Formelsammlung Elektrizitätslehre

letzte Aktualisierung: 17.09.2002

Elektrizitätslehre - Formelsammlung Inhaltsverzeichnis Kapitel 1: Elektrostatik 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10

Kräfte zu Punktladungen Superpositionsprinzip Elektrische Feldstärke Elektrische Arbeit Elektrische Spannung und Potential Elektrische Felder in polarisierbaren materiellen Medien Kontinuierliche Ladungsverteilungen Elektrostatische Felder zwischen leitenden Medien Kondensatoraggregate Elektrostatische Feldenergie

S. 1 S. 1 S. 1 S. 2 S. 2 S. 3 S. 4 S. 4 S. 6 S. 7

Kapitel 2: Stationäre Ströme 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

Stromstärke, Stromdichte Ladungstransport im E-Feld Ladungsverteilung Schaltungen mit Ohmschen Widerständen Elektrische Netzwerke aus galvanisch gekoppelten Gleichstromkreisen Elektrische Leistung und Energieübertragung

S. 8 S. 8 S. 10 S. 10 S. 10 S. 11

Kapitel 3: Magnetostatik 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

Kräfte auf bewegte Ladungen Kraft und Drehmoment auf stromführende Leiter Permanentmagnete Quellenfreiheit des B-Feldes Erzeugung magnetostatischer Felder Berechnung magnetostatischer Felder und Kräfte aus gegebener Stromverteilung Magnetische Kreise

S. 13 S. 14 S. 14 S. 15 S. 15 S. 16 S. 17

Kapitel 4: Induzierte elektrische Felder und Spannungen 4.1 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

Bewegungsinduktion Ruheinduktion Allgemeines Induktionsgesetz Induktivität Transformatoren Magnetostatische Feldenergie

S. 19 S. 19 S. 19 S. 20 S. 20 S. 21

Kapitel 5: Elemente der Wechselstromlehre 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6

Grundbegriffe Wechselstromschaltungen mit linearen Bauelementen Wechselstromrechnung mit Hilfe komplexer Zahlen Einfache Schaltungen aus R, L und C Leistung und Effektivwerte Transformator in komplexer Rechnung

S. 22 S. 22 S. 24 S. 26 S. 27 S. 31

Elektrizitätslehre - Formelsammlung Kapitel 1: Elektrostatik 1.1 Kräfte zu Punktladungen (1.1) q ⋅q 1 ⋅ 1 2 ⋅ (r − r ) 4 ε 0 r2 − r1 3 2 1

F2←1 = −F1← 2 =

















1.2 Superpositionsprinzip (1.2) q ⋅ F (r ) = q 4 ε0





∑ r−r N

⋅ (r − ri )

qi







3




i =1




i

1.3 Elektrische Feldstärke (1.3) E(r ) =





1 ⋅ 4 ε0

∑ r−r N

qi




i =1

⋅ (r − ri )


3







i

(iii): Spezialfälle (1.4) E(r ) =





1 q0 ⋅ ⋅ (r − r0 ) 4 ε 0 r − r0 3











(iv): Dipolfeld (1.5) E(r ) =





 Q  1 1 ⋅ ⋅ (r − r1 ) − ⋅ (r − r2 ) 3 3 4 ε 0  r − r1 r − r2  





Tangente an Feldlinie:





dF = d

r( + 

lim →∞

























)− r (λ )










Differentialgleichung für Feldlinie: dr = E(r (λ )) d










-1-

1.4 Elektrische Arbeit (1.6) L

L

W12 = F(r (s ))⋅ t (s )⋅ ds = F(r (s ))⋅

∫

∫

0

0

dr (s)⋅ ds ds

W12 =

F(r ) ⋅ d r ∫ ( )

C P1,P2

Der Wert eines Wegintegrals ist unabhängig von der Parameterdarstellung, solange die Orientierung P1 → P 2 beibehalten bleibt. 1.5 Elektrische Spannung und Potential (1.7) und (1.7´) Elektrische Spannung:

∫

U 12 =

P2

E ⋅ dr =

C ( P 1 ,P 2

)

∫ E ⋅ dr

P1

Da elektrostatische Felder konservativ sind, ist U 12 wegunabhängig! (iii) Folgerung: In der Elektrostatik gilt: (1.8)

∫ E ⋅ dr = 0 für jede geschlossene Kurve C! C

(iv) Definition des elektrischen Potentials (1.9a)

(r ) = U


P0

P

∫

∫

= E⋅ d r = − E⋅ d r , wobei

P, P 0

P




(r ):= 0 gesetzt wird. 0

P0

(v) Folgerung: (1.10) U P1P2 = U12 =


(r )− (r )


1

2

(1.9b) 

P( r )

(r ) = (r ) = − ∫ E(r ´) d r´ , wobei Φ(r0 ) beliebig zu wählen ist.





0

P0

(vi) Äquipotentialflächen 

E steht senkrecht auf allen Tangenten an die Fläche


(r ) = const . ,d.h.,

(vii) Beispiel: Potential einer Punktladung Q (1.11) P ( r0 ) 

∫ E⋅ dr = 4 

P(r ) 

1

Q 

0

 1 1  ⋅ − = r r r rQ  − − Q 0 


(r )− (r )


0

Zeichenerklärung: ↑↑ − parallel; ↑↓ − antiparallel -2-

E ist ↑↑ oder ↑↓ 1 zur Oberflächennormale. 

(1.12) ( r) =

Q

+







∞ =:0

4


1

⋅

für rQ → ∞ 

r − rQ 





0

(iix) Potential einer diskreten Ladungsverteilung (q i, r i ); i = 1... N 

(1.13) 

N

1

r) = 



4


⋅



0

∑

qi r − ri 



i =1

1.6 Elektrische Felder in polarisierbaren materiellen Medien (Dielektrikum) 1.6.1 Dielektrizitätskonstante (1.14) Fq ( r ) = 



1 Fq, Vakuum ( r ) = εr 



N

∑4


i =1

qi q ⋅ ε0ε r r − r i 



⋅ (r − ri ) 

3







=:

1.6.2 Dielektrische Verschiebung: Gaußsches Gesetz (1.15) D( r ) := ⋅ E(r ) = 

r⋅















0 E( r ) 

(ii) / (iii) Bei Ursprung sitze Punktladung Q / Verallgemeinerung (1.16) Q ⇐ r0 ∈ V  D⋅ da =    0 ⇐ r0 ∉ V  

∫

H =∂ V







(iv) Gaußsches Gesetz (für Punktladungen) (1.17)

∫

D⋅ da = Q(V) = 





∑q

i

ri ∈V

H =∂ V

(v) Einschub: Flächenintegrale in R³ ∂r ∂r × du⋅ dv ∂u ∂v 

da = 

∫



v1 u1

F ⋅ da : = 

S



∫∫

v0 u 0

 ∂r ∂r  × F( r(u, v))   du ⋅ dv  ∂u ∂v  









Fluß eines Vektorfeldes F(r) durch die Fläche S.

(vi) Beispiel 

r(ϕ, ϑ) = R⋅ e r (ϕ, ϑ) 

-3-

1.7 Kontinuierliche Ladungsverteilungen 1.7.1 Raumladungsdichte 



r) = 



Def.:

Zahl der Ladungen in


r) 






→0

für

r) 






r ) d 3r = 















⋅ dx dy dz ist die im Volumen dx dy dz enthaltene Ladung dQ , sodaß gilt:





∫

r) d 3 r = 



V

∫∫∫





y, z) ⋅ dx dy dz = Q(V) für beliebige Volumina V. 



1.7.2 Oberflächenladungsdichte In Leitern sitzt elektrostatische Ladung auf sehr dünner Schicht an der Oberfläche S verteilt. 



r) = 



Zahl der Ladungen in







r)

für

r) 

Def.: 



→0



∂r ∂r × r ) da = r (u, v)) du dv ist die in da enthaltene Ladung dQ , sodaß ∂u ∂v Flächenstücke die enthaltene Ladung ergibt. 













∫





r ) da = Q(S) für beliebige

1.7.3 Gaußsches Gesetz (für Raumladungsverteilung) (i) Raumladungsverteilung (1.18) 



∫

D ⋅ da = Q(V) =

∂ V =H

∫ 

d3r

V

(ii) Oberflächenladungsverteilung (1.19) 



∫ D⋅ da = Q(V∩ S) = ∫

∂ V= H

(1.20) 



da

S∩ V



D⋅ N =





auf Leiteroberflächen außerhalb des Leiters ( N zeigt vom Leiter nach außen)

1.8 Elektrostatische Felder zwischen leitenden Medien 1.8.1 Influenz Def.: Ein Leiter besitzt sehr viele (≈1021 - 2023) Ladungsträger pro Volumen (cm3). => Leiter sind Äquipotentialgebiete (-flächen) wegen dielektischer Abschirmung => Leiter haben keine Raumladung: E ≡ 0 ⇔ r ) = const. 







-4-

Wird ein Leiter einem äußeren elektostatischen Feld ausgesetzt, so wird durch Ladungsverschiebung eine Oberflächenladung σ induziert, sodaß gilt: 1. E = 0 im Innenraum 2. E ⊥ Leiteroberfläche (außen)


3. (r) = D(r ) ⋅ N( r) = ⋅ E⋅ N auf Leiteroberfläche, „Influenz“.
























1.8.2 Kapazität Körper "2"

U 12 =

−



1

∫

=



2

E ⋅ dr





Körper "1"

∫ D⋅ da =

Q=

∫ E⋅ da















∂ V um "1"

∂ Vol in "1"

Def.: (1.21) Q >0 U12

C := (1.22) 

∫ E ⋅ da

⋅







∂V

C=

"2"

∫ E ⋅ dr





"1"

(ii) Plattenkondensator (1.23) Q

C=

A = ⋅ d

mit Q =



U 12










∫

D ⋅ da = D ⋅ A = ⋅ E ⋅ A und U 12 = E ⋅ dr = E ⋅ d










∂V

= D⋅ N = D ⇒ D = 

∫

2







Q

1

Flächenladungsdichte

A

(iii) Kugelkondensator (1.24) C=

Q

=4

U 12

∫

Q=



⋅ 

D⋅ da =




4



r´ = r b

Q 

mit a := Innenradius, b := Außenradius,

∫ E(r´) ⋅ da =




∂ K(0, r)

U 12 =

a⋅b b− a

∫r



1 2

⋅ dr =

a

=4

C∞



Q 4 



⋅a



⋅ E(r)

∫ da = 

⋅ E(r)4 r 2 und

∂ K(0, r)

Q  b−a  1 1 ⋅ −  = ⋅  a b 4  a⋅b  



mit b → ∞



Kugelkapaz ität gegen ∞

E( r) = E(r ) e r und da = e r ⋅ da



















-5-










Koaxiale Metallzylinder (nach Lösung von Übung 5)

∫

Q = q ⋅ L = D ⋅ da

mit da = e r ⋅ r ⋅ dϕ ⋅ dz und D = e r ⋅ D r

H

⇒Q=2




⋅ D r (r) 

q

⇒ D r (r) =

2 q ⇒ E r (r) = 2πεr Dabei gilt: r := Radius und L := Höhe einer zylindrischen Hüllfläche



=

Q A

=






qL 2




q

=

2








a

∫

U12 = (a) − (b) = − E(r´)dr´= 



b

q b ln  2πε  a 

Dabei gilt: a := Innenradius und b := Außenradius von zwei koaxialen Metallzylindern C=

q 2πε = U12 b ln  a

1.9 Kondensatoraggregate (i) Parallelschaltung (1.25) Cp =

Q total = U

N

∑C

mit C p ≡ C parallel

i

i =1

(ii) Serienschaltung (1.26) U 1 = total = Cs Q

N

1

i =1

i

∑C

mit C s ≡ C seriell

(iii) „Parallele“ dielektrische Schichten (1.27) C=

Q = U 

1A1

+

2A2 



=

d

Dabei gilt: Q = Q1 + Q 2 = 



1 D1

A1 + 



2 D2

1A1

d A2 =

2A2 

+ 

1⋅

mit Q = (



d E1 ⋅ A1 + 

2

U d

1

⋅ E2 ⋅ A2 

U d

-6-



⋅A1 + 

2

⋅ A 2 )⋅

U d

(iv) „Serielle“ dielektrische Schichten (1.28) C=

Q U

A

=

d1

+

d d  Q mit U = E1 ⋅ d1 + E 2 ⋅ d 2 =  1 + 2  ⋅ 2  A  1


d2

1




2

1.10 Elektrostatische Feldenergie (i) Energie eines geladenen Kondensators (1.29) W el =

Q2 2⋅C

=

1 1 U ⋅ Q = CU 2 2 2

(ii) Energiedichte des E-Feldes (1.30) w el =

(

1 E D 2







)

aus w el : =

W el V

=

1 1 ⋅ E E ⋅ D = 2 2





-7-




2

=

1 ⋅ D 2


2

=

(

1 E D 2







)

Kapitel 2: Stationäre Ströme 2.1 Stromstärke, Stromdichte Ladungsfluß Zeitintervall

Ladungsstärke := (2.1) I(A) =

dQ(A)

Einheit: 1 A =

dt

1C s

(ii) el. Stromdichte: 

I( A )

j =

→ 0 und N ↑↑ j ; die Richtung von j ist tangential an die Stromlinien 



für









(2.2) dI = j⋅ N⋅ da 

ist die pro Zeiteinheit durch da durchströmende Ladung => I(A) =





∫ j ⋅ da 



A

A Einheit: dim(j ) = 2 m 

(iii) Zusammenhang mit Raumladungsdichte = qn(r )

Trägeranzahl











mit n := Trägerkonzentration =

Volumen

und q := Ladung pro Träger

N

für mehrere Trägersorten gilt: 







∑q

=

⋅ n i ⋅ ( r) 

i

i =1

Die im Volumen dV = da d r befindlichen Ladungsträger sind genau die, die im Intervall [t, t + dt] die (feste) 





Kontrollfläche passiert haben: q⋅ n⋅ da ⋅ v⋅ dt = q⋅ n⋅ da ⋅ d r = q⋅ n⋅ dV = dQ = j da⋅ dt 













(2.3)

j ( r) = q ⋅ n ( r ) ⋅ v ( r ) 











gilt nur für eine Trägersorte; j := Stromdichte

(2.4) N



j ( r) = 

∑q

⋅ n i ( r )⋅ v i ( r ) 

i





allgemeiner Fall

i =1

2.2 Ladungstransport im E-Feld 2.2.1 Transport ohne Stoßprozesse dv = q⋅ E (r ) m⋅ dt 





gilt nur für einen Ladungsträger

-8-

(2.5)

[

1 m ⋅ v (t 2 2

2⋅q

v(U) =

]− [v ( t

)2

m

]= q ⋅ U

)2

1

12

wenn gilt: Anfangsgeschwindigkeit v ( t 1 ) = 0

⋅U

2.2.2 Transport mit Stoßprozessen (Leiter; Driftbewegung) Viele Ladungsträger, die an Streuzentren gestreut werden. Statistik => mittlerer Driftgeschwindigkeit v = v(E) v− 0

q⋅ E = m * ⋅

q⋅

⇔v =







m

⋅E

*

mit 

:= mittlere Stoßzeit, m * := effektive Masse




sgn (q )⋅ 

und 



:= Beweglichkeit. Dabei gilt: µ > 0

(2.6) v = sgn(q) ⋅ E

mit v := mittlerer Driftgeschwindigkeit



(2.7) Da j = q ⋅ n ⋅ v = q ⋅ n ⋅ sgn(q) ⋅ E gilt für eine Trägersorte: j = q ⋅ n ⋅ ⋅ E 














(ii) Ohmsches „Gesetz“ in lokaler Form (2.8) und (2.9) k

j=

∑( q l =1

⋅n l ⋅

l



l 



)⋅ E =

⋅E












>0 

σ >0

(iii) Ohmsches „Gesetz“ in integraler Form I=

∫ j ⋅ da = ∫ A



⋅ E ⋅ da = ⋅



A ⋅U l

=G

(2.10) I = G⋅ U (2.11) U = R⋅I (2.12) G=

1 R

(2.13) 1

R=

⋅

l A

-9-



>0

(2.14) A l

G= ⋅

Flußrichtung von I : vom höheren Potentialwert zum niedrigeren Potentialwert 2.3 Ladungsbilanz (2.15)

∫ j ⋅ da =





− dQ(V) dt

∂V

Für eine stationäre Stromverteilung gilt:

d =0⇒ dt

∫ j ⋅ da = 0





∂V

(2.16) N

∑I

=0

l

Kirchhoffsche Knotenregel

l =1

2.4 Schaltungen mit Ohmschen Widerständen (i) Serielle Schaltung (2.17) N

N

N

∑U = ∑R

U=

l

l =1

l

⋅I ⇒ R s =

l =1

∑R

l

l =1

(ii) Parallelschaltung (2.18) und (2.19) 1 = Rp

N

∑R

N

1

l =1

⇔G=

∑G

l

l =1

l

2.5 Elektrische Netzwerke aus galvanisch gekoppelten Gleichstromkreisen (i) Spannungsquelle (2.20) U 0 = R i ⋅ I + R Last ⋅ I ⇒ U k = U 0 − R i ⋅ I

mit U 0 := eingeprägte Spannung, R i := Innenwiderstand











Uk

und U k := Klemmenspannung Für max. Strom gilt: U k = 0 ⇔ I max =

U0 Ri

(iii) Kirchhoffsche Maschenregel (2.21) N

Es gilt

∑U

i

(

= 0 für jede Masche K 0 , K 1 ,..., K N , K 0 (:= geschlossene Knotenfolge), wobei U i : = U K i −1 K i

i =0

die gerichtete Spannung längs des Stromzweiges K i −1K i bezeichnet. - 10 -

)

(v) Regeln zur Aufstellung der Netzwerkgleichungen 1. 2.

Bestimme K = Anzahl der Knoten (:= Verknüpfung von mehr als zwei Zweigen) im Netzwerk Bestimme Z = Anzahl der Stromzweige (:= einfache Verbindung zwischen zwei Knoten)

Unbekannte: • Zweigströme I 1 , I 2 ,..., I z´ (es gilt: Z´≤ Z ) in den Zweigen ohne Stromquellen • Spannungen U 1 , U 2 ,..., U z −z´ in den Z − Z´ Zweigen mit eingeprägtem Strom Gleichungen: • K − 1 linear unabhängige Knotengleichungen • M = Z − ( K − 1 ) linear unabhängige Maschengleichungen Es gilt: Jede neue Masche muß noch nicht benutzte Zweige enthalten! 2.6 Elektrische Leistung und Energieübertragung (i) Leistungsbegriff (allg.) dW el = F ⋅ d r = q ⋅ E ⋅ d r dW el

P el =

= q⋅ E⋅

dt

dr = q⋅E⋅ v dt

gilt nur für einen Ladungsträger

(2.22a) P el = q i ⋅ v i ⋅ E (i)

(i)

mit P el := Leistung P el bei einem Ladungsträger der Spezies (i)

(ii) Leistung bei bewegter Raumladung Elektrische Stromdichte k

j=

∑q

i

⋅ni ⋅vi

vgl. (2.4)

i =1

Elektrische Leistungsdichte  (i) P el ⋅ n i =    i =1 k

∑

p el =

k

∑q i =1

i

 ⋅n i ⋅vi ⋅E  

(2.22b) p el = j ⋅ E (iii) Verlustleistungsdichte beim Ohmschen Transport (2.23) p el = ⋅ E 

2

1

=

⋅ j

2

= ⋅ j

2






Verlustleistung um einen Draht der Länge l mit dem Querschnitt A P el = p el ⋅ A ⋅ l = j ⋅ A ⋅ E ⋅ l = I ⋅ U

aus I = j ⋅ A und U = E ⋅ l

- 11 -

(2.24) P el = U ⋅ I = R ⋅ I 2 =

U2 R

falls U = R ⋅ I gilt, Einheit: dim(Pel ) = 1 W = 1 VA

(v) Elektrische Energieübertragungsdichte Eine Energiequelle speist in eine Leitung (Widerstand der Leitung: R L ) die Spannung U E , den Strom I und die transportierte Leistung zum Energieverbraucher (Eingangsspannung: U V ). Dann gilt: PE = U E ⋅ I PV = U V ⋅ I

Erzeugte Leistung: Verbrauchte Leistung:

mit U V = U E − R L ⋅ I

(2.25) Übertragungswirkungsgrad R ⋅P = 1− L E U 2E




PE




R L ⋅ (U E ⋅ I ) 

Herleitung:

Es gilt: 

=

PV PE

=

UV UE

=

U E − R L ⋅I UE

= 1−

U 2E

→ 1 für U E → ∞

- 12 -

Kapitel 3: Magnetostatik 3.1 Kräfte auf bewegte Ladungen im Magnetfeld (3.1)

(

)

FL = q ⋅ v × B oder „B-Feld“. dim(vB) =




mit FL := Lorentz-Kraft und B := magnetische Kraftflußdichte, magnetische Induktion

V Vs ⇒ dim(B) = = 1T m m2

mit T := Tesla

(ii) Superpositionsprinzip: Elektromagnetische Kraftwirkung (3.2) Fem = q ⋅ (E + v × B)


(iii) Leistung im B -Feld P magn =

(

dW magn

(

) ddtr = 0

= q ⋅ v× B ⋅

dt

mit dW magn = F L ⋅ d r = q ⋅ v × B

) dr 





v

=> Ein statisches Magnetfeld leistet keine Arbeit!

(iv) Bewegung im homogenen Magnetfeld m⋅

(

dv = q ⋅ v× B dt

)

mit q := Ladung und m := Masse eines Massenpunktes

(3.4) 

=

q⋅B = 2⋅ ⋅f m

mit





:= Gyrationsfrequenz

(3.5) R=

v⊥

Radius einer Schraubenlinie in R 3 ;



z( t ) = z (t 0 ) + v || (t − t 0 )

Schraubenlinie in Parameterdarstellung

(v) Kraft auf Stromverteilung (3.6) f L = j× B Herleitung: f L =

mit f L := Lorentzkraftdichte;

∑ q (v k

i

i =1

i

 ×B ⋅n i =  

)

 ⋅ n i ⋅ v i × B  

k

∑q

i

i =1





















j

- 13 -

3.2 Kraft und Drehmonent auf stromführende Leiter (i) Grundidee (3.7) Die Kraft auf im Leiter bewegte Ladungen wird vollständig auf das Substrat übertragen: FLeiter =

∫ j (r) × B(r) ⋅ d

3

r

V

(ii) Linienförmige Leiter (3.8)   FLeiter = −  j ( s ) ⋅ da  ⋅ B(s ) × d s = − I ⋅ B( s ) × d s   CA C 

∫ ∫

∫

Differentielle Darstellung (3.9) dF = I⋅ d s× B (iii) Drehmoment auf Leiter M = ( r − r0 )× F

allg. Definition des Drehmonents für Massenpunkt

Drehmonent auf rechteckige Leiterschleifen

∫

M = R × dF

Gesamtdrehmonent

C

(

M = 2⋅ I⋅ b R B (3.10)

(

M = I⋅ A× B




)

)



mit b := Länge parallel zur Drehachse und R := Radiusvektor

gilt für allg. Leiterschleife

(3.11), (3.12), (3.13) mit m = ⋅ I ⋅ A ⋅ n ⋅ w und H =

M = m×H 







1

⋅B ;





m := magn. Moment, H := magn. Feldstärke, 

:= magn. Permeabilität, w := Anzahl der Windungen einer Spule

3.3 Permanentmagnete Ein Permanentmagnet besteht aus Material, in dem viele atomare Ringströme gleichorientierte magn. Momente (m 0 ) bilden. Die Orientierung des magnetischen Moments ist von Süden nach Norden. M = n⋅ m 0

Magnetisierung; mit n := Zahl der Ringströme pro Volumen

M = V(n⋅ m 0 ) × H = V⋅ M × H







Drehmoment auf Dauermagnet; mit m := Gesamtmagnetmoment aus dem





M

m

Volumen V.

- 14 -

3.4 Quellenfreiheit des B -Feldes (i) Naturgesetz Es gibt keine magn. Monopole <=> es gibt höhere Multipole wie z.B. magn. Dipole, Quadrapole etc. (ii) Divergenzsatz

∫

D ⋅ da = Q(V)





E-Statik; mit D := erzeugtes Feld und Q := Quelle; vgl (1.17)

∂V

(3.14)

∫ B ⋅ da = 0





M-Statik

∂V

3.5 Erzeugung magnetostatischer Felder (i) Ampèresches Durchflutungsgesetz (3.15a) und (3.15b)

∫



B ⋅ dr =







r 

⋅





0 

⋅ I(A)

mit 

= 4 ⋅ ⋅ 10 −7





0

m



∂A

bilität und



:= magnetische Feldkonstante (auch: Vakuumpermea-





r

:= relative Permeabilität (Korrekturfaktor, dimensionslos). Im Vakuum gilt: 

r

= 1 und κ = 0 .

(3.16) µ := 

r

⋅

(absolute) Permeabilität



0

κ := 

r

−1

magnetische Suszeptibilität

(ii) Definition der magnetischen Feldstärke (3.17) B = ⋅ H = µ 0 ⋅ H + µ0 ⋅ κ ⋅ H













mit H := magnetische Feldstärke und B := magnetische Kraftflußdichte

Bei Materialien sind hinsichtlich ihrer magnetischen Eigenschaften drei Fälle zu unterscheiden: 1. Diamagnetismus: < 0 , aber κ << 0 

2. Paramagnetismus: 3. Ferromagnetismus: 

> 0 , aber κ >> 0 κ >> 1 , d.h. µ r >> 1

(3.18)

∫

H ⋅ dr = I (A )





gilt in magnetisierbarer Materie. H hängt nur von der erzeugenden Stromverteilung ab!

∂A

(iii) allg. Form des Durchflutungsgesetzes (3.19)

∫ H ⋅ dr = ∫ j ⋅ da








∂A




A

- 15 -

(iv) Analogie zwischen E-Statik und H-Statik: E-Statik: M-Statik: ruhende Probeladung bewegte Probeladung elektrische Kraft Lorentzkraft E B E und B sind materialabhängige Größen!

Kraft wirkt auf: Art der Kraft: Symbol: Bemerkung:

E-Statik: M-Statik: Ladungsverteilung Stromverteilung j(r ) ρ( r ) „Gauß“ „Ampère“ D H D und H sind nur von Quellen abhängig!


Wirkung von:







Gesetz: Symbol: Bemerkung:

3.6 Berechnung magnetostatischer Felder und Kräfte aus gegebener Stromverteilung 3.6.1 Mit Hilfe des Ampèreschen Gesetzes (3.21) H -Feld eines langen Drahtes: H(r ) =

I







⋅ e ϕ (ϕ)


2⋅ ⋅r 




mit e ϕ

 − sin ϕ    =  cos ϕ   0   

Kraft zwischen zwei parallelen Drähten (3.22) ⋅ I1 ⋅ I 2 dF12 =− ⋅ e12 ds 2 2⋅ ⋅a









Kraft pro Längeneinheit, e12 weist von 1 nach 2, e12 = 1


Es gilt: Parallele Ströme ziehen sich an. (ii) Beispiel: Zyl. in der symmetrische Stromverteilung (3.23) r

∫

1 H ϕ (r) = ⋅ j(r´) ⋅ r´⋅ dr´ r 0

(iii) Spezialfall: gerader und unendlich langer Draht mit Radius a  I  j(r) =  a 2 ⋅  0 

⇐r≤a 

⇐r>a

I  I⋅r ⇐ r ≤ a , da 2πr ⋅ H ϕ (r ) = 2 r 2 π  2 ⋅ π ⋅ a 2 a π H ϕ (r) =  I  ⇐r>a  2 ⋅ π ⋅ r

- 16 -




3.6.2 Feldberechnung nach Biot-Savart (3.24)








1 H(r ) = ⋅ 4⋅


∫







j ( r´) × ( r − r´)





r − r´

V

3







⋅ dr´

3

gegeben: j ( r)

Spezialfall: linienförmige Stromleiter (3.25)

I d s× (r − s ) H(r ) = ⋅ 3 4⋅ r− s C











∫










3.7 Magnetische Kreise 3.7.1 Magnetischer Kern mit Luftspalt Annahmen: • Magnetfeld in Kern und Luftspalt lokalisiert und homogen • es gibt außerhalb keine Streufelder (gut für Kern >> 1 ) 

(3.27)





B Kern = B Spalt : = B (3.28)


H Spalt



Kern

=




>> 1



H Kern

Spalt

Sprom-Feld-Beziehung (3.29) ⋅w



0

B=

l Kern

+

l Spalt



⋅I

mit w := Windungszahl der Spule



Kern

Spalt

3.7.2 Allgemeiner magnetischer Kreis (i) Analogie: Elektrischer Stromkreis - Magnetischer Stromkreis siehe Skript S. 109f Definitionen (3.30)




A

∫




:= B⋅ da

magnetischer Kraftfluß

A

(3.31) P2

Vm =

∫







H⋅ d r

magnetische Spannung

P1

- 17 -

(3.32) Rm =

Vm

magnetischer Widerstand

(3.33) Rm =

li

(i)




ri

⋅


0

⋅A i

- 18 -

Kapitel 4: Induzierte elektrische Felder und Spannungen 4.1 Bewegungsinduktion (4.1) E ind = V × B (ii) Bewegte Leiterschleife (4.2) U ind = −

d ⋅ dt








mit






∫

= B ⋅ da := magnetischer Fluß 

A

Allgemeine Darstellung (4.3) 



d  ∫ (V × B )⋅ dr = − dt  ∫ B ⋅ da 

U ind =



∂ A(t) =C(t)

A(t)

gilt für zeitlich veränderliche Schleife C(t) = ∂ A(t) in zeitlich



konstantem B( r ) (ii) Unipolar-Maschine (4.4) U ind =

1 2

⋅ B⋅ a 2 

mit

= 2 ⋅ ⋅ f und a := Außenradius 



4.3 Ruheinduktion (4.7) U ind = −

d ⋅ Φ(A) dt

(4.8) U ind = −

∂B

∫ ∂ t ( r, t )⋅ da

(Leiterschleife bzw. Fläche A zeitunabhängig)

A

4.4 Allgemeines Induktionsgesetz (4.9) U ind =

∂B

∫ (v(r, t ))× B(r, t )⋅ dr − ∫ ∂ t (r, t )⋅ da

∂ A(t)

A(t)

(4.10) U ind = −

d dt


( A ( t )) = − d

dt

∫ B ( r, t )da

A(t)

(4.11) U ind =

∫E

∂A (t )

ind

( r, t )d r = − d

dt

∫ B ( r, t )da

A(t)

-19-

4.5 Induktivität (iv) Flußberechnung bei magnetisch gekoppelten Stromkreisen (4.12) N

i ( t ) = ∑ L ij ⋅ I j ( t )

mit

i

= wi


i

, w i ist Windungszahl der Spule i

j=1

(4.13) L ji = L ij Dabei gelten folgende Bezeichnungen: • L ij := Induktivitäts-Koeffizienten • •

L ii := Selbstinduktions-Koeffizienten L ij , i ≠ j := Gegeninduktions-Koeffizienten

4.6 Transformatoren (i) N Leiterschleifen (4.14) Ul = R lI l +

∑L N

k =1

lk

dI k dt

Transformatorgleichungen

(ii) Spezialfall: N=2, ideale Spule (4.15) U 1 (t) = L 11 I 1 + L 12 I 2 



U 2 (t) = L 21 I 1 + L 22 I 2 



wegen Idealisierung gilt: Innenwiderstand R l = 0

(4.16)  U2   U  1

L 21  M  = =  L 11 L1  I 2 =0

Spannungsübersetzung

Allgemein gilt: L 1 : = L 11 , L 2 : = L 22 und M : = L 12 = L 21 (4.17)  I2  M  −  =  I1  U 2 =0 L 2

Stromübersetzung

(4.18) K :=

Stromübertragung * Spannungsübertragung =

zwischen Sekundär- und Primärleistung

-20-

M2 ≤1 L1L 2

K ist ein Maß für das Verhältnis

(4.19a), (4.19b) und (4.19c) w12

L 11 = L 1 =

(R m 2

N

L 22 = L 2 =

w22

+ R m3

)

mit w i := Windungszahl der Spule i

( R m1 + R m 3 )

N

w1w 2

L 12 = L 21 = M =

N

= R m3

(4.20) K2 =

R 2m 3 M2 = L 1 L 1 ( R m 2 + R m 3 )( R m 1 + R m 3

 U2   U  1

R m3 w2  M  = = ⋅  R m 2 + R m3 w 1  I 2 =0 L 1

)

Kopplungs-Faktor

(4.21) Spannnungsübersetzung

(4.22)  I2  R m3 M w  −  = = ⋅ 1  I1  U 2 = 0 L 2 R m 1 + R m 2 w 2

Stromübersetzung

4.7 Magnetostatische Feldenergie (i) Energie, die in stromdurchflossener Induktivität gespeichert ist (4.23) I

∫

1 W mag = LˆI ⋅ dˆI = LI 2 2 0

(4.24) W mag =

1 2 1 LI = 2 2

W mag =

1 I i ⋅ L ij ⋅ I j ⋅ 2 i, j=1

=


1 ⋅ 2⋅L

2

äquvalente Formulierung zu (4.23) wegen

(4.25) N

∑

gilt bei N gekoppelten Induktivitäten

Wmag =

1 1 L1I 21 + L 2 I 22 + M ⋅ I1 ⋅ I 2 2 2

w mag =

1 ⋅H 2

gilt nur bei Trafo mit 2 Wicklungen

(4.26) 

2

=



allgemein gilt: w mag =

1 ⋅ B 2⋅ 



2

=

1 ⋅ H⋅ B 2 



1 ⋅ H⋅ B 2 



-21-



= w⋅ 

= L⋅ I

Kapitel 5: Elemente der Wechselstromlehre 5.1 Grundbegriffe (5.1) Phase: ϕ(t ) = ω t + ϕ 0 5.1.1 Induzierte Spannung in rotierender Leiterschleife: (5.2) ˆ ⋅ sin(ω t + ϕ ) u(t ) = U 0

ˆ := Scheitelwert der Spannung mit U

5.1.2 Kenngrößen (5.3) ω = 2⋅ ⋅f 5.1.3 Zeigerdiagramm (5.4) ˆ ⋅ sin(ω t + ϕ ) u(t ) = U 0 (5.5)  cos ω t − sin ω t  ˆ ˆ ⋅  cos ϕ u   ⋅ U = D(ω t ) ⋅ U U(t ) =   sin ϕ  u   sin ω t cos ω t   




Drehmatri x D (ω t )


















(5.6)  cos ω t − sin ω t  ˆ  cos ϕ i    ⋅ I = D(ω t )⋅ ˆI⋅  I(t ) =   sin ω t cos ω t   sin ϕ i  




Drehmatri x D (ω t )


















5.2 Wechselstromschaltungen mit linearen Bauelementen 5.2.1 Ohmscher Widerstand (5.7a) ˆ = R ⋅ ˆI U (5.7b)

ϕ u = ϕ i (mod 2

)

(5.8) ˆ = R ⋅ ˆI U

-22-

5.2.2 Induktivität (5.9a) ˆ = ω ⋅ L⋅ ˆI U (5.9b) ϕu − ϕi =

2

(5.10) ˆ = ω ⋅ L⋅ D  ⋅ ˆI U  2 Kapazität (5.11a) ˆI = ω ⋅ C⋅ U ˆ (5.11b) ϕu − ϕi = −

2

(5.12) ˆ = U

1   ⋅ D −  ⋅ ˆI ω⋅ C  2 

5.2.5 Kirchhoffsche Regeln unter quasistationären Bedingungen (i) für jeden Zeitpunkt gilt: (5.13) ∀

t∈R

(5.14) ∀

t∈R

∑i

k

(t ) = 0

Knotenregel

k

∑u

k

(t ) = u e ( t )

Maschenregel

k

(ii) Zeigerdarstellung (5.15)

∑ ˆI

k

=0

k

(5.16)

∑ Uˆ

k

ˆ =U e

k

-23-

5.3 Wechselstromrechnung mit Hilfe komplexer Zahlen 5.3.1 komplexe Zahlen (i) komplexe Zahlen = Zeiger mit Addition und Multiplikation C = (R², +, *) u U + V =  1 u2 u U ⋅ V =  1 u2

  v1  +   v2   v1  ⋅   v2

  u1 +u 2  =    v1 + v 2

  

  u1v1 − u 2 v 2  =    u 1v 2 + u 2 v1

Zeigeraddition

  

Zeigermultiplikation

(5.17) j 2 = −1

 0 mit j : =   = e 2 1

(ii) Darstellung in Real- und Imaginärteil (5.18) U = U 1 + j⋅ U 2 (iv) Komplexe Zahlen in Polarkoordinaten (5.19)  cos ϕ   = r⋅ (cos ϕ + j⋅ sin ϕ) z = r⋅   sin ϕ  (5.20a) r= z =

a2 +b2

mit r := Länge eines Vektors z

(5.20b) tan ϕ =

b a

(v) konjugiert komplexe Zahl z = a + jb ⇒ z * = a − jb (vi) Berechnung von Quotienten („Nenner reell machen“) U V

=

U⋅V* V⋅ V *

=

U⋅V* V2

5.3.2 Drehungen in C; Eulersche Formel (i) komplexe Exponentialfunktion e x ⋅ e y = e x +y

-24-

(5.21) e z = exp z =

∞

∑ n! ⋅ z 1

n

n =0

(5.22) e j ϕ = cos ϕ + j⋅ sin ϕ

Eulersche Formel

(5.23) z = r⋅ (cos ϕ + j⋅ sin ϕ) = r⋅ e j ϕ (5.24)

d(ϕ) = cos ϕ + j⋅ sin ϕ = e j ϕ

z = z ⋅ e j ⋅arg z

mit 0 ≤ ϕ < 2 ⋅

(„Einheitszeiger“)

5.3.3 Komplexe Zahlen als Drehstreckungen im R2 (i) • •

Drehung um ϕ entspricht einer Multiplikation mit e jϕ Streckung um Faktor r entspricht einer Multiplikation mit r ∈ R

=> Eine Drehstreckung entspricht einer Multiplikation mit r⋅ e j ϕ 5.3.4 Wechselstromzeiger - Zeigerdiagramm in komplexer Darstellung (i) Spannungs- und Stromzeiger (5.26) und (5.27) ˆ =U ˆ ⋅ e j ϕu U

ˆI = ˆI⋅ e jϕi

(5.28) und (5.29) ˆ = e jω t ⋅ U ˆ ⋅ e j ϕu = U ˆ ⋅ e j(ω t +ϕu ) U (t) = D(ω t )U

Momentanwerte

I(t) = D(ω t )ˆI = e j ω t ⋅ ˆI⋅ e j ϕi = ˆI⋅ e j(ω t +ϕi ) (ii) lineare Bauelemente (5.30) ˆ = Z⋅ ˆI U

komplexes Ohmsches Gesetz; mit Z := komplexer Scheinwiderstand bzw. komplexer Impedanz

(5.31) ˆ = Z ⋅ ˆI U (5.32) ϕu =


+ ϕi

mit Z := „reller Impedanz“

ϕ u − ϕ i = = arg(Z)


(5.33) ˆI = 1 ⋅ U ˆ = Y⋅U ˆ Z

mit Y =

1 1 = ⋅ e j := komplexer Scheinleitwert bzw. komplexe Admittanz Z Z 

-25-

(iii) Beispiele: a) Ohmscher Widerstand Y=

1 =G R

ˆ = j⋅ ω ⋅ L ⋅ Iˆ U

Y=

Z=R

Z =R

ϕ u − ϕi =

= arg Z = 0

b) Induktivität (5.34)


−j 1 = j⋅ ω ⋅ L ω ⋅ L





Z

ϕ u − ϕ i = arg(Z) =

Z = ω⋅ L

c) Kapazität (5.35) ˆ = U

1 ⋅ ˆI j⋅ ω ⋅ C

Z =

1 ω⋅C

ϕu − ϕ i = arg(Z) = − 

2

5.4 Einfache Schaltungen aus R, L und C 5.4.1 R und L in Serie (RL-Glied) (5.36) Z = R + j⋅ ω ⋅ L Z = R 2 + ω 2 L2

Scheinwiderstand

(5.37) Z = Z1 + Z 2 (5.37a) und (5.37b) ˆ = R 2 + ω2 L2 ⋅ Iˆ U e ϕ e − ϕ i = arg Z = arctan

ω⋅ L R

es gilt: Z = a + j ⋅ b und tan ϕ =

5.4.1.1 Übungsaufgabe 30: Scheinleistung und Wirkleistung Ps =

1 ˆ ˆ ⋅ U⋅ I 2

Pw =

1 ˆ ˆ ⋅ U⋅ I⋅ cos (ϕ) 2

Scheinleistung

Wirkleistung



0 ≤ ϕe − ϕi ≤

2

-26-

b a



2

5.4.2 R und C parallel (RC-Glied) 1  Z =  + j ⋅ ω ⋅ C R 

Y = G + j⋅ ω ⋅ C

−1

Allgemein gilt für die Parallelschaltung zweier Impedanzen Z1 und Z2: Z + Z2 1 1 1 = + = 1 =Y Z Z1 Z 2 Z1 ⋅ Z 2

Y = Y1 + Y 2

(5.39a) und (5.39b) ˆI = 1 ⋅ 1 + (ω ⋅ R⋅ C)2 ⋅ U ˆ e R

ϕ i − ϕ e = arg Y = arctan(ω ⋅ R⋅ C)

5.4.3 Gedämpftes LC-Glied Z RL = R + j⋅ ω ⋅ L (5.40) 1 1 = Y = j⋅ ω ⋅ C+ Z Z RL (5.41) 1 1 − ω 2 L⋅ C+ j⋅ ω ⋅ R⋅ C =Y= Z R + j⋅ ω ⋅ L (5.44)

es gilt: Y := Scheinleitwert

[ (

]

)

1  argY = ϕ i − ϕ e = arctan ⋅ ω ⋅ C R 2 + ω2 ⋅ L2 − ω ⋅ L  R 

Phasendifferenz

5.5 Leistung und Effektivwerte 5.5.1 Momentane Leistung (5.45) p(t) = 

1 ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ⋅ U⋅ I⋅ cos (ϕ u − ϕ i ) − ⋅ U ⋅ I⋅ cos (2 ⋅ ω ⋅ t + ϕ u + ϕ i ) 2 2











Mittelwert Pm

hat Mittelwert 0

(5.46) Pm =

1 ˆ ˆ ⋅ U⋅ I⋅ cos (ϕ u − ϕ i ) 2

Eine Schaltung enthält energiespeichernde Elemente (z.B.

1 1 ⋅ C ⋅ U 2 oder ⋅ L ⋅ I 2 ), falls 2 2

5.5.2 Wirkleistung und Effektivwerte (i) Def. (5.47) T

Pw :=

1 1 ˆ ˆ ⋅ p(t )⋅ dt = Pm = ⋅ U ⋅ I⋅ cos ( ϕ) mit ∆ϕ = ϕ u − ϕ i T 2

∫



0

-27-



ϕ := ϕ u − ϕ i ≠ 0

(5.48) T

1 ⋅ u ( t ) 2 ⋅ dt T

∫

U eff : =

0

(5.49) T

I eff : =

1 ⋅ i ( t ) 2 ⋅ dt T

∫ 0

(5.50) und (5.51) U eff = (5.52)

1

ˆ ⋅U

I eff =

2

1

⋅ ˆI

2

Pw = U eff ⋅ Ieff ⋅ cos ( ϕ) = U eff ⋅ I eff ⋅ cos (ϕ) oft wird „eff“ weggelassen!

mit ϕ = ϕ = ϕ u − ϕi := „relativer Phasenwinkel“;

(5.53) 1

U=

ˆ ⋅U

I=

2

1

⋅ Iˆ

komplexe Effektivwerte

2

(ii) komplexe Schreibweise für Leistung (5.54) P=

1 ˆ ˆ* * ⋅ U ⋅ I = U ⋅ I = P w + j⋅ P B 2

komplexer Leistungszeiger (5.55) und (5.56) P = U eff ⋅ I eff ⋅ ( cos ϕ + j ⋅ sin ϕ )

(

P w = Re P = Re U ⋅ I *

(iii) Beispiele a) Ohmscher Widerstand (5.57) P w = U eff ⋅ I eff , also cos ϕ = 1 ! b) Spule


P w = Re P = 0 , also cos ϕ = 0 mit ϕ =

2

c) Kondensator


P w = Re P = 0 , also cos ϕ = 0 mit ϕ = −

2

-28-

)

5.5.3 Energiespeichernde Elemente (i) Spule (5.58) p(t ) =

dWmag dt

=

1 ⋅ ω ⋅ L⋅ ˆI 2 ⋅ sin(2 ⋅ ω ⋅ t ) 2

Momentanleistung (ii) Kondensator (5.59) p(t ) =

dWel 1 ˆ 2 ⋅ sin(2 ⋅ ω ⋅ t ) = − ⋅ ω ⋅ C⋅ U dt 2

5.5.4 Scheinleistung und Blindleistung (i) Leistungsbilanz bei linearen Elementen (5.60) p(t ) = Re Z ⋅ i (t )2 +

Im Z ⋅ I 2 eff ⋅ sin (2 ⋅ ω ⋅ t )






zugeführte (Netto − ) Leistung













Anteil an im System verbrauch te Leistung ≥ 0


























Zunahme oder Abnahme an gespeicher ter dW > Energie 0 mit Mittelwert = 0 dt <

(5.61) p (t ) = R w ⋅ i (t )2 +

dW dt

Leistungsbilanz mit R w : = Re Z (Wirkwiderstand) und T

dW 1 dW 1 = ImZ ⋅ I 2 eff ⋅ sin (2 ⋅ ω ⋅ t ) , ⋅ ⋅ dt = ⋅ (W (T ) − W (0)) = 0 dt T dt T

∫ 0

(ii) Wirkleistung P w = R w ⋅ I 2 eff = Re Z ⋅ I 2 eff = mittlere verbrauchte Leistung ≥ 0 (5.63) P B : = Im Z ⋅ I 2 eff (5.64)

Blindleistung

p(t ) = Pw ⋅ (1 − cos (2 ⋅ ω ⋅ t )) + PB ⋅ sin(2 ⋅ ω ⋅ t )

(iv) komplexe Zeigerdarstellung (5.65a) P = Z⋅I ⋅I * = Z⋅ I

2

= Z ⋅ I 2 eff

(5.66) P = P w + j⋅ P B

-29-

(5.65b) P = Y * ⋅ U 2 eff (5.67) Ps := P

Scheinleistung

(5.68) Ps 2 = Pw2 + PB2 (5.69) P s = U ⋅ I * = U ⋅ I = U eff ⋅ I eff (5.70) und (5.71) P w = P s ⋅ cos ϕ

P B = P s ⋅ sin ϕ

(5.72) tan ϕ =

Im Z Re Z

5.5.5 Energieaustausch zwischen Kapazitäten und Induktivitäten (i) Impedanz (bei Parallelschaltung von Kondensator und Spule) (5.73) ˆ = U e

j⋅ ω ⋅ L 1 − ω2 ⋅ L⋅ C

⋅ ˆI

(5.74) und (5.75) Z(ϖ ) =




ω⋅L

1 − ω 2 ⋅ L⋅ C  + 2 , wenn ω < ϕ = ϕ u − ϕi =  − , wenn ω >  2

1 L⋅ C 1 L⋅ C

(ii) Leistung Pw = 0

PB =

ω⋅L 1 − ω2 ⋅ L⋅ C

⋅ I 2 eff =

1 − ω 2 ⋅ L⋅ C 2 ⋅ U eff ω⋅L

bei Resonanz gilt: 1 1. ω = L⋅ C 2. P B = 0 3.

p (t ) ≡ 0

-30-

(iii) gespeicherte Energie WL (t ) =

1 1 2 ⋅ L⋅ i L (t ) = ⋅ L⋅ ˆI 2L ⋅ sin 2 (ω ⋅ t ) 2 2

WC (t ) =

1 1 2 ⋅ C⋅ u (t ) = ⋅ ω 2 ⋅ C⋅ L2 ⋅ ˆI 2L ⋅ cos 2 (ω ⋅ t ) 2 2

W (t ) = WL (t ) + WC (t ) =

Energie in Spule

(

Energie in Kondensator

)

1 ⋅ L⋅ ˆI 2L ⋅ sin 2 (ω ⋅ t ) + ω2 ⋅ L⋅ C⋅ cos 2 (ω ⋅ t ) 2

gespeicherte Gesamtenergie

5.6 Transformator in komplexer Rechnung 5.6.1 Trafo-Gleichungen (ii) komplexe Darstellung U k = (R k + j⋅ ω ⋅ L kk ) ⋅ I k +

N

∑ j⋅ ω ⋅ L l≠ k

kl ⋅ I l

komplexe Trafo-Gleichungen

l =1

-31-