Losungsbuch zur Einfuhrung in die Festigkeitslehre. Ausfuhrliche Losungen und Formelsammlung

Volker Läpple

Lösungsbuch zur Einführung in die Festigkeitslehre

Aus dem Programm Grundlagen Maschinenbau und Verfahrenstechnik

Klausurentrainer Technische Mechanik von J. Berger Lehrsystem Technische Mechanik mit Lehrbuch, Aufgabensammlung, Lösungsbuch sowie Formeln und Tabellen von A. Böge und W. Schlemmer Vieweg Handbuch Maschinenbau herausgegeben von A. Böge Technische Strömungslehre von L. Böswirth Technische Mechanik mit Mathcad, Matlab und Maple von G. Henning, A. Jahr und U. Mrowka Thermodynamik für Ingenieure von K. Langeheinecke, P. Jany und G. Thieleke Technische Mechanik. Statik von H.-A. Richard und M. Sander Technische Mechanik. Festigkeitslehre von H.-A. Richard und M. Sander Werkstoffkunde und Werkstoffprüfung von W. Weißbach Aufgabensammlung Werkstoffkunde und Werkstoffprüfung von W. Weißbach und M. Dahms

vieweg

Volker Läpple

Lösungsbuch zur Einführung in die Festigkeitslehre Ausführliche Lösungen und Formelsammlung Mit 184 Abbildungen

Viewegs Fachbücher der Technik

Bibliografische Information Der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

Der Verfasser hat alle Texte, Formeln und Abbildungen mit größter Sorgfalt erarbeitet. Dennoch können Fehler nicht ausgeschlossen werden. Deshalb übernehmen weder Verfasser noch Verlag irgendwelche Garantien für die in diesem Buch abgedruckten Informationen. In keinem Fall haften Verfasser und Verlag für irgendwelche direkten oder indirekten Schäden, die aus der Anwendung dieser Informationen folgen.

1. Auflage Februar 2007 Alle Rechte vorbehalten © Friedr. Vieweg & Sohn Verlag | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2007 Lektorat: Thomas Zipsner Der Vieweg Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.vieweg.de

Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.

Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Druck und buchbinderische Verarbeitung: Wilhelm & Adam, Heusenstamm Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN 978-3-8348-0257-6

V

Vorwort Die sichere Auslegung von Bauteilen und Anlagen gehört zu den Grundfertigkeiten eines Ingenieurs. Fehlerhaft dimensionierte Bauteile können zu schweren Schäden und hohen Kosten führen. Man denke beispielsweise an das Bersten eines Druckbehälters, den Einsturz einer Stahlkonstruktion oder den Bruch einer Radaufhängung. Obwohl für das Erbringen eines Festigkeitsnachweises heute leistungsfähige Rechenprogramme zur Verfügung stehen, so stellen sie dennoch nur Hilfsmittel dar. Die Interpretation der Rechenergebnisse und letztlich auch die Prüfung ihrer Plausibilität liegt nach wie vor in der Verantwortung des Konstrukteurs. Das grundlegende Verständnis für die Problemstellung sowie das Erfassen der wesentlichen Zusammenhänge darf nicht durch das Erlernen der Bedieneroberfläche einer Software ersetzt werden. Auch ist es kaum wirtschaftlich, Rechenprogramme bereits für die Auslegung erster Konstruktionsentwürfe einzusetzen. Gerade in diesem Stadium ist es jedoch wichtig zu wissen, ob ein Entwurf hinsichtlich Beanspruchung und Dimensionierung überhaupt zielführend ist und sich die Weiterentwicklung lohnt. Der Konstrukteur muss ein "Gespür" für die Zusammenhänge zwischen Beanspruchung, Verformung und Bauteilverhalten, insbesondere unter Berücksichtigung des eingesetzten Werkstoffs, sowie einen sicheren Blick für die kritischen d. h. höchst beanspruchten Stellen entwickeln. Diese Grundfertigkeit lässt sich nur durch das selbständige Lösen verschiedener Probleme erlernen. Die vielfältigen Übungsaufgaben mit unterschiedlichem Schwierigkeitsgrad sollen helfen, dieses "Gespür" für das Bauteil zu entwickeln. Der vorliegende Band enthält zu allen Aufgaben des Lehr- und Übungsbuches ausführliche Lösungen und, dort wo sinnvoll, auch alternative Lösungsvorschläge. Damit wird es dem Studierenden ermöglicht, sein erlerntes Wissen zu überprüfen, anhand praxisorientierter Aufgaben anzuwenden und zu vertiefen. Er wird in der Lage sein, die Problemstellung zu analysieren, die wesentlichen Zusammenhänge zu erfassen, ein mathematisch-physikalisches Modell zu formulieren und eine geeignete Lösungsstrategie zu entwickeln. Darüber hinaus eignet sich der Lösungsband, gemeinsam mit dem Lehr- und Übungsbuch, für eine eigenständige Klausurvorbereitung. Auch Ingenieure in der Praxis finden wertvolle Hinweise für die Entwicklung von Lösungsstrategien zur Durchführung von Festigkeitsnachweisen. Mein besonderer Dank gilt dem Vieweg-Verlag, insbesondere Herrn Dipl.-Ing. Thomas Zipsner, für die sorgfältige Drucklegung und die angenehme Zusammenarbeit. Anregungen für Ergänzungen sowie Verbesserungsvorschläge werden stets gerne entgegen genommen. Schorndorf, im Dezember 2006

Volker Läpple

VII

Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung ........................................................................................................................... 1 2 Grundbelastungsarten ...................................................................................................... 2.1 Formelsammlung zu den Grundbelastungsarten .......................................................... 2.2 Lösungen zu den Übungsaufgaben ............................................................................... Lösung zu Aufgabe 2.1 ................................................................................................ Lösung zu Aufgabe 2.2 ................................................................................................ Lösung zu Aufgabe 2.3 ................................................................................................ Lösung zu Aufgabe 2.4 ................................................................................................ Lösung zu Aufgabe 2.5 ................................................................................................ Lösung zu Aufgabe 2.6 ................................................................................................ Lösung zu Aufgabe 2.7 ................................................................................................ Lösung zu Aufgabe 2.8 ................................................................................................ Lösung zu Aufgabe 2.9 ................................................................................................ Lösung zu Aufgabe 2.10 .............................................................................................. Lösung zu Aufgabe 2.11 .............................................................................................. Lösung zu Aufgabe 2.12 .............................................................................................. Lösung zu Aufgabe 2.13 .............................................................................................. Lösung zu Aufgabe 2.14 .............................................................................................. Lösung zu Aufgabe 2.15 .............................................................................................. Lösung zu Aufgabe 2.16 .............................................................................................. Lösung zu Aufgabe 2.17 .............................................................................................. Lösung zu Aufgabe 2.18 .............................................................................................. Lösung zu Aufgabe 2.19 .............................................................................................. Lösung zu Aufgabe 2.20 .............................................................................................. Lösung zu Aufgabe 2.21 .............................................................................................. Lösung zu Aufgabe 2.22 .............................................................................................. Lösung zu Aufgabe 2.23 .............................................................................................. Lösung zu Aufgabe 2.24 .............................................................................................. Lösung zu Aufgabe 2.25 .............................................................................................. Lösung zu Aufgabe 2.26 .............................................................................................. Lösung zu Aufgabe 2.27 .............................................................................................. Lösung zu Aufgabe 2.28 .............................................................................................. Lösung zu Aufgabe 2.29 .............................................................................................. Lösung zu Aufgabe 2.30 .............................................................................................. Lösung zu Aufgabe 2.31 .............................................................................................. Lösung zu Aufgabe 2.32 .............................................................................................. Lösung zu Aufgabe 2.33 .............................................................................................. Lösung zu Aufgabe 2.34 .............................................................................................. Lösung zu Aufgabe 2.35 ..............................................................................................

2 2 5 5 7 8 9 10 13 14 16 17 18 20 21 22 23 24 25 26 28 29 30 31 33 36 37 38 39 40 41 42 43 44 46 47 49 51

VIII

Inhaltsverzeichnis

3 Spannungszustand ............................................................................................................ 3.1 Formelsammlung zum Spannungszustand ................................................................... 3.2 Lösungen zu den Übungsaufgaben............................................................................... Lösung zu Aufgabe 3.1 ................................................................................................ Lösung zu Aufgabe 3.2 ................................................................................................ Lösung zu Aufgabe 3.3 ................................................................................................ Lösung zu Aufgabe 3.4 ................................................................................................ Lösung zu Aufgabe 3.5 ................................................................................................

52 52 54 54 56 58 60 63

4 Verformungszustand ........................................................................................................ 4.1 Formelsammlung zum Verformungszustand ............................................................... 4.2 Lösungen zu den Übungsaufgaben............................................................................... Lösung zu Aufgabe 4.1 ................................................................................................ Lösung zu Aufgabe 4.2 ................................................................................................ Lösung zu Aufgabe 4.3 ................................................................................................ Lösung zu Aufgabe 4.4 ................................................................................................

70 70 72 72 74 76 79

5 Elastizitätsgesetze ............................................................................................................. 5.1 Formelsammlung zu den Elastizitätsgesetzen .............................................................. 5.2 Lösungen zu den Übungsaufgaben............................................................................... Lösung zu Aufgabe 5.1 ................................................................................................ Lösung zu Aufgabe 5.2 ................................................................................................ Lösung zu Aufgabe 5.3 ................................................................................................ Lösung zu Aufgabe 5.4 ................................................................................................ Lösung zu Aufgabe 5.5 ................................................................................................ Lösung zu Aufgabe 5.6 ................................................................................................ Lösung zu Aufgabe 5.7 ................................................................................................ Lösung zu Aufgabe 5.8 ................................................................................................

81 81 83 83 85 86 88 90 94 95 96

6 Festigkeitshypothesen ...................................................................................................... 97 6.1 Formelsammlung zu den Festigkeitshypothesen ......................................................... 97 6.2 Lösungen zu den Übungsaufgaben............................................................................... 99 Lösung zu Aufgabe 6.1 ................................................................................................ 99 Lösung zu Aufgabe 6.2 ................................................................................................ 101 Lösung zu Aufgabe 6.3 ................................................................................................ 103 Lösung zu Aufgabe 6.4 ................................................................................................ 105 Lösung zu Aufgabe 6.5 ................................................................................................ 107 Lösung zu Aufgabe 6.6 ................................................................................................ 110 Lösung zu Aufgabe 6.7 ................................................................................................ 112 Lösung zu Aufgabe 6.8 ................................................................................................ 116 Lösung zu Aufgabe 6.9 ................................................................................................ 120 Lösung zu Aufgabe 6.10 .............................................................................................. 123 Lösung zu Aufgabe 6.11 .............................................................................................. 124 Lösung zu Aufgabe 6.12 .............................................................................................. 125 Lösung zu Aufgabe 6.13 .............................................................................................. 129

Inhaltsverzeichnis

IX

7 Kerbwirkung .....................................................................................................................134 7.1 Formelsammlung zur Kerbwirkung .............................................................................134 7.2 Lösungen zu den Übungsaufgaben ...............................................................................135 Lösung zu Aufgabe 7.1 ................................................................................................135 Lösung zu Aufgabe 7.2 ................................................................................................137 Lösung zu Aufgabe 7.3 ................................................................................................138 Lösung zu Aufgabe 7.4 ................................................................................................140 Lösung zu Aufgabe 7.5 ................................................................................................143 Lösung zu Aufgabe 7.6 ................................................................................................145 Lösung zu Aufgabe 7.7 ................................................................................................149 Lösung zu Aufgabe 7.8 ................................................................................................151 Lösung zu Aufgabe 7.9 ................................................................................................156 Lösung zu Aufgabe 7.10 ..............................................................................................159 Lösung zu Aufgabe 7.11 ..............................................................................................163 8 Knickung ..........................................................................................................................166 8.1 Formelsammlung zur Knickung ...................................................................................166 8.2 Lösungen zu den Übungsaufgaben ...............................................................................168 Lösung zu Aufgabe 8.1 ................................................................................................168 Lösung zu Aufgabe 8.2 ................................................................................................169 Lösung zu Aufgabe 8.3 ................................................................................................171 Lösung zu Aufgabe 8.4 ................................................................................................173 Lösung zu Aufgabe 8.5 ................................................................................................174 Lösung zu Aufgabe 8.6 ................................................................................................175 Lösung zu Aufgabe 8.7 ................................................................................................176 Lösung zu Aufgabe 8.8 ................................................................................................178 Lösung zu Aufgabe 8.9 ................................................................................................179 9 Schiefe Biegung .................................................................................................................180 9.1 Formelsammlung zur Schiefen Biegung ......................................................................180 9.2 Lösungen zu den Übungsaufgaben ...............................................................................183 Lösung zu Aufgabe 9.1 ................................................................................................183 Lösung zu Aufgabe 9.2 ................................................................................................185 Lösung zu Aufgabe 9.3 ................................................................................................187 Lösung zu Aufgabe 9.4 ................................................................................................189 Lösung zu Aufgabe 9.5 ................................................................................................194 10 Schubspannungen durch Querkräfte bei Biegung .........................................................196 10.1 Formelsammlung zum Querkraftschub .....................................................................196 10.2 Lösungen zu den Übungsaufgaben ............................................................................199 Lösung zu Aufgabe 10.1 ...........................................................................................199 Lösung zu Aufgabe 10.2 ...........................................................................................200 Lösung zu Aufgabe 10.3 ...........................................................................................201 Lösung zu Aufgabe 10.4 ...........................................................................................202 Lösung zu Aufgabe 10.5 ...........................................................................................203 Lösung zu Aufgabe 10.6 ...........................................................................................205

X

Inhaltsverzeichnis

11 Torsion nicht kreisförmiger Querschnitte ..................................................................... 207 11.1 Formelsammlung zur Torsion nicht kreisförmiger Querschnitte ............................. 207 11.2 Lösungen zu den Übungsaufgaben ............................................................................ 210 Lösung zu Aufgabe 11.1 ........................................................................................... 210 Lösung zu Aufgabe 11.2 ........................................................................................... 211 Lösung zu Aufgabe 11.3 ........................................................................................... 212 Lösung zu Aufgabe 11.4 ........................................................................................... 213 12 Behälter unter Innen- und Außendruck ........................................................................ 214 12.1 Formelsammlung zu Behältern unter Innen- und Außendruck................................. 214 12.2 Lösungen zu den Übungsaufgaben ............................................................................ 217 Lösung zu Aufgabe 12.1 ........................................................................................... 217 Lösung zu Aufgabe 12.2 ........................................................................................... 218 Lösung zu Aufgabe 12.3 ........................................................................................... 220 Lösung zu Aufgabe 12.4 ........................................................................................... 222 Lösung zu Aufgabe 12.5 ........................................................................................... 224 Lösung zu Aufgabe 12.6 ........................................................................................... 226 Lösung zu Aufgabe 12.7 ........................................................................................... 228 Lösung zu Aufgabe 12.8 ........................................................................................... 232 Lösung zu Aufgabe 12.9 ........................................................................................... 234 Lösung zu Aufgabe 12.10 ......................................................................................... 239 Lösung zu Aufgabe 12.11 ......................................................................................... 244 Lösung zu Aufgabe 12.12 ......................................................................................... 246 Lösung zu Aufgabe 12.13 ......................................................................................... 248 Lösung zu Aufgabe 12.14 ......................................................................................... 250 Lösung zu Aufgabe 12.15 ......................................................................................... 255 13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit.................................................................. 256 13.1 Formelsammlung zu Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit ........................... 256 13.2 Lösungen zu den Übungsaufgaben ............................................................................ 261 Lösung zu Aufgabe 13.1 ........................................................................................... 261 Lösung zu Aufgabe 13.2 ........................................................................................... 263 Lösung zu Aufgabe 13.3 ........................................................................................... 265 Lösung zu Aufgabe 13.4 ........................................................................................... 266 Lösung zu Aufgabe 13.5 ........................................................................................... 268 Lösung zu Aufgabe 13.6 ........................................................................................... 270 Lösung zu Aufgabe 13.7 ........................................................................................... 273 Lösung zu Aufgabe 13.8 ........................................................................................... 275 Lösung zu Aufgabe 13.9 ........................................................................................... 276 Lösung zu Aufgabe 13.10 ......................................................................................... 278 Lösung zu Aufgabe 13.11 ......................................................................................... 280 Lösung zu Aufgabe 13.12 ......................................................................................... 283 Lösung zu Aufgabe 13.13 ......................................................................................... 284 Lösung zu Aufgabe 13.14 ......................................................................................... 286 Lösung zu Aufgabe 13.15 ......................................................................................... 288

Inhaltsverzeichnis

Lösung zu Aufgabe 13.16 Lösung zu Aufgabe 13.17 Lösung zu Aufgabe 13.18 Lösung zu Aufgabe 13.19 Lösung zu Aufgabe 13.20 Lösung zu Aufgabe 13.21 Lösung zu Aufgabe 13.22 Lösung zu Aufgabe 13.23 Lösung zu Aufgabe 13.24 Lösung zu Aufgabe 13.25 Lösung zu Aufgabe 13.26

XI .........................................................................................289 .........................................................................................291 .........................................................................................293 .........................................................................................296 .........................................................................................300 .........................................................................................303 .........................................................................................306 .........................................................................................312 .........................................................................................316 .........................................................................................320 .........................................................................................325

1

1 Einleitung Die Beanspruchbarkeit technischer Bauteile und Konstruktionen ist begrenzt. Es ist die Aufgabe der Festigkeitslehre, Konzepte bereitzustellen, die eine sichere und wirtschaftliche Bauteilauslegung unter Berücksichtigung von Art und Höhe der Belastung sowie von Geometrie und Werkstoffart erlauben. Bild 1.1 zeigt das Prinzip eines Festigkeitsnachweises. Ist die Art der Belastung sowie die Geometrie des Bauteils bekannt, dann lassen sich die Spannungen an jeder Stelle berechnen. Für einen Festigkeitsnachweis sind die Spannungen an den höchst beanspruchten Stellen von Bedeutung. Liegt ein mehrachsiger Spannungszustand vor, dann ist es erforderlich, aus den gegebenen Lastspannungen, die Vergleichsspannung zu berechnen. Die maximale Spannung bzw. die maximale Vergleichsspannung (maximale Beanspruchung des Bauteils) wird mit der Beanspruchbarkeit, also dem für das Werkstoffversagen relevanten Kennwert (z. B. Dehngrenze oder Zugfestigkeit) verglichen. Zwischen Beanspruchung und Beanspruchbarkeit muss ein ausreichender Sicherheitsabstand vorliegen. Ist diese Sicherheit zu gering (z. B. kleiner als 1,20 gegenüber einer plastischen Verformung), dann ist ein sicherer Betrieb nicht gewährleistet. Es ist dann erforderlich, entweder die Belastung zu vermindern, die tragende Querschnittfläche zu vergrößern oder einen Werkstoff mit höherer Festigkeit zu verwenden und den Festigkeitsnachweis erneut durchzuführen.

Prinzip eines Festigkeitsnachweises

2

2 Grundbelastungsarten 2.1 Formelsammlung zu den Grundbelastungsarten Zug

V

F A

Spannungsermittlung bei reiner Zugbeanspruchung

H

'L L0

(technische) Dehnung

V

E ˜H

Hooke’sches Gesetz bei einachsiger Beanspruchung

Hq

P ˜ H l

Poisson’sches Gesetz

Druck

Vd

Fd A

Spannungsermittlung bei reiner Druckbeanspruchung

Hinweis: Ein Versagen unter Druckbeanspruchung kann bei duktilen Werkstoffen durch Fließen oder Knickung, bei spröden Werkstoffen durch Bruch oder Knickung erfolgen. Die Knickung wird in Kapitel 8 besprochen. Gerade Biegung

V ( z)

Mb ˜z I

Spannungsverteilung bei gerader, reiner Biegung

Vb

Mb Wb

Spannungsermittlung bei gerader, reiner Biegung

zS

¦ zi ˜ Ai i ¦ Ai

Teilschwerpunktsatz

i

3

2 Grundbelastungsarten

Schub (Abscherung)

W

Fa A

J

D

W

G ˜J

G

Mittlere Abscherspannung

S

Definition der Schiebung (Winkelverzerrung)

2

Hooke’sches Gesetz für Schubbeanspruchung

E 2 ˜ (1  µ)

Schubmodul

Hinweise: 1. Zugeordnete Schubspannungen wirken stets in zwei zueinander senkrechten Ebenen des betrachteten Volumenelements. Sie besitzen den gleichen Betrag und zeigen entweder auf die gemeinsame Kante hin oder von ihr weg. 2. Eine Schiebung J ist positiv anzusetzen, falls sich der ursprünglich rechte Winkel des Winkelelements vergrößert. Verkleinert sich der Winkel, dann ist die Schiebung negativ anzusetzen. Torsion kreisförmiger Querschnitte

Wt

Mt Wt

mit Wt Wt

M

Maximale Torsionsschubspannung 1)

S 16

für Vollkreisquerschnitt

S D4  d 4 16

˜

D

Mt ˜l G ˜ Ip

M (in Grad)

1)

˜d3

für Kreisringquerschnitt

Verdrehwinkel 1)

180q

S

Umrechnung von

˜ M (in rad) Grad- in Bogenmaß

Nur gültig für gerade prismatische Stäbe mit Vollkreis- oder Kreisringquerschnitt.

Spannungsverteilung

Mohr’scher Spannungskreis

Mt Wt

Wt

Mb Wb

Wa

Duktiler Werkstoff: x Fließen: VbF Spröder Werkstoff: x Bruch: VbB

Fd A

Duktiler Werkstoff: x Fließen: WtF x Bruch: WtB Spröder Werkstoff: x Bruch: WtB

Spröder Werkstoff: x Bruch: WaB

Duktiler Werkstoff: x Bruch: WaB

Duktiler Werkstoff: x Fließen: VdF oder Vdp x Knickung: VK = FK / A Duktiler Werkstoff: x Bruch: VdB x Knickung: VK = FK / A

Fz A

Fa A

Vb

Vd

Vz

Werkstoffkennwert Duktiler Werkstoff: x Fließen: Re oder Rp 2) x Bruch: Rm Spröder Werkstoff: x Bruch: Rm

Grundgleichung

3)

SF = 1,2 ... 2,0 SB = 2,0 ... 4,0 SB = 4,0 ... 9,0

Rm

SB = 4,0 ... 9,0

SB = 2,0 ... 4,0

SB = 4,0 ... 9,0

Re/2 oder Rp/2 0,6 ... 0,9˜Rm 6)

| Rm 7)

0,6 ..0,9˜Rm 6)

5)

SF = 1,2 ... 2,0

SB = 4,0 ... 9,0 SK = 2,5 ... 5,0 ------Re oder Rp 4)

SF = 1,2 ... 2,0 SK = 2,5 ... 5,0

SB = 4,0 ... 9,0

---Re oder Rp ----

SF = 1,2 ... 2,0 SB = 2,0 ... 4,0

Sicherheitsbeiwerte 1)

-------

Ersatzwert

Anhaltswerte, falls keine einschlägigen Berechnungsvorschriften vorliegen. 2) 3) 4) In der Regel 0,2%-Dehngrenze (Rp0,2) In der Regel 0,2%-Stauchgrenze (Vd0,2) Mitunter auch 1,1 ... 1,2˜Re bzw. 1,1 ... 1,2˜Rp0,2 5) Für ideal spröde Werkstoffe: VbB | Rm ; für spröde metallische Werkstoffe: VbB > Rm , insbesondere für Grauguss: VbB = 2,0 ... 2,5˜Rm 6) Faktor 0,6 für hochfeste Werkstoffe, Faktor 0,9 für niedrigfeste Werkstoffe. Insbesondere für Stähle mit Rm d 1800 N/mm2: WaB = 0,5˜Rm + 140 N/mm2 bzw. WtB = 0,5˜Rm + 140 N/mm2 7) Gültig für Grauguss.

1)

Torsion

Schub (Abscherung)

Biegung

Druck

Zug

Belastungsart

4 2 Grundbelastungsarten

Zusammenfassung der Grundbelastungsarten

5

2 Grundbelastungsarten

2.2 Lösungen zu den Übungsaufgaben Lösung zu Aufgabe 2.1 a) Berechnung der Normalspannung

V

F A

60 000 N

F

S 4



˜ d a2  d i2



S 4





339,53 N/mm 2

˜ 25 2  20 2 mm 2

b) Festigkeitsbedingung (Fließen)

V d V zul

V SF

Rp0,2 SF 680 N/mm 2 339,53 N/mm 2

Rp0,2

V

2,00 (ausreichend, da S F ! 1,20)

Festigkeitsbedingung (Bruch)

V d V zul V

Rm SB

1 050 N/mm 2 339,53 N/mm 2

Rm

SB

V

3,09 (ausreichend, da S B ! 2,0)

c) Berechnung der Dehnung bzw. Verlängerung mit Hilfe des Hooke’schen Gesetzes

V 'l

E ˜H

E˜

V ˜ l0 E

'l l0

339,53 N/mm 2 ˜ 1 200 mm 208 000 N/mm 2

1,96 mm

d) Berechnung der Querkontraktion mit Hilfe des Poisson’schen Gesetzes

Hq

P ˜ H l

mit H l 'd a da

V E P ˜

und H q

'd a folgt: da

V E E

'd a ˜ da P F mit V folgt schließlich: A

V



6

2 Grundbelastungsarten

F



'd a E S 2 2 ˜ ˜ d a  di da P 4







 0,01 mm ˜ 208 000 N/mm 2 S ˜ 252  20 2 mm 2 25 mm ˜ 0,30 4



49 008 N | 49 kN

e) Festigkeitsbedingung (Fließen)

V d V zul F*

S 4 di s

d

2 a

Rp0,2

 d i2



d a2 

4 ˜ F * ˜ SF S ˜ Rp0,2

da  di 2

SF

25 mm 2  4 ˜ 150 000 N ˜ 12,4

25 mm - 15,22 mm 2

S ˜ 680 N/mm

4,89 mm

15,22 mm



7

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.2 a) Versagensmöglichkeiten: Fließen und Bruch. Ermittlung der zulässigen Spannungen Fließen: V zul

Re SF

430 N/mm 2 1,5

286,7 N/mm 2

Bruch: V zul

Rm SB

630 N/mm 2 2,0

315 N/mm 2

Berechnung gegen Fließen, da kleinere zulässige Spannung. Festigkeitsbedingung

V d V zul Re SF

F A

Re SF

F

S 4

˜d

2

4 ˜ F ˜ SF S ˜ Re

d

4 ˜ 15 500 N ˜ 1,5

S ˜ 430 N/mm 2

8,29 mm

b) Berechnung der Dehnung bzw. Verlängerung mit Hilfe des Hooke’schen Gesetzes

V

H

E ˜H

V

F A˜ E

E

15 500 N

S 4

0,00137

˜ 8,29 mm 2 ˜ 210 000 N/mm 2

Mit H = 'l/l0 folgt dann für die Verlängerung des Zugstabes: 'l

H ˜ l0

0,00137 ˜ 1500 mm

2,05 mm

c) Bedingung für Bruch:

V FB A FB

Rm Rm

S 4

˜ d 2 ˜ Rm

S 4

˜ 8,29 mm 2 ˜ 630 N/mm 2

34 064 N

1,37 ‰

8

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.3 a) Berechnung der Kraft pro Stahlband Leerer Wassertank: FL Voller Wassertank: FV

mL ˜ g 4 mV ˜ g 4

2 000 kg ˜ 9,81 m/s 2 4 3 600 kg ˜ 9,81 m/s 2 4

4 905 N 8 829 N

Berechnung der Spannungen im Stahlband Leerer Wassertank:

VL

FL A

4 905 N 25 mm ˜ 4 mm

49,05 N/mm 2

Voller Wassertank:

VV

FV A

8 829 N 25 mm ˜ 4 mm

88,29 N/mm 2

b) Festigkeitsbedingung für Fließen (voller Tank)

V V d V zul SF

Re SF

Re

265 N/mm 2

Vv

88,29 N/mm 2

3,00

(ausreichend, da S F ! 1,20)

Festigkeitsbedingung für Bruch (voller Tank)

V V d V zul SB

Rm SB

470 N/mm 2 88,29 N/mm 2

Rm

Vv

5,32 (ausreichend, da S B ! 2,0)

c) Berechnung der Verlängerung der Stahlbänder infolge Befüllung (Hooke’sches Gesetz, einachsiger Spannungszustand) 'H

V V V L

88,29 N/mm 2  49,05 N/mm 2

E

210 000 N/mm 2

Mit H = 'l/l0 folgt schließlich: 'l

'H ˜ l 0

0,000187 ˜1 500 mm

0,28 mm

0,000187

9

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.4 a) Versagensmöglichkeiten: Fließen und Bruch Ermittlung der zulässigen Spannungen Fließen: V zul

Re SF

260 N/mm 2 1,5

173,3 N/mm 2

Rm 480 N/mm 2 240 N/mm 2 SB 2,0 Berechnung gegen Fließen, da kleinere zulässige Spannung.

Bruch: V zul

Festigkeitsbedingung

V d V zul Re SF

F A

m˜g

S 4

Re SF

˜d2

4 ˜ 2 500 kg ˜ 9,81 m/s 2 ˜ 1,5 S ˜ 260 N/mm 2

4 ˜ m ˜ g ˜ SF S ˜ Re

d

13,42 mm

b) Versagensmöglichkeit Bruch, da spröder Werkstoff Festigkeitsbedingung

V d V zul F A

Rm SB

m˜g

S 4 SB

˜d

Rm SB

2

S 4

S 4

˜d2 ˜

Rm m˜ g

˜ 20 mm 2 ˜

300 N/mm 2 2 500 kg ˜ 9,81 m/s 2

3,84 (nicht ausreichend, da S B  4,0)

c) Versagensmöglichkeit Bruch, da spröder Werkstoff Festigkeitsbedingung

V d V zul m˜g

S 4 m

˜d2

S 4

Rm SB ˜d2 ˜

Rm g ˜ SB

S 4

˜ 20 mm 2 ˜

300 N/mm 2 9,81 m/s 2 ˜ 4

2 402 kg

10

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.5 a) Freischneiden des Stabwerks (ohne Lagestellen)

Ermittlung des Winkels D (siehe Abbildung):

D

§ 1,8 m · ¸¸ arctan¨¨ © 2,0 m ¹

§a· arctan¨ ¸ ©b¹

41,99q

Ansetzen des Momentengleichgewichts um die Lagerstelle A liefert die Stabkraft FS: 6 MA

0:

FS ˜ sinD ˜ b FS

m ˜ g ˜ (b  c) 1500 kg ˜ 9,81 m/s 2 (2 m  1,2 m) ˜ sin 41,99q 2m

m˜g b  c ˜ sinD b

35 195 N

b) Ermittlung der Zugspannung im Stab

VS

FS A

FS

S 4

d

2 a

35 195 N

 d i2



S 4

50

2



49,8 N/mm 2

 40 2 mm 2

c) Berechnung der Dehnung bzw. der Verlängerung des Stabes mit Hilfe des Hooke‘ schen Gesetzes (einachsiger Spannungszustand) Für Stahl (E = 210 000 N/mm2): 'l VS E ˜H E ˜ mit l0 a2  b2 l0 'l

V S ˜ a 2  b2

49,8 N/mm 2 ˜ 2 000 2  1800 2 mm 2

E

210 000 N/mm 2

0,64 mm

Für die Al-Legierung (E = 70 000 N/mm2): 'l

V S ˜ a2  b2

49,8 N/mm 2 ˜ 2 000 2  1800 2 mm 2

E

70 000 N/mm 2

1,91 mm

11

2 Grundbelastungsarten

d) Bedingung für Bruch:

VS

Rm

FS Rm A m1 ˜ g b  c 1 ˜ ˜ sin D b A

Rm

Für Stahl ergibt sich damit: b S 2 R ˜sinD ˜ d a  d i2 ˜ m bc 4 g



m1



2 000 mm 510 N/mm 2 ˜ sin 41,99q S ˜ 50 2  40 2 mm 2 ˜ (2 000  1 200) mm 4 9,81 m/s 2





15 364 kg

Für die Aluminiumlegierung folgt auf analoge Weise: 2 000 mm 350 N/mm 2 ˜ sin 41,99q S ˜ 50 2  40 2 mm 2 ˜ (2 000  1 200) mm 4 9,81 m/s 2



m1



e) Versagensmöglichkeiten: Fließen und Bruch Ermittlung der zulässigen Spannungen Für die Stahlkonstruktion folgt: Fließen: V zul

Re SF

275 N/mm 2 1,5

183,3 N/mm 2

Rm 510 N/mm 2 255 N/mm 2 SB 2,0 Berechnung gegenüber Fließen, da kleinere zulässige Spannung.

Bruch: V zul

Festigkeitsbedingung

V S d V zul FS A

Re SF

m2 ˜ g b  c ˜ sinD b

S

4

S 4

˜ (d a2  d i2 )



˜ d a2  d i2



Re SF m2 ˜ g b  c S F ˜ ˜ sinD b Re

10 544 kg

12

2 Grundbelastungsarten

4 m2 ˜ g b  c S F ˜ ˜ ˜  d i2 b Re S sinD

da

4 3 250 kg ˜ 9,81 m/s 2 (2  1,2) m 1,5 ˜ ˜ ˜  40 mm 2 2 sin 41,99q 2m S 275 N/mm

46,15 mm

Damit errechnet sich die Mindestwanddicke s für die Stahlkonstruktion zu: s

da  di 2

46,15 mm  40 mm 2,0

3,07 mm

Für die Al-Konstruktion folgt: Fließen:

V zul

Bruch:

V zul

R p0,2 SF Rm SB

270 N/mm 2 1,5 350 N/mm 2 2,0

180 N/mm 2 175 N/mm 2

Berechnung gegenüber Bruch (!), da kleinere zulässige Spannung. Für den Außendurchmesser folgt in Analogie zur Stahlkonstruktion: da

2,0 4 3 250 kg ˜ 9,81 m/s 2 (2  1,2) m ˜ ˜ ˜  40 mm 2 S sin 41,99q 2m 350 N/mm 2

Damit errechnet sich die Mindestwanddicke s für die Al-Konstruktion zu: s

da  di 2

46,42 mm  40 mm 2

3,21 mm

46,42 mm

13

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.6 Freischneiden des Stabwerks (ohne Lagerstellen)

Berechnung der Dehnung H des Stahlseils

H

'l l0

'l a / cosD

0,5 mm 1500 mm / cos30q

0,000289

Berechnung der Zugspannung VS im Stahlseil mit Hilfe des Hooke’schen Gesetzes (einachsiger Spannungszustand)

VS

E ˜H

210 000 N/mm 2 ˜ 0,000289

60,62 N/mm 2

Berechnung der Seilkraft FS FS

V S ˜ A 60,62 N/mm 2 ˜100 mm 2

6 062 N

Ansetzen des Momentengleichgewichts um A ergibt die Schnittkraft F1 6MA 0: FS ˜ sinD ˜ a F1

F1 ˜ b

FS ˜ sinD ˜

a b

6 062 N ˜ sin 30q ˜

1,5 m 2,9 m

1 567,8 N

Ansetzen des Momentengleichgewichts um B liefert die Kraft F 6MB 0: F1 ˜ (d  b) F

F ˜ (d  c)

( d  b) F1 ˜ (d  c)

1 567,8 N ˜

(4,5  2,9) m (4,5  3,3) m

2 090,4 N

14

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.7 a) Fließen tritt ein, sobald die Lastspannung die Dehngrenze Rp0,2 des austenitischen Werkstoffs X6CrNiMoTi17-12-2 erreicht. Festigkeitsbedingung

V d V zul F1 Ages F1

Rp0,2 SF Rp0,2 SF

240 N/mm 2 ˜ 50 mm 2 1,4

˜ Ages

428 571 N

428,6 kN

600 000 N

600 kN

b) Bedingung für Fließen des Verbundstabes F2 Ages F2

Rp0,2 240 N/mm 2 ˜ 50 mm 2

Rp0,2 ˜ Ages

c) Berechnung der (fiktiven) Spannung Vf im Verbundstab

Vf

F3 Ages

800 000 N

320 N/mm 2

50 mm 2

Da Vf > Rp0,2 wird die Plattierung bereits plastisch verformt, während der Vierkantprofilstab noch elastisch beansprucht ist (Vf < Re). Da die Spannung in der plastifizierten Plattierung die Dehngrenze Rp0,2 nicht überschreiten kann (linear-elastisch ideal-plastisches Werkstoffverhalten), beträgt die Spannung in der Plattierung VPL = Rp0,2 = 240 N/mm2. Berechnung des von der Plattierung aufzunehmenden Anteils des Zugkraft F3 F3 PL



Rp0,2 ˜ a  2s 2  a 2

Rp0,2 ˜ APL







240 N/mm 2 ˜ 50 2  36 2 mm 2

288 960 N

Berechnung des vom Vierkantprofilstab aufzunehmenden Anteils des Zugkraft F3 F3 VK

F3  F3 PL

800 000 N - 288 960 N

511 040 N

Berechnung der Spannung im Vierkantprofilstab

V VK

F3 VK

511 040 N

AVK

36 mm 2

394,32 N/mm 2

d) Aufgrund der formschlüssigen Verbindung muss die Dehnung der Plattierung der Dehnung des Vierkantprofilstabes entsprechen. Berechnung der Spannung in der Plattierung bei einer Dehnung von HDMS

V PL

H DMS ˜ E

0,0018 ˜ 212 000 N/mm 2

381,6 N/mm 2 (! R p0,2 )

15

2 Grundbelastungsarten

Damit ist die Plattierung bereits plastifiziert. Die zur Plastifizierung der Plattierung erforderliche Kraft errechnet sich zu F = 288960 N (siehe Aufgabenteil c). Berechnung der Spannung im Vierkantprofilstab bei einer Dehnung von HDMS

V 4 VK

H DMS ˜ E

0,0018 ˜ 212 000 N/mm 2

381,6 N/mm 2 ( Re )

Damit ergibt sich die Kraft F4VK zu: F4 VK

V 4 VK ˜ 36 mm 2

494 553,6 N

Berechnung der erforderlichen Gesamtkraft F4 F4

F4 VK  FPL

494553,6 N  288 960 N

783 513,6 N

783,5 kN

16

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.8 Berechnung der Längenänderung des Seiles Die Zugkraft F wird anteilig vom Stahlkern (FK) und vom Kunststoffmantel (FM) aufgenommen. Es gilt also: F

FK  FM

E K ˜ H K ˜ AK  E M ˜ H M ˜ AM

Da Kern und Mantel fest miteinander verbunden sind, gilt HK = HM = H und damit für die Zugkraft F: 'l F E K ˜ H ˜ AK  E M ˜ H ˜ AM E K ˜ AK  E M ˜ AM ˜ l0 Damit folgt für die Längenänderung des Seiles: F ˜ l0

'l EK ˜

S 4

˜ d K2  E M ˜

S 4



˜ d 2  d K2



1 250 000 N ˜ 75 000 mm 212000 N/mm 2 ˜

S 4

˜ 50 mm 2  12500 N/mm 2 ˜

S 4

221,9 mm

˜ 56 mm - 50 mm 2

Berechnung der Zugspannung im Stahlkern

VK

EK ˜H K

EK ˜

'l l0

212 000 N/mm 2 ˜

221,9 mm 75 000 mm

Berechnung der Zugspannung im Kunststoffmantel 'l 221,9 mm V M EM ˜ H M E M ˜ 12 500 N/mm 2 ˜ l0 75 000 mm

627,2 N/mm 2

37,0 N/mm 2

17

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.9 a) Zäher Werkstoff: Versagen durch Fließen oder Knickung b) Festigkeitsbedingung (Berechnung nur gegen Fließen gemäß Aufgabenstellung)

V d d V zul V dF

F A

Re SF

|

SF

Re SF

F

S 4



˜ d a2  d i2

d a2 

di s

da  di 2



4 ˜ F ˜ SF S ˜ Re

100 mm 2  4 ˜ 120000 N ˜ 12,5 S ˜ 235 N/mm

100 mm  95 mm 2

94,99 mm | 95 mm

2,5 mm

c) Berechnung der Verkürzung mit Hilfe des Hooke’schen Gesetzes (einachsiger Spannungszustand)

Vd H 'l l0 'l

E ˜H

Vd E F A˜ E F ˜ l0

S 4

˜



d a2

 d i2

120000 N ˜ 1600 mm

˜ E

S 4



2

˜ 100  95

2

mm

2

˜ 210000 N/mm

1,19 mm 2

18

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.10 a) Freischneiden der Hebevorrichtung und Ansetzen der Festigkeitsbedingung

Ansetzen des Momentengleichgewichts um A liefert zunächst die gesuchte Beanspruchung der Kolbenstange (FK): 6 MA

0:

FK ˜ sinD ˜ a

m˜ g ˜b 10000 kg ˜ 9,81 m/s 2 3,6 m ˜ sin 70q 1,2 m

m˜g b ˜ sinD a

FK

313187,5 N

313,2 kN

Festigkeitsbedingung (Fließen):

V dp0,2

FK A

SF

SF

Rp0,2

4 ˜ FK S ˜d2 d

Rp0,2

|

SF 4 ˜ FK ˜ S F S ˜ Rp0,2

4 ˜ 313187,5 N ˜ 1,20 S ˜ 580 N/mm 2

28,7 mm

b) Berechnung der Verkürzung 'l mit Hilfe des Hooke’schen Gesetzes (einachsig)

Vd

E ˜H

FK A

E˜

'l

'l l0

Rp0,2 l0 ˜ SF E

mit

FK A

Rp0,2 SF

580 N/mm 2 1500 mm ˜ 1,20 210000 N/mm 2

3,45 mm

c) Berechnung der Querkontraktion mit Hilfe des Poisson‘schen Gesetzes

Hq

P ˜ H l

'd d1

P ˜

Vd E

19

2 Grundbelastungsarten

'd d1 'd d1

P ˜

 FK A˜ E

P

1

˜

E S ˜d2 1 4

˜

m* ˜ g ˜ b sinD ˜ a

damit folgt für die Masse m*: m*

'd E S ˜ d12 sinD ˜ a ˜ ˜ ˜ d1 P g ˜b 4 0,015 mm 210 000 N/mm 2 S ˜ (80 mm) 2 sin 70q ˜ 1,2 m ˜ ˜ ˜ 80 mm 0,30 4 9,81 m/s 2 ˜ 3,6 m

21065 kg

20

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.11 a) Ansetzen des Hooke’schen Gesetzes (einachsiger Spannungszustand) Scheibe 1 (Mg):

V d1

E1 ˜ H1

Scheibe 2 (Cu):

V d2

E2 ˜ H 2

Scheibe 3 (Stahl): V d3

E3 ˜ H 3

V d1 ˜ l1 'l1 o 'l1 l1 E1 V d2 ˜ l2 'l E2 ˜ 2 o 'l2 l2 E2 V d3 ˜ l3 'l E3 ˜ 3 o 'l3 l3 E3

E1 ˜

Es gilt: 'l

'l1  'l2  'l3 und V d1 V d2

V d3 V d

F

S ˜d2 4

damit folgt: 'l

F

V d1 ˜ l1



E1

V d2 ˜ l2 E2



V d3 ˜ l3

4˜ F S ˜d2

E3

§l l · l ˜ ¨¨ 1  2  3 ¸¸ © E1 E2 E3 ¹

S ˜ 50 mm 2 ˜ 0,25

S ˜ d 2 ˜ 'l

§ 37,5 §l 50,3 32,2 · mm l · l ¸   4 ˜ ¨¨ 1  2  3 ¸¸ 4 ˜ ¨¨ 45 000 120 000 210 000 ¸¹ N/mm 2 E E E © 2 3¹ © 1 349169,3 N | 349,2 kN

b) Spannungen in den Metallscheiben

V d1 V d2

V d3 V d

4˜ F S ˜d2

4 ˜ 349169,3 N

S ˜ 50 mm

2

177,8 N/mm 2

c) Berechnung der Verkürzungen Scheibe 1 (Mg):

'l1

Scheibe 2 (Cu):

'l2

Scheibe 3 (Stahl): 'l3 Probe: 'l

V d ˜ l1 E1

V d ˜ l2 E2

V d ˜ l3 E3

'l1  'l 2  'l 3

177,8 N/mm 2 ˜ 37,5 mm 2 45 000 N/mm 2

0,148 mm

177,8 N/mm 2 ˜ 50,3 mm 2 120 000 N/mm 2

0,075 mm

177,8 N/mm 2 ˜ 32,2 mm 2 210 000 N/mm 2

0,027 mm

0,148 mm  0,075 mm  0,027 mm

0,25 mm

21

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.12 Berechnung des maximalen Biegemomentes Mb max 6 MB = 0 FA ˜ l

3 F ˜ ˜l 4

3 ˜F 4 3 l M b max ˜F ˜ 4 4 FA

3 ˜ F ˜l 16

Berechnung der Widerstandsmomentes Wby bezüglich der y-Achse B4 b4  12 12 B 2

W by

B4 b4 6˜ B

Festigkeitsbedingung (Fließen)

V b d V zul

V bF

Mb W by

SF

3 ˜ F ˜l 16 B4 b4 6˜ B

b

4

B4 

|

Re SF

Re SF 9˜ F ˜l ˜ B ˜ SF 8 ˜ Re

4

( 100 mm) 4 

9 ˜ 25000 N ˜ 5000 mm ˜100 mm ˜1,5

69,47 mm s

B b 2

100 mm  69,47 mm 2

15,3 mm

8 ˜ 275 N/mm 2

22

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.13 a) Berechnung der Lage z des Flächenschwerpunktes S der Gesamtfläche mit Hilfe des Teilschwerpunktsatzes zS

20 mm ˜ 800 mm 2  50 mm ˜1200 mm 2

6 z i ˜ Ai 6 Ai

2000 mm 2

38 mm

Berechnung der axialen Flächenmomente der Teilflächen bezüglich der y1- bzw. y2-Achse I y1 I y2

b ˜ h 3 20 mm ˜ (40 mm) 3 106 667 mm 4 12 12 B ˜ H  h 3 60 mm ˜ (20 mm) 3 40 000 mm 4 12 12

Berechnung der axialen Flächenmomente der Teilflächen sowie der Gesamtfläche bezüglich der y-Achse durch den Gesamtflächenschwerpunkt S I yS1

2 I y1  zS1 ˜ A1

106 667 mm 4  (18 mm) 2 ˜ 800 mm 2

I yS2

2 I y2  z S2 ˜ A2

40 000 mm 4  (12 mm) 2 ˜1200 mm 2

I yS

I yS1  I yS2

365 867 mm 4  212 800 mm 4

365 867mm 4 212 800 mm 4

578 667 mm 4

Berechnung des axialen Widerstandsmomentes bezüglich der y-Achse Wby

578 667 mm 4 38 mm

I yS zmax

15 228 mm 3

b) Festigkeitsbedingung

V b d V zul M b V bF W by

SF

F ˜a W by

Re SF

SF

|

Re mit M b SF

R e ˜ W by F ˜a

M b max

F ˜a

355 N/mm 2 ˜15 228 mm 3 1000 N ˜1000 mm

5,41 (ausreichend, da S F ! 1,20)

c) Aus Aufgabenteil b) folgt: * Wby

F ˜ a ˜ SF Re

1000 N ˜ 1500 mm ˜ 1,5 355 N/mm 2

6338,0 mm 3

23

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.14 a) Berechnung des maximalen Biegemomentes Mb max F ˜l 4

F l ˜ 2 2

M b max

b) Festigkeitsbedingung

V b d V zul M b max

V bF

Wb

SF

F ˜l 4 ˜ Wb

Re SF

mit f

Re SF

mit F

48 ˜ E ˜ I ˜ f ˜ l 4 ˜Wb ˜ l

|

3

48 ˜ E ˜ I ˜ f folgt : l3

Re SF

da folgt weiterhin : 2

I Wb f max

Re ˜ l 2 6˜ E ˜ da ˜ SF

275 N/mm 2 ˜ (2500 mm) 2 6 ˜ 210000 N/mm 2 ˜100 mm ˜1,5

9,09 mm

c) Festigkeitsbedingung Mb Wb

V bB SB

|

2,5 ˜ R m SB

Mit den Umformungen aus Aufgabenteil b) folgt schließlich: f

* f max

2,5 ˜ R m ˜ l 2 6˜ E ˜ da ˜ SB

2,5 ˜ 350 N/mm 2 ˜ (2500 mm) 2 6 ˜100 000 N/mm 2 ˜100 mm ˜ 5,0

18,23 mm

24

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.15 Berechnung des maximalen Biegemomentes Mb an der Einspannstelle Mb

l 2

q ˜ g ˜l ˜

q ˜ g ˜l 2 mit q 2

80 kg/m

0,08 kg/mm

Festigkeitsbedingung

V b d V zul Mb Wb

V bF SF

q ˜ g ˜l 2 2 4 B b4 6˜ B

l

|

Re SF

Re SF

Re ˜ ( B 4  b 4 ) SF ˜3˜ q ˜ g ˜ B

355 N/mm 2 ˜ (200 4  180 4 ) mm 4 1,5 ˜ 3 ˜ 0,08 kg/mm ˜ 9,81 m/s 2 ˜ 200 mm

16 630 mm

25

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.16 a) Festigkeitsbedingung

V b d V zul Mb Wb

V bF SF

2˜m˜ g ˜l Wb Wb

|

Re SF

mit M b

2˜ m ˜ g ˜l

Re SF

2 ˜ m ˜ g ˜ l ˜ SF Re

2 ˜ 1000 kg ˜ 9,81 m/s 2 ˜ 1500 mm ˜ 1,5 295 N/mm 2

b) Festigkeitsbedingung

V b d V zul Mb Wb

V bB SB

2 ˜ m* ˜ g ˜ l

S 32 m*

˜d3

V bB SB

V bB ˜ S ˜ d 3 S B ˜ 64 ˜ g ˜ l

460 N/mm 2 ˜ S ˜ (50 mm) 3 4 ˜ 64 ˜ 9,81 m/s 2 ˜ 1500 mm

47,95 kg

14,96 ˜ 104 mm 3

26

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.17 a) Berechnung der Breite b(z) der Teilfläche dA(z) 2˜b b  ˜z h 3

b· § b 2˜¨ ˜z ¸ h 2 ˜ 3¹ ©

b( z )

Berechnung des Flächeninhaltes der Teilfläche dA(z) dA( z )

§ 2˜b b ·  ˜ z ¸ ˜ dz ¨ h ¹ © 3

b( z ) ˜ dz

Berechnung des axialen Flächenmomentes bezüglich der y-Achse durch Integration zwischen z = -1/3 h und z = 2/3 h 2

ǿy

³

2

 13

A 2

b˜

3h

³

z ˜ dA

§ 2˜b b · z2 ˜ ¨  ˜ z ¸ ˜ dz 3 h ¹ © h

3h

³

 13

§2 2 1 3· ¨ ˜ z  ˜ z ¸ ˜ dz h ¹ ©3 h 2

h

1 ª2 º 3 b ˜ « z3  ˜ z4» 4˜h ¬9 ¼  13 h

ª§ 2 8 1 16 · § 2 1 1 1 ·º b ˜ h 3 ˜ «¨ ˜  ˜ ¸»  ˜ ¸  ¨ ˜ ¬© 9 27 4 81 ¹ © 9 27 4 81 ¹¼

11 º ª 4 b ˜ h3 ˜ «  » ¬ 243 4 ˜ 243 ¼

b ˜ h3 36

Berechnung des axialen Widerstandsmomentes Wby bezüglich der y-Achse Wby

Iy z max

b ˜ h3 36 2 ˜h 3

b ˜ h2 24

3 ˜b 2 Damit folgt für das axiale Flächenmoment Iy und für das axiale Widerstandsmoment Wby:

b) Bei einem gleichseitigen Dreieck gilt: h

Iy Wby

b ˜ h3 36 b ˜ h2 24

b˜

 3 / 2 ˜ b

3

b4

36 b˜

32 3

 3 / 2 ˜ b

2

24

b3 32

27

2 Grundbelastungsarten

c) Berechnung des axialen Flächenmomentes bezüglich der y‘-Achse I y' mit zS

I y  zS2 ˜ A b˜h folgt : 2

1 ˜ h und A 3 2

I y'

b ˜ h3 § h · b ˜ h ¨ ¸ ˜ 36 2 ©3¹

b ˜ h3 b ˜ h3  36 18

b ˜ h3 12

Berechnung des axialen Widerstandsmomentes bezüglich der y‘-Achse

Wby'

I y' z max

b ˜ h3 12 h

b ˜ h2 12

28

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.18 a) Berechnung der Breite b(z) der Teilfläche dA(z) b( z ) b

konst.

Berechnung des Flächeninhaltes der Teilfläche dA(z) b ˜ dz

dA( z )

Berechnung des axialen Flächenmomentes bezüglich der y-Achse durch Integration zwischen z = -0,5˜h und z = 0,5˜h 0,5˜ h

ǿy

³z

2

˜ dA

z ˜ b ˜ dz

b˜

 0,5˜ h

A

> @

b 3 z 3

³

0,5˜ h 2

0,5˜h  0,5˜h

³z

2

˜ dz

 0,5˜ h

b ˜ h3 § 1 1 · ˜¨  ¸ 3 ©8 8¹

b ˜ h3 12

Berechnung des axialen Widerstandsmomentes Wby bezüglich der y-Achse b ˜ h3 Iy 12 b ˜ h2 Wby h z max 6 2 b) Die Berechnung des axialen Flächenmomentes bezüglich der z-Achse Die Berechnung erfolgt analog zu Aufgabenteil a). Man erhält: ǿz

h ˜ b 3 und 12

Wbz

h ˜ b2 6

29

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.19 Eine direkte Transformation des axialen Flächenmomentes Iya bezüglich der ya-Achse auf die yb-Achse mit Hilfe des Steiner‘schen Satzes ist nicht zulässig. Vielmehr muss als Zwischenschritt das axiale Flächenmoment bezüglich der Achse durch den Schwerpunkt (y-Achse) berechnet werden. Berechnung des axiales Flächenmomentes bezüglich der y-Achse (Iy) Iy

I ya  a 2 ˜ A

2 664 cm 4  (5 cm) 2 ˜ 72 cm 2

864 cm 4

Berechnung des axiales Flächenmomentes bezüglich der yb-Achse (Iyb) I yb

I y  b 2 ˜ A 864 cm 4  (2 cm) 2 ˜ 72 cm 2

1 152 cm 4

30

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.20 a) Berechnung der z-Koordinate des Flächenschwerpunktes mit Hilfe des Teilschwerpunktsatzes zS

6 zi ˜ Ai 6 Ai

50 mm ˜ 2 000 mm 2  10 mm ˜ 800 mm 2  50 mm ˜ 2 000 mm 2 2000 mm 2  800 mm 2  2 000 mm 2

43,33 mm

b) Berechnung der axialen Flächenmomente 2. Ordnung der Teilflächen bezüglich der Einzelschwerpunktachsen I y1 I y2 I y3

20 mm ˜ (100 mm)3 1666 667 mm 4 12 40 mm ˜ (20 mm)3 26 667 mm 4 12 20 mm ˜ (100 mm)3 1 666 667 mm 4 12

Berechnung der axialen Flächenmomente 2. Ordnung der Teilflächen bezüglich der y-Achse durch den Gesamtflächenschwerpunkt S I yS1 1 666 667 mm 4  (6,67 mm) 2 ˜ 2 000 mm 2 I yS2

26 667 mm 4  (-33,33 mm)2 ˜ 800 mm 2

I yS3

I yS1 1755 556 mm 4

1755 556 mm 4 915 556 mm 4

Das axiale Flächenmoment 2. Ordnung der Querschnittfläche bezüglich der y-Achse ergibt sich dann zu: I yS

I yS1  I yS2  I yS3 1 755 556 mm 4  915 556 mm 4  1 755 556 mm 4 4 426 667 mm 4

31

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.21 Festlegung der Teilflächen

a) Berechnung des axialen Flächenmomentes 2. Ordnung bezüglich der y-Achse Axiales Flächenmoment 2. Ordnung von Teilfläche 1 bezüglich der y-Achse: I yS1

14 cm ˜ (14 cm)3 12

3 201,3 cm 4

Axiales Flächenmoment 2. Ordnung von Teilfläche 2 bezüglich der y-Achse: I yS2

10 cm ˜ (6 cm)3 12

180 cm 4

Axiales Flächenmoment 2. Ordnung von Teilfläche 3 bezüglich der y3-Achse: I y3

10 cm ˜ (2 cm)3 12

6,6 cm 4

Axiales Flächenmoment 2. Ordnung von Teilfläche 3 bezüglich der y-Achse: I yS3

2 I y3  zS3 ˜ A3

6,6 cm 4  (6 cm) 2 ˜ 20 cm 2

726,6 cm 4

Axiales Flächenmoment der Gesamtfläche bezüglich der y-Achse: I yS

I yS1  I yS2  2 ˜ I yS3

3201,3 cm 4  180 cm 4  2 ˜ 726,6 cm 4

1 568 cm 4

Berechnung des axialen Widerstandsmomentes bezüglich der y-Achse Wby S

I yS z max

1568 cm 4 7 cm

224 cm 3

b) Berechnung des axialen Flächenmomentes 2. Ordnung bezüglich der z-Achse Axiales Flächenmoment 2. Ordnung von Teilfläche 1 bezüglich der z-Achse: I zS1

14 cm ˜ (14 cm)3 12

3 201,3 cm 4

32

2 Grundbelastungsarten

Axiales Flächenmoment 2. Ordnung von Teilfläche 2 bezüglich der z-Achse: 6 cm ˜ (10 cm)3 500 cm 4 12 Axiales Flächenmoment 2. Ordnung von Teilfläche 3 bezüglich der z-Achse: I zS2

I zS3

2 cm ˜ (10 cm)3 12

166,6 cm 4

Axiales Flächenmoment der Gesamtfläche bezüglich der z-Achse: I zS

I zS1  I zS2  2 ˜ I zS3

3201,3 cm 4  500 cm 4  2 ˜ 166,6 cm 4

2 368 cm 4

Berechnung des axialen Widerstandsmomentes bezüglich der z-Achse Wbz S

I zS y max

2 368 cm 4 7 cm

338,3 cm 3

33

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.22 a) Berechnung des Flächenschwerpunktes (Teilschwerpunktsatz)

zS

z1 ˜ A1  z 2 ˜ A2 A1  A2

22,5 mm ˜ 3600 mm 2  25,5 mm ˜ 2652 mm 2 3600 mm 2  2652 mm 2

14,11 mm

Berechnung des axialen Flächenmomentes 2. Ordnung bezüglich der y-Achse Iy

80 mm ˜ 45 mm 3  8,39 mm 2 ˜ 3600 mm 2 12 § 68 mm ˜ 39 mm 3 · ¨  11,39 mm 2 ˜ 2652 mm 2 ¸ 180 721 mm 4 ¨ ¸ 12 © ¹

b) Spannungsverlauf über die Querschnittfläche

mit V Z

F A

und V b ( z )

Mb ˜z Iy

Die außerhalb des Flächenschwerpunktes S angreifende Zugkraft F kann ersetzt werden durch eine im Flächenschwerpunkt angreifende Kraft F mit demselben Betrag und ein Biegemoment Mb = F ˜ zS. Die höchsten Spannungen treten entweder am unteren Ende (Abstand zS von der y-Achse) oder am oberen Ende (Abstand z*S von der y-Achse) auf. Beide Stellen sollen überprüft werden, wenngleich die obige Skizze die Vermutung nahe legt, dass sich die kritische Stelle am unteren Ende (Abstand zS von der Biegeachse) befindet.

34

2 Grundbelastungsarten

Berechnung der Spannung am unteren Ende der Querschnittfläche (Abstand zS von der y-Achse) § 1 z2 · F F ˜ zS F Mb  ˜ zS  ˜ zS F ˜ ¨  S ¸ VU Vz Vb ¨ A Iy ¸ A Iy A Iy © ¹ Festigkeitsbedingung:

VU

V zul

Damit folgt für die zulässige Zugkraft F am unteren Ende der Querschnittfläche (Fließen soll nicht eintreten): F

V zul zS2

1  A Iy

150 N/mm 2

14,11 mm 2 1  948 mm 2 180 721 mm 4

69 568 N

69,6 kN

Berechnung der Spannung am oberen Ende der Querschnittfläche (Abstand zS von der y-Achse) §1 z · F M b * F F ˜ zS * VO Vz Vb  ˜ zS  ˜ zS F ˜ ¨  S ˜ zS* ¸ ¨ ¸ A Iy A Iy © A Iy ¹ Festigkeitsbedingung:

VO

 V zul

Damit folgt für die zulässige Zugkraft F am oberen Ende der Querschnittfläche (Fließen soll nicht eintreten): F

 V zul 1 zS ˜ zS*  A Iy

 150 N/mm 2 1 14,11 mm ˜ 30,89 mm  2 948 mm 180 721 mm 4

110 562,7 N

110,6 kN

Die Beanspruchung ist damit auf F = 69,6 kN zu beschränken. Eine Erhöhung der Zugkraft führt zuerst am unteren Ende der Querschnittfläche zu einer Überschreitung der zulässigen Beanspruchung. c) Verlauf des Biegemomentes

35

2 Grundbelastungsarten

Die höchst beanspruchte Stelle befindet sich an der Lagerstelle B und dort am oberen Ende der Querschnittfläche (Abstand z*S von der y-Achse). Berechnung der maximalen Spannung an der Stelle B

VB

F ˜ cos D M b max *  ˜ zS A Iy

Vz Vb

F ˜ cos D F ˜ sin D ˜ l1 *  ˜ zS A Iy

§ cos D sin D ˜ l1 * ·  ˜ zS ¸ F ˜¨ ¨ A ¸ Iy © ¹

Festigkeitsbedingung

V B d V zul F

Rp0,2 SF Rp0,2

280 N/mm 2

§ cos D sin D ˜ l1 * ·  ˜ zS ¸ SF ˜ ¨ ¨ A ¸ I y © ¹ 12 117,7 N 12,1 kN

§ cos 25q sin 25q ˜ 200 mm ˜ 30,89 mm ·¸  1,5 ˜ ¨¨ 2 ¸ 180 721 mm 4 © 948 mm ¹

36

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.23 a) Berechnung der Schubspannung Wa (zweischnittige Scherfläche)

Wa

F 2˜ A

2˜ F

F 2˜

S

˜d 4 Festigkeitsbedingung

2

S ˜d2

W a d W zul W aB

2˜ F

S ˜d

2

SB

Damit folgt für den Durchmesser d des Bolzens: d

2˜ F ˜ SB S ˜W aB

2 ˜ 35 000 N ˜ 2,0

S ˜150 N/mm 2

17,24 mm

b) Auf den Bolzen wirkt eine Streckenlast, die durch jeweils mittig angreifende Einzelkräfte ersetzt werden kann (siehe Abbildung).

Damit ergibt sich für das Biegemoment Mb sowie die maximale Biegespannung Vb: Mb

Vb

F ˜b 2

Mb Wb

b ˜F 2

S 32

˜d

16 ˜ F ˜ b 3

S ˜d

3

16 ˜ 35 000 N ˜ 20 mm

S ˜ 17,24 mm 3

696,2 N/mm 2 ! R e

Man erkennt, dass unter den gegebenen Annahmen, die Biegespannung in einer Laschenverbindung weitaus höhere Werte annehmen kann, im Vergleich zur Abscherspannung. c) Die maximale Flächenpressung p herrscht in der mittleren Lasche: p

F b˜d

35 000 N 20 mm ˜17,24 mm

101,5 N/mm 2

37

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.24 a) Berechnung der Schubspannung Wa (zweischnittige Scherfläche) F 2˜ A

Wa

2˜ F

F 2˜

S 4

˜d

2

S ˜d 2

Festigkeitsbedingung

W a d W zul W aB

0,8 ˜ R m

0,8 ˜ 580 N/mm 2

464 N/mm 2 (gewählt)

Damit folgt für die Sicherheit gegen Bruch:

W aB

2˜ F

S ˜d SB

2

SB

W aB ˜

S ˜d 2

464 N/mm 2 ˜

2˜ F

S ˜ 25 mm 2 2 ˜150 000 N

3,04 (ausreichend, da S B t 2,0)

b) Berechnung der Klebefläche AK AK

d K ˜S ˜ lK

mit d K

60 mm

Berechnung der Klebelänge lK

W zul ˜ A F Festigkeitsbedingung

W  W K zul F AK

W K zul

F d K ˜S ˜ lK lK

W K zul

F W zul ˜ d K ˜ S

150 000 N 15 N/mm 2 ˜ 60 mm ˜ S

53,1 mm

38

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.25 Berechnung der Schubspannung Wa im Zapfen (einschnittige Scherfläche)

Wa

FA / 4 b˜h

Festigkeitsbedingung

W a d W zul FA / 4 b˜h

W aB SB

W aB

0,8 ˜ R m

0,8 ˜ 750 N/mm 2

Damit folgt für die Höhe h des Zapfens: h

FA ˜ S B 4 ˜ b ˜W aB

2 000 000 N ˜ 2,5 4 ˜ 80 mm ˜ 600 N/mm 2

26,0 mm

600 N/mm 2 (gewählt)

39

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.26 Berechnung der abzuscherenden Fläche AS

3 mm ˜ 4 ˜ (20 mm  10 mm  10 mm  25 mm)

780 mm 2

Berechnung der Stanzkraft FS

W a t W aB FS AS

W aB

FS

W aB ˜ AS

290 N/mm 2 ˜ 780 mm 2

226 200 N

226,2 kN

40

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.27 Es kann angenommen werden, dass beide Nieten gleichmäßig mit FZ/2 belastet werden. Festigkeitsbedingung (zweischnittige Scherfläche)

V d V zul FZ / 2 2˜ A

4˜ d

W aB SB

FZ

W aB

S

SB

4

˜d 2

FZ ˜ S B S ˜W aB

100 000 N ˜ 3,5

S ˜ 290 N/mm 2

19,60 mm

41

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.28 Berechnung der Schubspannung Wa im Niet (einschnittige Scherfläche)

Wa

FZ A

4 ˜ FZ

FZ

S 4

˜d

2

S ˜d 2

Festigkeitsbedingung

W a d W zul 4 ˜ FZ

W aB

2

SB

4 ˜ FZ

W aB

2

SB

S ˜d S ˜d d

4 ˜ FZ ˜ S B S ˜W aB

4 ˜ 50 000 N ˜ 3,0

S ˜ 380 N/mm 2

22,42 mm

42

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.29 a)

b) Versagensmöglichkeiten: Fließen und Bruch Ermittlung der zulässigen Spannungen Fließen: V zul Bruch:

V zul

W tF

295 N/mm 2 2 ˜1,20

Re 2˜ SF

SF

122,9 N/mm 2

0,5 ˜ R m  140 N/mm 2 SB

W tB SB

0,5 ˜ 490 N/mm 2  140 N/mm 2 2,0

192,5 N/mm 2

Berechnung gegenüber Fließen, da kleinere zulässige Spannung. Festigkeitsbedingung (Fließen)

W t d W t zul Mt Wt

W tF

Mt

Wt ˜

SF

W tF

S d a4  d i4

SF

16

˜

2 010 349 Nmm

da

˜

Re 2 ˜ SF

S (50 4  384 ) mm 4 295 N/mm 2 16

˜

50 mm

2010 Nm

c) Berechnung der maximalen Schubspannung Wt

Wt

Mt Wt

W tF SF

Re 2 ˜ SF

295 N/mm 2 2 ˜1,20

122,9 N/mm 2

˜

2 ˜ 1,20

43

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.30 a) Berechnung des Torsionsmomentes Mt c Mt 4˜ F ˜ 4 ˜ 900 N ˜ 350 mm 1 260 000 Nmm 2 Festigkeitsbedingung (Fließen)

W t d W t zul M t W tF Re Wt SF 2 ˜ SF Mt Re S 3 2 ˜ SF ˜d 16

d

3

16 2 ˜ M t ˜ S F ˜ S Re

3

16 2 ˜ 1 260 000 Nmm ˜ 2,0 ˜ S 295 N/mm 2

44,31 mm

b) Festigkeitsbedingung (Bruch)

W t d W t zul W tB

Mt Wt d*

SB 3

Rm SB

16 M t ˜ S B ˜ S Rm

3

16 1 260 000 Nmm ˜ 5,0 ˜ S 300 N/mm 2

47,47 mm

c) Berechnung der Verdrehwinkel M S275JR: Mt ˜l M t ˜l 1 260 000 Nmm ˜ 2000 mm M S 4 210 000 N/mm 2 S E G ˜ ǿp ˜ d ˜ 44,31 mm 4 2 ˜ (1  P ) 32 2 ˜ (1  0,30) 32

M

4,72q

EN-GJL-300: Mt ˜l M G ˜ ǿp

M

0,0824

6,58q

Mt ˜l

S E ˜ d4 2 ˜ (1  P ) 32

1 260 000 Nmm ˜ 2000 mm 110 000 N/mm 2 S ˜ 47,47 mm 4 2 ˜ (1  0,25) 32

0,1149

44

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.31 a) Berechnung der Verdrehwinkel M1, M2 und M3 für die einzelnen Abschnitte des Stabes M t ˜ a1 S 4 mit ǿ p1 d a  d i4 1. Abschnitt: M1 G ˜ ǿ p1 32



S

2. Abschnitt: M 2

M t ˜ a2 mit ǿ p2 G ˜ ǿ p2

32

3. Abschnitt: M3

M t ˜ a3 G ˜ ǿ p3

32

mit ǿ p3

S



˜ d a4 ˜d4

Für den gesamten Verdrehwinkel Mges gilt dann: Mt G

§a a · a ˜¨ 1  2  3 ¸ ¨ ǿ p1 ǿ p2 ǿ p3 ¸ © ¹

a · Mt 32 § a a ˜ ˜ ¨¨ 4 1 4  24  34 ¸¸ E / 2 ˜ 1  P S © d a  d i da d ¹

M ges

M1 M 2M 3

M ges

§ a a · 64 ˜ 1  P a ˜ F ˜ c ˜ ¨¨ 4 1 4  24  34 ¸¸ E ˜S da d ¹ © da  di

F

F

M ges ˜ E ˜ S 1 ˜ 64 ˜ 1  P ˜ c § a1 a2 a3 ·¸ ¨ ¨ d4  d4  d4  d4 ¸ i a ¹ © a 2,5q ˜ S 205 000 N/mm 2 ˜ S ˜ ˜ 180q 64 ˜ 1  0,30 ˜ 80 mm

1 50 mm 25 mm 65 mm   4 4 4 4 (40  15 ) mm 40 mm 25 mm 4

21 530 N

b) Ermittlung der Torsionsfließgrenze

W tF

Rp0,2

1140 N/mm 2 2

2

570 N/mm 2

Berechnung der Sicherheiten gegen Fließen in den einzelnen Abschnitten Mt F ˜c 21530 N ˜ 80 mm 139,8 N/mm 2 1. Abschnitt: W t1 4 4 4 4 4 Wt1 S d a  d i ʌ (40  15 ) mm ˜ ˜ 16 40 mm da 16 S F1

W tF W t1

570 N/mm 2 139,8 N/mm 2

2. Abschnitt: W t2

Mt Wt2

S F2

W tF W t2

21530 N ˜ 80 mm 137,1 N/mm 2 ʌ ˜ d a3 ˜ 403 mm3 16 16 570 N/mm 2 4,16 (ausreichend, da SF2 t 1,20) 137,1 N/mm 2

F ˜c

S

4,08 (ausreichend, da SF1 t 1,20)

45

2 Grundbelastungsarten

3. Abschnitt: W t3

S F3

Mt Wt3

W tF W t3

F ˜c

21530 N ˜ 80 mm 561,4 N/mm 2 ʌ 3 3 ˜d ˜ 25 16 16 570 N/mm 2 1,02 (nicht ausreichend, da S F  1,20) 561,4 N/mm 2

S

46

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.32 a) Berechnung des polaren Flächenmomentes Ip für einen Vollkreisquerschnitt

ǿp

³r

2

dA mit dA

2 ˜ S ˜ r ˜ dr

A

R

R

ǿp

³

3

2 ˜ S r dr 0

ªr4 º 2S ˜ « » «¬ 4 »¼ 0

S 2

˜ R4

S §d ·

4

ʌ ˜d4 32

˜¨ ¸ 2 ©2¹

Berechnung des polaren Widerstandsmomentes Wt für einen Vollkreisquerschnitt Wt

ǿp

ǿp

R

d 2

ʌ 3 ˜d 16

b) Berechnung des polaren Flächenmomentes Ip für einen Kreisringquerschnitt

ra

ǿp

r

2 ˜ S r 3 dr

³

ri

ªr4 º a 2S ˜ « » ¬« 4 ¼» ri

S 2



˜ ra4  ri4





ʌ ˜ d a4  d i4 32



Berechnung des polaren Widerstandsmomentes Wp für einen Kreisringquerschnitt Wt

ǿp da 2

ʌ d a4  d i4 ˜ 16 da

47

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.33 a) Ermittlung des Zusammenhangs zwischen den Torsionsmomenten Mt1 und Mt2 Schneidet man die beiden Zahnräder frei, dann muss infolge des Kräftegleichgewichts an beiden Zahnrädern die Schnittkraft Fz wirken. Es gilt daher: D2 2

M t2

FZ ˜

FZ

2 ˜ M t2 D2

und D FZ ˜ 1 2

M t1

2 ˜ M t2 D1 ˜ D2 2

M t2 ˜

D1 D2

b) Berechnung des Verdrehwinkels M1 aufgrund von Mt1 für die Welle 1 (Minuszeichen, da Drehrichtung im mathematisch negativen Sinn)

M1 mit G

M1

 M t1 ˜ l1 G ˜ I p1 E und I p1 2 ˜ (1  P ) 

S 32

˜ d14 folgt:

M t1 ˜ l1

S E ˜ ˜ d14 2 ˜ (1  P ) 32

Berechnung des Verdrehwinkels M‘2 von Welle 2 durch Abwälzen der beiden Zahnräder Verdreht sich die Welle 1 um den Winkel M1, dann wird auf Zahnrad 1 die Bogenlänge s1 abgewälzt: s1

D1 ˜ S ˜

M1 360q

Da auf beiden Zahnrädern die abgewälzten Bogenlängen gleich sein müssen, wird die Bogenlänge s1 auch auf Zahnrad 2 abgewälzt. Es gilt daher: s2

D2 ˜ S ˜

M´2 360q

 s1

Es ist zu berücksichtigen, dass die Verdrehwinkel M1 und M‘2 gegensinnig sind (daher das Minuszeichen). Damit folgt für den Verdrehwinkel M‘2:

48

2 Grundbelastungsarten

D2 ˜

M´2

S

S § · ˜ M´2 ¨ D1 ˜ ˜ M1 ¸ 180q © ¹ D M1 ˜ 1 D2

180q

Berechnung des Verdrehwinkels M2 aufgrund von Mt2 für die Welle 2 (Drehrichtung im mathematisch positiven Sinn)

M2

M t2 ˜ l2 G ˜ I p2

mit G

M2

E und I p2 2 ˜ (1  P )

S 32

˜ d 24

folgt:

M t2 ˜ l2 S E ˜ ˜ d 24 2 ˜ (1  P ) 32

Berechnung des gesamten Verdrehwinkels MS von Welle 2 Dem Winkel M‘2 überlagert sich (gleichsinnig) der Winkel M2 infolge elastischer Verdrehung von Welle 2 durch das Torsionsmoment Mt2. Für den gesamten Verdrehwinkel MS der Seilrolle folgt damit:

MS M´2  M 2 M1 ˜

D1  M2 D2

M t1 ˜ l1 M t2 ˜ l2 D ˜ 1  E E S S ˜ ˜ d 24 ˜ ˜ d14 D2 2 ˜ (1  P ) 32 2 ˜ (1  P ) 32 64 ˜ 1  P §¨ M t1 ˜ l1 D1 M t2 ˜ l2 ·¸ ˜¨ ˜  4 E ˜S D2 d 24 ¸¹ © d1

mit M t1

MS M t2

M t2 ˜

D1 folgt: D2

§ l D2 l · 64 ˜ 1  P ˜ M t2 ˜ ¨¨ 14 ˜ 12  24 ¸¸ E ˜S © d1 D2 d 2 ¹ E ˜S ˜ MS § l1 D12 l2 · 64 ˜ 1  P ˜ ¨¨ 4 ˜ 2  4 ¸¸ © d1 D2 d 2 ¹ 205 000 N/mm 2 ˜ S

S

˜ ˜ 3q § 100 mm § 50 mm · 2 200 mm · 180q ¸ ¸  ˜¨ 64 ˜ 1  0,30 ˜ ¨ 4 ¸ ¨ 25 mm 4 ¨© 100 mm ¸¹  35 mm © ¹ 2 054 475 Nmm 2 054 Nm

49

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.34 Berechnung des Durchmessers der Drehstabfeder in Abhängigkeit der Koordinate x d ( x)

D· § Dd 2˜¨ ˜x ¸ 2¹ © 2˜l

dD ˜xD l

Berechnung des polaren Flächenmomentes Ip(x) in Abhängigkeit der Koordinate x I p ( x)

S 32

˜ d 4 ( x)

S §d D

˜¨ 32 ©

l

· ˜ x  D¸ ¹

4

Die Drehstabfeder kann man sich aus Scheiben der Länge (Dicke) dx zusammengesetzt denken. Jedes Scheibenelement erfährt dabei den Verdrehwinkel dM : M t ˜ dx G ˜ I p ( x)

dM

Der gesamte Verdrehwinkel ergibt sich durch Integration über die gesamte Stablänge l: M

³

dM

0

M

³ 0

M

dM

Mt G Mt G

l

³I 0

1 ˜dx p ( x)

l

³S 0

l

dx

§d D · ˜¨ ˜ x  D¸ 32 © l ¹

4

4

32 ˜ M t G ˜S

³

32 ˜ M t G ˜S

3 § · ª§ d  D 1 · º ¸¸ ˜ «¨ ˜ ¨¨  ˜ x  D¸ » ¹ »¼ © 3 ˜ (d  D) / l ¹ «¬© l 0

0

§d D · ˜ x  D¸ ¨ © l ¹

˜ dx l

M

3 ª §d D 32 ˜ M t ˜ l · º ˜ «1 / ¨ ˜ x  D¸ » 3 ˜ G ˜ S ˜ ( D  d ) «¬ © l ¹ »¼

32 ˜ M t ˜ l 1 · § 1 ˜¨ 3  3 ¸ 3 ˜ G ˜ S ˜ (D  d ) © d D ¹

l

0

50

2 Grundbelastungsarten

Damit folgt für das Torsionsmoment Mt: Mt

3 ˜ G ˜ S ˜ (D  d ) ˜M 1 · § 1 32 ˜ l ˜ ¨ 3  3 ¸ D ¹ ©d

3 ˜ S ˜ E ˜ (D  d ) 1 § 1 64 ˜ 1  P ˜ l ˜ ¨ 3  3 D ©d

3 ˜ S ˜ 205 000 N/mm 2 ˜ (50  40) mm § 1 1  64 ˜ 1  0,30 ˜ 2 000 mm ˜ ¨ ¨ 40 mm 3 50 mm 3 © 1328860 Nmm 1328,9 Nm

· ¸ ¹

˜M

S

˜ ˜ 5q · 180q ¸ ¸ ¹

51

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.35 Berechnung der zulässigen Torsionsmomente in den einzelnen Abschnitten Festigkeitsbedingung für Abschnitt 1 (Stahl):

W t d W t zul W tF

M t1 Wt1

SF Re1 S ˜ ˜ d13 2 ˜ S F 16

M t1

240 N/mm 2 S ˜ ˜ 30 mm 3 2 ˜ 1,5 16

424115 Nmm

424,1 Nm

474129 Nmm

474,1 Nm

Festigkeitsbedingung für Abschnitt 2 (Kupferlegierung): Re2 S ˜ ˜ d 23 2 ˜ S F 16

M t2

330 N/mm 2 S ˜ ˜ 28 mm 3 2 ˜ 1,5 16

Festigkeitsbedingung für Abschnitt 3 (Aluminiumlegierung): Re3 S ˜ ˜ d 33 2 ˜ S F 16

M t3

350 N/mm 2 S ˜ ˜ 26 mm 3 2 ˜ 1,5 16

402 621 Nmm

402,6 Nm

Das zulässige Torsionsmoment Mt zul beträgt damit: M t zul

M t3

402,6 Nm

Berechnung des Verdrehwinkels M der Welle unter der Wirkung von Mt zul Verdrehwinkel M1 für Abschnitt 1:

M1

M t zul ˜ l1

M t zul ˜ l1

402 621 Nmm ˜ 40 mm

G1 ˜ I p1

E1 S ˜ ˜ d14 2 ˜ 1  P1 32

210 000 N/mm 2 ʌ ˜ ˜ 30 mm 4 2 ˜ 1  0,30 32

0,00251

0,144q

Verdrehwinkel M2 für Abschnitt 2:

M2

M t zul ˜ l 2

402 621 Nmm ˜ 30 mm

E2 S ˜ ˜ d 24 2 ˜ 1  P 2 32

108 000 N/mm 2 ʌ ˜ ˜ 28 mm 4 2 ˜ 1  0,34 32

0,00497

0,285q

Verdrehwinkel M3 für Abschnitt 3:

M3

M t zul ˜ l3

402 621 Nmm ˜ 50 mm

E3 S ˜ ˜ d 34 2 ˜ 1  P 3 32

68 000 N/mm 2 ʌ ˜ ˜ 26 mm 4 2 ˜ 1  0,33 32

Der gesamte zulässige Verdrehwinkel ergibt sich dann zu:

M zul

M1  M 2  M 3

0,144q  0,285q  1,006q

1,435q

0,0176 1,006q

52

3 Spannungszustand 3.1 Formelsammlung zum Spannungszustand Einachsiger Spannungszustand

VM

WM

V 2

V 2

˜ 1  cos 2M

Normalspannungskomponente senkrecht zur Schnittebene E

Schubspannungskomponente in der Schnittebene E

˜ sin 2M

2

V· § 2 ¨V M  ¸  W M 2¹ ©

§V · ¨ ¸ ©2¹

2

Gleichung Mohr’scher Spannungskreis

Zweiachsiger Spannungszustand Normalspannungskomponente senkrecht zur Schnittebene E

VM

Vx Vy 2



Vx Vy 2

˜ cos 2M  W xy ˜ sin 2M

Schubspannungskomponente in der Schnittebene E

WM

Vx Vy 2

˜ sin 2M  W xy˜ cos 2M

Gleichung des Mohr’schen Spannungskreises 2

V Vy · § ¸  W M2 ¨V M  x ¸ ¨ 2 ¹ ©

2

§Vx Vy · 2 ¸  W xy ¨ ¸ ¨ 2 ¹ ©

Hinweis: Eine Schubspannung ist positiv (negativ) anzusetzen, falls bei Blick in Richtung der Schubspannung die zugehörige Schnittebene rechts (links) von der Schubspannung liegt.

V H1

V H2

Vx Vy 2

Vx Vy 2

2

§Vx Vy  ¨¨ 2 ©

· 2 ¸  W xy ¸ ¹

§Vx Vy  ¨¨ 2 ©

· 2 ¸  W xy ¸ ¹

Berechnung der Hauptnormalspannung

2

Berechnung der Hauptnormalspannung

53

3 Spannungszustand

Berechnung der maximalen Schubspannung

§Vx Vy r ¨¨ 2 ©

W max

2

· 2 ¸  W xy ¸ ¹

r

V H1  V H2 2

Richtungswinkel zwischen der x-Achse und der ersten oder der zweiten Hauptspannungsrichtung

§  2 ˜W xy 1 ˜ arctan¨ ¨ V x V y 2 ©

M1;2

M 2;1 M1;2 

· ¸ ¸ ¹

S 2

Dreiachsiger Spannungszustand

S

§V x ¨ ¨W xy ¨¨ © W xz

W xy W xz · ¸ V y W yz ¸ ¸ W yz V z ¸¹

Spannungstensor

Betrag der Normalspannungskomponente in beliebiger (räumlicher) Schnittrichtung

V

V x ˜ cos 2 D  V y ˜ cos 2 E  V z ˜ cos 2 J



 2 ˜ W xy ˜ cos D ˜ cos E  W yz ˜ cos E ˜ cos J  W xz ˜ cos J ˜ cos D



Betrag der Schubspannungskomponente in beliebiger (räumlicher) Schnittrichtung

W

s2  V 2

& mit s

& S ˜n

& und n

§ cos D · ¨ ¸ ¨ cos E ¸ ¨ cos J ¸ © ¹

54

3 Spannungszustand

3.2 Lösungen zu den Übungsaufgaben Lösung zu Aufgabe 3.1 a) Eintragen des Bildpunktes Px (Vx | Wxy) und des Bildpunktes Py (Vy | Wyx) in das V-W-Koordinatensystem unter Beachtung der speziellen Vorzeichenregelung für Schubspannungen. Bildpunkt Px repräsentiert die Spannungskomponenten in der Schnittebene mit der x-Achse als Normalenvektor. Bildpunkt Py repräsentiert die Spannungskomponenten in der Schnittebene mit der y-Achse als Normalenvektor. Da die beiden Schnittebenen einen Winkel von 90° zueinander einschließen, müssen die Bildpunkte Px und Py auf einem Kreisdurchmesser liegen. Die Strecke PxPy schneidet die V-Achse im Kreismittelpunkt VM. Kreis um VM durch die Bildpunkte Px oder Py ist der gesuchte Mohr’sche Spannungskreis (siehe Abbildung). Berechnung von Mittelpunkt und Radius des Mohr‘schen Spannungskreises

VM R

Vx Vy

200 N/mm 2  100 N/mm 2 2

2 §Vx V y ¨ ¨ 2 ©

2

· ¸  W t2 ¸ ¹

150 N/mm 2

2

§ 200  100 · ¨ ¸  75 2 N/mm 2 2 © ¹

90,1 N/mm 2

b) Berechnung der Hauptnormalspannungen VH1 und VH2

V H1 V M  R 150 N/mm 2  90,1 N/mm 2 V H2

V M  R 150 N/mm 2  90,1 N/mm 2

240,1 N/mm 2 59,9 N/mm 2

Berechnung der Richtungswinkel M1 und M2 zwischen der x-Achse und den Hauptrichtungen

M1;2

§  2 ˜ W xy · 1 ¸ ˜ arctan¨ ¨Vx Vy ¸ 2 © ¹

· § 1  2 ˜ 75 N/mm 2 ¸ ˜ arctan¨ ¨ 200 N/mm 2  100 N/mm 2 ¸ 2 ¹ ©

28,2q

Der errechnete Winkel M kann der Richtungswinkel zwischen der ersten oder der zweiten Hauptrichtung sein. Eine Entscheidung ist mit Hilfe von Tabelle 3.1 (siehe Lehrbuch) möglich. Da es sich um Fall 1 (Vx > Vy und Wxy > 0) handelt, ist M der Richtungswinkel zwischen der x-Richtung und der ersten Hauptspannungsrichtung (dies geht entsprechend auch aus dem Mohr'schen Spannungskreis hervor). Es gilt also:

M1

28,15q

55

3 Spannungszustand

Für den Richtungswinkel M2 folgt dann:

M2

M1  90q 28,2q  90q 61,85q

c) Berechnung der Spannungskomponenten VM und WM in der Schnittebene E, deren Normalenvektor zur x-Richtung den Winkel M = 30° einschließt Die gesuchten Spannungskomponenten in der Schnittebene E erhält man aus dem Mohr‘schen Spannungskreis, indem man ausgehend vom Bildpunkt Px den doppelten Richtungswinkel (2˜30°) mit dem Lageplan entsprechendem Drehsinn anträgt (Bildpunkt PE). Die Koordinaten des Bildpunktes PE sind die gesuchten Spannungen VM und WM in der Schnittebene E. Berechnung des Winkels E :

E

180q  2 ˜ M1  2 ˜ 30q 180q  2 ˜ 28,15q  2 ˜ 30q

63,7q

Berechnung der Spannungskomponenten VM und WM:

VM

V M  R ˜ cos E

WM

R ˜ sin E

150 N/mm 2  90,1 N/mm 2 ˜ cos 63,7q 110,0 N/mm 2

90,1 N/mm 2 ˜ sin 63,7q

80,8 N/mm 2

56

3 Spannungszustand

Lösung zu Aufgabe 3.2 a) Berechnung der Lastspannungen an der höchst beanspruchten Stelle (Außenrand)

Vz

F A

F

S 4

Wt

Mt Wt

˜



d a2

425 000 N  d i2



S 4

Mt § S ¨ d a4  d i4 ·¸ ˜ 16 ¨© d a ¸¹



2

˜ 100  80

2

mm

150,3 N/mm 2 2

9 250 000 Nmm § S ¨ 100 4  80 4 ·¸ ˜ mm3 ¸ 16 ¨© 100 ¹

79,8 N/mm 2

Konstruktion des Mohr’scher Spannungskreises Eintragen der Bildpunkte Px (Vz | -Wt) und Py (0 | Wt) in das V-W-Koordinatensystem unter Beachtung der speziellen Vorzeichenregelung für Schubspannungen. Bildpunkt Px repräsentiert die Spannungskomponenten in der Schnittebene mit der x-Achse als Normalenvektor. Der Bildpunkt Py repräsentiert die Spannungskomponenten in der Schnittebene mit der y-Achse als Normalenvektor. Da die beiden Schnittebenen einen Winkel von 90° zueinander einschließen, müssen die Bildpunkte Px und Py auf einem Kreisdurchmesser liegen. Die Strecke PxPy schneidet die V-Achse im Kreismittelpunkt VM. Kreis um VM durch die Bildpunkte Px oder Py ist der gesuchte Mohr’sche Spannungskreis (siehe Abbildung). b) Berechnung der Hauptnormalspannungen VH1 und VH2

V H1; H2

2

Vz

§V · r ¨ z ¸  IJ 2t 2 © 2 ¹

2

150,3 § 150,3 · 2 2 N/mm 2 r ¨ ¸  79,8 N/mm 2 2 © ¹

V H1 184,8 N/mm 2 V H2

34,5 N/mm 2

Berechnung der Hauptschubspannung Wmax 2

W max

§V · r ¨ z ¸  IJ 2t © 2 ¹

2

§ 150,3 · 2 2 r ¨ ¸  79,8 N/mm © 2 ¹

r 109,6 N/mm 2

57

3 Spannungszustand

Berechnung der Richtungswinkel M1 und M2 zwischen der x-Achse und den Hauptrichtungen

M1;2

§  2 ˜ W xy 1 ˜ arctan¨ ¨Vx Vy 2 ©

· ¸ ¸ ¹

§  2 ˜W t 1 ˜ arctan¨¨ 2 © Vz

§  2 ˜  79,8 N/mm 2 · 1 ¸ ˜ arctan¨ ¨ 150,3 N/mm 2 ¸ 2 © ¹

· ¸¸ ¹

23,4q

Der errechnete Winkel M kann der Richtungswinkel zwischen der ersten oder der zweiten Hauptrichtung sein. Eine Entscheidung ist mit Hilfe von Tabelle 3.1 (siehe Lehrbuch) möglich. Da es sich um Fall 4 (Vx - Vy { Vz - 0 = Vz > 0 und Wxy { Wt < 0) handelt, ist M der Richtungswinkel zwischen der x-Richtung und der ersten Hauptspannungsrichtung (dies geht auch aus dem Mohr'schen Spannungskreis hervor). Es gilt also:

M1

23,4q

Für den Richtungswinkel M2 folgt dann:

M2

M1  90q 23,4q  90q 113,4q

Berechnung der Richtungswinkel M3 und M4 zwischen der x-Achse und den Hauptschubspannungsrichtungen

M 3 M1  45q 23,4q  45q 68,4q M4

M1  45q 23,4q  45q 21,6q

58

3 Spannungszustand

Lösung zu Aufgabe 3.3 a) Der Spannungszustand (Vx, Vy, und Wxy) im Blechstreifen ist bekannt. Man kann daher den Mohr’schen Spannungskreis konstruieren. Eintragen des Bildpunktes Px (Vx | Wxy) und des Bildpunktes Py (Vy | Wyx) in das V-W-Koordinatensystem unter Beachtung der speziellen Vorzeichenregelung für Schubspannungen. Bildpunkt Px repräsentiert die Spannungskomponenten in der Schnittebene mit der x-Achse als Normalenvektor. Bildpunkt Py repräsentiert die Spannungskomponenten in der Schnittebene mit der y-Achse als Normalenvektor. Da die beiden Schnittebenen einen Winkel von 90° zueinander einschließen, müssen die Bildpunkte Px und Py auf einem Kreisdurchmesser liegen. Die Strecke PxPy schneidet die VAchse im Kreismittelpunkt VM. Kreis um VM durch die Bildpunkte Px oder Py ist der gesuchte Mohr’sche Spannungskreis (siehe Abbildung). Berechnung der Hauptnormalspannungen VH1 und VH2

V H1; H2

Vx Vy 2

§Vx Vy r ¨¨ 2 ©

2

· 2 ¸  W xy ¸ ¹ 2

200   100 § 200   100 · 2 2 N/mm 2 r ¨ ¸  40 N/mm 2 2 ¹ ©

V H1

205,24 N/mm 2

V H2

105,20 N/mm 2

b) Berechnung der Richtungswinkel M1 und M2 zwischen der x-Achse und den Hauptrichtungen

M1;2

§  2 ˜ W xy · 1 ¸ ˜ arctan¨ ¨Vx Vy ¸ 2 ¹ ©

· §  2 ˜ 40 N/mm 2 1 ¸ ˜ arctan¨ 2 2 ¨ 200 N/mm   100 N/mm ¸ 2 ¹ ©

7,47q

Der errechnete Winkel M kann der Richtungswinkel zwischen der ersten oder der zweiten Hauptrichtung sein. Eine Entscheidung ist mit Hilfe von Tabelle 3.1 (siehe Lehrbuch) möglich.

3 Spannungszustand

59

Da es sich um Fall 1 (Vx > Vy und Wxy > 0) handelt, ist M der Richtungswinkel zwischen der xRichtung und der ersten Hauptspannungsrichtung (dies geht auch aus dem Mohr'schen Spannungskreis hervor). Es gilt also:

M1

7,47q

Für den Richtungswinkel M2 folgt dann:

M2

M1  90q 7,47q  90q 82,53q

60

3 Spannungszustand

Lösung zu Aufgabe 3.4 a) Beanspruchung: Zug und Biegung b) Konstruktion des Mohr‘schen Spannungskreises Zur Konstruktion des Mohr’schen Spannungskreises benötigt man die Spannungen in zwei zueinander senkrechten Schnittflächen. Bekannt sind die Spannungen in den Schnittflächen mit der x- und der y-Richtung als Normale. Eintragen der Bildpunkte Px (0 | 0) und Py (Vl | 0) in das V-W-Koordinatensystem. Px und Py repräsentieren die Spannungen in den Schnittflächen mit der x- und der y-Richtung als Normale. Da die beiden Schnittebenen einen Winkel von 90° zueinander einschließen, liegen die Bildpunkte Px und Py auf einem Kreisdurchmesser, damit ist der Mohr' sche Spannungskreis festgelegt (siehe Abbildung). Die Bildpunkte Px‘ und Py‘, welche die Spannungen in den Schnittflächen mit der x‘- bzw. y‘-Richtung als Normale repräsentieren, erhält man durch Abtragen der Richtungswinkel 2˜D bzw. 2˜D + 180°, ausgehend vom Bildpunkt Py (gleicher Drehsinn zum Lageplan). Aus dem Mohr‘schen Spannungskreis folgt für die Normalspannungen Vx‘ und Vy’:

V y' V x'

Vl 2

Vl 2

 

Vl 2

Vl 2

˜ cos 2D ˜ cos 2D

Vl 2

Vl 2

˜ 1  cos 2D ˜ 1  cos 2D

Berechnung der Dehnung in y‘-Richtung (Messrichtung des DMS) durch Anwendung des Hooke’schen Gesetzes für den zweiachsigen Spannungszustand 1 Vl H y' { H DMS ˜ V y'  P ˜ V x' ˜ 1  cos 2D  P ˜ 1  cos 2D (1) E 2˜E





Zusammenhang zwischen äußerer Beanspruchung F und Längsspannung Vl (kein Biegeanteil, da DMS in neutraler Faser liegt)

Vl

F A

F b˜c

(2) in (1) eingesetzt und nach F umgeformt: F

2 ˜ E ˜ H y' ˜ b ˜ c

1  cos 2D  P ˜ 1  cos 2D

(2)

61

3 Spannungszustand

F

2 ˜ 108 000 N/mm 2 ˜ 0,0001485 ˜ 300 mm ˜ 200 mm 1  cos 20q  0,25 ˜ 1  cos 20q

999 971 N | 1000 kN

Alternative Lösung mit Hilfe des Mohr’schen Verformungskreises Dehnungen in Längs- und Querrichtung

Hl { H y Hq { P ˜ Hl

P ˜ H y

Konstruktion des Mohr’schen Verformungskreises Zur Konstruktion des Mohr’schen Verformungskreises benötigt man die Verformungen in zwei zueinander senkrechten Schnittrichtungen. Bekannt sind die Verformungen mit der x- bzw. der y-Richtung als Bezugsrichtung. Einzeichnen der Bildpunkte Px (Hq | 0) und Py (Hl | 0) in das H-J/2-Koordinatensystem ergibt den Mohr’schen Verformungskreis (Hq = -µ ˜ Hl). Da die beiden Schnittebenen einen Winkel von 90° zueinander einschließen, liegen die Bildpunkte Px und Py auf einem Kreisdurchmesser. Damit ist der Mohr'sche Verformungskreis festgelegt (siehe Abbildung). Bildpunkt Py‘, welcher die Verformungen in y‘-Richtung (Messrichtung des DMS) als Bezugsrichtung repräsentiert, erhält man durch Abtragen des Richtungswinkels 2˜D , ausgehend vom Bildpunkt Py (gleicher Drehsinn zum Lageplan). Für den Mittelpunkt und den Radius des Mohr’schen Verformungskreises erhält man:

HM R

Hl  Hq

Hl

2

2

Hl  Hq

Hl

2

2

˜ 1  P

˜ 1  P

Damit folgt für die Dehnung in y'-Richtung (Messrichtung des DMS)

H y { H DMS Hl

H R  R ˜ cos 2D 2 ˜ H DMS

Hl 2

˜ 1  P  1  P ˜ cos 2D 2 ˜ 0,0001485

1  P  1  P ˜ cos 2D 1  0,25  1  0,25 ˜ cos 20q

62

3 Spannungszustand

Berechnung der Spannung in Längsrichtung

Vl

E ˜H l

108 000 N/mm 2 ˜ 0,0001543 16,66 N/mm 2

Berechnung der Zugkraft F F

V l ˜ A V l ˜ b ˜ c 16,66 N/mm 2 ˜ 300 mm ˜ 200 mm 999 971 N | 1000 kN

c) Höchst beanspruchte Stelle: Innenseite der Säule, da Überlagerung von Zug- und Biegebeanspruchung Berechnung der Lastspannungen

Vz

F A

Vb

Mb Wb

1 000 000 N 300 mm ˜ 200 mm b· § F ˜¨a  ¸ 2¹ © 2 c˜b 6

16,67 N/mm 2

1 000 000 N ˜ 300 mm 300 mm ˜ 200 mm 2 6

166,67 N/mm 2

Berechnung der Sicherheit gegen Fließen Festigkeitsbedingung (Innenseite Querschnittfläche A-B)

V d V zul Vz Vb SB

Rm SB

Rm Vz Vb

350 N/mm 2 16,67 N/mm 2  166,67 N/mm 2

1,91 (nicht ausreichend, da S B  4,0)

63

3 Spannungszustand

Lösung zu Aufgabe 3.5 a) Aufstellen des Spannungstensors (die Einheit N/mm2 wird der Übersichtlichkeit halber nachfolgend weggelassen): S

§ 500 250 400 · ¨ ¸ ¨ 250 200 100 ¸ ¨ 400 100 300 ¸ © ¹

Normalenvektor der Ebene E1 & nE1

§ cos D · ¨ ¸ ¨ cos E ¸ ¨ cos J ¸ © ¹

§ nx · ¨ ¸ ¨ ny ¸ ¨n ¸ © z¹

§ 0,5 · ¨ ¸ ¨ 0,5 ¸ ¨1 / 2 ¸ © ¹

& Ermittlung des Spannungsvektors s zur Schnittebene E1 & s

& S ˜ nE1

§ V x W xy W xz · § cos D · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨W xy V y W yz ¸ ˜ ¨ cos E ¸ ¨¨ ¸¸ ¨ ¸ © W xz W yz V z ¹ © cos J ¹

§ 500 250 400 · § 0,5 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 250 200 100 ¸ ˜ ¨ 0,5 ¸ ¨ 400 100 300 ¸ ¨1 / 2 ¸ © ¹ © ¹

§ 657,84 · ¨ ¸ ¨ 295,71 ¸ ¨ 462,13 ¸ © ¹

Berechnung des Betrags der Normalspannungskomponente V des Spannungsvek& tors s zur Schnittebene E1

V

& & s ˜ nE1

§ 657,84 · § 0,5 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 295,71¸ ˜ ¨ 0,5 ¸ ¨ 462,13 ¸ ¨1 / 2 ¸ © ¹ © ¹

803,55 N/mm 2

Berechnung des Betrags der Schubspannungskomponente W des Spannungsvektors & s zur Schnittebene E1

W

2

s V

2

§ 657,84 · § 657,84 · ¨ ¸ ¨ ¸ 2 ¨ 295,71 ¸ ˜ ¨ 295,71 ¸  803,55 ¨ 462,13 ¸ ¨ 462,13 ¸ © ¹ © ¹

296,77 N/mm 2

b) Normalenvektor der Ebene E2 (die Einheit N/mm2 wird der Übersichtlichkeit halber nachfolgend weggelassen) & nE2

§ nx · ¨ ¸ ¨ ny ¸ ¨n ¸ © z¹

§ cos D · ¨ ¸ ¨ cos E ¸ ¨ cos J ¸ © ¹

§ 0,7566 · ¨ ¸ ¨ 0,3457 ¸ ¨ 0,5549 ¸ © ¹

64

3 Spannungszustand

& Ermittlung des Spannungsvektors s zur Schnittebene E2 & s

& S ˜ nE2

§ V x W xy W xz · § cos D · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨W xy V y W yz ¸ ˜ ¨ cos E ¸ ¨¨ ¸¸ ¨ ¸ © W xz W yz V z ¹ © cos J ¹

§ 500 250 400 · § 0,7566 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 250 200 100 ¸ ˜ ¨ 0,3457 ¸ ¨ 400 100 300 ¸ ¨ 0,5549 ¸ © ¹ © ¹

§ 686,73 · ¨ ¸ ¨ 313,80 ¸ ¨ 503,71 ¸ © ¹

Berechnung des Betrags der Normalspannungskomponente V des Spannungsvektors & s zur Schnittebene E2

V

& & s ˜ nE2

§ 686,64 · § 0,7566 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 313,75 ¸ ˜ ¨ 0,3457 ¸ ¨ 503,70 ¸ ¨ 0,5549 ¸ © ¹ © ¹

907,63 N/mm 2

Berechnung des Betrags der Schubspannungskomponente W des Spannungsvektors & s zur Schnittebene E2

W

2

s V

2

§ 686,64 · § 686,64 · ¨ ¸ ¨ ¸ 2 ¨ 313,75 ¸ ˜ ¨ 313,75 ¸  907,52 | 0 ¨ 503,70 ¸ ¨ 503,70 ¸ © ¹ © ¹

Da die Schubspannungskomponente W in der Schnittebene E2 zu Null wird, ist die Ebene E2 & Hauptspannungsebene und die Normalspannung V Hauptnormalspannung. Hinweis: Bedingt durch Rundungsungenauigkeiten kann der Betrag der Schubspannung W geringfügig von Null abweichen. c) Aufstellen der Eigenwertgleichung 3 2 V Hi  I1 ˜ V Hi  I 2 ˜ V Hi  I 3

0

mit den Invarianten (Einheiten werden weggelassen): I1

V x V y Vz 500  200  300 1000

I2

2 2 2  W yz  W xz V x ˜ V y  V y ˜ V z  V z ˜ V x  W xy

500 ˜ 200  200 ˜ 300  300 ˜ 500  250 2  100 2  400 2 I3

77500

2 2 2 V x ˜ V y ˜ V z  2 ˜ W xy ˜ W yz ˜ W xz  V x ˜ W yz  V y ˜ W xz  V z ˜ W xy

500 ˜ 200 ˜ 300  2 ˜ 250 ˜ 100 ˜ 400  500 ˜ 100 2  200 ˜ 400 2  300 ˜ 250 2 5 750 000

Damit lautet die Eigenwertgleichung: 3 2 V Hi  1000 ˜ V Hi  77500 ˜ V Hi  5 750 000 0

65

3 Spannungszustand

Allgemeine Form der kubischen Gleichung 3 2 V Hi  A ˜ V Hi  B ˜ V Hi  C

0

Koeffizientenvergleich ergibt für A, B und C: A

 I1

B

I2

C

I3

1000 77 500 5 750 000

Reduzierte Form der kubischen Gleichung u3  a ˜ u  b

mit a und b

B

A2 3

0 77500 

 1000 2 3

255 833,3

2 1 ˜ A3  ˜ A ˜ B  C 27 3 2 1 ˜  1 000 3  ˜  1 000 ˜ 77 500  5 750 000 27 3 42 490 741

Berechnung der Diskriminante D 2

D

§b· §a· ¨ ¸ ¨ ¸ ©2¹ © 3¹

3

2

§ 42 490 741 · §  255 833,3 · ¸ ¸ ¨ ¨ 2 3 ¹ ¹ © ©

3

1,69 ˜ 1014  0

Da D < 0 besitzt die kubische Gleichung drei reelle Lösungen (u1, u2 und u3): u1

2˜ 

a ˜ cos M 3

mit M

§ b 1 ¨ arccos ¨  3 ¨ 2 ˜  a / 3 3 ©

· ¸ ¸¸ ¹

§  42 490 741 1 ¨ arccos ¨  3 ¨ 2 ˜   255833,3 / 3 3 © 1 arccos 0,853 3 10,482q u1

574,29 N/mm 2

u2

2˜ 

a ˜ cos(M  120q) 3

2˜ 

 255 833,3 ˜ cos(10,482q  120q) 3

2˜ 

a ˜ (M  240q) 3

u3

379,17 N/mm 2

· ¸ ¸¸ ¹

66

3 Spannungszustand

u3

2˜ 

 255 833,3 ˜ cos(10,482q  240q) 3

195,13 N/mm 2

Zwischen den Hauptnormalspannungen Vi und der Koordinate ui besteht die Beziehung: A V Hi ui  3 Damit folgt für die Hauptnormalspannungen Vi:  1000 N/mm 2 3

V H1 u1 

A 3

574,29 N/mm 2 

V H2

u2 

A 3

379,17 N/mm 2 

 1000 N/mm 2 3

45,84 N/mm 2

V H3

u3 

A 3

195,13 N/mm 2 

 1000 N/mm 2 3

138,21 N/mm 2

907,63 N/mm 2

Kontrolle:

V H1  V H2  V H3

I1

907,63  45,84  138,21 1000

Ordnen der Hauptnormalspannungen entsprechend ihrer algebraischen Größe liefert schließlich:

V1

907,63 N/mm 2

V2

138,21 N/mm 2

V3

45,84 N/mm 2

d) Die Hauptspannungsrichtungen (Di , Ei und Ji mit i = 1,2,3) erhält man durch Lösen des Gleichungssystems:

V x  V i ˜ cosD i  W xy ˜ cos E i  W xz ˜ cos J i

0

W xy ˜ cosD i  V y  V i ˜ cos E i  W yz ˜ cos J i

0

W xz ˜ cosD i  W yz ˜ cos E i  V z  V i ˜ cos J i

0

Für die erste Hauptspannungsrichtung (i = 1; V1 = 907,6 N/mm2) erhält man das homogene, lineare Gleichungssystem (die Einheit N/mm2 wird der Übersichtlichkeit halber weggelassen):

500  907,63 ˜ cos D1  250 ˜ cos E1  400 ˜ cos J 1 250 ˜ cos D1  200  907,63 ˜ cos E1  100 ˜ cos J 1 400 ˜ cosD1  100 ˜ cos E1  300  907,63 ˜ cos J 1

0 0 0

67

3 Spannungszustand

und umgeformt: 407,63 ˜ cosD1  250 ˜ cos E1  400 ˜ cos J 1

0

250 ˜ cosD1  707,63 ˜ cos E1  100 ˜ cos J 1

0

400 ˜ cosD1  100 ˜ cos E1  607,63 ˜ cos J 1

0

(1) (2) (3)

Die Gleichungen 1 bis 3 sind nicht unabhängig voneinander, so dass zur Bestimmung der Richtungswinkel D1, E1 und J1 eine weitere, unabhängige Gleichung herangezogen werden muss. Die dritte Gleichung kann dann zur Kontrolle verwendet werden. & Für die Richtungswinkel des (normierten) Normalenvektors ( n 1) gilt: cos 2 D 1  cos 2 E 1  cos 2 J 1

(4)

1

Aus Gleichung 2 folgt: cos E 1

0,3533 ˜ cos D 1  0,1413 ˜ cos J 1

(5)

Gleichung 5 in Gleichung 1 eingesetzt ergibt:  407,63 ˜ cos D1  250 ˜ 0,3533 ˜ cos D1  0,1413 ˜ cos J 1  400 ˜ cos J 1  319,31 ˜ cos D1  435,33 ˜ cos J 1 cos J 1

0

0

0,7335 ˜ cos D1

(6)

Gleichung 6 in Gleichung 5 eingesetzt ergibt: cos E1

0,3533 ˜ cos D1  0,1413 ˜ 0,7335 ˜ cos D1

cos E1

0,3533 ˜ cos D1  0,1037 ˜ cos D1

cos E1

0,4567 ˜ cos D1

(7)

Gleichung 6 und 7 in Gleichung 4 eingesetzt: cos 2 D1  0,4567 ˜ cos D1 2  0,7335 ˜ cos D1 2

1

2

1,7465 ˜ cos D1 1 cos D1 0,7567 40,83q

D1

Damit folgt aus Gleichung 7: cos E1

E1

0,4567 ˜ cos D1

0,3455

69,79q

Aus Gleichung 6 folgt: cos J 1

J1

0,7335 ˜ cos D1

0,5550

56,29q

Kontrolle der Ergebnisse mit Hilfe von Gleichung 3: 400 ˜ cos D1  100 ˜ cos E1  607,63 ˜ cos J 1 400 ˜ 0,7567  100 ˜ 0,3455  607,63 ˜ 0,5550 0

0

0 0

68

3 Spannungszustand

Die Richtungswinkel der Hauptnormalspannungen V2 = 138,21 N/mm2 (D2 , E2 und J2) und V3 = -45,84 N/mm2 (D3, E3 und J3) erhält man auf analoge Weise:

D2

89,78q

E2

32,17q

J2

122,16q

D3

49,17q

E3

113,89q

J3

50,27q

und

e) Rechnerische Lösung Normalenvektor der Ebene E1 (die Einheit N/mm2 wird der Übersichtlichkeit halber nachfolgend weggelassen): & nE3

§ cos D · ¨ ¸ ¨ cos E ¸ ¨ cos J ¸ © ¹

§ 0,6428 · ¨ ¸ ¨ 0,6428 ¸ ¨ 0,4163 ¸ © ¹

& Ermittlung des Spannungsvektors s zur Schnittebene E3

& s

& S H ˜ nE2

0 · § cos D · §V 1 0 ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 0 V 2 0 ¸ ˜ ¨ cos E ¸ ¨ 0 0 V ¸ ¨ cos J ¸ 3¹ © © ¹ 0 0 · § 0,6428 · § 907,63 ¸ ¨ ¸ ¨ 0 138 , 21 0 ¸ ˜ ¨ 0,6428 ¸ ¨ ¨ 0  45,84 ¸¹ ¨© 0,4163 ¸¹ 0 ©

§ 583,42 · ¨ ¸ ¨ 88,84 ¸ ¨  19,08 ¸ © ¹

Berechnung des Betrags der Normalspannungskomponente V des Spannungsvektors & s zur Schnittebene E3

V

& & s ˜ nE3

§ 583,42 · § 0,6428 · ¨ ¸ ¨ ¸ 2 ¨ 88,84 ¸ ˜ ¨ 0,6428 ¸ 424,17 N/mm ¨  19,08 ¸ ¨ 0,4163 ¸ © ¹ © ¹

69

3 Spannungszustand

& Berechnung des Betrags der Schubspannungskomponente W des Spannungsvektors s zur Schnittebene E3

W

2

s V

2

Graphische Lösung

§ 583,42 · § 583,42 · ¨ ¸ ¨ ¸ 2 ¨ 88,84 ¸ ˜ ¨ 88,84 ¸  424,17 ¨  19,08 ¸ ¨  19,08 ¸ © ¹ © ¹

410,74 N/mm 2

abgelesen: VM = 425 N/mm2 WM = 410 N/mm2

70

4 Verformungszustand 4.1 Formelsammlung zum Verformungszustand Definition von Dehnung und Schiebung

H

'l l0

J

D

l1  l0 l0

Definition der (technischen) Dehnung

S

Definition der Schiebung

2

Vorzeichenregelung für Schiebungen Eine Schiebung ist positiv (negativ) anzusetzen, falls sich der ursprünglich rechte Winkel des betrachteten Winkelelementes vergrößert (verkleinert). Zweiachsiger Verformungszustand Dehnung in Schnittrichtung M 1)

HM

Hx  Hy 2



Hx Hy 2

˜ cos 2M 

J xy 2

˜ sin 2M

Schiebung in Schnittrichtung M 1)

JM

Hx Hy

2

2

˜ sin 2M 

J xy 2

˜ cos 2M

Gleichung des Mohr’schen Verformungskreises

H  Hy § ¨ HM  x ¨ 2 ©

1)

2

· § JM · ¸  ¨¨ ¸¸ ¸ ¹ © 2 ¹

2

2

§ H x  H y · § J xy · ¸ ¸ ¨ ¨ ¨ 2 ¸ ¨ 2 ¸ ¹ ¹ © ©

mit der x'-Richtung (M-Richtung) als Bezug

2

71

4 Verformungszustand

H H1

H H2

Hx  Hy 2

Hx  Hy 2

2

§ Hx  Hy  ¨¨ © 2

· § J xy ¸ ¨ ¸ ¨ 2 ¹ ©

§ Hx  Hy  ¨¨ © 2

· § J xy ¸ ¨ ¸ ¨ 2 ¹ ©

2

· ¸ ¸ ¹ · ¸ ¸ ¹

2

Berechnung der Hauptdehnung

2

Berechnung der Hauptdehnung

Richtungswinkel zwischen der x-Achse und der ersten oder der zweiten Hauptdehnungsrichtung

M1;2

§  J xy 1 ˜ arctan¨ ¨ Hx  Hy 2 ©

M 2;1 M1;2 

· ¸ ¸ ¹

S 2

Auswertung dreier beliebig orientierter Dehnungsmessstreifen

HA HB HC

Hx  Hy 2 Hx  Hy 2 Hx  Hy 2

  

Hx  Hy 2 Hx  Hy 2 Hx  Hy 2

˜ cos 2D  ˜ cos 2 E  ˜ cos 2J 

J xy 2

J xy 2

J xy 2

˜ sin 2D ˜ sin 2 E ˜ sin 2J

72

4 Verformungszustand

4.2 Lösungen zu den Übungsaufgaben Lösung zu Aufgabe 4.1 a) Berechnung der Dehnungen in x- und y-Richtung (Hx und Hy) sowie der Schiebung Jxy

Hx Hy J xy

a'  a a b'  b b

D˜

10,02 mm  10 mm 0,002 2 ‰ 10 mm 8,01 mm  8 mm 0,00125 1,25 ‰ 8 mm

S 180q



S 2

89,75 ˜

S 180q



S 2

0,00436

4,36 ‰

b) Berechnung der Dehnung HM sowie die Schiebung JM mit der M-Richtung als Bezug Rechnerische Lösung:

HM

JM

Hx  Hy

Hx  Hy J xy  ˜ cos 2M  ˜ sin 2M 2 2 2 0,002  0,00125 0,002  0,00125  0,00436  ˜ cos 60q  ˜ sin 60q 2 2 2 0,0037 3,7 ‰

H x  H y ˜ sin 2M  J xy ˜ cos 2M 0,002  0,00125 ˜ sin 60q  0,00436 ˜ cos 60q 0,00153 1,53 ‰

Da JM < 0, handelt es sich gemäß der Vorzeichenregelung für Schiebungen um eine Winkelverkleinerung. Graphische Lösung: Konstruktion des Mohr’schen Verformungskreises Zur Konstruktion des Mohr’schen Verformungskreises benötigt man die Verformungen in zwei zueinander senkrechten Richtungen. Bekannt sind die Verformungen mit der x- bzw. y-Richtung als Bezugsrichtung. Einzeichnen der entsprechenden Bildpunkte Px (Hx | Jxy/2) und Py (Hy | Jyx/2) in das H-J/2Koordinatensystem unter Berücksichtigung der Vorzeichenregelung für Schiebungen.

73

4 Verformungszustand

Da die x- und die y-Richtung einen Winkel von 90° zueinander einschließen, müssen die Bildpunkte Px und Py auf einem Kreisdurchmesser liegen. Die Strecke PxPy schneidet die HAchse im Kreismittelpunkt M. Kreis um M durch die Bildpunkte Px und Py ist der gesuchte Mohr'sche Verformungskreis (siehe Abbildung). Berechnung von Mittelpunkt und Radius des Mohr’schen Verformungskreises

HM

Hx  Hy

0,002  0,00125 2

2

2

R

§ H x  H y · § J xy · ¸ ¸ ¨ ¨ ¨ 2 ¸ ¨ 2 ¸ ¹ ¹ © © 0,002212

2

0,001625 2

§ 0,002  0,00125 · § 0,00436 · ¨ ¸ ¨ ¸ 2 2 © ¹ © ¹

2

Berechnung des Winkels D zwischen x-Richtung und Hauptdehnungsrichtung HH1

D

arctan

J xy / 2 (H x  H y ) / 2

arctan

0,00436 / 2 0,002  0,00125 / 2

80,24q

Damit folgt für den Winkel E:

E

D  2 ˜M

80,24q  2 ˜ 30q

20,24q

Berechnung der Dehnung in M-Richtung (HM)

HM

H M  R ˜ cos E

0,001625  0,002212 ˜ cos 20,24q 0,0037

3,7 ‰

Berechnung der Schiebung mit der M-Richtung als Bezugsrichtung (JM)

J M / 2  R ˜ sin E JM

0,00153

0,002212 ˜ sin 20,24q

0,0007652

1,53 ‰

Da JM < 0, handelt es sich gemäß der Vorzeichenregelung für Schiebungen um eine Winkelverkleinerung. c) Berechnung der Länge l´ des gedrehten, verformten Flächenelementes 'l HM H x' l 'l HM ˜ l 0,0037 ˜ 5 mm 0,0185 mm damit folgt für l‘: l c l  'l 5 mm  0,0185 mm

5,0185 mm

Berechnung des Winkels G des gedrehten, verformten Flächenelementes

JM G G

J x' y' G  JM 

S

2 89,91q

S 2

0,00153 

S 2

1,5693

74

4 Verformungszustand

Lösung zu Aufgabe 4.2 a) Es liegt eine 0°-45°-90° DMS-Rosette vor. Daher kann der Mohr’sche Verformungskreis entsprechend Kapitel 4.4.2 (siehe Lehrbuch) auf einfache Weise konstruiert werden.

Berechnung von Mittelpunkt und Radius des Mohr‘schen Verformungskreises

HA  HC

HM

2

0,862 ‰  0,472 ‰ 2

0,667 ‰

H A  H M 2  H M  H B 2

R

0,862 ‰  0,667 ‰ 2  0,667 ‰  0,224 ‰ 2

0,484 ‰

Berechnung des Winkels D zwischen der Messrichtung von DMS A und der Hauptdehnungsrichtung HH1 tan D

D

HM  HB HA  HM

0,667 ‰  0,224 ‰ 0,862 ‰  0,667 ‰

2,272

66,24q

Damit folgt für den Betrag des Richtungswinkels E : E D  2 ˜ 8q 66,24q  16q 50,24q Berechnung der Dehnungen in x- und y-Richtung

Hx Hy

H M  R ˜ cos E H M  R ˜ cos E

0,667 ‰  0,484 ‰ ˜ cos 50,24q

0,977 ‰

0,667 ‰  0,484 ‰ ˜ cos 50,24q

0,357 ‰

Berechnung der Schiebung Jxy

J xy 2 Ȗxy

R ˜ sin E

0,744 ‰

0,484 ‰ ˜ sin 50,24q

0,372 ‰

4 Verformungszustand

75

Da die Schiebung Jxy > 0 ist, handelt es sich gemäß der Vorzeichenregelung für Schiebungen um eine Winkelvergrößerung. b) Berechnung der Hauptdehnungen HH1 und HH2

H H1 H M  R 0,667 ‰  0,484 ‰ 1,151 ‰ H H2 H M  R 0,667 ‰  0,484 ‰ 0,183 ‰ Ermittlung des Richtungswinkels M1 zwischen der x-Richtung und der ersten Hauptdehnungsrichtung HH1

M1



E 2

25,12q

Ermittlung des Richtungswinkels M2 zwischen der x-Richtung und der zweiten Hauptdehnungsrichtung HH2

M2

M1  90q 25,12q  90q 64,88q

76

4 Verformungszustand

Lösung zu Aufgabe 4.3 a) + b)

abgelesen: Dehnungen Hx und Hy sowie Schiebung Jxy Hx = 1,01 ‰ Hy = HC = 0,26 ‰ Jxy = 1,84 ‰ (Winkelvergrößerung gemäß Vorzeichenregelung für Schiebungen) Hauptdehnungen und Richtungswinkel M1 = - 34° M2 = 56°

HH1 = 1,63 ‰ HH2 = - 0,36 ‰

c) Berechnung der Dehnungen Hx und Hy sowie der Schiebung Jxy Für die Dehnungen in Messrichtung der Dehnungsmessstreifen gilt:

HA HB HC

Hx  Hy 2 Hx  Hy 2 Hx  Hy 2

  

Hx  Hy 2 Hx  Hy 2 Hx  Hy 2

˜ cos 2D  ˜ cos 2E  ˜ cos 2J 

J xy 2

J xy 2

J xy 2

˜ sin 2D

(1)

˜ sin 2E

(2)

˜ sin 2J

(3)

Zur Vereinfachung setzt man: v w u

Hx  Hy 2

J xy 2

Hx  Hy 2

(4) (5) (6)

77

4 Verformungszustand

mit D = 30°, E = 150° und J = 270° sowie HA = 0,0146 ‰, HB = 1,6230 ‰ und HC = 0,2619 ‰ folgt aus den Gleichungen 1 bis 3: 0,0146 ‰ u  v ˜ cos 60q  w ˜ sin 60q 1,6230 ‰ u  v ˜ cos 300q  w ˜ sin 300q 0,2619 ‰ u  v ˜ cos 540q  w ˜ sin 540q

(7) (8) (9)

Damit ergibt sich das zu lösende lineare Gleichungssystem: (10) 0 , 0146 ‰ u  0 , 5 ˜ v  3 / 2 ˜ w 0,0146 ‰ u  0,5 ˜ v  3 / 2 ˜ w 0,2619 ‰ u  v

(11) (12)

Gleichung 10 und Gleichung 11 addiert: 1,6376 ‰ 2 ˜ u  v

(13)

Gleichung 12 nach v aufgelöst: v u  0,2619 ‰

(14)

Gleichung 14 in Gleichung 13 eingesetzt: 1,8995 ‰ 3 ˜ u u 0,63325 ‰

(15)

Gleichung 15 in Gleichung 14 eingesetzt: v 0,37127 ‰

(16)

Aus Gleichung 4 und Gleichung 5 folgt:

Hx  Hy

2 ˜ u und

(17)

Hx Hy

2˜v

(18)

Gleichung 17 und 18 addiert, liefert:

Hx

u  v 1,004 ‰

(19)

Gleichung 17 und 18 subtrahiert, liefert:

Hy

uv

(20)

0,2619 ‰

Aus Gleichung 10 folgt: u  0,5 ˜ v  0,0146 ‰ w 3/2

0,63317 ‰  0,5 ˜ 0,37127 ‰  0,0146 ‰ 3/2

0,9286 ‰

Damit ergibt sich für die Schiebung Jxy aus Gleichung 5:

J xy

2 ˜ w 1,8572 ‰

Da die Schiebung positiv ist, handelt es sich entsprechend der Vorzeichenregelung für Schiebungen um eine Winkelvergrößerung.

78

4 Verformungszustand

Berechnung der Hauptdehnungen HH1 und HH2

H H1; H2

Hx  Hy 2

2

§ H x  H y · § J xy · ¸ ¨ ¸ r ¨¨ ¸ ¨ ¸ © 2 ¹ © 2 ¹

2

2

H H1 H H2

1,004  0,2619 § 1,004  0,2619 · § 1,8572 · ‰r ¨ ¸ ¨ ¸ 2 2 © ¹ © 2 ¹ 1,6332 ‰

2

‰

0,3669 ‰

Berechnung der Richtungswinkel M1 und M2 zwischen der x-Richtung und den Hauptdehnungsrichtungen

M1;2

§  J xy · 1 ¸ ˜ arctan¨ ¨ Hx  Hy ¸ 2 © ¹

§ · 1  1,8572 ‰ ¸¸ ˜ arctan¨¨ 2 1 , 004 ‰ 0 , 2619 ‰ © ¹

34,10 ‰

Um zu entscheiden, ob es sich um den Richtungswinkel zwischen der x-Richtung und der ersten oder der zweiten Hauptdehnungsrichtung handelt, wird Tabelle 4.1 (siehe Lehrbuch) angewandt. Da es sich um Fall 1 (Hx > Hy und Jxy > 0) handelt, ist M der Richtungswinkel zwischen der x-Richtung und der ersten Hauptdehnungsrichtung, also:

M1

34,10q

Für den Richtungswinkel M2 zwischen der x-Richtung und der zweiten Hauptdehnungsrichtung folgt dann:

M2

M1  90q 34,09q  90q 55,90q

79

4 Verformungszustand

Lösung zu Aufgabe 4.4 a) + b)

abgelesen: Dehnungen Hx und Hy sowie Schiebung Jxy:

Hx = 4 ‰ Hy = -1 ‰ Jxy = 0 Hauptdehnungen und Richtungswinkel: HH1 = Hx = 4 ‰ M1 = 0 HH2 = Hy = -1 ‰ M2 = 90° c) Berechnung der Dehnungen Hx und Hy sowie der Schiebung Jxy Analog zu Aufgabe 4.3 folgt für das zu lösende Gleichungssystem mit D = 15°, E = 45° und J = 70° sowie HA = 3,665 ‰, HB = 1,500 ‰ und HC = -0,415 ‰: 3,665 ‰

u  v ˜ cos 30q  w ˜ sin 30q

(1)

1,500 ‰

u  v ˜ cos 90q  w ˜ sin 90q

(2)

0,415 ‰

u  v ˜ cos 140q  w ˜ sin 140q

(3)

Damit ergibt sich das zu lösende lineare Gleichungssystem: 3,665 ‰

u  3 / 2 ˜ v  0,5 ˜ w

1,500 ‰

u

0,415 ‰

u  0,766 ˜ v  0,643 ˜ w

w

(4) (5) (6)

(4) - 0,5˜(5): 2,915 ‰

0,5 ˜ u  3 / 2 ˜ v

0,643˜(5) - (6): 1,3795 ‰ 0,357 ˜ u  0,766 ˜ v 0,357˜(7) + 0,5˜(8): 1,7304 ‰ 0,6922 ˜ v v 2,5 ‰

(7)

(8)

(9)

80

4 Verformungszustand

Gleichung 9 in Gleichung 7 eingesetzt ergibt: u

2,915 ‰  3 / 2 ˜ 2,5 ‰ 0,5

1,5 ‰

Damit folgt für die Dehnungen Hx und Hx:

Hx

uv

4 ‰

Hy

uv

1 ‰

Aus Gleichung 5 folgt: w u  1,500 ‰

0‰

und damit:

J xy

2˜w

0‰

Berechnung der Hauptdehnungen HH1 und HH2 Da Jxy = 0 ist, fallen die x- und y-Richtung mit den Hauptdehnungsrichtungen zusammen, es folgt daher sofort: H H1 H x 4 ‰

H H2

Hy

1 ‰

Berechnung der Richtungswinkel M1 und M2 zwischen der x-Richtung und den Hauptdehnungsrichtungen

M1;2

§  J xy · 1 ¸ ˜ arctan¨ ¨ Hx  Hy ¸ 2 © ¹

0

(da Jxy = 0)

Um zu entscheiden, ob es sich um den Richtungswinkel zwischen der x-Richtung und der ersten oder der zweiten Hauptdehnungsrichtung handelt, wird Tabelle 4.1 (siehe Lehrbuch) angewandt. Da es sich um Fall 1 bzw. Fall 4 handelt, ist M der Richtungswinkel zwischen der x-Richtung und der ersten Hauptdehnungsrichtung, also:

M1

0q

Für den Richtungswinkel M2 zwischen der x-Richtung und der zweiten Hauptdehnungsrichtung folgt dann:

M2

M1  90q 0q  90q 90q

81

5 Elastizitätsgesetze 5.1 Formelsammlung zu den Elastizitätsgesetzen Formänderungen durch einachsige Normalspannung Hooke’sches Gesetz für Normalspannungen

V

l l E˜ 1 0 l0

E ˜H

E˜

'l l0

Poisson’sches Gesetz

Hq

d1  d 0 d0

 P ˜ H l und H q

'd d0

Formänderungen durch Schubspannungen

W G

Hooke’sches Gesetz für Schubbeanspruchung

G ˜J

E 2 ˜ 1  P

Zusammenhang zwischen den elastischen Werkstoffkonstanten E, G und µ

Formänderungen beim ebenen (zweiachsigen) Spannungszustand

Hx Hy Hz

Vx Vy

1 ˜ V x  P ˜V y E 1 ˜ V y  P ˜V x E 

P E











˜ Vx Vy

E 1 P2 E

Hooke´sches Gesetz für Normalspannungen (nach den Dehnungen aufgelöst)











˜ Hx  P ˜Hy ˜ Hy  P ˜Hx

Vz

1 P2 0

W xy

G ˜ J xy bzw. J xy

Hooke´sches Gesetz für Normalspannungen (nach den Spannungen aufgelöst)

W xy Hooke´sches Gesetz G

für Schubbeanspruchung

82

5 Elastizitätsgesetze

Formänderungen beim allgemeinen (dreiachsigen) Spannungszustand Hooke´sches Gesetz für Normalspannungen (nach den Dehnungen aufgelöst)

Hx

1 ˜ Vx  P ˜ Vy Vz E

Hy

1 ˜ V y  P ˜ V z  V x E

Hz

1 ˜ Vz  P ˜ Vx Vy E

>



@

>

>



@

@

Hooke´sches Gesetz für Normalspannungen (nach den Spannungen aufgelöst)

ª º P ˜ «H x  ˜ Hx  Hy  Hz » P 1 2  ¬ ¼

Vx

E 1 P

Vy

º E ª P ˜ «H y  ˜ Hx  H y  Hz » 1 P ¬ 1  2P ¼

Vz

E 1 P









ª º P ˜ «H z  ˜ Hx  Hy  Hz » 1  2P ¬ ¼





Hooke´sches Gesetz für Schubbeanspruchung

W xy

G ˜ J xy bzw. J xy

W xz

G ˜ J xz bzw. J xz

W yz

G ˜ J yz bzw. J yz

W xy G

W xz G

W yz G

83

5 Elastizitätsgesetze

5.2 Lösungen zu den Übungsaufgaben Lösung zu Aufgabe 5.1 a) Berechnung der Spannungen in x- und y-Richtung (Vx und Vy) Die Messrichtung der Dehnungsmessstreifen fällt mit den Wirkungsrichtungen der Kräfte Fx und Fy zusammen. Die Spannungen in x- und y-Richtung (Vx und Vy) lassen sich daher sofort mit Hilfe des Hooke’schen Gesetzes für den zweiachsigen Spannungszustand berechnen. 210 000 N/mm 2 E Vx H P H ˜  ˜ ˜ 0,743  0,30 ˜ 0,124 ˜10 3 x y 2 2 1 P 1 - 0,30





180 N/mm 2

Vy

E 1 P 2



˜ H y  P ˜H x



210 000 N/mm 2 1 - 0,30 2

˜ 0,124  0,30 ˜ 0,743 ˜10 3

80 N/mm 2

Berechnung der Kräfte Fx und Fy in x- und y- Richtung Fx

V x ˜ b ˜ t 180 N/mm 2 ˜125 mm ˜ 6 mm 135 000 N 135,0 kN

Fy

V y ˜ a ˜ t 80 N/mm 2 ˜ 210 mm ˜ 6 mm 100 900 N 100,9 kN

b) Zur Konstruktion des Mohr’schen Spannungskreises benötigt man zweckmäßigerweise die Spannungen in zwei zueinander senkrechten Schnittflächen. Bekannt sind die Spannungen in den Schnittflächen mit der x-Richtung und der y-Richtung als Normale. Einzeichnen der entsprechenden Bildpunkte Px (Vx | 0) und Py (Vy | 0) in das V-W-Koordinatensystem ergibt den Mohr’schen Spannungskreis (siehe Abbildung). Berechnung von Mittelpunkt und Radius des Mohr‘schen Spannungskreises 180 N/mm 2  80 N/mm2 130 N/mm 2 2 2 V x  V y 180 N/mm 2  80 N/mm 2 R 50 N/mm 2 2 2 Berechnung der Richtungswinkel M1 und M2 zu den Diagonalflächen

VM

Vx V y

M1

arctan

a b

M2

M1

59,24q

arctan

210 mm 125 mm

59,24q

84

5 Elastizitätsgesetze

Berechnung der Spannungskomponenten in den Diagonalflächen Antragen der doppelten Richtungswinkel (2˜M1 und 2˜M2) am Mohr‘schen Spannungskreis ergibt die Bildpunkte PI und PII. PI und PII repäsentieren die Spannungen in den Diagonalflächen. Diagonalfläche I:

V M1

V M  R ˜ cos180q  2 ˜ M 1 130 N/mm 2  50 N/mm 2 ˜ cos180q  2 ˜ 59,24 106,2 N/mm 2 R ˜ sin 180q  2 ˜ M1

W M1

50 N/mm 2 ˜ sin 180q  2 ˜ 59,24 44,0 N/mm 2

Diagonalfläche II:

VM 2

V M1 106,2 N/mm 2

WM 2

W M1

44,0 N/mm 2

85

5 Elastizitätsgesetze

Lösung zu Aufgabe 5.2 a) Die Schnittflächen mit der x- und y-Richtung als Normale sind schubspannungsfrei, daher erfährt ein achsparalleles Flächenelement auch keine Schiebung (Winkelverzerrung). Die Bildpunkte Px und Py, welche die Verformungen mit der xbzw. y-Richtung als Bezugsrichtung repräsentieren, fallen daher mit der H-Achse zusammen, d.h. die x- und die y-Richtung sind gleichzeitig Hauptdehnungsrichtungen. Der Mohr’sche Verformungskreis lässt sich damit entsprechend der Abbildung auf einfache Weise konstruieren. Die Bildpunkte PA und PB, welche die Verformungen mit der A- bzw. B-Richtung als Bezugsrichtung repräsentieren, erhält man durch Abtragen der Richtungswinkels (2˜15° bzw. 2˜15° +180°) ausgehend von der nunmehr bekannten x-Richtung (gleicher Drehsinn zum Lageplan). Berechnung von Mittelpunkt und Radius des Mohr‘schen Verformungskreises

HM R

HA  HB

0,275 ‰  (-0,530 ‰) 2

0,1275 ‰

0,275 ‰  (-0,1275 ‰) cos(2 ˜15q)

0,4648 ‰

2

HA HM cos 2D

b) Berechnung der Dehnungen in x- und y-Richtung (Hx und Hy)

Hx Hy

H M  R 0,1275 ‰  0,4648 ‰ 0,3373 ‰ H M  R 0,1275 ‰  0,4648 ‰ 0,5923 ‰

Berechnung der Spannungen in x- und y-Richtung durch Anwendung des Hooke’schen Gesetzes (zweiachsiger Spannungszustand)

Vx

E ˜ Hx  P ˜Hy 1 P2





210 000 N/mm 2 ˜ 0,3373  0,30 ˜ - 0,5923 ˜ 10  3 1 - 0,30 2



210 000 N/mm 2 ˜ - 0,5923  0,30 ˜ 0,3373 ˜ 10  3 2 1 - 0,30

36,8 N/mm 2

Vy

E ˜ Hy  P ˜Hx 1 P2



113,3 N/mm 2

Berechnung der Kräfte Fx und Fy in x- und y- Richtung Fx V x ˜ Ax 36,8 N/mm 2 ˜ 300 mm ˜ 20 mm 220 800 N Fy

V y ˜ Ay

-113,3 N/mm 2 ˜ 600 mm ˜ 20 mm

220,8 kN

-1359 600 N

1 359,6 kN

86

5 Elastizitätsgesetze

Lösung zu Aufgabe 5.3 Es liegt eine 0°-45°90° DMS-Rosette vor. Daher kann der Mohr’sche Verformungskreis entsprechend Kapitel 4.4.2 (siehe Lehrbuch) auf einfache Weise konstruiert werden.

Berechnung von Mittelpunkt und Radius des Mohr‘schen Verformungskreises H A  H C 0,702 ‰  (-0,364 ‰) HM 0,169 ‰ 2 2 R

H A  H M 2  H M  H B 2 0,702 ‰  0,169 ‰ 2  0,169 ‰  0,012 ‰ 2

0,5629 ‰

Berechnung des Winkels D zwischen der Messrichtung von DMS A und der Hauptdehnungsrichtung HH1

D D

§ H  HB arctan¨¨ M © HA  HM 18,76q

· ¸¸ ¹

§ 0,169 ‰  0,012 ‰ · ¸¸ arctan¨¨ © 0,702 ‰  0,169 ‰ ¹

0,3396

Damit folgt für den Richtungswinkel E : E 50q  D 50q  18,76q 31,24q Berechnung der Dehnungen in x- und y-Richtung

Hx Hy

H M  R ˜ cos E H M  R ˜ cos E

0,169 ‰  0,563 ‰ ˜ cos 31,24q

0,650 ‰

0,169 ‰  0,563 ‰ ˜ cos 31,24q

0,312 ‰

Berechnung der Normalspannungen Vx und Vy in x- und y-Richtung durch Anwendung des Hooke’schen Gesetzes (zweiachsiger Spannungszustand)

Vx

E ˜ Hx  P ˜Hy 1 P2





210 000 N/mm 2 ˜ 0,650 ‰  0,3 ˜ 0,312 ‰ ˜ 10 3 2 1 - 0,30



210 000 N/mm 2 ˜ - 0,312 ‰  0,3 ˜ 0,650 ‰ ˜ 10  3 1 - 0,30 2

128,4 N/mm 2

Vy

E ˜ Hy  P ˜Hx 1 P2



87

5 Elastizitätsgesetze

Vy

27,0 N/mm 2

Berechnung der Schiebung Jxy mit der x-Richtung als Bezugsrichtung

J xy 2

J xy

 R ˜ sin E 0,584 ‰

0,563 ‰ ˜ sin 31,24q

0,292 ‰

(Winkelverkleinerung gemäß Vorzeichenregelung für Schiebungen)

Berechnung der Schubspannung Wxy durch Anwendung des Hooke’schen Gesetzes für Schubbeanspruchung

W xy

G ˜ J xy

E ˜ J xy 2 ˜ 1  P

210 000 N/mm 2 ˜ - 0,584 ‰ ˜ 10  3 2 ˜ 1  0,30





47,2 N/mm 2

88

5 Elastizitätsgesetze

Lösung zu Aufgabe 5.4 a) Es liegt eine 0°-45°90° DMS-Rosette vor. Daher kann der Mohr’sche Verformungskreis entsprechend Kapitel 4.4.2 (siehe Lehrbuch) auf einfache Weise konstruiert werden.

Berechnung von Mittelpunkt und Radius des Mohr‘schen Verformungskreises

HM R

HA  HC 2

0,251 ‰  0,368 ‰ 2

0,0585 ‰

H M  H A 2  H M  H B 2 0,0585 ‰   0,251 ‰ 2  0,0585 ‰   0,410 ‰ 2

0,562 ‰

Berechnung des Winkels D zwischen der Messrichtung von DMS A und der Hauptdehnungsrichtung HH2

D

§ H  HB arctan¨¨ M © HM  HA

· ¸¸ ¹

§ 0,0585 ‰   0,410 ‰ · ¸¸ arctan¨¨ © 0,0585 ‰   0,251 ‰ ¹

56,55q

Berechnung des Winkels E (siehe Mohr’scher Verformungskreis)

E

180q  2 ˜ 22q  D

180q  44q  56,55q

79,45q

Berechnung der Dehnungen in x- und y-Richtung (Hx und Hy)

Hx

H M  R ˜ cos E

0,0585 ‰  0,562 ‰ ˜ cos79,45q

0,161 ‰

Hy

H M  R ˜ cos E

0,0585 ‰  0,562 ‰ ˜ cos79,45q

0,044 ‰

Berechnung der Schiebung mit der x-Richtung als Bezugsrichtung (Jxy)

J xy / 2 J xy

R ˜ sin E

0,562 ‰ ˜ sin79,45q

0,5520 ‰

1,104 ‰ (Winkelvergrößerung gemäß Vorzeichenregelung für Schiebungen)

b) Berechnung der Hauptdehnungen HH1 und HH2

0,620 ‰ H H1 H M  R 0,0585 ‰  0,562 ‰ H H2 H M  R 0,0585 ‰  0,562 ‰ 0,503 ‰

89

5 Elastizitätsgesetze

Berechnung der Richtungswinkel M1 und M2 zwischen der x-Achse und den Hauptdehnungsrichtungen HH1 und HH2 §  J xy 1 ˜ arctan¨ ¨ Hx  Hy 2 ©

M1;2

· ¸ ¸ ¹

§ 1  1,105 ‰ ˜ arctan¨¨ 2   0,044 ‰ 0 , 161 ‰ ©

· ¸¸ ¹

39,72q

Der errechnete Winkel M kann der Richtungswinkel zwischen der ersten oder der zweiten Hauptdehnungsrichtung sein. Um zu entscheiden, ob es sich um den Richtungswinkel zwischen der x-Richtung und der ersten oder zweiten Hauptdehnungsrichtung handelt, wird Tabelle 4.1 (siehe Lehrbuch) angewandt. Da es sich um Fall 1 handelt (Hx > Hy und Jxy > 0) ist M der Richtungswinkel zwischen der x-Achse und der ersten Hauptdehnungsrichtung. Dies ist auch aus dem Mohr'schen Verformungskreis ersichtlich. Es gilt also:

M

M1

39,72q

Für den Richtungswinkel M2 folgt dann:

M2

M1  90q 39,72q  90q 50,28q

c) Berechnung der Hauptspannungen VH1 und VH2 Die Hauptspannungen errechnet man aus den Hauptdehnungen mit Hilfe des Hooke‘schen Gesetzes für den zweiachsigen Spannungszustand:

V H1

E ˜ H H1  P ˜ H H2 1 P2 210 000 N/mm 2 ˜ 0,620  0,30 ˜  0,503 ˜ 10 3 2 1  0,30

V H2

108,3 N/mm 2

E ˜ H H2  P ˜ H H1 1 P2 210 000 N/mm 2 ˜  0,503  0,30 ˜ 0,620 ˜ 10 3 2 1  0,30

73,2 N/mm 2

90

5 Elastizitätsgesetze

Lösung zu Aufgabe 5.5 a) Es liegt eine 0°-45°-90° DMS-Rosette vor. Daher kann der Mohr’sche Verformungskreis entsprechend Kapitel 4.4.2 (siehe Lehrbuch) auf einfache Weise konstruiert werden.

Berechnung von Mittelpunkt und Radius des Mohr‘schen Verformungskreises

HM R

HA  HC 2

0,7551 ‰  0,2693 ‰ 2

0,5122 ‰

H B  H M 2  H M  H C 2 0,7160 ‰  0,5122 ‰ 2  0,5122 ‰  0,2693 ‰ 2

0,3170 ‰

Berechnung des Winkels D zwischen der Messrichtung von DMS B und der Hauptdehnungsrichtung HH1

D

§ H  HC · ¸¸ arctan¨¨ M © HB  HM ¹

§ 0,5122 ‰  0,2693 ‰ · ¸¸ arctan¨¨ © 0,7160 ‰  0,5122 ‰ ¹

50,0q

Da der Winkel zwischen der Messrichtung von DMS B und der x-Richtung dem Winkel D entspricht (50°), fallen die x- und y-Richtungen mit den Hauptdehnungsrichtungen zusammen. Dieses Ergebnis hätte man auch ohne Berechnung erhalten. Da an der Stahlplatte keine Schubspannungen wirken, müssen x- und y-Richtung gleichzeitig Hauptspannungsrichtung und damit auch Hauptdehnungsrichtung sein (isotroper Werkstoff vorausgesetzt). Für die Dehnungen in x- und y- Richtung (Hx und Hy) folgt:

Hx

HM  R

Hy

H M  R 0,5122 ‰  0,3170 ‰ 0,1952 ‰

0,5122 ‰  0,3170 ‰

0,8292 ‰

Berechnung der Normalspannungen Vx und Vy durch Anwendung des Hooke’schen Gesetzes (zweiachsiger Spannungszustand)

Vx Vy

E 1 P2 E 1 P2





205 000 N/mm 2 0,8292 ‰  0,30 ˜ 0,1952 ‰ ˜ 1000 1  0,30 2

200 N/mm 2





205 000 N/mm 2 0,1952 ‰  0,30 ˜ 0,8292 ‰ ˜ 1000 1  0,30 2

100 N/mm 2

˜ Hx  P ˜Hy ˜ Hy  P ˜Hx

91

5 Elastizitätsgesetze

Damit folgt für die Kräfte Fx und Fy: Fx

Fy

Vx ˜a˜t

200 N/mm 2 ˜ 250 mm ˜ 15 mm 2

V x ˜ b ˜ t 100 N/mm ˜ 500 mm ˜ 15 mm

750 000N

750 kN

750 000N

750 kN

b) Berechnung der Spannungen in x- und y-Richtung

Vx Vy

Fx b ˜t

500 000 N 250 mm ˜ 15 mm

133,3 N/mm 2

Fy

500 000 N 500 mm ˜ 15 mm

66,6 N/mm 2

a ˜t

Berechnung der Spannungen in Schnittebenen mit der A-, B- und C-Richtung als Normale unter Anwendung des Mohr’schen Spannungskreises Die Schnittflächen mit der xund y-Richtung als Normale sind schuspannungsfrei. Die Bildpunkte Px und Py, welche die Spannungen in diesen Schnittebenen repräsentieren, fallen daher mit der VAchse zusammen d. h. die x- und die y-Richtung sind gleichzeitig Hauptspannungsrichtungen. Der Mohr’sche Spannungskreis lässt sich damit auf einfache Weise konstruieren (siehe Abbildung). Aus dem Mohr’schen Spannungskreis folgt:

VM R

Vx Vy 2

Vx Vy 2

133,3 N/mm 2  66,6 N/mm 2 2 133,3 N/mm 2  66,6 N/mm 2 2

100 N/mm 2 33,3 N/mm 2

Damit erhält man für die Spannungen in Schnittebenen mit der A- und C-Richtung sowie der B- und B*-Richtung als Normale:

VA

V M  R ˜ cos 40q 100 N/mm 2  33,3 N/mm 2 ˜ cos 40q 125,53 N/mm 2

VC

V M  R ˜ cos 40q 100 N/mm 2  33,3 N/mm 2 ˜ cos 40q 74,47 N/mm 2

V B V M  R ˜ cos 50q 100 N/mm 2  33,3 N/mm 2 ˜ cos 50q 121,43 N/mm 2 V B*

V M  R ˜ cos 50q 100 N/mm 2  33,3 N/mm 2 ˜ cos 50q 78,57 N/mm 2

92

5 Elastizitätsgesetze

Berechnung der Dehnungen mit Hilfe des Hooke‘schen Gesetzes (zweiachsiger Spannungszustand):

HA

1 (V A  P ˜ V C ) E

125,53 N/mm 2  0,30 ˜ 74,47 N/mm 2

HC

1 (V C  P ˜ V A ) E

74,47 N/mm 2  0,30 ˜ 125,53 N/mm 2

HB

1 (V B  P ˜ V B* ) E

205000 N/mm 2 205000 N/mm 2 121,43 N/mm 2  0,30 ˜ 78,57 N/mm 2 205000 N/mm 2

0,000503 0,503 ‰

0,000179 0,179 ‰

0,000477 0,477 ‰

Alternative Lösung: Berechnung der Dehnung in x- und y-Richtung (Hx und Hy) mit Hilfe des Hooke‘schen Gesetzes (zweiachsiger Spannungszustand )

Hx

1 ˜ (V x  P ˜ V y ) E

133,3 N/mm 2  0,30 ˜ 66,6 N/mm 2

Hy

1 ˜ (V y  P ˜ V x ) E

66,6 N/mm 2  0,30 ˜ 133,3 N/mm 2

205000 N/mm 2 205000 N/mm 2

0,000553 0,553 ‰

0,000130 0,130 ‰

Die Schnittflächen mit der x- und y-Richtung als Normale sind schubspannungsfrei, daher erfährt ein achsparalleles Flächenelement auch keine Schiebung (Winkelverzerrung). Die Bildpunkte Px und Py, welche die Verformungen mit der x- bzw- y-Richtung als Bezugsrichtung repräsentieren, fallen mit der H-Achse zusammen, d. h. die x- und die yRichtung sind gleichzeitig Hauptdehnungsrichtungen. Der Mohr’sche Verformungskreis lässt sich damit auf einfache Weise konstruieren (siehe Abbildung). Aus dem Mohr’schen Verformungskreis folgt:

HM R

H H1  H H2

Hx  Hy

2

2

H H1  H H2 2

0,553 ‰  0,130 ‰ 2

0,553 ‰  0,130 ‰ 2

0,3415 ‰

0,2115 ‰

Damit folgt für die Dehnungen in A-, B- und C-Richtung:

HC HB

H A H M  R ˜ cos 40q 0,3415 ‰  0,2115 ‰ ˜ cos40q 0,503 ‰ H M  R ˜ cos 40q 0,3415 ‰  0,2115 ‰ ˜ cos40q 0,179 ‰ H M  R ˜ cos 50q 0,3415 ‰  0,2115 ‰ ˜ cos50q 0,477 ‰

93

5 Elastizitätsgesetze

c) Die Verminderung der Plattendicke ergibt sich aus dem Hooke‘schen Gesetz für den zweiachsigen Spannungszustand Berechnung der Dehnung Hz in z-Richtung

Hz



P E

˜ (V x  V y )





0,30 ˜ 133,3 N/mm 2  66,6 N/mm 2 2 205 000 N/mm

Damit folgt für die Verminderung der Plattendicke 't: 't

H z ˜ t 0,000293 ˜ 15 mm - 0,0044 mm 4,4 µm



- 0,000293

94

5 Elastizitätsgesetze

Lösung zu Aufgabe 5.6 a) Es wirkt nur die Zugkraft F und die Platte kann sich frei verformen. Es liegt daher ein einachsiger Spannungszustand vor. Berechnung der Verlängerung 'l der Platte Hooke’sches Gesetz (einachsiger Spannungszustand):

Vx F b˜s

E ˜H E˜

E˜

'l l

'l l

Damit folgt für die Verlängerung 'l der Platte: 'l

112 500 N ˜ 650 mm 72 000 N/mm 2 ˜ 150 mm ˜ 5 mm

F ˜l E ˜b˜ s

1,354 mm

b) Eine Verformung in y-Richtung ist voraussetzungsgemäß nicht möglich. Damit tritt zusätzlich eine Spannung in y-Richtung auf. Der Spannungszustand ist nunmehr zweiachsig. Berechnung der Verlängerung 'l* der Platte Hooke’sches Gesetz (zweiachsiger Spannungszustand):

Hx Hy

1 ˜ V x  P ˜V y E 1 ˜ V y  P ˜V x E





(1)





(2)

Mit der Randbedingung: Hy = 0 folgt aus Gleichung 2:

Vy

P ˜V x

(3)

Gleichung 3 in Gleichung 1 eingesetzt liefert:

Hx



1 ˜ V x  P 2 ˜V x E



Vx E



˜ 1 P2



(4)

Mit Hx = 'l* / l und Vx = F/A folgt aus Gleichung 4: 'l * l 'l *





F ˜ 1 P2 E˜A F ˜l ˜ 1 P2 E ˜b˜ s 112500 N ˜ 650 mm ˜ 1  0,332 72000 N/mm 2 ˜ 150 mm ˜ 5 mm











1,354 mm ˜ 1  0,332



1,207 mm

95

5 Elastizitätsgesetze

Lösung zu Aufgabe 5.7 Berechnung der Spannung in x-Richtung

Vx

F A

F b˜s

420 000 N 80mm ˜ 25mm

210 N/mm 2

Berechnung der Dehnung in x-Richtung Da eine freie Verformung des Blechsteifens in y- Richtung nicht möglich ist, tritt zusätzlich eine Spannung in y-Richtung auf. Der Spannungszustand ist also zweiachsig. Hooke’sches Gesetz (zweiachsiger Spannungszustand): 1 Hx ˜ V x  P ˜V y (1) E 1 Hy ˜ V y  P ˜V x (2) E









Mit der Randbedingung Hy = 0 folgt aus Gleichung 2:

Vy

P ˜V x

(3)

Gleichung 3 in Gleichung 1 eingesetzt liefert: 1 Hx ˜ V x  P 2 ˜V x E



Hx





V x ˜ 1 P2





210 N/mm 2 ˜ 1  0,30 2

E

210 000 N/mm

2



0,00091 0,91 ‰

Berechnung der Spannung in y-Richtung Die Spannung in y-Richtung ergibt sich aus Gleichung 1:

Vy

V x  E ˜Hx P

210 N/mm 2 - 210 000 N/mm 2 ˜ 0,00091 0,30

63 N/mm 2

Berechnung der Dehnung in z-Richtung Die Dehnung in z-Richtung erhält man ebenfalls aus dem Hooke’schen Gesetz für den zweiachsigen Spannungszustand: P 0,30 H z  ˜ V x V y  ˜ 210  63 N/mm 2 0,00039 0,39 ‰ E 210 000 N/mm 2





96

5 Elastizitätsgesetze

Lösung zu Aufgabe 5.8 Das Hooke’sche Gesetz (einachsiger Spannungszustand) liefert den Zusammenhang zwischen der Druckkraft F und der Stauchung des Rundstabes in Längsrichtung (Hl):

Vl

E ˜Hl

(1)

Das Poisson’sche Gesetz liefert den Zusammenhang zwischen der Stauchung in Längsrichtung (Hl) und der Querdehnung (Hq):

Hq

P ˜ H l

(2)

Gleichung 2 in Gleichung 1 eingesetzt:

Vl

E ˜ Hl



E

P

˜ Hq

mit Vl = F / A und Hq = 'd / d folgt: E 'd ˜ P d

F A



F

E ˜ A 'd  ˜ P d 

E˜ 

S 4

P

˜d 2 ˜

'd d



S ˜ d ˜ E ˜ 'd 4˜ P

ʌ ˜ 50 mm ˜116 000 N/mm 2 ˜ 0,015 mm 4 ˜ 0,35

195 228 N

195,2 kN

97

6 Festigkeitshypothesen 6.1 Formelsammlung zu den Festigkeitshypothesen Normalspannungshypothese (NH) Vergleichsspannung nach der NH (in Hauptnormalspannungen)

V V NH

V1

Vergleichsspannung nach der NH (in Lastspannungen bei zweiachsigem Spannungszustand)

V V NH

Vx Vy 2

§Vx Vy  ¨¨ 2 ©

2

· 2 ¸  W xy ¸ ¹

Vergleichsspannung nach der NH (in Lastspannungen bei Biegebeanspruchung mit überlagerter Torsion) 1)

V V NH

2

Vb

§V ·  ¨ b ¸  W t2 2 © 2 ¹

Schubspannungshypothese (SH)

V V SH

V V SH

Vergleichsspannung nach der SH (in Hauptnormalspannungen)

V1  V 3

Vergleichsspannung nach der SH (in Lastspannungen bei zweiachsigem Spannungszustand)

V x  V y 2  4 ˜ W xy2

2 Gilt nur, falls V x ˜ V y d W xy

V VSH

Vx Vy 2

2

§Vx Vy · 2 ¸  W xy  ¨¨ ¸ 2 © ¹

Vergleichsspannung nach der SH (in Lastspannungen bei zweiachsigem Spannungszustand) 2 Gilt nur, falls V x ˜ V y ! W xy

Vergleichsspannung nach der NH (in Last-

V VSH

1)

V b2  4 ˜W t2

spannungen bei Biegebeanspruchung mit überlagerter Torsion) 1)

An die Stelle der Biegebeanspruchung kann auch eine Zug- oder Druckbeanspruchung treten. An die Stelle der Torsionsbeanspruchung kann auch eine Abscherbeanspruchung treten.

98

6 Festigkeitshypothesen

Gestaltänderungsenergiehypothese (GEH)

V VGEH

1)

1 2

˜

V 1  V 2 2  V 2  V 3 2  V 3  V 1 2

Vergleichsspannung nach der GEH (in Hauptnormalspannungen)

V VGEH

2 V x2  V y2  V x ˜ V y  3 ˜ W xy

Vergleichsspannung nach der GEH (in Lastspannungen bei zweiachsigem Spannungszustand)

V VGEH

V b2  3 ˜ W t2

Vergleichsspannung nach der GEH (in Lastspannungen bei Biegebeanspruchung mit überlagerter Torsion) 1)

An die Stelle der Biegebeanspruchung kann auch eine Zug- oder Druckbeanspruchung treten. An die Stelle der Torsionsbeanspruchung kann auch eine Abscherbeanspruchung treten.

99

6 Festigkeitshypothesen

6.2 Lösungen zu den Übungsaufgaben Lösung zu Aufgabe 6.1 a) Die höchst beanspruchten Stellen befinden sich an der Außenoberfläche, da die Torsionsschubspannung Wt nach außen hin linear zunimmt. b) Berechnung der Zugspannung im Rundstab

Vx {Vz

F A

50 000 N

S

70,7 N/mm 2

˜ 30 mm

2

4

c) Berechnung der Schubspannung im Rundstab

W xy { W t

M t1 Wt

450 000 Nmm

S 16

84,9 N/mm 2

˜ 30 mm 3

d) Konstruktion des Mohr’schen Spannungskreises Eintragen des Bildpunktes Px (Vz |Wt) und des Bildpunktes Py (0 |-Wt) in das V-W-Koordinatensystem unter Beachtung der speziellen Vorzeichenregelung für Schubspannungen. Bildpunkt Px repräsentiert die Spannungskomponenten in der Schnittebene mit der x-Achse als Normalenvektor. Bildpunkt Py repräsentiert die Spannungskomponenten in der Schnittebene mit der y-Achse als Normalenvektor. Da die beiden Schnittebenen einen Winkel von 90° zueinander einschließen, müssen die Bildpunkte Px und Py auf einem Kreisdurchmesser liegen. Die Strecke PxPy schneidet die V-Achse im Kreismittelpunkt M. Kreis um M durch die Bildpunkte Px oder Py ist der gesuchte Mohr’sche Spannungskreis. e) Spröder Werkstoff: Versagen durch Bruch Festigkeitsbedingung Ansetzen der Normalspannungshypothese (NH), da spröder Werkstoff: R V V NH V 1 d m SB Aus dem Mohr‘schen Spannungskreis (Aufgabenteil d) errechnet sich die Hauptnormalspannung V1 zu:

V1

Vz

2

§V ·  ¨ z ¸  W t2 2 © 2 ¹

127,3 N/mm 2

2

70,7 N/mm 2 § 70,7 · 2 2  ¨ ¸  84,92 N/mm 2 © 2 ¹

100

6 Festigkeitshypothesen

Damit folgt für die Sicherheit SB gegen Bruch: SB

370 N/mm 2 127,3 N/mm 2

Rm

V V NH

2,91 (nicht ausreichend, da S B  4,0)

f) Festigkeitsbedingung Ein Bruch tritt ein, sobald die Vergleichsspannung (berechnet nach der NH) die Zugfestigkeit erreicht: V V NH V 1 Rm 2

Vz

§V ·  ¨ z ¸  W t2 2 © 2 ¹

Rm

Auflösen nach der Zugspannung Vz: 2

§Vz · 2 ¨ ¸ Wt © 2 ¹

V Rm  z 2

quadrieren 2

2

V · § ¨ Rm  z ¸ 2 ¹ ©

2

§V · 2  Rm ˜ V z  ¨ z ¸ Rm © 2 ¹

§Vz · 2 ¨ ¸ Wt 2 © ¹ §Vz · 2 ¨ ¸ Wt 2 © ¹

W t2

2 Rm  Rm ˜ V z

Vz

2 Rm  W t2 Rm

2

Damit folgt schließlich für die Zugkraft F2: F2 F2

S ˜ d 2 Rm2  W t2 4

˜

S ˜ 30 mm 2

Rm

247773 N

4

370 N/mm  84,9 N/mm 2 2

˜

2 2

370 N/mm 2

247,8 kN

g) Aus Aufgabenteil f) ergibt sich der Zusammenhang:

W t2

2 Rm  Rm ˜ V z

Damit folgt für die Schubspannung Wt bzw. das Torsionsmoment Mt2:

W t2 Wt

2 Rm  Rm ˜ V z

Rm ˜ Rm  V z

M t2 M t2

S ˜d3

˜ Rm ˜ Rm  V z

16 1 764,1 Nm

S ˜ 30 mm 3 16

˜ 370 ˜ 370  70,7 N/mm 2

h) Aus Aufgabenteil f) ergibt sich der gesuchte Zusammenhang zwischen Wt und Vz:

W t (V z )

Rm ˜ Rm  V z

101

6 Festigkeitshypothesen

Lösung zu Aufgabe 6.2 a) Berechnung der Lastspannungen durch Fz:

Vx {Vz

Fz A

durch Fd:

Vx { Vd

 Fz A

durch Mt:

W xy { W t

Mt Wt

durch Mb: V x { V b

Mb Wb

100 000 Nmm

S

50,9 N/mm 2

˜ 50 mm 4 100 000 Nmm 2

S

˜ 50 mm 4 1500 000 Nmm

S

˜ 50 mm 16 1 000 000 Nmm

S 32

50,9 N/mm 2

2

61,1 N/mm 2

3

81,5 N/mm 2

˜ 50 mm

3

b) Die Konstruktion der Mohr‘schen Spannungskreise erfolgt analog zu Aufgabe 6.1 (Konstruktionsbeschreibung siehe Lösung zu Aufgabe 6.1d).

c) Lastfall 1 Berechnung der Hauptnormalspannungen:

V H1; H2 V H1

Vz

2

§V · r ¨ z ¸  W t2 2 © 2 ¹

91,7 N/mm 2

V H2  40,7 N/mm 2 V H3 0

2

50,9 N/mm 2 § 50,9 · 2 2 r ¨ ¸  61,1 N/mm 2 2 © ¹

102

6 Festigkeitshypothesen

Lastfall 2 Berechnung der Hauptnormalspannungen:

V H1; H2 V H1

2

Vd

§V · r ¨ d ¸  W t2 2 © 2 ¹

2

 50,9 N/mm 2 §  50,9 · 2 2 r ¨ ¸  61,1 N/mm 2 © 2 ¹

40,7 N/mm 2

V H2  91,7 N/mm 2 V H3 0 Lastfall 3 Berechnung der Hauptnormalspannungen:

V H1; H2

2

Vb

§V · r ¨ b ¸  W t2 2 © 2 ¹

V H1

114,2 N/mm 2

V H2 V H3

32,7 N/mm 2

2

81,5 N/mm 2 § 81,5 · 2 2 r ¨ ¸  61,1 N/mm 2 © 2 ¹

0

d) und e) Ordnen der Hauptnormalspannungen gemäß: V1 := max{VH1, VH2, VH3}

V3 := min{VH1, VH2, VH3} V3 < V2 < V1 und Ansetzen der Schubspannungs- bzw. Gestaltänderungsenergiehypothese:

V V SH

V VGEH

V1  V 3 1 2

˜

V 1  V 2 2  V 2  V 3 2  V 3  V 1 2 Lastfall 1

Lastfall 2

Lastfall 3

V1 = 91,7 N/mm2 V2 = 0 V3 = -40,7 N/mm2

V1 = 40,7 N/mm2 V2 = 0 V3 = -91,7 N/mm2

V1 = 114,2 N/mm2 V2 = 0 V3 = -32,7 N/mm2

VV SH

132,4 N/mm2

132,4 N/mm2

146,9 N/mm2

VV GEH

117,5 N/mm2

117,5 N/mm2

133,6 N/mm2

SF = Rp0,2 / VV GEH

3,49

3,49

3,07

103

6 Festigkeitshypothesen

Lösung zu Aufgabe 6.3 a) Berechnung der Lastspannungen

Vx {Vz

Fz A

W xy { W t

Mt Wt

890 000 N

S

139,9 N/mm 2

˜ 90 mm 4 14 000 000 Nmm 2

S 16

97,8 N/mm 2

˜ 90 mm

3

Konstruktion des Mohr‘schen Spannungskreises Die Konstruktion des Mohr‘schen Spannungskreises erfolgt analog zu Aufgabe 6.1 (Konstruktionsbeschreibung siehe Lösung zu Aufgabe 6.1d).

Berechnung der Hauptnormalspannungen 2

Vz

§V · r ¨ z ¸  W t2 2 © 2 ¹

V H1; H2

2

139,9 N/mm 2 § 139,9 · 2 2 r ¨ ¸  97,8 N/mm 2 © 2 ¹

ı H1 190,2 N/mm 2 ı H2

-50,3 N/mm 2

ı H3

0

Ordnen der Hauptnormalspannungen V1 := max{VH1, VH2, VH3} = 190,2 N/mm2

V3 := min{VH1, VH2, VH3} = -50,3 N/mm2 V3 < V2 < V1 damit folgt V2 = 0 Festigkeitsbedingung (Fließen) unter Verwendung der SH

V V SH d V zul V1  V 3 SF

Re SF

Re SF

Re

V V SH

Re V1  V 3

490 N/mm 2 (190,2  50,3) N/mm 2

2,04 (ausreichend, da S F ! 1,20)

104

6 Festigkeitshypothesen

Falls mit der GEH gerechnet wurde: SF = 2,23

Alternative Lösung Die Vergleichsspannung nach der Schubspannungshypothese kann auch unmittelbar aus Gleichung 6.17 im Lehrbuch (Zugbeanspruchung mit überlagerter Torsion) errechnet werden:

V z2  4 ˜ W t2

V V SH SF

Re

V V SH

139,9 2  4 ˜ 97,8 2 N/mm 2

Re V1 V 3

490 N/mm 2 240,48 N/mm 2

240,48 N/mm 2

2,04 (ausreichend, da ! 1,20)

b) Festigkeitsbedingung (Fließen)

V V SH d

Rp0,2 SF

V z2  4 ˜ W t2 Wt

1 ˜ 2

Rp0,2 SF 2

§ Rp0,2 · 2 ¨ ¸ ¨ S ¸ Vz © F ¹

1 ˜ 2

2

§ 900 N/mm 2 · ¨ ¸  139,9 N/mm 2 ¨ ¸ 2 , 04 © ¹





2

209,5 N/mm 2

Damit folgt für das Torsionsmoment Mt*: M t*

W t ˜ Wt

S ˜d3 16

˜W t

S ˜ 90 mm 3 16

˜ 209,5 N/mm 2

29 946,9 Nm

Falls mit der GEH gerechnet wurde (SF = 2,23): Mt* = 31 286,1 Nm

105

6 Festigkeitshypothesen

Lösung zu Aufgabe 6.4 a) Berechnung der Zugspannung in der Spindel Fz A

Vx {Vz

280 000 Nmm

S 4

396,1 N/mm 2

˜ 30 mm

2

Berechnung der Verlängerung der Spindel mit Hilfe des Hooke’schen Gesetzes (einachsiger Spannungszustand): 'l l0

Vz

E ˜H

'l

V z ˜ l0

396,1 N/mm 2 ˜ 650 mm

E

210 000 N/mm 2

E˜

1,226 mm

b) Berechnung der Schubspannung aus Torsion Mt Wt

W xy { W t

2 000 000 Nmm

S 16

377,3 N/mm 2

˜ 30 mm

3

c) Konstruktion des Mohr‘schen Spannungskreises Die Konstruktion des Mohr‘schen Spannungskreises erfolgt analog zu Aufgabe 6.1 (Konstruktionsbeschreibung siehe Lösung zu Aufgabe 6.1d).

Berechnung der Hauptnormalspannungen

Vz

ı H1

624,2 N/mm 2

ı H2

228,1 N/mm 2

ı H3

2

§V · r ¨ z ¸  W t2 2 © 2 ¹

V H1; H2

2

396,1 N/mm 2 § 396,1 · 2 2 r ¨ ¸  377,3 N/mm 2 © 2 ¹

0

d) Festigkeitsbedingung Anwendung der NH, da voraussetzungsgemäß spröder Werkstoff:

V V NH

V1

Rm

Rm

106

6 Festigkeitshypothesen

Damit folgt aus der Festigkeitsbedingung: 2

Vz

§V ·  ¨ z ¸  W t2 2 © 2 ¹ 2

§Vz · 2 ¨ ¸ Wt © 2 ¹ 2

§Vz · 2 ¨ ¸ Wt © 2 ¹

Rm

V Rm  z 2 V · § ¨ Rm  z ¸ 2 ¹ © 2

quadrieren 2

Wt

V · §V · § ¨ Rm  z ¸  ¨ z ¸ 2 ¹ © 2 ¹ ©

Mt

Wt ˜ W t

S ˜d3 16

˜W t

2

2

2

396,1 · § 396,1 · § 2 2 ¨1800  ¸ ¨ ¸ N/mm 1589,7 N/mm 2 2 © ¹ © ¹

S ˜ 30 mm 3 16

˜ 1589,7 N/mm 2

8 427,5 Nm

107

6 Festigkeitshypothesen

Lösung zu Aufgabe 6.5 a) Es liegt eine 0°45°-90° DMSRosette vor. Daher kann der Mohr’sche Verformungskreis entsprechend Kapitel 4.4.2 (siehe Lehrbuch) auf einfache Weise konstruiert werden. Berechnung von Mittelpunkt und Radius des Mohr‘schen Verformungskreises

HM R

HA  HC 2

3,159 ‰   0,479 ‰ 1,34 ‰ 2

H A  H M 2  H M  H B 2 3,159 ‰  1,34 ‰ 2  1,34 ‰  0,552 ‰ 2

1,982 ‰

Berechnung des Winkels D zwischen der Messrichtung von DMS A und der Hauptdehnungsrichtung HH1 § H  HB arctan¨¨ M © HA  HM

D

· ¸¸ ¹

§ 1,34 ‰  0,552 ‰ · ¸¸ arctan¨¨ © 3,159 ‰  1,34 ‰ ¹

23,42q

Damit folgt für den Winkel E zwischen der x-Richtung und der Hauptdehnungsrichtung HH1 E D  2 ˜ 20q 23,42q  40q 63,42q Berechnung der Dehnungen in x- und y-Richtung (Hx und Hy)

Hx Hy

H M  R ˜ cos E 1,34 ‰  1,982 ‰ ˜ cos 63,42q 2,227 ‰ H M  R ˜ cos E 1,34 ‰  1,982 ‰ ˜ cos 63,42q 0,453 ‰

Berechnung der Schiebung Jxy mit der x-Richtung als Bezugsrichtung

J xy 2

J xy

R ˜ sin E

1,982 ‰ ˜ sin 63,42q 1,773 ‰

3,545 ‰

(Winkelvergrößerung gemäß Vorzeichenregelung für Schiebungen)

Berechnung der Normalspannungen Vx und Vy durch Anwendung des Hooke’schen Gesetzes (zweiachsiger Spannungszustand)

Vx

E 1 P

2



˜ Hx  P ˜Hy



75 000 N/mm 2 1  0,33

2

˜ 2,227  0,33 ˜ 0,453 ˜ 10  3

200 N/mm 2

108

6 Festigkeitshypothesen

E

Vy



˜ Hy  P ˜Hx 1 P2



75 000 N/mm 2 1  0,33

2

˜ 0,453  0,33 ˜ 2,227 ˜ 10  3

100 N/mm 2

Berechnung der Schubspannung Wxy durch Anwendung des Hooke’schen Gesetzes für Schubspannungen

W xy

G ˜ J xy

E ˜ J xy 2 ˜ 1  P

75 000 N/mm 2 ˜ 3,545 ˜ 10  3 2 ˜ 1  0,33

100 N/mm 2

Die Schubspannung wirkt entsprechend der Abbildung zu Aufgabe 6.5. b) Berechnung der Hauptdehnungen HH1 und HH2

H H1 H M  R 1,34 ‰  1,982 ‰ 3,322 ‰ H H2 H M  R 1,34 ‰  1,982 ‰ 0,642 ‰ Ermittlung der Richtungswinkel M1 und M2 zwischen der x-Richtung und den Hauptdehnungsrichtungen Aus dem Mohr’schen Verformungskreis folgt: 2 ˜ M1

M1

E 31,71q

2 ˜M2

M2

63,42q

(gemäß der eingezeichneten Drehrichtung im math. negativen Sinn)

2 ˜ M1  180q

63,42q  180q 116,58q

58,29q (gemäß der eingezeichneten Drehrichtung im math. positiven Sinn)

Berechnung der Hauptspannungen VH1 und VH2 Die Hauptspannungen errechnet man aus den Hauptdehnungen mit Hilfe des Hooke‘schen Gesetzes für den zweiachsigen Spannungszustand: E ˜ H H1  P ˜ H H2 V H1 1 P2 75 000 N/mm 2 1  0,33

V H2

E 1 P2

2

˜ 3,322  0,33 ˜  0,642 ˜10 3

261,77 N/mm 2

˜ H H2  P ˜ H H1

75 000 N/mm 2 1  0,332

˜  0,642  0,33 ˜ 3,322 ˜ ˜ 10 3

38,23 N/mm 2

Anmerkung: Alternativ können die Hauptspannungen auch aus den in Aufgabenteil a) errechneten Lastspannungen Vx und Vy und Wxy ermittelt werden (Gleichungen 3.38 und 3.39 in Kapitel 3.3.2.3 im Lehrbuch). c) Die Verminderung der Plattendicke ergibt sich aus dem Hooke‘schen Gesetz für den zweiachsigen Spannungszustand

109

6 Festigkeitshypothesen

Berechnung der Dehnung Hz in z-Richtung

Hz



P

˜ (V x  V y )

E



0,33 75 000 N/mm 2



˜ 200 N/mm 2  100 N/mm 2



- 0,00132

Damit folgt für die Verminderung der Plattendicke 't:

't

Hz ˜t

0,00132 ˜ 15 mm

0,0198 mm

19,8 µm

d) Berechnung der Vergleichsspannung VV mit Hilfe der Schubspannungshypothese

V V SH

V1  V 3

mit V1 = VH1 und V3 = 0 folgt:

V V SH V1 261,77 N/mm2 Anmerkung: Das gleiche Ergebnis erhält man auch mit Gleichung 6.16 im Lehrbuch. Festigkeitsbedingung V V SH d V zul

V1

Rp0,2 SF

Damit folgt für die Sicherheit gegen Fließen (SF): SF

Rp0,2

V1

380 N/mm 2 261,77 N/mm 2

1,45

(ausreichend, da SF > 1,20)

110

6 Festigkeitshypothesen

Lösung zu Aufgabe 6.6 a) Es liegt eine 0°-45°-90° DMS-Rosette vor. Daher kann der Mohr’sche Verformungskreis entsprechend Kapitel 4.4.2 (siehe Lehrbuch) auf einfache Weise konstruiert werden.

Berechnung von Mittelpunkt und Radius des Mohr‘schen Verformungskreises

Ha  Ht

HM

2

0,50 ‰  0,90 ‰ 2

0,20 ‰

H t  H M 2  H 45  H M 2

R

0,90 ‰  0,20 ‰ 2  0,84 ‰  0,2 ‰ 2

0,9485 ‰

Berechnung des Winkels D zwischen der Tangentialrichtung und der Hauptdehnungsrichtung HH1

D

§ H  HM arctan¨¨ 45 © Ht  HM

· ¸¸ ¹

§ 0,84 ‰  0,2 ‰ · ¸¸ arctan¨¨ © 0,90 ‰  0,20 ‰ ¹

42,44q

Berechnung der Hauptdehnungen HH1 und HH2

H H1 H M  R 0,2 ‰  0,9485 ‰ 1,149 ‰ H H2 H M  R 0,2 ‰  0,9485 ‰ 0,749 ‰ Ermittlung der Richtungswinkel M1 und M2 zwischen der Axialrichtung und den Hauptdehnungsrichtungen HH1 und HH2 Aus dem Mohr’schen Verformungskreis folgt: 2 ˜ M1 180q  D 180q  42,44q 137,56q

M1

68,78q

2 ˜M2

M2

D

(gemäß der eingezeichneten Drehrichtung im math. positiven Sinn) 42,44q

21,22q (gemäß der eingezeichneten Drehrichtung im math. negativen Sinn)

111

6 Festigkeitshypothesen

Berechnung der Hauptspannungen VH1 und VH2 Die Hauptspannungen errechnet man aus den Hauptdehnungen mit Hilfe des Hooke‘schen Gesetzes für den zweiachsigen Spannungszustand:

V H1

E

˜ H H1  P ˜ H H2

1 P2

210 000 N/mm 2 1  0,30 E

V H2

2

˜ 1,149  0,30 ˜  0,749 ˜ 10  3

213,2 N/mm 2

˜ H H2  P ˜ H H1

1 P2

210 000 N/mm 2 1  0,30 2

˜  0,749  0,30 ˜ 1,149 ˜ ˜ 10  3

93,2 N/mm 2

b) Berechnung der Vergleichsspannung VV mit Hilfe der Gestaltänderungsenergiehypo-

these 1

V V GEH mit V 1

V 1  V 2 2  V 2  V 3 2  V 3  V 1 2

213,2 N/mm 2

V H1

V2

˜

2

0 93,2 N/mm 2

V 3 V H2 folgt: 1

V V GEH

2

˜ 213,2 2   93,2 2   93,2  213,2 2 N/mm 2

272,1 N/mm 2

c) Festigkeitsbedingung

V V GEH d V zul V V GEH

Rp0,2 SF

Damit folgt für die Sicherheit gegen Fließen (SF): SF

Rp0,2

850 N/mm 2

V V GEH

272,1 N/mm 2

3,12

(ausreichend, da SF > 1,20)

112

6 Festigkeitshypothesen

Lösung zu Aufgabe 6.7 a) Berechnung der Spannung in Längsrichtung (Zugrichtung)

Vl

F1 A

4 ˜ 320 000 N

F1

S 4

˜d

2

ʌ ˜ 30 mm 2

452,71 N/mm 2

Konstruktion des Mohr’schen Spannungskreises Zur Konstruktion des Mohr’schen Spannungskreises benötigt man die Spannungen in zwei zueinander senkrechten Schnittflächen. Bekannt sind die Spannungen in den Schnittflächen mit der x- und der y-Richtung als Normale. Eintragen der entsprechenden Bildpunkte Py (Vl | 0) und Px (0 | 0). Px und Py repräsentieren die Spannungen in den Schnittflächen mit der x- und der y-Richtung als Normale. Da die beiden Schnittebenen einen Winkel von 90° zueinander einschließen, liegen die Bildpunkte Px und Py auf einem Kreisdurchmesser. Damit ist der Mohr'sche Spannungskreis festgelegt (siehe Abbildung). Die Bildpunkte Px‘ und Py‘, welche die Spannungen in den Schnittflächen mit der x‘- bzw. y‘Richtung als Normale repräsentieren, erhält man durch Abtragen der Richtungswinkel 2˜D bzw. 2˜D + 180°, ausgehend vom Bildpunkt Py (gleicher Drehsinn zum Lageplan). Aus dem Mohr‘schen Spannungskreis folgt die Normalspannungen Vx‘ und Vy’:

V y'

V x'

Vl



Vl



Vl

Vl

˜ 1  cos 2D 2 2 2 452,71 N/mm 2 ˜ 1  cos2 ˜ 15q 422,38 N/mm 2 2

Vl

˜ cos 2D

Vl

˜ 1  cos 2D 2 2 2 452,71 N/mm 2 ˜ 1  cos2 ˜ 15q 30,33 N/mm 2 2 ˜ cos 2D

113

6 Festigkeitshypothesen

Berechnung der Dehnung in y‘-Richtung (Messrichtung des DMS) durch Anwendung des Hooke’schen Gesetzes für den zweiachsigen Spannungszustand

H y' { H DMS

1 ˜ V y'  P ˜ V x' E



0,002026

422,31 N/mm 2  0,30 ˜ 30,33 N/mm 2 204 000 N/mm 2



2,026 ‰

b) Für die Dehnung in Messrichtung des DMS ergibt sich aus dem vorhergehenden Aufgabenteil:

H y' { H DMS

1 ˜ V y'  P ˜ V x' E



Vl



V 1 ªV l º ˜ ˜ 1  cos 2D  P ˜ l ˜ 1  cos 2D » 2 E «¬ 2 ¼

˜ >1  cos 2D  P ˜ 1  cos 2D @

2˜ E

Damit folgt für die Spannung Vl in Längsrichtung:

Vl

2 ˜ 204 000 N/mm 2 ˜ 0,003 1  cos 30q  0,30 ˜ 1  cos 30q

2 ˜ E ˜ H DMS 1  cos 2D  P ˜ 1  cos 2D

670,38 N/mm 2

Für die Zugkraft F2 erhält man dann: F2

Vl ˜A Vl ˜ 473 863 N

S

S

˜ d 2 670,38 N/mm 2 ˜ ˜ 30 mm 2 4 4 473,9 kN

c) Berechnung der Zugkraft F3 bei Fließbeginn Festigkeitsbedingung für Fließen:

Vl

Rp0,2

F3 A

Rp0,2

Damit folgt für die Zugkraft F3: F3

R p0,2 ˜ A

R p0,2 ˜

S

˜d 2

1 020 N/mm 2 ˜

4 720,9 kN

720 995 N

S 4

˜ 30 mm 2

Berechnung der Dehnungsanzeige HDMS bei Fließbeginn Die Berechnung erfolgt analog zu Aufgabenteil b):

H y' { H DMS

1 ˜ V y'  P ˜ V x' E



Vl 2˜ E



1 E

V ªV º ˜ « l ˜ 1  cos 2D  P ˜ l ˜ 1  cos 2D » 2 2 ¬ ¼

˜ >1  cos 2D  P ˜ 1  cos 2D @

114

6 Festigkeitshypothesen

mit Vl = Rp0,2 folgt schließlich: Rp0,2

H DMS

2˜ E

˜ >1  cos 2D  P ˜ 1  cos 2D @

1020 N/mm 2 2 ˜ 204 000 N/mm 2

>1  cos 30q  P ˜ 1  cos 30q @

0,004564

4,564 ‰

Alternative Lösung mit Hilfe des Mohr’schen Verformungskreises a) Berechnung der Dehnung in Längs- und Querrichtung unter der Wirkung von F1

Hl { Hy Hq { H x

Vl

452,71 N/mm 2

E

204 000 N/mm 2

P ˜ H l

0,30 ˜ 0,00222

0,00222

2,22 ‰

0,000666

0,666 ‰

Konstruktion des Mohr’schen Verformungskreises Zur Konstruktion des Mohr’schen Verformungskreises benötigt man die Verformungen in zwei zueinander senkrechten Richtungen. Bekannt sind die Verformungen mit der x- bzw. y-Richtung als Bezugsrichtung. Einzeichnen der entsprechenden Bildpunkte Px (Hq | 0) und Py (Hl | 0) in das H-J/2-Koordinatensystem. Da die x- und die y-Richtung einen Winkel von 90° zueinander einschließen, liegen die Bildpunkte Px und Py auf einem Kreisdurchmesser. Damit ist der Mohr'sche Verformungskreis festgelegt (siehe Abbildung). Den Bildpunkt Py‘, welcher die Verformungsgrößen in y‘-Richtung (Messrichtung des DMS) als Bezugsrichtung repräsentiert, erhält man durch Abtragen des Richtungswinkels 2˜D (= 2˜15°), ausgehend vom Bildpunkt Py (gleicher Drehsinn zum Lageplan). Für den Mittelpunkt und den Radius des Mohr’schen Verformungskreises erhält man:

HM R

Hl Hq 2

Hl Hq 2

2,22 ‰  0,666 ‰ 0,777 ‰ 2 2,22 ‰ -  0,666 ‰ 1,442 ‰ 2

Damit folgt die Dehnung in y‘-Richtung (Messrichtung des DMS)

H y' { H DMS

H M  R ˜ cos 2D

0,000777  0,001442 ˜ cos 30q

0,002026

2,026 ‰

115

6 Festigkeitshypothesen

b) Für die Dehnung in Messrichtung des DMS ergibt sich aus dem vorhergehenden Aufgabenteil:

H DMS { H y' H M  R ˜ cos 2D Hl  Hq

Hl  Hq

˜ cos 2D 2 2 Hl  P ˜ Hl Hl  P ˜ Hl  ˜ cos 2D 2 2 H l ˜ 1  P  H l ˜ 1  P ˜ cos 2D 2

Hl 2



˜ >1  P  1  P ˜ cos 2D @

Damit folgt für die Dehnung Hl in Längsrichtung: 2 ˜ H DMS 2 ˜ 0,003 Hl 1  P  1  P ˜ cos 2D 1  0,30  1  0,30 ˜ cos2 ˜ 15q

Vl

204 0000 N/mm 2 ˜ 003286

E ˜ Hl

0,003286

670,38 N/mm 2

Für die Zugkraft F2 erhält man dann: F2

Vl ˜ A Vl ˜

473 863 N

S

˜d2

4 473,9 kN

670,38 N/mm 2 ˜

S 4

˜ 30 mm 2

c) In Aufgabenteil c) wurde die Zugkraft F3 bei Fließbeginn berechnet (F3 = 720 995 N). Die Berechnung der Dehnungsanzeige HDMS erfolgt analog zu Aufgabenteil a) der alternativen Lösung. Berechnung der Dehnung in Längs- und Querrichtung bei Fließbeginn

Hl { H y

Vl

Rp0,2

E

E

Hq { H x

P ˜ H l

1 020 N/mm 2

204 000 N/mm 2 0,30 ˜ 0,005 0,0015

0,005

Für den Mittelpunkt und den Radius des Mohr’schen Verformungskreises erhält man:

HM R

Hl  Hq 2

Hl  Hq 2

0,005  0,0015 0,00175 2 0,005  0,0015 0,00325 2

Berechnung der Dehnungsanzeige HDMS bei Fließbeginn

H y' { H DMS

H M  R ˜ cos 2D

0,00175  0,00325 ˜ cos 30q

0,004564

4,564 ‰

116

6 Festigkeitshypothesen

Lösung zu Aufgabe 6.8 a) Berechnung des Biegemomentes Mb sowie des Torsionsmomentes Mt an der Einspannstelle Mb

F1 ˜ a

5 000 N ˜ 0,1 m

Mt

F1 ˜ b

5 000 N ˜ 0,05 m

500 Nm 250 Nm

b) Berechnung der Lastspannungen aus Biegung und Torsion Mb Wb

Vx { Vb

Mb

S 32

W xy

Wt

Mt Wt

˜d

500 000 Nm

Mt

S 16

S

3

32

˜ 30 mm

250 000 Nm

˜d

3

S 16

188,63 N/mm 2

3

47,16 N/mm 2

˜ 30 mm

3

Konstruktion des Mohr’schen Spannungskreises Eintragen des Bildpunktes Px (Vb | -Wt) und des Bildpunktes Py (0 | Wt) in das V-W-Koordinatensystem unter Beachtung der speziellen Vorzeichenregelung für Schubspannungen. Bildpunkt Px repräsentiert den Spannungszustand in der Schnittebene mit der x-Achse als Normalenvektor. Bildpunkt Py repräsentiert den Spannungszustand in der Schnittebene mit der y-Achse als Normalenvektor. Da die beiden Schnittebenen einen Winkel von 90° zueinander einschließen, müssen die Bildpunkte Px und Py auf einem Kreisdurchmesser liegen. Die Strecke PxPy schneidet die V-Achse im Kreismittelpunkt M. Kreis um M durch die Bildpunkte Px oder Py ist der gesuchte Mohr’sche Spannungskreis (siehe Abbildung). Berechnung der Hauptnormalspannungen VH1 und VH2

V H1; H2

Vb

V H1 199,76 N/mm 2 V H2

2

§V · r ¨ b ¸  IJ 2t 2 © 2 ¹

11,13 N/mm 2

2

188,63 § 188,63 · 2 2 N/mm 2 r ¨ ¸  47,16 N/mm 2 © 2 ¹

117

6 Festigkeitshypothesen

Berechnung der Vergleichsspannung VV mit Hilfe der Schubspannungshypothese

V V SH

V1  V 3

mit V1 = VH1 V2 = 0 V3 = VH2 folgt für die Vergleichsspannung VV SH:



V 1  V 3 199,76 N/mm 2   11,13 N/mm 2

V V SH



210,89 N/mm 2

Festigkeitsbedingung V V SH d V zul Rp0,2

V V SH

SF

Damit folgt für die Sicherheit gegen Fließen (SF): SF

Rp0,2

780 N/mm 2

V V SH

210,89 N/mm 2

3,69

(ausreichend, da SF > 1,20)

Alternative Lösung Die Vergleichsspannung nach der Schubspannungshypothese kann auch unmittelbar aus Gleichung 6.17 (Biegebeanspruchung mit überlagerter Torsion, siehe Lehrbuch) errechnet werden:

V b2  4 ˜ W t2

V V SH SF

188,632  4 ˜ 47,16 2 N/mm 2

780 N/mm 2 210,89 N/mm 2

Rp0,2

V V SH

210,89 N/mm 2

3,69 (ausreichend, da S F ! 1,20)

c) In Analogie zu Aufgabenteil b) folgt für die Hauptnormalspannungen:

V H1; H2

Vb Vz 2

2

§V Vz · 2 r ¨ b ¸  IJt 2 ¹ ©

Damit folgt für die Vergleichsspannung VV SH nach der Schubspannungshypothese unter Berücksichtigung von V1 = VH1, V2 = 0 und V3 = VH2:

V V SH

V1  V 3

Vb Vz 2

§ · 2 2 §V Vz · §V Vz · 2 ¨V Vz 2¸  ¨ b  ¨ b ¸  IJt  ¨ b ¸  IJt ¸ 2 2 2 ¹ © ¹ © ¨ ¸ © ¹

V b  V z 2  4 ˜ IJ 2t Anmerkung: Dieses Ergebnis hätte man auch direkt aus Gleichung 6.17 (siehe Lehrbuch) erhalten.

118

6 Festigkeitshypothesen

Festigkeitsbedingung (Bruch)

V V SH d Rm

V b  V z 2  4 ˜ IJ 2t V b  V z 2  4 ˜ IJ 2t

Rm

quadrieren

2 Rm

Damit folgt für die Zugspannung Vz:

1050 N/mm  4 ˜ 47,16 N/mm 2 2

2 Rm  4 ˜ IJ 2t  V b

Vz

2 2

 188,63 N/mm 2

857,13 N/mm 2

Für die Zugkraft F2 folgt dann schließlich:

Vz ˜ A Vz ˜

F2

S 4

˜d2

857,13 N/mm 2 ˜

S 4

˜ 30 mm 2

605 870 N

605,87 kN

d) Berechnung der Lastspannungen (Biegung und Torsion) Mb Wb

Vb

S 16

S ˜d3

˜d3

32 Mt

Mt Wt

Wt

32 ˜ F1 ˜ a

Mb

S

16 ˜ F1 ˜ b

S ˜d3

˜d3

Aus Aufgabenteil c) folgt für die Vergleichsspannung VV SH nach der Schubspannungshypothese (Vz = 0):

V V SH

V b 2  4 ˜ IJ 2t

Festigkeitsbedingung

V V SH d

Rm SB

V b 2  4 ˜ IJ 2t

Rm SB § Rm · ¨¨ ¸¸ © SB ¹

2

V b  4 ˜ IJ 2t 2

quadrieren 2

§ 32 ˜ F1 ˜ a · § 16 ˜ F1 ˜ b · ¸  4 ˜ ¨¨ ¨¨ ¸¸ 3 ¸ © S ˜d ¹ © S ˜d3 ¹

§ Rm ¨¨ © SB

2 1 ª§ 32 ˜ F1 ˜ a · § 16 ˜ F1 ˜ b ·º «¨ 4  ˜ ˜ ¨ ¸» ¸ S S © ¹»¼ ¹ d 6 «¬©

· ¸¸ ¹

2

§ Rm ¨¨ © SB

· ¸¸ ¹

2

119

6 Festigkeitshypothesen

Damit folgt für den Durchmesser d:

d

ª 2 2º « §¨ 32 ˜ F1 ˜ a ·¸  4 ˜ §¨ 16 ˜ F1 ˜ b ·¸ » «© S S ¹ © ¹ » « » 2 § Rm · « » ¨¨ ¸¸ « » S © B¹ ¬ ¼

6

2 ª § 32 ˜ 5000 N ˜100 mm · 2 § 16 ˜ 5000 N ˜ 50 mm · º «¨ ¸ » ¸  4˜¨ S S «© ¹ » © ¹ « » 2 2 ( 440 N/mm / 2 ) « » «¬ »¼

6

29,58 mm

120

6 Festigkeitshypothesen

Lösung zu Aufgabe 6.9 a) Zuordnung der Dehnungsanzeigen zu den einzelnen Messstellen Messstelle

Belastung DMS A

DMS B

DMS C

DMS D

FZ

Hz AZ + Hb AZ

Hz BZ = Hz AZ

Hz CZ + Hb CZ =Hz AZ - Hb AZ

Hz DZ = Hz AZ

FS

Hb AS

0 1)

Hb CS = -Hb AS

01)

FQ

01)

Hb BQ

01)

Hb DQ = -Hb BQ

1)

neutrale Faser

Die Dehnungsmesssteifen A und C verformen sich nur durch die Beanspruchung aus FZ und FS (siehe Tabelle). Die Verformungen durch die einzelnen Beanspruchungen können linear superponiert werden. Es gilt:

HA

H z AZ  H b AZ  H b AS und

HC

H z CZ  H b CZ  H b CS

(1)

H z AZ  H b AZ  H b AS

(2)

Gleichung 1 und 2 addiert liefert für Hz AZ:

H z AZ

HA  HC

2,2312 ‰  2,0372 ‰ 2

2 0,097 ‰

Berechnung der Zugspannung Vz bzw. der Zugkraft FZ Hooke’sches Gesetz (einachsiger Spannungszustand):

Vz

E ˜ H z AZ

FZ

VZ ˜

S 4

210 000 N/mm 2 ˜ 0,097 ˜ 10 3

˜d2

20,37 N/mm 2 ˜

S 4

˜ 50 mm 2

20,37 N/mm 2

39 996 N

b) Für die Dehnung des DMS A infolge Biegebeanspruchung aus FZ und FS (Hb AZ) folgt:

H b AZ  H b AS { H bA

H A  H z AZ

2,2312 ‰ - 0,097 ‰

2,1342 ‰

Berechnung der Biegespannung VbA bzw. der Kraft FS Hooke’sches Gesetz (einachsiger Spannungszustand):

V bA

E ˜ H bA

V bA

M bz Wbz

210 000 N/mm 2 ˜ 2,1342 ˜ 10 3

FS ˜ a  FZ ˜ b

S 32

˜d3

448,18 N/mm 2

121

6 Festigkeitshypothesen

Damit folgt für die Kraft FS: FS

§S · 1 3 ¨ ˜ d ˜ V bA  FZ ˜ b ¸ ˜ © 32 ¹ a

S FS

32

˜ 50 mm 3 ˜ 448,18 N/mm 2  39 996 N ˜ 120 mm 2 001 N

350 mm

c) Die Dehnungsmessstreifen B und D verformen sich nur durch die Beanspruchung aus FZ und FQ (siehe Tabelle). Die Verformungen durch die einzelnen Beanspruchungen können ebenfalls linear superponiert werden. Es gilt:

HB

H z BZ  H b BQ

H z AZ  H b BQ

(3)

Aus Gleichung 3 folgt für Hb BZ:

H b BQ

H B  H z AZ

0,7761 ‰  0,097 ‰

0,6791 ‰

Berechnung der Biegespannung VbB bzw. der Kraft FQ Hooke’sches Gesetz (einachsiger Spannungszustand):

V bB V bB

210 000 N/mm 2 ˜ 0,6791 ˜10 3

E ˜ H b BQ M by

FQ ˜ a

Wby

S 32

142,61 N/mm 2

˜d3

Damit folgt für die Kraft FQ: FQ

S 32

˜ d 3 ˜ V bA ˜

S FQ

32

1 a

˜ 50 mm 3 ˜ 142,61 N/mm 2 5 000 N

350 mm

d) Berechnung der Lastspannungen an der Stelle 1 (Messstelle von DMS A)

V zA

20,37 N/mm 2

(siehe Aufgabenteil a)

V bA

448,18 N/mm 2

(siehe Aufgabenteil b)

W tA

Mt Wt

FQ ˜ b

S 16

˜d

3

5 000 N ˜ 120 mm

S 16

24,45 N/mm 2

˜ 50 mm

3

Berechnung der Vergleichsspannung nach der Schubspannungshypothese Die Vergleichsspannung nach der Schubspannungshypothese kann unmittelbar aus Gleichung 6.17 (Biegebeanspruchung mit überlagerter Torsion, siehe Lehrbuch) errechnet werden:

122

6 Festigkeitshypothesen

V bA  V zA 2  4 ˜ IJ 2tA

V V SH

448,18 N/mm

2

 20,37 N/mm 2

 4 ˜ 24,45 N/mm 2

2 2

471,09 N/mm 2

Festigkeitsbedingung (Fließen)

V V SH d V zul

Rp0,2 SF

Damit folgt für die Sicherheit gegen Fließen (SF): SF

Rp0,2

800 N/mm 2

V V SH

471,09 N/mm 2

1,69

(ausreichend, da SF > 1,20)

Analog folgt für die Sicherheit gegen Bruch (SB): SB

Rm

1 080 N/mm 2

V V SH

471,09 N/mm 2

2,29

(ausreichend, da SB > 2,0)

6 Festigkeitshypothesen

123

Lösung zu Aufgabe 6.10 Der unlegierte (allgemeine) Baustahl S235JR ist ein duktiler Werkstoff. Das Versagen erfolgt durch einen (duktilen) Verformungsbruch nach vorausgegangener plastischer Verformung. Die plastische Verformung infolge von Versetzungsbewegungen findet bevorzugt in Ebenen mit der größten Schubspannung statt. Aus dem Mohr’schen Spannungskreis ist ersichtlich, dass bei reiner Torsionsbeanspruchung die Ebenen mit der größten Schubbeanspruchung die x- bzw. y-Achse als Normale besitzen (Bildpunkte Px und Py im Mohr’schen Spannungskreis). Ein Bruch ist demzufolge in diesen Ebenen zu erwarten.

Die Graugusssorte EN-GJL-250 ist ein spröder Werkstoff. Das Versagen erfolgt durch einen (spröden) Trennbruch. Derartige Trennbrüche verlaufen stets senkrecht zur größten Normalspannung. Aus dem Mohr’schen Spannungskreis ist ersichtlich, dass bei reiner Torsionsbeanspruchung diese Ebenen die x’- bzw. y’-Achse als Normale besitzen (Bildpunkte Px’ und Py’ im Mohr’schen Spannungskreis). Ein Bruch ist demzufolge in Ebenen, die um 45° zur Längsachse gedreht sind, zu erwarten.

124

6 Festigkeitshypothesen

Lösung zu Aufgabe 6.11 Berechnung der Lastspannungen an der Einspannstelle

Vb

F ˜ (a  c)

Mb Wb

S

˜d

32

Wt

S 16

˜d

S ˜ 50 mm 3 16 ˜ F ˜ b

F ˜b

Mt Wt

32 ˜10 000 N ˜ 250 mm  100 mm

3

3

S ˜d

3

16 ˜ 10 000 N ˜ 200 mm

S ˜ 50 mm 3

122,23 N/mm 2

81,49 N/mm 2

Berechnung der Vergleichsspannung Die Vergleichsspannung nach der Schubspannungshypothese kann unmittelbar aus Gleichung 6.17 (Biegebeanspruchung mit überlagerter Torsion, siehe Lehrbuch) errechnet werden:

V V SH

V b2  4 ˜ IJ 2t

122,23 N/mm  4 ˜ 81,49 N/mm 2 2

2 2

203,72 N/mm 2

Festigkeitsbedingung (Fließen)

V V SH d V zul

Rp0,2 SF

Damit folgt für die Sicherheit gegen Fließen (SF): SF

Rp0,2

460 N/mm 2

V V SH

203,72 N/mm 2

2,26

(ausreichend, da SF > 1,20)

125

6 Festigkeitshypothesen

Lösung zu Aufgabe 6.12 a) Berechnung der Verformungen Hx, HJ und Jxy Hooke’sches Gesetz (zweiachsiger Spannungszustand)

Hx

1 ˜ (V x  P ˜ V y ) E

250 N/mm 2  0,30 ˜ 130 N/mm 2

Hy

1 ˜ (V y  P ˜ V x ) E

130 N/mm 2  0,30 ˜ 250 N/mm 2

210 000 N/mm 2 210 000 N/mm 2

0,001005 1,005 ‰

0,000262 0,2619 ‰

Hooke’sches Gesetz für Schubbeanspruchung

J xy

W xy

W xy

G

E 2 ˜ 1  P

150 N/mm 2 210 000 N/mm 2 2 ˜ 1  0,30

0,001857 1,857 ‰

Konstruktion des Mohr’schen Verformungskreises Zur Konstruktion des Mohr’schen Verformungskreises benötigt man die Verformungen in zwei zueinander senkrechten Richtungen. Bekannt sind die Verformungen mit der x- bzw. y-Richtung als Bezugsrichtung. Einzeichnen der entsprechenden Bildpunkte Px (Hx | 0,5˜Jxy) und Py (Hy | 0,5˜Jyx) in das H-J/2-Koordinatensystem unter Berücksichtigung der Vorzeichenregelung für Schiebungen. Da die x- und die y-Richtung einen Winkel von 90° zueinander einschließen, müssen die Bildpunkte Px und Py auf einem Kreisdurchmesser liegen. Die Strecke PxPy schneidet die H-Achse im Kreismittelpunkt HM. Kreis um HM durch die Bildpunkte Px und Py ist der gesuchte Mohr'sche Verformungskreis (siehe Abbildung). Für den Mittelpunkt und den Radius des Mohr’schen Verformungskreises erhält man:

HM

Hx  Hy 2

1,005 ‰  0,2619 ‰ 2 2

R

§ H x  H y · § J xy · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 2 ¸ ¨ 2 ¸ © ¹ © ¹

2

0,6333 ‰ 2

§ 1,005 ‰  0,2619 ‰ · § 1,857 ‰ · ¸ ¨ ¸ ¨ 2 2 ¹ ¹ © ©

2

1,00010 ‰

126

6 Festigkeitshypothesen

Berechnung des Winkels M zwischen x-Richtung und Hauptdehnungsrichtung HH1 2 ˜ M1

arctan

J xy / 2

arctan

(H x  H y ) / 2

 1,857 ‰ / 2

1,005 ‰  0,2619 ‰ / 2

68,19q

Damit folgt für den Winkel D zwischen der Messrichtung von DMS A und der Hauptdehnungsrichtung HH1:

D 180q  2 ˜ 30q  2 ˜ M1

180q  2 ˜ 30q  68,19q 51,80q

Für den Winkel E zwischen der Messrichtung von DMS B und der Hauptdehnungsrichtung HH1 folgt auf analoge Weise:

E

2 ˜ M1  2 ˜ 30q  2 ˜ 120q  360q

68,19  2 ˜ 30q  2 ˜ 120q  360q 8,19q

Mit den Winkeln D und E erhält man die Bildpunkte PA und PB welche die Verformungen mit der A- und C-Richtung als Bezugsrichtung repräsentieren. Für die Dehnungen in die entsprechenden Richtungen folgt dann:

HA

H M  R ˜ cos D

HB

H M  R ˜ cos ß 0,6333 ‰  1,0001 ‰ ˜ cos 8,19q 1,6230 ‰

0,6333 ‰  1,0001 ‰ ˜ cos 51,80q

0,0148 ‰

Der Bildpunkt PC fällt mit dem Bildpunkt Py zusammen, so dass gilt:

HC { H y

0,2619 ‰

In Analogie beispielsweise zu Aufgabe 5.5b) ist es auch möglich, aus den gegebenen Lastspannungen Vx, Vy und Wxy den Mohr’schen Spannungskreis zu konstruieren. Mit Hilfe des Mohr’schen Spannungskreise können dann die Normalspannungen in A-, B- bzw. CRichtung (VA, VB und VC) und in die jeweils dazu senkrechten Schnittrichtungen (VA', VB' und VC') ermittelt werden. Die Dehnungen HA, HB und HC berechnen sich dann unter Anwendung des Hooke’schen Gesetzes für den zweiachsigen Spannungszustand wie z. B. HA = (VA - µ˜VA') / E. b) Berechnung der Hauptdehnungen HH1 und HH2

H H1 H M  R 0,6333 ‰  1,0001 ‰ 1,6334 ‰ H H2 H M  R 0,6333 ‰  1,0001 ‰ 0,3668 ‰ Berechnung der Hauptnormalspannungen VH1 und VH2 Die Hauptnormalspannungen errechnet man aus den Hauptdehnungen mit Hilfe des Hooke‘schen Gesetzes für den zweiachsigen Spannungszustand:

V H1

E 1 P2

˜ H H1  P ˜ H H2

210 000 N/mm 2 2

V H2

˜ 1,6334  0,30 ˜  0,3668 ˜ 10  3

1  0,30 E ˜ H H2  P ˜ H H1 1 P2

351,55 N/mm 2

127

6 Festigkeitshypothesen

V H2

210 000 N/mm 2 ˜  0,3668  0,30 ˜ 1,6334 ˜ ˜ 10  3 2 1  0,30

28,45 N/mm 2

Da die Richtungswinkel zu den Hauptnormalspannungen mit den Richtungswinkel zu den Hauptdehnungen zusammenfallen (isotroper Werkstoff), ist eine Ermittlung der gesuchten Winkel aus dem Mohr’schen Verformungskreis möglich. Ermittlung der Richtungswinkel M1 und M2 zwischen der x-Richtung und den Hauptspannungsrichtungen VH1 und VH2

M1 34,10q (siehe Aufgabenteil a) M 2 M1  90q 55,90q c) Ordnen der Hauptnormalspannungen: V1 := max{VH1, VH2, VH3} = 351,55 N/mm2

V3 := min{VH1, VH2, VH3} = 0 V3 < V2 < V1 o V2 = 28,45 N/mm2 Berechnung der Vergleichsspannung nach der Schubspannungshypothese

V V SH

351,55 N/mm 2  0

V1  V 3

351,55 N/mm 2

Festigkeitsbedingung Rp0,2

V V SH d V zul S F SH

S F SH

Rp0,2

570 N/mm 2

V V SH

351,55 N/mm 2

1,62 (ausreichend, da ! 1,20)

Alternative: Berechnung der Vergleichsspannung nach der GEH

V VGEH

1 2 1 2

˜

V 1  V 2 2  V 2  V 3 2  V 3  V 1 2

˜

351,55  28,45 2  28,45  0 2  0  351,55 2

N/mm 2

338,22 N/mm 2

Damit folgt für die Sicherheit gegen Fließen nach der GEH: Rp0,2 V V GEH d V zul S F GEH S F GEH

Rp0,2

V V GEH

570 N/mm 2 338,22 N/mm 2

1,68 (ausreichend, da S F ! 1,20)

d) Es liegt ein zweiachsiger Spannungszustand vor. Um eine Fallunterscheidung bei der Ermittlung der Vergleichsspannung (in Lastspannungen) zu vermeiden (siehe Lehrbuch Tabelle 6.1), ist es zweckmäßig, die Vergleichsspannung nach der GEH zu berechnen.

128

6 Festigkeitshypothesen

Für den zweiachsigen Spannungszustand ergibt sich die Vergleichsspannung nach der GEH in Lastspannungen zu: 2 V x2  V y2  V x ˜ V y  3 ˜ W xy

V V GEH

Bedingung für Fließen:

V V GEH

Rp0,2

Damit folgt: 2 V x2  V y2  V x ˜ V y  3 ˜ W xy 2 V x2  V y2  V x ˜ V y  3 ˜ W xy

W xy W xy

Rp0,2 2 Rp0,2

2  V x2  V y2  V x ˜ V y Rp0,2

3

304,41 N/mm

2

quadrieren

570 2  250 2  130 2  250 ˜ 130 N/mm 2 3

129

6 Festigkeitshypothesen

Lösung zu Aufgabe 6.13 a) Berechnung der Lastspannungen im Einspannquerschnitt Zugspannung F1x  F2 F1 ˜ cos D  F2 25 000 N ˜ cos60q  200 000 N V zug 108,23 N/mm 2 S 2 S 2 A ˜d ˜ 50mm 4 4 Schubspannung aus Torsion Mt F1z ˜ b F1 ˜ sin D ˜ b 25 000 N ˜ sin60q ˜ 100 mm Wt 88,21 N/mm 2 S 3 S 3 S 3 Wt ˜d ˜d ˜ 50mm 16 16 16 Biegespannungen x Biegung um die z-Achse:

V bz

M bz Wbz

F1x ˜ b

S

F1 ˜ cos D ˜ b

3

˜d 32 x Biegung um die y-Achse:

V by

M by Wby

F1z ˜ a  c

S 32

˜d3

S 32

˜d

25 000 N ˜ cos60q ˜ 100 mm

S

3

32

F1 ˜ sin D ˜ a  c

S 32

101,86 N/mm 2

˜ 50mm

3

25 000 N ˜ sin60q ˜ 300 mm

˜d3

S 32

˜ 50mm 3

529,28 N/mm 2

b) Ermittlung der höchst beanspruchten Stell im Einspannquerschnitt Höchst beansprucht ist die Stelle A. Dort überlagert sich die maximale Biege(zug)spannung mit der Zugspannung Vzug und der maximalen Schubspannung aus Torsion (Wt) Berechnung des Winkels E sowie der Koordinaten yA und zA M F1 ˜ cos D ˜ b E arctan bz arctan M by F1 ˜ sin D ˜ a  c

zA yA

cos60q ˜ 100 mm 10,89q sin60q ˜ 300 mm d 50 mm ˜ cos E ˜ cos10,89q 24,55 mm 2 2 d 50 mm ˜ sin E ˜ sin10,89q 4,72 mm 2 2

130

6 Festigkeitshypothesen

Berechnung der Biegespannung an der Stelle A M by M bz ˜ yA  ˜ zA Iy Iz

V bA

F1 ˜ cos D ˜ b

S

˜d4

˜ yA 

F1 ˜ sin D ˜ a  c

S

˜d4

˜ zA

64 64 64 ˜ F1 ˜ cos D ˜ b ˜ z A  sin D ˜ a  c ˜ y A S ˜d4 64 ˜ 25000 N ˜ cos 60q ˜ 100 mm ˜ 4,72 mm  sin 60q ˜ 300 mm ˜ 24,55 mm S ˜ 50 mm 4

V bA

538,98 N/mm 2

Berechnung der Vergleichsspannung an der Stelle A Anwendung der SH in Lastspannungen (Fall: Vx˜Vy < Wxy2):

V V SH

V bA  V zug 2  4 ˜W t2

538,98 N/mm

2

 108,23 N/mm 2



2



 4 ˜ 88,21 N/mm 2



2

670,82 N/mm 2

Festigkeitsbedingung Rp0,2 V V SH  V zul SF SF

1 050 N/mm 2 670,82 N/mm 2

Rp0,2

V V SH

1,57 (ausreichend, da S F ! 1,20)

Alternative Möglichkeit zur Berechnung der Biegespannung an der Stelle A V bA

Mb ˜r I

2 2  M bz M by

S 64

˜d4

˜r

2 2 M by  M bz

S 32

˜d3

>F1 ˜ sin D ˜ a  c @2  >F1 ˜ cos D ˜ b@2 S 32

˜d3

32 ˜ F1 ˜ >F1 ˜ sin D ˜ a  c @2  >F1 ˜ cos D ˜ b@2 S ˜d3 32 ˜ 25000 N ˜ sin 60q ˜ 300 mm 2  cos 60q ˜ 100 mm 2 S ˜ 50 mm 3

538,98 N/mm 2

c) Spannungsermittlung an der Messstelle des DMS An der Messstelle des DMS wirken die Spannungen Vzug, Vby und Wt. Die Biegespannung Vbz ist Null (neutrale Faser bezüglich Biegung um die z-Achse). An einem in Achsrichtung heraus getrennten Flächenelement wirken somit die Lastspannungen: in x-Richtung: V x V zug  V by 108,23 N/mm 2  529,28 N/mm 2 637,51 N/mm 2 und

Wt

88,21 N/mm 2 (vgl. spez. Vorzeichenregelung für Schubspannungen)

131

6 Festigkeitshypothesen

Vy

in y-Richtung:

Wt

0 und

88,21 N/mm 2 (vgl. spez. Vorzeichenregelung für Schubspannungen)

Konstruktion des Mohr‘schen Spannungskreises Eintragen des Bildpunktes Px (Vx | Wt) und des Bildpunktes Py (0 | -Wt) in das V-W-Koordinatensystem unter Beachtung der speziellen Vorzeichenregelung für Schubspannungen. Bildpunkt Px repräsentiert die Spannungskomponenten in der Schnittebene mit der x-Achse als Normalenvektor. Bildpunkt Py repräsentiert die Spannungskomponenten in der Schnittebene mit der yAchse als Normalenvektor. Da die beiden Schnittebenen einen Winkel von 90° zueinander einschließen, müssen die Bildpunkte Px und Py auf einem Kreisdurchmesser liegen. Die Strecke PxPy schneidet die V-Achse im Kreismittelpunkt M. Kreis um M durch die Bildpunkte Px oder Py ist der gesuchte Mohr’sche Spannungskreis (siehe Abbildung) . Berechnung von Mittelpunkt und Radius des Mohr’schen Spannungskreises

VM

Vx 2

637,51 N/mm 2 2 2

R

§Vx · 2 ¨ ¸  Wt © 2 ¹

318,76 N/mm 2 2

§ 637,51 N/mm 2 · ¨ ¸  88,21 N/mm 2 ¨ ¸ 2 © ¹





2

330,74 N/mm 2

Berechnung der Spannungen eines um den Winkel M gedrehten Flächenelementes Um die Spannungen in Schnittebenen parallel bzw. senkrecht zur Messrichtung des DMS zu erhalten, dreht man das Flächenelement um den Winkel M = 15° im mathematisch positiven Sinn (Gegenuhrzeigersinn). Die Spannungen (Vx‘ und Wx'y‘) in der Schnittebene mit der x‘Achse als Normalenvektor erhält man aus dem Mohr‘schen Spannungskreis, indem man ausgehend vom Bildpunkt Px den doppelten Richtungswinkel (2˜M) mit gleichem Drehsinn anträgt (Bildpunkt Px‘).

132

6 Festigkeitshypothesen

Die Koordinaten des Bildpunktes Px‘ sind die gesuchten Spannungskomponenten Vx‘ und Wx'y‘{ Wt‘ in der Schnittebene mit der x‘-Achse als Normalenvektor. In analoger Weise erhält man, ausgehend vom Bildpunkt Py , die Spannungen Vy‘ und Wy'x‘ { Wt‘ in der Schnittebene mit der y‘-Achse als Normalenvektor (Bildpunkt Py‘). Aus dem Mohr’schen Spannungskreis folgt: W 88,21 N/mm 2 arctan D arctan t Vx /2 637,51 N/mm 2 / 2 E D  2 ˜ 15q 45,47q

15,47q

V x' V M  R ˜ cos E 318,76 N/mm 2  330,74 N/mm 2 ˜ cos 45,47q 550,71 N/mm 2

V y' V M  R ˜ cos E 318,76 N/mm 2  330,74 N/mm 2 ˜ cos 45,47q 86,82 N/mm 2

Berechnung der Dehnung in Messrichtung des DMS (x‘-Richtung) Ansetzen des Hooke’schen Gesetzes (zweiachsig):

H x'

1 ˜ V x'  P ˜ V z ' E 550,71 N/mm 2  0,30 ˜ 86,82 N/mm 2 209 000 N/mm 2

H DMS

0,00251 2,510 ‰

Alternative Lösung mit Hilfe des Mohr’schen Verformungskreises Berechnung der Dehnungen Hx bzw. Hy in x- bzw. y-Richtung sowie der Schiebungen Jxy bzw. Jyx mit der x- bzw. y-Richtung als Bezugsrichtung

Hx Hy

J xy J yx

Vx

637,51 N/mm 2

E

209 000 N/mm 2

P ˜ H x

0,30 ˜ 3,050 ‰

0,915 ‰ 88,21 N/mm 2 209 000 N/mm 2 2 ˜ 1  0,30

W xy

Wt

Wt

G

G

E 2 ˜ 1  P

J xy

0,00305 3,050 ‰

0,001097 1,097 ‰

1,097 ‰

Bei Jxy handelt es sich gemäß der Vorzeichenregelung für Schiebungen um eine Winkelvergrößerung, bei Jyx hingegen um eine Winkelverkleinerung.

133

6 Festigkeitshypothesen

Konstruktion des Mohr’schen Verformungskreises Zur Konstruktion des Mohr’ schen Verformungskreises benötigt man die Verformungen in zwei zueinander senkrechten Richtungen. Bekannt sind die Verformungen mit der x- bzw. y-Richtung als Bezugsrichtung. Einzeichnen der entsprechenden Bildpunkte Px (Hx | 0,5˜Jxy) und Py (Hy | 0,5˜Jyx) in das H-J/2-Koordinatensystem unter Berücksichtigung der Vorzeichenregelung für Schiebungen. Da die x- und die y-Richtung einen Winkel von 90° zueinander einschließen, müssen die Bildpunkte Px und Py auf einem Kreisdurchmesser liegen. Die Strecke PxPy schneidet die H-Achse im Kreismittelpunkt HM. Kreis um HM durch die Bildpunkte Px und Py ist der gesuchte Mohr'sche Verformungskreis (siehe Abbildung). Bildpunkt Px‘ , welcher die Verformungsgrößen in x‘-Richtung (Messrichtung des DMS) als Bezugsrichtung repräsentiert, erhält man durch Abtragen des Richtungswinkels 2˜15° ausgehend vom Bildpunkt Px (gleicher Drehsinn zum Lageplan, also im Gegenuhrzeigersinn). Für den Mittelpunkt und den Radius des Mohr’schen Verformungskreises erhält man:

HM R

Hx  Hy 2

3,050 ‰  0,915 ‰ 2 § J xy © 2

H x  H M 2  ¨¨

· ¸ ¸ ¹

2

1,068 ‰

3,050  1,068 2  §¨ 1,097 ·¸

2

© 2 ¹

‰

2,056 ‰

Für den Winkel D folgt:

D

§  J xy / 2 · ¸ arctan¨¨ ¸ © Hx  HM ¹

§  1,097 ‰ / 2 · ¸¸ arctan¨¨ © 3,050 ‰  1,068 ‰ ¹

15,47q

Damit folgt für den Winkel E:

E

D  2 ˜ 15q 15,47q  30q 45,47q

Berechnung der Dehnung Hx‘ in Messrichtung des DMS Aus dem Mohr’schen Verformungskreis erhält man für die Dehnungen Hx‘ in Messrichtung des DMS:

H x'

H M  R ˜ cos E

1,068  2,056 ˜ cos 45,47q

2,510 ‰

134

7 Kerbwirkung 7.1 Formelsammlung zur Kerbwirkung Formzahl

Dk

V max bzw. D k Vn

W max Wn

Definition der Formzahl

Bauteilverhalten spröder Werkstoffe

Vn d

Rm D k ˜ SB

Festigkeitsbedingung für gekerbte Bauteile aus spröden Werkstoffen

Bauteilverhalten duktiler Werkstoffe Äußere Beanspruchung bei Fließbeginn eines gekerbten Bauteils 1)

FF

Re

Dk

˜ An

Äußere Beanspruchung mit Erreichen einer vorgegebenen plastischen Verformung 1)

Fpl

npl ˜ FF

Plastische Stützziffer

n pl

1)

H ges HF

1

H pl HF

An die Stelle der (Zug-)Kraft F können auch andere äußere Belastungsgrößen wie zum Beispiel Druckkraft Fd, Biegemoment Mb, Torsionsmoment Mt oder Innendruck pi treten.

135

7 Kerbwirkung

7.2 Lösungen zu den Übungsaufgaben Lösung zu Aufgabe 7.1 a) Ermittlung der Verhältniszahlen D d R d

50 40 5 40

1,25 0,125

Damit entnimmt man einem geeigneten Formzahldiagramm: Stab 1 : D kz

2,03

Stab 2 : D kb

1,78

Stab 3 : D kt

1,40

b) Berechnung der Nennspannungen und der maximalen Spannungen Stab 1 : F An

Vzn V z max

500 000 N ʌ ˜ 40 mm 2 4

D kz ˜ V z n

397,9 N/mm 2

2,03 ˜ 397,9 N/mm 2

807,7 N/mm 2

Stab 2 : Mb Wbn

Vbn V b max

2 500 000 Nmm ʌ ˜ 40 mm 3 32

D kb ˜ V b n

397,7 N/mm 2

1,78 ˜ 397,9 N/mm 2

708,2 N/mm 2

Stab 3 :

Wtn W t max

Mt Wtn

5 000 000 Nmm ʌ ˜ 40 mm 3 16

D kb ˜ W t n

397,9 N/mm 2

1,40 ˜ 397,9 N/mm 2

557,0 N/mm 2

136 Spannungsverläufe

7 Kerbwirkung

137

7 Kerbwirkung

Lösung zu Aufgabe 7.2 Berechnung der maximalen Spannung mit Hilfe des Hooke’schen Gesetzes (einachsiger Spannungszustand)

V max

E ˜ Hl

203 000 N/mm 2 ˜ 0,001 203 N/mm 2

Berechnung der Nennspannung F 100 000 N Vn An 150mm  15 mm ˜ 10 mm

74,07 N/mm 2

Berechnung der Formzahl Dk

Dk

V max Vn

203 N/mm 2 74,07 N/mm 2

2,74

Überprüfung der Lösung mit Hilfe eines Formzahldiagrammes Aus einem geeigneten Formzahldiagramm entnimmt man mit a = 7,5 mm; b = 70 mm und a/b = 0,1: Dk = 2,74

138

7 Kerbwirkung

Lösung zu Aufgabe 7.3 a) Berechnung der maximalen Spannung mit Hilfe des Hooke’schen Gesetzes (einachsiger Spannungszustand)

V max

210 000 N/mm 2 ˜ 0,001042

E ˜ Hl

218,8 N/mm 2

Berechnung der Nennspannung F 25 000 N Vn 125 N/mm 2 b2 ˜ t 40 mm ˜ 5 mm Berechnung der Formzahl Dk V max 218,8 N/mm 2

Dk

125 N/mm 2

Vn

1,75

b) Festigkeitsbedingung (Fließen)

V max d V zul V max SF

Re SF 430 N/mm 2 218,8 N/mm 2

Re

V max

1,97 (ausreichend, da S F ! 1,20)

c) Fließbedingung

V max Re V n ˜ D k Re FF ˜Dk b2 ˜ t FF

Re

b2 ˜ t ˜ Re

Dk

40 mm ˜ 5 mm ˜ 430 N/mm 2 1,75

49 143 N

d) Berechnung der plastischen Stützziffer npl npl

H ges HF

H ges Re / E

0,003 430 N/mm / 210000 N/mm 2 2

Weiterhin gilt: Fpl npl FF Fpl

npl ˜ FF

1,21 ˜ 49143 N

59 484 N

1,21

139

7 Kerbwirkung

e) Berechnung des vollplastischen Zustandes Ein vollplastischer Zustand tritt ein, sobald die Nennspannung die Streckgrenze erreicht:

Vn Fvpl b2 ˜ t Fvpl

Re Re b2 ˜ t ˜ Re

40 mm ˜ 5 mm ˜ 430 N/mm 2

86 000 N

140

7 Kerbwirkung

Lösung zu Aufgabe 7.4 a) Berechnung der Verlängerung 'l1 der Schraube mit Hilfe des Hooke’schen Gesetzes (einachsiger Spannungszustand)

V1

E ˜ H1

FV A1

E˜

'l1

'l1 l1

4 ˜ FV ˜ l1

4 ˜ 24 000 N ˜ 128 mm

˜ d12

ʌ ˜ 12 mm 2 ˜ 210000 N/mm 2

S

˜E

0,129 mm

Berechnung der Verkürzung 'l2 der Hülse mit Hilfe des Hooke’schen Gesetzes (einachsiger Spannungszustand)

V2

E ˜H2

FV A2

E˜

'l2 l2 4 ˜ FV ˜ l2

'l2

˜ (d a2

S

4 ˜ 24 000 N ˜ 84 mm

 d i2 ) ˜ E

2

ʌ ˜ (30 - 24 2 ) mm 2 ˜ 210000 N/mm 2

0,038 mm

Berechnung der Zugkraft bei Fließbeginn der Schraube V Rp0,2 FFB1 A1

Rp0,2

FFB1

Rp0,2 ˜

S 4

˜ d12

490 N/mm 2 ˜

ʌ ˜ 12 mm 2 4

55 418 N

Berechnung der Druckkraft bei Fließbeginn der Hülse

V

Re

FFB2 A2

Re

S





ʌ ˜ (30 2 - 24 2 ) mm 2 66162 N 4 4 Bei einer Steigerung der Vorspannkraft plastifiziert die Schraube zuerst. FFB2

Re ˜

˜ d a2  d i2

260 N/mm 2 ˜

b) Berechnung der Lastspannungen FV 4 ˜ FV 4 ˜ 24 000 N Vz A1 S ˜ d12 ʌ ˜ 12 mm 2

Wt

Mt Wt

16 ˜ M t

S ˜ d13

Festigkeitsbedingung (Fließen) 2 V V SH ˜ Rp0,2 3

212,2 N/mm 2

141

7 Kerbwirkung

Die Vergleichsspannung nach der Schubspannungshypothese kann unmittelbar aus Gleichung 6.17 (Zugbeanspruchung mit überlagerter Torsion, siehe Lehrbuch) errechnet werden:

V z2  4 ˜ W t2

V V SH

Damit folgt aus der Festigkeitsbedingung für die Torsionsschubspannung Wt: 2 ˜ Rp0,2 3

V z2  4 ˜ W t2

2

2

§2 · 2 ¨ ˜ Rp0,2 ¸  V z ©3 ¹ 4

Wt

§2 2 2· ¨ ˜ 490 N/mm ¸  212,2 N/mm ©3 ¹ 4

124,18 N/mm 2

Berechnung des Torsionsmomentes Mt

Wt

16 ˜ M t

Mt Wt

Mt

S ˜ d13

S ˜ d13 16

S ˜ 12 mm 3

˜W t

16

˜ 124,18 N/mm 2

42132 Nmm

Berechnung des Anzugsmomentes MA MA

Mt 0,4

42132 Nmm 0,4

105330 Nmm 105,33 Nm

c) Ermittlung der Verhältniszahlen d D

4,5 30

0,15

Damit entnimmt man dem gegebenen Formzahldiagramm:

D kz

2,70

Ermittlung der plastischen Stützziffer npl

H ges HF

npl

H ges

0,005 2

260 N/mm / 210000 N/mm 2

Re / E

2,0096 | 2,0

Berechnung der Kraft FF bei Fließbeginn

V max

Re

FF ˜D k An FF

Re

Re ˜ An

Re ˜ S D  s  d ˜ s

Dk

Dk

260 N/mm ˜ ʌ ˜ 30 mm  3 mm  4,5mm ˜ 3 mm 2,70 2

23 204 N

142

7 Kerbwirkung

Weiterhin gilt: Fpl npl FF Fpl

npl ˜ FF

2,00 ˜ 23 204 N

46 408 N

Wird eine Sicherheit von Spl = 1,5 gefordert, dann ist die Beanspruchung auf Fzul = Fpl / Spl = 46408 / 1,5 = 30939 N zu begrenzen. Da die Betriebsbeanspruchung F = 36500 N beträgt, ist ein sicherer Betrieb nicht möglich.

143

7 Kerbwirkung

Lösung zu Aufgabe 7.5 a) Ermittlung der Formzahl Dk a 10 mm b 30 mm a/b 0,333

Damit entnimmt man einem geeigneten Formzahldiagramm:

Dk

2,32

Fließbedingung V max Re

V n ˜Dk

Re

FF ˜Dk An

Re

FF

Re ˜ b  d ˜ t

Dk

490 N/mm 2 ˜ 60  20 mm ˜ 4 mm 2,32

33793 N

b) Darstellung des Spannungsverlaufes

Vn V max

FF An Re

33793 N

60  20 mm ˜ 4 mm

211,2 N/mm 2

490 N/mm 2

c) Berechnung der plastischen Stützziffer npl npl

H ges HF

H ges Re / E

0,005 2

490 N/mm / 210000 N/mm 2

1,464

144

7 Kerbwirkung

Berechnung der Kraft Fzul mit Erreichen einer Gesamtdehnung von Hges = 0,5% Fpl npl FF Fpl

npl ˜ FF

1,46 ˜ 33 793 N

49 468 N

Damit folgt für die zulässige Kraft: Fzul

Fpl S pl

49 468 N 1,5

32979 N

d) Mit einem Bruch muss gerechnet werden, sobald die Nennspannung Vn die Zugfestigkeit Rm erreicht:

Vn

Rm

FB An

Rm

FB

Rm ˜ An

710 N/mm 2 ˜ 60  20 mm ˜ 4 mm 113 600 N

145

7 Kerbwirkung

Lösung zu Aufgabe 7.6 a) Berechnung der Lastspannungen an der Messstelle der DMS (Außenoberfläche)

Vz

Fz A

Fz

S 4

Wt

Mt Wt

˜d

30 000 N 2

S

Mt

S 16

˜d3

4

117,89 N/mm 2

˜ 18 mm

2

100 000 Nmm

S 16

87,33 N/mm 2

˜ 18 mm

3

Konstruktion des Mohr’schen Spannungskreises Eintragen der Bildpunkte Px (Vz | Wt) und Py (0 | -Wt) in das V-WKoordinatensystem unter Beachtung der speziellen Vorzeichenregelung für Schubspannungen. Bildpunkt Px repräsentiert die Spannungskomponenten in der Schnittebene mit der xAchse als Normalenvektor (Ebene Ex). Bildpunkt Py repräsentiert die Spannungskomponenten in der Schnittebene mit der y-Achse als Normalenvektor (Ebene Ey). Da die beiden Schnittebenen einen Winkel von 90° zueinander einschließen, müssen die Bildpunkte Px und Py auf einem Kreisdurchmesser liegen. Die Strecke PxPy schneidet die V-Achse im Kreismittelpunkt VM. Kreis um VM durch die Bildpunkte Px oder Py ist der gesuchte Mohr’sche Spannungskreis (siehe Abbildung). Berechnung von Mittelpunkt und Radius des Mohr‘schen Spannungskreises

VM

Vz 2

117,89 N/mm2 2 2

R

§Vz · 2 ¨ ¸  IJt © 2 ¹

58,95 N/mm2

58,95 2  87,33 2 N/mm 2

105,36 N/mm 2

Berechnung des Richtungswinkels D zwischen der x-Richtung und der ersten Hauptspannungsrichtung §  87,33 N/mm 2 · § W t · ¸ ¸¸ arctan¨ arctan¨¨ ¨ 58,95 N/mm 2 ¸ 55,98q ©Vz / 2 ¹ ¹ © Damit folgt für den Richtungswinkel E zwischen der Messrichtung von DMS A und der ersten Hauptspannungsrichtung:

D

146

7 Kerbwirkung

E

D  2 ˜ 15q 55,98q  30q 25,98q

Berechnung der Normalspannungskomponenten VA und VB in Schnittebenen mit der Abzw. B-Richtung (Messrichtung der DMS) als Normalenvektor

VA VB

Vz 2

Vz 2

 R ˜ cos E

117,89 N/mm 2  105,36 N/mm 2 ˜ cos 25,98q 153,66 N/mm 2 2

 R ˜ cos E

117,89 N/mm 2  105,36 N/mm 2 ˜ cos 25,98q 2

35,77 N/mm 2

Berechnung der Dehnungen in A- und B-Richtung (HA und HB) mit Hilfe des Hooke’schen Gesetzes (zweiachsiger Spannungszustand)

HA

153,66 N/mm 2  0,30 ˜  35,77 N/mm 2 1 ˜ V A  P ˜ V B E 210 000 N/mm 2 0,000783 0,783 ‰

HB

1 ˜ V B  P ˜ V A E 0,000389

 35,77 N/mm 2  0,30 ˜153,66 N/mm 2 210 000 N/mm 2

0,389 ‰

Alternative Lösung mit Hilfe des Mohr’schen Verformungskreises Berechnung der Dehnungen Hx bzw. Hy in x- bzw. y-Richtung unter Wirkung von FZ sowie der Schiebungen Jxy bzw. Jyx mit der x- bzw. y-Richtung als Bezugsrichtung Hx Hy

J xy J yx

Vx

Vz

E

E

117,89 N/mm 2 210 000 N/mm 2

P ˜ H x

0,000561 0,561 ‰

0,30 ˜ 0,000561 0,000168

W xy

Wt

Wt

87,33 N/mm 2

G

G

E 2 ˜ 1  P

210 000 N/mm 2 2 ˜ 1  0,30

J xy

0,168 ‰

0,001081 1,081 ‰

1,081 ‰

Bei Jxy handelt es sich gemäß der speziellen Vorzeichenregelung um eine Winkelvergrößerung, bei Jyx hingegen um eine Winkelverkleinerung. Konstruktion des Mohr’schen Verformungskreises Zur Konstruktion des Mohr’ schen Verformungskreises benötigt man die Verformungen in zwei zueinander senkrechten Richtungen. Bekannt sind die Verformungen mit der x- bzw. yRichtung als Bezugsrichtung. Einzeichnen der entsprechenden Bildpunkte Px (Hx | 0,5˜Jxy) und Py (Hy | 0,5˜Jyx) in das H-J/2Koordinatensystem.

147

7 Kerbwirkung

Da die x- und die y-Richtung einen Winkel von 90° zueinander einschließen, liegen die Bildpunkte Px und Py auf einem Kreisdurchmesser. Damit ist der Mohr'sche Verformungskreis festgelegt (siehe Abbildung). Bildpunkt PA, welcher die Verformungen in A-Richtung (Messrichtung des DMS A) als Bezugsrichtung repräsentiert, erhält man durch Abtragen des Richtungswinkels 2˜15°, ausgehend vom Bildpunkt Px (gleicher Drehsinn zum Lageplan, also im Uhrzeigersinn). Für den Mittelpunkt und den Radius des Mohr’schen Verformungskreises erhält man:

HM R

Hx  Hy

0,561 ‰  0,168 ‰ 2

2

H x  H M

2

§ J xy · ¸  ¨¨ ¸ © 2 ¹

2

0,196 ‰

0,561  0,196 2  §¨ 1,081 ·¸

2

© 2 ¹

‰

0,652 ‰

Für den Winkel D folgt:

D

§ J xy / 2 arctan¨¨ © Hx  HM

· ¸ ¸ ¹

§ · 1,081 ‰ / 2 ¸¸ arctan¨¨ © 0,561 ‰  0,196 ‰ ¹

55,98q

Damit folgt für den Winkel E:

E

D  2 ˜ 15q 55,98q  30q 25,98q

Berechnung der Dehnungen HA und HB in A- bzw. B-Richtung Aus dem Mohr’schen Verformungskreis erhält man für die Dehnungen HA und HB:

H A H M  R ˜ cos E H B H M  R ˜ cos E

0,196  0,652 ˜ cos 25,98q

0,783 ‰

0,196  0,652 ˜ cos 25,98q

0,389 ‰

b) Ermittlung der Verhältniszahlen D 24 1,33 d 18 R 5 0,28 d 18 Damit entnimmt man einem geeigneten Formzahldiagramm:

D kz 1,40 D kt 1,16

148

7 Kerbwirkung

Nennspannungen auf Aufgabenteil a):

V zn

117,89 N/mm 2

W tn

87,33 N/mm 2

Berechnung der maximalen Spannungen V z max V zn ˜ D kz 117,89 N/mm 2 ˜ 1,40 165,05 N/mm 2

W t max

W tn ˜ D kt

87,33 N/mm 2 ˜ 1,16 101,30 N/mm 2

Da es sich um eine Zugbeanspruchung mit überlagerter Torsion handelt, ergibt sich die Vergleichsspannung nach der SH zu (siehe Gleichung 6.17 im Lehrbuch):

V V SH

V z2max  4 ˜ W t2max

165,052  4 ˜ 101,30 2

261,32 N/mm 2

Festigkeitsbedingung

V V SH d V zul V V SH SF

Rp0,2 SF Rp0,2

V V SH

510 N/mm 2 261,32 N/mm 2

1,95 (ausreichend, da S F ! 1,20)

c) Aus der Festigkeitsbedingung gemäß Aufgabenteil b) folgt: Rp0,2

V V SH

SF

V z2max  4 ˜ W t2max

Rp0,2 SF

Auflösen nach Wtmax ergibt: 2

W t max

§ Rp0,2 · 2 ¸ ¨ ¨ S ¸  V z max © F ¹ 4

2

§ 510 · ¨¨ ¸¸  165,052 1 , 35 © ¹ N/mm 2 4

169,91 N/mm 2

Damit folgt für das Torsionsmoment Mt*:

W t max M t* M t*

M t* ˜ D kt Wtn

W t max D kt

˜ Wtn

167,7 Nm

W t max S 3 ˜ ˜d D kt 16

169,91 N/mm 2 S ˜ ˜ 18 mm 3 1,16 16

167727 Nmm

149

7 Kerbwirkung

Lösung zu Aufgabe 7.7 a) Der Stab wird auf (gerade) Biegung beansprucht. Einspannquerschnitt ist höchst beansprucht. Berechnung der Lastspannung F1 ˜ l

Mb Wb

Vb

S 32

1 250 N ˜ 420 mm

˜D

S

3

32

163,2 N/mm 2

˜ 32 mm

3

Berechnung der Längenänderung (Hooke’sches Gesetz für den einachsigen Spannungszustand)

Vb H

E ˜H

Vb

163,2 N/mm 2

E

210 000 N/mm 2

0,00078

0,78 ‰

b) Der Stab wird auf (gerade) Biegung und Torsion beansprucht. Einspannquerschnitt ist höchst beansprucht. Berechnung der Lastspannungen F2 ˜ l

Mb Wb

Vb

S 32

Wt

˜D

2 250 N ˜ 420 mm

F2 ˜ c

Mt Wt

S

S

3

32

293,75 N/mm 2

˜ 32 mm

3

2 250 N ˜ 120 mm

S

41,96 N/mm 2

˜D ˜ 32 mm 16 16 Da es sich um eine Biegebeanspruchung mit überlagerter Torsion handelt, ergibt sich die Vergleichsspannung nach der SH zu (siehe Gleichung 6.17 im Lehrbuch): 3

V b2  4 ˜ W t2

V V SH

3

293,752  4 ˜ 41,96 2

305,50 N/mm 2

Festigkeitsbedingung

V V SH d V zul V V SH SF

Re SF Re

V V SH

490 N/mm 2 305,50 N/mm 2

1,60 (ausreichend, da S F ! 1,20)

c) Der Stab wird auf Torsion beansprucht. Einspannquerschnitt ist höchst beansprucht. Berechnung der Nennspannung Wtn

W tn

Mt Wtn

2 ˜ F3 ˜ c

S 16

˜ D  2 ˜ R 3

150

7 Kerbwirkung

Ermittlung der Formzahl Dkt R d D d

3,2 0,125 32  2 ˜ 3,2 32 1,25 32  2 ˜ 3,2

Damit entnimmt man einem geeigneten Formzahldiagramm: Įkt

1,40

Festigkeitsbedingung

W tmax d W zul W tF mit W tF W tmax SF

Re 2 ˜ SF

W tn ˜ Įkt

2 ˜ F3 ˜ c

S 16 F3

Re 2

˜ D  2 ˜ R

3

˜ Įkt

Re 2 ˜ SF

Re ˜ S ˜ D  2 ˜ R 3 64 ˜ S F ˜ c ˜ Įkt

490 N/mm 2 ˜ S ˜ 32  2 ˜ 3,2 3 mm3 64 ˜ 1,4 ˜ 120 mm ˜ 1,40

1715,7 N

d) Berechnung der plastischen Stützziffer npl npl

1

H pl HF

1

H pl Re / E

1

0,002 2

490 N/mm / 210000 N/mm 2

Weiterhin gilt: npl Fpl Fpl zul

Fpl FF npl ˜ FF Fpl S pl

npl ˜ F3 ˜ S F 3 273,9 N 1,4

1,363 ˜ 1715,7 N ˜ 1,4 2338,5 N

3 273,9 N

1,363

151

7 Kerbwirkung

Lösung zu Aufgabe 7.8 a) Berechnung des Biegemomentes im Kerbgrund (Stelle I) F1 ˜a 2

Mb

1050 N ˜ 100 mm 2

52500 Nmm

52,5 Nm

b) Berechnung der Nennspannungen Mb Wbn

V bn

Mb

S

˜d 32 Mt

Mt Wtn

W tn

S 16

˜d

3

52 500 N 3

S

66,85 N/mm 2

˜ 20 mm 32 72 000 Nmm

S 16

3

45,84 N/mm 2

3

˜ 20 mm

Ermittlung der Formzahlen D d R d

30 20 4 20

1,5 0,2

Damit entnimmt man geeigneten Formzahldiagrammen:

D kz 1,56 D kb 1,42 D kt 1,21 Berechnung der maximalen Spannungen

V b max W t max

V bn ˜ D kb W tn ˜ D kt

66,85 N/mm 2 ˜ 1,42

94,9 N/mm 2

45,84 N/mm 2 ˜ 1,21 55,5 N/mm 2

Da es sich um eine Biegebeanspruchung mit überlagerter Torsion handelt, ergibt sich die Vergleichsspannung nach der SH zu (siehe Gleichung 6.17 im Lehrbuch):

V b2 max  4 ˜ W t2max

V V SH

94,9 2  4 ˜ 55,52

146,0 N/mm 2

Festigkeitsbedingung

V V SH d V zul Re R bzw. m SF SB Re 340 N/mm 2 V V SH 146,0 N/mm 2

V V SH SF SB

Rm

V V SH

620 N/mm 2 146,0 N/mm 2

2,33 (ausreichend, da S F ! 1,20) 4,25 (ausreichend, da S B ! 2,0)

152

7 Kerbwirkung

c) Fließbedingung

V V SH

Rp0,2

V b2 max  4 ˜ W t2max

2 Rp0,2  V b2 max

W t max M t* Wtn

Rp0,2

4 1 2 ˜ Rp0,2  V b2 max 2

˜ D kt

S

M t*

16

˜d3 ˜

1

D kt

1 2 ˜ ˜ Rp0,2  V b2 max 2

580 922 Nmm

S 32

˜

20 mm 3 ˜ 1,21

900 2  94,9 2 N/mm 2

580,9 Nm

d) Zuordnung der Dehnungsanzeigen zu den einzelnen Messstellen

F1

DMS A 0 1)

DMS B 0 1)

Messstelle DMS C 0 1)

F2

HzA

HzB

HzC = -µ˜HzA

HzD = HzA

HzE = HzA

Mt

0

HtB

0

0

0

Belastung

1)

DMS D

DMS E

HbD

HbE = -HbD

neutrale Faser

Dehnungsmessstreifen A (DMS A) wird nur durch die Zugkraft F2 beansprucht (siehe Tabelle). Es gilt daher:

Vz

E ˜ HA

F2

S 4 F2

˜d

2

S 4

E ˜HA

˜ d 2 ˜ E ˜HA

S 4

˜ 20 mm 2 ˜ 205 000 N/mm2 ˜ 0,0013

e) Die Dehnungsmessstreifen D und E verformen sich durch die Beanspruchung aus F1 (Biegung) und F2 (Zug). Das Torsionsmoment Mt hat keinen Einfluss auf ihre Dehnungsanzeige. Die Verformungen durch die einzelnen Beanspruchungen können linear superponiert werden. Es gilt:

H E H zE  H bE H zA  H bE und H D H zD  H bD H zA  H bE

(1) (2)

83 723 N

153

7 Kerbwirkung

Subtrahiert man Gleichung 2 von Gleichung 1, dann folgt für die Dehnung HbE aufgrund der Biegebeanspruchung durch F1:

HE  HD

1,55 ‰  1,05 ‰ 0,25 ‰ 2 2 Berechnung der Biegespannung (Hooke’sches Gesetz für den einachsigen Spannungszustand):

H bE

Vb

E ˜ H bE

Mb Wb

E ˜ H bE

S

F1 ˜c 2 F1

32

˜ d 3 ˜ E ˜ H bE

S d3 16

˜

c

˜ E ˜ H bE

S 16

˜

20 mm 3 ˜ 205 000 N/mm 2 ˜ 0,00025 50 mm

1610,1 N

f) Es liegt eine 0°-45°90° DMS-Rosette vor. Daher kann der Mohr’ sche Verformungskreis entsprechend Kapitel 4.4.2 (siehe Lehrbuch) auf einfache Weise konstruiert werden. Schiebung Jxy { Jt mit der x-Richtung als Bezugsrichtung kann nur durch das Torsionsmoment Mt, d. h. durch die Torsionsschubspannung Wt verursacht werden. Berechnung der Schiebung Jxy { Jt

Jt 2

Jt

· § H  HC H M  H B ¨ A  HB ¸ 2 ¹ © H A  H C  2 ˜ H B 1,30 ‰   0,39 ‰  2 ˜ 0,065 ‰ 0,78 ‰

Elastizitätsgesetz für Schubbeanspruchung

Wt

G ˜J t

E ˜J t 2 ˜ 1  P

205 000 N/mm 2 ˜  0,00078 61,5 N/mm 2 2 ˜ 1  0,30

Berechnung des Torsionsmomentes Mt

Wt Mt

Mt Wt

W t ˜ Wt

Wt ˜

S 16

˜d3

61,5 N/mm 2 ˜

S 16

˜ 20 mm 3

96 604 Nmm

96,6 Nm

154

7 Kerbwirkung

Die Schubspannung Wt bzw. das Torsionsmoment Mt führen für Jxy ({ Jt) zu einer Winkelverkleinerung entsprechend der Abbildung (Jt < 0). Damit ist die Drehrichtung des Torsionsmomentes Mt bei Blick von rechts auf den Wellenzapfen im Uhrzeigersinn (also entsprechend der Richtung der eingezeichneten Momentenpfeile in der Aufgabenstellung).

Alternative Lösungsmöglichkeit Anstelle der Verwendung des Mohr'schen Verformungskreises kann die Schiebung Jxy ({ Jt) auch durch Lösen eines linearen Gleichungssystems (siehe Gleichung 4.32 im Lehrbuch) ermittelt werden. Für die Dehnungen in Messrichtung der Dehnungsmessstreifen gilt: Hx Hy Hx Hy J xy HA  ˜ cos 2D  ˜ sin 2D (1) 2 2 2

HB HC

Hx Hy 2

Hx Hy 2

 

Hx Hy 2

Hx Hy 2

˜ cos 2E  ˜ cos 2J 

J xy

˜ sin 2E

(2)

˜ sin 2J

(3)

2

J xy 2

Zur Vereinfachung setzt man: Hx Hy u 2 Hx Hy v 2 w

J xy

(4) (5) (6)

2

mit D = 180°; E = 135° und J = 90° sowie HA = 1,30 ‰; HB = 0,065 ‰ und HC = -0,39 ‰ folgt aus den Gleichungen 1 bis 3: 1,300 ‰ u  v ˜ cos 360q  w ˜ sin 360q 0,065 ‰ u  v ˜ cos 270q  w ˜ sin 270q  0,390 ‰ u  v ˜ cos 180q  w ˜ sin 180q

(7) (8) (9)

Damit ergibt sich das zu lösende lineare Gleichungssystem: 1,300 ‰ u  v

(10)

0,065 ‰ u  w

(11)

 0,390 ‰ u  v

Gleichung 10 und Gleichung 12 addiert: u 0,455 ‰ Aus Gleichung 11 folgt dann schließlich: w 0,065 ‰ - 0,455 ‰ 0,39 ‰ Damit folgt für die Schiebung Jxy ({ Jt):

J xy { J t

2 ˜ w 2 ˜ 0,39 ‰ 0,78 ‰

(12) (13)

155

7 Kerbwirkung

g) Berechnung der Nennspannungen

V zn

F2 An

V bn

Mb Wbn

W tn

F2

83 723 N

S

S

266,5 N/mm 2

˜d2 ˜ 20 mm 4 4 F1 / 2 ˜ a 1610,1 N / 2 ˜ 100 mm

S 32 Mt

Mt Wtn

S 16

˜d

˜d3

3

2

S

102,5 N/mm 2

˜ 20 mm 32 96 604 Nmm 61,5 N/mm 2 S 3 ˜ 20 mm 16 3

Berechnung der maximalen Spannungen

V z max

V zn ˜ D kz

266,5 N/mm 2 ˜ 1,56

V b max

V bn ˜ D kb

102,5 N/mm 2 ˜ 1,42 145,6 N/mm 2

W t max

W tn ˜ D kt

415,7 N/mm 2

61,5 N/mm 2 ˜ 1,21 74,4 N/mm 2

Da es sich um eine Zug- und Biegebeanspruchung mit überlagerter Torsion handelt, ergibt sich die Vergleichsspannung nach der SH zu (siehe Gleichung 6.17 im Lehrbuch):

V V SH

V z max  V b max 2  4 ˜ W t2max

415,7  145,6 2  4 ˜ 74,42

580,69 N/mm 2

Festigkeitsbedingung V V SH d V zul

V V SH SF

Rp0,2 SF Rp0,2

V V SH

900 N/mm 2 580,69 N/mm 2

1,55 (ausreichend, da S F ! 1,20)

156

7 Kerbwirkung

Lösung zu Aufgabe 7.9 a) Berechnung der Zugspannung

Vz

F1 A

4 ˜ F1

4 ˜ 7 860 N

ʌ ˜ d 02

ʌ ˜ 10 mm

2

100 N/mm 2

Berechnung der Verlängerung 'l der Schraube mit Hilfe des Hooke’schen Gesetzes (einachsiger Spannungszustand)

Vz

E ˜Hl

Vz

E˜

'l

Vz E

'l l0 ˜ l0

100 N/mm 2 210 000 N/mm 2

˜ 50 mm 0,024 mm

b) Berechnung der Torsionsschubspannung

Wt

Mt

S 16

˜ d3

11 780 Nmm

S 16

60 N/mm 2

˜ 10 mm 3

Berechnung des Verdrehwinkels M der Schraube

M

M t ˜ l0 G ˜ Ip

M

0,4256q

M t ˜ l0 S E ˜ ˜d4 2 ˜ 1  P 32

11 780 Nmm ˜ 50 mm 210 000 N/mm 2 S ˜ ˜ 10 mm 4 2 ˜ 1  0,30 32

c) Konstruktion des Mohr’schen Spannungskreises Eintragen des Bildpunktes Py (Vz | Wt) und des Bildpunktes Px (0 | -Wt) in das V-W-Koordinatensystem unter Beachtung der speziellen Vorzeichenregelung für Schubspannungen. Bildpunkt Px repräsentiert die Spannungskomponenten in der Schnittebene mit der x-Achse als Normalenvektor. Bildpunkt Py repräsentiert die Spannungskomponenten in der Schnittebene mit der y-Achse als Normalenvektor. Da die beiden Schnittebenen einen Winkel von 90° zueinander einschließen, müssen die Bildpunkte Px und Py auf einem Kreisdurchmesser liegen. Die Strecke von Px nach Py schneidet die V-Achse im Kreismittelpunkt M. Kreis um M durch die Bildpunkte Px oder Py ist der gesuchte Mohr’sche Spannungskreis (siehe Abbildung).

0,00743

157

7 Kerbwirkung

Berechnung von Mittelpunkt und Radius des Mohr’schen Spannungskreises

Vz

VM

2

50 N/mm 2 2

§Vz · 2 ¨ ¸ Wt © 2 ¹

R

50 2  60 2 N/mm 2

78,1 N/mm 2

Berechnung der Hauptnormalspannungen VH1 und VH2

V H1 V M  R 50 N/mm2  78,1 N/mm2 128,1 N/mm 2 V H2 V M  R 50 N/mm 2  78,1 N/mm 2

28,1 N/mm 2

Berechnung der Richtungswinkel M1 und M2 zwischen der y-Achse (Schraubenlängsachse) und den Hauptspannungsrichtungen §  2 ˜ W xy 1 ˜ arctan¨ ¨Vx Vy 2 ©

M1;2

· ¸ ¸ ¹



§  2 ˜  60 N/mm 2 1 ˜ arctan¨¨ 2 2 © 0  100 N/mm

·¸ ¸ ¹

25,1q

Der errechnete Winkel M kann der Richtungswinkel zwischen der ersten oder der zweiten Hauptrichtung sein. Eine Entscheidung ist mit Hilfe von Tabelle 3.1 (siehe Lehrbuch) möglich. Da es sich um Fall 3 (Vx < Vy und Wxy < 0) handelt, ist M der Richtungswinkel zwischen der x-Richtung und der ersten Hauptspannungsrichtung. Dies geht auch aus dem Mohr'schen Spannungskreis hervor). Es gilt:

M2

25,1q

Für der Richtungswinkel M2 folgt dann: M1 64,9q d) Fließbedingung

V V SH

Rp0,2

Die Vergleichsspannung nach der Schubspannungshypothese kann unmittelbar aus Gleichung 6.17 (Zugbeanspruchung mit überlagerter Torsion, siehe Lehrbuch) errechnet werden: 2 V z2  4 ˜ W t2

V V SH

Damit folgt aus der Festigkeitsbedingung für die Torsionsschubspannung Wt2:

V z2  4 ˜W t22 W t2

R p0,2

2  V z2 R p0,2

4

430 2  100 2 N/mm 2 4

Berechnung des Torsionsmomentes Mt2

W t2

M t2 Wt

Mt

S 16

˜d 3

209,1 N/mm 2

158

7 Kerbwirkung

M t2

S 16

S

˜ d 3 ˜W t2

16

˜ 10 mm 3 ˜ 209,1 N/mm 2

41060 Nmm

41,06 Nm

e) Ermittlung der Formzahl D d R d

10 1,43 7 1,5 0,21 7

Damit entnimmt man einem geeigneten Formzahldiagramm:

D kz 1,75 Festigkeitsbedingung (Fließen)

V max d V zul Rp0,2

V max

SF

F2 ˜ D kz An F2

Rp0,2 SF

Rp0,2 S 2 1 ˜ ˜d ˜ SF 4 D kz

430 N/mm 2 S 1 ˜ ˜ 7mm 2 ˜ 1,5 4 1,75

6 304 N

f) Berechnung der plastischen Stützziffer npl npl

1

H pl HF

1

H pl Rp0,2 / E

1

0,003 430 N/mm 2 / 210000 N/mm 2

Berechnung der Kraft FF bei Fließbeginn V max Rp0,2 FF ˜Dk An FF

Rp0,2

Rp0,2 S 2 ˜ ˜d Dk 4

430 N/mm 2 S ˜ ˜ 7mm 2 1,75 4

9 456 N ( S F ˜ F2 )

Berechnung der Kraft Fpl mit Erreichen von Hpl npl Fpl

Fpl FF npl ˜ FF

1,57 ˜ 9 456 N 14 846 N

Die zulässige Kraft (Spl = 1,5) beträgt dann schließlich: F3

Fpl S pl

14 846 N 1,5

9 897 N ( npl ˜ F2 )

1,57

159

7 Kerbwirkung

Lösung zu Aufgabe 7.10 a) Berechnung des axialen Flächenmoments 2. Ordnung bezüglich der y-Achse Iy

B ˜ B 3 ( B  2s) ˜ ( B  2s)3 b ˜ b 3   12 12 12 2 400 833 mm 4

80 ˜ 803 60 ˜ 603 30 ˜ 303 mm 4  mm 4  mm 4 12 12 12

Berechnung des axialen Widerstandsmomentes bezüglich der y-Achse Wby

Iy B/2



2 400 833 mm 4 40 mm

60 020,8 mm 3

Hinweis: Nur Flächenmomente dürfen addiert oder subtrahiert werden, Widerstandsmomente nicht. b) Möglicher Fließbeginn: Außenoberfläche des Vierkantprofilstabs oder Außenoberfläche des Vierkantrohres, da die Werkstoffe eine unterschiedliche Streckgrenze besitzen. Die Dehnungsverteilung durch die Biegebeanspruchung ist bei elastischer Beanspruchung linear. Da die beiden Werkstoffe den gleichen E-Modul besitzen, ist gemäß V = E˜H auch die Spannungsverteilung linear. Berechnung der Spannung an der Stelle z = 15 mm für den Fall des Fließbeginns an der Außenoberfläche des Vierkantrohres d. h. V (z = 40 mm) = Re2 Es gilt (Strahlensatz):

V ( z)

Re2 ˜z 40 mm

Mit z = 15 mm folgt:

V ( z 15 mm)

295 N/mm 2 ˜ 15 mm 110,63 N/mm 2 40 mm

Da V (z = 15 mm) < Re1 plastifiziert das Vierkantrohr aus E295 (an seiner Außenoberfläche) zuerst. Berechnung der Kraft FF bei Fließbeginn durch Ansetzen der Festigkeitsbedingung

Vb Mb Wby FF

Re2 FF ˜ a Wby Re2 ˜

Wby a

Re2 295 N/mm 2 ˜

60 020,8 mm3 2 000 mm

8 853,1 N

160

7 Kerbwirkung

c) Berechnung von Fpl Es gilt: M

³ V ( z) ˜ z dA

mit:

V ( z)

Re2 ˜ z für 0 d z d 30 mm y pl

V ( z)

Re2

für 30  z d 40 mm

Das erforderliche Biegemoment Mges bei Fließbeginn des Vierkantrohres errechnet sich zu: M ges M A  M B  M C 30

M ges

2 ˜10

³

30

2 ˜10 ˜

Re2 ˜ z ˜ z dz  30 z pl

295 30

30

³

z 2 dz  30 ˜

30

40

15

³

15

Re2 ˜ z ˜ z dz  2 ˜ 80 Re2 ˜ z dz z pl

³

30

295 30

30

> @

15

³

40

z 2 dz  2 ˜ 80 ˜ 295 z dz

15 15 3

> @

³

30 40 2

> @

1 1 1 196,67 ˜ ˜ z 3  295 ˜ ˜ z  47 200 ˜ ˜ z 3 2 3 30 15

30

3 540 000 Nmm  663 750 Nmm  16 520 000 Nmm 20 723 750 Nmm

Die Kraft Fpl errechnet sich dann zu: Fpl

M ges a

20 723 750 Nmm 2 000 mm

10 361,9 N

d) Berechnung der Kraft Fpl bei Fließbeginn des Vierkantprofilstabes Der Vierkantstab beginnt zu fließen, sobald gilt:

V ( z 15 mm)

Re1

Damit ergibt sich für z*pl unter Anwendung des Strahlensatzes (siehe Abbildung): Re2 Re1 * z pl

* z pl

15 mm 295 N/mm 2 275 N/mm 2

˜15 mm 16,09 mm

161

7 Kerbwirkung

Es gilt:

V ( z)

Re2 * z pl

* ˜ z für 0 d z d 16,09 mm ( z pl )

V ( z ) Re2

für 16,09  z d 40 mm

Das erforderliche Biegemoment Mges bei Fließbeginn des Vierkantprofilstabes errechnet sich zu: M ges

MA  MB  MC  MD

M ges

2 ˜10

16, 09

³

Re2 * z pl

16, 09

2 ˜10 ˜

295 16,09

15

˜ z ˜ z dz  30

³

15

16, 09 2

³

z dz  30 ˜

16,09

40

³

Re2 ˜ z dz  2 ˜ 80 Re2 ˜ z dz

16, 09

30

15

³

30

z 2 dz  4 ˜10 ˜ 295

15

³

40

³

z dz  2 ˜ 80 ˜ 295 z dz

16, 09

15

> @

³

˜ z ˜ z dz  4 ˜10

* z pl

295 16,09

16, 09

30

Re2

30

> @

> @

30 40

> @

1 1 1 1 366,69 ˜ ˜ z 3  550,03 ˜ ˜ z 3  11800 ˜ ˜ z 2  47 200 ˜ ˜ z 2 3 16,09 3 2 16,09 2 30 15 1 018 293,2 Nmm  1 237 569,9 Nmm  3 782 560,2 Nmm  16 520 000 Nmm 22 558 423,3 Nmm

Die Kraft Fpl errechnet sich dann zu: M ges

22 558 423,2 Nmm 2 000 mm a e) Berechnung der Kraft Fvpl mit Erreichen des vollplastischen Zustandes Fpl*

11 279,2 N

Im vollplastischen Zustand herrscht im gesamten Vierkantrohr die Spannung Re2, im Vierkantprofilstab hingegen die Spannung Re1. Damit errechnet sich das Biegemoment Mvpl für den vollplastischen Zustand zu: M v pl

M v pl A  M v pl B  M v pl C

M v pl

2 ˜ 2 ˜ 10

30

15

³

³

40

³

Re2 ˜ z dz  2 ˜ 30 Re1 ˜ z dz  2 ˜ 80 Re2 ˜ z dz 0

0

30

30

2 ˜ 2 ˜ 10 ˜ 295

15

40

³ z dz  2 ˜ 30 ˜ 275 ³ z dz  2 ˜ 80 ˜ 295 ³ z dz

0 30 2

> @

0

15 2

30

40

> @  47 200 ˜ 12 >z @

1 1 11800 ˜ ˜ z  16 500 ˜ ˜ z 2 0 2

0

2

30

162

7 Kerbwirkung

5 310 000 Nmm  1 856 250 Nmm  16 520 000 Nmm 23 686 250 Nmm

Die Kraft Fvpl errechnet sich dann zu: Fv pl

M v pl a

23 686 250 Nmm 2 000 mm

11 843,1 N

f) Bauteilfließkurve Zur Ermittlung der Bauteilfließkurve muss zu den in Aufgabenteil b) bis e) berechneten Kräften die zugehörige Dehnung am Außenrand des Vierkantrohres ermittelt werden. Vierkantrohr beginnt zu fließen (aus Aufgabenteil b): Re2 E2

H 1 { H F2

295 N/mm 2 209 000 N/mm 2

0,001411 1,411 ‰

Vierkantrohr ist bis zpl = 30 mm plastifiziert:

H2 H F2 H2

B/2 z pl B/2 ˜ H F2 z pl

40 ˜ 1,411 ‰ 30

1,881 ‰

*

Vierkantrohr ist bis z pl = 16,09 mm plastifiziert (Vierkantprofilstab beginnt zu fließen):

H2 H F2 H2

B/2 z pl B/2 ˜ H F2 z pl

40 ˜ 1,411 ‰ 1,881 ‰ 30

Vollplastischer Zustand: H v pl f Wertetabelle und Diagramm für Bauteilfließkurve H 1) ‰ 1,411 1,881 3,508 v 1)

F N 8853,1 10361,9 11279,2 11843,1

Außenrand Vierkantrohr

163

7 Kerbwirkung

Lösung zu Aufgabe 7.11 a) Zuordnung der Dehnungsanzeigen zu den einzelnen Messstellen DMS A

DMS B

F1

HzA

HzB

Messstelle DMS C HzC = -µ˜HzA

F2

0

1)

0 1)

0 1)

HbD= -HbE

HbE

Mt

0

HtB

0

0

0

Belastung

1)

DMS D HzD = HzA

DMS E HzE = HzA

neutrale Faser

Dehnungsmessstreifen A wird nur durch die Zugkraft F1 beansprucht (siehe Tabelle). Es gilt daher:

Vz

E ˜HA

F1

S 4

E ˜HA

˜d2

F1

S

˜ d 2 ˜ E ˜HA

4

S 4

˜ 16 mm 2 ˜ 205 000 N/mm 2 ˜ 0,0016

65 948 N

b) Die Dehnungsmessstreifen D und E verformen sich nur durch die Beanspruchung aus F1 (Zug) und Mb (Biegebeanspruchung infolge F2). Die Verformungen durch die einzelnen Beanspruchungen können linear superponiert werden. Es gilt:

H D H zD  H bD H zA  H bE und H E H zE  H bE H zA  H bE

(1) (2)

Aus Gleichung 1 und 2 folgt für die Dehnung HbE aufgrund der Biegebeanspruchung durch F2: H E  H D 1,80 ‰  1,40 ‰ H bE 0,20 ‰ 2 2 Berechnung der Biegespannung (Hooke’sches Gesetz für den einachsigen Spannungszustand):

Vb Mb Wb

E ˜ H bE E ˜ H bE

F2 ˜ a  b F2

S 32

˜ d 3 ˜ E ˜ H bE

d3 ˜ ˜ E ˜ H bE 32 a  b

S

S 32

˜

16 mm 3 ˜ 205 000 N/mm 2 ˜ 0,0002 55 - 30 mm

659,5 N

164

7 Kerbwirkung

c) Es liegt eine 0°-45°90° DMS-Rosette vor. Daher kann der Mohr’sche Verformungskreis entsprechend Kapitel 4.4.2 (siehe Lehrbuch) auf einfache Weise konstruiert werden. Die Schiebung Jxy { Jt mit der x-Richtung als Bezugsrichtung kann nur durch das Torsionsmoment Mt, d. h. durch die Torsionsschubspannung Wt verursacht werden. Berechnung der Schiebung Jxy { Jt

Jt 2

Jt

§ H  HC · H M  H B ¨ A  HB ¸ 2 © ¹ H A  H C  2 ˜ H B 1,60 ‰   0,48 ‰  2 ˜ 0,00 ‰ 1,12 ‰

Elastizitätsgesetz für Schubbeanspruchung

Wt

205 000 N/mm 2 ˜  0,00112 88,31 N/mm 2 2 ˜ 1  0,30

E ˜J t 2 ˜ 1  P

G ˜J t

Berechnung des Torsionsmomentes Mt

Wt Mt

Mt Wt

W t ˜ Wt

Wt ˜

S 16

˜d3

88,31 N/mm 2 ˜

S 16

˜ 16 mm 3

71 021 Nmm

71,02 Nm

Die Schubspannung Wt bzw. das Torsionsmoment Mt führen für Jxy ({ Jt) zu einer Winkelverkleinerung entsprechend der Abbildung. Damit ist die Drehrichtung des Torsionsmomentes Mt bei Blick von rechts auf den Wellenzapfen im Uhrzeigersinn (also entgegen der Richtung der eingezeichneten Momentenpfeile in der Aufgabenstellung). d) Berechnung der Nennspannungen

V zn

F1 An

V bn

Mb Wbn

W tn

Mt Wtn

4 ˜ F1

4 ˜ 65948 N

S ˜d2

S ˜ 16 mm 2

F2 ˜ a

S

˜d 32 Mt

S 16

˜d

3

3

328,00 N/mm 2

659,5 N ˜ 55 mm

S

˜ 16 mm 32 71021 Nmm

S 16

90,20 N/mm 2

3

˜ 16 mm

3

88,31 N/mm 2

165

7 Kerbwirkung

Ermittlung der Formzahlen D 24 1,5 d 16 R 2 0,125 d 16 Damit entnimmt man einem geeigneten Formzahldiagramm:

D kz 1,75 D kb 1,58 D kt 1,32 Berechnung der maximalen Spannungen

V z max

V zn ˜ D kz

327,99 N/mm 2 ˜ 1,75 574,00 N/mm 2

V b max

V bn ˜ D kb

90,20 N/mm 2 ˜ 1,58 142,52 N/mm 2

W t max

W tn ˜ D kt

88,31 N/mm 2 ˜ 1,32 116,57 N/mm 2

Da es sich um eine Biegebeanspruchung mit überlagerter Torsion handelt, ergibt sich die Vergleichsspannung nach der SH zu (siehe Gleichung 6.14 im Lehrbuch):

V V SH

V z max  V b max 2  4 ˜W t2max

574,00  142,12 2  4 ˜ 116,57 2 N/mm 2

753,49 N/mm 2

Festigkeitsbedingung

V V SH d V zul V V SH SF

Rp0,2 SF Rp0,2

V V SH

800 N/mm 2 753,49 N/mm 2

1,06 (nicht ausreichend, da S F  1,20)

166

8 Knickung 8.1 Formelsammlung zur Knickung Euler'sche Knickfälle - Knickkraft

Knickspannung

VK

FK A

Knickspannung

Zulässige Spannungen Duktile Werkstoffe

V zul V zul

V dF SF

bzw.

VK SK

V d0,2 SF

mit SF = 1,2 ... 2,0

Versagen durch Fließen

mit SK = 2,5 ... 5,0

Versagen durch Knickung

mit SB = 4,0 ... 9,0

Versagen durch Bruch

mit SK = 2,5 ... 5,0

Versagen durch Knickung

Spröde Werkstoffe

V zul

V zul

V dB SB

VK SK

167

8 Knickung

Knicklänge

lK = 2 ˜ l

lK | 0,7 ˜ l

lK = l

Schlankheitsgrad

O

lK

Schlankheitsgrad (Definition)

I/A

Knickspannungsdiagramm

VK

S2 ˜E O2

Euler-Kurve

VK

a  b ˜ O  c ˜ O2

TetmajerGerade 1)

OG

S˜

E

V dP

Grenzschlankheitsgrad für elastische Knickung

Biegeknickung

V ges

1)

F  A

F ˜e § lK F Wb ˜ cos¨ ˜ ¨ 2 ˜I E ©

· ¸ ¸ ¹

Koeffizienten der Tetmajer-Gleichung siehe Lehrbuch Kapitel 8.5.

lK = 0,5 ˜ l

168

8 Knickung

8.2 Lösungen zu den Übungsaufgaben Lösung zu Aufgabe 8.1 Berechnung der Knickkraft (Knickfall 2) FK

S2˜

E˜I l2

S2˜

E a4 ˜ l 2 12

S2˜

210 000 N/mm 2

2000 mm 2

˜

50 mm 4 12

269 872 N

Berechnung der Sicherheit gegen Knickung Festigkeitsbedingung:

V d d V zul

VK SK

Fd A

FK 1 ˜ A SK

SK

FK Fd

269 872 N 50 000 N

5,40 (ausreichend, da S K ! 2,5)

Berechnung der Sicherheit gegen Fließen Festigkeitsbedingung: V d0,2 Rp0,2 V d d V zul | SF SF Fd A SF

Rp0,2 SF Rp0,2 Fd

˜A

Rp0,2 Fd

˜ a2

320 N/mm 2 ˜ 50 mm 2 50000 N

16 (ausreichend, da S F ! 1,20)

169

8 Knickung

Lösung zu Aufgabe 8.2 a) Berechnung des axialen Flächenmomentes 2. Ordnung bezüglich der y-Achse Berechnung der axialen Flächenmomente 2. Ordnung der Teilflächen bezüglich der zur y-Achse parallelen Achsen durch die Teilflächenschwerpunkte: I y1 I y2 I y3

40 mm ˜ (15 mm)3 12 50 mm ˜ (25 mm)3 12 10 mm ˜ (15 mm)3 12

11 250 mm 4 65104,2 mm 4 2812,5 mm 4

Berechnung der axialen Flächenmomente 2. Ordnung der Teilflächen bezüglich der y-Achse durch den Gesamtflächenschwerpunkt S: I y S1

I y1 11 250 mm 4

I y S2

I y2

I y S3

2 I y3  zS3 ˜ A3

65104,2 mm 4 2 812,5 mm 4  (20 mm) 2 ˜ 150 mm 2

62 812,5 mm 4

Das axiale Flächenmoment 2. Ordnung der Gesamtfläche bezüglich der y-Achse ergibt sich dann zu: I yS

I y S2  I y S1  2 ˜ I y S3

65 104,2 mm 4  11 250 mm 4  2 ˜ 62 812,5 mm 4

179 479,2 mm 4

Berechnung des axialen Flächenmomentes 2. Ordnung bezüglich der z-Achse Berechnung der axialen Flächenmomente 2. Ordnung der Teilflächen bezüglich der zur z-Achse parallelen Achsen durch die Teilflächenschwerpunkte: I z1 I z2 I z3

15 mm ˜ (40 mm)3 80 000 mm 4 12 25 mm ˜ (50 mm)3 260 416,7 mm 4 12 15 mm ˜ (10 mm)3 1 250 mm 4 12

Berechnung der axialen Flächenmomente 2. Ordnung der Teilflächen bezüglich der z-Achse durch den Gesamtflächenschwerpunkt S: I z S1

I z1

80 000 mm 4

I z S2

I z2

260 416,7 mm 4

I z S3

I z3

1 250 mm 4

170

8 Knickung

Das axiale Flächenmoment 2. Ordnung der Gesamtfläche bezüglich der z-Achse ergibt sich dann zu: I zS

I z S2  I z S1  2 ˜ I z S3

260 416,7 mm 4  80 000 mm 4  2 ˜ 1 250 mm 4

182 916,7 mm 4

b) Versagensfall Knickung (Knickfall 2) Ausknicken erfolgt senkrecht zu derjenigen Querschnittachse mit dem kleinsten axialen Flächenmoment 2. Ordnung. Gemäß Aufgabenteil a) gilt dann: Imin = IyS. Festigkeitsbedingung:

VK

V d d V zul Fd A

SK

FK 1 ˜ A SK

S2 ˜ Fd

E ˜ I yS

S 2 ˜ 210 000 N/mm 2 ˜ 179 479,2 mm 4

l2

1200 mm 2 ˜ 4

SK

64 582 N

Versagensfall Fließen Festigkeitsbedingung: V d d V zul Fd A

V dF SF

|

Re SF

Re 255 N/mm 2 ˜ 950 mm 2 ˜A 161 500 N SF 1,5 Die zulässige Druckkraft beträgt also 64582 N. Fd

c) Berechnung der Kräfte die zum Versagen führen durch Fließen: FF = 1,5 ˜ 161 500 N = 242 250 N durch Knickung: FK = 4 ˜ 64 582 N= 258 328 N Versagen erfolgt also durch Fließen, sobald die Druckkraft Fd die Kraft FF = 242 250 N überschreitet. Berechnung der Verkürzung des Profilstabes mit Hilfe des Hooke’schen Gesetzes (einachsiger Spannungszustand)

Vd

E ˜ H

'l



V d ˜ l0 E

E ˜ 

'l l0

Fd l0 ˜ A E



242 250 N 1 200 mm ˜ 2 950 mm 210 000 N/mm 2

1,46 mm

171

8 Knickung

Lösung zu Aufgabe 8.3 a) Berechnung der Druckkraft auf die Kolbenstange Freischneiden des Tragarmes und Ansetzen des Momentengleichgewichts um den Lagerpunkt A:

¦M

0

A

Fd ˜ b  m ˜ g ˜ a m˜ g ˜

Fd

a b

0 1000 kg ˜ 9,81 m/s 2 ˜

2500 mm 1000 mm

24 525 N

b) Berechnung der Sicherheit gegen Fließen Festigkeitsbedingung:

V d d V zul Fd V dF A

SF

|

Re SF

Fd

S 4 SF

˜



d a2

 d i2

Re SF



Re S ˜ ˜ d a2  d i2 Fd 4





355 N/mm 2 ʌ ˜ ˜ 252  20 2 mm 2 24 525 N 4





2,56 (ausreichend, da S F ! 1,20)

Berechnung der Sicherheit gegen Knickung (Knickfall 2) Festigkeitsbedingung:

V d d V zul

VK SK

Fd A

FK 1 ˜ A SK

SK

FK Fd

E˜I l2 Fd

S2 ˜

S2 ˜E˜

S



˜ d a4  d i4 64 Fd ˜ l 2







ʌ ˜ 254  20 4 mm 4 64 24 525N ˜ 900 mm 2

S 2 ˜ 210 000 N/mm 2 ˜

1,18 (nicht ausreichend, da S K  2,5)

172

8 Knickung

c) Berechnung des Biegemomentes an der höchst beanspruchten Stelle Das maximale Biegemoment befindet sich an der Stelle B: M b max

m ˜ g ˜ a  b 1000 kg ˜ 9,81 m/s 2 ˜ 2500 mm - 1000 mm 14 715 000 Nmm 14 715 Nm

Berechnung des erforderlichen axialen Widerstandsmomentes Festigkeitsbedingung:

V b d V b zul M b max

V bF

Wby

SF

Wby

M b max ˜

|

Re SF

SF Re

14 715 000 Nmm ˜

1,5 235 N/mm 2

93 925,5 mm3

Berechnung des axialen Flächenmomentes 2. Ordnung bezüglich der y-Achse Iy

a ˜ h13 a  t h23 a ˜ 96 mm 3 a  12 mm 72 mm 3  2˜ ˜  2˜ ˜ 12 2 12 12 2 12 3 3 a ˜ 73728 mm  31104 mm ˜ (a  12 mm) a ˜ 42 624 mm3  373248 mm 4

Damit folgt für das Maß a des axialen Widerstandsmomentes bezüglich der y-Achse (Wby): W by

Iy h1 / 2

a ˜ 42 624 mm 3  373248 mm 4 96 mm / 2

888 mm 2 ˜ a  7 776 mm 3

Mit Wby = 93925,5 mm3 folgt schließlich für a: a

93 925,5 mm3  7 776 mm3 888 mm 2

97,0 mm

173

8 Knickung

Lösung zu Aufgabe 8.4 a) Berechnung der Druckkraft auf den Stützstab Freischneiden des Kranauslegers und Ansetzen des Momentengleichgewichts um den Lagerpunkt A:

¦M

A

0

Fdy ˜ b  Fdx ˜ c  F ˜ a

0

Fd ˜ cos 45q ˜ b  Fd ˜ sin 45q ˜ c  F ˜ a Fd

F ˜a cos 45q ˜ b  sin 45q ˜ c 800 000 N ˜ 2 000 mm 2 2 ˜ 1 200 mm  ˜ 200 mm 2 2 1 616,2 kN

0

1 616 244,1 N

b) Berechnung des axialen Flächenmomentes 2. Ordnung der Querschnittfläche des Stützstabes bezüglich der y-Achse Iy

250 mm 4  2 ˜ 117,5 mm ˜ 220 mm 3

12 116 997 500 mm 4

12 11 699,75 cm 4

c) Berechnung der Sicherheit gegen Fließen Festigkeitsbedingung:

V d d V zul Fd V dF

|

A

SF

SF

Re ˜ A Fd

Re SF

mit A

250 mm 2  2 ˜ 117,5 mm ˜ 220 mm

235 N/mm 2 ˜ 10 800 mm 2 1 616 244,1 N

1,57 (ausreichend, da S F ! 1,20)

Berechnung der Sicherheit gegen Knickung (Knickfall 2) Festigkeitsbedingung:

V d d V zul

VK SK

Fd A

FK 1 ˜ A SK

SK

FK Fd

S2˜

E ˜ Iy l2

Fd

S 2 ˜ 210 000 N/mm 2 ˜ 116 997 500 mm 4 1616 244,1 N ˜ 1650 mm 2

55,1 (ausreichend, da S K ! 2,5)

10 800 mm 2

174

8 Knickung

Lösung zu Aufgabe 8.5 a) Berechnung der Sicherheit gegen Fließen Festigkeitsbedingung:

V d d V zul Fd V dF A

|

SF

Re SF

Re S ˜ ˜ d a2  d i2 SF 4



Fd



235 N/mm 2 ʌ ˜ ˜ 60 2  50 2 mm 2 1,5 4





135 350 N 135,35 kN

b) Berechnung der Sicherheit gegen Knickung (Knickfall 1) Festigkeitsbedingung:

Vd d VK Fd* A

FK A

Fd*

S2 E˜I

FK

S2 4

4

˜

l2

S2 4

E˜ ˜

S 64



˜ d a4  d i4



l2





ʌ ˜ 60 4  50 4 mm 2 64 2 500 mm 2

210 000 N/mm 2 ˜ ˜

c) Ansetzen der Festigkeitsbedingung:

W a d W zul W aB F 2˜ A

SB

2˜ F

W aB

S ˜d2

SB

Damit folgt für den Durchmesser d des Bolzens: d

2 ˜ F ˜ SB S ˜ W aB

2 ˜ 25 000 N ˜ 2,0 S ˜ 490 N/mm 2

8,06 mm

27 307 N

27,307 kN

175

8 Knickung

Lösung zu Aufgabe 8.6 Berechnung des axialen Flächenmomentes 2. Ordnung bezüglich der z-Achse (Iz = Imin) Iz

d4 §S · ˜ ¨  1¸ 64 © 2 ¹

12 mm 4 ˜ § S 64

· 4 ¨  1¸ 184,9 mm ©2 ¹

Berechnung Knickkraft Es handelt sich um Knickfall 3, da ein Ende des Wendelbohrers in der Maschine als fest eingespannt und das andere Ende am Werkstück als gelenkig gelagert angesehen werden kann. Letztere Annahme ist plausibel, da bereits bei geringer Druckbelastung die Bohrerspitze in den Werkstoff eindringt, so dass eine seitliche freie Beweglichkeit des Bohrers (würde Knickfall 1 entsprechen) nicht mehr gegeben ist. Bedingung: FK t 2000 N 2S 2 ˜

E ˜ Iz t 2000 N l2

ld

2S 2 ˜ E ˜ I z 2 000 N

2S 2 ˜ 208 000 N/mm 2 ˜ 184,9 mm 4 2 000 N

616,2 mm

176

8 Knickung

Lösung zu Aufgabe 8.7 a) Versagensfall Fließen Festigkeitsbedingung:

V d d V zul F V dF A

SF

Re SF

|

Re SF

F

S 4



˜ d a2  d i2 d a2 

di



4 ˜ F ˜ SF S ˜ Re

100 mm 2  4 ˜ 150 000 N ˜ 1,5 2

94,93 mm

ʌ ˜ 290 N/mm

Berechnung der erforderlichen Wanddicke s: d a  d i 100 mm  94,93 mm 2,53 mm s 2 2 Versagensfall Knickung (Knickfall 1) Festigkeitsbedingung:

VK

V d d V zul F A F

SK

FK 1 ˜ A SK

S 2 E˜I 4

˜

l2

˜

1 SK

S2 E S 4

˜

˜

l 2 64

4

d a4 

256 ˜ F ˜ l ˜ S K 3

S1

K



S 3 ˜ E ˜ d a4  d i4



256 ˜ l 2 ˜ S K

100 mm 4  256 ˜1503 000 N ˜ 1500 mm2

2

2

di



˜ d a4  d i4 ˜

4

S ˜E

˜ 3,0

ʌ ˜ 208 000 N/mm

87,94 mm

Berechnung der erforderlichen Wanddicke s: d a  d i 100 mm  87,94 mm s 6,03 mm 2 2 b) Berechnung der Gesamtspannung aus Druck und Biegung (Gleichung 8.50, siehe Lehrbuch):

V ges

F  A

F ˜e §l F Wb ˜ cos¨ K ˜ ¨ 2 E˜I ©

· ¸ ¸ ¹

mit l K

2 ˜ l (Knickfall 1)

177

8 Knickung

Festigkeitsbedingung:

V ges d V zul F  A

e

Re SF

F ˜e §l F Wb ˜ cos¨ K ˜ ¨ 2 E˜I ©

· ¸ ¸ ¹

Re SF

§l § Re F · F ·¸ ¨¨  ¸¸ ˜ Wb ˜ cos¨ K ˜ ¨ E ˜ I ¸¹ © SF A ¹ © 2 F ª§ · ¸ ʌ 100 4  90 4 «¨ 290 N/mm 2 1 150 000 N ¸˜ ˜  mm 3 «¨ ʌ 150 000 N «¨ 1,2 100 2 2 2 ¸ 32 ˜ 100  90 mm ¸ ¨ 4 ¹ ¬«©





§ ·º ¨ ¸» 3000 mm 150 000 N ¸» ˜ cos ¨ ˜ ¨ 2 2 ʌ 4 4 4 ¸» ˜ 100  90 mm ¸ 208 000 N/mm ˜ ¨ 64 © ¹»¼





17,69 mm

178

8 Knickung

Lösung zu Aufgabe 8.8 a) Die Rohrstütze kann durch Fließen oder Knickung versagen. Versagensfall Fließen Festigkeitsbedingung:

V d d V zul F V dF A F

SF A˜

S 4

|

Re SF

S

Re SF

4





˜ d a2  d i2 ˜





˜ 60 2  50 2 mm 2 ˜

Re SF

mit d i

240 N/mm 2 1,5

da  2 ˜ s 138 200 N

138,2 kN

Versagensfall Knickung (Knickfall 4) Festigkeitsbedingung:

VK

V d d V zul F A F

SK

FK 1 ˜ A SK E˜I 1 4S ˜ 2 ˜ SK l 2

2

E˜

4S ˜

210 000 N/mm 2

S 64



˜ d a4  d i4 l2

S





˜

1 SK



˜ 60 4  50 4 mm 4 1 64 ˜ 2 4 3500 mm

2

4S ˜

55 728 N

55,73 kN

Die zulässige Druckkraft beträgt also Fd = 55,73 kN. b) Berechnung der Verkürzung der Rohrstütze mit Hilfe des Hooke’schen Gesetzes (einachsiger Spannungszustand)

Vd

E ˜ H

'l



V d ˜ l0 E

E ˜ 

'l l0

Fd l0 ˜ A E



55 728 N

S 4



2

2



˜ 60  50 mm

˜ 2

3 500 mm 210 000 N/mm 2

1,075 mm

179

8 Knickung

Lösung zu Aufgabe 8.9 Der Stahlträger kann durch Fließen oder Knickung versagen. Versagensfall Fließen Festigkeitsbedingung:

V d d V zul F V dF

|

A

SF

SF

Re ˜ A F

Re SF 300 N/mm 2 ˜ 5 380 mm 2 1300 000 N

1,24 (ausreichend, da S K ! 1,20)

Berechnung der Sicherheit gegen Knickung (Knickfall 3) Festigkeitsbedingung:

V d d V zul

VK SK

F A

FK 1 ˜ A SK

SK

FK F

2S 2 ˜

E ˜ I min l2 F

2S 2 ˜ 210 000 N/mm 2 ˜ 604 ˜ 10 4 mm 4 1300 000 N ˜ 3 500 mm 2

1,57 (nicht ausreichend, da S K  2,5)

180

9 Schiefe Biegung 9.1 Formelsammlung zur Schiefen Biegung Flächenmomente 1. Ordnung

³ z ˜ dA A

Flächenmoment 1. Ordnung bezüglich der y-Achse

³ y ˜ dA

Flächenmoment 1. Ordnung bezüglich der z-Achse

Hy

Hz

A

Flächenmomente 2. Ordnung Axiale Flächenmomente Iy

³z

2

˜ dA

Axiales Flächenmoment 2. Ordnung bezüglich der y-Achse

³y

2

˜ dA

Axiales Flächenmoment 2. Ordnung bezüglich der z-Achse

A

Iz

A

Polares Flächenmoment Ip

³r

2

˜ dA

Polares Flächenmoment

A

Gemischtes Flächenmoment I yz

³

 y ˜ z ˜ dA A

Gemischtes Flächenmoment bezüglich dem y-z-Koordinatensystem

Parallelverschiebung des Koordinatensystems Axiales Flächenmoment I y'

I y  zS2 ˜ A

Axiales Flächenmoment 2. Ordnung bei einer Parallelverschiebung der Koordinatenachsen

Gemischtes Flächenmoment I y'z'

I yz  yS ˜ zS ˜ A Gemischtes Flächenmoment bei einer Parallelverschiebung der Koordinatenachsen

Anmerkungen zum gemischten Flächenmoment: 1. Das gemischte Flächenmoment ist in Bezug auf ein die Symmetrieachse beinhaltendes Koordinatensystem Null. 2. Das gemischte Flächenmoment ändert seinen Betrag nicht, falls nur eine Achse parallel verschoben wird.

181

9 Schiefe Biegung

Drehung des Koordinatensystems um den Flächenschwerpunkt IȘ I]

Iy  Iz 2 Iy  Iz 2



Iy  Iz



Iy  Iz

2 I y  Iz 2

˜ cos 2M  I yz ˜ sin 2M ˜ cos 2M  I yz ˜ sin 2M

˜ sin 2M  I yz ˜ cos 2M

I Ș]



M 1;2

§ 2 ˜ I yz 1 ˜ arctan¨ ¨ Iy  Iz 2 ©

2

· ¸ ¸ ¹

Richtungswinkel zwischen der y-Achse und der ersten bzw. zweiten Hauptachse

M 2;1 M 1;2  90q Hauptflächenmomente I1

I2

I y  Iz

2

I y  Iz

2

2

Maximales Flächenmoment 2. Ordnung (Hauptflächenmoment)

2

Minimales Flächenmoment 2. Ordnung (Hauptflächenmoment)

§ Iy  Iz · 2 ¸  I yz  ¨¨ ¸ © 2 ¹ § Iy  Iz · 2 ¸  I yz  ¨¨ ¸ 2 © ¹

Spannungsermittlung bei schiefer Biegung 1. Ermittlung der Lage der beiden Hauptachsen (1) und (2) der Querschnittfläche sowie der zugehörigen Hauptflächenmomente I1 und I2. 2. Festlegung eines a-b-Koordinatensystems: Die a-Koordinatenrichtung soll mit der Richtung der großen Hauptachse (a { (1)), die b-Koordinatenrichtung mit der kleinen Hauptachse zusammenfallen (b { (2)). Die bRichtung muss dabei aus der a-Richtung durch eine Drehung um 90° im mathematisch positiven Sinn (Gegenuhrzeigersinn) hervorgehen. 3. Einführung des Richtungswinkels D zwischen der aAchse und dem Biegemomentenvektor Mb. Der Winkel wird von der positiven a-Achse aus abgetragen und ist im mathematisch positiven Sinn positiv und in die Gegenrichtung negativ zu berücksichtigen.

182

9 Schiefe Biegung

§ cos D sin D · ˜b  ˜ a ¸¸ M b ˜ ¨¨ I I2 © 1 ¹

Vx

Resultierende Biegespannung in einem Flächenelement dA (Koordinaten a und b bezüglich des Hauptachsensystems)

Nulllinie b( a )

E

I1 ˜ tan D ˜ a I2

Gleichung der Nulllinie im a-b-Koordinatensystem

§I · Winkel zwischen arctan¨¨ 1 ˜ tan D ¸¸ a-Achse und Null© I2 ¹ linie

Ermittlung der maximalen Biegespannung mit Hilfe der Nulllinie

V x max

M bN ˜ cmax IN

mit M bN und I N

Maximale Biegespannung in der Querschnittfläche

M b ˜ cosE  D I1  I 2 I1  I 2  ˜ cos 2 E 2 2

183

9 Schiefe Biegung

9.2 Lösungen zu den Übungsaufgaben Lösung zu Aufgabe 9.1 a) Da es sich um einen Rechteckquerschnitt (symmetrische Querschnittfläche) handelt, fallen die Hauptachsen mit den Symmetrieachsen zusammen, d. h. das y-z-Koordinatensystem ist gleichzeitig Hauptachsensystem. Das maximale Flächenmoment 2. Ordnung ergibt sich bezüglich der y-Achse (y { (1)), das minimale Flächenmoment 2. Ordnung hingegen bezüglich der z-Achse (z { (2)). b) Berechnung der axialen Flächenmomente 2. Ordnung bezüglich der y- und z-Achse I1 { I y

b ˜ h 3 b  2 s ˜ h  2s 3  12 12 200 mm ˜ 300 mm 3 160 mm ˜ 260 mm 3  12 12

I2 { Iz

215 653 333 mm 4

h ˜ b 3 h  2s ˜ b  2s 3  12 12 300 mm ˜ 200 mm 3 260 mm ˜ 160 mm 3  12 12

111 253 333 mm 4

c) Berechnung des maximalen Biegemomentes Mb

F ˜ l 100 000 N ˜ 5 000 mm

500 ˜ 10 6 Nmm

Berechnung der Lage der Nulllinie

E

§I · arctan¨¨ 1 ˜ tan D ¸¸ © I2 ¹ · § 215 653 333 mm 4 arctan¨¨ ˜ tan(30q) ¸¸ 4 ¹ © 111 253 333 mm arctan 1,12 48,22q

Die maximalen Biegespannungen treten an denjenigen Stellen der Querschnittfläche auf, die einen maximalen (senkrechten) Abstand zur Nulllinie besitzen. Im Falle des Rechteckprofils also an den Profileckpunkten A (+ VxA) und B (VxB = - VxA). Berechnung der Biegespannung am Profileckpunkt A der Querschnittfläche (maximale Zugspannung)

V xA

§ cos D sin D · M b ˜ ¨¨ ˜b  ˜ a ¸¸ I2 © I1 ¹

184

9 Schiefe Biegung

V xA

§ · sin  30q cos 30q 500 ˜ 106 Nmm ˜ ¨¨ ˜ 150 mm ˜ 100 mm ¸¸ 4 4 111 253 333 mm © 215 653 333 mm ¹ 525,89 N/mm 2

Alternative Methode zur Spannungsermittlung am Profileckpunkt A Berechnung der Komponente des Biegemomentenvektors in Richtung der Nulllinie M bN

M b ˜ cosE  D 500 ˜ 106 Nmm ˜ cos- 48,22q - - 30q 474,94 ˜ 10 6 Nmm

Berechnung des axialen Flächenmomentes zweiter Ordnung bezüglich der Nulllinie IN

I1  I 2 I1  I 2  ˜ cos 2E 2 2 215 653 333  111 253 333 215 653 333  111 253 333 mm 4  mm 4 ˜ cos 96,44q 2 2 157 602 588,8 mm 4

Berechnung des senkrechten Abstandes des Profileckpunktes A von der Nulllinie (cmax) Aus der Abbildung ergeben sich die folgenden geometrischen Beziehungen:

E1

arctan

100 mm 150 mm

33,69q

E2

E  E1

d

100 mm 2  150 mm 2

c max

48,22q  33,69q 14,53q

cos E 2 ˜ d

180,28 mm

cos 14,53q ˜ 180,28 mm 174,51 mm

Berechnung der maximalen Biegespannung

V xA

M bN ˜ cmax IN

474,94 ˜ 10 6 Nmm ˜ 174,51 mm 157 602 588,8 mm 4

525,89 N/mm 2

d) Berechnung der Sicherheit gegen Fließen an der höchst beanspruchten Stelle (Profileckpunkt A) Festigkeitsbedingung:

V xA d V zul V xA SF

Re SF Re

V xA 890 N/mm 2 525,89 N/mm 2

1,69 (ausreichend, da S F ! 1,20)

185

9 Schiefe Biegung

Lösung zu Aufgabe 9.2 a) Berechnung des maximalen Biegemomentes

Ansetzen des Momentengleichgewichtes um den Lagerpunkt A 6M A

0

FB ˜ a  c  F ˜ a FB

F˜

M b max

a ac FB ˜ c

0

10000 N ˜

1500 mm 1500 mm  2500 mm

3750 N ˜ 2500 mm

3 750 N

9 375 000 Nmm

9 375 Nm

Das maximale Biegemoment wirkt in der den Kraftangriffspunkt beinhaltenden Querschnittfläche. b) Da es sich um einen Rechteckquerschnitt (symmetrische Querschnittfläche) handelt, fallen die Hauptachsen mit den Symmetrieachsen zusammen, d. h. das y-z-Koordinatensystem ist gleichzeitig Hauptachsensystem. Das maximale Flächenmoment 2. Ordnung ergibt sich bezüglich der y-Achse (y { (1)), das minimale Flächenmoment 2. Ordnung hingegen bezüglich der z-Achse (z { (2)). Berechnung der Hauptflächenmomente I1 { I y

b ˜ h3 12

60 mm ˜ 100 mm 3 12

5 ˜ 10 6 mm 4

I2{ Iz

h ˜ b3 12

100 mm ˜ 60 mm 3 12

1,8 ˜ 10 6 mm 4

186

9 Schiefe Biegung

c) Momentenverhältnisse an der höchst beanspruchten Stelle:

Berechnung des Winkels E zwischen der a-Achse und der Nulllinie

E

§I · arctan¨¨ 1 ˜ tan D ¸¸ © I2 ¹

§ 5 ˜ 106 mm 4 · arctan¨¨ ˜ tan(22q) ¸¸ 6 4 © 1,8 ˜ 10 mm ¹

48,29q

Die maximalen Biegespannungen befinden sich an denjenigen Orten der Querschnittfläche, die einen maximalen Abstand zur Nulllinie besitzen, hier also an den Profileckpunkten B (VxB) und A (VxA = -VxB). Berechnung der Biegespannung am Profileckpunkt B der Querschnittfläche (maximale Zugspannung)

V xB

§ cos D sin D · ˜b  ˜ a ¸¸ M b max ˜ ¨¨ I2 © I1 ¹ § cos 22q · sin  22q 9 375 000 Nmm ˜ ¨¨ ˜ 50 mm ˜ 30 mm ¸¸ 6 4 6 4 1,8 ˜ 10 mm © 5 ˜ 10 mm ¹ 145,46 N/mm 2

Berechnung der Biegespannung am Profileckpunkt A der Querschnittfläche

V xA

V xB

145,46 N/mm 2

d) Berechnung der Sicherheit gegen Fließen Festigkeitsbedingung:

V d V zul V xB SF

Re SF 245 N/mm 2 145,46 N/mm 2

1,68 (ausreichend, da S F ! 1,20)

187

9 Schiefe Biegung

Lösung zu Aufgabe 9.3 a) Ermittlung der Lage der Hauptachsen Da es sich um eine symmetrische Querschnittfläche handelt, fällt eine der beiden Hauptachsen mit der Symmetrieebene zusammen. Die zweite Hauptachse ergibt sich als Senkrechte zur ersten Hauptachse durch den Flächenschwerpunkt. Berechnung der Lage des Flächenschwerpunktes (Teilschwerpunktsatz)

zS

t· § ht · § ¨ ¸ ˜ h  t ˜ t  ¨ h  ¸ ˜ b ˜ t 2¹ © 2 ¹ © h  t ˜ t  b ˜ t 17,5 ˜ 35 ˜ 5  37,5 ˜ 40 ˜ 5 mm 28,17 mm 35 ˜ 5  40 ˜ 5

b) Berechnung des axialen Flächenmomentes 2. Ordnung bezüglich der y-Achse Iy

5 mm ˜ 35 mm 3  - 10,67 mm 2 ˜ 5 mm ˜ 35 mm 12 40 mm ˜ 5 mm 3  9,33 mm 2 ˜ 40 mm ˜ 5 mm 12 37 775,69 mm 4  17 838,89 mm 4 

55 614,6 mm 4

Berechnung des axialen Flächenmomentes 2. Ordnung bezüglich der z-Achse 35 mm ˜ 5 mm 3 5 mm ˜ 40 mm 3  12 12 Damit folgt für die Hauptflächenmomente: Iz

I1 { I y

55 614,6 mm 4

I2 { Iz

27 031,3 mm 4

27 031,3 mm 4

c) Berechnung des Winkels E zwischen der a-Achse und der Nulllinie

E

§I · arctan¨¨ 1 ˜ tan D ¸¸ © I2 ¹ § 55 614,6 mm 4 · ˜ tan 20q ¸¸ arctan¨¨ 4 © 27 031,3 mm ¹ 36,83q

Die maximalen Biegespannungen befinden sich an denjenigen Orten der Querschnittfläche, die einen maximalen Abstand zur Nulllinie besitzen, hier also an den Profileckpunkten A (VxA) und B (VxB).

188

9 Schiefe Biegung

Berechnung des maximalen Biegemomentes (Einspannquerschnitt) Mb

F ˜l

250 N ˜ 2000 mm

500 000 Nmm

Berechnung der Biegespannung am Profileckpunkt A der Querschnittfläche (maximale Zugspannung)

V xA

§ cos D · sin D ˜ b1  ˜ a1 ¸¸ M b ˜ ¨¨ I I 2 © 1 ¹ § cos20q · sin 20q ˜ 11,83 mm ˜ (20 mm) ¸¸ 500 000 Nmm ˜ ¨¨ 4 4 27 031 mm © 55 614 mm ¹ 226,5 N/mm 2

Berechnung der Biegespannung am Profileckpunkt B der Querschnittfläche (maximale Druckspannung)

V xB

§ cos D · sin D ˜ b2  ˜ a2 ¸¸ M b ˜ ¨¨ I2 © I1 ¹ § cos20q · sin 20q 500 000 Nmm ˜ ¨¨ ˜ - 28,17 mm ˜ 2,5 mm ¸¸ 4 4 27 031 mm © 55 614 mm ¹ 253,8 N/mm 2

Damit befindet sich die höchst beanspruchte Stelle am Profileckpunkt B (Druckspannung) d) Berechnung der Sicherheit gegen Fließen am Profileckpunkt B Festigkeitsbedingung:

V xB d V zul V dF Re V xB | SF

SF

V dF V xB

SF

360 N/mm 2 253,8 N/mm 2

1,42 (ausreichend, da S F ! 1,20)

189

9 Schiefe Biegung

Lösung zu Aufgabe 9.4 a) Ermittlung der Lage des Flächenschwerpunktes (Teilschwerpunktsatz) yS

y1 ˜ A1  y 2 ˜ A2 A1  A2

7,5 mm ˜1 575 mm 2  45 mm ˜1 350 mm 2

zS

z1 ˜ A1  z 2 ˜ A2 A1  A2

52,5 mm ˜1 575 mm 2  112,5 mm ˜1 350 mm 2

1 575 mm 2  1 350 mm 2 1 575 mm 2  1 350 mm 2

24,81 mm 80,19 mm

Berechnung des axialen Flächenmomentes 2. Ordnung bezüglich der y-Achse 15 mm ˜ 105 mm 3   27,69 mm 2 ˜ 1575 mm 2 12

Iy

90 mm ˜ 15 mm 3  32,31 mm 2 ˜ 1350 mm 2 12 4 089 266,8 mm 4



Berechnung des axialen Flächenmomentes 2. Ordnung bezüglich der z-Achse 105 mm ˜ 15 mm 3  17,31 mm 2 ˜ 1575 mm 2 12

Iz 

15 mm ˜ 90 mm 3   20,19 mm 2 ˜ 1350 mm 2 12 1 963 016,8 mm 4

Berechnung des gemischten Flächenmomentes bezüglich des y-z-Koordinatensystems Hinweis: Für die Berechnung von Iyz sind die Vorzeichen der Teilflächenschwerpunktabstände (yS1; zS1; yS2 und zS2) zu beachten. I yz

0  yS1 ˜ zS1 ˜ A1  0  yS2 ˜ zS2 ˜ A2 17,31 mm ˜  27,69 mm ˜ 1575 mm 2  - 20,19 mm ˜ 32,31 mm ˜ 1350 mm 2 1 635 576,9 mm 4

Berechnung des Richtungswinkels M zwischen der y-Achse und der ersten oder zweiten Hauptachse

M1;2

§ 2 ˜ I yz 1 ˜ arctan¨ ¨ Iy  Iz 2 ©

· ¸ ¸ ¹

§ · 1 2 ˜ 1 635 576,9 mm 4 ¸ ˜ arctan¨¨ 4 4 ¸ 2 4 089 266 , 8 mm 1 963 016 , 8 mm  © ¹

Bestimmung der ersten bzw. zweiten Hauptachse d 2IȘ dM





2 ˜ I y  I z ˜ cos 2M  4 ˜ I yz ˜ sin 2M

28,49q

190

9 Schiefe Biegung





2 ˜ 4 089 266,8 mm 4  1963 016,8 mm 4 ˜ cos 2 ˜ 28,49  4 ˜ 1 635 576,9 mm ˜ sin 2 ˜ 28,49 4

7 802 919,1  0

Da d 2 I Ș / dM 2  0 ist M {M1 der Richtungswinkel zwischen der y-Achse und der ersten Hauptachse. Für den Richtungswinkel zur zweiten Hauptachse folgt dann:

M 2 M 1 90q 28,49q  90q 118,49q b) Berechnung der Hauptflächenmomente I1 und I2 I1

I y  Iz 2

§ Iy  Iz  ¨¨ © 2

2

· 2 ¸  I yz ¸ ¹

4 089 266,8 mm 4  1963 016,8 mm 4 2 2

§ 4 089 266,8 mm 4  1963 016,8 mm 4 · ¸  1 635 576,9 mm 4  ¨¨ ¸ 2 © ¹





2

4 976 871,6 mm 4

I2

Iy  Iz 2

§ I y  Iz  ¨¨ © 2

2

· 2 ¸  I yz ¸ ¹

4 089 266,8 mm 4  1963 016,8 mm 4 2 2

§ 4 089 266,8 mm 4  1963 016,8 mm 4 · ¸  1 635 576,9 mm 4  ¨¨ ¸ 2 © ¹





2

1 075 412,1 mm 4

c) Berechnung des maximalen Biegemomentes (Einspannquerschnitt) Mb

F ˜l

7 000 N ˜ 2500 mm 17,5 ˜ 10 6 Nmm

Berechnung des Winkels E zwischen der a-Achse und der Nulllinie Mit D = -M 1 = -28,49° folgt:

E

§I · arctan¨¨ 1 ˜ tan D ¸¸ © I2 ¹

§ 4 976 871,6 mm 4 · arctan¨¨ ˜ tan  28,49q ¸¸ 4 © 1 075 412,1 mm ¹

68,29q

Die maximalen Biegespannungen befinden sich an denjenigen Orten der Querschnittfläche, die einen maximalen Abstand zur Nulllinie besitzen, also die Stellen A (VxA) und B (VxB = -VxA).

191

9 Schiefe Biegung

Berechnung der Biegespannung am Profileckpunkt A der Querschnittfläche (maximale Zugspannung) Geometrische Verhältnisse am Winkelträger (siehe Abbildung): 24,81 mm c 28,23 mm cos D cos 28,49q e tanD ˜ c tan 28,49q ˜ 24,81 mm 13,46 mm g f - e 39,81 mm - 13,46 mm 26,34 mm h sinD ˜ g sin 28,49q ˜ 26,34 mm 12,57 mm a1 d  h 28,23 mm  12,57 mm 40,79 mm d

b1

cosD ˜ g

cos 28,49q ˜ 26,34 mm

23,16 mm

Damit folgt für die Spannung am Profileckpunkt A:

V xA

§ cos D · sin D M b ˜ ¨¨ ˜ b1  ˜ a1 ¸¸ I2 © I1 ¹ § cos  28,49q · sin  28,49q ˜ 23,16 mm ˜ 40,79 mm ¸¸ 17,5 ˜ 10 6 Nmm ˜ ¨¨ 4 4 1 075 412,1 mm © 4 976 871,6 mm ¹ 388,17 N/mm 2

Berechnung der Biegespannung am Profileckpunkt B der Querschnittfläche (maximale Druckspannung) Geometrische Verhältnisse am Winkelträger (siehe Abbildung): m

c - c1

24,81 mm - 15 mm

n

m sin D

9,81 mm sin 28,49q

9,81 mm

20,56 mm

192

9 Schiefe Biegung

9,81 mm 18,07 mm tan 28,49q 80,19 mm - 18,07 mm 62,12 mm

m tan D zS  p

p q

sinD ˜ q

a2 r

cos D ˜ q

b2

rn

sin 28,49q ˜ 62,12 mm

29,63 mm

cos 28,49q ˜ 62,12 mm

54,59 mm

54,59 mm  20,56 mm

75,16 mm

Damit folgt für die Spannung am Profileckpunkt B: · § cos D sin D M b ˜ ¨¨ ˜ b2  ˜ a 2 ¸¸ I2 ¹ © I1 § · cos  28,49q sin  28,49q ¸   ˜  ˜  17,5 ˜10 6 Nmm ˜ ¨ 75 , 16 mm 29 , 63 mm ¨ 4 976 871,6 mm 4 ¸ 1 075 412,1 mm 4 © ¹

V xB

462,26 N/mm 2

Alternative Methode zur Spannungsermittlung an den Profileckpunkten A und B

Berechnung des senkrechten Abstandes des Profileckpunktes A von der Nulllinie (cmax1) a12  b12

k

G

arctan

b1 a1

40,79 mm 2  23,16 mm 2 arctan

23,16 mm 40,79 mm

46,91 mm

29,58q

\

180q  G  E 180q  29,58q  68,29q 82,13q cmax 1 k ˜ sin \ 46,91 mm ˜ sin 82,13q 46,46 mm

Berechnung des Biegemomentenvektors MbN in Bezug auf die Nulllinie M bN

M b ˜ cosE  D 17,5 ˜10 6 Nmm ˜ cos68,29q - 28,48q 13,44 ˜10 6 Nmm

193

9 Schiefe Biegung

Berechnung des axialen Flächenmomentes 2. Ordnung bezüglich der Nulllinie I1  I 2 I1  I 2  ˜ cos 2E 2 2 4 976 871,6  1 075 412,1 4 976 871,6  1 075 412,1  ˜ cos2 ˜  68,29q mm 4 2 2 1 609 306,7 mm 4

IN

Berechnung der Spannung am Profileckpunkt A M bN ˜ cmax1 IN

V xA

13,44 ˜ 10 6 Nmm ˜ 46,46 mm 1 609 306,7 mm 4

388,17 N/mm 2

Berechnung des senkrechten Abstandes des Profileckpunktes B von der Nulllinie (cmax1)

29,63 mm 2  75,16 mm 2

a22  b22

s

a2 b2

29,63 mm 75,16 mm

80,79 mm

]

arctan

N

]  90q  E 21,52q  90q  68,29q 43,23q r ˜ sin N 80,79 mm ˜ sin 43,23q 55,33 mm

arctan

21,52q

cmax 2

Berechnung der Spannung im Profileckpunkt B

V xB

M bN ˜ cmax1 IN

13,44 ˜ 10 6 Nmm ˜ 55,33 mm 1 609 306,7 mm 4

462,26 N/mm 2

d) Zäher Werkstoff: VdF | Re Damit setzt Fließen zuerst am Profileckpunkt B ein, da |VxB| > VxA Festigkeitsbedingung

V xB d V zul V dF Re V xB | SF

SF

V dF V xB

SF

590 N/mm 2 462,26 N/mm 2

1,28 (ausreichend, da S F ! 1,20)

194

9 Schiefe Biegung

Lösung zu Aufgabe 9.5 Ermittlung der Lage der Hauptachsen Da es sich um eine symmetrische Querschnittfläche handelt, fällt eine der beiden Hauptachsen mit der Symmetrieebene zusammen. Die zweite Hauptachse ergibt sich als Senkrechte zur ersten Hauptachse durch den Flächenschwerpunkt. Berechnung der Lage des Flächenschwerpunktes (Teilschwerpunktsatz) zS

z1˜ A1  z 2 ˜ A1 A1  A2 42,5 ˜ 1275  92,5 ˜ 1500 mm 1275  1500

69,53 mm

Berechnung des axialen Flächenmomentes 2. Ordnung bezüglich der y-Achse Iy

15 mm ˜ 85 mm 3  - 27,03 mm 2 ˜ 1275 mm 2 12 100 mm ˜ 15 mm 3  22,97 mm 2 ˜ 1500 mm 2 12 2 518 754 mm 4 

Berechnung des axialen Flächenmomentes 2. Ordnung bezüglich der z-Achse Iz

85 mm ˜ 15 mm 3 15 mm ˜ 100 mm 3  12 12

1 273 906 mm 4

Hauptflächenmomente I1 { I y

2 518 754 mm 4

I2 { Iz

1 273 906 mm 4

Berechnung der Gewichtskraft des Profilträgers G m ˜ g U ˜V ˜ g U ˜ A ˜ a ˜ g 0,00778 kg/cm 3 ˜ 27,75 cm 2 ˜ 400 cm ˜ 9,81 m/s 2

847,2 N

Berechnung der maximalen Biegemomente (am Einspannquerschnitt) in Richtung der y-Achse sowie der z-Achse M by M bz

a  F1 ˜ a 847,2 N ˜ 2 000 mm  1500 N ˜ 4 000 mm 2 F2 ˜ b 4000 N ˜ 2 500 mm 10 000 000 Nmm

G˜

7 694 344 Nmm

195

9 Schiefe Biegung

Berechnung des Winkels D zwischen der a-Achse und dem resultierenden Biegemomentenvektor

D

§M arctan¨ bz ¨ M by ©

· ¸ ¸ ¹

§ 10 000 000 Nmm · ¸¸ arctan¨¨ © 7 694 344 Nmm ¹

52,42q

Berechnung des Winkels E zwischen der a-Achse und der Nulllinie

E

§I · arctan¨¨ 1 ˜ tan D ¸¸ I © 2 ¹

§ 2 518 754 mm 4 · arctan¨¨ ˜ tan 52,42q ¸¸ 4 © 1 273 906 mm ¹

68,74q

Die maximalen Biegespannungen befinden sich an denjenigen Orten der Querschnittfläche, die einen maximalen Abstand zur Nulllinie besitzen, hier also am Profileckpunkt A. Berechnung der Biegespannung am Profileckpunkt A der Querschnittfläche (maximale Zugspannung)

V xA

M by I1

˜ b1 

M bz ˜ a1 I2

7 694 344 Nmm ˜ 30,47 mm 2 518 754 mm 4 -

10 000 000 Nmm ˜  50 mm 1 273 906 mm 4

485,58 N/mm 2

Berechnung der Sicherheit gegen Fließen am Profileckpunkt A Festigkeitsbedingung:

V xA d V zul V xA SF

Re SF Re

V xA

600 N/mm 2 485,58 N/mm 2

1,24 (ausreichend, da S F ! 1,20)

196

10 Schubspannungen durch Querkräfte bei Biegung 10.1 Formelsammlung zum Querkraftschub W l ( z) W q ( z)

Q ˜ H y ( z) b( z ) ˜ I y

Grundgleichung zur Ermittlung der Längsschubspannung durch Querkräfte bei Biegung

Schubspannungsverteilung durch Querkraftschub ausgewählter Querschnitte Querschnittsfläche

Schubspannungsverteilung

Maximale Schubspannung

Rechteckquerschnitt

W q ( z)

3 Q §¨ 4 ˜ z 2 ·¸ ˜ 1 2 W q max 2 b ˜ h ¨© h ¸¹ mit W m

Vollkreisquerschnitt

3 Q ˜ 2 b˜h

3 ˜W m 2

Q A

Vertikalkomponente:

W q ( z)

4 Q ˜ 3 S ˜ r2

§ ¨1  ¨ ©

z 2 ·¸ r 2 ¸¹

Resultierende Randschubspannung:

W r ( z)

W q max

4 Q ˜ 3 S ˜ r2

mit W m

Q A

4 ˜W m 3

4 Q z2 1 ˜ ˜  3 S ˜ r2 r2

Kreisring (dünnwandig)

W (M )

Q

S ˜r ˜t

˜ cos M

W max mit W m

Q

S ˜ r ˜t Q A

2 ˜W m

197

10 Schubspannungen durch Querkräfte bei Biegung

Anwendung: Dünnwandige Profilträger >-Profil

Horizontale Schubspannungen im Flansch

Q˜c ˜K Iy

W hF (K )

W hF max

Q ˜c˜b Iy

Vertikale Schubspannungen im Steg (-a d z d a)

Q ª t ˜ «b ˜ c ˜ F Iy ¬ tS

W qS ( z ) 

I-Profil

a2 2

§ ˜ ¨1  ¨ ©

W qS max

Q ª t a2 º «b ˜ c ˜ F  » I y ¬« tS 2 »¼

z 2 ·¸º » a 2 ¸¹»¼

Horizontale Schubspannungen im Flansch (0 d K d b/2)

Q˜c ˜K Iy

W hF (K )

W hF max

Q˜c b ˜ Iy 2

Vertikale Schubspannungen im Steg (-a d z d a)

Q ª t ˜ «b ˜ c ˜ F Iy ¬ tS

W qS ( z ) 

a2 2

§ ˜ ¨1  ¨ ©

W qS max

Q ª t a2 º «b ˜ c ˜ F  » I y ¬« tS 2 »¼

z 2 ·¸º » a 2 ¸¹»¼

Anwendung: Genietete Träger

W N max

4 Q ˜ H y ( z) ˜ t ˜ 3˜ n Iy ˜S r2

Maximale Schubspannung in den Gurtnieten eines Profilträgers unter Querkraftschub (gilt nur für die in der Abbildung dargestellten geometrischen Verhältnisse)

Hy(z) Flächenmoment 1. Ordnung (statisches Moment) der Restfläche AR bezüglich der y-Achse durch den Flächenschwerpunkt Iy

Axiales Flächenmoment der gesamten Querschnittfläche bezüglich der y-Achse durch den Flächenschwerpunkt

n

Anzahl paralleler Nieten

r

Radius des Niets

t

Nietteilung

198

10 Schubspannungen durch Querkräfte bei Biegung

Anwendung: Geschweißte Träger

WS

Q ˜ H y ( z) t ˜ 2 a ˜ I y lS

Schubspannung in der Schweißnaht zwischen Gurt- und Stegblech eines Profilträgers unter Querkraftschub (zwei parallele Schweißnähte)

Hy(z) Flächenmoment 1. Ordnung (statisches Moment) der Restfläche AR bezüglich der y-Achse durch den Flächenschwerpunkt Iy

Axiales Flächenmoment der gesamten Querschnittfläche bezüglich der y-Achse durch den Flächenschwerpunkt

Vergleichsspannung in der Schweißnaht zwischen Gurt- und Stegblech eines Profilträgers unter Querkraftschub (zwei parallele Schweißnähte)

V V GEH mit

Vb

und W S

V b2  3 ˜ W s2 Mb ˜z I Q ˜ H y ( z) t ˜ 2 a ˜ I y lS

199

10 Schubspannungen durch Querkräfte bei Biegung

10.2 Lösungen zu den Übungsaufgaben Lösung zu Aufgabe 10.1 Für die Schubspannungsverteilung durch Querkraftschub gilt:

W q ( z)

Q ˜ H y ( z)

mit b(z) = b = konstant

b( z ) ˜ I y

Berechnung des Flächenmomentes 1. Ordnung (statisches Moment) der Restfläche bezüglich der yAchse durch den Flächenschwerpunkt h/2

H y ( z)

³ ] ˜ dA

AR

³ z

] ˜ b ˜ d]

> @

h/2 b ˜]2 z 2

· b §¨ h 2 ˜  z2 ¸ ¸ 2 ¨© 4 ¹

Berechnung des axialen Flächenmomentes 2. Ordnung des Gesamtquerschnitts bezüglich der y-Achse durch den Flächenschwerpunkt Iy

b ˜ h3 12

Damit folgt für die Schubspannungsverteilung (siehe auch Tabelle 10.1 im Lehrbuch):

W q ( z)

Q ˜ H y ( z) b ˜ Iy

· b § h2 Q ˜ ˜ ¨¨  z 2 ¸¸ 2 © 4 ¹ b ˜ h3 b˜ 12

3 Q §¨ 4 ˜ z2 1 2 ˜ 2 b ˜ h ¨© h

· ¸ ¸ ¹

200

10 Schubspannungen durch Querkräfte bei Biegung

Lösung zu Aufgabe 10.2 Für die Schubspannungsverteilung durch Querkraftschub gilt: Q ˜ H y ( z)

W q ( z)

b( z ) ˜ I y

Berechnung des Flächenmomentes 1. Ordnung der Restfläche bezüglich der y-Achse durch den Flächenschwerpunkt in Abhängigkeit der Koordinate M

³ ] ˜ dA ³ ] ˜ b(] ) ˜ d]

Hy

AR

AR

mit ] = r ˜ sinK; d] = r ˜ cosK ˜dK und b(] ) = 2˜r˜cosK folgt: S /2

2 ˜ r3

H y (M )

>

2  ˜ r 3 ˜ cos 3 K 3

2

³ sin K ˜ cos K dK M

@

2 3 ˜ r ˜ cos 3 M 3

S /2 M

Berechnung des axialen Flächenmomentes 2. Ordnung des Gesamtquerschnitts bezüglich der y-Achse durch den Flächenschwerpunkt Iy

S 64

S

˜d4

4

˜ r4

Damit folgt für die Schubspannungsverteilung Wq(M ) in Abhängigkeit der Koordinate M :

W q (M )

2 Q ˜ ˜ r 3 ˜ cos 3 M 3

Q ˜ H y (M ) b(M ) ˜ I y

b(M ) ˜

S 4

˜r

4

2 Q ˜ ˜ r 3 ˜ cos 3 M 3 2 ˜ r cos M ˜

S 4

˜r

4

4 Q ˜ ˜ cos 2 M 3 S ˜ r2

Berechnung der Schubspannungsverteilung W q(M ) in Abhängigkeit der Koordinate z Es gilt z r ˜ sin M und damit z 2 r 2 ˜ sin 2 M . Mit sin 2 M 1  cos 2 M folgt: z2



r 2 ˜ 1  cos 2 M



und damit: cos 2 M

1

z2 r2

Damit erhält man schließlich für die Schubspannungsverteilung in Abhängigkeit der Koordinate z (siehe auch Tabelle 10.1 im Lehrbuch):

W q ( z)

4 Q ˜ ˜ cos 2 M 3 S ˜ r2

4 Q ˜ 3 ʌ ˜r2

§ z2 ˜ ¨¨ 1  2 r ©

· ¸ ¸ ¹

201

10 Schubspannungen durch Querkräfte bei Biegung

Lösung zu Aufgabe 10.3 Da es sich um einen dünnwandigen Kreisring handelt, ist es zweckmäßig, die Schubspannung in Abhängigkeit des Winkels M zu berechnen. Für die Schubspannungsverteilung durch Querkraftschub gilt: Q ˜ H y (M )

W (M )

b(M ) ˜ I y

Berechnung des Flächenmomentes 1. Ordnung der Restfläche bezüglich der y-Achse durch den Flächenschwerpunkt in Abhängigkeit der Koordinate M

³ ] ˜ dA

Hy

AR

mit dA = t ˜r˜ dK und ] = r ˜ sinK folgt: H y (M )

t ˜ r 2 sin K ˜dK

³

AR

Da die Verteilung der Schubspannungen symmetrisch zur z-Achse ist, darf nur zwischen den Grenzen K = M und K = S / 2 integriert werden: S /2

H y (M )

t ˜r2

³M sinK ˜ dK

t ˜ r 2 ˜ > cosK @MS / 2

t ˜ r 2 ˜ cos M

Berechnung des axialen Flächenmomentes 2. Ordnung des Gesamtquerschnitts bezüglich der y-Achse durch den Flächenschwerpunkt 2S

Iy

³

] 2 ˜ dA

A

2 ³ r ˜ sin K ˜ t ˜ r ˜ dK

r 3 ˜ t sin 2 K ˜ dK

³

AR

2S

1 º ª1 r 3 ˜ t ˜ « ˜ K  ˜ sin 2K » 4 ¼0 ¬2

0

r 3 ˜ t ˜ S  0 S ˜ r 3 ˜ t

Berechnung der Schubspannungsverteilung in Abhängigkeit der Koordinate M

W (M )

Q ˜ H y (M ) b(M ) ˜ I y

Q ˜ t ˜ r 2 ˜ cos M b(M ) ˜ S ˜ r 3 ˜ t

Q

S ˜ r ˜ b(M )

˜ cos M

mit b(M) = t = konstant folgt schließlich (siehe auch Tabelle 10.1 im Lehrbuch): Q ˜ cosM IJ( M ) ʌ˜r ˜t

202

10 Schubspannungen durch Querkräfte bei Biegung

Lösung zu Aufgabe 10.4 a) Berechnung der Schubspannung im Nahtbereich

W ( z)

F ˜ H y ( z) b( z ) ˜ I y

Berechnung des Flächenmomentes 1. Ordnung der Restfläche (Gurtfläche AR) bezüglich der y-Achse durch den Flächenschwerpunkt 180

³

H y (150 mm)

³ ] ˜ b ˜ d]

] ˜ dA

AR

150



> @

b ˜]2 2

180 150



300 mm ˜ 180 2  150 2 mm 2 2 1 485 000 mm3

Berechnung des axialen Flächenmomentes des Gesamtquerschnitts bezüglich der y-Achse durch den Flächenschwerpunkt Iy





2 2 ˜ I y1  zS1 ˜ A1  I y2

· 30 mm ˜ (300 mm)3 § 300 mm ˜ (30 mm)3 2 ˜ ¨¨  (165 mm)2 ˜ 300 mm ˜ 30 mm ¸¸  12 12 ¹ © 558 900 000 mm 4

Berechnung der Schubspannung im Teilungsbereich zwischen Gurt- und Stegblech

W (150 mm) W

F ˜ H y (150 mm) b(150 mm) ˜ I y

100 000 N ˜ 1 485 000 mm3 300 mm ˜ 558 900 000 mm 4

0,8857 N/mm 2

Berechnung der Längsschubkraft Ft in der Teilungsebene Ft

W ˜b ˜t

Die Längsschubkraft muss von den Schweißnähten auf das Stegblech übertragen werden. In den Schweißnähten entsteht dadurch die Spannung:

WS

Ft 2 ˜ AS

W ˜b˜t 2 ˜ a ˜ lS

0,8857 N/mm 2 ˜ 300 mm ˜ 50 mm 2 ˜ 7 mm ˜ 30 mm

31,6 N/mm 2

Ergänzende Hinweise: 1. Für durchgehende Nähte ist t = lS. 2. Die Spannung in der Schweißnaht WS kann auch direkt aus Gleichung 10.31 (siehe Lehrbuch) berechnet werden. b) W S d W zul = 85 N/mm2. Die Beanspruchung in der Schweißnaht ist zulässig.

203

10 Schubspannungen durch Querkräfte bei Biegung

Lösung zu Aufgabe 10.5 Berechnung der Schubspannungen im Teilungsbereich zwischen Flanschblech des I-Trägers und dem aufgenieteten Verstärkungsblech

W ( z)

Q ˜ H y ( z) b( z ) ˜ I y

Berechnung des Flächenmomentes 1. Ordnung der Restfläche AR (aufgenietetes Verstärkungsblech) bezüglich der y-Achse durch den Flächenschwerpunkt 135

H y (115 mm)

³ ] ˜ dA ³ ] ˜ b

2

AR

> @

b2 ˜]2 2

˜ d]

115





250 mm ˜ 1352  1152 mm 2 2

135 115

625 000 mm3

Berechnung des axialen Flächenmomentes des Gesamtquerschnitts bezüglich der y-Achse durch den Flächenschwerpunkt Iy









2 2 2 ˜ I y1  zS1 ˜ A1  2 ˜ I y2  zS2 ˜ A2  I y3

§ 250 mm ˜ (20 mm)3 · 2 ˜ ¨¨  (125 mm)2 ˜ 250 mm ˜ 20 mm ¸¸ 12 © ¹ § 200 mm ˜ (30 mm)3 · 30 mm ˜ (170 mm)3  2 ˜ ¨¨  (100 mm)2 ˜ 200 mm ˜ 30 mm ¸¸  12 12 © ¹ 289 765 833 mm 4

Berechnung der maximalen Querkraft Die maximale Querkraft Q herrscht im Bereich der Einspannstelle: Q

F  q˜a

60 kN  25 kN/m ˜ 1,2 m

90 kN

Berechnung der Schubspannung im Teilungsbereich zwischen Flansch und aufgenietetem Verstärkungsblech

W (115 mm) W

Q ˜ H y (115 mm) b2 ˜ I y

Die Schubspannung W erzeugt in der Teilungsebene innerhalb der Teilungslänge t die Längsschubkraft Ft: Ft

W ˜ b2 ˜ t

204

10 Schubspannungen durch Querkräfte bei Biegung

Die Längsschubkraft muss von jeweils einem Paar paralleler Nieten auf den I-Träger übertragen werden. Jede der beiden einschnittig auf Abscherung beanspruchten Nieten erfährt damit die Längsschubkraft FN = Ft /2. Diese Schubkraft FN erzeugt im Nietquerschnitt (Vollkreisquerschnitt) die maximale Schubspannung WN max (siehe Tabelle 10.1 im Lehrbuch) 4 FN ˜ 3 AN

W N max

mit AN

S 4

˜ d N2

Festigkeitsbedingung

W N max d W zul Damit folgt letztlich für die Nietteilung t: 4 FN ˜ 3 AN

W zul

4 Ft / 2 ˜ 3 AN 2 W ˜ b2 ˜ t ˜ AN 3

W zul W zul

Q ˜ H y (115 mm) 2 ˜ ˜ b2 ˜ t W zul b2 ˜ I y 3 ˜ AN t t

3 ˜ AN ˜ I y 2 ˜ Q ˜ H y (115 mm)

˜ W zul

3 ˜ S ˜ d N2 ˜ I y 8 ˜ Q ˜ H y (115 mm)

˜ W zul

3 ˜ S ˜ (12 mm) 2 ˜ 289 765 833 mm 4 ˜ 120 N/mm 2 8 ˜ 90 000 N ˜ 625 000 mm 3

104,9 mm

Anmerkung: Dasselbe Ergebnis hätte man auch aus Gleichung 10.29 (siehe Lehrbuch) mit WNmax = Wzul und Auflösung nach der Nietteilung t erhalten.

205

10 Schubspannungen durch Querkräfte bei Biegung

Lösung zu Aufgabe 10.6 Berechnung der Schubspannungen im Teilungsbereich zwischen Stahlwinkel und Stegblech Q ˜ H y ( z)

W ( z)

b( z ) ˜ I y

Berechnung des Flächenmomentes 1. Ordnung der Restfläche AR bezüglich der y-Achse durch den Flächenschwerpunkt Die Restfläche besteht aus Gurtblech und zwei Stahlwinkeln, daher gilt: Hy

H y Gurt  2 ˜ H y Winkel

Berechnung des Flächenmomentes 1. Ordnung des Gurtbleches bezüglich der y-Achse durch den Flächenschwerpunkt (siehe Aufgabe 10.5):





300 mm ˜ 120 2  100 2 mm 2 2

H y Gurt

660 000 mm3

Berechnung des Flächenmomentes 1. Ordnung des Stahlwinkels bezüglich der y-Achse durch den Flächenschwerpunkt: H y Winkel









60 mm 10 mm ˜ 100 2  90 2 mm 2  ˜ 90 2  40 2 mm 2 2 2 57 000 mm3  32 500 mm3 89 500 mm3

Damit folgt für das Flächenmoment 1. Ordnung der Restfläche AR bezüglich der y-Achse durch den Flächenschwerpunkt: Hy

660 000 mm3  2 ˜ 89 500 mm3

H y Gurt  2 ˜ H y Winkel

839 000 mm3

Berechnung der axialen Flächenmomente der Teilflächen bezüglich der y-Achse I y1 I y2a I y2b I y3

300 ˜ 203 mm 4  110 mm 2 ˜ 6 000 mm 2 72 800 000 mm 4 12 60 ˜ 103 mm 4  95 mm 2 ˜ 600 mm 2 5 420 000 mm 4 12 10 ˜ 503 mm 4  65 mm 2 ˜ 500 mm 2 2 216 667 mm 4 12 30 ˜ 2003 mm 4 20 000 000 mm 4 12

Berechnung des axialen Flächenmomentes der Gesamtfläche Iy





2 ˜ I y1  4 ˜ I y2a  I y2b  I y3 4





2 ˜ 72 800 000 mm  4 ˜ 5 420 000 mm 4  2 216 667 mm 4  20 000 000 mm 4 196146 668 mm

4

206

10 Schubspannungen durch Querkräfte bei Biegung

Berechnung der von den Stegnieten zu übertragenden Längsschubkraft Ft

W ˜ A W ˜b˜t

Q ˜ Hy b ˜ Iy

˜b˜t

Q ˜ Hy Iy

˜t

Die Längsschubkraft Ft muss von einer zweischnittig auf Abscherung beanspruchten Stegniete übertragen werden. In jeder Schnittfläche herrscht die Schubkraft FN = Ft / 2. Festigkeitsbedingung

W N max d W zul 4 FN ˜ 3 AN

W zul

4 Ft / 2 ˜ W zul 3 S ˜d2 N 4 8˜Q ˜ Hy ˜t 3 ˜ S ˜ d N2 ˜ I y t W zul ˜

W zul

3 ˜ S ˜ d N2 ˜ I y 8˜Q ˜ Hy

150 N/mm 2 ˜

3 ˜ S ˜ 15 mm 2 ˜ 196146 668 mm 4 8 ˜ 150 000 N ˜ 839 000 mm3

61,97 mm

207

11 Torsion nicht kreisförmiger Querschnitte 11.1 Formelsammlung zur Torsion nicht kreisförmiger Querschnitte Torsion dünnwandiger, geschlossener Hohlprofile

W max

Wt

Mt 1. Bredt‘sche Formel 2 ˜ Am ˜ t min

Torsion dünnwandiger, offener Hohlprofile Torsionsflächenmoment (Drillwiderstand) eines aus schmalen Rechtecken zusammengesetzten offenen Hohlprofils

It

1 ˜ 3

¦h ˜t i

3 i

i

Maximale Schubspannung bei Torsion eines aus schmalen Rechtecken zusammengesetzten offenen Hohlprofils

W max

Wt

Mt Wt

Beispiel

3 ˜ tmax ˜ Mt hi ˜ ti3

¦ i

Grundgleichungen zur Torsion ausgewählter Querschnitte

W max

Wt

Mt Wt

Maximale Torsionsschubspannung in einem geraden prismatischen Stab mit beliebiger Querschnittform

Torsionsflächenmomente It und Torsionswiderstandsmomente Wt bedeutsamer Querschnittflächen

Profil

Torsionsflächenmoment It

Torsionswiderstandsmoment Wt

Vollkreis It

Ip

It

Ip

S 32

˜d4

Wt

S 16

˜d3

Kreisring 1)

1)

dickwandig

S 32



˜ D4  d 4



Wt

D4  d 4 16 D

S

˜

208

11 Torsion nicht kreisförmiger Querschnitte

Torsionsflächenmomente It und Torsionswiderstandsmomente Wt bedeutsamer Querschnittflächen

Profil

Torsionsflächenmoment Torsionswiderstandsmoment It Wt

Rechteck It

c1 ˜ h ˜ b3

Wt

c1 ˜ h ˜ b2 c2

mit 1 §¨ 0,630 0,052 ·¸ ˜ 1  c1 und c2 3 ¨© h / b (h / b)5 ¸¹

1

0,650 1  ( h / b) 3

Quadrat It

0,141 ˜ a 4

Wt

It

a 3 ˜ b3 ˜ 2 16 a  b 2

Wt

It

a4 46,2

0,208 ˜ a 3

Ellipse

S

S 16

˜ a ˜ b2

Gleichseitiges Dreieck

Wt

a3 20

Dünnwandiges, geschlossenes Kreisrohr (t = konst.) It

S 4

˜ d m3 ˜ t

Wt

S 2

˜ d m2 ˜ t

Dünnwandige offene Hohlquerschnitte 1) It

1)

1 ˜ 3

aus schmalen Rechteckquerschnitten zusammengesetzt

¦h ˜t i

i

3 i

Wt

1 ˜ 3 ˜ t max

¦h ˜t i

i

3 i

209

11 Torsion nicht kreisförmiger Querschnitte Torsionsflächenmomente It und Torsionswiderstandsmomente Wt bedeutsamer Querschnittflächen

Profil Dünnwandige, geschlossene Hohlquerschnitte mit veränderlicher Wanddicke 1)

Torsionsflächenmoment Torsionswiderstandsmoment It Wt

It

2 4 ˜ Am ds ³ t (s)

Wt

2 ˜ Am ˜ tmin

2 4 ˜ Am ˜t Um

Wt

2 ˜ Am ˜ t

Dünnwandige, geschlossene Hohlquerschnitte mit konstanter Wanddicke 2) It

1)

³ ds / t (s) ist das Linienintegral längs der Profilmittellinie

2)

Um ist die Länge der Mittellinie

210

11 Torsion nicht kreisförmiger Querschnitte

11.2 Lösungen zu den Übungsaufgaben Lösung zu Aufgabe 11.1 Da es sich um ein dünnwandiges, geschlossenes Hohlprofil handelt, kann die maximale Schubspannung mit Hilfe der 1. Bredt’schen Formel berechnet werden. Mt 2 ˜ Am ˜ t min

W max { W t

Mt 2 ˜ 2a ˜ a ˜ 0,1 ˜ a

Mt 0,4 ˜ a 3

Festigkeitsbedingung

W t d W t zul Mt 0,4 ˜ a 3 a

3

W tF SF

Re 2 ˜ SF

2,5 ˜ M t ˜ S F Re / 2

3

2,5 ˜ 500 000 Nmm ˜ 1,5 240 N/mm 2 /2

25 mm

211

11 Torsion nicht kreisförmiger Querschnitte

Lösung zu Aufgabe 11.2 Die maximale Schubspannung eines dünnwandigen, offenen Hohlprofils berechnet sich gemäß: Mt 3 ˜ t max W max { W t ˜ Mt Wt hi ˜ ti3

¦ i

0,1 ˜ a

mit: t max

¦h ˜t

und

i

2 ˜ 2a ˜ 0,1 ˜ a 3  2 ˜ a ˜ 0,1 ˜ a 3

3 i

0,004 ˜ a 4  0,002 ˜ a 4

0,006 ˜ a 4

i

folgt für die maximale Schubspannung: M 3 ˜ 0,1 ˜ a Wt ˜ M t 50 ˜ 3t 4 0,006 ˜ a a Festigkeitsbedingung

W t d W t zul 50 ˜

Mt a3

a

3

W tF SF

Re 2 ˜ SF

50 ˜ M t ˜ S F Re / 2

3

50 ˜ 500 000 Nmm ˜ 1,5 240 N/mm 2 /2

67,9 mm

Ein Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 11.1 und 11.2 zeigt, dass offene Hohlprofile zur Übertragung von Drehmomenten ungeeignet sind.

212

11 Torsion nicht kreisförmiger Querschnitte

Lösung zu Aufgabe 11.3 Da es sich um ein dünnwandiges, geschlossenes Hohlprofil handelt, kann die maximale Schubspannung mit Hilfe der 1. Bredt’schen Formel berechnet werden.

W max

Wt

Mt 2 ˜ Am ˜ t min

0,1 ˜ a

mit: t min

a˜a  2˜

Am

1 a ˜ ˜a 2 2

a2 

a2 2

3 2 ˜a 2

Damit folgt für die maximale Schubspannung: Mt 2 ˜ Am ˜ t min

Wt

Mt 2˜

3 2 ˜ a ˜ 0,1a 2

Mt 0,3 ˜ a 3

Festigkeitsbedingung

W t d W t zul Mt 0,3 ˜ a 3

a

3

W tF

Rp0,2

SF

2 ˜ SF

2 ˜ M t ˜ SF 0,3 ˜ Rp0,2

3

2 ˜ 250 000 000 Nmm ˜ 1,5 0,3 ˜ 500 N/mm 2

171 mm

213

11 Torsion nicht kreisförmiger Querschnitte

Lösung zu Aufgabe 11.4 Berechnung der maximalen Schubspannung für das dünnwandige, offene Stahlrohr 3 ˜ t max ˜ M t1 hi ˜ ti3

W max 1 W t1

¦

3˜ s ˜ M t1 S ˜ dm ˜ s3

3 ˜ M t1 S ˜ dm ˜ s2

i

Festigkeitsbedingung (Fließen):

W t1 d W tF 3 ˜ M t1

W tF S ˜ dm ˜ s2 S M t1 ˜ W tF ˜ d m ˜ s 2 3

Berechnung der maximalen Schubspannung für das dünnwandige, geschlossene Stahlrohr (1. Bredt’sche Formel)

W max2 W t2

M t2 2 ˜ Am ˜ t min

M t2 2˜

S 4

˜ d m2 ˜ s

2 ˜ M t2 S ˜ d m2 ˜ s

Festigkeitsbedingung (Fließen):

W t2 d W tF 2 ˜ M t2 S ˜ d m2 ˜ s M t2

S

W tF ˜ W tF ˜ d m2 ˜ s

2

Berechnung des Verhältnisses der übertragbaren Torsionsmomente

S M t2 M t1

2

S 3

˜ W tF ˜ d m2 ˜ s ˜ W tF ˜ d m ˜ s

2

3 dm ˜ 2 s

214

12 Behälter unter Innen- und Außendruck 12.1 Formelsammlung zu Behältern unter Innen- und Außendruck Dünnwandige Behälter unter Innendruck d Tangentialspannung eines dünnwandigen Behälters unter Innendruck V t pi ˜ i 2˜s

Va

pi ˜

Vr



V V SH

di 4˜s

Vt

Axialspannung eines dünnwandigen Behälters unter Innendruck

2

pi 2

Radialspannung eines dünnwandigen Behälters unter Innendruck (Mittelwert)

pi ˜

dm 2˜s

Vergleichsspannung eines dünnwandigen Behälters unter Innendruck unter Anwendung der Schubspannungshypothese

Dünnwandige Behälter unter Außendruck d V t  pa ˜ a Tangentialspannung eines dünnwandigen Behälters unter Außendruck 2˜s

Va

 pa ˜

Vr



da 4˜s

Axialspannung eines dünnwandigen Behälters unter Außendruck (Mittelwert)

pa 2

Radialspannung eines dünnwandigen Behälters unter Außendruck

Dünnwandige Hohlkugel unter Innen- bzw. Außendruck d V t pi ˜ i Tangentialspannung einer dünnwandigen Hohlkugel unter Innendruck 4˜s

Vt

 pa ˜

da 4˜s

Tangentialspannung einer dünnwandigen Hohlkugel unter Außendruck

Dünnwandige Behälter mit elliptischer Unrundheit Biegespannung in der Wand eines unrunden, dünnwandigen Behälters 2

Vb

r

3 §d · ˜ pi ˜ ¨ i ¸ ˜ N ˜ f 4 © s ¹

mit

N

2 ˜ d max  d min d max  d min

und

f

1 2

3

1 P §d · ˜ pi ˜ ¨ i ¸ 2˜ E © s ¹ Die Biegespannung Vb überlagert sich der Tangentialspannung Vt. 1

§ r2 · r2 ˜ ¨¨ a2  1¸¸  pa ˜ 2 a 2 ra  ri ©r ¹

 ri

2 · · ¸¸  1¸ ¸ ¹ ¹

2 Re §¨ § r · § c ˜ ln¨ ¸  ¨¨ 3 ¨ © c ¹ © ra ©

Radialspannung

Vr

¸ ¸ ¹

2·

· ¸¸ ¹

Va

2 Re §¨ § r · § c ˜ ln¨ ¸  ¨¨ ¨ 3 © c ¹ © ra ©

2 · · ¸¸  1¸ ¸ ¹ ¹

Axialspannung

3 ˜ ra2

2

2 Re §¨ § r · § c ˜ ln¨ ¸  ¨¨ ¨ c 3 © ¹ © ra ©

Re ˜

ra2

TangentialVt spannung

pi FB

§ r2 · ˜ ¨¨1  i2 ¸¸ © r ¹

§ r2 · ˜ ¨¨1  i2 ¸¸ © r ¹

V ri

V ai

V ti ra2  ri

2

ra2  ri2  pa ˜

 pi

pi ˜ ri2  pa ˜ ra2 ra2  ri2

pi ˜ ra2  ri

2 ˜ ra2 2

V ra

V aa

V ta

r2  r2 2 ˜ ri2  pa ˜ a2 i2 ra2  ri2 ra  ri

 pa

ra2  ri2

pi ˜ ri2  p a ˜ ra2

pi ˜

Spannungen am Innenrand (r = ri) Spannungen am Außenrand (r = ra)

V ri

V ai

V ti

· ¸¸ ¹

¸ ¸ ¹

2·

2 · · ¸¸  1¸ ¸ ¹ ¹

2 2 · Re §¨ § ri · § c · ˜ ln¨ ¸  ¨¨ ¸¸  1¸ ¸ 3 ¨ © c ¹ © ra ¹ ¹ ©

2 Re §¨ § ri · § c ˜ ln¨ ¸  ¨¨ ¨ 3 © c ¹ © ra ©

2 Re §¨ § ri · § c ˜ ln¨ ¸  ¨¨ 3 ¨ © c ¹ © ra ©

V ra

V aa

V ta

2 · · ¸  1¸ ¸ ¸ ¹ ¹

2

2 · · ¸¸  1¸ ¸ ¹ ¹

· ¸ ¸ ¹ Re §¨ § c ˜ ¨¨ 3 ¨© © ra

Re § c ˜ ¨¨ 3 © ra

Re §¨ § c ˜ ¨ 3 ¨ ¨© ra ©

Spannungen am Innenrand (r = ri) Spannungen am Außenrand (r = c)

Teilplastischer Zustand unter Innendruck - vollplastischer Innenring (ri d r d c)

ri2  ri2

Innendruck bei Fließbeginn:

ra2

Vr

Radialspannung

 pi ˜

pi ˜ ri2  pa ˜ ra2 ra2  ri2

§ r2 · r2 ˜ ¨¨ a2  1¸¸  pa ˜ 2 a 2 ra  ri ©r ¹

Va

ri2  ri2

Axialspannung

ra2

pi ˜

TangentialVt spannung

Spannungsverläufe

Elastischer Zustand unter Innen- und Außendruck

Berechnungsformeln für den dickwandigen Behälter

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

215

Vr

Radialspannung

3

2

·· ¸ ¸¸ ¹¹

§r · ˜ Re ˜ ln¨ a ¸ © r ¹

Vr

Radialspannung



Re § §r ˜ ¨¨1  2 ˜ ln¨ a 3 © ©r

Va

Axialspannung

§ §r ˜ Re ˜ ¨¨1  ln¨ a ©r ©

·· ¸ ¸¸ ¹¹

˜ Re ˜ ln¨¨ ¸¸ © ri ¹

3

2

3

TangentialVt spannung

pi VPL

V ri

V ai

V ti



§ r2 · ˜ ¨ a2  1¸ ¨c ¸ © ¹

§ r2 · ˜ ¨ a2  1¸ ¨c ¸ © ¹

Re c 2 ˜ 3 ra2

Re c 2 ˜ 3 ra2

Re c 2 ˜ 3 ra2

V ra

V aa

V ta

Re c 2 ˜ 3 ra2

0

Re c 2 ˜ 3 ra2

2˜

V ri

V ai

V ti



3

2

§r ˜ Re ˜ ln¨¨ a © ri

· ¸¸ ¹

·· ¸ ¸¸ ¸ ¹¹ ·· ¸¸ ¸ ¸ ¹¹

§ §r ˜ Re ˜ ¨1  ln¨¨ a ¨ © ri ©

§r Re § ˜ ¨1  2 ˜ ln¨¨ a 3 ¨© © ri

3

2

V ra

V aa

V ta

0

3

Re

3

2

˜ Re

Spannungen am Innenrand (r = ri) Spannungen am Außenrand (r = ra)

Vollplastischer Zustand unter Innendruck

Innendruck mit Erreichen des vollplastischen Zustandes: § ra · 2

§ r2 · ˜ ¨ a2  1¸ ¨r ¸ © ¹

§ r2 · ˜ ¨ a2  1¸ ¨r ¸ © ¹

Re c 2 ˜ 3 ra2

Re c 2 ˜ 3 ra2

Va

Axialspannung



Re c 2 ˜ 3 ra2

e ˜ ln¨ ¸  ¨¨ ¸¸  1¸ 3 ¨ ¨© ri ¸¹ © ra ¹ © ¹

TangentialVt spannung

pic

Zusammenhang zwischen Innendruck und Grenz- Spannungen am Innenrand (r = c) Spannungen am Außenrand (r = ra) 2 2 · radius c: §c· R §¨ § c · ¸

Teilplastischer Zustand unter Innendruck - elastischer Außenring (c < r d ra)

Fortsetzung: Berechnungsformeln für den dickwandigen Behälter

216 12.2 Dickwandige Behälter

217

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

12.2 Lösungen zu den Übungsaufgaben Lösung zu Aufgabe 12.1 Berechnung des Durchmesserverhältnisses d a 50 mm 1,11  1,20 (dünnwandig) d i 45 mm Berechnung der Spannungskomponenten Tangentialspannung: 45 mm d V t pi ˜ i 25 N/mm 2 ˜ 225 N/mm 2 2˜s 2 ˜ 2,5 mm Axialspannung: d V a pi ˜ i 4˜s

Vt 2

225 N/mm 2 2

Radialspannung (Mittelwert): p V r  i 12,5 N/mm 2 2

112,5 N/mm 2

218

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Lösung zu Aufgabe 12.2 a) Berechnung des Durchmesserverhältnisses d a 170 mm 1,13  1,20 (dünnwandig) d i 150 mm Berechnung des zulässigen Innendrucks für P295GH Festigkeitsbedingung: R V V SH d e SF Re SF

V1  V 3

pi ˜ d i § pi ·  ¨ ¸ 2˜s © 2 ¹ 2 ˜ s Re ˜ di  s SF

pi

Re SF 2 ˜ 10 mm 310 N/mm 2 ˜ 150 mm  10 mm 1,5

25,83 N/mm 2

25,83 MPa

Berechnung des zulässigen Innendrucks für EN-GJL-200 Festigkeitsbedingung:

V V NH d V1

Rm SB

pi ˜ d i 2˜s pi

Rm SB

Rm SB

2 ˜ s Rm ˜ di S B

2 ˜ 10 mm 200 N/mm 2 ˜ 150 mm 4,0

6,67 N/mm 2

6,67 MPa

b) Berechnung der Vergrößerung des mittleren Zylinderdurchmessers für P295GH Hooke’sches Gesetz für den dreiachsigen Spannungszustand:

Ht

1 ˜ V t  P ˜ V a  V r E pi E

§ d 1 ·· § d ˜ ¨¨ i  P ˜ ¨ i  ¸ ¸¸ © 4 ˜ s 2 ¹¹ © 2˜s

25,83 N/mm 2 210 000 N/mm 2

Ht 'd m

p ·· 1 § pi ˜ d i § p ˜d ˜ ¨¨  P ˜ ¨ i i  i ¸ ¸¸ E © 2˜s 2 ¹¹ © 4˜s

'U m Um

§ 150 mm § 150 mm 1 · · ˜ ¨¨  0,30 ˜ ¨¨  ¸¸ ¸¸ © 4 ˜ 10 mm 2 ¹ ¹ © 2 ˜ 10 mm S ˜ 'd m 'd m S ˜ dm dm

H t ˜ dm

0,000803

H t ˜ d i  s 0,000803 ˜  150 mm  10 mm 0,128 mm

219

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Berechnung der Vergrößerung des mittleren Zylinderdurchmessers für EN-GJL-200

Ht

pi E

§ d 1 ·· § d ˜ ¨¨ i  P ˜ ¨ i  ¸ ¸¸ © 4 ˜ s 2 ¹¹ © 2˜s

6,67 N/mm 2 100 000 N/mm 2 'd m

H t ˜ dm

§ 150 mm § 150 mm 1 · · ˜ ¨¨  0,25 ˜ ¨¨  ¸¸ ¸¸ © 4 ˜ 10 mm 2 ¹ ¹ © 2 ˜ 10 mm

0,000446

H t ˜ d i  s 0,000446 ˜ 150 mm  10 mm 0,071 mm

220

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Lösung zu Aufgabe 12.3 a) Berechnung des Durchmesserverhältnisses da di

150 mm 140 mm

1,07  1,20 (dünnwandig)

Berechnung der Spannungen in Tangential- und Axialrichtung durch Anwendung des Hooke’schen Gesetzes (zweiachsiger Spannungszustand, da Außenoberfläche)

V t1

E ˜ H t  P ˜ H a 1 P2

210 000 N/mm 2 ˜ 0,8095 ‰  0,30 ˜ 0,1905 ‰ ˜ 10  3 2 1 - 0,30

200 N/mm 2

Berechnung des Innendrucks p1 d V t1 p1 ˜ i 2˜s 2˜s 2 ˜ 5 mm ˜ V t1 ˜ 200 N/mm 2 p1 140 mm di

14,29 N/mm 2

14,29 MPa

b) Berechnung der Axial- und Radialspannung

V a1 V r1

200 N/mm 2 100 N/mm 2 2 2 p 14,29 N/mm 2  i 7,14 N/mm 2 2 2

Vt

Die Zugspannung Vz = F1 / A aus der Zugkraft F1 überlagert sich linear der Axialspannung aus Innendruck, so dass die gesamte Axialspannung größer wird, im Vergleich zur Tangentialspannung (Annahme). Es folgt also für die Hauptnormalspannungen:

V a ges

V a1 

F1 { V1 A

V r1 { V 3 Festigkeitsbedingung:

V V SH d V1  V 3 V a1 

Rp0,2 SF Rp0,2 SF

F1  V r1 A

Rp0,2 SF

221

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

F1

§ Rp0,2 ·  V r1  V a1 ¸¸ A ˜ ¨¨ S © F ¹ · § 420 N/mm 2 ˜ 150 2  140 2 mm 2 ˜ ¨¨  7,14 N/mm 2  100 N/mm 2 ¸¸ 4 1,5 ¹ © 393 709 N 393,7 kN

S





c) Berechnung der Spannungen in Tangential- und Axialrichtung durch Anwendung des Hooke’schen Gesetzes (zweiachsiger Spannungszustand, da Außenoberfläche)

V t2

E ˜ H t2  P ˜ H a2 1 P2

210 000 N/mm 2 ˜ 0,2524 ‰  0,30 ˜ 0,5743 ‰ ˜ 10  3 1 - 0,30 2

98 N/mm 2

V a2

E ˜ H a2  P ˜ H t2 1 P2

210 000 N/mm 2 ˜ 0,5743 ‰  0,30 ˜ 0,2524 ‰ ˜ 10  3 1 - 0,30 2

150 N/mm 2

Berechnung des Innendrucks p2 d V t2 p2 ˜ i 2˜s 2˜s 2 ˜ 5 mm p2 ˜ V t1 ˜ 98 N/mm 2 140 mm di

7 N/mm 2

7 MPa

Berechnung der Zugkraft F2 d F V a2 p2 ˜ i  2 4˜s A d · § F2 A ˜ ¨ V a2  p2 ˜ i ¸ 4˜s ¹ © § 140 mm · ¸ ˜ 150 2  140 2 mm 2 ˜ ¨¨150 N/mm 2  7 N/mm 2 ˜ 4 ˜ 5 mm ¸¹ © 230 037 N 230 kN

S

4





222

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Lösung zu Aufgabe 12.4 a) Berechnung des Durchmesserverhältnisses d a 516 mm 1,03  1,20 (dünnwandig) d i 500 mm Berechnung des Innendrucks pi d V t pi ˜ i 2˜s 2˜s 2 ˜ 8 mm pi ˜V t ˜ 250 N/mm 2 di 500 mm

8 N/mm 2

8 MPa

b) Berechnung der Axial- und Radialspannung

Va Vr

250 N/mm 2 125 N/mm 2 2 2 8 N/mm 2 p  i  4 N/mm 2 2 2

Vt

c) Berechnung der Vergrößerung des mittleren Zylinderdurchmessers (zweiachsiger Spannungszustand an der Behälteroberfläche)

Ht Ht 'd a

1 250 N/mm 2  0,30 ˜ 125 N/mm 2 ˜ V t  P ˜ V a E 210 000 N/mm 2 'U a S ˜ 'd a 'd a Ua S ˜ da da

H t ˜ da

0,00101 ˜ 516 mm

0,00101

0,522 mm

d) Berechnung der Sicherheiten gegen Fließen und Bruch Festigkeitsbedingung (Fließen)

V V SH d

Re SF

V1  V 3

Re SF

Vt Vr

Re SF

SF

Re Vt Vr

355 N/mm 2 250 N/mm 2  (4 N/mm 2 )

1,40 (ausreichend, da S F ! 1,20)

223

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

e) Berechnung der Haltekraft F F F pi A S ˜d2 a 4 F

S 4

˜ d a2 ˜ pi

S 4

˜ 516 mm 2 ˜ 8 N/mm 2

1 672 939 N

1 672,9 kN

f) Ermittlung der Spannungskomponenten

Vt Va

250 N/mm 2

Vr

 4 N/mm 2

(unverändert)

0 (unverändert)

g) Mohr'sche Spannungskreise und maximale Schubspannungen Die Schnittflächen mit den Flächennormalen in Tangential- und Axialrichtung enthalten keine Schubspannungen (nur Innendruck). Die Normalspannungen in diesen Schnittebenen sind dementsprechend Hauptnormalspannungen. Die Bildpunkte Pt und Pa welche die Spannungskomponenten in diesen Schnittebenen repräsentieren, fallen dementsprechend mit der V-Achse zusammen und der Mohr'sche Spannungskreis lässt sich auf einfache Weise konstruieren. Für die maximalen Schubspannungen erhält man: Geschlossener Behälter: W max 1

Behälter mit Deckel:

W max 2

Vt Va 2

250 N/mm 2  125 N/mm 2 2

Vt Va

Vt  0

Vt

2

2

2

125 N/mm 2

62,5 N/mm 2

224

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Lösung zu Aufgabe 12.5 a) Berechnung des Durchmesserverhältnisses d a 272 mm 1,13  1,20 (dünnwandig) d i 240 mm Berechnung der Spannungen in Tangential- und Axialrichtung durch Anwendung des Hooke’schen Gesetzes (zweiachsiger Spannungszustand, da Außenoberfläche)

Vt

E ˜ H t  P ˜ H a 1 P2

210 000 N/mm 2 ˜ 0,4048 ‰  0,30 ˜ 0,0952 ‰ ˜ 10  3 1 - 0,30 2

100 N/mm 2

Va

E ˜ H a  P ˜ H t 1 P2

210 000 N/mm 2 ˜ 0,0952 ‰  0,30 ˜ 0,4048 ‰ ˜ 10  3 2 1 - 0,30

50 N/mm 2

b) Berechnung des Innendrucks pi d V t pi ˜ i 2˜s 2˜s 2 ˜ 16 mm ˜V t ˜ 100 N/mm 2 pi 240 mm di

13,33 N/mm 2

13,33 MPa

c) Berechnung des zulässigen Innendrucks Festigkeitsbedingung (Fließen):

V V SH d

Rp0,2 SF

V1  V 3

Rp0,2 SF

pi ˜ d i § pi · Rp0,2  ¨ ¸ 2˜s © 2 ¹ SF d  s Rp0,2 pi ˜ i 2˜s SF pi

Rp0,2 SF

˜

2˜s di  s

280 N/mm 2 2 ˜ 16 mm ˜ 1,6 240 mm  16 mm

21,88 N/mm 2

21,88 MPa

225

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

d1) Ermittlung der Formzahl t 24 mm 0,1 d i 240 mm aus Formzahldiagramm abgelesen: Dk = 2,84 Festigkeitsbedingung: Rp0,2

V max

SF Rp0,2

V n ˜Dk

SF Rp0,2

p ˜ di ˜Dk 2˜s SF

SF

2 ˜ s ˜ Rp0,2

p ˜ di ˜ D k

2 ˜ 16 mm ˜ 280 N/mm 2 10 N/mm 2 ˜ 240 mm ˜ 2,84

1,31 (ausreichend, da S F ! 1,20)

d2) Berechnung der plastischen Stützziffer npl 1

npl

H pl HF

1

H pl

1

Rp0,2 / E

0,003 280 N/mm / 210000 N/mm 2 2

1,80

Berechnung des Innendrucks bei Fließbeginn (pF) Fließbedingung:

V max

Rp0,2

V n ˜Dk

Rp0,2

pF ˜ d i ˜ D k Rp0,2 2˜s 2 ˜ s ˜ Rp0,2 2 ˜ 16 mm ˜ 280 N/mm 2 pF 240 mm ˜ 2,84 di ˜ D k

13,15 N/mm 2

Berechnung des Innendrucks ppl mit Erreichen einer Dehnung von Hpl = 0,3% npl ppl

ppl pF npl ˜ pF

1,80 ˜ 13,15 N/mm 2

23,698 N/mm 2

Damit folgt für die Sicherheit gegen das Erreichen der Dehnung Hpl: S pl

ppl pi

23,698 N/mm 2 10 N/mm 2

2,37

226

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Lösung zu Aufgabe 12.6 a) Berechnung des Durchmesserverhältnisses d a 420 mm 1,05  1,20 (dünnwandig) d i 400 mm Berechnung der Spannungen in Tangential- und Axialrichtung durch Anwendung des Hooke’schen Gesetzes (zweiachsiger Spannungszustand, da Außenoberfläche)

Vt

E ˜ H t  P ˜ H a 1 P2

210 000 N/mm 2 ˜ 0,929 ‰  0,30 ˜  0,929 ‰ ˜ 10  3 1 - 0,30 2

150,1 N/mm 2

Va

E ˜ H a  P ˜ H t 1 P2

210 000 N/mm 2 ˜  0,929 ‰  0,30 ˜ 0,929 ‰ ˜ 10  3 2 1 - 0,30

150,1 N/mm 2

b) Mohr'scher Spannungskreis und maximale Schubspannungen Die Schnittflächen mit den Flächennormalen in Tangential- und Axialrichtung enthalten keine Schubspannungen. Die Normalspannungen in diesen Schnittebenen sind dementsprechend Hauptnomalspannungen. Die Bildpunkte Pt (Vt _ 0) und Pa (Va _ 0) welche die Spannungskomponenten in diesen Schnittebenen repräsentieren, fallen dementsprechend mit der V-Achse zusammen und der Mohr'sche Spannungskreis lässt sich auf einfache Weise konstruieren. x Ebene 1 und Ebene 2 sind schubspannungsfrei. x Ebene 3 und Ebene 4 sind frei von Normalspannungen.

227

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

c) Berechnung der Sicherheit gegen Fließen Festigkeitsbedingung (Fließen): Rp0,2

V V SH d

SF Rp0,2

V1  V 3

SF Rp0,2

Vt Va SF

SF

Rp0,2

Vt Va

380 N/mm 2 150,1 N/mm 2  (150,1 N/mm 2 )

d) Berechnung des Innendrucks pi d V t pi ˜ i 2˜s 2˜s 2 ˜ 10 mm ˜V t ˜ 150,1 N/mm 2 pi 400 mm di

1,27 (ausreichend, da S F ! 1,20)

7,50 N/mm 2

7,50 MPa

Berechnung der Druckkraft F

Va F

di F  4˜s A V · § A ˜ ¨V a  t ¸ 2 ¹ © pi ˜

Vt 2



F A

§ 150,1 N/mm 2 ·¸ ˜ 420 2  400 2 mm 2 ˜ ¨¨  150,1 N/mm 2  ¸ 2 4 ¹ © 2 899 457 N 2 899,5 kN

S





e) Mögliche Beanspruchung zur Erzeugung desselben Spannungszustandes: Torsion (siehe Mohr’scher Spannungskreis in Aufgabenteil b) Berechnung des Torsionsmomentes

Wt

Vt

150,1 N/mm 2

Mt Wt

Vt

Mt

V t ˜ Wt

Vt ˜

(siehe Mohr' scher Spannungskreis)

S §¨ d a4  d i4 ·¸

˜ 16 ¨© 387 054 473 Nmm

4 4 · 2 S § ¨ 420  400 ¸ mm3 ˜ ˜ 150 , 1 N/mm ¸ d a ¸¹ 16 ¨© 420 ¹ 387,1 kNm

228

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Lösung zu Aufgabe 12.7 a) Berechnung des Durchmesserverhältnisses d a 160 mm 1,14  1,20 (dünnwandig) d i 140 mm Berechnung der Spannungskomponenten für Zugbeanspruchung Axialspannung:

Va { Vz

F A

F

S 4



˜ d a2  d i2

500 000 N



S 4





106,1 N/mm 2

˜ 160 2  140 2 mm 2

Tangentialspannung:

Vt

0

Berechnung der Dehnungen mit Hilfe des Hooke'schen Gesetzes (zweiachsiger Spannungszustand)

Ha Ht H 45

1 106,1 N/mm 2  0,30 ˜ 0 N/mm 2 ˜ V a  P ˜ V t E 210 000 N/mm 2

0,000505

0,505 ‰

1 0  0,30 ˜ 106,1 N/mm 2 ˜ V t  P ˜ V a 0,000152 0,152 ‰ E 210 000 N/mm 2 H a  H t 0,505 ‰   0,152 ‰ 0,177 ‰ (vgl. Mohr' scher Verformungskreis) 2 2

b) Mohr'scher Spannungs- und Verformungskreis bei Zugbeanspruchung Die Schnittflächen mit den Flächennormalen in Tangential- und Axialrichtung enthalten keine Schubspannungen. Die Normalspannungen in diesen Schnittebenen sind dementsprechend Hauptnormalspannungen. Die Bildpunkte Pt (0 _ 0) und Pa (Vz _ 0) welche die Spannungskomponenten in diesen Schnittebenen repräsentieren, fallen dementsprechend mit der V-Achse zusammen. Der Mohr'sche Spannungskreis lässt sich damit auf einfache Weise konstruieren. Entsprechendes gilt für die Konstruktion des Mohr’schen Verformungskreises.

229

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

c) Berechnung der Spannungskomponenten bei Beanspruchung durch Innendruck Axialspannung: d 140 mm V a pi ˜ i 15 N/mm 2 ˜ 52,5 N/mm 2 4˜s 4 ˜ 10 mm Tangentialspannung: d 140 mm V t pi ˜ i 15 N/mm 2 ˜ 2˜s 2 ˜ 10 mm

105 N/mm 2

Berechnung der Dehnungen mit Hilfe des Hooke'schen Gesetzes (zweiachsiger Spannungszustand)

Ha Ht H 45

1 ˜ V a  P ˜ V t E

52,5 N/mm 2  0,30 ˜ 105 N/mm 2 210 000 N/mm 2

0,0001 0,1 ‰

1 105  0,30 ˜ 52,5 N/mm 2 ˜ V t  P ˜ V a 0,000425 0,425 ‰ E 210 000 N/mm 2 H a  H t 0,100 ‰  0,425 ‰ 0,263 ‰ (siehe Mohr' scher Verformungskreis) 2 2

d) Mohr'scher Spannungs- und Verformungskreis bei Beanspruchung durch Innendruck Die Schnittflächen mit den Flächennormalen in Tangential- und Axialrichtung enthalten keine Schubspannungen. Die Normalspannungen in diesen Schnittebenen sind dementsprechend Hauptspannungen. Die Bildpunkte Pt (Vt _ 0) und Pa (Va _ 0) welche die Spannungskomponenten in diesen Schnittebenen repräsentieren, fallen dementsprechend mit der VAchse zusammen. Der Mohr‘sche Spannungskreis lässt sich damit auf einfache Weise konstruieren. Entsprechendes gilt für die Konstruktion des Mohr’schen Verformungskreises.

e) Berechnung der Spannungskomponenten bei Beanspruchung durch gerade Biegung Axialspannung: Mb Mb 13 500 000 Nmm Va { Vb 81,13 N/mm 2 Wb S 160 4  140 4 S d a4  d i4 mm3 ˜ ˜ 32 160 da 32

230

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Tangentialspannung:

Vt

0

Berechnung der Dehnungen mit Hilfe des Hooke'schen Gesetzes (zweiachsiger Spannungszustand)

Ha Ht H 45

1 ˜ V a  P ˜ V t E

81,13 N/mm 2  0,30 ˜ 0 N/mm 2 210 000 N/mm 2

0,000386

0,386 ‰

1 0  0,30 ˜ 81,13 N/mm 2 ˜ V t  P ˜ V a 0,000116 0,116 ‰ E 210 000 N/mm 2 H a  H t 0,386 ‰   0,116 ‰ 0,135 ‰ (vgl. Mohr' scher Verformungskreis) 2 2

f) Mohr'scher Spannungs- und Verformungskreis bei Beanspruchung durch (gerade) Biegung Die Schnittflächen mit den Flächennormalen in Tangential- und Axialrichtung enthalten keine Schubspannungen. Die Normalspannungen in diesen Schnittebenen sind dementsprechend Hauptnormalspannungen. Die Bildpunkte Pt (0 _ 0) und Pa (Va _ 0) welche die Spannungskomponenten in diesen Schnittebenen repräsentieren, fallen dementsprechend mit der V-Achse zusammen. Der Mohr'sche Spannungskreis lässt sich damit auf einfache Weise konstruieren. Entsprechendes gilt für die Konstruktion des Mohr’schen Verformungskreises.

g) Berechnung der Spannungskomponenten bei Beanspruchung durch Torsion Berechnung des Torsionsmomentes: Mt Mt 15 000 000 Nmm Wt 45,07 N/mm 2 Wt S 160 4  140 4 S d a4  d i4 mm3 ˜ ˜ 16 160 da 16 Tangentialspannung: Vt 0 Axialspannung:

Va

0

231

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Berechnung der Dehnungen mit Hilfe des Hooke'schen Gesetzes

Ha Ht J at

0 0

W at

Wt

Wt

G

G

E 2 ˜ 1  P

2 ˜ 1  P ˜W t E

2 ˜ 1  0,30 210 000 N/mm 2

˜ 45,07 N/mm 2

0,558 ‰

H 45

J at 2

0,000279

0,279 ‰

h) Mohr'scher Spannungs- und Verformungskreis bei Beanspruchung durch Torsion Die Schnittflächen mit den Flächennormalen in Tangential- und Axialrichtung enthalten nur Schubspannungen. Die Bildpunkte Pt (Wt _ 0) und Pa (-Wt _ 0) welche die Spannungskomponenten in diesen Schnittebenen repräsentieren, fallen dementsprechend mit der W-Achse zusammen. Der Mohr'sche Spannungskreis lässt sich damit auf einfache Weise konstruieren.

232

Behälter unter Innen- und Außendruck

Lösung zu Aufgabe 12.8 Berechnung des Durchmesserverhältnisses d a 210 mm 1,05  1,20 (dünnwandig) d i 200 mm Für die Berechnung des Innendrucks sowie des Torsionsmomentes wird zunächst Messstelle 2 (neutrale Faser) gewählt. Berechnung der Tangetial- und Axialspannung (Hooke'sches Gesetz für den zweiachsigen Spannungszustand) Tangentialspannung (Messstelle 2):

V t2

E ˜ H t2  P ˜ H a2 1 P2

205 000 N/mm 2 ˜ 0,622 ‰  0,30 ˜ 0,146 ‰ ˜ 10  3 2 1 - 0,30

149,99 N/mm 2

Berechnung des Innendrucks Die Tangentialspannung Vt2 kann nur durch die Beanspruchung aus Innendruck pi hervorgerufen werden. Daher gilt: d V t2 pi ˜ i 2˜s 2˜s 2 ˜ 5 mm ˜ V t2 ˜ 149,99 N/mm 2 7,5 N/mm 2 7,5 MPa pi 200 mm di Berechnung des Torsionsmomentes An der Messstelle 2 liegt eine 0°-45°-90° DMS-Rosette vor. Daher kann der Mohr'sche Verformungskreis entsprechend Kapitel 4.4.2 (siehe Lehrbuch) auf einfache Weise konstruiert werden (siehe Abbildung).

Berechnung der Schiebung Jat:

J at 2

J at

H  Ht · § H 45  H M ¨ H 45  a ¸ 2 ¹ © 0,590 ‰

0,146 ‰  0,622 ‰ · § ¨ 0,679 ‰ ¸ 2 © ¹

0,295 ‰

233

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Berechnung der Schubspannung unter Verwendung des Elastizitätsgesetzes für Schubbeanspruchung:

W at { W t

E ˜ J at 2 ˜ 1  P

G ˜ J at

205 000 N/mm 2 ˜ - 0,590 ˜ 10  3 2 ˜ 1  0,30

46,52 N/mm 2

Berechnung des Torsionsmomentes: Mt Wt Wt Mt

W t ˜ Wt

Wt ˜

S d a4  d i4 16

˜

da

46,52 N/mm 2 ˜

S 210 4  200 4 16

˜

210

mm3

14 997 642 Nmm 14 998 Nm

Das Torsionsmoment wirkt entsprechend der Darstellung in der Aufgabenstellung. Berechnung der Biegespannung Messstelle 1 (oder 3) befindet sich außerhalb der neutralen Faser, so dass dort Spannungen aus Innendruck, Torsion und Biegung auftreten. Es genügt an der Messstelle 1 (oder 3) die Axialspannung zu betrachten. Berechnung der Axialspannung (Messstelle 1):

V a1

E ˜ H a1  P ˜ H t1 1 P2

205 000 N/mm 2 ˜ 0,449 ‰  0,30 ˜ 0,531 ‰ ˜ 10  3 1 - 0,30 2

137,03 N/mm 2

Die Axialspannung an der Messstelle 1 ergibt sich durch Überlagerung der Axialspannung aus Innendruck und der Biegespannung, also:

Vt

di Vb 4˜s

V a1

pi ˜

Vb

V a1 

Vt 2

2

Vb

137,03 N/mm 2 

149,99 N/mm 2 2

62,04 N/mm 2

Berechnung des Biegemomentes: Mb Vb Wb Mb

V b ˜ Wb

Vb ˜

d a4  d i4 32 da

S

˜

62,04 N/mm 2 ˜

10 000 849 Nmm 10 000 Nm

210 4  200 4 mm3 32 210

S

˜

234

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Lösung zu Aufgabe 12.9 a) Berechnung des Durchmesserverhältnisses d a 120 mm 3 ! 1,20 (dickwandig) di 40 mm Berechnung der Spannungskomponenten in Messrichtung der DMS (Anwendung des Hooke'sches Gesetz für den zweiachsigen Spannungszustand) E 210 000 N/mm 2 VA  H P H ˜  ˜ ˜ 0,158 ‰  0,30 ˜ 0,042 ‰ ˜ 10  3 A B 1 P2 1 - 0,30 2 39,37 N/mm 2

VB

E ˜ H B  P ˜ H A 1 P2

210 000 N/mm 2 ˜ 0,042 ‰  0,30 ˜ 0,158 ‰ ˜ 10  3 1 - 0,30 2

20,63 N/mm 2

Die Schnittflächen mit den Flächennormalen in Tangential- und Axialrichtung enthalten keine Schubspannungen. Die Normalspannungen in diesen Schnittebenen sind dementsprechend Hauptnormalspannungen. Die Bildpunkte Pt und Pa welche die Spannungskomponenten in diesen Schnittebenen repräsentieren, fallen dementsprechend mit der V-Achse zusammen und der Mohr'sche Verformungskreis lässt sich damit auf einfache Weise konstruieren. Die Bildpunkte PB und PA erhält man durch Abtragen des Richtungswinkels (2˜10° bzw. 2˜10° + 180°) ausgehend von der nunmehr bekannten Axialrichtung (gleicher Drehsinn zum Lageplan). Berechnung von Mittelpunkt und Radius des Mohr‘schen Spannungskreises

VM R

VA VB 2

VA VB 2

˜

39,37 N/mm 2  20,63 N/mm 2 2 1 cos(2 ˜ M )

30 N/mm 2

39,37 N/mm 2  20,63 N/mm 2 1 ˜ 2 cos(2 ˜ 10q)

V t { V 1 V M  R 30 N/mm 2  9,97 N/mm 2

39,97 N/mm 2

V a { V 2 V M  R 30 N/mm 2  9,97 N/mm 2 Vr { V3 0

20,03 N/mm 2

9,97 N/mm 2

Für die Tangentialspannung in einem elastisch beanspruchten, dickwandigen Behälter (dickwandiges, beidseitig verschlossenes Rohr) unter Innendruck (pa = 0) gilt:

235

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Vt

pi ˜

ri2 ra2  ri2

§ r2 · ˜ ¨¨ a2  1¸¸ ©r ¹

Am Außenrand ergibt sich mit r = ra:

Vt

pi ˜

2 ˜ ri2 ra2  ri2

Damit folgt für den Innendruck pi: pi

Vt ˜

ra2  ri2 2 ˜ ri2

39,97 N/mm 2 ˜

60

2



 20 2 mm 2

2 ˜ 20 mm 2

159,88 N/mm 2

159,88 MPa

b) Berechnung des Innendrucks bei Fließbeginn des Rohres pi FB

Rp0,2 ˜

ra2  ri2 3 ˜ ra2

340 N/mm 2 ˜

174,49 N/mm 2

60

2



 20 2 mm 2 2

3 ˜ 60 mm 2

174,49 MPa

c) Berechnung des Innendrucks bei einer zulässigen Plastifizierung des Innenrings bis zum Radius c = 30 mm (teilplastischer Zustand) pic

2 Rp0,2 §¨ § c · § c ˜ ln¨¨ ¸¸  ¨¨ 3 ¨ © ri ¹ © ra ©

306,41 N/mm 2

2 · · ¸¸  1¸ ¸ ¹ ¹

2 2 · 340 N/mm 2 §¨ § 30 mm · § 30 mm · ¸¸  ¨¨ ¸¸  1¸ ˜ ln¨¨ ¨ © 20 mm ¹ © 60 mm ¹ ¸ 3 © ¹

306,41 MPa

d) Berechnung der Tangential- und Axialspannung an der Außenoberfläche (r = ra) des Behälters (elastischer Außenring) Am Außenrand ergibt sich mit (r = ra):

Vt

Rp0,2 c 2 ˜ 3 ra2

§ r2 · ˜ ¨¨ a2  1¸¸ ©r ¹

2

Rp0,2 c 2 ˜ ˜2 3 ra2

2 § 30 mm · ¸¸ ˜ 340 N/mm 2 ˜ ¨¨ 60 mm 3 © ¹

98,15 N/mm 2

Va

Rp0,2 c 2 ˜ 3 ra2

340 N/mm 2 § 30 mm · ¸¸ ˜ ¨¨ 3 © 60 mm ¹

2

49,07 N/mm 2

Berechnung der Spannungen in Messrichtung der Dehnungsmessstreifen

VA

VA

Vt Va

V Va  t ˜ cos 2M 2 2 98,15 N/mm 2  49,07 N/mm 2 98,15 N/mm 2  49,07 N/mm 2  ˜ cos(2 ˜ 10q) 2 2 96,67 N/mm 2

236

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

VB

Vt Va

Vt Va

˜ cos 2M 2 2 98,15 N/mm 2  49,07 N/mm 2 98,15 N/mm 2  49,07 N/mm 2  ˜ cos(2 ˜ 10q) 2 2 50,55 N/mm 2 

Berechnung der Dehnungen in Messrichtung der Dehnungsmessstreifen (Anwendung des Hooke'schen Gesetzes für den zweiachsigen Spannungszustand)

H A*

1 ˜ V A  P ˜ V B E

96,67 N/mm 2  0,30 ˜ 50,55 N/mm 2 210 000 N/mm 2

0,000388

H B*

1 ˜ V B  P ˜ V A E

50,55 N/mm 2  0,30 ˜ 96,67 N/mm 2 210 000 N/mm 2

0,000103 0,103 ‰

0,388 ‰

e) Berechnung der Spannungskomponenten am Innenrand (ri = 20 mm), am Radius c = 30 mm und am Außenrand (ra = 60 mm) Spannungsverlauf im vollplastischen Innenring (ri < r < c) x Tangentialspannung: V t

Rp0,2 §¨ § r · 2 § c ˜ ln¨ ¸  ¨ 3 ¨ © c ¹ ¨© ra ©

2 · · ¸¸  1¸ ¸ ¹ ¹

Va

Rp0,2 §¨ § r · 2 § c ˜ ln¨ ¸  ¨ 3 ¨ © c ¹ ¨© ra ©

· ¸¸ ¹

Vr

Rp0,2 §¨ § r · 2 § c ˜ ln¨ ¸  ¨ 3 ¨ © c ¹ ¨© ra ©

2 · · ¸¸  1¸ ¸ ¹ ¹

x Axialspannung:

x Radialspannung:

2·

¸ ¸ ¹

Spannungsverlauf im elastischen Außenring (c < r < ra) x Tangentialspannung:

Vt

Rp0,2 c 2 ˜ 3 ra2

x Axialspannung:

Va

Rp0,2 c 2 ˜ 3 ra2

x Radialspannung:

Vr



§ r2 · ˜ ¨¨ a2  1¸¸ ©r ¹

Rp0,2 c 2 ˜ 3 ra2

§ r2 · ˜ ¨¨ a2  1¸¸ ©r ¹

237

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

vollplastischer Innenring

Spannungskomponente

r = ri = 20 mm

r = c = 30 mm

r = c = 30 mm

r = ra = 60 mm

2

2

2

98,15 N/mm2

86,19 N/mm

Tangentialspannung

elastischer Außenring

245,37 N/mm

245,37 N/mm

Axialspannung

-110,11 N/mm2

49,07 N/mm2

49,07 N/mm2

49,07 N/mm2

Radialspannung

-306,41 N/mm2

-147,22 N/mm2

-147,22 N/mm2

0 N/mm2

f) Spannungskomponenten am Innenrand, falls der gesamte Behälter elastisch verformt wäre (ideelle Spannungen)

V t id

§ r2 · ˜ ¨ a2  1¸ ¨r ¸ © ¹ 383,01 N/mm pi ˜

ri2 ra2  ri2

V a id

pi ˜ ri2 ra2  ri2

V r id

 pi ˜

pi ˜

ra2  ri2 ra2  ri2

306,41 N/mm 2 ˜ 20 mm 2

60 mm 2  20 mm 2

ri2 ra2  ri2

§ r2 · ˜ ¨¨ a2  1¸¸ ©r ¹

 pi ˜

ri2 ra2  ri2

306,41 N/mm 2 ˜

60 mm 2  20 mm 2 60 mm 2  20 mm 2

38,30 N/mm 2 § r2 · ˜ ¨¨ a2  1¸¸ © ri ¹

 pi

306,41 N/mm 2

Tatsächlich wirkende Spannungen am Innenrand (aus Aufgabenteil e)

V t 86,19 N/mm V a 110,11 N/mm V r 306,41 N/mm Eigenspannungen am Innenrand V t ei V t  V t id 86,19 N/mm 2  383,01 N/mm 2

296,86 N/mm 2

238

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

V a ei V a  V a id

110,11 N/mm 2  38,30 N/mm 2

V r ei V r  V r id

306,41 N/mm 2   306,41 N/mm 2

148,41 N/mm 2 0

Spannungskomponenten am Außenrand, falls der gesamte Behälter elastisch verformt wäre (ideelle Spannungen) § r2 · 2˜ r2 2 ˜ 20 mm 2 r2 V t id pi ˜ 2 i 2 ˜ ¨¨ a2  1¸¸ pi ˜ 2 i 2 306,41 N/mm 2 ˜ 60 mm 2  20 mm 2 ra  ri © r ra  ri ¹ 76,60 N/mm

V a id

pi ˜ ri2 ra2  ri2

V r id

0

306,41 N/mm 2 ˜ 20 mm 2 60 mm 2  20 mm 2

38,30 N/mm 2

Tatsächlich wirkende Spannungen am Außenrand (aus Aufgabenteil e)

V t 98,15 N/mm V a 49,07 N/mm V r 0 N/mm Eigenspannungen am Außenrand

V t ei V t  V t id V a ei V a  V a id V r ei V r  V r id

98,15 N/mm 2  76,60 N/mm 2 49,07 N/mm 2  38,30 N/mm 2 00 0

21,55 N/mm 2 10,77 N/mm 2

239

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Lösung zu Aufgabe 12.10 a) Es liegt eine 0°-45°-90° DMS-Rosette vor. Daher kann der Mohr’sche Verformungskreis entsprechend Kapitel 4.4.2 (siehe Lehrbuch) auf einfache Weise konstruiert werden (siehe Abbildung).

Berechnung der Dehnungen in Tangential- und Axialrichtung (Ht und Ha) sowie der Schiebung Jt mit der Axialrichtung als Bezug

HM

HA  HC 2

0,1496 ‰  1,2904 ‰ 2 1,1657 ‰

0,720 ‰

Ht { HB H a { H M  H B  H M 0,720 ‰ - 1,1657 ‰ - 0,720 ‰ 0,2743 ‰ J at H M  H A 0,720 ‰ - 0,1496 ‰ 0,5704 ‰ 2

J at

1,1408 ‰

Berechnung des Innendrucks Berechnung der Tangentialspannung unter Anwendung des Hooke'schen Gesetzes für den zweiachsigen Spannungszustand. Annahme: Behälter ist elastisch beansprucht.

Vt

E ˜ H t  P ˜ H a 1 P2

210 000 N/mm 2 ˜ 1,1657 ‰  0,30 ˜ 0,2743 ‰ ˜ 10  3 1 - 0,30 2

288 N/mm 2

Tangentialspannung am Außenrand (r = ra) eines dickwandigen Behälters unter Innendruck:

Vt

pi ˜

ri2 ra2  ri2

pi

Vt ˜

ra2  ri2 2 ˜ ri2

§ r2 · ˜ ¨¨ a2  1¸¸ ©r ¹

pi ˜

288 N/mm 2 ˜

2 ˜ ri2 ra2  ri2

75 mm 2  50 mm 2 2 ˜ 50 mm 2

180 N/mm 2

180 MPa

240

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Berechnung des Torsionsmomentes Elastizitätsgesetz für Schubspannungen:

W at { W t

210 000 N/mm 2 ˜ 1,1408 ˜ 10  3 2 ˜ 1  0,30

E ˜ J at 2 ˜ 1  P

G ˜ J at

92,14 N/mm 2

Berechnung des Torsionsmomentes: Mt Wt Wt Mt

W t ˜ Wt

Wt ˜

S d a4  d i4 16

˜

48 999 028 Nmm

92,14 N/mm 2 ˜

da

S 150 4  100 4 16

˜

150

mm3

49 000 Nm

b) Innenrand des Behälters Berechnung der Spannungskomponenten am Innenrand (r = ri = 50 mm) Tangentialspannung:

Vt

pi ˜

ra2

ri2  ri2

§ r2 · ˜ ¨ a2  1¸ ¨r ¸ © ¹

180 N/mm 2 ˜

pi ˜

ra2  ri2 ra2  ri2

75 mm 2  50 mm 2 75 mm 2  50 mm 2

468 N/mm 2

Axialspannung: pi ˜ ri2 180 N/mm 2 ˜ 50 mm 2 ˜ ra2  ri2 75 mm 2  50 mm 2 Radialspannung:

144 N/mm 2

Va

Vr

 pi ˜

ri2 ra2  ri2

§ r2 · ˜ ¨¨ a2  1¸¸ ©r ¹

 pi

180 N/mm 2

Schubspannung am Innenrand (Strahlensatz):

W ti

W ta ˜

ri ra

92,14 N/mm 2 ˜

50 mm 75 mm

61,43 N/mm 2

Berechnung der Hauptspannungen in der t-a-Ebene (Mantelfläche) Mittelpunkt und Radius des Mohr'schen Spannungskreises:

VM R

Vt Va 2

468 N/mm 2  144 N/mm 2 2

306 N/mm 2

V t  V M 2  W t2 (468 N/mm 2  306 N/mm 2 ) 2  (61,43 N/mm 2 ) 2

173,26 N/mm 2

241

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Damit folgt für die Hauptspannungen in der t-a-Ebene:

V H1 V M  R 306 N/mm 2  173,26 N/mm 2 V H2

479,26 N/mm 2

V M  R 306 N/mm 2  173,26 N/mm 2 132,74 N/mm 2

Ordnen der Hauptspannungen ergibt:

V 1 { V H1

479,26 N/mm 2

V 2 { V H2

132,74 N/mm 2  180 N/mm 2

V3 { Vr

Berechnung der Vergleichsspannung an der Innenoberfläche (Anwendung der Gestalt-änderungsenergiehypothese)

V VGEH V VGEH

1 2 1 2

˜

V 1  V 2 2  V 2  V 3 2  V 3  V 1 2

˜

479,26  132,74 2  132,74  180 2   180  479,26 2

N/mm 2

571,19 N/mm 2

Es gilt: VV GEH < Rp0,2 Der Behälter ist damit am Innenrand noch elastisch beansprucht. Außenrand des Behälters Berechnung der Spannungskomponenten am Außenrand (r = ra = 75 mm) Tangentialspannung:

Vt

pi ˜

ri2 ra2  ri2

§ r2 · ˜ ¨¨ a2  1¸¸ ©r ¹

180 N/mm 2 ˜

pi ˜

2 ˜ ri2 ra2  ri2

2 ˜ 50 mm 2

75 mm  50 mm 2

2

288 N/mm 2

242

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Axialspannung:

Va

pi ˜ ri2 ra2  ri2

˜

180 N/mm 2 ˜ 50 mm 2

75 mm 2  50 mm 2

144 N/mm 2

Radialspannung:

Vr

0

Schubspannung am Außenrand:

W ta

92,14 N/mm 2

Da an der Außenoberfläche ein zweiachsiger Spannungszustand vorliegt, kann die Vergleichsspannung nach der GEH auch direkt aus den Lastspannungen ermittelt werden (siehe Kapitel 6.4 im Lehrbuch):

V VGEH

V a2  V t2  V a ˜ V t  3 ˜ W t2

V VGEH

144 2  2882  144 ˜ 288  3 ˜ 92,14 2 N/mm 2

296,10 N/mm 2

Es gilt: VV GEH < Rp0,2 Der Behälter ist damit am Außenrand ebenfalls noch elastisch beansprucht. Anmerkung: Wie zu erwarten, ist die Vergleichsspannung am Außenrand niedriger im Vergleich zum Innenrand, da der Innenrand eines durch Innendruck beanspruchten Behälters stets die höchst beanspruchte Stelle darstellt. c) Berechnung des Innendrucks bei Fließbeginn des Rohres pi FB

Rp0,2 ˜

ra2  ri2

3 ˜ ra2

314,3 N/mm 2

980 N/mm 2 ˜

(752  50 2 ) mm 2 3 ˜ 75 2 mm 2

314,4 MPa

d) Berechnung des Innendrucks bei einer zulässigen Plastifizierung bis c = 60 mm pic

2 Rp0,2 §¨ § c · § c ˜ ln¨ ¸  ¨ 3 ¨ ¨© ri ¸¹ ¨© ra ©

410,0 N/mm 2

2 · · ¸¸  1¸ ¸ ¹ ¹

2 2 · 980 N/mm 2 §¨ § 60 mm · § 60 mm · ¸¸  1¸ ¸¸  ¨¨ ˜ ln¨¨ ¨ © 50 mm ¹ © 75 mm ¹ ¸ 3 © ¹

410,0 MPa

e) Berechnung der Tangential- und Axialspannung an der Außenoberfläche (r = ra) des Behälters (elastischer Außenring)

Vt

R p0,2 c 2 ˜ 3 ra2

§ r2 · ˜ ¨ a2  1¸ ¨r ¸ © ¹

R p0,2 c 2 ˜ ˜2 3 ra2

2

2 § 60 mm · ¸¸ ˜ 980 N/mm 2 ˜ ¨¨ 3 © 75 mm ¹

724,23 N/mm 2

243

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Va

R p0,2 c 2 ˜ 3 ra2

980 N/mm 2 § 60 mm · ¸¸ ˜ ¨¨ 3 © 75 mm ¹

2

362,11 N/mm 2

Berechnung der Dehnungen in Tangential- und Axialrichtung unter Anwendung des Hooke'schen Gesetzes (zweiachsiger Spannungszustand)

Ht

1 ˜ V t  P ˜ V a E

724,23 N/mm 2  0,30 ˜ 362,11 N/mm 2 210 000 N/mm 2

0,0029314

2,9314 ‰

Ha

1 ˜ V a  P ˜ V t E

362,11 N/mm 2  0,30 ˜ 724,23 N/mm 2 210 000 N/mm 2

0,0006897

0,6897 ‰

Da voraussetzungsgemäß kein Torsionsmoment mehr wirkt, sind die Schnittflächen mit der Flächennormalen in Axial- und Tangentialrichtung schubspannungsfrei. Daher erfährt ein achsparalleles Flächenelement keine Schiebung (Winkelverzerrung). Die Bildpunkte Pa und Pt, welche die Verformungen mit der Axial- bzw. Tangentialrichtung als Bezugsrichtung repräsentieren, fallen daher mit der H-Achse zusammen, d. h. die Axial- und die Tangentialrichtung sind gleichzeitig Hauptdehnungsrichtungen. Der Mohr’sche Verformungskreis lässt sich damit auf einfache Weise konstruieren (siehe Abbildung). Die Bildpunkte PA und PC, welche die Verformungen mit der A- bzw. C-Richtung als Bezugsrichtung repräsentieren, erhält man durch Abtragen der Richtungswinkel 2˜45° bzw. 2˜45° +180° ausgehend von der nunmehr bekannten Tangentialrichtung (gleicher Drehsinn zum Lageplan). Damit erhält man für die Dehnungen in A- und C-Richtung:

HA

HC

Ht  Ha 2

2,9314 ‰  0,6897 ‰ 2

1,8106 ‰

Die Dehnung in B-Richtung ist identisch mit der Dehnung in Tangentialrichtung. Es gilt daher:

HB

Ht

2,9314 ‰

244

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Lösung zu Aufgabe 12.11 Berechnung des Durchmesserverhältnisses d a 624 mm 1,04  1,20 (dünnwandig) d i 600 mm Berechnung der Spannungskomponenten an der Außenseite (Messstellen der DMS) Spannungskomponenten aus Innendruck Tangentialspannung: d 600 mm V t pi ˜ i 20 N/mm 2 ˜ 500 N/mm 2 2˜s 2 ˜ 12 mm Axialspannung: dt 2

di 4˜s Radialspannung:

Va

pi ˜

Vr

0

500 N/mm 2 2

250 N/mm 2

Spannungskomponenten aus Biegebeanspruchung

Vb

Mb Wb

F1 ˜a 2 S d a4  d i4 ˜ 32 da

900 000 N ˜ 850 mm 2 S 624 4  600 4 ˜ mm3 32 624

Spannungskomponenten aus Zugbeanspruchung 1 500 000 N F2 F2 Vz S S A ˜ d a2  d i2 ˜ 624 2  600 2 mm 2 4 4









110,44 N/mm 2

65,01 N/mm 2

Berechnung der Dehnungsanzeigen der DMS (zweiachsiger Spannungszustand)

HC

HB

1 ˜ V z  V a  P ˜ V t E 65,01 N/mm 2  250 N/mm 2  0,30 ˜ 500 N/mm 2 210 000 N/mm 2 1 ˜ V t  P ˜ V z  V a E 500 N/mm 2  0,30 ˜ 65,01 N/mm 2  250 N/mm 2 210 000 N/mm 2



HA

0,0007858



0,7858 ‰

0,0019309 1,9309 ‰

1 ˜ V z  V a  V b  P ˜ V t E 65,01 N/mm 2  250 N/mm 2  110,44 N/mm 2  0,30 ˜ 500 N/mm 2 210 000 N/mm 2

245

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

0,0002599

HD

0,2599 ‰

1 ˜ V z  V a  V b  P ˜ V t E 65,01 N/mm 2  250 N/mm 2  110,44 N/mm 2  0,30 ˜ 500 N/mm 2 210 000 N/mm 2 0,0013117 1,3117 ‰

b) Die höchst beanspruchte Stelle befindet sich an der Messstelle von DMS D. Da keine Schubspannungen auftreten, sind die Normalspannungen gleichzeitig Hauptnormalspannungen. Spannungskomponenten an der Messstelle von DMS D

V H1 V a  V z  V b

250 N/mm 2  65,01 N/mm 2  110,44 N/mm 2

500 N/mm 2

V H2 V t V H3 V r

0

Ordnen der Hauptspannungen: V 1 V H2 500 N/mm 2 425,45 N/mm 2

V 2 V H1 V 3 V H3

0

Festigkeitsbedingung (Verwendung der Schubspannungshypothese)

V V SH d V zul V1  V 3 SF

Rp0,2 SF

Rp0,2 SF

Rp0,2

V1  V 3

870 N/mm 2 500 N/mm 2  0

1,74 (ausreichend, da S F ! 1,20)

425,45 N/mm 2

246

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Lösung zu Aufgabe 12.12 Berechnung des Durchmesserverhältnisses d a 480 mm 1,07  1,20 (dünnwandig) d i 450 mm Die Schnittflächen mit der Axial- und Tangentialrichtung als Normale sind schubspannungsfrei (nur Innendruck). Daher erfährt ein achsparalleles Flächenelement auch keine Schiebung (Winkelverzerrung). Die Bildpunkte Pa und Pt, welche die Verformungen mit der Axial- bzw. Tangentialrichtung als Bezugsrichtung repräsentieren, fallen daher mit der H-Achse zusammen, d. h. die Axialund die Tangentialrichtung sind gleichzeitig Hauptdehnungsrichtungen. Der Mohr’sche Verformungskreis lässt sich damit entsprechend der Abbildung auf einfache Weise konstruieren. Die Bildpunkte PA und PB, welche die Verformungen mit der A- bzw. B-Richtung als Bezugsrichtung repräsentieren, erhält man durch Abtragen der Richtungswinkel 2˜20° bzw. 2˜20°+180° ausgehend von der nunmehr bekannten Axialrichtung (gleicher Drehsinn zum Lageplan). Berechnung von Mittelpunkt und Radius des Mohr‘schen Verformungskreises H A  H B 0,1972 ‰  0,5528 ‰ HM 0,375 ‰ 2 2 H M  H A 0,375 ‰  0,1972 ‰ R 0,2321 ‰ cos 2D cos(2 ˜ 20q) Berechnung der Dehnungen in Tangential- und Axialrichtung (Ht und Ha)

Ht Ha

H M  R 0,375 ‰  0,2321 ‰ 0,6071 ‰ H M  R 0,375 ‰  0,2321 ‰ 0,1429 ‰

Berechnung der Spannungen in Tangentialrichtung durch Anwendung des Hooke’schen Gesetzes (zweiachsiger Spannungszustand)

Vt

E ˜ H t  P ˜ H a 1 P2 150 N/mm 2

210 000 N/mm 2 ˜ 0,6071 ‰  0,30 ˜ 0,1429 ‰ ˜ 10  3 2 1 - 0,30

247

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Berechnung des Innendrucks pi d V t pi ˜ i 2˜s 2˜s 2 ˜ 15 mm pi V t ˜ 150 N/mm 2 ˜ di 450 mm

10 N/mm 2

10 MPa

248

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Lösung zu Aufgabe 12.13 Berechnung des Durchmesserverhältnisses d a 330 mm 1,1  1,20 (dünnwandig) d i 300 mm Es liegt eine 0°-45°-90° DMS-Rosette vor. Daher kann der Mohr’sche Verformungskreis entsprechend Kapitel 4.4.2 (siehe Lehrbuch) auf einfache Weise konstruiert werden (siehe Abbildung).

Berechnung von Mittelpunkt und Radius des Mohr‘schen Verformungskreises H A  H C 0,2011 ‰  0,3989 ‰ HM 0,3 ‰ 2 2 R

H B  H M 2  H M  H A 2 0,5715 ‰  0,3 ‰ 2  0,3 ‰  0,2011 ‰ 2

0,2890 ‰

Berechnung des Winkels D zwischen der Messrichtung von DMS B und der Hauptdehnungsrichtung HH1

D

§ H  HA arctan¨¨ M © HB  HM

· ¸¸ ¹

§ 0,3 ‰  0,2011 ‰ · ¸¸ arctan¨¨ © 0,5715 ‰  0,3 ‰ ¹

arctan 0,364

Damit folgt für den Richtungswinkel E:

E

90q  D  2 ˜ 10q 50q

Berechnung der Dehnungen in Tangential- und Axialrichtung

H t H M  R ˜ cos E H a H M  R ˜ cos E

0,3 ‰  0,289 ‰ ˜ cos 50q

0,4858 ‰

0,3 ‰  0,289 ‰ ˜ cos 50q

0,1142 ‰

20q

249

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Berechnung der Normalspannung in Tangentialrichtung (Vt) durch Anwendung des Hooke’schen Gesetzes (zweiachsiger Spannungszustand)

Vt

E ˜ H t  P ˜ H a 1 P2

210 000 N/mm 2 ˜ 0,4858 ‰  0,3 ˜ 0,1142 ‰ ˜ 10  3 1 - 0,32

120 N/mm 2

Berechnung des Innendrucks pi d V t pi ˜ i 2˜s 2˜s 2 ˜ 15 mm 120 N/mm 2 ˜ pi V t ˜ 300 mm di

12 N/mm 2

12 MPa

Berechnung der Schiebung Jat mit der Axialrichtung als Bezugsrichtung

J at 2

J at

 R ˜ sin E

0,289 ‰ ˜ sin 50q

0,2213 ‰

(Winkelverkleinerung gemäß Vorzeichenregelung für Schiebungen)

0,4426 ‰

Berechnung der Schubspannung Wt durch Anwendung des Hooke’schen Gesetzes für Schubbeanspruchung 210 000 N/mm 2 E W at { W t G ˜ J at ˜ J at ˜ - 0,4426 ‰ ˜10 3 35,8 N/mm 2 2 ˜ 1  P 2 ˜ 1  0,30





Berechnung des Torsionsmomentes Mt Wt Wt Mt

W t ˜ Wt

Wt ˜

S d a4  d i4 16

˜

80 000 000 Nmm

da

35,8 N/mm 2 ˜

S 330 4  300 4 16

˜

330

mm3

80 000 Nm

Das Torsionsmoment wirkt entgegen der in der Aufgabenstellung eingezeichneten Richtung.

250

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Lösung zu Aufgabe 12.14 a) Berechnung des Innendrucks pi

F A

F

S 4

150 000 N

S

˜ d i22

4

29,84 N/mm 2

29,84 MPa

˜ 80 mm

2

b) Berechnung des Durchmesserverhältnisses d a1 70 mm 1,17  1,20 (dünnwandig) d i1 60 mm Berechnung der Spannungskomponenten an der Stelle 1 Tangentialspannung: d i1 60 mm 29,84 N/mm 2 ˜ 179,05 N/mm 2 2 ˜ s1 2 ˜ 5 mm Axialspannung (erhält man durch Freischneiden des Deckels, siehe Abbildung):

Vt

pi ˜

 F  pi ˜

Va

S 4

S 4

˜ d i12



2 ˜ d a1  d i12



- 150 000 N  29,84 N/mm 2 ˜

S



S 4

˜ 60 mm 2



˜ 70 2  60 2 mm 2 4 64,27 N/mm 2

Radialspannung: p V r  i 14,92 N/mm 2 2 Hauptspannungen

V1 V t

179,05 N/mm 2

V2

Vr

14,92 N/mm 2

V3

Va

64,27 N/mm 2

Festigkeitsbedingung

V V SH d V zul V1  V 3 SF

Rp0,2 SF

Rp0,2 SF

Rp0,2

V1  V 3

780 N/mm 2 179,05 N/mm 2  (64,27 N/mm 2 )

3,21 (ausreichend, da S F ! 1,50)

251

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Bemerkung: Für Druckbehälterberechnungen wählt man aufgrund des Gefährdungspotenziales in der Regel einen höheren Sicherheitsbeiwert gegen plastische Verformung (SF t 1,50). c) Berechnung der Spannungskomponenten an der Stelle 4 Annahme: der äußere Zylinder ist dünnwandig. Tangentialspannung: d V t pi ˜ i2 2 ˜ s2 Axialspannung:

Va

0 (keine Reibung)

Radialspannung: p Vr  i 2 Festigkeitsbedingung

V V SH d V zul V1  V 3 pi ˜

Rp0,2 SF

Rp0,2 SF

d i2 § pi ·  ¨ ¸ 2 ˜ s2 © 2 ¹

Rp0,2 SF

§ d 1 · Rp0,2 pi ˜ ¨¨ i2  ¸¸ SF © 2 ˜ s2 2 ¹ Rp0,2 1 d i2  2 ˜ s2 2 pi ˜ S F s2

d i2

80 mm

§ Rp0,2 1· 2 ˜ ¨¨  ¸¸ © pi ˜ S F 2 ¹

§ 780 N/mm 2 1· 2 ˜ ¨¨  ¸¸ 2 © 29,84 N/mm ˜ 3,21 2 ¹

5,23 mm

Überprüfung, ob der Behälter tatsächlich dünnwandig ist d a2 90,45 mm 1,13  1,20 (dünnwandig) d i2 80 mm d) An der Stelle 3 herrscht kein Innendruck (Dichtungen), daher sind dort keine Spannungskomponenten aus Innendruck vorhanden. Da voraussetzungsgemäß außerdem keine Reibung auftritt, liegen auch keine Axialspannungen vor. Die Stelle 3 ist also spannungsfrei, d. h. VV = 0. Die Sicherheit gegen Fließen ist dementsprechend unendlich.

252

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

e) Konstruktion des Mohr'schen Spannungskreises Die Schnittflächen mit den Flächennormalen in Tangential- und Axialrichtung enthalten keine Schubspannungen (nur Innendruck). Die Normalspannungen in diesen Schnittebenen sind dementsprechend Hauptspannungen. Die Bildpunkte Pt und Pa welche die Spannungskomponenten in diesen Schnittebenen repräsentieren, fallen dementsprechend mit der V-Achse zusammen und der Mohr'sche Verformungskreis lässt sich aus einfache Weise konstruieren. Die Bildpunkte Pa' (Schnittfläche mit Flächennormale in a'-Richtung) und Pt' erhält man durch Abtragen des Richtungswinkels (2˜15° bzw. 2˜15° + 180°) ausgehend von der nunmehr bekannten Axial- oder Tangentialrichtung (gleicher Drehsinn zum Lageplan). Berechnung der Spannungskomponenten Va' und Vt'

V a'

V t V a

V V a  t ˜ cos 2 2 179,05 N/mm 2  - 64,27 N/mm 2 179,05 N/mm 2  - 64,27 N/mm 2  ˜ cos2 ˜15q 2 2 -47,98 N/mm 2



V t'

V t V a







V t V a

˜ cos 2D 2 2 179,05 N/mm 2  - 64,27 N/mm 2 179,05 N/mm 2  - 64,27 N/mm 2  ˜ cos2 ˜15q 2 2 162,75 N/mm 2 









Berechnung der Dehnung in Messrichtung des Dehnungsmessstreifens 1 ˜ V a'  P ˜ V t' E  47,98 N/mm 2  0,30 ˜ 162,75 N/mm 2 208 000 N/mm 2

H a' { H DMS

0,000465

 0,465 ‰

f) Bei einem Innendruck von pmax = 40 MPa ist der innere Zylinder voll ausgefahren, d. h. in beiden Zylindern tritt zusätzlich eine Axialspannung aus Innendruck auf. Berechnung der Spannungskomponenten an der Stelle 1 Tangentialspannung: 60 mm d V t pmax ˜ i1 40 N/mm 2 ˜ 240 N/mm 2 2 ˜ s1 2 ˜ 5 mm

253

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Axialspannung:

Va

 F  pmax ˜

S 4

˜



2 d a1

S 4

˜ d i12

 d i12



- 150 000 N  40 N/mm 2 ˜

S 4



2

2

S 4



˜ 70  60 mm

˜ 60 mm 2

36,14 N/mm 2

2

Radialspannung: p V r  max 20 N/mm 2 2 Hauptspannungen

V1 V t

240 N/mm 2

V2

Vr

 20 N/mm 2

V3 Va

36,14 N/mm 2

Festigkeitsbedingung Rp0,2

V V SH d V zul Rp0,2

V1  V 3 SF

SF

SF 780 N/mm 2 240 N/mm 2  (36,14 N/mm 2 )

Rp0,2

V1  V 3

2,83 (ausreichend, da S F ! 1,50)

Berechnung der Spannungskomponenten an der Stelle 4 Tangentialspannung: d 80 mm V t pmax ˜ i2 40 N/mm 2 ˜ 266,67 N/mm 2 2 ˜ s2 2 ˜ 6 mm Axialspannung:

Va

 F  pmax ˜

S 4

˜



2 d a2

S 4

˜ d i22

 d i22



Radialspannung: p V r  max 20 N/mm 2 2 Hauptspannungen

V1 V t

266,67 N/mm 2

Vr

31,50 N/mm 2

V3 Va

 20 N/mm 2

V2

- 150 000 N  40 N/mm 2 ˜

S 4



2

2



S 4

˜ 92  80 mm

˜ 80 mm 2 2

31,50 N/mm 2

254

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Festigkeitsbedingung Rp0,2

V V SH d V zul V1  V 3 SF

SF

Rp0,2 SF 780 N/mm 2 266,67 N/mm 2  (20 N/mm 2 )

Rp0,2

V1  V 3

2,72 (ausreichend, da S F ! 1,50)

g) Spannungskomponenten an der Kerbstelle 2 Tangentialspannung:

Vt

240 N/mm 2

Axialspannung:

V a max

D k ˜ V an

D k ˜V a



2,25 ˜  36,14 N/mm 2



81,32 N/mm 2

Radialspannung: p V r  max 20 N/mm 2 2 Hauptspannungen

V1 V t

240 N/mm 2

V2

Vr

 20 N/mm 2

V3 Va

81,32 N/mm 2

Festigkeitsbedingung

V V SH d V zul V1  V 3 SF

Rp0,2 SF

Rp0,2 SF

Rp0,2

V1  V 3

780 N/mm 2 240 N/mm 2  (81,32 N/mm 2 )

2,43 (ausreichend, da S F ! 1,50)

255

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Lösung zu Aufgabe 12.15 Beim dünnwandigen Behälter unter Innendruck gilt für die Hauptnormalspannungen:

V1 { V t V2 { Va

Vt 2

V3 | 0 Berechnung der Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungsenergiehypothese 1

V VGEH

2 1 2 1 2

˜

V 1  V 2 2  V 2  V 3 2  V 3  V 1 2

˜

V t  V a 2  V a2  V t2

˜ 2 ˜ V t2  2 ˜ V t ˜ V a  2 ˜ V a2

V t2  V t ˜ V a  V a2 mit Va = 0,5˜Vt folgt:

V t2 

V VGEH

V t2 2



V t2 4

Fließen tritt ein, sobald gilt: V VGEH Re 3 ˜V t 2 2

Vt

3

Re ˜ Re

1,155 ˜ Re

3 2 ˜V t 4

3 ˜V t 2

256

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit 13.1 Formelsammlung Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit Vo V u

Vm

Mittelspannung

2

Vo Vu

Va

Spannungsamplitude

2

R

Vu Vo

Spannungsverhältnis

N

f ˜ 't

Schwingspielzahl

Wöhlerkurve x Bereich der quasi-statischen Festigkeit Zum Bruch führende Spannungsamplitude

V A max

Rm ˜

1 R 2

x Zeitfestigkeitsbereich Gleichung der Wöhlerkurve im Zeitfestigkeitsbereich

VA

§N · V A1 ˜ ¨¨ ¸¸ © N1 ¹

N

§V · N1 ˜ ¨¨ A ¸¸ © V A1 ¹



1 k

k

Neigungsexponent

k

§N · lg¨¨ 1 ¸¸ N  © 2¹ §V · lg¨¨ A1 ¸¸ © V A2 ¹

k

tan D

x Bereich der Dauerfestigkeit

V AD

konstant

257

Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Dauerfestigkeitskennwerte unter rein wechselnder Beanspruchung Dauerfestigkeitskennwert 1)

Werkstoffsorte / Werkstoffgruppe

Zug-DruckBiegeSchubTorsionsWechselfestigkeit wechselfestigkeit wechselfestigkeit wechselfestigkeit

VzdW Walzstahl, allgemein 3) 4)

2)

VbW

1,1 ... 1,3 ˜ VzdW

0,45 ˜ Rm

Einsatzstahl 4)

7) 8)

WsW

2)

WtW

0,577 ˜ VzdW

7) 8) 9)

0,577 ˜ VbW

0,40 ˜ Rm

5)

1,1 ... 1,3 ˜ VzdW

0,577 ˜ V zdW

Nichtrostender Stahl

0,40 ˜ Rm

6)

1,1 ... 1,3 ˜ VzdW

0,577 ˜ V zdW

0,577 ˜ VbW

Schmiedestahl 4)

0,40 ˜ Rm

6)

1,1 ... 1,3 ˜ VzdW

0,577 ˜ V zdW

0,577 ˜ VbW

Stahlguss

0,34 ˜ Rm

1,15 ˜ VzdW

0,577 ˜ V zdW

k. A.

Gusseisen mit Lamellengraphit

0,30 ˜ Rm

1,50 ˜ VzdW

0,850 ˜ V zdW

0,8 ... 0,9 ˜ VzdW

Gusseisen mit Kugelgraphit

0,34 ˜ Rm

1,30 ˜ VzdW

0,650 ˜ V zdW

k. A.

Temperguss

0,30 ˜ Rm

1,40 ˜ VzdW

0,750 ˜ V zdW

k. A.

Al-Knetlegierungen

0,30 ˜ Rm

1,1 ... 1,3 ˜ VzdW

0,577 ˜ V zdW

k. A.

0,30 ˜ Rm

k. A.

0,750 ˜ V zdW

k. A.

Al-Gusslegierungen 1)

5)

0,577 ˜ VbW

2

Werkstoffkennwerte sind in N/mm einzusetzen. Anhaltswerte für ungekerbte Proben mit polierter Oberfläche. Werte nach [2]. Für N = 106 Schwingspiele. 3) Außer Einsatzstahl, nichtrostender Stahl und Schmiedestahl. 4) Nach DIN 743-3: VzdW | 0,4˜Rm; VbW | 0,5˜Rm; WtW | 0,3˜Rm (Torsionswechselfestigkeit). 5) Blindgehärtet. Der Einfluss einer Einsatzhärtung wird durch den Randschichtfaktor (Tabelle 13.4) berücksichtigt. 6) Vorläufiger Wert. 7) Anhaltswerte für zähe Werkstoffe. 8) 0,577 = 1/—3 (Gestaltänderungsenergiehypothese). 9) Experimentelle Ergebnisse deuten eher auf ein Verhältnis von WtW = 0,62˜VbW hin. k. A. = keine Angabe 2)

Festigkeitsbedingung für ungekerbte Bauteile mit polierter Oberfläche unter reiner Wechselbeanspruchung

V a d V a zul

VW SD

Mittelspannungsempfindlichkeit M

tan D

V W  V Sch / 2 Definition der MittelspannungsempfindV Sch / 2 lichkeit

258

Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Mittelspannungsempfindlichkeit unter der Wirkung von Normalspannungen

• Stahl: 1) • Stahlguss: • GJL: 2) • GJS: 3) • Temperguss: • Al-Knetlegierungen • Al-Gusslegierungen

MV = 0,00035 · Rm – 0,10 MV = 0,00035 · Rm + 0,05 MV = 0,5 MV = 0,00035 · Rm + 0,08 MV = 0,00035 · Rm + 0,13 MV = 0,001 · Rm - 0,04 MV = 0,001 · Rm + 0,20

Mittelspannungsempfindlichkeit unter der Wirkung von Schubspannungen

• Stahl 1) • Stahlguss: • GJL: 2) • GJS: 3) • Temperguss: • Al-Knetlegierungen • Al-Gusslegierungen

MW = 0,577 · MV MW = 0,577 · MV MW = 0,85 · MV MW = 0,65 · MV MW = 0,75 · MV MW = 0,577 · MV MW = 0,75 · MV

Dauerfestigkeitsschaubild nach Haigh (modifiziert) für duktile Werkstoffe

Für

VW Mı 1

V AD 1)

Vm d

VW Mı 1

:

V W  M ı ˜V m

auch für nichtrostende Stähle GJL: Graues Gusseisen mit Lamellengraphit (Grauguss) 3) GJS: Graues Gusseisen mit Kugelgraphit 2)

259

Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Für

VW Mı 1

V AD

Für

 Vm d

M c 1 3 ˜V W : ˜ ı 3 ˜ M ıc  1 M ı  1

M ıc  1  M ıc ˜ V m Mı 1

VW ˜

3 ˜V W M c 1 ˜ ı  Vm  f : 3 ˜ M ıc  1 M ı  1

V AD

M ıc  1 3 ˜ M ıc  1 M ı  1

VW

Für  f  V m 

V AD

˜

VW Mı 1

:

VW 1 Mı

Grenzkurve für plastische Verformung im DFS nach Haigh

V a (V m )

Rp0,2  V m

Grenzkurve für Bruch im DFS nach Haigh

V a (V m )

Rm  V m

Dauerfestigkeitsschaubild nach Haigh für spröde Werkstoffe

Dauernd ertragbare Schubspannungsamplitude für spröde Werkstoffe

V AD

§

V W ˜ ¨¨1  ©

Vm · ¸ Rm ¸¹

Dauernd ertragbare Normalspannungsamplitude für spröde Werkstoffe

§

W AD W W ˜ ¨¨1  ©

Wm WB

· ¸ ¸ ¹

260

Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Festigkeitsbedingung unter Schwingbeanspruchung ungekerbter Bauteile mit polierter Oberfläche unter der Wirkung einer von Null verschiedenen Mittelspannung

V a d V a zul

V AD SD

Einfluss der Oberflächenrauigkeit unter der Wirkung von Normalspannungen

Einfluss der Oberflächenrauigkeit unter der Wirkung von Schubspannungen

261

Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

13.2 Lösungen zu den Übungsaufgaben Lösung zu Aufgabe 13.1 a) Berechnung der Zug-Druck-Wechselfestigkeit FW 32000 N 407,4 N/mm 2 V zdW S A 2 ˜ 10 mm 4 b) Wahl zweier Stützpunkte im Zeitfestigkeitsbereich der Wöhlerkurve P1: N1 = 102 und VA1 = Rm = 900 N/mm2 6 P2: N2 = 5˜10 und FA2 = 32 kN Damit folgt für die zugehörigen Spannungsamplituden: FA2

V A2

S 4

32000 N

S

˜d2

4

407,4 N/mm 2

˜ 10 mm

2

Berechnung des Neigungsexponenten k

k

§N · lg¨¨ 1 ¸¸ N  © 2¹ §V · lg¨¨ A1 ¸¸ © V A2 ¹

§ 10 2 · ¸ lg¨¨ 5 ˜ 10 6 ¸¹ ©  § 900,0 N/mm 2 · ¸ lg¨¨ 2 ¸ © 407,4 N/mm ¹

13,65

c) Ermittlung der Mittelspannungsempfindlichkeit MV Mı

0,00035 ˜ Rm  0,1 0,00035 ˜ 900 N/mm 2  0,1 0,215

Berechnung der dauernd ertragbaren Amplitude (Mittelspannungstransformation)

V AD

V zdW  M ı ˜ V m

Mit VAD1 = Vm (reine Zugschwellbeanspruchung) folgt:

V AD1 V zdW  M ı ˜ V AD1 V AD1

V zdW Mı 1

407,4 N/mm 2 0,215  1

335,30 N/mm 2

Damit folgt schließlich für die dauernd ertragbare Kraftamplitude: FAD1

V AD1 ˜

S 4

˜d2

335,30 N/mm 2 ˜

S 4

˜ 10 mm 2

26337 N

262

Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

d)

Abgelesen: VAD1 = 340 N/mm2 Damit folgt: FAD1

V AD1 ˜

S

˜d2

4

340 N/mm 2 ˜

S 4

˜ 10 mm 2

26704 N

e) Berechnung der Mittelspannung Vm

Vm

F

S 4

˜d2

20000 N

S 4

254,65 N/mm 2

˜ 10 mm 2

Berechnung der dauernd ertragbaren Amplitude (Mittelspannungstransformation)

V AD2

V zdW  M ı ˜ V m da V m 

V AD2

2

VW Mı 1

407,4 N/mm  0,215 ˜ 254,65 N/mm 2

352,69 N/mm 2

Damit folgt schließlich für die dauernd ertragbare Kraftamplitude FAD2: FAD2

V AD2 ˜

S 4

˜d2

352,69 N/mm 2 ˜

S 4

˜ 10 mm 2

27700 N

263

Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Lösung zu Aufgabe 13.2 a) Darstellung der Wöhlerkurve

Stützpunkte für die Zeitfestigkeitsgerade Punkt P1: N1 = ND = 3˜106 VA1 = VzdW = 350 N/mm2

Punkt P2: N2 = 103 (gewählt)

V A2

§N · V A1 ˜ ¨¨ 2 ¸¸ © N1 ¹



1 k

§ 103 · ¸ 350 N/mm 2 ˜ ¨¨ 6 ¸ © 3 ˜ 10 ¹



1 12,5

664,12 N/mm 2

Anmerkung: Zum Einzeichnen der Zeitfestigkeitsgeraden kann anstelle der Verwendung des Stützpunktes P1 (103 / 664,12 N/mm2) auch der Steigungswinkel D (siehe Bild 13.20 im Lehrbuch) verwendet werden (D = arctan12,5 = 85,43°). Beim Einzeichnen ist jedoch auf gleiche Achsteilung von Ordinate und Abszisse zu achten, d. h. die Achslänge einer Dekade auf der Abszisse und der Ordinate müssen gleich sein (in obiger Abbildung aus Platzgründen nicht der Fall).

b) Berechnung der ertragbaren Schwingspielzahl für VA = 450 N/mm2 N

§V · N1 ˜ ¨¨ A ¸¸ © V A1 ¹

k

§ 450 N/mm 2 · ¸ 3 ˜ 10 6 ˜ ¨¨ 2 ¸ © 350 N/mm ¹

12,5

129 663 Lastwechsel

Berechnung der erforderlichen Versuchsdauer N 129 663 t 8 644,2 s 2,40 h f 15 1/s

c) Ermittlung der Mittelspannungsempfindlichkeit MV Mı

0,00035 ˜ Rm  0,1 0,00035 ˜ 850 N/mm 2  0,1 0,1975

264

Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Berechnung der dauernd ertragbaren Amplitude (Mittelspannungstransformation)

V AD V AD

V zdW  M ı ˜ V m da V m  2

V zdW Mı 1

350 N/mm  0,1975 ˜ 150 N/mm 2

320,4 N/mm 2

Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

265

Lösung zu Aufgabe 13.3 a) Die Zylinderkopfschrauben eines Motors erfahren infolge statischer Vorspannung und rein schwellendem Arbeitsdruck eine Zugschwellbeanspruchung. b) Ein rein schwellender Innendruck führt in einem Behälter in axialer, tangentialer und radialer Richtung zu einer reinen Zugschwellbeanspruchung (z. B. Befüll- und Entleerungsvorgänge einer Gasflasche). c) Eine umlaufende, durch eine statische Radialkraft beanspruchte Welle unterliegt einer reinen Wechselbeanspruchung, sofern keine statische Vorspannung wirkt (Umlaufbiegung). d) Ein Brückenpfeiler erfährt durch das Eigengewicht der Brücke und die zusätzliche, zeitlich veränderliche Verkehrsbelastung eine Druckschwellbeanspruchung. e) Die Kolbenstange eines einseitig wirkenden Hydraulikzylinders unterliegt einer reinen Druckschwellbeanspruchung, sofern bei jedem Lastwechsel der Innendruck pi zu Null wird.

266

Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Lösung zu Aufgabe 13.4 a) Berechnung der Ober- und Unterspannungen - Minimaler Druck (aus Diagramm) piu = 5 MPa - Maximaler Druck (aus Diagramm) pio = 10 MPa Damit folgt für die Unter- und Oberspannung der jeweiligen Spannungskomponenten: Spannungskomponente

Oberspannung Vo

Unterspannung Vu

Vt

pi ˜

di 2˜s

400 N/mm2

200 N/mm2

Va

pi ˜

di 4˜s

200 N/mm2

100 N/mm2

-5 N/mm2

-10 N/mm2

Vr = - p i 1)

1)

am Innenrand

b) Berechnung von Spannungsamplitude, Mittelspannung und Spannungsverhältnis für die Tangentialspannungskomponente

V ta V tm R

400 N/mm 2  200 N/mm 2 100 N/mm 2 2 2 V to  V tu 400 N/mm 2  200 N/mm 2 300 N/mm 2 2 2 V tu 200 N/mm 2 0,5 V to 400 N/mm 2

V to  V tu

c)

Geradengleichung für konstantes Spannungsverhältnis R 1 R 1 R Va ˜ V m bzw. V m ˜Va 1 R 1 R

Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

für R = -1 folgt: V m 0 (Ordinate) für R = -0,5 folgt: V a 3 ˜ V m (D 71,57q) für R = 0 folgt: V a V m (erste Winkelhalbierende) für R = 0,5 folgt: 1 Va ˜ V m (D 3

18,43q)

für R = 1 folgt: V a 0 (Abszisse, d. h. statische Beanspruchung) für R = v folgt: V a V m

267

268

Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Lösung zu Aufgabe 13.5 a) Ermittlung des Oberflächenfaktors COV für Normalspannungen COı

0,83 aus Diagramm für Rz 12,5 µm und Rm

950 N/mm 2

Berechnung der korrigierten Zug-Druck-Wechselfestigkeit * V zdW

0,83 ˜ 415 N/mm 2

COı ˜ V zdW

344,45 N/mm 2

Berechnung der Sicherheit gegen Dauerbruch Festigkeitsbedingung:

V a d V a zul F

S

˜d2

4

* V AD

* V zdW

SD

SD 344,45 N/mm 2 ˜ S ˜ 25 mm 2 4 ˜ 50 000 N

* ˜S ˜ d 2 V zdW

SD

4˜F

3,38 (ausreichend, da S D ! 2,50)

SD

b) Berechnung der korrigierten Biege-Wechselfestigkeit * V bW COı ˜ V bW 0,83 ˜ 480 N/mm 2 398,4 N/mm 2 Berechnung der Sicherheit gegen Dauerbruch Festigkeitsbedingung: V ba d V ba zul Mb

S 32

˜d3

* V AD

* V bW

SD

SD 398,4 N/mm 2 ˜ S ˜ 25 mm 3 32 ˜ 400 N ˜ 500 mm

* V bW ˜S ˜ d 3

SD

32 ˜ Fq ˜ l

3,06 (ausreichend, da S D ! 2,50)

SD

c) Berechnung des Oberflächenfaktors COW für Schubbeanspruchung COIJ

0,91 aus Diagramm für Rz

12,5 µm und Rm

Berechnung der korrigierten Torsionswechselfestigkeit * W tW

COW ˜ W tW

0,91 ˜ 240 N/mm 2

Festigkeitsbedingung: W ta d W ta zul Mt

S 16

˜d3

* W AD

* W tW

SD

SD

218,4 N/mm 2

950 N/mm 2

Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

SD

* W tW ˜S ˜ d 3

16 ˜ M t

218,4 N/mm 2 ˜ S ˜ 25 mm 3 16 ˜ 200 000 Nmm

3,35 (ausreichend, da S D ! 2,50)

269

270

Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Lösung zu Aufgabe 13.6 a) Berechnung der Mittelspannung

Vm

Fm A

150 000 N

S

212,21 N/mm2

˜ 30 mm

2

4

Ermittlung des Oberflächenfaktors COV für Normalspannungen COı

0,93 aus Diagramm für Rz

540 N/mm 2

6,3 µm und Rm

Berechnung der korrigierten Zug-Druck-Wechselfestigkeit * V zdW

COı ˜ V zdW

0,93 ˜ 240 N/mm 2

223,2 N/mm 2

Ermittlung der Mittelspannungsempfindlichkeit MV Mı M ıc

0,00035 ˜ Rm  0,1 0,00035 ˜ 540 N/mm 2  0,1 0,089 0,089 / 3 0,03 (nach FKM  Richtlinie)

Berechnung der dauernd ertragbaren Amplitude (Mittelspannungstransformation) M ıc  1  M ıc ˜ V m M ı 1

* V zdW

* V AD

* V zdW ˜

* V AD

0,03  1 223,3 N/mm 2 ˜  0,03 ˜ 212,21 N/mm 2 0,089  1

da

M ı 1

Vm 

* M c 1 3 ˜ V zdW ˜ ı c 3˜ M ı 1 M ı 1

204,55 N/mm 2

Berechnung der dauernd ertragbaren Kraftamplitude Festigkeitsbedingung:

Va

* V AD

Va

204,55 N/mm 2

Damit folgt für die dauernd ertragbare Kraftamplitude:

FA1

V a ˜ A 204,55 N/mm 2 ˜

S 4

˜ 30 mm 2

144 586 N 144,6 kN

Anmerkung: Berechnung der Oberspannung

Vo

Fm  FA1 A

150 000 N  144 586 N

S 4

416,75 N/mm 2

˜ 30 mm

2

Berechnung der Sicherheit gegen Fließen SF

Rp0,2

Vo

290 N/mm 2 416,75 N/mm 2

0,7

Damit versagt das Bauteil nicht durch Schwingbruch, sondern durch Fließen.

271

Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

b) Berechnung der dauernd ertragbaren Kraftamplitude * Da Va = Vm muss für V AD gelten (siehe Abbildung): * V AD

* V zdW  M ı ˜V m

Festigkeitsbedingung

Va

* V AD

Va

* V zdW  M ı ˜V m

Mit Vm = Va (reine Zugschwellbeanspruchung) folgt:

Va

* V zdW

Mı 1

223,2 N/mm2 1  0,089

204,96 N/mm2

Damit folgt für die dauernd ertragbare Kraftamplitude:

FA2

V a ˜ A 204,96 N/mm2 ˜

S 4

˜ 30 mm 2

144 877 N 144,9 kN

Anmerkung: Berechnung der Oberspannung

Vo

Vm Va

2 ˜ 204,96 N/mm 2

409,92 N/mm 2

Berechnung der Sicherheit gegen Fließen SF

Rp0,2

Vo

290 N/mm 2 409,92 N/mm 2

0,71

Damit versagt das Bauteil nicht durch Schwingbruch, sondern durch Fließen. c) Berechnung der dauernd ertragbaren Kraftamplitude * Da Va = -Vm muss für V AD gelten (siehe Abbildung): * V AD

* V zdW  M ı ˜V m

Festigkeitsbedingung

Va

* V AD

Va

* V zdW  M ı ˜V m

Mit Vm = -Va (reine Druckschwellbeanspruchung) folgt:

Va

* V zdW

1 Mı

223,2 N/mm2 1  0,089

245,01 N/mm2

272

Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Damit folgt für die dauernd ertragbare Kraftamplitude:

FA3

V AD ˜ A 245,01 N/mm2 ˜

S 4

˜ 30 mm 2

173184 N 173,2 kN

Anmerkung: Berechnung der Unterspannung

Vu

Vm Va

490,01 N/mm 2

Berechnung der Sicherheit gegen Fließen SF

V dF Rp0,2 | Vu Vu

290 N/mm 2 490,01 N/mm 2

0,59

Damit versagt das Bauteil nicht durch Schwingbruch, sondern durch Fließen.

273

Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Lösung zu Aufgabe 13.7 a) Festigkeitsbedingung (Fließen)

V o d V zul Rp0,2

F1  F2

S 4

SF

˜d2

d

4 ˜ F1  F2

S

˜

SF Rp0,2

4 ˜ 12 000 N  25 000 N

S

˜

1,20 300 N/mm 2

13,73 mm

b) Berechnung von Spannungsamplitude und Mittelspannung

Va

F2 2

Fa A

S

˜d

4

Vm

Fm A

2 ˜ F2 2

F1 

S 4

S ˜d2

F2 2

4 ˜ F1  2 ˜ F2 S ˜d2

˜d2

Ermittlung des Oberflächenfaktors COV unter der Wirkung von Normalspannungen COı

0,94 aus Diagramm für Rz

4 µm und Rm

560 N/mm 2

Berechnung der korrigierten Zug-Druck-Wechselfestigkeit * V zdW

COı ˜ V zdW

0,94 ˜ 250 N/mm 2

235 N/mm 2

Ermittlung der Mittelspannungsempfindlichkeit MV Mı

0,00035 ˜ Rm  0,1 0,00035 ˜ 560 N/mm 2  0,1 0,096

Zur Berechnung der dauernd ertragbaren Amplitude muss zunächst bekannt sein, ob

Vm d Vm !

* V zdW

M ı 1 * V zdW

M ı 1

oder ist.

Berechnung des Durchmessers d, so dass gilt:

Vm

* V zdW

Mı 1

4 ˜ F1  2 ˜ F2 S ˜d2

* V zdW

Mı 1

274

Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

d

M ı  1 4 ˜ F1  2 ˜ F2 ˜ *

0,096  1 4 ˜ 12 000 N  2 ˜ 25 000 N ˜ S 235 N/mm2

S

V zdW

12,06 mm

Für d = 12,06 mm beträgt die Spannungsamplitude: 2 ˜ F2 2 ˜ 25 000 N 109,39 N/mm 2 Va 2 2 S ˜d S ˜ (12,06 mm) und die dauernd ertragbare Amplitude: * V AD

Vm

* V zdW

Mı 1

235 N/mm 2 0,096  1

214,42 N/mm 2

Berechnung der Sicherheit gegen Dauerbruch (für d = 12,06 mm) SD

* V AD Va

214,42 N/mm 2 109,39 N/mm 2

1,96

Da SD = 2,80 gefordert wird, muss der Durchmesser d > 12,06 mm sein. Damit errechnet sich * die dauernd ertragbare Amplitude V AD zu: * V AD

* V zdW  M ı ˜V m

Aus der Festigkeitsbedingung folgt:

Va d Va

* V AD

SD *  M ı ˜V m V zdW

SD

4 ˜ F1  2 ˜ F2 * V zdW  Mı ˜ 2 ˜ F2 S ˜d2 2 SD S ˜d 2 ˜ F2 4 ˜ F1  2 ˜ F2 * ˜ S D V zdW  Mı ˜ S ˜d2 S ˜d2 d

2 ˜ F2 ˜ S D  M ı ˜ 4 ˜ F1  2 ˜ F2 * S ˜ V zdW 2 ˜ 25 000 N ˜ 2,80  0,096 ˜ 4 ˜ 12 000 N  2 ˜ 25 000 N S ˜ 235 N/mm 2

14,23 mm

275

Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Lösung zu Aufgabe 13.8 Berechnung der Mittelspannung F1 F1 120 000 N Vm A a ˜ b 25 mm ˜ 50 mm

96 N/mm 2

Berechnung der Spannungsamplitude M ba F2 ˜ l 6 ˜ F2 ˜ l V ba Wb a ˜ b2 a ˜ b2 6 Ermittlung des Oberflächenfaktors COV unter der Wirkung von Normalspannungen COı

0,88 aus Diagramm für Rm

400 N/mm 2 und Grauguss

Berechnung der korrigierten Biegewechselfestigkeit * V bW

COı ˜ V bW

0,88 ˜ 130 N/mm 2

114,4 N/mm 2

Berechnung der dauernd ertragbaren Spannungsamplitude (spröder Werkstoff !) * V AD

§

* V bW ˜ ¨¨1 

©

§ 96 N/mm 2 ·¸ 2 ¸¸ 114,4 N/mm 2 ˜ ¨1  ¨ 400 N/mm 2 ¸ 86,94 N/mm Rm ¹ ¹ ©

Vm ·

Festigkeitsbedingung (Dauerbruch) V ba d V ba zul * V AD

6 ˜ F2 ˜ l a ˜ b2

SD 2

F2

* a ˜ b V AD ˜ 6 ˜ l SD

25 mm ˜ 50 mm 2 86,94 N/mm 2 ˜ 6 ˜ 200 mm 5,0

905,7 N

Anmerkung: Berechnung der Oberspannung 6 ˜ F2 ˜ l 6 ˜ 905,7 N ˜ 200 mm Vo Vm  96 N/mm 2  2 a˜b 25 mm ˜ 50 mm 2

113,39 N/mm 2

Berechnung der Sicherheit gegen Bruch SB

Rm

Vo

400 N/mm 2 113,39 N/mm 2

3,52

Damit wird die erforderliche Sicherheit gegen Bruch (SB t 4,0) geringfügig unterschritten.

276

Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Lösung zu Aufgabe 13.9 Ermittlung der Formzahl Dk D d

30 mm 25 mm

1,2

R d

2,5 mm 25 mm

0,1

Damit entnimmt man einem geeigneten Formzahldiagramm:

D kt

1,30

Berechnung der Nennspannungen sowie der maximalen Mittelspannung Spannungsamplitude (Nennspannung) M ta M ta 500 000 Nmm 162,98 N/mm 2 W ta n S S Wtn ˜d3 ˜ 25 mm 3 16 16 Mittelspannung (Nennspannung und maximale Spannung): M tm M tm 1 000 000 Nmm 325,95 N/mm 2 W tm n S 3 S Wtn 3 ˜d ˜ 25 mm 16 16 W tm max W tm n ˜ D kt 325,95 N/mm 2 ˜ 1,30 423,73 N/mm 2

Bestimmung der Kerbwirkungszahl Ekt für Torsionsbeanspruchung Formzahl: Dk = 1,30 Berechnung des bezogenen Spannungsgefälles: 4 1 4 1 F   0,47 mm -1 D  d R 30 mm  25 mm 2,5 mm Ermittlung der dynamischen Stützziffer nF aus Bild 13.51 im Lehrbuch (Rp0,2 = 1400 N/mm2): nF = 1,01 Berechnung der Kerbwirkungszahl Ekt: D kt 1,30 E kt 1,29 nȤ 1,01

Ermittlung des Oberflächenfaktors COW unter der Wirkung von Schubspannungen COIJ

0,82 aus Diagramm für Rz

25 µm und Rm

1830 N/mm 2

Berechnung der korrigierten Torsionswechselfestigkeit * W tW

COIJ ˜ W tW

0,82 ˜ 490 N/mm 2

401,8 N/mm 2

277

Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Ermittlung der Mittelspannungsempfindlichkeit MV MIJ M IJc

0,577 ˜ M ı





0,577 ˜ 0,00035 ˜ Rm  0,1 0,577 ˜ 0,00035 ˜ 1830 N/mm 2  0,1

0,31 / 3 0,10 (nach FKM  Richtlinie)

Berechnung der dauernd ertragbaren Amplitude (Mittelspannungstransformation) * * W AD W tW ˜ * W AD

M IJc  1  M IJc ˜ W tm max MIJ 1

401,8 N/mm 2 ˜

da

* W tW

MW  1

 W tm 

0,10  1  0,10 ˜ 423,73 N/mm 2 0,31  1

* M c 1 3 ˜ W tW ˜ W 3 ˜ M Wc  1 M W  1

294,1 N/mm 2

Berechnung der Sicherheit gegen Dauerbruch Festigkeitsbedingung: W ta max d W ta zul

W ta n ˜ E kt SD

* W AD

SD

* W AD

W ta n ˜ E kt

294,1 N/mm 2 162,98 N/mm 2 ˜ 1,29

1,40 (nicht ausreichend, da S D  2,50)

0,31

278

Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Lösung zu Aufgabe 13.10 a) Berechnung des erforderlichen Radius R D 2,0 d D k 2,0 Damit entnimmt man einem geeigneten Formzahldiagramm: R 0,1 d R 0,1 ˜ d 0,1 ˜ 25 mm 2,5 mm b) Berechnung der Kerbwirkungszahl Ek für den Wellenabsatz (S890QL) Formzahl: Dk = 2,0 Berechnung des bezogenen Spannungsgefälles: 2 2 F 0,8 mm-1 R 2,5 mm Ermittlung der dynamischen Stützziffer nF aus Bild 13.51 im Lehrbuch (Rp0,2 = 920 N/mm2): nF = 1,03 Berechnung der Kerbwirkungszahl Ek: D k 2,00 Ek 1,94 nȤ 1,03

Festigkeitsbedingung (Dauerbuch)

V a max d V a zul V an ˜ E k V an ˜ E k V an

* V AD

SD

V zdW SD

V zdW SD ˜ E k

480 N/mm 2 2,50 ˜ 1,94

98,97 N/mm 2

Berechnung der zulässigen Kraftamplitude FW S S FW V an ˜ An V an ˜ ˜ d 2 98,97 N/mm 2 ˜ ˜ 25 mm 2 4 4

48581 N

48,6 kN

c) Berechnung der Kerbwirkungszahl Ek für den Wellenabsatz (EN-GJL-300) Ermittlung der dynamischen Stützziffer nF aus Bild 13.51 im Lehrbuch (Rm = 320 N/mm2): nF = 1,30

279

Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Berechnung der Kerbwirkungszahl Ek: D k 2,00 Ek 1,54 nȤ 1,30

Festigkeitsbedingung (Dauerbuch)

V a max d V a zul V an ˜ E k V an ˜ E k V an

* V AD

SD

V zdW SD

V zdW SD ˜ E k

100 N/mm 2 4,0 ˜ 1,54

16,23 N/mm 2

Berechnung der zulässigen Kraftamplitude FW S S FW V an ˜ An V an ˜ ˜ d 2 16,23 N/mm 2 ˜ ˜ 25 mm 2 4 4

7 969 N

7,97 kN

280

Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Lösung zu Aufgabe 13.11 a) Berechnung der Spannungsamplitude F1 ˜l 2

M ba Wb

V ba

S

32

V bm

˜d

3

16 ˜ F1 ˜ l S ˜d3

V ba

(reine Zugschwellbeanspruchung)

(reine Zugschwellbeanspruchung)

Ermittlung des Oberflächenfaktors COV unter der Wirkung von Normalspannungen COı

0,85 aus Diagramm für Rz 10 µm und Rm

1050 N/mm 2

Berechnung der korrigierten Zug-Druck-Wechselfestigkeit * V bW

0,85 ˜ 480 N/mm 2

COı ˜ V bW

408 N/mm 2

Ermittlung der Mittelspannungsempfindlichkeit MV 0,00035 ˜ Rm  0,1 0,00035 ˜ 1050 N/mm 2  0,1 0,27

Mı

Berechnung der dauernd ertragbaren Amplitude (Mittelspannungstransformation) * Da Va = Vm muss für V AD gelten (siehe Abbildung): * V AD

* V bW  M ı ˜ V bm

Festigkeitsbedingung (Dauerbruch) V ba d V ba zul * V AD

V ba

SD * V bW  M ı ˜ V bm

V ba

SD Mit Vbm = Vba (reine Zugschwellbeanspruchung) folgt: * V bW  M ı ˜ V ba

V ba

SD * V bW

V ba

408 N/mm 2 2,50  0,27

SD  M ı

147,29 N/mm 2

Berechnung des erforderlichen Durchmessers d 16 ˜ F1 ˜ l S ˜d3

V ba d

3

16 ˜ F1 ˜ l V ba ˜ S

3

16 ˜ 10 000 N ˜ 1000 mm 147,29 N/mm2 ˜ S

70,19 mm

Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

281

b) Berechnung der Spannungsamplitude 2 ˜ F2 ˜ a

M ta Wt

W ta

S 16

˜d3

32 ˜ F2 ˜ a

(reine Torsionswechselbeanspruchung)

S ˜d3

Ermittlung des Oberflächenfaktors COW unter der Wirkung von Schubspannungen COIJ

0,92 aus Diagramm für Rz 10 µm und Rm

1050 N/mm 2

Berechnung der korrigierten Torsionswechselfestigkeit: * W tW

0,92 ˜ 275 N/mm 2

COIJ ˜W tW

253 N/mm 2

Festigkeitsbedingung (Dauerbruch)

W ta d W ta zul W ta

* W AD

* W tW

SD

SD

253 N/mm 2 3,0

84,3 N/mm2

Berechnung des erforderlichen Durchmessers d 32 ˜ F2 ˜ a S ˜d3

W ta d

3

32 ˜ F2 ˜ a W ta ˜ S

3

32 ˜ 15 000 N ˜ 200 mm 82,5 N/mm2 ˜ S

71,82 mm

c) Berechnung der Biegespannung F1 ˜ l

Mb Wb

Vb

S 32

˜d3

32 ˜ F1 ˜ l S ˜d3

Berechnung der Schubspannung aus Torsion

Wt

Mt Wt

2 ˜ F2 ˜ a

S 16

˜d

3

32 ˜ F2 ˜ a S ˜d3

Berechnung der Vergleichsspannung Die Vergleichsspannung nach der Schubspannungshypothese (SH) kann unmittelbar aus den Lastspannungen Vb und Wt (Biegebeanspruchung mit überlagerter Torsion) errechnet werden:

V V SH

V b2  4 ˜ W t2

Festigkeitsbedingung

V V SH d

Rp0,2 SF

282

Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Rp0,2

V b2  4 ˜ W t2

SF 2

§ 32 ˜ F1 ˜ l · § 32 ˜ F2 ˜ a ·  4˜¨ ¨ 3 ¸ 3 ¸ © S ˜d ¹ © S ˜d ¹

2

Rp0,2 SF

Mit F1 = F2 = F folgt: 2

§ 32 ˜ l · § 32 ˜ a ·  4˜¨ F˜ ¨ 3¸ 3¸ ©S ˜d ¹ ©S ˜d ¹

2

Rp0,2 SF

S ˜ d 3 ˜ Rp0,2

Rp0,2

F

2

§ 32 ˜ a · § 32 ˜ l ·  4˜¨ SF ˜ ¨ 3¸ 3¸ ©S ˜d ¹ ©S ˜d ¹

2

32 ˜ S F ˜ l 2  4 ˜ a 2

S ˜ 60 mm 3 ˜ 900 N/mm 2 32 ˜ 1,20 ˜

1000 mm 2  4 ˜ 200 mm 2

14767 N

14,8 kN

Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

283

Lösung zu Aufgabe 13.12 Berechnung der Spannungsamplitude Vba Maximale Durchbiegung:

f max

at 2

a t  2 2

Berechnung der Kraftamplitude mit Erreichen der maximalen Durchbiegung Fa

f max ˜

3˜ E ˜ I l3

Berechnung der maximalen Biegespannung (im Einspannquerschnitt) mit Erreichen der maximalen Durchbiegung

V ba

M ba Wb

Fa ˜ l Wb

V ba

f max ˜

3˜ E t ˜ l2 2

V ba

a  t 3˜ E t ˜ 2 ˜ 2 2 l

f max ˜ da

3˜ E ˜ I

I Wb

l

3

˜

l Wb

t 2

3 E ˜t ˜ a  t ˜ 2 4 l

Ermittlung der Oberflächenfaktors COV unter der Wirkung von Normalspannungen COı

0,85 aus Diagramm für Rz

6,3 µm und Rm

1550 N/mm 2

Berechnung der korrigierten Biegewechselfestigkeit * V bW

0,85 ˜ 750 N/mm 2

COı ˜ V bW

637,5 N/mm 2

Festigkeitsbedingung

V ba d V ba zul V ba

* V bW

SD

E ˜t 3 ˜ a  t ˜ 2 4 l

* V bW

SD

a

* l2 4 V bW ˜ ˜ t 3 SD E ˜ t

a

1000 mm 2 4 637,5 N/mm 2 ˜ ˜  8 mm 3 2,5 207 000 N/mm 2 ˜ 8 mm

213,3 mm

284

Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Lösung zu Aufgabe 13.13 a) Festigkeitsbedingung

W t d W t zul Mt Wt

W tF SF Rp0,2

Mt S d a4  d i4 ˜ 16 da Mt

da W tF

2 ˜ SF

Rp0,2 2

S d a4  d i4 Rp0,2 16

˜

˜

da 4

S 25  20 16

˜

2 ˜ SF 4

25

mm3 ˜

1250 N/mm 2 2 ˜ 1,5

754 719 Nmm

754,7 Nm

b) Ermittlung der Oberflächenfaktors COW für Schubbeanspruchung COIJ

0,94 aus Diagramm für Rz

4 µm und Rm

1620 N/mm 2

Berechnung der korrigierten Biegewechselfestigkeit * W tW

0,94 ˜ 420 N/mm 2

COIJ ˜ W tW

394,8 N/mm 2

Festigkeitsbedingung

W ta d W ta zul M ta Wt

* W AD

* W tW

SD

SD * W tW

M ta S d a4  d i4 ˜ da 16 M ta

SD

* S d a4  d i4 W tW

16

˜

da 4

M ta

˜

S 25  20 16

˜

25

SD

4

˜

394,8 N/mm 2 2,2

325 050 Nmm

325,1 Nm

c) Berechnung des Verdrehwinkels für den Fall der statischen Beanspruchung

M

Mt ˜l G ˜ IP

M (in Grad)

Mt ˜l E S ˜ ˜ d a4  d i4 2 ˜ 1  P 32



180q

S

˜ M (in rad)



180q

S

754 719 Nmm ˜ 1000 mm 211 000 Nmm2 S ˜ ˜ 254  204 mm4 2 ˜ 1  0,3 32

˜ 0,411 23,53q





0,411

Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

285

Berechnung des Verdrehwinkels für den Fall der Schwingbeanspruchung

M

M t ˜l G ˜ IP

M (in Grad)

M t ˜l E S ˜ ˜ d a4  d i4 2 ˜ 1  P 32



180q

S

˜ M (in rad)

325 050 Nmm ˜1000 mm



180q

S

211 000 Nmm 2 S ˜ ˜ 25 4  20 4 mm 4 2 ˜ 1  0,3 32



˜ 0,177 10,14q



0,177

286

Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Lösung zu Aufgabe 13.14 a) Beanspruchungs-Zeit-Verlauf Umlaufbiegung führt zu einer reinen Zug-Druck-Wechselbeanspruchung

Vb Vb max Vba 0

t

Vb max Berechnung des maximalen Biegemomentes M b max

a ˜b ˜ FQ ab

500 mm ˜ 350 mm ˜ 10 000 N 500 mm  350 mm

2 058 824 Nmm

Berechnung der maximalen Spannungsamplitude

V ba

V b max

M b max Wb

M b max

S 32

˜d

3

2 058 824 Nmm

S 32

167,77 N/mm 2

˜ 50 mm

3

b) Ermittlung des Oberflächenfaktors COV unter der Wirkung von Normalspannungen COı

0,92 aus Diagramm für Rz

3,2 µm und Rm

Berechnung der korrigierten Biegewechselfestigkeit * V bW

C Oı ˜ V bW

0,92 ˜ 530 N/mm 2

487,6 N/mm 2

Berechnung der Sicherheit gegen Dauerbruch Festigkeitsbedingung:

V ba d V ba zul

1070 N/mm 2

Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

V ba SD

* V AD

* V bW

SD

SD

* V bW V ba

287

(reine Biegewechselbeanspruchung)

487,6 N/mm 2 167,77 N/mm 2

2,91 (nicht ausreichend, da S D ! 3,5 gefordert)

c) Berechnung der Mittelspannung Vm FH FH 350 000 N Vm S S A ˜d2 ˜ 50 mm 2 4 4

178,25 N/mm 2

Ermittlung der Mittelspannungsempfindlichkeit MV Mı

0,00035 ˜ Rm  0,1 0,00035 ˜ 1070 N/mm 2  0,1 0,275

Berechnung der dauernd ertragbaren Amplitude (Mittelspannungstransformation) * V AD * V AD

* V bW  M ı ˜V m

da V m 

* V bW

M ı 1

2

487,6 N/mm  0,275 ˜178,25 N/mm 2

438,58 N/mm 2

Berechnung der Sicherheit gegen Dauerbruch Festigkeitsbedingung: V ba d V ba zul

V ba SD

* V AD

SD * V AD V ba

438,58 N/mm 2 167,77 N/mm 2

2,61 (ausreichend, da S D ! 2,50)

288

Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Lösung zu Aufgabe 13.15 Berechnung der Mittelspannung 100 000 N F1 F1 Vm S A S ˜ d2  d2 ˜ 70 2  60 2 mm 2 a i 4 4









97,94 N/mm 2

Berechnung der Spannungsamplitude M b max

V ba

F2 ˜ c S d a4  d i4 ˜ 32 da

Wb

Ermittlung des Oberflächenfaktors COV unter der Wirkung von Normalspannungen COı

0,82 aus Diagramm für Rz 12,5 µm und Rm

1180 N/mm 2

Berechnung der korrigierten Biegewechselfestigkeit * V bW

COı ˜ V bW

0,82 ˜ 590 N/mm 2

483,8 N/mm 2

Ermittlung der Mittelspannungsempfindlichkeit MV 0,00035 ˜ Rm  0,1 0,00035 ˜1180 N/mm 2  0,1 0,313

Mı

Berechnung der dauernd ertragbaren Amplitude (Mittelspannungstransformation) * V AD * V AD

*  M ı ˜V m V bW

da V m 

2

* V bW

M ı 1

483,8 N/mm  0,313 ˜ 97,94 N/mm 2

453,14 N/mm 2

Berechnung der Querkraft F2 Festigkeitsbedingung (Dauerbruch):

V ba d V ba zul * V AD

F2 ˜ c

S 32 F2

˜

d a4

 d i4

SD

da * V AD

˜

S d a4  d i4

S D ˜ c 32

˜

da

453,14 N/mm 2 S 70 4  60 4 mm 3 ˜ ˜ 2,50 ˜100 mm 32 70

28 090 N

28,1 kN

289

Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Lösung zu Aufgabe 13.16 a) Ermittlung der Formzahl Dk d D dB D

30 mm 40 mm

0,75

5 mm 40 mm

0,125

Damit entnimmt man einem geeigneten Formzahldiagramm

D kt

3,8

Festigkeitsbedingung

W t max  W t zul W tB

W t ˜ D kt

SB

Mt ˜ D kt Wtn

W tB SB

Rm da W tB SB

D4  d 4 ˜ Rm D 16 S B˜ ˜ D k

S

Mt

Wtn ˜ Rm S B˜ ˜ D k

Rm für Grauguss

˜

S 40 4  30 4 16

˜

40

mm3 ˜ 320 N/mm 2

4,0 ˜ 3,8

180 848 Nmm 180,8 Nm

b) Ermittlung des Oberflächenfaktors COW unter der Wirkung von Schubspannungen COIJ

0,90 aus Diagramm für Grauguss und Rm

320 N/mm 2

Berechnung der korrigierten Schubwechselfestigkeit: * W tW

COIJ ˜ W tW

0,90 ˜ 80 N/mm 2

72 N/mm 2

Bestimmung der Kerbwirkungszahl Ekt Formzahl Dkt = 3,8 (aus geeignetem Formzahldiagramm für dB/D = 0,125 und d/D = 0,75) Berechnung des bezogenes Spannungsgefälles: 2 6 2 6 F   1,25 D d B 40 mm 5 mm Ermittlung der dynamischen Stützziffer nF aus Bild 13.51 im Lehrbuch (Rm = 320 N/mm2): nF = 1,45 Berechnung der Kerbwirkungszahl Ekt:

Ek

D kt nȤ

3,8 1,45

2,62

290

Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Festigkeitsbedingung

W ta max d W ta zul W ta ˜ E kt M ta ˜ E kt Wtn M ta

W t*AD

* W tW

SD

SD

* W tW

SD

* W tW S D4  d 4 ˜ ˜ S D˜ ˜ E kt 16 D

94 428 Nmm

94,4 Nm

72 N/mm 2 S 40 4  30 4 ˜ ˜ mm3 2,50 ˜ 2,62 16 40

291

Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Lösung zu Aufgabe 13.17 a) Biegemomentenverlauf

Berechnung des maximalen Biegemomentes FQ ˜ a

M b max

3 900 N ˜ 200 mm

780 000 Nmm 780 Nm

b) Die höchst beanspruchte Stelle befindet sich im Kerbgrund. Ermittlung der Formzahl Dkb D d

40 mm 35 mm

1,14

R d

2,5 mm 35 mm

0,07

Damit entnimmt man einem geeigneten Formzahldiagramm:

D kb

2,1

Berechnung der Sicherheit gegen Fließen im Kerbgrund Festigkeitsbedingung:

V b max d V b zul M b max Wbn

˜ D kb

V bF SF

mit VbF | Rp0,2 folgt: SF

Rp0,2 S 1 ˜ ˜d3 ˜ D kb 32 M b max

35 mm 3 550 N/mm 2 S ˜ ˜ 2,1 32 780 000 Nmm

1,41 (ausreichend)

c) Zusätzliche Versagensmöglichkeit: Dauerbruch infolge Umlaufbiegung. d) Ermittlung der Kerbwirkungszahl Ekb Berechnung des bezogenen Spannungsgefälles:

F

2 2  d R

2 2  35 mm 2,5 mm

0,857

292

Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Ermittlung der dynamischen Stützziffer nF aus Bild 13.51 im Lehrbuch (Rp0,2 = 550 N/mm2) nF = 1,1 Berechnung der Kerbwirkungszahl Ekb:

E kb

D kb

2,1 1,1

nȤ

1,91

e) Zeitlicher Verlauf der Biegespannung an der Kerbstelle (Umlaufbiegung d. h. reine Biegewechselbeanspruchung)

f) Ermittlung des Oberflächenfaktors COV unter der Wirkung von Normalspannungen COı

0,82 aus Diagramm für Rz

25 µm und Rm

780 N/mm 2

Berechnung der korrigierten Biegewechselfestigkeit * V bW

0,82 ˜ 390 N/mm 2

COı ˜ V bW

319,8 N/mm 2

Berechnung der zulässigen Querkraft FQ Festigkeitsbedingung:

V a max d V a zul V an ˜ E kb M ba Wbn FQ

˜ E kb

* V AD

* V bW

SD

SD

* V bW

* V bW

SD ˜

S

E kb ˜ S D ˜ a 32

˜d3

S 319,8 N/mm 2 ˜ ˜ 35 mm 3 1,91 ˜ 2,50 ˜ 200 mm 32

1409,6 N

293

Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Lösung zu Aufgabe 13.18 a) Berechnung des Biegemomentes am linken Wellenabsatz

M bI

F1 ˜b 2

10000 N ˜ 100 mm 2

500 000 Nmm

500 Nm

b) Ermittlung der Formzahlen für Zugbeanspruchung (Dkz) und Biegung (Dkb) D 45 mm 1,5 d 30 mm R 6 mm 0,2 d 30 mm Aus geeigneten Formzahldiagrammen entnimmt man:

D kz D kb

1,55 1,42

c) Berechnung der Sicherheit gegen Fließen am Wellenabsatz Festigkeitsbedingung (Fließen):

V b max d V b zul Mb ˜ D kb Wbn

V bF SF

mit VbF | Re folgt: SF

Re S ˜ ˜d3 M b ˜ D kb 32

S 460 N/mm 2 ˜ ˜ 30 mm 3 500 000 Nmm ˜ 1,42 32

1,72 (ausreichend, da S F ! 1,20)

d) Berechnung der Biegenennspannung an der Kerbstelle I

V bn

M bI Wbn

M bI

S 32

˜d

500000 Nmm 3

S 32

˜ 30 mm

3

188,63 N/mm 2

294

Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Berechnung der Zusatzkraft F2 Festigkeitsbedingung: V b max  V z max d V bF mit V bF | Re

V bn ˜ D kb  V zn ˜ D kz Re  V bn ˜ D kb

V zn F2

Re

D kz S 4

S

˜d2 ˜

Re  V bn ˜ D kb

D kz

˜ 30 mm 2 ˜

4

460 N/mm 2  188,63 N/mm 2 ˜ 1,42 1,55

87627 N

e) Ermittlung der Kerbwirkungszahl Ekb für den Wellenabsatz Berechnung des bezogenen Spannungsgefälles:

F

4 2  Dd R

4 2  45 mm  30 mm 6 mm

0,387

Ermittlung der dynamischen Stützziffer nF aus Bild 13.51 im Lehrbuch (Re = 460 N/mm2): nF = 1,05 Berechnung der Kerbwirkungszahl Ekb:

E kb

D kb nȤ

1,42 1,05

1,35

f) Darstellung des Spannungs-Zeit-Verlaufes bei umlaufender Welle Berechnung der (schädigungswirksamen) maximalen Biegespannungsamplitude:

V ba max

V ba n ˜ E kb 188,63 N/mm 2 ˜ 1,35 254,22 N/mm 2

Vb Vb max 0

t

Vb max

g) Ermittlung des Oberflächenfaktors COV unter der Wirkung von Normalspannungen COı

0,90 aus Diagramm für Rz 12,5 µm und Rm

Berechnung der korrigierten Biegewechselfestigkeit * V bW

COV ˜ V bW

0,90 ˜ 280 N/mm 2

252 N/mm 2

530 N/mm 2

Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Festigkeitsbedingung

V ba max d V a zul SD

* V bW

V ba max

* V AD

* V bW

SD

SD

252 N/mm 2 254,65 N/mm 2

0,99 (nicht ausreichend, da S D  2,50)

295

296

Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Lösung zu Aufgabe 13.19 a) Berechnung der Zugspannung F1 A

Vz

F1

S 4

700 000 N

˜d

S

2

4

247,57 N/mm 2

˜ 60 mm

2

Berechnung der Verlängerung des Bolzens (Hooke’sches Gesetz für einachsigen Spannungszustand)

H

Vz

'l l0 'l

E

Vz E

Vz E

˜ l0

247,57 N/mm 2 ˜ 180 mm 210 000 N/mm 2

0,2122 mm

Berechnung der Sicherheit gegen Fließen Festigkeitsbedingung:

V z d V zul Vz SF

Rp0,2 SF Rp0,2

Vz

620 N/mm 2 247,57 N/mm 2

2,50 (ausreichend, da S F t 1,20)

b) Die höchst beanspruchte Stelle befindet sich am Einspannquerschnitt. Dort wirkt eine reine Biegewechselbeanspruchung. Ermittlung des Oberflächenfaktors COV unter der Wirkung von Normalspannungen COı

0,89 aus Diagramm für Rz

6,3 µm und Rm

920 N/mm 2

Berechnung der korrigierten Biegewechselfestigkeit * V bW

COı ˜ V bW

0,89 ˜ 450 N/mm 2

400,5 N/mm 2

Berechnung der Spannungsamplitude

V ba

Mb

F2 ˜ b

Wb

S 32

˜d3

Festigkeitsbedingung

V ba d V ba zul V ba

* V AD

* V bW

SD

SD

12 500 N ˜ 170 mm

S 32

˜ 60 mm

3

100,21 N/mm2

297

Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

SD

* V bW V ba

400,5 N/mm 2 100,21 N/mm 2

4,0 (ausreichend, da S D ! 2,50)

c) Berechnung der Sicherheit gegen Fließen Festigkeitsbedingung:

V o d V zul Rp0,2

V z  V ba SF

SF 620 N/mm 2 247,57 N/mm 2  100,21 N/mm 2

Rp0,2

V z  V ba

1,78 (ausreichend, da S F ! 1,20)

Mittelspannung (aus Aufgabenteil a):

Vm

247,57 N/mm2

Vz

Spannungsamplitude (aus Aufgabenteil b):

V ba

100,21 N/mm 2

Ermittlung der Mittelspannungsempfindlichkeit MV Mı

0,00035 ˜ Rm  0,1 0,00035 ˜ 920 N/mm 2  0,1 0,222

Berechnung der dauernd ertragbaren Amplitude (Mittelspannungstransformation) * V AD

* V bW  M ı ˜ V m da V m 

* V AD

2

* V bW

Mı 1

400,5 N/mm  0,222 ˜ 247,57 N/mm 2

345,54 N/mm 2

Berechnung der Sicherheit gegen Dauerbruch Festigkeitsbedingung:

V ba d V a zul V ba SD

* V AD

SD * V AD

V ba

345,54 N/mm 2 100,2 N/mm 2

3,45 (ausreichend, da S D ! 2,50)

d) Berechnung des zulässigen Torsionsmomentes Festigkeitsbedingung (Fließen):

W t d W tF Mt Wt Mt

W tF S 16

mit W tF

˜d3 ˜

Rp0,2 / 2 folgt :

Rp0,2

S

2

16

˜ 60 mm 3 ˜

620 N/mm2 2

13147565 Nmm 13147,6 Nm

298

Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Berechnung des Verdrehwinkels M t˜ l M G ˜ IP mit G

E folgt : 2 ˜ 1  P M t˜ l

13147565 Nmm ˜ 180 mm 2 E S ˜ ˜ d 4 210 000 N/mm ˜ S ˜ 60 mm 4 2 ˜ 1  P 32 2 ˜ 1  0,30 32 180q 180q ˜ M (in rad) ˜ 0,0230 1,32q M (in Grad)

M

S

0,0230

S

e) Berechnung des zulässigen Torsionsmomentes Die Vergleichsspannung nach der Schubspannungshypothese (SH) kann unmittelbar aus den Lastspannungen (Zugbeanspruchung mit überlagerter Torsion) errechnet werden:

V z2  4 ˜ W t2

V V SH

Festigkeitsbedingung: Rp0,2 V V SH d SF

V z2  4 ˜W t2

Wt Mt

§ Rp0,2 ¨ ¨ S © F

Rp0,2 SF 2

§ 620 N/mm 2 ¨ ¨ 1,50 ©

· ¸  V z2 ¸ ¹ 4

W t ˜ Wt W t ˜

S 16

2

· ¸  247,57 N/mm 2 ¸ ¹ 4





2

165,49 N/mm 2

˜d3

165,49 N/mm 2 ˜

S 16

˜ 60 mm 3

7 018 864 Nmm 7 018,9 Nm

f) Berechnung der (Biege-)Spannung im Querschnitt I-I

V bI

Mb

F2 ˜ b

Wb

S 32

˜ D3

Berechnung der (Biege-)Spannung im Querschnitt II-II (Kerbgrund) F2 ˜ c V b max II V bn II ˜ D kb ˜ D kb S ˜d3 32

299

Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Bedingung:

VbI

V b max II

F2 ˜ b

F2 ˜ c

S

S

32

˜ D3

Dk

32

b §d· ˜¨ ¸ c ©D¹

˜d3

3

˜Dk

170 mm § 50 mm · ¸ ˜¨ 50 mm ¨© 60 mm ¸¹

3

1,968

Aus einem geeigneten Formzahldiagramm entnimmt man für D/d = 1,2 und Dkb = 1,968: R/d

0,05

und damit für den Radius R: R = 2,5 mm g) Bestimmung der Kerbwirkungszahl Ek Formzahl Dk = 1,968 Berechnung des bezogenen Spannungsgefälles: 4 2 4 2 F   D  d R 60 mm  50 mm 2,5 mm

0,836 mm 1

Ermittlung der dyn. Stützziffer nF aus Bild 13.51 (Lehrbuch) mit Rp0,2 = 620 N/mm2: nF = 1,07 Berechnung der Kerbwirkungszahl Ek:

Ek

Dk

1,968 1,07

nȤ

1,84

Berechnung der Sicherheit gegen Dauerbruch Festigkeitsbedingung:

V ba max d V ba zul V ba n ˜ E k M ba Wbn SD

˜ Ek

* V AD

* V bW

SD

SD

* V bW

SD

* V bW

S ˜ ˜d 3 E k ˜ F2 ˜ c 32 400,5 N/mm 2 S ˜ ˜ 50 mm 3 1,84 ˜12 500 N ˜ 50 mm 32

4,27 (ausreichend, da S D ! 2,50)

300

Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Lösung zu Aufgabe 13.20 a) Berechnung des Biegemomentes an der Kerbstelle I Berechnung der Biegespannung:

Berechnung der Lagerkraft FB: FB ˜ a  b FQ ˜ a FB

FQ ˜

a 250 mm 50 000 N ˜ a  b 250 mm  150 mm

31 250 N

Biegemoment an der Kerbstelle I: M bI

FB ˜ c

31 250 N ˜ 80 mm

2 500 000 Nmm

2 500 Nm

b) Ermittlung der Formzahlen für Zug-, Biege- und Torsionsbeanspruchung D 60 mm 1,2 d 50 mm R 5 mm 0,1 d 50 mm Aus geeigneten Formzahldiagrammen entnimmt man:

D kz 1,70 D kb 1,62 D kt 1,30 Berechnung der Nennspannungen

V zn

FH An

FH

S 4

V bn

W tn

M bA Wbn Mt Wtn

˜d

100 000 N

S

2

4

M bA

S 32 Mt

S 16

˜d

˜d3

50,93 N/mm 2

˜ 50 mm

2

2 500 000 Nm 3

S

˜ 50 mm 32 16 ˜ M t S ˜d3

3

203,72 N/mm 2

301

Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Berechnung der maximalen Spannungen

V z max

V zn˜ D kz

50,93 N/mm 2 ˜ 1,70 86,58 N/mm 2

V b max

V bn ˜ D kb

203,72 N/mm 2 ˜ 1,62

W t max

W tn ˜ D kt

330,02 N/mm 2

16 ˜ M t ˜ D kt S ˜d3

Berechnung der Vergleichsspannung aus den Lastspannungen mit Hilfe der SH (V z max  V b max ) 2  4 ˜ W t2max

V V SH

Berechnung des zulässigen Torsionsmomentes Festigkeitsbedingung:

V V SH d V zul Rp0,2

(V z max  V b max ) 2  4 ˜ W t2max

SF

2

1 ˜ 2

§ Rp0,2 · 2 ¨ ¸ ¨ S ¸  (V z max  V b max ) © F ¹

1 ˜ 2

§ 930 N/mm 2 · ¨ ¸  86,58 N/mm 2  330,02 N/mm 2 ¨ ¸ 1 , 50 © ¹

W t max

2





2

229,59 N/mm 2

Damit folgt für das zulässige Torsionsmoment Mt: Mt

S 16

˜d3 ˜

W t max D kt

S 16

˜ 50 mm 3 ˜

229,59 N/mm 2 1,30

4 334 552 Nmm

c) Beanspruchungs-Zeit-Verlauf

V Va max Vm max 0

t

d) Ermittlung der Kerbwirkungszahl Ekb für Biegebeanspruchung Berechnung des bezogenen Spannungsgefälles:

F

4 2  Dd R

4 2  60 mm  50 mm 5 mm

0,436

4334,6 Nm

302

Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Ermittlung der dynamischen Stützziffer nF aus Bild 13.51 im Lehrbuch (Rp0,2 = 930 N/mm2) nF = 1,02 Berechnung der Kerbwirkungszahl Ekb:

E kb

D kb

1,62 1,02

nȤ

1,59

e) Ermittlung des Oberflächenfaktors COV unter der Wirkung von Normalspannungen COı

0,82 aus Diagramm für Rz 12,5 µm und Rm

1150 N/mm 2

Berechnung der korrigierten Biegewechselfestigkeit * V bW

COV ˜ V bW

0,82 ˜ 570 N/mm 2

467,4 N/mm 2

Ermittlung der Mittelspannungsempfindlichkeit MV Mı

0,00035 ˜ Rm  0,1 0,00035 ˜ 1150 N/mm 2  0,1 0,30

Berechnung der dauernd ertragbaren Amplitude (Mittelspannungstransformation) * V AD * V AD

* V bW  M ı ˜ V m max da V m d

* V bW

Mı 1

2

467,4 N/mm  0,30 ˜ 86,58 N/mm 2

441,43 N/mm 2

Berechnung der Sicherheit gegen Dauerbruch Festigkeitsbedingung:

V ba max d V ba zul V ba n ˜ E kb SD

* V AD

SD

* V AD

V ba n ˜ E kb

441,43 N/mm 2 203,72 N/mm 2 ˜ 1,59

1,36 (nicht ausreichend, da S D  2,50)

303

Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Lösung zu Aufgabe 13.21 a) Ermittlung des Spannungs-Zeit-Verlaufes an der höchst beanspruchten Stelle Berechnung der Biegespannung:

F1 ˜b 2

M b max

Vb

M b max Wb

70000 N ˜ 500 mm 17 500 000 Nmm 17 500 Nm 2 M b max 17 500 000 Nmm 178,25 N/mm 2 S 3 S 3 ˜d ˜ 100 mm 32 32

Berechnung der Zugspannung:

Vz

F2 A

F2

S 4

˜d

480 000 N 2

S 4

61,12 N/mm 2

˜ 100 mm

2

Mittelspannung (Vm) und Spannungsamplitude (Va) der Schwingbeanspruchung:

Vm { Vz

61,12 N/mm 2

Va { Vb

178,25 N/mm 2

Darstellung des Beanspruchungs-Zeit-Verlaufes:

V Va Vm 0

t

b) Berechnung der Sicherheit gegen Fließen Festigkeitsbedingung (Fließen):

V o d V zul

304

Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Vb Vz SF

Rp0,2 SF

Rp0,2

Vb Vz

900 N/mm 2 178,25 N/mm 2  61,12 N/mm 2

3,76 (ausreichend, da S F ! 1,20)

Ermittlung des Oberflächenfaktors COV unter der Wirkung von Normalspannungen COı

0,75 aus Diagramm für Rz

25 µm und Rm

1420 N/mm 2

Berechnung der korrigierten Biegewechselfestigkeit * V bW

COV ˜ V bW

0,75 ˜ 710 N/mm 2

532,5 N/mm 2

Ermittlung der Mittelspannungsempfindlichkeit MV Mı

0,00035 ˜ Rm  0,1 0,00035 ˜ 1420 N/mm 2  0,1 0,40

Berechnung der dauernd ertragbaren Amplitude (Mittelspannungstransformation) * V AD * V AD

* V bW  M ı ˜V m

da V m d

* V bW

Mı 1

2

532,5 N/mm  0,40 ˜ 61,12 N/mm 2

508,05 N/mm 2

Berechnung der Sicherheit gegen Dauerbruch Festigkeitsbedingung:

V a d V a zul SD

* V AD

Va

* V AD

SD 508,05 N/mm 2 178,25 N/mm 2

2,85 (ausreichend, da S D ! 2,50)

c) Ermittlung der Kerbwirkungszahl Ekb für Biegebeanspruchung Ermittlung der Formzahl Dkb für die Biegebeanspruchung aus einem geeigneten Formzahldiagramm d D

10 mm 100 mm

0,1 und Biegebeanspruchung : D kb

2,35

Berechnung des bezogenen Spannungsgefälles: 2 8 2 8 F   0,82 D d 100 mm 10 mm Ermittlung der dynamischen Stützziffer nF aus Bild 13.51 im Lehrbuch (Rp0,2 = 900 N/mm2) nF = 1,03 Berechnung der Kerbwirkungszahl Ekb:

E kb

D kb nȤ

2,35 1,03

2,28

305

Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

d) Ermittlung der Formzahl Dkz für Zugbeanspruchung d D

0,1 und Zugbeanspruchung: D kz

2,50 (aus geeignetem Formzahldiagramm)

Berechnung der Biegenennspannung an der Kerbstelle (Querbohrung) F1 70000 N Mb ˜c ˜ 350 mm 12 250 000 Nmm 2 2 Mb Mb V bn { V ba Wbn S ˜ D 3 d ˜ D 2  32 6 12 250 000 Nmm 150,29 N/mm 2 3 2 S ˜ 100 mm 10 mm ˜ 100 mm  32 6 Berechnung der Zugnennspannung F2 F2 V zn { V mn An S ˜ D 2 d ˜D 4

480 000 N

S ˜ 100 mm 2 4

70,03 N/mm 2

 10 mm ˜ 100 mm

Berechnung der dauernd ertragbaren Amplitude (Mittelspannungstransformation) * V bW

* V AD

* V bW  M ı ˜ V m max

* V AD

* V bW

* V AD

532,5 N/mm 2  0,40 ˜ 70,03 N/mm 2 ˜ 2,50

da V m max d

Mı 1

 M ı ˜ V mn ˜ D kz 462,47 N/mm 2

Berechnung der Sicherheit gegen Dauerbruch Festigkeitsbedingung:

V a max d V a zul V bn ˜ E kb SD

* V AD

SD

* V AD

V ba ˜ E kb

462,47 N/mm 2 150,29 ˜ 2,28 N/mm 2

1,35 (nicht ausreichend, da S D  2,50)

306

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Lösung zu Aufgabe 13.22 a) Berechnung der Spannung in Längsrichtung (Zugrichtung) FV FV 4 ˜ 100 000 N 392,98 N/mm 2 Vl S 2 ʌ ˜ 18 mm 2 A ˜d 4 Konstruktion des Mohr’schen Spannungskreises Zur Konstruktion des Mohr’schen Spannungskreises benötigt man die Spannungen in zwei zueinander senkrechten Schnittflächen. Bekannt sind die Spannungen in den Schnittflächen mit der x- und der y-Richtung als Normale. Eintragen des Bildpunktes Px (0 | 0) und des Bildpunktes Py (Vl | 0) in das V-W-Koordinatensystem unter Beachtung der speziellen Vorzeichenregelung für Schubspannungen. Bildpunkt Px repräsentiert die Spannungskomponenten in der Schnittebene mit der x-Achse als Normalenvektor. Bildpunkt Py repräsentiert die Spannungskomponenten in der Schnittebene mit der y-Achse als Normalenvektor. Da die beiden Schnittebenen einen Winkel von 90° zueinander einschließen, müssen die Bildpunkte Px und Py auf einem Kreisdurchmesser liegen. Die Strecke PxPy schneidet die V-Achse im Kreismittelpunkt M. Kreis um M durch die Bildpunkte Px oder Py ist der gesuchte Mohr’sche Spannungskreis. Die Bildpunkte Px‘ und Py‘, welche die Spannungen in den Schnittflächen mit der x‘- bzw. y‘-Richtung als Normale repräsentieren, erhält man durch Abtragen der Richtungswinkel 2˜12° bzw. 2˜12° + 180°, ausgehend vom Bildpunkt Py (gleicher Drehsinn zum Lageplan).

Aus dem Mohr‘schen Spannungskreis folgt die Normalspannungen Vx‘ und Vy’:

V y'

Vl

Vl

Vl

˜ 1  cos 2D 2 2 2 392,98 N/mm 2 ˜ 1  cos2 ˜ 12q 375,99 N/mm 2 2 

˜ cos 2D

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

V x'

Vl

Vl

307

Vl

˜ 1  cos 2D 2 2 2 392,98 N/mm 2 ˜ 1  cos2 ˜ 12q 16,99 N/mm 2 2 

˜ cos 2D

Berechnung der Dehnung in y‘-Richtung (Messrichtung des DMS) durch Anwendung des Hooke’schen Gesetzes für den zweiachsigen Spannungszustand

H y' { H DMS

1 ˜ V y'  P ˜ V x' E





375,99 N/mm 2  0,30 ˜ 16,99 N/mm 2 210 000 N/mm 2

0,001766 1,766 ‰

Alternative Lösung mit Hilfe des Mohr’schen Verformungskreises Berechnung der Dehnung in Längs- und Querrichtung unter Wirkung von FV 392,98 N/mm 2 0,00187 1,87 ‰ E 210 000 N/mm 2  P ˜ H l 0,30 ˜ 0,00187 0,000561 0,561 ‰

Vl

Hl { H y Hq { H x

Konstruktion des Mohr’schen Verformungskreises Zur Konstruktion des Mohr’schen Verformungskreises benötigt man die Verformungen in zwei zueinander senkrechten Schnittrichtungen. Bekannt sind die Verformungen mit der x- bzw. y-Richtung als Bezugsrichtung. Einzeichnen der entsprechenden Bildpunkte Px (Hq | 0) und Py (Hl | 0) in das H-J/2-Koordinatensystem ergibt den Mohr’schen Verformungskreis. Da die beiden Schnittebenen einen Winkel von 90° zueinander einschließen, liegen die Bildpunkte Px und Py auf einem Kreisdurchmesser, damit ist der Mohr' sche Verformungskreis festgelegt (siehe Abbildung). Den Bildpunkt Py‘, welcher die Verformungen in y‘-Richtung (Messrichtung des DMS) als Bezugsrichtung repräsentiert, erhält man durch Abtragen des Richtungswinkels 2˜12°, ausgehend vom Bildpunkt Py (gleicher Drehsinn zum Lageplan). Für den Mittelpunkt und den Radius des Mohr’schen Verformungskreises erhält man: H l  H q 1,87 ‰  0,561 ‰ HM 0,6543 ‰ 2 2 R

Hl  Hq 2

1,87 ‰ - - 0,561 ‰ 1,216 ‰ 2

Damit folgt die Dehnung in y‘-Richtung (Messrichtung des DMS)

H y' { H DMS

H M  R ˜ cos 2D

0,6543 ‰  1,216 ‰ ˜ cos(2 ˜ 12q) 1,766 ‰

308

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

b) Berechnung der Dehnung in Messrichtung des DMS Aus Aufgabenteil a) folgt:

H y' { H DMS

1 ˜ V y'  P ˜ V x' E



Vl



1 ªV l V º ˜ ˜ 1  cos 2D  P ˜ l ˜ 1  cos 2D » 2 E «¬ 2 ¼

˜ >1  cos 2D  P ˜ 1  cos 2D @

2˜ E

Damit folgt für die Spannung Vl in Längsrichtung:

Vl

2 ˜ E ˜ H DMS 1  cos 2D  P ˜ 1  cos 2D

2 ˜ 210 000 N/mm 2 ˜ 0,0025 1  cos 24q  0,30 ˜ 1  cos 24q

556,26 N/mm 2

Berechnung der Zugkraft Fges Fges

Vl ˜ A Vl ˜

S 4

˜d2

556,26 N/mm 2 ˜

S 4

˜ 18 mm 2

141 551 N

Berechnung der Betriebskraft FB1 FB1

Fges  FV

141 551 N - 100 000 N

41 551 N

Alternative Lösung mit Hilfe des Mohr’schen Verformungskreises Für die Dehnung in Messrichtung des DMS ergibt sich aus dem vorhergehenden Aufgabenteil: H DMS { H y' H M  R ˜ cos 2D

Hl  Hq

Hl  Hq

˜ cos 2D 2 2 Hl  P ˜ Hl Hl  P ˜ Hl  ˜ cos 2D 2 2 H l ˜ 1  P  H l ˜ 1  P ˜ cos 2D 2

Hl 2



˜ >1  P  1  P ˜ cos 2D @

Damit folgt für die Dehnung Hl in Längsrichtung: 2 ˜ H DMS 2 ˜ 0,0025 Hl 1  P  1  P ˜ cos 2D 1  0,30  1  0,30 ˜ cos2 ˜ 12q

Vl

E ˜Hl

210 000 N/mm 2 ˜ 0,002649

c) Ermittlung der Formzahl Dk D d

24 mm 18 mm

1,33

R d

2,5 mm 18 mm

0,14

556,26 N/mm 2

0,002649

309

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Damit entnimmt man einem geeigneten Formzahldiagramm:

D kz

1,62

Berechnung der Sicherheit gegen Fließen im Kerbgrund Festigkeitsbedingung: V max d V zul

V n ˜ D kz

Rp0,2

FV  FB1 ˜ D kz An

S 4

FB1

Rp0,2

˜ d 2 ˜ Rp0,2

D kz

S  FV

4

˜ 18 mm 2 ˜ 10 50 N/mm 2  100 000 N

1,62

64 934 N

d) Berechnung der Kerbwirkungszahl Ek für den Wellenabsatz Formzahl: Dk = 1,62 Berechnung des bezogenen Spannungsgefälles: 2 2 F 0,8 mm -1 R 2,5 mm Ermittlung der dynamischen Stützziffer nF aus Bild 13.51 im Lehrbuch (Rp0,2 = 1050 N/mm2): nF = 1,02 Berechnung der Kerbwirkungszahl Ek:

Ek

Dk

1,62 1,02

nȤ

1,59

e) Berechnung der Nennspannungen Spannungsamplitude (Nennspannung): FB2 2

V an

Fa An

V mn

Fm An

50 000 N 2

S

S

98,24 N/mm 2

˜d2 ˜ 18 mm 2 4 4 Mittelspannung (Nennspannung und maximale Spannung): FV 

FB2 2

S

2

4

V m max

˜d

V mn ˜ D kz

100 000 N 

50 000 N 2

S

2

491,22 N/mm 2

˜ 18 mm 4 491,22 N/mm 2 ˜ 1,62 795,77 N/mm 2

Ermittlung des Oberflächenfaktors COV unter der Wirkung von Normalspannungen COı

0,88 aus Diagramm für Rz

6,3 µm und Rm

1050 N/mm 2

310

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Berechnung der korrigierten Zug-Druck-Wechselfestigkeit * V zdW

0,88 ˜ 630 N/mm 2

COı ˜ V zdW

554,40 N/mm 2

Ermittlung der Mittelspannungsempfindlichkeit MV Mı M ıc

0,00035 ˜ Rm  0,1 0,00035 ˜ 1400 N/mm 2  0,1 0,39 M ı / 3 0,39 / 3 0,13 (nach FKM  Richtlinie)

Berechnung der dauernd ertragbaren Amplitude (Mittelspannungstransformation) M ıc  1  M ıc ˜ V m max Mı 1

* V AD

* V zdW ˜

* V AD

554,40 N/mm 2 ˜

da

* V zdW

Mı 1

 V m max d

0,13  1  0,13 ˜ 795,77 N/mm 2 0,39  1

* M c 1 3 ˜ V zdW ˜ ı 3 ˜ M ıc  1 M ı  1

347,25 N/mm 2

Berechnung der Sicherheit gegen Dauerbruch Festigkeitsbedingung: V a max d V a zul

V an ˜ E k SD

* V AD

SD

* V AD V an ˜ E k

347,25 N/mm 2 98,24 N/mm 2 ˜ 1,59

2,22 (nicht ausreichend, da S D  2,50)

Anmerkung: Die Sicherheit gegen Fließen beträgt SF = 1,1 und ist ebenfalls nicht ausreichend. f) Berechnung der Nennspannungen

V zn

FV  FB3 An

FV  FB3

S 4

W tn

Mt Wt

Mt

S 16

˜d

˜d2 63 000 Nmm

3

S 16

55,02 N/mm 2

˜ 18 mm

3

Ermittlung der Formzahlen Dkz und Dkt D d

24 mm 18 mm

1,33

R d

2,5 mm 18 mm

0,14

Damit entnimmt man geeigneten Formzahldiagrammen:

D kz 1,62 (siehe oben) D kt 1,30

311

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Berechnung der maximalen Spannungen

V z max

FV  FB3

V zn ˜ D kz

W t max

S

˜ d2

˜ D kz

4 55,02 N/mm 2 ˜ 1,30

W tn ˜ D kz

71,52 N/mm 2

Berechnung der Vergleichsspannung aus den Lastspannungen unter Anwendung der Schubspannungshypothese

V z2max  4 ˜ W t2max

V V SH

Berechnung der Betriebskraft FB3 Festigkeitsbedingung: V V SH d V zul Rp0,2

V z2max  4 ˜ W t2max

SF 2

§ Rp0,2 · 2 ¨ ¸ ¨ S ¸  4 ˜ W t max © F ¹

V z max

2

V zn ˜ D kz FV  FB3

S 4

˜d2

§ Rp0,2 · 2 ¨ ¸ ¨ S ¸  4 ˜ W t max F ¹ © 2

˜ D kz

§ Rp0,2 · 2 ¨ ¸ ¨ S ¸  4 ˜ W t max © F ¹ 2

FB3

S ˜ d 2 § Rp0,2 · ¸  4 ˜ W t2max  FV ˜ ¨ 4 ˜ D kz ¨© S F ¸¹ S ˜ 18 mm 2 4 ˜ 1,62

§ 1050 ˜ ¨¨ © 1,20

2

· ¸¸  4 ˜ 71,52 2 N/mm 2  100 000 N ¹

35 596 N

312

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Lösung zu Aufgabe 13.23 a) Berechnung der Lastspannungen

Vy

F1 A

4

Wt

M t1 Wt

4 ˜ 50 000 N

F1

S

˜D

ʌ ˜ 25 mm

2

2

16 ˜ 500 000 Nmm

M t1

S 16

˜D

101,86 N/mm 2

S ˜ 25 mm 3

3

162,97 N/mm 2

Konstruktion des Mohr’scher Spannungskreises Eintragen des Bildpunktes Px (0 | -Wt) und des Bildpunktes Py (Vy | Wt) in das V-W-Koordinatensystem unter Beachtung der speziellen Vorzeichenregelung für Schubspannungen. Bildpunkt Px repräsentiert die Spannungskomponenten in der Schnittebene mit der xAchse als Normalenvektor (Ebene Ex). Bildpunkt Py repräsentiert die Spannungskomponenten in der Schnittebene mit der y-Achse als Normalenvektor (Ebene Ey). Da die beiden Schnittebenen einen Winkel von 90° zueinander einschließen, müssen die Bildpunkte Px und Py auf einem Kreisdurchmesser liegen. Die Strecke PxPy schneidet die V-Achse im Kreismittelpunkt M. Kreis um M durch die Bildpunkte Px oder Py ist der gesuchte Mohr’sche Spannungskreis. Berechnung von Mittelpunkt und Radius des Mohr‘schen Spannungskreises

VM R

Vy 2 §Vy ¨ ¨ 2 ©

101,68 N/mm 2 2

50,84 N/mm 2

2

· ¸  IJ t2 ¸ ¹

50,84 2  162,97 2 N/mm 2

170,74 N/mm 2

Berechnung der Hilfswinkel D und E

Wt

D

arctan

E

180q  2 ˜ 30q  D

Vy /2

arctan

162,97 N/mm 2 50,84 N/mm 2

72,65q

180q  2 ˜ 30q  72,65q

47,35q

313

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Aus dem Mohr'schen Spannungskreis folgt für die Spannungen VA und VB:

Vz

VA VB

2

Vz 2

 R ˜ cos E  R ˜ cos E

101,86 N/mm 2  170,74 ˜ cos 47,35q 64,75 N/mm 2 2 101,86 N/mm 2  170,74 ˜ cos 47,35q 166,60 N/mm 2 2

Berechnung der Dehnungen in A- und B-Richtung (Messrichtung der DMS) mit Hilfe des Hooke‘schen Gesetzes (zweiachsiger Spannungszustand)

H A { H DMS A

 64,75 N/mm 2  0,30 ˜ 166,60 N/mm 2 210000 N/mm 2

1 ˜ (V A  P ˜ V B ) E

- 0,000546 - 0,546 ‰

H B { H DMS B

1 ˜ (V B  P ˜ V A ) E

166,60 N/mm 2  0,30 ˜  64,75 N/mm 2 210000 N/mm 2

0,000885 0,885 ‰

b) Ermittlung der Formzahlen Dkz und Dkt 5 mm d 0,20 D 25 mm Damit entnimmt man geeigneten Formzahldiagrammen:

D kz 2,30 D kt 1,55 c) Berechnung der Nennspannungen F1 F1 50000 N 136,66 N/mm 2 V yn 2 S An S ˜ D ˜ 25 mm 2  25 mm ˜ 5 mm d ˜D 4 4 M t2 M t2 W tn 3 Wtn S ˜ D d ˜ D2  16 6 Berechnung der maximalen Spannungen

V y max

V yn ˜ D kz 136,66 N/mm 2 ˜ 2,30 314,32 N/mm 2

W t max

W t n ˜ D kt

M t2 ˜ D kt d ˜ D2  16 6

S ˜ D3

Berechnung des zulässigen Antriebsmomentes Mt2 Festigkeitsbedingung:

V V SH d V zul

314

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Rp0,2

V y2 max  4 ˜ W t2max W t max

SF 2

1 ˜ 2

§ Rp0,2 · 2 ¸ ¨ ¨ S ¸  V y max © F ¹

1 ˜ 2

§ 690 · ¨¨ ¸¸  314,32 2 N/mm 2 © 1,20 ¹

2

240,74 N/mm 2

Weiterhin gilt:

W t max

M t2

M t2 ˜ D kt S ˜D d ˜ D2  16 6 W t max § S ˜ D 3 d ˜ D 2 · ¸ ˜¨  6 ¸¹ D kt ¨© 16 3

240,74 N/mm 2 1,55

§ S ˜ 25 mm 3 5 mm ˜ 25 mm 2 · ¸ ˜¨  ¨ ¸ 16 6 © ¹

395 616 Nmm

395,6 Nm

d) Berechnung der Kerbwirkungszahl Ekb Formzahl: Dkb = 2,10 (aus geeignetem Formzahldiagramm für d/D = 0,20) Berechnung des bezogenen Spannungsgefälles: 2 8 2 8 F 1,68 mm -1   D d 25 mm 5 mm Ermittlung der dynamischen Stützziffer nF aus Bild 13.51 im Lehrbuch (Rp0,2 = 690 N/mm2): nF = 1,1 Berechnung der Kerbwirkungszahl Ek:

E kb

D kb nȤ

2,10 1,1

1,91

e) Beanspruchungs-Zeit-Verlauf

315

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Berechnung der Spannungsamplitude (Nennspannung)

V ba n

F2 ˜ a S ˜ D3 d ˜ D 2  32 6 2500 N ˜ 50 mm

Mb Wb

S ˜ 25 mm 3 32

5 mm ˜ 25 mm 2  6

123,38 N/mm 2

Berechnung der Mittelspannung (Nennspannung und maximale Spannung)

V mn

136,66 N/mm 2

V yn

V m max { V y max

(siehe Aufgabenteil c)

314,32 N/mm 2

(siehe Aufgabenteil c)

Ermittlung des Oberflächenfaktors COV unter der Wirkung von Normalspannungen COı

0,92 aus Diagramm für Rz

4 µm und Rm

870 N/mm 2

Berechnung der korrigierten Biegewechselfestigkeit * V bW

COı ˜ V bW

0,92 ˜ 430 N/mm 2

395,60 N/mm 2

Ermittlung der Mittelspannungsempfindlichkeit MV Mı

0,00035 ˜ Rm  0,1 0,00035 ˜ 870 N/mm 2  0,1 0,21

Berechnung der dauernd ertragbaren Amplitude (Mittelspannungstransformation) * V AD * V AD

* V bW  M ı ˜ V m max da V m max d

* V bW

Mı 1

2

395,6 N/mm  0,21 ˜ 314,32 N/mm 2

329,59 N/mm 2

Berechnung der Sicherheit gegen Dauerbruch Festigkeitsbedingung: V ba max d V a zul

V ba n ˜ E kb SD

* V AD

SD

* V AD

V ba n ˜ E kb

329,59 N/mm 2 123,38 N/mm 2 ˜ 1,91

1,40 (nicht ausreichend, da S D  2,50)

316

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Lösung zu Aufgabe 13.24 a) Berechnung der Spannungen und der Dehnungen im Querschnitt I Berechnung der (Zug-)Spannung: F1 F1 4 ˜ 50 000 N 51,96 N/mm 2 VzI 2 S AI ˜ d 2 ʌ ˜ 35 mm 4 Berechnung der Dehnung in Längsrichtung (Hooke’sches Gesetz für den einachsigen Spannungszustand):

HlI

VzI E

51,96 N/mm 2 210 000 N/mm 2

0,000248

0,248 ‰

Berechnung der Querdehnung (Querkontraktion):

Hq I

P ˜ H l I

0,30 ˜ 0,248 ‰

-0,074 ‰

Berechnung der Spannungen und der Dehnungen im Querschnitt II Berechnung der (Zug-)Spannung:

V z II

F1 AII

4 ˜ 50 000 N

F1

S 4

˜D

2

ʌ ˜ 45 mm 2

31,44 N/mm 2

Berechnung der Dehnung in Längsrichtung (Hooke’sches Gesetz für den einachsigen Spannungszustand):

H l II

V z2 E

31,44 N/mm 2 210 000 N/mm 2

0,000149

0,149 ‰

Berechnung der Querdehnung (Querkontraktion):

H q II

 P ˜ H l II

0,30 ˜ 0,149 ‰

-0,045 ‰

Berechnung der Verlängerung der Welle 'l 'lI  2 ˜ 'lII

H l I ˜ l  2 ˜ a  2 ˜ H l II ˜ a 0,000248 ˜ 850 mm  2 ˜ 200 mm  2 ˜ 0,000149 ˜ 200 mm

Berechnung der Sicherheit gegen Fließen im Querschnitt I Festigkeitsbedingung:

V z I d V zul SF

Re

VzI

Re SF 340 N/mm 2 51,96 N/mm 2

6,54 (ausreichend, da S F t 1,20)

0,171 mm

317

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Berechnung der Sicherheit gegen Fließen im Querschnitt II Festigkeitsbedingung:

V z II d V zul SF

Re

V z II

Re SF 340 N/mm 2 31,44 N/mm 2

10,81 (ausreichend, da S F t 1,20)

b) Berechnung der Biegespannung an der Stelle A-A

MbI

VbI

F2 ˜ l 4 MbI

F2 l ˜ 2 2 MbI

S

Wb

32

5000 N ˜ 850 mm 4 1 062 500 Nmm

˜d3

S

1 062 500 Nmm 252,42 N/mm 2

˜ 35 mm

3

32

Berechnung der Nennspannungen im Querschnitt III: F2 5 000 N ˜a ˜ 200 mm 500 000 mm M b III 2 2 M b III M b III 500 000 mm 118,79 N/mm 2 V b III S S Wbn 3 ˜d3 ˜ 35 mm 32 32 c) Bedingung:

VbI

V b III max

VbI

V b III ˜ D kb

F2 ˜ l 4

F2 ˜ a 2 ˜D kb S S 3 ˜d ˜d3 32 32 850 mm l D kb 2 ˜ a 2 ˜ 200 mm

2,125

318

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Berechnung des Radius R D d

45 mm 35 mm

D kb

2,125

1,29

Damit entnimmt man einem geeigneten Formzahldiagramm: R 0,04 d R 0,04 ˜ d 0,04 ˜ 35 mm 1,4 mm d) Beanspruchungs-Zeit-Verlauf

Ermittlung der Formzahl Dkz D 1,29 d R 0,04 d Damit entnimmt man einem geeigneten Formzahldiagramm:

D kz

2,45

Berechnung der Mittelspannung (Nennspannung und maximale Spannung)

V mn V m max

VzI

51,96 N/mm 2

V mn ˜ D kz

51,96 ˜ 2,45 127,32 N/mm 2

Berechnung der Spannungsamplitude (Nennspannung)

V ba n

F2 ˜ a 2

S 32

˜d3

16 ˜ F2 ˜ a S ˜d3

Bestimmung der Kerbwirkungszahl Ekb Formzahl Dkb= 2,125

319

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Berechnung des bezogenen Spannungsgefälles: 4 2 4 2 F   D  d R 45 mm  35 mm 1,4 mm

1,479 mm 1

Ermittlung der dynamischen Stützziffer nF aus Bild 13.51 im Lehrbuch (Re = 340 N/mm2) nF = 1,25 Berechnung der Kerbwirkungszahl Ekb

E kb

D kb

2,125 1,25

nȤ

1,70

Ermittlung der Mittelspannungsempfindlichkeit MV Mı

0,00035 ˜ Rm  0,1 0,00035 ˜ 600 N/mm 2  0,1 0,11

Berechnung der dauernd ertragbaren Amplitude (Mittelspannungstransformation)

V AD V AD

V bW  M ı ˜ V m max

da V m max d

2

300 N/mm  0,11 ˜ 127,32 N/mm

V bW Mı 1 2

286,00 N/mm 2

Berechnung der zulässigen Querkraft F2 Festigkeitsbedingung:

V a max d V a zul V AD

V ba n ˜ E kb

SD

16 ˜ F2 ˜ a ˜ E kb S ˜d3 F2

V AD S ˜ d SD

˜

V AD SD 3

˜

1

16 ˜ a E kb

286,00 N/mm 2 S ˜ 35 mm 3 1 ˜ ˜ 3,0 16 ˜ 200 mm 1,70

2 360 N

320

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Lösung zu Aufgabe 13.25 a) Berechnung der Lastspannungen

Vx

Wt

Fz1 A

S

Fz1 2

M t1 Wt

S

3

˜d 4 M t1

16

˜d

170 000 N

S

346,32 N/mm 2

˜ 25 mm 4 500 000 Nmm

S 16

2

162,98 N/mm 2

˜ 25 mm

3

Berechnung der Verformungen Hx, Hy und Jxy Hooke’sches Gesetz (einachsiger Spannungszustand): V x 346,32 N/mm 2 Hx 0,001649 1,649 ‰ E 210 000 N/mm 2 H y  P ˜ H x 0,30 ˜ 1,649 ‰ - 0,495 ‰ Hooke’sches Gesetz für Schubspannungen:

J xy

W xy

Wt

G

E 2 ˜ 1  P

162,98 N/mm 2 210 000 N/mm 2 2 ˜ 1  0,30

0,002018 2,018 ‰

Konstruktion des Mohr’schen Verformungskreises Zur Konstruktion des Mohr’schen Verformungskreises benötigt man die Verformungen in zwei zueinander senkrechten Richtungen. Bekannt sind die Verformungen mit der xbzw. y-Richtung als Bezugsrichtung. Einzeichnen der entsprechenden Bildpunkte Px (Hx | 0,5˜Jxy) und Py (Hy | 0,5˜Jyx) unter Berücksichtigung der Vorzeichenregelung für Schiebungen in das H-J/2-Koordiantensystem ergibt den Mohr’schen Verformungskreis. Da die beiden Schnittrichtungen einen Winkel von 90° zueinander einschließen, liegen die Bildpunkte Px und Py auf einem Kreisdurchmesser. Damit ist der Mohr'sche Verformungskreis festgelegt (siehe Abbildung). Berechnung von Mittelpunkt und Radius des Mohr’schen Verformungskreises

HM R

Hx  Hy 2 § Hx  Hy ¨ ¨ 2 ©

1,649 ‰   0,495 ‰ 2 2

· § J xy · ¸ ¨ ¸ ¸ ¨ 2 ¸ ¹ © ¹

2

0,577 ‰ 2

§ 1,649 ‰   0,495 ‰ · § 2,018 ‰ · ¨ ¸ ¨ ¸ 2 2 © ¹ © ¹

2

1,472 ‰

321

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Berechnung des Hilfswinkels D

D

arctan

J xy / 2 (H x  H y ) / 2

arctan

2,018 ‰ / 2 1,649 ‰   0,495 ‰ / 2

43,26q

Berechnung des Hilfswinkels E E 120q  D 120q  43,26q 76,74q Berechnung des Hilfswinkels J J 180q  120q  D 120q  43,26q 16,74q Damit folgt die Dehnungen in Messrichtung der Dehnungsmessstreifen:

H A H x 1,649 ‰ H B H M  R ˜ cosJ 0,577 ‰  1,472 ‰ ˜ cos16,74q 0,833 ‰ H C H M  R ˜ cosE 0,577 ‰  1,472 ‰ ˜ cos76,74q 0,915 ‰

Alternative Lösung Für die Dehnungen in Messrichtung der Dehnungsmessstreifen gilt (Gleichung 4.32 im Lehrbuch):

HA HB HC

Hx  Hy 2 Hx  Hy 2 Hx  Hy 2

  

Hx  Hy 2 Hx  Hy 2 Hx  Hy 2

˜ cos 2D *  ˜ cos 2 E *  ˜ cos 2J * 

J xy 2

J xy 2

J xy 2

˜ sin 2D * ˜ sin 2 E * ˜ sin 2J *

Mit Hx = 1,649 ‰; Hy = -0,495 ‰ und Jxy = 2,018 ‰ sowie D* = 0°; E* = -120° und J* = 120° folgt:

HA HB

HC

Hx

1,649 ‰

1,649 ‰   0,495 ‰ 1,649 ‰   0,495 ‰  ˜ cos2 ˜  120q 2 2 2,018 ‰  ˜ sin 2 ˜  120q 0,833 ‰ 2 1,649 ‰   0,495 ‰ 1,649 ‰   0,495 ‰ ˜ cos2 ˜ 120q  2 2 2,018 ‰  ˜ sin 2 ˜ 120q 0,915 ‰ 2

b) Aus Gleichung 4.32 (siehe Lehrbuch) ergeben sich die folgenden Beziehungen:

HA HC

Hx  Hy 2 Hx  Hy 2

 

Hx  Hy 2 Hx  Hy 2

˜ cos 2D *  ˜ cos 2J * 

J xy 2

J xy 2

˜ sin 2D *

(1)

˜ sin 2J *

(2)

322

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Da nur eine einachsige Zugbeanspruchung in x-Richtung vorliegt, gilt für die Dehnung in yRichtung:

Hy

P ˜ H x

Mit D* = 0° folgt aus Gleichung 1:

HA

Hx

und damit:

Hx

HA

1,798 ‰

Mit J* = 120° folgt aus Gleichung 2:

HC

Hx  P ˜Hx



Hx  P ˜Hx

J xy

˜ sin 240q 2 J xy § Hx H 3 ·¸ ˜ 1  P  x ˜ 1  P ˜  0,5  ˜¨ ¨ 2 2 2 © 2 ¸¹ 2

Hx ˜

2

˜ cos 240q 

1 3˜ P 3  ˜ J xy 4 4

Damit folgt für Jxy:

J xy

4 § 1 3˜ P · ˜ ¨HC  ˜Hx ¸ 4 3 © ¹

4 § 1  3 ˜ 0,30 · ˜ ¨ 0,816 ‰ ˜ 1,798 ‰ ¸ 1,781 ‰ 4 3 © ¹

Berechnung der Zugkraft Fz2

V z2 Fz2

E ˜Hx

S

(einachsiger Spannungszustand)

4 185 344 N

S

˜ 25 mm 2 ˜ 210000 N/mm 2 ˜ 0,001798 ‰ 4 185,3 kN

˜ d 2 ˜ E ˜Hx

Berechnung des Torsionsmomentes Mt2

W t { W xy M t2

E ˜ J xy 2 ˜ 1  P E S ˜ J xy ˜ ˜ d 3 2 ˜ 1  P 16

G ˜ J xy

W t ˜ Wt

210000 N/mm 2 S ˜ 0,001781 ‰ ˜ ˜ 25 mm 3 2 ˜ 1  0,30 16

441 243 Nmm

441,2 Nm

Da Jxy = 1,781 ‰ > 0 wird der ursprünglich rechte Winkel zwischen der x- und der y- Achse vergrößert. Dies kann nur durch ein Torsionsmoment erfolgen, mit Drehsinn entsprechend der Abbildung in Aufgabe 13.25.

323

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

c) Ermittlung der Formzahlen D 30 mm 1,2 d 25 mm R 5 mm 0,2 d 25 mm Damit entnimmt man geeigneten Formzahldiagrammen:

D kz 1,45 D kt 1,18 Ermittlung der Nennspannungen Fz2 4 ˜ Fz2 4 ˜ 185 344 N V xn A S ˜ d 2 S ˜ 25 mm 2

W tn

16 ˜ M t2 S ˜d3

M t2 Wt

377,58 N/mm 2

16 ˜ 441 243 N

143,82 N/mm 2

S ˜ 25 mm

3

Berechnung der maximalen Spannungen

V x max

377,58 N/mm 2 ˜ 1,45 547,49 N/mm 2

V xn ˜ D kz

W t max

W tn ˜ D kt

143,82 N/mm 2 ˜ 1,18 169,71 N/mm 2

Berechnung der Sicherheit gegen Fließen Die Vergleichsspannung nach der Schubspannungshypothese (SH) kann unmittelbar aus den Lastspannungen (Zugbeanspruchung mit überlagerter Torsion) errechnet werden:

V x2 max  4 ˜ W t2max

V V SH

Festigkeitsbedingung:

V V SH d

Rp0,2 SF

V x2 max  4 ˜ W t2max SF

SF

Rp0,2 SF

Rp0,2

V x2 max

 4 ˜ W t2max

1180 N/mm 2 547,49 2  4 ˜ 169,712 N/mm 2

1,83

(ausreichend, da S F ! 1,20)

d) Berechnung der Spannungsamplitude (Nennspannung) H H 0,002  0,0015 V an E ˜ H a E ˜ O U 210 000 N/mm 2 ˜ 2 2

52,5 N/mm 2

324

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Berechnung der Mittelspannung (Nennspannung und maximale Spannung)

V mn

E ˜Hm

V m max

E˜

V mn ˜ D kz

HO  HU

0,002  0,0015 210 000 N/mm 2 ˜ 2 2 2 367,5 N/mm ˜ 1,45 532,88 N/mm 2

367,5 N/mm 2

Bestimmung der Kerbwirkungszahl Ekz Formzahl Dkz = 1,45 Berechnung des bezogenes Spannungsgefälles: 2 2 F 0,4 mm -1 R 5 mm Ermittlung der dynamischen Stützziffer nF aus Bild 13.51 im Lehrbuch (Rm = 1520 N/mm2): nF = 1,01 Kerbwirkungszahl Ekz

E kz

D kz

1,45 1,44 1,01

nȤ

Ermittlung des Oberflächenfaktors COV unter der Wirkung von Normalspannungen COı

0,85 aus Diagramm für Rz

6,3 µm und Rm

1520 N/mm 2

Berechnung der korrigierten Zug-Druck-Wechselfestigkeit * V zdW

COı ˜ V zdW

0,85 ˜ 690 N/mm 2

586,5 N/mm 2

Ermittlung der Mittelspannungsempfindlichkeit MV Mı M ıc

0,00035 ˜ Rm  0,1 0,00035 ˜ 1520 N/mm 2  0,1 0,432 M ı / 3 0,144 (nach FKM  Richtlinie)

Berechnung der dauernd ertragbaren Amplitude (Mittelspannungstransformation) M ıc  1  M ıc ˜ V m max Mı 1

* V AD

* V zdW ˜

* V AD

586,5 N/mm 2 ˜

da

* V zdW

Mı 1

 V m max d

0,144  1  0,144 ˜ 532,88 N/mm 2 0,432  1

* M c 1 3 ˜ V zdW ˜ ı 3 ˜ M ıc  1 M ı  1

391,81 N/mm 2

Berechnung der Sicherheit gegen Dauerbruch Festigkeitsbedingung:

V a max d V a zul

V an ˜ E kz SD

* V AD

SD

* V AD

V an ˜ E kz

391,81 N/mm 2 52,5 N/mm 2 ˜ 1,44

5,18 (ausreichend, da S D ! 3,0 )

325

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Lösung zu Aufgabe 13.26 a) Berechnung des Biegemomentes an der Kerbstelle I

Ermittlung der Lagerkraft FB: FB ˜ a  b FQ ˜ a FB

FQ ˜

a ab

15 000 N ˜

150 mm 450 mm

5 000 N

Damit folgt für das Biegemoment an der Kerbstelle I: MbI

FB ˜ c

5 000 N ˜ 200 mm 1000 000 Nmm

Ermittlung der Formzahlen Dkz und Dkb d 10 mm 0,2 D 50 mm Aus geeigneten Formzahldiagrammen entnimmt man:

D kz D kb

2,3 2,1

Berechnung der Spannungsamplitude (Nennspannung) M bI M bI V bn { V ba n 3 Wbn S ˜ D d ˜ D2  32 6 1 000 000 Nmm 123,38 N/mm S ˜ 50 mm 3 10 mm ˜ 50 mm 2  32 6 Berechnung der Mittelspannung (Nennspannung und maximale Spannung)

V zn { V mn

FH An

V z max { V m max

FH

S ˜D

2

250 000 Nmm

S ˜ 50 mm 2

d ˜D  10 mm ˜ 50 mm 4 4 V mn ˜ D kz 170,82 N/mm ˜ 2,3 392,89 N/mm

170,82 N/mm

326

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Berechnung der Sicherheit gegen Fließen Festigkeitsbedingung (Fließen):

V o max d V zul V b max  V z max SF

Rp0,2 SF

Rp0,2

V bn ˜ D kb  V m max 820 N/mm 2 123,38 N/mm 2 ˜ 2,1  392,89 N/mm 2

1,26 (ausreichend, da S F ! 1,20)

b) Bestimmung der Kerbwirkungszahl Ekb Formzahl Dkb = 2,1 Berechnung des bezogenen Spannungsgefälles: 2 8 2 8 F   0,84 mm 1 D d 50 mm 10 mm Ermittlung der dynamischen Stützziffer nF aus Bild 13.51 im Lehrbuch (Rp0,2 = 820 N/mm2) nF = 1,05 Berechnung der Kerbwirkungszahl Ekb

E kb

D kb nȤ

2,1 1,05

2,0

Ermittlung des Oberflächenfaktors COV unter der Wirkung von Normalspannungen COı

0,83 aus Diagramm für Rz 12,5 µm und Rm

1050 N/mm 2

Berechnung der korrigierten Biegewechselfestigkeit * V bW

COı ˜ V bW

0,83 ˜ 520 N/mm 2

431,6 N/mm 2

Ermittlung der Mittelspannungsempfindlichkeit MV Mı M ıc

0,00035 ˜ Rm  0,1 0,00035 ˜ 1050 N/mm 2  0,1 0,27 M ı / 3 0,09 (nach FKM  Richtlinie)

Berechnung der dauernd ertragbaren Amplitude (Mittelspannungstransformation) M ıc  1  M ıc ˜ V m max Mı 1

* V AD

* V bW ˜

* V AD

431,6 N/mm 2 ˜

da

* V bW

Mı 1

 V m max d

0,09  1  0,09 ˜ 392,89 N/mm 2 0,27  1

* M c 1 3 ˜ V bW ˜ ı 3 ˜ M ıc  1 M ı  1

335,07 N/mm 2

327

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Berechnung der Sicherheit gegen Dauerbruch Festigkeitsbedingung:

V a max d V a zul V an ˜ E kb SD

* V AD

SD * V AD

V ba n ˜ E kb

335,07 N/mm 2 123,38 N/mm 2 ˜ 2,0

1,36 (nicht ausreichend, da S D  2,50)

c) Bedingung für Fließbeginn

V max d Rp0,2 V b max  V z max

Rp0,2

V bn ˜ D kb  V z max V bn

Rp0,2

Rp0,2  V z max

D kb

820 N/mm 2  392,89 N/mm 2 2,1

203,38 N/mm 2

Damit folgt für das Biegemoment an der Kerbstelle: M bI

V bn ˜ Wbn

§ S ˜ D3

V bn ˜ ¨¨

© 32



d ˜ D 2 ·¸ 6 ¸¹

§ S ˜ 50 mm 3 10 mm ˜ 50 mm 2 · ¸ 1 648 459 Nmm 203,38 N/mm 2 ˜ ¨  ¨ ¸ 32 6 © ¹

Damit folgt für die Lagerkraft FB: M bI 1 648 459 Nmm FB 8242,3 N c 200 mm Hieraus ergibt sich die Querkraft FQ1 zu: 450 mm ab FQ1 FB ˜ 8 242,3 N ˜ 150 mm a

24 727 N

24,7 kN

d) Bedingung für Fließbeginn

V max d Rp0,2 V b max  V z max

Rp0,2

V bn ˜ D kb  V zn ˜ D kz V zn

Rp0,2  V bn ˜ D kb

D kz

Rp0,2 820 N/mm 2  123,38 N/mm 2 ˜ 2,1 2,3

243,87 N/mm 2

328

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Damit folgt für die Zugkraft FH1: FH1

V zn ˜ An

§S ˜ D2

V zn ˜ ¨¨ ©

4

·  d ˜ D¸ ¸ ¹

§ S ˜ 50 mm 2 ·  50 mm ˜10 mm ¸ 243,87 N/mm 2 ˜ ¨ ¨ ¸ 4 © ¹

356 906 N

356,9 kN