Angewandte Baudynamik: Grundlagen Und Praxisbeispiele (Bauingenieur-Praxis)

Helmut Kramer

Angewandte Baudynamik Grundlagen und Beispiele für Studium und Praxis

Helmut Kramer Angewandte Baudynamik Grundlagen und Beispiele für Studium und Praxis

200 Jahre Wiley – Wissen für Generationen John Wiley & Sons feiert 2007 ein außergewöhnliches Jubiläum: Der Verlag wird 200 Jahre alt. Zugleich blicken wir auf das erste Jahrzehnt des erfolgreichen Zusammenschlusses von John Wiley & Sons mit der VCH Verlagsgesellschaft in Deutschland, einschließlich des Ernst & Sohn Verlages für Architektur und technische Wissenschaften, zurück. Seit Generationen vermitteln Wiley und Wiley-VCH als auch Ernst & Sohn die Ergebnisse wissenschaftlicher Forschung und technischer Errungenschaften in der jeweils zeitgemäßen medialen Form. Jede Generation hat besondere Bedürfnisse und Ziele. Als Charles Wiley 1807 eine kleine Druckerei in Manhattan gründete, hatte seine Generation Aufbruchsmöglichkeiten wie keine zuvor. Wiley half, die neue amerikanische Literatur zu etablieren. Etwa ein halbes Jahrhundert später, während der „zweiten industriellen Revolution“ in den Vereinigten Staaten, konzentrierte sich die nächste Generation auf den Aufbau dieser industriellen Zukunft. Wiley bot die notwendigen Fachinformationen für Techniker, Ingenieure und Wissenschaftler. Das ganze 20. Jahrhundert wurde durch die Internationalisierung vieler Beziehungen geprägt – auch Wiley verstärkte seine verlegerischen Aktivitäten und schuf ein internationales Netzwerk, um den Austausch von Ideen, Informationen und Wissen rund um den Globus zu unterstützen. Wiley begleitete während der vergangenen 200 Jahre viele Generationen und fördert heute den weltweit vernetzten Informationsfluss, damit auch unsere global wirkende Generation ihre Ansprüche erfüllen kann und ihr Ziel erreicht. Immer rascher verändert sich unsere Welt, und es entstehen neue Technologien, die unser Leben und Lernen zum Teil tief greifend verändern. Beständig nimmt Wiley diese Herausforderungen an und stellt für Sie das notwendige Wissen bereit, das Sie neue Welten, neue Möglichkeiten und neue Gelegenheiten erschließen lässt. Generationen kommen und gehen: Aber Sie können sich darauf verlassen, dass Wiley Sie als beständiger und zuverlässiger Partner mit dem notwendigen Wissen versorgt.

William J. Pesce President and Chief Executive Officer

Peter Booth Wiley Chairman of the Board

Helmut Kramer

Angewandte Baudynamik Grundlagen und Beispiele für Studium und Praxis

Prof. Dr.-Ing. Helmut Kramer Kramer + Albrecht, Ingenieurbüro VBI . VPI Glockengießerwall 1 20095 Hamburg

Titelbild: Fußgängerbrücke über die Gahlensche Straße, Bochum (ausgezeichnet mit dem Ingenieurbau-Preis 2004)

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

ISBN: 978-3-433-01823-1

© 2007 Ernst & Sohn Verlag für Architektur und technische Wissenschaften GmbH & Co. KG, Berlin Alle Rechte, insbesondere die der Übersetzung in andere Sprachen, vorbehalten. Kein Teil dieses Buches darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form – durch Fotokopie, Mikrofilm oder irgendein anderes Verfahren – reproduziert oder in eine von Maschinen, insbesondere von Datenverarbeitungsmaschinen, verwendbare Sprache übertragen oder übersetzt werden. All rights reserved (including those of translation into other languages). No part of this book may be reproduced in any form – by photoprint, microfilm, or any other means – nor transmitted or translated into a machine language without written permission from the publisher. Die Wiedergabe von Warenbezeichnungen, Handelsnamen oder sonstigen Kennzeichen in diesem Buch berechtigt nicht zu der Annahme, daß diese von jedermann frei benutzt werden dürfen. Vielmehr kann es sich auch dann um eingetragene Warenzeichen oder sonstige gesetzlich geschützte Kennzeichen handeln, wenn sie als solche nicht eigens markiert sind. Umschlaggestaltung: blotto, Berlin Satz: Druckhaus „Thomas Müntzer”, Bad Langensalza Druck: Strauss GmbH, Mörlenbach Bindung: Litges & Dopf Buchbinderei GmbH, Heppenheim Printed in Germany

Dem Andenken meines verehrten Lehrers an der Technischen Universität Berlin Professor Dr.-Ing. Hans Lorenz zum 100. Geburtstag (1905 – 1996)

Vorwort

Die Sensibilita¨t der Menschen fu¨r Erschu¨tterungen hat im Zuge wachsenden Umweltbewusstseins stark zugenommen. Ganz allgemein werden Verbraucherschutz und Lebensqualita¨t immer ernster genommen. Erschu¨tterungen, die fru¨her sozusagen schicksalhaft hingenommen wurden, fu¨hren heute zu langwierigen Gerichtsprozessen. Durch ho¨here Ausnutzung der Baustoffe werden Baukonstruktionen schlanker und dadurch schwingungsanfa¨lliger im ha¨ufig vorkommenden Frequenzbereich. Daher wa¨chst der Druck auf den Tragwerksplaner, dynamische Beanspruchungen von vornherein zu beru¨cksichtigen. Gerichte entscheiden nach dem „Stand der Technik“, also nach dem, was im Kreis der Anwender (Tragwerksplaner) als allgemein bekannt vorausgesetzt werden kann. Beispielsweise stu¨tzt sich eine letztinstanzliche Entscheidung des Hamburgischen Oberverwaltungsgerichtes vom 14.12.1999, in Ermangelung einer gesetzlichen Regelung, auf die Zumutbarkeitsgrenzen der DIN 4150 „Erschu¨tterungen im Bauwesen“, deren Kenntnis allgemein vorausgesetzt werden kann. Allerdings entstehen durch die notwendigen Maßnahmen zum Erschu¨tterungsschutz oftmals ho¨here Baukosten, was dem Bauherren manchmal nur schwer zu vermitteln ist. Dieses Buch ist aus einer Lehrveranstaltung im Studiendekanat Bauwesen an der TU Hamburg-Harburg hervorgegangen. Sie umfasst Vorlesungen, schwingungstechnische Experimente sowie durchgerechnete Beispiele und versteht sich als anwendungsorientierte Einfu¨hrung in die Baudynamik. Die Auswahl des Stoffes ist an den in der Praxis ha¨ufig auftretenden Problemen orientiert. Auf windinduzierte Schwingungen und Erdbeben musste trotz ihrer großen Bedeutung verzichtet werden, um den Stoff nicht zu sehr auszuweiten. Allerdings helfen die hier vermittelten Grundlagen, sich in diese Anwendungsfa¨lle anhand von Spezialliteratur einzuarbeiten.

Die Baustatik ist ein Sonderfall der Baudynamik. Die Baudynamik geho¨rt zum Arbeitsbereich des Tragwerksplaners. Die Berechnungsmodelle der Baustatik beruhen auf der Voraussetzung, dass Einwirkungen auf Baukonstruktionen unendlich langsam auftreten, obwohl es in der Natur zeitunabha¨ngige Vorga¨nge nicht gibt. Deshalb muss der Tragwerksplaner von Fall zu Fall entscheiden, ob die Zeitabha¨ngigkeit der Einwirkungen vernachla¨ssigt werden kann. Obwohl Schwingungsprobleme in der Praxis zunehmend auftreten, werden sie von den Tragwerksplanern gerne umgangen, um mit vertrauten statischen Ersatzlasten, Stoßfaktoren oder Schwingbeiwerten zu rechnen, ohne sich allerdings immer ihrer Anwendungsgrenzen bewusst zu sein. Dieses Buch soll die Anschaulichkeit und das Grundversta¨ndnis fu¨r zeitabha¨ngige Vorga¨nge wecken, um den Leser in die Lage zu versetzen, auch komplizierte Pha¨nomene anhand weiterfu¨hrender Literatur bearbeiten zu ko¨nnen. Schließlich stehen heute elektronische Programme zur Verfu¨gung, die sehr komplexe Strukturen berechnen ko¨nnen, deren Ergebnisse allerdings durch u¨berschla¨gige Berechnungen an einfachen Modellen einer Plausibilita¨tspru¨fung unterzogen werden mu¨ssen.

VIII

Vorwort

„Phantasie ist wichtiger als Wissen, denn Wissen ist begrenzt.“ Albert Einstein Ingenieure, die sich u¨ber die Baustatik hinausgehend wa¨hrend ihrer Ausbildung mit Baudynamik bescha¨ftigt haben, ko¨nnen eine erweiterte berufliche Qualifikation vorweisen. In den 35 Jahren Praxiserfahrung des Verfassers hat sich aber gezeigt, dass damit fu¨r den beruflichen Erfolg nur eine von drei notwendigen Voraussetzungen gegeben ist. Neben der fachlichen Kompetenz sind soziale und innovative Kompetenz fu¨r den beruflichen Erfolg ausschlaggebend. Gerade hoch spezialisierte Ingenieure beschra¨nken sich gern auf ihre fachliche Kompetenz, worin eine der Ursachen fu¨r ihre geringe Akzeptanz in der ffentlichkeit zu sehen ist. „Soziale Kompetenz“ bedeutet Teamfa¨higkeit, Kompromissfa¨higkeit und Mitarbeitermotivation: „Jeder Mitarbeiter ist auch ein Mitmensch“. Ohne kommunikatives Handeln wird ein technisches Werk nicht gelingen. „Innovative Kompetenz“ bedeutet, u¨ber den Erfahrungsschatz hinaus neue Lo¨sungen zu finden. Jede vorhandene Lo¨sung eines technischen Problems ist verbesserungsfa¨hig! Um das Gehirn von Routine und Monotonie zu befreien, hilft ganz allgemein Vielseitigkeit, insbesondere interdisziplina¨res Denken, Interesse an anderen Fachgebieten wie Rechtsfragen, konomie, Kunst und Philosophie sowie an o¨kologischen und gesellschaftlichen Zusammenha¨ngen. Eine weitere Ursache fu¨r die geringe Akzeptanz der Ingenieure in der ffentlichkeit besteht darin, dass ihnen die negativen Folgen technischen Fortschritts angelastet werden, obwohl es in einem demokratisch verfassten Gemeinwesen keine privilegierte ethische Kompetenz – also auch nicht die der Ingenieure – geben kann. Wa¨hrend es das Ziel der aristotelischen Wissenschaft war zu erkla¨ren, warum Naturvorga¨nge ablaufen, entstand die moderne Wissenschaft, als Galilei damit begann zu beschreiben, wie Naturvorga¨nge ablaufen. Er schaffte damit die Grundlage heutiger Forschung und damit die Trennung von Wissenschaft (Technik) und Ethik. Dennoch bleibt der Vorwurf bestehen, dass sich Ingenieure zu wenig in der ffentlichkeit positionieren und dadurch das mangelnde Versta¨ndnis der Bevo¨lkerung fu¨r ihre Arbeit selbst verschulden.

„Nichts ist praktischer als eine gute Theorie.“ Immanuel Kant Zum Schluss sei auf den weit verbreiteten Irrtum hingewiesen, wonach gute theoretische Grundkenntnisse nur fu¨r wissenschaftliches Arbeiten notwendig sind. Ausbildungskonzepte, die einen schnellen beruflichen Erfolg durch „praxisorientierte Ausbildung“ versprechen, u¨bersehen, dass innovative Lo¨sungen vor allem von den Ingenieuren kommen, die die Mu¨he nicht gescheut haben, sich die theoretischen Grundlagen ihres Fachgebietes anzueignen. Um Wettbewerbsvorteile zu erzielen, muss der in der Praxis ta¨tige Ingenieur den sich sta¨ndig a¨ndernden Anforderungen des Marktes gerecht werden, was mit Standardlo¨sungen nicht gelingt. Er muss in der Lage sein, Vero¨ffentlichungen von Forschungsergebnissen zu verstehen, um sie schnell umsetzen zu ko¨nnen. Eine Beschleunigung des Wissenschaftstransfers fo¨rdert die Wettbewerbsfa¨higkeit eines Unternehmens.

Vorwort

IX

Der Schwingungstilger ist ein typisches Beispiel, wie die zuna¨chst theoretische Lo¨sung eines gekoppelten linearen gewo¨hnlichen Differentialgleichungssystems zu einem eminent wichtigen Anwendungsfall wurde. Die Neugierde des Ingenieurs, tiefer in sein Fachgebiet einzudringen, ist eine wesentliche Ursache fu¨r technischen Fortschritt. Jeder Ingenieur – einerlei ob er in der Forschung, in der Planung, in der Ausfu¨hrung oder in der Verwaltung ta¨tig ist – sollte sich der Herkunft seiner Berufsbezeichnung aus dem lateinischen ingenium ¼ Erfindungskraft bewusst sein. Picasso wurde von einem Freund darauf hingewiesen, dass Frauen nicht so aussehen, wie er sie malen wu¨rde. Seine Antwort: „Dann wurde es Zeit, sie zu erfinden.“ Ergo: Von der Kunst ko¨nnen wir Ingenieure lernen, neue Wirklichkeiten zu schaffen. Danksagen mo¨chte ich in erster Linie meinem Partner, Herrn Dipl.-Ing. Friedhelm Albrecht, fu¨r sein großes Versta¨ndnis und seine uneingeschra¨nkte Unterstu¨tzung dieses Buchprojektes. Unseren Mitarbeiterinnen und Mitarbeitern danke ich fu¨r ihre fachkundige Hilfe bei der Erstellung des Manuskriptes. Herr Dipl.-Ing. Leif Lorenzen, Frau Dipl.Ing. Ina Martens und Frau Dipl.-Ing. Jana Vorbau haben bei der Ausarbeitung der Anwendungsbeispiele ihre umfangreichen Kenntnisse und Erfahrungen in der Baudynamik eingebracht. Besondere Verantwortung oblag Frau Dr.-Ing. Kira Holtzendorff und Herrn Dipl.-Ing. Jo¨rg Lamers, die aus einem stichwortartigen Vorlesungsmanuskript die Grundlage fu¨r eine gut versta¨ndliche Buchfassung zu erstellen hatten und durch ihre Anmerkungen und Korrekturen wesentlich zur Verbesserung beigetragen haben. Die zahlreichen Skizzen wurden mit großem Geschick von Frau Silvia Meier angefertigt. Ebenfalls danke ich Herrn Dipl.-Ing. Marc Oliver Rosenquist, der mit dem Kapitel 13 „Schwingungsmessungen“ dieses Buch um einen wichtigen Aspekt bereichert hat. Last but not least mo¨chte ich Herrn Prof. Dr.-Ing. U. Quast danken, der die Anregung zu dieser Vorlesung gab und mir in jeder Beziehung hilfreich zur Seite stand. Seinem Mitarbeiter Herrn Dipl.-Ing. R. Steffens ist es zu verdanken, dass die schwingungstechnischen Experimente zu einer eindrucksvollen und lehrreichen Vorfu¨hrung wurden. Schließlich ist der Mut des Verlages Ernst & Sohn hervorheben, ein Außenseiterthema, wie es die Baudynamik noch immer ist, in sein Programm aufzunehmen. Der Verlag leistet damit einen dankenswerten Beitrag zur Tragwerksplanung, die sich immer intensiver um die Vermeidung schwingungsbedingter Scha¨den zu ku¨mmern hat. Hamburg, September 2006

Helmut Kramer

Inhaltsverzeichnis

Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VII

1

Gliederung und Formelzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2

Besonderheiten der Baudynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.1

Baustatik und Baudynamik

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5

2.2

Die „sichere Seite“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.3

Schwingungsmessungen

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6

2.4

Fernwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.5

Da¨mpfung und Duktilita¨t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.6

Die statische Ersatzlast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.7

Maschinendynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.8

Scha¨den

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8

3

Technische Regeln in der Baudynamik

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9

3.1

Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

3.2

Hamburgische Bauordnung (Auszug) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

3.3

Bundes-Immissionsschutzgesetz (Auszug) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

3.4

Technische Baubestimmungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

3.5

Normen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

3.6

Richtlinien und Empfehlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

3.7

Internationale technische Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

3.8

Allgemein anerkannte Regeln der Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

4

Begriffe und Kenngro¨ßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

4.1

Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4

Zeitabha¨ngigkeit . . . . . . . . . . . . Periodische Einwirkungen . . . . Harmonische Einwirkungen . . . Nichtharmonische Einwirkungen Nichtperiodische Einwirkungen

15 15 16 20 24

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XII

Inhaltsverzeichnis

4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.3

Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schwere Masse . . . . . . . . . . . . Tra¨ge Masse . . . . . . . . . . . . . . . Allgemeines Gravitationsgesetz

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25 25 27 28

4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.4.4 4.4.5 4.4.6 4.4.7 4.4.8

Steifigkeit . . . . . . . . . . . . . . Allgemeines . . . . . . . . . . . . Stahlfedern . . . . . . . . . . . . Stu¨tzen, Pfa¨hle . . . . . . . . . . Statisch bestimmter Balken Elastische Matten . . . . . . . Luftfedern . . . . . . . . . . . . . Federkombinationen . . . . . Vorgespannte Schrauben . .

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31 31 33 34 35 36 38 40 42

4.5 4.5.1 4.5.2

Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pfahlbock aus zwei Pfa¨hlen mit gleicher Neigung . . . . . . . . . . . . . . . . . Pfahlbock aus einem geneigten und einem lotrechten Pfahl . . . . . . . . .

43 43 44

5

Bewegungen starrer Ko¨rper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

5.1

Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3

Reine Translation . . . Schwerpunktsatz . . . Impulssatz . . . . . . . . Impulserhaltungssatz

. . . .

47 47 48 49

5.3 5.3.1 5.3.2

Reine Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Drallsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Drallerhaltungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49 49 51

5.4

Massentra¨gheitsmoment

....................................

51

5.5

Wuchtgu¨te von Maschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

5.6 5.6.1 5.6.2

Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kra¨ngungswinkel bei seitlicher Schiffsanfahrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stabilita¨t eines schwimmenden Ko¨rpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57 57 60

6

Stoßvorga¨nge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

6.1 6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.1.4

Der harte Stoß . . . . . . . . . . . . Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . Aufprall . . . . . . . . . . . . . . . . . Anprall . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammenstoß zweier Ko¨rper

. . . . .

61 61 61 66 69

6.2

Der weiche Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

6.3 6.3.1 6.3.2 6.3.3

Anwendungsbeispiele . . . Elastischer Einpfahldalben Plastischer Anfahrpoller . Bungee-Springen . . . . . . .

76 76 82 87

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XIII

Inhaltsverzeichnis

7

Freie Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

7.1

Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

7.2 7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.2.4

Systeme mit einem Freiheitsgrad . . . . . . . . . . . . . . . Der Einmassenschwinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eigenfrequenz der freien ungeda¨mpften Schwingung Reduzierte Massen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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91 91 91 92 96

7.3 7.3.1 7.3.2

Systeme mit mehreren Freiheitsgraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der ungeda¨mpfte Zweimassenschwinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elastisch gestu¨tzte starre Scheibe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98 98 100

7.4 7.4.1 7.4.2 7.4.3 7.4.4

Homogene Systeme endlicher La¨nge . . . . . Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eigenfrequenzen fu¨r ungeda¨mpfte Systeme Na¨herungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . Biegeeigenfrequenz mit Normalkraft . . . . .

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104 104 104 106 107

7.5 7.5.1 7.5.2

Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Maschinenfundament auf einzelnen Federn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nichtlinearita¨t bei Stahlbetontragwerken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

109 109 117

8

Erzwungene Schwingungen

.................................

123

8.1

Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

123

8.2 8.2.1 8.2.2 8.2.3 8.2.4 8.2.5 8.2.6 8.2.7 8.2.8 8.2.9 8.2.10

Systeme mit einem Freiheitsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . Direkte konstante Anregung – kraftgesteuerte Vorga¨nge Direkte konstante Anregung – weggesteuerte Vorga¨nge Impedanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Direkte quadratische Anregung – Fliehkra¨fte . . . . . . . . Selbstzentrierung im u¨berkritischen Bereich . . . . . . . . . Passive Schwingungsisolierung – indirekte Anregung . . . Aktive Schwingungsisolierung – direkte Anregung . . . . Aktive Schwingungsisolierung – indirekte Anregung . . . Isolierwirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resonanzu¨berho¨hung in dB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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125 125 133 133 134 136 137 141 142 144 145

8.3 8.3.1 8.3.2 8.3.3

Der Zweimassenschwinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Zweimassenschwinger als Schwingungstilger/-da¨mpfer Der Zweimassenschwinger als Maschinenfundament . . . . .

. . . .

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147 147 148 152

8.4

Lo¨sungswege der Baudynamik bei periodischer Anregung . . . . . . . . .

160

8.5 8.5.1 8.5.2

Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schwingungsda¨mpfer fu¨r eine Fußga¨ngerbru¨cke . . . . . . . . . . . . . . . . . Ermu¨dungsfestigkeit bei Schmelzofenschwingungen . . . . . . . . . . . . . .

160 160 163

. . . . .

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XIV

Inhaltsverzeichnis

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

9

Amplitudenreduktion

9.1

Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

9.2

Amplitudenreduktion an der Quelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

9.3

Amplitudenreduktion auf der bertragungsstrecke . . . . . . . . . . . . . . . 171

9.4 9.4.1 9.4.2

Amplitudenreduktion am Empfa¨nger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Amplitudenreduktion im resonanzfernen Bereich . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Amplitudenreduktion im resonanznahen Bereich . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

9.5 9.5.1 9.5.2 9.5.3 9.5.4 9.5.5 9.5.6

Dissipative Da¨mpfung berblick . . . . . . . . . . Rheologische Modelle Ausschwingversuch . . Resonanzversuch . . . . Hysterese-Kurve . . . . Fluidreibung . . . . . . .

9.6 9.6.1 9.6.2

Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Da¨mpfungsberechnung aus einem Ausschwingversuch . . . . . . . . . . . . . 184 Da¨mpfungsberechnung aus einer Hysterese-Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . 187

10

Menscheninduzierte Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

10.1

Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

10.2

Anregungsspektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

10.3

Dimensionierungsfalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

10.4

Erzwungene Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

10.5

Zumutbare Amplituden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

11

Einfu¨hrung in die Baugrunddynamik

11.1

Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

11.2 11.2.1 11.2.2 11.2.3 11.2.4 11.2.5 11.2.6 11.2.7 11.3 11.3.1 11.3.2 11.3.3 11.3.4

Elastodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ausbreitungsgeschwindigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wellenarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Energietransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abschirmwirkung einer Schlitzwand . . . . . . . . . . . . . . . . Ausbreitung von Rammerschu¨tterungen . . . . . . . . . . . . . Boden-Bauwerk Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modellbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Federsteifigkeiten und Da¨mpfungen starrer Fundamente Indirekte Anregung durch Bodenwellen . . . . . . . . . . . . . Abstimmungsregel fu¨r Fundamente . . . . . . . . . . . . . . . . .

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172 172 173 175 178 179 183

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

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200 200 201 203 206 207 208 210 212 212 212 214 217

Inhaltsverzeichnis

XV

11.4

Plastodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

219

11.5 11.5.1 11.5.2

Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Auswirkung einer Sprengung auf eine verankerte Spundwand . . . . . . Auswirkung einer Sprengung auf eine Windkraftanlage . . . . . . . . . . . .

220 220 224

12

Anforderungen an den Erschu¨tterungsschutz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

229

12.1

Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

229

12.2

Einwirkungen auf bauliche Anlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

230

12.3 12.3.1 12.3.2 12.3.3 12.3.4

Einwirkungen auf Menschen . . . . . . . . . . . . . Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Menschen in Geba¨uden . . . . . . . . . . . . . . . . . Menschen am Arbeitsplatz . . . . . . . . . . . . . . . Scha¨dliche und heilende Humanschwingungen

. . . . .

231 231 232 235 236

12.4

Einwirkungen auf empfindliche Gera¨te . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

237

13

Schwingungsmessungen

....................................

241

13.1

Motivation

..............................................

241

13.2

Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

242

13.3 13.3.1 13.3.2

Anregung von Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anregung von Schwingungen fu¨r Schwingungsmessungen . . . . . . . . . . Aktive Schwingungsbeeinflussung (Aktuatoren) . . . . . . . . . . . . . . . . .

242 242 245

13.4

Aufbau einer Messkette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

246

13.5 13.5.1 13.5.2 13.5.3 13.5.4

Schwingungsaufnehmer . . . . Allgemeines . . . . . . . . . . . . Zweck . . . . . . . . . . . . . . . . . Mechanisches Grundprinzip Arbeitsweise . . . . . . . . . . . .

. . . . .

247 247 247 247 251

13.6

Durchfu¨hrung von normgerechten Schwingungsmessungen . . . . . . . . .

256

13.7

Beispiele fu¨r gemessene Freifeldschwingungen

259

Fazit

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

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..................

Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

263

Stichwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

267

XVI

Inhaltsverzeichnis

DVD – Baudynamik erlebbar machen Filmausschnitte aus den Experimenten in der Versuchshalle des Instituts fu¨r Massivbau, TU Hamburg-Harburg, zu den im Buch behandelten Beispielen. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Titel Aufprall Anprall Eigenfrequenzen Harmonische Anregung Selbstzentrierung Transiente Wellen Rayleighwellen Passive Isolierung Anhang

1

Gliederung und Formelzeichen

Es sei darauf hingewiesen, dass in der Baudynamik, um Fehler zu vermeiden, besonders auf die Formelzeichen und Begriffe zu achten ist, da diese zum Teil nicht so gela¨ufig und einheitlich sind, wie in der Baustatik. Mehrfachbedeutungen eines Formelzeichens lassen sich nicht immer vermeiden, sind aber aus dem Zusammenhang zu erkennen. Wer sich mit Baudynamik bescha¨ftigt, wird nicht umhin kommen, mit deutsch- und englischsprachigen Vero¨ffentlichungen zu arbeiten, die sich zum Teil erheblich in der Verwendung von Formelzeichen und Begriffen fu¨r dieselben physikalischen Kenngro¨ßen unterscheiden. Erschwerend kommt hinzu, dass die in der Maschinendynamik, Akustik und Elektrotechnik u¨blichen Formelzeichen und Begriffe zum Teil auch in der Baudynamik Verwendung finden. Deshalb ist der Leser gut beraten, sich beim Studium der Baudynamik nicht an Formelzeichen und Begriffe festzuklammern, sondern sich stets ihrer physikalischen Bedeutung bewusst zu sein. Beachtet man die Dimension eines Formelzeichens, sind Missversta¨ndnisse kaum mo¨glich. Das Buch gliedert sich in drei Teile, die, je nach Kenntnisstand und Interesse des Lesers, in beliebiger Reihenfolge gelesen werden ko¨nnen. Die Kapitel 2 bis 5 beschreiben die Besonderheiten, die technischen Regeln und die Grundbegriffe der Baudynamik sowie die aus der technischen Mechanik bekannten Gesetze der Bewegungen starrer Ko¨rper. Die Kapitel 6 bis 9 umfassen den Hauptteil mit Stoßvorga¨ngen, freien und erzwungenen Schwingungen und Maßnahmen zur Amplitudenreduktion durch Frequenzabstimmung und Da¨mpfung. Die Kapitel 10 bis 13 behandeln schließlich Sonderfragen wie menscheninduzierte Schwingungen, Baugrunddynamik mit Boden-Bauwerk-Wechselwirkung und Wellenausbreitung, Anforderungen an den Erschu¨tterungsschutz und Schwingungsmessungen. In allen Abschnitten sind Rechenbeispiele enthalten, die fu¨r das Versta¨ndnis des Stoffes – vor allem, wenn der Leser versucht, sie zuna¨chst selbststa¨ndig zu lo¨sen – unerla¨sslich sind. Die ha¨ufig benutzten Formelzeichen werden im Folgenden aufgelistet.

2

1 Gliederung und Formelzeichen

Formelzeichen

Dimension

Begriff

a c

[m/s2] [m/s]

c d d e f f g h, H k k l m, M n p q r, R s t u, v A D

[kNs/m] [m] [–] [m] [Hz] [m] [m/s2] [m] [kN/m] [1/m] [m] [kg, t] [1/min] [kN/m2, bar] [kN/m] [m] [m] [s] [m/s] [m2] [–]

D E E F G G I I I I Lv M N Q Q

[tm2/s] [kNm] [kN/m2] [kN] [kN] [kN/m2] [tm/s] [m4] [%] [A] [dB] [kNm] [kN] [m/s] [Grad/s]

Q

[kcal]

R T U

[kN] [s] [tm]

Beschleunigung Wellengeschwindigkeit, Lichtgeschwindigkeit Da¨mpfungskonstante Dicke Verlustfaktor Exzentrizita¨t Frequenz Durchbiegung Erdbeschleunigung Fallho¨he Federkonstante Kru¨mmung La¨nge Masse Maschinendrehzahl Druck Streckenlast Radius Weg, Verschiebung Zeit Geschwindigkeit Fla¨che Lehrsches Da¨mpfungsmaß, Da¨mpfungsgrad Drall, Drehimpuls Energie Elastizita¨tsmodul Kraft Eigengewicht Schubmodul Impuls Fla¨chentra¨gheitsmoment Isolierwirkungsgrad Stromsta¨rke Pegel der Schallschnelle Moment Normalkraft Wuchtgu¨te Anregungskreisfrequenz, Anregungswinkelgeschwindigkeit Wa¨rmemenge, Wa¨rmea¨quivalent Reibungskraft Periodendauer Unwucht

3

1 Gliederung und Formelzeichen

Formelzeichen

Dimension

Begriff

V

[–]

V W W Z b g g g0 d e e h h j j j0 j l m m n n q s w

[m3] [m3] [kNm] [kN] [rad, Grad] [rad, Grad] [cm3 /kg s] [kN/m3 ] [–] [–] [–] [kNs/m2] [–] [rad, Grad] [rad, Grad] [Grad] [–] [m] [–] [t/m] [–] [–] [t/m3] [kN/m2] [rad/s]

W

[rad/s]

w w

[rad, Grad] [–]

J Q

[–] [tm2, kN m s2 ]

Vergro¨ßerungsfunktion, bertragungsfunktion, dynamische berho¨hung Volumen Widerstandsmoment Arbeit Zentrifugalkraft Phasenwinkel Scherwinkel Gravitationskonstante Wichte Abklingkoeffizient Dehnung Newtonsche Stoßzahl Viskosita¨t Frequenzverha¨ltnis Nullphasenwinkel Drehwinkel Reibungswinkel Massenverha¨ltnis Wellenla¨nge Reibungsbeiwert Streckenmasse Querdehnzahl Verha¨ltnis der Federsteifigkeiten Dichte Spannung Eigenkreisfrequenz, Eigenwinkelgeschwindigkeit Anregungskreisfrequenz Anregungswinkelgeschwindigkeit Drehwinkel spezifische hysteretische Da¨mpfung logarithmisches Dekrement Massentra¨gheitsmoment

2

Besonderheiten der Baudynamik

2.1

Baustatik und Baudynamik

In der Baudynamik geht es um zeitabha¨ngige Einwirkungen und Systemantworten. Die Baustatik ist ein Sonderfall der Baudynamik, wenn Einwirkungen „unendlich langsam“ auftreten. Deshalb ko¨nnen in der Baustatik die Massenkra¨fte (Tra¨gheitskra¨fte) vernachla¨ssigt werden. Ein Beispiel, das jeder mit einer Ku¨chenwaage nachvollziehen kann, soll diesen Zusammenhang verdeutlichen. In der unten dargestellten Versuchsanordnung (Bild 2.1) rieselt Sand unendlich langsam aus einer Fallho¨he, die nahezu Null betra¨gt, in ein Gefa¨ß der Masse m auf der Feder k. In jedem Zeitpunkt folgt die Stauchung der Feder der Lastzunahme durch den Sand. Infolge der Erho¨hung des Gewichtes durch die zusa¨tzliche Masse Dm des Sandes erfa¨hrt die Feder k eine Stauchung um sstat und am freigeschnittenen System stellt sich zu jedem Zeitpunkt der statische Gleichgewichtszustand ein: P

F ¼0

FR ¼ ksstat

)

FR ¼ F A

und

FA ¼ Dm g

)

sstat ¼

Dm g k

ð2:1Þ

Bild 2.1 Statische Einwirkung

Bei der dynamischen Einwirkung rieselt Sand wa¨hrend des endlichen Zeitabschnittes TF in ein Gefa¨ß mit derselben Versuchsanordnung (Bild 2.2). Die Stauchung der Feder kann infolge der Tra¨gheit der Masse m der Lastzunahme durch den Sand Dm nicht unmittelbar folgen. Infolge der tra¨gen Masse m ist die schwere Masse Dm wirksam, bevor die Reaktionskraft der Feder voll mobilisiert wurde, also ist FA 6¼ FR . Die Differenz der Kra¨fte FA  FR ¼ FT fu¨hrt zu einer Beschleunigung der Masse m: P

F ¼0

)

FT ðtÞ þ FR ðtÞ ¼ FA ðtÞ sstat  sdyn  2sstat

)

m€ sdyn ðtÞ þ ksdyn ðtÞ ¼ FA ðtÞ

ðsiehe Abschnitt 6:2Þ

ð2:2Þ

6

2 Besonderheiten der Baudynamik

Bild 2.2 Dynamische Einwirkung

Zwischen dynamischen und statischen Einwirkungen liegen noch die zyklischen Einwirkungen, bei denen die Zeitabha¨ngigkeit erhalten bleibt, aber die Tra¨gheitskra¨fte FT vernachla¨ssigt werden. Ob die Tra¨gheitskra¨fte zu beru¨cksichtigen sind oder vernachla¨ssigt werden ko¨nnen, muss im Einzelfall entschieden werden. Auf eventuell unterschiedliche Materialkennwerte und Festigkeitseigenschaften bei zeitabha¨ngigen und zeitunabha¨ngigen Einwirkungen ist zu achten.

2.2

Die „sichere Seite“

Das Abscha¨tzen nach der „sicheren Seite“ ist in der Baustatik eine wichtige Methode, um Unsicherheiten bei der Abbildung der Wirklichkeit in einem Rechenmodell unkritisch zu machen. („Ein Profil gro¨ßer kann nicht schaden.“) In der Baudynamik ist die „sichere Seite“ nicht a priori gegeben. Eine gro¨ßere statische Sicherheit kann durchaus zu gro¨ßerer dynamischer Beanspruchung fu¨hren. Je nachdem, ob die Erregerfrequenz unterhalb oder oberhalb der Eigenfrequenz liegt, sind zum Abscha¨tzen nach der „sicheren Seite“ entgegengesetzte Maßnahmen erforderlich. Beim Auftreten mehrerer Anregungs- und/oder Eigenfrequenzen, gibt es keine „sichere Seite.“ Deshalb ist die Modellierung in der Baudynamik viel sorgfa¨ltiger durchzufu¨hren als in der Baustatik u¨blich. Ist die Bestimmung der Eingangsparameter unsicher, sind Variationsrechnungen beziehungsweise Messungen unerla¨sslich.

2.3

Schwingungsmessungen

Um ein mo¨glichst wirklichkeitsnahes Modell des Schwingungssystems zu erhalten, kommt der Messtechnik in der Baudynamik eine entscheidende Rolle zu. Schwingungstechnische Experimente geben einen Einblick in die Messtechnik und zeigen die Unscha¨rfe der u¨blichen Rechenmodelle. Merke: Der Computer rechnet nur an Modellen, aber nicht an der Wirklichkeit. Bei bestehenden Geba¨uden dienen Messungen der Systemidentifikation. Außerdem sollte das Rechenmodell wenn irgend mo¨glich an Messungen justiert

2.6 Die statische Ersatzlast

7

werden. Bei Neubauten kann durch Messungen wa¨hrend der Bauphasen das Modell u¨berpru¨ft und eventuell korrigiert werden. In der Baudynamik bleibt bei Prognosen immer ein Rest an Unsicherheit. Deshalb sind Abnahmemessungen an fertigen Bauwerken empfehlenswert. Schließlich ko¨nnen Schwingungsmessungen zur Bauwerksu¨berwachung herangezogen werden (Monitoring), da durch Vera¨nderungen der Eigenfrequenzen und Eigenformen Scha¨den rechtzeitig erkannt werden ko¨nnen. Je nach Aufgabenstellung werden weg-, geschwindigkeits- oder beschleunigungsproportionale Sensoren eingesetzt.

2.4

Fernwirkung

Die Fortpflanzung von Erschu¨tterungen durch Wellenausbreitung im Boden, in der Luft, im Wasser und in Baukonstruktionen fu¨hrt zu einer „Fernwirkung“, die in der Baustatik unbekannt ist (siehe Bild 11.1). Amplituden, die la¨ngs der bertragungsstrecke unerheblich sind, ko¨nnen auch noch in großer Entfernung durch Resonanz zu erheblichen Amplituden anwachsen. Auf Fa¨hrschiffen beispielsweise la¨sst sich auf dem obersten Deck fast immer ein Gela¨nderabschnitt finden, der in Resonanz mit der tief unten liegenden Schiffsmaschine deutlich spu¨rbar schwingt, wa¨hrend andere Abschnitte des Gela¨nders in Ruhe sind.

2.5

Da¨mpfung und Duktilita¨t

Dynamische Probleme sind unabha¨ngig vom Baustoff. Allerdings sind die Abweichungen der dynamischen von den statischen Stoffparametern bei den verschiedenen Baustoffen unterschiedlich groß. Da¨mpfung und Duktilita¨t der Baustoffe sind in der Baudynamik von besonderer Bedeutung. Die Mo¨glichkeit, durch Da¨mpfung (Dissipation) Verformungen und damit Beanspruchungen zu reduzieren, ist in der Baustatik nicht gegeben. Da¨mpfung braucht Bewegung und Bewegung ist in der Baustatik unerwu¨nscht. Bei großen Verformungen ist die Duktilita¨t (plastische Verformungsfa¨higkeit) des Materials von besonderer Wichtigkeit, um kinetische Energie in Verformungsarbeit umzuwandeln. Allerdings muss duktilita¨tsgerecht konstruiert werden. Hugo Bachmann: „Die Duktilita¨t u¨berbru¨ckt unsere Unwissenheit.“

2.6

Die statische Ersatzlast

In der Baudynamik werden zuerst Verformungen und dann Kra¨fte berechnet. Eine statische Kraft, die erforderlich wa¨re, um die maximale dynamische Verformung zu bewirken, wird als „statische Ersatzlast“ bezeichnet und in der Praxis gerne angewandt (Bild 2.3). Um statische Ersatzlasten angeben zu ko¨nnen, muss allerdings das dynamische Problem gelo¨st sein. Das Rechnen mit statischen Ersatzlasten setzt voraus, dass die dynamische Biegelinie in etwa mit der statischen Biegelinie u¨bereinstimmt, was i. Allg. nur fu¨r die Grundeigenform (w1 in Bild 7.11) einer Baukonstruktion zutrifft. Mit statischen Ersatzlasten ko¨nnen dann die Tragfa¨higkeit und Gebrauchstauglichkeit von Konstruktionen ermittelt werden. Scha¨den, die von der Anzahl der Lastwechsel oder der Frequenz abha¨ngen, ko¨nnen mit statischen Ersatzlasten nicht beurteilt werden!

8

2 Besonderheiten der Baudynamik

Bild 2.3 Statische Ersatzlast fu¨r die Grundeigenform (oben) und die 3. Eigenform (unten)

2.7

Maschinendynamik

Der Tragwerksplaner ist verantwortlich fu¨r die Dimensionierung von Baukonstruktionen. Die Ursachen dynamischer Einwirkungen sind ha¨ufig Maschinen. Ohne deren Wirkungsweise verstanden zu haben, ist eine zuverla¨ssige Dimensionierung der Baukonstruktion nicht mo¨glich. Oft ist hartna¨ckiges Fragen erforderlich, um die no¨tigen Maschinenkennwerte zu erhalten. Manchmal hilft nur weiter, die Maschine im Betrieb selbst zu studieren. Wer darauf verzichtet, bekommt im Schadensfall vor Gericht eine Mitschuld. Korrekturen an der Maschinendynamik (Quelle) sind zuweilen o¨konomischer als nderungen an der Baukonstruktion (Empfa¨nger).

2.8

Scha¨den

Dynamische Probleme ko¨nnen zur Gefa¨hrdung der Standsicherheit, zur Minderung der Gebrauchstauglichkeit (Risse, Verformungen) und zu unerwu¨nschter Beeintra¨chtigung von Menschen und Pra¨zisionsgera¨ten fu¨hren. Folgende Scha¨den durch dynamische Lasten, die aus der Baustatik nicht bekannt sind, sollten besonders beachtet werden: – – – –

Setzungen durch Sackungen, Bodenverflu¨ssigung, sekunda¨rer Luftschall, Ermu¨dungsfestigkeit.

3

Technische Regeln in der Baudynamik

3.1

Allgemeines

Fu¨r die Baudynamik gibt es ein umfangreiches technisches Regelwerk, deren Beachtung entweder gesetzlich vorgeschrieben ist (o¨ffentliches Recht) oder vertraglich vereinbart werden muss (Zivilrecht). Ohne baurechtliche Genehmigung ist der beste Entwurf unbrauchbar! Im Schadensfall liegt immer dann ein Verschulden vor, wenn die allgemein anerkannten Regeln der Technik (hier der Baudynamik) nicht beachtet wurden und der Bauherr auf mo¨gliche Risiken nicht hingewiesen wurde. Daher sind die wichtigsten zurzeit gu¨ltigen technischen Regeln im Folgenden zusammengestellt: – – – – – – –

Bauordnungen, zum Beispiel die Hamburgische BO (La¨ndersache) Immissionsschutzgesetze (Bundessache) Technische Baubestimmungen (La¨ndersache) Normen (Deutsches Institut fu¨r Normung) Richtlinien und Empfehlungen (nationale Fachverba¨nde) Internationale technische Regeln (internationale Fachverba¨nde) allgemein anerkannte Regeln der Technik (Gerichtsbarkeit)

3.2

Hamburgische Bauordnung (Auszug)

§ 3 Allgemeine Anforderungen (1) Bauliche Anlagen sowie Anlagen und Einrichtungen im Sinne von § 1 Absatz 1 Satz 2 sind so anzuordnen, zu errichten, zu a¨ndern und instand zu halten, dass die o¨ffentliche Sicherheit oder Ordnung, insbesondere Leben, Gesundheit sowie die natu¨rlichen Lebensgrundlagen, nicht gefa¨hrdet werden und keine unzumutbaren Bela¨stigungen entstehen ko¨nnen. Sie mu¨ssen ihrem Zweck entsprechend ohne Misssta¨nde zu benutzen sein. (2) Bauprodukte du¨rfen nur verwendet werden, wenn bei ihrer Verwendung die baulichen Anlagen bei ordnungsgema¨ßer Instandhaltung wa¨hrend einer dem Zweck entsprechenden angemessenen Zeitdauer die Anforderungen dieses Gesetzes und der auf Grund dieses Gesetzes erlassenen Vorschriften erfu¨llen und gebrauchstauglich sind. (3) Die allgemein anerkannten Regeln der Technik sind zu beachten. Bei Bauausfu¨hrungen, die den von der Bauaufsichtsbeho¨rde eingefu¨hrten Technischen Baubestimmungen entsprechen, gilt diese Voraussetzung als erfu¨llt. Die Einfu¨hrung Technischer Baubestimmungen ist im Amtlichen Anzeiger bekanntzumachen. Bei der Bekanntmachung kann hinsichtlich des Inhalts der Baubestimmungen auf die Fundstelle verwiesen werden. Von allgemein anerkannten Regeln der Technik kann abgewichen werden, wenn mit einer anderen Lo¨sung in gleichem Maße die allgemeinen Anforderungen des Absatzes 1 erfu¨llt werden; § 20 Absatz 3 und § 21 bleiben unberu¨hrt.

10

3.3

3 Technische Regeln in der Baudynamik

Bundes-Immissionsschutzgesetz (Auszug) 6. Immissionsschutz (Luftreinhaltung, La¨rmbeka¨mpfung) 6.1. Gesetz zum Schutz vor scha¨dlichen Umwelteinwirkungen durch Lufverunreinigungen, Gera¨usche, Erschu¨tterungen und a¨hnliche Vorga¨nge (Bundesimmissionsschutzgesetz – BImSchG) In der Fassung der Bekanntmachung vom 14. Mai 1990 (BGBl. I S. 880, zuletzt gea¨ndert durch G v. 17. 3. 1998, BGBl. I S. 502)

§ 3 Begriffsbestimmungen (1) Scha¨dliche Umwelteinwirkungen im Sinne dieses Gesetzes sind Immissionen, die nach Art, Ausmaß oder Dauer geeignet sind, Gefahren, erhebliche Nachteile oder erhebliche Bela¨stigungen fu¨r die Allgemeinheit oder die Nachbarschaft herbeifu¨hren. (2) Immissionen im Sinne dieses Gesetzes sind auf Menschen, Tiere und Pflanzen, den Boden, das Wasser, die Atmospha¨re sowie Kultur- und sonstige Sachgu¨ter einwirkende Luftverunreinigungen, Gera¨usche, Erschu¨tterungen, Licht, Wa¨rme, Strahlen und a¨hnliche Umwelteinwirkungen. § 18 Wa¨rmeschutz, Schallschutz und Erschu¨tterungsschutz (1) Geba¨ude mu¨ssen einen ihrer Nutzung und den klimatischen Verha¨ltnissen entsprechenden Wa¨rmeschutz haben. (2) Geba¨ude mu¨ssen einen ihrer Nutzung entsprechenden Schallschutz gegen Innen- und Außenla¨rm haben. (3) La¨rm, Erschu¨tterungen und Schwingungen, die von ortsfesten Anlagen oder Einrichtungen in baulichen Anlagen oder auf bebauten Grundstu¨cken ausgehen, sind so zu da¨mmen, dass Gefahren oder unzumutbare Bela¨stigungen nicht entstehen.

3.4 DIN 1055 DIN 1056 DIN 1072 DIN 4109 DIN 4131 DIN 4133 DIN 4149 DIN 4178 DIN 4228 DIN 4420 ETB-Ri.

Technische Baubestimmungen Einwirkungen auf Tragwerke Teil 9: Außergewo¨hnliche Einwirkungen Freistehende Schornsteine in Massivbauart Straßen- und Wegbru¨cken Schallschutz im Hochbau, auch sekunda¨rer Luftschall Antennentragwerke aus Stahl Schornsteine aus Stahl Bauten in deutschen Erdbebengebieten Glockentu¨rme, Berechnung und Ausfu¨hrung Werkma¨ßig hergestellte Betonmaste Arbeits- und Schutzgeru¨ste Bauteile, die gegen Absturz sichern

3.6 Richtlinien und Empfehlungen

3.5

Normen

DIN 1311

DIN DIN DIN DIN DIN

4024 4025 4103 4112 4150

DIN DIN DIN DIN

4426 18041 45664 45669

DIN 45671 DIN 45672 DIN 45673-2 DIN 45676 DIN 45677 DIN 45680 DIN 53512 DIN 53513 DIN 53535 DIN EN V 1995-2

Schwingungen und schwingungsfa¨hige Systeme Teil 1: Grundbegriffe, Einteilung Teil 2: Lineare, zeitinvariante schwingungsfa¨hige Systeme mit einem Freiheitsgrad Teil 3: Lineare, zeitinvariante schwingungsfa¨hige Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden Maschinenfundamente*) Fundamente fu¨r Amboss-Ha¨mmer*) Nichttragende innere Trennwa¨nde Fliegende Bauten Erschu¨tterungen im Bauwesen*) Teil 1: Vorermittlung von Schwingungsgro¨ßen Teil 2: Einwirkungen auf Menschen in Geba¨uden Teil 3: Einwirkungen auf bauliche Anlagen Absturzsicherungen Ho¨rsamkeit in kleinen bis mittelgroßen Ra¨umen Ankoppelung von Schwingungsmessgera¨ten Messung von Schwingungsimmissionen Teil 1: Schwingungsmesser: Anforderungen, Pru¨fung Teil 2: Messverfahren Schwingungsmessungen am Arbeitsplatz Schwingungsmessungen in der Umgebung von Schienenverkehrswegen Mechanische Schwingungen Elastische Elemente des Oberbaus von Schienenfahrwegen Mechanische Eingangsimpedanzen des menschlichen Ko¨rpers Mechanische Eingangsimpedanzen des Hand-Arm-Systems Messung und Bewertung tieffrequenter Gera¨uschimmissionen Bestimmung der Ru¨ckprall-Elastizita¨t Bestimmung der visko-elastischen Eigenschaften von Elastomeren Grundlagen fu¨r dynamische Pru¨fverfahren Schwingungen von Holzbru¨cken

*) Die Anwendung dieser Normen wird in DIN 1055 Teil 3 gefordert.

3.6

Richtlinien und Empfehlungen

Empfehlungen des Arbeitsausschusses „Ufereinfassungen“, EAU E135, E136, E159 Wellendruck auf senkrechte Uferwa¨nde und Pfahlbauwerke E69, E111, E128 Dalbenberechnung Empfehlungen des Arbeitskreises „Baugrunddynamik“ E1: Bodendynamische Kennwerte E2: Wellenausbreitung im Baugrund E3: Dynamisch belastete Gru¨ndungen mit Berechnungsbeispielen

11

12

3 Technische Regeln in der Baudynamik

VDI 2057 VDI 2060 VDI 2062

VDI VDI VDI VDI

2263 2716 3673 3831

KTA 2201 BGV/R B10 DIN ISO 10816 Erschu¨tterungsRichtlinien ExplosionsschutzRegeln DIN-Fachbericht 102, Leitfaden fu¨r Planer, DB AG

3.7

Einwirkung mechanischer Schwingungen auf den Menschen Beurteilungsmaßsta¨be fu¨r den Auswuchtzustand Schwingungsisolierung Blatt 1: Begriffe und Methoden Blatt 2: Isolierelemente Staubbra¨nde und Staubexplosionen Luft- und Ko¨rperschall bei Schienenbahnen Druckentlastung von Staubexplosionen Schutzmaßnahmen gegen Einwirkungen mechanischer Schwingungen auf den Menschen Auslegung von Kernkraftwerken gegen seismische Einwirkungen Arbeitspla¨tze mit Vibrationseinwirkung (Berufsgenossenschaftliche Vorschriften/Regeln) Bewertung der Schwingungen von Maschinen, Teil 1–6 La¨nderausschuss fu¨r Immissionsschutz (LAI) Fachausschuss „Chemie“ (Hauptverband der gewerblichen Berufsgenossenschaften) Geh- und Radwegbru¨cken Ko¨rperschall- und Erschu¨tterungsschutz

Internationale technische Regeln

EC 1 Teil 2–4 EC 2 Teil 2 EC 8 ISO 1940 ISO 2631-1 ISO 2631-2 ISO 14837-1 NBC 1985 BS 5400 UBC, ICC SN 640312a BS 6472 ISO 4866 ISO 8727

Dynamische Windlasten Stahlbeton- und Spannbetonbru¨cken Bemessungsregeln fu¨r Erdbebenbeanspruchung Anforderungen an die Auswuchtgu¨te starrer Rotoren Guide for the evaluation of human exposure to whole-body vibration Mechanical Vibration and Shock, Evaluation of Human Exposure to Whole-Body Vibration; Vibration in Buildings (1 Hz to 80 Hz) Mechanische Schwingungen durch unterirdische Schienenbahnen Menscheninduzierte Schwingungen Menscheninduzierte Schwingungen Erdbebenberechnungen Erschu¨tterungen im Bauwesen Erschu¨tterungen im Bauwesen Mechanical Vibration and Shock Evaluation of their Effects on Buildings Mechanische Schwingungen und Sto¨ße; Einwirkungen auf den Menschen

3.8 Allgemein anerkannte Regeln der Technik

NBC UBC ICC BS SN ISO EC KTA EAU

3.8

13

National Building Code (Canada) Uniform Building Code (USA) International Building Code (USA) British Standards Schweizer Norm International Standards Eurocode Kerntechnische Anlagen Empfehlungen des Arbeitskreises „Ufereinfassungen“

Allgemein anerkannte Regeln der Technik

Aus einem Kommentar zur VOB: „Bei den allgemein anerkannten Regeln der Technik handelt es sich um technische Regeln fu¨r den Entwurf und die Ausfu¨hrung baulicher Anlagen, die in der Wissenschaft als theoretisch richtig anerkannt sind und feststehen, sowie in dem Kreise der fu¨r die Anwendung der betreffenden Regeln maßgeblichen, nach dem neuesten Erkenntnisstand vorgebildeten Techniker durchweg bekannt und aufgrund fortdauernder praktischer Erfahrung als richtig und notwendig anerkannt sind.“

4

Begriffe und Kenngro¨ßen

4.1

Allgemeines

Zur Beschreibung von Naturvorga¨ngen sind drei Kenngro¨ßen erforderlich: Zeit, Masse und Raum. Die Bedeutung der Zeit und der Masse in der Baudynamik wird in den Abschnitten 4.2 und 4.3 behandelt. Der Raum manifestiert sich in Ausdehnung, Verschiebung und Deformation, die in Verbindung mit Materialeigenschaften zur Spannung und schließlich Steifigkeit fu¨hren (Abschnitt 4.4).

4.2

Zeitabha¨ngigkeit

4.2.1

Periodische Einwirkungen

Zeitabha¨ngige Einwirkungen (Bild 4.1) erzeugen zeitabha¨ngige Reaktionen der elastischen Struktur. Man nennt sie „erzwungene Schwingungen“. Wiederholt sich eine Einwirkung in gleichen Zeitabsta¨nden, so nennt man sie „periodisch“. Es gibt harmonische und nichtharmonische periodische Einwirkungen.

Bild 4.1 Zeitabha¨ngige Einwirkungen

Elastische Strukturen, die nach einer Anfangsauslenkung ohne a¨ußere Einwirkungen schwingen, vollfu¨hren „freie Schwingungen“. Durch Da¨mpfung klingen sie mehr oder weniger schnell ab (Bild 4.2). Wird ein System in schneller Folge ausgelenkt, bevor die freie Schwingung restlos abgeklungen ist, kann es zu deutlichem Aufschaukeln kommen. Beispiele fu¨r diese Mischform sind schnell aufeinanderfolgende Rammschla¨ge, Drucksto¨ße in Rohrleitungen und die Anregung einer Geigensaite durch den Bogen.

16

4 Begriffe und Kenngro¨ßen

Bild 4.2 Ausschwingvorgang eines Einfeldtra¨gers

4.2.2

Harmonische Einwirkungen

Wenn sich die Zeitabha¨ngigkeit einer periodischen Einwirkung mit einer Sinus- oder Kosinusfunktion beschreiben la¨sst, nennt man sie „harmonisch“ (Bilder 4.3 und 4.4). Elastische Kra¨fte (Ru¨ckstellkra¨fte elastischer Strukturen) fu¨hren zu harmonischen Schwingungen. Sie ko¨nnen in reeller oder in komplexer Darstellung angegeben werden. Akustik In der Akustik interessiert der Schalldruck p^. Im Bereich der Verdichtung (siehe Bild 11.10) tritt der maximale Schalldruck auf. Er ist ein Maß fu¨r die Lautsta¨rke. Ist die zeitliche nderung des Schalldruckes harmonisch, spricht man von „reinen To¨nen“ (Sinus-To¨nen). Sie ko¨nnen nur elektronisch erzeugt werden. Frequenz Die regelma¨ßige Wiederholung eines Ereignisses nennt man „Periode“. Die Periodendauer T [s] ist eine anschauliche Gro¨ße. Sie la¨sst sich mit einfachen Mitteln, zum Beispiel einer Stoppuhr messen. Die Anzahl der Ereignisse pro Sekunde heißt Frequenz und wird in Hertz angegeben: f ¼

1 ½Hz T

ð4:1Þ

Akustik In der Akustik wird die Ho¨he eines Tones durch seine tiefste Frequenz bestimmt. Der Kammerton a schwingt mit f ¼ 440 Hz (Oberto¨ne siehe Abschnitt 4.2.3). Das menschliche

4.2 Zeitabha¨ngigkeit

17

Bild 4.3 Darstellung einer harmonischen Schwingung im Reellen

Herz schla¨gt mit f ¼ 1  2 Hz, was dem bevorzugten Rhythmus der Techno-Musik entspricht und ihre anregende physische Wirkung erkla¨rt. Das Bild 4.3 zeigt die Darstellung einer harmonischen Schwingung im Reellen anhand des Zeitverlaufes und eines Zeigerdiagramms. Wichtige Eingangsgro¨ßen zur Beschreibung der harmonischen Schwingung sind zum einen der Phasenwinkel bðtÞ und der Nullphasenwinkel j zum Zeitpunkt t ¼ 0. Der Phasenwinkel wird in Bogenmaß b [rad] oder 360 in Grad b ðtÞ ¼ b [rad] ðtÞ angegeben. Zum anderen interessieren bei der Beschrei2p bung mechanischer Schwingungen die Amplitude (Gro¨ßtwert) der Bewegung um die statische Ruhelage s^, die Schwinggeschwindigkeit u^, die Schwingbeschleunigung b^ und die Anregungskraft F^. Amplitude und Schwingweite Streng genommen spricht man von einer Amplitude nur bei harmonischen Schwingungen. In allen anderen Fa¨llen spricht man vom Gro¨ßtwert bezogen auf die statische Ruhelage. Der Abstand zwischen dem Gro¨ßtwert und dem Kleinstwert wird auch als peak to peak oder Schwingweite bezeichnet. Er betra¨gt fu¨r harmonische Schwingungen 2^ s. Winkelgeschwindigkeit Die Winkelgeschwindigkeit w la¨sst sich anhand von Bild 4.3 aus dem Phasenwinkel bðtÞ herleiten: dbðtÞ dl dl ¼ ¼ 2p U 2p s^

ð4:2Þ

18

4 Begriffe und Kenngro¨ßen

Daraus folgt mit dl ¼ ^sdbðtÞ die Umlaufgeschwindigkeit: u¼

Weg Zeit

)

uðtÞ ¼

dl s^dbðtÞ ¼ dt dt

und fu¨r s^ ¼ 1 die Winkelgeschwindigkeit beziehungsweise Kreisfrequenz:   dbðtÞ rad w¼ dt s

ð4:3Þ

Mit dbðtÞ ¼ w dt und Integration bis zu einem beliebigen Phasenwinkel: Ðb

Ðt dbðtÞ ¼ w dt

ð4:4Þ

0

0

erha¨lt man wegen w ¼ konst die Beziehung zwischen der Winkelgeschwindigkeit w und dem Phasenwinkel b im Bogenmaß: bðtÞ ¼ wt

ð4:5Þ

Wird die Gleichung dbðtÞ ¼ w dt u¨ber eine Periode integriert, folgt wegen w ¼ konst die Beziehung zwischen der Winkelgeschwindigkeit w und der Frequenz f : 2Ðp 0

dbðtÞ ¼

ÐT

w dt

0

  2p rad ¼ 2p f w¼ T s

bzw:

 Grad q ¼ 360 f s 



ð4:6Þ

Es ist allgemein u¨blich, die Winkelgeschwindigkeit verku¨rzt in w [1/s] anzugeben. Beispiel 4.1 Ein Mensch macht ca. 30 Schritte in 15 s. Die Periodendauer seiner Schritte ist demnach T ¼ 15=30 ¼ 0,5 s und seine Schrittfrequenz ergibt sich zu f ¼ 1=0,5 ¼ 2 Hz und w ¼ 2p 2 ¼ 12,56 Hz. Darstellung einer harmonischen Schwingung im Reellen Eine harmonische Schwingung kann dargestellt werden durch horizontale Projektion einer gleichfo¨rmigen Kreisbewegung ðw ¼ konst). Mathematisch kann die harmonische Schwingung durch eine Sinusfunktion (Bild 4.3) beschrieben werden: s ¼ sðtÞ ¼ s^ sin ðbðtÞ þ jÞ ) sðtÞ ¼ s^ sin ðwt þ jÞ u ¼ s_ðtÞ ¼ s^w cos ðwt þ jÞ ) s_ðtÞ ¼ u^ cos ðwt þ jÞ b ¼ s€ðtÞ ¼ ^ sw2 sin ðwt þ jÞ

)

ð4:7Þ

€sðtÞ ¼ ^ a sin ðwt þ jÞ

Mit dem Additionstheorem sin ða þ bÞ ¼ sin a cos b þ cos a sin b ergibt sich: sðtÞ ¼ ^sðsin wt cos j þ cos wt sin jÞ

ð4:8Þ

Mit den Parametern c1 ¼ ^s cos j und c2 ¼ s^ sin j folgt schließlich eine andere Darstellung im Reellen: sðtÞ ¼ c1 sin wt þ c2 cos wt

ð4:9Þ

19

4.2 Zeitabha¨ngigkeit

Bild 4.4 Darstellung einer harmonischen Schwingung im Komplexen

Zwei von wt unabha¨ngige Parameter s^ und j bzw. c1 und c2 sind zur Beschreibung einer harmonischen Schwingung erforderlich. Mit sin2 j þ cos2 j ¼ 1 lassen sich die Parameter aus Gl. (4.7) und (4.9) folgendermaßen darstellen: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi s^ ¼ c21 þ c22 ð4:10Þ   c2 ð4:11Þ j ¼ arctan c1 Darstellung einer harmonischen Schwingung im Komplexen Das Bild 4.4 zeigt die Darstellung einer harmonischen Schwingung im Komplexen. Diese Schreibweise ist beim Rechnen mit Feder und Da¨mpfer als „komplexe Steifigkeit“ vorteilhaft (s. auch Abschnitt 9.5.5). Mit Einfu¨hrung der imagina¨ren Einheit i2 ¼ 1 la¨sst sich sðtÞ durch eine komplexe Gleichung beschreiben: sðtÞ ¼ s^ eiðbðtÞ þ jÞ sðtÞ ¼ s^ eiðwtþjÞ sðtÞ ¼ s^ e

iwt

e

ð4:12Þ

ij

Durch Verwendung des Einheitsvektors mit s^ ¼ 1 und der Euler-Formel eij ¼ cos j þ i sin j, sowie mit Re ðeij Þ ¼ cos j als Realteil des Einheitsvektors und Im ðeij Þ ¼ sin j als Imagina¨rteil des Einheitsvektors, ergeben sich die Terme: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  Betrag des Einheitsvektors: jeij j ¼ cos2 j þ sin2 j ¼ 1  Betrag der komplexen Amplitude: j^ s eij j ¼ s^ Aus (4.12) folgt demnach mit der Euler-Formel: sðtÞ ¼ s^½ðcos wt þ i sin wtÞðcos j þ i sin jÞ

ð4:13Þ

20

4 Begriffe und Kenngro¨ßen

Dann la¨sst sich durch Ausmultiplizieren und Anwenden der Additionstheoreme feststellen: sðtÞ ¼ s^ ½ðcos wt cos j  sin wt sin jÞ þ iðcos wt sin j þ sin wt cos jÞ )

sðtÞ ¼ s^½cos ðwt þ jÞ þ i sin ðwt þ jÞ

 Realteil der komplexen Funktion:  Imagina¨rteil der komplexen Funktion:

ð4:14Þ

Re ðsðtÞÞ ¼ s^ cos ðwt þ jÞ Im ðsðtÞÞ ¼ s^ sin ðwt þ jÞ

Auch hier sind zwei von wt unabha¨ngige Parameter Re und Im zur Beschreibung der harmonischen Schwingung erforderlich. Die reelle Funktion (4.7) ist gleich dem Imagina¨rteil der komplexen Funktion (4.14).

4.2.3

Nichtharmonische Einwirkungen

Zeigt das Schwingungssystem lineares Verhalten (sog. linearer Schwinger), was in der Baudynamik wegen kleiner dynamischer Amplituden meistens vorausgesetzt werden kann, dann ko¨nnen mit Hilfe der Fourier-Transformation alle nichtharmonischen periodischen Schwingungen in eine Summe von harmonischen Schwingungen zerlegt werden, deren Frequenzen ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz (Frequenz der nichtharmonischen periodischen Schwingung) sind. Es entstehen sog. „Linienspektren“ oder „Ho¨here Harmonische“ (Bilder 4.5 und 4.6). Wa¨hrend bei linearen Schwingern durch eine periodische, also mehrere Harmonische enthaltende Anregungskraft sowohl die Grundkreisfrequenz W als auch ho¨her Harmonische mit den Kreisfrequenzen n  W angeregt werden, ko¨nnen bei einem nichtlinearen SchwinW ger (siehe Bild 4.11, Kurve 1 þ 3) auch Subharmonische mit der Kreisfrequenz angen regt werden (subharmonische Resonanz) [1].

Bild 4.5 Harmonische Schwingung im Zeit- und Frequenzbereich

21

4.2 Zeitabha¨ngigkeit

Durch die Fourier-Transformation wird ein Schwingungsvorgang vom Zeitbereich in den Frequenzbereich transformiert sðtÞ ! sðf Þ. Jede harmonische Schwingung ist im Frequenzbereich durch ihre spektrale Amplitude cn und ihren Nullphasenwinkel jn definiert (Bild 4.5). Die Rechenvorschriften ko¨nnen aus Mathematikbu¨chern entnommen werden. Spektrale Amplituden einer Rechteckimpulsfolge: sðtÞ ¼ c¼

1 co X þ cn cos wn t 2 n¼1

ts T

sc co ¼ 2^

2p T sin np c cn ¼ 2^ s np

wn ¼ n

Bei schnell schlagenden Maschinen, wie z. B. Stanzen, hydraulische Meißel, Schmiedeha¨mmer, Schnellschlagrammen, reicht es oft aus, die Impulsanregung der Maschine als Rechteckimpuls anzusetzen und mit den in Bild 4.6 dargestellten spektralen Amplituten zu rechnen.

Bild 4.6 Nicht harmonische Schwingung im Zeit- und Frequenzbereich

Anmerkung 1: Obwohl heute elektronische Rechenhilfen zur Verfu¨gung stehen und moderne Schwingungsmessgera¨te die Fourier-Transformation des Zeitsignals gleich mitliefern, wird empfohlen, zum Beispiel fu¨r eine Rechteckfunktion den Formalismus einmal per Hand durchzufu¨hren, um anschaulich zu verstehen, wie aus einer Summe von harmonischen Schwingungen durch phasengerechte Superposition eine periodische Rechteckfunktion entsteht (Bild 4.6). Je gro¨ßer die Periode T im Verha¨ltnis zur Stoßdauer ts wird, desto dichter liegen die Spektrallinien (spektrale Schwingungsanteile) beieinander. Fu¨r T ! 1 (Einzelimpuls) liegen die Spektrallinien unendlich dicht nebeneinander (spektrale Dichte). Zur Beurteilung der Schadenswirkung von Erschu¨tterungen sind die spekralen Amplituden von Bedeutung, da nur jene spektralen Anteile von Erschu¨tterungen wesentlich u¨berho¨ht werden, die im resonanznahen Bereich von Bauteilen liegen.

22

4 Begriffe und Kenngro¨ßen

Drehzahlangaben von Maschinen Die Drehzahlen von Maschinen werden u¨blicherweise mit n gekennzeichnet. Wenn die Anregungskraft nicht harmonisch ist, reicht die Angabe der Maschinendrehzahl nicht aus! Dann ko¨nnen auch dynamische Kra¨fte mit ho¨heren Anregungsfrequenzen als die Maschinendrehzahl zu Resonanzen fu¨hren (Fourier-Transformation). n wird i. Allg. angegeben in Umdrehungen pro Minute [Upm] oder [rpm] Rotation per Minute. Die Maschinendrehzahl kann in die Anregungskreisfrequenz W [1/s] bzw. Anregungsfrequenz N [Hz] umgerechnet werden. n [Hz] 60 n  2p W¼ 60   2pn rad beziehungsweise W¼ 60 s   360 n Grad Q¼ 60 s

N¼

ð4:15Þ

Anmerkung 2: Die Nenndrehzahl einer Maschine kann sich unter Last a¨ndern. Es gibt auch Maschinen, deren Drehzahl betriebsbedingt regelbar ist. Daher muss zur Resonanzvermeidung der Betriebsdrehzahlbereich beachtet werden. Es entstehen auch Anregungsfrequenzen durch das Getriebe. Bei Lastu¨bertragung durch ein Ritzel erho¨ht sich die Anregungsfrequenz um den Faktor der Ritzelanzahl. Gleiches gilt fu¨r Propellerflu¨gel. In der Baudynamik gibt es eine ganze Reihe von nichtharmonischen periodischen Einwirkungen. Die wichtige Gruppe der menscheninduzierten Schwingungen wird in Kapitel 10 behandelt. Lagerkra¨fte infolge schwingender Glocken geho¨ren ebenfalls in diese Kategorie. Ihre Nichtbeachtung fu¨hrt zu erheblichen Bauscha¨den an Glockentu¨rmen. Glocken sind physikalische Pendel. Bei großem Ausschlagwinkel (La¨utewinkel) du¨rfen die ho¨heren Anregungsfrequenzen nicht mehr vernachla¨ssigt werden. In DIN 4178 wird die horizontale Lagerkraft H [kN] einer Glocke angegeben [27]: HðtÞ ¼ G½b1 sin Wt þ b3 sin 3Wt þ b5 sin 5Wt W¼

pn 30

ð4:16Þ

mit: G bi n

Gewicht der Glocke bezogene Amplitude nach DIN 4178 Glockenschwingzahl je Minute

Anmerkung 3: Die Grundfrequenz eines Tones wird Grundton oder Ho¨rton genannt. Die ho¨heren Frequenzanteile eines Tones nennt man Oberto¨ne. Sie erzeugen die Klangfarbe eines Instrumentes. Der Ho¨rton einer Glocke (Nominal) ist virtuell, das heißt er ist im Spektrum nicht enthalten.

23

4.2 Zeitabha¨ngigkeit

Bei nichtlinearem Schwingungsverhalten werden auch To¨ne unterhalb des Grundtones angeregt (Untertonanregung). Effektivwert Bei unregelma¨ßigen Schwingungen (Erschu¨tterungen, Gera¨uschen) kann es vorteilhaft sein, statt des Gro¨ßtwertes (maximale Abweichung von der Ruhelage im Zeitbereich) den Effektivwert (quadratischer Mittelwert) anzugeben: vffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u ðT u u1 ð4:17Þ s2 ðtÞ dt s~ ¼ lim t T!1 T 0

s~ Effektivwert [rms] route mean square Um den Effektivwert beispielsweise fu¨r eine sinusfo¨rmige Schwingung zu berechnen, muss auf der Abszisse (Zeitachse) eine Maßstabsa¨nderung durchgefu¨hrt werden. w  t 2p ¼ t T 2p wt ¼ t T T¼ ^ 2p

ðT 

sðtÞ ¼ s^  sin w  t ¼ s^

2

sin

2p t T

2 dt

0

Als Lo¨sung des Intergrals ergibt sich:   1 2p 1 2p T t þ  t ¼ s^2 p s^2  sin 2  4 T 2 T 0 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi s^ 1 2 s^ p ¼ pffiffiffi s~ ¼ 2p 2

ð4:18Þ

Fu¨r die Anforderungen in der Baudynamik werden jedoch meistens nicht die Effektivwerte sondern die Gro¨ßtwerte im Zeitbereich beno¨tigt. Anmerkung 4: In der Akustik werden Terzspektren verwendet, die auch in der Baudynamik beim Erschu¨tterungsschutz angewandt werden. Alle spektralen Schwingungsanteile, die zwischen zwei Grenzfrequenzen fu und fo im Terzabstand liegen, werden herausgefiltert und zu einem spektralen Effektivwert zusammengefasst (Bild 4.7). Zwei Frequenzen mit Oktavabstand stehen im Frequenzverha¨ltnis fd =fa ¼ 2,0 zueinander. Eine Oktave wird in drei Terzen unterteilt (Teilung bei fb und fc ). Dies entspricht in der Musik der großen Terz bei der wohltemperierten Stimmung (Obertonreihe, Anmerkung in Abschnitt 7.4.2). Es gilt allgemein fu¨r den Quotienten aus der oberen fo und der unteren fu Grenzfrequenz einer Terz: ffiffiffi fo p 3 ¼ 2 ¼ 1,26 oder hier fu

ffiffiffi fb fc fd p 3 ¼ ¼ ¼ 2 ¼ 1,26 fa fb fc

24

4 Begriffe und Kenngro¨ßen

Bild 4.7 Frequenzen im Terzabstand und Bandmittenfrequenzen

Damit ergibt sich entsprechend Bild 4.7a: fb ¼ fa  1,26 fc ¼ fb  1,26 fd ¼ fc  1,26 ¼ fa  2,0 Die standardisierten Bandmittenfrequenzen (mittlere Frequenz zwischen zwei Grenzfrequenzen) fm in [Hz] fu¨r Terzfilter betragen: 25  31; 5  40  50  63  80  100  125 Die Bandmittenfrequenz kann fu¨r die Grenzfrequenzen im Terzabstand fu und fo berechnet werden durch: pffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffi fo fm ¼ fu fo ¼ fu 1,26 ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1,26 Beispiel 4.2 Die Grenzfrequenz zwischen fm1 ¼ 31,5 Hz und fm2 ¼ 39,69 Hz betra¨gt (Bild 4.7b) pffiffiffiffiffiffiffiffiffi fm1 ¼ 31,5 Hz ) f0,1 ¼ 31,5 1,26 ¼ 35,36 Hz 39,69 fm2 ¼ 31,5  1,26 ¼ 39,69 Hz  40 Hz ) fu,2 ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ 35,36 Hz 1,26

4.2.4

Nichtperiodische Einwirkungen

Nichtperiodische Einwirkungen ko¨nnen transiente (zeitlich voru¨bergehende) oder stochastische (zufallsbedingte) Einwirkungen sein. Erstere geho¨ren zum Stoff der angewandten Baudynamik, letztere werden hier nicht behandelt. Jede Schwingung infolge einer stoßartigen (impulsartigen) Einwirkung klingt aufgrund der Da¨mpfung des Systems ab. Ist die Amplitude nach der Stoßdauer ts hinreichend klein geworden bevor der na¨chste Stoß erfolgt, ist Einmaligkeit gegeben. Um auch hier die Fourier-Transformation anwenden zu ko¨nnen, wird der Stoß von t ¼ 0 bis t ¼ tS mit der fiktiven Periode T wiederholt (siehe Bild 4.6). Mit dem Grenzu¨bergang T ! 1 erha¨lt man schließlich das Spektrum einer Stoßfunktion. Bei Erschu¨tterungen wird aus dem Gesamtsignal ein Zeitfenster aus-

25

4.3 Masse

gewa¨hlt, welches im Bereich maximaler Amplituden liegen soll, und als stoßartige Einwirkung mit T ! 1 behandelt. Anmerkung 1: Mathematisch exakt ergeben nichtperiodische Funktionen „kontinuierliche Spektren“. Anstelle der „spektralen Amplitude“ im Linienspektrum tritt die „spektrale Dichte“. Der unendlich kurze Stoß (Dirac-Stoß) ergibt eine konstante spektrale Dichte u¨ber alle Frequenzen (weißes Rauschen). Mit einem Hammerschlag (Impulshammer) ko¨nnen zum Beispiel Pfa¨hle, Fundamente oder Decken auf diese Weise breitbandig angeregt werden. Je weicher der Hammerkopf ist, je la¨nger also die Stoßdauer ist, desto mehr verschiebt sich das Spektrum von den hohen zu den niedrigen Frequenzen (siehe Abschnitt 13.3.1). Im Antwortspektrum zeigen sich dann die Eigenfrequenzen des Systems durch deutliche dynamische berho¨hungen. Misst man am Hammer die eingeleitete Stoßkraft und den erzeugten Schwingweg, so la¨sst sich die Impedanz (siehe Abschnitt 8.2.3) des Systems errechnen. Anmerkung 2: Bei Elektromotoren ist der Lastfall „Kurzschluss“ (short circuit) zu beachten. Durch das plo¨tzliche Abbremsen rotierender Massen entsteht ein transientes Moment, das bei der Fundamentdimensionierung zu beachten ist. Weil mit der Fourier-Transformation sowohl nichtharmonische periodische als auch nichtperiodische Schwingungen auf eine Summe von harmonischen Schwingungen zuru¨ckgefu¨hrt werden ko¨nnen, sind die Gesetzma¨ßigkeiten der harmonischen Schwingungen fu¨r das Versta¨ndnis baudynamischer Pha¨nomene von grundlegender Bedeutung. In den folgenden Abschnitten werden deshalb nur noch harmonische Schwingungen behandelt.

4.3

Masse

4.3.1

Schwere Masse

Nach den berlegungen des griechischen Philosophen Aristoteles war die Fallgeschwindigkeit abha¨ngig von der Gewichtskraft, und demnach musste ein schwerer Stein schneller zu Boden fallen als ein leichter Stein. Erst der italienische Gelehrte Galilei (1564–1642) begru¨ndete das heute gu¨ltige Fallgesetz und fand heraus, dass die Fallgeschwindigkeit eines Gegenstandes unabha¨ngig von seinem Gewicht ist und proportional zur Fallzeit anwa¨chst. Fu¨r einen fallenden Ko¨rper im luftleeren Raum, der also keine Reibung erfa¨hrt, werden im Folgenden die wichtigsten physikalische Formeln angegeben. Die Erdbeschleunigung g an einem bestimmten Ort auf der Erdoberfla¨che ist konstant und unabha¨ngig von der Masse: g ¼ 9,81 m=s2 ¼ konst:

ð4:19Þ

Wird eine Masse vom quator zu den Polen oder von der Erde zum Mond transportiert, dann bleibt die Masse konstant, aber ihr Gewicht a¨ndert sich proportional zur gea¨nderten Beschleunigung g (siehe Abschnitt 4.3.3).

26

4 Begriffe und Kenngro¨ßen

Die Fallgeschwindigkeit betra¨gt dann u ¼ g t und die Fallho¨he h errechnet sich aus u ¼ dh=dt zu: ðt ðt h ¼ u dt ¼ g t dt 0

)

h¼g

t2 2

ð4:20Þ

0

Die Fallzeit t ist also unabha¨ngig von der Masse: sffiffiffiffiffiffiffiffiffi h t¼ 2 g Die Fallgeschwindigkeit u als Funktion der Fallho¨he h betra¨gt: pffiffiffiffiffiffiffiffi u ¼ gt ) u ¼ 2gh

ð4:21Þ

ð4:22Þ

Die Formel (4.22) wird beno¨tigt, um von herabfallenden Massen die kinetische Energie zu berechnen (siehe Kapitel 6). Versuch 4.1 Ein Mauerziegel und ein Holzstu¨ck mit gleicher Geometrie fallen bei Windstille aus großer Ho¨he herab. Diesen Versuch kann der Leser seinen Freunden als Quizfrage leicht vorfu¨hren. Beide Ko¨rper haben entgegen allgemeiner Vorstellung dieselbe Fallzeit, aus der sich mit (4.21) die Erdbeschleunigung g errechnen la¨sst. Die schwere Masse m eines Ko¨rpers ist definiert als: m¼

G ½kg, t g

ð4:23Þ

mit: G

Gewichtskraft eines Ko¨rpers [N, kN]

Definition: kg m N s2 ; 1 kg ¼ 1 s2 m tm kN s2 1 kN ¼ 1 2 ; 1 t ¼ 1 m s 1N¼1

Beispiel 4.3 Ein Ko¨rper wiegt 10 kN. Dann betra¨gt seine Masse:   G 10 kN s2 ¼ m¼ ¼ ¼ 1,02 b ½t m g 9,81

ð4:24Þ

27

4.3 Masse

4.3.2

Tra¨ge Masse

Sir Isaac Newton (1643–1727) entwickelte die Grundlagen der klassischen Mechanik mit drei wichtigen Prinzipien der Starrko¨rperbewegung, welche zusammenfassend dargestellt sind in der „Philosophiae Naturalis Principia Mathematica“, aus dem Jahr 1687. Sie umfassen das Prinzip der Tra¨gheit, der Proportionalita¨t von Kraft und Beschleunigung sowie das Prinzip der Gleichheit von Wirkung und Gegenwirkung. Das Tra¨gheitsprinzip lautet: „Jede Masse beharrt im Zustand der Ruhe oder der geradlinigen gleichfo¨rmigen Bewegung, solange keine a¨ußere Kraft auf sie wirkt“. Nach Newton ist die Tra¨gheitskraft also ein Produkt aus Masse und Beschleunigung: FT ¼ ma

ð4:25Þ

Kraft und Beschleunigung sind gleichgerichtete Vektoren. Bei einer geradlinigen Bewegung (Translation) wirkt die Tra¨gheitskraft entgegen der Bewegungsrichtung, wohingegen bei einer kreisfo¨rmigen Bewegung (Rotation) die Tra¨gheitskraft in radialer Richtung wirkt (Zentrifugalkraft). Die tra¨ge Masse m eines Ko¨rpers ist definiert als: m¼

FT a

ð4:26Þ

Versuch 4.2 Das Beharrungsvermo¨gen einer Masse auf einem Tisch beim Wegziehen eines Blattes Papier (Bild 4.8) ist aus dem horizontalen Kra¨ftegleichgewicht errechenbar: P! F ¼0

)

Reibungsgesetz: R ¼ Gm m FA

Reibungsbeiwert Aktionskraft

Bild 4.8 Beharrungsvermo¨gen

FA ¼ FT

)

FT ¼ ma ¼

G a g

ð4:27Þ

28

4 Begriffe und Kenngro¨ßen

(1) Die Masse wird beschleunigt, wenn die folgende Bedingung eingehalten wird: FT < R

)

G a < Gm g

)

a < mg

ð4:28Þ

(2) Die Masse bleibt in Ruhe und das Blatt rutscht unter ihr in Richtung der Aktionskraft, wenn: FT > R

)

a > gm

ð4:29Þ

Diese Bedingung ist unabha¨ngig von der Gro¨ße der Masse!

4.3.3

Allgemeines Gravitationsgesetz

Entwicklung von Newton bis Einstein (1879–1955): Aus den Kepplerschen Gesetzen u¨ber die Planetenbewegung leitete Newton das Gravitationsgesetz ab. Danach u¨ben alle Ko¨rper Gravitationskra¨fte aufeinander aus. Angenommen die Mittelpunkte zweier kugelfo¨rmiger Ko¨rper der Masse m1 und m2 haben voneinander den Abstand r, so ziehen sie sich mit der Massenanziehungskraft F an: F¼g

m1  m2 r2

ð4:30Þ

mit g ¼ 6,67  105

cm3 kg  s2

Gravitationskonstante

Die Gravitationskonstante kann folgendermaßen bestimmt werden: Eine kleine Masse m1 wird an einem langen Faden neben einer großen Masse m2 aufgeha¨ngt (Bild 4.9). Mit der Auslenkung des Fadenpendels wird g berechnet: F¼R m1  m2 g ¼ m1  g  tan j r2 g¼

g  r2  tan j m2

Bild 4.9 Fadenpendel zur Bestimmung der Gravitationskonstante

29

4.3 Masse

Die Gl. (4.30) zur Berechnung der Massenanziehungskraft dient auch zur Berechnung der Umlaufbahnen von geostationa¨ren Satelliten und der Gezeitenkra¨fte. Beispiel 4.4 Bekanntlich entstehen Ebbe und Flut im Wesentlichen durch die Anziehungskraft zwischen Mond und Erde. Demnach du¨rfte es wa¨hrend einer Erdumdrehung nur einmal Flut geben, das heißt immer an jener Stelle der Erde, u¨ber der der Mond steht. Tatsa¨chlich aber gibt es an der Nordseeku¨ste zweimal Flut wa¨hrend einer Erdumdrehung. Die Erkla¨rung ist in Bild 4.10 dargestellt. Ursache dafu¨r sind die sog. Gezeitenkra¨fte. Die Massenanziehungskraft zwischen Mond und Erde ist gleich der entgegengesetzt wirkenden Zentrifugalkraft. Wa¨ren diese Kra¨fte nicht gleich, wu¨rde sich der Abstand Mond-Erde a¨ndern. Das Zweimassensystem Erde-Mond dreht sich um den gemeinsamen Schwerpunkt S mit der Winkelgeschwindigkeit w. Das System ist nur stabil, wenn die Zentrifugalkraft Z gleich der Massenanziehungskraft F ist. Die Lage des gemeinsamen Schwerpunktes von Mond und Erde ergibt sich mit c ¼ mE =mM zu: r2 ¼

mM  rges rges ¼ mM þ mE 1 þ c

mit: rges ¼ r1 þ r2 mM Masse des Mondes mE Masse der Erde Die Zentrifugalkraft im Schwerpunkt von Mond und Erde betra¨gt dann: Z ¼ m E  r 2  w2

Bild 4.10 Gezeitenkra¨fte

)

Z ¼ mM 

c  rges 2 w 1þc

30

4 Begriffe und Kenngro¨ßen

Mit der Massenanziehungskraft Gl. (4.30) im Schwerpunkt von Mond und Erde folgt aus F ¼ Z: c  rges 2 mM  mE w ¼ mM g 2 rges 1þc w2 ¼ g

mM  ð1 þ cÞ 3 rges

Je kleiner der Abstand eines geostationa¨ren Satelliten zur Erde ist, desto gro¨ßer muss seine Umlaufgeschwindigkeit sein. Auf der mondnahen Seite ist F > Z, auf der mondabgewandten Seite ist F < Z, wodurch die beiden Flutberge entstehen. Anmerkung: In der klassischen Mechanik von Newton hat die Masse zwei Eigenschaften: Tra¨gheit und Schwere. Sie ist eine konstante Gro¨ße. Daher gilt Proportionalita¨t von Kraft und Beschleunigung. In der allgemeinen Relativita¨tstheorie von Einstein ist die Masse m eines Ko¨rpers von seiner Geschwindigkeit u abha¨ngig. Sie ist eine relative Gro¨ße.   u 2 0,5 ð4:31Þ m ¼ mo 1  c mit: c ¼ 300 000 km/s mo [kg]

Lichtgeschwindigkeit Ruhmasse

Fu¨r u ¼ 0 ist m ¼ mo und fu¨r u ¼ c wird m ! 1. Aus Gl. (4.31) ist zu erkennen, dass fu¨r u c – was fu¨r alle Vorga¨nge der Baudynamik gilt – m praktisch gleich m o ist. Nach dem quivalenzprinzip von Einstein aus dem Jahr 1905 gilt E ¼ mc2 . Demnach ist die Lichtgeschwindigkeit eine konstante Gro¨ße und es gilt Proportionalita¨t zwischen Energie und Masse. Die Umwandlung von Masse in Energie hat bei der Gewinnung von Atomstrom durch radioaktiven Zerfall der Atomkerne praktische Bedeutung erhalten. Fu¨r u ¼ 0 wird E ¼ mo c2 . Ist die Geschwindigkeit u > 0 wird E ¼ mc2  mo c2

ð4:32Þ

Wird Gl. (4.31) in Gl. (4.32) eingesetzt ergibt sich:   u 2 0,5 E ¼ Ekin ¼ mo 1  c2  m o c2 c ( )  u 2 0,5 2 Ekin ¼ mo c 1 1 c Der Ausdruck in der Klammer kann auch als binomische Reihe geschrieben werden:  

1  u  2 3  u 4 Ekin ¼ mo c2 1 þ  þ...  1 2 c 8 c Wenn u wesentlich kleiner als c ist, was fu¨r die Anwendungsfa¨lle der klassischen Mechanik gilt, ko¨nnen die ho¨heren Reihenglieder vernachla¨ssigt werden und es ergibt sich die bekannte Gleichung:  

1  u 2 1  1 ¼ mo u2 Ekin ¼ mo c2 1 þ 2 c 2

4.3 Masse

31

Einstein hebt den Unterschied zwischen tra¨ger und schwerer Masse auf. Tra¨gheit und Gravitation sind a¨quivalent. Wenn sich eine große Kiste ohne Fenster zur Außenorientierung mit einem Laboranten im freien Fall zur Erde hin bewegt, bleiben alle Gegensta¨nde im Raum dort, wo sie aus der Hand gelegt werden. Gibt der Laborant den Gegensta¨nden eine Anfangsgeschwindigkeit, so fliegen sie geradlinig bis sie eine Wand der Kiste erreicht haben. Eine Wurfparabel entsteht nicht. Es herrscht Schwerelosigkeit wie im Weltall, weil sich die Tra¨gheitskraft und die Gravitationskraft gegenseitig aufheben. Wird die Kiste im Weltall nach oben, also von der Erde weg, geradlinig mit g ¼ 9,81 m/s2 beschleunigt, so fallen alle Gegensta¨nde, die aus der Hand gelegt werden, nach unten, wie auf der Erde. Es entsteht auch eine Wurfparabel. Der Laborant in der Kiste kann nicht unterscheiden, ob das Herabfallen von Gegensta¨nden die Wirkung einer Tra¨gheitskraft im Weltall oder der Gravitationskraft auf der Erde ist. Dasselbe gilt fu¨r Rotationsbewegungen: Beim Steilwandfahren von Motorra¨dern bewirkt die horizontale Tra¨gheitskraft (Zentrifugalkraft), dass der Motorradfahrer wegen der auf der Erde wirkenden Gravitationskraft nahezu senkrecht und in der Schwerelosigkeit des Weltalls genau senkrecht zur Wand fa¨hrt. Fu¨r den Menschen ist immer dort „unten“, wo die Resultierende aus Gravitations- und Tra¨gheitskraft hinzeigt. Fu¨r den Steilwandfahrer im Weltall ist also die Wand „unten“, ebenso wie alle Bewohner der Erdkugel die Richtung zum Schwerpunkt der Erde als „unten“ bezeichnen. Fehlen Gravitations- und Tra¨gheitskra¨fte, gibt es kein „unten und oben“! Auf einen Ko¨rper an der Erdoberfla¨che wirken die Gravitationskraft und die Zentrifugalkraft infolge der Erdrotation. Die Resultierende dieser beiden Kra¨fte bezeichnen wir als sein Gewicht G ¼ mg. Da die Zentrifugalkraft am quator am gro¨ßten ist, muss auch die Erdbeschleunigung g am quator am gro¨ßten sein. Einsteins Gravitationsgesetz entha¨lt keine Kraft, die durch ra¨tselhafte Fernwirkung Massen anzieht. Jede Masse ist vielmehr von einem Gravitationsfeld umgeben (so wie ein Magnet von einem Magnetfeld umgeben ist). Aus Gl. (4.30) folgt die Feldsta¨rke des Gravitationsfeldes S: m2 F ¼ m1 2 g ¼ m1  S r Vernachla¨ssigt man die auf einen Ko¨rper wirkende Zentrifugalkraft, dann entspricht die Feldsta¨rke S der Erdbeschleunigung g. Einstein beschreibt das Verhalten von Objekten (Massen) in einem Gravitationsfeld als geometrische Gro¨ße. Durch Vera¨nderung der Geschwindigkeit oder Richtung (Tra¨gheitswirkung) vera¨ndert sich das Gravitationsfeld.

32

4 Begriffe und Kenngro¨ßen

4.4

Steifigkeit

4.4.1

Allgemeines

Eine elastische Verformung s erzeugt eine elastische Ru¨ckstellkraft FR ¼ f(s) (Bild 4.11). Im Falle linearer Elastizita¨t (Hookesches Material) ist: FR ¼ k  s

ð4:33Þ

mit: k Federkonstante, Steifigkeit s Federweg, elastische Verformung Die Theorie der Elastizita¨t beschreibt ein geschwindigkeitsunabha¨ngiges Materialverhalten ohne Hysterese (Dissipation). Die Grundgleichung zur Berechnung der translatorischen Steifigkeit einer Konstruktion infolge F ¼ 1 kN ist:   1 kN k¼ ð4:34Þ s m Der reziproke Wert der Steifigkeit wird Nachgiebigkeit genannt.

Bild 4.11 Federcharakteristiken

In Bild 4.11 sind folgende Federkennlinien abgebildet: 1 2 3 4

u¨berlineare Federcharakteristik (nichtlinear) lineare Federcharakteristik unterlineare Federcharakteristik (nichtlinear) Tangente am Arbeitspunkt

Entsprechend berechnet sich die rotatorische Steifigkeit (Drehfedersteifigkeit) einer Konstruktion in Folge M ¼ 1 kNm:   1 kNm kw ¼ ð4:35Þ w rad

4.4 Steifigkeit

33

In der Baudynamik wird wegen kleiner dynamischer Verformungen im Allgemeinen na¨herungsweise mit linearen Federcharakteristiken (2 in Bild 4.11) gerechnet, was bei Stahlfedern gut zutrifft. Bei nichtlinearen Materialien wird mit der Tangentenneigung am Arbeitspunkt infolge der statischen Belastung (4 in Bild 4.11) gerechnet. Bei großen dynamischen Verformungen oder starker Nichtlinearita¨t ist die na¨herungsweise Linearisierung nicht mehr mo¨glich. In diesen Fa¨llen ko¨nnen auch subharmonische Frequenzen angeregt werden (siehe Abschnitt 4.2.3). Beispiele fu¨r u¨berlineares Verhalten (1 in Bild 4.11) sind Elastomermatten bei großen Pressungen. Der Federkonstanten k in Bild 4.11 entspricht der dynamische Bettungsmodul k0 bei Elastomermatten (Gl. 4.42). Gema¨ß Bild 4.17 nimmt E – also auch k0 – fu¨r große Pressungen zu. Stahlbetonbiegetra¨ger zeigen beim Aufreißen der Zugzone unterlineares Verhalten (3 in Bild 4.11) (siehe Abschnitt 7.5.2). Die Steifigkeit ist abha¨ngig vom Werkstoff, seiner Gestalt und Lagerung. Die Steifigkeit k wird vom Hersteller angegeben, durch Versuche ermittelt oder berechnet, wenn die Materialkennwerte bekannt sind. Es sei darauf hingewiesen, dass die in der Baustatik u¨blichen Zahlenwerte des Elastizita¨tsmoduls fu¨r baudynamische Berechnungen oftmals zu ungenau sind. Die dynamische bzw. komplexe Steifigkeit (siehe Abschnitt 9.5.5c) der im Bauwesen u¨blichen Materialien ha¨ngt mehr oder weniger von der Gro¨ße der Dehnung und der Dehngeschwindigkeit ab. Ihre Abha¨ngigkeit von der Dehnung beruht auf der nichtlinearen Spannungs-Dehnungs-Beziehung, so dass die Gro¨ße der Einwirkungen von Bedeutung ist (Bild 4.11). Ihre Abha¨ngigkeit von der Dehngeschwindigkeit beruht auf dem viskoelastischen Materialverhalten, so dass die Geschwindigkeit der Einwirkungen (Frequenz) von Bedeutung ist (siehe Bild 9.1). Na¨here Angaben dazu sind in Abschnitt 9.5.5 und in [2] zu finden. Fu¨r die in der Baudynamik u¨blichen Einwirkungen (Verkehr, Sprengung, Rammen, Maschinen, Wind, Glocken, Menschen) kann mit vereinfachenden Annahmen gerechnet werden: Der Unterschied zwischen Edyn und Estat ist bei Beton, Stahl und Holz im Allgemeinen vernachla¨ssigbar. Fu¨r Mauerwerk sind Angaben in DIN 4178 (Glockentu¨rme) enthalten. Bei Elastomeren, Gummi, Kork und dem Boden ist der Elastizita¨tsmodul allerdings von der Gro¨ße der Dehnung und der Dehngeschwindigkeit (Frequenz) abha¨ngig. Fu¨r jede Feder gibt es aus Gru¨nden ihrer Festigkeitseigenschaften und Geometrie eine maximal zula¨ssige Verformung zul s beziehungsweise max FR (Bild 4.11). Anmerkung: Bei der Wahl des Federmaterials ist die erreichbare niedrigste Eigenfrequenz ausschlaggebend, um eine mo¨glichst gute Tiefabstimmung zu erreichen (siehe Abschnitt 8). Außerdem sind zu beachten: Ermu¨dungsfestigkeit, Kriechverhalten, Temperaturabha¨ngigkeit, Widerstand gegen chemischen Angriff und Nachjustierbarkeit.

4.4.2

Stahlfedern

Stahlfedern (Bild 4.12) werden nach ihrer Form unterschieden: – Spiralfedern (Bild 4.13) – Tellerfedern – Blattfedern

34

4 Begriffe und Kenngro¨ßen

Bild 4.12 Stahlfedern

Bild 4.13 Stahlfedern (zum Beispiel Gerb, Berlin)

Zu unterscheiden sind ihre vertikale Federkonstante kv und ihre horizontale Federkonstante kh, die vom Hersteller angegeben werden. Mit Stahlfedern lassen sich im Allgemeinen Eigenfrequenzen von f > 2–4 Hz erreichen. So genannte Konstantha¨nger und -stu¨tzen (z. B. Lisega, Zeven) ermo¨glichen die Aufnahme von Verformungen ohne Krafta¨nderung.

4.4.3

Stu¨tzen, Pfa¨hle

Fu¨r Schwingungen in Richtung der Stabachse (Bild 4.14) lautet das Hookesche Gesetz bei kleinen Deformationen: 9 s ¼ e E= sz s¼ E sz ; l e¼ l Fz s¼ A s  l Fz  l sz ¼ ¼ ð4:36Þ E EA

35

4.4 Steifigkeit

Damit berechnet sich die vertikale Federsteifigkeit unter Verwendung von Fz ¼ 1 kN: kz ¼

1 EA ¼ sz l

ð4:37Þ

Bei Pfa¨hlen ist am Fuß noch eine Bodenfeder und am Schaft Mantelreibung anzusetzen. Mit Pfa¨hlen lassen sich vertikale Eigenfrequenzen von f > 4–6 Hz erreichen. Bei so genannten Hu¨lsenpfa¨hlen kann die Mantelreibung deutlich reduziert werden [61].

Bild 4.14 Kragstu¨tze

Fu¨r Schwingungen quer zur Stabachse (Bild 4.14) gilt nach der Balkentheorie: sx ¼

Fx l 3 3 El

ð4:38Þ

Damit berechnet sich die horizontale Steifigkeit unter Verwendung von Fx ¼ 1 kN: kx ¼

1 3El ¼ 3 sx l

ð4:39Þ

Bei Pfa¨hlen ist die rechnerische Einspannla¨nge je nach Bodenart: lr  ð0,20  0,25Þ  l l Pfahlla¨nge im tragfa¨higen Boden Liegt oberhalb der tragfa¨higen Bodenschicht nur eine Weichschicht (nicht tragfa¨hig), so ist der Faktor 0,25 anzusetzen. Liegt oberhalb der Weichschicht noch eine Schicht aus tragfa¨higem Boden, zum Beispiel eine Auffu¨llung, so ist der Faktor 0,2 einzusetzen und fu¨r l die La¨nge des Pfahles in der Auffu¨llung. Fu¨r den Ausfu¨hrungsentwurf sollte die vertikale und horizontale Steifigkeit von Pfa¨hlen stets durch Messungen an Probepfa¨hlen ermittelt werden. Genauere Angaben zu dynamisch belasteten Pfahlgru¨ndungen sind in [6] enthalten.

4.4.4

Statisch bestimmter Balken

Unter der Voraussetzung, dass F ¼ 1 kN in Feldmitte angreift sowie die statische und die dynamische Biegelinie a¨hnlich sind (Bild 4.15), gilt nach der Balkentheorie: Fl 3 48EI 1 48EI k¼ ¼ 3 s l s¼

ð4:40Þ

36

4 Begriffe und Kenngro¨ßen

Bild 4.15 Durchbiegung eines Balkens unter Einzellast

Wird der Balken nicht in Feldmitte belastet, ist die Federkonstante an der Stelle der angreifenden Last zu berechnen! Bei statisch unbestimmten Stabwerken ist entsprechend vorzugehen. Bei Stahlbeton kann durch das Aufreißen der Zugzone das Fla¨chentra¨gheitsmoment deutlich abnehmen (III < II ) (siehe Abschnitt 7.5.2). Die statische Biegelinie (parabelfo¨rmig) entspricht in etwa der 1. Eigenform (sinusfo¨rmig). Deshalb kann mit dem angegeben Wert fu¨r k (Gl. 4.40) nur die Grundschwingung (kleinste Eigenfrequenz) ermittelt werden. Eine Normalkraft vera¨ndert die Biegeeigenfrequenz (siehe Abschnitt 7.4.4). bliche Hochbaudecken haben Eigenfrequenzen von f ¼ 2  20 Hz. Soll die Masse des Balkens bei der Eigenfrequenzberechnung beru¨cksichtigt werden, so ist nach Abschnitt 7.2.4 zu verfahren.

4.4.5

Elastische Matten

Elastomer, Polyurethan, Gummi, Kork, Gewebematten Gema¨ß Bild 4.16 gilt fu¨r kleine Deformationen das Hookesche Gesetz: 9 s ¼ eE = s s ; ) s¼d E e¼ d d s¼s E

ð4:41Þ

Fu¨r eine Spannung von s ¼ 1 kN/m2 la¨sst sich der dynamische Bettungsmodul bestimmen:   1 E kN ð4:42Þ k0 ¼ ¼ s d m3 Anmerkung: Der dynamische Bettungsmodul eines Fundamentes auf dem Boden ha¨ngt auch von der Grundfla¨che des Fundamentes ab (siehe Abschnitt 11.3). Er ist eine Systemgro¨ße. Die dynamische Federkonstante lautet:   kN k ¼ k0 A m

Bild 4.16 Elastische Matten

ð4:43Þ

4.4 Steifigkeit

37

Bild 4.17 Elastizita¨tsmodul von Elastomermatten (z. B. Getzner, Berlin oder BSW, Bad Berleburg)

Elastische Matten haben Federkennlinien, die ausgepra¨gt nichtlinear und wegen ihrer Viskosita¨t frequenzabha¨ngig sind (Bild 4.17). Ihre Federkonstante ist deshalb am Arbeitspunkt zu bestimmen. Fu¨r Schwingungsaufgaben ist in Gl. (4.42) der dynamische Elastizita¨tsmodul einzusetzen. Schwingmetalle sind Gummi-Metall-Verbindungen. Das einvulkanisierte Metall dient der Aufnahme der Befestigungselemente (Bild 4.18). Mit elastischen Matten lassen sich i. Allg. Eigenfrequenzen von f > 8–10 Hz erreichen. Sie haben eine hohe Materialda¨mpfung.

Bild 4.18 Nivellierkeil auf einem Fuß aus Schwingmetall (z. B. Stop-Choc, Renningen)

38

4 Begriffe und Kenngro¨ßen

4.4.6

Luftfedern

Komprimierte Luft in einer Gummimanschette ergibt eine sehr niedrige Federkonstante (siehe Bild 4.20). Das Prinzip der Luftfederung ist aus folgender Gleichung zu erkennen: k¼

dF d ðpu¨ AÞ ¼ ds ds

ð4:44Þ

dF ¼ d ðpu¨ AÞ mit: F pu¨ A

Federkraft [N] Betriebsdruck [bar] Querschnittsfla¨che der Gummimanschette [cm2]

Fu¨r adiabate Zustandsvera¨nderungen der Luft gilt: d ðpu¨ Þ A ¼ 1,4ðpu¨ þ pa Þ ds V

ð4:45Þ

mit: pa Umgebungsdruck der Luft [bar] V Volumen der Gummimanschette [cm3] Unter Beachtung von 1 bar ¼ 100 kN/m2 ¼ 10 N/cm2 folgt aus Gl. (4.44) mit Gl. (4.45): dpu¨ dA A þ pu¨ ds ds     A2 dA N þ pu¨ k ¼ 1,4ðpu¨ þ pa Þ 10 V ds cm k¼

A2 dA k ¼ 1,4  10  ðpu¨ þ pa Þ þ 10  pu¨ V ds F mg mit pu¨  pa k pu¨ ¼ ¼ A A

ð4:46Þ

Die Federkonstante ist also proportional dem Betriebsdruck und damit proportional der Last, die auf der Feder ruht. Die Eigenfrequenz eines Einmassenschwingers ist mit Gl. (4.46): rffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi k mg

w¼ m Am ð4:47Þ rffiffiffiffi g w

A Weil bei Luftfedern die Federsteifigkeit k proportional zu pu¨ ist und pu¨ proportional zu m ist, bleibt die Eigenfrequenz bei vera¨nderlicher Belastung nahezu konstant (Bild 4.19). Bei zunehmender Belastung erho¨ht sich nach Gl. (4.46) der Betriebsdruck, da stets a¨ußere Belastung und innerer Druck im Gleichgewicht sein mu¨ssen. Um eine konstante Ho¨he des Fundamentes bei Betrieb der Maschine einzuhalten (Niveauregulierung bei vera¨nder-

4.4 Steifigkeit

39

Bild 4.19 Vergleich Luftfeder zu Stahlfeder (Conti, Hannover)

Bild 4.20 Luftfeder (z. B. Conti, Hannover)

ten Lasten, Hubfunktion bei der Maschinenmontage) wird Luft in die Gummimanschette nachgepumpt, ohne dass sich der Betriebsdruck und damit die Federsteifigkeit vera¨ndert. Die Federkennlinie ist nichtlinear. Mit Luftfedern lassen sich im Allgemeinen Eigenfrequenzen von f > 1 Hz erreichen. Die Eigenda¨mpfung von Luftfedern ist sehr gering. Um die Da¨mpfung zu erho¨hen, stro¨mt beim Auf- und Abschwingen Luft durch ein zusa¨tzliches Ventil.

40

4.4.7

4 Begriffe und Kenngro¨ßen

Federkombinationen

Federn in Reihe geschaltet (Bild 4.21) F1 ¼ F2 ¼ 1 kN 1 1 s ¼ s1 þ s2 ¼ þ k1 k2 1 1 k¼ ¼ 1 1 s þ k1 k2 P 1 1 1 1 ¼ þ ¼ k k1 k2 ki

ð4:48Þ

Bild 4.21 Beispiele fu¨r in Reihe geschaltete Federn

Federn parallel geschaltet (Bild 4.22) s1 ¼ s2 ¼ s F1 ¼ sk1 ,

F2 ¼ s  k 2

F ¼ F1 þ F2 ¼ sðk1 þ k2 Þ 1 k1 þ k2 P 1 k ¼ ¼ k1 þ k2 ¼ ki s s¼

Bild 4.22 Beispiele fu¨r parallel geschaltete Federn

ð4:49Þ

41

4.4 Steifigkeit

Schra¨gfedern, Fachwerksta¨be, Pfahlblo¨cke Fu¨r die Wirkung einer Schra¨gfeder in lotrechter Richtung gilt (Bild 4.23): F ¼ F 2 cos b kv ¼

s¼

s2 cos b

F F2 cos2 b ¼ k2 cos2 b ¼ s2 s

ð4:50Þ

Bild 4.23 Schra¨gfedern vertikal belastet

Fu¨r mehrere Schra¨gfedern gilt dementsprechend: kv ¼

P

ki cos2 b ¼

P

ki sin2 a

ð4:51Þ

Fu¨r die Wirkung von Schra¨gfedern in horizontaler Richtung gilt (Bild 4.24): kh ¼

P

ki cos2 a

ð4:52Þ

Anmerkung: Die angegebenen Formeln gelten auch fu¨r Kombinationen von Da¨mpferelementen.

Bild 4.24 Schra¨gfedern horizontal belastet

42

4.4.8

4 Begriffe und Kenngro¨ßen

Vorgespannte Schrauben

Das Prinzip der Vorspannung kann anschaulich anhand eines Beispiels erla¨utert werden, bei dem eine Schraube und die Unterlegscheibe als parallel geschaltete Federn betrachtet werden. Die Schraube wird zuna¨chst mit der Kraft Zv vorgespannt (Bild 4.26). Die Federsteifigkeiten und Fla¨chen werden hier im folgenden Verha¨ltnis zueinander festgelegt: k1 ¼

EA1 l1

k2 ¼

A2 ¼ 10A1

EA2 l2

ð4:53Þ

k2 ¼ 10k1

Aus der Vorspannung erfa¨hrt die Schraube eine Verla¨ngerung um Dl1;v und die Unterlegscheibe eine Stauchung um Dl2;v . In die vorgespannte Unterlegscheibe wird anschließend u¨ber die beiden Flansche eines I-Profiles die a¨ußere Kraft Z eingepra¨gt, woraus eine Verla¨ngerung fu¨r Schraube und Unterlegscheibe von: Z ¼ Dl k

)

Dl ¼

Z k

)

Dl ¼

Z k1 þ k2

ð4:54Þ

resultiert. Daraus erha¨lt die Schraube lediglich eine geringe zusa¨tzliche Belastung von: DZ1 ¼ Dl k1

) )

Zk1 k1 þ k2 1 DZ1 ¼ Z 11 DZ1 ¼

)

DZ1 ¼

Zk1 k1 þ 10k1

ð4:55Þ

Die Unterlegscheibe muss hingegen mehr zusa¨tzliche Belastung aufnehmen: DZ2 ¼ Dl k2

Zk2 k1 þ k2

)

DZ2 ¼

)

10 DZ2 ¼ Z 11

)

DZ2 ¼

Bild 4.25 Federkennlinie der vorgespannten Schraubenverbindung

Z10k1 k1 þ 10k1

ð4:56Þ

43

4.5 Anwendungsbeispiele

Bild 4.26 Vorgespannte Schraubenverbindung

Die zusa¨tzliche Belastung von Schraube und Unterlegscheibe ergibt insgesamt DZ1 þ DZ2 ¼ Z. Solange Dl2;v Dl ist, bleiben die Druckspannungen in der Fuge I  I (Bild 4.26) trotz einer a¨ußeren Zugkraft Z erhalten und die Spannungsa¨nderungen in der Schraube DZ1 sind gering, was wegen der Ermu¨dungsfestigkeit bei dynamischen Wechsellasten von großer Bedeutung ist (Bild 4.25). Fu¨r Z ¼ Zgrenz ist Dl2;v ¼ Dl und Zgrenz Zv ¼ k2 k1 þ k2

)

Zgrenz ¼

k1 þ k2 Zv k2

ð4:57Þ

Erst wenn Dl2;v  Dl ist, wird die gesamte Zugkraft von der Schraube aufgenommen. Die bilineare Federkennlinie ist im Bild 4.25 dargestellt.

4.5

Anwendungsbeispiele

4.5.1

Pfahlbock aus zwei Pfa¨hlen mit gleicher Neigung

Wenn alle Pfa¨hle eines Pfahlbockes die gleiche Neigung zur Horizontalen haben, kann die horizontale Federsteifigkeit einfach u¨ber die Formel fu¨r Schra¨gfedern berechnet werden. P kh ¼ ðk1 þ k2 þ ::: þ kn Þ cos2 a ¼ ki cos2 a ¼ nk  cos2 a In Bild 4.27 ist ein Pfahlbock mit zwei Pfa¨hlen gleicher Neigung dargestellt. Darin bedeuten: l La¨nge des Einzelpfahls a Neigungswinkel des Einzelpfahls zur Horizontalen k Federsteifigkeit des Einzelpfahls in Pfahlla¨ngsrichtung n Anzahl der Pfa¨hle des Pfahlbockes

44

4 Begriffe und Kenngro¨ßen

Bild 4.27 Pfahlbock mit zwei gleichgeneigten Pfa¨hlen

Die Formel fu¨r Schra¨gfedern darf nur bei gleichgeneigten Pfa¨hlen angewendet werden, da sich nur in diesem Fall die resultierenden vertikalen Komponenten der angreifenden Horizontallast aufheben (Die Zugkraft im Pfahl 1 entspricht der Druckkraft im Pfahl 2). Infolge der Horizontalkraft kommt es zu einer reinen Horizontalverschiebung am Pfahlkopf. Bei unterschiedlich geneigten Pfa¨hlen oder einem Lotpfahl und einem Schra¨gpfahl heben sich die Vertikalkomponenten nicht auf. Daher kommt es bei diesen Systemen auch zu einer vertikalen Verschiebung am Pfahlkopf, obwohl lediglich eine Horizontalkraft angreift. Als Pfa¨hle (Bild 4.27) werden zwei Verpresspfa¨hle (Micro-Pfa¨hle) mit einem Stahlquerschnitt von 1 63,5 mm aus Stahl (S 235 JR) mit einer La¨nge von l ¼ 10 m gewa¨hlt. Die Neigung des Einzelpfahls zur Horizontalen betra¨gt a ¼ 65 . A¼

p 2 d 4

)

A¼

p 6,352 4

E ¼ 21 000

)

A ¼ 31,7 cm2

kN cm2

Damit la¨sst sich die Federsteifigkeit in Pfahlla¨ngsrichtung: k¼

EA l

)

k¼

21 000  31,7 10,0

)

k ¼ 66 570

kN m

und die horizontale Federsteifigkeit des Pfahlbockes ermitteln: kh ¼ 2  66 570  cos2 65

4.5.2

)

kh ¼ 23 780

kN m

Pfahlbock aus einem geneigten und einem lotrechten Pfahl

Bei Pfahlbo¨cken mit unterschiedlich geneigten Pfa¨hlen, die durch eine Horizontalkraft belastet werden, treten neben der horizontalen Verschiebung auch Vertikalverschiebungen auf. Daher ist die in Abschnitt 4.5.1 gewa¨hlte Formel hier nicht anwendbar. In diesem Fall kann die Berechnung der horizontalen Federsteifigkeit u¨ber die Ermittlung der horizontalen Verschiebung infolge einer horizontalen Ersatzlast, z. B. mit dem WilliotPlan, erfolgen.

45

4.5 Anwendungsbeispiele

Bild 4.28 Willot-Plan

In Bild 4.28 ist ein Pfahlbock mit einem Lotpfahl und einem Schra¨gpfahl und den wirkenden Kra¨ften nach dem Willot-Plan dargestellt. Darin bedeuten: H Z D b DsZ DsD wh

Ersatzlast Zugkraft im Lotpfahl Druckkraft im Schra¨gpfahl Winkel zwischen Lotpfahl und Schra¨gpfahl Verla¨ngerung des Lotpfahles infolge der Zugkraft Verku¨rzung des Schra¨gpfahles infolge der Druckkraft Horizontalverschiebung des Pfahlbockes infolge der Ersatzlast H

Die Pfahlkra¨fte und die daraus resultierenden Verformungen berechnen sich wie folgt: Z¼

H tan b

D¼

H sin b

Aus s ¼ eE folgt: DsZ ¼

l1 Z EA1

DsD ¼

l2 D EA2

Die resultierende Horizontalverschiebung ergibt sich zu: wh ¼

DsD DsZ þ sin b tan b

Somit betra¨gt die horizontale Federsteifigkeit des Pfahlbockes: kh ¼

H wh

Als Pfa¨hle werden zwei Verpresspfa¨hle mit einem Stahlquerschnitt von 163,5 mm aus Stahl (S 235 JR) mit einer La¨nge von l1 ¼ 10 m und l2 ¼ 11 m gewa¨hlt. Die Neigung des Schra¨gpfahls zur Horizontalen betra¨gt a ¼ 65 .

46

4 Begriffe und Kenngro¨ßen

Pfahlquerschnitt A1 ¼ A2 ¼ 31,7 cm

E ¼ 21 000

kN cm2

Die wirkenden Kra¨fte und La¨ngena¨nderungen folgen aus: 100,0 100,0 ¼ 214,5 kN D¼ ¼ 236,6 kN tan 25 sin 25 10,0  214,5 ¼ 3,22 mm DsZ ¼ 21 000  31,7

Z¼

DsD ¼

11,0  236,6 ¼ 3,91 mm 21 000  31,7

Die resultierende Horizontalverschiebung und die horizontale Federsteifigkeit des Pfahlbockes berechnet sich zu: wh ¼

3,91 3,22 þ ¼ 16,16 mm sin 25 tan 25

kh ¼

100 kN ¼ 6188 16,16  103 m

Die Federsteifigkeit ist deutlich weicher als nach Abschnitt 4.5.1.

5

Bewegungen starrer Ko¨rper

5.1

Allgemeines

Viele Schwingungsprobleme in der Baudynamik ko¨nnen mit dem Modell elastisch gelagerter starrer Massen behandelt werden. Auch bei den vielfa¨ltigen Stoßvorga¨ngen werden die Bewegungsgleichungen unter der Annahme starrer Massen aufgestellt (siehe Kapitel 6). Die Grundlagen dazu werden in diesem Abschnitt behandelt. Als weiterfu¨hrende Literatur kann jedes Lehrbuch der Technischen Mechanik herangezogen werden. Seit Newton werden Kra¨fte als Ursache von Bewegungsa¨nderungen angesehen. Die allgemeine Bewegung eines starren Ko¨rpers wird durch 3 Translationsbewegungen und 3 Rotationsbewegungen beschrieben. Die Translation ist durch die Bewegung des Schwerpunktes, die Rotation durch die Drehung um eine Achse durch den Schwerpunkt oder durch einen festen Bezugspunkt A gegeben.

5.2

Reine Translation

5.2.1

Schwerpunktsatz

„Der Schwerpunkt eines Ko¨rpers erfa¨hrt eine Beschleunigung, als ob sa¨mtliche a¨ußeren Kra¨fte im Schwerpunkt (center of gravity) angreifen wu¨rden“ (Bild 5.1).

Bild 5.1 Zum Schwerpunktsatz

Aus dem Schnittprinzip folgt: Nach dem Newtonschen Grundgesetz ist die Kraft F das Produkt aus der Masse m und der Beschleunigung a. Kraft ¼ Masse  Beschleunigung

48

5 Bewegungen starrer Ko¨rper

Mit der Kraft F ðaÞ als Summe aller a¨ußeren Kra¨fte (ra¨umlich verteilte Volumenkra¨fte zum Beispiel Gravitation, magnetische Kra¨fte sowie Oberfla¨chenkra¨fte) lassen sich folgende Gleichungen aufstellen: dF ðaÞ ¼ a dm

)

dF ðaÞ ¼

Ð

d2 d r dm ¼ u dm dt 2 dt

ð5:1Þ

Mit U ¼ rs m ¼ r dm wird F ðaÞ ¼

d2 dt 2

ð r dm

)

F ðaÞ ¼

d2 rs m dt 2

ð5:2Þ

und mit as ¼

d2 rs dt 2

)

F ðaÞ ¼ as m

Das Produkt aus dem Schwerpunktabstand rs und der Masse m wird als statische Unwucht bezeichnet (siehe Abschnitt 5.5).

5.2.2

Impulssatz

„Die Summe aller am Ko¨rper angreifenden a¨ußeren Kra¨fte F ðaÞ ist gleich der zeitlichen nderung des Impulses“ (Bild 5.2). Der Impuls I ist das Produkt aus der Masse m und der Geschwindigkeit u. Impuls ¼ Masse  Geschwindigkeit d d r dm ) I ¼ dt dt d d I¼ rs m, mit us ¼ rs wird dt dt dI ¼ u dm

I ¼ us m

Bild 5.2 Zum Impulssatz

)

dI ¼

ð r dm ð5:3Þ

49

5.3 Reine Rotation

ð ð ð ð d2 d d r_ dm und Gl. (5.3) I ¼ r dm ¼ r_ dm werden Mit Gl. (5.2) F ðaÞ ¼ 2 r dm ¼ dt dt dt d F ðaÞ ¼ I und der Kraftstoß (Stoßimpuls) dt Ðt2 Ðt2 ^ F ¼ F ðaÞ dt ¼ dI ¼ Iðt2 Þ  Iðt0 Þ ð5:4Þ t0

t0

Die schraffierte Fla¨che in Bild 5.2 wird als „Kraftstoß“ (Stoßimpuls) gem. Gl. (5.4) bezeichnet.

5.2.3

Impulserhaltungssatz

„Wenn auf einen idealelastischen Ko¨rper oder ein System von idealelastischen Ko¨rpern nur innere Kra¨fte wirken (abgeschlossenes System F ðaÞ ¼ 0), bleibt der Gesamtimpuls I konstant.“ Mit dieser Aussage ergibt sich folgende mathematische Formulierung: F ðaÞ ¼

d I¼0 dt

)

I¼

P

us,i mi ¼ konst :

ð5:5Þ

Fu¨r i ¼ 1 ergibt Gl. (5.5) I ¼ us m. Wird angenommen, dass die Masse m ¼ konstant ist, dann folgt us ¼ konstant. Die tra¨ge Masse m bewegt sich gleichfo¨rmig und geradlinig, wenn keine a¨ußere Kraft auf sie wirkt. Der statische Fall liegt vor, wenn die Geschwindigkeit us ¼ 0 wird. Im freien Fall haben alle Ko¨rper die gleiche Geschwindigkeit us . Zwischen den Ko¨rpern wirken demnach keine Kra¨fte (z. B. paarweise Fallschirmspringen, Schwerelosigkeit bei der Raumfahrt). Ein Ko¨rper im freien Fall ist gewichtslos, da die Tra¨gheitskraft der Gravitationskraft entgegenwirkt.

5.3

Reine Rotation

5.3.1

Drallsatz ðaÞ

„Die Summe aller Momente MA der am Ko¨rper angreifenden a¨ußeren Kra¨fte F ðaÞ ist gleich der zeitlichen nderung des Dralls“ (Bild 5.3). ðaÞ

Mit MA la¨sst sich die Summe aller a¨ußeren Momente um eine raumfeste Achse durch A ðaÞ zusammenfassen. Das Moment MA ergibt sich aus dem Vektorprodukt der Kraft F ðaÞ mit dem Hebelarm r. Moment ¼ Kraft Hebelarm ðaÞ

dMA ¼ r dF ðaÞ

)

ðaÞ

dMA ¼ r

d2 r dm dt 2

ðaÞ

dMA ¼ r r€ dm Ð Ð ðaÞ MA ¼ r r€ dm ¼ ðr r€Þ dm ðaÞ

MA ¼

d Ð ðr r_Þ dm dt

ðDistributivgesetzÞ

ð5:6Þ

50

5 Bewegungen starrer Ko¨rper

Bild 5.3 Zum Drallsatz

Der Drall oder Drehimpuls D ist das Vektorprodukt des Impulses I mit dem Hebelarm r. Drall ¼ Impuls Hebelarm Mit Gl. (5.3) ergibt sich: dI ¼

d r dm dt

)

dI ¼ r_ dm

ð5:7Þ

Bezogen auf eine raumfeste Achse durch A kann Gl. (5.7) geschrieben werden als: Ð ð5:8Þ dDA ¼ r dI ) dDA ¼ ðr r_Þ dm ) DA ¼ ðr r_Þ dm Mit den Gl. (5.6) und (5.8) wird: ðaÞ

MA ¼

d DA dt

)

Ðt2 t0

ðaÞ

MA dt ¼

Ðt2

dDA ¼ DA ðt2 Þ  DA ðt0 Þ

ð5:9Þ

t0

Wird der Drall auf eine Achse durch den beliebig bewegten Schwerpunkt S bezogen, so kann Gl. (5.8) mit r ¼ ra geschrieben werden als: Ð DS ¼ ðra r_a Þ dm ð5:10Þ In die Gl. (5.6) wird jetzt fu¨r r der Schwerpunktabstand ra eingesetzt. Mit Gl. (5.10) folgt dann: ð d d ðaÞ MS ¼ ðra r_a Þ dm ¼ DS dt dt ð5:11Þ Ðt2 Ðt2 ðaÞ MS dt ¼ dDS ¼ DS ðt2 Þ  DS ðt0 Þ t0

t0

Auf diesen Zusammenhang wird insbesondere in Abschnitt 5.4, Gl. (5.16) eingegangen. Anmerkung: Eine an der Masse m angreifende Kraft F erzeugt ein Moment M um eine Achse durch den Bezugspunkt A (Bild 5.4). M ¼r F

ð5:12Þ

51

5.4 Massentra¨gheitsmoment

Bild 5.4 Vektorielle Multiplikation (Kreuzprodukt)

Der Vektor M steht senkrecht auf der durch r und F aufgespannten Fla¨che. Sein Betrag ist gleich dem Fla¨cheninhalt jMj ¼ rF sin a. Fu¨r einen Winkel a ¼ 90 wird aus dem Vektorprodukt die bekannte Beziehung M ¼ rF.

5.3.2

Drallerhaltungssatz

„Im abgeschlossenen System M ðaÞ ¼ 0 bleibt der Drall konstant.“ Folglich ergibt sich aus Gl. (5.9): ðaÞ

MA ¼

5.4

d DA ¼ 0 dt

)

DA ¼ konstant

ð5:13Þ

Massentra¨gheitsmoment

An die Stelle der Masse m bei translatorischen Bewegungen tritt das Massentra¨gheitsmoment Q bei rotatorischen Bewegungen. Es beschreibt die Verteilung der Masse in Bezug auf die Drehachse. Die Tangentialgeschwindigkeit (Umlaufgeschwindigkeit) bei Rotationsbewegungen (siehe Bild 5.11) ist folgendermaßen definiert: u ¼ rj_

)

mit

j_ ¼ W

wird

u ¼ rW ¼ r_

ð5:14Þ

Da die Tangentialgeschwindigkeit rechtwinklig zum Radius ða ¼ 90 Þ verla¨uft, gilt: r r_ ¼ rr_ sin a ¼ r2 j_

ð5:15Þ

Gl. (5.15) in Gl. (5.6) eingesetzt ergibt mit j_ ¼ konstant (gleichfo¨rmige Kreisbewegung): ð d ðaÞ MA ¼ ðr r_Þ dm dt ð5:16Þ ð ð d ðaÞ ðaÞ 2 2 € r dm MA ¼ j_ r dm ) MA ¼ j dt

52

5 Bewegungen starrer Ko¨rper

Ð Dem aus der Baustatik bekannten Fla¨chentra¨gheitsmoment IA ¼ r2 dF (Moment of Inertia) entspricht Ð in der Baudynamik das Massentra¨gheitsmoment (Mass Moment of Inertia). QA ¼ r2 dm heißt Massentra¨gheitsmoment und hat die Einheit [t m2] oder [kN m s2]. Das Massentra¨gheitsmoment in Gl. (5.16) eingesetzt liefert: ðaÞ

€ MA ¼ Q A j

ð5:17Þ

Gl. (5.17) in Gl. (5.9) eingesetzt ergibt: €¼ QA j

d DA dt

)

Ðt2

€ dt ¼ QA j

t0

Ðt2

dDA )

t0

QA ðj_ 2  j_ 0 Þ ¼ DA,2  DA,0

ð5:18Þ

Bei j_ 0 ¼ DA,0 ¼ 0 (Anfangszustand in Ruhe) wird QA j_ ¼ DA (Der Index 2 kann jetzt entfallen). In Gl. (5.18) ist der Drall bezogen auf eine raumfeste Achse durch A. Der Drall oder Drehimpuls DA ist folglich das Produkt aus Massentra¨gheitsmoment QA und der Winkelgeschwindigkeit j_ . ¨ Drall ¼ Massentragheitsmoment  Winkelgeschwindigkeit Wegen des Drallerhaltungssatzes DA ¼ QA j_ ¼ konst (Gl. 5.13) bewirkt eine nderung von QA eine nderung von j_ ¼ W. Als praktisches Beispiel fu¨r den Drallerhaltungssatz kann der Turmspringer beim Schraubensprung, die Eisla¨uferin bei der Pirouette oder eine auf die Pfoten fallende Katze angefu¨hrt werden. Durch Vera¨ndern der Massenverteilung (Arme ausstrecken, Arme anlegen) kann die Drehgeschwindigkeit gesteuert werden, ohne dass a¨ußere Kra¨fte einwirken. Nach dem Satz von Steiner fu¨r die Verschiebung einer Bezugsachse durch den Schwerpunkt in eine parallele Bezugsachse im Abstand rS gilt: QA ¼ QS þ mrS2

ð5:19Þ

Fu¨r ha¨ufig vorkommende geometrische Ko¨rper wird nachstehend das Massentra¨gheitsmoment aufgefu¨hrt: a) Parallelepiped (Bild 5.5): QZ,S ¼

Bild 5.5 Parallelepiped

m 2 ða þ b2 Þ 12

5.4 Massentra¨gheitsmoment

b) Kugel: QS ¼

2 m  r2 5

Bild 5.6 Kugel

c) Vollzylinder: QZ,S ¼

m  a2 2

Bild 5.7 Vollzylinder

d) Du¨nner Stab: Q y, S ¼

m  l2 , wenn die y-Achse senkrecht zur Papierebene durch S verla¨uft 12

Q y, A ¼

m  l2 wenn die y-Achse senkrecht zur Papierebene durch A verla¨uft 3

Bild 5.8 Du¨nner Stab

53

54

5 Bewegungen starrer Ko¨rper

e) Fadenpendel: Qy,A ¼ m  l 2 , wenn die y-Achse senkrecht zur Papierebene durch A verla¨uft

Bild 5.9 Fadenpendel

Anmerkung: Fu¨r eine Punktmasse ist QS ¼ 0. Es bleibt nur der Steiner-Anteil u¨brig. Das Massentra¨gheitsmoment von Maschinen ist oft unbekannt. Dann hilft es, na¨herungsweise die Masse der Maschine innerhalb seiner Umrisse gleichma¨ßig zu verteilen, z. B. in einer Kugel, einen Vollzylinder, einem Parallelepiped oder auf ihren Schwerpunkt konzentriert anzusetzen (Punktmasse) und nur den Steiner-Anteil zu verwenden.

5.5

Wuchtgu¨te von Maschinen

Rotierende starre Massen in Maschinen [VDI-Ri. 2060 auch ISO 1940] (Tabelle 5.1) sollen so ausgewuchtet sein, dass keine Exzentrizita¨t in Bezug auf die Drehachse auftritt (Bild 5.10a). In diesem Idealfall treten keine dynamischen Kra¨fte (Fliehkra¨fte) auf. Im Laufe des Betriebes entstehen jedoch unerwu¨nschte Unwuchten, die erst dann vom Maschinenhersteller beseitigt werden, wenn ein Grenzwert erreicht ist. Fu¨r diesen Grenzwert, die Wuchtgu¨te Q ¼ eW, mu¨ssen die dynamischen Kra¨fte bei der Auslegung des Fundaments beru¨cksichtigt werden (Bild 5.10b). Na¨heres zu den Sto¨rfallkra¨ften ist in DIN 4024 zu finden.

Bild 5.10 Wuchtgu¨te

5.5 Wuchtgu¨te von Maschinen

55

Tabelle 5.1 Auswucht Gu¨testufen und Gruppen starrer Wuchtko¨rper (aus VDI 2060, dort Tabelle 1). Fu¨r starre Wuchtko¨rper mit zwei Ausgleichsebenen gilt im Allgemeinen je Ebene die Ha¨lfte des betreffenden Richtwertes. Hinweis: Passungsbedingte Anteile sind in den Richtwerten gegebenenfalls mit enthalten. Gu¨testufen (keine)

mm/swa)

Wuchtko¨rper oder Maschinen

(> 1600)

Beispiele

Q 1600

1600

Kurbeltriebeb) starr aufgestellter, langsam laufender Schiffsdieselmotoren mit ungerader Zylinderzahl

Q 630

630

Kurbelgetriebe starr aufgestellter Zweitaktgroßmotoren

Q 250

250

Kurbelgetriebe starr aufgestellter Viertakt-Motoren Kurbelgetriebe elastisch aufgestellter Schiffsdieselmotoren

Q 100

100

Kurbelgetriebe starr aufgestellter, schnell laufender 4-ZylinderDieselmotoren

Q 40

40

Kurbelgetriebe starr aufgestellter, schnell laufender Dieselmotoren mit sechs und mehr Zylindern; Komplette PKW-, LKW-, Lok-Motorenc)

Q 16

16

Autora¨der, Felgen, Radsa¨tze, Gelenkwellen; Kurbelgetriebe elastisch aufgestellter, schnell laufender Viertaktmotoren mit sechs und mehr Zylindern; Kurbelgetriebe von PKW-, LKW-, Lok-Motoren

Q 6,3

6,3

Gelenkwellen mit besonderen Anforderungen; Teile von Zerkleinerungs- und Landwirtschaftsmaschinen Kurbeltrieb-Einzelteile von PKW-, LKW-, Lok-Motoren; Kurbelgetriebe von sechs und mehr Zylindermotoren mit besonderen Anforderungen

Q 2,5

2,5

Teile der Verfahrenstechnik; Zentrifugentrommeln; Ventilatoren, Schwungra¨der, Kreiselpumpen; Maschinenbau- und Werkzeugmaschinen-Antriebe; Mittlere und gro¨ßere Elektromotoren-Anker mit besonderen Anforderungen; Kleinmotoren, Anker; Pumpen mit Turbinenantrieb

Q1 Feinwuchtung

1

Magnetophon- und Phono-Antriebe; Schleifmaschinen-Antriebe, Kleinmotoren-Anker mit besonderen Anforderungen

Q 0,4 Feinstwuchtung

0,4

Feinschleifmaschinen-Anker, -Wellen und -Scheiben, Kreisel

a) b)

c)

w ¼ n  2p=60  n=10 mit w in 1/s und n in U/min. Unter Kurbeltrieb sei die Baugruppe: Kurbelwelle, Schwungrad, Kupplung, Riemenscheibe, Schwingungsda¨mpfer, rotierender Pleuelanteil, usw. verstanden (siehe Abschnitt 3.5). Bei kompletten Motoren ist unter der Wuchtko¨rpermasse die Summe der Massen der zum Kurbelantrieb geho¨renden Teile zu verstehen.

56

5 Bewegungen starrer Ko¨rper

Die statische Unwucht (Gl. 5.2) einer rotierenden Masse, bei der der Bezugspunkt A auf der Drehachse liegt, ist definiert als: Ð U ¼ r dm ) U ¼ rs m Die Gesamtmasse des Ko¨rpers wird im Schwerpunkt konzentriert angenommen. Oftmals wird fu¨r den Schwerpunktabstand rS die Exzentrizita¨t e verwendet:  ð5:20Þ U ¼ e  m kNs2 ¼ b ½tm Bei ausgewuchteten Maschinen ist e ¼ 0 (Bild 5.10a). Handelt es sich um eine nicht ausgewuchtete Maschine, so ist e 6¼ 0 und eine Fliehkraft F ¼ m  e  W2 ¼ m0  r  W2 tritt auf, die auf das Maschinenfundament wirkt (Bild 5.10c). In Anlehnung an Bild 5.11 betra¨gt die Tangentialgeschwindigkeit u2 ¼ u1 þ Du. Fu¨r kleine Winkel dj steht du und ebenfalls a ¼ du=dt senkrecht auf u1 und u2 . Die Zentrifugalbeschleunigung a infolge einer gleichfo¨rmigen Kreisbewegung ist demnach radial auf den Kreismittelpunkt gerichtet. Mit Gl. (5.14) u u ¼ rW ) W ¼ ð5:21Þ r wird a¼

d d u¼ rW dt dt

)

a ¼ uW

ð5:22Þ

Mit Gl. (5.21) ergibt sich schließlich die Zentrifugalbeschleunigung zu: a¼

u2 r

oder

a ¼ rW2

ð5:23Þ

Die Wuchtko¨rpermasse (rotierende Masse) m wird in [kN s2 /mm] und die auf die Masse bezogene Unwucht oder Exzentrizita¨t e in [mm] angegeben. Die Fliehkraft la¨sst sich nach folgender Vorschrift errechnen: F ¼ ma F ¼ meW2 ðBild 5:10bÞ

ð5:24Þ

F ¼ mo rW ðBild 5:10cÞ

ð5:25Þ

2

Bild 5.11 Fliehkraft bei Unwucht einer Maschine

57

5.6 Anwendungsbeispiele

Die Exzentrizita¨t e folgt aus me ¼ mo r

)

e¼

mo r m

ð5:26Þ

(siehe dazu auch Abschnitt 8.2.4). Die erforderliche Zusatzmasse mo mit dem Radius r zum Auswuchten der Maschine ergibt sich zu: me mo ¼ ð5:27Þ r Schließlich kann mit Gl. (5.21) die Umlaufgeschwindigkeit des Schwerpunktes us, also die Wuchtgu¨te Q bestimmt werden: Wuchtgu¨te: Q ¼ eW

)

eW ¼ uS

ð5:28Þ

Beispiel 5.1 Gegeben ist die Maschinendrehzahl n ¼ 35 100 Upm, die zula¨ssige Wuchtgu¨te zul Q = 2,5 mm/s = 2,5  103 m/s der Turbine oder des Elektromotors (siehe Tabelle 5.1) und die rotierende Masse m = 4,0 kg. Die Anregungsfrequenz und die zula¨ssige Exzentrizita¨t berechnen sich aus: 35 100 1 2p ¼ 3674 60 s Q 2,5 zul e ¼ ¼ ¼ 6,8  104 mm W 3674 zul e ¼ 0,68 mm W¼

Die Fliehkraft fu¨r die Auslegung des Fundamentes hat schließlich die Gro¨ße: F ¼ma F ¼ m  e  W2 ¼ m  Q  W F ¼ 4,0 kg  2,5  103

m 1 kg m  3674 ¼ 36,74 2  37 N s s s

5.6

Anwendungsbeispiele

5.6.1

Kra¨ngungswinkel bei seitlicher Schiffsanfahrung

Bei seitlicher Schiffsanfahrung gegen eine Bo¨schung dreht sich das Schiff um seine La¨ngsm achse (Kra¨ngung). Fu¨r die Schwerpunktsgeschwindigkeit des Schiffes vs,0 ¼ 1,0 ist der s ^ zu berechnen. maximale Kra¨ngungswinkel j Der Querschnitt des Schiffes wird als Rechteck idealisiert (Bild 5.12).

58

5 Bewegungen starrer Ko¨rper

Bild 5.12 Zur Berechnung des Kra¨ngungswinkels, darin sind: G Schiffsgewicht R Auftriebskraft P(t) Stoßkraft in A L ¼ 150,0 m: Schiffsla¨nge Abstand von S zur Wasserlinie ys ¼ 1,0 m S Gewichtsschwerpunkt B Auftriebsschwerpunkt A Grundberu¨hrungspunkt SA ¼ 7,0 m

1. Schritt: Berechnung der Winkelgeschwindigkeit am Stoßende: j_ E  Impulssatz (gema¨ß Abschnitt 5.2.2) ÐtE

ÐtE F ðaÞ dt ¼  PðtÞ dt ¼ IE  I0

t0

t0

IE ¼ mvS,E ¼ m  7,0  j_ E I0 ¼ mvS,0 ÐtE PðtÞ dt ¼ mðvS,0  7,0  j_ E Þ t0

 Drallsatz (gema¨ß Abschnitt 5.3.1) ÐtE t0

ðaÞ

MS ðtÞ dt ¼ DS,E  DS,0

 Massentra¨gheitsmoment (gema¨ß Abschnitt 5.4) QS ðj_ E  j_ 0 Þ ¼ DS,E  DS,0 Am Stoßanfang ist j_ 0 ¼ DS,0 ¼ 0 QS j_ E ¼ DS,E

59

5.6 Anwendungsbeispiele

ðaÞ

Mit MS ðtÞ ¼ 7,0  PðtÞ wird 7,0 

ÐtE

PðtÞ dt ¼ 7,0  mðvS,0  7,0  j_ E Þ ¼ QS j_ E

)

t0

7,0  m  vS,0 QS þ 7,02  m

j_ E ¼ Schiffsmasse:

m ¼ V  rW ¼ 18,0  6,0  150,0  1,0 ¼ 16 200 t V qW

verdra¨ngte Wassermenge [m3] t Dichte des Wassers [ 3 ] m

Massentra¨gheitsmoment bezogen auf S: Qs ¼

m 2 16 200 ða þ b2 Þ ¼ ð12,02 þ 18,02 Þ ¼ 632 000,0 tm2 12 12

j_ E ¼

7,0  16 200  1 rad ¼ 0,08 632 000 þ 7,02  16 200 s

^ 2. Schritt: Berechnung des maximalen Kra¨ngungswinkels j Durch die Schieflage des Schiffes in folge j_ E entsteht ein Ru¨ckstellmoment MR . Deshalb richtet sich z. B. ein Segelboot nach einer Windbo¨ wieder auf. Die Drehfederkonstante kjj ¼ MR fu¨r j ¼ 1,0 errechnet sich wie folgt: MR ¼

9Ð,0 9,0

x dR  G  yS  j  R  3,0  j

Mit R ¼ G und dR ¼ x  j  L  gW dx wird: MR ¼ 2 

9Ð,0

j  L  gW  x2 dx  G  4,0  j

0 9Ð,0 2  G  4,0  j MR ¼  j  L  gW  x3 3 0

2 MR ¼  j  150  10  9,03  16 200,0  10  4,0  j 3 MR ¼ 729 000  j  648 000  j fu¨r j ¼ 1,0 wird kjj ¼ 81 000 kNm.  Energieerhaltungssatz (siehe Abschnitt 6.1.2) Am Stoßende t ¼ tE (Anfang der Drehbewegung): Drehfeder:

Epot ¼ 0

60

5 Bewegungen starrer Ko¨rper

Ekin ¼

Schiff:

1 1 QS j_ 2E þ mv2S,E 2 2

vS,E ¼ ð3,0 þ 3,0 þ yS Þ  j_ E ¼ 7,0  j_ E Am Ende der Drehbewegung (maximaler Kra¨ngungswinkel): Drehfeder:

1 ^2 Epot ¼ kjj j 2

Schiff:

Ekin ¼ 0 P

ðEkin þ Epot Þ ¼ konst

1 1 1 ^2 QS j_ 2E þ mv2S,E ¼ kjj j 2 2 2 1 1 1 ^2 632 000  0,082 þ 16 200  ð7  0,08Þ2 ¼ 81 000  j 2 2 2 ^ 2 ¼ 0,12 rad2 j

5.6.2

^ ¼ 0,34 rad j

Stabilita¨t eines schwimmenden Ko¨rpers

Problem a) Um welches Maß Dys darf der Gewichtsschwerpunkt S des Schiffes aus Abschnitt 5.6.1 durch ungu¨nstiges Beladen nach oben verlagert werden, bis die Schwimmlage des Schiffes instabil wird? Die Grenzlage zwischen stabiler und instabiler Schwimmlage ist erreicht, wenn das Ru¨ckstellmoment MR ¼ 0 wird.   2 MR ¼  150  10  9,03  16 200  10  ð3,0 þ yS Þ  j 3 MR ¼ ½729 000  16 200  10  ð3,0 þ yS Þ ¼ 0 yS ¼

729 000  16 200  10  3,0 ¼ 1,5 m 16 200  10

Die Schwimmlage des Schiffes wird instabil, wenn der Gewichtsschwerpunkt um 0,50 m nach oben verlegt wird. Problem b) Um welches Maß xs darf der Gewichtsschwerpunkt S des Schiffes aus Abschnitt 5.6.1 durch ungu¨nstiges Beladen nach rechts verschoben werden, damit ein Kra¨ngungswinkel ^ ¼ 0,34 rad nicht u¨berschritten wird? von j ^ ¼ xS  G MR ¼ kjj  j 81 000  0,34 ¼ xS  16 200  10 xS ¼ 0,17 m

6

Stoßvorga¨nge

6.1

Der harte Stoß

6.1.1

Allgemeines

Die kinetische Energie des stoßenden Ko¨rpers wird in Forma¨nderungsarbeit des gestoßenen Ko¨rpers umgewandelt. Ist die Masse des stoßenden Ko¨rpers ms deutlich gro¨ßer als die des gestoßenen Ko¨rpers mk, wirkt Letzterer nur als masselose Feder mk ms , mk ¼ o (Aufprall, Anprall; Bilder 6.1 und 6.3). Fu¨r mk ms siehe Abschnitt 6.1.4 Anmerkung 4.

Bild 6.1 Aufprall auf einen Einfeldbalken

6.1.2

Aufprall

Berechnungsgrundlage fu¨r den harten Stoß ist der Energieerhaltungssatz: Ekin þ Epot þ Edef ¼ konst

ð6:1Þ

In Bild 6.1 sind die einzelnen Verformungsanteile des Aufprallstoßes dargestellt. Darin bedeuten: s s0 s^ sstat

Abstand der Masse ms zum Zeitpunkt t ¼ t1 zum unverformten Balken (Ausgangslage) Verformung infolge Balkeneigengewicht und anderer ruhender Lasten mk g; Lage der Masse ms zum Zeitpunkt t ¼ t2 maximale dynamische Verformung (Amplitude bei harmonischen Schwingungen) zum Zeitpunkt t ¼ t3 (Umkehrpunkt) Verformung infolge der statischen Belastung ms g; Lage der Masse ms zum Zeitpunkt t ¼ t4 (Ruhelage nach dem Abklingen der Schwingung)

62

6 Stoßvorga¨nge

smax ¼ sstat þ s^ maximale Stoßverformung h¼ s þ s0 Fallho¨he des stoßenden Ko¨rpers Die statische Ersatzlast Fers ist jene statische Kraft, die notwendig ist, um die dynamische Verformung s^ zu erzeugen. Sie la¨sst sich bestimmen durch: Fers ¼ s^  k

ð6:2Þ

Die Vergro¨ßerungsfunktion – auch dynamische berho¨hung, normierte dynamische Verformung oder Pegel genannt – ist das Verha¨ltnis der maximalen dynamischen Verformung s^ zur statischen Verformung sstat . V¼

s^ sstat

ð6:3Þ

Die Energie hat die Dimension einer Arbeit. Mit mk ¼ 0 und ms ¼ m wird die kinetische Energie des stoßenden Ko¨rpers fu¨r t1  t  t2 : m 3 Ekin ¼ u2 [kNm] ¼ ð6:4Þ b [10 Joule] 2 Die Lageenergie im Schwerefeld bei einem sinnvoll gewa¨hlten, festen Koordinatensystem (mit der immer positiv nach oben gerichteten geoda¨tischen Ho¨he z) ist definiert als: 3 Epot ¼ m  g  z [kNm] ¼ b [10 J]

ð6:5Þ

Die Deformationsenergie des Einfeldbalkens aus dem Bild 6.1 beim Aufprall kann folgendermaßen ausgedru¨ckt werden (siehe Bild 6.3): Ð Edef ¼ FðsÞ ds ð6:6Þ F ist die Kontaktkraft (Stoßkraft) zwischen ms und dem Balken. Fu¨r die Anfangsbedingung t ¼ t1 und u1 ¼ 0 gilt: Ekin; 1 ¼ 0 Epot; 1 ¼ m  g  ð s þ s0 þ sstat þ s^Þ Epot; 1 ¼ m  g  ðh þ smax Þ

ð6:7Þ

Edef; 1 ¼ 0 Im Umkehrpunkt zum Zeitpunkt t ¼ t3 und u3 ¼ 0 gilt: Ekin; 3 ¼ 0 Epot; 3 ¼ 0 Edef; 3

s2 ¼ max  k 2

ð6:8Þ ¨ f ur

smax  sfl

mit: k sfl

Federkonstante des Balkens Verformung an der Fließgrenze des Balkens (siehe Bild 6.3)

Anmerkung 1: Wird ein Teil der kinetischen Energie durch Da¨mpfung absorbiert, z. B. plastische Verformungen (Knautschzone), Reibung, za¨he Flu¨ssigkeit, Fender, muss

63

6.1 Der harte Stoß

Gl. (6.1) durch ein Verlustglied, das die Da¨mpfungsarbeit beru¨cksichtigt, erweitert werden (siehe Abschnitte 6.1.3 und 9.5.2). Die Gl. (6.7) und (6.8) werden in die Energiebilanzgleichung (6.1) eingesetzt. Epot; 1 ¼ Edef; 3 m  g  ðh þ smax Þ ¼

ð6:9Þ

s2max k 2

Mit sstat ¼ mg=k la¨sst sich Gl. (6.9) physikalisch sinnvoll unter Vernachla¨ssigung der negativen Wurzel schreiben als: s2max  2sstat smax ¼ 2sstat h ) qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi smax ¼ sstat þ s2stat þ 2sstat h ) qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sstat þ s^ ¼ sstat þ s2stat þ 2sstat h ) qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi s^ ¼ s2stat þ 2sstat h ) sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2h s^ ¼ sstat 1 þ sstat

ð6:10Þ

Daraus folgt die Vergro¨ßerungsfunktion: sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi s^ 2h ) V ¼ 1þ V¼ sstat sstat

ð6:11Þ

Beispiel 6.1 Mit einem Fallversuch ko¨nnen die hergeleiteten Formeln u¨berpru¨ft werden (! DVD, Menue 2). Entsprechend Bild 6.1 wird ein Rechteckrohr aus Stahl der Festigkeitsklasse St355 JO mit den Abmessungen (50 30 2,9 mm) u¨ber 4,0 m gespannt und ein Bleiko¨rper mit dem Gewicht mg ¼ 0,2 kN aus unterschiedlicher Ho¨he fallen gelassen. Die Querschnittswerte und das Eigengewicht sind den Tabellen des Herstellers entnommen: A ¼ 4,23 cm2 ,

Iz ¼ 5,88 cm4 ,

q ¼ 0,0332

Damit lassen sich die beno¨tigten Kennwerte ermitteln: s0 ¼

q  l4 76,8  E  I

s0 ¼

3,32  104  4004 ¼ 0,896 cm  9 mm 76,8  21 000  5,88

sstat ¼

m  g  l3 48  E  I

sstat ¼

0,2  4003 ¼ 2,16 cm ¼ 21,6 mm 48  21 000  5,88

kN m

64

6 Stoßvorga¨nge

48  E  I l3 48  21 000  5,88 kN kN k¼ ¼ 0,09261 ¼ 9,261 4003 cm m k¼

Gl. (6.11) wird durch einsetzen von sstat zu: sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi s^ 2h h ¼ 1þ V¼ ¼ 1þ sstat sstat 10,8 Die Auswertung fu¨r unterschiedliche Fallho¨hen zeigen die Ergebnisse in Tabelle 6.1. Tabelle 6.1 Ergebnisse des Fallversuches (gerechnet) h [mm] smax [mm] s^ [mm] Vgerechnet

0

30

60

90

43,2 21,6 1

63,58 41,98 1,94

76,90 55,30 2,56

87,59 65,99 3,06

Das Bild 6.2 zeigt die Werte der Vergro¨ßerungsfunktion bei unterschiedlicher Fallho¨he. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Fu¨r h ¼ 30 mm wird V ¼ 1 þ 30=10,8 ¼ 1,94 und s^ ¼ V  ssat ¼ 1,94  21,6 ¼ 41,98 mm. Die maximale Auslenkung ist smax ¼ sstat þ s^ ¼ 63,36 mm. Ein alternativer Lo¨sungsweg fu¨hrt zu demselben Ergebnis. Fu¨ffir die Anfangsbedingung pffiffiffiffiffiffiffi t ¼ t2 ergibt sich eine Aufprallgeschwindigkeit von u2 ¼ 2gh (siehe Abschnitt 4.3.1). Mit der Energiebilanzgleichung (6.1) folgt: Ekin; 2 þ Epot; 2 ¼ Edef; 3

)

Bild 6.2 Auswertung eines Fallversuches

m 2 s2 u2 þ mgsmax ¼ max k 2 2

65

6.1 Der harte Stoß

Die Vergro¨ßerungsfunktion ergibt sich wieder aus der quadratischen Gleichung fu¨r smax entsprechend Gl. (6.10) zu: sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u2 2h ð6:12Þ V ¼ 1þ 2 ¼ 1þ gsstat sstat Aus Gl. (6.12) kann mit Gl. (6.2) die statische Ersatzlast Fers errechnet werden: V¼

s^ s^k ¼ sstat sstat k

)

V¼

Fers mg

)

Fers ¼ Vmg

Mit der maximalen statischen Kraft Fmax , die notwendig ist, um die maximale Stoßverformung smax zu erzeugen, werden die Momente und Spannungen der Konstruktion berechnet. Fmax ¼ mg þ Vmg Fmax ¼ mgð1 þ VÞ Anhand dieser Formeln la¨sst sich das Prinzip der dynamischen Abfederung gut verstehen. Mit sstat ¼ mg=k wird sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2h k V ¼ 1þ mg Eine weiche Feder (kleines k) bedeutet demnach eine geringe Beanspruchung (kleines Fmax ) fu¨r die Konstruktion. Gleichzeitig bewirkt eine weiche Feder jedoch große Verformungen der Konstruktion. Mit Gl. (6.3) wird sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2h 1 2h 1 s^ ¼ sstat 1 þ þ k ) s^ ¼ mg mg k2 mg k Anmerkung 2: Hat sich z. B. beim Besen der Stiel gelockert, schla¨gt man mit dem Stielende (Besenhaare nach oben) auf einen harten Boden auf. Die Federsteifigkeit von Stiel und Boden wird dann sehr groß. Im Grenzfall wird: k!1

V!1

Fmax ! 1

s^ ! 0

Anmerkung 3: Fu¨r h ¼ 0 und u2 ¼ 0, also dem plo¨tzlichem Absetzen einer Last ohne Fallho¨he wird V ¼ 1 und Fmax ¼ 2mg. Die Beanspruchung der Konstruktion verdoppelt sich im Vergleich zur rein statischen Belastung. Anmerkung 4: Die Bedingung fu¨r Gl. (6.8) smax  sfl stellt sicher, dass die Konstruktion zur Abfederung nach dem Stoß wieder verwendet werden kann. Fu¨r Stoßvorga¨nge, die als Katastrophenlastfall eingestuft werden, kann Gl. (6.8) fu¨r smax > sfl erweitert werden (siehe Abschnitt 6.1.3). Die Konstruktion muss dann nach dem Stoßvorgang wieder hergestellt werden.

66

6.1.3

6 Stoßvorga¨nge

Anprall

Typische Konstruktionen mit Anfahrschutzfunktion sind Poller vor Geba¨udestu¨tzen neben Verkehrswegen, Gela¨nder zur Absturzsicherung und Dalben, die nach EAU (siehe Abschnitt 3.6) fu¨r Schiffsstoß bemessen werden. Nach dem Energieerhaltungssatz (6.1) ist: Ekin; 1 þ Edef; 1 ¼ Ekin; 2 þ Edef; 2 Die Anfangsbedingung zum Zeitpunkt t ¼ t1 lautet unter Beachtung von mk ms ¼ m (Bild 6.3): Ekin; 1 ¼

m 2 u 2 1

ð6:13Þ

Edef; 1 ¼ 0 In diesem Fall wird wie im Abschnitt 6.1.2 beschrieben mit einer masselosen Feder gerechnet. Die Lageenergie Epot bleibt bei horizontalem Anprall (z ¼ konst) unvera¨ndert und tritt bei der Energiebilanz daher nicht auf. Im Umkehrpunkt zum Zeitpunkt t ¼ t2 wird die kinetische Energie Ekin; 2 ¼ 0. Beim Anfahrschutz fu¨r Pfeiler oder Stu¨tzen werden ha¨ufig bleibende plastische Verformungen bewusst in Kauf genommen, wenn smax > sfl ist. Hierbei sind Materialien mit einer hohen Werkstoffduktilita¨t aufgrund ihrer großen Verformungsfa¨higkeit bis zum Bruch vorteilhaft. Allerdings mu¨ssen die Anschlu¨sse und Verbindungen der Konstruktion fu¨r die Kraft Fers ¼ g  sfl  k bemessen werden. Der Sicherheitsbeiwert g deckt Materialverfestigung im plastischen Bereich (Edef; v in Bild 6.3) und berfestigkeiten gegenu¨ber den Angaben in den Normen ab. Außerdem ist auf Instabilita¨ten im Bereich der Fließgelenke zu achten. Die Rotationsfa¨higkeit der Fließgelenke muss konstruktiv sichergestellt sein. Im Kraft-Verformungsdiagramm von Bild 6.3 bedeuten: Edef; el Edef; pl Edef; v smax ¼ sel þ spl

reversible elastische Deformationsarbeit irreversible plastische Deformationsarbeit (siehe Abschnitt 9.5) Verfestigungsanteil wird meistens vernachla¨ssigt maximale Verformung der Stu¨tze

Fu¨r Edef ;v ¼ 0 spricht man von elasto-plastischem, wenn auch Edef ;el  0 von starr-plastischem Materialverhalten. Die Deformationsarbeit zum Zeitpunkt t ¼ t2 kann folgendermaßen beschrieben werden: Edef; 2 ¼ Edef; 2; el þ Edef; 2; pl Edef; 2 ¼

1 2 s k þ sfl kspl 2 fl

ð6:14Þ

Die Gl. (6.14) wird in den Energieerhaltungssatz (6.1) eingesetzt: Ekin; 1 ¼ Edef; 2 Ekin; 1 ¼ Edef; 2; el þ Edef; 2; pl Ekin; 1 ¼ Edef; 2; el þ sfl kspl

ð6:15Þ

67

6.1 Der harte Stoß

Bild 6.3 Stu¨tzenanprall: Kraft-Verformungs-Beziehung

Die plastische Forma¨nderung ergibt sich dann aus Gl. (6.15) zu: spl ¼ ðEkin; 1  Edef; 2; el Þ

1 sfl k

ð6:16Þ

Das plastische Grenzmoment an der Einspannstelle betra¨gt (Bild 6.3): M ¼ Fers  lk Anmerkung: In der Baustatik kann eine Konstruktion nur bis zur Traglast (kinematische Kette) beansprucht werden. In der Baudynamik ko¨nnen daru¨ber hinaus die plastischen Verformungen der Fließgelenke oder Fachwerksta¨be bis zum Bruch ausgenutzt werden. Stabilita¨t, nichtduktile Anschlu¨sse und Ermu¨dung sind allerdings gesondert zu betrachten. Horizontale Stoßbelastung von Pfa¨hlen Die innere Tragfa¨higkeit von Pfa¨hlen unter horizontaler Stoßbelastung wird wie bei statischer Belastung mit Hilfe des Bettungsmodulverfahrens ermittelt. Gema¨ß DIN 1054-100 darf fu¨r die dynamische Belastung na¨herungsweise der statische Bettungsmodul angesetzt werden. Na¨here Angaben dazu in ½40; 64: Sollen Dalben oder Stu¨tzen so bemessen werden, dass ihre Verformungen im elastischen Bereich bleiben, darf die Verschiebung ho¨chstens smax ¼ sel  sfl betragen. Fu¨r die Deformationsarbeit gilt demnach: Edef; 2 ¼

1 2 s k 2 el

ð6:17Þ

Das erforderliche Arbeitsvermo¨gen eines Dalbens muss so groß sein, dass von ihm die kinetische Energie des anfahrenden Schiffes aufgezehrt wird, ohne dass plastische Verfor-

68

6 Stoßvorga¨nge

mungen entstehen. In der Regel wird das erforderliche Arbeitsvermo¨gen des Dalbens Edef von der zusta¨ndigen Hafenverwaltung festgelegt. Gl. (6.15) verku¨rzt sich dann zu: Ekin; 1 ¼ Edef; 2; el

ð6:15aÞ

m 2 1  u ¼  s2el  k 2 1 2 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffi 2  Ekin; 1 m sel ¼ ¼ u1  k k Mit rffiffiffiffi k wird: w¼ m

sel ¼

u1 w

ð6:18Þ

u1 ¼ sel w ist die Schwinggeschwindigkeit einer harmonischen Schwingung. Fers ¼ sel k pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Fers ¼ 2Ekin; 1 k

ð6:19Þ

Die Kraft Fers gibt die maximale Kontaktkraft (Stoßkraft) zwischen Schiff und Dalben an, anhand derer die Dalbenkonstruktion dimensioniert wird. Kleines k bedeutet kleine Stoßkraft also geringe Belastung von Schiff und Dalben aber große Verformung. Beispiel 6.2 Gema¨ß Bild 6.3 wird beispielhaft eine Dalbenbemessung durchgefu¨hrt, die im Modellversuch u¨berpru¨ft werden kann (! DVD, Menue 3). Eine Holzlatte aus Kiefer der Sortierklasse S 10 mit den Abmessungen (35 16 mm) hat eine Kragla¨nge von lk ¼ 0,685 m. Der Dalben erfa¨hrt den Anprall einer Masse ms ¼ 20 kg und es wird die aufnehmbare Verformung smax bis zum Fließen des Materials am Einspannungspunkt bestimmt. Der Elastizita¨tsmodul und die Fließspannung des Holzquerschnittes bei Biegebeanspruchung wurden experimentell ermittelt: Ejj ¼ 107

kN m2

sfl ¼ 3  104

kN m2

Mit dem Fla¨chentra¨gheitsmoment kann schließlich die zula¨ssige Verformung bis zum Eintritt der Plastifizierung angegeben werden: b  h3 3,5  1,63 ¼  1,2 cm4 12 12

Iz ¼

Wz ¼ k¼

b  h2 3,5  1,62 ¼  1,5 cm3 6 6

3  E  Iz 3  103  1,2 kN ¼ ¼ 0,0112 68,53 cm lk3

sfl ¼

Mfl sfl  Wz Fers ¼ ¼ k lk  k lk  k

69

6.1 Der harte Stoß

sfl ¼

3  1,5 68,5  0,0112

smax ¼ sfl  6,0 cm Sollen also die Verformungen im elastischen Bereich bleiben, muss gema¨ß Gl. (6.15): Ekin; 1  Edef; 2; el ¼

1 2 1 s k ¼  62  0,0112 ¼ 0,20 kN cm 2 fl 2

sein. Daraus ergibt sich die maximal zula¨ssige Anprallgeschwindigkeit von m1 ¼ 0,45 m=s. Ekin; 1 ¼

20  103  0,452 ¼ 0,20 kN cm 2

In diesem Fall gelten die Gleichungen (6.18) und (6.19). Wenn Ekin, 1 > 0,20 kN cm ist, gilt die Formel (6.16) mit F ers ¼ sflk ¼ 60,0112 ¼ 0,067 kN.

6.1.4

Zusammenstoß zweier Ko¨rper

In diesem Abschnitt wird beim Zusammenstoß zweier Ko¨rper von einem geraden zentralen Stoß ausgegangen (Impulserhaltungssatz, siehe Abschnitt 5.2.3). Die Geschwindigkeitsvektoren der beiden Ko¨rper und die Kontaktkraft liegen auf der Verbindungsgerade der Schwerpunkte. Die Einzelimpulse der Ko¨rper werden als Gesamtimpuls zusammengefasst (Gl. 5.5). Im Augenblick unmittelbar vor dem Stoß (Bild 6.4) zur Zeit t ¼ t0 ist der Gesamtimpuls I ¼ mk  uk; 0 þ ms  us; 0 . Der gestoßene Ko¨rper habe die Geschwindigkeit uk; 0 ¼ 0. Dann wird I ¼ ms  us; 0 .

Bild 6.4 Zusammenstoß zweier Ko¨rper zum Zeitpunkt t ¼ t0

Am Ende der ersten Stoßperiode zum Zeitpunkt t ¼ t1 haben beide Ko¨rper dieselbe Geschwindigkeit u (Bild 6.5). Aus Gl. (5.5) I ¼ konst folgt: ðmk þ ms Þ u ¼ ms us; 0 I1 ¼ ms ðus; 0  uÞ ¼ mk u

ð6:20Þ

Die gemeinsame Geschwindigkeit der beiden Ko¨rper kann aus Gl. (6.20) bestimmt werden zu: ms us; 0 u¼ ð6:21Þ mk þ ms Am Ende der 2. Stoßperiode zum Zeitpunkt t ¼ t2 hat der gestoßene Ko¨rper die Geschwindigkeiten uk; 2 und der stoßende Ko¨rper die Geschwindigkeiten us; 2 (Bild 6.6).

70

6 Stoßvorga¨nge

Bild 6.5 Geschwindigkeit und Kontaktkraft zum Zeitpunkt t ¼ t1

Bild 6.6 Geschwindigkeiten zum Zeitpunkt t ¼ t2

Aus Gl. (5.5) I ¼ konst folgt: mk uk; 2 þ ms us; 2 ¼ ðmk þ ms Þ u I2 ¼ ms ðu  us; 2 Þ ¼ mk ðuk; 2  uÞ

ð6:22Þ

Wa¨hrend des Stoßvorganges kann ein Teil der Bewegungsenergie durch plastische Deformationen und durch Druckwellen in irreversible Energieformen umgewandelt werden (siehe Abschnitt 9.5). Der Impulserhaltungssatz (Gl. 5.5) und der Energieerhaltungssatz (Gl. 6.1) gelten dann nicht mehr, es sei denn man fu¨hrt mit dem mechanischen Wa¨rmea¨quivalent (Gl. 9.2) ein Verlustglied ein. Q¼ b DE ¼ Ekin ðt ¼ t0 Þ  Ekin ðt ¼ t2 Þ Um die Energiedissipation bei der Anwendung des Impulserhaltungssatzes zu beru¨cksichtigen, wird die materialabha¨ngige Stoßzahl e eingefu¨hrt (Bild 6.7). Die von Newton ent-

Bild 6.7 Stoßverlauf und dessen Einteilung in zwei Abschnitte

71

6.1 Der harte Stoß

wickelte Stoßhypothese lautet: I2 ¼ eI1

ð6:23Þ

Die Stoßzahl betra¨gt beim vollkommen elastischen Stoß e ¼ 1 (spl ¼ 0 in Bild 6.3), was im Umkehrschluss bedeutet, dass die Energiedissipation den Wert Null annimmt. Beim idealplastischen Stoß (starr-plastisches Materialverhalten) nimmt die Stoßzahl den Wert e ¼ 0 an (sel ¼ 0 in Bild 6.3), wodurch die Energiedissipation maximal wird. Im Folgenden sind einige typische Stoßzahlen aufgefu¨hrt:  Glas e ¼ 0,8  Stahl e ¼ 0,6  Holz e ¼ 0,5 Die Stoßzahl ist von der Form der zusammenstoßenden Ko¨rper und ihrer Anprallgeschwindigkeit abha¨ngig. Die Gl. (6.20) und (6.22) lassen sich in Gl. (6.23) einsetzen. Der Impuls fu¨r den gestoßenen und den stoßenden Ko¨rper lautet dann: ms ðu  us; 2 Þ ¼ ems ðus; 0  uÞ

ð6:24Þ

mk ðuk; 2  uÞ ¼ emk u

ð6:25Þ

Aus den Gl. (6.24) und (6.25) lassen sich die Massen herausku¨rzen. Nach Addition der Gl. (6.24) und (6.25) ergibt sich: u  us; 2 þ uk; 2  u ¼ eðus; 0  u þ uÞ  us; 2 þ uk; 2 ¼ eus; 0 e¼

us; 2 þ uk; 2 us; 0

ð6:26Þ ð6:27Þ

Die Stoßzahl kann durch Versuche aus den Geschwindigkeiten vor und nach dem Aufprall bestimmt werden (Bild 6.8). Aus Gl. (6.26) folgt: us; 2 ¼ uk; 2  eus; 0

ð6:28Þ

Aus Gl. (6.25) folgt. uk; 2 ¼ uðe þ 1Þ

ð6:29Þ

und schließlich (6.21) in (6.29) eingesetzt ergibt: uk; 2 ¼

ms us; 0 ðe þ 1Þ ms þ mk

ð6:30Þ

Sto¨ßt ein Ko¨rper ms mit der Geschwindigkeit us; 0 auf einen ruhenden Ko¨rper mk , dann sind die Geschwindigkeiten der stoßenden und der gestoßenen Ko¨rper am Ende der 2. Stoßperiode mit den Gl. (6.28) und (6.30) bestimmt. Angenommen, der Stoß sei idealplastisch, so folgt mit e ¼ 0 und uk; 0 ¼ 0 aus den Gl. (6.28) und (6.30): us; 2 ¼ uk; 2 ¼ u

)

u¼

ms us; 0 ms þ mk

ð6:31Þ

Die beiden Ko¨rper lo¨sen sich nach dem Stoß nicht mehr und haben die gemeinsame Geschwindigkeit u, siehe auch Gl. (6.21).

72

6 Stoßvorga¨nge

Beispiel 6.3 Um die Stoßzahl e zu ermitteln, nimmt man eine Kugel aus dem Material, dessen Stoßzahl bestimmt werden soll und la¨sst diese aus einer fest definierten Ho¨he h1 auf einen starren Boden fallen. Nach dem Aufprall wird die Ho¨he h2 gemessen (Bild 6.8).

Bild 6.8 Experimentelle Bestimmung der Stoßzahl

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Unmittelbar vor dem Aufprall t ¼ t0 hat die Kugel die Geschwindigkeit us; 0 ¼ 2gh1 . Nach Gl. (6.27) gilt mit uk; 2 ¼ 0 fu¨r die Geschwindigkeit unmittelbar nach dem Aufprall t ¼ t2 : us; 2 e¼ ) us; 2 ¼ eus; 0 us; 0 Weil mit dem Energieerhaltungssatz Ekin; t2 ¼ Epot; tE erfu¨llt sein muss, kann die Geschwindigkeit us; 2 berechnet werden aus: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u2s; 2 ms ¼ ms gh2 ) us; 2 ¼  2gh2 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2gh2 eus; 0 ¼ 2gh2 ) e ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ) 2gh1 sffiffiffiffiffi h2 e¼ h1

)

Die Stoßzahl ist folglich unabha¨ngig von der Gro¨ße der stoßenden Masse ms. Alternativ kann die Stoßzahl auch mit Pendelversuchen ermittelt werden. Anmerkung 1: Bei der Kollision eines bewegten Fahrzeuges (Schiff, Flugzeug, Auto) mit einem Ruhenden handelt es sich um einen vollplastischen Stoß e ¼ 0. Die durch die Knautschzone maximal mo¨gliche Umwandlung mechanischer Energie muss so bemessen sein, dass fu¨r die Insassen oder die Ladung kein Schaden entsteht. Diese Bedingung fu¨hrt zu einer kritischen Kollisionsgeschwindigkeit us; kr . Der Energieerhaltungssatz besagt, dass in einem abgeschlossenem System die Gesamtenergie erhalten bleibt, folglich

73

6.1 Der harte Stoß

Ekin þ Edef ¼ konst gilt. Vor dem Zusammenprall gilt: Ekin; 0 ¼

1 ms u2s; 0 2

uk; 0 ¼ 0 Die irreversible plastische Deformationsarbeit der Knautschzone wird mit dem Term Edef; 2; pl erfasst (siehe Bild 6.3), wohingegen die reversible elastische Deformationsarbeit Edef; 2; el vernachla¨ssigt wird. Nach dem Zusammenprall betra¨gt die kinetische Energie Ekin; 2 mit us; 2 ¼ uk; 2 ¼ u und u ¼ ms us; 0 =ðms þ mk Þ (Gl. (6.31):  2 ms þ mk 2 ms þ mk ms u2s; 0 ð6:32Þ u ¼ Ekin; 2 ¼ 2 2 ms þ mk Mit Ekin; 0 ¼ Ekin; 2 þ Edef; 2; pl wird:  2 1 ms þ mk ms u2s; 0 ms u2s; 0  2 ms þ mk 2   1 2 ms ðms þ mk Þ m2s ¼  us; 0 2 ms þ mk ms þ mk 1 2 ms mk ¼ u 2 s; 0 ms þ mk

Edef; 2; pl ¼ Edef; 2; pl Edef; 2; pl

Aus Gl. (6.33) folgt die kritische Kollisionsgeschwindigkeit: us; 0 ) us; kr rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ms þ mk us; kr ¼ 2Edef; 2; pl ms mk

ð6:33Þ

ð6:34Þ

Kollidiert das Fahrzeug mit einem starren Widerlager ðmk ! 1Þ, vera¨ndert sich demgema¨ß die Gl. (6.34) zu: sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Edef; 2; pl ð6:35Þ us; kr ¼ 2 ms Durch einen Crashtest an einem starren Widerlager kann us; kr gemessen und daraus Edef; 2; pl berechnet werden. Anmerkung 2: Die Gro¨ße der Kontaktkraft F bleibt in den oben aus der Impulsbilanz abgeleiteten Stoßformeln unbekannt. Mit der Newtonschen Stoßhypothese ko¨nnen nur die Geschwindigkeiten nach dem Stoß berechnet werden unter Annahme eines Verlustes an mechanischer Energie. Wenn die Masse mk bekannt ist und ihre Beschleunigung wa¨hrend des Stoßvorganges a gemessen wird, dann la¨sst sich die Kontaktkraft F berechnen. Am Ende der 1. Stoßperiode wird die Beschleunigung a und die Kraft F zwischen den beiden Ko¨rpern maximal Fmax ¼ mk amax . Die Kontaktkraft kann auch mit Druckmessdosen ermittelt werden. Sie ist jedoch keine statische Kraft, sondern wirkt nur wa¨hrend der Zeit t0  t  t2 . Anmerkung 3: Um ein vollsta¨ndiges Bild des Stoßverlaufes zu bekommen, muss der Kraft-Zeit Verlauf FðtÞ (Bild 6.7) oder der Kraft-Weg Verlauf FðsÞ (siehe Bild 6.3) aus Crashversuchen oder Berechnungen bekannt sein.

74

6 Stoßvorga¨nge

Die wa¨hrend der Stoßzeit t0  t  t2 wirkende Kontaktkraft FðtÞ fu¨hrt zu einer nderung des Impulses (siehe Bild 6.7): ^

F¼

Ðt2

FðtÞ dt ¼ Iðt2 Þ  Iðt0 Þ ¼ DI

t0 ^

Siehe auch Gl. (5.4). Das Zeitintegral F wird Kraftstoß oder Stoßimpuls genannt und hat die Dimension eines Impulses. Mit den nach der Newtonschen Stoßhypothese ermittelten Geschwindigkeiten us; 2 und uk; 2 am Stoßende la¨sst sich DI berechnen mit Iðt2 Þ ¼ mk uk; 2 þ ms us; 2 (Gl. 6.22) und Iðt0 Þ ¼ ms us; 0 (Gl. 6.20). Mit Hilfe des Integrals ^ u¨ber den Kraft-Zeit Verlauf F la¨sst sich dann die maximale Kontaktkraft Fmax und die Stoßdauer t2 berechnen. Die la¨ngs des Weges sel þ spl wirkende Kontaktkraft FðsÞ fu¨hrt zu einer nderung der kinetischen Energie (siehe Bild 6.3). Edef ¼

sel Ðþspl

FðsÞ ds ¼ Ekin ðt2 Þ  Ekin ðt0 Þ ¼ DE

s¼0

Das Wegintegral Edef wird Deformationsenergie genannt und hat die Dimension einer Arbeit. Mit us; 2 und uk; 2 la¨sst sich DE und schließlich mit dem Integral u¨ber den Kraft-Weg Verlauf Edef la¨sst sich Fmax und die Stoßdeformation sel þ spl (Knautschweg) berechnen. Die beiden Kennlinien (FðsÞ Bild 6.3 und FðtÞ Bild 6.7) sind a¨quivalent. Sie unterscheiden sich durch den Faktor u (Geschwindigkeit). Mit F ¼ maðtÞ ¼ m du=dt und uðtÞ ¼ ds=dt wird: ð ð ð du FðsÞ ds ¼ m ds ) muðtÞ du ) dt ð 1 mðuðtÞÞ2 muðtÞ du ¼ 2 ð ð ð du FðtÞ uðtÞ dt ¼ m uðtÞ dt ) muðtÞ du ) dt ð 1 mðuðtÞÞ2 muðtÞ du ¼ 2 Anmerkung 4: Trifft der stoßende Ko¨rper ms auf einen elastisch gelagerten Ko¨rper mk , dessen Masse gleich oder gro¨ßer ist ðmk ms Þ, so muss nach Abschnitt 6.1.4 zuna¨chst die Geschwindigkeit des gestoßenen Ko¨rpers mk unmittelbar nach dem Stoß uk; 2 berechnet werden (Bild 6.9). Anschließend kann mit uk; 2 ¼ b u1 und mk; red ¼ b ms gema¨ß Bilder 6.1 und 6.3 die Verformung der masselosen Feder k berechnet werden (Amboss-Hammer, Rammgera¨t, hydraulischer Meißel, Auf- und Anprallstoß gegen Bauteile mit großer Masse).

6.2 Der weiche Stoß

75

Bild 6.9 Zusammenstoß zweier Ko¨rper mit mk ms (massebehaftete Feder)

6.2

Der weiche Stoß

Die kinetische Energie des stoßenden Ko¨rpers wird in Forma¨nderungsarbeit des stoßenden Ko¨rpers umgewandelt (Knautschzone bei Fahrzeugen, Schiffsanprall bei Bru¨cken, Flugzeugabsturz). Die Stoßfunktion FðtÞ – Impulsanregung – muss aus Crashversuchen oder FE-Berechnungen bekannt sein (siehe z. B. DIN 1055-9). Fu¨r einfache Stoßfunktionen existieren Diagramme, welche die dynamische berho¨hung (hier D, anstelle V in Bild 8.5) des Einmassenschwingers angeben (Bild 6.10). Bei Impulsanregung ist die dynamische Amplitude vom Quotienten aus Stoßdauer und Eigenfrequenz abha¨ngig, wa¨hrend bei periodischer Anregung (Kapitel 8) der Quotient aus Anregungs- und Eigenfrequenz maßgeblich ist. Fu¨r eine na¨herungsweise Berechnung reichen diese Diagramme aus. Bemerkenswert ist, dass die maximale dynamische berho¨hung D (Stoßfaktor) fu¨r eine plo¨tzlich einwirkende Kraft td 0,5  T wiederum 2,0 ist (Bild 6.10 oben). Es kommt also zu einer Verdopplung der statischen Beanspruchung wie in Anmerkung 3 in Abschnitt 6.1.2 fu¨r den harten Stoß beim plo¨tzlichen Absetzten einer Last gezeigt wurde. Derartige dynamische Lasten treten beispielsweise auf beim Anheben oder Absetzen von Kranlasten und beim Versagen von Konstruktionsteilen infolge berlastung oder Abbruchsprengung. Man liegt auf der sicheren Seite, wenn man mit der doppelten statischen Last rechnet. Genauere Angaben sind in [1] enthalten.

76

6 Stoßvorga¨nge

Bild 6.10 Dynamischer Erho¨hungsfaktor infolge eines weichen Stoßes [2]

6.3

Anwendungsbeispiele

6.3.1

Elastischer Einpfahldalben

Dalben sind pfahlartige Bauwerke zum Leiten, Anlegen und Verta¨uen von Schiffen. Dalben ko¨nnen aus Einzelpfa¨hlen oder Pfahlgruppen bestehen. Als Material wird vorwiegend Holz oder Stahl eingesetzt. Dalben stehen frei im Wasser, werden im Baugrund eingespannt (Bild 6.11) und nach dem Verfahren Elastisch- Elastisch berechnet und be-

6.3 Anwendungsbeispiele

77

Bild 6.11 Einpfahldalben

messen. Ein Anlegedalben muss fu¨r die Einwirkung aus Schiffsstoß und als Verta¨udalben fu¨r die Einwirkung aus Trossenzug, Wind- und Stro¨mungsdruck bemessen werden. Bei der Bemessung auf Schiffstoß sollten Dalben eine große statische Tragfa¨higkeit und gleichzeitig eine große Verformungsfa¨higkeit aufweisen. Die Gro¨ße des beno¨tigten Arbeitsvermo¨gens Edef [kNm] = Ekin [kNm] ist abha¨ngig von der Masse der vorkommenden Schiffsgro¨ßen und deren Anlegegeschwindigkeit. Im Allgemeinen werden diese Gro¨ßen von der Hafenverwaltung festgelegt. Ausgangswerte In einem Hamburger Tankschiffhafen soll fu¨r ein Binnenschiff ein Anlege- und Verta¨udalben erstellt werden. Nach Vorgabe der Hafenverwaltung werden Dalben fu¨r ein Europaschiff mit den Abmessungen L=B=T ¼ 80,0=9,5=2,5 bemessen. Die Wasserverdra¨ngung betra¨gt mit dem Vo¨lligkeitsgrad a ¼ 0,85: V ¼ L  B  T  a ¼ 80,0  9,5  2,5  0,85 ¼ 1615 m3  1650 m3 Das entspricht einer Wasserverdra¨ngung von: G ¼ V  gW ¼ 1650  10 ¼ 16 500 kN und einer Schiffsmasse von: m ¼ V  qW ¼ 1650  1,0 ¼ 1650 t Nach den Empfehlungen des Arbeitsausschusses Ufereinfassungen (EAU) 1996 ist fu¨r ein Schiff bis 20 000 kN Wasserverdra¨ngung ein Trossenzug von PZ ¼ 100 kN anzusetzen. Der Trossenzug wird auf der Ho¨he des ho¨chsten Bommels angesetzt, in diesem Fall auf þ4,50 mNN. Damit wird hz ¼ 9,0 þ 4,5 ¼ 13,50 m.

78

6 Stoßvorga¨nge

Vordimensionierung a) Die Federkonstante eines Dalbens fu¨r kleine Schiffe und Binnenschiffe habe einen Richtwert von k ¼ 500 kN/m. b) Die translatorische Geschwindigkeit betrage u ¼ 0; 20 m/s. Das mittlere Niedrigwasser liegt in diesem Fall bei 1,47 mNN (Stoßpunkt). Die Hafensohle liegt bei- 9,00 mNN. Damit wird hst ¼ 9,0  1,47 ¼ 7,53 m. Bei einer guten Stu¨tzung im Boden kann die Kragla¨nge lk ¼ a  hSt gegenu¨ber der freien La¨nge hSt erfahrungsgema¨ß um 30 % erho¨ht werden. Der Parameter a nimmt demnach den Wert a ¼ 1,3 an. Damit wird die rechnerische Kragla¨nge lk ¼ 1,3  7,53 ¼ 9,79 m. Die Bodenkennwerte fu¨r den anstehenden nicht bindigen dicht gelagerten Boden seien: g0 ¼ 11

Wichte:

kN m3

Reibungswinkel: j0 ¼ 35 Wandreibungswinkel: dp ¼ 0 (Rankine-Fall) Erddruckbeiwert: kph ¼ 3; 69 Berechnung des erforderlichen Arbeitsvermo¨gens des Dalbens fu¨r einen geraden zentralen Stoß 1 m  u2 2   1 m 2 ¼  1650 t  0,20 ¼ 33 kN 2 s

erf Edef ¼ Ekin ¼ Ekin

Das erforderliche Arbeitsvermo¨gen des Dalbens betra¨gt 33 kNm. Unter Beru¨cksichtigung einer linear elastischen Feder mit s ¼ PSt =k ist das erforderliche Arbeitsvermo¨gen (Bild 6.12): erf Edef ¼ k

s2 P2St ¼ 2 2k

s [m]

horizontale Verformung des Dalbens in Ho¨he des Angriffspunktes von PSt (1,47 mNN) Schiffsstoß (max. Kontaktkraft zwischen Schiffshaut und Dalben) PSt [kN] sStr ¼ 35,5 [kN/cm2] Streckgrenze des Stahlrohres

Gewa¨hlt wird ein Stahlrohr 1 1066,8 mm/12,7 mm in einer Stahlgu¨te von S 355 GP, einem Widerstandsmoment von W ¼ 11 177 cm3 und einem Fla¨chentra¨gheitsmoment von I ¼ 600 018 cm4 . pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi PSt ¼ 2Ekin k ) PSt ¼ 2  33  500 ¼ 182 kN max M ¼ PSt ðahSt Þ erf W ¼

max M sStr

) )

max M ¼ 182ð1,3  7,53Þ ¼ 1782 kN m erf W ¼

1782  102 ¼ 5020 cm3 35,5

6.3 Anwendungsbeispiele

79

Bild 6.12 Kraft-Verformungs-Kennlinie eines Dalbens

Dimensionierung nach Blum (Bild 6.13) [67] Die in Abschnitt 6.1.3 angegebene Formel (6.17) Edef ¼

1 2 s k 2

setzt voraus, dass der Einspannpunkt des Dalbens im Boden aus Erfahrung bekannt ist. Da die Federkonstante k eines im Boden elastisch eingespannten Dalbens von seiner Einspannla¨nge und diese von seiner Belastung abha¨ngig ist, diese aber zuna¨chst unbekannt ist, kann die Dimensionierung nur iterativ erfolgen. Mit wachsender Erfahrung nimmt natu¨rlich die Anzahl der Iterationsaschritte ab. Es ist u¨blich, den ra¨umlichen Erdwiderstand bei homogenem Boden vor einem elastisch eingespannten Dalben nach einem Vorschlag von Blum fu¨r den Rankineschen Sonderfall (horizontale, spannungsfreie Oberfla¨che) anzusetzen.

Bild 6.13 Berechnungsansatz fu¨r elastische Dalben nach Blum

80

6 Stoßvorga¨nge

Mit dem Dalbendurchmesser b ¼ 1,0668 m folgen der Erddruck eph und die Erddruckkraft Eph unter Verwendung von: fw ¼ g0 kphðd ¼ 0Þ

)

eph ¼ fw bx þ fw

x2 ; 2

kN kN  3,69 ¼ 40,6 3 m3 m   bx2 x3 ¼ fw þ 2 6

fw ¼ 11 Eph

Mit der Stoßkraft PSt ergibt sich nach den Gesetzen der Statik das Biegemoment M an der Stelle x:   bx2 x x3 x M ¼ PSt ðhSt þ xÞ  fw þ 2 3 6 4 Aus Q ¼ dM=dx ¼ 0 folgt das maximale Biegemoment max M an der Stelle x ¼ xm mit: fw 2 x ðxm þ 3bÞ 6 m fw 2 x ð3x2 þ xm ð4hSt þ 8bÞ þ 12hSt bÞ max M ¼ 24 m m

PSt ¼

Um das Arbeitsvermo¨gen des Dalbens bis zur Streckgrenze voll auszunutzen, wird fu¨r einen gewa¨hlten Dalben max M ¼ Mpl ¼ W  s Str Mpl ¼ 11177  35,5 ¼ 396 784 kN cm

)

Mpl ¼ 3968 kN m

gesetzt. Das Gleichsetzten der maximalen Momente bringt: 3968 ¼

40,6 2 x ð3x2 þ xm ð4  7,53 þ 8  1,0668Þ þ 12  7,53  1,0668Þ 24 m m

xm ¼ 3,10 m Die Stoßkraft (maximale Kontaktkraft zwischen Schiffshaut und Dalben) betra¨gt: PSt ¼

40,6  3,102  ð3,10 þ 3  1,0668Þ  410 kN 6

Die erforderliche Einbindetiefe x ¼ t0 ergibt sich ebenfalls nach den Gesetzen der Statik fu¨r SM ¼ 0 um den theoretischen Fußpunkt C PSt ¼

fw 3 ðt0 þ 4bÞ t 24 0 ðt0 þ hSt Þ

410 ¼

40,6 3 ðt0 þ 4  1,0668Þ t 24 0 ðt0 þ 7,53Þ

Die Lo¨sung dieser Gleichung ergibt: t0 ¼ 6,83 m Gema¨ß Bild 6.13 wird: t ¼ t0 þ Dx ¼ t0 þ 0,2t0 ¼ 1,2  6,83 ¼ 8,20 m

81

6.3 Anwendungsbeispiele

Nach einem Vorschlag von Mu¨ller [67] wird zur Berechnung der horizontalen Verformung sgrenz des Dalbens in Ho¨he des Angriffspunktes der Stoßkraft PSt der Einspannpunkt bei x ¼ 0,78 t0 angesetzt. k¼

3EI ðhST þ 0,78t0 Þ3

sgrenz ¼

Pst PST ¼ ðhSt þ 0,78  t0 Þ3 k 3EI

sgrenz ¼

410 ð7,53 þ 0,78  6,83Þ3  106 ¼ 23 cm ð3  2,1  104  0,6  106 I

Das Arbeitsvermo¨gen des Dalbens errechnet sich mit k ¼ PSt sgrenz zu: Edef ¼

1 2 1 sgrenz  k ¼ PSt  sgrenz 2 2

Edef ¼

1 410  0,23 ¼ 47,15 kN m 33 kN m 2

Mit Hilfe eines EDV-Programms la¨sst sich die nichtlineare Kraft-Verformungskennlinie PSt ¼ f ðsÞ fu¨r Einpfahldalben, Bu¨ndeldalben und geschichteten Boden ermitteln. Dann gilt: Ekin ¼ Edef ¼

sgrenz Ð

PSt ðsÞ ds

)

sgrenz ; PSt

0

Anmerkung:  Die Bemessung fu¨r Trossenzug erfolgt nach den Gesetzten der Statik.  Die Stoßkraft PSt muss von der (eventuell abgefederten) Schiffshaut aufnehmbar sein.  Die horizontale Verformung sgrenz darf nicht so groß sein, dass das Schiff auf den Dalben auffa¨hrt und unterhalb der Fender gegen den Dalben gedru¨ckt wird.  Die beiden vorangegangenen Bedingungen widersprechen sich: PSt ¼ sgrenz

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2Ekin k ) rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2Ekin ) ¼ k

je kleiner die Federsteifigkeit k desto kleiner PSt ¨ je großer die Federsteifigkeit k desto kleiner sgrenz

Deshalb muss bei Dalbenberechnungen ein Kompromiss gefunden werden.  Um die Federsteifigkeit eines Dalbens zu verringern, ko¨nnen an Dalben ElastomerFender in Ho¨he des Stoßpunktes angebracht werden. Man rechnet dann mit in Reihe geschalteten Federn.  Bei einer abzubremsenden großen kinetischen Energie im Bereich von Schifffahrtswegen sind Bo¨schungen wirtschaftlicher herzustellen als elastische Konstruktionen ½57.

82

6.3.2

6 Stoßvorga¨nge

Plastischer Anfahrpoller

Die Geba¨udestu¨tzen eines Bu¨rogeba¨udes sollen im Bereich der Durchfahrt mit Anfahrpollern geschu¨tzt werden, da die schlanken Geba¨udestu¨tzen fu¨r den Anprall aus Fahrzeugen nicht nachgewiesen sind (Bild 6.14). Der zu errichtende Anfahrpoller ragt 800 mm u¨ber die vorhandene Asphaltschicht hinaus und ist in ein Stahlbetonfundament eingespannt. Die Asphaltschicht ist 130 mm dick. Die Kragla¨nge lk betra¨gt demnach 930 mm. Als Fahrzeugtyp wird vom Bauherrn ein SLW 30 angegeben und die Ho¨chstgeschwindigkeit ist im Bereich der Durchfahrt auf Grund der engen Fahrgasse auf 5 km/h begrenzt. Die Auslegung des Anfahrpollers geschieht u¨ber eine dynamische Berechnung ½26. Fu¨r die Auslegung des Pollers ist zu beachten, dass er zum einen weit genug von der Stu¨tze entfernt platziert wird, damit die Stu¨tze am Ende des Anfahrvorganges nicht beru¨hrt wird. Zum anderen ist der Anschluss an das Fundament fu¨r die maximalen Schnittgro¨ßen nachzuweisen. Es sind also die maximale Verformung des Pollers und die maximalen Schnittgro¨ßen fu¨r den Anschluss an das Fundament zu ermitteln.

Bild 6.14 Querschnitt einer Durchfahrt (schematisch)

Berechnung der maximalen Auslenkung am Pollerkopf Die Steifigkeit k la¨sst sich bestimmen zu (Kennwerte siehe Tabelle 6.2): k¼

3EI lk3

)

3  2,1  105  1116,36  104 9303 N k ¼ 8743,7 mm k¼

)

Fu¨r die kinetische Energie folgt mit der Beziehung 1 t ¼ 1 N s2 /mm: 5 mm 106 ) u1 ¼ 1388,89 3600 s ms 2 30 ) Ekin; 1 ¼ u 1388,892 Ekin; 1 ¼ 2 1 2 Ekin; 1 ¼ 28 935  103 N mm

u1 ¼

)

83

6.3 Anwendungsbeispiele

Tabelle 6.2 Ausgangswerte fu¨r die Berechnung Fahrzeugmasse ms

Zugfestigkeit (Bruchfestigkeit) fu; k

30 [t] km 5 h Baustahl S 355 JO N 355 mm2 N 490 mm2

Gesamtla¨nge lk Profil Plastisches Widerstandmoment Wpl Fla¨chentra¨gheitsmoment I

800 mm þ 130 mm ¼ 930 mm RO 139,7 14,2 224,61  103 mm3 1116,36  104 mm4

Maximalgeschwindigkeit u1 Material Streckgrenze (Fließspannung) fy; k

Bild 6.15 Idealisiertes System

Die maximale statische Ersatzlast Fers am Kopf des Pollers ist erreicht, wenn am Einspannpunkt die Fließspannung erreicht ist (Bild 6.15). Aus Bild 6.3 wird deutlich, dass man zur Berechnung der maximalen Auslenkung spl am Pollerkopf nach Gl. (6.14) auf der sicheren Seite liegt, wenn bei der Berechnung der verrichteten Deformationsarbeit nur der Kraftanteil bis zum Erreichen der Fließspannung beru¨cksichtigt wird. Die Deformationsarbeit des ansteigenden Astes bis zum Erreichen der Bruchfestigkeit wird demnach vernachla¨ssigt. Die elastische Auslenkung am Pollerkopf wird mit der u¨ber die Streckgrenze berechneten Querkraft Fers bestimmt. Mit Mpl ¼ Fers lk ¼ fy; k Wpl wird:

84

6 Stoßvorga¨nge

Fers ¼ fy; k

Wpl lk

)

Fers ¼ 355 

224,61  103 ¼ 85,7  103 N 930

Die maximale elastische Auslenkung am Pollerkopf bei Erreichen der Fließspannung am Einspannpunkt berechnet sich zu: sfl ¼

Fers 85,7  10 ¼ 9,8 mm ¼ 8743,7 k

Die elastische Deformationsarbeit ergibt sich zu: Edef; 2; el ¼

s2fl k 2

)

Edef; 2; el ¼

9,82  8743,7 ¼ 420,36  103 N mm 2

Die maximale Auslenkung am Ende des Anfahrvorganges kann mit der Gl. (6.14) bestimmt werden: spl ¼ ðEkin; 1  Edef ; 2; el Þ

1 28 935  103  420,36  103 ¼ ¼ 332,78 mm sfl k 9,8  8743,7

Der Anfahrpoller ist in Fahrtrichtung somit mindestens in einer Entfernung r 9,8 þ 332,78 ¼ 342,6 mm von der Stu¨tze zu platzieren. Berechnung der maximalen Schnittgro¨ßen an der Einspannstelle Die maximale Horizontalkraft am Kopf des Pollers zur Bemessung des Anschlusses an das Fundament ist mit der Bruchfestigkeit zu ermitteln. Wu¨rde nur die Fließspannung beru¨cksichtigt werden, so liegt man auf der unsicheren Seite, da sich beim Anprall meist immer so große Dehnungen einstellen, dass der ansteigende Ast bis zur Bruchfestigkeit nicht vernachla¨ssigt werden kann. Auf die Beru¨cksichtigung mo¨glicher berfestigkeiten des Stahls gegenu¨ber der Norm wird besonders hingewiesen, da die plastische Grenzlast

Bild 6.16 Idealisierte Kraft- und Spannungs-Verformungslinie fu¨r Stahl

85

6.3 Anwendungsbeispiele

dadurch deutlich gro¨ßer werden kann (Bild 6.16). Fers ¼ FBruch ¼ fu; k

Wpl lk

)

FBruch ¼ 490 

224,61  103 ¼ 118,3  103 N 930

Die Deformationsarbeit zum Abbremsen der kinetischen Energie kann nur voll wirksam werden, wenn unter allen Umsta¨nden der Anschluss trotz seiner geringeren Duktilita¨t nicht versagt. Deshalb ist bei der Bemessung der Anschlu¨sse FBruch als Gebrauchslast anzusetzen. Berechnung gekoppelter Anfahrpoller Manchmal wird die Frage gestellt, ob nicht mehrere Anfahrpoller miteinander gekoppelt werden ko¨nnten, um die Schnittgro¨ßen an der Einspannstelle und die Verformungen zu verringern. Eine Reduzierung der Schnittgro¨ßen wa¨re auch gu¨nstig, wenn kein massiges Betonfundament bzw. keine Stahlbetonsohle vorliegen wu¨rde, welches durch seine Tra¨gheit der Stoßbelastung das Gleichgewicht ha¨lt. Denn bei solchen Fundamenten sind die Anfahrkra¨fte noch bis in die Gru¨ndung zu verfolgen. Bei reduzierten Schnittgro¨ßen ko¨nnte das Fundament eventuell entsprechend kleiner ausgebildet werden. Wie im vorangegangenen Beispiel werden dieselben Ausgangswerte gewa¨hlt. Koppelt man nun drei in Fahrtrichtung stehende Poller durch einen horizontalen als starr angenommenen Riegel miteinander (Bild 6.17) so erho¨ht sich die Steifigkeit des Gesamtsystems auf: kges ¼ 3ki kges ¼ 3 

)

kges ¼ 3 

3EI lk3

)

3  2,1  105  1116,36  104 N ¼ 26231,1 9303 mm

Die maximale elastische Auslenkung am Pollerkopf bei Erreichen der Fließspannung am Einspannpunkt berechnet sich zu: Fers; ges ¼ fy; k

3Wpl ¼ 3Fers; i lk

Bild 6.17 Drei Anfahrpoller hintereinander in La¨ngsrichtung gekoppelt

86

6 Stoßvorga¨nge

sfl ¼

Fers; ges 3Fers; i Fers; i ¼ ¼ kges 3ki ki

Die maximale elastische Auslenkung sfl der gekoppelten Einzelpoller ist genauso groß, als wu¨rde nur ein Poller vorhanden sein: sfl ¼

85,7  103 ¼ 9,8 mm 8743,7

Die elastische Deformationsarbeit ergibt sich zu: Edef; 2; eI; ges ¼

1 2 1 s  kges ¼ 3  Edef; 2; eI; i ¼ 3  s2fl  ki 2 fl 2

Edef; 2; eI; ges ¼

1 9,82  26231,1 ¼ 1259,62  103 N mm 2

Edef; 2; eI; ges ¼ 3  420,36  103 ¼ 1261,08  103 N mm Die kinetische Energie ist nach dem Stillstand des Fahrzeuges gleich der Summe aus der reversiblen elastischen Deformationsarbeit und der irreversiblen plastischen Deformationsarbeit: P P Ekin; 1 ¼ Edef; 2; el þ Edef; 2; pl Ekin; 1 ¼ 3Edef; 2; el; i þ 3sfl ki spl Die kinetische Energie ist nur von der Masse und Geschwindigkeit des Fahrzeuges abha¨ngig. Da das gleiche Fahrzeug vorausgesetzt wird wie vorher, ist die kinetische Energie unvera¨ndert: Ekin; 1 ¼

ms 2 u 2 1

)

Ekin; 1 ¼

30  1388,892 ¼ 28 935  103 N mm 2

Die maximale Auslenkung am Ende des Anfahrvorganges kann mit Hilfe der Gl. (6.16) bestimmt werden: spl ¼ ðEkin; 1  Edef; 2; eI; ges Þ

1 sfl  kges

Die maximale Verformung bei drei gekoppelten Pollern betra¨gt demnach etwa 1=3 der Verformung bei Verwendung von nur einem Poller. Die maximale Horizontalkraft an jedem Poller ergibt sich dann zu: FBruch; i ¼ fu; k

Wpl lk

)

FBruch; i ¼ 490 

224,61  103 ¼ 118,3  103 N 930

Dieser Wert ist genauso groß wie bei Verwendung nur eines Pollers. Die Belastung fu¨r das Fundament ist aufgrund der Kopplung auf das dreifache gestiegen: P Fers; ges ¼ FBruch; i ¼ 3  118,3  103 N Wie schon bei der Dalbenbemessung angemerkt, zeigt sich auch hier wieder: Gro¨ßere Steifigkeit bedeutet kleine Verformungen aber gro¨ßere Kra¨fte.

6.3 Anwendungsbeispiele

6.3.3

87

Bungee-Springen

Wie groß ist die Kraft, die wa¨hrend des Bungee-Sprungs auf den Menschen wirkt, und wie hoch muss die Absprungstelle u¨ber dem Erdboden liegen, damit noch 10 m Sicherheitsabstand zwischen Mensch und Boden bleibt? Untersucht werden entsprechend Bild 6.18 fu¨nf verschiedene Sprungphasen, wobei linear elastisches Materialverhalten des Seiles angenommen wird.

Bild 6.18 Sprungphasen beim Bungee-Sprung

1. Sprungphase Der Springer befindet sich noch in der Absprungposition h1 ¼ 0. Die Geschwindigkeit der Masse m des Springers betra¨gt u1 ¼ 0. Die Steifigkeit des Seiles betra¨gt k ¼ EA=l. Dabei ist: l die La¨nge des unbelasteten Seiles h der Fallweg z die geoda¨tische Ho¨he 2. Sprungphase Das Seil istpvollsta ffiffiffiffiffiffiffi ¨ ndig entrollt, aber unbelastet h2 ¼ l. Als momentane Geschwindigkeit kann u2 ¼ 2gl angegeben werden. Mit z2 ¼ smax ¼ sstat þ sdyn ergeben sich die potenzielle Energie und die kinetische Energie zu: m Ekin; 2 ¼ u22 ¼ mgl 2 Epot; 2 ¼ mgz2 ¼ mgsmax Edef; 2 ¼ 0

88

6 Stoßvorga¨nge

3. Sprungphase Bei der Abwa¨rtsbewegung des Springers hat das Seil die La¨nge erreicht, die es bei statischer Belastung durch den Springer haben wu¨rde (5. Sprungphase). 4. Sprungphase Die maximale Seilla¨nge ist erreicht h4 ¼ l þ smax . Die Masse des Springers hat im Umkehrpunkt die Geschwindigkeit u4 ¼ 0. Mit z4 ¼ 0 ergeben sich die Energien zu: Ekin; 4 ¼ Epot; 4 ¼ 0 Edef; 4 ¼

s2max k 2

Aus der Energiebilanz der 2. und 4. Sprungphase

P

E ¼ konst folgt:

s2 Ekin; 2 þ Epot; 2 ¼ Edef; 4 ) mgl þ mgsmax ¼ max k 2 s ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  mg mg 2 2mgl þ smax ¼ þ k k k

)

Die Kraft, die auf den Springer wirkt, kann mit k ¼ EA=l berechnet werden: Fmax ¼ smax k Fmax

) Fmax ¼ mg þ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ mg þ ðmgÞ2 þ 2mgEA

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðmgÞ2 þ 2mglk

)

Die Kraft ist von der Seilla¨nge, also von der Strecke, die der Springer im freien Fall zuru¨cklegt, unabha¨ngig. Daher konnten die Absprungho¨hen immer weiter gesteigert werden. Fu¨r schwere Springer mit großer Masse muss allerdings ein Seil mit kleinerer Steifigkeit gewa¨hlt werden! Die Gesamtla¨nge des Fallweges betra¨gt: hges ¼ h4

)

hges ¼ l þ smax

Mit k ¼ EA=l wird:

smax

smax

sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  2 mgl mgl 2 ) þ2 EA EA ffi1 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  2 mg mg mg A ¼l@ þ2 þ ) EA EA EA mgl ¼ þ EA 0

smax ¼ lj

)

hges ¼ lð1 þ jÞ

Die Gesamtla¨nge des Fallweges ist linear abha¨ngig von der Seilla¨nge. Die Absprungho¨he u¨ber dem Erdboden betra¨gt somit: H ¼ hges þ 10 m

)

H ¼ lð1 þ jÞ þ 10 m

89

6.3 Anwendungsbeispiele

5. Sprungphase Nach dem Abklingen der Auf- und Abschwingungen ist der Springer zur Ruhe gekommen ðu5 ¼ 0Þ und das Bungee-Seil hat eine La¨nge von h5 ¼ l þ sstat . Die statische und dynamische Verla¨ngerung des Seiles ergeben sich aus: sstat ¼

mg k

)

sdyn ¼ smax  sstat

sstat ¼ )

mg l EA

  mg sdyn ¼ l j  EA

Beispiel 6.4 kN und eine La¨nge von 10 m. m Der Bungee-Springer habe ein Gewicht von 1,0 kN. Die Kraft, die auf den Springer wirkt, betra¨gt: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Fmax ¼ m  g þ ðm  gÞ2 þ 2  m  g  l  k pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Fmax ¼ 1,0 þ 1,02 þ 2  1,0  10  0,2 ¼ 3,24 kN

Ein Bungee-Seil habe eine Federkonstante von k ¼ 0,2

Die Absprungho¨he berechnet sich: s ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  mg mg 2 2mgl smax ¼ þ þ k k k s ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 1,0 1,0 2  1,0  10 smax ¼ þ þ ¼ 16,2 m 0,2 0,2 0,2 hges ¼ l þ smax ¼ 10,0 þ 16,2 ¼ 26,2 m H ¼ hges þ 10,0 ¼ 26,2 þ 10,0 ¼ 36,2 m

7

Freie Schwingungen

7.1

Allgemeines

Durch stoßartige Anregung oder durch Auslenkung aus der statischen Ruhelage lassen sich elastische Systeme zu freien Schwingungen (Eigenschwingungen) anregen. In der Baudynamik handelt es sich im Allgemeinen um homogene Systeme, die zur Untersuchung ihrer dynamischen Eigenschaften vereinfachend als diskrete Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden abgebildet werden [32]. Jedes System hat so viele Eigenfrequenzen wie Freiheitsgrade, und zu jeder Eigenfrequenz geho¨rt eine Eigenform (Schwingungsform). Aufgrund der stets vorhandenen Da¨mpfung kommt jede freie Schwingung wieder zur Ruhe, sie klingt ab. Aus der gemessenen Abklingkurve (siehe Bild 4.2) ko¨nnen die Eigenfrequenz und die Da¨mpfung der zugeho¨rigen Eigenform ermittelt werden. Bei bestehenden Konstruktionen ist die experimentelle der analytischen Ermittlung vorzuziehen.

7.2

Systeme mit einem Freiheitsgrad

7.2.1

Der Einmassenschwinger

Bei dem idealisierten Masse-Feder System ist die Masse starr und wird durch ihren Schwerpunkt repra¨sentiert. Vereinfachend wird demzufolge eine Punktmasse angenommen. Die diskrete Feder wird als masselos betrachtet. Soll die Feder durch die Eigenelastizita¨t einer Struktur repra¨sentiert werden, muss die dynamische Biegelinie na¨herungsweise mit der statischen Biegelinie u¨bereinstimmen. Ob die Federmasse vernachla¨ssigt werden kann, muss von Fall zu Fall entschieden werden.

7.2.2

Differentialgleichung

Die Bewegungsgleichung des Einmassenschwingers la¨sst sich durch Aufstellen des dynamischen Kra¨ftegleichgewichtes anhand des Bildes 7.1 herleiten. Infolge einer vertikalen Verschiebung s der Masse m lautet das Gleichgewicht der dynamischen Kra¨fte am freigeschnittenen System: P F¼0 ) FT þ FD þ FR ¼ 0

ð7:1Þ

Die dynamischen Kra¨fte in Gl. (7.1) lassen sich als Funktion der zeitlich vera¨nderlichen Verschiebung sðtÞ darstellen: FR ¼ ksðtÞ

)

¨ Ruckstellkraft

FD ¼ cs_ðtÞ

)

¨ Dampfungskraft

FT ¼ m€ sðtÞ

)

¨ Tragheitskraft

ð7:2Þ

92

7 Freie Schwingungen

Bild 7.1 Dynamisches System mit einem Freiheitsgrad



   kN kNs Hierin stellt k die Federkonstante und c die Da¨mpfungskonstante dar. Wird m m die Gl. (7.2) in Gl. (7.1) eingesetzt, folgt die Bewegungsgleichung des Einmassenschwingers: m€ sðtÞ þ cs_ðtÞ þ ksðtÞ ¼ 0

ð7:3Þ

Die homogene Differentialgleichung (7.3) lo¨st das Eigenwertproblem. Jedoch bleibt die Gro¨ße der Verschiebungsamplitude unbestimmt. Die Tra¨gheitskraft FT ist stets der Bewegung entgegengerichtet und die Da¨mpfungskraft FD ist proportional zur Geschwindigkeit (siehe Abschnitt 9.5). Zur Lo¨sung der homogenen Differentialgleichung wird ein harmonischer Ansatz gewa¨hlt. Der Nullphasenwinkel j (siehe Bild 4.3) habe den Wert 0. Fu¨r die einzelnen Bewegungsgro¨ßen gilt dann: sðtÞ ¼ s^ cos wt s_ðtÞ ¼ ^sw sin wt

ð7:4Þ

s€ðtÞ ¼ ^sw cos wt 2

7.2.3

Eigenfrequenz der freien ungeda¨mpften Schwingung

Die Da¨mpfung der u¨blichen Baukonstruktionen ist oftmals so gering, dass im Allgemeinen mit der Eigenfrequenz des ungeda¨mpften Systems gerechnet werden kann. Mit dem harmonischen Lo¨sungsansatz (7.4) geht die homogene Differentialgleichung mit c ¼ 0 in folgende Form u¨ber: s cos wt ¼ 0 m^ sw2 cos wt þ k^

ð7:5Þ

93

7.2 Systeme mit einem Freiheitsgrad

Zum Zeitpunkt t ¼ 0 liefert Gl. (7.5):  mw2 þ k ¼ 0 ) rffiffiffiffiffi   k 1 w¼ m s rffiffiffiffiffi 1 k ½Hz f ¼ 2p m Wird in die Gl. (7.6) der Term k ¼ 5 f ¼ pffiffi ½Hz s

ð7:6Þ

mg eingesetzt, ergibt sich aus Gl. (7.6): s ð7:7Þ

mit: s [cm] statische Durchbiegung unter dem Gewicht G ¼ mg Fu¨r Rotationsschwingungen an einem ungeda¨mpften Schwinger ðc ¼ 0Þ folgt aus dem Drallsatz (siehe Abschnitt 5.3) die Eigenfrequenz: sffiffiffiffiffiffiffi kw ww ¼ ð7:8Þ QS mit: kw Torsionssteifigkeit (siehe Abschnitt 7.3.2) QS Massentra¨gheitsmoment (siehe Abschnitt 5.4) Wenn die Eigenfrequenzen in der Na¨he der Anregungsfrequenzen liegen, spricht man von Resonanz. Die meisten Aufgaben in der Baudynamik lassen sich lo¨sen, indem so konstruiert wird, dass die Eigenfrequenzen weit genug von den Anregungsfrequenzen entfernt liegen. Die Abstimmungsregel zum Erreichen von Resonanzfreiheit lautet: Gro¨ßere Massen beziehungsweise Massentra¨gheitsmomente und kleinere Federsteifigkeiten fu¨hren zu einer kleineren Eigenfrequenz und umgekehrt. Allerdings stehen die Parameter unter der Wurzel, was auf die Schwierigkeit hindeutet, nachtra¨glich Baukonstruktionen mit vertretbarem Aufwand zu verstimmen. Außerhalb des Resonanzbereiches kann die Da¨mpfung der Baukonstruktion im Allgemeinen vernachla¨ssigt werden (siehe Abschnitt 8.2). Die oben genannten Formeln lassen sich z. B. auf Flach- und Tiefgru¨ndungen oder Maschinentische anwenden, wenn der Schwerpunkt aus Maschine und Fundament auf der Wirkungslinie der resultierenden elastischen Ru¨ckstellkra¨fte liegt (Bild 7.2). Man spricht dann von einem entkoppelten System. Ein Beispiel fu¨r ein gekoppeltes System wird in Abschnitt 7.3.2 behandelt. Mit der Gesamtmasse aus Fundament und Maschine kann die vertikale und horizontale Eigenfrequenz berechnet werden. m ¼ mM þ mF rffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffi 4kz 4kh wh ¼ wz ¼ m m

94

7 Freie Schwingungen

Bild 7.2 Entkoppeltes System eines Maschinentisches

mit: kz vertikale Federkonstante einer Stu¨tze kh horizontale Federkonstante einer Stu¨tze Die Torsionseigenfrequenz gema¨ß Gl. (7.8) wird mit der Torsionssteifigkeit kw der 4 Stu¨tzen um die vertikale Achse durch den Gesamtschwerpunkt S berechnet. Dabei mu¨ssen die Massentra¨gheitsmomente QS; i von Maschine und Fundament auf die lotrechte Achse durch den Gesamtschwerpunkt bezogen werden (siehe Abschnitt 5.4). QS ¼ QS; M þ QS; F Zur Berechnung der Federkonstanten einer elastischen Konstruktion gibt es zwei Mo¨glichkeiten. Im Abschnitt 4.4 wurde folgende Rechenvorschrift (Nr. I) angegeben: Aus der 1 Verdrehung w infolge M ¼ 1 folgt kw ¼ . Bei entkoppelten Systemen fu¨hrt diese Vorw gehensweise schnell zum Ergebnis. Bei gekoppelten Systemen (siehe Abschnitt 7.3.2) wird zweckma¨ßig die Verdrehung w ¼ 1 gesetzt. Nach dieser Rechenvorschrift (Nr. II) gilt: Aus dem Moment M infolge w ¼ 1 folgt kw ¼ M. Die Torsionssteifigkeit soll nach beiden Rechenvorschriften ermittelt werden, um zu zeigen, dass beide zum gleichen Ergebnis fu¨hren (Bild 7.2). Nach (I) wird mit Fh ¼ wrkh M ¼ 4Fh r

)

M ¼ 4wkh r2

)

w¼

M 4kh r2

95

7.2 Systeme mit einem Freiheitsgrad

fu¨r M¼1

kw ¼

1 ¼ 4kh r2 w

Nach (II): M ¼ 4Fh r

)

M ¼ 4wkh r2

fu¨r w¼1

kw ¼ M ¼ 4kh r2

Die Torsionseigenfrequenz lautet demnach: sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4kh r2 ww ¼ QS Beispiel 7.1 Exemplarisch werden anhand des Bildes 7.3 die Eigenfrequenzen eines Maschinentisches berechnet. Die Masse der Maschine betra¨gt: mM ¼ 1,60 t Die Fundamentmasse ergibt sich aus den Einzelvolumen: VF; 1 ¼ r2  p  h ¼ 1,02  p  1,0 ¼ 3,142 m3

(Zylinder)

VF; 2 ¼ 4  0,4  0,6  0,35 ¼ 0,336 m

(Parallelepiped)

3

mF ¼ ð3,142 þ 0,336Þ  2,5 ¼ 8,70 t Damit kann der vertikale Gesamtschwerpunkt und die Federsteifigkeiten ermittelt werden: zS ¼

3,142  0,5  2,5 þ 0,336ð0,65 þ 0,5  0,35Þ 2,5 þ 1,6  1,3 1,6 þ 8,7

zS ¼ 0,651 m

Bild 7.3 Maschinentisch

96

7 Freie Schwingungen

kh ¼

3  E  I 3  2,1  108  28,2  108 kN ¼ ¼ 30,463 1,803 l3 m

kw ¼ 4  kh  r2 ¼ 4  30,463  1,22 ¼ 175,467 kN m Schließlich folgen das Massentra¨gheitsmoment: QS; F; 1 ¼

mF 2 3,142  2,5 r ¼ 1,02 2 2

)

QS; F; 1 ¼ 3,928 t m2

mF 2 ða þ b2 Þ þ mF rS2 ) 12 0,336  2,5 ¼ ð0,42 þ 0,62 Þ þ 0,336  2,5  1,22 12 ¼ 1,246 t m2

QS; F; 2 ¼ QS; F; 2 QS; F; 2

QS; M ¼

mM 2 1,6 0,352 r ¼ 2 2

QS ¼ QS; F; 1 þ QS; F; 2 þ QS; M

)

)

QS; M ¼ 0,098 t m2 )

QS ¼ 5,272 t m2

und die Torsionseigenfrequenz des Fundamentes: sffiffiffiffiffiffiffi sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi kw 175,467 1 ww ¼ ¼ 5,769 ¼ 5,272 s QS

7.2.4

Reduzierte Massen

Da sich ha¨ufig mehrere Massen auf einer Tragkonstruktion befinden, mu¨ssen alle Massen in einen Punkt, z. B. in die Feldmitte, verschoben werden, um die oben genannten Formeln (7.6) bis (7.8) fu¨r den Einmassenschwinger (siehe Bild 7.1) anwenden zu ko¨nnen. In Bild 7.4 ist zu erkennen, dass die folgende Forderung erfu¨llt sein muss: w2A ¼ w2B

ð7:9Þ

Die Eigenfrequenz des urspru¨nglichen linken Systems A muss also der Eigenfrequenz des Systems B mit reduzierter Masse entsprechen. Im oberen Teilbild des Bildes 7.4 soll die außermittig liegende Einzelmasse m auf ein System mit zentrischer Last reduziert werden. Es gilt: 3lEI 48EI kB ¼ 3 kA ¼ 2 2 , a b l kA kB 2 2 ¼ w A ¼ wB ) ) m mred  2 3lEI 48EI 4ab ) mred ¼ m ð7:10Þ ¼ a2 b2 m l 3 mred l2 Soll die reduzierte Masse nicht in der Mitte des Einfeldtra¨gers angesetzt werden, so geht die Formel (7.10) in die Form u¨ber:  2 ab mred ¼ m ð7:11Þ cd

7.2 Systeme mit einem Freiheitsgrad

97

Bild 7.4 Reduzierte Massen

  t Im mittleren Teilbild des Bildes 7.4 wird die Streckenmasse m des urspru¨nglichen m Systems auf eine Einzelmasse mred in Tra¨germitte reduziert.     t q kN s2 m ¼ m2 m g w2A ¼

p4  E  I (siehe Abschnitt 7.4.2, Gl. 7.38) l4  m w2A ¼ w2B

)

48l m p4  0,5ml

mred ¼ mred

p4 EI 48EI ¼ 3 l4 m l mred )

mred ¼ 0,494ml

ð7:12Þ

Das untere Teilbild des Bildes 7.4 zeigt einen Kragarm mit gleichma¨ßig verteilter Streckenmasse m. In diesem Fall gilt bei Schwingungen quer zur Stabachse: mred ¼ 0,25ml

ð7:13Þ

und bei Schwingungen in Richtung der Stabachse mred ¼ 0,33ml Andere Anwendungsfa¨lle lassen sich nach demselben Prinzip herleiten.

ð7:14Þ

98

7 Freie Schwingungen

7.3

Systeme mit mehreren Freiheitsgraden

7.3.1

Der ungeda¨mpfte Zweimassenschwinger

In der Praxis begegnen uns Zweimassenschwinger mit zwei Freiheitsgraden als elastisch gelagerte Maschinen auf einem Fundament bzw. auf einer Tragkonstruktion oder als Schwingungstilger (siehe Abschnitt 8.3). Bild 7.5 stellt das dynamische System eines ungeda¨mpften (c ¼ 0) Zweimassenschwingers dar. Weil die Verschiebung nur in Richtung der Federn mo¨glich ist, entspricht die Anzahl der Freiheitsgrade der Anzahl der Massen, die an der Schwingung beteiligt sind. Analog zum Einmassenschwinger treten auch hier die freigeschnittenen Ru¨ckstellkra¨fte FR; i und die Tra¨gheitskra¨fte FT; i auf.

Bild 7.5 System mit zwei Freiheitsgraden

Das Bild 7.6 zeigt im linken Teilbild eine abgefederte Masse m1 auf einem Einfeldtra¨ger. Im rechten Teilbild ist das ungeda¨mpfte dynamische Modell mit reduzierter Masse m2red , den zeitabha¨ngigen Verschiebungsgro¨ßen s1; 2 ðtÞ und den Federsteifigkeiten k1; 2 zu erkennen. 48EI Hier ist m2red ¼ 0,5m2 l und k2 ¼ 3 l

Bild 7.6 Zweimassenschwinger als dynamisches Modell

99

7.3 Systeme mit mehreren Freiheitsgraden

Die dynamische Ru¨ckstellkraft FR1 der Federkonstanten k1 betra¨gt: FR1 ¼ k1  Dl

ð7:15Þ

Dabei ist Dl die La¨ngena¨nderung der Feder k1 . Stellt l1 die La¨nge der Feder k1 im ausgelenkten Zustand dar, kann Dl bestimmt werden durch (siehe Bild 7.5): l1 ¼ l0  s1 ðtÞ þ s2 ðtÞ

)

Dl ¼ s1 ðtÞ  s2 ðtÞ

l0  l1 ¼ s1 ðtÞ  s2 ðtÞ

ð7:16Þ

Gebildet wird die Summe der an der Masse m1 infolge s1 angreifenden dynamischen Kra¨fte. P F1 ¼ 0 ) m1 s€1 ðtÞ þ k1 ðs1 ðtÞ  s2 ðtÞÞ ¼ 0 ð7:17Þ Das dynamische Kra¨ftegleichgewicht der an der Masse m2 infolge s2 angreifenden Kra¨fte lautet: P F2 ¼ 0 ) m2 s€2 ðtÞ  k1 ðs1 ðtÞ  s2 ðtÞÞ þ k2 s2 ðtÞ ¼ 0 ) m2 s€2 ðtÞ þ ðk1 þ k2 Þ s2 ðtÞ  k1 s1 ðtÞ ¼ 0 ð7:18Þ Entsprechend Gl. (7.4) werden fu¨r s1 ðtÞ und s2 ðtÞ harmonische Lo¨sungsansa¨tze gewa¨hlt und folgende Beiwerte eingefu¨hrt: sffiffiffiffiffiffi sffiffiffiffiffiffi k1 k2 wI ¼ , wII ¼ m1 m2 ð7:19Þ k1 m2 , j¼ n¼ k2 m1 w1; 2 wI und wII werden Einzeleigenfrequenzen genannt. Mit Hilfe des Beiwertes h1; 2 ¼ wI ko¨nnen die gekoppelten Eigenfrequenzen des ungeda¨mpften Zweimassenschwingers ermittelt werden. sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  2 1 þ nð1 þ jÞ 1 þ nð1 þ jÞ 1 2   ) h1; 2 ¼ ð7:20Þ 2nj 2nj nj w1 ¼ h1 wI

w2 ¼ h 2 wI

Die gekoppelten Eigenfrequenzen des Gesamtsystems liegen immer außerhalb der Einzeleigenfrequenzen (Bild 7.7).

Bild 7.7 Gekoppelte Eigenfrequenzen

100

7 Freie Schwingungen

Bild 7.8 Schwebung bei einem gekoppelten Zweimassenschwinger [7]

Liegen die gekoppelten Eigenfrequenzen dicht nebeneinander, kommt es zu Schwebungen (Bild 7.8) der Massen m1 und m2 , die um p gegeneinander verschoben sind (gekoppelte Pendel). Die Schwebungsfrequenz DwS kann mittels der gekoppelten Eigenfrequenzen errechnet werden: DwS ¼ w1  w2

ð7:21Þ

Die Schwebungsperiode folgt entsprechend: TS ¼

2p DwS

ð7:22Þ

Schwebungen ko¨nnen gut beobachtet werden, wenn Maschinenteile in etwa dieselbe Eigenfrequenz haben wie die Stu¨tzenkonstruktion. Die Amplitudenextrema und die Ruhepunkte wechseln dann von Maschinenteil zur Stu¨tzenkonstruktion hin und her. Eine der beiden Eigenfrequenzen sollte dann verstimmt werden. Liegen die Einzeleigenfrequenzen weit auseinander, kann mit den Einzeleigenfrequenzen gerechnet werden. In diesem Fall kann der Zweimassenschwinger wie ein entkoppeltes System betrachtet werden.

7.3.2

Elastisch gestu¨tzte starre Scheibe

Beispiele fu¨r eine elastisch gestu¨tzte starre Scheibe mit drei Freiheitsgraden ko¨nnen Maschinenfundamente auf dem Boden, auf einer elastischen Matte, auf Pfa¨hlen oder Stu¨tzen sein. Eine ausfu¨hrliche Darstellung ist in [9] enthalten. Liegt der gemeinsame Schwerpunkt S von Maschine und Fundament auf der Wirkungslinie der vertikalen elastischen Stu¨tzung, so wird von einem in z-Richtung entkoppelten System gesprochen und fu¨r die vertikale Eigenfrequenz gilt: rffiffiffiffiffiffiffiffi Skz wz ¼ m Die Eigenfrequenzen wx und ww sind gekoppelt (siehe die Gl. 7.23 und 7.24).

101

7.3 Systeme mit mehreren Freiheitsgraden

Scheibe auf Einzelfedern Das Bild 7.9 zeigt das ungeda¨mpfte System (c ¼ 0) einer elastisch gestu¨tzten starren Scheibe auf Einzelfedern. Infolge der Verformung sx ðtÞ und der Verdrehung wðtÞ wirken folgende dynamische Schnittkra¨fte an der freigeschnittenen Scheibe mit der Masse m: P sx ðtÞ þ kxx sx ðtÞ þ kxw wðtÞ ¼ 0 ð7:23Þ Fx ¼ 0 ) m€ In der Formel (7.23) bedeuten:

  kN m ¼ kx r ½kN

 die Ru¨ckstellkraft in x-Richtung infolge sx ðtÞ ¼ 1

)

kxx ¼ kx

 die Ru¨ckstellkraft in x-Richtung infolge wðtÞ ¼ 1

)

kxw

Bild 7.9 Elastisch gestu¨tzte starre Scheibe mit Einzelfedern

Aufgrund der Verformung sx und der Verdrehung w treten ebenfalls Momente um die Drehachse durch den Schwerpunkt S des Gesamtsystems Fundament und Maschine auf. Das Gleichgewicht aller Momente um den Schwerpunkt lautet: P € ðtÞ þ kwx sx ðtÞ þ kww wðtÞ ¼ 0 Mw ¼ 0 ) Q S w ð7:24Þ In der Formel (7.24) bedeuten:  das Ru¨ckstellmoment um S infolge sx ðtÞ ¼ 1  das Ru¨ckstellmoment um S infolge wðtÞ ¼ 1

) )

kwx ¼ kx r ½kN kww ¼ kx r2 þ 2kz a2 ½kN m

Die gekoppelte Federkonstante kw; x ¼ kx; w fu¨hrt zu gekoppelten Eigenfrequenzen. Zur Lo¨sung der homogenen Differentialgleichungen (7.23) und (7.24) wird wieder ein harmonischer Ansatz gewa¨hlt. Zuna¨chst sind die Einzeleigenfrequenzen und die Beiwerte zu berechnen: w2x ¼

kxx , m

kxw q¼ , m

w2w ¼

kww QS

kwx g¼ QS

ð7:25Þ

102

7 Freie Schwingungen

Mit den Gl. (7.25) ko¨nnen die gekoppelten Eigenfrequenzen errechnet werden: sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  2 2 2 w þ w w2x  w2w x w 2 w1; 2 ¼ þqg  2 2

ð7:26Þ

Die gekoppelten Eigenfrequenzen liegen immer außerhalb der Einzeleigenfrequenzen (siehe Bild 7.7). Scheibe auf elastischer Matte Ist l die Fundamentla¨nge senkrecht zur Zeichenebene, so ist die Bettungsfla¨che fu¨r das gesamte Fundament (Bild 7.10): A ¼ lb

ð7:27Þ

Der dynamische Bettungsmodul in vertikaler Richtung (Gl. 4.42) ist mit d als Dicke der elastischen Matte definiert als:   Ez kN k0z ¼ ð7:28Þ d m3 Fu¨r Ez ist der dynamische Elastizita¨tsmodul einzusetzen. Die dynamische Federkonstante gibt die Ru¨ckstellkraft an jedem Punkt der elastischen Matte an. Fu¨r einen unendlich kleinen Abschnitt dx gilt somit: dkz ¼ k0z l dx

ð7:29Þ

Integriert man die Gl. (7.29) u¨ber die gesamte Fundamentbreite, so lautet die dynamische Federkonstante: b

kz ¼

k0z l

Ð2

dx

b 2

kz ¼ k0z A

)

)

kz ¼ k0z lb

kz ¼

)

  Ez kN A d m

Bild 7.10 Elastisch gestu¨tzte Scheibe auf elastischer Matte

ð7:30Þ

103

7.3 Systeme mit mehreren Freiheitsgraden

Das Ru¨ckstellmoment um den Gesamtschwerpunkt S kann aus den Ru¨ckstellkra¨ften an jeder Stelle dx ermittelt werden. Die vertikale Ru¨ckstellkraft an der Stelle x des Fundamentes ist: dFz ¼ wx dkz

)

dM ¼ ðwx dkz Þ x

dM ¼ dFz x )

dM ¼ wl

Ez 2 x dx d

b

ð2

wl

M¼ b 2

Ez 2 x dx d

)

M ¼ wl

ð7:31Þ

3

Ez b d 12

lb3 Mit dem Fla¨chentra¨gheitsmoment I ¼ und dem Bettungsmodul aus Gl. (7.28) wird 12 aus Gl. (7.31): M ¼ wk0z I

ð7:32Þ

Die Drehfederkonstante um S infolge der lotrechten Ru¨ckstellkra¨fte Fz mit w ¼ 1 ist demnach definiert als: kww ¼ k0z I

ð7:33Þ

Das Ru¨ckstellmoment M ¼ wr2 kx aus der horizontalen Ru¨ckstellkraft Fx ¼ wrkx kann aus Gl. (7.24) u¨bernommen werden. Demnach gilt fu¨r die Drehfederkonstante um S infolge der horizontalen Ru¨ckstellkraft mit w ¼ 1: kww ¼ kx r2

ð7:34Þ

Die Federkonstante kx kann den Datenbla¨ttern der Mattenhersteller entnommen werden. Die gesamte Drehfedersteifigkeit ergibt sich dann zu: kww ¼ kx r2 þ k0z I

ð7:35Þ

Die Federkonstanten kxx und kxw entsprechen den Angaben fu¨r Einzelfedern. Die Eigenfrequenzen ergeben sich dann wieder aus Gl. (7.26). Scheibe auf dem Boden Die Drehfedersteifigkeit kojy und die horizontale Federsteifigkeit kox eines Fundaments auf dem Boden ko¨nnen aus dem Abschnitt 11.3.2 entnommen werden. Sie sind von der Aufstandsfla¨che abha¨ngig, also Systemgro¨ßen! Um die Gl. (7.25) verwenden zu ko¨nnen, wird kxx ¼ kox kxw ¼ kox  r kww ¼ kojy þ kox  r2 gesetzt. Die Eigenfrequenzen ergeben sich wieder aus Gl. (7.26).

104

7 Freie Schwingungen

7.4

Homogene Systeme endlicher La¨nge

7.4.1

Allgemeines

Bei einem homogenen System (Kontinuum), wie zum Beispiel Seile (Saiten bei Musikinstrumenten), Sta¨be, Platten und Schalen, sind – anders als bei den diskreten Systemen (siehe Abschnitte 7.2 und 7.3) – Feder, Da¨mpfer und Masse kontinuierlich verteilt. Erfa¨hrt ein homogenes System eine Auslenkung, so entsteht eine Wellenbewegung, die sich in dem homogenen System fortpflanzt. Diese Wellenbewegung ist z. B. zu erkennen, wenn man einen Stein in einen See mit ruhiger Wasseroberfla¨che wirft. Hat das homogene System eine endliche La¨nge, dann kommt es an seinen Ra¨ndern zur Wellenreflektion. Durch berlagerung der einfallenden mit der reflektierten Welle kommt es durch Interferenz zu stehenden Wellen. Alle Punkte einer stehenden Welle schwingen in Phase. Durch die charakteristischen Absta¨nde zwischen den Knoten entstehen die Eigenformen eines homogenen Systems. Wie bei diskreten Systemen geho¨rt zu jeder Eigenform eine Eigenfrequenz. Homogene Systeme unendlicher Ausdehnung, wie z. B. der Boden, haben also keine Eigenfrequenz [4, 7]. Homogene Systeme endlicher Ausdehnung haben unendlich viele Freiheitsgrade. Wie viele davon bei Schwingungsuntersuchungen zu beru¨cksichtigen sind, ha¨ngt von den gegebenen Anregungsfrequenzen ab. Man unterscheidet die Grundschwingung (1. Eigenform, Tonho¨he) von den Oberschwingungen (ho¨here harmonische, Oberto¨ne, durch die die Klangfarbe eines Instrumentes entsteht). Der bergang von diskreten Systemen mit mehreren Freiheitsgraden zu homogenen Systemen wird durch die Genauigkeit der Diskretisierung der stetig verteilten Masse verdeutlicht. Je feiner die Diskretisierung desto genauer stimmen die Eigenformen des Mehrmassensystems mit denen des homogenen Systems u¨berein [32].

7.4.2

Eigenfrequenzen fu¨r ungeda¨mpfte Systeme

Eine ausfu¨hrliche Herleitung der Eigenfrequenzen ist in [8] enthalten. Transversalschwingungen von Sta¨ben Fu¨r die Bestimmung der Eigenfrequenzen gilt: sffiffiffiffiffiffi l2i EI wi ¼ 2 l m

ð7:36Þ

Die Werte fu¨r li ði ¼ 1, 2, 3, . . . , nÞ werden aus den Auflagerbedingungen der Sta¨be bestimmt und sind aus der Literatur zu entnehmen [1, 2, 8, 9, 11]. Die Eigenformen einiger Sta¨be sind in [9] und [11] dargestellt. Sie lassen sich mit den u¨blichen Stabwerksprogrammen am Computer darstellen (! DVD, Menue 4). Fu¨r den statisch bestimmt gelagerten Stab (Bild 7.11) gilt mit m = Masse pro La¨nge und li ¼ ip: sffiffiffiffiffiffi ðipÞ2 EI wi ¼ 2 ; i ¼ 1, 2, 3, . . . ð7:37Þ l m

105

7.4 Homogene Systeme endlicher La¨nge

Daraus folgt fu¨r i ¼ 1 die bekannte Formel fu¨r die erste Biegeeigenfrequenz des statisch bestimmt gelagerten Stabes: sffiffiffiffiffiffi p2 EI w1 ¼ 2 ð7:38Þ m l Fu¨r das Beispiel 6.1 wird sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 p2 21 000  5,88 ¼ 6,0 Hz f1 ¼ 2p 4002 3,32  107 Die Gl. (7.38) gilt auch fu¨r alle ho¨heren Eigenformen zwischen zwei Knoten. Die vierte Eigenform des statisch bestimmt gelagerten Stabes beispielsweise hat zwischen zwei Knoten den Abstand li ¼ 0,25l (Bild 7.11). In die Gl. (7.38) wird li eingesetzt. sffiffiffiffiffiffi sffiffiffiffiffiffi sffiffiffiffiffiffi p2 EI p2 EI 16p2 EI w1 ¼ 2 ) w1 ¼ ) w1 ¼ 2 l m m m li ð0,25lÞ2 Die Gl. (7.37) ergibt mit i ¼ 4 denselben Wert! Fu¨r den einseitig eingespannten Stab (Kragtra¨ger) gilt: l1 ¼ 1,875,

l2 ¼ 4,694,

l3 ¼ 7,855

Fu¨r das Beispiel 6.2 wird mit m ¼ b  h  q ¼ 3,5  1,6  0,9  106 ¼ 5  104 t=m rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 1,8752 107  1,20 f1 ¼ ¼ 18,50 Hz 2p 0,6852 5  104 Longitudinalschwingungen von Sta¨ben Fu¨r die Bestimmung der Eigenfrequenzen gilt: sffiffiffiffi li E wi ¼ l q mit l1 (i = 1, 2, 3, . . .,) aus tan li ¼ 1

Bild 7.11 Eigenformen

106

7 Freie Schwingungen

p Fu¨r i ¼ 1 folgt die erste logitudinale Eigenfrequenz mit l1 ¼ 2 sffiffiffiffi p E w1 ¼ 2l q Schwingungen von Saiten (Seilen) Eine Saite ist dadurch charakterisiert, dass sie keine Biegesteifigkeit besitzt. Mit der Seilspannung S gilt fu¨r die Eigenfrequenzen: sffiffiffi li S wi ¼ l m mit li ¼ ip ði ¼ 1, 2, 3, . . .Þ. Fu¨r die Eigenformen der Saite gilt Bild 7.11. Anmerkung: Bei Blas- und Saiteninstrumenten geho¨rt zu jeder Eigenform ein so genannter reiner Ton (Sinus-Ton). Der Grundton ði ¼ 1Þ und die Oberto¨ne ði 2Þ werden als Naturtonreihe bezeichnet, weil sie von Natur aus in einer schwingenden Luftsa¨ule oder Saite enthalten sind. Durch die Oberto¨ne entsteht die Klangfarbe eines Musikinstrumentes. Der 1. Oberton einer Saite ði ¼ 2Þ wird als Oktave bezeichnet. Er schwingt mit der w2 2 doppelten Frequenz wie der Grundton ¼ . Er kann als Grundton erzeugt werden, w1 1 l wenn die Saite auf verku¨rzt wird. Der Abstand vom 3. ði ¼ 4Þ zum 4. ði ¼ 5Þ Oberton 2 wird als große Terz bezeichnet. Ihr Frequenzverha¨ltnis betra¨gt: w5 5 ¼ ¼ 1,25 w4 4 Bei der wohltemperierten Stimmung (siehe Anmerkung 4 in Abschnitt 4.2.3) betra¨gt das Frequenzverha¨ltnis der großen Terz 1,26. Diese Diskrepanz zwischen der Naturtonreihe und der wohltemperierten Stimmung spielt in der Harmonielehre eine große Rolle.

7.4.3

Na¨herungsverfahren

Wie die im Abschnitt 7.2.3 fu¨r den Einmassenschwinger hergeleitete Gl. (7.7) kann na¨herungsweise zur Berechnung der 1. Eigenfrequenz eines statisch bestimmt gelagerten Stabes die Gl. (7.39) benutzt werden, weil die Biegelinie der 1. Eigenform a¨hnlich ist. Mit der statischen Durchbiegung eines Einfeldtra¨gers unter einer gleichma¨ßigen Streckenlast s¼

5 ql 4 384 EI

ergibt sich die Na¨herungsformel: 5,6 f1 ¼ pffiffi s

ð7:39Þ

7.4 Homogene Systeme endlicher La¨nge

107

Die Genauigkeit der Gl. (7.39) la¨sst sich leicht zeigen, indem die statische Durchbiegung in die Formel eingesetzt wird (Achtung: die Formeln (7.39) bis (7.42) sind dimensionsgebunden; alle La¨ngen sind in [cm] einzusetzen): sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sffiffiffiffiffiffi 5; 6 384 EI 49; 08 EI ) f1 ¼ 2 f1 ¼ 2 ð7:40Þ l 5 q l q Die analytische Lo¨sung liefert das exakte Ergebnis der ersten Eigenfrequenz. Mit q ¼ mg und l1 ¼ p2 berechnet sie sich zu: sffiffiffiffiffiffi pffiffiffi sffiffiffiffiffiffi p g EI 1 p2 EI f1 ¼ ) f1 ¼ 2 ) 2l 2p l 2 m q ffiffiffiffiffiffi ffiffiffiffiffiffi s s pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 981,0 EI 49,17 EI ) f1 ¼ 2 ð7:41Þ f1 ¼ 2l 2 q l q Zum Vergleich sei noch das Resultat bei Rechnung mit reduzierter Masse angegeben. Mit Gl. (7.12): 48EI mred ¼ 0,494ml und k ¼ 3 wird l sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 k 1 48EI f1 ¼ ) ) f1 ¼ 4 2p mred 2p l 0,494m sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sffiffiffiffiffiffi 1 48  EI  981,0 49,16 EI f1 ¼ ) f1 ¼ 2 2pl 2 0,494q l q

ð7:42Þ

Die Gl. (7.40) bis (7.42) sind nahezu identisch.

7.4.4

Biegeeigenfrequenz mit Normalkraft

In diesem Abschnitt wird ein abgeschlossenes System betrachtet, in dem die Summe aus Deformationsenergie und kinetischer Energie konstant bleibt. Ferner wird von einem da¨mpfungsfreien Kontinuum ausgegangen, was fu¨r u¨bliche Baukonstruktionen zu brauchbaren Ergebnissen fu¨hrt. Der statisch bestimmt gelagerte Einfeldtra¨ger (Bild 7.12) erfa¨hrt infolge Biegung die Deformationsarbeit: Edef ¼

ðl EI ½^ s00 ðxÞ2 dx 2

ð7:43Þ

0

Die kinetische Energie infolge Biegung lautet: Ekin

ðl m ¼w ½^ sðxÞ2 dx 2 2

ð7:44Þ

0

Da die Gesamtenergie erhalten bleibt, gilt Edef ¼ Ekin und die Eigenkreisfrequenz w kann aus den Gl. (7.43) und (7.44) berechnet werden.

108

7 Freie Schwingungen

Ðl 00 EI ½^ s ðxÞ2 dx w2 

0

ð7:45Þ

Ðl sðxÞ2 dx m ½^ 0

Diese als Rayleigh-Formel bekannte Berechnungsmo¨glichkeit der ersten Biegeeigenfrequenz fu¨hrt zu brauchbaren Lo¨sungen, wenn fu¨r die Schwingungsbiegelinie s^ðxÞ na¨herungsweise die statische Biegelinie eingesetzt werden kann. Dies trifft fu¨r die 1. Eigenform des statisch bestimmt gelagerten Einfeldtra¨gers zu. Der exakte Wert ist immer etwas kleiner als der Na¨herungswert. Wird in den Biegetra¨ger zusa¨tzlich eine a¨ußere Normalkraft N eingepra¨gt, muss die Gl. (7.43) um die Deformationsarbeit der Normalkraft erweitert werden. An einem Stabelement der La¨nge dx ergibt sich die Durchbiegung dy aus (Bild 7.12): dy  dx tan j

)

dy ¼ dx s^0 ðxÞ

ð7:46Þ

Der vertikale Anteil der Schnittlast V (Bild 7.12) leistet Arbeit an der Verschiebung dy: dEdef ¼ Kraft  Weg dEdef ¼ Vdx s^0 ðxÞ

)

dEdef ¼ V dy

) ð7:47Þ

Fu¨r kleine Winkel gilt cos j ¼ 1 und sin j ¼ tan j ¼ s^0 ðxÞ. Die Schnittlast V kann demnach auch geschrieben werden als: V ¼ NS sin j

)

V ¼ N cos j sin j

)

V ¼ N^ s 0 ðxÞ

ð7:48Þ

Gl. (7.48) in Gl. (7.47) eingesetzt ergibt: dEdef ¼ N dx s^0 2

Bild 7.12 Einfeldtra¨ger mit Biegung und Normalkraft

ð7:49Þ

109

7.5 Anwendungsbeispiele

Die infolge der Normalkraft zusa¨tzlich eingepra¨gte Deformationsenergie ergibt sich aus der Arbeit entlang der Biegelinie des Balkens: Ðl 0 DEdef ¼ N ½^ s ðxÞ2 dx

ð7:50Þ

0

Die gefundene Lo¨sung wird in die Rayleigh-Formel eingesetzt: Ðl 00 Ðl 0 EJ ½^ s ðxÞ2 dx þ N ½^ s ðxÞ2 dx w2N ¼

0

0

Ðl

ð7:51Þ

2

sðxÞ dx m ½^ 0

Eine Druckkraft wird definitionsgema¨ß negativ angesetzt und vermindert demzufolge die Deformationsarbeit. Das System wird weicher, das heißt die Eigenfrequenz sinkt. Bei Erreichen der kritischen Knicklast wird wN ¼ 0. So lassen sich durch Schwingungsmessungen die Tragreserven eines Druckstabes ermitteln. Umgekehrt bewirkt eine Zugkraft eine Eigenfrequenzerho¨hung. Dieses Wissen wird bei Saiteninstrumenten zur Regulierung der Tonho¨he benutzt. Bezieht man die Normalkraft auf die zugeho¨rige Eulersche Knicklast NE , dann kann die Grundeigenfrequenz eines beliebig gelagerten Stabes mit einer einfachen Formel abgescha¨tzt werden [1]. rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi N wN ¼ w 1 þ ð7:52Þ NE Vorspannung bei Stahlbetontra¨gern vera¨ndert die Biegeeigenfrequenz eines Stabes nicht, da die Spannglieder innere Kra¨fte in den Tra¨ger einleiten.

7.5

Anwendungsbeispiele

Um zu verhindern, dass Maschinenfundamente zu Resonanzschwingungen angeregt werden, mu¨ssen diese oftmals elastisch gelagert (verstimmt) werden. Dann mu¨ssen die Eigenfrequenzen des Maschinenfundamentes auf Federn bzw. elastischen Matten berechnet werden. Dasselbe gilt, wenn Maschinen auf elastischen Balken oder Decken stehen.

7.5.1

Maschinenfundament auf einzelnen Federn

Geometrie Fundamentblock und Sockel (Bild 7.13) In Bild 7.13 bedeuten: S1 Massenschwerpunkt Fundamentblock 1 S2 Massenschwerpunkt Fundamentblock 2 A Massenschwerpunkt des Gesamtsystems Die Berechnung erfolgt fu¨r eine elastisch gestu¨tzte starre Scheibe (ebenes zweidimensionales System mit drei Freiheitsgraden). Die La¨nge des Fundamentes senkrecht zur Blattebene wird nur fu¨r die Massenermittlung beno¨tigt. Die Masse des Fundamentes berechnet sich wie folgt:

110

7 Freie Schwingungen

Bild 7.13 Fundamentabmessungen

Masse der einzelnen Fundamentteile

l b h q

m1 ¼ l1 b1 h1 q

)

m1 ¼ 3,0  3,0  1,25  2500  28 000 kg

m2 ¼ l2 b2 h2 q

)

m2 ¼ 3,0  1,3  0,595  2500  6000 kg

La¨nge des Fundamentblockes senkrecht zur Blattebene Breite des Fundamentblockes Ho¨he des Fundamentblockes Dichte des Betons

Masse des gesamten Fundamentes P

m ¼ m 1 þ m2

)

P

m ¼ 28 000 þ 6000 ¼ 34 000 kg

kN und in Die Federsteifigkeiten betragen in horizontaler Richtung je Feder kx ¼ 1,24 mm kN vertikaler Richtung je Feder kz ¼ 1,78 . mm P P kN N kx ¼ 4  1,24 ¼ 4,96 ) kx ¼ 4,96  106 kx ¼ nkx ) mm m P P kN 6 N kz ¼ nkz ) kz ¼ 4  1,78 ¼ 7,12 ) kz ¼ 7,12  10 mm m

111

7.5 Anwendungsbeispiele

Lage des Fundamentschwerpunktes   h1 h2 b1 h1 þ b2 h2 h1 þ 2 2 hs ¼ b1 h1 þ b2 h2 3,0  1,25  hs ¼

  1,25 0,595 þ 1,3  0,595  1,25 þ 2 2 ¼ 0,783 m 3,0  1,25 þ 1,3  0,595

Vertikale Eigenfrequenz kzz w2z ¼ P m P kz folgen: fu¨r sz ¼ 1 und kzz ¼ P 7,12  106 1 kz ¼ 209 2 w2z ¼ P ) w2z ¼ 34 000 s m die Eigenkreisfrequenz wz ¼ 14,5 fz ¼

wz 2p

)

fz ¼

1 und die Eigenfrequenz: s

14,5 ¼ 2,30 Hz 2p

Die vertikale Eigenfrequenz ist von den beiden anderen Eigenfrequenzen entkoppelt, da die resultierende Ru¨ckstellkraft der Federn in vertikaler Richtung durch den Schwerpunkt des Gesamtsystems geht. Horizontale Eigenfrequenz (Einzeleigenfrequenz) kxx w2x ¼ P m P kx folgt: fu¨r sx ¼ 1 und kxx ¼ P 4,96  106 1 kx ¼ 146 2 w2x ¼ P ) w2x ¼ s 34 000 m die Eigenkreisfrequenz wx ¼ 12,1 fx ¼

1 und die Eigenfrequenz: s

wx 12,1 ¼ ¼ 1,93 Hz 2p 2p

Da der Angriffspunkt der Federn beziehungsweise die resultierende Ru¨ckstellkraft in horizontaler Richtung nicht mit dem Schwerpunkt des Gesamtsystems zusammenfa¨llt, sind die horizontale Eigenfrequenz und die Kippeigenfrequenz miteinander gekoppelt. Mit w ¼ 1 und dem horizontalen Abstand r des Angriffspunktes der Federn zum Massenschwerpunkt folgt die Drehfedersteifigkeit kxw und der Beiwert q: P kx r ) kxw ¼ 4,96  106  0,518 ¼ 2,57  106 N kxw ¼ kxw q¼P m

)

q¼

2,57  106 N ¼ 75,6 34 000 kg

112

7 Freie Schwingungen

Kippeigenfrequenz (Einzeleigenfrequenz) Die Kippeigenfrequenz erzeugt ein Moment um die Drehachse (in diesem Beispiel senkrecht zur Blattebene) durch den Massenschwerpunkt A. Sie berechnet sich aus: w2w ¼

kww QS

Fu¨r w ¼ 1 folgt: kww ¼

P

kx r2 þ

P

kz a2

)

kww ¼ 4,96  10  0,518 þ 7,12  106  1,252 ¼ 12,46  106 Nm 6

a r

2

horizontaler Abstand des Angriffspunktes der vertikalen Feder zum Massenschwerpunkt vertikaler Abstand des Angriffpunktes der horizontalen Feder zum Massenschwerpunkt

Das Massentra¨gheitsmoment berechnet sich zu: Q S, i ¼

mi 2 ðb þ h2i Þ 12 i

)

QA ¼

P

ðQS, i þ mi rS2, i Þ

QA Massentra¨gheitsmoment bezogen auf die Drehachse durch A rS Abstand des Massenschwerpunktes der einzelnen Fundamentblo¨cke vom Massenschwerpunkt des Gesamtsystems Fu¨r Fundamentblock 1 und 2 lauten die Massentra¨gheitsmomente: m1 2 ðb þ h21 Þ 12 1 m2 2 ðb þ h22 Þ ¼ 12 2

28 000 ð3,02 þ 1,252 Þ ¼ 24 650 kg m2 12 6000 ¼ ð1,302 þ 0,5952 Þ ¼ 1020 kg m2 12

QS1 ¼

)

QS1 ¼

QS2

)

QS2

Schließlich folgt das Massentra¨gheitsmoment des Gesamtsystems: QA ¼ QS, 1 þ QS, 2 þ m1  rS2, 1 þ m2  rS2, 2 QA ¼ 24 650 þ 1020 þ 28 000  0,1582 þ 6000  0,7652 ¼ 29 880 kg m2 Damit ko¨nnen die Kippeigenkreisfrequenz und die Eigenkreisfrequenz berechnet werden: kww 12,46  106 1 ¼ ¼ 417 2 QA 29 880 s 1 ww ¼ 20,4 s ww 20,4 ¼ 3,25 Hz ¼ fw ¼ 2p 2p w2w ¼

Der Beiwert folgt aus: g¼

kxw 2,57  106 N ¼ 86,0 ¼ QA 29 880 kg m2

113

7.5 Anwendungsbeispiele

Entkoppelte Eigenfrequenzen Sollen alle Eigenfrequenzen voneinander entkoppelt sein, mu¨ssen sowohl die resultierende Ru¨ckstellkraft der Federn in horizontaler Richtung als auch die resultierende Ru¨ckstellkraft der Federn in vertikaler Richtung durch den Massenschwerpunkt des Gesamtsystems gehen (Bild 7.14).

Bild 7.14 Einzelfedern fu¨r ein entkoppeltes System

Gekoppelte Eigenfrequenzen In diesem Beispiel muss mit den gekoppelten Eigenfrequenzen gerechnet werden. sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  2 2 2 2 w þ w wx  w2w x w 2 w 1, 2 ¼  þqg ) 2 2 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi   146 þ 417 146  417 2 þ75,6  86 ¼ 281,5  157,7  w21, 2 ¼ 2 2 1 1 ) w1 ¼ 20,95 s2 s 1 1 2 w2 ¼ 124 2 ) w2 ¼ 11,14 s s Die gekoppelten Eigenfrequenzen liegen immer außerhalb der Einzeleigenfrequenzen (vgl. Bild 7.7). w21 ¼ 439

f1 ¼ 3,33 Hz

>

fw ¼ 3,25 Hz

f2 ¼ 1,77 Hz

>

fx ¼ 1,92 Hz

Maschinenfundament auf Elastomermatten Statt auf einzelnen Federn kann ein Maschinenfundament auch vollfla¨chig auf Elastomermatten gelagert werden. Entsprechend der Sohlspannungen an der Fundamentunterseite mu¨ssen geeignete Matten gewa¨hlt werden. P G ¼ g m ¼ 9,81  34  340 kN A ¼ l  b ¼ 3,0  3,0 ¼ 9,0 m2 ¼ 90 000 cm2 s¼

G 340 kN N ¼ ¼ 3,78  103 ¼ 0,04 A 90 000 cm mm

N Gewa¨hlt wird eine Elastomermatte mit zula¨ssigem Arbeitsbereich von s ¼ 0  0,08 mm2 N und zula¨ssiger statischer Last von s ¼ 0,05 : Die erforderliche Dicke der Matte wird mm2

114

7 Freie Schwingungen

Bild 7.15 Eigenfrequenz des Fundamentes mit Elastomermatte (z. B. Getzner oder BSW)

u¨ber die Frequenz bestimmt, welche mit der elastischen Lagerung erreicht werden soll. Bei einer Tiefabstimmung interessiert die tiefste Eigenfrequenz. Bei einer elastischen Lagerung auf der gewa¨hlten Matte (d ¼ 2 L25 ¼ 50 mm) werden 10,5 Hz erreicht. Wie in Bild 7.15 zu erkennen ist, wird die Eigenfrequenz des Fundamentes umso ho¨her, je du¨nner die Matte gewa¨hlt ist. Vertikale Eigenfrequenz Die vertikale Eigenfrequenz wird wie beim Maschinenfundament auf einzelnen Federn berechnet. Als Modell kann man sich statt der Matte viele kleine Einzelfedern nebeneinander vorstellen. kz w2z ¼ P m Es ist darauf zu achten, dass die Lasten auf dem Maschinenfundament so verteilt sind, dass es unterhalb des Fundamentes zu einer anna¨hernd gleichen Spannungsverteilung kommt. Bei elastischen Fundamenten mu¨ssen je nach Sohlspannungsverteilung unterschiedliche Matten gewa¨hlt werden. Da hier die vertikale Eigenfrequenz aufgrund der Mattenwahl bereits bekannt ist, kann anhand dieser Formel die Federsteifigkeit der

115

7.5 Anwendungsbeispiele

Matte berechnet werden: P kz ¼ w2z m ) kz ¼ 1,48  108

kz ¼ ð10,5  2pÞ2  34 000

)

N kN ¼ 1,48  105 m m

Horizontale Eigenfrequenz (Einzeleigenfrequenz) Anmerkung: Die dynamische Steifigkeit von Elastomermatten ist frequenz- und spannungsabha¨ngig (siehe Abschnitt 4.4.5). 1 der vertikalen Federsteifigkeit. 5 (Bei gro¨ßeren Mattendicken beim Hersteller anfragen).

Die horizontale Federsteifigkeit betra¨gt etwa

kx ¼

1 kz 5

)

kx ¼

1 N 1,48  108 ¼ 2,96  107 5 m

Somit betra¨gt die horizontale Eigenfrequenz (Einzeleigenfrequenz): kx 2,96  107 1 w2x ¼ P ¼ ¼ 871 2 s 34 000 m wx ¼ 29,5

1 s

)

fx ¼ 4,70 Hz

Kippeigenfrequenz (Einzeleigenfrequenz) Bei der Berechnung der Kippeigenfrequenz wird entsprechend Abschnitt 7.3.2 die Ru¨ckstellkraft um den Massenschwerpunkt A an jeder Stelle dx ermittelt (Bild 7.16).

Bild 7.16 Elastische Matte als Einzelfedern bei der Kippeigenfrequenz

116

7 Freie Schwingungen

kz lb3 Nach Gl. (7.35) folgt mit k0z ¼ und I ¼ die Kippfedersteifigkeit des elastisch gebetlb 12 teten Fundamentes zu: kww ¼ kx r2 þ k0z ¼ kx r2 þ k0z

b2 I 12

kww ¼ 2,96  107  0,7832 þ 1,48  108 

3,02 N ¼ 1,29  108 12 m

Die Kippeigenfrequenz berechnet sich folgendermaßen (Achtung: Die horizontale Eigenfrequenz und die Kippeigenfrequenz sind miteinander gekoppelt. Mit dieser Formel wird nur die Einzeleigenfrequenz berechnet.) kww 1,29  108 1 ¼ 4317 2 ¼ QA 29 880 s 1 ww ¼ 65,7 fw ¼ 10,46 Hz s w2w ¼

Die gekoppelten Eigenfrequenzen berechnen sich wie in Abschnitt 7.3.2. Mit w ¼ 1 folgen die gekoppelte Federkonstante und die Beiwerte P kxw ¼ kx r ) kxw ¼ 2,96  107  0,783 ¼ 2,32  107 N kxw q¼P m g¼

kwx QA

)

q¼

)

g¼

2,32  107 N ¼ 681,7 34 000 kg

2,32  107 N ¼ 776,4 29 880 kg m2

und schließlich die gekoppelten Eigenkreisfrequenzen: sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  2 2 wx  w2w 2 w 1, 2 ¼ þqg  2 2 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi   871 þ 4317 871  4317 2 1 2 þ681,7  776,4 ¼ 2594  1870 2  w1; 2 ¼ 2 2 s w2x þ w2w

1 s2 1 w22 ¼ 724 2 s w21 ¼ 4464

w1 ¼ 66,8 w2 ¼ 26,9

1 s

1 s

Die gekoppelten Eigenfrequenzen liegen erwartungsgema¨ß außerhalb der Einzeleigenfrequenzen: f1 ¼ 10,63 Hz f2 ¼ 4,28 Hz

> <

fw ¼ 10,46 Hz fx ¼ 4,70 Hz

Wenn das Maschinenfundament auf dem Baugrund steht, muss auch die Baugrundfeder beru¨cksichtigt werden (siehe Kapitel 11). Sie ist mit den hier berechneten konstruktiven Federn in Reihe geschaltet. Fu¨r die Einzelfedern stehen unterschiedliche Materialien zur Verfu¨gung (siehe Abschnitt 4.4).

117

7.5 Anwendungsbeispiele

7.5.2

Nichtlinearita¨t bei Stahlbetontragwerken

In der Baudynamik tauchen immer ha¨ufiger Problemstellungen auf, die eine nichtlineare dynamische Berechnung von Stahlbetontragwerken erfordern. Die Anwendung der nichtlinearen Berechnung sollte jedoch auf sinnvolle Einsa¨tze beschra¨nkt bleiben, da der Mehraufwand wirtschaftlich gerechtfertigt sein muss. Stahlbetonkonstruktionen zeichnen sich dadurch aus, dass sie unter Belastung in der Zugzone aufreißen, so dass die Stahleinlagen allein die Zugkra¨fte aufnehmen mu¨ssen. Weil die Biegesteifigkeiten durch die Rissbildung zum Teil erheblich reduziert werden, vergro¨ßern sich bei nur geringer Steigerung des Momentes die Kru¨mmungen k deutlich. Im Zustand I (ungerissener Zustand) kann die Momenten-Kru¨mmungsbeziehung mit der M M aus der elastischen Balkenbiegung bekannten Formel k ¼ ¼ beschrieben werden. EII BI Mit BI = konst besteht Linearita¨t zwischen k und M. Im Zustand II (gerissener Zustand) kann die Momenten- Kru¨mmungsbeziehung in folgender Weise dargestellt werden: 1 1 M ¼ þ r r0, II BII

)

k¼

1 1 M þ ¼ r r0, II BII

ð7:53Þ

wobei 1=r0, II der Kru¨mmungsanteil mit konstant aufgefasster Vorkru¨mmung und BII ¼ EIII die abgeminderte Biegesteifigkeit im Zustand II ist (siehe Bild 7.19). Im Rahmen einer Schwingungsuntersuchung wird der Einfluss der Biegesteifigkeit auf die Eigenfrequenz eines statisch bestimmt gelagerten Einfeldtra¨gers aus Stahlbeton untersucht. Dabei sind zwei Bereiche nach Maßgabe des Biegemomentes M im Verha¨ltnis zum Rissmoment Mcr zu untersuchen: M  Mcr M > Mcr

(Bereich I ungerissener Zustand) (Bereich II gerissener Zustand)

Ein Stahlbetonbalken habe die Breite b ¼ 40 cm, die Ho¨he h ¼ 70 cm und die statische Ho¨he d ¼ 65 cm, bei einer Spannweite von l ¼ 9 m (Bild 7.17). Als Beton wird ein

Bild 7.17 Statisches System und Querschnitt

118

7 Freie Schwingungen

C 35=45 verwendet. Die sta¨ndige Last betrage gk ¼ 31 kN/m und die statische Verkehrslast qk ¼ 20 kN/m. Aus diesen Werten ergibt sich ein Bemessungsmoment und eine erforderliche Bewehrung von: l2 8 92 ¼ 727,5 kNm  728 kNm Msd ¼ ð31  1,35 þ 20  1,5Þ 8 2 ) erf As ¼ 30,7 cm Msd ¼ ðgk  gG þ qk  gQ Þ

In der nachfolgenden Eigenfrequenzanalyse werden Querschnitte mit unterschiedlichen Bewehrungsmengen untersucht (Bild 7.18). Es sei darauf hingewiesen, dass zur Eigenfrequenzermittlung mit der realistischen und nicht – wie in der Statik – mit der maximalen Verkehrslast zu rechnen ist. Bei hoch bewehrten Querschnitten mit hoher Beanspruchung, wie in diesem Beispiel, braucht eine versteifende Mitwirkung des Betons auf Zug in der Regel nicht beru¨cksichtigt zu werden, da das Grenzmoment wesentlich gro¨ßer als das Rissmoment ist. Bei gering bewehrten oder gedrungenen Querschnitten ist dieser Effekt zur wirklichkeitsnahen Berechnung von Forma¨nderungen oder Frequenzen jedoch zu beru¨cksichtigen.

Bild 7.18 Stahlbetonquerschnitte a) gewa¨hlt: unten 6 1 25 vorh AS ¼ 29,45 cm2 b) gewa¨hlt: unten 9 1 25 vorh AS ¼ 44,18 cm2 oben 3 1 25 vorh AS ¼ 14,37 cm2 c) gewa¨hlt: unten 12 1 25 vorh AS ¼ 58,90 cm2 d) reine Biegesteifigkeiten BI im Zustand I ohne Beru¨cksichtigung der Bewehrung (linear)

7.5 Anwendungsbeispiele

119

Die Spannungsdehnungslinie wird unter der Annahme folgender Eingangswerte berechnet (Parabelansatz nach DIN 1045-1, Juni 2005): – – – – –

mittlere Druckfestigkeit des Betons fcm ¼ 43 MN=m2 Dehnung bei Erreichen der Druckfestigkeit ec1 ¼ 0,0024 Dehnung bei Erreichen des Zugfestigkeit des Betons (nach Quast) ebz ¼ 0,0001143 Elastizita¨tsmodul (Tangente im Ursprung) C 35=45 Ec0m ¼ 33 300 MN=m2 Exponent der Spannungsdehnungslinie (Vo¨lligkeit der Parabel) n ¼ Ec0m  ec1 =fcm ) n ¼ 33 300  0,0024=43 ¼ 1,8586

Mit dem Programm MASQUEW oder dem Nachfolgeprogramm INCA2 der TUHH werden die Momenten-Kru¨mmungs-Linien (Bild 7.19) der Stahlbetonquerschnitte bestimmt, um daraus mittels der Beziehung EIII ¼ BII ¼ dM=dð1=rÞ die Biegesteifigkeiten im Zustand II abzuleiten (Bild 7.20). Es ist zu erkennen, dass zur Vereinfachung auch eine bilineare Approximation der M/K-Linien ausreichend gewesen wa¨re. b  h2 , 6 2=3 fctm ¼ 0,3  fck . Genauer kann es durch die oben erwa¨hnten Rechenprogramme ermittelt werden. Fu¨r den Querschnitt a) ermittelt das Programm MASQUEW ein Rissmoment von Mcr ¼ 133,6 kNm.

Das Rissmoment la¨sst sich vereinfacht folgendermaßen abscha¨tzen: Mcr ¼ fctm

Die zugeho¨rige Biegesteifigkeit im Zustand II la¨ßt sich dann aus folgender Sekantengleichung abscha¨tzen: BII ¼

dM M  Mcr 728  133,6 ¼ ¼ ¼ 134 480 kNm dð1=rÞ ð1=rÞ  ð1=rÞcr 0,00477  0,00035

Bild 7.19 M/K-Linien der Stahlbetonquerschnitte

120

7 Freie Schwingungen

Der konstante Vorkru¨mmungsanteil 1=r0, II la¨sst sich aus einer Geradengleichung ermitteln: 1 M ¼ BII  þ M0 r 1 M0 ¼ M  BII  r Achsenabschnitt bei 1=r ¼ 0: M0 ¼ 728  134 480  0,00477 ¼ 86,5 kNm. Fu¨r M ¼ 0 erha¨lt man den konstanten Vorkru¨mmungsanteil: 1 M0 86,5 ¼ ¼ ¼ 0,00064 BII r0, II 134 480 Die Berechnung der Durchbiegung kann mit jedem Statikprogramm erfolgen, das abschnittsweise konstante Biegesteifigkeiten BI im Zustand I und BII im Zustand II sowie eine abschnittsweise Vorkru¨mmung beru¨cksichtigt. Unter der Beru¨cksichtigung der abgeminderten Biegesteifigkeit im Zustand II und dem konstanten Vorkru¨mmungsanteil erfa¨hrt der Balken mit dem Querschnitt a) bei der statischen Belastung gk þ qk ¼ 51 kN=m eine maximale Durchbiegung von s ¼ 2,5 cm. Daraus folgt die Eigenfrequenz mit der Na¨herungsformel (7.39): 5,6 f ¼ pffiffi s

)

5,6 f ¼ pffiffiffiffiffiffiffi 2,5

)

f ¼ 3,54 Hz

Die Ergebnisse fu¨r die vier Querschnitte sind in Tabelle 7.1 aufgelistet. Tabelle 7.1 Durchbiegung und Eigenfrequenz der Querschnitte Querschnitt

Durchbiegung s [cm] Eigenfrequenz f [Hz]

a)

b)

c)

d)

2,5 3,54

1,8 4,17

1,6 4,43

1,1 5,34

Genauer kann die Durchbiegung z. B. mit dem nichtlinearen Programm Stab2d-NL der TUHH unter der Beru¨cksichtigung der tagentiellen Biegesteifigkeit berechnet werden. Eine Vorkru¨mmung ist dann nicht mehr anzusetzen. In diesem Fall ergeben sich nahezu identische Werte aus der nichtlinearen Rechnung und der zuvor angegebenen Na¨herungslo¨sung. Die mit Stab2d-NL berechneten Biegesteifigkeiten im Zustand II fu¨r die Querschnitte a), b) und c) an der Stelle des maximalen Moments werden in Bild 7.20 mit der Biegesteifigkeit des ungerissenen Querschnitts d) verglichen. Abschließend la¨sst sich zusammenfassen, dass die Biegesteifigkeiten durch die Rissbildung stark reduziert werden. Im Zustand BI des ungerissenen Querschnittes ha¨ngt die Eigenfrequenz im Wesentlichen vom Elastizita¨tsmodul des Betons ab. Die Biegesteifigkeit BII gerissener Querschnitte wird nahezu nur vom Bewehrungsgrad und in geringerem Maße vom Elastizita¨tsmodul des Betons beeinflusst. Durch Bewehrungszulagen las-

7.5 Anwendungsbeispiele

121

Bild 7.20 Biegesteifigkeiten der Stahlbetonquerschnitte

sen sich die Eigenfrequenzen erho¨hen, was beim Vergleich der Querschnitte a) bis c) (siehe Tabelle 7.1) leicht nachzuvollziehen ist. Der Ansatz der Zugfestigkeit des Betons spielt hier keine Rolle. Er ist nur bei gering beanspruchten Tragwerken von Bedeutung, so dass man bei Nichtberu¨cksichtigung falsche Ergebnisse erha¨lt. Da beim Ansatz der Biegesteifigkeit auch der E-Modul des Betons eingeht, ist auf einen wirklichkeitsnahen Ansatz zu achten. Die DIN-Werte werden in der Praxis meistens unterschritten. Probewu¨rfel sind empfehlenswert. Ein falscher Ansatz der Biegesteifigkeit bei der Modellierung des Stahlbetonquerschnittes kann also zu deutlichen Fehlangaben der Eigenfrequenzen fu¨hren.

8

Erzwungene Schwingungen

8.1

Allgemeines

In diesem Kapitel werden erzwungene Schwingungen aufgrund harmonischer Anregung behandelt. Fu¨r eine Vielzahl von Problemstellungen reicht dieser Ansatz vollkommen aus, zumal alle periodischen Anregungen in eine Summe harmonischer Anregungen in Form von Fourier-Reihen zerlegt werden ko¨nnen (siehe Abschnitt 4.2.3). Des Weiteren wird lediglich der stationa¨re, das heißt der eingeschwungene Schwingungszustand betrachtet. Die instationa¨ren Ein- und Ausschwingvorga¨nge werden nur kurzzeitig von den Eigenschwingungen u¨berlagert, die durch Da¨mpfung allma¨hlich unbedeutend klein werden. Allerdings ist auf Resonanzdurchfahrt wa¨hrend der Ein- und Ausschaltvorga¨nge bei tief abgestimmten Maschinenfundamenten besonders zu achten. Die in der Praxis hilfreichen Diagramme der Vergro¨ßerungsfunktionen sind umfangreich in [1] niedergeschrieben. Grundsa¨tzlich bleibt fu¨r das Studium dieses Abschnittes anzumerken:  Die Gesamtstruktur schwingt mit der Anregungsfrequenz W. Jede Eigenform wird, abW ha¨ngig von dem Quotienten und ihrem Da¨mpfungsgrad D, unterschiedlich stark w angeregt.  Bei periodischer aber nicht harmonischer Anregung existieren außer der Betriebsdrehzahl (Grundfrequenz) auch ho¨here Anregungsfrequenzen, die nicht vergessen werden du¨rfen (Kompressoren, Fußga¨nger, Glocken).  Schnell aufeinander folgende Impulsanregung (siehe Kapitel 6) fu¨hrt zu einer quasistationa¨ren Anregung von Eigenformen (Schnellschlagba¨r, Hydraulikha¨mmer, Streichinstrumente). Periodische Anregungskra¨fte in der Baudynamik sind im Allgemeinen Tra¨gheitskra¨fte infolge rotierender Massen mR oder translatorisch bewegter Massen mT (Bild 8.1). Ihre Amplitude F^ ist proportional dem Quadrat der Kreisfrequenz, weshalb man von „qua-

Bild 8.1 Rotierende Massen und translatorisch bewegte Massen

124

8 Erzwungene Schwingungen

dratischer Anregung“ spricht. Ausgewuchtete Maschinen erzeugen keine Anregungskra¨fte. Allerdings entstehen im Laufe des Betriebes stets Unwuchten (siehe Abschnitt 5.5). Anregungskra¨fte, deren Amplitude F^ unabha¨ngig von der Kreisfrequenz sind, bezeichnet man als „konstante Anregung“. Ein Beispiel dafu¨r sind elektromagnetische Kra¨fte, deren Amplitude proportional der Stromsta¨rke und der magnetischen Feldsta¨rke ist. Bewegen sich Ladungstra¨ger (zum Beispiel freie Elektronen oder Ionen) in einem magnetischen Feld, so wirkt auf sie die so genannte Lorentzkraft (Bild 8.2): F ¼ Qv B

ð8:1Þ

Hierbei ist B die magnetische Feldsta¨rke, Q die Anzahl der Ladungstra¨ger und v die Geschwindigkeit der Ladungstra¨ger. Steht v senkrecht auf B nimmt F seinen Gro¨ßtwert an [33]: F ¼ QvB

ð8:2Þ

Ist Q die Anzahl der Ladungstra¨ger, die in der Zeit t den Querschnitt eines elektrischen Leiters (zum Beispiel Kupferdrahtes) durchstro¨men, dann ist die Stromsta¨rke: I¼

Q t

ð8:3Þ

l Bei konstanter Geschwindigkeit der Ladungstra¨ger ist v ¼ , wobei l die La¨nge des Leit ters im magnetischen Feld ist. Dann wird: I¼

Qv l

)

Qv ¼ Il

ð8:4Þ

Eingesetzt in Gl. (8.2) ergibt sich dann: F ¼ IlB

ð8:5Þ

Die Formel (8.5) besagt, wenn ein Strom I mit konstanter Geschwindigkeit v (Gleichstrom) durch einen Leiter mit der La¨nge l fließt, der sich in einem Magnetfeld B befindet, so wirkt auf den Leiter die Kraft F. Ist der Leiter an einem Waagebalken angeha¨ngt, so la¨sst sich die elektromagnetische Kraft messen (Bild 8.2). Fließt der Strom in die ent-

Bild 8.2 Messung der Kraft auf einen Stromleiter im Magnetfeld [33]

125

8.2 Systeme mit einem Freiheitsgrad

gegengesetzte Richtung, so wechselt auch die Kraft ihre Richtung. Wird ein harmonischer Wechselstrom durch den Leiter geschickt, IðtÞ ¼ I^ sin Wt

ð8:6Þ

entsteht gema¨ß Gl. (8.5) eine harmonische Kraft mit der Maximalamplitude F^: FðtÞ ¼ IðtÞ lB

)

FðtÞ ¼ I^lB sin Wt

F^ ¼ I^lB

ð8:7Þ

F^ ist eine konstante Amplitude, welche unabha¨ngig von der Frequenz ist. Obwohl elektromagnetische Kra¨fte in der Baudynamik keine Rolle spielen, wird die konstante Anregung im Folgenden ausfu¨hrlich behandelt. Wenn eine Maschine mit einer bestimmten unvera¨nderlichen Drehzahl la¨uft, ist die zu dieser Drehzahl geho¨rige Tra¨gheitskraft (Anregungskraft) konstant. Es handelt sich dann also um eine konstante Anregung. Weitere Angaben finden sich in [13].

8.2

Systeme mit einem Freiheitsgrad

8.2.1

Direkte konstante Anregung – kraftgesteuerte Vorga¨nge

Auf den Einmassenschwinger (Bild 8.3) wirkt die harmonische Kraft: FðtÞ ¼ F^ cos Wt

ð8:8Þ

F^ ¼ konst

F^ ist die Kraftamplitude und W die Anregungskreisfrequenz. Das dynamische Gleichgewicht am freigeschnitten System lautet: FT ðtÞ þ FD ðtÞ þ FR ðtÞ ¼ F^ cos Wt m€ sðtÞ þ cs_ðtÞ þ ksðtÞ ¼ F^ cos Wt

)

Bild 8.3 Einmassenschwinger mit direkter Anregung

ð8:9Þ

126

8 Erzwungene Schwingungen

Damit liegt eine inhomogene Differentialgleichung vor, deren Lo¨sung sich aus der allgemeinen Lo¨sung fu¨r die homogene Differentialgleichung sh ðtÞ und der partikula¨ren Lo¨sung fu¨r die inhomogene Differentialgleichung sp ðtÞ zusammensetzt: sðtÞ ¼ sh ðtÞ þ sp ðtÞ

ð8:10Þ

Wie eingangs erwa¨hnt, wird durch Da¨mpfung der homogene Teil der Differentialgleichung sh ðtÞ binnen kurzem sehr klein. Zieht man nur den partikula¨ren Teil der Lo¨sung in Betracht und setzt den Nullphasenwinkel j ¼ 0, bietet sich folgender harmonischer Ansatz fu¨r die Verschiebung an: sðtÞ ¼ ^s cos ðWt  aÞ

ð8:11Þ

a gibt den Phasenwinkel an, um welchen die Anregungskraft F^ hinter der Verschiebung s zuru¨ck bleibt. Gl. (8.11) zweimal abgeleitet ergibt: s_ðtÞ ¼ ^sW sin ðWt  aÞ

ð8:12Þ

s€ðtÞ ¼ ^sW2 cos ðWt  aÞ

Bezu¨glich der Argumente fu¨r die trigonometrischen Beziehungen gilt sin ðaÞ ¼ sin a und cos ðaÞ ¼ cos a. Zum Zeitpunkt t ¼ 0 wird aus den Verschiebungsgro¨ßen: sW sin a þ k^ s cos a ¼ F^ m^ sW2 cos a þ c^

ð8:13Þ

Die einzelnen Terme der Bewegungsgleichung ko¨nnen als vektorielle Kra¨fte interpretiert und ausgehend von einer waagerechten Bezugslinie abgetragen werden (Bild 8.4). Diese Vorgehensweise ist besonders hilfreich, wenn das Zusammenspiel der Kra¨fte in einem dynamischen Zeigerdiagramm grafisch dargestellt wird. Unter Einfu¨hrung der nachstehenden Beziehungen kann aus Bild 8.4a abgelesen werden: c^ sW sin a þ |{z} k^ s cos a ¼ F^  |fflffl{zfflffl} m^ sW2 cos a þ |{z} F^T

F^D

F^R

ðF^R  F^T Þ cos a þ F^D sin a ¼ F^ |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} |fflfflfflfflffl{zfflfflfflfflffl} F^1

ð8:14Þ

F^2

Das Bild 8.4a zeigt oben die vektorielle Darstellung der dynamischen Kra¨fte fu¨r den Einmassenschwinger mit vorgegebenem Nullphasenwinkel j. Die Anregungskraft F^ ist gegenu¨ber der waagerechten Bezugslinie um den Winkel a geneigt. Auf der Bezugslinie sind die Federkraft F^R und die Tra¨gheitskraft F^T aufgetragen. Die Tra¨gheitskraft zeigt in die entgegengesetzte Richtung der Federkraft. Im rechten Winkel zur Tra¨gheitskraft wirkt die Da¨mpfungskraft F^D . Aus der Grafik la¨sst sich mit Hilfe des Pythagoras ablesen: !2 F^ ðF^R  F^T Þ2 þ F^D2 ¼ F^2 ) ðk  mW2 Þ2 þ ðcWÞ2 ¼ ð8:15Þ s^ Aus dieser Gleichung la¨sst sich die Verschiebungsamplitude freistellen. F^ s^ ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðk  mW2 Þ2 þ ðcWÞ2

ð8:16Þ

8.2 Systeme mit einem Freiheitsgrad

127

Der Nachlaufwinkel a kann mit: tan a ¼

cW k  mW2

ð8:17Þ

bestimmt werden. Im Resonanzfall entspricht die Anregungskreisfrequenz W der Eigenkreisfrequenz w und der Nachlaufwinkel nimmt den Wert a ¼ 90 an. In Bild 8.4a unten ist klar zu erkennen, welchen bedeutsamen Einfluss die Da¨mpfung bei Resonanz hat, da sie als einzige Gro¨ße der Anregungskraft entgegenwirkt. Betrachtet W man ein ungeda¨mpftes System, so entscheidet wesentlich die Frequenzabstimmung h ¼ w u¨ber die Art der Schwingung (Bild 8.4b und c). Ist die Eigenkreisfrequenz w gro¨ßer als die Anregungskreisfrequenz W, so schwingen Anregungskraft und Masse im Gleichtakt. Liegt die Anregungsfrequenz unterhalb der Eigenfrequenz, so schwingen beide im Gegentakt. Fu¨r den Grenzfall h ! 1 bedeutet dies, dass der Phasenwinkel a ¼ p betra¨gt und die Schwingungsamplitude gegen Null geht. Die hohe Anregungsfrequenz vermag die tra¨ge Masse der Struktur nicht in Schwingungen zu versetzen. Das Bild 8.4d zeigt, wie im Fall einer freien ungeda¨mpften Schwingung die Anregungskraft und die Ru¨ckstellkraft gegenla¨ufig wirken und so im dynamischen Gleichgewicht bleiben, was dem Vektordiagramm des statischen Gleichgewichtes entspricht (Bild 8.4e). Die Division der Gl. (8.15) durch die Federsteifigkeit k fu¨hrt nach Einfu¨hrung der Terme rffiffiffiffi k W F^ , h ¼ , sstat ¼ w¼ m w k auf die Gleichung !2 F^ m 2  2  c 2 þ ) W ¼ 1 W k^s k k  2  W2 c 2 sstat 2 1 2 þ ) W ¼ s^ w k  2  c 2 sstat 2 W ¼ 1  h2 þ s^ k 

ð8:18Þ

Die kritische Da¨mpfung ckrit bezeichnet die kleinste Da¨mpfung einer freien Schwingung. Nach einer Anfangsauslenkung findet lediglich eine asymptotische Anna¨herung an die statische Nulllinie des dynamischen Systems statt. Die kritische Da¨mpfung (siehe Kapitel 9) ist definiert als: pffiffiffiffiffiffiffi ckrit w ckrit ¼ 2 km ) k ¼ ð8:19Þ 2 Des Weiteren bietet sich die Definition des Da¨mpfungsmaßes an, welches das Verha¨ltnis der vorhandenen Da¨mpfung zur kritischen Da¨mpfung beschreibt. D¼

c ckrit

ð8:20Þ

128

Bild 8.4 Zeigerdiagramme der dynamischen Kra¨fte

8 Erzwungene Schwingungen

129

8.2 Systeme mit einem Freiheitsgrad

Gl. (8.18) kann mit den getroffenen Definitionen umgeformt werden zu:  2   2 2c sstat 2 ) W ¼ 1  h2 þ s^ ckrit w    2 sstat 2 1  h2 þ ð2DhÞ2 ¼ ^s

ð8:21Þ

Hieraus erha¨lt man die Vergro¨ßerungsfunktion oder dynamische berho¨hung (Bild 8.5): V1 ¼

s^ sstat

1 ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 2 ð1  h Þ þ ð2DhÞ2

mit

sstat ¼

F^ k

ð8:22Þ

Anmerkung: Ha¨ufig wird der Fehler gemacht, dass fu¨r sstat die Verformung infolge der statischen Lasten (Eigengewicht von Fundament und Maschine) angesetzt wird, F^ ist jedoch die Amplitude der dynamischen Kraft. Mit Hilfe der Vergro¨ßerungsfunktion und c ¼ 0 kann die statische Ersatzlast zur Ermittlung der Beanspruchung der Konstruktion errechnet werden. Fers ¼ s^k

)

Fers ¼ V1 sstat k

)

Fers ¼ V1 F^ mit:

ð8:23Þ

V1 ¼

s^ sstat

ð8:22Þ

V2 ¼

s^ s1

ð8:36Þ

V3 ¼

s^F s^0

ð8:46Þ

Das Bild 8.5 zeigt die Verla¨ufe der Vergro¨ßerungsfunktionen V1 (konstante Anregung), V2 (quadratische Anregung) und V3 (aktive bzw. passive Schwingungsisolierung) fu¨r unterschiedliche Da¨mpfungsmaße. Das Maximum der Funktion V1 befindet sich in der Umgebung von h ¼ 1. Fu¨r praktische Belange bei Schwingungsuntersuchungen reicht es oftmals aus mit zwei Bereichen zu rechnen. Resonanzna¨he:

h¼1

Resonanzferne:

D¼0

) )

V1 ¼

1 2D

V1 ¼

(nach DIN 1311 Gu¨tefaktor Q)

1 1  h2

Aus Sicherheitsgru¨nden (Modellfehler) sollte in Resonanzna¨he mit h ¼ 1 gerechnet werden. In Resonanzferne ist die Da¨mpfung im Allgemeinen vernachla¨ssigbar. Weil fu¨r h > 1 die Vergro¨ßerungsfunktion V1 negative Werte annimmt, wird in vielen Diagrammen ab diesem Punkt der Kehrwert verwendet. In der nachstehenden Tabelle 8.1 werden einige typische Bereiche der Vergro¨ßerungsfunktion V1 eingehender betrachtet.

130

8 Erzwungene Schwingungen

Bild 8.5 Vergro¨ßerungsfunktionen des Einmassenschwingers [1]

Die Tabellep 8.1 ffiffiffi unterstreicht, dass nur bei Tiefabstimmung w < W und dem Frequenzverha¨ltnis h > 2 eine Amplitudenreduktion gegenu¨ber sstat zu erreichen ist. Allerdings wird bei Tiefabstimmung wa¨hrend der An- und Ablaufphase von Maschinen die Resonanz durchlaufen. Es ist zu pru¨fen, ob fu¨r die Maschine eine kurzseitige Amplitudenerho¨hung zula¨ssig ist. Eine ausreichend starke Da¨mpfung verhindert zu große Amplituden beim Resonanzdurchlauf. Kritisch ist meistens ein langsamer Ablaufvorgang. Durch zusa¨tzliches Abbremsen der Maschine kann das Aufschaukeln bei der Resonanzdurchfahrt vermindert werden.

131

8.2 Systeme mit einem Freiheitsgrad

Tabelle 8.1 Bereiche der Vergro¨ßerungsfunktion V1 Eigenkreisfrequenz w Anregungskreisfrequenz W

Frequenzverha¨ltnis h

Bemerkung

w ! 1 bzw. W ¼ 0

h¼0

Statischer Fall V1 ¼ 1, s^ ¼ sstat

w>W

h<1

Hochabstimmung bzw. unterkritischer Bereich V1 > 1, s^ > sstat

w¼W

h¼1

w<W

h>1

Resonanz 1 sstat , s^ ¼ V1 ¼ 2D 2D Tiefabstimmung bzw. u¨berkritischer Bereich

w<W

h¼

w<W

1
w<W

pffiffiffi 2h1

a)

pffiffiffi 2 pffiffiffi 2

Tiefabstimmung D ¼ 0, jV1 j ¼ 1,

s^ ¼ sstat

Tiefabstimmung s > sstat jV1 j > 1, ^ Tiefabstimmunga) 1 jV1 j 0, s^ < sstat

Bereich der Schwingungsisolierung.

In der Baudynamik werden nur selten Wege, aber ha¨ufig Geschwindigkeiten u oder Beschleunigungen a gemessen. Dann ist die Vergro¨ßerungsfunktion entsprechend zu erweitern: s^ s^W u^ ¼ ¼ sstat sstat W sstat wh u^ V1 ðuÞ ¼ V1 ðuÞ ¼ V1 ðsÞh sstat w a^ V1 ðaÞ ¼ V1 ðsÞh2 V1 ðaÞ ¼ sstat w2

V1 ðsÞ ¼

ð8:24Þ

Beruhigungsmasse In der Baudynamik verwendet man den Begriff der Beruhigungsmasse mB, um zu zeigen, dass durch eine Vergro¨ßerung der Fundamentmasse eine Verkleinerung der Amplituden des Fundamentes und der Maschine zu erreichen ist. Unterschieden werden zwei Fa¨lle (Bild 8.6): a) Variation der Federsteifigkeit k bei w ¼ konst (Bild 8.6a) Fu¨r die Amplitude der Verschiebung s^ ¼ f ðmB Þ gilt Gl. (8.16) mit c ¼ 0: s^ ¼

F^ F^ ¼ 2 2 k  mB  W mB ðw  W2 Þ

ð8:25Þ

132

8 Erzwungene Schwingungen

Bild 8.6 Beruhigungsmasse

sffiffiffiffiffiffiffi k Um w ¼ ¼ konst zu erreichen, muss die Federsteifigkeit der vera¨nderten BeruhimB gungsmasse angepasst werden. Fu¨r k ¼ w2 mB berechnet sich der Winkel q zu q ¼ arctan w2 . Der Winkel q gibt an, wie groß die Federsteifigkeit k gewa¨hlt werden muss, wenn die Beruhigungsmasse mB einen bestimmten Wert annimmt. In der Na¨he der Resonanzstelle h ¼ 1 und c 6¼ 0 wird aus Gl. (8.16): s^ ¼

F^ 2  mB  D  W2

ð8:26Þ

b) Federsteifigkeit k ¼ konst (Bild 8.6b) Bei einer bestimmten Federkonstanten k und c ¼ 0 la¨sst sich die Verschiebung s^ ¼ f ðmB Þ gema¨ß Gl. (8.16) berechnen: s^ ¼

F^ k  mB  W2

F^ Wenn die Beruhigungsmasse mB ¼ 0 ist, wird s^ ¼ sstat ¼ . Im weiteren Verlauf hat die k k 0 Funktion eine Unstetigkeit an der Stelle mB ¼ 2 und na¨hert sich hier einer vertikalen W Asymptote an. Der gewu¨nschte Effekt einer Beruhigungsmasse tritt also erst dann auf, wenn mB > m0B . Nach kurzem Umformen der Formel (8.25) findet man heraus, dass erst 2k ab einer Masse mB > m00B ¼ 2 die Verschiebung s^ kleiner als sstat wird. W Die statische Ersatzlast Fers ¼ s^  h ¼ V1  F^ und damit die Beanspruchung der Konstruktion, werden durch die Beruhigungsmasse nicht vera¨ndert.

133

8.2 Systeme mit einem Freiheitsgrad

8.2.2

Direkte konstante Anregung – weggesteuerte Vorga¨nge

Als typisches Beispiel fu¨r eine weggesteuerte Anregung kann das Schwingsieb angefu¨hrt werden. Angenommen wird eine harmonische Anregung der Konstruktion gema¨ß Bild 8.7. Die Bauteilda¨mpfung sei hier wieder c ¼ 0. Die Bewegungsgleichung lautet: m€ sðtÞ þ ksðtÞ ¼ F^ cos Wt cos d Bei kleinem Winkel d kann cos d  1 gesetzt werden. Zur Lo¨sung dieser Differentialgleichung wird wieder der harmonische Ansatz gewa¨hlt: s ¼ s^ cos Wt Fu¨r t ¼ 0 leitet sich wieder die Bewegungsgleichung her:  m^ sW2 þ k^ s ¼ F^

)

s^ðk  mW2 Þ ¼ F^

s^mðw2  W2 Þ ¼ F^

ð8:27Þ

Bild 8.7 Kraftverlauf bei weggesteuerten Vorga¨ngen

Im Falle der Resonanz w ¼ W wird die erforderliche Anregungskraft gema¨ß Gl. (8.27) F^ ¼ 0 und zwar unabha¨ngig von der Gro¨ße der Masse. Fu¨r den Fall w ¼ 0 wird die Anregungskraft zu F^ ¼ ^ smW2 . Der lineare Verlauf der Kraftfunktion ist im linken Teil des Bildes 8.7 abgebildet. Gema¨ß der oben hergeleiteten Gl. (8.27) ist bei weggesteuerten Vorga¨ngen eine resonanznahe Abstimmung erwu¨nscht, um die Kra¨fte in der Konstruktion klein zu halten. Anfa¨nglich wurden Industriesiebe mo¨glichst reibungsfrei auf Rollen oder Kugeln gelagert und dann durch eine periodische Kraft in Bewegung versetzt. Nach heutigem Wissen ist es jedoch gu¨nstiger, die Siebe auf Federn zu lagern und mo¨glichst resonanznah abzustimmen. Anhand der Gl. (8.27) kann nachvollzogen werden, dass die aufzubringende Antriebskraft mit dieser Technik minimiert wird.

8.2.3

Impedanzen

a) Mechanische Impedanz In der Strukturdynamik gibt die mechanische Impedanz den Widerstand einer Struktur gegen eine dynamische Kraft an. Fu¨r den ungeda¨mpften Einmassenschwinger c ¼ o lau-

134

8 Erzwungene Schwingungen

tet die mechanische Impedanz mit Gl. (8.16): F^ ¼ k  mW2 ) s^

F^ ¼ kð1  h2 Þ s^

ð8:28Þ

 In Resonanz folgt aus (8.28) mit h ¼ 1:

F^ ¼ 0. Jede Anregungskraft F^ bewirkt dann s^

den Grenzwert s^ ! 1.

F^  In der Statik ist h ¼ 0 und ¼ k. Es wirkt die statische Kraft Fstat ¼ k^ s. s^ ^ F  Dasselbe Ergebnis ¼ k ergibt sich aus Gl. (8.28) fu¨r m ¼ 0 (masselose starre Scheibe). s^  Bei visko-elastischen Materialien c 6¼ o (Bild 9.1) lautet die mechanische Impedanz in reeller Schreibweise mit Gl. (8.16): qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F^ ¼ ðk  mW2 Þ2 þ ðcWÞ2 s^ und in komplexer Schreibweise: F^ ¼ k  mW2 þ icW s^ (siehe dazu Abschnitt 9.5.5c). b) Ko¨rperschallimpedanz Die allgemeine Definition ist durch den Quotienten der maximalen Kraftamplitude zur maximalen Geschwindigkeitsamplitude u gegeben. Die Gl. (8.28) muss also mit W1 erweitert werden, um die Gleichung fu¨r die Ko¨rperschallimpedanz zu erhalten: k F^ ¼ ð1  h2 Þ s^W W

)

F^ k ¼ ð1  h2 Þ u^ W

ð8:29Þ

c) Luftschallimpedanz Der Wellenwiderstand oder anders ausgedru¨ckt die Luftschallimpedanz ist definiert als der Quotient des maximalen Druckes zur maximalen Geschwindigkeitsamplitude u: p^ ¼ q0 c u^ q0 c

ð8:30Þ

Dichte der Luft Schallwellengeschwindigkeit

8.2.4

Direkte quadratische Anregung – Fliehkra¨fte

Erfa¨hrt der Einmassenschwinger (siehe Bild 8.3) eine Anregung aus einer rotatorisch oder translatorisch bewegten Masse m0, so kann die Anregungskraft durch die wirkende Flieh-

135

8.2 Systeme mit einem Freiheitsgrad

kraft (siehe Abschnitt 5.5) bestimmt und in die Gl. (8.16) eingesetzt werden: FðtÞ ¼ F^ cos Wt F^ ¼ m0 rW2

ð8:31Þ

m0 rW2 s^ ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðk  mW2 Þ2 þ ðcWÞ2

Zuna¨chst ist es sinnvoll, die Gl. (8.31) genauer zu untersuchen. Bildet man den Grenzwert der Verschiebung fu¨r: W ! 1 erha¨lt man die konstante Verschiebung s1 ¼

m0 r m

W ! 0 wird die statische Verschiebung zu sstat ¼ 0 Um bei der quadratischen Anregung eine feste Bezugsgro¨ße fu¨r die Verschiebung s^ zu s1 m haben, wird der Term m0 ¼ eingefu¨hrt: r F^ ¼ m0 rW2 ) F^ ¼ s1 mW2 ð8:32Þ Das gefunden Ergebnis wird in die Gl. (8.31) eingesetzt: s1 mW2 s^ ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðk  mW2 Þ2 þ ðcWÞ2

)

s1 W2 s^ ¼ sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  2  k c 2  W2 þ W m m

ð8:33Þ

Mit den Gl. (8.19) und (8.20) wird: c ckrit W ) W¼D m m 2k D W ¼ 2w2 Dh wm

D

ckrit 2k W¼D W m wm

) ð8:34Þ

und die Verschiebungsamplitude la¨sst sich schreiben als: s^ ¼

s1 W2 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi w2 ð1  h2 Þ2 þ ð2DhÞ2

ð8:35Þ

Daraus folgt schließlich die Vergro¨ßerungsfunktion V2 bei quadratischer Anregung (Bild 8.5): V2 ¼

s^ h2 ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi s1 ð1  h2 Þ2 þ ð2DhÞ2

mit

s1 ¼

m0 r m

ð8:36Þ

Die Funktion V2 nimmt bei den charakteristischen Abstimmungsverha¨ltnissen h folgende Werte an (! DVD, Menue 5): 1 Resonanzna¨he: h ¼ 1 ) V2 ¼ 2D

136

8 Erzwungene Schwingungen

Resonanzferne:

Fu¨r h ¼

h2 V2 ¼ V1  h 2 1  h2 1 1  h2 h2 V2 ¼ V1  1 ¼  ¼ 1  h2 1  h2 1  h2 D¼0

V2 ¼

pffiffiffi 2 und D ¼ 0 nimmt jV2 j den Wert 2 an. Fu¨r h ! 1 wird V2, 1 ¼ 1 (Bild 8.5).

Zur Ermittlung der Beanspruchung der Konstruktion wird die statische Ersatzlast Fers berechnet, die, wie man bemerkenswerter Weise feststellt, fu¨r h ! 1 von der Eigenkreisfrequenz w und nicht von der Anregungskreisfrequenz W abha¨ngig ist. Unter Verwendung von k ¼ mw2 wird mit c ¼ 0: V2 ¼

s^ s1 ð8:37Þ

Fers ¼ s^k Fers

) Fers ¼ V2 s1 k m0 r ¼ V2 k ) Fers ¼ V2 m0 rw2 m

Mit V2, 1 ¼ 1 wird: Fers, 1 ¼ m0 rw2

8.2.5

)

Fers ¼ V2 Fers, 1

Selbstzentrierung im u¨berkritischen Bereich

Eine rotierende elastische Welle habe die Unwucht U ¼ em, wodurch die Fliehkraft (Zentrifugalkraft) F ¼ emW2 entsteht (siehe Abschnitt 5.5). Die Fliehkraft F bewirkt eine dynamische Durchbiegung s^ der Welle. Das dynamische Gleichgewicht am ungeda¨mpften System lautet (Bild 8.8): P F¼0 ) F þ FR ¼ 0

)

rmW2  k^ s¼0

mit

(8.38) r ¼ e þ s^ s¼0 emW2 þ s^mW2  k^

)

^sðmW2  kÞ ¼ emW2

Umgeformt wird aus der Gl. (8.38): s^ mW2 V¼ ¼ e mW2  k

)

V¼

W2 W  w2 2

)

V¼

h2 1  h2

ð8:39Þ

Untersucht werden drei Frequenzverha¨ltnisse und jeweils die Lage der Masse mi, welche im Bild 8.8 dargestellt ist (! DVD, Menue 6).  Fu¨r h1 ¼ 0 wird V ¼ 0 ) s^ ¼ 0. Die Welle hat demnach nur die statische Auslenkung r ¼ e. Die Lage der Masse ist mit m1 angegeben.  Fu¨r h2 ¼ 1 folgt V ! 1 ) s^ ! 1. Der Resonanzbereich wird auch als biegekritische Drehzahl bezeichnet. Die Masse hat bei W ¼ w die Lage m2, sofern die Da¨mpfung groß genug ist, einen Bruch zu verhindern.

8.2 Systeme mit einem Freiheitsgrad

137

Bild 8.8 Biegekritische Drehzahl

 Selbstzentrierung tritt ein, wenn das Frequenzverha¨ltnis h ! 1 geht. Aus der Vergro¨ 1 1  1 ¼ 1, und die dynamische Durchbiegung ßerungsfunktion wird dann V ¼ h2 nimmt den Wert s^ ¼ Ve ¼ e an. Die Fliehkraft ergibt sich mit den gefundenen Anteilen zu F ¼ rmW2 ¼ ðe þ s^Þ mW2 ) F ¼ mðe  eÞ W2 ¼ 0. Die Lage der Masse ist mit m3 angegeben. pffiffiffi  Im Bereich 2  h  1 wird F0 jFj 0. Die Unwucht nimmt durch die Rotation der Welle ab! Anmerkung: Bei Maschinen, die im unterkritischen Bereich W < w laufen, wird die Unwucht durch die Rotation der Welle vergro¨ßert. Es entstehen große Fliehkra¨fte und damit große Beanspruchungen der abstu¨tzenden Baukonstruktion.

8.2.6

Passive Schwingungsisolierung – indirekte Anregung

Bei Geba¨uden in der Na¨he von Erschu¨tterungsquellen wie Verkehr, Baustellen, Sprengungen oder Erdbeben [14] kommt es u¨blicherweise zu einer indirekten Anregung auch Fußpunktanregung, Basisanregung oder Parameteranregung genannt (! DVD, Menue 9). Gleichsam tritt dieses Problem bei empfindlichen Gera¨ten auf einer Decke oder im Fahrzeug bei berfahrt einer Bodenwelle auf. Auf den Einmassenschwinger (Bild 8.9) wirkt am Fußpunkt die harmonische Wegamplitude: s0 ðtÞ ¼ s^0 cos Wt s^0 ¼ konst

ð8:40Þ

s^0 ist die Amplitude am ku¨nftigen Aufstellungsort des Fundamentes, auf einer Geschossdecke oder auf dem Erdboden (Freifeldschwingung siehe Kapitel 11). Die Amplitude s^0 wird im Allgemeinen durch Messungen ermittelt. s^F ist die absolute Amplitude der schwingenden Masse m. Die relative Verschiebung sr ðtÞ zwischen der schwingenden Masse m und dem Fußpunkt la¨sst sich leicht verstehen, indem man den Verformungsvorgang gedanklich in zwei Phasen teilt. Zuerst wird die Verschiebung der Masse sF ðtÞ festgehal-

138

8 Erzwungene Schwingungen

Bild 8.9 Einmassenschwinger mit indirekter Anregung

ten und lediglich die Feder um s0 ðtÞ gela¨ngt. Im zweiten Schritt wird die Sohlverschiebung s0 ðtÞ festgehalten und die Masse gibt um den elastischen Federweg sF ðtÞ nach. Die relative Verschiebung lautet demnach: l0 þ s0 ðtÞ ¼ l1 þ sF ðtÞ

)

sr ðtÞ ¼ Dl ¼ l0  l1

)

sr ðtÞ ¼ sF ðtÞ  s0 ðtÞ

ð8:41Þ

Aus dem dynamischen Gleichgewicht folgt dann die Differentialgleichung: m€ sF ðtÞ þ cðs_F ðtÞ  s_0 ðtÞÞ þ kðsF ðtÞ  s0 ðtÞÞ ¼ 0 m€ sF ðtÞ þ cs_F ðtÞ þ ksF ðtÞ ¼ cs_0 ðtÞ þ ks0 ðtÞ

ð8:42Þ

Nutzt man die Analogie zu Gl. (8.9) aus, indem s ¼ sF und F^ ¼ cs_0 ðtÞ þ ks0 ðtÞ wird, la¨sst sich die Verschiebungsamplitude gema¨ß Gl. (8.16) formulieren: F^ s^F ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðk  mW2 Þ2 þ ðcWÞ2

ð8:43Þ

Unter Verwendung des harmonischen Ansatzes s0 ðtÞ ¼ s^0 cos ðWt  aÞ wird: F^ ¼ cW^ s0 sin ðWt  aÞ þ k^ s0 cos ðWt  aÞ und zur Zeit t ¼ 0 wird: s0 cos a F^ ¼ cW^ s0 sin a þ k^ ^ F ¼ s^0 ðcW sin a þ k cos aÞ

) )

F^ ¼ s^0 ðF^2 þ F^1 Þ

ð8:44Þ

Damit liegt eine vektorielle Schreibweise der Basisanregung vor, die entsprechend dem Zeigerdiagramm (siehe Bild 8.4) gedeutet werden kann und in die Verschiebungsgleichung eingesetzt wird. qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F^ ¼ s^0 k2 þ ðcWÞ2 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð8:45Þ k2 þ ðcWÞ2 s^F ¼ s^0 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðk  mW2 Þ2 þ ðcWÞ2 Die Grenzwertbetrachtung der Gl. (8.45) zeigt, dass die absolute Verschiebung bei W!1 W!0

) )

sF , 1 ¼ 0 sF , stat ¼ s^0

139

8.2 Systeme mit einem Freiheitsgrad

wird. Die Vergro¨ßerungsfunktion – hier auch bertragungsfunktion genannt –, also das Verha¨ltnis der absoluten Verschiebung zur Fußpunktverschiebung, ist gegeben durch die Gleichung: sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi s^F 1 þ ð2DhÞ2 ð8:46Þ V3 ¼ ¼ s^0 ð1  h2 Þ2 þ ð2DhÞ2 Diese Funktion wird an den charakteristischen Punkten beschrieben (siehe Bild 8.5): sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  2 1 a) Resonanzna¨he: h ¼ 1 ) V3 ¼ þ1 2D Weil im baupraktischen Bereich gewo¨hnlich geringe Da¨mpfungs1 vermaße auftreten, kann mit ausreichender Genauigkeit V3 ¼ 2D wendet werden. b) Resonanzferne:

D¼0

)

V3 ¼

1 1  h2

)

V3 ¼ V1

V3 ¼ V2 þ 1

pffiffiffi Die Wirkung einer Beruhigungsmasse ist hier nicht gegeben! Fu¨r h ¼ 2 nehmen alle Kurven der Vergro¨ßerungsfunktion pffiffiffi V3 unabha¨ngig von der Gro¨ße des Da¨mpfungsmaßes den Wert 1 an. Ist der Wert h > 2 werden die Amplituden s^F kleiner als die eingeleiteten Amplituden s^0 . Allerdings mindert die Da¨mpfung den Grad der Schwingungsisolierung. Anmerkung: Die Gro¨ße der Federkraft und damit die Beanspruchung der Konstruktion infolge Fußpunktanregung ist von der relativen Amplitude sr ¼ sF  s0 Gl. (8.41) abha¨ngig. Fu¨r die relative Amplitude heißt die Differentialgleichung (8.42) dann: mð€ sr ðtÞ þ s€0 ðtÞÞ þ cs_r ðtÞ þ ksr ðtÞ ¼ 0

ð8:47Þ

m€ sr ðtÞ þ cs_r ðtÞ þ ksr ðtÞ ¼ m€ s0 ðtÞ

Die Lo¨sung ergibt sich entsprechend Abschnitt 8.2.4 mit m0 ¼ m sowie r ¼ s^0, s^ ¼ s^r und s^1 ¼ s^0 . V2 ¼

s^r h2 ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi s^0 ð1  h2 Þ2 þ ð2DhÞ2

ð8:48Þ

Die statische Ersatzlast betra¨gt fu¨r c ¼ 0: Fers ¼ s^r k Fers ¼ V2 ^s0 k Da Baukonstruktionen im Allgemeinen eine geringe Da¨mpfung besitzen, verku¨rzt sich die Differentialgleichung (8.42) mit c ¼ 0 zu: m€ sF ðtÞ þ kðsF ðtÞ  s0 ðtÞÞ ¼ 0

)

m€ sF ðtÞ þ ksr ðtÞ ¼ 0

ð8:49Þ

Mit Hilfe der Absolutbeschleunigung bF ðtÞ bF ðtÞ ¼ s€F ðtÞ

)

bF ðtÞ ¼ w2 sr ðtÞ

bF ðtÞ ¼ 

k sr ðtÞ m

) ð8:50Þ

140

8 Erzwungene Schwingungen

und der Fußpunktbeschleunigung b0 ðtÞ ¼ s€0 ðtÞ ¼ s^0 W2 la¨sst sich zeigen, dass: s^r s^r h2 ) ¼ ) s^0 s^0 1  h2  2 W s^r s^r w2 1 w ¼ ) ¼ 2 s^0 1  h s^0 W2 1  h2 1 b^F ¼ ¼ V3 b^0 1  h2

V2 ¼

) ð8:51Þ

V3 gibt das Antwortspektrum eines Einmassenschwingers bei Fußpunktanregung durch eine harmonische Bodenwelle an, wie sie beispielsweise durch Verkehr, Sprengungen oder Erdbeben entstehen. Bei nichtharmonischen Bodenwellen reicht es oft aus, na¨herungsweise die dominierende Frequenz des Spektrums zu beru¨cksichtigen, um V3 zu berechnen. Die durch eine Bodenwelle induzierte Tra¨gheitskraft FT ¼ mb^F ) FT ¼ mV3 b^0 wirkt im Schwerpunkt der Masse m. Die Beanspruchung der Konstruktion kann dann mit der statischen Ersatzlast FT ermittelt werden. Man kann zeigen, dass Fers ¼ V2 s^0 k identisch FT ¼ V3 b^o m ist. Bei Mehrmassensystemen kann man sich gemeinhin auf die Grundeigenform beschra¨nken, sofern sie in etwa mit der Biegelinie u¨bereinstimmt (Bild 8.10). Die Gesamttra¨gP heitskraft FT ¼ mi V3 b0 wird auf die Einzelmassen mi verteilt: FT , i ¼ mi b F , i Unter Beru¨cksichtigung der Beschleunigung bF , i ¼ W2 sF , i und der normierten VerschiesF , i bungsamplitude ti ¼ der Einzelmassen mi ist das Verha¨ltnis der Tra¨gheitskra¨fte: sF FT , i m i W2 t i sF ¼P FT m i W2 t i sF

)

FT , i mi t i ¼P FT mi t i

Bild 8.10 Horizontale Fußpunktanregung eines Mehrmassensystems

ð8:52Þ

8.2 Systeme mit einem Freiheitsgrad

141

Schließlich ergeben sich die statischen Ersatzlasten, die an den Einzelmassen angreifen, zu: P mi t i FT , i ¼ mi V3 b^0 P ð8:53Þ mi t i Damit lassen sich die durch Bodenwellen infolge Verkehr, Sprengung oder Erdbeben entstehenden dynamischen Spannungen in der Konstruktion berechnen (siehe Abschnitt 11.5.2). Bei Geba¨uden wird die quasi-statische Ersatzlast FT , i in den Deckenebenen angesetzt.

8.2.7

Aktive Schwingungsisolierung – direkte Anregung

Die Minderung der Schwingungsausbreitung von einer Schwingungsquelle in die Umgebung wird vielfach aktive Schwingungsisolierung genannt, da etwaige Maßnahmen gegen die Erschu¨tterungsausbreitung an der Quelle selber erfolgen mu¨ssen. Die aktive Schwingungsisolierung kann durch elastische Lagerung von Maschinenfundamenten und Gleisanlagen (Unterschottermatten, Feder-Masse-Systeme) verbessert werden (aktive Elemente zur Schwingungsbeeinflussung siehe Abschnitt 13.3.2). Die auf den Untergrund einwirkende Kraft (Bild 8.11) sei: PðtÞ ¼ P^ cos Wt

ð8:54Þ

Aus dem dynamischen Gleichgewicht ergibt sich: P^ cos Wt ¼ cs_ðtÞ þ ksðtÞ Mit dem harmonischen Ansatz: sðtÞ ¼ s^ cos ðWt  aÞ und s_ðtÞ ¼ ^ s W sin ðWt  aÞ

Bild 8.11 Auflagerkraft beim Einmassenschwinger mit direkter Anregung

ð8:55Þ

142

8 Erzwungene Schwingungen

zum Zeitpunkt t ¼ 0 kann P^ ¼ s^ðcW sin a þ k cos aÞ

ð8:56Þ

wieder als Vektorgleichung aufgefasst werden und man findet anhand des Vektordiagramms (Bild 8.4) leicht heraus, dass qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi P^ ¼ s^ k2 þ ðcWÞ2 gilt. Das gefundene Ergebnis wird in die Gl. (8.43) eingesetzt und ergibt entsprechend den Gl. (8.45) und (8.46): qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi k2 þ ðcWÞ2 ð8:57Þ P^ ¼ F^ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðk  mW2 Þ2 þ ðcWÞ2 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ^ 1 þ ð2DhÞ2 P V3 ¼ ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð8:58Þ F^ ð1  h2 Þ2 þ ð2DhÞ2 P^ Krafteinleitung in den Untergrund F^ direkte Anregungskraft Bei aktiver Schwingungsisolierung infolge einer direkten Schwingungsanregung gilt die Gl. (8.58) sowohl fu¨r konstante als auch fu¨r quadratische Anregungskra¨fte. Die Gl. (8.58) charakterisiert die von der Quelle auf die Basis bzw. auf die Konstruktion u¨bertragene Kraft bezogen auf die Anregung F^. Die Grenzwertbetrachtung zeigt, dass fu¨r W!1 W!0

) )

P1 ¼ 0 Pstat ¼ F^

wird. Die Gl. (8.46) und (8.58) zeigen, dass sich bei Fußpunktanregung und Krafteinleitung in den Untergrund, also bei passiver und aktiver Schwingungsisolierung, dieselbe Vergro¨ßerungsfunktion V3 ergibt. Dieser Tatbestand folgt aus dem Reziprozita¨tsprinzip und dem Satz von Maxwell und Betti: Bei linear elastischen Systemen sind Ursache und Wirkung umkehrbar.

8.2.8

Aktive Schwingungsisolierung – indirekte Anregung

Wird ein Geba¨ude durch eine Bodenwelle angeregt (Anmerkung im Abschnitt 8.2.6), so wird das Geba¨ude selbst wieder Quelle neuer Schwingungen, die sich als Schwingungsantwort von dem Geba¨ude in die Umgebung ausbreiten (siehe Abschnitt 11.3.3). Gema¨ß Bild 8.12 la¨sst sich die Kraft auf die Basis auch beschreiben als: PðtÞ ¼ P^ cos Wt

)

PðtÞ ¼ cs_r ðtÞ þ ksr ðtÞ

Entsprechend Abschnitt 8.2.7 folgt anhand des Vektordiagramms (siehe Bild 8.4): qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi P^ ¼ s^r k2 þ ðcWÞ2

ð8:59Þ

ð8:60Þ

143

8.2 Systeme mit einem Freiheitsgrad

Bild 8.12 Auflagerkraft beim Einmassenschwinger mit indirekter Anregung

Aus Gl. (8.47) folgt die indirekte relative Anregungskraft: m€ sr ðtÞ þ cs_r ðtÞ þ ksr ðtÞ ¼ m€ s0 ðtÞ Fr ðtÞ ¼ m€ s0 ðtÞ ) ^ Fr ðtÞ ¼ Fr cos Wt

Fr ðtÞ ¼ m^ s0 W2 cos Wt

)

mit

(8.61) F^r ¼ m^ s0 W 2

Die Lo¨sung dieser Differentialgleichung entspricht Abschnitt 8.2.4 fu¨r Fliehkra¨fte. F^r s^r ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðk  mW2 Þ2 þ ðcWÞ2

ð8:62Þ

Gl. (8.62) in Gl. (8.60) eingesetzt ergibt die Vergro¨ßerungsfunktion fu¨r indirekte Anregung: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi k2 þ ðcWÞ2 P^ ¼ F^r qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ) ðk  mW2 Þ2 þ ðcWÞ2 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 þ ð2DhÞ2 P^ ð8:63Þ ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi V3 ¼ F^r ð1  h2 Þ2 þ ð2DhÞ2 P^ F^r

Krafteinleitung in den Untergrund indirekte relative Anregungskraft

Man kann zeigen, dass P^ ¼ V3 F^r identisch ist P^ ¼ V2 s^o Gl. (8.60) eingesetzt wird.

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi k2 þ ðcWÞ2 , in dem Gl. (8.48) in

144

8.2.9

8 Erzwungene Schwingungen

Isolierwirkungsgrad

Sowohl bei aktiver als auch bei passiver Schwingungsisolierung gilt fu¨r konstante und quadratische Anregung die Vergro¨ßerungsfunktion V3 , Gl. (8.46) bzw. Gl. (8.58). Die Qualita¨t einer elastischen Lagerung wird durch den Isolierwirkungsgrad angegeben, welcher definiert ist als: I% ¼ ð1  jV3 jÞ 100 [%]

ð8:64Þ

Mit Gl. (8.46) wird  I% ¼

1

s^F s^0



  100 ¼

^s0  s^F s^0

  100

Die Differenz zwischen der am Fußpunkt eingeleiteten Amplitude und der am Fundament (siehe Bild 8.9) wird ins Verha¨ltnis gesetzt zur eingeleiteten Amplitude.

Bild 8.13 Isolierwirkungsgrad

145

8.2 Systeme mit einem Freiheitsgrad

Bei einem ungeda¨mpften System D ¼ 0 und h > 1 wird die Vergro¨ßerungsfunktion zu 1 und der Isolierwirkungsgrad zu: V3 ¼  1  h2   1 2  h2 I% ¼ 1 þ 100 ð8:65Þ 100 ) I% ¼ 2 1h 1  h2 pffiffiffi Die Isolierwirkung beginnt bekanntlich pffiffiffi fu¨r alle Da¨mpfungsgrade bei h > 2, weil dann I% > 0 wird (Bild 8.13). Fu¨r h < 2 wird I% < 0, was eine Amplitudenvergro¨ßerung bedeutet. Zudem ist leicht zu erkennen, dass bei gro¨ßeren Abstimmungsverha¨ltnissen h die Isolierwirkung kaum noch verbessert wird.

8.2.10

Resonanzu¨berho¨hung in dB

In der Akustik wird der Pegel der Schallschnelle in dB angegeben:  2 v v ) Lv ¼ 20 lg [dB] Lv ¼ 10 lg v0 v0

ð8:66Þ

Der Wert v0 ist ein gewa¨hlter Bezugswert. Dieses Konzept kann auf Vergro¨ßerungsfunktionen (sog. bertragungsfunktionen) bei indirekter Anregung (Gl. 8.46) u¨bertragen werden. Dabei ist der Bezugswert s^0 . Hersteller von Da¨mmstoffen geben den Isolierwirkungsgrad u¨blicherweise in dB an. In Resonanz h ¼ 1 nimmt die Vergro¨ßerungsfunktion den Wert an: V3 ¼

1 s^F ¼ s^o 2D R

V3 ¼ 1020 R ¼ 20 lgV3

) )

R ¼ lgV3 20 R ¼ 20 lg

1 [dB] 2D

ð8:67Þ

Bei Resonanzferne D ¼ 0 wird aus der Vergro¨ßerungsfunktion: R 1 ) V3 ¼ 1020 1  h2    1   [dB] R ¼ 20 lg  1  h2 

V3 ¼

) ð8:68Þ

R ist der Pegel der Vergro¨ßerungsfunktion (die Ko¨rperschallda¨mmung) in [dB] (Bild 8.14). Fu¨r R > 0 versta¨rkt sich die Schwingungsamplitude, fu¨r R < 0 vermindert sich die Schwingungsamplitude (Bild 8.14). In der Akustik ist es u¨blich, auch von Ko¨rperschallminderung zu sprechen:   1   DLk ¼ 20 lg   ¼ 20 lg 1  h2  ¼ b R V3 Immer istpder ffiffiffi Grenzwert zwischen Amplitudenversta¨rkung und Amplitudenverminderung h ¼ 2.

146

8 Erzwungene Schwingungen

Bild 8.14 Pegel der Vergro¨ßerungsfunktion in dB

Der mathematische Zusammenhang zwischen der Resonanzu¨berho¨hung und dem Isolierwirkungsgrad ist:   I% [dB] ð8:69Þ R ¼ 20 lg 1  100 Beispiel 7.1 Verglichen wird die Resonanzu¨berho¨hung (Bild 8.14) mit dem Isolierwirkungsgrad (siehe Bild 8.13) bei unterkritischer Frequenzabstimmung h ¼ 0,5, in Resonanzna¨he h ¼ 1,2 und bei u¨berkritischer Frequenzabstimmung h ¼ 2. Bei unterkritischer Abstimmung werden die Resonanzu¨berho¨hung und der Isolierwirkungsgrad zu: V3 ¼

1 ¼ 1,33 1  0,52

)

R ¼ 20 lg j1,33j ¼ 2,50 dB

I% ¼ ð1  1,33Þ  100 ¼ 33 % In Resonanzna¨he ergeben sich folgende Lo¨sungen fu¨r die gesuchten Kennwerte: V3 ¼

1 ¼ 2,27 1  1,22

)

R ¼ 20 lg j2,27j ¼ 7,13 dB

I% ¼ ð1  2,27Þ  100 ¼ 127 %

147

8.3 Der Zweimassenschwinger

Bei u¨berkritischer Abstimmung lauten die Ergebnisse: V3 ¼

1 ¼ 0,33 1  2,02

)

R ¼ 20 lg j0,33j ¼ 9,54 dB

I% ¼ ð1  0,33Þ  100 ¼ 67 % In Resonanz wird fu¨r D ¼ 0,126 die Resonanzu¨berho¨hung zu R ¼ 20 lg

8.3

Der Zweimassenschwinger

8.3.1

Allgemeines

1 ¼ 12 dB. 2  0,126

Der Zweimassenschwinger wird durch ein System gekoppelter, linearer, gewo¨hnlicher Differentialgleichungen 2. Ordnung beschrieben [1, 9]. Das homogene Gleichungssystem wurde unter Vernachla¨ssigung der Da¨mpfung in Abschnitt 7.3.1 mit den Gl. (7.17) und (7.18) hergeleitet. Daraus ergeben sich die gekoppelten Eigenfrequenzen mit den Gl. (7.19) und (7.20) und h1,2 ¼ w1,2 =wI . Fu¨r die erzwungenen Schwingungen mu¨ssen noch die Terme fu¨r die Da¨mpfung und die Anregungskra¨fte eingefu¨hrt werden: m1 s€1 ðtÞ þ c1 ðs_1 ðtÞ  s_2 ðtÞÞ þ k1 ðs1 ðtÞ  s2 ðtÞÞ ¼ F^1 cos Wt m2 s€2 ðtÞ  c1 ðs_1 ðtÞ  s_2 ðtÞÞ þ c2 s_2 ðtÞ

ð8:70Þ

þ ðk1 þ k2 Þs2 ðtÞ  k1 s1 ðtÞ ¼ F^2 cos Wt Es werden zwei Anwendungsfa¨lle behandelt: Als Schwingungstilger/-da¨mpfer greift die Anregungskraft an der Masse m2 (Hauptmasse; Bild 8.15) an. Als Maschinenfundament bei elastisch gelagerten Maschinen, beispielsweise auf einer Stahlbetondecke oder einem Fundament, greift die Anregungskraft an der Masse m1 (Maschinenmasse, siehe Bild 8.19) an.

Bild 8.15 Zweimassenschwinger als Schwingungstilger/-da¨mpfer

148

8 Erzwungene Schwingungen

Behandelt wird nur die konstante Anregung (siehe dazu Abschnitt 8.1). Das vollsta¨ndige Gleichungssystem (8.70) wird mit dem Programm TILGER.05 [53] gelo¨st. Fu¨r das ungeda¨mpfte Hauptsystem c2 ¼ o sind in [9] geschlossene Lo¨sungen angegeben.

8.3.2

Der Zweimassenschwinger als Schwingungstilger/-da¨mpfer

Da¨mpfung c1 ¼ 0 und c2 ¼ 0 Betrachtet man die erzwungene Schwingung eines durch eine harmonische Kraft an der Masse m2 angeregten ungeda¨mpften Zweimassenschwingers (siehe Bild 8.15), so hat die Vergro¨ßerungsfunktion VH der Hauptmasse m2 fu¨r alle Parameterkombinationen bei h ¼ 1 eine Nullstelle (Schwingungstilger) (! DVD, Menue 5). Die Vergro¨ßerungsfunk1 þ nð1 þ jÞ . Soll das tion VS der nicht angeregten Masse m1 hat ein Minimum bei h2 ¼ 2mj Minimum bei der Nullstelle von m2 liegen, muss folgende Bedingung eingehalten werden (Bild 8.16): 1 ð8:71Þ n¼ j1 k1 m2 mit den Definitionen n ¼ und j ¼ . k2 m1 Die Vergro¨ßerungsfunktionen VS der Tilgermasse und VH der Hauptmasse sind definiert als: s^1 s^2 VS ¼ VH ¼ ð8:72Þ s2, stat s2, stat mit s2, stat ¼

F^2 k2

Die Einzeleigenfrequenz der Tilgermasse m1 und das Frequenzverha¨ltnis sind: sffiffiffiffiffiffi k1 W wI ¼ ) h¼ m1 wI

ð8:73Þ

An der Nullstelle der Hauptmasse h ¼ 1 wird wI ¼ W. Demnach muss die Einzeleigenfrequenz der Tilgermasse gleich der Anregungsfrequenz W sein. Schwingt die angeregte Masse m2 (Hauptsystem) mit der Einzeleigenfrequenz (ohne Tilgermasse) sffiffiffiffiffiffi k2 wII ¼ ð8:74Þ m2 in Resonanz mit der Erregerfrequenz wII ¼ W, dann gilt wI ¼ wII . Die Tilgermasse m1 muss dann auf die Einzeleigenfrequenz des Hauptsystems wII abgestimmt werden. Aus Bild 8.16 des ungeda¨mpften Zweimassenschwingers, angeregt durch eine konstante harmonische Kraft an der Masse m2, la¨sst sich erkennen, dass bei schwankenden Anregungsfrequenzen die Amplituden des Hauptsystems links und rechts von h ¼ 1 stark ansteigen. In diesen Fa¨llen wird zweckma¨ßig zwischen m1 und m2 eine Tilgerda¨mpfung c1 eingeschaltet.

149

8.3 Der Zweimassenschwinger

Bild 8.16 Vergro¨ßerungsfunktion des ungeda¨mpften Zweimassenschwingers

Da¨mpfung c1 6¼ 0 und c2 ¼ 0 Die Vergro¨ßerungsfunktion VH des Zweimassenschwingers mit variabler Tilgerda¨mpfung D1 in Bild 8.17 zeigt, dass alle Kurven der Vergro¨ßerungsfunktion des Hauptsystems fu¨r beliebige Da¨mpfungsgrade durch die beiden Punkte P und Q gehen. Man sieht außerdem, dass dann die Amplitude der angeregten Masse m2 (Hauptsystem) keine Nullstelle mehr hat (Schwingungsda¨mpfer).Bei optimal abgestimmter Tilgermasse liegen die Punkte P und Q auf gleicher Ho¨he und es kann sicher gestellt werden, dass bei optimierter Tilgerda¨mpfung die Amplituden fu¨r alle Frequenzbereiche die Werte in P und Q nicht u¨bersteigen. Dazu ist es erforderlich, dass die Vergro¨ßerungsfunktion VH in P und Q eine horizontale Tangente hat. Im Gegensatz dazu steigen die Amplituden bei D1 6¼ D1, opt außerhalb der Punkte P und Q mehr oder weniger stark an. Die Vorgehensweise der optimierten Tilgerdimensionierung wird im folgenden erla¨utert. Fu¨r VH ¼ VP ¼ VQ ergibt sich die Abstimmungsregel zu: j n¼ ð1 þ jÞ2

ð8:75Þ

Daraus folgt: k1 ¼ k2 und

j

sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi k1 m2 pffiffiffiffiffiffi ¼ nj m1 k2 j wII wI ¼ 1þj wI ¼ wII

ð8:76Þ

ð1 þ jÞ2

)

pffiffiffiffiffiffi nj ¼

j ð1 þ jÞ

) ð8:77Þ

150

8 Erzwungene Schwingungen

Bild 8.17 Vergro¨ßerungsfunktion VH mit variablem D1 ¼ f ðc1 Þ

blicherweise wird j ¼ 20 gewa¨hlt. Dementsprechend ist die Tilgerfederkonstante gem. Gl. (8.76) k1 ¼ 0,045k2 und die Tilgereigenfrequenz gem. Gl. (8.77) wI ¼ 0,952wII . Die Vergro¨ßerungsfunktion VH fu¨r die Masse m2 in den Punkten P und Q wird dann: s^2 ) s2, stat pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi VH ¼ 1 þ 2j VH ¼

V H ¼ V H ,P ¼ V H , Q

) ð8:78Þ

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Mit j ¼ 20 ergibt sich gema¨ß Gl. (8.78) VH ¼ 1 þ 2  20 ¼ 6,40. Bei optimaler Tilgerda¨mpfung [1, 9, 22] ist VH  VH ,P ¼ VH ,Q fu¨r alle Frequenzverha¨ltnisse h. Der Schwingungsda¨mpfer kann als „Da¨mpfung“ der Masse m2 aufgefasst werden. In Analogie zum Einmassenschwinger (siehe Abschnitt 8.2.1) setzt man deshalb: VH ¼

1 2D

)

D¼

1 2VH

)

1 D ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 1 þ 2j

ð8:79Þ

Mit j ¼ 20 wird das Da¨mpfungsmaß D ¼ 0,078. Je kleiner das Massenverha¨ltnis ist, desto gro¨ßer wird die erreichbare „Da¨mpfung“. Die optimale Tilgerda¨mpfung la¨sst sich mit Gl. (8.80) aus [1] berechnen zu: D1, opt ¼

sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3ð1=jÞ 8ð1 þ ð1=jÞÞ3

ð8:80Þ

8.3 Der Zweimassenschwinger

151

Mit j ¼ 20 wird D1, opt ¼ 0,127 ¼ 12,7 %. Die erforderliche Da¨mpferkonstante c1 wird mit der Gl. (8.81) bestimmt: c1, opt ¼ 2m1 wI D1, opt mit

(8.81) sffiffiffiffiffiffi k1 wI ¼ m1

Die genaue Abstimmung eines Tilgers erfordert Eigenfrequenzmessungen am Hauptsystem vor Montage des Tilgers oder nach der Montage bei festgestelltem Tilger. Es empfiehlt sich, auch Tilgereigenfrequenz und -da¨mpfung vor Montage durch Messungen zu pru¨fen und eventuell zu korrigieren. Da in der Praxis das Da¨mpfungsmaß des Tilgers schwer exakt einzustellen und außerdem temperaturabha¨ngig ist, bleibt die tatsa¨chliche Wirkung von Schwingungsda¨mpfern im Allgemeinen hinter den berechneten Werten zuru¨ck. Eine mo¨gliche Fehlerquelle kann auch in der Modellbildung des Hauptsystems liegen. Da¨mpfung c1 6¼ 0 und c2 6¼ 0 Bei der Dimensionierung eines Tilgers ist bislang davon ausgegangen worden, dass die Da¨mpfung des Hauptsystems vernachla¨ssigt werden kann (c2  0). Im Bild 8.18 wird gezeigt, wie unterschiedliche Da¨mpfungen des Hauptsystems c2 6¼ 0 bei optimierter Tilgerda¨mpfung D1, opt das Schwingungsverhalten des Hauptsystems beeinflussen. Offensicht-

Bild 8.18 Vergro¨ßerungsfunktion VH mit variablem D2 ¼ f ðc2 Þ

152

8 Erzwungene Schwingungen

lich liegt man mit der Annahme eines ungeda¨mpften Hauptsystems auf der sicheren Seite. Es wird deutlich, dass bei Beru¨cksichtigung der realen Da¨mpfung des Hauptsystems noch Reserven im System ausgenutzt werden ko¨nnen, der Tilger also sparsamer dimensioniert werden kann. Die Berechnung der Vergro¨ßerungsfunktionen der Hauptmasse VH und der Tilgermasse VS kann mit entsprechender Software, hier mit dem Programm TILGER.05 [53], erfolgen. Anmerkung: Den Hartog hat um 1930 als erster auf die technische Nutzung von Zweimassenschwingern hingewiesen, um Schwingungsamplituden zu reduzieren, wenn kein erdverbundener viskoser Da¨mpfer einsetzbar ist. In der Praxis werden Schwingungstilger/-da¨mpfer zum Beispiel bei Schornstein- und Bru¨ckenschwingungen eingesetzt [22, 23].

8.3.3

Der Zweimassenschwinger als Maschinenfundament

Die elastische Lagerung von Maschinen auf Federn, Schwingmetallen oder Matten wird im Allgemeinen nach Herstellerangaben dimensioniert. Dabei wird stillschweigend vorausgesetzt, dass unterhalb der elastischen Lagerung eine starre Aufstandsfla¨che vorhanden ist. In jedem Anwendungsfall muss deshalb untersucht werden, ob diese vereinfachende Annahme gerechtfertigt ist [10]. Bei Maschinenfundamenten unterscheidet man zwischen elastischen Stu¨tzkonstruktionen (DIN 4024-1) (Rahmen, Platten, Balken, Decken) und auf dem Boden elastisch gelagerten starren Fundamenten (DIN 4024-2). Die Feder- und Da¨mpferkonstanten des Bodens werden in Abschnitt 11.3.2 behandelt. Werden zwischen Fundament und Boden elastische Matten gelegt, handelt es sich um in Reihe geschaltete Feder-/Da¨mpferelemente (siehe Abschnitt 4.4.7). Bei elastischen Stu¨tzkonstruktionen wird mit der reduzierten Masse gema¨ß Abschnitt 7.2.4 gerechnet (Bild 8.19). Greift die anregende Kraft an der Masse m1 (Maschine) an, dann hat im ungeda¨mpften System c1 ¼ c2 ¼ 0 die Amplitude der Masse m1 eine Nullstelle bei h2 ¼

1þn nj

und die Amplitude der Masse m2 (Decke) ein Minimum bei h2 ¼

1 þ nð1 þ jÞ 2jn

Soll das Minimum bei der Nullstelle von m1 liegen, muss n¼

1 j1

sein. Die Mo¨glichkeit, das System so abzustimmen, dass – wie bei der Tilgerbemessung in Abschnitt 8.3.2 – die Punkte P und Q der Vergro¨ßerungsfunktion auf einer Ho¨he liegen, ist hier nicht gegeben (siehe dazu auch [9]).

153

8.3 Der Zweimassenschwinger

Bild 8.19 Zweimassenschwinger als Maschinenfundament

An einem Beispiel sollen die beiden in der Praxis u¨blichen Varianten untersucht werden, um auf die unterschiedlichen Ergebnisse hinzuweisen. 1. Variante: Elastisch gelagerte Maschine auf einer starren Aufstandsfla¨che (Einmassenschwinger). 2. Variante: Elastisch gelagerte Maschine auf einer elastischen Stu¨tzkonstruktion bzw. auf einem elastisch gelagertem starren Fundament (Zweimassenschwinger, Bild 8.19). Eine Maschine wird u¨ber Stahlfedern mit viskosem Da¨mpfer auf einer Stahlbetondecke gelagert. Die vertikalen Amplituden werden untersucht. Gewa¨hlt werden 4 Stahlfedern N je k1 ¼ 90 und ein Da¨mpfertopf mit D1 ¼ 2,5 % bei Raumtemperatur. Die Maschine mm habe eine Masse von m1 ¼ 1800 kg. 1. Variante ðk2 ! 1Þ Mit der Annahme einer elastischen Lagerung der Maschine auf einer starren Aufstandsfla¨che, betra¨gt die Einzeleigenfrequenz der Maschine: sffiffiffiffiffiffi sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi k1 4  90 1 ¼ 14 wI ¼ ) wI ¼ ) fI ¼ 2,25 Hz m1 1,8 s Die Anregungskraft der Maschine betrage: F^1 ¼ 3000 N Die Umdrehungszahl sei: n ¼ 285 Upm Daraus ergibt sich die Anregungskreisfrequenz W beziehungsweise das Frequenzverha¨ltnis h zu: W¼

285 1  2p ¼ 29,8 60 s

)

h¼

W 29,8 ¼ ¼ 2,1 wI 14

154

8 Erzwungene Schwingungen

Die Vergro¨ßerungsfunktion V1 berechnet sich aus Gl. (8.22) fu¨r den Einmassenschwinger bei konstanter Anregung zu: 1 s^1 ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi s1, stat 2 ð1  h2 Þ þ ð2D1 hÞ2

)

1 V1 ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 ð1  2,12 Þ þ ð2  0,025  2,1Þ2

)

V1 ¼

V1 ¼ 0,29

Die statische Durchbiegung ergibt sich aus: s1, stat ¼

F^1 k1

)

s1, stat ¼

3000 ¼ 8,3 mm 4  90

Wird also die Decke als starr angenommen ðk2 ! 1Þ, berechnet sich die dynamische Amplitude der Maschine wie folgt: s1, dyn ¼ V1  s1, stat ¼ 0,29  8,3 ¼ 2,41 mm 2. Variante Anhand eines Zweimassenschwinger-Modells soll der Einfluss einer elastischen Stu¨tzkonstruktion (z. B. Stahlbetondecke) untersucht werden. Die einachsig gespannte Stahlbetondecke habe die Abmessungen Dicke/Breite/La¨nge ¼ 0,3 m/4 m/10 m. Die Streckenmasse der Decke betra¨gt: m ¼ 2,5  0,3  4 ¼ 3,0

t m

Die reduzierte Masse la¨sst sich nach Abschnitt 7.2.4 bestimmen: m2, red ¼ 0,5  3,0  10 ¼ 15,0 t Mit dem Fla¨chentra¨gheitsmoment der Decke im ungerissenen Zustand I I¼

bd3 12

)

I¼

4  0,33 ¼ 9  103 m4 12

errechnet sich die Federsteifigkeit der Decke nach Abschnitt 4.4.4 bei einem Elastizita¨tskN modul des Stahlbetons von E ¼ 3  107 2 zu: m k2 ¼

48EI l3

)

k2 ¼

48  3  107  9  103 kN  1,3  104 103 m

Die Einzeleigenfrequenz der Decke ohne Maschinenlast berechnet sich zu: rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1,3  104 1 fII ¼ 4,6 Hz ¼ 29 wII ¼ s 15 Die gekoppelten Eigenfrequenzen des ungeda¨mpften Zweimassenschwingers werden dann nach Abschnitt 7.3.1 berechnet:

155

8.3 Der Zweimassenschwinger

Mit n¼

k1 4  90 ¼ ¼ 0,0277 k2 1; 3  104

j¼

m2 15 ¼ ¼ 8,3 m1 1,8

h¼

f1,2 fl

und

ist 1 þ n  ð1 þ jÞ h21,2 ¼  2nj

sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi   1 þ n  ð1 þ jÞ 2 1  2nj nj

h21,2 ¼ 2,735  1,769 h21 ¼ 0,966

h1 ¼ 0,983

f1 ¼ 0,983  2,25 ¼ 2,21 Hz < fl ¼ 2,25 Hz h22 ¼ 4,50

h2 ¼ 2,12

f2 ¼ 2,12  2,25 ¼ 4,77 Hz > fII ¼ 4,60 Hz Vergleicht man die gekoppelten Eigenfrequenzen f1 , f2 des Zweimassenschwingers mit den Einzeleigenfrequenzen fI , fII , sieht man nur wenig Abweichung. Gema¨ß der Theorie (siehe Kapitel 7, Bild 7.7) liegen die gekoppelten Eigenfrequenzen, wenn auch nur ge-

Bild 8.20 Vergro¨ßerungsfunktionen VM ohne Deckenda¨mpfung [53]

156

8 Erzwungene Schwingungen

ringfu¨gig, außerhalb der Einzeleigenfrequenzen. Liegen die Einzeleigenfrequenzen dichter zusammen, wird die Abweichung gro¨ßer. Im Folgenden soll die dynamische Amplitude der Maschine s^1 der 2. Variante (Zweimassenschwinger) berechnet und mit der des Einmassenschwingers (1. Variante) verglichen werden. Wa¨hrend fu¨r den ungeda¨mpften Fall (c1 ¼ c2 ¼ 0) geschlossene Formeln zur Berechnung der Vergro¨ßerungsfunktion der Maschine VM und der Decke VD vorliegen [9], wird fu¨r den geda¨mpften Zweimassenschwinger (c1 6¼ 0 und c2 6¼ 0) das Programm TILGER.05 [53] zur Berechnung von VM und VD verwendet. Die Vergro¨ßerungsfunktionen VM fu¨r den Fall einer ungeda¨mpften Decke (D2 ¼ 0) und einer Deckenda¨mpfung von D2 ¼ 1 % mit verschiedenen Maschinenda¨mpfungen D1 sind in den Bildern 8.20 und 8.21 u¨ber h2 aufgetragen. Es ist: VM ¼

^s1 s1, stat

mit s1, stat ¼

F^1 kres

1 1 1 1 1 ¼ þ ¼ þ kres k1 k2 360 1,3  104

)

kres ¼ 350

N mm

Bild 8.21 Vergro¨ßerungsfunktionen VM, Deckenda¨mpfung 1 % [53]

157

8.3 Der Zweimassenschwinger

Somit ergibt sich: s1, stat ¼

3000 ¼ 8,57 mm 350

Das entsprechende h2 berechnet sich zu: h¼

W 29,8 ¼ ¼ 2,1 wI 14

h2 ¼ 4,41

)

Aus den Bildern 8.22 und 8.23 ist ersichtlich, dass h2 ¼ 4,41 in unmittelbarer Na¨he zur zweiten Resonanzstelle liegt. Zur Berechnung der dynamischen Amplitude der Maschine s^1 wird die Da¨mpfung der Maschine angenommen zu: c1 ¼ 1273 D1 ¼

Ns Ns ¼ 1273  103 m mm

c1 c1, krit

c1 ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 k1 m1

)

1273  103 D1 ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ 2,5 % 2 360  1,8

Die Da¨mpfungskonstante der Decke betrage: c2 ¼ 9000

Ns Ns ¼ 9000  103 m mm

Das ergibt: D2 ¼

c2 c2, krit

c2 9000  103 ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ 1 % 2 k2  m2 2 1,3  104  15,3

Bild 8.22 Vergro¨ßerungsfunktion VM, Deckenda¨mpfung 1 % im Detail [53]

158

8 Erzwungene Schwingungen

Bild 8.23 Vergro¨ßerungsfunktion VM ohne Deckenda¨mpfung im Detail [53]

Die Vergro¨ßerungsfunktionen VM in der Na¨he der Resonanzstelle bei h2 ¼ 4,41 sind in den Bildern 8.22 und 8.23 noch einmal im Detail dargestellt. Aus Bild 8.22 ist fu¨r eine Deckenda¨mpfung von 1 % abzulesen: VM ¼ 0,286

)

s^1 ¼ VM  s1, stat ¼ 0,286  8,57 ¼ 2,45 mm

Aus Bild 8.23 ist fu¨r eine ungeda¨mpfte Decke abzulesen: VM ¼ 0,56

)

s^1 ¼ VM  s1, stat ¼ 0,56  8,57 ¼ 4,80 mm  2,41 mm

Bei der 1. Variante „starre Decke“ hatte sich s^1 ¼ 2; 41 mm ergeben. Vergleicht man die Ergebnisse der beiden Modelle des Zweimassenschwingers (2. Variante) mit denen des Einmassenschwingers (1. Variante), so erkennt man, dass die dynamische Amplitude der Maschine in diesem Beispiel durch Anwendung des Zweimassenschwinger-Modells bis zu 200 % gro¨ßer werden kann. Anmerkung: Bei der 2. Variante la¨sst sich aus den Bildern 8.24 und 8.25 leicht die s^2 dynamische Amplitude der Deckenschwingung s^2 bestimmen. Es gilt VD ¼ mit s1, stat F^1 . Die Schwingung s2 ðtÞkann sich in einem Geba¨ude oder im Boden ausbreiten s1, stat ¼ kres und zu erheblichen Sto¨rungen in der Umgebung fu¨hren (siehe Kapitel 12). Bei der 1. Variante (starre Decke, Einmassenschwinger) bleibt die Deckenschwingung unbestimmt.

8.3 Der Zweimassenschwinger

Bild 8.24 Vergro¨ßerungsfunktionen VD ohne Deckenda¨mpfung [53]

Bild 8.25 Vergro¨ßerungsfunktion VD, Deckenda¨mpfung 1 % [53]

159

160

8 Erzwungene Schwingungen

8.4

Lo¨sungswege der Baudynamik bei periodischer Anregung

8.5

Anwendungsbeispiele

8.5.1

Schwingungsda¨mpfer fu¨r eine Fußga¨ngerbru¨cke

Anhand der Mo¨o¨rkenwegbru¨cke fu¨r Fußga¨nger in Hamburg-Bergedorf soll gezeigt werden, wie die Schwingungsamplituden mit Hilfe eines Schwingungsda¨mpfers reduziert werden konnten [23]. Fu¨r eine konstante Anregung des Hauptsystems (Bru¨cke) werden zuna¨chst die Parameter des Schwingungsda¨mpfers dimensioniert.

161

8.5 Anwendungsbeispiele

Bekannt sind folgende Werte: Tabelle 8.2 Ausgangsgro¨ßen des Hauptsystems Bru¨cke Kennwerte Hauptsystem Reduzierte Masse m2 ½kg   N Federsteifigkeit k2 m   Ns Da¨mpfungskonstante c2 m

42 935 5,195  106 0 (Na¨herung)

Dimensionierung des Schwingungsda¨mpfers Das gewa¨hlte Massenverha¨ltnis j betra¨gt: j¼

m2 m1

)

j ¼ 63,5

Daraus ergibt sich die Tilgermasse: m1 ¼

42 935 ¼ 676 kg 63,5

Die Federeigenschaft des Schwingungsda¨mpfers soll so abgestimmt werden, dass die Punkte P und Q der Kurve VH auf gleicher Ho¨he liegen (Bild 8.17). Dadurch kann die Schwingungsamplitude des Hauptsystems fu¨r alle Anregungsfrequenzen auf ein Minimum begrenzt werden. Mit der Abstimmungsregel aus Gl. (8.76) kann die Federkonstante k1 des Schwingungsda¨mpfers berechnet werden: k1 ¼ k2

j 2

ð1 þ jÞ

)

k1 ¼ 5,195  106

63,5 ð1 þ 63,5Þ

2

¼ 7,93  104

N m

Die Einzeleigenfrequenz des Hauptsystems betra¨gt: rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 5,195  106 1 ¼ ¼ 11 wII ¼ b 1,75 Hz s 42 935 und liegt damit im Bereich mo¨glicher Resonanzanregung durch Fußga¨nger (siehe Kapitel 10). Die Einzeleigenfrequenz des Schwingungsda¨mpfers betra¨gt dann mit Gl. (8.77): wI ¼

j wII 1þj

)

wI ¼

63,5 1 11 ¼ 10,83 1 þ 63,5 s

162

8 Erzwungene Schwingungen

Weiterhin la¨sst sich nach Gl. (8.80) der optimale Da¨mpfungsgrad berechnen: D1, opt ¼

sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3ð1=jÞ

)

8ð1 þ ð1=jÞÞ3

D1, opt ¼

sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3  0,01575 8ð1 þ 0,01575Þ3

)

D1, opt ¼ 0,075 ¼ b 7,5 % Der entsprechende Da¨mpfungskoeffizient des Schwingungsda¨mpfers c1 wird gema¨ß Gl. (8.81) bestimmt: c1, opt ¼ 2m1 wI D1, opt

)

c1, opt ¼ 2  676  10,83  0,075 ¼ 1098

Ns m

Berechnung der Bru¨ckenschwingung ohne Schwingungsda¨mpfer In Bild 8.26 ist die Vergro¨ßerungsfunktion der Fußga¨ngerbru¨cke mit und ohne Schwingungsda¨mpfer abgebildet. Die durchgezogene Kurve zeigt die Vergro¨ßerungsfunktion der Bru¨cke ohne Schwingungsda¨mpfer unter Beru¨cksichtigung eines Da¨mpfungsgrads von 1 % ðD ¼ 0,01Þ. Die zugeho¨rige Schwingungsamplitude s^2 der Bru¨cke ohne Schwingungsda¨mpfer im Resonanzfall berechnet sich aus der Vergro¨ßerungsfunktion des Einmassenschwingers in Resonanzna¨he: VH ¼

s^2 1 ¼ 2D s2, stat

)

VH ¼

1 ¼ 50 2  0,01

Fu¨r die Berechnung der statischen Durchsenkung sstat wird beispielhaft als Kraftamplitude bei mutwilliger Anregung F^2 ¼ 4235 N angesetzt. Somit ergibt sich s2, stat ¼

F^2 4235 ¼ ¼ 0,82 mm k2 5195

)

s^2 ¼ 50  0,82 ¼ 41 mm

Bild 8.26 Vergro¨ßerungsfunktionen mit optimiertem Schwingungsda¨mpfer

163

8.5 Anwendungsbeispiele

Die Schwingungsamplitude der Bru¨cke ohne Schwingungsda¨mpfer wu¨rde somit 41 mm betragen. Berechnung der Bru¨ckenschwingung mit Schwingungsda¨mpfer Das Schwingungsverhalten der Bru¨cke mit zuvor dimensioniertem Schwingungsda¨mpfer kann mit Hilfe des Programms TILGER.05 [53] ausgewertet werden. Anhand der Kurve VH der ungeda¨mpften Bru¨cke mit dem zuvor dimensionierten Schwingungsda¨mpfer (Bild 8.26) ist zu erkennen, dass die Schwingungsamplitude derart begrenzt wird, dass die maximalen Amplituden in den Punkten P und Q auftreten. Der Wert fu¨r max VH der Bru¨cke mit D ¼ 0 kann dem Bild 8.26 entnommen werden und ist VH ¼ 11,3. Beru¨cksichtigt man zusa¨tzlich die Bru¨ckenda¨mpfung D ¼ 0,01 bei der Berechnung der Vergro¨ßerungsfunktion VH , so ergibt sich eine weitere Amplitudenreduktion und die Schwingungsamplituden werden wie folgt berechnet. Das Programm TILGER.05 [53] berechnet fu¨r die Vergro¨ßerungsfunktion der Masse des Schwingungsda¨mpfers VS ¼ 71,4 (nicht dargestellt) und des Hauptsystems VH ¼ 9,6. Also ist: VH ¼

s^2 s2, stat

s^2 ¼ VH  s2, stat ¼ 9,6  0,82 mm  8 mm

VS ¼

s^1 s2, stat

s^1 ¼ VS  s2, stat ¼ 71,4  0,82 mm ¼ 58,6 mm

Durch den Einbau eines geeigneten Schwingungsda¨mpfers kann die Schwingungsamplitude der Bru¨cke von 41 mm auf 8 mm, das heißt um ca. 80 % reduziert werden.

8.5.2

Ermu¨dungsfestigkeit bei Schmelzofenschwingungen

Bei einem Kessel, in welchem Kupfer eingeschmolzen wird, wurden sichtbare Schwingungen festgestellt. Es muss daher untersucht werden, ob diese Schwingungen Auswirkungen auf die Standfestigkeit des Kessels haben. Verursacht werden diese Schwingungen durch Drucka¨nderungen im Abgasbereich, die wahrscheinlich auf ungleichma¨ßige Beschickung im Brennerbereich zuru¨ckzufu¨hren sind. Dieses Anwendungsbeispiel zeigt die oftmals zielfu¨hrende Interaktion zwischen Messen und Rechnen. Berechnung der Eigenfrequenzen mit dem Programm R-FEM Drucka¨nderungen wirken als Stoßanregung in kurzer Folge, so dass die angeregten Eigenschwingungen zwischen den Sto¨ßen nicht abklingen. Dadurch entsteht eine quasi erzwungene Schwingung. Derartige Schwingungen treten in Rohrleitungen und Beha¨ltern ha¨ufig auf. Der Kessel wird als ra¨umliches System mit den Lasten aus Eigengewicht, feuerfester Auskleidung und Kupferschmelze in das Programm R-FEM eingegeben. In den Bildern 8.27 bis 8.30 sind der unverformte Kessel sowie die ersten vier Eigenformen dargestellt. Bei den ersten beiden Eigenformen ðf1 ¼ 5,2 Hz; f2 ¼ 5,3 HzÞ handelt es sich um Gestalta¨nderungen des Kessels. Sie werden nicht angeregt, da diese Verformungen durch die Ausmauerung des Kessels mit Schamottsteinen, welche als Wa¨rmeisolie-

164

8 Erzwungene Schwingungen

Bild 8.27 Isometrie Kessel: unverformtes System

rung dienen, behindert werden. Bei der dritten ðf3 ¼ 6,6 HzÞ und vierten ðf4 ¼ 7,2 HzÞ Eigenform, welche dicht beieinander liegen, handelt es sich um ein Kippen des gesamten Kessels um seine La¨ngs- bzw. Querachse. Aufbaubeschreibung der Messeinrichtung Durch Schwingungsmessungen mu¨ssen die berechneten Eigenformen und ihre zugeho¨rigen Eigenfrequenzen an der Wirklichkeit justiert werden Dazu ist es erforderlich, alle Messpunkte synchron zu messen. Die Messpunkte werden nach den vorab berechneten

Bild 8.28 Draufsicht 1. und 2. Eigenform (f1 ¼ 5,2 Hz, f2 ¼ 5,3 Hz)

8.5 Anwendungsbeispiele

165

Bild 8.29 Seitenansicht und Draufsicht 3. Eigenform (f3 ¼ 6,6 Hz)

Eigenformen festgelegt. Bei den sichtbaren Schwingungen des Kessels handelt es sich um Kippschwingungen. Die gro¨ßten Verschiebungen treten im Kopfbereich des Kessels auf. Um die Verformungsfigur des Kessels ermitteln zu ko¨nnen, muss daher in zwei verschiedenen Ho¨hen des Kessels gemessen werden. Am oberen Rand des Kessels werden vier Messaufnehmer angeordnet. Zwei dieser Aufnehmer messen die Schwinggeschwindigkeit radial und tangential zur Kesselwand und zwei Aufnehmer messen nur radial zur Kessel-

Bild 8.30 Ru¨ckansicht und Draufsicht 4. Eigenform (f4 ¼ 7,2 Hz)

166

8 Erzwungene Schwingungen

wand. Mit diesen vier Aufnehmern kann die Verformung des oberen Kesselrandes dargestellt werden. Um den Verlauf u¨ber die Ho¨he des Kessels abscha¨tzen zu ko¨nnen, werden zwei weitere Aufnehmer etwa 4,5 m weiter unterhalb angebracht. Diese beiden Aufnehmer messen die Schwinggeschwindigkeit radial zur Kesselwand. Um eine Aussage u¨ber das stochastische Schwingungsverhalten des Kessels treffen zu ko¨nnen, werden die Messungen u¨ber einen Zeitraum von einer Woche durchgefu¨hrt. Damit kann eine Aussage u¨ber die Verteilung der unterschiedlichen Schwinggeschwindigkeiten u¨ber die Zeit getroffen werden, welches fu¨r die Beurteilung der Ermu¨dungsfestigkeit des Kessels notwendig ist. Auswertung der Messungen Aus den Messergebnissen werden die maximalen Schwinggeschwindigkeiten mit der zugeho¨rigen dominierenden Frequenz fu¨r jeden Messpunkt herausgesucht. Mit der folgenden Formel kann daraus die Verschiebung des jeweilige Messpunktes zu diesem Zeitpunkt berechnet werden: vs s¼ 2p f Um die Verformung des Kessels zu einem bestimmten Zeitpunkt t darstellen zu ko¨nnen, wird fu¨r alle Messpunkte die Verschiebung zum selben Zeitpunkt berechnet und grafisch aufgetragen (Bild 8.31). Schaut man sich die Verformungen des Kessels zu verschiedenen Zeitpunkten an, ist zu erkennen, dass der Kessel sowohl um die La¨ngs- als auch um die Querachse kippt, er also „torkelt“, was der Anregung der 3. und 4. Eigenform entspricht. Vergleich Messungen und Rechnung Die im vorherigen Abschnitt ermittelten Verformungen werden mit den berechneten Eigenformen des Kessels verglichen. Es ist eine gute qualitative bereinstimmung zwischen

Bild 8.31 Verformungsfigur Messung 261 bei 9,75 s

8.5 Anwendungsbeispiele

167

den gemessenen Verformungen und den berechneten Eigenformen (3. und 4. Eigenform) erkennen. Die berechneten Eigenfrequenzen liegen etwas ho¨her als die gemessenen, da der Elastizita¨tsmodul des Stahls bei den hohen Kesseltemperaturen absinkt. Berechnung der Spannungen infolge der gemessenen Verformungen Um die dynamische Beanspruchung des Kessels durch die Schwingungen abzuscha¨tzen, werden die zu einem bestimmten Zeitpunkt gemessenen Amplituden (maximalen Verformungen am oberen Kesselrand) als Zwangsverschiebung auf den Kessel aufgegeben und die daraus resultierenden Spannungen im Kessel berechnet. Der obere Rand des Kessels wird durch die eingepra¨gte Verschiebung gezwungen, die Gestalt seiner Eigenform anzunehmen. Die maximale Stahlspannung der Kesselwand infolge der max. gemessenen N N Amplitude liegt bei s d ¼ 36,9 . Die Grenznormalspannung liegt bei s R, d ¼ 250 mm2 mm2 N (Kesselstahl P275, Streckgrenze fv,k ¼ 275 bei 20  C). Somit entsprechen die maximm2 malen Spannungen infolge der dynamischen Beanspruchung ca. 10 % der Grenznormalspannung bei einer Kesseltemperatur von 20  C (Nach DIN 1055 und DIN 4150-3 ko¨nnen dynamische Zusatzspannungen bis 10 % ohne weiteren Nachweis toleriert werden). Bei einer ho¨heren Temperatur der Kesselwand nimmt die Grenznormalspannung ab (StreckN grenze fv,k ¼ 177 bei 250  C) und somit der Anteil der dynamische Zusatzmm2 spannungen zu (u¨ber 20 % bei einer Kesseltemperatur von 250  C). Berechnung der Ermu¨dungsfestigkeit Aus den berechneten Spannungen ist ersichtlich, dass die horizontal umlaufenden Schweißna¨hte der Schwachpunkt des Kessels sind. Im Gegensatz zu den vertikal verlaufenden Schweißna¨hten sind diese nicht durchgeschweißt (Bild 8.32) Die horizontale Schweißnaht hat nur eine Dicke von a ¼ 18 mm bei einer Kesselwanddicke von t ¼ 40 mm. Bei der horizontalen Schweißnaht handelt es sich um eine nicht durchgeschweißte Stumpfnaht. Als Kerbfall sind nur einseitig durchgeschweißte Stumpfna¨hte

Bild 8.32 Querschnitt Ofenwand mit horizontaler Schweißnaht

168

8 Erzwungene Schwingungen

tabelliert. Daher mu¨ssen die zusa¨tzlichen Spannungen in der Schweißnaht infolge der nicht durchgeschweißten Naht berechnet werden. Diese Spannungen werden dann mit der zula¨ssigen Spannungsschwingbreite fu¨r durchgeschweißte Stumpfna¨hte verglichen. Gema¨ß DIN 4133 „Schornsteine aus Stahl“ liegt die Kerbfallklasse 80 vor, mit der zula¨sN bei N ¼ 2  106 Spannungsspielen. Besigen Spannungsschwingbreite von DsR ¼ 80 mm2 findet sich die berechnete Spannung in der Schweißnaht oberhalb der zula¨ssigen Spannungsschwingbreite, ist die Anzahl der Spannungsspiele zu reduzieren. Die dynamischen Zusatzspannungen in der Schweißnaht sind aufgrund der Exzentrizita¨t der Schweißnaht weit ho¨her als die infolge der Zwangsverschiebung mit R-FEM berechneten Spannungen in der Kesselwand. Die berechnete resultierende maximale Nennspannungsschwingbreite an der Nahtwurzel betra¨gt: Ds ¼ 2  13,0 ¼ 26,0

kN N N ¼ 260 > Ds R ¼ 80 cm2 mm2 mm2

Daher mu¨ssen die wa¨hrend der Lebensdauer des Kessels tatsa¨chlich auftretenden Spannungsspiele berechnet werden. Der Nutzer des Kessels hat eine geplante Lebensdauer von 25 Jahren fu¨r den Kessel angegeben. Anhand der Messergebnisse der u¨ber eine Woche andauernden Messung wird eine Ha¨ufigkeitsverteilung der verschiedenen Schwingungsamplituden ermittelt. Diese Verteilung wird dann auf die geplante Lebensdauer hochgerechnet, so dass die zu erwartenden Lastwechsel errechnet werden ko¨nnen. Die mm maximalen Spannungen treten bei einer Schwinggeschwindigkeit von vs 80 auf. s Wa¨hrend der gesamten Messzeit von 164 h sind diese maximalen Geschwindigkeiten u¨ber einen Zeitraum von maximal 40 s aufgetreten. Der Anteil A der maximalen Schwingungsamplitude an der Gesamtschwingung des Ofens betra¨gt somit: N¼

40 s ¼ 6,8  105 164 h  3600

Bei einer Lebensdauer von 25 Jahren treten also folgende Spannungsspiele N auf: Tges ¼ 25 Jahre ¼ 25  365  24 ¼ 219 000 h Die Zeit DT mit vs 80

mm betra¨gt dann: s

DT ¼ 219 000  6,8  105 ¼ 15 h Bei einer dominierenden Schwingfrequenz von 5,5 Hz entspricht das: Vorh N ¼ 1 536 005,5 ¼ 297 000 Spannungsspielen wa¨hrend der Lebensdauer. Die zula¨ssiN betra¨gt gege Anzahl bei der berechneten Spannungsschwingbreite von Ds ¼ 260 mm ma¨ß DIN 4133: 1 zul N ¼  3  2  106 ¼ 58 260  60 000 260 80

8.5 Anwendungsbeispiele

169

Weil 297 000  60 000 ist, kann bei einer geplanten Nutzungsdauer von 25 Jahren ein Ermu¨dungsbruch der Schweißnaht auftreten. Daher sind Maßnahmen zur Versta¨rkung der Schweißnaht (zum Beispiel von außen Durchschweißen) oder zur Verringerung der Schwingungsamplituden erforderlich. Die einfachste und wirkungsvollste Maßnahme ist das Durchschweißen der Schweißnaht bis zur Wurzel der vorhandenen Schweißnaht. Dadurch verschwinden die Spannungen aus dem Moment infolge der Exzentrizita¨t und die Spannungen infolge der Normalkraft verringern sich deutlich, so dass die maximale Spannung in der Schweißnaht der maximalen Spannung in der Kesselwand entspricht. Diese N und damit liegt die Nennspannungsschwingbreite unterhalb der liegt bei s d ¼ 36,9 mm2 N zula¨ssigen Spannungsschwingbreite von 80 . Ist ein Gegenschweißen nicht mo¨glich, mm2 so kann der Kessel am Kopf gehalten werden, um so die Schwingungsamplituden zu verringern. Allerdings ko¨nnen dann die Schwingungen auf die umliegende Konstruktion u¨bertragen werden. Im vorliegenden Fall ist die erste Mo¨glichkeit gewa¨hlt worden. Dieses Anwendungsbeispiel zeigt, dass bei Schwingungsproblemen nicht nur die dynamischen Spannungen den statischen zu u¨berlagern sind, sondern bei ha¨ufigen Lastwechseln (Spannungsspielen) die Materialermu¨dung zu beachten ist. Der Artikel in Bild 8.33 beschreibt die katastrophalen Folgen, die sich aus einer Nichtbeachtung der Ermu¨dungsfestigkeit ergeben ko¨nnen.

Bild 8.33 Zeitungsartikel aus „Der Tagesspiegel“

9

Amplitudenreduktion

9.1

Allgemeines

Liegen die Schwingungsamplituden u¨ber einem zula¨ssigen Grenzwert, mu¨ssen Maßnahmen zur Amplitudenreduktion vorgenommen werden. Auf die Festlegung der zula¨ssigen Grenzwerte wird im Kapitel 12 „Anforderungen an den Erschu¨tterungsschutz“ eingegangen. Zula¨ssige Grenzwerte ko¨nnen nach den technischen Regeln (siehe Kapitel 3), den Anforderungen der Maschinen- bzw. Gera¨tehersteller oder mit dem Bauherrn (Nutzer) vereinbart werden. Schwingungstechnische Maßnahmen zur Amplitudenreduktion ko¨nnen prinzipiell an der Quelle, auf der bertragungsstrecke oder am Empfa¨nger vorgenommen werden (siehe Bild 11.1).

9.2

Amplitudenreduktion an der Quelle

Zu den typischen Quellen von Erschu¨tterungen geho¨ren Maschinen, Verkehr, Baustellenbetrieb, Sprengungen oder Erdbeben. Zuna¨chst sollte gemeinsam mit dem Verursacher gepru¨ft werden, ob die Erschu¨tterungsemissionen an der Quelle, zum Beispiel durch aktive Schwingungsisolierung (siehe Abschnitt 8.2.7) oder Auswuchten der Maschine, vermindert werden ko¨nnen. Ein genaues Studium der dynamischen Kra¨fte an der Quelle ist unerla¨sslich, um bei eventuell erforderlichen Maßnahmen am Empfa¨nger geeignete Entscheidungen treffen zu ko¨nnen. Dabei kann es von Vorteil sein, sich Kenntnisse u¨ber die Maschinendynamik anzueignen.

9.3

Amplitudenreduktion auf der bertragungsstrecke

Schwingungen an der Quelle breiten sich als Wellen im Baugrund, im Wasser, in der Luft und in Baukonstruktionen aus. Zuna¨chst sollte gepru¨ft werden, ob ein Standortwechsel der Quelle oder des Empfa¨ngers von Vorteil ist. Manchmal ist es auch sinnvoll, die bertragungsstrecke der Wellen zu unterbrechen. Durch die Abschirmwirkung eines Schlitzes im Baugrund, eines Geba¨udefundamentes oder durch Querschnittsa¨nderungen in Baukonstruktionen kommt es zu Reflexionen bei der Wellenausbreitung und damit zur Amplitudenreduktion am Empfa¨nger (siehe Kapitel 11).

9.4

Amplitudenreduktion am Empfa¨nger

Die Immissionen am Empfa¨nger ko¨nnen durch passive Schwingungsisolierung (siehe Abschnitt 8.2.6) verringert werden. Dafu¨r stehen zwei Methoden zur Verfu¨gung.

172

9.4.1

9 Amplitudenreduktion

Amplitudenreduktion im resonanzfernen Bereich

Die am ha¨ufigsten angewandte Methode wird als Abstimmungsregel bezeichnet. Die Baukonstruktion wird so ausgebildet, dass ihre Eigenfrequenzen weit genug von den Anregungsfrequenzen entfernt liegen. Das erforderliche Frequenzverha¨ltnis muss von Fall zu Fall festgelegt werden. Im Kapitel 12 „Anforderungen an den Erschu¨tterungsschutz“ werden diesbezu¨glich einige Hinweise gegeben. Bei der Abstimmungsregel ko¨nnen die Eigenfrequenzen fu¨r das ungeda¨mpfte System verwandt werden, da im resonanzfernen Bereich die Da¨mpfung im Allgemeinen vernachla¨ssigbar klein ist (siehe Abschnitt 8.2.1).

9.4.2

Amplitudenreduktion im resonanznahen Bereich

Lassen sich die nach der Abstimmungsregel erforderlichen Eigenfrequenzen konstruktiv nicht verwirklichen, mu¨ssen andere Methoden zur Amplitudenreduktion zur Anwendung kommen. Man unterscheidet: – – – –

dissipative Da¨mpfung (Materialda¨mpfung) (siehe Abschnitt 9.5), Abstrahlda¨mpfung (geometrische Da¨mpfung) (siehe Abschnitt 11.3.2), Schwingungstilger (Schwingungsda¨mpfer) (siehe Abschnitt 8.3.2), aktive Elemente (u¨ber einen Regelkreis gesteuerte Zusatzmasse, so genannte Aktuatoren, siehe Abschnitt 13.3.2) [1, 65], – semi-aktive Elemente [59].

9.5

Dissipative Da¨mpfung

9.5.1

berblick

Durch Reibung wird mechanische Energie in Wa¨rme umgewandelt (dissipiert ¼ zerstreut). Bewegung ohne Dissipation (perpetuum mobile) gibt es in der Natur nicht. Aufgrund der Dissipation klingen alle freien Schwingungen ab und nehmen ihre statische Ruhelage ein. Bei erzwungenen Schwingungen wird ein Teil der Anregungskraft durch Dissipation vernichtet und steht fu¨r die Aufrechterhaltung der Bewegung nicht mehr zur Verfu¨gung. Man unterscheidet makroskopische und mikroskopische Dissipation: Makroskopische Dissipation  Reibungsda¨mpfung findet in Form von Festko¨rperreibung, auch Coulombsche Reibung genannt, statt. Die Da¨mpfungskraft errechnet sich aus FD ¼ Nm, mit der Normalkraft N und dem Reibungsbeiwert m. Sie ist geschwindigkeitsunabha¨ngig und wirkt beispielsweise zwischen Blattfedern, Schraubanschlu¨ssen, Einbauten oder Rissen in der Konstruktion, die sich relativ zueinander bewegen (Strukturda¨mpfung, Systemda¨mpfung). Im Maschinenbau werden z. B. sog. „Reibleistenda¨mpfer“ eingesetzt.

9.5 Dissipative Da¨mpfung

173

 Viskose Da¨mpfung, auch Fluidreibung genannt. Die Da¨mpfungskraft errechnet sich aus FD ¼ cs_. Hier ist c die Da¨mpfungskonstante und s_ die Verformungsgeschwindigkeit. Die Da¨mpfungskraft ist geschwindigkeitsabha¨ngig. Zum Beispiel tritt viskose Da¨mpfung bei Wasser, l, Bitumen oder Luft auf, wenn sie durch einen verengten Querschnitt fließen (Stoßda¨mpfer) (! DVD, Menue 5). Mikroskopische Dissipation Material- beziehungsweise Werkstoffda¨mpfung entsteht  infolge innerer Reibung in der Fließfla¨che bei plastischen Deformationen (Plastizita¨t). Sie ist geschwindigkeitsunabha¨ngig;  infolge kristalliner Deformationen im elastischen Bereich (Viskoelastizita¨t) beziehungsweise im plastischen Bereich (Viskoplastizita¨t). Sie ist geschwindigkeitsabha¨ngig. Alle genannten Arten dissipativer Da¨mpfung werden in der Baudynamik auf die „linearviskose Da¨mpfung“, das heißt geschwindigkeitsproportionale Da¨mpfung zuru¨ckgefu¨hrt, um zu einer einfachen linearen Differentialgleichung zu kommen: FD ðtÞ ¼ cs_ðtÞ

ð9:1Þ

Diese Na¨herung mit einem linearen Da¨mpfungsansatz ist vertretbar, solange nur eine geringe Da¨mpfung vorhanden ist. Die quantitative Bestimmung der Da¨mpfungskonstante c kann nur durch Versuche erfolgen. Ihre indirekte Bestimmung geschieht mittels Ausschwingversuch (siehe Abschnitt 9.5.3) oder Resonanzversuch (siehe Abschnitt 9.5.4). In Bild 9.9 (siehe Abschnitt 9.6.1) sind zwei Abklingkurven von Ausschwingversuchen abgebildet, um zu zeigen, wie stark die Materialda¨mpfung durch einen zusa¨tzlichen viskosen Da¨mpfer, so genannten „Stoßda¨mpfer“, erho¨ht werden kann. Direkt kann die Da¨mpfungskonstante durch Ausmessen der Hysterese-Kurve (Kraft-Weg-Kurve infolge zyklischer Belastung) ermittelt werden. Bei linear-viskosem Verhalten (Bild 9.1, Newtonsches Fluid) ist c eine Materialkonstante, bei nichtlinearer Viskosita¨t (siehe Abschnitt 9.5.6) eine Funktion der Schergeschwindigkeit und in jedem Fall temperaturabha¨ngig, was bei der Konstruktion viskoser Da¨mpfer zu beachten ist.

9.5.2

Rheologische Modelle

Nach dem 1. Hauptsatz der Thermodynamik kann der Energieerhaltungssatz fu¨r mechanische Energie [kNm] (siehe Kapitel 6) um die Wa¨rmemenge Q [kcal] erweitert werden: Ekin þ Epot þ Edef þ Q ¼ konst:

ð9:2Þ

Die Umrechnung erfolgt u¨ber das mechanische Wa¨rmea¨quivalent: 1 ½kcal ¼ 4,27 ½kN m ¼ 4,185  103 ½Joule Wird mechanische Energie durch Reibung in Wa¨rme umgewandelt, fu¨hrt dies zur Temperaturerho¨hung, die im Allgemeinen in die Umgebung abgestrahlt (dissipiert) wird. Das Saint-Venant-Modell beschreibt geschwindigkeitsunabha¨ngiges, das Newton-Modell geschwindigkeitsabha¨ngiges Materialverhalten.

174

9 Amplitudenreduktion

Nach dem 2. Hauptsatz der Thermodynamik ist die Umwandlung von mechanischer Energie in Wa¨rme irreversibel ðEdef, pl ¼ b WD , siehe Abschnitt 6.1.3). Die sogenannte Entropie ist eine Zustandsgro¨ße, die bei allen selbstablaufenden Prozessen in einem abgeschlossenen System zunimmt. So la¨sst sich zum Beispiel heißes und kaltes Wasser zu lauwarmem Wasser mischen aber nicht wieder in zwei Teilmengen kalten und heißen Wassers trennen. Ein nichtvollkommen elastischer Ball e < 1, der auf einen starren Boden fa¨llt, erreicht von selbst nicht mehr seine urspru¨ngliche Ho¨he. Aufgrund der Da¨mpfungsarbeit WD muss in ein schwingendes System sta¨ndig Energie von außen hinzugefu¨hrt werden oder die Schwingung kommt zur Ruhe. Im Gegensatz dazu ist die mechanische Deformationsarbeit Edef , el ¼ b WR (Federwirkung) reversibel. Fu¨r letztere gilt das Hookesche Modell. Das Bild 9.1 zeigt einige grundlegende rheologische Modelle aus masselos gedachten Federn und Da¨mpfern, die in der Baudynamik von Bedeutung sind. Die zur Berechnung von in Reihe oder parallel geschalteten Modellen ist in Abschnitt 4.4.7 eingehend erla¨utert. Wer vertiefte Kenntnisse in der Materialtheorie erwerben mo¨chte, dem sei die Literatur [24] empfohlen.

Bild 9.1 Rheologische Modelle

175

9.5 Dissipative Da¨mpfung

9.5.3

Ausschwingversuch

Zur Lo¨sung der homogenen Differentialgleichung m€ sðtÞ þ cs_ðtÞ þ ksðtÞ ¼ 0 wird der Lo¨sungsansatz sðtÞ ¼ s^ elt

ð9:3Þ

verwendet, mit dem sich die Differentialgleichung in eine Eigenwertgleichung umschreiben la¨sst: ml2 ^ s elt þ cl^ s elt þ k^s elt ¼ 0

ð9:4Þ

Zum Zeitpunkt t ¼ 0 wird e ¼ 1 und aus Gl. (9.4) wird: lt

ml2 þ cl þ k ¼ 0 Das Eigenwertproblem hat die Lo¨sung: rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  c 2 k c l¼  þ 2m 2m m

ð9:5Þ

ð9:6Þ

Das negative Vorzeichen vor der Wurzel ist ohne physikalische Bedeutung. Es werden drei Fa¨lle unterschieden: a) Der Ausdruck unter der Wurzel wird zu Null  c 2 k pffiffiffiffiffiffiffi ¼ ð9:7Þ ) c ¼ ckrit ) ckrit ¼ 2 km ¼ 2mw 2m m Dieser Fall wird als kritische Da¨mpfung bezeichnet. Sie ist immer systemabha¨ngig und stellt den Grenzwert zwischen starker und schwacher Da¨mpfung dar. Mit der kritischen Da¨mpfung wird das Da¨mpfungsmaß D, fru¨her Lehrsches Da¨mpfungsmaß oder Da¨mpfungsgrad genannt, berechnet. Diese Gro¨ße ist ebenfalls systemabha¨ngig und als Quotient der vorhandenen Da¨mpfung c zur kritischen Da¨mpfung ckrit definiert: c D¼ ¼1 ckrit b) Der Ausdruck unter der Wurzel ist positiv  c 2 k pffiffiffiffiffiffiffi > ) c > ckrit ¼ 2 km 2m m D>1

ð9:8Þ

Der Eigenwert l ist immer negativ und reell. Mit s ¼ s^ejljt liegt eine exponentiell abnehmende, nicht periodische Bewegung vor. Bei u¨berkritischer Da¨mpfung spricht man von einer starken oder aperiodischen Da¨mpfung (Bild 9.2) oben. c) Der Ausdruck unter der Wurzel ist negativ  c 2 k pffiffiffiffiffiffiffi < ) c < ckrit ¼ 2 km 2m m D<1

ð9:9Þ

176

9 Amplitudenreduktion

Bild 9.2 Geda¨mpfte Schwingungen

Bei unterkritischer Da¨mpfung liegt eine abklingende, periodische Schwingung vor. Man spricht von einer schwach geda¨mpften Schwingung (Bild 9.2 unten). Die Lo¨sung der Eigenwertgleichung ist: c l¼ þi 2m wl ¼

rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi k  c 2  m 2m

)

l¼

c þ iwl 2m

ð9:10Þ

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi k=m  ðc=2mÞ2 ist die geda¨mpfte Eigenkreisfrequenz. Der Eigenwert l wird in

die Gl. (9.3) eingesetzt und liefert die Verschiebung einer geda¨mpften harmonischen Schwingung in komplexer Schreibweise mit exponentiell abnehmenden Amplituden: c t

sðtÞ ¼ ^s e 2m eiwl t

ð9:11Þ

Der Term d ¼ c=2m kennzeichnet den Abklingkoeffizienten. Mit der Euler-Formel eiwl t ¼ cos wl t þ i sin wl t ergibt sich: c t

sðtÞ ¼ ^s e 2m ðcos wl t þ i sin wl tÞ

ð9:12Þ

177

9.5 Dissipative Da¨mpfung

Aus dem Abschnitt 4.2.2 ist die Darstellung einer ungeda¨mpften harmonischen Schwingung in reeller Schreibweise bekannt (Gl. 4.9). Sie lautet: sðtÞ ¼ c1 sin wt þ c2 cos wt Ersetzt man in Gl. (9.12) [^s ðcos wl t þ i sin wl tÞ] in komplexer Schreibweise durch [c1 sin wl t þ c2 cos wl tÞ in reeller Schreibweise mit w ¼ wl , so ergibt sich mit c t

sðtÞ ¼ ^s e 2m ðc1 sin wl t þ c2 cos wl tÞ

ð9:13Þ

die Verschiebung einer geda¨mpften harmonischen Schwingung in reeller Schreibweise. Ist der Nullphasenwinkel j ¼ 0, wird aus Gl. (9.13) unter Beachtung von c1 ¼ s^ und c2 ¼ 0 gema¨ß Gl. (4.10) und (4.11): c t

sðtÞ ¼ ^s e 2m sin wl t

ð9:14Þ

Die reelle Funktion (9.14) entspricht dem imagina ¨ ren Teil der komplexen Funktion (9.12) c t

(siehe auch Abschnitt 4.2.2). Der Faktor e 2m in Gl. (9.14) beschreibt eine exponentiell abnehmende Bewegung wie unter Punkt b) beschrieben, wa¨hrend sin wl t zwischen den Werten þ1 und 1 verla¨uft. Fu¨r zwei aufeinander folgende Amplituden mit gleichem Vorzeichen, also fu¨r eine Periode, gilt: t2 ¼ t1 þ T

)

t2 ¼ t1 þ

2p wl

ð9:15Þ

Das Verha¨ltnis der Amplituden zum Zeitpunkt t1 und t2 ergibt demnach: sðt1 Þ ¼ sðt2 Þ

c t

e 2m

1

)

c ðt þTÞ 1 e 2m

cp sðt1 Þ ¼ e mwl sðt2 Þ

)

sðt1 Þ ¼ sðt2 Þ

1 c 2p e 2m wl

)

sðt1 Þ ¼ e# sðt2 Þ

ð9:16Þ

# ¼ cp=mwl bezeichnet das logarithmische Dekrement. Es ist der natu¨rliche Logarithmus des Verha¨ltnisses zweier aufeinander folgender Schwingungsamplituden. sðt1 Þ sðt2 Þ rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  c ffi k  c 2 ¼ w2   wird: Mit wl ¼ m 2m 2m # ¼ ln

#¼

cp mwl

)

#¼

ð9:17Þ

2cp rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  c ffi2 2m w2  2m

ð9:18Þ

Unter Verwendung von D ¼ c=ckrit und 4m2  w2 ¼ 4  m  k ¼ c2krit wird 2cp 2cp # ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 2 2 2 4m w  c ckrit  c2

)

2p D # ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1  D2

ð9:19Þ

178

9 Amplitudenreduktion

In der Baudynamik kann stets D 1 gesetzt werden, wenn keine externen Da¨mpfer vorhanden sind. Fu¨r diesen Fall wird Gl. (9.19): #  2p D

ð9:20Þ

Durch Ausmessen der Amplituden sðt1 Þ und sðt2 Þ (siehe Bild 9.8, Abschnitt 9.6.1) la¨sst sich # mit Gl. (9.17), D mit Gl. (9.20) und schließlich c berechnen. c ¼ Dckrit

)

c¼

# ckrit 2p

ð9:21Þ

Mit dem Da¨mpfungsmaß D kann ein weiterer Parameter abgeleitet werden, der Verlustfaktor d. pffiffiffi c c k cw D ¼ pffiffiffiffiffiffiffi ) D ¼ pffiffiffiffiffiffiffipffiffiffi ) D ¼ ) 2k 2 km 2 km k cw d ¼ tan a0 ¼ ) d ¼ 2D ð9:22Þ k Siehe auch Gl. (8.17) mit m ¼ 0 und Resonanzanregung W ¼ w. Der Verlustfaktor d wird oft von Herstellern von Da¨mmstoffen angegeben. Das logarithmische Dekrement # sowie der Verlustfaktor d sind ebenso wie das Da¨mpfungsmaß D systemabha¨ngig. Mit dem Ausschwingversuch la¨ßt sich nur das Da¨mpfungsmaß der 1. Eigenform bestimmen.

9.5.4

Resonanzversuch

Die Da¨mpfung c kann anhand eines Resonanzversuches bestimmt werden, bei dem ein Schwinger die Struktur anregt und dabei eine festgelegte Bandbreite von Frequenzen durchla¨uft (! DVD, Menue 5).

Bild 9.3 Resonanzversuch

179

9.5 Dissipative Da¨mpfung

Das Bild 9.3 zeigt beispielhaft das grafische Ergebnis eines Resonanzversuches, das so genannte Resonanzspektrum. Aus der experimentell bestimmten maximalen Amplitude la¨sst sich D und dann c berechnen: V¼

max s^ 1 sstat ¼ )D¼ 2 max s^ sstat 2D

Aus der Halbwertbreite der Resonanzkurve la¨sst sich ebenfalls D und dann c berechnen [1]: D¼

DW , 2w

DW ¼ W2  W1

1 pffiffiffi 2 max s^ aus der Resonanzkurve abgreifen. 2 Die indirekte Bestimmung der Da¨mpfungskonstanten aus dem Resonanzversuch ist bei den u¨blichen schwachgeda¨mpften Baukonstruktionen schwierig und deshalb unu¨blich. W1 , W2 an der Stelle s^ ¼

9.5.5

Hysterese-Kurve

Wa¨hrend Ausschwing- und Resonanzversuche an schwingungsfa¨higen, also massebehafteten Systemen durchgefu¨hrt werden mu¨ssen, kann die Hysterese-Kurve am masselos gedachten Werkstoff gemessen werden. Dazu wird der Werkstoff mit einer harmonischen Kraft FðtÞ beziehungsweise Spannung sðtÞ beaufschlagt und antwortet mit einer harmonischen Verschiebung sðtÞ beziehungsweise Verzerrung eðtÞ. Die Antwort eines masselos gedachten Werkstoffes auf eine harmonische Kraft wird „dynamische Steifigkeit“ genannt, die aus den Impedanzgleichungen (siehe Abschnitt 8.2.3) hervorgeht, wenn die Masse m ¼ 0 (masselose, starre Scheibe) gesetzt wird. Zur Beschreibung der Da¨mpfungs- und Federwirkung eines Baustoffes werden Stoffmodelle beno¨tigt, welche die Realita¨t mo¨glichst genau abbilden (siehe Bild 9.1). In homogenen Systemen (siehe Abschnitt 7.4) sind Feder und Da¨mpfer materiell miteinander verbunden und ko¨nnen nicht getrennt ermittelt werden. Sie wirken nach dem Voigt-Kelvin-Modell stets gleichzeitig. Im Folgenden werden drei verschiedene Stoffmodelle betrachtet. a) Hooke-Modell Die Ru¨ckstellkraft FR ðtÞ einer elastischen Feder (siehe Bild 9.1) und die elastische Deformationsarbeit Edef , el ¼ b WR (Speicherenergie) lauten: FR ðtÞ ¼ ksðtÞ;

1 2 WR ¼ k^ s 2

Bild 9.4 Deformationsarbeit der linear-elastischen Feder

ð9:23aÞ

180

9 Amplitudenreduktion

Bild 9.5 Da¨mpfungsarbeit des linear-viskosen Da¨mpfers

In den Bildern 9.4 und 9.5 ist der Inhalt der schraffierten Fla¨che gleich der Deformationsarbeit, die von der elastischen Feder verrichtet wird. Pro Zyklus wird eine Deformationsarbeit von 2 WR verrichtet. b) Newton-Modell Die Kraft in einem viskosen Da¨mpfer (siehe Bild 9.1) ist proportional zur Dehnungsgeschwindigkeit. Mit dem harmonischen Ansatz sðtÞ ¼ s^ sin Wt wird: FD ðtÞ ¼ cs_ðtÞ

) FD ðtÞ ¼ cW^ s cos Wt pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 s 1  sin Wt ) FD ðtÞ ¼ cW^ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi s sin2 WtÞ2 ) FD ðtÞ ¼ cW s^2  ð^ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi FD ðtÞ ¼ cW s^2  s2 ðtÞ

)

ð9:23bÞ

s cos Wt mit der Phase Die Verschiebung sðtÞ ¼ s^ sin Wt la¨uft der Kraft FD ðtÞ ¼ cW^ Wt ¼ a0 ¼ p=2 hinterher, woher die Bezeichnung Hysterese-Kurve (Nachwirkung) kommt. Die Hysterese-Kurve ist in Bild 9.6 abgebildet. Zum Zeitpunkt t ¼ 0 wird aus der Gl. (9.23b): F^D ¼ cW^ s

)

c¼

F^D W^ s

ð9:24Þ

Quadriert man den Ausdruck (9.23b), ergibt sich die Bestimmungsgleichung einer achsenparallelen Ellipse. FD2 ðtÞ ¼ ðcWÞ2 ð^ s2  s2 ðtÞÞ )  2 ! sðtÞ 2 2 sÞ 1  FD ðtÞ ¼ ðcW^ s^  2  2 FD ðtÞ sðtÞ þ ¼1 ^s cW^ s

) ð9:25Þ

Der Fla¨cheninhalt der Ellipse gibt die irreversible Da¨mpfungsarbeit Edef, pl ¼ b WD (dissipierte Energie) pro Zyklus an. WD ¼ p F^D s^

)

WD ¼ p cW^ s2

ð9:26aÞ

181

9.5 Dissipative Da¨mpfung

Bild 9.6 Voigt-Kelvin-Modell [1]

Durch Ausmessen der aus dem Versuch gewonnenen Hysterese-Kurve la¨sst sich c berechnen: c¼

WD p W^ s2

ð9:26bÞ

c) Voigt-Kelvin-Modell Das Voigt-Kelvin-Modell (siehe Bilder 9.1 und 9.6) stellt eine Kombination einer linearelastischen Feder mit einem linear-viskosen Da¨mpfer dar. Die Reaktion auf eine harmonische Kraft FðtÞ ¼ F^ sin Wt ist: cs_ðtÞ þ ksðtÞ ¼ F^ sin Wt sðtÞ ¼ b FðtÞ,

)

s_ðtÞ þ

F^ k sðtÞ ¼ sin Wt c c

ð9:27Þ

eðtÞ ¼ b sðtÞ

Mit dem reellen Lo¨sungsansatz: sðtÞ ¼ s^ sin ðWt  a0 Þ s_ðtÞ ¼ s^W cos ðWt  a0 Þ la¨sst sich die zur Kraft FðtÞ phasenverschobene Schwingungsamplitude sðtÞ berechnen. p  p  p  a0 ¼ sin a0 und sin  a0 ¼ cos a0 : Aus Gl. (9.27) wird mit Wt ¼ , cos 2 2 2 k F^ s^W sin a0 þ s^ cos a0 ¼ c c

)

s^ ¼

F^ cW sin a0 þ k cos a0

ð9:28Þ

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F^ ¼ cW sin a0 þ k cos a0 ¼ k2 þ ðcWÞ2 wird als „dynamische Steifigkeit“ s^ des Voigt-Kelvin-Modells bezeichnet. Das gleiche Ergebnis erha¨lt man, wenn in Gl. (8.16) die Masse m ¼ 0 gesetzt wird (masselose starre Scheibe, siehe Abschnitt 8.2.3a).

Der Quotient

Fu¨r Wt ¼ 0 folgt aus der Gl. (9.27) der Verlustfaktor d oder Verlustwinkel a0 , der u¨blicherweise bei Materialien mit hohen Da¨mpfungseigenschaften angegeben wird:

182

9 Amplitudenreduktion

sðtÞ ¼ ^s sin a0 s_ðtÞ ¼ s^W cos a0

ð9:29Þ

k s^W cos a0  s^ sin a0 ¼ 0 c

cW d ¼ tan a0 ¼ k

)

(Gl. (8.17) mit m ¼ 0) Mit dem komplexen Lo¨sungsansatz Gl. (4.12) und j ¼ o wird: sðtÞ ¼ ^s eiWt s_ðtÞ ¼ ^siW eiWt Eingesetzt in die komplexe Schreibweise der Gl. (9.27) ergibt: cs_ðtÞ þ ksðtÞ ¼ F^ eiWt c^ siW þ k^ s ¼ F^ ¼ ðciW þ kÞ  s^: Die Gro¨ße ðk þ icWÞ wird „komplexe Steifigkeit“ genannt. Je nach Material kann der Verlustfaktor d von der Temperatur und der Dehnung abha¨ngig sein. Da das Voigt-Kelvin-Modell das Hooke-Modell und das Newton-Modell kombiniert, la¨sst sich die Antwort des Werkstoffes auf eine harmonische Anregung mit den Gl. (9.23a) und (9.23b) auch schreiben als: FðtÞ ¼ FR ðtÞ þ FD ðtÞ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi FðtÞ ¼ ksðtÞ  cW s^2  s2 ðtÞ

ð9:30Þ

Diese Gleichung ergibt als Hysterese-Kurve eine schra¨g liegende Ellipse (Bild 9.6). Der Weg sðtÞ la¨uft der Kraft FðtÞ mit der Phase a0 hinterher. eðtÞ ¼ b sðtÞ ¼ s^ sin Wt

ð9:31Þ

sðtÞ ¼ b FðtÞ ¼ F^ sin ðWt þ a0 Þ

Der Fla¨cheninhalt der Ellipse wird mit Gl. (9.26a) berechnet. Der Fla¨cheninhalt des schraffierten Dreiecks in Bild 9.6 wird mit Gl. (9.23a) berechnet. Bei den Werkstoffen der Baukonstruktionen weicht die Hysterese-Kurve von der elliptischen Form ab, was darauf hinweist, dass die viskose Da¨mpfung nur eine Na¨herung darstellt. Je ho¨her die Da¨mpfung ist, desto sta¨rker ist die Abweichung. Bei schwacher Da¨mpfung wird die Hysterese-Kurve allerdings sehr schmal, weshalb diese Versuche nur bei Polymeren und anderen Werkstoffen mit hoher Da¨mpfung oder bei großen Verformungen (Plastizita¨t) angewandt werden. Die spezifische Da¨mpfung pro Zyklus (so genannte hysteretische Da¨mpfung oder Da¨mpfungsfaktor) betra¨gt mit den Gl. (9.23a) und (9.26a): Y¼

WD WR

kY c¼ 2p W

)

Y¼

p cW^ s2 1 2 k^ s 2

)

Y¼

2p cW k

ð9:32Þ

9.5 Dissipative Da¨mpfung

183

Mit Gl. (9.29) wird: Y ¼ 2p d

ð9:33Þ

Die spezifische Da¨mpfung am Einmassenschwinger erha¨lt man, in dem das Voigt-Kelvinpffiffiffiffiffiffiffi Modell um eine Masse erweitert und in Gl. (9.32) die Gleichung ckrit ¼ 2 km einsetzt: pffiffiffiffi 2p cW m 4p cW ) Y ¼ 4p Dh ð9:34Þ Y ¼ pffiffiffipffiffiffi pffiffiffiffi ) Y ¼ wckrit k k m Durch Ausmessen von WD und WR la¨sst sich zuna¨chst Y, d und schließlich c berechnen. Es sei nochmals darauf hingewiesen: d D

Maß fu¨r die Da¨mpfung aus der Hysterese-Kurve Maß fu¨r die Da¨mpfung aus dem Ausschwingversuch

Um den Verlustfaktor d mit dem Da¨mpfungsmaß D des Ausschwingversuches vergleichen zu ko¨nnen, muss das System in Resonanz h ¼ 1 angeregt werden. Aus den Gleichungen Y ¼ 2p d (9.33) und Y ¼ 4p Dh (9.34) wird: d ¼ 2D

ð9:35Þ

Das Ergebnis ist identisch mit Gl. (9.22). Na¨herungsweise kann mit den in Tabelle 9.1 angegebenen Werten fu¨r das Da¨mpfungsmaß gerechnet werden.

9.5.6

Fluidreibung

Die Abscha¨tzung der dissipativen Da¨mpfung bleibt mit großen Unsicherheiten behaftet. Wenn Genauigkeit verlangt wird, ko¨nnen nur Versuche helfen. Der Ansatz einer geschwindigkeitsproportionalen Da¨mpfung mit einer konstanten Da¨mpfungskonstanten ist in realen Flu¨ssigkeiten und Festko¨rpern so gut wie niemals verwirklicht. Die Rezepturen der Flu¨ssigkeiten in Da¨mpferelementen werden von den Herstellern nicht preisgegeben. Ihre Wirkung ist immer auf gewisse Anwendungsbereiche begrenzt. Bei der Auslegung von viskosen Da¨mpfern ist besonders darauf zu achten, dass dem Hersteller die Betriebsbedingungen mitgeteilt werden. Bei „idealen Fluiden“ (Eulersches Fluid), wie sie zum Beispiel der Bernoulli-Gleichung zu Grunde liegen, ist die Viskosita¨t h (Gl. 9.36) gleich null. Sie sind also reibungsfrei. Bei “Newtonschen Fluiden“ ist die Viskosita¨t h (Gl. 9.36) von der Schergeschwindigkeit g_ , also der Frequenz unabha¨ngig. Sie ist eine Materialkonstante also der Proportionalita¨tsfaktor zwischen Schubspannung und Schergeschwindigkeit und wird deshalb „lineare Viskosita¨t“ genannt. Diese Annahme liegt den Differentialgleichungen (7.3), (8.9) und (9.1) zugrunde. Bei „Nicht- newtonschen Fluiden“ (dazu za¨hlen die meisten realen Flu¨ssigkeiten) ist die Viskosita¨t h von der Schergeschwindigkeit g_ und der Temperatur abha¨ngig (Bild 9.7). Fu¨r die stationa¨re, laminare Stro¨mung einer realen Flu¨ssigkeit gilt das Reibungsgesetzt: t ¼ hðg_ ,  CÞ g_

ð9:36Þ

Darin ist t die notwendige Schubspannung, um die Schergeschwindigkeit g_ zu erzeugen. Die a¨quivalente Gleichung fu¨r Normalspannungen lautet: s ¼ hðg_ ,  CÞ e_

ð9:37Þ

184

9 Amplitudenreduktion

Bild 9.7 Viskosita¨t „nicht-Newtonscher Fluide“ [66]

Durch Multiplikation mit der Fla¨che erha¨lt man die Da¨mpfungskraft: FD ¼ sA FD ¼ hA

)

FD ¼ hAe_

)

s_ l

mit

(9.38) hA wird c¼ l

FD ¼ cs_

9.6

Anwendungsbeispiele

9.6.1

Da¨mpfungsberechnung aus einem Ausschwingversuch

An einem statisch bestimmt gelagerten Einfeldbalken aus Stahl (Zahlenbeispiel siehe Abschnitt 6.1.2) wird ein Ausschwingversuch unternommen (! DVD, Menue 2). Das Ergebnis ist in dem Bild 9.8 abgebildet. Die Eigenperiode des Tra¨gers kann der Abklingkurve entnommen werden. Daraus ko¨nnen leicht die Eigenfrequenz und die Eigenkreisfrequenz bestimmt werden: T ¼ 0,33 s f ¼

1 ¼ 3,0 Hz 0,33

wl ¼ 2p  3,0  19,0

1 s

185

9.6 Anwendungsbeispiele

Bild 9.8 Abklingkurve eines Ausschwingversuches mit Bleigewicht (gemessen)

Weiter wird aus der Abklingkurve die Abnahme der Amplitude nach 10 Perioden abgelesen. Diese betra¨gt 0,65 mm. Das logarithmische Dekrement und der Da¨mpfungsgrad ergeben sich schließlich zu: # ¼ ln

D¼

sðt1 Þ sðt2 Þ

# 2p

)

)

# ¼ ln

D¼

3,5 ¼ 0,019 0,65 3,5  10

0,019  100 ¼ 0,3 % 2p

Fu¨r D ¼ 0,3 % wird V1 ¼ 1=2D ¼ 167, was eine beachtliche Amplitudenerho¨hung im resonanznahen Bereich darstellt. Fu¨r den oben beschriebenen Versuch wurde ein Bleigewicht mit einer Masse m ¼ 20 kg plo¨tzlich (h ¼ 0) in Feldmitte auf einen Einfeldtra¨ger abgesetzt. Der Tra¨ger hat ein Streckenmasse von q ¼ 0,00332 t=m ¼ 3,32 kg=m, eine La¨nge von l ¼ 4 m und eine Ersatzfedersteifigkeit von: k¼

48  E  I 48  2,1  5,88 kN ¼ ¼ 9,26 l3 4,003 m

Dabei ist I das Fla¨chentra¨gheitsmoment des gewa¨hlten Tra¨gers (Herstellerangabe). Die reduzierte Masse des Tra¨gers betra¨gt mred ¼ 0,5  3,32  4 ¼ 6,64 kg.

186

9 Amplitudenreduktion

Tra¨gereigenfrequenz: 5.38 Hz

Tra¨gereigenfrequenz: 5.27 Hz

Bild 9.9 Abklingkurven mit unterschiedlicher Da¨mpfung ohne Bleigewicht (gemessen)

Aus den Angaben wird zuna¨chst die kritische Da¨mpfung berechnet: rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi kN  s ckrit ¼ 2 k  m ¼ 2 9,26  ð20 þ 6,64Þ  103  1,0 m Aus dem Da¨mpfungsmaß D lassen sich die Da¨mpfungskonstante c des Tra¨gers und seine geda¨mpfte Eigenkreisfrequenz berechnen: c ¼ Dckrit

)

c ¼ 3  103  1 ¼ 3  103

kN s m

187

9.6 Anwendungsbeispiele

Bild 9.9 oben: Abklingkurve, nur innere Da¨mpfung Bild 9.9 unten: Abklingkurve, zusa¨tzlich mit viskoser Da¨mpfung rffiffiffiffiffiffiffiffiffi sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi k 9,26 1 Mit Bleigewicht: w ¼ ¼ 18,644 ¼ m ð20 þ 6,64Þ  103 s sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 9,26 1 ¼ 37,344 Ohne Bleigewicht: w ¼ 6,64  103 s ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi v rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  2  c 2ffi u u 3  103 2 2 wl ¼ w  ¼u 18,644 u 2  26,64 2m t |fflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} 0 1 1  19,0 ðgemessenÞ: s s Bei dem geringen Da¨mpfungsmaß der Baukonstruktionen besteht kein nennenswerter Unterschied zwischen w und wl . In der Baupraxis ist es u¨blich, fu¨r unterschiedliche Baustoffe das Da¨mpfungsmaß als Richtwert anzugeben. Seine Abha¨ngigkeit von der kritischen Da¨mpfung des Systems wird vernachla¨ssigt. Bei Luftfedern sind mit zusa¨tzlichen Maßnahmen gro¨ßere Werte mo¨glich. Durch Strukturda¨mpfung ko¨nnen die Werte der Tabelle 9.1 bei Baukonstruktionen deutlich ho¨her liegen. wl ¼ 18,644

Tabelle 9.1 Richtwerte fu¨r Da¨mpfungsmaße Material

Da¨mpfungsmaß D [%]

Polyurethan Luftfeder Holz Mauerwerk Stahlbeton Stahl verschraubt Spannbeton, Verbund Stahl verschweißt

9.6.2

6,0 3,0 2,0 1,5 1,5 1,0 0,8 0,3

Da¨mpfungsberechnung aus einer Hysterese-Kurve

Zur Bestimmung der Werkstoffda¨mpfung von Materialien wie zum Beispiel Elastomeren, wird eine Materialprobe mit einer harmonischen Kraft beaufschlagt. Ein geeignetes Pru¨fgera¨t ist in Bild 9.10 dargestellt. Die wa¨hrend einer Periode gemessenen Spannungen und Verformungen werden in einem Diagramm, der sogenannten Hysterese-Kurve aufgetragen (siehe Bild 9.6). Die Da¨mpfungsarbeit WD entspricht dem Fla¨cheninhalt der aufgezeichneten Hysterese-Kurve. Bei viskoser Da¨mpfung ergibt sich eine Ellipse, deren Fla¨cheninhalt mit Gl. (9.26a) berechnet werden kann. Bei festen Werkstoffen, wie zum Beispiel Elastomeren, muss der Fla¨cheninhalt grafisch ausgemessen werden. Die wa¨hrend einer Periode gemessene elastische Deformationsarbeit WR ist gleich dem Fla¨cheninhalt des schraffierten Dreiecks in Bild 9.6. Wenn beispielsweise die spezifische

188

9 Amplitudenreduktion

Bild 9.10 Schematische Darstellung eines Pru¨fgera¨tes aus DIN 53513

Da¨mpfung Y ¼ WD =WR  4,0 ist, ergibt sich der Verlustfaktor aus Gl. (9.33) zu d ¼ Y=2p ¼ 0,64 und ein entsprechender Verlustwinkel gema¨ß Gl. (9.29) zu a0 ¼ arctan d ¼ 33 . Diese Angaben der Werkstoffda¨mpfung ko¨nnen den Firmenprospekten entnommen werden. Sie gelten allerdings nur fu¨r genau definierte Versuchsbedingungen (Frequenz, Verformungsamplitude, Temperatur). Weichen diese von den speziellen Betriebsbedingungen deutlich ab, empfiehlt es sich, auf die Betriebsbedingungen abgestimmte Versuche zu fahren. Zur Berechnung eines schwingungsfa¨higen Systems, zum Beispiel des Einmassenschwingers, wird das Da¨mpfungsmaß D beno¨tigt. Dazu ist es erforderlich, die Materialprobe mit der Eigenfrequenz w des Einmassenschwingers zu beaufschlagen. Mit h ¼ W=w ¼ 1 wird Gl. (9.34) Y ¼ 4p Dh

)

Y ¼ 4p D

)

D¼

Y 4p

und mit Gl. (9.33) folgt: D¼

2p d 4p

)

D¼

d 2

)

D¼

0,64 ¼ 0,32 2

Die Amplitudenerho¨hung des Einmassenschwingers im resonanznahen Bereich betra¨gt dann fu¨r das gewa¨hlte Elastomer: V1 ¼

1 2D

)

V1 ¼

1 ¼ 1,56 2  0,32

Fu¨r Stahl wurde im Abschnitt 9.6.1 eine Amplitudenerho¨hung von V1 ¼ 167 berechnet.

10

Menscheninduzierte Schwingungen

10.1

Allgemeines

Es ist seit Alters her bekannt, dass Menschen bei rhythmischen Bewegungen in der Lage sind, Bauwerke zu Schwingungen anzuregen (Bild 10.1). Die quantitative Behandlung derartiger Schwingungen ist erst in den letzten 25 Jahren mo¨glich geworden. Messungen an der Hamburger Fußga¨ngerbru¨cke am Bahnhof Dammtor im Jahr 1979 [15] hatten ergeben, dass der Mensch dynamische Kra¨fte nur in einem eng begrenzten Frequenzbereich auszuu¨ben vermag (Bild 10.2). Dies gilt sowohl fu¨r die Gehbewegung bei unterschiedlichen Geschwindigkeiten als auch fu¨r andere Bewegungsarten wie Laufen, Hu¨pfen oder Tanzen. Heute steht eine umfangreiche Spezialliteratur zur Verfu¨gung. Folgt man der Abstimmungsregel (siehe Abschnitt 9.4.1), reicht es meistens aus, die Eigenfrequenzen weit genug vom Anregungsspektrum zu entfernen, um Sto¨rungen durch menscheninduzierte Schwingungen zu vermeiden. Andernfalls ist mit erzwungenen Schwingungen zu rechnen (siehe Abschnitte 10.4 und 9.4.2).

Bild 10.1 Schwingungsanfa¨lligkeit von Bru¨cken [16]

10.2

Anregungsspektrum

Die Kraftu¨bertragung vom Fuß des Menschen auf die Baukonstruktion ist nicht harmonisch (Bild 10.3). Gema¨ß Abschnitt 4.2.3 sind deshalb neben der Grundfrequenz, die in diesem Fall der Schrittfrequenz entspricht, auch ho¨here Anregungsfrequenzen zu beachten. Bei Fußga¨ngern reicht es aus, die ersten 3 Harmonischen zu beachten. Es ist heute u¨blich, die dynamische Kraft eines Fußga¨ngers mit folgender Formel zu berechnen, die aufgrund von Messungen entwickelt wurde [5]. Fu¨r die vertikale Anregungskraft gilt: F1 ðtÞ ¼ Gð1 þ 0,4 sin ð2p Ns tÞ þ 0,1 sin ð4p Ns tÞ þ 0,1 sin ð6p Ns tÞÞ Ns G

Anregungsfrequenz des Fußga¨ngers (Bild 10.2) mittleres Gewicht eines Menschen G ¼ 800 N

ð10:1Þ

190

10 Menscheninduzierte Schwingungen

Bild 10.2 Ha¨ufigkeits- und Normalverteilung der Schrittfrequenz [15]

Die Phasenverschiebung zwischen den Harmonischen kann vernachla¨ssigt werden. Horizontal regt ein Fußga¨nger die Struktur mit der halben Schrittfrequenz an, was auf die Schaukelbewegung beim Gehen zuru¨ck zu fu¨hren ist [55]. Fu¨r die horizontale Anregungskraft eines Fußga¨ngers quer zur Bru¨ckenla¨ngsachse gilt: F1 ðtÞ ¼ Gð1 þ 0,07 sin ðp Ns tÞ þ 0,07 sin ð3p Ns tÞÞ

ð10:2Þ

Wie groß der Abstand im resonanzfernen Bereich zwischen der Eigenfrequenz f und der Anregungsfrequenz Ns sein muss, ha¨ngt von den Anforderungen ab. Bei Fußga¨ngerbru¨cken und anderen Konstruktionen, auf denen sich bewegende Personen befinden, wird in der Regel f > 5 Hz gefordert, damit ein ausreichender Abstand zur 2: Harmonischen eingehalten ist. Die zuvor erwa¨hnte Hamburger Fußga¨ngerbru¨cke hat eine Eigenfrequenz von 4 Hz und la¨sst sich daher zu sto¨renden Schwingungen anregen. Eine Verbunddecke, auf der sich PC-Arbeitspla¨tze befinden, hat eine Eigenfrequenz von 8 Hz. Trotzdem werden die Schwingungen am Monitor vom Personal als sto¨rend empfunden. Die Anforderungen sind also nutzungsabha¨ngig.

10.3 Dimensionierungsfalle

191

Bild 10.3 Krafteinwirkung von Menschen auf den Untergrund [15]

10.3

Dimensionierungsfalle

Der erforderliche Abstand zwischen der Eigenfrequenz und der Anregungsfrequenz ist auch von der Da¨mpfung der Konstruktion abha¨ngig. Stahlkonstruktionen haben eine besonders niedrige Da¨mpfung (siehe Abschnitt 9.6.1). Daher ist bei der Dimensionierung einer Stahl- oder Stahlverbundkonstruktion, die von Menschen zu Schwingungen angeregt werden kann, besonders darauf zu achten, dass ein genu¨gend großer Resonanzabstand eingehalten wird. Wenn derartige Konstruktionen alleine nach statischen Gesichtspunkten dimensioniert werden, liegen sie unabha¨ngig von ihrer Belastung ha¨ufig im

192

10 Menscheninduzierte Schwingungen

kritischen Bereich f  5 Hz. Auf dieser „Dimensionierungsfalle“ beruht die bekannte Tatsache, dass schwachgeda¨mpfte Konstruktionen auffallend ha¨ufig durch Menschen zu Schwingungen angeregt werden. a) Bemessung nach dem Grenzzustand der Tragfa¨higkeit Das Bemessungsmoment fu¨r den Einfeldbalken lautet bei einer Streckenlast q (Bild 10.4): My, d ¼ gF

ql2 8

ð10:3Þ

Bild 10.4 Momentenverlauf eines Balkens unter Streckenlast

Unter Verwendung der Beziehung sS ¼

h I ¼ ergibt sich die Beanspruchung zu: 2 W

M y, d M y, d  h ¼ W 2I

und die Beanspruchbarkeit sR ¼

fy,k gM

gF und gM sind die entsprechenden Teilsicherheitsbeiwerte. Mit sS ¼ sR (Ausnutzungsgrad 100 %) wird M y , d  h f y,k ¼ gM 2I

ð10:4Þ

Nach Umformung folgt das erforderliche Fla¨chentra¨gheitsmoment erf I fu¨r den Einfeldbalken: erf I ¼

M y, d  h ql 2 h  gM ¼ g g 16  fy,k F M 2  f y,k

ð10:5Þ

b) Bemessung nach dem Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit Die Durchbiegung des Einfeldbalkens unter einer Streckenlast q berechnet sich wie folgt (Bild 10.5): s¼

5 ql 4 384 EI

ð10:6Þ

193

10.3 Dimensionierungsfalle

Bild 10.5 Durchbiegung eines Einfeldbalkens unter Streckenlast

l definiert und in die Gl. (10.6) h kN eingesetzt, ergibt sich mit dem Elastizita¨tsmodul fu¨r Stahl E ¼ 2; 1  108 2 das erforderm liche Fla¨chentra¨gheitsmoment: Wird die zula¨ssige Durchbiegung des Tra¨gers mit zul s ¼

5 ql4 h ) 384 El erf I ¼ 6,2  1011 ql 3 h

erf I ¼

erf I ¼

5  ql4 h 384  2,1  108 l

) ð10:7Þ

c) Bemessung nach dem zula¨ssigen Frequenzbereich q Die zula¨ssige Eigenfrequenz berechnet sich mit der Masse pro La¨ngeneinheit m ¼ g (Bild 10.6): 1 p2 f ¼ 2p l 2

sffiffiffiffiffiffi EI m

Bild 10.6 Erste Eigenform des Einfeldbalkens

Nach Umformen folgt das erforderliche Fla¨chentra¨gheitsmoment: f2 ¼

1 p4 EIg 4p2 l 4 q

erf I ¼

4f 2 l 4 q p2 Eg

) )

f2 ¼

p2 EIg 4l 4 q

)

erf I ¼ 0,02  108 f 2 l 4 q

ð10:8Þ

194

10 Menscheninduzierte Schwingungen

d) Interaktion zwischen a) und c) Das Gleichsetzen der erforderlichen Fla¨chentra¨gheitsmomente der Gl. (10.5) und (10.8) liefert die Grundeigenfrequenz des Einfeldbalkens bezogen auf die Balkenla¨nge: ql2 h g g ¼ 0,2  108 f 2 l 4 q 16fy,k M F 108 hgM gF 16  0,02  l 2 fy,k sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 h  gF  gM f ¼  25 000 2  f y ,k l f2 ¼

ð10:9Þ

Das Produkt der Teilsicherheitsbeiwerte kann global mit gF gM ¼ 1,65 erfasst werden. Fu¨r ein Tra¨gerprofil HEB 100 der Stahlsorte S 235 JR und einer Streckgrenze kN h fy,k ¼ 235 000 2 folgt bei ¼ 0,05 m: m 2 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 0,05  1,65 14,8 ¼ f ¼  25 000 l 23 500 l h Fu¨r einen Tra¨ger mit dem Profil HEB 1000 und einer halben Tra¨gerho¨he ¼ 0,5 m folgt: 2 46,8 f ¼ l e) Interaktion zwischen b) und c) Werden die erforderlichen Fla¨chentra¨gheitsmomente der Gl. (10.7) und (10.8) gleichgesetzt und nach der Eigenfrequenz aufgelo¨st, ergibt sich: 6,2  1011 ql3 h ¼ 0,02  108 f 2 l 4 q rffiffiffi h h ) f ¼ 0,56 f 2 ¼ 0,31 l l

) ð10:10Þ

Bei Begrenzung der Balkendurchbiegung auf h ¼ 300 berechnet sich die Eigenfrequenz zu: 9,7 f ¼ pffi l Die von der Belastung q unabha¨ngige Interaktion zwischen Spannweite und Grundeigenfrequenz eines statisch bestimmt gelagerten Einfeldbalkens la¨sst sich an folgender Verteilung leicht erkennen (Bild 10.7): 14,8 l 48,8 f ðHEB 1000Þ ¼ l 9,7 f ðh ¼ 300Þ ¼ l

f ðHEB 100Þ ¼

10.4 Erzwungene Schwingungen

195

Bild 10.7 Interaktion zwischen Spannweite und Eigenfrequenz

Bei Konstruktionen, die nach statischen Gesichtspunkten dimensioniert werden, steigt mit kleiner werdenden Profilen und zunehmender Spannweite die Gefahr menscheninduzierter Schwingungen.

10.4

Erzwungene Schwingungen

Aus den in Abschnitt 10.3 genannten Gru¨nden mu¨ssen Fußga¨ngerbru¨cken und a¨hnliche Konstruktionen oftmals erheblich steifer konstruiert werden als statisch erforderlich, was konstruktiv nicht immer mo¨glich oder unwirtschaftlich ist. Dann muss die erzwungene Schwingung mit Gl. (10.1) bzw. (10.2) gerechnet werden, um nachzuweisen, dass die Amplituden unterhalb eines Grenzwertes bleiben. Befindet sich die Konstruktion mit ihrer

Bild 10.8 Mo¨o¨rkenweg-Fußga¨ngerbru¨cke [16]

196

10 Menscheninduzierte Schwingungen

Grundeigenfrequenz im kritischen Bereich zwischen 1–5 Hz, sollte die Schrittfrequenz Ns so angesetzt werden, dass eine der Anregungsfrequenzen gema¨ß Gl. (10.1) oder (10.2) zur Resonanz fu¨hrt. Die Schrittfrequenz passt sich na¨mlich automatisch der na¨chstliegenden Eigenfrequenz an. Schwingt die Konstruktion dann in Resonanz, ist die Vergro¨ßerungsfunktion Gl. (8.22) nur vom Da¨mpfungsmaß abha¨ngig. Reicht die Systemda¨mpfung (siehe Abschnitt 9.5.1) nicht aus, bieten sich Schwingungsda¨mpfer an (siehe Abschnitt 8.3.2). Bei der Mo¨o¨rkenwegbru¨cke (Bild 10.8) in Hamburg-Bergedorf wurden die Da¨mpfer in den diagonalen Rohrstu¨tzen der Konstruktion eingebaut [23]. Die u¨ber eine Bru¨cke regellos laufenden Fußga¨nger (freies Gehen) ko¨nnen vereinfacht durch eine in Bru¨ckenmitte wirkende konzentrierte fiktive Anregungskraft FA ðtÞ derart ersetzt werden, dass die maximale Verformung in Bru¨ckenmitte infolge der fiktiven Anregungskraft dieselbe ist, wie bei regellos laufenden Fußga¨ngern (Bild 10.9).

Bild 10.9 Fiktive Anregungskraft fu¨r Fußga¨ngerverkehr

Unter dieser Annahme ergibt sich die Anregungskraft durch mehrere Fußga¨nger zu: FA ðtÞ ¼ ASRF1 ðtÞ F1 ðtÞ A S R

ð10:11Þ

Anregungskraft infolge eines Fußga¨ngers Anzahl der Fußga¨nger auf der Bru¨cke Synchronisationsfaktor Reduktionsfaktor

Messungen an der Mo¨o¨rkenwegbru¨cke [16] haben folgende Zahlenwerte ergeben: S¼ vf vs

vk

)

S ¼ 0,275

Amplitude in Feldmitte beim freien regellosen Gehen Amplitude in Feldmitte beim synchronen Gehen (Marschieren) R¼

vg

vf vs

vg Avk

)

R ¼ 0,465

Amplitude in Feldmitte infolge gleichma¨ßig u¨ber die Bru¨cke verteilter Fußga¨nger bei synchronem Gehen Amplitude in Feldmitte infolge eines in Feldmitte gehenden Fußga¨ngers

197

10.5 Zumutbare Amplituden

Die Anregungskraft durch mehrere Fußga¨nger wird demnach zu: FA ðtÞ ¼ 0,275  0,465AF1 ðtÞ

)

FA ðtÞ ¼ 0,13AF1 ðtÞ

Mutwilliges Anregen einer Fußga¨ngerbru¨cke wird in [16] untersucht. Damit la¨sst sich nicht nur der Katastrophenlastfall beurteilen, sondern auch eine Methode finden, mit wenigen Versuchspersonen die Schwingungsamplitude zu messen und die Belastung der Bru¨cke im Gebrauchszustand hochzurechnen.

10.5

Zumutbare Amplituden

blicherweise wird die subjektive Wahrnehmung von menscheninduzierten Schwingungen auf die Schwingbeschleunigung bezogen (Bild 10.10). In [16] ist eine Korrelationsgerade zwischen der vertikalen Beschleunigungsamplitude und der Wahrnehmung angegeben. Diese Korrelationsgerade wurde durch Messungen an der Mo¨o¨rkenwegbru¨cke gewonnen, wobei als Testpersonen ein repra¨sentativer Querschnitt der Bevo¨lkerung zur Verfu¨gung stand. Als brauchbarer Mittelwert fu¨r eine zula¨ssige Beschleunigung auf Fußga¨ngerbru¨cken gilt a ¼ 0,08 g, der durch die Komfortanspru¨che des Bauherren auch davon abweichend festgelegt werden kann. In der Literatur finden sich auch andere, mehr oder weniger begru¨ndete Grenzwerte, z. B. Grenzwerte nach Bachmann [5, 55]. Bei horizontalen Schwingungen ist der Mensch wesentlich empfindlicher.

Bild 10.10 Korrelation vertikale Schwingbeschleunigung und Wahrnehmung [16]

11

Einfu¨hrung in die Baugrunddynamik

11.1

Allgemeines

Die Baugrunddynamik ist ein relativ junges Fachgebiet im Bereich der Baudynamik. In Deutschland begann die Forschung vor ca. 75 Jahren und wurde von Prof. Dr.-Ing. Hans Lorenz (TU Berlin) wesentlich gefo¨rdert. Heute gibt es zahlreiche Vero¨ffentlichungen zur Baugrunddynamik, vorwiegend in englischer Sprache, die fu¨r den praktisch ta¨tigen Bauingenieur kaum noch u¨berschaubar sind. Die „Empfehlungen des Arbeitskreises Baugrunddynamik“ der Deutschen Gesellschaft fu¨r Geotechnik geben den Stand der Technik in der Baugrunddynamik wieder und werden durch neue Kapitel erweitert [6]. Der Baugrund kann drei Funktionen u¨bernehmen: – Feder/Da¨mpfer an der Quelle (Emission), – bertragungsstrecke von der Quelle zum Empfa¨nger (Transmission), – Feder/Da¨mpfer am Empfa¨nger (Immission). Der Ausbreitung von Erschu¨tterungen zum Beispiel infolge Verkehr, Baustellenbetrieb, Maschinen oder Sprengungen durch den Baugrund kommt in ju¨ngster Zeit durch ein versta¨rktes Umweltbewusstsein besondere Bedeutung zu (Bild 11.1). In Geba¨uden an der Elbe bei Hamburg wurden sogar Deckenschwingungen infolge Schiffsvorbeifahrten gemessen, die von den Bewohnern als unangenehm empfunden werden. Als bertragungswege konnten sowohl der Boden, das Wasser als auch die Luft identifiziert werden. Auch Luftschall kann Geba¨ude zu spu¨rbaren Schwingungen anregen, wenn Resonanz gegeben

Bild 11.1 Wellenausbreitung von der Quelle zum Empfa¨nger

200

11 Einfu¨hrung in die Baugrunddynamik

Bild 11.2 Fernwirkung durch Wellenausbreitung

ist. Die Gesetze der Fernwirkung durch Wellenausbreitung (Bild 11.2) gelten auch fu¨r Erdbeben, fu¨r Ko¨rperschall in Baukonstruktionen und Luftschall. Man unterscheidet: a) mechanische Wellen, die sich in einem Medium (Stoff) fortpflanzen, b) elektromagnetische Wellen die sich im leeren Raum fortpflanzen.

11.2

Elastodynamik

11.2.1

Allgemeines

Der Halbraum ist die durch eine Ebene begrenzte mit Bodenmasse belegte Ha¨lfte eines unendlich ausgedehnten Kontinuums. An seiner spannungsfreien Oberfla¨che gilt s ¼ t ¼ 0. Die Wellen im homogenen Halbraum werden „Freifeldschwingungen“ genannt. Wird der Halbraum durch Inhomogenita¨ten wie zum Beispiel Fundamente gesto¨rt, sind diese (nach dem Prinzip von Huygens) Ausgangspunkt neuer (sekunda¨rer) Wellen, die sich den (prima¨ren) Freifeldschwingungen phasengerecht u¨berlagern [17]. Bei der indirekten Anregung eines Fundamentes durch Bodenwellen ist das Fundament gleichzeitig Empfa¨nger der prima¨ren und Quelle der sekunda¨ren Welle (Bild 11.3). Daher kann in der na¨heren Umgebung eines Fundamentes nicht die Freifeldschwingung sondern immer nur die resultierende Welle gemessen werden, was in der Praxis oft nicht beachtet wird. Angaben zur Berechnung der resultierenden Welle sind im Abschnitt 11.3.3 gemacht. In der Elastodynamik wird vorausgesetzt, dass der Halbraum homogen und isotrop ist sowie linear-elastisches Stoffverhalten zeigt (Hookesches Material). Die Schwingungsamplituden sollen so klein sein, dass sich die Stoffparameter infolge der Wellenausbreitung nicht

201

11.2 Elastodynamik

Bild 11.3 Einfluss eines Fundamentes auf die Wellenausbreitung [19] I: Quelle der prima¨ren Welle, II: Quelle der sekunda¨ren Welle

vera¨ndern. Im natu¨rlichen Lockergestein trifft diese Annahme nur bei dichter Lagerung und Kurzzeiteffekten zu. Plastische Verformungen (Sackungen) werden im Abschnitt 11.4 behandelt.

11.2.2

Ausbreitungsgeschwindigkeiten

Bei periodischer Anregung entstehen stationa¨re Wellen (! DVD, Menue 8). Die „Phasengeschwindigkeit“ c gibt die Ausbreitungsgeschwindigkeit eines bestimmten Schwingungszustandes (Phase) an. Es gilt (Bild 11.4): c¼

Dr Dt

mit Dt ¼ t2  t1

ð11:1Þ

Unter Verwendung der Wellenla¨nge l [m], gilt fu¨r Dr ¼ l mit Dt ¼ T: c¼

l T

)

c ¼ lf

ð11:2Þ

Wenn die Phasengeschwindigkeit von der Anregungsfrequenz abha¨ngig ist, spricht man von „Dispersion“ (Zerstreuung), weil sich die Wellenanteile ihrer Frequenz entsprechend mit unterschiedlicher Geschwindigkeit fortpflanzen. Bei nichtperiodischer Anregung entstehen transiente Wellen (Bild 11.5) (! DVD, Menue 7). Ihre „Wellengeschwindigkeit“ c gibt die Ausbreitungsgeschwindigkeit eines markanten Punktes – zum Beispiel des Einsatzpunktes des Wellenzuges – an (Refraktionsseismik) [12]. Auch hier gilt die Bestimmungsgleichung (11.1).

202

11 Einfu¨hrung in die Baugrunddynamik

Bild 11.4 Phasengeschwindigkeit stationa¨rer Wellen

Durch Messen der Ausbreitungsgeschwindigkeit la¨sst sich der dynamische Steifemodul bzw. Schubmodul bestimmen (siehe Abschnitt 11.2.3). Bezogen auf das Bild 11.6a berechnet sich die Scherwellengeschwindigkeit zu: cs ¼

32 m 0,2 s

)

cs ¼ 160

m s

und bezogen auf das Bild 11.6b die Kompressionswellengeschwindigkeit zu: cp ¼

18 m m ¼ 320 0,056 s s

Es erfordert etwas Erfahrung, den Einsatzpunkt einer Kompressionswelle von einer Scherwelle zu unterscheiden.

Bild 11.5 Wellengeschwindigkeiten transienter Wellen

11.2 Elastodynamik

Bild 11.6 Bestimmung der Wellengeschwindigkeit

203

204

11 Einfu¨hrung in die Baugrunddynamik

11.2.3

Wellenarten

Im linear-elastischen, homogenen, isotropen Halbraum ko¨nnen zwei Wellenarten auftreten: die Raumwellen und die Rayleighwellen (Bild 11.7). Wa¨hrend die Raumwellen in den gesamten Halbraum hinein abwandern, breiten sich die Rayleighwellen nur parallel zur Oberfla¨che des Halbraumes aus (! DVD, Menue 8). Raumwellen Bei den Raumwellen (Bild 11.7a, b) werden zwei Arten unterschieden, die im Nahfeld einer Quelle r < lR dominieren (lR siehe Gl. 11.6).

Bild 11.7 Wellenarten [6]

a) Longitudinalwellen (Kompressionswellen, P-Wellen) Die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Longitudinalwellen (Bild 11.7a) betra¨gt: sffiffiffiffiffiffiffiffiffi Es,d cP ¼ q Es,d q

dynamischer Steifemodul bei behinderter Seitendehnung Dichte des Bodens inklusive Porenwasser

ð11:3Þ

205

11.2 Elastodynamik

b) Transversalwellen (Scherwellen, S-Wellen) Die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Transversalwellen (Bild 11.7b) betra¨gt: sffiffiffiffiffiffiffi Gd cS ¼ q Gd

ð11:4Þ

dynamischer Schubmodul

Der dynamische Steifemodul kann in den dynamischen Schubmodul umgerechnet werden: Gd ¼

1  2n Es,d 2ð1  nÞ

ð11:5Þ

Typische Werte der Querdehnzahl sind fu¨r: Sand und Kies Schluff Ton

n ¼ 0,25  0,35 n ¼ 0,35  0,45 n ¼ 0,45  0,49

Wegen ihrer Abha¨ngigkeit von der Bodenart haben die Raumwellen unterschiedliche Geschwindigkeiten. Im Folgenden werden beispielhaft mittlere Transversalwellengeschwindigkeiten fu¨r drei Bodenarten als Richtwerte angegeben. Mergel: Sand: Klei:

m s m ca. 180 s m ca. 100 s ca. 280

Es wird empfohlen, Wellengeschwindigkeiten am ku¨nftigen Bauort zu messen [6] und dann den dynamischen Schubmodul zu berechnen. Er ist abha¨ngig von der Schubverzerrung g und fu¨r g  105 konstant [6] (siehe Abschnitt 4.4.1). Weitere Angaben zur Bestimmung des dynamischen Schubmoduls sind in [6] enthalten. Kennwerte fu¨r u¨berschla¨gige dynamische Baugrund-Berechnungen ko¨nnen [3] entnommen werden. Rayleighwellen Im linear-elastischen, homogenen, isotropen Halbraum werden Oberfla¨chenwellen nach Lord Rayleigh (1842–1919) benannt. Ihre Ausbreitungsgeschwindigkeit cR kann im Verha¨ltnis zur Longitudinal- oder Transversalwelle angegeben werden: cR  0,9cS

)

cR  0; 5cP

)

lR ¼

cR f

ð11:6Þ

Im Fernfeld einer Quelle r lR (lR siehe Gl. 11.6) werden Bauwerke hauptsa¨chlich von Rayleighwellen (Bild 11.7c) beeinflusst. Ihre Schwingungsamplitude entha¨lt eine vertikale ðvR Þ und eine horizontale ðuR Þ Komponente (Bild 11.9). Daher werden Bauwerke bei indirekter Anregung durch Rayleighwellen gleichzeitig vertikal und horizontal angeregt (Bild 11.8).

206

11 Einfu¨hrung in die Baugrunddynamik

Bild 11.8 Amplitudenverlauf der Rayleighwelle [12]

Bild 11.9

Phasenbeziehung der Rayleighwelle [12]

UR ðzÞ horizontale Amplitude VR ðzÞ vertikale Amplitude Die Amplitude einer Rayleighwelle nimmt mit der Tiefe z rasch ab. Die Tiefenwirkung einer Rayleighwelle beschra¨nkt sich in etwa auf z  lR (! DVD, Menue 8). Da der Schubmodul im natu¨rlichen Boden mit der Tiefe zunimmt, ist cR von der Frequenz f abha¨ngig (Dispersion). Demnach ist cR eine Mischgeschwindigkeit. Sie repra¨sentiert den Schubmodul erfahrungsgema¨ß in der Tiefe z ¼ 0,3  0,5 lR. Aus Gl. (11.4) folgt: cR Gd ¼ c2S q mit cS ¼ 0,9 Bei der Bestimmung der Bodenersatzfedern und -da¨mpfern (siehe Abschnitt 11.3.2) ist der Schubmodul in der Tiefe z ¼ r0 bei Translation und z ¼ 0,5 r0 fu¨r Rotation unterhalb

207

11.2 Elastodynamik

der Fundamentgrundfla¨che auszusetzen [12]. Andere Arten von Oberfla¨chenwellen im geschichteten Halbraum sind in [6, 12] angegeben. Andere mechanische Wellen Wellen breiten sich in Gasen (z. B. Luftschall, siehe Bild 11.10) und in Fluiden (z. B. Wasm serwelle) mit der Fortpflanzungsgeschwindigkeit (Schnelle) cp aus: Luft cp ¼ 332 , Wass m ser cp ¼ 1485 . In Feststoffen sind Wellen im Frequenzbereich zwischen 1  80 Hz gut s spu¨rbar (so genannte Erschu¨tterungen). Wellen im Bereich > 80 Hz (so genannter Ko¨rperschall) sind bei Abstrahlung in die Luft gut ho¨rbar (so genannter sekunda¨rer Luftschall). Ultraschall im Bereich > 16 000 Hz ist fu¨r das menschliche Ohr nicht wahrnehmbar.

Bild 11.10 Wellenausbreitung in der Luft

11.2.4

Wellengleichung

Die Amplitude der eindimensionalen, elastischen, harmonischen Welle auf der Halbraumoberfla¨che infolge einer Linienquelle oder in Sta¨ben in La¨ngsrichtung pflanzt sich folgendermaßen fort (Bild 11.11): sðt,rÞ ¼ s^ðrÞ sin ðWt 

2p rÞ l

Fu¨r andere Wellenarten gilt:  n r s^ðrÞ ¼ s^ðr0 Þ r0 r r0

Abstand von der Wellenquelle Referenzpunkt

Der Exponent n betra¨gt bei stationa¨ren Wellen fu¨r eine – Punktquelle n ¼ 0,5 – Linienquelle n ¼ 0 also s^ðrÞ ¼ konstant

ð11:7Þ

ð11:8Þ

208

11 Einfu¨hrung in die Baugrunddynamik

und bei transienten Wellen fu¨r eine – Punktquelle n ¼ 1,0 – Linienquelle n ¼ 0,5 Aufgrund der Materialda¨mpfung nehmen die Amplituden von Wellen mit ho¨herer Frequenz schneller ab. Weitere Angaben zur Wellenausbreitung sind in [6] und [12] zu finden.

Bild 11.11 Eindimensionale harmonische Welle

11.2.5

Energietransport

Kennzeichnend fu¨r die Ausbreitung von Wellen ist, dass keine Masse oder Materie transportiert wird sondern lediglich Energie (Bild 11.12). Dies ist gut bei einem Steinwurf in einen See bei ruhiger Oberfla¨che zu beobachten, wo ein schwimmender Gegenstand (z. B. Korken) nach dem Wellendurchgang an derselben Stelle wie vor dem Wellendurchgang bleibt. Nach dem Energieerhaltungssatz gilt: Ekin þ Edef ¼ konst:

Bild 11.12 Energietransport bei Wellenausbreitung

209

11.2 Elastodynamik

2p r die Amplitude s ¼ 0 und damit Edef ¼ 0, was dem l Nulldurchgang einer harmonischen Schwingung entspricht.

Nach Gl. (11.7) wird fu¨r Wt ¼

Ein infinitesimal kleines Masseteilchen eines Ko¨rpers, den eine eindimensionale harmonische Welle durchla¨uft, erfa¨hrt folgende kinetische Energie: dE ¼

1 dm u^2 2

)

dE ¼

1 dV q u^2 2

ð11:9Þ

Unter Verwendung der Schwinggeschwindigkeit eines Massenteilchens an der Stelle r (nicht zu verwechseln mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit c der Welle) folgt: u^ ¼

ds ðt,r ¼ konst:Þ dt

)

u^ ¼ s^W

ð11:10Þ

In Gl. (11.9) eingesetzt ergibt: dE ¼

1 dV qð^sWÞ2 2

)

dE 1 ¼ qð^ sWÞ2 dV 2

ð11:11Þ

Die Energiedichte w (Energie pro Volumeneinheit) eines Masseteilchens an der Stelle r ergibt sich aus: dE ¼w dV

) dE ¼ w dV

)

dE ¼ w dA dr

ð11:12Þ

Mit dem Fortschreiten der Welle pro Zeiteinheit dr ¼ c dt kann der Energietransport pro Fla¨cheneinheit bestimmt werden: dE ¼ w dAc dt

11.2.6

)

dE 1 ¼ qð^ sWÞ2 c dt dA 2

ð11:13Þ

Abschirmwirkung einer Schlitzwand

Bei der Wellenausbreitung entstehen an Schichtgrenzen Reflexionen, die unterschiedliche Auswirkungen haben (! DVD, Menue 8). a) Die Energie hinter einer lotrechten Schichtgrenze (z. B. Schlitzwand) ist kleiner als vor ihr, was zu einer gewu¨nschten Amplitudenreduktion auf der bertragungsstrecke fu¨hrt (siehe Bild 11.1). b) Horizontale Bodenschichten ko¨nnen durch Reflexionen zu einer unerwu¨nschten Minderung der Abstrahlda¨mpfung fu¨hren (siehe Abschnitt 11.3.2). c) Mit Hilfe der Refraktionsseismik la¨sst sich der Verlauf von Bodenschichten verfolgen. Weiterfu¨hrende Literatur siehe [12]. Durch Schlitzwa¨nde im Boden werden Schichtgrenzen konstruktiv hergestellt, um die Ausbreitung vor allem der im Fernfeld wirksamen Oberfla¨chenwellen zu reduzieren. Die Abschirmung von Erschu¨tterungen durch Bodenschlitze wurde erstmalig vor 45 Jahren an der TU-Berlin am Lehrstuhl von Prof. Lorenz untersucht und von Dr.-Ing. Dolling theoretisch erfasst [34]. Die Wirksamkeit von Schlitzwa¨nden wird durch Beugungserschei-

210

11 Einfu¨hrung in die Baugrunddynamik

nungen [7] am Wandfuß und an den seitlichen Ra¨ndern gemindert. Der gleiche Effekt ist bei Schallschutzwa¨nden zu beobachten. Deshalb mu¨ssen Schlitzwa¨nde ebenso wie Schallschutzwa¨nde mo¨glichst dicht neben dem zu schu¨tzenden Objekt angeordnet werden (Bild 11.13).

Bild 11.13 Abschirmwirkung einer Schlitzwand

Außerdem mu¨ssen Schlitzwa¨nde bis in eine Tiefe reichen, die mindestens einer Wellenla¨nge der Oberfla¨chenwelle entspricht. Andernfalls nimmt ihre Wirksamkeit deutlich ab. Wie viel Energie an einer Schlitzwand reflektiert wird, wie groß also ihre Da¨mmung ist, ha¨ngt von der Gro¨ße der Differenz der Wellenwidersta¨nde (Impedanzen) c  q des angrenzenden Bodens und der Schlitzfu¨llung ab, wobei q Dichte des Materials und c Phasengeschwindigkeit der Bodenwelle sind. Bei Ko¨rperschallausbreitung in Konstruktionselementen fu¨hrt auch ein Querschnittwechsel zu Reflexionen [4]. Als Schlitzfu¨llung kommen z. B. folgende Materialien in Frage: Magerbeton, Porenbeton, Holz, Polyurethanmatten, Da¨mmstoffe, mit Wasser gefu¨llte Folien. Es zeigt sich, dass der gewu¨nschte niedrige Wellenwiderstand der Schlitzfu¨llung leider mit einer geringen Standfestigkeit zur Aufnahme des Erddruckes verbunden ist. Die optimale Abschirmwirkung ergibt sich bei einem Luftschlitz, dessen Standfestigkeit durch beiderseitige Stahl- oder Stahlbetonwa¨nde erreicht wird und der mit einem energieabsorbierendem Da¨mmstoff gefu¨llt ist (Bild 11.14). Die „Abschirm-Sandwich-Schlitzwand“ aus Spundwandprofilen, die in Bentonitschlitze eingestellt werden, la¨sst sich kontinuierlich in beliebiger La¨nge herstellen (Bild 11.14). Um den Schalungsdruck auf die Spundwand gering zu halten, muss die Betoniergeschwindigkeit niedrig sein. Mit einem Luftschlitz zwischen einer massiven Baugrubenwand und der Geba¨udeaußenwand la¨sst sich ebenfalls eine gute Abschirmwirkung erzielen. Bei der Wahl der Schlitzdicke ist zu beachten, dass die Wellenla¨nge klein im Verha¨ltnis zur Schlitzdicke sein muss, um eine gute Abschirmwirkung zu erzielen.

11.2 Elastodynamik

211

Bild 11.14 Abschirm-Sandwich-Schlitzwand [35]

11.2.7

Ausbreitung von Rammerschu¨tterungen

Erschu¨tterungen breiten sich in Form von Bodenwellen als Freifeldschwingungen in die Umgebung aus und ko¨nnen auch noch in großer Entfernung spu¨rbar sein, wenn sie Geba¨ude zu Resonanzschwingungen anregen. Auf der bertragungsstrecke von der Quelle zum Empfa¨nger sind ihre Amplituden meistens so gering, dass sie fu¨r den Menschen nicht wahrnehmbar sind. Beim bergang vom Boden in das Bauwerk kann es zur Verringerung oder zur Versta¨rkung der Freifeldschwingungen kommen (siehe Abschnitt 11.3). Daher ko¨nnen Ausbreitungsgesetze von Erschu¨tterungen nur fu¨r Freifeldschwingungen angegeben werden. Ihre Auswirkung auf Geba¨ude ist ohne Kenntnis der Geba¨udestruktur und der Bodenverha¨ltnisse nicht mo¨glich. An einem bestimmten Bauwerk gewonnene Erfahrungen sind daher nicht ohne weiteres auf andere Geba¨ude u¨bertragbar!

212

11 Einfu¨hrung in die Baugrunddynamik

Bei Schiffsreisen la¨sst sich beispielsweise dieser Effekt der Resonanzu¨berho¨hung gut beobachten. Man findet auf dem obersten Deck – also extrem weit vom Schiffsmotor entfernt – eigentlich immer eine Stelle, an der das Gela¨nder deutlich schwingt, obwohl benachbarte Teile (mit anderer Eigenfrequenz!) in Ruhe sind. Wenn Erschu¨tterungsquellen wie Verkehrswege, Industrieanlagen, Steinbru¨che usw. ortsfest sind, werden ihre Ausbreitungsgesetze durch Messungen bestimmt und ko¨nnen dann als Grundlage fu¨r Schwingungsprognosen an geplanten baulichen Anlagen dienen. Abbruchsprengungen und Rammarbeiten sind nicht ortsfest, finden jedoch oftmals in dicht bebauten Gebieten statt. Daher herrscht im Allgemeinen Unsicherheit, ihre Erschu¨tterungsausbreitung zu prognostizieren. Zur Abbruchsprengung wird ein Beispiel in Abschnitt 11.5.1 behandelt. Zu Rammarbeiten sind Angaben in [36–39] enthalten. Beispielsweise hat sich bei Proberammungen am Seelandkai in Lu¨beck gezeigt, dass beim Einbringen von Spundbohlen und Stahlpfa¨hlen mit einem Schnellschlagba¨r oder Vibrationsba¨r die emittierten Geschwindigkeitsamplituden nahezu unabha¨ngig von den Bodenschichten (Sand, Schluff, Mergel) sind (Bild 11.15, links). Das Rammgut schneidet offenbar wie ein Messer in den Boden ein. Dadurch wird die bertragbarkeit von Messergebnissen auf andere Rammorte erleichtert. Beim Einbringen von Ortbetonpfa¨hlen mit einem Schnellschlagba¨r wurden an Schichtgrenzen deutlich gro¨ßere Geschwindigkeitsamplituden emittiert, die nach dem Eindringen des Rammgutes in die Schicht wieder abnahmen (Bild 11.15, rechts). Ursache dafu¨r sind Reflexionen an der Schichtgrenze, die sich mit den Prima¨rwellen u¨berlagern. Die gemessenen Geschwindigkeitsamplituden beim Einbringen von Ortbetonpfa¨hlen waren um das dreifache gro¨ßer als bei Spundbohlen und Stahlpfa¨hlen [39].

Bild 11.15 Amplituden beim Einbringen von Spundbohlen und Pfa¨hlen [39]

213

11.3 Boden-Bauwerk Wechselwirkung

11.3

Boden-Bauwerk Wechselwirkung

11.3.1

Modellbildung

Im Folgenden werden starre Fundamente auf dem linear-elastischen, homogenen, isotropen Halbraum betrachtet. Elastische und eingebundene Fundamente sowie geschichtete Bo¨den, insbesondere eine weiche Schicht auf hartem Untergrund, erfordern zusa¨tzliche berlegungen [6]. Der homogene, unendlich ausgedehnte Boden ohne Fundament hat ebenso wie unendlich ausgedehnte Sta¨be und Platten keine Eigenfrequenz! Erst durch das Zusammenwirken von Boden und Fundament entsteht ein schwingungsfa¨higes System. Dabei stellt der Boden mit seiner Federsteifigkeit und Da¨mpfung die komplexe Steifigkeit und das Fundament die Masse des Schwingungssystems dar. Die komplexe Steifigkeit (siehe Abschnitt 9.5.5c) des Bodens wird fu¨r eine starre, masselose Platte ermittelt, deren Grundrissmaße mit dem des Fundamentes u¨bereinstimmen mu¨ssen. Der Boden kann dann durch diskrete Federn und Da¨mpfer ersetzt werden (siehe Abschnitt 11.3.2). Neben den aus der Halbraumtheorie hergeleiteten Angaben [6] fu¨hrt das Kegelmodell von Ehlers aus dem Jahr 1942, das von Klapperich an der Bergakademie Freiberg und von Wolf weiterentwickelt wurde, zu brauchbaren Ergebnissen [62].

11.3.2

Federsteifigkeiten und Da¨mpfungen starrer Fundamente

Da der Boden durch ein System aus frequenzabha¨ngigen translatorischen und rotatorischen Ersatzfedern und Ersatzda¨mpfern dargestellt werden kann, ist es mo¨glich, die bisher behandelten Formeln der Baudynamik zu benutzen (siehe Abschnitt 7.3.2). Zur Vordimensionierung reichen die im Folgenden angegebenen frequenzunabha¨ngigen Werte aus [6]. Die frequenzabha¨ngigen Faktoren sind ebenfalls in [6] aufgefu¨hrt. Frequenzunabha¨ngige Feder- und Da¨mpferkonstanten Vertikal K0z ¼

4Gd r ; 1n

C0z ¼

3,4r2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffi qGd 1n

ðE 3-10Þ

Horizontal K0x ¼ K0y ¼

8Gd r ; 2n

C0z ¼ C0y ¼

4,64r2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffi qGd 2n

ðE 3-11Þ

Kippen K0jx ¼ K0jy ¼

8Gd r3 3ð1  nÞ

3ð1  nÞQi Bji ¼ 8qr3

C0jx ¼ C0jy ¼

i ¼ x; y

pffiffiffiffiffiffiffiffiffi 0,8r4 qGd ð1  nÞð1 þ Bji Þ

ðE 3-12Þ

214

11 Einfu¨hrung in die Baugrunddynamik

Torsion K0jz ¼ Bji ¼

16Gd r3 3

C0jz ¼

3ð1  nÞQi 8qr3

2,3r4 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Bjz qGd 1 þ 2Bjz

ðE 3-13Þ

i ¼ x, y

Darin sind: K0j C0j r Gd n q Qj

Federkonstante fu¨r den Freiheitsgrad j [kN/m] (translat.) bzw. [kNm] (rotat.) Da¨mpferkonstante fu¨r den Freiheitsgrad j [kNs/m] (translat.) bzw. [kNsm] (rotat.) Radius des Kreisfundaments [m] dynamischer Schubmodul des Baugrundes [kN/m] Querdehnzahl des Baugrundes [–] Materialdichte des Baugrundes [t/m3] Massentra¨gheitsmomente um die jeweilige Achse j durch den Mittelpunkt der Grundfla¨che [t m2]

Die oben angegebenen, fu¨r den Resonanzfall ermittelten, Da¨mpferkonstanten beschreiben keine dissipative Da¨mpfung (Materialda¨mpfung) sondern eine Abstrahlda¨mpfung (geometrische Da¨mpfung) aufgrund des Energietransportes durch die Wellenausbreitung in den Halbraum hinein (Energieverteilung). Bei Frequenzen f < ci =4H findet keine Abstrahlungsda¨mpfung statt, wobei H die Dicke einer weichen Schicht u¨ber einem starren Grund angibt. Fu¨r ci wird die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Longitudinal- bzw. Transversalwelle eingesetzt. Die angegebenen Federsteifigkeiten wurden fu¨r eine statische Last ermittelt. Fu¨r rechteckige Fundamente ist ein Ersatzradius einzusetzen und bei elastischen Fundamenten sind zusa¨tzlich die Biegeeigenfrequenzen zu beachten. Ersatzradien fu¨r Rechteckfundamente Die Ersatzradien r0 fu¨r ein Rechteck mit den Kantenla¨ngen 2a und 2b (Bild 11.16) errechnen sich wie folgt: Translation r0x ¼ r0y ¼ r0z ¼

rffiffiffiffiffiffiffiffi 4ab p

Bild 11.16 Ersatzradien fu¨r Rechteckfundamente [6]

ðE 3-14Þ

11.3 Boden-Bauwerk Wechselwirkung

215

Kippen um x r0jx

rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 4 16ab ¼ 3p

ðE 3-15Þ

Kippen um y r0jy ¼

rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 4 16a b 3p

ðE 3-16Þ

Torsion r0jz ¼

rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 2 4 8abða þ b Þ 3p

ðE 3-17Þ

Es gilt: 2b 2a; die y-Achse verla¨uft parallel zu 2b.

11.3.3

Indirekte Anregung durch Bodenwellen

Aus dem Bild 11.17d ist zu erkennen, dass sich die absolute Amplitude u^ eines indirekt angeregten Fundamentes aus der Vektoraddition der prima¨ren Freifeldschwingung u^0 und der sekunda¨ren Relativverschiebung u^r berechnen la¨sst. u^ ist also die resultierende Amplitude aus u^0 und u^r (siehe Abschnitt 11.2.1). Das indirekt angeregte Fundament wird zuna¨chst mit einer fiktiven Kraft P ¼ m u€0 so belastet, dass zwischen dem Fundament und der Freifeldschwingung Spannungsfreiheit herrscht. Die Freifeldschwingung kann somit ungesto¨rt durch das Fundament hindurch laufen (Bild 11.17b). Die an einer starren masselosen Scheibe angreifende Kraft F0 wird als dynamische Steifigkeit des Bodens bezeichnet. Im zweiten Schritt wird das Fundament mit der entgegengesetzten fiktiven Kraft P ¼ m u€0 belastet, das nun als direkt belastetes Fundament die sekunda¨re Relativverschiebung ur zwischen Fundament und Boden erzeugt (Bild 11.17c). Die sekunda¨re Relativverschiebung breitet sich in die Umgebung des Fundamentes aus und u¨berlagert die Freifeldschwingung. Aus dem Vektordiagramm der Verschiebungen (Bild 11.17d, links) folgt mit dem Sinussatz die Vergro¨ßerungsfunktion: V¼

u^ u^0

)

V¼

sin j sin ðjbÞ

ð11:14Þ

Mit Gl. (11.14) la¨sst sich an jedem Punkt der Bodenoberfla¨che in der Umgebung eines indirekt angeregten Fundaments die absolute Amplitude berechnen (siehe Bild 11.3). Aus dem Vektordiagramm der Kra¨fte (Bild 11.17d, rechts) folgt am Ort des Fundamentes (aber nur dort) mit j ¼ jF und sin ðjF  bÞ ¼ sin j0 : V¼

sin jF sin j0

ð11:15Þ

216

11 Einfu¨hrung in die Baugrunddynamik

Bild 11.17 Baugrund als Halbraum und Feder Da¨mpfer-System [20]

In Gl. (11.15) bedeuten:   D jF ¼ arctan ST D0 j0 ¼ arctan S0

)

 )

jF ¼ arctan

cW j0 ¼ arctan k

cW k  mW2

 ð11:16Þ

11.3 Boden-Bauwerk Wechselwirkung

217

Das indirekt durch eine Bodenwelle angeregte Fundament schwingt so, als ob die Freifeldschwingung am Fußpunkt der Bodenersatzfedern und Bodenersatzda¨mpfer angreifen wu¨rde (siehe Abschnitt 8.2.6). Damit ko¨nnen die Amplituden außer nach Gl. (11.15) auch mit der Vergro¨ßerungsfunktion fu¨r die indirekte Anregung (Gl. 8.46) berechnet werden. sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi s^F 1 þ ð2DhÞ2 V3 ¼ ¼ s^0 ð1  h2 Þ2 þ ð2DhÞ2 Mit s^F ¼ b u^ und s^0 ¼ b u^0 ; folgt mit den Gl. (8.46) und (11.15) V3 ¼ V Der Verlauf der Vergro¨ßerungsfunktion ist in Bild 8.5 dargestellt. Kippschwingungen infolge indirekter Anregung durch Bodenwellen (Bild 11.18) sind zu beachten, wenn Resonanzschwingungen von schlanken Tu¨rmen zu erwarten sind. Vor allem bei Fundamenten, deren Abmessungen nicht mehr klein im Vergleich zur Wellenla¨nge der Oberfla¨chenwelle sind, kommt es infolge der unterschiedlichen Phasenlage der Freifeldschwingung zu Kippschwingungen des Fundamentes. Die Herleitung der Berechnungsformeln und ein Rechenbeispiel sind in [20] angegeben.

Bild 11.18 Kippschwingungen [20]

218

11.3.4

11 Einfu¨hrung in die Baugrunddynamik

Abstimmungsregel fu¨r Fundamente

Um p eine ffiffiffi Amplitudenreduktion zu erreichen, muss gema¨ß Bild 8.5 das Frequenzverha¨ltnis h > 2 sein, woraus folgt, dass die Eigenfrequenz des Fundamentes (Abstimmfrequenz) mo¨glichst niedrig sein muss. Am Beispiel eines auf mitteldicht gelagertem Sand gegru¨nMN deten Fundamentes mit Gd ¼ 100 2 und n ¼ 0,3 sollen einige Konstruktionsprinzipien m erla¨utert werden. Zuna¨chst wird die vertikale Ersatzfeder des Bodens bestimmt:   4Gd r 4  100 MN ) K0z ¼ r ) K0z ¼ 570r K0z ¼ 1n 0,7 m Mit s¼

F mg ¼ r2 p r2 p

m¼

s  r2 p g

kann die vertikale Eigenfrequenz des Fundamentes in Abha¨ngigkeit von der Spannung und dem Fundamentradius berechnet werden: rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffi 1 K0z 1 570rg f ¼ ) f ¼ ) m 2p 2p sr2 p rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 570  9,81 6,72 ) f ¼ pffiffiffiffiffi [Hz] f ¼ 2p srp sr Die hergeleiteten Formeln werden fu¨r verschiedene Spannungen und verschiedene Fundamentradien ausgewertet (Tabelle 11.1) und grafisch dargestellt. Aus Bild 11.20 ist abzulesen, dass nicht die Geba¨udelast, sondern die Bodenspannung unter den Geba¨udefundamenten fu¨r ein gu¨nstiges Frequenzverha¨ltnis maßgeblich ist. Hohe Fundamentbodenspannungen fu¨hren zu niedrigen Fundamenteigenfrequenzen (Resonanzfrequenzen in Bild 11.19). Bei einer Belastung von beispielsweise F ¼ 5 MN und einer zula¨ssigen MN Bodenpressung von s ¼ 0,5 2 ist ein Fundamentradius von r ¼ 1,8 m erforderlich, um m pffiffiffi die Eigenfrequenz von f ¼ 7 Hz zu erreichen. Fu¨r h ¼ 2 ergibt sich die Anregungsfrequenz 9,9 Hz. Fu¨r alle Anregungen gro¨ßer 9,9 Hz treten demnach keine Amplitudenvergro¨ßerungen beim bergang vom Boden zum Fundament auf. Um mo¨glichst große zula¨ssige Bodenpressungen zu erreichen, ist es erforderlich, mo¨glichst tief zu gru¨nden (z. B. mit Brunnenringen) oder den Boden sorgfa¨ltig zu verdichten, beziehungsweise zu verfestigen. Die Gesamtlast des Geba¨udes ist demnach nur auf so viele Fundamente zu verteilen, dass jedes Fundament bis zur zula¨ssigen Bodenpressung ausgenutzt ist. Bei einem 40 großen Geba¨ude mit einer Gesamtlast von beispielsweise G ¼ 40 MN sind i ¼ ¼ 8 und 5 15 bei einem kleineren Geba¨ude mit G ¼ 15 MN sind i ¼ ¼ 3 Fundamente erforderlich, 5 um eine Eigenfrequenz von 7 Hz zu erreichen. Durch den Einbau von elastischen Matten zwischen dem Boden und dem Fundament (siehe Abschnitt 4.4.5) lassen sich die Eigenfrequenzen weiter absenken und der Isolierwirkungsgrad erho¨hen. Die Federwerte des Bodens und der elastischen Matte sind dann in Reihe geschaltet (siehe Abschnitt 4.4.7).

219

11.3 Boden-Bauwerk Wechselwirkung

Tabelle 11.1 Eigenfrequenzen flach gegru¨ndeter Fundamente 

r [m]

s 0,1

0,5 1,0 1,5 2,0

 MN m2

0,25

0,5

1,0

F [MN]

f [Hz]

F [MN]

f [Hz]

F [MN]

f [Hz]

F [MN]

f [Hz]

0,08 0,30 0,70 1,25

30,1 21,3 17,4 15,0

0,20 0,79 1,77 3,14

19 13,4 11 9,5

0,40 1,57 3,53 6,28

13,4 9,5 7,8 6,7

0,78 3,14 7,06 12,56

9,5 6,7 5,5 4,8

Bild 11.19 Durch Bodenwellen angeregtes Fundament [17]

220

11 Einfu¨hrung in die Baugrunddynamik

Bild 11.20 Diagramm der Eigenfrequenzen von Flachgru¨ndungen

11.4

Plastodynamik

Eine Voraussetzung der klassischen Baugrunddynamik (Elastodynamik) ist, dass sich die Stoffparameter infolge dynamischer Einwirkungen nicht vera¨ndern. Locker gelagerte Sande und Schluff ko¨nnen sich durch Bodenwellen jedoch verdichten und so zu Sackungen fu¨hren. Dieses Pha¨nomen tritt vor allem bei Langzeiteffekten auf. Plastische Verformungen sind bei Boden verbessernden Maßnahmen erwu¨nscht und werden im Straßenbau und beim Bodenaustausch in Baugruben herbeigefu¨hrt. Bei Rammarbeiten oder anderen Erschu¨tterungsquellen neben Geba¨udefundamenten kann dies aber zu erheblichen, unangenehmen Scha¨den fu¨hren [63]. Die entstehenden Risse in Geba¨uden infolge von Sackungen sind im Allgemeinen gro¨ßer als bei elastodynamischen Einwirkungen und treten ohne Voranku¨ndigung auf. In Bild 11.21 ist dargestellt, welche erforderlichen Ab-

11.5 Anwendungsbeispiele

221

Bild 11.21 Abstand zwischen Erschu¨tterungsquelle und Geba¨ude gema¨ß DIN 4150-3

sta¨nde zwischen Erschu¨tterungsquelle und Geba¨udeunterkante eingehalten werden sollten, damit Sackungen vermieden werden. In diesem Zusammenhang sei darauf hingewiesen, dass Mahutka und Grabe [28] anhand von Finite Elemente Berechnungen zu dem Schluss gekommen sind, dass die in der DIN 4150-3 angegebene Reichweite der Sackungen fu¨r niedrige Frequenzen unterscha¨tzt wird. Sackungen ko¨nnen auch durch Bodenwellen verursacht werden, die unter einem auf locker gelagertem, nicht bindigem Boden gegru¨ndeten Fundament hindurchlaufen oder vom Fundament selbst ausgehen. Gefahr droht auch bei wassergesa¨ttigten, gleichfo¨rmigen, locker gelagerten, nicht bindigen Bo¨den, wenn diese dynamisch belastet werden. Die Porenwasserdru¨cke steigen an, und die effektiven Spannungen im Boden nehmen soweit ab, bis die Scherfestigkeit des Bodens verloren geht und so genannte Bodenverflu¨ssigung beziehungsweise Liquefaktion eintritt. Trotz des bereits vorhandenen Wissens besteht in der Plastodynamik ein erheblicher Forschungsbedarf.

11.5

Anwendungsbeispiele

11.5.1

Auswirkung einer Sprengung auf eine verankerte Spundwand

Allgemeines Abbrucharbeiten durch Sprengung in der Na¨he von bebautem Gela¨nde nehmen von Jahr zu Jahr mehr zu. Ihr Vorteil gegenu¨ber konventionellem Abbruch mit der Fallbirne oder Hydraulikzange besteht darin, dass die Abbruchdauer deutlich ku¨rzer ist und die Bela¨stigung der Anwohner sich auf den Sprengvorgang selbst beschra¨nkt. Man unterscheidet Kollapssprengung (Bild 11.22) und Kippsprengung (Bild 11.23). Fu¨r Schornsteine wurde die Sprengfaltung von Dr.-Ing. Melzer entwickelt, um die Aufprallfla¨che und -energie zu verringern. Die Anforderungen an den Sprengvorgang sind kontrovers und mu¨ssen in der Planungsphase zu einem Kompromiss gefu¨hrt werden. Um die herabfallenden Massen durch den Aufprall mo¨glichst gut zu zerkleinern, um sie

222

11 Einfu¨hrung in die Baugrunddynamik

Bild 11.22 Kollapssprengung am Millerntor, Hamburg

abtransportieren zu ko¨nnen, wird ein harter Aufprall beno¨tigt. Zum Schutz benachbarter Geba¨ude und Anlagen sollte der Aufprall mo¨glichst weich sein. Durch den Aufprall herabfallender Massen entstehen Raum- und Oberfla¨chenwellen, die sich je nach Bodenaufbau und Frequenzgehalt in die Umgebung ausbreiten und bauliche Anlagen zu Schwingungen anregen. Beim bergang vom Boden in das Fundament kann es zu einer Zunahme bzw. Abnahme der Amplituden kommen (siehe Abschnitt 8.2.6). Durch Anordnung eines Fallbettes aus locker gelagertem Material wird die Fallenergie beim Aufprall vermindert und der Impuls zeitlich gestreckt. Dadurch wird die maximale Stoßkraft geringer und im Spektrum sind niederfrequente Anteile sta¨rker vorhanden. Bauliche Anlagen aus duktilen Konstruktionen (z. B. Stahlkonstruktionen) haben durch ihren Knautscheffekt beim Aufprall eine a¨hnliche Wirkung.

Bild 11.23 Kippsprengung, Hamburg-Harburg

11.5 Anwendungsbeispiele

223

Bild 11.24 Hochwasserschutzdeich

Bei der Sprengung eines Schornsteines im Hamburger Hafen musste u¨berpru¨ft werden, ob die nahegelegene Hochwasserschutzanlage die dynamischen Lasten, die durch die Sprengungserschu¨tterungen entstehen, aufnehmen kann. Die Hochwasserschutzanlage besteht aus einem Deich, der durch eine ru¨ckverankerte Spundwand (Vorsetze) gehalten wird (Bild 11.24). Da die Abrostungsrate der Anker unbekannt war, sollte die maximale Ankerkraft infolge Erddruck und Wasseru¨berdruck wa¨hrend der Sprengung nicht u¨berschritten werden. Fu¨r die Sprengung musste nun ein Zeitpunkt gewa¨hlt werden, an dem die Vorsetze vo¨llig im Wasser liegt und es somit zu keinen Lasten aus Wasseru¨berdruck auf die Ru¨ckverankerung kommen konnte. Berechnung der Freifeldschwingung Mit der Prognoseformel aus der DIN 4150-1, Ziff. 5.1.3 la¨sst sich die Freifeldschwingung infolge fallender Massen berechnen: hmmi pffiffiffiffiffi vmax ¼ k ERn s vmax k, n E R

Maximalwert der Schwinggeschwindigkeit im Freifeld Beiwerte, empirisch ermittelt Fallenergie der Schornsteinmasse beim Aufprall Abstand des Epizentrums zum zu schu¨tzenden Objekt

Fu¨r die allgemeine Anwendbarkeit der oben genannten Prognoseformel besteht noch erheblicher Forschungsbedarf. Aus einer fru¨heren Schornsteinsprengung im Hamburger Hafen liegen Messwerte vor, die der Bestimmung der Beiwerte k, n zugrunde gelegt werden konnten. Die Bodenverha¨ltnisse waren vergleichbar: Unter einer Auffu¨llung steht eine ma¨chtige Kleischicht an, die erfahrungsgema¨ß die Ausbreitung von Erschu¨tterungen in der Auffu¨llung begu¨nstigt. Es kommt zu einer verminderten Abstrahlung in den Halbraum. Der Ankerpunkt liegt oberhalb der Kleischicht.

224

11 Einfu¨hrung in die Baugrunddynamik

Im vorliegenden Fall werden folgende Parameter zugrunde gelegt: m ¼ 2254 t Masse des Schornsteines aus der Vergleichssprengung m Erdbeschleunigung g ¼ 10 s zs ¼ 47 m Gesamtschwerpunkt des Systems R ¼ 90 m Abstand vom Epizentrum zum Ankerpunkt E ¼ mgzs

)

E ¼ 2254  10  47 ¼ 1,1  106 kNm

¨ vx ¨ vz k ¼ 5,5 f ur k ¼ 1,1 f ur pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi mm vmax, z ¼ 1,1 1,1  106  901,1 ¼ 8,2 s pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi mm 1,1 6 ¼ 41,1 vmax, x ¼ 5,5 1,1  10  90 s

n ¼ 1,1

Berechnung der Ankerkraft Unter der durch Messungen besta¨tigten Annahme, dass der bertragungsfaktor von der Freifeldschwingung zur Spundwand V ¼ 1,0 ist, kann die dynamische Spannung am Ankerkopf errechnet werden (Bild 11.25). b ¼ arctan

Vz 8,20 ¼ arctan ¼ 11 Vx 41,10

a ¼ 45  b ¼ 45  11 ¼ 34 Resultierende Amplitude: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi vR ¼ v2max,z þ v2max,x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi mm vR ¼ 8,202 þ 41,12 ¼ 42 s vII ¼ vR cos a ¼ 42 cos 34 ¼ 35

mm s

Bild 11.25 Dynamische Verformung des Ankerkopfes

225

11.5 Anwendungsbeispiele

Die Wegamplitude in Ankerrichtung ergibt sich mit einer gemessenen dominierenden Anregungsfrequenz von f ¼ 1,8 Hz aus der Vergleichssprengung: sðtÞ ¼ s^ sin Wt vðtÞ ¼ s^W cos Wt ¼ vII cos Wt sII ¼

vII W

sII ¼

)

vII 35,00 ¼ 3,1 mm ¼ 2pN 2p1,8

Die Stabdehnung und die Spannung am Ankerkopf berechnen sich zu: e¼

sII l

)

sdyn ¼ eE

e¼ )

3,10 ¼ 1,7  104 18 300 sdyn ¼ 1,7  104  2,1  104 ¼ 3,6

kN cm2

Der vorhandene Anker besteht aus einem PSt 300/11-9 Pfahl mit einer Fla¨che von A ¼ 111 cm2 . Die dynamische Ankerkraft in Folge der Sprengung betra¨gt also: Adyn ¼ 3,60  1112 ¼ 400 kN Die Ankerkraft aus der Spundwandberechnung ohne Wasseru¨berdruck betra¨gt: A45 ¼ 164 kN Resultierende Ankerkraft: FA ¼ A45 þ Adyn ¼ 400 þ 164 ¼ 564 kN Die Grenzlast des Ankers betra¨gt:    kN FA, Streck ¼ s Streck  A cm2 cm    kN FA, Streck ¼ 23,5  111 cm2 ¼ 2 608 kN 564 kN cm

11.5.2

Auswirkung einer Sprengung auf eine Windkraftanlage

Allgemeines Im Einflussbereich der Bodenwellen infolge einer Schornsteinsprengung im Hamburger Hafen befindet sich eine Windkraftanlage (Bild 11.26). Die dynamische Beanspruchung der Windkraftanlage infolge der Sprengerschu¨tterungen soll prognostiziert werden. Da der Erhaltungszustand der Windkraftanlage nicht bekannt war, sollte die Beanspruchung infolge Wind um den Betrag der dynamischen Beanspruchung aus der Sprengerschu¨tterung reduziert werden. Daraus konnte eine obere Schranke fu¨r die Windsta¨rke am Tag der Sprengung ermittelt werden. Mit Hilfe der in Abschnitt 11.5.1 zitierten Prognoseformel wird zuna¨chst die Freifeldschwingung am Standort der Windkraftanlage ermittelt.

226

11 Einfu¨hrung in die Baugrunddynamik

Bild 11.26 Windkraftanlage

Berechnung der Freifeldschwingung Mit dem Abstand der Windkraftanlage vom Epizentrum R ¼ 390 m und einer dominierenden Anregungsfrequenz 1,8 Hz, gemessen bei einer Vergleichssprengung, wird: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi mm ðsiehe Abschnitt 11:5:1Þ vmax, x ¼ 5,5 1,1  106  3901,1 ¼ 8,15 s Berechnung der statischen Ersatzkra¨fte Mit dem im Abschnitt 8.2.6 behandelten Formelapparat fu¨r indirekte Anregung von Mehrmassensystemen ko¨nnen die statischen Ersatzkra¨fte fT;i ermittelt werden (Bild 11.27). Im vorliegenden Fall wurde fu¨r die 2. Biegeeigenform des Mastes w ¼ 9,12 s1 berechnet. f ¼

w 9,12 ¼ ¼ 1,45 Hz 2p 2p

Die 2. Biegeform wird den weiteren Berechnungen zugrunde gelegt, da sie in Resonanzna¨he angeregt wird. Die Biegeeigenform wurde mit einem fu¨r Dynamik geeigneten Computerprogramm ermittelt. In Bild 11.27 sind die Eigenform und die diskretisierten Massen dargestellt. Die Kopfmasse m28 beinhaltet den Rotor und die Rotorbla¨tter. Nach Tabelle 11.2 ergibt sich beispielsweise fu¨r i ¼ 18: t18 ¼

s^F ,18 s^F ,28

)

t18 ¼

5,85 ¼ 0,9144 6,40

227

11.5 Anwendungsbeispiele

Bild 11.27 Zweite Biegeeigenform des Mastes der Windkraftanlage

Die diskretisierte Masse fu¨r den Punkt i ¼ 18 berechnet sich zu: m18 t18 ¼ 27 049  0,9144 ¼ 24 734 kg Mit der Beschleunigung, dem Frequenzverha¨ltnis und der Vergro¨ßerungsfunktion unter Beachtung von D  0 kann die Gesamt-Tra¨gheitskraft FT und die quasi-statische Tra¨gheitskraft im Punkt 18 ermittelt werden: b0 ¼ vmax, x W

)

b0 ¼ 8,15  1,80  2p ¼ 92,0

mm s2

W 1,80 ¼ ¼ 1,24 w 1,45 1 1 ) V3 ¼ ¼ 1,86 V3 ¼ 1  h2 1  1,242 P P FT , i ¼ mi V3 b0 ) FT ¼ 986  1 86  0,092 ¼ 169 kN FT ¼

h¼

FT ,18 ¼

P

mi  ti FT , i P mi  t i

)

FT , 18 ¼ 169

24 734 ¼ 13,9 kN 30 1156

Wenn auf diese Weise die horizontalen statischen Ersatzkra¨fte fu¨r alle Massen mi berechnet sind, ko¨nnen die dynamischen Schnittlasten mit normalen Statikprogrammen berechnet werden. Ein Vergleich der Biegemomente aus der Sprengung mit denen aus Wind ergab, dass wa¨hrend der Sprengung eine Windgeschwindigkeit von maximal 37 m/s (Windsta¨rke 8) zula¨ssig war. Na¨heres zu den Auswirkungen einer Sprengung ist in [60] zu finden.

228

11 Einfu¨hrung in die Baugrunddynamik

Tabelle 11.2 Statische Ersatzlasten fu¨r die 2. Biegeeigenform Knotennummer 1 (Fußpunkt) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 (Mastspitze) Summe

mi ½kg 32 550 63 322 59 860 56 582 53 478 50 537 47 751 45 113 42 618 40 289 38 164 36 248 34 506 32 875 31 318 29 829 28 405 27 049 25 754 24 481 23 208 21 935 20 666 12 014 3754,3 3285,8 1611,9 98 682,0 985 885,0

ti 0 0,0393 0,0858 0,1396 0,2006 0,2683 0,3423 0,4214 0,5042 0,5886 0,6723 0,7519 0,8238 0,8840 0,9279 0,9508 0,9479 0,9144 0,8462 0,7396 0,5922 0,4026 0,1712 0,0999 0,3446 0,6198 0,9170 1

mi ti ½kg 0 2488,6 5136,0 7898,2 10 725,0 13 560,7 16 344,1 19 009,8 21 486,0 23 714,8 25 655,5 27 253,6 28 427,0 29 061,0 29 058,7 28 360,5 26 923,3 24 733,8 21 791,3 18 106,2 13 744,0  8831,6  3536,9 1200,0 1293,6 2036,7 1478,2 98 682,0 301 156,2

12

Anforderungen an den Erschu¨tterungsschutz

12.1

Allgemeines

Die DIN 4150 „Erschu¨tterungen im Bauwesen“ unterscheidet bei der Bewertung von Erschu¨tterungen zwischen Einwirkungen auf Menschen in Geba¨uden (Teil 2) (siehe Abschnitt 12.3) und Einwirkungen auf bauliche Anlagen (Teil 3) (siehe Abschnitt 12.2). Im Anhang C zu DIN 4150 Teil 3 wird auf die Problematik von Sackungen (bleibende Setzungen) in Bo¨den infolge von Erschu¨tterungen hingewiesen. Hierzu werden im Abschnitt 11.4 einige Hinweise gegeben. Außerdem wird auf die Einwirkungen auf Menschen am Arbeitsplatz, den Erschu¨tterungsschutz von empfindlichen Gera¨ten sowie auf sekunda¨ren Luftschall eingegangen [25]. Das Ablaufdiagramm in Bild 12.1 zeigt die Vorgehensweise beim passiven Erschu¨tterungsschutz. Anforderungen infolge menscheninduzierter Schwingungen sind im Kapitel 10, infolge Glockenschwingungen in DIN 4178 und Erdbeben in DIN 4149 nachzulesen. Die einfachste Formulierung von Anforderungen nach der Abstimmungsregel (Mindestabstand zwischen Eigenfrequenz und Anregungsfrequenz) fu¨hrt nur bei genau definierten Sonderfa¨llen zum Erfolg. Eigenfrequenzen ergeben sich aus der Lo¨sung der homogenen Differentialgleichung, also ohne Ansatz einer Anregungskraft. Demnach bleiben die Schwingungsamplituden und damit die dynamischen Zusatzspannungen in der Konstruktion unbestimmt. Die dynamische Beanspruchung einer Konstruktion la¨sst sich nur mit der erzwungenen Schwingung bestimmen (siehe Abschnitt 8.4).

Bild 12.1 Ablaufdiagramm zum passiven Erschu¨tterungsschutz

230

12.2

12 Anforderungen an den Erschu¨tterungsschutz

Einwirkungen auf bauliche Anlagen

Durch das Gedicht von Christian Morgenstern (Bild 12.2) wird uns bewusst, dass sich Menschen, die neben Verkehrswegen wohnen, schon seit Alters her durch Erschu¨tterungen gesto¨rt fu¨hlen. Die DIN 4150-3 gibt Anhaltswerte an, bei deren Einhaltung Scha¨den nicht zu erwarten sind, die den Gebrauchswert von Bauwerken oder einzelnen Bauteilen vermindern. Bei den Anhaltswerten wird zwischen kurzzeitigen und lange andauernden Erschu¨tterungen unterschieden. Fu¨r die Beurteilung kurzzeitiger Bauwerkserschu¨tterungen wird der gro¨ßte Wert der Schwinggeschwindigkeit vi aus allen drei Richtungen am Fundament beno¨tigt. Daru¨ber hinaus wird die Gro¨ßere der beiden Horizontalkomponenten der Schwinggeschwindigkeit in der obersten Decke zur Beurteilung heran gezogen. In der Tabelle 12.1 (Tabelle 1 in DIN 4150-3) sind die entsprechenden Anhaltswerte fu¨r unterschiedliche Geba¨udearten angegeben. Der Nachweis ist erbracht, wenn die Anhaltswerte nicht u¨berschritten werden. Fu¨r die Beurteilung von Dauererschu¨tterungen wird die Gro¨ßere der beiden horizontalen Einzelkomponenten der Schwinggeschwindigkeit in der obersten Deckenebene betrachtet. Diese darf die Anhaltswerte der Tabelle 12.2 (Tabelle 3 in DIN 4150-3) nicht u¨bersteigen. Scha¨den an Decken sind daru¨ber hinaus nicht zu erwarten, wenn die maximale Schwinggeschwindigkeit in vertikaler Richtung bei kurzzeitigen Erschu¨tterungen unter 20 mm/s und bei Dauererschu¨tterungen unter 10 mm/s bleibt. Fu¨r beide Fa¨lle bei kurzzeitigen und lange andauernden Erschu¨tterungen gilt, dass es bei berschreitung der jeweiligen An-

Tabelle 12.1 Anhaltswerte kurzzeitige Erschu¨tterungen (aus DIN 4150-3, dort Tabelle 1) Zeile

Geba¨udeart

Anhaltswerte fu¨r die Schwinggeschwindigkeit n in mm/s Fundament/Frequenzen

Oberste Deckenebene, horizontal

1 Hz bis 10 Hz

10 Hz bis 50 Hz

50 Hz bis 100 HzaÞ

alle Frequenzen

1

Gewerblich genutzte Bauten, Industriebauten und a¨hnlich strukturierte Bauten

20

20 bis 40

40 bis 50

40

2

Wohngeba¨ude und in ihrer Konstruktion und/oder Nutzung gleichartige Bauten

5

5 bis 15

15 bis 20

15

3

Bauten, die wegen ihrer besonderen Erschu¨tterungsempfindlichkeit nicht denen nach Zeile 1 und Zeile 2 entsprechen und besonders erhaltenswert (z. B. unter Denkmalschutz stehend) sind

3

3 bis 8

8 bis 10

8

a)

Bei Frequenzen u¨ber 100 Hz du¨rfen mindestens die Anhaltswerte fu¨r 100 Hz angesetzt werden.

231

12.3 Einwirkungen auf Menschen

Tabelle 12.2 Anhaltswerte fu¨r Dauererschu¨tterungen (aus DIN 4150-3, dort Tabelle 3) Zeile

Geba¨udeart

Anhaltswerte fu¨r die Schwinggeschwindigkeit ni in mm/s Oberste Deckenebene, horizontal, alle Frequenzen

1

Gewerblich genutzte Bauten, Industriebauten und a¨hnlich strukturierte Bauten

10

2

Wohngeba¨ude und in ihrer Konstruktion und/oder Nutzung gleichartige Bauten

5

3

Bauten, die wegen ihrer besonderen Erschu¨tterungsempfindlichkeit nicht denen nach Zeile 1 und Zeile 2 entsprechen und besonders erhaltenswert (z. B. unter Denkmalschutz stehend) sind

2,5

haltswerte gesonderter Nachweisverfahren bedarf. Weitere Kriterien zur Beurteilung der Erschu¨tterungseinwirkungen auf Bauwerke sind in der Schweizer Norm SN 640 312a enthalten. Die heute zur Verfu¨gung stehenden Maßnahmen fu¨r einen wirksamen Erschu¨tterungsschutz machen es mo¨glich, ein Problem zu lo¨sen, das Christian Morgenstern schon vor 100 Jahren beschrieben hat (Bild 12.2).

12.3

Einwirkungen auf Menschen

12.3.1

Allgemeines

Schwingungsamplituden werden von den Rezeptoren in der Haut in elektro-chemische Signale umgewandelt und durch Nervenfasern in das Gehirn weitergeleitet. Dadurch gelangen die Signale zuna¨chst in das limbische System, der neuronalen Basis von Emotionen, und erst danach in die Großhirnrinde, wo die Schwingungen bewusst werden. So erkla¨rt sich, warum Schwingungen immer zuna¨chst beunruhigen bevor sie verstanden werden. Menschen ko¨nnen außerordentlich kleine Schwingungsamplituden wahrnehmen. In Abschnitt 12.3.2 wird fu¨r 20 Hz eine Geschwindigkeit von v ¼ 0,2 mm/s als Fu¨hlschwelle berechnet (Gl. 12.4). Fu¨r eine harmonische Schwingung mit 20 Hz liegt also die Fu¨hlschwelle bei einer Amplitude von 1,6 mm! Im Vergleich dazu wird fu¨r sehr empfindliche Geba¨ude in Tabelle 12.1 als niedrigster Anhaltswert v ¼ 3,0 mm/s angegeben. Das entspricht bei 20 Hz einer Amplitude von 24 mm. Beschwerden von Bewohnern, die sich in einem Geba¨ude aufhalten und Erschu¨tterungen spu¨ren und daher Scha¨den am Geba¨ude erwarten, sind im Allgemeinen unbegru¨ndet und mu¨ssen durch objektive Messungen u¨berpru¨ft werden. Anforderungen fu¨r Menschen,

232

12 Anforderungen an den Erschu¨tterungsschutz

die aufgrund ihrer eigenen Bewegungen die Schwingungen der Konstruktion selbst erzeugen, sind im Kapitel 10 angegeben. Von Menschen in Geba¨uden werden Schwingungen grundsa¨tzlich als sto¨rend empfunden, da sie von außen in ihren Lebensbereich eindringen. Anhaltswerte sind in Abschnitt 12.3.2 gegeben. Das Ha¨uschen an der Bahn von Christian Morgenstern (1871–1914) Steht ein Ha¨uschen an der Bahn hoch auf gru¨nem Hu¨gelplan Tag und Nacht im schnellen Flug braust voru¨ber Zug um Zug jedes Mal bei dem Gebraus zittert leis das kleine Haus –: „Wen verla¨sst, wen sucht auf euer nimmermu¨der Lauf?“ „O nehmt mit, o bestellt, Gru¨ße an die weite Welt!“ Rauch, Gestampf, Gero¨ll, Geschrill . . . Alles wieder totenstill. Tag und Nacht dro¨hnt das Gleis, einsam Ha¨uschen zittert leis.

Bild 12.2 Erschu¨tterungsschutz fu¨r Menschen und Bauwerke

12.3.2

Menschen in Geba¨uden

Das Beurteilungsverfahren gema¨ß DIN 4150-2 kann auf beliebige periodische und nichtperiodische Schwingungen im Frequenzbereich von 1 Hz bis 80 Hz angewendet werden. Das unbewertete Signal der Schwinggeschwindigkeit vðtÞ wird im Hinblick auf die Wahrnehmung des Menschen von Schwingungen bewertet. Dabei wird der Tatsache Rechnung getragen, dass der Grad der Bela¨stigung von Menschen im Wesentlichen abha¨ngt von: – der Amplitude, – der Frequenz,

12.3 Einwirkungen auf Menschen

233

– der Dauer und – der Tageszeit der auftretenden Erschu¨tterungen. Zur Bewertung wird die maximal auftretende Erschu¨tterungseinwirkung (maximale bewertete Schwingsta¨rke KBFmax ) sowie ein spezieller Mittelwert (Beurteilungs-Schwingsta¨rke KBFTr ) verwendet. Diese Gro¨ßen werden mit Anhaltswerten A verglichen, die vom Einwirkungsort und der Tageszeit abha¨ngen. In einem ersten Pru¨fschritt wird der KBF ðtÞ-Wert bestimmt. KBF ðtÞ ist die bewertete Schwingsta¨rke und wird durch eine Frequenzbewertung und Effektivwertbildung ermittelt. Die Rechenvorschriften zur genauen Frequenz- und Effektivwertbildung sind in der DIN 4150-2 angegeben und ko¨nnen mit entsprechender Software ausgefu¨hrt werden. Indem man den Maximalwert von KBF ðtÞ im Beurteilungszeitraum sucht, la¨sst sich die maximal bewertete Schwingsta¨rke KBFmax bestimmen. Alternativ dazu kann na¨herungsweise auch KB*Fmax (mit * gekennzeichnet) aus dem unbewerteten Messsignal der Schwinggeschwindigkeit vðtÞ abgeleitet werden. Die Berechnung erfolgt anhand der Gl. (12.1) mit cF  1,0: 1 cF KB*Fmax ¼ vmax sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  2 pffiffi2ffi f0 1þ f

ð12:1Þ

Hierbei ist f die dominierende Frequenz des maßgeblichen Erschu¨tterungsereignisses in der Na¨he des Maximalwerts der Schwinggeschwindigkeit vmax . f0 ist die Grenzfrequenz des Hochpasses und es gilt f0 ¼ 5,6 Hz. In der Gl. (12.1) stellt der zweite Term die Frequenzbewertung und der dritte Term die Effektivwertbildung (siehe Abschnitt 4.2.3) dar. Der so berechnete KB*Fmax -Wert wird mit den in der Tabelle 12.3 (Tabelle 1 in DIN 4150-2) angegebenen Anhaltswerten A verglichen. Bei der Anwendung der Tabelle sind in der Norm quellenspezifische Regelungen fu¨r selten auftretende kurzzeitige Erschu¨tterungen, Straßen- und Schienenverkehr zu beachten. Fu¨r Baumaßnahmen gilt bis zu einer Gesamtdauer von 78 Tagen eine gesonderte Tabelle. Ist KB*Fmax kleiner oder gleich dem Anhaltswert Au , so sind die Anforderungen an den Erschu¨tterungsschutz auf Menschen bedingungslos eingehalten. Ist KB*Fmax gro¨ßer als Ao , so sind die Anforderungen nicht eingehalten. Nur fu¨r selten auftretende, kurzzeitige Einwirkungen gelten die Anforderungen als eingehalten, wenn KB*Fmax gro¨ßer als Au, jedoch kleiner als Ao ist. Fu¨r o¨fter auftretende Einwirkungen in diesem Bereich muss ein gesonderter Nachweis gefu¨hrt werden. Dafu¨r ist in einem zweiten Schritt die Beurteilungs-Schwingsta¨rke KBFTr mit einer geeigneten Software zu berechnen. Zuna¨chst mu¨ssen die Taktmaximalwerte KBFTi bestimmt werden. Die Messzeit wird in Takte von je 30 Sekunden eingeteilt. In jedem Takt ist dann der Maximalwert KBFTi der bewerteten Schwingsta¨rke KBF ðtÞ zu bestimmen. Anschließend ist der Taktmaximal-Effektivwert KBFTm zu bestimmen: KBFTm ¼

rffiffiffiffi N 1P KB2FTi N i¼1

ð12:2Þ

234

12 Anforderungen an den Erschu¨tterungsschutz

Tabelle 12.3 Anhaltswerte zur Beurteilung von Erschu¨tterungseinwirkungen auf Menschen (aus DIN 4150-2, dort Tabelle 1) Zeile Einwirkungsort

Tag

Nacht

Au

Ao

Ar

Au

Ao

Ar

1

Einwirkungsorte, in deren Umgebung nur gewerblich Anlagen und gegebenenfalls ausnahmsweise Wohnungen fu¨r Inhaber und Leiter der Betriebe sowie Aufsichtsund Bereitschaftspersonen untergebracht sind (vergleiche Industriegebiete BauNVO, § 9)

0,4

6

0,2

0,3

0,6

0,15

2

Einwirkungsorte, in deren Umgebung vorwiegend gewerbliche Anlagen untergebracht sind (vergleiche Gewerbegebiete BauNVO, § 8)

0,3

6

0,15

0,2

0,4

0,1

3

Einwirkungsorte, in deren Umgebung weder vorwiegend gewerblich Anlagen noch vorwiegend Wohnungen untergebracht sind (vergleiche Kerngebiete BauNVO § 7, Mischgebiete BauNVO § 6, Dorfgebiete BauNVO § 5)

0,2

5

0,1

0,15

0,3

0,07

4

Einwirkungsorte, in deren Umgebung vorwiegend oder ausschließlich Wohnungen untergebracht sind (vergleiche reines Wohngebiet BauNVO § 3, allgemeine Wohngebiete BauNVO § 4, Kleinsiedlungsgebiete BauNVO § 2)

0,15

3

0,07

0,1

0,2

0,05

5

Besonders schutzbedu¨rftige Einwirkungsorte, z. B. in Krankenha¨usern, Kurkliniken, soweit sie in dafu¨r ausgewiesenen Sondergebieten liegen

0,1

3

0,05

0,1

0,15

0,05

In Klammern sind jeweils die Gebiete der Baunutzungsverordnung BauNVO angegeben, die in der Regel den Kennzeichnungen der Zeilen 1 bis 4 entsprechen. Eine schematische Gleichsetzung ist jedoch nicht mo¨glich, da die Kennzeichnung unter Zeile 1 bis 4 ausschließlich nach dem Gesichtspunkt der Schutzbedu¨rftigkeit gegen Erschu¨tterungseinwirkungen vorgenommen ist, die Gebietseinteilung in der BauNVO aber auch anderen planerischen Erfordernissen Rechnung tra¨gt.

Anhaltswerte fu¨r Bu¨rogeba¨ude siehe ISO 2631-2. Die Beurteilungsschwingsta¨rke KBFTr ergibt sich dann aus rffiffiffiffiffi Te KBFTr ¼ KBFTm Tr

ð12:3Þ

wobei Tr die Beurteilungszeit fu¨r tags (6 bis 22 Uhr entsprechen 1920 Takte) oder nachts (22 bis 6 Uhr entsprechen 960 Takte) und Te die Einwirkungszeit ist. Bei Straßen- und

235

12.3 Einwirkungen auf Menschen

Schienenverkehr handelt es sich bei Te um die Summe der Einwirkungszeiten. Bei anderen Erschu¨tterungsquellen wird daru¨ber hinaus die Sto¨rwirkung zu den Ruhezeiten (Tagesrandzeiten) 6 bis 7 Uhr und 19 bis 22 Uhr durch eine Verdopplung der Einwirktakte beru¨cksichtigt. Die Beurteilungsschwingsta¨rke KBFTr muss abschließend mit dem Anhaltswert Ar in Tabelle 12.3 verglichen werden. Die Anforderungen sind dann eingehalten wenn KBFTr nicht gro¨ßer als Ar ist. In den Erla¨uterungen zur DIN 4150 wird darauf hingewiesen, dass die Fu¨hlschwelle der meisten Menschen bei einem KBF max -Wert zwischen 0,1 und 0,2 liegt. „Erschu¨tterungseinwirkungen um KBF max ¼ 0,3 werden bei ruhigem Aufenthalt in Wohnungen u¨berwiegend bereits als gut spu¨rbar und entsprechend stark sto¨rend wahrgenommen“ (Anhang D, DIN 4150-2). Beispielsweise la¨sst sich die fu¨r einen KBF max -Wert von 0,1 bei einer dominierenden Anregungsfrequenz von 20 Hz zugeho¨rige maximale Schwinggeschwindigkeit vmax anhand der folgenden Vorschrift berechnen: 1 nmax KBF max ¼ cF pffiffiffi sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  2 ¼ 0,1 ) 2 f0 1þ f ffi pffiffiffi sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  2  2 2 2 f0 5,6 1þ ¼ 0,1 1þ vmax ¼ 0,1 f cF 0,8 20 vmax  0,2

mm s

) ð12:4Þ

Daraus ergibt sich eine spu¨rbare Wegamplitude von: s¼

12.3.3

v 0,2 ¼ 2p f 2p 20

)

s ¼ 1,6 mm

ð12:5Þ

Menschen am Arbeitsplatz

Fu¨r Einwirkungen auf Menschen am Arbeitsplatz gibt es eine ganze Reihe von Normen, Richtlinien und Empfehlungen (siehe Kapitel 3). In Vorbereitung sind die Richtlinien des Europa¨ischen Parlaments und des Rates u¨ber Mindestvorschriften zum Schutz von Sicherheit und Gesundheit der Arbeitnehmer vor der Gefa¨hrdung durch physikalische Einwirkungen (Vibrationen). Schwingungen am Arbeitsplatz unterscheiden sich grundsa¨tzlich von den in Abschnitt 12.3.2 genannten Einwirkungen, da ihre Ursache fu¨r den Arbeitsplatz selbst als notwendig erkannt wird und nur wa¨hrend der Arbeitszeit auf den Menschen einwirken. Anforderungen in diesem Bereich mu¨ssen mit den Betroffenen, dem Arbeitgeber und gegebenenfalls mit dem Betriebsrat und Betriebsarzt vereinbart werden. Vergleichende Messungen bei unterschiedlichen Einwirkungen, zum Beispiel durch einen frequenz- und amplitudengesteuerten Schwinger erzeugt, ko¨nnen hilfreich sein, Anforderungen festzulegen. Notwendig ist auch eine rechtzeitige Aufkla¨rung der Betroffenen u¨ber Art, Umfang und Gefa¨hrdung von Schwingungen, da eine Beunruhigung prinzipiell gegeben ist. Grenzwerte sind in der VDI-Richtlinie 2057 : 2002 im Teil 1 fu¨r Ganzko¨rperschwingungen und im Teil 2 fu¨r Hand-Arm-Schwingungen enthalten. Bezugsgro¨ße ist der Effektivwert

236

12 Anforderungen an den Erschu¨tterungsschutz

der Schwingbeschleunigung. Bei der Einwirkung mechanischer Schwingungen auf den Menschen ist zu beachten, dass der Bereich zwischen Wahrnehmungsschwelle und oberer Toleranzgrenze erheblich kleiner ist als bei La¨rm. Schon eine geringe Zunahme der auf den Menschen einwirkenden Beschleunigungsamplituden kann zu gesundheitlichen Scha¨den fu¨hren. Dabei ist das Gesundheitsrisiko bei gleichen Amplituden fu¨r a¨ltere Menschen ho¨her (weiterfu¨hrende Literatur [30]).

12.3.4

Scha¨dliche und heilende Humanschwingungen

Humanschwingungen ko¨nnen das Wohlbefinden und die Gesundheit von Menschen nachhaltig beeinflussen. Gesundheitliche Scha¨den treten zum Beispiel durch Resonanzmechanismen der menschlichen Organe auf. Organe sind elastisch aufgeha¨ngte Massen, die entsprechende Eigenfrequenzen aufweisen (Bild 12.3). Werden sie in Resonanz angeregt, entsteht Unwohlsein bis zur Erkrankung. Zum Beispiel erzeugen Frequenzen zwischen 4 und 8 Hz belkeit im Magen. Bei Schwingungen am Arbeitsplatz ist demnach nicht nur auf die Anregungsamplitude sondern auch auf die Anregungsfrequenz zu achten.

Bild 12.3 Der Mensch als schwingungsfa¨higes System [31]

Es gibt aber auch heilende Wirkungen von Schwingungen, good vibrations. Durch so genannte Klangschalen (Bild 12.4) werden Schwingungen erzeugt, die u¨ber zwei Wege auf den Ko¨rper einwirken (Doppelstrategie). Klangschalen unterschiedlicher Gro¨ße und Form, also unterschiedlicher Eigenfrequenzen, erzeugen Ko¨rperschall, der bestimmte Organe in Resonanz anregt und dadurch Verspannungen auflo¨st. Gleichzeitig gelangen die To¨ne der Klangschalen als Luftschall u¨ber das Ohr in das limbische System und erzeugen Wirkungen, die aus der Musiktherapie bekannt sind (Bild 12.5).

12.4 Einwirkungen auf empfindliche Gera¨te

237

Bild 12.4 Doppelstrategie der Klangschalen

Bild 12.5 Der Mensch als Resonanzko¨rper, Man-Ray „Le Violon d’ingres“

12.4

Einwirkungen auf empfindliche Gera¨te

Besonders empfindliche Gera¨te sind Produktionsgera¨te in der Halbleiterindustrie (zum Beispiel Lithographiegera¨te) oder Gera¨te in der Forschung und Entwicklung (zum Beispiel Elektronenmikroskope). Bei diesen Gera¨ten ko¨nnen bereits die Geba¨udeschwingungen durch allta¨glichen Wind oder entfernten Straßenverkehr zur berschreitung der schwingungstechnischen Anforderungen fu¨hren. Zur Klassifizierung von Erschu¨tterungseinwirkungen auf Gera¨te liegen keine allgemeingu¨ltigen oder verbindlichen Regelwerke vor. Zuna¨chst muss versucht werden, vom Gera¨tehersteller spezifische Anforderungen zu erhalten. Folgende Kriterien gelten fu¨r den Aufstellort von Gera¨ten. Von Colin G. Gordon [29] sind Schwingungskriterien (Vibration-Criteria VC) entwickelt worden, die eine Klassifizierung (Tabelle 12.4) im Hinblick auf die Nutzung unterschiedlicher Gera¨teklassen bieten. Diese lassen sich auch in dem Entwurf der ISO/TS 10811

238

12 Anforderungen an den Erschu¨tterungsschutz

Tabelle 12.4 Beschreibung Schwingungskriterien (VC), Gordon [29] Kriterium

RMS-Wert der max. Schwinggeschwindigkeit [mm/s]

Strukturgro¨ße Anwendung [mm]

Werkstatt (ISO)

800

–

Gut spu¨rbare Schwingung. Anwendbar auf Werksta¨tten und unsensible Orte

Bu¨ro (ISO)

400

–

Spu¨rbare Schwingung. Anwendbar auf Bu¨ros und unsensible Orte

Wohngeba¨ude (ISO)

200

75

Gerade noch spu¨rbare Schwingung. Anwendbar auf Ruhezonen in den meisten Fa¨llen. Eventuell anwendbar auf Computer, einfache Mikroskope und Laborgera¨te

Operationssaal 100 (ISO)

25

Schwingung nicht spu¨rbar. Geeignet fu¨r sensible Ruhezonen. Vorwiegend geeignet fu¨r Mikroskope bis 100-fache Vergro¨ßerung

Schwingungskriterium A (VC-A)

50

8

berwiegend geeignet fu¨r optische Mikroskope bis 400-fache Vergro¨ßerung, Mikrowaagen, optische Waagen, Ausrichter

VC-B

25

3

Ein geeigneter Standard fu¨r optische Mikroskope bis 1000-fache Vergro¨ßerung, lithographische Gera¨te (einschl. Stepper) bis 3 mm Linienbreite

VC-C

12,5

1

Ein guter Standard fu¨r die meisten lithografischen Gera¨te bis 1 mm Linienbreite

VC-D

6

0,3

berwiegend geeignet fu¨r anspruchsvolle Apparaturen einschließlich Elektronenmikroskop (REM und TEM) und E-Beam Systeme, die am Rande der Leistungsfa¨higkeit arbeiten

VC-E

3

0,1

Kriterium ist schwer einzuhalten. Geeignet fu¨r ho¨chst sensible Systeme einschließlich Lasergera¨te mit langen optischen Wegen und anderen Systemen mit außergewo¨hnlich hohen dynamischen Stabilita¨tsanforderungen

12.4 Einwirkungen auf empfindliche Gera¨te

239

Bild 12.6 Diagramm Schwingungskriterien (VC), Colin G. Gordon [29]

„Mechanical vibration and shock – Vibration and shock in buildings with sensitive equipment“ nachlesen. Die Schwingungskriterien nach Gordon bieten eine gute Mo¨glichkeit zur Bewertung der Schwingungen am zu untersuchenden Standort. In Bild 12.6 wird die Klassifizierung fu¨r Terzband-Mittenfrequenzen (siehe Abschnitt 4.2.3) von 4 Hz bis 80 Hz in Klassen mit zunehmenden Anforderungen von A bis E angegeben. Einerseits steigen die zula¨ssigen Amplituden der Schwingungskriterien unterhalb von 10 Hz und andererseits endet der betrachtete Frequenzbereich bei 4 Hz. Diese Festlegung der Schwingungskriterien bei sehr tiefen Frequenzen trifft allerdings fu¨r einige Gera¨te unterschiedlicher Gattungen nicht zu. Die zula¨ssigen Amplituden ko¨nnen gerade bei tiefen Frequenzen um 0 bis 5 Hz sehr gering sein, so dass bereits beim allgemeinen Erschu¨tterungspegel diese hohen Anforderungen am zu untersuchenden Standort u¨berschritten werden. Dies ist zum Beispiel bei der neuen Gera¨tegeneration der Fall. Diese Gera¨te besitzen zumeist eine interne Schwingungsisolierung mit einer Abstimmfrequenz < 5 Hz. Daher wurden in [54] Grenzwertdefinitionen (Nano-D, Nano-E, Nano-EF) entwickelt, um den gestiegenen Anforderungen an schwingungsempfindliche Gera¨te gerecht zu werden. Fu¨r die Einhaltung der Kriterien muss das Bauwerk beziehungsweise die Gru¨ndung entsprechend abgestimmt werden (siehe Abschnitt 11.3.4). Ein Beispiel wird in ½58 behandelt.

240

12 Anforderungen an den Erschu¨tterungsschutz

Anmerkung: Bei der elastischen Aufstellung von Maschinen ist zum Schutz der Umgebung auf einen guten Isolierwirkungsgrad zu achten (siehe Abschnitt 8.2.9). Dabei geht nur das W Frequenzverha¨ltnis h ¼ ein, siehe Gl. (8.65). Daru¨ber hinaus ist zu beachten, dass die w zula¨ssige Schwingungsamplitude der Maschine selbst nicht u¨berschritten wird (siehe Bild 8.6, Beruhigungsmasse). Was zula¨ssig ist, muss vom Maschinenhersteller angegeben werden.

13

Schwingungsmessungen

Dipl.-Ing. Marc Oliver Rosenquist*)

13.1

Motivation

In der Baudynamik sind eine Vielzahl von Parametern, zum Beispiel Da¨mpfung und Steifigkeit, nicht ausschließlich aus der Theorie abzuleiten bzw. weisen erfahrungsgema¨ß eine sehr große Streubreite auf, so dass diese Parameter fu¨r Berechnungen nicht ausreichend genau angesetzt werden ko¨nnen. Daru¨ber hinaus ist im Vergleich zur Statik in der Dynamik in der Regel keine Abscha¨tzung zur sicheren Seite mo¨glich. Zur Ermittlung der Parameter fu¨r Berechnungen sind daher wenn mo¨glich Schwingungsmessungen durchzufu¨hren, um die Rechenmodelle zu justieren. Nachfolgende Beispiele sollen dieses verdeutlichen. Aus der Theorie und der Erfahrung ist bekannt, dass es zum Beispiel sehr schwierig ist, fu¨r die unterschiedlichen Arten der Da¨mpfung (Baustoffda¨mpfung, Bauteilda¨mpfung) zuverla¨ssige Werte anzusetzen. Zur Prognose von Schienen- oder Straßenverkehrserschu¨tterungen bei neuen Verkehrswegen oder neuen Geba¨uden sind die lokalen bertragungseigenschaften des Bodens [12] oder des Geba¨udes durch Schwingungsmessungen zu ermitteln. Zur Beurteilung und Dimensionierung von Maßnahmen bei Erschu¨tterungseinwirkungen auf Menschen [50] und empfindliche Produktions-, Analyse- oder Forschungsgera¨te sind die tatsa¨chlich auftretenden Schwingungsamplituden zu messen. Weiter verlangt der Einsatz von Schwingungstilgern, den Tilger sehr genau auf das zu beruhigende System abzustimmen und hierzu die betreffende Eigenfrequenz messtechnisch zu analysieren. In vielen Fa¨llen kann fu¨r die baudynamische Dimensionierung die einwirkende dynamische Kraft nicht angegeben werden. Diese Schwierigkeit tritt beispielsweise bei Angabe des Kraft-Zeitverlaufs von Verbrennungsschwingungen in Industrieanlagen auf, da thermofluid-dynamische Simulationen mit großen Unsicherheiten behaftet sind. Zur baudynamischen Analyse ist in diesen Fa¨llen eine Kombination von Berechnung und Messung zweckma¨ßig. Dabei wird zuna¨chst eine Berechnung durchgefu¨hrt, um insbesondere bei unu¨bersichtlichen Strukturen fu¨r die Schwingungsmessungen geeignete Messpunkte auszuwa¨hlen und anschließend das Berechnungsmodell u¨ber die Messergebnisse anzupassen. Ferner haben Schwingungsmessungen eine besondere Bedeutung beim Monitoring beziehungsweise der Zustandsu¨berwachung von Geba¨uden, um die tatsa¨chlich (infolge Maschinen im Geba¨ude, Anlagen, Erschu¨tterungseinwirkungen von außen durch Verkehr oder Baubetrieb) auftretenden maximalen Schwingungsamplituden und die Amplitudenha¨ufigkeit zur Ermittlung der Ermu¨dungsbeanspruchung (Spannungen und Lastkollektive) oder die Vera¨nderung von dynamischen Eigenschaften (Eigenfrequenzen, Seilspannung bei Bru¨cken) zu bestimmen und bei berschreitung von Grenzwerten einen Alarm auszulo¨sen. *) Ingenieurbu¨ro Dr. Kebe und Dipl.-Ing. Rosenquist, Schwingungen und Erschu¨tterungen im Bauwesen, Mu¨hlenkamp 43, 22303 Hamburg Tel: þ49(40) 46 09 11 38 Web: www.baudyn.de

242

13.2

13 Schwingungsmessungen

Einleitung

Die Durchfu¨hrung von Schwingungsmessungen erfordert neben der Anwendung von Messtechnik zur Erfassung von Schwingungsgro¨ßen (siehe DIN 1311-1) eine Signalanalyse (Analyse des Ausgangsignals eines Systems) oder eine Systemanalyse (Analyse eines Systems unter Betrachtung des Eingangs- und des Ausgangsignals). In Abha¨ngigkeit von den Mo¨glichkeiten und den Erfordernissen werden Schwingungen infolge von Einwirkungen der Umgebung (Ambient Vibration Test, AVT), Maschinen oder Verkehr (Operational Modal Analysis, OMA) und andererseits infolge gezielt eingeleiteter Kra¨fte (Forced Vibration Test, FVT) gemessen. Außerdem sind die Randbedingungen der Schwingungsmessungen wie Windgeschwindigkeit, Fahrzeugmassen und Fahrgeschwindigkeiten, Bauteiltemperatur sowie Prozessgro¨ßen von Maschinen und Anlagen zu dokumentieren und parallel zu den mechanischen Messgro¨ßen aufzuzeichnen. Vor der Durchfu¨hrung von Schwingungsmessungen ist eine umfangreiche Vorbereitung zur Wahl der Messgro¨ßen, der Schwingungsaufnehmer, der Messpunkte, der Aufzeichnung und zum Ablauf erforderlich. Unter anderem sind in Abha¨ngigkeit von der zu erwartenden Schwingungsamplitude, des Frequenzbereiches oder den Befestigungsmo¨glichkeiten von Schwingungsaufnehmern, die Vor- und Nachteile der betreffenden Messtechnik fu¨r die konkrete Fragestellung abzuwa¨gen. Erfolgen die Schwingungsmessungen vor Ort in einem Geba¨ude oder im Feld, so sind an die Mobilita¨t der Messtechnik Anforderungen zu stellen und in der Planung eine vom Netz unabha¨ngige Stromversorgung sowie erforderliche Messkabella¨ngen vorzusehen.

13.3

Anregung von Schwingungen

13.3.1

Anregung von Schwingungen fu¨r Schwingungsmessungen

Die Anregung von Bauwerken kann fu¨r einzelne Bauteile wie Deckenfelder, Tra¨ger oder Bru¨ckenfelder oder fu¨r das Gesamtbauwerk erfolgen. Nachfolgend werden Mo¨glichkeiten zur gezielten Anregung von Schwingungen vorgestellt. In manchen Fa¨llen ist eine einfache Anregung durch Baumaschinen mo¨glich: Kontinuierliche Schwingungen lassen

Bild 13.1 Impulshammer PCB mit unterschiedlich harten Kalotten

13.3 Anregung von Schwingungen

243

Bild 13.2 Kraftfrequenzgang des Impulshammers je nach Kalotte [41]

sich etwa mit einer Ru¨ttelwalze oder einem Spundbohlenru¨ttler und Stoßanregungen mit Baggerschaufeln erzeugen. Durch fallende Massen außerhalb oder innerhalb von Bauwerken kann eine stoßartige Schwingungsanregung erfolgen. Außerhalb von Bauwerken ko¨nnen hierzu Massen fu¨r Intensivverdichtungen benutzt werden. Die Fallenergie kann aus der Fallho¨he und der Fallmasse ermittelt werden. Eine Stoßanregung kann auch u¨ber einen Impulshammer erfolgen (Bild 13.1). Der in die zu untersuchende Struktur eingeleitete Kraft-Zeitverlauf wird u¨ber ein Piezoelement gemessen. Mit sehr harten Kalotten (Hammerko¨pfen) aus Stahl werden sehr kurze Impulse und damit hohe Frequenzen erzeugt. Mit sehr weichen Kalotten aus Gummi werden etwas la¨ngere Impulse und damit tiefere Frequenzen erzeugt (Bild 13.2). Impulsha¨mmer werden in unterschiedlicher Gro¨ße mit Massen von wenigen Gramm fu¨r die Untersuchung sehr kleiner Bauteile bis zu 6 kg fu¨r die Untersuchung von Bauwerksstrukturen hergestellt. Durch eine plo¨tzlich be- oder entlastete Struktur kann ein Ausschwingvorgang erzeugt werden. Hierzu wird zum Beispiel eine Masse in Feldmitte angebracht und plo¨tzlich fallen gelassen oder ein Zugseil mit definierter Sollbruchstelle belastet und bei Erreichen der Bruchkraft entlastet. Unwuchterreger mit mechanischem Antrieb durch Menschen (etwa zur Ermittlung der Eigenfrequenzen von Kirchtu¨rmen), elektrischem oder hydraulischem Antrieb verfu¨gen u¨ber eine zum Quadrat der Frequenz proportionale Anregungskraft und erfordern daher bei niedrigen Frequenzen ein hohes Unwuchtmoment. Weiter werden in der Baudynamik so genannte Shaker eingesetzt. In Abha¨ngigkeit vom Antrieb der Shaker sind sehr unterschiedliche Kra¨fte und Frequenzbereiche zu erreichen. Ein großer Vorteil von Shakern ist die Mo¨glichkeit, eine Anregung mit einem gewa¨hlten Zeitverlauf oder einer bestimmten spektralen Zusammensetzung nachzufahren. Ein elektrodynamischer Shaker liefert eine Kraftanregung u¨ber eine Spule in einem Magnetfeld. Der Einsatz erfolgt in der Regel im Labor, da ein großer Leistungsversta¨rker und gegebenenfalls eine Ku¨hlung erforderlich sind. Ein Linearmotor (Bilder 13.3 und 13.4) bietet gegenu¨ber dem elektrodynamischen Shaker die Mo¨glichkeit, bei niedrigen Frequenzen gro¨ßere Wege zu fahren, um auch bei niedrigen Frequenzen eine brauchbare Krafteinleitung zu erzeugen. Daru¨ber hinaus lassen sich diese Gera¨te noch mit verha¨ltnisma¨ßigem Aufwand fu¨r Messungen vor Ort in Geba¨uden einsetzen [42]. Mit Shakern in Form von Hydropulsanlagen lassen sich deutlich ho¨here Massen auch bei niedrigen Frequenzen bewegen und folglich entsprechend ho¨here dynamische Kra¨fte er-

244

Bild 13.3 Schwingungserreger mit Linearmotor Electro-Seis 400

Bild 13.4 Kraftfrequenzgang Linearmotor Elektro-Seis 400 [43]

13 Schwingungsmessungen

13.3 Anregung von Schwingungen

245

zeugen (vertikal 500 kg und 20 kN, horizontal 1000 kg und 32 kN). Diese Anlagen werden in Großlaboren verwendet. Es existieren einige wenige mobile Anlagen, mit denen zum Beispiel große Bru¨ckenbauwerke oder Da¨mme angeregt werden ko¨nnen [44].

13.3.2

Aktive Schwingungsbeeinflussung (Aktuatoren)

Zur aktiven Schwingungsbeeinflussung (active vibration control) werden Aktuatoren mit Piezoelementen, elektrodynamischen Elementen oder Linearmotoren (Bild 13.5) verwendet, um zum Beispiel die Schwingungen an einem Aufstellort eines erschu¨tterungsempfindlichen Gera¨tes oder Strukturschwingungen von Bauwerken aktiv zu beeinflussen (active control in structure dynamics). Bei Geba¨uden werden bisher in der Regel passive Maßnahmen einschließlich Tilger, z. B. in Erdbebengebieten, eingesetzt. Der Einsatz von Akruatoren ist bei Bauwerken derzeit noch Gegenstend der Forschung und Entwicklung [51]. Fu¨r den Einsatz von Aktuatoren werden erschu¨tterungsempfindliche Gera¨te zuna¨chst elastisch auf Elastomer-, Stahlfeder- oder Luftfederelementen gelagert und parallel die Aktuatoren zur Verminderung der Schwingungsbewegung, insbesondere in der Resonanz der elastischen Lagerung, betrieben. Als Regelgro¨ßen werden die Schwingungen des zu schu¨tzenden Gera¨tes mit Schwingungsaufnehmern registriert. Mit Piezoaktuatoren ko¨nnen sehr große Kra¨fte sehr genau, aber nur sehr kleine Wege verursacht werden. Elektrodynamische Elemente sind preisgu¨nstig, aber im Weg und der Kraft begrenzt. Linearmotoren sind aufwa¨ndiger, ko¨nnen aber ho¨here Kra¨fte und gro¨ßere Wege erzeugen. In Abha¨ngigkeit von der Aufgabestellung der zu schu¨tzenden Gera¨te und der am Aufstellort gemessenen Schwingungen sind die elastische Lagerung und der Aktuatortyp auszuwa¨hlen und zu optimieren. Diese Technik gewinnt immer mehr an Bedeutung, da eine fu¨r die entsprechende Aufgabenstellung optimale Kombination von elastischer Lagerung und Aktuatortyp eine effiziente Maßnahme darstellt, die in vielen Fa¨llen auch nachtra¨glich mit geringem baulichen Aufwand zu realisieren ist.

Bild 13.5 IDE Linearmotor- und Isolationselement mit Luftfeder [45]

246

13.4

13 Schwingungsmessungen

Aufbau einer Messkette

Grundsa¨tzlich besteht die Schwingungsmesskette ausgehend von dem zu untersuchenden Bauteil aus einem Aufnehmer, Zwischengliedern, Anzeige und Registrierung. Der Aufnehmer besteht aus einem Geber zur bertragung der mechanischen Bewegung und einem Wandler zur Umwandlung der mechanischen Bewegung in ein elektrisches Signal und wird als Schwingungssensor oder Schwingungsaufnehmer bezeichnet. Die Zwischenglieder stellen Versta¨rker, Bandpassfilter zur Begrenzung des Frequenzganges, Filter zur Kompensation der Aufnehmerkennlinie sowie Filter zur Bewertung dar. Im Anschluss an die Zwischenglieder werden die Signale weiter verarbeitet und heute in der Regel u¨ber einen Analog-Digital-Wandler in digitale Daten umgewandelt und anschließend in einem nachgeschaltetem Messcomputer u¨ber ein Messprogramm angezeigt und registriert. Die Umwandlung der zeitlich kontinuierlich vorliegenden analogen Schwingungsmesssignale durch den Analog-Digital-Wandler fu¨hrt zu zeitlich diskreten Werten (Bild 13.6). Fu¨r die Auswertung und Nutzung der registrierten digitalisierten Werte ist bei der Digital-Analog-Wandlung zum Beispiel die Abtastrate, also die Ha¨ufigkeit der Registrierung diskreter Werte des Signals, ein wichtiger Parameter. Bei der Registrierung der Daten auf einem digitalen Bandspeicher, Festspeicher oder der Festplatte eines Messcomputers ist daru¨ber hinaus eine fu¨r die Aufgabe ausreichende kontinuierliche Aufzeichnungsdauer vorzusehen. Im Hinblick auf spezielle Fragestellungen, etwa der Klassierung der Belastungsha¨ufigkeit zur Ermittlung der Beanspruchung, kann eine Reduktion der Daten zweckma¨ßig sein. Allerdings sind die maßgeblichen Schwingungsereignisse vollsta¨ndig aufzuzeichnen, um zuverla¨ssige Analysen und belastbare Aussagen aus den Schwingungsmessungen abzuleiten.

Bild 13.6 Kontinuierlicher und diskreter Signalzeitverlauf [46]

247

13.5 Schwingungsaufnehmer

13.5

Schwingungsaufnehmer

13.5.1

Allgemeines

Schwingungsaufnehmer beziehungsweise Schwingungssensoren wandeln eine mechanische Schwingung in ein elektrisches Signal um, welches gewo¨hnlich proportional zur mechanischen Schwingungsmessgro¨ße ist. Schwingungsaufnehmer lassen sich nach dem Zweck (Messgro¨ße, Zielgro¨ße, Amplitudenbereich), dem mechanischen Grundprinzip (Relativ-, Kraft-, Absolutmessung) oder nach der Arbeitsweise (elektrisch, mechanisch, optisch) einteilen [12, 21].

13.5.2

Zweck

Der Einteilung nach dem Zweck folgend werden hier als wichtigste Messgro¨ßen die Bewegungsgro¨ßen Schwingweg, Schwinggeschwindigkeit und Schwingbeschleunigung betrachtet. Daru¨ber hinaus werden beispielsweise die Messung von Kra¨ften mit piezoelektrischen Aufnehmern oder von Dehnungen mittels Dehnmessstreifen oder faseroptischen Methoden durchgefu¨hrt.

13.5.3

Mechanisches Grundprinzip

Allgemeines Die mechanischen Grundprinzipien werden in Relativ-, Kraft- und Absolutmessung unterschieden. Die bertragungsfunktion H eines (linearen, zeitinvarianten) schwingungsfa¨higen Systems ist gema¨ß DIN 1311 der Quotient der Fourier-Spektren (FT) aus einem Ausgangsignal A und einem Eingangssignal E: HAusgang; Eingang ðiWÞ ¼

FT des Ausgangs FT des Eingangs

Bild 13.7 Amplitudenfrequenzgang Relativmessprinzip

ð13:1Þ

248

13 Schwingungsmessungen

Bild 13.8 Phasenfrequenzgang Relativmessprinzip

Fu¨r konkrete Anwendungen siehe [46] und [56]. Bei einem Schwingungsaufnehmer handelt es sich um ein elektrisches Ausgangssignal, zum Beispiel die elektrische Spannung, und ein mechanisches Eingangssignal, zum Beispiel die Schwinggeschwindigkeit. Der Betrag der bertragungsfunktion wird mit aðWÞ und die Phase mit jðWÞ bezeichnet. Da a eine Funktion der Frequenz ist, spricht man vom Amplitudenfrequenzgang eines Schwingungsaufnehmers aðWÞ. Ha¨ufig werden a und W j als Funktion vom Frequenzverha¨ltnis h ¼ dargestellt. Der Phasenwinkel j gibt die w Phasendifferenz zwischen A und E an, die ebenfalls frequenzabha¨ngig ist. Man spricht vom Phasenfrequenzgang jðWÞ. Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Schwingungsaufnehmers mu¨ssen bekannt sein, um aus dem angezeigten elektrischen Ausgangssignal das mechanische Eingangssignal E ¼ A=a berechnen zu ko¨nnen und bei simultaner Messung von Schwingungen mit unterschiedlichem Frequenzgehalt die Eingangssignale phasengleich darzustellen. Relativmessung Bei der Relativmessung wird die Bewegung zwischen zwei Punkten ermittelt (Bilder 13.7 und 13.8). Soll eine Absolutbewegung gemessen werden, muss daher einer der beiden Punkte ein Festpunkt sein. Das Einganssignal, die mechanische Schwingungsgro¨ße, unterscheidet sich von dem Ausgangssignal, wie zum Beispiel der elektrischen Spannung, nur um einen konstanten Faktor. Der Amplituden- und Phasenfrequenzgang ist konstant, die zu messende Gro¨ße wird unabha¨ngig von der Frequenz verzerrungsfrei wiedergegeben. Das Prinzip der Relativmessung wird unter anderem bei induktiven Wegaufnehmern verwendet. Kraftmessung Das Prinzip der Kraftmessung beruht auf der Messung der Tra¨gheitskraft, die von einem fußpunkterregten Einmassenschwinger u¨ber seine Feder auf seine Masse ausgeu¨bt wird (siehe Abschnitt 8.2.6, Gl. 8.51 b^F =b^0 ¼ V3 ¼ b a in Bild 13.9). Der Amplitudenfrequenz-

13.5 Schwingungsaufnehmer

249

Bild 13.9 Amplitudenfrequenzgang Kraftmessprinzip

Bild 13.10 Phasenfrequenzgang Kraftmessprinzip

gang zwischen der Fußpunkterregung und der Tra¨gheitskraft beginnt mit einem konstanten Faktor bei niedrigen Frequenzen, weist bei geringer vorliegender Da¨mpfung eine berho¨hung in der Resonanz auf und fa¨llt mit weiter zunehmender Frequenz anschließend auf null. Der Phasenfrequenzgang (Bild 13.10) ist zuna¨chst null und wa¨chst bei Resonanz auf 90 an. Das Prinzip wird unterhalb der Resonanz etwa bis zur Ha¨lfte der Resonanzfrequenz bei nahezu konstantem Amplituden- und Phasenfrequenzgang betrieben. Nach dem Prinzip der Kraftaufnehmer arbeiten zum Beispiel piezoelektrische Beschleunigungsaufnehmer. Absolutmessung Die Absolutmessung ist ein Prinzip, bei dem letztlich die Absolutbewegung eines Punktes ermittelt wird (Bilder 13.11 und 13.12). Aus messtechnischen Gru¨nden wird allerdings die Relativbewegung zwischen einer elastisch gelagerten Masse und dem Aufnehmergeha¨use gemessen. Dabei ist das Aufnehmergeha¨use mit dem Aufstellort des Schwingungsaufneh-

250

13 Schwingungsmessungen

Bild 13.11 Amplitudenfrequenzgang Absolutmessprinzip

Bild 13.12 Phasenfrequenzgang Absolutmessprinzip

mers starr verbunden, fu¨hrt also die mechanische Schwingung aus. Besteht die elastisch gelagerte Masse aus einem tief abgestimmten fußpunkterregten Einmassenschwinger, so bildet die Masse einen ruhenden Bezugspunkt gegenu¨ber dem Geha¨use (Prinzip der s 0 ¼ V2 ¼ Schwingungsisolierung, siehe Abschnitt 8.2.6, Gl. (8.48) s^F =^ b a fu¨r große h). Um die Absolutbewegung des Geha¨uses auch in Resonanzna¨he des Schwingungsaufnehmers zu erhalten, muss seine bertragungsfunktion bekannt sein. Der Amplitudenfrequenzgang beginnt mit null, steigt auf eine berho¨hung in der Resonanzfrequenz und fa¨llt anschließend auf den Faktor 1 ab. Der Phasenfrequenzgang verla¨uft von null u¨ber 90 in Resonanz auf 180 . Das Prinzip wurde fru¨her im Bereich von konstantem Amplituden- und Phasenfrequenzgang ab dem 1,5fachen der Resonanzfrequenz eingesetzt. Heute werden die Aufnehmersignale mit Hilfe der komplexen bertragungsfunktion, Amplituden und Phasenfrequenzgang, umgerechnet (kompensiert), um die Schwingungsaufnehmer in einem weiten Frequenzbereich einsetzen zu ko¨nnen. Begrenzt wird der nutzbare Amplitudenbereich durch den maximalen Weg der elastisch gelagerten Masse in der Resonanz. Elektrodyna-

13.5 Schwingungsaufnehmer

251

mische Schwingungsaufnehmer (Geophone) arbeiten nach dem Prinzip der Absolutmessung. Sie sind die in der Baudynamik am ha¨ufigsten verwendeten Schwingungsaufnehmer.

13.5.4

Arbeitsweise

Allgemeines Zur Messung von Bewegungsgro¨ßen ko¨nnen Schwingungsaufnehmer verwendet werden, deren Ausgangssignal proportional zum Schwingweg, der Schwinggeschwindigkeit oder der Schwingbeschleunigung ist. Wegaufnehmer Induktive Wegaufnehmer beruhen auf der Induktion einer elektrischen Ladung, die von einem Galvanometer gemessen wird. Wird ein Magnet in einem Stromleiter von s1 nach s2 bewegt (Bild 13.13), entsteht durch seine Lagea¨nderung Ds eine nderung des Induktionsflusses DF und demzufolge eine Bewegung freier Ladungen im Stromleiter Q DF. Die elektrische Ladung Q ist proportional zu Ds und unabha¨ngig von der Geschwindigkeit v. Induktive Wegaufnehmer sind Relativaufnehmer, bei denen ein Taststift einen verschiebbaren Kern einer Transformatorspule darstellt. Die nderung der Induktivita¨t wird u¨ber eine Bru¨ckenschaltung mit weiteren Transformatorspulen und dem Einsatz eines Tra¨gerfrequenzversta¨rkers letztlich in eine wegproportionale Spannung umgewandelt. Mit Relativaufnehmern wird die Bewegung zwischen zwei Punkten gemessenen, das heißt fu¨r eine Messung der Absolutbewegung muss einer der beiden Punkte ein Festpunkt sein. Weniger u¨bliche Wegaufnehmer in der Baudynamik sind kapazitive Aufnehmer, die auf der nderung des Wechselstromwiderstandes eines Plattenkondensators mit der Bewegung der Platten zueinander beruhen, oder Wirbelstromaufnehmer, bei denen die nderung eines hochfrequenten Magnetfeldes durch Induktion von Wirbelstro¨men durch die Bewegung von leitfa¨higen Materialien verursacht wird. Ein weiterer Wegaufnehmer ist

Bild 13.13 Erzeugung eines Induktionsstromes

252

13 Schwingungsmessungen

das Laservibrometer, welches allerdings ha¨ufig von einem entfernten Festpunkt aus betrieben wird und in sehr schneller Folge mehrere Messpunkte abtasten kann. Das Prinzip beruht auf der Interferenz zwischen einem vom Messpunkt reflektierten Laserstrahl mit einem Referenzstrahl. Der Frequenzbereich betra¨gt 0,01 Hz bis 20 kHz. Als weiteres optisches System wird fu¨r spezielle Forschungsaufgaben die Interferometrie beziehungsweise Holografie eingesetzt und basiert auf der Analyse eines auf das Messobjekt projizierten Interferenzmusters. Geschwindigkeitsaufnehmer Elektrodynamische Geschwindigkeitsaufnehmer beruhen auf der Induktion einer elektrischen Spannung U (Volt), welche gemessen wird. Die Spannung ist proportional der Geschwindigkeit der Magnetbewegung U dF=dt. Elektrodynamische Schwingungsaufnehmer geben demnach ein zur Schwinggeschwindigkeit proportionales elektrisches Signal ab. Sie arbeiten nach dem Prinzip der Absolutmessung und werden auch Geophone genannt (Bilder 13.14 bis 13.16). Eine elastisch u¨ber Membranfedern aufgeha¨ngte Spule bewegt sich relativ zum Geha¨use in einem Magnetfeld und induziert eine Spannung. Aufgrund des Amplitudenfrequenzganges bei dem Prinzip der Absolutmessung ist eine mo¨glichst tiefe Resonanzfrequenz des Aufnehmers erforderlich. Die Resonanzfrequenz liegt bei handelsu¨blichen Aufnehmern bei 4,5 Hz bis 14 Hz. In der Vergangenheit sind elektrodynamische Schwingungsaufnehmer nur fu¨r Schwingfrequenzen oberhalb der Resonanzfrequenz (Tiefabstimmung) eingesetzt worden, um im Messbereich einen konstanten Amplituden- und Phasenfrequenzgang zu erhalten. Beim Einsatz von Geophonen mit einer tiefen Resonanzfrequenz von 4,5 Hz begann der Messbereich bei 6,75 Hz.

Bild 13.14 Elektrodynamischer Schwingungsaufnehmer (Dr. Kebe Scientific Instruments, und Sensorelement)

Seit einiger Zeit werden die Aufnehmerkennlinien in Messversta¨rkern kompensiert und hohe Anforderungen an den Amplituden- und Phasenfrequenzgang gema¨ß DIN 45669 (1 Hz bis 80 Hz bzw. 315 Hz) ab 1 Hz erfu¨llt. Der kompensierte Phasenfrequenzgang ist allerdings noch nicht konstant, so dass dieser bei Signalen mit unterschiedlichen Frequenzanteilen in und unterhalb der Aufnehmerresonanz, etwa bei Kirchturmschwingungen auch fu¨r Teilschwingungen ho¨herer Ordnung, zu beru¨cksichtigen ist. Aktuelle Untersuchungen zeigen, dass elektrodynamische Schwingungsaufnehmer zuku¨nftig mit einer

13.5 Schwingungsaufnehmer

253

Bild 13.15 Amplitudengang elektrodyn. Schwingungsaufnehmers [47]

Bild 13.16 Phasengang eines elektrodyn. Schwingungsaufnehmers [47]

Kennlinienkompensation ab deutlich unterhalb von 1 Hz auch fu¨r ambiente Schwingungsmessungen eingesetzt werden ko¨nnen [47]. Ambiente Schwingungen werden durch Erschu¨tterungen aus der Umgebung (zum Beispiel infolge Wind, Verkehr, Industrieanlagen) des zu untersuchenden Bauteils hervorgerufen, weisen u¨blicherweise niedrige Schwingungsamplituden auf und werden mit einer langen Messzeit aufgezeichnet. Zur Verwendung der Schwingungsmessungen fu¨r die Modalanalyse sind die Aufnehmerkennlinien zu kompensieren. Das Ausgangssignal des Schwingungsaufnehmers, auch als Empfindlichkeit (engl. sensitivity) bezeichnet, betra¨gt fu¨r das dargestellte 4,5 Hz Geophon 0,024 V=ðmm=sÞ.

254

13 Schwingungsmessungen

Die weite Verbreitung von Geophonen in der Baudynamik und Geophysik gegenu¨ber anderen Schwingungsaufnehmern ist auf ihre hohe Empfindlichkeit, einen großen Dynamikbereich (Differenz zwischen kleinstem und gro¨ßtem messbaren Signal) und eine gute Robustheit bei einem gu¨nstigen Preis zuru¨ckzufu¨hren. Weitere Vorteile liegen in der Proportionalita¨t der Messgro¨ße zur Beurteilungsgro¨ße in einem weiten Frequenzbereich bei der Einwirkung auf bauliche Anlagen (siehe DIN 4150-3) beziehungsweise bei der Einwirkung auf Menschen (siehe DIN 4150-2). Aus dem Zeitsignal la¨sst sich der Schwinggeschwindigkeit auf den zeitlichen Verlauf der anderen Schwingungsgro¨ßen Weg und Beschleunigung schließen, ohne dass – wie bei Beschleunigungsamplituden – ho¨here Frequenzen wegen der Frequenzabha¨ngigkeit stark dominieren (siehe DIN 45669-1). Beschleunigungsaufnehmer Bei den in der Baudynamik gebra¨uchlichen Beschleunigungsaufnehmern handelt es sich um piezoelektrische Beschleunigungsaufnehmer nach dem Prinzip der Kraftmessung (siehe Bild 13.9). Bei diesen Aufnehmern u¨bt eine Masse bei Bewegung des Fußpunktes des Aufnehmers eine Tra¨gheitskraft auf einen Piezokristall aus und verursacht eine zur Kraft und damit zur Beschleunigung proportionale elektrische Ladungsverschiebung (gemessen in piko-Coulomb pC) aus dem Inneren des Kristalls zu seiner Oberfla¨che hin. Versieht man die beiden Oberfla¨chen einer du¨nnen Platte aus Piezokristallen mit einer metallischen Belegung, so kann bei Deformation des Kristalls eine kraftproportionale Ladungsverschiebung gemessen werden. Die Ladungsverschiebung wird in einem separaten Ladungsversta¨rker oder im Aufnehmer selbst in eine elektrische Spannung umgewandelt. Da kein Bezugspunkt erforderlich ist wird die Absolutbewegung an einem Punkt ermittelt. Piezoelektrische Beschleunigungsaufnehmer (Bild 13.17) gibt es in unterschiedlichen Gro¨ßen: Sehr kleine Aufnehmer mit weniger als 1 g Masse fu¨r Untersuchungen an kleinen, leichten, du¨nnen Strukturen sowie bis zu 1 kg Masse fu¨r tiefe Frequenzen und geringe Bewegungen bei Untersuchungen von Bauwerken. Eine mo¨glichst große Masse ist in der

Bild 13.17 Piezo-Beschleunigungsaufnehmer, B&K Piezo-Beschleunigungssensor und Ladungsversta¨rker

13.5 Schwingungsaufnehmer

255

Bild 13.18 Frequenzga¨nge, B&K Piezo-Beschleunigungsaufnehmer [48]

Baudynamik erforderlich, um bei tiefen Frequenzen und geringen Bewegungen eine ausreichende Tra¨gheitskraft auf den Piezokristall auszuu¨ben. Fu¨r schwere piezoelektrische Beschleunigungsaufnehmer liegt der messbare Frequenzbereich zwischen 0,025 Hz und 800 Hz. Der Frequenzbereich wird nach oben durch die Resonanz der Masse auf dem Piezokristall begrenzt. Das Ausgangssignal bzw. die Empfindlichkeit des in Bild 13.18 dargestellten Piezo-Aufnehmers von B&K  mit einer Masse  von 480 g und einer EigenpC Ladung frequenz von 5,6 kHz betra¨gt 66 . m=s2 Beschleunigung In Bild 13.18 ist die frequenzabha¨ngige Abweichung von diesem Wert der Empfindlichkeit (Sensitivity) in Prozent angegeben. Als weiteres Prinzip von Beschleunigungsaufnehmern existieren kraftkompensierte Beschleunigungssensoren (FBA Force-Balance Accelorometer) nach dem Prinzip der Absolutmessung. Die Funktionsweise beruht auf der Messung der Ru¨ckstellkra¨fte, welche eine tra¨ge, elastisch gelagerte Masse durch ein elektrisch erzeugtes Magnetfeld in Ruhe halten. Diese Aufnehmer (zum Beispiel Guralp Systems CMG-T5 mit der Empfindlichkeit   ¨ V elektr: Spannungen bzw: Ruckstellkraft 0,25 sind sehr empfindlich und bei niedm=s2 Beschleunigung rigsten Frequenzen einsetzbar. Sie werden aber aufgrund der Kosten und Gro¨ße in der Baudynamik vor allem bei Forschungsuntersuchungen oder bei sehr niedrigen Frequenzen eingesetzt. Eine neuere Entwicklung im Bereich der kraftkompensierten Beschleunigungssensoren sind mikromechanische kapazitive Beschleunigungssensoren (MKB oder Force-Balance Servo Accelerometer). Die Funktionsweise basiert auf der Messung der Ru¨ckstellkra¨fte, welche eine tra¨ge Masse zwischen Kondensatorfla¨chen in Ruhe halten. Die Sensorelemente werden mit Methoden der Halbleiterfertigung hergestellt [49]. Aufgrund der guten Empfindlichkeit auch bei sehr niedrigen Frequenzen und einer kompakten Baugro¨ße werden diese Aufnehmer fu¨r spezielle Untersuchungen seit einiger Zeit auch in der Baudynamik eingesetzt. Allerdings sind die Kosten im Vergleich zu piezoelektrischen Aufnehmern und den in der Baudynamik am weitesten verbreiteten elektrodynamischen Aufnehmern noch deutlich ho¨her.

256

13.6

13 Schwingungsmessungen

Durchfu¨hrung von normgerechten Schwingungsmessungen

In diesem Kapitel sollen die wesentlichen Anforderungen zur Durchfu¨hrung von Schwingungsmessungen in der Baudynamik angegeben werden [18]. Es ist darauf zu achten, dass die fu¨r einen Messeinsatz vorgesehene Messtechnik diesen Anforderungen entspricht, um schwerwiegende Fehler bei der Interpretation der aufgezeichneten Messdaten zu vermeiden. Unter den in der Baudynamik durchgefu¨hrten Messungen sollen Schwingungsmessungen verstanden werden, die unmittelbar am Bauwerk oder im Baugrund durchgefu¨hrt werden. Es handelt sich im wesentlichen um die Messung von Schwingungen zur Ermittlung der Einwirkung auf Menschen in Geba¨uden, auf bauliche und technische Anlagen. Hierzu za¨hlen auch Messungen am Aufstellort von erschu¨tterungsempfindlichen Gera¨ten oder an schwingungsverursachenden Maschinen und deren elastisch gelagerten Fundamenten oder Rahmen. Messungen zur Untersuchung der Gera¨te oder der Maschinen selbst unterliegen hinsichtlich des Frequenzbereiches, der Amplituden sowie der Ankopplung anderen Anforderungen und fallen in das Fachgebiet Maschinendynamik. Ebenso gelten fu¨r Messungen zur Ermittlung von dynamischen Materialeigenschaften (Materialtheorie) andere Randbedingungen und Anforderungen. Zur Durchfu¨hrung von normgerechten Schwingungsmessungen sind zuna¨chst die Anforderungen an die Messtechnik gema¨ß DIN 45669 Messung von Schwingungsimmissionen einzuhalten. Gema¨ß dieser Norm sind Messketten mit Absolutaufnehmern einzusetzen. Als unbewertetes Signal gilt im Sinne der Norm DIN 1311 ein der Schwinggeschwindigkeit proportionales bandbegrenztes Signal (zwischen einer oberen und unteren Grenzfrequenz). In der Norm sind Amplituden- und Phasenfrequenzga¨nge angegeben, welche zwischen der zu messenden Bewegungsgro¨ße und dem Ausgangssignal der Messkette zu erfu¨llen sind. Diese Anforderungen sind fu¨r das bandpassgefilterte Signal gema¨ß DIN 4150 „Erschu¨tterungen im Bauwesen“ von 1 Hz bis 80 Hz oder im Nahbereich von Sprengungen und gema¨ß DIN 45672 an Schienenwegen von 1 Hz bis 315 Hz vorgegeben. Werden diese Anforderungen nicht erfu¨llt, liegen bei breitbandigen Messsignalen erhebliche Messabweichungen bezu¨glich der gemessenen Maximalwerte vor. In der Regel wird fu¨r diese

Bild 13.19 Messgera¨t und Sensoren (Dr. Kebe Scientific Instruments)

13.6 Durchfu¨hrung von normgerechten Schwingungsmessungen

257

Bild 13.20 Amplituden- und Phasenfrequenzgang der Messkette aus Bild 13.19 gema¨ß DIN 45669, Klasse 1

Schwingungsmessungen Messtechnik mit elektrodynamischen Schwingungsaufnehmern eingesetzt, wobei die Aufnehmerkennlinie in einem Messversta¨rker kompensiert wird (Bild 13.19). Fu¨r Aufgaben der berwachung von Schwingungen zur Einhaltung von vorgegebenen Grenzwerten mit Alarmmeldung mu¨ssen die Schwingungssignale in Echtzeit – also ohne Zeitverzo¨gerung zeitgleich mit dem Schwingungsereignis – vorliegen, eine nachtra¨gliche Kompensation der Aufnehmerkennlinie kommt somit nicht in Frage. Im Rahmen der Qualita¨tssicherung hat eine regelma¨ßige Kalibration der Messtechnik zu erfolgen. In der DIN 45669 ist die Schwinggeschwindigkeit bevorzugte Messgro¨ße, da diese unmittelbar die Beurteilungsgro¨ße fu¨r Erschu¨tterungseinwirkungen gema¨ß DIN 4150 „Erschu¨t-

258

13 Schwingungsmessungen

terungen im Bauwesen“, Teil 3 „Einwirkung auf bauliche Anlagen“ ist. Als Beurteilungsgro¨ße wird die Schwinggeschwindigkeit verwendet, weil diese bei Resonanzanregung proportional zu den Materialspannungen ist [52]. In einem großen Frequenzbereich ist daru¨ber hinaus die momentane subjektive Wahrnehmung von Schwingungen auf den Menschen direkt proportional zur Schwinggeschwindigkeit. Weiter la¨sst sich aus dem Zeitsignal der Schwinggeschwindigkeit der zeitliche Verlauf des Schwingweges und der Schwingbeschleunigung berechnen. Bei Verwendung der Schwingbeschleunigung als Messgro¨ße wu¨rde dies erschwert, da die Beschleunigungsamplituden bei ho¨heren Frequenzen wegen der Frequenzabha¨ngigkeit stark dominieren (siehe DIN 45669 Teil 1). Als weitere allgemeine Anforderungen hat die Messkette u¨ber einen ausreichenden Dynamikbereich zu verfu¨gen, und die Empfindlichkeit des Messversta¨rkers ist auf die Untersuchung anzupassen. Die Schwingungssignale sind mit einer ausreichend hohen Abtastrate – mindestens mit dem doppelten Wert der ho¨chsten auszuwertenden Frequenz – zu registrieren, und es ist eine genu¨gend lange Aufzeichnungsdauer vorzusehen, so dass zum einen eine ausreichende Frequenzauflo¨sung vorliegt und zum anderen der Signalverlauf der Schwingung zweifelsfrei interpretiert werden kann. Eine Datenreduktion kann daher fu¨r bedeutsame Schwingungsereignisse nicht durchgefu¨hrt werden. Zur Analyse oder dem Nachweis der Ursache der Schwingungsereignisse sind die Schwingungen an mehreren Messpunkten und gegebenenfalls in mehreren Komponenten simultan zu messen. Gema¨ß DIN 4150-3 sind die Schwingungen in einem Geba¨ude auf einem Fundamentmesspunkt (unmittelbar oberhalb der Fundamente an der aufgehenden Wand oder auf einem entsprechenden Punkt auf der Sohle) in allen drei Raumrichtungen, in der obersten Deckenebene in den beiden horizontalen Richtungen sowie auf weiteren Bauteilen, zum Beispiel auf Stockwerksdecken vertikal in Feldmitte, zu messen. Auf diese Weise ergibt sich die Anforderung nach einer simultanen Aufzeichnung von mindestens sechs Kana¨len. Die Auswahl der Messpunkte ist sehr wichtig, da die Schwingungen von den Eigenschaften des jeweiligen Bauteils und der Schwingungsform abha¨ngen. Zum Anbringen der Schwingungsaufnehmer auf den Messpunkten sind gema¨ß DIN 45669-2 geeignete Ankopplungsvorrichtungen einzusetzen. An Wa¨nden kommen steife Edelstahlkonsolen und auf Stockwerksdecken eventuell Teppichspitzen zum Einsatz. Teppichspitzen sind „Nadeln“, die benutzt werden, um durch den Teppich die feste Konstruktion zu erreichen. Bei Messungen im Baugrund fu¨r in der Planung befindliche Bauvorhaben werden in Gru¨ndungstiefe triaxiale Bohrlochgeophone verwendet, wobei wegen der tiefenabha¨ngigen, dynamischen Bodeneigenschaften durch Messungen in unterschiedlichen Bohrlochtiefen die gu¨nstigste Bodenschicht fu¨r die Gru¨ndung ermittelt werden kann. Die Durchfu¨hrung der Schwingungsmessungen und die Randbedingungen sind in einem Messbericht zu dokumentieren. Als Ereignisse werden fu¨r jeden Messpunkt Erschu¨tterungen infolge von Zugpassagen, Fahrzeugvorbeifahrten, Baubetrieb, Sprengungen, Maschinen oder Wind registriert. Aufgrund der sehr unterschiedlichen Eigenschaften der einzelnen Messereignisse, etwa Gu¨terzugpassagen, ist fu¨r die statistische Aussagefa¨higkeit in jedem Fall eine hohe Anzahl von Messungen durchzufu¨hren. Fu¨r die Bestimmung der Bauteileigenschaften, also Eigenfrequenzen, Eigenformen und Da¨mpfung sind spezielle Versuche anzustellen. Weiter werden, unabha¨ngig von den statischen Parametern, die zur Anwendung der Empfehlungen des Arbeitskreises Baugrunddynamik der Deutschen

13.7 Beispiele fu¨r gemessene Freifeldschwingungen

259

Gesellschaft fu¨r Geotechnik e.V. (DGGT) beno¨tigten dynamischen Bodeneigenschaften durch Schwingungsmessungen in situ ermittelt. Zum Schutz von Geba¨uden sowie empfindlichen Gera¨ten und Prozessen bei Baubetrieb und Sprengungen ist es mo¨glich, Anlagen zur Erschu¨tterungsu¨berwachung einzusetzen. Bei einer Grenzwertu¨berschreitung kann automatisch eine Maschinenabschaltung und eine automatische Registrierung vorgenommen sowie ein optischer und akustischer Alarm ausgelo¨st werden. Mit Hilfe dieser Meldeinformationen ko¨nnen die Erschu¨tterungen von dem Verursacher unter den gegebenen Bedingungen minimiert und die auftretende Schwingungsbelastung dokumentiert werden. Diese Vorgehensweise hat einen pra¨ventiven Charakter und kann spa¨teren gerichtlichen Auseinandersetzung vorbeugen, da Erschu¨tterungen in den meisten Fa¨llen als Schadensursache a posteori nicht eindeutig identifiziert werden ko¨nnen. Eine weitere wichtige Fragestellung ist das Langzeitverhalten von Materialien und Konstruktionen, das sich trotz aufwendiger Laborversuche und Simulationen nur unter realen Bedingungen vollsta¨ndig erfassen la¨sst. Daher werden zur Ermittlung dieses Verhaltens und ungewo¨hnlicher Betriebszusta¨nde Dauermessungen mit individuell angepasster Registrierung bis hin zur Fernu¨berwachung angestellt und analysiert.

13.7

Beispiele fu¨r gemessene Freifeldschwingungen

Soll die Schwingungsbelastung geplanter baulicher Anlagen prognostiziert werden, muss die Freifeldschwingung am ku¨nftigen Standort gemessen werden (siehe Abschnitt 11.3). Beispielhaft werden nachfolgend gemessene Freifeldschwingungen fu¨r unterschiedliche Erschu¨tterungsquellen angegeben (Bild 13.21). Beachtenswert sind die unterschiedlichen Frequenzbereiche und ihre Vera¨nderung mit dem Abstand von der Quelle. Zusa¨tzlich sei im zeitlichen Verlauf auf Signalform, Dauer, Wiederkehr sowie bei der Schlagramme auf die unterschiedlichen Wellenarten, deren Ausbreitungsgeschwindigkeit und Frequenzzusammensetzung hingewiesen.

260

13 Schwingungsmessungen

Bild 13.21 Gemessene Freifeldschwingungen unterschiedlicher Erschu¨tterungsquellen

13.7 Beispiele fu¨r gemessene Freifeldschwingungen

Bild 13.21 (Fortsetzung)

261

Fazit

Literaturverzeichnis

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Stichwortverzeichnis

Abbruchsprengung 212 Abfederung, dynamische 65 Abklingkoeffizient 176 Abklingkurve 91, 173 Absolutbeschleunigung 139 Absolutbewegung 254 Absolutmessung 249 ff., 255 Abstimmung, unterkritische 147 Abstimmungsfrequenz 217, 239 Abstimmungsregel 149, 172, 189, 229 Abstimmungsverha¨ltnis 135, 145 Abstrahlda¨mpfung 172, 214 Abtastrate 246, 258 aktive Elemente 141 Amplitude 17 – absolute 137, 215 – dynamische 75 – komplexe 19 – relative 139 – resultierende 215 – spektrale 21, 25 Amplitudenfrequenzgang 248, 256 Amplitudenha¨ufigkeit 241 Amplitudenreduktion 130, 171 ff., 209, 218 Analog-Digital-Wandler 246 Anfahrpoller 82 Anhaltswerte 230, 233, 235 Anlegedalben 77 Anregung – direkte 141 f., 145 – harmonische 123, 133 – indirekte 137, 142 ff., 200 – konstante 124 f., 129, 148, 154 – nichtperiodische 201 – periodische 75, 201 – quadratische 124, 129, 135, 144 – quasi-stationa¨re 123 – stoßartige 91 – weggesteuerte 133 Anregungsfrequenz 123, 149, 172, 196 Anregungskraft 126 f., 133 ff., 229 – fiktive 196 – horizontale 190

– konstante 142 – nichtharmonische 22 – quadratische 142 – vertikale 189 Anregungskreisfrequenz 125, 127, 136, 153 Anregungsspektrum 189 Antwortspektrum 25, 140 quivalenzprinzip 30 Arbeit 62 Arbeitspunkt 32 Arbeitsvermo¨gen 67 f., 77, 80 Aufnehmerkennlinie 246, 252, 257 Aufzeichnungsdauer 258 Ausbreitungsgeschwindigkeit 205, 201 f., 209, 214, 259 Ausschwingversuch 173, 183 Bandmittenfrequenzen, standardisierte 24 Basisanregung 137 Berechnung, nichtlineare 117 Bereich – u¨berkritischer 131 – unterkritischer 131, 137 Beruhigungsmasse 131 f.. 139 Beschleunigungsaufnehmer 249, 254 – piezoelektrischer 254 Beschleunigungssensoren – kapazitive 255 – kraftkompensierte 255 Betriebsdrehzahl 123 Bettungsmodul 103 – dynamischer 32, 36, 102 – statischer 67 Beugungserscheinungen 209 Beurteilungsgro¨ße 257 f. Beurteilungsschwingsta¨rke 233 ff. Bewegungen – rotatorische 51 – translatorische 51 Bewegungsarten 189 Bewegungsernergie 70 Bewegungsgleichung 91 Biegeeigenfrequenz 36, 105, 108, 214

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biegekritische Drehzahl 136 Biegelinie – dynamische 91 – statische 36, 91, 108 binomische Reihe 30 Bodeneigenschaften, dynamische 258 Bodenersatzda¨mpfer 217 Bodenersatzfedern 217 Bodenwelle – harmonische 140 – nichtharmonische 140 Bohrlochgeophone 258 Bu¨ndeldalben 81 Coulombsche Reibung 172 Crashtest 73 Crashversuche 75 Dalben 77, 80 – Arbeitsvermo¨gen 81 Da¨mpfer – diskreter 212 – linear-viskoser 181 – viskoser 180, 183 Da¨mpferkonstante 151 Da¨mpfung 7 – aperiodische 175 – dissipative 172 f., 183, 214 – geometrische 214 – geschwindigkeitsabha¨ngige 172 f. – geschwindigkeitssproportionale 173, 183 – hysteretische 182 – kritische 127, 75 – schwache 175 – spezifische 182 f. – starke 175 – u¨berkritische 175 – unterkritische 176 – viskose 173, 182 Da¨mpfungsarbeit 63, 174 – irreversible 180 Da¨mpfungsfaktor 182 Da¨mpfungsgrad 123, 145, 175 Da¨mpfungskonstante 92, 173 Da¨mpfungskraft 91 f., 173, 184 Da¨mpfungsmaß 129 f., 150, 175, 178, 183, 196 – Lehrsches 175 Deformationen, plastische 173 Deformationsarbeit 83 ff., 107, 108 f., 180 – elastische 179

Stichwortverzeichnis

– irreversible plastische 66, 73 – mechanische 174 – reversible elastische 66, 73 Deformationsenergie 62, 74 Dehngeschwindigkeit 33, 180 Dekrement, logarithmisches 177 f. Dichte, spektrale 21, 25 Differentialgleichungen – gekoppelte 147 – homogene 92, 101, 126 – inhomogene 126 Dimensionierungsfalle 191 ff. Dirac-Stoß 25 Dispersion 206 Dissipation 7, 172 – makroskopische 172 – mikroskopische 172 Drall 49 f. Drallsatz 93 Drehfederkonstante 103 Drehfedersteifigkeit 103 Drehimpuls 50, 52 Drehzahl, biegekritische 136 Duktilita¨t 7, 85 Dynamikbereich 254, 258 Effektivwert 23, 235 – spektraler 23 Eigenformen 91, 104, 106 – quasi-stationa¨re Anregung 123 Eigenfrequenzen 91, 172, 189, 196, 229, 236 – gekoppelte 99 ff., 101 f., 147, 155 Eigenfrequenzmessssungen 151 Eigenkreisfrequenzen 127, 136 Eigenschwingungen 91 Eigenwertproblem 92, 175 Einheitsvektor 19 Einmassenschwinger 91, 96, 98 Einpfahldalben 81 Einwirkungen – dynamische 6, 8 – harmonische 15, 16 ff. – nichtharmonische 15, 22 – statische 6 – stochastische 24 – stoßartige 24 f. – transiente 24 – zeitabha¨ngige 6, 15 – zeitunabha¨ngige 6 – zyklische 6

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Stichwortverzeichnis

Einzeleigenfrequenzen 99 f., 101 f., 148, 153, 154 ff. Elastizita¨tsmodul, dynamischer 37, 102 Elastodynamik 200, 220 Elemente, aktive 141 Energie – dissipierte 180 – kinetische 61 f., 66 f., 75, 81 f., 85, 107, 209 – mechanische 73, 172, 174 Energiebilanz 63, 66 Energiedichte 209 Energiedissipation 70 Energieerhaltungssatz 61, 66, 70, 72, 173 Energietransport 214 Entropie 174 Erdbeben 229 Erdbeschleunigung 25 Erdrotation 31 Ermu¨dungsbeanspruchung 241 Ermu¨dungsfestigkeit 43, 163 ff., 167 Ersatzda¨mpfer 212 Ersatzfedern – frequenzabha¨ngige 212 – frequenzunabha¨ngige 212 Ersatzkra¨fte, statische 226 Ersatzlast, statische 62, 65, 83, 129, 132, 139 ff. Ersatzradius 214 Erschu¨tterungen 231 – andauernde 230 – kurzzeitige 230 Erschu¨tterungsquellen 259 Erschu¨tterungsu¨berwachung 259 Erschu¨tterungswirkungen 257 Eulersches Fluid 183 Exzentrizita¨t 56 f. Fadenpendel 28, 54 Fallbett 222 Fallenergie 223 Fallgeschwindigkeit 25 f. Fallzeit 25 Feder – diskrete 91 – masselose 66, 74 Federcharakteristik – lineare 32 – u¨berlineare 32 – unterlineare 32 Federkonstante 92 – dynamische 102

– gekoppelte 101 Federkraft 126 Federn – diskrete 212 – in Reihe 40 – parallel geschaltete 40 Feldsta¨rke 31 Fernfeld 205, 209 Fernwirkung 200 Festko¨rperreibung 172 Fla¨chentra¨gheitsmoment 52, 103 Fliehkraft 54, 56, 136 f. Fließgelenke 67 Fließgrenze 62 Fluide, ideale 183 Fluidreibung 173 Flu¨ssigkeiten, reale 183 Forma¨nderungsarbeit 61, 75 Fourier-Reihen 123 Fourier-Transformation 20 f., 24 f. Freifeldschwingung 200, 211, 215, 217, 259 Freiheitsgrade 98, 104 Frequenz 16, 18 – subharmonische 32 Frequenzabstimmung 127, 160 – u¨berkritische 146 – unterkritische 146 Frequenzauflo¨sung 258 Frequenzbereich 21 Frequenzverha¨ltnis 130, 153, 172 Fu¨hlschwelle 231, 235 Funktion – komplexe 177 – nichtperiodische 25 – reelle 177 Fußpunktanregung 137, 140, 142 Fußpunktbeschleunigung 140 Fußpunktverschiebung 139 Ganzko¨rperschwingung 235 Gegentakt 127 Gehen – regelloses 196 – synchrones 196 Geschwindigkeitsaufnehmer, elektrodynamischer 252 Gezeitenkra¨fte 29 Gleichgewicht – dynamisches 127 – statisches 127

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Gleichtakt 127 Glockenschwingungen 229 good vibrations 236 Gravitation 31 ff. Gravitationsfeld 31 Gravitationsgesetz 28 ff., 31 Gravitationskonstante 28 Gravitationskraft 28, 31, 49 Grenzfrequenzen 24 Grenzmoment, plastisches 67 Großhirnrinde 231 Grundeigenfrequenz 196 Grundfrequenz 20, 123 Grundschwingung 36, 104 Grundton 22, 106 Halbraum 200, 204, 205, 213 Halbwertbreite 179 Hand-Arm-Schwingungen 235 Hauptmasse 148, 152 Hauptsystem 149 – geda¨mpftes 151 – ungeda¨mpftes 152 Hochabstimmung 131 Ho¨he, geoda¨tische 62 Hookesches Gesetz 34, 36 Hookesches Material 200 Hookesches Modell 174, 179, 182 Ho¨rton 22 Humanschwingungen 236 Huygens, Prinzip von 200 Hysterese 32 Hysterese-Kurve 173, 179 ff., 183 Imagina¨rteil, komplexe Funktion 19 f. Impedanz 25, 210 – mechanische 133 f. Impedanzgleichungen 179 Impuls 48, 50, 71, 74, 222 Impulsanregung 21, 75, 123 Impulsbilanz 73 Impulserhaltungssatz 49, 70 Impulshammer 243 instationa¨re Schwingvorga¨nge 123 Interferenz 104 Isolierwirkungsgrad 144 f., 146, 218, 239 Katastrophenlastfall 65, 197 Kegelmodell 212 Kepplersche Gesetze 28

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Kerbfall 167 Kippschwingungen 217 Kippsprengung 220 Klangfarbe 22, 104, 106 Klangschalen 236 Knautschweg 74 Knautschzone 62, 73 Kollapssprengung 220 Kollisionsgeschwindigkeit, kritische 73 Kompressionswellen 204 Kompressionswellengeschwindigkeit 202 Konstantha¨nger 34 Kontaktkraft 62, 68 f., 73, 79 Kontinuum 104 Ko¨rperschall 236 Ko¨rperschallausbreitung 210 Ko¨rperschallimpedanz 134 Ko¨rperschallminderung 145 Korrelationsgerade 197 Kraft – dynamische 129, 133 – elektromagnetische 124 f. – harmonische 125, 148 Kraftamplitude 125 Kra¨fte – a¨ußere 48 – dynamische 54 – magnetische 48 Kraftmessung 248 f., 254 Kraftstoß 49, 74 Kreisfrequenz 18, 20 Kreuzprodukt 51 Kurzschluss 25 Kurzzeiteffekte 201 Lageenergie 62, 66 Lagerung, elastische 144 Laservibrometer 252 Lastkollektive 241 Lautsta¨rke 16 Lehrsches Da¨mpfungsmaß 175 Lichtgeschwindigkeit 30 limbisches System 231, 236 Linienspektren 20, 25 Longitudinalschwingungen 105 Longitudinalwellen 204, 205 Lorentzkraft 124 Lo¨sung, partikula¨re 126 Luftfederung 38

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Luftschall 236 – sekunda¨rer 229 Luftschallimpedanz 134 Maschinendrehzahl 22 Masse – angeregte 149 – reduzierte 96, 107, 154 – rotierende 56, 123 – schwere 25 ff., 31 – starre 47 – tra¨ge 27 f., 31, 49 – translatorische 123 Massenanziehungskraft 28 f. Massenkra¨fte 5 Massentra¨gheitsmoment 51 f., 54, 93 f., 214 Materialda¨mpfung 173, 214 Materialtheorie 174 Materialverfestigung 66 Materialverhalten, viskoelastisches 33 Maxwell und Betti, Satz von 142 Mechanik, klassische 27, 30 Mehrmassensystem 104 Messbericht 258 Messkette 246, 256 Messtechnik 256 Messversta¨rker 252, 257 f. Modelle, rheologische 173 ff. Momenten-Kru¨mmungsbeziehung 117 Monitoring 241 Nachlaufwinkel 127 Nachwirkung 180 Nahfeld 204 Naturtonreihe 106 Nenndrehzahl 22 Newton-Modell 173, 180, 182 Newtonsche Fluide 173, 183 Nominal 22 Nullphasenwinkel 17, 21, 92, 126, 177 Oberfla¨chenkra¨fte 48 Oberfla¨chenwellen 206, 209, 217, 222 Oberschwingungen 104 Oberto¨ne 16, 22, 104, 106 Obertonreihe 23 Parameteranregung 137 f. Pegel 62, 145

Pendel – gekoppelte 100 – physikalische 22 Periode 16, 18 Phase 201 Phasenfrequenzgang 248, 256 Phasengeschwindigkeit 201, 210 Phasenwinkel 17 f., 127 Plastizita¨t 173 Plastodynamik 220 Porenwasserdruck 221 Punktmasse 54, 91 P-Wellen 204 Querdehnzahl 205, 214 Rammarbeiten 212 Raumwellen 204, 222, 303 Rayleigh-Formel 108 f. Rayleigh-Wellen 204, 205 Realteil, komplexe Funktion 19 f. Reduktionsfaktor 196 Refraktionsseismik 201, 209 Reibleistenda¨mpfung 172 Reibungsda¨mpfung 172 Reihe, binomische 30 Relativaufnehmer 251 Relativita¨tstheorie, allgemeine 30 Relativmessung 248 Relativverschiebung, sekunda¨re 215 Resonanzdurchlauf 130 Resonanzerho¨hung 146 Resonanzspektrum 179 Resonanzu¨berho¨hung 147 Resonanzversuch 173 Rezeptoren 231 Reziprozita¨tsprinzip 142 rheologische Modelle 173 ff. Rotation, kreisfo¨rmige Bewegung 27 Rotationsbewegung 31, 47 Rotationsfa¨higkeit 66 Ru¨ckstellkraft 91, 98, 101 ff., 127 – elastische 93 Ru¨ckstellmoment 101, 103 Ruhmasse 30 Sackungen 201, 220 f., 229 Saint-Venant-Modell 173 Satelliten, geostationa¨re 29 f. Schalldruck 16

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Schallschnelle 145 Schaukelbewegung 190 Scherwelle 202 f., 205 Scherwellengeschwindigkeit 202 Schiffsstoß 77, 79 Schra¨gfedern 41 Schrittfrequenz 189, 196 Schubmodul, dynamischer 202, 203 ff., 213 Schwebungen 100 Schwere 30 Schwerefeld 62 Schwerelosigkeit 31 Schwerpunkt 47, 50, 52, 56 f., 69 Schwingbeschleunigung 17 Schwinger – nichtlineare 20 – subharmonische 20 Schwinggeschwindigkeit 17, 209, 256, 258 Schwingmetalle 37 Schwingsta¨rke, bewertete 233 Schwingungen – Anregung 242 ff. – erzwungene 15, 123, 148, 160, 189, 195 – freie 15, 91 ff., 160 – harmonische 16 ff., 21, 25 – mechanische 17, 236 – menscheninduzierte 189 f., 197, 229 – nichtharmonische 20 – nichtperiodische 25 – schwach geda¨mpfte 176 Schwingungsaufnehmer 246, 247 ff., 258 – elektrodynamische (Geophone) 251 f., 257 Schwingungsbeeinflussung, aktive (Aktuatoren) 245 Schwingungsbiegelinie 108 Schwingungsda¨mpfer 147, 149 f., 151, 196 Schwingungsform 91 Schwingungsisolierung 131, 139 – aktive 129, 141 ff. – passive 129, 137 ff., 142, 144, 171 Schwingungskriterien 237 Schwingungsmessgro¨ße 247 Schwingungsmessungen 241 ff. – ambiente 253 – Durchfu¨hrung von normgerechten 256 ff. Schwingungssensor 246 f. Schwingungstilger 98, 147 f. Schwingungszustand 123 Schwingweite 17 Selbstzentrierung 136 f.

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Shaker 243 Sinus-To¨ne 16, 106 Spannungen, dynamische 141 Spannungsschwingbreite 168 f. Spannungsspiele 168 f. Speicherenergie 179 Spektrallinien 21 Spektren 222 – kontinuierliche 25 Sprengfaltung 221 Starrko¨rperbewegung 27 Steifemodul, dynamischer 202, 205 Steifigkeit 32 ff. – dynamische 33, 179, 181, 215 – komplexe 19, 33, 182, 213 – rotatorische 32 – translatorische 32 Steiner, Satz von 52 Stimmung, wohltemperierte 23, 106 Stoffparameter – dynamische 7 – statische 7 Sto¨rfallkra¨fte 54 Stoß – gerader zentraler 69 – harter 61 – idealplastischer 71 – vollkommen elastischer 71 – weicher 75 f. Stoßda¨mpfer 173 Stoßfaktor 75 Stoßfunktion 75 – Spektrum 24 Stoßhypothese 71, 73 f. Stoßimpuls 49, 74 Stoßkraft 62, 68, 81, 222 Stoßperiode 69, 71, 73 Stoßzahl 70, 72 Strukturdynamik 133 Stu¨tzkonstruktionen, elastische 152 S-Wellen 205 Synchronisationsfaktor 196 System – diskretes 104 – dynamisches 127 – entkoppeltes 93 f., 100 – gekoppeltes 93 f. – homogenes 91, 104 – ungeda¨mpftes 152, 172 Systemda¨mpfung 196

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Tangentialgeschwindigkeit 51, 56 Terzspektren 23 Thermodynamik, Hauptsatz der 173 f. Tiefabstimmung 33, 130 f. Tilgerda¨mpfung 148, 151 – optimale 150 – optimierte 149, 151 Tilgereigenfrequenz 150 f. Tilgermasse 148, 152 Toleranzgrenze 236 Tonho¨he 104 Torsionssteifigkeit 93 f. Tra¨gheit 30 f. Tra¨gheitskraft 5 f., 27, 31, 49, 91 f., 98, 123, 125 f., 140 Tra¨gheitsprinzip 27 Traglast 67 Translation, geradlinige Bewegung 27 Translationsbewegungen 47 Transversalschwingungen 104 Transversalwellen 205 Transversalwellengeschwindigkeit 205 Trossenzug 81 berfestigkeiten 66, 84 berho¨hung, dynamische 62, 75, 129 bertragungsfunktion 139, 247 bertragungsstrecke 209 Umdrehungszahl 153 Umlaufgeschwindigkeit 17, 57 Untertonanregung 23 Unwucht 54, 124, 136 f. – statische 48, 56 Unwuchterreger 243 Vektorprodukt 49 f. Verformungen, plastische 201, 220 Verformungsarbeit, kinetische Energie 7 Verformungsgeschwindigkeit 173 Vergro¨ßerungsfunktion 62 f., 123, 130 f., 135, 137, 139, 144 f., 149 f., 152, 154, 156, 158, 196, 215, 217 Verlustfaktor 178, 181 f. Verlustwinkel 181 Verschiebung – absolute 138 f. – relative 137 Verta¨udalben 77

Viskoelastizita¨t 173 Viskosita¨t 37 – lineare 183 – nichtlineare 173 Voigt-Kelvin-Modell 174, 179, 181 ff. Volumenkra¨fte 48 Vorspannung 42 Wahrnehmung 197 Wahrnehmungsschwelle 236 Wa¨rmea¨quivalent, mechanisches 70, 173 Wa¨rmemenge 173 Wegaufnehmer, induktiver 248, 251 weißes Rauschen 25 Wellen – elektromagnetische 200 – harmonische 207, 209 – mechanische 200 – prima¨re 200 – reflektierte 104 – resultierende 200 – sekunda¨re 200 – stationa¨re 201, 207 – stehende 104 – transiente 201, 208 Wellenarten 259 Wellenausbreitung 7, 171, 200 Wellenbewegung 104 Wellengeschwindigkeit 201, 205 Wellengleichung 207 Wellenla¨nge 201, 210, 217 Wellenwiderstand 134, 210 Werkstoffda¨mpfung 173 Werkstoffduktilita¨t 66 Winkelgeschwindigkeit 17 f., 52 Wuchtgu¨te 54, 57 Wuchtko¨rper 55 f. Zeigerdiagramm 126, 138 Zeitbereich 21 Zentrifugalbeschleunigung 56 Zentrifugalkraft 27, 29, 31, 136 Zusatzspannungen, dynamische 229 Zustandsu¨berwachung 241 Zustandsvera¨nderungen, adiabate 38 Zweimassenschwinger 98 f. – geda¨mpfter 156 – ungeda¨mpfter 148, 154