ∈ N w¨ ahlen wir ein an ∈ (0, 2−n ] mit an µ[An ] ≤ 2−n . Sei h :=

∞ X

an χAn

n=1

Dann gilt 0 < h(ω) < ∞ f¨ ur alle ω ∈ Ω, und nach dem Satz u ¨ber die monotone Konvergenz ist h µ–integrierbar. Daher folgt (b) aus (a). Wir nehmen nun an, dass (b) gilt. F¨ ur alle n ∈ N sei An := {h ≥ 1/n}. Dann gilt [ Ω = {h > 0} = An n∈N

und f¨ ur alle n ∈ N gilt Z Z µ[An ] = 1 dµ ≤ An

An

Z nh dµ = n

h dµ = n ϕ[An ] An

und damit µ[An ] < ∞. Daher ist µ σ–endlich und (a) folgt aus (b). ¨ Die Aquivalenz von (b) und (c) ist klar. Wir nehmen schließlich an, dass (c) gilt, Aus der Kettenregel 9.2.2 ergibt sich dann Z Z Z 1 1 µ = 1 dµ = h dµ = dϕ h h Die letzte Behauptung ergibt sich aus Lemma 9.2.1.

2

9.2.7 Lemma. Sei µ σ–endlich und seien f, g positive messbare Funktionen mit Z Z f dµ ≤ g dµ Dann gilt f ≤ g µ–fast u ¨berall.

9.2 Integration nach einem Maß mit Dichte

153

Beweis. Wir nehmen zun¨ ur alle n ∈ N sei Sachst an, dass µ endlich ist. F¨ Bn := {g ≤ n}. Dann gilt n∈N Bn = {g < ∞}. F¨ ur alle A ∈ F gilt Z Z Z Z f χBn dµ = f dµ ≤ g dµ = gχBn dµ A

A∩Bn

Insbesondere gilt Z Ω

A∩Bn

Z f χBn dµ ≤

Ω

A

Z gχBn dµ ≤

n dµ = n µ[Ω] Ω

Da µ endlich ist, folgt hieraus die Integrierbarkeit von f χBn und gχBn , und aus Lemma 9.2.4 erhalten wir nun f χBn ≤ gχBn µ–fast u ¨berall. Da die Vereinigung einer Folge von Nullmengen wieder eine Nullmenge ist, ergibt sich daraus f χ{g<∞} ≤ gχ{g<∞} µ–fast u ¨berall, und damit f ≤ g µ–fast u ¨berall. Wir nehmen nun an, dass µ σ–endlich ist. Nach Satz 9.2.6 gibt es ein endliches Maß ϕ und eine messbare Funktion h mit 0 < h(ω) < ∞ f¨ ur alle ω ∈ Ω und Z 1 µ= dϕ h Aus der Kettenregel 9.2.2 ergibt sich dann Z Z Z Z 1 1 f dϕ = f dµ ≤ g dµ = g dϕ h h Da ϕ ein endliches Maß ist, erhalten wir aus dem ersten Teil des Beweises f /h ≤ g/h ϕ–fast u ¨berall und damit f ≤ g ϕ–fast u ¨berall. Da jede ϕ–Nullmenge auch eine µ–Nullmenge ist, erhalten wir f ≤ g µ–fast u 2 ¨berall. 9.2.8 Folgerung. Sei µ σ–endlich und seien f, g positive messbare Funktionen mit Z Z f dµ = g dµ Dann gilt f = g µ–fast u ¨berall. Wir kommen nun zu dem angek¨ undigten Eindeutigkeitssatz f¨ ur Maße mit Dichten: 9.2.9 Satz. Sei ν ein Maß mit µ–Dichte. Ist µ oder ν σ–endlich, so ist die µ–Dichte von ν µ–fast ¨ uberall eindeutig bestimmt. Beweis. Seien f, g µ–Dichten von ν. Dann gilt Z Z f dµ = ν = g dµ (1) Ist µ σ–endlich, so ergibt sich aus Folgerung 9.2.8 f = g µ–fast u ¨berall.

154

Kapitel 9. Berechnung des Lebesgue–Integrals

(2) Ist µ beliebig und ν endlich, so ergibt sich aus Folgerung 9.2.5 f = g µ–fast u ¨berall. (3) Sei nun µ beliebig und ν σ–endlich. Nach Satz 9.2.6 gibt es ein endliches Maß ϕ und eine messbare Funktion h mit 0 < h(ω) < ∞ f¨ ur alle ω ∈ Ω und Z ϕ = h dν Aus der Kettenregel 9.2.2 folgt nun Z Z Z Z hf dµ = h dν = ϕ = h dν = hg dµ Daher ist ϕ ein endliches Maß mit µ–Dichte und jede der Funktionen hf und hg ist eine µ–Dichte von ϕ. Aus (2) ergibt sich nun hf = hg µ–fast u ¨berall und damit f = g µ–fast u 2 ¨berall. Abschließend charakterisieren wir endliche und σ–endliche Maße mit µ–Dichte durch Eigenschaften ihrer µ–Dichten: 9.2.10 Satz. Sei µ σ–endlich und sei ν ein Maß mit µ–Dichte f . Dann gilt: (1) ν ist genau dann endlich, wenn f µ–integrierbar ist. (2) ν ist genau dann σ–endlich, wenn f µ–fast ¨ uberall endlich ist. Beweis. Aussage (1) ist klar. Wir nehmen nun an, dass ν σ–endlich ist. Nach Satz 9.2.6 gibt es ein endliches Maß ϕ und eine messbare Funktion h mit 0 < h(ω) < ∞ f¨ ur alle ω ∈ Ω und Z ϕ = h dν und aus der Kettenregel 9.2.2 folgt nun Z Z ϕ = h dν = hf dµ Nach (1) ist die Funktion hf µ–integrierbar und aus Lemma 8.2.7 folgt nun, dass hf µ–fast u ¨ berall endlich ist. Dann ist aber auch f µ–fast u ¨berall endlich. Wir nehmen abschließend an, dass f µ–fast u berall endlich ist. ¨ – Sei zun¨ achst µ endlich. F¨ uS r alle n ∈ N sei An := {f ≤ n} und Bn := An ∪ {f = ∞}. Dann gilt n∈N Bn = Ω und f¨ ur alle n ∈ N gilt wegen f χBn = f χAn µ–fast u ¨berall Z Z Z Z ν[Bn ] = f dµ = f χBn dµ = f χAn dµ ≤ n dµ = n µ[Ω] Bn

Ω

Ω

und damit ν[Bn ] < ∞. Daher ist ν σ–endlich.

Ω

9.3 Absolutstetige und singul¨ are Maße

–

155

Sei nun µ σ–endlich. Nach Satz 9.2.6 gibt es ein endliches Maß ϕ und eine messbare Funktion h mit 0 < h(ω) < ∞ f¨ ur alle ω ∈ Ω sowie Z ϕ = h dµ und

Z µ=

1 dϕ h

Aus der Kettenregel 9.2.2 folgt nun Z Z 1 ν = f dµ = f dϕ h Da f µ–fast u ¨ berall endlich ist, ist auch f /h µ–fast u ¨ berall endlich und damit ϕ–fast u ¨berall endlich. Da ϕ endlich ist, folgt aus dem bereits gezeigten, dass ν σ–endlich ist. Damit ist der Satz bewiesen. 2 Aufgaben 9.2.A

Lokales Z¨ ahlmaß: Sei C ∈ F abz¨ ahlbar. Dann besitzt das lokale Z¨ ahlmaß ζ C bez¨ uglich C die ζ–Dichte χC .

9.2.B

Kettenregel: Sei ν : F → [0, ∞] ein Maß mit µ–Dichte und sei f eine µ– Dichte von ν. Sei ferner h eine messbare Funktion. Dann gilt: h ist genau dann ν–quasiintegrierbar, wenn hf µ–quasiintegrierbar ist, und in diesem Fall gilt Z Z h dν = hf dµ Hinweis: Es gilt h+ = hχ{h≥0} und h− = −hχ{h≤0} .

9.2.C

Sei (Ω, F , µ) := (R, B(R), λ). Geben Sie eine messbare FunktionRh an mit 0 < h(ω) < ∞ f¨ ur alle ω ∈ Ω, f¨ ur die das unbestimmte Integral h dµ ein endliches Maß ist.

9.3 Absolutstetige und singul¨ are Maße Ein Maß ν : F → [0, ∞] heißt absolutstetig bez¨ uglich µ oder kurz µ–stetig, wenn f¨ ur alle A ∈ F mit µ[A] = 0 auch ν[A] = 0 gilt; in diesem Fall schreiben wir ν¿µ

156

Kapitel 9. Berechnung des Lebesgue–Integrals

Nach Lemma 9.2.1 ist jedes Maß mit µ–Dichte µ–stetig. Wir zeigen nun, dass unter der Voraussetzung, dass µ σ-endlich ist, auch die Umkehrung dieser Implikation gilt: 9.3.1 Satz (Radon/Nikodym). Sei µ σ–endlich und sei ν ein Maß mit ν ¿ µ. Dann gibt es eine positive messbare Funktion f mit Z ν = f dµ Die Funktion f ist µ–fast u ¨berall eindeutig bestimmt. Beweis. Die Aussage u ¨ ber die Eindeutigkeit der Funktion f ergibt sich aus Satz 9.2.9. Wir f¨ uhren den Beweis ihrer Existenz in drei Schritten: (1) Wir nehmen zun¨achst an, dass µ und ν endlich sind. Sei ¯Z ½ ¾ ¯ ¯ H := h : Ω → [0, ∞] messbar ¯ h dµ ≤ ν[A] f¨ ur alle A ∈ F A

Die Menge H ist nichtleer und sie enth¨alt mit je zwei Funktionen auch ihr Supremum, denn f¨ ur g, h ∈ H gilt f¨ ur alle A ∈ F Z Z Z (g ∨ h) dµ = g dµ + h dµ A

A∩{g≥h}

A∩{g
≤ ν[A ∩ {g ≥ h}] + ν[A ∩ {g < h}] = ν[A] und damit g ∨ h ∈ H. Des weiteren gibt es eine Folge {hn }n∈N ⊆ H mit Z Z sup hn dµ = sup h dµ n∈N

h∈H

Ω

Ω

Dann ist die Folge {fn }n∈N mit fn :=

sup k∈{1,...,n}

hk

positiv und monoton wachsend mit hn ≤ fn ∈ H und aus der Monotonie des Integrals folgt Z Z sup fn dµ = sup h dµ n∈N

Ω

h∈H

Ω

Wir setzen f := sup fn n∈N

Aus dem Satz u ur alle A ∈ F ¨ber die monotone Konvergenz ergibt sich f¨

9.3 Absolutstetige und singul¨ are Maße

Z

157

Z f dµ =

f χA dµ

A

ZΩ =

sup fn χA dµ Z = sup fn χA dµ n∈N Ω Z = sup fn dµ Ω n∈N

n∈N

A

≤ ν[A] und damit f ∈ H. Sei nun Z ϕ :=

f dµ

Wegen f ∈ H gilt dann ϕ≤ν Unser Ziel ist es nun zu zeigen, dass ϕ = ν gilt. Sei ε ∈ (0, ∞). Mit ν ist auch ϕ endlich, und da auch µ endlich ist, ist die Mengenfunktion τε := ν − ϕ − εµ ein endliches signiertes Maß. Aus der Hahn–Zerlegung ergibt sich nun die Existenz von disjunkten Mengen P, N ∈ F mit Ω = P + N und τε+ [A] = τε [A ∩ P ] τε− [A] = − τε [A ∩ N ] f¨ ur alle A ∈ F . F¨ ur alle A ∈ F gilt dann wegen ϕ ≤ ν Z ³ Z ´ f + εχP dµ = f dµ + ε µ[A ∩ P ] A

A

= ϕ[A] + ε µ[A ∩ P ] = ν[A] − (ν −ϕ)[A] + ε µ[A ∩ P ] ≤ ν[A] − (ν −ϕ)[A ∩ P ] + ε µ[A ∩ P ] = ν[A] − τε [A ∩ P ] = ν[A] − τε+ [A] ≤ ν[A] Daher gilt f + εχP ∈ H und damit Z Z ³ Z Z ´ f dµ + ε µ[P ] = f + εχP dµ ≤ sup h dµ = f dµ Ω

Ω

h∈H

Ω

Ω

158

Kapitel 9. Berechnung des Lebesgue–Integrals

R Da ϕ endlich ist, gilt Ω f dµ = ϕ[Ω] < ∞ und wir erhalten µ[P ] = 0. Wegen ϕ ≤ ν ¿ µ ergibt sich sodann τε+ [P ] = τε [P ] = ν[P ] − ϕ[P ] − ε µ[P ] = 0. Daher gilt f¨ ur alle A ∈ F ν[A] = ϕ[A] + ε µ[A] + τε [A] = ϕ[A] + ε µ[A] + τε+ [A] − τε− [A] = ϕ[A] + ε µ[A] − τε− [A] ≤ ϕ[A] + ε µ[A] Da µ endlich ist und ε ∈ (0, ∞) beliebig war, erhalten wir ν≤ϕ Zusammen mit der Ungleichung ϕ ≤ ν ergibt sich daher ν=ϕ und aus der Definition von ϕ folgt nun Z ν = f dµ (2) Wir nehmen nun an, dass µ endlich und ν beliebig ist. Sei ¯ n o ¯ C := C ∈ F ¯ ν[C] < ∞ Dann ist das Mengensystem C nichtleer und ∪–stabil und es gibt eine monoton wachsende Folge {Cn }n∈N0 ⊆ C mit C0 := ∅ und sup µ[Cn ] = sup µ[C] C∈C

n∈N

F¨ ur alle n ∈ N sei Bn := Cn \ Cn−1 . Dann ist die Folge {Bn }n∈N disjunkt mit Bn ∈ C f¨ ur alle n ∈ N und ∞ X

Bn =

n=1

[

Cn

n∈N

Sei ferner B0 := Ω \

∞ X

Bn

n=1

F¨ ur alle n ∈ N0 seien µn , νn : F → [0, ∞] gegeben durch µn [A] := µ[A ∩ Bn ] νn [A] := ν[A ∩ Bn ]

9.3 Absolutstetige und singul¨ are Maße

Dann ist µn ein endliches Maß mit

159

Z

µn =

χBn dµ

und νn ist ein Maß mit νn ¿ µn . F¨ ur alle n ∈ N ist auch νn endlich und nach (1) gibt es eine positive messbare Funktion fn mit Z νn = fn dµn Es bleibt zu zeigen, dass es eine positive messbare Funktion f0 gibt mit Z ν0 = f0 dµ0 denn dann ergibt sich f¨ ur alle A ∈ F aus der Kettenregel ν[A] = = = =

∞ X

νn [A] n=0 ∞ Z X

fn dµn

n=0 A ∞ Z X n=0

=

ν[A ∩ Bn ]

n=0 ∞ X

A

fn χBn dµ

Z ÃX ∞ A

! fn χBn dµ

n=0

und f¨ ur die positive messbare Funktion f := Z ν = f dµ

P∞ n=0

fn χBn erhalten wir

Wir zeigen nun, dass ν0 tats¨achlich eine µ0 –Dichte besitzt. Sei A ∈ F . – Im Fall ν0 [A] < ∞ gilt ν[A ∩ B0 ] < ∞ und damit A ∩ B0 ∈ C. F¨ ur alle n ∈ N gilt daher Cn + (A ∩ B0 ) ∈ C und daraus folgt sup µ[C] + µ0 [A] = sup µ[Cn ] + µ[A ∩ B0 ] n∈N ³ ´ = sup µ[Cn ] + µ[A ∩ B0 ] n∈N h i = sup µ Cn + (A ∩ B0 )

C∈C

n∈N

≤ sup µ[C] C∈C

Da µ endlich ist, erhalten wir µ0 [A] = 0 und aus ν ¿ µ folgt ν0 [A] = 0.

160

Kapitel 9. Berechnung des Lebesgue–Integrals

– Im Fall ν0 [A] = ∞ gilt, wiederum wegen ν ¿ µ, µ0 [A] > 0. Es gilt also entweder ν0 [A] = 0 = µ0 [A] oder ν0 [A] = ∞ und µ0 [A] > 0. Daher folgt in beiden F¨ allen aus dem Satz u ¨ber die monotone Konvergenz Z Z ³ ´ ν0 [A] = sup n µ0 [A] = sup n dµ0 = sup n dµ0 n∈N

n∈N

A

A n∈N

F¨ ur die positive messbare Funktion f0 mit f0 (ω) := ∞ erhalten wir daher Z ν0 = f0 dµ0 Daher ist f0 eine µ0 –Dichte von ν0 . (3) Wir nehmen schließlich an, dass µ σ–endlich und ν beliebig ist. Nach Satz 9.2.6 gibt es ein endliches Maß ϕ und eine messbare Funktion h mit 0 < h(ω) < ∞ f¨ ur alle ω ∈ Ω und Z ϕ = h dµ und µ und ϕ besitzen dieselben Nullmengen. Wegen ν ¿ µ gilt daher ν ¿ ϕ. Da ϕ endlich ist, ergibt sich aus (2) die Existenz einer positiven messbaren Funktion g mit Z ν = g dϕ und aus der Kettenregel 9.2.2 folgt nun Z Z ν = g dϕ = gh dµ Daher ist f := gh eine µ–Dichte von ν.

2

Ein Maß ν : F → [0, ∞] heißt singul¨ ar bez¨ uglich µ oder kurz µ–singul¨ ar , wenn es eine Menge N ∈ F gibt mit ν[Ω \ N ] + µ[N ] = 0 in diesem Fall schreiben wir ν⊥µ Die Singularit¨ at von Maßen ist eine symmetrische Relation, denn ν ist genau dann µ–singul¨ ar, wenn µ ν–singul¨ar ist. 9.3.2 Satz (Lebesgue–Zerlegung). Sei µ σ–endlich. Dann gibt es zu jedem σ–endlichen Maß ν zwei Maße ϕ, ψ mit ϕ ¿ µ und ψ ⊥ µ sowie ν =ϕ+ψ Die Zerlegung ist eindeutig und es gilt ϕ ⊥ ψ.

9.3 Absolutstetige und singul¨ are Maße

161

Beweis. Mit µ und ν ist auch das Maß τ := µ + ν σ–endlich. Wegen µ ≤ τ gilt µ ¿ τ , und aus dem Satz von Radon/Nikodym folgt nun die Existenz einer positiven messbaren Funktion g mit Z µ = g dτ Sei N := {g = 0}. Dann gilt g(ω)χN (ω) = 0 f¨ ur alle ω ∈ Ω und damit Z µ[N ] = g dτ = 0 N

Wir definieren nun zwei Maße ϕ, ψ : F → [0, ∞] durch ϕ[A] := ν[A \ N ] ψ[A] := ν[A ∩ N ] Dann gilt ν = ϕ+ψ und wegen µ[N ] = 0 = ϕ[N ] und ψ[Ω \ N ] = 0 gilt µ⊥ψ ϕ⊥ψ Wir zeigen nun, dass auch ϕ ¿ µ gilt. Wir betrachten dazu eine Menge A ∈ F mit µ[A] = 0. Dann gilt Z g dτ = µ[A \ N ] = 0 A\N

und damit g(ω)χA\N (ω) = 0 τ –fast u ¨berall. Wegen A \ N ⊆ Ω \ N = {g > 0} folgt daraus χA\N (ω) = 0 τ –fast u ¨berall, und wir erhalten ϕ[A] = ν[A \ N ] ≤ µ[A \ N ] + ν[A \ N ] = τ [A \ N ] = 0 und damit ϕ[A] = 0. Daher gilt ϕ¿µ Damit ist die Existenz der Zerlegung gezeigt. Wir betrachten nun f¨ ur i ∈ {1, 2} Maße ϕi und ψi mit ϕi ¿ µ und ψi ⊥ µ sowie ν = ϕi + ψi

162

Kapitel 9. Berechnung des Lebesgue–Integrals

Dann gibt es Mengen Ni ∈ F mit µ[Ni ] = 0 = ψi [Ω \ Ni ] sowie ϕi [Ni ] = 0. Daher gilt f¨ ur alle A ∈ F ϕi [A] = ϕi [A \ Ni ] ψi [A] = ψi [A ∩ Ni ] und damit ϕi [A] = ϕi [A \ Ni ] + ψi [A \ Ni ] = ν[A \ Ni ] und ψi [A] = ϕi [A ∩ Ni ] + ψi [A ∩ Ni ] = ν[A ∩ Ni ] Sei N := N1 ∪ N2 . Dann gilt µ[N ] = 0. F¨ ur alle A ∈ F erhalten wir wegen ϕi ¿ µ ϕi [A ∩ N ] = 0 und wegen Ni ⊆ N gilt ψi [A \ N ] = 0 Daraus ergibt sich f¨ ur alle A ∈ F ϕi [A] = ϕi [A \ N ] + ϕi [A ∩ N ] = ϕi [A \ N ] = ϕi [A \ N ] + ψi [A \ N ] = ν[A \ N ] und ψi [A] = ψi [A ∩ N ] + ψi [A \ N ] = ψi [A ∩ N ] = ψi [A ∩ N ] + ϕi [A ∩ N ] = ν[A ∩ N ] und damit ϕ1 = ϕ2 und ψ1 = ψ2 .

2

Aufgaben 9.3.A

¨ Aquivalente Maße: Zwei Maße ϕ, ψ : F → [0, ∞] heißen ¨ aquivalent, wenn ϕ ¿ ψ und ψ ¿ ϕ gilt; in diesem Fall schreiben wir ϕ≈ψ

9.3.B 9.3.C

¨ Dann ist ≈ eine Aquivalenzrelation. ¨ Aquivalente Maße: Zu jedem σ–endlichen Maß gibt es ein ¨ aquivalentes endliches Maß. ¯ ein signiertes Maß. Dann gilt ν + ⊥ ν − . Hahn–Zerlegung: Sei ν : F → R

9.4 Integration nach einem Bildmaß

163

9.4 Integration nach einem Bildmaß Wie f¨ ur das Riemann–Integral gibt es auch f¨ ur das Lebesgue–Integral eine Substitutionsregel, die die Berechnung eines Integrals in vielen F¨ allen vereinfacht. Bei der Formulierung der Substitutionsregel f¨ ur das Lebesgue–Integral ist es wiederum hilfreich, die jeweiligen Integrationsvariablen anzugeben. Die folgende Substitutionsregel wird auch als Transformationssatz bezeichnet: 9.4.1 Satz (Substitutionsregel). Sei (Ω0 , F 0 ) ein Messraum und sei T : ¯ eine messbare Funktion. Ω → Ω0 messbar. Sei ferner h : Ω0 → R 0 (1) Ist h positiv , so gilt f¨ ur alle A ∈ F 0 Z Z (h ◦ T )(ω) dµ(ω) = h(ω 0 ) dµT (ω 0 ) T −1 (A0 )

A0

(2) h ◦ T ist genau dann µ–integrierbar , wenn h µT –integrierbar ist, und in diesem Fall gilt f¨ ur alle A0 ∈ F 0 Z Z (h ◦ T )(ω) dµ(ω) = h(ω 0 ) dµT (ω 0 ) T −1 (A0 )

A0

Im Fall A0 = Ω0 gilt T −1 (A0 ) = Ω. Beweis. (1) F¨ ur alle C 0 ∈ F 0 gilt (χC 0 ◦ T )(ω) = χC 0 (T (ω)) = χT −1 (C 0 ) (ω) und damit Z Z (χC 0 ◦ T )(ω) dµ(ω) = χT −1 (A0 ) (ω) χT −1 (C 0 ) (ω) dµ(ω) T −1 (A0 ) Ω Z = χT −1 (A0 ∩C 0 ) (ω) dµ(ω) Ω

= µ[T −1 (A0 ∩ C 0 )] = µT [A0 ∩ C 0 ] Z = χA0 ∩C 0 (ω 0 ) dµT (ω 0 ) 0 ZΩ = χC 0 (ω 0 ) dµT (ω 0 ) A0

Damit ist die Behauptung f¨ ur h = χC 0 mit C 0 ∈ F 0 gezeigt. Aus der positiven Linearit¨ at des Integrals folgt dann die Behauptung f¨ ur den Fall, dass h eine positive einfache Funktion ist, und aus dem Satz u ¨ber die monotone Konvergenz folgt sodann die Behauptung f¨ ur den Fall, dass h eine beliebige positive messbare Funktion ist. (2) Wegen (1) gilt Z Z Z |h ◦ T |(ω) dµ(ω) = (|h| ◦ T )(ω) dµ(ω) = |h|(ω 0 ) dµT (ω 0 ) Ω

Ω

Ω0

164

Kapitel 9. Berechnung des Lebesgue–Integrals

Daraus folgt die Behauptung u ¨ber die Integrierbarkeit von h und h◦T . Im Fall der Integrierbarkeit von h und h ◦ T folgt die Gleichung f¨ ur die Integrale mit Hilfe der Zerlegung h = h+ −h− wegen (h◦T )+ = h+ ◦T und (h◦T )− = h− ◦T aus (1). 2 Im Fall h = χΩ0 gilt h◦T = χΩ , und in diesem Fall reduziert sich die Gleichung Z Z h(T (ω)) dµ(ω) = h(ω 0 ) dµT (ω 0 ) T −1 (A0 )

A0

aus Satz 9.4.1 auf die Gleichung µ[T −1 (A0 )] = µT [A0 ] Dies ist gerade die Definition des Bildmaßes µT von µ unter T . Die Substitutionsregel l¨asst sich unter anderem verwenden, um f¨ ur ein Maß mit Dichte und bestimmte Transformationen das Bildmaß zu bestimmen: 9.4.2 Folgerung. Sei (Ω0 , F 0 ) ein Messraum und sei T : Ω → Ω0 messbar. Sei ferner h : Ω → R+ messbar und Z ν := h(ω) dµ(ω) Ist T bijektiv und T −1 messbar , so gilt Z νT = (h ◦ T −1 )(ω 0 ) dµT (ω 0 ) Beweis. F¨ ur alle A0 ∈ F 0 gilt νT [A0 ] = ν[T −1 (A0 )] Z = h(ω) dµ(ω) T −1 (A0 ) Z = (h ◦ T −1 ◦ T )(ω)) dµ(ω) T −1 (A0 ) Z = (h ◦ T −1 )(ω 0 ) dµT (ω 0 ) A0

Damit ist die Folgerung bewiesen.

2

Aufgabe 9.4.A

Substitutionsregel: Sei (Ω0 , F 0 ) ein Messraum und sei T : Ω → Ω0 ¯ eine messbare Funktion. Dann ist h ◦ T messbar. Sei ferner h : Ω0 → R genau dann µ–quasiintegrierbar, wenn h µT –quasiintegrierbar ist, und in diesem Fall gilt f¨ ur alle A0 ∈ F 0 Z Z (h ◦ T )(ω) dµ(ω) = h(ω 0 ) dµT (ω 0 ) T −1 (A0 )

A0

9.5 Integration nach einem eingeschr¨ ankten Maß

165

9.5 Integration nach einem eingeschr¨ ankten Maß Das µ–Integral wurde bisher nur f¨ ur solche Funktionen definiert, die auf der gesamten Grundmenge Ω oder auf dem Komplement Ω\N einer µ–Nullmenge N definiert sind. Gelegentlich treten allerdings auch Funktionen auf, die nur auf einer messbaren Menge C ∈ F definiert sind, deren Komplement keine µ–Nullmenge ist. Im gesamten Abschnitt sei C ∈ F. Dann ist das Mengensystem ¯ n o ¯ F(C) := D ∈ F ¯ D = A ∩ C f¨ ur eine Menge A ∈ F eine σ–Algebra auf C und die Abbildung SC : C → Ω mit SC (c) := c −1 ist messbar, denn f¨ ur alle A ∈ F gilt SC (A) = A ∩ C ∈ F (C). – Ist ν : F → [0, ∞] ein Maß, so heißt das Maß ν|F(C) : F(C) → [0, ∞] mit

ν|F (C) [D] := ν[D] –

die Restriktion von ν auf F(C). Ist (Ω0 , F 0 ) ein Messraum und h : Ω → Ω0 eine messbare Abbildung, so heißt die Abbildung h|C : C → Ω0 mit (h|C )(c) := h(c)

die Restriktion von h auf C; wegen h|C = h ◦ SC ist h|C messbar. Wir ben¨ otigen die folgende Darstellung des Bildmaßes von µ|F (C) unter SC : 9.5.1 Lemma. Es gilt Z (µ|F(C) )SC =

χC dµ

Beweis. F¨ ur alle A ∈ F gilt −1 (µ|F (C) )SC [A] = (µ|F(C) )[SC (A)]

= (µ|F(C) )[A ∩ C] = µ[A ∩ C] Z = dµ A∩C Z = χC dµ A

Damit ist die Behauptung gezeigt.

2

166

Kapitel 9. Berechnung des Lebesgue–Integrals

Aus Lemma 9.5.1 ergibt sich eine Darstellung des Integrals der Restriktion einer messbaren Funktion bez¨ uglich der Restriktion des Maßes: 9.5.2 Lemma. Sei h eine messbare Funktion. (1) Ist h positiv , so gilt f¨ ur alle D ∈ F (C) Z Z (h|C )(c) dµ|F(C) (c) = h(ω) dµ(ω) D

D

(2) h|C ist genau dann µ|F (C) –integrierbar , wenn hχC µ–integrierbar ist, und in diesem Fall gilt f¨ ur alle D ∈ F (C) Z Z (h|C )(c) dµ|F(C) (c) = h(ω) dµ(ω) D

D

Beweis. Ist h positiv, so ist auch h|C positiv und aus der Substitutionsregel und der Kettenregel folgt f¨ ur alle A ∈ F Z Z (h|C )(c) d(µ|F(C) )(c) = (h ◦ SC )(c) d(µ|F(C) )(c) −1 SC (A)

A∩C

Z =

ZA =

h(ω) d(µ|F(C) )SC (ω) h(ω) χC (ω) dµ(ω)

ZA =

h(ω) dµ(ω) A∩C

Ist h beliebig, so folgt aus der Substitutionsregel und der Kettenregel, dass h|C genau dann µ|F(C) –integrierbar ist, wenn hχC µ–integrierbar ist, und auch in diesem Fall gilt f¨ ur alle A ∈ F Z Z (h|C )(c) d(µ|F(C) )(c) = h(ω) dµ(ω) A∩C

A∩C

Die Behauptung folgt nun aus der Definition von F(C).

2

¯ Das Lemma legt es nahe, f¨ ur eine F(C)–B(R)–messbare positive oder µ|F(C) – ¯ und D ∈ F (C) die Notation zu vereinfachen integrierbare Funktion g : C → R und Z Z g dµ := g d(µ|F(C) ) D

D

zu setzen und die Funktion g als Lebesgue–integrierbar oder als µ–integrierbar oder kurz als integrierbar zu bezeichnen, wenn sie µ|F(C) –integrierbar ist.

9.5 Integration nach einem eingeschr¨ ankten Maß

167

Mit Hilfe geeigneter Restriktion von Maßen und messbaren Funktionen ist es insbesondere m¨ oglich, Folgerung 9.4.2 auf Transformationen zu erweitern, die nur lokal injektiv sind: 9.5.3 Lemma. Sei h eine positive messbare Funktion und sei Z ν := h(ω) dµ(ω) Sei ferner (Ω0 , F 0 ) ein Messraum und T : Ω → Ω0 messbar. Ist die Restriktion T |C injektiv mit T (C) ∈ F 0 und ihre Umkehrfunktion (T |C )−1 : T (C) → C messbar , so gilt f¨ ur alle B 0 ∈ F 0 Z ³ ´ 0 (ν|F(C) )(T |C ) [B ] = h (T |C )−1 (ω 0 ) d(µ|F(C) )(T |C ) (ω 0 ) B0

Beweis. Nach Lemma 9.5.2 gilt f¨ ur alle D ∈ F (C) Z Z (ν|F(C) )[D] = ν[D] = h(ω) dµ(ω) = (h|C )(c) d(µ|F(C) )(c) D

D

Es gilt also Z ν|F (C) =

(h|C )(c) d(µ|F(C) )(c)

Die Behauptung ergibt sich nun aus Folgerung 9.4.2.

2

Wir gelangen damit zu dem folgenden allgemeinen Ergebnis: 9.5.4 Satz. Sei h eine positive messbare Funktion und sei Z ν := h(ω) dµ(ω) Sei ferner (Ω0 , F 0 ) ein Messraum und T : Ω → Ω0 messbar. Ist P {Ci }i∈I ⊆ F eine abz¨ ahlbare disjunkte Familie nichtleerer Mengen mit ν[Ω \ i∈I Ci ] = 0 derart, dass f¨ ur alle i ∈ I die Restriktion T |Ci injektiv mit T (Ci ) ∈ F 0 und ihre Umkehrfunktion (T |Ci )−1 : T (Ci ) → Ci messbar ist, so gilt f¨ ur alle B 0 ∈ F 0 ³ ´ XZ νT [B 0 ] = h (T |Ci )−1 (ω 0 ) d(µ|F(Ci ) )(T |Ci ) (ω 0 ) i∈I

B 0 ∩T (Ci )

Beweis. Sei B 0 ∈ F 0 . Dann gilt f¨ ur alle i ∈ I T −1 (B 0 ) ∩ Ci = (T |Ci )−1 (B 0 ∩ T (Ci ))

168

Kapitel 9. Berechnung des Lebesgue–Integrals

und aus Lemma 9.5.3 ergibt sich nun νT [B 0 ] = ν[T −1 (B 0 )] " =ν T =

X

−1

0

(B ) ∩

X

# Ci

i∈I

ν[T −1 (B 0 ) ∩ Ci ]

i∈I

=

X

(ν|F(Ci ) )[T −1 (B 0 ) ∩ Ci ]

i∈I

=

X

(ν|F(Ci ) )[(T |Ci )−1 (B 0 ∩ T (Ci ))]

i∈I

=

X

(ν|F(Ci ) )(T |Ci ) [B 0 ∩ T (Ci )]

i∈I

=

XZ i∈I

B 0 ∩T (Ci )

³ ´ h (T |Ci )−1 (ω 0 ) d(µ|F(Ci ) )(T |Ci ) (ω 0 )

Damit ist die Behauptung gezeigt.

2

9.6 Produktmaße In diesem Abschnitt betrachten wir zwei Maßr¨ aume (M, M, µ) und (N, N , ν) sowie das Produkt (M, M) ⊗ (N, N ) = (M × N, M ⊗ N ) der Messr¨ aume (M, M) und (N, N ). Nach Satz 3.3.4 gilt M ⊗ N = σ(M × N ), und nach Aufgabe 3.1.A ist M × N ein Halbring. Ein Maß % : M ⊗ N → [0, ∞] heißt Produktmaß von µ und ν, wenn f¨ ur alle A×B ∈M×N %[A × B] = µ[A] ν[B] gilt und es kein weiteres Maß mit dieser Eigenschaft gibt. Im Fall der Existenz bezeichnen wir das Produktmaß von µ und ν mit µ⊗ν und nennen den Maßraum (M, M, µ) ⊗ (N, N , ν) := (M × N, M ⊗ N , µ ⊗ ν) das Produkt der Maßr¨aume (M, M, µ) und (N, N , ν). Wir betrachten daher die Abbildung % : M × N → [0, ∞] mit %[A × B] := µ[A] ν[B] und zeigen zun¨ achst, dass % ein Maß ist. Dazu ben¨ otigen wir eine Darstellung der Werte von % durch Integrale.

9.6 Produktmaße

169

F¨ ur C ∈ 2M ×N und x ∈ M heißt die Menge ¯ n o ¯ Cx := y ∈ N ¯(x, y) ∈ C x–Schnitt von C. Das folgende Lemma liefert die angek¨ undigte Darstellung der Werte von % durch Integrale: 9.6.1 Lemma. Sei A × B ∈ M × N . F¨ ur alle x ∈ M gilt dann (A × B)x ∈ N und ν[(A × B)x ] = ν[B] χA (x) ¯ : x 7→ ν[(A×B)x ] messbar und positiv , Insbesondere ist die Abbildung M → R und es gilt Z %[A × B] = ν[(A × B)x ] dµ(x) M

Beweis. F¨ ur alle x ∈ M gilt ½ (A × B)x =

B ∅

falls x ∈ A sonst

und damit (A × B)x ∈ N und ν[(A × B)x ] = ν[B] χA (x) ¯ : x 7→ ν[(A × B)x ] messbar und positiv, und Daher ist die Abbildung M → R es gilt £ ¤ % A × B = µ[A] ν[B] Z = ν[B] dµ(x) ZA = ν[B] χA (x) dµ(x) M Z = ν[(A × B)x ] dµ(x) M

Damit ist das Lemma bewiesen.

2

Mit Hilfe von Lemma 9.6.1 k¨onnen wir nun zeigen, dass % ein Maß ist: 9.6.2 Lemma. Die Abbildung % : M × N → [0, ∞] ist ein Maß. Beweis. Sei ∅ = A × B eine Darstellung der leeren Menge ∅ ∈ 2M ×N . Dann gilt A = ∅ oder B = ∅, und damit µ[A] = 0 oder ν[B] = 0. Daher gilt %[∅] = %[A × B] = µ[A] ν[B] = 0

170

Kapitel 9. Berechnung des Lebesgue–Integrals

P∞ Sei nun {Ck }k∈N ⊆ M × eine disjunkte ur PN P∞ Folge mit k=1 Ck ∈ M × N . F¨ ∞ alle x ∈ M gilt dann ( k=1 Ck )x = k=1 (Ck )x , und aus Lemma 9.6.1 und dem Satz u ¨ ber die monotone Konvergenz folgt nun "∞ # Z "Ã ∞ ! # X X % Ck = ν Ck dµ(x) M

k=1

"

Z =

ν M

Z =

k=1 ̰ X

=

#x

(Ck )x dµ(x) !

ν[(Ck )x ] dµ(x)

M

=

k=1 ∞ X

∞ Z X k=1 ∞ X

k=1

ν[(Ck )x ] dµ(x)

M

%[Ck ]

k=1

Daher ist % σ–additiv. Damit ist gezeigt, dass % ein Maß ist.

2

Da das Mengensystem M×N ein Halbring ist, folgt aus Lemma 9.6.2 und dem Existenzsatz die Existenz einer Fortsetzung von % auf M⊗N . Da das Mengensystem M × N insbesondere ∩–stabil ist, erh¨ alt man unter der zus¨ atzlichen Voraussetzung, dass % σ–endlich ist, aus dem Eindeutigkeitssatz außerdem die Eindeutigkeit der Fortsetzung. Die σ–Endlichkeit von % ist gew¨ ahrleistet, wenn µ und ν σ–endlich sind. Aus dem Satz von Caratheodory erh¨ alt man daher das folgende Ergebnis: 9.6.3 Satz (Existenzsatz). Seien µ und ν σ–endlich. Dann besitzen µ und ν ein Produktmaß , und das Produktmaß ist σ–endlich. Unser n¨ achstes Ziel ist es, die in Lemma 9.6.1 angegebene Darstellung der Werte von % durch Integrale zu einer Darstellung der Werte des Produktmaßes µ ⊗ ν durch Integrale zu verallgemeinern. 9.6.4 Lemma. Sei C ∈ M ⊗ N . F¨ ur alle x ∈ M gilt dann Cx ∈ N . Beweis. Sei x ∈ M und

¯ n o ¯ Dx := D ∈ 2M ×N ¯ Dx ∈ N

Dann ist Dx ein Dynkin–System: (i) Es gilt (M × N )x = N ∈ N und damit M × N ∈ Dx . (ii) Sei D ∈ Dx . Dann gilt Dx ∈ N und Dx + ((M × N ) \ D)x = (M × N )x = N ∈ N , also ((M ×N )\D)x = N \Dx ∈ ¡N und damit )\D ∈ Dx . ¢ (M P, ∞ P×N ∞ (iii) Sei {Dk }k∈N ⊆ Dx disjunkt. Dann gilt Dk x = k=1 (Dk )x ∈ N k=1 P∞ und damit k=1 Dk ∈ Dx .

9.6 Produktmaße

171

Außerdem ist das Mengensystem M × N ∩–stabil und nach Lemma T 9.6.1 gilt M × N ⊆ Dx . Daraus folgt M ⊗ N = σ(M×N ) = δ(M×N ) ⊆ x∈M Dx . 2 9.6.5 Lemma. Sei ν σ–endlich. Dann ist f¨ ur alle C ∈ M ⊗ N die Abbildung ¯ : x 7→ ν[Cx ] messbar und positiv. M →R ¯ gegeben durch Beweis. F¨ ur C ∈ M ⊗ N sei die Funktion fC : M → R fC (x) := ν[Cx ] Dann ist fC positiv und es bleibt zu zeigen, dass fC messbar ist. (1) Wir nehmen zun¨achst an, dass ν endlich ist. Sei ¯ n o ¯ D := D ∈ 2M ×N ¯ fD ist messbar Dann ist D ein Dynkin–System: (i) F¨ ur alle x ∈ M gilt fM ×N (x) = ν[(M × N )x ] = ν[N ] Daher ist fM ×N messbar, und daraus folgt M × N ∈ D. (ii) Sei D ∈ D. F¨ ur alle x ∈ M gilt ((M × N ) \ D)x = N \ Dx und damit f(M ×N )\D (x) = ν[((M × N ) \ D)x ] = ν[N \ Dx ] = ν[N ] − ν[Dx ] = fM ×N (x) − fD (x) Daher ist f(M ×N)\D messbar, und daraus folgtP(M × N ) \ DP ∈ D. . ∞ ∞ (iii) Sei {Dk }k∈N ⊆ D disjunkt. F¨ ur alle x ∈ M gilt ( k=1 Dk )x = k=1 (Dk )x und damit "Ã ∞ !# X P f ∞ (x) = ν Dk k=1 Dk " =ν

k=1 ∞ X

#x

(Dk )x

k=1

= =

∞ X k=1 ∞ X k=1

ν[(Dk )x ] fDk (x)

P∞ Daher ist fP∞ (x) messbar, und daraus folgt k=1 Dk ∈ D. k=1 Dk Damit ist gezeigt, dass D ein Dynkin–System ist. Außerdem ist das Mengensystem M × N ∩–stabil und nach Lemma 9.6.1 gilt M × N ⊆ D. Daraus folgt M ⊗ N = σ(M × N ) = δ(M × N ) ⊆ D. Daher ist die Abbildung fC f¨ ur alle C ∈ M ⊗ N messbar.

172

Kapitel 9. Berechnung des Lebesgue–Integrals

(2) Wir nehmen nun an, dass ν σ–endlich ist. Dann gibt es eine monoton S wachsende Folge {Bn }n∈N ⊆ N mit n∈N Bn = N und ν[Bn ] < ∞ f¨ ur alle n ∈ N, und f¨ ur alle n ∈ N ist die Mengenfunktion νn : N → [0, ∞] mit νn [B] := ν[B ∩ Bn ] ein endliches Maß. F¨ ur C ∈ M ⊗ N ist daher nach (1) f¨ ur alle n ∈ N die ¯ mit Funktion fn,C : M → R fn,C (x) := νn [Cx ] messbar und positiv, und wegen fC (x) = ν[Cx ] = sup ν[Cx ∩ Bn ] = sup νn [Cx ] = sup fn,C (x) n∈N

n∈N

n∈N

ist auch fC messbar und positiv.

2

Mit diesen Vorbereitungen k¨onnen wir die angek¨ undigte Verallgemeinerung der Integraldarstellung von Lemma 9.6.1 beweisen: 9.6.6 Satz. Seien µ und ν σ–endlich. Dann gilt f¨ ur alle C ∈ M ⊗ N Z ¡ ¢ µ ⊗ ν [C] = ν[Cx ] dµ(x) M

¯ : x 7→ ν[Cx ] messbar Beweis. Nach Lemma 9.6.5 ist die Funktion M → R und positiv. Wir betrachten die Mengenfunktion %M : M ⊗ N → [0, ∞] mit Z %M [C] := ν[Cx ] dµ(x) M

Dann ur jede disjunkte Folge {Ck }k∈N ⊆ M × N mit P∞ gilt %M [∅] = 0 und f¨ C ∈ M × N gilt nach dem Satz u ¨ber die monotone Konvergenz k=1 k "∞ # Z "Ã ∞ ! # X X %M Ck = ν Ck dµ(x) M

k=1

"

Z =

ν M

Z =

=

#x

(Ck )x dµ(x)

k=1 ̰ X

!

ν[(Ck )x ] dµ(x)

M

=

k=1 ∞ X

∞ Z X k=1 ∞ X l=1

l=1

ν[(Ck )x ] dµ(x)

M

%M [Ck ]

9.6 Produktmaße

173

Daher ist %M ein Maß. Außerdem gilt f¨ ur alle A × B ∈ M × N Z %M [A × B] = ν[(A×B)x ] dµ(x) ZM = ν[B] χA (x) dµ(x) M

= µ[A] ν[B] = %[A × B] Daher gilt %M |M×N = %. Da µ und ν σ–endlich sind, ist auch % σ–endlich, und aus dem Eindeutigkeitssatz folgt nun %M = µ ⊗ ν. 2 Wir dehnen die Konstruktion des Produktmaßes nun auf endlich viele σ– endliche Maßr¨ aume aus: Sei N {(Ωi , Fi , µi )}i∈{1,...,n} eine endliche Familie von Maßr¨ aumen. Ein Maß n % : Qi=1 Fi → Q [0, ∞] heißt Produktmaß der Familie {µi }i∈{1,...,n} , wenn f¨ ur n n alle i=1 Ai ∈ i=1 Fi " n # n Y Y % Ai = µi [Ai ] i=1

i=1

gilt und es kein weiteres Maß mit dieser Eigenschaft gibt. Im Fall der Existenz bezeichnen wir das Produktmaß der Familie {µi }i∈{1,...,n} mit n O

µi

i=1

und nennen den Maßraum n O (Ωi , Fi , µi ) := i=1

Ã

n Y

Ωi ,

i=1

n O i=1

Fi ,

n O

! µi

i=1

das Produkt der Familie der Maßr¨aume {(Ωi , Fi , µi )}i∈{1,...,n} . 9.6.7 Satz. Sei {(Ωi , Fi , µi )}i∈{1,...,n} eine Nn Familie von σ–endlichen Maßr¨ aumen. Dann gibt es genau ein Maß % : i=1 Fi → [0, ∞] mit " n # n Y Y % Ai = µi [Ai ] i=1

f¨ ur alle

Qn i=1

Ai ∈

Qn i=1

i=1

Fi . Das Maß % ist σ–endlich.

Beweis. Die Behauptung ergibt sich unter Verwendung von Aufgabe 3.3.A und Aufgabe 9.6.A durch vollst¨andige Induktion aus Satz 9.6.3. 2

174

Kapitel 9. Berechnung des Lebesgue–Integrals

Aus dem letzten Satz erhalten wir eine Darstellung des n–dimensionalen Lebesgue–Maßes als Produktmaß: 9.6.8 Folgerung (Lebesgue–Maß). Es gilt λn =

n O

λ

i=1

Beweis. Da das Lebesgue–Maß λ σ–endlich ist, Nn Nnexistiert das Produktmaß n λ, und nach Beispiel 3.3.1 gilt B(R ) = i=1 i=1 B(R). Daher ist das n– dimensionale N Lebesgue–Maß λn auf der selben σ–Algebra definiert wie das n Produktmaß i=1 λ. F¨ ur alle (a, b] ∈ J (Rn ) mit a < b gilt n £ ¤ Y λn (a, b] = (bi − ai )

=

i=1 n Y

£ ¤ λ (ai , bi ]

i=1

à = =

n O

i=1 Ã n O

!" λ ! λ

n Y

# (ai , bi ]

i=1

£

(a, b]

¤

i=1

Nn

Daher stimmen die Maße λn und i=1 λ auf dem Halbring J (Rn ) u ¨berein. Da J (Rn ) als Halbring ∩–stabil ist und die Restriktion von λn aufN J (Rn ) n n σ–endlich ist, folgt aus dem Eindeutigkeitssatz, dass die Maße λ und i=1 λ n n sogar auf B(R ) = σ(J (R )) u 2 ¨ bereinstimmen. Im Fall (Ωi , Fi , µi ) = (Ω, F, µ) f¨ ur alle i ∈ {1, . . . , n} setzen wir, im Fall der Existenz des Produktmaßes, n

µ :=

n O

µ

i=1

Dies steht im Einklang mit dem letzten Ergebnis. Aufgabe 9.6.A

F¨ ur i ∈ {1, 2, 3} sei (Ωi , Fi , µi ) ein σ–endlicher Maßraum. Dann gilt (µ1 ⊗ µ2 ) ⊗ µ3 = µ1 ⊗ (µ2 ⊗ µ3 )

9.7 Integration nach einem Produktmaß

175

9.7 Integration nach einem Produktmaß Im gesamten Abschnitt seien (M, M, µ) und (N, N , ν) Maßr¨ aume. Sind µ und ν σ–endlich, so existiert nach Satz 9.6.3 das Produktmaß µ ⊗ ν, und wir zeigen nun, dass das Integral Z h(x, y) d(µ ⊗ ν)(x, y) M ×N

¯ die positiv oder µ ⊗ ν–integrierbar einer messbaren Funktion h : M × N → R, ist, iterativ berechnet werden kann. ¯ und x ∈ M heißt die Funktion hx : N → R ¯ F¨ ur eine Funktion h : M × N → R mit hx (y) := h(x, y) der x–Schnitt von h. ¯ eine Funktion und sei x ∈ M . 9.7.1 Lemma. Sei h : M × N → R ¯ (1) F¨ ur alle D ∈ B(R) gilt (hx )−1 (D) = (h−1 (D))x (2) Ist h messbar , so ist auch hx messbar. Beweis. Es gilt ¯ n o ¯ (hx )−1 (D) = y ∈ N ¯ hx (y) ∈ D ¯ n o ¯ = y ∈ N ¯ h(x, y) ∈ D ¯ n o ¯ = y ∈ N ¯ (x, y) ∈ h−1 (D) = (h−1 (D))x Ist h messbar, so folgt aus dieser Gleichung und Lemma 9.6.4, dass auch hx messbar ist. 2 ¯ Wir betrachten zun¨achst positive messbare Funktionen. Ist h : M × N → R eine positive messbare Funktion, so ist f¨ ur jedes x ∈ M auch die Funktion hx ¯ positiv und nach Lemma 9.7.1 messbar. Daher ist die Funktion fh : M → R mit Z fh (x) := hx (y) dν(y) N

wohldefiniert und positiv.

176

Kapitel 9. Berechnung des Lebesgue–Integrals

9.7.2 Satz (Fubini; positiver Fall). Seien µ und ν σ–endlich und sei ¯ messbar und positiv. Dann ist auch fh messbar und positiv , h : M ×N → R und es gilt Z Z h(x, y) d(µ ⊗ ν)(x, y) = M ×N

fh (x) dµ(x) M

Insbesondere ist h genau dann µ⊗ν–integrierbar , wenn fh µ–integrierbar ist. Beweis. Wir f¨ uhren den Beweis der Messbarkeit von fh und der Gleichheit der Integrale durch algebraische Induktion: (1) Sei C ∈ M ⊗ N . Da χC messbar und positiv ist, ist f¨ ur alle x ∈ M auch (χC )x = χCx messbar und positiv, und aus Lemma 9.7.1 folgt dann Z Z fχC (x) = (χC )x (y) dν(y) = χCx (y) dν(y) = ν[Cx ] N

N

Nach Lemma 9.6.5 ist fχC messbar und aus Satz 9.6.6 folgt nun Z Z fχC (x) dµ(x) = ν[Cx ] dµ(x) M

M

= (µ ⊗ ν)[C] Z = χC (x, y) d(µ ⊗ ν)(x, y) M ×N

Damit ist die Behauptung f¨ ur h = χC mit C ∈ M ⊗ N gezeigt. (2) Sei h eine positive einfache Funktion mit h=

n X

ci χCi

i=1

mit {CP ⊗ N und {ci }i∈{1,...,n} ⊆ R+ . F¨ ur alle x ∈ M gilt i }i∈{1,...,n} ⊆ MP n n hx = ( i=1 ci χCi )x = i=1 ci (χCi )x , und aus der positiven Linearit¨ at des Integrals folgt dann Z fh (x) = hx (y) dν(y) N Ã ! Z n X = ci (χCi )x (y) dν(y) N

= =

n X i=1 n X

i=1

Z

ci N

(χCi )x (y) dν(y)

ci fχCi (x)

i=1

Aus (1) ergibt sich nun zun¨achst die Messbarkeit von fh , und aus der positiven Linearit¨ at des Integrals und (1) ergibt sich des weiteren

9.7 Integration nach einem Produktmaß

Z fh (x) dµ(x) =

Z ÃX n

M

M

= =

n X i=1 n X

177

! ci fχCi (x) dµ(x)

i=1

Z

ci

fχCi (x) dµ(x)

M

Z ci M ×N

i=1

Ã

Z =

M ×N

!

ci χCi (x, y) d(µ ⊗ ν)(x, y)

i=1

Z =

n X

χCi (x, y) d(µ ⊗ ν)(x, y)

h(x, y) d(µ ⊗ ν)(x, y) M ×N

Damit ist die Behauptung f¨ ur positive einfache Funktionen gezeigt. (3) Sei h eine positive messbare Funktion. Dann gibt es eine monoton wachsende Folge {hn }n∈N von positiven einfachen Funktionen mit h = supn∈N hn . F¨ ur alle x ∈ M gilt hx = (supn∈N hn )x = supn∈N (hn )x , und aus dem Satz u ¨ber die monotone Konvergenz folgt dann Z fh (x) = hx (y) dν(y) ZN = sup(hn )x (y) dν(y) N n∈N Z = sup (hn )x (y) dν(y) n∈N

N

= sup fhn (x) n∈N

Aus (2) ergibt sich nun zun¨achst die Messbarkeit von fh , und aus dem Satz u ¨ber die monotone Konvergenz und (2) ergibt sich des weiteren Z Z fh (x) dµ(x) = sup fhn (x) dµ(x) M M n∈N Z = sup fhn (x) dµ(x) n∈N M Z = sup hn (x, y) d(µ ⊗ ν)(x, y) n∈N M ×N Z = sup hn (x, y) d(µ ⊗ ν)(x, y) n∈N ZM ×N = h(x, y) d(µ ⊗ ν)(x, y) M ×N

Damit ist der Satz bewiesen.

2

178

Kapitel 9. Berechnung des Lebesgue–Integrals

Wir betrachten nun integrierbare Funktionen. Hierf¨ ur ist eine Vor¨ uberlegung erforderlich: ¯ µ ⊗ ν–integrierbar. Dann Seien µ und ν σ–endlich und sei h : M × N → R sind auch die Funktionen h+ und h− µ ⊗ ν–integrierbar, und aus dem Satz von Fubini f¨ ur positive messbare Funktionen folgt nun die µ–Integrierbarkeit von fh+ und fh− . Dann sind aber fh+ und fh− µ–fast u ¨berall endlich, und damit gibt es eine µ–Nullmenge M0 ∈ M derart, dass f¨ ur alle x ∈ M \ M0 die Funktionen (h+ )x und (h− )x ν–integrierbar sind; wegen hx = (hx )+ − (hx )− sowie (hx )+ = (h+ )x und (hx )− = (h− )x ist dann f¨ ur alle x ∈ M \ M0 auch die Funktion hx ν–integrierbar und es gilt Z Z Z hx (y) dν(y) = (h+ )x (y) dν(y) − (h− )x (y) dν(y) N

N

N

= fh+ (x) − fh− (x) ¯ gegeben durch Sei nun fh : M → R Z   hx (y) dν(y) N fh (x) :=   0

falls x ∈ M \ M0 sonst

Dann gilt fh (x) = fh+ (x)χM \M0 (x) − fh− (x)χM \M0 (x) und damit ist auch fh µ–integrierbar. Der folgende Satz von Fubini f¨ ur integrierbare Funktionen ergibt sich nun unmittelbar aus dem Satz von Fubini f¨ ur positive messbare Funktionen: 9.7.3 Satz (Fubini; integrierbarer Fall). Seien µ und ν σ–endlich und ¯ µ ⊗ ν–integrierbar. Dann ist fh µ–integrierbar und es gilt sei h : M × N → R Z Z h(x, y) d(µ ⊗ ν)(x, y) = fh (x) dµ(x) M ×N

M

Im folgenden verzichten wir auf die Kennzeichnung der x–Schnitte und schreiben Z fh (x) = h(x, y) dν(y) N

Entsprechend schreiben wir die Gleichung des Satzes von Fubini in der Form ¶ Z Z µZ h(x, y) d(µ ⊗ ν)(x, y) = h(x, y) dν(y) dµ(x) M ×N

M

N

oder, unter Weglassung der Klammern, in der Form

9.7 Integration nach einem Produktmaß

179

Z

Z

Z

h(x, y) d(µ ⊗ ν)(x, y) =

h(x, y) dν(y) dµ(x)

M ×N

M

N

Vertauscht man schließlich die Rollen der Maße µ und ν, so erh¨ alt man unter den Voraussetzungen des Satzes von Fubini die zus¨ atzliche Gleichung Z Z Z h(x, y) d(µ ⊗ ν)(x, y) = h(x, y) dµ(x) dν(y) M ×N

N

M

Beide Gleichungen lassen sich zu der Gleichung Z Z Z h(x, y) dν(y) dµ(x) = h(x, y) d(µ ⊗ ν)(x, y) M N M ×N Z Z = h(x, y) dµ(x) dν(y) N

M

zusammenfassen. Unter der Voraussetzung des Satzes von Fubini kann das Integral von h also in beliebiger Reihenfolge iterativ ausgewertet werden. Neben der iterativen Berechnung des Integrals einer messbaren positiven oder integrierbaren Funktion auf dem Produkt zweier σ–endlicher Maßr¨ aume kann der Satz von Fubini auch f¨ ur die Berechnung des Integrals einer messbaren positiven oder integrierbaren Funktion f auf einem σ–endlichen Maßraum (M, M, µ) von Nutzen sein; zu diesem Zweck muss ein σ–endlicher Maßraum (N, N , ν) und eine messbare Rpositive oder integrierbare Funktion h auf (M, M, µ) ⊗ (N, N , ν) mit f (x) = N h(x, y) dν(y) gefunden werden, um den Satz von Fubini anwenden zu k¨onnen. 9.7.4 Beispiel. Sei (Ω, F , µ) ein σ–endlicher Maßraum und sei f messbar und positiv. Dann gilt Z Z f (ω) dµ(ω) = µ[{f ≥ x}] dλ(x) Ω

R+

In der Tat: Wir betrachten den σ–endlichen Maßraum (R, B(R), λ) und die Indikatorfunktion χC der Menge ¯ n o ¯ C := (ω, x) ∈ Ω × R ¯ 0 ≤ x ≤ f (ω) Die Indikatorfunktion χC ist positiv; außerdem ist sie genau dann messbar, wenn C ∈ F ⊗ B(R) gilt. Wir zeigen daher zun¨ achst, dass C ∈ F ⊗ B(R) gilt. Dazu betrachten wir die Menge ¯ ½µ ¶ ¾ ¯ x 2 ¯ D := ∈R ¯0≤x≤y y und die Funktion T : Ω × R → R2 mit µ T (ω, x) :=

x f (ω)

¶

180

Kapitel 9. Berechnung des Lebesgue–Integrals

Dann gilt C = T −1 (D). Da die Menge D abgeschlossen ist, gilt außerdem D ∈ B(R2 ). Die Koordinaten T1 , T2 : Ω × R → R von T mit T1 (ω, x) := x T2 (ω, x) := f (ω) sind wegen T1−1 (B) := Ω × B T2−1 (B) := f −1 (B) × R messbar; daher ist auch T messbar und es folgt C = T −1 (D) ∈ F ⊗ B(R). Aus dem Satz von Fubini ergibt sich nun einerseits Z Z Z χC (ω, x) d(µ ⊗ λ)(ω, x) = χC (ω, x) dλ(x) dµ(ω) Ω×R Ω R Z Z = χ[0,f (ω)] (x) dλ(x) dµ(ω) ZΩ R = λ[[0, f (ω]] dµ(ω) ZΩ = f (ω) dµ(ω) Ω

und andererseits Z Z Z χC (ω, x) d(µ ⊗ λ)(ω, x) = χC (ω, x) dµ(ω) dλ(x) Ω×R R Ω Z Z = χR+ (x) χ{f ≥x} (ω) dµ(ω) dλ(x) ZR Ω Z = χR+ (x) χ{f ≥x} (ω) dµ(ω) dλ(x) Ω ZR = µ[{f ≥ x}] dλ(x) R+

Damit ist die Behauptung gezeigt.

Aufgabe 9.7.A

Sei (Ω, F , µ) ein σ–endlicher Maßraum und sei f positiv und messbar. Dann gilt Z Z f (ω) dµ(ω) = µ[{f > x}] dλ(x) Ω

R+

9.8 Lebesgue–Integral und Riemann–Integral In diesem Abschnitt stellen wir Beziehungen zwischen dem Lebesgue–Integral nach dem Lebesgue–Maß und dem Riemann–Integral bzw. dem uneigentlichen Riemann–Integral her. Wir betrachten zun¨achst Funktionen auf einem abgeschlossenen Intervall [a, b] ⊆ R und bezeichnen mit B[a, b] die Spur–σ–Algebra von B(R) auf [a, b].

9.8 Lebesgue–Integral und Riemann–Integral

181

Eine Funktion f : [a, b] → R heißt Treppenfunktion, wenn es ein n ∈ N und eine streng monoton wachsende endliche Folge {xi }i∈{0,1,...,n} ⊆ R mit a = x0 und xn = b sowie eine Familie {ci }i∈{1,...,n} ⊆ R gibt mit f (x) = ci f¨ ur alle i ∈ {1, . . . , n} und x ∈ (xi−1 , xi ); in diesem Fall ist die reelle Zahl Z

b

f (x) dx := a

n X

ci (xi −xi−1 )

i=1

unabh¨ angig von der Darstellung von f und heißt das Riemann–Integral von f . 9.8.1 Lemma. Sei f : [a, b] → R eine Treppenfunktion. Dann ist f λ–integrierbar und es gilt Z b Z f (x) dx = f (x) dλ(x) a

[a,b]

Beweis. Da f eine Treppenfunktion ist, gibt es eine streng monoton wachsende endliche Folge {xi }i∈{0,1,...,n} ⊆ R mit a = x0 und xn = b sowie eine Familie {ci }i∈{1,...,n} ⊆ R mit f (x) = ci f¨ ur alle i ∈ {1, . . . , n} und x ∈ (xi−1 , xi ). Da jedes offene Intervall und jede einelementige Teilmenge des Intervalls [a, b] messbar ist, ist f B[a, b]–messbar. Es gilt n X

f =

ci χ(xi−1 ,xi )

i=1

λ–fast u ¨berall und damit n X

|f | =

|ci | χ(xi−1 ,xi )

i=1

λ–fast u ¨berall. Wegen Z

Ã

Z |f |(x) dλ(x) =

[a,b]

[a,b]

= =

n X i=1 n X i=1

n X

! |ci | χ(xi−1 ,xi ) (x) dλ(x)

i=1

|ci | λ[(xi−1 , xi )] |ci | (xi −xi−1 )

182

Kapitel 9. Berechnung des Lebesgue–Integrals

ist |f | und damit auch f λ–integrierbar und es gilt à n ! Z Z X f (x) dλ(x) = ci χ(xi−1 ,xi ) (x) dλ(x) [a,b]

[a,b]

= =

n X i=1 n X

i=1

ci λ[(xi−1 , xi )] ci (xi −xi−1 )

i=1 Z b

=

f (x) dx a

Damit ist das Lemma bewiesen.

2

Eine Funktion f : [a, b] → R heißt Riemann–integrierbar , wenn sie beschr¨ ankt ist und die reellen Zahlen ¯ ½Z b ¾ Z b ¯ ¯ U − f (x) dx := sup g(x) dx ¯ g ist Treppenfunktion mit g ≤ f ¯ a a und Z O−

½Z

b

b

f (x) dx := inf a

a

¯ ¾ ¯ ¯ h(x) dx ¯ h ist Treppenfunktion mit f ≤ h ¯

u ¨bereinstimmen; in diesem Fall heißt die reelle Zahl Z b Z b Z f (x) dx := U − f (x) dx = O− a

a

b

f (x) dx

a

das Riemann–Integral von f . Jede Treppenfunktion ist Riemann–integrierbar und die Definition des Riemann–Integrals f¨ ur Riemann–integrierbare Funktionen ist mit der f¨ ur Treppenfunktionen vertr¨ aglich. 9.8.2 Satz. Sei f : [a, b] → R Riemann–integrierbar. Dann gibt es eine λ–integrierbare Funktion g : [a, b] → R mit f = g λ–fast u ¨berall und Z b Z f (x) dx = g(x) dλ(x) a

[a,b]

Beweis. Da f Riemann–integrierbar ist, gibt es eine monoton wachsende Folge {gn }n∈N von Treppenfunktionen mit supn∈N gn ≤ f und Z sup n∈N

Z

b

b

gn (x) dx = a

f (x) dx a

9.8 Lebesgue–Integral und Riemann–Integral

183

sowie eine monoton fallende Folge {hn }n∈N von Treppenfunktionen mit f ≤ inf n∈N hn und Z b Z b f (x) dx = inf hn (x) dx n∈N

a

a

Aufgrund der Messbarkeit von Treppenfunktionen sind auch die Funktionen g := sup gn n∈N

h := inf hn n∈N

messbar, und aus der Monotonie der Folgen {gn }n∈N und {hn }n∈N ergibt sich g = lim gn ≤ f ≤ lim hn = h n→∞

und

Z n→∞

Z

b

lim

n→∞

a

Z

b

gn (x) dx =

b

f (x) dx = lim

n→∞

a

hn (x) dx a

Wir zeigen nun, dass h − g = 0 λ–fast u ¨ berall gilt. Wegen g ≤ f ≤ h gilt 0 ≤ h − g = lim hn − lim gn = lim (hn −gn ) n→∞

n→∞

n→∞

und f¨ ur alle n ∈ N ist hn − gn eine Treppenfunktion mit |hn −gn | = hn − gn ≤ h1 − g1 Aus dem Satz u ¨ber die majorisierte Konvergenz und Lemma 9.8.1 folgt nun Z 0≤ (h−g)(x) dλ(x) [a,b] Z = lim (hn −gn )(x) dλ(x) [a,b] n→∞ Z = lim (hn −gn )(x) dλ(x) n→∞

[a,b]

Z

b

= lim

n→∞

(hn −gn )(x) dx a

Z

= lim

n→∞

Z

Z

b

hn (x) dx − lim a

b

=

n→∞

Z

gn (x) dx a

b

f (x) dx − a

b

f (x) dx a

=0 Daher gilt h − g = 0 λ–fast u ¨berall, und wegen g ≤ f ≤ h folgt daraus f = g λ–fast u ¨berall.

184

Kapitel 9. Berechnung des Lebesgue–Integrals

F¨ ur alle n ∈ N gilt g1 ≤ gn ≤ g ≤ h ≤ h1 , und daraus folgt supn∈N |gn | ≤ (−g1 ) ∨ h1 und |g| ≤ (−g1 ) ∨ h1 . Nach Lemma 9.8.1 ist (−g1 ) ∨ h1 und damit auch supn∈N |gn | und g λ–integrierbar. Aus dem Satz u ¨ber die majorisierte Konvergenz folgt nun mit Lemma 9.8.1 Z b Z b f (x) dx = lim gn (x) dx n→∞ a a Z = lim gn (x) dλ(x) n→∞ [a,b] Z = lim gn (x) dλ(x) [a,b] n→∞ Z = g(x) dλ(x) [a,b]

Damit ist der Satz bewiesen.

2

F¨ ur messbare Riemann–integrierbare Funktionen erh¨ alt man eine st¨ arkere Aussage: 9.8.3 Folgerung. Sei f : [a, b] → R Riemann–integrierbar und messbar. Dann ist f λ–integrierbar und es gilt Z b Z f (x) dx = f (x) dλ(x) a

[a,b]

Beweis. Nach Satz 9.8.2 gibt es eine λ–integrierbare Funktion g : [a, b] → R mit f = g λ–fast u ¨berall und Z b Z f (x) dx = g(x) dλ(x) a

[a,b]

Da f messbar ist, ist nach Lemma 8.3.6 auch f λ–integrierbar und es gilt Z Z f (x) dλ(x) = g(x) dλ(x) [a,b]

[a,b]

Daraus folgt die Behauptung.

2

Das folgende Beispiel zeigt, dass eine beschr¨ankte λ–integrierbare Funktion nicht Riemann–integrierbar zu sein braucht: 9.8.4 Beispiel (Dirichlet–Funktion). Die Dirichlet–Funktion f : [a, b] → R mit ½ 1 falls x ∈ Q ∩ [a, b] f (x) := 0 sonst ist λ–integrierbar und beschr¨ ankt, aber sie ist nicht Riemann–integrierbar.

¯ Wir betrachten nun Funktionen auf einem offenen Intervall (a, b) ⊆ R.

9.8 Lebesgue–Integral und Riemann–Integral

185

Eine Funktion f : (a, b) → R heißt uneigentlich Riemann–integrierbar, wenn f¨ ur jedes Intervall [c, d] ⊆ (a, b) die Funktion f |[c,d] Riemann–integrierbar ist und f¨ ur ein t ∈ (a, b) die Grenzwerte Z t Z u lim f (x) dx und lim f (x) dx s↓a

u↑b

s

t

in R existieren. In diesem Fall ist die Summe dieser Grenzwerte unabh¨ angig von der Wahl von t und die reelle Zahl Z b Z t Z u f (x) dx := lim f (x) dx + lim f (x) dx s↓a

a

u↑b

s

t

heißt das uneigentliche Riemann–Integral von f . F¨ ur positive messbare Funktionen erhalten wir das folgende Ergebnis: 9.8.5 Satz. Sei f : (a, b) → R eine positive messbare Funktion derart, dass f¨ ur jedes Intervall [c, d] ⊆ (a, b) die Funktion f |[c,d] Riemann–integrierbar ist. Dann sind folgende Aussagen ¨ aquivalent : (a) f ist uneigentlich Riemann–integrierbar. (b) f ist λ–integrierbar. In diesem Fall gilt Z b Z f (x) dx = f (x) dλ(x) a

(a,b)

Beweis. Wir betrachten ein t ∈ (a, b) sowie eine monoton fallende Folge {an }n∈N ⊆ (a, t] mit limn→∞ an = a und eine monoton wachsende Folge {bn }n∈N ⊆ [t, b) mit limn→∞ bn = b. Aus dem Satz u ¨ber die monotone Konvergenz ergibt sich mit Folgerung 9.8.3 Z Z Z t f (x) dλ(x) = lim f (x) dλ(x) = lim f (x) dx n→∞

(a,t]

sowie

Z

n→∞

[an ,t]

Z

Z

f (x) dλ(x) = lim [t,b)

an

bn

f (x) dλ(x) = lim

n→∞

n→∞

[t,bn ]

f (x) dx t

Wegen λ[{t}] = 0 ergibt sich aus diesen Gleichungen Z Z Z f (x) dλ(x) = f (x) dλ(x) + f (x) dλ(x) (a,b)

(a,t]

Z

[t,b) t

= lim

n→∞

Z =

Z

f (x) dx + lim an

n→∞

bn

f (x) dx t

b

f (x) dx a

Daraus folgt die Behauptung.

2

186

Kapitel 9. Berechnung des Lebesgue–Integrals

Die folgenden Beispiele zeigen, dass die in der Definition der Gamma–Funktion und der Beta–Funktion auftretenden uneigentlichen Riemann–Integrale als Lebesgue–Integrale nach dem Lebesgue–Maß dargestellt werden k¨ onnen: 9.8.6 Beispiele. (1) Gamma–Funktion: F¨ ur alle γ ∈ (0, ∞) gilt Z ∞ Z Γ(γ) = e−z z γ−1 dz = 0

e−z z γ−1 dλ(z)

(0,∞)

(2) Beta–Funktion: F¨ ur alle α, β ∈ (0, ∞) gilt Z 1 Z B(α, β) = z α−1 (1−z)β−1 dz = 0

z α−1 (1−z)β−1 dλ(z)

(0,1)

Das folgende Beispiel zeigt, dass im letzten Satz die Forderung der Positivit¨ at der Funktion wesentlich ist: 9.8.7 Beispiel. Die Funktion f : (0, ∞) → R mit sin(x) x ist bekanntlich uneigentlich Riemann–integrierbar mit Z ∞ π f (x) dx = 2 0 f (x) :=

Wegen

Z

Z |f |(x) dλ(x) =

(0,∞)

(0,∞)

≥ = = =

| sin(x)| dλ(x) x

∞ Z X

n=1 [(n−1)π,nπ] Z ∞ X

1 π 1 π 2 π

n=1 ∞ X n=1 ∞ X n=1

1 n 1 n

| sin(x)| dλ(x) nπ | sin(x)| dλ(x)

[(n−1)π,nπ]

Z

nπ

| sin(x)| dx (n−1)π

1 n

ist f nicht λ–integrierbar.

Wir geben einige Beispiele, die in der Wahrscheinlichkeitstheorie von Interesse sind: 9.8.8 Beispiele. (1) F¨ ur alle a ∈ (0, ∞) gilt Z

−ax2

xe (0,∞)

Z dλ(x) = 0

∞

2

x e−ax dx =

1 2a

9.8 Lebesgue–Integral und Riemann–Integral

187

(2) Es gilt Z (0,∞)

Z

1 dλ(x) = 1 + x2

∞

0

1 π dx = 1 + x2 2

und Z R

1 dλ(x) = 1 + x2

Z

∞

−∞

1 dx = π 1 + x2

(3) Es gilt Z

2

e−x dλ(x) = (0,∞)

1√ π 2

und Z

2

e−x dλ(x) =

√

π

R

In der Tat: Die Funktion h : R2 → R mit h(x, y) := y e−(1+x

2

)y 2

χ(0,∞)2 (x, y)

ist messbar und positiv. Die erste Gleichung ergibt sich mit Hilfe des Satzes von Fubini durch die beiden iterativen Auswertungen des Integrals Z h(x, y) dλ2 (x, y) R2

Aus dem Satz von Fubini ergibt sich unter Verwendung von (1) und (2) Z Z Z h(x, y) dλ2 (x, y) = h(x, y) dλ(y) dλ(x) R2 ZR ZR 2 2 = y e−(1+x )y χ(0,∞)2 (x, y) dλ(y) dλ(x) ZR R Z 2 2 = y e−(1+x )y dλ(y) dλ(x) (0,∞)

Z =

(0,∞)

(0,∞)

1 1 dλ(x) 2 1 + x2

1 π = · 2 2 π = 4 Wir betrachten nun f¨ ur y ∈ (0, ∞) die lineare Abbildung Ty : R → R mit Ty (x) := xy. Dann ist Ty bijektiv mit Ty−1 (0, ∞) = (0, ∞) und | det(Ty )| = y, und aus Satz 6.3.1 ergibt sich λTy = y −1 λ. Aus dem Satz von Fubini und der Substitutionsregel ergibt sich Z Z Z h(x, y) dλ2 (x, y) = h(x, y) dλ(x) dλ(y) R2

R

R

188

Kapitel 9. Berechnung des Lebesgue–Integrals Z Z = ZR =

2

2

y e−(1+x )y χ(0,∞)2 (x, y) dλ(x) dλ(y) R Z 2 2 2 y e−x y dλ(x) e−y dλ(y)

(0,∞)

Z

(0,∞)

Z

2

2

y e−(Ty (x)) dλ(x) e−y dλ(y)

= (0,∞)

Z

(Ty

Z

)−1 (0,∞) 2

2

y e−z dλTy (z) e−y dλ(y)

= (0,∞)

Z

(0,∞)

Z

2

2

y e−z y−1 dλ(z) e−y dλ(y)

= (0,∞)

Z

(0,∞)

Z

2

2

e−z dλ(z) e−y dλ(y)

= (0,∞)

(0,∞)

Z

Z

2

2

e−z dλ(z)

= (0,∞)

e−y dλ(y) (0,∞)

µZ

2

e−z dλ(z)

=

¶2

(0,∞)

Daher gilt µZ

2

e−z dλ(z)

¶2

Z h(x, y) dλ2 (x, y) =

= R2

(0,∞)

π 4

und damit Z

2

e−x dλ(x) = (0,∞)

1√ π 2

Damit ist die erste Gleichung gezeigt. Des weiteren ist die Abbildung S : R → R mit S(x) := − x bijektiv mit S −1 (0, ∞) = (−∞, 0) und | det(S)| = 1, und aus Satz 6.3.1 ergibt sich λS = λ. Daher gilt Z Z 2 2 e−x dλ(x) = e−(S(x)) dλ(x) S −1 (0,∞)

(−∞,0)

Z

2

e−z dλS (z)

= (0,∞)

Z

2

e−z dλ(z)

= (0,∞)

1√ = π 2 und wegen λ[{0}] = 0 ergibt sich nun Z Z Z 2 2 e−x dλ(x) = e−x dλ(x) + R

(−∞,0)

(0,∞)

Damit ist auch die zweite Gleichung gezeigt.

2

e−x dλ(x) =

√ 1√ 1√ π+ π= π 2 2

9.8 Lebesgue–Integral und Riemann–Integral

189

Aus dem Zusammenhang zwischen dem Lebesgue–Integral und dem Riemann– Integral erhalten wir auch eine weitere Eigenschaft von Transformationen des Lebesgue–Maßes: 9.8.9 Lemma. Sei C ⊆ R ein nichtleeres offenes Intervall und sei T : C → R stetig differenzierbar mit T 0 (x) 6= 0 f¨ ur alle x ∈ C. Dann gilt Z ¯ −1 ¯ ¯ dT ¯ (λ|B(C) )T |B(T (C)) = ¯¯ (z)¯¯ dλ|B(T (C)) (z) dz Beweis. Nach Voraussetzung ist T stetig und entweder streng monoton wachsend oder streng monoton fallend. Daher ist T (C) ein offenes Intervall und T besitzt eine Umkehrfunktion T −1 : T (C) → C, die stetig differenzierbar ist und dieselben Monotonieeigenschaften besitzt wie T . Wir betrachten nun die Messr¨aume (C, B(C)) und (T (C), B(T (C))) und die Restriktionen λ|B(C) und λ|B(T (C)) des Lebesgue–Maßes λ. Da die Abbildung S := T −1 stetig differenzierbar ist, ist ihre Ableitung S 0 : T (C) → C messbar. Wir betrachten das Maß ν : B(T (C)) → [0, ∞] mit Z ν := |S 0 (z)| dλ|B(T (C)) (z) und berechnen das Bildmaß νS : B(C) → [0, ∞]: – Ist T streng monoton wachsend, so ist auch S streng monoton wachsend und f¨ ur alle [a, b] ⊆ C gilt νS [[a, b]] = ν[S −1 ([a, b])] = ν[[S −1 (a), S −1 (b)]] Z = |S 0 (z)| dλ|B(T (C)) (z) [S −1 (a),S −1 (b)] Z = S 0 (z) dλ|B(T (C)) (z) Z

[S −1 (a),S −1 (b)] S −1 (b)

=

S 0 (z) dz

S −1 (a)

= S(S −1 (b)) − S(S −1 (a)) = b−a = λ|B(C) [[a, b]] –

Ist T streng monoton fallend, so ist auch S streng monoton fallend und man erh¨ alt wiederum f¨ ur alle [a, b] ⊆ C νS [[a, b]] = λ|B(C) [[a, b]]

190

Kapitel 9. Berechnung des Lebesgue–Integrals

Daher gilt in jedem Fall f¨ ur alle [a, b] ⊆ C νS [[a, b]] = λ|B(C) [[a, b]] Da das Mengensystem E := {[a, b] | [a, b] ⊆ C} ein ∩–stabiler Erzeuger von B(C) ist und (λ|B(C) )|E σ–endlich ist, folgt aus dem Eindeutigkeitssatz νS = λ|B(C) und damit (λ|B(C) )T |B(T (C)) = (νS )T |B(T (C)) = νT ◦S |B(T (C)) = ν Die Behauptung des Lemmas folgt nun aus der Definition von ν.

2

Teil IV

Wahrscheinlichkeitstheorie

10 Wahrscheinlichkeitsr¨ aume

Ist (Ω, F ) ein Messraum und ist P : F → [0, 1] ein Maß mit P [Ω] = 1, so heißt das Maß P Wahrscheinlichkeitsmaß und der Maßraum (Ω, F, P ) heißt Wahrscheinlichkeitsraum. Diese Definitionen gehen auf Kolmogorov [1933] zur¨ uck, der so die Wahrscheinlichkeitstheorie in die Maß– und Integrationstheorie eingebettet und die Grundlage f¨ ur die moderne Wahrscheinlichkeitstheorie gelegt hat. Der Wahrscheinlichkeitstheorie stehen damit alle Begriffe und Ergebnisse der Maß– und Integrationstheorie zur Verf¨ ugung; dar¨ uber hinaus gewinnt sie aus der Konzentration auf Wahrscheinlichkeitsmaße eine eigene Kraft, die neue Begriffe hervorbringt, die in der allgemeinen Maß– und Integrationstheorie ohne Bedeutung sind und die zu einer reichen Theorie f¨ uhren, die unz¨ ahlige Anwendungen besitzt und die wir in diesem und den folgenden Kapiteln nur in ihren Grundz¨ ugen darstellen k¨onnen. In diesem Kapitel betrachten wir zun¨achst die elementaren Begriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie (Abschnitt 10.1) und behandeln sodann die wesentlichen Prinzipien zur Konstruktion von Wahrscheinlichkeitsr¨ aumen. Die einfachsten Wahrscheinlichkeitsr¨aume sind die diskreten (Abschnitt 10.2) oder sogar symmetrischen Wahrscheinlichkeitsr¨aume (Abschnitt 10.3), deren Konstruktion ¨ durch elementare Uberlegungen erfolgen kann. Theoretisch anspruchsvoller ist hingegen die Konstruktion des Produktes einer Familie von Wahrscheinlichkeitsr¨ aumen, die sich im Fall einer endlichen Familie aus der Maß– und Integrationstheorie ergibt (Abschnitt 10.4), im Fall einer unendlichen Familie aber spezifisch f¨ ur die Wahrscheinlichkeitstheorie ist (Abschnitt 10.6) und auf dem Begriff einer projektiven Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen beruht (Abschnitt 10.5). Ein weiteres Prinzip zur Konstruktion von Wahrscheinlichkeitsr¨ aumen, das in der Theorie der stochastischen Prozesse von Bedeutung ist und ebenfalls auf dem Begriff einer projektiven Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen beruht, betrachten wir erst in Kapitel 20. K.D. Schmidt, Maß und Wahrscheinlichkeit, 2. Aufl., Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-21026-6_10, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

194

Kapitel 10. Wahrscheinlichkeitsr¨ aume

10.1 Wahrscheinlichkeitsr¨ aume und Zufallsgr¨ oßen Sei Ω eine nichtleere Menge und sei C ⊆ 2Ω ein Mengensystem mit ∅, Ω ∈ C. Eine Mengenfunktion P : C → [0, 1] heißt – Wahrscheinlichkeitsinhalt, wenn P ein Inhalt mit P [Ω] = 1 ist. – Wahrscheinlichkeitsmaß , wenn P ein Maß mit P [Ω] = 1 ist. Jedes Wahrscheinlichkeitsmaß ist ein Wahrscheinlichkeitsinhalt und jeder Wahrscheinlichkeitsinhalt ist endlich. Das folgende Ergebnis ist elementar, wird aber h¨ aufig verwendet: 10.1.1 Lemma. Sei C eine Algebra und P : C → [0, 1] ein Wahrscheinlichkeitsinhalt. Dann gilt f¨ ur alle A ∈ C P [Ω \ A] = 1 − P [A] Da jeder Wahrscheinlichkeitsinhalt endlich ist, l¨ asst sich die Charakterisierung der σ–Additivit¨ at gegen¨ uber beliebigen Inhalten geringf¨ ugig vereinfachen. Das folgende Lemma ergibt sich unmittelbar aus Folgerung 4.2.10: 10.1.2 Lemma. Sei C eine Algebra und P : C → [0, 1] ein Wahrscheinlichkeitsinhalt. Dann sind ¨ aquivalent: (a) P ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß. (b) P ist σ–additiv. (c) P ist stetig von unten. (d) P ist stetig von oben. (e) P ist ∅–stetig. Ist (Ω, F) ein Messraum und ist P : F → [0, 1] ein Wahrscheinlichkeitsmaß, so heißt (Ω, F , P ) Wahrscheinlichkeitsraum. Jeder Wahrscheinlichkeitsraum ist also ein endlicher Maßraum. Ist (Ω, F, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und (Ω0 , F 0 ) ein Messraum, so heißt jede messbare Abbildung X : Ω → Ω0 Zufallsgr¨ oße und das Bildmaß PX von P unter X heißt Verteilung von X; insbesondere heißt X ¯ B(R)) ¯ gilt. – Zufallsvariable, wenn (Ω0 , F 0 ) = (R, 0 0 – reelle Zufallsvariable, wenn (Ω , F ) = (R, B(R)) gilt. – Zufallsvektor , wenn (Ω0 , F 0 ) = (Rn , B(Rn )) gilt. Das folgende Lemma ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Bildmaßes: 10.1.3 Lemma. Sei (Ω, F , P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und (Ω0 , F 0 ) ein Messraum und sei X : Ω → Ω0 eine Zufallsgr¨ oße. Dann ist PX ein Wahrscheinlichkeitsmaß. Ist (Ω, F, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und (Ω0 , F 0 ) ein Messraum und ist X : Ω → Ω0 eine Zufallsgr¨oße, so ist insbesondere (Ω0 , F 0 , PX ) ein Wahrscheinlichkeitsraum.

10.1 Wahrscheinlichkeitsr¨ aume und Zufallsgr¨ oßen

195

Die vorher gegebenen Definitionen zeigen bereits, dass f¨ ur bestimmte mathematische Objekte in der Wahrscheinlichkeitstheorie andere Begriffe verwendet werden als in der allgemeinen Maß– und Integrationstheorie. Wir geben einige weitere Definitionen, die f¨ ur die Wahrscheinlichkeitstheorie typisch sind: Sei (Ω, F, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Dann wird – jedes Element ω ∈ Ω als Ergebnis, – die Grundmenge Ω als Ergebnismenge, – jede Menge A ∈ F als Ereignis, – jede Menge A ∈ F mit A = {ω} f¨ ur ein ω ∈ Ω als Elementarereignis, und – jedes Mengensystem E ⊆ F als Ereignissystem bezeichnet. Neben dem Unterschied zwischen Ergebnissen und Elementarereignissen ist zu beachten, dass nicht jede Teilmenge der Ergebnismenge ein Ereignis ist und dass nicht jedes Mengensystem ein Ereignissystem ist. F¨ ur ein festes Ergebnis ω ∈ Ω sagt man auch, dass ein Ereignis A ∈ F eintritt, wenn ω ∈ A gilt; auf diese Sprechweise ist es zur¨ uckzuf¨ uhren, dass – die Grundmenge Ω als sicheres Ereignis, und – die leere Menge ∅ als unm¨ ogliches Ereignis bezeichnet wird. Diesen Bezeichnungen liegt die Vorstellung zugrunde, dass die Ergebnismenge die m¨ oglichen Ergebnisse eines Zufallsexperimentes beschreibt und dass die Ereignisse diejenigen Teilmengen der Ergebnismenge sind, deren Wahrscheinlichkeit gemessen werden soll. 10.1.4 Beispiel (Wurf eine W¨ urfels). Als Zufallsexperiment betrachten wir den Wurf eines W¨ urfels. Sieht man davon ab, dass der W¨ urfel m¨ oglicherweise vom Tisch f¨ allt oder gegen einen Gegenstand rollt und auf einer seiner Kanten stehenbleibt, so ist die Menge Ω := {1, 2, 3, 4, 5, 6} eine geeignete Wahl der Ergebnismenge. Interessiert man sich nur daf¨ ur, ob beim Wurf des W¨ urfels eine gerade oder eine ungerade Augenzahl auftritt, so gen¨ ugt es, die σ–Algebra n o F := ∅, {1, 3, 5}, {2, 4, 6}, Ω zu betrachten. Ist schließlich der W¨ urfel unverf¨ alscht, so liegt es nahe, mittels  falls A = ∅ 0 P [A] := 1/2 falls A = {1, 3, 5} oder A = {2, 4, 6}  1 falls A = Ω ein Wahrscheinlichkeitsmaß P : F → [0, 1] zu definieren.

In den folgenden Abschnitten betrachten wir weitere Zufallsexperimente und ihre Modellierung durch einen Wahrscheinlichkeitsraum; auch diese Zufallsexperimente sind wieder extrem einfach gew¨ahlt, weil sie nur als Beispiele f¨ ur die Anwendung bestimmter Prinzipien zur Konstruktion von Wahrscheinlichkeitsr¨ aumen dienen sollen.

196

Kapitel 10. Wahrscheinlichkeitsr¨ aume

Aufgaben 10.1.A F¨ uhren Sie die fehlenden Beweise aus. 10.1.B Sei (Ω, F , P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Dann gilt f¨ ur alle A, B ∈ F |P [A] − P [B]| ≤ P [A4B] 10.1.C Sei (Ω, F ) ein Messraum und sei {Pn }n∈N eine Folge von WahrscheinlichP∞ keitsmaßen F → [0, 1] und {an }n∈N ⊆ R+ eine Folge mit n=1 an = 1. Dann ist die Mengenfunktion P : F → [0, ∞] mit P [A] :=

∞ X

an Pn [A]

n=1

ein Wahrscheinlichkeitsmaß.

10.2 Diskrete Wahrscheinlichkeitsr¨ aume Ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F , P ) heißt diskret, wenn er die folgenden Eigenschaften besitzt: (i) Ω ist abz¨ ahlbar. (ii) Es gilt F = 2Ω . Wir zeigen, dass diskrete Wahrscheinlichkeitsr¨ aume auf besonders einfache Weise konstruiert werden k¨onnen. Sei Ω eine abz¨ ahlbare Menge. Dann heißt jede Funktion p : Ω → [0, 1] mit X p(ω) = 1 ω∈Ω

Wahrscheinlichkeitsfunktion auf Ω. Jede Wahrscheinlichkeitsfunktion erzeugt ein eindeutig bestimmtes Wahrscheinlichkeitsmaß auf der Potenzmenge: 10.2.1 Lemma. Sei Ω abz¨ahlbar und p : Ω → [0, 1] eine Wahrscheinlichkeitsfunktion. Dann gibt es genau ein Wahrscheinlichkeitsmaß P : 2Ω → [0, 1] mit P [{ω}] = p(ω) f¨ ur alle ω ∈ Ω und es gilt P [A] =

X

p(ω)

ω∈A

f¨ ur alle A ∈ 2Ω . Beweis. Sei zun¨ achst P : 2Ω → [0, 1] gegeben durch X P [A] := p(ω) ω∈A

10.2 Diskrete Wahrscheinlichkeitsr¨ aume

Dann gilt P [∅] = 0 und P [Ω] = {An }n∈N ⊆ F gilt "∞ # X X P An = n=1

197

P ω∈Ω

P ω∈ ∞ n=1 An

p(ω) = 1, und f¨ ur jede disjunkte Folge

p(ω) =

∞ X X

p(ω) =

n=1 ω∈An

∞ X

P [An ]

n=1

Daher ist P ein Wahrscheinlichkeitsmaß mit P [{ω}] = p(ω) f¨ ur alle ω ∈ Ω. Sei nun Q : 2Ω → [0, 1] ein beliebiges Wahrscheinlichkeitsmaß mit Q[{ω}] = p(ω) f¨ ur alle ω ∈ Ω. Dann gilt f¨ ur alle A ∈ F X X Q[A] = Q[{ω}] = p(ω) = P [A] ω∈A

ω∈A

Daher gilt Q = P .

2

Von besonderem Interesse ist der Fall Ω = N0 : Eine Folge {pn }n∈N0 ⊆ R+ mit ∞ X

pn = 1

n=0

heißt stochastische Folge. Ist {pn }n∈N0 eine stochastische Folge, so ist die Funktion p : N0 → [0, 1] mit p(n) := pn eine Wahrscheinlichkeitsfunktion. 10.2.2 Folgerung. Sei {pn }n∈N0 eine stochastische Folge. Dann gibt es genau ein Wahrscheinlichkeitsmaß P : 2N0 → [0, 1] mit P [{n}] = pn f¨ ur alle n ∈ N0 . Dieses Ergebnis ist bemerkenswert: Obwohl die Potenzmenge von N0 u ¨berabz¨ ahlbar ist, ist jedes Wahrscheinlichkeitsmaß auf der Potenzmenge durch eine stochastische Folge und damit durch abz¨ahlbar viele Werte bestimmt. Aufgaben 10.2.A Jede Abbildung von einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum in einen Messraum ist eine Zufallsgr¨ oße. 10.2.B Beweisen Sie Lemma 10.2.1 mit Hilfe des Satzes von Caratheodory.

198

Kapitel 10. Wahrscheinlichkeitsr¨ aume

10.3 Symmetrische Wahrscheinlichkeitsr¨ aume Ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F , P ) heißt symmetrisch, wenn er die folgenden Eigenschaften besitzt: (i) Ω ist endlich. (ii) Es gilt F = 2Ω . (iii) Es gibt ein p ∈ [0, 1] mit P [{ω}] = p f¨ ur alle ω ∈ Ω. Jeder symmetrische Wahrscheinlichkeitsraum ist ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum. In einem symmetrischen Wahrscheinlichkeitsraum wird jedem Elementarereignis dieselbe Wahrscheinlichkeit zugeordnet. Die Wahl eines symmetrischen Wahrscheinlichkeitsraumes als Modell f¨ ur ein Zufallsexperiment kann mit dem Prinzip des unzureichenden Grundes begr¨ undet werden: Wenn ein Zufallsexperiment im wesentlichen nur endlich viele Ergebnisse hervorbringen kann und kein Grund daf¨ ur erkennbar ist, dass eines der Ergebnisse eine h¨ ohere Chance der Realisierung besitzt als die anderen Ergebnisse, dann ist der zugeh¨ orige symmetrische Wahrscheinlichkeitsraum ein geeignetes Modell. Symmetrische Wahrscheinlichkeitsr¨aume werden auch als Laplace–Experimente bezeichnet, obwohl sie nat¨ urlich nur Modelle f¨ ur Zufallsexperimente sind. Im Prinzip ist die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse eines symmetrischen Wahrscheinlichkeitsraumes einfach: 10.3.1 Lemma. Sei (Ω, F , P ) ein symmetrischer Wahrscheinlichkeitsraum. Dann gilt f¨ ur alle A ∈ F |A| P [A] = |Ω| Beweis. Nach Voraussetzung gibt es ein p ∈ [0, 1] mit P [{ω}] = p f¨ ur alle ω ∈ Ω. Wegen P [Ω] = 1 folgt aus der Additivit¨ at von P zun¨ achst P [{ω}] = 1/|Ω| f¨ ur alle ω ∈ Ω und sodann P [A] = |A|/|Ω| f¨ ur alle A ∈ F .

2

In einem symmetrischen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F , P ) ist daher die Wahrscheinlichkeit P [A] eines Ereignisses A ∈ F gerade das Verh¨ altnis |A|/|Ω| zwischen der Anzahl |A| der Ergebnisse, f¨ ur die A eintritt, und der Anzahl |Ω| aller Ergebnisse. Dabei bezeichnet man – |A| als die Anzahl der (f¨ ur das Eintreten von A) g¨ unstigen F¨alle und – |Ω| als die Anzahl der m¨ oglichen F¨ alle.

10.3 Symmetrische Wahrscheinlichkeitsr¨ aume

199

Aufgrund des Lemmas ist es erstrebenswert, f¨ ur ein Zufallsexperiment, das im wesentlichen nur endlich viele Ergebnisse hervorbringen kann, die Ergebnismenge so zu w¨ ahlen, dass die Wahl des zugeh¨ origen symmetrischen Wahrscheinlichkeitsraumes als Modell plausibel ist. 10.3.2 Beispiel (n–maliger Wurf einer M¨ unze). Wir betrachten den n–maligen Wurf einer M¨ unze. Wir nehmen an, dass – zwischen den verschiedenen W¨ urfen der M¨ unze keine gegenseitige Beeinflussung besteht, – bei jedem Wurf nur Kopf oder Zahl auftreten kann und – die Chance f¨ ur das Auftreten von Kopf beim einmaligen Wurf gleich 1/2 ist. Wir interessieren uns f¨ ur die Anzahl der W¨ urfe, bei denen Kopf auftritt. Als Ergebnismenge f¨ ur dieses Zufallsexperiment bietet sich nat¨ urlich die Menge Ω := {0, 1, . . . , n} an; da aber diese Ergebnismenge offenbar nicht dem Prinzip des unzureichenden Grundes gen¨ ugt, ist die Wahl des zugeh¨ origen symmetrischen Wahrscheinlichkeitsraumes als Modell nicht plausibel. Aufgrund der Annahme, dass bei jedem einzelnen Wurf Kopf und Zahl dieselbe Chance haben und dass zwischen den verschiedenen W¨ urfen keine gegenseitige Beeinflussung besteht, ist es jedoch plausibel, anzunehmen, dass die 2n Folgen von Kopf und Zahl, die beim n–maligen Wurf auftreten k¨ onnen, ebenfalls alle dieselbe Chance haben. Wir setzen daher Ω := {K, Z}n und F := 2Ω , und f¨ ur alle A ∈ F setzen wir |A| P [A] := |Ω| Dann ist (Ω, F , P ) ein symmetrischer Wahrscheinlichkeitsraum mit |Ω| = 2n F¨ ur k ∈ {0, 1, . . . , n} bezeichne Ek ∈ F das Ereignis, dass beim n–maligen Wurf der M¨ unze genau k–mal Kopf auftritt. Dann erh¨ alt man à ! |Ek | n 1 P [Ek ] = = |Ω| k 2n Die Zufallsvariable X : Ω → R mit X(ω) := k f¨ ur alle k ∈ {0, 1, . . . , n} und ω ∈ Ek gibt die Anzahl der W¨ urfe an, bei denen Kopf auftritt, und f¨ ur alle k ∈ {0, 1, . . . , n} gilt à ! n 1 P [{X = k}] = k 2n ¡n¢ P n Plausibilit¨ atspr¨ ufung: Es gilt n k=0 k = 2 .

Das Beispiel zeigt: – W¨ ahlt man die Ergebnismenge nur so groß wie n¨ otig, so ist Symmetrie oft nicht plausibel und ein Wahrscheinlichkeitsmaß nur schwer zu bestimmen. – W¨ unscht man Symmetrie, so muss man oft eine gr¨ oßere Ergebnismenge w¨ ahlen mit der Konsequenz, dass Ereignisse sehr viele Ergebnisse enthalten k¨ onnen und ihre M¨achtigkeit nicht leicht zu bestimmen ist. Hier hilft die Kombinatorik:

200

Kapitel 10. Wahrscheinlichkeitsr¨ aume

10.3.3 Beispiele (Urnenmodelle). Wir betrachten eine Urne mit N ≥ 2 Kugeln, von denen K ∈ {1, . . . , N−1} Kugeln rot sind und N−K Kugeln eine beliebige andere Farbe besitzen. Wir nehmen an, dass alle Kugeln bis auf die Farbe gleichartig sind. Wir interessieren uns f¨ ur die Anzahl der roten Kugeln bei der zuf¨ alligen Auswahl von n Kugeln aus der Urne. Zu diesem Zweck nehmen wir zus¨ atzlich an, die Kugeln seien numeriert derart, dass die Kugeln 1, . . . , K rot sind und die Kugeln K + 1, . . . , N eine andere Farbe besitzen. (1) Ziehen ohne Zur¨ ucklegen: Sei n ≤ N . Wir setzen Ω := Menge aller n–Tupel ohne Wiederholung aus {1, ..., N } und F := 2Ω . Aufgrund der Annahme der Gleichartigkeit der Kugeln setzen wir f¨ ur alle A ∈ F |A| P [A] := |Ω| Dann ist (Ω, F , P ) ein symmetrischer Wahrscheinlichkeitsraum mit à ! N |Ω| = n! n F¨ ur k ∈ {0, 1, . . . , n} betrachten wir das Ereignis Ek := {ω ∈ Ω | genau k Kugeln sind rot} Dann ist die Anzahl der g¨ unstigen F¨ alle das Produkt – der Anzahl der M¨ oglichkeiten, aus den n Ziehungen k Ziehungen (mit einer roten Kugel als Ergebnis) auszuw¨ ahlen, – der Anzahl der M¨ oglichkeiten, aus den K numerierten roten Kugeln k Kugeln ohne Zur¨ ucklegen auszuw¨ ahlen, und – der Anzahl der M¨ oglichkeiten, aus den N−K numerierten Kugeln mit einer anderen Farbe n−k Kugeln ohne Zur¨ ucklegen auszuw¨ ahlen. Es gilt also à ! à ! à ! à !à ! n K N −K K N −K |Ek | = · k! · (n−k)! = n! k k n−k k n−k und damit

à !à ! à !à ! K N −K K N −K n! k n−k k n−k |Ek | à ! à ! P [Ek ] = = = |Ω| N N n! n n

Die Zufallsvariable X : Ω → R mit X(ω) := k f¨ ur alle k ∈ {0, 1, . . . , n} und ω ∈ Ek gibt die Anzahl der roten Kugeln bei der zuf¨ alligen Auswahl von n Kugeln an und f¨ ur alle k ∈ {0, 1, . . . , n} gilt à !à ! K N −K k n−k à ! P [{X = k}] = N n Pn ¡K ¢¡N−K ¢ ¡N ¢ Plausibilit¨ atspr¨ ufung: Es gilt k=0 k n−k = n .

10.3 Symmetrische Wahrscheinlichkeitsr¨ aume

201

(2) Ziehen mit Zur¨ ucklegen: Wir setzen Ω := Menge aller n–Tupel mit m¨ oglicher Wiederholung aus {1, ..., N } und F := 2Ω . Aufgrund der Annahme der Gleichartigkeit der Kugeln setzen wir f¨ ur alle A ∈ F P [A] :=

|A| |Ω|

Dann ist (Ω, F , P ) ein symmetrischer Wahrscheinlichkeitsraum mit |Ω| = N n F¨ ur k ∈ {0, 1, . . . , n} betrachten wir das Ereignis Ek := {ω ∈ Ω | genau k Kugeln sind rot} Dann ist die Anzahl der g¨ unstigen F¨ alle das Produkt – der Anzahl der M¨ oglichkeiten, aus den n Ziehungen k Ziehungen (mit einer roten Kugel als Ergebnis) auszuw¨ ahlen, – der Anzahl der M¨ oglichkeiten, aus den K numerierten roten Kugeln k Kugeln mit Zur¨ ucklegen auszuw¨ ahlen, und – der Anzahl der M¨ oglichkeiten, aus den N−K numerierten Kugeln mit einer anderen Farbe n−k Kugeln mit Zur¨ ucklegen auszuw¨ ahlen. Es gilt also à ! n |Ek | = · K k · (N −K)n−k k und damit

|Ek | P [Ek ] = = |Ω|

à ! n K k (N −K)n−k k Nn

à !µ ¶ µ ¶n−k k n K N −K = k N N

Mit ϑ := K/N gilt daher à ! n P [Ek ] = ϑk (1−ϑ)n−k k Die Zufallsvariable X : Ω → R mit X(ω) := k f¨ ur alle k ∈ {0, 1, . . . , n} und ω ∈ Ek gibt die Anzahl der roten Kugeln bei der zuf¨ alligen Auswahl von n Kugeln an und f¨ ur alle k ∈ {0, 1, . . . , n} gilt à ! n P [{X = k}] = ϑk (1−ϑ)n−k k Plausibilit¨ atspr¨ ufung: Es gilt

Pn k=0

¡n¢ k

ϑk (1−ϑ)n−k = 1.

Urnenmodelle besitzen vielf¨altige Anwendungen. Als Beispiel betrachten wir nochmals den n–maligen Wurf einer M¨ unze:

202

Kapitel 10. Wahrscheinlichkeitsr¨ aume

10.3.4 Beispiel (n–maliger Wurf einer M¨ unze). Wir betrachten den n–maligen Wurf einer M¨ unze. Wir nehmen an, dass – zwischen den verschiedenen W¨ urfen der M¨ unze keine gegenseitige Beeinflussung besteht, – bei jedem Wurf nur Kopf oder Zahl auftreten kann und – die Chance f¨ ur das Auftreten von Kopf beim einmaligen Wurf gleich einer rationalen Zahl ϑ ∈ Q ∩ (0, 1) ist. Aufgrund der Annahme ϑ ∈ Q ∩ (0, 1) gibt es N, K ∈ N mit K ∈ {1, . . . , N −1} und ϑ = K/N . Der n–malige Wurf einer M¨ unze entspricht daher dem n–maligen Ziehen mit Zur¨ ucklegen aus einer Urne mit N Kugeln, von denen K rot sind. Sei also (Ω, F, P ) der beim Ziehen mit Zur¨ ucklegen betrachtete Wahrscheinlichkeitsraum. F¨ ur k ∈ {0, 1, . . . , n} bezeichne Ek ∈ F das Ereignis, dass beim n–maligen Ziehen mit Zur¨ ucklegen, und damit beim n–maligen Wurf der M¨ unze, genau k–mal Kopf auftritt. Dann erh¨ alt man à ! n k P [Ek ] = ϑ (1−ϑ)n−k k Im Fall ϑ = 1/2 ist dies das bekannte Ergebnis.

Aufgaben 10.3.A Problem der Doppelsechs: Eine Spielbank bietet zwei Gl¨ ucksspiele an: – Beim ersten Spiel wirft der Spieler vier Mal einen W¨ urfel und gewinnt, wenn keine Sechs auftritt. – Beim zweiten Spiel wirft der Spieler 24 Mal zwei W¨ urfel und gewinnt, wenn keine Doppelsechs auftritt. Welches Spiel ist f¨ ur den Spieler g¨ unstiger? 10.3.B Probl` eme des parties: Spieler C und Spieler W werfen abwechselnd eine M¨ unze. Vor jedem Wurf zahlen beide Spieler einen Taler in die Kasse; Spieler C erh¨ alt einen Punkt, wenn Kopf auftritt, und Spieler W erh¨ alt einen Punkt, wenn Zahl auftritt. Das Spiel endet, sobald einer der Spieler sieben Punkte erreicht hat; dieser Spieler gewinnt das Spiel und erh¨ alt die gesamte Kasse. Wie ist die Kasse aufzuteilen, wenn das Spiel abgebrochen wird und Spieler C vier und Spieler W drei Punkte erreicht hat? 10.3.C Verallgemeinern Sie Beispiel 10.3.3 auf Urnenmodelle mit mehr als zwei Sorten Kugeln.

10.4 Endliche Produkte von Wahrscheinlichkeitsr¨ aumen In Abschnitt 9.6 haben wir gezeigt, dass ausgehend von einer endlichen Familie von Maßr¨ aumen ein neuer Maßraum konstruiert werden kann, der als Produkt der urspr¨ unglichen Maßr¨aume bezeichnet wird. Der folgende Satz ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Produktmaßes: 10.4.1 Satz. Sei {(Ωi , Fi , Pi )}i∈{1,...,n} eine endliche Familie von WahrN scheinlichkeitsr¨ aumen. Dann ist i∈{1,...,n} (Ωi , Fi , Pi ) ein Wahrscheinlichkeitsraum.

10.4 Endliche Produkte von Wahrscheinlichkeitsr¨ aumen

203

F¨ ur das Produkt einer endlichen Familie von diskreten oder symmetrischen Wahrscheinlichkeitsr¨aumen ergibt sich das folgende Ergebnis: 10.4.2 Folgerung. Sei {(Ωi , Fi , Pi )}i∈{1,...,n} eine endliche Familie von Wahrscheinlichkeitsr¨ aumen. (1) Sind alle (Ωi , Fi , Pi ) diskret, so ist auch das Produkt diskret. (2) Sind alle (Ωi , Fi , Pi ) symmetrisch, so ist auch das Produkt symmetrisch. Als Beispiel betrachten wir wieder den n–maligen Wurf einer M¨ unze: 10.4.3 Beispiel (n–maliger Wurf einer M¨ unze). Wir betrachten den n–maligen Wurf einer M¨ unze. Wir nehmen an, dass – zwischen den verschiedenen W¨ urfen der M¨ unze keine gegenseitige Beeinflussung besteht, – bei jedem Wurf nur Kopf oder Zahl auftreten kann und – die Chance f¨ ur das Auftreten von Kopf beim einmaligen Wurf gleich einer reellen Zahl ϑ ∈ (0, 1) ist. Wir w¨ ahlen folgende Modelle: – Als Modell f¨ ur den i–ten Wurf w¨ ahlen wir den diskreten Wahrscheinlichkeitsraum (Ωi , Fi , Pi ) mit Ωi := {K, Z} sowie Fi = 2Ωi und dem durch Pi [{K}] := ϑ festgelegten Wahrscheinlichkeitsmaß. – Als Modell f¨ ur den n–fachen Wurf w¨ ahlen wir das Produkt O (Ω, F , P ) := (Ωi , Fi , Pi ) i∈{1,...,n}

Dann ist auch (Ω, F , P ) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum. Es gilt Ω = {K, Z}n und F = 2Ω . Sei k ∈ {0, 1, . . . , n}. Bezeichnet ω = (ω1 , . . . , ωn ) das Ergebnis, dass bei den ersten k W¨ urfen Kopf und bei den letzten n − k W¨ urfen Zahl auftritt, so gilt aufgrund der Definition des Produktmaßes P [{ω}] =

n Y i=1

Pi [{ωi }] =

k Y i=1

Pi [{K}]

n Y

Pj [{Z}] = ϑk (1−ϑ)n−k

j=k+1

Allgemeiner gilt f¨ ur jedes Ergebnis ω ∈ Ω, bei dem genau k–mal Kopf (und n−k–mal Zahl ) auftritt, P [{ω}] = ϑk (1−ϑ)n−k Bezeichnet Ek ∈ F das Ereignis, dass genau k–mal Kopf auftritt, so ergibt sich aus der Additivit¨ at von P Ã ! n k P [Ek ] = ϑ (1−ϑ)n−k k Im Fall ϑ ∈ Q ∩ (0, 1) ist dies das bekannte Ergebnis. Im Fall ϑ = 1/2 ist außerdem jeder der Wahrscheinlichkeitsr¨ aume (Ωi , Fi , Pi ) und damit auch das Produkt (Ω, F, P ) symmetrisch.

204

Kapitel 10. Wahrscheinlichkeitsr¨ aume

10.5 Projektive Familien von Wahrscheinlichkeitsr¨ aumen In diesem Abschnitt bereiten wir zwei weitere Prinzipien zur Konstruktion von Wahrscheinlichkeitsr¨aumen vor. Sei I eine nichtleere Indexmenge und sei H(I) die Familie der endlichen nichtleeren Teilmengen von I. Wir betrachten eine Familie von Messr¨aumen {(Ωi , Fi )}i∈I und ihr Produkt O (Ω, F) := (Ωi , Fi ) i∈I

F¨ ur j ∈ I sei πj : Ω → Ωj mit πj ({ωi }i∈I ) := ωj die Projektion von Ω auf Ωj . F¨ ur J ∈ H(I) sei O (ΩJ , FJ ) := (Ωi , Fi ) i∈J

das Produkt der Familie {(Ωi , Fi )}i∈J und πJ : Ω → ΩJ mit πJ (ω) := {ωi }i∈J die Projektion von Ω auf ΩJ . F¨ ur J ∈ H(I) und j ∈ J sei πj,J : ΩJ → Ωj mit πj,J ({ωi }i∈J ) := ωj die Projektion von ΩJ auf Ωj . Es gilt πj = πj,J ◦ πJ . 10.5.1 Lemma. F¨ ur alle J ∈ H(I) ist die Projektion πJ messbar. Beweis. F¨ ur alle j ∈ J gilt πj,J ◦ πJ = πj und nach Definition von FJ und F sind πj,J und πj messbar. Die Messbarkeit von πJ folgt nun aus Satz 3.3.2. 2 F¨ ur K, J ∈ H(I) mit K ⊆ J sei πK,J : ΩJ → ΩK mit πK,J ({ωi }i∈J ) := {ωi }i∈K die Projektion von ΩJ auf ΩK . Es gilt πK = πK,J ◦ πJ . 10.5.2 Lemma. F¨ ur alle K, J ∈ H(I) mit K ⊆ J ist die Projektion πK,J messbar. Beweis. F¨ ur alle j ∈ K gilt πj,K ◦ πK,J = πj,J und nach Definition von FK und FJ sind πj,K und πj,J messbar. Die Messbarkeit von πK,J folgt nun aus Satz 3.3.2. 2

10.5 Projektive Familien von Wahrscheinlichkeitsr¨ aumen

205

Wir wenden uns nun der Frage zu, unter welchen Bedingungen es zu einer Familie {QJ }J∈H(I) von Wahrscheinlichkeitsmaßen mit QJ : FJ → [0, 1] f¨ ur alle J ∈ H(I) ein Wahrscheinlichkeitsmaß Q : F → [0, 1] gibt derart, dass f¨ ur alle J ∈ H(I) QπJ = QJ gilt. Das folgende Lemma liefert eine notwendige Bedingung: 10.5.3 Lemma. Sei Q : F → [0, 1] ein Wahrscheinlichkeitsmaß. Dann gilt f¨ ur alle K, J ∈ H(I) mit K ⊆ J QπK = (QπJ )πK,J Beweis. Es gilt QπK = QπK,J ◦πJ = (QπJ )πK,J .

2

Lemma 10.5.3 legt die folgende Definition nahe: Eine Familie {QJ }J∈H(I) von Wahrscheinlichkeitsmaßen mit QJ : FJ → [0, 1] f¨ ur alle J ∈ H(I) heißt projektiv , wenn f¨ ur alle K, J ∈ H(I) mit K ⊆ J QK = (QJ )πK,J gilt; in diesem Fall heißt auch die Familie {(ΩJ , FJ , QJ )}J∈H(I) projektiv . Nach Lemma 10.5.3 ist f¨ ur jedes Wahrscheinlichkeitsmaß Q : F → [0, 1] die Familie {QπJ }J∈H(I) projektiv. Daher kann es nur f¨ ur eine projektive Familie {QJ }J∈H(I) ein Wahrscheinlichkeitsmaß Q : F → [0, 1] geben derart, dass f¨ ur alle J ∈ H(I) QπJ = QJ gilt. Als erstes machen wir die σ–Algebren FJ , die auf unterschiedlichen Grundmengen definiert sind, miteinander vergleichbar, indem wir ihnen σ–Algebren auf Ω zuordnen: F¨ ur J ∈ H(I) sei ZJ := πJ−1 (FJ ) Nach Folgerung 2.1.2 ist ZJ eine σ–Algebra auf Ω. Die σ–Algebra ZJ heißt System der J–Zylinder auf Ω. 10.5.4 Lemma. Die Familie {ZJ }J∈H(I) ist unter Inklusion gerichtet. Beweis. F¨ ur K, L ∈ H(I) sei J := K ∪ L. Dann gilt J ∈ H(I). Wegen −1 −1 πK = πK,J ◦ πJ gilt πK = πJ−1 ◦ πK,J und damit

206

Kapitel 10. Wahrscheinlichkeitsr¨ aume −1 Z K = πK (FK ) −1 = (πJ−1 ◦ πK,J )(FK ) −1 = πJ−1 (πK,J (FK ))

⊆ πJ−1 (FJ ) = ZJ Analog erh¨ alt man ZL ⊆ ZJ Daher gilt ZK ∪ ZL ⊆ ZJ .

2

Sei nun Z :=

[

ZJ

J∈H(I)

Dann gilt Z ⊆ 2Ω . Jede Menge in Z heißt Zylindermenge auf Ω und das Mengensystem Z heißt System der Zylindermengen auf Ω. 10.5.5 Satz. Z ist eine Algebra und es gilt σ(Z) = F. Beweis. Wir zeigen zun¨achst, dass Z eine Algebra ist: (i) F¨ ur alle J ∈ H(I) gilt Ω ∈ ZJ und aus der Definition von Z ergibt sich nun Ω ∈ Z. (ii) Sei A ∈ Z. Dann gibt es ein J ∈ H(I) mit A ∈ ZJ . Daraus folgt zun¨ achst Ω \ A ∈ ZJ und sodann Ω \ A ∈ Z. (iii) Seien A, B ∈ Z. Dann gibt es ein K ∈ H(I) mit A ∈ ZK und ein L ∈ H(I) mit B ∈ ZL . Nach Lemma 10.5.4 gibt es ein J ∈ H(I) mit K, L ⊆ J und ZK ∪ ZL ⊆ ZJ . Dann gilt aber A, B ∈ ZJ . Daraus folgt zun¨ achst A ∪ B ∈ ZJ und sodann A ∪ B ∈ Z. Damit ist gezeigt, dass Z eine Algebra ist. F¨ ur alle i ∈ I gilt πi = πi,{i} ◦ π{i} und damit −1 −1 −1 πi−1 (Fi ) = π{i} (πi,{i} (Fi )) = π{i} (F{i} ) = Z{i} ⊆ Z ⊆ σ(Z)

Aus der Definition von F folgt nun F ⊆ σ(Z) Andererseits gilt f¨ ur alle J ∈ H(I) nach Lemma 10.5.1 ZJ = πJ−1 (FJ ) ⊆ F S Daraus folgt zun¨ achst Z = J∈H(I) ZJ ⊆ F und sodann σ(Z) ⊆ F Damit ist auch die Identit¨at σ(Z) = F gezeigt.

2

10.5 Projektive Familien von Wahrscheinlichkeitsr¨ aumen

207

Wir zeigen nun, dass es zu jeder projektiven Familie {QJ }J∈H(I) einen eindeutig bestimmten Wahrscheinlichkeitsinhalt Q : Z → [0, 1] gibt derart, dass f¨ ur alle J ∈ H(I) und alle C ∈ FJ Q[πJ−1 (C)] = QJ [C] gilt: 10.5.6 Satz. Sei {QJ }J∈H(I) eine projektive Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen mit QJ : FJ → [0, 1] f¨ ur alle J ∈ H(I). Dann gibt es genau einen Wahrscheinlichkeitsinhalt Q : Z → [0, 1] derart, dass f¨ ur alle J ∈ H(I) und alle C ∈ FJ Q[πJ−1 (C)] = QJ [C] gilt. Beweis. Die Definition von Q erfordert eine Vor¨ uberlegung: Sei A ∈ Z. F¨ ur K, L ∈ H(I) mit A ∈ ZK ∩ ZL sei M := K ∪ L. Dann gilt K, L ⊆ M und damit A ∈ ZM . Daher gibt es CK ∈ FK , CL ∈ FL und CM ∈ FM mit −1 A = πK (CK ) −1 A = πL (CL ) −1 A = πM (CM ) −1 −1 −1 −1 Wegen πM (πK,M (CK )) = (πK,M ◦ πM )−1 (CK ) = πK (CK ) = A = πM (CM ) gilt −1 πK,M (CK ) = CM

und aus der Projektivit¨at der Familie {QJ }J∈H(I) folgt nun QK [CK ] = (QM )πK,M [CK ] −1 = QM [πK,M (CK )]

= QM [CM ] Aus Symmetriegr¨ unden gilt auch QL [CL ] = QM [CM ] und damit QK [CK ] = QL [CL ] Aufgrund dieser Vor¨ uberlegung ist die Abbildung Q : Z → [0, 1] mit Q[A] := QJ [C] f¨ ur eine beliebige Menge J ∈ H(I) mit A ∈ ZJ und eine Menge C ∈ FJ mit A = πJ−1 (C) wohldefiniert.

208

Kapitel 10. Wahrscheinlichkeitsr¨ aume

Wir zeigen nun, dass Q ein Wahrscheinlichkeitsinhalt ist: (i) F¨ ur alle A, B ∈ Z mit A ∩ B = ∅ gibt es ein J ∈ H(I) mit A, B ∈ ZJ . Daher gibt es C, D ∈ FJ mit C ∩ D = ∅ und A = πJ−1 (C) B = πJ−1 (D) und es gilt Q[A+B] = Q[πJ−1 (C) + πJ−1 (D)] = Q[πJ−1 (C +D)] = QJ [C +D] = QJ [C] + QJ [D] = Q[πJ−1 (C)] + Q[πJ−1 (D)] = Q[A] + Q[B] (ii) F¨ ur alle J ∈ H(I) gilt Ω = πJ−1 (ΩJ ) und damit Q[Ω] = Q[πJ−1 (ΩJ )] = QJ [ΩJ ] = 1 (iii) Aus (i) und (ii) folgt Q[∅] = 0. Daher ist Q ein Wahrscheinlichkeitsinhalt. Die Aussage u ¨ber die Eindeutigkeit ist dann klar. 2 F¨ ur eine projektive Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen {QJ }J∈H(I) mit QJ : FJ → [0, 1] f¨ ur alle J ∈ H(I) stellt sich nun die Frage, unter welchen Bedingungen der nach Satz 10.5.6 eindeutig bestimmte Wahrscheinlichkeitsinhalt Q : Z → [0, 1] mit Q[πJ−1 (C)] = QJ [C] f¨ ur alle J ∈ H(I) und C ∈ FJ sogar ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist; in diesem Fall besitzt Q nach dem Satz von Caratheodory eine eindeutige Fortsetzung zu einem Wahrscheinlichkeitsmaß Q : F → [0, 1], denn nach Satz 10.5.5 ist Z eine Algebra mit σ(Z) = F , und damit ein Halbring mit Ω ∈ Z und σ(Z) = F. F¨ ur das Wahrscheinlichkeitsmaß Q gilt dann f¨ ur alle J ∈ H(I) QπJ = QJ Es gibt zwei Bedingungen, die die σ–Additivit¨ at von Q gew¨ ahrleisten: – Die eine dieser Bedingungen betrifft die Wahrscheinlichkeitsmaße QJ und f¨ uhrt auf den Satz von Andersen/Jessen, den wir im n¨ achsten Abschnitt beweisen. – Die andere dieser Bedingungen betrifft die Messr¨ aume (Ωi , Fi ) und f¨ uhrt auf den Satz von Kolmogorov, den wir in Abschnitt 20.2 beweisen.

10.6 Satz von Andersen/Jessen

209

10.6 Satz von Andersen/Jessen Sei I eine nichtleere Indexmenge und sei H(I) die Familie der endlichen nichtleeren Teilmengen von I. Wir betrachten eine Familie von Wahrscheinlichkeitsr¨ aumen {(Ωi , Fi , Qi )}i∈I und das Produkt O (Ω, F) := (Ωi , Fi ) i∈I

der Familie {(Ωi , Fi )}i∈I von Messr¨aumen. Unser Ziel ist es zu zeigen, dass es genau ein Wahrscheinlichkeitsmaß Q : F → [0, 1] gibt derart, dass f¨ ur alle J ∈ H(I) O Qπ J = Qi i∈J

gilt. Nach Satz 10.4.1 ist f¨ ur alle J ∈ H(I) das endliche Produkt O (ΩJ , FJ , QJ ) := (Ωi , Fi , Qi ) i∈J

der Familie {(Ωi , Fi , Qi )}i∈J ein Wahrscheinlichkeitsraum mit O QJ = Qi i∈J

Wir untersuchen zun¨achst die Familie {QJ }J∈H(I) : 10.6.1 Lemma. Die Familie {QJ }J∈H(I) ist projektiv. Beweis. Sei K, J ∈ H(I) mit K ⊆ J. Wir betrachten eine Familie {Ai }i∈K mit Ai ∈ Fi f¨ ur alle i ∈ K. F¨ ur alle i ∈ J sei ½ Ai falls i ∈ K Bi := Ωi falls i ∈ J \ K Q −1 Q Dann gilt Bi ∈ Fi f¨ ur alle i ∈ J sowie i∈J Bi = πK,J ( i∈K Ai ). Daher gilt " # Y Y QK Ai = Qi [Ai ] i∈K

i∈K

=

Y i∈J

= QJ

Qi [Bi ] "

Y

i∈J

# Bi

210

Kapitel 10. Wahrscheinlichkeitsr¨ aume

" = QJ

Ã

−1 πK,J

" = (QJ )πK,J

!#

Y

Ai

i∈K

Y

#

Ai

i∈K

Da

Q i∈K

Fi ein ∩–stabiler Erzeuger von FK ist, folgt hieraus QK = (QJ )πK,J

Daher ist die Familie {QJ }J∈H(I) projektiv.

2

Wir k¨ onnen nun den angek¨ undigten Satz von Andersen/Jessen beweisen: 10.6.2 Satz (Andersen/Jessen). Es gibt genau ein Wahrscheinlichkeitsmaß Q : F → [0, 1] derart, dass f¨ ur alle J ∈ H(I) O QπJ = Qi i∈J

gilt. Beweis. Im Fall einer endlichen Indexmenge I ist nichts zu zeigen. Sei daher I unendlich. Sei ferner Z die Algebra der Zylindermengen auf RI und f¨ ur J ∈ H(I) sei ZJ = πJ−1 (B(RJ )) die σ–Algebra der J–Zylinder. Nach Lemma 10.6.1 und Satz 10.5.6 existiert genau ein Wahrscheinlichkeitsinhalt Q : Z → [0, 1] mit Q[πJ−1 (C)] = QJ [C] f¨ ur alle J ∈ H(I) und alle C ∈ FJ . Wir zeigen im folgenden, dass Q ∅–stetig ist. Dann ist Q nach Lemma 10.1.2 σ–additiv und besitzt nach dem Satz von Caratheodory eine eindeutige Fortsetzung zu einem Wahrscheinlichkeitsmaß F → [0, 1], das wir wieder mit Q bezeichnen; außerdem gilt f¨ ur alle J ∈ H(I) und alle C ∈ FJ Q[πJ−1 (C)] = QJ [C] und damit f¨ ur alle J ∈ H(I) QπJ = QJ (1) Wir betrachten zun¨achst K, J ∈ H(I) mit K ⊆ J und K 6= J. Aufgrund der Definition der Wahrscheinlichkeitsmaße QK , QJ\K , QJ ist der Wahrscheinlichkeitsraum (ΩJ , FJ , QJ ) das Produkt der Wahrscheinlichkeitsr¨ aume (ΩK , FK , QK ) und (ΩJ\K , FJ\K , QJ\K ); es gilt also (ΩJ , FJ , QJ ) = (ΩK , FK , QK ) ⊗ (ΩJ\K , FJ\K , QJ\K )

10.6 Satz von Andersen/Jessen

211

F¨ ur C ∈ FJ und ωK ∈ ΩK sei ¯ n o ¯ −1 −1 C(ωK ) := ω ∈ ΩJ\K ¯ πK,J ({ωK }) ∩ πJ\K,J ({ω}) ⊆ C Dann ist C(ωK ) der ωK –Schnitt von C in ΩJ\K . Aus Lemma 9.6.4 folgt nun C(ωK ) ∈ FJ\K , nach Lemma 9.6.5 ist die Abbildung ΩK → [0, 1] : ωK 7→ QJ\K [C(ωK )] messbar, und aus Satz 9.6.6 folgt QJ [C] = (QK ⊗ QJ\K )[C] Z = QJ\K [C(ωK )] dQK (ωK ) ΩK

(2) Wir betrachten nun eine Zylindermenge A ∈ Z sowie K ∈ H(I). Dann gibt es ein J ∈ H(I) mit A ∈ ZJ und K ⊆ J sowie J \ K 6= ∅, und es gibt eine Menge C ∈ FJ mit A = πJ−1 (C). F¨ ur ωK ∈ ΩK sei ¯ n o ¯ −1 −1 A(ωK ) := ω ∈ Ω ¯ πK ({ωK }) ∩ πI\K ({πI\K (ω)}) ⊆ A Wegen A ∈ ZJ und C ∈ FJ gilt dann ¯ n o ¯ −1 −1 A(ωK ) = ω ∈ Ω ¯ πK ({ωK }) ∩ πI\K ({πI\K (ω)}) ⊆ A ¯ n o ¯ −1 −1 = ω ∈ Ω ¯ πK ({ωK }) ∩ πJ\K ({πJ\K (ω)}) ⊆ A ¯ n o ¯ −1 −1 = ω ∈ Ω ¯ πJ−1 (πK,J ({ωK })) ∩ πJ−1 (πJ\K,J ({πJ\K (ω)})) ⊆ πJ−1 (C) ¯ n o ¯ −1 −1 = ω ∈ Ω ¯ πK,J ({ωK }) ∩ πJ\K,J ({πJ\K (ω)}) ⊆ C ¯ n o ¯ = ω ∈ Ω ¯ πJ\K (ω) ∈ C(ωK ) −1 = πJ\K (C(ωK )) −1 −1 Aus (1) ergibt sich nun A(ωK ) = πJ\K (C(ωK )) ∈ πJ\K (FJ\K ) = ZJ\K und wegen −1 Q[A(ωK )] = Q[πJ\K (C(ωK ))]

= QJ\K [C(ωK )] die Messbarkeit der Abbildung ΩK → [0, 1] : ωK 7→ Q[A(ωK )] sowie Q[A] = Q[πJ−1 (C)] = QJ [C] Z = QJ\K [C(ωK )] dQK (ωK ) ΩK Z = Q[A(ωK )] dQK (ωK ) ΩK

212

Kapitel 10. Wahrscheinlichkeitsr¨ aume

(3) Wir betrachten nun eine monoton fallende Folge {An }n∈N ⊆ Z mit inf Q[An ] > 0

n∈N

und zeigen, dass \

An 6= ∅

n∈N

gilt. Sei {Kn }n∈N ⊆ H(I) eine streng monoton wachsende Folge mit An ∈ ZKn f¨ ur alle n ∈ N und sei α := inf Q[An ] n∈N

Wir konstruieren weiter unten eine Folge {ωKm }m∈N mit ωKm −1 πKm ({ωKm })

∈ ΩKm

⊆ Am Q[An (ωKm )] ≥ α/2m

sowie πKm ,Km+1 (ωKm+1 ) = ωKm −1 f¨ ur alle m, n ∈ N. Dann gilt ωKm+1 ⊆ πK ({ωKm }) und damit m ,Km+1 −1 −1 −1 πK ({ωKm+1 }) ⊆ πK (πK ({ωKm })) m+1 m+1 m ,Km+1 −1 = πK ({ωKm }) m −1 Daher ist die Folge {πK ({ωKm })}m∈N monoton fallend mit m

\

−1 πK ({ωKm }) 6= ∅ m

m∈N

und f¨ ur alle n ∈ N gilt

T m∈N

\

−1 −1 πK ({ωKm }) ⊆ πK ({ωKn }) ⊆ An . Daher gilt m n −1 πK ({ωKm }) ⊆ m

m∈N

n∈N

und damit \ n∈N

(4) Nach (3) ist Q ∅–stetig.

\

An 6= ∅

An

10.6 Satz von Andersen/Jessen

213

(5) Wir tragen nun die Konstruktion der Folge {ωKm }m∈N nach: – m = 1: Mit der Folge {An }n∈N ist f¨ ur jedes ω 0 ∈ ΩK1 auch die Folge 0 {An (ω )}n∈N monoton fallend; damit ist auch die Folge {Bn }n∈N mit ¯ n o ¯ Bn := ω 0 ∈ ΩK1 ¯ Q[An (ω 0 )] ≥ α/2 monoton fallend. F¨ ur alle n ∈ N gilt nach (2) Bn ∈ FK1 und α ≤ Q[An ] Z = Q[An (ω 0 )] dQK1 (ω 0 ) Z

ΩK1

= Z

Bn

≤ Bn

Z

Q[An (ω 0 )] dQK1 (ω 0 ) + Z 1 dQK1 (ω 0 ) +

≤ QK1 [Bn ] + und damit

α 2

ΩK1 \Bn

ΩK1 \Bn

Q[An (ω 0 )] dQK1 (ω 0 )

α dQK1 (ω 0 ) 2

" # \ α ≤ inf QK1 [Bn ] = QK1 Bn n∈N 2 n∈N

T

Da QK1 einTWahrscheinlichkeitsmaß ist, gilt n∈N Bn 6= ∅. Daher gibt es ∞ ein ωK1 ∈ n=1 Bn . Aus der Definition der Folge {Bn }n∈N ergibt sich ωK1 ∈ ΩK1 sowie α ≤ Q[An (ωK1 )] 2 f¨ ur alle n ∈ N. Insbesondere ist die Menge ¯ n o ¯ −1 −1 A1 (ωK1 ) = ω ∈ Ω ¯ πK ({ω }) ∩ π ({π (ω)}) ⊆ A K1 1 I\K1 I\K1 1 nichtleer und wegen A1 ∈ ZK1 gilt −1 πK ({ωK1 }) ⊆ A1 1

–

m → m + 1: Sei ωKm ∈ ΩKm bereits konstruiert. Mit der Folge {An }n∈N ist auch die Folge {A(ωKm )}n∈N und damit f¨ ur jedes ω 0 ∈ ΩKm+1 \Km 0 auch die Folge {(An (ωKm ))(ω )}n∈N monoton fallend; damit ist auch die Folge {Bn }n∈N mit ¯ n o ¯ Bn := ω 0 ∈ ΩKm+1 \Km ¯ Q[(An (ωKm ))(ω 0 )] ≥ α/2m+1

214

Kapitel 10. Wahrscheinlichkeitsr¨ aume

monoton fallend. F¨ ur alle n ∈ N gilt nach (2) Bn ∈ FKm+1 \Km und α ≤ Q[(An (ωKm ))] 2m Z = Q[(An (ωKm ))(ω 0 )] dQKm+1 \Km (ω 0 ) ΩKm+1\Km

Z

Q[(An (ωKm ))(ω 0 )] dQKm+1 \Km (ω 0 ) Z + Q[(An (ωKm ))(ω 0 )] dQKm+1 \Km (ω 0 )

=

Bn

(ΩKm+1\Km )\Bn

Z ≤ Bn

Z

1 dQKm+1 \Km (ω 0 ) +

≤ QKm+1\Km [Bn ] +

α

α (ΩKm+1\Km )\Bn

2m+1

dQKm+1 \Km (ω 0 )

2m+1

und damit α 2m+1

" ≤ inf QKm+1\Km [Bn ] = QKm+1 \Km n∈N

\

# Bn

n∈N

T Da QKm+1 \Km ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist, gilt n∈N Bn 6= ∅. Daher T gibt es ein ωKm+1 \Km ∈ n∈N Bn . Aus der Definition der Folge {Bn }n∈N ergibt sich ωKm+1 \Km ∈ ΩKm+1 \Km sowie α ≤ Q[(An (ωKm ))(ωKm+1\Km )] 2m+1 f¨ ur alle n ∈ N. Insbesondere ist die Menge (Am+1 (ωKm ))(ωKm+1 \Km ) nichtleer und wegen Am+1 (ωKm ) ∈ ZKm+1 \Km gilt −1 πK ({ωKm+1 \Km }) ⊆ Am+1 (ωKm ) m+1 \Km

Sei nun −1 −1 ωKm+1 := πKm+1 (πK ({ωKm }) ∩ πK ({ωKm+1 \Km })) m m+1 \Km

Dann gilt ωKm+1 ∈ ΩKm+1 und πKm ,Km+1 (ωKm+1 ) = ωKm

10.6 Satz von Andersen/Jessen

215

und −1 −1 −1 πK ({ωKm+1 }) = πK ({ωKm }) ∩ πK ({ωKm+1 \Km }) m+1 m m+1 \Km

Daher gilt f¨ ur alle ω ∈ Ω −1 −1 πK ({ωKm+1 }) ∩ πI\K ({πI\Km+1 (ω)}) m+1 m+1 −1 −1 −1 = πK ({ωKm }) ∩ πK ({ωKm+1 \Km }) ∩ πI\K ({πI\Km+1 (ω)}) m m+1 \Km m+1

Wegen −1 −1 πK ({ωKm+1 \Km }) ∩ πI\K ({πI\Km+1 (ω)}) m+1 \Km m+1 −1 −1 −1 = πI\K ({πI\Km (πK ({ωKm+1 \Km }) ∩ πI\K ({πI\Km+1 (ω)}))}) m m+1 \Km m+1

gilt daher ω ∈ An (ωKm+1 ) genau dann, wenn −1 −1 πK ({ωKm+1 \Km }) ∩ πI\K ({πI\Km+1 (ω)}) ∈ An (ωKm ) m+1 \Km m+1

gilt, und diese Bedingung ist genau dann erf¨ ullt, wenn ω ∈ (An (ωKm ))(ωKm+1 \Km ) gilt. Daher gilt f¨ ur alle n ∈ N An (ωKm+1 ) = (An (ωKm ))(ωKm+1 \Km ) und damit α ≤ Q[An (ωKm+1 )] 2m+1 Insbesondere gilt Am+1 (ωKm+1 ) 6= ∅. Daher gibt es ein ω ∈ Ω mit −1 −1 πK ({ωKm+1 }) ∩ πI\K ({πI\Km+1 )(ω)} ⊆ Am+1 m+1 m+1

Wegen Am+1 ∈ ZKm+1 gilt dann aber −1 πK ({ωKm+1 }) ⊆ Am+1 m+1

Damit ist die Folge {ωKm }m∈N konstruiert.

2

Der durch den Satz von Andersen/Jessen gegebene Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, Q) heißt Produkt der Familie {(Ωi , Fi , Qi )}i∈I und das Wahrscheinlichkeitsmaß Q heißt Produkt der Familie {Qi }i∈I . Es gilt

216

Kapitel 10. Wahrscheinlichkeitsr¨ aume

Ω=

Y

Ωi

i∈I

F=

O

Fi

i∈I

und wir setzen O

Qi := Q

i∈I

und O

à (Ωi , Fi , Qi ) :=

i∈I

Y

Ωi ,

i∈I

O

Fi ,

i∈I

O

! Qi

i∈I

Die Notation ist damit analog zum Fall eines endlichen Produktes. Wir geben abschließend ein einfaches Beispiel f¨ ur die Anwendung des Satzes von Andersen/Jessen: 10.6.3 Beispiel (Wurf einer M¨ unze bis zum ersten Kopf ). Wir betrachten den wiederholten Wurf einer M¨ unze. Wir nehmen an, dass – zwischen den verschiedenen W¨ urfen der M¨ unze keine gegenseitige Beeinflussung besteht, – bei jedem Wurf nur Kopf oder Zahl auftreten kann, – die Chance f¨ ur das Auftreten von Kopf beim einmaligen Wurf gleich einer reellen Zahl ϑ ∈ (0, 1) ist, und – die M¨ unze solange geworfen wird, bis zum erstenmal Kopf auftritt. Wir interessieren uns f¨ ur die Anzahl der W¨ urfe, bis zum erstenmal Kopf auftritt. Wir w¨ ahlen folgende Modelle: – Als Modell f¨ ur den i–ten Wurf w¨ ahlen wir den diskreten Wahrscheinlichkeitsraum (Ωi , Fi , Pi ) mit Ωi := {K, Z} sowie Fi = 2Ωi und dem durch Pi [{K}] := ϑ festgelegten Wahrscheinlichkeitsmaß. – Als Modell f¨ ur den wiederholten Wurf w¨ ahlen wir den Wahrscheinlichkeitsraum O (Ω, F , P ) := (Ωi , Fi , Pi ) i∈N N

Dann gilt Ω = {K, Z} und damit ist Ω u ahlbar. Sei n ∈ N und sei ¨ berabz¨ An :=

n−1 Y

∞ Y

i=1

j=n+1

{Z} × {K} ×

Ωj

Dann gilt An ∈ Z ⊆ F und An ist gerade das Ereignis, dass Kopf zum erstenmal beim n–ten Wurf auftritt. Sei ferner O (Ω{1,...,n} , F{1,...,n} , P{1,...,n} ) := (Ωi , Fi , Pi ) i∈{1,...,n}

und

10.6 Satz von Andersen/Jessen

217

Cn :=

n−1 Y

{Z} × {K}

i=1 −1 Dann gilt Cn ∈ F{1,...,n} und An = π{1,...,n} (Cn ), und nach Konstruktion der Wahrscheinlichkeitsmaße P und P{1,...,n} gilt O Pπ{1,...,n} = P{1,...,n} = Pi i∈{1,...,n}

Wir erhalten daher −1 P [An ] = P [π{1,...,n} (Cn )]

= Pπ{1,...,n} [Cn ] Ã !"n−1 # O Y = Pi {Z} × {K} i∈{1,...,n}

=

Ãn−1 Y

!

i=1

Pi [{Z}] Pn [{K}]

i=1

Die Folge {An }n∈N mit

= (1−ϑ)n−1 ϑ P ¯ ist disjunkt mit P [ ∞ n=1 An ] = 1. Die Abbildung X : Ω → R ½ X(ω) :=

n ∞

falls ω ∈ An P falls ω ∈ Ω \ ∞ n=1 An

gibt die Anzahl der W¨ urfe bis zum ersten Auftreten von Kopf an. Dann ist X eine Zufallsvariable und f¨ ur alle n ∈ N gilt P [{X = n}] = (1−ϑ)n−1 ϑ Daher gilt P [{X ∈ N}] = 1 und die M¨ unze wird mit Wahrscheinlichkeit Eins nur endlich viele Male geworfen.

Die in diesem Beispiel und auch in den vorher betrachteten Beispielen zum wiederholten M¨ unzwurf getroffene Annahme, dass zwischen den verschiedenen W¨ urfen der M¨ unze keine gegenseitige Beeinflussung besteht, bildet den heuristischen Hintergrund f¨ ur einen zentralen wahrscheinlichkeitstheoretischen Begriff, den wir im n¨achsten Kapitel einf¨ uhren und untersuchen. Aufgabe 10.6.A Wurf einer M¨ unze bis zum ersten Kopf: Verwenden Sie die Modelle aus Beispiel 10.6.3. (1) Beschreiben Sie alle Ereignisse der Algebra Z. (2) Beschreiben Q Sie alle Ereignisse der σ–Algebra F . (3) Sei B := ∞ i=1 {Z}. Dann gilt B ∈ F \ Z und P [B] = 0.

11 Unabh¨ angigkeit

In diesem Kapitel und in den weiteren Kapiteln sei (Ω, F , P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, auf dem alle Zufallsgr¨oßen definiert sind. In diesem Kapitel betrachten wir den f¨ ur die Wahrscheinlichkeitstheorie grundlegenden Begriff der Unabh¨angigkeit, der in drei Formen auftreten kann: – Unabh¨ angigkeit einer Familie von Ereignissen (Abschnitt 11.1) – Unabh¨ angigkeit einer Familie von Ereignissystemen (Abschnitt 11.2) – Unabh¨ angigkeit einer Familie von Zufallsgr¨ oßen (Abschnitt 11.3) Diese drei Formen der Unabh¨angigkeit h¨angen eng miteinander zusammen und treten in nat¨ urlicher Weise in Produkten von Wahrscheinlichkeitsr¨ aumen auf (Abschnitt 11.4). Sei I eine nichtleere Indexmenge und sei H(I) die Familie der endlichen nichtleeren Teilmengen von I.

11.1 Unabh¨ angige Familien von Ereignissen Ziel dieses Abschnitts ist es, den Begriff der Unabh¨ angigkeit f¨ ur eine Familie von Ereignissen zu definieren und zu untersuchen. Wir beginnen mit einer Vorbetrachtung. Sei C ∈ F ein Ereignis mit P [C] ∈ (0, 1). Dann ist das unbestimmte Integral Z χC P [ . |C] := dP P [C] ein Wahrscheinlichkeitsmaß mit Z Z χC 1 P [A ∩ C] P [A|C] = dP = χA∩C dP = P [C] P [C] P [C] A Ω K.D. Schmidt, Maß und Wahrscheinlichkeit, 2. Aufl., Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-21026-6_11, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

220

Kapitel 11. Unabh¨ angigkeit

Das Wahrscheinlichkeitsmaß P [ . |C] heißt bedingtes Wahrscheinlichkeitsmaß unter C, und f¨ ur A ∈ F heißt P [A|C] die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter C. Wegen P [C|C] = 1 und P [C|C] = 0 lebt das Wahrscheinlichkeitsmaß P [ . |C] auf dem Ereignis C und verschwindet auf seinem Komplement. Der Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F , P [ . |C]) kann als Modell f¨ ur das nach dem Eintritt des Ereignisses C verbleibende Zufallsgeschehen interpretiert werden. Ist C ∈ F ein Ereignis mit P [C] ∈ (0, 1), so ist auch C ∈ F ein Ereignis mit P [C] ∈ (0, 1), und in diesem Fall heißt ein Ereignis A ∈ F unabh¨ angig von C, wenn P [A|C] = P [A|C] gilt. 11.1.1 Lemma. Sei C ∈ F ein Ereignis mit P [C] ∈ (0, 1). Dann sind f¨ ur jedes Ereignis A ∈ F folgende Aussagen ¨ aquivalent : (a) A ist unabh¨ angig von C. (b) Es gilt P [A|C] = P [A]. (c) Es gilt P [A ∩ C] = P [A] P [C]. Beweis. Aus der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit ergibt sich P [A] = P [A ∩ C] + P [A ∩ C] = P [A|C] P [C] + P [A|C] P [C] ¨ und wegen P [C] + P [C] = 1 folgt daraus die Aquivalenz von (a) und (b). Die ¨ Aquivalenz von (b) und (c) ist klar. 2 ¨ Die Aquivalenz der Aussagen (a) und (c) von Lemma 11.1.1 deutet bereits eine gewisse Symmetrie zwischen den bei der Unabh¨ angigkeit betrachteten Ereignissen an; diese Symmetrie l¨asst sich wie folgt pr¨ azisieren: 11.1.2 Folgerung. Seien A, C ∈ F Ereignisse mit P [A], P [C] ∈ (0, 1). Dann sind ¨ aquivalent: (a) A ist unabh¨ angig von C. (b) C ist unabh¨ angig von A. Folgerung 11.1.2 legt es nahe, die Unabh¨angigkeit von zwei Ereignissen in symmetrischer Weise und ohne Einschr¨ankung an die Wahrscheinlichkeiten ¨ dieser Ereignisse wie folgt zu definieren. Aufgrund der Aquivalenz von (a) und (c) im Lemma 11.1.1 ist die folgende Definition der Unabh¨ angigkeit mit der vorher gegebenen Definition vertr¨aglich: Zwei Ereignisse A, B ∈ F heißen unabh¨ angig (voneinander), wenn P [A ∩ B] = P [A] P [B] gilt. In diesem Fall sagen wir auch:

11.1 Unabh¨ angige Familien von Ereignissen

221

– A und B sind unabh¨ angig. – A ist unabh¨ angig von B. – B ist unabh¨ angig von A. – {A, B} ist unabh¨ angig. Im folgenden verstehen wir die Unabh¨angigkeit von Ereignissen A, B ∈ F als eine Eigenschaft der Familie {A, B} dieser Ereignisse. Zwei Ereignisse heißen abh¨ angig (voneinander), wenn sie nicht unabh¨ angig sind. 11.1.3 Beispiele (Urnenmodelle). Wir betrachten eine Urne mit N ≥ 2 Kugeln, von denen K ∈ {1, . . . , N−1} Kugeln rot sind und N−K Kugeln eine beliebige andere Farbe besitzen. Wir nehmen an, dass alle Kugeln bis auf die Farbe gleichartig sind. Wir ziehen n = 2 Kugeln aus der Urne. (1) Ziehen ohne Zur¨ ucklegen: Wir w¨ ahlen den vorher eingef¨ uhrten symmetrischen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F , P ) und betrachten die Ereignisse A= b bei der 1. Ziehung tritt eine rote Kugel auf B= b bei der 2. Ziehung tritt eine rote Kugel auf Dann gilt |Ω| = N (N −1) |A ∩ B| = K(K −1) |A ∩ B| = K(N −K) |A ∩ B| = (N −K)K und damit |A| = K(N −1) |B| = K(N −1) Es gilt also P [A ∩ B] = K(K −1)/(N (N −1)) P [A] = K/N P [B] = K/N und damit P [A ∩ B] 6= P [A] P [B]. Daher ist {A, B} nicht unabh¨ angig. (2) Ziehen mit Zur¨ ucklegen: Wir w¨ ahlen den vorher eingef¨ uhrten symmetrischen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F , P ) und betrachten die Ereignisse A= b bei der 1. Ziehung tritt eine rote Kugel auf B= b bei der 2. Ziehung tritt eine rote Kugel auf Dann gilt |Ω| = N 2 |A ∩ B| = K 2 |A ∩ B| = K(N −K) |A ∩ B| = (N −K)K

222

Kapitel 11. Unabh¨ angigkeit und damit |A| = KN |B| = KN Es gilt also P [A ∩ B] = K 2 /N 2 P [A] = K/N P [B] = K/N und damit P [A ∩ B] = P [A] P [B]. Daher ist {A, B} unabh¨ angig.

Der Begriff der Unabh¨angigkeit von Ereignissen ist ein wahrscheinlichkeitstheoretischer Begriff, der in der allgemeinen Maßtheorie keinen Sinn macht: Sei µ : F → [0, ∞] ein Maß und seien A, B ∈ F Ereignisse mit µ[A ∩ B] = µ[A] µ[B] Dann gilt wegen µ[A ∩ B] ≤ µ[A] und µ[A ∩ B] ≤ µ[B] (µ[A ∩ B])2 ≤ µ[A] µ[B] = µ[A ∩ B] und damit entweder µ[A ∩ B] = ∞ oder µ[A ∩ B] ≤ 1. Im Fall µ[A ∩ B] = ∞ ist die Gleichung µ[A ∩ B] = µ[A] µ[B] aber trivial, und im Fall µ[A ∩ B] ≤ 1 folgt aus ihr min{µ[A], µ[B]} ≤ 1. Wir untersuchen zun¨achst die Frage, welche Ereignisse von einem gegebenen Ereignis unabh¨ angig sind. 11.1.4 Lemma. Sei A ∈ F ein Ereignis und sei B ∈ F ein Ereignis mit P [B] ∈ {0, 1}. Dann ist {A, B} unabh¨ angig. Beweis. Im Fall P [B] = 0 gilt P [A ∩B] = 0 und damit P [A∩B] = P [A] P [B]. Im Fall P [B] = 1 gilt P [A ∪ B] = 1 und aus der Gleichung P [A ∪ B] + P [A ∩ B] = P [A] + P [B] folgt P [A ∩ B] = P [A] = P [A] P [B].

2

Insbesondere ist das sichere Ereignis und das unm¨ ogliche Ereignis von jedem Ereignis unabh¨ angig. Andererseits sind ein Ereignis und sein Komplement im allgemeinen abh¨ angig; vgl. Aufgabe 11.1.F. 11.1.5 Lemma. Sei A ∈ F ein Ereignis und sei B ∈ F ein Ereignis derart, dass {A, B} unabh¨ angig ist. Dann ist {A, B} unabh¨ angig.

11.1 Unabh¨ angige Familien von Ereignissen

223

Beweis. Es gilt P [A ∩ B] + P [A ∩ B] = P [A] = P [A] (P [B] + P [B]) = P [A] P [B] + P [A] P [B] Daraus folgt die Behauptung.

2

11.1.6 Lemma. Sei A ∈ F ein Ereignis und sei {Bn }n∈N ⊆ F eine Folge von Ereignissen derart, dass {A, Bn } f¨ ur alle n ∈ N unabh¨ angig ist. Dann gilt: P ∞ (1) Ist {Bn }n∈N disjunkt, so ist {A, n=1 Bn } S unabh¨ angig. (2) Ist {Bn }n∈N monoton wachsend, so ist {A, angig. T n∈N Bn } unabh¨ (3) Ist {Bn }n∈N monoton fallend, so ist {A, n∈N Bn } unabh¨ angig. Beweis. Ist die Folge {Bn }n∈N disjunkt, so folgt aus der σ–Additivit¨ at " # " # ∞ ∞ X X P A∩ Bn = P A ∩ Bn n=1

n=1

= =

∞ X n=1 ∞ X

P [A ∩ Bn ] P [A] P [Bn ]

n=1

= P [A]

∞ X

P [Bn ]

n=1

"

= P [A] P

∞ X

# Bn

n=1

Daher gilt (1). Die Beweise von (2) und (3) verlaufen analog zu dem von (1) und verwenden anstelle der σ–Additivit¨at die Stetigkeit von unten bzw. die Stetigkeit von oben. 2 Das folgende Beispiel zeigt, dass die Voraussetzung der Monotonie in den Aussagen (2) und (3) von Lemma 11.1.6 wesentlich ist: 11.1.7 Beispiel. Sei (Ω, F , P ) der symmetrische Wahrscheinlichkeitsraum mit Ω := {1, 2, 3, 4}. Sei ferner A := {1, 2} B := {2, 3} C := {1, 3} Dann ist sowohl {A, B} als auch {A, C} unabh¨ angig, aber es ist weder {A, B ∪ C} noch {A, B ∩ C} unabh¨ angig.

224

Kapitel 11. Unabh¨ angigkeit

Der folgende Satz fasst die wichtigsten Aussagen der letzten drei Lemmata zusammen: 11.1.8 Satz. Sei A ∈ F ein Ereignis und sei ¯ n o ¯ DA := B ∈ F ¯ {A, B} ist unabh¨ angig Dann ist DA ein Dynkin–System. Beweis. Der Beweis ergibt sich aus den bereits bekannten Ergebnissen: (i) Wegen P [Ω] = 1 und Lemma 11.1.4 gilt Ω ∈ DA . (ii) Sei B ∈ DA . Nach Lemma 11.1.5 gilt dann B ∈ DA . P∞ (iii) Sei {Bn }n∈N ⊆ DA disjunkt. Nach Lemma 11.1.6 gilt dann n=1 Bn ∈ DA . Daher ist DA ein Dynkin–System. 2 Das Dynkin–System DA := {B ∈ F | {A, B} ist unabh¨ angig} der von A ∈ F unabh¨ angigen Ereignisse ist im allgemeinen nicht ∩–stabil und damit im allgemeinen keine σ–Algebra; vgl. Beispiel 11.1.7. Wir verallgemeinern die Definition der Unabh¨ angigkeit von Ereignissen nun auf beliebige Familien von Ereignissen: Eine Familie {Ai }i∈I von Ereignissen Ai ∈ F heißt unabh¨ angig, wenn f¨ ur alle J ∈ H(I) " # \ Y P Ai = P [Ai ] i∈J

i∈J

gilt. Wir veranschaulichen diese Definition an zwei Beispielen: 11.1.9 Beispiele. (1) Sei (Ω, F , P ) der symmetrische Wahrscheinlichkeitsraum mit Ω := {0, 1}3 . Sei ferner A := {000, 001, 010, 011} B := {000, 001, 010, 100} C := {000, 011, 100, 111} Dann gilt P [A ∩ B ∩ C] = P [A] P [B] P [C] und P [A ∩ B] 6= P [A] P [B] P [A ∩ C] = P [A] P [C] P [B ∩ C] = P [B] P [C] Daher ist die Familie {A, B, C} nicht unabh¨ angig.

11.1 Unabh¨ angige Familien von Ereignissen

225

(2) Sei (Ω, F , P ) der symmetrische Wahrscheinlichkeitsraum mit Ω := {0, 1}2 . Sei ferner A := {00, 01} B := {00, 10} C := {00, 11} Dann gilt P [A ∩ B] = P [A] P [B] P [A ∩ C] = P [A] P [C] P [B ∩ C] = P [B] P [C] und P [A ∩ B ∩ C] 6= P [A] P [B] P [C] Daher ist die Familie {A, B, C} nicht unabh¨ angig.

Der folgende Satz zeigt, dass jede Teilfamilie einer unabh¨ angigen Familie von Ereignissen wieder unabh¨angig ist und dass umgekehrt die Unabh¨ angigkeit jeder endlichen Teilfamilie einer Familie von Ereignissen die Unabh¨ angigkeit der gesamten Familie impliziert: 11.1.10 Satz. Sei {Ai }i∈I eine Familie von Ereignissen. Dann sind ¨ aquivalent: (a) Die Familie {Ai }i∈I ist unabh¨ angig. (b) F¨ ur jede nichtleere Menge K ⊆ I ist {Ai }i∈K unabh¨ angig. (c) F¨ ur jede endliche nichtleere Menge K ⊆ I ist {Ai }i∈K unabh¨ angig. Beweis. Wir nehmen zun¨achst an, dass (a) gilt. Sei K ⊆ I nichtleer. F¨ ur alle J ∈ H(K) gilt J ∈ H(I) und damit " # \ Y P Ai = P [Ai ] i∈J

i∈J

Daher folgt (b) aus (a). Offensichtlich folgt (c) aus (b). Wir nehmen nun an, dass (c) gilt. F¨ ur alle J ∈ H(I) gilt J ∈ H(J) und damit " # \ Y P Ai = P [Ai ] i∈J

Daher folgt (a) aus (c).

i∈J

2

Der folgende Satz verallgemeinert Lemma 11.1.5; er zeigt, dass f¨ ur eine Familie von Ereignissen die Unabh¨angigkeit erhalten bleibt, wenn man beliebig viele der Ereignisse durch ihr Komplement ersetzt:

226

Kapitel 11. Unabh¨ angigkeit

11.1.11 Satz. Sei {Ai }i∈I eine Familie von Ereignissen und sei {Bi }i∈I eine Familie von Ereignissen mit Bi ∈ {Ai , Ai } f¨ ur alle i ∈ I. Dann sind aquivalent: ¨ (a) Die Familie {Ai }i∈I ist unabh¨ angig. (b) Die Familie {Bi }i∈I ist unabh¨angig. Beweis. Offenbar gen¨ ugt es, eine der beiden Implikationen zu beweisen, und wegen Satz 11.1.10 gen¨ ugt es ferner, den Beweis f¨ ur den Fall I = {1, . . . , n} zu f¨ uhren. Sei also die Familie {Ai }i∈{1,...,n} unabh¨angig. Wir zeigen durch vollst¨ andige Induktion, dass f¨ ur alle k ∈ {0, 1, . . . , n} die Aussage (k)

F¨ ur alle J ⊆ {1, . . . , n} mit |{i ∈ J | Bi = Ai }| = k gilt " # \ Y P Bi = P [Bi ] i∈J

i∈J

gilt: • k = 0: In diesem Fall ist nichts zu zeigen. • k → k+1: Wir nehmen an, die Aussage sei f¨ ur ein k ∈ {0, 1, . . . , n−1} bereits bewiesen, und betrachten J ⊆ {1, . . . , n} mit |{i ∈ J | Bi = Ai }| = k + 1. F¨ ur alle j ∈ J mit Bj = Aj gilt aufgrund der Induktionsannahme " # \ Y P Bi = P [Bi ] i∈J\{j}

i∈J\{j}

und "

#

\

P Aj ∩

Y

Bi = P [Aj ]

i∈J\{j}

P [Bi ]

i∈J\{j}

und damit "

#

\

P Aj ∩

"

Bi = P [Aj ] P

i∈J\{j}

\

# Bi

i∈J\{j}

T Also ist {Aj , i∈J\{j} Bi } unabh¨angig. Nach Lemma 11.1.5 ist dann auch T {Aj , i∈J\{j} Bi } unabh¨angig. Wegen Bj = Aj gilt also " P

\

i∈J

#

"

Bi = P Bj ∩ " = P Aj ∩

\

# Bi

i∈J\{j}

\ i∈J\{j}

# Bi

11.1 Unabh¨ angige Familien von Ereignissen

227

"

\

= P [Aj ] P

# Bi

i∈J\{j}

" = P [Bj ] P

\

# Bi

i∈J\{j}

= P [Bj ] =

Y

Y

P [Bi ]

i∈J\{j}

P [Bi ]

i∈J

Daher gilt die Aussage (k) f¨ ur alle k ∈ {0, 1, . . . , n}, und damit ist die Familie {Bi }i∈{1,...,n} unabh¨angig. 2 Wir untersuchen abschließend f¨ ur eine Folge von Ereignissen die Bedeutung der Unabh¨ angigkeit der Folge f¨ ur die Wahrscheinlichkeit ihres Limes superior: 11.1.12 Lemma (1. Lemma P∞ von Borel/Cantelli). Sei {An }n∈N eine Folge von Ereignissen mit n=1 P [An ] < ∞. Dann gilt · ¸ P lim sup An = 0 n→∞

Beweis. Da P monoton und σ–subadditiv ist, gilt f¨ ur alle m ∈ N "∞ ∞ # " ∞ # · ¸ ∞ \ [ [ X P lim sup An = P Ak ≤ P Ak ≤ P [Ak ] n→∞

Aus der Voraussetzung

n=1 k=n

P∞ k=1

k=m

k=m

P [Ak ] < ∞ folgt nun die Behauptung.

2

P∞ F¨ ur eine Folge von Ereignissen {An }n∈N ⊆ F mit n=1 P [An ] = ∞ erh¨ alt man im Fall der Unabh¨angigkeit der Folge {An }n∈N ein ¨ ahnliches Ergebnis: 11.1.13 Lemma (2. Lemma von Borel/Cantelli). Sei {An }n∈N eine P∞ unabh¨ angige Folge von Ereignissen mit n=1 P [An ] = ∞. Dann gilt · ¸ P lim sup An = 1 n→∞

Beweis. Es gilt " # "∞ ∞ # "∞ # · ¸ ∞ [ ∞ ∞ \ [ \ X \ 1 − P lim sup An = P Ω \ Ak = P Ak ≤ P Ak n→∞

n=1 k=n

n=1 k=n

n=1

k=n

228

Kapitel 11. Unabh¨ angigkeit

F¨ ur alle n ∈ N und f¨ ur alle m ∈ N(n) gilt aufgrund der Unabh¨ angigkeit der Folge {An }n∈N und wegen Satz 11.1.11 "∞ # " m # \ \ P Ak ≤ P Ak k=n

k=n

= = ≤

m Y

P [Ak ]

k=n m ³ Y k=n m Y

´ 1 − P [Ak ]

³ ´ exp −P [Ak ]

k=n

Ã

= exp − Aus der Voraussetzung

P∞ k=1

m X

! P [Ak ]

k=n

P [Ak ] = ∞ folgt nun die Behauptung.

2

Aus dem 1. und 2. Lemma von Borel/Cantelli ergibt sich f¨ ur unabh¨ angige Folgen von Ereignissen das folgende Null–Eins–Gesetz von Borel : 11.1.14 Satz (Null–Eins–Gesetz; Borel). Sei {An }n∈N eine unabh¨ angige Folge von Ereignissen. Dann gilt P∞ · ¸ ( 0 falls n=1 P [An ] < ∞ P lim sup An = P∞ n→∞ 1 falls n=1 P [An ] = ∞ Allgemein ist ein Null–Eins–Gesetz ein Satz, der besagt, dass unter gewissen Voraussetzungen f¨ ur bestimmte Ereignisse A ∈ F entweder P [A] = 0 oder P [A] = 1 gilt. Aufgaben 11.1.A Urnenmodelle: Betrachten Sie die Urnenmodelle