Vorkurs Mathematik

E. Cramer · J. Nešlehová

Vorkurs Mathematik Arbeitsbuch zum Studienbeginn in Bachelor-Studiengängen

Dritte, verbesserte Auflage

123

Professor Dr. Erhard Cramer Institut für Statistik und Wirtschaftsmathematik RWTH Aachen Wüllnerstr. 3 52056 Aachen Deutschland e-mail: [email protected]

Dr. Johanna Nešlehová Department of Mathematics ETH Zürich Zentrum Rämistr. 101 8092 Zürich Schweiz e-mail: [email protected]

Mathematics Subject Classification (2000): 62-01

ISBN 978-3-540-78180-6

e-ISBN 978-3-540-78181-3

DOI 10.1007/978-3-540-78181-3 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. c 2008, 2006, 2005 Springer-Verlag Berlin Heidelberg
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Vorwort

v

Vorwort Mathematisches Schulwissen wird in Vorlesungen vieler Studieng¨ange als bekannt und vollst¨ andig verstanden vorausgesetzt. In der Realit¨at zeigt sich jedoch, dass dieser Anspruch zunehmend nicht erf¨ ullt ist und Studierende oft Schwierigkeiten haben, dem Inhalt einer einf¨ uhrenden Veranstaltung zur Mathematik oder Statistik zu folgen. Zur Schließung vorhandener L¨ ucken werden daher oft Vorkurse oder so genannte Br¨ uckenkurse“ angeboten, die ” das Schulwissen beginnend bei Mengenlehre und Bruchrechnung aufbereiten. Aus einem derartigen Kurs, der von den Autoren an der Universit¨at Oldenburg mehrfach durchgef¨ uhrt wurde, ist auch die Idee zu diesem Buch entstanden. Der Vorkurs Mathematik pr¨ asentiert die bis zur Oberstufe des Gymnasiums vermittelte Mathematik in einer Form, die einerseits das Selbststudium ohne weitere Betreuung erlaubt und andererseits den Einsatz des Buchs als Begleittext zu einem Vorkurs unterst¨ utzt. Dazu enth¨alt er neben einer ausf¨ uhrlichen Darstellung der Inhalte und einer großen Anzahl von Beispielen eine Vielzahl von Aufgaben mit ausf¨ uhrlichen L¨osungen, die Lernende bei der (selbstst¨ andigen) Ein¨ ubung des Stoffs sowie der Analyse der eigenen Bearbeitung unterst¨ utzen. Als ein weiterer zentraler Aspekt enth¨ alt dieses Buch viele Beispiele aus der angewandten Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung. Diese Bereiche stellen ein wichtiges Anwendungsfeld der Mathematik dar und liefern somit die Motivation f¨ ur die ben¨ otigte Mathematik. Die Darstellung in diesem Buch tr¨agt diesem Ziel auch dadurch Rechnung, dass sie Themen wie z.B. Funktionen, Mengen, Folgen etc. und Problemstellungen aufgreift, die in der Statistik von Bedeutung sind. Dabei werden zwangsl¨ aufig Begriffe eingef¨ uhrt, deren inhaltliche Relevanz sich erst im Rahmen einer Veranstaltung zur Statistik erschließt. Eine vertiefende Diskussion sowie der Aufbau eines Verst¨andnisses f¨ ur diese Begriffe kann und soll hier nicht geleistet werden. Ein Vorteil dieses Ansatzes besteht darin, dass Lernende den Umgang mit Begriffen ein¨ uben und den mathematischen Gehalt des Begriffs realisieren. Insofern er¨offnet dieser Zugang einen wichtigen Beitrag zum abstrakten Denken und bietet zudem Wiedererkennungseffekte in Veranstaltungen zur Statistik. Zudem kann der Vorkurs begleitend zu einer Statistikveranstaltung genutzt werden, um mathematische Zusammenh¨ ange aufzuarbeiten. Statistische Fachbegriffe k¨onnen uchern wie z.B. Burkschat et al. (2004), Genschel und in einf¨ uhrenden B¨ Becker (2004) und Cramer und Kamps (2008) nachgelesen werden. Der Vorkurs umfasst in zw¨ olf Kapiteln das in Bachelor-Studieng¨angen ben¨otigte mathematische Schulwissen, wobei ein großer Teil der in Grundvorlesungen zur Statistik vorausgesetzten Mathematikkenntnisse abgedeckt wird.

vi

Vorwort

Ausf¨ uhrlicher als in der Schule werden f¨ ur die Statistik bedeutsame Themen wie Summen- und Produktzeichen oder Folgen und Reihen behandelt. Einige weiterf¨ uhrende Konzepte wie Funktionen mehrerer Ver¨anderlicher sind nicht enthalten und m¨ ussen an anderer Stelle nachgelesen werden (s. z.B. Kamps et al., 2003). Der Vorkurs Mathematik unterscheidet sich von anderen Lehrb¨ uchern durch die inhaltliche Konzeption, die Art der Darstellung und die problem- und zielorientierte Aufbereitung. Insbesondere werden folgende Aspekte ber¨ ucksichtigt: Alle vorgestellten Begriffe werden ausf¨ uhrlich erl¨autert und – sofern sinnvoll – grafisch veranschaulicht. Dabei ist die Wiederholung von bereits vorgestellten Inhalten beabsichtigt, um den Lernenden die M¨oglichkeit zu geben, die Themen selbstst¨ andig zu erarbeiten und einzu¨ uben. Die Methoden und Verfahren werden durch viele Beispiele aus der angewandten Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung illustriert. Erg¨ anzend zur formalen Darstellung werden Begriffe und Eigenschaften durchgehend auch verbal eingef¨ uhrt bzw. erl¨autert. Die große Auswahl an Aufgaben und deren ausf¨ uhrliche L¨osungen unterst¨ utzen das selbstst¨ andige Lernen und erm¨oglichen eine effiziente Selbstkontrolle. Das Nachschlagen einer L¨ osung zu einer Aufgabe (und umgekehrt) wird durch ein einfaches Verweissystem erleichtert: Am Rand einer Aufgabe (L¨osung) befindet sich jeweils ein Verweis auf die Seite, auf der die zugeh¨ orige L¨ osung (Aufgabe) abgedruckt ist. Die Gestaltung dieses Buchs ist an die modulare Online-Pr¨asentation der Inhalte in der Lehr- und Lernumgebung EMILeA-stat angelehnt (s. http://emilea-stat.rwth-aachen.de). Bezeichnungen und Definitionen, Beispiele und Regeln sind im Buch grafisch hervorgehoben. Wichtige Stellen im Text, die einer besonderen Aufmerksamkeit bed¨ urfen, werden auf dem Rand zus¨ atzlich mit dem Symbol
markiert. Viele Grafiken illustrieren Vorgehensweisen und Verfahren. Sie dienen u.a. der Vertiefung und dem besseren Verst¨andnis des Stoffs. Einige Grafiken wurden mit dem EMILeA-stat Grafikpaket erzeugt (s. Cramer et al., 2004). Verweise auf Beispiele, Begriffe und Eigenschaften innerhalb des Lehrtexts sind einer Online-Umgebung nachempfunden. Jedem 123
Verweis ist zur schnellen Orientierung die zugeh¨ orige Seitenzahl zugeordnet, so dass ein Umweg u ¨ ber den Index entfallen kann. Weitere Elemente zur besseren Orientierung sind ein ausf¨ uhrlicher Index und ein strukturiertes Abk¨ urzungs- und Symbolverzeichnis, das neben einer kurzen Erl¨ auterung auch den Verweis auf eine Textstelle enth¨alt.

Vorwort

vii

Die zweifarbige Umsetzung erm¨ oglicht die Hervorhebung wesentlicher Aspekte und die optische Strukturierung der Inhalte. Zudem werden Rechen¨ schritte und Argumentationen durch die Kennzeichnung von Anderungen deutlicher gemacht. Die dritte Auflage des Vorkurses wurde erneut kritisch durchgesehen, alle erkannten Unstimmigkeiten wurden beseitigt. Weitere Materialien zum Buch bzw. zum mathematischen Grundwissen werden auf der Webseite www.vorkurs-mathematik.de

zur Verf¨ ugung gestellt. Dort k¨ onnen Sie uns auch Ihre Anmerkungen und Vorschl¨ age mitteilen. Wir danken allen Leserinnen und Lesern, die uns Hinweise und Anregungen mitgeteilt haben und damit zur Verbesserung des Vorkurses beigetragen haben, sowie Frau Lilith Braun f¨ ur die angenehme Zusammenarbeit mit dem Springer-Verlag. Aachen, Z¨ urich Januar 2008

Erhard Cramer, Johanna Neˇslehov´ a

Aus dem Vorwort zur 1. Auflage Bei der Entstehung dieses Buchs wurden wir von Freunden und Kollegen in vielerlei Hinsicht unterst¨ utzt. Herr Prof. Dr. Udo Kamps hat uns als Herausgeber der EMILeA-stat-Medienreihe zu diesem Projekt eingeladen und es in seiner Entstehung begleitet. Wir danken ihm weiterhin f¨ ur einige wertvolle Anregungen, die zum Gelingen des Buchs beigetragen haben. Herrn Clemens Heine gilt unser Dank f¨ ur die ausgezeichnete Zusammenarbeit mit dem Springer-Verlag. Einige Aufgaben und L¨ osungen wurden von Frau Corinna Krautz und Herrn Christian Mohn erstellt, der auch die Durchsicht einiger Kapitel u uhrt unser besonderer Dank Frau ¨ bernommen hat. Schließlich geb¨ Dr. Katharina Cramer und Frau Doreen Scholze, die durch sorgf¨altiges Lesen des gesamten Manuskripts einige Unstimmigkeiten ausgemerzt und durch ihre Hinweise zur Verbesserung der Darstellung beigetragen haben.

Darmstadt, Oldenburg Juni 2004

Erhard Cramer, Johanna Neˇslehov´ a

Inhaltsverzeichnis

ix

Inhaltsverzeichnis Vorwort ...........................................................

v

1

Grundlagen

3

1.1

Grundbegriffe .....................................................

4

1.2

Zahlbereiche und elementare Verkn¨ upfungen...............

9

1.3

Runden von Zahlen ..............................................

24

1.4

Indizierung von Variablen ......................................

27

1.5

Aufgaben ..........................................................

30

1.6

L¨osungen ..........................................................

34

2

Mengen

41

2.1

Grundbegriffe .....................................................

41

2.2

Mengenoperationen..............................................

47

2.3

Rechenregeln f¨ ur Mengenoperationen........................

56

2.4

Spezielle Mengen ................................................

59

2.5

Aufgaben ..........................................................

65

2.6

L¨osungen ..........................................................

69

3

Elementare Rechenoperationen

77

3.1

Bruchrechnung ...................................................

77

3.2

Potenzen...........................................................

84

3.3

Wurzeln ............................................................

87

3.4

Logarithmen ......................................................

92

3.5

Aufgaben ..........................................................

96

3.6

L¨osungen .......................................................... 100

4

Summen- und Produktzeichen

4.1

Summenzeichen .................................................. 111

4.2

Produktzeichen ................................................... 130

4.3

Fakult¨aten und Binomialkoeffizienten........................ 136

111

x

Inhaltsverzeichnis

4.4

Aufgaben .......................................................... 140

4.5

L¨osungen .......................................................... 143

5

Funktionen

5.1

Relationen und Funktionen .................................... 153

5.2

Grundlegende Funktionen ...................................... 160

5.3

Funktionen mit Parametern.................................... 165

5.4

Verkn¨ upfung von Funktionen .................................. 167

5.5

Eigenschaften von Funktionen................................. 170

5.6

Aufgaben .......................................................... 179

5.7

L¨osungen .......................................................... 181

6

Gleichungen

6.1

Lineare Gleichungen ............................................. 193

6.2

Quadratische Gleichungen...................................... 195

6.3

Bruchgleichungen ................................................ 208

6.4

Wurzelgleichungen ............................................... 210

6.5

Logarithmische Gleichungen ................................... 216

6.6

Exponentialgleichungen ......................................... 221

6.7

Betragsgleichungen .............................................. 224

6.8

Gleichungen mit Parametern .................................. 231

6.9

Substitutionsmethode ........................................... 234

6.10

Lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten...................................................... 236

6.11

Aufgaben .......................................................... 245

6.12

L¨osungen .......................................................... 249

7

Polynome und Polynomgleichungen

7.1

Faktorisierung .................................................... 268

7.2

Substitutionsmethode ........................................... 269

7.3

Polynomdivision .................................................. 272

153

187

265

Inhaltsverzeichnis

xi

7.4

Aufgaben .......................................................... 278

7.5

L¨osungen .......................................................... 279

8

Ungleichungen

8.1

Lineare Ungleichungen .......................................... 288

8.2

Quadratische Ungleichungen................................... 291

8.3

Bruchungleichungen ............................................. 297

8.4

Betragsungleichungen ........................................... 302

8.5

Aufgaben .......................................................... 305

8.6

L¨osungen .......................................................... 306

9

Folgen und Reihen

9.1

Folgen .............................................................. 313

9.2

Reihen.............................................................. 321

9.3

Spezielle Reihen .................................................. 323

9.4

Aufgaben .......................................................... 327

9.5

L¨osungen .......................................................... 328

10

Grenzwerte, Stetigkeit, Differenziation

10.1

Grenzwerte von Funktionen .................................... 335

10.2

Stetige Funktionen .............................................. 343

10.3

Differenziation .................................................... 347

10.4

Differenziation parameterabh¨angiger Funktionen .......... 355

10.5

Aufgaben .......................................................... 356

10.6

L¨osungen .......................................................... 358

11

Integration

11.1

Integration und Stammfunktionen ............................ 365

11.2

Integrationsregeln ................................................ 371

11.3

Integration von st¨ uckweise definierten Funktionen ........ 375

11.4

Anwendungen in der Statistik ................................. 377

287

313

335

365

xii

Inhaltsverzeichnis

11.5

Aufgaben .......................................................... 383

11.6

L¨osungen .......................................................... 385

12

Optimierung

12.1

Monotonieverhalten ............................................. 398

12.2

Extrema............................................................ 402

12.3

Konkavit¨at und Konvexit¨at .................................... 413

12.4

Optimierung bei st¨ uckweise definierten Funktionen ....... 414

12.5

Anwendungen in der Statistik ................................. 416

12.6

Aufgaben .......................................................... 424

12.7

L¨osungen .......................................................... 425

395

Literaturverzeichnis ........................................... 431 Symbol- und Abk¨ urzungsverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 Index............................................................... 437

Kapitel 1 Grundlagen

1

1

1

Grundlagen

3

1.1

Grundbegriffe .....................................................

4

1.2

Zahlbereiche und elementare Verkn¨ upfungen...............

9

1.3

Runden von Zahlen ..............................................

24

1.4

Indizierung von Variablen ......................................

27

1.5

Aufgaben ..........................................................

30

1.6

L¨osungen ..........................................................

34

1. Grundlagen

3

1 Grundlagen Die Mathematik und damit auch die Statistik beruhen – wie eine Fremdsprache – auf einem Vokabular, ohne das mathematische Ausdr¨ ucke, Aussagen und Resultate nicht verstanden werden k¨ onnen. Bestandteile dieser Fachsprache sind neben mathematischen Symbolen zentrale Begriffe wie Variablen und Funktionen sowie logische Verkn¨ upfungen von Aussagen. Diese Formalismen dienen sowohl der einfachen, exakten und pr¨agnanten Beschreibung von Sachverhalten als auch einer m¨ oglichst allgemeinen Modellierung realer Situationen. Die formale Sprache der Mathematik hat gegen¨ uber verbalen Formulierungen den Vorteil, dass der betrachtete Inhalt pr¨azise dargestellt wird und Mehrdeutigkeiten vermieden werden. Zum Verst¨andnis dieser Sprache ist es jedoch von entscheidender Bedeutung, ihre Notationen und Symbole zu kennen und zu verstehen. Beispiel
Die Menge aller reellen Zahlen, die kleiner oder gleich Eins sind,

kann mit mathematischen Symbolen als {x ∈ R | x ≤ 1}

oder

(−∞, 1]

geschrieben werden. Um diese Ausdr¨ ucke u ¨ bersetzen“ zu k¨onnen, ist die ” Kenntnis der einzelnen Bestandteile erforderlich: { }: Mengenklammern (Was ist eine Menge?) x: Variable (Was ist eine Variable?) |, ∈, ≤, (, ], −∞: Was bedeuten diese Zeichen? R: Was sind reelle Zahlen?



Wie das vorstehende Beispiel zeigt, ist f¨ ur das Verst¨andnis nicht nur die Notation selbst von entscheidender Bedeutung, sondern auch die Verkn¨ upfung und Reihenfolge dieser Symbole (z.B. beschreiben x ≤ 1 und 1 ≤ x unterschiedliche Sachverhalte). Im Folgenden werden die grundlegenden Begriffe und Notationen der Mathematik vorgestellt. Dazu werden alle Inhalte sowohl verbal als auch formal eingef¨ uhrt und – soweit m¨oglich und sinnvoll – auch grafisch illustriert. Die Darstellung beginnt mit der Einf¨ uhrung grundlegender Begriffe und wird dann sukzessive bis zu Methoden der Differenzial- und Integralrechnung erweitert.

B

4

1.1

1. Grundlagen

1.1 Grundbegriffe Mengen

Ausgangspunkt der Betrachtungen ist der zentrale Begriff einer Menge von Objekten. B

Beispiel
Folgende Beschreibungen definieren Mengen von Objekten:

Studierende aller Hochschulen in Deutschland, Fischarten, die an einem Korallenriff in Polynesien beobachtet wurden, gemeldete Versicherungssch¨ aden, die in einem bestimmten Zeitraum durch St¨ urme in Deutschland verursacht wurden, monatliche Gespr¨ achskosten f¨ ur mobiles Telefonieren in den Haushalten Niedersachsens.  Abstraktere Beispiele von Mengen sind die u ¨ blichen 9
Zahlbereiche wie reelle oder nat¨ urliche Zahlen bzw. Mengen, die sich aus einer mathematischen Fragestellung ergeben (z.B. 154
Definitionsbereich einer Funktion, 188
Lo¨sungsmenge einer Gleichung). Im Folgenden werden zun¨achst der bisher vage Begriff einer Menge pr¨ azisiert und M¨ oglichkeiten zur Darstellung von Mengen vorgestellt.


Definition Menge, Element Eine Menge ist eine Zusammenfassung unterscheidbarer Objekte. F¨ ur jedes Objekt muss eindeutig feststellbar sein, ob es zu der Menge geh¨ ort oder nicht. Die zu einer Menge geh¨orenden Objekte heißen Elemente der Menge.

B

Beispiel
Autos mit einem deutschen Kennzeichen, Augensummen beim W¨ ur-

feln mit zwei W¨ urfeln, die geraden Zahlen oder die kleinen Buchstaben des deutschen Alphabets sind wohl bestimmte Mengen. Die Menge aller guten Filme ist wegen ihrer subjektiven und unklaren Beschreibung eine nicht zul¨assige Festlegung, w¨ ahrend die Menge aller amerikanischen Filme zul¨assig ist.  Variable

Ein weiterer zentraler Begriff der Mathematik ist der einer Variablen.


Bezeichnung Variable Eine Variable ist eine Bezeichnung (Platzhalter) f¨ ur ein Objekt, das verschiedene Werte aus einer Menge von Elementen annehmen kann.

1.1

Grundbegriffe

5

Eine Variable repr¨ asentiert somit ein Objekt aus einer Menge (von Objekten), ohne dieses genau zu spezifizieren. Beispiel


Ein herk¨ ommlicher W¨ urfel tr¨ agt auf seinen Seiten die Ziffern 1, 2, 3, 4, 5, 6. Die Variable x bezeichnet etwa das Ergebnis eines W¨ urfelwurfs und repr¨ asentiert damit eine dieser Ziffern. Im Zusammenhang mit diesem Experiment ist x Stellvertreter f¨ ur die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6.

B

Eine Bank bietet ihren Kunden an, das Guthaben eines Sparbuchs am Beginn eines Jahres zu einem Zinssatz von 3% anzulegen. Die Variable G repr¨ asentiert den Wert eines Guthabens, dass ein potenzieller Kunde einzahlt. Die Verwendung der Formel 1,03 · G erm¨ oglicht dann durch Einsetzen eines speziellen Guthabens die einfache Berechnung des am Jahresende erzielten  Kapitals. Je nach Objekt haben sich verschiedene Bezeichnungen f¨ ur Variablen durchgesetzt. Beispiel
Variablen, die

B

Zahlen repr¨ asentieren, werden u ¨blicherweise mit kleinen lateinischen Buchstaben a, b, c, . . . , x, y, z bezeichnet, Mengen repr¨ asentieren, werden meist mit großen lateinischen Buchstaben A, B, C, . . . bezeichnet, Parameter (also Werte, die situationsabh¨ angig sind) repr¨asentieren, werden oft mit kleinen 433
griechischen Buchstaben α, β, γ, . . . bezeichnet, Funktionen repr¨ asentieren, werden oft mit kleinen lateinischen oder griechischen Buchstaben f, g, h oder φ, ψ bezeichnet. Je nach Situation werden f¨ ur spezielle Funktionen auch Großbuchstaben wie F , G oder Φ, Ψ verwendet.  Darstellung von Mengen

Um eine Menge beschreiben zu k¨ onnen, wird eine Vorschrift ben¨otigt, die ihre Elemente eindeutig festlegt. Hierzu bieten sich die aufz¨ahlende und die beschreibende Darstellung an: Eine aufz¨ ahlende Darstellung ist eine Auflistung der einzelnen Elemente der Menge in geschweiften Klammern {. . .}, den so genannten Mengenklammern. Jedes Element wird genau einmal aufgef¨ uhrt.




6

1. Grundlagen

Bei einer beschreibenden Darstellung werden Mengen durch eine eindeutige Charakterisierung ihrer Elemente festgelegt (etwa mit Worten oder mit mathematischen Symbolen). B

Beispiel
In den folgenden Beispielen werden Mengen zun¨ achst verbal und anschließend aufz¨ ahlend dargestellt:

Menge Menge Menge Menge

der der der der

Buchstaben des Namens Gunnar“: {G, u, n, a, r}.∗ ” Ziffern kleiner 6: {1, 2, 3, 4, 5} = {1, . . . , 5}. Notensymbole von der achtel bis zur ganzen Note: {, ♩, , }. Seiten eines W¨ urfels: { , , , , , }. 

Die aufz¨ ahlende Festlegung einer Menge ist i.Allg. nur geeignet, wenn die Menge wenige Elemente besitzt. Die Menge aller in Deutschland zugelassenen PKWs kann zwar prinzipiell auch aufz¨ ahlend notiert werden, jedoch ist diese Vorgehensweise nicht angebracht, da die Auflistung wegen der großen Anzahl von Elementen un¨ uberschaubar ist. Weitere derartige Beispiele sind die Menge aller Sterne im Weltall oder die Menge aller Zellen eines Menschen. Weiterhin gibt es Situationen, in denen eine aufz¨ahlende Darstellung u ¨ berhaupt nicht m¨ oglich ist, da die Menge unendlich viele Elemente enth¨alt (z.B. nat¨ urliche oder reelle Zahlen). In diesen F¨ allen wird meist die beschreibende Darstellung verwendet: {x | x ist ein in Deutschland zugelassener PKW}, wobei die Variable x ein Repr¨ asentant (Platzhalter) f¨ ur ein Fahrzeug ist. Der senkrechte Strich | wird gelesen als mit der Eigenschaft“ oder als mit“. Die ” ” obige Menge wird daher verbalisiert als Menge aller x mit der Eigenschaft, dass x ein in Deutschland zugelassener PKW ist. Allgemein wird die beschreibende Darstellung einer Menge folgendermaßen formuliert: Bezeichnet E eine bestimmte Eigenschaft von Objekten, so wird durch {x | x hat die Eigenschaft E} die Menge der Objekte definiert, die diese Eigenschaft besitzen. Der senkrechte Strich | wird manchmal durch ein Semikolon oder einen Doppelpunkt ersetzt: {x ; x hat die Eigenschaft E}, {x : x hat die Eigenschaft E}. ∗ Die Auflistung {G, u, n, n, a, r}, in der der Buchstabe n“ doppelt vorkommt, wird als ” {G, u, n, a, r} verstanden, d.h. mehrfach auftretende Objekte werden durch ein Element repr¨ asentiert. {1, 0, 1} ist somit gleichbedeutend mit {0, 1}. Entsprechend ist die Notation {5, 6, a} zu verstehen. Ist a = 5, so ist sie gleich {5, 6}, d.h. die Menge hat nur zwei Elemente. F¨ ur a = 7 hat die Menge die drei Elemente 5, 6, 7.

1.1

Grundbegriffe

7

Beispiel
Beschreibende Darstellungen von Mengen sind z.B.:

B

Menge aller chinesischen Schriftzeichen: {x | x ist ein chinesisches Schriftzeichen}. Menge aller ungeraden Zahlen: {x | x ist eine ungerade Zahl}. Menge aller nat¨ urlichen Zahlen, die kleiner als Sechs sind: {z | z ist eine nat¨ urliche Zahl kleiner 6}. Menge aller F¨ ullmengen einer 1-Konserve: {v | v ist gr¨ oßer oder gleich Null und kleiner oder gleich 1}. Mit mathematischen Symbolen l¨ asst sich diese Menge sehr einfach schreiben als {v | 0 ≤ v ≤ 1} oder [0, 1]. Die bei der Definition einer Menge f¨ ur den Platzhalter gew¨ahlte Bezeichnung ist bedeutungslos. Die Mengen {v | 0 ≤ v ≤ 1} und {x | 0 ≤ x ≤ 1} stimmen u  ¨berein. Wie bereits an den obigen Beispielen deutlich wurde, kann eine Menge mehrere Darstellungsformen haben. Jede muss die Menge jedoch eindeutig beschreiben.




Da die explizite Angabe der Menge mittels aufz¨ ahlender oder beschreibender Darstellung i.Allg. sehr aufw¨ andig ist, werden zur Abk¨ urzung der Notation Bezeichnungen in Form von Buchstaben eingef¨ uhrt. Mengen werden meist mit lateinischen Großbuchstaben A, B, C, . . . bezeichnet, die zur Unterscheiuber dung ggf. mit 27
Indizes versehen werden, wie etwa A1 , A2 , A3 . Dar¨ hinaus sind f¨ ur spezielle Mengen besondere Symbole gebr¨auchlich, wie z.B. N, Q, R f¨ ur die nat¨ urlichen, rationalen und reellen Zahlen oder Ω f¨ ur die in der Wahrscheinlichkeitsrechnung vorkommende Grundmenge aller m¨oglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments. Zur Bezeichnung der Elemente einer Menge werden meist kleine lateinische Buchstaben a, b, c, . . . , x, y, z verwendet. Ob ein Objekt x zu einer Menge A geh¨ ort oder nicht, wird wie folgt notiert: mathematische Darstellung x∈A x ∈ A

Bedeutung x ist ein Element von A x ist kein Element von A

Beispiel
Ist A = {1, 2, 5}, so gilt 1 ∈ A, 6 ∈ / A.



B

8

1. Grundlagen

Aussagen und deren logische Verkn¨ upfung

Aussagen sind im mathematischen Verst¨ andnis Feststellungen, deren Wahrheitsgehalt (Wahrheitswert) stets mit wahr oder falsch angegeben werden kann. B

Beispiel
Wahre Aussagen sind etwa:

Dienstag ist ein Wochentag.“ ” C ist eine r¨ omische Ziffer.“ ” Jede positive gerade Zahl ist eine nat¨ urliche Zahl.“ ” Aussagen mit Wahrheitswert falsch sind z.B. Dienstag ist ein Monat.“ ” C ist eine arabische Ziffer.“ ” Jede nat¨ urliche Zahl ist eine gerade Zahl.“ ” Im mathematischen Sinne nicht zul¨ assige Aussagen sind z.B. Morgen wird es regnen.“ ” Statistik ist spannend.“ ” Mit r¨ omischen Ziffern sind Rechnungen sehr umst¨andlich.“ ” da keine eindeutige Bewertung dieser Feststellungen m¨oglich ist (etwa wegen  subjektiver oder zuk¨ unftiger Aspekte). Aussagen werden im Folgenden mit kalligrafischen Buchstaben A, B, C etc. bezeichnet, z.B. A = Dienstag ist ein Wochentag.“ ” Aussagen k¨ onnen logisch miteinander verkn¨ upft werden, d.h. aus mehreren Aussagen wird eine neue Aussage erzeugt. B

Beispiel
Die Aussagen Das Buch hat 200 Seiten und Das Buch ist ein Roman

k¨ onnen in verschiedener Weise verkn¨ upft werden. Die Aussage Der Roman hat 200 Seiten ist eine und“-Verkn¨ upfung der ” obigen Aussagen, da beide gleichermaßen zutreffen m¨ ussen, um eine wahre Aussage zu erzeugen. Die Aussage ist gleichbedeutend mit Das Buch hat 200 Seiten und ist ein Roman.

1.2

Zahlbereiche und elementare Verkn¨ upfungen

9

Die Aussage Das Buch hat 200 Seiten oder es ist ein Roman hingegen beschreibt die oder“-Verkn¨ upfung. Es gen¨ ugt, dass eine dieser Aussagen ” zutrifft, damit die gesamte Aussage den Wahrheitswert wahr hat. Die Aussage Das Buch hat nicht 200 Seiten stellt offenbar das Gegenteil (die Negation) der Aussage Das Buch hat 200 Seiten dar.  An dieser Stelle werden lediglich die wichtigsten, f¨ ur das Verst¨andnis der mathematischen Grundlagen notwendigen, Verkn¨ upfungen vorgestellt. Ausf¨ uhrliche Darstellungen des Stoffs finden sich in einf¨ uhrenden Lehrb¨ uchern wie z.B. Kamps et al. (2003). Bezeichnung Logische Verkn¨ upfungen F¨ ur Aussagen A, B werden folgende logische Verkn¨ upfungen von Aussagen verwendet.

Bezeichnung

Symbol

Bedeutung der Verkn¨ upfung

Negation Konjunktion (und) Disjunktion (oder) Implikation (Folgerung) ¨ Aquivalenz (genau dann)

A A∧B A∨B A =⇒ B A ⇐⇒ B

nicht A A und B A oder B aus A folgt B A und B sind ¨aquivalent



Die Verkn¨ upfungen werden durch eine Wahrheitstafel definiert, die angibt, upfung aus den Wahrheitswerten der wie sich der Wahrheitswert der Verkn¨ Aussagen A und B ergibt. Mit w wird der Wahrheitswert wahr, mit f der Wahrheitswert falsch bezeichnet. A B A A∧B w w f w w f f f f w w f f f w f

A∨B w w w f

A =⇒ B w f w w

A ⇐⇒ B w f f w

Aus dieser Tafel kann z.B. abgelesen werden, dass die Aussagen A und B ¨aquivalent (gleichbedeutend) sind, wenn A und B jeweils den selben Wahrheitswert haben. Das oder“ ist kein exklusives oder“, d.h. A ∨ B ist wahr, ” ” wenn nur A, nur B oder beide gleichermaßen wahr sind.

1.2 Zahlbereiche und elementare Verkn¨ upfungen In den bisherigen Ausf¨ uhrungen wurden Zahlbereiche, wie etwa die nat¨ urlichen oder die reellen Zahlen, bereits erw¨ ahnt. Unmittelbar mit den Zahlberei-

1.2

10

1. Grundlagen

chen verbunden sind die elementaren Verkn¨ upfungen (Operationen) von Zahlen + , − , · , : “, die Grundrechenarten. Sie werden mit ihren wichtigsten Ei” genschaften nachfolgend systematisch eingef¨ uhrt, wobei jeweils demonstriert wird, wie sie zur Erweiterung des betrachteten Zahlbereichs f¨ uhren. Nat¨ urliche Zahlen

Der grundlegende Zahlbereich ist die Menge der nat¨ urlichen Zahlen N = {1, 2, 3, . . . }. Ihre mittels arabischer Ziffern 1, . . . , 9 dargestellten Elemente sind u.a. Repr¨ asentanten f¨ ur Anzahlen von Objekten. Alternativ kann eine Beschreibung mit anderen Zahlsymbolen wie z.B. r¨ omischen Ziffern I, V, X, L, C, M erfolgen. Aufgrund ihrer Eignung zum Abz¨ ahlen von Objekten werden nat¨ urliche Zahlen auch zur Nummerierung von Objekten eingesetzt (z.B. Hausnummern, Startnummern beim Rennen, Kugeln beim Zahlenlotto). In der Statistik treten sie u.a. als absolute H¨ aufigkeiten auf. B

Beispiel
Blutgruppe Bei einer medizinischen Untersuchung wird in einer

Testgruppe von 20 Personen die Blutgruppe nach dem AB0-System bestimmt (ohne Rhesus Antigene): A 0 A AB B 0 0 B A 0 0 A A A 0 AB B A A 0 Aus dem Datensatz kann abgelesen werden, dass in der Gruppe sieben Personen Blutgruppe 0, acht Personen Blutgruppe A, drei Personen Blutgruppe B und zwei Personen Blutgruppe AB haben. Diese Anzahlen heißen absolute H¨ aufigkeiten. Blutgruppe absolute H¨ aufigkeit

0 7

A 8

B 3

AB 2



Als geeignete grafische Repr¨ asentation bietet sich der Zahlenstrahl an, auf dem die nat¨ urlichen Zahlen in folgender Weise angeordnet werden: 1

2

3

4

5

6

Die Abst¨ ande zwischen den Zahlsymbolen m¨ ussen jeweils gleich gew¨ahlt werden. Aus der Darstellung tritt deutlich hervor, dass die Zahlen eine Ordnung wiedergeben. F¨ ur zwei nat¨ urliche Zahlen n, m kann daher jeweils entschieden

1.2

Zahlbereiche und elementare Verkn¨ upfungen

11

werden, ob sie gleich sind oder welche gr¨ oßer bzw. kleiner ist (d.h. weiter rechts bzw. links auf dem Zahlenstrahl liegt). F¨ ur den Gr¨oßenvergleich werden die Symbole (Ordnungszeichen oder Relationszeichen) =“ gleich, ”

<“ kleiner, ”

>“ gr¨oßer ”

verwendet. Erg¨ anzungen sind z.B. = (ungleich), ≤ (kleiner oder gleich) und ≥ (gr¨ oßer oder gleich). Die Eigenschaft n = m ist gleichbedeutend mit m = n bzw. n ≤ m entspricht m ≥ n. Mit den Notationen der Aussagenlogik gilt etwa m = n ⇐⇒ (m ≤ n) ∧ (m ≥ n). In vielen F¨ allen ist es erforderlich, ein Symbol f¨ ur die Situation zur Verf¨ ugung zu haben, dass kein Objekt vorhanden ist. Dies wird durch das Symbol 0 beschrieben, das die Menge der nat¨ urlichen Zahlen erweitert zu N0 = {0, 1, 2, . . . }. Nat¨ urliche Zahlen werden im Sinne der Abz¨ ahlung addiert, d.h. zwei Mengen mit den Anzahlen n und m von verschiedenen Objekten werden zu einer Menge zusammengefasst, die n + m Objekte besitzt. Die Addition der Zahlen a und b kann auch als Aneinanderlegen zweier Pfeile∗ am Zahlenstrahl illustriert werden. Die Zahl a wird durch einen Pfeil repr¨ asentiert, der bei 0 beginnt und bei a endet. Der die Zahl b repr¨asentierende Pfeil wird zur Spitze des zu a geh¨ orenden Pfeils verschoben und endet dann bei a + b. Der zusammengesetzte Pfeil repr¨asentiert die Summe a + b. -

..................................................................................................................... .... ... ....... ... ....... ... ....... .... ....... .... ... ....... ... ....... .. ....... .... ....... .... ... ....... ... ....... ... ....... .... .... ... ....... ... ... ....... ....... ....... ... ....... .... .. ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .. .. .. .. .. .. .. .. ..

-

0

b

a

-

-

a+b

Bezeichnung Addition Die Addition zweier Zahlen a, b wird mit dem Verkn¨ upfungszeichen +“ dargestellt: a + b. Die Zahlen a und b werden als Summanden, die ” Zahl a + b als Summe bezeichnet.

Mehr als zwei Zahlen werden addiert, indem zun¨achst zwei Zahlen addiert werden, zu deren Summe dann die dritte Zahl addiert wird etc. Zur Festlegung ∗ Das

Pfeilmodell eignet sich ebenfalls zur Darstellung der Addition 22
reeller Zahlen.



12

1. Grundlagen

der Additionsreihenfolge werden Klammern (· · · ) oder [· · · ] verwendet, z.B. [(a+b)+c]+d. In diesem Fall werden zun¨ achst a und b addiert, zu a+b die Zahl c und schließlich zu (a + b) + c noch d. Die Auswertung des Ausdrucks erfolgt also von innen nach außen“. Wie das Kommutativ- und Assoziativgesetz der ” Addition zeigen, ist die Reihenfolge jedoch unerheblich. Kommutativ- und Assoziativgesetz der Addition F¨ ur Zahlen a, b, c gelten das Kommutativgesetz a + b = b + a. das Assoziativgesetz (a + b) + c = a + (b + c).




Da die Reihenfolge keinen Einfluss auf das Ergebnis hat, werden die Klammern i.Allg. weggelassen und a+b+c geschrieben. Bei anderen Verkn¨ upfungen ist dies jedoch i.Allg. nicht der Fall. Die mehrfache Addition der selben Zahl f¨ uhrt zur Multiplikation von Zahlen.




Definition Multiplikation Die Multiplikation zweier nat¨ urlicher Zahlen a, b wird definiert als

a ·b = b + b + ...+ b  


bzw.

a·b = a+ a+ ...+ a.  


a−mal

b−mal

a und b heißen Faktoren des Produkts a · b. Sofern keine Missverst¨ andnisse entstehen, wird das Multiplikationszeichen ·“ ” weggelassen, d.h. statt a · b oder 2 · c wird ab oder 2c geschrieben. Addition und Multiplikation nat¨ urlicher Zahlen haben stets nat¨ urliche Zahlen als Ergebnis, d.h. die Menge der nat¨ urlichen Zahlen ist abgeschlossen gegen¨ uber Addition und Multiplikation ihrer Elemente.∗ F¨ ur die Multiplikation gelten ebenfalls ein Kommutativ- und Assoziativgesetz. Kommutativ- und Assoziativgesetz der Multiplikation F¨ ur Zahlen a, b, c gelten das Kommutativgesetz a · b = b · a. das Assoziativgesetz (a · b) · c = a · (b · c). Zum Ende dieses Abschnitts wird noch eine abk¨ urzende Schreibweise f¨ ur Produkte mit gleichen Faktoren eingef¨ uhrt. Wird eine Zahl a mehrfach mit ∗ Wegen a + 0 = a bzw. a · 0 = 0 f¨ ur jede beliebige Zahl a ∈ N0 gilt dies entsprechend f¨ ur die Menge N0 .

1.2

Zahlbereiche und elementare Verkn¨ upfungen

13

sich selbst multipliziert, wird die 84
Potenzschreibweise verwendet: a . . · a = an .∗
· . n−mal

F¨ ur a · a wird daher alternativ die Schreibweise a2 benutzt.† Ganze Zahlen

Das Element 0 nimmt offenbar eine besondere Rolle in der Menge N0 ein, da es den Wert einer Zahl a ∈ N bei Addition nicht ver¨andert. Eine Zahl b, die zu a ∈ N addiert, die Zahl 0 liefert, gibt es allerdings in N nicht. Daher uhrt. Negative Zahlen werden die negativen Zahlen {· · · , −3, −2, −1} eingef¨ k¨ onnen ebenfalls auf dem Zahlenstrahl repr¨ asentiert und mittels des Pfeilmodells dargestellt werden. Der Pfeil beginnt bei 0 und zeigt nach links. Jeder nat¨ urlichen Zahl a wird daher die entsprechende negative Zahl −a zugeordnet, die durch Spiegelung des a repr¨ asentierenden Pfeils an der Senkrechten durch den Ursprung 0 dargestellt wird. 

a

..................................................................................................................................................................................

−a

0

Die Addition von a und −a wird durch Aneinanderlegen der Pfeile eingef¨ uhrt, d.h. der Beginn des −a repr¨ asentierenden Pfeils wird an das Ende des die Zahl a darstellenden Pfeils angelegt. Die Pfeilspitze des Ergebnispfeils zeigt dann auf die Null, d.h. a + (−a) = (−a) + a = 0. Daher heißt −a auch inversesElement zu a. Das Minuszeichen wird in dieser Situation Vorzeichen urlichen Zahlen kann entsprechend das Vorzeichen + von a genannt. Den nat¨ zugeordnet werden.‡ Die Null nimmt eine Sonderrolle ein, da ihr sowohl + als auch − als Vorzeichen zugeordnet werden k¨ onnen. Die negativen Zahlen {· · · , −3, −2, −1} erweitern den Zahlbereich N0 zu den ganzen Zahlen Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}. Die Ordnung der ganzen Zahlen erfolgt analog zu den nat¨ urlichen Zahlen gem¨ aß ihrer Lage auf dem Zahlenstrahl (z.B. gilt a < b, wenn a auf dem Zahlenstrahl links von b liegt). ∗ lies:

a hoch n a Quadrat ‡ Das Vorzeichen + wird aber meist weggelassen, d.h. statt +a wird nur a geschrieben. † lies:

14

1. Grundlagen

Aus der Darstellung der ganzen Zahlen am Zahlenstrahl werden folgende allgemeine Vorzeichenregeln abgeleitet. Ein negatives Vorzeichen entspricht einer Spiegelung an der Senkrechten durch den Nullpunkt, ein positives Vorzeichen l¨ asst den Wert der Zahl unver¨ andert. Vorzeichenregeln +(+a) = +a = a,

+(−a) = −a,

−(+a) = −a,

−(−a) = +a = a.

Der Betrag einer Zahl a wird gem¨ aß der Darstellung am Zahlenstrahl als Abstand zum Nullpunkt definiert.


Definition Betrag einer Zahl Der Betrag |a| einer Zahl a ist definiert als

 |a| =



=|a|

−a




a, a ≥ 0 −a, a < 0  0

.

=|a|




 a

Die Addition ganzer Zahlen wird in Analogie zur Addition nat¨ urlicher Zahlen als Aneinanderlegen der zugeh¨ origen Pfeile definiert. F¨ ur (−a) + b kann dies folgendermaßen dargestellt werden. -

......................................................................................................................... ... ... ....... ... ....... .... ....... .... ... ....... ... ....... .. ...... .... ...... .... . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .... . .... . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .... . .... . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. ... . ... ... . . . . . . . . .. . . . . . . . . ... .................................................................................................................... ................................................................. .. . .. ......................................................................... .. .. . .



−a



(−a)+b

0

-

b

Entsprechend zur Addition nat¨ urlicher Zahlen gelten Kommutativ- und Assoziativgesetz f¨ ur die Addition ganzer Zahlen. Außerdem wird durch die Addition negativer Zahlen die Subtraktion definiert.


Bezeichnung Subtraktion Seien a, b Zahlen. Die Subtraktion von a und b ist definiert als Addition a + (−b). Sie wird durch das Rechenzeichen −“ dargestellt: ” a − b = a + (−b). Die Zahl a − b heißt Differenz von a und b.

Die Subtraktion ist die Umkehroperation zur Addition, denn f¨ ur die Summe c = a + b von a, b folgt c − a = c + (−a) = a + b + (−a) = b.

1.2

Zahlbereiche und elementare Verkn¨ upfungen

15

Durch Kombination mit den 14
Vorzeichenregeln f¨ ur ganze Zahlen werden Addition, Subtraktion und Multiplikation ganzer Zahlen durch folgende Regeln erkl¨ art.




Vorzeichenregeln bei Addition und Multiplikation F¨ ur Zahlen a, b gilt −(a + b) = −a − b, a · (−b) = (−a) · b = −(a · b),

−(a − b) = −a + b, (−a) · (−b) = a · b.

Rechenregeln f¨ ur Addition und Multiplikation

Werden Addition und Multiplikation in einer Rechenoperation verwendet, so muss die Reihenfolge der einzelnen Operationen evtl. durch Klammern (. . .), [. . .] festgelegt werden. Ein derartiger Ausdruck wird Term genannt.∗ 

Bezeichnung Term Eine sinnvolle Abfolge mathematischer Verkn¨ upfungen von Zahlen und Variablen heißt Term. Beispiel
Die folgenden Ausdr¨ ucke sind Terme, die nur die Verkn¨ upfungen Addition und Multiplikation verwenden:

a + b,

(c + 3a) · (5 · [b + a]),

1 − (3x + y)z.

B



Grundlegend f¨ ur die Auswertung von Termen, die sowohl Additionen als auch Multiplikationen enthalten, ist das Distributivgesetz der Addition und Multiplikation. Es impliziert die Regel Punkt vor Strich, d.h. multiplikative Verkn¨ upfungen m¨ ussen – sofern nicht Klammern eine andere Reihenfolge vorgeben – stets vor additiven Verkn¨ upfungen ausgewertet werden. Distributivgesetz F¨ ur Zahlen a, b, c gilt: a · (b + c) = a · b + a · c und (a + b) · c = a · c + b · c. Die Anwendung des Distributivgesetzes in der Form a · (b + c) = a · b + a · c wird Ausmultiplizieren, die in der Form a · b + a · c = a · (b + c) Ausklammern genannt. ∗ Ein Term kann nat¨ urlich noch weitere mathematische Verkn¨ upfungen enthalten. uche, 85
Potenzen, 88
Wurzeln, Weitere Elemente eines Terms k¨ onnen z.B. 19
Br¨ 92
Logarithmen etc. sein.




16

1. Grundlagen

Beispiel


B

(i) 3(a + b) = 3a + 3b

(ii) a(1 + b) = a + ab

(iii) 2(x + 3) = 2x + 6

(iv) (2x + 4) · (4y + 1) = 2x(4y + 1) + 4(4y + 1) = 8xy + 2x + 16y + 4 (v) 2x + 4 = 2x + 2 · 2 = 2(x + 2) (vi) ab + 2a = a · b + a · 2 = a(b + 2) (vii) c2 + c · a = c(c + a) (viii) 4a + 16ab = 4a + 4a · 4b = 4a(1 + 4b)



¨ F¨ ur Ausdr¨ ucke der Form −(x + 1) ergibt sich aus den vorhergehenden Uberlegungen folgende Regel. Vorzeichen als Multiplikation mit der Zahl −1 Ein Minuszeichen vor einem Term kann als Multiplikation mit der Zahl −1 ausgewertet werden. Beispiel


B

(i) −(x+1) = (−1)·(x+1) = −x−1

(ii) −(1 − 3x) = −1 + 3x = 3x − 1

(iii) −2x(a − 1) = −[2x(a − 1)] = −[2ax − 2x] = −2ax + 2x = 2x − 2ax  Eine wichtige Anwendung der bisher vorgestellten Regeln sind die Binomischen Formeln.




Binomische Formeln F¨ ur Zahlen a, b gilt (i) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(iii) (a − b)(a + b) = a2 − b2

(ii) (a − b)2 = a2 − 2ab + b2

Nachweis. Diese Regeln werden durch Ausmultiplizieren der Quadrate und Anwendung des Kommutativgesetzes nachgewiesen: (i) (a+b)2 = (a+b)·(a+b) = (a+b)·a+(a+b)·b = a2 +b·a+a·b+b2 = a2 +2·a·b+b2 (ii) Die zweite binomische Formel kann wie die erste durch Ausmultiplizieren nachgerechnet werden. Alternativ ist folgender Zugang mit Anwendung der ersten Formel m¨ oglich:

1.2

Zahlbereiche und elementare Verkn¨ upfungen

17

(a − b)2 = (a + (−b))2 = a2 + 2a(−b) + (−b)2 = a2 − 2 · a · b + b2 (iii) (a − b)(a + b) = (a − b) · a + (a − b) · b = a2 − b · a + a · b − b2 = a2 − b2



Beispiel


B

(i) (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 (ii) (4 + z)2 = 42 + 8z + z 2 = 16 + 8z + z 2 (iii) (u − 2)2 = u2 − 4u + 4 (iv) (3a − 4b)(3a + 4b) = (3a)2 − (4b)2 = 9a2 − 16b2 (v) (x − 1)2 − (x − 2)(x + 2) = x2 − 2x + 1 − (x2 − 4) = x2 − 2x + 1 − x2 + 4 = −2x + 5 (vi) (x + 2b)2 − (x − 2b)2 = [(x + 2b) − (x − 2b)][(x + 2b) + (x − 2b)] = [x + 2b − x + 2b] · [x + 2b + x − 2b] = [4b] · [2x] = 8bx Alternativ k¨ onnen die Quadrate gem¨ aß der ersten und zweiten binomischen Formeln ausmultipliziert werden. Dies ergibt: (x + 2b)2 − (x − 2b)2 = x2 + 4bx + 4b2 − (x2 − 4bx + 4b2 ) = 8bx. (vii) (2x − y)(2x + y) + (2x + y)2 = (2x + y)(2x − y + 2x + y) = 4x(2x + y)  = 8x2 + 4xy Beispiel


B

(i) 4a − 4ab + b = (2a) − 2 · (2a)b + b = (2a − b) 2

2

2

2

2

(ii) x2 − 25 + 2x2 − 10x = (x − 5)(x + 5) + 2x(x − 5) = (x − 5)(3x + 5) (iii) 5a2 +8ab+3b2 = (4a2 +8ab+4b2)+(a2 −b2 ) = (2a+2b)2 +(a−b)(a+b) = 4(a + b)2 + (a + b)(a − b) = (a + b)(4(a + b) + a − b) = (a + b)(5a + 3b) (iv) a2 c2 − 2ac − 1 = (ac)2 − 2ac + 1 − 2 = (ac − 1)2 − 2



Rationale Zahlen

Die nat¨ urlichen Zahlen eignen sich zum Z¨ ahlen und Nummerieren von Objekten. Sie reichen jedoch nicht aus, um Anteile zu beschreiben. Soll etwa eine Tafel Schokolade auf sechs Personen gleichm¨ aßig verteilt werden, so ist die

18

1. Grundlagen

Fl¨ ache in sechs gleich große Teile zu schneiden. Unter Verwendung der Struktur einer bereits in kleinere Rechtecke gegliederten Tafel resultiert folgende Skizze: ................................................................................................................................................................................................................................ ... ... ... ... ... ... ... .. .. .. ... ... ... ... .................................................................................................................................................................................................................................... ... ... ... .... .... .... ... ... ... ... ... .. ... ... .. .. .. ... ... .. .. .......................................................................................................................................................................................................................................... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ........................................................................................................................................................................................................................................ ... ... .. .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .... .. .. .. .................................................................................................................................................................................................................................

Jede Person erh¨ alt somit den sechsten Teil (ein Streifen) der Tafel, d.h. 1 von 6 Teilen oder 16 . Aus der Skizze geht u ¨berdies hervor, dass der Wert 16 4 gleich dem Wert 24 sein muss, da jede Person vier von insgesamt 24 kleineren Rechtecken erh¨ alt. Dies ist ein erstes Beispiel f¨ ur eine 77
Ku ¨ rzungsregel. Anteile werden als Bruchzahlen bzw. 19
Bru ¨ che bezeichnet und k¨onnen ebenfalls auf dem Zahlenstrahl dargestellt werden. Ist a ∈ N eine nat¨ urliche Zahl, 3a 4a 5a 6a , , , , repr¨ a sentiert, indem die Strecke so werden die Anteile a6 , 2a 6 6 6 6 6 0, a zwischen 0 und a in sechs gleich große Teile eingeteilt wird. ... ... ... .

0

... ... ... .

a 6

2a 6

3a 6

4a 6

5a 6

6a 6

-

=a

Die Zahl 6a 6 entspricht dabei offenbar der Zahl a. Negative Bruchzahlen werden analog zu den negativen ganzen Zahlen durch Spiegelung am Ursprung erzeugt. Weitere Motivationen f¨ ur Anteile ergeben sich aus dem folgenden Beispiel. B

Beispiel
Im 10
Beispiel Blutgruppe wurden folgende 10
absolute H¨ aufig-

keiten beobachtet. Blutgruppe absolute H¨ aufigkeit

0 7

A 8

B 3

AB 2

Mittels Division der absoluten H¨ aufigkeiten durch die Anzahl aller Beobachtungen – in diesem Fall 20 – ergeben sich die relativen H¨aufigkeiten als Bruchzahlen. Alternativ kann die Darstellung als 20
Dezimalzahl gew¨ahlt werden. Multiplikation der relativen H¨ aufigkeiten mit Hundert liefert jeweils die relative H¨ aufigkeit in Prozent. Blutgruppe relative H¨ aufigkeit als Bruch relative H¨ aufigkeit als Dezimalzahl relative H¨ aufigkeit in %

0

A

B

AB

7 20

8 20

3 20

2 20

0,35 35%

0,40 40%

0,15 15%

0,10 10%

1.2

Zahlbereiche und elementare Verkn¨ upfungen

19

In einem Kreisdiagramm werden die absoluten H¨aufigkeiten auf die Gesamtzahl aller Personen (20) bezogen. Die Zahl 20 wird in Beziehung zur Winkel 360◦. Der Anzahl Personen einer bestimmten summe 360◦ gesetzt, d.h. 20 = Blutgruppe wird eine Fl¨ ache in Form eines Kreissegments zugeordnet, wobei die Gr¨ oße der Fl¨ ache proportional zur Anzahl gew¨ahlt wird. Daraus ergibt sich die Beziehung Anzahl Winkel des Kreissegments = relative H¨aufigkeit. = ◦ 360 20 Der Winkel eines Kreissegments wird als Produkt aus der relativen H¨aufigkeit und der Winkelsumme im Kreis, d.h. 360◦, berechnet: Winkel des Kreissegments = relative H¨aufigkeit · 360◦ .

 Die Erzeugung von Anteilen kann auch als Verkn¨ upfung zweier ganzer Zahlen aufgefasst werden. Die zugeh¨ orige Operation wird als Division bezeichnet und bildet die Umkehroperation zur Multiplikation. Die Division durch die Zahl 0 kann nicht erkl¨ art werden, da das Produkt aus 0 und einer Zahl a stets gleich Null ist: 0 · a = 0. Eine eindeutige Umkehrung ist somit nicht m¨ oglich. F¨ ur jede Zahl b = 0 gibt es hingegen genau eine Zahl, die diese Eigenschaft besitzt, denn f¨ ur c = a · b mit b = 0 gilt c : b = a. Definition Division, Bruch Seien a, b Zahlen mit b = 0. Dann heißt die Verkn¨ upfung a : b Division von a und b.

Die Zahl a : b wird als Quotient (von a und b) bezeichnet. Alternativ werden die Notationen ab oder a/b und die Bezeichnung Bruch verwendet.



20

1. Grundlagen

F¨ ur ganze Zahlen a, b ist nat¨ urlich auch das Produkt c = a · b eine ganze Zahl, so dass c : a und c : b ebenfalls ganzzahlig sind. Andererseits ist klar, dass es keine nat¨ urliche Zahl geben kann, die mit Zwei multipliziert Eins ergibt. Aus der Verdoppelung der H¨ alfte resultiert jedoch offenbar das Ganze, so dass Anteile eine sinnvolle Erweiterung der ganzen Zahlen darstellen. Alle Zahlen, die als Anteile verstanden werden k¨onnen, sowie ihre negativen Entsprechungen werden in der Menge der rationalen Zahlen a   a ∈ Z, b ∈ N Q= b zusammengefasst. Die Zahl ab heißt Bruch oder Bruchzahl, a heißt Z¨ahler, b heißt Nenner. Da sich jede ganze Zahl n stets in der Form n1 schreiben l¨asst, ist die Menge der ganzen (und damit auch die der nat¨ urlichen) Zahlen in der der rationalen enthalten. Rechenregeln f¨ ur Br¨ uche werden in 77
Abschnitt 3.1 zusammengefasst. Das Vorzeichen einer rationalen Zahl wird aus den Vorzeichen von Z¨ahler und Nenner gem¨ aß der folgenden Regel bestimmt. Vorzeichen von Br¨ uchen F¨ ur Zahlen a, b mit b = 0 gilt: −a a +a = = , +b −b b

+a −a a = =− −b +b b

Aus den Vorzeichenregeln ergibt sich eine alternative Darstellung der ratio  nalen Zahlen: Q = ab  a, b ∈ Z, b = 0 . Dezimaldarstellung

Zur Darstellung rationaler Zahlen wird auch die Dezimaldarstellung verwen7 det. Als Dezimalzahl werden die Zahlen 12 , 633 25 , 125 in der Form 1 = 0,5, 2

633 = 25,32, 25

7 = 0,056 125

angegeben, wobei die durch das Komma abgetrennten Stellen als Nachkommastellen bezeichnet werden. Diese Stellen werden als Repr¨asentanten f¨ ur Br¨ uche interpretiert, deren Nenner eine Zehnerpotenz 10k darstellt. So gilt etwa 1 = 0,1, 10

2 = 0,02, 100

4 = 0,004, 1 000

27 = 0,27, 100

320 = 3,2. 100

1.2

Zahlbereiche und elementare Verkn¨ upfungen

21

F¨ ur beliebige Br¨ uche ergibt sich die Dezimaldarstellung aus der so genannten Division mit Rest, einem iterativen Verfahren, mit dem jeweils bestimmt wird, wie oft eine Zahl maximal in eine andere passt“. Exemplarisch wird ” uhrt. Wegen 9 · 25 = 225 und 10 · 25 = 250 dies f¨ ur den Bruch 232 25 durchgef¨ ergibt sich als Division mit Rest 232 = 9 · 25 + Rest = 9 · 25 + 7 Die Zahl

7 25

und damit

7 232 =9+ . 25 25

wird analog weiter zerlegt gem¨ aß

10 · 7 = 2 · 25 + Rest = 2 · 25 + 20, d.h.

2 20 2 2 7 = + = + . 25 10 250 10 25

20 8 2 8 Wegen 100 · 20 = 8 · 250 folgt 250 = 100 und damit 232 25 = 9 + 10 + 100 = 9,28. Verk¨ urzt wird dieses Verfahren im folgenden Schema durchgef¨ uhrt. Zus¨atzbetrachtet, der eine Besonderheit gewisser rationaler lich wird der Bruch 73 18 Zahlen illustriert.

2 3 2 : 25 = 9,28 225 70 50 200 200 0

73 : 18 = 4,0555 . . . 72 10 100 90 100 90 100 .. . . . .

Beim zweiten Beispiel 73 18 bricht die Dezimaldarstellung nicht ab, da an jeder weiteren Dezimalstelle eine F¨ unf steht. Eine derartige Dezimalzahl heißt periodisch, was in der Dezimaldarstellung durch einen Balken u unf ¨ber der F¨ 73 kenntlich gemacht wird: 18 = 4,05. Weitere Beispiele periodischer Dezimalzahlen sind 1 = 0,33333 . . . = 0,3, 3 6 = 0,857142, 7

14 12 = 0,31818 . . . = 0,318, = 1,0909 . . . = 1,09, 44 11 1 = 0,0384615. 26

Reelle Zahlen

Jede rationale Zahl besitzt eine Dezimaldarstellung mit entweder einer endlichen oder einer unendlichen Anzahl von Nachkommastellen, wobei sich im

22

1. Grundlagen

letzten Fall ab einer Nachkommastelle ein bestimmtes Ziffernmuster periodisch wiederholt. Die Dezimaldarstellung heißt in diesen Situationen endlich bzw. unendlich periodisch. Die Dezimalzahl 0,1010010001000010000010000001 . . . , die an den Nachkommastellen 1, 3, 6, 10, 15, 21, . . . jeweils eine Eins hat, hat weder eine endliche noch eine unendlich periodische Dezimaldarstellung und ist daher nicht rational. Die Menge aller Dezimalzahlen, die eine beliebige, evtl. nicht abbrechende Dezimaldarstellung haben, umfasst somit die rationalen Zahlen. Sie wird als Menge der reellen Zahlen bezeichnet: R = {x | x ist eine Dezimalzahl}. Zahlen, die wie die oben vorgestellte Zahl zwar Element der Menge R, aber nicht der Menge Q sind, heißen irrationale Zahlen. Die Mengen der rationalen und der irrationalen Zahlen besitzen jeweils unendlich viele Elemente.√ Beispiele ur irrationale Zahlen sind 88
Wurzeln √ √ ∗ f¨ nat¨ urlicher Zahlen wie 2, 3, 5 oder 93
Logarithmen (z.B. log3 (6)). Mit rationalen Zahlen kann jedoch eine beliebig genaue N¨aherung (hinsichtlich der Anzahl von Dezimalstellen, die exakt sind) bestimmt werden. Das nachfolgend beschriebene Bisektionsverfahren erm¨oglicht die Berechnung einer solchen N¨ aherung. B

Beispiel
Bisektionsverfahren Gesucht wird eine Zahl a, deren Quadrat gleich

Zwei ist. Die Idee des Bisektionsverfahrens besteht darin, zun¨achst untere und obere Schranken f¨ ur a zu bestimmen. Wegen 12 = 1 und 22 = 4 liegt die gesuchte Zahl a zwischen 1 und 2, d.h. 1 < a < 2. Nun wird das Quadrat des in der Mitte liegenden Werts 1,5 mit 2 = a2 verglichen. Wegen 1,52 = 2,25 > 2 = a2 ergibt sich 1 < a < 1,5. Eine Fortsetzung dieser Methode ergibt 1,252 = 1,5625<2 1,3752 = 1,890625<2 1,43752 = 2,06640625>2 1,406252 = 1,9775390625<2

1,25 < a < 1,5 1,375 < a < 1,5 1,375 < a < 1,4375 1,40625 < a < 1,4375 .. .

Aus der letzten Zeile folgt daher, dass die gesuchte Zahl a zwischen den Zahlen 1,40625 und 1,4375 liegt. Zudem wird deutlich, dass der Abstand von unterer √ √ Wurzel a einer nat¨ urlichen Zahl a ist eine Zahl, deren Quadrat ( a)2 gleich a ist. Z.B. kann nachgewiesen werden, dass es keine rationale Zahl gibt, deren Quadrat gleich Zwei ist (vgl. 93
Nachweis der Irrationalit¨ at von log3 (6)). ∗ Die

1.2

Zahlbereiche und elementare Verkn¨ upfungen

23

und oberer Schranke kleiner wird, und die N¨ aherungen f¨ ur a damit genauer werden. Nach f¨ unf Schritten stimmen die jeweils ersten Nachkommastellen der oberen und unteren Schranke u ¨berein, so dass die erste Nachkommastelle von a festgelegt ist: a ≈ 1,4. Die Fortsetzung des Verfahrens liefert die N¨aherung a ≈ 1,41421.  Weitere Beispiele irrationaler Zahlen sind die Kreiszahl π = 3,14159 . . ., die den Fl¨ acheninhalt eines Kreises mit Radius Eins angibt, oder die Eulersche Konstante e = 2,71828 . . ., die als Basis der 161
Exponentialfunktion und des nat¨ urlichen 92
Logarithmus verwendet wird.∗ Rechenregeln f¨ ur reelle Zahlen

Alle in diesem Kapitel vorgestellten Rechenregeln gelten auch f¨ ur reelle Zahlen. Sie sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt. Addition Multiplikation Addition Assoziativgesetz der Multiplikation Distributivgesetz 1. binomische Formel 2. binomische Formel 3. binomische Formel Vorzeichenregeln Kommutativgesetz der

Betrag einer Zahl

a+b=b+a ab = ba (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) a(b + c) = ab + ac (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 (a + b)(a − b) = a2 − b2 −(−a) = a −(a + b) = −a − b −(a − b) = −a + b a(−b) = (−a)b = −(ab) (−a)(−b) = ab  a, a ≥ 0 |a| = −a, a < 0

Reelle Zahlen k¨ onnen ebenfalls am Zahlenstrahl veranschaulicht und demnach geordnet werden, d.h. es kann jeweils entschieden werden, ob zwei reelle Zahlen gleich oder ungleich sind, bzw. welche die gr¨oßere von beiden ist. Dazu werden die Dezimaldarstellungen der Zahlen verwendet, und die einzelnen Stellen hinsichtlich der Gr¨ oße miteinander verglichen. ∗ In diesen F¨ allen werden Buchstaben als Bezeichnung f¨ ur eine feste Zahl (eine so genannte Konstante) verwendet. Die Buchstaben e und π bezeichnen daher i.Allg. keine Variablen, sondern die genannten Konstanten.

24

1. Grundlagen

Bzgl. der Ordnungsrelationen k¨ onnen folgende Regeln festgehalten werden. Ordnungsrelationen F¨ ur Zahlen a, b, c gelten die Regeln a
und

a
und und

b0 c<0 ab > 0 ab < 0 ab = 0

=⇒ =⇒ =⇒ =⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

a bc (a > 0 und b > 0) oder (a < 0 und b < 0) (a > 0 und b < 0) oder (a < 0 und b > 0) (a = 0 oder b = 0)

Entsprechende Aussagen gelten f¨ ur ≤ bzw. ≥ an Stelle von < bzw. >. Von besonderer Bedeutung ist die letzte Aussage ab = 0 ⇐⇒ a = 0 oder b = 0,




1.3

die besagt, dass ein Produkt zweier Zahlen nur dann Null sein kann, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist.

1.3 Runden von Zahlen In vielen Bereichen sind exakte Ergebnisse von Rechenoperationen nicht zwingend erforderlich. Eine N¨ aherung auf eine vorgegebene Anzahl von Nachkommastellen liefert oft schon die gew¨ unschte Genauigkeit. F¨ ur dieses Vorgehen k¨ onnen verschiedene Gr¨ unde angef¨ uhrt werden: Oft k¨onnen Messungen von Eigenschaften aus technischen Gr¨ unden nur mit einer bestimmten Pr¨azision ermittelt werden (z.B. die K¨ orpergr¨ oße einer Person (in m) mit zwei Nachkommastellen, die Ergebnisse eines 100m-Laufs mit drei Nachkommastellen). Andererseits liegen Werte oft mit einer festen Zahl von Stellen vor (z.B. Verkaufspreise einer Joghurtsorte in e mit zwei oder der Benzinpreis an einer Tankstelle mit drei Nachkommastellen). Zudem rechnen Computer oder Taschenrechner intern nur mit einer endlichen Anzahl von Nachkommastellen, so dass exakte Ergebnisse bei Benutzung dieser Hilfsmittel i.Allg. nicht m¨ oglich sind. Daher ist es u ¨ blich – auch zur Vereinfachung der Rechenoperationen – Zahlen (z.B. Ergebnisse oder Zwischenergebnisse) nur mit einer gewissen Anzahl von Nachkommastellen anzugeben, wobei verschiedene Vorgehensweisen verwendet werden. Die einfachste Methode schneidet nicht interessierende Stellen

1.3

Runden von Zahlen

25

ab, d.h. nur die ersten Stellen werden verwendet. Bei Verwendung von drei Nachkommastellen wird aus der Zahl 3,1415 die Zahl 3,141. Alle nicht interessierenden Stellen werden also ignoriert. Die gebr¨ auchlichste Methode ist jedoch die Rundung auf eine gegebene Anzahl von Nachkommastellen, wobei die auf die letzte interessierende Dezimalstelle unmittelbar folgende Ziffer in die Betrachtung einbezogen wird. Ist deren Wert eine der Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, so wird die Zahl abgerundet“, d.h. al” le nicht interessierenden Stellen werden wie oben beschrieben abgeschnitten. Hat diese Ziffer jedoch einen Wert 5, 6, 7,8, 9, so wird aufgerundet“, d.h. die ” letzte interessierende Ziffer wird um Eins erh¨ oht, wobei bei Vorliegen einer Neun an dieser Stelle die vorhergehenden Ziffern entsprechend zu modifizieren sind. Die Anwendung dieses Verfahrens ergibt f¨ ur 3,1415 den gerundeten Wert 3,142. Ist die Anzahl gew¨ unschter Nachkommastellen gr¨oßer als die Anzahl exakter Nachkommastellen, so werden die fehlenden Stellen mit Nullen erg¨ anzt. Soll die Zahl 3,1415 mit f¨ unf Nachkommastellen angegeben werden, so wird die Darstellung 3,14150 benutzt. Beispiel
In der folgenden Tabelle sind Rundungen der Zahl 2,751992 auf 0 bis 7 Nachkommastellen angegeben.

Zahl 2,751992 2,751992 2,751992 2,751992 2,751992 2,751992 2,751992 2,751992

Nachkommastellen 0 1 2 3 4 5 6 7

gerundete Zahl 3 2,8 2,75 2,752 2,7520 2,75199 2,751992 2,7519920

B



Bei Verwendung gerundeter Werte ist darauf zu achten, dass durch die Vernachl¨ assigung von Nachkommastellen i.Allg. Fehler erzeugt werden. Diese Rundungsfehler m¨ ussen insbesondere dann beachtet werden, wenn im Verlauf von Rechenoperationen wiederholt Rundungen der Zwischenergebnisse vorgenommen werden. Die berechneten Resultate k¨onnen dann n¨amlich deutlich vom korrekten Ergebnis abweichen. Dass dabei auch die Reihenfolge der Ausf¨ uhrung von Bedeutung sein kann, zeigt das folgende Zahlenbeispiel. Folglich sollten Zwischenergebnisse immer mit einer m¨oglichst großen Zahl von Nachkommastellen ermittelt werden, damit das Ergebnis m¨oglichst wenig verf¨ alscht wird. Eine ausschließliche Rundung des Endresultats auf die gew¨ unschte Anzahl von Nachkommastellen ist dagegen unproblematisch.




26

B

1. Grundlagen

Beispiel
Die folgende Rechnung wird auf verschiedene Weisen ausgef¨ uhrt,

wobei Zwischenergebnisse jeweils auf drei Nachkommastellen gerundet werden:

 1 9 · 2 + 10 000 · − 0,111 . 7 9 Das exakte Ergebnis ist 4. Zun¨ achst wird mit der Berechnung der innersten Klammer begonnen. Wegen 1 9 9 = 0,1 ≈ 0,111 und 7 ≈ 1,286 ergibt sich

 9 9 1 · 2 + 10 000 · − 0,111 ≈ · [2 + 10 000 · (0,111 − 0,111)]  
7 9 7 =0

9 = · 2 ≈ 1,286 · 2 = 2,572. 7 Das mit gerundeten Zwischenergebnissen ermittelte Ergebnis 2,572 weicht offenbar vom exakten Resultat 4 erheblich ab. Eine bessere Approximation ergibt sich, wenn die Berechnung in etwas anderer Weise ausgef¨ uhrt wird.

  1 9 1 9 · 2 + 10 000 · − 0,111 = · 2 + 10 000 · − 10 000 · 0,111 7 9 7 9 9 1 = · [2 + 10 000 · − 1 110] 7 9 9 1 = · [10 000 · − 1 108] 7 9 9 9 ≈ · [1 111,111 − 1 108] = · 3,111 7 7 ≈ 1,286 · 3,111 ≈ 4,001. Eine weitere Alternative ist das Ausmultiplizieren aller Klammern:

 1 9 18 90 000 1 9 · 2 + 10 000 · − 0,111 = + · − 1 110 · 7 9 7 7 9 7 18 9 ≈ + 90 000 · 0,016 − 1 110 · 7 7 ≈ 2,571 + 1 440 − 1 110 · 1,286 ≈ 1442,571 − 1427,460 = 15,111. Die N¨ aherung weicht in diesem Fall sehr deutlich vom korrekten Ergebnis ab und ist daher unbrauchbar. Insgesamt zeigt sich, dass bei der Rundung von Zwischenergebnissen sehr vorsichtig vorgegangen werden muss. Insbesondere ist von Bedeutung, in welcher Reihenfolge eine Rechnung ausgef¨ uhrt wird. 

1.4

Indizierung von Variablen

27

1.4

1.4 Indizierung von Variablen Gelegentlich werden Variablen mit einem Index versehen, der eine Darstellung verschiedener Variablen mit dem gleichen Buchstaben erm¨oglicht, z.B. a1 , b5 , xk , an .∗ Die Buchstaben k und n in den letzten beiden Bezeichnungen sind selbst wiederum Variablen, die aus einer Indexmenge genommen werden (etwa aus den nat¨ urlichen Zahlen N oder den ganzen Zahlen Z). {ai | i ∈ I} bezeichnet eine Menge von Variablen ai , deren Index i die Indexmenge I durchl¨ auft. Ist I = {j, . . . , n}, wobei j eine ganze Zahl kleiner oder gleich der ganzen Zahl n ist, entspricht die Darstellung ai , i ∈ I, der Nouhrt. Ist I eine tation aj , . . . , an . Analog werden Doppelindizierungen eingef¨ Menge von Paaren (i, j), so bezeichnet a(i,j) die Variable, die mit dem Paar (i, j) indiziert wird. Zur Vereinfachung der Notation werden die Klammern (und evtl. das Komma) in der Indizierung meist weggelassen, d.h. an Stelle von a(i,j) wird kurz aij geschrieben. Das Komma wird beibehalten, wenn Mehrdeutigkeiten m¨ oglich sind: ai+1,3 ; a56,1 ; a5,61 ; ai,j−1 ; ai−1,j−4 etc. Die Indexmengen haben oft eine einfache Struktur, die etwa eine Anordnung urlider Variablen aij in einem Rechteckschema† erm¨oglichen (m, n seien nat¨ che Zahlen): a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

··· ··· .. .

am1

am2

· · · amn

a1n a2n .. .

Insgesamt liegen also n·m Variablen aij vor, wobei die Indizes aus der Menge der Paare {(i, j),| i ∈ {1, . . . , m}, j ∈ {1, . . . , n}} gew¨ahlt werden. Der erste Index bezeichnet die Zeile im obigen Schema, der zweite Index die Spalte. Das Schema kann erweitert werden, indem jeweils unterschiedlich viele Eintr¨ age in den Zeilen bzw. Spalten zugelassen werden. Dies f¨ uhrt zu Schemata der Art a12 a22 .. .

a11 a21 .. . .. .

am2 2

am1 1 ∗ lies:

··· ··· .. .

a1n a2n .. . .. ··· . .. . amn n

a Eins, b F¨ unf, x k, a n so genannten Matrix

† einer

a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

am1

am2

··· ··· ··· ··· ··· ··· .. .. . . · · · · · · amnm

··· a2n2

a1n1

28

1. Grundlagen

In analoger Weise sind Mehrfachindizierungen aijk , a1,4,5 , a14,8,i , ai,k−1,6,8,0 zu verstehen. Nat¨ urlich kann an Stelle des Buchstabens a auch ein anderer Buchstabe verwendet werden. Die Indizierung von Variablen wird mittels der folgenden Beispiele illustriert. Zun¨ achst wird ein Haus betrachtet, das insgesamt m Stockwerke besitzt. Im i-ten Stockwerk wohnen ai Personen: .......................................... . .. m ..... .. ......................................... ... ... ... ... .. .. .......................................... .. ... ... i ... ......................................... .... .. .. .... . .... ....................................... .. .. ..... .. .. 1 .......................................

a

a

a

In Erweiterung dieser Situation werden die H¨auser in einer Straße betrachtet, wobei der erste Index das Stockwerk und der zweite Index die Hausnummer bezeichnen. Zun¨ achst sollen alle H¨ auser (n St¨ uck) die selbe Anzahl von Stockwerken m haben: .......................................................................................................................................................................................................................................................................... . . ... .. ... .. ... .... mj ...... .. ... ... ... m1 ..... m2 ..... mn ..... . . . . ...................................................................................................................................................................................................................................................................... ... .. .. .. .. .. .. .. .. ... ... ... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. ................................................................................................................................................................................................................................................................................ .. ... ... ... ... ... ... ... . . . . . . . . ij . . . . . . . ... i1 . in . . . . . . ...................................................................................................................................................................................................................................................................... .... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... .... ... ... ... ... ... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ... ... .... .... .... .... .... .... . . . . . . . . ... 1j . . . . . . . 11 . 12 . 1n . . . . . .........................................................................................................................................................................................................................................................................

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

Nat¨ urlich k¨ onnen die H¨ auser auch unterschiedlich viele Stockwerke haben, d.h. die H¨ ohe des Hauses h¨ angt von der Hausnummer ab. Das Haus mit der Nummer j hat mj Stockwerke. ..................................... .... ... ... . .. mn n .... ......................................... ....................................... . ... ... . ... .. .... ..... .... .. ..................................... ..................................... ............................................................................ .... .. .. .... .... ... .. ... ... ... ... ... ..... m1 1 ...... .... ... ... .... ... . ....................................... .......................................................................................................................................................................................... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... mj j ..... .. ... ... .. .. .. .. .. .............................................................................................................................................................................................................................................................................. .. . ... ... ... ... ... ... m2 2 .... .... .. .. .. .. .. .. ................................................................................................................................................................................................................................................................................ ... ... ... ... ... ... ... ... . . . . . . .. . . . . . . . . ij ... ... ... ... .... .... ... ... . ........................................................................................................................................................................................................................................................................... .. ... ... ... ... .. ... .... .. .. .... ... ... ... ... ... . ....................................................................................................................................................................................................................................................................... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . . . . . . . . . . ... . . 1j ... 11 .... 12 .... 1n .... .. .. . . .... ... ............................................................................................................................................................................................................................................................

a

a

a

a

a

a

a

a

a

In diesem Fall erh¨ alt man also ein Schema von Zahlen, wobei in jeder Spalte (Haus) unterschiedlich viele Eintr¨ age (Stockwerke) vorkommen k¨onnen. Im Allgemeinen k¨ onnen nat¨ urlich auch in einer Zeile unterschiedlich viele

1.4

Indizierung von Variablen

29

Eintr¨ age auftreten. Die Indizierung kann nun so ausgebaut werden, dass ein dritter Index die Nummer der Straße in einer Stadt bezeichnet. Ein vierter Index k¨ onnte eine Nummerierung von St¨ adten in einem Bundesland sein etc. die Bedeutung: Dies erg¨ abe dann f¨ ur die Variable a ijkl

Anzahl von Personen, die im i -ten Stock des j -ten Hauses in Straße k von Stadt l wohnen. Anwendungen in der Statistik

In der Statistik werden Beobachtungen eines Merkmals als Stichprobe bezeichnet. Diese werden angegeben als Liste x1 , . . . , xn , wobei n die Gesamtagung des Merkmals am i-ten Objekt zahl an Beobachtungen und xi die Auspr¨ darstellen. Beispiel
Schuhgr¨ oße Bei n = 12 Personen wird jeweils das Merkmal Schuhgr¨ oße festgestellt. Dabei resultieren folgende Angaben:

x1 43

x2 37

x3 46

x4 42

x5 x6 43 38

x7 44

x8 41

x9 41

x10 39

x11 40

x12 36



Beispiel
Datenmatrix Bei statistischen Erhebungen werden an einem Objekt

oft gleichzeitig mehrere Messungen unterschiedlicher Eigenschaften vorgenommen (z.B. bei n Personen die m Eigenschaften monatliches Nettoeinkommen, Ausgaben f¨ ur Miete,. . . ). Derartige Daten werden oft in einer Tabelle oder Datenmatrix D zusammengefasst:

Person i

1 1 2 .. .

x11 x21 .. .

.. . n

.. . xn1

Eigenschaft j 2 ··· m x12 x22 .. . xn2

··· ···

x1m x2m .. .

..

.. .

. · · · xnm

⎛

x11 ⎜ x21 ⎜ ⎜ .. D=⎜ ⎜ . ⎜ . ⎝ .. xn1

x12 x22 .. .

··· ··· ..

xn2

B

⎞ x1m x2m ⎟ ⎟ .. ⎟ . ⎟ ⎟ .. ⎟ . ⎠

. · · · xnm

 Eine wichtige Rolle spielen in der Statistik die geordneten Werte einer Stichprobe. F¨ ur den kleinsten und gr¨ oßten Wert werden besondere Begriffe eingef¨ uhrt.

B

30

1. Grundlagen




Minimum, Maximum, Spannweite Die Werte min(x1 , . . . , xn ) und max(x1 , . . . , xn ) bezeichnen Minimum bzw. Maximum der Zahlen x1 , . . . , xn . Die Differenz R = max(x1 , . . . , xn ) − min(x1 , . . . , xn ) heißt Spannweite.

B

Beispiel
Fortsetzung 29
Beispiel Schuhgr¨ oße Die geordneten Beobachtungs-

Definition

werte (Schuhgr¨ oßen) sind 36 37 38 39 40 41 41 42 43 43 44 46, so dass das Minimum durch 36 und das Maximum durch 46 gegeben ist. Die  Spannweite betr¨ agt R = 10.

1.5

1.5 Aufgaben

34
L

Aufgabe 1.1

Listen Sie die Elemente der Mengen auf.

(a) Menge aller Vokale des deutschen Alphabets (b) Menge der Buchstaben des Wortes Summe (c) Menge der geraden nat¨ urlichen Zahlen kleiner als 13 (d) Menge der Ziffern der Zahl 1494 34
L

34
L

Aufgabe 1.2

Finden Sie eine beschreibende Darstellung f¨ ur die Mengen.

(a) {l, a, g, e, r}

(e) {2, 4, 6, 8, 10}

(b) {Nord, West, S¨ ud, Ost}

(f) { 21 , 13 , 14 , 15 , 16 }

(c) {8, 16, 24, 32, 40, 48}

(g) {−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}

(d) { 12 , 22 , 32 , 42 , 52 }

(h) {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, . . .}

Aufgabe 1.3

Geben Sie die Mengen in aufz¨ahlender Darstellung an.

(a) {k 2 |k ∈ N und 1 ≤ k ≤ 7}

(d) { k1 |k ∈ N und

(b) {k 2 |k ∈ Z und − 7 ≤ k ≤ 7}

(e) {x|x ∈ Z und x ∈ N}

(c) {6k + 3|k ∈ Z und − 3 ≤ k ≤ 3}

1 |k ∈ Z und (f) { 3k

1 k

2 k

∈ N}

∈ Z}

1.5

Aufgaben

31

(g) {k|k ∈ Z, k ≥ 0 und k ∈ N}

(h) {x|x ∈ N0 und x ∈ Q}



Entscheiden Sie f¨ ur die Menge A = 1, 2, −3, 13 , welche der folgenden Aussagen richtig sind.

Aufgabe 1.4

(a) Die Menge A enth¨ alt genau vier Elemente.

(f) Jedes Element von A besitzt eine endliche Dezimaldarstellung.

(b) 3 ist ein Element der Menge A.

(g) Jedes Element von A geh¨ort zu R.

(c) Nur eines der Elemente von A ist eine rationale Zahl. (d) Jedes Element von A geh¨ ort zu Z.

34
L

(h) Zwei Elemente von A sind nat¨ urliche Zahlen.

 (i) Die Menge 13 , 2, 1, −3 ist mit A identisch.

(e) 1 ist eine Variable. Aufgabe 1.5

Geben Sie an, ob folgende Ausdr¨ ucke Mengen darstellen.

(a) {a, b}

(e) {y|y ist nicht sehr groß}

(b) {G, u, t, e, n, T, a, g}

(f) {z|z ∈ Q, z < 0}

34
L

(c) {G, u, t, e, n, A, b, e, n, d}

(g) { }

 (d) {x|x ist eine reelle Zahl gr¨ oßer 5} (h) 1, 12 , 13 , 24 Aufgabe 1.6

35
L

L¨ osen Sie die Klammern auf.

(a) −(x + y + z)

(d) −[(b − c) − a]

(b) −(3a − 4)

(e) −[2(−4)(−a)]

(c) −[5 − (6 + x)]

(f) −[−(5 + a − 2(−a)) − 4]

Aufgabe 1.7

35
L

Multiplizieren Sie aus.

(a) 5 · (a + b)

(d) (a + 4b) · 2

(g) 4y · (2x + 6y)

(b) 3 · (x + 2)

(e) 3a · (4 + b)

(h) 10a · (5x + 4z)

(c) (x + a) · 4

(f) 7y · (3 + 2y)

(i) (3y + 2b) · 8ax

32

35
L

36
L

1. Grundlagen

Aufgabe 1.8

Multiplizieren Sie aus.

(a) 3 · (a2 − b) + 5 · (a + b)

(c) 13 · (7x − y) − 11 · (2x − 3y)

(b) 7x · (3z 2 + 1) − 2 · (x − z)

(d) x2 · (2y − x) − y 2 · (2x − y)

Aufgabe 1.9

Multiplizieren Sie aus.

(a) 2a2 · (3a − 7b) + 3b2 · (a2 − 2b) + 2ab(7a + 3ab) (b) xy · (3x + 5y 2 z) + 2z 2 · (2x + 4xy) − x · (3xy + 5y 3 z + 4z 2 + 8yz 2 ) (c) a · (3a2 + 7b + 6c) − b · (7a + 2b − 3c2 ) + c · (6a − 3bc − 4c2 ) (d) −xy 2 (−x + y) + x2 y(x − y) 36
L

36
L

37
L

Aufgabe 1.10

Multiplizieren Sie aus.

(a) (3 + 4a) · (7b − 2)

(d) 2 · (7x − 2y) · (3x + 0,5y)

(b) (a + b) · (a + b)

(e) (9x2 + 6xy + y 2 ) · (2x − y)

(c) (3a + 2b) · (6a − 8b)

(f) (2a − 3b)2 · (a2 − b2 )2

Aufgabe 1.11

Klammern Sie aus.

(a) 3a + 3b

(e) 49x2 y 2 + 21x2 − 14

(b) xy + 2x

(f) 169a4b3 + 65a3 b5 − 26a5 b4

(c) a2 b + ab2

(g) 30a2 b4 c7 − 6a2 b4 c7 + 8a7 b4 c2

(d) 24ab + 12a2 b − 3ab2

(h) 100xy 2 −20x2 yz+50x2z−25xyz 2

Aufgabe 1.12

Fassen Sie die Terme mit binomischen Formeln zusammen.

(a) x2 + 2xy + y 2

(e) a8 − 2a4 b2 + b4

(b) 49x2 + 14xy + y 2

(f) 18a + 84ab + 98ab2

(c) 16x2 − 16xy + 4y 2

(g) 4a2 − b2

(d) 25a4 + 20a2 b2 + 4b4

(h) 18x2 − 2y 4

1.5

Aufgaben

33

Erg¨anzen Sie die fehlenden Summanden gem¨aß der binomi-

Aufgabe 1.13

37
L

schen Formeln. (a) (3x + . . .)2 = 9x2 + 30x + 25 (b) (2x + . . .)2 = . . . + 12xy + 9y 2 (c) (2a − . . .)2 · 4 = . . . − 64ab + 64b2 (d) (. . . + 5b2 )2 = 49a2 + . . . + . . . (e) (. . . + 3c)2 = 4a2 b2 + 12abc + . . . (f) (0,5a + . . .)2 = . . . + ab + . . . (g) (. . . − 4bc)2 = . . . − 24abc + . . . (h) (5a2 + . . .) · (5a2 − . . .) = . . . − 49b2 c4 (i) (. . . + x)2 = . . . − 2xy + . . . (j) (. . . − z 2 )2 = z 2 + . . . + . . . Aufgabe 1.14

(a)

1 10

38
L

Wandeln Sie die Br¨ uche in Dezimalzahlen um. (b)

2 5

(c)

5 4

(d)

6 3

(e)

2 3

(f)

3 11

Runden Sie die Dezimalzahlen jeweils auf die vorgegebene Anzahl von Nachkommastellen.

Aufgabe 1.15

(a) 1,764 (eine Nachkommastelle) (b) 1254,7278 (zwei Nachkommastellen) (c) 3,4450 (zwei Nachkommastellen) (d) 0,21 (null Nachkommastellen) (e) 1,949 (zwei Nachkommastellen) (f) 10,991 (zwei Nachkommastellen) (g) 10,999 (zwei Nachkommastellen)

38
L

34

1. Grundlagen

1.6

1.6 L¨ osungen

30
A

L¨ osung 1.1

30
A

(a) {a, e, i, o, u}

(c) {2, 4, 6, 8, 10, 12}

(b) {S, u, m, e}

(d) {1, 4, 9}

L¨ osung 1.2 (a) Z.B. Menge der Buchstaben des Wortes Lager oder Menge der Buchstaben des Wortes Regal etc. (b) Menge der Himmelsrichtungen (c) Menge der durch acht teilbaren nat¨ urlichen Zahlen, die kleiner als 50 sind

30
A

31
A

(e) {2k|k ∈ N und 1 ≤ k ≤ 5} (f) { k1 |k ∈ N und 2 ≤ k ≤ 6} (g) {x|x ∈ Z und − 2 ≤ x ≤ 4} (h) Menge der ungeraden nat¨ urlichen Zahlen oder {2k − 1|k ∈ N}

L¨ osung 1.3

(b) {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49}

(e) {0, −1, −2, −3, −4, −5, . . .}

 (f) − 13 , − 61 , 16 , 13

(c) {−15, −9, −3, 3, 9, 15, 21}

(g) {0}

(d) {1}

(h) {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .} = N0

(a) {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49}

31
A

(d) { k2 |k ∈ N und 1 ≤ k ≤ 5}

L¨ osung 1.4 (a) wahr

(c) falsch

(e) falsch

(g) wahr

(b) falsch

(d) falsch

(f) falsch

(h) wahr

(i) wahr

L¨ osung 1.5 (a) {a, b} ist eine Menge. (b) {G, u, t, e, n, T, a, g} ist eine Menge. (c) {G, u, t, e, n, A, b, e, n, d} = {G, u, t, e, n, A, b, d} ist eine Menge (hierbei ist die Vereinbarung zu beachten, dass mehrfach vorkommende Elemente nur einmal aufgef¨ uhrt werden). (d) {x|x ist eine reelle Zahl gr¨ oßer 5} ist eine Menge.

1.6

L¨ osungen

35

(e) {y|y ist nicht sehr groß} ist keine Menge, denn die Eigenschaft nicht sehr ” groß“ ist subjektiv. (f) {z|z ∈ Q, z < 0} ist eine Menge. (g) { } ist die Menge, die kein Element enth¨ alt (42
leere Menge).





 (h) 1, 12 , 13 , 24 = 1, 12 , 13 = 1, 13 , 24 ist eine Menge. Wegen 12 = 24 repr¨ asentieren beide Br¨ uche die selbe Zahl, so dass ein Bruch gestrichen wird. 31
A

L¨ osung 1.6 (a) −(x + y + z) = −x − y − z (b) −(3a − 4) = −3a + 4 (c) −[5 − (6 + x)] = −5 + (6 + x) = −5 + 6 + x = 1 + x (d) −[(b − c) − a] = −(b − c) + a = −b + c + a = a − b + c (e) −[2(−4)(−a)] = −[2 · 4a] = −[8a] = −8a (f) −[−(5 + a − 2(−a)) − 4] = (5 + a − 2(−a)) + 4 = 5 + a + 2a + 4 = 9 + 3a

31
A

L¨ osung 1.7 (a) 5 · (a + b) = 5a + 5b

(f) 7y · (3 + 2y) = 21y + 14y 2

(b) 3 · (x + 2) = 3x + 6

(g) 4y · (2x + 6y) = 8xy + 24y 2

(c) (x + a) · 4 = 4x + 4a (h) 10a · (5x + 4z) = 50ax + 40az

(d) (a + 4b) · 2 = 2a + 8b

(i) (3y + 2b) · 8ax = 24axy + 16abx

(e) 3a · (4 + b) = 12a + 3ab

32
A

L¨ osung 1.8 (a) 3 · (a − b) + 5 · (a + b) = 3a − 3b + 5a + 5b = 3a + 5a + 2b 2

2

2

(b) 7x · (3z 2 + 1) − 2 · (x − z) = 21xz 2 + 7x − 2x + 2z = 21xz 2 + 5x + 2z (c) 13 · (7x − y) − 11 · (2x − 3y) = 91x − 13y − 22x + 33y = 69x + 20y (d) x2 · (2y − x) − y 2 · (2x − y) = 2x2 y − x3 − 2xy 2 + y 3

36

32
A

1. Grundlagen

L¨ osung 1.9 (a) 2a2 · (3a − 7b) + 3b2 · (a2 − 2b) + 2ab(7a + 3ab) = 6a3 − 14a2 b + 3a2 b2 − 6b3 + 14a2 b + 6a2 b2 = 6a3 + 9a2 b2 − 6b3 (b) xy · (3x + 5y 2 z) + 2z 2 · (2x + 4xy) − x · (3xy + 5y 3 z + 4z 2 + 8yz 2 ) = 3x2 y + 5xy 3 z + 4xz 2 + 8xyz 2 − 3x2 y − 5xy 3 z − 4xz 2 − 8xyz 2 =0 (c) a · (3a2 + 7b + 6c) − b · (7a + 2b − 3c2 ) + c · (6a − 3bc − 4c2 ) = 3a3 + 7ab + 6ac − 7ab − 2b2 + 3bc2 + 6ac − 3bc2 − 4c3 = 3a3 − 2b2 − 4c3 + 12ac (d) −xy 2 (−x + y) + x2 y(x − y) = x2 y 2 − xy 3 + x3 y − x2 y 2 = x3 y − xy 3

32
A

L¨ osung 1.10 (a) (3 + 4a) · (7b − 2) = 21b − 6 + 28ab − 8a (b) (a + b) · (a + b) = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (c) (3a + 2b) · (6a − 8b) = 18a2 − 24ab + 12ab − 16b2 = 18a2 − 12ab − 16b2 (d) 2 · (7x − 2y) · (3x + 0,5y) = (14x − 4y) · (3x + 0,5y) = 42x2 + 7xy − 12xy − 2y 2 = 42x2 − 5xy − 2y 2 (e) (9x2 + 6xy + y 2 ) · (2x − y) = 18x3 − 9x2 y + 12x2 y − 6xy 2 + 2xy 2 − y 3 = 18x3 + 3x2 y − 4xy 2 − y 3 (f) (2a − 3b)2 · (a2 − b2 )2 = (4a2 − 12ab + 9b2 ) · (a4 − 2a2 b2 + b4 ) = 4a6 − 8a4 b2 + 4a2 b4 − 12a5 b + 24a3 b3 − 12ab5 + 9a4 b2 − 18a2 b4 + 9b6 = 4a6 − 12a5 b + a4 b2 + 24a3 b3 − 14a2 b4 − 12ab5 + 9b6

32
A

L¨ osung 1.11 (a) 3a + 3b = 3 · (a + b) (b) xy + 2x = x · (y + 2) (c) a2 b + ab2 = a(ab + b2 ) = ab · (a + b) (d) 24ab + 12a2 b − 3ab2 = 3ab · (8 + 4a − b) (e) 49x2 y 2 + 21x2 − 14 = 7 · (7x2 y 2 + 3x2 − 2) = 7[(7y 2 + 3)x2 − 2] (f) 169a4 b3 + 65a3 b5 − 26a5 b4 = 13a3 b3 · (13a + 5b2 − 2a2 b) (g) 30a2 b4 c7 − 6a2 b4 c7 + 8a7 b4 c2 = 24a2 b4 c7 + 8a7 b4 c2 = 8a2 b4 c2 · (3c5 + a5 ) (h) 100xy 2 − 20x2 yz + 50x2 z − 25xyz 2 = 5x · (20y 2 − 4xyz + 10xz − 5yz 2 )

1.6

L¨ osungen

L¨ osung 1.12 markiert.

37

1

2

3

Die Anwendung einer binomischen Formel wird jeweils mit =, =, =

32
A

1

(a) x2 + 2xy + y 2 = (x + y)2 1

(b) 49x2 + 14xy + y 2 = (7x)2 + 2(7x)y + y 2 = (7x + y)2 2

(c) 16x2 − 16xy + 4y 2 = (4x)2 − 2(4x)(2y) + (2y)2 = (4x − 2y)2 1

(d) 25a4 + 20a2 b2 + 4b4 = (5a2 )2 + 2(5a2 )(2b2 ) + (2b2 )2 = (5a2 + 2b2 )2 2

3

(e) a8 − 2a4 b2 + b4 = (a4 )2 − 2a4 b2 + (b2 )2 = (a4 − b2 )2 = [(a2 − b)(a2 + b)]2 = (a2 − b)2 (a2 + b)2 (f) 18a + 84ab + 98ab2 = 2a(9 + 42b + 49b2 ) = 2a · (32 + 2 · 3 · 7b + (7b)2 ) 1

= 2a · (3 + 7b)2 3

(g) 4a2 − b2 = (2a)2 − b2 = (2a + b) · (2a − b) 3

(h) 18x2 − 2y 4 = 2 · ((3x)2 − (y 2 )2 ) = 2 · (3x + y 2 ) · (3x − y 2 ) 33
A

L¨ osung 1.13 (a) (3x + 5 )2 = 9x2 + 30x + 25 (b) (2x + 3y )2 = 4x2 + 12xy + 9y 2 (c) (2a − 4b )2 · 4 = 16a2 − 64ab + 64b2 (d) ( 7a + 5b2 )2 = 49a2 + 70ab2 + 25b4 (e) ( 2ab + 3c)2 = 4a2 b2 + 12abc + 9c2 (f) (0,5a + b )2 = 0,25a2 + ab + b2 (g) ( 3a − 4bc)2 = 9a2 − 24abc + 16b2 c2 (h) (5a2 + 7bc2 ) · (5a2 − 7bc2 ) = 25a4 − 49b2 c4 (i) ( −y + x)2 = y 2 − 2xy + x2 (j) ( −z − z 2 )2 = z 2 + 2z 3 + z 4 Alternativ: ( − 12 − z 2 )2 = z 2 +

1 4

+ z4

38

33
A

1. Grundlagen

L¨ osung 1.14 (a)

1 10

= 0,1

(c)

1 : 10 = 0,1 0 10 10 0

(b)

2 5

= 0,4

2 : 5 = 0,4 0 20 20 0

33
A

5 4

= 1,25

(e)

5 : 4 = 1,25 4 10 8 20 20 0

(d)

6 3

=2

2 3

= 0,6

2 : 3 = 0,66 . . . 0 20 18 20 18 20 .. . . . .

(f)

6:3=2 6 0

3 11

= 0,27

3 : 11 = 0,27 . . . 0 30 22 80 77 30 .. . . . .

L¨ osung 1.15 (a) 1,764 auf eine Nachkommastelle gerundet ergibt 1,8. (b) 1254,7278 auf zwei Nachkommastellen gerundet ergibt 1254,73. (c) 3,4450 auf zwei Nachkommastellen gerundet ergibt 3,45. (d) 0,21 auf null Nachkommastellen gerundet ergibt 0. (e) 1,949 auf zwei Nachkommastellen gerundet ergibt 1,95. (f) 10,991 auf zwei Nachkommastellen gerundet ergibt 10,99. (g) 10,999 auf zwei Nachkommastellen gerundet ergibt 11,00.

Kapitel 2 Mengen

2

2

2

Mengen

41

2.1

Grundbegriffe .....................................................

41

2.2

Mengenoperationen..............................................

47

2.3

Rechenregeln f¨ ur Mengenoperationen........................

56

2.4

Spezielle Mengen ................................................

59

2.5

Aufgaben ..........................................................

65

2.6

L¨osungen ..........................................................

69

2.1

Grundbegriffe

41

2 Mengen Nachdem in 4
Kapitel 1.1 der Begriff einer Menge bereits eingef¨ uhrt wurde, werden in diesem Abschnitt Mengen und ihre Eigenschaften, spezielle Mengen sowie Mengenoperationen n¨ aher untersucht. Zun¨achst werden Venndiagramme als praktische und einfache Visualisierung von Mengen und Mengenoperationen vorgestellt. Venndiagramme

In einem Venndiagramm werden Mengen durch Fl¨achen (¨ ublicherweise Kreise, Ellipsen u.¨ a.) in der Ebene repr¨ asentiert. Die Elemente einer Menge befinden sich dabei irgendwo auf der ihr zugeordneten (farbig markierten) Fl¨ache und werden, sofern sie nicht von speziellem Interesse sind, im Diagramm nicht gesondert gekennzeichnet. Ansonsten werden sie durch (m¨ oglicherweise beschriftete) Punkte dargestellt. Auf die Darstellung der Punkte wird auch verzichtet.

a •

• c

•d

•b

•f

•e

C

A

B

d

a c

f

b e

2.1 Grundbegriffe

2.1

Wie bereits in 4
Kapitel 1.1 erw¨ ahnt, kann eine Menge auf unterschiedliche Weise dargestellt werden. So repr¨ asentiert etwa {1, 2, 3} die selbe Menge wie {x | x ∈ N, x ≤ 3}. Die Gleichheit von Mengen wird u ¨ ber ihre Elemente definiert. Definition Gleichheit von Mengen Zwei Mengen A und B heißen gleich, wenn sie die gleichen Elemente besitzen. In diesem Fall wird die Notation A = B verwendet.

Aus der Definition folgt, dass in der aufz¨ ahlenden Darstellung von Mengen die Reihenfolge der Elemente unerheblich ist. Die Menge {2, 3, 1, 3} ist gleich der Menge {2, 3, 1}, wobei die Notation {2, 3, 1, 3} un¨ ublich ist. In der aufz¨ahlenden Darstellung wird jedes Element nur einmal aufgelistet.



42

2. Mengen

Beispiel
Die Mengen A = {1, 2, 3} und B = {3, 2, 1} stimmen u ¨berein, da

B

jedes Element von A auch Element von B ist (und umgekehrt). Die Mengen C = {x2 | x ∈ {−2, −1, 0, 1, 2}} und D = {0, 1, 4} sind gleich, da  02 = 0, (−1)2 = 12 = 1, (−2)2 = 22 = 4. Daher gilt C = D. Die Menge aller auf dem Mond wachsenden B¨aume oder die Menge aller negativen nat¨ urlichen Zahlen sind Beispiele f¨ ur Mengen, die offensichtlich keine Elemente besitzen. F¨ ur diese Situation wird ein spezielles Symbol eingef¨ uhrt.


Bezeichnung Leere Menge Eine Menge, die kein Element enth¨ alt, heißt leere Menge. Als Bezeichnung wird das Symbol ∅ verwendet. Alternativ ist auch die Notation {} gebr¨auchlich.




Die Notation {} f¨ ur die leere Menge darf nicht mit {0} oder {∅} verwechselt werden. {0} und {∅} bezeichnen n¨ amlich Mengen, die jeweils genau ein Element enthalten: die Null bzw. die leere Menge. Grundmenge

In einem speziellen Kontext ist oft die Festlegung aller Elemente erforder¨ lich, die in die Uberlegungen einbezogen werden sollen. Die Menge der so spezifizierten Elemente heißt Grundmenge oder Grundraum. B

Beispiel
W¨ urfelwurf Beim einfachen W¨ urfelwurf k¨onnen die Ziffern 1, 2, 3, 4, 5,

6 als Ergebnis auftreten. Da weitere Zahlen f¨ ur den Ausgang des Experiments keine Relevanz haben, ist Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} die Grundmenge.  B

Beispiel
Zahlenlotto Beim Zahlenlotto 6 aus 49 sind sechs verschiedene Zah-

len aus insgesamt 49 Zahlen auszuw¨ ahlen. Die betrachteten Auswahlen von Zahlen sind daher Mengen, die jeweils sechs verschiedene Zahlen aus der Menge {1, . . . , 49} enthalten (die Reihenfolge der Auflistung spielt keine Rolle): {1, 2, 3, 4, 5, 6}, {3, 13, 19, 42, 47, 49} etc. Die Grundmenge der m¨ oglichen Zahlenkombinationen ist somit gegeben durch Ω = {{a, b, c, d, e, f } | a, b, c, d, e, f ∈ {1, . . . , 49} und a, b, c, d, e, f sind verschieden}. 

2.1

Grundbegriffe

43

Bezeichnung Grundmenge, Grundraum Die Menge aller betrachteten Objekte wird Grundmenge genannt. Als Bezeichnung wird der griechische Buchstabe Ω verwendet.



Um triviale Situationen auszuschließen, wird f¨ ur eine Grundmenge gefordert, dass sie nicht leer ist, d.h. Ω = ∅. Grundmengen k¨ onnen ebenfalls in Venndiagrammen dargestellt werden, wobei zu ihrer Repr¨ asentation u ¨ blicherweise ein Rechteck verwendet wird, das alle anderen Mengen und Elemente umfasst. Das Venndiagramm einer Grundmenge Ω, in der eine Menge A liegt, hat etwa folgendes Aussehen:

A Ω

Ergebnisse und Ereignisse

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung werden f¨ ur die Begriffe Element und Menge die Bezeichnungen Ergebnis bzw. Ereignis benutzt, wobei mit Ergebnis meist der Ausgang eines Zufallsexperiments gemeint ist. Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang (Experiment), dessen Ausgang nicht vorhersehbar ist (z.B. das Ergebnis eines W¨ urfelwurfs oder einer Lottoziehung). Die Bezeichnungen Ergebnis und Ereignis werden nachfolgend in Beispielen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung ebenfalls verwendet. Teilmengen

Ein zentraler Begriff der Mengenlehre ist die Teilmenge, die durch Einschr¨ankung der Betrachtung auf Elemente einer gegebenen Menge entsteht. Beispiel


¨ (i) Bei der Uberpr¨ ufung eines Kaffeebohnenlagers werden u.a. Herkunftsland und Qualit¨ at der Kaffeebohnen festgestellt. Die Menge aller im Lager vorhandenen Kaffeebohnen aus S¨ udamerika bildet eine Teilmenge der Menge aller im Lager vorhandenen Kaffeebohnen. (ii) Die Menge Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} beschreibt die m¨oglichen Ergebnisse eines einfachen W¨ urfelwurfs. Bei vielen Brettspielen muss ein Spieler die

B

44

2. Mengen

gew¨ urfelte Augenzahl mit seiner Figur vorr¨ ucken, damit diese ein gestecktes Ziel erreicht. Ist dies f¨ ur die Ziffern 1, 2, 4 der Fall, so beschreibt die Teilmenge {1, 2, 4} die f¨ ur den Spieler g¨ unstigen Ergebnisse. 


Bezeichnung Teilmenge Eine Menge B , deren Elemente ebenfalls Elemente einer Menge A sind, heißt Teilmenge von A. Diese Beziehung zwischen A und B wird mit B ⊆ A bezeichnet.

Die Teilmengenbeziehung B ⊆ A wird auch Mengeninklusion genannt und kann gut mit Venndiagrammen veranschaulicht werden:

A

B

Enth¨ alt A mindestens ein Element, das nicht in einer Teilmenge B von A liegt, so werden die Sprechweisen B ist echt in A enthalten“ oder B ist ” ” echte Teilmenge von A“ verwendet. Als Symbolik werden B
A,

B  A oder

B⊂A

benutzt.∗ Die Eigenschaft A ist nicht Teilmenge von B wird u ¨ blicherweise mit A ⊂ B oder A  B bezeichnet. Nicht-leere Mengen haben stets zwei verschiedene Teilmengen: sich selbst und die leere Menge, d.h. A ⊆ A, ∅ ⊆ A. Die leere Menge enth¨alt nur sich selbst. Sind zwei Mengen A und B gleich, so bedeutet dies, dass jedes Element von A auch ein Element von B und umgekehrt jedes Element von B auch ein Element von A ist. Die Gleichheit zweier Mengen l¨asst sich daher auch mittels der Mengeninklusion beschreiben: A=B B

⇐⇒

B⊆A

und A ⊆ B.

Beispiel
Aus den Definitionen der 9
Zahlbereiche ist sofort klar, dass sie  in folgender Beziehung stehen: N
N0
Z
Q
R. ∗ Die Notation B ⊂ A wird in einigen Lehrb¨ uchern gleichbedeutend mit B ⊆ A verwendet. Daher ist stets zu pr¨ ufen, was genau gemeint ist.

2.1

Grundbegriffe

45

M¨ achtigkeit einer Menge Beispiel
In einer Marktstudie wird ein neues Sp¨ ulmittel getestet. Um seinen

B

k¨ unftigen Erfolg auf dem Markt einzusch¨ atzen, wird die Anzahl der zufriedenen Testpersonen ermittelt. Diese Zahl kann auch als Anzahl der Elemente der Menge aller mit dem Sp¨ ulmittel zufriedenen Testpersonen interpretiert  werden. Sie heißt in der deskriptiven Statistik 10
absolute H¨aufigkeit. Definition M¨ achtigkeit einer Menge Die Anzahl der Elemente einer Menge A heißt M¨achtigkeit von A und wird mit |A| bezeichnet.

Eine Menge, deren M¨ achtigkeit Null betr¨ agt, besitzt keine Elemente und ist somit leer. Weiterhin ist die M¨ achtigkeit der leeren Menge gleich Null, d.h. es gilt |A| = 0

⇐⇒

A = ∅.

Neben Mengen mit endlich vielen Elementen gibt es Mengen, die unendlich viele Elemente haben. Eine Menge A hat die M¨ achtigkeit unendlich, falls |A| ≥ n

f¨ ur alle nat¨ urliche Zahlen n,

d.h. die Anzahl der Elemente von A u urliche Zahl n. Bei¨ bersteigt jede nat¨ spiele f¨ ur derartige Mengen sind die nat¨ urlichen Zahlen N oder die ganzen Zahlen Z. Als Notation f¨ ur den Begriff unendlich wird das Symbol ∞ verwendet, d.h. z.B. |N| = ∞. Insbesondere gilt auch |N0 | = ∞, wobei sich die Mengen N und N0 nat¨ urlich nur um das Element 0 unterscheiden. Dies ist jedoch f¨ ur die M¨ achtigkeit beider Mengen ohne Bedeutung. Mengen mit unendlich vielen Elementen werden als abz¨ ahlbar unendlich bezeichnet, wenn ihre Elemente durchnummeriert werden k¨ onnen (z.B. N, N0 , Z, Q). Die M¨achtigkeit der reellen Zahlen wird ebenfalls mit unendlich angegeben, da z.B. die nat¨ urlichen Zahlen eine Teilmenge von R sind. Jedoch wird ein qualitativer Unterschied hinsichtlich der M¨ achtigkeit dieser Mengen gemacht, denn es kann gezeigt werden, dass die reellen Zahlen nicht durchnummeriert werden k¨ onnen. Gleiches gilt z.B. f¨ ur 59
Intervalle. Diese Mengen werden als u ¨berabz¨ahlbar unendlich bezeichnet.



46

2. Mengen

Mengensysteme und Potenzmenge


Bezeichnung Mengensystem Mengensysteme sind Mengen, deren Elemente selbst Mengen sind.

Gelegentlich wird f¨ ur ein Mengensystem auch der Begriff Familie von Menur Mengensysteme sind {∅, {1}, {2}, {1, 2, 3}} und gen verwendet. Beispiele f¨ {{0}, N, Z, Q, R}. Beispiel


B




Mengensysteme spielen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung eine wichtige Rolle. F¨ ur die Menge Ω = {Kopf, Zahl} der m¨oglichen Ergebnisse eines einfachen M¨ unzwurfs ist das Mengensystem {∅, {Kopf}, {Zahl}, {Kopf, Zahl}} die Menge aller verschiedenen Teilmengen von Ω. Dabei ist zu beachten, dass Ω = {Kopf, Zahl} = {{Kopf}, {Zahl}} = M gilt: die Elemente von Ω sind die Ergebnisse Kopf und Zahl, w¨ahrend die Mengen {Kopf} und {Zahl} die Elemente von M sind.

Die Elemente des Mengensystems k¨ onnen mit Hilfe der 9
Aussagenlogik dargestellt werden. Dabei werden nur und“- bzw. oder“-Verkn¨ upfungen ver” ” wendet. Ergebnis Kopf und Zahl Kopf Zahl Kopf oder Zahl

zugeh¨orige Menge ∅ {Kopf} {Zahl} {Kopf, Zahl} = Ω



Eine besondere Rolle unter den Mengensystemen nimmt die Menge aller Teilmengen ein.


Bezeichnung Potenzmenge Sei Ω eine nicht-leere Menge. Die Menge aller (verschiedenen) Teilmengen von Ω (inklusive der leeren Menge) heißt Potenzmenge von Ω und wird mit P(Ω) bezeichnet.

B

Beispiel
Die Potenzmenge der Menge Ω = {1, 2, 3} ist

 P(Ω) = ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} .

2.2

Mengenoperationen

47

Sie besitzt 8 = 23 = 2|Ω| = 2Anzahl der Elemente von Ω Elemente. Diese Beziehung zwischen der M¨ achtigkeit der Potenzmenge und der urspr¨ unglichen Menge gilt auch allgemein.  M¨ achtigkeit der Potenzmenge Sei Ω eine nicht-leere Menge mit n Elementen. Die M¨achtigkeit der Potenzmenge von Ω ist |P(Ω)| = 2|Ω| = 2n .

2.2 Mengenoperationen Beispiel
Basierend auf einem zweifachen W¨ urfelwurf wird folgendes Gl¨ ucksspiel angeboten: Ein Spieler gewinnt das Sechsfache seines Einsatzes, wenn ein Pasch gew¨ urfelt wird, d.h. beide W¨ urfel zeigen die selbe Zahl. Ist die Summe der Augenzahlen mindestens Zehn, so wird (evtl. zus¨atzlich) das dreifache des Einsatzes ausgezahlt. Ansonsten ist der Einsatz verloren.

Daraus ergeben sich folgende Gewinne und zugeh¨orige Gewinnergebnisse: Dreifacher Einsatz: A = {(4, 6), (5, 6), (6, 4), (6, 5)}, Sechsfacher Einsatz: B = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}, Neunfacher Einsatz: C = {(5, 5), (6, 6)}, Ansonsten ist der Einsatz verloren. Diese Mengen kommen auf folgende Weise zustande. Die Grundmenge aller m¨ oglichen Ergebnispaare ist gegeben durch Ω = {(1, 1), . . . , (1, 6), (2, 1), . . . , (6, 6)} = {(i, j) | i, j ∈ {1, . . . , 6}}. Ein dreifacher Einsatz wird ausgezahlt, wenn das Ergebnis Element der Menge D = {(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} ist. Die Auszahlung betr¨agt das Sechsfache, falls das W¨ urfelergebnis in E = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} liegt. Gem¨ aß der Spielregeln werden Gewinne addiert, d.h. f¨ ur Elemente, die sowohl in D als auch in E enthalten sind, wird das Neunfache gezahlt. Dies ist f¨ ur die Elemente von C = D ∩ E (49
Schnittmenge von D und E) der Fall.

2.2

B

48

2. Mengen

Ein Gewinn in H¨ ohe des sechsfachen Einsatzes ergibt sich f¨ ur alle Elemente von E, die nicht in D liegen. Dies ist die Menge B, die die 55
Differenzmenge E \ D bildet. Die Menge D \ E = A beinhaltet die Ergebnisse, die nur zur Auszahlung des dreifachen Einsatzes f¨ uhren. Ein Gewinn wird u urfelergebnis in D oder ¨berhaupt erzielt, wenn das W¨ E, d.h. in der 52
Vereinigungsmenge D ∪ E von D und E liegt. Der Einsatz ist verloren, wenn das Ergebnis nicht in der Menge D ∪ E liegt. Diese Menge bezeichnet das 48
Komplement von D ∪ E in Ω.  Die im Beispiel beschriebenen Mengenoperationen werden nachfolgend eingef¨ uhrt. Dazu wird jeweils angenommen, dass die Elemente in einer Grundmenge Ω zusammengefasst sind. Komplement

Alle Elemente der Grundmenge, die nicht zu einer Menge A geh¨oren, bilden das Komplement der Menge A.


Definition Komplement Seien Ω eine Grundmenge und A ⊆ Ω eine Menge. Das Komplement von A in Ω ist die Menge

A = {x ∈ Ω | x ∈ A}. Alternative Bezeichnungen sind A , Ac oder Ω A.

Komplemente von Mengen lassen sich durch Venndiagramme einfach veranschaulichen. Die folgende Grafik zeigt eine in der Grundmenge Ω liegende Menge A und ihr Komplement A. Ω A A

Bereits an der Grafik wird deutlich, dass das Komplement von A von der gew¨ ahlten Grundmenge abh¨ angt. Wird anstelle von Ω eine andere Grundalt A i.Allg. andere Elemente. Außerdem ist ein menge Ω betrachtet, enth¨ Element von Ω entweder Element von A oder Element von A. In diesem Sinne bilden die Mengen A und A eine 54
Zerlegung der Grundmenge Ω.

2.2

Mengenoperationen

49

Beispiel
Seien Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} eine Grundmenge und A = {1, 2}. Das

B

Komplement von A in Ω ist A = {3, 4, 5, 6}. Wird anstelle von Ω die Menge ahlt, ist das Komplement von A in Ω die Ω = {1, 2, 3} als Grundmenge gew¨  Menge A = {3}. F¨ ur die Komplementbildung gelten folgende Eigenschaften. Komplementbildung Seien Ω eine Grundmenge und A ⊆ Ω eine Menge. Das Komplement der Grundmenge ist die leere Menge: Ω = ∅. Das Komplement der leeren Menge ist die Grundmenge: ∅ = Ω. Das Komplement der Komplementmenge A ist die Menge A: (A) = A. Schnittmenge

F¨ ur zwei Mengen A und B heißt die Menge aller Elemente, die A und B gemeinsam haben, Schnitt oder Schnittmenge von A und B. Definition Schnittmenge Seien Ω eine Grundmenge und A, B ⊆ Ω. Die Schnittmenge von A und B ist definiert durch

A ∩ B = {x ∈ Ω | x ∈ A und x ∈ B}. Obwohl die Grundmenge Ω f¨ ur die Definition der Schnittmenge formal ben¨otigt wird, h¨ angt die Schnittmenge im Gegensatz zum Komplement nicht von Ω ab. F¨ ur eine andere Grundmenge, die A und B enth¨alt, ver¨andert sich die Schnittmenge A ∩ B nicht. Deshalb wird Ω in konkreten Beispielen oft nicht explizit angegeben. Schnittmengen lassen sich ebenfalls gut mit Hilfe von Venndiagrammen visualisieren. Da ein Venndiagramm i.Allg. keine konkrete Situation widerspiegelt, wird der Schnitt zweier Mengen allgemein durch zwei sich schneidende Ellipsen dargestellt. Dies bedeutet jedoch nicht, dass die Mengen tats¨achlich gemeinsame Elemente besitzen. A

A∩B

B

Zur Darstellung konkreter Mengen werden die Elemente in die Fl¨achen eingezeichnet (und der Schnittbereich der beiden Mengen ggf. leer gelassen).



50

B

2. Mengen

Beispiel
Die Schnittmenge der Mengen A = {1, 2, 3, 4, 5} und B = {4, 5, 6}

ist – wie das folgende Venndiagramm veranschaulicht – die Menge A ∩ B = {4, 5}. 3

A

2 1

4

6 5

B

Der Schnitt von A und C = {6} wird folgendermaßen dargestellt.

3

A

4 2 1 5

6

C

In diesem Fall deutet das Venndiagramm an, dass der Schnitt von A und C leer ist, da sich kein Element in der dunklen Fl¨ache befindet.  ¨ Der Schnitt zweier Mengen ist eine Mengenoperation, die Ahnlichkeiten mit der Multiplikation zweier reeller Zahlen aufweist. Sie l¨asst sich h¨aufig mit Hilupfung ∧“ (und) interpretieren. Wird etwa beim fe der 9
logischen Verkn¨ ” zweifachen W¨ urfelwurf die Augensumme beider W¨ urfel betrachtet, so ist die Menge aller Augensummen kleiner 10 und gr¨oßer 4 gleich dem Schnitt der Menge aller Augensummen kleiner 10 und der Menge aller Augensummen gr¨oßer 4: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ∩ {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} = {5, 6, 7, 8, 9}. Eigenschaften von Schnittmengen Seien A, B ⊆ Ω Mengen. Dann gilt: A∩A=A A∩∅=∅ A∩Ω=A A∩A=∅ A ∩ B ⊆ A, A ∩ B ⊆ B Ist B in A enthalten, d.h. B ⊆ A, so gilt A ∩ B = B. Der letztgenannte Zusammenhang zwischen 44
Mengeninklusion B ⊆ A und Schnittbildung A ∩ B l¨ asst sich gut mit einem Venndiagramm illustrieren.

A

B =A∩B

2.2

Mengenoperationen

51

Schnitte k¨ onnen nat¨ urlich auch aus mehreren Mengen gebildet werden. Allgemein wird dabei von einer 46
Familie von Mengen ausgegangen, die u ¨ blicherweise mit Hilfe von 27
Indizes bezeichnet werden. Ist I eine Indexmenge, so ist die zugeh¨orige Familie von Mengen (Mengensystem) gegeben durch {Ai |i ∈ I}, wobei alle in der Familie enthaltenen Mengen Ai als Teilmengen einer Grundmenge Ω angenommen werden. Die Schnittmenge der Mengen Ai , i ∈ I, besteht aus den Elementen von Ω, die in jeder Menge Ai enthalten sind. Die folgende Grafik veranschaulicht einen Schnitt von vier Mengen: A2 4 

A1

Ai

A3

i=1

A4

Formal wird die Schnittmenge der Mengen Ai bezeichnet mit  Ai = {x ∈ Ω | x ∈ Ai f¨ ur alle i ∈ I}. i∈I

Ist die Indexmenge I von der Form I = {1, 2, . . . , n}, wird die Schnittmenge n  von A1 , . . . , An als Ai = A1 ∩ · · · ∩ An notiert. F¨ ur I = N ergibt sich ∞ 

i=1

Ai .

i=1

Disjunkte Mengen

F¨ ur Mengen, die keine gemeinsamen Elemente besitzen, wird eine spezielle Bezeichnung eingef¨ uhrt. Definition Disjunkte Mengen Zwei Mengen A und B heißen disjunkt, wenn ihre Schnittmenge leer ist, d.h. wenn A ∩ B = ∅ gilt.

Dieser Begriff kann mit Hilfe eines Venndiagramms visualisiert werden, in dem sich die die Mengen repr¨ asentierenden Fl¨ achen nicht u ¨ berlappen: A

B

F¨ ur mehr als zwei Mengen werden zwei Begriffe von disjunkt unterschieden.



52

2. Mengen

1. Die Mengen Ai , i ∈ I, besitzen keine gemeinsamen Elemente, d.h.  Ai = ∅. i∈I

In dieser Situation heißen die Mengen disjunkt. 2. Die Mengen Ai , i ∈ I, besitzen paarweise keine gemeinsamen Elemente, d.h. es gilt Ai ∩ Aj = ∅

f¨ ur je zwei Mengen Ai , Aj mit i = j.

Je zwei Mengen Ai und Aj haben daher keine gemeinsamen Elemente. Zur Abgrenzung vom obigen Begriff werden Mengen Ai , i ∈ I, mit dieser Eigenschaft als paarweise disjunkt bezeichnet.


B

Sind die Mengen Ai , i ∈ I, paarweise disjunkt, sind sie auch disjunkt. Die Umkehrung ist aber i.Allg. nicht richtig, wie das folgende Beispiel zeigt. Beispiel
Seien A = {1, 2}, B = {2, 3, 4}, C = {3}. Die Mengen sind disjunkt,

da A ∩ B ∩ C = ∅. Andererseits gilt A ∩ B = {2} und B ∩ C = {3}, so dass die Mengen nicht paarweise disjunkt sind: 4 1

2

3

 Vereinigung von Mengen

F¨ ur Mengen A und B heißt die Menge aller Elemente, die in mindestens einer der beiden Mengen liegen, Vereinigung oder Vereinigungsmenge der Mengen A und B.


Definition Vereinigungsmenge Seien Ω eine Grundmenge und A, B ⊆ Ω. Die Vereinigungsmenge von A und B ist gegeben durch

A ∪ B = {x ∈ Ω | x ∈ A oder x ∈ B}. Die Vereinigungsmenge selbst h¨ angt wie die Schnittmenge nicht von der gew¨ ahlten Grundmenge ab, weshalb diese in konkreten Beispielen oft nicht explizit angegeben wird. Die Vereinigung kann wieder an einem Venndiagramm veranschaulicht werden, indem – wie bei der Schnittbildung – die beiden Mengen als zwei sich schneidende Ellipsen dargestellt werden:

2.2

Mengenoperationen

53

A

A∪B

B

Beispiel
Die Vereinigung der Mengen A = {1, 2, 3, 4, 5} und B = {4, 5, 6}

ist die Menge A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.



Wie die Schnittbildung der gew¨ ohnlichen Multiplikation gleicht, so weist die ¨ Vereinigungsbildung Ahnlichkeiten mit der Addition von Zahlen auf. Sie kann mit Hilfe des logischen oder“ gedeutet werden. Wird z.B. der zweifache ” W¨ urfelwurf betrachtet, so ist die Menge aller Augensummen kleiner 4 oder gr¨oßer 10 die Vereinigung der Menge aller Augensummen kleiner 4 und der Menge aller Augensummen gr¨oßer 10: {1, 2, 3} ∪ {11, 12} = {1, 2, 3, 11, 12}. Als n¨ achstes werden einige elementare Eigenschaften von Vereinigungen aufgelistet. Eigenschaften der Vereinigung von Mengen Seien A, B ⊆ Ω Mengen. Dann gilt: A∪A=A A∪∅=A A∪Ω=Ω A∪A=Ω A ⊆ A ∪ B und B ⊆ A ∪ B Ist B in A enthalten, d.h. B ⊆ A, so gilt A ∪ B = A. Die letztgenannte Eigenschaft wird an folgender Grafik deutlich:

A =A∪B

B

Um die Vereinigung mehrerer Mengen zu bilden, werden analog zur Schnittbildung eine beliebige Indexmenge I sowie eine Familie {Ai |i ∈ I} von Teilmengen einer Grundmenge Ω betrachtet. Die Vereinigungsmenge der Mengen Ai besteht aus allen Elementen, die in mindestens einer Menge Ai liegen. Das folgende Venndiagramm zeigt die Vereinigung dreier Mengen A1 , A2 , A3 :

B

54

2. Mengen

A2 3 

Ai

i=1

A1

A3

Mathematisch l¨ asst sich die Vereinigungsmenge der Mengen Ai wie folgt beschreiben:  Ai = {x ∈ Ω | x ∈ Ai f¨ ur mindestens ein i ∈ I}. i∈I

F¨ ur eine Indexmenge I = {1, 2, . . . , n} wird die Vereinigungsmenge von n  A1 , . . . , An auch mit Ai = A1 ∪ · · · ∪ An bezeichnet. Im Fall I = N ist die i=1

∞ 

Ai u ¨ blich. Sind die Mengen Ai , i ∈ I, 52
paarweise disjunkt,   wird anstelle von Ai auch die Notation Ai verwendet. F¨ ur I = N ergibt

Notation

i=1

sich

∞ 

i∈I

i∈I

Ai .

i=1

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist der folgende Begriff von Bedeutung.


Definition Zerlegung Sei Ω eine nicht-leere Grundmenge.

Eine Familie von Mengen {Ai |i ∈ I} heißt eine Zerlegung von Ω, wenn (i) die Mengen Ai paarweise disjunkt sind und  (ii) i∈I Ai = Ω.

Eine Zerlegung ist also eine Aufteilung der Grundmenge Ω in paarweise disjunkte Mengen, so dass jedes Element von Ω genau einer Menge Ai zugeordnet wird. Die folgende Grafik illustriert eine Zerlegung von Ω in f¨ unf Mengen A1 , . . . , A5 . ..................................................................................................................................................................................... .... . .. .... ... ... .. ... .. .. .. ... .. .. . ........ . ... .. ... .. ... ..... ... ... .. . ... ... ..... . 4 .... . ... .. . ... .... . .. . ... . . . ... . . ... 2 .... ... . . . ... . . . ... . . .... ... . . . . . . . ... ..... . . ... . .... ... ... ............. ... . ... ... . ... ... ... ... .... . . ... ........................ . . ... . ... 5 . ............................... .............. . ... . . . . . . ... . ................ 1 ... ............... ... ... ............... ... ................ .... .... .......... . ... . . . . ... 3 ..... . ... ... .... . ..... .. .......................................................................................................................................................................................

A

A

A

A

A

2.2

Mengenoperationen

55

Beispiel
Die Menge Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kann zerlegt werden in die Mengen

B

(i) {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}; (ii) {1}, {2, 4}, {3, 6}, {5}; (iii) {1, 2, 3}, {4, 5, 6}. Dies zeigt insbesondere, dass eine Menge Ω auf verschiedene Weise zerlegt werden kann. Die folgenden Mengen bilden keine Zerlegung von Ω: (i) {1, 2}, {2, 4}, {3, 5, 6}, da {1, 2} und {2, 4} nicht disjunkt sind. (ii) {1, 2, 3}, {5, 6}, da die Vereinigung dieser Mengen nur {1, 2, 3, 5, 6} er gibt, d.h. das Element 4 ∈ Ω ist in keiner Menge enthalten. Differenzmengen

F¨ ur Mengen A und B ist die Differenzmenge A ohne B die Menge aller Elemente aus A, die nicht zu B geh¨ oren. Definition Differenzmenge Seien A, B ⊆ Ω Mengen. Die Differenzmenge A ohne B ist definiert durch

A \ B = {x ∈ Ω | x ∈ A und x ∈ B}. Diese Definition kann wieder an einem Venndiagramm veranschaulicht werden: A

A\B

B

A

B\A

B

Bereits an der Grafik ist deutlich zu sehen, dass f¨ ur A = B die Differenzmenge A ohne B nicht gleich der Differenzmenge B ohne A ist, d.h. A \ B = B \ A Die Gestalt der Differenzmenge h¨ angt ebenfalls nicht von der Wahl der Grundmenge ab, weshalb diese oft nicht explizit angegeben wird.



56

B

2. Mengen

Beispiel
F¨ ur die Mengen A = {1, 2, 3, 4} und B = {3, 4, 5, 6} ergeben sich

die Differenzmengen A \ B = {1, 2} und B \ A = {5, 6}.



Im Folgenden werden noch einige n¨ utzliche Eigenschaften von Differenzmengen angegeben. Eigenschaften von Differenzmengen F¨ ur Mengen A, B ⊆ Ω gilt: Ω \ A = {x ∈ Ω | x ∈ A} = A, A \ B = A ∩ B, A \ B = A \ (A ∩ B). Die zweite Eigenschaft ist eine Formulierung der Definition von A \ B als Schnitt von A und B.

2.3

2.3 Rechenregeln f¨ ur Mengenoperationen Bei der Verkn¨ upfung der Mengenoperationen Schnitt und Vereinigung sind Rechenregeln zu beachten, die den Rechengesetzen f¨ ur die Grundrechenarten +“ und ·“ f¨ ur die reellen Zahlen ¨ ahneln. ” ” Kommutativgesetze

Werden eine Vereinigung oder ein Schnitt zweier Mengen gebildet, spielt die Reihenfolge der Mengen keine Rolle. Die Vereinigung (bzw. der Schnitt) von A und B ist gleich der Vereinigung (dem Schnitt) von B und A. Kommutativgesetze f¨ ur Mengen F¨ ur Mengen A und B gelten die Kommutativgesetze A∩B = B ∩A

und

A ∪ B = B ∪ A.

Assoziativgesetze

Die Schnittmenge dreier Mengen A, B, C kann auch in zwei Schritten gebildet werden: Zuerst wird A ∩ B bestimmt und anschließend A ∩ B mit C geschnitten. Wie bei Zahlenoperationen werden Klammern zur Festlegung der Reihenfolge verwendet, so dass die genannte Operation mit (A ∩ B) ∩ C notiert werden kann. Andererseits k¨ onnte der Schnitt gem¨aß der Vorschrift

2.3

Rechenregeln f¨ ur Mengenoperationen

57

A ∩ (B ∩ C) ermittelt werden, d.h. zun¨ achst werden der Schnitt von B und C gebildet und anschließend das Ergebnis B ∩ C mit A geschnitten. Beide Wege f¨ uhren zum selben Ergebnis, d.h. die Berechnung des Schnitts ist unabh¨ angig von der Reihenfolge, in der dieser bestimmt wird. Diese Eigenschaft der Schnittoperation wird als Assoziativit¨at bezeichnet. Analoges gilt f¨ ur Vereinigungen. Assoziativgesetze f¨ ur Mengen F¨ ur Mengen A, B, C gelten die Assoziativgesetze (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

und

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).

Die Klammern k¨ onnen daher jeweils weggelassen werden und A ∩ B ∩ C bzw. A ∪ B ∪ C geschrieben werden. Distributivgesetze

Das Distributivgesetz a · (b + c) = a · b + a · c f¨ ur reelle Zahlen wurde in 15
Kapitel 1.5 vorgestellt. F¨ ur die Schnitt- und Vereinigungsbildung gibt es zwei Analoga. Distributivgesetze f¨ ur Mengen Seien A, B, C Mengen. Die Mengenoperationen Schnitt und Vereinigung gen¨ ugen den Distributivgesetzen (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)

und

(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).

De Morgansche Regeln

Die De Morganschen Regeln dienen dazu, Komplemente von Schnitten bzw. Vereinigungen auszuwerten. Beispiel
Betrachtet werden folgende Gruppen von Studierenden: Menge der

Psychologiestudierenden und Menge der Soziologiestudierenden. Das Komplement ihrer Vereinigung (in der Menge aller Studierenden) ist die Menge aller Studierenden, die weder Soziologie noch Psychologie studieren. Dieses Komplement ist also die Schnittmenge der Menge aller Studierenden, die nicht Psychologie studieren und der Menge aller Studierenden, die nicht Soziologie studieren und somit die Schnittmenge der Komplemente der beiden urspr¨ unglichen Mengen.

B

58

2. Mengen

¨ Ahnliches gilt auch bei Schnittbildung. Das Komplement vom Schnitt der beiden Mengen ist die Menge aller Studierenden, die nicht gleichzeitig Soziologie und Psychologie studieren. Mit anderen Worten ist dies die Menge aller Studierenden, die etwas anderes als Soziologie oder etwas anderes als Psychologie studieren, d.h. die Vereinigung der Menge der Studierenden, die nicht Psychologie studieren und der Menge der Studierenden, die nicht Soziologie studieren. Dies sind die Komplemente der Ausgangsmengen.  Regeln von De Morgan Seien A, B ⊆ Ω Mengen. Dann gelten die De Morganschen Regeln A∪B = A∩B

und

A ∩ B = A ∪ B.

Die erste der obigen Regeln wird mittels einer Folge von Venndiagrammen illustriert (die Veranschaulichung der zweiten erfolgt analog).

A, B

A∪B

A∪B

A

B

A∩B

Besonders hilfreich ist die Erweiterung der De Morganschen Regeln auf mehr als zwei Mengen. F¨ ur ein Mengensystem {Ai |i ∈ I} mit einer beliebigen Indexmenge I gelten die Beziehungen     Ai = Ai und Ai = Ai . i∈I

i∈I

i∈I

i∈I

Speziell f¨ ur I = {1, 2, . . . } = N ergibt sich ∞  i=1

Ai =

∞  i=1

Ai ,

und

∞  i=1

Ai =

∞  i=1

Ai .

2.4

Spezielle Mengen

59

2.4

2.4 Spezielle Mengen Intervalle

Intervalle sind spezielle Teilmengen der reellen Zahlen R. F¨ ur reelle Zahlen a, b werden vier Intervalltypen betrachtet. Definition Intervalle, Rand, Randwert, Inneres eines Intervalls Seien a, b ∈ R mit a ≤ b.



Das offene Intervall (a, b) ist die Menge (a, b) = {x ∈ R | a < x < b}. Das abgeschlossene Intervall [a, b] ist die Menge [a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}. Die halboffenen Intervalle sind definiert als die Mengen

(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b},

[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}.

Die Zahlen a, b heißen auch Rand oder Randwert des Intervalls.∗ F¨ ur ein beliebiges Intervall (a, b), (a, b], [a, b), [a, b] wird das offene Intervall (a, b) auch als Inneres des Intervalls bezeichnet.

Die runde Klammer deutet jeweils an, dass die Grenze nicht zum Intervall geh¨ ort, w¨ ahrend die (nach innen gerichtete) eckige Klammer die Zugeh¨origkeit ausdr¨ uckt. Anstelle der runden Klammer (“ kann alternativ auch die ” (nach außen gerichtete) eckige Klammer ]“ verwendet sowie [“ statt )“ ” ” ” geschrieben werden (z.B. ]a, b[ statt (a, b)). Die folgende Grafik illustriert die Intervalle als Teilstrecken der reellen Achse. ........................................................................ ........................................................................ ........................................................................ ........................................................................ a

b (a, b)

a

b

a

[a, b]

b

a

(a, b]

b [a, b)

Ist speziell a = b, gelten [a, a] = {a} bzw. [a, a) = (a, a] = (a, a) = ∅. Als Intervallgrenze sind auch +∞ und −∞ zugelassen. Dies ergibt f¨ unf weitere, unbeschr¨ ankte Intervalltypen: (−∞, a) = {x ∈ R | x < a},

(−∞, a] = {x ∈ R | x ≤ a},

(a, ∞) = {x ∈ R | x > a},

[a, ∞) = {x ∈ R | x ≥ a},

(−∞, ∞) = R. ........................................................................ ........................................................................ a

a

(−∞, a)

(−∞, a]

-

........................................................................

a

-

........................................................................

a (a, ∞)

[a, ∞)

Der Schnitt zweier Intervalle ist stets ein Intervall (evtl. die leere Menge). Die Vereinigung zweier Intervalle kann ein Intervall sein, muss es aber nicht. ∗ Dabei spielt es keine Rolle, ob die R¨ ander a, b zum Intervall geh¨ oren oder nicht. Wichtig ist nur, dass sie das Intervall begrenzen.




60

B

2. Mengen

Beispiel
Vereinigung und Schnitt von Intervallen In den folgenden Beispielen

ist insbesondere auf die Randwerte der Intervalle zu achten. [3, 4] ∩ [1,∞) = [3, 4] [−2, 0) ∩ (−1, 0] = (−1, 0) [4, 7] ∩ [8, 9) = ∅ [7, 8] ∩ [8, 9) = [8, 8] = {8} [4, 5) ∪ (−3, 1] ist kein Intervall [4, 5] ∪ (−3, 4) = (−3, 5]



Kartesisches Produkt zweier Mengen

B

Beispiel
Im Rahmen einer ¨ okologischen Untersuchung eines Moorbiotops

wurden Daten aus 100 verschiedenen Parzellen erhoben, die ein gleichm¨aßiges Gitter von 10 Spalten und 10 Reihen bilden:

y

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x

Jede Parzelle wird zum Zweck weiterer Untersuchungen mit einem Zahlenpaar (x, y) identifiziert,∗ wobei x die Spalte und y die Reihe angeben, in der sich die jeweilige Parzelle befindet. Die Menge aller Parzellen kann dann als Menge aller Paare {(x, y) | x ∈ {1, . . . , 10}, y ∈ {1, . . . , 10}} dargestellt werden. Sie kann aber auch als Produkt“ der Menge aller Spalten ” und der Menge aller Reihen aufgefasst werden.  ∗ Die

Notation eines Punkts (x, y) darf nicht verwechselt werden mit der eines offenen

59
Intervalls. Hier ist jeweils im Kontext zu entscheiden, was gemeint ist.

2.4

Spezielle Mengen

61

Bezeichnung Kartesisches Produkt Seien A, B Mengen. Das kartesische Produkt (auch Kreuzprodukt) A × B der Mengen A und B ist die Menge aller geordneten Paare (a, b) von Elementen a ∈ A und b ∈ B



A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}. Die Reihenfolge der Komponenten a und b eines Elements (a, b) der Menge A × B ist fest und darf nicht vertauscht werden. Dies wird bereits an dem obigen Beispiel klar: Die Parzelle (1, 10) ist offensichtlich nicht die selbe wie (10, 1): (1, 10)   10 

y

9 8 7 6 5 4 3 2 1

 (10, 1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x

Deshalb ist die Bildung des kartesischen Produkts i.Allg. nicht kommutativ, d.h. i.Allg. gilt A × B = B × A. Beispiel
Seien A = {1, 2} und B = {c, d}. Die kartesischen Produkte A × B

B

und B × A sind gegeben durch A × B = {(1, c), (1, d), (2, c), (2, d)}, B × A = {(c, 1), (c, 2), (d, 1), (d, 2)}.



Beispiel


Die Grundmenge Ω2 des zweifachen W¨ urfelwurfs ist das kartesische Produkt der Ergebnismenge Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} zweier einfacher W¨ urfelw¨ urfe, denn es gilt: Ω2 = {(1, 1), (1, 2), . . . , (6, 6)} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} × {1, 2, 3, 4, 5, 6} = Ω × Ω.  Zwei Elemente (a, b) und (a , b ) der Menge A × B sind genau dann gleich, wenn ihre beiden Komponenten u ¨bereinstimmen, d.h. wenn gilt a = a

und

b = b .

B

62

2. Mengen

Besitzen beide Mengen A und B jeweils endlich viele Elemente, gilt f¨ ur die 45
M¨ achtigkeit des kartesischen Produkts |A × B| = |B × A| = |A| · |B|. F¨ ur Mengen A, B ⊆ R kann das kartesische Produkt A × B als Teilmenge der Ebene illustriert werden. Dazu wird ein (kartesisches) Koordinatensystem mit Ursprung (0, 0) gezeichnet. Die horizontale Achse wird als Abszisse, die vertikale als Ordinate bezeichnet. Die durch das Koordinatenkreuz gebildeten vier Bereiche heißen Quadranten. y y Ordinate

b

6

•

....... ....... ....... ....... ..... ... . ... .. ... .. ... .. ... .

4. Quadrant

1. Quadrant

x negativ, y positiv

x positiv, y positiv

x

-

0 0

(a, b)

6

x

a

3. Quadrant

2. Quadrant

x negativ, y negativ

x positiv, y negativ

Abszisse

Das kartesische Produkt der Intervalle A = {x ∈ R|1 ≤ x ≤ 4} = [1, 4] und B = {x ∈ R|1 ≤ x ≤ 2} = [1, 2] kann somit dargestellt werden als 2

6

....... ....... ....... ....... ....

A×B

B 1

....... ....... ....... ....... ..... .... ... .. .

1

.... . . .... .. ..

-

4

A

Die Bildung kartesischer Produkte kann auf mehrere Mengen erweitert werden. Das n-fache kartesische Produkt der Mengen A1 , . . . , An ist definiert als Menge aller n-Tupel (a1 , . . . , an ) von Elementen a1 ∈ A1 , . . . , an ∈ An A1 × · · · × An = {(a1 , . . . , an ) | a1 ∈ A1 , . . . , an ∈ An }. n

Als Bezeichnung wird statt A1 × · · ·× An auch n

des n-fachen Produkts

× Ai verwendet. Die Bildung i=1

× A einer Menge A wird auch mit An abgek¨ urzt. i=1

2.4

Spezielle Mengen

63

R2 = R × R bezeichnet z.B. alle Punkte der Ebene, R3 = R × R × R die des dreidimensionalen Raums. In dieser Situation wird das n-Tupel (x1 , . . . , xn ) ur den nauch als Vektor bezeichnet. Allgemein wird Rn als Bezeichnung f¨ dimensionalen Raum der reellen Vektoren (x1 , . . . , xn ) verwendet. Zwei Elemente (a1 , . . . , an ) und (a1 , . . . , an ) des n-fachen kartesischen Produkts sind genau dann gleich, wenn alle Komponenten u ¨ bereinstimmen a1 = a1 , . . . , an = an . Diese Definition impliziert, dass die Reihenfolge der Komponenten von Bedeutung ist. So gilt etwa (1, 2, 3) = (3, 2, 1). Dies ist ein grunds¨atzlicher Unterschied zu Mengen, bei denen die Reihenfolge der Darstellung unerheblich ist, d.h. {1, 2, 3} = {3, 2, 1}. Dieser Unterschied ist ebenfalls bei der Definition einer 313
Folge von Bedeutung. Mengen in der Ebene

Einfache Beispiele von Mengen in der Ebene sind kartesische Produkte von Intervallen (s.o.). Es gibt jedoch auch Mengen im R2 , die keine kartesischen Produkte von Teilmengen von R sind. Beispiele derartiger Festlegungen sind Kreisscheibe S = {(x, y) | x2 + y 2 ≤ 1}, Kreislinie K = {(x, y) | x2 + y 2 = 1} und Raute R = {(x, y) | |x| + |y| ≤ 1}. K

1

6

1 S

6 R

-

-

1

1

Gemeinsam ist den obigen Beispielen, dass sie durch 187
Gleichungen oder 287
Ungleichungen spezifiziert sind. Durch eine Gleichung definierte Mengen werden auch als Kurven bezeichnet (vgl. z.B. die Festlegung der Kreislinie). Ein weiteres Beispiel f¨ ur Kurven sind 157
Grafen von Funktionen wie z.B. G = {(x, f (x)) | − 2 ≤ x ≤ 2, f (x) = x2 + 2}. ... .. ... ... ... ... .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. . ... . .. ... ... .... .... .... ...... .... ........................

6

G

1

1

... .. ... ... ... ... .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. . ... . .. ... ... .... .... .... ...... .... ........................

6

G

1

1




64

2. Mengen

In der rechten Grafik wird durch die Kurve eine Fl¨ache zwischen Abszisse und der Kurve G definiert. Der zugeh¨ orige Fl¨ acheninhalt kann mit den Methoden der 365
Integration bestimmt werden. Streudiagramm

Ein Streudiagramm (gebr¨ auchlich ist auch die englische Bezeichnung Scatterplot) ist eine in der Statistik verwendete grafische Darstellung f¨ ur Beobachtungswerte (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ). Die Beobachtungspaare werden dabei in einem zweidimensionalen Koordinatensystem als Punkte markiert. B

Beispiel
Gewicht und K¨ orpergr¨ oße Im Rahmen einer Untersuchung wurden

Gewicht (in kg) und K¨ orpergr¨ oße (in cm) von 32 Personen gemessen: (50,160) (68,182) (73,182) (66,180)

(65,170) (73,170) (88,185) (76,170) (50,168) (71,183) (87,190) (60,171) (52,160) (65,187) (88,176) (75,164) (59,170) (67,189) (89,192) (68,181) (60,153) (71,183) (65,165) (71,189) (65,184) (79,191) (70,175) (61,181)

(56,159) (78,178) (53,167) (73,167)

Das zu diesen Daten geh¨ orige Streudiagramm hat folgendes Aussehen.



2.5

Aufgaben

65

2.5

2.5 Aufgaben Aufgabe 2.1 Entscheiden Sie, welche der folgenden Mengen jeweils identisch

69
L

¨ sind (es gibt insgesamt f¨ unf verschiedene Ubereinstimmungen): A1 = {x|x ∈ N, x · x = 4}

A7 = {−2, 2}

A2 = {x|x ∈ Q, x ∈ Z}

A8 = {0}

A3 = {2x|x ∈ Z, − 1 ≤ x ≤ 1}

A9 = {2}

A4 = {x|x ∈ Z, x · x = 4}

A10 = {−2, 0, 2}

A5 = {x|x ∈ N0 , x + x = 0}

A11 = ∅

A6 = {2x|x ∈ N, 0 ≤ x ≤ 1}

A12 = {}

Aufgabe 2.2

69
L

Ordnen Sie den Grundmengen

Ω1 = {2, 3, 4, . . . , 12} Ω4 = R

Ω2 = {1, 2, 3, . . . , 31} Ω5 = {(a, b)|a, b ∈ {1, . . . , 6}}

Ω3 = N0 Ω6 = [0, ∞)

jeweils eine der folgenden Situationen zu: (a) Jahresumsatz einer Firma

(d) Zweifacher W¨ urfelwurf

(b) Geburtstage im Januar

(e) Lufttemperaturen im M¨arz

(c) Augensummen beim zweifachen W¨ urfelwurf

(f) Anzahl weltweiter Erdbeben pro Jahr

Entscheiden Sie, welche der Mengen Teilmengen der Menge A = {−1, 0, 1, 2, 3} sind.

Aufgabe 2.3

(a) B1 = {0}

(d) B4 = {0, −1}

(b) B2 = {1, 2, 3, 4}

(e) B5 = {3, 0, 2, −1, 1}

(c) B3 = ∅

(f) B6 = {1, 0, −2}

Aufgabe 2.4

(a) Bestimmen Sie alle Teilmengen mit h¨ ochstens zwei Elementen der Menge von Buchstaben des Alphabets M = {b, l, a, u}. (b) Bestimmen Sie alle Teilmengen mit genau vier Elementen der Menge M = {1, 2, 3, 4, 5}.

69
L

69
L

66

2. Mengen

(c) Bestimmen Sie alle Teilmengen der Menge A = Element der Menge C = {4, 25} enthalten. 69
L

Aufgabe 2.5

 , die kein

Bestimmen Sie die M¨ achtigkeit folgender Mengen. (d) N

(b) {L, i, s, a}

(e) {∅,{1},{2},{3},{1,2}} (h) P ({blau, rot})

(c) ∅

(f) P ({1, 2, 3})

(g) P ({k, r, u, g})

(i) P (∅)

Bestimmen Sie die Potenzmenge von T = {1, 3, 5, 7}. Geben Sie ihre M¨ achtigkeit an.

Aufgabe 2.6

69
L

Aufgabe 2.7

70
L

9 2 , 2, 4 , 4, 25

(a) {1, 4, −3}

69
L

70
L

1

Bestimmen Sie das Komplement A der Menge A = {1, 2} bez¨ uglich der folgenden Grundmengen: (a) {1, 2, 3}

(c) {1, −1, 2, −2, −3}

(b) {−1, 0, 1, 2, 3}

(d) {1, 2}

Gegeben sind die Grundmenge Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} sowie die Mengen A = {1, 3, 4, 5, 7}, B = {1, 2, 6, 7, 8}, C = {5, 7, 8}. Bestimmen Sie:

Aufgabe 2.8

(a) A ∩ B

(d) A ∪ C

(g) B \ C

(j) (A ∪ B) \ C

(b) A ∪ C

(e) B ∩ C

(h) C \ B

(k) (B \ C) ∩ A

(c) A ∩ B ∩ C

(f) C ∪ A ∪ B

(i) (A ∪ B) ∩ C

(l) A ∩ (A \ C)

Gegeben sind die Grundmenge Ω = {a, e, o, b, d, f, g, l, r} von Buchstaben sowie die Mengen A = {g, e, l, b} und B = {g, o, l, d}.

Aufgabe 2.9

Zeichnen Sie ein Venndiagramm, und stellen Sie die folgenden Mengen als Mengenoperation mit A und B dar. (a) {g, l}

(c) {g, e, l, b, o, d}

(e) {e, b}

(b) {o, d}

(d) {f, a, r, b, e}

(f) {f, a, r}

2.5

Aufgaben

67

Aufgabe 2.10 Gegeben sind die Mengen A, B, und C sowie die Grundmenge

70
L

Ω. Stellen Sie folgende Mengen im Venndiagramm dar. (a) A ∩ B ∩ C

(d) (A ∪ B) ∩ C

(b) A ∪ (B ∩ C)

(e) (A ∪ B) ∪ C

(c) A ∩ (B ∩ C)

(f) (A ∩ B) ∪ (B ∩ C) ∪ (A ∩ C)

Aufgabe 2.11 Gegeben sind die Mengen A, B sowie die Grundmenge Ω. Ge-

71
L

ben Sie jeweils die dunkelblau markierte Fl¨ ache mittels Mengenoperationen an. (a)

A

B

(c)

A

B

(e)

A

B

(b)

A

B

(d)

A

B

(f)

A

B

Stellen Sie die linke und rechte Seite der Gleichung jeweils in einem Venndiagramm dar, und entscheiden Sie, ob die Aussage richtig oder falsch ist.

Aufgabe 2.12

(a) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

71
L

(b) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)

(c) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (B ∪ C) Aufgabe 2.13 Gegeben sind die Mengen A, B und C sowie eine Grundmenge

71
L

Ω. Vereinfachen Sie. (a) (A ∪ C) ∩ (C ∪ A)

(c) (A ∩ B) ∩ (A \ B)

(b) (A \ B) ∪ (A ∪ B)

(d) (A ∪ B) ∪ (A ∩ B) ∪ A

(e) [(A ∩ B) ∩ (A ∩ B)] ∩ [(A ∩ B) ∪ (A ∩ B)] (f) [(A ∩ C) ∪ (C ∩ A)] ∪ (C ∪ A) Aufgabe 2.14 Entscheiden Sie, welche der folgenden Mengen jeweils disjunkt

und/oder paarweise disjunkt sind. (a) A = {1, 2}, B = {2, 3}, C = {2, 4}

72
L

68

2. Mengen

(b) A = {1, 2}, B = {3, 4}, C = {5, 6} (c) A = {1, 2}, B = {2, 3}, C = {3, 4}, D = {5, 6} (d) A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5}, C = {5, 6, 1} (e) A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5}, C = {5, 6, 3} (f) A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5}, C = {5, 6, 3}, 72
L

D = {1, 6, 4}

Gegeben sind die Mengen A = {1, 3, 5} und B = {2, 4}. Entscheiden Sie, welche der folgenden Mengen das kartesische Produkt B × A darstellen.

Aufgabe 2.15

M1 = {(1, 2), (1, 4), (3, 2), (3, 4), (5, 2), (5, 4)} M2 = {(2, 1), (2, 3), (2, 5), (4, 1), (4, 3), (4, 5)} M3 = {(a, b)|a ∈ {2, 4} und b ∈ {1, 3, 5}} M4 = {(a, b)|a ∈ A und b ∈ B} M5 = {(a, b)|a ∈ {1, 2, 3, 4} und b ∈ A} M6 = {(a, b)|a ∈ B oder b ∈ A} M7 = {(a, b)|a ∈ B und b ∈ {1, 3, 5}} M8 = {1, 3, 5, 2, 4} M9 = {(2, 3), (2, 5), (2, 1), (2, 4), (4, 3),(4, 5), (4, 1)} M10 = {(2, 1), (4, 1), (2, 3), (4, 3),(2, 5), (4, 5)} 72
L

Bestimmen Sie folgende Intervalle bzw. Mengen, und stellen Sie diese grafisch dar.

Aufgabe 2.16

(a) (0, 7) ∩ [3, 5]   (b) −3, 13 2 ∩N

(e) (−4, 1] ∪ [−4, 1)

(i) (−∞, 3) ∩ [−3, ∞)

(f) (−1, 1]∩[1, 2)∩[0, 3]

(j) (−1, ∞) ∪ [−2, 5]

(c) [−2, 0) ∪ [0, 2)

(g) [1, 6] \ (3, 5]

(d) (−4, 1] ∩ [−4, 1)

(h) (−∞, 2] ∩ N

2.6

L¨ osungen

69

2.6

2.6 L¨ osungen L¨ osung 2.1

65
A

Die folgenden Mengen sind jeweils identisch:

(a) A1 ,A6 ,A9

(b) A3 , A10

(c) A4 , A7

(d) A5 , A8

(e) A11 , A12 65
A

L¨ osung 2.2 (a) Ω6

L¨ osung 2.3

(b) Ω2

(c) Ω1

(d) Ω5

(e) Ω4

(f) Ω3 65
A

B1 , B3 , B4 , B5 .

65
A

L¨ osung 2.4 (a) ∅, {b}, {l}, {a}, {u}, {b,l}, {b,a}, {b,u}, {l,a}, {l,u}, {a,u}. Insgesamt gibt es elf Teilmengen mit h¨ ochstens zwei Elementen. (b) {1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 5}, {1, 2, 4, 5}, {1, 3, 4, 5}, {2, 3, 4, 5}. Insgesamt gibt es f¨ unf Teilmengen mit genau vier Elementen.

1

9 1  1 9 9 1  (c) ∅, 2 , {2}, 4 , 2 , 2 , 2 , 4 , 2, 4 , 2 , 2, 94 . Insgesamt gibt es acht derartige Teilmengen.

66
A

L¨ osung 2.5 4

(a) 3

(c) 0

(e) 5

(g) 2 = 16

(b) 4

(d) ∞

(f) 23 = 8

(h) 22 = 4

L¨ osung 2.6

0

(i) 2 = 1

Die M¨ achtigkeit von P(T ) betr¨ agt |P(T )| = 24 = 16.

66
A

P(T ) = {∅, {1}, {3}, {5}, {7}, {1, 3}, {1, 5}, {1, 7}, {3, 5}, {3, 7}, {5, 7}, {1, 3, 5}, {1, 3,7}, {1, 5, 7}, {3, 5, 7}, {1, 3, 5, 7}} 66
A

L¨ osung 2.7 (a) {3}

(b) {−1, 0, 3}

(c) {−1, − 2, − 3}

(d) ∅

70

66
A

2. Mengen

L¨ osung 2.8 (a) A ∩ B = {1, 7} (b) A ∪ C = {1, 3, 4, 5, 7, 8} (c) A ∩ B ∩ C = {1, 7} ∩ C = {7} (d) A ∪ C = A ∪ {1, 2, 3, 4, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} (e) B ∩ C = B ∩ {1, 2, 3, 4, 6} = {1, 2, 6} (f) C ∪ A ∪ B = {1, 3, 4, 5, 7, 8} ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} = Ω (g) B \ C = {1, 2, 6} (h) C \ B = {5} (i) (A ∪ B) ∩ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} ∩ C = ∅ ∩ C = ∅ (j) (A ∪ B) \ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} \ C = {1, 2, 3, 4, 6} (k) (B \ C) ∩ A = {1, 2, 6} ∩ A = {1} (l) A ∩ (A \ C) = A \ C = {1, 3, 4}

66
A

L¨ osung 2.9

Venndiagramm: •a f•

67
A

e A • b•

•l •g

•d B •o

•r

Ω

(a) A ∩ B

(c) A ∪ B

(e) A \ B oder A ∩ B

(b) B \ A oder B ∩ A

(d) B

(f) A ∪ B oder A ∩ B

L¨ osung 2.10 B

(a) A

B

(b) A

B

(c) C

A

B

(d) C

A

B

(e) C

A

B

(f) C

C

A

C

2.6

L¨ osungen

71

67
A

L¨ osung 2.11 (a) (A ∪ B) oder A ∩ B

(d) B \ A

(b) A

(e) (A ∩ B) oder A ∪ B

(c) A ∩ B

(f) (A\B)∪(B\A) oder (A∪B)\(A∩B)

L¨ osung 2.12 Die dunkelblau markierten Bereiche sind die gesuchten Darstellungen.

67
A

(a) Wahr: B

Linke Seite: A

B

Rechte Seite: C

A

C

(b) Falsch: B

Linke Seite: A

B

Rechte Seite: C

A

C

(c) Falsch: B

Linke Seite: A

B

Rechte Seite: C

A

C

67
A

L¨ osung 2.13 (a) (A ∪ C) ∩ (C ∪ A) = [A ∩ (C ∪ A)] ∪ [C ∩ (C ∪ A)] = [(A ∩ C) ∪ (A ∩ A)] ∪ [(C ∩ C) ∪ (A ∩ C)] = [(A ∩ C) ∪ ∅] ∪ [∅ ∪ (A ∩ C)] = (A ∪ C) ∪ (A ∩ C) (b) (A \ B) ∪ (A ∪ B) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) = B ∩ (A ∪ A) = B ∩ Ω = B (c) (A ∩ B) ∩ (A \ B) = (A ∪ B) ∩ (A ∩ B) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ B) = A ∪ (B ∩ B) =A∪∅= A (d) (A ∪ B) ∪ (A ∩ B) ∪ A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) ∪ A = [A ∩ (B ∪ B)] ∪ A = [A ∩ Ω] ∪ A =A∪A =Ω (e) [(A ∩ B) ∩ (A ∩ B)] ∩ [(A ∩ B) ∪ (A ∩ B)] = [A ∩ B ∩ B] ∩ [A ∩ (B ∪ B)] = [A ∩ ∅] ∩ [A ∩ Ω] = ∅ ∩ A = ∅ (f) [(A ∩ C) ∪ (C ∩ A)] ∪ (C ∪ A) = A ∪ C

  ⊆A∪C

⊆A∪C

72

67
A

2. Mengen

L¨ osung 2.14 (a) nicht disjunkt: A ∩ B ∩ C = {2} (b) disjunkt und paarweise disjunkt: A ∩ B = B ∩ C = C ∩ A = A ∩ B ∩ C = ∅ (c) disjunkt, aber nicht paarweise disjunkt: A ∩ B ∩ C ∩ D = ∅ und A ∩ B = {2} bzw. B ∩ C = {3} (d) disjunkt, aber nicht paarweise disjunkt: A ∩ B ∩ C = ∅ und A ∩ B = {3} bzw. B ∩ C = {5}, A ∩ C = {1} (e) nicht disjunkt: A ∩ B ∩ C = {3} (f) disjunkt, aber nicht paarweise disjunkt: A ∩ B ∩ C ∩ D = ∅ und A ∩ B = {3} bzw. A ∩ C = {3}, A ∩ D = {1}, B ∩ C = {3, 5}, B ∩ D = {4}, C ∩ D = {6}

68
A

L¨ osung 2.15

68
A

L¨ osung 2.16

M2 , M3 , M7 und M10 .

-

(a) [3, 5]: 0

3

5

7

r r r r r r-

(b) {1, 2, 3, 4, 5, 6}: −3

13 2

-

(c) [−2, 2): −2

0

2

-

(d) (−4, 1): −4

1

−4

1

-

(e) [−4, 1]:

r

(f) {1} ∩ [0, 3] = {1}: −1 0

1

2

3

2.6

L¨ osungen

73

-

(g) [1, 3] ∪ (5, 6]: 1

(h) {1, 2}:

2

3

4

5

6

r

r -

1

2

-

(i) [−3, 3): −3

3

-

(j) [−2, ∞): −2−1

5

Kapitel 3 Elementare Rechenoperationen

3

3

3

Elementare Rechenoperationen

77

3.1

Bruchrechnung ...................................................

77

3.2

Potenzen...........................................................

84

3.3

Wurzeln ............................................................

87

3.4

Logarithmen ......................................................

92

3.5

Aufgaben ..........................................................

96

3.6

L¨osungen .......................................................... 100

3.1

Bruchrechnung

77

3 Elementare Rechenoperationen 3.1

3.1 Bruchrechnung In 19
Abschnitt 1.2 wurden Br¨ ur Quotiuche ab als alternative Schreibweise f¨ enten a : b eingef¨ uhrt. Im Folgenden werden Eigenschaften und Rechenregeln f¨ ur den Umgang mit Br¨ uchen vorgestellt, die u.a. auch die Berechnung von Termen erleichtern. Aus diesen Regeln resultieren z.B. die Umformungen  

1 5 x2 + 2x + 1 1 3 5 9 + 35 21 + + · = 2, = . = 3 2 7 3 2 11 21 22 x +x −x−1 x−1 Eigenschaften von Br¨ uchen

Zwei scheinbar verschiedene Br¨ uche k¨ onnen die selbe Zahl repr¨asentieren. Ein einfaches Beispiel sind 82 und 12 , die jeweils die Zahl 4 darstellen. 3 Gleichheit von Br¨ uchen F¨ ur Zahlen a1 , a2 , b1 , b2 mit b1 , b2 = 0 sind die Br¨ uche ab11 und gleich, wenn die Produkte a1 b2 und a2 b1 gleich sind, d.h. a1 a2 = b1 b2

⇐⇒

a2 b2

genau dann

a1 b 2 = a2 b 1 .

Beispiel


B

= 17 , denn 3 · 7 = 21 = 1 · 21

(i)

3 21

(ii)

2a 4ab

(iii)

x2 +x 3x+3

=

1 2b ,

denn 2a · 2b = 4ab = 1 · 4ab

= x3 , denn (x2 + x) · 3 = 3x2 + 3x = x · (3x + 3)



Zwei Br¨ uche, die die selbe Zahl repr¨ asentieren, k¨onnen durch Erweitern oder K¨ urzen ineinander u uhrt werden. ¨berf¨ Erweitern und K¨ urzen von Br¨ uchen F¨ ur Zahlen a, b, k mit b, k = 0 gilt k·a a = . b k·b Wird dieser Vorgang von links nach rechts durchgef¨ uhrt, heißt er Erweitern der Bruchs. Wird er von rechts nach links ausgef¨ uhrt, heißt die Operation K¨ urzen des Bruchs.

78

B

3. Elementare Rechenoperationen

Beispiel
7 =
·1 =
·2 7

(i)

7 14

gek¨ urzt mit 7:

7 14

(ii)

3 4

erweitert mit 5:

3 4

(iii)

1 5

erweitert mit x + 1:

(iv)

8x 12y

gek¨ urzt mit 4:

8x 12y

4 =
·2x =
·3y 4

2x 3y

(v)

8x 12y

gek¨ urzt mit 2:

8x 12y

2 =
·4x =
·6y 2

4x 6y

(vi)

=

5·3 5·4 1 5

=

=

1 2 15 20

1·(x+1) 5·(x+1)

=

x+1 5x+5

2

2

x·2(x−1) 2(x −x) x −2x erweitert mit 2(x − 1): x+1 = (x+1)·2(x−1) = 2(x+1)(x−1) = 2x 2x2 −2 , wobei bei der letzten Umformung die dritte binomische Formel benutzt wurde. x x+1

(vii) Mit der dritten 16
binomischen Formel a2 − b2 = (a − b)(a + b) kann im Z¨ ahler und Nenner des folgenden Bruchs jeweils der Faktor a + b ausgeklammert und anschließend gek¨ urzt werden: (a − b)(a + b) a−b a2 − b 2 = . = 2a + 2b 2(a + b) 2



Ist ab ein Bruch ganzer Zahlen a, b ∈ Z und kann kein ganzzahliger Faktor urzt. Diese Form außer 1 gek¨ urzt werden, so heißt der Bruch ab vollst¨andig gek¨ wird i.Allg. bei der Darstellung von Br¨ uchen angestrebt, da sie bei weiteren Rechnungen in der Regel einfacher handhabbar ist. Eine analoge Strategie wird verfolgt, wenn Z¨ ahler und Nenner des Bruchs Terme sind. B

Beispiel


(i)

2x−2 x2 −1

=

2(x−1) (x−1)(x+1)

(ii)

x−1 x2 −x

=

x−1 x(x−1)

(iii)

48a+8b 72

(iv)

9a2 −6ax+x2 24a−8x

(v)

50a2 +60ab+18b2 75a2 −27b2

=

=

8 (6a+b) 8·9

=

=

2 x+1

1 x

=

6a+b 9

(3a−x)2 8(3a−x)

=

=

(3a−x)(3a−x) 8(3a−x)

2(5a+3b)(5a+3b) 3(5a+3b)(5a−3b)

=

=

3a−x 8

2(5a+3b) 3(5a−3b)

=

10a+6b 15a−9b



Der folgende Hinweis zeigt einen h¨ aufig zu beobachtenden Fehler beim K¨ urzen.

3.1

Bruchrechnung

79




Fehlerquelle beim K¨ urzen F¨ ur c = 0 ist k·a+c a+c k·a+c = −→ k·b k·b b ein h¨ aufig auftretender Fehler beim K¨ urzen.

Stimmten n¨ amlich die linke und rechte Seite u usste gelten ¨ berein, m¨ a+c k·a+c = ⇐⇒ (k · a + c)b = (k · b)(a + c) k·b b ⇐⇒ k · a · b + c · b = k · b · a + k · b · c ⇐⇒ c · b = k · b · c ⇐⇒ k = 1, d.h. Gleichheit gilt nur f¨ ur k = 1. Der Fall b = 0 ist ausgeschlossen, da b im Nenner des Bruchs steht. c = 0 ist nach Voraussetzung nicht m¨oglich. K¨ urzen von Br¨ uchen, Primfaktorzerlegung und gr¨ oßter gemeinsamer Teiler

Zum K¨ urzen von Br¨ uchen mit ganzzahligem Z¨ahler und Nenner ist es oft n¨ utzlich, die Primfaktorzerlegung einer nat¨ urlichen Zahl zu ermitteln. Eine Primzahl p ist eine nat¨ urliche Zahl, die nur durch sich selbst und durch Eins ohne Rest teilbar ist. Die ersten Primzahlen sind 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, . . . Jede nat¨ urliche Zahl (und damit auch jede ganze Zahl) kann in ein Produkt von Primzahlen (so genannte Primfaktoren) zerlegt werden, d.h. jedes n ∈ N hat (bis auf Vertauschung) eine eindeutige Darstellung in Primfaktoren p 1 , . . . , pm : n = p1 · p2 · . . . · pm . Beispiel
4 = 2 · 2, 8 = 2 · 2 · 2, 14 = 2 · 7, 36 = 2 · 2 · 3 · 3, 42 = 2 · 3 · 7,

132 = 2 · 2 · 3 · 11, 3 003 = 3 · 7 · 11 · 13.



Der gr¨ oßte gemeinsame Teiler zweier nat¨ urlicher Zahlen n, m ergibt sich aus der Primfaktorzerlegung beider Zahlen, indem die jeweils gleichen Faktoren ermittelt werden. Das Produkt dieser Faktoren ist der mit ggT(n, m) bezeichoßte gemeinsame Teiler. Der gr¨ oßte gemeinsame Teiler von Z¨ahler und nete gr¨ Nenner ist daher die gr¨ oßte Zahl, mit der der Bruch gek¨ urzt werden kann. Nach Ausf¨ uhrung des K¨ urzens resultiert die vollst¨andig gek¨ urzte Version des

B

80

3. Elementare Rechenoperationen

Bruchs. F¨ ur die Zahlen 42 und 4 ergibt sich aus 42 = 2 · 3 · 7 und 4 = 2 · 2 der gr¨ oßte gemeinsame Teiler ggT(42, 4) = 2 . Also ist und

B

21 2

ist die vollst¨ andig gek¨ urzte Version des Bruchs

42 4

=

2 ·21 2 ·2

=

21 2 ,

42 4 .

Beispiel


(i) 34 = 2 · 17 und 51 = 3 · 17 , d.h. ggT(34, 51) = 17 und

34 51

=

2·17
3·17


=

2 3

(ii) 12 = 2 · 2 · 3 und 6 = 2 · 3 , d.h. ggT(12, 6) = 2 · 3 = 6 und 2·6
12 2 6 = 1·6
= 1 =2 (iii) 294 = 2 · 3 · 7 · 7 und 63 = 3 · 3 · 7 , d.h. ggT(294, 63) = 3 · 7 = 21 2·3
·7
·7 14 und 294  63 =
·3·7 3
= 3 Zur Vereinfachung des Bruchs durch K¨ urzen ist es nicht zwingend erforderlich, die Primfaktorzerlegung zu ermitteln. Vielmehr kann der Bruch auch durch sukzessives K¨ urzen nach und nach vereinfacht werden. Dazu sind folgende Teilbarkeitsregeln n¨ utzlich. Teilbarkeit nat¨ urlicher Zahlen Eine nat¨ urliche Zahl ist durch 2 teilbar, wenn sie gerade ist, d.h. wenn die Endziffer durch 2 teilbar ist. 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Die Quersumme einer Zahl ist die Summe ihrer Ziffern. 4 teilbar, wenn die aus den letzten beiden Ziffern gebildete Zahl durch 4 teilbar ist. 5 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 0 oder eine 5 ist. 6 teilbar, wenn die Zahl gerade und ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. 8 teilbar, wenn die aus den letzten drei Ziffern gebildete Zahl durch 8 teilbar ist. 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist. B

Beispiel


(i) Die Zahl 258 ist gerade und somit durch 2 teilbar: 258 = 2 · 129. Der Faktor 129 hat die Quersumme 1 + 2 + 9 = 12 und ist somit durch 3 teilbar: 129 = 3 · 43, wobei 43 eine Primzahl ist. Also gilt 258 = 2 · 3 · 43.

3.1

Bruchrechnung

81

(ii) F¨ ur Z¨ ahler und Nenner des Bruchs 315 234 folgt aus der Quersummenregel die Teilbarkeit durch 9, denn 3 + 1 + 5 = 9 = 2 + 3 + 4. Somit gilt
·35 9 315 = 35 234 =
·26 9 26 . (iii)

2 164
·1 2 082 2 541 =
·2 =
·541 = 2·3·3·19 . Da 541 weder durch 2 noch
·1 2 368 =
·684 2
·342 2 durch 3 teilbar ist, bleibt nur zu pr¨ ufen, ob 19 ein Teiler von 541 ist. Da andig gek¨ urzte dies nicht der Fall ist (541 = 28 · 19 + 9), ist 541 342 der vollst¨ (541 ist eine Primzahl).  Bruch zu 42 328 736 4 328 2 736

Beispiel
Die folgende Tabelle demonstriert wie die Teilbarkeitsregeln auf

einige Zahlen angewendet werden. Zahl 324 1325 2718 5457 8260 15264

2  4 5 8 7 0 4

3    

 9 11 18 21 16 18

4    

 24 18 60 64

5   

 4 5 8 7 0 4

6

8

   -

  

 324

260 264

9 

 9 11 18 21 16 18

  

 markiert jeweils die Spalte, in der das zugeh¨orige Teilbarkeitskriterium notiert ist. Die Teilbarkeit durch 6 ist gegeben, wenn die Zahl gleichzeitig durch 2 und 3 teilbar ist. Daher bleibt die -Spalte hier leer.  Rechnen mit Br¨ uchen

Im Folgenden werden Rechenregeln f¨ ur Br¨ uche vorgestellt. Zun¨achst werden Addition und Subtraktion betrachtet. Addition und Subtraktion von Br¨ uchen mit gleichem Nenner F¨ ur Zahlen a1 , a2 , b mit b = 0 gilt a2 a1 + a2 a1 + = b b b

und

a1 a2 a1 − a2 − = . b b b

Br¨ uche mit gleichem Nenner werden addiert/subtrahiert, indem die Z¨ahler addiert/subtrahiert werden.

B

82

B

3. Elementare Rechenoperationen

Beispiel


(i)

5 3

−

2 3

=

5−2 3

=

(ii)

3 5

−

4 5

=

3−4 5

= − 15

(v)

x2 x+y

y2 x+y

−

=

3 3

=1

x2 −y 2 x+y

=

(x+y)(x−y) x+y

(iii)

8 7

(iv)

1 x+1

a 7

+

+

−

3 7

=

x x+1

=

8+a−3 7 x+1 x+1

=

5+a 7

=1

=x−y



Br¨ uche mit verschiedenen Nennern werden durch geschicktes Erweitern auf den gleichen Nenner (den so genannten Hauptnenner) gebracht und anschließend addiert bzw. subtrahiert: a1 · b 2 b 1 · a2 a2 a1 b 2 + a2 b 1 a1 + = + = . b1 b2 b1 b2 b1 · b2 b1 · b2 Addition und Subtraktion von Br¨ uchen mit evtl. ungleichen Nennern F¨ ur Zahlen a1 , a2 , b1 , b2 mit b1 , b2 = 0 gilt a1 a2 a1 b 2 + a2 b 1 + = b1 b2 b1 b2

B

a1 a2 a1 b 2 − a2 b 1 − = . b1 b2 b1 b2

und

Beispiel


(i)

3 8

(ii)

x 14

+

2x 7

(iii)

2 b

+

5 a

=

(iv)

x x+1

−

x x−1

(v)

2x 2x+1

(vi)

a a−b

(vii)

+

2 3

3·3+2·8 8·3

=

− −

−

x 2

=

25 24

x+4x−7x 14

=

−2x 14

= − x7

2a+5b ab

=

2x−1 2x b a+b

4ab 2a2 −2b2 2 +b2 = aa2 −b 2

=

9+16 24

=

+

x(x−1)−x(x+1) (x−1)(x+1)

=

=

x2 −x−x2 −x x2 −1

(2x)2 −(2x−1)(2x+1) (2x+1)2x

a(a+b)−b(a−b) (a−b)(a+b)

a−b a+b

=

=

=

2·2ab 2(a−b)(a+b)

=

4x2 −(4x2 −1) 2x(2x+1)

a2 +ab−ba+b2 (a−b)(a+b)

+

a−b a+b

= − x22x −1

=

=

=

1 2x(2x+1)

a2 +b2 a2 −b2

2ab (a−b)(a+b)

+

a−b a+b

=

2ab+(a−b)2 (a−b)(a+b)



Die obige Vorgehensweise erzeugt durch Multiplikation der Nenner den Hauptnenner und mittels des Erweiterungsverfahrens die gew¨ unschten Br¨ uche. Dies ist jedoch nicht immer notwendig bzw. sinnvoll. Oft findet sich ein kleinerer Hauptnenner, das so genannte kleinste gemeinsame Vielfache.

3.1

Bruchrechnung

83

Beispiel


B

(i) Es gilt

7 6

2 3

=

7 6

3·5 84

+

4·8 84

+

(ii)

5 28

+

8 21

=

(iii)

6 x2 −4

−

4x x+2

=

2·2 2·3

+

6 x2 −4

= −

=

47 84 ,

7 6

+

4 6

=

11 6 ,

da 6 ein Vielfaches von 3 ist.

denn 84 : 28 = 3 und 84 : 21 = 4

x(x−2) x2 −4

=

−x2 +2x+6 x2 −4



Die Multiplikation von Br¨ uchen wird folgendermaßen ausgef¨ uhrt. Multiplikation von Br¨ uchen F¨ ur Zahlen a1 , a2 , b1 , b2 mit b1 , b2 = 0 wird das Produkt zweier Br¨ uche berechnet gem¨ aß a1 · a2 a1 a2 · = . b1 b2 b1 · b2 Zwei Br¨ uche werden multipliziert, indem jeweils Z¨ahler und Nenner multipliziert werden. Beispiel


B

(i)

1 3

·

5 7

(ii)

2 x

·

3z 2

=

1·5 3·7

=

=

2·3z x·2

5 21

=

(iii) 6z 2x

=

Da jede Zahl c als Bruch die Regel

c 1

x−1 2

·

4 x2 −1

=

4(x−1) 2(x−1)(x+1)

=

2 x+1



3z x

geschrieben werden kann, ergibt sich daraus sofort c·

c a c·a a = · = . b 1 b b

Aus dieser Gleichung ergibt sich mit der Wahl a = 1 eine Rechenregel f¨ ur den Bruch cb : c:b=

c·1 1 c = =c· , b b b

d.h. die Division einer Zahl c durch eine Zahl b ist gleich dem Produkt von c und 1b . Die Zahl 1b heißt Kehrwert von b. Daraus ergibt sich unmittelbar die Regel c 1 c c :b= · = . a a b a·b Eine Kombination dieser Regeln ergibt folgende Rechenregel f¨ ur die Division von Br¨ uchen, wobei ab den Kehrwert des Bruchs ab bezeichnet (Z¨ahler und Nenner werden also vertauscht).

84

3. Elementare Rechenoperationen

Division von Br¨ uchen F¨ ur Zahlen a1 , a2 , b1 , b2 mit a2 , b1 , b2 = 0 gilt a1 b1 a2 b2

a1 a2 : = b1 b2

=

a1 b 2 a1 b 2 · = . b 1 a2 a2 b 1

Die Division zweier Br¨ uche ist das Produkt des ersten Bruchs und des Kehrwerts des zweiten Bruchs. Bei der Multiplikation bzw. Division von Br¨ uchen ist es i.Allg. sinnvoll, vor deren Ausf¨ uhrung die jeweiligen Z¨ ahler und Nenner hinsichtlich m¨oglicher K¨ urzungen zu pr¨ ufen. Dies vereinfacht nachfolgende Rechnungen unter Umst¨ anden erheblich, wie das folgende Beispiel zeigt:  2 ·5 7 10 7 · 10 7 · 7 21 7 · 10 70 5 7 21 : = · = = bzw. : = = . = 8 10 8 21 8 · 21  2 · 4 · 3 · 7 12 8 10 8 · 21 168 B

B

Beispiel


(i)

1 6

:

(ii)

5 3

:

=

10 9

1 6

·

6ab 7

(iv)

x−1 2

:

=

1 3

=

·

·

1 3

=

1 9

15
·3 45 30 = 15
·2 10 5 9 = · 9 3 10

=

=

:

=

=

6ab 7

·

x−1 3

=

x−1 2

b 3

:

5 3

2 3

9 10 (Alternativ: 53

(iii)

3 b

= ·

3 2
·3 5
·3
·2·5 3


= 32 )

18a 7 3 x−1

=



3 2

Beispiel


(i)

x+y (x−y)2

 (ii)

3.2

3 2

·

x2 −y 2 2xy



:

5x+5y x−y

=

x+y (x−y)(x−y)

·

(x−y) (x+y) 2xy

·

x−y 5 (x+y)

=

x+y 10xy

3 (a+1)2 (a+1)2 a+3 a+3 a2 +3a : (a+1) = 2(a+3)+(a+1)(a+3) · (a+1) 3 − a+1 + 2 2 2(a+1) a2 +3a − 2 (a+3)2 (a+1)3 (a+1)2 (a+3)(a+1)2 (a+1)2 (a+3)(a+1)2 −a(a+1)2 = 2(a+1) · a(a+3) − 2 = − 2 = 2a 2a 3(a+1)2 = 2a 

3.2 Potenzen Die Addition identischer Zahlen wurde vereinfachend zur Multiplikation zusammengefasst. Analog wird die Multiplikation identischer Zahlen a·. . .·a als Potenz an mit einem Exponenten n geschrieben, der die Anzahl von Faktoren angibt.

3.2

Potenzen

85

Definition Potenzen F¨ ur Zahlen a ∈ R und n ∈ N wird die n-te Potenz von a definiert als



an =
a · a ·. . . · a . n−mal

Die Zahl a heißt Basis, n heißt Exponent. Die Verkn¨ upfung wird als Potenzieren bezeichnet.

Erweiterungen f¨ ur Potenzen ax mit ganzzahligem bzw. 89
rationalem und 91
reellem Exponenten x werden im Folgenden ebenfalls eingef¨ uhrt. Von besonderer Bedeutung ist die Basis e = 2,7182 . . . mit der Eulerschen Zahl e, die u.a. zur Definition der 161
Exponentialfunktion verwendet wird. Beispiel


B

(i) 5 = 5 · 5 = 25 2

(ii) 25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32 (iii) 53 = 5 · 5 · 5 = 125 (iv) (−3)3 = (−3) · (−3) · (−3) = −27 (v) (−3)4 = (−3) · (−3) · (−3) · (−3) = 81 (vi) −34 = −(3 · 3 · 3 · 3) = −81 (vii) 2,33 = 2,3 · 2,3 · 2,3 = 12,167 3 (viii) ( 11 10 ) =

11 10

·

11 10

·

11 10

=

1 331 1 000

= 1,331

(ix) (22 )3 = (2 · 2)3 = 43 = 64 3

(x) 2(2

)



= 22·2·2 = 28 = 256

Aus diesen Zahlenbeispielen k¨ onnen bereits einige Schlussfolgerungen f¨ ur das Rechnen mit Potenzen abgeleitet werden. Aus den Beispielen (i) und (ii) folgt, dass bei der Potenzbildung Exponent und Basis nicht vertauscht werden d¨ urfen, d.h. i.Allg. gilt an = na . Die Beispiele (ix) und (x) zeigen, dass beim Potenzieren die Reihenfolge der Ausf¨ uhrung bedeutsam ist, d.h. i.Allg. gilt m (an )m = a(n ) . Wird die Reihenfolge der Auswertung daher nicht durch Klammer festgelegt, wird die Vereinbarung m

m

an = a(n

)




86

3. Elementare Rechenoperationen

getroffen. Die Klammern in (iv) sind wichtig, denn −an wird als −(an ) verstanden, so dass i.Allg. −an = (−a)n . Das Vorzeichen in −an geh¨ort zur gesamten Potenz und nicht zur Basis (vgl. auch (v), (vi)). Die Potenzbildung wird nun auf ganzzahlige Exponenten erweitert.


Definition Potenzen mit negativen Exponenten und Exponent Null F¨ ur a ∈ R\{0} und n ∈ N wird definiert

a−n =

1 , an

a0 = 1.

Außerdem wird 00 = 1 definiert, obwohl 0n = 0 f¨ ur alle n ∈ N gilt. Diese ¨ Abweichung erweist sich f¨ ur weitere Uberlegungen als n¨ utzlich. B

Beispiel


(i) 3−2 = 312 = 19  −2 1 (ii) − 31 = (−1/3) 2 =

(iii) 1 1/9

=9

1 3−2

=

1 1/9

(iv) (−3)−2 =

=9 1 (−3)2

F¨ ur das Rechnen mit Potenzen gelten die Potenzgesetze. Potenzgesetze F¨ ur a, b ∈ R \ {0} und n, m ∈ Z gilt: 1. an · am = an+m 2.

an am

= an−m

4.

 a n an = bn b

5. (am )n = am·n

3. an · bn = (a · b)n

B

Beispiel


(i) 33 · 32 = 33+2 = 35 = 243 (ii) 52 · 54n = 52+4n = 52(1+2n) = (52 )1+2n = 251+2n (iii) x2 · x3 = x2+3 = x5 (iv)

56 54

(v)

x4n x8

= 56−4 = 52 = 25 = x4n−8 = x4(n−2)

=

1 9



3.3

Wurzeln

(vi)

(−4)2 (−a)2

87

 =

−4 −a

2 =

4

2

a

(vii) 23 (x + 1)3 = [2(x + 1)]3 = (2x + 2)3 (viii) (xn+1 )2 = x2(n+1) = x2n+2 (ix) 4(a + b)2 = 22 (a + b)2 = (2a + 2b)2 (x) Aus (a − b)3 = (−(b − a))3 = (−1)3 · (b − a)3 = −(b − a)3 folgt (b−a)2 (b−a)2 1 1  (a−b)3 = −(b−a)3 = − b−a = a−b Diese Gesetze gelten auch f¨ ur Potenzen mit 88
rationalen und 91
reellen Exponenten. Mit Hilfe der Potenzgesetze k¨ onnen komplizierte Terme h¨aufig einfacher dargestellt werden. Beispiel


(i)

x

 (ii)

B

n+1 2n−1 3

x y x3n−2 y

=

x y x3n−2 y

= x3n−(3n−2) y 3−1 = x3n−3n+2 y 2 = x2 y 2 = (xy)2

2  n−1 n+1 −2 xn+1 y 2n−1 : 3x(xy)y2n 3x  n 3  n 2n−1 2  n−1 n+1 2  n 3  n 2n−1 n−1 n+1 2 y x y 3x y x y 3x y = 2xyn−2 2xn−2 3 x2n y 2n 3x2n y 2n  n 2  n 3  2n−1 3n 2 3n 3n 2n 5n y 3x y = 23 xy3n−6 yx = 8xy3n−6 yx2 = 8xy3n−4  2xn−2 3x2n y 2n

2x2 y n 4xn

=

=

3n 3

3 

Die Umkehrung des Potenzierens

Wie bei Addition und Multiplikation gibt es auch eine Umkehroperation zum Potenzieren. Hierbei ist zu beachten, dass das Potenzieren nicht kommutativ ist, d.h. es ist jeweils festzulegen, welcher Bestandteil der Potenz (Basis oder Exponent) Resultat der Umkehroperation sein soll. Soll bei gegebenem Exponenten auf die Basis zur¨ uckgeschlossen werden, heißt das zugeh¨orige Verfahren 88
Wurzelziehen. Soll bei bekannter Basis der Exponent ermittelt werden, heißt dieser Vorgang 92
Logarithmieren.

3.3 Wurzeln Die n-te Wurzel einer nicht-negativen Zahl a wird implizit als L¨osung b der 266
Gleichung bn = a eingef¨ uhrt, die f¨ ur a ≥ 0 genau eine L¨osung b ≥ 0 besitzt. Im Folgenden wird daher – sofern dies nicht gesondert angegeben ist – immer davon ausgegangen, dass a, b ≥ 0 sind.

3.3

88




3. Elementare Rechenoperationen

Definition Wurzel Seien a ≥ 0 und n ∈ N.

Die eindeutig bestimmte nicht-negative Zahl b mit bn = a heißt n-te Wurzel von a √ √ und wird mit n a bezeichnet. Das Symbol “ wird Wurzelzeichen, der Vorgang ” Wurzelziehen genannt. Die Zahl a heißt Radikand, die Zahl n Wurzelexponent. F¨ ur n = 2 wird der Wurzelexponent in der Notation der Wurzel weggelassen, d.h. √ √ √ statt 2 a wird a geschrieben. a heißt auch Quadratwurzel von a.

B

Beispiel


√ 2 64 = 2 64 = 8 , denn 8 = 64 ! !  2 4 2 2 2 4 = = , denn = 49 (ii) 9 9 3 3 √

(i)

√ 6 6 64 = 2 , denn 2 = 64 √ 5 5 (iv) z 10 = z 2 , denn (z 2 ) = z 2·5 = z 10

(iii)



Rechenregeln f¨ ur Wurzeln

F¨ ur das Rechnen mit Wurzeln gelten folgende Rechenregeln (die so genannten Wurzelgesetze). Wurzelgesetze Seien a, b ≥ 0 und n, k ∈ N, m ∈ Z. √ √ √ √ 1. n am = ( n a)m und n an = ( n a)n = a √ √ √ 2. n a · n b = n ab √ " na = n ab 3. √ n b 4.

B

" "√ √ √ n k a = nk a = k n a

Beispiel


(i) (ii)

√ √ 10 1024 = 210 = 2

10

√ √ √ √ 4 9 = 4 · 9 = 36 = 6

(iii) (iv)

√ √64 4

" √ 3 2

! = 64 =

64 4

=

√

16 =

√

42 = 4

√ √ 6 64 = 26 = 2

3·2



3.3

Wurzeln

89

Beispiel
Br¨ uche und Wurzeln

(i) (ii)

√ √ 3√ 5− 3 √ 1−√2 1+ 2

B

√

=

=

√ √ 3 ( 5 + 3) √ √ √ ( 5− 3) ( 5 + 3) √

√ √ (1− 2) (1 − 2) √ √ (1+ 2) (1 − 2)

=

√

15+3 5−3

=

√ 1−2 2+2 1−2

=

√ 15+3 2

√ √ = −(3 − 2 2) = 2 2 − 3



Bei Wurzeln aus Quadraten ist folgende Regel zu beachten. Sie ergibt sich aus der Beobachtung, dass a2 = (−a)2 gilt.

Wurzeln aus Quadraten Die Wurzel aus dem Quadrat einer Zahl a ist deren 14
Betrag |a|: √ a2 = |a|, a ∈ R.




Mittels der Wurzel werden Potenzen mit rationalen Exponenten eingef¨ uhrt. Potenzen mit rationalen Exponenten Definition Potenzen mit rationalen Exponenten Seien a ≥ 0 und n ∈ N. Dann wird die Potenz von a mit dem Exponenten n1 definiert durch 1

an =

√ n a.

F¨ ur a ≥ 0 und n ∈ N, m ∈ Z wird die Potenz von a mit dem Exponenten p= m n ∈ Q definiert durch m

1

ap = a n = a n ·m =

√ n a

m

.

Aus den 88
Wurzelgesetzen ergeben sich die gleichen Rechenregeln f¨ ur Potenzen mit rationalen Exponenten, die auch f¨ ur 86
ganzzahlige Exponenten gelten. Potenzen mit rationalen Exponenten F¨ ur a, b > 0 und p, q ∈ Q gilt ap · aq = ap+q ,

ap = ap−q , aq

ap · bp = (a · b)p ,

 a p ap = , bp b

(ap )q = ap·q .



90

3. Elementare Rechenoperationen

Beispiel
Seien a, b ≥ 0 und x > 0.

B

2

(i) (a + b) 3 ·

" 2 4 6 3 (a + b)4 = (a + b) 3 · (a + b) 3 = (a + b) 3 = (a + b)2

√ x x1 4 1 (ii) √ = 4 = x1− 5 = x 5 = 5 x 5 x5 x4



Beispiel
Wurzeln als Potenzen (a, b ≥ 0 und x > 0)

B

√ 3

1

x3n = x3n· 3 = xn √ √ √ 1 (ii) 4 xn · 4 2 = 4 2xn = (2xn ) 4 √ n+1 3 (iii) an+1 = a 3 (i)




" √ √ 9 3 3 3 x9 = x9/2 = x 3·2 = x 2 √ √ n (v) 4 2n · 3n = 4 6n = 6 4

(iv)



√ ur positive Zahlen a In den obigen Ausf¨ uhrungen wurden Wurzeln n a nur f¨ definiert. Dies liegt darin begr¨ undet, dass f¨ ur positives a genau eine positive Zahl b existiert, die die Gleichung bn = a erf¨ ullt. Exemplarisch wird nachstehend erl¨ autert, dass bei Verzicht auf diese Voraussetzung Probleme entstehen. Dann ist es n¨ amlich m¨ oglich, dass sowohl mehrere L¨osungen vorliegen als auch keine L¨ osung existiert. 1

Werden f¨ ur b auch negative Zahlen zugelassen, so resultieren Mehrdeutigkeiten. Da z.B. f¨ ur n = 2 die Gleichung 52 = (−5)2 = 25 gilt, hat 2 osungen. Daher gibt es zwei reelle Zahlen, deren Quadrat b = 25 zwei L¨ 25 ist.

2

Ist a eine negative Zahl, gibt es keine reelle Zahl, deren Quadrat gleich dieser Zahl ist. Daher existiert z.B. keine reelle Zahl b mit b2 = −25, ur alle da b2 stets das Vorzeichen + hat. Die gleiche Argumentation ist f¨ geraden Exponenten m¨ oglich.

F¨ ur ungerade Exponenten gibt es f¨ ur jedes a ∈ R genau eine L¨osung, so dass in dieser Situation auch Wurzeln negativer Zahlen zugelassen werden k¨onnen. Erweiterte Definition von Wurzeln In Abh¨ angigkeit vom Exponenten der Gleichung bn = a kann die Definition der Wurzel wie folgt erweitert werden: F¨ ur ungerades n ∈ N und a ∈ R hat bn = a genau eine L¨osung, die mit √ n a bezeichnet wird. F¨ ur gerades n ∈ N und a > 0 hat bn = a sowohl eine positive als auch √ √ eine negative L¨ osung: b1 = n a > 0 und b2 = − n a < 0. F¨ ur gerades n ∈ N und a < 0 hat bn = a keine reelle L¨osung.

3.3

Wurzeln

91

Potenzen mit reellen Exponenten

Mittels der Potenzen mit rationalen Exponenten werden Potenzen mit reellen Exponenten definiert, indem eine reelle Zahl durch zwei rationale Zahlen ur irrationale Exponenten x ∈ R \ Q k¨onnen ratioeingeschachtelt“ ∗ wird. F¨ ” nale Zahlen p, q mit p < x < q gefunden werden, so dass q − p > 0 beliebig klein wird. Dies ergibt etwa f¨ ur a > 1 a p < ax < aq . Wird die Differenz q − p kleiner, so gilt dies auch f¨ ur aq − ap . Daher wird x der Wert von a immer genauer eingegrenzt, so dass bei hinreichend großer Genauigkeit die N¨aherungen ax ≈ aq bzw. ax ≈ ap resultieren. Diese Vorgehensweise wird mittels der Kreiszahl π = 3,141592654 . . . illustriert, die den Fl¨ acheninhalt des Einheitskreises angibt. Aus dieser Dezimaldarstellung ergibt sich p = 3,141 59 < π < 3,141 60 = q, d.h. f¨ ur die entsprechende Potenz mit p = a=2

314 159 10 000

und q =

314 160 10 000

gilt mit

2p = 8,824961 . . . < 2π < 8,825022 . . . = 2q . Der exakte“ Wert ist 2π = 8,824977 . . .. ” Eine bessere Einschachtelung des reellen Exponenten liefert daher eine genauere Einschachtelung der zugeh¨ origen Potenz. Auf eine formale Darstellung dieser Vorgehensweise wird an dieser Stelle verzichtet. F¨ ur Potenzen mit reellen Exponenten gelten die selben Rechenregeln wie f¨ ur Potenzen mit rationalen Exponenten. Potenzen mit reellen Exponenten F¨ ur a, b > 0 und x, y ∈ R gilt ax · ay = ax+y ,

ax = ax−y , ay

∗ Vgl. 22
Bisektionsverfahren

 a x ax = , x b b

ax bx = (ab)x ,

zur N¨ aherung von

√

2.

(ax )y = ax·y .

92

3.4

3. Elementare Rechenoperationen

3.4 Logarithmen Wie bereits erw¨ ahnt, ist das Logarithmieren wie das Wurzelziehen eine Umkehrung des Potenzierens. W¨ ahrend beim Wurzelziehen der Exponent als gegeben angenommen und die Basis der Potenz gesucht wird, die zum Wert a f¨ uhrt, wird beim Logarithmieren die Basis als fix angenommen und der Exponent gesucht, der zum Wert a f¨ uhrt. Hierbei wird grunds¨atzlich angenommen, dass a eine positive Zahl ist.




Definition Logarithmus Seien a, b > 0 mit b = 1.

Die eindeutig bestimmte Zahl x ∈ R mit bx = a heißt Logarithmus von a zur Basis b. Sie wird mit x = logb (a) bezeichnet. B




Beispiel


(i) log2 (512) = 9 , da 2 9 = 512

(iii) log10 (1000) = 3 , da 10 3 = 1000

(ii) log7 (343) = 3 , da 7 3 = 343

(iv) log3 (9) = 2 , da 3 2 = 9



Nat¨ urlicher und dekadischer Logarithmus F¨ ur die Basen 10 und e = 2,71828 . . . werden spezielle Bezeichnungen und Notationen verwendet.

Bezeichnung

F¨ ur b = 10 wird die Notation log10 = log = lg verwendet. lg heißt dekadischer Logarithmus. F¨ ur b = e wird die Notation loge = ln verwendet. ln heißt nat¨ urlicher Logarithmus.

Die Wahl der Basis e f¨ ur den Logarithmus mag zun¨achst k¨ unstlich erscheinen, sie erweist sich jedoch in vielen Anwendungen als ¨außerst n¨ utzlich. Daher ist der nat¨ urliche Logarithmus in der Regel auf Taschenrechnern als Operation verf¨ ugbar. Außerdem k¨ onnen 94
Logarithmen zu anderen Basen direkt mit dem nat¨ urlichen Logarithmus berechnet werden. In der obigen Definition wurde der Logarithmus nur f¨ ur positive Zahlen a, b ur negative erkl¨ art. Dies liegt darin begr¨ undet, dass die Gleichung bx = a f¨ Werte von a bzw. b i.Allg. keine L¨ osung x besitzt oder nicht erkl¨art ist. Der Fall b = 1 muss ausgeschlossen werden, da 1x immer den Wert 1 hat, d.h. die Gleichung 1x = a ist nur f¨ ur a = 1 l¨ osbar und in diesem Fall ist jede reelle Zahl x L¨ osung der Gleichung. Definitionsbereich des Logarithmus Der Logarithmus logb (a) ist nur f¨ ur a, b > 0 mit b = 1 definiert.

3.4

Logarithmen

93

Das folgende Beispiel zeigt, wie der Logarithmus einer Zahl n¨aherungsweise ermittelt werden kann. Beispiel
Bisektionsverfahren f¨ ur Logarithmen Gesucht ist der Logarithmus x

osung der Gleichung 3 = 6. log3 (6), d.h. die L¨ Zun¨ achst wird durch einen Widerspruch gezeigt, dass x keine rationale Zahl sein kann. G¨ abe es n¨ amlich eine rationale L¨ osung x, h¨atte x eine Darstellung p als Bruch x = q mit Zahlen p ∈ Z, q ∈ N. Aus den 89
Potenzgesetzen folgt dann jedoch sofort 3p/q = 6 ⇐⇒ 3p = 6q ⇐⇒ 3p = 2q · 3q ⇐⇒ 3p−q = 2q . Da q ∈ N gilt, ist die rechte Seite stets eine gerade Zahl,∗ w¨ahrend die linke entweder ungerade (falls p ≥ q) oder kleiner als Eins (falls p < q) ist. Daher k¨ onnen beide Seiten nicht u ¨ bereinstimmen, und es gibt somit keine rationale L¨ osung der Gleichung. Mit dem 22
Bisektionsverfahren kann log3 (6) nun n¨aherungsweise bestimmt werden. Wegen 31 = 3 < 6 < 9 = 32 muss x ∈ (1, 2) gelten. Mittels der Intervallmitte z = 1,5 wird nun gepr¨ uft, in welchem Teilintervall (1, 1,5) bzw. (1,5, 2) die gesuchte Zahl liegt. Wegen 31,5 = 5,196 . . . < 6 muss x gr¨oßer als 1,5 sein, d.h. x ∈ (1,5, 2). Eine Fortf¨ uhrung dieses Verfahrens liefert folgende Werte: Schritt 1 2 3 4 5 6 7 8

Pr¨ ufstelle z 1,5 1,75 1,625 1,6875 1,65625 1,640625 1,6328125 1,62890625

3z Intervall 5,196 . . . < 6 (1,5, 2) 6,838 . . . > 6 (1,5, 1,75) 5,961 . . . < 6 (1,625, 1,75) 6,384 . . . > 6 (1,625, 1,6875) 6,169 . . . > 6 (1,625, 1,65625) 6,064 . . . > 6 (1,625, 1,640625) 6,012 . . . > 6 (1,625, 1,6328125) 5,986 . . . < 6 (1,62890625, 1,6328125)

Dieses Verfahren wird fortgesetzt, bis eine vorgegebene Genauigkeit erreicht ist. Reichen z.B. drei Nachkommastellen der gesuchten Zahl aus, werden die Berechnungen fortgesetzt, bis die untere und obere Grenze des Intervalls auf den ersten drei Nachkommastellen u ¨bereinstimmen. Dies ist nach 13 Schritten  der Fall, d.h. x ∈ (1,6308 . . . , 1,6309 . . .) und somit x ≈ 1,630.† ∗ und † Der

damit insbesondere gr¨ oßer als Eins. exakte“ Wert ist log3 (6) = 1,630929753 . . .. ”

B

94

3. Elementare Rechenoperationen

Eigenschaften und Rechenregeln des Logarithmus

Eigenschaften des Logarithmus F¨ ur a, b > 0 mit b = 1 gilt logb (1) = 0,

logb (b) = 1,

blogb (a) = a,

logb (ba ) = a.

Außerdem besitzt der Logarithmus noch folgende Eigenschaften, deren Nachweise z.B. in Kamps et al. (2003) zu finden sind. Eigenschaften des Logarithmus F¨ ur a, b, c > 0 mit c = 1 gilt logc (a) = logc (b) ⇐⇒ a = b F¨ ur c > 1 gilt:

F¨ ur 0 < c < 1 gilt:

logc (a) < logc (b) ⇐⇒ a < b ⎧ ⎪ ⎪> 0, falls a > 1 ⎨ logc (a) = 0, falls a = 1 ⎪ ⎪ ⎩< 0, falls 0 < a < 1

logc (a) > logc (b) ⇐⇒ a < b ⎧ ⎪ ⎪> 0, falls 0 < a < 1 ⎨ logc (a) = 0, falls a = 1 ⎪ ⎪ ⎩< 0, falls a > 1

F¨ ur Logarithmen gelten folgende Rechengesetze.




Logarithmusgesetze F¨ ur a, b, c > 0 mit c = 1 gilt 1. logc (a · b) = logc (a) + logc (b)  2. logc ab = logc (a) − logc (b) 3. loga (b) =

logc (b) logc (a)

=

ln(b) ln(a)

=

lg(b) lg(a) ,

sofern a = 1

4. logc (ab ) = b · logc (a) Eigenschaft 3 eignet sich insbesondere, um einen Logarithmus zu einer belie¨ bigen Basis auf einem Taschenrechner auszuwerten. Ublicherweise sind dort lediglich der nat¨ urliche und der dekadische Logarithmus verf¨ ugbar. B

Beispiel
Berechnung von Logarithmen auf Taschenrechnern Der Wert von asst sich mit einem Taschenrechner auf folgende Weise berechnen log3 (6) l¨

3.4

Logarithmen

95

(die Ergebnisse sind jeweils auf drei Nachkommastellen gerundet): log3 (6) =

ln(6) 1,792 ≈ ≈ 1,631, ln(3) 1,099

lg(6) 0,778 ≈ ≈ 1,631.  lg(3) 0,477

log3 (6) =

Beispiel


B

(i) log12 (144v) = log12 (144) + log12 (v) = log12 (122 ) + log12 (v) = 2 log12 (12) + log12 (v) = 2 + log12 (v)  (ii) log7 (84) − log7 (12) = log7 84 12 = log7 (7) = 1 (iii) log32 (1 024) =

log2 (1 024) log2 (32)

log2 (210 ) log2 (25 )

=

=

10 log2 (2) 5 log2 (2)

=

10 5

=2

(iv) log5 (25j ) = j · log5 (25) = j · log5 (52 ) = 2j a (v) ln bc = ln(a) − ln(b) − ln(c) Beispiel


(i) 2 ln(x + 1) − ln(x2 − 1) = ln



2

(x+1) x2 −1



 = ln

(ii) log2 (8) + log2 (8x) − log2 (4x) = 3 + log2 (iii) log100 (x + 1) =

lg(x+1) lg(100)

=

1 2



 8x 4x

x+1 x−1

B



= 3 + log2 (2) = 4

lg(x + 1)

(iv) log4 (2x+1 ) = (x + 1) log4 (2) = 12 (x + 1)



Zum Ende dieses Abschnitts wird noch ein Zusammenhang zwischen Logarithmen und Potenzen notiert, der in vielen F¨allen Anwendung findet. Er ergibt sich direkt aus den vorhergehenden Ergebnissen.

Zusammenhang zwischen Potenzen zur Basis e und a Seien a > 0 mit a = 1 und e die Eulersche Zahl. Dann gilt f¨ ur jede reelle Zahl x die Gleichung ax = ex·ln(a) .

Der obige Zusammenhang kann auch f¨ ur jede andere Basis b > 0 mit b = 1 formuliert werden. In dieser Situation lautet die Formel ax = bx·logb (a) .




96

3. Elementare Rechenoperationen

3.5

3.5 Aufgaben

100
L

Aufgabe 3.1 Erweitern Sie folgende Br¨ uche, und multiplizieren Sie jeweils Z¨ ahler und Nenner aus. Geben Sie die Werte der Variablen an, f¨ ur die der resultierende Bruch definiert ist.

100
L

101
L

101
L

(a)

1 2

(b)

5a 2

mit 3 mit a

(c)

4a2 3b2

mit 2a2 b

(e)

3a+b 4−c

(d)

3−c ab

mit (3 + c)

(f)

3(x−2y) (x+y)(x−y)

mit ac mit xy

K¨ urzen Sie folgende Br¨ uche. Geben Sie ggf. die Werte der Variablen an, f¨ ur die der gegebene Bruch definiert ist.

Aufgabe 3.2

(a)

64 24

(d)

63a2 b 14ab2

(g)

12xy−4yz 16xz+8xy

(b)

27a 18b

(e)

25x−5y 15xy

(h)

3ab4 −17ab2 +39a2 b2 ab2

(c)

54a2 a3

(f)

56x2 y−16xy 2 24yz+40y 2

(i)

63a2 b2 −9ab 18ab+27a2 b2

K¨ urzen Sie folgende Br¨ uche, und verwenden Sie dabei ggf. die binomischen Formeln. Geben Sie ggf. die Werte der Variablen an, f¨ ur die der gegebene Bruch definiert ist.

Aufgabe 3.3

(a)

x2 +2xy+y 2 x+y

(d)

x2 −y 2 6x−6y

(g)

40x2 −490y 2 20x2 +140xy+245y 2

(b)

a2 −2ab+b2 2a−2b

(e)

27a2 +36ab+12b2 9a2 +12ab+4b2

(h)

32x2 z+128xyz+128y 2 z 32x2 +64xy

(c)

7a2 −14ab+7b2 3(a−b)

(f)

54a2 −36ab+6b2 6a−2b

(i)

108a2 c−192b2 c 54a2 c2 −144abc2 +96b2 c2

Addieren bzw. subtrahieren Sie folgende Br¨ uche, und k¨ urzen Sie dann soweit wie m¨ oglich. Geben Sie die Werte der Variablen an, f¨ ur die der gegebene Term definiert ist. Aufgabe 3.4

(a)

2 3

+

4 3

(f)

2 a+1

+

1 3a+3

(b)

a 5

+

2 10

(g)

2x x+1

−

3y y+1

(c)

1 2

+

1 7

(h)

3a 6ab

(d)

1 2

+

1 4

(e)

3a 7

+

− 6a 3

1 12

−

+ 12a 21

3 8

−

(i)

x −x−2y

(j)

2y 3z+6

7b 3a

+

−

−

+

+

4 a+1

xy (x+1)(y+1)

2ab 4

y x+2y

1−y z+2

+

3x−2xy 3xz+6x

3.5

Aufgaben

97

Aufgabe 3.5 Addieren bzw. subtrahieren Sie folgende Br¨ uche, und k¨ urzen Sie dann soweit wie m¨ oglich. Verwenden Sie ggf. die binomischen Formeln. Geben Sie ggf. die Werte der Variablen an, f¨ ur die der gegebene Term definiert ist.

(a)

a2 +7ab+4b2 3a+6b

−

ab a+2b

(b)

2a2 +5ab 4(a+1)

+

4b2 −2ab 8a+8

(c)

−

3x x−y

102
L

4(x−y) x+y

Aufgabe 3.6 Multiplizieren bzw. dividieren Sie folgende Br¨ uche, und k¨ urzen

102
L

Sie dann soweit wie m¨ oglich. Geben Sie ggf. die Werte der Variablen an, f¨ ur die der gegebene Term definiert ist. ·

(a)

1 2

1 4

(b)

10 7

(c)

a b

·

3 b

(d)

3 12b

·

·

5 3

·

2 3

4b2 6

·

ab2 9

·

(e)

3 a2

(f)

ab2 a+1

(g)

40ab+10c a2 c2

(h)

1 2

:

·

18a b2

2a+2 b2

·

6x2 2y 2

(i)

3x 4y

16 2ab

(j)

3y 2 3x+1

a2 b2 +c 12ab+3c

(k)

2x−7y 5y 2 +6z

(l)

35xy 2 8x−4y

·

1 4

:

:

:

21 16xy

6y 2 12x+4

: :

6x−21y 25y 2 z+30z 2 70x2 y 4x−2y

Aufgabe 3.7 Berechnen Sie folgende Br¨ uche, und k¨ urzen Sie dann soweit wie

103
L

m¨ oglich. Verwenden Sie dabei ggf. die binomischen Formeln. Geben Sie ggf. die Werte der Variablen an, f¨ ur die der gegebene Term definiert ist. (a)

2 x−y

·

4 x+y

(b)

3 a−b

·

a2 −b2 9

(c)

a+b x

:

y a+b

·

2 a+b

(d)

x+y x2 −y 2

x−y x+y

:

1 x+y

(e)

2x2 +4xy+2y 2 3x2 −6x+3

:

(x+y)2 x−1

:

(f)

16x3 −4xy 2 48x2 +48xy+12y 2

(g)

ax+ay−bx−by ax−ay−bx+by

(h)

a b a+1 − b+1 a−b a+b

(i)

:

4x2 +2xy 12x−6y

ab b 2a+4 + a+2 a ab − b+3 3b−9

Schreiben Sie folgende Ausdr¨ ucke als Potenzen. Geben Sie ggf. die Werte der Variablen an, f¨ ur die der gegebene Term definiert ist.

Aufgabe 3.8

(a) (x − y)(x − y)(x − y)(x − y)  1 (b) a1 · − a1 · −a

(d)

(c) (−a2 ) · (−a)2 · (−a)3

(f)

xy −z

·

−xy 2 z2

·

x2 (−y) z

(e) (x + y)−3 (x + y)8 (x + y)−2 (x−y)−1 (x+y)2

·

(x+y)−2 (x−y)3

103
L

98

104
L

3. Elementare Rechenoperationen

Fassen Sie folgende Ausdr¨ ucke zusammen. Geben Sie ggf. die Werte der Variablen an, f¨ ur die der gegebene Term definiert ist.

Aufgabe 3.9

(a) (a2 )3

(b) ((−2)2 )4

(c) (a2 b)3

(x−1)3 (1−x)3

(d)

(e) (x − 1)4 + 7(x − 1)4 − 12(x − 1)4 + 3(x − 1)4 (f) 13(a − 1)3 + 2(1 − a)3 − 8(a − 1)3 + 2(1 − a)3 104
L

Fassen Sie folgende Ausdr¨ ucke zusammen. Geben Sie ggf. die Werte der Variablen an, f¨ ur die der gegebene Term definiert ist.

Aufgabe 3.10

(a) 23 a3 b3 · 73 c3

(c) 52 x−1 y 3 · 5−2 x2 y −2

(b) x2 yz 3 · xy 2 + (2xyz)3

(d) (4(x2 y 2 ))3 − ((2xy)3 )2

(e) 16xy 2 · (2x)2 − 25 x3 y 2 + (8x)2 · x−1 (xy)2 (f) −121ab3 − (11a2 b)2 · (−2a−3 b) 104
L

105
L

Fassen Sie folgende Ausdr¨ ucke zusammen, wobei m, n ∈ N0 vorausgesetzt wird. Verwenden Sie ggf. die binomischen Formeln. Geben Sie ggf. die Werte der Variablen an, f¨ ur die der gegebene Term definiert ist.  7  n 8 7+n 2a4 an a (a) 36 (d) b3 : a bn · ab (g) (4x2(2x+y) +4xy+y 2 )6 Aufgabe 3.11

(b)

x7 xn y 3 y −m

(c)

a3 b2 3

·

(e) an bm

a3+n b2+m

(f)

 xy zn

2

:

4xa+1 15xy a−1

(xy)n z4

:

(2xa )2 5y a

(h) (i)

(16a2 −36b2 )6 (16a2 −48ab+36b2 )3

((x2 +2x+1)(x−1)2 )3 (x2 −1)6

Fassen Sie folgende Ausdr¨ ucke zusammen. Geben Sie ggf. die Werte der Variablen an, f¨ ur die der gegebene Term definiert ist. √ √ √ √ √ √ (a) 2 3 − 5 3 + 12 3 − 4 3 (e) 3 · 7 · 3 · 7 √ √ √ √ √ √ √ (b) 15 ab − 12 ab + 6 ab − 8 ab (f) 2 · 5 · 3 · 2 · 3 · 5 √ √ √ √ √ √ (c) 12 x − 4x − x (g) 20 · 10 · 2 √ √ √ √ √ √ √ (d) 2 75y + 27y − 3 48y (h) ab · a · b · a2 b2

Aufgabe 3.12

3.5

Aufgaben

99

Aufgabe 3.13 Fassen Sie folgende Ausdr¨ ucke zusammen. Verwenden Sie ggf.

105
L

die binomischen Formeln. Geben Sie ggf. die Werte der Variablen an, f¨ ur die der gegebene Term definiert ist. √ √ √ √ (e) √3 2 45 2 − √ 4 5 (a) 36a4 b4 : 4a2 x −y

√ √ √ (b) x xy · 2y y · 4 x √ √ √ (c) ( x + y − y − z)( x + y √ + y − z) (d)

√ √ a−√b √ a+ b

·

√ a+2 ab+b a−b

(f)

√ 16 x−y 9

(x−y)(x+y)

√ 2 2 x −y −√

√

(g)

81(x+y)

12 x2 −y 2 √ 9x−9y

√ −3 x+y

3y a+2 2x2 +4xy+2y 2

(h) √

+

3xy a+1 √ 2(x+y)

Aufgabe 3.14 Fassen Sie folgende Ausdr¨ ucke zusammen. Verwenden Sie ggf. die binomischen Formeln. Geben Sie ggf. die Werte der Variablen an, f¨ ur die der gegebene Term definiert ist. √ √ 6 √ 3 3 x4 · x2 (f) ! (a) 85 √ 8 6 9 y · y2 "√ ! ! √ √ (b) a4 √ 5 6 5 4 3 y · y 36 x2 · x9 · x45 ! √ (g) · 4 √ √ " 6 3 2 3 4 2 x3 · x18 y · y6 (c) a3 2 a2 −4b " √ √ (h) √ · √1a3 8 3 9 4 a −b· 16a2 b2 (d) a2 b · b12 √ √ " (3+5 a)2 12−20 a √ √ 4 4 (i) · 8 √ 9−25a (e) (x + 1) · x + 1 36+120 a+100a

106
L

Aufgabe 3.15 Formen Sie die folgenden Br¨ uche so um, dass der Nenner keine Wurzeln mehr enth¨ alt, und vereinfachen Sie die Darstellung so weit wie m¨ oglich. Verwenden Sie ggf. die binomischen Formeln. Geben Sie ggf. die Werte der Variablen an, f¨ ur die der gegebene Term definiert ist.

107
L

(a)

√a a

Aufgabe 3.16

(a) log2 (4)

(b)

√5 ab

(c)

4 √ 3 2

(d)

28 √ 4+ 2

(e)

√ √ 2( 5− 3) √ √ 5+ 3

107
L

Berechnen Sie folgende Logarithmen. (b) log4 (64)

(c) log2 ( 18 )

(d) log4 (2)

(e) log7 (7n )

100

107
L

3. Elementare Rechenoperationen

Fassen Sie folgende Ausdr¨ ucke zusammen. Geben Sie ggf. die Werte der Variablen an, f¨ ur die der gegebene Term definiert ist.

Aufgabe 3.17

(b) logy (10) − logy (5)

(a) logx (3) + logx (4)

(c) loga (u) + loga2 (u)

(d) 2 loga (4) + logb (4) − 3 loga (2) + 2 logb (5) loga (x3 ) + 2 loga (x) −

1 4

loga (x4 )

(f) 2 loga (3x) + loga (3x) + 4 loga (2x) −

1 2

loga (64x2 )

(e)

1 3

loga (x) −

1 9

107
L

Aufgabe 3.18

3.6

3.6 L¨ osungen

96
A

L¨ osung 3.1

96
A

Schreiben Sie folgende Ausdr¨ ucke als Summe.

!  4 a2 c 1 (b) ln (a) ln mit a, b, c, d > 0 5 bd2

! "  √ 4 3 5 (c) lg 3 2 a5 b a5 c4 mit a, b, c > 0 ! 

(a)

1 2

1·3 2·3

(b)

5a 2

(c)

4a2 3b2

=

4a2 ·2a2 b 3b2 ·2a2 b

(d)

3−c ab

=

(3−c)·(3+c) ab·(3+c)

(e)

3a+b 4−c

(f)

3(x−2y) (x+y)(x−y)

=

3 6

=

5a·a 2·a

=

=

5a2 , 2a

=

8a4 b , 6a2 b3

=

(3a+b)·ac (4−c)·ac

=

a = 0

9−c2 , 3ab+abc

a, b = 0, c = −3

3a2 c+abc , 4ac−ac2

a = 0, c ∈ {0, 4}

= =

a, b = 0

(3x−6y)·xy (x2 −y 2 )·xy

=

3x2 y−6xy 2 , x3 y−xy 3

L¨ osung 3.2 (a)

64 24

(b)

27a 18b

(c)

54a2 a3

=

8·8 3·8

3a·9 2b·9

=

2

=

63a b 14ab2

(e)

25x−5y 15xy

=

3a , 2b

=

54·a2 a·a2

=

(d)

8 3

=

9a·7ab 2b·7ab

=

b = 0

54 , a

=

5·(5x−y) 5·3xy

a = 0

9a , 2b

=

a, b = 0 5x−y , 3xy

x, y = 0

x, y = 0, x = ±y

3.6

L¨ osungen

101 (7x2 −2xy)·8y (3z+5y)·8y

(f)

56x2 y−16xy 2 24yz+40y 2

=

(g)

12xy−4yz 16xz+8xy

4·y(3x−z) 4·x(4z+2y)

(h)

3ab4 −17ab2 +39a2 b2 ab2

(i)

=

63a2 b2 −9ab 18ab+27a2 b2

y(3x−z) x(4z+2y)

=

(7ab−1)·9ab (2+3ab)·9ab

=

3xy−yz , 4xz+2xy

=

ab2 ·(3b2 −17+39a) ab2

=

x = 0, y = −2z

= 3b2 − 17 + 39a, a, b = 0

a, b = 0, b =

7ab−1 , 2+3ab

=

 y ∈ 0, − 35 z

7x2 −2xy , 3z+5y

=

−2 3a

96
A

L¨ osung 3.3 (a)

x2 +2xy+y 2 x+y

=

(x+y)(x+y) x+y

(b)

a2 −2ab+b2 2a−2b

=

(a−b)2 2(a−b)

(c)

7a2 −14ab+7b2 3(a−b)

(d)

x2 −y 2 6x−6y

(e)

27a2 +36ab+12b2 9a2 +12ab+4b2

(f)

54a2 −36ab+6b2 6a−2b

(g)

40x2 −490y 2 20x2 +140xy+245y 2

(h)

32x2 z+128xyz+128y 2 z 32x2 +64xy

(i)

=

=

=

a = b

a−b , 2

7(a−b)(a−b) 3(a−b)

(x−y)(x+y) 6(x−y)

=

= x + y, x = −y

7(a−b) , 3

=

x+y , 6

x = y

3(9a2 +12ab+4b2 ) 9a2 +12ab+4b2

=

6(9a2 −6ab+b2 ) 2(3a−b)

=

=

3(3a+2b)2 (3a+2b)2

=

2·3(3a−b)2 2(3a−b)

10(4x2 −49y 2 ) 5(4x2 +28xy+49y 2 )

=

=

108a2 c−192b2 c 54a2 c2 −144abc2 +96b2 c2 c = 0, a = 43 b

a = b

=

= 3(3a − b), b = 3a

5·2(2x−7y)(2x+7y) 5(2x+7y)2

=

32z(x2 +4xy+4y 2 ) 32x(x+2y)

= 3, a = − 32 b

=

z(x+2y)2 x(x+2y)

12c(9a2 −16b2 ) 6c2 (9a2 −24ab+16b2 )

=

=

=

2(2x−7y) , 2x+7y

z(x+2y) , x

2·6c(3a−4b)(3a+4b) c·6c(3a−4b)(3a−4b)

x = − 72 y

x ∈ {0, −2y} =

2(3a+4b) , c(3a−4b)

96
A

L¨ osung 3.4 (a)

2 3

+

4 3

(b)

a 5

+

2 10

(c)

1 2

+

1 7

(d)

1 2

+

1 4

(e)

3a 7

(f)

2 a+1

(g)

2x(y+1) 3y(x+1) 3y xy xy 2x − y+1 + (x+1)(y+1) = (x+1)(y+1) − (y+1)(x+1) + (x+1)(y+1) x+1 2x−3y = (x+1)(y+1) , x, y = −1

+

=

=

6 3

a 5

+

1 5

=

7 14

+

2 14

−

1 12

+

3 8

=

6a 3

+

2+4 3

−

12a 21

1 3a+3

−

=2 a+1 5

= =

=

=

12 24

9a 21

4 a+1

9 14

+

=

6 24

−

2 24

42a 21

−

12a 21

+

6 3(a+1)

+

+

9 24

=

=

39a 21

1 3(a+1)

−

25 24

=

13a 7

12 3(a+1)

5 = − 3(a+1) , a = −1

=

2xy+2x−3xy−3y+xy (x+1)(y+1)

102

3. Elementare Rechenoperationen

−

7b 3a

(i)

x −x−2y

+

(j)

2y 3z+6

(h)

3a 6ab

y x+2y

−x x+2y

=

14b2 6ab

+

3a2 b2 6ab

+

y x+2y

=

=

y−x , x+2y

3a−14b2 +3a2 b2 , 6ab

a, b = 0

x = −2y 3x−2xy 3x(z+2)

+

=

2xy−3x+3xy+3x−2xy 3x(z+2)

L¨ osung 3.5 (a)

a2 +7ab+4b2 3a+6b

−

ab a+2b

a = −2b (b) (c)

97
A

−

3a 6ab

=

2xy − 1−y + 3x−2xy = 3x(z+2) − 3x(1−y) z+2 3xz+6x 3x(z+2) 3xy y = z+2 , z = −2, x = 0 3x(z+2)

= 97
A

2ab 4

+

2a2 +5ab 4(a+1)

4b2 −2ab 8a+8

+

a2 +7ab+4b2 3(a+2b)

=

2a2 +5ab 4(a+1)

=

3x(x+y) 3x − 4(x−y) = (x−y)(x+y) x−y x+y 2 2 = −x +11xy−4y , x = ±y x2 −y 2

3ab 3(a+2b)

2b2 −ab 4(a+1)

+

−

−

=

a2 +4ab+4b2 3(a+2b)

2a2 +4ab+2b2 4(a+1)

=

4(x−y)(x−y) (x+y)(x−y)

=

=

=

(a+2b)2 3(a+2b)

(a+b)2 , 2(a+1)

a+2b , 3

=

a = −1

3x2 +3xy−(4x2 −8xy+4y 2 ) (x+y)(x−y)

L¨ osung 3.6 ·

(a)

1 2

1 4

(b)

10 7

(c)

a b

·

3 b

=

3·a b·b

=

(d)

3 12b

·

4b2 6

=

1 1

(e)

3 a2

·

1·1 2·4

= ·

5 3

2 3

ab2 9

· 2

·

(f)

ab a+1

(g)

40ab+10c a 2 c2

(h)

1 2

:

3x 4y

(j)

3y 2 3x+1

(k)

(l)

:

·

·

16 2ab

100 63

b = 0

= 6b , b = 0

b 6

=

3 1

·

=

1 9

·

=

=2

1 2

·

6x2 2y 2

:

21 16xy

4 1

6y 2 12x+4

=

4 2

=

=

18 1

1 a+1

a2 b2 +c 12ab+3c

=

:

=

3a , b2

·

18a b2

2a+2 b2

1 4

(i)

10·5·2 7·3·3

=

·

1 8

=

3x 4y

3y 2 3x+1

·

3 1

=

2(a+1) 1

10(4ab+c) a 2 c2

· ·

2y 2 6x2

·

:

70x2 y 4x−2y

=

12x+4 6y 2

35xy 2 2(4x−2y)

·

1 1

·

·

16 2b

·

16xy 21

=

2x−7y 2x−7y : 25y6x−21y 2 z+30z 2 = 5y 2 +6z 5y 2 +6z

 7 5 2 x = 2 y, z ∈ 0, − 6 y 35xy 2 8x−4y

·

·

2 1

= 6, a, b = 0

=

1 1

a2 b2 +c 3(4ab+c)

·

·

2 1

8 b

=

a = −1, a, b = 0

16 , b

10(a2 b2 +c) , 3a2 c2

=

1 1

·

2y 2 1

2 21

=

4y 2 , 21

1 3x+1

·

4(3x+1) 2

=

1 1

=

25y 2 z+30z 2 6x−21y

4x−2y 70x2 y

=

y 2

·

1 2x

·

a, c = 0, c = −4ab

x, y = 0

·

4 2

= 2, x = − 31 , y = 0

=

2x−7y 5y 2 +6z

·

5z(5y 2 +6z) 3(2x−7y)

=

y , 4x

=

y = 2x, x, y = 0

1 1

·

5z 3

=

5z , 3

3.6

L¨ osungen

103

97
A

L¨ osung 3.7 (a)

2 x−y

·

4 x+y

(b)

3 a−b

·

a2 −b2 9

(c)

a+b x

:

y a+b

(d)

x+y x2 −y 2

(e)

(f)

:

2·4 (x−y)(x+y)

= ·

a+b x

=

x−y x+y

:

= ·

1 x+y

8 , x2 −y 2

6(a2 −b2 ) 9(a−b)(a+b)

a+b y

=

=

·

6(a2 −b2 ) 9(a2 −b2 )

=

(a+b)2 xy

x+y x2 −y 2

x = ±y = 23 , a = ±b

x, y = 0, a = −b ·

x+y x−y

x+y 1

2 2 2 2x2 +4xy+2y 2 : (x+y) = 2x3x+4xy+2y 2 −6x+3 x−1 3x2 −6x+3 2 = 3(x−1) , x ∈ {−y, 1}

·

=

(x+y)(x+y)(x+y) (x+y)(x−y)(x−y)

x−1 (x+y)2

2(x+y)2 3(x−1)2

=

·

=

(x+y)2 , (x−y)2

x−1 (x+y)2

=

x = ±y

2 3(x−1)

·

1 1

2 3 16x3 −4xy 2 +2xy −4xy 2 12x−6y : 4x = 48x16x 2 +48xy+12y 2 · 4x2 +2xy 12x−6y 48x2 +48xy+12y 2 4x(4x2 −y 2 ) 6(2x−y) 4x(2x−y)(2x+y) 6(2x−y) = 12(4x2 +4xy+y 2 ) · 2x(2x+y) = · 2x(2x+y) 12(2x+y)2 2  = 2x−y , y = ±2x, x = 0 2x+y

(g)

ax+ay−bx−by ax−ay−bx+by

(h)

a − b a+1 b+1 a−b a+b

= (i)

2 a+b

=

=

 =

a−b (a+1)(b+1)

·

a(x+y)−b(x+y) a(x−y)−b(x−y)

a(b+1) (a+1)(b+1) a+b a−b

=

−

=

(a−b)(x+y) (a−b)(x−y)

b(a+1) (a+1)(b+1)

a+b (a+1)(b+1)

=



·

a+b a−b

=

x+y , x−y

=

a+b , ab+a+b+1

a = b, x = y

ab+a−ab−b (a+1)(b+1)

·

a+b a−b

a, b = −1, a = ±b

ab b ab+2b ab 2b + a+2 + 2(a+2) 2a+4 2(a+2) 2(a+2) = 3a(b−3) = 3a(b−3)−ab(b+3) ab(b+3) a ab − 3(b+3)(b−3) − 3b−9 3(b+3)(b−3) 3(b+3)(b−3) b+3 3(b+3)(b−3) b(a+2) 3(b2 −9) ab+2b = 2(a+2) · 3a(b−3)−ab(b+3) = 2(a+2) · 3ab−9a−ab2 −3ab = 2b 3b(b2 −9) 3b3 −27b = (−2a)(b 2 +9) = − 18a+2ab2 , a ∈ {0, −2}, b = ±3

·

3(b2 −9) −a(b2 +9)

97
A

L¨ osung 3.8 (a) (x − y)(x − y)(x − y)(x − y) = (x − y)     3 1 (b) a1 · − a1 · −a = a1 · − a1 · − a1 = a1 = 4

1 , a3

a = 0

(c) (−a2 ) · (−a)2 · (−a)3 = (−a2 ) · a2 · (−a3 ) = a2+2+3 = a7 (d)

xy −z

·

−xy 2 z2

·

x2 (−y) z

=

xy(−x)y 2 x2 (−y) (−z)z 2 z

=

x4 y 4 −z 4

=−

 xy z

4

, z = 0

(e) (x + y)−3 (x + y)8 (x + y)−2 = (x + y)−3+8−2 = (x + y)3 , x = −y (f)

(x−y)−1 (x+y)−2 1 1 · (x−y)3 = (x−y)(x+y) 2 · (x−y)3 (x+y)2 (x+y)2 1 1 = [(x−y)(x+y)] 4 = (x2 −y 2 )4 , x = ±y

=

1 (x−y)1+3 (x+y)2+2

=

1 (x−y)4 (x+y)4

104

98
A

3. Elementare Rechenoperationen

L¨ osung 3.9 (a) (a2 )3 = a2·3 = a6 (b) ((−2)2 )4 = (−2)2·4 = (−2)8 = 28 = 256 (c) (a2 b)3 = (a2 )3 b3 = a2·3 b3 = a6 b3 3  3  3 x−1 (d) (x−1) = x−1 = −(x−1) = (−1)3 = −1, x = 1 1−x (1−x)3 (e) (x−1)4 +7(x−1)4 −12(x−1)4 +3(x−1)4 = (1+7−12+3)(x−1)4 = −(x−1)4 (f) 13(a − 1)3 + 2(1 − a)3 − 8(a − 1)3 + 2(1 − a)3 = (13 − 8)(a − 1)3 + (2 + 2)(1 − a)3 = 5(a − 1)3 + 4(−(a − 1))3 = 5(a − 1)3 − 4(a − 1)3 = (a − 1)3

98
A

L¨ osung 3.10 (a) 23 a3 b3 · 73 c3 = (2ab · 7c)3 = (14abc)3 (b) x2 yz 3 · xy 2 + (2xyz)3 = x3 y 3 z 3 + 8(xyz)3 = 9(xyz)3 52 y 3 x

(c) 52 x−1 y 3 · 5−2 x2 y −2 = 2 −1 3

x2 52 y 2

−2 2 −2

y ·5

alternativ: 5 x

·

= xy, x, y = 0

= 52 5−2 x−1 x2 y −2 y 3 = xy

x y

(d) (4(x2 y 2 ))3 − ((2xy)3 )2 = ((2xy)2 )3 − (2xy)2·3 = (2xy)6 − (2xy)6 = 0 (e) 16xy 2 ·(2x)2 −25 x3 y 2 +(8x)2 ·x−1 ·(xy)2 = 16xy 2 ·4x2 −32x3 y 2 +64x2 x−1 x2 y 2 = 64x3 y 2 − 32x3 y 2 + 64x3 y 2 = 96x3 y 2 , x = 0 (f) −121ab3 − (11a2 b)2 · (−2a−3 b) = −121ab3 − 112 a4 b2 · (−2a−3 b) = −121ab3 + 121 · 2a4−3 b2+1 = −121ab3 + 242ab3 = 121ab3 , a = 0 98
A

L¨ osung 3.11 (a)

2a4 an 36

(b)

x7 ·xn y 3 ·y −m

(c)

a3 b2 3

·

an bm a3+n b2+m

a7 b3

:

a7+n bn

 (d) (e)

 xy

zn

2

2a4+n 36

=

:

x7+n y 3−m

=



·

(xy)n z4

4xa+1 15xy a−1

(g)

(2x+y)8 (4x2 +4xy+y 2 )6

:

= xn+7 y −(3−m) = xn+7 y m−3 , y = 0 =

an b

=

(2xa )2 5y a

(f)

a4+n 18

=

=

a3 an b2 bm 3a3+n b2+m

=

a7 b3

(xy)2 (z n )2

=

·

·

bn a7+n

z4 (xy)n

4xa 15y a−1

·

((2x+y)2 )4 ((2x+y)2 )6

= ·

an b

=

5y a 4x2a

=

a3+n b2+m 3a3+n b2+m

=

a7 bn an b3 a7+n b

(xy)2 z 4 z 2n (xy)n

=

= 13 , a, b = 0

xa 3

·

1 ((2x+y)2 )2

=

a7+n bn a7+n b4

= bn−4 , a, b = 0

= (xy)2−n z 4−2n , x, y, z = 0 y x2a

=

=

xa−2a y 3

1 , (2x+y)4

=

x−a y , 3

x = −2y

x, y > 0

3.6

(h) (i)

L¨ osungen

105

(16a2 −36b2 )6 (16a2 −48ab+36b2 )3

=

((x2 +2x+1)(x−1)2 )3 (x2 −1)6

((4a−6b)(4a+6b))6 ((4a−6b)2 )3

=

((x+1)2 (x−1)2 )3 [(x−1)(x+1)]6

=

(4a−6b)6 (4a+6b)6 (4a−6b)6

=

(x+1)6 (x−1)6 (x−1)6 (x+1)6

= (4a + 6b)6 , a = 32 b

= 1, x = ±1

L¨ osung 3.12 √ √ √ √ √ √ (a) 2 3 − 5 3 + 12 3 − 4 3 = (2 − 5 + 12 − 4) 3 = 5 3 √ √ √ √ √ √ (b) 15 ab − 12 ab + 6 ab − 8 ab = (15 − 12 + 6 − 8) ab = ab, ab ≥ 0 √ √ √ √ √ √ √ √ √ (c) 12 x − 4x − x = 12 x − 4 x − x = (12 − 2 − 1) x = 9 x, x ≥ 0 √ √ √ √ √ √ √ √ √ (d) 2 75y + 27y − 3 48y = 2 3y 25 + 3y 9 − 3 3y 16 √ √ √ √ = 10 3y + 3 3y − 12 3y = 3y, y ≥ 0 " " √ √ (e) 3 · 7 · 3 · 7 = (3 · 7)(3 · 7) = (3 · 7)2 = 3 · 7 = 21 √ √ √ √ √ 2 21 = 21 alternativ: 3 · 7 · 3 · 7 = 21 · 21 = " √ √ √ √ (f) 2 · 5 · 3 · 2 · 3 · 5 = 2 · 5 · 3 · 2 · 3 · 5 = (2 · 3 · 5)2 = 2 · 3 · 5 = 30 √ √ √ √ √ (g) 20 · 10 · 2 = 20 · 10 · 2 = 400 = 20 2 " √ √ " " " √ √ √ (h) ab · a · b · a2 b2 = ab · ab · (ab)2 = (ab)2 · (ab)2 = (ab)2

98
A

= (ab)2 , a, b ≥ 0 99
A

L¨ osung 3.13 (a)

√

36a4 b4 :

√

4a2 =

"

! (36a4 b4 ) : (4a2 ) =

36a4 b4 4a2

=

√

9a2 b4 = 3|a|b2 , a = 0

" √ √ √ √ (b) x xy · 2y y · 4 x = 8xy xy · y · x = 8xy (xy)2 = 8xy · xy = 8x2 y 2 , x, y ≥ 0 √ √ √ √ √ √ 2 2 (c) ( x + y − y − z)( x + y + y − z) = x + y − y − z = (x + y) − (y − z) = x + z, x ≥ −y, y ≥ z (d)

√ √ a− b √ √ a+ b

√

ab+b · a+2a−b = a, b ≥ 0, a = b √

(e) √3 2 45 2 − √ x −y

(f)

√ 16 x−y − 9 √ 16 x−y = 9

√

(g)

√ √ a− b √ √ a+ b

√ 4 5 (x−y)(x+y)

√ 2 2 √ x −y = −

81(x+y) √ x−y = 9

·

√ √ √ 2 √ 2 a +2 a b+ b √ 2 √ 2 a − b

√ √ 5 9

= √3

√

x2 −y 2

− √ 42 5 x

−y 2

=

√ √ a− b √ √ a+ b √

√

= 9√ 5−4 2 x

· 5

−y 2

√ √ ( a+ b)2 √ √ √ √ ( a− b)( a+ b) √

= √ 52 5

x −y 2

= 1,

, x2 > y 2

√

√ √ √ √ (x−y)(x+y) 16 x−y x+y √ − √81√x+y = 16 9x−y − x−y 9 9 x+y √ √ 15 x−y = 53 x − y, x − y ≥ 0, x + y > 0 9

√ √ √ √ √ √ 12 (x−y)(x+y) x+y √ √ −3 x+y = − 3 x + y = 12 √x−y −3 x+y 9 x−y 9(x−y) √ √ √ = 4 x + y − 3 x + y = x + y, x − y > 0, x + y ≥ 0 12 x2 −y 2 √ 9x−9y

106

3. Elementare Rechenoperationen

(h) √

3y a+2

+

2x2 +4xy+2y 2

3xy a+1 √ 2(x+y)

= √3y

a+2

2(x+y)2

+

3xy a+1 √ 2(x+y)

=

a+2 √3y 2|x+y|

3xy a+1 √ , 2(x+y)

+

y>0

F¨ ur |x + y| werden zwei F¨ alle unterschieden: a+2 √3y 2(x+y)

1 x + y > 0: = 2 x + y < 0: =

99
A

−

+

3y a+2 √ 2(x+y)

3xy a+1 √ 2(x+y)

=

3xy a+1 √ 2(x+y)

+

a+1 3y a+2 √ +3xy 2(x+y)

=

=

3y a+1 (y+x) √ 2(x+y)

=

a+1 3y√ 2

3y a+1 (x−y) √ 2(x+y)

L¨ osung 3.14 √ √ √ 3 3 (a) 85 = ( 3 8)5 = ( 23 )5 = 25 = 32 !" "√ √ (b) a4 = (a2 )2 = a2 = |a| (c)

" 4

2

2

1

2

√ 6

1

a 3 = (a 3 ) 4 = a 12 = a 6 =

a, a ≥ 0

" 8

√ 1 1 1 1 12 1 2 1 3 1 1 2 b · 4 b12 = (a2 b · (b12 ) 4 ) 8 = (a2 ) 8 b 8 (b 4 ) 8 = |a| 8 b 8 b 8 = |a| 4 b 2 (d) a" √ = 4 |a| b, b ≥ 0 " " " √ (e) 4 (x + 1)8 · 4 x + 1 = 4 (x + 1)8 (x + 1) = 4 (x + 1)9 , x ≥ −1 (f)

! 5

x2 · !

(g)

3

√ 3

=

x9 ·

y2 ·

2

= (h)

√ √ 6 4 3 2 ! x ·√x 8 6 9 y · y2

√ 3

! 6

9

45

6 ·y 9

a2 −4b2 √ a9 −b· 16a2 b2 2

√ 3

·

6

8

√

=

y 36

x3 ·

x18

√ 6

5

36

3 x4

18 ·x 24

y 6 ·y 24

· √1a3 =

2

6

2

|y| 8 ·|y| 72

x2 4 y3



·

7

=

|x| 9 7

|y| 9

'   7 = 9  xy  , y = 0

1)1

5 1 3 x2 · x9 ·(x45 ) 2

= 5

=

4

|x| 6 ·|x| 18

(

y5 · 4

· √ 4

y6

1 1

1

y 6 ·(y 2 ) 9

√ x45

x 5 ·x 15 ·x 30 2 y3

1

x4 ·(x2 ) 3

1

y 2 ·(y 6 ) 3

1 3



·



√ (3+5 a)2 9−25a

=

1

1

1

x3 ·(x18 ) 6

6 4

7

y3 3

x2

a2 −4b2 a3 −b·4|ab|

= xy, x, y > 0

· √1a3 =

a2 −4b2 a3 −4ab|b|

· √1a3 =

a = 4b|b|. F¨ ur b > 0 vereinfacht sich dies wegen b = |b| zu (i)

1

y 5 ·(y 36 ) 4

a2 −4b2 a2 −4b|b| a2 −4b2 a2 −4b2

√ 2 √ √ a) 12−20 a √ √ 4(3−5√ a) √ = 3(3+5 √ 2 −(5 a)2 · 36+120 a+100a 2 32 +2·3·5 a+(5 a)2 √ √ (∗) 2(3+5√a) (3+5 a)2 4(3−5 a) 9 √ √ √ √ · = 3+5 a = 2, a ≥ 0, a = 25 √ (3+5 a)(3−5 a) 2 (3+5 a)2

· √1a5 , a > 0, · √1a5 =

√1 . a5

·√

√ Hierbei ist zu beachten, dass wegen 3+5 a > 0 die folgende, in (∗) verwendete Beziehung gilt: ! √ √ √ (3 + 5 a)2 = |3 + 5 a| = 3 + 5 a.

3.6

L¨ osungen

107

99
A

L¨ osung 3.15 (a) (b)

√a a √5 ab

√ a a √ √ a a

= =

(c)

4 √ 3 2

4

(d)

28 √ 4+ 2

(e)

√ √ 2( 5− 3) √ √ 5+ 3

=

=

√ ab √5 √ ab ab

1

23

=

√ a a a

=

√ 5 ab , ab

2 4·2 3 1 2 2 3 ·2 3

=

=

=

√ 28(4− 2) √ √ (4+ 2)(4− 2)

L¨ osung 3.16

√

a, a > 0

ab > 0

√ 2 4· 3 2 2

√ =234

√ 28(4− 2) √ 2 42 − 2

=

√ √ √ √ 2( 5− 3)( 5− 3) √ √ √ √ ( 5+ 3)( 5− 3)

=

=

=

2(

√ 28(4− 2) 14

= 2(4 −

√ 2 √ √ √ 2 5 −2 3 5+ 3 ) √ 2 √ 2 5 − 3

√

√ 2) = 8 − 2 2

√ 2(5−2 3·5+3) 5−3

=

√ = 8 − 2 15

Es gilt f¨ ur b > 0, b = 1 und a > 0: logb (a) = c ⇐⇒ bc = a log 2 ( 18 )

= −3

(a) log2 (4) = 2

(c)

(b) log4 (64) = 3

(d) log 4 (2) =

99
A

n

(e) log7 (7 ) = n

1 2

100
A

L¨ osung 3.17 (a) logx (3) + logx (4) = log x (3 · 4) = logx (12), x > 0, x = 1 ) = logy (2), y > 0, y = 1 (b) logy (10) − logy (5) = logy ( 10 5 (c) loga (u) + log a2 (u) = loga (u) + a, u > 0, a = 1

log a (u) loga (a2 )

= loga (u) +

1 2

log a (u) =

3 2

loga (u),

(d) 2 loga (4) + logb (4) − 3 loga (2) + 2 logb (5) = loga (42 ) + log b (4) − loga (23 ) + log b (52 ) = loga (16) + logb (4) − loga (8) + logb (25) = loga ( 16 ) + logb (4 · 25) 8 = loga (2) + logb (100) = loga (2) + 2 logb (10), a, b > 0, a, b = 1 (e)

loga (x) − 19 loga (x3 ) + 2 loga (x) − 14 loga (x4 ) 1 3 4 1 1 = loga (x 3 ) − log a (x 9 ) + loga (x2 ) − loga (x 4 ) = loga (x 3 x− 3 x2 x−1 ) = loga (x), a, x > 0, a = 1 1 3

(f) 2 loga (3x) + log a (3x) + 4 loga (2x) − 12 loga (64x2 )  = loga ((3x)2 ) + loga (3x) + loga ((2x)4 ) − log a (8x) = log a 9x2 · 3x · 16x4 · = loga (54x6 ), a, x > 0, a = 1

L¨ osung 3.18   !  1 1 = ln ( 15 ) 2 = (a) ln 5

! (b) ln

4

a2 c bd2 1



= ln 1

1

1

1 b4

1 d2

a2 c4

1 8x

100
A 1 2



ln

1 5

= 12 (ln(1) − ln(5)) = − 12 ln(5)

 1 1  1 1 = ln a 2 c 4 − ln b 4 d 2

1

1

= ln(a 2 ) + ln(c 4 ) − (ln(b 4 ) + ln(d 2 )) =

1 2

ln(a) +

1 4

ln(c) −

1 4

ln(b) −

1 2

ln(d)

108

3. Elementare Rechenoperationen



 "

! " 1 √ √ 4 3 3 4 5 5 2 a5 b a5 c4 (c) lg 3 2 a5 b a5 c4 = lg(3) + lg

   1   " √ √ 3 3 5 5 a5 b a5 c4 = lg(3) + 14 lg 2 a5 b a5 c4 = lg(3) + 14 lg(2) + lg   √ 5 = lg(3) + 14 lg(2) + 14 · 13 lg a5 b a5 c4   √ 5 1 = lg(3) + 14 lg(2) + 12 lg(a5 ) + lg(b) + lg( a5 c4 ) = lg(3) + = lg(3) + = lg(3) +

1 4 1 4 1 4

lg(2) + lg(2) + lg(2) +

4 5 1 1 lg(a) + 12 lg(b) + 12 lg(ac 5 ) 12 5 1 1 lg(a) + 12 lg(b) + 12 (lg(a) + 12 1 1 1 lg(a) + lg(b) + lg(c) 2 12 15

4

lg(c 5 ))

Kapitel 4 Summen- und Produktzeichen

4

4

4

Summen- und Produktzeichen

4.1

Summenzeichen .................................................. 111

4.2

Produktzeichen ................................................... 130

4.3

Fakult¨aten und Binomialkoeffizienten........................ 136

4.4

Aufgaben .......................................................... 140

4.5

L¨osungen .......................................................... 143

111

4.1

Summenzeichen

111

4 Summen- und Produktzeichen 4.1

4.1 Summenzeichen

 Das Summenzeichen dient der Vereinfachung der Notation, wenn viele Zahlen gleicher Struktur summiert werden. Die Summe aller geraden Zahlen von 2 bis 20 kann beispielsweise durch Auflistung aller Summanden explizit angegeben werden 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20. Bei einer noch gr¨ oßeren Anzahl von Summanden wird diese Darstellung zunehmend un¨ ubersichtlich, so dass oft die abk¨ urzende Schreibweise 2 + 4 + 6 + · · · + 20 verwendet wird. Durch die Angabe der ersten Summanden ist das Bildungsgesetz der Summanden erkennbar, die letzte Zahl legt das Summationsende fest. Das Summenzeichen verwendet die selben Informationen zur Festlegung der Summe. Im obigen Beispiel ist der i-te Summand das Doppelte 2i der Zahl i. Dieses Bildungsgesetz wird in die Summenzeichen-Schreibweise direkt aufgenommen, wobei zus¨ atzlich Summationsanfang und -ende angegeben werden: 10 *

2i = 2 · 1 + 2 · 2 + 2 · 3 + · · · + 2 · 10 = 2 + 4 + 6 + · · · + 20.

i= 1

¨ Wesentlich bei der Ubersetzung“ des Symbols ist, dass beginnend beim An” fang (hier i = 1 mit Summand 2 · 1 = 2) die Zahlen 2i addiert werden bis der letzte Index (hier i = 10 mit Summand 2 · 10 = 20) erreicht ist. Der Index durchl¨ auft dabei alle nat¨ urlichen Zahlen zwischen Summationsanfang und -ende. Die Summenzeichendarstellung besteht daher aus den Elementen Bildungsgesetz der Summanden (im Beispiel 2i), Summationsvariable mit Werten in N (im Beispiel i), Summationsanfang (im Beispiel i = 1) und Summationsende (im Beispiel i = 10). Diese kompakte Notation wird in der folgenden Bezeichnung eingef¨ uhrt. Bezeichnung Summenzeichen Seien a1 , . . . , an reelle Zahlen und n ≥ 2 eine nat¨ urliche Zahl. Die Summe der Zahlen a1 , . . . , an wird bezeichnet mit n *

ai = a1 + · · · + an .∗

i=1 ∗ lies:

Summe der Zahlen ai von i gleich 1 bis n.



112

4. Summen- und Produktzeichen

Das Zeichen Σ (großes griechisches Sigma) wird Summenzeichen genannt. Die weiteren Bestandteile der Notation k¨onnen folgender Darstellung entnommen werden:

*

obere Summationsgrenze n *

ai

= 

i-ter Summand.

i=1

Summationsindex = untere Summationsgrenze

Der Summationsindex heißt auch Laufindex.∗ B

Beispiel


(i) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 =

6 

i

i=1

(ii) 4 + 16 + 64 = 41 + 42 + 43 =

3 

4i

i=1

(iii)

2  i=1

(iv)

3   1 i=1

B

log2 (i) = log2 (1) + log2 (2) = 0 + 1 = 1

i

−

1 i+1



 = 1−

1 2

+

1 2

−

1 3

+

1 3

−

1 4

=1−

1 4

=

3 4



Beispiel
Arithmetisches Mittel, empirische Standardabweichung In der Sta-

tistik wird das Summenzeichen in vielen Notationen verwendet. Beispiele sind das arithmetische Mittel x und die empirische Standardabweichung s von Messwerten x1 , . . . , xn : + , n n ,1 * 1* x= xi , s=(xi − x)2 . n i=1 n i=1 Das arithmetische Mittel x beschreibt das Zentrum des Datensatzes x1 , . . . , ahrend die empirische Standardabweichung ein Maß f¨ ur die Streuung xn , w¨ der Messwerte um dieses Zentrum ist. Bei einer Verkehrskontrolle wurden folgende Geschwindigkeiten der ersten zehn gemessenen Fahrzeuge ermittelt: Fahrzeug Nr. i Geschwindigkeit xi

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 55 76 47 52 49 48 50 62 47 55

∗ Die Summationsgrenzen beziehen sich auf den Laufindex und nicht auf das Bildungsgesetz der Summanden.

4.1

Summenzeichen

113

Daraus ergibt sich eine mittlere Geschwindigkeit dieser Fahrzeuge von 1 * 1 (55 + 76 + 47 + · · · + 55) = 54,1. xi = 10 i=1 10 10

x=

Zur Berechnung der Streuung wird die quadratische Abweichung (xi − x)2 jedes Messwerts xi vom arithmetischen Mittel x bestimmt: Fahrzeug Nr. i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Abweichung (xi − x)2 0,81 479,61 50,41 4,41 26,01 37,21 16,81 62,41 50,41 0,81

Daraus ergibt sich schließlich ' " 1 s= (0,81 + 479,61 + · · · + 0,81) = 72,89 ≈ 8,54. 10



Als Summationsgrenzen k¨ onnen auch beliebige ganze Zahlen eingesetzt werden. F¨ ur eine untere Summationsgrenze m ∈ Z mit m kleiner oder gleich n − 1 ∈ Z und reelle Zahlen am , . . . , an wird das Summenzeichen definiert als n *

ai = a m + · · · + an .

i= m

Die Zahl m gibt also den Index des ersten Summanden an. Die Summationsvariable kann beliebig bezeichnet werden (sofern kein Konflikt mit anderen Bezeichnungen vorliegt), d.h. es gilt etwa n * i=m

ai =

n *

aj =

j=m

n *

ak .

k=m

Beispiel


B

(i) 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 =

5 

2j

j=0

(ii) 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21 =

6  k=0

(iii)

2 

(3k + 3) =

6 

3(k + 1)

k=0

(−i)2 = 22 + 12 + 02 + (−1)2 + (−2)2 = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10

i=−2

(iv)

4  j=0




xj = x0 + x1 + x2 + x3 + x4 = 1 + x + x2 + x3 + x4

114

(v)

4. Summen- und Produktzeichen n  j=1

(vi)

n  j=0

1 = 1 + ··· + 1 = n
  n-mal

1 = 1 + ···+ 1 = n + 1
 



(n+1)-mal

Zur Vereinheitlichung der Notation werden noch einige Sonderf¨alle betrachtet. Seien am , . . . , an wiederum reelle Zahlen und n, m ganze Zahlen. 1

Ist die untere Summationsgrenze gleich der oberen, bedeutet dies, dass die Summe nur aus einer Zahl (etwa aj ) besteht j *

ai = aj .

i=j

2

Ist die untere Summationsgrenze gr¨ oßer als die obere Summationsgrenze, wird das Ergebnis der Summe als Null definiert. Daher gilt z.B. 1 *

ai = 0

oder

i=3

n−1 *

ai = 0.

i=n

Dies ist eine Vereinbarung, die in vielen F¨allen n¨ utzlich ist und Fallunterscheidungen u ussig macht. Beispielsweise gilt somit ¨ berfl¨ 5 * i=5

i = 5,

9 * j=50

i2 = 0,

−2 *

(2i + 1) = 2 · (−2) + 1 = −3.

i=−2

Die Notation l¨asst sich bzgl. der zu summierenden Zahlen weiter verallgemeinern. Zu diesem Zweck seien I eine Teilmenge der ganzen Zahlen Z und ai , i ∈ I, reelle Zahlen. Dann bezeichnet * ai ∗ i∈I

die Summe aller Zahlen ai , deren Index i in der Menge I enthalten ist. i heißt Summationsindex, ai heißt Summand und I wird als Summationsmenge bezeichnet. F¨ ur nicht endliche Indexmengen ist zu beachten, ob die zu bildende Summe sinnvoll ist. Diese Fragestellung wird in 321
Abschnitt 9.2 unter dem Thema Reihen behandelt. F¨ ur eine leere Indexmenge I = ∅ wird * ai = 0 i∈∅ ∗ lies:

Summe der Zahlen ai mit Index i aus der Menge I.

4.1

Summenzeichen

115

vereinbart. F¨ ur die Indexmenge I = {m, . . . , n} mit einem m ∈ Z kleiner oder gleich n ∈ Z resultiert die bekannte Notation *

ai =

n *

ai .

i=m

i∈I

Beispiel


B

(i) F¨ ur I = {2, 5, 7, 12, 15} gilt * i = 2 + 5 + 7 + 12 + 15 = 41,

*

i∈I

x2i = x4 + x10 + x14 + x24 + x30 .

i∈I

(ii) Ist I = {k | k = 2n, n ∈ N} = {2, 4, 6, . . .} die Menge der geraden Zahlen, so gilt * 1 1 1 1 1 1 1 + + ···  = 2 + 2 + 2 + ··· = + 2 i 2 4 6 4 16 36 i∈I

Rechenregeln f¨ ur das Summenzeichen Seien a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn , c, d reelle Zahlen und n eine nat¨ urliche Zahl. F¨ ur das Summenzeichen gelten folgende Rechenregeln: 1.

n * i=1

2.

n *

ai =

k * i=1

(c · ai ) = c

n *

n *

n *

/ ai

i=1

(ai + bi ) =

i=1

4.

ai mit k ∈ {1, . . . , n}

i=k+1

.

i=1

3.

n *

ai +

n *

ai +

i=1

bi

i=1

(c · ai + d · bi ) = c

i=1

n *

n *

ai + d

i=1

n *

bi

i=1

Nachweis. 1. Sei zun¨ achst k ∈ {1, . . . , n − 1}. Durch Aufteilen der Summe in die ersten k Summanden und die verbleibenden n − k Summanden resultiert die gew¨ unschte Rechenregel: n *

ai = a1 + · · · + ak + ak+1 + · · · + an =
 
  i=1 1. Summe

2. Summe

k * i=1

ai +

n * i=k+1

ai .

116

4. Summen- und Produktzeichen

Die Regel ist auch f¨ ur k = n richtig, da dann die zweite Summe per Definition Null gesetzt ist. 12 5 12    Beispiel i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = i+ i.  
  i=1
i=1 i=6 1. Summe

2. Summe

2. Die Regel ergibt sich durch Ausklammern des Faktors c aus jedem Summanden: n *

(c · ai ) = ( c · a1 ) + · · · + ( c · an ) = c · (a1 + · · · + an ) = c

i=1

n *

ai .

i=1

Beispiel

6 

(3i) = 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 = 3 · (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 3

i=1

6 

i.

i=1

3. Diese Vorschrift beruht auf dem Umsortieren der Summanden in einer (endlichen) Summe: n *

(ai + bi ) = ( a1 + b1 )

i=1

+ ( a 2 + b2 ) + ··· + ( a n + bn ) = ( a1 + · · · + an ) + (b1 + · · · + bn ) =

n *

ai +

i=1

Beispiel

4 

n *

bi .

i=1

(i + i2 ) = (1 + 1) + (2 + 4) + (3 + 9) + (4 + 16)

i=1

= (1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 4 + 9 + 16) =

4  i=1

i+

4 

i2 .

i=1

4. Das Ergebnis resultiert durch Kombination der vorstehenden Resultate: n *

(c · ai + d · bi ) =

i=1

n *

(c · ai ) +

i=1

n *

(d · bi ) = c ·

i=1

n * i=1

ai + d ·

n *

bi .



i=1

Die obigen Regeln gelten auch f¨ ur Summen mit einem Summenzeichen der n  . Art i=m

B

Beispiel


(i)

10  i=1

2=2

10  i=1

1 = 2(1 + · · · + 1) = 2 · 10 = 20
  10-mal

4.1

(ii)

Summenzeichen 4 

(i − 2) =

i=0

(iii)

117

4 

i−

i=0

3 

4 

2 = (0 + 1 + 2 + 3 + 4) − 5 · 2 = 10 − 10 = 0

i=0

(2(i + 1) − i2 ) = 2

i=1

3 

(i + 1) −

i=1

3 

i2 = 2

i=1

3 

3 

i+2

i=1

i=1

= 2(1 + 2 + 3) + 2 · 3 − (1 + 4 + 9) = 12 + 6 − 14 = 4 (iv)

100 

(2i + 3) −

i=2 100 

=

100 

(5i − 3) −

i=2

100 

(3 − 3i) =

i=2

(2i + 3 − 5i + 3 − 3 + 3i) =

i=2

(v)

20 

=

20 

3 

i2

i=1

[(2i + 3) − (5i − 3) − (3 − 3i)]

i=2

3 = 99 · 3 = 297

i=2

(i3 + 1) −

i=1

100 

100 

1−

20 

(i − 1)3 − 3

i=1

20 

i2 +

i=1

20 

3i =

i=1

20 

[i3 + 1 − (i − 1)3 − 3i2 + 3i]

i=1

[i3 + 1 − (i3 − 3i2 + 3i − 1) − 3i2 + 3i] =

i=1

20 

2 = 20 · 2 = 40, wobei

i=1

die 139
Formel (i − 1)3 = i3 − 3i2 + 3i − 1 benutzt wurde. 1 0 10 10 9 9      (vi) 3 i2 − 6 i−3 i(i − 2) = 3 102 − 2 · 10 + i2 − 2i − i(i − 2)   i=1 i=1 i=1 i=1
=0

= 3 · (100 − 20 + 0) = 240

In den beiden Summen mit Summationsobergrenze 10 wird jeweils der letzte Summand (i = 10) aus der Summenzeichen-Schreibweise herausgenommen und separat aufgef¨ uhrt. Anschließend haben alle Summen die selben Summationsunter- und obergrenzen und k¨onnen in einer Summe  zusammengefasst werden. Beispiel
Linearit¨ at des arithmetischen Mittels Seien a, b ∈ R und y1 , . . . , yn

B

ein linear transformierter Datensatz von x1 , . . . , xn , d.h. yi = axi + b,

i ∈ {1, . . . , n}.

Das arithmetische Mittel y der Daten y1 , . . . , yn ist gegeben durch y = ax + b. ur Summen: Diese Linearit¨ atseigenschaft beruht auf den 115
Rechenregeln f¨ . / n n n n 1* 1* 1* 1* y= yi = (axi + b) = a xi + b = ax + b.  n i=1 n i=1 n i=1 n i=1 Beispiel
Empirische Varianz, Die empirische Varianz s2 ist definiert als (vgl. 112
empirische Standardabweichung) die Summe s2 =

1 n

n 

i=1

(xi −x)2 . Mittels

B

118

4. Summen- und Produktzeichen

der obigen Regeln ergibt sich unter Beachtung der zweiten 16
binomischen Formel eine alternative Berechnungsvorschrift: 1* 1 * 2 (xi − x)2 = x − 2xi x + x2 n i=1 n i=1 i n

s2 =

n

1* 1 1* 2 1* 2 xi − 2x · xi + · nx2 = x − 2x2 + x2 n i=1 n i=1 n n i=1 i
  n

=

n

n

=x

1* 2 = x − x2 = x2 − x2 . n i=1 i n



Indexverschiebung

Gelegentlich ist es n¨ utzlich, die Summationsgrenzen zu verschieben. Das Verfahren beruht auf einer Darstellung der Art 2 *

ai = a 1 + a 2 = a 3 −2 + a 4 −2 =

i= 1

4 *

ai−2 .

i= 3

F¨ ur reelle Zahlen a1 , . . . , an gilt z.B. n * i=1

ai =

n−1 *

ai+1 =

n+1 *

i=0

ai−1 = · · ·

i=2

Durch Einsetzen der Summationsgrenzen wird deutlich, dass es sich in allen F¨ allen um die selbe Summe handelt. Eine solche Manipulation heißt Indexverschiebung. Allgemein kann eine Verschiebung um einen beliebigen Wert k nach unten bzw. nach oben erfolgen. Bei einer Verschiebung um k Einheiten nach unten ergibt sich n *

n −k

ai =

*

ai +k ,

i=1 −k

i=1

bei einer Verschiebung um k Einheiten nach oben lautet das Resultat n * i=1

*

n +k

ai =

ai −k .

i=1 +k

Zusammenfassend ergibt sich f¨ ur eine Indexverschiebung die folgende Regel.

4.1

Summenzeichen

119




Indexverschiebung 1. Die obere und untere Summationsgrenze werden um den selben Wert k erniedrigt bzw. erh¨ oht. 2. Der Summationsindex i wird in der Summation bei jedem Auftreten durch i + k bzw. i − k ersetzt. Dabei ist insbesondere auf Minuszeichen vor dem Index i zu achten (1 − i wird zu 1 − (i + k) = 1 − i − k bzw. zu 1 − (i − k) = 1 − i + k). Analog wird bei 133
Produkten (Produktzeichen) und bei 322
unendlichen Summen (Reihen) verfahren. Beispiel


(i)

(ii)

4 

B

(i − 1) =

4 −1

i=1

i=1 −1

10 

8 

(2i − 3) − 2

i=3

=

8 

k 

(iv)

n 

i=0+1+2+3=6

8 

(2(i + 2) − 3) − 2

i=1

8 

i−8

i=1

(2i + 1) = 0

i=1

xi−2 =

k−2 

xi

i=0

2k −

k=1

(v)

i−8=

(2i + 1) −

i=2

3  i=0

i=1 8 

i=1

(iii)

(i +1 − 1) =

n+1 

2k−2 =

k=2

n 

2k −

k=1

n−1 

2k =

k=0

n−1 

2k + 2n − 20 −

k=1

n−1 

2k = 2n − 1

k=1

n 

n n n n−1     (ai − ai−1 ) = ai − ai−1 = ai − ai i=1 i=1 i=1 i=1 i=0   n−1 n−1   = ai + an − a0 + ai = an − a0 i=1

i=1

Derartige Summen werden als Teleskopsummen bezeichnet. Einsetzen von ai = 2i ergibt als direkte Anwendung dieser Regel n * (2i − 2i−1 ) = 2n − 1. i=1

Daraus folgt auch das Resultat 2n − 1 =

n * i=1

(2i − 2i−1 ) =

n * i=1

2i−1 (2 − 1) =

n * i=1

2i−1 =

n−1 * i=0

2i .



120

4. Summen- und Produktzeichen

Spezielle Summen

Seien a1 , . . . , an , c reelle Zahlen und n eine nat¨ urliche Zahl. 1. Sind alle ai gleich einem Wert c, d.h. gilt ai = c f¨ ur jedes i, l¨asst sich die Summe u ¨ber alle ai schreiben als n n * * ai = c = c + · · · + c = n · c.
  i=1

i=1

Speziell f¨ ur c = 1 ergibt sich

n−mal

n 

1 = n, d.h. die Summe u ¨ ber 1 von i gleich

i=1

1 bis n entspricht der Anzahl der Summanden. Beginnt die Summation beim Index j (≤ n), resultiert die Identit¨at n *

ai =

i=j

n *

c = (n − j + 1) · c.

i=j

2. Sind alle ai gleich ihrem Index i, d.h. gilt ai = i f¨ ur jedes i, l¨asst sich die Summe u ¨ber alle ai schreiben als n n * * n(n + 1) . ai = i= 2 i=1 i=1 Die Summe heißt arithmetische Summe. Dieses Ergebnis wird nachstehend 121
grafisch illustriert.

3. Sind alle ai gleich dem Quadrat ihres Index i, d.h. gilt ai = i2 f¨ ur jedes i, l¨ asst sich die Summe u ¨ber alle ai schreiben als n *

ai =

i=1

n *

i2 =

i=1

n(n + 1)(2n + 1) . 6

4. Sind alle ai gleich der i-ten Potenz einer Zahl c, die von 1 verschieden ist, ur jedes i mit c = 1, l¨asst sich die Summe u d.h. gilt ai = ci f¨ ¨ber alle ai schreiben als n n * * c − cn+1 1 − cn+1 −1= . ai = ci = 1−c 1−c i=1 i=1 Wegen c0 = 1 lautet die Summe u ¨ ber a0 , a1 , . . . , an mit a0 = 1 n * i=0

ai =

n * i=0

ci =

1 − cn+1 . 1−c

Diese Summe heißt geometrische Summe.

4.1

Summenzeichen

121

Nachweis. Der Nachweis dieser Eigenschaft beruht auf der Beziehung (1 − c)

n *

n *

ci =

i=0

(1 − c)ci =

i=0

n *

(ci − ci+1 )

i=0








(∗) n *

=

ci −

i=0

n *

ci+1 =

i=0

= c0 +

n *

ci −

i=1

n *

ci −

i=0 n *

n+1 *

ci

i=1

ci − cn+1 = 1 − cn+1 .

i=1

Division beider Seiten durch 1 − c liefert das gew¨ unschte Resultat. Alternativ kann direkt benutzt werden, dass (∗) eine 119
Teleskopsumme ist. 

Beispiel


(i)

7 

B

i(i − 1) =

i=1

(ii)

5  i=1

(iii)

10 

7 

i2 −

i=1 1 2i

=

5   1 i=1

i

2

i=

i=1 5+1

=

((i − 3)2 − 2i ) =

i=3

= 140 − 8 ·

7 

1−( 12 ) 1− 12 7 

−1 =

7·8 2

1− 216

(∗)

(i2 − 2i+3 ) =

i=0 7 

−

7·8·15 6

1 2

7  i= 1

2 = 140 − 8 · i

i=0 2

1−28 1−2

= 140 − 28 = 112 −1 = 2− i2 −

7  i=0

1 25

−1 = 1−

2i+3 =

7·8·15 6

1 32

− 23 ·

= 7 

31 32

2i

i=0

= 140 − 8 · 255 = −1 900

In (∗) wird 0 = 0 benutzt, d.h. der erste Summand ist gleich Null und kann daher weggelassen werden.  Illustration einer Summenformel

Die Summenformel

n  i=1

i =

n(n+1) 2

¨ kann durch geometrische Uberlegungen

veranschaulicht werden. Begonnen wird im ersten Schritt mit Rechtecken der Kantenl¨ ange 1 und 1 (Einheitsquadrat), die aufeinander gestapelt werden und damit ein aufrecht stehendes Rechteck mit Kantenl¨ange 1 (unten) und 2 (links) bilden (s. 122
Tabelle). Im zweiten Schritt werden dann jeweils ein Rechteck mit Kantenl¨ angen 2 und 1 links und rechts angef¨ ugt, so dass ein Rechteck mit den Kantenl¨ angen 3 (unten) und 2 (links) entsteht. Die n¨achsten Rechtecke haben Kantenl¨ angen 1 und 3 und werden oben bzw. unten angelegt. Dieses Verfahren wird – wie in der Tabelle angedeutet – fortgesetzt. Im n-ten Schritt werden jeweils Rechtecke mit Kantenl¨ange n oben/unten bzw. rechts/links angef¨ ugt. Durch Multiplikation der Kantenl¨angen des Rechtecks

122

4. Summen- und Produktzeichen

n und n + 1 resultiert seine Fl¨ ache n(n + 1), die der Anzahl von Einheitsquadraten entspricht. Da im i-ten Schritt 2i Einheitsquadrate dazu kommen, n n   (2i) = 2 i Quadrate vor, so dass die liegen im n-ten Schritt insgesamt i=1

i=1

obige Summenformel entsteht. Ein Beweis kann mit Hilfe der vollst¨andigen Induktion (s. Kamps et al. (2003)) erfolgen. n n(n+1) 2

1 1

2 3

3 6

1 2

3 2

3 4

2

6

12

4 10

5 15

6 21

5 4

5 6

7 6

20

30

42

Rechteck Obere Kante Linke Kante Anzahl Einheitsquadrate n n(n+1) 2

Rechteck Obere Kante Linke Kante Anzahl Einheitsquadrate

Anwendungen des Summenzeichens in der Statistik

Im Folgenden werden einige Anwendungsbereiche des Summenzeichens in der Statistik vorgestellt. F¨ ur detaillierte Informationen sei auf die Erl¨auterungen der Begriffe in Burkschat et al. (2004) bzw. im System EMILeA-stat verwiesen. B

Beispiel
Mittel Seien x1 , . . . , xn reelle Zahlen und n eine nat¨ urliche Zahl.

1. Wie bereits eingef¨ uhrt, heißt die Summe

n  i=1

durch ihre Anzahl n arithmetisches Mittel 1* xi . n i=1 n

x=

xi dieser Zahlen dividiert

4.1

Summenzeichen

123

2. Sind p1 , . . . , pn nicht-negative Zahlen mit S =

n 

pi > 0, heißt

i=1

xg =

n 1* pi xi S i=1

gewichtetes arithmetisches Mittel. Oft wird angenommen, dass die Gen  pi = 1 erf¨ ullen, so dass das wichte p1 , . . . , pn die Bedingung S = i=1

gewichtete arithmetische Mittel in dieser Situation lautet xg =

n *

pi xi .

i=1 n 

3. Sind x1 , . . . , xn positiv, wird die Summe

i=1

1 xi

der Kehrwerte

1 1 x1 , . . . , xn

dieser Zahlen zur Definition des harmonischen Mittels verwendet: xharm = 1 n

1 n  i=1



. 1 xi

Beispiel
H¨ aufigkeiten Das Summenzeichen erweist sich auch bei der Ausaufigkeiten als sehr n¨ utzlich. wertung von 10
absoluten und 18
relativen H¨

B

aufigkeiten von Auspr¨agungen x1 , . . . , xn (xi = i Seien f1 , . . . , fn relative H¨ sei etwa die Jahrgangsstufe (i ∈ {1, 2, 3, · · · , 13}), und fi bezeichne den Anteil von Sch¨ ulerinnen und Sch¨ ulern in einer Stadt, die in dieser Jahrgangsk  stufe sind). Dann bezeichnet fi den Anteil der Auspr¨agungen x1 , . . . , xk , i=1

k ∈ {1, . . . , n}. Bezogen auf das Schulbeispiel bedeutet dies, dass

k 

fi den

i=1

Anteil von Sch¨ ulerinnen und Sch¨ ulern beschreibt, die h¨ochstens in Jahrgangsstufe k sind. Wegen dieser Anh¨ aufung“ (Kumulierung) von H¨aufigkeiten ” k  werden die Werte fi , k ∈ {1, . . . , n}, auch als kumulierte H¨aufigkeiten i=1

bezeichnet.



In der Wahrscheinlichkeitsrechnung tritt das Summenzeichen als Normierungsbedingung f¨ ur diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf. Bezeichnung Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung Seien n eine nat¨ urliche Zahl, Ω = {x1 , . . . , xn } eine 43
Grundmenge und p1 , . . . , pn nicht-negativ.

Dann heißt das n-Tupel (p1 , . . . , pn ) (diskrete) Wahrscheinlichkeitsverteilung auf n  Ω, falls pi = 1 gilt. Die Zahl pi heißt Wahrscheinlichkeit von xi . i=1



124

4. Summen- und Produktzeichen

Die obigen Begriffe werden in der Praxis folgendermaßen interpretiert: Bei einem Zufallsexperiment sind die Ausg¨ ange x1 , . . . , xn m¨oglich, wobei das n  pi = 1 gelte. Andere Ergebnis xi mit Wahrscheinlichkeit pi auftrete und i=1

Ausg¨ ange des Experiments treten nicht bzw. nur mit Wahrscheinlichkeit Null auf. B

Beispiel
Einfacher W¨ urfelwurf Der einfache W¨ urfelwurf wird in der Wahr-

scheinlichkeitsrechnung auf folgende Weise modelliert. Als Ergebnisse treten die Ziffern (Augenzahlen) 1, · · · , 6 auf, die in der 43
Grundmenge Ω = {1, . . . , 6} zusammengefasst werden. Bei Verwendung eines fairen W¨ urfels wird angenommen, dass jede Seite mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftritt. agt somit f¨ ur jede Seite i jeweils 16 , d.h. pi = 16 Die Wahrscheinlichkeit  1 pi1 betr¨ f¨ ur i ∈ Ω. Damit ist 6 , 6 , 16 , 16 , 16 , 16 die zugeh¨orige Wahrscheinlichkeitsverteilung auf Ω.  Eine wichtige diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Gleichverteilung auf n verschiedenen Werten, die den einfachen W¨ urfelwurf erweitert. F¨ ur n = 2 resultiert ein Modell f¨ ur den einfachen M¨ unzwurf mit einer symmetrischen M¨ unze und den Ergebnissen Kopf und Zahl.


Bezeichnung Gleichverteilung Seien x1 , . . . , xn verschiedene reelle Zahlen. Die (diskrete) Gleichverteilung auf dem Grundraum Ω = {x1 , . . . , xn } ist definiert  durch das Tupel (p1 , . . . , pn ) = n1 , . . . , n1 , d.h. die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses xi hat jeweils den selben Wert pi = n1 .

Wegen

1 n

≥ 0 und

n  i=1

pi =

n  i=1

1 n

=

1 n

· n = 1 erf¨ ullt die diskrete Gleich-

verteilung die Anforderung an eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie ist in der Wahrscheinlichkeitsrechnung von Bedeutung, da mit ihrer Hilfe der so genannte Laplace-Raum eingef¨ uhrt wird. Sie heißt deshalb auch LaplaceVerteilung. Die Wahrscheinlichkeit eines 43
Ereignisses (d.h. einer Menge von Ergebnissen) wird dann definiert als Anzahl g¨ unstiger F¨alle . Anzahl m¨ oglicher F¨alle Bezeichnet A die Menge der g¨ unstigen F¨ alle, so gilt mit Ω als der Menge der m¨ oglichen F¨ alle die Rechenregel Wahrscheinlichkeit von A =

|A| , |Ω|

4.1

Summenzeichen

125

wobei |A| die 45
Ma ¨chtigkeit der Menge A ist. Das Berechnen einer Wahrscheinlichkeit wird somit auf das Abz¨ ahlen der g¨ unstigen Ergebnisse reduziert. Beispiel


Beim einfachen W¨ urfelwurf betr¨ agt die Wahrscheinlichkeit, eiunstigen Ergebnisse ne gerade Zahl zu w¨ urfeln, 12 , denn die Menge der g¨ A = {2, 4, 6} hat drei Elemente, die Menge der m¨oglichen Ergebnisse Ω = 3 1 {1, . . . , 6} hat sechs Elemente, d.h. |A| |Ω| = 6 = 2 . Entsprechend hat das Ereignis B mindestens eine F¨ unf zu w¨ urfeln die Wahrscheinlichkeit |{5, 6}| 2 1 |B| = = = . |Ω| 6 6 3

B



F¨ ur Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden Kenngr¨oßen definiert, die Aussagen u ¨ ber den mittleren Ausgang eines Zufallsexperiments bzw. die Abweichung von diesem mittleren Ergebnis treffen. Bezeichnung Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung Sei p1 , . . . , pn eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den verschiedenen Zahlen x1 , . . . , xn . Dann heißt das gewichtete arithmetische Mittel der Ausg¨ange des Experiments

E=

n *



pi xi

i=1

Erwartungswert des Zufallsexperiments. Die Gr¨oßen

v=

n *

pi (xi − E)2

+ , n ,* √ bzw. s = v = pi (xi − E)2

i=1

i=1

heißen Varianz bzw. Standardabweichung und sind Maße f¨ ur die Abweichung des Ausgangs vom Erwartungswert. Beispiel
Fortsetzung Einfacher W¨ urfelwurf Beim einfachen W¨ urfelwurf be-

rechnen sich die genannten Gr¨ oßen wie folgt: 1. E =

6  i=1

pi xi =

1 6

6  i=1

i=

1 6

·

6(6+1) 2

=

7 2

= 3,5.

B

126

4. Summen- und Produktzeichen

2 2. s =

6 

2 pi (xi − E)2 =

1 6

i=1

6 

(i − 3,5)2 . Unter Ber¨ ucksichtigung der

i=1

Rechnung 6 *

(i − 3,5)2 =

i=1

6 *

(i2 − 7i + 3,52 ) =

i=1

6 *

i2 − 7

i=1

6 * i=1

i+

6 *

12,25

i=1

6(6 + 1)(2 · 6 + 1) 6(6 + 1) −7· + 6 · 12,25 6 2 = 91 − 147 + 73,5 = 17,5 =

resultieren die Varianz v = " s = 2,916 ≈ 1,708.

1 6

· 17,5 = 2,916 und die Standardabweichung

Der mittlere Wert des W¨ urfelwurfs ist somit 3,5, wobei eine Schwankungsbreite von 1,708 vorliegt.  Doppelsummen

Seien n, m nat¨ urliche Zahlen und aij 28
doppelindizierte reelle Zahlen, die in folgendem Schema (Matrix) angeordnet sind ⎧ a 11 ⎪ ⎪ ⎨ a21 m Zeilen .. ⎪ ⎪ ⎩ . am1


a12 a22 .. .

··· ··· .. .

am2

· · · amn

a1n a2n .. .

 n Spalten



Insgesamt liegen also n · m Zahlen aij vor. Dann wird die Summe aller Zahlen aij als Doppelsumme bezeichnet, d.h. m * n *

aij = a11 + · · · + amn .

i=1 j=1

Entsprechend zur Definition des Summenzeichens sind Notationen der Art  aij zu verstehen, wobei I eine aus Paaren (i, j) bestehende Indexmenge (i,j)∈I

ist. Ist die Indexmenge I aus dem Kontext klar, so wird auf ihre Angabe  aij geschrieben. gelegentlich verzichtet und kurz i,j

4.1

Summenzeichen

127

Rechenregel f¨ ur die Doppelsumme Seien n, m nat¨ urliche Zahlen und aij reelle Zahlen: a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

··· ··· .. .

am1

am2

· · · amn

a1n a2n .. .

Dann gilt f¨ ur die Doppelsumme m * n *

aij =

i=1 j=1

n * m *

aij ,

j=1 i=1

d.h. die Reihenfolge der Summation ist unerheblich. Es spielt also keine Rolle, ob die Zahlen aij zun¨achst zeilenweise summiert n  aij = ai1 + · · · + ain , und dann die Summe u werden, i.e., ¨ ber die Zeij=1

lensummen gebildet wird, oder ob zun¨ achst spaltenweise summiert wird, i.e., m  aij = a1j + · · · + amj , und dann die Summe u ¨ ber die Spaltensummen i=1

gebildet wird. j i

1 2

1

2

...

j

...

n

a11

a12

...

a1j

...

a1n

a21

a22

...

a2j

...

Zeilensumme n 

a1j

j=1 n 

a2n

a2j

j=1

.. .

.. .

.. .

i

ai1

ai2

.. . ...

aij

.. . ...

n 

ain

.. . aij

j=1

.. .

.. .

.. .

m

am1

am2

Spaltensumme

m  i=1

ai1

m  i=1

ai2

.. . ... ...

amj m  i=1

aij

.. . ... ...

amn m  i=1

ain

n 

.. .

amj j=1 m  n 

aij

i=1 j=1 n  m 

=

aij

j=1 i=1

Gesamtsumme

Bei der Vertauschung der Summationsreihenfolge ist zu ber¨ ucksichtigen, dass die Anzahlen von Summanden in jeder Zeile (= n) bzw. in jeder Spalte (= m)

128

4. Summen- und Produktzeichen

gleich sein m¨ ussen. Bei gewissen Fragestellungen kann es vorkommen, dass etwa in jeder Spalte unterschiedlich viele Eintr¨age stehen, d.h. die Anzahl von Eintr¨ agen h¨ angt von der Spaltennummer j ab. a11 a21 .. . .. .

a12 a22 .. .

··· ··· .. .

a m2 2

···

a1n a2n .. . .. . .. .

am1 1

amn n In dieser Situation kann die Summationsreihenfolge nat¨ urlich nicht vertauscht werden. Gibt es in der Spalte j insgesamt mj Summanden, resultiert die m j aij . Die Gesamtsumme ist dann die Summe u Spaltensumme ¨ ber diese i=1

Spaltensummen mj n * *

aij .

j=1 i=1

Eine analoge Situation kann nat¨ urlich auch mit unterschiedlich vielen Eintr¨ agen pro Zeile vorliegen. Die Aussagen u ¨bertragen sich entsprechend. B

Beispiel


(i)

(ii)

1  3 

aij =

(ai2 + ai3 ) = a02 + a03 + a12 + a13

i=0 j=2

i=0

2  10 

2 

2ij =

i=1 j=1

(iii)

1 

10  k  k=1 j=0

i=1

2j =

10  k=1

. 2i

/

10 

j

2 

=

j=1 2k+1 −1 2−1

2i ·

i=1 10 

=

10·11 2

k=1

1=2

k=1

= 4 082


2 

i = 110 · 3 = 330

i=1



10 

2k+1 −

= 110

211 −2 2−1



− 10 = 212 − 14 

Bezeichnung Teilsummen bei Doppelsummen Seien n, m nat¨ urliche Zahlen und aij reelle Zahlen:

a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

··· ··· .. .

am1

am2

· · · amn

a1n a2n .. .

4.1

Summenzeichen

129

Dann werden f¨ ur die Zeilen- und Spaltensummen im obigen Rechteckschema auch folgende Notationen verwendet: n 

ai• = a•j =

j=1 m 

aij f¨ur i ∈ {1, . . . , m} aij f¨ur j ∈ {1, . . . , n}

i=1 m  n 

In Analogie wird die Gesamtsumme mit a•• =

aij bezeichnet. Anstelle

i=1 j=1

des Punktes (•) wird gelegentlich ein Plus (+) verwendet, also a++ , ai+ bzw. a+j geschrieben. Bei 28
Mehrfachindizierungen mit mehr als zwei Indizes wird entsprechend verfahren. Beispiel
Kontingenztafel Nat¨ urliche Zahlen nij ∈ N0 , i ∈ {1, . . . , p}, j ∈
absolute H¨ aufigkeiten von Paaren (xi , yj ) aufge{1, . . . , q}, k¨ onnen als 10

fasst werden. Die tabellarische Darstellung der nij wird in dieser Situation als Kontingenztafel bezeichnet. x1 x2 .. .

y1 n11 n21 .. .

y2 n12 n22 .. .

··· ··· ··· .. .

xp Summe

np1 n•1

np2 n•2

· · · npq · · · n•q

yq n1q n2q .. .

Summe n1• n2• .. . np• n••

Die Zahlen n1• , . . . , np• bzw. n•1 , . . . , n•q heißen absolute Randh¨aufigkeiten. n Entsprechend wird f¨ ur die zugeh¨ origen 18
relativen H¨aufigkeiten fij = nij verfahren, wobei n = n•• . F¨ ur diese gilt insbesondere q p * * i=1 j=1

fij =

q p * * nij i=1 j=1

n

=

n•• = 1. n

Relative Randh¨ aufigkeiten f1• , . . . , fp• bzw. f•1 , . . . , f•q werden mittels der Vorschrift fi• =

q * j=1

gebildet.

1* ni• , nij = n j=1 n q

fij =

f•j =

p * i=1

1* n•j nij = n i=1 n p

fij =



B

130

B

4. Summen- und Produktzeichen

Beispiel
Partnervermittlung Im Aufnahmeantrag einer Partnervermittlung

wird neben dem Geschlecht einer Person zus¨atzlich deren Augenfarbe vermerkt. Die Auswertung von 14 Antr¨ agen ergibt folgenden Datensatz, wobei der erste Eintrag das Geschlecht (m¨ annlich/weiblich (m/w)) und der zweite die Augenfarbe (Blau (1), Gr¨ un (2), Braun (3)) angeben: (m,1) (m,2) (w,1) (m,2) (w,1) (w,3) (m,2) (m,1) (w,1) (m,3) (m,2) (w,2) (w,3) (m,1) Die Kontingenztafeln dieser Daten mit absoluten bzw. relativen H¨aufigkeiten sind gegeben durch 1

4.2

2

3

m

3

4

1

8

m

w

3

1

2

6

w

6

5

3

14

1

2

3

3 14 3 14 3 7

2 7 1 14 5 14

1 14 1 7 3 14

4 7 3 7



1

4.2 Produktzeichen In Analogie zur Verwendung des Summenzeichens Σ bei der kompakten Darstellung von Summen wird das Produktzeichen Π bei Produkten eingesetzt.




Bezeichnung Produktzeichen Seien a1 , . . . , an reelle Zahlen und n ≥ 2 eine nat¨ urliche Zahl. Dann wird das Produkt der Zahlen a1 , . . . , an bezeichnet mit n 3

ai = a1 · . . . · an .∗

i=1

Das Zeichen Π (großes 433
griechisches Pi) wird Produktzeichen genannt. Die weiteren Bestandteile der Notation k¨onnen folgender Darstellung entnommen werden:

3

obere Grenze n 3

ai

= 

i-ter Faktor.

i=1

Laufindex = untere Grenze ∗ lies:

Produkt der Zahlen ai von i gleich 1 bis n.

4.2

Produktzeichen

131

F¨ ur eine untere Grenze m ∈ Z mit m kleiner oder gleich n − 1 ∈ Z und reelle Zahlen am , . . . , an wird das Produktzeichen definiert als n 3

ai = am · . . . · an .

i=m

Die Zahl m bezeichnet also den Index des ersten Faktors. Zur Vereinheitlichung der Notation werden oft noch einige Sonderf¨alle betrachtet. Seien am , . . . , an wiederum reelle Zahlen und n, m ganze Zahlen. 1

Ist die untere Grenze gleich der oberen, bedeutet dies, dass das Produkt nur aus einer Zahl (etwa aj ) besteht j 3

ai = aj .

i=j

2

Ist die untere Grenze gr¨ oßer als die obere, wird das Ergebnis des Produkts als Eins definiert. Daher gilt z.B. 1 3

ai = 1

oder

i=3

n−1 3

ai = 1.

i=n

F¨ ur eine Indexmenge I und reelle Zahlen ai , i ∈ I, bezeichnet 3 ai ∗ i∈I

das Produkt aller Zahlen ai , deren Index i in der Menge I enthalten ist. i ur heißt Laufindex, ai heißt Faktor und I wird als Indexmenge bezeichnet. F¨ eine leere Indexmenge I = ∅ wird 3 ai = 1 i∈∅

vereinbart. Gilt I = {m, . . . , n} mit einem m ∈ Z kleiner oder gleich n ∈ Z, resultiert die bekannte Notation 3 i∈I ∗ lies:

ai =

n 3

ai .

i=m

Produkt der Zahlen ai mit Index i aus der Menge I.

132

4. Summen- und Produktzeichen

Rechenregeln f¨ ur das Produktzeichen Seien a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn , c, d reelle Zahlen und n eine nat¨ urliche Zahl. Dann gelten die folgenden Rechenregeln f¨ ur das Produktzeichen: 1.

n 3

ai =

i=1

2.

n 3

k 3

ai ·

i=1

3.

(c · ai ) = c

n

. (ai · bi ) =

i=1

ai mit k ∈ {1, . . . , n}

i=k+1

.

i=1 n 3

n 3

/

n 3

ai

i=1 n 3

/ .

ai

·

i=1

n 3

/ bi

i=1

Nachweis. 1. Sei zun¨ achst k ∈ {1, . . . , n − 1}. Durch Aufteilen des Produkts in die ersten k Faktoren und die verbleibenden n−k Faktoren resultiert die gew¨ unschte Rechenregel: . k / . n / n 3 3 3 ai = a1 · . . . · ak · ak+1 · . . . · an = ai · ai .
 
  i=1 i=1 1. Produkt

2. Produkt

i=k+1

Die Regel ist auch f¨ ur k = n richtig, da dann das zweite Produkt per Definition Eins gesetzt ist.

5  12  12 4 4 4 Beispiel i=1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11 · 12 = i · i .
 
  i=1 i=1 i=6 1. Produkt

2. Produkt

2. Die Regel ergibt sich durch Umsortieren der Faktoren: .

n 3

(c·ai ) = ( c ·a1 )· . . . ·( c ·an ) = ( c · . . . · c )·(a1 · . . . ·an ) = cn
  i=1

n 3

/ ai

.

i=1

n-mal

Beispiel

6 4

(3i) = 3·6·9·12·15·18 = ( 3 ·1· 3 ·2· 3 ·3· 3 ·4· 3 ·5· 3 ·6) = 36

i=1

i=1

3. Diese Vorschrift beruht ebenfalls auf dem Umsortieren der Faktoren: n 3

6 4

(ai · bi ) = ( a1 · b1 )

i=1

· ( a 2 · b2 ) · ... · · ( a n · bn ) = ( a1 · . . . · an ) · (b1 · . . . · bn ) =

n 3 i=1

ai ·

n 3 i=1

bi .

i.

4.2

Produktzeichen

133

4 4 Beispiel (i · i2 ) = (1 · 1) · (2 · 4) · (3 · 9) · (4 · 16) = (1 · 2 · 3 · 4) · (1 · 4 · 9 · 16) i=1

4   4 4 4 = i · i2 .  i=1

i=1

Die obigen Regeln gelten entsprechend f¨ ur Produkte

n 4

.

i=m

Beispiel
5 4

(i)

B

(2i) = 25

i=1 5 4

(ii)

5 4

i = 32 · (1 · 2 · 3 · 4 · 5) = 3 840

i=1

2i = 21 · 22 · 23 · 24 · 25 = 2 · 4 · 8 · 16 · 32 = 32 768. Alternativ gilt mit

i=1 5 4

den 91
Potenzgesetzen

5 

i

2 =2

i=1

i

=2

5·6 2

= 215 = 32 768.

i=1

(iii)

4 4

j

(3x ) = 3

4

j=1

4 

4 4

4

j

x = 3 xj=1 = 34 x j

4·5 2

= 34 x10 = 81x10



j=1

Die Verschiebung von Indizes erfolgt analog zu den 118
Verschiebungsregeln bei Summen. Indexverschiebung Bei einer Verschiebung um k Einheiten nach unten bzw. oben ergibt sich n 3

n −k

3

ai =

ai +k

bzw.

i=1 −k

i=1

n 3

3

n +k

ai =

i=1

ai −k .

i=1 +k

Beispiel
Durch Anwendung der Indexverschiebung resultiert folgende Dar-

stellung n 3 i+1 i=1

i

=

n 3 i=1



n 3

n 3 1

n+1 4

1 = i=2 (i + 1) · (i + 1) · = n 4 i i i=1 i=1

i = i

n+1 = n + 1. 1

i=1

Dieses Produkt ist ein spezielles Teleskopprodukt. Allgemein gilt f¨ ur Zahlen a1 , . . . , an+1 = 0: n 3 ai+1 i=1

ai

n 4

=

ai+1

i=1 n 4 i=1

ai

n+1 4

= i=2 n 4 i=1

n 4

ai = ai

ai · an+1

i=2

a1 ·

n 4 i=2

= ai

an+1 a1



B

134

4. Summen- und Produktzeichen

Die folgenden Regeln stellen einen Bezug zwischen Produkt- und Summenzeichen her. Summen und Produkte, Potenzen und Logarithmen F¨ ur Zahlen x1 , . . . , xn ∈ R und a > 0 gilt n 3

n 

xi

axi = ai=1 .

i=1

F¨ ur Zahlen x1 , . . . , xn > 0 und a > 0, a = 1 gilt . n / n * 3 loga (xi ) = loga xi . i=1

i=1

Das Produktzeichen wird in der Statistik u.a. zur Definition des geometrischen Mittels eingesetzt.


Bezeichnung Geometrisches Mittel F¨ ur positive Zahlen x1 , . . . , xn und eine nat¨ urliche Zahl n heißt die n-te Wurzel des Produkts dieser Zahlen geometrisches Mittel von x1 , . . . , xn : + , n ,3 n xgeo = xi . i=1

Dieses Mittel wird etwa zur Berechnung von durchschnittlichen Steigerungsraten benutzt. B

Beispiel
Zu Beginn eines Jahres wird ein Betrag K0 in Bundesschatzbriefen

des Typs B angelegt. Diese besitzen eine Laufzeit von sieben Jahren, wobei die Verzinsung variabel ist und am Ende des jeweiligen Jahres erfolgt. Die Zinss¨ atze stehen zu Beginn der Anlage fest und sind in folgender Tabelle angegeben: Jahr i Verzinsung (in %) Zinssatz pi

1 3,00% 0,03

2 3,50% 0,035

3 4,00% 0,04

4 4,25% 0,0425

5 4,75% 0,0475

Damit ergibt sich am Ende des ersten Jahres ein Kapital von K1 = K0 + K0 · p1 = K0 (1 + p1 ).

6 5,00% 0,05

7 5,00% 0,05

4.2

Produktzeichen

135

Zu Beginn des zweiten Jahres ist das Kapital also auf den Betrag K1 = K0 (1 + p1 ) angewachsen. Dieser wird am Ende des zweiten Jahres mit dem Zinssatz p2 verzinst, so dass am Ende des zweiten Jahres das Kapital K2 = K1 + K1 · p2 = K1 (1 + p2 ) = K0 (1 + p1 )(1 + p2 ) erzielt wird. Durch Fortsetzung resultiert als Kapital nach dem n-ten Jahr Kn = K0 ·

n 3

(1 + pi ).

i=1

Daher gilt im Zahlenbeispiel: K7 = K0 ·

7 3

(1 + pi )

i=1

= K0 (1 + 0,03)(1 + 0,035)(1 + 0,04)(1 + 0,0425)(1 + 0,0475)(1 + 0,05)2 ≈ 1,33 · K0 . Die mittlere j¨ ahrliche Verzinsung p ist der Zinssatz, der bei konstanter j¨ahrlicher Verzinsung des Startkapitals K0 gezahlt werden muss, um das gleiche Endkapital Kn zu erzielen. Daher muss gelten K0

n 3

n

(1 + p) = K0 (1 + p) = Kn = K0

i=1

n 3

(1 + pi ).

i=1

Dies ergibt die Gleichung (1 + p)n =

n 4

(1 + pi ) bzw. nach Au߬osen nach p:

i=1

+ , n ,3 n (1 + pi ) − 1. p= i=1

Im Wesentlichen beruht p auf dem geometrischen Mittel der Wachstumsraten 1 + pi . Im obigen Beispiel ergibt dies " 7 1,03 · 1,035 · 1,04 · 1,0425 · 1,0475 · 1,05 · 1,05 − 1 " = 7 1,334810478 − 1 ≈ 0,0421. Bei konstanter j¨ ahrlicher Verzinsung resultiert der Zinssatz 4,21%.



136

4.3

4. Summen- und Produktzeichen

4.3 Fakult¨ aten und Binomialkoeffizienten Fakult¨ at

Das Produkt der ersten n nat¨ urlichen Zahlen wird als Fakult¨at bezeichnet.


Definition Fakult¨ at Sei n eine nat¨ urliche Zahl. Das Produkt ¨ uber alle Zahlen 1, . . . , n wird geschrieben als

n! =

n 3

i∗

i=1

und als Fakult¨at (von n) bezeichnet. Gem¨aß der Vereinbarung f¨ ur das Produktzei0 4 ur n = 0, auf Eins gesetzt: 0! = i = 1. chen wird 0!, d.h. der Wert der Fakult¨at f¨ i=1

Spezielle Werte der Fakult¨ at n 1 2 3 4 5 n! 1 2 6 24 120

6 720

7 5 040

8 40 320

9 362 880

10 3 628 800

F¨ ur die Fakult¨at n! gelten folgende Rechenregeln. Rechenregeln f¨ ur die Fakult¨ at Seien k, n nat¨ urliche Zahlen mit k ≤ n. Dann gilt: 1. n! = n · (n − 1)! 2.

n 4 n! = (k + 1) · . . . · n = i k! i=k+1

3.

n k−1 4 4 n! = (n − k + 1) · . . . · n = i= (n − j) (n − k)! j=0 i=n−k+1

Die Binomialkoeffizienten werden mittels der Fakult¨aten definiert.


Definition Binomialkoeffizient Seien k, n ∈ N0 mit k ≤ n. Der Binomialkoeffizient n † k (an der Stelle n, k ) ist definiert durch

 n n! . = k k!(n − k)!

∗ lies: † lies:

n Fakult¨ at nu ¨ber k

4.3

Fakult¨ aten und Binomialkoeffizienten

137

Eigenschaften von Binomialkoeffizienten   1. n0 = nn = 1 f¨ ur jedes n ∈ N0  n n ur jedes n ∈ N 2. 1 = n−1 = n f¨ n  n 3. k = n−k f¨ ur jedes n ∈ N0 und k ∈ {0, . . . , n}    n 4. n+1 = nk + k−1 f¨ ur alle n ∈ N, k ∈ {1, . . . , n} (Regel von Pascal) k n+1  n ur jedes k ∈ {1, . . . , n + 1} 5. k = n+1 k · k−1 f¨ Beispiel


(i) (ii) (iii)

200 0

200 198

200 2

= 1, = =

200 199

200! 198!2!



=

200 200−2

B

= 200 200·199·19
8! 19
8!·2

=

200 198

= 19 900

= 19 900

10 9 (9+1) (10 (10 4) 4) 5 4 (3) = 49 = 10 4 = 2 oder alternativ (9) = (9) = (93) (4−1) 3 3 4 4 3 3 5 (v) 2 = 2 + 1 = 2 + 1 + 4 = 3 + 3 + 4 = 10

(iv)

10 4

=

5 2



Regel von Pascal / Pascalsches Dreieck

  n  = nk + k−1 , mit k ∈ {1, . . . , n}, n ∈ N, lieDie Regel von Pascal n+1 k fert eine einfache M¨ oglichkeit, Binomialkoeffizienten rekursiv zu berechnen. Der Binomialkoeffizient an der Stelle n + 1, k l¨ asst sich n¨amlich als Summe seiner Vorg¨ anger“ an den Stellen n, k und n, k − 1 darstellen. Unter Ber¨ uckn ” 0 n sichtigung der Startbedingungen 0 = 1 und 0 = n = 1 k¨onnen alle Binomialkoeffizienten auf diese Weise ermittelt werden. Eine einfache tabellarische Darstellung dieses Zusammenhangs ist das Pascalsche Dreieck: 0 0 1 1 0 1 2 2 2 0 1 2 3 3 3 3 0 1 2 3 4 4 4 4 4 0 1 2 3 4 5 5 5 5 5 5 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 6 6 6

..

.

0

1

2

3

4

5

6

..

.

138

4. Summen- und Produktzeichen

Eine numerische Auswertung der Binomialkoeffizienten f¨ uhrt zu folgendem Zahlendreieck. Die Rekursion ist leicht erkennbar: die Summe zweier nebeneinander stehender Zahlen ergibt die Zahl, die jeweils unter diesen beiden Zahlen steht. Dies verdeutlicht, wie einfach die Berechnung der Binomialkoeffizienten mittels dieses Schemas wird. 1 1 1 + 3

1 + 4

1 + 5

1 + 6

1 +

1 + 3

+ 6 + 10

+ 15 +

1 + 2

+ 10 + 20

+

1 + 4

1 + 5

+ 15 +

1 + 6

+

1 +

..

.

..

.

Binomischer Lehrsatz

Binomischer Lehrsatz Seien x, y reelle Zahlen und n ∈ N0 . Dann gilt der Binomische Lehrsatz: n  n  * n i n−i * n n−i i (x + y)n = = xy x y. i i i=0 i=0

Wird an Stelle von y der Wert −y eingesetzt, resultiert folgende Identit¨at:



 n n * n i n−i * n n−i i (x − y)n = (−1)n−i = (−1)i xy x y. i i i=0 i=0 Mit der Wahl n = 2 resultieren aus dem Binomischen Lehrsatz die erste und zweite 16
binomische Formel 1. (x + y)2 =

2   2 i=0

2. (x − y)2 =

2  i=0

i

x2−i y i = x2 + 2xy + y 2

(−1)i

2 i

x2−i y i = x2 − 2xy + y 2

4.3

Fakult¨ aten und Binomialkoeffizienten

139

F¨ ur n = 3 ergibt sich 1. (x + y)3 =

3   3 i=0

2. (x − y)3 =

3 

i

x3−i y i = x3 + 3x2 y + 3xy 2 + y 3

(−1)i

i=0

3 i

x3−i y i = x3 − 3x2 y + 3xy 2 − y 3

Mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes k¨ onnen einige interessante Identit¨aten nachgewiesen werden, indem f¨ ur die Variablen x, y spezielle Werte eingesetzt werden. Beispielsweise gilt: 1. x = y = 1: 2n = (1 + 1)n =

n   n i=0

2. −x = y = 1: 0 = (1 − 1)n =

n  i=0

i

(−1)i

n i

Beispiel


In der Wahrscheinlichkeitsrechnung treten Binomialkoeffizienten  u.a. im Rahmen von Urnenmodellen auf. Der Binomialkoeffizient nk gibt die Anzahl der M¨ oglichkeiten an, aus einer Urne mit n unterscheidbaren Kugeln genau k Kugeln zu ziehen. Dabei wird die Reihenfolge der Ziehung nicht beachtet und ohne Zur¨ ucklegen gezogen, d.h. eine Kugel wird nachdem sie gezogen wurde nicht mehr in die Urne zur¨ uckgelegt. Diese Situation ist beim Zahlenlotto 6 aus 49 gegeben, bei dem in einer Ziehung 6 von 49 mit den Zahlen 1, . . . , 49 markierten Kugeln gezogen werden.  gibt die verschiedenen M¨oglichkeiten an, aus 49 Der Binomialkoeffizient 49 k Kugeln k Kugeln zu ziehen: k 49 k

1 2 3 4 5 6 49 1 176 18 424 211 876 1 906 884 13 983 816

Da nur eine der 13 983 816 m¨ oglichen Ziehungen die Gewinnstufe 6 Richtige liefert, betr¨ agt die Wahrscheinlichkeit, die gezogenen sechs Zahlen zu tippen, 1 13 983 816 ≈ 0,000000072. Dabei wird angenommen, dass jedes Ziehungsergebnis gleich wahrscheinlich ist.  Binomialverteilung

Eine f¨ ur die Statistik wichtige Konsequenz aus dem Binomischen Lehrsatz f¨ uhrt zu einer speziellen 123
diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung: der Biur die Situation, aus einer Urne mit nomialverteilung. Sie ist ein Modell f¨

B

140

4. Summen- und Produktzeichen

einem Anteil von p ∈ (0, 1) roten und einem Anteil von 1 − p schwarzen Kugeln bei einer Ziehung von insgesamt n Kugeln genau k rote Kugeln (ohne Ber¨ ucksichtigung der Ziehungsreihenfolge) zu erhalten. Dabei wird jeweils eine Kugel zuf¨ allig entnommen, ihre Farbe notiert und diese dann wieder in die Urne zur¨ uckgelegt. Anschließend wird erneut eine Kugel gezogen etc. Dieses Verfahren wird fortgef¨ uhrt, bis die gew¨ unschte Anzahl von n Kugeln gezogen wurde. Die Wahrscheinlichkeit, genau k rote Kugeln zu ziehen, ist dann durch

 n k p (1 − p)n−k pk = k gegeben. F¨ ur k sind offensichtlich die Werte 0, . . . , n m¨oglich. Aufgrund des binomischen Lehrsatzes gilt nun n n  * * n k pk = p (1 − p)n−k = (p + (1 − p))n = 1, k k=0

k=0

d.h. die (Einzel-)Wahrscheinlichkeiten summieren sich zu Eins. Dies zeigt insbesondere, dass es sich um eine 123
diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung handelt.


Bezeichnung Binomialverteilung Die durch die Zahlen

pk =

 n k p (1 − p)n−k k

f¨ ur k ∈ {0, . . . , n}

festgelegte diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung heißt Binomialverteilung mit Parameter p ∈ [0, 1] auf den Zahlen {0, . . . , n}.

4.4

4.4 Aufgaben

143
L

Aufgabe 4.1

Schreiben Sie die Summen mit dem Summenzeichen.

(a) 1 + 2 + 3 + 4 + 5

(d) 1 + 8 + 27 + 64 + 125

(b) 2 + 4 + 6 + 8

(e)

1 4

+

1 2

+1+2+4

(c) −1 + 4 + 9 + 14 + 19

(f)

1 5

+

1 4

+

1 3

+

1 2

+1

4.4

Aufgaben

141

Berechnen Sie die Summen. 80  (3i − 3) (g) (j − 2)

Aufgabe 4.2

(a)

5 

i=2

(b)

0 

i3

(h)

i=−2

(c)

2 

(i)

k

(j)

10 

(i + 1)2

(k)

20 

(n)

2j

(l)

n 

(x + 1)k

2k 

(o)

j=0

2n 

1k

n 

(−1)k

k=1

j

2k 

100 

(j 2 − (j − 2)2 )

k=1

(p)

k 

(−2)j

j=1

k

(q)

j=k

i=0

(f)

i(i − 2)

j=k

k=−2

(e)

19 

k=0

2 √  k2

143
L

j=1

i=2

k=−2

(d)

(m)

j=4

100 

5 

(−x)k

k=0

(j 2 − (j − 1)2 )

j=1

(r)

5 

(−x)j

k=0

Aufgabe 4.3 Berechnen Sie f¨ ur die Messwerte 2,3 3,9 4,1 1,8 4,0 3,6 2,0 3,3 2,6 2,4 das arithmetische, harmonische und geometrische Mittel sowie die empirische Standardabweichung.

Aufgabe 4.4

Zeigen Sie, dass durch die Zahlen p1

p2

p3

p4

p5

1 4

1 8

1 4

1 8

1 4

145
L

145
L

eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf {1, . . . , 5} definiert wird. Berechnen Sie deren Erwartungswert und Standardabweichung. Aufgabe 4.5 Bei einer Datenerhebung wurde die folgende Kontingenztafel von absoluten H¨ aufigkeiten beobachtet.

0

1

2

-1

5

2

9

0

2

1

7

1

9

9

6

Berechnen Sie alle relativen Randh¨ aufigkeiten der Kontingenztafel.

145
L

142

145
L

4. Summen- und Produktzeichen

Berechnen Sie die Doppelsummen. 2j 2   ij (c) k

Aufgabe 4.6

(a)

4  4 

i=1 j=1

(b)

3  i 

j=0 k=0

ik

(d)

147
L

147
L

i2

3 k  

(i · x + 1)

(f)

2  4 k  

j2

k=1 j=1 i=k

Berechnen Sie jeweils die Konstante c ∈ R, so dass (p0 , . . . , pn ) eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf {0, . . . , n} bildet.

Aufgabe 4.7

(a) pi = c · i

(d) pi = c ·

(b) pi = c · i2

(e) pi = c ·

(c) pi = c · 3i

(f) pi = c ·

1 2i

n i

n  i

p 1−p

i

(a) 5 · 5 · 5 · 5 · 5

(e) (−3) · (−1) · 1 · 3 · 5

(i)

(2n)! n!

(b) 2 · 4 · 6 · 8 · 10 · 12

(f) 0,1 · 1 · 10 · 100 · 1000

(j)

2n! n!

(c) 2 · 4 · 8 · 16

(g)

n! k! ,

(d) 1 · (−1) · 1 · (−1) · 1

(h)

n! (n−k)! ,

5i

i=1

(b)

n 4

5j ·

n−1 4

(c)

20 4

100 1

50 48

10−k

(d)

(l) k n

k 4

k=i

2p

(f)

j=1

k=1

Aufgabe 4.10

(b)

0≤k≤n

(k) nk

j=1

j=1

(a)

0≤k≤n

Vereinfachen Sie die folgenden Ausdr¨ ucke. 10 2i 4 4 (c) (j + 1) (e) k2

Aufgabe 4.9 10 4

mit p ∈ (0, 1)

Schreiben Sie mit dem Produktzeichen.

Aufgabe 4.8

(a)

147
L

3  4 k   k=1 j=1 i=k

k=1 i=−k

i=1 k=0

146
L

(e)

Berechnen Sie. (d) (e) (f)

(g)

3

47

+

20 1

10 5 50 25 49 24

(h)

( ) ( )

(i)

(100 26 ) (98 28)

46

2

3cj

j=1

510

20

2k 4

−

11 5

4.5

L¨ osungen

143

Ermitteln Sie die Summen. n−1   n (−1)n−i ni (c) i

148
L

Aufgabe 4.11

(a)

n 

i=0

(b)

n 

i=0

(−1)i

i=1

n

(d)

i

n 

1 4i

(−1)i

i=0

n i

2i

Aufgabe 4.12

Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz der 124
Gleichur xi = i, verteilung auf den Werten x1 , . . . , xn . Was ergibt sich speziell f¨ i ∈ {1, . . . , n}?

148
L

Aufgabe 4.13 Berechnen Sie den Erwartungswert der 139
Binomialverteilung

149
L

mit Parameter p ∈ [0, 1].

4.5

4.5 L¨ osungen L¨ osung 4.1 5  (a) i

(c)

i=1

(b)

4 

5 

(5j − 6)

(e)

j=1 5 

(d)

2i

2k

k=−2

j3

j=1

i=1

140
A

2 

(f)

5  k=1

1 6−k

=

5  k=1

1 k

141
A

L¨ osung 4.2 (a)

5 

(3i − 3) = 3 + 6 + 9 + 12 = 30

i=2

(b)

0 

i3 = −8 − 1 + 0 = −9

i=−2

(c)

2 

k = −2 − 1 + 0 + 1 + 2 = 0

k=−2

(d)

2 √  k=−2

(e)

10 

20  j=0

11  i=1

2j =

|k| = 2 + 1 + 0 + 1 + 2 = 6

k=−2

(i + 1)2 =

i=0

(f)

2 

k2 =

1−221 1−2

=

i2 =

11·12·23 6

1−221 −1

= 506

= 221 − 1 = 2 097 151 (120
geometrische Summe)

144

(g)

4. Summen- und Produktzeichen 80 

78 

(j − 2) =

j=4 80 

j=2

j−1=

(j + 3 − 2) =

j=4−3

19 

18 



i=2 −1

18 

i − 2

i=1

1=

i=1

78·79 2 77 

− 1 = 3 080 oder alternativ 77 

(j + 1) =

j=1

19 −1

i(i − 2) =

i=2

=

78  j=1

80−3 

(j − 2) =

j=4

(h)

j=

j + 77 =

j=1 18 

(i +1 )(i +1 − 2) =

18 (∗) 

(i + 1)(i − 1) =

i=1

18·19·37 6

77·78 2

+ 77 = 3 080

(i2 − 1)

i=1

− 18 = 2 109 − 18 = 2 091

In (∗) wird die dritte 16
binomische Formel benutzt. (i)

n 

(x + 1)k =

k=0

(j)

2k 

j=

2k 

k=k

j=k

(l)

100 

j−

j=1

j=k

(k)

2k 

1−(x+1)n+1 1−(x+1) k−1 

(x+1)n+1 −1 x

2k(2k+1) 2

j=

j=1

2k 

=

−

(k−1)k 2

=

k(4k+2−(k−1)) 2

=

k(3k+3) 2

=

3k(k+1) 2

1 = k(2k − k + 1) = k(k + 1)

j=k

(j 2 − (j − 1)2 ) = 1002 − 02 = 1002 = 10 000 (119
Teleskopsumme) Alter-

j=1

nativ ist folgende L¨ osung m¨ oglich: 100 100 100 100 100  2  2    (j − (j − 1)2 ) = (j − (j 2 − 2j + 1)) = (2j − 1) = 2 j− 1 j=1

j=1

= 2· (m)

100 

100·101 2

(j 2 − (j − 2)2 ) =

j=1

=4

99 

j=4

j=0

(n)

2n  k=1

(o)

n 

2n 

k 

5 

(−1) =

(−2)j = (−x)k =

k=0

(r)

5 

[(j 2 − (j 2 − 4j + 4)] =

j=1

j =4·

99·100 2

100 

j=1

100 

(j − 1)

j=1

= 19 800

1 = 2n 1−(−1)n+1 1−(−1)

1−(−2)k+1 1−(−2)

1−(−x)6 1+x

−1=

−1 =

=

1−(−1)n+1 2

1−(−2)k+1 3

1−x6 1+x

(−x)j = 6 · (−x)j = 6 · (−1)j xj

k=0

(4j − 4) = 4

j=1

 k

j=1

(q)

j=1

k=1

k=1

(p)

99 

100 

j=1

1k =

j=1

− 100 = 10 100 − 100 = 10 000

−1=

−

3 3

=

0, −1,

falls n gerade falls n ungerade

1+2(−2)k −3 3

= − 32 (1 − (−2)k )

4.5

L¨ osungen

145

L¨ osung 4.3 Das arithmetische Mittel x = Mittel resultiert der Wert xharm = 2

10 4

10

Mittel ist xgeo =

√

10

xi =

1 10

1 10

10 

xi ist x = 3. F¨ ur das harmonische

i=1

1 10 

1 x i=1 i

≈

141
A

≈ 2,762. Das geometrische

1 0,362

39 259,05325056 ≈ 2,880.

i=1

Die empirische Standardabweichung wird aus den quadratischen Abweichungen berechnet: xi (xi − x)2 Wegen

10 

2,3 0,49

3,9 0,81

4,1 1,21

1,8 1,44

4,0 1,00

3,6 0,36

2,0 1,00

2 (xi − x)2 = 6,92 resultiert daraus s =

1 10

i=1

3,3 0,09

10 

2,6 0,16

(xi − x)2 =

2,4 0,36 √

0,692 ≈

i=1

0,832.

L¨ osung 4.4

Wegen

5 

pi =

i=1

1 4

+

1 8

+

1 4

+

1 8

+

1 4

=

3 4

+

2 8

= 1 und pi ≥ 0 f¨ ur alle i

141
A

ist (p1 , . . . , p5 ) eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung. Erwartungswert und Standardabweichung sind gegeben durch E=

5 *

i · pi = 1 ·

i=1

1 1 1 1 1 1 1 3 1 5 + 2 · + 3 · + 4 · + 5 · = + + + + = 3, 4 8 4 8 4 4 4 4 2 4

+ , 5 ,* pi · (i − E)2 s=' =

i=1

1 1 1 1 1 · (−2)2 + · (−1)2 + · 02 + · 12 + · 22 = 4 8 4 8 4

'

3 9 = . 4 2

L¨ osung 4.5 Durch Summation der Eintr¨age in den Zeilen und Spalten resultieren jeweils die absoluten Randh¨ aufigkeiten. Division durch die Gesamtsumme n•• = 50 liefert die zugeh¨ origen relativen H¨ aufigkeiten. 0

1

2

ni•

0

1

2

ni•

-1

5

2

9

16

0

2

1

7

10

-1

0,10

0,04

0,18

0,32

0

0,04

0,02

0,14

0,20

1

9

9

6

24

1

0,18

0,18

0,12

0,48

n•j

16

12

22

50

n•j

0,32

0,24

0,44

1,00 142
A

L¨ osung 4.6 (a)

4  4  i=1 j=1

141
A

ij =

4  i=1

i·

4·5 2

= 10 ·

4·5 2

= 100

146

(b)

4. Summen- und Produktzeichen 3  i 

3  ik = (10 + 11 ) +
  i=2 i=1 k=0

ii+1 −1 i−1

23 −1 2−1

=2+

34 −1 3−1

+

= 2 + 7 + 40 = 47

Term f¨ ur i=1

(c)

2j 2  

k=

j=0 k=0

(d)

k 3  

2  j=0

k  3  4 

i2 =

k  2  4 

L¨ osung 4.7

k

k=1

j2 =

k=1 j=1 i=k

142
A

3 

4 

k 

x

k=1

k=1 j=1 i=k

(f)

j(2j + 1) = 0 + 3 + 10 = 13

j=0

3  

(i · x + 1) =

k=1 i=−k

(e)

2 

2j(2j+1) 2

i=−k

i=−k


 

=0

=2k+1

i2 =

4 

i2 + 2

i=1

3 

1 =


 

i=k

k 2  

k 

i+

4 

(2k + 1) = 3 + 5 + 7 = 15

k=1

i2 + 3

i=2

4 

i2 = 30 + 58 + 75 = 163

i=3

(5 − k)j 2 = 4 · 1 + 3 · (1 + 4) = 19

k=1 j=1 n 

Die Konstante c ∈ R ist so zu bestimmen, dass

pi = 1 gilt.

i= 0

(a)

n 

pi = c

i=0

(b)

n 

pi = c

n 

pi = c

n 

(e)

pi = c 2n 2n+1 −1

n 

pi = c

i=0

(f)

n 

n 

n  i=0

n(n+1)(2n+1) , 6

3i = c ·

1−3n+1 1−3

pi = c

i=0

1 2i

=c

n   n i=0

i

= c(1 − p)−n c = (1 − p)n

i

2

i

3n+1 −1 , 2

=c· = c·

p 1−p

i

i =c

1−( 1 2)

n+1

1− 1 2

n   n i=0

2 n(n+1)

d.h. c =

= c · 2n , d.h. c =

n   n i=0

n   1 i=0

 n   n i=0

d.h. c =

i2 = c ·

i=0

i=0

=

n 

n(n+1) , 2

i=0

i=0

(d)

i= c·

i=0

i=0

(c)

n 

i

1 2n

6 n(n+1)(2n+1)

d.h. c =

2 3n+1 −1

 = 2c 1 −

1 2n+1

, d.h. c =

1   1 2 1− n+1 2

= 2−n

pi (1 − p)−i

pi (1 − p)n−i = c(1 − p)−n (p + 1 − p)n = c(1 − p)−n , d.h.

Alternative L¨ osung: i i n  n    n n  n     n p n p p pi = c =c 1n−i = c 1−p + 1 = c p+(1−p) i i 1−p 1−p 1−p i=0

=

c (1−p)n

i=0

i=0

4.5

L¨ osungen

147

L¨ osung 4.8 5 4 (a) 5

5 4

(e)

i=1

(b)

6 4

2j

n 4 j=1 k 4

2i

j=1

i=1

=

(−1)

j=1

j=0

j=1 n 4 j=1

n 4

j

j=k+1

j

j=1 n−k 4

(h)

j

(j) 2

j

n 4

(d)

n 4

10i

i=−1

(g)

4 4

4 4

(i)

j

j=n+1

3 4

(f)

j=1

(c)

(2i − 5)

i=1

142
A

2n 4

(k)

k 4

j

=2 j

n

j=1 j

= j

n 4

j

(l)

j=n−k+1

n 4

k

j=1

142
A

L¨ osung 4.9 (a)

10 

10 4

i

10·11 2

5i = 5i=1 = 5

= 555

i=1

(b)

n 4

5j ·

n−1 4

10−k = 5n ·

n−1 4

j=1

=

(c)

k=1 n−1 n 4 1 5 2j j=1

10 4

j=1

= 5n · 11 4

(j + 1) =

j=1

(d)

k 4

5j ·

j=1



1 2(n−1)n/2

j=

j=2

11! 1

n−1 4 

=

1 j 10

5 2(n−1)/2

= 5n ·

n−1 4 

n

j=1

5j



1 j 10



= 5n

n−1 4  j=1

5 j 10

= 11!

2p = (2p )k = 2p·k

j=1

(e)

2i 4

k=i

(f)

2k 4 j=1

2

2i 4

k2 =

k

 =

k=i

j

2k

3c = 3

2k 4

(2i)! (i−1)!

2

2k 

j

c =

32k cj=1

j

= 32k ck(2k+1)

j=1

L¨ osung 4.10  20! (a) 20 = 20·19·18·17 = 5 · 19 · 3 · 17 = 4 845 = 16!·4! 4 2·3·4 100 (b) 1 = 100  (c) 50 = 25 · 49 = 1 225 = 50·49 48 2 510 (d) 3 = 510·509·508 = 21 978 620 2·3 47 (e) 46 = 47

142
A

148

(f) (g)

143
A

4. Summen- und Produktzeichen

20 2

+

5

−

10

20

=

11 5

(h)

(50 25) = (49 24)

(i)

(100 26 ) = (98 28)

21

= 210 11  = − 5 − 10 5

1

2

50!24!25! 25!25!49!

100!28!70! 26!74!98!

=

10 4

= −5 · 3 · 2 · 7 = −210 = − 10·9·8·7 2·3·4

=2

100·99·28·27 74·73·72·71

=

25·11·7·27 37·73·1·71

=

51 975 191 771

≈ 0,271

L¨ osung 4.11 Mit dem Binomischen Lehrsatz gilt jeweils f¨ ur n ∈ N: n n     n i (−1)n−i ni = 1 (−1)n−i = (1 − 1)n = 0 (a) i i=0

(b)

n 

i=0

(−1)

 i n

(c)

n−1   i=0

(d)

n  i=0

=

i

i=1

143
A

50 25

=

=−

n 1 i 4i



n 

n i

i=0

=

n  1  n i

i=0

(−1)i ni

(−1)i

i

2 =

n   n i=0

i

4

i

− 1 = (1 − 1)n − 1 = −1

1n−i −

1 4n

=

1 4

+1

n

−

1 4n

=

5n −1 4n

 i n−i

(−2) 1

n

1,

n

= (−2 + 1) = (−1) =

−1,

n gerade n ungerade

F¨ ur den Erwartungswert der 124
Gleichverteilung auf {x1 , . . . , xn }

L¨ osung 4.12 gilt

E=

n *

pi xi =

i=1

n n * 1* 1 xi = x, · xi = n n i=1 i=1

d.h. der Erwartungswert der diskreten Gleichverteilung auf {x1 , . . . , xn } ist das arithmetische Mittel der Ergebnisse x1 , . . . , xn . F¨ ur die Varianz resultiert der Wert v=

n *

pi (xi − E)2 =

i=1

n n * 1* 1 (xi − x)2 = (xi − x)2 . n n i=1 i=1

√

Wegen s = v ist die Varianz der diskreten Gleichverteilung somit gleich der quadrierten 112
empirischen Standardabweichung der Werte x1 , . . . , xn . Im Spezialfall xi = i, i ∈ {1, . . . , n}, resultiert der Erwartungswert E=x=

n n+1 1* 1 n(n + 1) = . i= · n i=1 n 2 2

F¨ ur die Varianz gilt nach 117
Beispiel Empirische Varianz v = x2 − x2 . Wegen x2 =

n (n + 1)(2n + 1) 1* 2 1 n(n + 1)(2n + 1) = i = · n i=1 n 6 6

4.5

L¨ osungen

149

resultiert daraus die Formel v= =

(n + 1)(2n + 1) − 6

n+1 2

2 =

n+1 · (2(2n + 1) − 3(n + 1)) 12

n2 − 1 (n + 1)(n − 1) = . 12 12

L¨ osung 4.13 F¨ ur den 378
Erwartungswert der Binomialverteilung ergibt sich n   wegen E = k · pk und pk = nk pk (1 − p)n−k , k ∈ {0, . . . , n}, k=0

E=

n * k=0

k

. / n * n k n! pk (1 − p)n−k p (1 − p)n−k = k k k!(n − k)! k=1

K¨ urzen von k ergibt =

n * k=1

n! pk (1 − p)n−k (k − 1)!(n − k)!

Ausklammern von np und die Identit¨ at n − k = (n − 1) − (k − 1) f¨ uhren zu = np

n * k=1

(n − 1)! pk−1 (1 − p)(n−1)−(k−1) (k − 1)!((n − 1) − (k − 1))!

Eine Indexverschiebung, die k in k + 1 u uhrt, liefert ¨ berf¨ n−1 *

(n − 1)! pk (1 − p)(n−1)−k k!((n − 1) − k)! k=0 . / n−1 * n−1 k (∗) = np p (1 − p)(n−1)−k = np(p + (1 − p))n−1 = np, k

= np

k=0

wobei in (∗) der Binomische Lehrsatz mit n − 1 als oberer Summationsgrenze verwendet wird. Der Erwartungswert einer Binomialverteilung mit Parameter p ist somit np.

143
A

Kapitel 5 Funktionen

5

5

5

Funktionen

5.1

Relationen und Funktionen .................................... 153

5.2

Grundlegende Funktionen ...................................... 160

5.3

Funktionen mit Parametern.................................... 165

5.4

Verkn¨ upfung von Funktionen .................................. 167

5.5

Eigenschaften von Funktionen................................. 170

5.6

Aufgaben .......................................................... 179

5.7

L¨osungen .......................................................... 181

153

5.1

Relationen und Funktionen

153

5 Funktionen 5.1

5.1 Relationen und Funktionen In diesem Abschnitt werden die f¨ ur die Mathematik fundamentalen Konzepte Abbildung und Funktion eingef¨ uhrt, die spezielle Zuordnungen von Elementen einer Menge D (dem Definitionsbereich) zu Elementen einer Menge W (dem Wertebereich) darstellen. Eine Zuordnung (Relation) ist eine Vorschrift, die einen Bezug zwischen den Elementen zweier Mengen herstellt. Sie kann als Teilmenge V des 61
kartesischen Produkts von D und W aufgefasst werden V = {(d, w) | d ∈ D steht in Relation zu w ∈ W} ⊆ D × W, wobei die Eigenschaft steht in Relation zu eine Festlegung der Beziehung zwischen den Elementen d und w ist. Diese Darstellung erm¨oglicht u.a. auch die Beschreibung der 11
Ordnungsrelationen. Beispielsweise wird die Gleichheitsrelation = “ auf den reellen Zahlen unter Verwendung der Menge ” G = {(d, d) | d ∈ R}, definiert gem¨ aß d = w ⇐⇒ (d, w) ∈ G. Beispiel
Zuordnung Eine Zuordnung zwischen den Elementen der Menge

D = {1, 2, 3, 4} und den Elementen der Menge W = {5, 6, 7, 8, 9} wird durch die Menge von Paaren V = {(1, 5), (1, 8), (3, 7), (4, 5), (4, 6), (4, 8)} beschrieben. Das folgende Diagramm visualisiert diese Relation, wobei der Pfeil im Sinne einer Zuordnung verstanden wird: dem Element d ∈ D wird das Element w ∈ W zugeordnet. D

1 2 3 4

5

9

W

7 8 6

 Diese grafische Darstellung einer Relation wird Graf der Relation genannt.

B

154

5. Funktionen

Sind die Mengen D, W Teilmengen von R, so k¨onnen die Elemente von V in ur das obige Beispiel ergibt ein 62
Koordinatensystem eingetragen werden. F¨ sich die folgende, ebenfalls als Graf der Relation bezeichnete Darstellung. 8 7 6 5 4 3 2 1

6

r

r r

r

1

B

r

r

2

3

4

Beispiel


Die Menge V = {(d2 , d3 ) | d ∈ [−1, 1]} definiert ebenfalls eine Relation. Ihr Graf hat als 63
Kurve in der Ebene folgendes Aussehen: 6

... ...... ..... ...... ..... . . . . . ...... ...... ...... ....... ....... . . . . . . ..... ........ ......... .......... .......................... ......... ......... ........ ....... ....... ....... ....... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... ......

-



Die Beispiele zeigen, dass einem Element aus D kein Element in W zugeordnet werden muss bzw. mehrere Elemente aus W zugewiesen werden k¨onnen. Funktionen (Abbildungen) von D nach W sind spezielle Relationen, die jedem Element aus D genau ein Element aus W zuordnen.


Definition Funktion, Abbildung Seien D und W nicht-leere Mengen.

Eine Funktion (Abbildung) f ist eine Zuordnung zwischen den Mengen D und W, die jedem Element aus der Menge D genau ein Element der Menge W zuordnet. Als Bezeichnung wird die Notation f : D −→ W benutzt. F¨ ur die konkrete Zuordnung eines Elements d ∈ D zu einem Element w ∈ W werden die Schreibweisen w = f (d) bzw. d −→ f (d) verwendet. f (d) heißt Funktionswert von f (an der Stelle d), d heißt Argument von f .

D heißt Definitionsbereich, W heißt Wertebereich. Die Teilmenge f (D) = {w ∈ W | w = f (d), d ∈ D} von W heißt Bild von f .

5.1

Relationen und Funktionen

155

Beispiel
Funktionen Die in 153
Beispiel Zuordnung angegebene Zuordnung

B

ist keine Funktion, da den Elementen 1 ∈ D und 4 ∈ D jeweils mehrere Elemente der Menge W und dem Element 2 ∈ D kein Wert aus W zugeordnet werden. Beispiele f¨ ur Zuordnungen f : D −→ W, die tats¨achlich Funktionen sind, sind in den folgenden Darstellungen gegeben. D

f1

1

W

6

2

D

4

8

4

9

5

7

3

8

W

6

2

7

3

f2

1

9

5

Die Beispiele zeigen, dass das Bild einer Funktion den ganzen Wertebereich W umfassen kann (f1 (D) = W) oder auch eine 44
echte Teilmenge von W  sein kann (f2 (D)
W). Ist f eine Funktion von D nach W, so wird auch die Schreibweise  D −→ W f : d −→ f (d) verwendet. Neben den bereits beschriebenen Darstellungen f¨ ur Funktionen ist es u ¨ blich, Funktionen (evtl. auszugsweise) in Form einer Wertetabelle anzugeben. Beispiel
Fortsetzung 155
Beispiel Funktionen Die Wertetabellen der Funk-

tionen lauten: f1 :

Argument d Funktionswert f1 (d)

1 7

2 6

3 7

4 9

5 8

f2 :

Argument d Funktionswert f2 (d)

1 6

2 6

3 6

4 6

5 6



Funktionen werden i.Allg. mit Kleinbuchstaben bezeichnet (z.B. f , g oder h). In speziellen Kontexten und f¨ ur bestimmte Funktionen sind auch andere Bezeichnungen u ur die 377
Dichtefunktion der 380
Standard¨blich (z.B. ϕ f¨ normalverteilung). Mittels einer Wertetabelle wird eine Funktion durch die Paare (Argument, Funktionswert), d.h. durch (d, f (d)) mit d ∈ D und f (d) ∈ W, festgelegt. Die-

B

156

5. Funktionen

se aufz¨ ahlende Angabe der Paare (d, f (d)) ist zur Definition einer Funktion i.Allg. jedoch ungeeignet, da sie leicht un¨ ubersichtlich wird und die Eigenschaften der Funktion nur schwer erkennbar sind. Daher wird eine Funktion in der Regel durch den Definitionsbereich und die konkrete Zuordnungsvorschrift spezifiziert. Letztere legt die Funktionswerte fest, indem jedem Element d der Menge D durch die Vorschrift d −→ f (d) ein Wert zugeordnet wird.∗ Beispiel


B

(i) f : N −→ N, n −→ n + 1, definiert die Funktion, die einer nat¨ urlichen Zahl n ihren Nachfolger“ n + 1 zuweist (kurz: f (n) = n + 1). ” (ii) g : R −→ R, x −→ xn , mit n ∈ N, ist die Funktion, die einer reellen Zahl x ihre n-te Potenz zuordnet (kurz: g(x) = xn ). (iii) h : (0, ∞) −→ R, z −→ ln(z), ist die Funktion, die einer positiven Zahl z den Wert ihres 92
natu ¨ rlichen Logarithmus zuordnet (kurz: h(z) = ln(z)). (iv) f : R × R −→ R, (x, y) −→ x · y, definiert die Funktion, die einem 62
Tupel (x, y) ∈ R2 das Produkt x · y seiner Komponenten x und y  zuweist (kurz: f (x, y) = x · y).




B

Bei der Festlegung einer Funktion mit Definitionsbereich D und Abbildungsvorschrift f (d) muss darauf geachtet werden, dass die Vorschrift f¨ ur jedes Element d des Definitionsbereichs erkl¨ art ist. Eine weitere Einschr¨ankung auf eine Teilmenge des maximal m¨ oglichen Definitionsbereichs kann in einer konkreten Fragestellung sinnvoll sein (z.B. wenn klar ist, dass nur positive Werte† in die Funktion eingesetzt werden k¨onnen). Beispiel


(i) In die durch f (x) = x+1 definierte Funktion f k¨onnen alle reellen Zahlen als Argument eingesetzt werden. Der (maximale) Definitionsbereich ist daher D = R. ur positive Zahlen z de(ii) Der 92
natu ¨ rliche Logarithmus ln(z) ist nur f¨ finiert, d.h. die maximale Definitionsmenge der Logarithmusfunktion ln : D −→ R ist D = (0, ∞). ∗ Die

Bezeichnung der Variablen kann beliebig gew¨ ahlt werden: f (d) = d2 + 1, d ∈ D, 2 oder f (x) = x + 1, x ∈ D, beschreiben die selben Funktionswerte. † Etwa bei L¨ angen- und Gewichtsmessungen.

5.1

Relationen und Funktionen

157

(iii) F¨ ur die durch h(y) = y1 gegebene Funktion ist zu beachten, dass der Term f¨ ur y = 0 nicht erkl¨ art ist. Der maximale Definitionsbereich ist somit D = R \ {0}.  Graf einer Funktion

Eine einfache Visualisierung einer reellwertigen Funktion ist ihr Graf. Definition Graf einer Funktion Sei f : D −→ W eine Funktion.



Die Menge {(d, f (d)) | d ∈ D} ⊆ D × W heißt Graf von f .

Sind D und W Teilmengen der reellen Zahlen, so ist der Graf von f eine Teilmenge der Ebene R2 und kann daher in einem 62
Koordinatensystem als 63
Kurve eingezeichnet werden. Durch den Grafen einer Funktion werden deren Eigenschaften veranschaulicht. Beispielsweise ist das 398
Monotonieverhalten direkt aus der Grafik ablesbar. Beispiel


F¨ ur die durch f (x) = x2 definierte Funktion f : [−1, 1] −→ R ist der Graf gegeben durch die Punktmenge {(x, x2 ) | x ∈ [−1, 1]}, die in der Ebene wie folgt dargestellt wird:∗ 6

... ... ... ... ... ... ... .. ... . . ... ... ... ... ... ... .. ........................... .. 2 .. ... .. ... .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . ... ... ... ... .. ... ... ... .. ... ... ... . .. . . ... . . .. . ... .. . .... . .. . .. .... . . . .. . ..... ... . . ...... .. . . .... ......... . . . . .. . . . ....................

1.0

x 0.5



-

−1

0



x 1

Mittels des 153
Grafen einer Relation kann leicht u uft werden, ob es ¨ berpr¨ sich bei der Relation um eine Funktion handelt, d.h. ob der Graf ein Funktionsgraf ist. Dazu wird verwendet, dass eine Relation zwischen den Mengen D, W ⊆ R eine Funktion ist, falls jedem x ∈ D genau eine reelle Zahl w ∈ W zugeordnet ist. Am Grafen der Relation ¨ außert sich dies dadurch, dass Schnitte des Grafen mit vertikalen Geraden h¨ ochstens einen Punkt ergeben. Die folgenden Grafen von Relationen sind daher Funktionsgrafen:† ∗ Die

gestrichelte Linie deutet die Richtung der Abbildung an. Symbol • zeigt an, dass der Punkt zum Grafen geh¨ ort; ◦ deutet an, dass der Punkt nicht Element des Grafen ist. † Das

B

158

5. Funktionen

6

r6

6 -

-

b

Die folgenden Grafen repr¨ asentieren keine Funktionen, da (fast) allen Argumenten mehrere Werte (d.h. zwei Werte) zugeordnet sind. r6

r6

6

-

-

r

-

r

Nullstellen und y -Achsenabschnitt

Die Schnittpunkte des Grafen einer Funktion f mit der 62
Abszisse werden als Nullstellen (oder auch x-Achsenabschnitte) der Funktion bezeichnet. Diese entsprechen den L¨ osungen der 187
Gleichung f (x) = 0. Die Menge aller Nullstellen {x ∈ D | f (x) = 0} heißt Nullstellenmenge. Ist x = 0 im Definitionsbereich D der Funktion f enthalten, heißt der Funktionswert f (0) an der Stelle 0 y-Achsenabschnitt (Schnittpunkt mit der 62
Ordinate). B

Beispiel
Die durch f (t) = (t − 1)(t + 1)(t + 2) = t3 + 2t2 − t − 2 definierte

Funktion hat die Nullstellen −2, −1, 1. Der y-Achsenabschnitt hat den Wert f (0) = −2. Dies ist am Grafen der Funktion direkt abzulesen. . ... ... ... .... .. ... .. ....... .. ......... .............. . . . . . . ..... .... ..... ... .... .... ... ... ... .. .. ... .. .. ... . . . . ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... .. . . ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... .. ... .. . . . ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... .. .. . . . . ... ... ... ... ... .. ... ... ... .... ... ..... .... . . . .... ...... ..... ...... ...........................

1

Nullstelle

6

Nullstelle

e

e

−2

−1

Nullstelle

e-

1

−1

−2  y-Achsenabschnitt



5.1

Relationen und Funktionen

159

Abbildungen in der Statistik

Abbildungen bzw. Funktionen haben ebenfalls eine zentrale Bedeutung in der Statistik. Exemplarisch werden einige Beispiele genannt, in denen Funktionen auftreten. Diese zeigen, dass der Begriff der Funktion weiter gefasst werden kann, als das zuvor der Fall war. Definitions- und Wertebereich m¨ ussen z.B. keine Teilmengen der reellen Zahlen sein. Im Folgenden werden jedoch nur solche Funktionen betrachtet, die von einer reellen Variablen abh¨angen und deren Wertebereich eine Teilmenge der reellen Zahlen ist, d.h. es gilt D ⊆ R und W ⊆ R. Zu Informationen im Fall mehrerer Ver¨anderlicher, d.h. D ⊆ Rn , n ≥ 2, sei auf Kamps et al. (2003) verwiesen. Beispiel


B

Eine 377
Dichtefunktion ist eine Funktion f : R −→ [0, ∞), deren Funktionswerte alle nicht negativ sind (f (x) ≥ 0) und die eine zus¨atzliche Bedingung an die von 62
Abszisse und 157
Funktionsgraf eingeschlossene Fl¨ ache erf¨ ullt (s. 365
Kapitel 11). Eine Zufallsvariable X ist eine Abbildung von einer Menge Ω in die reellen Zahlen, d.h. X : Ω −→ R. Jedem Element der Grundmenge Ω wird eine reelle Zahl als Funktionswert zugewiesen. Beim einfachen M¨ unzwurf ist die Grundmenge gegeben durch Ω = {Kopf, Zahl}. Ein Gewinnspiel k¨ onnte nun so ablaufen, dass Spielerin A gewinnt allt. Ansonsten zahlt sie an Spieler B den gleichen (etwa 1e), wenn Kopf f¨ Betrag. Die Gewinnfunktion von Spielerin A wird dann beschrieben durch X : {Kopf, Zahl} −→ {−1, 1},

X(Kopf) = 1, X(Zahl) = −1.

Beim zweifachen W¨ urfelwurf beschreibt die Zufallsvariable X : {(i, j) | i, j ∈ {1, . . . , 6}} −→ R,

X(i, j) = i + j

die Summe der gew¨ urfelten Augenzahlen. Ein (diskretes) Wahrscheinlichkeitsmaß P ist eine Abbildung auf der 46
Potenzmenge P(Ω) einer nicht-leeren endlichen Menge Ω = {ω1 , . . . , ωn }: P : P(Ω) −→ [0, 1],

A −→ P (A),

d.h. P weist jeder Menge A ∈ P(Ω) eine Wahrscheinlichkeit P (A) zu. Dar¨ uber hinaus hat P die Eigenschaften P (∅) = 0,

P (Ω) = 1,

P (A ∪ B) = P (A) + P (B), falls A ∩ B = ∅.

Die Zahlen pj = P ({ωj }), j ∈ {1, . . . , n}, definieren eine 123
diskrete  Wahrscheinlichkeitsverteilung.

160

5.2

5. Funktionen

5.2 Grundlegende Funktionen In diesem Abschnitt werden einige grundlegende Funktionen vorgestellt. Dazu werden jeweils der maximale Definitionsbereich D, die Abbildungsvorschrift f sowie der Graf eines Beispiels angegeben.

Konstante Funktion

Lineare Funktion

D=R f (t) = a mit a ∈ R

D=R f (t) = a + b · t mit a, b ∈ R Konstante Funktionen sind ein Spezialfall mit b = 0. f1 (t) = − 12 t + 12 , f2 (t) = t + 1

f (t) = 1

6

6

.................................................................................................................................................................................................

1

−2

0

......... ..... ......... ..... ......... ..... ......... ..... . ......... . . . ......... .... ......... ..... ..... ......... ......... ..... ......... ......... ............ .... .............. ........ ..... ......... ..... ..... ........ ..... ......... . . . . ........ ... . . ......... . . .... ......... . . . . ......... .... . . ......... . . ... ......... . . . . ......... .... . . . . .... . . . . ... . . . . .... . . . . . ..... ..... .....

2

1

-

−2

Quadratische Funktion

D=R f (t) = tn mit n ∈ N

f1 (t) = t2 + 12 t − 32 , f2 (t) = 1 − t2 + t .. .. ... .... .. .. .. .. .. .. .................. .. ...... ..... .... . . . . .. . .... .. .... ...... .. .. .... . ... ... ..... ... .. ... ... .. .. .... ... . . ... .. .. ... . . ... .. ... ... ... .. .. ... ... .. .. ... .. ... . . . ... ... ... . . ... .. ... ... . ..... ... .. ... . . .. .. .. ..... . ... . . .... .. . .. ... . . . ............... ... .. . .. .. . .. ... .. .

f1 (t) = t3 , f2 (t) = t4

1

1

2

.. .. ... .... .... .. .... .. .... .. ..... .. . .. .... ... ... .. .. ... .. ... .. . . .. .. ... ..... ... ...... .... .... ..................................... ..... .... ... ... .. . ... .. .. .. .... .. ... .. ..

6

6

0

2

Monom

D=R f (t) = a + bt + ct2 mit a, b, c ∈ R Lineare Funktionen sind ein Spezialfall mit c = 0.

−2

0

−2

0

2

5.2

Grundlegende Funktionen

161

Polynom (ganzrationale Funktion)

D=R n  f (t) = aj tj mit n ∈ N0 und

Gebrochen rationale Funktion

D = R ohne Nullstellen des Nennerpolynoms n 

j=0 †

Koeffizienten aj ∈ R, an = 0 Quadratische Funktionen sind ein Spezialfall mit n = 2.

f (t) =

j=0 m  j=0

aj tj bj tj

mit m, n ∈ N0 ,

f¨ ur aj , bj ∈ R

† Der Koeffizient mit dem gr¨ oßten Index (hier n) heißt Leitkoeffizient. f1 (t)=−t3 + 1 t2 +2t− 3 , 2 2

6 4 3 +43t2 −30t f2 (t)= 4t −29t +12t 32

... .. .. .. .. ... .. .. . .. .. ... ........... .. ... ... ... .... ....... ... ... .... .. .... ... .. .. ... .. ... .. .. ... ... ... .. .. .... ... ..... .. ..... .. ... .... . . ... ..... .. ... ............................. ................. ... ..... ... . ... ....... ..... ... .. ... ... ... .... ... .. .. .. .. .. .... .. . . ... . . . .. . .. ... ... ... ... .. ... .. .. ... .. .. ... .. .. .. ... .. ... ... .. . . . . . .. .. ... . . . . . .. . . ... ... . . .. . . . . . . ... ... ... .. . . .. .... ... .. . . ... .. . . . . . . ....... ... ... ...

f1 (t) =

6

1

−2

0

-

Potenzfunktion

√ t = t1/2 , f2 (t) =

= t−1/2

1 √ t

.. .. .. ... ... ... ... ... ... ... ... ........ ... ........ .... ........ .... ....... . . . . . ..... . ................ ... ... ...... ................. ..... ............ ..... .............. . . . . .... .... . . . .. . . . ... . . . . . ... .. .. ..

0

t2 +1 6t2 −2

6

... ... ... ... ... ......... .... . . . . . . ... ..... ..... . . . .. ................... .. . .. ...................................... . ... .. ........................... .. ... . . ...... .. .... .. ............... ... .. .... ... ... ... ... ... ... ... ... .... .... ... ... ... ... . .. ... .. . . .. ... .. ... .... ... .. .. .. .. .. ... .. ... . .. ... .. ... .. .. ... .

1

-

0

2

1

2

D=R f (t) = at mit a > 0, a = 1 F¨ ur a = e = 2,7182 . . . wird auch et = exp(t) geschrieben.

f1 (t) = et , f2 (t) = e−t =

1

t

e

.. .. .. .. .. ... .. ... .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. . ... .. ... .. ... ... .. ... .. ... . ... ... ... .. ... ... ... ... ... . . ... ..... .. ............ .... ..... ..... ...... . . . . . ........ ..... . . . . ........... . . . . ... ............ ................

6

6

1

f2 (t) =

Exponentialfunktion

D = (0, ∞) (evtl. [0, ∞)) f (t) = ta mit a ∈ R Monome sind Spezialf¨ alle mit a = n ∈ N. Wurzelfunktionen sind Spezialf¨ alle mit a = n1 , n ∈ N. f1 (t) =

.. ... .. .. . . ... ... .... ...... .......................

−2

2

t3 −3t2 +t+1 , 4t4 −4t2 +2

1

-

−2

0

2

-

162

5. Funktionen

Logarithmusfunktion

Betragsfunktion

D = (0, ∞) f (t) = loga (t) mit a > 0, a = 1 F¨ ur a = e: ln(t); f¨ ur a = 10: lg(t)

D=R f (t) = |t| f (t) = |t|

f1 (t) = ln(t), f2 (t) = log0,5 (t) ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ..... ....... ........... ..... ......... ..... ......... ..... ...... ............. . .................. ..... ....... ..... ........ .... ....... ........ .... . . ......... .. . ......... . .... ... . ... . .. . .. . ... .. ..

6

6 1

0

1

-

2

..... . ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... . . . . ..... .. ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... . . ..... . . .. ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... . ..... . . . . ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ......... .......... .

1

-

−2

Indikatorfunktion

2

Trigonometrische Funktionen

D=R f (t) =

0



½[a,∞) (t) =

1, t ≥ a 0, t < a

D=R f (t) = sin(at), f (t) = cos(at) mit a ∈ R

mit a ∈ R f (t) =

½[−1,∞) (t)

f1 (t) = sin(4t), f2 (t) = cos(4t)

6

1

•..................1...............................................................................................

−2

-

.................................................

−2

−1

0

6

... .. .... .... ...... ........ ... .. ... .. .. ... .. ... ... .. .. .. .. .. ... .. .. . .. .... .. .. ....... .... .. ..... .. ....... .... .. .... .. . . .... ..... . . .. .. . . .... ... ..... .. .. .... .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .... .... .. .. .. .... ... .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. . .. .. ... .. ... .... .... .... .... .... .... .... ... .... .... .... . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. ... ... .... .. .. ... .. .. .. .. .. . .. .. .... .. .. .. .... .. ... .... .. .. .. .. .. .. .. .. .... .... .. .... .. . . . .. ... ... .. .. .. .. .. .. . .. .. . . .. .. .. .. .. ... .. .... .... .... .. .. ... .... .... ... ... .. . .. ... . . .. .... . . . .. .. .. . . .. ... .. . . . . ... . . . .. .. .. .. .. .. . ... .... .... . .. .. .. . .. ........ .... .. .. .. .. ...... .... .. ...... ... .. .... .. ... .. .... .. ... .... .. .... .. .. .. .. ... ... ... ... .. . .. .. .. ..... .... ..... ...... ....

1

−1

0

1

-

2

2

St¨ uckweise definierte Funktionen

Die bisher vorgestellten Funktionen wurden meist durch eine einheitliche Abbildungsvorschrift auf ihrem Definitionsbereich eingef¨ uhrt. Eine Ausnahme bildet etwa die Betragsfunktion, die st¨ uckweise definiert ist. Ihr Definitionsbereich kann als Vereinigung der Intervalle (−∞, 0) und [0, ∞) interpretiert werden, wobei die Betragsfunktion auf jedem Intervall gleich einer linearen Funktion ist. F¨ ur die Indikatorfunktion ½[a,∞) gilt ¨ahnliches. Sie ist aus zwei

5.2

Grundlegende Funktionen

163

(verschiedenen) konstanten Funktionen zusammengesetzt. Dieses Konstruktionsverfahren wird bereits in der Definition deutlich:   x, x ≥ 0 1, x ≥ a |x| = , ½[a,∞) (x) = . −x, x < 0 0, x < a Allgemein kann eine Funktion durch Angabe ihrer Funktionswerte auf Teilintervallen spezifiziert werden. Dies ist insbesondere in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik von zentraler Bedeutung. Wahrscheinlichkeiten werden in der Statistik oft durch Funktionen beschrieben. Die Z¨ ahldichte einer (diskreten) Verteilung wird festgelegt als Funktion f : R −→ [0, 1], wobei der Funktionswert f (x) jeweils als Wahrscheinlichkeit f¨ ur den Wert x interpretiert wird. Beispiel
Z¨ ahldichte, Verteilungsfunktion Die Z¨ahldichte der 139
Binomial-

verteilung ist definiert durch  n f (k) =

k

pk (1 − p)n−k , k ∈ {0, . . . , n}

0,

sonst

,

wobei n ∈ N und p ∈ (0, 1) die (fest gew¨ ahlten) Parameter der Verteilung sind. Zur Beschreibung wird oft auch die Notation

 n k b(k; n, p) = p (1 − p)n−k , k ∈ {0, . . . , n}, k (b(k; n, p) = 0, k ∈ {0, . . . , n}) verwendet, wobei allerdings beachtet werden muss, dass die Parameter n und p als fest angenommen werden und nur k eine Variable ist. Durch Summenbildung wird aus der Z¨ ahldichte die Verteilungsfunktion F : R −→ [0, 1], * f (k), x ∈ R. F (x) = k∈{0,...,n}:k≤x

In der Summation werden nur die Werte f (k) mit k ∈ {0, . . . , n} ber¨ ucksichtigt, die die Bedingung k ≤ x erf¨ ullen. Die Verteilungsfunktion an der Stelle x gibt die Wahrscheinlichkeit des Intervalls (−∞, x] an. F¨ ur n = 10 und p = 0,4 werden die obigen Formeln ausgewertet. Dies kann mittels einer 155
Wertetabelle erfolgen, die sich auf die Werte k ∈ {0, . . . , 10} beschr¨ ankt (jeweils auf drei Nachkommastellen gerundet). Die anderen Werte sind aus der Definition der Funktionen unmittelbar klar.

B

164

5. Funktionen

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 b(k; 10, 0,4) 0,006 0,040 0,121 0,215 0,251 0,201 0,111 0,042 0,011 0,002 0,000 F (k) 0,006 0,046 0,167 0,382 0,633 0,834 0,945 0,987 0,998 1,000 1,000

F¨ ur die Verteilungsfunktion resultiert daraus folgende Darstellung als st¨ uckweise definierte Funktion ⎧ 0, x<0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0,006, 0 ≤ x < 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0,046, 1≤x<2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪0,167, 2 ≤ x < 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0,382, 3 ≤ x < 4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨0,633, 4 ≤ x < 5 F (x) = . ⎪ ⎪ ⎪0,834, 5 ≤ x < 6 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪0,945, 6 ≤ x < 7 ⎪ ⎪ ⎪ 0,987, 7 ≤ x < 8 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0,998, 8≤x<9 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1,000, 9 ≤ x < 10 ⎪ ⎪ ⎩ 10 ≤ x

1,

Aufgrund der 25
Rundung auf drei Nachkommastellen wird der Wert Eins der Funktion bereits an der Stelle x = 9 angenommen. Werden vier Nachkommastellen ber¨ ucksichtigt, ergibt sich abweichend F (x) = 0,9999, 9 ≤ x < 10, und F (x) = 1, x ≥ 10. Die Grafen der obigen Funktionen sind nachfolgend abgebildet. f (x) = b(x; 10, 0,4) 0.3 6 •

0.2

........ ................• ................• ................• •................•.

1.00 6

•

0.50 • •

•

•.................

0.75

•

•

0.1

F (x)

•................. •.................

0.25

................• .......................................................................................................................................• .................• .................• ........

•................. ................. • ................• ..................

-

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x

x

Aus dem Graf der Z¨ ahldichte wird deutlich, dass sie fast u ¨berall den Wert Null hat. Wegen ihrer speziellen Gestalt heißt eine Verteilungsfunktion F mit einem derartigen Grafen auch Treppenfunktion. 

5.3

Funktionen mit Parametern

165

Beispiel
Die 377
Dichtefunktion einer 378
Exponentialverteilung mit Parameter 1 ist die st¨ uckweise definierte Funktion (Graf s. 165
Beispiel Para-

meterabh¨angige Funktionen mit λ = 1)  e−t , t ≥ 0 . f (t) = 0, t<0

B



5.3

5.3 Funktionen mit Parametern In der Statistik werden oft Funktionen benutzt, die neben einer Variablen noch weitere Unbekannte in ihrer Abbildungsvorschrift beinhalten. Diese Unbekannten werden als Parameter bezeichnet (vgl. auch 231
Gleichungen mit Parametern). Bei der Analyse von Funktionen mit Parametern ist daher zu beachten, welche Unbekannte als Argument der Funktion bzw. welche Unbekannte(n) als Parameter interpretiert werden. Zur Unterscheidung werden Parameter oft als Indizes an den Funktionsnamen geschrieben (z.B. fµ , gλ , ha ).∗ Zur Illustration wird das folgende Beispiel herangezogen. Beispiel
Parameterabh¨ angige Funktionen Mittels des Parameters λ > 0 wird

durch die Vorschrift fλ (x) = λe−λx ,

x ≥ 0,

eine parameterabh¨angige Funktion definiert. F¨ ur jedes feste λ > 0 ergibt sich 1 −x 2 eine spezielle Funktion: f 12 (x) = 2 e , f1 (x) = e−x , f2 (x) = 2e−2x . Die Grafen dieser Funktionen bilden eine so genannte Kurvenschar und werden in einer Grafik gemeinsam dargestellt. 2

6f (x)

... λ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...... ... ...... ... ..... ... ...... ... ...... . ...... ....... ........ ....... .... ........ ..... ............. .......... ... ... ... ... ................. ... ... ... ... .. ... ..... . ... ... ... ... . .. ... ... ... ........................................ ............. ... ... .................. ......... . ... ....................... ... 1 ... ........................... ... ... ... ... ... ........... .............................. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .............. 2 ..................................... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ................... .... .............................. ............................................................................................................................................................. .............................

λ=2

1 1 2

λ=1 λ=

-

0 ∗ Parameter

1

x

werden oft mit kleinen 433
griechischen Buchstaben bezeichnet.

B

166

5. Funktionen

Eine weitere, in der Statistik wichtige parameterabh¨angige Funktion ist durch 2 1 1 fµ (t) = √ e− 2 (t−µ) , 2π

t ∈ R,

definiert. Der Parameter µ kann eine beliebige reelle Zahl sein. Der griechische Buchstabe π bezeichnet die Kreiszahl π = 3,1415 . . . und ist damit eine Konstante. F¨ ur verschiedene Werte von µ wird der Graf von fµ verschoben. 6

... ... ........... ....... ....... ....... .......... ..... ..... ... . .... ... ... ... .... ..... ... ... ... ..... ... ... ... .. .. ... ... . . . . ... . .. .. .. .... .... .. ... ... .. .. .. .. .. . . .. .. ... .. .. .. ..... .. .. . ... . . .. .. .. . ... . . . .. . . . . . . . .. .... . . . . ... . . . . . . . .. ... .. .. . ...... . .. . . . ... . . . .. . . . . .. . ... . . . . . . .. .. . µ .. . ... . . . . . .. .. .. ... . .. .. . .... . . . . . . . . ... ... ... . . . .. . . . . . ... . ... ... . .. . . .. . . ... . . . . . . ... . . ... . . . . ... . . . . . . . . . ... ... ... . .. . .. . . . . . . ... . . . . ....... .... ... .. .. .. . .... . . . . . . . . . . . . ..... ...... . ... ......... ... . . . . . . . ...... . . . . . . . ...... ....... .... .... .... ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............... ........................... ............ ............... ............... .. ..

f (t)

µ = −4

µ=0

t

µ=2

Entsprechend k¨ onnen auch mehrere Parameter vorkommen: 2 1 1 fµ,σ2 (t) = √ e− 2σ2 (t−µ) , 2 2πσ

t ∈ R,

wobei µ ∈ R und σ 2 > 0 vorausgesetzt wird. Die Funktion fµ,σ2 ist die 377
Dichtefunktion der zweiparametrigen 380
Normalverteilung. F¨ ur festes µ bestimmt der Parameter σ 2 die Abweichung von µ. Je kleiner σ 2 ist, desto steiler ist die Kurve in der N¨ ahe von µ. Wird σ 2 gr¨oßer, so flacht die Kurve ab. Die Form selbst ( Glockenform“) wird aber weder durch µ noch durch ” σ 2 beeinflusst. 6

σ2 =

1 4

............ ... .... ... .. .. .. ... .... . . ... .. .... ... ... ... ... ... ... .... 2 ... . . . . . . . . . ... .... ... µ,σ 2 .... ....... .. ....... .... ... ... ... ... ... ... ... ...... ..... ... .... ...... . ... ....... .. ... ...................... ..... ............ .... ............ ......... . 2 .......... ............ . ..... .. ....... . . ......... . . .. ... ..... .. ....... ... ........ ...... .. .. ........ ... ... ........ . . . . . . ... ... ..... . ... .... ... . . ... .... .... .. .... ... . . . ... ... ..... . . . ... ... ... . . . ... ... ...... . . .... .... ... ... .... ....... . . . . .. ... .... ....... .... ..... .... . . . . . . . ....... ... ...... . ... .. .... . . . . . .. . . .... . . . . . ...... ............ ......... ...... .............. ................... . . . . . . . . . . . . . .................................. ................ ............ . ........................................ .......... ....... ........................................... ..

f

(t)

σ =1

σ =4

-

µ=2

t



5.4

Verkn¨ upfung von Funktionen

167

5.4 Verkn¨ upfung von Funktionen

5.4

Funktionen werden auf unterschiedliche Weise miteinander verkn¨ upft. Zu den Verkn¨ upfungen mittels elementarer Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) kommt noch die Verkettung. Verkn¨ upfung mittels elementarer Rechenoperationen

Die Verkn¨ upfung zweier Funktionen mittels elementarer Rechenoperationen wird durch die Anwendung dieser Operationen auf die Funktionswerte definiert, d.h. die Summe f + g der Funktionen f und g hat die Funktionswerte f (x) + g(x). Definition Verkn¨ upfung mittels elementarer Rechenoperationen Seien f : D −→ R und g : D −→ R Funktionen auf dem selben Definitionsbereich D. Dann wird

die Summe f + g definiert durch

f + g : D −→ R, x −→ f (x) + g(x), die Differenz f − g definiert durch

f − g : D −→ R, x −→ f (x) − g(x), das Produkt f · g definiert durch

f · g : D −→ R, x −→ f (x) · g(x), der Quotient

f g

definiert durch

f (x) f : D \ N −→ R, x −→ , g g(x) wobei N = {x ∈ D | g(x) = 0} die Menge aller Nullstellen von g ist.

Bei der Definition dieser Verkn¨ upfungen kann der Definitionsbereich i.Allg. beibehalten werden. Eine Einschr¨ ankung stellt die Quotientenbildung dar, bei der die 158
Nullstellen der Funktion im Nenner zun¨achst ausgeschlossen werden m¨ ussen. Eine separate Definition der Funktion an diesen Stellen ist nat¨ urlich m¨ oglich und oft auch sinnvoll.



168

B

5. Funktionen

Beispiel


In den folgenden Beispielen werden jeweils Funktionen f und g mittels elementarer Rechenoperationen verkn¨ upft. (i) f : R −→ R, f (x) = x2 , g : R −→ R, g(x) = x2 + 1 Summe: f (x) + g(x) = 2x2 + 1 Differenz: f (x) − g(x) = −1 Produkt: f (x)g(x) = x4 + x2 2 (x) Quotient: fg(x) = x2x+1 , wobei wegen g(x) = x2 + 1 ≥ 1 der Nenner keine Nullstelle hat. Daher wird D = R gew¨ahlt. Die zugeh¨ origen Grafen sind in der folgenden Grafik gemeinsam dargestellt. ... .. .. ... .. .. ... ... .. .. .. .. .. ... .. .. . .. . . .. . ... .. . . . . .. . ... .. .. ... ... ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... ... ... .... ... ... ... .. ... ... .. .. ... ... ... .. .. ... ... .. .. . . . . ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... .. .. ... ... .. ... .... ... .. ... .. . .. .. .. ... ... .. .. .. .. .. .. ... .. ... .. .. . . .. .. .. .. ... ... .. ... ... ... ... .. ... ... ... ... ...... ........ ...... ..... ..... ..... ... .. ..... ..... . . . ...... ... ...... ... . ... ... ... ... ... .... ... .. ... .... ... .... . . ... ..... .. . .... .. ... ..... ..... ... ..... ... ..... ... ........ ... .......................... .. .................................................................................... .................. . . . ..................... ..... ... .................................................................... ................... .... .................... .................. ............... ..........................

6

f ·g

f +g

f g

x

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................

f −g

(ii) f : R −→ R, f (x) = x2 , g : R −→ R, g(x) = x + 1 Wegen g(−1) = 0 muss der Wert −1 in der Definition des Quotienten ausgeschlossen werden: f (x) x2 = , g(x) x+1

x ∈ R \ {−1}.

(iii) f : R −→ R, f (x) = x2 − 1, g : R −→ R, g(x) = x + 1 Zun¨ achst ergibt sich wie oben D = R \ {−1}. Wegen x2 − 1 (x − 1)(x + 1) f (x) = = = x − 1, g(x) x+1 x+1

x ∈ R \ {−1},

stimmt der Quotient auf D mit der linearen Funktion h(x) = x − 1 u ¨berein. Es liegt daher nahe, die Quotientenfunktion an der Stelle x = −1 durch die Definition fg (−1) = −2 zu erg¨anzen. 

5.4

Verkn¨ upfung von Funktionen

169

Im obigen Verst¨ andnis sind 160
lineare Funktionen das Ergebnis der Verkn¨ upfung dreier Funktionen: f (x) = a + bx = k(x) + h(x) · g(x) mit g(x) = x und den konstanten Funktionen h(x) = b und k(x) = a. Entsprechend ist ein 161
Polynom die Summe aus dem Produkt von Monomen mit konstanten Funktionen. Eine gebrochen rationale Funktion ist der Quotient zweier Polynome. Verkettung von Funktionen

Die Verkettung von Funktionen wird definiert als die Hintereinanderausf¨ uhrung von Operationen. Beispiel
F¨ ur g : R −→ R, g(x) = ex , f : R −→ R, f (z) = z 3 − 1 wird eine

B

Zahl x ∈ R zun¨ achst auf z = g(x) abgebildet. Dieser Wert wird dann durch f auf die Zahl f (z) abgebildet: g

f

−→ f (z) = f (g(x)) = f (ex ) = (ex )3 − 1 = e3x − 1.  x −→ z = g(x) = ex − Definition Verkettung von Funktionen Seien f, g Funktionen mit g : D −→ V und f : V −→ W.



Die Funktion f ◦ g : D −→ W, x −→ f (g(x)), definiert durch die Hintereinanderausf¨ uhrung von f und g , heißt Verkettung von f und g .

Bei der Verkettung f ◦ g von Funktionen f und g ist zu beachten, dass die relevanten Funktionswerte von g im Definitionsbereich von f liegen m¨ ussen, da sonst evtl. f (g(x)) f¨ ur ein x im Definitionsbereich von g nicht erkl¨art ist. Diese wichtige Voraussetzung bei der Verkettung von Funktionen wird durch das folgende Diagramm illustriert. g f x

D

g(x)

V

• f (g(x)) W

f ◦g Entsprechend k¨ onnen unter Beachtung der Definitionsbereiche auch mehr als zwei Funktionen verkettet werden. Die Verkettung von f, g, h wird definiert als f ◦ (g ◦ h) mit den Funktionswerten f (g(h(x))). Durch die Definition ist unmittelbar klar, dass die Klammern nicht gesetzt werden m¨ ussen. Es gilt




170

5. Funktionen

n¨ amlich f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h, so dass die Verkettung assoziativ ist. Daher wird auch die Notation f ◦ g ◦ h verwendet. Das folgende Beispiel zeigt u.a., dass die Verkettung i.Allg. nicht vertauschbar ist, d.h. i.Allg. gilt f ◦ g = g ◦ f . Beispiel
Die folgenden Beispiele illustrieren, wie die Verkettung von Funk-

B

tionen ausgef¨ uhrt wird. (i) Seien f : R −→ R, x −→ x3 und g : R −→ R, y −→ −2y. Dann definieren die Vorschriften f (g(y)) = (−2y)3 = −8y 3 und g(f (x)) = −2(x3 ) = −2x3 die Verkettungen f ◦ g und g ◦ f . In dieser Situation k¨ onnen aufgrund der Definitions- und Wertebereiche beide Verkettungen gebildet werden. (ii) Seien f : (0, ∞) −→ R, x −→ ln(x) und g : R −→ (0, ∞), y −→ e3y . Dann definieren f (g(y)) = ln(e3y ) = 3y und g(f (x)) = e3ln(x) =  (eln(x) )3 = x3 die Verkettung von f und g bzw. von g und f . Die 377
Dichtefunktion der 380
Standardnormalverteilung ist 1 2 gegeben durch ϕ(t) = √12π e− 2 t , t ∈ R. ϕ ist somit eine Verkettung der durch f (x) = √12π e−x definierten Exponentialfunktion und der durch g(t) = 12 t2 definierten quadratischen Funktion, d.h. ϕ(t) = f (g(t)).  Beispiel


B




5.5

Bei der Auswertung verketteter Funktionen kann es leicht zu Fehlern kommen, wenn die Reihenfolge der Verkettung nicht beachtet wird. Die durch f (x) = 3x definierte Funktion wird an der Stelle z = x − 1 ausgewertet als f (z) = f (x − 1) = 3x−1 . Das Ergebnis ist daher nicht 3x − 1.

5.5 Eigenschaften von Funktionen Monotonie

Aus dem Verlauf des Grafen der durch f (x) = x2 definierten quadratischen Funktion ist ersichtlich, dass der Graf bei Betrachtung von links nach rechts zun¨ achst f¨ allt und dann ansteigt. Diese Beobachtung gibt das Monotonieverhalten der Funktion wieder, das folgendermaßen definiert wird.


Definition Monotonie einer Funktion Eine Funktion f : [a, b] −→ W heißt

(streng) monoton wachsend im Intervall [a, b], wenn f¨ ur alle x, y ∈ [a, b] mit x < y die Beziehung f (x) ≤ f (y) (f (x) < f (y)) gilt. (streng) monoton fallend im Intervall [a, b], wenn f¨ ur alle x, y ∈ [a, b] mit x < y die Beziehung f (x) ≥ f (y) (f (x) > f (y)) gilt.

5.5

Eigenschaften von Funktionen

171

Beispiel


..... ..... .... ..... . . . . .... .... ..... .... .... . . . . .. ..... ..... ..... .... . . . . .... ..... .... .... .... . . . . .. ..... ... .... .... .... . . . ... .... ..... .... ..... . . . ..... .... ..... .... .... . . . ..... .... ..... .... .... . . . ..

.. .. ... .. .. .. .. .. ... ... .. .. .. ... ... ... ... .... ...... ............................ ....... .... ... ... ... ... .. .. .. ... ... .. .. .. .. .. ... ... ..

6

6

5

1

-

−2

0

B

−2

2

0

-

2

−5

f : R −→ R, f (x) = x

g : R −→ R, g(x) = −x3 + 1

f ist streng monoton wachsend: Mit wachsendem x-Wert w¨ achst f (x).

g ist streng monoton fallend: Mit wachsendem x-Wert f¨allt g(x). 

Die Monotonie der Funktionen f und g ist im obigen Beispiel direkt am Graf der Funktionen erkennbar. Jedoch ist zu beachten, dass der Graf Eigenschaften andeuten kann, die sich bei genauerer Betrachtung als falsch erweisen. Das Auge kann get¨auscht werden, wenn die Aufl¨osung zu grob ist. Beispiel
Die Funktion f : R −→ R, f (t) = t3 − t2 − t wird in den Bereichen

[−2, 2], [−5, 5], [−10, 10] dargestellt. W¨ ahrend im ersten Grafen deutlich erkennbar ist, dass f nicht monoton wachsend ist, ist dies in den beiden anderen Grafen der selben (!) Funktion mit gr¨ oßerem Definitionsbereich kaum bzw. nicht erkennbar. Wesentlich ist hierbei der Maßstab auf der 62
Ordinate. 6 5

50

.. .. ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... .. .... ......... ..... ........................ ... ... ... .. . ... ... ... .... .. .. .. .. .... .. ... ... .... .. ..

t

−2

−5

.. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .... .. ... ... .. . .. .. .. ... .... . . . .. ............................. ....... .... .... ... . .. .. ... .. .. . . ... .. .. .. ... ... .. .. .. ... . .. .. ..

6

2

t

−5

−50

5

6

.. .. .. .. .. ... . .. .. ... .. . . ... .. ... .. . . ... .... .... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... ...... .... .... .... .. . . .. ... .. .. ... .. .. .. .. .... .. ... ... .... ..

500

t

−10

10

−500






B

172

5. Funktionen

Das obige Beispiel zeigt, dass eine Betrachtung des Grafen nur Anhaltspunkte geben kann, jedoch nicht ausreicht, um die Monotoniebereiche festzulegen. Dazu sind mathematische Verfahren erforderlich. An zwei einfachen Beispielen wird zun¨ achst gezeigt, wie dies prinzipiell durchgef¨ uhrt werden kann. B

Beispiel


(i) F¨ ur eine lineare Funktion f : R −→ R, f (x) = a + bx, k¨onnen die Monotoniebereiche wie folgt bestimmt werden. F¨ ur x, y ∈ R mit x < y gilt f (x) < f (y) ⇐⇒ a + bx < a + by. Mit einfachen Mitteln (s. 287
Kapitel 8) kann gefolgert werden x
f (x) < f (y) ⇐⇒ 0 < b(y − x) ⇐⇒ 0 < b, d.h. f ist streng monoton wachsend f¨ ur 0 < b. (ii) Die durch f (x) = x2 + 1 definierte quadratische Funktion kann mittels ur x < y gilt einer 16
binomischen Formel untersucht werden. F¨ f (x) < f (y) ⇐⇒ x2 + 1 < y 2 + 1 ⇐⇒ 0 < y 2 − x2 . Die Anwendung der dritten binomischen Formel ergibt x
0 < (y − x)(y + x) ⇐⇒ 0 < y + x. Daher folgt f¨ ur x, y ∈ (0, ∞) mit x < y die Ungleichung f (x) < f (y), d.h. f ist streng monoton steigend. F¨ ur x, y ∈ (−∞, 0) mit x < y gilt x + y < 0, so dass f (x) > f (y), d.h. f ist streng monoton fallend.  Die obigen Beispiele zeigen, dass die verwendeten (elementaren) Methoden bereits bei einfachen Funktionen zu vergleichsweise aufw¨andigen Untersuchungen f¨ uhren. Daher wird an dieser Stelle auf eine detailliertere Darstellung der Monotonie verzichtet. Die Fragestellung wird in 398
Kapitel 12.1 nochmals aufgegriffen und dort mit den Methoden der Differenzialrechnung behandelt. Zum Abschluss werden noch Monotonieeigenschaften einiger grundlegender Funktionen in einer Tabelle zusammengestellt.

5.5

Eigenschaften von Funktionen

173

Streng monotone reellwertige Funktionen f (x) a + bx

D R

xn

R

1 xn 1 xn

(0, ∞) (−∞, 0)

ln(x) ex e−x

(0, ∞) R R

Monotonieverhalten streng monoton wachsend, falls b > 0 streng monoton fallend, falls b < 0 streng monoton wachsend, falls n ungerade streng monoton wachsend auf [0, ∞), falls n gerade streng monoton fallend auf (−∞, 0], falls n gerade streng monoton fallend streng monoton wachsend, falls n gerade streng monoton fallend, falls n ungerade streng monoton wachsend streng monoton wachsend streng monoton fallend

Beschr¨ anktheit

W¨ ahrend das Monotonieverhalten einer Funktion deren Wachstumsverhalten beschreibt, f¨ uhrt die Untersuchung der Beschr¨anktheit auf eine genauere Analyse des 154
Wertebereichs einer Funktion. Definition Beschr¨ anktheit einer Funktion Eine Funktion f : D −→ R mit D ⊆ R heißt

beschr¨ankt, falls es eine Zahl B > 0 gibt mit

−B ≤ f (x) ≤ B

f¨ ur alle x ∈ D.

nach unten beschr¨ankt, falls es eine Zahl B ∈ R gibt mit

B ≤ f (x) f¨ur alle x ∈ D. nach oben beschr¨ankt, falls es eine Zahl B ∈ R gibt mit

f (x) ≤ B

f¨ ur alle x ∈ D.

Ist f nicht (nach oben/unten) beschr¨ankt, so heißt f (nach oben/unten) unbeschr¨ankt.

Beschr¨ anktheit bedeutet somit, dass das 154
Bild der Funktion in einem Intervall [−B, B] enthalten ist, d.h. f (D) ⊆ [−B, B]. Insbesondere ist eine Funktion genau dann beschr¨ ankt, wenn sie sowohl nach oben als auch nach unten beschr¨ ankt ist.



174

B

5. Funktionen

Beispiel


Die konstante Funktion f : R −→ R, f (x) = 1 ist offenbar beschr¨ ankt, da alle Funktionswerte im Intervall [−1, 1] enthalten sind. Die Funktion g : R −→ R, g(x) = x2 , ist wegen x2 ≥ 0 nach unten durch 0, aber nicht nach oben beschr¨ ankt. Entsprechend ist die Funktion h : R −→ R, ankt, aber nach unten unbeschr¨ankt. h(x) = 1 − x2 nach oben durch 1 beschr¨ Die Funktion k : R −→ R, k(x) = x ist unbeschr¨ankt. Jede Zahl B > 0 wird u ¨ berschritten, da etwa mit x = B + 1 gilt f (x) = B + 1 > B. Analog wird die Zahl −B unterschritten (etwa mit x = −B − 1).  Ob eine Funktion beschr¨ ankt ist, h¨ angt insbesondere von ihrem Definitionsbereich ab. Die Funktion k : R −→ R, k(x) = x ist nach obigem Beispiel unbeschr¨ankt. Wird der Definitionsbereich hingegen auf das Intervall [0, 1] eingeschr¨ankt, resultiert offenbar das Bild k([0, 1]) = [0, 1]. Somit ist k : [0, 1] −→ R beschr¨ ankt. Die Beschr¨ anktheit einer Funktion ist insbesondere bedeutsam bei der Bestimmung 403
globaler Extrema. Injektivit¨ at, Surjektivit¨ at, Bijektivit¨ at

Bei der Definition einer Funktion f wird jedem Element des Definitionsbereichs D ein Element des Wertebereichs W zugeordnet. Aus der Definition ergeben sich jedoch keine Forderungen an die Elemente des Wertebereichs W. Das folgende Beispiel zeigt, welche Eigenschaften die Funktion im Hinblick auf die Elemente des Wertebereichs haben kann. B

Beispiel
Die Funktion f : {1, 2, 3} −→ {4, 5, 6} sei definiert durch f (1) = 4,

f (2) = 6, f (3) = 4. Dabei wird deutlich, dass die Elemente der Wertemenge W = {4, 5, 6} unterschiedlich behandelt werden: Der Wert 4 tritt als Funktionswert zweimal auf, w¨ ahrend 5 u ¨ berhaupt nicht vorkommt. Das Element 6  tritt einmal als Funktionswert auf. Diese Beobachtungen f¨ uhren zur Definition der folgenden Begriffe.


Definition Injektivit¨ at, Surjektivit¨at, Bijektivit¨at Sei f : D −→ W eine Funktion.

ochstens einem Ele1. f heißt injektiv, wenn jedes Element des Wertebereichs h¨ ment des Definitionsbereichs zugeordnet wird, d.h. f¨ ur alle x, y ∈ D mit x = y gilt f¨ ur die Funktionswerte f (x) = f (y). 2. f heißt surjektiv, wenn alle Elemente des Wertebereichs Funktionswerte sind, d.h. f¨ ur alle w ∈ W gibt es (mindestens) ein d ∈ D mit f (d) = w.

5.5

Eigenschaften von Funktionen

175

3. f heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist, d.h. jedes Element des Wertebereichs wird genau einem Element des Definitionsbereichs zugeordnet: F¨ ur alle w ∈ W gibt es genau ein d ∈ D mit f (d) = w. Beispiel
Eigenschaften von Funktionen

B

(i) Die Funktion f : {2, 3, 5} −→ {2, 4, 6, 8} mit f (2) = 2, f (3) = 6, f (5) = 4 ist injektiv, aber nicht surjektiv. Alle Funktionswerte sind verschieden, aber es gibt kein d ∈ {2, 3, 5} mit f (d) = 8. D

2

2

3

4

5

6

W 8

(ii) f : {1, 2, 3} −→ {4, 5} mit f (1) = 4, f (2) = 5, f (3) = 4 ist surjektiv, aber nicht injektiv, da f (1) = f (3) = 4. D

1

4

2

5

W

3

(iii) f : {1, 2, 3} −→ {4, 5, 6} mit f (1) = 6, f (2) = 5, f (3) = 4 ist bijektiv. D

1

4

2

5

3

6

W

(iv) f : {1, 2, 3} −→ {4, 5, 6} mit f (1) = 5, f (2) = 5, f (3) = 6 ist weder injektiv noch surjektiv. D

1

4

2

5

3

6

W



176

5. Funktionen

Beispiel


Die Funktion f : R −→ R, f (x) = x ist injektiv, surjektiv und damit auch bijektiv. Am Grafen der Funktion ist direkt abzulesen, dass jedem x ∈ R genau ein y = f (x) ∈ R zugeordnet wird. 

B

Ob eine Funktion surjektiv, injektiv oder bijektiv ist, h¨angt nicht nur von der Abbildungsvorschrift ab, sondern auch von Definitions- und Wertebereich. Das folgende Beispiel zeigt, dass eine Abbildung je nach Wahl dieser Bereiche surjektiv, injektiv oder bijektiv sein kann. Beispiel


Die Funktion g : R −→ R, g(x) = x2 ist weder injektiv (z.B. gilt g(1) = 1 = g(−1)) noch surjektiv (z.B. ist −1 kein Funktionswert). Wird g als Funktion von R nach g(D) = {g(x)|x ∈ D} = [0, ∞) aufgefasst, so ist sie zwar surjektiv, jedoch immer noch nicht injektiv. Eine Einschr¨ankung des Definitionsbereichs auf das Intervall [0, ∞) liefert eine bijektive Abbildung g : [0, ∞) −→ [0, ∞) mit g(x) = x2 .

B

g : R → R, g(x) = x2

g : [0, ∞) → [0, ∞), g(x) = x2

.. . .. .. .. .. .. .. ... ... ... . . ... .. ... ... .. .. .. .. .. .. . . .. . ... .. ... ... ... .. ... ... . . ... ... .... ......................

. .. .. .. ... . . ... .. ... .. .. . . .. ... .. .. . . . ... .... ..........

x

x

6

-

6

-

 Aus dem obigen Beispiel l¨ asst sich folgende allgemeing¨ ultige Aussage ableiten:




Surjektivit¨ at kann immer durch Einschr¨ ankung des Wertebereichs, Injektivit¨ at durch Einschr¨ ankung des Definitionsbereichs erreicht werden. Umkehrfunktion

Mit Hilfe der Verkettung von Funktionen wird der Begriff der Umkehrfunktion erkl¨ art.


Definition Umkehrfunktion Sei f : D −→ W eine bijektive Funktion.

Eine Funktion g : W −→ D mit g(f (x)) = x f¨ ur alle x ∈ D und f (g(y)) = y f¨ ur alle y ∈ W heißt Umkehrfunktion zu f . Sie wird mit f −1 bezeichnet.

5.5

Eigenschaften von Funktionen

177

Beispiel
An 175
Beispiel Eigenschaften von Funktionen (iii) wird die Um-

B

kehrfunktion illustriert, indem die Pfeile eine andere Richtung erhalten. Die Umkehrfunktion f −1 : {4, 5, 6} −→ {1, 2, 3} zu f : {1, 2, 3} −→ {4, 5, 6} mit f (1) = 6, f (2) = 5, f (3) = 4 ist gegeben durch f −1 (6) = 1, f −1 (5) = 2, f −1 (4) = 3. f f −1 1 4 1 4 D W D W 2

5

2

5

3

6

3

6

Aus der Grafik ist direkt ersichtlich, dass die Verkettungen f ◦ f −1 (w) bzw.  f −1 ◦ f (d) stets das Argument liefern. F¨ ur Funktionen f : D −→ R mit D ⊆ R ergibt sich eine einfache Interpretation mittels des Grafen von f . Die Richtung des Pfeils demonstriert die Richtung der Abbildung. .. ... .. .. .. ...................... ..... ..... .. .... .. ... .. ... .. ... ... .. ... .. ... .. .... ...... .. ............................ ....... .. .... .. ... ... ... ... .. .. .. ... ... .. .. .. .. .. ... .. ..

6 - y = f (x)

x

.. ... .. .. .. ...................... ..... ..... .. .... .. ... .. ... .. ... ... .. ... .. ... .. .... ...... .. ............................ ....... .. .... .. ... ... ... ... −1 .. .. .. ... ... .. .. .. .. .. ... .. ..

6

y

-

?

x=f

-

(y)

Die Bijektivit¨ at einer Funktion ist ¨ aquivalent zur Existenz einer Umkehrfunktion. Beispiel
Die durch f (x) = x2 auf R definierte quadratische Funktion be-

sitzt keine Umkehrfunktion, denn f hat f¨ ur x = −1 und x = 1 den selben  Funktionswert f (1) = 1 = f (−1) und ist daher nicht bijektiv. Eindeutigkeit der Umkehrfunktion Die Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion f ist eindeutig bestimmt, d.h. es gibt genau eine Umkehrfunktion zu einer Funktion f . Die Umkehrfunktion zu f −1 ist f , d.h. (f −1 )−1 = f .


B

178

5. Funktionen

Aus diesem Resultat folgt: Ist g Umkehrfunktion zu f , dann ist f Umkehrfunktion zu g. Deshalb wird i.Allg. nur die Eigenschaft g ist Umkehrfunktion zu f benannt, womit jedoch implizit klar ist, dass auch die Eigenschaft f ist Umkehrfunktion zu g zutrifft. B

Beispiel


(i) g : R −→ R, g(y) = 15 y, ist Umkehrfunktion zu f : R −→ R, f (x) = 5x denn f¨ ur alle x, y ∈ R gilt jeweils f (g(y)) = 5 15 y = y und g(f (x)) = 1 −1 . 5 (5x) = x. Also folgt g = f (ii) Die (nat¨ urliche) Logarithmusfunktion g : (0, ∞) −→ R, g(y) = ln(y), ist Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion f : R −→ (0, ∞), f (x) = ex , ur alle y ∈ (0, ∞) und g(f (x)) = ln(ex ) = x denn f (g(y)) = eln(y) = y f¨ f¨ ur alle x ∈ R. Also gilt g = f −1 . √ (iii) Die Funktion g : [0,∞) −→ [0,∞), g(y) = y, ist nicht Umkehrfunktion 2 ur alle y ≥ 0 gilt zwar die Beziehung zu f : R −→ [0, ∞), f (x) = x . F¨ √ 2 f (g(y)) = y = y. Die Verkettung g ◦ f liefert jedoch f¨ ur x ∈ R die 89
Identit¨ at g(f (x)) = |x|, was f¨ ur x < 0 von x verschieden ist. Wird die Funktion f auf die positive Halbachse eingeschr¨a√ nkt, d.h. f : [0, ∞) −→ [0, ∞), f (x) = x2 , so gilt auch g(f (x)) = x2 = x f¨ ur alle x ≥ 0. Somit ist f Umkehrfunktion zu g, wenn der Definitionsbereich von f auf [0, ∞) eingeschr¨ ankt wird.  Die Grafen von Funktion und Umkehrfunktion weisen eine interessante Beziehung auf: Die zugeh¨ origen 63
Kurven sind Spiegelungen an der Winkelhalbierenden.

f1 (t) =

√

f1 (t) = et , f2 (t) = ln(t)

t, f2 (t) = t2

. .. .. ... .. ... .. .. .. . . . .. ... .. ... .. .. ... .... .. .... ........ . ........ ... .. ........ .................... . ........ ....... .......... ...... .... .............. . . . . .... .... .... . .... .... .... ..... .... . .. ... .... ...... . . .. ... ....... . . . ...... . . .. .. .. .... ........... ................

. .. ... ... ... .. ... . .. . . . ... ... ... ... ... .. ... ... . . . . . . . ............. .. .......... ..... ... ........ ....... .... ...... ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................. .. .... .... ... .... ... .. ... .. . . . . ... ... ... ... ... ... ... .. . . . . . .. ... .. ... .. ... ... ....

6

6

-

-

Die folgende Eigenschaft formuliert ein einfaches Kriterium f¨ ur die Existenz einer Umkehrfunktion.

5.6

Aufgaben

179

Monotonie und Umkehrfunktion Eine streng monotone Funktion f ist bijektiv, falls der Wertebereich auf ankt wird, d.h. eine streng monotone Funktion das 154
Bild von f eingeschr¨ besitzt stets eine Umkehrfunktion auf ihrem Bild. Die Umkehrfunktion einer 377
Verteilungsfunktion wird in der Statistik Quantilfunktion genannt. Beispiel
Quantilfunktion Im Fall der 378
Exponentialverteilung ist die Ver-

B

teilungsfunktion F : R −→ [0, 1) definiert durch  0, x<0 . F (x) = −x 1−e , x≥0 Damit ist zun¨ achst klar, dass die Umkehrfunktion im obigen Verst¨andnis lediglich auf dem Intervall [0, ∞) existiert. Die Quantilfunktion auf diesem Bereich ist gegeben durch F −1 : [0, 1) −→ R mit F −1 (y) = − ln(1 − y), denn ur alle y ∈ [0, 1) F ( F −1 (y) ) = 1 − e−( − ln(1 − y) ) = 1 − (1 − y) = y f¨ F

−1

( F (x) ) = − ln(1 − ( 1 − e

−x

)) = − ln(e

−x

) = x f¨ ur alle x ∈ [0, ∞).

und  5.6

5.6 Aufgaben Geben Sie an, welche der Zuordnungen mit Definitionsbereich D = {a, b, c, d} und Wertebereich W = {a, c, e} Funktionen von D nach W sind. Aufgabe 5.1

(a) (a, a),

(b, a),

(c, a),

(d, a)

(b) (a, a),

(c, c)

(c) (b, a),

(c, c),

(d, e)

(d) (b, c),

(c, e),

(d, a),

(a, c)

(e) (a, a),

(b, a),

(a, c),

(d, c)

(f) (a, e),

(b, c),

(d, a),

(c, e)

(g) (a, a),

(b, a),

(c, c),

(c, e),

(h) (a, c),

(b, c),

(c, e),

(d, b)

(d, a)

181
L

180

182
L

5. Funktionen

Pr¨ ufen Sie folgende Funktionen auf Injektivit¨at, Surjektivit¨at und Bijektivit¨at. Aufgabe 5.2

(a) f : R −→ R, f (x) = 2x + 3 (b) f : [0, 1] −→ [0, 4], f (x) = x2 (c) f : [0, 2] −→ [0, 16], f (x) = 2x3 (d) f : R −→ (0, ∞), f (x) = ex + 1 (e) f : [0, 2] −→ [0, 1], f (x) = ½[0,1] (x) (f) f : R \ {0} −→ R \ {4}, f (x) =

1 x

+4

(g) f : [−1, 1] −→ [1, 2], f (x) = x2 + 1 182
L

Verketten Sie die Funktionen f und g zu f ◦ g und g ◦ f . Die Definitionsbereiche der Funktionen k¨ onnen als geeignet angenommen werden.

Aufgabe 5.3

(a) f (x) = 2x, g(y) = y 2 (b) f (x) = 4x3 , g(y) =

2 y

(c) f (x) = e3x , g(y) = ln(y + 13 ) (d) f (x) = 2x2 − 4x + 1, g(y) = y 2 − 1 " √ (e) f (x) = x x, g(y) = 16y 4 (f) f (x) = (x − 1)(x − 2), g(y) = ½(0,∞) (y) 183
L

Aufgabe 5.4

Bestimmen Sie zu folgenden Funktionen die Umkehrfunktion.

(a) f : [−1, 1] −→ [−5, 1], f (x) = 3x − 2 (b) f : [0, ∞) −→ [0, ∞), f (x) = x4 (c) f : R −→ (0, ∞), f (x) = 12 e3x (d) f : (0, ∞) −→ R, f (x) = lg(x2 ) (e) f : R −→ (1, ∞), f (x) = 3ax + 1 mit a = 0 (f) f : {0, 1} −→ {0, 1}, f (x) = ½{0} (x)

5.7

L¨ osungen

181

Zeigen Sie jeweils, dass F −1 die 179
Quantilfunktion zur Verteilungsfunktion F ist (α > 0, y ∈ (0, 1)).

Aufgabe 5.5

183
L

x > 1, F −1 (y) = (1 − y)−1/α ! 2 (b) F (x) = 1 − e−αx , x > 0, F −1 (y) = − α1 ln(1 − y) (a) F (x) = 1 −

1 xα ,

(c) F (x) = xα , x ∈ (0, 1), F −1 (y) = y 1/α !    1 (d) F (x) = 1 − α ln(x)+1 , x > 1, F −1 (y) = exp α1 [1 − y 2 ]−1 − 1

5.7 L¨ osungen L¨ osung 5.1 (a) (a, a), (b, a), (c, a), (d, a) definiert eine Funktion, denn jedem Element aus D wird genau ein Element aus W zugeordnet. (b) (a, a), (c, c) definiert keine Funktion, denn den Elementen b und d aus D wird kein Element aus W zugeordnet. (c) (b, a), (c, c), (d, e) definiert keine Funktion, denn dem Element a aus D wird kein Element aus W zugeordnet. (d) (b, c), (c, e), (d, a), (a, c) definiert eine Funktion, denn jedem Element aus D wird genau ein Element aus W zugeordnet. (e) (a, a), (b, a), (a, c), (d, c) definiert keine Funktion, denn dem Element c aus D wird kein Element aus W zugeordnet und dem Element a aus D werden zwei Elemente aus W zugeordnet. (f) (a, e), (b, c), (d, a), (c, e) definiert eine Funktion, denn jedem Element aus D wird genau ein Element aus W zugeordnet. (g) (a, a), (b, a), (c, c), (c, e), (d, a) definiert keine Funktion, denn dem Element c aus D werden zwei Elemente aus W zugeordnet. (h) (a, c), (b, c), (c, e), (d, b) definiert keine Funktion, denn (d, b) ist keine g¨ ultige Zuordnung, da b ∈ W.

5.7

179
A

182

180
A

5. Funktionen

L¨ osung 5.2 (a) f : R −→ R,

f (x) = 2x + 3 ist bijektiv, da f streng monoton wachsend ist.

(b) f : [0, 1] −→ [0, 4], f (x) = x2 ist injektiv, aber nicht surjektiv, da Werte aus dem Intervall (1, 4] nicht angenommen werden. (c) f : [0, 2] −→ [0, 16],

f (x) = 2x3 ist bijektiv.

(d) f : R −→ (0, ∞), f (x) = ex + 1 ist injektiv, aber nicht surjektiv, da Werte aus dem Intervall (0, 1] nicht angenommen werden. (e) f : [0, 2] −→ [0, 1], f (x) = ½[0,1] (x) ist nicht injektiv, da die Werte 1 und 0 mehrfach angenommen werden und nicht surjektiv, da Werte aus dem Intervall (0, 1) nicht angenommen werden. (f) f : R \ {0} −→ R \ {4}, f (x) = x1 + 4 ist bijektiv, da f streng monoton wachsend auf (0, ∞), streng monoton fallend auf (−∞, 0) und f (x) < 4, x ∈ (−∞, 0) bzw. f (x) > 4, x ∈ (0, ∞). (g) f : [−1, 1] −→ [1, 2], f (−1) = f (1) = 2). 180
A

f (x) = x2 + 1 ist surjektiv, aber nicht injektiv (z.B. gilt

L¨ osung 5.3 (a) f (x) = 2x, g(y) = y 2 , f ◦ g(y) = 2(y 2 ) = 2y 2 , (b) f (x) = 4x3 , g(x) = y2  3 f ◦ g(y) = 4 y2 = y323 ,

g ◦ f (x) = (2x)2 = 4x2

g ◦ f (x) =

 (c) f (x) = e3x , g(y) = ln y + 13 1 f ◦ g(y) = e3ln(y+ 3 ) = (y + 13 )3 ,

2 4x3

=

1 2x3

g ◦ f (x) = ln(e3x + 13 )

(d) f (x) = 2x2 − 4x + 1, g(y) = y 2 − 1 f ◦ g(y) = 2(y 2 − 1)2 − 4(y 2 − 1) + 1 = 2y 4 − 8y 2 + 7, g ◦ f (x) = (2x2 − 4x + 1)2 − 1 = 4x4 − 16x3 + 20x2 − 8x " √ (e) f (x) = x!x, g(y) = 16y 4 " √ 4 " " f ◦ g(y) = 16y 4 16y 4 = 64y 6 = 8|y|3 , g ◦ f (x) = 16 x x = 16x3 (f) f (x) = (x − 1)(x − 2), g(y) = ½(0,∞) (y) f ◦ g(y) = (½(0,∞) (y) − 1)(½(0,∞) (y) − 2), g ◦ f (x) = ½(0,∞) ((x − 1)(x − 2)) = ½(−∞,1)∪(2,∞) (x) Die Menge (−∞, 1) ∪ (2, ∞) enth¨ alt alle Werte von x, f¨ ur die das Produkt (x − 1)(x − 2) positiv ist.

5.7

L¨ osungen

183

180
A

L¨ osung 5.4 (a) f : [−1, 1] −→ [−5, 1], f (x) = 3x − 2 hat die Umkehrfunktion f −1 : [−5, 1] −→ [−1, 1], f −1 (x) = 13 (x + 2) (b) f : [0, ∞) −→ [0, ∞), f (x) = x4 hat die Umkehrfunktion √ f −1 : [0, ∞) −→ [0, ∞), f −1 (x) = 4 x (c) f : R −→ (0, ∞), f (x) = 12 e3x hat die Umkehrfunktion f −1 : (0, ∞) −→ R, f −1 (x) = 13 ln(2x) (d) f : (0, ∞) −→ R, f (x) = lg(x2 ) hat die Umkehrfunktion √ f −1 : R −→ (0, ∞), f −1 (x) = 10x (e) f : R −→ (1, ∞), f (x) = 3ax + 1 hat die Umkehrfunktion f −1 : (1, ∞) −→ R, f −1 (x) = a1 log3 (x − 1) (f) f : {0, 1} −→ {0, 1}, f (x) = ½{0} (x) hat die Umkehrfunktion f −1 : {0, 1} −→ {0, 1}, f −1 (x) = ½{0} (x) = 1 − ½{1} (x)

181
A

L¨ osung 5.5 (a) F (F

−1

(y)) = 1 −

1 ((1−y)−1/α )α

=1−

1 (1−y)−1

= 1 − (1 − y) = y

1    −α −1 = x−α α = x F −1 (F (x)) = 1 − 1 − x1α

0! 12  − α1 ln(1 − y) (b) F (F −1 (y)) = 1 − exp −α = 1 − exp (ln(1 − y))

= 1 − (1 − y) = y !   − α1 ln 1 − 1 − e−αx2 F −1 (F (x)) = x>0 α  =y (c) F (F −1 (y)) = y 1/α

! =

− α1 (−αx2 ) =

1

√

x2 = x, da

F −1 (F (x)) = (xα ) α = x ! ! 1 1 (d) F (F −1 (y)) = 1 − α ln exp 1 [1−y = 1 − ([1−y 2 ]−1 2 ]−1 −1]))+1 −1)+1 ( (α[ " " (∗) 2 2 = 1 − [1 − y ] = y = |y| = y. In (∗) wird y ∈ (0, 1) benutzt (bzw. y > 0). . ( )/ 12 −1 0! −1 1 1 F (F (x)) = exp α 1 − α ln(x)+1 −1 1−

  0 1−1  (♣) 1 1 − 1 − α ln(x)+1 = exp α1 −1 = exp α1 [α ln(x) + 1 − 1]  = exp α1 · α ln(x) = x In (♣) wird benutzt, dass 1 −

1 α ln(x)+1

> 0 gilt f¨ ur x > 1.

Kapitel 6 Gleichungen

6

6

6

Gleichungen

6.1

Lineare Gleichungen ............................................. 193

6.2

Quadratische Gleichungen...................................... 195

6.3

Bruchgleichungen ................................................ 208

6.4

Wurzelgleichungen ............................................... 210

6.5

Logarithmische Gleichungen ................................... 216

6.6

Exponentialgleichungen ......................................... 221

6.7

Betragsgleichungen .............................................. 224

6.8

Gleichungen mit Parametern .................................. 231

6.9

Substitutionsmethode ........................................... 234

6.10

Lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten...................................................... 236

6.11

Aufgaben .......................................................... 245

6.12

L¨osungen .......................................................... 249

187

6. Gleichungen

187

6 Gleichungen Alle mathematischen Gleichungen haben die selbe Struktur. Sie bestehen aus zwei Termen, die durch das Gleichheitszeichen in Relation gesetzt und als rechte und linke Seite der Gleichung bezeichnet werden. Ein weiteres, wesentliches Merkmal einer Gleichung ist, dass die Terme i.Allg. (evtl. mehrere) Variablen (Unbekannte) enthalten.∗ Beispiel
Gleichungen

x−2
 

(i) 4x − 5 =
  linke Seite

(iii) 2x − 4(x − x ) = x + 3y + 1
 
 

rechte Seite

(ii) 2t2 − t − 1 =
  linke Seite

B 2

rechte Seite

linke Seite

(iv) ln(z) − 3 = ln(2z 2 )
 
 

5t − 3
  rechte Seite

linke Seite



rechte Seite

Die Bezeichnung der Variablen ist f¨ ur die Bedeutung einer Gleichung irrelevant, d.h. die Gleichung ln(z) − 3 = ln(2z 2 ) ist gleichbedeutend mit ln(x) − 3 = ln(2x2 ). Eine Gleichung zu l¨ osen bedeutet, alle reellen Zahlen zu bestimmen, die – eingesetzt f¨ ur die Variablen – auf beiden Seiten der Gleichung zum selben Ergebnis f¨ uhren. Wird z.B. x = 1 in die Gleichung (i) eingesetzt, so resultiert auf beiden Seiten die selbe Zahl (jeweils −1). Einsetzen von x = 0 ergibt


die offenbar falsche Aussage −5 = −2, so dass x = 0 keine L¨osung der Gleichung ist. Das Einsetzen konkreter Zahlen f¨ ur die Variable erzeugt somit eine Aussage. Ist diese 1

wahr, ist die eingesetzte Zahl eine L¨ osung,

2

falsch, ist die Zahl keine L¨ osung der Gleichung.

In diesem Kapitel werden verschiedene Typen von Gleichungen mit einer Unbekannten† vorgestellt und Fragen folgender Art behandelt: Wann gibt es eine L¨ osung? Wie viele L¨ osungen gibt es? Wie k¨ onnen L¨ osungen systematisch bestimmt werden? ∗ Im 187
Beispiel Gleichungen sind dies x, t, z in den Gleichungen (i)-(iv), x und y in der Gleichung (iii). † In 236
Abschnitt 6.10 wird der Fall zweier Gleichungen mit zwei Unbekannten behandelt.

188

6. Gleichungen

An dieser Stelle sei darauf hingewiesen, dass die im Folgenden vorgestellten Gleichungen stets explizit gel¨ ost werden k¨ onnen. In vielen anderen F¨allen ist dies jedoch nicht m¨ oglich, so dass sich nur N¨aherungen mittels numerischer Verfahren berechnen lassen. F¨ ur die Menge aller L¨osungen wird folgende Bezeichnung eingef¨ uhrt.


Bezeichnung L¨ osungsmenge,Definitionsbereich Die L¨ osungsmenge einer Gleichung in der Unbekannten x wird mit

L = {x ∈ D | x l¨ost die Gleichung}, bezeichnet, wobei D der Definitionsbereich (bzw. die Definitionsmenge) der Gleichung ist. Diese umfasst alle reellen Zahlen, f¨ ur die die Terme auf der linken und rechten Seite der Gleichung erkl¨art sind.




Die obige Definition zeigt, dass die L¨ osungsmenge stets eine Teilmenge der Definitionsmenge ist. Daher sollte vor dem L¨osen einer Gleichung zun¨achst deren Definitionsmenge bestimmt werden. Strategie zur L¨ osung von (Un-)Gleichungen 1. Ermitteln der Definitionsmenge 2. L¨ osen der Gleichung

B

Beispiel
(Fortsetzung 187
Beispiel Gleichungen) F¨ ur die Gleichungen erge-

ben sich folgende Definitionsbereiche: (i) D = R, da jede reelle Zahl eingesetzt werden darf (die Variablen treten nur in linearen Termen auf). (ii) D = R, da jede reelle Zahl eingesetzt werden darf (die Variablen treten nur in linearen und quadratischen Termen auf). (iii) D = R2 , da beide Variablen nur in linearen und quadratischen Termen vorkommen. (iv) D = (0,∞), da der 92
natu ur positive Zahlen ¨ rliche Logarithmus nur f¨  definiert ist. Im Folgenden wird als Definitionsbereich stets der maximale Definitionsbereich verstanden. F¨ ur ein spezielles Problem kann es nat¨ urlich vorkommen, dass der Definitionsbereich aus Plausibilit¨ atsgr¨ unden kleiner gew¨ahlt wird.

6. Gleichungen

189

Ist z.B. sinnvoll, dass eine Variable nur positive Werte annimmt (z.B. wenn sie die Dauer eines Produktionsprozesses beschreibt), so ist die Betrachtung des Problems (evtl. unter Beachtung weiterer Einschr¨ankungen) auf (0, ∞) zu beschr¨ anken. Ehe auf konkrete Typen von Gleichungen eingegangen wird, werden zun¨achst einige allgemeine Prinzipien vorgestellt, die der systematischen Bestimmung der L¨ osungsmenge dienen. ¨ Aquivalente Umformungen

¨ Bezeichnung Aquivalente Gleichungen Zwei Gleichungen heißen ¨aquivalent, wenn ¨ sie die gleiche L¨ osungsmenge besitzen. Die Aquivalenz von Gleichungen wird durch ¨ ⇐⇒ zwischen den Gleichungen zum Ausdruck gebracht. den Aquivalenzpfeil



Eine Gleichung impliziert eine andere, wenn ihre L¨osungsmenge eine Teilmenge der L¨osungsmenge der anderen Gleichung ist. Dies wird durch den Folgerungspfeil =⇒ bezeichnet. Beispiel


Die Gleichungen x = 5 und 5x = 25 sind ¨aquivalent, da ihre L¨ osungsmenge jeweils L = {5} ist. Die verwendete Notation ist x=5

⇐⇒

B

5x = 25.

Die L¨ osungsmengen der Gleichungen x = 5 und x2 = 25 sind L1 = {5} bzw. L2 = {−5, 5}, d.h. L1 ⊆ L2 . Daher gilt x=5

=⇒

x2 = 25.

Die Umkehrung gilt jedoch nicht, da −5 zwar eine L¨osung von x2 = 25, aber nicht von x = 5 ist. Daher folgt aus x2 = 25 nicht x = 5. Insbesondere sind  diese Gleichungen daher nicht ¨ aquivalent. Zur Bestimmung von L¨ osungen einer Gleichung wird von folgendem Resultat Gebrauch gemacht, das f¨ ur beliebige Gleichungen zutrifft. Elementare Umformungen von Gleichungen Die L¨ osungsmenge L einer Gleichung wird durch folgende, jeweils auf beiden Seiten der Gleichung ausgef¨ uhrte Operationen nicht ver¨andert: Addition oder Subtraktion einer reellen Zahl (bzw. eines Terms). Multiplikation oder Division mit einer von Null verschiedenen reellen Zahl (bzw. mit einem von Null verschiedenen Term). Diese Operationen heißen elementare Umformungen.




190

6. Gleichungen

Die Anwendung dieser Umformungen zur L¨osung einer Gleichung wird an folgendem Beispiel detailliert erl¨ autert. B

Beispiel


Zur Bestimmung der L¨ osungen der Gleichung 3x − 4(x − 1) = + 12 + 13 x werden zun¨ a chst die Terme auf beiden Seiten so weit wie m¨oglich 6 vereinfacht: 1 3

3x −

4(x − 1)
 

=

Ausmultiplizieren

⇐⇒ 3x −

(4x − 4)
 

1 1 +
3  2

+

13 x 6

Br¨ uche auf den gleichen Nenner bringen

=

Klammer mit Vorzeichenwechsel au߬ osen

2+3 6 


+

13 x 6

Z¨ ahler addieren

5 13 3x − 4x +4 = + x
 6 6

⇐⇒

Addieren

⇐⇒

−x + 4 =

5 13 + x 6 6

Bei diesen Termumformungen wurde zwar die Form, jedoch nicht der Wert beider Seiten ver¨ andert. Deshalb ist die L¨ osungsmenge nach wie vor die selbe. Die Terme sowohl der linken als auch der rechten Seite lassen sich nicht weiter zusammenfassen. Da die Gleichung −x+4 = 56 + 13 6 x noch nicht in einer Form vorliegt, in der die L¨ osung direkt abgelesen werden kann, besteht der n¨achste Schritt in einer simultanen Ver¨ anderung beider Seiten durch elementare Umformungen (und einer sich anschließenden Vereinfachung der entstandenen Terme): 5 13 + x 6 6  5 13 + x 6(−x + 4) = 6 6 6 −x + 4 =

⇐⇒ ⇐⇒

−6x + 24 = 5 + 13x

⇐⇒

−6x + 24 − 24 = 5 − 24 + 13x

⇐⇒

−6x = −19 + 13x

⇐⇒

−6x − 13x = −19 + 13x − 13x

⇐⇒

Bruch 

au߬ osen durch Multiplikation beider Seiten der Gleichung mit 6

 Ausmultiplizieren Alle Terme ohne x durch Addition von −24 auf die rechte Seite bringen  Vereinfachen Alle Terme mit x durch Addition von −13x auf die linke Seite bringen  Vereinfachen

−19x = −19

Durch die Umformungen, die simultan auf beiden Seiten durchgef¨ uhrt wurden, hat sich der Wert der linken und rechten Seite zwar ge¨andert, die L¨ osungsmenge der Gleichung ist jedoch die selbe geblieben. W¨ urde die letzte

6. Gleichungen

191

Gleichung −19x = −19 jetzt mit Null multipliziert, dann w¨are die resultierende Gleichung 0 = 0 f¨ ur jedes x ∈ R wahr. Dies ist jedoch f¨ ur die urspr¨ ungliche Gleichung −19x = −19 nicht der Fall, d.h. die L¨osungsmenge h¨ atte sich vergr¨oßert. Dies zeigt, dass die Multiplikation mit Null keine ¨ Aquivalenzumformung ist. Eine Division durch −19 hingegen ist zul¨ assig und f¨ uhrt zur Gleichung x = 1, aus der die L¨ osungsmenge L = {1} sofort abgelesen werden kann. Eine Probe (Einsetzen des berechneten Werts x = 1 in die Ausgangsgleichung) best¨atigt  dieses Ergebnis. Auf beiden Seiten resultiert jeweils der Wert 3. Im obigen Beispiel wurde deutlich, dass eine Gleichung niemals mit Null multipliziert werden darf (entsprechendes gilt nat¨ urlich f¨ ur die Division durch Null). Dies ist insbesondere zu beachten, wenn Gleichungen mit Termen multipliziert bzw. durch Terme dividiert werden, in denen die Unbekannte vorkommt. Das nachstehende Beispiel zeigt, dass derartige Modifikationen mit Vorsicht ausgef¨ uhrt werden m¨ ussen. Beispiel
Die Gleichung x = −x besitzt nur die L¨ osung 0, wie die Rechnung

  x = −x + x ⇐⇒ 2x = 0 : 2 ⇐⇒ x = 0 best¨ atigt. Ein anderer, naheliegender Zugang zur L¨osung der Gleichung w¨are, beide Seiten durch x zu dividieren. Dies f¨ uhrt zu folgender Argumentation:  :x x = −x  x x x auf beiden Seiten k¨urzen =− x x


1 = −1 Die letzte Gleichung ist offenbar f¨ ur kein x ∈ R erf¨ ullbar, so dass ihre L¨osungsmenge – im Gegensatz zur L¨ osungsmenge der Ausgangsgleichung x = −x – leer ist. Bei der Rechnung wurde nicht beachtet, dass die Division durch x  f¨ ur x = 0 nicht zul¨assig ist. Umformungen von Gleichungen werden – wie im vorhergehenden Beispiel – im Folgenden stets rechts neben der Gleichung notiert:  −5 4x + 5 = 2x − 3   − 2x ⇐⇒ 4x = 2x − 8  :2 ⇐⇒ 2x = −8 ⇐⇒

x = −4




B

192

6. Gleichungen

Gelegentlich werden Operationen auch simultan ausgef¨ uhrt. Dies k¨onnte im obigen Beispiel etwa folgendermaßen aussehen:    − 5  − 2x 4x + 5 = 2x − 3  :2 ⇐⇒ 2x = −8 ⇐⇒

x = −4

Eine Gleichung kann stets auf die Form · · · = 0 gebracht werden, indem der Term der rechten Seite von dem der linken subtrahiert wird. Der auf der linken Seite entstehende Term kann als Funktionswert einer 154
Funktion f an der Stelle x aufgefasst werden, so dass die urspr¨ ungliche Gleichung aquivalent geschrieben werden kann als ¨ f (x) = 0. Damit entspricht die Berechnung von L¨ osungen der betrachteten Gleichung der Bestimmung von 158
Nullstellen der Funktion f . Die L¨osungsmenge kann daher stets als L = {x ∈ R | f (x) = 0} geschrieben werden. Dieser Zugang f¨ uhrt zur grafischen Veranschaulichung der L¨osungen von Gleichungen. Grafische L¨ osung von Gleichungen

Gem¨ aß der obigen Ausf¨ uhrungen kann der Graf der Funktion f zur Visualisierung der L¨ osungsmenge eingesetzt werden und liefert daher zumindest eine grobe Vorstellung von der Lage und der Anzahl der L¨osungen. Diese Vorgehensweise wird an der Gleichung 4(x − x2 ) =
  linke Seite

x − 1
 rechte Seite

erl¨ autert. Subtraktion der rechten von der linken Seite liefert die ¨ aquivalente Gleichung 4(x − x2 ) − (x − 1) = 0,
 
  linke Seite

..................... ..... .... f (x) .6 .... ..

... ... ... .. .. . ... .. .. .. .. . ... ... .. .. ... .. ... ... .. . .. .. .. ... .... . .. .. .. .. ... ..

j

−1 −0.5

−2 −4

.... ... ... ... ... ... ... .. .. ... ... ... .. .. .. .. ... ... ... .. .. .. .. ... ... ... ... .. .. .. .. ... .

j -

0.5

1

x

rechte Seite

die mit der Setzung f (x) = 4(x − x2 ) − (x − 1) = −4x2 + 3x + 1 in der Form f (x) = 0 geschrieben werden kann. Der 157
Graf der Funktion f liefert die gew¨ unschte Visualisierung der obigen Gleichung. Der Abbildung ist zu entnehmen, dass es zwei Nullstellen gibt: eine in der N¨ahe von 1 und eine in der N¨ahe von −0,25 (eingekreiste Punkte).

6.1

Lineare Gleichungen

193

Zur Methode der grafischen L¨ osung einer Gleichung ist festzuhalten, dass die Grafik lediglich Anhaltspunkte liefern kann. Eine exakte Bestimmung der L¨osung ist in der Regel nicht m¨ oglich, da aufgrund der Aufl¨osung der Grafik i.Allg. nicht entschieden werden kann, ob z.B. 1 oder 1,01 die L¨osung ist. Grafische L¨ osung einer Gleichung Das Ablesen der L¨ osungen aus einer Grafik liefert nur eine mehr oder weniger grobe Vorstellung von der Lage der L¨ osungen. Die grafische Methode ist kein adequater Weg zur Bestimmung exakter L¨ osungen einer Gleichung.




6.1

6.1 Lineare Gleichungen Gleichungen, in denen die Unbekannte nur in linearer Form vorkommt, heißen lineare Gleichungen. Beispiel
Auf ein Konto wurde vor einem Jahr ein unbekannter Betrag x eingezahlt, der sich nach Verzinsung (2% pro Jahr) auf 1 020e erh¨oht hat. Um den urspr¨ unglich angelegten Betrag zu ermitteln, ist die lineare Gleichung

B

1,02 · x = 1 020 zu l¨ osen. Division beider Seiten durch 1,02 liefert die L¨osung x = 1 000, d.h. zu Beginn des Jahres wurden 1 000e eingezahlt.

1 020 1,02

= 

Bezeichnung Lineare Gleichung Seien a, b reelle Zahlen. Dann heißt ax = b lineare Gleichung mit der Unbekannten x. Definitionsbereich einer linearen Gleichung sind die reellen Zahlen.

Die Buchstaben a und b stehen stellvertretend f¨ ur beliebige, aber bekannte Zahlen. x ist die Unbekannte, f¨ ur die die Gleichung in Abh¨angigkeit von a und b gel¨ ost werden soll. Im obigen Beispiel gilt somit 020 . 1,02 ·x =
1 
 =a

=b

Die L¨ osung der linearen Gleichung ax = b ergibt sich mittels einer elementaren Umformung in Abh¨ angigkeit von den Koeffizienten a, b.



194

6. Gleichungen

L¨ osungsmenge einer linearen Gleichung Zur L¨ osung einer linearen Gleichung ax = b werden folgende F¨alle unterschieden: 1. Ist a =0, besitzt die lineare Gleichung genau eine L¨osung x = L = ab .

b a,

d.h.

2. Ist a = 0, dann lautet die Gleichung 0 · x = b bzw. 0 = b.

B

1

F¨ ur b = 0 erf¨ ullt kein x ∈ R die Gleichung, d.h. es gibt keine L¨osung und es gilt L = ∅.

2

F¨ ur b = 0 lautet die Gleichung 0 = 0. Dies ist offensichtlich f¨ ur jedes x ∈ R erf¨ ullt, d.h. es gibt unendlich viele L¨osungen und es gilt L = R.

Beispiel


(i) 2x = 3

 L¨ osung: 2x = 3  : 2 ⇐⇒ x = 32 ,

d.h. L =

3 2 .

(ii) 5z − 4 = 3z + 2

   L¨ osung: 5z − 4 = 3z + 2  + 4  − 3z ⇐⇒ 2z = 6  : 2 ⇐⇒ z = 3,

d.h. L = {3}. (iii) 2(t + 3) = 4(t − 1) − 2t L¨ osung: Im ersten Schritt werden die Terme auf jeder Seite der Gleichung so vereinfacht, dass alle Terme, die t enthalten, zusammengefasst werden.  Zusammenfassen 2(t + 3) = 4(t − 1) − 2t    − 2t  − 6 ⇐⇒ 2t + 6 = 2t − 4 ⇐⇒




0 = −10

Die letzte Gleichung ist offenbar eine falsche Aussage (vgl. Fall a = 0 und b = 0). Daher hat die Gleichung keine L¨osung, und es gilt L = ∅.  Die L¨ osung einer linearen Gleichung kann mittels des 157
Grafen der Funktion f (x) = ax−b visualisiert werden, da die 192
L¨osungsmenge der Gleichung ax = b identisch mit der Nullstellenmenge {x ∈ R | f (x) = 0} der Funktion f ist. Der Graf der 160
Funktion f ist eine Gerade mit Steigung a und 158
y-Achsenabschnitt −b. Die folgenden Abbildungen illustrieren die drei F¨ alle, zwischen denen das obige L¨ osungsverfahren unterscheidet. Die L¨osungen sind durch die Schnittpunkte der Geraden mit der 62
Abszisse gegeben.

6.2

Quadratische Gleichungen

f (x) = ax − b, a = 0 ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..

195

f (x) = ax − b, a = 0, b = 0

6

−b

f (x) = ax − b, a = 0, b = 0

6

6

...........................................................................................................

−b

-

-

x

x

-

...........................................................................................................

b

x

F¨ ur a = 0 schneidet die Gerade die Abszisse an einer einzigen Stelle, d.h. es existiert genau eine L¨ osung der Gleichung. Gilt hingegen a = 0, ist die Gerade eine Parallele zur Abszisse. Es gibt daher entweder keine Nullstelle (b = 0) oder die Gerade ist identisch mit der Abszisse (b = 0), so dass jede reelle Zahl eine Nullstelle ist.

6.2

6.2 Quadratische Gleichungen Gleichungen, in denen die Unbekannte h¨ ochstens als zweite Potenz vorkommt, heißen quadratische Gleichungen. Beispiel
Quadratische Gleichungen

x2 = 0,

t2 = −3t,

y 2 − 2y = y + 4,

B

5z 2 − 3z + 1 = 2z 2 − 4.



Jede quadratische Gleichung kann durch 189
elementare Umformungen auf die Form ax2 + bx + c = 0 mit reellen Zahlen a, b, c gebracht werden. ax2 heißt quadratischer Term, bx Linearterm und c Absolutglied. Definitionsbereich einer quadratischen Gleichung sind die reellen Zahlen. Ist a = 0, entf¨ allt der quadratische Anteil und die Gleichung wird zu einer 193
linearen Gleichung bx+ c = 0. Da diese bereits behandelt wurde, wird in

diesem Abschnitt stets a = 0 vorausgesetzt. Dann kann die Gleichung durch a dividiert werden, und es entsteht die Normalform x2 + ab x + ac = 0 einer quadratischen Gleichung.

196




6. Gleichungen

Definition Quadratische Gleichung Seien p, q reelle Zahlen. Dann heißt

x2 + px + q = 0 Normalform einer quadratischen Gleichung.




B

Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass die quadratische Gleichung in Normalform vorliegt. Daher muss diese stets durch 189
¨aquivalente Umformungen erzeugt werden, ehe die vorgestellten L¨osungsverfahren angewendet werden. Beispiel
Die Gleichung t2 = 0 liegt bereits in Normalform vor. Die Gleichung

asst sich in wenigen Schritten in Normalform bringen: x2 − 2x = x + 4 l¨   x2 − 2x = x + 4  − x  − 4 ⇐⇒ x2 − 3x − 4 = 0. Die Normalform der Gleichung 5x2 − 3x + 1 = 2x2 − 4 entsteht gem¨aß    5x2 − 3x + 1 = 2x2 − 4  − 2x2  + 4  : 3 ⇐⇒ x2 − x + 53 = 0.



Quadratische Gleichungen in Produktform

Bevor auf allgemeine L¨ osungsverfahren f¨ ur quadratische Gleichungen eingegangen wird, sei noch darauf hingewiesen, dass in Produktform“ (x − x1 ) · ” (x − x2 ) = 0 vorliegende quadratische Gleichungen ohne die Anwendung eines der folgenden Verfahren gel¨ ost werden. Die L¨osung ergibt sich aus der Eigenschaft, dass ein Produkt zweier Faktoren nur Null sein kann, wenn (mindestens) ein Faktor gleich Null ist. Daher folgt x − x1 = 0 oder x − x2 = 0. onnen daher direkt abgelesen werden, d.h. Die L¨ osungen x = x1 und x = x2 k¨ ussig. L = {x1 , x2 }. Insbesondere ist die Erzeugung der Normalform u ¨ berfl¨ L¨ osung einer quadratischen Gleichung in Produktform Die L¨ osungen der quadratischen Gleichung (x−x1 )·(x−x2 ) = 0 sind gegeben durch x1 und x2 .

B

Beispiel
F¨ ur die quadratische Gleichung (x − 3)(x + 1) = 0 resultiert die

L¨ osungsmenge L = {−1, 3}. Die Gleichung (3x−4)(5x+9) = 0 kann ebenfalls nach der obigen Methode gel¨ ost werden: (3x − 4)(5x + 9) = 0 ⇐⇒ 3x − 4 = 0 oder 5x + 9 = 0 ⇐⇒ x =

4 3

oder x = − 95 .

6.2

Quadratische Gleichungen

197



Die L¨ osungsmenge ist daher L = − 95 , 43 . Die L¨ osung der Gleichung (2z + 3)2 = 0 ist z = − 32 .



Die im Folgenden vorgestellten Verfahren beruhen letztlich auf der Idee, eine derartige Faktorisierung der quadratischen Gleichung zu erzeugen. L¨ osung via quadratischer Erg¨ anzung

Das Standardverfahren zur L¨ osung einer quadratischen Gleichung ist die quadratische Erg¨ anzung. Auf dieser Methode beruhen z.B. auch die 202
pqFormeln genannten L¨ osungsformeln. Vor der Behandlung des allgemeinen Falls werden zur Motivation zun¨ achst einfache Typen quadratischer Gleichungen gesondert betrachtet. Quadratische Gleichungen ohne Linearterm

Der einfachste Typ einer quadratischen Gleichung ist x2 + q = 0 ⇐⇒ x2 = −q mit einer reellen Zahl q. In dieser Situation ist zun¨achst klar, dass eine (reelle) L¨ osung f¨ ur positives q > 0 nicht existieren kann.∗ Somit gibt es in diesem Fall keine (reelle) L¨ osung. F¨ ur q = 0 resultiert die Gleichung x2 = 0, d.h. x = 0 ist die einzige L¨ osung der Gleichung. F¨ ur negatives q < 0† gibt es zwei L¨ osungen √ √ x1 = − −q und x2 = −q. Zur Herleitung wird die dritte 16
binomische Formel verwendet:   √ √ √ x2 + q = x2 − (−q) = x2 − ( −q)2 = x − −q x + −q . Das Produkt ist gleich Null genau dann, wenn einer der Faktoren Null ist. Dies f¨ uhrt direkt zu den genannten L¨ osungen. ∗ denn

x2 ≥ 0 f¨ ur alle x ∈ R und −q < 0 gilt −q > 0.

† Daher

198

6. Gleichungen

Beispiel
Die Gleichung x2 + 4 = 0 hat keine reelle L¨ osung. Die a¨quivalente

B

ur alle x ∈ R Gleichung x2 = −4 zeigt, dass die linke Seite wegen x2 ≥ 0 f¨ stets nicht-negativ ist, w¨ ahrend die rechte Seite negativ ist. Daher gibt es kein x ∈ R, das die Gleichung l¨ ost. √ 2 aquivalent zu x2 = 4, so dass x1 = − 4 = −2 Die Gleichung √ x − 4 = 0 ist ¨ osungen der Gleichung sind.  und x2 = 4 = 2 L¨ Quadratische Gleichungen ohne Absolutglied

Eine quadratische Gleichung mit q = 0 heißt quadratische Gleichung ohne Absolutglied. Die L¨ osungen der Gleichung x2 + px = 0 sind gegeben durch x1 = 0 und x2 = −p. Diese resultieren, indem durch Ausklammern des Faktors x auf der linken Seite der Gleichung eine quadratische Gleichung in Produktform erzeugt wird: x2 + px = 0 ⇐⇒ x · (x + p) = 0 ⇐⇒ x = 0 oder x = −p.




B

Wiederum wird benutzt, dass ein Produkt zweier Faktoren nur dann Null sein kann, wenn mindestens ein Faktor gleich Null ist. Diese Argumentation oglich, wenn die rechte Seite den Wert Null hat! ist nur m¨ Beispiel
Die L¨ osungen der Gleichung x2 − 3x = 0 sind gegeben durch

x2 − 3x = 0 ⇐⇒ x · (x − 3) = 0 ⇐⇒ x = 0 oder x = 3. Die L¨ osungen der Gleichung x2 + 3x = 0 sind gegeben durch x2 + 3x = 0 ⇐⇒ x · (x + 3) = 0 ⇐⇒ x = 0 oder x = −3.



Allgemeine quadratische Gleichungen

Die L¨ osung einer allgemeinen quadratischen Gleichung in Normalform wird auf den zuerst betrachteten Fall einer quadratischen Gleichung ohne Linearterm zur¨ uckgef¨ uhrt. Die resultierende Methode verwendet die erste 16
binomische Formel (x + a)2 = x2 + 2ax + a2 und heißt quadratische Erg¨anzung. B

Beispiel
Die Methode der quadratischen Erg¨ anzung wird an der Gleichung

x2 + x − 6 = 0 demonstriert. Sie basiert auf der Idee, die linke Seite so zu modifizieren, dass sie mit der binomischen Formel zerlegt werden kann. Ein Vergleich der Terme x2 +x−6 und x2 +2ax+a2 ergibt folgende Beobachtung:

6.2

Quadratische Gleichungen

199

Die rein quadratischen Terme x2 stimmen u ¨ berein. Damit die linearen Terme x und 2ax u ¨ bereinstimmen, muss a = 12 gew¨ahlt werden. ¨ Wird a = 1 gew¨ahlt, ist a2 = 1 , d.h. es kann keine Ubereinstimmung mit 2

4

dem Absolutglied −6 erzielt werden, ohne die rechte Seite der Gleichung in Betracht zu ziehen. Eine Anpassung des Linearterms mit a =

1 2

liefert:  +6

x2 + x − 6 = 0 ⇐⇒

x2 + x = 6 1 x2 + 2 · · x = 6 2

⇐⇒

 1 +

2

2

 2 Der noch zur Anwendung der binomischen Formel fehlende Term a2 = 12 wird auf beiden Seiten addiert. Diese Umformung wird als quadratische Erg¨ anzung bezeichnet. ⇐⇒

x2 + 2 ·

1 ·x+ 2

2

2 1 1 =6+ 2 2

Der Term auf der linken Seite der Gleichung hat die Form der ersten binouckw¨artsanwenmischen Formel mit den Bestandteilen x und a = 12 . Die R¨ ”  2  2 dung“ x2 + 2 · 12 · x + 12 = x + 12 ergibt die gew¨ unschte Darstellung.

⇐⇒

x+

⇐⇒

⇐⇒

1 2

1 x+ 2 x+

1 2

=6+

2 1 2

=6+

1 4

2 2 2 =

25 4

Somit resultiert eine quadratische Gleichung mit einem Quadrat der Unbekannten auf der linken Seite und einer reellen Zahl auf der rechten. Damit ist klar, dass es nur dann eine L¨ osung geben kann, wenn die rechte Seite nichtosung wird negativ ist. Dies trifft wegen 25 4 > 0 zu. Der letzte Schritt der L¨ undet. mit der dritten 16
binomischen Formel a2 − b2 = (a + b)(a − b) begr¨ ! ! 2 25 25 1 25 ∗ Wegen = 4 gilt n¨ amlich mit a = x + 2 und b = 4 4 ∗ Es gilt nat¨ urlich b = 52 . Auf diese Vereinfachung wird aber in der folgenden Rechnung zun¨ achst verzichtet, um osungen der quadratischen Gleichung ! deutlich zu machen, wie die L¨

mit dem Wurzelterm

25 4

zusammenh¨ angen.

200

6. Gleichungen

2 25 1 ⇐⇒ = x+ 2 4 ⇐⇒

 2 .' /2 1 25 x+ − =0 2 4 . ' /. ' / 25 25 1 1 x+ + =0 x+ − 2 4 2 4

Ein Produkt zweier Faktoren ist gleich Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist, d.h. wenn gilt ' ' 1 25 25 1 = 0 oder x + + = 0. x+ − 2 4 2 4 Dies ergibt schließlich ' 1 5 1 25 x1 = − + =− + =2 2 4 2 2

und

1 x2 = − − 2

'

25 = −3, 4 

so dass L = {−3, 2} die L¨ osungsmenge der Gleichung ist.

Bevor die L¨ osung des allgemeinen Falls vorgestellt wird, werden noch zwei relevante Sonderf¨ alle in Beispielen betrachtet. B

Beispiel


Die Gleichung x2 + 2 · 12 x + 14 = 0 l¨asst sich mit dem obigen Verfahren besonders leicht l¨ osen, da die binomische Formel direkt auf die linke Seite angewendet werden kann: 2

1 1 = 0 ⇐⇒ x + = 0 x+ 2 2

In diesem Fall ist x = − 12 die einzige L¨ osung. B



Beispiel
Wird die Gleichung x2 − 2x + 2 = 0 mit der Methode der quadra-

tischen Erg¨ anzung bearbeitet, ergibt sich: x2 − 2x + 2 = 0 ⇐⇒

x2 + 2 · (−1) · x + 2 = 0

⇐⇒

x2 + 2 · (−1) · x = −2

⇐⇒

x2 + 2 · (−1) · x + (−1)2 = −2 + (−1)2

⇐⇒

(x + (−1))2 = −1

⇐⇒

(x − 1)2 = −1

 −2   + (−1)2

Die linke Seite ist ein Quadrat und somit nie negativ, d.h. die Gleichung ist  von keiner reellen Zahl x erf¨ ullbar. Die L¨ osungsmenge ist daher leer.

6.2

Quadratische Gleichungen

201

Die Methode der quadratischen Erg¨ anzung l¨ asst sich allgemein wie folgt beschreiben. Methode der quadratischen Erg¨ anzung Sei x2 + px + q = 0 eine quadratische Gleichung in Normalform. 1. Der Linearterm der linken Seite wird in der Form 2 · x2 + 2 ·

p 2

· x geschrieben:

p · x + q = 0. 2

2. q wird auf beiden Seiten der Gleichung subtrahiert: x2 + 2 · 3.

p 2

2

p · x = −q. 2

wird auf beiden Seiten der Gleichung addiert: x2 + 2 ·

 p 2  p 2 p ·x+ = −q + . 2 2 2

4. Die linke Seite wird mit der ersten binomischen Formel umgeformt:   p 2 p 2 x+ = −q + . 2 2 5. Anhand der rechten Seite wird die Anzahl von L¨osungen bestimmt: p 2 1 −q + 2 > 0: Es gibt zwei L¨ osungen x1 und x2 : '  '  p 2 p 2 p p x1 = − − − q und x2 = − + − q. 2 2 2 2 p 2 2 −q + 2 = 0: Es gibt eine L¨ osung x = − p2 . p 2 3 −q + 2 < 0: Es gibt keine L¨ osung.

L¨ osung via pq -Formel

Wie sich im vorhergehenden Abschnitt gezeigt hat, kann eine in Normalform x2 + px + q = 0 vorliegende quadratische Gleichung allgemein gel¨ost werden. Dieses Ergebnis kann mit der so genannten pq-Formel formuliert werden, wobei diese nur angewendet werden darf, wenn die Gleichung mindestens eine L¨osung besitzt. Die Anzahl der L¨ osungen einer quadratischen Gleichungen wird durch die Diskriminante  p 2 −q D= 2




202

6. Gleichungen

bestimmt. Die Diskriminante ist gleich der rechten Seite der Gleichung aus anzung. Das Vorzeichen von D liefert Schritt 4 der 201
quadratischen Erg¨ folgende Regel.∗ pq-Formel zur L¨ osung quadratischer Gleichungen Sei x2 + px + q = 0 eine quadratische Gleichung in Normalform mit Diskriminante D. Dann sind drei F¨ alle zu unterscheiden: 1 D > 0: die Gleichung x2 + px + q = 0 hat zwei L¨ osungen p √ p √ x2 = − + D. x1 = − − D 2 2

B

2

D = 0: die Gleichung x2 + px + q = 0 hat eine L¨osung x = − p2 .

3

D < 0: die Gleichung hat keine L¨ osung.

9 Beispiel
Die pq-Formel wird auf die Gleichung x2 − x+ 100 = 0 angewendet.

 F¨ ur die Diskriminante D ergibt sich D = − 21 d.h. die Gleichung hat zwei L¨ osungen x1 = −

B

2

−

9 100

=

25−9 100

=

16 100

> 0,

4 1 4 9 −1 √ 1 −1 √ 1 − D= − = , x2 = − + D= + = .  2 2 10 10 2 2 10 10

Beispiel


F¨ ur die Gleichung x2 − 2x + 1 = 0 hat die Diskriminante den  −2 2 − 1 = 1 − 1 = 0. Die Gleichung hat also nur die L¨osung Wert D = 2 = 1. W¨ u rde auf die Berechnung der Diskriminante verzichtet und x = − −2 2 die L¨ osung direkt mit der pq-Formel bestimmt, erg¨abe sich 2 2 2 2 −2 −2 −2 −2 − + − 1 = 1, x2 = − − 1 = 1, x1 = − 2 2 2 2 d.h. x1 = x2 = 1. Dies zeigt ebenfalls, dass die Gleichung nur eine einzige L¨ osung besitzt. 

B

Beispiel


Abschließend wird die Gleichung x2 − 4x + 5 = 0 betrachtet.  2 − 5 = 4 − 5 = −1 gibt es keine reelle L¨osung. W¨ urde Wegen D = −4 2 die pq-Formel in dieser Situation direkt angewendet, resultierte f¨ ur die erste √ √ −1 = 2 + −1. Die 88
Wurzel einer L¨ osung der Wert“ x1 = − −4 2 + ”  negativen Zahl ist (hier) jedoch nicht erkl¨ art.† ∗ Vgl.

Schritt 5 der 201
quadratischen Erg¨ anzung. Beobachtung f¨ uhrt zur Menge der so genannten komplexen Zahlen C.

† Diese

6.2

Quadratische Gleichungen

203

Grafische Darstellung der L¨ osungen einer quadratischen Gleichung

Quadratische Gleichungen lassen sich 192
visualisieren, indem die linke Seite der Normalform als quadratische Funktion f (x) = x2 + px + q aufgefasst wird. Der Graf einer 160
quadratischen Funktion ist eine Parabel.

. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . ... .. ... ... ... .. ... .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. ... . . . ... .. .. .. ... ... .. .. .. . .. . .. .. .. .. ... .. ... .. .. ... . . ... ... ... ... .... ...... ......... ..........

f (x) 4

-

−1 0

Hinsichtlich der Anzahl von L¨ osungen einer quadratischen Gleichung (in Normalform) gibt es drei F¨ alle, die in Abh¨ angigkeit von den Koeffizienten p und q auftreten:

Zwei L¨ osungen (D > 0)

6

-

1

2

3

4

x

−4

Eine L¨ osung (D = 0)

.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . ... ... ... .. ... ... ... .. .. . . .. . .. .. .. .. ... .. ... .. . ... . . ... .. ... ... .... .. ...... ........ ..........

6

... . ... ... ... ... ... ... .. .. . .. .. .. .. .. .. ... ... ... .. . ... .... ... ... ..... .......................... .

6

-

Keine L¨ osung (D < 0) ... ... ... ... ... .. .. .. .. . . .. . ... .. ... ... ... ... .... ... . . . ..... ......... ............ .....

6

-

Scheitelpunktform einer Parabel

Eine quadratische Funktion f (x) = ax2 + bx + c mit a = 0 kann mittels der quadratischen Erg¨ anzung in die so genannte Scheitelpunktform gebracht werden:



 c c b b 2 2 2 =a x +2· x+ f (x) = ax + bx + c = a x + x + a a 2a a / .

2 2 b b b c = a x2 + 2 · x+ − + 2a 2a 2a a . / 2 b b2 c =a x+ − 2+ 2a 4a a

2 b b2 =a x+ +c− 2a 4a

204

6. Gleichungen

Die Bezeichnung Scheitelpunktform ergibt sich aus der Beobachtung, dass  der  b b2 tiefste (bzw. h¨ochste) Punkt der Parabel ihr Scheitelpunkt − 2a ; c − 4a ist. Er kann an der obigen Darstellung von f (x) direkt abgelesen werden.

Parabel mit a < 0

Parabel mit a > 0 c−

. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . ... . .. ... ... ... .. ... .. .. ... .. . .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. ... ... .. . . .. ... b ... ... .. ..2a .. .. .. .. .. .. . . . .. . .. ... .. ... .. ... ... .. .. ... ... .. . ... ... ... . .... .. ...... ...... .. ...... b2 ........ ...........

f (x)

6

-

c−

4a

r

r Scheitelpunkt der Parabel

6

........... ......... ...... .. ......... ... .... ... ... ... .. ... .. . ... .. ... ... . . .. . .. . .. .. .. . .. .. .. ... . .. .. .. . .. . .. . ... . .. ... .... .. . ... . .. ... .... . . .. . .. .. .. . .. ... .. . b . .. .. ... 2a .. ... .. ... ... . ... . . .. ... ... ... .. .. ... .. ... .. .. ... . .

f (x)

-

x

−

b2 4a

−

Scheitelpunkt der Parabel

x

Diese Beobachtung kann zur 395
Maximierung bzw. Minimierung qua einer b 2 ≥0 dratischen Funktion benutzt werden. Ist etwa a > 0, so gilt a x + 2a b . Daraus folgt mit der Scheitelmit Gleichheit genau dann, wenn x = − 2a punktform die Absch¨ atzung

2 b2 b2 b ≥c− , +c − f (x) = a x + 2a 4a 4a
  ≥0

2

b b d.h. f (x) ≥ c − 4a f¨ ur x ∈ R mit Gleichheit, falls x = − 2a . Daher hat f an b ur a < 0 der Stelle x = − 2a ein 403
globales Minimum. Entsprechend liegt f¨ b ein globales Maximum vor. an der Stelle x = − 2a

Satz von Vieta

In den obigen Ausf¨ uhrungen wurde deutlich, dass die L¨osungen nur von den Koeffizienten p und q abh¨ angen. Das folgende Beispiel zeigt, dass diese Koeffizienten auch noch in anderer Beziehung zu den L¨osungen der Gleichung stehen. B

Beispiel
Die L¨ osungen der Gleichung (x − 2)(x + 3) = 0 sind x = 2 und

x = −3. Um deren Verh¨ altnis zu den Koeffizienten p und q zu untersuchen, wird die linke Seite zun¨ achst ausmultipliziert und anschließend so weit wie m¨ oglich vereinfacht:

6.2

Quadratische Gleichungen

205

x2 − 2x + 3x − 2 · 3 = 0 ⇐⇒

x2 + x (−2 + 3) + (−2) · 3 = 0
 
  =p

=q

x +x−6=0

⇐⇒

2

Der Term (−2 + 3) kann aber auch als −(2 − 3) geschrieben werden, das Produkt (−2) · 3 als 2 · (−3), woraus der Zusammenhang der Koeffizienten und der L¨ osungen zu erkennen ist: −p ist die Summe der L¨osungen, q ist deren Produkt.  Satz von Vieta F¨ ur die L¨ osungen der quadratischen Gleichung x2 + px + q = 0 gilt: 1 Gibt es zwei L¨ osungen x1 und x2 , so ist p = −(x1 + x2 ), 2

q = x1 · x2 .

Gibt es nur eine L¨ osung x0 , so gilt p = −2x0 ,

q = x20 .

Der Satz von Vieta stellt somit eine einfache M¨ oglichkeit dar, zu pr¨ ufen, ob die berechneten Werte x1 und x2 die L¨ osungen der betrachteten quadratischen Gleichung sind. Anwendungen des Satzes von Vieta

Der Satz von Vieta kann insbesondere in folgenden Situationen sinnvoll angewendet werden: Bestimmung der zweiten L¨ osung einer quadratischen Gleichung, wenn eine L¨ osung bereits bekannt ist. Ermittlung einer quadratischen Gleichung zu vorgegebenen L¨osungen. Zerlegung von quadratischen Termen. Bestimmung der zweiten L¨ osung einer quadratischen Gleichung, wenn eine L¨osung bekannt ist Ist eine L¨ osung x1 der Gleichung x2 + px + q = 0 bekannt, kann die zweite L¨ osung x2 direkt aus den Koeffizienten bestimmt werden: x2 = −p − x1

bzw. falls x1 = 0:

x2 =

q . x1

206

B

6. Gleichungen

Beispiel
Die Gleichung x2 − 9x + 14 = 0 besitzt – wie durch Einsetzen leicht

u uft werden kann – die L¨ osung x1 = 2. Die zweite L¨osung ist dann ¨ berpr¨ x2 = −p − x1 = 9 − 2 = 7

oder alternativ

x2 =

q 14 = 7. = x1 2

Die Gleichung x2 − 4x + 4 = 0 wird ebenfalls durch x1 = 2 gel¨ost. Die Anwendung des Satzes von Vieta ergibt die zweite L¨osung x2 = 4 − 2 = 2

(oder alternativ x2 =

4 2

= 2).

Sie ist gleich der ersten, so dass die Gleichung nur eine L¨osung hat.



Eine L¨ osung der Gleichung zu kennen, mag an dieser Stelle vielleicht k¨ unstlich erscheinen. Das 207
Beispiel Kenntnis einer Nullstelle zeigt jedoch, dass eine derartige Situation auf einfache Weise entstehen kann. Der Satz von Vieta kann auch benutzt werden, um eine quadratische Gleichung mit vorgegebenen L¨ osungen zu erzeugen. Quadratische Gleichung mit vorgegebenen L¨osungen Eine quadratische Gleichung in Normalform, die zwei (nicht notwendig verosungen besitzt, ist gegeben durch schiedene) Zahlen x1 und x2 als L¨ x2 − (x1 + x2 )x + x1 x2 = 0.

B

Beispiel
Zu den Zahlen x1 = 1 und x2 = −9 wird eine quadratische Glei-

chung ermittelt, die diese L¨ osungen besitzt. Nach dem obigen Schema ist dies ⇐⇒ x2 + 8x − 9 = 0. x2 − (1 − 9)x + 1 · (−9) = 0 Die quadratische Gleichung (x−1)(x+9) = 0 hat nat¨ urlich auch die L¨osungen uhrt zur obigen x1 = 1 und x2 = −9. Ausmultiplizieren der linken Seite f¨ Darstellung der Gleichung. Die Gleichung 2x2 +16x−18 = 0, die sich aus der obigen durch Multiplikation beider Seiten mit 2 ergibt, besitzt ebenfalls x1 = 1 und x2 = −9 als L¨osungen. Sie liegt jedoch nicht in Normalform vor.  Das Beispiel zeigt, dass es zu vorgegebenen Werten x1 und x2 viele (¨aquivalente) quadratische Gleichungen gibt, die diese L¨osungen besitzen. Die Normalform ist jedoch eindeutig.

6.2

Quadratische Gleichungen

207

Faktorisierung quadratischer Terme

Faktorisierung eines quadratischen Terms in Linearfaktoren F¨ ur die quadratische Gleichung x2 + px + q = 0 gilt: 1 Besitzt sie zwei L¨ osungen x1 und x2 , so kann der quadratische Ausdruck auf der linken Seite zerlegt werden gem¨ aß x2 + px + q = (x − x1 )(x − x2 ). (x − x1 ) und (x − x2 ) heißen Linearfaktoren. 2

Besitzt sie nur eine L¨ osung x0 , so gilt x2 + px + q = (x − x0 )2 .

Die Faktorisierung in Linearfaktoren ist besonders dann n¨ utzlich, wenn mit Br¨ uchen bzw. 161
gebrochen rationalen Funktionen gearbeitet wird. Beispiel
Kenntnis einer Nullstelle, Vereinfachung eines Bruchs Der Bruch x2 −10x+21 x−3

l¨ asst sich auf den ersten Blick nicht vereinfachen. Wird die Nullahler eingesetzt, ergibt sich 32 −10·3+21 = stelle des Nenners x1 = 3 in den Z¨ 9 − 30 + 21 = 0. Somit l¨ ost x1 = 3 auch die aus Nullsetzen des Z¨ahlers resultierende quadratische Gleichung x2 − 10x + 21 = 0. Aus dem Satz von Vieta ergibt sich direkt die zweite L¨ osung x2 = 10 − 3 = 7. Daher l¨ asst sich der Z¨ ahler faktorisieren gem¨ aß x2 − 10x + 21 = (x − x1 )(x − x2 ) = (x − 3)(x − 7). Der gesamte Bruch kann somit durch K¨ urzen des Terms x − 3 weiter vereinfacht werden: (x − 3)(x − 7) x2 − 10x + 21 = = x − 7. x−3 x−3 2

Allerdings ist zu beachten, dass der Definitionsbereich des Bruchs x −10x+21 x−3 durch D = R \ {3} gegeben ist. Bei weiterer Verwendung des Terms x − 7 2 ist dies zu beachten, obwohl dieser Ausdruck anstelle des Bruchs x −10x+21 x−3  nat¨ urlich auch f¨ ur die Zahl 3 erkl¨ art ist!

B

208

6. Gleichungen

6.3

6.3 Bruchgleichungen




Bezeichnung Bruchgleichung Eine Bruchgleichung ist eine Gleichung, in der die Unbekannte im Nenner eines Bruchs vorkommt.

B

Beispiel
Die folgenden Gleichungen sind Bruchgleichungen:

1 = 5, x−1

t 2 = , t2 − 2t + 5 t−3

1 z−1 +2= . z z+1



Zu Beginn dieses Kapitels wurde bereits darauf hingewiesen, dass die Multi¨ plikation einer Gleichung mit Termen evtl. keine Aquivalenzumformung darstellt (analoges gilt f¨ ur die Division). Dies ist dann der Fall, wenn der verwendete Term nach Einsetzen eines Elements der Definitionsmenge Null ergibt. Diese Beobachtung ist insbesondere bei Bruchgleichungen relevant, weswegen in diesen F¨ allen die Bestimmung der Definitionsmenge von zentraler Bedeutung ist. B

Beispiel
W¨ urde die Gleichung

x−2 x2 −4

= 0 mit x2 − 4 multipliziert, so erg¨abe

sich x−2 =0 x2 − 4 x−2=0 ⇐⇒

  · (x2 − 4)  +2

x = 2.

Wird dieser Wert jedoch in die linke Seite der Ausgangsgleichung xx−2 2 −4 = 0 0 = . eingesetzt, resultiert eine unerlaubte Division durch Null: 22−2 2 −4 0 Um dieses Ph¨anomen zu kl¨ aren, wird der Term x2 − 4 n¨aher betrachtet. Er ist offensichtlich Null f¨ ur x = 2 oder x = −2, d.h. die Definitionsmenge der Gleichung ist D = R \ {−2, 2}. Da eine Multiplikation mit Null keine ¨ Aquivalenzumformung ist, darf die Gleichung mit dem Term x2 − 4 nur multipliziert werden, wenn die Werte x = 2 und x = −2 ausgeschlossen werden. Unter dieser Einschr¨ ankung ergibt sich wie oben die Gleichung x − 2 = 0 bzw. x = 2. Da dieser Wert als L¨ osung jedoch ausgeschlossen wurde, ist die  L¨ osungsmenge der Gleichung leer. Das Beispiel zeigt, wie das Verfahren zur L¨osung von Bruchgleichungen verbessert werden kann:

6.3

Bruchgleichungen

209

Zun¨ achst wird der Definitionsbereich D der Gleichung bestimmt, d.h. die Betrachtung wird auf diejenigen Werte f¨ ur x eingeschr¨ankt, f¨ ur die die Gleichung sinnvoll erkl¨ art ist (d.h. keiner der Nenner nimmt den Wert Null an). Vor jeder Multiplikation/Division mit einem Term ist zu kl¨aren, f¨ ur welche Werte von x eine Multiplikation mit Null bzw. Division durch Null vorliegt. Diese Werte sind mit den Elementen der ermittelten L¨osungs” menge“ zu vergleichen. Alternativ kann nach L¨ osung der Gleichung mittels Einsetzen der berechneten Werte gepr¨ uft werden, ob sie (zul¨ assige) L¨osungen sind. Wird diese Vorgehensweise beachtet, ergibt sich auch f¨ ur die obige Gleichung die richtige Antwort: Die L¨ osungsmenge ist leer. Beispiel


2x−5 Die L¨ osungen der Gleichung x−1 x−3 = x−3 + 5 werden mit dem oben diskutierten Verfahren bestimmt. Beide Br¨ uche haben f¨ ur x = 3 den Nenner 0, so dass der Wert x = 3 aus der Betrachtung ausgeschlossen werden muss. Der Definitionsbereich der Gleichung ist somit R \ {3}. Unter dieser ¨ Einschr¨ ankung liefern folgende Aquivalenzumformungen die L¨osung der Gleichung:

⇐⇒

2x − 5 x−1 = +5 x−3 x−3 x − 1 = 2x − 5 + 5(x − 3)

⇐⇒

x − 1 = 7x − 20

⇐⇒ ⇐⇒ Da

19 6

19 = 6x x=

19 6

im Definitionsbereich liegt, ist L =

Beispiel
Die Gleichung

19  6

  · (x − 3)  Vereinfachen   − x + 20  :6

die L¨osungsmenge.



x + x−1 = 1 + x22x −1 wird auf eine quadratische ur x = 1 bzw. Gleichung zur¨ uckgef¨ uhrt. Da der Nenner x2 −1 = (x−1)(x+1) f¨ x = −1 Null wird und die beiden anderen Nennerterme f¨ ur keine weiteren Werte Null ergeben, ist D = R \ {−1, 1} Definitionsbereich der Gleichung. x−2 x+1

uche, Da (x − 1)(x + 1) = x2 − 1 gilt, ist x2 − 1 der 82
Hauptnenner aller Br¨ so dass die betrachtete Gleichung a ¨quivalent ist zu

⇐⇒

B

x−2 x 2x + =1+ 2 x+1 x−1 x −1 2x (x − 2)(x − 1) x(x + 1) + 2 =1+ 2 x2 − 1 x −1 x −1

B

210

6. Gleichungen

Multiplikation beider Seiten mit x2 − 1 ergibt:

⇐⇒

(x − 2)(x − 1) x(x + 1) 2x + 2 =1+ 2 x2 − 1 x −1 x −1 (x − 2)(x − 1) + x(x + 1) = (x2 − 1) + 2x

⇐⇒

x2 − 3x + 2 + x2 + x = x2 − 1 + 2x

⇐⇒

x2 − 4x + 3 = 0

  · (x2 − 1)   − x2 + 1 − 2x

202
pq-Formel Die quadratische Gleichung x2 − 4x + 3 = 0 kann z.B. mit  −4der 2 − 3√ = 4 − 3 = 1, gel¨ ost werden. F¨ ur die Diskriminante ergibt sich D = 2 √ −4 −4 so dass es zwei L¨ osungen x1 = − 2 + 1 = 3 und x2 = − 2 − 1 = 1 gibt. unglichen Gleichung liegt, Da x2 = 1 nicht im Definitionsbereich der urspr¨  enth¨ alt deren L¨ osungsmenge nur den Wert x2 = 3, d.h. L = {3}. 6.4

6.4 Wurzelgleichungen




Bezeichnung Wurzelgleichung Gleichungen, in denen die Unbekannte als Argument von Wurzeln vorkommt, heißen Wurzelgleichungen.

B

Beispiel
Die folgenden Gleichungen sind Wurzelgleichungen:

√

x − 5 = −2,

√ t − t = 5,

" y 2 − 3 = y 2 + y,

" 5 v 2 − 1 = v.



Im Folgenden werden bis auf eine kurze Passage am Ende dieses Abschnitts nur Wurzelgleichungen betrachtet, die Quadratwurzeln enthalten. Die obigen Gleichungen k¨ onnen mittels einfacher Umformungen in bereits bekannte Gleichungstypen u uhrt werden. Dabei ist jedoch zu beachten, dass ¨ berf¨ ¨ auch von Umformungen Gebrauch gemacht wird, die i.Allg. keine Aquivalenzumformungen sind. Aus der 91
Potenzrechnung ist die Regel (xa )b = xab , x ≥ 0, bekannt. Die Anwendung im Spezialfall a = 12 und b = 2 ergibt  1 2 1 x 2 = x 2 ·2 = x, x ≥ 0, d.h. durch Quadrieren einer Quadratwurzel werden die Wurzelausdr¨ ucke beseitigt. Bei Anwendung dieser Operation auf eine Gleichung muss ber¨ ucksichtigt werden, dass die L¨ osungsmenge der Gleichung m¨oglicherweise ver¨andert wird.

6.4

Wurzelgleichungen

211

Beispiel


Die obigen Anmerkungen werden bei der L¨osung der Gleichung x − 5 = −2∗ illustriert, deren Definitionsbereich D = [5, ∞) ist. Quadrieren beider Seiten der Gleichung liefert die Argumentationskette  √ x − 5 = −2 ( )2 =⇒ x − 5 = 4 ⇐⇒ x = 9.

B

√

Wird die L¨ osung x = 9 in die linke Seite der Ausgangsgleichung eingesetzt, √ undet, dass das resultiert der Wert 9 − 5 = 2 = −2. Dies liegt darin begr¨ Quadrieren einer Gleichung die L¨ osungsmenge evtl. vergr¨oßert. Um festzustellen, welche L¨ osungen der urspr¨ unglichen Gleichung tats¨achlich gen¨ ugen, muss daher stets eine Probe durchgef¨ uhrt werden. In diesem Beispiel ergibt die Probe, dass der berechnete Wert x = 9 keine L¨osung der urspr¨ unglichen Gleichung ist. Die L¨ osungsmenge ist daher leer, d.h. L = ∅.  ¨ Das Beispiel zeigt, dass die Operation Quadrieren keine Aquivalenzumformung ist. Da jedoch jede L¨ osung der Ursprungsgleichung eine L¨osung der quadrierten Gleichung ist, kann keine L¨ osung verloren gehen. Die letztlich ermittelte Menge von Kandidaten enth¨ alt aber m¨oglicherweise Elemente, die keine L¨ osung der Ausgangsgleichung sind. Diese k¨onnen durch eine Probe eliminiert werden. Die L¨ osungsstrategie aus dem obigen Beispiel kann f¨ ur die allgemeine Situation direkt formuliert werden. L¨osungsverfahren f¨ ur Wurzelgleichungen 1. Definitionsbereich der Gleichung festlegen (u.a. sind die Werte auszuschließen, f¨ ur die unter einer Wurzel stehende Terme negativ werden). 2. Beide Seiten der Gleichung werden quadriert bis alle Wurzelterme eliminiert sind. Dabei m¨ ussen die Ausdr¨ ucke nach dem Quadrieren ggf. mit elementaren Umformungen bearbeitet werden. Zum Ziel f¨ uhrt die Strategie, nach jedem Quadrieren einen evtl. noch vorhandenen Wurzelterm auf eine Seite und alle restlichen Terme auf die andere Seite zu bringen und erst dann die Gleichung erneut zu quadrieren. 3. Nachdem alle Wurzelterme auf diese Weise eliminiert worden sind, wird die resultierende Gleichung gel¨ ost. 4. Mittels einer Probe wird gepr¨ uft, ob die ermittelten L¨osungen auch L¨osungen der Ausgangsgleichung sind. ∗ Da

die rechte Seite negativ ist, ist klar, dass die L¨ osungsmenge leer sein muss.




212




6. Gleichungen

An dieser Stelle sei darauf hingewiesen, dass das Quadrieren nach der 16
binomischen Formel (a + b)2 = a2 + 2ab + b erfolgt. Daher gilt √ √ ( x − 1 + 2)2 = (x − 1) + 4 x − 1 + 4 √
√ und nicht etwa ( x − 1 + 2)2 = ( x − 1)2 + 22 = (x − 1) + 4.

B

√ x + 8 − x = 2 ist f¨ ur alle x ≥ −8 definiert, d.h. D = [−8, ∞). Gem¨ aß dem oben vorgestellten Verfahren wird der Wurzelterm isoliert:  √ +x x+8−x=2  2 √ ( ) ⇐⇒ x+8=2+x Beispiel
Die Gleichung

=⇒

x + 8 = (x + 2)2

⇐⇒

x + 8 = x2 + 4x + 4

⇐⇒

 −x−8

x2 + 3x − 4 = 0

Die entstandene quadratische Gleichung kann z.B. mit 201
quadratischer Erg¨ anzung gel¨ost werden:  +4 ⇐⇒ x2 + 3x − 4 = 0

2  3 + 3 ⇐⇒ x2 + 2 · · x = 4 2 2

2

2 3 3 3 ⇐⇒ x2 + 2 · · x + =4+ 2 2 2

2 3 25 ⇐⇒ x+ = 2 4 Die letzte Gleichung hat die L¨ osungen ' ' 3 5 3 5 25 25 3 3 = − − = −4, x2 = − + = − + = 1. x1 = − − 2 4 2 2 2 4 2 2 Die Probe f¨ ur den Wert x1 = −4 liefert √ −4 + 8 + 4 = 6, linke Seite:

rechte Seite: 2,

osung ist. F¨ ur den Kandidaten x2 = 1 ergibt sich so dass x1 = −4 keine L¨ linke Seite:

√ 1 + 8 − 1 = 2,

rechte Seite: 2,

d.h. L = {1} ist L¨ osungsmenge der urspr¨ unglichen Wurzelgleichung.



6.4

Wurzelgleichungen

213

Kommen in der Gleichung mehrere Wurzeln vor, muss evtl. mehrfach quadriert werden. √ √ x − 1+ x + 2 = 1 hat den maximalen Definitionsbereich D = [1, ∞), da beide Wurzelterme dort definiert sind. Die Gleichung wird folgendermaßen gel¨ ost:  √ √ √ − x−1 x−1+ x+2=1  2 √ √ ( ) x+2=1− x−1 ⇐⇒ √ =⇒ x + 2 = (1 − x − 1)2  √ −x ⇐⇒ x+2=1−2 x−1+x−1  2 √ ( ) ⇐⇒ 2 = −2 x − 1 (∗)     :4 +1 =⇒ 4 = 4(x − 1) Beispiel
Die Gleichung

⇐⇒

B

2=x

Die Probe ergibt linke Seite:

√ √ 2−1+ 2+2= 1+2= 3

rechte Seite: 1,

so dass die obige Gleichung keine L¨ osung hat, d.h. L = ∅. Dies zeigt auch bereits eine genauere Betrachtung der Gleichung (∗). Die linke Seite ist positiv, die rechte f¨ ur jedes x > 1 stets negativ bzw. gleich Null f¨ ur x = 1. Daher kann es kein x ∈ D geben, das (∗) und damit die  Ausgangsgleichung erf¨ ullt. Beispiel
Definitionsbereich der Gleichung

" √ 4x2 + x2 + 1 = x + 1 sind die

reellen Zahlen R. Die L¨ osung lautet ! √ 4x2 + x2 + 1 = x + 1 √ =⇒ 4x2 + x2 + 1 = (x + 1)2 √ ⇐⇒ 4x2 + x2 + 1 = x2 + 2x + 1 √ ⇐⇒ x2 = −3x2 + 2x =⇒

x2 = (−3x2 + 2x)2

⇐⇒

x2 = 9x4 − 12x3 + 4x2

⇐⇒

0 = 9x4 − 12x3 + 3x2

⇐⇒

0 = x2 (3x2 − 4x + 1)

 2 ( )   − 4x2 − 1  2 ( )   − x2    : 3 Ausklammern von x2

B

214

6. Gleichungen

Die letzte Gleichung hat die L¨ osung x0 = 0 sowie die L¨osungen der Gleichung 2 3x − 4x + 1 = 0. Diese Gleichung lautet in Normalform x2 − 43 x + 13 = 0, so  2 dass die pq-Formel wegen D = 4/3 − 13 = 19 die L¨osungen 2 −4/3 − x1 = − 2

'

2 1 1 1 = − = , 9 3 3 3

liefert. Eine Probe ergibt, dass 0 und

−4/3 x2 = − + 2

'

2 1 1 = + =1 9 3 3

1 3

die Ursprungsgleichung l¨osen, w¨ahrend √
x 1 die (offensichtlich falsche) Gleichung 6 = 2 ergibt. Daher ist L =

=1  0, 3 die L¨  osungsmenge.




B

√ Eine Betrachtung der obigen Gleichung k¨ onnte nahe legen, den Term x2 durch x zu ersetzen und durch diese Vereinfachung schneller zu einer L¨osung zu uhren, da √ √ gelangen. Diese Umformung ist jedoch mit Vorsicht durchzuf¨ 2 x = |x| gilt und f¨ ur negative Werte von x daher die Ersetzung x2 = −x vorgenommen werden muss. Aus dieser Fallunterscheidung resultieren also f¨ ur x ≥ 0 und x < 0 verschiedene Gleichungen, die dann separat gel¨ost werden m¨ ussen. Diese Vorgehensweise wird an folgendem Beispiel illustriert. " (x − 2)2 = 2 besitzt den Definitionsbereich D = R. Nach Quadrieren ergibt sich

Beispiel
Die Gleichung

(x − 2)2 = 4 ⇐⇒ x2 − 4x + 4 = 4 ⇐⇒ x(x − 4) = 0 ⇐⇒ x = 0 oder x = 4. Die Probe liefert f¨ ur beide Werte eine wahre Aussage, d.h. L = {0, 4}. " Wird der Term (x − 2)2 jedoch direkt durch x − 2 ersetzt, resultiert die Gleichung x − 2 = 2. Somit wird nur die L¨ osung x = 4 berechnet, die L¨osung x = 0 wird u bersehen! Dies liegt darin begr¨ undet, dass bei diesem L¨osungsweg ¨ angenommen wird, dass x − 2 ≥ 0 erf¨ ullt ist. Somit wird x ≥ 2 unterstellt. Damit alle reellen Zahlen in Betracht gezogen werden, muss zus¨atzlich noch der Fall"x − 2 < 0 ber¨ ucksichtigt werden. In dieser Situation resultiert dann wegen (x − 2)2 = 2 − x die Gleichung 2 − x = 2, die die L¨osung x = 0 hat. Damit werden wiederum beide L¨ osungen ermittelt.  Wurzelgleichungen mit gr¨ oßerem Wurzelexponent

Zum Abschluss werden noch einfache Wurzelgleichungen der Art " n f (x) = c mit c ∈ R und n ∈ N diskutiert. Zur L¨ osung werden zwei F¨ alle unterschieden.

6.4

Wurzelgleichungen

215

n ist eine ungerade Zahl Die Wurzelgleichung ist ¨ aquivalent zur Gleichung f (x) = cn , so dass die L¨ osungen durch L¨ osung dieser Gleichung ermittelt werden k¨onnen. n ist eine gerade Zahl Zun¨ achst ist zu beachten, dass die Wurzel nur f¨ ur Werte von x erkl¨art ist, die einen nicht-negativen Wert des Terms f (x) liefern. Die Definitionsmenge muss daher auf eine Teilmenge von {x | f (x) ≥ 0} eingeschr¨ankt werden. √ ur gerades F¨ ur c < 0 besitzt die Gleichung keine L¨ osung, da die Wurzel n f¨ n per Definition eine nicht-negative Zahl ist. F¨ ur c ≥ 0 ist die Gleichung aquivalent zu f (x) = cn , wobei auf einen Vergleich der L¨osungen mit der ¨ Definitionsmenge der Wurzelgleichung und eine Probe nicht verzichtet werden kann. √ Die Gleichung 4 x + 2 = −2 hat den Definitionsbereich D = [−2, ∞). Da die rechte Seite negativ ist und die vierte Wurzel gebildet werden soll, ist die L¨ osungsmenge leer. √ F¨ ur die Gleichung 4 x + 2 = 2 ergibt sich der selbe Definitionsbereich. Wegen √ 4 x + 2 = 2 =⇒ x + 2 = 24 ⇐⇒ x = 14∗ √ ist 14 ∈ D ein Kandidat f¨ ur die L¨ osung. Die Probe ergibt 4 14 + 2 = 2, so dass L = {14}. √ √ Der Definitionsbereich der Gleichungen 3 x + 2 = −2 und 3 x + 2 = 2 ist jeweils D = R. Die L¨ osungen sind √ 3 x + 2 = −2 ⇐⇒ x + 2 = (−2)3 ⇐⇒ x = −10 bzw. √ 3 x + 2 = 2 ⇐⇒ x + 2 = 23 ⇐⇒ x = 6.  Beispiel


" Eine ¨ ahnliche Strategie kann auch f¨ ur Gleichungen des Typs n f (x) = g(x) angewendet werden, wobei die rechte Seite durch einen Term g(x) gegeben ist. Bzgl. der L¨ osungsmenge ist wiederum obige Fallunterscheidung zu beachten. √ ∗ Die Umformungen der Gleichung 4 x + 2 = 2 bilden in diesem Fall sogar eine Aqui¨ √ valenzumformung. Wird die Gleichung leicht modifiziert zu 4 x + 2 = x, folgt durch Potenzieren die Gleichung x + 2 = x4 bzw. x4 − x − 2 = 0. Diese Gleichung hat – wie durch
Einsetzen u uft werden kann – die L¨ osung x = −1. Die Probe 1 = −1 zeigt jedoch, ¨berpr¨ dass dies keine L¨ osung der Ausgangsgleichung ist. Daher ist auch bei Wurzelgleichungen mit geradem 88
Wurzelexponent eine Probe notwendig.

B

216

B

6. Gleichungen

√ √ 4 x3 + 4 = x + 2 hat den Definitionsbereich D= √ √ 3 3 3 [− 4, ∞), da x ≥ −4 und x ≥ −2 gelten muss (− 4 ≈ −1,587 ≥ −2). Unter dieser Einschr¨ ankung gilt: "  4 √ 4 () x3 + 4 = x + 2 √ 4 =⇒ x3 + 4 = x+2

Beispiel
Die Gleichung

⇐⇒

x3 + 4 = (x + 2)2

⇐⇒

x3 + 4 = x2 + 4x + 4

⇐⇒

x3 − x2 − 4x = 0

⇐⇒

x(x2 − x − 4) = 0

  − x2 − 4x − 4

Somit ist x = 0 eine L¨ osung der Gleichung. Die quadratische Gleichung x2 − √ √ x−4 = 0 hat die L¨ osungen x1 = 12 − 217 ≈ −1,562 und x2 = 12 + 217 ≈ 2,562, √ √ die auch die Ausgangsgleichung l¨ osen. Daher folgt L = { 21 − 217 , 0, 12 + 217 }. √ √ Der Graf der durch f (x) = 4 x3 + 4 − x + 2 definierten Funktion hat folgendes Aussehen. Die Nullstellen sind die gesuchten L¨osungen der obigen Gleichung. 6

.. ... .... ... . . .. ... ... .... ... . . ... ... ... ... ... ........... . . . . .... .. ... .... ... ... ... ... ... .. ... ... .. ... . . ... . ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... . .... .. ... ... .... ... .. .... ... ... ... .... .... ... . . . ... ... . .... .... .. ..... .... .. ..... ..... .... ...... ...... ..................... ... . ..... . ..... . ..... . .... .... . ....

0.5

-

−1

0

1

2

3

4

−0.5



6.5

6.5 Logarithmische Gleichungen




Bezeichnung Logarithmische Gleichungen Gleichungen, in denen die Unbekannte als Argument des Logarithmus vorkommt, heißen logarithmische Gleichungen.

6.5

Logarithmische Gleichungen

217

Zur Entwicklung eines L¨ osungsansatzes wird zun¨achst die Gleichung log10 (x − 2) = 1 untersucht. Vor ihrer L¨ osung ist zu beachten, dass der Logarithmus nur f¨ ur positive Argumente erkl¨ art ist. Das bedeutet in diesem Beispiel, dass der Term x−2 nur Werte annehmen darf, die positiv sind. Der Definitionsbereich der Gleichung ist somit das Intervall (2, ∞). Zur L¨ osung der Gleichung bietet sich folgende Regel f¨ ur 94
Logarithmen an loga (x) = loga (y)

⇐⇒

x = y,

(♣)

die f¨ ur alle positiven x, y und alle a > 0 mit a = 1 gilt. An dieser Stelle sei außerdem an die 94
Darstellung b = loga (ab ) einer Zahl b als Logarithmus zur Basis a erinnert. Beispiel
Mit den obigen Hilfsmitteln l¨ asst sich die Gleichung log10 (x−2) = 1

wie folgt l¨ osen: log10 (x − 2) = 1 ⇐⇒

log10 (x − 2) = log10 (101 )

=⇒

x − 2 = 101

⇐⇒

 1 = log10 (101 )  Regel (♣) f¨ur Logarithmen  +2

x = 12

¨ Der zweite L¨ osungsschritt ist i.Allg. keine Aquivalenzumformung, da der Logarithmus nur f¨ ur positive Argumente angewendet werden darf. Daher ist ¨ nach Bestimmung aller m¨ oglichen L¨ osungen eine Uberpr¨ ufung dieser Werte durch eine Probe in der Ursprungsgleichung bzw. durch einen Vergleich mit der Definitionsmenge notwendig. Wegen 12 ∈ D = (2, ∞) ist L = {12} die L¨osungsmenge der Gleichung.  ¨ Zur L¨ osung der Gleichung wird die Aquivalenz in (♣) benutzt, d.h. der Logarithmus kann bei diesem Gleichungstyp weggelassen werden. Alternativ kann eine (♣) entsprechende Exponentialgleichung verwendet werden: ax = ay ⇐⇒ x = y, wobei a > 0, a = 1. Daher kann die L¨ osung der Gleichung auch so ausgef¨ uhrt werden, dass auf beiden Seiten der Gleichung die Potenz zur Basis a = 10 gebildet wird:  Potenzbildung mit Basis 10 log10 (x − 2) = 1

B

218

6. Gleichungen

⇐⇒

 94
Regeln f¨ur Potenzen aloga (b) = b  +2

10log10 (x−2) = 101

=⇒

x − 2 = 10

⇐⇒

x = 12

Umformungen von logarithmischen Gleichungen Sei a > 0 mit a = 1. Alle L¨ osungen der logarithmischen Gleichung osungen der Gleichung f (x) = ab . Da die Gleichung loga (f (x)) = b sind L¨ osungen haben kann, muss nach Berechnung dieser L¨osunf (x) = ab weitere L¨ gen stets eine Probe in der logarithmischen Gleichung bzw. ein Vergleich mit der Definitionsmenge durchgef¨ uhrt werden. Formal wird die Gleichung f (x) = ab durch Bildung der Potenzen aloga f (x) und ab und Anwendung der 94
Regel aloga (c) = c f¨ ur c > 0 erzeugt. Bei Anwendung von Logarithmusgesetzen ist jedoch zu beachten, dass der Logarithmus nur f¨ ur positive Argumente definiert ist. Da jede L¨osung der Ursprungsgleichung auch weiterhin eine L¨ osung ist, m¨ ussen lediglich die ermittelten Kandidaten f¨ ur L¨ osungen einer Probe unterzogen werden. Diese Vorgehensweise l¨ asst sich auch bei komplizierteren logarithmischen Gleichungen anwenden. In den folgenden Beispielen werden einige typische Situationen behandelt. B

Beispiel
In der Gleichung lg(4x) − lg(x − 1) = lg(2) + lg(x) treten mehrere ur Logarithmen auf. In solchen F¨ allen k¨ onnen folgende 94
Rechenregeln f¨

Logarithmen ausgenutzt werden: lg(a) + lg(b) = lg(ab),

lg(a) − lg(b) = lg

a b

,

a, b > 0.

Vor L¨ osung der Gleichung ist zun¨ achst zu kl¨aren, welche Werte zul¨assig sind. Da der Logarithmus nur f¨ ur positive Argumente definiert ist, resultieren die Bedingungen 4x > 0, x > 1

und

x > 0,

so dass x ∈ D = (1, ∞) sein muss. Damit ergibt sich:

⇐⇒ =⇒

lg(4x) − lg(x − 1) = lg(2) + lg(x)

 4x lg = lg(2x) x−1 4x = 2x x−1

 Potenzbildung zur Basis 10   · (x − 1)

6.5

Logarithmische Gleichungen

219

⇐⇒

4x = 2x(x − 1)

⇐⇒

0 = 2x(x − 3)

⇐⇒

x = 0 oder x = 3

   − 4x Ausklammern von 2x

ussen nun dahingehend untersucht Die Kandidaten x1 = 0 und x2 = 3 m¨ werden, ob sie auch der urspr¨ unglichen, logarithmischen Gleichung gen¨ ugen. osung aus, da Null nicht in der Definitionsmenge der x1 = 0 scheidet als L¨ Gleichung enthalten ist. x2 = 3 liegt im Definitionsbereich und ist somit eine L¨ osung. Dies zeigt auch die Probe:

 12 linke Seite: lg(4 · 3) − lg(3 − 1) = lg = lg(6), 2 rechte Seite:

lg(2) + lg(3) = lg(2 · 3) = lg(6).

Daher ist L = {3} L¨ osungsmenge der urspr¨ unglichen Gleichung. Beispiel
Der Definitionsbereich der Gleichung ln(x) −

gegeben durch das Intervall D = gelten muss.



ln(3x − 2) = 0 ist , ∞ , da sowohl x > 0 als auch 3x − 2 > 0 3

2

1 2

Da der zweite Logarithmus mit dem Faktor 12 multipliziert wird, kann die √ 1 Regel a ln(x) = ln(xa ), a ∈ R, benutzt werden. Wegen x 2 = x ergibt sich: 1 ln(3x − 2) = 0 2 √ ln(x) − ln( 3x − 2) = 0

 x ln √ =0 3x − 2 x √ = e0 3x − 2 √ x = 3x − 2

ln(x) − ⇐⇒ ⇐⇒ =⇒ ⇐⇒ =⇒ ⇐⇒

x2 = 3x − 2

 a ln(x) = ln(xa )

    ln(a) − ln(b) = ln a b  Potenzbildung zur Basis e   √  · 3x − 2 e0 = 1  2 ( )   − 3x + 2

x2 − 3x + 2 = 0

Die quadratische Gleichung kann z.B. mit der 202
pq-Formel gel¨ost werden. 2 F¨ ur die Diskriminante gilt D = − 23 − 2 = 94 − 84 = 14 , so dass es zwei L¨ osungen x1 = 32 + 12 = 2 und x2 = 32 − 12 = 1 gibt. Da die Werte im Definitionsbereich der Ausgangsgleichung liegen, sind beide L¨osungen der Gleichung. Die Proben ergeben f¨ ur die linken Seiten √ ln(2) − 12 ln(3 · 2 − 2) = ln(2) − ln( 4) = ln(2) − ln(2) = 0,

B

220

6. Gleichungen

ln(1) −

1 2

√ ln(3 · 1 − 2) = ln(1) − ln( 1) = ln(1) − ln(1) = 0.

Da die rechte Seite ebenfalls gleich Null ist, gilt L = {1, 2}. B



Beispiel
Der Definitionsbereich der Gleichung log2 (x2 − 1) = log2 (2x2 ) ist

der Bereich D = (−∞, −1) ∪ (1, ∞), da die Argumente der Logarithmen f¨ ur diese Werte positiv sind. Daraus ergibt sich log2 (x2 − 1) = log2 (2x2 ) =⇒ ⇐⇒

x2 − 1 = 2x2

  − x2

−1 = x2

Da die letzte Gleichung keine L¨ osung hat, ist die L¨osungsmenge leer, d.h. L = ∅.  Gelegentlich ist es sinnvoll, eine Gleichung durch Substitution eines Terms in zwei Schritten zu l¨ osen. Dies wird an folgendem Beispiel erl¨autert. B

Beispiel


Die Gleichung log3 (x2 − 3) + log3 (x2 − 1) = 1 h¨angt von der Variablen x nur u ¨ ber den Ausdruck x2 ab. Daher kann die Gleichung durch Einf¨ uhrung der neuen Variablen y = x2 geschrieben werden als log3 (y − 3) + log3 (y − 1) = 1.

Diese Ersetzung der Variablen ist ein Beispiel der in 234
Abschnitt 6.9 vorgestellten Substitutionsmethode. Die so entstandene Gleichung wird zun¨ achst f¨ ur die Unbekannte y gel¨ost, wobei der Definitionsbereich f¨ ur y durch das Intervall (3, ∞) gegeben ist: log3 (y − 3) + log3 (y − 1) = 1 ⇐⇒ =⇒ ⇐⇒

log3 [(y − 3)(y − 1)] = 1 (y − 3)(y − 1) = 31 y 2 − 4y + 3 = 3

⇐⇒

y(y − 4) = 0

⇐⇒

y = 0 oder y = 4

 Potenzbildung zur Basis 3  −3

Wegen y ∈ (3, ∞) ist nur y = 4 L¨ osung der Gleichung (in y). Nun wird die uhrt, d.h. die L¨osung f¨ ur x ergibt sich aus der R¨ ucksubstitution y = x2 ausgef¨ Beziehung x2 = 4. Diese Gleichung hat die L¨osungen x1 = −2 und x2 = 2. Eine Probe best¨ atigt, dass diese Werte auch L¨osungen der Ausgangsgleichung sind. Also gilt L = {−2, 2}. 

6.6

Exponentialgleichungen

221

6.6 Exponentialgleichungen

6.6

Bezeichnung Exponentialgleichungen Gleichungen, in denen die Unbekannte im Exponenten einer Potenz vorkommt, heißen Exponentialgleichungen.



Beispiel
Die folgende Gleichungen sind Exponentialgleichungen: 2

3x−1 = 10, et

+4

= 4, 10−4u+3 = −2.

B



Das L¨ osungsverfahren beruht auf der Rechenregel (a > 0, a = 1) ax = ay

⇐⇒

x=y

und der Tatsache, dass jede positive Zahl c als Potenz dargestellt werden kann, d.h. c = aloga (c) = a

ln(c) ln a

.

Beispiel
F¨ ur die erste der obigen Gleichungen bedeutet dies

 3x−1 = 10 ⇐⇒ 3x−1 = 3log3 (10) ⇐⇒ x − 1 = log3 (10)  + 1 ⇐⇒ x = log3 (10) + 1 ⇐⇒ x = log3 (10) + log3 (3) ⇐⇒ x = log3 (30). Dieses Ergebnis kann auch direkt durch Logarithmieren∗ beider Seiten der Gleichung ermittelt werden. Dabei ist zu beachten, dass der Logarithmus nur f¨ ur positive Werte definiert ist. Da 10 und die Potenz 3x−1 positiv sind, gilt 3x−1 = 10 ⇐⇒ log3 (3x−1 ) = log3 (10) ⇐⇒ x − 1 = log3 (10) ⇐⇒ x = 1 + log3 (10) ⇐⇒ x = log3 (30) ¨ Da es sich in dieser Situation um Aquivalenzumformungen handelt, ist L = osungsmenge der Gleichung.  {log3 (30)} L¨ L¨osungen von Exponentialgleichungen Sei af (x) = b eine Exponentialgleichung mit a > 0, a = 1, b ∈ R. Dann hat die Gleichung 1 die selben L¨ osungen wie die Gleichung f (x) = loga (b), falls b > 0 ist. 2

keine L¨ osung, falls b ≤ 0 ist.

∗ Die

Basis des Logarithmus wird passend zur Basis der Potenz gew¨ ahlt.

B

222

6. Gleichungen

Diese L¨ osungsstrategie l¨ asst sich auf kompliziertere Beispiele erweitern. Hierzu seien f (x) und g(x) beliebige Terme mit af (x) = g(x)

mit a > 0, a = 1.

ur alle x kann die Gleichung nur f¨ ur x mit g(x) > 0 L¨osunWegen af (x) > 0 f¨ gen haben. Da Logarithmieren der Gleichung auch nur f¨ ur diejenigen Werte x im Definitionsbereich der Terme f (x) und g(x) mit g(x) > 0 erlaubt ist, ist die L¨ osungsmenge der obigen Gleichung gegeben durch die L¨osungsmenge der logarithmischen Gleichung f (x) = loga (g(x)) B

mit g(x) > 0.

Beispiel
Die Gleichung (32 )x−1 = 36 · 3x hat den Definitionsbereich R. Zur ur Potenzen ausgenutzt: L¨ osung werden folgende 91
Rechenregeln f¨

(ax )y = ax·y , ax · ay = ax+y .  2 3

Damit gilt:

x−1

= 36 · 3x

⇐⇒

32(x−1) = 36+x

⇐⇒

2(x − 1) = 6 + x

⇐⇒

 Logarithmieren mit log3   −x+2

x=8

Die L¨ osungsmenge der Exponentialgleichung ist also L = {8}. x−1

B

Beispiel


B

Beispiel
Die Definitionsmenge der Gleichung



In der Gleichung 4 x = 28 haben beide Potenzen eine unterschiedliche Basis. Der Definitionsbereich der Gleichung sind alle reellen Zahlen außer der Null, d.h. D = R \ {0}. Die L¨ osung ergibt sich gem¨aß  8 x−1 2 = (22 )4 = 44 4 x = 28  x−1  log4 ( ) ⇐⇒ 4 x = 44    x−1 ·x −x :3 =4 ⇐⇒ x ⇐⇒ x = − 31

  osungsmenge der Gleichung. Wegen − 31 ∈ D ist L = − 31 die L¨

3x+3 − 2 · 5x = 5x+1 + 2(3x + 5x )

6.6

Exponentialgleichungen

223

ist D = R. Da die in der Gleichungen vorkommenden Potenzen unterschiedliche 85
Basen haben, bietet es sich an, beide Seiten zun¨achst so weit wie m¨ oglich zu vereinfachen und dann Potenzen mit der selben Basis auf die selbe Seite zu bringen:   + 2 · 5x − 2 · 3x 3x+3 − 2 · 5x = 5x+1 + 2(3x + 5x ) ⇐⇒

3x+3 − 2 · 3x = 5x+1 + 4 · 5x .

Die L¨ osung der Gleichung wird auf folgende Weise fortgesetzt: Ausklammern von 3x auf der linken und 5x auf der rechten Seite (mit der Regel ax+b = ab · ax ). Dividieren der Gleichung durch 3x oder durch 5x . 3x+3 − 2 · 3x = 5x+1 + 4 · 5x ⇐⇒

33 · 3x − 2 · 3x = 5 · 5x + 4 · 5x

⇐⇒

3x (27 − 2) = 5x (5 + 4)

⇐⇒

25 · 3x = 9 · 5x

⇐⇒

25 9 25 9

⇐⇒ ⇐⇒ Wegen

25 9

=

5 3

log 2

gilt log 53

 25

5 3

9

Beispiel
Die Gleichung 3x

2

−4

=

5x x 3 5 x 3

3

=x

9

 25

=

   : 9  : 3x  5x   x = 5 x 3 3   log 5 ()

= log 53

0 5

2

1

3

= 2, d.h. L = {2}.



= 6−x hat den Definitionsbereich R. Weiter

gilt 3x ⇐⇒

3x

⇐⇒

3x

⇐⇒

2

−4

3x

2

2

−4

= 6−x

2

−4

= 3−x · 2−x

· 3x = 2−x

+x−4

= 2−x

⇐⇒

x2 + x − 4 = log3 (2−x )

⇐⇒

x2 + x − 4 = −x log3 (2)

⇐⇒

 −x 6 = 3−x · 2−x  x ·3   log ()  3 −x  log3 (2 ) = −x log3 (2)   + x log3 (2)

x2 + (1 + log3 (2))x − 4 = 0

Diese quadratische Gleichung kann mit den bekannten Methoden gel¨ost wer2  3 (2) + 4 ≈ 4,66 > 0 gibt es zwei L¨osungen den. Wegen D = 1+log 2 x1 = −

1 + log3 (2) √ 1 + log3 (2) √ − D ≈ −2,98, x2 = − + D ≈ 1,34.  2 2

B

224

6. Gleichungen

6.7

6.7 Betragsgleichungen




Bezeichnung Betragsgleichung Gleichungen, in denen die Unbekannte in Betr¨ agen vorkommt, heißen Betragsgleichungen.

B

Beispiel
Folgende Gleichungen sind Betragsgleichungen:

|x − 1| = 5,

4 + |2t − 1| = |t|,

|z 2 − 2z − 1| = |z + 3|.

Zur Visualisierung von Betragsgleichungen werden alle Terme auf die linke Seite der Gleichung gebracht:



... ... ... ... ... ... ... .. . ... . . ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . ... . ... ... ... ... ... ... .. ... . . . ... ... ... ... ... ... ... ... .. . . ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... . ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... ......

f (x) 6

−4

|x − 1| = 5 ⇐⇒ |x − 1| − 5 = 0.

−2

0

-

2

4

6

x

−2

Die entstandene linke Seite f (x) = |x − 1| − 5 definiert eine Funktion f , deren Graf dann die L¨ osungen der Gleichung als Schnittpunkte mit der 62
Abszisse besitzt.

−4

Charakteristisch f¨ ur Grafen von Betragsfunktionen ist der Knick“. Dieser ” wird verursacht durch den Vorzeichenwechsel des 14
Betrags |x| der Zahl x ∈ R, der definiert ist durch  x, falls x ∈ [0, ∞) . |x| = −x, falls x ∈ (−∞, 0) B

Beispiel
Die Aufl¨ osung des Betrags |x − 1| f¨ uhrt zu

 |x − 1| =

x − 1,

falls x − 1 ∈ [0, ∞)

−(x − 1), falls x − 1 ∈ (−∞, 0)

=

 x − 1, falls x ∈ [1, ∞) 1 − x,

falls x ∈ (−∞, 1)

.

F¨ ur die Funktion f resultiert somit die Darstellung  x − 1 − 5, falls x ∈ [1, ∞) f (x) = |x − 1| − 5 = 1 − x − 5, falls x ∈ (−∞, 1)  x − 6, falls x ∈ [1, ∞) . = −x − 4, falls x ∈ (−∞, 1) Der Graf von f ist also – wie bereits in der Grafik deutlich wurde – aus zwei  Geradenst¨ ucken zusammengesetzt.

6.7

Betragsgleichungen

225

L¨ osungsverfahren

Der L¨ osungsansatz f¨ ur Betragsgleichungen beruht darauf, die Betr¨age mit Fallunterscheidungen nach obigem Muster aufzul¨osen. Dazu werden die reellen Zahlen in Intervalle unterteilt, in denen die Betragsgleichung jeweils eine andere Form hat. Anschließend werden die verschiedenen Gleichungen gel¨ost. F¨ ur die urspr¨ ungliche Betragsgleichung sind jedoch nur diejenigen L¨osungen zul¨ assig, die tats¨ achlich in den entsprechenden Bereichen liegen.




L¨osungsverfahren f¨ ur Betragsgleichungen 1. Die reellen Zahlen werden in Intervalle zerlegt, deren Grenzen die Stellen sind, an denen einer der in der Gleichung vorkommenden Betragsausdr¨ ucke das Vorzeichen wechselt. 2. F¨ ur jedes Intervall werden die Betr¨ age aufgel¨ ost und die entstandene Gleichung gel¨ ost. 3. F¨ ur die berechneten L¨ osungen wird gepr¨ uft, ob sie in dem gerade betrachteten Intervall liegen. Ist dies der Fall, dann ist der Wert eine L¨osung der Betragsgleichung. Andernfalls ist er keine L¨ osung. 4. Die L¨ osungsmenge der Betragsgleichung ergibt sich als Vereinigung der L¨ osungsmengen in den einzelnen Intervallen. Beispiel
In der Gleichung |x − 1| = 5 kommt nur der Betrag |x − 1| vor, so dass – wie oben gesehen – an der Stelle x = 1 eine Einteilung der x-Achse in die Intervalle (−∞, 1) und [1, ∞) erfolgt.∗ 1

F¨ ur x ∈ [1, ∞) ergibt sich die Gleichung x − 1 = 5, d.h. x = 6. Da diese L¨ osung im Intervall [1, ∞) liegt, geh¨ ort sie zur L¨osungsmenge der urspr¨ unglichen Betragsgleichung.

2

F¨ ur x ∈ (−∞, 1) lautet die Betragsgleichung hingegen −x + 1 = 5:  −x + 1 = 5  + x − 5 ⇐⇒ −4 = x. Wegen −4 ∈ (−∞, 1) geh¨ ort −4 zur L¨ osungsmenge der Betragsgleichung.

Insgesamt ergibt sich also L = {−4, 6}.



∗ Alternativ kann z.B. auch die Einteilung (−∞, 1], (1, ∞) benutzt werden. Wesentlich ist nur, dass die Stellen, an denen einer der Betr¨ age sein Vorzeichen wechselt, einem benachbarten Intervall zugeordnet werden. Die Intervalle m¨ ussen eine 54
Zerlegung der reellen Zahlen bilden.

B

226

6. Gleichungen

¨ Das folgende Beispiel zeigt, dass die Uberpr¨ ufung, ob die ermittelte L¨osung im jeweils betrachteten Bereich liegt, tats¨ achlich notwendig ist. B

Beispiel
F¨ ur die Betragsgleichung |x − 1| = 2x ergibt sich mit der obigen Fallunterscheidung: 1

x ∈ [1, ∞):

 x − 1 = 2x  − x

⇐⇒

x = −1.

Dieser Wert liegt nicht im Intervall [1, ∞) und geh¨ort somit nicht zur L¨ osungsmenge der urspr¨ unglichen Betragsgleichung. 2

x ∈ (−∞, 1):  −x + 1 = 2x  + x

⇐⇒

 1 = 3x  : 3

∈ (−∞, 1), so dass

1 Es ergibt sich daher L = 3 . In diesem Fall gilt

1 3

1 3

⇐⇒

x = 13 .

zur L¨osungsmenge geh¨ort. 

In vielen Betragsgleichungen kommen Betr¨age mehrfach vor. Auch hier beruht das L¨ osungsverfahren auf einer Fallunterscheidung sowie der anschlie¨ ßenden Uberpr¨ ufung, ob die ermittelten L¨ osungen in den betrachteten Bereichen liegen. B

Beispiel
In der Gleichung |x − 1| + |x − 2| = 5 kommen zwei Betr¨ age vor, f¨ ur die gilt   x − 2, falls x ∈ [2, ∞), x − 1, falls x ∈ [1, ∞) , |x−2| = |x−1| = 2 − x, falls x ∈ (−∞, 2). 1 − x, falls x ∈ (−∞, 1)

Somit wird die reelle Achse durch die Stellen x = 1 und x = 2 in drei Intervalle eingeteilt: (−∞, 1)

... ... ... .

1

[1, 2)

... ... ... .

[2, ∞)

-

2

In jedem Teilintervall wird die Gleichung nun gesondert untersucht, wobei die Betr¨ age jeweils aufgel¨ ost werden. 1

x ∈ (−∞, 1): In dieser Situation gilt |x − 1| = 1 − x und |x − 2| = 2 − x, so dass die Gleichung und ihre L¨ osung lauten:   (1 − x) + (2 − x) = 5  − 3 ⇐⇒ −2x = 2  : (−2) ⇐⇒ x = −1.

6.7

Betragsgleichungen

227

In diesem Fall gilt −1 ∈ (−∞, 1) und −1 geh¨ort zur L¨osungsmenge. 2

x ∈ [1, 2): Nun gilt |x − 1| = x − 1 und |x − 2| = 2 − x, so dass  (x − 1) + (2 − x) = 5  − 1

⇐⇒




0 = 4.

Daher gibt es keine L¨ osung in diesem Bereich. 3

x ∈ [2, ∞): In diesem Fall gilt |x − 1| = x − 1 und |x − 2| = x − 2, so dass   (x − 1) + (x − 2) = 5  + 3 ⇐⇒ 2x = 8  : 2 ⇐⇒ x = 4. Wegen 4 ∈ [2, ∞) ist 4 ein Element der L¨ osungsmenge.

Die Betragsgleichung besitzt daher die L¨ osungsmenge L = {−1, 4}.



Aus den Beispielen wird deutlich, dass die Einteilung der reellen Zahlen durch die Nullstellen der Terme in den Betragsausdr¨ ucken festgelegt wird. F¨ ur lib ur quaneare Terme |ax + b| mit a = 0 ergibt sich somit die Grenze − a , f¨ dratische Ausdr¨ ucke |ax2 + bx + c| resultieren die Grenzen als L¨osungen der 195
quadratischen Gleichung ax2 + bx + c = 0. Sind diese Werte ermittelt, uft werden, welches Vorzeichen der jekann mit einem Vorzeichentest∗ gepr¨ weilige Term im gesamten betrachteten Intervall hat. Beispiel
In der Gleichung |x2 − 4x + 3| + |x + 1| − |x − 2| = 2 kommen drei

Betr¨ age vor. Nach den obigen Ausf¨ uhrungen m¨ ussen lediglich die Nullstellen der Terme in den Betragsausdr¨ ucken ermittelt werden, um die Einteilung der reellen Zahlen zu bestimmen. In diesem Fall resultieren f¨ ur die Betragsterme die folgenden Nullstellen (die quadratische Gleichung wird mit 201
quadratischer Erg¨anzung gel¨ost): 1

|x2 − 4x + 3|: x2 − 4x + 3 = 0 ⇐⇒

x2 + 2 · (−2)x = −3

⇐⇒

x2 + 2 · (−2)x + (−2)2 = −3 + (−2)2

⇐⇒

(x − 2)2 = 1

⇐⇒

x = 3 oder x = 1

 −3   + (−2)2

∗ d.h. mit einer (beliebig gew¨ ahlten) Stelle aus dem 59
Inneren des jeweils betrachteten Intervalls wird das Vorzeichen des Arguments im Intervall bestimmt.

B

228

6. Gleichungen

2

|x + 1|: x + 1 = 0 ⇐⇒ x = −1

3

|x − 2|: x − 2 = 0 ⇐⇒ x = 2

Werden diese vier Punkte auf der x-Achse abgetragen, ergibt sich die Einteilung: (−∞, −1) −2

[−1, 1)

.. ... ... ..

−1

0

.. ... ... ..

[1, 2)

1

.. ... ... ..

[2, 3)

2

.. ... ... ..

[3, ∞)

3

-

4

Zur Eliminierung der Betr¨ age muss festgestellt werden, welches Vorzeichen die Ausdr¨ ucke in diesen Intervallen haben. Dazu wird f¨ ur x eine beliebige ∗
Inneren des jeweiligen Intervalls eingesetzt. Dies ergibt: Zahl aus dem 59

Pr¨ ufstelle x2 − 4x + 3 x+1 x−2

(−∞, −1) x = −2 + − −

[−1, 1) x=0 + + −

[1, 2) x = 1,5 − + −

[2, 3) x = 2,5 − + +

[3, ∞) x=4 + + +

Die nach Aufl¨osung der Betr¨ age in den einzelnen Intervallen resultierenden Ausdr¨ ucke sind in der folgenden Tabelle verzeichnet (die Terme, die aus einem negativen Ausdruck entstehen sind blau markiert). |x2 − 4x + 3| |x + 1| |x − 2|

(−∞, −1) [−1, 1) [1, 2) [2, 3) [3, ∞) x2 − 4x + 3 x2 − 4x + 3 −x2 + 4x − 3 −x2 + 4x − 3 x2 − 4x + 3 −x − 1 x+1 x+1 x+1 x+1 2−x 2−x 2−x x−2 x−2

Zur L¨ osung der Gleichung |x2 − 4x + 3| + |x + 1| − |x − 2| = 2 sind daher folgende F¨ alle zu diskutieren (die Betragsgleichung ist bereits jeweils ohne Betr¨ age formuliert): 1

x ∈ (−∞, −1): (x2 − 4x + 3) + (−x − 1) − (2 − x) = 2 ⇐⇒

x2 − 4x + 3 − x − 1 + x − 2 = 2

⇐⇒

x2 − 4x = 2

⇐⇒

x2 + 2 · (−2)x + (−2)2 = 6

⇐⇒ ⇐⇒

  + (−2)2

(x − 2)2 = 6 √ √ x = 2 − 6 ≈ −0,449 oder x = 2 + 6 ≈ 4,449

Keine der L¨ osungen liegt im Intervall (−∞, −1), d.h L1 = ∅. ∗ eine

so genannte 292
Pr¨ ufstelle

6.7

2

Betragsgleichungen

229

x ∈ [−1, 1): (x2 − 4x + 3) + (x + 1) − (2 − x) = 2 ⇐⇒

x2 − 4x + 3 + x + 1 + x − 2 = 2

⇐⇒

x2 − 2x + 2 = 2

⇐⇒

x(x − 2) = 0

⇐⇒

x = 0 oder x = 2

 −2

Nur die erste L¨ osung liegt im Intervall [−1, 1), d.h. L2 = {0}. 3

x ∈ [1, 2): (−x2 + 4x − 3) + (x + 1) − (2 − x) = 2 ⇐⇒

−x2 + 4x − 3 + x + 1 + x − 2 = 2

⇐⇒

−x2 + 6x − 4 = 2

⇐⇒ ⇐⇒

x2 − 6x = −6

   + 4  · (−1)   + (−3)2

x2 + 2 · (−3)x + (−3)2 = 3

⇐⇒

(x − 3)2 = 3 √ √ ⇐⇒ x = 3 − 3 ≈ 1,268 oder x = 3 + 3 ≈ 4,732 √ Nur die erste L¨ osung liegt im Intervall [1, 2), d.h. L3 = {3 − 3}. 4

x ∈ [2, 3): (−x2 + 4x − 3) + (x + 1) − (x − 2) = 2 ⇐⇒

−x2 + 4x − 3 + x + 1 − x + 2 = 2

⇐⇒

−x2 + 4x = 2

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

x2 − 4x = −2

  · (−1)   + (−2)2

x2 + 2 · (−2)x + (−2)2 = 2 (x − 2)2 = 2 √ √ x = 2 − 2 ≈ 0,586 oder x = 2 + 2 ≈ 3,414

Keine der L¨ osungen liegt im Intervall [2, 3), d.h. L4 = ∅. 5

x ∈ [3, ∞): (x2 − 4x + 3) + (x + 1) − (x − 2) = 2 ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

x2 − 4x + 3 + x + 1 − x + 2 = 2

 x2 − 4x + 6 = 2  − 2  x2 − 4x + 4 = 0 2. binom. Formel

⇐⇒

(x − 2)2 = 0

⇐⇒

x=2

230

6. Gleichungen

Die L¨ osung liegt nicht im Intervall [3, ∞), so dass L5 = ∅ folgt. Die L¨ osungsmenge der Betragsgleichung ist die Vereinigung der bereits berechneten f¨ unf L¨ osungsmengen √ √ L = L1 ∪ L2 ∪ L3 ∪ L4 ∪ L5 = ∅ ∪ {0} ∪ {3 − 3} ∪ ∅ ∪ ∅ = {0, 3 − 3}. Dies wird auch am Grafen der durch f (x) = |x2 − 4x + 3| + |x + 1| − |x − 2| − 2 definierten Funktion deutlich, der zwei Schnittpunkte mit der x-Achse hat. ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... . . . ... ... ... .. ... .. ... ... ............. ... . . . . . . ....... ... .. ... ...... ... ... ..... ..... ... ... ........ ... ... . ... ... . . ... .... ... .... ... .... ... .... .. ..... . ...... ... ....... ............

f (x)

6

8

6

4

2

-

−2

0

2

x

 Zusammenhang zu quadratischen Gleichungen

Eine Betragsgleichung kann durch geeignetes Quadrieren in eine quadratische Gleichung u uhrt werden. Dabei wird die Eigenschaft |a|2 = a2 , a ∈ R, ¨ berf¨ ausgenutzt. Bei Anwendung dieser L¨ osungsstrategie ist jedoch zu beachten, dass durch das Quadrieren der beiden Seiten der Gleichung evtl. zus¨atzliche L¨ osungen erzeugt werden. Daher muss abschließend stets gepr¨ uft werden, ob ein auf diese Weise ermittelter Kandidat auch die Ausgangsgleichung l¨ost. B

Beispiel
Die Betragsgleichung |x+ 1| = 2 wird durch Quadrieren in die quauhrt. Aus der dritten 16
binomischen dratische Gleichung (x+1)2 = 22 u ¨ berf¨

Formel folgt (x + 1)2 − 22 = (x + 1 − 2)(x + 1 + 2) = (x − 1)(x + 3), d.h. (x + 1)2 = 22 ⇐⇒ (x − 1)(x + 3) = 0 ⇐⇒ x = 1 oder x = −3. Eine  Probe best¨ atigt diese L¨ osungen, d.h. L = {−3, 1}.

6.8

Gleichungen mit Parametern

231

Beispiel
F¨ ur die Gleichung |5t − 3| = 1 − 3t liefert diese L¨osungsmethode:

|5t − 3| = 1 − 3t (5t − 3)2 = (1 − 3t)2

=⇒ ⇐⇒

(5t − 3)2 − (1 − 3t)2 = 0

⇐⇒

(5t − 3 − (1 − 3t))(5t − 3 + (1 − 3t)) = 0

⇐⇒

(8t − 4)(2t − 2) = 0

⇐⇒

8t − 4 = 0 oder 2t − 2 = 0

⇐⇒

t=

1 2

B

 2 ( )   − (1 − 3t)2  3. bin. Formel

oder t = 1

ur L¨ osungen. Einsetzen in die rechte Daher sind t = 12 und t = 1 Kandidaten f¨ Seite der Ausgangsgleichung ergibt jedoch in beiden F¨allen einen negativen Wert, so dass beide Kandidaten keine L¨ osungen sind, d.h. L = ∅. 

 F¨ ur die Gleichung |5t − 3| = 3t − 1 gilt hingegen L = 12 , 1 . Beispiel
F¨ ur die Gleichung |z 2 − 2z| = z ergibt sich:

|z 2 − 2z| = z =⇒

(z 2 − 2z)2 = z 2

⇐⇒

z 2 (z − 2)2 − z 2 = 0

⇐⇒

z 2 [(z − 2)2 − 1] = 0

⇐⇒

z 2 (z − 1)(z − 3) = 0

⇐⇒

z = 0 oder z = 1 oder z = 3

Die Probe ergibt L = {0, 1, 3}.

B

 2 ( )   − z2  Ausklammern  3. bin. Formel



Diese Methode zur L¨ osung von Betragsgleichungen hat den Nachteil, dass mehrfaches Quadrieren hohe Potenzen der Unbekannten erzeugt. I.Allg. resultiert eine 266
Polynomgleichung, die oft schwierig zu l¨osen ist.

6.8 Gleichungen mit Parametern In den bisher behandelten Beispielen enthielten die Gleichungen außer den Variablen keine unbekannten Gr¨ oßen. In vielen Problemen treten jedoch neben den interessierenden Variablen oft zus¨ atzliche Gr¨oßen auf, deren Wert nicht n¨ aher spezifiziert ist. Diese, als Parameter bezeichneten Variablen spielen eine andere Rolle in dem Sinn, dass die Gleichung in der Unbekannten in Abh¨ angigkeit von diesen Parametern allgemein gel¨ost werden soll.

6.8

232

6. Gleichungen

Ein Beispiel einer Gleichung mit Parametern ist die bereits behandelte, allgemeine Form einer 193
linearen Gleichung (in x) ax = b, wobei a, b gegebene reelle Zahlen repr¨ asentieren, deren Wert nicht explizit angegeben wird. Ziel ist die Bestimmung einer allgemeinen L¨osung x der Gleichung in Abh¨ angigkeit von den Parametern a, b. F¨ ur a = 0 resultiert die allgemeine L¨ osung x = ab , so dass die Gleichung in einer konkreten Situation durch Einsetzen der speziellen Werte f¨ ur die Parameter a, b leicht gel¨ost werden kann. Vor L¨ osung einer Gleichung mit Parametern muss also gekl¨art werden, welche Variablen Parameter sind und welche Gr¨oße die Unbekannte ist, f¨ ur die die Gleichung gel¨ ost werden soll. Im Folgenden werden noch einige Beispiele derartiger Gleichungen betrachtet. B

Beispiel
Die Gleichung eax

gilt eax

2

−1

=1

2

  ln( )

−1

= 1 hat einen Parameter a ∈ R. Zun¨achst ⇐⇒ ax2 − 1 = 0 ⇐⇒ ax2 = 1.

F¨ ur a = 0 ist die Gleichung offenbar nicht l¨osbar. Ist a = 0, resultiert die ur a < 0 existiert keine L¨osung. Im Fall a > 0 sind Gleichung x2 = a1 , d.h. f¨ ! ! 1 1 osungen. Daher gilt f¨ ur die L¨osungsmenge in Abh¨angigkeit − a und a L¨ vom Parameter a: ⎧ ⎨∅, a≤0 .  L =  !1 !1 ⎩ − a, a , a> 0 B

Beispiel
Seien b, c ∈ R. Dann hat die Gleichung

6 x−b

c + x−1 = 0 den Definitionsbereich D = R \ {1}, falls b = 1, bzw. D = R \ {1, b}, falls b = 1.

Gilt b = 1, ist die L¨ osung gegeben durch 6 c 6+c + = 0 ⇐⇒ = 0 ⇐⇒ 6 + c = 0 ⇐⇒ c = −6. x−1 x−1 x−1 F¨ ur c = −6 ergibt sich daher L = R \ {1}. Ansonsten ist L = ∅. Sei b = 1. Dann gilt f¨ ur x ∈ R \ {1, b}:

⇐⇒ ⇐⇒

6 c + =0 x−b x−1 6(x − 1) + c(x − b) = 0 (6 + c)x = 6 + cb

  · (x − b)(x − 1)

6.8

Gleichungen mit Parametern

233

Ist c = −6, resultiert die Gleichung 0 = 6(1 − b). Da b = 1 ist, gibt es keine osung der Gleichung, die wegen L¨ osung. F¨ ur c = −6 ist x = 6+cb 6+c die einzige L¨ b = 1 im Definitionsbereich der Gleichung liegt. Insgesamt folgt ⎧ R \ {1}, b = 1, c = −6 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨∅, b = 1, c = −6 L= .  ⎪ ∅, b = 1, c = −6 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 6+cb , b = 1, c = −6 6+c Beispiel
Die Gleichung

gilt

x2 −a2 |x−a|

= x ist f¨ ur x ∈ D = R \ {a} erkl¨art. Weiter

(x − a)(x + a) x2 − a2 = x ⇐⇒ = x. |x − a| |x − a| Der Betrag im Nenner des Bruchs f¨ uhrt zu einer Fallunterscheidung. 1

F¨ ur x ∈ (−∞, a) folgt |x − a| = a − x und x2 − a2 (x − a)(x + a) a = x ⇐⇒ = x ⇐⇒ −(x+a) = x ⇐⇒ x = − . |x − a| a−x 2 F¨ ur a > 0 gilt − a2 ∈ (−∞, a), d.h. L1 = {− a2 }. Ist hingegen a ≤ 0, so folgt a ≤ − a2 und − a2 ∈ (−∞, a), d.h. L1 = ∅.

2

F¨ ur x ∈ (a, ∞) ergibt sich |x − a| = x − a und x2 − a2 (x − a)(x + a) = x ⇐⇒ = x ⇐⇒ x + a = x ⇐⇒ 0 = a, |x − a| x−a so dass L2 = ∅ f¨ ur a = 0. F¨ ur a = 0 folgt D = R\{0}, d.h. L2 = (a, ∞) = (0, ∞).

Insgesamt gilt also

⎧ ⎪ a<0 ⎪ ⎨∅, L = L1 ∪ L2 = (0, ∞), a = 0 . ⎪ ⎪ ⎩ − a  , a > 0 2



B

234

6.9

6. Gleichungen

6.9 Substitutionsmethode Das Substitutionsprinzip ist ein Verfahren, das bei geeigneter Struktur einer Gleichung deren L¨ osung in zwei Schritten erm¨oglicht. Grundvoraussetzung ist, dass die interessierende Unbekannte nur im selben Term vorkommt. Dieser wird durch eine neue Variable ersetzt und die resultierende Gleichung zun¨ achst f¨ ur diese Variable gel¨ ost.

B

Beispiel
F¨ ur die Gleichung (ln(x))2 − 4 ln(x) + 4 = 0 liefert die Substitution

y = ln(x) die quadratische Gleichung y 2 − 4y + 4 = 0, die im ersten Schritt bzgl. der Variablen y gel¨ ost wird. Wegen y 2 − 4y + 4 = (y − 2)2 resultiert die einzige L¨ osung y0 = 2. Da eigentlich L¨ osungen in der Variablen x gesucht wurden, wird die Substitution im zweiten Schritt r¨ uckg¨ angig gemacht. Dabei wird benutzt, dass osung der Gleichung y 2 − 4y + 4 = 0 ist, wenn y0 = ln(x0 ) genau dann eine L¨ ugt. Daher muss die x0 der Ausgangsgleichung (ln(x))2 − 4 ln(x) + 4 = 0 gen¨ logarithmische Gleichung ln(x0 ) = y0 = 2 gel¨ ost werden. Dies ergibt x0 = e2 , d.h. L = {e2 } ist L¨osungsmenge der Ausgangsgleichung.  Aus dem Beispiel wird deutlich, dass die Substitutionsmethode angewendet werden kann, wenn die interessierende Variable in der Gleichung nur als Argument eines Terms g(x) auftritt. In diesem Fall kann die Gleichung als 169
Verkettung zweier Terme aufgefasst werden. Beschreibt also f die betrachtete Gleichung in der Form f (x) = 0 und tritt die Variable x nur als Argument einer Funktion g(x) auf, kann die Gleichung als f (x) = 0 ⇐⇒ h(g(x)) = 0 mit einer geeigneten Funktion h geschrieben werden. Durch Einf¨ uhrung der neuen Variablen y = g(x) wird das Problem in die zwei Gleichungen h(y) = 0

und

y = g(x)

zerlegt, wobei in der Gleichung y = g(x) nur die Werte f¨ ur y betrachtet werden, die L¨ osung der Gleichung h(y) = 0 sind.

6.9

Substitutionsmethode

235

Beispiel
F¨ ur die Gleichung (ln(x))2 − 4 ln(x) + 4 = 0 lauten die einzelnen

B

Ausdr¨ ucke f (x) = (ln(x))2 − 4 ln(x) + 4,

g(x) = ln(x),

h(y) = y 2 − 4y + 4.



Substitutionsverfahren Kann eine Gleichung f (x) = 0 in der Form h(g(x)) = 0 mit geeigneten Funktionen g und h geschrieben werden, dann k¨ onnen die L¨osungen der Gleichung f (x) = 0 wie folgt ermittelt werden: 1. Substitution y = g(x). 2. Bestimmung aller L¨ osungen der Gleichung h(y) = 0. 3. F¨ ur jede L¨ osung y0 der Gleichung h(y) = 0 resultiert eine zu l¨osende Gleichung g(x) = y0 . Die Gesamtheit der L¨ osungen dieser Gleichungen bildet die L¨osungsmenge der Gleichung f (x) = 0. Beispiel
Die linke Seite der Gleichung e2x − e4x + 2 = 0 kann wegen e4x =

B

(e2x )2 geschrieben werden als f (x) = e2x − (e2x )2 + 2, wobei x ∈ D = R. Mit der Substitution y = e2x resultiert die Gleichung y − y 2 + 2 = 0 ⇐⇒ y 2 − y − 2 = 0, deren L¨ osungen y1 = −1 und y2 = 2 sind. Somit ergeben sich zwei zu l¨osende Gleichungen in x: e2x = −1

bzw.

e2x = 2.

Da die Exponentialfunktion stets positiv ist, hat die erste Gleichung keine L¨ osung. Die zweite Gleichung√ist eine Exponentialgleichung mit der L¨osung ist die L¨osungsmenge der Ausx = 12 ln(2) = ln(21/2 ) = ln( 2).

Insgesamt  gangsgleichung also durch L = 12 ln(2) gegeben.  Das obige Beispiel zeigt insbesondere, dass die im zweiten Schritt zu l¨osenden Gleichungen nicht notwendig l¨ osbar sein m¨ ussen. In diesem Fall liefern diese Gleichungen keinen Beitrag zur L¨ osungsmenge. √ x

Beispiel
Die Anwendung der Substitutionsmethode auf die Gleichung e

e

−x

√ = 0 liefert mit x ∈ D = [0, ∞) und y = x 2

ey − e−y = 0 ⇐⇒ ey = e−y

2

2

⇐⇒ ey+y = 1 ⇐⇒ y 2 + y = 0.

−

B

236

6. Gleichungen

Die L¨ osungen dieser Gleichung sind daher y1 = −1 und y2 = 0. Die R¨ uck√ √ substitution f¨ uhrt zu den Gleichungen x = −1 bzw. x = 0, wobei die erste Gleichung nicht l¨ osbar ist.∗ Die zweite Gleichung hat die L¨osung x = 0,  d.h. L = {0}. Weitere Anwendungsbeispiele finden sich in 269
Abschnitt 7.2.

6.10

6.10 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten In den bisher behandelten Fragestellungen wurden stets nur eine Unbekannte und eine Gleichung f¨ ur diese Unbekannte betrachtet. Als einfache Erweiterung dieser Situation wird das Problem zweier linearer Gleichungen mit zwei Unbekannten behandelt. Der Graf einer linearen Funktion ist eine Gerade in der Ebene. F¨ ur zwei (verschiedene) lineare Funktionen werden sich die zugeh¨origen Geraden i.Allg. schneiden.

B

Beispiel
Schnitt von Geraden Die folgende Abbildung zeigt die Grafen der durch f1 (t) = t + 3 und f2 (t) = −t + 1 definierten linearen Funktionen.

Der durch die Geraden markierte Schnittpunkt (x, y) erf¨ ullt offensichtlich die Bedingungen y =x+3

und

y = −x + 1.

f1 (t) = t + 3, f2 (t) = −t + 1 .... ....... ....... ....... ....... . . . . . . . ....... ........ ....... ........ ....... ....... ........ . ....... . . . . . . ....... ........ ....... ....... ....... ....... ........ ....... ............. .............. ....... ....... .. . ....... .. ....... ....... . .............. ....... ....... ....... ........ ... ....... ....... . . . . . . ....... ....... ....... ..... ........ ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ........ ....... ....... ...

6

(x, y)

1

−2

-

0

2

t

Da y sowohl der Bedingung x + 3 = y als auch der Bedingung y = −x + 1 gen¨ ugen muss, ergibt sich an x die Forderung x + 3 = −x + 1. ∗ Quadratwurzeln

sind stets nicht-negativ.

6.10 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten

237

Dies ist eine lineare Gleichung in einer Unbekannten x, deren L¨osung durch x = −1 gegeben ist. Somit ist der x-Wert des gesuchten Schnittpunkts bestimmt. Daraus ergibt sich sofort durch Einsetzen in eine der beiden linearen Funktionen die y-Koordinate f1 (−1) = f2 (−1) = 2. Also ist (−1, 2) der Schnittpunkt der Geraden.  Im Beispiel ergaben sich zwei lineare Gleichungen mit den Unbekannten x und y. Diese Situation wird im Folgenden n¨ aher untersucht, zugeh¨orige L¨osungsstrategien werden entwickelt. Bezeichnung

Seien a11 , a12 , a21 , a22 , b1 , b2 reelle Zahlen. Dann heißt

a11 x1 + a12 x2 = b1 a21 x1 + a22 x2 = b2 lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten x1 , x2 . Definitionsbereich ist D = R2 .

Werden die Unbekannten im obigem Beispiel mit x1 und x2 statt mit x und y bezeichnet, ergibt sich in der Notation des Gleichungssystems 1· x2 =
 3 (−1)· x1 +

  =a11

=a12

=b1

1· x1 +
 1· x2 =
 1
 =a21

=a22

=b2

Die L¨ osungsmenge eines linearen Gleichungssystems besteht aus allen Paaren (x1 , x2 ) derart, dass x1 und x2 beiden Gleichungen des Gleichungssystems gen¨ ugen. Wie in den n¨ achsten Abschnitten gezeigt wird, gibt es drei Typen von L¨ osungsmengen: Sie bestehen entweder aus einem, keinem oder unendlich vielen Elementen. Grafische Interpretation

Eine lineare Gleichung kann als 195
Gerade im Koordinatensystem visualisiert werden, d.h. zwei lineare Gleichungen werden durch zwei Geraden repr¨ asentiert (sofern nicht die Koeffizienten vor den Unbekannten jeweils Null sind). Das zugeh¨ orige Gleichungssystem kann somit – wie im Eingangsbeispiel bereits angedeutet – als eine Forderung verstanden werden, die die Schnittpunkte der Geraden erf¨ ullen m¨ ussen: Gerade f1 :

a11 x1 + a12 x2 = b1

Gerade f2 :

a21 x1 + a22 x2 = b2



238

6. Gleichungen

Intuitiv ist daher klar, welches Aussehen die Menge aller Schnittpunkte der Geraden haben kann: 1

Schneiden sich die Geraden an genau einer Stelle, besitzt das zugeh¨orige lineare Gleichungssystem genau eine L¨osung.

2

Sind die Geraden parallel, aber nicht identisch, besitzt das Gleichungssystem keine L¨ osung.

3

Sind die Geraden identisch, ist jeder Punkt der Geraden ein Schnittpunkt. Dann gibt es unendlich viele L¨ osungen.

L¨ osungsmenge eines linearen Gleichungssystems

Die L¨ osungsmenge eines Gleichungssystems mit zwei Unbekannten und zwei Gleichungen hat folgende Gestalt: 1

Das Gleichungssystem hat unendlich viele L¨osungen. F¨ ur die Koeffizienten der Gleichungen bedeutet dies, dass es eine Zahl c gibt mit a11 = c · a21

und a12 = c · a22

und b1 = c · b2 ,

d.h. die erste Gleichung ist ein Vielfaches der anderen. Dies ist z.B. f¨ ur das System x1 + x2 = 3 2x1 + 2x2 = 6 der Fall, da die zweite Gleichung durch Multiplikation mit dem Faktor 2 aus der ersten entsteht. Beide Gleichungen sind daher ¨aquivalent. 2

Das Gleichungssystem hat keine L¨ osung, d.h. L = ∅. Dies ist der Fall, wenn es eine reelle Zahl c gibt mit a11 = c · a21

und a12 = c · a22

und b1 = c · b2 .

Die linken Seiten der Gleichungen sind Vielfache mit dem Faktor c, die rechten Seiten erf¨ ullen diese Bedingung aber nicht. Diese Situation liegt im Beispiel x1 + x2 = 3 2x1 + 2x2 = 17 vor, da 2(x1 + x2 ) = 2x1 + 2x2 , aber 2 · 3 = 17.

6.10 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten

3

239

Das Gleichungssystem besitzt eine eindeutige L¨osung, d.h. L = {(x1 , x2 )}. Dies ist stets der Fall, wenn keiner der obigen beiden F¨alle eintritt.

Zur Bestimmung von L¨ osungen eines linearen Gleichungssystems werden im Folgenden drei verschiedene L¨ osungsmethoden, das Einsetzungsverfahren, das Additionsverfahren und das Gleichsetzungsverfahren, vorgestellt. Dabei ist es unerheblich, welche Variable zu L¨ osung herangezogen wird. Die jeweils aktuelle erste Gleichung wird mit I, die zweite mit II bezeichnet. Einsetzungsverfahren

Beim Einsetzungsverfahren wird eine der Gleichungen nach einer der Unbekannten aufgel¨ ost und das Ergebnis in die andere eingesetzt. Dabei spielen weder die Wahl der Gleichung noch die der Unbekannten eine Rolle. Wesentlich bei den folgenden L¨ osungsschritten ist, dass lediglich elementare Umformungen verwendet werden und die Gleichung, die nach einer Variablen aufgel¨ ost wird, stets mitgef¨ uhrt wird. Letzteres ist allerdings nicht notwendig und aus Gr¨ unden einer kompakteren Notation kann darauf verzichtet werden. Im Folgenden wird bei allen Umformungen die zweite Gleichung jedoch stets notiert, da diese systematische Darstellung ein besseres Verst¨andnis der L¨ osungsstrategie erm¨ oglicht. Beispiel


x1 − x2 = 3 x1 +2x2 = 6

⇐⇒

x1 − x2 = 3 x1

⇐⇒

= 6 − 2x2

6 − 2x2 − x2 = 3 x1

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

 Einsetzen in I  Au߬osen nach x2  Einsetzen in II

= 6 − 2x2 x2 = 1

x1

aufgel¨ osen

= 6 − 2x2 x2 = 1

x1

B

 nach x1

=6−2·1

 Vereinfachen

x2 = 1 x1

=4

Die L¨ osungsmenge ist somit L = {(4, 1)}.



240

6. Gleichungen

Dieser Ansatz l¨ asst sich wie folgt zusammenfassen: Einsetzungsverfahren 1. Aufl¨ osen einer Gleichung nach einer der Unbekannten. 2. Einsetzen des Ergebnisses in die andere Gleichung. 3. L¨ osen der entstandenen linearen Gleichung mit einer Unbekannten. 4. Einsetzen der L¨ osung in eine der urspr¨ unglichen Gleichungen und Berechnung der anderen Unbekannten. Nun wird an Beispielen illustriert, wie sich dieses Verfahren verh¨alt, wenn es keine bzw. unendlich viele L¨ osungen gibt. B

Beispiel


x1 − x2 = 4 −3x1 + 3x2 = 2 ⇐⇒

x1

= 4 + x2

 nach x1

au߬ osen

 Einsetzen in II

−3x1 + 3x2 = 2 ⇐⇒

x1

= 4 + x2

−3(4 + x2 )+ 3x2 = 2 ⇐⇒

x1

 Vereinfachen

= 4 + x2


−12 = 2


Dies ist offensichtlich ein Widerspruch, da die Aussage −12 = 2 falsch ist. Das Gleichungssystem hat daher keine L¨ osung, d.h. L = ∅.  B

Beispiel
Das folgende Gleichungssystem hat eine unendliche L¨ osungsmenge.

x1 − x2 = 4 −3x1 + 3x2 = −12 ⇐⇒

x1

= 4 + x2

 nach x1

au߬ osen

 Einsetzen in II

−3x1 + 3x2 = −12 ⇐⇒

x1

= 4 + x2

−3(4 + x2 )+ 3x2 = −12

 Vereinfachen

6.10 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten

⇐⇒

x1

241

= 4 + x2 −12 = −12

Die Aussage −12 = −12 ist wahr, so dass es unendlich viele L¨osungen gibt, die auf der durch die Gleichung x1 = 4 + x2 definierten Geraden liegen: L = {(x1 , x2 ) | x1 = x2 + 4, x2 ∈ R} = {(x2 + 4, x2 ) | x2 ∈ R}. Da Division der Gleichung −3x1 + 3x2 = −12 durch −3 gerade die Gleichung x1 − x2 = 4 ergibt, kann auch die folgende, ¨aquivalente Darstellung der  L¨ osungsmenge verwendet werden: L = {(x1 , x2 ) | − 3x1 + 3x2 = −12}. Gleichsetzungsverfahren

Beim Gleichsetzungsverfahren werden beide Gleichungen nach der selben Unbekannten aufgel¨ ost und anschließend gleichgesetzt. Die resultierende lineare Gleichung wird dann nach der verbliebenen Unbekannten aufgel¨ost. Die Wahl der Unbekannten spielt dabei keine Rolle. Von der Vorgehensweise ist das Gleichsetzungsverfahren dem Einsetzungsverfahren daher sehr ¨ahnlich. Beispiel


B

x1 +2x2 = 6 x1 − x2 = 3 ⇐⇒ ⇐⇒

x1

= 6 − 2x2

x1

= 3 + x2

x1

= 6 − 2x2

6−2x2 = 3 + x2 ⇐⇒

x1

= 6 − 2x2 x2 = 1

⇐⇒

x1

 nach x1  nach x1

au߬ osen au߬ osen

 Gleichsetzen  Au߬osen nach x2  Einsetzen in I

=4 x2 = 1

Die L¨ osungsmenge ist somit L = {(4, 1)}.



242

6. Gleichungen

Dieses Verfahren l¨ asst sich wie folgt zusammenfassen. Gleichsetzungsverfahren 1. Aufl¨ osen beider Gleichungen nach der selben Unbekannten. 2. Gleichsetzen der resultierenden rechten Seiten. 3. L¨ osen der entstandenen linearen Gleichung mit einer Unbekannten. 4. Einsetzen der L¨ osung in eine der urspr¨ unglichen Gleichungen und Berechnung der anderen Unbekannten. Abschließend wird auch dieses Verfahren f¨ ur die zwei Sonderf¨alle betrachtet. B

Beispiel


x1 + x2 = 6 2x1 +2x2 = 4 ⇐⇒ ⇐⇒

x1

= 6 − x2

x1

= 2 − x2

x1

= 6 − x2

6− x2 = 2 − x2 ⇐⇒

x1

 nach x1  nach x1

au߬ osen au߬ osen

 Gleichsetzen  Vereinfachen

= 6 − x2


6=2 Die entstandene lineare Gleichung ist also nicht l¨osbar, so dass die L¨osungs menge des Gleichungssystems leer ist, d.h. L = ∅. B

Beispiel
Das folgende Gleichungssystem hat eine unendliche L¨ osungsmenge.

x1 + x2 = 6 2x1 +2x2 = 12 ⇐⇒ ⇐⇒

x1

= 6 − x2

x1

= 6 − x2

x1

= 6 − x2

6− x2 = 6 − x2

 nach x1  nach x1

au߬ osen au߬ osen

 Gleichsetzen

 Au߬osen nach x2

6.10 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten

⇐⇒

x1

243

= 6 − x2 6=6

Die letzte Gleichung ist stets erf¨ ullt, so dass die L¨osungen des Gleichungssystems auf der Geraden x1 +x2 = 6 liegen. Es folgt L = {(x1 , x2 ) | x1 +x2 = 6}.  Additionsverfahren

Beim Additionsverfahren werden die Gleichungen jeweils mit einer geeigneten Zahl (ungleich Null) derart multipliziert, dass beim Addieren der linken und rechten Seiten mindestens eine der Variablen verschwindet. Die nach der Addition entstandene lineare Gleichung wird dann gel¨ost und das Ergebnis in eine der urspr¨ unglichen Gleichungen eingesetzt. Wie die anderen L¨osungsstrategien wird auch diese zun¨ achst an einem Beispiel erl¨autert. Beispiel


x1 +2x2 = 6 x1 − x2 = 3 ⇐⇒

x1 +2x2 = 6 −x1 + x2 = −3

⇐⇒

x1 +2x2 = 6 3x2 = 3

⇐⇒

x1 +2x2 = 6 x2 = 1

⇐⇒

x1

B

  · (−1)  Addieren von I und II  :3  Einsetzen in I

=4 x2 = 1

Es ergibt sich also L = {(4, 1)}.



244

6. Gleichungen

Dieses Verfahren l¨ asst sich wie folgt zusammenfassen: Additionsverfahren 1. Geeignete Multiplikation der Gleichungen derart, dass sich mindestens eine der Unbekannten bei der anschließenden Addition der modifizierten Gleichungen aufhebt. 2. Addition der linken und rechten Seiten. 3. L¨ osen der entstandenen linearen Gleichung mit einer Unbekannten. 4. Einsetzen der L¨ osung in eine der urspr¨ unglichen Gleichungen und Berechnung der anderen Unbekannten. An den folgenden Beispielen wird gezeigt, wie mittels des Additionsverfahrens erkannt werden kann, dass das Gleichungssystem keine L¨osung bzw. unendlich viele L¨ osungen besitzt. B

Beispiel


x1 +2x2 = 6 −2x1 −4x2 = 8 ⇐⇒

x1 +2x2 = 6 −x1 −2x2 = 4

⇐⇒

 :2  Addieren von I und II

x1 +2x2 = 6


0 = 10 Die resultierende Gleichung hat also keine L¨osung, d.h. L = ∅. B

Beispiel
Das folgende Gleichungssystem hat unendlich viele L¨ osungen.

x1 +2x2 = 6 −2x1 −4x2 = −12 ⇐⇒

x1 +2x2 = 6 −x1 −2x2 = −6

⇐⇒

x1 +2x2 = 6 0=0

 :2  Addieren von I und II



6.11 Aufgaben

245

Die letzte Gleichung ist immer erf¨ ullt, d.h. die L¨osungsmenge wird durch die erste Gleichung vollst¨ andig beschrieben. Sie besteht aus allen Punkten (x1 , x2 ), die auf der Geraden x1 + 2x2 = 6 liegen, d.h. L = {(x1 , x2 ) | x1 + 2x2 = 6}.



Abschließend sei angemerkt, dass auch lineare Gleichungssysteme mit mehr als zwei Unbekannten und mehr als zwei Gleichungen betrachtet werden k¨ onnen. Zu Fragen der L¨ osbarkeit und zur allgemeinen L¨osung dieser Systeme sei auf Kamps et al. (2003) verwiesen.

6.11

6.11 Aufgaben Aufgabe 6.1

249
L

L¨ osen Sie die linearen Gleichungen.

(a) 4x + (2x − 3) = 3

(f) x(3 + 4) + 14 = 7(x + 2)

(b) (3 − x) + (6x − 1) = 5x + 2

(g) 4x + 5(x + 2) = 12 + 5x

(c) (4x + 1) − (2x − 2) = 9

(h) 1 − 2(x + 2) = (4 + x) − 3(x + 2)

(d) −4 + (7x + 1) = 3(x − 1)

(i) 3(x + 5) − 5(1 + 3x) = 2

(e) 4(1 + 2x) = 3 + 2(1 + 4x)

(j) 3(3x − 1) − 3x = 3(1 + 2x)

Bestimmen Sie die L¨ osungen der quadratischen Gleichungen. Verwenden Sie ggf. die 16
binomischen Formeln.

Aufgabe 6.2

(a) (x + 3)(x + 4) = 0

(c) x2 − 5x = 0

(e) x2 − 2x + 1 = 0

(b) x2 − 9 = 0

(d) 2x2 = 6x

(f) x2 = 25

L¨ osen Sie die quadratischen Gleichungen mit der Methode der quadratischen Erg¨anzung.

Aufgabe 6.3

(a) x2 − 4x + 3 = 0

(c) −x2 − 6x − 5 = 0

(e) x2 + 10x + 50 = 0

(b) x2 − 3x +

(d) 4x2 − 8x + 3 = 0

(f) x2 + 14x = −13

9 4

=0

249
L

250
L

246

250
L

6. Gleichungen

L¨ osen Sie die quadratischen Gleichungen mit der 202
pq-

Aufgabe 6.4

Formel.

251
L

251
L

252
L

252
L

(a) x2 + 4x + 3 = 0

(c) x2 + x + 1 = 0

(e) x2 + 5x + 7 = 0

(b) x2 + 2x = −1

(d) 3x2 + 3x − 18 = 0

(f) x2 + 6x + 9 = 0

Aufgabe 6.5 Stellen Sie jeweils eine quadratische Gleichung in Normalform auf, die folgende L¨ osungen besitzt. √ √ (d) x1 = 1 + 3, x2 = 1 − 3 (a) x1 = 3, x2 = −3

(b) x1 = 12 , x2 = 0

(e) x1 = 2, x2 = −5

(c) x1 = x2 = 4

(f) x1 = x2 = 0

Schreiben Sie die Terme als Produkt von Linearfaktoren.

Aufgabe 6.6

(a) x2 − 1

(c) x2 + 13 x

(e) x2 + 5x − 14

(b) x2 − 6x + 4

(d) x2 − 2x − 15

(f) 2x2 − 2x − 24

Bestimmen Sie jeweils die zweite L¨osung der quadratischen Gleichung, ohne diese explizit zu l¨ osen.

Aufgabe 6.7

(a) x2 + x − 6 = 0; x1 = 2

(d) x2 +

(b) x2 − 8x − 9 = 0; x1 = −1

(e) 6x2 + 2x = 0; x1 = 0

(c) 4x2 − 16x + 7 = 0; x1 =

(f) 2x2 − 18x + 40 = 0; x1 = 4

1 2

− 3 = 0; x1 = −2

x 2

Aufgabe 6.8 Ermitteln Sie jeweils die Definitionsmenge der Bruchgleichung,

und l¨ osen Sie die Gleichung. (a)

2x−1 2x+5

1 3

(d)

4x+3 x−6

=

(b)

1 x+4

=

3 x−3

(e)

1 9x

2 21x

(c)

x−2 x−2

=

2x−7 3x−9

(f)

x−1 1−x

=

+

−

4x−5 x+2 9 = − 63x +

x−3 x−1

=0

2 21

6.11 Aufgaben

247

Aufgabe 6.9 Ermitteln Sie jeweils die Definitionsmenge der Bruchgleichung,

253
L

und l¨ osen Sie die Gleichung. (a)

3x+2 x−2

(b)

x−2 x−3

(c)

x−2 5x+3

=

= +

4x+3 x−1 2x2 −x−1 (x−3)(x−1) 3 x+1

=1

(d)

x−3 x2 −9

(e)

2x−10 14−2x

(f)

x−6 1−x

=0

+

=1−

4 2x−14

5 (1−x)(x−6)

=

x−7 x−6

Aufgabe 6.10 Ermitteln Sie jeweils die Definitionsmenge der Wurzelgleichung, und l¨ osen Sie die Gleichung. √ √ √ (d) 9x − 5 = 4 − 3 + x (a) 12x − 3 = 3 √ √ √ (b) 3x − 21 = x − 7 (e) 2 + x + 4x − 3 = 2 √ √ √ (c) 15x − 40 + 3x = 8 (f) 2x − 5 − 3x + 4 = 1

253
L

Aufgabe 6.11 Ermitteln Sie jeweils die Definitionsmenge der Wurzelgleichung, und l¨ osen Sie die Gleichung. " √ √ √ 1+ x= x−1 (d) 6 2x + 4 = −1 (a) " √ √ (e) 5 x + 4 = −2 x + x + 16 = 2 (b) √ √ √ (c) 4 x − 1 = 3 (f) 4 x + 1 − x − 1 = 0

254
L

Aufgabe 6.12 Ermitteln Sie jeweils die Definitionsmenge der logarithmischen

255
L

Gleichung, und l¨ osen Sie die Gleichung. (a) log3 (x − 1) = 2

(d) 2 ln(3x − 3) = 1

(b) − log4 (2x) = log4 (6)

(e) lg(x + 1) − lg(2) = 2

(c) lg(x2 − 1) = 0

(f) log2 (x) = log3 (x)

Aufgabe 6.13 Ermitteln Sie jeweils die Definitionsmenge der logarithmischen

Gleichung, und l¨ osen Sie die Gleichung. (a) lg(5) + lg(25x) = 6 − lg(5x)  (b) log2 (x + 1)2 = 2 log2 (4) (c) 2 ln(2x − 2) = ln(x) + ln(5x − 11) (d) ln(x − 1) −

1 3

ln(8) =

1 5

ln(32) − ln(x + 2)

256
L

248

6. Gleichungen

(e) − 13 ln



− ln(x − 5) − ln(x − 7) =

1 27

1 2

ln



1 25

(f) 2 lg(4(x − 1)) = lg(x) + lg(17x − 38) 256
L

Aufgabe 6.14

L¨ osen Sie die Exponentialgleichungen.

(a) (3x−3 )x+3 = (3x+2 )x−3 (b) 4(4x+2 )x−5 = 43x−2 (4x )x−4 √ √ 3 (c) 54x−8 = 59x+1 257
L

258
L

259
L

260
L

(d) (6x+3 )1/(5−x) = (63−x )1/(x−7)  5x−7  2 3x−17 (e) 32 = 3 (f) 9·2x+3 −4·3x = 3x+1 +9(3x −2x )

L¨ osen Sie die Gleichungen mit der Substitutionsmethode. Geben Sie außerdem den Definitionsbereich an.

Aufgabe 6.15

(a) x6 − x3 + 1 = 0

(c) e3y − e−y = 0

(b) ·2z+1 = 4z + 1

(d) ln(t6 ) + ln(3t6 − 1) = 0

Aufgabe 6.16 L¨ osen Sie die Gleichungen in Abh¨angigkeit vom Parameter a.

(a) x2 − a = 0

(d) x2 − 4ax − 7x + 28a = 0

(b) x2 − 2ax = 0

(e)

(c) x2 − 2ax − 15a2 = 0

(f) x − a =

Aufgabe 6.17

x2 +3a 3+a

=0 2a2 x

L¨ osen Sie die Betragsgleichungen.

(a) |5x − 1| = 9

(d) |x + 1| + 2 = −|2x − 6| + |x − 1|

(b) |3x − 2| + 2 = x2

(e) |x − 3| − |2x + 4| = 0

(c) |x − 1| + 2|x − 2| = 2x

(f) |x − 5| + |x + 1| − 2|x − 2| = 1

L¨ osen Sie die Gleichungen in zwei Variablen jeweils mit den im Text eingef¨ uhrten Verfahren.

Aufgabe 6.18

(a)

x1 − 3x2 −4x1 + 5x2

= −1 (b) = −3

4x1 − 3x2 −8x1 + 6x2

=3 (c) 4x1 − 3x2 −8x1 + 6x2 = −6

=3 =0

6.12 L¨ osungen

249

6.12

6.12 L¨ osungen

245
A

L¨ osung 6.1

  (a) 4x + (2x − 3) = 3 ⇐⇒ 6x − 3 = 3  + 3 ⇐⇒ 6x = 6  : 6 ⇐⇒ x = 1;
L = {1}  (b) (3 − x) + (6x − 1) = 5x + 2 ⇐⇒ 5x + 2 = 5x + 2  − 5x − 2 ⇐⇒ 0 = 0;
L = R (c) (4x + 1) − (2x − 2)  = 9 ⇐⇒ 4x + 1 − 2x + 2 = 9 ⇐⇒ 2x + 3 = 9  − 3 ⇐⇒ 2x = 6  : 2 ⇐⇒ x = 3;
L = {3}  (d) −4 + (7x + 1) = 3(x − 1) ⇐⇒ 7x − 3 = 3x − 3  − 3x + 3 ⇐⇒ 4x = 0  : 4 ⇐⇒ x = 0;
L = {0} (e) 4(1 + 2x) = 3 + 2(1 + 4x) ⇐⇒ 4 + 8x = 3 + 2 + 8x 
⇐⇒ 8x + 4 = 8x + 5  − 8x − 4 ⇐⇒ 0 = 1;
L = ∅  (f) x(3 + 4) + 14 = 7(x + 2) ⇐⇒ 7x + 14 = 7x + 14  − 7x − 14 ⇐⇒ 0 = 0;
L = R  (g) 4x + 5(x + 2)= 12 + 5x ⇐⇒ 4x + 5x + 10 = 12 + 5x  − 5x − 10

 ⇐⇒ 4x = 2  : 4 ⇐⇒ x = 12 ;
L = 12

(h) 1 − 2(x + 2) = (4 + x) − 3(x + 2) ⇐⇒ 1 − 2x − 4 = 4 + x − 3x − 6 
⇐⇒ −2x − 3 = −2x − 2  + 2x + 3 ⇐⇒ 0 = 1;
L = ∅  (i) 3(x + 5) − 5(1 + 3x) = 2  − 10  = 2 ⇐⇒ 3x + 152 − 5 − 15x

 ⇐⇒ −12x = −8  : (−12) ⇐⇒ x = 3 ;
L = 23  (j) 3(3x − 1) − 3x = 3(1 + 2x) ⇐⇒ 6x − 3 = 6x + 3  − 6x + 3


⇐⇒ 0 = 6;

L¨ osung 6.2 2


L=∅ 1

Die Anwendung einer binomischen Formel wird jeweils mit ⇐⇒ ,

3

⇐⇒ , ⇐⇒ markiert. (a) (x + 3)(x + 4) = 0 ⇐⇒ x + 3 = 0 oder x + 4 = 0, d.h. x1 = −3 und x2 = −4;
L = {−3, −4} 3

(b) x2 − 9 = 0 ⇐⇒ (x − 3)(x + 3) = 0 ⇐⇒ x − 3 = 0 oder x + 3 = 0, d.h. x1 = 3 und x2 = −3;
L = {−3, 3} (c) x2 − 5x = 0 ⇐⇒ x(x − 5) = 0 ⇐⇒ x = 0 oder x − 5 = 0, d.h. x1 = 0 und x2 = 5;
L = {0, 5}

245
A

250

6. Gleichungen

 (d) 2x2 = 6x  − 6x ⇐⇒ 2x2 − 6x = 0 ⇐⇒ 2x(x − 3) = 0 ⇐⇒ 2x = 0 oder x − 3 = 0, d.h. x1 = 0 und x2 = 3;
L = {0, 3} 2

(e) x2 − 2x + 1 = 0 ⇐⇒ (x − 1)2 = 0 ⇐⇒ x − 1 = 0 ⇐⇒ x = 1;
L = {1}  3 (f) x2 = 25  − 25 ⇐⇒ x2 − 25 = 0 ⇐⇒ (x − 5)(x + 5) = 0 ⇐⇒ x − 5 = 0 oder x + 5 = 0, d.h. x1 = 5 und x2 = −5;
L = {−5, 5} 245
A

L¨ osung 6.3

  (a) x2 − 4x + 3 = 0  − 3 ⇐⇒ x2 + 2 · (−2)x = −3  + (−2)2 ⇐⇒ (x − 2)2 = 1 ⇐⇒ (x − 2)2 − 12 = 0 ⇐⇒ (x − 1)(x − 3) = 0, d.h. x1 = 3 und x2 = 1;
L = {1, 3}

(b) x2 − 3x + 94 = 0 ⇐⇒ x2 + 2 · (− 32 x) + (− 32 )2 = 0 

 2 ⇐⇒ x − 32 = 0 ⇐⇒ x = 32 ;
L = 32   (c) −x2 − 6x − 5 = 0  · (−1) ⇐⇒ x2 + 6x + 5 = 0  − 5  ⇐⇒ x2 + 2 · 3x = −5  + 32 ⇐⇒ (x + 3)2 = 4 ⇐⇒ (x + 3)2 − 22 = 0 ⇐⇒ (x + 1)(x + 5) = 0, d.h. x1 = −1 und x2 = −5;
L = {−1, −5}   (d) 4x2 − 8x + 3 = 0  : 4 ⇐⇒ x2 − 2x + 34 = 0  − 34   2 ⇐⇒ x2 + 2 · (−x) = − 43  + 12 ⇐⇒ (x − 1)2 = 14 ⇐⇒ (x − 1)2 − 12 = 0 

  ⇐⇒ x − 32 x − 12 = 0, d.h. x1 = 32 und x2 = 12 ;
L = 12 , 32   (e) x2 + 10x + 50 = 0  − 50 ⇐⇒ x2 + 2 · 5x = −50  + 52 ⇐⇒ (x + 5)2 = −25;
L=∅  (f) x2 + 14x = −13 ⇐⇒ x2 + 2 · 7x = −13  + 72 ⇐⇒ (x + 7)2 = 36 ⇐⇒ (x + 1)(x + 13) = 0, d.h. x1 = −1 und x2 = −13;
L = {−1, −13} 246
A

 2 L¨ osung 6.4 In Abh¨ angigkeit von der 201
Diskriminante D = p2 − q wird zun¨ achst entschieden, wie viele L¨ osungen die Gleichung hat. √ 4 2 2 (a) x + 4x + 3 = 0; D = 2 − 3 = 1 > 0, d.h. x1 = − 42 + 1 = −1 und √ x2 = − 42 − 1 = −3;
L = {−1, −3}   2 (b) x2 + 2x = −1  + 1 ⇐⇒ x2 + 2x + 1 = 0; D = 22 − 1 = 0, d.h. 2 x = − 2 = −1;
L = {−1}  2 (c) x2 + x + 1 = 0; D = 12 − 1 = − 34 < 0;
L = ∅   2 > 0, (d) 3x2 + 3x − 18 = 0  : 3 ⇐⇒ x2 + x − 6 = 0; D = 12 + 6 = 25 4 ! ! 1 25 1 25 = 2 und x2 = − 2 − = −3;
L = {−3, 2} d.h. x1 = − 2 + 4 4

6.12 L¨ osungen

251

(e) x2 + 5x + 7 = 0; D =

5

(f) x2 + 6x + 9 = 0; D =

6

2

− 7 = − 34 < 0;
L = ∅

2

− 9 = 0, d.h. x = −3;
L = {−3}

2

2

L¨ osung 6.5 Nach dem 205
Satz von Vieta gilt mit den Bezeichnungen x2 +px+q =

246
A

3

osungen x1 und x2 (= meint die 0 sowie p = −(x1 + x2 ) und q = x1 · x2 mit den L¨ Anwendung der dritten binomischen Formel): (a) p = −(3 − 3) = 0; q = 3 · (−3) = −9 =⇒ x2 − 9 = 0 (b) p = −( 21 + 0) = − 12 ; q = 0 ·

1 2

= 0 =⇒ x2 − 12 x = 0

(c) p = −(4 + 4) = −8; q = 4 · 4 = 16 =⇒ x2 − 8x + 16 = 0
  =(x−4)2

√ √ √ 3 √ √ (d) p = −(1 + 3 + 1 − 3) = −2; q = (1 + 3)(1 − 3) = 12 − ( 3)2 = 1 − 3 = −2 =⇒ x2 − 2x − 2 = 0 (e) p = −(2 − 5) = 3; q = 2 · (−5) = −10 =⇒ x2 + 3x − 10 = 0 (f) p = −(0 + 0) = 0; q = 0 · 0 = 0 =⇒ x2 = 0

L¨ osung 6.6 (a) x − 1 = (x − 1)(x + 1) (dritte 16
binomische Formel) √ √  2 (b) x2 − 6x + 4 = 0: D = − 62 − 4 = 5 > 0, d.h. x1 = 3 + 5 und x2 = 3 − 5; √ √ =⇒ x2 − 6x + 4 = (x − 3 − 5)(x − 3 + 5)  (c) x2 + 13 x = x x + 13 2

√  2 (d) x2 − 2x − 15 = 0: D = − 22 + 15 = 16 > 0, d.h. x1 = 1 + 16 = 5 und √ x2 = 1 − 16 = −3; =⇒ x2 − 2x − 15 = (x − 5)(x + 3)  2 (e) x2 + 5x − 14 = 0 : D = 52 + 14 = 81 > 0, d.h. x1 = − 52 + 92 = 2 und 4 2 5 9 x2 = − 2 − 2 = −7; =⇒ x + 5x − 14 = (x − 2)(x + 7)   2 > 0, d.h. (f) 2x2 − 2x − 24 = 0  : 2 ⇐⇒ x2 − x − 12 = 0; D = − 12 + 12 = 49 4 x1 = 12 + 72 = 4 und x2 = 12 − 72 = −3; =⇒ 2x2 − 2x − 24 = 2(x2 − x − 12) = 2(x − 4)(x + 3)

246
A

252

246
A

L¨ osung 6.7

Mit dem Satz von Vieta gilt:  (a) q = −6: x1 · x2 = q ⇐⇒ 2x2 = −6  : 2 ⇐⇒ x2 = −3

(b) (c)

(d) (e)

(f)

246
A

6. Gleichungen

oglich. In diesem Fall gilt: Alternativ ist eine L¨ osung u ¨ ber p = −(x1 + x2 ) m¨ p = −(x1 + x2 ) ⇐⇒ 1 = −2 − x2 ⇐⇒ x2 = −3  q = −9: x1 · x2 = q ⇐⇒ −x2 = −9  · (−1) ⇐⇒ x2 = 9  4x2 − 16x + 7 = 0  : 4 ⇐⇒ x2 − 4x + 74 = 0, d.h. q = 74 :  x2 7  x1 · x2 = q ⇐⇒ 2 = 4 · 2 ⇐⇒ x2 = 72  q = −3: x1 · x2 = q ⇐⇒ −2x2 = −3  : (−2) ⇐⇒ x2 = 32  6x2 + 2x = 0  : 6 ⇐⇒ x2 + x3 = 0, d.h. p = 13 : x1 + x2 = −p ⇐⇒ 0 + x2 = − 31 ⇐⇒ x2 = − 13  2 2x2 − 18x + 40 = 0  : 2 ⇐⇒  x − 9x + 20 = 0, d.h. q = 20:  x1 · x2 = q ⇐⇒ 4x2 = 20 : 4 ⇐⇒ x2 = 5

L¨ osung 6.8 Die in den Definitionsbereichen ausgeschlossenen Werte ergeben sich jeweils aus den Nullstellen der Nenner der in der Gleichung auftretenden Br¨ uche.  5 2x−1 1  (a) D = R \ {− 2 }: 2x+5 = 3 · 3(2x + 5) ⇐⇒ 3(2x  − 1) = 2x + 5 ⇐⇒ 6x − 3 = 2x + 5  + 3 − 2x ⇐⇒ 4x = 8  : 4 ⇐⇒ x = 2;
L = {2}  1 3  (b) D = R \ {−4, 3}: x+4 = x−3 · (x + 4)(x − 3)  ; ⇐⇒ x − 3 = 3x + 12  − 3x + 3 ⇐⇒ −2x = 15  : (−2) ⇐⇒ x = − 15 2

15 
L= −2   · (3x − 9) (c) D = R \ {2, 3}: x−2 = 2x−7 ⇐⇒ 1 = 2x−7 x−2 3x−9 3x−9 ⇐⇒ 3x − 9 = 2x − 7  − 2x + 9 ⇐⇒ x = 2 ∈ D;
L = ∅   · (x − 6)(x + 2) (d) D = R \ {−2, 6}: 4x+3 = 4x−5 x−6 x+2 ⇐⇒ (4x + 3)(x + 2) = (4x − 5)(x − 6)  ⇐⇒ 4x2 + 11x + 6 = 4x2 − 29x + 30 − 4x2 + 29x − 6

 ⇐⇒ 40x = 24 : 40 ⇐⇒ x = 35 ;
L = 35  1 2 9 2 7+6 −9+6x  (e) D = R \ {0}: 9x + 21x  = − 63x + 21 ⇐⇒11 63x = 63x 11 · 63x ⇐⇒ 13 = −9 + 6x  + 9 : 6 ⇐⇒ x = 3 ;
L = 3 (f) D = R \ {1}:

x−1 − x−3 = 0 ⇐⇒ 1−x − x−3 = 1−x x−1 x−1 x−1  1−x−(x−3)  = 0 · (x − 1) ⇐⇒ 4 − 2x = 0 x−1

⇐⇒ ⇐⇒ x = 2;


L = {2}

0    + 2x : 2

6.12 L¨ osungen

253

L¨ osung 6.9 Mit x1 und x2 werden jeweils die verschiedenen L¨osungen einer quadra-

247
A

3

tischen Gleichung bezeichnet ( ⇐⇒ meint die Anwendung der dritten binomischen Formel). (a) D = R \ {1, 2}:

⇐⇒

3x+2 = 4x+3 x−2 x−1 3x −x−2 4x2 −5x−6 − (x−2)(x−1) (x−2)(x−1) 2 2

(3x+2)(x−1) = (4x+3)(x−2) (x−2)(x−1) (x−2)(x−1)  2 −x +4x+4 ⇐⇒ (x−2)(x−1) = 0  · (x 

− 2)(x − 1) ⇐⇒ =0 ⇐⇒ −x + 4x + 4 = 0 ⇐⇒ x2 − 4x = 4  + 4 ⇐⇒ (x − 2)2 = 8, √ √ √ √ d.h. x1 = 2 + 2 2 und x2 = 2 − 2 2;
L = {2 − 2 2, 2 + 2 2}∗ (b) D = R \ {1, 3}: 2

x−2 x−3

2x2 −x−1 (x−3)(x−1) 2x2 −x−1 =0 (x−3)(x−1) 2

=

(x−2)(x−1) 2x2 −x−1 = (x−3)(x−1) (x−3)(x−1)  −x2 −2x+3 = 0  · (x − 3)(x (x−3)(x−1)  2 

⇐⇒

x −3x+2 − 1) ⇐⇒ (x−3)(x−1) − ⇐⇒ ⇐⇒ −x2 − 2x + 3 = 0 ⇐⇒ x + 2x = 3 + 1 ⇐⇒ (x + 1) = 4, d.h. x1 = 1 ∈ D und x2 = −3 ∈ D;
L = {−3}

Alternativ resultiert aus 2x2 − x − 1 = (x − 1)(2x + 1) folgender Rechenweg: x−2 x−3

=

2x2 −x−1 (x−3)(x−1)

⇐⇒

x−2 x−3

=

(x−1)(2x+1) (x−3)(x−1)

⇐⇒

x−2 x−3

=

2x+1 x−3

⇐⇒ x − 2 = 2x + 1 ⇐⇒ x = −3 

(c) D = R \ − 35 , −1 : ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ x2 =

x−2 3 + x+1 =1 5x+3 (x−2)(x+1)+3(5x+3) (x+1)(5x+3) x2 +14x+7 5x2 +8x+3 = (x+1)(5x+3) ⇐⇒ (x+1)(5x+3) − (x+1)(5x+3) =0 (x+1)(5x+3)   2 −4x2 +6x+4   = 0 · (x + 1)(5x + 3) ⇐⇒ −4x + 6x + 4 = 0 : (−4) (x+1)(5x+3)  2 > 0 gilt x1 = 2 und x2 − 32 x − 1 = 0; Wegen D = − 34 + 1 = 25 16

 1 1 −2;
L = −2, 2

(d) D = R \ {−3, 3}:


x−3 x2 −9

3

= 0 ⇐⇒

x−3 (x−3)(x+3)

= 0 ⇐⇒

1 x+3

 = 0  · (x + 3)

⇐⇒ 1 = 0;
L = ∅  4  · (14 − 2x) (e) D = R \ {7}: 2x−10 = 1 − 2x−14 ⇐⇒ 2x−10 = 14−2x+4 14−2x 14−2x 14−2x ⇐⇒ 2x − 10 = 18 − 2x ⇐⇒ 4x = 28 ⇐⇒ x = 7 ∈ D;
L = ∅ (f) D = R \ {1, 6}:

x−6 5 + (1−x)(x−6) = x−7 1−x x−6 2 x −12x+41 −x +8x−7 − = 0 ⇐⇒ (1−x)(x−6) (1−x)(x−6)  2 2  2

(x−6)2 +5 (1−x)(x−6)  2x −20x+48 =0 (1−x)(x−6)

⇐⇒ 2

=

(x−7)(1−x) (1−x)(x−6)

⇐⇒ · (1 − x)(x − 6) ⇐⇒ 2x − 20x + 48 = 0 : 2 ⇐⇒ x − 10x + 24 = 0;  2 − 24 = 1 > 0 gilt x1 = 6 ∈ D und x2 = 4;
L = {4} Wegen D = 10 2

L¨ osung 6.10   √ (a) D = 14 , ∞ : 12x − 3 = 3 ( )2 =⇒ 12x − 3 = 9 ⇐⇒ 12x = 12 ⇐⇒ x = 1 ∈ D; Probe: 3 = 3;
L = {1} ∗

√

8=

√ √ √ √ 4·2= 4· 2=2 2

247
A

254

6. Gleichungen

 √ (b) D = [7, ∞): 3x − 21 = x − 7 ( )2 =⇒ 3x − 21 = x2 − 14x + 49 ⇐⇒ x2 − 17x + 70 = 0; Wegen D = 94 > 0 gilt x1 = 10 ∈ D und x2 = 7 ∈ D; ur x2 : 0 = 0;
L = {7, 10} Probe f¨ ur x1 : 3 = 3; Probe f¨   √ √ (c) D = 83 , ∞ : 15x − 40 + 3x = 8 ⇐⇒ 15x − 40 = −3x + 8 ( )2 2 2 104 =⇒ 15x − 40 = 9x − 48x + 64 ⇐⇒ x − 7x + 9 = 0; Wegen D = 25 >0 36


gilt x1 = 13 ∈ D und x2 = 83 ∈ D; Probe f¨ ur x1 : 18 = 8; Probe f¨ ur x 2 : 3  8 = 8;
L = 83    √ √ (d) D = 59 , ∞ ∩ [−3, ∞) = 59 , ∞ : 9x − 5 = 4 − 3 + x ( )2  √ √ =⇒ 9x − 5 = 16 − 8 3 + x + 3 + x ⇐⇒ x − 3 = − 3 + x ( )2 2 2 =⇒ x − 6x + 9 = 3 + x ⇐⇒ x − 7x + 6 = 0; Wegen D = 25 > 0 gilt x1 = 4


6 ∈ D und x2 = 1 ∈ D; Probe f¨ ur x1 : 7 = 1; Probe f¨ ur x2 : 2 = 2;
L = {1} 3 3 √ √ (e) D = [−2, ∞) ∩ 4 , ∞ = 4 , ∞ 2  : 2 2 + x + 4x − 3 = √ √ √ ( ) =⇒ 2 + x = 4 − 4 4x − 3 + 4x − 3 ⇐⇒ 2 + x = 2 − 4x − 3  √ ⇐⇒ 3x − 1 = 4 4x − 3 ( )2 =⇒ 9x2 − 6x + 1 = 16(4x − 3) ⇐⇒ x2 − 70 x + 49 = 0; Wegen D = 784 > 0 gilt x1 = 7 ∈ D und x2 = 79 ∈ D; 9 9 81


Probe f¨ ur x1 : 8 = 2; Probe f¨ ur x2 : 2 = 2;
L = 79    √ √ (f) D = 52 , ∞ ∩ − 34 , ∞ = 52 , ∞ : 2x − 5 − 3x + 4 = 1 √ √ √ ⇐⇒ 2x − 5 = 3x + 4 + 1 ( )2 =⇒ 2x − 5 = 3x + 4 + 2 3x + 4 + 1  √ 2 ⇐⇒ − x2 − 5 = 3x + 4 ( )2 =⇒ x4 + 5x + 25 = 3x + 4 2 ⇐⇒ x + 8x + 84 = 0; Wegen D = −68 < 0 gibt es keine L¨ osung:
L = ∅ 247
A

L¨ osung 6.11 "  √ √ (a) D = [0, ∞) ∩ [1, ∞) = [1, ∞): 1 + x = x − 1 ( )2 √ √ 2 =⇒ 1 + x = x − 1 ⇐⇒ x = x − 2 ( ) =⇒ x = x2 − 4x + 4 2 ⇐⇒ x − 5x + 4 = 0; Wegen D = 94 > 0 gilt x1 = 4 ∈ D und x2 = 1 ∈ D; √ √ √
Probe f¨ ur x1 : 3 = 3; Probe f¨ ur x2 : 2 = 0;
L = {4} √  (b) D = 12 − 12 65, ∞ (zun¨ achst muss x ≥ −16 gelten, damit die innere Wurzel √ definiert ist. Weiterhin muss x so bestimmt werden, dass x + x + 16 ≥ 0 gilt. √ 1 1 Das kleinste x, das dies erf¨ ullt, ist x = 2 − 2 65 ≈ −3,531):∗ ∗ Der Nachweis dieser unteren Grenze kann auf folgende Weise durchgef¨ uhrt werden. F¨ ur x ≥ 0 gilt die Ungleichung immer. Sei daher x < 0. Dann gilt mit den Verfahren aus 291
Kapitel 8.2: √ √ x + x + 16 ≥ 0 ⇐⇒ x + 16 ≥ −x =⇒ x + 16 ≥ x2 ⇐⇒ x2 − x − 16 ≤ 0



 1 2 1 65 1 2 ⇐⇒ x − − 16 − ≤ 0 ⇐⇒ x − − ≤0 2 4 2 4 / . / . √ √ 65 65 1 1 x− + ≤0 ⇐⇒ x − − 2 2 2 2

6.12 L¨ osungen

255

"

  √ √ x + x + 16 = 2 ( )2 =⇒ x + x + 16 = 4 − x √ x + 16 = 4 − x ( )2 =⇒ x + 16 = 16 − 8x + x2 ⇐⇒ ⇐⇒ x2 − 9x = 0 ⇐⇒ x(x − 9) = 0, d.h. x1 = 0 ∈ D und x2 = 9 ∈ D; √
Probe f¨ ur x1 : 2 = 2; Probe f¨ ur x2 : 14 = 2;
L = {0}  √ (c) D = [1, ∞): 4 x − 1 = 3 ( )4 =⇒ x − 1 = 81 ⇐⇒ x = 82; Probe: 3 = 3
L = {82} (d) L = ∅, da eine sechste Wurzel stets nicht-negativ ist.  √ (e) D = R: 5 x + 4 = −2 ( )5 ⇐⇒ x + 4 = −32 ⇐⇒ x = −36;
L = {−36} √ √ (f) D = [−1, ∞) ∩ [1, ∞) = [1, ∞): 4 x + 1 − x − 1 = 0  √ √ ⇐⇒ 4 x + 1 = x − 1 ( )4 =⇒ x + 1 = x2 − 2x + 1 ⇐⇒ x(x − 3) = 0, √ √ d.h. x1 = 0 ∈ D und x2 = 3 ∈ D; Probe f¨ ur x2 : 4 4 − 2 = 0;
L = {3} 247
A

L¨ osung 6.12 (a) D = (1, ∞): log3 (x − 1) = 2 ⇐⇒ log3 (x − 1) = log3 (9) =⇒ x − 1 = 9 ⇐⇒ x = 10 ∈ D;
L = {10} 1 1 =6 = log4 (6) =⇒ 2x (b) D = (0, ∞): − log4 (2x) = log 4 (6) ⇐⇒ log4 2x

 1 1 ⇐⇒ 1 = 12x ⇐⇒ x = 12 ∈ D;
L = 12 (c) D = (1, ∞)∪(−∞, −1): lg(x2 −1) = 0 ⇐⇒ lg(x2 −1) = lg(1) =⇒ x2 −1 = 1 √ √ √ √ ⇐⇒ x2 = 2, d.h. x1 = 2 ∈ D und x2 = − 2 ∈ D;
L = {− 2, 2} 2 (d) D = (1, ∞): 2 ln(3x−3) = 1 ⇐⇒ ln(3x−3)2 = ln(e) =⇒  = e,√d.h.  (3x−3) √ √ √ 3+ e 3− e 3+ e e = 1 + x1 = 3 ≈ 1,5 ∈ D und x2 = 3 ≈ 0,5 ∈ D;
L = 3 3

 (e) D = (−1, ∞): lg(x + 1) − lg(2) = 2 ⇐⇒ lg x+1 = lg(100) 2 = 100 ⇐⇒ x = 199 ∈ D;
L = {199} =⇒ x+1 2   · lg(2) (f) D = (0, ∞): log2 (x) = log3 (x) ⇐⇒ lg(x) = lg(x) lg(2) lg(3)   lg( 3 2) ⇐⇒ lg(x) = lg(x) · lg(2) = 0 ⇐⇒ lg(x) lg(3) ⇐⇒ lg(x) lg(3)−lg(2) =0 lg(3) lg(3) ⇐⇒ lg(x) = 0 ⇐⇒ x = 1 ∈ D;
L = {1} ⇐⇒

1 − 2

√ √ 65 65 1 ≤x≤ + 2 2 2

Somit muss x ≥

1 2

−

√

65 2

gelten.

256

247
A

6. Gleichungen

L¨ osung 6.13 (a) D = (0, ∞): lg(5) + lg(25x) = 6 − lg(5x) ⇐⇒ lg(5 · 25x · 5x) = 6  ⇐⇒ lg (25x)2 = 6 ⇐⇒ 2 lg(25x) = 6 ⇐⇒ lg(25x) = 3 =⇒ 25x = 103 ⇐⇒ x = 40 ∈ D;
L = {40}   (b) D = R \ {−1}: log2 (x + 1)2 = 2 log2 (4) ⇐⇒ log2 (x + 1)2 = log2 (42 ) =⇒ (x + 1)2 = 16, d.h. x1 = 3 ∈ D und x2 = −5 ∈ D;
L = {−5, 3}   (c) D = (1, ∞) ∩ (0, ∞) ∩ 11 , ∞ = 11 , ∞ : 2 ln(2x − 2) = ln(x) + ln(5x − 11) 5 5  ⇐⇒ ln (2x − 2)2 = ln[x(5x − 11)] =⇒ (2x − 2)2 = x(5x − 11) > 0 gilt x1 = 4 ∈ D und x2 = −1 ∈ D; ⇐⇒ x2 − 3x − 4 = 0; Wegen D = 25 4 Probe f¨ ur x1 : 2 ln(6) = 2 ln(6);
L = {4} (d) D = (1, ∞) ∩ (−2, ∞) = (1, ∞): ln(x − 1) − 13 ln(8) = 15 ln(32) − ln(x + 2) √ √ ⇐⇒ ln(x − 1) − ln( 3 8) = ln( 5 32) − ln(x + 2)  x−1 2 2 =⇒ x−1 ⇐⇒ ln 2 = ln x+2 = x+2 =⇒ (x − 1)(x + 2) = 4 2 > 0 gilt x1 = 2 ∈ D und x2 = −3 ∈ D; ⇐⇒ x2 + x − 6 = 0; Wegen D = 25 4 Probe f¨ ur x1 : − ln(2) = − ln(2);
L = {2} 1 1 1 (e) D = (5, ∞) − 5) − ln(x − 7) = 12 ln 25

∩ (7,∞) = (7, ∞): − 3 ln 27 − ln(x !  1 1 − ln(x − 5) − ln(x − 7) = ln ⇐⇒ ln √ 3 1 25   27  3 3 = ln 15 =⇒ (x−5)(x−7) = 15 =⇒ 15 = (x − 5)(x − 7) ⇐⇒ ln (x−5)(x−7) ⇐⇒ x2 − 12x + 20 = 0; Wegen D = 16 > 0 gilt x1 = 10 ∈ D und x2 = 2 ∈ D; Probe f¨ ur x1 : − ln(5) = − ln(5);
L = {10}   (f) D = (1, ∞) ∩ (0, ∞) ∩ 38 , ∞ = 38 , ∞ : 2 lg(4(x − 1)) = lg(x) + lg(17x − 38) 17 17   ⇐⇒ lg (4(x − 1))2 = lg[x(17x − 38)] =⇒ 16(x − 1)2 = x(17x − 38) ⇐⇒ x2 − 6x − 16 = 0; Wegen D = 25 > 0 gilt x1 = 8 ∈ D und x2 = −2 ∈ D; Probe f¨ ur x1 : lg(784) = lg(784);
L = {8}

248
A

L¨ osung 6.14 (a) (3x−3 )x+3 = (3x+2 )x−3 ⇐⇒ 3(x−3)(x+3) = 3(x+2)(x−3) ⇐⇒ (x − 3)(x + 3) = (x + 2)(x − 3) ⇐⇒ (x − 3)(x + 3 − x − 2) = 0 ⇐⇒ x − 3 = 0 ⇐⇒ x = 3;
L = {3} (b) 4(4x+2 )x−5 = 43x−2 (4x )x−4 ⇐⇒ 4(x+2)(x−5)+1 = 43x−2+x(x−4) ⇐⇒ (x + 2)(x − 5) + 1 = 3x − 2 + x(x − 4) ⇐⇒ x2 − 3x − 9 = −x − 2 + x2 ⇐⇒ 2x = −7 ⇐⇒ x = − 72 ;
L = {− 72 } (c)

√ 4x−8 9x+1 3 54x−8 = 59x+1 ⇐⇒ 5 2 = 5 3 ⇐⇒ 2x − 4 = 13 ⇐⇒ 3x = −13 ⇐⇒ x = − 13 ;
L = {− } 3 3 √

9x+1 3

6.12 L¨ osungen

257 x+3

3−x

(d) D = R \ {5, 7}: (6x+3 )1/(5−x) = (63−x )1/(x−7) ⇐⇒ 6 5−x = 6 x−7 x+3 ⇐⇒ 5−x = 3−x ⇐⇒ (x − 7)(x + 3) = (3 − x)(5 − x) x−7 ⇐⇒ x2 − 4x − 21 = x2 − 8x + 15 ⇐⇒ 4x = 36 ⇐⇒ x = 9;
L = {9}  5x−7  2 3x−17  5x−7  3 −3x+17 (e) 32 = 3 ⇐⇒ 32 = 2 ⇐⇒ 5x − 7 = −3x + 17 ⇐⇒ 8x = 24 ⇐⇒ x = 3;
L = {3} x x (f) 9 · 2x+3 − 4 · 3x = 3x+1 + 9(3x − 2x ) ⇐⇒ 2x (9 · 8) 9 · 3x − 9 · 2x  − 44 · 3 = 3 ·32 +  4 x x x x 4 x 4  x ⇐⇒ 2 · 81 = 3 · 16 ⇐⇒ 2 3 = 3 2 : 3 : 3 ⇐⇒ 3 = 23 ⇐⇒ x = 4;
L = {4}

248
A

L¨ osung 6.15 (a) D = R. Substitution S z = x . Damit gilt: 3

S

x6 − x3 + 1 = 0 ⇐⇒ z 2 − z + 1 = 0 Die letzte Gleichung hat die Diskriminante D = 14 − 1 = − 34 < 0 und hat daher keine L¨ osung. Somit hat auch die Ausgangsgleichung keine L¨ osung und es gilt L = ∅. (b) D = R. Substitution S y = 2z . Damit gilt wegen 4z = 22z = 2z · 2z = (2z )2 2z+1 = 4z + 1 ⇐⇒ 2 (2z )1 = (2z )2 + 1 S

⇐⇒ 2y = y 2 + 1 ⇐⇒ y 2 − 2y + 1 = 0 ⇐⇒ (y − 1)2 = 0 ⇐⇒ y = 1 Durch R¨ ucksubstitution resultiert die Gleichung 2z = 1, deren einzige L¨ osung z = 0 ist. Daher gilt L = {0}. (c) D = R. Substitution S x = ey . Damit gilt: e3y − e−y = 0 ⇐⇒ (ey )3 − (ey )−1 = 0 ⇐⇒ x3 − S

1 =0 x

Durch Multiplikation∗ mit x resultiert die Gleichung x4 = 1, die die (reellen) L¨ osungen x = 1 und x = −1 besitzt. Daraus ergeben sich durch R¨ ucksubstitution f¨ ur die Unbekannte y die Gleichungen ey = 1 und ey = −1. Die erste Gleichung hat nur die L¨ osung y = 0, w¨ ahrend die zweite Gleichung keine L¨ osung hat. Die L¨ osungsmenge der Ausgangsgleichung ist somit L = {0}. 6 (d) Der Definitionsbereich ergibt sich aus den Bedingungen t6 > 00 und −11> 0, ! 3t ! 6 1 6 1 6 1 die ¨ aquivalent sind zu t = 0 bzw. t > 3 . Somit gilt D = R \ − 3 , 3 . ∗ Die Multiplikation ist zul¨ assig, da die Variable x = ey mit y ∈ R nur positive Werte annimmt. Sie kann daher insbesondere nie den Wert Null haben.

258

6. Gleichungen

Substitution S z = t6 . Damit gilt: S

ln(t6 ) + ln(3t6 − 1) = 0 ⇐⇒ ln(z) + ln(3z − 1) = 0 Aus  den uberlegungen resultiert f¨ ur die Variable z der Definitionsbereich ! Vor¨ D = 6 13 , ∞ . Daraus ergibt sich:

ln(z) + ln(3z − 1) = 0 ⇐⇒ ln =⇒

 =0

z 1 = 1 ⇐⇒ z = 3z − 1 ⇐⇒ z = 3z − 1 2

! Nun gilt 6 13 > 12 ⇐⇒ somit leer, d.h. L = ∅. 248
A

z 3z − 1

1 3

>

1 26

=

1 . 64

Damit ist

1 2

= D und die L¨ osungsmenge

L¨ osung 6.16 (a) x2 − a = 0 ⇐⇒ x2 = a; ⎧ √ √ ⎪  √ √ ⎪ ⎨{− a, a}, falls a > 0 {− a, a},
L = {0}, falls a = 0 = ⎪ ∅, ⎪ ⎩∅, falls a < 0

falls a ≥ 0 falls a < 0

(b) x2 − 2ax = 0 ⇐⇒ x(x − 2a) = 0 =⇒ x1 = 0 und x2 = 2a;  {0, 2a}, falls a = 0
L= = {0, 2a} {0}, falls a = 0 (c) x2 − 2ax − 15a2 = 0 ⇐⇒ x2 − 2ax + a2 = 16a2 ⇐⇒ (x − a)2 = (4a)2 ⇐⇒ (x − a − 4a)(x − a + 4a) = 0 ⇐⇒ (x − 5a)(x + 3a) = 0; {−3a, 5a}, falls a = 0
L= = {−3a, 5a} {0}, falls a = 0 (d) x2 − 4ax − 7x + 28a = 0 ⇐⇒ x2 − x(4a + 7) + 28a = 0 ⇐⇒  2 2 2 2 x+ (4a+7) = −28a+ (4a+7) ⇐⇒ x − 4a+7 = 16a +56a−112a+49 . x2 −2 4a+7 2 4 4 2 4 2

2

2

Aus der Identit¨ at 16a +56a−112a+49 = 16a −56a+49 = (4a−7) resultiert die 4 4 4 aquivalente Gleichung ¨   2 2 x − 4a+7 = 4a−7 ⇐⇒ (x − 7)(x − 4a) = 0. 2 2 Daraus ergeben sich je nach Wert von a die L¨ osungen  x1 = 4a und x2 = 7, falls a = 74 x = 7,

falls a = 

Die L¨ osungsmenge ist daher
L =

7 4

{4a, 7},

falls a =

{7},

falls a =

. 7 4 7 4

= {4a, 7}.

6.12 L¨ osungen

(e) D = R:

x2 +3a 3+a

259

= 0 ⇐⇒ x2 + 3a = 0 ⇐⇒ x2 = −3a

⎧ √ √ ⎪ ⎪ ⎨ {− −3a, −3a},
L = {0}, ⎪ ⎪ ⎩ ∅,

falls a < 0 und∗ a = −3 falls a = 0 falls a > 0

(f) F¨ ur a = 0 gilt D = R und L = {0}, da die Gleichung x = 0 resultiert. 2

Sei nun a = 0. D = R \ {0}; x − a = 2ax ⇐⇒ x2 − ax = 2a2 2 2 ⇐⇒ x2 − ax + a4 = 9a4  2 2 ⇐⇒ x − a2 = 9a4 2   2 ⇐⇒ x − a2 = 3|a| 2     (x − 2a)(x + a), a > 0 3|a| 3|a| a a x− 2 + 2 ⇐⇒ ⇐⇒ x − 2 − 2 (x + a)(x − 2a), a < 0  {2a, −a}, falls a = 0 ⇐⇒ (x − 2a)(x + a) = 0
L = = {2a, −a} {0}, falls a = 0

L¨ osung 6.17 (a)

1 x ∈ −∞, 2

=⇒ (b)



1

2



248
A

∈ −∞, 1 x ∈ 5 , ∞ : 5x − 1 = 9 ⇐⇒ x = 2 ∈ 5 , ∞ 

L = − 85 , 2  x ∈ −∞, 23 : 2 − 3x + 2 = x2 ⇐⇒ x2 + 3x + 94 = 4 + 94    2 ⇐⇒ x + 32 = 25 , d.h. x1 = 1 ∈ −∞, 23 , x2 = −4 ∈ −∞, 23 4   x ∈ 23 , ∞ : 3x − 2 + 2 = x2 ⇐⇒ x(x − 3) = 0, d.h. x3 = 0 ∈ 23 , ∞ , 2 x4 = 3 ∈ 3 , ∞ 1

1 5

: 1 − 5x = 9 ⇐⇒ x =

− 58

1 5

=⇒ L = {−4, 3} (c)

1 x ∈ (−∞, 1): 1 − x − 2x + 4 = 2x ⇐⇒ x = 1 ∈ (−∞, 1) 2 x ∈ [1, 2): x − 1 − 2x + 4 = 2x ⇐⇒ x = 1 ∈ [1, 2) 3 x ∈ [2,∞): x − 1 + 2x − 4 = 2x ⇐⇒ x = 5 ∈ [2, ∞)

=⇒ L = {1, 5} (d)

1 x ∈ (−∞, −1): −x − 1 + 2 = 2x − 6 − x + 1 ⇐⇒ −x + 1 = x − 5

⇐⇒ x = 3 ∈ (−∞, −1)
2 x ∈ [−1, 1): x + 1 + 2 = 2x − 6 − x + 1 ⇐⇒ x + 3 = x − 5 ⇐⇒ 3 = −5

(keine L¨ osung) 3 x ∈ [1, 3): x + 3 = 2x − 6 + x − 1 ⇐⇒ x = 5 ∈ [1, 3) Bei der Angabe der L¨ osungsmenge muss der Parameter a = −3 ausgeschlossen werden, da die Gleichung in diesem Fall nicht definiert ist (der Nenner des Bruchs ist gleich Null).

260

6. Gleichungen

4 x ∈ [3, ∞): x + 3 = 6 − 2x + x − 1 ⇐⇒ x = 1 ∈ [3, ∞)

=⇒ L = ∅ (e)

1 x ∈ (−∞, −2): 3 − x + 2x + 4 = 0 ⇐⇒ x = −7 ∈ (−∞, −2) 2 x ∈ [−2, 3): 3 − x − 2x − 4 = 0 ⇐⇒ x = − 13 ∈ [−2, 3) 3 x ∈ [3, ∞): x − 3 − 2x − 4 = 0 ⇐⇒ x = −7 ∈ [3, ∞)



=⇒ L = −7, − 13 (f)


1 x ∈ (−∞, −1): 5 − x − 1 − x + 2x − 4 = 1 ⇐⇒ 0 = 1 (keine L¨ osung) 2 x ∈ [−1, 2): 5 − x + x + 1 + 2x − 4 = 1 ⇐⇒ x = − 12 ∈ [−1, 2) 3 x ∈ [2, 5): 5 − x + x + 1 − 2x + 4 = 1 ⇐⇒ x =

9 2

∈ [2, 5)


4 x ∈ [5, ∞): x − 5 + x + 1 − 2x + 4 = 1 ⇐⇒ 0 = 1 (keine L¨ osung)



=⇒ L = − 12 , 92 248
A

L¨ osung 6.18 Einsetzungsverfahren

(a) Gleichsetzungsverfahren x1 −3x2 = −1

x1 − 3x2 = −1

−4x1 +5x2 = −3

−4x1 + 5x2 = −3

⇐⇒

⇐⇒

= −1 + 3x2

x1

5 x 4 2

+

x1

=

x1

= −1 + 3x2

−1+3x2 = 54 x2 + ⇐⇒

⇐⇒

x1

=2

= −1 + 3x2

x1

4 − 12x2 + 5x2 = −3 ⇐⇒

= −1 + 3x2

x1

−7x2 = −7

x2 = 1 ⇐⇒

= −1 + 3x2

x1

−4x1 + 5x2 = −3

3 4

= −1 + 3x2

x1

⇐⇒

3 4

⇐⇒

x1

=2

x2 = 1

Additionsverfahren

x2 = 1

⇐⇒

x1 −3x2 = −1 x2 = 1

x1 −3x2 = −1 −4x1 +5x2 = −3 ⇐⇒

x1 −3x2 = −1 −7x2 = −7

⇐⇒

x1

=2 x2 = 1

Daher gilt L = {(2, 1)}.

6.12 L¨ osungen

261

(b) Offenbar ist die zweite Gleichung das (−2)-fache der ersten, d.h. es gilt die ¨ Aquivalenz 4x1 − 3x2 = 3 ⇐⇒ −8x1 + 6x2 = −6. Daher wird die L¨ osungsmenge beschrieben durch 

L = (x1 , 43 x1 − 1) | x1 ∈ R

 = ( 34 x2 + 34 , x2 ) | x2 ∈ R . (c) Wie in (b) sind die linken Seiten Vielfache mit Faktor −2 voneinander. Dies gilt f¨ ur die rechten Seiten nicht, d.h. L = ∅.

Kapitel 7 Polynome und Polynomgleichungen

7

7

7

Polynome und Polynomgleichungen

7.1

Faktorisierung .................................................... 268

7.2

Substitutionsmethode ........................................... 269

7.3

Polynomdivision .................................................. 272

7.4

Aufgaben .......................................................... 278

7.5

L¨osungen .......................................................... 279

265

7. Polynome und Polynomgleichungen

265

7 Polynome und Polynomgleichungen In 195
Kapitel 6.2 wurden quadratische Gleichungen eingef¨ uhrt und L¨osungsmethoden bereitgestellt. Es ist nun nahe liegend, Gleichungen zu betrachten, in denen auch h¨ ohere Potenzen vorkommen, wie z.B. 3 2 + 11x − 6 = 0. x
− 6x  =f (x)

Die linke Seite dieser Gleichung definiert ein 161
Polynom f . Allgemein sind diese gegeben durch die Festlegung f (x) =

n *

aj xj = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ,

x ∈ R,

j=0

mit Koeffizienten an = 0, an−1 , . . . , a1 , a0 ∈ R. a0 heißt Absolutglied, die Zahl n heißt Grad des Polynoms f .∗ Durch die Vorschrift f (x) = 12x5 − 5x3 + 3x2 − x wird ein Polynom vom Grad 5 mit den Koeffizienten a5 = 12, a4 = 0, a3 = −5, a2 = 3, a1 = −1 und

a0 = 0

definiert. Polynomgleichung Eine Gleichung f (x) = 0, deren linke Seite ein n  aj xj vom Grad n ist, heißt Polynomgleichung vom Grad n. Polynom f (x) = Definition

j=0

Der Definitionsbereich einer Polynomgleichung ist D = R.

Polynome sind 154
Funktionen, die sch¨ one Eigenschaften haben: Sie sind
stetig,
differenzierbar beliebig oft 350 und 367
integrierbar. Bei z.B. 343 der L¨ osung von Polynomgleichungen ist die folgende Aussage u ¨ber die Anzahl der 158
Nullstellen eines Polynoms f , d.h. u ¨ ber die Anzahl von L¨osungen der Gleichung f (x) = 0, von Bedeutung. Nullstellen eines Polynoms Ein Polynom f vom Grad n hat h¨ ochstens n Nullstellen. ∗ Der

Grad eines Polynoms wird bestimmt durch die gr¨ oßte im Polynom vorkommende n  Potenz der Variablen. Im Folgenden wird bei Verwendung der Schreibweise f (x) = aj xj stets angenommen, dass der 161
Leitkoeffizient an ungleich Null ist.

j=0



266

7. Polynome und Polynomgleichungen

Die Polynomgleichung an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0




hat daher maximal n L¨ osungen. Weiterhin hat jedes Polynom f mit ungeradem Grad mindestens eine reelle Nullstelle.∗ F¨ ur Polynome mit geradem Grad muss dies nicht gelten, wie das Beispiel f (x) = x4 + 1 zeigt. Wegen x4 ≥ 0 f¨ ur x ∈ R gilt f (x) ≥ 1 f¨ ur alle x ∈ R, d.h. f hat keine Nullstelle und die Polynomgleichung x4 + 1 = 0 hat keine reelle L¨osung. Bisher wurden bereits zwei spezielle Typen von Polynomgleichungen behandelt: Lineare Gleichungen sind Polynomgleichungen vom Grad 1: a1 x + a0 = 0. Quadratische Gleichungen sind Polynomgleichungen vom Grad 2: a2 x2 + a1 x + a0 = 0. F¨ ur beide Gleichungstypen gibt es – wie bereits erl¨autert – L¨osungsverfahren, uhren. F¨ ur Polynomgleichungen h¨oheren Grades ist eine die stets zum Ziel f¨ explizite L¨ osung jedoch nur in Sonderf¨ allen m¨oglich. Die folgende Darstellung beschr¨ ankt sich daher auf Polynome mit gewissen Struktureigenschaften. Potenzgleichungen

Spezielle Polynomgleichungen der Art axn = b mit Koeffizienten a, b ∈ R, a = 0 und einer Potenz n ∈ N heißen Potenzgleichungen. F¨ ur n = 1 ergibt sich die allgemeine Form der linearen Gleichung ax = b. Potenzgleichungen wurden bereits implizit zur Definition von 88
Wurzeln eingesetzt. L¨ osung von Potenzgleichungen Eine Potenzgleichung axn = b5hat folgende L¨osungsmenge: ! 6 n b 1 Ist n ungerade, gilt L = a . ⎧ ⎪ ∅, falls ab < 0 ⎪ ⎪ ⎨ falls b = 0 . 2 Ist n gerade, gilt L = {0}, 5 ! ! 6 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ − n ab , n ab , falls ab > 0

∗ Dies

ergibt sich daraus, dass f¨ ur an > 0 die 339
Grenzwerte

lim f (x) = +∞ und

x→+∞

lim f (x) = −∞ gelten. Aufgrund der 343
Stetigkeit des Polynoms muss es nach dem

x→−∞

346
Zwischenwertsatz daher eine Nullstelle geben. Analoges gilt f¨ ur an < 0.

7. Polynome und Polynomgleichungen

267

Beispiel


Die Potenzgleichung 3x4 = −3 hat keine L¨osung, da die rechte Seite negativ ist und die linke Seite f¨ ur alle x ∈ R nur nicht-negative Werte annimmt.∗ Die Gleichung 3x4 = 3 hat hingegen die L¨osungsmenge L = {−1, 1}.

B

F¨ ur die Gleichung 2x5 = 64 resultiert die eindeutige L¨osung x = 2, die ost.  Gleichung 2x5 = −64 wird nur von x = −2 gel¨ Gradreduktion Beispiel
Zur Berechnung aller L¨ osungen der Gleichung 2x3 − x2 + x = 0

wird auf der linken Seite zun¨ achst der Faktor x ausgeklammert, so dass die aquivalente Gleichung x(2x2 − x + 1) = 0 resultiert. Die linke Seite ist gleich ¨ Null, wenn entweder x = 0 oder 2x2 −x+1 = 0 gilt. Die L¨osungsmenge besteht daher aus der Null und allen L¨ osungen der quadratischen Gleichung 2x2 − x + 1 = 0 (bzw. in Normalform x2 − 12 x + 12 = 0). Da die 201
Diskriminante  2 7 negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine D = − 41 − 12 = − 16 reelle L¨ osung, d.h. L = {0}.  Durch das Ausklammern des Faktors x ist es gelungen, eine Polynomgleichung niedrigeren Grads (hier eine quadratische) zu erzeugen. Dieses Vorgehen wird als Gradreduktion bezeichnet.† Die im Folgenden vorgestellten L¨ osungsmethoden nehmen in gewissem Sinn alle eine Gradreduktion des Polynoms vor. Ziel ist es, dies soweit auszuf¨ uhren, bis nur noch Polynome (etwa als Faktoren) auftreten, die h¨ochstens den Grad 2 haben. Als Methoden zur Gradreduktion werden vorgestellt: Gradreduktion durch Faktorisierung Gradreduktion durch Substitution Gradreduktion durch Polynomdivision Eine Polynomdivision f¨ uhrt dabei zu einer Faktorisierung des Polynoms. ∗ Division durch 3 ergibt die Gleichung x4 = −1 ⇐⇒ x4 + 1 = 0, von der bereits nachgewiesen wurde, dass sie keine L¨ osung hat. † In der leicht modifizierten Gleichung 2x3 − x2 + 1 = 0 ist das Ausklammern von x jedoch nicht mehr m¨ oglich, so dass eine Gradreduktion auf diese Weise nicht erreicht werden kann.

B

268

7.1

7. Polynome und Polynomgleichungen

7.1 Faktorisierung An einer Polynomgleichung an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0 kann direkt abgelesen werden, ob sie die L¨ osung x = 0 hat. Dies ist nur der Fall, wenn das Absolutglied a0 den Wert Null hat. In dieser Situation k¨onnen der Faktor x gem¨ aß an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x = x(an xn−1 + an−1 xn−2 + · · · + a1 ) = x · g(x)
  =g(x)

ausgeklammert und das Ausgangspolynom als Produkt zweier Polynome vom Grad 1 und n − 1 dargestellt werden. Die L¨osungen der Gleichung f (x) = 0 sind somit x = 0 und die L¨ osungen von g(x) = 0. Polynomgleichungen mit a0 = 0 Ist in einer Polynomgleichung a0 = 0, d.h. gilt an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x = 0, so besteht die L¨ osungsmenge der Gleichung aus dem Wert x = 0 und allen L¨ osungen der Gleichung an xn−1 + an−1 xn−2 + · · · + a1 = 0, d.h. L = {0} ∪ {x ∈ R|an xn−1 + an−1 xn−2 + · · · + a1 = 0}. Die zweite Menge kann dabei h¨ ochstens n − 1 Werte enthalten. Das Ausklammern von Faktoren kann nat¨ urlich auch f¨ ur h¨ohere Potenzen von x m¨ oglich sein. B

Beispiel


In der Gleichung x5 − x4 − 6x3 = 0 kommt die Unbekannte x mindestens in der dritten Potenz vor, das Absolutglied fehlt. Daher kann auf der linken Seite der Term x3 ausgeklammert werden: x3 (x2 − x − 6) = 0 ⇐⇒ x3 = 0 oder x2 − x − 6 = 0. Letzteres ist eine quadratische Gleichung, deren Diskriminante den Wert D =  −1 2 + 6 = 1+24 = 25 osungen sind somit 2 4 4 > 0 hat. Die L¨ ' ' 1 5 1 5 25 25 −1 −1 x1 = − + = + = 3, x2 = − − = − = −2. 2 4 2 2 2 4 2 2 Die obige Polynomgleichung hat also die L¨ osungsmenge L = {−2, 0, 3}.



7.2

Substitutionsmethode

269

Beispiel
In der Gleichung x4 −x3 +2x2 +x = 0 ist das Absolutglied a0 wieder-

B

um gleich Null. Ausklammern von x ergibt die Faktorisierung osung ist. Die weiteren L¨osungen x(x3 − x2 + 2x + 1) = 0, so dass x = 0 eine L¨ resultieren aus der Gleichung x3 − x2 + 2x + 1 = 0, die jedoch mit den bisher vorgestellten Methoden nicht weiter behandelt werden kann.  Das letzte Beispiel zeigt, dass das Ausklammern von Potenzen von x oft nur der erste Schritt der L¨ osung ist. Ist die reduzierte Gleichung weder linear noch quadratisch, m¨ ussen weitere L¨ osungsstrategien angewendet werden. Von Bedeutung ist hierbei insbesondere die Faktorisierung mit Faktoren der Art x − a mit a = 0. Diese wird im Rahmen der 273
Polynomdivision behandelt.

7.2

7.2 Substitutionsmethode In 234
Abschnitt 6.9 wurde die Substitutionsmethode als L¨osungsverfahren f¨ ur geeignete, allgemeine Gleichungen vorgestellt. Da sie auch bei der L¨osung von Polynomgleichungen von großer Bedeutung ist, wird ihre Anwendung hier ausf¨ uhrlich erl¨autert. Das Substitutionsprinzip bei Polynomgleichungen basiert auf dem 91
Potenzgesetz xa·b = (xa )b ,

x ∈ R, a, b ∈ N.

Die Methode ist nur anwendbar, wenn in jeder Potenz von x der Polynomgleichung der Anteil xa auftritt, d.h. wenn die Zahl a jeden im Polynom vorkommenden Exponenten teilt. Beispiel
Die rechte Seite der Gleichung x8 +2x4 −3 = 0 enth¨ alt die Potenzen

x8 = x2·4 = (x4 )2 und x4 = (x4 )1 , d.h. mit dem obigen Ansatz resultiert die Darstellung (x4 )2 + 2(x4 )1 − 3 = 0. Die Gleichung h¨ angt daher von der Variablen x nur u ¨ ber deren vierte Potenz 4 x ab, d.h.: Eine Zahl x l¨ ost die Gleichung x8 + 2x4 − 3 = 0 genau dann, wenn deren vierte Potenz y = x4 der quadratischen Gleichung y 2 +2y −3 = 0 gen¨ ugt.

B

270

7. Polynome und Polynomgleichungen

Die Unbekannte x4 kann daher formal durch die Variable y ersetzt (substituiert) werden. Die resultierende Gleichung wird dann zun¨achst f¨ ur y gel¨ost: y 2 + 2y − 3 = 0 ⇐⇒ (y + 1)2 = 4 ⇐⇒ y = 1 oder y = −3. Die Gleichung in y hat zwei L¨ osungen y = 1 und y = −3. Durch R¨ ucksubsti4 tution y = x resultieren daraus die 266
Potenzgleichungen x4 = 1

bzw.

x4 = −3.

Die zweite Gleichung hat offenbar keine L¨osung, da x4 stets einen nichtnegativen Wert hat. Die erste Gleichung hat die L¨osungen x = 1 und x = −1. Somit ist L = {−1, 1} die L¨ osungsmenge der Ursprungsgleichung.  Substitutionsverfahren f¨ ur Polynomgleichungen Kann ein Polynom f vom Grad n in der Form f (x) = g(xa ) geschrieben werden, wobei a ∈ N und g ein Polynom sind, so hat g den Grad m = na ∈ N. Die Polynomgleichung f (x) = 0 wird dann in folgenden Schritten gel¨ost: 1. Substitution y = xa . 2. Bestimmung aller L¨ osungen der Gleichung g(y) = 0. 3. F¨ ur jede L¨osung y0 der Gleichung g(y) = 0 resultiert eine zu l¨osende 266
Potenzgleichung xa = y0 . √ 1 F¨ ur a ungerade ist x0 = a y0 die zugeh¨orige L¨osung von f (x) = 0. √ √ 2 F¨ ur a gerade und y0 ≥ 0 sind x1 = − a y0 und x2 = a y0 die zugeh¨ origen L¨ osungen von f (x) = 0. 3

B

F¨ ur a gerade und y0 < 0 f¨ uhrt y0 zu keiner L¨osung der Gleichung f (x) = 0.

Beispiel
Die linke Seite der Gleichung x6 −x3 −2 = 0 kann wegen x6 = (x3 )2

geschrieben werden als (x3 )2 − (x3 )1 − 2 = 0.

7.2

Substitutionsmethode

271

Mit der Setzung y = x3 f¨ uhrt dies zur quadratischen Gleichung y 2 −y −2 = 0, anzung gel¨ ost werden kann: die z.B. mit 201
quadratischer Erg¨  +2+ 1 y2 − y − 2 = 0 4 1 1 1 2 ⇐⇒ y − 2 · y + = 2 + 2 4 4

2 1 9 ⇐⇒ y− = 2 4 ⇐⇒

y = 2 oder y = −1

uhrt jede dieser L¨osungen zu Da x3 substituiert wurde und 3 ungerade ist, f¨ genau einer L¨ osung der Ausgangsgleichung: √ √ 3 x1 = 2 und x2 = 3 −1 = −1. √  Die L¨ osungsmenge der Polynomgleichung ist daher L = {−1, 3 2}. Beispiel
Die Substitutionsmethode kann auch in allgemeinerer Form einge-

setzt werden. Lautet die Polynomgleichung (x − 1)4 − 4(x − 1)2 − 5 = 0, so kann der Term y = (x − 1)2 substituiert werden. Dies ergibt die quadratiosungen y = −1 und y = 5 besitzt. sche Gleichung y 2 − 4y − 5 = 0, die die L¨ Daraus resultieren f¨ ur x die Gleichungen (x − 1)2 = −1

und

(x − 1)2 = 5.

Die √ erste Gleichung hat osung, w¨ ahrend die die L¨osungen x1 = √ keine L¨ √zweite√  1 − 5 und x2 = 1 + 5 hat. Also gilt L = {1 − 5, 1 + 5}. Allgemeines Substitutionsverfahren f¨ ur Polynomgleichungen Kann ein Polynom f vom Grad n in der Form f (x) = g((x − b)a ) geschrieben werden, wobei a ∈ N, b ∈ R und g ein Polynom sind, so hat g den Grad m = na ∈ N. Die Polynomgleichung f (x) = 0 wird dann in folgenden Schritten gel¨ost: 1. Substitution y = (x − b)a 2. Bestimmung aller L¨ osungen der Gleichung g(y) = 0

B

272

7. Polynome und Polynomgleichungen

3. F¨ ur jede L¨osung y0 der Gleichung g(y) = 0 resultiert eine zu l¨osende Gleichung (x − b)a = y0 . √ 1 F¨ ur a ungerade ist x0 = b + a y0 die zugeh¨orige L¨osung von f (x) = 0. √ √ 2 F¨ ur a gerade und y0 ≥ 0 sind x1 = b − a y0 und x2 = b + a y0 die zugeh¨ origen L¨ osungen von f (x) = 0. 3

7.3

F¨ ur a gerade und y0 < 0 f¨ uhrt y0 zu keiner L¨osung der Gleichung f (x) = 0.

7.3 Polynomdivision Die Polynomdivision ist eine Division mit Rest zweier Polynome, die analog uhrt wird. Letzteres bedeutet zur 21
Division mit Rest zweier Zahlen ausgef¨ z.B., dass sich die Zahl 124 nach Division durch 12 darstellen l¨asst als 124 = 10 · 12 + 4. Der Rest“ 4 ist dabei eine Zahl, die echt kleiner als 12 ist. Auf einem ana” logen Prinzip basiert die Division von Polynomen. Dazu wird der Quotient∗ f (x)
Grad des Z¨ahlerg(x) zweier Polynome f und g betrachtet, wobei der 265 polynoms f mindestens gleich dem Grad des Nennerpolynoms g ist.

B

3

−x+1 Der Bruch x x−1 l¨ asst sich mittels Ausklammern und dritter binomischer Formel schreiben als

Beispiel


x(x2 − 1) + 1 x(x − 1)(x + 1) 1 1 x3 − x + 1 = = + = x(x + 1) + . x−1 x−1 x−1 x−1 x−1 Somit gilt also x3 − x + 1 = [x(x + 1)] · ( x − 1 ) + 1, d.h. x3 − x + 1 ist durch x − 1 teilbar mit Rest 1. F¨ ur den Term

x4 −x2 +x x3 +1

ergibt sich

x4 − x2 + x x(x3 + 1) − x2 x(x3 + 1) x2 x2 = = − = x − . x3 + 1 x3 + 1 x3 + 1 x3 + 1 x3 + 1 Daher gilt x4 − x2 + x = x · ( x3 + 1 ) − x2 , so dass x4 − x2 + x durch x3 + 1  teilbar ist mit Rest −x2 . ∗ Dieser

Quotient definiert eine 161
gebrochen rationale Funktion.

7.3

Polynomdivision

273

Division mit Rest bei Polynomen bedeutet somit, f¨ ur zwei Polynome f und g eine Darstellung f (x) = h(x) · g(x) + r(x) zu finden, wobei h und r Polynome sind und der Grad von r echt kleiner ist als der Grad von g. Das Verfahren zur Bestimmung von h und r heißt Polynomdivision. Anhand der obigen Beispiele wird erl¨ autert, wie die Polynomdivision ausgef¨ uhrt wird. Die Notation ist an das schriftliche Dividieren zweier Zahlen angelehnt. Beispiel


F¨ ur die Polynome f (x) = x3 − x + 1 und g(x) = x − 1 l¨auft die Polynomdivision folgendermaßen ab. Zun¨ achst wird die jeweils h¨ochste Potenz beider Terme festgestellt: x3 bzw. x. Dann wird die h¨ohere Potenz x3 in der Form x3 = x · x2 geschrieben und anschließend der Ausdruck x2 · g(x) = x2 ( x − 1 ) von x3 − x + 1 abgezogen. Dadurch wird der Term

x3 eliminiert und ein Polynom kleineren Grads erzeugt f (x) − x2 g(x) = x3 − x + 1 − x2 ( x − 1 ) = x3 − x + 1 − x3 + x2 = x2 − x + 1. Also gilt x3 − x + 1 = x2 ( x − 1 ) + [x2 − x + 1] .
 

(♣)

=r1 (x)

Das Polynom r1 (x) hat einen niedrigeren Grad als f (x) und einen h¨oheren Grad als g(x). Im n¨ achsten Schritt wird r1 (x) auf analoge Weise zerlegt (die h¨ ochsten Potenzen von r1 (x) = x2 und g(x) = x werden verglichen und der Teiler festgestellt: x2 = x · x): r1 (x) − x · ( x − 1 ) = x2 − x + 1 − x2 + x = 1. Somit gilt wegen (♣) x3 − x + 1 = x2 ( x − 1 ) + r1 (x) = x2 ( x − 1 ) + x( x − 1 ) + 1 = (x2 + x)( x − 1 ) + 1. Das Verfahren vergleicht in jedem Schritt zun¨ achst die h¨ochste Potenz des Teilers g mit der h¨ ochsten Potenz des Rests r und ermittelt so den Faktor vor dem Teiler g. Anschließend werden das Produkt des Faktors und des Teilers g vom Rest subtrahiert und ein neuer Rest erzeugt. Mit diesem wird analog verfahren. Die Division endet, wenn der Rest einen kleineren Grad als der Teiler g hat.

B

274

7. Polynome und Polynomgleichungen

Die Methode wird in Kurzform folgendermaßen notiert: (x3 −

x + 1) : (x − 1) =

x2 +x +

−(x3 −

x2 ) x2 − x + 1 − (x2 − x ) 1

1 x−1

Damit ergibt sich die bereits ermittelte Darstellung x3 − x + 1 1 = x2 + x + . x−1 x−1 F¨ ur den Bruch

x4 −x2 +x x3 +1

(

ergibt sich

−x2 x4 − x2 + x) : (x3 + 1) = x + 3 x +1 −x − x4



− x2 Von besonderer Bedeutung ist die Polynomdivision, wenn die Division ohne Rest m¨ oglich ist, d.h. wenn das Polynom g(x) ein Teiler von f (x) ist. B

Beispiel
Die quadratische Gleichung x2 − x − 2 = 0 hat die L¨ osungen x = 2 und x = −1. Der 205
Satz von Vieta liefert die Zerlegung der linken Seite:

x2 − x − 2 = (x − 2)( x + 1 ). Dies bedeutet, dass z.B. x + 1 ein Teiler von x2 − x − 2 ist. Die Polynomdivision best¨ atigt dies: (

x2 − x − 2) : (x + 1) = x − 2 − x2 − x − 2x − 2 2x + 2 0

Die Polynomdivision ist daher zur Faktorisierung eines Polynoms geeignet.  B

Beispiel
Die obige Beobachtung gilt auch f¨ ur kompliziertere Polynome. Das

Polynom f (x) = x4 − 2x3 + x − 2 wird von x − 2 geteilt:

7.3

Polynomdivision

(

275

x4 − 2x3 + x − 2) : (x − 2) = x3 + 1 − x4 + 2x3 x−2 −x+2 0

Somit gilt f (x) = x4 − 2x3 + x − 2 = (x − 2)(x3 + 1). Diese Darstellung ist bei der L¨ osung der Polynomgleichung f (x) = 0 von Bedeutung. Da diese aquivalent ist, ergibt sich Gleichung n¨ amlich zu (x − 2)(x3 + 1) = 0 ¨ x4 − 2x3 + x − 2 = 0 ⇐⇒ (x − 2)(x3 + 1) = 0 ⇐⇒ x = 2 oder x3 + 1 = 0. Die letzte Gleichung wird nur von x = −1 gel¨ ost, so dass L = {−1, 2} die  L¨ osungsmenge der Polynomgleichung ist. Die beiden vorhergehenden Beispiele zeigen, dass eine Polynomdivision sinnvoll zur L¨ osung einer Polynomgleichung eingesetzt werden kann. Das Verfahren beruht auf der folgenden Aussage. Faktorisierung eines Polynoms Mit einer L¨ osung x1 der Polynomgleichung f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0 gilt die Faktorisierung f (x) = (x − x1 ) · g(x), ur jede Nullstelle wobei g(x) ein Polynom vom Grad n−1 ist. Somit ist x−x1 f¨ x1 von f ein Teiler von f (x). Die L¨ osungsmenge der Polynomgleichung f (x) = 0 besteht daher aus x1 und aus allen L¨ osungen der Gleichung g(x) = 0. Um dieses Resultat zu nutzen, muss das Polynom g(x) bestimmt werden. Dieses ist gegeben durch g(x) =

an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 f (x) = x − x1 x − x1

und kann mittels der Polynomdivision berechnet werden. Dabei ist zu beachten, dass der Nenner (x − x1 ) lautet, d.h. die L¨osung x1 wird von x osung der Gleichung, muss die Polynomdivision subtrahiert. Ist z.B. −2 L¨ mit x − ( −2 ) = x + 2 durchgef¨ uhrt werden.




276

7. Polynome und Polynomgleichungen

L¨ osungsverfahren mittels Polynomdivision Zur L¨ osung der Polynomgleichung f (x) = 0 ist folgendes Verfahren anwendbar: 1. Auf heuristische Weise (z.B. Raten oder Analyse des Grafen des Polynoms) wird eine L¨ osung x1 der Polynomgleichung bestimmt. 2. Durch Polynomdivision wird das Polynom g(x) =

f (x) x−x1

berechnet.

Die L¨ osungsmenge der Polynomgleichung f (x) = 0 besteht aus x1 und aus den L¨ osungen der Polynomgleichung g(x) = 0. Ist somit eine L¨ osung der Polynomgleichung f (x) = 0 bekannt, kann das Problem auf die L¨osung der Gleichung g(x) = 0 reduziert werden. Der Grad von g(x) ist um Eins niedriger als der von f (x), d.h. das Problem wird vereinfacht. B

Beispiel
Die Gleichung x3 − 6x2 + 11x − 6 = 0 hat x = 1 als L¨ osung,∗ und

es gilt: (

x3 − 6x2 + 11x − 6) : (x − 1) = x2 − 5x + 6 − x3 + x2 − 5x2 + 11x 5x2 − 5x 6x − 6 − 6x + 6 0

Die L¨ osungen der obigen Polynomgleichung sind also neben x = 1 alle x ∈ R, ugen. Da die Diskrimidie der quadratischen Gleichung x2 − 5x + 6 = 0 gen¨  5 2 1 − 6 = positiv ist, gibt es zwei L¨osungen: nante D = − 2 − 6 = 25 4 4 x1 = −

−5 1 −5 1 + = 3, x2 = − − = 2. 2 2 2 2

Die Polynomgleichung hat daher die L¨ osungsmenge L = {1, 2, 3}. Zudem gilt x3 − 6x2 + 11x − 6 = (x − 1)(x − 2)(x − 3), d.h. die Polynomdivision liefert zus¨ atzlich eine Faktorisierung in 207
Linear faktoren. ∗ Dies

kann durch Einsetzen von x = 1 in das Polynom gepr¨ uft werden.

7.3

Polynomdivision

277

Die obige Faktorisierung in Linearfaktoren l¨ asst sich f¨ ur ein Polynom mit einem Grad gr¨ oßer als Eins nicht immer erreichen. Faktorisierung eines Polynoms Ein Polynom l¨ asst sich stets in ein Produkt aus Polynomen vom Grad Eins und Zwei zerlegen, wobei die quadratischen Polynome keine (reellen) Nullstellen haben.∗

Beispiel
Die Polynomgleichung x4 + 5x3 + 8x2 + x − 15 = 0 hat die L¨ osung

x = 1.† Somit gilt (

x4 + 5x3 + 8x2 − x4 + x3

+ x − 15) : (x − 1) = x3 + 6x2 + 14x + 15

6x3 + 8x2 − 6x3 + 6x2 14x2 + x − 14x2 + 14x 15x − 15 − 15x + 15 0 Damit sind noch die L¨ osungen der Gleichung x3 + 6x2 + 14x + 15 = 0 zu ermitteln. Durch Probieren ergibt sich −3 als L¨osung. Daher folgt: (

x3 + 6x2 + 14x + 15) : (x + 3) = x2 + 3x + 5 − x3 − 3x2 3x2 + 14x − 3x2 − 9x 5x + 15 − 5x − 15 0

2 osung, da die zugeh¨orige DiskrimiDie Gleichung  3 x2 + 3x + 511= 0 hat keine L¨ nante D = 2 − 5 = − 4 negativ ist. Also gilt L = {−3, 1}. Das Polynom x4 + 5x3 + 8x2 + x − 15 kann somit dargestellt werden als

x4 + 5x3 + 8x2 + x − 15 = (x − 1)(x + 3)(x2 + 3x + 5).



∗ Ein quadratisches Polynom mit reellen Nullstellen kann stets als Produkt von 207
Linearfaktoren geschrieben werden. † Diese kann z.B. durch systematisches Probieren gefunden werden, d.h. durch Einsetzen der Werte 0, 1, −1, 2, −2 etc. in das Polynom.

B

278

7. Polynome und Polynomgleichungen

7.4

7.4 Aufgaben

279
L

Aufgabe 7.1

280
L

L¨ osen Sie die Polynomgleichung durch Faktorisierung.

(a) x6 − 2x5 − 15x4 = 0

(d)

(b) 4x5 − 9x3 = 0

(e) x3 − 11x2 + 30x = 0

(c) 3x4 − 27x3 + 42x2 = 0

(f) 2x5 + 14x4 − 36x3 = 0

−

3 6 22 x

+ 7x5 = 0

Aufgabe 7.2 L¨ osen Sie die Polynomgleichung mit der Substitutionsmethode.

(a) 3x4 − 78x2 + 507 = 0 (b)

281
L

1 7 22 x

1 4 2x

− 12x2 + 64 = 0

(e) 4x4 − 84x2 − 400 = 0 (f) x12 + 3x6 + 2 = 0

(c) 2x6 + 38x3 − 432 = 0

(g) x10 + 31x5 − 32 = 0

(d) x8 + 4x4 + 6 = 0

(h)

Aufgabe 7.3

1 8 4x

− 3x4 − 16 = 0

F¨ uhren Sie jeweils eine Polynomdivision durch.

(a) (x − 3x + 2x2 + 2x − 2) : (x − 1) 5

3

(b) (x7 − 4x5 + x2 + x − 2) : (x + 2) (c) (x4 − 3x2 − 2) : (x2 − 2) (d) (x5 + 2x4 − x3 + 3x2 + 6x − 3) : (x3 + 3) (e) (x4 − x3 − 2x2 − 2x) : (x3 − 2x) (f) (x4 − 2x3 − 9x2 + 8x − 16) : (x3 + 2x2 − x + 4) 282
L

L¨ osen Sie die Polynomgleichung mittels Polynomdivision. Verwenden Sie die vorgegebenen L¨ osungen x1 und x2 .

Aufgabe 7.4

(a) x4 − x3 − 12x2 − 4x + 16 = 0; Vorgabe: x1 = 4, x2 = −2 (b) x3 − 5x2 − 29x + 105 = 0; Vorgabe: x1 = 3 (c) 2x4 − 8x3 − 42x2 + 72x + 216 = 0; Vorgabe: x1 = −2, x2 = 6 (d) x4 − 3x3 − 33x2 + 15x + 140 = 0; Vorgabe: x1 = −4, x2 = 7

7.5

L¨ osungen

279

Faktorisieren Sie die folgenden Terme. Verwenden Sie dazu Polynomdivisionen und die vorgegebenen Nullstellen x1 und x2 .

Aufgabe 7.5

283
L

(a) x4 − 2x3 − 27x2 + 108; Nullstellen: x1 = 2, x2 = −3 (b) x4 + x3 − 85x2 + 23x + 1260; Nullstellen: x1 = −4, x2 = 5 (c) 2x4 + 4x3 − 162x2 + 396x; Nullstelle: x1 = 3 (d) x4 + 8x3 + 25x2 + 42x + 36; Nullstellen: x1 = −3, x2 = −3 Vereinfachen Sie folgende Br¨ uche so weit wie m¨oglich. Verwenden Sie ggf. Polynomdivisionen. Aufgabe 7.6

(a)

x3 −13x+12 x−3

(c)

x3 +x2 −2x x3 −x

(e)

x2 −2x−8 x2 −16

(b)

x4 −x3 −12x2 +28x−16 x2 −4x+4

(d)

x3 −11x2 +10x+72 3x2 −48

(f)

x3 +x2 −4x−4 x3 +2x2 +x

283
L

7.5

7.5 L¨ osungen

278
A

L¨ osung 7.1 (a) x6 − 2x5 − 15x4 = 0 ⇐⇒ x4 (x2 − 2x − 15) = 0 ⇐⇒ x4 = 0 oder x2 − 2x − 15 = 0 ⇐⇒ x = 0 oder x2 − 2x − 15 = 0 ⇐⇒ x = 0 oder x = 5 oder x = −3 =⇒ L = {−3, 0, 5} 3. bin. Formel

(b) 4x5 − 9x3 = 0 ⇐⇒ x3 (4x2 − 9) = 0 ⇐⇒ ⇐⇒ x3 = 0 oder 2x − 3 = 0 oder 2x + 3 = 0 ⇐⇒ x = 0 oder x = 32 oder x = − 32

 =⇒ L = − 32 , 0, 32

x3 (2x − 3)(2x + 3) = 0

(c) 3x4 − 27x3 + 42x2 = 0 ⇐⇒ x2 (3x2 − 27x + 42) = 0 ⇐⇒ x2 = 0 oder 3x2 − 27x + 42 = 0 ⇐⇒ x = 0 oder x2 − 9x + 14 = 0 ⇐⇒ x = 0 oder x = 7 oder x = 2 =⇒ L = {0, 2, 7} 1 2 1 7 3 6 3 (d) 22 x − 22 x + 7x5 = 0 ⇐⇒ x5 22 x − 22 x+7 =0 5 1 2 3 ⇐⇒ x = 0 oder 22 x − 22 x + 7 = 0 ⇐⇒ x = 0 oder x2 − 3x + 154 = 0 osung hat, gilt L = {0}. Da die letzte Gleichung wegen D = 94 −154 < 0 keine L¨

280

7. Polynome und Polynomgleichungen

(e) x3 − 11x2 + 30x = 0 ⇐⇒ x(x2 − 11x + 30) = 0 ⇐⇒ x = 0 oder x2 − 11x + 30 = 0 ⇐⇒ x = 0 oder x = 5 oder x = 6 =⇒ L = {0, 5, 6} (f) 2x5 + 14x4 − 36x3 = 0 ⇐⇒ x3 (2x2 + 14x − 36) = 0 ⇐⇒ x3 = 0 oder 2x2 + 14x − 36 = 0 ⇐⇒ x = 0 oder x2 + 7x − 18 = 0 ⇐⇒ x = 0 oder x = 2 oder x = −9 =⇒ L = {−9, 0, 2} 278
A

L¨ osung 7.2 (a) Substitution y = x2 :

 3y 2 − 78y + 507 = 0  : 3 ⇐⇒ y 2 − 26y + 169 = 0 ⇐⇒ (y − 13)2 = 0 ⇐⇒ y = 13 √ √ Die Gleichung x2 = 13 hat die L¨ osungen x1 = 13 und x2 = − 13, so dass √ √ L = {− 13, 13}.

(b) Substitution y = x2 :  1 2 y − 12y + 64 = 0  · 2 ⇐⇒ y 2 − 24y + 128 = 0 ⇐⇒ y = 16 oder y = 8 2 osungen x1 = 4, x2 = −4 Die Gleichungen x2 = 16 bzw. x2 = 8 haben die L¨ √ √ √ √ √ √ bzw. x3 = 8, x4 = − 8, so dass wegen 8 = 2 2 gilt L = {−4, −2 2, 2 2, 4}. (c) Substitution y = x3 :  2y 2 + 38y − 432 = 0  : 2 ⇐⇒ y 2 + 19y − 216 = 0 ⇐⇒ y = 8 oder y = −27 osung x1 = 2 bzw. Die Gleichungen x3 = 8 bzw. x3 = −27 haben die L¨ x2 = −3, so dass L = {−3, 2}. (d) Substitution y = x4 : Die Gleichung y 2 + 4y + 6 = 0 hat die Diskriminante D = −2 < 0 und daher keine reelle L¨ osung. Somit gilt L = ∅. (e) Substitution y = x2 :  4y 2 − 84y − 400 = 0  : 4 ⇐⇒ y 2 − 21y − 100 = 0 ⇐⇒ y = 25 oder y = −4 osungen x1 = 5 und x2 = −5, w¨ ahrend Die Gleichung x2 = 25 hat die L¨ x2 = −4 nicht l¨ osbar ist. Daher gilt L = {−5, 5}. (f) Substitution y = x6 : y 2 + 3y + 2 = 0 ⇐⇒ y = −2 oder y = −1 osungen haben, gilt Da die Gleichungen x6 = −2 und x6 = −1 keine reellen L¨ L = ∅.

7.5

L¨ osungen

281

(g) Substitution y = x5 : y 2 + 31y − 32 = 0 ⇐⇒ y = −32 oder y = 1 osung x1 = −2 bzw. Die Gleichungen x5 = −32 bzw. x5 = 1 haben die L¨ x2 = 1, so dass L = {−2, 1}. (h) Substitution y = x4 :  1 2 y − 3y − 16 = 0  · 4 ⇐⇒ y 2 − 12y − 64 = 0 ⇐⇒ y = 16 oder y = −4 4 osungen x1 = 2 und x2 = −2, w¨ ahrend die Die Gleichung x4 = 16 hat die L¨ Gleichung x4 = −4 keine reelle L¨ osung hat. Daher gilt L = {−2, 2}. 278
A

L¨ osung 7.3 (a) (

x − 3x + 2x + 2x − 2) : (x − 1) = x + x − 2x + 2 − x5 + x4 5

3

2

4

3

2

x4 − 3x3 − x4 + x3 − 2x3 + 2x2 2x3 − 2x2 2x − 2 − 2x + 2 0 (b) (

− 4x5 + x2 + x − 2) : (x + 2) = x6 − 2x5 + x − 1 x7 7 6 − x − 2x − 2x6 − 4x5 2x6 + 4x5 x2 + x − x2 − 2x −x−2 x+2 0

(c) (

−4 x4 − 3x2 − 2) : (x2 − 2) = x2 − 1 + 2 x −2 4 2 − x + 2x − x2 − 2 x2 − 2 −4

282

7. Polynome und Polynomgleichungen

(d) (

x5 + 2x4 − x3 + 3x2 + 6x − 3) : (x3 + 3) = x2 + 2x − 1 − x5 − 3x2 2x4 − x3 − 2x4

+ 6x − 6x

− x3 x3

−3 +3 0

(e) (

−4x x4 − x3 − 2x2 − 2x) : (x3 − 2x) = x − 1 + 3 x − 2x 4 2 + 2x −x − x3 x3

− 2x − 2x − 4x

Das Ergebnis kann auch geschrieben werden als x − 1 − (f) (

4 . x2 −2

x4 − 2x3 − 9x2 + 8x − 16) : (x3 + 2x2 − x + 4) = x − 4 − x4 − 2x3 + x2 − 4x − 4x3 − 8x2 + 4x − 16 4x3 + 8x2 − 4x + 16 0

278
A

L¨ osung 7.4 (a)

1 (x4 − x3 − 12x2 − 4x + 16) : (x − 4) = x3 + 3x2 − 4 2 (x3 + 3x2 − 4) : (x + 2) = x2 + x − 2 3 x2 + x − 2 = 0 ⇐⇒ x = −2 oder x = 1

=⇒ L = {−2, 1, 4} (b)

1 (x3 − 5x2 − 29x + 105) : (x − 3) = x2 − 2x − 35 2 x2 − 2x − 35 = 0 ⇐⇒ x = 7 oder x = −5

=⇒ L = {−5, 3, 7} (c)

1 (2x4 − 8x3 − 42x2 + 72x + 216) : (x + 2) = 2x3 − 12x2 − 18x + 108 2 (2x3 − 12x2 − 18x + 108) : (x − 6) = 2(x2 − 9) 3 x2 − 9 = (x − 3)(x + 3) = 0 ⇐⇒ x = −3 oder x = 3

=⇒ L = {−3, −2, 3, 6} (d)

1 (x4 − 3x3 − 33x2 + 15x + 140) : (x + 4) = x3 − 7x2 − 5x + 35 2 (x3 − 7x2 − 5x + 35) : (x − 7) = x2 − 5

√ √ 5 oder x = − 5 √ √ =⇒ L = {−4, − 5, 5, 7} 3 x2 = 5 ⇐⇒ x =

7.5

L¨ osungen

283

279
A

L¨ osung 7.5 (a)

1 (x4 − 2x3 − 27x2 + 108) : (x − 2) = x3 − 27x − 54 2 (x3 − 27x − 54) : (x + 3) = x2 − 3x − 18 3 x2 − 3x − 18 = 0 ⇐⇒ x = 6 oder x = −3

=⇒ x4 − 2x3 − 27x2 + 108 = (x − 2)(x + 3)2 (x − 6) (b)

1 (x4 + x3 − 85x2 + 23x + 1260) : (x + 4) = x3 − 3x2 − 73x + 315 2 (x3 − 3x2 − 73x + 315) : (x − 5) = x2 + 2x − 63 3 x2 + 2x − 63 = 0 ⇐⇒ x = 7 oder x = −9

=⇒ x4 + x3 − 85x2 + 23x + 1260 = (x + 4)(x − 5)(x − 7)(x + 9) (c)

1 2x4 + 4x3 − 162x2 + 396x = 2x(x3 + 2x2 − 81x + 198) 2 (x3 + 2x2 − 81x + 198) : (x − 3) = x2 + 5x − 66 3 x2 + 5x − 66 = 0 ⇐⇒ x = 6 oder x = −11

=⇒ 2x4 + 4x3 − 162x2 + 396x = 2x(x − 3)(x − 6)(x + 11) (d)

1 (x4 + 8x3 + 25x2 + 42x + 36) : (x + 3) = x3 + 5x2 + 10x + 12 2 (x3 + 5x2 + 10x + 12) : (x + 3) = x2 + 2x + 4 3 x2 + 2x + 4 = 0 hat wegen D = −3 < 0 keine L¨ osung

=⇒ x4 + 8x3 + 25x2 + 42x + 36 = (x + 3)2 (x2 + 2x + 4) 279
A

L¨ osung 7.6 (a) Der Nenner hat die Nullstelle 3. Wegen 3 − 13 · 3 + 12 = 0 ist dies auch eine Nullstelle des Z¨ ahlers. Aus der Polynomdivision (x3 − 13x + 12) : (x − 3) = 2 x + 3x − 4 folgt daher 3

x3 −13x+12 x−3

=

(x−3)(x2 +3x−4) x−3

= x2 + 3x − 4.

(b) Der Nenner x2 − 4x + 4 = (x − 2)2 hat die (doppelte) Nullstelle 2. Wegen 24 − 23 − 12 · 22 + 28 · 2 − 16 = 0 ist dies auch eine Nullstelle des Z¨ ahlers. Polynomdivision ergibt (x4 −x3 −12x2 +28x−16) : (x−2) = x3 +x2 −10x+8, wobei der Z¨ ahler wegen 23 + 22 − 10 · 2 + 8 = 0 nochmals die Nullstelle 2 hat. Nochmalige Polynomdivision liefert (x3 + x2 − 10x + 8) : (x − 2) = x2 + 3x − 4, so dass x4 −x3 −12x2 +28x−16 x2 −4x+4

=

(x−2)2 (x2 +3x−4) (x−2)2

= x2 + 3x − 4.

(c) Der Nenner x3 − x = x(x2 − 1) = x(x − 1)(x + 1) hat die Nullstellen 0, 1 und −1. Da 1 auch Nullstelle des Z¨ ahlers ist, folgt aus (x2 + x − 2) : (x − 1) = x + 2 die Darstellung x(x2 +x−2) x(x−1)(x+1)

=

x(x−1)(x+2) x(x−1)(x+1)

=

x+2 x+1

=1+

1 . x+1

284

7. Polynome und Polynomgleichungen

(d) Der Nenner 3x2 − 48 = 3(x2 − 16) = 3(x − 4)(x + 4) hat die Nullstellen 4 und −4. Wegen 43 − 11 · 42 + 40 + 72 = 0 ist 4 Nullstelle des Z¨ ahlers. Mit (x3 − 11x2 + 10x + 72) : (x − 4) = x2 − 7x − 18 und (−4)2 + 28 − 18 = 0 folgt x3 −11x2 +10x+72 3x2 −48

=

(x−4)(x2 −7x−18) 3(x−4)(x+4)

=

x2 −7x−18 . 3(x+4)

(e) Der Nenner x2 − 16 = (x − 4)(x + 4) hat die Nullstellen 4 und −4. Da 4 auch Nullstelle des Z¨ ahlers ist, gilt (x2 − 2x − 8) : (x − 4) = x + 2 und somit x2 −2x−8 x2 −16

=

(x+2)(x−4) (x−4)(x+4)

=

x+2 x+4

=1−

2 . x+4

(f) Der Nenner x3 + 2x2 + x = x(x2 + 2x + 1) = x(x + 1)2 hat die Nullstellen 0 und −1. Da −1 auch Nullstelle des Z¨ ahlers ist, folgt (x3 + x2 − 4x − 4) : (x + 1) = 2 x − 4 = (x − 2)(x + 2), so dass x3 +x2 −4x−4 x3 +2x2 +x

=

(x+1)(x−2)(x+2) x(x+1)2

=

(x−2)(x+2) . x(x+1)

Kapitel 8 Ungleichungen

8

8

8

Ungleichungen

8.1

Lineare Ungleichungen .......................................... 288

8.2

Quadratische Ungleichungen................................... 291

8.3

Bruchungleichungen ............................................. 297

8.4

Betragsungleichungen ........................................... 302

8.5

Aufgaben .......................................................... 305

8.6

L¨osungen .......................................................... 306

287

8. Ungleichungen

287

8 Ungleichungen Die Ersetzung des Gleichheitszeichens in einer 187
Gleichung durch ein Ordnungszeichen ≤“, <“, ≥“ oder >“ f¨ uhrt zu einer Ungleichung. Sie besitzt ” ” ” ” analog zu einer Gleichung eine linke und eine rechte Seite, wie z.B. x2 − 4x ≤ 2x − 5 .
 
  linke Seite

rechte Seite

Die L¨ osungsmenge L einer Ungleichung besteht aus allen Zahlen, die eingesetzt f¨ ur die Variable die Ungleichung erf¨ ullen. ¨ Bezeichnung Aquivalente Ungleichungen Zwei Ungleichungen heißen ¨aquivalent, ¨ wenn sie die gleiche L¨osungsmenge besitzen. Die Aquivalenz von Ungleichungen ¨ wird durch den Aquivalenzpfeil ⇐⇒ zwischen den Ungleichungen zum Ausdruck gebracht.



Eine Ungleichung impliziert eine andere, wenn ihre L¨ osungsmenge eine Teilmenge der L¨ osungsmenge der anderen ist. Dies wird durch den Folgerungspfeil =⇒ bezeichnet. Beispiel
Die Ungleichungen 2x ≤ 4 und x ≤ 2 haben die selbe L¨ osungs-

menge L = (−∞, 2] und sind daher ¨ aquivalent, d.h. 2x ≤ 4

⇐⇒

x ≤ 2.

Die L¨ osung der Ungleichung x2 < 4 ist das Intervall (−2, 2). Da jeder Wert dieses Intervalls kleiner als 2 ist, gilt x2 < 4

=⇒

x < 2.

Die Umkehrung ist nicht korrekt, da z.B. −3 wegen −3 < 2 die zweite Un gleichung erf¨ ullt, aber wegen (−3)2 = 9 > 2 die erste verletzt. ¨ Da die Aquivalenz von Ungleichungen lediglich von deren L¨osungsmenge abh¨angt, sind beispielsweise die Ungleichungen x ≤ 2 und 2 ≥ x ¨aquivalent. Die Vertauschung der Seiten einer Ungleichung bei gleichzeitiger Vertauschung des Ordnungszeichens liefert somit eine ¨ aquivalente Ungleichung. Daher gibt es prinzipiell nur die zwei Typen von Ungleichungen mit Ordnungszeichen ≤“ und <“. ” ” Wie bei 189
Gleichungen bilden die elementaren Umformungen unter Be¨ achtung gewisser Einschr¨ ankungen auch bei Ungleichungen Aquivalenzumformungen.

B

288




8. Ungleichungen

Elementare Umformungen von Ungleichungen Die L¨ osungsmenge L einer Ungleichung wird durch folgende, jeweils auf beiden Seiten der Gleichung ausgef¨ uhrte Operationen nicht ver¨andert: Addition oder Subtraktion einer reellen Zahl (bzw. eines Terms). Multiplikation oder Division mit einer von Null verschiedenen reellen Zahl (bzw. einem von Null verschiedenen Term), wobei bei negativen Ausdr¨ ucken das Ordnungszeichen umzukehren ist, d.h. aus ≤“ wird ≥“ etc. ” ”

Wie bei Gleichungen k¨ onnen auch die L¨ osungen von Ungleichungen durch den zugeh¨ origen Funktionsgrafen visualisiert werden. Zun¨achst werden mittels Subtraktion alle Ausdr¨ ucke der rechten Seite auf die linke gebracht:  ⇐⇒ x2 − 6x + 5 ≤ 0. x2 − 4x ≤ 2x − 5  − 2x + 5  
=f (x)

Die linke Seite l¨ asst sich als Funktionswert der Funktion f an der Stelle x interpretieren. Daher beschreibt die Ungleichung den Bereich aller Zahlen x ∈ R mit f (x) ≤ 0, d.h. den Bereich auf der x-Achse, in dem alle Funktionswerte negativ oder gleich Null sind. Der 157
Graf der Funktion f liegt dort unterhalb der xAchse (blau markierter Bereich).

.. .. .. .. .. .. ... ... ... . ... ... ... .. .. .. .. .. .. ... . ... ... ... ... ... ... .. .. ... . ... ... ... .. .. .. .. .. .. ... . . ... ... ... ... ... .. ... ... . .... . ... .... .... ..... ..... ..... .................

20

f (x) 6

10

-

−2

0

2

4

6

8

x

Die Grafik zeigt auch, dass die Bereiche {x | f (x) ≥ 0} und {x | f (x) ≤ 0} durch die Nullstellen von f separiert werden. Ist die Ungleichheit streng gefordert, d.h. f (x) < 0 bzw. f (x) > 0, geh¨ oren diese Randwerte selbst nicht ∗ zur L¨ osungsmenge. Im Folgenden werden vier Typen von Ungleichungen behandelt: 289
Lineare Ungleichungen, d.h. der Graf von f ist eine Gerade, 291
Quadratische Ungleichungen, d.h. der Graf von f ist eine Parabel, 297
Bruchungleichungen, die auf eine lineare oder eine quadratische Un-

gleichung f¨ uhren, jedoch eine spezielle L¨osungsmethode erfordern, 302
Betragsungleichungen. 8.1

8.1 Lineare Ungleichungen Eine Ungleichung, die die Variable nur in linearer Form enth¨alt, heißt lineare Ungleichung. Sie kann durch elementare Umformungen stets auf eine der folgenden Formen gebracht werden. ∗ Bei dieser Argumentation wird unterstellt, dass die Funktion f 343
stetig auf ihrem Definitionsbereich ist. Dies ist f¨ ur alle im Folgenden betrachteten Ungleichungen der Fall.

8.1

Lineare Ungleichungen

289



Bezeichnung Lineare Ungleichungen Seien a, b reelle Zahlen. Dann heißen

ax ≤ b, ax < b,

ax ≥ b bzw. ax > b

lineare Ungleichungen. Beispiel
Die folgenden Ungleichungen sind lineare Ungleichungen:

x ≥ 3,

3z < 5,

2t + 1 ≤ −4t + 5,

B

−4y > y − 3.



Beispiel
F¨ ur die Ungleichung 2t + 1 ≤ −4t + 5 liefern elementare Umfor-

¨ mungen die Aquivalenzen   2t + 1 ≤ −4t + 5  + 4t  − 1

⇐⇒ Die L¨ o sungsmenge ist daher L =   

t | t ≤ 23 = −∞, 23 . Der Graf der durch f (t) = 6t − 4 definierten Funktion ist eine Gerade. Die L¨ osungsmenge der obigen Ungleichung entspricht dem Bereich auf der t-Achse, in dem die Gerade unterhalb der tAchse liegt oder die t-Achse schneidet.

 :6

6t ≤ 4

⇐⇒

t ≤ 23 .

6f (t)

.. ..... ...... ...... ..... . . . . .... ...... ...... ...... ..... . . . . .. ..... ..... ..... ...... ..... . . . . .. ..... ..... ..... ...... ..... . . . . . ..... ..... ...... ...... ..... . . . . . ..... ..... ...... ...... ..... . . . . ..

20 10

-

−2

0

2

t

−10 −20

Der Bereich, in dem sich die Gerade oberhalb der t-Achse befindet, ist die L¨ osungsmenge der Ungleichung 6t − 4 > 0.



Die L¨ osungsmenge L einer linearen Ungleichung ist stets ein Intervall (sofern L = ∅ gilt). 1

2

F¨ ur a = 1 gilt: Die L¨ osungsmenge der Ungleichung (i) x ≤ b ist L = (−∞, b],

(iii) x ≥ b ist L = [b, ∞),

(ii) x < b ist L = (−∞, b),

(iv) x > b ist L = (b, ∞).

F¨ ur a = 0 resultiert je nach Ungleichung eine der Aussagen (i) 0 ≤ b

(ii) 0 < b

(iii) 0 ≥ b

(iv) 0 > b

und die Unbekannte x tritt in der Ungleichung nicht mehr auf. In dieser Situation ist die Aussage entweder wahr, d.h. es gilt L = R, oder sie ist falsch, d.h. die L¨ osungsmenge ist leer, i.e. L = ∅.

B

290

3

8. Ungleichungen

Gilt a = 1 und a = 0, wird die Ungleichung durch a dividiert. Dabei ist zu beachten, dass sich f¨ ur negatives a das Ordnungszeichen umkehrt. Es resultiert eine der Ungleichungen aus Fall 1 mit der rechten Seite ab .

Die obigen Betrachtungen f¨ uhren zu einem allgemeinen L¨osungsschema f¨ ur lineare Ungleichungen. L¨ osung von linearen Ungleichungen Die lineare Ungleichung ax ≤ b hat die L¨ osungsmengen: a

b

>0

beliebig

<0

beliebig <0 ≥0

=0

L¨ osungsmenge   −∞, ab b a ,∞ ∅ R

Analoge Aussagen gelten f¨ ur die Ungleichungen ax ≥ b, ax < b und ax > b. B

Beispiel
Die L¨ osungsmenge der Ungleichung 2x + 5 ≥ −3x − 7 resultiert

aus den Umformungen: 2x + 5 ≥ −3x − 7 ⇐⇒

   + 3x  − 5  :5

5x ≥ −12 12 ⇐⇒ x≥− 5  12 Die L¨ osungsmenge ist somit L = − 5 , ∞ . Eine alternative L¨osung ist    − 2x  + 7 2x + 5 ≥ −3x − 7   : (−5) ⇐⇒ 12 ≥ − 5x ⇐⇒

−

12 ≤x 5

Diese Rechnung illustriert, dass die Umkehrung des Ordnungszeichens nach  Multiplikation/Division mit einer negativen Zahl wesentlich ist. B

Beispiel
Die Ungleichung

− (4x + 1) > 13 + angegebenen elementaren Umformungen gel¨ost:

⇐⇒

1 2x

1 6

1 1 1 x − (4x + 1) > + + 2(x + 2) 2 3 6 3x − 6(4x + 1) > 2 + 1 + 12(x + 2)

+ 2(x + 2) wird mit den  ·6  Vereinfachen

8.2

Quadratische Ungleichungen

⇐⇒

−21x − 6 > 12x + 27

⇐⇒

−33 > 33x

⇐⇒

−1 > x

291

   + 21x  − 27   : 33

Die L¨ osungsmenge ist somit das Intervall L = (−∞, −1).

 8.2

8.2 Quadratische Ungleichungen Eine Ungleichung, die die Unbekannte nur in linearer und quadratischer Form enth¨ alt, heißt quadratische Ungleichung. Sie kann durch elementare Umformungen stets auf eine der folgenden Formen gebracht werden (a, b, c sind feste reelle Zahlen, x ist die Unbekannte): ax2 + bx + c ≤ 0 bzw. ax2 + bx + c < 0 ( ax2 + bx + c ≥ 0 bzw. ax2 + bx + c > 0 ) F¨ ur a = 0 lassen sich quadratische Ungleichungen mittels Division beider Seiten durch a stets auf eine Normalform bringen (p und q bezeichnen beliebige reelle Zahlen): x2 + px + q ≤ 0 bzw. x2 + px + q < 0 ( x2 + px + q ≥ 0 bzw. x2 + px + q > 0 ) Bei diesem Vorgang ist stets das Vorzeichen von a zu beachten. F¨ ur a < 0 muss das Ordnungszeichen umgedreht werden:   : (−2) Umkehrung des Ordnungszeichens −2x2 + 8x + 10 ≤ 0 ⇐⇒




x2 − 4x − 5 ≥ 0

Die L¨ osungsmenge einer quadratischen Ungleichung ist entweder leer, ein Intervall oder eine Vereinigung von zwei Intervallen. Sie l¨asst sich einfach grafisch darstellen, indem die Ungleichung in Normalform gebracht wird und der Graf der zugeh¨origen Funktion gezeichnet wird. Dies ist immer eine nach oben ge¨ offnete Parabel, da der quadratische Term ein positives Vorzeichen hat. Beispiel
Die linke Seite der Ungleichung x2 − 4x − 5 ≥ 0 wird als Funkti-

onswert einer Funktion f aufgefasst, d.h. f (x) = x − 4x − 5. Der Graf der Funktion f ist eine Parabel, die an den L¨ osungen der quadratischen Gleichung x2 − 4x − 5 = 0 die x-Achse schneidet (x1 = −1, x2 = 5). 2

B

292

8. Ungleichungen . ... ... ... ... ... .. .. . .. ... ... .. ... ... ... .. .. . . .. .. ... .. .. ... .. .. ... ... .... . ... .. .. .. ... .. ... .. . . .. . ... .. .. .. .. .. .. ... ... .. . ... .... ... .... ... ..... ........ .....

5

Die L¨ osungsmenge der Ungleichung 2 x − 4x − 5 ≥ 0 entspricht dem blau markierten Bereich auf der xAchse, in dem die Parabel oberhalb der x-Achse liegt oder die x-Achse schneidet. Dies trifft in den Intervallen (−∞, −1] und [5, ∞) zu, d.h. L = (−∞, −1] ∪ [5, ∞).

−2

6

f (x)

0

2

4

-

6 x

−5

Liegt x im Intervall (−1, 5), so befindet sich die Parabel unterhalb der x Achse, d.h. x erf¨ ullt die Ungleichung x2 − 4x − 5 < 0. L¨ osung einer quadratischen Ungleichung Sei x2 + px + q = 0 die Gleichung (in Normalform) zu einer quadratischen Ungleichung. Folgende Vorgehensweise f¨ uhrt zur L¨osungsmenge der Ungleichung. 1. Bestimmung der L¨ osungsmenge LG der Gleichung. 2. Festlegung des Pr¨ ufbereichs I, aus dem eine Pr¨ ufstelle∗ x0 gew¨ahlt wird: 1

|LG | = 2, d.h es gibt zwei L¨ osungen x1 < x2 : I = (x1 , x2 )

2

|LG | = 1, d.h es gibt eine L¨ osung x1 : I = R \ {x1 }

3

|LG | = 0, d.h es gibt keine L¨ osung: I = R

3. Wahl der Pr¨ ufstelle x0 aus dem Bereich I. 4. Die L¨ osungsmenge L der Ungleichung ist in folgender Tabelle gegeben:

x0 erf¨ ullt die Ungleichung x0 erf¨ ullt die Ungleichung nicht

Ungleichungszeichen <, > ≤, ≥ L=I L = I ∪ LG L = R \ (LG ∪ I) L = R \ I

Formal l¨ asst sich eine quadratische Ungleichung analog zu einer quadratischen Gleichung l¨ osen. Anhand der grafischen Visualisierung und der Eigenschaft, dass die linke Seite x2 + px + q stets eine nach oben ge¨offnete Parabel beschreibt, kann die L¨ osungsmenge direkt angegeben werden. Ihre Gestalt richtet sich lediglich danach, wie oft die Parabel die x-Achse schneidet, d.h. wie viele L¨ osungen die Gleichung x2 + px + q = 0 hat. ∗ Eine

Pr¨ ufstelle ist eine Zahl, die in die Ungleichung eingesetzt wird.

8.2

Quadratische Ungleichungen

293

1. Fall: x2 + px + q = 0 besitzt zwei verschiedene L¨ osungen x1 und x2

In diesem Fall zeigt die grafische Darstellung der Parabel zwei Schnittpunkte mit der Abszisse. Die L¨ osungsmengen der vier zugeh¨ origen quadratischen Ungleichungen lassen sich daher in folgender Regel zusammenfassen.

.. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .... ... .. ... ... ... .. .. .. . . .. . .. .. .. .. .. .. .. ... .. . . ... ... ... .. ... ... ... ... ..... . . . . ...............

6

-

L¨osungsmenge einer quadratischen Ungleichung Seien x1 < x2 die L¨ osungen der quadratischen Gleichung x2 + px + q = 0. Die L¨ osungsmenge der Ungleichung 1 x2 + px + q ≤ 0 ist L = [x1 , x2 ]. 2

x2 + px + q < 0 ist L = (x1 , x2 ).

3

x2 + px + q ≥ 0 ist L = (−∞, x1 ] ∪ [x2 , ∞) = R \ (x1 , x2 ).

x2 + px + q > 0 ist L = (−∞, x1 ) ∪ (x2 , ∞) = R \ [x1 , x2 ]. Diese Fallunterscheidung ist nur anwendbar, wenn die Ungleichung in Normalform vorliegt. Ist dies nicht der Fall, muss diese zun¨achst erzeugt werden. 4

Beispiel
Die Ungleichung −3x2 + 3x + 18 < 0 liegt nicht in Normalform

vor, die jedoch durch Division beider Seiten mit (−3) erzeugt wird:  −3x2 + 3x + 18 < 0  : (−3)Umkehrung des Ordnungszeichens ⇐⇒ x2 − x − 6> 0. quadratische Gleichung x2 − x − 6 = 0 hat die 201
Diskriminante D = Die −1 2 + 6 = 25 osungen gibt: 2 4 > 0, so dass es zwei L¨ ' ' 25 25 −1 −1 x1 = − − = −2, x2 = − + = 3. 2 4 2 4 Daher ist die L¨ osungsmenge der Ungleichung x2 − x − 6 > 0 gegeben durch L = (−∞, −2) ∪ (3, ∞) = R \ [−2, 3].

B

294

8. Ungleichungen

Alternativ kann die Pr¨ ufstelle x = 0∗ aus dem Pr¨ ufbereich I = (−2, 3) zur Bestimmung der L¨ osungsmenge verwendet werden. Einsetzen ergibt 02 − 0 − 2 ur alle x ∈ (−2, 3) bzw. x2 − x − 6 > 0 gilt 6 = −6, d.h. x − x − 6 < 0 gilt f¨  f¨ ur alle x ∈ (∞, −2) ∪ (3, ∞). Alternativ k¨ onnen die obigen L¨ osungsmengen auch mit Hilfe einer Faktorisierung des quadratischen Polynoms und anschließender Fallunterscheidung bestimmt werden. In 207
Kapitel 6.2 wurde folgende Darstellung einer quadratischen Funktion hergeleitet: osungen x1 und x2 , so gilt Hat x2 + px + q = 0 zwei L¨ x2 + px + q = (x − x1 )(x − x2 ). Damit folgt x2 + px + q ≥ 0 ⇐⇒ (x − x1 )(x − x2 ) ≥ 0. Letzteres ist genau dann der Fall, wenn beide Faktoren das gleiche Vorzeichen haben, d.h.   x − x1 ≥ 0 und x − x2 ≥ 0 oder x − x1 ≤ 0 und x − x2 ≤ 0 . Dies f¨ uhrt zu den bereits vorgestellten L¨ osungsmengen. B

Beispiel
Die Gleichung x2 − 4x − 5 = 0 besitzt die L¨ osungen x1 = −1 und

asst sich die linke Seite der Ungleichung x2 − 4x − 5 ≥ 0 als x2 = 5. Daher l¨ (x + 1)(x − 5) faktorisieren, und es gilt a ¨quivalent (x + 1)(x − 5) ≥ 0. Das Produkt (x+1)(x−5) ist genau dann nicht-negativ, wenn beide Faktoren das selbe Vorzeichen haben. Die L¨ osungsmenge ergibt sich aus der Fallunterscheidung: 1

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

x+1 ≥ 0 und x ≥ −1 und x ∈ [−1, ∞) und x ∈ [−1, ∞) ∩ [5, ∞) x ∈ [5, ∞)

x−5 ≥ 0 x ≥ 5 x ∈ [5, ∞)

Daraus resultiert die L¨ osungsmenge L1 = [5, ∞). ∗ Als Pr¨ ufstelle kann jeder Wert im Intervall (−2, 3) verwendet werden (also etwa auch x = −1 oder x = 1).

8.2

Quadratische Ungleichungen

2

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

295

x+1 ≤ 0 und x − 5 ≤ 0 x ≤ −1 und x ≤ 5 x ∈ (−∞, −1] und x ∈ (−∞, 5] x ∈ (−∞, −1] ∩ (−∞, 5] x ∈ (−∞, −1]

osungsmenge. Daher ist L2 = (−∞, −1] die L¨ Die Ungleichung (x + 1)(x − 5) ≥ 0 wird also von allen x erf¨ ullt, die entweder ur alle x aus in L1 oder in L2 liegen, d.h. f¨ L = L1 ∪ L2 = (−∞, −1] ∪ [5, ∞) = R \ (−1, 5).



Beispiel
Die Ungleichung −2x2 +2x+12 ≥ 0 wird zun¨ achst auf Normalform

gebracht:  −2x2 + 2x + 12 ≥ 0  : (−2)

⇐⇒ x2 − x − 6 ≤ 0.

Die quadratische Gleichung x2 −x−6 = 0 besitzt die 293
Lo¨sungen 3 und −2, so dass sich die linke Seite gem¨ aß (x − 3)(x + 2) zerlegen l¨asst. Die linke Seite der Ungleichung ist daher negativ, wenn die Faktoren jeweils verschiedenes Vorzeichen haben: 1

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

x − 3≤0 und x + 2 ≥ 0 x≤3 und x ≥ −2 x ∈ (−∞, 3] und x ∈ [−2, ∞) x ∈ (−∞, 3] ∩ [−2, ∞) x ∈ [−2, 3]

Daher ist L1 = [−2, 3]. 2

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

x − 3≥0 und x + 2 ≤ 0 x≥3 und x ≤ −2 x ∈ [3, ∞) und x ∈ (−∞, −2] x ∈ [3, ∞) ∩ (−∞, −2] x∈∅

Also gilt L2 = ∅. Die L¨ osungsmenge der Ungleichung −2x2 +2x+12 ≥ 0 ist also L = L1 ∪L2 = [−2, 3] ∪ ∅ = [−2, 3].  2. Fall: x2 + px + q = 0 besitzt genau eine L¨ osung x1

In diesem Fall ergibt sich f¨ ur die linke Seite die folgende grafische Darstellung: Die Parabel ber¨ uhrt die Abszisse in genau einem Punkt. Die L¨ osungsmengen h¨ angen daher auch nur von diesem Punkt ab.

.. .. ... ... ... ... ... ... .. . . .. . .. .. .. .. ... .. ... ... . ... . .. ... ... .... .... ...... ......................

6

-

B

296

8. Ungleichungen

L¨ osungsmenge einer quadratischen Ungleichung Sei x1 die einzige L¨ osung der quadratischen Gleichung x2 + px + q = 0. Die L¨ osungsmenge der Ungleichung (i) x2 + px + q ≤ 0 ist L = {x1 },

(iii) x2 + px + q ≥ 0 ist L = R,

(ii) x2 + px + q < 0 ist leer: L = ∅,

(iv) x2 + px + q > 0 ist L = R \ {x1 }.

Diese Fallunterscheidung ist nur anwendbar, wenn die Ungleichung in Normalform vorliegt. Ist dies nicht der Fall, muss diese zun¨achst erzeugt werden. B

Beispiel
Die Normalform der Ungleichung 2x2 −8x+8 ≤ 0 ist x2 −4x+4 ≤ 0. Mittels zweiter 16
binomischer Formel folgt, dass x2 − 4x + 4 = 0 genau eine

L¨ osung besitzt: x2 − 4x + 4 = 0 ⇐⇒ x2 − 2 · 2x + 22 = 0 ⇐⇒ (x − 2)2 = 0 ⇐⇒ x = 2. Damit ist L = {2} L¨ osungsmenge der Ungleichung x2 − 4x + 4 ≤ 0. Alternativ folgt dieses Ergebnis direkt aus der Darstellung (x − 2)2 ≤ 0. Da die linke Seite stets nicht-negativ ist, gibt es nur die L¨osung x = 2.  Wie im obigen Beispiel liefert alternativ eine 207
Zerlegung der linken Seite die L¨ osung. Es gilt n¨ amlich osung x1 , so gilt x2 +px+q = (x−x1 )2 . Hat x2 +px+q = 0 genau eine L¨ Der Ausdruck (x − x1 )2 ist als Quadrat stets nicht-negativ. Die Ungleichung osung, wohingegen x2 + px + q ≥ 0 f¨ ur alle x2 + px + q < 0 hat daher keine L¨ reellen Zahlen x erf¨ ullt ist. Die Ungleichung x2 + px + q ≤ 0 wird nur von x1 gel¨ ost und x2 + px + q > 0 von allen reellen Zahlen außer von x1 . B

Beispiel
Die Ungleichung 3x2 − 6x + 3 > 0 wird durch Division mit 3 auf

Normalform gebracht: 3x2 − 6x + 3 > 0

 :3

⇐⇒ x2 − 2x + 1 > 0.

Mittels quadratischer Erg¨ anzung (oder direkt mit der zweiten binomischen Formel) folgt, dass x2 − 2x + 1 = 0 nur eine L¨osung besitzt: x2 −2x+1 = 0 ⇐⇒ x2 +2·(−1)x+(−1)2 = 0 ⇐⇒ (x−1)2 = 0 ⇐⇒ x = 1. ur alle x ∈ R \ {1} Damit ist die Ungleichung ¨ aquivalent zu (x − 1)2 > 0, was f¨ erf¨ ullt ist. Die L¨ osungsmenge ist somit L = R \ {1}. 

8.3

Bruchungleichungen

297

3. Fall x2 + px + q = 0 besitzt keine L¨ osung

Die grafische Darstellung der Parabel zeigt, dass es keine Schnittpunkte mit der Abszisse gibt. Da die Gleichung in Normalform vorliegt, ist die Parabel nach oben ge¨ offnet, d.h. sie liegt stets oberhalb der Abszisse.

... ... ... ... ... .. .. .. .. . . .. . .. .. ... ... ... ... ... ... . .... . . . ..... ........................

6

-

L¨osungsmenge einer quadratischen Ungleichung Hat die quadratische Gleichung x2 + px + q = 0 keine L¨osung, dann sind die L¨ osungsmengen der Ungleichungen x2 + px + q ≤ 0 und x2 + px + q < 0 leer, d.h. L = ∅. x2 + px + q ≥ 0 und x2 + px + q > 0 gegeben durch L = R. Diese Fallunterscheidung ist nur anwendbar, wenn die Ungleichung in Normalform vorliegt. Ist dies nicht der Fall, muss diese zun¨achst erzeugt werden. ugt Allgemein gilt: Hat die Gleichung ax2 + bx + c = 0 keine L¨osung, so gen¨ es, die zugeh¨ orige Ungleichung an einer Stelle (etwa f¨ ur x = 0) zu pr¨ ufen, um die L¨ osungsmenge der betrachteten Ungleichung zu ermitteln. Beispiel
F¨ ur die Ungleichung −x2 + x − 6 < 0 gilt:

 −x2 + x − 6 < 0  : (−1)




B

⇐⇒ x2 − x + 6 > 0.

 2 Da die Diskriminante D = −1 − 6 = −23 2 4 negativ ist, hat die quadratische osung. Dies bedeutet, dass die durch f (x) = Gleichung x2 − x + 6 = 0 keine L¨ x2 −x+6 festgelegte Parabel die x-Achse nicht schneidet. Wegen f (0) = 6 > 0  gilt daher L = R.

8.3 Bruchungleichungen Ungleichung, bei denen die Unbekannte im Nenner eines Bruchs steht, wie etwa x−1 ≥ 1, x+3 erfordern spezielle L¨ osungsverfahren. Zun¨ achst muss – wie bei 208
Bruchgleichungen – der Definitionsbereich der Ungleichung bestimmt werden. Dies ist im obigen Beispiel die Menge R \ {−3}, da der Nenner f¨ ur x = −3 Null wird. Zur L¨ osung der zugeh¨ origen Gleichung k¨ onnten beide Seiten der Gleichung

8.3

298




8. Ungleichungen

mit dem Nenner x + 3 multipliziert werden. Diese, sich intuitiv anbietende, Operation ist bei Ungleichungen nicht ohne Weiteres erlaubt. W¨ahrend bei festen Zahlen das Vorzeichen feststeht, ist bei Termen das Vorzeichen i.Allg. vom Wert der Unbekannten abh¨ angig. Der Term x + 3 hat f¨ ur x > −3 positives und f¨ ur x < −3 negatives Vorzeichen. Bei Multiplikation mit einem Term muss daher zun¨ achst gepr¨ uft werden, welches Vorzeichen dieser besitzt und die Betrachtung dann gegebenenfalls f¨ ur mehrere Bereiche separat durchgef¨ uhrt werden. Zur Illustration dieses Problems werden die ¨ aquivalente Ungleichung x−1 x+3 − 1 ≥ 0 − 1 definierte Funktiund die durch f (x) = x−1 x+3 on betrachtet. An dieser Stelle sei darauf hingewiesen, dass die Funktion f an der Stelle x = −3 eine Definitionsl¨ ucke hat.

... ... ... ... .. ... ... .... . .. .. .. .. . . . .... ......... ...........................................

6

-

......................... ......................................... ......... ....

−3...... .. .. ... .... .. ... ... .... .. ... ..

Die Grafik zeigt, dass (−∞, −3) L¨ osungsmenge der Ungleichung ist. W¨ urden beide Seiten der Ungleichung ohne Beachtung des Vorzeichens von x + 3 mit diesem Term multipliziert, resultierte folgende Rechnung x−1 ≥1 x+3 x−1 ≥ x+3 ⇐⇒

  · (x + 3)  −x




−1 ≥ 3.

Diese Aussage ist offensichtlich falsch, d.h. die Ungleichung bes¨aße nach dieser Rechnung keine L¨ osung. Dies steht jedoch im Widerspruch zur grafischen L¨ osung des Problems. Im Folgenden werden zwei M¨ oglichkeiten zur L¨osung einer Bruchungleichung vorgestellt. Dazu werden zun¨ achst alle vorkommenden Br¨ uche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht und dann entweder alle Terme auf der linken Seite der Ungleichung gesammelt, zu einem Bruch zusammengefasst und anschließend eine Fallunterscheidung durchgef¨ uhrt: 1 Der Bruch ist negativ, wenn Z¨ ahler und Nenner jeweils verschiedenes Vorzeichen besitzen. 2

oder

Der Bruch ist positiv, wenn Z¨ ahler und Nenner das selbe Vorzeichen haben.

8.3

Bruchungleichungen

299

das Vorzeichen des Nenners in Abh¨ angigkeit von der Unbekannten diskutiert und Bereiche festgelegt, in denen der Nenner positives bzw. negatives Vorzeichen hat. Anschließend werden beide Seiten mit dem Ausdruck im Nenner (unter Ber¨ ucksichtigung von dessen Vorzeichen) multipliziert. Beide Strategien werden jeweils an einem Beispiel erl¨autert. Beispiel
Die Ungleichung

≥ 1 wird mittels des ersten Ansatzes gel¨ost. Definitionsbereich ist D = R \ {−3}.

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

x−1 x+3

x−1 ≥1 x+3 x−1 −1≥0 x+3 x−1 x+3 − ≥0 x+3 x+3 x−1−x−3 ≥0 x+3 −4 ≥ 0. x+3

 −1

Soll der Bruch auf der linken Seite nicht-negativ sein, m¨ ussen Z¨ahler und Nenner jeweils das selbe Vorzeichen besitzen. Das f¨ uhrt zur Fallunterscheidung: 1




−4 ≥ 0 und x + 3 > 0 Da −4 negativ ist, ist dieser Bereich leer, d.h. L1 = ∅.

2

−4 ≤ 0 und x + 3 < 0 Da die erste Ungleichung stets erf¨ ullt ist, muss lediglich bestimmt werden, wann die zweite Ungleichung gilt. Dies ist f¨ ur x < −3 der Fall, d.h. L2 = (−∞, −3).

Die L¨ osungsmenge der urspr¨ unglichen Ungleichung ist die Vereinigung der beiden L¨ osungsmengen, d.h. L = L1 ∪ L2 = ∅ ∪ (−∞, −3) = (−∞, −3). 

B

300

B

8. Ungleichungen

Beispiel
Die Ungleichung

≤ 1 wird mit dem zweiten Ansatz gel¨ost (Definitionsbereich ist R \ {−1, 2}). Hierzu werden beide Br¨ uche zun¨achst durch Erweitern auf den gemeinsamen Nenner (x − 2)(x + 1) gebracht: 2 x x−2 + x+1

x(x − 2) 2(x + 1) + ≤ 1. (x − 2)(x + 1) (x − 2)(x + 1) Als n¨ achstes wird das Vorzeichen des Nenners diskutiert: 1

(x − 2)(x + 1) > 0 Dies ist genau dann der Fall, wenn beide Faktoren das selbe Vorzeichen haben, d.h. wenn beide positiv sind ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

x − 2>0 und x + 1 > 0 x>2 und x > −1 x ∈ (2, ∞) und x ∈ (−1, ∞) x ∈ (2, ∞) ∩ (−1, ∞) x ∈ (2, ∞)

oder beide negativ sind ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

x − 2<0 und x + 1 < 0 x<2 und x < −1 x ∈ (−∞, 2) und x ∈ (−∞, −1) x ∈ (−∞, 2) ∩ (−∞, −1) x ∈ (−∞, −1)

Insgesamt gilt dies f¨ ur x ∈ (−∞, −1) ∪ (2, ∞). 2

(x − 2)(x + 1) < 0 Dies ist genau dann der Fall, wenn die Faktoren verschiedene Vorzeichen haben. Dieser Bereich kann wie oben untersucht werden. Aus obiger Rechnung folgt jedoch bereits, dass (x − 2)(x + 1) im Intervall (−1, 2) negativ sein muss.∗ Daher ist also x ∈ (−1, 2).

Somit kann die Ungleichung wie folgt mit dem Nenner multipliziert werden: 1

x ∈ (−∞, −1) ∪ (2, ∞) In diesem Fall ist (x − 2)(x + 1) > 0 und das Ordnungszeichen ¨andert sich bei der Multiplikation nicht: 2 x + ≤1 x−2 x+1

∗ Das

Vorzeichen kann nur positiv oder negativ sein.

  · (x − 2)(x + 1)

8.3

Bruchungleichungen

301

⇐⇒

2(x + 1) + x(x − 2) ≤ (x − 2)(x + 1)

⇐⇒

2x + 2 + x2 − 2x ≤ x2 − x − 2

⇐⇒

2 ≤ −x − 2

⇐⇒

x ≤ −4.

  − x2  +x−2

Das Intervall (−∞, −4] liegt ganz in der in diesem Fall betrachteten Menge (−∞, −1) ∪ (2, ∞), so dass L1 = (−∞, −4] resultiert. 2

x ∈ (−1, 2) Wegen (x − 2)(x + 1) < 0 kehrt sich das Ordnungszeichen bei der Multiplikation um:

⇐⇒

2 x + ≤1 x−2 x+1 2(x + 1) + x(x − 2) ≥ (x − 2)(x + 1)

⇐⇒

2x + 2 + x2 − 2x ≥ x2 − x − 2

⇐⇒

2 ≥ −x − 2

⇐⇒

x ≥ −4.

  · (x − 2)(x + 1)   − x2  +x−2

Ein Vergleich des Intervalls [−4, ∞) mit dem betrachteten Intervall (−1, 2) ergibt die L¨ osungsmenge L2 = [−4, ∞) ∩ (−1, 2) = (−1, 2). Die L¨ osungsmenge der urspr¨ unglichen Ungleichung ist die Vereinigung der obigen L¨ osungsmengen, d.h L = L1 ∪ L2 = (−∞, −4] ∪ (−1, 2).

. .. ... ... .... .. ... ... .. . . ... ... ... .... . . . . ...... ........ ................. .............................................................

... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .

6

−1

... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .

... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..... ...... ...... ....... ......... ............. ...............

-

2 ......................... ...... ..... .... ..... ... ... .. ... . ... .. . ... .. . ... .... ... ... ... ... ... .. ... ... ... .. .... ... ... ... .. .



302

8.4

8. Ungleichungen

8.4 Betragsungleichungen Wird in einer 224
Betragsgleichung das Gleichheitszeichen durch ≤“, <“, ” ” ≥“, bzw. >“ ersetzt, entsteht eine Betragsungleichung. ” ” Betragsungleichungen k¨ onnen entsprechend den bereits behandelten Ungleichungen visualisiert werden. F¨ ur |x−1|−3 ≤ 0 erfolgt dies mittels des Grafen der durch f (x) = |x − 1| − 3 definierten 162
Betragsfunktion. Die L¨ osungsmenge der Ungleichung |x− 1|− 3 ≤ 0 ist das blau markierte Intervall auf der xAchse, in dem der Graf von f unterhalb der x-Achse liegt oder die x-Achse schneidet. Der Bereich, in dem der Graf von f oberhalb der x-Achse liegt, ist die L¨ osungsmenge der Ungleichung |x − 1| − 3 > 0. Allgemein sind L¨ osungsmengen von Betragsungleichungen Vereinigungen von Intervallen.

... . ... ... ... ... .. ... ... ... . . ... . ... ... ... ... ... ... .. ... . . . ... ... ... ... ... ... ... ... .. . . . ... ... ... ... ... ... ... ... .. . . ... . ... ... ... ... ... .... ... .. . .

6

−2

0

-

2

−2

L¨ osungsverfahren f¨ ur Betragsungleichungen 1. Bestimmung der L¨ osung der zugeh¨ origen Betragsgleichung. 2. Diese L¨ osungen f¨ uhren zu einer Einteilung der reellen Zahlen in offene Intervalle.∗ In jedem Intervall wird mit einer 292
Pru ¨ fstelle die Ausgangsungleichung gepr¨ uft. Gen¨ ugt diese Pr¨ ufstelle der Ungleichung, geh¨ort das jeweils betrachtete Intervall zur L¨ osungsmenge. 3. Die L¨ osungsmenge der Betragsungleichung ist die Vereinigung der in Punkt 2 ermittelten Mengen sowie ggf. der in Punkt 1 berechneten L¨osungen der Gleichung. Diese m¨ ussen gesondert u uft werden. ¨berpr¨




B

Grunds¨ atzlich gilt: Ist Gleichheit in der Ungleichung zugelassen, so geh¨oren die L¨ osungen der Gleichung zur L¨ osungsmenge. Ansonsten geh¨oren sie nicht zur L¨ osungsmenge. Beispiel
Die Ungleichung |x − 1| ≤ 3 f¨ uhrt zur Betragsgleichung |x − 1| = 3.

Wegen  |x − 1| =

x − 1,

falls x − 1 ≥ 0

−(x − 1), falls x − 1 < 0

=

 x − 1, falls x ≥ 1 1 − x,

falls x < 1

∗ Die offenen Intervalle werden gew¨ ahlt, da an den Intervallgrenzen die Ungleichung mit Gleichheit erf¨ ullt ist. Ob die R¨ ander zur L¨ osungsmenge geh¨ oren, h¨ angt davon ab, ob die Ungleichung strikt erf¨ ullt sein muss.

8.4

Betragsungleichungen

303

wird die Gleichung in zwei Schritten gel¨ ost: 1

x ∈ (−∞, 1):

2

x ∈ [1, ∞):

|x − 1| = 3 ⇐⇒ 1 − x = 3 ⇐⇒ x = −2. |x − 1| = 3 ⇐⇒ x − 1 = 3 ⇐⇒ x = 4.

¨ Aus diesen Uberlegungen ergibt sich eine Einteilung in die Intervalle (−∞, −2), (−2, 4) und (4, ∞), und es gilt: Intervall (−∞, −2) (−2, 4) (4, ∞) Pr¨ ufstelle x = −3 x=0 x=5 Ungleichung nach Einsetzen 4≤3 1≤3 4≤3 Ungleichung erf¨ ullt nein ja nein Die L¨ osungen der Gleichung x = −2 und x = −4 erf¨ ullen ebenfalls die Ungleichung, da diese Gleichheit liefern. Somit ist die Ausgangsungleichung f¨ ur x ∈ [−2, 4] erf¨ ullt, d.h. L = [−2, 4].  Beispiel
Zur L¨ osung der Ungleichung |x − 1| + |x + 2| − |x − 3| ≤ 0 werden

zun¨ achst die Nullstellen der Ausdr¨ ucke in den einzelnen Betr¨agen ben¨otigt, die offensichtlich 1, −2, 3 sind. Daraus resultieren folgende, zur L¨osung der zugeh¨ origen Gleichung gesondert zu betrachtende Bereiche:∗ (−∞, −2),

[−2, 1),

[1, 3),

[3, ∞).

Die Vorzeichen sind in folgender Tabelle enthalten. Intervall (−∞, −2) [−2, 1) [1, 3) Pr¨ ufstelle x = −3 x=0 x=2 x−1 − − + Vorzeichen von x+2 − + + x−3 − − − |x − 1| 1−x 1−x x−1 Aufl¨ osen |x + 2| −x − 2 x+2 x+2 des Betrags |x − 3| 3−x 3−x 3−x

[3, ∞) x=4 + + + x−1 x+2 x−3

Die Gleichung wird mittels einer Fallunterscheidung gel¨ost. Die resultierenden Terme nach Aufl¨ osung der Betr¨ age k¨ onnen jeweils der obigen Tabelle entnommen werden. ∗ Alternativ kann z.B. auch die Einteilung (−∞, −2], (−2, 1], (1, 3], (3, ∞) benutzt werden. Wesentlich ist nur, dass die Stellen, an denen einer der Betr¨ age sein Vorzeichen wechselt, einem Intervall zugeordnet werden. Die Intervalle m¨ ussen eine 54
Zerlegung der reellen Zahlen bilden.

B

304

1

8. Ungleichungen

|x − 1| + |x + 2| − |x − 3| = 0

x ∈ (−∞, −2): ⇐⇒

(1 − x) + (−x − 2) − (3 − x) = 0

⇐⇒

−x + 1 − x − 2 + x − 3 = 0

⇐⇒

−x − 4 = 0

⇐⇒

x = −4

Wegen −4 ∈ (−∞, −2) ist −4 eine L¨ osung der Gleichung. 2

|x − 1| + |x + 2| − |x − 3| = 0

x ∈ [−2, 1): ⇐⇒

(1 − x) + (x + 2) − (3 − x) = 0

⇐⇒

−x + 1 + x + 2 + x − 3 = 0

⇐⇒

x=0

Wegen 0 ∈ [−2, 1) ist 0 eine L¨ osung der Gleichung. 3

|x − 1| + |x + 2| − |x − 3| = 0

x ∈ [1, 3): ⇐⇒

(x − 1) + (x + 2) − (3 − x) = 0

⇐⇒

x−1+x+2+x−3=0

⇐⇒

3x − 2 = 0

⇐⇒ Wegen 4

2 3

∈ [1, 3) ist

x= 2 3

2 3

keine L¨ osung der Gleichung. |x − 1| + |x + 2| − |x − 3| = 0

x ∈ [3, ∞): ⇐⇒

(x − 1) + (x + 2) − (x − 3) = 0

⇐⇒

x−1+x+2−x+3 = 0

⇐⇒

x+4=0

⇐⇒

x = −4

Wegen −4 ∈ [3, ∞) ist −4 keine L¨ osung der Gleichung. ¨ Aus diesen Uberlegungen folgt, dass die Gleichung die L¨osungen −4 und 0 besitzt. Die linke Seite der Ungleichung kann daher lediglich an diesen Stellen ihr Vorzeichen ¨andern. Daher m¨ ussen lediglich die Bereiche (−∞, −4), (−4, 0) und (0, ∞) untersucht werden. Dies ergibt: Intervall (−∞, −4) (−4, 0) (0, ∞) Pr¨ ufstelle x = −5 x = −1 x = 1 Ungleichung nach Einsetzen 1≤0 −1 ≤ 0 1 ≤ 0 Ungleichung erf¨ ullt nein ja nein

8.5

Aufgaben

305

Die L¨ osungsmenge der Ungleichung ist somit das Intervall L = [−4, 0]. Dies wird auch an der grafischen Darstellung deutlich. ....... ....... ....... ....... ....... . . . . .. ... ... ... ... . . .. ... ... .. ... . . .. ... ... ... ... . . .. ... ... ... ... . . .. ... ... ... ... . . ... ....... .... ....... ....... ....... ....... ........ ........ . . . . ....... . . ... ........ ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ........ ....... . . . ....... . . . ... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ........ .............. .......

6

6

4

2

-

−4

−2

0



2

8.5

8.5 Aufgaben Aufgabe 8.1 L¨ osen Sie die linearen Ungleichungen, und geben Sie die L¨osungs-

menge an. (a) x − 2 > 2x − 1

 (e) 2(x − 1) < 6 x +

(b) 4x + 3 ≤ 2(x − 6)

(f) 3x − 1 ≤ 2(x − 3) − (2 − x)

(c)

x−1 2

≥

1−x 3

(d) 4(x − 1) − 3(x + 2) < 8

(g) 9x ≥

306
L

5 3

3(6x−1) 2

(h) −7x ≥

3(x−1) 2

L¨ osen Sie die quadratischen Ungleichungen, und geben Sie die L¨ osungsmenge an.

Aufgabe 8.2

(a) x2 − x − 2 < 0

(f) −2x2 + 16x − 32 ≥ 0

(b) x2 − 7x + 12 ≥ 0

(g) −x2 − 14x − 49 < 0

(c) 4x2 − 8x + 3 > 0

(h) x2 + 2x + 10 ≤ 0

(d) −x2 − 4x + 5 ≥ 0

(i) −3x2 + 18x − 36 < 0

(e) x2 + 6x + 9 ≥ 0

(j) −x2 + 4x + 21 > 0

307
L

306

307
L

309
L

8. Ungleichungen

L¨ osen Sie die Bruchungleichungen, und geben Sie die L¨osungsmenge an. Bestimmen Sie zun¨ achst die Definitionsmenge der Ungleichung.

Aufgabe 8.3

(a)

x+2 x−3

≤2

(c)

2x−4 2−x

(b)

x x−1

>3

(d)

2 x−1

≥0

≤

1 x+1

(e)

x x+3

−

1 x−2

≥1

(f)

x x−1

+

2 x+1

≤

−4 x2 −1

Aufgabe 8.4 L¨ osen Sie die Betragsungleichungen, und geben Sie die L¨osungs-

menge an. (a) |x + 2| ≤ 2x − 1

(d) |3x − 1| + |x + 2| ≤ 3

(b) |x − 3| > 1

(e) |x + 1| − |x − 1| + 2|x + 2| > 0

(c) |x − 4| − |2x + 6| ≥ 0

(f) −|x + 1| + |x − 3| ≥ 1 + |x + 4|

8.6

8.6 L¨ osungen

305
A

L¨ osung 8.1

 (a) x − 2 > 2x − 1  − x + 1 ⇐⇒ −1 > x;
L = (−∞, −1)   (b) 4x + 3 ≤ 2(x − 6) ⇐⇒ 4x + 3 ≤ 2x − 12  − 2x − 3 ⇐⇒ 2x ≤ −15  : 2   ;
L = −∞, − 15 ⇐⇒ x ≤ − 15 2 2   x−1 1−x  ·6 ⇐⇒ 3(x − 1) ≥ 2(1 − x) ⇐⇒ 3x − 3 ≥ 2 − 2x  + 2x + 3 (c) 2 ≥ 3 ⇐⇒ 5x ≥ 5  : 5 ⇐⇒ x ≥ 1;
L = [1, ∞)  (d) 4(x − 1) − 3(x + 2) < 8 ⇐⇒ 4x − 4 − 3x − 6 < 8 ⇐⇒ x − 10 < 8  + 10 ⇐⇒ x < 18;
L = (−∞, 18)   (e) 2(x − 1) < 6 x + 53 ⇐⇒ 2x − 2 < 6x + 10  − 6x + 2 ⇐⇒ −4x < 12  : (−4) ⇐⇒ x > −3;
L = (−3, ∞) (f) 3x − 1 ≤ 2(x − 3) − (2 − x) ⇐⇒ 3x − 1 ≤ 2x − 6 − 2 + x 
⇐⇒ 3x − 1 ≤ 3x − 8  − 3x + 1 ⇐⇒ 0 ≤ −7;
L = ∅    · 2 ⇐⇒ 18x ≥ 18x − 3  − 18x ⇐⇒ 0 ≥ −3;
L = R (g) 9x ≥ 3(6x−1) 2     · 2 ⇐⇒ −14x ≥ 3x − 3  − 3x ⇐⇒ −17x ≥ −3  : (−17) (h) −7x ≥ 3(x−1) 2   3 3 ;
L = −∞, 17 ⇐⇒ x ≤ 17

8.6

L¨ osungen

307

L¨ osung 8.2 D bezeichne jeweils die 201
Diskriminante der quadratischen Gleichung. x1 und x2 seien die zugeh¨ origen L¨ osungen. Die Anwendung einer binomi1 2 schen Formel wird jeweils mit ⇐⇒ , ⇐⇒ markiert. (a) zugeh¨ orige Gleichung: x2 − x − 2 = 0; D = −1 =⇒ L = (−1, 2)

9 4

305
A

> 0, d.h. x1 = 2 und x2 =

(b) zugeh¨ orige Gleichung: x2 − 7x + 12 = 0; D = 14 > 0, d.h. x1 = 4 und x2 = 3 =⇒ L = (−∞, 3] ∪ [4, ∞) = R \ (3, 4)  (c) 4x2 − 8x + 3 > 0  : 4 ⇐⇒ x2 − 2x + 34 > 0 zugeh¨ orige Gleichung: x2 − 2x + 34 = 0; D = 14 > 0, d.h. x1 = 32 und x2 = 12     =⇒ L = −∞, 12 ∪ 32 , ∞ = R \ 12 , 32  (d) −x2 − 4x + 5 ≥ 0  : (−1) ⇐⇒ x2 + 4x − 5 ≤ 0 zugeh¨ orige Gleichung: x2 + 4x − 5 = 0; D = 9 > 0, d.h. x1 = 1 und x2 = −5 =⇒ L = [−5, 1] 1

(e) x2 + 6x + 9 ≥ 0 ⇐⇒ (x + 3)2 ≥ 0;
L = R  (f) −2x2 + 16x − 32 ≥ 0  : (−2)
L = {4}

⇐⇒

2

x2 − 8x + 16 ≤ 0 ⇐⇒ (x − 4)2 ≤ 0;

 1 (g) −x2 − 14x − 49 < 0  · (−1) ⇐⇒ x2 + 14x + 49 > 0 ⇐⇒ (x + 7)2 > 0;
L = (−∞, −7) ∪ (−7, ∞) = R \ {−7} (h) zugeh¨ orige Gleichung: x2 +2x+10 = 0; D = −9 < 0, d.h. es gibt keine L¨ osung


der Gleichung. Pr¨ ufstelle x = 0: 10 ≤ 0;
L = ∅  (i) −3x2 + 18x − 36 < 0  : (−3) ⇐⇒ x2 − 6x + 12 > 0; zugeh¨ orige Gleichung: x2 −6x+12 = 0; D = −3 < 0, d.h. es gibt keine L¨ osung der Gleichung. Pr¨ ufstelle x = 0: 12 > 0;
L = R  (j) −x2 + 4x + 21 > 0  · (−1) ⇐⇒ x2 − 4x − 21 < 0; zugeh¨ orige Gleichung: x2 − 4x − 21 = 0; D = 25 > 0, d.h. x1 = 7 und x2 = −3 =⇒ L = (−3, 7) 306
A

L¨ osung 8.3 (a) D = R \ {3}:

x+2 x−3

≤ 2 ⇐⇒

x+2 x−3

−

2(x−3) x−3

≤ 0 ⇐⇒

−x+8 x−3

1 −x + 8 ≥ 0 und x − 3 < 0 ⇐⇒ x ≤ 8 und x < 3

⇐⇒ x ∈ (−∞, 8] ∩ (−∞, 3) =⇒ L1 = (−∞, 3) 2 −x + 8 ≤ 0 und x − 3 > 0 ⇐⇒ x ≥ 8 und x > 3

⇐⇒ x ∈ [8, ∞) ∩ (3, ∞) =⇒ L2 = [8, ∞) =⇒ L = L1 ∪ L2 = (−∞, 3) ∪ [8, ∞) = R \ [3, 8)

≤0

308

8. Ungleichungen

(b) D = R \ {1}:

x x−1

> 3 ⇐⇒

x x−1

−

3(x−1) x−1

1 −2x + 3 > 0 und x − 1 > 0 ⇐⇒ x <

 ⇐⇒ x ∈ −∞,

3 2

−2x+3 x−1

> 0 ⇐⇒

>0

3 2

und x > 1  ∩ (1, ∞) =⇒ L1 = 1, 32

2 −2x + 3 < 0 und x − 1 < 0 ⇐⇒ x >

3 2

und x < 1 , ∞ ∩ (−∞, 1) =⇒ L = ∅ 2 2  3  3 =⇒ L = L1 ∪ L2 = 1, 2 ∪ ∅ = 1, 2 ⇐⇒ x ∈

3

(c) D = R \ {2}: 1 2x − 4 ≥ 0 und 2 − x > 0 ⇐⇒ x ≥ 2 und x < 2

⇐⇒ x ∈ [2, ∞) ∩ (−∞, 2) =⇒ L1 = ∅ 2 2x − 4 ≤ 0 und 2 − x < 0 ⇐⇒ x ≤ 2 und x > 2

⇐⇒ x ∈ (∞, 2] ∩ (2, ∞) =⇒ L2 = ∅ =⇒ L = L1 ∪ L2 = ∅ ∪ ∅ = ∅ = 2(x−2) = −2, d.h. die linke Seite der UngleiAlternativ gilt f¨ ur x = 2: 2x−4 2−x 2−x chung ist f¨ ur x = 2 stets gleich −2. Die Ungleichung ist daher unerf¨ ullbar. (d) D = R \ {−1, 1}: 2 1 ≤ x+1 ⇐⇒ x−1

2(x+1) (x−1)(x+1)

−

x−1 (x+1)(x−1)

≤ 0 ⇐⇒

x+3 x2 −1

≤0

1 x + 3 ≤ 0 und x − 1 > 0 ⇐⇒ x ≤ −3 und x > 1 2

2

⇐⇒ x ∈ (−∞, −3] ∩ ((−∞, −1) ∪ (1, ∞)) =⇒ L1 = (−∞, −3] 2 x + 3 ≥ 0 und x2 − 1 < 0 ⇐⇒ x ≥ −3 und x2 < 1

⇐⇒ x ∈ [−3, ∞) ∩ (−1, 1) =⇒ L2 = (−1, 1) =⇒ L = L1 ∪ L2 = (−∞, −3] ∪ (−1, 1) (e) D = R \ {−3, 2}: x 1 − x−2 ≥ 1 ⇐⇒ x+3

x(x−2)−(x+3)−(x+3)(x−2) (x+3)(x−2)

≥ 0 ⇐⇒

1 −4x + 3 ≥ 0 und (x + 3)(x − 2) > 0 ⇐⇒ x ≤

3 4

2 −4x + 3 ≤ 0 und (x + 3)(x − 2) < 0 ⇐⇒ x ≥

3 4

−4x+3 (x+3)(x−2)

≥0

und x + x − 6 > 0   ⇐⇒ x ∈ −∞, 34 ∩ ((−∞, −3) ∪ (2, ∞)) =⇒ L1 = (−∞, −3) ⇐⇒ x ∈

3

3

4

4

, ∞ ∩ (−3, 2) =⇒ L2 =  =⇒ L = L1 ∪ L2 = (−∞, −3) ∪ 34 , 2 (f) D = R \ {−1, 1}: x 2 + x+1 ≤ x−4 ⇐⇒ 2 −1 x−1

x(x+1)+2(x−1)+4 x2 −1 2

2

und x2 + x − 6 < 0

,2

≤ 0 ⇐⇒

x2 +3x+2 x2 −1

≤0

Die quadratische Gleichung x + 3x + 2 = 0 hat die Diskriminante D = 14 > 0, d.h. x1 = −2 und x2 = −1 sind die L¨ osungen der Gleichung. Daraus folgt: 1 x2 + 3x + 2 ≤ 0 und x2 − 1 > 0 ⇐⇒ x2 + 3x + 2 ≤ 0 und x2 > 1

⇐⇒ x ∈ [−2, −1] ∩ ((−∞, −1) ∪ (1, ∞)) =⇒ L1 = [−2, −1) 2 x2 + 3x + 2 ≥ 0 und x2 − 1 < 0 ⇐⇒ x2 + 3x + 2 ≥ 0 und x2 < 1

⇐⇒ x ∈ ((−∞, −2] ∪ [−1, ∞)) ∩ (−1, 1) =⇒ L2 = (−1, 1) =⇒ L = L1 ∪ L2 = [−2, −1) ∪ (−1, 1) = [−2, 1) \ {−1}

8.6

L¨ osungen

309

306
A

L¨ osung 8.4 (a)

1 x ∈ (−∞, −2]: −x − 2 = 2x − 1 ⇐⇒ −3x = 1 ⇐⇒ x = − 13 ;

− 13 ∈ (−∞, −2] ist keine L¨ osung

2 x ∈ (2, ∞): x + 2 = 2x − 1 ⇐⇒ 3 = x;

3 ∈ (2, ∞) ist eine L¨ osung Intervall Pr¨ ufstelle Ungleichung nach Einsetzen Ungleichung erf¨ ullt

(−∞, 3) x=0 2 ≤ −1 nein

(3, ∞) x=4 6≤7 ja


L = [3, ∞) (b)

1 x ∈ (−∞, 3]: −x + 3 = 1 ⇐⇒ 2 = x;

2 ∈ (−∞, 3] ist eine L¨ osung 2 x ∈ (3, ∞): x − 3 = 1 ⇐⇒ x = 4;

4 ∈ (3, ∞) ist eine L¨ osung Intervall Pr¨ ufstelle Ungleichung nach Einsetzen Ungleichung erf¨ ullt

(−∞, 2) x=0 3>1 ja

(2, 4) x=3 0>1 nein

(4, ∞) x=5 2>1 ja


L = (−∞, 2) ∪ (4, ∞) = R \ [2, 4] (c)

1 x ∈ (−∞, −3]: −x + 4 + 2x + 6 = 0 ⇐⇒ x = −10;

−10 ∈ (−∞, −3] ist eine L¨ osung 2 x ∈ (−3, 4]: −x + 4 − 2x − 6 = 0 ⇐⇒ −3x = 2 ⇐⇒ x = − 32 ;

− 23 ∈ (−3, 4] ist eine L¨ osung

3 x ∈ (4, ∞): x − 4 − 2x − 6 = 0 ⇐⇒ x = −10;

−10 ∈ (4, ∞) ist keine L¨ osung Intervall Pr¨ ufstelle Ungleichung nach Einsetzen Ungleichung erf¨ ullt

(−∞, −10) x = −11 −1 ≥ 0 nein



−10, − 32 x = −1 1≥0 ja



− 23 , ∞ x=0 −2 ≥ 0 nein

 
L = −10, − 23 (d)

1 x ∈ (−∞, −2]: −3x + 1 − x − 2 = 3 ⇐⇒ −4x = 4 ⇐⇒ x = −1;

−1 ∈ (−∞, −2] ist keine L¨ osung   1 2 x ∈ −2, 3 : −3x + 1 + x + 2 = 3 ⇐⇒ −2x = 0 ⇐⇒ x = 0;   0 ∈ −2, 13 ist eine L¨ osung

310

8. Ungleichungen

3 x∈

1 1 2

, ∞ : 3x − 1 + x + 2 = 3 ⇐⇒ 4x = 2 ⇐⇒ x = 12 ;  ∈ 13 , ∞ ist eine L¨ osung  1 1 Intervall (−∞, 0) 0, 2 ,∞ 2 Pr¨ ufstelle x = −1 x = 13 x=1 7 Ungleichung nach Einsetzen 5≤3 ≤3 5≤3 3 Ungleichung erf¨ ullt nein ja nein

3

 
L = 0, 12 (e)

1 x ∈ (−∞, −2]: −x−1+x−1−2x−4 = 0 ⇐⇒ −2x = 6 ⇐⇒ x = −3;

−3 ∈ (−∞, −2] ist eine L¨ osung 2 x ∈ (−2, −1]: −x − 1 + x − 1 + 2x + 4 = 0 ⇐⇒ 2x = −2 ⇐⇒ x = −1;

−1 ∈ (−2, −1] ist eine L¨ osung 3 x ∈ (−1, 1]: x + 1 + x − 1 + 2x + 4 = 0 ⇐⇒ 4x = −4 ⇐⇒ x = −1;

−1 ∈ (−1, 1] ist keine L¨ osung∗

4 x ∈ (1, ∞): x + 1 − x + 1 + 2x + 4 = 0 ⇐⇒ 2x = −6 ⇐⇒ x = −3;

−3 ∈ (1, ∞) ist keine L¨ osung Intervall Pr¨ ufstelle Ungleichung nach Einsetzen Ungleichung erf¨ ullt

(−∞, −3) x = −4 2>0 ja

(−3, −1) x = −2 −2 > 0 nein

(−1, ∞) x=0 4>0 ja


L = (−∞, −3) ∪ (−1, ∞) = R \ [−3, −1] (f)

1 x ∈ (−∞, −4]: x + 1 − x + 3 = 1 − x − 4 ⇐⇒ x = −7;

−7 ∈ (−∞, −4] ist eine L¨ osung 2 x ∈ (−4, −1]: x + 1 − x + 3 = 1 + x + 4 ⇐⇒ x = −1;

−1 ∈ (−4, −1] ist eine L¨ osung 3 x ∈ (−1, 3]: −x − 1 − x + 3 = 1 + x + 4 ⇐⇒ −3x = 3 ⇐⇒ x = −1;

−1 ∈ (−1, 3] ist keine L¨ osung 4 x ∈ (3, ∞): −x − 1 + x − 3 = 1 + x + 4 ⇐⇒ x = −9;

−9 ∈ (3, ∞) ist keine L¨ osung Intervall Pr¨ ufstelle Ungleichung nach Einsetzen Ungleichung erf¨ ullt

(−∞, −7) x = −8 4≥5 nein

(−7, −1) x = −2 4≥3 ja

(−1, ∞) x=0 2≥5 nein


L = [−7, −1] ∗ Diese Aussage bezieht sich lediglich auf diesen Teil der Untersuchung. Nach Teil −1 eine L¨ osung und muss daher im Folgenden ber¨ ucksichtigt werden.

2

ist

Kapitel 9 Folgen und Reihen

9

9

9

Folgen und Reihen

9.1

Folgen .............................................................. 313

9.2

Reihen.............................................................. 321

9.3

Spezielle Reihen .................................................. 323

9.4

Aufgaben .......................................................... 327

9.5

L¨osungen .......................................................... 328

313

9.1

Folgen

313

9 Folgen und Reihen 9.1

9.1 Folgen In 9
Kapitel 1.2 wurden u.a. die nat¨ urlichen Zahlen eingef¨ uhrt. Diese Menge besitzt unendlich viele Elemente und wird i.Allg. in der aufz¨ahlenden Schreibweise N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .} notiert. Da die Reihenfolge der Elemente in der aufz¨ ahlenden Darstellung einer Menge ohne Bedeutung ist, beschreibt die Menge {3, 2, 1, 4, 5, 6, . . .} ebenfalls die nat¨ urlichen Zahlen. Die Interpretation
Folge ber¨ ucksichtigt jedoch die Reihenfolge der nat¨ urlichen Zahlen als 313 der Aufz¨ ahlung, d.h. in dieser Situation hat jeder Eintrag einen eindeutig definierten Nachfolger: auf 1 folgt 2, auf 2 folgt 3 etc. Zur Abgrenzung der Notation werden die Mengenklammern durch runde Klammern ersetzt (1, 2, 3, 4, . . .). Eine Folge ist somit eine Erweiterung eines 62
n-Tupels in dem Sinne, dass die Folge statt der festen Anzahl n unendlich viele Komponenten hat. Wie bei Tupeln sind zwei Folgen verschieden, wenn sie sich an mindestens einer Stelle unterscheiden. Daher gilt beispielsweise (1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .) = (3, 2, 1, 4, 5, 6, . . .). Definition Folge Seien a1 , a2 , . . . reelle Zahlen, d.h. jeder nat¨ urlichen Zahl n ist eine Zahl an zugeordnet. Dann heißt die nach Indizes geordnete Zusammenstellung der Zahlen



(a1 , a2 , a3 , . . . ) Zahlenfolge oder kurz Folge. Als Notation wird auch (an )n∈N verwendet. Die Zahl an mit dem Index n heißt n-tes Folgenglied (der Folge (an )n∈N ). an+1 heißt Nachfolger von an , n ∈ N.

Allgemein werden auch Folgen von Zahlen an betrachtet, deren Indizes aus eiurliner (45
abza ¨hlbaren) Indexmenge I (etwa einer echten Teilmenge der nat¨ ahlt werden. Die zugeh¨orige Notation ist dann chen Zahlen oder N0 ) gew¨ (an )n∈I . Beispiel


(i) (an )n∈N definiert durch an = 2n, n ∈ N, ist die Folge der geraden nat¨ urlichen Zahlen (2, 4, 6, 8, . . .).

B

314

9. Folgen und Reihen

(ii) Durch die Vorschrift an = (−1)n , n ∈ N, wird die Folge (an )n∈N = (−1, 1, −1, 1, −1, . . .) definiert. (iii) (an )n∈N definiert durch an =

1 n,

n ∈ N, ist die Folge (1, 12 , 13 , 14 , . . .).

(iv) (an )n∈N0 definiert durch an = xn , n ∈ N0 , ist die Folge (1, x, x2 , x3 , . . .),  wobei x0 = 1 verwendet wurde. In der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik treten Folgen z.B. in Form 323
diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf 45
abz¨ ahlbaren Mengen auf. Die Folgenglieder werden als Wahrscheinlichkeiten f¨ ur gewisse Ereignisse interpretiert.


Bezeichnung Geometrische Verteilung Die geometrische Verteilung mit Parameter p ∈ (0, 1) ist definiert als die Folge (an )n∈N0 mit

an = p(1 − p)n ,

n ∈ N0 ,

d.h. (an )n∈N0 = (p, p(1 − p), p(1 − p)2 , p(1 − p)3 , . . .).

Speziell f¨ ur p =


1 2

ergibt sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung

1

1 1 2, 4, 8, . . .

.

Bezeichnung Poisson-Verteilung Die Poisson-Verteilung mit Parameter λ > 0 ist definiert durch λn −λ e , an = n ∈ N0 . n!

Formal kann eine Folge auch mittels einer 154
Abbildung beschrieben werden, die jeder Zahl aus der Indexmenge eine reelle Zahl zuordnet. Exemplarisch sei f : N −→ R eine Abbildung von N nach R. Die Zahlenfolge (an )n∈N wird definiert durch n ∈ N.  Dies bedeutet beispielsweise, dass die Folge 1, 12 , 13 , 14 , . . . auch durch die Funktion f (x) = x1 , x ∈ N, definiert werden kann. f (n) = an ,

Es gibt eine Vielzahl von Eigenschaften, die eine Folge (an )n∈N haben kann. An dieser Stelle werden nur die f¨ ur die weiteren Ausf¨ uhrungen relevanten Aspekte betrachtet.

9.1

Folgen

315



Definition Monotonie und Beschr¨ anktheit von Folgen Sei (an )n∈N eine Folge.

1. Die Folge heißt monoton wachsend, wenn die Folgenglieder monoton wachsend sind, d.h. jeder Nachfolger ist gr¨oßer oder gleich seinem Vorg¨anger: an ≤ an+1 . 2. Die Folge heißt monoton fallend, wenn die Folgenglieder monoton fallend sind, d.h. jeder Nachfolger ist kleiner oder gleich seinem Vorg¨anger: an ≥ an+1 . 3. Haben alle Folgenglieder den gleichen Wert, so heißt die Folge konstant. 4. Die Folge heißt beschr¨ankt, wenn es eine positive Zahl B gibt, so dass alle Folgenglieder im Intervall [−B, B] liegen, d.h.

−B ≤ an ≤ B

f¨ ur alle n.

Beispiel
Folgen

B

(i) Die Folge der geraden Zahlen (2, 4, 6, . . .) ist monoton wachsend, jedoch nicht beschr¨ ankt. F¨ ur jede feste Zahl B > 0 gibt es n¨amlich stets eine gerade Zahl, die gr¨ oßer als B ist. (ii) Die durch an = (−1)n definierte Folge (−1, 1, −1, 1, . . .) ist beschr¨ankt, ur alle n ∈ N. Die Folge ist offensichtlich da f¨ ur B = 1 gilt: −B ≤ an ≤ B f¨ nicht monoton.  (iii) Die durch an = n1 definierte Folge 1, 12 , 13 , 14 , . . . ist monoton fallend, 1 . Sie ist außerdem beschr¨ ankt, da 1 = a1 ≥ an = n1 ≥ 0 ≥ −1 da n1 > n+1 und somit −1 ≤ an ≤ 1 gilt. Der Graf einer Folge wird wie der 157
Graf einer Funktion als Punktmenge im Koordinatensystem dargestellt. Da auf der Abszisse nur die Werte aus der Indexmenge relevant sind, besteht der Graf aus einer abz¨ahlbaren Menge von ur obige Beispiele resultieren folgende Grafen. Punkten {(n, an )|n ∈ I}. F¨ 6an = 2n 30 20 10

rr

0 0

r rr 5

rr

r rr

rr

r rr

r rr

rr

6r r r r r r r r r r

20

−1

15

r

20

r r r r r r r r r r

1 n

r

-

10

r 6 an =

n 5

15

1

an = (−1)n

0

n 10

1

rr

0 5

rrrr

r r r rr rr rrr r -

10

15 n 20



316

9. Folgen und Reihen

Folgen k¨ onnen wie Zahlen durch elementare Operationen verkn¨ upft werden.


Definition Verkn¨ upfung von Folgen Seien (an )n∈N und (bn )n∈N Folgen. Die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division sind definiert durch:

1. (an + bn )n∈N = (a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 , . . .), 2. (an − bn )n∈N = (a1 − b1 , a2 − b2 , a3 − b3 , . . .), 3. (an · bn )n∈N = (a1 · b1 , a2 · b2 , a3 · b3 , . . .),



 a1 a2 a3 an = , , , . . . , falls bn = 0 f¨ur alle n ∈ N. 4. bn n∈N b1 b2 b3

Funktionen k¨ onnen ebenfalls zur Definition von Folgen verwendet werden.


Definition Folgen und Funktionen Seien (an )n∈N eine Folge und h eine Funktion derart, dass jedes Folgenglied im Definitionsbereich der Funktion h liegt. Dann wird u r n ∈ N, durch Einsetzen der Folgenglieder in die Funktion, d.h. durch h(an ) f¨ eine neue Folge definiert

(h(an ))n∈N = (h(a1 ), h(a2 ), h(a3 ), . . .). B

Beispiel
Folgen und Funktionen Seien (an )n∈N eine Folge und h eine Funkti-

on derart, dass jedes Folgenglied im Definitionsbereich der Funktion h liegt. 1. h(x) = 2x + 1, x ∈ R: (h(an ))n∈N = (2a1 + 1, 2a2 + 1, 2a3 + 1, . . .). 2. h(x) = x2 , x ∈ R: (h(an ))n∈N = (a21 , a22 , a23 , . . .). 3. h(x) = 2x , x ∈ R: (h(an ))n∈N = (2a1 , 2a2 , 2a3 , . . .). √ √ √ √ ur 4. h(x) = x, x ≥ 0: (h(an ))n∈N = ( a1 , a2 , a3 , . . .), wobei an ≥ 0 f¨ alle n ∈ N. 5. h(x) = ln(x), x > 0: (h(an ))n∈N = (ln(a1 ), ln(a2 ), ln(a3 ), . . .), wobei an >  0 f¨ ur alle n ∈ N. In den einf¨ uhrenden Beispielen zeigte sich, dass Folgen hinsichtlich Monotonie und Beschr¨ anktheit sehr unterschiedliche Verhaltensmuster haben k¨onnen. Eine weitere Eigenschaft von Folgen, die f¨ ur viele Bereiche der Mathematik und Statistik von grundlegender Bedeutung ist, ist die Frage, ob sich die Folgenglieder einem festen Wert n¨ ahern. Dazu werden zun¨achst einige Beispiele betrachtet.

9.1

Folgen

317

Konvergenz von Folgen Beispiel
Die folgenden Beobachtungen k¨ onnen direkt aus der 315
grafischen

B

Darstellung der Folgen abgeleitet werden.

 (i) Die durch an = n1 , n ∈ N, definierte Folge 1, 12 , 13 , 14 , . . . ist beschr¨ankt und monoton fallend. Die Folgenglieder n¨ ahern sich offensichtlich der Null an, wobei das n-te Folgenglied jedoch stets von Null verschieden ist ur große und der Abstand zu Null geringer wird, d.h. es gilt an = n1 ≈ 0 f¨ Indizes n.

urlichen (ii) Die durch an = 2n, n ∈ N, definierte Folge der geraden nat¨ Zahlen (2, 4, 6, 8, . . .) ist monoton wachsend und unbeschr¨ankt. Daher kann es keine reelle Zahl geben, der sich die Folgenglieder n¨ahern. (iii) Die durch die Vorschrift an = (−1)n , n ∈ N, definierte Folge (an )n∈N = (−1, 1, −1, 1, −1, . . .) n¨ ahert sich keinem Wert an. Aufgrund der Konstruktionsvorschrift k¨ amen nur die Werte 1 oder −1 in Frage. Da die Folge jedoch zwischen diesen Werten hin und her springt (sie ist alternierend), stabilisiert sie sich nicht.  Die oben beschriebenen Ph¨ anomene werden nun formalisiert. Definition Konvergenz von Folgen Eine Folge (an )n∈N heißt konvergent gegen eine ur jede Zahl ε > 0 einen Index n0 gibt, so dass alle Nachfolger von Zahl a, wenn es f¨ an0 im Intervall [a − ε, a + ε] liegen, d.h. ist der Index groß genug, so unterscheiden sich die Folgenglieder h¨ochstens um einen beliebig kleinen vorgegebenen Wert ε von a. In diesem Fall werden auch die Schreibweisen n→∞

lim an = a bzw. an −−−−→ a

n→∞

verwendet. a heißt Grenzwert oder Limes der Folge (an )n∈N . Eine konvergente Folge mit Grenzwert 0 heißt Nullfolge. Existiert kein solches a ∈ R, so heißt die Folge divergent oder nicht konvergent. Eine Folge (an )n∈N heißt konvergent gegen ∞, falls es f¨ ur jede positive Zahl B einen Index n0 gibt, so dass alle Nachfolger von an0 gr¨ oßer als B sind, d.h. an > B f¨ ur alle n ≥ n0 . ur jede positive Zahl Eine Folge (an )n∈N heißt konvergent gegen −∞, falls es f¨ B einen Index n0 gibt, so dass alle Nachfolger von an0 kleiner als −B sind, d.h. an < −B f¨ur alle n ≥ n0 . In diesen beiden F¨allen wird auch die Sprechweise bestimmt divergent“ verwendet. ” In Abgrenzung dazu heißt die Konvergenz einer Folge gegen eine reelle Zahl auch endliche Konvergenz.



318




9. Folgen und Reihen

Anschaulich bedeutet die Konvergenz einer Folge, dass sich die Folgenglieder ab einem Wert n0 innerhalb eines Bandes um den Grenzwert a bewegen, wobei die Breite des Bandes beliebig klein werden darf. Dies wird f¨ ur die durch die Vorschrift an = 1 + (−1)n n1 definierte Folge in einer Grafik illustriert. Da (−1)n n1 eine Nullfolge ist, ist der Grenzwert der betrachteten Folge a = 1. 1,5

r

6

...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . ....... ....... ....... ........ ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... . ....... ....... ....... ........ ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... . . . . . . . . . . . . ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

r

1,08 1 0,92

r

0,5

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

1

-

2

3

···

13

Wird ε = 0,5 gew¨ ahlt, so liegen alle Folgenglieder ab n0 = 2 in dem oben eingezeichneten Band mit den Grenzen 0,5 und 1,5 (durchgezogene Linie). F¨ ur ε = 0,08 liegen die Folgenglieder erst ab n0 = 13 in dem blau markierten Bereich [0,92, 1,08]. Wird das Band enger gew¨ahlt, dann w¨achst die Nummer n0 , ab der die Folgenglieder das Band nicht mehr verlassen. Die Indizes n0 sind jeweils durch eine gepunktete Linie illustriert. Die folgende Tabelle enth¨ alt f¨ ur einige Werte von ε das zugeh¨ orige n0 . ε n0

0,5 0,08 0,05 0,01 0,0025 0,001 2 13 20 100 400 1 000

Die Konvergenzbedingung besagt, dass f¨ ur jede noch so kleine Zahl ε > 0 stets ein n0 mit dieser Eigenschaft existieren muss. B

Beispiel
Wichtige Beispiele konvergenter Folgen sind die durch an =

1 np ,

n ∈ N, definierten Folgen mit einem nicht-negativen Exponenten p > 0. In dieser Situation ist (an )n∈N stets eine Nullfolge, d.h. an → 0. Je gr¨oßer p ist, desto schneller n¨ ahern sich die Folgenglieder der Null an. F¨ ur p = 0 resultiert die konstante Folge mit an = 1, n ∈ N. Ist p negativ, so  ist (an )n∈N bestimmt divergent gegen +∞. Ein Beispiel einer nicht konvergenten Folge ist in der nachstehenden Grafik dargestellt. Da zur Pr¨ ufung der Konvergenz nur kleine Werte von ε von Interesse sind, wird deutlich, dass die Folge f¨ ur jeden Wert a dieses Band stets verl¨ asst (wenn ε nur klein genug ist).

9.1

Folgen

319

6 a+ε a

r

r r r

r

r

r

r r

r r

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

r

r

r

r

r

r

r r r a − ε ..................................................................................................................................................................................................................................................................................r.....................................................r.......... r r r r r r r r r

-

1 2 3 ··· Die Definition der Konvergenz einer Folge gegen eine Zahl a ∈ R setzt voraus, dass der Grenzwert a oder zumindest Kandidaten f¨ ur den Grenzwert bekannt sind. Mittels geeigneter Kriterien kann die Grenzwertbestimmung jedoch auf bekannte Situationen zur¨ uckgef¨ uhrt werden. Eigenschaften konvergenter Folgen Seien (an )n∈N und (bn )n∈N endlich konvergente Folgen mit Grenzwert a bzw. b sowie c, d reelle Zahlen. Dann gilt: 1. lim (c · an + d) = c · a + d n→∞

2. lim (an + bn ) = a + b n→∞

3. lim (an − bn ) = a − b n→∞

4. lim (an · bn ) = a · b n→∞

an n→∞ bn

5. lim

= ab , falls b = 0

Zur Definition der Quotienten abnn ist die Voraussetzung bn = 0 notwendig. Da aber aus der Konvergenz von (bn )n∈N gegen b = 0 folgt, dass ab einem ussen, kann f¨ ur die Index n0 alle Folgenglieder bn von Null verschieden sein m¨ Grenzwertbetrachtung dieses Problem vernachl¨ assigt werden. Die Folge der F¨ ur die GrenzwertbeQuotienten ist dann ab dem Index n0 wohldefiniert.   an trachtung wird daher die Quotientenfolge bn herangezogen. n∈N,n≥n0

320

9. Folgen und Reihen

Kriterien f¨ ur Konvergenz einer Folge Sei (an )n∈N eine Folge. Ist (an )n∈N beschr¨ ankt und monoton, so ist die Folge endlich konvergent gegen eine reelle Zahl a. Sind h eine 343
stetige Funktion, (an )n∈N eine endlich konvergente Folge mit Grenzwert a und liegen (an )n∈N und a im Definitionsbereich von h, so ist die Folge (h(an ))n∈N endlich konvergent mit Grenzwert h(a).

B

Beispiel
Konvergenz von Folgen

(i) Die durch an = 1 + n1 und bn = konvergieren gegen 1 bzw. 2, denn bn = 1 n→∞ n

sowie lim

1 2 n→∞ n

= lim

2n2 +1 n2

f¨ ur n ∈ N definierten Folgen

2n2 + 1 1 =2+ 2 n2 n

= 0. Damit resultieren f¨ ur die aus (an )n∈N und

(bn )n∈N gebildeten Folgen die Grenzwerte Folge Grenzwert

(an + bn )n∈N

(an − bn )n∈N

(an · bn )n∈N

3

−1

2



an bn

 1 2

n∈N

Die Folge (bpn )n∈N mit p ∈ R besitzt den Grenzwert 2p , da die Potenzfunktion h(x) = xp , x > 0, eine 343
stetige Funktion ist. (ii) Die durch an =

n2 −n+1 n3 +2

definierte Folge konvergiert gegen 0, denn es gilt

an =

n2 − n + 1 = n3 + 2

1 n

− n12 + 1 + n23

1 n3

.

Aus dieser Darstellung des Bruchs folgt, dass der Z¨ahler gegen 0 und der Nenner gegen 1 konvergieren. Also ist 01 = 0 der Grenzwert von (an )n . (iii) Die durch an = 1 − (−1)n n1 definierte Folge konvergiert gegen a = 1. ur alle n ∈ N gilt, ist jedes Folgenglied an im DefinitionsDa an > 0 f¨ bereich des 92
natu ¨ rlichen Logarithmus. Somit konvergiert die Folge (ln(an ))n∈N gegen ln(1) = 0. (iv) Die durch an = q n mit q ∈ (−1, 1), n ∈ N0 , definierte geometrische Folge konvergiert gegen Null, d.h. lim q n = 0. Diese Eigenschaft resultiert aus n→∞ ¨ den folgenden Uberlegungen. F¨ ur q = 0 ist die Folge konstant gleich Null und die Behauptung offensichtlich.

9.2

Reihen

321

Seien nun q ∈ (−1, 1), q = 0, und ε > 0 beliebig. Dann gilt zun¨achst 0 < |q| < 1 und damit ln(|q|) < 0. Damit folgt f¨ ur n ∈ N: |q n | < ε ⇐⇒ |q|n < ε ⇐⇒ ln(|q|n ) < ln(ε) (∗)

⇐⇒ n ln(|q|) < ln(ε) ⇐⇒ n >

ln(ε) , ln(|q|)

wobei in (∗) ln(|q|) < 0 zu beachten ist. Damit kann also f¨ ur jedes ε > 0 ur alle n ≥ n0 . stets ein n0 ∈ N gefunden werden, so dass |q n | < ε f¨ Im Fall q = 1 ist die Folge konstant mit an = 1 f¨ ur alle n ∈ N0 . F¨ ur q > 1 ur q ≤ −1 ist sie nicht konvergent und konvergiert (an )n∈N0 gegen +∞. F¨  alternierend.

9.2

9.2 Reihen Beispiel
Dezimalzahlen Die Folge der Dezimalzahlen

0,1, 0,11, 0,111, 0,1111, 0,11111, . . . n¨ ahert sich offensichtlich der periodischen Dezimalzahl 0,1 an. Ein Nachweis dieser Beobachtung beruht auf der Darstellung 1 1 1 1 1 , 0,11 = + = 1 + 2, 10 10 100 10 10 1 1 1 1 1 1 + + = 1 + 2 + 3,..., 0,111 = 10 100 1 000 10 10 10 0,1 =

d.h. die Dezimalzahl 0,111 . . . mit n Nachkommastellen kann geschrieben werden als n * 1 1 1 1 + + · · · + = . j 101 102 10n 10 j=1 Sie entsteht durch Summation a1 + · · · + an der Folgenglieder der durch an = 101n definierten Folge. Auf diese Weise konstruierte Folgen werden als Reihen bezeichnet. 

B

322




9. Folgen und Reihen

Definition Reihe, Partialsumme Sei (an )n∈N eine Folge. Dann heißt sn =

n 

ai

i=1

n-te Partialsumme (von (an )n∈N ). Die Folge der Partialsummen . n / * (sn )n∈N = ai = (a1 , a1 + a2 , a1 + a2 + a3 , . . .) i=1

n∈N

heißt Reihe.

Da Reihen letztlich nur spezielle Folgen sind, k¨onnen alle Begriffe, die zur Beschreibung und Analyse von Folgen benutzt werden, u ¨ bertragen werden. F¨ ur den Grenzwert wird folgende Bezeichnung eingef¨ uhrt.


Bezeichnung Grenzwert einer Reihe Seien (an )n∈N eine Folge reeller Zahlen und

sn =

n 

ai , n ∈ N, die n-te Partialsumme. Die Reihe (sn )n∈N sei konvergent

i=1

gegen eine reelle Zahl s, d.h. die Folge (sn )n∈N habe den Grenzwert s. Dann wird der Grenzwert auch bezeichnet mit

s = lim sn = lim n→∞

n→∞

n * i=1

ai =

∞ *

ai .

i=1

Aus den Konvergenzkriterien f¨ ur Folgen k¨ onnen Kriterien f¨ ur Reihen hergeleitet werden, die die spezielle Struktur einer Reihe ausnutzen. Kriterium f¨ ur die Konvergenz einer Reihe Seien (an )n∈N eine Folge nicht-negativer reeller Zahlen und (sn )n∈N die zugeh¨ orige Reihe. Dann ist die Folge (sn )n∈N endlich konvergent gegen eine reelankt ist. Insbesondere ist (sn )n∈N le Zahl s genau dann, wenn (sn )n∈N beschr¨ bestimmt divergent gegen +∞, falls (sn )n∈N unbeschr¨ankt ist. Quotientenkriterium f¨ ur die Konvergenz einer Reihe Seien (an )n∈N eine Folge reeller Zahlen und (sn )n∈N die zugeh¨orige Reihe, ur alle n gelte.∗ wobei an = 0 f¨ Dann ist die Folge (sn )n∈N endlich konvergent gegen eine reelle Zahl s, wenn ur alle es eine reelle Zahl 0 ≤ q < 1 und einen Index n0 gibt, so dass f¨ weiteren Indizes der Quotient aufeinander folgender Folgenglieder stets durch q beschr¨ ankt ist, d.h.    an+1    ur alle n ≥ n0 .  an  ≤ q < 1 f¨ ∗ Andernfalls

k¨ onnen diese Folgenglieder vernachl¨ assigt werden, da sie keinen Einfluss auf die Konvergenz der Partialsummenfolge (sn )n∈N haben.

9.3

Spezielle Reihen

323

Aus der Konvergenz einer Reihe wird das folgende Resultat abgeleitet, das eine Aussage zur Folge der Summanden macht. Das Kriterium ist insbesondere n¨ utzlich, um zu entscheiden, dass eine Reihe nicht konvergiert. Zusammenh¨ ange zwischen Partialsummen- und Summandenfolge n  Seien (an )n∈N eine Folge und sn = ai die n-te Partialsumme. Dann gilt: i=1

Konvergiert die Reihe (sn )n∈N , so ist (an )n∈N eine Nullfolge, d.h. lim an = 0. n→∞

Ist (an )n∈N keine Nullfolge, so konvergiert die Reihe nicht.

Beispiel


Die durch die Partialsumme sn =

n 

ik , n ∈ N, mit k ∈ N

B

i=1

definierte Reihe konvergiert nicht, da die Summanden ai = ik keine Nullfolge  bilden. Bezeichnung Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung Sei (pn )n∈N0 eine Folge nicht-negativer Zahlen. Dann heißt (pn )n∈N0 diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung

auf N0 , falls

∞ 



pn = 1 gilt.∗

n=0

Beispiele f¨ ur diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind die 314
geometrische Verteilung und die 314
Poisson-Verteilung. Durch entsprechende Summationsbedingungen k¨ onnen auch diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen ahlbaren Mengen definiert werden. auf N bzw. anderen 45
abz¨

9.3

9.3 Spezielle Reihen Geometrische Reihe

Die geometrische Reihe (sn )n∈N0 wird mittels der Summanden an = an , n ∈ N0 , definiert, wobei a ∈ (−1, 1) eine gegebene Zahl ist. Die n-te Partialsumme wird als 120
geometrische Summe explizit berechnet: sn =

n * i=0

∗ Diese

ai =

n * i=0

ai =

1 − an+1 1−a

f¨ ur n ∈ N0 .

Voraussetzung impliziert insbesondere 0 ≤ pn ≤ 1 f¨ ur alle n ∈ N0 .

324

9. Folgen und Reihen

 Die zugeh¨ orige Reihe (sn )n∈N0 = F¨ ur a =

1 2

ergibt sich z.B. . n / * 1 i (sn )n∈N0 = 2 i=0

1−an+1 1−a

= n∈N0

 n∈N0

heißt geometrische Reihe.



3 7 15 31 1, , , , , . . . 2 4 8 16

Die Konvergenz der geometrischen Reihe folgt aus dem Quotientenkriterium, da      an+1   an+1   =   an   an  = |a| < 1 gilt. Dies zeigt insbesondere, warum |a| < 1, d.h. a ∈ (−1, 1), gefordert wird. Der Grenzwert der Reihe ist gegeben durch lim sn =

n→∞

∞ *

1 1 − an+1 = , n→∞ 1−a 1−a

ai = lim

i=0

n→∞

da an+1 −−−−→ 0 f¨ ur |a| < 1 (s. 320
Beispiel Konvergenz von Folgen (iv)). ∞  1 1 F¨ ur a = 2 resultiert der Grenzwert 2n = 2. n=0

B

Beispiel
In der Statistik wird die geometrische Reihe bei Auswertungen der 314
geometrischen Verteilung verwendet, wobei dort die Setzung an =

p(1 − p)n , n ∈ N0 , mit p ∈ (0, 1) benutzt wird. In diesem Fall gilt n * i=0

ai =

n *

p(1 − p)i = p

i=0

n *

(1 − p)i = p

i=0

F¨ ur n → ∞ ergibt sich somit

∞  i=0

ai =

∞ 

1 − (1 − p)n+1 = 1 − (1 − p)n+1 . 1 − (1 − p)

p(1 − p)i = lim [1 − (1 − p)n+1 ] =

i=0

n→∞

1, d.h. die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ai ist (wie gefordert) gleich Eins.  B

Beispiel
Die geometrische Reihe wird oft nur auf dem Bereich N definiert,

d.h. die zugeh¨orige Reihe lautet  a, a + a2 , a + a2 + a3 , . . . . In diesem Fall ist der Grenzwert gegeben durch (falls −1 < a < 1) ∞ * n=1

an =

∞ * n=0

an − a0 =

a 1 −1= . 1−a 1−a

9.3

Spezielle Reihen

325

Alternativ kann dieses Ergebnis auch mittels einer 118
Indexverschiebung (∗) erzielt werden: ∞ *

an = lim

n=1

k *

k→∞

(∗)

an = lim

k→∞

n=1

= a · lim

k→∞

k−1 *

an = a ·

n=0

k−1 *

an+1 = lim

k→∞

n=0 ∞ *

an = a ·

n=0

k−1 *

a · an

n=0

1 , 1−a

wobei lim (k − 1) = +∞ benutzt wird. Dies hat zur Folge, dass die Indexk→∞

verschiebung keine Auswirkungen auf die obere Summationsgrenze hat.



Aus diesem Beispiel wird folgende Regel zur Indexverschiebung f¨ ur den Grenzwert einer Reihe abgeleitet. Indexverschiebung bei Reihen

n 

Sei (sn )n∈N eine konvergente Reihe mit Partialsummen sn =

ai , n ∈ N.

i=1

Dann gilt ∞ * n=1

an =

∞ *

an−k =

n=1+k

∞ *

an+k

f¨ ur k ∈ Z.

n=1−k

Beispiel
Die geometrische Reihe kann zur Darstellung 21
periodischer De1 10n

zimalzahlen verwendet werden. Wird n¨ amlich an = sich aus dem 321
Eingangsbeispiel 

1 1 1 , , ,... . (an )n∈N = 10 100 1 000

gew¨ahlt, so ergibt

Damit ist die Dezimalzahl 0,1 gegeben durch 0,1 = 0,1111 . . . =

∞ 1 * 1 1 10 = = . 1 j 10 9 1 − 10 j=1

Daraus ergibt sich etwa f¨ ur 0,9 die Darstellung 0,9 = 0,9999 . . . =

∞ ∞ * * 9 1 1 = 9 · = 9 · = 1. j j 10 10 9 j=1 j=1

Damit gilt offenbar 0,9 = 1, d.h. die Zahl Eins besitzt die verschiedenen Dezimaldarstellungen 0,9 und 1.

B

326

9. Folgen und Reihen

Diese Idee ist auch auf andere periodische Dezimalzahlen u ¨bertragbar. Bei1 1 spielsweise gilt f¨ ur 7 = 0,142857 mit a = 8 die Beziehung 1 1 = 8 7 1−

1 8

=

∞ * 1 . 8j j=1



Exponentialreihe n

Sei an = an! , n ∈ N0 , wobei a eine gegebene reelle Zahl ist. Die n-te Partialsumme der Exponentialreihe ist sn =

n *

ai =

i=0

n * ai i=0

f¨ ur n ∈ N0 .

i!

Die zugeh¨ orige Reihe (sn )n∈N0 heißt Exponentialreihe. Ihre Konvergenz folgt sofort aus dem Quotientenkriterium, da      an+1   an+1 /(n + 1)!   = |a| =   n+1  an   an /n! |a| gilt. Damit die Ungleichung n+1 < 1 f¨ ur alle n gr¨oßer oder gleich einem Index ullt ist, kann n0 als kleinste nat¨ urliche Zahl gew¨ahlt werden, die gr¨oßer n0 erf¨ als |a| − 1 ist. Der Grenzwert der Reihe ist gegeben durch

lim sn =

n→∞

∞ * ai i=0

i!

= ea ,

wobei e = 2,71828 . . .∗ Die Exponentialreihe kann somit als Potenz zur Basis e mit Exponent a verstanden werden. Daraus ergibt sich insbesondere die Darstellung der Zahl ∞ * 1 . e = e1 = i! i=0 B

Beispiel
Die Exponentialreihe wird zur Definition der 314
Poisson-Vertei-

lung verwendet, wobei dort die Setzung an = benutzt wird. In diesem Fall gilt ∞ * i=0

e−λ

λn −λ , n! e

n ∈ N0 , mit λ > 0

∞ * λi λi = e−λ = e−λ · eλ = e−λ+λ = 1, i! i! i=0

d.h. die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist gleich Eins. ∗ Der

Beweis dieser Eigenschaft u ¨bersteigt den Rahmen dieses Buchs; vgl. Heuser, 2006.

9.4

Aufgaben

327

Der sogenannte Erwartungswert der Poisson-Verteilung mit Parameter λ wird ∞  i i · e−λ λi! ermittelt. F¨ ur diesen gilt durch Auswertung des Grenzwerts i=0

(Ver¨ anderungen sind jeweils markiert; in (♣) wird benutzt, dass der erste Summand gleich Null ist): ∞ *

i · e−λ

i=0

∞ λi (♣) * λi = i · e−λ i! i!

=

i= 1 ∞ *

e−λ

λi + 1

i= 0

=

∞ *

e−λ

i=0

i!

k¨ urzen

=

∞ * i=1

λi (i − 1)!

(Indexverschiebung)

∞ * λi · λ λi = λ e−λ = λ. i! i! i=0
 



=1

9.4 Aufgaben Aufgabe 9.1

e−λ

Schreiben Sie die Mengen als monotone Folgen:

9.4

328
L

(a) die Menge der ungeraden nat¨ urlichen Zahlen, (b) die Menge der durch f¨ unf teilbaren nat¨ urlichen Zahlen, (c) die Menge der Zahlen, die sich als Potenz von 3 mit einer nat¨ urlichen Zahl bilden lassen, (d) die Menge der Wurzeln von 7. Notieren Sie jeweils die ersten f¨ unf Folgenglieder der durch an definierten Folge (an )n . Aufgabe 9.2

(a) an = 5n, n ∈ N0 n∈N

(b) an =

1 n2 ,

(c) an =

(−1)n n+3 ,

Aufgabe 9.3

n ∈ N0

329
L

(d) an = 2n − 2n−1 , n ∈ N0 (e) an = log4 (2n ), n ∈ N (f) an = an , n ∈ N0 , a ∈ R

Geben Sie das Bildungsgesetz der Folgen (an )n∈N an.

(a) (−1, −1, −1, −1, −1, . . .)

(e) (2, −2, 2, −2, 2, . . .)

(b) (−4, −1, 2, 5, 8, 11, . . .)

(f) (1, 3, 7, 15, 31, 63, . . .)

(c) (1, 4, 9, 16, 25, . . .)

(g) ( 14 , 12 , 1, 2, 4, . . .)

(d) (2, 32 , 43 , 54 , 65 , . . .)

(h) (1, 4, 27, 256, 3 125, 46 656, . . .)

329
L

328

329
L

9. Folgen und Reihen

Aufgabe 9.4 Untersuchen Sie die Folgen (an )n∈N auf Beschr¨ anktheit, Mono-

tonie und Konvergenz mit (a) an = − n2 (b) an = 330
L

n2 −1 n

(c) an = (−1)n n2

(e) an = 4n

(d) an = λn , 0 < λ < 1

(f) an =

3n−2n2 n2 +1

Ermitteln Sie die Grenzwerte der Folgen (an )n∈N mit   n+4 (c) an = ln n− (e) an = 3− ln(n) (a) an = nn−1 1 2

Aufgabe 9.5

2

2

(b) an = 331
L

332
L

2n3 −n+1 n4 +3n2

(d) an = n ·

1− 41n 3n+5

(f) an =

√ 5n+1

2n

Geben Sie zu den Folgen (an )n∈N0 jeweils die zugeh¨orige Reihe (sn )n∈N0 an, indem Sie die Partialsumme sn , n ∈ N0 , berechnen. Geben Sie im Fall der Existenz den Grenzwert der zugeh¨origen Reihe an.

Aufgabe 9.6

(a) an = −1

(d) an = 4n

(g) an = 3(n+1)2 −3n2

(b) an = (−1)n

(e) an = 4−n

(c) an = n

(f) an = (n + 1)2

(h) an = ln(n + 1)   (i) an = ln n+1 n+2

Aufgabe 9.7

(a)

∞ 

n=1

(b)

∞ 

1 5n

Berechnen Sie die Grenzwerte: ∞  p−n , p > 1 (d)

(−4)−n

n=0

(e)

n=0

(c)

∞ 

(g)

∞ 

n=2

3−2n

(h)

n=0

pn , p ∈ (−1, 1)

n=0

9.5

9.5 L¨ osungen

327
A

L¨ osung 9.1

(f)

∞  n=0

∞ 

∞  n=0

2n n!

(a) (1, 3, 5, 7, 9, . . .) (b) (5, 10, 15, 20, 25, . . .) (c) (31 , 32 , 33 , 34 , 35 , . . .) = (3, 9, 27, 81, 243, . . .) √ √ √ √ √ √ √ √ √ (d) ( 1 7, 2 7, 3 7, 4 7, 5 7, . . .) = (7, 2 7, 3 7, 4 7, 5 7, . . .)

(i)

∞  n=0

(−1)n n! (− ln(3))n n! q3n n! ,

q∈R

9.5

L¨ osungen

329

327
A

L¨ osung 9.2 (a) 0, 5, 10, 15, 20

(d) an = 2n − 2n−1 = 2n−1 :

(b) 1, 14 , 19 ,

(e) an = log 4 (2n ) = n log 4 (2) = 1 , 1, 32 , 2, 52 2

(c)

1 , 1 16 25

1 , − 14 , 15 , − 16 , 17 3

1 , 1, 2, 4, 8 2 n : 2

(f) 1, a, a2 , a3 , a4 (a0 = 1) 327
A

L¨ osung 9.3 (a) an = −1, n ∈ N

(e) an = 2(−1)n+1 = 2(−1)n−1 , n ∈ N

(b) an = 3n − 7, n ∈ N

(f) an = 2n − 1, n ∈ N

(c) an = n2 , n ∈ N

(g) an =

(d) an = 1 +

1 n

=

n+1 , n

n∈N

2n 8

= 2n−3 , n ∈ N

(h) an = nn , n ∈ N 328
A

L¨ osung 9.4 − n2

− n2

(a) Die durch an = definierte Folge ist monoton wachsend, da an = < 2 = an+1 . Damit ist die Folge nach unten beschr¨ ankt und wegen an < 0 − n+1 f¨ ur jedes n ∈ N ist sie auch nach oben beschr¨ ankt. Eine monotone, beschr¨ ankte Folge ist konvergent. (an )n∈N ist eine Nullfolge, d.h. lim an = 0. n→∞

2

(b) F¨ ur die durch an = n n−1 definierte Folge gilt an ≥ 0, n ∈ N. Damit ist (an )n∈N nach unten beschr¨ ankt. Wegen an = n − n1 ist die Folge nach oben nicht beschr¨ ankt mit lim an = ∞. Weiterhin gilt n→∞

an ≤ an+1 ⇐⇒ n −

1 1 1 1 ≤n+1− ⇐⇒ ≤1+ . n n+1 n+1 n
 
  <1

≥1

Die letzte Ungleichung ist f¨ ur jedes n ∈ N erf¨ ullt, so dass die Folge monoton wachsend ist mit lim an = ∞. n→∞

(c) Die mittels an = (−1)n n2 definierte Folge ist wegen a1 = −1, a2 = 4, a3 = −9 offenbar nicht monoton. Sie ist alternierend, d.h. das Vorzeichen ¨ andert sich bei jedem Folgenglied. Wegen |an | = n2 ist die Folge auch nicht beschr¨ ankt. Damit ist sie insbesondere auch nicht konvergent. (d) F¨ ur die durch an = λn definierte Folge gilt wegen 0 < λ < 1 die Ungleichung an+1 = λn+1 = λ · λn = λ · an < an . Daher ist die Folge monoton fallend. Da alle Folgenglieder positiv sind, ist die Folge auch beschr¨ ankt. Als Grenzwert resultiert lim an = 0. n→∞

(e) Die durch an = 4n definierte Folge ist monoton wachsend, denn an+1 = 4n+1 = 4 · 4n = 4an > an f¨ ur n ∈ N. Sie ist nach unten beschr¨ ankt und nach oben unbeschr¨ ankt mit lim an = ∞. n→∞

330

9. Folgen und Reihen 2

9 (f) Die durch an = 3n−2n definierte Folge hat die ersten Folgenglieder 12 , − 25 , − 10 , n2 +1 − 20 , was vermuten l¨ a sst, dass die Folge monoton fallend ist. Es gilt: 17

3(n + 1) − 2(n + 1)2 3n − 2n2 ≥ n2 + 1 (n + 1)2 + 1

an ≥ an+1 ⇐⇒

⇐⇒ (3n − 2n2 )((n + 1)2 + 1) ≥ (3(n + 1) − 2(n + 1)2 )(n2 + 1) ⇐⇒ −2n4 − n3 + 2n2 + 6n ≥ −2n4 − n3 − n2 − n + 1 ⇐⇒ 3n2 + 7n − 1 ≥ 0 Die letzte Ungleichung ist f¨ ur jedes n ∈ N erf¨ ullt, so dass die Folge (an )n∈N monoton fallend ist. Als Grenzwert ergibt sich 3 − 2 n→∞ −2 3n − 2n2 n = = −2. −−−−→ 2 n +1 1 1 + n12

an =

ankt mit Daher ist (an )n∈N insbesondere beschr¨ 328
A

1 2

≥ an > −2.

L¨ osung 9.5 (a) an =

n2 −1 n2

(b) an =

2n3 −n+1 n4 +3n2

= 1−

1 n2

−→ 1 − 0 = 1

2− 1 n n3

+ 14 n 1+ 32

=

n

−→

0−0+0 1+0

=0 1+ 4

n+4 n −→ 1. Daher folgt (c) F¨ ur die durch bn = n− 1 definierte Folge gilt bn = 1− 1 2 2n   n+4 aus an = ln n− 1 = ln(bn ) die Aussage an = ln(bn ) −→ ln(1) = 0. 2

1− 41n definierte Folge 3n+5 1 5 bn = 1 − 4n und cn = 3 + n . Wegen bn −→ 1 − lim bn gilt somit lim an = n→∞ = 13 . lim cn n→∞

(d) F¨ ur die durch an = n ·

gilt an =

1− 41n 5 3+ n

=

bn cn

mit

0 = 1 und cn −→ 3 + 0 = 3

n→∞

1 1 = eln(3)1ln(n) = nln(3) . (e) Aus der Darstellung an = 3− ln(n) folgt an = 3ln(n) Wegen ln(3) > 0 (es gilt ln(3) ≈ 1,099) resultiert an −→ 0. √ n+1 2n n+1 1 5 gilt an = 5 2n = 5bn mit bn = n+1 = 12 + 2n −→ 12 . Damit (f) F¨ ur an = 2n √ 1 folgt lim an = 5 2 = 5. n→∞

9.5

L¨ osungen

331

328
A

L¨ osung 9.6 n 

(a) Aus an = −1 ergibt sich sn =

aj =

j=0

n 

(−1) = −(n + 1), so dass der

j=0

Grenzwert bestimmt ist durch lim sn = −∞. n→∞

n

(b) Aus an = (−1) folgt n *

n *

1 − (−1)n+1 aj = (−1) = sn = = 1 − (−1) j=0 j=0



j

0,

n ungerade

1,

n gerade (0 ist gerade)

(120
geometrische Summe mit c = −1). Damit alterniert sn zwischen den Werten 0 und 1, d.h. die Reihe ist nicht konvergent. (c) Aus an = n folgt sn =

n 

n 

aj =

j=0 n 

(d) F¨ ur an = 4n gilt sn =

j=

n(n+1) , 2

so dass sn −→ ∞.

4j =

1−4n+1 1−4

= 13 (4n+1 − 1) (120
geometri-

j=0 n 

aj =

j=0

j=0

sche Summe mit c = 4). Daher gilt sn −→ ∞. 1

(e) F¨ ur an = 4−n =

n

4

gilt sn =

n 

aj =

j=0

n   1

j

4

j=0

=

1−( 1 4)

n+1

1−( 1 4)

−→

1 1− 1 4

=

4 3

(120
geometrische Summe mit c = 14 ). (f) F¨ ur an = (n + 1)2 gilt sn =

n 

aj =

j=0

Daher gilt sn −→ ∞.

n 

(j + 1)2 =

j=0

n+1 

j2 =

j=1

(n+1)(n+2)(2n+3) . 6

(g) Aus an = 3(n + 1)2 − 3n2 = 3[(n + 1)2 − n2 ] = 3(2n + 1) folgt sn = n 

3(2j + 1) = 6

j=0

n  j=0

sn −→ ∞ resultiert.

j+3

n 

n 

aj =

j=0

1 = 3n(n + 1) + 3(n + 1) = 3(n + 1)2 , woraus

j=0

Alternativ kann ausgenutzt werden, dass

n 

aj =

j=0

n 

[3(j + 1)2 − 3j 2 ] eine

j=0

119
Teleskopsumme mit bj = 3j 2 , j ∈ {0, . . . , n + 1}, bildet. Daraus folgt: n * j=0

aj =

n *

(bj+1 − bj ) = bn+1 − b0 = 3(n + 1)2 − 3 · 02 = 3(n + 1)2 .

j=0

(h) F¨ ur an = ln(n + 1) gilt sn =

n  j=0

ln((n + 1)!). Daher gilt sn −→ ∞.

aj =

n  j=0

. ln(j + 1) = ln

n 4

/ (j + 1)

j=0

=

332

9. Folgen und Reihen

  die zu(i) Gem¨ aß der vorhergehenden Aufgabe ergibt sich f¨ ur an = ln n+1 n+2 geh¨ orige Partialsumme . n /



 n n * * 3 j+1 j+1 1 aj = ln = ln = ln = − ln(n + 2) sn = j+2 j+2 n+2 j=0 j=0 j=0 (Teleskopprodukt). Somit folgt sn −→ −∞.

328
A

L¨ osung 9.7 ∞ ∞    1 1 (a) = 5n 5 n=1

(b)

∞ 

∞  

(−4)−n =

n=0

(c)

∞ 

n=0

pn =

n=0

(d)

∞ 

∞ 

∞  n=0

(g)

∞  n=2

p

n=0

∞   1

3−2n =

n=0 2n n!

n

− 14

∞  n  1

p−n =

n=0

(f)

−1=

1 1− 1 5

=

=

5 4

1 1−(− 1 ) 4

9

n

=

1 1 1− p

=

p p−1

=

1 1− 1 9

=

9 8

(h)

n=0

(i)

∞ 

(−1)n n!

=

∞  n=0

n=0

(− ln(3)) n! q 3n n!

=

1 4

4 5

=1+

1 p−1

= e2 (−1)n n!

−



(−1)0 0!




1

+ (−1)  1!  =0

∞ 

−1 =

1 1−p

n=0

(e)

n

n=1

=

n

= e− ln(3) =

∞  n=0

(q 3 )n n!

= eq

3

1 3



= e−1 =

1 e

Kapitel 10 Grenzwerte, Stetigkeit, Differenziation

10

10

10

Grenzwerte, Stetigkeit, Differenziation

10.1

Grenzwerte von Funktionen .................................... 335

10.2

Stetige Funktionen .............................................. 343

10.3

Differenziation .................................................... 347

10.4

Differenziation parameterabh¨angiger Funktionen .......... 355

10.5

Aufgaben .......................................................... 356

10.6

L¨osungen .......................................................... 358

335

10.1 Grenzwerte von Funktionen

335

10 Grenzwerte, Stetigkeit, Differenziation 10.1

10.1 Grenzwerte von Funktionen In 313
Kapitel 9 wurden Folgen und deren Grenzwerte∗ eingef¨ uhrt. Mittels der Konvergenz von Folgen wird der Begriff der Konvergenz f¨ ur Funktionen bei Ann¨ aherung an eine Stelle x0 des Definitionsbereichs bzw. an den 59
Rand des Definitionsbereichs eingef¨ uhrt.† Definition Grenzwert einer Funktion an einer Stelle x0 ‡ Eine Funktion f : D −→ R heißt an der Stelle x0 ∈ R konvergent gegen

eine Zahl a ∈ R, falls f¨ ur alle Folgen (xn )n∈N mit xn ∈ D, xn = x0 f¨ ur alle n→∞ n ∈ N und xn −−−−→ x0 gilt: n→∞

f (xn ) −−−−→ a. a heißt Grenzwert von f an der Stelle x0 . Als Notationen werden lim f (x) = a x→x0

x→x

0 und f (x) −−−−→ a verwendet. +∞ (bzw. −∞), falls f¨ur alle Folgen (xn )n∈N mit xn ∈ D, xn = x0 f¨ur alle n→∞ n ∈ N, und xn −−−−→ x0 gilt:

n→∞

f (xn ) −−−−→ +∞ (bzw. −∞). x→x

0 Als Notationen werden lim f (x) = +∞ und f (x) −−−−→ +∞ verwendet.

x→x0

Entsprechendes gilt f¨ ur −∞.

Grenzwerte von Funktionen werden also auf Grenzwerte von Folgen zur¨ uckn→∞ ussen. Dabei gef¨ uhrt, wobei alle Folgen mit xn −−−−→ x0 betrachtet werden m¨ ugt, muss die Stelle x0 nicht im Definitionsbereich von f liegen, sondern es gen¨ wenn x0 Grenzwert von Folgen aus D ist.§ Da die Anwendung der Definition i.Allg. kein praktikables Verfahren ist, werden im Folgenden Kriterien entwickelt, die eine einfachere Bestimmung der Grenzwerte erm¨oglichen. ∗ Anstelle † Die

der Bezeichnung Grenzwert wird auch der Begriff Limes verwendet.

316
Verkn¨ upfung von Folgen und Funktionen wurde bereits benutzt, um

320
Grenzwerte transformierter Folgen zu ermitteln, falls die betrachtete Funktion 343
stetig ist. ‡ Eine

alternative Definition der Konvergenz von Funktionen (ε-δ-Definition) kann in Kamps et al. (2003) nachgelesen werden. § d.h. x kann ein 59
Randpunkt von D sein. 0



336

B

10. Grenzwerte, Stetigkeit, Differenziation

Beispiel
Grenzwert einer Funktion an einer Stelle x0 F¨ ur die durch f (x) = x2

definierte Funktion f : R −→ R wird die Stelle x0 = 0 betrachtet. Sei ur die Folge (xn )n∈N eine (beliebige) Folge mit Grenzwert x0 = 0. Dann gilt f¨ (f (xn ))n∈N die Aussage n→∞

f (xn ) = x2n = xn · xn −−−−→ 0 · 0 = 0, da das 319
Produkt zweier konvergenter Folgen gegen das Produkt der beiden Grenzwerte konvergiert. Beispielhaft werden die durch xn = n22+2 und 1 definierten Folgen betrachtet, deren Grenzwert jeweils x0 = 0 ist. yn = − 2n Die senkrechten Striche   markieren jeweils die ersten 100 Folgenglieder von (f (xn ))n∈N und (f (yn ))n∈N auf dem Funktionsgrafen von f . 1

6

... .. ... 2 ... ... ... ... ... ... . . ... ... ... ... ... ... ... .... .... ... . .... . . . ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... . ...... . . . ... ....... ....... ........ ........ .......... ......................................





− 21

       0



-

1 2

Der Grenzwert von f an der Stelle x0 h¨ angt nicht vom Funktionswert f (x0 ) an dieser Stelle ab (sofern dieser u ¨ berhaupt definiert ist). Dies zeigt die durch  x2 , x ∈ R \ {0} g(x) = 1 x=0 4, definierte Funktion g, die mit der quadratischen Funktion f nahezu u ¨ bereinstimmt. Lediglich an der Stelle x0 = 0 weichen f (x) und g(x) voneinander ab. Trotzdem existieren die Grenzwerte der Folgen (g(xn ))n∈N bzw. (g(yn ))n∈N mit den obigen Folgen (xn )n∈N und (yn )n∈N (und die aller anderen Folgen∗ mit Grenzwert x0 = 0). Dies zeigt auch die (nahezu identische) Illustration. 1

6

... .. ... ... 2 ... ... ... ... ... ... . . ... .. ... ... ... ... .... .... ... 1 .... .... . . . . ..... . 4 ..... ..... ..... .... ...... ..... ..... ..... ..... ...... . . . . . ....... ....... ........ ........ ........... ...................................



r

   b   

− 21 ∗ Gem¨ aß



0



-

1 2

Definition werden nur Folgen mit xn = 0 betrachtet.

10.1 Grenzwerte von Funktionen

337

F¨ ur den Grenzwert der Folge (g(xn ))n∈N gilt lim g(xn ) = lim x2n = 0 = n→∞

n→∞

ur (yn )n∈N ). Der Unterschied zwischen den Grenzwerten g(0) = 14 (analog f¨ der Funktionen f und g an der Stelle x0 liegt darin, dass der Grenzwert von ur g nicht zu. f der Funktionswert von f an der Stelle x0 = 0 ist. Dies trifft f¨ Die Funktion f wird daher 343
stetig an der Stelle x0 = 0 genannt, w¨ahrend g dort unstetig ist.  Das folgende Beispiel illustriert eine Situation, in der keine Konvergenz vorliegt. Beispiel
Indikatorfunktion Sei f die durch f (t) =

½[0,∞) (t) + 1 =



1, 2,

t<0 t≥0

definierte Funktion. Dann ergibt sich f¨ ur die Folgen (xn )n∈N und (yn )n∈N aus dem vorhergehenden Beispiel f (xn ) = 2,

da xn > 0 f¨ ur alle n ∈ N gilt, und

f (yn ) = 1,

da yn < 0 f¨ ur alle n ∈ N gilt.

Daraus folgt lim f (xn ) = lim 2 = 2 und lim f (yn ) = lim 1 = 1, d.h. die n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ Grenzwerte dieser Folgen sind verschieden.∗ f hat somit an der Stelle x0 = 0 keinen Grenzwert. Dies wird auch in der Grafik deutlich, da die Funktion f an der Stelle x0 = 0 einen Sprung“ hat. ” .< .< .< .< .< .< ..< ...< ....< ........< ...............< .................................< .......................................................................< ...... < 2 •..6

.....................................> .....................................................> .................> .........> ......> ...> ...> ..> .> .> .> ..> .> .> .> .> .> .......... >

− 21

0



1 2

Das vorhergehende Beispiel motiviert die Einf¨ uhrung von einseitigen Grenzwerten, d.h. die Ann¨ aherung erfolgt nur von links bzw. nur von rechts.† n→∞

n→∞

∗ Gem¨ aß Definition muss f (xn ) −−−−→ a f¨ ur jede Folge mit xn −−−−→ x0 gelten. Um nachzuweisen, dass der Grenzwert an der Stelle x0 nicht existiert, gen¨ ugt es daher entweder eine Folge (zn )n∈N anzugeben, so dass (f (zn ))n∈N nicht konvergiert, oder zwei konvergente Folgen (xn )n∈N und (yn )n∈N zu finden, so dass die Grenzwerte der Folgen (f (xn ))n∈N und (f (yn ))n∈N verschieden sind. † Die Pfeile in der Grafik markieren mit ihrer Spitze den Folgenwert und geben ferner die Ann¨ aherungsrichtung an die Stelle t = 0 an.

B

338




10. Grenzwerte, Stetigkeit, Differenziation

Definition Einseitige Grenzwerte Eine Funktion f : D −→ R heißt an der Stelle 5 links x0 ∈ R von konvergent gegen eine Zahl a ∈ R (gegen ±∞), falls rechts n→∞

n→∞

f (xn ) −−−−→ a(bzw. ± ∞) f¨ur alle Folgen (xn )n∈N mit5xn ∈ D, xn −−−−→ x0 xn < x0 und f¨ ur alle n ∈ N. xn > x0

5 a bzw. ±∞ heißt

linksseitiger Grenzwert von f an der Stelle x0 . rechtsseitiger x→x +

ur rechtsseitige bzw. Als Notationen werden lim f (x) = a und f (x) −−−−0−→ a f¨ x→x0 + x→x0 −

lim f (x) = a und f (x) −−−−−→ a f¨ur linksseitige Grenzwerte verwendet.

x→x0 −

Zusammenhang zwischen Konvergenz und links- und rechtsseitiger Konvergenz Eine Funktion ist konvergent an der Stelle x0 genau dann, wenn sie an der Stelle x0 rechts- und linksseitig konvergent ist und der links- und rechtsseitige Grenzwert u ¨ bereinstimmen. Entsprechend werden Grenzwerte f¨ ur die Ann¨aherung an +∞ bzw. −∞ definiert.


Definition Konvergenz bei Ann¨ aherung an Unendlich Eine Funktion f : D −→ R

 +∞ heißt f¨ ur x → −∞ konvergent gegen eine Zahl a ∈ R, falls

 n→∞ n→∞ +∞ f (xn ) −−−−→ a f¨ur alle Folgen (xn )n∈N mit xn ∈ D und xn −−−−→ −∞ .  +∞ a heißt Grenzwert von f f¨ur x → −∞ . +∞ (−∞), falls n→∞

f (xn ) −−−−→ +∞(−∞) f¨ur alle Folgen (xn )n∈N mit xn ∈ D und  n→∞ +∞ xn −−−−→ −∞ .  +∞ +∞ (−∞) heißt Grenzwert von f f¨ur x → −∞ . In 339
Tabelle Grenzwerte von Funktionen sind f¨ ur einige wichtige Funktionen die zugeh¨origen Grenzwerte angegeben. Mit diesen Resultaten k¨onnen

10.1 Grenzwerte von Funktionen

339

unter Verwendung von 340
Tabelle Grenzwerte von Summen, Differenzen, Produkten und Quotienten Grenzwerte weiterer Funktionen ermittelt werden. Grenzwerte von Funktionen Funktion Polynome n  aj xj , 1 f (x) = j=0 2 3 4

an an an an

> < > <

0, n 0, n 0, n 0, n

ungerade ungerade gerade gerade

Betragsfunktion f (x) = |x| Potenzfunktionen f (x) = xp , p > 0 f (x) =

1 xp

f (x) =

1 ,n xn

=

x−p , p

>0

D

Grenzwert f¨ ur x → x0 ∈ D +∞ −∞

R R R R

f (x0 ) f (x0 ) f (x0 ) f (x0 )

+∞ −∞ +∞ −∞

−∞ +∞ +∞ −∞

R

f (x0 )

+∞

+∞

[0, ∞)

f (x0 )

+∞

−

(0, ∞)

f (x0 ) 0 − lim f (x) = +∞

x→0+

∈N

R \ {0} 1 n gerade 2 n ungerade

Exponentialfunktionen f (x) = ax , 1 a > 1 2 a ∈ (0, 1)

R R

Logarithmusfunktionen f (x) = loga (x), 1 a > 1

(0, ∞)

f (x0 ) x → 0+ x → 0− x → 0−

0 +∞ +∞ −∞

0

f (x0 ) f (x0 )

+∞ 0

0 +∞

f (x0 ) +∞ − lim f (x) = −∞

x→0+

2 a ∈ (0, 1)

(0, ∞)

f (x0 ) −∞ − lim f (x) = +∞

x→0+

Gebrochen rationale Funktionen f (x) = h(x) (h, g Polynome) g(x) Zusammengesetzte Funktionen f (x) = xn eax , n ∈ N, a > 0 f (x) = xn e−ax , 1 n ungerade, a > 0 2 n gerade, a > 0 f (x) = xn ln(x), n ∈ N

R \ {x | g(x) = 0} R R R (0, ∞)

f (x0 )



f (x0 ) +∞ f (x0 ) 0 f (x0 ) 0 f (x0 ) +∞ lim f (x) = 0

 0 −∞ +∞ −

x→0+

f (x) =

ln(x) ,n xn

∈N

(0, ∞)

f (x0 ) 0 − lim f (x) = −∞

x→0+

Mit −“ markierte Eintr¨ age bedeuten, dass dort kein Grenzwert betrachtet werden kann ” (die relevante Stelle liegt nicht am 59
Rand von D). Der Stern  deutet an, dass der Grenzwert jeweils in der 340
konkreten Situation ermittelt werden muss. Die rechts- bzw. linksseitigen Grenzwerte f¨ ur die R¨ ander von D sind jeweils gesondert angegeben.

340

10. Grenzwerte, Stetigkeit, Differenziation

Grenzwerte von Summen, Differenzen, Produkten und Quotienten Grenzwert lim

x→x0

lim f (x)

x→x0

a a>0 a>0 a<0 a<0 0 a>0 a>0 a<0 a<0 0 0 +∞ +∞ −∞ −∞ +∞ +∞ −∞ −∞ +∞ +∞ −∞ −∞

lim g(x)

f (x) + g(x)

f (x) − g(x)

f (x)g(x)

b 0+ 0− 0+ 0− 0 +∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ b>0 b<0 b>0 b<0 0+ 0− 0+ 0− +∞ −∞ +∞ −∞

a+b a a a a 0 +∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ +∞ +∞ −∞ −∞ +∞ +∞ −∞ −∞ +∞ ? ? −∞

a−b a a a a 0 −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ +∞ +∞ −∞ −∞ ? +∞ −∞ ?

ab 0 0 0 0 0 +∞ −∞ −∞ +∞ ? ? +∞ −∞ −∞ +∞ ? ? ? ? +∞ −∞ −∞ +∞

x→x0

f (x) g(x)

= 0 +∞ −∞ −∞ +∞ ? 0 0 0 0 0 0 +∞ −∞ −∞ +∞ +∞ −∞ −∞ +∞ ? ? ? ?

a ,b b

a, b bezeichnen jeweils reelle Zahlen. Die mit ?“ markierten Eintr¨ age m¨ ussen gesondert ” untersucht werden, da der Grenzwert jeweils von den betrachteten Funktionen abh¨ angt. Die Notationen 0+, 0− bedeuten, dass lim f (x) = 0 und dass f (x) in der N¨ ahe von 0 x→x0

positiv bzw. negativ ist. Die Stelle x0 , an der die Grenzwerte betrachtet werden, ist entweder eine reelle Zahl oder +∞, −∞. In jedem Fall muss x0 im Schnitt der Definitionsbereiche von f und g oder an dessen 59
Rand liegen.

Ein wichtiges Hilfsmittel zur Berechnung von Grenzwerten von Quotienten und Produkten sind die Regeln von l’Hospital, die auf Methoden der 347
Differenzialrechnung basieren. Diese werden hier nicht behandelt (s. z.B. Kamps et al., 2003). Grenzwerte gebrochen rationaler Funktionen

In 339
Tabelle Grenzwerte von Funktionen wurden die Grenzwerte gebrochen rationaler Funktionen durch einen Stern  markiert. Dies liegt darin begr¨ undet, dass einige Fallunterscheidungen erforderlich sind. Unterschieden werden zun¨ achst Grenzwerte an den Definitionsl¨ ucken und f¨ ur x → +∞, x → −∞. Im Folgenden werden die beiden letzten F¨alle ausf¨ uhrlich dargestellt. Die m¨ oglichen Situationen an den Definitionsl¨ ucken werden nur in Beispielen behandelt.

10.1 Grenzwerte von Funktionen

341

Grenzwerte gebrochen rationaler Funktionen f¨ ur x → +∞, x → −∞ h Sei f = g eine gebrochen rationale Funktion mit den Polynomen h und g. Das Polynom h habe den Grad n mit Leitkoeffizient an = 0, das Polynom g habe den Grad m mit Leitkoeffizient bm = 0. Dann gilt: 1 Falls n < m: lim f (x) = lim f (x) = 0 x→−∞

2

x→+∞

Falls n = m: lim f (x) = lim f (x) = x→−∞

x→+∞

 3

Falls n > m: lim f (x) = x→+∞

+∞,

falls

−∞,

falls

an bm an bm an bm

>0 <0

Der Grenzwert lim f (x) kann folgender Tabelle entnommen werden. x→−∞

an bm

>0 m gerade m ungerade +∞ −∞ −∞ +∞

n gerade n ungerade

an bm

<0 m gerade m ungerade −∞ +∞ +∞ −∞

Grunds¨ atzlich kann auch die folgende Regel zur Berechnung von Grenzwerten f¨ ur x → −∞ verwendet werden:




lim f (x) = lim f (−x).

x→−∞

x→∞

Die obigen Regeln werden beispielhaft an einigen gebrochen rationalen Funktionen erl¨ autert. Beispiel
Die durch f (x) =

x2 −3x+4 x−1

definierte Funktion hat den Definitionsbereich D = R \ {1}. Aus den obigen Regeln ergibt sich somit f¨ ur x0 ∈ D ur die einseitigen Grenzwerte an der der Grenzwert lim f (x) = f (x0 ). F¨ x→x0

Definitionsl¨ ucke x0 = 1 folgt lim f (x) = −∞, da lim (x2 − 3x + 4) = 2, lim (x − 1) = 0−,

x→1−

x→1−

x→1−

lim f (x) = +∞, da lim (x − 3x + 4) = 2, lim (x − 1) = 0+. 2

x→1+

x→1+

x→1+

Die Grenzwerte f¨ ur x → +∞, x → −∞ werden mit Hilfe der obigen Tabelle ermittelt. Da der Grad des Z¨ ahlerpolynoms gr¨ oßer ist als der des Nennerpolynoms resultieren die Grenzwerte lim f (x) = −∞,

x→−∞

lim f (x) = +∞.

x→+∞

B

342

10. Grenzwerte, Stetigkeit, Differenziation

Alternativ k¨ onnen die Grenzwerte mit Hilfe einer 273
Polynomdivision ermittelt werden. Es gilt n¨ amlich (

2 , x2 − 3x + 4) : (x − 1) = x − 2 + x−1 − x2 + x − 2x + 4 2x − 2 2

2 2 . Da der Summand x−1 f¨ ur x → +∞ und x → −∞ so dass f (x) = x − 2 + x−1 gegen Null konvergiert, ergibt sich insgesamt das Resultat lim f (x) = −∞, x→−∞

lim f (x) = +∞.

x→+∞

B

Beispiel
Die durch f (x) =



x2 −3x+2 x−1

definierte Funktion hat den Definitiur x0 ∈ D. Da onsbereich D = R \ {1}. Wie oben folgt lim f (x) = f (x0 ) f¨ x→x0

Z¨ ahler und Nenner eine Nullstelle bei x0 = 1 haben, werden die einseitigen Grenzwerte an der Stelle x0 = 1 nach einer Polynomdivision ermittelt. Diese liefert (

x2 − 3x + 2) : (x − 1) = x − 2, − x2 + x − 2x + 2 2x − 2 0

so dass f (x) = x − 2 f¨ ur x ∈ D. Somit gilt lim f (x) = lim (x − 2) = −1 = lim (x − 2) = lim f (x).

x→1−

x→1−

x→1+

x→1+

Somit gilt lim f (x) = −1. Aus der Darstellung f (x) = x − 2 resultieren auch x→1

die Grenzwerte lim f (x) = −∞ und lim f (x) = ∞. x→−∞

B

x→∞

Beispiel
Die durch f (x) =

−2x2 −x+3 1−x2



definierte Funktion hat den Definitionsbereich D = R \ {−1, 1}. Eine Polynomdivision ergibt zun¨achst −x + 1 , ( − 2x2 − x + 3) : ( − x2 + 1) = 2 + −x2 + 1 −2 2x2 −x+1

10.2 Stetige Funktionen

343

1−x so dass f (x) = 2+ 1−x ur x ∈ D ergibt sich wegen 1−x2 = (1−x)(1+x) 2 gilt. F¨

f (x) = 2 +

1−x 1 =2+ . (1 − x)(1 + x) x+1

Daraus resultieren die Grenzwerte x0 lim f (x)

x→x0

x0 ∈ D f (x0 )

−1− −1+ 1− 5 −∞ +∞ 2

1+ −∞ +∞ 5 2 2 2



Die Grafen der gebrochen rationalen Funktionen aus den vorhergehenden Beispielen haben folgendes Aussehen. x2 −3x+4 x−1

f (x) =

x2 −3x+2 x−1

f (x) =

... .... .... .... .. .... . . ... . . .. .... .. .... .. .... ... .... .. ........ ...........

6 .. ..

-

..... ..... .. ..... .... .... .. .... . . .. . . .. .... ... .... . . . .. . ... . . . .. ....

f (x) =

6

.. ... .... .... .... . . . .. ... ... ... .... ....

b

. .... .... .... ... . . . ... .... .... ... ... . . .. .... ....

−2x2 −x+3 1−x2 ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. ..... ..................................................

6

-

...................................................... ... .. .. .. .. .. ... ... ... ... ...

b

-

10.2 Stetige Funktionen Definition Stetigkeit einer Funktion Eine Funktion f : D −→ R heißt stetig an der Stelle x0 ∈ D, falls lim f (x) = f (x0 ). x→x0

f heißt stetig auf D, falls f an jeder Stelle x0 ∈ D stetig ist. Ist f an einer Stelle x0 nicht stetig, heißt x0 Unstetigkeitsstelle und f unstetig an der Stelle x0 .

Anschaulich bedeutet die Stetigkeit einer Funktion an der Stelle x0 , dass dort kein 337
Sprung“ oder 336
Loch“ vorliegt (d.h. der Graf kann durchge” ” ” zeichnet“ werden). Die in 339
Tabelle Grenzwerte von Funktionen genannten Funktionen sind stetig auf ihrem Definitionsbereich. Aus 340
Tabelle Grenzwerte von Summen, Differenzen, Produkten und Quotienten und der Definition der Stetigkeit ergeben sich folgende Aussagen.

10.2



344

10. Grenzwerte, Stetigkeit, Differenziation

Verkn¨ upfung stetiger Funktionen Seien f : D −→ R und g : D −→ R stetig in x0 ∈ D. Dann sind f + g,

f − g,

f ·g

und

f (falls g(x0 ) = 0) g f (x) x→x0 g(x)

stetig in x0 . Ist g(x0 ) = 0, muss der Grenzwert lim

gesondert untersucht

werden. Aus dieser Regel folgt, dass Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten stetiger Funktionen wiederum stetig auf ihrem Definitionsbereich sind.∗ Eine entsprechende Aussage gilt f¨ ur die 169
Verkettung zweier Funktionen. Verkettung stetiger Funktionen Seien g : D −→ W stetig in x0 ∈ D und f : W −→ R stetig in g(x0 ). Dann ist f ◦ g stetig in x0 . Aus diesen Regeln kann die Stetigkeit vieler Funktionen abgeleitet werden. Beispiele stetiger Funktionen Die folgenden Funktionen sind stetig auf ihrem Definitionsbereich. 161
Polynome 161
gebrochen rationale Funktionen 161
Exponentialfunktionen 162
Logarithmusfunktionen 162
trigonometrische Funktionen 162
Betragsfunktion

Analog zu einseitigen Grenzwerten wird auch die einseitige Stetigkeit von Funktionen definiert. Diese ist in der Statistik von Interesse, da 377
Verteilungsfunktionen stets rechtsseitig stetig, aber nicht unbedingt stetig sind. 5


Definition Einseitige Stetigkeit Eine Funktion f : D −→ R heißt



stetig an der Stelle x0 ∈ D, falls

5 f heißt

linksseitig rechtsseitig

lim f (x) = f (x0 )

x→x0 −

lim f (x) = f (x0 )

.

x→x0 +

linksseitig stetig auf D, falls f an jeder Stelle x0 ∈ D rechtsseitig

5

linksseitig stetig rechtsseitig

ist. ∗ Hierbei

enten

f g

ist zu beachten, dass x0 mit g(x0 ) = 0 nicht im Definitionsbereich des Quotiliegt.

10.2 Stetige Funktionen

345

Beispiel
(Fortsetzung 337
Beispiel Indikatorfunktion) Die durch die Vor-

schrift f (t) = ½[0,∞) (t) + 1, t ∈ R, definierte Funktion ist an der Stelle x0 = 0 rechtsseitig stetig, da f auf dem Intervall [0, ∞) mit der konstanten Funktion g(t) = 2 u ¨ bereinstimmt. Somit gilt lim f (t) = lim g(t) = t→0+

B

t→0+

lim 2 = 2 = f (0). Die Funktion ist in x0 = 0 nicht (linksseitig) stetig, da

x→0+

lim f (t) = lim 1 = 1 = 2 = f (0).

t→0−

t→0−

Die durch h(t) = ½(0,∞) (t)+ 1 definierte Funktion h ist hingegen an der Stelle  x0 = 0 linksseitig, jedoch nicht rechtsseitig stetig. Zusammenhang zwischen Stetigkeit und links- und rechtsseitiger Stetigkeit Eine Funktion ist an einer Stelle x0 stetig genau dann, wenn sie dort linksund rechtsseitig stetig ist.

Grenzwerte bei Verkettungen von Funktionen

Die Bildung von Grenzwerten bei der Verkettung von Funktionen l¨asst sich in der folgenden Weise durchf¨ uhren, falls die ¨ außere Funktion stetig ist. Grenzwerte bei Verkettungen von Funktionen Seien g : D −→ W, f : W −→ R Funktionen und f stetig auf W. Dann gilt f¨ ur ein x0 ∈ D bzw. f¨ ureinen Randpunkt x0 von D 1 2

lim f (g(x)) = f

x→x0

lim g(x)

x→x0

= f (z0 ), falls z0 = lim g(x) ∈ W. x→x0

lim f (g(x)) = lim f (z), falls z0 = lim g(x) ein Randpunkt von W ist.

x→x0

z→z0

x→x0

Die Grenzen +∞, −∞ werden als Randpunkte interpretiert. Beispiel


B

(i) Die durch h(x) = ln(x2 + ex ) definierte Funktion h hat den Definitionsbereich D = R und ist Verkettung von f (z) = ln(z) und g(x) = x2 + ex . F¨ ur x = 0 resultiert daher wegen lim (x2 + ex ) = 1 der Grenzwert x→0

urlich auch aus der Stetiglim ln(x2 +ex ) = ln(1) = 0. Dies ergibt sich nat¨

x→0

keit von h, die sich wiederum aus der Verkettung der stetigen Funktionen f und g ableitet. F¨ ur den Grenzwert lim ln(x2 + ex ) resultiert wegen lim x2 = +∞ x→−∞

x→−∞

und lim ex = 0 das Ergebnis lim ln(x2 + ex ) = lim ln(z) = +∞. x→−∞

x→−∞

z→+∞

346

10. Grenzwerte, Stetigkeit, Differenziation

 (ii) Die durch h(x) = ln

1 1−x2

 definierte Funktion h hat den Definitionsbe-

reich D = (−1, 1), auf dem sie stetig ist. Als Verkettung von f (z) = ln(z) 1 und g(x) = 1−x aherung an den Rand x = 1 wegen 2 resultiert bei Ann¨ 1 lim 1−x2 = +∞ der einseitige Grenzwert x→1−

lim ln

x→1−

1 1 − x2

 

= lim ln(z) = +∞. z→+∞

Eigenschaften stetiger Funktionen

Stetige Funktionen haben einige interessante Eigenschaften, die insbesondere im Rahmen der 395
Optimierung von Bedeutung sind. Zwischenwertsatz Eine auf dem Intervall [a, b] stetige Funktion f nimmt jeden Wert im Intervall [min(f (a), f (b)), max(f (a), f (b))] (mindestens einmal) an.

6

.. ... ................... ... ......... ... .................. ... .. ...... ....... .. .. ... ..... ....... . . . ... . . . . . .. ... . ....... ... ... ..... .. ........ ... .... .............................. ... .. .... ... .. ... .... ... .. .... ... . . . 0 . . ... . ... .. ... .. ... .... ... .. ... ... ... .. ... ... ... .. . . ... . .. ... . ... .. ... ... .. ... ... .... .. ... ... ... .. ... .. . . . . . .. ... .. .. ... ... ... .. .. ... ... .. ... .. ... .. ... ... . . . . ... ... .. . .. ... ..... ... .. ... ... ... .. ... .... ... .. ...... ... .. ... . ...................................... 0 ... ... ... ... .. ... ... ... .... . . . . ... .. .. . .... . . ... .... ....... ............ .......

f (x)

a

f (b)

x6



b

x

z

f (a)




B

Der Zwischenwertsatz ist beim Nachweis der Existenz von Nullstellen einer Funktion von Bedeutung. Hat beispielsweise eine stetige Funktion f¨ ur a < b einen negativen Funktionswert f (a) < 0 und einen positiven Funktionswert f (b) > 0, so folgt aus dem Zwischenwertsatz, dass f (mindestens) eine Nullstelle im Intervall [a, b] haben muss. Beispiel
Die durch f (x) = x3 −3x2 −6x+8 definierte Funktion hat f¨ ur x = 0

und x = 2 die Funktionswerte f (0) = 8 und f (2) = −8, d.h. f hat wegen ihrer Stetigkeit im Intervall [0, 2] eine Nullstelle. In der Tat gilt f (1) = 0.

10.3 Differenziation

347

Eine 273
Polynomdivision ergibt n¨ amlich: (

x3 − 3x2 − 6x + 8) : (x − 1) = x2 − 2x − 8 − x3 + x2 − 2x2 − 6x 2x2 − 2x − 8x + 8 8x − 8 0

Das Polynom x2 −2x−8 hat nach der 202
pq-Formel die Nullstellen x1 = −2 und x2 = 4. Daher gilt f (x) = (x − 1)(x + 2)(x − 4), wobei die Nullstelle  x0 = 1 im betrachteten Intervall liegt. Bei der Bestimmung von 408
globalen Extrema stetiger Funktionen ist der folgende Sachverhalt von Bedeutung. Er wird im Rahmen der 395
Optimierung angewendet. Extrema stetiger Funktionen Eine auf dem abgeschlossenen (und beschr¨ ankten) Intervall [a, b] stetige Funktion hat dort sowohl ein 403
globales Minimum als auch ein globales Maximum.

10.3 Differenziation In diesem Abschnitt wird der Begriff der Steigung einer Funktion an einer uhrt und untersucht. Stelle x0 des Definitionsbereichs eingef¨ Zur Motivation wird das Steigungsverhalten einer Straße betrachtet, die u ¨ber einen H¨ ugel f¨ uhrt. Dieser hat etwa das folgende (durch eine Funktion beschriebene) Profil: ........................... ..... ....... .... ....... ... ........ ... ..................... . . ....................... . . . ........... .. ......... . . ........ .. . . ....... .. ....... . . ....... .. . . . ........ ... ........ . . . ......... ... . . . ........... . .... . . ............... . . . . . ....................... ...........

Aus der Abbildung ist ersichtlich, dass die Steigung sehr unterschiedlich ist. Es gibt steilere und flachere Passagen sowie Bereiche des Anstiegs und Gef¨ alles. Die Quantifizierung dieser Steigungen – wie das z.B. auf Verkehrsschildern

10.3

348

10. Grenzwerte, Stetigkeit, Differenziation

8%

6%

8% Steigung

6% Gef¨ alle

geschieht, ist mit den Methoden der Differenzialrechnung m¨oglich. Aus dem obigen Beispiel kann intuitiv ein Steigungsbegriff abgeleitet werden, indem eine zur¨ uckgelegte Wegstrecke in Beziehung zu den dabei geschafften H¨ ohenmetern gesetzt wird. Es entsteht ein Steigungsdreieck, das nachfolgend in ein Koordinatensystem eingezeichnet wird: 6 .. ........ ...... .. ...... ..... ...... ... ..... . . . . ... . .... ... ...... ...... .. ...... . . . . . . .. .... . . . . . . .... .... . . . . . . .... ...... ...... ... ...... ...... ..... ...... . . . ... . . ... . . . ... . . .... . . . . ... . .... . . . . . . . .. .... . . . . . . .... .... . . . . . .... ...... ..... .. ......

↑ | H¨ ohenmeter

h

←−−−−−− Wegstrecke −−−−−−→ 0 w

| ↓

-

Daraus resultiert als Maß f¨ ur die Steigung der Quotient h H¨ ohenmeter = . Wegstrecke w Steigung einer Geraden

Die vorgestellte Methode kann direkt auf lineare Funktionen u ¨ bertragen werden, deren Funktionsterm in allgemeiner Form durch f (x) = ax + b, x ∈ R, mit a, b ∈ R gegeben ist. Werden zwei Punkte x0 < x1 auf der x-Achse gew¨ahlt, entsteht automatisch ein Steigungsdreieck: . ...... ...... ...... ...... ...... . . . . . ... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... .................. 1 ..... . ...... .... ...... . . . . . . ...... .... ...... . ...... ...... . ...... . . . . . .... .... . . . . . . ...... ... ...... . . . . . . ...... .. ...... . . . . .. . ... . . . . . . ...... ... ...... . . . . . . . ...... . ...... . . . . .... . .... . . . . . ..... .. ...... ....... ....... ....... ........................ ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... .... 0 .. ... . ...... . . . . . . 1 0 . .. ...... ..... ...... ... ...... ...... ... ... ...... . . . . . . . .... ...... .... .... ...... ..... ...... ......

6

f (x )

f (x) = ax + b

f (x1 ) − f (x0 )

↑|

f (x )

←−−−−−−− x − x −−−−−−−→

0

x0

↓|

x1

-

10.3 Differenziation

349

Daraus ergibt sich (unabh¨ angig von der Wahl von x0 und x1 ) die Steigung (ax1 + b) − (ax0 + b) a(x1 − x0 ) f (x1 ) − f (x0 ) = = = a. x1 − x0 x1 − x0 x1 − x0 Da der Quotient stets den selben Wert besitzt, hat eine lineare Funktion f mit f (x) = ax + b in jedem Punkt die Steigung a. Steigung beliebiger Funktionen

Es ist naheliegend, den obigen Ansatz auch auf nicht-lineare Funktionen zu u achst der Begriff des Differenzenquotienten ein¨bertragen. Dazu wird zun¨ gef¨ uhrt, der sich als Steigung einer Geraden durch die Punkte (x0 , f (x0 )) und (x1 , f (x1 )) ergibt. Definition Differenzenquotient Seien f : D −→ R eine Funktion, (a, b) ⊆ D ein offenes Intervall und x0 ∈ (a, b).

F¨ ur x ∈ (a, b) \ {x0 } heißt der Quotient der Stelle x).∗

f (x)−f (x0 ) x−x0



Differenzenquotient in x0 (an

Beispiel
Quadratische Funktion F¨ ur lineare Funktionen hat der Differenzenquotient an jeder Stelle x den selben Wert. Dies ist f¨ ur andere Funktionen nicht der Fall. F¨ ur die quadratische Funktion f (x) = x2 ergibt sich z.B. mit Hilfe der dritten 16
binomischen Formel

x2 − x20 (x − x0 )(x + x0 ) f (x) − f (x0 ) = = = x + x0 , x − x0 x − x0 x − x0 d.h. der Differenzenquotient h¨ angt von den betrachteten Stellen x und x0 ab. Die Steigung an der Stelle x0 wird nun lokal† durch die Steigung einer Geraden beschrieben, d.h. es wird eine Gerade gesucht, die durch den Punkt auft und die Steigung in diesem Punkt angibt. Dazu wird der (x0 , f (x0 )) l¨ Differenzenquotient in x0 betrachtet, der eine Gerade mit der Steigung f (x) − f (x0 ) x − x0 durch den Punkt (x0 , f (x0 )) definiert.‡ F¨ ur x → x0 beschreibt dieser Quotient die Steigung in x0 immer genauer. Die blaue Gerade entspricht der Geraden, die als Ergebnis dieser Grenzwertbildung resultiert und den Grafen uhrt. Aus diesem Grund wird sie als von f im Punkt (x0 , f (x0 )) lediglich ber¨ Tangente T bezeichnet. ∗ Der Differenzenquotient ist bei festem x eine Funktion in x mit Definitionsbereich 0 D = (a, b) \ {x0 }. † d.h. in der N¨ ahe von x0 . ‡ In der Skizze sind dies die jeweils schwarz eingezeichneten Geraden.

B

350

10. Grenzwerte, Stetigkeit, Differenziation

... ... ... ... ......... . . ...... ........ .. ....... ... ........ ....... ....... ........... . . ..... ....... ............... . . . .. ........ .... .......... ........... .............. . . . . . ..... ..... ....... ........ ....... ......... ....... ........ ...... ................. . . . . . . . . ...... ....... ... ...... ...... .... ...... ...... ...... ....... ....... .. ................... . . . . .... . . . . . . . . ................. ..... ......

f (t) 6

f (x0 )

f (x)

•

T

• x

f (x0 )

-

x0

f (x)

t

... ... ... ... ......... . . . .. .. .... ....... ..... ....... ....... ........ ..... ................. . . . .......... ......... ......... ...... .... . . . . . ..... ......... ............ ........... ................... . . . . . .. ............. ............. ...... ... ...... .... ............. ...... . . . . . . ... ... . ........ ..... .... .......... .......... .... ...................... . ..... .....

f (x)

•

x

f (x0 ) f (x)

-

x0

•

T

-

x0

t

... ... ... ... ................. . . .. ...... ........... ............ ............. ................ . . . .. ......... ....... .... .... .... . . . . ... ....... ..... ......... ........... . . . . . . ........... ............ .............. ...... ....... ...................... . . . . . ... .. . ........ ............... .......... . . ...................... ..... . .....

f (t) 6

•

T

•

x

f (t) 6

f (x0 )

. ... ... ... .... ......... . . .. .. ....... ... ........ ....... ........ ...... .................. . . . .... ..... ......... .......... ....... ...... . . . . . . ... ........... ........ ........... ............. .................... . . . . ...... ........ ...... .......... ............ ... ............ ... ............... ....... . . . . . . . .. . ......... .... ............... .... ................................. .

f (t) 6

t

•

•

T

-

x

x0

t

Die Steigung der Tangenten berechnet sich als Grenzwert des Differenzenur x → x0 . F¨ ur die obige Funktion ergibt quotienten in x0 an der Stelle x f¨ sich f (x) − f (x0 ) = lim (x + x0 ) = 2x0 . lim x→x0 x→x0 x − x0 Damit hat die Tangente an den Grafen von f durch den Punkt (x0 , f (x0 )) die Darstellung T (x) = f (x0 ) + 2x0 (x − x0 ),


x ∈ R.



Definition Differenzierbarkeit, Ableitung Seien f : D −→ R eine Funktion und (a, b) ⊆ D ein offenes Intervall.

f heißt differenzierbar in x0 ∈ (a, b), falls der Grenzwert des Differenzenquotif (x)−f (x0 ) (Differenzialquotient) an der Stelle x0 (endlich) existiert. enten lim x−x0 x→x0

Ist f differenzierbar in x0 ∈ (a, b), wird der Grenzwert

f  (x0 ) = lim

x→x0

f (x) − f (x0 ) x − x0

als Ableitung von f an der Stelle x0 bezeichnet.∗ ∗ Daher ist die Ableitung einer Funktion nur an einer Stelle x im 59
Inneren des 0 Intervalls (a, b) definiert. An den R¨ andern a, b k¨ onnen ggf. einseitige Ableitungen eingef¨ uhrt werden (s. Kamps et al. 2003, Heuser 2006).

10.3 Differenziation

351

f heißt differenzierbar auf (a, b) bzw. D, falls f in jedem x0 ∈ (a, b) bzw. x0 ∈ D differenzierbar ist. In diesem Fall bezeichnet f  die Ableitung oder Ableitungsfunktion von f . Beispiel
(Fortsetzung 349
Beispiel Quadratische Funktion) Der Differen-

B

zialquotient der durch f (x) = x definierten Funktion ist an der Stelle x0 ∈ R gegeben durch f (x) − f (x0 ) = 2x0 . lim x→x0 x − x0 2

Somit existiert er an jeder Stelle x0 ∈ R und f ist differenzierbar auf R mit  f  (x) = 2x, x ∈ R. Tangentengleichung F¨ ur eine in x0 ∈ D differenzierbare Funktion f : D −→ R ist die Gleichung der Tangenten in x0 gegeben durch T (x) = f (x0 ) + f  (x0 )(x − x0 ),

x ∈ R.

Beispiel
Die durch f (x) = x2 definierte Funktion hat nach obigem Beispiel

B



die Ableitung f (x0 ) = 2x0 . Daher gilt T (x) = x20 + 2x0 (x − x0 ) = 2x0 x − x20 ,

x ∈ R.

Daher ist T (x) = 2x − 1, x ∈ R, die Tangentengleichung in x0 = 1. An der  Stelle x0 = −2 lautet sie T (x) = −4x − 4, x ∈ R. Beispiel
Betragsfunktion Die 162
Betragsfunktion ist im Nullpunkt nicht

differenzierbar, da der Differenzialquotient an der Stelle x0 = 0 nicht existiert. Dies ergibt sich aus den einseitigen Grenzwerten |x| − |0| |x| −x = lim = lim = lim −1 = −1, x→0− x − 0 x→0− x x→0− x x→0− |x| − |0| |x| x = lim = lim = lim 1 = 1. lim x→0+ x − 0 x→0+ x x→0+ x x→0+ lim

Am Grafen der Betragsfunktion ¨ außert sich dies durch einen Knick“ an der ” Stelle x0 = 0. Die Steigung in diesem Punkt h¨angt somit davon ab, aus  welcher Richtung der Punkt angen¨ ahert wird.

B

352

10. Grenzwerte, Stetigkeit, Differenziation

Aus dem vorhergehenden Beispiel l¨ asst sich die Faustregel ableiten, dass Grafen differenzierbarer Funktionen keine Knicke“ haben. Außerdem gilt die ” folgende Aussage. Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit Ist eine Funktion differenzierbar an einer Stelle x0 , so ist sie dort auch stetig. Daher sind (auf einem offenen Intervall) differenzierbare Funktionen auch stetig.




Wie das Beispiel der Betragsfunktion zeigt, ist die Umkehrung dieser Aussage i.Allg. falsch, d.h. eine stetige Funktion muss nicht differenzierbar sein. Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion muss hingegen weder differenzierbar noch stetig sein. Aus diesem Grund wird f¨ ur differenzierbare Funktionen mit stetiger Ableitung der Begriff stetig differenzierbar eingef¨ uhrt. 355
H¨ ohere Ableitungen werden am Ende dieses Kapitels behandelt. Berechnung von Ableitungen

Die Berechnung des Differenzialquotienten ist i.Allg. aufw¨andig. Daher wird die Bestimmung der Ableitung (unter Verwendung von Ableitungsregeln) meist auf bereits bekannte Ableitungen zur¨ uckgef¨ uhrt. Die 352
Tabelle Ableitungen von Funktionen enth¨ alt die Ableitungen wichtiger Funktionen. Ableitungen von Funktionen f (x)

Parameter/Parameterbereich

D

f  (x)

c

c∈R

R

0

xn

n∈N

R

nxn−1

1 xn

n∈N

√ n x

n ∈ N gerade n ∈ N ungerade

xa e

a ∈ R \ {0}

x

ax

a>0

ln(x) loga (x)

a ∈ (0,∞) \ {1}

n R \ {0} − xn+1

(0, ∞) R

1 √ n n−1 x 1 √ ,x n n xn−1 a−1 n

(0, ∞)

ax

R

ex

R

ln(a) · ax

(0, ∞)

1 x

(0, ∞)

1 ln(a)

·

1 x

sin(x)

R

cos(x)

cos(x)

R

− sin(x)

= 0

10.3 Differenziation

353

Beispiel
Die Ableitung einer Wurzelfunktion kann aus der Ableitung von

Potenzfunktionen gewonnen werden (D = (0, ∞)). √ 1 Die Ableitung der Quadratwurzel f (x) = x = x 2 ergibt sich mit a = aß der Regel (xa ) = axa−1 gem¨  1  1 1 1 1 1 f  (x) = x 2 = x 2 −1 = x− 2 = √ , x ∈ D. 2 2 2 x √ 1 Im allgemeinen Fall f (x) = n x = x n gilt mit a = n1 f  (x) =

1 1 −1 1 1−n 1 1 √ xn = x n = . n−1 = n n n n n xn−1 nx

1 2

B

und



Ableitungen von Verkn¨ upfungen der in 352
Tabelle Ableitungen von Funktionen genannten Funktionen (z.B. Polynome) k¨ onnen mit Hilfe der folgenden Rechenregeln ermittelt werden. Ableitungsregeln F¨ ur an der Stelle x differenzierbare Funktionen f, g sind die folgenden Funktionen ebenfalls an der Stelle x differenzierbar. Ihre Ableitungen sind durch folgende Ausdr¨ ucke gegeben: 1. Faktorregel: Die Ableitung von c · f , c ∈ R, ist gegeben durch (c · f (x)) = c · f  (x). 2. Summenregel: Die Ableitung von f + g ist gegeben durch (f (x) + g(x)) = f  (x) + g  (x). 3. Produktregel: Die Ableitung von f · g ist gegeben durch (f (x) · g(x)) = f  (x) · g(x) + f (x) · g  (x). 4. Quotientenregel: Die Ableitung von

f (x) g(x)

 =

f g

ist gegeben durch

f  (x) · g(x) − f (x) · g  (x) . (g(x))2

Der Quotient ist nur f¨ ur g(x) = 0 definiert.

Beispiel


(i) f (x) = 4x2 : Nach der Faktorregel gilt: f  (x) = (4x2 ) = 4(x2 ) = 4 · 2x = 8x

B

354

10. Grenzwerte, Stetigkeit, Differenziation

(ii) f (x) = x3 + ln(x): Nach der Summenregel gilt: f  (x) = (x3 + ln(x)) = (x3 ) + (ln(x)) = 3x2 + x1 (iii) f (x) = x2 − 2x: f  (x) = 2x − 2 √ 3 (iv) f (x) = 3 x + 3x : f  (x) = 2√ + ln(3)3x x √ √ (v) f (x) = x2 x = x5/2 : f  (x) = 52 x3/2 = 52 x x (vi) f (x) = x ln(x): Nach der Produktregel gilt: f  (x) = (x ln(x)) = 1·ln(x)+x· x1 = ln(x)+1 x ln(x) :

(vii) f (x) =

Nach der Quotientenregel gilt: f  (x) = x−1 x+1 :

f  (x) =

(x+1)−(x−1) (x+1)2

1 x2 −1 :

f  (x) =

0·(x2 −1)−1·2x (x2 −1)2

(viii) f (x) = (ix) f (x) =

=



x ln(x)



=

1 1·ln(x)−x· x (ln(x))2

=

ln(x)−1 (ln(x))2

2 (x+1)2

= − (x22x −1)2

(x) f (x) = x2 ex : f  (x) = 2xex + x2 ex = (x + 2)xex (xi) f (x) =

ex +1 ex −1 :

f  (x) =

ex (ex −1)−ex (ex +1) (ex −1)2

x

= − (ex2e−1)2

(xii) f (x) = sin(x) − cos(x): f  (x) = cos(x) + sin(x)



Kettenregel Seien g differenzierbar an der Stelle x und f differenzierbar an der Stelle g(x). Dann ist f ◦ g differenzierbar an der Stelle x mit Ableitung (f (g(x))) = g  (x) · f  (g(x)). Der erste Faktor der rechten Seite heißt innere Ableitung, der zweite ¨außere Ableitung.

B

Beispiel
Die Ableitung einer allgemeinen Exponentialfunktion h(x) = ax

mit a > 0, a = 1 l¨ asst sich aus der Ableitung der Exponentialfunktion direkt bestimmen. Dazu wird die Darstellung h(x) = ax = eln(a)x = f (ln(a)x) = f (g(x)) mit g(x) = ln(a)x und f (t) = et verwendet. Unter Verwendung der Kettenregel gilt n¨ amlich mit f  (t) = et und g  (x) = ln(a): h (x) = g  (x) · f  (g(x)) = ln(a) · f  (ln(a)x) = ln(a)eln(a)x = ln(a)ax .



10.4 Differenziation parameterabh¨ angiger Funktionen

355

Beispiel


B

(i) h(x) = (x2 − 1)2 : h (x) = 2x · 2(x2 − 1) = 4x3 − 4x (ii) h(x) = (3x2 + 5x − 1)3 : h (x) = (3x2 + 5x − 1) · 3(3x2 + 5x − 1)3−1 = (6x + 5) · 3(3x2 + 5x − 1)2 = (18x + 15)(3x2 + 5x − 1)2 √ 1 1 (iii) h(x) = 2x + 1: h (x) = 2 · 2√2x+1 = √2x+1 2

(iv) h(x) = ex : h (x) = 2xex (v) h(x) = ex

4

−x

2

: h (x) = (x4 − x) · ex

4

−x

(vi) h(x) = ln(3x3 − x): h (x) = (9x2 − 1) ·

= (4x3 − 1)ex 1 3x3 −x

=

4

−x

9x2 −1 3x3 −x



Ableitungen h¨ oherer Ordnung

Da die Ableitung einer Funktion wiederum eine Funktion (mit evtl. eingeschr¨ anktem Definitionsbereich) ist, kann sie selbst ebenfalls auf Differenzierbarkeit untersucht werden. Auf diese Weise werden Ableitungen h¨oherer Ordnung definiert. Die zweite Ableitung der Funktion f ist somit Ableitung der Funktion f  . Sie wird mit f  oder mit f (2) bezeichnet: f  = (f  ) . Allgemein gilt im Fall der Differenzierbarkeit von f (n) (n ∈ N): f (n+1) = (f (n) ) . Beispiel
Die durch f (x) = 2x3 − 6x + 1 gegebene Funktion hat die (erste)

B

Ableitung f  (x) = 6x2 −6. Die zweite Ableitung f  ist gegeben durch f  (x) = (6x2 − 6) = 12x. Die dritte Ableitung ist f (3) (x) = 12, so dass alle h¨oheren ur n ≥ 4.  Ableitungen gleich Null sind, d.h. f (n) (x) = 0 f¨

10.4 Differenziation parameterabh¨ angiger Funktionen

10.4

In der 352
Tabelle Ableitungen von Funktionen wurden bereits Parameter benutzt, um Ableitungen von Funktionen eines bestimmten Typs anzugeben. Die durch f (t) = tn definierte Funktion hat den Parameter n ∈ N. Ihre utzlichkeit des Parameters Ableitung ist gegeben durch f  (t) = ntn−1 . Die N¨ besteht darin, dass mit dieser Beschreibung die Ableitung f¨ ur eine Klasse von Funktionen angegeben wird. In einer konkreten Situation wird die Ableitung durch Einsetzen eines speziellen Werts f¨ ur den Parameter ermittelt. Grunds¨ atzlich werden Parameter beim Differenzieren wie Konstanten behandelt. Maßgeblich f¨ ur die Differenziation ist nur das Argument der Funktion.




356

B

10. Grenzwerte, Stetigkeit, Differenziation

Beispiel


(i) F (x) = 1 − e−λx mit Parameter λ: (ii) F (y) = y α mit Parameter α:

F  (x) = λe−λx

F  (y) = αy α−1

β

(iii) F (t) = 1 − e−λt mit Parametern λ und β: (iv) F (z) = 1 −

1 µ+z

mit Parameter µ: F  (z) =

10.5

10.5 Aufgaben

358
L

Aufgabe 10.1



1 (µ+z)2

Bestimmen Sie mit Hilfe von 339
Tabelle Grenzwerte von Funktionen und 340
Tabelle Grenzwerte von Summen, Differenzen, Produkten und Quotienten die Grenzwerte der Funktion an den R¨andern ihres Definitionsbereichs.∗ (a) f (x) = 10x18 − 5x17 + 2

(d) f (x) = −3 ln(x) + x2

(b) f (x) = −3 + 4x + 2x3

(e) f (x) = −e2x · x3  (f) f (x) = 21x 4x3 +

(c) f (x) = 359
L

β

F  (t) = λβtβ−1 e−λt

4x2 −5x+1 x−1

Aufgabe 10.2

5 x3

¨ Uberpr¨ ufen Sie die Funktionen auf Stetigkeit an den angege-

benen Stellen. (a) f (x) = 2|x|

an der Stelle x0 = 0

(b) f (x) = |(x − 1)2 | an der Stelle x0 = 2  1 , x = 0 an der Stelle x0 = 0 (c) f (x) = x 0, x = 0  2 x −2x+1 x−1 , x = 1 (d) f (x) = an der Stelle x0 = 1 0, x=1 √ x, x≥0 an der Stelle x0 = 0 (e) f (x) = √ 1 − x, x < 0 ∗ +∞ bzw. −∞ werden als R¨ ander des Definitionsbereichs verstanden, wenn der Definitionsbereich nach oben bzw. unten unbeschr¨ ankt ist.

10.5 Aufgaben

357

Leiten Sie die Funktionen mit Definitionsbereich (0, ∞) unter Verwendung der Faktor- und Summenregel ab. √ 3 (d) f (x) = 8x2 − x + 2 + 6 x4 (a) f (x) = 5x3 + 7x2 − 4x + 9 Aufgabe 10.3

1

(b) f (x) = 13 x6 + x + x 2 √ (c) f (x) = 4x4 − 4x

(e) f (x) = 12 x−2 + 2x−3 − 3x−4 √ 1 (f) f (x) = x + √1x + √ 3 5 x

Leiten Sie die Funktionen mit Definitionsbereich (0, ∞) unter Verwendung der Faktor-, Summen- und Produktregel ab. Aufgabe 10.4

(a) f (x) = ex · x2 + 3x5

(d) f (x) = 3x4 · sin(x)

(b) f (x) = 4x · x4

(e) f (x) = (e−x + 4x )2

(c) f (x) = 2x · ln(x) + ln(x3 )

(f) f (x) = (ln(x))2 · ex

Aufgabe 10.5

Leiten Sie die Funktionen mit Definitionsbereich (0, ∞) ab. 2

359
L

(a) f (x) =

3x +4 2x

(d) f (x) = (5x − 3)5

(b) f (x) =

1√ 2+ x

(c) f (x) =

7x2 +3x+1 x2 +x

(e) f (x) = (3x4 − x2 + 7)4 " (f) f (x) = 3 (2x3 + 3x)5

Aufgabe 10.6 Begr¨ unden Sie, dass die Grenzwerte f¨ ur x → ∞ jeweils gleich Eins und f¨ ur x → −∞ jeweils gleich Null sind und dass die Funktionen stetig auf R sind. Berechnen Sie ferner die Ableitung (evtl. mit Ausnahme der Stellen x0 = 0 und x0 = 1). ⎧  ⎪ ⎪ 0, x<0 ⎨0, x < 0 (a) F (x) = −x (c) F (x) = x, 0 ≤ x ≤ 1 1−e , x≥0 ⎪ ⎪ ⎩1, x > 1  2 e−x , x < 0 (b) F (x) = −x (d) F (x) = e−e , x ∈ R 1, x≥0

360
L

360
L

361
L

358

10. Grenzwerte, Stetigkeit, Differenziation

10.6

10.6 L¨ osungen

356
A

L¨ osung 10.1 (a) D = R; R¨ ander: −∞, +∞ lim (10x18 − 5x17 + 2) = +∞, lim (10x18 − 5x17 + 2) = +∞

x→+∞

x→−∞

(b) D = R; R¨ ander: −∞, +∞ lim (−3 + 4x + 2x3 ) = +∞, lim (−3 + 4x + 2x3 ) = −∞

x→+∞

x→−∞

(c) D = R \ {1}; R¨ ander: −∞, +∞, 1 Aus der Polynomdivision (

4x2 − 5x + 1) : (x − 1) = 4x − 1, − 4x2 + 4x −x+1 x−1 0

resultieren folgende Aussagen: lim

x→+∞

4x2 −5x+1 x−1

= lim (4x − 1) = +∞,

x→+∞ 2 −5x+1 lim 4x x−1 = lim (4x − 1) = x→−∞ x→−∞ 2 −5x+1 lim 4x x−1 = lim (4x − 1) = 3 x→1− x→1−

lim

x→1+

4x2 −5x+1 x−1

−∞

= lim (4x − 1) = 3 x→1+

Die Funktion kann daher an der Stelle x = 1 durch den Funktionswert 3 stetig fortgesetzt werden. (d) D = (0, ∞); R¨ ander: 0, +∞ lim

x→+∞



  +1 −3 ln(x) + x2 = lim x2 −3 ln(x) x2 x→+∞   = lim x2 · lim −3 ln(x) + 1 = +∞, x2 x→+∞

da lim x2 = +∞ und lim x→+∞



x→+∞

x→+∞

 −3 ln(x) + 1 = 1 gilt. x2

Der Grenzwert lim (−3 ln(x) + x2 ) ist gleich +∞. x→0+

(e) D = R; R¨ ander: −∞, +∞ lim (−e2x · x3 ) = −∞, lim (−e2x · x3 ) = 0

x→+∞

x→−∞

10.6 L¨ osungen

359

(f) D = R \ {0}; R¨ ander: −∞, +∞, 0  3  1 lim x 4x + x53 = lim e− ln(2)x 4x3 + x53 = 0, x→+∞ 2 x→+∞   lim ( 21x 4x3 + x53 ) = lim e− ln(2)x 4x3 + x53 x→−∞

=

x→−∞

lim 4x3 e− ln(2)x + lim

= −∞, denn der erste und der zweite

5 ln(2)x x3 x→−∞ e

x→−∞

Grenzwert sind jeweils gleich −∞. Letzteres folgt aus lim eln(2)x x3 = 0−. x→−∞

An der Stelle x = 0 ergeben sich als Grenzwerte  lim 1x 4x3 + x53 = −∞ x→0− 2  lim 21x 4x3 + x53 = +∞ x→0+

1 x x→0 2

Diese Aussage resultiert aus den Grenzwerten lim lim 53 x→0− x

= −∞ bzw. lim

5 3 x→0+ x

= 1, lim 4x3 = 0 und x→0

= +∞. 356
A

L¨ osung 10.2 (a)

lim 2|x| = lim 2x = 0, lim 2|x| = lim (−2x) = 0, also ist f stetig an der

x→0+

x→0+

x→0−

x→0−

Stelle x0 = 0. (b) lim |(x − 1)2 | = 1, lim |(x − 1)2 | = 1, also ist f stetig an der Stelle x0 = 2. x→2+

x→2−

Alternativ gilt f (x) = |(x−1)2 | = (x−1)2 , d.h. f ist ein quadratisches Polynom und daher insbesondere stetig auf R. (c)

= +∞ = f (0) = 0, lim

lim 1 x→0+ x

1 x→0− x

= −∞ = f (0) = 0, also ist f an der Stelle

x0 = 0 nicht stetig. 2 x2 −2x+1 = (x−1) x−1 x−1 lim x −2x+1 = lim (x − x−1 x→1+ x→1+

(d) Wegen

2

= x − 1 f¨ ur x = 1 gilt f¨ ur die Grenzwerte 1) = 0 und lim

x→1−

x2 −2x+1 x−1

= lim (x − 1) = 0. x→1−

Daher ist f an der Stelle x0 = 1 wegen f (1) = 0 stetig. √ √ (e) Wegen lim x = 0 = f (0) und lim 1 − x = 1 ist f an der Stelle x0 = 0 x→0+

x→0−

zwar rechtsseitig stetig, aber nicht stetig. 357
A

L¨ osung 10.3



(a) f (x) = (5x + 7x − 4x + 9) = 5 · 3x + 7 · 2x − 4 + 0 = 15x + 14x − 4   1

1 (b) f (x) = 13 x6 + x + x 2 = 13 · 6x5 + 1 + 12 x 2 −1 = 2x5 + 1 + 2√1 x 3

2

√  (c) f (x) = 4x4 − 4x



2

2

  1

1 = 4x4 − 2x 2 = 4 · 4x3 − 2 · 12 x 2 −1 = 16x3 −

    √ 4

3 (d) f (x) = 8x2 − x + 2 + 6 x4 = 8x2 − x + 2 + 6x 3 √ 4 = 8 · 2x − 1 + 0 + 6 · 43 x 3 −1 = 16x − 1 + 8 3 x

√1 x

360

10. Grenzwerte, Stetigkeit, Differenziation



(e) f (x) = 12 x−2 + 2x−3 − 3x−4 = 12 ·(−2)x−2−1 +2·(−3)x−3−1 −3·(−4)x−4−1 = −x−3 − 6x−4 + 12x−5   1  √ 1 5

1 (f) f (x) = x + √1x + √ = x 2 + x− 2 + x− 3 3 5 1

x

1

5

= 12 x 2 −1 + (− 12 )x− 2 −1 + (− 35 )x− 3 −1 = 357
A

−

1 √ 2 x

√1 2 x3

−

3

5 √ 3 8 x

L¨ osung 10.4 (a) f (x) = (ex · x2 + 3x5 ) = ex · x2 + ex · 2x + 3 · 5x4 = ex (x2 + 2x) + 15x4 = x(x + 2)ex + 15x4 (b) f (x) = (4x · x4 ) = ln(4) · 4x · x4 + 4x · 4x3 = x3 4x (ln(4)x + 4) (c) f (x) = (2x · ln(x) + ln(x3 )) = 2 ln(x) + 2x ·

1 x

+ (3 ln(x)) = 2 ln(x) + 2 +

3 x

(d) f (x) = (3x4 · sin(x)) = 12x3 · sin(x) + 3x4 · cos(x) = 3x3 (4 sin(x) + x cos(x)) (e) f (x) = ((e−x + 4x )2 ) = ((e−x + 4x ) · (e−x + 4x ))

= (e−x + 4x ) · (−e−x + ln(4) · 4x ) + (−e−x + ln(4) · 4x ) · (e−x + 4x )  x = 2(e−x + 4x )(−e−x + ln(4) · 4x ) = −2e−2x + 2 ln(4)16x + 2 4e (ln(4) − 1) (f) f (x) = ((ln(x))2 · ex ) = (ln(x) ln(x)) · ex + (ln(x))2 ex = (ln(x) · x1 + x1 · ln(x)) · ex + (ln(x))2 ex = ex ln(x)( x2 + ln(x)) 357
A

L¨ osung 10.5 2

(a) f (x) = ( 3x2x+4 ) = (b) f (x) = (c) f (x) =

 

1√ 2+ x



6x·2x−(3x2 +4)·2 (2x)2

 √ = (2 + x)−1

7x2 +3x+1 x2 +x



=



=

6x2 −8 4x2

= −(2 +

= √

3 2

−

2 x2

x)−2 ·

1 √ 2 x

(14x+3)·(x2 +x)−(7x2 +3x+1)·(2x+1) (x2 +x)2

1 √ = − 2√x(2+ x)2

=

4x2 −2x−1 (x2 +x)2



(d) f (x) = (5x − 3)5 = 5(5x − 3)4 · 5 = 25(5x − 3)4 

(e) f (x) = (3x4 − x2 + 7)4 = 4(3x4 − x2 + 7)3 · (12x3 + x22 )   4 2 3 3 8 = 48x + x2 3x − x + 7    " 5

2 (f) f (x) = 3 (2x3 + 3x)5 = (2x3 + 3x) 3 = 53 (2x3 + 3x) 3 · (6x2 + 3) " = (10x2 + 5) 3 (2x3 + 3x)2

10.6 L¨ osungen

361

357
A

L¨ osung 10.6 (a) Es gilt

lim F (x) =

x→−∞

lim 0 = 0 und lim F (x) = lim (1 − e−x ) = 1. Zur

x→−∞

x→∞

x→∞

Untersuchung der Stetigkeit ist lediglich die Stelle x0 = 0 zu betrachten, da sich die Stetigkeit in den anderen Punkten des Definitionsbereichs aus der Stetigkeit 344
grundlegender Funktionen ergibt. Wegen lim (1 − e−x ) = 0 = x→0+

f (0) = lim 0 ist F auch stetig in x0 = 0 und damit stetig auf R. x→0−  0, x<0 Die Ableitung ist gegeben durch f (x) = F (x) = . e−x , x > 0 (b) Es gilt

lim F (x) =

x→−∞

lim e−x

x→−∞

2

= 0 und lim F (x) = lim 1 = 1. Zur x→∞

x→∞

Untersuchung der Stetigkeit ist lediglich die Stelle x0 = 0 zu betrachten (vgl. 2 (a)). Wegen lim e−x = 1 = f (0) = lim 1 ist F auch stetig in x0 = 0 und x→0−

x→0+

damit stetig auf R.



Die Ableitung ist gegeben durch f (x) = F (x) = (c) Es gilt

2

−2xe−x ,

x<0

0,

x>0

.

lim F (x) = lim 0 = 0 und lim F (x) = lim 1 = 1. Zur Untersu-

x→−∞

x→−∞

x→∞

x→∞

chung der Stetigkeit sind lediglich die Stellen x0 = 0 und x1 = 1 zu betrachten (vgl. (a)). Wegen lim 0 = 0 = f (0) = lim x und lim x = 1 = f (1) = x→0−

x→0+

x→1−

lim 1 ist F auch stetig in x0 = 0 und x1 = 1 und damit stetig auf R. x→1+ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨0, x < 0 Die Ableitung ist gegeben durch f (x) = F (x) = 1, 0 < x < 1 . ⎪ ⎪ ⎩0, x > 1 (d) Aus lim (−e−x ) = −∞ und lim (−e−x ) = 0 resultieren die Grenzwerte x→−∞

x→+∞

−x

lim F (x) = lim e−e

x→−∞

x→−∞

lim F (x) = lim e

x→+∞

x→+∞

−e−x

= lim ez = 0, z→−∞

= lim ez = 1. z→0

Als Verkettung stetiger Funktionen ist F auch stetig auf R. Die Ableitung ist −x −x nach der Kettenregel gegeben durch f (x) = F (x) = e−x e−e = e−x−e = −(x+e−x ) , x ∈ R. e

Kapitel 11 Integration

11

11

11

Integration

11.1

Integration und Stammfunktionen ............................ 365

11.2

Integrationsregeln ................................................ 371

11.3

Integration von st¨ uckweise definierten Funktionen ........ 375

11.4

Anwendungen in der Statistik ................................. 377

11.5

Aufgaben .......................................................... 383

11.6

L¨osungen .......................................................... 385

365

11.1 Integration und Stammfunktionen

365

11 Integration Die Berechnung von Integralen ist in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und der angewandten Statistik ein wichtiges Hilfsmittel zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten, Verteilungsfunktionen, Erwartungswerten, Varianzen und anderen Kenngr¨ oßen bei zu Grunde liegenden stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

11.1

11.1 Integration und Stammfunktionen Beispiel
Verteilungsfunktion Der Wert einer Verteilungsfunktion F (x) beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass eine 159
Zufallsvariable einen vorgege-

benen Wert x nicht u ¨ berschreitet. Hat die Verteilungsfunktion F eine Verteilungsdichte f , so ist die obige Wahrscheinlichkeit durch die vom Grafen von ache u f und der 62
Abszisse eingeschlossene Fl¨ ¨ber dem Intervall (−∞, x]
Standardexponentialverteilung mit Verteilungsdichte gegeben. F¨ ur die 378  0, t<0 f (t) = −t e , t≥0 ist der Wert der Verteilungsfunktion an der Stelle x > 0 gleich dem Inhalt der in der Grafik markierten Fl¨ ache. Das Intervall (−∞, 0] leistet keinen Beitrag zum Integral, da die Funktion f auf diesem Teilintervall gleich Null ist. ... 1 ..6 ...

... ... ... ... ... ... ... ... .... .... .... ..... ..... ..... ..... ..... .. ....... .. ......... ....... .. ....... .. ........ .......... .. ............ ............... ... ...................... ........................................ .. ................................................................ ...........................................................................................................

f (t)

F (x)

-

0

x

t 

Der Zusammenhang zwischen der Verteilungsdichte f und der zugeh¨origen Verteilungsfunktion F , F (x) = Fl¨ ache zwischen Graf von f und Abszisse bis zur Stelle x, wird mittels der Integralschreibweise

B

366

11. Integration

7

x

F (x) =

f (t)dt −∞

8 8x mit dem Integralzeichen notiert. −∞ f (t)dt heißt Integral von f u ¨ ber dem Intervall (−∞, x]. Die untere Integrationsgrenze −∞ und die obere Integrati8x onsgrenze x werden jeweils unten bzw. oben an das Integralzeichen −∞ nourzel dt wird die Variable (hier tiert (vgl. 111
Summenzeichen). Mit dem K¨ t) gekennzeichnet, u uhrt wird. Die Funktion f ¨ ber die die Integration ausgef¨ wird als zu integrierende Funktion bzw. als Integrand bezeichnet. Allgemein l¨ asst sich die Integration einer nicht-negativen Funktion f geometrisch als Berechnung des Fl¨ acheninhalts der von der Abszisse und dem Funktionsgrafen u ¨ ber dem Intervall eingeschlossenen Fl¨ache interpretieren. 6 f (t)

........................................... ....... .. .......... ...... ....... .. ..... ...... .. ...... ..... .. ..... .. ..... ..... .. ..... .. ..... .. ..... ..... .. ..... .. ..... ..... .. ..... .. ..... .. ..... ..... .. ..... b .. ... ... ........... .. ....... .. .. ....... . .. ......... a ................ ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..

7

f (t)dt

-

0

a

t

b

F¨ ur Integranden f mit negativen und positiven Funktionswerten kann das Integral i.Allg. nicht als8 Fl¨ achenmaß interpretiert werden. Im folgenden Bei1 spiel hat das Integral −1 f (t)dt den Wert Null, obwohl der Fl¨acheninhalt agt. offenbar 12 = 1 betr¨ 6 f (t) ..... ...... . ...... .. .. ...... ..... . .. . . . . . .. ...... ..... .. . . . . .... .. . . . . .... .. . . . . ... . .. . . . . .... .. . . . . .... .. . . . . ... . .. . . . . .... .. . . . . .... .. . . . . ... . .. . . . . ... . .. . . . . .... ... . . . . .... .. . . . . ... . .. . . . . .. ..... ..... .. ...... .. ...... ...... .. . . . . ...... ... ..... ...... ... ...... ..... . . . . ... .. ...... .. ..... .. ..... .. ........... .. ....... ....

1

−1

1

−1

t

11.1 Integration und Stammfunktionen

367

8b Formal wird das Integral a f (t)dt u uhrt, ¨ber Unter- und Obersummen eingef¨ die die vom Funktionsgrafen und der Abszisse eingeschlossene Fl¨ache approximieren und im Grenzwert dieser entsprechen. Dieser Zugang beruht auf der Idee, den Integrationsbereich in Intervalle zu 54
zerlegen und den Wert des Integrals durch den Wert der Untersumme von unten und durch den Wert der Obersumme von oben einzuschachteln, wobei sich deren Werte als Summe von Rechteckfl¨ achen leicht berechnen lassen. Die Zerlegung des Integrationsbereichs wird dann verfeinert, so dass die N¨aherung genauer wird. Konvergiert dieser Prozess, heißt die Funktion f integrierbar.∗ Die folgenden Grafiken illustrieren diesen Vorgang. Die Zahl n gibt jeweils die Anzahl der (gleich breit gew¨ ahlten) Teilintervalle an. Wie aus den Abbildungen ersichtlich ist, approximieren die Treppenstufen den Funktionsgrafen mit wachsender Anzahl von Teilintervallen besser. Obersumme

Untersumme

6

... ... ... ... ... ... .... ... .... .... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ...... ...... ...... .............. .. ........... ........ .. .......... ........... .. ............. .. ...... .. .. .

6

f (t)

f (t)

n=4

0

x

n=4

-

t

0

6

... ... ... ... ... ... .... ... .... .... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ...... ...... ...... .............. .. ........... ........ .. .......... ........... .. ............. .. ...... .. .. .

x

... ... ... ... ... ... ... .... ... ... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ...... ...... ....... ....... .. ...... .. ............ ......... .. .......... .. ........... ............. .. ..... .. .. .

f (t)

n = 10

0

x

-

t

6

f (t)

t

... ... ... ... ... ... ... .... ... ... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ...... ...... ...... ....... .. ....... .. ............ ......... .. .......... .. ........... ............. .. ..... .. .. .

n = 10

-

0

x

-

t

Auf eine Darstellung der mathematischen Zusammenh¨ange soll hier verzichtet werden, da der Anwendungsaspekt der Integralrechnung im Vordergrund steht (zu weiteren Informationen s. Kamps et al. 2003). Ziel des hier gew¨ ahlten Vorgehens ist, einfach handhabbare Rechenregeln bereitzustellen, um Integrale (und damit die interessierenden Gr¨ oßen) mit m¨oglichst geringem Aufwand berechnen zu k¨ onnen. Ein zentrales Hilfsmittel bei der Auswertung von Integralen ist der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung. ∗ Auf einem Intervall [a, b] stetige Funktionen sind dort auch integrierbar (s. Heuser, 2006).

368




11. Integration

Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung Seien f eine auf dem Intervall [a, b] stetige Funktion und F eine stetige, auf dem offenen Intervall (a, b) differenzierbare Funktion mit f (x) = F  (x)

f¨ ur alle x ∈ (a, b).

Dann kann das Integral von f u ¨ ber [a, b] berechnet werden gem¨aß 7 b f (t)dt = F (b) − F (a). a

Die Funktion F wird als Stammfunktion von f bezeichnet. 8b Alternativ werden f¨ ur das Integral a f (t)dt folgende Bezeichnungen verwendet: t=b 0 b 1b 0 1t=b   = F (t) = F (t) . F (t) = F (t) a

t=a

a

t=a

Dieser Satz zeigt insbesondere, dass die Integration als eine gewisse Umkehrung der Differenziation verstanden werden kann. B

Beispiel
Wegen



x4 4



= x3 definiert F (x) =

x4 4

nach dem Hauptsatz der

Differenzial- und Integralrechnung eine Stammfunktion zu f (x) = x3 . Somit gilt 4 b 7 b x 1 x3 dx = = (b4 − a4 ). 4 4 a a   4 4 ur G(x) = x4 + 2.  Wegen x4 + 2 = x3 + 0 = x3 gilt dies auch f¨ Allgemein l¨ asst sich sagen, dass F (x) + C mit einer beliebigen Konstanten C ∈ R eine Stammfunktion zu f definiert und umgekehrt jede beliebige Stammfunktion zwangsl¨ aufig von dieser Gestalt ist. Dabei ist zu beachten, dass f¨ ur ein beliebiges C die Beziehung (F (b) + C) − (F (a) + C) = F (b) − F (a) gilt, d.h. der Wert des Integrals h¨ angt nicht von der Wahl der Stammfunktion ab. Diese Beobachtung wird in der folgenden Aussage zusammengefasst. Eigenschaften von Stammfunktionen Sind F und F9 Stammfunktionen einer Funktion f , so unterscheiden sich F und F9 nur um eine Konstante C ∈ R, d.h. es gibt ein C ∈ R mit F (t) = F9 (t) + C

f¨ ur alle t ∈ (a, b).

11.1 Integration und Stammfunktionen

369

Eine Stammfunktion von f ist gegeben durch 7 t f (x)dx, t ∈ (a, b). F (t) = a

Stammfunktionen zu einer Funktion f werden auch als unbestimmtes Integral 8 f (t)dt bezeichnet (die Integrationsgrenzen werden nicht spezifiziert). Zur 8b Abgrenzung wird a f (t)dt bestimmtes Integral genannt. Beispiel
Unbestimmte Integrale Das unbestimmte Integral

8

x3 dx wird nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung interpretiert als 7 1 x3 dx = x4 + C, 4

B

wobei C eine beliebige reelle Zahl ist. Dies l¨ asst sich durch Differenzieren der rechten Seite nachweisen. Entsprechend gelten z.B. 7 7 7 1 1 1 t t ∗ dy = ln(|y|) + C, dz = − 2 + C.  e dt = e + C, y z3 2z Die Voraussetzung der Stetigkeit im Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung ist eine Bedingung, auf die ohne Weiteres nicht verzichtet werden kann. Die Funktion  1 z = 0 2, f (z) = z 0, z=0 ist nicht stetig auf [−1, 1]. Der Hauptsatz w¨ urde bei Vernachl¨assigung dieser Eigenschaft mit der Stammfunktion“ F (z) = − z1 das Ergebnis ” 7 1
f (z) dz = F (1) − F (−1) = −2 −1

81 liefern. Tats¨ achlich gilt aber −1 f (z)dz = ∞ (vgl. 372
Beispiel Offener Integrationsbereich). Andererseits gilt etwa f¨ ur die in t = 0 unstetige Funktion ∗ Die

Stammfunktion zu

1 y

ist ln(|y|), da y auch negative Werte haben kann. Bei Ein-

schr¨ ankung auf positive Argumente y > 0 ist nat¨ urlich ln(y) Stammfunktion zu Integration von

1 y

1 . y

Bei der

ist 0 ∈ (a, b) zu beachten, d.h. 0 darf nicht im Integrationsbereich liegen.




370

11. Integration

f (t) = ½[0,∞) (t) die Beziehung (a ≤ b) ⎧ ⎪ b≤0 ⎪ 7 b ⎨0, f (t) dt = b, a≤0≤b. ⎪ a ⎪ ⎩b − a, 0 ≤ a  Mit F (x) =

0,

x≤0

x, x > 0

gilt dann f¨ ur beliebige a ≤ b 7

b

f (t) dt = F (b) − F (a).

(♣)

a

Zudem gilt f¨ ur t = 0 F  (t) = f (t). Die (unstetige) Funktion f hat somit bis auf den Punkt t = 0 eine Stammfunktion. Die Beziehung (♣) gilt auf R. Insofern kann F als Stammfunktion bezeichnet werden. Der zentrale Unterschied zum vorhergehenden Beispiel besteht darin, dass F stetig auf (a, b) ist. Weitere Informationen zu dieser Fragestellung sind in 375
Abschnitt 11.3 zu finden. Eine wesentliche Folgerung aus dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung ist, dass zu einem Integranden f (lediglich) eine Funktion F zu bestimmen ist, deren Ableitung f ist. Da das Ableiten einer Funktion auf einfache Weise systematisch m¨ oglich ist, resultiert eine Tabelle von Funktionspaaren, die zur Integration von Funktionen eingesetzt wird (vgl. 352
Tabelle Ableitungen von Funktionen). Wichtige Stammfunktionen Funktion f t

n

tp 1 t 1 tn t

Parameterbereich Definitionsbereich D

Stammfunktion F

n∈N

R

p = −1

(0, ∞)

1 n+1 n+1 t 1 p+1 p+1 t

R \ {0}

ln(|t|)

R \ {0}

1 1 1−n tn−1 t

n ∈ N, n ≥ 2

e

R

−t

R

−e−t

sin(t)

R

− cos(t)

cos(t)

R

sin(t)

e

e

11.2 Integrationsregeln

371

Beispiel
Aus der obigen Tabelle ergibt sich f¨ ur f (t) =

funktion F (t) =

1 −3+1 1+(−3) t

resultiert die Stammfunktion

1 t3

= t−3 die Stamm√ = x3/2

= − 12 t−2 = − 2t12 . F¨ ur g(x) = x3 √ 1 G(x) = 3 +1 x3/2+1 = 25 x5/2 = 25 x5 . 2

B



Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung gilt auch f¨ ur die F¨alle a = −∞, b ∈ R, a ∈ R, b = ∞ und a = −∞, b = ∞, sofern jeweils die Grenzwerte lim F (t) bzw. lim F (t) endlich existieren. In diesem Fall gilt t→−∞

etwa

t→∞

7

b

−∞

f (t)dt = F (b) − lim F (t). t→−∞

Ein Integral mit Integrationsgrenze −∞ und/oder +∞ wird als uneigentliches Integral bezeichnet.

11.2

11.2 Integrationsregeln Neben dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung spielen Rechenregeln f¨ ur Verkn¨ upfungen von Funktionen eine große Rolle bei der Berechnung von Integralen, weil diese die Bestimmung von Stammfunktionen auf gewisse Grundtypen reduzieren. Faktor- und Summenregel Sei [a, b] ein Intervall. F¨ ur (st¨ uckweise) stetige Funktionen f, g und Zahlen c, d ∈ R gilt 7 b 7 b 7 b (cf (t) + dg(t))dt = c f (t)dt + d g(t)dt. a

a

a

Beispiel


B



1 (i) −1 (2x − 1)dx = x2 − x −1 = [1 − 1] − [1 − (−1)] = −2 81

(ii)

84

84 84 84 (x3 + 2x − 5)dx = 0 x3 dx + 0 2xdx − 0 5dx 14 0 14 0 14 = 14 x4 + x2 − 5x = 14 · 44 + 42 − 5 · 4 = 64 + 16 − 20 = 60 00

0

(iii)

82

0

82

2 2t−1 1 t dt − 1 t2 dt = − 12 − (−1) = 12

0

=

8 2 2 1

t

−

2t−1 t2

dt =

82

1 1 t2 dt

=

82 1

t−2 dt =

 1 −1 2 −1 t 1

372

11. Integration

e e 8e 8e ( 1t + 1)dt = 1 1t dt + 1 1dt = ln(|t|)1 + t1 = ln(|e|) − ln(|1|) + e − 1 = ln(e) − ln(1) + e − 1 = 1 − 0 + e − 1 = e

 5 85 85 (v) −∞ et−3 dt = −∞ et e−3 dt = e−3 et −∞ = e−3 e5 − lim et t→−∞   = e−3 e5 − 0 = e2

(iv)

8e 1

Weitere n¨ utzliche Integrationsregeln sind die folgenden Aussagen. Integrationsregeln F¨ ur eine auf dem Intervall [a, b] stetige Funktion f gilt: 8c ur alle c ∈ [a, b], 1. c f (t)dt = 0 f¨ 8b 8a 2. a f (t)dt = − b f (t)dt. 8c Aus der Regel c f (t)dt = 0 folgt, dass der Integrationsbereich [a, b] durch die (halb-)offenen Intervalle (a, b], [a, b) oder (a, b) ersetzt werden kann, ohne den Wert des Integrals zu ver¨ andern. I.Allg. wird f¨ ur den Integranden f angenommen, dass er (st¨ uckweise) stetig auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b] ist. Diese Voraussetzung kann derart abgeschw¨acht werden, dass f (st¨ uckweise) stetig auf dem offenen Intervall (a, b) ist und die (auf (a, b) existierende) Stammfunktion endliche Grenzwerte bei Ann¨aherung an a bzw. b hat. B

Beispiel
Offener Integrationsbereich Die obigen Regeln erm¨ oglichen die Be1 , x > 0, u rechnung des Integrals der Funktion f (x) = 2√ ¨ ber dem Intervall x (0, b] mit b > 0, obwohl f an der Stelle x = 0 nicht definiert ist. Offenbar gilt √ f¨ ur F (x) = x, x > 0, die Beziehung F  (x) = f (x), so dass 7 b 7 b √ √ √ b √ 1 √ dt = t = b − lim t = b. f (t)dt = t→0 0 0 0 2 t

Die Berechnung des Integrals der Funktion f (x) = x1 , x > 0, u ¨ ber dem Integrationsbereich (0, b] mit b > 0, liefert 7 b 7 b b 1 dt = ln(t)0 = ln(b) − lim ln(t). f (t)dt = t→0+ 0 0 t ur, dass der Wert Da lim ln(t) = −∞ gilt, ist diese Funktion ein Beispiel daf¨ t→0+

eines Integrals nicht endlich sein muss.



11.2 Integrationsregeln

373

Die Umkehrung zur 353
Produktregel der Differenziation ist die partielle Integration. Partielle Integration Seien [a, b] ein Intervall und f, g differenzierbare Funktionen mit (st¨ uckweise) stetigen Ableitungen f  , g  auf dem offenen Intervall (a, b). Dann gilt 7 b b 7 b  f  (t) · g(t)dt = f (t) · g(t) − f (t) · g  (t)dt. a

a

a

Beispiel
Partielle Integration

(i)

81 0

B

1 8 1 1 P xex dx = xex 0 − 0 1 · ex dx = e − 0 − ex 0 = e − (e − 1) = 1

(P: Partielle Integration mit f  (x) = ex und g(x) = x) t 8 t 8t 8t P (ii) F¨ ur t > 0 gilt: 1 ln(x)dx = 1 1 · ln(x)dx = x ln(x)1 − 1 x · x1 dx  8t t = t ln(t) − 0 − dx = t ln(t) − x = t ln(t) − t + 1 = t(ln(t) − 1) + 1 1

1

(P: Partielle Integration mit f  (x) = 1 und g(x) = ln(x)) u 8 u 8u 8u P1 (iii) 0 x2 ex dx = x2 ex 0 − 0 2x · ex dx = u2 eu − 2 0 x · ex dx u 8 u x   P2 2 u = u e −2 xex  − e dx = u2 eu −2ueu +2eu −2 = (u2 −2u+2)eu −2 0

0

(P1: 1. Partielle Integration mit f  (x) = ex und g(x) = x2 , P2: 2. Partielle  Integration mit f  (x) = ex und g(x) = x; vgl. (i)) Substitutionsregel Seien [a, b] ein Intervall, f eine differenzierbare Funktion mit stetiger Ableitung f  auf dem offenen Intervall (a, b) und Wertebereich [c, d] . Ferner sei g eine (st¨ uckweise) stetige Funktion mit einem Definitionsbereich, der den Wertebereich [c, d] von f umfasst. Dann gilt 7 f (b) 7 b f  (t)g(f (t))dt = g(u)du. f (a)

a

Beispiel
Anwendungen der Substitutionsregel

(i)

82

−1 (v

+ 1)2 dv =

82 −1

S

1 · (v + 1)2 dv =

8 2+1 −1+1

B

y 2 dy =

83

(S: Substitution f (v) = v + 1, f  (v) = 1, g(y) = y 2 )

0

3 y 2 dy = 13 y 3 0 = 9

374

(ii)

11. Integration

8x 0

S

λe−λt dt =

8 λx 0

λx e−z dz = −e−z 0 = 1 − e−λx

(S: Substitution f (t) = λt, f  (t) = λ, g(z) = e−z ) 8x Insbesondere gilt f¨ ur λ = 1: 0 e−t dt = 1 − e−x 8x k (iii) F¨ ur k = 0 gilt: 0 tk−1 e−t dt = 0 1 xk   k = k1 − e−z = k1 1 − e−x

1 k

8x 0

k

S 1 k

ktk−1 e−t dt =

8 xk 0

e−z dz

0

(S: Substitution f (t) = tk , f  (t) = ktk−1 , g(z) = e−z )




B



8x Zur Berechnung des Integrals 0 λe−λt dt wurde die Substitutionsregel mit den Funktionen f (t) = λt, f  (t) = λ und g(z) = e−z angewendet. Diese Setzung wird im Folgenden auch kurz mit z = f (t) = λt, d.h. z = λt, notiert. Zus¨ atzlich wird auch die Notation dz = λdt verwendet. Beispiel
Sukzessive Anwendung von Substitutionsregel und partieller Inte-

8t gration F¨ ur das Integral 12 0 λ3 x2 e−λx dx ergibt sich zun¨achst aus der Substitutionsregel mit S z = λx 7 7 7 λt 1 t 3 2 −λx 1 t S 1 λ x e dx = λ(λx)2 e−λx dx = z 2 e−z dz. 2 0 2 0 2 0 Die zweimalige Anwendung der partiellen Integration liefert die L¨osung∗ 1 2

7

t

3 2 −λx

λ x e 0

1 dx = 2 S

7

λt

z 2 e−z dz = P

0

λt 1  2 −z −z e − 2ze−z − 2e−z 0 2

 1 = 1 − e−λt λ2 t2 + 2λt + 2 . 2



Die Anwendung der Substitutionsregel bei 369
unbestimmten Integralen erfolgt in der Form 7 f  (t)g(f (t))dt = G(f (t)) + C, wobei G eine Stammfunktion zu g ist. B

Beispiel
F¨ ur das unbestimmte Integral

8

2

tet dt resultiert mit8der Substitu2  tion f (t) = t (f (t) = 2t) sowie der Stammfunktion G(z) = 12 ez dz = 12 ez 7 7 2 1 1 2 t2  te dt = 2tet dt = G(f (t)) + C = et + C. 2 2 ∗ Vgl. 373
Beispiel

Partielle Integration (iii).

11.3 Integration von st¨ uckweise definierten Funktionen

375

11.3 Integration von st¨ uckweise definierten Funktionen

11.3

Bisher wurden lediglich Integranden betrachtet, die auf dem Integrationsbereich stetig waren. Diese Voraussetzung ist jedoch zur Berechnung des Integrals nicht erforderlich und kann abgeschw¨ acht werden. In der Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung sind insbesondere st¨ uckweise stetige Funktionen von Bedeutung, d.h. der Graf des Integranden hat an endlich vielen Stellen einen Sprung. Bei der Berechnung derartiger Integrale ist die folgende Regel n¨ utzlich, die nat¨ urlich auch bei stetigen Funktionen anwendbar ist. Integrationsregel: Aufteilung des Integrationsbereichs F¨ ur eine auf dem Intervall [a, b] (st¨ uckweise) stetige Funktion f gilt 7 m 7 b 7 b f (t)dt = f (t)dt + f (t)dt f¨ ur alle m ∈ [a, b]. a

a

m

Beispiel
Integrale st¨ uckweise definierter Funktionen



(i) Sei f (t) =

0,

t<0

. Dann gilt f¨ ur das Integral F (x) =

λe−λt , t ≥ 0 x ∈ R, zun¨ achst 7 x 7 x f (t)dt = 0dt = 0 −∞

B

8x −∞

f (t)dt,

f¨ ur alle x < 0.

−∞

Ist x ≥ 0, wird der Integrationsbereich zun¨achst an der Stelle x = 0 geteilt. Anschließend werden zwei Integrale gel¨ost: 7

7

7 x 7 x f (t)dt + f (t)dt = 0 + λe−λt dt −∞ 0 0 x  = −e−λt  = 1 − e−λx , x ≥ 0.

x

0

f (t)dt = −∞

0

Somit gilt F (x) =

8x −∞



f (t)dt =

0, 1−e

x<0 −λx

, x≥0

.

1 ½[a,b] (t), t ∈ R, mit a < b. Dann l¨asst sich der Integrati(ii) Sei g(t) = b−a onsbereich R in die drei Intervalle (−∞, a], (a, b] und (b, ∞) aufteilen, und es gilt: 7 x 7 x g(t)dt = 0dt = 0, x ∈ (−∞, a] : −∞

−∞

376

11. Integration

7

x ∈ (a, b] : x ∈ (b, ∞) :

7

1 x−a 1 dt = (x − a) = , b − a b − a b−a −∞ a 7 x 7 b 7 x b−a + 0 = 1. g(t)dt = g(t)dt + 0dt = b−a −∞ −∞ b x

x

g(t)dt = 0 +

Insgesamt resultiert f¨ ur das Integral die Darstellung ⎧ ⎪ x≤a ⎪ 7 x ⎨0, x−a g(t)dt = b−a , a < x ≤ b . G(x) = ⎪ −∞ ⎪ ⎩1, x>b (iii) Sei h(x) = 12 e−|x| , x ∈ R. Dann gilt mit der Darstellung  1 x e , x≤0 : h(x) = 21 −x , x>0 2e 7

7

1 x 1 t 1 e dx = ex  = et 2 2 2 −∞ −∞ −∞ 7 t 7 0 7 t t > 0: H(t) = h(x)dx = h(x)dx + h(x)dx t ≤ 0: H(t) =

t

t

h(x)dx =

−∞

−∞ 0

0

7 t 1 x 1 −x e dx + e dx = −∞ 2 0 2 7 1t 1 t −x 1 10 1 − e−x e dx = + = e0 + 2 2 0 2 2 0 1 −t =1− e 2 7

Insgesamt folgt somit 7



t

H(t) =

h(x)dx = −∞

t≤0

1 t 2e ,

1−

1 −t 2e ,

t>0

.



Ist eine st¨ uckweise definierte Funktion f : R −→8R außerhalb des Intervalls 8b ∞ [a, b] gleich der Nullfunktion, wird oftmals statt −∞ f (t)dt sofort a f (t)dt geschrieben. Auf dem restlichen Integrationsbereich8 ergibt sich f¨ ur das Inte∞ gral Null, so dass es keinen Beitrag zum Wert von −∞ f (t)dt liefert.

11.4 Anwendungen in der Statistik

377

Integrale und Indikatorfunktion Seien [a, b] ein Intervall mit a < b und f eine auf [a, b] integrierbare Funktion. Dann gilt 7 b 7 ∞ f (t)½[a,b] (t)dt = f (t)dt. −∞

a

8b Entsprechende Aussagen gelten f¨ u r −∞ f (t)½[a,∞) (t)dt 8∞ ur offene und halboffene Intervalle. a f (t)½(−∞,b] (t)dt sowie f¨

bzw.

Beispiel
Aus der obigen Regel ergibt sich f¨ ur die durch

⎧ ⎪ ⎪0, ⎨ g(t) =




t<3

t , 3≤t<6 ⎪ ⎪ ⎩0, 6 ≤ t 2

B

= t2 ½[3,6) (t)

gegebene Funktion g : R −→ R das Integral 7 ∞ 7 ∞ 7 6 1 6 1 3 6 − 33 = 63.  g(t)dt = t2 ½[3,6) (t)dt = t2 dt = t3  = 3 3 3 −∞ −∞ 3

11.4

11.4 Anwendungen in der Statistik Im Folgenden werden einige wichtige Begriffe aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik eingef¨ uhrt, die auf dem Integralbegriff beruhen. Dichtefunktion, Verteilungsdichte, Verteilungsfunktion Eine Funktion f : R −→ R heißt Dichtefunktion (Verteilungsdichte), falls sie

Definition

ur alle x ∈ R, und 1. nicht-negativ ist, d.h. f (x) ≥ 0 f¨ 2. die Fl¨ache zwischen 62
Abszisse und dem Funktionsgrafen von f den Fl¨achen8∞ inhalt Eins hat, d.h. −∞ f (t)dt = 1. Ist f eine Dichtefunktion, so heißt die durch F (x) = Funktion F Verteilungsfunktion zu f .∗ ∗ Die

8x −∞

f (t)dt, x ∈ R, definierte

Verteilungsfunktion F ist somit eine konkrete Stammfunktion zur Dichte f .



378

B

11. Integration

Beispiel
Rechteckverteilung Die durch f (x) =

½[0,1] (x), x ∈ R, definier-

te Funktion f ist offensichtlich nicht-negativ. Daher bleibt die Integrationsuckweise definierter bedingung zu pr¨ ufen. Aus 375
Beispiel (ii) Integrale st¨ Funktionen resultiert diese Forderung direkt mit a = 0 und b = 1, d.h. f ist eine Dichtefunktion. Sie wird Dichtefunktion der Rechteckverteilung auf dem Intervall [0, 1] genannt. 1 ½[a,b] (x), x ∈ R, mit a < b die Dichtefunktion Allgemein definiert f (x) = b−a einer Rechteckverteilung auf dem Intervall [a, b]. Die zugeh¨orige Verteilungsuckweise funktion ist dann gegeben durch (vgl. 375
Beispiel (ii) Integrale st¨ definierter Funktionen) ⎧ ⎪ x
B

Beispiel
Exponentialverteilung F¨ ur λ > 0 ist die durch die Fallunterschei-



0,

t<0

definierte Funktion f nicht-negativ und erf¨ ullt λe , t ≥ 0 nach 375
Beispiel (i) Integrale st¨ uckweise definierter Funktionen die Bedingung 7 x 7 ∞ f (t) = lim f (t)dt = lim (1 − e−λx ) = 1, dung f (t) =

−λt

−∞

x→∞

x→∞

−∞

d.h. f ist eine Dichtefunktion. Sie wird als Dichtefunktion der Exponentialverteilung mit Parameter λ bezeichnet. Ihre Verteilungsfunktion ist gegeben durch  7 x 0, x≤0 . f (t)dt = F (x) = −λx , x>0 1−e −∞ F¨ ur λ = 1 heißt die Verteilung auch Standardexponentialverteilung.



Wichtige Kenngr¨ oßen einer Verteilung sind ihre Momente.


Definition Moment, Erwartungswert Sei k ∈ N. Ist f eine Dichtefunktion, so wird (im Fall der Existenz) das k -te Moment von f definiert durch das Integral

7 mk = F¨ ur k = 1 heißt m1 = ∗ bzw.

8∞ −∞

∞

xk f (x)dx.

−∞

xf (x)dx auch Erwartungswert von f .∗

Erwartungswert der zu f geh¨ origen Verteilung.

11.4 Anwendungen in der Statistik

379

Beispiel


B

(i) F¨ ur die 378
Exponentialverteilung mit Parameter λ gilt mit der Substitution S z = λx (vgl. 373
Beispiel (i) Partielle Integration) 7 ∞ 7 ∞ 1 S 1 −λx xλe dx = ze−z dz = . m1 = λ 0 λ 0 Der Parameter λ beschreibt also den Kehrwert des Erwartungswerts der Exponentialverteilung. F¨ ur das zweite Moment gilt wiederum mit der Substitution S z = λx (vgl. 374
Beispiel Sukzessive Anwendung von Substitutionsregel und partieller Integration) 7 ∞ 7 ∞ S 1 x2 λe−λx dx = 2 z 2 e−z dz m2 = λ 0 0  ∞ 7 ∞ P 1 2 −z  = 2 −z e  + 2ze−z dz λ 0 0  7 ∞ ∞ ∞ 1 2 1 0 P 1  −z  = 2. = 2 0 − 2ze  + 2 e−z dz = 2 0 − 2e−z  λ λ λ 0 0 0 (ii) F¨ ur die 378
Rechteckverteilung auf dem Intervall [a, b] gilt f¨ ur das k-te Moment∗ 7 b 7 ∞ 1 1 mk = xk ½[a,b] (x)dx = xk dx b − a b − a −∞ a b k+1 k+1 1 1 − a b = xk+1 = . b−a k+1 (k + 1)(b − a) a Insbesondere gilt f¨ ur den Erwartungswert (k = 1) nach der 16
dritten binomischen Formel (b − a)(b + a) a+b b 2 − a2 = = . m1 = 2(b − a) 2(b − a) 2 (iii) Die Dichtefunktion der Normalverteilung mit Erwartungswert µ ∈ R wird durch (vgl. auch die Definition der 166
zweiparametrige Variante) 2 1 1 f (x) = √ e− 2 (x−µ) , 2π

x ∈ R,

definiert (π = 3,1415 . . .). Wie die folgende Rechnung zeigt, beschreibt der Parameter µ tats¨ achlich den Erwartungswert. Der Nachweis dieser Eigenschaft benutzt die Aussage, dass die Funktion f f¨ ur jedes µ eine Dichtefunktion ist, d.h. die Integrationsbedingung ∗ Im

zweiten Schritt wird die 377
Rechenregel

∞ 8 −∞

g(x)½[a,b] (x)dx =

8b a

g(x)dx benutzt.

380

11. Integration

7

7

∞

∞

f (x)dx = −∞

−∞

2 1 1 √ e− 2 (x−µ) dx = 1 2π

ist f¨ ur jedes µ ∈ R erf¨ ullt.∗ Im ersten Schritt wird der Erwartungswert zun¨ achst geeignet umgeformt:† 7 ∞ 7 ∞ 7 ∞ m1 = xf (x)dx = (x − µ)f (x)dx + µf (x)dx −∞ −∞ −∞ 7 ∞ 7 ∞ 2 1 1 (x − µ) √ e− 2 (x−µ) dx + µ f (x)dx = 2π −∞ −∞  
=1 7 ∞ 1 2 1 S = z √ e− 2 z dz + µ, 2π −∞ wobei im letzten Schritt die Substitution S z = x − µ verwendet wird. Das noch zu berechnende Integral ist Null, denn mit der Substitution S y = −z gilt die Beziehung 7 0 7 −∞ 7 ∞ 1 2 1 2 1 2 1 1 1 S z √ e− 2 z dz = − z √ e− 2 z dz = − y √ e− 2 y dy. 2π 2π 2π −∞ 0 0 Damit addieren sich die Integrale zu Null 7 0 7 ∞ 7 ∞ 1 − 1 z2 1 − 1 z2 1 1 2 2 2 z√ e dz = z√ e dz + z √ e− 2 z dz 2π 2π 2π −∞ −∞ 0 7 ∞ 7 ∞ 1 2 1 − 1 y2 1 y √ e 2 dy + z √ e− 2 z dz = 0, =− 2π 2π 0 0 und der Erwartungswert m1 hat den Wert des Parameters µ. Das Resultat ist ebenfalls g¨ ultig f¨ ur eine Normalverteilung mit Erwar2 tungswert µ ∈ R und Varianz σ > 0, deren Dichte meist mit ϕµ,σ2 bezeichnet wird und durch 2 1 1 ϕµ,σ2 (x) = √ e− 2σ2 (x−µ) , 2 2πσ

x ∈ R,

gegeben ist. F¨ ur µ = 0 und σ 2 = 1 heißt die Verteilung auch Stan1 2 dardnormalverteilung mit Dichtefunktion ϕ(x) = √12π e− 2 x , x ∈ R. Der Funktionsgraf der Dichte wird wegen seiner charakteristischen Form auch ∗ Der

† Aus

Nachweis dieser Beziehung u ¨bersteigt den Rahmen des Buchs. der 371
Summenregel folgt allgemein die Beziehung 7 7 7 [(x − µ)f (x) + µf (x)] dx xf (x)dx = (x −µ + µ)f (x)dx =
  7 =

=0

(x − µ)f (x)dx +

7 µf (x)dx.

11.4 Anwendungen in der Statistik

381

Gaußsche Glockenkurve“ genannt. ” ..................... ...... . ......... .... ... ... ... .... ... ... . . . ... ... ... ... ... . ... . . ... . . ... .... ... . . ... .. ... . . .. ... . . . . ... . . . ... ... . .. ... . . . . ... . .. . ... . ... . ... . . ... . . . . . ... .. . ... . .. .. ... . . . . ... .. . . ... ... . ... . . . . .... ... . . . .... .. . . . ..... . . . .... ...... . . . . . . ....... .... . . . . ......... . . ..... . . .............. . . . . . . . . . . . ........ ............. ..

ϕµ,σ 2 (x)

6

µ

x

(iv) Die Dichtefunktion einer log-Normalverteilung mit Parametern µ ∈ R und σ 2 > 0 ist gegeben durch 2 1 1 fµ,σ (x) = √ e− 2σ2 (ln(x)−µ) , 2 x 2πσ

x > 0.

Ihr Graf hat f¨ ur µ = 0 und σ = 1 den Verlauf: 6 ...................

f0,1 (x)

.. ... .. .. ... . .. .. ... .... .. ... ... .... .. ... ... ..... . ... ... .... .. ... ...

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... .... .... .... .... ..... ..... ...... ...... ...... ....... ....... ........ ......... .......... ............ .............. ................. ....................... ............................... .................................................... .............

-

x

Durch eine Substitution S g(x) = ln(x) und g  (x) = x1 wird nachgewiesen, dass es sich tats¨ achlich um eine Dichtefunktion handelt (die NichtNegativit¨ at ist offensichtlich): 7 ∞ 7 ∞ 2 1 1 √ fµ,σ (x)dx = e− 2σ2 (ln(x)−µ) dx 2 x 2πσ −∞ 0 7 ∞ 2 1 1 S √ = e− 2σ2 (z−µ) dz = 1. 2 2πσ −∞ Die letzte Gleichung ergibt sich aus der Eigenschaft, dass der Integrand die Dichtefunktion einer Normalverteilung mit Parametern µ und σ 2 ist. 

382




11. Integration

Definition Varianz Die Varianz einer Dichtefunktion f ∗ ist (im Fall der Existenz) definiert durch das Integral

7

∞

v= −∞

(x − m1 )2 f (x)dx,

wobei m1 der Erwartungswert von f ist.

Mit Hilfe der Summen- und Faktorregel der Integration folgt eine Beziehung zwischen Varianz und Momenten von f . Varianzformel F¨ ur die Varianz der Dichtefunktion f gilt v = m2 − m21 .

Nachweis. Aus der 371
Summen- und Faktorregel folgt 7 ∞ 7 ∞ v= (x − m1 )2 f (x)dx = (x2 − 2m1 x + m21 )f (x)dx −∞ −∞ 7 ∞ 7 ∞ 7 ∞ x2 f (x)dx −2m1 xf (x)dx +m21 f (x)dx = −∞ −∞ −∞      


=m2

= m2 −

2m21

=m1

+

m21

= m2 −

m21 .

=1



B

F¨ ur die Varianz der 378
Exponentialverteilung mit Parameter λ > 0 resultiert das Ergebnis

2 1 2 1 2 = 2.  v = m2 − m1 = 2 − λ λ λ

B

Beispiel
F¨ ur die 378
Rechteckverteilung auf dem Intervall [a, b] resultiert

Beispiel


die Varianz

2 a+b b 3 − a3 − 3(b − a) 2 a2 + 2ab + b2 4b2 + 4ab + 4a2 − 3a2 − 6ab − 3b2 b2 + ab + a2 − = = 3 4 12 (b − a)2 b2 − 2ab + a2 = .  = 12 12

v = m2 − m21 =

∗ bzw.

der zu der Dichtefunktion f geh¨ origen Verteilung

11.5 Aufgaben

383

11.5

11.5 Aufgaben Bestimmen Sie jeweils eine Stammfunktion.

Aufgabe 11.1

(a) f (x) = 4x3 + 3x + 1 √ 5 (b) f (x) = x3

(d) f (x) =

(c) f (x) = 2ex

(f) f (x) =

(a)

1 √ 4

(e) f (x) = 5x4 + 4 +

2

(3x + 1) dx

(f)

(g)

1

(c)

81

(d)

(2 − x)dx +

2(x − 1) dx

0

x4 dx −

0

(e)

(h) f (x) = 4x

386
L 1 x4

+

1 x5

dx

84 √ 5 4 x dx 1

81

0

81

82  1

84 √ ( x + x) dx

6 x

2x+3 √ x

0

(b)

(g) f (x) = (x − 2)2

x

Berechnen Sie die Integrale.

Aufgabe 11.2

82

4

385
L

81

x4 dx +

85

x4 dx

3

84

87 x(x2 + x) dx + (x3 + x2 ) dx −

1 87

4 2

(x + x ) dx

81

1

(e 3 x + 3x2 ) dx

−1

3

3

(h)

(i)

81

5x dx

0

(j)

−1 8 −3

4 x

dx

1

Aufgabe 11.3 Bestimmen Sie jeweils mit Hilfe der Substitutionsmethode eine

Stammfunktion. (a) f (x) = (2x + 3)3

(d) f (x) =

9x2 +1 x(3x2 +1)

(b) f (x) =

2ex 3+2ex

(e) f (x) =

3 3x ln(x)+2x

(c) f (x) =

√ 2x x2 +3

(f) f (x) =

1 (x+2) ln(x+2)

386
L

384

387
L

11. Integration

Berechnen Sie jeweils mit Hilfe der Substitutionsmethode. 810 x √ (d) (2x + 3)4 dx dx 2x+5

Aufgabe 11.4

(a)

81 0

(b)

81

2

(1 + x3 )2 · 3x2 dx

(e)

85 3

388
L

(6x + 5) · e3x

2

+5x

dx

0

0

(c)

81

2x+4 x2 +4x

(f)

dx

812

√ 4x 4 x + 4 dx

−4

Aufgabe 11.5 Bestimmen Sie jeweils mit Hilfe der partiellen Integration eine

Stammfunktion.

389
L

(a) f (x) = xex

(c) f (x) = ln(x)

(e) f (x) = log2 (x)

(b) f (x) = ex (x2 + 3x)

(d) f (x) = x2 ln(x)

(f) f (x) = (ln(x))2

(a)

82 1

390
L

Berechnen Sie jeweils mit Hilfe der partiellen Integration. 4 81 8e ln(x) 3 2x x ln(x) dx (b) (3x + 1)e dx (c) dx x

Aufgabe 11.6

0

1

Die Verteilung mit der Dichtefunktion f (x) = αxα−1 ½[0,1] (x), x ∈ R, heißt Betaverteilung mit Parameter α > 0.

Aufgabe 11.7

(i) Zeigen Sie, dass f eine Dichtefunktion ist. (ii) Berechnen Sie Verteilungsfunktion, Momente und Varianz von f . 391
L

α Berechnen Sie f¨ ur die durch f (x) = xα+1 ½[1,∞) (x), x ∈ R, gegebene Dichtefunktion der Pareto-Verteilung mit Parameter α > 0 die Verteilungsfunktion sowie den Erwartungswert (f¨ ur α > 1). Was ergibt sich f¨ ur den Erwartungswert im Fall α = 1?

391
L

Aufgabe 11.9

Aufgabe 11.8

Die Verteilung mit der Dichtefunktion  0, x<0 f (x) = λn n−1 −λx e , x≥0 (n−1)! x

heißt Erlang-Verteilung mit den Parametern n ∈ N und λ > 0. (i) Zeigen Sie f¨ ur n = 3, dass f eine Dichtefunktion ist.

11.6 L¨ osungen

385

(ii) Berechnen Sie f¨ ur n = 2 Erwartungswert und Varianz von f . Benutzen Sie dabei bereits bekannte Ergebnisse.∗ (iii) Zeigen Sie, dass die Verteilungsfunktion F von f gegeben ist durch ⎧ ⎪ x<0 ⎨0, n−1 j  (λx) . F (x) = −λx ⎪ ⎩1 − e j! , x ≥ 0 j=0

8∞ Durch die Vorschrift m(t) = −∞ etx f (x)dx, t ∈ R, wird die momenterzeugende Funktion einer Dichte f definiert.

Aufgabe 11.10

392
L

Berechnen Sie die momenterzeugende Funktion der 378
Exponentialverteilung, d.h. von f (x) = λe−λx ½[0,∞) (x),

x ∈ R.

Was m¨ ussen Sie bzgl. des Definitionsbereichs von m beachten? Weisen Sie außerdem nach, dass m (0) = m1 gilt, d.h. dass die Ableitung der momenterzeugenden Funktion an der Stelle t = 0 gleich dem Erwartungswert der betrachteten Dichtefunktion ist.

11.6 L¨ osungen L¨ osung 11.1 C bezeichnet jeweils eine beliebige reelle Zahl. 8 (a) (4x3 + 3x + 1) dx = x4 + 32 x2 + x + C √ √ √ 8 3 8 √ 8 5 5 5 5 x3 dx = x 5 dx = 58 · x 5 + C = 58 x8 + C = 58 x5+3 + C = 58 x x3 + C (b) 8 (c) 2ex dx = 2ex + C √ 8 −1 8 1 3 4 1 √ dx = x 4 dx = 14 · 43 x 4 + C = 13 x3 + C (d) 4 44x 8 (e) (5x4 + 4 + x6 ) dx = x5 + 4x + 6 ln(|x|) + C 8 2x 8 8 1 8 8 2x+3 1 √ dx = √ dx + √3x dx = 2 x 2 dx + 3 x− 2 dx (f) x x √ √ √ √ 3 1 = 2 · 23 x 2 + 3 · 2x 2 + C = 43 x3 + 6 x + C = 43 x x + 6 x + C 8 8 (g) (x − 2)2 dx = (x2 − 4x + 4) dx = 13 x3 − 2x2 + 4x + C 8 8 1 4x eln(4)·x + C = ln(4) +C (h) 4x dx = eln(4)·x dx = ln(4) ∗ Vgl. 373
Beispiel

Partielle Integration.

11.6

383
A

386

383
A

11. Integration

L¨ osung 11.2 (a)

82

82 (3x + 1)2 dx = (9x2 + 6x + 1) dx =

0

0

9·x3 3

+

2 2 + x0 = 3x3 + 3x2 + x0

6·x2 2

= (24 + 12 + 2) − 0 = 38 (b)

(c)

81

(2 − x)dx +

0

(d)

81 84

(h)

(i)

 √ 2 3

0

3

4

87

0

0

1

3

0

 x5  5 5 0

= 625

3

82 

1 x4

+

1  1 = − 24

2

87

1

3

2

1

87

1

87 + (x + x ) dx − (x + x ) dx = (x + x ) dx − (x3 + x2 ) dx = 0 3

2

1

1

82 −3 dx = (x−4 + x−5 ) dx = (− x 3 − 1 1 11 7 − 64 + 12 = 101 − − 13 − 14 = − 192 192 1 x5



x−4 2 )1 4

= (− 3x13 −



1 2 ) 4x4 1

√ 4 84 √ 84 1 5 4 10 1 4 5 4 x dx = 5x 4 dx = 5 · 45 x 4 1 = 4 x5 1 = 4 · 2 4 − 4 = 4 · 22 · 2 2 − 4 1 1 √ = 16 2 − 4 1 1 1 1 1 1 1 (e 3 x + 3x2 ) dx = 3e 3 x + x3 −1 = (3e 3 + 1) − (3e− 3 − 1) = 3(e 3 − e− 3 ) + 2 −1 √ 1 = 3( 3 e − √ 3 e) + 2 81

81

5x dx =

−1 8 −3

383
A

1 2

=

87 87 84 x(x2 + x) dx + (x3 + x2 ) dx − (x3 + x2 ) dx = (x3 + x2 ) dx

0

(j)

1 81 81 2(x − 1) dx = (2 − x + 2x − 2) dx = x dx = 12 x2 0 =

3

4

(g)

1 2

 x2  4 2 1

81 85 81 83 85 85 x4 dx− x4 dx+ x4 dx = x4 dx+ x4 dx+ x4 dx = x4 dx =

1

(f)

81 0

0

(e)

  √ 43 + 8 − 23 1 +

√ 4 84 √ 3 ( x + x) dx = 23 x 2 + 12 x2 1 = 23 x3 + 1   = 16 + 24 − 76 = 73 − 46 + 36 = 40 3 3 3 6

81 0

4 x

eln(5)·x dx =

1 1 eln(5)·x 0 ln(5)

=

 5x 1 ln(5) 0

=

5 ln(5)

−

50 ln(5)

=

5−1 ln(5)

=

4 ln(5)

−1 dx = 4 ln(|x|)−3 = 4 ln(1) − 4 ln(3) = 0 − 4 ln(3) = −4 ln(3)

L¨ osung 11.3 C bezeichnet jeweils eine beliebige reelle Zahl. Die Funktion f wird jeweils in der Form f (x) = g (x) · h(g(x)) mit geeigneten Funktionen g und h geschrieben. (a) g(x) = 2x + 3, g (x) = 2, h(y) = g (x) · h(g(x))

1 3 y : 2

f (x) = (2x + 3)3 = g (x) · 12 (g(x))3 =

Mit der Substitution g(x) = y ergibt sich: 7 7 1 3 1 (2x + 3)3 dx = y dy = y 4 + C 2 8

y=g(x)

=

1 (2x + 3)4 + C 8

11.6 L¨ osungen

387

(b) g(x) = 3 + 2ex , g (x) = 2ex , h(y) = y1 : f (x) =

2ex 3+2ex

=

g  (x) g(x)

= g (x) · h(g(x))

Mit der Substitution g(x) = y ergibt sich: 7 7 1 y=g(x) 2ex dy = ln(|y|)+C = ln(|3+2ex |)+C = ln(3+2ex )+C. dx = 3 + 2ex y Die letzte Umformung ist korrekt, da 3 + 2ex > 0 f¨ ur alle x ∈ R gilt. (c) g(x) = x2 + 3, g (x) = 2x, h(y) =

1 √ : y



f (x) = √ 2x 2

x +3

g (x) = √ = g (x) · h(g(x)) g(x)

Mit der Substitution g(x) = y ergibt sich: 7 7 7 1 √ 1 2x √ dy = y − 2 dy = 2 y + C dx = √ y x2 + 3

y=g(x)

=

" 2 x2 + 3 + C

(d) g(x) = x(3x2 + 1) = 3x3 + x, g (x) = 9x2 + 1, h(y) = y1 : f (x) = =



g (x) g(x)

9x2 +1 x(3x2 +1)

= g (x) · h(g(x))

Mit der Substitution g(x) = y ergibt sich: 7 7 9x2 + 1 1 dx = dy = ln(|y|) + C x(3x2 + 1) y

y=g(x)

=

ln(|3x3 + x|) + C

3

3 3 x = x(3 ln(x)+2) = 3 ln(x)+2 , so dass g(x) = 3x ln(x)+2x g  (x) 1 3 h(y) = y : f (x) = 3x ln(x)+2x = g(x) = g (x) · h(g(x))

(e) Zun¨ achst gilt

g (x) =

3 , x

Mit der Substitution g(x) = y ergibt sich: 7 7 1 3 dx = dy = ln(|y|) + C 3x ln(x) + 2x y 1

1 x+2 = ln(x+2) , (x+2) ln(x+2)  (x) 1 f (x) = (x+2) ln(x+2) = gg(x)

(f) Zun¨ achst gilt h(y) =

1 : y

y=g(x)

=

3 ln(x) + 2,

ln(|3 ln(x) + 2|) + C

so dass g(x) = ln(x + 2), g (x) =

1 , x+2



= g (x) · h(g(x))

Mit der Substitution g(x) = y ergibt sich: 7 7 1 1 dx = dy = ln(|y|) + C (x + 2) ln(x + 2) y

y=g(x)

=

ln(| ln(x + 2)|) + C

L¨ osung 11.4 Die Funktion f wird jeweils in der Form f (x) = g (x) · h(g(x)) mit geeigneten Funktionen g und h geschrieben. (a) g(x) = 2x + 3, g (x) = 2, h(y) = 12 y 4 : f (x) = (2x + 3)4 = g (x) · 12 (g(x))4 = g (x) · h(g(x)) 7

1 0

7 (2x + 3)4 dx =

g(1) g(0)

 55 y4 y 5 5 35 dy = − = 288,2  = 2 10 3 10 10

384
A

388

11. Integration

(b) g(x) = 1 + x3 , g (x) = 3x2 , h(y) = y 2 : f (x) = (1 + x3 )2 · 3x2 = g (x) · (g(x))2 = g (x) · h(g(x)) 7

1

7

g(1)

(1 + x3 )2 · 3x2 dx =

0

7

2

y 2 dy =

g(0)

y 2 dy =

1

(c) g(x) = x2 +4x, g (x) = 2x+4, h(y) = y1 : f (x) = 7

5 3

2x + 4 dx = x2 + 4x

7

g(5) g(3)

1 dy = y

7

45 21

2x+4 x2 +4x

 y 3 2 8 1 7  = − = 3 1 3 3 3 =

g  (x) g(x)

= g (x)·h(g(x))

45  1 dy = ln(|y|)21 = ln(45)−ln(21) = ln 15 7 y

(d) g(x) = 2x + 5, g (x) = 2. Daraus ergibt sich die Beziehung x = mit h(y) =

y−5 √ 4 y

√ x 2x+5

gilt: f (x) =



= g (x) ·

1 2

g(x)−5 2

· √



g(x)



g(x)−5 , 2

= g (x) √

so dass

g(x)−5

4

g(x)

= g (x) · h(g(x)) 7

10

√

2

7

7 25 1 1 1 3 1 25 y−5 y 2 − 54 y − 2 dy = 16 y 2 − 52 y 2 9 √ dy = 4 4 y g(2) 9   27 25 15 = 125 − − ) = 98 − 10 = 68 = 34 − 6 2 6 2 6 2 6 3

x dx = 2x + 5

g(10)

(e) g(x) = 3x2 + 5x, g (x) = 6x + 5, h(y) = ey : f (x) = (6x + 5) · e3x = g (x) · eg(x) = g (x) · h(g(x)) 71 (6x + 5) · e3x

2

7 +5x

g(1)

dx =

7

g(0)

0

8

ey dy = 0

2

+5x

8 ey dy = ey 0 = e8 − e0 = e8 − 1

(f) g(x) = x + 4, g (x) = 1. Daraus ergibt sich die Beziehung x = g(x)" − 4, so dass √ √ mit h(y) = 4(y − 4) 4 y gilt: f (x) = 4x 4 x + 4 = g (x)4(g(x) − 4) 4 g(x) = g (x) · h(g(x)) 7

12

√ 4x 4 x + 4 dx =

−4

L¨ osung 11.5

g(12)

√ 4(y − 4) 4 y dy =

g(−4)

= 384
A

7

16 9 y4 9

−

16 64 5 y 4 0 5

7

16

5

1

(4y 4 − 16y 4 ) dy

0

=

16·512 9

−

64·32 5

−0=

22528 45

= 500,62

C bezeichnet jeweils eine beliebige reelle Zahl.

(a) Mit u(x) = x und v (x) = ex folgt u (x) = 1, v(x) = ex , so dass 8 x 8 xe dx = xex − ex dx = xex − ex + C = (x − 1)ex + C (b) Mit u(x) = x2 + 3x und v (x) = ex folgt u (x) = 2x + 3, v(x) = ex , so dass 8 x 2 8 e (x + 3x) dx = ex (x2 + 3x) − ex (2x + 3) dx. Mit u(x) = 2x + 3 und v (x) = ex folgt u (x) = 2, v(x) = ex , so dass 8 x 2  8 e (x + 3x) dx = ex (x2 + 3x) − ex (2x + 3) − 2ex dx = ex (x2 + 3x − 2x − 3) + 2ex + C = ex (x2 + x − 1) + C

11.6 L¨ osungen

389

(c) Mit u(x) = ln(x) und v (x) = 1 folgt u (x) = x1 , v(x) = x, so dass 8 8 8 ln(x) dx = x · ln(x) − x1 · x dx = x ln(x) − 1 dx = x ln(x) − x + C = x(ln(x) − 1) + C (d) Mit u(x) = ln(x) und v (x) = x2 folgt u (x) = x1 , v(x) = 13 x3 , so dass 8 2 8 3 8 2 3 3 3 3 x ln(x) dx = x3 ln(x) − x3x dx = x3 ln(x) − x3 dx = x3 ln(x) − x9 + C  3 = x9 3 ln(x) − 1 + C (e)

8

log2 (x) dx =

8

ln(x) ln(2)

dx =

1 ln(2)

8

(c)

ln(x) dx =

(f) Mit u(x) = ln(x) und v (x) = ln(x) folgt dass 7 7 (ln(x))2 dx = ln(x)x(ln(x) − 1) − 7 = x ln(x)(ln(x) − 1) − 7 = x ln(x)(ln(x) − 1) −

x (ln(x) ln(2)

u (x) =

1 , x

− 1) + C (c)

v(x) = x(ln(x) − 1), so

1 · x(ln(x) − 1) dx x (ln(x) − 1) dx 7 ln(x) dx + 1 dx

(c)

= x ln(x)(ln(x) − 1) − x(ln(x) − 1) + x + C

= x(ln(x) − 1)2 + x + C = x(ln(x))2 − 2x ln(x) + 2x + C 384
A

L¨ osung 11.6 (a) Mit u(x) = ln(x) und v (x) = x3 folgt u (x) = x1 , v(x) = 2 82 4 82 3 82 x ln(x) dx = 14 x4 ln(x)1 − x4x dx = 4 ln(2) − 0 − 14 x3 dx 1 1 1  4 4 2 1 . = 4 ln 2 − 15 = 4 ln(2) − 14 x4 1 = 4 ln(2) − 216 − 16 16

1 4 x , 4

so dass

(b) Mit u(x) = 3x + 1 und v (x) = e2x folgt u (x) = 3, v(x) = 12 e2x , so dass 1 81 1 81 (3x + 1)e2x dx = (3x+1) e2x 0 − 32 e2x dx = 2e2 − 12 − 32 · 12 e2x 0 2 0 0  = 2e2 − 12 − 34 e2 − 34 = 54 e2 + 14 = 14 (5e2 + 1). (c) Mit u(x) = ln(x) und v (x) = x1 folgt u (x) = x1 , v(x) = ln(|x|) = ln(x) f¨ ur x ∈ e4 e4 4  8 8 e dx = (ln(x))2 1 − ln(x) dx. Damit reproduziert sich [1, e4 ], so dass ln(x) x x 1

1

das gesuchte Integral. Die letzte Gleichung ist daher ¨ aquivalent zur Beziehung 7

e4

2 1 4

so dass

8e 1

ln(x) x

e 4 ln(x) dx = (ln(x))2 1 , x

e4 dx = 12 (ln(x))2 1 =

(ln(e4 ))2 −0 2

=

16 2

= 8.

390

11. Integration

Alternativ gilt mit der 373
Substitutionsregel und der Substitution S z = ln(x) 7 e4 7 4  ln(x) y 2 4 S ydy = dx =  = 8. x 2 0 1 0 384
A

L¨ osung 11.7

8∞ (i) Es ist zu zeigen, dass f nicht-negativ ist und dass −∞ f (x)dx = 1 gilt. Ersteres ist offenbar erf¨ ullt. F¨ ur die Integrationsbedingung gilt 7 1 7 ∞ 1  f (x)dx = αxα−1 dx = xα  = 1, −∞

0

0

so dass f eine Dichtefunktion ist. 8t (ii) Zur Berechnung der Verteilungsfunktion F (t) = −∞ f (x)dx, t ∈ R, sind die drei Intervalle (−∞, 0], (0, 1], (1, ∞) gesondert zu betrachten. Es ergibt sich 7 t 7 t F (t) = f (x)dx = 0dx = 0, t ≤ 0. 7

−∞ t

7

−∞ 0

f (x)dx =

F (t) = −∞ t α

7

t

0dx + −∞

αxα−1 dx

0

= x  = tα , 0 < t ≤ 1. 0 7 1 7 7 t f (x)dx = f (x)dx + F (t) = −∞

−∞

= 1 + 0 = 1,

t

0dx 1

t > 1.

Insgesamt ergibt sich somit ⎧ ⎪ ⎪ ⎨0, F (t) = tα , ⎪ ⎪ ⎩1, F¨ ur das k-te Moment gilt 7 1 7 mk = xk · αxα−1 dx = α 0

1

t≤0 00

xk+α−1 dx = α ·

0

1 1 α  xk+α  = . k+α k+α 0

α Daraus resultieren der Erwartungswert m1 = 1+α und das zweite Moment α m2 = 2+α , so dass die Varianz von f gegeben ist durch

v = m2 − m21 =

α − 2+α

α 1+α

2 =

α2 α α − = . 2+α (1 + α)2 (2 + α)(1 + α)2

11.6 L¨ osungen

391

Die Verteilungsfunktion ist f¨ ur t < 1 identisch Null. F¨ ur t ≥ 1 gilt:

L¨ osung 11.8 7

7

t

t

f (x)dx =

F (t) = 1

1

7

α

x

dx = α+1

t 1

384
A

t 1  αx−α−1 dx = −x−α  = 1 − α , t 1

wobei zu beachten ist, dass wegen α > 0 die Stammfunktion zu x−α−1 durch − α1 x−α gegeben ist. Insgesamt gilt daher:  F (t) =

0,

t<1

1−

1 , tα

t≥1

.

F¨ ur den Erwartungswert gilt (f¨ ur α > 1) ∞ 7 ∞ 7 ∞ 1 x−α+1 xf (x)dx = α x−α dx = α m1 = −α + 1 1 1 1 1 α 0 α −α+1 lim x = −1 = , 1 − α x→∞ α−1 ur α = 1 ergibt sich wobei der Grenzwert lim x−α+1 wegen α > 1 gleich Null ist. F¨ x→∞

7

∞

m1 = 1

∞ 1  dx = ln(x) = lim ln(x) − ln(1) = ∞, x→∞ x 1

d.h. der Erwartungswert hat den Wert ∞. 384
A

L¨ osung 11.9 (i) Da f offenbar nicht-negativ ist, bleibt nur nachzuweisen, dass die Integrationsbedingung erf¨ ullt ist. Aus 374
Beispiel Sukzessive Anwendung von Substitutionsregel und partieller Integration resultiert sofort die G¨ ultigkeit dieser Bedingung: 7 ∞ 3 λ 2 −λx x e dx = 1. 2 0 (ii) F¨ ur n = 2 lautet der Erwartungswert von f 7 7 ∞ 2 ∞ λ3 2 −λx 2 x e x · λ2 xe−λx dx = dx = . m1 = λ 0 2 λ 0  
=1,nach (i)

F¨ ur das zweite Moment gilt mit partieller Integration 7 ∞ 7 ∞ −λx m2 = λ2 x3 e−λx dx = λ x3 · λe

  dx 0

0

1∞

0

−λ = λ · x3 · (−e−λx ) 0
  =0

=u(x)

7

∞ 0

=v  (x)

3x2 (−e−λx )dx = 3λ

7

∞ 0

x2 e−λx dx

392

11. Integration

= 3λ ·

2 λ3

7

∞


0

6 λ3 2 −λx x e dx = 2 . 2 λ  

=1,nach (i)

Damit hat die Varianz den Wert v = m2 − m21 =

6 λ2

−

2

2

λ

=

2 . λ2

(iii) Differenzieren der Funktion F f¨ ur x < 0 liefert F (x) = 0. F¨ ur x ≥ 0 resultiert mit der Produkt- und Summenregel die Ableitung F (x) = −(−λe−λx )

n−1 * j=0

n−1 *

(λx)j − e−λx j!

j=0




λj

(λx)j−1 j!  

Summand f¨ ur j = 0 ist Null

.n−1 / n−1 * (λx)j * (λx)j−1 −λx − = λe j! (j − 1)! j=0 j=1
 

Indexverschiebung

.n−1 / * (λx)j n−2 * (λx)j λn −λx − xn−1 e−λx = λe = j! j! (n − 1)! j=0 j=0 Im letzten Schritt ist zu beachten, dass alle Summanden der beiden Summen bis auf den letzten der ersten Summe wegfallen. Insgesamt folgt somit f¨ ur x ∈ R: F (x) = f (x), d.h. F ist Stammfunktion zu f .

385
A

L¨ osung 11.10 F¨ ur die momenterzeugende Funktion von f resultiert die Darstellung 7 ∞ 7 ∞ m(t) = etx λe−λx dx = λ e(t−λ)x dx. 0

0

Zur weiteren Behandlung dieses Integrals werden drei F¨ alle unterschieden. Gilt ∞ 8∞  ur t > λ gilt t = λ, so folgt m(λ) = λ 0 dx = λx = ∞. F¨ 0

7

∞

m(t) = λ

e(t−λ)x dx = λ ·

0

da lim λ · x→∞

lim λ ·

x→∞

1 e(t−λ)x t−λ (t−λ)x

1 e t−λ

 1 (t−λ)x ∞ e  = ∞, t−λ 0

= ∞ wegen t − λ > 0. F¨ ur t < λ gilt hingegen

= 0, so dass in diesem Fall m(t) = −λ ·

samt gilt somit

 m(t) =

λ , λ−t

t<λ

∞,

t≥λ

1 t−λ

=

λ . λ−t

Insge-

.

Aus diesem Grund wird der Definitionsbereich von m auf das Intervall D = (−∞, λ) eingeschr¨ ankt, wobei zu beachten ist, dass stets 0 ∈ D gilt. Aus der Ableitung m (t) =

λ (λ−t)2

von m folgt direkt m (0) =

1 λ

= m1 .

Dieser Zusammenhang ist auch allgemein richtig und begr¨ undet die Bezeichnung momenterzeugende Funktion.

Kapitel 12 Optimierung

12

12

12

Optimierung

12.1

Monotonieverhalten ............................................. 398

12.2

Extrema............................................................ 402

12.3

Konkavit¨at und Konvexit¨at .................................... 413

12.4

Optimierung bei st¨ uckweise definierten Funktionen ....... 414

12.5

Anwendungen in der Statistik ................................. 416

12.6

Aufgaben .......................................................... 424

12.7

L¨osungen .......................................................... 425

395

12. Optimierung

395

12 Optimierung Im Rahmen der Optimierung werden gr¨ oßte bzw. kleinste Werte einer Funktion f auf ihrem Definitionsbereich gesucht, d.h. es gilt ein Problem der Art Maximiere (Minimiere) f (x) f¨ ur x ∈ D zu l¨ osen. Optimierungsprobleme treten in vielen Bereichen der Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung auf. Sie entstehen u.a. bei der Berechnung von Sch¨ atzfunktionen oder bei der Minimierung von Abweichungen.∗ Mit den vorgestellten Methoden der 347
Differentialrechnung werden zun¨achst Kandidaten f¨ ur 402
Minima und Maxima ermittelt, die dann mit geeigneten Kriterien auf ihre Optimalit¨ at u uft werden. Durch Multiplikation der zu ¨ berpr¨ maximierenden bzw. zu minimierenden Funktion mit dem Faktor −1 k¨onnen Maximierungs- und Minimierungsprobleme jeweils ineinander u uhrt wer¨ berf¨ den. Zur Motivation werden zun¨ achst einige Beispiele betrachtet. Anschließend werden Methoden und Kriterien vorgestellt, mit denen derartige Probleme gel¨ ost werden k¨ onnen. Im Folgenden wird – sofern nichts anderes erw¨ahnt wird – unterstellt, dass die betrachteten Funktionen bzgl. der zu optimierenden Variablen differenzierbar sind. Beispiel
Lineare Regression Das Grundproblem der deskriptiven linearen

Regression besteht darin, die Abst¨ ande zwischen einer gegebenen Menge von Punkten (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ) und einer Geraden† (d.h. einer 160
linearen Funktion f (x) = a + bx) zu berechnen und eine Gerade zu ermitteln, die die Gesamtabweichung minimiert. Dabei wird – wie in der folgenden Skizze angedeutet – jeweils der vertikale Abstand yi − f (xi ) zwischen einem Punkt (xi , yi ) und dem entsprechenden Punkt (xi , yi ) = (xi , f (xi )) auf der Geraden als Abstandsmaß zu Grunde gelegt. ∗ z.B. bei der Bestimmung so genannter Maximum-Likelihood-Sch¨ atzfunktionen oder in der Regressionsrechnung. † An Stelle einer linearen Funktion k¨ onnen auch andere Funktionen verwendet werden, wie z.B. quadratische Funktionen (s. Burkschat et al., 2004).

B

396

12. Optimierung

6 yi

f (xi ) = yi

....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... .......

r(xi ,yi )

↑ | |

yi −f (xi ) ...... .......... ... ........ ........ .. . . . . . . . . ... ...... ... ......... .. ......... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... .......... ....... .......... ....... ....... ....... ....... ....... ...................... ... ... ..... .. . . . . . . . . ... . ... .......... ... (xi , . yi ) ... ........ ... ... .. .. .......... ... ... ... ......... ... .... . . ... .......... . ... . . . . . . . . . ... ........... . . ... . . . . . . . . ... ........ ... .... .... ... .................... ... ... .. ......... .... ... ... .... ......... . . . . . . . . . . ... ........ .... .... ........ . . . . . . . . . . . ......... ......... . . . . . . . .... . ....... . . . . . . . . . ... ........ .... .... ........ . ... ... .... ... .. .. ... ..

r

r

| | ↓r

r

r

f (x) = a + bx

r

r r

r

r

-

xi

Die Gesamtabweichung zwischen einer Geraden f (x) = a + bx und den Punkten wird als Summe der quadratischen Abst¨ ande∗ (yi −f (xi ))2 = (yi −a−bxi )2 durch die Funktion Q(a, b) =

n * i=1

(yi − f (xi ))2 =

n *

(yi − a − bxi )2

i=1

definiert. Da die Abweichung minimal sein soll, wird die Funktion Q bzgl. der osen ist das Minimierungsproblem Parameter a, b ∈ R minimiert,† d.h. zu l¨ Minimiere die Funktion Q(a, b) bzgl. aller m¨oglichen Parameter a, b: Q(a, b) −→ min . a,b∈R

Diese Vorgehensweise wird als Methode der kleinsten Quadrate bezeichnet. Die (eindeutigen) L¨ osungen  a und b heißen kleinste Quadratsch¨atzer f¨ ur die Parameter a, b.  ∗ Prinzipiell kann der Abstand auch durch andere Funktionen definiert werden, z.B. durch |yi − a − bxi |. Dadurch treten aber oft Schwierigkeiten bei der Berechnung der L¨ osung auf. Dies ist f¨ ur den auf Gauß zur¨ uckgehenden Ansatz einer quadratischen Abstandsfunktion nicht der Fall. † Eine lineare Funktion ist durch den y-Achsenabschnitt a und die Steigung b eindeutig bestimmt, d.h. die L¨ osung des Optimierungsproblems liefert diese Gr¨ oßen der optimal angepassten Gerade.

12. Optimierung

397

Beispiel
Maximum-Likelihood-Sch¨ atzer Zur Erzeugung von Sch¨atzfunktio-

nen f¨ ur einen (unbekannten) Parameter wird oft das Prinzip der MaximumLikelihood-Sch¨ atzung verwendet. Die Grundidee dieser Vorgehensweise besteht darin, den Parameter so zu w¨ ahlen, dass die tats¨achlich beobachteten Daten am wahrscheinlichsten“ sind. Dazu wird die so genannte Likelihood” funktion L, die von dem betrachteten Parameter abh¨angt, in Abh¨angigkeit von den beobachteten Daten bzgl. des Parameters maximiert. Im Fall einer 139
Binomialverteilung mit Parameter 1 und mit unbekannter Trefferwahrscheinlichkeit p ∈ [0, 1] ergibt sich die Likelihoodfunktion∗ n 

xi

n−

L(p) = pi=1 (1 − p)

n  i=1

xi

,

p ∈ [0, 1],

wobei die beobachteten Daten x1 , . . . , xn feste Zahlen mit Werten Null oder Eins sind. Die Funktion L ist bzgl. der Variable p ∈ [0, 1] zu maximieren, d.h. L(p) −→ max . p∈[0,1]

osung f¨ ur p resultiert in Abh¨ angigkeit von den Daten x1 , . . . , xn Als 421
L¨ n  1 der Maximum-Likelihood-Sch¨ atzer p = n xi .† i=1

In einer konkreten Situation werden die Daten‡ x1 1

x2 1

x3 0

x4 0

x5 0

x6 0

x7 1

x8 0

x9 0

x10 0

beobachtet, so dass die Likelihoodfunktion wegen n = 10 und

10 

xi = 3

i=1

lautet L(p) = p3 (1 − p)7 ,

p ∈ [0, 1].

Ihrem Grafen ist zu entnehmen, dass die Funktion ihr Maximum beim arith3 annimmt. metischen Mittel der Beobachtungswerte p = 10 ∗ In dieser Situation ist L(p) die Wahrscheinlichkeit, eine Stichprobe mit dem Ergebnis x1 , . . . , xn zu beobachten. † Dies ist das arithmetische Mittel der Beobachtungen x , . . . , x . n 1 ‡ In dieser Situation wird ein Spiel mit den Ausg¨ angen 0 oder 1 zehnmal wiederholt. Das Ergebnis xi = 1 beschreibt den Gewinn des i-ten Spiels, w¨ ahrend das Ergebnis xi = 0 anzeigt, dass das Spiel i verloren wurde. p ist dann die Sch¨ atzung f¨ ur die (unbekannte) Gewinnwahrscheinlichkeit p ∈ [0, 1].

B

398

12. Optimierung

6 0,0025

Maximalwert

..................................................... . ..... ... ......... .... .... .. ... ... .... .. ... ... ... .. . ... .. .. . ... .. .. ... . ... .. .. . ... .. .. . ... .. .. ... . .. ... .. . ... .. .. . ... .. .. . ... .. .. ... . ... .. .. . ... .. .. . ... .. .. ... . ... .. .. . ... .. .. ... . .... .. .. . ..... .. .. ..... . ..... .. .. . ...... .. .. ...... . ....... .. .. . . .......... .. . . . . .................... . .. ...................................................................... .............

-

0

0,3

1

 Obigen Problemen ist gemeinsam, dass eine Funktion bzgl. einer (oder mehrerer) Variablen zu maximieren bzw. zu minimieren ist. Gesucht wird ein Wert unschten der Variablen (eine so genannte 404
Extremalstelle), der den gew¨ maximalen bzw. minimalen Funktionswert liefert. Zur L¨osung derartiger Probleme werden im Folgenden auf der Differenzialrechnung beruhende L¨osungsmethoden vorgestellt.

12.1

12.1 Monotonieverhalten Bei der Suche nach Extremalstellen ist es sinnvoll, zun¨achst die Bereiche einer Funktion zu ermitteln, in denen sie 170
monoton w¨achst bzw. f¨allt. Die Zusammenfassung dieser Eigenschaften wird als Monotonieverhalten bezeichnet. Dabei ist zu beachten, dass die Betrachtungen stets auf den Definitionsbereich der Funktion eingeschr¨ ankt werden. Das Monotonieverhalten einer Funktion kann anhand ihrer ersten Ableitung untersucht werden. Die Vorgehensweise wird am Beispiel der durch f (x) = 2x2 −4x−9, x ∈ R, gegebenen Funktion illustriert. f ist auf ihrem Definitionsbereich D = R 350
differenzierbar mit Ableitung f  (x) = 4x − 4. Der Zusammenhang zwischen dieser Ableitung und dem Monotonieverhalten wird am Grafen von f erl¨ autert. Hierzu werden beispielhaft die 349
Tangenten an den Grafen an den drei Stellen x1 = −5, x2 = 1 und x3 = 5 betrachtet.

12.1 Monotonieverhalten

399

... ... .. .. ... .. .. ... ... .. ... ... .. ... .. .. . . . ..... ...... ... ..... ... ...... ... ...... ... .. ...... . .... ..... ... ... ...... ... .. . . . ... ... ...... ... ... ... .. ... .. .... ... .. ..... . . ... .. ...... ... . ... ... ..... ... ... .... ... ... .... ... ....... ... . ...... ....... ...... ..... ...... ....... ....... ...... . . ....... . . ... ...... .... ... ... ... ... ... ... ... .... .... . . ... .... . ... .... ..... ... ..... ..... ... ..... ...... ....... ..... ... .......... . ..... . ... . . . ...... ... ...... ... ....... ... ....... ... ....... . ....... ... . ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... . ... . . . 1 2 3 ... ... ... ...

6

100

f (x)

80 60 40 20

x = −5

x

x =1

-

x =5

Die Funktion f¨ allt bis zur Stelle x2 = 1, und steigt dann. Die Tangenten spiegeln dieses Verhalten wider: im Bereich (−∞, 1) haben die Tangenten eine negative Steigung, im Bereich (1, ∞) haben die Tangenten eine positive Steigung, an der Stelle x = 1 ist die Tangente parallel zur x-Achse und hat daher die Steigung Null. Kriterien f¨ ur das 170
Monotonieverhalten F¨ ur eine auf ihrem Definitionsbereich D differenzierbare Funktion f gilt: in den Bereichen von D mit f  (x) ≥ 0 (f  (x) > 0) ist f (streng) monoton wachsend, in den Bereichen von D mit f  (x) ≤ 0 (f  (x) < 0) ist f (streng) monoton fallend. Beispiel
F¨ ur die durch f (x) = 2x2 − 4x − 9 definierte Funktion ergibt sich

wegen f  (x) = 4x − 4

f  (x) > 0 ⇐⇒ 4x − 4 > 0 ⇐⇒ x > 1, f  (x) < 0 ⇐⇒ 4x − 4 < 0 ⇐⇒ x < 1, d.h. f ist streng monoton fallend im Intervall (−∞, 1) und streng monoton  wachsend in (1, ∞).

B

400

12. Optimierung 2

Die durch f (x) = e−x , x ∈ R, definierte Funktion f hat die 2 Ableitung f  (x) = −2xe−x , x ∈ R. Da die Exponentialfunktion stets positiv ¨ ist, gilt f¨ ur x ∈ R die Aquivalenz

Beispiel


B

 2 2 f  (x) > 0 ⇐⇒ −2xe−x > 0  : −2e−x ⇐⇒ x < 0. Somit ist f streng monoton wachsend in (−∞, 0) und streng monoton fallend in (0, ∞).  Beispiel
F¨ ur g(x) = x3 ln(x), x ∈ (0, ∞), ergibt sich die Ableitung g  (x) =

B

x2 (3 ln(x) + 1). Da x ∈ (0, ∞), resultieren aus x2 > 0 und der Monotonie des ¨ 92
Logarithmus die Aquivalenzen 1

g  (x) > 0 ⇐⇒ 3 ln(x) + 1 > 0 ⇐⇒ ln(x) > − 13 ⇐⇒ x > e− 3 .     1 1 ur x ∈ 0, e− 3 , so dass g in 0, e− 3 streng monoton Analog ist g  (x) < 0 f¨  1  fallend und in e− 3 , ∞ streng monoton wachsend ist. 




B

Das folgende Beispiel illustriert ein vereinfachtes Verfahren zur Monotonieuntersuchung, dass bei 352
stetig differenzierbaren Funktionen anwendbar ist. Zun¨ achst werden die Nullstellen der Ableitung ermittelt, die den Definitionsbereich in Intervalle einteilen. Anschließend wird in jedem resultierenden Intervall an einer Stelle der Wert der Ableitung ermittelt, um dort deren Vorzeichen zu pr¨ ufen. Da sich dieses aufgrund der Stetigkeitsannahme f¨ ur die Ableitung nur dann ¨ andern kann, wenn eine Nullstelle der Ableitung vorliegt, hat die Ableitung in jedem Intervall das an der 292
Pru ¨ fstelle ermittelte Vorzeichen. Daraus ergibt sich dann unmittelbar das Monotonieverhalten der Funktion in den vorliegenden Intervallen. Beispiel
Die durch f (x) = 3x4 − 8x3 − 6x2 + 24x − 10 definierte Funktion

ist als Polynom auf D = R differenzierbar mit der Ableitung f  (x) = 12x3 − 24x2 − 12x + 24. Um ihr Vorzeichen zu diskutieren, werden die Nullstellen der Ableitung bestimmt. Umformungen ergeben die Faktorisierung 12x3 − 24x2 − 12x + 24 = 12(x3 − 2x2 − x + 2) =  = 12 x2 (x − 2) − (x − 2) = 12(x − 2)(x2 − 1) = 12(x − 2)(x − 1)(x + 1), so dass sich nach obiger Anmerkung das Vorzeichen der Ableitung nur an andern kann. Es gen¨ ugt daher, das den Stellen x1 = −1, x2 = 1 und x3 = 2 ¨

12.1 Monotonieverhalten

401

Vorzeichen von f  an jeweils einer Stelle in den Intervallen (−∞, −1), (−1, 1), (1, 2) und (2, ∞) zu pr¨ ufen. Als Pr¨ ufstellen werden −2, 0, 32 und 3 gew¨ahlt. Damit ergibt sich

... da

−1 


 −

f  (−2)=−144<0

1 


 + f  (0)=24>0

 −

2 


f  ( 32 )=− 15 2 <0

x ...

 +

f  (3)=96>0

Dieses Ergebnis wird in einer Tabelle zusammengefasst.

Pr¨ ufstelle x Vorzeichen von f  (x) Monotonieverhalten von f

(−∞, −1) −2 − fallend

(−1, 1) 0 + wachsend

(1, 2) 3 2

− fallend

(2, ∞) 3 + wachsend

f ist also in (−1, 1)∪(2, ∞) streng monoton wachsend und in (−∞, −1)∪(1, 2) streng monoton fallend. Dies zeigt auch der Verlauf des Grafen von f . ... ... ... .. .. . . ... ... ... .. .. ... .. ... ... ... . . . ... ... ... ... .. ....... .. .... .... ... ... .. .. ... ... .. ... . ... . . . .. .. ... . ... . ... ... ... ... ... .. .. ... . ... . ... .. . . . . . .. . .. . .. .. .. ... ... .. .. .. .. ... .. ... ... .. .. . . ... ... . .. .. .. .. ... ... .. ... ... ... .. ... ... .. .. .. .. ... .... ... .. .. . .

... .. ... ... ... ... ... ............ .. . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . ..... . . ....... .. .... .. ... ..... ... ...... ..... ..... ... ... . . ..... ..... .. ... ...... ..... ........ .... .. ..... .................. ... . ... ... . . . . ... .. . .... ... ... .. ... .... ... .. ...... ... .... ... . ... . . .. .. ... . ... .. ... ... .. ...... . . ... . ... ... .. . . ....... . .. . .. ... ... .. .. .. .. ... ... ... .. .. .... . .. .. . . .. . ... .. .. ... . .. . . ... . .. .. . ... . . . . . . ... . . . . . . . ... .. . ... .. .. ... .... ... . . . .. .. . . . . .. . ... . .. . . . . . ... . . .. ... . . . . . .. . . .. . ... . . . . . ... . .. .. ... .. .. ... . . . ... .. . . ... . .. . . . .. ... .. . .. . . . ... . .. . ... .. . . .. . . . . .. .. ... ... ... . .... . .. ... ........ .... ....... ... . ..... .. ..... . .. .......... ..

6

f (x)

20

10

f (x)

-

−1

1

2

x

−10

−20

fallend

wachsend

fallend

wachsend

 Zus¨ atzlich m¨ ussen bei der Einteilung des Definitionsbereichs etwaige Definitionsl¨ ucken ber¨ ucksichtigt werden, weil sich das Monotonieverhalten auch dort ¨ andern kann.

402

12. Optimierung

Beispiel
Die Funktion g(x) =

hat den Definitionsbereich D = R \ {0} und Diese ist immer negativ, so dass g u dort die Ableitung g (x) = ¨berall auf D streng monoton fallend ist. Das Monotonieverhalten ¨andert sich also an der Definitionsl¨ ucke nicht.

B



1 x

− x12 .

Die Funktion h(x) = x12 hat den selben Definitionsbereich D = R \ {0} und ur x ∈ (−∞, 0) positiv dort die Ableitung h (x) = − x23 . Diese ist offenbar f¨ und f¨ ur x ∈ (0, ∞) negativ. Die Funktion h ist somit auf (−∞, 0) streng monoton wachsend und auf (0, ∞) streng monoton fallend. Das Monotonie verhalten ¨ andert sich also an der Definitionsl¨ ucke. Zur Pr¨ ufung des Monotonieverhaltens wird daher folgende Faustregel notiert.




12.2

Pr¨ ufung des Monotonieverhaltens Das Monotonieverhalten einer stetig differenzierbaren Funktion kann sich lediglich an Definitionsl¨ ucken und an den Nullstellen der Ableitung ¨andern. Daher gen¨ ugt es zur Pr¨ ufung des Monotonieverhaltens der Funktion, den Definitionsbereich durch diese Punkte in Intervalle einzuteilen und in jedem resultierenden Intervall mittels einer Pr¨ ufstelle das Vorzeichen der Ableitung zu ermitteln.

12.2 Extrema Aus dem Monotonieverhalten einer Funktion ergeben sich Maxima und Minima – so genannte Extrema, wobei zwei Typen unterschieden werden: lokale und globale Extrema. Der grunds¨ atzliche Unterschied besteht darin, dass globale Extrema bzgl. des gesamten Definitionsbereichs extrem“ sind, w¨ahrend ” lokale Extrema diese Eigenschaft lediglich in einem kleinen“ Intervall um ” eine Stelle x0 haben.

B

Beispiel
Um einen ersten Eindruck von diesen Begriffen zu gewinnen, wird

wiederum die durch f (x) = 3x4 − 8x3 − 6x2 + 24x− 10 definierte Funktion auf D = R betrachtet. An ihrem Grafen wird der Unterschied zwischen lokal“ ” und global“ deutlich. ” An den Stellen xm = −1 und xm = 2 liegen lokale Minima vor, die Stelle xM = 1 liefert ein lokales Maximum. An diesen Stellen ist die Funktion minimal bzw. maximal, wenn die Betrachtung jeweils auf ein hinreichend kleines Intervall um diese Stellen eingeschr¨ ankt wird.

12.2 Extrema

403

Da f (x) f¨ ur x → −∞ bzw. x → ∞ unbeschr¨ ankt groß wird, gibt es kein globales Maximum. Jeder Wert wird u ¨ berschritten. Dagegen unterschreitet die Funktion den Wert f (−1) = −29 niemals, d.h. an der Stelle xm = −1 befindet sich ein globales Minimum. .. ... .. .. . . ... ... ... .. ... .. ... .. ... .... . ... .. ... .. ... ... ... .. . ... . .. ... ... .. ... ... ... .. . .. .. ... .. .. ... ... ... .. .. . .. ... ... ... ... .. ... .. ........................ . . . . . . ... . . . . ....... ... ..... ... ...... .... ....... .... ... ..... .......... .......... ... .... ....... .... .. . . ... ... ... ... ... ... .. ... ... . .. . . ... ... .. .. ... ... ... ... .. . ... .. ... .. .. ... ... .. ... .. . .. ... ... ... ... ... ... .... . ... . .... ... ..... ......... ........

6

f (x)

20

10

lokales Maximum

r

−1

1

−10

r

-

x 2 lokales Minimum

−20

r

lokales und globales Minimum

 Eine Funktion f besitzt an der Stelle xM ein globales Maximum, falls sie dort den gr¨ oßten Wert auf dem Definitionsbereich annimmt. Analog liegt an einer Stelle xm ein globales Minimum vor, falls sie dort den kleinsten Wert hat. Definition Globales Minimum, globales Maximum Sei f : D −→ R eine Funktion.

f hat in xM ∈ D ein globales Maximum, wenn f (xM ) ≥ f (x) f¨ur alle x ∈ D. f (xM ) heißt globales Maximum von f , xM globale Maximalstelle. f hat in xm ∈ D ein globales Minimum, wenn f (xm ) ≤ f (x) f¨ur alle x ∈ D. f (xm ) heißt globales Minimum von f , xm globale Minimalstelle. Globale Extrema beziehen sich auf den ganzen Definitionsbereich der Funktion, w¨ ahrend lokale Extrema nur in einem (kleinen) Intervall maximal bzw. minimal sind.



404

12. Optimierung

Definition Lokales Minimum, lokales Maximum Sei f : D −→ R eine Funktion.




f hat in xM ∈ D ein lokales Maximum, wenn es ein Intervall (a, b) ⊆ D mit a < b und xM ∈ (a, b) gibt, so dass f (xM ) ≥ f (x) f¨ur alle a < x < b. f (xM ) heißt lokales Maximum von f , xM lokale Maximalstelle. f hat in xm ∈ D ein lokales Minimum, wenn es ein Intervall (a, b) ⊆ D mit a < b und xm ∈ (a, b) gibt, so dass f (xm ) ≤ f (x) f¨ur alle a < x < b. f (xm ) heißt lokales Minimum von f , xm lokale Minimalstelle. Globale Extrema werden auch als absolute Extrema, lokale Extrema als relative Extrema bezeichnet.∗ Wird nicht unterschieden, ob Maximum oder Minimum vorliegt, so wird die Bezeichnung Extremum verwendet. Entsprechend wird der Begriff Extremalstelle f¨ ur die betrachtete Stelle benutzt, an der ein Extremum vorliegt.




B

In der Definition lokaler Extrema wird vorausgesetzt, dass ein offenes Intervall (a, b) ⊆ D existiert, so dass x0 ∈ (a, b) und f in (a, b) kleiner (gr¨oßer) oder gleich dem Wert f (x0 ) ist. In diesem Verst¨andnis sind 59
Randpunkte des Definitionsbereichs keine lokalen Extremalstellen. Diese k¨onnen grunds¨atzlich nur im 59
Inneren des Definitionsbereichs liegen. Beispiel
Die auf das Intervall [−1, 1] eingeschr¨ ankte Funktion f mit f (x) = x3 , x ∈ [−1, 1], hat an der Stelle x = −1 ein globales Minimum und an der Stelle x = 1 ein globales Maximum. An beiden Stellen liegt jedoch kein lokales Extremum vor. 

Aus der Definition lokaler Extrema ergibt sich die nachstehende Schlussfolgerung, die ein einfaches Kriterium f¨ ur lokale Extremalstellen zur Verf¨ ugung stellt. Die Aussagen gelten jeweils f¨ ur einen kleinen Bereich links bzw. rechts der betrachteten Stelle ( kleines“ Intervall). ” ∗ Relativ

meint hier bezogen auf ein geeignetes Intervall“. ”

12.2 Extrema

405

Kriterium f¨ ur lokale Extremalstellen Seien f : D −→ R eine Funktion und xm , xM ∈ D. xM ist eine lokale Maximalstelle, falls f links von xM monoton wachsend und rechts von xM monoton fallend ist. xm ist eine lokale Minimalstelle, falls f links von xm monoton fallend und rechts von xm monoton wachsend ist. Diese Formulierung lokaler Extremalstellen benutzt keine Hilfsmittel aus der Differenzialrechnung, da sie lediglich auf die Monotonieeigenschaften der Funktion zur¨ uckgreift. Das folgende Beispiel zeigt eine direkte Anwendung dieser Regel. Beispiel
Die 162
Betragsfunktion f (x) = |x| hat in x = 0 ein lokales Minimum, da f in (−∞, 0) streng monoton f¨ allt und in (0, ∞) streng monoton w¨ achst. Wegen lim |x| = lim |x| = ∞ ist die lokale Minimalstelle auch x→∞

B

x→−∞

die (eindeutige) globale Minimalstelle. Lokale bzw. globale Maxima gibt es  nicht. Im n¨ achsten Abschnitt werden einfache Kriterien formuliert, die auf der Ableitung der betrachteten Funktion beruhen. Diese sind insbesondere n¨ utzlich, um Kandidaten f¨ ur Extremalstellen zu finden, wenn diese nicht offensichtlich erkennbar sind. Da lokale und globale Extrema mit unterschiedlichen Methoden ermittelt werden, werden diese Untersuchungen getrennt ausgef¨ uhrt. Lokale Extrema

Am 403
Grafen der durch f (x) = 3x4 − 8x3 − 6x2 + 24x − 10 definierten Funktion ist zu erkennen, dass −1 und 2 (lokale) Minimalstellen sind und 1 (lokale) Maximalstelle ist. Dar¨ uber hinaus wird deutlich, dass die Funktion gerade bei −1, 1 und 2 ihr Monotonieverhalten ¨andert. Bei den Minimalstellen ist es von fallend“ zu wachsend“, bei der Maximalstelle ” ” genau umgekehrt. Die Monotoniebereiche sind gegeben durch

Beispiel


f

(−∞, −1) fallend

(−1, 1) wachsend

(1, 2) fallend

(2, ∞) wachsend

Damit liegen bei x = 1 tats¨ achlich ein lokales Maximum und bei x = −1 und  x = 2 lokale Minima vor.

B

406

12. Optimierung

Ist die Funktion f differenzierbar, dann ist ihr Monotonieverhalten durch das Vorzeichen der ersten Ableitung f  bestimmt. Daraus folgt, dass an einer lokalen Extremalstelle x0 ein Vorzeichenwechsel der Ableitung vorliegen muss, d.h. insbesondere muss f  (x0 ) = 0 gelten. Grafisch bedeutet dies, dass die Tangente in x0 waagerecht verlaufen muss. Diese Beobachtung liefert ein einfaches Kriterium zur Berechnung von Kandidaten f¨ ur lokale Extremalstellen. Monotoniekriterium f¨ ur lokale Extrema: Notwendiges und hinreichendes Kriterium Seien f : D −→ R eine differenzierbare Funktion und x0 ∈ D. Dann gilt: Ist x0 eine lokale Extremalstelle, so gilt f  (x0 ) = 0. Gilt f  (x0 ) = 0, so ist x0 eine lokale Maximalstelle, falls die Ableitung f  (x) links von x0 positiv und rechts von x0 negativ ist. eine lokale Minimalstelle, falls die Ableitung f  (x) links von x0 negativ und rechts von x0 positiv ist. Aus der obigen Aussage l¨ asst sich folgender Zusammenhang entnehmen, wobei die Notation =⇒  gelesen wird als impliziert nicht“: ” x0 Extremalstelle =⇒ f  (x0 ) = 0 f  (x0 ) = 0

=⇒  x0 Extremalstelle

Die Aussagen sind daher nicht a ¨quivalent!




B

Das Kriterium∗ f  (x0 ) = 0 ist nur ein notwendiges Kriterium, d.h. die Eigenschaft f  (x0 ) = 0 reicht nicht aus, um zu sichern, dass x0 Extremalstelle ist. Ein zus¨ atzliches Kriterium wie die Pr¨ ufung des Monotonieverhaltens ist unerl¨ asslich. Beispiel
Extremalstelle Die durch f (x) = x4 definierte Funktion f hat die

ur x = 0 gilt. Somit ist dies der Ableitung f  (x) = 4x3 , so dass f  (x) = 0 nur f¨ einzige Kandidat f¨ ur eine Extremalstelle. Da an dieser Stelle ein Vorzeichenwechsel der Ableitung von − nach + vorliegt, hat f dort ein lokales Minimum (f ist in (−∞, 0] streng monoton fallend und in [0, ∞) streng monoton wachsend). Dies kann in der folgenden Grafik zusammengefasst werden. ∗ Das Kriterium ist nur f¨ ur differenzierbare Funktionen anwendbar. I.Allg. kommen außer den Stellen x0 mit f (x0 ) = 0 noch die Stellen in Frage, an denen die Ableitung nicht existiert (vgl. die Betragsfunktion). An diesen Stellen kann mit dem Monotoniekriterium entschieden werden, ob ein lokales Extremum vorliegt.

12.2 Extrema

407

 −

... da

0 


 +

f  (−1)=−4<0

x ...

f  (1)=4>0

Die Funktion g wird definiert durch g(x) = x3 , x ∈ R. Dann gilt g  (x) = 3x2 und g  (0) = 0. Allerdings liegt an der Stelle x = 0 keine Extremalstelle vor, ur alle x ∈ R gilt. g ist daher eine auf R (streng) monoton da g  (x) ≥ 0 f¨ wachsende Funktion und besitzt somit keine lokalen Extremalstellen. .. ... .. ... . .... . . ... ... ... ... .. ... ... ... .. .. ... ... .... . . .. .. ... ... ... ... ... ... .... ....... ... . . . ... ...... ..... ..... ...... ......... .................................................. ............ . . . . . ..... .... .... ... ... . ... ... ... .. . ... ... ... .. . . ..

6f (x), g(x)

0

-

x

 Alternativ kann an Stelle des Monotonieverhaltens die zweite Ableitung an den berechneten Stellen betrachtet werden. Lokale Extrema: Hinreichendes Kriterium mittels zweiter Ableitung Seien f eine zweimal differenzierbare Funktion und x0 ∈ D mit f  (x0 ) = 0. Dann gilt: x0 ist eine lokale Maximalstelle, falls f  (x0 ) < 0 gilt. x0 ist eine lokale Minimalstelle, falls f  (x0 ) > 0 gilt. Beispiel
Zur Illustration wird erneut die durch f (x) = 3x4 −8x3 −6x2 +24x−

10 definierte Funktion betrachtet. Die erste Ableitung f  (x) = 12(x − 2)(x − 1)(x + 1) hat die drei Nullstellen −1, 1, 2, die damit Kandidaten f¨ ur Extremalstellen sind. Die Auswertung der zweiten Ableitung f  (x) = (12x3 − 24x2 − 12x + 24) = 36x2 − 48x − 12 an diesen Stellen liefert: f  (−1) = 36 + 48 − 12 = 72 > 0, f  (1) = 36 − 48 − 12 = −24 < 0,

B

408

12. Optimierung

f  (2) = 36 · 4 − 48 · 2 − 12 = 36 > 0. Damit ergibt sich mit obigem Kriterium wiederum, dass bei −1 und 2 lokale  Minima und bei 1 ein lokales Maximum vorliegen. Das Kriterium ist nur anwendbar, falls die zweite Ableitung von Null verschieden ist. Andernfalls kann auf diese Weise keine Entscheidung getroffen werden. Liegt diese Situation vor, empfiehlt es sich, das 406
Monotoniekriterium einzusetzen.∗ B

Beispiel
Fortsetzung 406
Beispiel Extremalstelle Die zweite Ableitung der

durch g(x) = x3 definierten Funktion ist g  (x) = 6x. Wegen g  (0) = g  (0) = 0 kann mit dem obigen Kriterium keine Schlussfolgerung gezogen werden. Das Monotoniekriterium zeigt, dass an dieser Stelle kein Extremum vorliegt.

ullt ebenfalls die Bedingung Die mittels f (x) = x4 definierte Funktion erf¨   f (0) = f (0) = 0. Eine Monotonieuntersuchung zeigt, dass f in (−∞, 0) monoton fallend und in (0, ∞) monoton steigend ist. An der Stelle x = 0 liegt somit ein lokales (sogar ein globales) Minimum vor.  Globale Extrema

Zur Untersuchung einer Funktion auf globale Extrema werden neben den lokalen Extrema zus¨ atzlich die Funktionswerte an den 59
Ra¨ndern des Definitionsbereichs (falls diese zu D geh¨ oren) bzw. die Grenzwerte an den R¨andern ¨ von D in die Uberlegungen einbezogen. Somit sind folgende Punkte zu bearbeiten: Berechnung aller lokalen Extrema von f . Geh¨ ort ein Randpunkt xR des Definitionsbereichs zum Definitionsbereich, so ist der zugeh¨ orige Funktionswert f (xR ) zu ermitteln. Geh¨ ort ein Randpunkt xR des Definitionsbereichs nicht zum Definitionsbereich, so ist der zugeh¨ orige Grenzwert lim f (x) bzw. lim f (x) bei x→xR +

x→xR −

Ann¨ aherung an den Randpunkt zu ermitteln. Vergleich aller berechneten Funktions- und Grenzwerte. ∗ Zu

Kriterien, die h¨ ohere Ableitungen verwenden, siehe Kamps et al. (2003).

12.2 Extrema

409

Grunds¨ atzlich ist festzuhalten, dass als globale Extremalstellen nur Werte aus dem Definitionsbereich der Funktion in Frage kommen! Beispiel
Der Definitionsbereich der durch f (x) =

√

1 − x2 definierten Funktion ist D = [−1, 1], da der Term unter der Wurzel nicht negativ sein darf: 1 − x2 ≥ 0 ⇐⇒ −1 ≤ x ≤ 1.

Die zu D geh¨ orenden Randpunkte des Definitionsbereichs sind x1 = −1 und x2 = 1. Die Funktionswerte sind f (−1) = f (1) = 0. Kandidaten f¨ ur lokale Extrema im Intervall (−1, 1) ergeben sich aus der ersten Ableitung von f −2x x = −√ , f  (x) = √ 2 2 1−x 1 − x2 die eine Nullstelle bei x = 0 hat. Dort a ¨ndert sich auch das Vorzeichen. Damit ist f in [−1, 0) streng monoton wachsend, in (0, 1] streng monoton fallend und besitzt bei x = 0 ein lokales Maximum. Der Vergleich der Werte f (−1) = f (1) = 0 und das Monotonieverhalten von f zeigen, dass f bei x = −1 und x = 1 globale Minimalstellen mit Wert 0 hat. Bei x = 0 liegt das globale Maximum mit Wert 1. Dieses Resultat illustriert auch der Graf von f . lokales und globales Maximum

r6

.............................................. ............. ......... ......... ....... ...... ....... ..... ...... . . . . ..... ... . . .... . ... .... . . ..... ... . . ... .. . ... . .. ... . . .. ... . ... .. ... . .. .. . ... .. . ... .. . ... ... .... ... ... . .. . ... .... ... ... ... ... ... ... ... .

1

f (x)

r

−1 globale Minimalstelle

r -

0

x

1 globale Minimalstelle

Die globalen Minimalstellen x = −1 und x = 1 sind keine lokalen Minimal stellen, da diese am Rand des Definitionsbereichs liegen. Eine leichte Modifikation des obigen Beispiels zeigt, dass globale Extrema schon in einfachen F¨ allen nicht existieren. Im folgenden Beispiel existiert kein globales Minimum, da die in Frage kommenden Minimalstellen nicht zum Definitionsbereich der Funktion geh¨ oren.


B

410

12. Optimierung

Beispiel
Die durch h(x) =

2 √1−x 1−x2

definierte Funktion h hat den Definitionsbereich D = (−1, 1). Die Randwerte −1 und 1 des Intervalls (−1, 1) geh¨oren ur diese Werte gleich Null wird. nicht zum Definitionsbereich, da der Nenner f¨ F¨ ur ein x ∈ D ergibt sich wegen √ " ( 1 − x2 )2 1 − x2 √ = √ = 1 − x2 2 2 1−x 1−x √ die Beziehung h(x) = f (x) mit f (x) = 1 − x2 . Somit hat h an der Stelle x = 0 ein lokales und globales Maximum. F¨ ur die Grenzwerte bei Ann¨aherung an die Randpunkte resultieren die Werte

B

lim h(x) = 0,

lim h(x) = 0.

x→−1+

x→1−

Weiterhin gilt h(x) > 0 f¨ ur alle x ∈ (−1, 1). Da die Funktion stets gr¨ oßer als Null ist und dem Wert Null beliebig nahe kommt, ihn aber an keiner Stelle des Definitionsbereichs annimmt, hat h kein globales Minimum. Dies ist am Grafen der Funktion illustriert. Insbesondere besitzt die Funktion daher kein globales Minimum, obwohl sie nach unten beschr¨ ankt ist! lokales und globales Maximum

r6

........................................................ ........ .......... ....... ...... ...... ...... ..... ..... . . . .... ... . . . .... .. . .... . . .. ... . . . ... ... ... . . ... .. . . ... . . . ... ... . ... .. .. . ... .. . ... .. . ... . ... ... ... .. .. ... .. ... ... ... ... ... .... ... .. . .

1

f (x)

b

−1 −1 ∈ D

b -

0

x

1 1 ∈ D

In diesem Beispiel gibt es keine globalen Minimalstellen, weil die R¨ander des Definitionsbereichs, die die einzigen Kandidaten sind, nicht zum Definitionsbereich der Funktion geh¨ oren. 




Ist der Definitionsbereich einer Funktion ein beschr¨anktes und abgeschlossenes Intervall [a, b] und ist die Funktion auf dem Intervall [a, b] stetig, so hat die Funktion 347
stets ein globales Maximum und ein globales Minimum.

12.2 Extrema

411

Beispiel


1 Die durch f (x) = 1+x 2 definierte Funktion hat auf ihrem Definitionsbereich D = R ein globales Maximum, aber kein globales Minimum. Dazu werden zun¨ achst die lokalen Extremalstellen ermittelt. Wegen 2x  gilt f (0) = 0 und f  (x) > 0 f¨ ur x ∈ (−∞, 0) bzw. f  (x) < 0 f  (x) = − (1+x 2 )2 f¨ ur x ∈ (0, ∞). Damit liegt an der Stelle x = 0 ein lokales Maximum. Wegen ur alle x ∈ D gibt es bei lim f (x) = 0 und lim f (x) = 0 sowie f (x) > 0 f¨ x→−∞

x→∞

x = 0 ein globales Maximum. Ein globales Minimum existiert nicht, obwohl die Funktion nach unten durch Null beschr¨ ankt ist. Die Funktion g(x) = x2 hat bei x = 0 ein lokales/globales Minimum mit Wert g(0) = 0. Da die Funktion f¨ ur x → −∞ und x → ∞ unbeschr¨ankt w¨ achst, gibt es kein globales Maximum. In den obigen Beispielen ist zu beachten, dass f und g zwar stetig auf D = R  sind, der Definitionsbereich aber kein beschr¨ anktes Intervall ist. Kriterien f¨ ur globale Extrema Aus den obigen Beispielen k¨ onnen folgende Beobachtungen festgehalten werden: Kandidaten f¨ ur globale Extremalstellen sind ausschließlich lokale Extremalstellen und die Randpunkte des Definitionsbereichs, sofern sie zum Definitionsbereich geh¨ oren. Die Entscheidung u ¨ ber globale Extremalstellen wird durch Vergleich der Funktionswerte an den obigen Stellen getroffen. Dabei sind zus¨atzlich die Grenzwerte bei Ann¨ aherung an diejenigen Randwerte zu ber¨ ucksichtigen, ¨ die nicht zum Definitionsbereich geh¨ oren. Uberschreiten die ermittelten Grenzwerte die Werte der Kandidaten nicht, so ist eine Stelle mit maximalem Funktionswert globale Maximalstelle. Andernfalls gibt es kein globales Maximum. Analog wird f¨ ur globale Minima verfahren. Eine Funktion kann globale Extrema besitzen, muss es aber nicht. Eine auf dem abgeschlossenen (und beschr¨ ankten) Intervall [a, b] stetige Funktion hat dort sowohl ein 403
globales Minimum als auch ein globales Maximum. Globale Extremalstellen m¨ ussen nicht eindeutig sein, d.h. ein globales Extremum kann an mehreren Stellen angenommen werden. Das globale Extremum (d.h. der Funktionswert an den Extremalstellen) ist dagegen stets eindeutig.

B

412

12. Optimierung

Streng monotone Transformationen und Extrema

B

Beispiel
Oben wurde bereits gezeigt, dass die Betragsfunktion f (x) = |x| an der Stelle x = 0 ein lokales und globales Minimum hat. Daraus ergibt sich sofort, dass auch die Funktion h(x) = |x| + 1 = f (x) + 1 dort ein lokales und globales Minimum hat. Entsprechendes gilt f¨ ur g(x) = eh(x) = e|x|+1 . Dies kann z.B. an den Grafen leicht u uft werden. Grund f¨ ur diese Eigenschaft ¨ berpr¨ ist, dass die Funktionen f und h jeweils mit einer streng monoton steigenden Funktion 169
verkettet wurden.

Die Funktion l(x) = e−h(x) = e−|x| hat hingegen bei x = 0 ein lokales und globales Maximum, da die Funktion e−y streng monoton fallend ist. In diesem Fall werden Minimalstellen zu Maximalstellen und umgekehrt.  Streng monotone Transformationen und Extrema Seien f, g, h Funktionen, wobei der Wertebereich von f in den Definitionsbereichen von g und h enthalten ist und g streng monoton steigend und h streng monoton fallend ist. Hat f an der Stelle x0 ein Maximum (Minimum), so hat g◦f dort ebenfalls ein Maximum (Minimum). Hat f an der Stelle x0 ein Maximum (Minimum), so hat h ◦ f dort ein Minimum (Maximum). Die Aussage gilt sowohl f¨ ur lokale als auch f¨ ur globale Extrema. Wichtige Beispiele streng monoton wachsender Funktionen sind f (x) = a+bx mit b > 0, f (x) = ex und f (x) = ln(x). B

Beispiel


Die durch h(t) = ln(t4 + t2 + 1) definierte Funktion hat den ur alle t ∈ R. Nach Obigem Definitionsbereich D = R, da t4 + t2 + 1 > 0 f¨ gen¨ ugt es, zur Berechnung der Extrema die Funktion g(t) = t4 + t2 + 1 zu betrachten. Wegen g  (t) = 4t3 + 2t = 2t(2t2 + 1) folgt g  (t) = 0 ⇐⇒ t = 0 oder 2t2 + 1 = 0. Da die zweite Gleichung keine reelle L¨ osung hat, ist t = 0 einziger Kandidat f¨ ur eine Extremalstelle. Da g  an der Stelle t = 0 einen Vorzeichenwechsel von − nach + hat, liegt bei t = 0 ein lokales Minimum vor. Wegen lim g(t) = t→−∞

lim g(t) = ∞, ist g(0) = 1 auch das globale Minimum von g. Mit der obigen t→∞ Transformationsregel und der Monotonie des Logarithmus folgt, dass 0 = ln(g(0)) das globale Minimum von h ist. 

12.3 Konkavit¨ at und Konvexit¨ at

413

Beispiel
log-Likelihoodfunktion Bei der Berechnung von Maximum-Likelihood-Sch¨ atzern wird die 397
Likelihoodfunktion L maximiert. Oft ist es aber

B

einfacher, die log-Likelihoodfunktion l = ln(L) zu untersuchen. Im Fall der 139
Binomialverteilung lauten die Funktionen f¨ ur die Variable p ∈ (0,1) L(p) = pnx (1 − p)n(1−x) , l(p) = ln(L(p)) = nx ln(p) + n(1 − x) ln(1 − p).



12.3

12.3 Konkavit¨ at und Konvexit¨ at Das mittels der zweiten Ableitung formulierte 407
Kriterium f¨ ur lokale Extrema macht sich Kr¨ ummungseigenschaften der Funktion in der Umgebung der berechneten Punkte zu Nutze. Dabei wird auf folgende Definition zur¨ uckgegriffen. Definition Konkavit¨ at, Konvexit¨at Seien f : D −→ R eine auf D zweimal differenzierbare Funktion und (a, b) ⊆ D.



Die Funktion f heißt konvex (konkav) in (a, b), falls f  (x) ≥ 0 (f  (x) ≤ 0) f¨ ur alle x ∈ (a, b) gilt. Beispiel
Die durch f (x) = x2 , x ∈ R, definierte quadratische Funktion f

ist wegen f  (x) = 2 > 0 eine konvexe Funktion auf R. Die durch g(t) = ur alle t ∈ R et gegebene Exponentialfunktion ist wegen g  (t) = et > 0 f¨ auch konvex. Die Logarithmusfunktion ist konkav auf (0, ∞), denn (ln(z)) = ur z ∈ (0, ∞). − z12 < 0 f¨ ullt wegen h (y) = 6y die Die durch h(y) = y 3 definierte Funktion h erf¨ Ungleichungen ur y < 0 und h (y) > 0 f¨ ur y > 0, h (y) < 0 f¨ d.h. h ist konkav auf (−∞, 0) und konvex auf (0, ∞).



Am Grafen einer Funktion ist direkt erkennbar, dass Konkavit¨at ein lokales Maximum liefert, wenn es ein x0 ∈ (a, b) mit f  (x0 ) = 0 gibt. Entsprechend f¨ uhrt Konvexit¨ at zu lokalen Minima (vgl. 407
Hinreichendes Kriterium mittels zweiter Ableitung).

B

414

12. Optimierung

.. .. .. .. .. . . .. ... .. .. ... . . ... .. ... ... ... ... .... ... .... ... . .... . .. ..... .... ...... ...... ......... ..............................

........ ......... ................ .... ..... ... .... .... ... .... .. . .... .. . ... . ... ... ... . . ... . . ... . ... .... ... ... ... ... .. ... ... .. ...

konvex

konkav

Eine Stelle, an der ein Wechsel des Kr¨ ummungsverhaltens stattfindet, heißt Wendestelle. Auf eine weitere Diskussion dieses Sachverhaltes wird hier verzichtet. Es sei lediglich angemerkt, dass eine Funktion noch wesentlich detaillierter hinsichtlich ihrer Eigenschaften analysiert werden kann, als dies f¨ ur die hier betrachteten Optimierungsprobleme notwendig ist. Diese Untersuchung wird als Kurvendiskussion bezeichnet und umfasst u.a. folgende Punkte: Definitionsund Wertebereich, Definitionsl¨ ucken, Achsenabschnitte/Nullstellen, Monotonieverhalten, Grenzwerte an den Definitionsl¨ ucken/im Unendlichen, lokale/globale Extrema, Kr¨ ummungsverhalten, Wendestellen sowie weitere Eigenschaften wie Symmetrie, Asymptoten, etc. Zur Durchf¨ uhrung von Kurvendiskussionen sei auf Kamps et al. (2003) verwiesen.

12.4

12.4 Optimierung bei st¨ uckweise definierten Funktionen In Anwendungen werden oft Extrema von st¨ uckweise definierten Funktionen gesucht. In diesen F¨ allen werden die jeweiligen Bereiche getrennt mit den vorgestellten Methoden analysiert und die Ergebnisse der Teiluntersuchungen anschließend zusammengefasst.

B

Beispiel
Die Funktion f sei definiert durch die Vorschrift

 f (x) =

2

e−x ,

x<0

2e−x , x ≥ 0

.

Gem¨ aß der beschriebenen Vorgehensweise wird die Funktion f in zwei Funktionen f1 und f2 zerlegt“: ” 2

f1 (x) = e−x ,

x ∈ D1 = (−∞, 0),

f2 (x) = 2e−x ,

x ∈ D2 = [0, ∞).

Jede der Funktionen wird auf ihrem Definitionsbereich auf Extrema unter2 ur x < 0 sucht. Die Funktion f1 hat die Ableitung f1 (x) = −2xe−x , die f¨

12.4 Optimierung bei st¨ uckweise definierten Funktionen

415

stets positiv ist, d.h. f1 ist eine auf (−∞, 0) streng monoton steigende Funktion. Insbesondere hat die erste Ableitung von f1 auf D1 keine Nullstelle. Wegen lim f1 (x) = 0, lim f1 (x) = 1 und 0 < f1 (x) < 1 ist f1 zwar nach x→−∞

x→0−

oben und unten beschr¨ ankt, hat jedoch weder lokale noch globale Extrema auf (−∞, 0). Die Analyse von f2 auf dem Intervall [0, ∞) ergibt, dass f2 streng monoton fallend ist mit 2 = f2 (0) ≥ f2 (x) > 0 = lim f2 (x). Daraus folgt, dass f2 im x→∞ 59
Inneren seiner Definitionsmenge keine lokalen Extrema hat. Am Rand x = 0 seines Definitionsbereichs hat f2 ein globales Maximum mit Wert 2. Da insgesamt 0 < f (x) ≤ 2 f¨ ur alle x ∈ R gilt, hat die zusammengesetzte Funktion f ein globales Maximum mit Wert 2 an der Stelle x = 0. Aus den Monotonieeigenschaften folgt, dass f an der Stelle x = 0 auch ein lokales Maximum hat. lokales und globales Maximum ... 2 ..r6 ...

... ... ... ... .. ... ... ... ... ... .... . . . . ... . . . . . . . .... ..... . . . .... ... . .... . . ..... ... . . ..... .. . . ...... . ...... .... . . ....... .. . . ........ . .......... ... . . . ........... ... . . ............... . . . ...................... .... . . . . . . . ..................................... ...... . . . . . .......... . . . . . . . . . . . . . . . .................................................

f (x) 1

-

−2

−1

0

1

2

3

x 

Die geringf¨ ugig modifizierte Funktion   2 f (x), x = 0 e−x , x ≤ 0 g(x) = = 1, x=0 2e−x , x > 0 hat weder lokale noch globale Extrema. Dies liegt darin begr¨ undet, dass der einzige Kandidat f¨ ur ein lokales/globales Maximum der Wert 2 w¨are. Dieser wird aber von der Funktion nicht angenommen.

416

12.5

12. Optimierung

12.5 Anwendungen in der Statistik Lineare Regression

Zur L¨ osung des 395
Optimierungsproblems Q(a, b) =

n *

(yi − a − bxi )2 −→ min

a,b∈R

i=1

wird zun¨ achst angenommen, dass ein gegebener Punkt (X, Y) der L¨osungsgerade bekannt sei. Also gilt insbesondere Y = f (X). Da f¨ ur jede Gerade f (x) = a + bx, die durch den Punkt (X, Y) verl¨auft, der Zusammenhang f (X) = Y ⇐⇒ a + bX = Y ⇐⇒ a = Y − bX gilt, ist die Variable a (in Abh¨ angigkeit von b) bekannt und kann in Q(a, b) eingesetzt werden (vgl. 234
Substitutionsmethode). Daraus ergibt sich Q(a, b) = Q(Y −bX, b) =

n *

(yi −Y+bX−bxi )2 =

i=1

n *

(yi −Y −b[xi −X])2 = h(b).

i=1

Somit konnte die Variable a eliminiert werden, und das Problem h¨angt nur noch von der Variablen b ab. Die Funktion h wird nun bzgl. b minimiert. Die Berechnung der Ableitung nach b ergibt∗ h (b) =

n n *   * (yi − Y − b[xi − X])2 = −2[xi − X](yi − Y − b[xi − X]) i=1

= −2 = −2

i=1 n * i=1 n *

(xi − X)[(yi − Y) − b(xi − X)] (xi − X)(yi − Y) + 2b

i=1

n *

(xi − X)2 .

i=1

Dies liefert die Gleichung 

h (b) = 0 ⇐⇒ −2

n *

(xi − X)(yi − Y) + 2b

i=1 ∗ Aus

n *

(xi − X)2 = 0,

i=1

der 353
Summenregel resultiert f¨ ur eine Funktion h(x) =

n  i=1

zierbaren g1 , . . . , gn die Ableitung h (x) =

.

n * i=1

/

gi (x)

=

n * i=1

gi (x).

gi (x) mit differen-

12.5 Anwendungen in der Statistik

so dass unter der Voraussetzung

417 n 

(xi − X)2 > 0∗ die L¨osung

i=1 n 

b=

(xi − X)(yi − Y)

i=1

n 

(xi − X)2

i=1

resultiert. Die zweite Ableitung von h ist gegeben durch h (b) = 2 n 

und somit stets positiv, d.h. an der Stelle b =

n 

(xi − X)2

i=1 (xi −X)(yi −Y)

i=1

n 

(xi −X)2

liegt ein lokales

i=1

Minimum. Wegen lim h(b) = lim h(b) = ∞ ist es außerdem ein globales b→−∞

b→∞

Minimum. Daher resultiert die folgende Aussage. Lineare Regression durch den Punkt (X, Y) Seien (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ), (X, Y) ∈ R2 , so dass es einen Index i gibt mit xi = X. Die Regressionsgerade durch einen gegebenen Punkt (X, Y) ist bestimmt durch f (x) =  a + bx mit n 

 a = Y − bX,

b =

(xi − X)(yi − Y)

i=1

n 

. (xi − X)2

i=1

Aus dieser Regel ergibt sich insbesondere die L¨ osung, falls von der Regressionsgeraden zus¨ atzlich gefordert wird, dass sie durch den Ursprung geht, d.h. es gilt f (0) = 0:† n 

f (x) = b0 x

mit

xi yi b0 = i=1 . n  x2i i=1

Beispiel
An eine Metallfeder werden nacheinander unterschiedliche Gewichte geh¨ angt und die Auslenkung der Feder, also die Differenz zwischen der L¨ ange der Feder mit angeh¨ angtem Gewicht und deren urspr¨ unglicher L¨ange, gemessen: ∗ Daher

gibt es mindestens ein von X verschiedenes xi . Sind alle xi = X , so gilt h (b) = 0 f¨ ur alle b ∈ R, d.h. h ist eine konstante Funktion. In diesem Fall ist jedes b optimal. † Dies bedeutet, dass der Punkt (X , ) = (0, 0) auf der Geraden liegt. Y

B

418

12. Optimierung

Gewicht xi (in g) Auslenkung yi (in cm)

40 1,9

80 3,6

120 5,7

160 7,1

200 9,8

240 10,9

Eine optische Einsch¨ atzung des Zusammenhangs zwischen Gewicht und Auslenkung der Feder mittels eines 64
Streudiagramms der Daten f¨ uhrt zu der Vermutung, dass im betrachteten Wertebereich eine lineare Beziehung vorliegt. Da die Feder ohne angeh¨ angtes Gewicht keine Auslenkung aufweist, wird eine Regression durch den Ursprung durchgef¨ uhrt, wobei die Auslenkung der Feder (Beobachtungswerte y1 , . . . , y6 ) als abh¨angige Variable und das angeh¨ angte Gewicht (Beobachtungswerte x1 , . . . , x6 ) als erkl¨arende Variable angesehen werden. Der vorgegebene Punkt (X, Y) ist somit (0, 0). We6 6   gen xi yi = 6 760 und x2i = 145 600 folgt f¨ ur den Koeffizienten b0 der i=1

i=1

6 760 13 Regressionsgeraden b0 = 145 600 = 280 ≈ 0,0464. Der Darstellung der Regressionsgeraden im Streudiagramm ist zu entnehmen, dass der lineare Modellansatz den Zusammenhang zwischen beiden Merkmalen sehr gut beschreibt.

 Die L¨ osung des allgemeinen Problems ergibt sich aus der Beobachtung, dass n n   der Punkt (x, y) mit x = n1 xi und y = n1 yi stets auf der Regressionsi=1

i=1

geraden liegt. Nachweis. Sei angenommen, dass der Punkt (x, y) nicht auf der Geraden f (x) = a + bx liegt, d.h. f (x) = y. F¨ ur die durch die Vorschrift g(x) = f (x) + y − f (x) = a + bx + y − a − bx = y + b(x − x)

12.5 Anwendungen in der Statistik

419

festgelegte Gerade gilt dann g(x) = y, d.h. (x, y) ist ein Punkt dieser Geraden. F¨ ur den Abstand dieser Geraden zu den Punkten (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ) ergibt sich durch geschicktes Zusammenfassen und Anwendung der zweiten binomischen Formel n *

(yi − g(xi ))2 =

i=1

n *

(yi − f (xi ) − y + f (x))2

i=1

=

n * 

(yi − f (xi ))2 − 2(yi − f (xi ))(y − f (x)) + (y − f (x))2



i=1

=

n *

(yi − f (xi ))2 − 2(y − f (x))

i=1

n *

(yi − f (xi )) +

i=1






n *

(y − f (x))2

i=1



(♣)

= n(y−f (x))

=

n *

(yi − f (xi ))2 − 2n(y − f (x))2 + n(y − f (x))2

i=1

= Q(a, b) − n (y − f (x))2 .
  >0

Somit gilt also stets die Ungleichung

n 

(yi − g(xi ))2 < Q(a, b), d.h. die durch g

i=1

gegebene Gerade hat eine geringere Gesamtabweichung als die von f festgelegte Gerade. Zu einer Geraden, die nicht durch den Punkt (x, y) f¨ uhrt, gibt es also stets eine Gerade mit geringerer Abweichung, die durch ihn verl¨ auft. Somit folgt, dass alt.∗ die optimale L¨ osung eine Gerade sein muss, die den Punkt (x, y) enth¨ Es bleibt noch die Identit¨ at (♣)

n 

(yi −f (xi )) = n(y −f (x)) zu zeigen. Diese ergibt

i=1

sich direkt aus der 115
Linearit¨ at des Summenzeichens n * i=1

(yi − f (xi )) =

n * i=1

(yi − a − bxi ) =

n *

yi − an − b

i=1

= ny − n(a + bx) = n(y − f (x)).

n *

xi

i=1



∗ Die durch g und f gegebenen Geraden haben die gleiche Steigung b, d.h. die bessere“ ” Gerade g wird durch eine Parallelverschiebung in den Punkt (x, y) erzielt.

420

12. Optimierung

Lineare Regression Seien (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ) ∈ R2 mit

n 

(xi − x)2 > 0.∗ Die Regressionsgerade

i=1

f (x) =  a + bx durch die Punkte (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ) ist bestimmt durch die Koeffizienten n  (xi − x)(yi − y) b = i=1  a = y − bx, . n  (xi − x)2 i=1

B

Beispiel
In der Marketingabteilung eines Unternehmens soll das Budget f¨ ur

eine bevorstehende Werbeaktion bestimmt werden. Um einen Anhaltspunkt u ¨ ber den zu erwartenden Nutzen der Aktion bei Aufw¨andung eines bestimmten Geldbetrags zu erhalten, werden die Kosten von bereits durchgef¨ uhrten Werbeaktionen und die zugeh¨ origen Ums¨ atze der beworbenen Produkte untersucht. In der folgenden Tabelle sind die Kosten (in 1 000e) der letzten sechs Aktionen den Ums¨ atzen (in Mio. e) der jeweils folgenden Monate gegen¨ uber gestellt. Werbeaktion Kosten Umsatz

i xi yi

1 23 2,3

2 15 1,1

3 43 2,7

4 45 2,9

5 30 2,1

6 51 3,3

Auf der Basis dieser Daten wird eine lineare Regression durchgef¨ uhrt. Anhand dieser Daten ergeben sich die Werte 69 , x= 2

12 , y= 5

6 *

101 , (xi − x)(yi − y) = 2 i=1

6 *

(xi − x)2 =

i=1

1 975 . 2

Die Koeffizienten der zugeh¨ origen Regressionsgerade f(x) =  a +bx sind daher 2 511 b = 101 ≈ 0,0511 und  a = 3 950 ≈ 0,636. Daraus ergibt sich also y = f (x) = 1 975 0,636 + 0,0511x bzw. Umsatz [in Mio. e] = 0,636 + 0,0511 × Kosten [in 1 000e]. Werden alle Angaben in 1 000 e vorgenommen, resultiert die Beziehung ∗ Diese Bedingung entspricht der Forderung, dass mindestens zwei x-Werte verschieden sind, d.h. es gibt Indizes i = j mit xi = xj . Umgekehrt heißt dies, dass an mindestens zwei Stellen gemessen wurde bzw. nicht nur an einer Stelle x.

12.5 Anwendungen in der Statistik

421

Umsatz [in 1 000 e] = 636 + 51,1 × Kosten [in 1 000e]. Daraus ergibt sich, dass 1 000 e an Werbeaufwand einen zus¨atzlichen Umsatz von 51 000 e generieren. Die nachstehende Abbildung ist eine grafische Veranschaulichung der Regressionsgerade im 64
Streudiagramm.

 Maximum-Likelihood-Sch¨ atzung

Die Vorgehensweise zur Berechnung der Maximum-Likelihood-Sch¨atzung wird exemplarisch an zwei Verteilungen, der 139
Binomialverteilung und der 378
Exponentialverteilung, ausgef¨ uhrt. Binomialverteilung

Der Parameter p der Binomialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit an, einen Treffer (d.h. eine Eins) bei einem Zufallsexperiment mit zwei Ausg¨angen zu erzielen (z.B. M¨ unzwurf). Dieser Parameter (d.h. die Trefferwahrscheinlichkeit) wird basierend auf einer Stichprobe x1 , . . . , xn von Beobachtungen mit Werten Null oder Eins gesch¨ atzt. Zur Vereinfachung wird nachfolgend angen  xi < n gilt, d.h. es gibt jeweils minnommen, dass die Ungleichung 0 < i=1

destens eine Null bzw. Eins in den Beobachtungen. In den F¨allen

n  i=1

xi = 0

422

bzw.

12. Optimierung n 

xi = n lautet die Likelihoodfunktion L(p) = (1−p)n bzw. L(p) = pn .

i=1

Diese m¨ ussen gesondert betrachtet werden (s. 425
Aufgabe 12.4). Die Likelihoodfunktion der Binomialverteilung L(p) =

n 3

n 

p (1 − p)

1−xi

xi

=p

i=1

xi

n−

(1 − p)

n  i=1

xi

p ∈ [0, 1],

,

i=1

wird auf lokale Extrema untersucht. Differenziation nach p ergibt mit der n n   Notation x = n1 xi bzw. nx = xi und der 353
Produktregel i=1

i=1

1 0 L (p) = pnx (1 − p)n(1−x) = nxpnx−1 (1 − p)n(1−x) − n(1 − x)pnx (1 − p)n(1−x)−1 = [nx(1 − p) − n(1 − x)p] pnx−1 (1 − p)n(1−x)−1 ,

p ∈ (0, 1).

ur p ∈ (0, 1) stets positiv ist, liefert die Da der Term pnx−1 (1 − p)n(1−x)−1 f¨ ¨ Division der Gleichung L (p) = 0 durch diesen Term die Aquivalenz L (p) = 0 ⇐⇒ nx(1 − p) − n(1 − x)p = 0. Aufl¨ osen nach p ergibt die L¨ osung p = x. Es bleibt zu pr¨ ufen, ob diese Stelle tats¨ achlich ein lokales Maximum liefert. Dazu wird eine Monotoniebetrachtung durchgef¨ uhrt. Das Vorzeichen von L (p) wird wegen 0 ≤ p ≤ 1 offenbar nur durch den Faktor nx(1 − p) − n(1 − x)p bestimmt. Dieser ist eine lineare Funktion in p mit Nullstelle p = x. Da 0 < x < 1 gilt, ergibt sich durch Einsetzen der 292
Pru ¨ fstellen p1 = x2 ∈ (0, x) 1+x und p2 = 2 ∈ (x, 1):

 x x x x nx 1 − − n(1 − x) = n [(2 − x) − (1 − x)] = n > 0 2 2 2 2

 1−x 1+x 1+x 1−x =n [x − (1 + x)] = −n <0 nx 1 − − n(1 − x) 2 2 2 2 das Vorzeichen von L in den Intervallen (0, x) und (x, 1). p 0


 + da

L ( x 2 )>0

x 


 − L ( 1+x 2 )<0

1 

12.5 Anwendungen in der Statistik

423

Somit ist L zun¨ achst monoton steigend und anschließend monoton fallend. An der Stelle p = x liegt somit ein lokales Maximum der Likelihoodfunktion. Da die Grenzwerte lim L(p) und lim L(p) jeweils gleich Null sind, ist es p→0+

p→1−

sogar ein globales Maximum. Alternativ kann dieses Ergebnis durch Betrachtung der log-Likelihoodfunktion erzielt werden, die eine einfachere Rechnung erlaubt. Dazu wird die Likelihoodfunktion logarithmiert, wobei benutzt wird, dass 412
streng monotone Transformationen lokale Extremalstellen nicht verschieben. Daraus resultiert die Funktion l(p) = ln(L(p)) = nx ln(p) + n(1 − x) ln(1 − p),

p ∈ (0, 1).

Differenziation von l(p) nach p und Nullsetzen der Ableitung ergibt die Gleichung 1 1 = 0, l (p) = nx − n(1 − x) p 1−p die nach Multiplikation mit p(1 − p) zur L¨ osung p = x f¨ uhrt. Auch hier kann uft werden, dass dies eine lokale mittels des 406
Monotoniekriteriums u ¨ berpr¨ Maximalstelle ist. Einfacher ist allerdings die Anwendung des 407
Kriteriums mit der zweiten Ableitung l (p) = −nx

1 1 − n(1 − x) , 2 p (1 − p)2

die f¨ ur p ∈ (0, 1) stets negativ ist. Somit ist die log-Likelihoodfunktion 413
konkav auf dem Intervall (0, 1), so dass wie oben x lokale (und globale) Maximalstelle von l und daher auch von L ist. Exponentialverteilung

Die 378
Exponentialverteilung wird u.a. zur Modellierung einer zuf¨alligen Lebensdauer T verwendet (z.B. von Gl¨ uhbirnen). Diese Annahme bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses Die Lebensdauer T ist geringer als ein vorgegebener Wert x > 0 durch den Ausdruck 1 − e−λx gegeben ist, wobei der Parameter λ eine gewisse flexible Beschreibung dieser Wahrscheinlichkeit erm¨ oglicht. Der Wert λ1 entspricht der im Modell angenommenen mittleren Lebensdauer (vgl. 378
Erwartungswert). Basierend auf einer Stichprobe x1 , . . . , xn > 0 der Lebensdauer von gleichartigen Objekten resultiert bei Annahme einer Exponentialverteilung die Like-

424

12. Optimierung

lihoodfunktion (f¨ ur den Parameter λ > 0) L(λ) =

n 3

λe

−λxi

n

=λ e

−λ

n  i=1

xi

,

λ > 0,

i=1

die bzgl. λ maximiert wird. Zur Vereinfachung der Rechnung wird auch hier die log-Likelihoodfunktion l(λ) = ln(L(λ)) = n ln(λ) − λ

n *

xi

i=1

verwendet. Differenziation nach λ ergibt 1 * n − xi = 0 ⇐⇒ λ =  . n λ i=1 xi n

l (λ) = 0 ⇐⇒ n

i=1

Die zweite Ableitung l (λ) = − λn2 ist n = x1 L jeweils an der Stelle λ =  n xi

offenbar stets negativ, so dass l und ein lokales Maximum haben. Wegen

i=1

= lim L(λ) = lim L(λ) = 0 ist es auch ein globales Maximum, d.h. λ

λ→0+

λ→∞

1 x

ist

der Maximum-Likelihood-Sch¨ atzer f¨ ur λ.

12.6

12.6 Aufgaben

425
L

Aufgabe 12.1 Bestimmen Sie f¨ ur die Funktionen f : D → R den (maximalen)

Definitionsbereich sowie alle lokalen und globalen Extremalstellen. (a) f (x) = x3 + 2x2 − 1

428
L

(d) f (x) = (x2 − 3)ex

(b) f (x) =

x2 2x−5

(e) f (x) = (x2 + 4x)e−2x

(c) f (x) =

x3 −2x2 −x+2 x−2

(f) f (x) = ln(e−x + 1)

Aufgabe 12.2

2

Begr¨ unden Sie die Ungleichung ln(t) ≤ t − 1,

t > 0,

mit Mitteln der Differenzialrechnung, wobei Gleichheit f¨ ur t = 1 gilt. Betrachten Sie dazu die Funktion h(t) = ln(t) − t + 1, t > 0.

12.7 L¨ osungen

425

Aufgabe 12.3

Berechnen Sie mit der Methode der kleinsten Quadrate eine optimale N¨ aherung der Daten (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ) mit x1 , . . . , xn > 0 durch die Regressionsfunktion f (x) = xb , wobei der Parameter b als unbekannt angenommen wird.

429
L

Ermitteln Sie im Fall der Binomialverteilung den Maximumn n   xi = 0 oder xi = n gilt. Stellen Sie Likelihood-Sch¨ atzer f¨ ur p, falls

429
L

Aufgabe 12.4

i=1

i=1

dazu zun¨ achst die Likelihoodfunktion in diesen speziellen Situationen auf. Seien x1 , . . . , xn ∈ N0 Daten. Bei Annahme einer 314
geometrischen Verteilung lautet die Likelihoodfunktion f¨ ur p ∈ [0, 1]:

Aufgabe 12.5

n 

L(p) = p (1 − p) n

i=1

xi

430
L

.

Berechnen Sie den Maximum-Likelihood-Sch¨ atzer f¨ ur p. Seien x1 , . . . , xn > 0 Daten. Bei Annahme einer 380
Normalverteilung lautet die Likelihoodfunktion f¨ ur µ ∈ R:

Aufgabe 12.6

430
L

n 

− 12 (xi −µ)2 1 e i=1 , L(µ) = √ ( 2π)n

wobei π = 3,1415 . . . die Kreiszahl π bezeichnet. Berechnen Sie den MaximumLikelihood-Sch¨ atzer f¨ ur µ.

12.7

12.7 L¨ osungen

424
A

L¨ osung 12.1 (a) Der Definitionsbereich der Funktion ist D = R. F¨ ur das Verhalten der Kurve im Unendlichen ergibt sich aus der 339
Tabelle Grenzwerte von Funktionen lim f (x) = +∞ und lim f (x) = −∞. Daraus folgt sofort, dass es keine x→+∞

x→−∞

globalen Extrema geben kann (f ist sowohl nach unten als auch nach oben unbeschr¨ ankt). Mittels der ersten Ableitung f (x) = 3x2 + 4x ergeben sich die Kandidaten f¨ ur Extremalstellen f (x) = (3x + 4)x = 0 ⇐⇒ x = 0 oder x = − 34 .

426

12. Optimierung

Damit resultieren die Monotoniebereiche

...

− 43

 +




f  (−2)=4>0

da

0 


 − f  (−1)=−1<0

x  +

...

f  (1)=7>0

Somit liegt an beiden Stellen ein Vorzeichenwechsel der Ableitung vor. An der Stelle x = − 43 hat f ein lokales Maximum, w¨ ahrend die Funktion bei x = 0 ein lokales Minimum hat.

 (b) Der Definitionsbereich ist gegeben durch D = R\ 52 . Das Verhalten der Funktion im Unendlichen ergibt sich aus der 339
Tabelle Grenzwerte von Funktionen: lim f (x) = +∞, lim f (x) = −∞, so dass keine globalen Extrema x→+∞

x→−∞

existieren. F¨ ur die Grenzwerte an der Definitionsl¨ ucke gilt limx→5/2− f (x) = −∞, limx→5/2+ f (x) = ∞. Mittels der ersten Ableitung f (x) = lokale Extremalstellen: f (x) = 0

⇐⇒

2x2 −10x (2x−5)2

2x2 − 10x = 0

resultieren die Kandidaten f¨ ur

⇐⇒

x = 0 oder x = 5.

Dies ergibt folgende Monotoniebereiche, wobei zus¨ atzlich die Definitionsl¨ ucke 5 zu ber¨ u cksichtigen ist, da sich an dieser Stelle auch das Monotonieverhalten 2 andern kann: ¨

... da

 +

f  (−1)= 12 >0 49

0 


 − f  (1)=− 8 <0 9

5 2




 − f  (3)=−12<0

5 


x  +

...

f  (6)= 12 >0 49

Aus diesem Ergebnis resultiert, dass bei x = 0 ein lokales Maximum und bei x = 5 ein lokales Minimum vorliegen. (c) Definitionsbereich der Funktion ist D = R \ {2}. Aus der 339
Tabelle Grenzwerte von Funktionen resultieren die Grenzwerte lim f (x) = +∞ und x→+∞

lim f (x) = +∞, so dass kein globales Maximum existiert. An der Defini-

x→−∞

¨ tionsl¨ ucke ergeben sich die Grenzwerte durch folgende Uberlegung. Einsetzen des Wertes x = 2 in den Z¨ ahler ergibt Null, so dass x = 2 Nullstelle von Z¨ ahler-

12.7 L¨ osungen

427

und Nennerpolynom ist. Eine Polynomdivision liefert (

x3 − 2x2 − x + 2) : (x − 2) = x2 − 1, − x3 + 2x2 −x+2 x−2 0

d.h. f (x) = x2 − 1, x ∈ D. Somit resultieren die Grenzwerte lim f (x) = lim (x2 − 1) = 3 = lim f (x).

x→2−

x→2−

x→2+

Mittels der ersten Ableitung f (x) = 2x resultiert der Kandidat x = 0 f¨ ur eine Extremalstelle. Die resultierenden Monotoniebereiche sind

... da

0 


 −

f  (−1)=−2<0

2 


 + f  (1)=2>0

x  +

...

f  (3)=6>0

Somit liegt bei x = 0 ein lokales Minimum. Aufgrund des Monotonieverhaltens und der Grenzwerte an der Definitionsl¨ ucke ist x = 0 auch globale Minimalstelle mit Funktionswert f (0) = −1. (d) Definitionsbereich der durch f (x) = (x2 − 3)ex definierten Funktion ist D = R. Das Verhalten im Unendlichen resultiert direkt aus 339
Tabelle Grenzwerte von Funktionen: lim f (x) = +∞ und lim f (x) = 0. Somit ist f nach x→+∞

x→−∞

oben unbeschr¨ ankt und nach unten beschr¨ ankt. Folglich existiert kein globales Maximum. Mittels der ersten Ableitung f (x) = (x2 +2x−3)ex resultieren die Kandidaten f¨ ur die Extremalstellen: f (x) = 0

⇐⇒

(x2 + 2x − 3)ex = 0 ⇐⇒ x2 + 2x − 3 = 0.

Mit Hilfe der 202
pq-Formel resultieren die L¨ osungen x = −3 und x = 1. Die Monotoniebereiche sind also:

... da

 +

−3 


f  (−4)=5e−4 >0

 − f  (0)=−3<0

1 


x  +

...

f  (2)=5e2 >0

428

12. Optimierung

An beiden Stellen liegt ein Vorzeichenwechsel der Ableitung vor, so dass bei x = −3 ein lokales Maximum und bei x = 1 ein lokales Minimum liegen. Wegen f (1) = −2e und lim f (x) = 0 ist letzteres auch ein globales Minimum. x→−∞

(e) Definitionsbereich von f (x) = (x2 + 4x)e−2x ist D = R. Die Grenzwerte im Unendlichen sind lim f (x) = 0 und lim f (x) = +∞. Daher existiert kein x→+∞

x→−∞

globales Maximum. Mittels der ersten Ableitung f (x) = (−2x2 − 6x + 4)e−2x resultiert die notwendige Bedingung f¨ ur Extremalstellen f (x) = 0

⇐⇒

(−2x2 − 6x + 4)e−2x = 0 ⇐⇒ −2x2 − 6x + 4 = 0.

Mit Hilfe einer 197
quadratischen Erg¨ anzung resultieren die Nullstellen x = √ √ − 32 − 12 17 ≈ −3,56 und x = − 32 + 12 17 ≈ 0,56. Die Monotoniebereiche sind:

...

√ − 23 − 12 17  
−

 +

f  (−4)=−4e8 <0

da

√ − 32 + 12 17 
 −

f  (0)=4>0

x ...

f  (1)=−4e−2 <0

√ An der Stelle x = − 23 − 12 17 liegt somit ein lokales Minimum, bei x = √ √ √ √ − 32 + 12 17 ein lokales Maximum. Wegen f (− 32 − 12 17) = 12 (1− 17)e3+ 17 ≈ −1 936,79 und lim f (x) = 0 ist ersteres auch ein globales Minimum. x→+∞

2

(f) Definitionsbereich von f (x) = ln(e−x + 1) ist D = R. F¨ ur die Ableitung gilt 2

f (x) =

−2x −2xe−x = x2 = 0 ⇐⇒ x = 0. e−x2 + 1 e +1

2

Wegen ex + 1 > 0 gilt f (x) > 0 ⇐⇒ x < 0 bzw. f (x) < 0 ⇐⇒ x > 0. Somit ist f streng monoton wachsend in (−∞, 0] und streng monoton fallend in [0, ∞). Bei x = 0 liegt daher ein lokales Maximum. Wegen lim f (x) = x→−∞

lim f (x) = 0∗ ist x = 0 auch globale Maximalstelle. Weiterhin ist f (x) >

x→∞

2

ln(1) = 0 f¨ ur alle x ∈ R, da e−x stets positiv und der Logarithmus eine streng monoton wachsende Funktion ist. Daher hat f kein globales Minimum. 424
A

L¨ osung 12.2

Die Funktion h(t) = ln(t) − t + 1, t > 0, hat die Ableitung h (t) =

∗ Vgl. 339
Tabelle

1 − 1, t

Grenzwerte von Funktionen.

t > 0.

12.7 L¨ osungen

429

Diese ist gleich Null nur f¨ ur t = 1. Dar¨ uber hinaus gilt h (t) > 0 ⇐⇒ 0 < t < 1 bzw. h (t) < 0 ⇐⇒ t > 1. Wegen lim h(t) = −∞ und lim h(t) = −∞ ist h(1) globales Maximum der Funkt→0+

t→∞

tion h. Somit gilt h(t) ≤ h(1) = 0

f¨ ur alle t > 0,

wobei Gleichheit nur f¨ ur t = 1 erf¨ ullt ist. Aus dieser Ungleichung folgt unmittelbar die Behauptung.

L¨ osung 12.3 Die Abweichung der Funktion f (x) = xb zu den Punkten (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ) betr¨ agt gem¨ aß der 396
Methode der kleinsten Quadrate Q(b) =

n *

(yi − f (xi ))2 =

i=1

n *

yi −

i=1

b xi

425
A

2 b ∈ R.

,

Differenziation nach b und Nullsetzen ergibt die Gleichung   n n n * * * b yi 1 1

Q (b) = +b = 0. − · 2 yi − = 0 ⇐⇒ − 2 x x x x i i i i=1 i=1 i=1 i n y  i

Somit resultiert der Ausdruck b =

i=1 n 

xi

1 2 i=1 xi

. Wegen Q

(b) = 2

i=1

lim Q(b) = lim Q(b) = ∞ hat Q an der Stelle  b=

b→∞

n 

b→−∞

1 x2 i

> 0 und

n y  i i=1 n 

xi

1 2 i=1 xi

ein lokales und globales

Minimum. Somit ist  b die kleinste Quadratsch¨ atzung f¨ ur b.

L¨ osung 12.4

In der Situation

n 

xi = 0 resultiert die Likelihoodfunktion L(p) =

i=1

< 0 f¨ ur p ∈ (0, 1) ist L auf dem (1 − p) , p ∈ [0, 1]. Wegen L (p) = −n(1 − p) Intervall [0, 1] eine streng monoton fallende Funktion, d.h. das Maximum wird am n  xi = 0 ist p = x = 0 linken Intervallende (p = 0) angenommen. Wegen x = n1 n

n−1

i=1

Maximum-Likelihood-Sch¨ atzer f¨ ur p. Entsprechend ergibt sich f¨ ur

n 

xi = n die auf [0, 1] streng monoton steigende

i=1

Likelihoodfunktion L(p) = pn , so dass p = x =

1 n

n  i=1

xi =

n n

= 1 Maximum-

Likelihood-Sch¨ atzer f¨ ur p ist. Insgesamt ist somit p = x =

1 n

n 

xi (unabh¨ angig von den Beobachtungen x1 , . . . , xn )

i=1

Maximum-Likelihood-Sch¨ atzer f¨ ur p.

425
A

430

425
A

12. Optimierung

L¨ osung 12.5

Mit der Bezeichnung x =

p ∈ [0, 1]: L(p) = pn (1 − p)nx .

1 n

n 

xi lautet die Likelihoodfunktion f¨ ur

i=1

Sei zun¨ achst x > 0. Dann ist die log-Likelihoodfunktion mit Definitionsmenge (0, 1) gegeben durch l(p) = ln(L(p)) = n ln(p) + nx ln(1 − p). Differenziation nach p ergibt l (p) =

n nx − , p 1−p

l

(p) = −

n nx − . p2 (1 − p)2

¨ Somit resultiert aus der Ableitung die Aquivalenz  p(1 − p) 1 l (p) = 0  · ⇐⇒ 1 − p − xp = 0 ⇐⇒ p = . n 1+x ur alle p ∈ (0, 1) gilt, ist dies eine lokale Maximalstelle. Aus den Da l

(p) < 0 f¨ 1 Grenzwerten lim l(p) = lim l(p) = −∞ folgt, dass p = 1+x auch globale Maxip→0+

p→1− 1 1+x

malstelle ist. Somit ist p =

Maximum-Likelihood-Sch¨ atzer f¨ ur p.

Ist x = 0, ergibt sich L(p) = pn , d.h. L ist eine monoton wachsende Funktion in 1 p. Somit ist p = 1 globale Maximalstelle in [0, 1] und p = 1 = 1+0 MaximumLikelihood-Sch¨ atzer f¨ ur p. Insgesamt ist daher p = 425
A

L¨ osung 12.6

1 1+x

Maximum-Likelihood-Sch¨ atzer f¨ ur p.

Die log-Likelihoodfunktion lautet n √ 1* (xi − µ)2 . l(µ) = ln(L(µ)) = −n ln( 2π) − 2 i=1

Differenziation nach µ ergibt l (µ) =

n *

l

(µ) = −

(xi − µ),

i=1

n *

1 = −n.

i=1

Daher folgt aus l (µ) = 0 die Beziehung n *

(xi − µ) = 0 ⇐⇒

i=1

n *

xi − nµ = 0 ⇐⇒ µ = x.

i=1

Wegen l

(µ) < 0 f¨ ur alle µ ∈ R ist l eine konkave Funktion und daher insbesondere µ = x lokales Maximum. Wegen lim l(µ) = lim l(µ) = −∞ ist es auch globale µ→∞

µ→−∞

Maximalstelle, so dass µ  = x Maximum-Likelihood-Sch¨ atzer f¨ ur µ ist.

Literaturverzeichnis

431

Literaturverzeichnis Die folgende Liste enth¨ alt – ohne Anspruch auf Vollst¨andigkeit – eine Auswahl von B¨ uchern zum Schulwissen Mathematik. Adams, G., Kruse, H., Sippel, D. und Pfeiffer, U. (2002). Mathematik zum Studieneinstieg. Springer, Heidelberg, 4. Aufl. Arrenberg, J., Kiy, M. und Knobloch, R. (2003). Vorkurs in Mathematik. Oldenbourg, M¨ unchen, 2. Aufl. Bosch, K. (2007). Br¨ uckenkurs Mathematik. Oldenbourg, M¨ unchen, 13. Aufl. Burkschat, M., Cramer, E. und Kamps, U. (2004). Beschreibende Statistik Grundlegende Verfahren. Springer, Berlin. Clermont, S., Cramer, E., Jochems, B. und Kamps, U. (2001). Wirtschaftsmathematik - Aufgaben und L¨osungen. Oldenbourg, M¨ unchen, 3. Aufl. Cramer, E., Cramer, K., Kamps, U. und Zuckschwerdt, C. (2004). Beschreibende Statistik – Interaktive Grafiken. Springer, Berlin. Cramer, E. und Kamps, U. (2008). Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik. Springer, Berlin, 2. Aufl. Fritzsche, K. (2007). Mathematik f¨ ur Einsteiger. Spektrum, Heidelberg, 4. Aufl. Genschel, U. und Becker, C. (2004). Schließende Statistik - Grundlegende Verfahren. Springer, Berlin. Heuser, H. (2006). Lehrbuch der Analysis Teil 1. Teubner, Stuttgart, 16. Aufl. Kamps, U., Cramer, E. und Oltmanns, H. (2003). Wirtschaftsmathematik – Einf¨ uhrendes Lehr- und Arbeitsbuch. Oldenbourg, M¨ unchen, 2. Aufl. Knorrenschild, M. (2007). Vorkurs Mathematik. Fachbuchverlag Leipzig, 2. Aufl. Purkert, W. (2005). Br¨ uckenkurs Mathematik f¨ ur Wirtschaftswissenschaftler. Teubner, Stuttgart, 5. Aufl. Sch¨ afer, W., Georgi, K. und und Christa Otto, G. T. (2006). MathematikVorkurs. Teubner, Stuttgart, 6. Aufl. Scharlau, W. (2008). Schulwissen Mathematik. Vieweg, Wiesbaden, 5. Aufl.

432

Literaturverzeichnis

Schirotzek, W. und Scholz, S. (2005). Starthilfe Mathematik. Teubner, Stuttgart, 5. Aufl. Stingl, P. (2007). Einstieg in die Mathematik f¨ ur Fachhochschulen. Fachbuchverlag Leipzig, 3. Aufl.

Symbol- und Abk¨ urzungsverzeichnis

433

Symbol- und Abk¨ urzungsverzeichnis Das Symbol- und Abk¨ urzungsverzeichnis enth¨ alt neben dem Symbol/der Abk¨ urzung eine kurze Erkl¨ arung sowie die Seite der ersten Verwendung bzw. ggf. der Definition. Kleine und große griechische Buchstaben α δ η κ ν π τ χ

alpha delta eta kappa nu pi tau chi

A ∆ H K N Π T X

Alpha Delta Eta Kappa Nu Pi Tau Chi

β ε,

ϑ λ ξ , ρ υ ψ

beta epsilon theta lambda xi rho upsilon psi

B E Θ Λ Ξ R Υ Ψ

Beta Epsilon Theta Lambda Xi Rho Upsilon Psi

γ ζ ι µ o σ ϕ, φ ω

gamma zeta iota mu omikron sigma phi omega

Γ Z I M O Σ Φ Ω

Gamma Zeta Iota Mu Omikron Sigma Phi Omega

Abk¨ urzungen und Symbole bzgl. bez¨ uglich

234

bzw. beziehungsweise

11

d.h. das heißt

11

317

∞ 

ai

322

i=1

11

evtl. eventuell ggf. gegebenenfalls

Reihe exp(t) Exponentialfunktion

161

22

½[a,∞) (t) Indikatorfunktion

162

96

sin(t), cos(at) Trigonometrische Funktionen

162

6

n 

aj tj

161

j=0

i.e. id est (das ist)

127

u.¨ a. und ¨ ahnliches

41

u.a. unter anderem

10

z.B. zum Beispiel

n→∞

lim an , an −−−−→ a

n→∞

313

Grenzwert einer Folge

etc. et cetera (und so weiter)

i.Allg. im Allgemeinen

(an )n∈N , (an )n∈I Folgen

3

Polynom d −→ f (d) Abbildungsvorschrift

154

f , f (x0 ) Ableitung

350

f

, f (n) zweite/n-te Ableitung

355

f : D −→ W Funktion

154

π Kreiszahl

23

f ◦ g, f (g(t)) Verkettung der Funktionen f und g

169

e Eulersche Zahl

23

f −1 Umkehrfunktion

176

434

Symbol- und Abk¨ urzungsverzeichnis

x→x

0 lim f (x) = a, f (x) −−−−→ a

335

x→x0

Grenzwert einer Funktion (reelle Zahl) x→x

0 +∞(−∞) 335 f (x) −−−−→ Grenzwert einer Funktion (Unendlich)

x→x +

lim f (x), f (x) −−−−0−→ a

338

x→x0 +

Rechtsseitiger Grenzwert einer Funktion lim

x→x0 −

x→x0 −

f (x), f (x) −−−−−→ a

338

lim f (x),

lim f (x)

338

x→−∞

45

| ‘mit der Eigenschaft’

6

Ω Grundmenge

43

A, Ac , Ω A, A Komplement von A

48

{, } Mengenklammern

Linksseitiger Grenzwert einer Funktion x→∞

|A| M¨ achtigkeit von A

Grenzwert einer Funktion bei Ann¨ aherung an ±∞

5

A\B Differenzmenge

55

f (x)−f (x0 ) x−x0

349

A×B kartesisches Produkt

61

f (x)−f (x0 ) x−x0 x→x0

An kartesisches Produkt von A (n-fach)

62

350

201

A1 × · · · × An ,

Differenzenquotient lim

Differenzialquotient

n

D Diskriminante 8 f (t)dt Unbestimmtes Integral 8b

×A i=1

i

62

kartesisches Produkt von A1 , . . . , An 369

f (t)dt

366

∩ Schnitt n 

,

i=1

a

Bestimmtes Integral 8b f (t)dt 371 −∞ Integral mit unbeschr¨ anktem Integrationsbereich 0 1b 0 1 t=b F (t) |ba ,F (t) |t=b 368 t=a , F (t) , F (t) a

Integral und Stammfunktion

t=a

49

∞ 

51

i=1

Schnitt mehrerer Mengen ∪ Vereinigung n  i=1

,

∞ 

,

i=1



52

54

i∈ I

Vereinigung mehrerer Mengen

⇐⇒ ¨ Aquivalenzzeichen

9

⊆ Teilmenge

44

=⇒ Folgerungspfeil

9

, , ⊂ echte Teilmenge

44

∨ logisches ‘oder’

9

44

∧ logisches ‘und’

9

⊂,  keine Teilmenge n

∅, {} Leere Menge

42

k

136

Binomialkoeffizient a b

19

Bruch mit Z¨ ahler a und Nenner b

∈, ∈ (nicht) Element von

7

P(Ω) Potenzmenge von Ω

46

log(a), lg(a), ln(a) Logarithmus von a (zur Basis 10, e)

92

logb (a) Logarithmus von a zur Basis b

92

Symbol- und Abk¨ urzungsverzeichnis √ a, a (n-te) Wurzel von a √ n

an n-te Potenz von a n! Fakult¨ at

435

88 85

∞ Unendlichsymbol

45

|a| Betrag der Zahl a

14

N nat¨ urliche Zahlen

10

112

N0 nat¨ urliche Zahlen mit Null

11

130

± Plus-Minus

136

ggT(n, m) 79 gr¨ oßter gemeinsamer Teiler von n und m x arithmetisches Mittel n 4

ai

i=1

Produktzeichen 4 ai

131

i∈I

Produktzeichen n 

112

ai

i=1

Summenzeichen n m  

aij

126

i=1 j=1

Doppelsumme  ai

114

i∈I

Summenzeichen ai• , a•j , a•• Summen in Kontingenztafeln



187 =, ≤ Kennzeichnung einer falschen Aussage bei Gleichungen und Ungleichungen

129

100

Q rationale Zahlen

20

R reelle Zahlen

22

R2 , R3 , R n kartesisches Produkt von R

63

Z ganze Zahlen

13

(−∞, ∞) Intervalle: reelle Zahlen

59

(−∞, a), (a, ∞), (−∞, a], [a, ∞) Intervalle: unbeschr¨ ankte

59

(a, b), (a, b], [a, b), [a, b] Intervalle: beschr¨ ankte

59

(a1 , . . . , an ) n-Tupel

62

D Definitionsmenge

154

=, <, >, ≤, ≥ Relationszeichen

11

L L¨ osungsmenge

188

≈ ungef¨ ahr bzw. Rundung

23

W Wertebereich

154

Index

437

Index A

Abbildung, 154 Ableitung, 350 außere, 354 ¨ h¨ ohere, 355 innere, 354 wichtiger Funktionen, 352 zweite, 355 Ableitungsregeln, 353 abrunden, 25 Absolutglied, 195, 265 Abszisse, 62 abz¨ ahlbar unendlich, 45 y-Achsenabschnitt, 158 Addition, 11 Assoziativgesetz, 12 Kommutativgesetz, 12 von Br¨ uchen, 81 Additionsverfahren, 243 ¨ Aquivalenz, 9 Argument, 154 arithmetische Summe, 120 arithmetisches Mittel, 112, 122 gewichtetes, 123 Assoziativgesetz Addition, 12 f¨ ur Mengen, 57 Multiplikation, 12 Verkettung von Funktionen, 170 aufrunden, 25 Ausklammern, 15 Ausmultiplizieren, 15 Aussage, 8 B

Basis, 85 Beschr¨ anktheit

einer Folge, 315 einer Funktion, 173 bestimmt divergent, 317 bestimmtes Integral, 369 Betaverteilung, 384 Betrag einer Zahl, 14 Betragsfunktion, 162 Betragsgleichung, 224 Betragsungleichung, 302 Bijektivit¨at, 174 Bild, 154 Binomialkoeffizient, 136 Binomialverteilung, 139, 397 Z¨ ahldichte, 163 Binomische Formeln, 16 Binomischer Lehrsatz, 138 Bisektionsverfahren, 22, 93 Bruch, 19, 77 Addition, 81 Division, 84 Gleichheit, 77 Multiplikation, 83 Bruchgleichung, 208 Bruchrechnung, 77 D

Datenmatrix, 29 De Morgansche Regeln, 57 Definitionsbereich, 154, 188 maximaler, 156, 160 Dezimaldarstellung, 20, 325 Dezimalzahl, 20 periodische, 21 Dichtefunktion, 377 Differenz, 14 Differenzenquotient, 349 Differenzialquotient, 350 Differenzialrechnung, 347

438

Index

Differenzierbarkeit, 350 Differenzmenge, 55 disjunkt, 51 paarweise, 52 Disjunktion, 9 Diskriminante, 201 Distributivgesetz, 15 f¨ ur Mengen, 57 divergent, 317 Division, 19 mit Rest, 21 Doppelindizierungen, 27 Doppelsumme, 126 E

Einsetzungsverfahren, 239 Element, 4 Elementare Umformungen von Gleichungen, 189 von Ungleichungen, 288 Ereignis, 43 Ergebnis, 43 Erlang-Verteilung, 384 Erwartungswert, 378 diskreter, 125 Poisson-Verteilung, 327 erweitern, 77 Eulersche Konstante, 23 Exponent, 85 Exponentialreihe, 326 Exponentialverteilung, 179, 378 Extremalstelle, 404 Extremum, 402, 404 globales, 403 lokales, 404 F

Faktor, 12, 130 Faktorregel, 353, 371 Fakult¨ at, 136

Familie von Mengen, 46 Folge, 313 alternierende, 317 beschr¨ankte, 315 divergente, 317 geometrische, 320 konstante, 315 konvergente, 317 monotone, 315 Folgenglied, 313 Folgerung, 9 Funktion, 154 Ableitung, 352 beschr¨ankte, 173 Betrags-, 162 differenzierbare, 350 Exponential-, 161 ganzrationale, 161 gebrochen rationale, 161 Indikator-, 162 konstante, 160 lineare, 160 Logarithmus-, 162 Monom, 160 monotone, 170 Polynom-, 161 Potenz-, 161 quadratische, 160 Scheitelpunktform, 203 Quantil-, 179 st¨ uckweise definierte, 162 stetige, 343 trigonometrische, 162 Umkehr-, 176 unbeschr¨ankte, 173 unstetige, 343 Verkettung, 169 Funktionswert, 154

Index

439

G

H

Gaußsche Glockenkurve, 381 geometrische Folge, 320 geometrische Reihe, 323 geometrische Summe, 120 geometrische Verteilung, 314, 425 geometrisches Mittel, 134 Gleichsetzungsverfahren, 241 Gleichungen, 187 aquivalente, 189 ¨ Betrags-, 224 Bruch-, 208 Exponential-, 221 grafische L¨ osung, 193 lineare, 193 Logarithmische, 216 mit Parametern, 231 Polynom-, 266 Potenz-, 266 quadratische, 195, 230 Normalform, 196 Wurzel-, 210 Gleichungssystem, 236 Gleichverteilung, 124 Grad, 265 Gradreduktion, 267 Graf, 63 einer Folge, 315 einer Funktion, 157 einer Relation, 153 Grenzwert einer Folge, 317 einer Funktion, 335 einer Reihe, 322 einseitiger, 338 von Funktionen (Tabelle), 339 gr¨oßter gemeinsamer Teiler, 79 Grundmenge, 42, 43 Grundraum, 43 Grundrechenarten, 10

H¨ aufigkeit, 123 absolute, 10 kumulierte, 123 relative, 18 harmonisches Mittel, 123 Hauptnenner, 82 Hintereinanderausf¨ uhrung, 169 l’Hospital Regeln von, 340 I

Implikation, 9 Index, 27 Indexmenge, 27 Indexverschiebung, 118, 133, 325 Indikatorfunktion, 162 Injektivit¨at, 174 Inneres eines Intervalls, 59 Integral bestimmtes, 369 unbestimmtes, 369 uneigentliches, 371 Integrand, 366 Integrationsgrenze, 366 integrierbar, 367 Intervalle, 59 inverses Element, 13 K

kartesisches Koordinatensystem, 62 kartesisches Produkt, 61 Kehrwert, 83 Kettenregel, 354 kleinster Quadratsch¨atzer, 396 kleinstes gemeinsames Vielfache, 82 Koeffizienten, 265 Kommutativgesetz Addition, 12

440

Index

f¨ ur Mengen, 56 Multiplikation, 12 Komplement, 48 Konjunktion, 9 Konkavit¨ at, 413 Konstante, 23 Kontingenztafel, 129 Konvergenz von Folgen, 317 von Funktionen, 335 Konvexit¨ at, 413 Koordinatensystem, 62 Kreiszahl, 23, 91, 166 k¨ urzen, 77 Kurven, 63 Kurvendiskussion, 414 Kurvenschar, 165 L

Laplace-Raum, 124 Laplace-Verteilung, 124 Laufindex, 112, 130 Leere Menge, 42 Leitkoeffizient, 161, 341 Likelihoodfunktion, 397 Limes, 317, 335 Linearfaktor, 207 L¨ osungsmenge einer Gleichung, 188 einer Ungleichung, 287 log-Normalverteilung, 381 Logarithmus, 92 dekadischer, 92 nat¨ urlicher, 92 Logarithmusgesetze, 94 M

M¨ achtigkeit einer Menge, 45 kartesisches Produkt, 62

Matrix, 27, 126 Maximum, 30 absolutes, 404 globales, 403 lokales, 404 relatives, 404 Maximum-Likelihood-Methode, 421 Maximum-Likelihood-Sch¨atzer, 397 Mehrfachindizierungen, 28 Menge, 4 Assoziativgesetz, 57 Differenz, 55 disjunkte, 51 Distributivgesetz, 57 Gleichheit, 41 Grund-, 43 kartesisches Produkt, 61 Kommutativgesetz, 56 Komplement, 48 leere, 42 M¨achtigkeit, 45 Potenz-, 46 Regeln von De Morgan, 57 Schnitt-, 49 Teil-, 44 Vereinigungs-, 52 Mengeninklusion, 44 Mengenklammern, 5 Mengensystem, 46 Methode der kleinsten Quadrate, 396 Minimum, 30 absolutes, 404 globales, 403 lokales, 404 relatives, 404 Moment, 378 momenterzeugende Funktion, 385 Monom, 160 Monotonie einer Folge, 315

Index

einer Funktion, 170 Monotoniekriterium, 406 Monotonieverhalten, 398 M¨ unzwurf, 46, 124 Multiplikation, 12 Kommutativ- und Assoziativgesetz, 12 von Br¨ uchen, 83 N

Nachfolger, 313 Nachkommastellen, 20 Negation, 9 Nenner, 20 Normalform einer quadratischen Gleichung, 195 Normalverteilung, 380 zweiparametrige, 166 Nullfolge, 317 Nullstellen, 158 O

Obersumme, 367 Ordinate, 62 Ordnungsrelation Rechenregeln, 24 Ordnungszeichen, 11 P

paarweise disjunkt, 52 Parabel, 203 Parameter, 165, 231, 355 Pareto-Verteilung, 384 Partialsumme, 322 Partielle Integration, 373 Pascalsches Dreieck, 137 Poisson-Verteilung, 314 Polynom, 161, 265 Polynomdivision, 273

441

Polynomgleichung, 266 Potenz, 85 Potenzgesetze, 91 Potenzgleichungen, 266 Potenzmenge, 46 pq-Formel, 202 Pr¨ ufstelle, 228, 292 Primfaktor, 79 Primfaktorzerlegung, 79 Primzahl, 79 Probe, 191 Produkt, 12 Produktregel, 353 Produktzeichen, 130 Pr¨ ufstelle, 292 Q

Quadranten, 62 quadratische Erg¨anzung, 198, 201 Quadratwurzel, 88 Quantilfunktion, 179 Quersumme, 80 Quotient, 19 Quotientenkriterium, 322 Quotientenregel, 353 R

Radikand, 88 Rand, 59 Randh¨aufigkeit, 129 Randwert, 59 Rechteckverteilung, 378 Regel von Pascal, 137 Regression durch den Ursprung, 417 durch einen gegebenen Punkt, 417 lineare, 395, 416 Reihe, 322 Exponential-, 326

442

Index

geometrische, 323 Relation, 153 Relationszeichen, 11 Rundung, 25 Rundungsfehler, 25 S

Satz von Vieta, 205 Scheitelpunkt, 204 Scheitelpunktform, 203 Schnittmenge, 49 Schnittpunkt von Geraden, 236 Spaltensumme, 127 Spannweite, 30 Stammfunktion, 368 Standardabweichung diskrete, 125 empirische, 112 Standardnormalverteilung, 380 Steigungsdreieck, 348 stetig differenzierbar, 352 Stetigkeit, 343 einseitige, 344 Streudiagramm, 64, 418 Substitutionsmethode, 234, 269 Substitutionsregel, 373 Subtraktion, 14 Summanden, 11 Summationsgrenze, 112 Summationsindex, 112 Summe, 11 arithmetische, 120 Doppel-, 126 geometische, 120 Summenregel, 353, 371 Summenzeichen, 111 Surjektivit¨ at, 174 T

Tangente, 349

Tangentengleichung, 351 Teilbarkeit, 80 Teilmenge, 44 echte, 44 Teleskopprodukt, 133 Teleskopsumme, 119 Term, 15 Treppenfunktion, 164 n-Tupel, 62 U

u ¨ berabz¨ahlbar unendlich, 45 Umkehrfunktion, 176 unbeschr¨ankte Funktion, 173 unbestimmtes Integral, 369 uneigentliches Integral, 371 unendlich, 45 Ungleichungen, 287 ¨aquivalente, 287 Betrags-, 302 Bruch-, 297 lineare, 289 quadratische, 291 Unstetigkeitsstelle, 343 Untersumme, 367 V

Variable, 4 Varianz, 125, 382 empirische, 117 Vektor, 63 Venndiagramm, 41 Vereinigungsmenge, 52 Verkettung von Funktionen, 169 Verteilung Beta-, 384 Binomial-, 139, 421 diskrete, 123, 323 Erlang-, 384 Exponential-, 378

Index

geometrische, 314 Gleich-, 124 Laplace-, 124 log-Normal-, 381 Normal-, 380 Pareto-, 384 Poisson-, 314 Rechteck-, 378 Verteilungsdichte, 377 Verteilungsfunktion, 163, 377 Vieta Satz von, 205 Vorzeichen, 13 Vorzeichenregeln, 14, 15 Br¨ uche, 20 W

Wachstumsrate, 135 Wahrheitstafel, 9 Wahrheitswert, 8, 9 Wahrscheinlichkeit, 123 Wendestelle, 414 Wertebereich, 154 Wertetabelle, 155, 163 W¨ urfelwurf einfacher, 61, 124 zweifacher, 47, 61 Wurzel, 88 Wurzel ziehen, 87 Wurzelexponent, 88 Wurzelgesetze, 88 Z

Z¨ahldichte, 163 Z¨ahler, 20 Zahlen ganze, 13 irrationale, 22 nat¨ urliche, 10 negative, 13

443

rationale, 20 reelle, 22 Zahlenstrahl, 11 Zeilensumme, 127 Zerlegung, 54 Ziffer arabische, 10 r¨ omische, 10 Zufallsexperiment, 43 Zufallsvariable, 159 Zuordnung, 153 Zwischenwertsatz, 346