Hoehere Mathematik Formelsammlung

Höhere Mathematik Formelsammlung Bruno Gnörich 19. August 2001 Inhaltsverzeichnis Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bru...

72 downloads 1328 Views 1MB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!

Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

Höhere Mathematik

Formelsammlung Bruno Gnörich 19. August 2001

Inhaltsverzeichnis

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

Inhaltsverzeichnis 1. Zahlbereiche und ihre Eigenschaften ........................................................................ 13 1.1 Natürliche Zahlen: ................................................................................................................ 13 1.2 Ganze Zahlen:........................................................................................................................ 13 1.3 Rationale Zahlen: .................................................................................................................. 13 1.4 Reelle Zahlen: ........................................................................................................................ 13 1.4.1 Axiome der Addition: ....................................................................................................... 13 1.4.2 Axiome der Multiplikation: .............................................................................................. 13 1.4.3 Axiome der Ordnung: ....................................................................................................... 13 1.4.4 Archimedisches Axiom:.................................................................................................... 13 1.4.5 Axiom der Vollständigkeit:............................................................................................... 13 1.4.6 Bemerkung:....................................................................................................................... 13 1.5 Komplexe Zahlen: ................................................................................................................. 13 1.5.1 Schreibweisen: .................................................................................................................. 14 1.5.2 Die Moivre'sche Formel:................................................................................................... 14 1.6 Das Prinzip der vollständigen Induktion ............................................................................ 14 1.6.1 Induktionsanfang:.............................................................................................................. 14 1.6.2 Induktionsvoraussetzung:.................................................................................................. 14 1.6.3 Induktionsschluß:.............................................................................................................. 14 1.6.4 Beispiel: Bernoullische Ungleichung: .............................................................................. 14 1.7 Fakultät, Binomialkoeffizient, Binomischer Lehrsatz ....................................................... 15 1.7.1 Die Fakultät:...................................................................................................................... 15 1.7.2 Der Binomialkoeffizient: .................................................................................................. 15 1.7.3 Der Binomische Lehrsatz:................................................................................................. 15 1.7.4 Pascal’sches Dreieck:........................................................................................................ 15 1.8 Der Fundamentalsatz der Algebra ...................................................................................... 16 2. Vektorrechnung, analytische Geometrie, lineare Gleichungssysteme................. 17 2.1 Vektorrechnung, analytische Geometrie............................................................................. 17 2.1.1 Vektorielle Addition: ........................................................................................................ 17 2.1.2 Skalarprodukt:................................................................................................................... 17 2.1.3 Länge des Vektors a:......................................................................................................... 17 2.1.4 Schwarzsche Ungleichung: ............................................................................................... 17 2.1.5 Orthogonale Projektion von a auf b:................................................................................. 17 2.1.6 Winkel zwischen zwei Vektoren a und b: ........................................................................ 17 2.1.7 Raumprodukt (Spatprodukt): ............................................................................................ 17 2.1.8 Vektorprodukt (Kreuzprodukt): ........................................................................................ 18 2.1.9 Vektorielle Darstellung einer Gerade in Punkt-Richtungsform:....................................... 18 2.1.10 Vektorielle Darstellung einer Gerade in Hesseform: ...................................................... 18 Seite 2

Inhaltsverzeichnis

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

2.1.11 Vektorielle Darstellung einer Gerade in Hesse-Normalenform:..................................... 18 2.1.12 Plückerform einer Gerade im dreidimensionalen Vektorraum: ...................................... 18 2.1.13 Darstellung einer Ebene in Punkt-Richtungsform: ......................................................... 18 2.1.14 Darstellung einer Ebene in Hesseform: .......................................................................... 18 2.1.15 Darstellung einer Ebene in Hesse-Normalenform: ......................................................... 18 2.1.16 Umrechnungsformeln der Ebenenformen:...................................................................... 18 2.1.17 Identität von Lagrange: ................................................................................................... 18 2.2 Lineare Gleichungssysteme .................................................................................................. 19 2.2.1 Allgemeines Lösungsverfahren:........................................................................................ 19 2.2.2 Der Gauß'sche Algorithmus:............................................................................................. 19 2.2.3 Die Cramer'sche Regel:..................................................................................................... 21 3. Matrizen, Matrixalgebra............................................................................................... 22 3.1 Beispiele für (m,n)-Matrizen ................................................................................................ 22 3.1.1 (n,n)-Einheitsmatrix:......................................................................................................... 22 3.1.2 (m,n)-Matrix:..................................................................................................................... 22 3.2 Rechnen mit Matrizen........................................................................................................... 22 3.2.1 Addition zweier (m,n)-Matrizen A und B, Multiplikation mit einer Konstanten k: .......... 22 3.2.2 Transponieren einer (m,n)-Matrix A: ................................................................................ 22 3.2.3 Verkettung von Matrizen, Matrixmultiplikation: ............................................................. 23 3.2.4 Matrixinversion quadratischer Matrizen:.......................................................................... 23 3.2.5 Rang einer Matrix: ............................................................................................................ 23 3.2.6 Lösung einfacher Matrixgleichungen: .............................................................................. 23 3.2.7 Rechenregeln für Determinanten: ..................................................................................... 23 3.3 Eigenwerte und Eigenvektoren ............................................................................................ 24 4. Folgen und Reihen ...................................................................................................... 25 4.1 Folgen ..................................................................................................................................... 25 4.1.1 Teilfolge:........................................................................................................................... 25 4.1.2 Konvergenz:...................................................................................................................... 25 4.1.3 Divergenz:......................................................................................................................... 25 4.1.4 Beschränkte Folgen:.......................................................................................................... 25 4.1.5 Monotonie:........................................................................................................................ 25 4.1.6 Eulersche Zahl: ................................................................................................................. 25 4.1.7 Konvergenzkriterium von Cauchy: ................................................................................... 25 4.1.8 Rekursiv definierte Folgen:............................................................................................... 26 4.1.9 Regeln bei Grenzwertbestimmungen:............................................................................... 26 4.1.10 Alternierende Folgen: ..................................................................................................... 26 4.2 Unendliche Reihen................................................................................................................. 26 4.2.1 Cauchy-Kriterium für Reihen: .......................................................................................... 26 4.2.2 Majoranten- und Minorantenkriterium: ............................................................................ 27 4.2.3 Die geometrische Reihe: ................................................................................................... 27 4.2.4 Das Quotientenkriterium:.................................................................................................. 27 4.2.5 Wurzelkriterium:............................................................................................................... 27 4.2.6 Konvergenzkriterium von Leibniz für alternierende Reihen: ........................................... 28 Seite 3

Inhaltsverzeichnis

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

4.2.7 Cauchy-Produkt, Satz von Mertens: ................................................................................. 28 5. Funktionen, Grenzwerte und Stetigkeit ..................................................................... 29 5.0.1 n-dimensionale Funktionen:.............................................................................................. 29 5.0.2 Darstellung einer n-dimensionalen Funktion:................................................................... 29 5.1 Grenzwerte............................................................................................................................. 29 5.1.1 Übertragungsprinzip für Grenzwerte von Funktionen: ..................................................... 29 5.1.2 Linksseitiger Grenzwert, rechtsseitiger Grenzwert:.......................................................... 29 5.1.3 Uneigentlicher Grenzwert:................................................................................................ 29 5.1.4 Stetigkeit von Funktionen:................................................................................................ 29 5.2 Eigenschaften stetiger Funktionen ...................................................................................... 29 5.2.1 Extremwertsatz von Weierstraß:....................................................................................... 29 5.2.2 Monotonie stetiger Funktionen:........................................................................................ 29 6. Differentialrechnung.................................................................................................... 30 6.0.1 Tangente:........................................................................................................................... 30 6.0.2 Limes des Differenzenquotienten, Ableitung der Funktion f an der Stelle x: ................... 30 6.0.3 Differenzierbarkeit:........................................................................................................... 30 6.1 Ableitungsregeln.................................................................................................................... 30 6.1.1 Faktorsatz:......................................................................................................................... 30 6.1.2 Summenregel: ................................................................................................................... 30 6.1.3 Produktregel:..................................................................................................................... 30 6.1.4 Quotientenregel:................................................................................................................ 30 6.1.5 Kettenregel:....................................................................................................................... 30 6.2 Ableitungen von reellwertigen Funktionen mehrerer Veränderlicher und von vektorwertigen Funktionen............................................................................................................. 30 6.2.1 Vektorwertige Funktionen und deren Ableitung: ............................................................. 30 6.2.2 Partielle Ableitung einer reellwertigen Funktion f:........................................................... 31 6.2.3 Totale Ableitung bei einer Funktion f(x,y,z) im Å 3 : ........................................................ 31 6.2.4 Gradient: ........................................................................................................................... 31 6.2.5 Partielle Ableitung einer vektorwertigen Funktion:.......................................................... 31 6.2.6 Ableitungsregeln für vektorwertige Funktionen: .............................................................. 32 7. Potenzreihen und elementare Funktionen ................................................................ 33 7.1 Exponentialfunktion und Logarithmus .............................................................................. 33 7.1.1 (Komplexe) Exponentialfunktion: .................................................................................... 33 7.1.2 Reelle Exponentialfunktion: ............................................................................................. 33 7.1.3 Umkehrfunktion ln(x): ...................................................................................................... 33 7.1.4 Reelle Exponentialfunktion zur Basis a:........................................................................... 33 7.1.5 Logarithmus zur Basis a: .................................................................................................. 33 7.1.6 Ableitungen von Exponentialfunktionen: ......................................................................... 33 7.1.7 Ableitungen von Logarithmusfunktionen: ........................................................................ 33 7.1.8 Wichtige Eigenschaften der Exponentialfunktion: ........................................................... 33 7.1.9 Wichtige Eigenschaften der Logarithmusfunktion: .......................................................... 34 7.1.10 Die Graphen von ex und ln(x):........................................................................................ 34 Seite 4

Inhaltsverzeichnis

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

7.2 Trigonometrische Funktionen.............................................................................................. 34 7.2.1 Sinusfunktion: ................................................................................................................... 34 7.2.2 Cosinusfunktion: ............................................................................................................... 34 7.2.3 Wichtige Eigenschaften der Sinus- und Cosinus-Funktionen: ......................................... 35 7.2.4 Die Graphen von sin(x), cos(x), Arcsin(x) und Arccos(x): ............................................... 36 7.2.5 Reelle Tangensfunktion, reelle Cotangensfunktion:......................................................... 36 7.2.6 Die Graphen von tan(x), cot(x), Arctan(x) und Arccot(x):................................................ 37 7.2.7 Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen:.................................................... 38 7.3 Hyperbolische Funktionen ................................................................................................... 39 7.3.1 Sinus hyperbolicus: ........................................................................................................... 39 7.3.2 Cosinus hyperbolicus: ....................................................................................................... 39 7.3.3 Schreibweise mit Exponentialfunktionen: ........................................................................ 39 7.3.4 Symmetrie-Eigenschaften: ................................................................................................ 39 7.3.5 Additionstheoreme:........................................................................................................... 39 7.3.6 Zusammenhang mit der sin- bzw. cos-Funktion:.............................................................. 39 7.3.7 Moivresche Formel: .......................................................................................................... 39 7.3.8 Ableitungen:...................................................................................................................... 40 7.3.9 Grenzwerte:....................................................................................................................... 40 7.3.10 Umkehrfunktionen: ......................................................................................................... 40 7.3.11 Die Graphen von sinh(x), cosh(x), arsinh(x) und arcosh(x): ........................................... 41 7.3.12 Reeller Tangens hyperbolicus und Cotangens hyperbolicus:.......................................... 41 7.3.13 Umkehrfunktionen: ......................................................................................................... 42 7.3.14 Die Graphen von tanh(x), coth(x), artanh(x) und arcoth(x):............................................ 43 8. Anwendung der Differentialrechnung........................................................................ 44 8.1 Der Mittelwertsatz und einfache Anwendungen ................................................................ 44 8.1.1 Satz von Rolle:.................................................................................................................. 44 8.1.2 Erster Mittelwertsatz der Differentialrechnung: ............................................................... 44 8.1.3 Addition einer Konstanten: ............................................................................................... 44 0 8.1.4 Regel von l'Hospital für den Fall :.................................................................................. 44 8.1.5 Regel von l'Hospital für den Fall

0 ∞ :................................................................................. 44 ∞

8.1.6 Grenzwerte anderer Formen: ............................................................................................ 44 8.2 Taylorformel und Taylorreihe bei Funktionen einer Veränderlichen ............................. 44 8.2.1 Taylorformel: .................................................................................................................... 45 8.2.2 Taylorreihe, MacLaurin-Reihe:......................................................................................... 45 8.3 Kurvendiskussion .................................................................................................................. 46 Vorgehensweise: ........................................................................................................................ 46 8.3.1 Asymptote: ........................................................................................................................ 46 8.3.2 Konvexität, Konkavität:.................................................................................................... 47 8.4 Satz von Taylor für Funktionen mehrerer Veränderlicher, Anwendungen auf Extremwertaufgaben ....................................................................................................................... 48 8.4.1 Taylorsche Reihe für Funktionen zweier Veränderlicher: ................................................ 48 8.4.2 Taylorsche Reihe für Funktionen von m Veränderlichen: ................................................ 48 8.4.3 Relative und absolute Extrema: ........................................................................................ 48 8.4.4 Hinreichende Bedingung für strenge relative Extrema:.................................................... 49 Seite 5

Inhaltsverzeichnis

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

8.4.5 Satz über implizite Funktionen: ........................................................................................ 49 8.4.6 Die Lagrangesche Multiplikatorregel: .............................................................................. 50 8.5 Fehler- und Ausgleichungsrechnung................................................................................... 51 8.5.1 Das Fehlerfortpflanzungsgesetz:....................................................................................... 52 8.5.2 Arithmetischer Mittelwert, Streuung: ............................................................................... 52 9. Integralrechnung ......................................................................................................... 53 9.1 Definition der Stammfunktion ............................................................................................. 53 9.1.1 Stammfunktion F(x) einer Funktion f(x):.......................................................................... 53 9.1.2 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: ........................................................... 53 9.2 Eigenschaften und Anwendungen von Integralen ............................................................. 53 9.2.1 Bogenlänge einer Raumkurve K im Intervall [a,b]:.......................................................... 53 9.2.2 Wichtige Eigenschaften von Riemann-Integralen: ........................................................... 54 9.3 Integrationsmethoden ........................................................................................................... 54 9.3.1 Addition der Null: ............................................................................................................. 54 9.3.2 Die Ableitung der Funktion tritt im Integranden auf: ....................................................... 54 9.3.3 Die Substitutionsmethode: ................................................................................................ 55 9.3.4 Partielle Integration:.......................................................................................................... 55 9.3.5 Integration rationaler Funktionen (Partialbruchzerlegung):.............................................. 56 9.3.6 Integration rationaler Funktionen von sin und cos:........................................................... 58 9.3.7 Integration rationaler Funktionen von sinh und cosh:....................................................... 58 9.3.8 Integration von Potenzreihen: ........................................................................................... 58 9.3.9 Rotationskörper:................................................................................................................ 58 9.4 Integrale bei Funktionen mehrerer Veränderlicher .......................................................... 58 9.4.1 Zweidimensionale Integrale:............................................................................................. 58 9.4.2 Dreidimensionale Integrale: .............................................................................................. 59 9.4.3 Masse m und Schwerpunkt eines Körpers: ....................................................................... 60 9.5 Uneigentliche Integrale ......................................................................................................... 60 9.5.1 Konvergentes uneigentliches Integral: .............................................................................. 60 9.5.2 Vergleichskriterium für uneigentliche Integrale: .............................................................. 60 9.5.3 Integralkriterium: .............................................................................................................. 60 9.6 Parameterabhängige Integrale............................................................................................. 61 9.6.1 Stetigkeit von Parameterintegralen: .................................................................................. 61 9.6.2 Leibniz-Regel:................................................................................................................... 61 9.7 Integration durch Reihenentwicklung, spezielle nichtelementare Funktionen ............... 61 9.7.1 Die Gammafunktion Γ( x ) oder das Eulersches Integral zweiter Gattung:....................... 61 9.7.2 Eulersche Konstante C:..................................................................................................... 62 9.7.3 Integralsinus:..................................................................................................................... 62 9.7.4 Integralcosinus: ................................................................................................................. 62 9.7.5 Integralexponentialfunktion:............................................................................................. 62 9.7.6 Integrallogarithmus: .......................................................................................................... 62 9.7.7 Gauß’sches Fehlerintegral: ............................................................................................... 62

Seite 6

Inhaltsverzeichnis

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

10. Tensoren, Quadratische Formen.............................................................................. 63 10.0 Allgemeine Grundlagen ...................................................................................................... 63 10.0.1 Linearitätseigenschaft einer Abbildung: ......................................................................... 63 10.0.2 Eigenwerte und Eigenvektoren: ...................................................................................... 63 10.1 Tensoren, Koordinatendarstellungen................................................................................ 64 10.1.1 Geometrischer Tensor:.................................................................................................... 64 10.1.2 Tensor: ............................................................................................................................ 64 10.1.3 Vektorprodukt:................................................................................................................ 64 10.1.4 Projektionstensor: ........................................................................................................... 64 10.1.5 Dyadisches Produkt zweier Vektoren: ............................................................................ 64 10.1.6 Spiegelungstensor: .......................................................................................................... 64 10.1.7 Drehtensor (Drehung im Raum Å3 um eine feste Drehachse): ...................................... 65 10.1.8 Eulersche Drehmatrizen:................................................................................................. 65 10.1.9 Verkettung der Eulerschen Drehmatrizen:...................................................................... 65 10.1.10 Beispiele für Tensoren in Physik und Technik: ............................................................ 66 10.1.11 Koordinatendarstellung der Translation von Vektoren:................................................ 66 10.1.12 Orthogonale Transformationen:.................................................................................... 66 10.2 Das Normalformenproblem von Bilinearformen ............................................................. 67 10.2.1 Hyperfläche 2. Grades oder Quadrik: ............................................................................. 67 10.2.2 Mittelpunkt einer Quadrik: ............................................................................................. 67 10.2.3 Normalform einer Quadrik: ............................................................................................ 67 10.2.4 Allgemeine Vorgehensweise bei der Klassifikation von Quadriken: ............................. 68 11. Krummlinige Koordinaten, Transformationsformel................................................ 72 11.1 Krummlinige Koordinaten, Jacobideterminante ............................................................. 72 11.1.1 Krummlinige Koordinaten:............................................................................................. 72 11.1.2 Jacobideterminante: ........................................................................................................ 72 11.2 Transformationsformeln .................................................................................................... 72 11.2.1 Polarkoordinaten:............................................................................................................ 72 11.2.2 Zylinderkoordinaten:....................................................................................................... 73 11.2.3 Kugelkoordinaten:........................................................................................................... 73 11.2.4 Laplace-Operator ∆: ........................................................................................................ 73 11.2.5 Transformationsformel: .................................................................................................. 73 12. Gewöhnliche Differentialgleichungen...................................................................... 75 12.1 Bezeichnungen, Richtungsfeld ........................................................................................... 75 12.1.1 Gewöhnliche Differentialgleichung:............................................................................... 75 12.1.2 Richtungsfeld, Isokline: .................................................................................................. 75 12.1.3 Lösungen:........................................................................................................................ 75 12.1.4 Anfangswertproblem (AWP): ......................................................................................... 75 12.1.5 Satz von Picard-Lindelöf: ............................................................................................... 75 12.2 Differentialgleichungen erster Ordnung........................................................................... 76 12.2.1 Form, Anfangsbedingung: .............................................................................................. 76 12.2.2 Homogene Differentialgleichung:................................................................................... 76 Seite 7

Inhaltsverzeichnis

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

12.2.3 Inhomogene Differentialgleichung: ................................................................................ 76 12.2.4 Allgemeine Lösung: ........................................................................................................ 76 12.2.5 Trennung der Variablen: ................................................................................................. 76 12.3 Bernoulli’sche Differentialgleichungen ............................................................................. 77 12.3.1 Form:............................................................................................................................... 77 12.3.2 Lösungsansatz: ................................................................................................................ 77 12.4 Differentialgleichungen n-ter Ordnung und Systeme erster Ordnung .......................... 77 12.4.1 Form von Systemen von Differentialgleichungen erster Ordnung: ................................ 77 12.4.2 Form von Differentialgleichungen n-ter Ordnung: ......................................................... 77 12.4.3 Lösungsansatz: ................................................................................................................ 78 12.4.4 Allgemeine Lösung: ........................................................................................................ 78 12.5 Lineare Differentialgleichungs-Systeme erster Ordnung................................................ 79 12.5.1 Lineares Differentialgleichungs-System erster Ordnung: ............................................... 79 12.5.2 Lineare Abhängigkeit, lineare Unabhängigkeit von Lösungen:...................................... 80 12.5.3 Anzahl linear unabhängiger Lösungen: .......................................................................... 80 12.5.4 Fundamentalsystem (FS), Fundamentalmatrix, Übertragungsmatrix: ............................ 80 12.5.5 Wronski-Determinante eines homogenen linearen DGL-Systems: ................................ 80 12.5.6 Lösungsverfahren für lineare Differentialgleichungs-Systeme erster Ordnung:............. 81 12.5.7 Allgemeine Lösung eines gegebenen Anfangswertproblems: ........................................ 85 12.6 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung .............................................................. 85 12.6.1 Lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung: ................................................................ 85 12.6.2 Umformung in DGL-System erster Ordnung: ................................................................ 86 12.6.3 Fundamentalsystem:........................................................................................................ 86 12.6.4 Aufstellen eines Fundamentalsystems: ........................................................................... 86 12.6.5 Fundamentalmatrix, Übertragungsmatrix:...................................................................... 87 12.6.6 Wronski-Determinante:................................................................................................... 87 12.6.7 Allgemeines Lösungsverfahren:...................................................................................... 87 12.6.8 Tabelle zur Lösungsbasis von linearen homogenen Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten:......................................................................................................... 89 12.7 Eulersche Differentialgleichungen..................................................................................... 90 12.7.1 Form Eulerscher Differentialgleichungen....................................................................... 90 12.7.2 Allgemeines Löungsverfahren: ....................................................................................... 90 12.7.3 Spezielle Eulersche Differentialgleichung zweiter Ordnung:......................................... 90 12.8 Rand- und Eigenwertprobleme.......................................................................................... 90 12.8.1 Begriff des Randwertproblems (RWP):.......................................................................... 90 12.8.2 Begriff des Eigenwertproblems bei Differentialgleichungen: ........................................ 90 12.9 Autonome Differentialgleichungen 2. Ordnung ............................................................... 91 12.9.1 Form, Anfangswerte: ...................................................................................................... 91 12.9.2 Äquivalentes DGL-System erster Ordnung: ................................................................... 91 12.9.3 Singuläre Punkte: ............................................................................................................ 92 12.9.4 Phasenkurve (PK): .......................................................................................................... 92 12.9.5 Bestimmung der Phasenkurve, Lösen von Anfangswertproblemen: .............................. 92 12.9.6 Spezielle autonome Differentialgleichungen 2. Ordnung:.............................................. 93 12.9.7 Lösungsverfahren der speziellen Differentialgleichung: ................................................ 94 Seite 8

Inhaltsverzeichnis

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

12.9.8 Autonome Differentialgleichungs-Systeme: ................................................................... 94 12.9.9 Klassifizierung von singulären Punkten, Phasenportraits:.............................................. 95 13. Fourierreihen.............................................................................................................. 99 13.1 Trigonometrische Polynome und minimale Integralmittel ............................................. 99 13.1.1 Periodizität:..................................................................................................................... 99 13.1.2 Trigonometrisches Polynom n-ten Grades:..................................................................... 99 13.1.3 Primäre Problemstellung:................................................................................................ 99 13.1.4 Integralmittel:.................................................................................................................. 99 13.1.5 Fourierkoeffizienten (FK):.............................................................................................. 99 13.1.6 Unterscheidung bei geraden und ungeraden Funktionen: ............................................. 100 13.1.7 Konvergenz:.................................................................................................................. 100 13.1.8 Fourierreihe:.................................................................................................................. 100 13.1.9 Dirichlet-Term: ............................................................................................................. 100 13.1.10 Fourierreihenentwicklungen einiger 2π-periodischer Funktionen:............................. 101 13.2 Eine Anwendung auf die Saitenschwingung................................................................... 102 13.2.1 Zugehöriges Randwertproblem:.................................................................................... 102 13.2.2 Separierte Differentialgleichungen: .............................................................................. 102 13.2.3 Ermittlung der Eigenfunktionen: .................................................................................. 102 13.2.4 Lösung der Differentialgleichung: ................................................................................ 102 13.2.5 Fourierreihen von f bzw. g: ........................................................................................... 102 14. Kurven und Flächen ................................................................................................ 103 14.1 Kurven im Å² und Å³ ........................................................................................................ 103 14.1.1 Parameterdarstellung eines Kurvenbogens, Parametertransformation: ........................ 103 14.1.2 Spezielle zulässige Parametertransformation auf „Bogenlänge“:................................. 103 14.1.3 Tangentenvektor, Normalenvektor und Krümmung einer Kurve im Å²: ..................... 103 14.1.4 Begleitendes Dreibein einer Kurve im Å³: ................................................................... 103 14.1.5 Frenetsche Formeln:...................................................................................................... 104 14.1.6 Bezüglich der Zeit parametrisierte Kurven im Å³: ....................................................... 104 14.2 Einführung in die lokale Theorie der Flächen im Å³..................................................... 104 14.2.1 Parameterdarstellung eines Flächenstückes, Parametertransformation: ....................... 104 14.2.2 Kurven auf Flächen:...................................................................................................... 105 14.2.3 Koeffizienten der 1. Fundamentalform:....................................................................... 105 14.2.4 Eigenschaften, Anwendungen:...................................................................................... 105 14.2.5 Flächen in expliziter Form:........................................................................................... 106 15. Kurven- und Oberflächenintegrale......................................................................... 107 15.1 Orientierte und nicht orientierte Kurvenintegrale ........................................................ 107 15.1.1 Orientiertes Kurvenintegral: ......................................................................................... 107 15.1.2 Nicht orientiertes Kurvenintergal: ................................................................................ 107 15.1.3 Eigenschaften von Kurvenintegralen, Rechenregeln: ................................................... 107 15.1.4 Potential eines Vektorfeldes: ........................................................................................ 108 15.1.5 Sternformiges Gebiet: ................................................................................................... 108 Seite 9

Inhaltsverzeichnis

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

15.2 Orientierte und nicht orientierte Oberflächenintegrale ................................................ 108 15.2.1 Orientiertes Oberflächenintegral:.................................................................................. 108 15.2.2 Nicht orientiertes Oberflächenintegral:......................................................................... 109 15.2.3 Rechenregeln:................................................................................................................ 109 15.3.3 Explizit gegebene Funktionen: ..................................................................................... 109 16. Integralsätze und Vektoranalysis ........................................................................... 110 16.1 Satz von Gauß in Ebene und Raum................................................................................. 110 16.1.1 Divergenz eines Vektorfeldes: ...................................................................................... 110 16.1.2 Satz von Gauß in der Ebene:......................................................................................... 110 16.1.3 Satz von Gauß im Raum: .............................................................................................. 110 16.1.4 Fluß von v durch ∂G: .................................................................................................... 110 16.1.5 Zirkulation von Vektorfeldern: ..................................................................................... 110 16.2 Satz von Stokes .................................................................................................................. 111 16.2.1 Rotation eines Vektorfeldes:......................................................................................... 111 16.2.2 Satz von Stokes:............................................................................................................ 111 16.2.3 Vektorpotential: ............................................................................................................ 111 16.3 X-Rechnung (Nablarechnung) ....................................................................................... 111 16.3.1 X-Operator: .................................................................................................................. 111 16.3.2 Rechenregeln:................................................................................................................ 112 16.4 Der Green’sche Integralsatz............................................................................................. 112 16.4.1 Green’scher Integralsatz: .............................................................................................. 112 16.4.2 Anwendung: .................................................................................................................. 112 16.5 Exakte Differentialgleichungen........................................................................................ 113 16.5.1 Exakte Differentialgleichungnen: ................................................................................. 113 16.5.2 Exakte Differentialgleichungen in sternförmigen Gebieten: ........................................ 113 16.5.3 Spezielle Vektorpotentiale:........................................................................................... 113 16.5.4 Singuläre Punkte von exakten Differentialgleichungen:............................................... 113 16.5.5 Integrierender Faktor m(x,y):......................................................................................... 113 16.5.6 Bestimmung von integrierenden Faktoren für bestimmte Differentialgleichungen: .... 114 16.5.7 Implizite Lösungen von nicht exakten Differentialgleichungen:.................................. 114 A. Anhang: Tabellen und Kurzreferenzen................................................................... 115 A.1 Trigonometrische Funktionswerte an besonderen Winkeln .......................................... 115 A.2 Zusammenhänge der trigonometrischen Funktionen ..................................................... 115 A.3 Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen.................................................. 116 A.3.1 Summe und Differenz: ................................................................................................... 116 A.3.2 Vielfache: ....................................................................................................................... 116 A.3.3 Potenzen:........................................................................................................................ 116 A.4 Einheitskreis........................................................................................................................ 117

Seite 10

Inhaltsverzeichnis

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

Verzeichnis der Abbildungen und Tabellen Abbildungen Abbildung 1: Pascal'sches Dreieck .................................................................................................. 15 Abbildung 2: Die Graphen von ex und ln(x) .................................................................................... 34 Abbildung 3: Die Graphen von sin(x), cos(x), Arcsin(x) und Arccos(x) ......................................... 36 Abbildung 4: Die Graphen von tan(x), cot(x), Arctan(x) und Arccot(x).......................................... 37 Abbildung 5: Die Graphen von sinh(x), cosh(x), arsinh(x) und arcosh(x) ....................................... 41 Abbildung 6: Die Graphen von tanh(x), coth(x), artanh(x) und arcoth(x)........................................ 43 Abbildung 7: Exponentialfunktion angenähert durch Taylorpolynome........................................... 45 Abbildung 8: Bezeichnungen am Funktionsgraphen ....................................................................... 47 Abbildung 9: Ellipsoid ..................................................................................................................... 69 Abbildung 10: Zweischaliges Hyperboloid...................................................................................... 69 Abbildung 11: Einschaliges Hyperboloid ........................................................................................ 70 Abbildung 12: Kegel mit Spitze in m .............................................................................................. 70 Abbildung 13: Elliptischer Zylinder ................................................................................................ 70 Abbildung 14: Hyperbolischer Zylinder .......................................................................................... 70 Abbildung 15: Elliptisches Paraboloid ............................................................................................ 70 Abbildung 16: Hyperbolisches Paraboloid ...................................................................................... 70 Abbildung 17: Parabolischer Zylinder ............................................................................................. 70 Abbildung 18: Knoten 1. Art ........................................................................................................... 95 Abbildung 19: Knoten 2. Art ........................................................................................................... 95 Abbildung 20: Sternpunkt................................................................................................................ 95 Abbildung 21: Sattelpunkt ............................................................................................................... 96 Abbildung 22: Strudelpunkt............................................................................................................. 96 Abbildung 23: Wirbelpunkt ............................................................................................................. 96 Abbildung 24: Stabilitätskarte für lineare autonome DGL-Systeme im Å²..................................... 98 Abbildung 25: Sternförmiges Gebiet ............................................................................................. 108

Tabellen Tabelle 1: Klassifikation von Zentrumsquadriken........................................................................... 68 Tabelle 2: Klassifikation von Quadriken mit leerem Zentrum ........................................................ 69 Tabelle 3: Lösungsbasis von linearen homogenen Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten ......................................................................................................... 89 Tabelle 4: Fourierreihenentwicklungen einiger 2π-periodischer Funktionen ................................ 101 Tabelle 5: Trigonometrische Funktionswerte an besonderen Winkeln.......................................... 115 Tabelle 6: Zusammenhänge der trigonometrischen Funktionen .................................................... 115

Titelgrafik erstellt mit Maple V Release 4 von Waterloo Maple Inc.

v

 − 10 ⋅ cos(t ) − 2 ⋅ cos(5t ) + 15 ⋅ sin (2t )  

Funktion: x (t ) =  10 ⋅ sin (t ) − 2 ⋅ sin (5t ) − 15 ⋅ sin (2t ) 

 

Seite 11

10 ⋅ cos(3t )

 

Inhaltsverzeichnis

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

So kann also die Mathematik definiert werden als diejenige Wissenschaft, in der wir niemals das kennen, worüber wir sprechen, und niemals wissen, ob das, was wir sagen, wahr ist. Bertrand Russell

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Nur für den Privatgebrauch bestimmt. Bruno Gnörich [email protected]

Diese Formelsammlung ist auch im Internet abrufbar. Es stehen die Formate HTML (Hyper Text Markup Language) und PDF (Portable Document Format) zur Verfügung. Besuchen Sie hierfür http://www.gnoerich.de/formelsammlung/formelsammlung.html.

Seite 12

1. Zahlbereiche und ihre Eigenschaften

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

1. Zahlbereiche und ihre Eigenschaften 1.1 Natürliche Zahlen:

Symbol: Á = {0,1,2,3,4,...}

1.2 Ganze Zahlen:

Symbol: Í = {...,-2,-1,0,1,2,...}

1.3 Rationale Zahlen:  p Symbol: Ä =  p, q ∈Ü und q ≠ 0  q

1.4 Reelle Zahlen: Symbol: Å

1.4.1 Axiome der Addition: 1.4.1.1 a+b=b+a 1.4.1.2 (a + b) + c = a + (b + c) 1.4.1.3 Die Gleichung a + x = b ist immer eindeutig lösbar. 1.4.1.4 − (−a) = a 1.4.2 Axiome der Multiplikation: 1.4.2.1 a⋅b=b⋅a 1.4.2.2 (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) 1.4.2.3 a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c 1.4.2.4 Die Gleichung a ⋅ x = b ist für alle a ≠ 0 eindeutig lösbar. 1.4.3 Axiome der Ordnung: 1.4.3.1 a < b und b < c ⇒ a < c 1.4.3.2 a < b; c beliebig ⇒ a + c < b + c 1.4.3.3 a < b; c > 0 ⇒ a ⋅ c < b ⋅ c 1.4.4 Archimedisches Axiom: Zu jeder reellen Zahl x gibt es eine natürliche Zahl n, für die gilt: n > |x| Zu jeder reellen Zahl x > 0 gibt es eine natürliche Zahl n, für die gilt: n−1 < x 1.4.5 Axiom der Vollständigkeit: Jede Verknüpfung zweier reeller Zahlen gemäß dieser Axiome ergibt wieder eine reelle Zahl. 1.4.6 Bemerkung: Dreiecksungleichung:

a − b ≤ a +b ≤ a + b

1.5 Komplexe Zahlen:

Symbol: ¶ = {z z = ( x, y ) mit x, y ∈Å}

Die Menge der komplexen Zahlen ist ein algebraischer Körper bezüglich Addition und Multiplikation. Imaginäre Einheit: i 2 = −1 Seite 13

1. Zahlbereiche und ihre Eigenschaften

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

1.5.1 Schreibweisen: Schreibweise einer komplexen Zahl z: z = x+i⋅ y Mit r =

x 2 + y 2 und ϕ = arctan

z = r ⋅ [cos(ϕ ) + i ⋅ sin (ϕ )]

y wird daraus : x

= r ⋅ cis(ϕ )

= r ⋅ e i⋅ϕ Es gilt die Dreiecksungleichung.

1.5.2 Die Moivre'sche Formel: n z n = [r ⋅ cis(ϕ )]

= r n ⋅ cis(n ⋅ ϕ )

= r n ⋅ e i⋅n⋅ϕ Die Exponentialschreibweise von z wird als Polarform von z bezeichnet.

1.6 Das Prinzip der vollständigen Induktion Es sei n0 eine natürliche Zahl und A(n) für alle natürlichen Zahlen n ≥ n0 eine Aussage. Es gelte: 1.6.1 Induktionsanfang: A(n0) ist eine wahre Aussage. 1.6.2 Induktionsvoraussetzung: Die Annahme der Gültigkeit dieser Aussage für alle n ≥ n0 1.6.3 Induktionsschluß: [A(n) ⇒ A(n+1)] ist wahr für alle n ≥ n0 Damit ist die Gültigkeit der Aussage A(n) bewiesen.

1.6.4 Beispiel: Bernoullische Ungleichung: Es sei x eine reelle Zahl mit − 1 ≤ x . Ferner sei n eine natürliche Zahl. Dann gilt für alle n die n Bernoullische Ungleichung: A(n ) : 1 + n ⋅ x ≤ (1 + x ) Beweis unter Verwendung vollständiger Induktion: Induktionsanfang:

n0 = 1 : 1 + x ≤ (1 + x ) = 1 + x (gilt insbesondere für − 1 ≤ x )

Induktionsannahme:

Die Behauptung gelte für ein n ∈ Í , also 1 + n ⋅ x ≤ (1 + x ) .

1

n

Seite 14

1. Zahlbereiche und ihre Eigenschaften

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

Zu zeigen ist, daß die Behauptung dann auch für n + 1 gilt, also n +1 1 + (n + 1) ⋅ x ≤ (1 + x ) . Außerdem gilt: Da − 1 ≤ x ist, ist 1 + x ≥ 0 . Daraus folgt: (1 + x )n+1 = (1 + x )n ⋅ (1 + x ) ≥ (1 + n ⋅ x ) ⋅ (1 + x )

Induktionsschluß:

= 1 + (n + 1) ⋅ x + n ⋅ x 2 ≥ 1 + (n + 1) ⋅ x Damit ist die Gültigkeit der Bernoullischen Ungleichung bewiesen.

1.7 Fakultät, Binomialkoeffizient, Binomischer Lehrsatz 1.7.1 Die Fakultät: n

n! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ n = ∏ k k =1

1.7.2 Der Binomialkoeffizient: n!  wenn 0 ≤ k ≤ n   n   k!⋅(n − k )!   =  k    0 wenn k > n 1.7.3 Der Binomische Lehrsatz: n n (a + b )n = ∑   ⋅ a n− k ⋅ b k (siehe Pascalsches Dreieck) k =0  k  Der binomische Lehrsatz kann mittels vollständiger Induktion bewiesen werden.

1.7.4 Pascal’sches Dreieck: k=0 k=1 n=0

1

n=1

1

n=2

1

n=3

1

n=4

1

n=5 n=6

1 1

6

1 2

3 4

5

k=3 1

3 6

10 15

k=2

1 4

10 20

k=4 k=5 1 5

15

k=6 1

6

144444444444 42444444444444 3 n   =   k Abbildung 1: Pascal'sches Dreieck

Seite 15

1

1. Zahlbereiche und ihre Eigenschaften

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

1.8 Der Fundamentalsatz der Algebra Ein Polynom n-ten Grades kann immer folgendermaßen umgeformt werden: P( z ) = a 0 + a1 ⋅ z + ... + a n ⋅ z n = a n ⋅ ( z − z1 ) ⋅ (z − z 2 ) ⋅ ... ⋅ ( z − z n )

Mit a n ≠ 0 ∧ a i ∈¶

Die Zahlen zi heißen Nullstellen des Polynoms P. Jedes Polynom ungeraden Grades mit reellen Koeffizienten hat mindestens eine reelle Nullstelle.

Seite 16

2. Vektorrechnung, analytische Geometrie, lineare Gleichungssysteme

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

2. Vektorrechnung, analytische Geometrie, lineare Gleichungssysteme 2.1 Vektorrechnung, analytische Geometrie 2.1.1 Vektorielle Addition:

 a1   b1   a1 + b1        a+b = M + M  = M   a  b   a + b  n  n  n  n 2.1.2 Skalarprodukt: n

a ⋅ b = a1 ⋅ b1 + a 2 ⋅ b2 + K + a n ⋅ bn = ∑ a j ⋅ b j ∈ Å j =1

Zusätzlich gilt: a ⋅ b = 0 ⇔ a ⊥ b 2.1.3 Länge des Vektors a:

a = a ⋅ a = a2 2.1.4 Schwarzsche Ungleichung: a ⋅b ≤ a ⋅ b

Ferner gilt die Dreiecksungleichung 2.1.5 Orthogonale Projektion von a auf b: Projb a =

a ⋅b

⋅b = λ ⋅b 2 b 2.1.6 Winkel zwischen zwei Vektoren a und b:

cosα =

a ⋅b a ⋅b

2.1.7 Raumprodukt (Spatprodukt):

a, b, c = (a × b ) ⋅ c Es erzeugt es ein Rechtssystem, falls es positiv ist, und ein Linkssystem, falls es negativ ist. Das Vektortripel heißt ausgeartet (linear abhängig), falls das Spatprodukt null ist.

Seite 17

2. Vektorrechnung, analytische Geometrie, lineare Gleichungssysteme

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

2.1.8 Vektorprodukt (Kreuzprodukt):  a1   b1   a 2 ⋅ b3 − a3 ⋅ b2        a × b =  a 2  ×  b2  =  a3 ⋅ b1 − a1 ⋅ b3  a  b   a ⋅b − a ⋅b  2 1   3  3  1 2 Ist das Kreuzprodukt null, so sind die beiden Vektoren linear abhängig. 2.1.9 Vektorielle Darstellung einer Gerade in Punkt-Richtungsform:

r r g: x = p + t ⋅ a 2.1.10 Vektorielle Darstellung einer Gerade in Hesseform: r g: x ⋅ η = d

2.1.11 Vektorielle Darstellung einer Gerade in Hesse-Normalenform: 1 r d g: ⋅x⋅η = η η Die Darstellungsarten in Hesseform sind nur im zweidimensionalen Vektorraum möglich, im dreidimensionalen Raum repräsentieren sie Ebenen. 2.1.12 Plückerform einer Gerade im dreidimensionalen Vektorraum:

r g :x×a = m 2.1.13 Darstellung einer Ebene in Punkt-Richtungsform:

v v E : x = p + λ ⋅ a1 + µ ⋅ a 2

2.1.14 Darstellung einer Ebene in Hesseform: r E : ⋅ x ⋅η = d

2.1.15 Darstellung einer Ebene in Hesse-Normalenform:

E:

1 r d ⋅ x ⋅η = η η

2.1.16 Umrechnungsformeln der Ebenenformen: η = a1 × a 2 r r d = p ⋅ η = p ⋅ (a 1 × a 2 )

2.1.17 Identität von Lagrange:

(a × b ) ⋅ (c × d ) = (a ⋅ c ) ⋅ (b ⋅ d ) − (a ⋅ d ) ⋅ (b ⋅ c ) Seite 18

2. Vektorrechnung, analytische Geometrie, lineare Gleichungssysteme

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

2.2 Lineare Gleichungssysteme Eine Linearkombination aus n Vektoren des Grades n bildet ein lineares Gleichungssystem, wenn ein bestimmter Vektor als Ergebnis der Linearkombination gefordert wird. Ist dieser Vektor der Nullvektor, so spricht man von einem homogenen Gleichungssystem, andernfalls von einem inhomogenen Gleichungssystem. x1 ⋅ a 1 + x2 ⋅ a 2 + x3 ⋅ a 3 + K + xn ⋅ a n = b ⇔

n

∑x j =1

j

⋅a j = b

Ein LGS ist lösbar, falls genügend linear unabhängige Gleichungen vorhanden sind. Sind bei einem LGS vom Rang n (d.h. mit n Unbekannten) nur r linear unabhängige Gleichungen gegeben, so beträgt der Defekt d des Gleichungssystems: d = n - r.

2.2.1 Allgemeines Lösungsverfahren: Zunächst wird die Hauptdeterminante D berechnet, was bis Rang n = 3 ohne weitere Umformungen möglich ist. Ist der Rang n > 3, ist meistens der Gauß’sche Algorithmus am günstigsten. 1. Fall: 2. Fall:

D = 0: keine eindeutige Lösung ⇒ Gauß'scher Algorithmus (Lösungsmenge ist eine Ebene oder eine Gerade) D ≠ 0: eindeutige Lösung ⇒ Cramer'sche Regel (Determinantenverfahren)

Zum Schluß wird die Lösungsmenge als Vektor oder Zahlentupel aufgeschrieben.

2.2.2 Der Gauß'sche Algorithmus: Das Prinzip besteht darin, eine Gleichung dazu zu benutzen, aus den restlichen eine Unbekannte zu eliminieren. Dies wird dann so lange fortgesetzt, bis nur noch eine Gleichung mit einer Unbekannten vorhanden ist. Danach wird rückwärts in alle Gleichungen eingesetzt, womit man alle Unbekannten erhält und das LGS löst. Die folgenden zwei Beispiele zeigen ein eindeutig lösbares und ein nicht eindeutig lösbares LGS.

1. Beispiel: Folgendes LGS ist gegeben. Gesucht ist dessen Lösungsmenge. x1 + 2 x2 + 3 x3 + 4 x4 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 + x4 3 x1 + 4 x2 + x3 + 2 x4 4 x1 + x2 + 2 x3 + 3x4 Seite 19

= −2 = 2 = 2 = −2

2. Vektorrechnung, analytische Geometrie, lineare Gleichungssysteme Durch rückwärtiges Lösen der Gleichungen XVI bis XIII erhält man: x1 = 0 x2 = 1 x3 = 0 x4 = −1 Die Probe durch Einsetzen bestätigt dieses Ergebnis.

I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII XIV XV XVI

x1 1 2 3 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

x2 2 3 4 1 2 -1 -2 -7 2 -1 0 0 2 -1 0 0

x3 3 4 1 2 3 -2 -8 -10 3 -2 -4 4 3 -2 -4 0

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

x4 4 1 2 3 4 -7 -10 -13 4 -7 4 36 4 -7 4 40

Operation

-2 2 2 -2 -2 6 8 6 -2 6 -4 -36 -2 6 -4 -40

=II-2I =III-3I =IV-4I

=VII-2VI =VIII-7VI

=XI+XII

2. Beispiel: Folgendes LGS ist gegeben. Es enthält mehr Gleichungen als Unbekannte.

− x1 − 3x2 − 12 x3 = −5 − x1 + 2 x2 + 5x3 = 2 5x2 + 17 x3 = 7 3 x1 − x2 + 2 x3 = 1 7 x1 − 4 x2 − x3 = 0 Eine Lösung existiert, sie ist aber nicht eindeutig. Es kann eine Unbekannte als Parameter wählen, z.B. x3. Die Lösung lautet dann: t ∈ (− ∞; ∞ ) 4 9 x1 = − t 5 5 7 17 x2 = − t 5 5 x3 = t

Operation

I II III IV V VI VII VIII IX

x1 -1 -1 0 3 7 -1 0 0 0

x2 -3 2 5 -1 -4 -3 -5 5 -10

x3 -12 5 17 2 -1 -12 -17 17 -34

-5 2 7 1 0 -5 -7 7 -14

X XI XII XIII XIV XV

0 -1 0 0 0 0

-25 -3 -5 0 0 0

-85 -12 -17 0 0 0

-35 -5 -7 0 0 0

=I-II =III =3I+I V =7I+V

Die geometrische Deutung der Lösungsmenge eines LGS mit drei Unbekannten ist die Bestimmung der Schnittmenge der durch die drei Gleichungen des LGS gegebenen Ebenen. In diesem Beispiel ist die Lösungsmenge eine Gerade:

 4  − 9 r 1  1   g : x =  7  + t − 5  5  5    0  5 

Seite 20

2. Vektorrechnung, analytische Geometrie, lineare Gleichungssysteme

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

2.2.3 Die Cramer'sche Regel: Ist die Determinante der Koeffizientenmatrix eines LGS nicht null, dann lassen sich die Unbekannten xk sofort berechnen. Man berechnet dabei zur Bestimmung z.B. der Unbekannten x3 Die Determinante D3, die sich durch Vertauschen des 3.Spaltenvektors der Koeffizientendeterminan-te mit dem Vektor der absoluten Glieder ergibt. Aus diesen beiden Determinanten berechnet sich die Unbekannte x3 als deren Quotient. Allgemein: xn =

Dn D

Die mit der Cramer'schen Regel berechneten Lösungen sind immer eindeutig.

Seite 21

3. Matrizen, Matrixalgebra

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

3. Matrizen, Matrixalgebra 3.1 Beispiele für (m,n)-Matrizen 3.1.1 (n,n)-Einheitsmatrix: 1 0 0  0 1 0 En =  0 0 1  M M M  0 0 0

L L L O L

3.1.2 (m,n)-Matrix:  a11   a 21 A =  a31   M a  m1

a13 a 23 a 33 M am3

a12 a 22 a32 M am2

0  0 0  M  1

L L L O L

a1n   a 2n  a 3n   M  a mn 

Der erste Index bei den Einträgen aij heißt Zeilenindex und gibt die Zeile an, in der der Eintrag steht, der zweite ist der Spaltenindex und gibt die Spalte der Matrix an, in der der Eintrag steht.

3.2 Rechnen mit Matrizen 3.2.1 Addition zweier (m,n)-Matrizen A und B, Multiplikation mit einer Konstanten k: Alle Einträge werden einzeln addiert, d.h. C = A + B bzw. cij = aij + bij Alle Einträge werden einzeln mit k multipliziert. C = kB bzw. cij = kbij 3.2.2 Transponieren einer (m,n)-Matrix A: Es entsteht eine (n,m)-Matrix AT, für deren Einträge ajiA gilt: ajiA = aijA 3.2.2.1 Zusatzeigenschaften bei (n,n)-Matrizen: Eine (n,n)-Matrix A heißt symmetrisch, wenn gilt: AT = A Eine (n,n)-Matrix A heißt antisymmetrisch, wenn gilt: AT = − A T

Beispiel: Gegeben sind die Matrizen A und B. 1 − 7  0 2   , B =  A =  3 2   2 6  1 − 7   0 2   1 + 0 − 7 + 2   1 − 5  =   =    +  A + B =  3 2   2 6 3 + 2 2 + 6  5 8   0 2   5 ⋅ 0 5 ⋅ 2   0 10   =   =   5 ⋅ B = 5 ⋅   2 6   5 ⋅ 2 5 ⋅ 6  10 30  1 − 7  1 3  =   , A =  3 2   − 7 2 T

T

T

 0 2  0 2  =   = B B =   2 6  2 6 T

Seite 22

T

3. Matrizen, Matrixalgebra

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

3.2.3 Verkettung von Matrizen, Matrixmultiplikation: Generell ist dies nur möglich, wenn die erste Matrix (m,n) diesselbe Anzahl von Spalten hat wie die zweite Matrix (p,q) Zeilen, d.h. wenn n = p. Es entsteht eine (m,q)-Matrix. n

Deren Einträge lauten dann allgemein:

cij = ∑ aik ⋅ bkj k =1

0 1    B =  0 − 1 2 0    0 1    4 1  1 0 2    0 − 1 =  Wird A mit B verkettet, so entsteht eine (2,2)-Matrix: AB =   2 1 0  2 0   0 1   1 0  2 0 1    1 0 2     =  − 2 − 1 0  Umgekehrt entsteht eine (3,3)-Matrix: BA =  0 − 1  2 0  2 1 0   2 0 4    

 1 0 2  Beispiel: Gegeben seien die beiden Matrizen A und B: A =   2 1 0

Daraus folgt: Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ. Aber: Multiplikation von (n,n)-Matrizen ist assoziativ, es gilt auch das Distributivgesetz. 3.2.3.1 Dyadisches Produkt: So heißt das Produkt einer (n,1)-Matrix mit einer (1,n)-Matrix. Es ensteht eine (n,n)-Matrix. 3.2.4 Matrixinversion quadratischer Matrizen: Es gilt für die zu A inverse Matrix A−1: A−1⋅A = A⋅A−1 = E Bedingung für Invertierbarkeit: det(A) ≠ 0 3.2.5 Rang einer Matrix: Unter dem Rang r(A) der (m,n)-Matrix A versteht man Folgendes: Die Maximalanzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren (Spaltenvektoren) heißt Zeilenrang (Spaltenrang) der Matrix A. Zeilenregulär ist die Matrix A, wenn r(A) = m, spaltenregulär, wenn r(A) = n. Eine (n,n)-Matrix heißt regulär, wenn r(A) = n und singulär, wenn r(A) < n. Die Existenz der Inversen A−1 und die Regularität von A sind äquivalent. Zur Berechnung des Ranges einer (m,n)-Matrix werden die größtmöglichen Unterdeterminanten gebildet. Ist eine von ihnen nicht null, so ist der Rang gleich der Ordnung (Anzahl der Spaltenvektoren) dieser Unterdeterminante. Gegebenenfalls muß die Ordnung der Unterdeterminante verringert werden, bis eine von ihnen ungleich null ist. 3.2.6 Lösung einfacher Matrixgleichungen: Die Gleichung A⋅X = B hat die Lösung Dies setzt die Existens der inversen Matrix A−1 voraus. 3.2.7 Rechenregeln für Determinanten: det(A ⋅ B) = det(A) ⋅ det(B) (Produktregel) det(AT) = det(A) det(En) = 1 det(c ⋅ A) = cn ⋅ det(A) für (n,n)-Matrizen Seite 23

X = B⋅A−1.

3. Matrizen, Matrixalgebra

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

3.3 Eigenwerte und Eigenvektoren x a f (x ) = A ⋅ x

Gegeben sei eine lineare Abbildung

Unter den Eigenwerten λ und den Eigenvektoren ν der Matrix A versteht man alle diejenigen Konstanten bzw. Vektoren, für die gilt: A⋅ ν = λ ⋅ ν Aus dieser Definition folgt: A ⋅ν = λ ⋅ν ⇔ ( A − λ ⋅ E )ν = 0 für ν ≠ 0 (Nullvektor) folgt sofort : det ( A − λ ⋅ E ) = 0 In Determinantenschreibweise:

 a11 − λ   a 21 det ( A − λ ⋅ E ) = det  a31   M  a  n1

a12 a 22 − λ a32 M an2

a13 a 23 a33 − λ M an3

L a1n   L a 2n  L a 3n  = 0  O M  L a nn − λ 

Beispiel: Gesucht sind alle Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A:

det ( A − λ ⋅ E ) =

 2 −3 1    1 3  A= 3  − 5 2 − 4   2−λ −3 1 3

1− λ

3

−5

2

−4−λ

= − λ 3 − λ 2 + 2λ = 0

⇔ λ1 = 0; λ 2 = 1; λ3 = −2

Die einzelnen Eigenwerte werden in das jeweilige (überbestimmte) homogene Gleichungssystem eingesetzt und dessen Lösungsmenge nach bekannten Verfahren bestimmt. Diese ist dann der zum einzelnen Eigenwert gehörende Eigenvektor. In der Regel werden die Eigenvektoren auf den Betrag 1 normiert. Ein Spezialfall ergibt sich, wenn außer der Hauptdiagonalen der Matrix nur Nullen in ihr stehen. Die Zahlen in der Hauptdiagonalen sind dann zugleich die Eigenwerte der Matrix.

 λ1  0 B= M  0 

0 λ2 M 0

Seite 24

L 0  L 0 O M   L λ n 

4. Folgen und Reihen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

4. Folgen und Reihen 4.1 Folgen 4.1.1 Teilfolge: Unter einer Teilfolge versteht man eine Folge, die durch Wegstreichen von bestimmten Gliedern aus einer anderen Folge, aber ohne Veränderung der Reihenfolge, aus jener Folge entsteht. 4.1.2 Konvergenz: Eine Folge oder Reihe konvergiert, wenn die Differenz zwischen einem Folgenglied (bzw. die Folge der Partialsummen der Reihe) und dem zugehörigen Grenzwert jeden beliebigen reellen Wert unterschreiten kann: ak − a ≤ ε ⇔ lim a k = a k →∞

4.1.3 Divergenz: Eine nicht konvergente Folge (oder Reihe) heißt divergent. Sie heißt bestimmt divergent, wenn gilt: lim a k = ∞ k →∞

4.1.4 Beschränkte Folgen: Eine Folge heißt beschränkt, wenn es eine positive reelle Zahl gibt, die gegenüber dem einzelnen Absolutbetrag jedes einzelnen Folgengliedes immer größer (oder gleich) ist. Sie ist nach unten beschränkt, wenn der Absolutbetrag |a| = −a ist und nach oben beschränkt, wenn |a| = a ist. Eine Vektorfolge heißt beschränkt, wenn der Betrag der Folgenvektoren beschränkt ist. Dies wiederum ist der Fall, wenn jede Kompnentenfolge beschränkt ist.

4.1.5 Monotonie: Wenn alle k ∈ Á sind, kann für Folgen formuliert werden: Monoton wachsend: ak +1 ≥ a k Streng monoton wachsend: a k +1 > a k Monoton fallend: a k +1 ≤ a k Streng monoton fallend: a k +1 < ak 4.1.6 Eulersche Zahl: Die Eulersche Zahl e ist der Grenzwert einer Folge: k

 1 e = lim a k = lim1 +  ≈ 2,71828... k →∞ k →∞  k

4.1.7 Konvergenzkriterium von Cauchy: Satz und Definition: Eine reelle oder komplexe Folge bzw. Vektorfolge ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchy-Folge ist, d.h. es gibt zum ε > 0 eine Zahl N (ε ) , für die existiert

an − am ≤ ε Seite 25

n, m ≥ N (ε )

4. Folgen und Reihen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

4.1.8 Rekursiv definierte Folgen: Die Folgenglieder werden mit Hilfe des vorherigen bestimmt, z.B.: 1 a1 = 1 , an+1 = an + , n ∈Á an 4.1.9 Regeln bei Grenzwertbestimmungen: lim ak = a

Seien gegeben :

k →∞

lim bk = b k →∞

Daraus folgt : lim(ak + bk ) = a + b

lim α k = ∞ k →∞

lim β k = ∞ k →∞

k →∞

lim(α k + β k ) = ∞ k →∞

lim(bk + β k ) = ∞ k →∞

lim(c ⋅ bk ) = c ⋅ lim(bk ) = c ⋅ b k →∞

k →∞

 ∞ wenn c > 0 lim(c ⋅ β k ) = c ⋅ lim(β k ) =  k →∞ k →∞ − ∞ wenn c < 0 lim(ak ⋅ bk ) = a ⋅ b k →∞

lim(α k ⋅ β k ) = ∞ k →∞

a lim k k →∞ b  k a lim k k →∞ β  k

 a  = wenn bk ≠ 0 ∀ k ∈ [1, ∞ )  b   = 0 wenn β k ≠ 0 ∀ k ∈ [1, ∞ ) 

4.1.10 Alternierende Folgen: Folgen, die mit jedem Folgenglied zwischen positiven und negativen Werten schwanken, heißen alternierende Folgen. k −5 Beispiel: a k = (− 1)

4.2 Unendliche Reihen Wird einer unendlichen Folge von Zahlen eine Summe zugeordnet, die als Summanden die Folgenglieder haben, so heißt diese Summe unendliche Reihe. Werden nur die Folgenglieder bis zur Stelle k addiert, so spricht man von der k-ten Partialsumme der Reihe. Die Konvergenz, Divergenz und Monotonie wird definiert wie bei Folgen.

4.2.1 Cauchy-Kriterium für Reihen: Es besagt analog zum Cauchy-Kriterium für Folgen, daß es zu jeder Differenz zweier Partialsummen m und n, welche kleiner als ein ε > 0 ist, ein N (ε ) gibt, für das gilt: m ≥ n ≥ N (ε ) . Allgemein muß gelten, daß die Folge der Partialsummen konvergiert. 1 Beispiel: Die harmonische Reihe ∑ ist divergent. k Erfüllt eine Reihe das Cauchy-Kriterium, so gilt:

∑a

Seite 26

k

konvergent ⇔ lim a k = 0 k →∞

4. Folgen und Reihen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

4.2.2 Majoranten- und Minorantenkriterium: Mit der Reihe

∑ ak ,

ak ∈¶ , läßt sich sagen:

∑b ,

∑ ak , wenn ab einer bestimmten Stelle N0 das Reihenglied bk ständig größer ist als |ak|. Dann ist die Reihe ∑ a k 4.2.2.1 Die konvergente Reihe

bk ∈Å + heißt Majorantenreihe von

k

absolut konvergent. 4.2.2.2 Die divergente Reihe

∑c , k

ck ∈Å + heißt Minorantenreihe von

∑ ak

, wenn ab einer ∞

bestimmten Stelle N0 das Reihenglied ck ständig kleiner ist als |ak|. Dann ist die Reihe divergent (die Reihe

∑ ak

nicht absolut konvergent).

4.2.3 Die geometrische Reihe: ∞

Allgemein lautet sie:

∑q

k

,

q ∈¶

k =0

Bedingung für Konvergenz: |q| < 1: Bedingung für Divergenz: |q| ≥ 1:

p

lim ∑ q k = p →∞

k =0 p

1 1− q

lim ∑ q k = ∞ p →∞

k =0

4.2.4 Das Quotientenkriterium: Es sei ∑ a , ak ∈¶ eine beliebige Reihe. Es gilt für diese Reihe: k a Für g = lim k +1 gilt : k →∞ a k

g < 1 ⇒ ∑ ak konvergiert absolut

g > 1 ⇒ ∑ ak divergiert

g = 1 ⇒ keine Aussage über das Konvergenzverhalten möglich 4.2.5 Wurzelkriterium: Die Reihe ∑ a , ak ∈¶ ist gegeben. k Für g = lim k ak gilt : k →∞

g < 1 ⇒ ∑ a k konvergiert absolut g > 1 ⇒ ∑ ak divergiert

g = 1 ⇒ keine allgemeine Aussage über das Konvergenzverhalten möglich

Seite 27

∑ ak k =1

4. Folgen und Reihen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

4.2.6 Konvergenzkriterium von Leibniz für alternierende Reihen: Ist die Folge der Reihenglieder monoton fallend und deren Grenzwert null, so ist die Reihe konvergent. 4.2.7 Cauchy-Produkt, Satz von Mertens: Das Cauchy-Produkt zweier Reihen wird definiert als: ∞

n

k =0

k =0

∑ ck mit cn = a0bn + a1bn−1 + ... + anb0 = ∑ ak ⋅ bn−k Satz von Mertens: Konvergiert eine Reihe gegen A und eine andere gegen B, so konvergiert ihr Cauchy-Produkt gegen AB.

Seite 28

5. Funktionen, Grenzwerte und Stetigkeit

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

5. Funktionen, Grenzwerte und Stetigkeit 5.0.1 n-dimensionale Funktionen: Eine Funktion mit n reellwertigen Veränderlichen erzeugt einen Graphen der Dimension n+1. 5.0.2 Darstellung einer n-dimensionalen Funktion: f : z a f (z )

{

z ∈ A ⊆ Ån

}

G f = f ( z ) ∈Å n+1 z = ( x1 , x2 ,..., xn , f ( x1 , x2 ,..., xn ))

5.1 Grenzwerte 5.1.1 Übertragungsprinzip für Grenzwerte von Funktionen: Der Limes einer Funktion f(x) an der Stelle x0 lautet analog zum Grenzwert von Folgen und Reihen: lim f ( x ) = a x→ x 0

⇔ für ein ε > 0 existiert ein δ (ε , x 0 ), für das gilt : f ( x ) − a ≤ ε falls x − x 0 ≤ δ (ε , x 0 )

5.1.2 Linksseitiger Grenzwert, rechtsseitiger Grenzwert: Man unterscheidet die Grenzwerte, die ermittelt werden, wenn man sich von links oder von rechts an die Stelle x0 nähert, denn bei vielen Funktionen sind sie an bestimmten Stellen unterschiedlich. 5.1.3 Uneigentlicher Grenzwert: Als uneigentlichen Grenzwert bezeichnet man den Grenzwert lim f ( x ) = ±∞ . x→ x 0

5.1.4 Stetigkeit von Funktionen: Eine Funktion heißt stetig in x0, wenn ihr rechts- und linksseitiger Grenzwert (und gegebenenfalls der Funktionswert) bei x0 gleich sind.

5.2 Eigenschaften stetiger Funktionen 5.2.1 Extremwertsatz von Weierstraß: Gilt für ein gegebenes Intervall [a,b] für ein x aus diesem Intervall f ( x1 ) ≤ f ( x ) ≤ f ( x2 ) f ( x2 ) = sup{ f ( x ) x ∈ [a, b ]} f ( x1 ) = inf { f ( x ) x ∈ [a, b ]}

so, heißt x1 Minimum von f auf [a,b] und x2 Maximum von f auf [a,b]. 5.2.2 Monotonie stetiger Funktionen: Die Monotoniebegriffe werden ebenso definiert wie für Folgen und Reihen. Seite 29

6. Differentialrechnung

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

6. Differentialrechnung 6.0.1 Tangente: Die Tangente einer Funktion f an der Stelle x ist eine Gerade, die die Funktion f an der Stelle x berührt bzw. unter dem Winkel α = 0 schneidet. 6.0.2 Limes des Differenzenquotienten, Ableitung der Funktion f an der Stelle x: f ( x ) − f ( x0 ) df df f ′( x0 ) = lim = ( x0 ) = = Df ( x0 ) x → x0 x − x0 dx dx x = x0 6.0.3 Differenzierbarkeit: Die Differenzierbarkeit kann eingeschränkt sein (s. Stetigkeit). linksseitige und rechtsseitige Differenzierbarkeit.

Man unterscheidet deshalb

6.1 Ableitungsregeln 6.1.1 Faktorsatz: (c ⋅ f )′(x ) = c ⋅ f ′(x ) 6.1.2 Summenregel: ( f + g )(′ x ) = f ′(x ) + g ′(x ) 6.1.3 Produktregel: ( f ⋅ g )(′ x ) = f ′(x ) ⋅ g (x ) + f (x ) ⋅ g ′(x ) 6.1.4 Quotientenregel: f  f ′( x ) ⋅ g ( x ) − f ( x ) ⋅ g ′(x )  ′( x ) = g 2 (x ) g 6.1.5 Kettenregel: (g o f )(′ x ) = g ′( f (x )) ⋅ f ′(x ) Ist die Ableitung an der Stelle x positiv, so ist die Funktion dort monoton steigend, ist die Ableitung negativ, so ist sie dort monoton fallend. Ist sie null, so liegt ein Extrempunkt oder Terrassenpunkt vor.

6.2 Ableitungen von reellwertigen Funktionen mehrerer Veränderlicher und von vektorwertigen Funktionen 6.2.1 Vektorwertige Funktionen und deren Ableitung:  f1 ( x )     f 2 (x )  m Funktion f : D a Å : f ( x ) =  M     f ( x )  m   f1 ' ( x )     f 2 ' (x )  Ableitung f ' ( x ) von f ( x ) : f ' (x ) =  M     f ' ( x )  m  f'(x) ist der Richtungsvektor der Tangente an die Kurve f im Punkt (x, f(x)). Seite 30

6. Differentialrechnung

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

6.2.2 Partielle Ableitung einer reellwertigen Funktion f: Die partielle Ableitung einer Funktion f(x) nach xj in x0 lautet: ∂f ( x 0 ) = ∂f ∂x j ∂x j

= f x j (x 0 ) x = x0

Dabei werden außer xj alle Veränderlichen als Konstanten angenommen und entsprechend behandelt. 6.2.3 Totale Ableitung bei einer Funktion f(x,y,z) im Å 3 : Geometrisch stellt die totale Ableitung f'(x) in Å 3 die Tangentialebene an f(x) in x0 dar.

ET :

     1 0 x0    x          +s 0 1 y0  + t  y =      z   f ( x , y )  ∂f ( x , y , f ( x , y ))  ∂f ( x , y , f ( x , y )) 0 0     0 0 0 0  0 0 0 0   ∂y  ∂x 

bzw. ET :

  ∂f   ∂f  − ( x0 , y 0 , f ( x 0 , y 0 ))  − (x 0 , y 0 , f ( x0 , y 0 )) x0      x   ∂x  ∂x     f f ∂ ∂  − (x , y , f ( x , y )) ⋅ y =  − ( x , y , f ( x , y )) ⋅ y0     0 0 0 0 0 0 0 0   ∂y   ∂y      f ( x0 , y 0 )  z   1 1        

6.2.4 Gradient: Als Gradient der Funktion f in x0 wird dieser (transponierte)Vektor a bezeichnet:

a = (grad f )( x 0 ) = (Xf )( x 0 ) = ( f ' ( x 0 ))

T

Hierbei ist X der Nabla-Operator, der in Kapitel 16.3 näher beschrieben wird. Als Gradient oder Gradientenfeld von f bezeichnet man:

grad f = Xf = f xT = ( f ')

T

6.2.5 Partielle Ableitung einer vektorwertigen Funktion: Die partiellen Ableitungen einer solchen Funktion werden nur komponentenweise erklärt. Es gilt:

  ∂ ∂  f (x ) = ∂x j ∂x j    

 ∂  f 1 ( x )   ∂x j   f 2 ( x )  ∂ = ∂x M   j   f n ( x )  ∂  ∂x  j

 f1 (x )    f 2 ( x )  M   f n ( x ) 

Seite 31

6. Differentialrechnung

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

Die totale Ableitung an einer Stelle x0 ergibt eine Matrix. Für sie gilt:

 ∂f 1 (x 0 )  x ∂  1  ∂f 2 (x ) A = f x ( x 0 ) = f ' ( x 0 ) =  ∂x1 0  M  f ∂  m (x ) 0  ∂x  1 Dies ist eine (m,n)-Matrix.

∂f 1 (x 0 ) ∂x 2 ∂f 2 (x 0 ) ∂x 2 M ∂f m (x 0 ) ∂x 2

∂f 1 (x 0 ) ∂x n  ∂f 2 (x 0 ) L ∂x n  O M  ∂f m (x 0 ) L ∂x n  L

Wird ein weiteres Mal abgeleitet, so entsteht die sogenannte Hessesche Matrix.

Beispiel zu vektorwertigen Funktionen: Gegeben als Funktion ist das Vektorprodukt. Gesucht ist die erste Ableitung.  a1   x1   a 2 x3 − a 3 x 2        f ( x ) = a × x =  a 2  ×  x 2  =  a 3 x1 − a1 x3  a   x   a x − a x  2 1   3  3  1 2  0  f ' ( x ) =  a3 − a  2

− a3 0 a1

a2   − a1  0 

6.2.6 Ableitungsregeln für vektorwertige Funktionen: Analog zu reellwertigen Funktionen einer Veränderlichen gelten der Faktorsatz und die Summenregel.  ( f ⋅ g ) x1    Die Produktregel für m = 1: X( f ⋅ g ) =  M  = g ⋅ Xf + f ⋅ Xg    ( f ⋅ g ) xn  Es handelt sich also um eine (n,1)-Matrix. Für weiteres zum Nabla-Operator X siehe Kapitel 16.3 . Die Kettenregel mit y 0 = f ( x 0 ) :

(g o f ) (x ) = g ( f (x ))⋅ f (x ) x

0

Seite 32

y

0

x

0

7. Potenzreihen und elementare Funktionen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

7. Potenzreihen und elementare Funktionen 7.1 Exponentialfunktion und Logarithmus 7.1.1 (Komplexe) Exponentialfunktion: ∞ zk Sie lautet: exp( z ) = ∑ k = 0 k! 7.1.2 Reelle Exponentialfunktion: ∞

xk k = 0 k!

exp( x ) = e x = ∑

Sie lautet:

7.1.3 Umkehrfunktion ln(x): Sie heißt natürlicher Logarithmus. e ln ( x ) = x 7.1.4 Reelle Exponentialfunktion zur Basis a: a x = e x⋅ln (a ) Sie lautet: 7.1.5 Logarithmus zur Basis a: log a ( x ) =

Er lautet:

ln ( x ) ln (a )

7.1.6 Ableitungen von Exponentialfunktionen:

(e )′ = e (a )′ = a x

x

x

x

⋅ ln (a )

7.1.7 Ableitungen von Logarithmusfunktionen: (ln(x ))′ = 1 x (log a (x ))′ = 1 ln (a ) ⋅ x 7.1.8 Wichtige Eigenschaften der Exponentialfunktion: Für a > 0 gilt: 1 a −x = x a x1 x2 a ⋅ a = a x1 + x2

(a )

x1 x2

( )

= a x1⋅x2 = a x2

(a ⋅ b )x = a x ⋅ b x

x1

a0 = 1

Seite 33

7. Potenzreihen und elementare Funktionen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

7.1.9 Wichtige Eigenschaften der Logarithmusfunktion: log a ( x ⋅ y ) = log a x + log a y

( )

log a x y = y ⋅ log a x 1−

1 ≤ ln x ≤ x − 1 x

alles gültig für a > 0 , a ≠ 1 und x, y > 0

7.1.10 Die Graphen von ex und ln(x): 4 y 3 y = ex 2

1

y = ln(x )

0 −4

−3

−2

−1

0

1

2

−1

−2

−3 Exponential- und Logarithmus-Funktion

−4

Abbildung 2: Die Graphen von ex und ln(x)

7.2 Trigonometrische Funktionen 7.2.1 Sinusfunktion: k ∞ ( − 1) sin (z ) = ∑ ⋅ z 2 k +1 k =0 (2k + 1)!

7.2.2 Cosinusfunktion: ∞ (− 1)k ⋅ z 2k cos( z ) = ∑ k =0 (2k )!

Seite 34

3

x

4

7. Potenzreihen und elementare Funktionen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

7.2.3 Wichtige Eigenschaften der Sinus- und Cosinus-Funktionen: 7.2.3.1 Symmetrie: cos(− z ) = cos( z )

sin (− z ) = − sin ( z )

7.2.3.2 Eulersche Formeln: sin ( z ) =

(

)

(

)

1 iz e − e −iz 2i 1 cos( z ) = e iz + e −iz 2

7.2.3.3 Pythagoras:

cos 2 ( z ) + sin 2 ( z ) = 1

7.2.3.4 Additionstheoreme: sin ( z + w) = sin ( z ) ⋅ cos(w) + cos( z ) ⋅ sin (w)

cos( z + w) = cos( z ) ⋅ cos(w) − sin ( z ) ⋅ sin (w)

7.2.3.5 Periodizität: π  sin  z +  = cos( z ) 2  π  cos z +  = − sin ( z ) 2  sin (z + π ) = − sin ( z )

cos(z + π ) = − cos( z )

sin ( z + 2π ) = sin ( z )

cos( z + 2π ) = cos( z )

7.2.3.6 Ableitungen der reellwertigen Funktionen: sin ′( x ) = cos( x ) cos ′( x ) = − sin ( x )

Seite 35

7. Potenzreihen und elementare Funktionen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

7.2.4 Die Graphen von sin(x), cos(x), Arcsin(x) und Arccos(x)1: 3 y 2,5 y= Arccos(x )

2 y = Arcsin(x ) 1,5

1

y = sin(x )

y = cos(x ) 0,5

0 −π

−π/2

0

π/2

x

−0,5

−1

Trigonometrische Funktionen −1,5

Abbildung 3: Die Graphen von sin(x), cos(x), Arcsin(x) und Arccos(x)

7.2.5 Reelle Tangensfunktion, reelle Cotangensfunktion: sin ( x ) cos( x ) cos( x ) cot ( x ) = sin ( x ) tan ( x ) =

7.2.5.1 Wichtige Grenzwerte: lim (tan ( x )) = −∞ π x→ − + 2

lim (tan ( x )) = ∞

π x→ − 2

lim (cot ( x )) = ∞

x →0 +

lim (cot ( x )) = −∞

x →π −

1

Umkehrfunktionen siehe Kapitel 7.2.7

Seite 36

π

7. Potenzreihen und elementare Funktionen 7.2.5.2 Periodizität: π  tan x +  = − cot ( x ) 2  π  cot x +  = − tan ( x ) 2 

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

x ≠ nπ x≠

2n + 1 π 2

7.2.5.3 Additionstheoreme: tan ( x ) + tan ( y ) 1 − tan ( x ) ⋅ tan ( y ) cot ( x ) ⋅ cot ( y ) − 1 cot ( x + y ) = cot ( x ) + cot ( y )

tan ( x + y ) =

y ≠ −x +

2n + 1 π 2

y ≠ − x + nπ

7.2.5.4 Ableitungen: tan ′( x ) =

1 cos 2 ( x ) 1 cot ′( x ) = − 2 sin ( x )

x≠

2n + 1 π 2

x ≠ nπ

7.2.6 Die Graphen von tan(x), cot(x), Arctan(x) und Arccot(x)1: 4 y y = cot(x )

y = Arccot(x )

y = tan(x )

2

0 −π

−π/2

0

π/2

y = Arctan(x )

−2

Tangens- und Cotangens-Funktionen −4

Abbildung 4: Die Graphen von tan(x), cot(x), Arctan(x) und Arccot(x)

1

Umkehrfunktionen siehe Kapitel 7.2.7 Seite 37

x

π

7. Potenzreihen und elementare Funktionen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

7.2.7 Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen: Weil bei trigonometrischen Funktionen immer nur ein Intervall von einer halben Periode eineindeutig ist, werden die Umkehrfunktionen für einzelne Intervalle definiert. Diese tragen einen Index n, der besagt, an der wievielten Periode die jeweilige Funktion umgekehrt wurde.  2 n − 1 2n + 1  arcsin n : [− 1,1] →  π, π 2  2  arccos n : [− 1,1] → [nπ , (n + 1)π ]  2 n − 1 2n + 1  arctan n : [− ∞, ∞ ] →  π, π 2  2  arccot n : [− ∞, ∞ ] → [nπ , (n + 1)π ]

n = 0 beschreibt die Hauptzweige der Umkehrfunktionen: arcsin 0 ( x ) = Arcsin( x ) arccos 0 ( x ) = Arccos( x ) arctan 0 ( x ) = Arctan( x ) arccot 0 ( x ) = Arccot( x ) 7.2.7.1 Symmetrie-Eigenschaften: Mit x ∈ (− ∞, ∞ ) gilt: arctan n ( x ) = Arctan( x ) + nπ

arccot n ( x ) = Arccot( x ) + nπ Mit x ∈ [−1,1] gilt: Arcsin( x ) = − Arcsin(− x ) arcsin 2 n ( x ) = Arcsin( x ) + 2n ⋅ π

arcsin 2 n+1 ( x ) = − Arcsin( x ) + (2n + 1) ⋅ π π − Arccos( x ) 2 π arccos n ( x ) = arcsin n+1 ( x ) − 2 Arcsin( x ) =

7.2.7.2 Ableitungen: Mit x ∈ [−1,1] gilt: ′ arcsin n ( x ) =

(− 1)n

Arcsin ′( x ) = ′

arccos n ( x ) = − Arccos ′( x ) = −

1− x2 1 1− x2

(− 1)n 1− x2 1 1− x2

Seite 38

7. Potenzreihen und elementare Funktionen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

Mit x ∈ (− ∞, ∞ ) gilt: 1 ′ arctan n ( x ) = 1+ x2 1 ′ arccot n ( x ) = − 1+ x2 Allgemein läßt sich über diese Umkehrfunktionen sagen, daß sie durch Spiegelung der ursprünglichen Funktion an der Geraden y = x erzeugt werden.

7.3 Hyperbolische Funktionen 7.3.1 Sinus hyperbolicus:

z 2 k +1 k = 0 (2 k + 1)! ∞

sinh ( z ) = ∑ 7.3.2 Cosinus hyperbolicus: ∞

z 2k cosh (z ) = ∑ k = 0 (2k )! 7.3.3 Schreibweise mit Exponentialfunktionen: 1 sinh ( z ) = ⋅ (e z − e − z ) 2 1 cosh ( z ) = ⋅ (e z + e − z ) 2 ⇒ cosh 2 ( z ) − sinh 2 ( z ) = 1 7.3.4 Symmetrie-Eigenschaften: sinh (− z ) = − sinh (z )

cosh (− z ) = cosh ( z )

7.3.5 Additionstheoreme: sinh ( z + w) = sinh z ⋅ cosh w + sinh w ⋅ cosh z cosh ( z + w) = sinh z ⋅ sinh w + cosh z ⋅ cosh w 7.3.6 Zusammenhang mit der sin- bzw. cos-Funktion: sin (iz ) = i ⋅ sinh z sinh (iz ) = i ⋅ sin z cos(iz ) = cosh z

cosh (iz ) = cos z

7.3.7 Moivresche Formel: (cosh z + sinh z )n = cosh (nz ) + sinh (nz ) Seite 39

7. Potenzreihen und elementare Funktionen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

7.3.8 Ableitungen:

(sinh z )′ = cosh z (cosh z )′ = sinh z 7.3.9 Grenzwerte:

lim sinh x = ±∞

x →±∞

lim cosh x = ∞

x →±∞

7.3.10 Umkehrfunktionen: 7.3.10.1 Area sinus hyperbolicus: arsinh : Å → Å

⇔ arsinh (sinh x ) = x sinh (arsinh y ) = y

7.3.10.2 Area cosinus hyperbolicus: arcosh + : [1, ∞ ) → [0, ∞ )

arcosh − : [1, ∞ ) → (− ∞,0] 7.3.10.3 Schreibweise mit natürlichem Logarithmus:

Für x ∈Å gilt :

( x = ln (x ±

) − 1)

arsinh x = ln x + x 2 + 1

Für x ∈ [1, ∞ ) gilt :

arcosh ±

x2

7.3.10.4 Ableitungen der Umkehrfunktionen:

(arsinh x )′ = (arcosh ± x )′ =

1 x2 +1 1 ± x 2 −1

für alle x ∈ (1, ∞ )

Seite 40

7. Potenzreihen und elementare Funktionen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

7.3.11 Die Graphen von sinh(x), cosh(x), arsinh(x) und arcosh(x): 3 y

2

y = cosh(x ) y = Arcosh+(x )

1

0 −3

−2

−1

0

1

−1

x

3

y = Arcosh-(x )

y = Arsinh(x )

y = sinh(x )

2

−2

Hyperbolische Sinusund Cosinus-Funktionen

−3

Abbildung 5: Die Graphen von sinh(x), cosh(x), arsinh(x) und arcosh(x)

7.3.12 Reeller Tangens hyperbolicus und Cotangens hyperbolicus: sinh x cosh x cosh x coth x = sinh x tanh x =

für x ≠ 0

7.3.12.1 Additionstheoreme: tanh ( x1 + x 2 ) =

tanh x1 + tanh x 2 1 + tanh x1 ⋅ tanh x 2

coth ( x1 + x 2 ) =

1 + coth x1 ⋅ coth x 2 coth x1 + coth x 2

für x1 ≠ 0, x 2 ≠ 0, x1 + x 2 ≠ 0

7.3.12.2 Grenzwerte: lim tanh x = ±1

x →±∞

lim coth x = ±1

x →±∞

lim coth x = ±∞

x → 0±

Seite 41

7. Potenzreihen und elementare Funktionen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

7.3.12.3 Ableitungen:

(tanh x )′ =

1 cosh 2 x (coth x )′ = 1 2 sinh x

x≠0

7.3.13 Umkehrfunktionen: Area tangens hyperbolicus und Area cotangens hyperbolicus:

(- 1,1) → Å

artanh :

arcoth : {x x ∈ [- 1,1], x ∈ Å} → {x x ≠ 0, x ∈ Å} Ferner gilt: tanh (artanh y ) = artanh (tanh x ) = coth (arcoth y ) = arcoth (coth x ) =

y für y ∈ [- 1,1] x für x ∈ Å y für y ∉ [- 1,1]

x für x ≠ 0

7.3.13.1 Schreibweise mit natürlichem Logarithmus: artanh x =

1 1+ x  ln  für x ∈ (− 1,1) 2 1− x 

arcoth x =

1 1+ x  ln  für x ∉ (− 1,1) 2 1− x 

7.3.13.2 Ableitungen:

(artanh x )′ =

1 1− x2 (arcoth x )′ = 1 2 1− x

für x ∈ (− 1,1) für x ∉ (− 1,1)

Seite 42

7. Potenzreihen und elementare Funktionen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

7.3.14 Die Graphen von tanh(x), coth(x), artanh(x) und arcoth(x): 3 y

y = coth(x ) 1

y = tanh(x )

−3

y = arcoth(x )

−1

1

x

−1 y = artanh(x )

Hyperbolische Tangensund Cotangens-Funktionen

−3

Abbildung 6: Die Graphen von tanh(x), coth(x), artanh(x) und arcoth(x)

Seite 43

3

8. Anwendung der Differentialrechnung

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

8. Anwendung der Differentialrechnung 8.1 Der Mittelwertsatz und einfache Anwendungen 8.1.1 Satz von Rolle: Ist eine stetige Funktion f(x) an den Rändern eines Intervalls [a,b] null ( d.h. f(a)=0 und f(b)=0 ) und innerhalb dieses Intervalls differenzierbar, so hat diese Funktion innnerhalb dieses Intervalls mindestens ein Extremum mit f'(x)=0. 8.1.2 Erster Mittelwertsatz der Differentialrechnung: Im Intervall [a,b] sei f(x) stetig und differenzierbar. Dann gibt es in [a,b] mindestens ein x, für das gilt: f (b ) − f (a ) = f ′( x ) b−a

8.1.3 Addition einer Konstanten: Sind die Funktionen f und g differenzierbar im Intervall [a,b] und gilt f'(x) = g'(x) für alle x dieses Intervalls, so gibt es eine Konstante C, für die gilt: f = g + C. 0 0

8.1.4 Regel von l'Hospital für den Fall : Wenn lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0 und g ′( x ) ≠ 0 ist, dann gilt : x → x0

lim

x → x0

x → x0

f (x ) f ′( x ) = lim g ( x ) x→ x0 g ′( x )

8.1.5 Regel von l'Hospital für den Fall

∞ : ∞

Wenn lim f ( x ) = lim g ( x ) = ∞ und g ′( x ) ≠ 0 ist, dann gilt : x → x0

x → x0

f (x ) f ′(x ) = lim x → x0 g ( x ) x → x0 g ′( x ) f Ggf. betrachtet man − . −g lim

8.1.6 Grenzwerte anderer Formen: Grenzwerte der Formen 0 ⋅ ∞ , ∞ − ∞ , 00 , 1∞ und ∞ 0 können auf die Fälle

0 ∞ oder 0 ∞

zurückgeführt werden.

8.2 Taylorformel und Taylorreihe bei Funktionen einer Veränderlichen Jede Funktion f(x) läßt durch ein Polynom Tn(x), für das gilt: Rn(x) ein Restglied ist, das den vorhandenen Fehler ausgleicht.

Seite 44

f ( x ) = Tn ( x ) + Rn ( x ) . Hierbei ist

8. Anwendung der Differentialrechnung

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

8.2.1 Taylorformel: Ist die Funktion f(x) (n+1)-fach differenzierbar, so gilt für deren Taylorpolynom: Tn ( x , x0 ) Taylorpolynom n - ten Grades 644444444=4 444474444444444444 8 (n ) f ′′(x 0 ) f ( x0 ) 2 n f (x ) = f (x 0 ) + f ′(x 0 ) ⋅ (x − x0 ) + ⋅ (x − x0 ) + K + ⋅ ( x − x 0 ) + Rn ( x , x 0 ) 1 424 3 2! n! Lagrangesches Restglied

R n ( x, x 0 ) =

f (n +1) (ξ ) n +1 ⋅ (x − x0 ) (n + 1)!

mit ξ ∈ [x, x0 ]

Beispiel: Taylorformel um x0 = 0 für die Funktion f(x) = ex innerhalb des Intervalls [−1,1]. x 2 x3 x 4 1 ex = 1+ x + + + +δ δ < 2 6 120 120 T 2( x ) = 1 + x

T 4( x ) = 1 + x +

x 2 x3 + 2 6 3 y 2,5

y = exp(x )

y = T4(x ) 2 y = T2(x ) 1,5

1

0,5 Exponentialfunktion angenähert durch Taylorpolynome 0 -1,0

-0,5

0,0

0,5

x

Abbildung 7: Exponentialfunktion angenähert durch Taylorpolynome

8.2.2 Taylorreihe, MacLaurin-Reihe: Ist die Funktion f(x) beliebig oft differenzierbar, so konvergiert deren Taylorreihe, welche folgendermaßen lautet: (k ) ∞ f ( x0 ) k f (x ) = ∑ ⋅ (x − x0 ) k! k =0 Für x0 = 0 heißt sie MacLaurin-Reihe. Seite 45

1,0

8. Anwendung der Differentialrechnung

Beispiel:

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

Die MacLaurin-Reihenentwicklung der folgenden Funktion f(x):

f ( x ) = (1 + x )

α

α ⋅ (α − 1) 2 α ⋅ (α − 1) ⋅ (α − 2)L (α − k + 1) k ⋅ x +K+ x +K 2! k! n α ⋅ (α − 1) ⋅ (α − 2)L (α − k + 1) k =∑ x + Rn ( x ) k! k =0 = 1+α ⋅ x +

α α  = ∑   x k k =0  k 

8.3 Kurvendiskussion Vorgehensweise: Erstens: Zweitens: Drittens:

Viertens: Fünftens: Sechstens: Siebtens: Achtens:

Bestimmung des Definitionsbereiches Bestimmung der Nullstellen (mit der x-Achse) Bestimmung der Unstetigkeitsstellen bzw. der Grenzwerte der Funktion (falls möglich) an den Rändern des Definitionsbereiches Bestimmung der Ableitung an den Rändern des Definitionsbereiches Bestimmung des qualitativen Verlaufs des Graphen mit relativen Extremwerten ( Nullstellenmenge von f'(x) ) Bestimmung der Wendepunkte ( Nullstellenmenge von f''(x) ) Bestimmung von Monotonieintervallen ( einheitlich in den Bereichen zwischen den Nullstellen von f'(x) ) Bestimmung von Konvexitäts- und Konkavitätsbereichen

8.3.1 Asymptote: Eine Asymptote an eine Funktion f(x) ist diejenige Gerade g(x) = ax + b, für die gilt: lim [ f ( x ) − g ( x )] = 0

x → +∞

Bestimmung von g(x): f (x ) =a x → ±∞ x lim [ f ( x ) − ax ] = b lim

x → ±∞

Die Funktion f(x) hat eine senkrechte Asymptote an der Stelle x0, falls sie dort einen uneigentlichen Grenzwert besitzt.

Seite 46

8. Anwendung der Differentialrechnung

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

Beispiel: (Graph s. rechts) Asymptoten an die Funktion f(x): 12

f (x ) = 2 x +

y

1 +3 x g (x ) = 2 x + 3 (schräge Asymptote) x0 = 0

10

y = f (x )

8

(senkrechte Asymptote)

y = g (x ) 6

4

2

0 -3

-2

-1

0

1

2

x

-2

-4

-6

8.3.2 Konvexität, Konkavität: 8.3.2.1 Konvexitätskriterium:

Ist die erste Ableitung f'(x) einer Funktion f(x) in einem Intervall [a,b] monoton steigend, d.h. die zweite Ableitung f''(x) > 0, so heißt die Funktion f(x) konvex auf [a,b]. 8.3.2.2 Konkavität: Eine Funktion f(x) heißt konkav auf [a,b], wenn −f(x) dort konvex ist.

Beispiel: Graph der Funktion f(x) = sin(x) + 0,5 2 f (x ) relatives Maximum

relatives Maximum

1,5

Konkaver Bereich

1

Wendepunkt

Wendepunkt

Konkaver Bereich

0,5

y-Achsenabschnitt

Nullstelle

0 0

π

Nullstelle Konvexer Bereich

−0,5 relatives Minimum f (x ) = sin(x ) + 0,5 −1

Abbildung 8: Bezeichnungen am Funktionsgraphen

Seite 47

2π

x

3

8. Anwendung der Differentialrechnung

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

8.4 Satz von Taylor für Funktionen mehrerer Veränderlicher, Anwendungen auf Extremwertaufgaben 8.4.1 Taylorsche Reihe für Funktionen zweier Veränderlicher: 8.4.1.1 Erste Form der Darstellung: ∂f ( x, y ) ( x − a ) + ∂f ( x, y ) ( y − b) + f ( x, y ) = f (a, b ) + ∂x ( x , y ) = ( a , b ) ∂y ( x , y ) = ( a , b ) +

 1  ∂ 2 f ( x, y ) ∂f ( x, y ) ∂ 2 f ( x, y ) 2 ( − ) + 2 ( − )( − ) + (x − b )2  + x a y b x a  2 2 2  ∂ x ( x , y )=( a ,b ) ∂x∂y ( x , y )=( a ,b ) ∂ y ( x , y ) = ( a ,b ) 

1 {K} + K + 1 {K} + Rn 6 n! 8.4.1.2 Zweite Form der Darstellung: +

2

1 ∂ ∂  1∂ ∂  f ( x + h, y + k ) = f ( x, y ) +  h + k  f ( x, y ) +  h + k  f (x, y ) + 1!  ∂x ∂y  2!  ∂x ∂y  n

3

1∂ ∂  1∂ ∂  +  h + k  f ( x, y ) + K +  h + k  f ( x, y ) + Rn n!  ∂x ∂y  3!  ∂x ∂y  8.4.1.3 Das Restglied lautet: 1 ∂ ∂   h + k  Rn = (n + 1)!  ∂x ∂y 

n +1

f (x + Θh, y + Θk )

(0 < Θ < 1)

8.4.2 Taylorsche Reihe für Funktionen von m Veränderlichen: Die Darstellung erfolgt analog mit Differentialoperatoren. 8.4.2.1 Taylor-Reihe: f ( x1 + h1 , x2 + h2 , K , xm + hm ) = f ( x1 , x2 , K , xm ) + i

 ∂ ∂ 1 ∂ + ∑  h1 + h2 + K + hm  f ( x1 , x2 , K , xm ) + ∂x 2 ∂x m  i =1 i!  ∂x1 + Rn n

8.4.2.2 Restglied:  ∂ ∂ 1  ∂  Rn = h1 + h2 + K + hm  (n + 1)!  ∂x1 ∂x 2 ∂x m 

n +1

f ( x1 + Θ1h1 , x2 + Θ 2 h2 ,K, xm + Θ m hm )

(0 < Θi < 1)

8.4.3 Relative und absolute Extrema: 8.4.3.1 Eine Funktion f besitzt im Punkt x0 ein strenges relatives Maximum, wenn die Funktionswerte der Punkte des nächsten Umkreises (δ > 0) um f(x0) vom Betrag kleiner sind als f(x0). Bei relativen Maxima ist die Gleichheit der Funktionswerte zugelassen. f(x0) ist ein entsprechendes Minimum, wenn −f(x0) ein entsprechendes Maximum ist. 8.4.3.2 Eine Funktion f besitzt im Punkt x0 ein strenges absolutes Maximum, wenn die Funktionswerte aller anderen Punkte im Definitionsbereich von f vom Betrag kleiner sind als f(x0). Bei absoluten Maxima ist die Gleichheit der Funktionswerte zugelassen. f(x0) ist ein entsprechendes Minimum, wenn −f(x0) ein entsprechendes Maximum ist. Seite 48

8. Anwendung der Differentialrechnung

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

8.4.3.3 Ein Sattelpunkt liegt vor, wenn eine Funktion f an der Stelle x0 zwar nur Ableitungen vom Betrag Null hat, die obenstehenden Bedingungen aber nicht erfüllt sind. Beispiel: Der Punkt (0,0) der folgenden Funktion ist ein Sattelpunkt. f ( x, y ) = x 2 − y 2 f x = 2 x, f y = −2 y, f x (0,0) = f y (0,0) = 0 8.4.4 Hinreichende Bedingung für strenge relative Extrema: Eine Funktion f sei im Intervall I = (a, b ) × (c, d ) 2-fach differenzierbar und bilde Å 2 auf Å ab. Es sei der Vektor ( x0 , y0 ) ∈ I . 8.4.4.1 Strenge relative Maxima: Wenn nun f x ( x0 , y0 ) = f y ( x0 , y0 ) = 0 und f xx ( x0 , y0 ) ⋅ f yy ( x0 , y0 ) − f xy2 ( x0 , y0 ) > 0 während

f yy ( x 0 , y 0 ) < 0 ist, dann liegt in (x0,y0) ein strenges relatives Maximum vor.

8.4.4.2 Strenge relative Minima: Wenn nun f x ( x0 , y0 ) = f y ( x0 , y0 ) = 0 und f xx ( x0 , y0 ) ⋅ f yy ( x0 , y0 ) − f xy2 ( x0 , y0 ) > 0 während

f yy ( x0 , y0 ) > 0 ist, dann liegt in (x0,y0) ein strenges relatives Minimum vor.

8.4.5 Satz über implizite Funktionen: Es sei n,m∈Á mit n>m und Å n = Å n− m × Å m = x, y x ∈Å n− m , y ∈Å m , D ⊂ Å n offen,

{( )

(x , y )∈ D , es gelte ferner: 0

}

0

1.) F : D → Å m ist k-fach stetig partiell differenzierbar,

(

)

2.) F x 0 , y 0 = 0 und

(

)

3.) D y F x 0 , y 0 ist nichtsingulär, der Betrag der Determinante der Ableitungmatrix also ungleich Null. Dann gibt es eine offene Umgebung U ⊂ Å n− m von x0 und eine offene Umgebung V ⊂ Å m von y0 mit U × V ⊂ D und es existiert eine k-fach partiell differenzierbare implizite Funktion f : U → V . Sie hat folgende Eigenschaften: a)

( )

F x, y = 0 ⇔ y = f ( x ), für alle x ∈ U und für alle y ∈ V

Insbesondere: y 0 = f (x 0 ) . b)

(

)

(

)

Dx F x, f (x ) + D y F x, f ( x ) ⋅ D f ( x ) = 0, für alle x ∈ U

[ (

Insbesondere: D f ( x 0 ) = − D y F x 0 , y 0

)]

−1

(

)

⋅ Dx F x 0 , y 0 .

Angewendet werden kann dieser Satz beispielsweise auf nichtlineare Gleichungssysteme, deren Variablen in Abhängigkeit einer anderen dargestellt werden sollen.

Seite 49

8. Anwendung der Differentialrechnung

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

Beispiel: Gegeben ist das folgende nichtlinare Gleichungssystem:  e x ⋅ cos( y ) ⋅ sin ( z ) + y 2 = 0  2 x ⋅ cos( y 2 z ) + sin ( y + x 2 ) = 0 Geschrieben im Format nach dem Satz über impliziten Funktionen:  F ( x, y, z )   e x ⋅ cos( y ) ⋅ sin ( z ) + y 2  =  F ( x, y, z ) =  1 2 2  F2 ( x, y, z )  2 x ⋅ cos y z + sin y + x

( )

(

   

)

Es ist F (0,0,0) = 0. Gesucht sind nun y(x) und z(x). Die Voraussetzungen 1.) bis 3.) sind erfüllt. Es ist  DF   F1x F1 y F1z   D F =  1  =    DF2   F2 x F2 y F2 z 

 e x ⋅ cos( y ) ⋅ sin ( z ) − e x ⋅ sin ( y ) ⋅ sin ( z ) + 2 y =  2 2 2 2  2 ⋅ cos y z + cos y + x ⋅ 2 x 2 x ⋅ − sin y z ⋅ 2 yz + cos y + x  0 0 1  ⇒ D F (0,0,0 ) =   2 1 0  0 1  ⇒ D( y , z )T F (0,0,0 ) =  1 0  0 1  ⇒ D( x , z )T F (0,0,0 ) =   2 0  0 0  ⇒ D( x , y )T F (0,0,0 ) =   2 1

( )

(

)

(

( ))

(

)

e x ⋅ cos( y ) ⋅ cos( z )   2 x ⋅ − sin y 2 z ⋅ y 2 

(

( ))

Aus den Beträgen der jeweiligen Determinanten wird sofort ersichtlich, daß nach y(x) und z(x) sowie nach x(y) und z(y) aufgelöst werden kann. Dagegen ist für die Auflösung nach x(z) und y(z) die Anwendung des Satzes über Implizite Funktionen für die nicht möglich.

8.4.6 Die Lagrangesche Multiplikatorregel: 8.4.6.1 Es seien die Funktionen f , g : Å n → Å stetig partiell differenzierbar. Ferner liege an der

{

}

Stelle x0 ein relatives Extremum von f eingeschränkt auf die Menge x ∈ Å n g ( x ) = 0 vor.

( ) ≠ 0 . Dann gibt es ein λ ∈Å mit Df (x ) = λ ⋅ Dg (x ) .

Außerdem gelte Dg x

0

8.4.6.2 Lagrangesche Funktion L:

0

L( x ) = f ( x ) − λ ⋅ g ( x )

8.4.6.3 Lagrangescher Multiplikator λ: λ =

( ) (x )

f xn x g xn

Seite 50

0

0

0

8. Anwendung der Differentialrechnung

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

Beispiel: Gesucht werden die Scheitelpunkte der Ellipse gegeben durch x 2 + xy + y 2 − 3 = 0 . Formuliert man die Aufgabenstellung gemäß der Lagrangeschen Multiplikatorregel um, so ergibt sich f ( x, y ) = x 2 + y 2 (Kreisgleichung) unter der Bedingung, daß g ( x, y ) = x 2 + xy + y 2 − 3 = 0 . Die entsprechende Lagrangesche Funktion lautet dann: DL( x, y ) = 0 ⇔ D[ f ( x, y ) − λ ⋅ g ( x, y )] = 0  f x − λ ⋅ g x = 2 x − λ ⋅ (2 x + y ) = 0   f y − λ ⋅ g y = 2 y − λ ⋅ (2 y + x ) = 0 2x Mit λ = , 2x + y ≠ 0 2x + y

Daraus folgt dann

x = ±y 3 y 2 − 3 = 0 ⇒ g (± y, y ) = y 2 ± y 2 + y 2 − 3 =  2  y − 3 = 0 ⇒ y1, 2 = ±1 y 3, 4 = ± 3 Extremstellen :

(1,1)

(

(− 1,−1)

3 ,− 3

)

(−

3, 3

)

8.5 Fehler- und Ausgleichungsrechnung Physikalisch ermittelte (gemessene) Zusammenhänge und deren entsprechend beschreibende Funktion stimmen nie genau überein. Es bleibt immer eine Differenz zwischen der Folge der gemessenen Werte und der eigentlichen Funktion. Man kann diese Funktion den gemessenen Werten anpassen, indem sie so zwischen die Folge der Meßwerte gelegt wird, daß die Summe der Quadrate der jeweiligen Differenz minimal wird. Geht man aus von der Funktion f : Å n+1 → Å (x, a1 , a 2 , K, a n ) a f (x, a1 , a 2 ,K, a n ) , bei der ai Parameter sind, die bei einer Vorgabe von k Meßpunkten ( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ),K , (x k , y k ) so bestimmt werden sollen, daß die quadratische Fehler-Funktion Φ: Å n → Å definiert durch k

Φ(a1 , K , an ) = ∑ [ yi − f ( xi , a1 , K , an )] i =1

2

in (a , K , a ) ein Minimum hat. Im linearen Fall bestimmt man anhand der Meßpunkte die Ausgleichsgerade f(x,a,b) = ax + b. 0 1

0 n

Seite 51

8. Anwendung der Differentialrechnung

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

8.5.1 Das Fehlerfortpflanzungsgesetz: 8.5.1.1 Systematische Fehler entstehen durch meßtechnische Mängel und können nur durch Verbesserung der jeweiligen Meßapparatur minimiert werden. 8.5.1.2 Statistische Fehler sind auf Meßungenauigkeit beeinträchtigende Vorkommnisse zurückzuführen, wie beispielsweise Ablesefehler, Luftfeuchtigkeit,... Verbessert werden sie durch häufige Wiederholung derselben Messung. 8.5.2 Arithmetischer Mittelwert, Streuung: Für sie gilt: Arithmetischer Mittelwert: x = Streuung: s =

(

1 n ∑ xi − x n i =1

1 n ∑ xi n i =1

)

2

Seite 52

9. Integralrechnung

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

9. Integralrechnung

9.1 Definition der Stammfunktion 9.1.1 Stammfunktion F(x) einer Funktion f(x): Es gilt Folgendes: bzw.

F ( x ) = ∫ f ( x ) ⋅ dx

F ′( x ) = f (x )

b

Wenn eine solche Funktion F(x) existiert, so heißt f(x) integrierbar und

∫ f (x ) ⋅ dx

das

a

(bestimmte) Riemann - Integral von f in den Grenzen x1 = a (untere Grenze) und x2 = b (obere Grenze).

9.1.2 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Eine im Intervall [a,b] stetige Funktion f(x) mit der Stammfunktion F(x) schließt mit der x-Achse b

die Fläche

∫ f (x ) ⋅ dx = F (b ) − F (a ) ein. a

9.2 Eigenschaften und Anwendungen von Integralen 9.2.1 Bogenlänge einer Raumkurve K im Intervall [a,b]: Für sie gilt allgemein: l (K ) = ∫

b

a

b ′ 2 ′ 2 ′ 2 f1 ( x ) + f 2 ( x ) + f 3 ( x ) ⋅ dx = ∫ f ' ( x ) ⋅ dx a

Der letzte Term gilt auch für Kurven im Å n .

Seite 53

9. Integralrechnung

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

9.2.2 Wichtige Eigenschaften von Riemann-Integralen: b

a

a

b

∫ f (x ) ⋅ dx = − ∫ f (x ) ⋅ dx a

∫ f (x ) ⋅ dx = 0 a

b

b

b

∫ [ f (x ) + g (x )] ⋅ dx = ∫ f (x ) ⋅ dx + ∫ g (x ) ⋅ dx a

a

b

a

b

∫ γ ⋅ f (x ) ⋅ dx = γ ⋅ ∫ f (x ) ⋅ dx a

a

b

∫ a

c

b

a

c

f ( x ) ⋅ dx = ∫ f ( x ) ⋅ dx + ∫ f ( x ) ⋅ dx

b

b

a

a

mit c ∈ [a, b]

∫ f (x ) ⋅ dx ≤ ∫ f (x ) ⋅ dx

9.3 Integrationsmethoden Prinzip: Im Allgemeinen eine Umformung und Rückfühung von Integralen auf Grundintegrale.

9.3.1 Addition der Null: Beispiel:

x2 1 + x2 − 1 1 ∫ 1 + x 2 ⋅ dx = ∫ 1 + x 2 ⋅ dx = ∫ 1 ⋅ dx − ∫ 1 + x 2 ⋅ dx = x − arctan x

9.3.2 Die Ableitung der Funktion tritt im Integranden auf: 1. Beispiel:

∫

f n ⋅ f ′ ⋅ dx =

2. Beispiel:

∫

f′ ⋅ dx = ln f f

f n+1 n +1

n ≠ −1 und rational für Intervalle mit f ≠ 0

′ ( sinh x cosh x ) ∫ tanh x ⋅ dx = ∫ cosh x ⋅ dx = ∫ cosh x ⋅ dx = ln cosh x = ln cosh x

Seite 54

9. Integralrechnung

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

9.3.3 Die Substitutionsmethode: b

g (b )

a

g a

∫ f (g (x )) ⋅ g ′(x ) ⋅ dx = ∫( )f ( y ) ⋅ dy

Allgemein gilt:

1. Beispiel:

g (x) 647 48 g (1) 1 1 1 g (1) 2 + 2 ) ⋅ sin x + 4 x − 6 ⋅ dx = ⋅ ∫ sin y ⋅ dy = − ⋅ cos y g (0 ) = − [cos(− 1) − cos(− 6 )] ∫0 (1x2 3 1442443 2 g (0 ) 2 2 g′( x ) f ( g ( x ))

(

1

)

2. Beispiel:

f ( g ( x )) b 748 } 64 2 b 1 1 1 a b ⋅ dx = ∫ ⋅ dy = arcsin y a2 = arcsin  − arcsin  ⋅ 2 2 2 2  2 1− y2 a  x 1−   2 2 {

g′( x )

b

b

1

∫

4 − x2

a

⋅ dx = ∫ a

g (x)

9.3.4 Partielle Integration: b

Allgemein gilt:

∫ f ′ ⋅ g ⋅ dx = f ⋅ g a

4

1. Beispiel:

b

b a

− ∫ f ⋅ g ′ ⋅ dx a

4

∫ ln x ⋅ dx = ∫ 1 ⋅ ln x ⋅ dx = x ⋅ ln x 1

1

4

4 1

−∫ 1

x 4 ⋅ dx = ( x ln x − x ) 1 = 8 ⋅ ln 2 − 3 x

2. Beispiel: π

π

1 β I = ∫ cosαx ⋅ cos βx ⋅ dx = ⋅ sin αx ⋅ cos βx − α α −π −π

π

∫ sin αx ⋅ sin βx ⋅ dx

−π

π π 1 β 1 β = ⋅ sin αx ⋅ cos βx − − ⋅ cosαx ⋅ sin βx + α α  α α −π −π π

⇔

 cos x ⋅ cos x ⋅ dx α β  ∫ −π  π

π

 β2  1 β I 1 − 2  = ⋅ sin αx ⋅ cos βx − 2 ⋅ cosαx ⋅ sin βx α −π −π  α  α

Für α , β ∈Á gilt: π

0

falls α ≠ β falls α = β

0

falls α ≠ β falls α = β

∫ cosαx ⋅ cos βx ⋅ dx = π

−π π

∫ sin αx ⋅ sin βx ⋅ dx = π

−π π

∫ sin αx ⋅ cos βx ⋅ dx = 0

−π

Hieraus folgt dann: I = 0. Seite 55

9. Integralrechnung

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

9.3.5 Integration rationaler Funktionen (Partialbruchzerlegung): b

9.3.5.1 Integrale der Form

P (x )

∫ Q(x ) ⋅ dx

Grad(P) > Grad(Q)

mit

werden mit Hilfe von

a

Polynomdivision vereinfacht und - wenn kein Rest bleibt - sofort integriert. Andernfalls benötigt man die Methode der Partialbruchzerlegung. b

9.3.5.2 Bei der Betrachtung von Integralen der Form

R (x )

∫ Q(x ) ⋅ dx mit Grad (R) < Grad(Q) kommt a

der Fundamentalsatz der Algebra zur Anwendung (s. S. 3; 1.8). Dabei wird Q(x) in Faktoren reeller Nullstellen und ggf. Polynome der nicht-reellen Nullstellen zerlegt. Q( x ) = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + K + a n x n = C ⋅ ( x − z1 ) ⋅ (x − z 2 ) ⋅ K ⋅ ( x − z n )

(

)

(

Nicht-reelle Nullstellen treten als (x − z j ) ⋅ x − z j = x 2 − 2 x ⋅ Re z j + z j

2

) auf.

Im weiteren Lösungsverlauf werden auch die Vielfachheiten kn der reellen Nullstellen xn und die Vielfachheiten lt der nicht-reellen Nullstellen zt berücksichtigt. R Die Partialbruchzerlegung von ist dann eindeutig bestimmt durch: Q A1k1 R A A12 = 11 + +K+ + 2 Q x − x1 (x − x1 ) (x − x1 )k1 + K

A2 k2 A21 A22 + + + + K x − x2 ( x − x2 )2 (x − x2 )k2

+

Ankn An1 An 2 + + + + K x − xn ( x − xn )2 (x − xn )kn

+

B11 x + C11 B12 x + C12 + x + β1 x + γ 1 x 2 + β1 x + γ 1

)

Bt1 x + Ct1 Bt 2 x + Ct 2 + 2 x + βt x + γ t x + βt x + γ t

)

K +

2

2

( (

2

2

+K+

+K+

(x (x

B1l1 x + C1l1 2

+ β1 x + γ 1 Btlt x + Ctlt

2

+ βt x + γ t

)

l1

+

)

lt

Es gibt dann die Möglichkeit, für die Lösung einen Koeffizientenvergleich mit der ursprünglichen Funktion durchzuführen, indem man beide Seiten der obenstehenden Gleichung mit Q(x) multipliziert und das dann aus der Gleichheit der Koeffizienten erhaltene lineare Gleichungssystem nach den unbekannten Koeffizienten auflöst und integriert. Eine andere Möglichkeit ist das „Zuhalte-Verfahren“ (Zitat eines Mathematikers) zur Bestimmung eines Koeffizienten Apq: In Gedanken wird die Gleichung auf beiden Seiten mit Nenner des Bruchs bei Apq erweitert und die Nullstelle xp des ursprünglichen Integranden eingesetzt. Für die Bestimmung der anderen Koeffizienten wird dieses Verfahren wiederholt, unter Umständen muß man die dann vorliegende Gleichung mit Polynomdivision vereinfachen, bevor man fortfährt.

Seite 56

9. Integralrechnung Beispiel:

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

Gesucht ist das unbestimmte Integral der folgenden Funktion:

f (x ) =

x 5 + 3x 4 + 5 x 3 + 8 x 2 + 4 x + 3

(x

2

) (

)

2

+1 ⋅ 1 x 242 + 2 x43 +1

=

Ax + B Cx + D E F + + + 2 2 x +1 x + 1 ( x + 1)2 x2 + 1

(

)

=( x +1)

2

Zuhalte-Verfahren zur Bestimmung von F: Mit ( x + 1) multiplizieren und dann x = −1 einsetzen: 2

(Lösung : F = 1)

Ax + B Cx + D E + + 2 2 x +1 x +1 x2 +1 1 = f (x ) − (x + 1)2

⇒

= (

= (

⇒ = (

= (

Lösung :

(

)

(

)

x 5 + 3x 4 + 5 x 3 + 8 x 2 + 4 x + 3 − x 2 + 1

(x

2

) (x + 1)

+1

2

2

2

Polynomdivision )

x4 + x3 + 4x2 + 2x + 2

(x

) (x + 1)

+1

2

2

Zuhalte- Verfahren für E liefert E =1 )

Ax + B Cx + D + 2 x2 +1 x2 +1

(

)

x + x + 4x + 2x + 2 4

3

(x

2

) (x + 1)

+1

2

2

−

1 x +1

Vereinfachung und Polynomdivision )

x2 + x +1

(x

2

)

+1

2

Koeffizientenvergleich liefert A = 0, B =1, C =1, D = 0 )

f (x ) =

1 x 1 1 + + + 2 2 x + 1 ( x + 1)2 x +1 x +1

(

2

)

Für das Integral ergibt sich dann Folgendes:  1 x 1 1  ∫ f (x ) ⋅ dx = ∫  x 2 + 1 + x 2 + 1 2 + x + 1 + (x + 1)2  ⋅ dx   1 1 1 = arctan x − ⋅ 2 + ln x + 1 − 2 x +1 x +1

(

)

Seite 57

9. Integralrechnung

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

9.3.6 Integration rationaler Funktionen von sin und cos: Zunächst wird substituiert: y  x y = tan  ⇒ sin x = 2 ⋅ 1+ y2 2

1− y2 1+ y2 2 ⋅ dy dx = 1+ y2 Danach wird integriert, ggf. muß noch eine Partialbruchzerlegung durchgeführt werden. cos x =

9.3.7 Integration rationaler Funktionen von sinh und cosh: Substitution: y  x y = tanh  ⇒ sinh x = 2 ⋅ 1− y2 2

cosh x = dx =

1+ y2 1− y2

2 ⋅ dy 1− y2

9.3.8 Integration von Potenzreihen: ∞ ∞ k  ⋅ ( − ) ⋅ = Es gilt: a x x dx ∑ 0 k  ∫ ∑ k =0 k =0 

(

)

[∫ (a

k

) ]

∞  a k k +1  ⋅ ( x − x0 ) ⋅ dx = ∑  k ⋅ ( x − x0 )   k =0  k + 1

9.3.9 Rotationskörper: Für das Volumen V eines um die x-Achse rotationssymmetrischen Körpers mit f(x) als Funktion der Berandung gilt im Intervall [a,b]:

V = π ⋅ ∫ [ f ( x )] ⋅ dx b

2

a

9.4 Integrale bei Funktionen mehrerer Veränderlicher 9.4.1 Zweidimensionale Integrale: Das Volumen V zwischen der Funktion f(x,y) und der x-y-Ebene im Bereich x × y → a , b × c, d beträgt:   V = ∫∫ f ( x, y ) ⋅ dA = ∫∫ f ( x, y ) ⋅ dx ⋅ dy = ∫  ∫ f ( x, y ) ⋅ dy  ⋅ dx   A A xy 

Beispiel: Gesucht ist das Volumen des Tetraeders, dessen Ecken in (0,0,0), (a,0,0), (0,b,0) und (0,0,c) sind. Die Gleichung der entsprechenden Ebene liefert den gesuchten Inhalt: x y z x y  + + = 1 ⇔ z = f ( x , y ) = c ⋅ 1 − −  a b c  a b

Seite 58

9. Integralrechnung

V = ∫∫ A

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

  y =b 1− ax       x y f (x, y ) ⋅ dA = ∫  ∫ c ⋅ 1 − −  ⋅ dy  ⋅ dx =  a b y =0 x =0     x= a

 x y =b  1−  a

x= a

 y2   x 1 y c ⋅ − ⋅ −   ∫  a  2b  x =0 y =0

2

abc bc  x = 1 −  ⋅ dx = ∫ 2 0 a 6 a

9.4.2 Dreidimensionale Integrale: Analog zu zweidimensionalen Integralen gilt: I=

Beispiel:

    , , ⋅ ⋅ ⋅ = , , ⋅ ⋅ f ( x y z ) dx dy dz f ( x y z ) dz dy   ⋅ dx   ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ y z Q =[ x× y× z ] x   

Gesucht ist das Volumen V einer (zentrosymmetrischen) Kugel mit Radius R.

x 2 + y 2 + z2 = R2 ⇒ z = R2 − x2 − y 2 Es gilt gemäß der obenstehenden Gleichung: 2 2 2  R  R 2 − x2  R − x − y  1   ⋅ dy  ⋅ dx ⋅V = ∫  ∫ dz  0  ∫0   8 0     2 2 R  R −x  = ∫ ∫ R 2 − x 2 − y 2 ⋅ dy  ⋅ dx  0  0 R  R 2 − x2  Substitution : R 2 − x 2 = a 2 = ∫ ∫ a 2 − y 2 ⋅ dy  ⋅ dx  0  0   0 R  2  (Substitution : y = a ⋅ cos u, dy = −a ⋅ sin u ⋅ du ) = ∫ − a ∫ sin 2 u ⋅ du  ⋅ dx π 0   2

(

π = ∫  ⋅ R2 − x2 4 0 R

=

(

) ⋅ dx 

(Resubstitution )

R 3 ⋅π 6

Das Kugelvolumen beträgt dann V =

4 ⋅ π ⋅ R3 . 3

Seite 59

)

⋅ dx

9. Integralrechnung

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

9.4.3 Masse m und Schwerpunkt eines Körpers: Für sie gilt: m = ∫∫∫ ρ ( x, y, z ) ⋅ d ( x, y, z ) [ x× y× z ]

xs = ys = zs =

∫∫∫ x ⋅ d (x, y, z )

[ x× y× z ]

∫∫∫ y ⋅ d (x, y, z )

[ x× y× z ]

∫∫∫ z ⋅ d (x, y, z )

[ x× y× z ]

9.5 Uneigentliche Integrale 9.5.1 Konvergentes uneigentliches Integral: Für alle reellen α,β aus dem Definitionsbereich (a,b) [z.B. (− ∞, ∞ ) ] der gegebenen Funktion f ist f integrierbar. Es gibt ein c aus (a,b), so daß folgende Integrale existieren:

1. Bedingung: 2. Bedingung:

y

c

I1 = lim

∫

y →a + ( y →−∞ ) y

Uneigentliches Integral:

f ⋅ dx

I 2 = lim

∫ f ⋅ dx

y →b − ( y →∞ ) c

c

y

( y →−∞ ) y

( y →∞ ) c

I = I1 + I 2 = lim y→a +

∫ f ⋅ dx + lim ∫ f ⋅ dx y →b −

9.5.2 Vergleichskriterium für uneigentliche Integrale: 9.5.2.1 Konvergiert

b

b

a

a

∫ g (x ) ⋅ dx und ist f (x ) ≤ g (x ) , so konvergiert auch ∫ f (x ) ⋅ dx .

b

9.5.2.2 Divergiert

∫ g (x ) ⋅ dx , während 0 ≤ g (x ) ≤ f (x ) ist, so divergiert auch a

b

∫ f (x ) ⋅ dx . a

9.5.3 Integralkriterium: Ist die Funktion f ( x ) : [n0 , ∞ ) → Å monoton fallend und gilt ständig f ( x ) ≥ 0 , so kann man sagen: Es konvergiert

∞

∞

n = n0

n0

∑ f (n) , wenn ∫ f (x ) ⋅ dx konvergiert.

Seite 60

9. Integralrechnung

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

9.6 Parameterabhängige Integrale 9.6.1 Stetigkeit von Parameterintegralen: Das folgende Parameterintegral ist im Definitionsbereich von f(x,t) stetig: F (t ) =

ψ (t )

∫ f (x, t ) ⋅ dx

ϕ (t )

9.6.2 Leibniz-Regel: Ist im Parameterintegral auch ft(x,t) stetig, dann gilt für die Ableitung F'(t): F ′(t ) =

ψ (t )

∫( )f (x, t ) ⋅ dx + f (ψ (t ), t ) ⋅ψ ′(t ) − f (ϕ (t ), t ) ⋅ ϕ ′(t ) t

ϕ t

9.7 Integration durch Reihenentwicklung, spezielle nichtelementare Funktionen 9.7.1 Die Gammafunktion Γ( x ) oder das Eulersches Integral zweiter Gattung: Als Gammafunktion wird folgendes uneigentliche Integral definiert: ∞

Γ(x ) = ∫ e −t ⋅ t x −1 ⋅ dt

x>0

0

= lim n →∞

n x ⋅ n! n

∏ (x + k ) k =0

Die Gammafunktion hat folgende Eigenschaften: Γ( x + 1) = x ⋅ Γ( x ) Γ( x ) ⋅ Γ(1 − x ) =

π sin (πx )

1  (2n )!⋅ π  Γ n +  = 2 n!⋅2 2 n  Γ(n + 1) = n!

Letztere Eigenschaft erlaubt die Erweiterung des Begriffs der Fakultät auf beliebige reelle Zahlen: π ( x ) = x!= Γ( x + 1) z.B.

x=

1 π 1 1 3 ⇒ π   =  != Γ  = 2 2 2 2  2

x=−

1  1  1 1 ⇒ π  −  =  − != Γ  = π 2  2  2  2

Seite 61

9. Integralrechnung

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

9.7.2 Eulersche Konstante C: ∞

C = − ∫ e −t ⋅ ln t ⋅ dt = 0,577215665

Sie wird definiert als:

0

9.7.3 Integralsinus: Für |x| < ∞ gilt:

Si ( x ) = ∫

x

0

9.7.4 Integralcosinus: Für 0 < x < ∞ gilt: Ci( x ) = ∫

∞

x

∞ ∞ sin t ( −1) ⋅ x 2n+1 π sin t ⋅ dt = − ∫ ⋅ dt = ∑ t 2 x t n =0 ( 2 n + 1) ⋅ ( 2 n + 1) ! n

∞ x 1 − cos t ( cos t − 1) ⋅ x 2 n ⋅ dt = C + ln x − ∫ ⋅ dt = C + ln x + ∑ 0 t t n =1 2n ⋅ (2 n )! n

9.7.5 Integralexponentialfunktion: ∞ xn et ⋅ dt = C + ln x + ∑ −∞ t n =1 n ⋅ n! Ist 0 < x < ∞ , so spricht man vom Cauchyschen Hauptwert.

Ei(x ) = ∫

Für − ∞ < x < 0 und 0 < x < ∞ gilt:

x

9.7.6 Integrallogarithmus:

∞ (ln x ) = Ei(ln x ) dt = C + ln ln x + ∑ Für 0 < x < 1 und 1 < x < ∞ gilt: Li( x ) = ∫ 0 ln t n =1 n ⋅ n! Ist 1 < x < ∞ , so spricht man vom Cauchyschen Hauptwert. n

x

9.7.7 Gauß’sches Fehlerintegral: Für |x| < ∞ gilt:

x 2 2 ∞ (− 1) ⋅ x 2 n+1 −t 2 erf ( x ) = Φ 2 ⋅ x = ⋅ e ⋅ dt = ⋅∑ π ∫0 π n=0 n!⋅(2n + 1)

(

Eigenschaften:

)

n

lim erf ( x ) = 1 x →∞

∫

x

0

erf (t ) ⋅ dt = x ⋅ erf ( x ) +

(

)

2 1 ⋅ e−x − 1 π

2 d erf ( x ) 2 = ϕ (x ) = ⋅ e −x dx π

Seite 62

10. Tensoren, Quadratische Formen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

10. Tensoren, Quadratische Formen 10.0 Allgemeine Grundlagen 10.0.1 Linearitätseigenschaft einer Abbildung: Gegeben seien Vn als ein n-dimensionaler Raum sowie die Abbildung A: V n → V n . A heißt lineare Abbildung, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind: A(a + b ) = A(a ) + A(b ) a, b ∈ V n

A(λ ⋅ a ) = λ ⋅ A(a )

λ ∈Å, a ∈V n

10.0.2 Eigenwerte und Eigenvektoren: Allgemeine Definition siehe Kapitel 3.3.

Beispiel:

Gesucht werden die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A:  3 0 − 1   A =  1 4 − 1 −1 0 3    det ( A − λ ⋅ E ) =

3−λ

0

1

4−λ

−1

0

−1 − 1 = −λ3 + 10λ2 − 32λ + 32 = 0 3−λ

λ1 = 2, λ2 = λ3 = 4 Die Eigenvektoren werden dann nach bekanntem Prinzip berechnet:

1   ν 1 = C1 ⋅  − 1 1  

 0   ν 2 = C2 ⋅  1   0  

 − 1   ν 3 = C3 ⋅  0  1  

Es sei bemerkt, daß die Eigenvektoren einer Matrix eine Orthogonalbasis darstellen, falls die Matrix symmetrisch ist. Es gilt dann: v 3 = v1 × v 2 2. Beispiel: Eigenvektoren als Orthogonalbasis zur folgenden Matrix A  3 0 − 1   A= 0 0 0  −1 0 3    ⇔ det ( A − λE ) = −λ ⋅ (3 − λ ) + λ = 0 ⇔ λ1 = 0 λ1 = 2 λ3 = 4 2

 0  1   1   ⇒ v1 =  1  v 2 =  0 2  0  1    

1 1   v 3 = v1 × v 2 = 0 2   − 1

Bei der Aufstellung einer solchen Basis ist allerdings darauf zu achten, daß λ1 < λ2 < λ3 ist. Seite 63

10. Tensoren, Quadratische Formen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

10.1 Tensoren, Koordinatendarstellungen 10.1.1 Geometrischer Tensor: Als erste Etappe zur Definition allgemeiner Tensoren werden an dieser Stelle Tensoren als geometrische Objekte eingeführt. Gilt beispielsweise für die Verzerrung f der vier Punkte P, Q, R, S eines Parallelogramms die Vorschrift →  →   →   →  f  PQ + PR  = f  PQ  + f  PR        → →     f  λ ⋅ PQ  = λ ⋅ f  PQ      so spricht man bei f von einem geometrischen Tensor 2. Stufe. 10.1.2 Tensor: Ist eine allgemeine Abbildung A aus Vn linear, so spricht man von einem Tensor 2. Stufe. 10.1.3 Vektorprodukt: Vektor a ∈ V 3 fest:

 a1   ν 1   0      A(ν ) = a × ν =  a 2  × ν 2  =  a3  a  ν   − a  3  3  2

− a3 0 a1

a 2  ν 1     − a1  ⋅ ν 2  0  ν 3 

10.1.4 Projektionstensor: Der Vektor b ∈ V n sei fest. Dann ist die Projektionsabbildung ein Tensor: x⋅b Projektionsabbildung : P( x ) = Projb x = 2 ⋅ b b Koordinatendarstellung von P :

Pji = P(e i ) ⋅ e j =

ei ⋅ b b

2

⋅b ⋅e j =

bi ⋅ b j b

2

10.1.5 Dyadisches Produkt zweier Vektoren: Die Vektoren u , v ∈V n seien fest. Dann ist folgende Abbildung D ein Tensor: D(w) = Du v (w) = u ⋅ (v ⋅ w) Koordinatendarstellung :

w ∈V n

d ij = D(e i ) ⋅ e j = u j ⋅ vi

 u1v1 u1v 2   u v u 2v2 ⇒D= 2 1 M M  u v u v n 2  n 1

L u1 v n   L u 2vn  T = u⋅v O M   L u n v n 

10.1.6 Spiegelungstensor: Es sei der Vektor u ∈V n mit ||u||=1. Dann stellt S u = 1 − 2 Du u ( x ) (siehe oben) eine Spiegelung an der Ebene E : u ⋅ x = 0 dar. Su heißt Spiegelungstensor.

Seite 64

10. Tensoren, Quadratische Formen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

Die Koordinatendarstellung dieser Spiegelung lautet: 1 − 2u12 u1u 2   u 2 u1 1 − 2u 22 T Su = E − 2 ⋅ u ⋅ u =  M  M  u u unu2  n 1

L u1u n   L u2un  O M  L 1 − 2u n2 

Es folgt daraus: 1. Su ist eine symmetrische Matrix. 2. Su ist orthogonal. 3. Su ist zu sich selbst invers: Su2 = E 10.1.7 Drehtensor (Drehung im Raum Å3 um eine feste Drehachse): Es sei der Vektor a ≠ 0 ∈ V 3 , (Voraussetzung: ||a||=1). Die Drehung Da(ϕ) aller Vektoren um den Winkel ϕ gegen den Uhrzeigersinn um eine Drehachse der Richtung a ist ein Tensor. Es gilt:  a12 1 0 0    Da (ϕ ) = cos ϕ ⋅  0 1 0  + (1 − cos ϕ ) ⋅  a 2 a1 a a 0 0 1    3 1

a1 a 2 a 22 a3 a 2

a1 a 3   0   a 2 a 3  + sin ϕ ⋅  a 3 − a a 32   2

− a3 0 a1

a2   − a1  0 

Die Determinante det(D) eines Drehtensors beträgt immer +1. 10.1.8 Eulersche Drehmatrizen: Die drei Spezialfälle der allgemeinen Dretensoren ergeben sich durch Einsetzen der drei Basisvektoren e1, e2 und e3 für a. Es enstehen dabei Drehtensoren um die drei Achsen des Koordinatensystems.  cos ϕ − sin ϕ 0    Drehung um die e3-Achse (z-Achse): E3 (ϕ ) = De3 (ϕ ) =  sin ϕ cos ϕ 0   0 0 1  

Drehung um die e2-Achse (y-Achse):

 cos ϕ  E 2 (ϕ ) = De 2 (ϕ ) =  0  − sin ϕ 

Drehung um die e1-Achse (x-Achse):

0 1  E1 (ϕ ) = De1 (ϕ ) =  0 cos ϕ  0 sin ϕ 

0 sin ϕ   1 0  0 cos ϕ    − sin ϕ  cos ϕ  0

10.1.9 Verkettung der Eulerschen Drehmatrizen: Ist D eine Drehmatrix, dann gibt es drei Winkel α, β, γ, so daß Folgendes gilt: D = E1 (α ) ⋅ E 2 (β ) ⋅ E3 (γ ) Seite 65

10. Tensoren, Quadratische Formen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

Allgemein ausgedrückt lautet diese Drehmatrix so: D = E1 (α ) ⋅ E 2 (β ) ⋅ E 3 (γ ) 0 1  =  0 cos α  0 sin α 

  cos β   − sin α  ⋅  0 cos α   − sin β 0

0 sin β   cos γ   1 0  ⋅  sin γ 0 cos β   0

 cos γ ⋅ cos α − sin γ ⋅ sin α ⋅ cos β  =  cos γ ⋅ sin α − sin γ ⋅ cos α ⋅ cos β  sin γ ⋅ sin β 

− sin γ

0  0 1 

cos γ 0

− sin γ ⋅ cos α − cos γ ⋅ sin α ⋅ cos β − sin γ ⋅ sin α − cos γ ⋅ cos α ⋅ cos β cos γ ⋅ sin β

sin α ⋅ sin β   − cos α ⋅ sin β   cos β 

10.1.10 Beispiele für Tensoren in Physik und Technik: Dielektrischer Tensor, Polarisationstensor, Trägheitstensor, Deformationstensor, Spannungstensor,... 10.1.11 Koordinatendarstellung der Translation von Vektoren: Es sei der Vektor a ∈ V 3 ein fester Vektor. Dann ist die Abbildung T%: x a x − a , x ∈V 3 eine Translation (kein Tensor). Ist nun T die Koordinatendarstellung eines Tensors in der Basis (e1, e2, e3) und T' die Koordinatendarstellung desselben Tensors in der Basis (e1', e2', e3'), so gilt T = T'. Dies liegt an der Invarianz der Basisvektoren bei Translation. 10.1.12 Orthogonale Transformationen: Es sei P eine orthogonale Transformation des Å 3 . Aus dem Basisvektor ej wird damit der Basisvektor ej': P : (e1 , e 2 , e 3 ) a (e1 ' , e 2 ' , e 3 ') e j '= P ⋅ e j Das entstehende Koordinatensystem ist wieder orthogonal. Es gilt des weiteren: P T P = E ⇒ P T e j ' = P T Pe j = e j Wenn det(P) = +1 (d.h. Drehung), dann ist (e1', e2', e3') wieder ein Rechtssystem.

10.1.12.1 Transformationsverhalten eines Vektors: Der Vektor a bezüglich der ursprünglichen Basis (e1, e2, e3) wird nach der Transformation P zu a' = P ⋅ a 3

⇔ a j ' = ∑ ai pij i =1

Hierbei ist pij eine Komponente der Transformationmatrix P. 10.1.12.2 Transformationsverhalten von Tensoren: Ist T ein Tensor mit den Matrixkomponenten tji und P eine orthogonale Transformation des Å 3 (siehe oben), ergibt sich Folgendes: 3

3

Matrixkomponente von T ' : t ji ' = T (e i ') ⋅ e j ' = ∑ ∑ plj pki tlk k =1 l =1

−1

Matrix T ' : T ' = P ⋅ T ⋅ P = P T ⋅ T ⋅ P

Erzeugt der Basiswechsel nicht-orthogonale Basisvektoren, so werden die Transformationsformeln „etwas“ komplizierter. ;-) Seite 66

10. Tensoren, Quadratische Formen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

10.2 Das Normalformenproblem von Bilinearformen 10.2.1 Hyperfläche 2. Grades oder Quadrik: Man definiert folgende Funktion Q( x ) : Å n a Å : n

n

n

Q( x ) = ∑∑ aik xi xk + 2 ⋅ ∑ bk xk + c i =1 k =1

aik , bk , c ∈Å

k =1

= x A x + 2b x + c T

T

Die hier auftretende Matrix A muß symmetrisch sein. →

Die Menge der Punkte P mit OP = x = ( x1 , x 2 , K , x n ) , welche die Gleichung Q( x ) = 0 erfüllt, T

heißt Hyperfläche 2. Grades oder eine Quadrik im Å n . Beispiel: 36 x12 − 24 x1 x 2 + 29 x 22 + 96 x1 − 22 x 2 − 115 = 0

⇔

 36 − 12  , A =   − 12 29 

b=

1  96   , 2  − 22 

c = −115

10.2.2 Mittelpunkt einer Quadrik: Betrachtet man die Translation x = x' + p der Quadrik um p, so gilt:

(

(

)

)

()

Q x'+ p = x'T A x'+2 p A + b x'+Q p T

T

Ist nun die Gleichung Ap = −b lösbar, so besitzt Q(x) ein Zentrum, für das gilt:

{

}

Z = p A p = −b

= {m}

(falls ein -

deutig lösbar)

m heißt Mittelpunkt der Quadrik.

10.2.3 Normalform einer Quadrik: Mit Hilfe geeigneter Koordinatentransformationen läßt sich jede Quadrik auf eine der beiden folgenden Normalformen bringen: 1. Fall:

Z ≠ ∅ : λ1 y12 + λ2 y 22 + K + λr y r2 + γ = 0 mit r = Rang(A), λ1 , λ2 , λ3 ,..., λr Eigenwerte von A, die ungleich Null sind.

2. Fall:

Z =∅:

mit

λ1 y12 + λ2 y 22 + K + λr y r2 + 2γ ⋅ y n = 0

r = Rang(A) < n, γ > 0, λi ∈Å \ {0} für i = 1, ..., r

Seite 67

10. Tensoren, Quadratische Formen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

10.2.4 Allgemeine Vorgehensweise bei der Klassifikation von Quadriken: 10.2.4.1 Umformungen zu Q(x): Gegeben: T T Q( x ) = x A x + 2b x + c Umformungen: T T Q( x + m ) = x A x + 2( Am + x ) x + Q(m ) Q(m ) = b m + c T

 λ A1   0 T P AP =  M   0 

0 λ A2 M

0

L

0   L 0  O M   L λ An 

Q(P x ) = x P T AP x + b P x + c T

T

Q(P x + m ) = x P T AP x + 2( Am + b ) P x + Q(m ) T

T

10.2.4.2 Vorgehensweise: 1. Fall: Am = −b ist lösbar. Es liegt eine Zentrumsquadrik vor. 1.) 2.) 3.) 4.)

Bestimmen von m und Q(m). Bestimmen der Eigenwerte und Eigenvektoren von A. (u.U. Bestimmung des Typs) Bestimmen der Drehmatrix P aus den Eigenvektoren von A. Setze die neuen Koordinaten: u = P T ( x − m ) ⇔ x = Pu + m  λ A1 L 0   T Daraus folgt Q( x ) = u  M O M u + Q(m )  0 L λ  An  

5.)

Normalform (im Å 3 ): λ1 ⋅ u12 + λ2 ⋅ u 22 + λ3 ⋅ u32 + γ = 0 Typ: siehe Tabelle 1 Lage: Koordinatentransformation: u = P T ( x − m ) λ1 + + + + + + + + + +

λ2 + + + + + − + − 0 0

λ3 + − − − 0 0 0 0 0 0

γ − + − 0 − ± 0 0 − 0

Typ Ellipsoid zweischaliges Hyperboloid einschaliges Hyperboloid Kegel mit Spitze in m elliptischer Zylinder hyperbolischer Zylinder 1 Gerade 2 Ebenen mit Schnitt 2 parallele Ebenen Doppelebene

Tabelle 1: Klassifikation von Zentrumsquadriken

Seite 68

10. Tensoren, Quadratische Formen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

2. Fall: Am = −b ist nicht lösbar. Es liegt keine Zentrumsquadrik vor. Es folgt daraus, daß 0 ein Eigenwert von A ist, denn det(A) = det(A − 0⋅E) = 0 1.)

Bestimmen der Eigenwerte von A.

2.)

Bestimmen der Eigenvektoren v1, ..., vr zu den λi ≠ 0

3.)

Bestimmen der Eigenvektoren vi zu den λr+1, ..., λn−1 = 0 mit ν i ⊥ b

4.)

Bestimmen von vn

5.)

Quadratische Ergänzung

6.)

Normalform (im Å 3 ): λ1u12 + λ2u 22 + 2γu3 = 0 Typ: siehe Tabelle 2 λ1 + + +

λ2 + − 0

λ3 0 0 0

γ ± ± ±

Typ elliptisches Paraboloid hyperbolisches Paraboloid parabolischer Zylinder

Tabelle 2: Klassifikation von Quadriken mit leerem Zentrum

10.2.4.3 Darstellung: Die folgenden Abbildungen zeigen nur die ersten sechs Typen von Zentrumsquadriken aus der Tabelle 1 und die Typen von Quadriken mit leerem Zentrum aus der Tabelle 2.

Abbildung 10: Zweischaliges Hyperboloid

Abbildung 9: Ellipsoid

Seite 69

10. Tensoren, Quadratische Formen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

Abbildung 11: Einschaliges Hyperboloid

Abbildung 12: Kegel mit Spitze in m

Abbildung 13: Elliptischer Zylinder

Abbildung 14: Hyperbolischer Zylinder

Abbildung 15: Elliptisches Paraboloid

Abbildung 16: Hyperbolisches Paraboloid

Abbildung 17: Parabolischer Zylinder

Seite 70

10. Tensoren, Quadratische Formen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

Beispiel: Gesucht wird die Normalform der folgenden Quadrik.

x 2 + 2 xy + y 2 − x + y + 4 = 0 1 1 , A =  1 1

b=

1  − 1  , 2  1 

c=4

Die Eigenwerte, die normierten Eigenvektoren und der Rang von A ergeben sich zu: λ1 = 2, λ2 = 0 ⇒ r = 1 ⇒ Eigenvektoren : x1 =

1 1  , 2 1

x2 =

1 1   2  − 1

Normierte Matrix P: 1   1 −   2 2 P= , det ( P ) = 1 1   1   2   2 T T Die Gleichung x Ax + 2b x + 4 = 0 wird mit x = Pu zu  1 − 1   2 2u1 + 2 ⋅    2 1     T

1 2 1 2

−

1  2   u1   +4 = 0 1   u2   2 

⇔ 2u12 + 2 ⋅ u2 + 4 = 0 und nach Resubstitution y1 = u1 , y2 = u2 + 8 ergibt sich die gesuchte Normalform der Quadrik zu 2 ⋅ y12 + 2 ⋅ y2 = 0, was eine Parabel ist.

Seite 71

11. Krummlinige Koordinaten, Transformationsformel

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

11. Krummlinige Koordinaten, Transformationsformel 11.1 Krummlinige Koordinaten, Jacobideterminante 11.1.1 Krummlinige Koordinaten: Gegeben seien drei Eckpunkte eines zu den Koordinatenachsen parallelen Rechtecks im Å 2 durch deren Ortvektoren:  0 1 x 0 , x1 = x 0 + ∆x1 ⋅  , x 2 = x 0 + ∆x2 ⋅   1  0 Die Verzerrung des Rechtecks mit dem Flächeninhalt FQ = ∆x1 ⋅ ∆x2 in ein Parallelogramm, dargestellt durch die neuen Eckpunkte

f ( x 0 ),

f ( x1 ),

f (x 2 ) ,

mit der Funktion f ergibt für den Grenzwert der Verhältnisse zwischen dem ursprünglichen Flächeninhalt FQ und dem neuen Flächeninhalt FP Folgendes: F lim P = det D f ( x 0 ) ∆xi →0 F Q Diese Flächenverzerrung im zweidimensionalen Raum läßt sich analog übertragen auf Gebilde 3 im Å . Dort stellt sie die Volumenverzerrung im dreidimensionalen Raum dar. 11.1.1.1 Wird bei solchen Verzerrungen kein begrenztes Objekt betrachtet, sondern eine offene Menge U in eine offene Menge V verzerrt, so spricht man bei f von der Koordinatentransformation von U auf V. 11.1.1.2 Zur Umkehrung einer solchen Koordinatentransformation läßt sich unter der Voraussetzung, daß x ∈ U und y = f (x ) , Folgendes sagen:

(

(

det D f

−1

)

(y )) = det(D1 f (x ))

11.1.2 Jacobideterminante: In diesem Zusammenhang wird der Begriff der Funktionaldeterminante oder Jacobideterminante eingeführt. J f ( x ) = det D f ( x )

(

11.2 Transformationsformeln 11.2.1 Polarkoordinaten: Koordinatentransformation:  r   r cos ϕ   f1 (r ,ϕ )   x   =   =   f :   a   ϕ   r sin ϕ   f 2 (r ,ϕ )  y  2   2  x   x + y   f1−1 ( x, y )  r   =   f :   a  y  =  −1   y   arctan   f 2 ( x, y )  ϕ  x  Jacobideterminante von f: det D f (r ,ϕ ) = r cos 2 ϕ + r sin 2 ϕ = r −1

(

)

Seite 72

)

11. Krummlinige Koordinaten, Transformationsformel

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

11.2.2 Zylinderkoordinaten: Koordinatentransformation:  r   r cos ϕ   f1 (r ,ϕ , z )   x          f :  ϕ  a  r sin ϕ  =  f 2 (r ,ϕ , z ) =  y   z   z   f (r ,ϕ , z )  z       3    2 2   2  x   x + y + z   f 1 ( x, y , z )   r        y   −1 ( ) = f x y z f :  y  a  arctan , ,  = ϕ   2 x    z    f 3 ( x, y, z )  z  z      Jacobideterminante von f: det D f (r ,ϕ , z ) = 1⋅ r cos 2 ϕ + r sin 2 ϕ = r

(

)

(

)

11.2.3 Kugelkoordinaten: Koordinatentransformation:  r   r cos ϕ sin θ   f1 (r ,ϕ ,θ )   x          f :  ϕ  a  r sin ϕ sin θ  =  f 2 (r ,ϕ ,θ ) =  y   θ   r cosθ   f (r , ϕ ,θ )  z       3      2 2 2  x  x + y + z    y −1 f :  y a  arctan x  z  2    x + y2  arctan z 

    f 1 ( x, y , z )   r       ( ) = f x , y , z  = ϕ   2     f 3 ( x, y, z )  θ    

Hierbei liegt der Winkel ϕ zwischen der x-Achse und dem in die x-y-Ebene projizierten Ortsvektor des Punktes. Der Winkel θ liegt zwischen der z-Achse und dem Ortsvektor des Punktes. Jacobideterminante von f: det D f (r , ϕ ,θ ) = r 2 sin θ ⋅ cos 2 θ + sin 2 θ = r 2 sin θ

(

)

(

)

11.2.4 Laplace-Operator ∆: Für eine zweifach differenzierbare Funktion g : ( x, y, z ) a g ( x, y, z ) von Å³ auf Å läßt sich der sog. Laplace-Operator ∆ definieren: ∆g = g xx + g yy + g zz

11.2.5 Transformationsformel: Bei Koordinatentransformationen Φ : U a V zwischen offenen, nichtleeren Mengen U und V, mit meßbarem U und stetigem g : V a Å gilt die Transformationsformel.

∫K∫ g (x )⋅ dx Ldx = ∫K∫ g (Φ(u ))⋅ det (DΦ(u )) ⋅ du Ldu 1

V

n

1

U

Seite 73

n

11. Krummlinige Koordinaten, Transformationsformel

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

Beispiel: Gesucht wird das neue Volumen Vol(B) eines Parallelepipeds B, das durch eine affinlineare Abbildung u = Ax + b eines Einheitswürfels W entstanden ist. Aus Φ : u a x = A−1 u − A−1 b , det (DΦ (u )) =

1 und der Transformationsformel det ( A) = Vol ( B ) 644 7448 1 ∫ K∫ 1 ⋅ dx1 L dxn = ∫ K∫ 1 ⋅ det (DΦ(u )) ⋅ du1 L du n = det ( A) ∫ K∫ ⋅ du1 L du n folgt dann: B B 1W442443 = Vol (W )=1

Vol(B ) = det ( A)

Seite 74

12. Gewöhnliche Differentialgleichungen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

12. Gewöhnliche Differentialgleichungen 12.1 Bezeichnungen, Richtungsfeld 12.1.1 Gewöhnliche Differentialgleichung: F sei eine Funktion der Form F : Å n + 2 a Å , n ∈ Á . Dann heißt F x , y ( x ), K , y (n ) ( x ) = 0 gewöhnliche Differentialgleichung.

(

)

12.1.2 Richtungsfeld, Isokline: Wenn durch den Punkt M die Lösungskurve y=φ(x) der Differentialgleichung y ′ = f ( x , y ) geht, so kann die Richtung der Tangente in diesem Punkt unmittelbar ermittelt werden. Damit definiert die Differentialgleichung in jedem Punkt eine Richtung der Tangente an eine Lösungskurve. Die Gesamtheit dieser Richtungen bildet das Richtungsfeld. Verbindungslinien von Punkten gleicher Richtung der Tangente heißen Isoklinen.

12.1.3 Lösungen: Die Lösungen von gewöhnlichen Differentialgleichung mit einer Anfangsbedingung setzen sich in der Regel aus der Summe von mindestens zwei Einzellösungen zusammen. Die Lösung einer allgemeinen Differentialgleichung ist dann die Summe der homogenen Löung und der inhomogenen oder partikulären Lösung. Erhält man aus einer Differentialgleichung eine Lösungsmenge, so ist jede Linearkombination von Einzellösungen wieder eine Lösung. Dies ist mit dem Faktorsatz und der Summenregel aus der Differentialrechnung erklärbar (s. Kapitel 6.1).

12.1.4 Anfangswertproblem (AWP): Als Anfangswertproblem bezeichnet man eine Differentialgleichung zusammen mit ihren zugehörigen Anfangsbedingungen.

12.1.5 Satz von Picard-Lindelöf: Es sei ein Anfangswertproblem y ′ = f ( x , y ) , y0 = y(x0) gegeben. Ferner sei ein Rechteck

R = {( x, y ) x − x0 ≤ a; y − y 0 ≤ b}

gegeben, auf dem die Funktion f(x,y) stetig und partiell nach y differenzierbar sei.   b Eine Zahl ε sei durch ε = min  a ,  bestimmt.  max { f ( x , y )} Es gibt dann im Abstand ε von x0 genau eine Lösung zum gegebenen Anfangswertproblem.

Seite 75

12. Gewöhnliche Differentialgleichungen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

12.2 Differentialgleichungen erster Ordnung 12.2.1 Form, Anfangsbedingung: Differentialgleichungen erster Ordnung besitzen die Form y ′( x ) = A ( x ) + B (x ) ⋅ y ( x ) . Es seien hier A(x) und B(x) im Intervall [a,b] stetig. Des weiteren sollen ein x0 aus dem gegebenen Intervall und ein (reelles) y0 existieren, die die Anfangsbedingung y(x0)=y0 bilden. 12.2.2 Homogene Differentialgleichung: Ist A(x)=0, also y ′(x ) = B ( x ) ⋅ y ( x ) , so hat diese als homogen bezeichnete Differentialgleichung genau eine Lösung der allgemeinen Form ∫x 0 B (t )dt x

y 1 (x ) = y 0 ⋅ e . Diese Lösungsfunktion ist immer positiv.

12.2.3 Inhomogene Differentialgleichung: Differentialgleichungen erster Ordnung in der allgemeinen Form und allgemeinen Anfangsbedingungen (s.o., 12.2.1) haben die partikuläre Lösung in der Form x x A (t ) y (t ) ∫ B (t )dt y 2 ( x ) = ∫ * dt ⋅ e x0 mit y1* (t ) = 1 . x 0 y (t ) y 1 0

12.2.4 Allgemeine Lösung:

 Die allgemeine Lösung lautet: y ( x ) = y1 + y 2 =  y 0 + 

∫

x

x0

A (t )  ∫xx0 B (t )dt dt ⋅ e y1* (t ) 

12.2.5 Trennung der Variablen: Ein wichtiges Verfahren zur Lösung von Differentialgleichungen erster Ordnung ist das der Trennung der Variablen. Dabei wird die Differentialgleichung auf eine Form gebracht, bei der die Variablen x und y nur noch in voneinander getrennten Termen auftreten. Die entstehende Gleichung kann dann sofort integriert werden. M ( x ) ⋅ N ( y ) ⋅ dx + P ( x ) ⋅ Q ( y ) ⋅ dy = 0 M (x ) Q(y ) ⇔ ⋅ dx + ⋅ dy = 0 P (x ) N (y ) M (x ) Q(y ) ⇔ ∫ ⋅ dx + ∫ ⋅ dy = C P (x ) N (y )

Beispiel:

x ⋅ dy + y ⋅ dx = 0 ⇔

1

1

∫ y ⋅ dy + ∫ x ⋅ dx = C = ln c ⇔

x⋅ y = c

Seite 76

12. Gewöhnliche Differentialgleichungen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

12.3 Bernoulli’sche Differentialgleichungen 12.3.1 Form: Bernoulli’sche Differentialgleichungen haben die Form α y ′( x ) = A ( x ) ⋅ y ( x ) + B ( x ) ⋅ [ y (x )] α ∈ Å \ {1}, y ( x ) ≥ 0 . 12.3.2 Lösungsansatz: Ziel dieses Ansatzes ist die Rückführung der Differentialgleichung auf eine Differentialα gleichung erster Ordnung. Es wird zunächst durch durch [ y ( x )] geteilt. y′( x ) ⋅ [ y (x )]

−α

= A( x ) ⋅ [ y ( x )]

1−α

+ B( x )

Danach wird die neue Variable z ( x ) = [ y ( x )]

1−α

eingeführt.

Deren Ableitung lautet z ′( x ) = (1 − α ) ⋅ [ y ( x )] ⋅ y ′( x ) . Es ergibt sich daraus eine Differentialleichung erster Ordnung für z(x): z ′( x ) = (1 − α ) ⋅ A( x ) ⋅ z (x ) + (1 − α ) ⋅ B ( x ) Diese DGL läßt sich mit dem in Kapitel 12.2 beschriebenen Verfahren lösen. Anschließend wird −α

mit y ( x ) = [z ( x )]1−α resubstituiert. 1

Beispiel: Gesucht wird die allgemeine Lösung der folgenden Differentialgleichung. 4y y′ = +x y x 1 ⇒α = ⇒z= y 2 2z x z′ = + x 2

1  1  ⇒ z = x ⋅  ln x + C  ⇒ y = x 4 ⋅  ln x + C  2  2 

2

2

12.4 Differentialgleichungen n-ter Ordnung und Systeme erster Ordnung 12.4.1 Form von Systemen von Differentialgleichungen erster Ordnung:  y ′ = f ( x, y ( x ), K , y ( x )) 1 1 n  1′  y 2 = f 2 ( x, y1 ( x ), K , y n ( x )) Komponentenschreibweise:  M   y ′ = f ( x, y ( x ), K , y ( x )) n 1 n  n ′ Vektorschreibweise: y ( x ) = f x, y ′ Anfangswertproblem: y ( x ) = f (x, y ), y ( x0 ) = y 0

( )

12.4.2 Form von Differentialgleichungen n-ter Ordnung: Differentialgleichungen n-ter Ordnung werden geschrieben in der Form y (n ) = f x, y, y′, K , y (n−1) .

(

)

Seite 77

12. Gewöhnliche Differentialgleichungen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

12.4.3 Lösungsansatz: Es wird eine Substitution durchgeführt. y1Ú y y2 Ú y ′ M

yn−1Ú y (n−2 )

yn Ú y (n−1)

(

⇒ y (n ) = y′n = f x, y, y′, K , y (n−1)

)

Daraus folgen das neue System von Differentialgleichungen und die neuen Anfangsbedingungen. ′ y2  y1   y ′          y3  y2   y ′′     M  = M =  M       yn  M   M     y   y′   (   n   n   f x, y1 , K , yn )  y0   y0,1       y0′   y0, 2  = y0 =  M   M   (n−1)     y  y  0   0 ,n 

12.4.4 Allgemeine Lösung: Die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung der Form y (n ) = f x , y , y ′, K , y (n −1 ) enthält n unabhängige willkürliche Konstanten. y = y (x , C1 , K , C n )

(

)

Das gleiche gilt für die allgemeine Lösung von Systemen von n Differentialgleichungen.

 y1 = F1 ( x , C1 , K , C n )  y = F (x , C , K , C )  2 2 1 n  M   y n = Fn ( x , C1 , K , C n ) Das Lösungsprinzip beruht darauf, daß versucht wird, die Ordnung mittels Substitution der Variablen zu verringern, um einfachere Differentialgleichungen zu erhalten. Das Auffinden passender Substitutionen wird erleichtert durch die Unterscheidung verschiedener Fälle:

1. Die unabhängige Variable x ist nicht explizit in der Differentialgleichung enthalten. dy d2y dp Die Substitution lautet dann =p ⇔ = p⋅ . 2 dx dx dy Damit wird die Ordnung von n auf (n−1) verringert.

Seite 78

12. Gewöhnliche Differentialgleichungen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

2. Die abhängige Variable y ist nicht explizit in der Differentialgleichung enthalten. Die Substitution lautet y (k ) = p für die k-te als niedrigste in der Differentialgleichung vorkommende Ableitung von y. Die Ordnung der DGL wird damit um eins verringert.

(

)

f x, y, y′, y ′′, K , y (n ) = 0 ist eine homogene Funktion1 in

3. Die Differentialgleichung y , y ′, y ′′, K , y (n ) .

z⋅dx y′ , d.h. y = e ∫ . y Die Ordnung wird um eins verringert.

Die Substitution lautet z =

4. Die Differentialgleichung ist eine Funktion nur von x. Die allgemeine Lösung lautet dann folgendermaßen: y = C 1+ + C 2 x + C 3 x 2 + K + C n x n −1 + ψ ( x ) mit ψ ( x ) =

∫∫ L ∫ f (x )(dx ) = n

x 1 n −1 ⋅ ∫ f (t )( x − t ) dt x (n − 1)! 0

1 k −1 ⋅ y (x 0 ) (k − 1)! Hilfreich kann bei der Lösung solcher Differentialgleichungen auch die folgende Beziehung sein: ′ 1 ⋅ y′2 = y′′ ⋅ y′ 2 Ck =

und

( )

12.5 Lineare Differentialgleichungs-Systeme erster Ordnung Mit Ausnahme der Unterpunkte 12.5.1 bis 12.5.3 sollen nur DGL-Systeme mit konstanten Matrizen behandelt werden. 12.5.1 Lineares Differentialgleichungs-System erster Ordnung: Es hat die folgende Form: ′ y = A( x ) ⋅ y + f

 f1    f =  M , f   n

mit

 y1    y =  M  und y   n

 a11 (x ) L a1n ( x )    A( x ) =  M O M   a ( x ) L a ( x ) nn  n1 

Ist f ≡ 0, so heißt das System homogen, sonst inhomogen. Ist A eine konstante Matrix, so spricht man von einem System mit konstanten Koeffizienten. 12.5.1.1 Lösbarkeit: Sind die Elemente aik(x) der Matrix und die Funktion f stetig in einem gegebenen Intervall, so hat das DGL-System genau eine Lösung in diesem Intervall.

1

Eine Funktion heißt homogen mit dem Homogenitätsgrad m, wenn sie die folgende Bedingung für beliebige λ erfüllt:

f (λx1 , λx2 ,K, λxn ) = λ ⋅ f ( x1 , x2 ,K, xn ) m

Seite 79

12. Gewöhnliche Differentialgleichungen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

12.5.1.2 Linearkombinationen von Lösungen eines homogenen linearen DGL-Systems: Sind y1,...,yk Lösungen eines homogenen linearen DGL-Systems, dann ist auch jede beliebige Linearkombination y = c1 ⋅ y1 + K + ck ⋅ y k mit c1 ,K, ck ∈Å von Lösungen wieder eine neue Lösung. 12.5.2 Lineare Abhängigkeit, lineare Unabhängigkeit von Lösungen: Die Funktionen y1,...,yk nennt man auf einem Intervall linear unabhängig, falls für alle x aus diesem Intervall aus α1 ⋅ y1 ( x ) + K + α k ⋅ y k ( x ) = 0 α1 = K = α k = 0 folgt. Andernfalls heißen y1,...,yk linear abhängig. 12.5.3 Anzahl linear unabhängiger Lösungen:

′ Ist die Matrix A ( x ) ∈ Å n × Å n stetig in einem Intervall für x, dann hat das System y = A ( x ) ⋅ y genau n linear unabhängige Lösungen in diesem Intervall. 12.5.4 Fundamentalsystem (FS), Fundamentalmatrix, Übertragungsmatrix: 12.5.4.1 Fundamentalsystem:

′ Ein System y1,...,yn linear unabhängiger Lösungen von y = A ⋅ y heißt Fundamentalsystem. 12.5.4.2 Fundamentalmatrix: Als Fundamentalmatrix bezeichnet man die Matrix Y (x ) = y 1 , K , y n .

(

)

Die reell gewählte Fundamentalmatrix ermöglicht später die direkte Berechnung eines homogenen Lösungsanteils: y H ( x ) = Y ( x ) ⋅ c mit c ∈¶ n Eigenschaften der Fundamentalmatrix: 1. Y ′( x ) = A ⋅ Y ( x )

2. c = Y (0 ) ⋅ x 0 12.5.4.3 Übertragungsmatrix oder normierte Matrix: −1 Die (stets reelle) Übertragungsmatrix lautet: Yˆ ( x ) = Y ( x ) ⋅ Y (0 ) Homogener Lösungsanteil des DGL-Systems, berechnet mit der Übertragungsmatrix: y H ( x ) = Yˆ ( x ) ⋅ x 0 mit x 0 ∈Å n −1

Eigenschaften der Übertragungsmatrix: 1. Yˆ ′( x ) = A ⋅ Yˆ ( x ) 2. Yˆ (0 ) = E 3. Yˆ ( x1 + x 2 ) = Yˆ ( x1 ) ⋅ Yˆ ( x 2 ) −1 4. Yˆ (− x ) = Yˆ (x )

12.5.5 Wronski-Determinante eines homogenen linearen DGL-Systems: Haben die Lösungen y1,...,yn die Dimension n, so wird W ( x )Údet y 1 , y 2 , K , y n 1 442 4 4 3

(

)

( n× n )- Matrix

Wronski-Determinante genannt. Ist die Wronski-Determinante W(x) ≠ 0 für alle x, so bilden die Lösungen y1,...,yn ein Fundamental-system. Für lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung wird die WronskiDeterminante etwas anders definiert. Seite 80

12. Gewöhnliche Differentialgleichungen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

12.5.6 Lösungsverfahren für lineare Differentialgleichungs-Systeme erster Ordnung: Die allgemeine Lösung setzt sich zusammen aus einem homogenen Lösungsanteil und einem partikulären Lösungsanteil. y = yH + yP 12.5.6.1 Bestimmung des homogenen Lösungsanteils: 1. Schritt: Die homogenen linearen DGL-Systeme

′ y = A⋅ y

werden mit Hilfe der

Eigenvektoren und der Eigenwerte der Matrix A gelöst. Aus der Charakteristischen Gleichung a11 − λ a12 L a1n a21 a22 − λ L a2 n det ( A − λE ) = =0 M M O M an1 an 2 L ann − λ erhält man ein vollständiges System von (komplexen) Wurzeln λ1, λ2, ..., λn (Eigenwerte von A). 2. Schritt: Danach sind zwei Fälle zu unterscheiden. 1. Fall: Verschiedene Wurzeln λi Mit der Gleichung ( A − λi E ) ⋅ν = 0 erhält man für jede der Wurzeln λi je einen Lösungsvektor νi , der nicht normiert werden muß. Das (komplexe) Fundamentalsystem ergibt sich dann zu Folgendem:  y = ν 1 ⋅ e λ1x  1 λ2 x y =ν 2 ⋅ e FS:  2 M   y = ν n ⋅ e λn x  n Tritt in dem vollständigen System der Wurzeln eine komplexe Wurzel auf (z.B. λ1 = α + i ⋅ β ), dann kommt in dem System auch die konjugiert-komplexe Wurzel λ 2 = λ 1 = α − i ⋅ β vor. Daraus folgt dann, daß auch die zugehörigen Lösungsvektoren konjugiert-komplex sind. y1 = y 2 ⇔ ν 1 ⋅ e λ1x = ν 2 ⋅ e λ2 x Diese beiden komplexen Lösungen können durch zwei reelle Lösungsvektoren ersetzt werden. Sie lauten folgendermaßen: y + y2 ~ y 1 = Re y 1 = 1 2 y − y2 ~ y 2 = Im y 1 = 1 2i

( )

( )

Die beiden Vektoren entsprechen dem Real- bzw. dem Imaginärteil von y1.

Seite 81

12. Gewöhnliche Differentialgleichungen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

Beispiel: Gesucht wird die allgemeine Lösung des folgenden DGL-Systems.

⇔

λ1,2 = ± i

 1   1    und ν 2 =  ν 1 =   −1 − i   −1+ i   1  −ix  1  ix  ⋅ e  ⋅ e ⇒ y 1 =  und y 2 =   −1− i  −1+ i cos x sin x     ~   und ~ y 1 = Re y 1 =  y 2 = Im y 1 =   − sin x + cos x   − cos x − sin x  cos x sin x =1 det − cos x − sin x − sin x + cos x

( A − λ1 E ) ⋅ν 1 = 0

⇒

1− λ −2

1  ′  1 ⋅ y y =  − 2 − 1 1 4243 A 1 = λ2 + 1 = 0 ⇔ −1 − λ

bzw.

( A − λ 2 E ) ⋅ν 2 = 0

( )

⇔

( )

cos x sin x      + C 2 ⋅   ⇒ y ( x ) = C1 ⋅   − cos x − sin x   − sin x + cos x 

2. Fall: Mehrfache Wurzeln λi Die Wurzel λi trete r-mal auf. Die Lösungen, die der r-fachen Wurzel λi im Fundamentalsystem entsprechen, erhält man mit dem Ansatz y i = u 0 + u 1 x + K + u r −1 x r −1 ⋅ e λi x .

(

)

Das auftretende Polynom ist vom Grad r−1. Die Vektoren ui sind unbestimmt. Setzt man nun yi in das DGL-System ein, so entsteht ein lineares Gleichungssystem für die Vektorkoordinaten, von denen r entsprechend der Vielfachheiten der Wurzel λi beliebig wählbar sind. Beispiel: Gesucht wird die allgemeine Lösung des folgenden DGL-Systems.  0 1 0  ′  y = 0 0 1 ⋅ y  0 − 1 2 14243 A 2 ⇒ A − λE = −λ ⋅ (λ − 1) = 0 ⇒ λ1 = 0, λ2 ,3 = 1

 c1    Der einfachen Wurzel λ1 = 0 entspricht der Lösungsansatz: y1 =  c2  . c   3  c1    Einsetzen in das DGL-System ergibt y1 =  0  . 0  

Seite 82

12. Gewöhnliche Differentialgleichungen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

Die Vielfachheit der Wurzel λ2,3 ist zwei, der zu benutzende Ansatz lautet dann:   a1   b1        y 2 , 3 =   a 2  +  b2  ⋅ x  ⋅ e x  a  b    3   3   Einsetzen in das DGL-System und Auflösen des linearen Gleichungssystems führt auf:  − 1  1  a1  1  b1             b2  = b2 ⋅  1  ⇒  a 2  = a 2  1  + b2 ⋅  0   1   1 a  1 b       3    3 Die Fundamentallösungen zu λ2,3 = 1 lauten dann:  −1 + x 1     x y 2 ( x ) = 1 ⋅ e , y 3 (x ) =  x  ⋅ e x  1+ x  1     Sie bilden zusammen mit y1 ein Fundamentalsystem. Die allgemeine Lösung lautet:  −1 + x 1  1     x   y( x ) = C1 ⋅  0  + C 2 ⋅ 1 ⋅ e + C3 ⋅  x  ⋅ e x  1+ x  1  0       Im allgemeinen Fall, d.h. unabhängig von der Vielfachheit der Eigenwerte der Matrix A ist das folgende Lösungsprinzip anwendbar. Es ist dem hier schon beschriebenen Verfahren äquivalent. Lösungsprinzip unter Verwendung der Übertragungsmatrix: Nach der Bestimmung der Übertragungsmatrix aus dem Fundamentalsystem gemäß der Formel −1 Yˆ ( x ) = Y ( x ) ⋅ Y (0 ) ergibt sich die homogene, reelle Lösung des vorgegebenen Anfangswertproblems zu Folgendem: y H ( x ) = Yˆ ( x ) ⋅ x 0 mit x 0 ∈Å n Mehr zu den Eigenschaften der Übertragungsmatrix befindet sich unter Punkt 12.5.4.3 . 12.5.6.2 Bestimmung des partikulären Lösungsanteils: ′ 1. Schritt: Für das Störglied f(x) des DGL-Systems y = A ⋅ y + f ( x ) wird folgender Ansatz gemacht:

[

]

f ( x ) = e βx ⋅ q1 ( x ) ⋅ cos(Ω ⋅ x ) − q 2 ( x ) ⋅ sin (Ω ⋅ x )

Die Zahlen β und Ω müssen reell sein, µ = β + i Ω darf kein Eigenwert von A sein. q1(x) und q2(x) sind reelle Vektorpolynome. Ist µ ein Eigenwert, so wird im 3. Schritt eine kleine Änderung vorgenommen. 2. Schritt: Man bildet dann die sogenannte komplexe Störfunktion: ~ f (x ) = q (x ) ⋅ e µx mit q (x ) = q 1 (x ) + i ⋅ q 2 ( x ) 3. Schritt: Der nächste Ansatz lautet: ~ y P (x ) = p (x ) ⋅ e µx

mit Seite 83

( )

()

grad p = grad q

12. Gewöhnliche Differentialgleichungen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

Falls µ ein Eigenwert ist, so wird dieser Ansatz gemacht: ~ y P (x ) = p (x ) ⋅ e µx

mit

grad ( p ) = grad (q ) + 2

Dies erzeugt zwar später ein Gleichungssystem höherer Ordnung, sonst müßte aber eine Fallunterscheidung für die Funktionswerte von µ im charakteristischen Polynom vorgenommen werden, die etwas mehr Zeit beansprucht. 4. Schritt: Dieser Ansatz für die partikuläre Lösung wird in das DGL-System eingesetzt. ~ ′ ′ A⋅ ~ y P (x ) + f (x ) = ~ y P ( x ) = µ ⋅ e µx ⋅ p ( x ) + e µx ⋅ p ( x ) ′ q(x ) = p (x ) − ( A − µ ⋅ E ) ⋅ p(x )

⇒

Die letzte Gleichung lassen sich die Koeffizienten von p(x) ermitteln. ~ Damit erhält man die partikuläre Lösung y P (x ) = p (x ) ⋅ e µx . Beispiel: Gesucht ist eine partikuläre Lösung des folgenden DGL-Systems.  0 − 2  3  ⋅ x(t ) +   ⋅ e −t x& (t ) =  2 0   1 Nach dem ersten Ansatz folgt:

β = − 1 Ω = 0     3  q 1 (t ) =     3   1   ( ) q t ⇒ =    1  q 2 (t ) = 0  

⇒

µ = −1   a  p (t ) =  1    a1  

⇒

a  x P (t ) = p (t ) ⋅ e µ t =  1  ⋅ e − t  a1 

Im nächsten Schritt wird nun dieser Lösungsansatz in das DGL-System eingesetzt und die unbekannten Koeffizienten ermittelt. x& P (t ) = A ⋅ x P (t ) + f (t )   a   0 − 2   a1  −t  3  ⋅   ⋅ e ⇒   ⋅ e −t = −  1  −  a 2 0 1    a 2   2   − a1 + 2a 2 = 3  − 1 ⇔ ⇔ a =   1 − 2a1 − a 2 = 1  − 1 ⇒ x P (t ) =   ⋅ e −t 1

Seite 84

12. Gewöhnliche Differentialgleichungen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

Lösungsprinzip unter Verwendung der Übertragungsmatrix: Auch die partikuläre Lösung läßt sich mit Hilfe der Übertragungsmatrix ermitteln. Sie lautet allgemein: y P ( x ) = Yˆ ( x ) ⋅ c (x ) mit

c (x ) =

∫ Yˆ (− s ) ⋅ f (s ) ⋅ ds x

Zur Berechnung des Vektors c(x) sind in der Regel etwas ausgefallenere Integrale zu lösen. Beispiel: Gesucht wird eine partikuläre Lösung zum folgenden DGL-System, dessen Übertragungsmatrix bereits bestimmt wurde.  cos t sin t   sin t   0 1   ⋅ x (t ) +  −t  x& (t ) =  Yˆ (t ) =   − sin t cos t  e   − 1 0 Nach der obenstehenden Formel ergibt sich dann: t t  cos (− s ) sin (− s )   sin s   ⋅  − s  ⋅ ds c(t ) = ∫ Yˆ (s ) ⋅ f (s ) ⋅ ds = ∫   − sin (− s ) cos(− s )  e  −s t  cos s ⋅ sin s − e ⋅ sin s   cos s − sin s   sin s    ⋅ ds  ⋅  − s  ⋅ ds = ∫  = ∫  2 −s  sin cos s s e + ⋅ sin s e cos s       1 1   ⋅ sin 2 t + ⋅ e −t ⋅ (sin t + cos t )   2 2  =  1 ⋅ (t − sin t ⋅ cos t ) + 1 ⋅ e −t ⋅ (− cos t + sin t ) 2  2 Die partikuläre Lösung lautet:  e − t + t ⋅ sin t 1   x P (t ) = Yˆ (t ) ⋅ c (t ) = ⋅  −t 2  − sin t − e + t ⋅ cos t  t

12.5.7 Allgemeine Lösung eines gegebenen Anfangswertproblems: Faßt man alle bis hierher gewonnenen Erkenntnisse zusammen, so ergibt sich folgende Formel: y ( x ) = Y ( x ) ⋅ c + Y ( x )∫ Y (ε ) ⋅ f (ε ) ⋅ d ε x

x0

Ausgedrückt mit der Übertragungmatrix: x y ( x ) = Yˆ ( x − x 0 ) ⋅ y 0 + ∫ Yˆ ( x − ε ) ⋅ f (ε ) ⋅ d ε x0

12.6 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung 12.6.1 Lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung: Unter einer linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung versteht man eine Differentialgleichung der Form y ( n ) + a n −1 ( x ) ⋅ y (n −1 ) + a n − 2 ( x ) ⋅ y (n − 2 ) + K + a1 ( x ) ⋅ y ′ + a 0 ( x ) ⋅ y = f ( x ) . Diese heißt homogen, falls f(x) = 0 ist, sie heißt inhomogen, falls f(x) ≠ 0 ist. Seite 85

12. Gewöhnliche Differentialgleichungen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

12.6.1.1 Lösbarkeit: Sind die Koeffizienten ak(x) und f(x) stetig in einem gegebenen Intervall, so hat für ein x0 aus diesem Intervall das Anfangswertproblem y ( n ) + a n −1 ( x ) ⋅ y (n −1 ) + K + a 0 ( x ) ⋅ y = f ( x ) y ( x 0 ) = y1 y ′( x 0 ) = y 2 M

y (n −1 ) ( x 0 ) = y n mit reellen yk genau eine Lösung im gegebenen Intervall. Im Folgenden sollen nur Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten betrachtet werden. 12.5.1.2 Linearkombinationen von Lösungen einer linearen DGL n-ter Ordnung: Sind y1,...,yk Lösungen einer homogenen linearen DGL n-ter Ordnung, dann ist auch jede beliebige Linearkombination y = c1 ⋅ y1 + K + c k ⋅ y k mit c1 , K , c k ∈ Å von Lösungen wieder eine neue Lösung. 12.6.2 Umformung in DGL-System erster Ordnung: Es werden Substitutionen durchgeführt: y1 = y  y 2 = y ′  M ⇒  M ( n −1 )  yn = y 

′ 1 0 0   y   L  y   0       0 0 1 0 L   ′ ′  y   y      M  = M M M O M ⋅ M  +         M M 0 0 0 1 L    (n −1 )   (n −1 )     y    − a 0 − a1 − a 3 L − a n −1   y   1 4 4 4 4 42 4 4 4 4 43 =A (n × n )− Matrix

0   0  M   M  f (x )

12.6.3 Fundamentalsystem: Die Darstellung des Fundamentalsystems von Lösungen sieht folgendermaßen aus:  yn   y1       y1′   y ′n  y1 (x ) =  , K , y n (x ) =  M  M   (n−1)   (n−1)  y  y   1   n 

12.6.4 Aufstellen eines Fundamentalsystems: Gegeben ist die homogene lineare DGL n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten: y (n ) + a n −1 ⋅ y (n −1) + a n − 2 ⋅ y (n − 2 ) + K + a1 ⋅ y ′ + a 0 ⋅ y = 0

Seite 86

12. Gewöhnliche Differentialgleichungen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

Man erhält ein Fundamentalsystem, wenn man zu jeder r-fachen Nullstelle λk die rk Lösungen e λk x , x ⋅ e λk x , K , x r −1 ⋅ e λk x und zu jedem Paar konjugiert-komplexer Nullstellen λk , λk (r-fach) die 2r Lösungen eσ k x ⋅ cos(τ k x ), K , x r −1 ⋅ eσ k x ⋅ cos(τ k x ) eσ k x ⋅ sin (τ k x ), K , x r −1 ⋅ eσ k x ⋅ sin (τ k x )

mit σ k = Re(λk )

und τ k = Im(λk )

zusammenfaßt. 12.6.5 Fundamentalmatrix, Übertragungsmatrix: Sie wird ebenso aufgestellt wie bei normalen DGL-Systemen:

 y1   y′ Y (x ) =  1 M  (n−1) y  1

y1 y ′2 M

(n −1)

y2

L yn   L y ′n  O M   L y n(n−1) 

Sie besitzt alle bereits bei DGL-Systemen beschriebenen Eigenschaften (s. Punkt 12.5.4.3). Das Aufstellen der Übertragungsmatrix erfolgt entsprechend.

12.6.6 Wronski-Determinante: Analog zu DGL-Systemen lautet sie: y1 y1 L yn y′ y ′2 L yn′ W (x ) = 1 M M O M ( n −1) ( n −1) ( n −1) y1 y2 L yn Ist der Betrag der Wronski-Determinante nicht null, so bilden die Spaltenvektoren ein Fundamentalsystem zur gegebenen Differentialgleichung.

12.6.7 Allgemeines Lösungsverfahren: 12.6.7.1 Charakteristisches Polynom: Zur Differentialgleichung y ( n ) + a n −1 ⋅ y ( n −1) + a n − 2 ⋅ y ( n − 2 ) + K + a1 ⋅ y ′ + a 0 ⋅ y = f ( x ) wird das charakteristische Polynom oder charakteristische Gleichung folgendermaßen definiert: P (λ ) = λ n + a n −1 ⋅ λ n −1 + a n − 2 ⋅ λ n − 2 + K + a1 ⋅ λ + a 0 12.6.7.2 Bestimmung des homogenen Lösungsanteils: 1.Schritt: Zuerst werden die Nullstellen der charakteristischen Gleichung ermittelt. 2. Schritt: Danach wird das reelle Fundamentalsystem aufgestellt. 3. Schritt: Die Lösung des homogenen DGL-Anteils lautet dann: y H ( x ) = c1 ⋅ y1 ( x ) + c2 ⋅ y 2 ( x ) + K + cn ⋅ y n ( x )

Seite 87

12. Gewöhnliche Differentialgleichungen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

12.6.7.3 Bestimmung des partikulären Lösungsanteils: 1. Schritt: Für das Störglied f(x) der DGL wird folgender Ansatz gemacht: f ( x ) = e βx ⋅ [q1 ( x ) ⋅ cos(Ω ⋅ x ) − q2 ( x ) ⋅ sin (Ω ⋅ x )] Die Zahlen β und Ω müssen reell sein. q1(x) und q2(x) sind reelle Polynome. 2. Schritt: Man bildet dann die sogenannte komplexe Störfunktion: ~ f (x ) = q ( x ) ⋅ e µx mit q (x ) = q1 (x ) + i ⋅ q 2 ( x )

und

µ = β + i⋅Ω

3. Schritt: Der nächste Ansatz lautet: ϕ ( x ) = (u 0 + u1 x + K + u r x r ) mit grad (ϕ ) = grad (q ) + 2 Die partikuläre (komplexe) Lösung wird wie folgt angesetzt: ~ y P (x ) = ϕ ( x ) ⋅ e µ x n 1 Daraus folgt dann: q ( x ) = ∑ ⋅ P (k ) (µ ) ⋅ ϕ (k ) ( x ) k =0 k! Im Falle, daß die Differentialgleichung zweiter Ordnung ist, gilt vereinfacht: ϕ ′′( x ) + P ′(µ ) ⋅ ϕ ′( x ) + P (µ ) ⋅ ϕ ( x ) = q ( x ) mit µ = β + i ⋅ Ω 4. Schritt: Aus der obenstehenden Formel werden schrittweise alle Koeffizienten bestimmt. Dazu kann der Koeffizientenvergleich — d.h. Vergleich von Real- bzw. Imaginärteilen auf beiden Seiten der Gleichung — angewandt werden. ϕ 1 ( x ) = Re [ϕ ( x )] ϕ 2 (x ) = Im [ϕ ( x )]

Daraus folgt schließlich für die partikuläre Lösung: y P ( x ) = Re [~ y P (x )] = e βx ⋅ [ϕ 1 ( x ) ⋅ cos (Ω ⋅ x ) − ϕ 2 ( x ) ⋅ sin (Ω ⋅ x )] Beispiel: Gesucht wird die allgemeine Lösung der folgenden linearen Differentialgleichung. &x& + 2 x& + 5 x = 51 t2 −3 13 + e −2 t ⋅43 sin t 1442 f 1 (t ) f 2 (t ) Eine solche Aufteilung des Störgliedes in zwei (oder mehr) Teile wird dann notwendig, wenn es offensichtlich nicht die allgemeine Form f ( x ) = e βx ⋅ [q1 ( x ) ⋅ cos(Ω ⋅ x ) − q2 ( x ) ⋅ sin (Ω ⋅ x )] von Störgliedern besitzt. Homogene Lösung: Es werden die Nullstellen des charakteristischen Polynoms P(λ) bestimmt. λ 2 + 2 λ + 5 = 0 ⇔ λ1 = − 1 + 2i λ 2 = − 1 − 2i Die allgemeine, reelle Lösung der homogenen Differentialgleichung lautet dann: x H (t ) = e − t ⋅ (c1 ⋅ cos 2 t + c 2 ⋅ sin 2 t )

Seite 88

12. Gewöhnliche Differentialgleichungen

Partikuläre Lösung: Zu f1(t):

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

~ f1 (t ) = 5t − 13 = f 1 (t )

x P1 (t ) = a 0 + a1t + a 2 t 2 + a 3 t 3 Koeffizentenvergleich liefert: x P1 (t ) = t − 3 Zu f2(t): ~ f 2 (t ) = 4e −2t ⋅ sin t = e βt ⋅ [q1 (t ) ⋅ cos(Ωt ) − q2 (t ) ⋅ sin (Ωt )]

β = −2

mit

⇒

q1 (t ) = 0

Ω =1 µ = −2 + i

⇒~ x P 2 (t ) = e ⋅ ϕ (t ) = e µt

q (t ) = −4i

( −2+i )t

(

q2 (t ) = −4

⋅ a0 + a1t + a2t 2

)

Als nächstes wird der Ansatz ϕ ′′(t ) + P ′(µ ) ⋅ ϕ ′(t ) + P (µ ) ⋅ ϕ (t ) = q (t ) benutzt, um die unbekannten Koeffizienten von ϕ(t) zu bestimmen. Diese ergeben sich zu Folgendem: 2 4 a2 = a1 = 0 , a0 = − i 5 5 Die allgemeine Lösung des zweiten Teils vom Störglied lautet dann:  4  2 4  2  xP 2 (t ) = Re[~ x P 2 (t )] = Re e (−2+i )t ⋅  − i  = e −2t ⋅  cos t + sin t  5  5 5  5   Die allgemeine Lösung der gesamten Differentialgleichung ergibt sich somit zu: x (t ) = x H (t ) + x P1 (t ) + x P 2 (t ) = e − t ⋅ (c1 ⋅ cos 2 t + c 2 ⋅ sin 2 t ) +

2 −2t ⋅ e ⋅ (2 ⋅ sin t + cos t ) + t − 3 5

12.6.8 Tabelle zur Lösungsbasis von linearen homogenen Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten: Die homogene Lösung lautet untenstehenden Tabelle.

y H ( x ) = c1 ⋅ y1 ( x ) + c2 ⋅ y 2 ( x ) mit y1(x) und y2(x) aus der

Lösungsbasis der Differentialgleichung y1 ( x ) = e λ1x

Nullstellen von P(λ) λ1 , λ2 ∈Å, λ1 ≠ λ2

y 2 ( x ) = e λ2 x

y1 ( x ) = e λ1x

λ1 = λ2

y 2 ( x ) = x ⋅ e λ1x

λ1, 2 = α ± i ⋅ ω

y1 ( x ) = eα ⋅x ⋅ cos(ω ⋅ x )

mit ω > 0

y 2 ( x ) = eα ⋅x ⋅ sin (ω ⋅ x )

Tabelle 3: Lösungsbasis von linearen homogenen Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Seite 89

12. Gewöhnliche Differentialgleichungen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

12.7 Eulersche Differentialgleichungen 12.7.1 Form Eulerscher Differentialgleichungen Allgemein sehen diese Differentialgleichung folgendermaßen aus: (bx + c )n ⋅ y (n ) (x ) + an−1 ⋅ (bx + c )n−1 ⋅ y (n−1) (x ) + K + a1 ⋅ (bx + c ) ⋅ y′(x ) + a0 ⋅ y(x ) = F (x )

ak , b, c ∈Å

12.7.2 Allgemeines Löungsverfahren: Es wird eine Substitution durchgeführt, die aus dieser speziellen Differentialgleichung eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten macht. bx + c = e u ⇒ ~ y (k ) (u ) = y (k ) e u 123

( )

mit Ketten - und Produktregel zu berechnen

Die Resubstitution lautet dann: u = ln (bx + c )

12.7.3 Spezielle Eulersche Differentialgleichung zweiter Ordnung: In der Form x 2 ⋅ y ′′( x ) + a ⋅ x ⋅ y ′( x ) + b ⋅ y ( x ) = F ( x ) a, b ∈Å vereinfacht sich die Substitution auf x = eu ⇔ u = ln x und die neue Differentialgleichung lautet: ~ ~ y ′′(u ) + (a − 1) ⋅ ~ y ′(u ) + b ⋅ ~ y (u ) = F e u y (u ) = y e u mit

( )

( )

12.8 Rand- und Eigenwertprobleme 12.8.1 Begriff des Randwertproblems (RWP): Unter Randwertproblemen versteht man Probleme, bei denen die gesuchte Lösung einer Differentialgleichung (eines DGL-Systems) in den Endpunkten eines Intervalls der unabhänigen Variable(n) bei vorgegebenen Bedingungen genügen muß. Randwertprobleme treten in der Pysik sehr häufig auf. Gegeben sei L[y] = f(x), eine lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung mit auf [a,b] stetigen Koeffizienten. f(x) sei ebenfalls stetig. Die Randbedingungen seien n −1

(

)

U µ [ y ] = ∑ α µ ,ν ⋅ y (ν ) (a ) + β µ ,ν ⋅ y (ν ) (b ) ν =0

µ = 1, K , m

und γ1, ..., γm reell. Dann bestimmen die Gleichungen L[ y ] = f ( x ) U µ [y ] = γ µ µ = 1, K , m ein Randwertproblem (RWP). 12.8.2 Begriff des Eigenwertproblems bei Differentialgleichungen: Analog zur Definition des Eigenwertproblems bei Matrizen wird festgelegt: L[ y ] = λ ⋅ y heißt Eigenwertproblem der Differentialgleichung L[y]. λ heißt Eigenwert zur Eigenfunktion y, die diese Gleichung unter gegebenen Randbedingungen erfüllt. In den meisten Fällen muß für λ eine Fallunterscheidung durchgeführt werden. Seite 90

12. Gewöhnliche Differentialgleichungen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

Beispiel: Bestimmt werden sollen die Eigenwerte und die Eigenfunktionen des Randwertproblems w′′( x ) = λ ⋅ w( x ) für 0 ≤ x ≤ π λ ∈Å w′′(0) = w′′(π ) = 0 1. Fall: λ > 0: Die allgemeine Lösung der DGL lautet dann w( x ) = c1 ⋅ e Koeffizientenvergleich nach Einsetzen in die DGL liefert: 0 = w′′(0 ) = λ ⋅ (c1 + c2 ) !

(

λ ⋅x

+ c2 ⋅ e −

λ ⋅x

.

⇒ c1 = −c2

)

0 = w′′(π ) = λ ⋅ c1 ⋅ e λ ⋅π − e − λ ⋅π ⇒ c1 = 0 ⇒ c2 = 0 144244 3 ≠0 Die erhaltene Lösung für λ > 0 ist also die triviale Lösung w(x) ≡ 0. !

2. Fall: λ = 0: Die Lösung der entstehenden DGL w′′( x ) = 0 lautet w( x ) = c1 x + c2 , d.h., Eigenfunktionen zum Eigenwert λ = 0 sind w(x) = x und w(x) = 1. 3. Fall: λ < 0: In diesem Fall lautet die allgemeine Lösung: w( x ) = c1 ⋅ sin − λ ⋅ x + c2 ⋅ cos − λ ⋅ x

(

)

(

(

)

(

)

w′′( x ) = λ ⋅ c1 ⋅ sin − λ ⋅ x + λ ⋅ c2 ⋅ cos − λ ⋅ x

)

Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich: 0 = w′′(0 ) = λ ⋅ c2 !

(

⇒ c2 = 0

0 = w′′(π ) = λ ⋅ c1 ⋅ sin − λ ⋅ π !

)

Da λ ≠ 0 ist, muß entweder c1 = 0 (triviale Lösung) oder λ = −n² sein (n ganzzahlig). Zugehörige Eigenfunktionen sind wn ( x ) = c1 ⋅ sin (nx ) für n ∈Á .

12.9 Autonome Differentialgleichungen 2. Ordnung 12.9.1 Form, Anfangswerte: In der allgemeinen Form lauten sie:

&x& = f (x, x& ) Die unabhängige Variable t kommt nicht explizit vor. Anfangswerte: x(t 0 ) = x0 , x& (t 0 ) = p0 ≠ 0 12.9.2 Äquivalentes DGL-System erster Ordnung: Es wird geschieben in der Form: x& = p p& = f ( x, p ) Die Anfangswerte lauten dann: x(t 0 ) = x0 , p(t 0 ) = p0 ≠ 0 Seite 91

12. Gewöhnliche Differentialgleichungen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

In Anlehnung an die Physik wird p als Impuls bezeichnet, f sei ein Kraftfeld in einem bestimmten Gebiet der (x,p)-Phasenebene (Orts-Impuls-Ebene).

12.9.3 Singuläre Punkte: (xs,ps) heißt singulärer Punkt (SP) der Differentialgleichung &x& = f (x, x& ) , wenn folgendes gilt: p s = 0 und f ( xs ,0 ) = 0 Die singulären Punkte liegen auf der x-Achse. Andere Bezeichnungen für singuläre Punkte sind Gleichgewichtslage oder Ruhelage der Differentialgleichung. 12.9.4 Phasenkurve (PK): Eine orientierte Kurve Γ in der (x,p)-Ebene heißt Phasenkurve (PK) der Differentialgleichung &x& = f (x, x& ) , wenn es eine Lösung  x(t ) T  t a x(t ) = [x(t ), p (t )] =   x& (t ) gibt, die eine Parameterdarstellung (PD) von Γ ist.

Merkregel für die Pfeilrichtung in Phasenkurven: Die Pfeile weisen nach rechts, wenn p positiv ist. Wenn p negativ ist, weisen die Pfeile nach links.

12.9.5 Bestimmung der Phasenkurve, Lösen von Anfangswertproblemen: Die Bestimmung erfolgt in mehreren Schritten. 1. Schritt: Ansatz für Γ mit (x0,p0) ∈ Γ : p = ϕ (x ) p 0 = ϕ ( x0 ) Gesucht ist ϕ(x). Nach einigen Umformungen und Substitutionen ergibt sich: 1 ϕ ′ = ⋅ f ( x, ϕ ) ϕ und ϕ ( x0 ) = p0 ≠ 0 Dies ist eine Differentialgleichung erster Ordnung für ϕ(x). 2. Schritt: ϕ(x) wird berechnet. Man löst eine Differentialgleichung erster Ordnung für x(t), indem man dx = dt ϕ (x ) einsetzt. Es ergibt sich das Folgende: x ds t − t0 = ∫ x0 ϕ ( s ) Daraus erhält man t als Funktion von x. Aufgelöst nach x(t) hat man dann die Parameterdarstellung der Phasenkurve durch (x0,p0). Seite 92

12. Gewöhnliche Differentialgleichungen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

Beispiel: Gesucht ist die Lösung des folgenden Anfangswertproblems: 2 xx& 2 x& 3 + x 2 &x& = − mit x(0 ) = 1 , x& (0 ) = 2 und x > 0 3 + x2 2x2

(

Substitution ergibt: x& = p

)

  p 3+ x 2 xp  p& = −  3 + x2 2x2  ⇒ ⇔ p = ϕ (x )  2 2  p 3+ x 2 xp p& = ϕ ′( x ) ⋅ p = −  2 3+ x 2x2  2x 3 + x2 2x 3 + x2 ϕ (x ) − ϕ (x ) + ⇒ ϕ ′( x ) = ⇒ ϕ ′( x ) − =0 3 + x2 2x2 3 + x2 2x2

(

2

2

)

(

)

Nach Lösungsformel für Differentialgleichungen erster Ordnung ergibt sich: 2s

  x 2 x  ∫x0 B (s )ds  3 + x ! =p ϕ (x ) = e ⋅ ϕ0 − ∫ { A(t ) ⋅ e dt  = { x0 2x 3+ t  = p =2 = 2t   Damit ist die Phasenkurve bestimmt. Weiter kann berechnet werden: x x 3 + x2 ds = ln 3 + s 2 = ln t − t0 = ∫ { x0 =1 ϕ (s ) 1 4 =0 =−

3+ s x } B ( s ) ds x0 2

∫

2

0

2

[

⇒ x(t ) = + 4e t − 3

]

3 4 Dies ist die Lösung des angegebenen Anfangswertproblems. mit t > ln

12.9.6 Spezielle autonome Differentialgleichungen 2. Ordnung: Wenn sich die Differentialgleichung schreiben läßt als &x& = f ( x ) , dann lassen sich ein Potential (potentielle Energie), kinetische Energie und Gesamtenergie einer Masse m = 1 definieren. 12.9.6.1 Potential (potentielle Energie): Eine Funktion U(x) heißt Potential oder potentielle Energie, wenn U ′( x ) = − f ( x ) gilt. U ( x ) = − ∫ f (ε )dε x

x0

12.9.6.2 Kinetische Energie: Sie wird definiert als Ekin ( p ) =

1 2 1 2 x& = p . 2 2

12.9.6.3 Gesamtenergie: Die Gesamte Energie eines Massenpunktes im Kraftfeld f am Ort x mit dem Impuls p ist die Summe von kinetischer und potentieller Energie: 1 E ( x, p ) = p 2 + U ( x ) 2

Seite 93

12. Gewöhnliche Differentialgleichungen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

12.9.6.4 Energiesatz: Für alle Punkte (x,p) einer Phasenkurve gilt der Energiesatz: E ( x, p ) = E0 = konst.

⇒ U (x ) ≤ E0 Die Phasenkurven sind Niveaulinien der Energiefunktion bzw. Teile davon.

12.9.7 Lösungsverfahren der speziellen Differentialgleichung: Es entfallen einige bei der allgemeinen autonomen Differentialgleichung notwendige Annahmen bzw. Schritte. Es darf nun p0 = 0 sein. 1. Schritt: Das Potential wird aus U ( x ) = − ∫ f (ε )dε x

x0

berechnet.

Die Phasenkurve folgt dann aus dem Energiesatz. 2. Schritt: Der Impuls läßt sich berechnen mit p = ϕ ( x ) = ± 2 ⋅ (E0 − U ( x ))

E 0 = E ( x 0 , p0 )

3. Schritt: Man gewinnt die Lösung mit der schon angegebenen Formel t − t 0 = ∫

x

x0

ds . ϕ (s )

12.9.8 Autonome Differentialgleichungs-Systeme: Das allgemeine System lautet: x& = v( x )  x1,s   Ein singulärer Punkt sei x S =  mit v( x S ) = 0 . x 2 , s   12.9.8.1 Linearisiertes System: Ist v(x) in eine Taylorreihe entwickelbar, so heißt das System  ∂v1 ∂v1  ∂x 2  ∂x1 x S x& = A ⋅ ( x − x S ) mit A = v x x = x =  s ∂v 2  ∂v 2  ∂x1 ∂x 2 xS  linearisiertes System.

   xS    xS 

Ermittelt man für das linearisierte System einen singulären Punkt eines bestimmten Typs, so ist er auch ein singulärer Punkt gleichen Typs für das nicht-linearisierte System.

Seite 94

12. Gewöhnliche Differentialgleichungen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

12.9.9 Klassifizierung von singulären Punkten, Phasenportraits: 12.9.9.1 Knotenpunkt: Ein Knotenpunkt liegt vor, wenn die Wurzeln der charakteristischen Gleichung reell sind und gleiches Vorzeichen besitzen. In der Umgebung des singulären Punktes verlaufen alle Phasenkurven durch ihn hindurch und haben hier, falls keine Doppelwurzel vorliegt, eine gemeinsame Tangente. Im Falle einer Doppelwurzel haben die Phasenkurven entweder eine gemeinsame Tangente, oder durch den singulären Punkt verläuft in jeder Richtung eine eindeutige Kurve. Handelt es sich um ein lineares autonomes DGL-System, so werden noch Knotenpunkte 1. Art und Knotenpunkte 2. Art unterschieden.

Abbildung 18: Knoten 1. Art

Abbildung 19: Knoten 2. Art

12.9.9.2 Strahlpunkt / Sternpunkt: Als Strahlpunkt bezeichnet man einen Knotenpunkt, durch den Phasenkurven der Form y = C·x gehen.

Abbildung 20: Sternpunkt

Seite 95

12. Gewöhnliche Differentialgleichungen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

12.9.9.3 Sattelpunkt: Als Sattelpunkt bezeichnet man einen singulären Punkt, durch den genau zwei Phasenkurven verlaufen. Die Wurzeln der charakteristischen Gleichung sind dann reell und besitzen verschiedenes Vorzeichen. Sattelpunkte sind immer instabil.

Abbildung 21: Sattelpunkt

12.9.9.4 Strudelpunkt: Sind die Wurzeln der charakteristischen Gleichung konjugiert-komplex, dann ist der singuläre Punkt ein Strudelunkt, auf den sich die Phasenkurven in unendlich vielen Windungen aufwinden.

Abbildung 22: Strudelpunkt

12.9.9.5 Wirbelpunkt: Ein singulärer Punkt, in dessen Umgebung ausschließlich geschlossene Phasenkurven liegen, heißt Wirbelpunkt. Die charakteristische Gleichung muß rein imaginäre Wurzeln haben.

Abbildung 23: Wirbelpunkt

Seite 96

12. Gewöhnliche Differentialgleichungen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

12.9.9.6 Stabilität von singulären Punkten: Gilt für einen singulären Punkt (x0,0), daß zu jedem ε > 0 ein δ > 0 existiert, wobei für eine Wahl des Anfangspunktes (x10, x20) mit dem Abstand δ1 < δ zum singulären Punkt die zugehörige Phasenkurve einen Abstand δ2 < ε zum singulären Punkt hat, dann heißt der singuläre Punkt stabil. Die Pfeilrichtung der Phasenkurve weist auf den singulären Punkt. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so heißt der singuläre Punkt instabil.

12.9.9.7 Stabilitätskarte für lineare autonome DGL-Systeme im Å²: DGL-System:

x& = A ⋅ x

Bezeichnungen: a b   A =  c d  1 1 α = ⋅ Spur A = ⋅ (a + d ) 2 2 γ = det A β = α2 −γ λ1 , λ2 : Eigenwerte von A

Es treten dann verschiedene Fälle auf: 1. Fall: Sattelpunkt: γ < 0 ⇒ β > α . Die Eigenwerte haben verschiedenes Vorzeichen. 2. Fall: Gerade von singulären Punkten: γ = 0 und α ≠ 0 ⇒ β = α . Ein Eigenwert ist null, der andere nicht. 3. Fall: Knoten 1. Art: 0 < γ < α 2 ⇒ β < α . Die Eigenwerte haben gleiches Vorzeichen. 4. Fall: γ = α 2 ⇔ β = 0 ⇔ λ1 = λ2 = α ∈Å . Es gibt nur einen Eigenwert. 4.1: Sternpunkt: Die Eigenvektoren spannen den Å² auf. 4.2: Knoten 2. Art: Die Eigenvektoren spannen den Å² nicht auf. 5. Fall: Strudelpunkt: γ > α 2 ⇔ λ1 ,λ1 ∉Å Die Eigenwerte sind konjugiert-komplex.

Seite 97

12. Gewöhnliche Differentialgleichungen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

Abbildung 24: Stabilitätskarte für lineare autonome DGL-Systeme im Å²

Seite 98

13. Fourierreihen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

13. Fourierreihen 13.1 Trigonometrische Polynome und minimale Integralmittel 13.1.1 Periodizität: Eine skalare Funktion f(x) heißt periodisch mit der Periode T > 0 oder auch T-periodisch, falls f(x) = f(x + T) für alle reellen x gilt. Ist eine solche Funktion f T-periodisch, so ist  x ⋅T  g (x ) = f    2π  2π-periodisch. Die folgenden Betrachtungen beziehen sich ausschließlich auf 2π-periodische Funktionen. 13.1.2 Trigonometrisches Polynom n-ten Grades: So bezeichnet man folgendes Polynom: n

Tn ( x ) = a0 + ∑ (a k ⋅ cos kx + bk ⋅ sin kx ) k =1

mit a k , bk ∈Å

13.1.3 Primäre Problemstellung: Gegeben sei eine 2π-periodische Funktion f. 13.1.3.1 Kann f durch ein bestimmtes trigonometrisches Polynom besonders gut angenähert werden ? 13.1.3.2 Was heißt „gute Annäherung“ überhaupt, wo f doch nicht einmal stetig sein muß, aber jedes Tn stetig ist ? 13.1.3.3 Welche zusätzlichen Forderungen sind an f bzw. an die Koeffizienten ak, bk zu stellen so daß die formale Reihe ∞

S f ( x ) = lim Tk ( x ) = a0 + ∑ (ak ⋅ cos kx + bk ⋅ sin kx ) k →∞

k =1

konvergiert ? 13.1.3.4 Wenn Sf (x) für ein reelles x existiert, gilt dann f(x) = Sf(x) ? 13.1.4 Integralmittel: Als Maß der Annäherung wählt man das sogenannte Integralmittel:

ε n = ε n (a0 , K , an , b1 , K , bn ) = ∫

π

−π

[ f (x ) − Tn (x )]2 ⋅ dx

13.1.5 Fourierkoeffizienten (FK): Minimiert man das Integralmittel, so ergibt sich Folgendes: 1 π a0 = ⋅ f ( x ) ⋅ dx 2π ∫−π 1 π a k = ⋅ ∫ f ( x ) ⋅ cos kx ⋅ dx π −π 1 π bk = ⋅ ∫ f ( x ) ⋅ sin kx ⋅ dx π −π Existieren diese Integrale, so heißen die Terme Fourierkoeffizienten (FK) von f. Seite 99

13. Fourierreihen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

13.1.6 Unterscheidung bei geraden und ungeraden Funktionen: Sei eine 2π-periodische Funktion f(x) gegeben, deren Fourierkoeffizienten für alle k existieren. Dann gilt: f ist eine gerade Funktion: 1 π a0 = ⋅ ∫ f (x ) ⋅ dx π 0 2 π ak = ⋅ ∫ f (x ) ⋅ cos kx ⋅ dx π 0 bk = 0 f ist eine ungerade Funktion: a0 = a k = 0 bk =

2 π ⋅ f ( x ) ⋅ sin kx ⋅ dx π ∫0

13.1.7 Konvergenz: Ist f stetig im Intervall [−π,π] und 2π-periodisch, dann gilt: ∞ 1 π 2 ∞ > ⋅ ∫ f ( x ) ⋅ dx ≥ 2a02 + ∑ (a k2 + bk2 ) π −π k =1 Die Fourierkoeffizienten streben gegen null, wenn k gegen unendlich geht. 13.1.8 Fourierreihe: Ist f stetig und stückweise glatt im Intervall [−π,π] sowie 2π-periodisch, dann konvergiert die Fourierreihe gleichmäßig und absolut, und es gilt: 1 S f ( x ) = ⋅ lim f  x  + lim f  x   ε → x+ ε → x− 2 Betrachtet man eine allgemeine 2L-periodische Funktion f, so gilt für die Fourierreihe: ∞  1  nπ   nπ   S ( x ) = a0 + ∑  an ⋅ cos x  + bn ⋅ sin  x   2  L   L  n =1  mit

an =

1 L  nπ ⋅ ∫ f ( x ) ⋅ cos L −L  L

bn =

1 L ⋅ L ∫− L

 x  ⋅ dx   nπ  f ( x ) ⋅ sin  x  ⋅ dx  L 

n = 0, 1, 2, K

13.1.9 Dirichlet-Term: Dieser wird aus dem trigonometrischen Polynom gewonnen. n

Tn ( x ) = a0 + ∑ (ak ⋅ cos kx + bk ⋅ sin kx ) k =1

    1  π 1 n  = ⋅  ∫ f (t ) ⋅ + ∑ (cos kt ⋅ cos kx + sin kt ⋅ sin kx ) ⋅ dt  4244444 3  2 k =1 14444 π −π  =cos[k ⋅( x −t ) ]    1 π 1 n  = ⋅ ∫ f (t ) ⋅  + ∑ cos[k ⋅ ( x − t )] ⋅ dt π − π 2 k =1 1 44424443 = Dn ( x −t )

Seite 100

13. Fourierreihen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

Der Dirichlet-Term hat folgende Eigenschaften:

 1  sin  n +  ⋅ u  2   Dn (u ) = u 2 ⋅ sin 2 1 π ⋅ Dn (u ) ⋅ du = 1 π ∫−π Daraus folgt für das trigonometrische Polynom: 1 π Tn ( x ) = ⋅ ∫ f ( x − u ) ⋅ Dn (u ) ⋅ du π −π 13.1.10 Fourierreihenentwicklungen einiger 2π-periodischer Funktionen: Funktion Fourierreihe ∞ 2 4 cos(2nx ) f (x ) = − ⋅ ∑ − sin x − π ≤ x ≤ 0 π π n =1 4n 2 − 1 f ( x ) = sin x =  0 ≤ x ≤π  sin x 2 4  cos(2 x ) cos(4 x ) cos(6 x )  = − ⋅ + + + K π π  1⋅ 3 3⋅5 5⋅7  − x f (x ) =   x

− 1 f (x ) =  1

f (x ) = x

2

−π ≤ x ≤ 0 0≤ x ≤π

−π < x < 0 0≤ x ≤π

−π ≤ x ≤ π

f (x ) = = f (x ) = =

f (x ) = =

π 4 ∞ cos[(2n − 1)x ] − ⋅∑ 2 π n =1 (2n − 1)2

cos(3 x ) cos(5 x ) π 4   − ⋅  cos x + + + K 2 2 2 π  3 5  4 ∞ sin[(2n − 1)x] ⋅∑ 2n − 1 π n =1

4  sin (3 x ) sin (5 x )  ⋅  sin x + + + K x ≠ nπ 3 5 π   ∞ π2 n cos (nx ) + 4 ⋅ ∑ (− 1) ⋅ 3 n2 n =1

π2 cos(2 x ) cos(3 x )   − 4 ⋅  cos x − + − + K 2 2 3 2 3   sin (nx ) n n =1 ∞

x f (x ) =  0

0 ≤ x < 2π x = 2π

f (x ) = π − 2 ⋅ ∑

x ≠ 2 nπ

sin (2 x ) sin (3 x )   = π − 2 ⋅  sin x + + + K 2 3  

Tabelle 4: Fourierreihenentwicklungen einiger 2π-periodischer Funktionen

Seite 101

13. Fourierreihen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

13.2 Eine Anwendung auf die Saitenschwingung Gegeben sei eine Saite der Länge π, die an beiden Enden eingespannt sei und auf die keine äußeren Kräfte einwirke. 13.2.1 Zugehöriges Randwertproblem:

y (0, t ) = y (π , t ) = 0 für alle t y ( x,0 ) = f ( x ) yt ( x,0) = g ( x ) y ( x, t ) = X ( x ) ⋅ T (t )

13.2.2 Separierte Differentialgleichungen: Man erhält als Ansatz: T&&(t ) − λ ⋅ T (t ) = 0 X ′′( x ) −

λ ⋅ X (x ) = 0 c2

13.2.3 Ermittlung der Eigenfunktionen: Unter Berücksichtigung der Anfangs- und Randwerte ergibt sich: X k ( x ) = C ⋅ sin (k ⋅ x )

Tk (t ) = d1, k ⋅ cos(c ⋅ k ⋅ t ) + d 2, k ⋅ sin (c ⋅ k ⋅ t )

13.2.4 Lösung der Differentialgleichung: y k ( x, t ) = X k ( x ) ⋅ Tk (t ) n

∑ y ( x, t ) k =1

n ∈Á

k

13.2.5 Fourierreihen von f bzw. g: n

Falls

∑ y (x, t ) existiert und Differentiation und Summation vertauschbar sind, so folgt: k =1

k

∞

f ( x ) = ∑ d 1,k ⋅ sin (k ⋅ x ) k =1 ∞

g ( x ) = ∑ d 2,k ⋅ c ⋅ k ⋅ sin (k ⋅ x ) k =1

Dies sind die Fourierreihen von f bzw. g.

Seite 102

14. Kurven und Flächen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

14. Kurven und Flächen 14.1 Kurven im Å² und Å³ 14.1.1 Parameterdarstellung eines Kurvenbogens, Parametertransformation: x : [a, b ] a Å n , n ∈ {2,3} heißt Parameterdarstellung eines Kurvenbogens, wenn x(t) stetig und differenzierbar ist, sowie die Ableitung nach t im Intervall [a,b] nicht null ist. Eine Parametertransformation heißt „zulässig“, wenn sie bijektiv und stetig ist, sowie überall eine positive Ableitung besitzt. Bei zulässigen Parametertransformationen ändert sich die Richtung einer Tangente nicht. 14.1.2 Spezielle zulässige Parametertransformation auf „Bogenlänge“: Die Länge einer allgemeinen Kurve lautet: l (K ) = ∫

b

s (t ) = ∫

t

a

a

x& (τ ) ⋅ dτ 2

x& (τ ) ⋅ dτ 2

Dies ist eine zulässige Parametertransformation. 14.1.3 Tangentenvektor, Normalenvektor und Krümmung einer Kurve im Å²:  x&  1 ⋅  1  Tangentenvektor: t (t ) = x& 2 + x& 2  x& 2  1

Normalenvektor:

Krümmung:

n(t ) =

1

 − x&  ⋅  2  x&12 + x&12  x&1  1

κ (t ) =

⊥ x& ⋅ &x&

x&

3

 − x&  ⊥ mit x& =  2   x&1 

14.1.4 Begleitendes Dreibein einer Kurve im Å³: Sei x(s) eine Parameterdarstellung einer Kurve im Å³ parametrisiert nach der Bogenlänge. Dann heißen

′ t (s ) = x (s )

′ t (s ) n (s ) = ′ t (s )

und

Tangentenvektor, ′ für t (s ) ≠ 0

b(s ) = t (s ) × n(s )

Hauptnormalenvektor

Binormalenvektor.

{t (s ), n(s ), b(s )} heißt begleitendes Dreibein der Kurve. Es bildet eine Orthogonalbasis des Å³. Seite 103

14. Kurven und Flächen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

14.1.5 Frenetsche Formeln: Sei x(s) eine Parameterdarstellung einer Kurve im Å³ parametrisiert nach der Bogenlänge. {t (s ), n(s ), b(s )} sei das begleitende Dreibein. ′ Man nennt dann κ (s ) = t (s ) Krümmung und ′ τ (s ) = −b (s ) ⋅ n(s )

Torsion oder Windung.

Daraus folgt dieses Differentialgleichungs-System: ′ t =κ ⋅n ′ ′ n = −κ ⋅ t + τ ⋅ b ′ b = −τ ⋅ n Mit x’ = t ist x(s) dann bis auf eine Translation eindeutig bestimmt. 14.1.6 Bezüglich der Zeit parametrisierte Kurven im Å³: x& t= Tangentenvektor: x&

x& × &x& x& × &x&

Binormalenvektor:

b=

Hauptnormalenvektor:

n = b×t

Krümmung:

κ=

Torsion / Windung:

τ=

x& × &x& x&

3

(x& × &x&) ⋅ &x&& (x& × &x&)2

14.2 Einführung in die lokale Theorie der Flächen im Å³ 14.2.1 Parameterdarstellung eines Flächenstückes, Parametertransformation: 2 3 x: G Å2 a4 Å 1⊂ 44 4 3 heißt Parameterdarstellung eines Flächenstücks x(G) im Å³, falls x in G stetig (u ,v )a x (u , v )

differenzierbar ist und für alle (u,v) aus G gilt: x u × x v ≠ 0 ~ 2 2 Eine Parametertransformation φ : G G4 ⊂4 Å 1⊂ 4Å 44a 24 3 heißt zulässig, falls φ bijektiv und stetig  φ1 (u ,v )    φ 2 (u , v ) 

(u ,v )aφ (u ,v )=

differenzierbar ist. Darüber hinaus muß die Jacobideterminante positiv sein. J φ (u , v ) > 0 für alle (u,v) aus G. Seite 104

14. Kurven und Flächen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

Ist φ eine zulässige Parametertransformation, dann ändert sich die Richtung von x u × x v unter φ nicht. n=

Normalenvektor der Fläche x(G):

xu × xv xu × xv

14.2.2 Kurven auf Flächen: Sei γ : [a, b] ⊂ Å a G ⊂ Å 2 die Parameterdarstellung einer ebenen Kurve in G. Dann ist

x o γ : [a, b] ⊂ Å a Å 3 die Parameterdarstellung einer Kurve auf der Fläche x(G).

(

)

( )

( )

d x o γ = x u γ (t ) ⋅ u& (t ) + x v γ (t ) ⋅ v&(t ) dt d Die Tangente liegt in der von xu und xv aufgespannten Ebene. x o γ ⊥( x u × x v ) dt

Deren Tangentenvektor ist gegeben durch:

(

)

14.2.3 Koeffizienten der 1. Fundamentalform: Die Bogenlänge wird bestimmt durch

(

2

)

2

d 2  ds  x o γ = x u u& + x v v&   = dt  dt  = x u x u u& 2 + 2 x u x v u&v& + x v x v v& 2 { { 123 E

F

G

E, F, G heißen Koeffizienten der 1. Fundamentalform. ds 2 = E ⋅ du 2 + 2 F ⋅ du ⋅ dv + G ⋅ dv 2

Schreibweise:

14.2.4 Eigenschaften, Anwendungen: 2 3 Sei x : G Å2 a4 Å 1⊂ 44 4 3 die Parameterdarstellung der Fläche x(G) und E, F, G die Koeffizienten (u ,v )a x (u , v )

der 1. Fundamentalform. Dann kann Folgendes formuliert werden:  u (t )  die Parameterdarstellung einer Kurve in G, und die Verkettung von 14.2.4.1 Ist t a γ (t ) =   v(t )  x und γ verbinde auf G die Punkte a und b. Dann gilt für die Bogenlänge s der Flächenkurve:

s=∫

b

a

Eu& 2 + 2 Fu&v& + Gv& 2 ⋅ dt

14.2.4.2 Seien γ1 und γ2 die Parameterdarstellungen zweier Kurven in G, die sich für ein t schneiden. Dann schneiden sie sich unter dem Winkel α mit Eu&1u& 2 + F (u&1v& 2 + u& 2 v&1 ) + Gv&1v& 2 cos α = Eu&1u& 2 + F (u&1v& 2 + u& 2 v&1 ) + Gv&1v& 2 14.2.4.3 Durch x u × x v = EG − F 2 wird der Flächeninhalt des von xu und xv aufgespannten Parallelogramms bestimmt. Seite 105

14. Kurven und Flächen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

14.2.5 Flächen in expliziter Form: Es gilt allgemein:  1    x = 0 u   u  f      u x(u, v ) =  v  ⇒  0   f (u, v )      xv =  1   f    v Normalenvektor auf die Tangentialebene:

⇒

 E = 1 + f u2  F = f u ⋅ f v  2 G = 1 + f v

 − fu    n = xu × xu =  − fv   1   

Seite 106

15. Kurven- und Oberflächenintegrale

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

15. Kurven- und Oberflächenintegrale 15.1 Orientierte und nicht orientierte Kurvenintegrale 15.1.1 Orientiertes Kurvenintegral: Sei x : [a, b ] a G ⊂ Å 2 Å 3 eine Parameterdarstellung der Kurve C. Es sei f : G a Å 2 Å 3

( )

( )

eine stetige Funktion. Dann heißt ∫ f ⋅ d x = ∫ f (x(t )) ⋅ x&(t ) ⋅ dt

(

C

)

C

orientiertes Kurvenintegral von f längs C. Andere Schreibweise: ∫ f ⋅ d x = ∫ f1 ⋅ dx1 + f 2 ⋅ dx2 + f 3 ⋅ dx3 C

bzw.

C

∫ f ⋅ n ⋅ ds = ∫ f ⋅ d x

C

C

⊥

= ∫ f ( x(t )) ⋅ x& ⋅ dt b

⊥

a

15.1.2 Nicht orientiertes Kurvenintergal: Ist ϕ : G a Å stetig, so heißt

∫ ϕ ⋅ d x = ∫ ϕ ⋅ ds = ∫ ϕ (x(t )) ⋅ x&(t ) ⋅ dt b

a

C

C

nicht orientiertes Kurvenintegral von ϕ längs C. 15.1.3 Eigenschaften von Kurvenintegralen, Rechenregeln: 15.1.3.1 Bei zulässigen Parametertransformationen verändern orientierte und nicht orientierte Kurvenintegrale ihren Wert nicht. 15.1.3.2 Für reelle a, b , stetige Skalarfelder ϕ, ψ , und stetige Vektorfelder f, g gilt:

∫ (a ⋅ f + b ⋅ g )⋅ d x = a ⋅ ∫ f ⋅ d x + b ⋅ ∫ g ⋅ d x

C

C

C

∫ (a ⋅ ϕ + b ⋅ψ ) ⋅ d x = a ⋅ ∫ ϕ ⋅ d x + b ⋅ ∫ψ ⋅ d x

C

C

C

15.1.3.3 Weitere Eigenschaften sind:

∫ f ⋅ d x = −∫ f ⋅ d x

−C

C

∫ϕ ⋅ d x = ∫ϕ ⋅ d x

−C

C

∫ f ⋅dx = ∫ f ⋅dx + ∫ f ⋅dx

C1 + C 2

C1

C2

∫ϕ ⋅ d x = ∫ϕ ⋅ d x + ∫ϕ ⋅ d x

C1 + C 2

C1

C2

Seite 107

15. Kurven- und Oberflächenintegrale

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

15.1.3.4 Es gelten folgende Abschätzungen:

∫ f ⋅dx ≤ ∫

C

f ⋅ dx

C

∫ϕ ⋅ d x ≤ ∫ ϕ ⋅ d x

C

C

15.1.4 Potential eines Vektorfeldes: Ist C eine geschlossene Kurve innerhalb eines sternförmigen Gebietes, und existiert ein skalares Feld ϕ, so daß grad ϕ = f

∫ f ⋅dx = 0

ist, dann gilt immer

C

ϕ heißt Potential des Vektorfeldes f.

Abbildung 25: Sternförmiges Gebiet

15.1.5 Sternformiges Gebiet: Unter einem sternförmigen Gebiet versteht man ein Gebiet im Å³, in dem es mindestens einen Punkt gibt, von dem aus es Geraden zu jedem anderen Punkt in dem Gebiet geben kann, die die Grenzlinien des Gebietes nicht überschneiden. Von diesem Punkt ausgehende Strahlen durchschneiden die Grenzlinien des Gebietes demnach genau einmal.

15.2 Orientierte und nicht orientierte Oberflächenintegrale Allgemein betrachtet man Oberflächenintegrale ebenso wie Kurvenintegrale. 15.2.1 Orientiertes Oberflächenintegral: Sei x : G ⊂ Å 2 a Å 3 eine Parameterdarstellung

f : D a Å3

des

(F ⊂ D ⊂ Å ) ein stetiges Vektorfeld. Dann heißt ∫ f ⋅ d o = ∫∫ [ f ⋅ (x × x )]⋅ d (u, v )

Flächenstückes

3

u

F

v

G

orientiertes Oberflächenintegral von f auf F. Ähnlich setzt man das komponentenweise zu berechnende Integral ∫ f × d o = ∫∫ f × (x u × x v ) ⋅ d (u, v ) .

[

F

]

G

Seite 108

F.

Es

sei

15. Kurven- und Oberflächenintegrale

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

15.2.2 Nicht orientiertes Oberflächenintegral: Ist ϕ : D a Å F ⊂ D ⊂ Å 3 eine stetige skalare Funktion so heißt

(

)

∫ ϕ ⋅ do = ∫∫ϕ (x(u, v )) ⋅ x F

u

× x v ⋅ d (u , v )

G

nicht orientiertes Oberflächenintegral von ϕ auf F.

15.2.3 Rechenregeln: 15.2.3.1 Oberflächenintegrale verändern ihren Wert nicht, falls eine zulässige Parametertransformation durchgeführt wird. 15.2.3.2 Für reelle a, b , stetige Funktionen ϕ, ψ , und stetige Vektorfelder f, g gilt: ∫ a ⋅ f + b ⋅ g ⋅ do = a ⋅ ∫ f ⋅ do + b ⋅ ∫ g ⋅ do

(

)

F

F

F

∫ (a ⋅ ϕ + b ⋅ψ ) ⋅ do = a ⋅ ∫ ϕ ⋅ do + b ⋅ ∫ψ ⋅ do F

F

F

15.2.3.3 Weitere Eigenschaften sind: ∫ f ⋅ d o = −∫ f ⋅ d o −F

F

∫ ϕ ⋅ do = ∫ ϕ ⋅ do

−F

F

∫ f ⋅ do = ∫ f ⋅ do + ∫ f ⋅ do

F1 + F2

F1

F2

∫ ϕ ⋅ do = ∫ ϕ ⋅ do + ∫ ϕ ⋅ do

F1 + F2

F1

F2

15.2.3.4 Es gelten folgende Abschätzungen:

∫ f ⋅ do ≤ ∫ F

f ⋅ do

F

∫ ϕ ⋅ do ≤ ∫ ϕ ⋅ do F

F

15.3.3 Explizit gegebene Funktionen: Ist F explizit gegeben durch eine Funktion z = f(x,y), dann läßt sich sagen:  x    X ( x, y ) =  y   f ( x, y )   0 1     ⇒ X x = 0 , X y =  1  f  f   x  y

− fx    ⇒ X x × X y = − fy   1   

do = X x × X y ⋅ d ( x, y ) = 1 + f x2 + f y2 ⋅ d ( x, y )

Seite 109

16. Integralsätze und Vektoranalysis

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

16. Integralsätze und Vektoranalysis 16.1 Satz von Gauß in Ebene und Raum 16.1.1 Divergenz eines Vektorfeldes: Es gilt (übertragbar in Ebene und Raum):

u   div v = div  v  = u x + v y + wz  w   16.1.2 Satz von Gauß in der Ebene: Sei G ein geeignetes Gebiet des Å² (sternförmig). Sei weiter die Randkurve ∂G so parametrisiert, daß G „links“ von ∂G liegt. Es sei v ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann gilt:

∫v⋅dx

⊥

∂G

= − ∫∫ div v( x ) ⋅ d ( x, y ) G

 v1   Q   folgt : Mit v =   =   v2   − P 

∫ P ⋅ dx + Q ⋅ dy = ∫∫ (Q

∂G

x

− Py )⋅ d ( x, y )

G

16.1.3 Satz von Gauß im Raum: Sei G ein geeignetes Gebiet des Å³ (sternförmig). Die Randfläche sei durch x(u,v) so parametrisiert, daß x u × x v nach „außen“ zeigt. Es sei v ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann gilt:

∫ v ⋅ d o = ∫∫∫ div v(x ) ⋅ d (x, y, z )

∂G

G

16.1.4 Fluß von v durch ∂G: Als Fluß von v durch ∂G wird das Integral

∫∫ (v ⋅ n ) ⋅ do ∂G

16.1.5 Zirkulation von Vektorfeldern: Sie ist für alle geschlossenen C definiert als ∫ f ⋅dx = Z . C

Ist Z = 0 bzw. grad ϕ = f , dann heißt das Vektorfeld v zirkulationsfrei.

Seite 110

bezeichnet.

16. Integralsätze und Vektoranalysis

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

16.2 Satz von Stokes 16.2.1 Rotation eines Vektorfeldes: Die Rotation rot v ist definiert als:

∂     u   ∂x   u   w y − v z        ∂ rot v = rot  v  =   ×  v  =  u z − wx     w   ∂y   w   v − u  y     x   ∂    ∂z  Ist rot v = 0, so handelt es sich um ein wirbelfreies Feld. v ist dann ein Potentialfeld im entsprechenden Gebiet.

16.2.2 Satz von Stokes: Es sei F ein Flächenstück definiert auf einem Parameterbereich G ⊂ Å 2 . Dieser sei so beschaffen, daß der Satz von Gauß anwendbar ist. Außerdem sei die Abbildung x : G a Å 2 , die F bestimmt, zweimal stetig differenzierbar. Ist nun das Vektorfeld v auf einem Gebiet, das F enthält, stetig differenzierbar, so gilt der Satz von Stokes:

∫ rot v ⋅ d o = ∫ v ⋅ d x F

∂F

16.2.3 Vektorpotential: Es sei v : G a Å 3 stetig differenzierbar und G sternförmig. Es existiert ein „Vektorpotential“ a als ein in G stetig differenzierbares Feld mit rot a = v ⇔ X × a = v , wenn in G folgendes gilt: div v = u x + v y + w z = 0

16.3 X-Rechnung (Nablarechnung) 16.3.1 X-Operator: Er wird folgendermaßen definiert: n ∂ X = ∑ek ⋅ ∂x k k =1

im Å n

Seite 111

16. Integralsätze und Vektoranalysis

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

16.3.2 Rechenregeln: Für skalare Felder ϕ, ψ und für Vektorfelder f, g gilt: X ⋅ (ϕ + ψ ) = X ⋅ ϕ + X ⋅ψ X⋅ f + g = X⋅ f + X⋅ g

( ) X× ( f + g ) = X× f + X× g

X ⋅ (ϕψ ) = ϕ ⋅ X ⋅ψ + ψ ⋅ X ⋅ ϕ X ⋅ ϕ ⋅ f = f ⋅ X ⋅ ϕ + ϕ ⋅ X ⋅ f = f ⋅ grad ϕ + ϕ ⋅ div f

( ) X ⋅ (ϕ ⋅ f ) = − f × X ⋅ ϕ + ϕ ⋅ X × f X ⋅ ( f × g ) = g ⋅ (X × f ) − f ⋅ (X × g ) X × ( f × g ) = f ⋅ g − g ⋅ (X ⋅ f ) + f ⋅ (X ⋅ g ) − g {x

{x

Matrix

Matrix

X ⋅ (X ⋅ ϕ ) = ∆ϕ = ϕ xx + ϕ yy + ϕ zz

(

)

(

)

⋅f

X⋅ X× f = 0 X × (X ⋅ ϕ ) = 0

(

)

(

)

(

X× X× f = X⋅ X⋅ f − ∆ f = X⋅ X⋅ f − f

xx

+f

yy

+f

zz

)

16.4 Der Green’sche Integralsatz 16.4.1 Green’scher Integralsatz: Es sei G ein Gebiet im Å³, so daß der Satz von Gauß gilt. Sind u, v auf zweimal stetig differenzierbar, dann gilt mit dem nach außen gerichteten Normaleneinheitsvektor n von ∂G: 

∂u

∂v 

∫∫∫ (v ⋅ ∆u − u∆v ) ⋅ d (x, y, z ) = ∫∫  v ⋅ ∂ n − u ⋅ ∂ n  ⋅ n ⋅ do G

∂G

Hierbei ist ∆ der Laplace-Operator.

16.4.2 Anwendung: Es sei G ein Gebiet, so daß der Satz von Gauß gilt, und es sei U zweimal stetig differenzierbar in G = G ∪ ∂G . Gilt ∆u = 0 auf G, so ist für x0 aus G:

U (x 0 ) =

 1 1 ∂u ( x − x 0 ) ⋅ n  ⋅ ∫∫  ⋅ + ⋅ u  ⋅ do 2 4π ∂G  x − x 0 ∂ n x − x  0 

Seite 112

16. Integralsätze und Vektoranalysis

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

16.5 Exakte Differentialgleichungen 16.5.1 Exakte Differentialgleichungnen: Eine Differentialgleichung der Form P ( x, y ) + Q ( x , y ) ⋅ y ′ = 0 mit stetigen Funktionen P, Q : G a Å heißt in G exakt, wenn es eine stetig differenzierbare Funktion F gibt die die folgende Bedingung erfüllt:  P grad F =   Q  P F muß also das Potential des Vektorfeldes   sein. Q Häufig schreibt man exakte Differentialgleichung in der Form  P P ⋅ dx + Q ⋅ dy = 0 ⇔   ⋅ d x = 0 . Q Für das Potential F gilt:

F ( x, y ) = ∫

(x, y )

( x0 , y 0 )

P ⋅ dx + Q ⋅ dy

16.5.2 Exakte Differentialgleichungen in sternförmigen Gebieten: In sternförmigen Gebieten mit stetigen Funktionen P, Q : G a Å gilt Folgendes: P ( x, y ) + Q ( x , y ) ⋅ y ′ = 0 ist genau dann exakt, wenn Qx = Py gilt. Diese Bedingung heißt Integrabilitätsbedingung. 16.5.3 Spezielle Vektorpotentiale: Hat das Potential F die Form F ( x, f ( x )) = c [= F ( x0 , y 0 )] , dann ist f(x) Lösung der Differentialgleichung P( x, y ) + Q( x, y ) ⋅ y ′ = 0 . 16.5.4 Singuläre Punkte von exakten Differentialgleichungen: Diese ergeben sich aus diesem Gleichungssystem: P( x 0 , y 0 ) = 0 Q( x 0 , y 0 ) = 0

16.5.5 Integrierender Faktor m(x,y): Als integrierenden Faktor bezeichnet man den zweimal stetig differenzierbaren Term m(x,y), der nicht null ist, welcher sich aus dieser Bedingung ergibt. P ⋅ mx − Q ⋅ m y = Qx − Py m Damit werden nicht exakte Differentialgleichungen zu exakten Differentialgleichungen. m ⋅ P + m ⋅ Q ⋅ y′ = 0 Die Lösung erhält man dann wieder aus F ( x, y ) = ∫

( x, y )

( x0 , y 0 )

Seite 113

m ⋅ P ⋅ dx + m ⋅ Q ⋅ dy .

16. Integralsätze und Vektoranalysis

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

16.5.6 Bestimmung von integrierenden Faktoren für bestimmte Differentialgleichungen: Py − Q x eine nur von x abhängige Funktion dar, dann ist: 16.5.6.1 Stellt ϕ ( x ) = Q m( x ) = e

∫x ϕ (t )⋅dt x

0

Q x − Py

16.5.6.2 Stellt ψ ( y ) = m( y ) = e

P

eine nur von y abhängige Funktion dar, dann ist:

∫y ψ (t )⋅dt y

0

16.5.7 Implizite Lösungen von nicht exakten Differentialgleichungen: 16.5.7.1 Wesentlich verschieden heißen zwei integrierende Faktoren m und n, wenn es keine reelle Zahl λ gibt, so daß m = λ ⋅n 16.5.7.2 Implizite Lösung:

m ( x, y ) = c , c ∈Å n ( x, y )

Seite 114

A. Anhang: Tabellen und Kurzreferenzen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

A. Anhang: Tabellen und Kurzreferenzen A.1 Trigonometrische Funktionswerte an besonderen Winkeln α

sin α

cos α

tan α

cot α

0

0

1

0

±∞

π 6 π 4 π 3 π 2

1 2

1 3 3

3

1 2 2 1 3 2

1 3 2 1 2 2 1 2

3

1 3 3

1

0

±∞

0

π

0

−1

0

±∞

3π 2

−1

0

±∞

0

2π

0

1

0

±∞

1

1

Tabelle 5: Trigonometrische Funktionswerte an besonderen Winkeln

A.2 Zusammenhänge der trigonometrischen Funktionen sin α sin α = cos α = tan α = cot α =

cos α

1− cos 2 α 1− sin 2 α sin α 1 − sin 2 α 1 − sin 2 α sin α

1 − cos 2 α cosα cosα 1 − cos 2 α

tan α tan α

cot α 1

1 + tan 2 α 1

1 + cot 2 α cot α

1 + tan 2 α

1 + cot 2 α 1 cot α

1 tan α

Tabelle 6: Zusammenhänge der trigonometrischen Funktionen

Hierbei liegt α im 1. Quadranten.

Seite 115

A. Anhang: Tabellen und Kurzreferenzen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

A.3 Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen A.3.1 Summe und Differenz: sin (α ± β ) = sin α ⋅ cos β ± cosα ⋅ sin β

cos(α ± β ) = cosα ⋅ cos β m sin α ⋅ sin β tan α ± tan β 1 m tan α ⋅ tan β cot α ⋅ cot β m 1 cot (α ± β ) = cot α ± cot β tan (α ± β ) =

A.3.2 Vielfache: sin 2α = 2 ⋅ sin α ⋅ cosα cos 2α = cos 2 α − sin 2 α 2 ⋅ tan α tan 2α = 1 − tan 2 α cot 2 α − 1 cot 2α = 2 ⋅ cot α sin 3α = 3 ⋅ sin α − 4 ⋅ sin 3 α cos 3α = 4 ⋅ cos 3 α − 3 ⋅ cosα sin 4α = 8 ⋅ sin α ⋅ cos 3 α − 4 ⋅ sin α ⋅ cosα cos 4α = 8 ⋅ cos 4 α − 8 ⋅ cos 2 α + 1 A.3.3 Potenzen: 1 ⋅ (1 − cos 2α ) 2 1 cos 2 α = ⋅ (1 + cos 2α ) 2 sin 2 α =

1 ⋅ (3 ⋅ sin α − sin 3α ) 4 1 cos 3 α = ⋅ (3 ⋅ cosα + cos 3α ) 4 sin 3 α =

Seite 116

A. Anhang: Tabellen und Kurzreferenzen

Alle Angaben sind ohne Gewähr. Bruno Gnörich, RWTH Aachen

A.4 Einheitskreis Am Einheitskreis lassen sich für einen gegebenen Winkel die trigonometrischen Funktionen ablesen.

Abbildung 26: Einheitskreis

Seite 117