Physica-Lehrbuch
Physica-Lehrbuch Bannier, Christina E. Vertragstheorie Eine Einführung mit finanzökonomischen Beispielen und Anwendungen 2005, XVI, 218 S. Büter, Clemens Außenhandel Grundlagen globaler und innergemeinschaftlicher Handelsbeziehungen 2007, XVI, 389 S. Duller, Christine Einführung in die Statistik mit EXCEL und SPSS Ein anwendungsorientiertes Lehr- und Arbeitsbuch 2. Aufl. 2007, XII, 285 S. Farmer, Karl · Wendner, Ronald Wachstum und Außenhandel Eine Einführung in die Gleichgewichtstheorie der Wachstumsund Außenhandelsdynamik 2. Aufl. 1999, XVIII, 423 S. Fink, Andreas Schneidereit, Gabriele · Voß, Stefan Grundlagen der Wirtschaftsinformatik 2. Aufl. 2005, XVIII, 316 S. Göcke, Matthias · Köhler, Thomas Außenwirtschaft Ein Lern- und Übungsbuch 2002, XIII, 359 S. Graf, Gerhard Grundlagen der Volkswirtschaftslehre 2. Aufl. 2002, XIV, 335 S. Graf, Gerhard Grundlagen der Finanzwissenschaft 2. Aufl. 2005, XII, 334 S. Heiduk, Günter S. Außenwirtschaft Theorie, Empirie und Politik der interdependenten Weltwirtschaft 2005, XII, 429 S. Heno, Rudolf Jahresabschluss nach Handelsrecht, Steuerrecht und internationalen Standards (IAS/IFRS) 5. Aufl. 2006, XX, 560 S. Hofmann, Ulrich Netzwerk-Ökonomie 2001, X, 242 S. Huch, Burkhard u.a. Rechnungswesen-orientiertes Controlling Ein Leitfaden für Studium und Praxis 4.Aufl. 2004, XX, 510 S.
Kistner, Klaus-Peter Produktions- und Kostentheorie 2. Aufl. 1993, XII, 293 S. Kistner, Klaus-Peter Optimierungsmethoden Einführung in die Unternehmensforschung für Wirtschaftswissenschaftler 3. Aufl. 2003, XII, 293 S. Kistner, Klaus-Peter Steven, Marion Produktionsplanung 3. Aufl. 2001, XIII, 372 S. Kistner, Klaus-Peter Steven, Marion Betriebswirtschaftslehre im Grundstudium Band 1: Produktion, Absatz, Finanzierung 4. Aufl. 2002, XIV, 510 S. Band 2: Buchführung, Kostenrechnung, Bilanzen 1997, XVI, 451 S. König, Rolf · Wosnitza, Michael Betriebswirtschaftliche Steuerplanungsund Steuerwirkungslehre 2004, XIV, 288 S. Kortmann, Walter Mikroökonomik Anwendungsbezogene Grundlagen 4. Aufl. 2006, XVIII, 674 S. Marti, Kurt · Gröger, Detlef Einführung in die lineare und nicht lineare Optimierung 2000, VII, 206 S. Marti, Kurt · Gröger, Detlef Grundkurs Mathematik für Ingenieure, Naturund Wirtschaftswissenschaftler 2. Aufl. 2003, X, 267 S. Michaelis, Peter Ökonomische Instrumente in der Umweltpolitik Eine anwendungsorientierte Einführung 1996, XII, 190 S. Nissen, Hans-Peter Einführung in die makroökonomische Theorie 1999, XVI, 341 S. Nissen, Hans-Peter Das Europäische System Volkswirtschaftlicher Gesamtrechnungen 5. Aufl. 2004, XVI, 362 S. Risse, Joachim Buchführung und Bilanz für Einsteiger 2. Aufl. 2004, VIII, 296 S.
Rothengatter, Werner Schaffer, Axel Makro kompakt Grundzüge der Makroökonomik 2006, X, 234 S. Schäfer, Henry Unternehmensfinanzen Grundzüge in Theorie und Management 2. Aufl. 2002, XVIII, 522 S. Schäfer, Henry Unternehmensinvestitionen Grundzüge in Theorie und Management 2. Aufl. 2005, XVI, 439 S. Schüler, Mirja Einführung in das betriebliche Rechnungswesen Buchführung für Industrieund Handelsbetriebe 2006, XII, 216 S. Sesselmeier, Werner Blauermel, Gregor Arbeitsmarkttheorien 2. Aufl. 1998, XIV, 308 S. Steven, Marion Hierarchische Produktionsplanung 2. Aufl. 1994, X, 262 S. Steven, Marion Kistner, Klaus-Peter Übungsbuch zur Betriebswirtschaftslehre im Grundstudium 2000, XVIII, 423 S. Swoboda, Peter Betriebliche Finanzierung 3. Aufl. 1994, 305 S. Tomann, Horst Volkswirtschaftslehre Eine Einführung in das ökonomische Denken 2005, XII, 186 S. Weigand, Christoph Statistik mit und ohne Zufall Eine anwendungsorientierte Einführung 2006, XIII, 421 S. Weise, Peter u.a. Neue Mikroökonomie 5. Aufl. 2005, XI, 645 S. Zweifel, Peter Heller, Robert H. Internationaler Handel Theorie und Empirie 3. Aufl. 1997, XXII, 418 S.
Christine Duller
Einführung in die nichtparametrische Statistik mit SAS und R Ein anwendungsorientiertes Lehr- und Arbeitsbuch
Physica-Verlag Ein Unternehmen von Springer
Dr. Christine Duller IFAS - Institut für Angewandte Statistik Johannes Kepler Universität Linz Altenberger Straße 69 4040 Linz Österreich
[email protected]
ISBN 978-3-7908-2059-1
e-ISBN 978-3-7908-2060-7
DOI 10.1007/978-3-7908-2060-7 Physica-Lehrbuch ISSN 1431-6870 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. © 2008 Physica-Verlag Heidelberg Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Herstellung: le-tex publishing services oHG, Leipzig Umschlaggestaltung: WMXDesign GmbH, Heidelberg Gedruckt auf s¨ aurefreiem Papier 987654321 springer.de
Vorwort
Dieses Buch soll auf allgemein verst¨andlichem Niveau die Grundlagen der nichtparametrischen Statistik vermitteln. Die LeserInnen sollen die F¨ ahigkeit erwerben, die vorgestellten statistischen Verfahren korrekt anzuwenden und die daraus resultierenden Ergebnisse richtig und verst¨ andlich interpretieren zu k¨ onnen. Voraussetzungen sind Mathematik auf Maturaniveau, Grundkenntnisse im Umgang mit dem Computer und Basiswissen in Statistik. Um das Verst¨ andnis zu erleichtern werden zahlreiche Beispiele mit L¨ osungen angef¨ uhrt, wobei viele Beispiele mit den Programmen SAS und R gel¨ost werden. Im ersten Teil des Buches werden Grundbegriffe der Statistik, sowie kurze Einf¨ uhrungen in SAS und R geboten. In Kapitel 4 beginnt die nichtparametrische Statistik mit ihren Grundlagen. Es folgen die Betrachtung von Einstichprobenproblemen, unabh¨angigen und abh¨ angigen Zweistichprobenproblemen, sowie von unabh¨ angigen und abh¨ angigen Mehrstichproben-Problemen. Abgerundet wird das Bild durch nichtparametrische Verfahren zur Messung von Zusammenh¨angen, zur Dichtesch¨atzung und die Grundlagen der nichtparametrischen Regression. Unter http://www.ifas.jku.at/personal/duller/duller.htm wird ein Link zu diesem Buch angeboten, wo man Erg¨anzungen und ausf¨ uhrlichere L¨ osungen zu den Beispielen findet. Mein Dank gilt den Studierenden der Lehrveranstaltung Nichtparametrische Verfahren, die wertvolle Vorarbeiten f¨ ur dieses Buch geleistet haben: Michaela Dvorzak, Thomas Forstner, Christoph Freudenthaler, Christina Hadinger, Bernhard Kaiser, Karin Kepplinger, Wolfgang Pointner, Birgit Rauchenschwandtner, Mario Schnalzenberger, Nadine Schwerer, Christine Sickinger und Julia Szolga. F¨ ur die m¨ uhevolle Erstellung und Korrektur der Tabellen danke ich unseren Institutsmitarbeiterinnen Agnes Fussl und Margarete Wolfesberger. Meinem Kollegen Herrn Dr. Christoph Pamminger danke ich f¨ ur das Korrekturlesen des Manuskriptes.
VI
Vorwort
Dem Physica-Verlag aus dem Hause Springer m¨ ochte ich danken f¨ ur die Erstellung dieses Lehrbuches und die gute und problemlose Zusammenarbeit, insbesondere gilt mein Dank Frau Dipl.-Math. Lilith Braun und Frau Christiane Beisel, die durch ihre Unterst¨ utzung dieses Buch erst erm¨oglicht haben. ¨ Uber Anregungen meiner Leserinnen und Leser w¨ urde ich mich sehr freuen (
[email protected]). Ich w¨ unsche allen viel Spaß mit der nichtparametrischen Statistik.
Linz, Juli 2008
Christine Duller
Inhaltsverzeichnis
1
Statistische Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1 Skalenniveaus von Merkmalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3 Eindimensionale Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.4 Mehrdimensionale Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.5 Momente, Quantile und weitere Maßzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6 Induktive Statistik: Sch¨ atzen von Parametern . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.7 Grundbegriffe der Testtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2
Einf¨ uhrung in SAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1 BenutzerInnen-Oberfl¨ ache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Programmaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Der DATA-Step . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.1 Tempor¨ are und permanente Datens¨atze . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.2 Aufbau eines Datensatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.3 Datenerzeugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.4 Einlesen von Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.5 Einlesen von externen Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3.6 Transformieren von Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.7 Erzeugen von Zufallszahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4 Der PROC-Step . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4.1 Optionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4.2 Anweisungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
VIII
Inhaltsverzeichnis
2.4.3 Hilfsprozeduren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.5 Globale Anweisungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.6 Aufbereitung der Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.6.1 Textausgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.6.2 Grafikprozeduren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.6.3 Grafiken gestalten und exportieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.6.4 Das Output-Delivery-System (ODS) . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.7 Grundlagen der Statistik mit SAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.7.1 Eindimensionale Merkmale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.7.2 Kontingenztafeln und Zusammenhangsmaße . . . . . . . . . . 52 3
Einf¨ uhrung in R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.1 Installation und Konfiguration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.2.1 Zuweisungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.2.2 Objekte und Workspace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.2.3 Datentypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.2.4 Hilfesystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.2.5 Pakete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.3 Datenstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.3.1 Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.3.2 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.3.3 Arrays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.3.4 Listen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.3.5 Data Frames, Datens¨atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.4 Konstrukte f¨ ur den Programmablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.4.1 Verzweigungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.4.2 Schleifen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.5 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.6 Datenimport und -export . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.7 Statistik mit R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.8 Grafiken in R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.9 Editoren und grafische Benutzeroberfl¨ achen (GUIs) . . . . . . . . . . 79
Inhaltsverzeichnis
4
IX
Geordnete Statistiken und Rangstatistiken . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.1 Bindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.2 Empirische und theoretische Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . 87 4.3 Verteilung der R¨ ange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.4 Verteilung der Ordnungsstatistiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.5 Verteilung des Medians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.6 Konfidenzintervalle f¨ ur Quantile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 ¨ Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5
Einstichprobenprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.1 Tests auf Verteilungsanpassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.1.1 Kolmogorov-Smirnov-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.1.2 Lilliefors-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.1.3 Chi-Quadrat-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.1.4 Anderson-Darling-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.1.5 Cram´er-von-Mises-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.1.6 Shapiro-Wilk-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 ¨ 5.1.7 Ubersicht Tests auf Verteilungsanpassung . . . . . . . . . . . . 122 5.1.8 Test auf Verteilungsanpassung in SAS . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.1.9 Test auf Verteilungsanpassung in R . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.2 Binomialtest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.3 Lineare Rangtests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5.3.1 Das allgemeine Prinzip linearer Rangstatistiken . . . . . . . 134 5.3.2 Der Vorzeichentest (Sign-Test) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 5.3.3 Wilcoxon-Vorzeichen-Rangtest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.4 Test auf Zuf¨ alligkeit - Wald-Wolfowitz-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 ¨ 5.5 Ubersicht Tests f¨ ur Einstichprobenprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . 144 5.6 Konfidenzbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 5.6.1 Konfidenzbereich f¨ ur die Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . 146 5.6.2 Konfidenzintervall f¨ ur einen Anteil (bzw. Wahrscheinlichkeit) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 ¨ Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
X
6
Inhaltsverzeichnis
Zweistichprobenprobleme f¨ ur unabh¨ angige Stichproben . . . . 151 6.1 Tests auf Verteilungsanpassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 6.1.1 Iterationstest von Wald-Wolfowitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 6.1.2 Kolmogorov-Smirnov-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 6.1.3 Cram´er-von-Mises-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 6.2 Die Lineare Rangstatistik (Zweistichprobenfall) . . . . . . . . . . . . . 163 6.3 Lineare Rangtests f¨ ur Lagealternativen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 6.3.1 Wilcoxon-Rangsummentest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 6.3.2 Mann-Whitney-U-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 6.3.3 Van der Waerden-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 6.3.4 Median-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 6.4 Lineare Rangtests f¨ ur Variabilit¨ atsanalysen . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 6.4.1 Siegel-Tukey-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 6.4.2 Mood-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 6.4.3 Ansari-Bradley-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 6.5 Konfidenzintervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 6.5.1 Konfidenzintervall f¨ ur die Lageverschiebung θ . . . . . . . . . 189 6.5.2 Konfidenzintervall f¨ ur den Variabilit¨ atsunterschied θ . . . 191 ¨ Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
7
Zweistichprobenprobleme f¨ ur verbundene Stichproben . . . . . 195 7.1 Problembeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 7.2 Vorzeichentest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 7.3 Wilcoxon-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 7.4 McNemar-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 7.5 Konfidenzintervalle f¨ ur den Median der Differenz . . . . . . . . . . . . 207 7.5.1 Basis Ordnungsreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 7.5.2 Basis Wilcoxon-Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 ¨ Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
8
c-Stichproben-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 8.1 Unabh¨ angige Stichproben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 8.1.1 Kruskal-Wallis-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 8.1.2 Mediantest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Inhaltsverzeichnis
XI
8.1.3 Jonckheere-Terpstra-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 8.2 Abh¨ angige Stichproben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 8.2.1 Friedman-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 8.2.2 Kendall-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 8.2.3 Q-Test von Cochran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 8.2.4 Durbin-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 8.2.5 Trendtest von Page . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 8.2.6 Quade-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 ¨ Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 9
Unabh¨ angigkeit und Korrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 9.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 9.2 Chi-Quadrat-Test auf Unabh¨ angigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 9.3 Fisher-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 9.4 Rangkorrelation nach Spearman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 9.5 Korrelationskoeffizient von Kendall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 9.6 Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson . . . . . . . . . . . . . . . . 262 9.7 Grafische Darstellung zweier metrischer Merkmale . . . . . . . . . . . 267 9.8 Korrelation und Kausalit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 9.9 Tipps und Tricks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 ¨ Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
10 Nichtparametrische Dichtesch¨ atzung und Regression . . . . . . . 273 10.1 Nichtparametrische Dichtesch¨atzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 10.1.1 Das Histogramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 10.1.2 Kerndichtesch¨ atzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 10.1.3 Eigenschaften von Kerndichtesch¨ atzer . . . . . . . . . . . . . . . . 285 10.1.4 Wahl der optimalen Bandbreite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 10.2 Nichtparametrische Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 10.2.1 Lineare Regression - Kleinst-Quadrat-Sch¨ atzung . . . . . . . 292 10.2.2 Lineare Regression - Verfahren von Theil . . . . . . . . . . . . . 297 10.2.3 Nichtlineares Regressionsmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 ¨ Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
XII
Inhaltsverzeichnis
¨ L¨ osungen zu den Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 11.1 Standardnormalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 11.2 Student-Verteilung (t-Verteilung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 11.3 Chi-Qudrat-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 11.4 Kolmogorov-Smirnov-Anpassungstest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 11.5 Lilliefors-Test auf Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 11.6 Wilcoxon-Vorzeichen-Rangtest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 11.7 Wald-Wolfowitz-Iterationstest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 11.8 Kolmogorov-Smirnov-Zweistichprobentest (m = n) . . . . . . . . . . 358 11.9 Kolmogorov-Smirnov-Zweistichprobentest (m = n) . . . . . . . . . . 359 11.10 Cram´er Zweistichprobentest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 11.11 Wilcoxon-(Rangsummen-)Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 11.12 Van der Waerden-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 11.13 Mood-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 11.14 Kruskal-Wallis-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 11.15 Jonckheere-Terpstra-Test ni = nj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 11.16 Jonckheere-Terpstra-Test ni = nj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 11.17 Friedman-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390 11.18 Hotelling-Pabst-Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 11.19 Kendalls S-Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
1 Statistische Grundbegriffe
In diesem Kapitel werden jene statistische Grundbegriffe kurz erl¨autert, die in diesem Buch verwendet werden. Es dient ausschließlich der Auffrischung von bereits erworbenen Basiswissen in Statistik. F¨ ur den Erwerb des Basiswissens sei an dieser Stelle auf einf¨ uhrende Werke verwiesen, welche die ersten Schritte in die Statistik erleichtern (z.B. Fahrmeir, L. und Tutz (2001), Fahrmeir, L., K¨ unstler, Pigeot und Tutz (2004), Fahrmeir, L., K¨ unstler, Pigeot, Tutz, Caputo und Lang (2005) oder Hartung, J., Elpelt und Kl¨ osner (2005)).
1.1 Skalenniveaus von Merkmalen Hinsichtlich des Skalenniveaus werden metrische, ordinale und nominale Merkmale unterschieden. Ein Merkmal heißt metrisch (= quantitativ, kardinalskaliert), wenn seine Auspr¨ agungen Vielfache einer Einheit sind (z.B. L¨ ange, Einkommen). Die Auspr¨ agungen sind voneinander verschieden, haben eine eindeutige Anordnung und einen eindeutig definierten Abstand. Bei metrischen Merkmalen kann man zwischen intervallskalierten und verh¨ altnisskalierten Merkmalen unterscheiden. Bei verh¨ altnisskalierten Merkmalen gibt es einen nat¨ urlichen Nullpunkt (z.B. Preis) und das Verh¨altnis zweier Auspr¨ agungen l¨asst sich sinnvoll interpretieren (Produkt A ist doppelt so teuer wie Produkt B). Intervallskalierte Merkmale haben keinen nat¨ urlichen Nullpunkt, daher k¨ onnen auch Verh¨ altnisse nicht sinnvoll interpretiert werden (z.B. Temperatur in Grad Celsius). Ein Merkmal heißt ordinal, wenn die Auspr¨ agungen nur in einer Ordnungsbeziehung wie gr¨ oßer, kleiner, besser oder schlechter zueinander stehen
2
1 Statistische Grundbegriffe
(z.B. Schulnoten, G¨ uteklassen). Die Auspr¨agungen sind voneinander verschieden und haben eine eindeutige Anordnung. Der Abstand zweier Merkmalsauspr¨ agungen ist hingegen nicht klar definiert und daher auch nicht interpretierbar. Ein Merkmal heißt nominal, wenn seine Auspr¨ agungen nicht in eindeutiger Weise geordnet werden k¨onnen, sondern nur durch ihre Bezeichnungen unterschieden sind (z.B. Geschlecht, Familienstand, Beruf). Die Auspr¨ agungen sind voneinander verschieden, es gibt keine eindeutige Anordnung, der Abstand zweier Merkmalsauspr¨ agungen ist nicht definiert. Diese Merkmale werden auch als qualitative oder kategoriale Merkmale bezeichnet. Das Skalenniveau eines Merkmals bestimmt, welche Verfahren und Berechnungen im Umgang mit dem Merkmal zul¨ assig sind.
Stetige und diskrete Merkmale Ein Merkmal heißt stetig, wenn seine Auspr¨ agungen beliebige Zahlenwerte aus einem Intervall annehmen k¨ onnen (z.B. L¨ ange, Gewicht). Ein Merkmal heißt diskret, wenn seine Auspr¨ agungen bei geeigneter Skalierung (bzw. Kodierung) nur ganzzahlige Werte annehmen k¨ onnen (z.B. Fehlerzahlen, Schulnoten, Geschlecht). Diskrete Merkmale haben abz¨ahlbar viele Auspr¨ agungen. Dichotome Merkmale sind eine Sonderform von diskreten Merkmalen und besitzen nur zwei Auspr¨agungen (z.B. Geschlecht). Von quasistetigen Merkmalen spricht man bei Merkmalen, die aufgrund der Definition diskret sind, gleichzeitig aber u ¨ber eine so feine Abstufung verf¨ ugen, dass man sie als stetige Merkmale behandeln kann. Insbesondere z¨ahlen hierzu alle monet¨aren Merkmale (Preis, Kredith¨ohe, Miete, . . .). Die Bezeichnung diskretisierte Merkmale wird verwendet, wenn stetige Merkmale nur in diskreter Form erfasst werden, beispielsweise die Frage nach dem Alter in ganzen Jahren. Die Zusammenfassung von Auspr¨ agungen eines Merkmals in Gruppen wird als Gruppieren bezeichnet.
1.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung In der Wahrscheinlichkeitsrechnung betrachtet man Experimente mit ungewissem Ausgang und versucht, ihre Gesetzm¨aßigkeiten zu beschreiben.
1.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung
3
Zufallsexperiment Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, bei dem ein nicht vollst¨andig vorhersehbarer Ausgang aus einer Menge prinzipiell m¨ oglicher Ausg¨ange realisiert wird. Weiters muss ein Zufallsexperiment unter gleichen Bedingungen wiederholbar sein. Zur mathematischen Beschreibung solcher Zufallsexperimente bedient man sich h¨ aufig der Mengenlehre. Zufallsvariable Das Merkmal X, das den Ausgang eines Zufallsexperimentes beschreibt, nennt man zuf¨ alliges Merkmal oder Zufallsvariable. Wertebereich Die Gesamtheit der f¨ ur diese Zufallsvariable X m¨oglichen Auspr¨agungen ist der Wertebereich ΩX . Ereignis Jede Teilmenge E des Wertebereiches ΩX entspricht einem Ereignis. Disjunkte Ereignisse Zwei Ereignisse E1 und E2 heißen disjunkt oder elementfremd, wenn der Durchschnitt der beiden Mengen die leere Menge ist (E1 ∩ E2 = {}). Paarweise disjunkte Ereignisse Mehrere Ereignisse Ei heißen paarweise disjunkt, wenn alle m¨oglichen Paare von Ereignissen disjunkt sind. Komplement¨ arereignis Das Komplement¨arereignis E C tritt genau dann ein, wenn das Ereignis E nicht eintritt. Zerlegung Mehrere Ereignisse Ei heißen Zerlegung des Wertebereiches ΩX , wenn die Ereignisse Ei paarweise disjunkt sind und die Vereinigung aller Ereignisse wieder den Wertebereich ergibt. Grundlage f¨ ur das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten sind die Axiome von Kolmogorov. Das Wort Axiom bedeutet Grundwahrheit, in der Mathematik meint man damit Aussagen, die keinen Beweis ben¨otigen. Aus diesen Axiomen lassen sich dann weitere Aussagen ableiten, deren G¨ ultigkeit allerdings zu beweisen ist.
Axiome von Kolmogorov Die Axiome von Kolmogorov beschreiben in mathematischer Form die Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Alle Wahrscheinlichkeitsverteilungen erf¨ ullen diese drei Axiome.
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1 Statistische Grundbegriffe
Axiome von Kolmogorov 1. 0 ≤ P r(E) ≤ 1 f¨ ur alle Ereignisse E ⊆ Ω 2. P r({}) = 0 und P r(Ω) = 1 3. P r(E1 ∪ E2 ) = P r(E1 ) + P r(E2 ) f¨ ur disjunkte Ereignisse E1 ⊆ Ω und E2 ⊆ Ω Verbal ausgedr¨ uckt bedeuten diese Axiome Folgendes: 1. F¨ ur alle Ereignisse liegt die Wahrscheinlichkeit des Eintreffens immer zwischen 0 und 1. 2. Das unm¨ogliche Ereignis tritt mit der Wahrscheinlichkeit null ein, und das sichere Ereignis tritt mit der Wahrscheinlichkeit 1, also 100%, ein. 3. Sind zwei Ereignisse disjunkt, so kann die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, dass das Ereignis 1 oder das Ereignis 2 eintritt, als Summe der beiden Einzelwahrscheinlichkeiten berechnet werden. Aus den Axiomen von Kolmogorov lassen sich weitere Rechenregeln ableiten: Rechenregeln 1. P r(E C ) = 1 − P r(E) 2. P r(E1 ∪ E2 ) = P r(E1 ) + P r(E2 ) − P r(E1 ∩ E2 ) 3. P r(
k
i=1
Ei ) =
k
P r(Ei ) f¨ ur k paarweise disjunkte Ereignisse Ei .
i=1
4. P r(E1 \E2 ) = P r(E1 ) − P r(E1 ∩ E2 ) Anmerkungen zu diesen Rechenregeln: 1. P r(E C ) wird als Gegenwahrscheinlichkeit des Ereignisses E bezeichnet. 2. Dieser Additionssatz ist eine Erweiterung des dritten Axioms auf beliebige (disjunkte und nicht disjunkte) Ereignisse. 3. Dies ist eine Erweiterung des dritten Axioms auf eine beliebige Anzahl von disjunkten Ereignissen. 4. Dies ist eine Erweiterung der Gegenwahrscheinlichkeit, f¨ ur E1 = Ω erh¨alt man die erste Rechenregel.
1.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung
5
Bedingte Wahrscheinlichkeiten Mit P r(A|B) bezeichnet man die Wahrscheinlichkeit f¨ ur das Ereignis A unter der Bedingung, dass B bereits eingetreten ist. Durch die zus¨ atzliche Information kann sich die Wahrscheinlichkeit f¨ ur das interessierende Ereignis ver¨ andern. Bedingte Wahrscheinlichkeit F¨ ur Ereignisse A, B ⊆ Ω mit P r(B) > 0 gilt: P r(A|B) =
P r(A ∩ B) P r(B)
Aus der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit l¨ asst sich durch Umformung die Produktregel ableiten. Produktregel F¨ ur Ereignisse A, B ⊆ Ω mit P r(B) > 0 gilt: P r(A ∩ B) = P r(A|B) · P r(B)
Stochastisch unabh¨ angige Ereignisse Zwei Ereignisse sind stochastisch unabh¨ angig, wenn der Ausgang des einen Ereignisses die Wahrscheinlichkeit f¨ ur das Eintreten des anderen Ereignisses nicht beeinflusst. Multiplikationsregel F¨ ur stochastisch unabh¨angige Ereignisse A, B ⊆ Ω gilt: P r(A ∩ B) = P r(A) · P r(B) Von einem unm¨ oglichen Ereignis ist per Definition jedes Ereignis unabh¨ angig. Aus der Multiplikationsregel folgt f¨ ur stochastisch unabh¨ angige Ereignisse A und B auch P r(A|B) = P r(A) und P r(B|A) = P r(B).
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1 Statistische Grundbegriffe
Das Theorem von Bayes In manchen Aufgabenstellungen kann es passieren, dass man Informationen u ¨ ber bedingte Ereignisse hat, aber die Wahrscheinlichkeit f¨ ur das Eintreten des Ereignisses ohne Bedingung vorerst unbekannt ist. Um diese zu berechnen, ben¨ otigen wir den Begriff der Zerlegung und den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit. Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit Die Ereignisse E1 , . . . , Er seien eine Zerlegung des Wertebereiches Ω. Dann gilt f¨ ur A ⊆ Ω P r(A) =
r
P r(A|Ei ) · P r(Ei )
i=1
Unser n¨ achstes Ziel ist es, in der bedingten Wahrscheinlichkeit Bedingung und bedingtes Ereignis quasi zu tauschen. Zur Beantwortung dieser Frage ben¨ otigen wir die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit P r(E1 |A) =
P r(E1 ∩ A) P r(A)
Stellt man den Z¨ ahler mit dem Produktsatz dar und verwendet f¨ ur den Nenner den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit, so erh¨alt man einen Zusammenhang, der als Satz von Bayes bezeichnet wird: Satz von Bayes Die Ereignisse E1 , . . . , Er seien eine Zerlegung des Wertebereiches Ω. F¨ ur mindestens ein i gilt P r(Ei ) > 0 und P r(A|Ei ) > 0. Dann gilt:
P r(Ei |A) =
P r(A|Ei ) · P r(Ei ) P r(A|Ei ) · P r(Ei ) = r P r(A) P r(A|Ei ) · P r(Ei ) i=1
P r(Ei )
a-priori Wahrscheinlichkeit
P r(Ei |A)
a-posteriori Wahrscheinlichkeit
1.3 Eindimensionale Verteilungen
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1.3 Eindimensionale Verteilungen Gegeben sei eine diskrete Zufallsvariable X mit dem Wertebereich Ω. Man nennt jene Funktion f (x), die jedem Elementarereignis i ∈ Ω seine Wahrscheinlichkeit P r(X = i) zuordnet, die Dichte einer diskreten Zufallsvariable. Dichte einer diskreten Zufallsvariable P r(X = i) f¨ ur x = i f (x) = 0 sonst
(∈ Ω)
Eigenschaften der Dichte f (i) = P r(X = i) ≥ 0 i∈Ω
f (i) =
Nichtnegativit¨ at
P r(X = i) = 1
Normierung
i∈Ω
Jene Funktion F (i), die jedem Elementarereignis i die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur zuordnet, dass bei einem Versuch ein Ausgang x ≤ i beobachtet wird, nennt man die Verteilungsfunktion der Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die Verteilungsfunktion ist stets nichtnegativ und monoton steigend. Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariable F (i) = P r(X ≤ i) =
i
P r(X = j)
j=1
Eigenschaften der Verteilungsfunktion F (i) = P r(x ≤ i) F (i) ≤ F (i + 1)
≥0
∀i∈Ω
Nichtnegativit¨ at monoton steigend
Bei stetigen Zufallsvariablen entspricht die Dichte an der Stelle x nicht der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses x, wie es bei diskreten Zufallsvariablen der Fall ist. Die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen kann bei stetigen Zufallsvariablen nur u ¨ber das Integral der Dichte berechnet werden.
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1 Statistische Grundbegriffe
Dichte einer stetigen Zufallsvariable Eine Zufallsvariable X heißt stetig, wenn es eine Funktion f (x) ≥ 0 gibt, sodass f¨ ur jedes Intervall [a, b] b P r(a ≤ x ≤ b) =
f (x)dx a
gilt. Die Funktion f (x) wird als Dichte bezeichnet. Ein einzelner Versuchsausgang besitzt eine Dichte, aber keine von Null verschiedene Wahrscheinlichkeit. F¨ ur stetige Zufallsvariablen gilt: •
P r(a ≤ x ≤ b) = P r(a ≤ x < b) = P r(a < x ≤ b) = P r(a < x < b)
•
P r(X = x) = 0
f¨ ur alle x ∈ R
Eigenschaften der Dichte •
Nichtnegativit¨ at:
•
Normierung:
f (x) ≥ 0 +∞
f¨ ur alle x ∈ R
f (x)dx = 1
−∞
Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsvariable Die Funktion F (a) = P r(x ≤ a) nennt man die Verteilungsfunktion der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X a F (a) = P r(x ≤ a) =
f (x)dx −∞
F (a) gibt die Wahrscheinlichkeit an, eine Auspr¨ agung kleiner oder gleich a zu beobachten. Eigenschaften einer stetigen Verteilungsfunktion: • •
F (a) ist stetig und monoton wachsend mit Werten im Intervall [0, 1] lim F (x) = 0 und lim F (x) = 1
x→−∞
x→∞
1.4 Mehrdimensionale Verteilungen
9
•
P r(a ≤ x ≤ b) = F (b) − F (a) und P r(x ≥ a) = 1 − F (a)
•
F¨ ur alle Werte x, f¨ ur die f (x) stetig ist, ist die Dichte die Ableitung der Verteilungsfunktion F (x) = f (x)
Eine Zufallsvariable X heißt symmetrisch verteilt um den Punkt x0 , wenn f¨ ur alle x gilt P r(X ≤ x0 − x) = P r(X ≥ x0 + x)
Eine Zufallsvariable X heißt stochastisch gr¨ oßer als eine Zufallsvariable Y , wenn f¨ ur alle z gilt FX (z) ≤ FY (z) wenn also f¨ ur beliebige Werte die Verteilungsfunktion von X h¨ ochstens so groß ist wie die Verteilungsfunktion von Y .
1.4 Mehrdimensionale Verteilungen Sind X und Y zwei Zufallsvariablen, so ist die gemeinsame Verteilungsfunktion FX,Y definiert durch FX,Y (x, y) = P r ((X ≤ x) ∩ (Y ≤ y)) und gibt die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur an, dass die Zufallsvariable X h¨ ochstens die Auspr¨agung x und die Zufallsvariable Y h¨ ochstens die Auspr¨agung y annimmt. Dem entsprechend ist FX1 ,...,Xn (x1 , . . . , xn ) = P r ((X1 ≤ x1 ) ∩ . . . ∩ (Xn ≤ xn )) die gemeinsame Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn . Die Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn haben eine gemeinsame stetige Verteilung, wenn es eine Funktion fX1 ,...,Xn gibt, so dass f¨ ur alle (x1 , . . . , xn ) gilt x1 xn FX1 ,...,Xn (x1 , . . . , xn ) = ... fX1 ,...,Xn (t1 , . . . , tn )dt1 . . . dtn −∞
−∞
Bei gemeinsamer stetiger Verteilung ergibt sich die Dichte der (stetigen) Randverteilungen aus ∞ ∞ fXi (xi ) = ... fX1 ,...,Xn (x1 , . . . , xn )dx1 . . . dxi−1 dxi+1 . . . dxn −∞
−∞
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1 Statistische Grundbegriffe
Bei Unabh¨ angigkeit entspricht die gemeinsame Dichte (Verteilungsfunktion) dem Produkt der einzelnen Dichten (Verteilungsfunktionen), also FX1 ,...,Xn (x1 , . . . , xn ) = FX1 (x1 )FX2 (x2 ) · · · FXn (xn ) fX1 ,...,Xn (x1 , . . . , xn ) = fX1 (x1 )fX2 (x2 ) · · · fXn (xn )
1.5 Momente, Quantile und weitere Maßzahlen Verteilungen werden oft durch Maßzahlen der Position (Erwartungswert, Median, Quantile) oder der Variabilit¨ at (Varianz, Standardabweichung) beschrieben. Der Zusammenhang zweier Zufallsvariablen wird durch Kovarianz und Korrelationskoeffizient beschrieben. Erwartungswert und Varianz X diskret
E(X) =
r
xi P r(xi )
i=1
V ar(X) =
r
(xi − E(X))2 P r(xi )
i=1
∞ X stetig
xf (x)dx
E(X) = −∞
∞ V ar(X) =
(x − E(X))2 f (x)dx
−∞
Es gilt: •
E(X + Y ) = E(X) + E(Y ), E(cX) = cE(X)
•
V ar(cX) = c2 V ar(X), V ar(X + c) = V ar(X)
•
X und Y unkorreliert ⇔ E(XY ) = E(X)E(Y )
•
X und Y unabh¨ angig ⇒ X und Y unkorreliert (Umkehrung muss nicht gelten)
•
Sind X und Y unkorreliert, so ist V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y ) V ar(X) heißt Standardabweichung
•
1.5 Momente, Quantile und weitere Maßzahlen
11
Quantile unterteilen die Daten in Gruppen, so dass ein bestimmter Prozentsatz u ¨ ber und ein bestimmter Prozentsatz unter dem Quantil liegt.
fx
p
1p
x0,5 x p
x
Fx 1 p 0,5
x 0,5 x p
x
Abb. 1.1. Dichte und Verteilungsfunktion, jeweils mit Median und p-Quantil
Das p-Quantil ist somit jeder Wert xp , f¨ ur den mindestens der Anteil p der Daten kleiner oder gleich xp und mindestens der Anteil 1 − p der Daten gr¨oßer oder gleich xp ist. Das 0.5-Quantil wird als Median (= 2. Quartil) bezeichnet, weitere wichtige Quantile sind das untere Quartil x0.25 (= 1. Quartil) und das obere Quartil x0.75 (= 3. Quartil). F¨ ur das p-Quantil xp einer quantitativen Variablen gilt (mit 0 < p < 1) P r(x < xp ) ≤ p ≤ P r(x ≤ xp )
Erwartungswert und Varianz sind Spezialf¨ alle der so genannten Momente einer Verteilung. Es seien X eine Zufallsvariable, k eine nat¨ urliche und r eine reelle Zahl. Dann bezeichnet mk (r) = E((X − r)r ) das Moment k-ter Ordnung bez¨ uglich r. Den Spezialfall r = 0 bezeichnet man als gew¨ ohnliches Moment, f¨ ur r = E(X) erh¨alt man die zentralen Momente.
12
1 Statistische Grundbegriffe
F¨ ur zwei Zufallsvariablen X und Y ist die Kovarianz von X und Y definiert als Cov(X, Y ) = E ( [X − E(X)] [Y − E(Y )] ) und der Korrelationskoeffizient durch Cov(X, Y ) ρXY = Corr(X, Y ) = V ar(X) V ar(Y ) Es gilt: •
Cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y )
• •
X und Y unkorreliert ⇔ Cov(X, Y ) = 0 Ungleichung von Cauchy-Schwarz |Cov(X, Y )| ≤ V ar(X)V ar(Y )
•
X und Y unkorreliert ⇔ ρ = 0
•
V ar(X + Y ) = V ar(Y ) + V ar(Y ) + 2 Cov(X, Y )
1.6 Induktive Statistik: Sch¨ atzen von Parametern Die schließende Statistik umfasst die beiden Teilbereiche Sch¨ atzen und Testen. Grundlage der Analyse ist in beiden F¨ allen eine Zufallsstichprobe aus der Grundgesamtheit. Alle hier vorgestellten Formeln und Verfahren beruhen auf dem Vorliegen einer einfachen Zufallsauswahl. Schließende Statistik Wesentliche Voraussetzung f¨ ur die Verfahren der schließenden Statistik ist das Vorliegen einer Zufallsstichprobe. Die schließende Statistik stellt Methoden bereit, die einen R¨ uckschluss von einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit zulassen.
Parametersch¨ atzung Fast alle Wahrscheinlichkeitsverteilungen haben einen oder mehrere Parameter als Bestimmungsgr¨ oßen, die in den Verteilungs- bzw. Dichtefunktionen als Konstanten auftreten (z.B. f¨ ur die Normalverteilung µ und σ 2 ). Zus¨ atzlich werden auch Erwartungswert, Varianz, Momente etc. als Parameter bezeichnet, auch wenn sie nicht explizit in der Dichte- oder Verteilungsfunktion verwendet werden. Ein Parameter θ wird als Lageparameter der Zufallsvariablen X bezeichnet, wenn die Verteilung X − θ nicht mehr von θ abh¨ angt. Ein
1.6 Induktive Statistik: Sch¨ atzen von Parametern
13
Parameter θ wird als Variabilit¨ atsparameter (Skalenparameter) der Zufallsvariablen X bezeichnet, wenn die Verteilung Xθ nicht mehr von θ abh¨ angt. Ist X eine Zufallsvariable mit Erwartungswert E(X) = µ und Varianz V ar(X) = σ 2 , dann erh¨ alt man durch Transformation Z = X−µ eine stanσ dardisierte Zufallsvariable mit E(Z) = 0 und V ar(Z) = 1. Ist der Parameter θ nicht bekannt, so muss er mit Hilfe eines Sch¨ atzers θˆ bestimmt werden. Diese Sch¨ atzer sollen gewisse G¨ utekriterien erf¨ ullen. G¨ utekriterien f¨ ur Sch¨ atzer •
Erwartungstreue Der Erwartungswert des Sch¨ atzers entspricht dem gesuchten Parameter. ˆ = ˆ r(θ) ˆ =θ E(θ) θP
•
Konsistenz Mit zunehmendem Stichprobenumfang wird die Varianz des Sch¨ atzers kleiner. lim V ar(θˆn ) = 0 n→∞
•
Effizienz Ein effizienter Sch¨ atzer ist erwartungstreu und es gibt keinen erwartungstreuen Sch¨atzer mit kleinerer Varianz (erwartungstreu und minimal variant).
•
Suffizienz Ein suffizienter Sch¨ atzer enth¨ alt alle Informationen (aus den Daten) u ¨ ber den gesuchten Parameter (ersch¨opfend).
•
Vollst¨ andigkeit Ein vollst¨andiger Sch¨ atzer enth¨ alt ausschließlich Informationen u ¨ ber den gesuchten Parameter.
Sch¨ atzer werden oft mit der Maximum-Likelihood-Methode bestimmt. Als Sch¨atzer θˆ wird dabei jener Wert bestimmt, der die Likelihoodfunktion L(x1 , . . . , xn ; θ) = f (x1 ; θ)f (x2 ; θ) . . . f (xn ; θ) bez¨ uglich θ bei gegebener Stichprobe x1 , . . . , xn maximiert. Die Likelihoodfunktion kann im diskreten Fall als Wahrscheinlichkeit f¨ ur das Auftreten der konkreten Stichprobe x1 , . . . , xn interpretiert werden. Damit bestimmt die Maximum-Likelihood-Methode den Sch¨ atzer f¨ ur den Parameter so, dass die Wahrscheinlichkeit f¨ ur die konkrete Stichprobe m¨ oglichst groß wird.
14
1 Statistische Grundbegriffe
F¨ ur die Bestimmung des Sch¨atzers wird die Likelihoodfunktion (oder aus mathematischen Gr¨ unden auch die logarithmierte Likelihoodfunktion) bez¨ uglich θ differenziert und gleich Null gesetzt. Aus der Umformung ergibt sich dann der Sch¨ atzer f¨ ur den Parameter. Beispiel 1.1. Maximum-Likelihood-Sch¨ atzer Binomialverteilung Gegeben ist ein Urnenmodell mit Zur¨ ucklegen, die konkrete Ziehung von n Kugeln ergab h markierte Kugeln ( Erfolge“). Gesucht ist ein Sch¨ atzer f¨ ur ” den Parameter p der Binomialverteilung. n h L(n, h; p) = p (1 − p)n−h h In diesem Fall wird die logarithmierte Likelihoodfunktion verwendet, weil das Differenzieren dadurch wesentlich einfacher wird: n ln L(n, h; p) = ln + h ln p + (n − h) ln(1 − p) h ∂ ln L h n−h = + (−1) = 0 ∂p p 1−p h − hp − np + hp = 0 und damit
h n Die relative H¨ aufigkeit ist demnach der ML-Sch¨atzer f¨ ur den Parameter p einer Binomialverteilung. pˆ =
Der Nachteil von Punktsch¨ atzern (also Sch¨ atzern, die aus einer einzelnen Zahl bestehen) liegt darin, dass man wenig Informationen u ¨ ber die Qualit¨ at der Sch¨ atzung hat. Mehr Information bieten Intervalle, welche den gesuchten Parameter mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit 1 − α u ¨ berdecken. Solche Intervalle bezeichnet man als Bereichsch¨atzer oder Konfidenzinterval¨ le. Ubliche α-Werte f¨ ur die Konstruktion von Konfidenzintervallen sind 0.01, 0.05 oder 0.10.
1.7 Grundbegriffe der Testtheorie Ein statistischer Test ist eine Regel zur Entscheidung bei Unsicherheit. Diese Unsicherheit liegt vor, weil man keine Kenntnisse u ¨ ber die Grundgesamtheit hat, sondern nur u ¨ ber eine Stichprobe. Die Entscheidung ist zwischen zwei
1.7 Grundbegriffe der Testtheorie
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Behauptungen zu treffen, die als Hypothesen bezeichnet werden. Beim statistischen Testen bezeichnet man mit H0 die Nullhypothese und mit H1 die Alternativhypothese. Beide Hypothesen beinhalten eine Behauptung u ¨ ber die Grundgesamtheit, wobei die beiden Hypothesen einander ausschließen und erg¨ anzen. Diese Hypothesen k¨ onnen sich beispielsweise auf den Parameter θ einer Verteilung eines Merkmales aus der Grundgesamtheit beziehen. Statistisches Testen Statistischer Test Hypothesen
Entscheidungsregel zwischen zwei Hypothesen Behauptungen u ¨ ber die Grundgesamtheit H0 Nullhypothese, H1 Alternativhypothese schließen einander aus und erg¨ anzen sich
Die Entscheidung f¨ ur eine der beiden Hypothesen ist aufgrund eines Stichprobenergebnisses zu treffen. Damit wird die Entscheidung unter Unsicherheit getroffen und kann daher richtig oder falsch sein. Als Ergebnis eines statistischen Tests formuliert man daher Entscheidung f¨ ur die Nullhypothese“ oder ” Entscheidung f¨ ur die Alternativhypothese“. ” F¨ allt die Entscheidung zugunsten der Alternativhypothese H1 , obwohl in der Grundgesamtheit H0 richtig ist, dann begeht man einen Fehler 1. Art oder α-Fehler. Ein Fehler 2. Art oder β-Fehler entsteht bei der Entscheidung f¨ ur H0 , obwohl in der Grundgesamtheit H1 richtig ist. Entscheidung auf H0 H1 wahr ist
H0 H1
kein Fehler β-Fehler
α-Fehler kein Fehler
Tabelle 1.1. Fehler beim statistischen Testen
Nat¨ urlich sollten diese Fehler so gering wie m¨oglich sein. Allerdings sind die Fehler nicht unabh¨ angig voneinander, ein kleinerer α-Fehler f¨ uhrt zu einem gr¨ oßeren β-Fehler und umgekehrt. Der β-Fehler ist aber nicht als Gegenwahrscheinlichkeit zum α-Fehler anzusetzen, es gilt also im Allgemeinen nicht α + β = 1. Das Ausmaß des α-Fehlers nennt man das Signifikanzniveau des Tests (¨ ublich sind α = 0.10, α = 0.05 oder α = 0.01). Dieses Signifikanzniveau wird vor Durchf¨ uhrung des Tests festgelegt. Signifikanztests sind so konstruiert, dass der Fehler 1. Art maximal 100α% betr¨agt. Damit hat man den α-Fehler unter Kontrolle, den β-Fehler u ¨ blicherweise aber nicht.
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1 Statistische Grundbegriffe
Fehler beim statistischen Testen α-Fehler
Verwerfen von H0 , obwohl H0 richtig ist Signifikanzniveau des Tests u ¨ blich sind α = 0.10, α = 0.05 oder α = 0.01
β-Fehler
Beibehalten von H0 , obwohl H1 richtig ist
Nun sind die Hypothesen formuliert und wir sind informiert u ¨ber m¨ogliche Fehlentscheidungen. Der n¨ achste Schritt ist die Entscheidung selbst. Ausgangspunkt ist eine m¨oglichst unvoreingenommene Haltung in Form der Nullhypothese. In der Folge wird versucht, in der Stichprobe Indizien daf¨ ur zu finden, dass dieser Ausgangspunkt falsch ist und daher verworfen werden muss. Findet man in der Stichprobe genug Indizien, um die Nullhypothese zu verwerfen, dann entscheidet man sich f¨ ur die Alternativhypothese, ansonsten muss die Nullhypothese beibehalten werden. Arbeitsweise eines statistischen Tests Ausgangspunkt ist immer die Nullhypothese. In der Stichprobe wird nach ausreichenden Indizien gesucht, die eine Ablehnung der Nullhypothese erm¨oglichen. •
Gelingt dies, so kann die Nullhypothese mit Sicherheit 1−α verworfen werden. Man erh¨ alt ein signifikantes Ergebnis zum Niveau 1 − α.
•
Gelingt dies nicht, so muss (aus Mangel an Beweisen) die Nullhypothese beibehalten werden. Wir erhalten kein signifikantes Ergebnis.
Beim statistischen Testen entscheidet man sich im Zweifel immer f¨ ur die Nullhypothese. Die beiden Hypothesen sind daher in ihrer Konsequenz nicht gleichwertig. Lassen sich in der Stichprobe genug Indizien zur Verwerfung der Nullhypothese finden, dann konnte die Alternativhypothese mit Sicherheit 1 − α nachgewiesen werden. Entscheidungen f¨ ur die Alternativhypothese werden als signifikante Ergebnisse bezeichnet. Sind nicht genug Indizien in der Stichprobe zu finden, m¨ ussen wir uns f¨ ur die Beibehaltung der Nullhypothese entscheiden. Wir haben diese aber nicht nachgewiesen, sondern wir behalten diese nur wegen mangelnder Beweise bei. Damit l¨asst sich der allgemeine Ablauf eines statistischen Tests darstellen:
1.7 Grundbegriffe der Testtheorie
17
Ablauf eines statistischen Tests 1. Hypothesen formulieren. 2. Signifikanzniveau festlegen (α = 0.10, 0.05 oder 0.01). 3. Nach den vorliegenden Regeln aufgrund eines Stichprobenergebnisses eine Entscheidung f¨ ur eine der beiden Hypothesen treffen. 4. Entscheidung interpretieren. In der Statistik werden die Testverfahren nach verschiedenen Kriterien in Bereiche zusammengefasst. Eines dieser Kriterien unterscheidet parametrische und nichtparametrische Tests. Parametrische Tests ben¨ otigen als Voraussetzung Annahmen u ¨ ber den Verteilungstyp in der Grundgesamtheit, nichtparametrische Tests hingegen kommen ohne Verteilungsannahmen aus. Eine weitere wichtige M¨oglichkeit zur Unterscheidung ist aus der konkreten Formulierung der Hypothesen zu entnehmen: Einseitige und zweiseitige Tests Die Hypothesenformulierung H0 : =
H1 : =
wird als zweiseitiges Testproblem bezeichnet. Falls die Hypothesen H0 : ≤
H1 : >
H0 : ≥
H1 : <
oder lauten, so bezeichnet man dies als einseitiges Testproblem. Zur Entscheidung wird meist eine Teststatistik herangezogen. Das ist eine Pr¨ ufgr¨ oße, die aus der konkreten Stichprobe berechnet wird. Nach bestimmten Regeln wird weiters eine Menge C bestimmt, die als kritischer Bereich bezeichnet wird. F¨ allt die Teststatistik T in diesen Bereich, so entscheidet man sich f¨ ur die Alternativhypothese, ansonsten wird die Nullhypothese beibehalten. Bei g¨angigen Softwarepaketen wird die Entscheidung oft mit Hilfe des pWertes getroffen. Der p-Wert gibt die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur an, unter der Nullhypothese die konkrete Stichprobe oder eine (in Bezug auf die Nullhypothese) noch seltenere Stichprobe zu beobachten. Anders ausgedr¨ uckt gibt der p-Wert das kleinste Testniveau, auf dem die Stichprobe gerade noch signifikant ist. Ist der p-Wert kleiner oder gleich α wird zugunsten der Alternativhypothese entschieden, ansonsten wird die Nullhypothese beibehalten. Die Angabe eines p-Wertes vermeidet die relativ willk¨ urliche Festlegung von α.
18
1 Statistische Grundbegriffe
Auch f¨ ur statistische Tests gibt es G¨ utekriterien, die hier in m¨oglichst unmathematischer Form angef¨ uhrt werden. G¨ utekriterien f¨ ur Tests •
G¨ ute (= Trennsch¨arfe, M¨ achtigkeit, Power) Die G¨ ute eines Tests (= 1 − β) ist umso h¨oher, je gr¨ oßer die Wahrscheinlichkeit ist, sich bei Vorliegen von H1 auch tats¨achlich f¨ ur H1 zu entscheiden (je kleiner also der β-Fehler ist).
•
Unverf¨ alschtheit (= Unverzerrtheit, unbiased) Ein Test zum Signifikanzniveau α heißt unverf¨ alscht, wenn die Wahrscheinlichkeit H0 abzulehnen, wenn H0 falsch ist, mindestens so groß ist wie jene H0 abzulehnen, wenn H0 richtig ist (⇔ β ≤ 1−α).
•
Konsistenz Eine Folge von Tests zum Niveau α heißt konsistent, wenn deren G¨ ute mit zunehmenden Stichprobenumfang gegen 1 konvergiert. Ein konsistenter Test ist asymptotisch unverf¨alscht.
•
Robustheit F¨ ur viele Tests m¨ ussen gewisse Voraussetzungen bzw. Annahmen ¨ erf¨ ullt sein. Andert sich bei Verletzung der Annahmen das Signifikanzniveau bzw. die G¨ ute nur unwesentlich, so wird der Test als robust bezeichnet.
Bei manchen Tests (insbesondere bei diskreten Teststatistiken) kann das gew¨ unschte α-Niveau nicht exakt eingehalten werden. Die Wahrscheinlichkeit sich bei Vorliegen von H0 f¨ ur die (falsche) H1 zu entscheiden ist somit kleiner als gefordert (
α < α), damit verbunden ist ein G¨ uteverlust. Solche Tests nennt man konservativ, α
wird als tats¨ achliches Testniveau bezeichnet. Von allen Tests mit Signifikanzniveau α wird der Test mit der gr¨ oßten G¨ ute ¨ als bester Test bezeichnet. Ublicherweise wird die Alternativhypothese aus einer Menge m¨ oglicher Parameter bestehen (z.B. H1 : θ > θ0 ). Die G¨ ute eines Tests wird f¨ ur jeweils einen bestimmten Parameter θ (> θ0 ) bestimmt. Ein gleichm¨ aßig bester Test zeichnet sich dadurch aus, dass dieser Test f¨ ur alle Parameter θ > θ0 der beste Test ist. Im Allgemeinen existieren gleichm¨aßig beste Tests f¨ ur einseitige Fragestellungen, aber nicht f¨ ur zweiseitige Probleme.
1.7 Grundbegriffe der Testtheorie
19
Zwei verschiedene Tests zum Signifikanzniveau α kann man u ¨ ber die G¨ ute vergleichen: je h¨oher die G¨ ute desto besser der Test. Die G¨ ute eines Tests ist aber auch vom Stichprobenumfang abh¨ angig. Daher k¨ onnte man die Qualit¨ at von zwei Tests auch vergleichen indem man f¨ ur gleiches Signifikanzniveau und gleiche G¨ ute das Verh¨ altnis der Stichprobenumf¨ange berechnet. Nehmen wir an es gibt einen Referenztest A mit Stichprobenumfang m und einer bestimmten G¨ ute. F¨ ur einen zweiten Test zum gleichen Signifikanzniveau k¨ onnte man jetzt berechnen wie hoch der Stichprobenumfang n f¨ ur den Test B sein muss, damit die Tests A und B bei gleichem Signifikanzniveau die gleiche G¨ ute aufweisen. Dieses Verh¨altnis m/n bezeichnet man als ”finite relative Effizienz”, das Grenzverh¨ altnis f¨ ur m → ∞ und n → ∞ bezeichnet man als asymptotische relative Effizienz oder kurz Effizienz. Der Kehrwert der Effizienz gibt damit einen Faktor an, um den die Stichprobengr¨oße bereinigt werden muss, damit die beiden Tests die gleiche G¨ ute aufweisen: Eine Effizienz von 0.80 = 80% bedeutet demnach, dass die Stichprobe f¨ ur den Test B 1/0.8 = 1.25 mal so groß sein muss wie f¨ ur den Test A um die gleiche G¨ ute aufzuweisen.
2 Einf¨ uhrung in SAS
SAS (Statistical Analysis System) ist ein sehr umfangreiches Softwarepaket zur Datenanalyse, das eine eigene Programmiersprache (SAS Language), vorgefertigte Unterprogramme (Prozeduren) und eine Windows-Schnittstelle bereitstellt. Das System umfasst verschiedene Module, die jeweils getrennt lizenziert werden und das Grundsystem erg¨anzen. Ausgangspunkt f¨ ur dieses Buch sind die Module SAS/BASE, SAS/STAT, SAS/QC, SAS/GRAPH und SAS/CORE. In diesem Kapitel werden zun¨ achst die BenutzerInnen-Oberfl¨ache und der allgemeine Programmaufbau behandelt, ehe die eigentlichen Schritte der Datenaufbereitung und der Datenanalyse beschrieben werden. Abschnitt 2.6 zeigt M¨ oglichkeiten zum Erstellen und Gestalten von Grafiken und Textausgaben und in Abschnitt 2.7 werden statistische Basisauswertungen besprochen. Die Ausf¨ uhrungen in diesem Buch beziehen sich auf die Version 9.1 unter Windows.
2.1 BenutzerInnen-Oberfl¨ ache Beim Starten von SAS zeigt sich unter Windows eine geteilte Arbeitsumgebung (vgl. Abbildung 2.1). Auf der linken Seite befinden sich der Explorer und die Ergebnisse, wobei der Explorer automatisch ge¨ offnet ist und der Verwaltung von Daten dient. Ganz oben im Explorer befinden sich die Bibliotheken, die zu den Verzeichnissen verweisen, in denen die Daten abgespeichert sind. Die Ergebnisse scheinen in einem Inhaltsverzeichnis in Form einer Baumstruktur auf, wenn ein Programm ausgef¨ uhrt wird. F¨ ur jede durchgef¨ uhrte Prozedur erscheint ein gesonderter Eintrag, dadurch wird die Ausgabe automatisch strukturiert.
22
2 Einf¨ uhrung in SAS
Abb. 2.1. BenutzerInnen-Ober߬ ache
Die rechte Seite dient zur Analyse der Daten. Hier findet man insgesamt drei Fenster (Ausgabe-Fenster, Log-Fenster und Editor-Fenster), wobei das LogFenster und das Editor-Fenster automatisch angezeigt werden und letzteres bereits aktiviert ist. Editor-Fenster In diesem Fenster werden SAS-Programme verfasst, geladen, gespeichert und ausgef¨ uhrt. Der Programmcode wird automatisch f¨ arbig dargestellt, was die Orientierung und die Fehlersuche erleichtert (falsche Syntax erscheint rot). Log-Fenster Das Log-Fenster zeigt von SAS erzeugte Ausgaben. Beim Start von SAS erscheinen Informationen zum Copyright und zur Lizenz. Insbesondere findet man in diesem Fenster Warnungen und Fehlermeldung, wobei unkritische Informationen mit dem Schl¨ usselwort Hinweis beginnen. Ausgabe-Fenster Das Ausgabe-Fenster zeigt die Ergebnisse eines Programmes. Beim Start von SAS befindet sich dieses Fenster im Hintergrund. Wird das Programm jedoch fehlerfrei durchlaufen, erscheint das Fenster automatisch im Vordergrund.
2.2 Programmaufbau
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Die Men¨ u- und Symbolleiste enth¨alt wie bei jeder andere Windows-Anwendung die wichtigsten Funktionen, deren Aufgaben aus nachstehender Zusammenfassung entnommen werden k¨ onnen. Symbole der SAS-Men¨ uleiste Programmcode ausf¨ uhren Programmcode l¨oschen Programmausf¨ uhrung unterbrechen Hilfe o¨ffnen Neue Bibliothek erstellen In SAS sind die Tasten wie in jeder anderen Windows-Anwendung belegt (z.B. STRG-C f¨ ur Kopieren und STRG-V f¨ ur Einf¨ ugen). Mit F9 werden die aktuellen Tastenbelegungen aufgelistet und k¨onnen beliebig ge¨ andert werden.
2.2 Programmaufbau Jedes SAS-Programm besteht aus zwei Schritten, dem DATA-Step und dem PROC-Step. Im DATA-Step werden die Daten implementiert, im PROC-Step (PROCEDURE-Step) erfolgt die eigentlichen Analyse. Diese beiden Strukturen sind strikt voneinander zu trennen, da Aufrufe von Prozeduren innerhalb eines DATA-Steps Fehlermeldungen und Programmabbr¨ uche zur Folge haben. Eine Hintereinanderausf¨ uhrung von mehreren PROC-Steps, sowie von DATA-Steps nach PROC-Steps und umgekehrt, ist jedoch m¨oglich. Jeder einzelne Step muss mit der Anweisung RUN; beendet werden. Eine SAS-Anweisung beginnt mit einem Schl¨ usselwort (z.B. DATA) oder mehreren Schl¨ usselw¨ortern, auf die weitere Befehle bzw. Anweisungen und eventuell Optionen folgen. Jede Programmzeile muss mit einem Strichpunkt beendet werden. Groß- und Kleinschreibung spielt in SAS-Programmen keine Rolle, f¨ ur die bessere Lesbarkeit wird folgende Regelung vorgeschlagen bzw. in diesem Buch verwendet: Schl¨ usselw¨orter, Optionen und Anweisungen werden in Großbuchstaben angegeben, Variablen werden hingegen durch Groß- und Kleinbuchstaben gekennzeichnet. Weiters werden in der Syntaxbeschreibung notwendige Argumente in spitze Klammern (< >) und optionale Argumente in eckige Klammern ([ ]) gesetzt.
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2 Einf¨ uhrung in SAS
Um die Lesbarkeit von Programmen zu erh¨ohen, werden Einr¨ uckungen und Abs¨atze empfohlen. Weiters sollte eine Beschr¨ ankung auf eine Anweisung pro Zeile erfolgen, auch wenn SAS mehrere Anweisungen in einer Zeile verarbeitet. Sinnvolle Kommentare erleichtern das Arbeiten mit l¨ angeren Programmcodes. SAS verf¨ ugt u ¨ ber zwei M¨oglichkeiten f¨ ur Kommentare: • •
Einzeiliger Kommentar: Der einzeilige Kommentar beginnt mit einem Stern (*) und endet mit einem Strichpunkt (;) Mehrzeiliger Kommentar: Ein mehrzeiliger Kommentar beginnt mit /* und endet mit */
SAS unterlegt den Programmcode f¨arbig: Korrekt eingegebene Schl¨ usselw¨orter f¨ ur Prozeduren erscheinen dunkelblau, Anweisungen und Optionen hellblau, Kommentare gr¨ un, Zahlenwerte t¨ urkis und Zeichenketten violett. Nicht erkannte Anweisungen, Optionen und Schl¨ usselw¨orter werden rot dargestellt. Auch im Log-Fenster sind die Informationen farbcodiert: Warnungen erscheinen gr¨ un, neutrale Hinweise blau und Fehlermeldungen rot. Programmaufbau •
Generelle Struktur: DATA-Step und PROC-Step
•
Genereller Aufbau: ¨ SCHLUSSELWORT Erg¨ anzungen < NOTWENDIGE ANGABEN > [ OPTIONALE ANGABEN ] ; RUN;
•
Groß- und Kleinschreibung wird nicht beachtet
•
* Einzeiliger Kommentar ;
•
/* Mehrzeiliger Kommentar /*
Farbkodierung im Editor-Fenster Korrekte Schl¨ usselw¨orter
Dunkelblau
Unkorrekte Schl¨ usselw¨orter
Rot
Anweisungen, Optionen
Hellblau
Zeichenketten
Violett
Zahlenwerte
T¨ urkis
Kommentare
Gr¨ un
2.3 Der DATA-Step
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Farbkodierung im Log-Fenster Neutrale Hinweise
Blau
Fehlermeldungen
Rot
Warnungen
Gr¨ un
2.3 Der DATA-Step Als Grundlage jeglicher Datenanalyse erm¨oglicht der DATA-Step unter anderem die Erzeugung, das Einlesen sowie das Transformieren von Daten. Eingeleitet wird diese Struktur durch das Schl¨ usselwort DATA. Der Befehl DATA
erzeugt einen Datensatz mit der Bezeichnung . Ein allgemeiner DATAStep weist dabei folgende Struktur auf: DATA ; ... RUN; Im Zuge dieses Abschnitts soll nun zun¨ achst der Aufbau eines Datensatzes in SAS beschrieben werden, ehe der eigentliche Schritt der Datenerzeugung behandelt wird. 2.3.1 Tempor¨ are und permanente Datens¨ atze Man unterscheidet zwei verschiedene Typen von Datens¨ atzen, tempor¨ are und permanente Datens¨atze. W¨ahrend tempor¨ are Datens¨atze am Ende einer Arbeitssitzung automatisch gel¨ oscht werden und somit nur f¨ ur die Dauer der SAS-Sitzung zur Verf¨ ugung stehen, existieren permanente Datens¨ atze auch nach Beendigung des SAS-Programmes weiter. Die Erzeugung eines permanenten Datensatzes erfolgt u ¨ ber das Schl¨ usselwort LIBNAME und einem , der SAS-intern auf ein bereits von BenutzerInnen erstelltes Verzeichnis verweist. Unter ’Verzeichnis’ ist der vollst¨andige Pfad dieses Verzeichnisses anzugeben. LIBNAME ’Verzeichnis’; DATA .; ... RUN; In der Standardinstallation von SAS sind vier Bibliotheken automatisch verf¨ ugbar: In MAPS sind Datens¨atze zur Erzeugung von Landkarten vorhanden, SASHELP enth¨ alt die Systemvoreinstellungen (z.B. Schriftarten, Ausgabeger¨ ate)
26
2 Einf¨ uhrung in SAS
und SASUSER die BenutzerInneneinstellungen wie Farbe und Gr¨ oße der Fenster. In der Bibliothek WORK sind die bereits erw¨ahnten tempor¨aren Datens¨atze gespeichert. Wird also ohne Angabe eines Bibliotheksnamens ein tempor¨ arer Datensatz erzeugt, so verwendet SAS intern diese Bibliothek. Nach jeder Arbeitssitzung wird der Name der Bibliothek gel¨ oscht, der erzeugte Datensatz bleibt jedoch im festgelegten Verzeichnis bestehen und man kann durch LIBNAME jederzeit wieder auf diesen zugreifen. Der Bibliotheksname darf bei einem neuen Aufruf ver¨ andert werden, gespeicherte Datens¨atze sind an der Dateiendung *.sas7bdat erkennbar. Neben der Syntax im DATA-Step kann eine neue Bibliothek auch u ¨ber die Men¨ uleiste erstellt werden. Daf¨ ur kann der Men¨ upunkt Datei→Neu oder das Symbol Neue Bibliothek aus der Symbolleiste verwendet werden (vgl. Seite 23). Der Name der Bibliothek ist in SAS auf acht alphanumerische Zeichen beschr¨ankt (manche Sonderzeichen werden akzeptiert, z.B. der Unterstrich).
2.3.2 Aufbau eines Datensatzes Jeder Datensatz setzt sich aus Variablen und Merkmalsauspr¨agungen zusammen, wobei eine Spalte genau einer Variablen entspricht. Eine Zeile entspricht einer Erhebungseinheit. Unter Verwendung des Schl¨ usselwortes INPUT und erfolgt die Benennung einer konkreten Variable in SAS: DATA ; INPUT ; DATALINES; ... ; RUN; Die Wahl von unterliegt dabei gewissen Einschr¨ankungen: • •
Ein Variablenname muss mit einem Buchstaben oder einem Unterstrich ( ) beginnen. Leerzeichen sowie in SAS benutzte Begriffe d¨ urfen nicht verwendet werden.
Zwischen Groß- und Kleinschreibung wird nicht unterschieden. F¨ ur jede eingelesene Zeile des Datensatzes bestimmt SAS automatisch eine konkrete Beobachtungsnummer (interne Bezeichnung N ), die bei der Datenausgabe als obs bezeichnet wird und lediglich im Zuge des DATA-Steps existiert. Die Dateneingabe erfolgt zeilenweise im Anschluss an das Schl¨ usselwort DATALINES; und wird durch einen Strichpunkt in einer separaten Zeile beendet. Die Anweisung RUN; beendet den DATA-Step.
2.3 Der DATA-Step
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Um alphanumerische Variablen in einem Datensatz zu verwenden, ist nach dem Variablennamen die Eingabe eines Leerzeichens und des $-Symbols erforderlich. Das $-Symbol ist den in SAS zur Verf¨ ugung gestellten Informaten zuzuordnen, welche die eingegebenen Rohdaten aus dem Ursprungsformat in das gew¨ unschte Speicherformat umwandeln. Tabelle 2.1 enth¨alt gebr¨ auchliche alphanumerische (In-)Formate, eine vollst¨andige Auslistung ist im Hilfesystem zu finden.
Schl¨ usselwort
Format
Ausgabebeispiel
$
Zeichenkette
abc
$.
Zeichenkette der L¨ ange l
abc
$QUOTE[l].
Zeichenkette der L¨ ange l mit Anf¨ uhrungszeichen
$REVERJ[l].
Zeichenkette der L¨ ange l in umgekehrter Reihenfolge
abc“ ” cba
Tabelle 2.1. Alphanumerische (In-)Formate in SAS
Es besteht dar¨ uber hinaus die M¨ oglichkeit, auch den numerischen Variablen (In-)Formate zuzuweisen, die Form und L¨ange der Merkmalsauspr¨ agungen festlegen. Tabelle 2.2 f¨ uhrt h¨ aufig verwendete numerische (In-)Formate an. Auch hier wird auf eine vollst¨ andige Liste im Hilfesystem verwiesen. Vor dem Dezimalpunkt weist eine Zahl in SAS standardm¨aßig maximal 12 Ziffern auf (BEST12.).
Schl¨ usselwort
Format
.[m]
Zahl mit l Ziffern (inkl. Dezimalpunkt) und m Kommastellen Zahl mit l Ziffern, Nachkommastellen werden automatisch gew¨ ahlt Zahl in Worten Zahl mit l Ziffern, m Kommastellen und Komma statt Dezimalpunkt
BEST[l]. WORDS[l]. NUMX[l].[m]
Tabelle 2.2. Numerische (In-)Formate in SAS
Neben diesen kurz vorgestellten (In-)Formaten gibt es auch eine Reihe von Zeit- und Datumsformaten.
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2 Einf¨ uhrung in SAS
Beispiel 2.1. Dateneingabe in SAS Der folgende Beispielcode legt eine Bibliothek mit dem Namen Bsp1 an, welche den Datensatz Daten1 enth¨ alt. Dieser besteht aus den beiden Variablen Zahl und Zeichen und zwei Datenzeilen. Vor dem Programmstart muss der Ordner C:\Eigene Dateien\Beispiel“ erstellt werden. ” LIBNAME Bsp1 ’C:\Eigene Dateien\Beispiel’; DATA Bsp1.Daten1; INPUT Zahl Zeichen $; PUT Zahl Zeichen; DATALINES; 1 Eins 2 Zwei ; RUN; Die Anweisung PUT zeigt die eingelesenen Werte im Log-Fenster und erm¨oglicht ¨ damit eine Uberpr¨ ufung der Dateneingabe. 2.3.3 Datenerzeugung F¨ ur die Erzeugung von Daten stellt SAS drei Schleifentypen zur Verf¨ ugung, im Zuge derer konkrete Befehle wiederholt werden: • • •
Z¨ ahlschleife DO...TO Abbruchschleife DO...UNTIL Bedingungsschleife DO...WHILE
Sollen Werte innerhalb einer DO-TO-Schleife berechnet werden, so ist die Angabe eines Startwertes erforderlich. Die Schleife selbst ist durch den Schleifenbeginn DO und das Schleifenende END definiert. Wird die Schrittweite nicht durch das Schl¨ usselwort BY <Schrittweite> festgelegt, erh¨ oht SAS den Wert der Schleifenvariable automatisch um Eins. Das folgende Programm zeigt einen allgemeinen DATA-Step zur Erzeugung von Daten mithilfe der Z¨ ahlschleife. DATA ; ... DO Variable=<Startwert> TO [BY <Schrittweite>]; ... END; RUN; W¨ ahrend eine Z¨ ahlschleife immer vollst¨andig durchlaufen wird, bricht die im folgenden beschriebene DO-UNTIL-Schleife dann ab, wenn ein bestimmtes Abbruchkriterium erf¨ ullt ist. Die nachstehende Syntax zeigt die Verwendung einer DO-UNTIL-Schleife in einem DATA-Step.
2.3 Der DATA-Step
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DATA ; ... i=1; DO UNTIL ; ... i=i+1; END; RUN; Sowohl die Initialisierung (i = 1) als auch das H¨ ohersetzen der Z¨ahlvariablen i innerhalb der Schleife ist notwendig, um eine Endlosschleife zu vermeiden. Eine dritte Schleifenvariante ist durch die DO-WHILE-Schleife gegeben, innerhalb derer Daten solange erzeugt werden, solange auch eine gewisse Bedingung erf¨ ullt ist. Wird dieses Kriterium verletzt, erfolgt ein Abbruch. DATA ; ... i=1; DO WHILE ; ... i=i+1; OUTPUT; END; RUN; Sollen Zwischenwerte aller Variablen f¨ ur jeden Schleifendurchlauf im Datensatz ausgegeben werden, ist die Anweisung OUTPUT vor dem Ende der Schleife erforderlich. Es besteht in SAS bei der Datenerzeugung unter der Verwendung von Z¨ahlschleifen zudem die M¨ oglichkeit, Wertelisten oder alphanumerische Listen zu durchlaufen, die dann mit der Anweisung OUTPUT in den Datensatz geschrieben werden. DATA ; DO i = Wert1, Wert2, Wert3,...; OUTPUT; END; RUN; Die Werte der Liste sind dabei durch Beistriche getrennt einzugeben.
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2 Einf¨ uhrung in SAS
2.3.4 Einlesen von Daten Steuerbefehle in der INPUT-Zeile eines DATA-Steps erm¨oglichen das Einlesen von Daten (= direkte Dateneingabe) von verschiedenen Positionen des einzulesenden Datensatzes aus. Dabei zeigt der Lesezeiger in SAS auf eine beliebige Stelle im Datensatz. Ohne Steuerungsbefehle erfolgt das Einlesen der Merkmalswerte zeilenweise f¨ ur jede Beobachtung. Daten k¨ onnen listengesteuert, spaltengesteuert oder formatgesteuert eingelesen werden, wobei in dieser Einf¨ uhrung das formatgesteuerte Einlesen nicht beschrieben wird. Listengesteuertes Einlesen Beim listengesteuerten Einlesen werden die entsprechenden Werte gem¨aß der in der INPUT-Anweisung vorher definierten Reihenfolge der Variablen und deren Typ eingelesen. INPUT Variable1 $ Variable2 Variable3; Die Rohdaten sind dabei durch ein Leerzeichen voneinander getrennt und jede Zeile enth¨ alt die Merkmalsauspr¨agungen einer konkreten Erhebungseinheit. Spaltengesteuertes Einlesen Liegen die Rohdaten streng in Spalten angeordnet vor, so k¨ onnen die Daten durch Angabe der entsprechenden Spaltenbereiche in der INPUT-Anweisung eingelesen werden. INPUT Variable1 $ 1-8 Variable2 9-10 Variable3 $ 11; Diese Angabe erm¨ oglicht ein spaltenorientiertes Einlesen der Daten, die Merkmalswerte m¨ ussen dabei nicht strikt durch ein Leerzeichen getrennt sein. Die Spalten m¨ ussen allerdings so breit wie der l¨angste, einzulesende Wert definiert und die Datenwerte m¨ ussen exakt darin positioniert sein. Durch die Angabe Variable1 $ 1-8 werden dabei alphanumerische Werte aus den Spalten 1 bis 8 eingelesen. SAS stellt Optionen zur Verf¨ ugung, welche die Position des Lesezeigers beeinflussen. So bewirkt das Setzen von @i das Einlesen von Daten ab der i-ten Spalte. Bei +i bewegt sich der Zeiger um i Spalten nach rechts und bei #i um (i − 1) Zeilen nach unten. Im Rahmen des DATA-Steps erm¨oglicht die Anweisung LABEL ’’ die Zuweisung einer aussagekr¨aftigen Bezeichnung, die bei der Ausgabe des Datensatzes statt des Variablennamens aufscheint. Die Bezeichnung kann dabei bis zu 256 Zeichen lang sein und zudem Leerzeichen beinhalten.
2.3 Der DATA-Step
31
Um Variablen f¨ ur eine Analyse zu selektieren bzw. auszuschließen, k¨onnen die Anweisungen KEEP oder DROP an beliebiger Stelle im DATA-Step verwendet werden. Es besteht zudem die M¨oglichkeit, konkrete Variablen mithilfe der Optionen KEEP= und DROP= auszuw¨ ahlen oder aus einem Datensatz zu entfernen. In diesem Fall muss jedoch die Option direkt in der DATA-Zeile angef¨ uhrt werden. Im Gegensatz zur gleichnamigen Anweisung stehen Variablen, die nicht in den Datensatz eingef¨ ugt werden, in weiterer Folge f¨ ur keine Analyse mehr bereit. 2.3.5 Einlesen von externen Daten In der Praxis liegen meist große Datenmengen vor, die es zu analysieren gilt. Sie h¨ andisch einzugeben w¨ are schlichtweg zu aufw¨andig. Wir besch¨ aftigen uns in diesem Abschnitt daher mit dem Einlesen von Daten, die bereits in externen Dateien vorhanden sind. SAS erm¨oglicht dabei das Importieren externer Datens¨atze und konvertiert diese Daten in einen SAS-Datensatz. G¨angige Formate sind durch Excel-Dateien (.xls), Comma-Seperated-Values-Dateien (.csv) oder Tab-Delimited-Dateien (.txt) gegeben. SAS kann dar¨ uber hinaus noch eine F¨ ulle an weiteren Datenformaten (wie Access-Dateien, SQL) importieren. Das Einlesen von externen Daten kann im Rahmen eines DATA-Steps erfolgen oder unter Zuhilfenahme des Import Wizards. Einlesen von Daten im Rahmen des DATA-Steps Im Rahmen eines DATA-Steps erm¨oglicht die Anweisung INFILE das Einlesen externer Dateien. Die Anweisung INPUT legt dabei die Variablen fest, die tats¨achlich importiert werden sollen. Nachstehender Programmcode zeigt das Einlesen einer externen Datei. DATA ; INFILE ’Dateiverweis.Dateiformat’ [Optionen]; INPUT Variable1,Variable2,...; RUN; Die Merkmalsauspr¨ agungen in der einzulesenden Datei m¨ ussen dabei durch Leerzeichen voneinander getrennt sein. Da der externe Datensatz u ¨ blicherweise in den ersten Zeilen Variablennamen oder Variablenerkl¨ arungen beinhaltet, die nicht eingelesen werden sollen, kann mithilfe der Option FIRSTOBS= angegeben werden, ab welcher Zeilennummer die Eingabe der Daten zu erfolgen hat. Sind die Merkmalsauspr¨ agungen in der einzulesenden Datei nicht durch ein Leerzeichen voneinander getrennt, f¨ uhrt die oben dargestellte INFILEAnweisung zu einer Fehlermeldung. Das in der externen Datei verwendete Trennzeichen kann mit der Option DELIMITER=<’Trennzeichen’> oder
32
2 Einf¨ uhrung in SAS
kurz DLM=<’Trennzeichen’> in der INFILE-Anweisung spezifiziert werden. Die Verwendung von Trennzeichen unterliegt dabei kaum Einschr¨ ankungen. Sind die Werte durch einen Tabulator getrennt, muss die Option DLM=’09’x in der INFILE-Anweisung angef¨ uhrt werden. Durch Kombination mehrerer INFILE- und INPUT-Anweisungen k¨ onnen beliebig viele externe Dateien in einem DATA-Step eingelesen werden. Einlesen von Daten mithilfe des Import Wizards Eine weitere M¨ oglichkeit zum Einlesen von externen Daten ist durch den Import Wizard gegeben, der den grunds¨ atzlich komplexen Einlesevorgang schrittweise durchf¨ uhrt und somit vereinfacht. Der Import Wizard wird unter Datei → Daten importieren gestartet.
Abb. 2.2. Import Wizard zum Einlesen von externen Daten
Zuerst erfolgt die Auswahl des Dateityps der einzulesenden Datei. Liegt eine kommagetrennte (.csv), tabulatorgetrennte (.txt) oder eine Datei mit Trennzeichen vor, so kann unter Standard data source entweder das jeweilige Dateiformat oder das benutzerdefinierte Format ausgew¨ ahlt werden.
2.3 Der DATA-Step
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Durch Tabulator getrennte Merkmalsauspr¨ agungen in einem .txt-Format werden u ¨ blicherweise durch die Auswahl Standard data source eingelesen (vgl. Abbildung 2.2). Im n¨ achsten Schritt ist u ¨ ber den Befehl Browse auf die einzulesende Datei zu verweisen. Unter Options besteht die M¨ oglichkeit, verschiedene Einstellungen zu ver¨ andern. Im darauf folgenden Fenster Choose the SAS destination ist der Name der Bibliothek anzugeben, in die der Datensatz Member in SAS gespeichert werden soll. Mit Finish wird der Einleseprozess schlussendlich beendet. Unter .<Member> kann der Datensatz sp¨ater ge¨offnet und kontrolliert werden. Entscheidet man sich zu Beginn des Einlesevorgangs f¨ ur ein benutzerdefiniertes Format, so ist eine bessere Kontrolle u ¨ ber den Einleseprozess gegeben. Die einzelnen Schritte sind dabei wie oben zu befolgen. Nach Beendigung des Importprozesses wird der External File Interface (kurz: EFI) gestartet, der es erm¨oglicht, zus¨atzliche Informationen u ¨ ber das vorliegende Dateiformat zu definieren. Im oberen Teil des EFI-Fensters werden dabei links der External File Viewer und rechts der SAS data viewer angezeigt. Unter Optionen k¨ onnen in weiterer Folge Importoptionen ausgew¨ ahlt werden (vgl. Abbildung 2.3).
Abb. 2.3. Optionen des External File Interface (EFI)
AnwenderInnen haben hier die M¨ oglichkeit, den Eingabestil, die Variablenerstellung oder den Typ der vorliegenden Trennzeichen festzulegen.
34
2 Einf¨ uhrung in SAS
2.3.6 Transformieren von Daten Nach dem Einlesen m¨ ussen Datens¨ atze oft noch geeignet transformiert werden, ehe sie einer Analyse unterzogen werden. Aus diesem Grund sollen nun einige Funktionen und Optionen angef¨ uhrt werden, welche f¨ ur die Transformation von Variablen verwendet werden k¨ onnen. Um Merkmalsauspr¨ agungen miteinander vergleichen zu k¨ onnen, ist die Verwendung von Vergleichsoperatoren notwendig. SAS stellt dabei zwei m¨ogliche Schreibweisen zur Verf¨ ugung (siehe Tabelle 2.3). Vergleichsoperatoren EQ NE LT GT LE GE IN
= ~= < > <= >=
Bedeutung
Beispiel
gleich ungleich kleiner gr¨ oßer kleiner gleich gr¨ oßer gleich Element in
x x x x x x x
=1 ~= 1 lt 1 >1 le 1 >= 1 in (1,2,3)
Tabelle 2.3. Vergleichsoperatoren in SAS
¨ Zur Uberpr¨ ufung von Eingaben sowie zur Durchf¨ uhrung von Fallunterscheidungen werden bedingte Anweisungen verwendet. Nach der IF ist ein THEN obligatorisch, die Verwendung von ELSE ist optional: IF THEN [ELSE ] Neben der bedingten Anweisung stellt SAS im DATA-Step auch eine selektive IF-Anweisung zur Verf¨ ugung: IF Diese liest Daten nur so lange ein, wie die Bedingung erf¨ ullt ist. Tabelle 2.4 enth¨ alt h¨ aufig verwendete mathematische Operatoren und Funktionen, die bereits im DATA-Step verwendet werden k¨ onnen. Auch statistische Funktionen k¨ onnen bereits im DATA-Step verwendet werden. Alle Funktionen, die auf n gleichartige Argumente zugreifen weisen eine Besonderheit auf. Gleich lautende Variablennamen, welche sich nur durch eine nachgestellte Zahl unterscheiden, k¨ onnen durch den Befehl OF angesprochen werden. Demnach sind die beiden folgenden Befehle gleichwertig: MEAN(Variable1, Variable2, Variable3, Variable4) MEAN(OF Variable1-Variable4)
2.3 Der DATA-Step Befehle
Bedeutung
Befehle
Bedeutung
+ * / MOD ** AND, & OR, | FLOOR CEIL
Addition Subtraktion Multiplikation Division Modulo Division Potenz logisches und logisches oder abrunden aufrunden
MIN MAX ABS LOG LOG2 LOG10 SQRT ROUND INT LENGTH
Minimum Maximum Absolutbetrag nat¨ url. Logarithmus Logarithmus zur Basis 2 Logarithmus zur Basis 10 Wurzelfunktion kaufm¨ annisch runden ganzzahliger Teil L¨ ange einer Zeichenkette
35
Tabelle 2.4. Operatoren und mathematische Funktionen in SAS
Tabelle 2.5 listet insbesondere statistische Funktionen auf, die im DATA-Step verwendet werden k¨ onnen und die zudem den vereinfachten Variablenzugriff mit OF erm¨oglichen. Funktion
Bedeutung
SUM(,· · · ,) MEAN(,· · · ,) STD(,· · · , ) RANGE(,· · · , )
Summe Arithmetisches Mittel Standardabweichung Spannweite
Tabelle 2.5. Statistische Funktionen im DATA-Step
2.3.7 Erzeugen von Zufallszahlen Die Erzeugung von Zufallszahlen zu Simulationszwecken wird in der Statistik oft ben¨ otigt. SAS stellt zu diesem Zweck Befehle zur Erzeugung von Pseudozufallszahlen bereit, die in Tabelle 2.6 angef¨ uhrt werden. Durch Angabe eines Startwertes (SEED=) sind die erzeugten Zufallszahlen reproduzierbar. Wird SEED=0 gesetzt, so erfolgt die Initialisierung unter Zuhilfenahme der Systemzeit, die so erzeugten Pseudozufallszahlen sind nicht reproduzierbar. Mit der Funktion NORMAL(SEED=) k¨ onnen standardnormalverteilte Zufallszahlen generiert werden. Die Anzahl an zu erzeugenden Zufallszahlen kann durch eine Z¨ ahlschleife festgelegt werden, in der die Datenerzeugung schrittweise durchgef¨ uhrt wird.
36
2 Einf¨ uhrung in SAS Schl¨ usselwort
Verteilung
Argumente
NORMAL, RANNOR RANEXP RANGAM RANPOI RANBIN RANUNI, UNIFORM RANTRI RANTBL
Standardnormalverteilung Exponentialverteilung(λ = 1) Gammaverteilung(β = 1) Poissonverteilung Binomialverteilung Gleichverteilung auf [0,1] Dreiecksverteilung beliebige diskrete Verteilung
seed seed seed, seed, seed, seed seed, seed,
a (shape) m n,p h (mode) p1 , . . . , pn−1
Tabelle 2.6. Erzeugung von Pseudozufallszahlen in SAS
Eine alternative M¨ oglichkeit, Zufallszahlen in SAS zu erzeugen, ist durch die Anweisung RAND(’’,<Parameter>) gegeben. Tabelle 2.7 f¨ uhrt die Verteilungen DIST an, die im Rahmen der Zufallszahlenerzeugung verwendet werden k¨ onnen. Verteilung
DIST
Parameter
BernoulliBetaBinomialCauchyChi-QuadratErlangExponential(λ = 1)FGamma(β = 1)GeometrischeHypergeometrischeLog-NormalNegativ BinomialNormalPoissonStudent tDiskrete DreieckGleichWeibull-
BERNOULLI BETA BINOMIAL CAUCHY CHISQUARE ERLANG EXPONENTIAL F GAMMA GEOMETRIC HYPERGEOMETRIC LOGNORMAL NEGBINOMIAL NORMAL, ”GAUSS” POISSON T TABLE TRIANGLE UNIFORM WEIBULL
p a, b p, n df a ndf, ddf a p N, R, n p, k mean, sd lambda df p1 , . . . , pn−1 h (mode) a, b
Tabelle 2.7. Schl¨ usselw¨ orter f¨ ur Verteilungen im Befehl RAND
Bei manchen Verteilungen ist die Parametrisierung nicht eindeutig (d.h. es gibt mehrere M¨ oglichkeiten der Parameterangabe), daher sollte die inhaltliche Bedeutung der Parameter in der Hilfe nachgelesen werden.
2.4 Der PROC-Step
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Nachstehendes Programm zeigt die Erzeugung von zehn N (µ, σ 2 )-verteilten Zufallszahlen. DATA ; DO i=1 TO 10; x=NORMAL(0) * sigma + mu; OUTPUT; END; RUN; Alternativ kann auch die Anweisung x=RAND(’NORMAL’, mu, sigma) verwendet werden.
2.4 Der PROC-Step Nach der Aufbereitung der Daten im Rahmen des DATA-Steps kann nun eine Analyse dieser Daten im PROC-Step durch in SAS vorhandene Prozeduren erfolgen. Der PROC-Step wird durch den Befehl PROC eingeleitet und weist im allgemeinen folgende Struktur auf: PROC [Optionen]; [Anweisungen;] ... RUN; Prozedurname bestimmt dabei die auszuf¨ uhrende Prozedur, die dar¨ uber hinaus durch Optionen und Anweisungen genauer spezifiziert werden kann. Die wichtigsten Optionen und Anweisungen werden in weiterer Folge beschrieben. 2.4.1 Optionen Das Anf¨ uhren von Optionen im PROC-Step legt die konkrete Durchf¨ uhrung der jeweiligen Prozedur in SAS fest. •
• •
DATA= Mit dieser Option kann ein konkreter Datensatz ausgew¨ahlt werden, der durch die jeweilige Prozedur bearbeitet werden soll. Wird kein Datensatz angegeben, so erfolgt die Analyse anhand des zuletzt erzeugten Datensatzes. OUT= Diese Option schreibt die Ergebnisse der jeweiligen Prozedur in einen neuen Datensatz. NOPRINT Diese Option unterbindet die Ausgabe der Ergebnisse auf dem Bildschirm.
38
2 Einf¨ uhrung in SAS
2.4.2 Anweisungen Neben Optionen k¨ onnen im Zuge eines PROC-Steps Anweisungen angef¨ uhrt werden. •
•
•
• •
• •
BY ; Diese Anweisung erm¨oglicht getrennte Analysen f¨ ur einzelne Gruppen, die durch die angegebenen Variablen gebildet werden. Dabei m¨ ussen allerdings die Daten gem¨ aß der BY-Variablen aufsteigend sortiert sein. Mit der Anweisung BY NOTSORTED kann auch ein unsortierter Datensatz gruppiert werden. CLASS ; Im Rahmen der Prozedur PROC MEANS bewirkt ¨ diese Anweisung Ahnliches wie die BY-Anweisung. Bei der Durchf¨ uhrung eines t-Tests fungiert die CLASS-Variable beispielsweise als Gruppenvariable, nach der klassifiziert wird. FREQ ; Durch diese Anweisung wird eine numerische Variable spezifiziert, welche die H¨aufigkeit der einzelnen Beobachtungen angibt. Damit ist eine Gewichtung der Eingabedaten m¨ oglich. LABEL =’’; Diese Anweisung f¨ ugt der angegebenen Variable eine genauere Variablenbezeichnung in der Ausgabe zu. OUTPUT ; Diese Anweisung erzeugt einen Datensatz in SAS, der die berechneten Statistiken enth¨ alt. Als Optionen k¨ onnen dabei der Name des Datensatzes sowie sein Inhalt spezifiziert werden. Durch die Option OUT= kann der Name des Datensatzes angegeben werden, sein Inhalt wird durch <Schl¨ usselwort>= festgelegt. Welche Schl¨ usselw¨orter m¨ oglich sind h¨ angt von der jeweiligen Prozedur ab. WEIGHT ; Mithilfe dieser Anweisung k¨ onnen den Beobachtungen in der Analyse Gewichte zugeordnet werden. VAR ; Diese Anweisung w¨ahlt diejenigen Variablen aus, die im Rahmen der Prozedur analysiert werden sollen. Wird diese Anweisung nicht angef¨ uhrt, so werden alle Variablen verwendet.
Eine genauere Erkl¨arung zu den einzelnen Anweisungen im PROC-Step sowie weitere Anweisungen sind in dem in SAS zur Verf¨ ugung gestellten Hilfesystem vorzufinden. 2.4.3 Hilfsprozeduren Das im Grundsystem vorhandene Modul SAS/BASE enth¨ alt Hilfsprozeduren, die unter anderem zur Datenaufbereitung oder zur einfachen Analyse der Daten dienen. PROC SORT Mithilfe der Prozedur PROC SORT k¨ onnen Merkmalsauspr¨ agungen gem¨aß der in der BY-Anweisung angef¨ uhrten Variable(n) aufsteigend sortiert werden. Hier
2.6 Aufbereitung der Ergebnisse
39
ist die BY-Anweisung somit unerl¨ asslich. Soll der Datensatz absteigend sortiert werden, so ist im BY-Statement zus¨atzlich die Option DESCENDING anzugeben. Die sortierten Daten k¨ onnen entweder in einen neuen Datensatz geschrieben werden oder den unsortierten Datensatz ersetzen. PROC FORMAT Die FORMAT-Prozedur erm¨oglicht es, eigene Informate und Formate zu definieren und Beschreibungen von Informaten und Formaten in einem SASDatensatz abzuspeichern. PROC OPTIONS Diese Prozedur listet die aktuellen Einstellungen der SAS-Systemoptionen auf und gibt diese im Log-Fenster aus. Mit der zus¨atzlichen Option DEFINE werden dar¨ uber hinaus Optionsbeschreibungen angef¨ uhrt. PROC PRINT Diese Prozedur gibt die Merkmalsauspr¨ agungen eines Datensatzes aus.
2.5 Globale Anweisungen Globale Anweisungen treten an beliebiger Stelle im Programm auf und sind wie alle anderen Anweisungen mit einem Strichpunkt abzuschließen. Einige wichtige globale Anweisungen sind: • • • • • •
ENDSAS; Beendet das SAS-Programm im Anschluss an den aktuellen Step. Nachfolgende Programmteile werden ignoriert. TITLE; Eingabe einer Kopfzeile. FOOTNOTE; Eingabe einer Fußzeile. OPTIONS; Setzt bzw. a¨ndert SAS-Systemoptionen. PAGE; F¨ ugt einen Seitenumbruch ein. SKIP; F¨ ugt eine Leerzeile ein.
2.6 Aufbereitung der Ergebnisse F¨ ur die Ergebnisaufbereitung wollen wir das Aufbereiten von Texten und Grafiken zun¨ achst getrennt betrachten und uns dann dem Output-DeliverySystem zuwenden, das f¨ ur die Verwaltung der Ergebnisse hilfreich ist.
40
2 Einf¨ uhrung in SAS
2.6.1 Textausgaben Nach einem fehlerfreien Prozedurdurchlauf werden die Ergebnisse automatisch in einem Textausgabefenster dargestellt. Die Variablen eines Datensatzes werden dabei zentriert und mit maximal vier Leerzeichen voneinander getrennt ausgegeben. Die zugeh¨origen Merkmalsauspr¨agungen einer numerischen Variablen erscheinen innerhalb der Spalte rechtsb¨ undig, alphanumerische Variablen im Gegensatz dazu linksb¨ undig. Globale Textausgabeoptionen Durch Optionen der (globalen) Anweisung OPTIONS k¨ onnen Textausgaben gestaltet werden. In Tabelle 2.8 sind einige Optionen f¨ ur diese Anweisung angef¨ uhrt. Option
Bedeutung
TOPMARGIN= BOTTONMARGIN= RIGHTMARGIN= LEFTMARGIN= NOCENTER NONUMBER NODATE
legt oberen Seitenrand fest legt unteren Seitenrand fest legt rechten Seitenrand fest legt linken Seitenrand fest unterdr¨ uckt zentrierte Ausgabe unterdr¨ uckt Ausgaben der Seitenzahl unterdr¨ uckt Datumsausgabe
Tabelle 2.8. Optionen f¨ ur die globale Anweisung OPTIONS
PROC TABULATE Die Prozedur TABULATE berechnet statistische Kennzahlen eines Datensatzes und stellt diese in Tabellenform dar. Allgemein sieht die Prozedur TABULATE folgendermaßen aus: PROC TABULATE [Optionen]; CLASS [/ Optionen]; TABLE [Seiten-, Zeilen-, ] <Spaltenvariablen> [/ Optionen]; VAR [/ Optionen]; RUN; Die TABLE-Anweisung gibt an, welche Variablen verwendet werden und in welcher Form sie dargestellt werden. Bei dieser Prozedur ist darauf zu achten, dass zumindest die Anweisung TABLE und zus¨ atzlich mindestens eine der beiden Anweisungen VAR oder CLASS (vgl. Seite 38) notwendig sind. Wird nur eine Variable angegeben, wird f¨ ur jeden Merkmalswert dieser Variablen eine eigene Spalte ausgegeben.
2.6 Aufbereitung der Ergebnisse
41
DATA Beispiel; INPUT Alter Groesse; DATALINES; 20 180 30 180 40 200 ; RUN; PROC TABULATE; Class Alter; Table Alter; RUN; Dieses Programm erzeugt im Wesentlichen folgende Ausgabe: 20
Alter 30
40
Bei Verwendung mehrerer Variablen ist die Ausgabe unterschiedlich, je nachdem ob bzw. wie die Variablen miteinander verbunden werden. Stehen die Variablen getrennt durch ein Leerzeichen nebeneinander, werden die Tabellen der Variablen nebeneinander ausgegeben. Bei Verbindung mit einem Stern werden die Tabellen ineinander geschachtelt, bei Verbindung mit einem Beistrich werden Kreuztabellen erstellt. PROC TABULATE; Class Alter Groesse; Table Alter Groesse; Table Alter*Groesse; Table Alter,Groesse; RUN; erzeugt somit drei unterschiedliche Ausgabeformen. Die Prozedur TABULATE bietet zudem die M¨ oglichkeit, Variablen mit verschiedene statistischen Kennzahlen zu kombinieren. Dabei wird der Variablenname durch * mit einem Schl¨ usselwort verkn¨ upft. Es k¨ onnen unter anderem Extremwerte, Mittelwert oder Varianz berechnet werden (vgl. Tabelle 2.12, Seite 49). Wird kein Schl¨ usselwort explizit angegeben, so wird die Summe berechnet. PROC TABULATE; Var Alter; Table Alter; Table Alter*Mean ; RUN;
42
2 Einf¨ uhrung in SAS
2.6.2 Grafikprozeduren In SAS lassen sich mit der Prozedur GPLOT und GCHART zweidimensionale Grafiken erzeugen, f¨ ur dreidimensionale Darstellungen wird die Prozedur G3D verwendet. Eine Besonderheit ist das Erstellen von Histogrammen, die wahlweise mit der Prozedur UNIVARIATE oder CAPABILITY erzeugt werden. Mit letzterer bietet sich auch eine bequeme M¨oglichkeit zur Erzeugung von empirischen Verteilungsfunktionen. PROC GPLOT Mit dieser Prozedur lassen sich Streu- und Liniendiagramme grafisch darstellen. Auch das Erstellen einer empirischen Verteilungsfunktion ist m¨ oglich. Dazu m¨ ussen die Merkmalsauspr¨ agungen zuvor in einem separaten DATA-Step kumuliert werden. Dann folgt eine SYMBOL-Anweisung mit dem Zusatz I=STEPRJ. Die Syntax zur Erzeugung eines Streudiagrammes lautet in allgemeiner Form PROC GPLOT [Optionen]; PLOT *<x-Variable> [Optionen]; RUN; Dabei tr¨ agt die Anweisung PLOT die unabh¨ angige Variable auf der Abszisse (horizontale Achse) gegen die abh¨angige Variable auf der Ordinate (vertikale Achse) auf. Um das erw¨ unschte Layout zu erreichen stehen zahlreiche Optionen zur Verf¨ ugung. Mit der Prozedur GPLOT, einer zus¨ atzlichen SYMBOL-Anweisung und der Option I=BOX[J][T] wird ein Boxplot erzeugt. J bewirkt hier, dass die Mediane mehrerer Box-Plots mit einer Linie verbunden werden, T hingegen markiert das obere und untere Ende mit einem Querstrich. PROC GCHART Balken-, S¨aulen- und Kreisdiagramme k¨onnen mit der Prozedur GCHART erstellt werden, deren allgemeiner Syntax folgendermaßen lautet: PROC GCHART [Optionen]; HBAR [Optionen]; VBAR [Optionen]; PIE [Optionen]; DONUT [Optionen]; RUN; Die Anweisung HBAR erzeugt ein Balkendiagramm, VBAR ein S¨ aulendiagramm, PIE ein Kreisdiagramm und DONUT ein Kreisdiagramm mit Loch in der Mitte. Optionen f¨ ur die Anweisungen HBAR, VBAR, PIE und DONUT verhelfen dazu, die Diagramme anschaulicher zu gestalten, z.B.:
2.6 Aufbereitung der Ergebnisse
• • •
43
MIDPOINTS=<Werteliste> Diese Option bewirkt, dass die Klassenmittelpunkte nach Belieben eingerichtet werden k¨onnen. PERCENT=ARROW|INSIDE|NONE|OUTSIDE Gibt an einer gew¨ahlten Position die Prozentwerte der Balken oder Kreissegmente an. NOFRAME Die Option unterbindet das Zeichnen eines Rahmens.
PROC GCONTOUR Mit Hilfe dieser Prozedur kann man dreidimensionale Beziehungen in zwei Dimensionen durch H¨ohenschichtlinien darstellen. PROC GCONTOUR; PLOT *<x-Variable>= [Optionen]; RUN;
PROC UNIVARIATE Mit der Prozedur UNIVARIATE k¨ onnen Histogramme und Q-Q-Plots erzeugt werden. PROC UNIVARIATE [Optionen]; HISTOGRAM [Optionen]; QQPLOT [Optionen]; RUN; Zahlreiche Optionen erleichtern das Anpassen des Layouts, beispielsweise bewirkt bei der HISTOGRAM-Anweisung die Option CFILL=, dass die Balken mit Farbe ausgef¨ ullt werden. Mit VSCALE=COUNT|PERCENT|PROPORTION kann festgelegt werden, ob die absoluten oder die relativen H¨ aufigkeiten ausgegeben werden sollen. Die Wahl PROPORTION skaliert die Y-Achse proportional zur Beobachtungszahl. Die Prozedur UNIVARIATE kann auch f¨ ur zahlreiche statistische Analysen verwendet werden (vgl. Abschnitt 2.7.1) PROC CAPABILITY Mit der Prozedur CAPABILITY k¨ onnen unter anderem Histogramme, empirische Verteilungsfunktionen und Q-Q-Plots erzeugt werden. Der allgemeine Programmcode lautet: PROC CAPABILITY [Optionen]; HISTOGRAM [Optionen]; CDFPLOT [Optionen]; QQPLOT [Optionen]; RUN;
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2 Einf¨ uhrung in SAS
PROC BOXPLOT Mit dieser Prozedur k¨ onnen Boxplots erstellt werden. PROC BOXPLOT; PLOT *; RUN; Das arithmetische Mittel wird durch ein Plus im Boxplot dargestellt, die waagrechte Linie kennzeichnet den Median. Es gibt eine Reihe von Optionen, um die grafische Darstellung des Boxplots zu ver¨andern, diese sind in Tabelle 2.9 angef¨ uhrt.
Option
Bedeutung
BOXSTYLE=SKELETAL BOXSTYLE=SCHEMATIC BOXWIDTH CBOXES IDSYMBOL
zeichnet horizontale Linien vom Boxrand zu den Extremen extreme Ausreißer werden durch Symbole sichtbar setzt die Breite der Boxen fest setzt die Farbe der Boxen fest bestimmt die Form des Symbols von Ausreißern
Tabelle 2.9. Optionen f¨ ur die Prozedur Boxplot
PROC G3D Dreidimensionale Grafiken werden in SAS mittels PROC G3D erzeugt. PROC G3D [Optionen]; PLOT *<x-Var>= [Optionen]; SCATTER *<x-Var>= [Optionen]; RUN; Die Anweisung PLOT bewirkt, dass eine dreidimensionale Fl¨ache gezeichnet wird, die Anweisung SCATTER gibt hingegen ein dreidimensionales Streudiagramm aus, wobei eine dieser Anweisungen zwingend anzugeben ist. Mithilfe von Optionen k¨ onnen diese grafischen Darstellungen beeinflusst werden. GRID zum Beispiel bietet die M¨oglichkeit, Gitterlinien f¨ ur jede Achse zu zeichnen. Zus¨ atzlich kann man mit TILT=<Winkel> den Winkel festlegen, um den die Grafik dem Betrachter zugedreht wird, die Standardeinstellung betr¨ agt 70 Grad.
2.6 Aufbereitung der Ergebnisse
45
2.6.3 Grafiken gestalten und exportieren F¨ ur die Gestaltung und Ausgabe von Grafiken stellt SAS Anweisungen bereit, die in allen Prozeduren verwendet werden k¨ onnen. Eine der wichtigsten Anweisungen ist dabei TITLE [Optionen] ’¨ Uberschrift’ ¨ zur Festlegung einer oder mehrerer Uberschrift(en). Die Beschriftung der Grafik mit dem Namen ¨ Uberschrift erfolgt dabei zentriert. Diese Anweisung wird in allen nachstehenden Prozeduren beibehalten, auch wenn diese nichts mit der Grafik erzeugenden Prozedur zu tun haben. Nur durch eine neuerli¨ che TITLE-Anweisung kann die Uberschrift wieder ge¨ andert werden oder ¨ durch fehlende Angabe einer neuen Uberschrift gel¨oscht werden. Fußnoten werden mit der Anweisung FOOTNOTE [Optionen] ’Fußnote’ erzeugt und erscheinen ebenfalls zentriert, die Anweisung NOTE [Optionen] ’Bemerkung’ erm¨oglicht das (linksb¨ undige) Einf¨ ugen von Textzeilen in eine Grafik und muss innerhalb der Grafik erzeugenden Prozedur angegeben werden. Die Anweisungen TITLE, FOOTNOTE und NOTE lassen sich durch Optionen n¨ aher spezifizieren. Mit ANGLE=<Winkel> k¨ onnen die Textzeilen beliebig von -90 bis 90 Grad gedreht werden, wobei die Standardeinstellung bei 0◦ liegt. COLOR= gibt die Farbe des Textes an, wobei die Farben in englischer Sprache anzugeben sind, FONT=<Schriftart> legt die Schriftart fest. Die Textausrichtung kann u ¨ber die Option JUSTIFY=L|R|C linksb¨ undig, rechtsb¨ undig oder zentriert eingestellt werden. Die Angabe der Optionen kann auch in Kurzform erfolgen, so steht A f¨ ur ANGLE, C f¨ ur COLOR, F f¨ ur FONT und J f¨ ur JUSTIFY. Das Erscheinungsbild der Grafik selbst kann mit den Anweisungen AXIS, LEGEND, PATTERN oder SYMBOL ver¨ andert werden. Mit der Anweisung AXIS<1...99> [Optionen] k¨ onnen die Achsen formatiert werden. Dabei ist zu beachten, dass in der Grafik erzeugenden Prozedur auf die definierte Achse Bezug genommen werden muss. Wird die Anweisung ohne weitere Option aufgerufen, werden alle vorher eingestellten Eigenschaften unwirksam und gel¨ oscht. Die Option LABEL=’Text’ gibt Text als Achsenbeschriftung aus und LABEL=NONE unterbindet die Beschriftung.
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2 Einf¨ uhrung in SAS
LEGEND<1...99> [Optionen] ver¨ andert die Legende einer Grafik. Die zugeh¨orige Option LABEL=’Text’ spezifiziert den Text oder unterbindet die Legende (LABEL=NONE). Die Anweisung PATTERN<1...99> [Optionen] fixiert die F¨ ullmuster und Farben der Grafik. Optionen bleiben bei der Neuzuweisung eines Musters bestehen, außer wenn sie explizit ge¨andert bzw. gel¨ oscht werden (PATTERN besitzt ein Ged¨ achtnis“). Mit der Option COLOR= ” wird die Farbe f¨ ur das Muster eingestellt und VALUE=<Muster> legt das Muster fest. Innerhalb einer Grafik k¨ onnen darzustellende Symbole mit SYMBOL ver¨ andert werden. Die Anweisung bestimmt die Darstellung der Werte, die durch die Prozeduren GPLOT und GCONTOUR entstanden sind. Die Syntax daf¨ ur ist gegeben durch: SYMBOL<1...99> [Optionen] Sie bestimmt Gestalt, Gr¨ oße und Farbe der darzustellenden Symbole, aber auch die Grafiktypen und besitzt wie PATTERN ein Ged¨ achtnis. Besonders erw¨ahnenswert ist hier die Option INTERPOLATION= (kurz I=), mit der beispielsweise durch I=BOX[J][T] ein Boxplot entsteht.
Deutsche Umlaute Deutsche Umlaute stellen in der Grafikausgabe ein Problem dar, daher ist es empfehlenswert statt Umlauten die zugeh¨orige Codierung (vgl. Tabelle 2.10) zu verwenden. Umlaut ¨ A ¨ O ¨ U a ¨ o ¨ u ¨ ß
Codierung ’8E’X ’99E’X ’9A’X ’84’X ’94’X ’81’X ’B8’X
Tabelle 2.10. Codierung deutscher Umlaute
2.6 Aufbereitung der Ergebnisse
47
Globale Grafikeinstellungen Wenn gewisse Grafikeinstellungen f¨ ur alle nachfolgenden Grafikprozeduren gelten sollen, kann man dies mit der Anweisung GOPTIONS erreichen. Mit PROC GOPTIONS; RUN; lassen sich die Grafikoptionen abfragen und im Log-Fenster ausgeben. Im ¨ Folgenden ist ein kleiner Uberblick u ¨ ber die wichtigsten Anweisungen gegeben: • • • •
GOPTIONS RESET=ALL; Zur¨ ucksetzen aller Einstellungen GOPTIONS ROTATE=LANDSCAPE|PORTRAIT; Wechsel zwischen Hochformat (PORTRAIT) und Querformat (LANDSCAPE), jedoch nur bei Grafiken, die als Datei exportiert werden. HSIZE=[CM bzw. IN]; Angabe der Grafikbreite am Bildschirm und f¨ ur den Export. VSIZE=[CM bzw. IN]; Angabe der Grafikh¨ ohe am Bildschirm und f¨ ur den Export.
Sollen Grafiken exportiert werden, ist es nicht empfehlenswert, dies durch Markieren, Kopieren und Einf¨ ugen zu machen, da hierbei die Qualit¨ at der Grafik meist schlecht ist. Besser ist es den Export u ¨ber das SAS-Ausgabeger¨ at (DEVICE) zu steuern. Die Standardeinstellung f¨ ur die Ausgabe ist der Bildschirm (Schl¨ usselwort WIN), mit der Option DEVICE= kann das Ausgabeger¨ at ver¨ andert werden, m¨ ogliche Ger¨ ate sind in Tabelle 2.11 aufgelistet.
Ger¨ at BMP IMGGIF JPEG PSLEPSFC TIFFP WIN
Name
Dateiendung
Bitmap-Format Graphics Interchange Format Joint Photographic Format Encapsulated Postscript Tag Image File Format Bildschirmausgabe
.bmp .gif .jpg .eps .tif
Tabelle 2.11. Schl¨ usselw¨ orter (Ger¨ ate) f¨ ur den Grafikexport
Die Angabe des Ausgabeger¨ates gen¨ ugt noch nicht f¨ ur einen Grafikexport. Zus¨ atzlich sind die Optionen GSFNAME= und GSFMODE=APPEND|REPLACE festzulegen. Dabei verweist GSFNAME= auf die Grafik, der acht Zeichen lange Name ist dabei frei w¨ ahlbar. Mit REPLACE wird die Grafik neu erzeugt und mit APPEND einer bestehenden Datei angef¨ ugt. Innerhalb der Grafik erzeugenden Prozedur ist die Anweisung FILENAME ’Dateiname’ anzugeben.
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2 Einf¨ uhrung in SAS
2.6.4 Das Output-Delivery-System (ODS) Mithilfe des Output-Delivery-Systems (ODS) besteht die M¨ oglichkeit, den Output in einem anderen Format, wie zum Beispiel als RTF-, PDF-, PS- oder HTML-Datei auszugeben. Dabei ist eine individuelle Handhabung des Outputs m¨ oglich. Außerdem kann der Output in Form und Gestalt beeinflusst werden. Die allgemeine ODS-Syntax ist dabei gegeben durch ODS FILE=’’; [PROC-Steps]; ODS CLOSE; Diese Syntax schreibt die gesamte Ausgabe in die vorgegebene Datei. F¨ ur HTML-Formate ist das Schl¨ usselwort FILE durch BODY zu ersetzen. Die erste Zeile der Anweisung lautet demnach ODS HTML BODY=’’;. Das Output-Delivery-System l¨ asst aber auch eine normale Textausgabe zu, die mit ODS LISTING beginnt und den Output mit ODS LISTING CLOSE abschließt.
2.7 Grundlagen der Statistik mit SAS ¨ Um einen Uberblick u ¨ ber einen Datensatz zu erhalten, beginnen die meisten statistischen Analysen mit einer Linearauswertung, gefolgt von Kreuztabellierungen f¨ ur einen ersten Eindruck u ¨ ber das Zusammenspiel zweier (oder mehrerer) Merkmale. 2.7.1 Eindimensionale Merkmale F¨ ur Linearauswertungen stehen insbesondere die Prozeduren UNIVARIATE und MEANS zur Verf¨ ugung. Die Prozedur UNIVARIATE ist eine der umfangreichsten Prozeduren in SAS. Mit dieser Prozedur k¨ onnen Lage- und Streuungsmaße berechnet werden, aber auch Konfidenzintervalle und verschiedene Tests k¨ onnen angefordert werden. Die allgemeine Syntax der Prozedur UNIVARIATE lautet: PROC UNIVARIATE [Optionen]; BY ; CLASS ; FREQ ; HISTOGRAM [Variablen]; OUTPUT [OUT=SAS-data-set] [Schl¨ usselwort=Name]; PROBPLOT [Variablen]; QQPLOT [Variablen]; VAR ; WEIGHT ; RUN;
2.7 Grundlagen der Statistik mit SAS
49
Wichtige Anweisungen sind dabei •
• • • • • • •
BY ; Getrennte Analyse f¨ ur jede durch Variable definierte Gruppe. Bei mehreren Variablen wird f¨ ur jede Merkmalskombination eine Gruppe gebildet. Der Datensatz muss dabei aufsteigend sortiert sein. Durch ein vorangestelltes DESCENDING wird auf eine absteigend sortierte Variable verwiesen, ein nachgestelltes NOTSORTED verweist auf einen unsortierten Datensatz. CLASS ; Gruppierungsvariable, in der Hierarchie niedriger als BY. F¨ ur jeden BY-Wert entsteht eine getrennte Ausgabe (neue Seite), f¨ ur jedes CLASS-Element eine Spalte bzw. Zeile in einer Tabelle. FREQ ; H¨aufigkeitsvariable, jede Datenzeile wird mit der angegebenen H¨ aufigkeit in die Analyse einbezogen. HISTOGRAM; Erstellt ein Histogramm, wenn keine Variable explizit angegeben ist wird f¨ ur alle Variablen ein Histogramm erstellt. OUTPUT; Legt einen Datensatz mit den gew¨ unschten Kennzahlen an. M¨ ogliche Schl¨ usselw¨orter sind in den Tabellen 2.12, 2.13 und 2.14 angef¨ uhrt. PROBPLOT; QQPLOT; Erzeugt Wahrscheinlichkeitsplots oder Q-Q-Plots. VAR ; Auswahl einzelner Variablen, ohne diese Anweisung werden alle numerischen Variablen analysiert. WEIGHT ; Beobachtungen werden gewichtet, die verwendeten Formeln k¨onnen der Hilfe entnommen werden. Beobachtungen mit einem Gewicht kleiner oder gleich null erhalten das Gewicht null, werden aber bei der Anzahl der Beobachtungen mitgez¨ ahlt. Beobachtungen ohne Gewicht fallen g¨anzlich aus der Berechnung.
Schl¨ usselwort
Bedeutung
MAX MIN MEAN MODE VAR STD RANGE SKEWNESS KURTOSIS CV N NMISS NOBS SUM
Maximum Minimum arithmetisches Mittel h¨ aufigster Wert Varianz Standardabweichung Spannweite Schiefe W¨ olbung Variationskoeffizient Stichprobenumfang Anzahl der fehlenden Werte Anzahl der Beobachtungen Summe der Werte
Tabelle 2.12. Schl¨ usselw¨ orter der beschreibenden Statistik
50
2 Einf¨ uhrung in SAS Schl¨ usselwort
Bedeutung
P1 P5 P10 Q1 MEDIAN Q3 P90 P95 P99 QRANGE
1-Prozent-Quantil 5-Prozent-Quantil 10-Prozent-Quantil Unteres Quartil (25-Prozent-Quantil) Median Oberes Quartil (75-Prozent-Quantil) 90-Prozent-Quantil 95-Prozent-Quantil 99-Prozent-Quantil Interquartilsdistanz (Q3 - Q1)
Tabelle 2.13. Schl¨ usselw¨ orter zur Quantilsberechnung
Schl¨ usselwort
Test, Ausgabe
MSIGN NORMALTEST SIGNRANK T
Vorzeichentest, Statistik Normalverteilungstest, Statistik Vorzeichen-Rangtest, Statistik Student’s t Test, Statistik
PROBM PROBN PROBS PROBT
Vorzeichentest, p-Wert Normalverteilungstest, p-Wert Vorzeichen-Rangtest, p-Wert Student’s t test, p-Wert
Tabelle 2.14. Schl¨ usselw¨ orter f¨ ur Hypothesentests (Auszug)
Die Prozedur MEANS erm¨oglicht neben der Prozedur UNIVARIATE ebenfalls die Berechnung von Mittelwerten und Streuungsmaßen. PROC MEANS [Optionen] [Statistik-Schl¨ usselw¨ orter]; BY ; CLASS ; FREQ ; OUTPUT [OUT=SAS-data-set] [Schl¨ usselwort=Name]; VAR ; WEIGHT ; RUN; Im Unterschied zu UNIVARIATE werden ohne Angabe von Optionen nur das arithmetische Mittel, die Standardabweichung und die Extremwerte berechnet. Die Anweisungen BY, CLASS, FREQ, OUTPUT, VAR oder WEIGHT sind wie gewohnt zu verwenden.
2.7 Grundlagen der Statistik mit SAS
51
Die Anweisung HISTOGRAM Das HISTOGRAM-Statement erstellt Histogramme und kann optional die (parametrisch oder nichtparametrisch) gesch¨atzte Dichte erg¨anzen. Die allgemeine Form des Statements lautet: HISTOGRAM [Variablen] [/ Optionen]; Die Optionen beginnen mit einem Slash (/) und k¨ onnen in drei Arten von Optionen unterteilt werden: Prim¨ aroptionen f¨ ur die Dichtesch¨atzung, Sekund¨ aroptionen f¨ ur die Dichtesch¨atzung und allgemeine Optionen. Die Prim¨ aroptionen spezifizieren die Dichtesch¨ atzung, wobei diese prinzipiell parametrisch oder nichtparametrisch erfolgen kann (vgl. Tabelle 2.15) Option
Bedeutung
BETA(Beta-Optionen) EXPONENTIAL(Exponential-Optionen) GAMMA(Gamma-Optionen) LOGNORMAL(Lognormal-Optionen) NORMAL(Normal-Optionen) WEIBULL(Weibull-Optionen) KERNEL(Kernel-Optionen)
Anpassen einer Betaverteilung Anpassen einer Exponentialverteilung Anpassen einer Gammaverteilung Anpassen einer Lognormalverteilung Anpassen einer Normalverteilung Anpassen einer Weibullverteilung Nichtparametrische Dichtesch¨ atzung
Tabelle 2.15. Prim¨ aroptionen f¨ ur die Histogram-Anweisung
Sekund¨ aroptionen beschreiben die anzupassende Verteilung n¨aher, beispielsweise durch Angabe von Parametern. Sind keine Parameter angegeben, so werden diese aus den Daten gesch¨atzt. Tabelle 2.16 listet die wichtigsten Sekund¨ aroptionen f¨ ur die parametrische Dichtesch¨ atzung auf, f¨ ur die Optionen der nichtparametrische Dichtesch¨atzung wird auf Kapitel 10 verwiesen. Option
Bedeutung
COLOR= PERCENTS= W=
Farbe der Dichtefunktion Empirische und theoretische Quantile Strichbreite der Dichtefunktion Optionen f¨ ur Normalverteilung
MU= SIGMA=
Mittelwert Standardabweichung
Tabelle 2.16. Sekund¨ aroptionen f¨ ur die Histogram-Anweisung
Die allgemeinen Optionen werden zur Anpassung der Grafiken oder des Outputs verwendet und k¨ onnen in der Online-Dokumentation nachgelesen werden.
52
2 Einf¨ uhrung in SAS
2.7.2 Kontingenztafeln und Zusammenhangsmaße Die Prozedur FREQ erstellt eindimensionale H¨aufigkeitstabellen und mehrdimensionale Kreuztabellen. Daneben k¨onnen auch verschiedene Maßzahlen f¨ ur den Zusammenhang zweier nominaler Merkmale berechnet werden und die zugeh¨origen Tests auf Zusammenhang durchgef¨ uhrt werden. Die allgemeine Syntax ist PROC FREQ [Optionen]; TABLES [Optionen]; WEIGHT ; BY ; RUN; F¨ ur die Anweisungen im TABLES-Statement gibt es verschiedene M¨oglichkeiten: •
• • • •
TABLES a b c: Erstellt f¨ ur jede Variable eine H¨aufigkeitstabelle mit den absoluten, relativen, kumulierten absoluten und kumulierten relativen H¨aufigkeiten. Alternativ dazu kann die Anweisung TABLES a--c verwendet werden. TABLES a*b: Erstellt zweidimensionale Tabelle mit Zeilenvariable a und Spaltenvariable b. TABLES a*b*c: Erstellt f¨ ur jede Auspr¨ agung von a eine Seite mit zweidimensionale Tabelle mit Zeilenvariable b und Spaltenvariable c. TABLES a*(b c): Erzeugt die Tabellen a ∗ b und a ∗ c. TABLES (a--c)*d: Erzeugt die Tabellen a ∗ d, b ∗ d und c ∗ d.
Die Optionen in der Tabellenanweisung erm¨ oglichen die Ausgabe von Zusammenhangsmaßen und -tests. Einige wichtige Optionen sind:
Schl¨ usselwort
Beschreibung
ALL ALPHA BINOMIAL BINOMIALC CHISQ CL CMH FISHER JT MEASURES EXPECTED MISSPRINT
Tests und Maßzahlen aus CHISQ, MEASURES und CMH Signifikanzniveau, Voreinstellung 0.05 Konfidenzintervalle f¨ ur Anteile wie BINOMIAL, mit Stetigkeitskorrektur ¨ Chi-Quadrat-Test und Ahnliches Konfidenzintervalle f¨ ur MEASURES-Statistiken Cochran-Mantel-Haenszel Statitik Fisher’s Exact Test Jonckheere-Terpstra Test Assoziationsmaße, z.B. Korrelation, Rangkorrelation bei Unabh¨ angigkeit erwartete H¨ aufigkeiten H¨ aufigkeiten f¨ ur fehlende Werte werden ausgegeben Tabelle 2.17. Optionen f¨ ur TABLES-Anweisung
2.7 Grundlagen der Statistik mit SAS
53
Der Korrelationskoeffizient (metrische Merkmale) und die Rangkorrelationskoeffizienten nach Spearman, Kendall und Hoeferding k¨ onnen mit der Prozedur CORR berechnet werden: PROC CORR [Optionen]; VAR ; WITH ; PARTIAL ; WEIGHT ; FREQ ; BY ; RUN; Als Optionen f¨ ur die Prozedur stehen unter anderem folgende M¨ oglichkeiten zur Verf¨ ugung:
Schl¨ usselwort
Beschreibung
ALPHA COV FISHER HOEFFDING KENDALL PEARSON SPEARMAN
Kronbach’s Alpha Ausgabe der Varianz-Kovarianzmatrix Konfidenzintervall und p-Werte Hoeffding’s Abh¨ angigkeitsmaß Kendall’s tau-b Korrelationskoeffizient Rangkorrelation nach Spearman
Tabelle 2.18. Optionen f¨ ur die Prozedur CORR
Die Option FISHER kann durch weitere Optionen n¨ aher spezifiziert werden: •
RHO0=<Wert>: Festlegen des Vergleichswertes f¨ ur die Nullhypothese, Voreinstellung ist RHO0=0
•
ALPHA: Signifikanzniveau, Voreinstellung ist ALPHA=0.05
•
TYPE=LOWER|UPPER|TWOSIDED: Einseitige oder zweiseitige Konfidenzintervalle, Voreinstellung ist ein zweiseitiges Konfidenzintervall.
3 Einf¨ uhrung in R
R ist eine kostenlose Programmierumgebung, die speziell f¨ ur statistische Analysen konzipiert wurde. R ist auf verschiedenen UNIX-Plattformen, sowie f¨ ur MacOS und Windows verf¨ ugbar (http://www.r-project.org/). Die Ausf¨ uhrungen in diesem Buch beschr¨ anken sich auf das Betriebssystem Windows. Installationsanleitungen und Besonderheiten anderer Plattformen sind auf der R-Website nachzulesen. Die Einf¨ uhrung in diesem Buch vermittelt die Grundlagen und erm¨ oglicht den LeserInnen, die verwendeten Codes zu verstehen und selbst kleinere Programme zu schreiben. Interessierte LeserInnen finden auf der R-Website umfangreiche Handb¨ ucher und Literaturhinweise.
3.1 Installation und Konfiguration Die zur Installation ben¨ otigten Dateien werden von CRAN, einem weltweiten Servernetz, zur Verf¨ ugung gestellt. Auf http://cran.r-project.org/ findet man eine Liste aller Spiegelserver, von denen man den geografisch n¨ achsten Server w¨ ahlen sollte. Unter dem Link Windows werden die kompilierte Basis-Version und zus¨ atzliche Pakete zum Herunterladen angeboten. Durch Anklicken von base kommt man auf die Seite mit dem Setup-Programm R-2.7.0-win32.exe (derzeitige Version, Stand 5.5.2008) und weiteren Informationen. Nach dem Herunterladen und Anklicken von R-2.7.0-win32.exe f¨ uhrt ein Setup-Assistent durch die Installation von R, alle Standardeinstellungen k¨ onnen u ¨ bernommen werden. Danach kann R durch die Verkn¨ upfung im Windows-Startmen¨ u oder durch einen Doppelklick auf das neue Icon am Desktop aufgerufen werden.
56
3 Einf¨ uhrung in R
F¨ ur einen effizienten Gebrauch von R ist es empfehlenswert einige Konfigurationen vorzunehmen. Klickt man mit der rechten Maustaste auf das DesktopIcon, so erscheint ein Kontextmen¨ u, aus dem man den Punkt Eigenschaften ausw¨ahlt. Es erscheint folgende Dialogbox:
Abb. 3.1. Eigenschaften von R
In der Zeile Ausf¨ uhren in“ kann das gew¨ unschte Arbeitsverzeichnis eingege” ben werden (C:\Eigene Dateien). In der Zeile Ziel“ kann man die Optionen ” --sdi und --no-save erg¨ anzen. Die erste Option (Voraussetzung f¨ ur RWinEdt, vgl. Abschnitt 3.9) bewirkt, dass alle Fenster eigenst¨andig verwaltet werden (im Gegensatz zur Standardeinstellung mdi), die zweite gibt an, dass der Workspace beim Beenden nicht gesichert werden soll (vgl. Abschnitt 3.2.2).
3.2 Grundlagen
57
3.2 Grundlagen Als erstes kleines Beispiel soll das arithmetische Mittel von 13, 27 und 8 berechnet werden. Nach dem Promptzeichen (>) in der Konsole wird dazu folgender Code eingegeben und mit der Return-Taste best¨atigt. Das Resultat wird automatisch in der n¨ achsten Zeile ausgegeben: > (13 + 27 + 8)/3 [1] 16
# Berechnung des arithmetischen Mittels
Sollen mehrere Anweisungen in einer Zeile ausgef¨ uhrt werden, so sind diese mit einem Strichpunkt zu trennen. Bei mehrzeiligen Anweisungen ¨andert sich das Promptzeichen in der Fortsetzungszeile (+). Mit den Cursortasten (Pfeil nach oben bzw. nach unten) kann man schrittweise durch s¨amtliche in der Konsole eingegebenen Anweisungen bl¨attern (History). Kommentare beginnen mit dem Rautezeichen (#) und reichen bis zum Ende der Zeile. In Tabelle 3.1 sind die wichtigsten arithmetischen Operatoren angegeben. Operator
Beschreibung
+ * / ^ %% %/%
Addition Subtraktion Multiplikation Division Potenz Modulo Division Ganzzahlige Division
x+y x−y x·y x/y xy x mod y x/y
Tabelle 3.1. Arithmetische Operatoren in R
3.2.1 Zuweisungen M¨ ochte man mit dem Resultat weitere Berechnungen durchf¨ uhren, so ist es sinnvoll das Ergebnis einer Variable zuzuweisen. Dazu stehen in R mehrere M¨ oglichkeiten zur Verf¨ ugung, wobei eine der beiden folgenden empfohlen wird: > y <- 16 > y = 16
# Zuweisungen
Bei einer Zuweisung wird die Variable nicht automatisch auf der Konsole ausgegeben. Ist dies gew¨ unscht, ist entweder der Variablenname neu einzugeben oder die Zuweisung zu umklammern:
58
3 Einf¨ uhrung in R
> y = 16 > y [1] 16 > (y = 16) [1] 16
# Ausgabe durch explizite Angabe von y # Ausgabe durch Umklammerung der Zuweisung
In Variablennamen sind alle alphanumerischen Symbole, sowie Punkt und Unterstrich (_) erlaubt, wobei das erste Zeichen weder eine Ziffer noch ein Unterstrich sein darf. Beginnt der Name mit einem Punkt, so darf das zweite Zeichen keine Ziffer sein. Bei der Wahl von Variablennamen sollte stets auf die Lesbarkeit geachtet werden. R unterscheidet Groß- und Kleinschreibung, demnach sind y und Y unterschiedliche Variablen. In R sind einige Konstanten definiert, die ebenfalls nicht als Variablennamen in Frage kommen. Ein Auszug der wichtigsten Konstanten zeigt Tabelle 3.2.
Konstante
Beschreibung
Inf NA NaN NULL pi T F
unendlich fehlender Wert undefinierter Wert (not a number) leere Menge Zahl π TRUE (= 1) FALSE (= 0) Tabelle 3.2. Konstanten in R
Der Wert einiger Konstanten kann mit Zuweisungen u ¨berschrieben werden, wie das folgende Beispiel zeigt: > pi [1] 3.141593 > pi = 1 > pi [1] 1
# Wert von pi ausgeben # pi den Wert 1 zuweisen # pi ist ¨ uberschrieben
Der Unterschied zwischen NA und NaN besteht darin, dass bei letzterem der Wert fehlt, weil eine Berechnung nicht m¨oglich war. > 0/0 [1] NaN > pi/0 [1] Inf
# undefiniert # unendlich
3.2 Grundlagen
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3.2.2 Objekte und Workspace In R werden alle Variablen, Daten, Funktionen etc. als Objekte angesehen. Alle in einer R-Sitzung erzeugten Objekte werden im so genannten Workspace gespeichert. Mit ls() bzw. objects() werden die Objekte im aktuellen Workspace angezeigt. In l¨angeren R-Sitzungen werden oft Objekte angelegt, die nicht mehr verwendet werden. Mit rm() werden Objekte aus dem Workspace entfernt. Mit rm(list=ls(all=TRUE)) werden alle Objekte gleichzeitig gel¨oscht (oder Men¨ upunkt Verschiedenes - Entferne alle Objekte). Mit save.image() wird der Workspace in der Datei .RData f¨ ur eine sp¨atere R-Sitzung gespeichert. Mit load() bzw. Doppelklick auf die Datei wird der gespeicherte Workspace wieder geladen, wobei der gespeicherte mit dem aktuellen Workspace zusammengef¨ ugt wird. Bei identischen Objektnamen wird das Objekt im gespeicherten Workspace verwendet. Beim Beenden einer RSitzung mit q() wird gefragt, ob der Workspace gesichert werden soll (außer man hat die Konfiguration zum Speichern ge¨ andert, vgl. Abschnitt 3.1). Bei Best¨atigung wird neben dem Workspace auch die History, das ist die gesamte in der Konsole eingegebene Befehlsfolge, in der Datei .RHistory im aktuellen Arbeitsverzeichnis gespeichert. Im Men¨ u Datei stehen zum Speichern und Laden von Workspace und History ebenfalls Men¨ upunkte zur Verf¨ ugung. Mit Datei - ¨ Offne Skript kann .RHistory auch als Textdatei ge¨ offnet werden. Funktion
Beschreibung
ls(), objects() rm() rm(list=ls(all=TRUE)) save.image() load() q(), quit()
Anzeigen der aktuellen Objekte L¨ oschen eines Objektes L¨ oschen aller aktuellen Objekte Workspace speichern Workspace laden Programm beenden
Tabelle 3.3. Funktionen zur Verwaltung des Workspace
3.2.3 Datentypen Die verf¨ ugbaren Datentypen sind in Tabelle 3.4 angegeben. Standardm¨aßig werden Daten als reelle Zahlen interpretiert. Logische Werte sind T, F, TRUE und FALSE, Zeichenketten werden mit Hochkomma "" angegeben. Mit den Funktionen is.logical(), is.numeric(), is.integer() etc. kann der Datentyp einer Variablen u ¨ berpr¨ uft werden.
60
3 Einf¨ uhrung in R Datentyp (Speichermodus)
Beschreibung
logical numeric (integer, double) complex character
logische Werte (ganze, reelle) Zahlen komplexe Zahlen Zeichenketten
Tabelle 3.4. Datentypen in R
Die Umwandlung in einen bestimmten Datentyp erfolgt durch Ersetzen von is mit as. Mit mode() kann der Datentyp eines Objekts, mit typeof() der Speichermodus von numerischen Variablen (integer oder double) abgefragt werden. > x = 4 > is.numeric(x) [1] TRUE > mode(x) [1] "numeric" > x = as.character(x) > mode(x) [1] "character"
3.2.4 Hilfesystem Im integrierten Hilfesystem findet man zu jeder Funktion Informationen zur Syntax und Verwendung. Mit help() bzw. ? wird die zugeh¨ orige Hilfeseite ge¨offnet. So wird etwa mit ?rm, ?rm(), help(rm) oder help("rm") die Hilfeseite f¨ ur die Funktion rm() aufgerufen. Oft findet man hier auch Beispiele, die vor allem beim Erlernen neuer Funktionen sehr hilfreich sind. Durch Markieren einer oder mehrerer Anweisungen der Beispiele auf der Hilfeseite und Strg-V wird der markierte Programmcode an die Konsole geschickt und zeilenweise abgearbeitet. Kennt man den Funktionsnamen nicht, so kann mit help.search() das gesamte Hilfesystem nach einem Schlagwort durchsucht werden. Mit apropos() werden alle Objektnamen angezeigt, welche die gesuchte Zeichenfolge enthalten. Die Funktionen help(), help.search() und apropos() k¨ onnen auch direkt u ¨ ber das Men¨ u Hilfe aufgerufen werden. Zus¨ atzlich stellt R auch einige Demos zur Verf¨ ugung. Mit demo() werden die verf¨ ugbaren Demos aufgelistet. Eine Vorf¨ uhrung der grafischen M¨oglichkeiten kann etwa mit demo(graphics) aufgerufen werden.
3.3 Datenstrukturen
61
3.2.5 Pakete S¨ amtliche Funktionen und Datens¨ atze werden bei R in Paketen zur Verf¨ ugung gestellt. Bevor man den Inhalt eines installierten Paketes verwenden kann, muss es geladen werden. In der Installation von R sind bereits die wichtigsten Basispakete f¨ ur grundlegende statistische Anwendungen enthalten. Mit library() werden die Pakete aufgelistet, die bereits lokal installiert wurden. Mit search() werden die bereits geladenen Pakete angezeigt. Informationen zu installierten Paketen erh¨ alt man mit library(help=Paketname). Installierte Pakete k¨onnen mit library() oder require() geladen und mit detach() wieder aus den geladenen Paketen entfernt werden. Sollen zus¨ atzliche Pakete installiert werden, so geschieht dies mit install.packages(). Zur Aktualisierung einzelner Pakete wird der Befehl update.package() verwendet.
Funktion
Beschreibung
library()
Installierte Pakete anzeigen
library(stats)
Paket stats laden
library(help = stats)
Informationen zum Paket stats
search()
Geladene Pakete anzeigen
detach("package:stats")
Paket stats aus geladenen Paketen entfernen
install.packages()
Pakete installieren
update.package()
Aktualisierung (Download) von Paketen
Tabelle 3.5. Funktionen zur Verwaltung von Paketen
Die Befehle zum Laden, Installieren und Aktualisieren von Paketen k¨ onnen auch direkt u ¨ ber den Men¨ upunkt Pakete aufgerufen werden. Zus¨atzlich kann hier auch der gew¨ unschte CRAN-Spiegelserver gew¨ ahlt werden (vgl. Abschnitt 3.1).
3.3 Datenstrukturen Es werden folgende Datenstrukturen unterschieden: Vektoren, Matrizen, Arrays, Datens¨ atze und Listen. Die Datenstruktur eines Objektes kann mit der Funktion str() abgefragt werden.
62
3 Einf¨ uhrung in R
3.3.1 Vektoren Vektoren werden mit der Funktion c() erzeugt. Weitere n¨ utzliche Funktionen sind length() zur Angabe der Vektorl¨ange und t() zum Transponieren eines Vektors. Bei der Erzeugung von Vektoren ist darauf zu achten, dass alle Elemente eines Vektors vom selben Datentyp sind. Ist dies nicht der Fall, wird allen Elementen der niedrigste Datentyp zugeordnet. Um einzelne Elemente eines Vektors aufzurufen, verwendet man hinter dem Namen des Vektors eckige Klammern [] mit dem entsprechenden Index. Beim Rechnen mit Vektoren wird in R komponentenweise gerechnet. Bei unterschiedlicher Vektorl¨ange wird der k¨ urzere Vektor wiederholt und im Bedarfsfall eine Warnmeldung generiert. > x > y > z > x [1] > x [1]
= = = +
c(2,3,4,6,8) c(5,4,8) c(7,2,1,6,9) z # Komponentenweises Addieren 9 5 5 12 17 + y # K¨ urzerer Vektor wird wiederholt 7 7 12 11 12 Warnmeldung: L¨ ange des l¨ angeren Objektes ist kein Vielfaches der L¨ ange des k¨ urzeren Objektes in: x + y
Die wichtigsten Funktionen und Operatoren f¨ ur Vektoren sind in Tabelle 3.6 zusammengefasst. Funktion
Beschreibung
c() str() length() t()
Vektor durch Verkn¨ upfung erzeugen Datenstruktur anzeigen L¨ ange des Vektors Transponieren
Operation
Beschreibung
+, *, / %*%
komponentenweises Addieren und Subtrahieren komponentenweises Multiplizieren und Dividieren Skalarprodukt Tabelle 3.6. Funktionen und Operatoren f¨ ur Vektoren
Einzelne Elemente eines Vektors k¨onnen benannt werden: > u = c(Vorname="Udo", Nachname="Mayr", Alter=35) > u Vorname Nachname Alter "Hans" "Mayr" "35"
3.3 Datenstrukturen
63
3.3.2 Matrizen Matrizen werden mit folgender Funktion erzeugt: matrix(data, nrow, ncol, ...) Im ersten Argument wird der Datenvektor u ¨ bergeben. Zus¨atzlich sollte man entweder die Zahl der Reihen nrow oder die Zahl der Spalten ncol angeben. Durch die Anweisung byrow = TRUE wird die Matrix zeilenweise aufgebaut, ansonsten spaltenweise. > > > >
data = c(1, 2, 3, 4, 5, 6) x = matrix(data, ncol=3) y = matrix(data, ncol=3, byrow=TRUE) x [,1] [,2] [,3] [1,] 1 3 5 [2,] 2 4 6 > y [,1] [,2] [,3] [1,] 1 2 3 [2,] 4 5 6
# spaltenweise # zeilenweise
Matrizen k¨ onnen genauso wie Vektoren durch einen Index in eckigen Klammern [] angesprochen werden. Man muss jedoch den Index der Zeile und der Spalte angeben, wobei die erste Zahl der Zeile entspricht. > x[1,2] > x[,2]
# Element in 1. Zeile und 2. Spalte # 2. Spalte
Die wichtigsten Funktionen und Operatoren f¨ ur Matrizen zeigt Tabelle 3.7. Funktion bzw. Operator
Beschreibung
eigen() kappa() solve(x) dim(x) crossprod(x,y) t(x) %*% y
Eigenwerte und Eigenvektoren Konditionszahl Matrixinvertierung x−1 Anzahl der Zeilen und Spalten Matrixmultiplikation xT y Matrixmultiplikation xT y
Tabelle 3.7. Funktionen und Operatoren f¨ ur Matrizen
Bei der Matrixmultiplikation crossprod() wird xT y berechnet, diese Funktion liefert daher dasselbe Ergebnis wie t(X)%*%Y.
64
3 Einf¨ uhrung in R
3.3.3 Arrays Durch array() werden Arrays mit beliebiger Dimension erzeugt. Die Dimensionen k¨onnen durch die Option dim angegeben werden. Die Funktion zur Erzeugung eines Arrays ist folgendermaßen aufgebaut: array(data_vector, dim_vector) Zur Erzeugung eines 3-dimensionales Array mit den Zahlen 1 bis 8 bedeutet dies: > a = array(1:8, dim = c(2, 2, 2)) Die Belegung der Elemente erfolgt auch hier spaltenweise“, d.h. die Elemente ” werden in folgender Reihenfolge belegt: a[1,1,1]=1 a[2,1,1]=2 a[1,2,1]=3 a[2,1,1]=4 a[1,1,2]=5 a[2,1,2]=6 a[1,2,2]=7 a[2,1,2]=8 Die Elemente eines Arrays k¨ onnen ebenso wie bei Vektoren und Matrizen mit eckigen Klammern [] und dem entsprechenden Index angesprochen werden. > a[1,1,1] > a[,1,2] > a[,,2]
# Zugriff auf Elemente # Zugriff auf 1-dimensionale Spalte # Zugriff auf 2-dimensionale Matrix
Auch bei Arrays gilt, dass im Fall von Elementen mit verschiedenen Datentypen der niedrigste Typ f¨ ur alle Eintr¨ age u ¨ bernommen wird.
3.3.4 Listen Listen werden mittels der Funktion list() erzeugt. Der Vorteil der Listen liegt darin, dass unterschiedliche Elemente auch andere Datentypen haben k¨ onnen. Der Zugriff auf die Elemente einer Liste erfolgt mit doppelten eckigen Klammern [[]].
3.3 Datenstrukturen
65
> (list1 = list(c(1, 2, 3), matrix(c(2, 4, 6, 8), 2, 2), + TRUE, "Hallo")) [[1]] [1] 1 2 3 [[2]] [,1] [,2] [1,] 2 6 [2,] 4 8 [[3]] [1] TRUE [[4]] [1] "Hallo" > list1[[1]] # Zugriff auf erstes Element [1] 1 2 3 > is.vector(list1[[2]]) [1] FALSE
Hier wurde zun¨ achst eine Liste mit verschiedenen Datentypen erzeugt. Das erste Element ist ein Vektor mit drei Eintr¨agen, anschließend folgt eine Matrix, dann der logische Wert TRUE und eine Zeichenkette Hallo. Durch die Funktion is.vector() wird TRUE oder FALSE geliefert, je nach dem ob das Element ein Vektor ist oder nicht. Auch in Listen k¨ onnen die einzelnen Elemente mit Namen versehen werden, was den sp¨ateren Zugriff vereinfacht. > Liste = list(Zeichen="Charakter", Wahrheitswert=TRUE) > Liste$Wahrheitswert [1] TRUE
3.3.5 Data Frames, Datens¨ atze Listen, bei denen die einzelnen Elemente Vektoren gleicher L¨ange sind, nennt man Data Frames oder Datens¨atze. Diese werden mit der Funktion data.frame() erzeugt. > + + +
Pruefung = data.frame(LVA = c("Betriebswirtschaft", "Mathematik", "Informatik", "Wahrscheinlichkeitsrechnung"), Datum = c("15.06.", "30.06.", "24.06.", "13.06."), Note = c(1, 3, 2, 1))
66
3 Einf¨ uhrung in R
> Pruefung LVA 1 Betriebswirtschaft 2 Mathematik 3 Informatik 4 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Datum Note 15.06. 1 30.06. 3 24.06. 2 13.06. 1
Mit der Funktion subset() besteht die M¨ oglichkeit bestimmte Elemente aus dem gesamten Datensatz auszuw¨ ahlen, beispielsweise all jene Pr¨ ufungen die mit der Note Eins absolviert wurden. > subset(Pruefung, Note == 1) LVA Datum Note 1 Betriebswirtschaft 15.06. 1 4 Wahrscheinlichkeitsrechnung 13.06. 1 Wichtige Funktionen f¨ ur das Arbeiten mit Datens¨atzen sind in Tabelle 3.8 aufgelistet. Die Indizierung in Datens¨atzen kann entweder wie bei Listen oder wie bei Matrizen erfolgen. Daher greifen Pruefung$Note[2], Pruefung[[3]][2] und Pruefung[2,3] auf das selbe Element zu. Funktion
Beschreibung
data.frame() subset() str() select() A %in% B split() merge()
Erzeugung eines Datensatzes Ausw¨ ahlen von Elementen Struktur des Datensatzes Ausw¨ ahlen bestimmter Spalten TRUE, wenn A in B enthalten ist Aufteilen eines Datensatzes Zusammenf¨ ugen mehrerer Datens¨ atze
Tabelle 3.8. Funktionen f¨ ur Datens¨ atze
3.4 Konstrukte f¨ ur den Programmablauf Um den Ablauf eines Programms zu steuern werden so genannte Konstrukte verwendet. Mit Verzweigungen k¨onnen Fallunterscheidungen programmiert werden, Schleifen dienen zur wiederholten Ausf¨ uhrung eines Programmteils. Basis jedes Konstruktes ist eine logische Abfrage, die mit Vergleichsoperatoren und logischen Operatoren gebildet wird (Tabelle 3.9).
3.4 Konstrukte f¨ ur den Programmablauf Operator
Beschreibung
== != >, >= <, <=
gleich ungleich gr¨ oßer, gr¨ oßer gleich kleiner, kleiner gleich
! && & || | xor()
nicht und vektorwertiges und oder vektorwertiges oder entweder oder (ausschließend)
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Tabelle 3.9. Vergleichsoperatoren und Logische Operatoren
Ein Beispiel zeigt den Unterschied zwischen vektorwertigen und nicht vektorwertigen Verkn¨ upfungen: > x > y > x [1] > x [1]
= c(TRUE, TRUE) = c(TRUE, FALSE) & y # vektorwertig TRUE FALSE && y # nicht vektorwertig TRUE
Beim vektorwertigen Operator wird jedes Element aus dem ersten Vektor mit dem entsprechenden Element des zweiten Vektors verkn¨ upft. Die Anzahl der resultierenden Wahrheitswerte entspricht der L¨ ange des l¨angeren Vektors, der k¨ urzere Vektor wird im Bedarfsfall wiederholt. Vergleichsoperatoren werden ebenfalls vektorwertig (= komponentenweise) verarbeitet. Beim nicht vektorwertigen Operator wird lediglich das jeweils erste Element der beiden Vektoren verglichen und ein einzelner Wahrheitswert ausgegeben. Der Vorteil von nicht vektorwertigen Operatoren besteht darin, dass nur so viele Logik-Verkn¨ upfungen ausgef¨ uhrt werden, wie notwendig sind um einen Wahrheitswert zu erhalten. > (3==4) && (3==3) [1] FALSE Da die erste Aussage (3==4) bereits den Wert FALSE liefert und damit das Gesamtergebnis bereits feststeht wird der zweite Ausdruck (3==3) nicht mehr ausgewertet.
68
3 Einf¨ uhrung in R
Interessant ist die dadurch gebotene M¨oglichkeit einer bedingten Zuweisung: > x = 0 > FALSE || (x = 3) [1] TRUE > x [1] 3
3.4.1 Verzweigungen F¨ ur Verzweigungen bzw. bedingte Anweisungen steht in R folgende M¨oglichkeiten zur Verf¨ ugung: if, ifelse und switch.
if (Bedingung) {Anweisungen1} else {Anweisungen2} Ist der Wert von Bedingung TRUE, so wird Anweisungen1 ausgef¨ uhrt, sonst wird Anweisungen2 ausgef¨ uhrt. Die Bedingung darf nicht vektorwertig sein (vgl. Seite 67). Wird dennoch eine vektorwertige Bedingung angegeben, so verwendet R nach einem Warnhinweis nur das erste Element. Der else-Zweig ist optional und kann entfallen. Die geschwungenen Klammern m¨ ussen verwendet werden, wenn mehrere Anweisungen ausgef¨ uhrt werden sollen, ansonsten reicht die Anweisung ohne Klammer. > > + + + + >
x = -16 if (x < 0) { im = 0i y = sqrt(x + im) } else y = sqrt(x) y
# # # #
Wert zuweisen wenn x < 0, dann Imagin¨ arteil y die imagin¨ are Quadratwurzel zuweisen
# y die reelle Quadratwurzel zuweisen
F¨ ur mehrere Fallunterscheidungen k¨ onnen die if(){}else{}-Statements auch verschachtelt werden.
ifelse(Bedingung, Anweisung1, Anweisung2) Der wesentliche Unterschied zum if(){}else{}-Statement liegt darin, dass nun Bedingung und Anweisungen vektorwertig sind, wobei nur einfache Anweisungen m¨oglich sind. Wie bei vektorwertigen Operatoren u ¨ blich werden Elemente von k¨ urzeren Vektoren im notwendigen Ausmaß wiederholt. Ein einfaches Beispiel illustriert die Arbeitsweise des Statements:
3.4 Konstrukte f¨ ur den Programmablauf
69
> x=2 > ifelse(x == c(0,2), c("Then1","Then2"), c("Else1","Else2")) [1] "Else1" "Then2" Zuerst wird der Wert x mit der ersten Komponente (0) verglichen, aufgrund der Ungleichheit verzweigt die Anweisung in die erste Komponente des elseZweiges. Danach erfolgt der Vergleich von x mit der zweiten Komponente (2) und dem entsprechend erfolgt die Ausgabe der zweiten Komponente des then-Zweiges.
switch(Anweisung, Liste) Anstelle von verschachtelten if-Anweisungen kann in manchen F¨allen diese Alternative zur Fallunterscheidung verwendet werden. Liefert Anweisung eine Zahl zwischen 1 und der L¨ange von Liste, so wird das entsprechende Listenelement ausgewertet. Liefert Anweisung einen String, so wird das entsprechend benannte Listenelement ausgegeben. In allen anderen F¨ allen wird NULL zur¨ uckgegeben. > switch(3,"Badesachen","Schirm","Schlitten") [1] "Schlitten" > switch("Regen", Sonne = "Badesachen", Regen = "Schirm", + Schnee = "Schlitten") [1] "Schirm"
3.4.2 Schleifen R bietet drei M¨ oglichkeiten der Schleifenprogrammierung, daneben werden oft Kontrollbefehle ben¨ otigt, die in Tabelle 3.10 zusammengefasst sind. Schleife
Beschreibung
repeat{Anweisungen} while(Bedingung){Anweisungen} for(i in Vektor){Anweisungen}
Wiederholung der Anweisungen Wiederholung, solange Bedingung erf¨ ullt Wiederholung, solange i in Vektor
Kontrollbefehl
Beschreibung
next break
Sprung in den n¨ achsten Iterationsschritt Sprung aus der Schleife Tabelle 3.10. Schleifen und zugeh¨ orige Kontrollbefehle
70
3 Einf¨ uhrung in R
repeat{Anweisungen} F¨ ur diese Schleifenkonstruktion ist die Verwendung des Kontrollbefehls break obligat, weil sonst die Schleife endlos laufen w¨ urde. Der Block Anweisungen wird solange wiederholt, bis die Schleife durch break - sinnvollerweise unter einer Bedingung - beendet wird. Durch next ist es m¨oglich an den Schleifenanfang zur¨ uckzuspringen. Dies ist besonders dann sinnvoll, wenn nicht bei jedem Durchlauf der gesamte Anweisungsblock abgearbeitet werden soll, sondern nur unter gewissen Bedingungen. > i = 1 > repeat { + i = i + 1 + if (i < 4) next + print(i^2) + if (i == 6) break + } [1] 16 [1] 25 [1] 36
# # # # # #
bei i = 1 starten wiederhole i um 1 erh¨ ohen falls i < 4 Sprung zu Anfang Quadrat ausgeben wenn i == 6 dann Ende
while(Bedingung){Anweisungen} Beim while-Statement steht die Abbruchbedingung nicht innerhalb der Schleife, sondern zu Beginn. Der Block Anweisungen wird solange wiederholt, bis Bedingung nicht mehr erf¨ ullt ist und den Wert FALSE liefert. Die Schleife aus obigen Beispiel kann auch folgendermaßen umgesetzt werden: > i = 1 > while(i <= 6) { + if(i >= 4) print(i^2) + i = i + 1 + } [1] 16 [1] 25 [1] 36
# # # #
bei i = 1 starten solange i <= 6 falls i >= 4 Quadrat ausgeben i um 1 erh¨ ohen
Auch in while-Schleifen k¨ onnen die Kontrollbefehle next und break verwendet werden.
3.5 Funktionen
71
for(i in Vektor){Anweisungen} In dieser Schleife wird der Block Anweisungen solange wiederholt, wie die Schleifenvariable i in Vektor liegt. > for (i in 4:6) + print(i^2) [1] 16 [1] 25 [1] 36
# solange i in 4:6 # Inhalt ausgeben
Auch hier k¨ onnen die Anweisungen next und break verwendet werden.
3.5 Funktionen In R besteht die M¨ oglichkeit, Funktionen selbst zu definieren. Dies ist dann sinnvoll, wenn man einen Programmcode o¨fter verwendet. Der grundlegende Aufbau besteht aus einer Zuweisung des Objekts function: Funktionsname = function(Argumente) {Body} Durch Argumente werden Parameter an die Funktion u ¨ bergeben, die im Anweisungsteil, dem Body der Funktion, verwendet werden. Diese Argumente k¨ onnen auch mit Voreinstellung versehen werden. Der Aufruf erfolgt u ¨ber den Namen der Funktion: Funktionsname(Argument1 = Wert1, Argument2 = Wert2) Beim Aufruf der Funktion m¨ ussen entweder die Parameter in der vorgegebenen Reihenfolge u ¨ bergeben werden, oder man bezeichnet die Parameter beim Funktionsaufruf mit den definierten Argumentnamen. Aus Gr¨ unden der Lesbarkeit sollte man bei mehreren Parametern beim Aufruf stets die Parameternamen verwenden. Die Funktion gibt standardm¨ aßig das in der letzten Zeile (im Body) erzeugte Objekt zur¨ uck. Mit return() oder invisible() kann ein anderer R¨ uckgabewert festgelegt werden. Folgende Funktion berechnet die n-te Wurzel der Zahl x: sqrtn = function (x, n = 2) {y = x ^ (1/n)}
72
3 Einf¨ uhrung in R
Mit n = 2 wird der default-Wert festgelegt. Wird also beim Funktionsaufruf f¨ ur n kein Wert u ¨ bergeben, so wird standardm¨ aßig die Quadratwurzel berechnet. Der default-Wert wird ignoriert, wenn n beim Aufruf explizit angegeben wird: > (sqrtn(16, 4)) [1] 2 > (sqrtn(n = 4, x = 16)) [1] 2 > (sqrtn(16)) [1] 4 > (sqrtn(x = 125, n = 3)) [1] 5 Hier werden die Funktionswerte durch die Umklammerung direkt ausgegeben. Durch Zuweisung beim Funktionsaufruf k¨ onnen die Funktionswerte zur sp¨ ateren Verwendung gespeichert werden. Alle Objekte, die innerhalb einer Funktion erzeugt wurden, sind nach Ende des Funktionsauswertung nicht mehr verf¨ ugbar. Sollen mehrere Werte zur¨ uckgegeben werden, so fasst man diese zu einer Liste zusammen und gibt sie mit return(list(Wert1, Wert2, ...)) zur¨ uck.
3.6 Datenimport und -export R bietet zahlreiche M¨oglichkeiten f¨ ur den Datenimport und -export. Um Daten in Tabellenform einzulesen, wie etwa aus .txt-Dateien oder .csvDateien kann eine der nachfolgenden Funktionen genutzt werden. read.table() read.csv() read.csv2() Alle drei Funktionen sind geeignet f¨ ur das Einlesen von Daten in Tabellenform, die Argumente und Voreinstellungen sind vielf¨ altig, daher wird an dieser Stelle auf die Informationen im Hilfesystem verwiesen (?read.table).
3.6 Datenimport und -export
73
Die wichtigsten Argumente sind file, header, sep und dec: • • • •
Unter file ist der Name (und Pfad) der Datei als string anzugeben. Mit header = TRUE wird die erste Zeile als Spalten¨ uberschrift interpretiert. Mit sep = "" kann das Trennzeichen angegeben werden. Mit dec = "" wird das Dezimalzeichen bestimmt.
In read.table ist die Voreinstellung f¨ ur das Trennzeichen " ", demnach wird jeder Leerraum (Leerzeichen, Tabulator) als Trennzeichen interpretiert. Die Voreinstellungen der read-Anweisungen unterschieden sich und sind in folgender Tabelle zusammengefasst:
Anweisung
header
sep
dec
read.table() read.csv() read.csv2()
FALSE TRUE TRUE
" " , ;
. . ,
Tabelle 3.11. Funktionen zum Datenimport und Voreinstellungen
Als Gegenst¨ uck zum Einlesen von Dateien kann man Datens¨atze auch exportieren. Die verschiedenen Optionen sind jenen zum Importieren sehr ¨ahnlich. write.table() write.csv() write.csv2() Auch f¨ ur andere Dateiformate, wie zum Beispiel aus SAS, Excel oder SPSS werden in verschiedenen Paketen Funktionen angeboten. Die wichtigsten Funktionen sind in Tabelle 3.12 aufgelistet.
Funktion
Beschreibung
read.fwf() read.ssd() read.spss() read.xls()
Einlesen Einlesen Einlesen Einlesen
von von von von
Paket Dateien mit fixer Spaltenbreite SAS-Dateien SPSS-Dateien Excel-Dateien
Tabelle 3.12. Datenimport f¨ ur fremde Formate
utils foreign foreign gdata
74
3 Einf¨ uhrung in R
3.7 Statistik mit R R stellt f¨ ur statistische Anwendungen zahlreiche Funktionen bereit. F¨ ur die wichtigsten Verteilungen sind Funktionen zur Berechnung von Dichtefunktion, Verteilungsfunktion und Quantilen sowie zur Erzeugung von Pseudozufallszahlen bereits implementiert. Der Funktionsname setzt sich aus dem R-Namen der Verteilung und einem vorangestellten Buchstaben (d f¨ ur die Dichte, p f¨ ur die Verteilungsfunktion, q f¨ ur Quantile und r f¨ ur die Erzeugung von Pseudozufallszahlen) zusammen. ¨ Tabelle 3.13 gibt eine Ubersicht der in der Basisinstallation enthaltenen Verteilungen.
Funktion
Anfangsbuchstabe
Argument
Dichtefunktion Verteilungsfunktion Quantil Pseudo-Zufallszahl
d p q r
x q p n
Verteilung
Erg¨ anzung
Argumente
BetaBinomialCauchyChi-QuadratExponentialFGammaGeometrischeHypergeometrischeLog-NormalLogistischeMultinomialNegative BinomialNormalPoissonStudent tGleichWeibullWilcoxonWilcoxon-
beta() binom() cauchy() chisq() exp() f() gamma() geom() hyper() lnorm() logis() multinom()1 nbinom() norm() pois() t() unif() weibull() wilcox() signrank()
shape1, shape2, ncp size, prob location, scale df, ncp rate df1, df2, ncp shape, scale prob m, n, k meanlog, sdlog location, scale size, prob size, prob mean, sd lambda df, ncp min, max shape, scale m, n (zwei Stichproben) n (eine Stichprobe)
Tabelle 3.13. Verteilungen in R
1
nur rmultinom() und dmultinom()
3.7 Statistik mit R
75
Ein Beispiel illustriert die Verwendung der Funktionen anhand einer Binomialverteilung mit den Parametern n = 4 und p = 0.2. > # Dichte an der Stelle x=2 > dbinom(x=2,size=4,prob=0.2) [1] 0.1536 > # Verteilungsfunktion an der Stelle x=2 > pbinom(q=2,size=4,prob=0.2) [1] 0.9728 > # 0.5-Quantil (=Median) > qbinom(p=0.5, size=4, prob=0.2) [1] 1 > # Erzeugung von 5 Zufallszahlen > rbinom(n=5, size=4, prob=0.2) [1] 1 1 1 3 0 Mit set.seed() und einer beliebigen Integer-Zahl kann der ZufallszahlenGenerator zur Reproduzierbarkeit der Pseudozufallszahlen initialisiert werden. > # neuer Aufruf erzeugt andere Zahlen > rbinom(n=5, size=4, prob=0.2) [1] 0 1 0 1 1 > # Initialisierung > set.seed(10) > rbinom(n=5, size=4, prob=0.2) [1] 1 0 1 1 0 > # neuer Aufruf erzeugt andere Zahlen > rbinom(n=5, size=4, prob=0.2) [1] 0 0 0 1 1 > # gleiche Initialisierung erm¨ oglicht Reproduktion > set.seed(10) > rbinom(n=5, size=4, prob=0.2) [1] 1 0 1 1 0 In Tabelle 3.14 sind die wichtigsten statistischen und mathematischen Funktionen zusammengefasst. F¨ ur weitere Informationen zu den Funktionen wird auf die entsprechenden Hilfeseiten verwiesen.
76
3 Einf¨ uhrung in R Funktion
Beschreibung
min(), max() range() mean() median() quantile() IQR() summary(), table()
Minimum, Maximum Minimum und Maximum Arithmetisches Mittel Median Quantile Interquartilsdistanz ¨ Ubersicht, H¨ aufigkeitstabelle
sd() var() cor() cov() mad() density()
Standardabweichung Varianz (unverzerrt) Korrelationskoeffizient Kovarianz Absolute Abweichung vom Median Kerndichtesch¨ atzer
acf() pacf() ccf()
Autokorrelationsfunktion Partielle Autokorrelationsfunktion Kreuzkorrelation
rank() sort() choose() factorial() sample()
R¨ ange Sortieren Binomialkoeffizient Fakult¨ at Ziehen von Zufallsstichproben
aov() anova() lm() glm() loglin() predict() resid() coef() confint()
Anpassung eines Varianzanalyse-Modells Varianzanalyse Anpassung eines linearen Modells Anpassung generalisiertes lin. Modell Anpassung eines log-linearen Modells Modellvorhersage Residuen Modellkoeffizienten Konfidenz-Intervalle f¨ ur Modellparameter
abs() diff() sqrt() log(), exp() cos(), sin(), tan(), acosh(x), asinh(), atanh() sum(), prod() round(), floor(), ceiling() cumsum(), cumprod()
Absolutbetrag Differenz Quadratwurzel Logarithmus, Exponentialfunktion trigonometrische Funktionen hyperbolische Funktionen Summe, Produkt Runden, Abrunden, Aufrunden kumulierte Summe bzw. Produkt
Tabelle 3.14. Statistische und mathematische Funktionen
3.8 Grafiken in R
77
3.8 Grafiken in R Eine einfache Grafik wird mit der Funktion plot() erzeugt. Diese Funktion eignet sich beispielsweise f¨ ur Streudiagramme, Treppenfunktionen oder Zeitreihen. Man kann der Funktion plot() verschiedene Argumente u ¨ bergeben, zum Beispiel ob Punkte gezeichnet werden sollen oder die Grafik in Form von Linien dargestellt werden soll. Auch f¨ ur Achsenbeschriftungen und Titel stehen Argumente zur Verf¨ ugung. Die Befehle f¨ ur die verschiedenen Optionen k¨ onnen der Hilfe (?plot) entnommen werden. F¨ ur bestimmte Grafiktypen sind in R spezielle Funktionen vorhanden, die wichtigsten sind in Tabelle 3.15 angef¨ uhrt. Funktion
Beschreibung
hist() barplot() boxplot() curve() qqplot()
Histogramm Stabdiagramm Boxplot Zeichnen von Funktionen QQ-Plot
Tabelle 3.15. Grafikfunktionen
Im folgenden Beispiel wird ein Histogramm f¨ ur die H¨ ohe von Kirschb¨ aumen des Datensatzes trees erstellt, der in der Standardinstallation automatisch zur Verf¨ ugung steht (vgl. Abbildung 3.2). Unterschiedliche Optionen zum Ver¨andern und Anpassen des Histogramms stehen zur Verf¨ ugung. > > + + +
data(trees) # Laden der Datensatzes hist(trees$Height, main = "H¨ ohe von Kirschb¨ aumen", xlab = "H¨ ohe", ylab = "H¨ aufigkeit", col = "grey")
In manchen Anwendungsf¨ allen sollen empirische und theoretische Verteilungsfunktionen miteinander verglichen werden. Die empirische Verteilungsfunktion wird mit dem Befehl plot(ecdf(data)) erstellt. Die theoretische Verteilungsfunktion mit der Anweisung curve(...,add = TRUE) erg¨ anzt werden (vgl. Abbildung 3.3). > > + + > +
x = rexp(20, 1) plot(ecdf(x), verticals = TRUE, main = "Empirische und theoretische Verteilungsfunktion von Exp(1)") curve(pexp(x, 1), from = 0, to = 7, add = TRUE, col = "red", lty="dotted")
78
3 Einf¨ uhrung in R
0
2
4
Häufigkeit
6
8
10
Höhe von Kirschbäumen
60
65
70
75
80
85
90
Höhe
Abb. 3.2. Histogramm der H¨ ohe von Kirschb¨ aumen
0.0
0.2
0.4
Fn(x)
0.6
0.8
1.0
Empirische und theoretische Verteilungfunktion von Exp(1)
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
x
Abb. 3.3. Empirische und theoretische Verteilungsfunktion f¨ ur Exp(1)-Daten
3.9 Editoren und grafische Benutzeroberfl¨ achen (GUIs)
79
Erw¨ ahnenswert sind auch die M¨ oglichkeiten der Erzeugung dreidimensionaler Grafiken. Diese basieren auf einem Punktegitter und k¨ onnen durch verschiedene Funktionen, wie zum Beispiel persp() oder scatterplot3d() erstellt werden. Um die erzeugten Grafiken zu speichern, stehen unterschiedliche Dateitypen zur Verf¨ ugung. Zun¨ achst muss jedoch ein ’Device’ (Ger¨ at) gew¨ahlt werden, als Voreinstellung ist die Bildschirmausgabe X11() verf¨ ugbar. Die unterschiedlichen Devices werden im Package grDevices angeboten. Die Grafik kann mit folgendem Funktionsaufruf gespeichert werden: savePlot(filename = "", type = c("wmf", "png", "jpeg", "jpg", "bmp", "ps", "pdf"), device = dev.cur()) Nach dem Speichern sollten alle ge¨offneten Devices mit graphics.off() geschlossen werden. F¨ ur das Speichern und Schließen der Grafik stehen entsprechende Befehle auch in den Men¨ upunkten im Grafikfenster bzw. im Kontextmen¨ u zur Verf¨ ugung.
3.9 Editoren und grafische Benutzeroberfl¨ achen (GUIs) F¨ ur einen l¨ angeren Programmcode ist es sinnvoll anstatt der Eingabe auf der Konsole einen Editor zu verwenden. Einerseits kann so das Skript gespeichert und f¨ ur eine sp¨atere Durchf¨ uhrung wieder ge¨ offnet werden, andererseits f¨ allt die Fehlersuche meist wesentlich leichter. Mit Datei - Neues Skript wird der R-Editor ge¨offnet, in dem man die Anweisungen eingibt. Durch Markieren einer oder mehrerer Anweisungen und Strg-R wird der markierte Programmcode an die Konsole geschickt und zeilenweise abgearbeitet. Mit Datei - Speichern wird der Code als Textdatei abgespeichert und kann in einer sp¨ateren R-Sitzung mit Datei - ¨ Offne Skript... im R-Editor wieder ge¨offnet werden. Mit Eingabe von source() in der Konsole kann ein gespeichertes Skript direkt ausgef¨ uhrt werden. Der R-Editor ist allerdings wenig komfortabel, da er praktisch keine Programmierunterst¨ utzung bietet. Aus diesem Grund ist es ratsam auf alternative Editoren zur¨ uckzugreifen. Hier wird empfohlen R im SDI-Modus auszuf¨ uhren (f¨ ur RWinEdt zwingend notwendig).
RWinEdt RWinEdt ist ein Plug-In, das von Uwe Ligges f¨ ur den kommerziellen Editor WinEdt entwickelt wurde. Zun¨achst muss mit install.packages("RWinEdt")
80
3 Einf¨ uhrung in R
das zugeh¨orige Paket RWinEdt_1.7-9.zip von einem CRAN-Spiegelserver installiert werden. Durch die Eingabe von library(RWinEdt) wird das Plug-In gestartet. Neben Syntax-Highlighting kann der Programmcode aus RWinEdt direkt an die RKonsole geschickt werden. Mit Alt+l wird die aktuelle Zeile und mit Alt+p der zuvor markierte Bereich in der R-Konsole ausgef¨ uhrt. Mit Alt+s wird die aktuelle Datei gespeichert und anschließend mit source() in der R-Konsole geladen.
R Commander Der R Commander ist eine graphische Benutzeroberfl¨ ache f¨ ur R und vor allem f¨ ur Anf¨ anger empfehlenswert. Im Journal of Statistical Software findet man unter http://www.jstatsoft.org/v14/i09/v14i09.pdf eine Einf¨ uhrung von John Fox. Zun¨ achst muss mit install.packages("Rcmdr") das zugeh¨orige Paket Rcmdr_1.1-7.zip von einem CRAN-Spiegelserver installiert werden. Beim erstmaligen Laden des Pakets mit library(Rcmdr) wird gefragt, ob zus¨ atzliche Pakete f¨ ur den vollen Funktionsumfang installiert werden sollen. Durch Best¨atigung werden automatisch alle ben¨ otigten Pakete installiert. Der R Commander erm¨oglicht dem Anwender ohne Kenntnisse der R-Syntax statistische Analysen, Grafiken, etc. u ¨ ber Men¨ us und Dialogboxen zu erstellen. Der zugeh¨orige Code wird automatisch im Script Window angegeben.
JGR JGR2 ist eine graphische Benutzeroberfl¨ ache, die von Markus Helbig, Simon Urbanek and Martin Theus in Java entwickelt wurde. Unter der URL http://www.rosuda.org/JGR/down.shtml findet man die aktuelle Bin¨ardatei zum Herunterladen. Durch Starten von JGR werden s¨amtliche ben¨ otigten Pakete automatisch installiert. JGR bietet eine gute Programmierumgebung mit integriertem Editor, Syntax-Highlighting, Autovervollst¨ andigung von Anweisungen, Objekten und Dateinamen, mehrzeilige Anweisungen und History in der Konsole, integriertes Hilfesystem, Paket-Manager, Quick Hints f¨ ur Funktionen, Drag & Drop zwischen Konsole und Editor, Brace Matching etc. Ein kurze Einf¨ uhrung ist unter http://www.rosuda.org/JGR/JGR.pdf abrufbar. 2
http://www.rosuda.org/JGR/
4 Geordnete Statistiken und Rangstatistiken
Nichtparametrische Verfahren ben¨otigen oft nur sehr allgemeine Annahmen, f¨ ur dieses Kapitel m¨ ussen lediglich folgende Voraussetzungen erf¨ ullt sein: 1. Die Stichprobe x1 , . . . , xn entspricht der Realisierung einer n-dimensionalen stetigen Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn (mit zumindest ordinalem Messniveau). 2. Die Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn sind unabh¨angig und identisch verteilt ( iid-Bedingung“). ” Durch geeignete Statistiken soll nun m¨ oglichst viel Information aus einer Stichprobe extrahiert werden. Die geordneten Statistiken bzw. Ordnungsstatistiken und die damit eng in Verbindung stehenden Rangstatistiken dienen diesem Zweck. Geordnete Statistik oder Ordnungsstatistik Ordnet man die einzelnen Beobachtungen der Stichprobe (x1 , . . . , xn ) der Gr¨ oße nach, dann erh¨ alt man die so genannte geordnete Statistik oder Ordnungsstatistik (x(1) , . . . , x(n) ). x(j) wird dann die j-te Ordnungsstatistik genannt. Beispiel 4.1. Ordnungsstatistik Die Zufallsvariable X entspreche der Dicke einer Lackschicht in der Mitte eines Bleches nach der Lackierung in µm und (1.2, 5.4, 6.3, 2.3, 0.1) sei eine Stichprobe dieser Variablen. (Die einzelnen Beobachtungen sind unabh¨ angig voneinander.) Die entsprechenden Ordnungsstatistiken sind dann (0.1, 1.2, 2.3, 5.4, 6.3).
82
4 Geordnete Statistiken und Rangstatistiken
Rang Der Rang eines Wertes xi einer Stichprobe entspricht dem Index j, welche dieser Wert als Ordnungsstatistik x(j) einnimmt. j entspricht also der Platzierung des Stichprobenwertes in den geordneten Statistiken. Daf¨ ur wird Rang(Xi ) = R(Xi ) = Ri = j als Funktion der Zufallsvariable Xi und daher auch als Zufallsvariable Rang der i-ten Beobachtung“ definiert. ” Die Realisierung des Ranges der i-ten Beobachtung wird durch r(xi ) = ri = j angegeben. Beispiel 4.2. Rang Das Beispiel mit den lackierten Blechen wird hier fortgesetzt. Die Stichprobe enthielt die Beobachtungen (1.2, 5.4, 6.3, 2.3, 0.1). Die Stichprobenwerte werden in ihrer beobachteten Reihenfolge angegeben und durch deren R¨ ange und die entsprechenden Bezeichnung der Ordnungsstatistik erg¨ anzt: Beobachtung Stichprobenwert Ordnungsstatistik Rang
i 1 2 3 4 5 xi 1.2 5.4 6.3 2.3 0.1 x(j) x(2) x(4) x(5) x(3) x(1) ri 2 4 5 3 1
Es gilt zu beachten, dass bei der Bildung der R¨ ange bzw. bereits bei der Bildung der Ordnungsstatistiken immer Information verloren geht. Liegen nur noch die Ordnungsstatistiken vor, d.h. die geordnete Stichprobe, dann l¨ asst sich nicht mehr feststellen, in welcher Reihenfolge die Werte beobachtet wurden. Wenn hingegen nur noch die R¨ ange vorliegen, dann sind nicht einmal die Stichprobenwerte, welche zu den beobachteten R¨ angen gef¨ uhrt haben, bekannt. Diese Informationen sind aber bei den jeweiligen nichtparametrischen Verfahren nicht von Interesse und auch nicht von Bedeutung. Spezielle Ordnungsstatistiken Zu den speziellen Ordnungsstatistiken z¨ ahlen das Minimum x(1) , also der kleinste Wert der Stichprobe, das Maximum x(n) , also der gr¨oßte Wert der Stichprobe, und der Median x
0,5 , welcher dem mittleren Wert der geordneten Stichprobe entspricht. Die Spannweite ist definiert als die Differenz zwischen Maximum und Minimum, also d = x(n) − x(1) . Bei einer geraden Anzahl n von Beobachtungen ist eine Bestimmung des Medians als mittlerer“ Wert der geordneten Stichprobe nicht m¨ oglich, da es ” keinen derartigen Wert gibt.
4 Geordnete Statistiken und Rangstatistiken
83
Daher wird der Median meist wie folgt definiert: Median Der Wert x
0,5 =
x( n+1 ) 2
1 + x x n n 2 ( +1) ( ) 2
2
wenn n ungerade wenn n gerade
der geordneten Stichprobe vom Umfang n heißt Median des Merkmals X. Mindestens 50% der Objekte haben eine Auspr¨agung, die mindestens so groß ist wie der Median und mindestens 50% der Objekte haben eine Auspr¨ agung, die h¨ ochstens so groß ist wie der Median. Beispiel 4.3. Spezielle Ordnungsstatistiken Das Beispiel mit den lackierten Blechen wird hier fortgesetzt. Die Ordnungsstatistiken waren (0.1, 1.2, 2.3, 5.4, 6.3). Damit entsprechen die speziellen Ordnungsstatistiken: x(1) = 0.1
dem Minimum
x(n) = x(5) = 6.3 dem Maximum x
0,5 = x(3) = 2.3
dem Median (weil n ungerade)
Die kleinste festgestellte Dicke betrug 0.1µm, die gr¨oßte gemessene Dicke betrug 6.3µm. Mindestens 50% der Bleche haben eine Lackschicht von mindestens 2.3µm und mindestens 50% der Bleche haben eine Lackschicht von h¨ ochstens 2.3µm. Beispiel 4.4. Berechnung von Ordnungsstatistiken mit R Um einen Vektor von Zahlen aufsteigend zu sortieren, also die Ordnungsstatistik zu erzeugen, steht die Funktion sort(x) zur Verf¨ ugung, dabei lautet die Zuweisung Ordnungsstatistik=sort(x), wobei x f¨ ur die Originalstichprobe und Ordnungsstatistik f¨ ur den Vektor der Ordnungsstatistiken steht. Danach kann aus dem resultierenden Vektor jede beliebige Ordnungsstatistik durch Indizierung referenziert werden. Das Minimum ergibt sich beispielsweise aus Ordnungsstatistik[1], kann aber auch mit der Funktion min(x) angefordert werden. Das Maximum wird u ¨ ber die Funktion max(x) berechnet, der Median mit median(x). Die Funktion range(x) gibt nicht die Spannweite ¨ aus, sondern Minimum und Maximum getrennt. Uber die Differenz kann die Spannweite berechnet werden, z.B. mit Spannweite=diff(range(x)) . Ein m¨ oglicher R-Code w¨are daher:
84
4 Geordnete Statistiken und Rangstatistiken
> > > > > >
x = c(1.2, 5.4, 6.3, 2.3, 0.1) Ordnungsstatistik = sort(x); Minimum=min(x); Maximum=max(x); Median=median(x); Spannweite=Maximum-Minimum;
# Daten als Vektor
Beispiel 4.5. Berechnung von Ordnungsstatistiken mit SAS Die Daten werden im DATA-Step eingegeben, mit der Prozedur UNIVARIATE werden die gew¨ unschten Statistiken berechnet und im (tempor¨aren) Datenfile ordered gespeichert. Die Prozedur SORT sortiert den Datensatz, wobei die urspr¨ ungliche Reihenfolge verloren geht, die Prozedur PRINT wird f¨ ur die Ausgabe verwendet. Der vollst¨ andige SAS-Code lautet: DATA example; INPUT x; DATALINES; 1.2 5.4 6.3 2.3 0.1 ; RUN; PROC UNIVARIATE data=example; VAR x; OUTPUT OUT=ordered MEDIAN=Median MIN=Minimum MAX=Maximum RANGE=Spannweite; RUN; PROC PRINT DATA=ordered NOOBS; RUN; PROC SORT DATA=example; BY x; RUN; PROC PRINT DATA=example; RUN;
4.1 Bindungen
85
4.1 Bindungen Aufgrund der Annahme, dass die untersuchten Zufallsvariablen stetig verteilt sind, d¨ urften sich einzelne Realisierungen dieser Variable in einer Stichprobe niemals gleichen (d.h. P r(Xi = Xj ) = 0 f¨ ur alle i = j). Es kann in der Praxis aber durchaus vorkommen, dass ein Wert in einer Stichprobe mehrfach auftritt. Dies liegt vor allem an der vorgegebenen Messgenauigkeit (bspw. nur bis auf cm genau gemessene K¨orpergr¨ oße) und ungenauen Messinstrumenten. Bindungen Enth¨ alt eine Stichprobe (x1 , . . . , xn ) k gleiche Stichprobenwerte, ist also xj1 = xj2 = . . . = xjk , so spricht man von gebundenen Beobachtungen oder Bindungen (= ties). Die Werte xj1 = xj2 = . . . = xjk werden zu einer so genannten Bindungsgruppe zusammengefasst. Es handelt sich dabei um eine (k − 1)-fache Bindung. Als Folge der gleichen Stichprobenwerte lassen sich die R¨ange eine Stichprobe mit Bindungen nicht mehr eindeutig ermitteln. Bei einer (k − 1)-fachen Bindung gibt es k undefinierte bzw. unklare R¨ ange. Es gibt also k! M¨oglichkeiten (durch Permutation) die R¨ ange auf die k unklaren Stellen zu verteilen. Beispiel 4.6. Bindungen Eine Umfrage u ¨ ber die monatlichen Ausgaben f¨ ur Telefon und Internet ergab folgende Stichprobe: Befragte/r
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Ausgaben in Euro 80 75 50 50 55 75 45 25 50 Rang
9
?
?
?
6
?
2
1
?
In diesem Fall sind die R¨ ange der Beobachtungen 3, 4 und 9 nicht eindeutig vorgegeben, die R¨ange 3, 4, 5 k¨onnen nicht zugeordnet werden. F¨ ur die beiden Beobachtungen 2 und 6 verh¨alt es sich ebenso. Es handelt sich dabei um eine 2-fache Bindung der Beobachtungen 3, 4 und 9 und eine einfache Bindung der Beobachtungen 2 und 6. Beispiel 4.7. Bindungen beim paarweisen Vergleich von Stichproben In diesem Beispiel handelt es sich um eine Stichprobe des monatlichen Nettoverdienstes von Lebensgemeinschaften, in denen beide Teile voll erwerbst¨ atig sind. Es soll untersucht werden, ob der Verdienst der Frauen niedriger als jener der zugeh¨origen M¨anner ist.
86
4 Geordnete Statistiken und Rangstatistiken
Paar i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Nettoverdienst der Frau xi des Mannes yi 790 1500 1230 800 730 500 630 1340 1430 650 760 1090
Vorzeichen der Differenz der Verdienste
1120 1500 1120 800 1410 1240 990 1890 1430 950 1010 950
− ? + ? − − − − ? − − +
Auch in einem solchen Fall sollte bei stetigen Zufallsvariablen Xi und Yi die Wahrscheinlichkeit, dass beide Variablen den selben Wert annehmen, null sein, also P r(Xi = Yi ) = 0. Der Grund f¨ ur das Auftreten von Bindungen k¨ onnte hier in der ungenauen Erfassung bzw. Angabe der Einkommen der Personen sein, zudem ist das Merkmal Einkommen lediglich quasistetig. Es liegen hier drei gebundene Beobachtungen bzw. eine zweifache Bindung vor. Eine Berechnung von Statistiken ist ohne zus¨atzliche Annahme nicht m¨ oglich. Methoden zur Behandlung von Bindungen 1. Methode: F¨ alle ausschließen Es werden solange Beobachtungen aus der Stichprobe entfernt, bis alle Bindungen aufgehoben sind. Falls der Anteil der gebundenen Beobachtungen im Vergleich zum Stichprobenumfang sehr gering ist, ist der Informationsverlust nicht von Bedeutung, ansonsten ist von dieser Methode abzuraten. 2. Methode: Zuf¨ allige R¨ ange bilden Den gebundenen Beobachtungen werden zuf¨ allig die (geeigneten) R¨ange bzw. Vorzeichen zugeordnet. 3. Methode: Durchschnittsr¨ ange bilden Jeder der gebundenen Beobachtungen wird das arithmetische Mittel aus den (zugeh¨origen) R¨angen bzw. Rangzahlen zugeordnet. Durch diese oft angewendete Methode wird aber die Verteilung der Rangstatistiken beeinflusst, so dass diese im Fall von Bindungen adaptiert werden muss. 4. Methode: Alle m¨ oglichen Rangzuordnungen untersuchen Es wird die Teststatistik f¨ ur alle m¨oglichen Verteilungen der R¨ ange berechnet bzw. der Test f¨ ur alle m¨ oglichen Verteilungen durchgef¨ uhrt. Ist
4.2 Empirische und theoretische Verteilungsfunktion
87
das Ergebnis dabei eindeutig, liefert also der Test bzw. die Teststatistik f¨ ur alle M¨ oglichkeiten das selbe Ergebnis (Hypothese wird immer angenommen oder immer verworfen), dann endet die Methode hier. Ansonsten muss eine der anderen drei Methoden gew¨ ahlt werden, um zu einem eindeutigen Ergebnis zu gelangen. Methoden zur Behandlung von Bindungen • • • •
F¨ alle ausschließen Zuf¨ allige R¨ ange zuordnen Durchschnittsr¨ange bilden Alle m¨oglichen Rangzuordnungen untersuchen
4.2 Empirische und theoretische Verteilungsfunktion Die empirische Verteilungsfunktion besitzt in der nichtparametrischen Statistik einen sehr hohen Stellenwert, da sie wichtige R¨ uckschl¨ usse u ¨ ber die theoretische bzw. reale“ Verteilung FX bzw. deren Typ zul¨ asst. Es lassen ” sich daraus Punkt- und Bereichsch¨atzer f¨ ur die theoretische bzw. reale“ Ver” teilung FX bestimmen und daraus Teststrategien f¨ ur Hypothesen u ¨ ber diese Verteilung ableiten. Bei den in diesem Abschnitt betrachteten Zufallsvariablen Xi handelt es sich um stetig oder diskret verteilte eindimensionale Variablen. Empirische Verteilungsfunktion F¨ ur eine Stichprobe (x1 , . . . , xn ) nennt man die Funktion Fn (x) =
Anzahl der xi , die x nicht u ¨ bertreffen n
die empirische Verteilungsfunktion. Mit Hilfe der Ordnungsstatistiken l¨asst sich die empirische Verteilungsfunktion auch folgendermaßen anschreiben: wenn x < x(1) 0 Fn (x) = j/n wenn x(j) ≤ x < x(j+1) 1 wenn x ≥ x(n)
88
4 Geordnete Statistiken und Rangstatistiken
Beispiel 4.8. Empirische Verteilungsfunktion Das Beispiel mit den lackierten Blechen (Beispiel 4.1) wird hier fortgesetzt. Die Stichprobe enthielt die Werte (1.2, 5.4, 6.3, 2.3, 0.1). Dem entsprechend ergibt sich die empirische Verteilungsfunktion Fn (x): Stichprobe empirische Verteilungsfunktion
xi Fn (xi )
1.2 2 5
Dem entsprechend lautet die vollst¨andige 0 wenn 1/5 wenn 2/5 wenn Fn (x) = 3/5 wenn 4/5 wenn 1 wenn
5.4 4 5
6.3 1
2.3 3 5
0.1 1 5
Verteilungsfunktion: x < 0.1 0.1 ≤ x < 1.2 1.2 ≤ x < 2.3 2.3 ≤ x < 5.4 5.4 ≤ x < 6.3 x ≥ 6.3
Beispiel 4.9. Empirische Verteilungsfunktion mit R F¨ ur die Berechnung der empirischen Verteilungsfunktion wird mit der Anweisung table(x) die Tabelle mit den absoluten H¨ aufigkeiten erstellt, die danach als Datensatz tab gespeichert wird. Daraus werden die relativen und die kumulierten relativen H¨ aufigkeiten berechnet und ausgegeben. Zum Zeichnen der empirische Verteilungsfunktion steht in R die Funktionen plot.ecdf zur Verf¨ ugung, wobei ecdf f¨ ur empirical cumulative distribution function“ steht. ” Im Paket grDevices werden M¨oglichkeiten zur Formatierung von Grafiken bereitgestellt. > > > > > > > > +
library(grDevices); x=c(1.2, 5.4, 6.3, 2.3, 0.1); tab=as.data.frame(table(x)); Auspraegung=as.numeric(levels(tab$x)); absH=as.numeric(tab$Freq); relH=absH/length(x); kumH=cumsum(relH); plot.ecdf(x,main="Empirische Verteilungsfunktion", xlab="x", ylab = expression(F[n](x)));
Die erzeugte Grafik ist in Abbildung 4.1 dargestellt.
4.2 Empirische und theoretische Verteilungsfunktion
89
Abb. 4.1. Die empirische Verteilungsfunktion aus R f¨ ur Beispiel 4.8
Beispiel 4.10. Empirische Verteilungsfunktion mit SAS Zuerst werden die Daten mit Hilfe eines DATA-Steps nach SAS u ¨ bertragen und mit der Prozedur PROC SORT sortiert. Die Prozedur PROC CAPABILITY mit der Option CDFPLOT zeichnet die empirische Verteilungsfunktion. DATA bleche; INPUT dicke; DATALINES; 1.2 5.4 6.3 2.3 0.1 ; RUN; PROC FREQ; RUN; PROC SORT DATA=bleche; BY dicke; RUN; PROC CAPABILITY DATA=bleche; CDFPLOT; VAR dicke; RUN;
90
4 Geordnete Statistiken und Rangstatistiken
Das Ergebnis der Prozedur CAPABILITY kann der Abbildung 4.2 entnommen werden.
Abb. 4.2. Die empirische Verteilungsfunktion aus SAS f¨ ur Beispiel 4.8
Eigenschaften der empirischen Verteilungsfunktion Die empirische Verteilungsfunktion muss die allgemeinen Eigenschaften von Verteilungsfunktionen besitzen. Insbesondere gilt dies f¨ ur die Monotonie, damit ist auch die empirische Verteilungsfunktion monoton steigend. Zwei weitere wichtige Eigenschaften f¨ ur jede Verteilungsfunktion sind die Grenzwerte an den Extremwerten −∞ und +∞ des Tr¨ agers, f¨ ur die lim Fn (x) = 0 und lim Fn (x) = 1 gelten muss. x→−∞
x→∞
Die empirische Verteilungsfunktion entspricht einer diskreten Verteilung und ist rechtsstetig. Fn (x) ist selbst auch eine Zufallsvariable und daher l¨ asst sich eine Verteilung daf¨ ur ableiten. Die empirische Verteilungsfunktion ist unter der Beschr¨ ankung des gegebenen Modells (stetige oder diskrete Zufallsvariable) der Maximum-Likelihood-Sch¨ atzer der theoretischen Verteilungsfunktion FX der Zufallsvariablen. Die Verteilung der empirischen Verteilungsfunktion Fn (x) entspricht einer skalierten Binomialverteilung mit den Parametern n und p = F (x). Eine
4.2 Empirische und theoretische Verteilungsfunktion
91
skalierte Binomialverteilung besitzt nicht die Auspr¨ agungen 0, 1, 2, . . . , n sondern die Auspr¨agungen 0, n1 , n2 , . . . , 1. Das bedeutet, dass Fn (x) genau dann einer skalierten Binomialverteilung entspricht, wenn nFn (x) einer Binomialverteilung gen¨ ugt. Der Parameter p = F (x) h¨ angt von der (unbekannten) theoretischen Verteilungsfunktion ab. Eigenschaften der empirischen Verteilungsfunktion • •
Monoton steigend lim Fn (x) = 0 und lim Fn (x) = 1
x→−∞
x→∞
•
Diskrete, rechtsstetige Verteilung
•
Selbst Zufallsvariable
•
Maximum-Likelihood-Sch¨ atzer der Verteilungsfunktion
•
nFn (x) ∼ B(n, p = F (x))
•
Fn (x) ∼ Bskaliert (n, p = F (x))
Binomialverteilung skalierte Binomialverteilung
Daraus l¨ asst sich die Wahrscheinlichkeit P r Fn (x) =
i n
berechnen.
nFn (x) ∼ B(n, p = F (x)) n i (F (x))i (1 − F (x))n−i P r Fn (x) = n = i Aus der Verteilung f¨ ur die empirische Verteilungsfunktion lassen sich der Erwartungswert und die Varianz berechnen. E(nFn (x)) = nF (x) = nE(Fn (x)) ⇒ E(Fn (x)) = F (x) V (nFn (x)) = nF (x)(1 − F (x)) = n2 V (Fn (x)) F (x)(1 − F (x)) n Damit ist die empirische Verteilungsfunktion Fn (x) ein erwartungstreuer und konsistenter Sch¨ atzer f¨ ur die Verteilungsfunktion F (x). Da die Ordnungsstatistiken gemeinsam eine suffiziente und vollst¨andige Statistik f¨ ur das gegebene Modell sind, handelt es sich zus¨atzlich um den minimal varianten, erwartungstreuen Sch¨ atzer von F (x). ⇒ V (Fn (x)) =
Eine weitere wichtige Aussage liefert der Satz von Gliwenko und Cantelli, der auch Fundamentalsatz der Statistik“ genannt wird. Demnach konvergiert ”
92
4 Geordnete Statistiken und Rangstatistiken
mit wachsender Stichprobengr¨ oße die empirische Verteilungsfunktion Fn (x) gleichm¨ aßig gegen die theoretische Verteilung F (x). Fundamentalsatz der Statistik P r lim sup |Fn (x) − F (x)| = 0 = 1 n→∞ x∈R
Die empirische Verteilungsfunktion Fn (x) konvergiert mit wachsender Stichprobengr¨ oße gleichm¨aßig gegen die theoretische Verteilung F (x). In unserem Modell ist FX die Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsvariablen X. Sei nun weiters t eine bijektive, streng monoton wachsende Transformation der Zufallsvariablen, also Y = t(X). Die Verteilungsfunktion FY von Y l¨ asst sich einfach berechnen, da gelten muss FY (y = t(x)) = FX (x). Damit gilt f¨ ur die Ordnungsstatistiken und die empirische Verteilungsfunktion: y(i) = t(x(i) )
∀ i = 1, . . . , n
FY,n (y = t(x)) = FX,n (x) In diesen Formeln stehen FX,n (x) f¨ ur die empirische Verteilungsfunktion der Originalstichprobe x1 , . . . , xn und FY,n (y) f¨ ur die empirische Verteilungsfunktion der transformierten Stichprobe y1 = t(x1 ), . . . , yn = t(xn ). Es gelten weiterhin die oben angef¨ uhrten Eigenschaften f¨ ur die empirische Verteilungsfunktion FY,n der transformierten Variable Y . Insbesondere soll hier noch einmal hervorgehoben werden, dass es sich um einen erwartungstreuen und konsistenten Sch¨atzer f¨ ur die Verteilungsfunktion FY handelt. Verwendet man nun die Verteilungsfunktion FX selbst als (umkehrbar eindeutige) streng monoton wachsende Transformation Y = t(X) = FX (X), dann ist Y = FX (X) gleichverteilt auf dem Intervall [0, 1]. Wichtig ist hier die Unterscheidung von: •
p = FX (x) = P r(X ≤ x) entspricht also der (festen) Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, dass die Zufallsvariable X ≤ x ist.
•
Y = FX (X) entspricht der neu definierten Zufallsvariable Y , welche aus der monotonen Transformation der Zufallsvariable X entsteht.
Damit sind auch die transformierten Zufallsvariablen FX (X1 ), . . . , FX (Xn ) gleichverteilt und die transformierte Stichprobe FX (x1 ), . . . , FX (xn ) ist eine Realisierung dieser Zufallsvariablen. Zus¨atzlich entsprechen die transformierten Ordnungsstatistiken FX (X(1) ), . . . , FX (X(n) ) einer Ordnungsstatistik der auf dem Intervall [0, 1] gleichverteilten Zufallsvariable Y = FX (X). F¨ ur viele nichtparametrische Tests (z.B. Kolmogorov-Smirnov) stellt dies eine wichtige Grundlage dar.
4.4 Verteilung der Ordnungsstatistiken
93
Verteilung von FX (X) X habe die stetige Verteilungsfunktion FX . Dann ist FX (X) gleichverteilt auf dem Intervall [0, 1]. Folgerungen: • •
FX (X1 ), . . . , FX (Xn ) k¨ onnen als Stichprobenvariable einer gleichverteilten Zufallsvariable aufgefasst werden. FX (X(1) ), . . . , FX (X(n) ) kann als Ordnungsstatistik einer gleichverteilten Zufallsvariablen aufgefasst werden.
4.3 Verteilung der R¨ ange Der Rang Ri = R(Xi ) einer Variable Xi in einer Stichprobe ist selbst eine Zufallsvariable. Der Definitionsbereich der Variable ist dabei das Intervall der ganzen Zahlen von 1 bis n. Die Variable Ri z¨ahlt die Anzahl aller Variablen Xj die Xi nicht u ¨ bertreffen (also auch Xi selbst). Damit ergibt sich f¨ ur die Verteilung von Ri , dass diese Variable diskret gleichverteilt zwischen 1 und n ist und alle R¨ange gemeinsam der Verteilung bei einer Ziehung aus einer Urne ohne Zur¨ ucklegen entsprechen. F¨ ur diese Verteilung gilt: P r(Ri = j) = P r(Ri = k, Rj = l) = P r(R1 = r1 , . . . , Rn = rn ) = E(Ri ) = V (Ri ) =
1 n 1 n(n−1)
∀ i, j = 1, . . . , n ∀ i, j, k, l = 1, . . . , n, i = j, k = l
1 n! n+1 2 2
n −1 12
∀ i = 1, . . . , n ∀ i = 1, . . . , n
Cov(Ri , Rj ) = − n+1 12
∀ i, j = 1, . . . , n, i = j
1 − n−1
∀ i, j = 1, . . . , n, i = j
Corr(Ri , Rj ) =
4.4 Verteilung der Ordnungsstatistiken Die Dichte der Zufallsvariablen X ist definiert als fX (x). Da wir von unabh¨ angige Realisierungen derselben Zufallsvariablen ausgehen, kann die gemeinsame Dichte der Stichprobenvariablen X1 , . . . , Xn wie folgt definiert werden:
94
4 Geordnete Statistiken und Rangstatistiken
fX1 ,...,Xn (x1 , . . . , xn ) = fX (x1 ) · . . . · fX (xn ) Wir verwenden in diesem Abschnitt f¨ ur die Ordnungsstatistiken x(i) die vereinfachte Schreibweise yi = x(i) . Gemeinsame Dichte der Ordnungsstatistiken Die Dichte der Zufallsvariablen X ist definiert als fX (x). Im Falle der Unabh¨ angigkeit der einzelnen Stichprobenvariablen besitzen die Ordnungsstatistiken X(1) , . . . , X(n) die folgende gemeinsame Dichte: n! fX (y1 ) · . . . · fX (yn ) wenn y1 < . . . < yn fX(1) ,...,X(n) (y1 , . . . , yn ) = 0 sonst Daraus ist unmittelbar ersichtlich, dass die geordneten Stichprobenvariablen X(1) , . . . , X(n) nicht unabh¨ angig sind. Die Multiplikation mit dem Faktor n! liegt an der Tatsache, dass die Umkehrung der Ordnungsstatistik nicht eindeutig ist. Kennt man nur die Werte einer Ordnungsstatistik y1 , . . . , yn , so ist nicht mehr eindeutig in welcher Reihenfolge diese Werte urspr¨ unglich gezogen wurden. Es gibt genau n! Permutationen die zu einer derartigen Ordnungsstatistik gef¨ uhrt haben k¨ onnen. Ein einfaches Beispiel soll dies illustrieren.
Beispiel 4.11. Verteilung der Ordnungsstatistiken und der R¨ ange Eine Stichprobe mit 3 Beobachtungen x1 , x2 , x3 wurde gezogen. Es liegen jedoch nur noch die Ordnungsstatistiken y1 , y2 , y3 vor. Wie viele und vor allem welche Stichproben k¨ onnen zu dieser Ordnungsstatistik gef¨ uhrt haben. Die m¨oglichen Stichproben bzw. daraus resultierenden R¨ ange sollen durch die folgende Tabelle illustriert werden.
m¨ogliche Realisierung 1 2 3 4 5 6
Ordnungsstatistik y1 y2 y3
r1
x1 x1 x2 x2 x3 x3
1 1 2 2 3 3
x2 x3 x1 x3 x1 x2
x3 x2 x3 x1 x2 x1
Rang r2 r3 2 3 1 3 1 2
3 2 3 1 2 1
4.4 Verteilung der Ordnungsstatistiken
95
Es gibt also 3! = 6 m¨ ogliche Realisierungen von Stichproben x1 , x2 , x3 , welche zu den angef¨ uhrten Ordnungsstatistiken gef¨ uhrt haben k¨ onnen. Gleichzeitig ist auch leicht zu erkennen, dass die R¨ange jeweils diskret gleichverteilt zwischen den Zahlen 1, 2 und 3 sind.
Beispiel 4.12. Exponentialverteilung X1 , . . . , Xn seien unabh¨angige Stichprobenvariablen aus einer exponentialverteilten Grundgesamtheit mit der Dichte −λx falls x ≥ 0 λe f (x) = 0 sonst Dann lautet die gemeinsame Dichte von X(1) , . . . , X(n) fX(1) ,...,X(n) (y1 , . . . , yn ) = n! λe−λy1 · . . . · λe−λyn = n! λn e−λ(y1 +...+yn ) f¨ ur y1 < . . . < yn , sonst verschwindet die Dichte.
Beispiel 4.13. Gleichverteilung X1 , . . . , Xn seien unabh¨angige Stichprobenvariablen aus einer auf dem Intervall [0, 1] gleichverteilten Grundgesamtheit mit der Dichte 1 falls x ∈ [0, 1] f (x) = 0 sonst Dann lautet die gemeinsame Dichte von X(1) , . . . , X(n) fX(1) ,...,X(n) (y1 , . . . , yn ) = n! f¨ ur y1 < . . . < yn , sonst verschwindet die Dichte.
Unabh¨ angigkeit der Ordnungsstatistiken und der R¨ ange Sind die unabh¨ angigen Stichprobenvariablen X = (X1 , . . . , Xn ) stetig und identisch verteilt und entsprechen die Variablen X() = (X(1) , . . . , X(n) ) den Ordnungsstatistiken und angen dieser Stichprobe X, R = (R1 , . . . , Rn ) den R¨ angig. dann sind X() und R unabh¨
96
4 Geordnete Statistiken und Rangstatistiken
Nach dem Theorem von Bayes gilt allgemein f¨ ur die bedingte Randdichte von zwei Variablen a und b: fa|b (a | b) =
fa,b (a, b) fb (b)
Sind die zwei Variablen a und b unabh¨ angig so muss gelten: fa,b (a, b) = fa (a)fb (b) Also gilt f¨ ur unabh¨ angige Variablen a und b folgender Zusammenhang: fa|b (a | b) =
fa (a)fb (b) fa,b (a, b) = = fa (a) fb (b) fb (b)
asst sich die StichAus den beiden Vektoren der Zufallsvariablen X() und R l¨ probe selbst wieder eindeutig reproduzieren und umgekehrt. Die gemeinsame Verteilung der Ordnungsstatistik und der R¨ange entspricht daher der Verteilung der Stichprobe. fX() ,R (X() , R) = fX (X) = fX (X1 ) . . . fX (Xn ) Mit Hilfe der Regel von oben kann nun die Unabh¨ angigkeit auf folgende Weise gezeigt werden: fX() |R (X() | R) =
fX() ,R (X() ,R) fR (R)
=
fX (X) 1 n!
= n!fX (X) =
= n!fX (X1 ) . . . fX (Xn ) = fX() (X() ) Im Gegensatz dazu sind X = (X1 , . . . , Xn ) und R = (R1 , . . . , Rn ) nat¨ urlich nicht unabh¨ angig. Dichte und Verteilungsfunktion einzelner Ordnungsstatistiken Die Dichte fX(j) der j-ten Ordnungsstatistik (1 ≤ j ≤ n) lautet: fX(j) (yj ) = j
n (1 − F (yj ))(n−j) (F (yj ))(j−1) f (yj ) j
Die Verteilungsfunktion FX(j) der j-ten Ordnungsstatistik (1 ≤ j ≤ n) lautet: n n FX(j) (yj ) = (1 − F (yj ))(n−k) (F (yj ))k k k=j
4.4 Verteilung der Ordnungsstatistiken
97
Zuerst definieren wir eine Z¨ ahlvariable und damit eine neue Zufallsvariable deren Verteilung man kennt. Die Z¨ ahlvariable Yt ist wie folgt definiert: Yt = Yt (X1 , . . . , Xn ) = Anzahl der Xi ≤ t ¨ Daraus folgt f¨ ur die Ordnungsstatistik X(j) folgende Aquivalenz: X(j) ≤ t ⇔ Yt (X1 , . . . , Xn ) ≥ j
⇒
FX(j) (t) = P r(X(j) ≤ t) = P r(Yt (X1 , . . . , Xn ) ≥ j) In Worten bedeutet dies, dass die beiden Aussagen die j-te Ordnungsstatistik ” ist h¨ochstens t“ und die Anzahl der Beobachtungen, die h¨ ochstens so groß wie ” t sind, ist mindestens j“ a¨quivalent sind. Da die beiden Ereignisse a¨quivalent sind, sind die Wahrscheinlichkeiten f¨ ur beide Ereignisse gleich. Die Z¨ahlvariable Yt ist binomialverteilt mit den Parametern n und p = F (t). Dabei ist F die Verteilungsfunktion einer einzelnen Beobachtung in der Stichprobe also F (t) = FX (t). Damit erhalten wir FX(j) (yj ) = P r(X(j) ≤ yj ) = P r(Yyj (X1 , . . . , Xn ) ≥ j) = n n (1 − F (yj ))(n−k) (F (yj ))k k k=j
Die Dichte fX(j) ergibt sich durch das Differenzieren der Verteilungsfunktion. ∂FX(j) n fX(j) (yj ) = (yj ) = j (1 − F (yj ))(n−j) f (yj )(F (yj ))(j−1) ∂yj j Daraus ergibt sich f¨ ur das Minimum bzw. das Maximum, also die beiden speziellen Ordnungsstatistiken mit j = 1 bzw. j = n. FX(1) (y) = 1 − (1 − F (y))n fX(1) (y) = n(1 − F (y))(n−1) f (y) FX(n) (y) = (F (y))n fX(n) (y) = nf (y)(F (y))(n−1)
98
4 Geordnete Statistiken und Rangstatistiken
Beispiel 4.14. Gleichverteilung X1 , . . . , Xn seien unabh¨angige Stichprobenvariablen aus einer auf dem Intervall [0, 1] gleichverteilten Grundgesamtheit mit der Dichte 1 falls x ∈ [0, 1] f (x) = 0 sonst Die Randdichte fX(j) der j-ten Ordnungsstatistik der Gleichverteilung lautet: fX(j) (yj ) =
n! (j−1) (1 − yj )(n−j) wenn 0 ≤ yj ≤ 1 y (j − 1)!(n − j)! j
Dies entspricht der Betaverteilung mit Parametern (α = j, β = n + 1 − j). Die Betaverteilung zeigt also die Verteilung der j-ten Ordnungsstatistik im Gleichverteilungsfall. Da die empirische Verteilungsfunktion eine Ordnungsstatistik in diesem Sinne ist, k¨ onnte man sich fragen, wie ist das 0.6-Quantil in Abh¨ angigkeit von der Stichprobengr¨ oße verteilt. Die Antwort liefert hier die Betaverteilung und kann f¨ ur die Stichprobenumf¨ ange n = 10 und n = 100 aus der Abbildung 4.3 entnommen werden.
0,008 0,007 0,006 0,005 0,004 0,003 0,002 0,001 0 0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
Abb. 4.3. Die Betaverteilung der Ordnungsstatistik X(60) bei n = 100 bzw. X(6) bei n = 10 im Gleichverteilungsfall
1
4.5 Verteilung des Medians
99
Dichte von zwei Ordnungsstatistiken Die gemeinsame Dichte fX(j) ,X(k) der j-ten und k-ten Ordnungsstatistik (1 ≤ j < k ≤ n) lautet: fX(j) ,X(k) (yj , yk ) = n! (F (yj ))(j−1) (j − 1)!(k − j − 1)!(n − k)! ×f (y )(F (y ) − F (y ))(k−j−1) f (y ) k k j j = (n−k) ×(1 − F (y )) wenn yj < yk k 0 sonst Beispiel 4.15. Gleichverteilung X1 , . . . , Xn seien unabh¨angige Stichprobenvariablen aus einer auf dem Intervall [0, 1] gleichverteilten Grundgesamtheit mit der Dichte 1 falls x ∈ [0, 1] f (x) = 0 sonst Die gemeinsame Dichte fX(j) ,X(k) der j-ten und k-ten Ordnungsstatistik der Gleichverteilung lautet: fX(j) ,X(k) (yj , yk ) = =
n! (j−1) y (yk − yj )k−j−1 (1 − yk )(n−k) (j − 1)!(k − j − 1)!(n − k)! j
wenn 0 ≤ yj < yk ≤ 1
4.5 Verteilung des Medians
0.5 gibt es zwei F¨ F¨ ur die Verteilung des Medians X alle. Im Fall einer ungeraden Anzahl von Beobachtungen n = 2m − 1 ist der Median einfach
0.5 = X(m) . Im Fall einer geraden Anzahl von Beobachdefiniert durch X tungen n = 2m ist die Berechnung der Dichte bzw. Verteilung viel komplexer. Der Median entspricht dem arithmetischen Mittel der m-ten und (m + 1)-ten Ordnungsstatistiken und muss daher aus der gemeinsamen Randdichte entwickelt werden. Damit entspricht die Dichte bzw. die Verteilung des Median im ungeraden Fall n = 2m − 1 einfach der Dichte bzw. der Verteilung der m-ten Ordnungsstatistik.
100
4 Geordnete Statistiken und Rangstatistiken
n fX 0.5 (y) = fX(m) (y) = m (1 − F (y))(n−m) f (y)(F (y))(m−1) m n n (1 − F (y))(n−k) (F (y))k FX 0.5 (y) = FX(m) (y) = k k=m
F¨ ur den geraden Fall n = 2m erh¨alt man nach der Integration aus der Randdichte der beiden Ordnungsstatistiken X(m) und X(m+1) folgende Dichte: (2m)! fX 0.5 (y) = 2 ((m − 1)!)2
∞ (F (2y − x))(m−1) (1 − F (x))(m−1) f (2y − x)f (x)dx y
Beispiel 4.16. Verteilung des Medians im Gleichverteilungsfall Um die Verteilung des Median zu illustrieren soll hier der Gleichverteilungsfall auf dem Intervall [0, 1] als Beispiel dienen. Die Stichprobengr¨oße betr¨ agt n = 101 bzw. n = 11, damit wir den einfacheren, ungeraden Fall hier aufzeigen k¨ onnen. Die Dichte und Verteilungsfunktion der Gleichverteilung lautet fX (x) = 1 bzw. FX (x) = x. Damit erhalten wir f¨ ur die Verteilung des Median f¨ ur eine allgemeine ungerade Stichprobengr¨ oße n: n fX 0.5 (y) = fX(m) (y) = m (1 − y)(n−m) (y)(m−1) m n n (1 − y)(n−k) (y)k FX 0.5 (y) = FX(m) (y) = k k=m
F¨ ur n = 11 ergibt sich der Median aus der 6-ten Ordnungsstatistik. Die Dichte und Verteilungsfunktion lauten daher: 11 fX 0.5 (y) = fX(6) (y) = 6 (1 − y)(5) (y)(5) 6 11 11 (1 − y)(11−k) (y)k FX 0.5 (y) = FX(6) (y) = k k=6
Und f¨ ur n = 101 ist der Median die 51-te Ordnungsstatistik, also: 101 fX 0.5 (y) = fX(51) (y) = 51 (1 − y)(50) (y)(50) 51 101 101 (1 − y)(101−k) (y)k FX 0.5 (y) = FX(51) (y) = k k=51
Es handelt sich dabei, wie bereits erw¨ahnt, um die Betaverteilung mit den Parametern (m, n + 1 − m) = (m, m). Die Varianz nimmt mit zunehmendem Stichprobenumfang ab. Das Aussehen der Dichte kann der Abbildung 4.4 entnommen werden. Es handelt sich um die Darstellung der beiden Dichten des Medians f¨ ur n = 11 und n = 101.
4.6 Konfidenzintervalle f¨ ur Quantile
101
0,008 0,007 0,006 0,005 0,004 0,003 0,002 0,001 0 0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
Abb. 4.4. Die Betaverteilung des Median bei n = 11 bzw. n = 101 im Gleichverteilungsfall
4.6 Konfidenzintervalle f¨ ur Quantile Unter der Annahme, dass die Verteilungsfunktion F streng monoton steigend ist, kann das p-Quantil Xp eindeutig bestimmt werden und es gilt: P r(X ≤ Xp ) = F (Xp ) = p F¨ ur ein Konfidenzintervall [X(j) , X(k) ] muss demnach gelten P r(Xp ∈ [X(j) , X(k) ]) ≥ 1 − α Zu bestimmen sind demnach die Indizes j und k, die diese Ungleichung erf¨ ullen. Das Gleichheitszeichen wird normalerweise nicht erf¨ ullbar sein, und auch die Indizes j und k werden im Allgemeinen nicht eindeutig sein, aber die zus¨ atzliche Anforderung, dass das Intervall zudem m¨ oglichst kurz sein soll, erleichtert die Bestimmung der Indizes. Nach dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit gilt P r(X(j) ≤ Xp ) =
P r([X(j) ≤ Xp ] ∧ [X(k) ≥ Xp ]) + + P r([X(j) ≤ Xp ] ∧ [X(k) < Xp ])
102
4 Geordnete Statistiken und Rangstatistiken
Weil aus X(k) < Xp sofort X(j) ≤ Xp folgt, kann dieser Zusammenhang angeschrieben werden als P r(X(j) ≤ Xp ) = P r(X(j) ≤ Xp ≤ X(k) ) + P r(X(k) < Xp ) Daher gilt P r(X(j) ≤ Xp ≤ X(k) ) = P r(X(j) ≤ Xp ) − P r(X(k) < Xp ) n n n i n i n−i p (1 − p) p (1 − p)n−i − = i i i=j i=k
=
k−1 i=j
n i p (1 − p)n−i i
= F ((k − 1)|B(n, p)) − F ((j − 1)|B(n, p)) Konfidenzintervall f¨ ur Xp [X(j) , X(k) ] ist ein Konfidenzintervall f¨ ur das Quantil Xp mit der Sicherheit 1 − α S = P r(j ≤ Y < k) = 1 − α ⇒ P r(Xp ∈ [X(j) , X(k) ]) = 1 − α wobei Y binomialverteilt mit den Parametern (n, p) ist. Dieses Konfidenzintervall ist unabh¨ angig von der zugrunde liegenden Verteilung von X. Eine Besonderheit stellt die Bereichsch¨ atzung des Medians dar, also ein Konfidenzintervall f¨ ur das Quantil X0.5 . Es wird hierf¨ ur ein gleichschenkeliges“ ” Konfidenzintervall gesch¨atzt, d.h. nicht mehr zwei (j, k) sondern nur noch ein Parameter ist offen. Man w¨ahlt k = n + 1 − j und damit bleibt nur noch j zu sch¨atzen. S = P r(j ≤ Y < n + 1 − j) = 1 − α wobei Y binomialverteilt mit den Parametern (n, 0.5) ist. Praxistipp Das vorgegebene Konfidenzniveau l¨asst sich normalerweise nicht exakt ¨ einhalten. Man sollte daher auch die Uberdeckungswahrscheinlichkeiten der Intervalle berechnen, die sich aus den Indizes j − 1, j + 1, k − 1, k + 1 ergeben. Ausgew¨ahlt wird jenes Intervall, welches das vorgegebene Konfidenzniveau erreicht und gleichzeitig m¨ oglichst klein ist.
4.6 Konfidenzintervalle f¨ ur Quantile
103
Beispiel 4.17. Konfidenzintervall f¨ ur Quantile Ausgangspunkt ist eine Stichprobe vom Umfang n = 10 von normalverteilten Zufallsvariablen mit µ = 10 und σ 2 = 900 (der Zufallszahlengenerator soll zur Vergleichbarkeit mit 5108 initialisiert werden). Das Konfidenzintervall
0.25 soll die Sicherheit S = (1 − α) = 0.90 [X(j) , X(k) ] f¨ ur das 0.25-Quantil X aufweisen. Diese Sicherheit kann insbesondere bei kleinen Stichproben nicht exakt erreicht werden. Ein Konfidenzintervall zur Sicherheit S ≥ 0.90 wird bestimmt, indem zuerst f¨ ur die gegebene Stichprobengr¨ oße die beiden α2 bzw. α (1 − 2 )-Quantile der Binomialverteilung mit den Parametern (n, p = 0.25) gesucht werden. Ein p-Quantil Yp ist (aufgrund der Definitionen in R) definiert als der erste Wert f¨ ur den gilt P r(Y ≤ Yp ) ≥ p. F¨ ur die Stichprobengr¨ oße n = 10 berechnet man mit Hilfe der Binomialverteilung i P r(x ≤ i|B(10, 0.25))
0 0.056
1 0.244
2 0.526
3 0.776
4 0.922
5 0.980
Die Wahl des Konfidenzintervalls f¨ allt auf jenes Intervall, das die gew¨ unschte Sicherheitswahrscheinlichkeit zumindest erreicht. Die Indizes f¨ ur die Intervallgrenzen sind somit durch P r(j −1) = P r(0) = 0.056 und P r(k −1) = P r(5) = 0.980 gegeben. Das Konfidenzintervall [X(1) , X(6) ] u ¨ berdeckt das 0.25-Quantil mit einer Sicherheit von P r(X0.25 ∈ [X(1) , X(6) ]) = 0.980 − 0.056 = 0.924. Auf die konkrete Stichprobe bezogen ist das Konfidenzintervall gegeben durch [−63.05; 23.22].
Beispiel 4.18. Konfidenzintervall f¨ ur Quantile mit R (Fortsetzung von Beispiel 4.17) In R gibt es die Funktion qbinom(q, size, prob) zum Ermitteln eines Quantils der Binomialverteilung. Dabei entsprechen die Parameter size und prob den Parametern (n, p) der Binomialverteilung. Der Parameter q steht f¨ ur die Wahrscheinlichkeit des Quantils, f¨ ur das ein Konfidenzintervall bestimmt werden soll. Die Indizes der Ordnungsstatistiken f¨ ur das Konfidenzintervall sind daher j=qbinom(alpha/2,n,p)+1 und k=qbinom(1-alpha/2,n,p)+1 mit den Werten (alpha = 0.1, n = 10, p = 0.25). Die exakte Sicherheit des so ermittelten Intervalls wird u ¨ber die Verteilungsfunktion der Binomialverteilung pbinom(q, size, prob) ermittelt. Die Differenz der Werte der Verteilungsfunktion S=pbinom(k-1,n,prob)-pbinom(j-1,n,prob) entspricht der exakten Sicherheit. Jetzt wird eine Zufallsstichprobe aus den normalverteilten Zufallsvariablen x mit der Funktion x = mu + rnorm(n)*sqrt(varianz) erstellt. Durch diese Anweisung werden n normalverteilte Zufallszahlen mit den Parametern (µ = mu, σ 2 = varianz) gezogen. Die Ordnungsstatistiken o werden mit o=sort(x) erzeugt. Damit ergibt sich das Konfidenzintervall f¨ ur das 0.25-Quantil durch die Zahlen o[j] bzw. o[k]. In konkreten Zahlen bedeutet das [−63.05; 23.22].
104
4 Geordnete Statistiken und Rangstatistiken
¨ Ubungsaufgaben Aufgabe 4.1. Pr¨ ufungsdauer Entspreche die stetig verteilte Zufallsvariable X der Dauer einer m¨ undlichen Pr¨ ufung von Studierenden und sei (12, 13.5, 18, 18, 19, 15, 16, 20) eine Stichprobe dieser Variablen. (Die einzelnen Beobachtungen sind unabh¨ angig voneinander.) a) Bestimmen Sie die Ordnungsstatistiken und insbesondere den Median. b) Wie viele Bindungen liegen vor, welche Werte sind dies? c) Bestimmen Sie die R¨ ange. d) Zeichnen Sie mit R die empirische Verteilungsfunktion. e) Berechnen Sie mit R die speziellen Ordnungsstatistiken (Minimum, Maximum, Median) und ein Konfidenzintervall f¨ ur den Median mit der Sicherheit S = (1 − α) ≈ 0.9!
Aufgabe 4.2. Gleichverteilung Die Gleichverteilung spielt im Rahmen der nichtparametrischen Verfahren eine wichtige Rolle. Daher ist es wichtig die Verteilung der Ordnungsstatistiken und insbesondere die der speziellen Ordnungsstatistiken zu kennen. Sei X = (X1 , . . . , Xn ) eine Stichprobe von unabh¨ angig gezogenen, auf dem Intervall [0, 1] gleichverteilten Zufallsvariablen. Berechnen Sie den Erwartungswert, Varianz und Dichte bzw. Verteilungsfunktion der folgenden Statistiken: ¯ (f¨ a) Den Mittelwert X ur 2 Beobachtungen exakt und ansonsten asymptotisch). b) Die Ordnungsstatistik X(j) . c) Das Minimum X(1) . d) Das Maximum X(n) .
f¨ e) Den Median X ur gerade und ungerade Stichprobengr¨ oßen n (im ungeraden Fall nur Erwartungswert und Varianz).
¨ Ubungsaufgaben
105
Aufgabe 4.3. Exponentialverteilung X1 , X2 , X3 seien unabh¨angige Stichprobenvariablen aus einer exponentialverteilten Grundgesamtheit mit der Dichte −λx falls x ≥ 0 λe f (x) = 0 sonst a) Bestimmen Sie die Dichte aller Ordnungsstatistiken. b) Bestimmen Sie alle gemeinsamen Dichten von je 2 Ordnungsstatistiken.
Aufgabe 4.4. Dichte von zwei Ordnungsstatistiken Beweisen Sie: Die gemeinsame Dichte fX(j) ,X(k) der j-ten und k-ten Ordnungsstatistik (1 ≤ j <≤ n) lautet: fX(j) ,X(k) (yj , yk ) = n! (j−1) (j−1)!(k−j−1)!(n−k)! (F (yj )) ×f (yk )(F (yk ) − F (yj ))(k−j−1) f (yj ) = ×(1 − F (yk ))(n−k) wenn yj < yk 0 sonst
Aufgabe 4.5. Dichte von Ordnungsstatistiken Die Verteilungsfunktion FX(j) der j-ten Ordnungsstatistik (1 ≤ j ≤ n) lautet: FX(j) (yj ) =
n n (1 − F (yj ))(n−k) (F (yj ))k k k=j
Bestimmen Sie daraus die Dichte fX(j) (yj ) der j-ten Ordnungsstatistik
Aufgabe 4.6. Verteilung der R¨ ange Die auf Seite 93 angef¨ uhrten Funktionen f¨ ur den Erwartungswert, die Varianz, die Kovarianz und die Korrelation sind herzuleiten.
5 Einstichprobenprobleme
Im diesem Kapitel werden wesentliche Tests beschrieben, die auf Informationen u ¨ ber ein einziges Merkmal beruhen. Ein wichtiger Bereich bilden dabei die Tests auf Verteilungsanpassung (im Englischen als Goodness-of-fit-test bezeichnet), mit denen man u ¨ berpr¨ ufen kann, ob Daten einer gew¨ unschten Verteilung entsprechen. In diesem Buch werden der Kolmogorov-Smirnov-Test, der Lilliefors-Test, der X 2 -Test, der Anderson-Darling-Test, der Shapiro-WilkTest und der Cram´er-von-Mises-Test n¨ aher erl¨autert. Ein zweiter Bereich besch¨ aftigt sich mit dem Testen von Hypothesen u ¨ber einen Anteil. Diese Tests werden auch als Binomialtests bezeichnet, weil die zugrunde liegende Teststatistik einer Binomialverteilung gen¨ ugt. Der Anwendungsbereich f¨ ur Binomialtests ist sehr umfassend, beispielsweise k¨onnen damit auch Quantile getestet werden. Nichtparametrische Tests f¨ ur Lageparameter bilden die verteilungsfreie Erg¨ anzung zum t-Test und basieren auf Rangstatistiken. Neben dem allgemeinen Prinzip der Rangstatistiken werden in diesem Kapitel auch spezielle Tests, wie z.B. der Vorzeichen-Test (Sign-Test) oder der Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test (Wilcoxon-Signed-Rank-Test) beschrieben. Ein Zuf¨ alligkeitstest u ¨ berpr¨ uft, ob eine Stichprobe tats¨ achlich voneinander unabh¨ angige Ziehungen enth¨ alt. Nachdem diese Zuf¨alligkeit bei vielen Verfahren vorausgesetzt wird rundet dieser Test die wesentlichen Tests zu eindimensionalen Fragestellungen ab. Neben allf¨alligen Tests sind auch Konfidenzintervalle immer von besonderem Interesse, daher werden in diesem Abschnitt Konfidenzbereiche f¨ ur Verteilungsfunktionen und Konfidenzintervalle f¨ ur Anteile beschrieben.
108
5 Einstichprobenprobleme
5.1 Tests auf Verteilungsanpassung In der Statistik setzt man sehr oft eine bestimmte theoretische Verteilung der Daten voraus, viele Anwendungen basieren beispielsweise auf der Annahme, dass die Daten aus einer Normalverteilung stammen. Folgen die Daten tats¨achlich einer bekannten Verteilung, kann diese Verteilung zudem mit wenigen Kenngr¨ oßen (Lage-, Skalen- und Formparametern) beschrieben werden. Das Prinzip der Anpassungstests beruht auf dem Vergleich zwischen empirischer und theoretischer Verteilung. Sind die Abweichungen zu groß, so ist davon auszugehen, dass die Daten nicht der angenommenen Wahrscheinlichkeitsverteilung entsprechen. Die verschiedenen Tests unterscheiden sich in der Art wie diese Abst¨ande ermittelt werden und hinsichtlich der empfohlenen Anwendungsbereiche.
5.1.1 Kolmogorov-Smirnov-Test Der Kolmogorov-Smirnov-Test (K-S-Test) u ¨ berpr¨ uft, ob Daten aus einer vollst¨andig bestimmten stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung stammen, zum Beispiel aus einer Standardnormalverteilung. F¨ ur den Test werden folgende Annahmen getroffen: Voraussetzungen Kolmogorov-Smirnov-Test 1. Die Stichprobe x1 , . . . , xn entspricht der Realisierung einer ndimensionalen Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn mit unbekannter Verteilungsfunktion F . 2. Die Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn sind unabh¨ angig und identisch verteilt ( iid-Bedingung“). ” 3. Die unbekannte Verteilungsfunktion F ist stetig. 4. Die Daten haben metrisches Skalenniveau. Sind die beiden letzten Voraussetzungen verletzt, so verliert der Test an Trennsch¨arfe, der Test wird konservativer. Liegen also diskrete bzw. ordinale Merkmale vor, so wird die Nullhypothese seltener verworfen als im stetigen Fall. Der Test u ¨ berpr¨ uft, ob die Verteilungsfunktion der Daten einer vollkommen spezifizierten theoretischen Verteilungsfunktion F0 entspricht. Die zu pr¨ ufenden Hypothesen k¨ onnen dabei einseitig oder zweiseitig formuliert werden:
5.1 Tests auf Verteilungsanpassung
109
Hypothesen Kolmogorov-Smirnov-Test •
Zweiseitiger Test ur alle x ∈ R H0 : F (x) = F0 (x) f¨ H1 : F (x) = F0 (x) f¨ ur mindestens ein x ∈ R
•
Einseitiger Test, Unterschreitung der Verteilungsfunktion ur alle x ∈ R H0 : F (x) ≥ F0 (x) f¨ H1 : F (x) < F0 (x) f¨ ur mindestens ein x ∈ R
•
¨ Einseitiger Test, Uberschreitung der Verteilungsfunktion ur alle x ∈ R H0 : F (x) ≤ F0 (x) f¨ H1 : F (x) > F0 (x) f¨ ur mindestens ein x ∈ R
Als Teststatistik wird das Supremum (= kleinste obere Schranke) der Differenzen zwischen empirischer Verteilungsfunktion Fn und theoretischer Verteilungsfunktion F0 verwendet, wobei im zweiseitigen Fall das Supremum des Betrages der Differenzen verwendet wird, im einseitigen Fall hingegen das Supremum der Differenzen selbst. Die exakte Verteilung der Teststatistik ist nur mit viel Aufwand herzuleiten, interessant ist aber die Tatsache, dass diese Verteilung nur vom Untersuchungsumfang n abh¨ angt und nicht von der theoretischen Verteilung F0 . Man bezeichnet daher die K-S-Teststatistik als verteilungsfrei. Die Testentscheidung wird getroffen, in dem die Teststatistik mit dem entsprechenden kritischen Wert verglichen wird. Ist die Teststatistik gr¨ oßer als der kritische Wert, so ist die Nullhypothese abzulehnen. Zweiseitiger Test auf Verteilungsanpassung (Kolmogorov-Smirnov-Test) Hypothesen H0 : F (x) = F0 (x) f¨ ur alle x ∈ R H1 : F (x) = F0 (x) f¨ ur mindestens ein x ∈ R Entscheidungsregel Teststatistik Kn = sup |F0 (x) − Fn (x)| x∈R
Kritischer Wert
k1−α (vgl. Tabelle 11.4, Seite 354)
Bei Kn ≥ k1−α wird die Nullhypothese verworfen.
110
5 Einstichprobenprobleme
Als Teststatistik wird das Supremum der Abweichungen zwischen empirischer und theoretischer Verteilungsfunktion verwendet, weil m¨ oglicherweise das Maximum der Abweichungen nicht angenommen wird. Dies liegt an der Tatsache, dass die empirische Verteilungsfunktion eine rechtsstetige Treppenfunktion ist und daher an den Sprungstellen (= bei den Beobachtungen) die rechtsseitigen und linksseitigen Grenzwerte unterschiedlich sind. F¨ ur die praktische Berechnung der Teststatistik bedeutet das, dass f¨ ur alle Beobachtungen die Differenzen zu den rechtsseitigen und den linksseitigen Grenzwerten berechnet werden m¨ ussen um das Supremum zu finden. Beispiel 5.1. Kolmogorov-Smirnov-Test Gegeben seien folgende Daten: 0.1111 0.3937 0.8854 -0.1299 -0.4475 0.0205 0.5707 -0.8954 -0.1551 -0.9964 0.4752 -0.0677 2.4784 -1.2827 0.0904
Mittels K-S-Test ist auf dem Niveau α = 0.05 zu testen, ob diese Daten standardnormalverteilt sind. L¨ osungsschritte: (vgl. Seite 111) 1. Die Daten aufsteigend sortieren. 2. Bestimmen der theoretischen Verteilungsfunktion F0 (xi ) = Φ(xi ) f¨ ur alle Datenpunkte xi . 3. Berechnung der linksseitigen Grenzwerte Fn− (xi ) und der rechtsseitigen Grenzwerte Fn+ (xi ) der empirischen Verteilung. 4. Bildung der Differenzen zwischen den Grenzwerten und der theoretischen Verteilungsfunktion. 5. Die Teststatistik Kn = sup |F0 (x) − Fn (x)| bestimmen. x∈R
6. Die Teststatistik mit dem kritischen Wert k1−α vergleichen, entscheiden und das Ergebnis interpretieren. In diesem Fall ist das Supremum der Differenzen somit Kn = 0.1717. Dieses Supremum ist u ¨ brigens kein Maximum, weil diese Differenz nicht explizit auftreten kann, sondern nur als Grenzwert. Der kritische Wert k1−α zur Sicherheit p = 1 − α = 0.95 ist aus der Tabelle 11.4 zu entnehmen (n = Stichprobenumfang = 15) k0.95 = 0.338. Nachdem die Teststatistik kleiner ist als der kritische Wert, wird die Nullhypothese, dass die Daten aus einer Standardnormalverteilung stammen, beibehalten. Es konnte nicht nachgewiesen werden, dass die Daten nicht standardnormalverteilt sind.
5.1 Tests auf Verteilungsanpassung
111
xi
Φ(xi )
Fn− (xi )
Fn+ (xi )
|Fn− (xi ) − Φ(xi )|
|Fn+ (xi ) − Φ(xi )|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
-1.2827 -0.9964 -0.8953 -0.4475 -0.1551 -0.1299 -0.0677 0.0205 0.0904 0.1111 0.3937 0.4752 0.5707 0.8854 2.4783
0.0998 0.1595 0.1853 0.3273 0.4384 0.4483 0.4730 0.5082 0.5360 0.5442 0.6531 0.6827 0.7159 0.8120 0.9934
0 1/15 2/15 3/15 4/15 5/15 6/15 7/15 8/15 9/15 10/15 11/15 12/15 13/15 14/15
1/15 2/15 3/15 4/15 5/15 6/15 7/15 8/15 9/15 10/15 11/15 12/15 13/15 14/15 1
0.0998 0.0929 0.0520 0.1273 0.1717 0.1150 0.0730 0.0415 0.0027 0.0558 0.0136 0.0507 0.0841 0.0546 0.0601
0.0331 0.0262 0.0147 0.0606 0.1050 0.0483 0.0063 0.0252 0.0640 0.1224 0.0802 0.1173 0.1508 0.1213 0.0066
1.0
i
● ●
0.8
● ● ●
0.6
●
Fn(x)
● ●
0.4
● ● ●
0.2
● ● ●
0.0
●
−1
0
1
2
x Abb. 5.1. Theoretische und empirische Verteilungsfunktion
112
5 Einstichprobenprobleme
Einseitiger Test auf Verteilungsanpassung (Kolmogorov-Smirnov-Test) Hypothesen H0 : F (x) ≥ F0 (x) f¨ ur alle x ∈ R H1 : F (x) < F0 (x) f¨ ur mindestens ein x ∈ R Entscheidungsregel Teststatistik Kn = sup (F0 (x) − Fn (x)) x∈R
Kritischer Wert
k1−2α (Tabelle 11.4)
Bei Kn ≥ k1−2α wird die Nullhypothese verworfen. Einseitiger Test auf Verteilungsanpassung (Kolmogorov-Smirnov-Test) Hypothesen H0 : F (x) ≤ F0 (x) f¨ ur alle x ∈ R H1 : F (x) > F0 (x) f¨ ur mindestens ein x ∈ R Entscheidungsregel Teststatistik Kn = sup (Fn (x) − F0 (x)) x∈R
Kritischer Wert
k1−2α (Tabelle 11.4)
Bei Kn ≥ k1−2α wird die Nullhypothese verworfen. Bindungen sind f¨ ur den K-S-Test kein Problem, die empirische Verteilungsfunktion hat dann Sprungstellen unterschiedlicher H¨ ohe. Auf den Test selbst haben diese Bindungen sonst keine Auswirkungen. Der K-S-Test ist besonders f¨ ur kleine Stichproben geeignet.
5.1.2 Lilliefors-Test Der Lilliefors-Test ist eine Erweiterung des Kolmogorov-Smirnov-Tests auf den Fall, dass von der theoretischen Verteilung nur der Verteilungstyp, nicht aber die konkreten Parameter vorliegen. Dieser Test wird auch als K-S-Test mit Lilliefors-Schranken bezeichnet oder auch einfach als K-S-Test. Die Teststatistik ist wie beim K-S-Test durch das Supremum der Verteilungsdifferenzen bestimmt. Lediglich die kritischen Werte, mit denen die Teststatistik verglichen wird, ¨andern sich, dabei ist zu beachten dass der Lilliefors-Test f¨ ur jeden Verteilungstyp eine eigene Tabelle mit kritischen Werten ben¨ otigt (z.B. in
5.1 Tests auf Verteilungsanpassung
113
D’Agostino (1986)). Um die theoretische Verteilung an den Beobachtungsstellen berechnen zu k¨onnen, werden die f¨ ur die Verteilung notwendigen Parameter (f¨ ur die Normalverteilung z.B. Mittelwert und Standardabweichung) aus der Stichprobe gesch¨atzt. Beispiel 5.2. Lilliefors-Test auf Normalverteilung (vgl. Beispiel 5.1) Die Daten aus Beispiel 5.1 sind mit einem Lilliefors-Test auf Normalverteilungsannahme zu u ¨berpr¨ ufen. L¨ osungsschritte: 1. F¨ ur die theoretische Verteilung F0 sind Mittelwertund Standardabwein 1 = s = n−1 ¯)2 chung aus der Stichprobe mit µ = x und σ i=1 (xi − x zu sch¨atzen 2. Weitere Vorgehensweise analog zum K-S-Test Aus den Daten erh¨ alt man µ = 0.0700 und σ = 0.8970, damit ergibt sich folgende Berechnung zur Ermittlung des Supremums: i
xi
F0
Fn− (xi )
Fn+ (xi )
|Fn− (xi ) − F0 |
|Fn+ (xi ) − F0 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
-1.2827 -0.9964 -0.8953 -0.4475 -0.1551 -0.1299 -0.0677 0.0205 0.0904 0.1111 0.3937 0.4752 0.5707 0.8854 2.4783
0.0658 0.1172 0.1409 0.2820 0.4009 0.4118 0.4390 0.4780 0.5091 0.5183 0.6409 0.6742 0.7116 0.8183 0.9964
0 1/15 2/15 3/15 4/15 5/15 6/15 7/15 8/15 9/15 10/15 11/15 12/15 13/15 14/15
1/15 2/15 3/15 4/15 5/15 6/15 7/15 8/15 9/15 10/15 11/15 12/15 13/15 14/15 1
0.0658 0.0506 0.0076 0.0820 0.1342 0.0785 0.0390 0.0113 0.0243 0.0817 0.0258 0.0591 0.0884 0.0484 0.0630
0.0009 0.0161 0.0591 0.0153 0.0676 0.0118 0.0277 0.0554 0.0909 0.1484 0.0925 0.1258 0.1550 0.1150 0.0036
In diesem Fall ist das Supremum der Differenzen somit Kn = 0.1550. Der kritische Wert k1−α zur Sicherheit p = 1 − α = 0.95 ist aus der Tabelle 11.5 zu entnehmen k0.95 = 0.220. Nachdem die Teststatistik kleiner ist als der kritische Wert wird die Nullhypothese, dass die Daten aus einer Normalverteilung stammen, beibehalten. Es konnte nicht nachgewiesen werden, dass die Daten nicht normalverteilt sind.
114
5 Einstichprobenprobleme
5.1.3 Chi-Quadrat-Test Der χ2 -Test wird f¨ ur zwei verschiedene Zwecke verwendet. Zum einen kann mit diesem Test die stochastische (Un-)Abh¨angigkeit von Merkmalen getestet werden (siehe Abschnitt 9.2) und zum anderen kann er als Anpassungstest verwendet werden. Dabei testet man, ob die beobachteten H¨ aufigkeiten signifikant von den (bei Vorliegen der theoretisch angenommenen Verteilung) erwarteten H¨aufigkeiten abweichen. Der Vorteil des χ2 -Tests besteht darin, dass er sich f¨ ur Merkmale mit ordinalem oder nominalem Messniveau eignet. Bei metrischem Skalenniveau m¨ ussen die Daten in Klassen zusammengefasst werden. Die G¨ ute des χ2 -Tests ist im Vergleich zu anderen Anpassungstests nicht so hoch, da die Wahl der Klasseneinteilung das Ergebnis beeinflusst. Die Teststatistik des χ2 -Tests ist, wie der Name schon sagt, asymptotisch χ2 verteilt. Diese Ann¨ aherung gilt jedoch nur, wenn die erwarteten H¨ aufigkeiten pro Klasse mindestens 5 sind. Chi-Quadrat-Test auf Verteilungsanpassung Voraussetzung Die erwartete H¨aufigkeit in jeder Kategorie muss mindestens 5 betragen. Ist diese Voraussetzungen nicht erf¨ ullt, so kann man sich damit behelfen, dass man Klassen zusammenfasst. Dies f¨ uhrt zu einer entsprechenden Reduktion von r (Anzahl der Kategorien). Hypothesen H0 : F (x) = F0 (x)
(⇔ χ2 = 0)
H1 : F (x) = F0 (x)
(⇔ χ2 > 0)
Teststatistik 2
χ =
r (ho − he )2 i
i=1
i
hei
hei . . . erwartete H¨aufigkeiten hoi . . . empirische, beobachtete H¨aufigkeiten Die Teststatistik ist ann¨ ahernd χ2 -verteilt mit F g = r − k − 1 Freiheitsgraden, wobei r die Anzahl der Klassen (Kategorien) und k die Anzahl der zu sch¨ atzenden Parameter bezeichnet. Soll beispielsweise getestet werden, ob Daten einer diskreten Gleichverteilung gen¨ ugen, m¨ ussen keine Parameter gesch¨atzt werden und daher w¨ are k in diesem Fall gleich 0. Der Wert der Teststatistik χ2 wird mit dem kritischen Wert, dem (1 − α)-Quantil der χ2 -Verteilung mit den entsprechenden Freiheitsgraden F g und Niveau verglichen (χ2F g,1−α ).
5.1 Tests auf Verteilungsanpassung
115
χ2 -Test auf Verteilungsanpassung Ausgangspunkt ist ein Merkmal mit r Auspr¨agungen oder Kategorien Hypothesen H0 : χ2 = 0 Verteilung entspricht theoretischer Verteilung H1 : χ2 > 0 Verteilung entspricht nicht theoretischer Verteilung Entscheidungsregel Gilt χ2 =
r (ho − he )2 i
i=1
χ2r−k−1,1−α
≥
i
hei
dann wird die Nullhypothese verworfen (Tabelle 11.3).
Beispiel 5.3. χ2 -Test Ein Statistiker pendelt t¨ aglich zwischen Wohnort und Arbeitsort und notiert sich 100 Tage lang die Zeit in Minuten, die er f¨ ur diese Strecke ben¨otigt. Sind diese Daten normalverteilt? Verwenden Sie f¨ ur Ihre Entscheidung den χ2 -Test. 48 51 48 51
26 33 26 33
51 32 51 32
32 66 32 66
28 28 28 28
47 45 47 45
16 49 16 49
46 50 46 50
46 32 46 32
41 40 41 40
48 42 48 42
35 56 35 56
54 29 54 29
40 42 40 42
32 29 32 29
41 43 41 43
56 38 56 38
39 38 39 38
34 47 34 47
41 39 41 39
45 31 45 31
50 40 50 40
33 39 33 39
38 30 38 30
32 48 32 48
L¨ osungsschritte: 1. Mittelwert und Stichprobenvarianz bestimmen. 2. Daten in Klassen zusammenfassen. Damit der Test seine G¨ ultigkeit nicht verliert, muss die erwartete H¨aufigkeit in jeder Klasse mindestens 5 sein. Wenn dies nicht der Fall ist, muss man die Klassen nochmals zusammenfassen. 3. Beobachtete H¨aufigkeitsverteilung ermitteln. 4. Erwartete H¨ aufigkeiten aufgrund der theoretischen Verteilung ermitteln: N ( µ = x, σ 2 = s2 ), x= Mittelwert der Daten, s = Standardabweichung der Daten. 5.
(hoi − hei )2 f¨ ur jede Klasse ausrechnen. hei
6. Durch Aufsummieren die Teststatistik bestimmen.
116
5 Einstichprobenprobleme
Mit den obigen Daten errechnet sich der Mittelwert x ¯ = 40.32 und die (korrigierte) Standardabweichung s = 9.33 und damit als Teststatistik χ2 = 6.58: Klasse
Intervall
hoi
hei
(hoi − hei )2 hei
1 2 3 4 5
bis 25 u ¨ber 25 - 35 u ¨ber 35 - 45 u ¨ber 45 - 55 u ¨ber 55
2 32 34 26 6
5 23 41 25 6
1.80 3.52 1.20 0.04 0.00
Summe
100
100
6.56
Der kritische Wert, das (1 − α)-Quantil der χ2 -Verteilung mit (5-2-1) Freiheitsgraden und α = 0.05 betr¨ agt χ22,0.95 = 5.99 (vgl. Tabelle 11.3). Da die Teststatistik den kritischen Wert u ¨berschreitet, ist die Nullhypothese abzulehnen. Demnach sind die Daten mit 95%iger Sicherheit nicht normalverteilt.
5.1.4 Anderson-Darling-Test Der Anderson-Darling-Test ist ein spezieller K-S-Test. Dieser Test setzt wieder voraus, dass das untersuchte Merkmal metrisch und stetig ist. Die kritischen Werte sind von der konkreten theoretischen Verteilung abh¨ angig, der Test ist daher nur f¨ ur einige Verteilungsfamilien (Normalverteilung, LogNormalverteilung, Weibullverteilung, Exponentialverteilung, logistische Verteilung) m¨ oglich. Weil die Differenzen an den Randbereichen h¨ oher gewichtet werden, ist der Anderson-Darling Test im Vergleich zum Kolmogorov-Smirnov Test dort genauer.
Anderson-Darling-Test Hypothesen H0 : F (x) = F0 (x) H1 : F (x) = F0 (x) Teststatistik AD2 = n
+∞
−∞
Kritischer Wert
(Fn (x) − F0 (x))2 f0 (x)dx F0 (x)(1 − F0 (x))
2 (Tabelle 5.1) ADn,1−α
5.1 Tests auf Verteilungsanpassung
117
F¨ ur die praktische Berechnung der Teststatistik verwendet man: AD2 = −n −
n 1 (2i − 1) ln(F0 (xi )) + ln(1 − F0 (xn−i+1 )) n i=1
In der folgenden Tabelle sind einige kritische Werte f¨ ur einen AndersonDarling-Test auf eine vollkommen spezifizierte Normalverteilung angegeben. n
1
2
3
4
5
6
7
8
n→∞
1 − α = 0.90 1 − α = 0.95 1 − α = 0.99
2.05 2.71 4.30
1.98 2.60 4.10
1.97 2.55 4.00
1.95 2.53 4.00
1.94 2.53 3.95
1.95 2.52 3.95
1.94 2.52 3.95
1.94 2.52 3.95
1.933 2.492 3.857
2 Tabelle 5.1. Kritische Werte ADn,1−α Anderson-Darling-Test vollkommen spezifizierte Normalverteilung
Es gibt f¨ ur jede Verteilung eine eigene Tabelle mit kritischen Werten, daneben muss auch ber¨ ucksichtigt werden, ob die Verteilung vollkommen spezifiziert ist oder ob Parameter aus der Stichprobe gesch¨atzt werden. F¨ ur weitere Tabellen sei auf weiterf¨ uhrende Literatur verwiesen (z.B. Lewis (1961) oder D’Agostino (1986)). F¨ ur den Anpassungstest einer Normalverteilung mit gesch¨atzten Parametern zum Niveau α = 0.05 gilt ann¨ ahernd folgender kritische Wert in Abh¨ angigkeit vom Stichprobenumfang: −1 −1 9 9 3 3 2 ADn,0.95 + 2 + 2 = A∗0.95 · 1 + = 0.752 · 1 + 4n 4n 4n 4n
p A∗
0.01 .119
0.025 .139
0.05 .160
0.10 .188
0.15 .226
0.25 .249
0.50 .341
p A∗
0.75 .470
0.85 .561
0.90 .631
0.95 .752
0.975 .873
0.99 1.035
0.995 1.159
Tabelle 5.2. Kritische Werte A∗ Anderson-Darling-Test Normalverteilung mit gesch¨ atzten Parametern
Entscheidungsregel: 2 Bei AD2 ≥ ADn,1−α wird die Nullhypothese verworfen (Tabelle 5.1).
118
5 Einstichprobenprobleme
Beispiel 5.4. Anderson-Darling-Test Gegeben seien die Daten aus Beispiel 5.1. Pr¨ ufen Sie mit dem AndersonDarling-Test, ob diese Daten normalverteilt sind. 0.1111 0.3937 0.8854 -0.1299 -0.4475 0.0205 0.5707 -0.8954 -0.1551 -0.9964 0.4752 -0.0677 2.4784 -1.2827 0.0904
L¨ osungsschritte: 1. Die Daten aufsteigend sortieren, Mittelwert und Standardabweichung berechnen 2. Die theoretische Verteilungsfunktion und deren Logarithmen f¨ ur jeden Wert xi bestimmen 3. Die Teststatistik AD2 berechnen 4. AD2 mit dem kritischen Wert der Tabelle vergleichen
i
xi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
-1,2827 -0,9964 -0,8954 -0,4475 -0,1551 -0,1299 -0,0677 0,0205 0,0904 0,1111 0,3937 0,4752 0,5707 0,8854 2,4784
F 1 = ln(F0 (xi )) F 2 = ln(1 − F0 (xn−i+1 )) S = F 1 + F 2 S(2i − 1) -2,722 -2,143 -1,960 -1,266 -0,914 -0,887 -0,823 -0,738 -0,675 -0,657 -0,445 -0,394 -0,340 -0,201 -0,004
-5,619 -1,705 -1,244 -1,122 -1,024 -0,730 -0,711 -0,650 -0,578 -0,531 -0,512 -0,331 -0,152 -0,125 -0,068
-8,340 -3,849 -3,203 -2,388 -1,938 -1,618 -1,535 -1,388 -1,253 -1,188 -0,957 -0,725 -0,492 -0,325 -0,072
-8,340 -11,547 -16,015 -16,713 -17,443 -17,793 -19,951 -20,824 -21,305 -22,572 -20,103 -16,685 -12,303 -8,781 -2,079 -232,451
Kritischer Wert zum Signifikanzniveau α = 0.05 und n = 15 f¨ ur die Normal2 verteilung mit zwei gesch¨atzten Parametern ADn,0.95 = 0.709 (aus Tabelle 3 9 −1 + 900 = 0.709). 5.2 mit 0.752 · 1 + 60 Da die Teststatistik AD2 = −15−(−232, 451)/15 = 0.497 den kritischen Wert nicht u ¨ berschreitet, muss die Nullhypothese beibehalten werden. Es konnte nicht nachgewiesen werden, dass die Daten nicht normalverteilt sind.
5.1 Tests auf Verteilungsanpassung
119
5.1.5 Cram´ er-von-Mises-Test Der Cram´er-von-Mises-Test ist dem K-S-Test sehr ¨ahnlich, allerdings dient nicht das Supremum der Abweichungen als Teststatistik, sondern die quadrierten Abweichungen werden als Basis herangezogen. Die exakte Verteilung der Teststatistik h¨angt wie die K-S-Teststatistik nicht von der speziellen Gestalt der theoretischen Verteilung ab. Cram´ er-von-Mises-Test Hypothesen H0 : F (x) = F0 (x) H1 : F (x) = F0 (x) Teststatistik
2
+∞
C =n −∞
(Fn (x) − F0 (x))2 f0 (x)dx
F¨ ur die Berechnung C2 =
2 n 1 2i − 1 + F0 (xi ) − 12n i=1 2n
Beim Ablesen der kritischen Werte muss ber¨ ucksichtigt werden, ob die Verteilung vollkommen spezifiziert ist oder ob Parameter aus der Stichprobe gesch¨atzt werden (weitere Tabellen in D’Agostino (1986)). p Cp∗
0.01 .025
0.025 .030
0.05 .037
0.10 .046
0.15 .054
p Cp∗
0.75 .209
0.85 .284
0.90 .347
0.95 .461
0.975 .581
0.99 .743
0.995 .869
Tabelle 5.3. Kritische Werte Cram´er-von-Mises-Test Normalverteilung mit bekannten Parametern
p C ∗∗
0.01 .017
0.025 .019
0.05 .022
0.10 .026
0.15 .029
0.25 .036
0.50 .051
p C ∗∗
0.75 .074
0.85 .091
0.90 .104
0.95 .126
0.975 .148
0.99 .179
0.995 .201
Tabelle 5.4. Kritische Werte Cram´er-von-Mises-Test Normalverteilung mit gesch¨ atzten Parametern
120
5 Einstichprobenprobleme
F¨ ur den Anpassungstest einer Normalverteilung mit bekannten Parametern zum Niveau α gilt ann¨ ahernd folgender kritische Wert (vgl. Tabelle 5.3) −1 1 2 ∗ Cn,1−α = C1−α · 1 + + 0.4/n − 0.6/n2 n und mit gesch¨atzten Parametern ann¨ ahernd (vgl. Tabelle 5.4) −1 1 2 ∗∗ Cn,1−α = C1−α · 1 + n Entscheidungsregel 2 Bei C 2 ≥ Cn,1−α wird die Nullhypothese verworfen (Tabelle 5.3 bzw. Tabelle 5.4).
Beispiel 5.5. Cram´ er-von-Mises-Test Gegeben seien die Daten aus Beispiel 5.1 (Seite 110). Testen Sie auf Normalverteilung mit Hilfe eines Cram´er-von-Mises-Tests.
i
xi
F 1 = Fn (xi )
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
-1.283 -0.996 -0.895 -0.448 -0.155 -0.130 -0.068 0.021 0.090 0.111 0.394 0.475 0.571 0.885 2.478
0.066 0.117 0.141 0.282 0.401 0.412 0.439 0.478 0.509 0.518 0.641 0.674 0.712 0.818 0.996
F2 =
2i − 1 2n
1/30 3/30 5/30 7/30 9/30 11/30 13/30 15/30 17/30 19/30 21/30 23/30 25/30 27/30 29/30
S1 = |F 1 − F 2|
S2 = S12
0.032 0.017 0.026 0.049 0.101 0.045 0.006 0.022 0.058 0.115 0.059 0.092 0.122 0.082 0.030
0.001 0.000 0.001 0.002 0.010 0.002 0.000 0.001 0.003 0.013 0.004 0.009 0.015 0.007 0.001 0.068
Der kritischer Wert zum Signifikanzniveau α = 0.05 und n = 15 f¨ ur die 2 Normalverteilung mit zwei gesch¨ atzten Parametern ist Cn,0.05 = 0.122. Da die Teststatistik C 2 = 0.068 + 1/(12 ∗ 15) = 0.074 den kritischen Wert nicht u ¨ berschreitet, muss die Nullhypothese beibehalten werden. Es konnte nicht nachgewiesen werden, dass die Daten nicht normalverteilt sind.
5.1 Tests auf Verteilungsanpassung
121
5.1.6 Shapiro-Wilk-Test Der Shapiro-Wilk-Test u ¨ berpr¨ uft, ob Daten aus einer Normalverteilung stammen, und ist gleichzeitig der Anpassungstest mit der h¨ochsten G¨ ute unabh¨ angig von der Stichprobengr¨oße. Allerdings ist dieser Test sehr rechen¨ intensiv und ausschließlich zur Uberpr¨ ufung auf Normalverteilung geeignet. Shapiro-Wilk-Test Hypothesen H0 : F (x) = F0 (x) H1 : F (x) = F0 (x) Teststatistik
n
2 ai x(i)
i=1 W2 = n (xi − x ¯)2 i=1
x(i) . . . i-te Element der geordneten Stichprobe ai . . . tabellierte Gewichte (aus z.B. Shapiro und Wilk (1965)) Die h¨andische Berechnung der Teststatistik ist sehr aufw¨andig, daher werden f¨ ur diesen Test die Tabellen der Gewichte bzw. der kritischen Werte nicht angef¨ uhrt. Diese k¨onnen dem Artikel von Shapiro und Wilk (1965) entnommen werden. Bei Verletzung der Nullhypothese w¨ urden kleine Werte f¨ ur die Teststatistik resultieren, daher wird beim Shapiro-Wilk-Test die Teststatistik mit dem unteren Quantil des kritischen Wertes verglichen. Ist die Teststatistik kleiner oder gleich dem unteren Quantil, so wird die Nullhypothese abgelehnt. Entscheidungsregel Bei W 2 ≤ Wα2 wird die Nullhypothese verworfen.
Beispiel 5.6. Shapiro-Wilk-Test Gegeben seien die Daten aus Beispiel 5.1 (vgl. Seite 110). Testen Sie auf Normalverteilung mit Hilfe eines Shapiro-Wilk-Tests. L¨ osungsweg: 1. Die Daten aufsteigend sortieren 2. Die Teststatistik berechnen (Gewichte ai aus Shapiro und Wilk (1965)) 3. W 2 mit dem kritischen Wert laut Tabelle vergleichen
122
5 Einstichprobenprobleme i
xi
ai
xi · ai
(xi − x)2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
-1.283 -0.996 -0.895 -0.448 -0.155 -0.130 -0.068 0.021 0.090 0.111 0.394 0.475 0.571 0.885 2.478
-0.5150 -0.3306 -0.2495 -0.1878 -0.1353 -0.0880 -0.0433 0.0000 0.0433 0.0880 0.1353 0.1878 0.2495 0.3306 0.5150
0.6606 0.3294 0.2234 0.0840 0.0210 0.0114 0.0029 0.0000 0.0039 0.0098 0.0533 0.0892 0.1424 0.2927 1.2763
1.8299 1.1373 0.9319 0.2679 0.0507 0.0400 0.0190 0.0025 0.0004 0.0017 0.1048 0.1641 0.2507 0.6648 5.7997
3.2004
11.2652
Damit erh¨alt man als Teststatistik den Wert W 2 = 3.20042/11.2652 = 0.9092. Aus der Tabelle kann der kritische Wert f¨ ur n = 15 und zum Niveau α = 0.05 abgelesen werden mit Wα2 = 0.881. Auch hier kann die Nullhypothese nicht abgelehnt werden, es konnte nicht nachgewiesen werden, dass die Verteilung nicht einer Normalverteilung entstammt.
¨ 5.1.7 Ubersicht Tests auf Verteilungsanpassung Kolmogorov-Smirnov-Test • • • • • • • • • • •
Voraussetzung: stetige Merkmale Bei Verletzung der Voraussetzung wird Test konservativ (geringe G¨ ute) F¨ ur kleine Stichproben geeignet Verteilungsfrei Parameter der hypothetischen Verteilung sind gegeben Bei gesch¨atzten Parametern ist der Test konservativ An den Randbereichen ungenau Einseitiges Testen m¨oglich Vorliegen von Bindungen unproblematisch Konsistenter Test Einseitiger Test unverf¨ alscht, zweiseitiger Test verf¨alscht
5.1 Tests auf Verteilungsanpassung
123
Lilliefors-Test • • • • • • •
Spezieller Kolmogorov-Smirnov-Test Voraussetzung: stetige Merkmale Parameter der hypothetischen Verteilung werden gesch¨atzt Trennsch¨arfer als der Kolmogorov-Smirnov-Test Eigene Tabelle f¨ ur kritische Werte f¨ ur jede Verteilung M¨ ogliche Verteilungen: Normalverteilung, Exponentialverteilung, . . . Einseitiges Testen m¨oglich
Chi-Quadrat-Test • • • • • • • • • •
Geeignet f¨ ur stetige und diskrete (ordinale, nominale) Merkmale Merkmale mit vielen Auspr¨agungen m¨ ussen gruppiert werden Durch Gruppierung entsteht gewisse Willk¨ ur Parameter der hypothetischen Verteilung gegeben oder gesch¨atzt Quadratische Teststatistik Teststatistik asymptotisch χ2 - verteilt F¨ ur kleine Stichproben ungeeignet Erwartete H¨aufigkeiten pro Klasse m¨ ussen ≥ 5 sein Nur zweiseitiges Testen m¨oglich Vorliegen von Bindungen unproblematisch
Anderson-Darling-Test • • • • • • •
Voraussetzung: stetige Merkmale Modifizierter K-S-Test M¨ ogliche Verteilungen: Normalverteilung, Log-Normalverteilung, Weibullverteilung, Exponentialverteilung, logistische Verteilung Quadratische Teststatistik Eigene Tabelle f¨ ur kritische Werte f¨ ur jede Verteilung An den Randbereichen genauer als der allgemeine K-S-Test Test auf Normalverteilung: sehr hohe G¨ ute
Cram´ er-von-Mises-Test • • •
Voraussetzung: stetige Merkmale Quadratische Teststatistik Test auf Normalverteilung: h¨ ohere G¨ ute als K-S-Test (empirisch, nicht bewiesen)
Shapiro-Wilk-Test • • • •
Test auf Normalverteilung Parameter der hypothetischen Verteilung werden gesch¨atzt Test mit der h¨ ochsten G¨ ute Sehr rechenintensiv
124
5 Einstichprobenprobleme
5.1.8 Test auf Verteilungsanpassung in SAS Es gibt in SAS zwei Prozeduren mit denen Anpassungstests durchgef¨ uhrt werden k¨ onnen: • •
PROC UNIVARIATE (vgl. Abschnitt 2.7.1, Seite 48) PROC CAPABILITY (vgl. Abschnitt 2.6.2, Seite 43)
Die zus¨atzlich ben¨ otigte HISTOGRAM-Anweisung wurde in Abschnitt 2.7.1, Seite 51 beschrieben. Beispiel 5.7. Test auf Verteilungsanpassung in SAS Gegeben seien die Daten aus Beispiel 5.1. Pr¨ ufen Sie zum Niveau α = 0.05, ob diese Daten normalverteilt sind. 0.1111 0.3937 0.8854 -0.1299 -0.4475 0.0205 0.5707 -0.8954 -0.1551 -0.9964 0.4752 -0.0677 2.4784 -1.2827 0.0904
DATA Stichprobe; INPUT x; DATALINES; 0.1111 ... 0.0904 RUN; PROC UNIVARIATE DATA = Stichprobe; /* Test auf Normalverteilung */ HISTOGRAM/normal(color=red w=2); /* Test auf Standardnormalverteilung */ HISTOGRAM/normal(MU=0 SIGMA=1 COLOR=red W=2); RUN; PROC CAPABILITY DATA=stichprobe; VAR x; HISTOGRAM/normal(COLOR=red W=2); CDFPLOT/normal(COLOR=red W=2); HISTOGRAM/normal(COLOR=red MU=0 SIGMA=1 W=2); CDFPLOT/normal(COLOR=red MU=0 SIGMA=1 W=2); RUN; PROC UNIVARIATE DATA=stichprobe NORMAL; RUN;
5.1 Tests auf Verteilungsanpassung
Abb. 5.2. Histogramm
Abb. 5.3. Empirische und theoretische Verteilungsfunktion
125
126
5 Einstichprobenprobleme Test
Teststatistik
Kolmogorov-Test Cram´er von Mises-Test Anderson-Darling-Test Shapiro-Wilk-Test χ2 -Test
Kn = D = 0.1551 C 2 = W − Sq = 0.0736 AD2 = A − Sq = 0.4968 W = 0.9092 χ2 = 4.9831 df = 3
p-Wert > 0.1500 0.2376 0.1879 0.1316 0.173
Da alle p-Werte das Signifikanzniveau α u ¨ bersteigen, kann die Nullhypothese nicht verworfen werden. Es kann nicht nachgewiesen werden, dass die Daten nicht aus einer Normalverteilung stammen. F¨ ur den Test auf Standardnormalverteilung sind die Ergebnisse ¨ahnlich: Test
Teststatistik
p-Wert
Kolmogorov-Test Cram´er von Mises-Test Anderson-Darling-Test χ2 -Test
Kn = D = 0.1717 C 2 = W − Sq = 0.0905 AD2 = A − Sq = 0.5798 χ2 = 4.3813 df = 5
> 0.250 > 0.250 > 0.250 0.496
Da alle p-Werte das Signifikanzniveau α u ¨ bersteigen, kann die Nullhypothese nicht verworfen werden. Es kann nicht nachgewiesen werden, dass die Daten nicht aus einer Standardnormalverteilung stammen.
5.1.9 Test auf Verteilungsanpassung in R Der Kolmogorov-Smirnov-Test kann in R zum Testen von allen implementierten Verteilungen (mit Ausnahme der Multinomialverteilung) verwendet werden (vgl. Tabelle 3.13, Seite 74). Verteilungen mit Voreinstellungen f¨ ur die Parameter k¨onnen mit oder ohne Angabe der Parameter getestet werden (z.B. Normalverteilung), Verteilungen ohne Voreinstellungen ben¨ otigen zwingend die Angabe der notwendigen Parameter (z.B. Chi-Quadrat-Verteilung). ks.test(Daten, "Verteilung", Parameter) ks.test(Daten, "Verteilung") Ausgegeben wird der Wert der Teststatistik und der p-Wert, sowie die Information ob einseitig oder zweiseitig getestet wurde. Die Nullhypothese wird verworfen, falls der p-Wert h¨ ochstens α (p ≤ α) ist.
5.1 Tests auf Verteilungsanpassung
127
Um die empirische und die theoretische Verteilungsfunktion zu plotten kann man diesen Befehl verwenden: plot(ecdf(Daten), + main = "empirische und theoretische Verteilungsfunktion", + verticals = TRUE) curve(Verteilung(x, Parameter 1, ... , Parameter k), + add=TRUE, col="red", lwd=2) mit ecdf main="" verticals=TRUE add=TRUE col="red" lwd=
die empirische Verteilungsfunktion der Titel der Grafik um eine Treppenfunktion zu erhalten f¨ ugt die Kurve zur letzten Grafik hinzu plottet die Grafik in Rot Linienst¨ arke
Beispiel 5.8. Kolmogorov-Smirnov-Test Gegeben seien die Daten aus Beispiel 5.1. Pr¨ ufen Sie zum Niveau α = 0.05, ob diese Daten standardnormalverteilt sind. 0.1111 0.3937 0.8854 -0.1299 -0.4475 0.0205 0.5707 -0.8954 -0.1551 -0.9964 0.4752 -0.0677 2.4784 -1.2827 0.0904
Die zugeh¨ orige Syntax lautet: Stichprobe=c(0.1111,0.3937,0.8854,-0.1299,-0.4475, + 0.0205, 0.5707,-0.8954,-0.1551,-0.9964,0.4752, + -0.0677,2.4784,-1.283,0.0904) ks.test(Stichprobe,"pnorm") plot(ecdf(Stichprobe), main="",verticals=TRUE) curve(pnorm(x), add=TRUE, col="red",lwd=2) Neben der Grafik wird der Wert der Kolmogorov-Smirnov-Teststatistik ausgegeben (D = 0.1717) und der p-Wert (p = 0.7067). Der p-Wert ist gr¨oßer als α, also wird die Nullhypothese (”Die Daten stammen aus einer Standardnormalverteilung”) nicht abgelehnt. Weitere Tests auf Verteilungsanpassung bietet das Paket nortest. Nach dem Installieren und laden des Paketes kann man mit Lilliefors-Test, AndersonDarling-Test, Shapiro-Test, Cram´er-von-Mises-Test und dem Chi-QuadratTest die Normalverteilungsannahme testen. Andere Verteilungsannahmen k¨ onnen mit diesem Paket nicht getestet werden. Das Paket truncgof bietet mit der Anweisung ad2.test den Anderson-Darling-Test auch f¨ ur andere Verteilungen an.
128
5 Einstichprobenprobleme
Tests auf Normalverteilung in R (im Paket nortest“) ” lillie.test(Daten) pearson.test(Daten, Anzahl der Klassen) ad.test(Daten) shapiro.test(Daten) cvm.test(Daten) Bei diesen Tests auf Anpassung einer Normalverteilung wird in R die Teststatistik und der p-Wert ausgegeben. F¨ ur p-Wert ≤ α wird die Nullhypothese einer Normalverteilung abgelehnt.
Beispiel 5.9. Tests auf Normalverteilung in R ¨ (Fortsetzung von Beispiel 5.1) Uberpr¨ ufen Sie, ob die Daten aus einer Normalverteilung stammen. Nach der Installation des Paketes nortest kann folgende Syntax verwendet werden: Stichprobe=c(0.1111,0.3937,0.8854,-0.1299,-0.4475, + 0.0205,0.5707,-0.8954,-0.1551,-0.9964, + 0.4752,-0.0677,2.4784,-1.283,0.0904) library(nortest) ad.test(Stichprobe) cvm.test(Stichprobe) shapiro.test(Stichprobe) lillie.test(Stichprobe) pearson.test(Stichprobe,3, adjust=FALSE) Man erh¨ alt folgende Ergebnisse: Test Anderson-Darling-Test Cram´er von Mises-Test Shapiro-Wilk-Test Lilliefors-Test Chi-Quadrat-Test
Teststatistik 2
AD = A = 0.4968 C 2 = W = 0.0736 W 2 = W = 0.9092 Kn = D = 0.1551 χ2 = P = 1.2
p-Wert 0.1794 0.2329 0.1316 0.4297 0.5488
Der χ2 -Test ist in diesem Fall nicht geeignet, da die Stichprobe zu klein ist. Die Gruppierung der Daten f¨ ur den Chi-Quadrat-Test u ¨ bernimmt R in der Weise, dass alle Klassen m¨oglichst gleich viele Elemente umfassen. Die Nullhypothese kann nicht abgelehnt werden, somit gibt es keine Hinweise darauf, dass die Daten nicht normalverteilt sind.
5.2 Binomialtest
129
5.2 Binomialtest Der Binomialtest kann f¨ ur jedes Testproblem verwendet werden, das als Test auf Anteile formuliert werden kann. Ausgangspunkt ist die Behauptung, dass ein Anteil (an Objekten, die eine bestimmte Eigenschaft aufweisen) einen Referenzwert p0 annimmt. Als Alternative wird formuliert, dass der Anteil den Wert p0 nicht annimmt (zweiseitiger Test) oder diesen u ¨ ber- bzw. unterschreitet (einseitige Tests). Jedes Skalenniveau ist zugelassen, die Merkmale m¨ ussen allerdings dichotomisiert werden. Hypothesen (zweiseitig) H0 : p = p0
H1 : p = p0
Beispiel 5.10. M¨ unzwurf Man m¨ ochte eine M¨ unze auf Fairness u ¨berpr¨ ufen. Unter der Nullhypothese (faire M¨ unze) w¨ are der Anteil der W¨ urfe mit dem Ergebnis Kopf genau 50%. Demnach lauten die Hypothesen: H0 : p = 0.5
H1 : p = 0.5
Als Teststatistik wird die Anzahl der Beobachtungen mit der gew¨ unschten Eigenschaft herangezogen. Diese Anzahl ist unter Annahme der Nullhypothese binomialverteilt mit den Parametern n und p = p0 und damit gilt: t n i p0 (1 − p0 )n−i P r(T ≤ t) = i i=0 Daraus l¨ asst sich folgende Entscheidungsregel ableiten: Man bestimmt die Quantile tα/2 und t1−α/2 so, dass P r(T ≤ tα/2 ) ≥ α/2 und P r(T ≤ t1−α/2 ) ≥ 1 − α/2. Die Nullhypothese ist abzulehnen, wenn die Teststatistik T < tα/2 oder T > t1−α/2 ist. Beispiel 5.11. M¨ unzwurf (Fortsetzung von Beispiel 5.10). Bei 10 W¨ urfen kam neunmal Kopf und einmal Zahl. Es soll auf einem Niveau von α = 0.1 die Fairness der M¨ unze getestet werden. Aus der Verteilungsfunktion der Binomialverteilung t P r(T ≤ t|B(10, 0.5))
0 0.001
1 0.011
2 0.055
3 0.172
4 0.377
t P r(T ≤ t|B(10, 0.5))
6 0.828
7 0.945
8 0.989
9 0.999
10 1.000
5 0.623
130
5 Einstichprobenprobleme
bestimmt man die Quantile tα/2 = 2 und t1−α/2 = 8, weil P r(T ≤ 2) = 0.055 und P r(T ≤ 8) = 0.989. Die Nullhypothese ist abzulehnen, wenn die Teststatistik T < 2 oder T > 8 ist. Bei neunmal Kopf kann mit 90% Sicherheit nachgewiesen werden, dass die M¨ unze nicht fair ist. Testen von zweiseitigen Hypothesen u ¨ ber Anteile Binomialtest Hypothesen H0 : p = p 0
H1 : p = p0
Entscheidungsregel Bestimme Quantile tα/2
mit
t1−α/2 mit
P r(T ≤ tα/2 ) ≥ α/2 und P r(T ≤ t1−α/2 ) ≥ 1 − α/2.
F¨ ur T ∈ [tα/2 ; t1−α/2 ] wird die Nullhypothese beibehalten, andernfalls verworfen. Da die Binomialverteilung eine diskrete Verteilung ist, k¨ onnen die Quantile im Normalfall nicht so bestimmt werden, dass das gew¨ unschte Testniveau α exakt eingehalten wird. Verwendet man zur Bestimmung der Quantile die angegebenen Formeln, so erh¨ alt man einen konservativen Test, dessen tats¨ achliches Testniveau α
aus der Binomialverteilung berechnet werden kann. Einseitige Hypothesen behandeln die Fragestellung, ob sich nachweisen l¨ asst, dass ein Parameter einen bestimmten Referenzwert unter- oder u ¨ berschreitet. Wir betrachten zuerst die Frage, ob ein Parameter einen bestimmten Sollwert u ¨ berschreitet. ¨ Hypothesen einseitiger Test (Uberschreitung) H0 : p ≤ p 0
H1 : p > p 0
Als Teststatistik wird wieder die Anzahl der Beobachtungen mit der gew¨ unschten Eigenschaft herangezogen. F¨ ur den einseitigen Test bestimmt man das Quantil t1−α so, dass P r(T ≤ t1−α ) ≥ 1 − α. Die Nullhypothese ist abzulehnen, wenn die Teststatistik T > t1−α ist. Beispiel 5.12. M¨ unzwurf (Fortsetzung von Beispiel 5.10). Bei 10 W¨ urfen kam neunmal Kopf und einmal Zahl. Es soll auf einem Niveau von α = 0.1 getestet werden, ob die Mehrheit der W¨ urfe mit dem Ergebnis Kopf endeten. Aus der Verteilungsfunktion der
5.2 Binomialtest
131
Binomialverteilung bestimmt man das Quantil t1−α = 7, weil P r(T ≤ 7) = 0.945. Die Nullhypothese ist abzulehnen, wenn die Teststatistik T > 7 ist. Bei neunmal Kopf kann mit 90% Sicherheit nachgewiesen werden, dass die M¨ unze mehrheitlich Kopf-Ergebnisse zeigt. Testen von einseitigen Hypothesen u ¨ ber Anteile ¨ Binomialtest - Nachweis einer Uberschreitung Hypothesen H0 : p ≤ p 0
H1 : p > p 0
Entscheidungsregel Bestimme das Quantil t1−α
mit
P r(T ≤ t1−α ) ≥ 1 − α
F¨ ur T > t1−α wird die Nullhypothese verworfen. Testen von einseitigen Hypothesen u ¨ ber Anteile Binomialtest - Nachweis einer Unterschreitung Hypothesen H0 : p ≤ p 0
H1 : p < p 0
Entscheidungsregel Bestimme das Quantil tα
mit P r(T ≤ tα ) ≥ α
F¨ ur T < tα wird die Nullhypothese verworfen. F¨ ur den Fall, dass der Stichprobenumfang n hinreichend groß“ wird, kann ” die Binomialverteilung nach dem Satz von Moivre-Laplace durch die Normalverteilung mit Mittel µ = np und Varianz σ 2 = np(1 − p) angen¨ ahert werden. Mit dieser asymptotischen Verteilung ver¨ andern sich dann auch die Grenzwerte. Anstelle der α/2 bzw. 1 − α/2 Quantile der Binomialverteilung werden nun die α/2 bzw. 1 − α/2 Quantile der korrespondierenden Normalverteilung verwendet (vgl. Tabelle 11.1). F¨ ur großes n sind die Unterschiede zwischen den Quantilen der Binomial- bzw. der Normalverteilung wegen der Asymptotik (beinahe) Null. In der Literatur werden unterschiedliche Kriterien f¨ ur einen hinreichend großen Stichprobenumfang angegeben, ein Kriterium ist die Erf¨ ullung der beiden Ungleichungen n · p > 10
und
n · (1 − p) > 10
132
5 Einstichprobenprobleme
Beispiel 5.13. M¨ unzwurf, Binomialtest in R (Fortsetzung von Beispiel 5.10 bzw. 5.11). R stellt f¨ ur exakte Binomialtests die Funktion binom.test(x,n,p,alternative, conf.level) zur Verf¨ ugung, wobei die Funktionsparameter folgende Bedeutung haben: • x ist die Anzahl der Erfolge • n ist die Anzahl der Versuche • p ist die Wahrscheinlichkeit f¨ ur einen Erfolg unter der Nullhypothese • alternative steht f¨ ur Alternativhypothese und kann die Werte two.sided, less und greater haben, wobei die Angabe der ersten Buchstaben der Schl¨ usselw¨orter unter Anf¨ uhrungszeichen ausreicht. • conf.level bestimmt die gew¨ unschte Sicherheit 1 − α f¨ ur das Konfidenzintervall, Voreinstellung ist 1 − α = 0.95 Im Falle von Beispiel 5.11 w¨ urde der gesamte Test durch den Befehl binom.test(x=9,n=10,p=0.5,alternative="t",conf.level=0.90) durchgef¨ uhrt werden. Diese Routine berechnet den p-Wert, den Punkt- und Bereichsch¨atzer f¨ ur den Anteil der Erfolge. Ist der p-Wert ≤ α wird die Nullhypothese verworfen. In diesem Fall l¨ asst sich auch leicht nachrechnen, dass der p-Wert die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur ist, unter der Nullhypothese dieses oder ein noch selteneres Ergebnis zu erhalten: Der (zweiseitige) p-Wert ist somit die Summe der Wahrscheinlichkeiten f¨ ur die Ereignisse 0,1,9,10 einer Binomialverteilung mit n = 10 und p0 = 0.5. Da der p-Wert (0.02148) kleiner als das vorgegebene α-Niveau ist, muss die Nullhypothese verworfen werden. Die M¨ unze ist nicht fair.
Beispiel 5.14. M¨ unzwurf mit SAS In SAS erfolgt der exakte Binomialtest in der PROC FREQ (vgl. Abschnitt 2.7.2). Zuerst werden die Daten in einem DATA-STEP in SAS eingelesen. Zu beachten ist, dass SAS den kleineren Wert als Realisierung des interessierenden Ereignisses ( Kopf“) und den gr¨ oßeren Wert als Realisierung des Komplement¨arer” eignisses ( Zahl“) wertet. Die H¨aufigkeit der jeweiligen Ereignisse kann in der ” Variablen Anzahl eingetragen werden. DATA Beispiel; INPUT Kopf Zahl Anzahl; DATALINES; 1 2 9 # Anzahl der W¨ urfe mit Ergebnis Kopf 2 1 1 # Anzahl der W¨ urfe mit Ergebnis Zahl ; RUN;
5.2 Binomialtest
133
PROC FREQ; WEIGHT Anzahl; TABLES Kopf /binomial(p=0.5) alpha=0.1; RUN; SAS liefert als Ergebnis das approximative und das exakte Konfidenzintervall f¨ ur den Anteil der W¨ urfe mit Kopf. Liegt der getestete Anteil p0 im Intervall, so entscheidet man zugunsten der Nullhypothese, ansonsten f¨ ur die Alternativhypothese. Zudem wird der p-Wert ausgegeben, allerdings wird f¨ ur die Berechnung durch die Normalverteilung approximiert. Auch hier wird mit p = 0.0114 zugunsten der Alternativhypothese entschieden, d.h. die M¨ unze ist nicht fair.
Testen von Quantilen In der nichtparametrischen Statistik spielen Quantile eine außerordentlich wichtige Rolle. Besonders der Median wird gerne als Ersatz f¨ ur den Mittelwert verwendet. Neben der Unempfindlichkeit gegen¨ uber Ausreißern in der Stichprobe weist der Median (wie jedes andere Quantil) auch andere Vorteile gegen¨ uber dem Mittelwert auf: Er ist auch bei ordinalem Skalenniveau verwendbar und man kann - im Gegensatz zum Mittelwert - eine exakte Verteilung der Teststatistik angeben. Diese Verteilung ist die Binomialverteilung, denn unter der Nullhypothese, dass Θ0 der Median ist, ist die Anzahl der Stichprobenelemente, die gr¨ oßer/kleiner als Θ0 sind, binomialverteilt Bn,0.5 mit den Parametern n und 0.5. Das ist einsichtig, denn wenn Θ0 tats¨achlich der unbekannte Median ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit 0.5, dass man einen Wert zuf¨allig zieht, der gr¨oßer/kleiner als der Median Θ0 ist. Verallgemeinert man den Test f¨ ur den Median auf alle m¨oglichen Quantile, dann ist klar, dass diese Tests wiederum eine Binomialverteilung haben m¨ ussen. Testet man zum Beispiel das 10%-Quantil, dann betr¨agt die Wahrscheinlichkeit einen Wert kleiner als dieses Quantil zu ziehen 10%, wenn die Hypothese tats¨achlich stimmt. Auch hier haben wir wieder die Nullhypothese, dass das zu testende Quantil tats¨ achlich dem unbekannten, aber wahren 10%-Quantil entspricht. Die Verteilung im Fall des 10%-Quantils ist also die Binomialverteilung Bn,0.1 . Allgemein ist die Verteilung des p-Quantils die Binomialverteilung Bn,p/100 .
134
5 Einstichprobenprobleme
5.3 Lineare Rangtests Tests, die auf Ordnungs- bzw. Rangstatistiken basieren, spielen in der nichtparametrischen Statistik eine wichtige Rolle. Die hier angef¨ uhrten Rangtests basieren auf metrischem Skalenniveau. Durch die Vergabe von R¨ angen entsteht daher ein Informationsverlust, der aber von geringer Bedeutung ist.
5.3.1 Das allgemeine Prinzip linearer Rangstatistiken Lineare Rangstatistiken gehen von einer Stichprobe von unabh¨ angigen, identisch und stetig verteilten Zufallsvariablen (X1 , . . . , Xn ) aus, deren Verteilung zwar unbekannt ist, von der wir aber folgende wichtige Eigenschaften voraussetzen: •
Es handelt sich um eine stetige Verteilungsfunktion F (X)
•
Symmetrie der Verteilungsfunktion um den Lageparameter Θ
Besonders die zweite Voraussetzung schr¨ankt die durch lineare Rangstatistiken analysierbaren Probleme stark ein. Mit Rangstatistiken k¨onnen nur Aussagen u ¨ ber den Lageparameter Θ getestet werden, die G¨ ute dieser Tests ist aber ausgesprochen hoch. Sogar im Fall von normalverteilten Daten sind einige verteilungsfreie Tests mit Rangstatistiken ann¨ ahernd so effizient in der Erkennung des wahren Lageparameters Θ = µ wie der optimale t-Test. Um einen Test durchf¨ uhren zu k¨ onnen, ben¨ otigen wir zun¨ achst eine sinnvolle Teststatistik L = t(X1 , . . . , Xn ). Ausgangspunkt f¨ ur lineare Rangstatistiken sind die R¨ange der Differenzbetr¨ age zum hypothetischen Lageparameter Θ0 , also Ri+ = R(Di ) mit Di = |Xi − Θ0 |. In einer Indikatorvariablen Zi wird zudem vermerkt, ob die Differenz (Xi − Θ) positiv (Z i = 1) oder negativ (Zi = 0) ist. Zusammen mit einer Gewichtsfunktion g Ri+ lautet damit die allgemeine Form einer linearen Rangstatistik: n L= g Ri+ · Zi i=1
Nach Ordnen der Differenzbetr¨age bzw. deren R¨ ange kann die Teststatistik in vereinfachter Form angeschrieben werden als:
L=
n i=1
g(i) · Zi
5.3 Lineare Rangtests
135
Zum Testen ben¨otigt man die Verteilung der Teststatistik unter der Nullhypothese. Da die R¨ ange von 1 bis n fix vorgegeben sind, ist nur mehr die Variable Zi eine Zufallsvariable, und zwar mit dem Wert 1, wenn die Differenz Xi − Θ0 positiv ist, und mit dem Wert 0, wenn die Differenz negativ ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass Zi einen der beiden Werte annimmt ist wegen der Symmetrie der Verteilungsfunktion 0.5. Wegen der Unabh¨ angigkeit der Stichprobenziehungen ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle n Ziehungen die 0-1-Folge (Z1 , . . . , Zn ) ergeben, gleich 0.5n . Die exakte Verteilung der Teststatistik unter der Nullhypothese kann dann angeschrieben werden als P r(L = k) =
a(k) 2n
a(k) . . . Anzahl der Permutationen, die den Wert k ergeben Die kritischen Werte werden mit Hilfe von Simulationen ermittelt, f¨ ur große Stichprobenumf¨ ange kann die Verteilung approximiert werden. F¨ ur die Approximation ben¨ otigt man Erwartungswert und Varianz, die gegeben sind durch: E(L) =
V ar(L) =
n 1 · g(i) 2 i=1 n 1 2 · (g(i)) 4 i=1
Je nach Gewichtsfunktion g(i) erh¨ alt man unterschiedliche Tests, von denen nun der Vorzeichentest und der Wilcoxon-Vorzeichen-Rangtest n¨ aher beschrieben werden.
5.3.2 Der Vorzeichentest (Sign-Test) F¨ ur diesen Test gelten die Voraussetzungen f¨ ur lineare Rangstatistiken (Unabh¨ angigkeit, Stetigkeit, Symmetrie). Die Voraussetzung der Stetigkeit erleichtert die theoretische Betrachtung, ist aber f¨ ur die praktische Durchf¨ uhrung nicht zwingend erforderlich. Die Voraussetzung stetiger Variablen kann zudem kaum durchgehalten werden, weil durch Messfehler oder Rundungen eine gewisse Diskretisierung erfolgt. Somit k¨onnen in der Praxis Bindungen auftreten, die meist mit Vergabe von Durchschnittsr¨angen behandelt werden (vgl. Abschnitt 4.1).
136
5 Einstichprobenprobleme
Die Teststatistik des Vorzeichentests erh¨alt man, wenn man als Gewichtsfunktion der linearen Rangstatistik die Funktion g(i) = 1 w¨ ahlt: L=
n
g(i) · Zi =
n
i=1
Zi
i=1
Die Verteilung unter der Nullhypothese ist wegen der Symmetrie eine Binomialverteilung mit p = 0.5, denn die Teststatistik L beinhaltet die Anzahl der Werte, die gr¨ oßer als der zu testende Parameter Θ0 sind. Damit ist der Vorzeichentest ein Spezialfall des allgemeinen Binomialtests und weist die gleichen Eigenschaften wie dieser auf. Er ist konsistent und unverf¨alscht und erf¨ ullt somit die wichtigsten Voraussetzungen f¨ ur einen guten Test. Im Vergleich zum t-Test ist er (unter Voraussetzung von normalverteilten Daten) klar unterlegen, sollte aber im Fall von Daten, die nicht normalverteilt sind, bevorzugt werden. Vorzeichentest •
Zweiseitige Hypothesen H0 : θ = θ0 H1 : θ = θ0
•
Einseitige Hypothesen, Fall A ¨ Uberschreitung des Lageparameters θ0 H0 : θ = θ 0 H1 : θ > θ 0
•
Einseitige Hypothesen, Fall B Unterschreitung des Lageparameters θ0 H0 : θ = θ 0 H1 : θ < θ 0
Testentscheidung (kritische Werte: Quantile tp der Binomialverteilung (vgl. Abschnitt 5.2)) •
Zweiseitiger Test: H0 ablehnen, falls L < tα/2 oder L > t1−α/2
•
Einseitiger Test, Fall A: H0 ablehnen, falls L < tα
•
Einseitiger Test, Fall B: H0 ablehnen, falls L > t1−α
Beispiel 5.15. Schulklasse Vorzeichentest Von 15 zuf¨ allig ausgew¨ahlten Sch¨ ulerInnen wurde die Mathematik-Note erhoben (1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5). Es soll getestet werden, ob der Median Θ der Mathematik-Noten 2 ist oder davon abweicht.
5.3 Lineare Rangtests
137
F¨ ur die Teststatistik L ist die Anzahl jener Sch¨ ulerInnen zu erheben, die eine schlechtere Note als 2 hatten, weil dann die Differenz Di = Xi − Θ0 ein positives Vorzeichen ausweist. Sch¨ ulerInnen mit der Note 2 f¨ uhren zu einer Differenz von 0 und werden in weiterer Folge ausgeschlossen. Das sind 3 Personen und somit reduziert sich n auf 12. Die Teststatistik nimmt den Wert L = 10 an, die Verteilung unter der Nullhypothese ist die Binomialverteilung mit n = 12 und p = 0.5. F¨ ur den zweiseitigen Test (α = 0.05) ermittelt man die Quantile der Binomialverteilung tα/2 = 3 und t1−α/2 = 9 (vgl. Abschnitt 5.2). Da die Teststatistik gr¨oßer als der obere kritische Wert ist, entscheidet man zugunsten der Alternativhypothese: Mit (mindestens) 95%iger Sicherheit weicht der Median (die mittlere Note) vom Wert 2 ab, der p-Wert (und damit das tats¨achliche Niveau α
) betr¨ agt p = 0.0386). In diesem Beispiel wurden F¨alle mit Nulldifferenzen aus der Analyse ausgeschlossen. Diese in Praxis g¨angige Vorgehensweise ist in diesem Beispiel allerdings problematisch, weil dadurch ein erheblicher Teil der Beobachtungen (3 von 15) ausgeschlossen wird. In solchen F¨ allen k¨ onnte man folgende alternative Vorgehensweise w¨ ahlen: Durch M¨ unzwurf wird entschieden, ob die Nulldifferenz als positive Differenz (zi = 1) oder als negative Differenz (zi = 0) in die Teststatistik eingeht. Beispiel 5.16. Schulklasse Vorzeichentest in SAS (Fortsetzung von Beispiel 5.15) Nach der Dateneingabe kann u ¨ ber die Prozedur UNIVARIATE der Vorzeichentest angefordert werden. Wird kein Referenzwert θ0 angegeben, so wird der Test mit θ0 = 0 durchgef¨ uhrt. F¨ ur unser Beispiel lautet die Syntax nach der Dateneingabe: PROC UNIVARIATE mu0=2; RUN; Die Teststatistik von SAS weicht von L = 10 ab. Bezeichnet man mit n+ die Anzahl der positiven Differenzen Di (n+ = L) und mit n− die Anzahl der negativen Differenzen, dann verwendet SAS als Teststatistik M = (n+ −n− )/2. In unserem Fall ist daher die Teststatistik M = (10 − 2)/2 = 4. Der p-Wert stimmt mit der h¨andischen Berechnung u ¨berein. Beispiel 5.17. Schulklasse Vorzeichentest in R (Fortsetzung von Beispiel 5.15) Der Vorzeichentest selbst ist in R nicht implementiert. Nachdem aber der Vorzeichentest ein spezieller Binomialtest ist kann der p-Wert u ¨ ber die Anweisung binom.test(x=10,n=12,p=0.5,alternative="t",conf.level=0.95) angefordert werden. Aus dem p-Wert (0.03857) ist ersichtlich, dass die Nullhypothese abzulehnen ist, der Median der Schulnoten ist nicht 2.
138
5 Einstichprobenprobleme
5.3.3 Wilcoxon-Vorzeichen-Rangtest Dieser Test hat die gleichen Voraussetzungen wie der Vorzeichen-Test, der entscheidende Unterschied liegt in der Gewichtsfunktion, die nun g(i) = i ist. Daraus ergibt sich die Teststatistik des Wilcoxon-Vorzeichen-Rangtests als: Wn+ =
n
i · Zi
i=1
Der Vorteil des Vorzeichen-Rang-Tests von Wilcoxon ist, dass die Abweichung zwischen den Auspr¨agungen der Variablen X und dem zu testenden Lageparameter Θ in die Teststatistik eingeht, daher schneidet dieser Test im Vergleich zum herk¨ ommlichen Vorzeichen-Test in der Regel besser ab und sollte bevorzugt werden. Die Verteilung dieser Teststatistik stammt aus keiner der bekannten univariaten Verteilungsfamilien. Die Momente der Verteilung sind aber einfach zu bestimmen. Da Zi wieder die einzige Zufallsvariable ist, welche die Zust¨ande 0 und 1 jeweils mit Wahrscheinlichkeit 0.5 annimmt, folgt f¨ ur den Erwartungswert und die Varianz (vgl. Aufgabe 5.7, Seite 149):
E(Wn+ ) = V ar(Wn+ ) =
n 1 n(n + 1) · i= 2 i=1 4
n 1 2 1 · i = n(n + 1)(2n + 1) 4 i=1 4
ahlen Die exakte Verteilung der Teststatistik Wn+ von Wilcoxon kann durch Abz¨ aller m¨ oglichen Kombinationen an n-Tupel (z1 , . . . , zn ) mit dem Wert k (kurz mit a(k) bezeichnet) erreicht werden. Da die Anzahl aller m¨oglichen Permutationen 2n ist, erh¨alt man die Wahrscheinlichkeit den Wert k zu erhalten mit: a(k) P r(Wn+ = k) = n 2 Dieses Ausz¨ahlen m¨ usste man f¨ ur jedes n wiederum durchf¨ uhren. Um die kritischen Werte der Teststatistik zu erhalten, kann man in R die Routine qsignrank(p,n) mit dem Vektor der gesuchten Quantile p und dem Stichprobenumfang n aufrufen, die Ergebnisse sind f¨ ur 4 ≤ n ≤ 20 in Tabelle 11.6 angef¨ uhrt. F¨ ur große Stichproben (n > 20) kann die Verteilung durch eine Normalverteilung approximiert werden.
5.3 Lineare Rangtests
139
Wilcoxon-Vorzeichen-Rangtest •
Zweiseitige Hypothesen H0 : θ = θ0 H1 : θ = θ0
•
Einseitige Hypothesen, Fall A ¨ Uberschreitung des Lageparameters θ0 H0 : θ = θ 0 H1 : θ > θ 0
•
Einseitige Hypothesen, Fall B Unterschreitung des Lageparameters θ0 H0 : θ = θ 0 H1 : θ < θ 0
Testentscheidung (kritische Werte in Tabelle 11.6) •
+ + oder WN+ ≥ w1−α/2 Zweiseitiger Test: H0 ablehnen, falls WN+ ≤ wα/2
•
Einseitiger Test, Fall A: H0 ablehnen, falls WN+ ≤ wα+
•
+ Einseitiger Test, Fall B: H0 ablehnen, falls WN+ ≥ w1−α
Beispiel 5.18. Schulklasse Wilcoxon-Vorzeichen-Rangtest (vgl. Beispiel 5.15) Eine Schulklasse will u ¨ berpr¨ ufen, ob der Median Θ ihrer Mathematik-Noten 2 ist oder davon abweicht. Die (sortierten) Noten der Klasse sind 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5. Auch f¨ ur den Wilcoxon-Vorzeichen-Rangtest werden Elemente mit Nulldifferenzen aus der Stichprobe entfernt und der Stichprobenumfang entsprechend reduziert. Da f¨ ur die Betr¨ age der Differenzen |Di | Bindungen vorliegen, m¨ ussen Durchschnittsr¨ ange (f¨ ur die Betr¨ age der Differenzen) vergeben werden: Note
Durchschnittsrang
1, 3 4 5
(1 + . . . + 7)/7 = 4 (8 + 9 + 10)/3 = 9 (11 + 12)/2 = 11.5
Die Teststatistik nimmt den Wert Wn+ = 5 · 4 + 3 · 9 + 2 · 11.5 = 70 an. F¨ ur den zweiseitigen Test (α = 0.05, n = 12) ermittelt man aus Tabelle 11.6 die + + Quantile wα/2 = 14 und w1−α/2 = 78 − 14 = 64. Da die Teststatistik gr¨ oßer
140
5 Einstichprobenprobleme
als der obere kritische Wert ist, entscheidet man zugunsten der Alternativhypothese: Mit (mindestens) 95%iger Sicherheit weicht der Median der Noten vom Wert 2 ab.
Beispiel 5.19. Schulklasse Wilcoxon-Vorzeichen-Rangtest in R (Fortsetzung Beispiel 5.18) Die folgende Syntax zeigt zwei M¨ oglichkeiten f¨ ur einen Wilcoxon-Vorzeichen-Rangtest in R: Noten=c(1,1,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,5,5) wilcox.test(Noten, alternative="t", exact=TRUE, mu=2) library(exactRankTests) wilcox.exact(Noten, alternative="t", exact=TRUE, mu=2) wilcox.test kann exakte p-Werte nur f¨ ur den Fall ohne Bindungen angeben, im Paket exactRankTests liefert der Aufruf wilcox.exact() auch im Fall von Bindungen einen exakten p-Wert. Die Ausgabe enth¨ alt den Wert der Teststatistik (V = 70) und den (exakten) p-Wert (0.01416). Die Nullhypothese ist demnach abzulehnen, der Median der Schulnoten ist nicht 2. Wie aus den Ergebnissen ersichtlich, streicht R automatisch die F¨ alle der Nulldifferenzen aus der Stichprobe.
Beispiel 5.20. Schulklasse Wilcoxon-Vorzeichen-Rangtest in SAS (Fortsetzung Beispiel 5.18) Die L¨osung in SAS ist v¨ollig analog zu Beispiel 5.16, weil mit der Prozedur UNIVARIATE automatisch Vorzeichentest und WilcoxonVorzeichen-Rangtest durchgef¨ uhrt werden. Als Teststatistik in SAS wird nicht Wn+ ausgegeben, sondern die zentrierte (um den Erwartungswert korrigierte) Teststatistik. In unserem Fall ist das Ergebnis in SAS somit 12 · 13 n(n + 1) = 70 − = 31 4 2 SAS berechnet die p-Werte f¨ ur Stichprobenumf¨ ange n < 20 exakt und f¨ ur gr¨ oßere Stichproben u ¨ber die Approximation mit der Normalverteilung. Auch in SAS werden F¨alle mit Nulldifferenzen automatisch aus der Stichprobe entfernt. S = Wn+ − E(Wn+ ) = Wn+ −
Wegen der Ber¨ ucksichtigung der R¨ange in der Teststatistik ist dieser Test in der Regel besser als der einfachere Vorzeichentest. Selbst bei normalverteilten Daten ist der optimale t-Test nur wenig besser als der Wilcoxon-VorzeichenRangtest. Sind die Daten nicht normalverteilt, ist der Wilcoxon-VorzeichenRangtest dem t-Test an Effizienz u ¨ berlegen.
5.4 Test auf Zuf¨ alligkeit - Wald-Wolfowitz-Test
141
5.4 Test auf Zuf¨ alligkeit - Wald-Wolfowitz-Test In der klassischen wie auch der nichtparametrischen Statistik werden h¨ aufig Verfahren verwendet, welche die Unabh¨angigkeit der zu Grunde liegenden Daten voraussetzen. Meist ist diese Voraussetzung durch eine saubere Datenerhebung a priori gegeben, aber die Unabh¨ angigkeit der Ziehungen kann auch getestet werden. Die Nullhypothese ist die Zuf¨ alligkeit (Unabh¨ angigkeit der Ziehungen) und die Anzahl der so genannten Runs dient als Teststatistik. Die Anzahl der Runs (Iterationen, Sequenzen) bezeichnet die Anzahl der Folgen von gleichen Merkmalsauspr¨ agungen, die Reihenfolge (A, B, B, B, A, A, B) hat somit vier Runs. Vorausgesetzt wird eine dichotome Variable, deren Anordnung an Auspr¨ agungen eindeutig sein muss. Beim zweiseitigen Testen lautet die Alternativhypothese nicht zuf¨ allige Ziehung“, einseitig kann getestet werden, ” ob auff¨ allig viele oder auff¨ allig wenig Iterationen vorkommen. Beides spricht gegen die Annahme, dass die Anordnung zuf¨ allig ist. Beispiel 5.21. M¨ unzwurf Bei 10 W¨ urfen wurden folgende Ergebnisse erzielt: K K K K Z Z Z Z Z K. Es soll auf einem Niveau von α = 0.05 die Fairness der M¨ unze getestet werden (genauer gesagt soll getestet werden, ob dieses Ergebnis aus zuf¨alligen W¨ urfen entstanden ist). Der Test auf Zuf¨ alligkeit ben¨ otigt nur sehr wenige Voraussetzungen. Die Variablen m¨ ussen dichotom sein oder dichotomisiert werden, beispielsweise mit dem Mittelwert oder Median als Trennwert. Werte, die exakt dem Trennwert entsprechen, werden aus der Betrachtung ausgeklammert. Durch das Dichotomisieren und Entfernen von Werten entsteht nat¨ urlich ein Informationsverlust, der die Qualit¨ at des Tests vermindert. ¨ Die Verteilung der Teststatistik l¨ asst sich durch kombinatorische Uberlegungen herleiten. Allgemein liegt eine Stichprobe mit N = n + m Elementen vor, wobei n Elemente eine bestimmte Auspr¨agung (z.b. Kopf) und m Elemente die andere Auspr¨ agung (z.B. Zahl) besitzen. Bei zuf¨alliger Ziehung sollte die Anzahl R der Iterationen nicht zu groß und nicht zu klein sein. Eine Wurf mit den Ergebnissen K K K K K Z Z Z Z Z (2 Iterationen) ist sehr ungew¨ohnlich bei zuf¨ alligen W¨ urfen, aber auch die perfekte Abwechslung“ K Z K Z K Z K ” Z K Z (10 Iterationen) erscheint verd¨ achtig. Teststatistik Die zu Grunde liegende Teststatistik R ist die Anzahl der Runs. Die Verteilung dieser Teststatistik leitet sich aus Anzahl aller M¨oglichkeiten der Anordnung her:
142
5 Einstichprobenprobleme
m+n m+n A= = m n Mit diesem Ansatzpunkt kann die Wahrscheinlichkeit r Iterationen zu beobachten hergeleitet werden: •
r ist eine gerade Zahl (k = 2r )
m−1 n−1 1 2 P r(R = r) = m+n k−1 k−1 m
•
r ist eine ungerade Zahl (k = r−1 2 ) 1 m−1 n−1 m−1 n−1 + P r(R = r) = m+n k k−1 k−1 k m
Ab (n, m) > 20 kann die Verteilung der Runs durch eine Normalverteilung approximiert werden, mit den Parametern (n + m = N ): 2nm +1 N 2nm (2nm − N ) V ar (R) = N 2 (N − 1) E (R) =
Wald-Wolfowitz-Test (= Iterationstest, Runs-Test, Test auf Zuf¨alligkeit) •
Zweiseitige Hypothesen allige Reihenfolge der Ziehungen H0 : Zuf¨ H1 : Keine zuf¨allige Reihenfolge der Ziehungen
•
Einseitige Hypothesen, Fall A allige Reihenfolge der Ziehungen H0 : Zuf¨ H1 : zu wenig Iterationen
•
Einseitige Hypothesen, Fall B allige Reihenfolge der Ziehungen H0 : Zuf¨ H1 : zu viele Iterationen
5.4 Test auf Zuf¨ alligkeit - Wald-Wolfowitz-Test
143
Testentscheidung (kritische Werte in Tabelle 11.7) •
Zweiseitiger Test: H0 ablehnen, falls R < rα/2 oder R > r1−α/2
•
Einseitiger Test, Fall A: H0 ablehnen, falls R < rα
•
Einseitiger Test, Fall B: H0 ablehnen, falls R > r1−α
Beispiel 5.22. M¨ unzwurf Bei 10 W¨ urfen wurden folgende Ergebnisse erzielt: K K K K Z Z Z Z Z K. Es ist auf einem Niveau von α = 0.05 zu testen, ob zu wenige Iterationen f¨ ur eine Zuf¨ alligkeit vorliegen (Fall A). Es liegen r = 3 Iterationen vor, der kritische Werte aus der Tabelle 11.7 ist r0.05 = 4, demnach ist die Nullhypothese der Zuf¨ alligkeit abzulehnen, es liegen zu wenige Iterationen vor. ¨ Alternativ dazu f¨ uhrt auch folgende Uberlegung zum gleichen Testergebnis: Der exakte p-Wert wird berechnet als Wahrscheinlichkeit, unter der Nullhypothese dieses oder ein noch selteneres Ergebnis zu erhalten und betr¨agt damit: P r(R ≤ 3) =
3
P r(R = r) = 0.00794 + 0.03175 = 0.0317
r=2
Da dieser Wert kleiner ist als das vorher festgelegte Signifikanzniveau von α = 0.05 wird die Nullhypothese abgelehnt. Der Iterationstest ist in SAS nicht implementiert.
Beispiel 5.23. M¨ unzwurf in R (Fortsetzung von Beispiel 5.22) Der Iterationstest von Wald-Wolfowitz ist im Paket lawstat implementiert. Muenze=c(0,0,0,0,1,1,1,1,1,0) library(lawstat) runs.test(Muenze, alternative="positive.correlated") Die Daten m¨ ussen in numerischer Form eingegeben werden, die Kodierung selbst ist aber unerheblich, d.h. man h¨ atte mit der Kodierung Kopf = 1 und Zahl = 0 das gleiche Ergebnis erhalten. Die einseitige Alternative positive.correlated entspricht unabh¨ angig von der Kodierung immer dem Fall A (zu wenig Iterationen). Es werden nur die mit der Normalverteilung approximierten Werte ausgegeben, in unserem Fall Z = −2.0125 und als p-Wert 0.02209. Auch mit den approximierten Werten kann die Nullhypothese der Zuf¨ alligkeit verworfen werden.
144
5 Einstichprobenprobleme
¨ 5.5 Ubersicht Tests f¨ ur Einstichprobenprobleme ¨ In dieser Ubersicht werden die vorgestellten Tests f¨ ur Einstichprobenprobleme zusammengefasst, mit Ausnahme der Tests auf Verteilungsanpassung, die in Abschnitt 5.1.7 bereits zusammengefasst wurden. Binomialtest Voraussetzungen: dichotomisierte, unabh¨ angige und identisch verteilte Daten Testproblem: Anteile bzw. Wahrscheinlichkeiten Teststatistik: Anzahl interessierender, eingetretener Ereignisse Eigenschaften: Teststatistik binomialverteilt Bn,p Teststatistik f¨ ur große Stichproben approximativ normalverteilt G¨ ute f¨ ur jede Alternativhypothese exakt berechenbar konsistent (Kendall, M.G. und Stuart, 1979) einseitige Tests: gleichm¨ aßig beste Tests (Witting, H., 1974) Spezialfall: Test von Quantilen Teststatistik: Anzahl Stichprobenelemente ≤ p-Quantil qp
Vorzeichentest Voraussetzungen: unabh¨ angige und identisch verteilte Daten metrische Daten (in Praxis ordinale Daten) stetige Verteilungsfunktion (in Praxis nicht zwingend) symmetrische Verteilungsfunktion Testproblem: Einstichprobentest Lage Teststatistik: Anzahl der positiven Abweichungen (vom Lageparameter θ0 ) Eigenschaften: Linearer Rangtest, Spezialfall des Binomialtests Eigenschaften wie Binomialtest konsistent und unverf¨ alscht einseitige Tests: gleichm¨ aßig beste Tests zweiseitiger Test: gleichm¨aßig bester unverf¨ alschter Test (vgl. Hettmansperger, T.P. (1991), B¨ uning, H. und Trenkler (1994))
5.6 Konfidenzbereiche
145
Wilcoxon-Vorzeichen-Rangtest Voraussetzungen: unabh¨ angige und identisch verteilte Daten metrische Daten symmetrische stetige Verteilungsfunktion Testproblem: Einstichprobentest Lage Teststatistik: Rangsumme der positiven Abweichungen von Θ0 Eigenschaften: Linearer Rangtest Spezielle Verteilung (Tabelle 11.6) Teststatistik f¨ ur große Stichproben approximativ normalverteilt konsistent f¨ ur gewisse Alternativen (Gibbons, J. D. und Chakraborti (1992), Noether, G.E. (1967)) einseitiger Test unverf¨alscht f¨ ur bestimmte Alternativen (Lehmann, E.L. und D’Abrera (1975)) dem Vorzeichentest vorzuziehen, Ausnahme: Starke Tails Wald-Wolfowitz-Test Voraussetzungen: dichotomes oder dichotomisiertes Merkmal jedes Skalenniveau zul¨ assig Testproblem: Test auf Zuf¨ alligkeit Teststatistik: Anzahl der Sequenzen Eigenschaften: Spezielle Verteilung Teststatistik f¨ ur große Stichproben approximativ normalverteilt
5.6 Konfidenzbereiche ¨ Ublicherweise wird der zentrale Grenzwertsatz und damit die Normalverteilung zur Ermittlung eines Konfidenzintervalls eines unbekannten Parameters herangezogen. In diesem Abschnitt werden verteilungsfreie Alternativen vorgestellt. Ein Konfidenzbereich u ¨ berdeckt einen (unbekannten) Parameter (bzw. die theoretische Verteilungsfunktion) der Grundgesamtheit mit der Wahrscheinlichkeit 1 − α. Nichtparametrische zweiseitige Konfidenzbereiche werden hier
146
5 Einstichprobenprobleme
f¨ ur die Verteilungsfunktion und f¨ ur Anteile bzw. Wahrscheinlichkeiten p von dichotomen Merkmalen angegeben. F¨ ur die Bestimmung eines Konfidenzintervalls f¨ ur den Median sei auf Abschnitt 4.6 verwiesen.
5.6.1 Konfidenzbereich f¨ ur die Verteilungsfunktion Ein Konfidenzband f¨ ur die Verteilungsfunktion kann mit Hilfe der KolmogorovSmirnov-Statistik angegeben werden. Man geht so vor, dass man von der empirischen Verteilungsfunktion das (1 − α)-Quantil der Kolmogorov-SmirnovStatistik subtrahiert beziehungsweise addiert, unter der Nebenbedingung dass das Band immer noch zwischen 0 und 1 liegt (Definitionsbereich einer Verteilungsfunktion). Konfidenzbereich f¨ ur die Verteilungsfunktion P r (Un (x) ≤ F (x) ≤ On (x)) = 1 − α Un (x) = max (0, Fn (x) − k1−α ) On (x) = min (1, Fn (x) + k1−α ) Das Quantil der K-S-Statistik k1−α ist dabei definiert als P r (Kn = sup |F (x) − Fn (x)| ≤ k1−α ) = 1 − α und kann aus Tabelle 11.4 entnommen werden. Beispiel 5.24. Konfidenzbereich f¨ ur die Verteilungsfunktion ¨ Bei einem Stichprobenumfang von n = 15 und einer erw¨ unschten Uberdeckungswahrscheinlichkeit von 1 − α = 0.90 ist aus der Tabelle das Quantil k1−α = 0.304 abzulesen. Mit 90%iger Sicherheit u ¨ berdeckt der Bereich [Fn (x) − 0.304; Fn (x) + 0.304] die Verteilungsfunktion der Grundgesamtheit.
5.6.2 Konfidenzintervall f¨ ur einen Anteil (bzw. Wahrscheinlichkeit) Gegeben sei eine Stichprobe vom Umfang n, dabei geh¨ oren a Elemente einer bestimmten Gruppe an ( markiert“) und die restlichen n−a Elemente geh¨oren ” dieser Gruppe nicht an. Ziel ist es aufgrund dieser Stichprobe ein Konfidenzintervall [pu , po ] zum Niveau 1 − α f¨ ur den Anteil p der markierten Objekte in der Grundgesamtheit zu berechnen (bzw. f¨ ur die Wahrscheinlichkeit p).
5.6 Konfidenzbereiche
147
Konfidenzintervall f¨ ur einen Anteil P r (pu ≤ p ≤ po ) = 1 − α mit pu (Untergrenze) und po (Obergrenze) so, dass n n i pu (1 − pu )n−i = α1 i i=a a n i p (1 − po )n−i = α2 i o i=0
α1 + α2 = α Die beiden Gleichungen zur Bestimmung der Intervallgrenzen sind eindeutig l¨ osbar, allerdings ist in fast allen F¨allen die L¨ osung nicht als Formel darstellbar, so dass man hier auf numerische Verfahren zur¨ uckgreifen muss. F¨ ur kleine Stichprobenumf¨ ange sind Intervallgrenzen f¨ ur den Spezialfall α1 = α2 = α/2 z.b. bei Hald (1952) tabelliert, f¨ ur große Stichprobenumf¨ ange (nˆ p > 10 und n(1 − pˆ) > 10 mit pˆ = a/n) kann die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung approximiert werden: Konfidenzintervall f¨ ur einen Anteil Normalverteilungsapproximation pu = pˆ − z1−α/2
pˆ(1 − pˆ) n
pˆ(1 − pˆ) n Quantil der Standardnormalverteilung (Tabelle 11.1) po = pˆ + z1−α/2
z1−α/2
Beispiel 5.25. Konfidenzintervall f¨ ur einen Anteil (mit R) In einer 10 Personen umfassenden Stichprobe wurde unter anderem das Geschlecht erhoben: 4 Personen waren weiblich, 6 Personen m¨ annlich. Bestimmen Sie ein 90%iges Konfidenzintervall f¨ ur den Frauenanteil der Grundgesamtheit. Mit a = 4 und n − 4 = 6 kann aus der Tabelle in Hald (1952) das Intervall [0.122, 0.738] abgelesen werden. In R kann im Paket binom die Funktion binom.confint(4,10) verwendet werden. Mit der Option methods="exact" erh¨alt man das angegebene Intervall. W¨ ahlt man als Option methods="all" (Voreinstellung) sieht man, dass in R insgesamt 11 verschiedene Methoden zur Bestimmung von Konfidenzintervallen implementiert sind.
148
5 Einstichprobenprobleme
¨ Ubungsaufgaben Aufgabe 5.1. Arbeitslosigkeit Durch eine Befragung von 10 arbeitslosen Personen wurde die Dauer ihrer Arbeitslosigkeit in Monaten mit folgendem Ergebnis festgestellt: 2 20 15 2 48 6 4 14 3 7 a) Testen Sie, ob das Merkmal Dauer der Arbeitslosigkeit (in Monaten) exponentialverteilt mit Erwartungswert = 1 Jahr ist. b) Erstellen Sie eine Grafik mit der empirischen und theoretischen Verteilung. c) Berechnen Sie einen Konfidenzbereich f¨ ur die Verteilungsfunktion in der Grundgesamtheit. d) Testen Sie, ob das Merkmal Dauer der Arbeitslosigkeit (in Monaten) normalverteilt ist.
Aufgabe 5.2. W¨ urfel Ein W¨ urfel wurde 42mal geworfen und die Augenzahlen mit folgendem Ergebnis notiert: 6 Einser, 5 Zweier, 8 Dreier, 10 Vierer, 6 F¨ unfer, 7 Sechser. a) Testen Sie die Fairness des W¨ urfels. b) Erstellen Sie eine Grafik mit der empirischen und theoretischen Verteilung. c) Testen Sie, ob das Merkmal Augenzahl normalverteilt ist.
Aufgabe 5.3. Experiment Im Rahmen eines Experimentes wurden 50 Messwerte in cm erhoben. Pr¨ ufen Sie, ob die Daten normalverteilt sind. Stellen Sie außerdem die theoretische und empirische Verteilungsfunktion grafisch mit R und SAS dar. 40 125 240 160 115
110 145 140 90 85
50 65 120 160 80
140 75 40 50 20
115 70 90 690 110
190 125 135 125 235
10 80 130 220 60
215 60 160 360 220
90 70 185 280 160
175 185 250 145 55
Aufgabe 5.4. W¨ ahlerInnenanteil ¨ ahlerInnen 35%. In Bei der letzten Wahl betrug der Anteil p der XPO-W¨ der vergangenen Legislaturperiode wurde intensiv gearbeitet. Vor dem finalen Wahlkampf m¨ ochte die Partei wissen, ob der Anteil ihrer W¨ahlerInnen gestiegen ist. Von 15 befragten Personen gaben 40% an, dass sie bei der n¨achsten ¨ geben werden. Wahl die Stimme der XPO
¨ Ubungsaufgaben
149
Aufgabe 5.5. Induktion Beweisen Sie durch Induktion: n i = n(n + 1)/2 i=0 n
i2 = n(n + 1)(2n + 1)/6
i=0
Aufgabe 5.6. Vorzeichentest F¨ uhren Sie das Beispiel mit den Noten der Sch¨ ulerInnen (Beispiel 5.15) erneut durch, ignorieren Sie aber dieses Mal die Personen mit der Note 2 nicht. Verwenden Sie statt dessen eine Zufallszahl, um zu entscheiden, ob jemand mit der Note 2 besser oder schlechter als der zu testende Median 2 ist.
Aufgabe 5.7. Wilcoxon-Vorzeichen-Rangtest Simulieren Sie in R und SAS 20 normalverteilte Zufallszahlen N (3, 1) und f¨ uhren Sie einen zweiseitigen Wilcoxon-Vorzeichen-Rangtest zu folgenden Nullhypothesen durch und vergleichen Sie die Ergebnisse. •
H0 : µ = 2
•
H0 : µ = 2.5
•
H0 : µ = 3
F¨ uhren Sie die Aufgabe mit 100 (500) Zufallszahlen noch einmal durch und vergleichen Sie wieder die Ergebnisse. F¨ uhren Sie auch alle Aufgabenstellungen mit einem t-Test durch und vergleichen Sie die Ergebnisse.
Aufgabe 5.8. Fairness einer M¨ unze Werfen Sie eine M¨ unze 20mal. Testen Sie auf einem Niveau von α = 0.05, ob die M¨ unze fair ist. F¨ uhren Sie danach das gleiche Experiment mit einer anderen M¨ unze durch. Wiederholen Sie beide Experimente mit unterschiedlichen Stichprobenumf¨ angen. Verwenden Sie f¨ ur diese Fragestellung folgende Tests: a) Test auf Zuf¨ alligkeit - Wald-Wolfowitz-Test. b) Chi-Quadrat-Test. d) Binomialtest.
6 Zweistichprobenprobleme f¨ ur unabh¨ angige Stichproben
Ausgangspunkt sind zwei unabh¨ angige Stichprobenvariablen X1 , . . . , Xm und Y1 , . . . , Yn mit unbekannten stetigen Verteilungsfunktionen F und G. F (z) = P r(Xi ≤ z)
f¨ ur
i = 1, . . . , m
G(z) = P r(Yj ≤ z)
f¨ ur
j = 1, . . . , n
In diesem Kapitel werden Tests vorgestellt, die u ¨ berpr¨ ufen, ob diese beiden Verteilungsfunktionen gleich sind oder nicht. Damit ergeben sich folgende Fragestellungen in allgemeiner Form •
Zweiseitiger Test H0 : F (z) = G(z) f¨ ur alle z ∈ R H1 : F (z) = G(z) f¨ ur mindestens ein z ∈ R
•
Einseitiger Test, Fall A: X stochastisch gr¨ oßer als Y H0 : F (z) ≥ G(z) f¨ ur alle z ∈ R H1 : F (z) < G(z) f¨ ur mindestens ein z ∈ R
•
Einseitiger Test, Fall B: Y stochastisch gr¨ oßer als X H0 : F (z) ≤ G(z) f¨ ur alle z ∈ R H1 : F (z) > G(z) f¨ ur mindestens ein z ∈ R
Im Fall, dass F und G Normalverteilungen sind, w¨ urde man die Erwartungswerte bei gleichen Varianzen mit einem t-Test vergleichen und die Homogenit¨at der Varianzen mit einem F-Test untersuchen. Dieses Kapitel stellt damit unter anderem die nichtparametrischen Gegenst¨ ucke zu einem Zweistichproben-t-Test und zum F-Test vor.
152
6 Zweistichprobenprobleme f¨ ur unabh¨ angige Stichproben
Die allgemeinen Fragestellungen k¨ onnen genauer spezifiziert werden, je nach dem, was genau verglichen wird: •
•
•
Verteilungsfunktionen – Iterationstest von Wald-Wolfowitz – Kolmogorov-Smirnov-Test – Cram´er-von-Mises-Test Lageparameter – Wilcoxon-Rangsummentest – Mann-Whitney-U-Test – van der Waerden XN -Test – Median-Test Variabilit¨ atsparameter – Siegel-Tukey-Test – Mood-Test – Ansari-Bradley-Test – Moses-Test
6.1 Tests auf Verteilungsanpassung In diesem Abschnitt werden eher unspezifische Signifikanztests beschrieben, die nur ein Urteil dar¨ uber erlauben, ob zwei Verteilungen gleich sind oder nicht. Solche allgemeinen Tests werden als Omnibus-Tests bezeichnet, sollten aber nur dann verwendet werden, wenn keine speziellen Vermutungen (z.B. Unterschiede bez¨ uglich Lage oder Variabilit¨ at) vorliegen.
6.1.1 Iterationstest von Wald-Wolfowitz Der Iterationstest von Wald-Wolfowitz ist das Analogon f¨ ur zwei unabh¨ angige Stichproben zum Wald-Wolfowitz-Test auf Zuf¨ alligkeit, der in Kapitel 5.4 beschrieben wurde. Getestet wird die Nullhypothese, dass zwei Stichproben aus der gleichen Verteilung stammen, gegen die Alternativhypothese, dass sich die beiden Stichproben unterscheiden. Von welcher Art dieser Unterschied (Lage, Variabilit¨ at, Schiefe) konkret ist, dar¨ uber liefert dieser Test keine Aussage. Dieser Test wird auch als Run-Test, Runs-Test, Sequenztest, Wald-WolfowitzTest oder Iterationstest bezeichnet. Voraussetzungen Iterationstest 1. Daten besitzen mindestens ordinales Messniveau. 2. Die Stichprobenvariablen sind unabh¨ angig. 3. Die Stichprobenvariablen haben stetige Verteilungsfunktionen.
6.1 Tests auf Verteilungsanpassung
153
Ausgangspunkt sind zwei unabh¨ angige Stichprobenvariablen X1 , . . . , Xm und Y1 , . . . , Yn mit unbekannten stetigen Verteilungsfunktionen F und G. F (z) = P r(Xi ≤ z)
f¨ ur
i = 1, . . . , m
G(z) = P r(Yj ≤ z)
f¨ ur
j = 1, . . . , n
Hypothesen Iterationstest H0 : F(z) = G(z) f¨ ur alle z ∈ R H1 : F(z) = G(z) f¨ ur mindestens ein z ∈ R Seien nun zwei unabh¨ angige Stichproben X und Y vom Stichprobenumfang m und n gegeben, so ist der erste Schritt die Bildung einer gemeinsamen geordneten Stichprobe. Die Datenpunkte werden ersetzt durch x und y, je nachdem, aus welcher konkreten Stichprobe der Datenpunkt stammt. Danach wird die Anzahl r der Iterationen (runs) in dieser geordneten Reihe festgestellt. Beispiel 6.1. Bestimmung der Iterationszahl F¨ ur Gruppe A wurden folgende Werte beobachtet: 13, 7, 6, 15 F¨ ur Gruppe B wurden folgende Werte beobachtet: 12, 3, 5 Bildung der gemeinsamen geordneten Stichprobe: Beobachtung Gruppe
3 B
5 B
6 A
7 A
12 B
13 A
15 A
Es sind 4 Sequenzen (Iterationen) in der geordneten Stichprobe vorhanden. Wenn die beiden Stichproben aus einer Verteilung stammen (also unter der Nullhypothese), sollten die R¨ ange der beiden Stichproben gut durchmischt und daher die Anzahl R der Iterationen relativ hoch sein. Stammen die beiden Stichproben aus Grundgesamtheiten mit unterschiedlichen Medianen, wobei der Median in der Gruppe B h¨ oher ist als der Median in der Gruppe A, so wird am Anfang der geordneten gemeinsamen Rangreihe eine lange Sequenz von Werten aus der Gruppe A sein und eine lange Sequenz von Werten aus der Gruppe B am Ende der Rangreihe. Die Anzahl R der Iterationen ist ¨ dann entsprechend gering. Ahnliches gilt auch, wenn die beiden Stichproben aus Grundgesamtheiten mit unterschiedlicher Varianz, Schiefe, usw. gezogen worden sind. Teststatistik Iterationstest Die zu Grunde liegende Teststatistik R ist die Anzahl der Sequenzen. Die Verteilung dieser Teststatistik leitet sich aus Anzahl aller m¨ oglichen Permutationen der Stichproben m und n her:
154
6 Zweistichprobenprobleme f¨ ur unabh¨ angige Stichproben
m+n m+n A= = m n Mit diesem Ansatzpunkt kann die Wahrscheinlichkeit r Iterationen zu beobachten hergeleitet werden: •
r ist eine gerade Zahl (k = 2r )
m−1 n−1 1 2 P r(R = r) = m+n k−1 k−1 m
•
r ist eine ungerade Zahl (k = r−1 2 ) m−1 n−1 m−1 n−1 1 + P r(R = r) = m+n k k−1 k−1 k m
Ist m oder n gr¨ oßer als 20, kann durch die Normalverteilung approximiert werden, der Wert z ist asymptotisch standardnormalverteilt: 2mn(2mn − m − n) 2mn +1 σr = µr = m+n (m + n)2 (m + n − 1) z=
r − µr σr
Testentscheidung Iterationstest Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn die Teststatistik R kleiner als der kritische Wert ra ist (vgl. Tabelle 11.7). Da eine stetige Verteilung unterstellt ist, k¨onnen Bindungen theoretisch nicht auftreten. In der Praxis kann man aber das Auftreten von Bindungen nicht immer ausschließen. Treten die Bindungen nur innerhalb der Gruppen auf, spielen sie keine Rolle. Treten sie aber zwischen den beiden Gruppen auf, spielen sie sehr wohl eine Rolle. In diesem Fall m¨ ussen alle m¨oglichen Permutationen der gemeinsamen Rangreihe gebildet werden und f¨ ur jede einzelne Permutation wird die Anzahl r der Iterationen berechnet. Nur wenn alle Werte f¨ ur die Teststatistik R signifikant sind, wird die Nullhypothese abgelehnt. Diese Vorgehensweise f¨ uhrt zu einem konservativen Test. Ist die Anzahl der Bindungen gr¨ oßer als die Anzahl der Iterationen darf der Wald-Wolfowitz-Test nicht verwendet werden.
6.1 Tests auf Verteilungsanpassung
155
Beispiel 6.2. Motivation f¨ ur das Erlernen einer Fremdsprache Es wurden 2 Gruppen von jeweils 8 Personen gebeten, ihre Motivation f¨ ur das Erlernen einer Fremdsprache auf einer 10stufigen Skala anzugeben. Das Alter der Gruppe J bewegte sich zwischen 20 und 25 Jahren, w¨ ahrend in der anderen Gruppe A das Alter in einem Rahmen zwischen 30 und 35 Jahren lag. Die Fragestellung ist nun, ob sich diese beiden Personengruppen bez¨ uglich ihrer Motivation zu einem vorgegebenem Signifikanzniveau von α = 0.05 unterscheiden. Gruppe J Gruppe A
8 3
6 3
6 2
6 9
10 1
6 9
10 9
4 1
Da die Bindungen nur innerhalb der einzelnen Gruppen vorliegen, spielen sie f¨ ur die weitere Vorgehensweise keine Rolle. Zuerst bildet man die geordnete Stichprobe und weist die Gruppenbezeichnungen zu
Beobachtung 1 1 2 3 3 4 6 6 6 6 8 9 9 9 10 10 Gruppe A A A A A J J J J J J A A A J J
Es liegen 4 Iterationen vor. Nach dem Vergleich mit dem Tabellenwert r0.05 = 6 (Tabelle 11.7, m = n = 8) ist daher die Nullhypothese abzulehnen, die Motivation der Gruppen ist unterschiedlich. ¨ Alternativ dazu f¨ uhrt auch folgende Uberlegung zum gleichen Testergebnis: Der exakte p-Wert wird berechnet als Wahrscheinlichkeit, unter der Nullhypothese dieses oder ein noch selteneres Ergebnis zu erhalten und betr¨agt damit: P r(R ≤ 4) =
4
P r(R = r) = 0.0002 + 0.0011 + 0.0076 = 0.0089
r=2
Da dieser Wert kleiner ist als das vorher festgelegte Signifikanzniveau von α = 0.05 wird die Nullhypothese abgelehnt. Der Wald-Wolfowitz-Test ist in SAS nicht implementiert. Beispiel 6.3. Motivation f¨ ur das Erlernen einer Fremdsprache in R (Fortsetzung von Beispiel 6.3) Der Iterationstest kann analog zum Einstichprobenfall durchgef¨ uhrt werden sofern die gemeinsam geordnete Stichprobe vorliegt (vgl. Beispiel 5.23). Es werden nur die mit der Normalverteilung approximierten Werte ausgegeben, in unserem Fall Z = −2.5877 und als p-Wert 0.00483. Auch mit den approximierten Werten kann die Nullhypothese (gleiche Verteilung) verworfen werden.
156
6 Zweistichprobenprobleme f¨ ur unabh¨ angige Stichproben
6.1.2 Kolmogorov-Smirnov-Test Der Kolmogorov-Smirnov-Test ist ein weiterer Omnibus-Test, der u ¨ berpr¨ uft, ob zwei unabh¨ angige Stichproben aus der gleichen Grundgesamtheit bzw. aus ¨ Grundgesamtheiten mit gleicher Verteilung stammen oder nicht. Ahnlich wie beim Einstichprobenfall wird die maximale Differenz der Verteilungsfunktionen als Teststatistik verwendet, allerdings dienen nun die beiden empirischen Verteilungsfunktionen als Grundlage. Voraussetzungen 1. Daten besitzen mindestens ordinales Messniveau. 2. Die Stichprobenvariablen sind unabh¨ angig. 3. Die Stichprobenvariablen haben stetige Verteilungsfunktionen. Ausgangspunkt sind zwei unabh¨ angige Stichprobenvariablen X1 , . . . , Xm und Y1 , . . . , Yn mit unbekannten stetigen Verteilungsfunktionen F und G. F (z) = P r(Xi ≤ z)
f¨ ur
i = 1, . . . , m
G(z) = P r(Yj ≤ z)
f¨ ur
j = 1, . . . , n
Im Gegensatz zum Iterationstest von Wald-Wolfowitz kann nun auch einseitig getestet werden: Zweiseitige Hypothesen H0 : F(z) = G(z) f¨ ur alle z ∈ R H1 : F(z) = G(z) f¨ ur mindestens ein z ∈ R Einseitiger Test, Fall A: X stochastisch gr¨ oßer als Y ur alle z ∈ R H0 : F (z) ≥ G(z) f¨ H1 : F (z) < G(z) f¨ ur mindestens ein z ∈ R Einseitiger Test, Fall B: Y stochastisch gr¨ oßer als X ur alle z ∈ R H0 : F (z) ≤ G(z) f¨ H1 : F (z) > G(z) f¨ ur mindestens ein z ∈ R Die Teststatistik beruht auf der Differenz der beiden empirischen Verteilungsfunktionen. Daher werden zun¨ achst die empirischen Verteilungsfunktionen Fm und Gn der beiden Stichproben zu jedem Wert aus der Stichprobe bestimmt. f¨ ur z < x(1) 0 ur x(i) ≤ z < x(i+1) i = 1, 2, . . . , m − 1 Fm (z) = i/m f¨ 1 f¨ ur z ≥ x(m)
6.1 Tests auf Verteilungsanpassung
f¨ ur z < y(1) 0 ur y(j) ≤ z < y(j+1) Gn (z) = j/n f¨ 1 f¨ ur z ≥ y(n)
157
j = 1, 2, . . . , n − 1
Im n¨achsten Schritt werden die Differenzen der Verteilungsfunktionen gebildet. Als Teststatistik K wird die maximale Differenz der beiden empirischen Verteilungsfunktionen verwendet. Je nach Test verwendet man: Teststatistik K-S-Test Je nach Alternativhypothese •
H1 : F (z) = G(z)
K = max |Fm (z) − Gn (z)|
•
H1 : F (z) < G(z)
K = max (Gn (z) − Fm (z))
(Fall A)
•
H1 : F (z) > G(z)
K = max (Fm (z) − Gn (z))
(Fall B)
Die Testentscheidung wird mittels der tabellierten Quantile der Verteilung der Kolmogorov-Smirnov-Teststatistik (= kritische Werte kp ) getroffen (vgl. Tabelle 11.8 f¨ ur m = n und Tabelle 11.9 f¨ ur m = n). Unter der Nullhypothese sind kleine Werte der Teststatistik zu erwarten. Kritische Werte kp (Tabelle 11.8 (m = n) und 11.9 (m = n)) Je nach Testproblem verwendet man als kritischen Wert • •
kp = k1−α im zweiseitigen Fall kp = k1−2α in den beiden einseitigen F¨allen
Testentscheidung oßer als der kritische Wert H0 wird abgelehnt, wenn die Teststatistik K gr¨ kp ist.
Beispiel 6.4. L¨ ange von Bambuspflanzen An zwei verschiedenen Orten X und Y wurden die L¨ angen von Bambuspflanzen (in Zentimeter) gemessen. Sind die Verteilungen der L¨ angen dieser Bambuspflanzen zu einem Signifikanzniveau von α = 0.05 identisch oder nicht? Ort X
121
122
124
126
127
129
Ort Y
113
114
116
117
118
119
120
123
158
6 Zweistichprobenprobleme f¨ ur unabh¨ angige Stichproben
Es m¨ ussen zuerst die empirischen Verteilungsfunktionen und die absoluten Differenzen zwischen den Verteilungsfunktionen gebildet werden. Intervalle
Fm
Gn
Absolute Differenz
(∞; 113] (113; 114] (114; 116] (116; 117] (117; 118] (118; 119] (119; 120] (120; 121] (121; 122] (122; 123] (123; 124] (124; 126] (126; 127] (127; 129]
0 0 0 0 0 0 0 0.167 0.333 0.333 0.500 0.667 0.833 1.000
0.125 0.250 0.375 0.500 0.625 0.750 0.875 0.875 0.875 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000
0.125 0.250 0.375 0.500 0.625 0.750 0.875 0.708 0.542 0.667 0.500 0.333 0.167 0.000
Die maximale Differenz betr¨ agt 0.875 und der tabellierte kritische Wert (zweiseitig) lautet k0.95 ≈ 0.667 (Tabelle 11.9, m = 6, n = 8). Aus diesem Grund muss die Nullhypothese verworfen werden und man kann schließen, dass die L¨ angen der Bambuspflanzen aus unterschiedlichen Verteilungen stammen. Der Kolmogorov-Smirnov-Test weist eine h¨ohere G¨ ute als der Iterationstest von Wald-Wolfowitz auf. Liegt aber eine Vermutung bez¨ uglich eines Lageoder Skalenunterschiedes vor, gibt es bessere Testverfahren (vgl. Abschnitt 6.3 und 6.4). Die Berechnung der empirischen Verteilungsfunktion und die Bestimmung der maximalen Differenz sind auch beim Auftreten von Bindungen wohl definiert. Der Test verliert jedoch an G¨ ute und wird konservativer. Beispiel 6.5. L¨ ange von Bambuspflanzen in SAS (Fortsetzung von Beispiel 6.4) Der Kolmogorov-Smirnov-Test wird in SAS mit der Prozedur NPAR1WAY durchgef¨ uhrt. Zun¨ achst werden die Daten des obigen Beispiels in SAS eingegeben: DATA Bambus; INPUT Ort$ Laenge; DATALINES; X 121 .. ... Y 123 ; RUN;
6.1 Tests auf Verteilungsanpassung
159
Danach wird die Prozedur aufgerufen, die Gruppierungsvariable wird im CLASS-Statement angegeben. Durch die Option EDF werden nur Tests auf Basis der empirischen Verteilungsfunktion durchgef¨ uhrt. Durch die Option EXACT KS; wird der exakte p-Wert der Teststatistik K angefordert. PROC NPAR1WAY DATA=Bambus EDF; CLASS Ort; VAR Laenge; EXACT KS; RUN; Im Ergebnis findet man die Teststatistik unter der Bezeichnung D. Kolmogorov-Smirnov Zwei-Stichprobentest D = max |F1 - F2| 0.8750 Asymptotische Pr > D 0.0105 Exakte Pr >= D 0.0047 Da der exakte p-Wert kleiner als das verwendete Signifikanzniveau von 0.05 ist, wird die Nullhypothese verworfen. F¨ ugt man im Prozeduraufruf die Option D hinzu, so werden auch die beiden einseitigen Teststatistiken (D− , D+ ) und deren p-Werte berechnet. D− ist die einseitige Teststatistik im Fall A (X stochastisch gr¨oßer als Y ), D+ im Fall B (Y stochastisch gr¨ oßer als X). Auch im einseitigen Fall wird f¨ ur die Testentscheidung der p-Wert mit dem Signifikanzniveau verglichen. Da im Fall A p = 0.0023 < 0.05 ist, wird die Nullhypothese verworfen. Vereinfacht formuliert sind am Ort X die Bambuspflanzen l¨ anger als am Ort Y (X stochastisch gr¨ oßer als Y ). Beispiel 6.6. L¨ ange von Bambuspflanzen in R (Fortsetzung von Beispiel 6.4) Der Kolmogorov-Smirnov-Test wird in R mit dem Befehl ks.test durchgef¨ uhrt. Mit der Option alternative=’two.sided|less|greater’ kann der Test zweiseitig oder einseitig durchgef¨ uhrt werden (less entspricht Fall A). Die Syntax lautet somit: x=c(121,122,124,126,127,129) y=c(113,114,116,117,118,119,120,123) ks.test(x, y, alternative="two.sided", exact = TRUE) Bei den Ergebnissen ist zu beachten, dass der einseitige Test nur die approximierten p-Werte berechnet, der zweiseitige Test kann auch exakt gerechnet werden. Die Nullhypothese wird auch hier abgelehnt (p = 0.004662).
160
6 Zweistichprobenprobleme f¨ ur unabh¨ angige Stichproben
6.1.3 Cram´ er-von-Mises-Test Der Cram´er-von-Mises-Test u ¨ berpr¨ uft wie der Kolmogorov-Smirnov-Test, ob zwei unabh¨ angige Stichproben aus der gleichen Grundgesamtheit (bzw. aus Grundgesamtheiten mit gleicher Verteilung) stammen oder nicht. Voraussetzungen 1. Daten besitzen mindestens ordinales Messniveau. 2. Die Stichprobenvariablen sind unabh¨ angig. 3. Die Stichprobenvariablen haben stetige Verteilungsfunktionen. Ausgangspunkt sind zwei unabh¨ angige Stichprobenvariablen X1 , . . . , Xm und Y1 , . . . , Yn mit unbekannten stetigen Verteilungsfunktionen F und G. F (z) = P r(Xi ≤ z)
f¨ ur
i = 1, . . . , m
G(z) = P r(Yj ≤ z)
f¨ ur
j = 1, . . . , n
Hypothesen H0 : F(z) = G(z) f¨ ur alle z ∈ R H1 : F(z) = G(z) f¨ ur mindestens ein z ∈ R Die Teststatistik beruht wieder auf einem Vergleich der empirischen Verteilungsfunktionen der beiden Stichproben. Im Gegensatz zum KolmogorovSmirnov-Test ist die Teststatistik C die Summe der quadrierten Differenzen. Teststatistik C=
mn (m + n)2
m n
2
2 Fm (xi ) − Gn (xi ) + Fm (yj ) − Gn (yj ) i=1
j=1
Zur praktischen Berechnung der Teststatistik dient: C=
m+n 1 · d2j 2 mn(m + n) j=1
mit gemeinsam geordneter Stichprobe Z() und dj = d(z(j) ) = m ·
j i=1
ζi − n ·
j i=1
(1 − ζi )
f¨ ur
j = 1, . . . , m + n
6.1 Tests auf Verteilungsanpassung
ζj =
161
f¨ ur z(j) aus Stichprobe X f¨ ur z(j) aus Stichprobe Y
0 1
Testentscheidung oßer als der kritische Wert H0 wird abgelehnt, wenn die Teststatistik C gr¨ Cα ist (Tabelle 11.10). Beispiel 6.7. L¨ ange von Bambuspflanzen - Cram´ er-von-Mises-Test (Fortsetzung von Beispiel 6.4) Es m¨ ussen zuerst die Ordnungsreihe der L¨angen und die Werte dj und d2j berechnet werden. j
geordnete L¨ angen z(j)
ζj
dj
d2j
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
113 114 116 117 118 119 120 121 122 123 124 126 127 129
1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0
6 12 18 24 30 36 42 34 26 32 24 16 8 0
36 144 324 576 900 1296 1764 1156 676 1024 576 256 64 0
Damit erhalten wir als Teststatistik C: C=
1 · 8792 = 0.935 6 · 8 · (6 + 8)2
Der tabellierte kritische Wert ist C0.05 ≈ 0.469 (m = 6, n = 8), der p-Wert ist ebenfalls tabelliert und betr¨agt zur konkreten Stichprobe p ≈ 0.002. Die Nullhypothese kann daher abgelehnt werden, die Daten stammen nicht aus den gleichen Verteilungen. Die Berechnung der empirischen Verteilungsfunktion und die Bestimmung der maximalen Differenz sind auch beim Auftreten von Bindungen m¨ oglich, daher sind Bindungen kein Problem. Da in die Teststatistik die quadrierte Differenz der Verteilungsfunktionen eingeht, kann mit dem Cram´er-von-Mises-Test nur zweiseitig getestet werden.
162
6 Zweistichprobenprobleme f¨ ur unabh¨ angige Stichproben
Beispiel 6.8. L¨ ange von Bambuspflanzen Cram´ er-von-Mises-Test in SAS (Fortsetzung von Beispiel 6.4) Der Cram´er-von-Mises-Test wird in SAS mit der Prozedur NPAR1WAY und der Option EDF durchgef¨ uhrt, die Syntax kann daher aus Beispiel 6.5, Seite 158 u ¨ bernommen werden. Im SAS-Output findet man als Ergebnis folgende Tabelle: Cramer-von-Mises-Test f¨ ur Variable Laenge Klassifiziert nach Variable Ort
Ort x y
N 6 8
Summierte Abweichung von Mittelwert 0.534014 0.400510
Cramer-von-Mises-Statistiken (Asymptotisch) CM 0.066752 CMa 0.934524 SAS berechnet die Teststatistik CM mit einer Bindungskorrektur. Diese Korrektur ist nicht unbedingt notwendig, wird in SAS aber trotzdem durchgef¨ uhrt. Die asymptotische Teststatistik CM a erh¨alt man durch die Transformation CM a = CM ·(m+n). Diese Teststatistik entspricht der h¨andisch berechneten Teststatistik C. Leider gibt SAS keinen p-Wert an, daher muss die Testentscheidung mittels der tabellierten kritischen Werte getroffen werden.
Beispiel 6.9. L¨ ange von Bambuspflanzen Cram´ er-von-Mises-Test in R (Fortsetzung von Beispiel 6.4) Der Cram´er-von-Mises-Test selbst ist in R nicht implementiert, aber der a¨hnliche Cram´er-Test mit der Teststatistik ∞ mn Tm,n = [Fm (t) − Gn (t)]2 dt m + n −∞ kann in R mit dem Befehl cramer.test durchgef¨ uhrt werden. Zuvor muss noch das Paket cramer installiert und geladen werden. Die vollst¨andige Syntax (nach Installation des Paketes) lautet: x=c(121,122,124,126,127,129) y=c(113,114,116,117,118,119,120,123) library(cramer) cramer.test(x,y)
6.2 Die Lineare Rangstatistik (Zweistichprobenfall)
163
Als Ergebnis erh¨ alt man folgende Ausgabe: 1-dimensional nonparametric Cramer-Test with kernel phiCramer (on equality of two distributions) x-sample:
6
values
y-sample:
8
values
critical value for confidence level 95 % : 6.988095 observed statistic 14.25 , so that hypothesis ("x is distributed as y") is REJECTED. estimated p-value = 0.000999001 Die Testentscheidung wird mittels estimated p − value ≈ 0.001 getroffen. Da dieser Wert kleiner als das im Beispiel verwendete Signifikanzniveau von 0.05 ist, wird die Nullhypothese verworfen.
6.2 Die Lineare Rangstatistik (Zweistichprobenfall) Bevor im n¨ achsten Abschnitt auf statistische Tests f¨ ur Lage- und Variabilit¨ atsunterschiede eingegangen wird, definieren wir zun¨ achst den Begriff der linearen Rangstatistik f¨ ur den Zweistichprobenfall. Es liegen 2 unabh¨ angige Stichproben X = x1 , . . . , xm und Y = y1 , . . . , yn aus Grundgesamtheiten mit stetigen Verteilungsfunktionen F (z) und G(z) vor. Unter der Nullhypothese wird von der Gleichheit dieser beiden Verteilungsfunktionen ausgegangen. Man kann daher auch sagen das die m + n = N Stichprobenvariablen aus einer gemeinsamen - aber unbekannten - Verteilung stammen. Diesen ordnet man nun die R¨ange von 1 bis N zu. Da von stetigen Verteilungen ausgegangen wird, kommen Bindungen unter den N Stichprobenvariablen nur mit der Wahrscheinlichkeit null vor. Die R¨ange der gemeinsamen Stichprobe lauten: R(Xi ) =
m
T (Xi − Xk ) +
k=1
R(Yj ) =
m k=1
mit
n
T (Xi − Yk ) mit
i = 1, . . . , m
k=1
T (Yj − Xk ) +
n k=1
T (Yj − Yk )
mit j = 1, . . . , n
164
6 Zweistichprobenprobleme f¨ ur unabh¨ angige Stichproben
T (U ) =
0 f¨ ur U < 0 1 f¨ ur U ≥ 0
Der Rang R(Xi ) entspricht also der Anzahl aller Werte aus der gemeinsamen Stichprobe, die kleiner oder gleich xi sind (analog R(Yj )). Der gemeinsamen geordneten Stichprobe x1 , . . . , xm , y1 , . . . , yn wird somit der eindeutige Rangvektor r1 , . . . , rm , s1 , . . . , sn zugeordnet, wobei ri bzw. sj den Realisierungen von R(Xi ) und R(Yj ) entsprechen. Man kann die gemeinsame geordnete Stichprobe auch durch den Vektor (V1 , . . . , VN ) beschreiben, wobei Vi = 1 ist, falls die i-te Variable der gemeinsamen, geordneten Stichprobe aus der Stichprobe X stammt und Vi = 0 ist, falls die Variable aus der Stichprobe Y stammt. Lineare Rangstatistik Die lineare Rangstatistik LN ist als Linearkombination des Vektors (V1 , . . . , VN ) definiert (N = m + n): LN =
N
g(i)Vi
mit
g(i) als Gewichtungsfaktor
i=1
Beispiel 6.10. Lineare Rangstatistik Gegeben seien die beiden Stichproben x = (x1 , x2 , x3 ) = (4, 8, 3) und y = (y1 , y2 ) = (1, 7). Zur Bestimmung der linearen Rangstatistik wird die gemeinsame geordnete Stichprobe (z(1) , z(2) , z(3) , z(4) , z(5) ) = (1, 3, 4, 7, 8) gebildet. Die Indikatorvariable Vi gibt an, ob das i-te Element der Stichprobe aus der Stichprobe x (Vi = 1), oder aus der Stichprobe y stammt (Vi = 0). In unserem Beispiel ergibt sich (V1 , V2 , V3 , V4 , V5 ) = (0, 1, 1, 0, 1). Zur Bestimmung der Momente der linearen Rangstatistik betrachtet man zun¨achst die Momente des Vektors (V1 , . . . , VN ) mit N = m + n unter der Annahme, dass die Verteilungsfunktion von F (z) mit der Verteilungsfunktion G(z) u ¨ bereinstimmt. E(Vi ) = 1 ·
n m m +0· = N N N
V ar(Vi ) = E(Vi2 ) − (E(Vi ))2 =
i = 1, . . . , N
m m2 mn − 2 = 2 N N N
i = 1, . . . , N
6.3 Lineare Rangtests f¨ ur Lagealternativen
165
Aus diesen Momenten erh¨alt man nun die Momente der linearen Rangstatistik LN ebenfalls unter der Annahme, dass die Verteilungsfunktion von F (z) mit der Verteilungsfunktion G(z) u ¨ bereinstimmt. N m E(LN ) = g(i) N i=1
"N #2 N mn N g 2 (i) − g(i) V ar(LN ) = 2 N (N − 1) i=1 i=1 Die Bestimmung der exakten Verteilung der linearen Rangstatistik ist nur numerisch m¨oglich. Auf Grund des enormen Rechenaufwandes ist dies nur f¨ ur kleine Stichprobenumf¨ ange in u ¨ berschaubarer Zeit m¨ oglich. Unter relativ allgemeinen Voraussetzungen n¨ahert sich die Verteilung der linearen Rangstatistik f¨ ur große Stichprobenumf¨ ange einer Normalverteilung an. LN − E(LN ) ∼ N (0, 1) V ar(LN ) f¨ ur m, n → ∞ ,
m n
= 0,
m n
= ∞
F¨ ur m = n ist die lineare Rangstatistik LN um E(LN ) symmetrisch.
6.3 Lineare Rangtests f¨ ur Lagealternativen In diesem Abschnitt ist die Fragestellung schon genauer spezifiziert. Die Verteilungen F und G der beiden Grundgesamtheiten haben nun gleiche Gestalt, sind aber m¨ oglicherweise in ihrer Lage verschoben und weisen somit unterschiedliche Lageparameter auf.
6.3.1 Wilcoxon-Rangsummentest Der Wilcoxon-Rangsummentest ist der am h¨ aufigsten verwendete verteilungs¨ freie Test zur Uberpr¨ ufung von Hypothesen u ¨ber die Lage zweier statistischer Verteilungen. Dieser Test ist das nichtparametrische Gegenst¨ uck zum t-Test.
166
6 Zweistichprobenprobleme f¨ ur unabh¨ angige Stichproben
Voraussetzungen 1. Das Messniveau der Beobachtungen x1 , . . . , xm , y1 , . . . , yn ist metrisch oder ordinal. 2. Die Variablen X1 , . . . , Xm , Y1 , . . . , Yn sind unabh¨ angig. 3. X1 , . . . , Xm , Y1 , . . . , Yn haben stetige Verteilungsfunktionen F bzw. G. Wilcoxon-Rangsummentest •
Zweiseitige Hypothesen H0 : F (z) = G(z) H1 : F (z) = G(z + θ) f¨ ur alle z ∈ R, θ = 0
•
Einseitige Hypothesen, Fall A, F < G, X stochastisch gr¨oßer als Y H0 : F (z) = G(z) H1 : F (z) = G(z + θ) f¨ ur alle z ∈ R, θ < 0
•
Einseitige Hypothesen, Fall B, F > G, X stochastisch kleiner als Y H0 : F (z) = G(z) H1 : F (z) = G(z + θ) f¨ ur alle z ∈ R, θ > 0
Betrachtet man zuf¨allig je einen Wert aus der ersten Stichprobe xi und eine Wert aus der zweiten Stichprobe yi k¨ onnte man die Nullhypothese auch folgendermaßen anschreiben: P r(xi < yi ) = P r(yi < xi ) bzw. P r(xi < yi ) = 0.5 Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert der ersten Stichprobe gr¨ oßer/kleiner ist als ein Wert der zweiten Stichprobe betr¨ agt 0.5. In Anlehnung an Abschnitt 6.2 und mit Gewichtsfunktion g(i) = i ist die Teststatistik wie folgt definiert: Teststatistik WN =
N
iVi =
i=1
m
R(Xi )
i=1
Das Minimum und das Maximum von WN erh¨alt man f¨ ur die F¨ alle, dass die x-Werte die ersten m Pl¨ atze bzw. die letzten m Pl¨atze belegen: min(WN ) = max(WN ) =
m(m + 1) 2
m(2n + m + 1) 2
6.3 Lineare Rangtests f¨ ur Lagealternativen
167
Hat man keine Tabelle mit kritischen Werten zur Verf¨ ugung, so kann die Verteilung von WN auch exakt berechnet werden. Da der Rechenaufwand mit wachsendem m und n schnell ansteigt, ist dies nur bei sehr kleinen Stichproben empfehlenswert. Die m + n Beobachtungen der beiden Stichproben (m+n)! aus Gruppe 1 und Gruppe 2 k¨ onnen auf m+n = m m!·n! verschiedene Arten angeordnet werden. Diese Anordnungen sind unter der Nullhypothese gleich −1 wahrscheinlich mit P r(A) = [ m+n ] . Damit kann f¨ ur jeden m¨ oglichen Wert m der Teststatistik die zugeh¨orige Wahrscheinlichkeit berechnet werden. Aus der Verteilung k¨ onnen die kritischen Werte als Quantile abgelesen werden. Testentscheidung (Tabelle 11.11) •
Zweiseitiger Test: H0 ablehnen, falls WN ≤ wα/2 oder WN ≥ w1−α/2
•
Einseitiger Test, Fall A: H0 ablehnen, falls WN ≥ w1−α
•
Einseitiger Test, Fall B: H0 ablehnen, falls WN ≤ wα
In der Tabelle f¨ ur den Wilcoxon-Rangsummentest (Tabelle 11.11) findet man nur die Werte f¨ ur wα im Fall m ≤ n. Die Werte f¨ ur w1−α erh¨alt man durch die Gleichung w1−α = m(N + 1) − wα . F¨ ur das einseitige Testen mit m > n wird der Austausch der Bezeichnungen (X, Y ) empfohlen, um problemlos mit den kritischen Werten aus der Tabelle arbeiten zu k¨ onnen. Die Teststatistik erh¨ alt man durch das Aufsummieren der R¨ ange der Xi der gemeinsamen geordneten Stichprobe. Gibt es keinen Unterschied in der Lage der beiden Stichproben (bzw. in den Populationen), werden die N = n + m Untersuchungseinheiten gut durchmischt sein. Wie die geordnete Stichprobe in so einem Fall aussehen k¨onnte, zeigt Tabelle 6.1. Rang Einheit
1 y1
2 x1
3 y2
4 y3
5 x2
6 y4
7 x3
8 y5
9 x4
10 y6
Tabelle 6.1. Gemeinsame Stichprobe - ohne Lageunterschied
Im Gegensatz dazu zeigt Tabelle 6.2 eine geordnete Stichprobe, die Unterschiede in der zentralen Tendenz vermuten l¨ asst. In beiden Tabellen besteht die Stichprobe der 1. Gruppe aus m = 4 Einheiten, die 2. Gruppe aus n = 6 Einheiten. Rang Einheit
1 x1
2 x2
3 x3
4 y1
5 x4
6 y2
7 y3
8 y4
9 y5
Tabelle 6.2. Gemeinsame Stichprobe - mit Lageunterschied
10 y6
168
6 Zweistichprobenprobleme f¨ ur unabh¨ angige Stichproben
Die Abfolge aus Tabelle 6.1 ist ein Indiz f¨ ur die Beibehaltung der Nullhypothese. Die Werte der 1. Gruppe und die Werte der 2. Gruppe scheinen sich nicht wesentlich zu unterscheiden. Bei Tabelle 6.2 w¨ urde man eher zur Hypothese H1 - es gibt einen signifikanten Unterschied - tendieren. Die Werte aus der ersten Stichprobe sind hier tendenziell kleiner als die Werte aus der zweiten Stichprobe. Im n¨achsten Schritt wird die Teststatistik WN ermittelt. Aus Tabelle 6.1 ergeben sich dabei die R¨ange 2 (x2 befindet sich an zweiter Stelle), 5, 7 und 9. Addiert man diese Werte erh¨ alt man die Teststatistik WN = 23. Bei Tabelle 6.2 erh¨ alt man nach dem Aufsummieren den Wert WN = 11. W¨ ahlt man als Signifikanzniveau α = 0.05, kann man aus einer Tabelle f¨ ur den Wilcoxon-Rangsummentest f¨ ur m = 4 und n = 6 den Wert wα/2 = 12 ablesen. Wie oben angegeben erh¨alt man den Wert w1−α/2 durch die Gleichung w1−α/2 = m(N + 1) − wα/2 sehr einfach. Im vorliegenden Beispiel ergibt sich w1−α/2 = 4 · (10 + 1) − 12 = 32. Im letzten Schritt muss festgestellt werden, ob die Teststatistik im jeweiligen Intervall liegt. Im Falle von Tabelle 6.1 liegt der Wert 23 im Intervall [12, 37], die Nullhypothese muss beibehalten werden. Da bei einer gemeinsamen Stichprobe wie Tabelle 6.2 der Wert 11 nicht im Intervall [12, 37] liegt, wird H0 abgelehnt. Im Falle des oben angef¨ uhrten Beispieles gibt es A = 10 4 = 210 verschiedene Anordnungsm¨ oglichkeiten. In der folgenden Tabelle sind die 11 extremsten M¨ oglichkeiten aufgelistet, das sind jene, in denen die addierten Rangzahlen der xi die geringsten Summen aufweisen. Nr.
R¨ ange der Xi
WN
P (WN = w)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
(1,2,3,4) (1,2,3,5) (1,2,4,5) (1,2,3,6) (1,2,4,6) (1,3,4,5) (1,2,3,7) (1,3,4,6) (2,3,4,5) (1,2,3,8) (1,2,4,7)
10 11 12 12 13 13 13 14 14 14 14
1/210 1/210 1/210 1/210 1/210 1/210 1/210 1/210 1/210 1/210 1/210
Tabelle 6.3. M¨ ogliche Anordnungen der xi (Auszug)
6.3 Lineare Rangtests f¨ ur Lagealternativen
169
Man kann leicht ablesen, dass die Teststatistik WN = 10 einmal vorkommt, genauso die Teststatistik WN = 11, WN = 12 kommt zweimal vor, usw. F¨ ur die Tabelle 6.2 wurde die Teststatistik WN = 11 berechnet. Aus Tabelle 6.3 kann entnommen werden, dass die Wahrscheinlichkeit die Teststatistik 11 oder eine noch kleinere zu beobachten bei P r(WN ≤ 11) = 2/210 ≈ 0.0095 liegt. Der p-Wert kann somit aufgrund der Symmetrie beim zweiseitigen Testen mit p = 0.019 angegeben werden. Auch so w¨ are man zur gleichen Entscheidung gelangt, dass f¨ ur α = 0.05 die Nullhypothese abzulehnen ist. Es gibt einen signifikanten Unterschied hinsichtlich der Lage der beiden Verteilungen aus Tabelle 6.2. Bindungen innerhalb einer Gruppe sind f¨ ur die Auswertung unwesentlich, Bindungen zwischen den Gruppen werden mit Durchschnittsr¨ angen versehen. Beispiel 6.11. Klausurnoten Es soll untersucht werden, ob sich Studierende aus 2 verschiedenen Kursen hinsichtlich der Leistung bei einer Klausur signifikant unterscheiden. Die Stichprobe in beiden Kursen ergibt folgende Noten (m = 5, n = 6). Kurs 1 (xi )
1
2
3
3
5
Kurs 2 (yi )
1
3
3
4
5
5
Die gemeinsame geordnete Stichprobe sieht wie folgt aus: Gruppe
x1
y1
x2
x3
x4
y2
y3
y4
x5
y5
y6
Note
1
1
2
3
3
3
3
4
5
5
5
Rang
1.5
1.5
3
5.5
5.5
5.5
5.5
8
10
10
10
Daraus ergeben sich die R¨ange der xi (Durchschnittsr¨ ange): R(xi )
1.5
3
5.5
5.5
10
Einheit
x1
x2
x3
x4
x5
Durch das Aufsummieren der R¨ ange erh¨ alt man die Teststatistik WN = 25.5. F¨ ur m = 5, n = 6 und α = 0.05 ist wα/2 = 18 und nach weiterer Berechnung w1−α/2 = 42. Da der Wert 25.5 im Intervall [18, 42] liegt, wird die Nullhypothese beibehalten. Ein Unterschied zwischen den Studierenden der beiden Kurse kann nach dem Wilcoxon-Rangsummentest nicht nachgewiesen werden. F¨ ur Stichproben mit m ≥ 25 oder n ≥ 25 kann die Teststatistik durch eine Normalverteilung approximiert werden. Unter H0 : G(z) = F (z) gilt:
170
6 Zweistichprobenprobleme f¨ ur unabh¨ angige Stichproben
m(N + 1) 2 mn(N + 1) V ar(WN ) = 12 E(WN ) =
F¨ ur m, n → ∞ mit m/n → λ = 0 gilt asymptotisch: WN − m(N + 1)/2 Z= m · n(N + 1)/12
∼ N (0, 1)
Testentscheidung Wilcoxon-Rangsummentest (Approximation durch die Normalverteilung, Tabelle 11.1) •
Zweiseitiger Test: H0 ablehnen, falls Z ≤ zα/2 oder Z ≥ z1−α/2
•
Einseitiger Test, Fall A: H0 ablehnen, falls Z ≥ z1−α
•
Einseitiger Test, Fall B: H0 ablehnen, falls Z ≤ zα
Gibt es Bindungen zwischen beiden Stichproben, bleibt der Erwartungswert von WN gleich. Die Varianz verringert sich wie folgt: mn mn(N + 1) − (b3 − bj ) 12 12N (N − 1) j=1 j r
V ar(WN∗ ) =
Die Summe bezieht sich auf die Bindungen, dabei ist im Falle einer 2er Bindung bj = 2, bei einer 3er Bindung ist bj = 3, usw., mit r wird die Anzahl der Bindungsgruppen bezeichnet. Als Teststatistik in Beispiel 6.11 wurde die Teststatistik WN = 25.5 errechnet. Die einzelnen bj lauten: j
1
2
3
4
5
bj
2
1
4
1
3
Daraus ergibt sich f¨ ur die korrigierte Varianz (m = 5, n = 6): 30 3 · (2 − 2) + (13 − 1) + (43 − 4) + (13 − 1) + (33 − 3) 1320 = 30 − 2.05 = 27.95
V ar(WN∗ ) = 30 −
Es sei allerdings darauf hingewiesen, dass der Stichprobenumfang (N = 11) nicht groß genug f¨ ur eine Approximation ist. Dieses einfache Beispiel soll lediglich die Vorgehensweise illustrieren.
6.3 Lineare Rangtests f¨ ur Lagealternativen
171
Beispiel 6.12. Klausurnoten Wilcoxon-Rangsummentest in SAS (Vgl. Beispiel 6.11) In SAS wird der Wilcoxon-Rangsummentest mit der Prozedur NPAR1WAY und der Option WILCOXON durchgef¨ uhrt. Der Mann-Whitney-U-Test (vgl. Abschnitt 6.3.2) f¨ uhrt zu den gleichen pWerten wie der Wilcoxon-Rangsummentest, aber die Teststatistik f¨ ur den Mann-Whitney-U-Test w¨ are unterschiedlich, wird aber in SAS nicht angegeben. Mit dem Statement EXACT WILCOXON werden die exakten p-Werte berechnet. Wie bereits erw¨ahnt, steigt bei der exakten Berechnung der Rechenaufwand mit gr¨oßer werdendem N sehr schnell an, was nat¨ urlich zu erheblich mehr Rechenzeit f¨ uhrt. Daher wird empfohlen, ab einer mittelgroßen Stichprobe mit der Monte-Carlo-Sch¨atzung zu rechnen. Diese erh¨alt man mit der Option MC. Zus¨atzlich kann noch zwischen den Optionen MAXTIME (Maximale Zeit zur Berechnung des exakten p-Wertes) und ALPHA (Konfidenzniveau f¨ ur Monte-Carlo-Sch¨atzung) gew¨ahlt werden. Standardm¨ aßig rechnet SAS beim Wilcoxon-Rangsummentest mit einem Signifikanzniveau von α = 0.05. DATA Noten; INPUT Gruppe Noten; DATALINES; 1 1 1 2 .. ... 2 5 ; RUN; PROC NPAR1WAY DATA=noten WILCOXON; CLASS Gruppe; EXACT WILCOXON; VAR Noten; RUN; Als Ausgabe erh¨ alt man den Wert der Teststatistik vom Rangsummentest von Wilcoxon und die einseitigen und zweiseitigen p-Werte exakt, sowie approximiert durch die Normalverteilung und die t-Verteilung. Alle p-Werte f¨ uhren dazu, dass die Nullhypothese beibehalten werden muss. Im Fall der Monte-Carlo-Sch¨atzung werden die Punktsch¨ atzer und die Bereichsch¨ atzer f¨ ur die einseitigen und zweiseitigen p-Werte berechnet. Vergleicht ¨ man die Werte der Uberschreitungswahrscheinlichkeit der einseitigen bzw. zweiseitigen Tests, stellt man fest, dass die approximierten Werte kaum vom exakten Wert abweichen.
172
6 Zweistichprobenprobleme f¨ ur unabh¨ angige Stichproben
Beispiel 6.13. Klausurnoten Wilcoxon-Rangsummentest in R (Vgl. Beispiel 6.11) In R wird f¨ ur den Wilcoxon-Rangsummentest die Funktion wilcox.test verwendet. kurs1=c(1,2,3,3,5) kurs2=c(1,3,3,4,5,5) wilcox.test(kurs1,kurs2,alternative="two.sided", + paired = FALSE, correct=T) Die Option paired = FALSE steht f¨ ur unabh¨ angige Stichproben und mit correct = T wird bei der Approximation eine Stetigkeitskorrektur verwendet. Als Ausgabe erh¨alt man: data:
kurs1 and kurs2 W = 10.5, p-value = 0.4493 alternative hypothesis: true mu is not equal to 0
Gibt es - wie im vorliegenden Beispiel - zwischen den beiden Stichproben Bindungen, kann mit der Funktion wilcox.test() der exakte p-Wert nicht berechnet werden, sondern nur der asymptotische p-Wert. F¨ ur die Berechnung des exakten p-Wertes wird die Funktion wilcox.exact() aus dem Paket exactRankTests verwendet. S¨amtliche Optionen, welche f¨ ur die Funktion wilcox.test() ausgew¨ahlt werden k¨ onnen, gelten auch f¨ ur die Funktion wilcox.exact(). Nach Installation des Paketes lautet die Syntax: library(exactRankTests) wilcox.exact(kurs1,kurs2,alternative="two.sided", + paired=FALSE,correct=T) Es f¨ allt auf, dass die von R berechnete Teststatistik 10.5 betr¨ agt, hingegen sowohl mit der obigen Berechnung als auch mit SAS der Wert 25.5 bestimmt wurde. Der Unterschied liegt darin, dass R von der Teststatistik WN das Minimum abzieht: WNR = WN −
m(m + 1) 2
Dies f¨ uhrt dazu, dass der kleinstm¨ogliche Wert der Teststatistik immer 0 ist. Da im Beispiel m = 5 ist, ergibt sich als Teststatistik in R der Wert 10.5. Der Mann-Whitney-U-Test (vgl. Abschnitt 6.3.2) f¨ uhrt zu den gleichen pWerten wie der Wilcoxon-Rangsummentest, aber die Teststatistik f¨ ur den Mann-Whitney-U-Test w¨ are unterschiedlich, wird aber in R nicht angegeben. F¨ ur die einseitigen Fragestellungen stehen die Alternativen greater f¨ ur den Fall A (X stochastisch gr¨oßer als Y , F < G) und less f¨ ur den Fall B zur Verf¨ ugung. Dabei ist zu beachten, dass in diesem Buch mit Fall A der Fall X stochastisch gr¨oßer als Y “ bezeichnet wird, was in R bei den ” Tests auf Verteilungsanpassung mit der Alternative less, bei den Tests auf Lagealternativen aber mit greater umzusetzen ist.
6.3 Lineare Rangtests f¨ ur Lagealternativen
173
6.3.2 Mann-Whitney-U-Test Die Voraussetzungen und Hypothesen sind identisch zum Rangsummentest von Wilcoxon, und auch die Testentscheidung ist a¨quivalent. Allerdings wird die Teststatistik anders berechnet, weist aber einen einfachen Zusammenhang mit der Teststatistik WN vom Wilcoxon-Rangsummentest auf. Zweiseitige Hypothesen H0 : F (z) = G(z) ur alle z ∈ R, θ = 0 H1 : F (z) = G(z + θ) f¨ Einseitige Hypothesen, Fall A F < G, X stochastisch gr¨oßer als Y H0 : F (z) = G(z) ur alle z ∈ R, θ < 0 H1 : F (z) = G(z + θ) f¨ Einseitige Hypothesen, Fall B F > G, X stochastisch kleiner als Y H0 : F (z) = G(z) ur alle z ∈ R, θ > 0 H1 : F (z) = G(z + θ) f¨ Die Teststatistiken im Mann-Whitney-U-Test sind n(n + 1) − R(Yi ) 2 i=1 n
UF >G = mn + und
m(m + 1) − R(Xi ) 2 i=1 m
UF
UF >G = m · n − UF
Zweiseitiger Test: H0 ablehnen, falls min(UF >G , UF
•
Einseitiger Test, Fall A: H0 ablehnen, falls UF
•
Einseitiger Test, Fall B: H0 ablehnen, falls UF >G ≤ Uα
In Milton (1964) findet man Tabellen f¨ ur verschiedene Signifikanzniveaus und m ≤ 40, n ≤ 20 und n ≤ m. Beim einseitigen Testen im Fall von n > m sollten die Bezeichnungen X, Y f¨ ur den einfachen Gebrauch der kritischen Werte aus der Tabelle getauscht werden.
174
6 Zweistichprobenprobleme f¨ ur unabh¨ angige Stichproben
Beispiel 6.14. Klausurnoten Mann-Whitney-U-Test (Vgl. Beispiel 6.11) Es soll untersucht werden, ob sich Studierende aus 2 verschiedenen Kursen hinsichtlich der Leistung bei einer Klausur signifikant unterscheiden. Die Stichprobe in beiden Kursen ergibt folgende Noten (m = 5, n = 6). Kurs 1 (xi )
1
2
3
3
5
Kurs 2 (yi )
1
3
3
4
5
5
Die gemeinsame geordnete Stichprobe sieht wie folgt aus: Gruppe
x1
y1
x2
x3
x4
y2
y3
y4
x5
y5
y6
Note
1
1
2
3
3
3
3
4
5
5
5
F¨ ur X wurde die Rangsumme bereits in Beispiel 6.11 berechnet, die R¨ange der yi sind Einheit
y1
y2
y3
y4
y5
y6
R(yi )
1.5
5.5
5.5
8
10
10
Die beiden Teststatistiken betragen somit UF >G = 5 · 6 − und UF
6(6 + 1) − 40.5 = 10.5 2
5(5 + 1) − 25.5 = 19.5 2
(= 5 · 6 − 10.5)
F¨ ur den zweiseitigen Test betr¨agt die Teststatistik daher 10.5 und der kritische Wert zum Niveau α betr¨ agt Uα/2 = 3, somit kann die Nullhypothese nicht verworfen werden. Es konnte kein Unterschied in den Noten nachgewiesen werden. Der Zusammenhang mit der Teststatistik des Rangsummentests von Wilcoxon kann ebenfalls an diesem Beispiel abgelesen werden: m(m + 1) 2 5·6 25.5 = 10.5 + 2
WN = U +
6.3 Lineare Rangtests f¨ ur Lagealternativen
175
6.3.3 Van der Waerden-Test Der XN -Test von van der Waerden ist kein reiner nichtparametrischer Test. Es ist zwar der erste Schritt bei der Durchf¨ uhrung dieses Tests analog zum Rangsummentest von Wilcoxon, aber als Gewichtungsfaktoren der linearen Rangstatistik (vgl. Seite 164) werden Quantile der Standardnormalverteilung verwendet. N N i −1 LN = Vi g(i)Vi = Φ N +1 i=1 i=1 Voraussetzungen 1. Das Messniveau der Beobachtungen x1 , . . . , xm , y1 , . . . , yn ist metrisch oder ordinal. 2. Die Variablen X1 , . . . , Xm , Y1 , . . . , Yn sind unabh¨ angig. 3. X1 , . . . , Xm und Y1 , . . . , Yn haben stetige Verteilungsfunktionen F bzw. G. Hypothesen •
Zweiseitige Hypothesen H0 : F (z) = G(z) H1 : F (z) = G(z + θ) f¨ ur alle z ∈ R, θ = 0
•
Einseitige Hypothesen, Fall A, F < G, X stochastisch gr¨oßer als Y H0 : F (z) = G(z) H1 : F (z) = G(z + θ) f¨ ur alle z ∈ R, θ < 0
•
Einseitige Hypothesen, Fall B, F > G, X stochastisch kleiner als Y H0 : F (z) = G(z) H1 : F (z) = G(z + θ) f¨ ur alle z ∈ R, θ > 0
Teststatistik Die Teststatistik ist gegeben durch XN =
N i=1
−1
Φ
i N +1
Vi =
m i=1
−1
Φ
R(Xi ) N +1
Zur Durchf¨ uhrung des Tests werden die Werte der beiden Stichproben in eine gemeinsame geordnete Stichprobe u ¨ berf¨ uhrt. Danach werden die einzelnen
176
6 Zweistichprobenprobleme f¨ ur unabh¨ angige Stichproben
R¨ange jeweils durch N + 1 dividiert. F¨ ur diese Werte k werden die Quantile der Standardnormalverteilung bestimmt (Φ−1 (k)). Durch Aufsummieren der Quantile der X-Stichprobe erh¨ alt man die gew¨ unschte Teststatistik. Testentscheidung Van der Waerden-Test (Tabelle 11.12) •
Zweiseitiger Test: H0 ablehnen, falls |XN | ≥ x1−α/2
•
Einseitiger Test, Fall A, F < G: H0 ablehnen, falls XN ≥ x1−α
•
Einseitiger Test, Fall B, F > G: H0 ablehnen, falls XN ≤ xα (gleichbedeutend mit XN ≤ −x1−α )
Beispiel 6.15. Klausurnoten - Van der Waerden-Test (Vgl. Beispiel 6.11 und 6.14) Die Berechnung der R¨ ange von X wurde bereits durchgef¨ uhrt (Seite 169). Damit erh¨alt man Element
x1
x2
x3
x4
x5
Note
1
2
3
3
5
1.5
3
5.5
5.5
10
0.125
0.250
0.458
0.458
0.833
-1.150
-0.674
-0.105
-0.105
0.967
Rang (R) k = Ri /(N + 1) −1
Φ
(k)
−1 Als Teststatistik erh¨alt man XN = Φ (k) = −1.067. In Tabelle 11.12 findet man f¨ ur α = 0.05, N = 11 und |m−n| = 1 den kritischen Wert x1−α/2 = 2.72. Da 1.067 = | − 1.067| ≤ 2.72 wird die Nullhypothese beibehalten. Es konnte kein signifikanter Unterschied festgestellt werden.
Bei obigem Beispiel wurde f¨ ur Bindungen die Methode der Durchschnittsr¨ange angewendet. Van der Waerden selbst empfiehlt, die Teststatistiken XN f¨ ur alle m¨ oglichen Rang-Permutationen zu berechnen und in weiterer Folge den Mittelwert der XN als Teststatistik zu verwenden. Große Stichproben Ab einer Stichprobengr¨oße von N > 50 kann durch die Normalverteilung approximation werden. F¨ ur diese Approximation werden der Erwartungswert und die Varianz von XN ben¨ otigt. E(XN ) = 0
6.3 Lineare Rangtests f¨ ur Lagealternativen
V (XN ) =
Z= $ % % &
177
2 N i mn Φ−1 N (N − 1) i=1 N +1
mn N (N − 1)
XN N Φ−1 i=1
i N +1
2
F¨ ur N → ∞ ist Z unter H0 asymptotisch standardnormalverteilt. Die Testentscheidung lautet dann: Testentscheidung Van der Waerden-Test (Approximation durch Normalverteilung, Tabelle 11.1) •
Zweiseitiger Test: H0 ablehnen, falls: |Z| ≥ z1−α/2
•
Einseitiger Test, Fall A, F < G: H0 ablehnen, falls: Z ≥ z1−α
•
Einseitiger Test, Fall B, F > G: H0 ablehnen, falls: Z ≤ zα
Beispiel 6.16. Klausurnoten - v.d. Waerden-Test in SAS (Vgl. Beispiel 6.15) In SAS kann der v.d.Waerden Test mit der Option VW aufgerufen werden. PROC NPAR1WAY DATA=noten VW; CLASS Gruppe; VAR Noten; RUN; Der Output zu dieser Prozedur sieht etwa folgendermaßen aus: Van der Waerden Zwei-Stichprobentest Statistik -1.0568 Z -0.7938 Einseitige Pr < Z 0.2137 Zweiseitige Pr > |Z| 0.4273 SAS geht im Fall von Bindungen anders vor, als man es erwarten w¨ urde. Im Falle von Bindungen wird f¨ ur alle m¨oglichen R¨ ange das jeweilige Quantil φ−1 (k/(N + 1)) bestimmt. In die Teststatistik geht der jeweilige Durchschnitt der Quantile ein.
178
6 Zweistichprobenprobleme f¨ ur unabh¨ angige Stichproben
Beispiel 6.17. Klausurnoten - Van der Waerden-Test in R (Vgl. Beispiel 6.15) Die Teststatistik f¨ ur den v.d.Waerden Test kann in R mit folgender Syntax berechnet werden: library(exactRankTests) Datensatz=data.frame( + Noten =c(1,2,3,3,5,1,3,3,4,5,5), + Gruppen=factor(c(1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2))) sc = cscores(Datensatz$Noten, type="NormalQuantile") X = sum(sc[Datensatz$Gruppen == 1]) library(coin) normal_test(Noten ~ Gruppen, data = Datensatz, + distribution = "exact") Die exakte Teststatistik wird in der Variable X gespeichert, der Test selbst wird mit der Anweisung normal_test und der Option distribution="exact" aus dem Paket coin angefordert. Wir erhalten als Ergebnis der Anweisung die approximierte Teststatistik -0.8031 mit dem zweiseitigen p-Wert 0.4372, daher muss die Nullhypothese beibehalten werden.
6.3.4 Median-Test Ein sehr einfacher Test zum Vergleich der zentralen Tendenz zweier Stichproben ist der Mediantest. Der Mediantest kann auch zum Vergleich von mehr als zwei Stichproben angewendet werden (Vgl. Kapitel 8.1.2). Die Voraussetzungen des Mediantests sind ¨aquivalent zu jenen des WilcoxonRangsummentest. Die Zufallsvariablen m¨ ussen somit wieder unabh¨angig sein und mindestens ordinales Skalenniveau aufweisen. Man fasst zun¨achst die beiden Stichproben zusammen, ordnet diese und bestimmt den Median der gepoolten Stichprobe. Im n¨ achsten Schritt bestimmt man je Stichprobe die Anzahl der Messwerte, die gr¨ oßer (bzw. kleiner/gleich) als der gemeinsame Median sind. Mit diesen Informationen kann folgende Vierfeldertafel erstellt werden: ≤ z˜0.5
> z˜0.5
Gruppe 1
z11
z12
Gruppe 2
z21
z22
Mit zij wird die Anzahl der Werte in der jeweiligen Kategorie bezeichnet. Die Nullhypothese geht davon aus, dass in jeder der beiden Stichproben 50% der Daten gr¨oßer als der Median sind und 50% der Daten kleiner oder gleich dem Median sind.
6.3 Lineare Rangtests f¨ ur Lagealternativen
179
Obige Vierfeldertafel wird nun auf einen signifikanten Zusammenhang u ¨ berpr¨ uft. Ist N ≤ 20 sollte dies mit dem exakten Test nach Fisher geschehen (vgl. Abschnitt 9.3), sonst kann der klassische χ2 -Test verwendet werden.
Beispiel 6.18. Klausurnoten - Median-Test (Vgl. Beispiel 6.11, 6.14 und 6.15) Die Noten der jeweiligen Studierendengruppen waren Kurs 1 (xi )
1
2
3
3
5
Kurs 2 (yi )
1
3
3
4
5
5
Der Median ist der sechste Wert der geordneten gemeinsamen Stichprobe und somit z˜0.5 = 3. Gem¨aß obiger Beschreibung ergibt sich daraus folgende Vierfeldertafel: ≤ z˜0.5
> z˜0.5
Kurs 1
4
1
Kurs 2
3
3
F¨ ur den zweiseitigen Test nach Fisher erh¨alt man den p-Wert 0.545, somit muss auch in diesem Fall die Nullhypothese, dass sich die Gruppen nicht unterscheiden, beibehalten werden.
Beispiel 6.19. Klausurnoten - Median-Test in SAS (Vgl. Beispiel 6.18) Die Vierfeldertafel wird eingegeben und mit dem Fisher’s Exact Test ausgewertet. DATA notenm; INPUT Gruppe mediangrkl anzahl; DATALINES; 1 1 1 1 2 4 2 1 3 2 2 3 RUN; PROC FREQ data=notenm; TABLES gruppe*mediangrkl/CHISQ; EXACT FISHER; WEIGHT anzahl; RUN;
180
6 Zweistichprobenprobleme f¨ ur unabh¨ angige Stichproben
Der Output zu obiger Prozedur sieht folgendermaßen aus: Exakter Test von Fisher Zelle (1,1) H¨ aufigkeit (F) 4 Linksseitige Pr <= F 0.9545 Rechtsseitige Pr >= F 0.3485 Tabellenwahrscheinlichkeit (P) 0.3030 Zweiseitige Pr <= P 0.5455 Stichprobengr¨ oße = 11 Die Vierfeldertafel kann nat¨ urlich auch mit Hilfe von SAS erstellt werden. Die Ergebnisse entsprechen den selbst berechneten, die Nullhypothese der Notengleichheit muss beibehalten werden.
Beispiel 6.20. Klausurnoten - Median-Test in R (Vgl. Beispiel 6.18) Bei vorliegender Vierfeldertafel lautet die Eingabe f¨ ur den zweiseitigen Fisher’s Exact Test in R: fisher.test(matrix(c(1,4,3,3),nrow=2)) Auch mit R erh¨ alt man den Wert p = 0.5455 f¨ ur den zweiseitigen Fisher’s Exact Test.
Auch der Median-Test entspricht dem Konzept der linearen Rangstatistik. Verwendet man die lineare Rangstatistik (vgl. Seite 164)
LN =
N
g(i)Vi
i=1
mit der Gewichtsfunktion g(i) =
1 0
f¨ ur i > (N + 1)/2 f¨ ur i ≤ (N + 1)/2
dann entspricht die lineare Rangstatistik der Anzahl der Werte aus der Stichprobe X, die gr¨ oßer sind als der Median der gemeinsamen Stichprobe.
6.4 Lineare Rangtests f¨ ur Variabilit¨ atsanalysen
181
6.4 Lineare Rangtests f¨ ur Variabilit¨ atsanalysen In diesem Kapitel werden mit dem Siegel-Tukey-Test, dem Mood-Test und dem Ansari-Bradley-Test drei Tests f¨ ur Variabilit¨ atsalternativen vorgestellt. Das Ziel dieser Tests ist festzustellen, ob ein signifikanter Unterschied hinsichtlich der Variabilit¨ at zwischen zwei Gruppen vorliegt. Voraussetzungen 1. Das Messniveau der Beobachtungen x1 , . . . , xm , y1 , . . . , yn ist metrisch oder ordinal. 2. Die Variablen X1 , . . . , Xm , Y1 , . . . , Yn sind unabh¨ angig. 3. X1 , . . . , Xm und Y1 , . . . , Yn haben stetige Verteilungsfunktionen F bzw. G mit gleichem (unbekannten) Median. Tests f¨ ur Variabilit¨ atsanalysen •
Zweiseitige Hypothesen H0 : F (z) = G(z) H1 : F (z) = G(θz) f¨ ur alle z ∈ R, θ = 1, θ > 0
•
Einseitige Hypothesen, Fall A, X streut st¨arker als Y H0 : F (z) = G(z) H1 : F (z) = G(θz) f¨ ur alle z ∈ R, 0 < θ < 1
•
Einseitige Hypothesen, Fall B, Y streut st¨arker als X H0 : F (z) = G(z) H1 : F (z) = G(θz) f¨ ur alle z ∈ R, θ > 1
Unter H1 haben die Variablen θX und Y dieselbe Verteilung und es gilt 2 θ µX = µY und θ2 σX = σY2 . Daraus kann abgelesen werden, dass Unterschiede in der Variabilit¨ at Unterschiede der Erwartungswerte und der Varianzen umfassen k¨onnen. Nur wenn die beiden Erwartungswerte gleich sind (bei θ = 1 nur m¨oglich f¨ ur µX = µY = 0), k¨ onnen Tests auf Variabilit¨ atsunterschiede als Tests auf Varianzunterschiede aufgefasst werden. In weiterer Folge gehen wir davon aus, dass zumindest die Mediane der beiden Verteilungen gleich sind. ¨ Das parametrische Aquivalent zu den Tests auf Variabilit¨atsunterschiede (bei Vorliegen einer Normalverteilung) ist der F-Test, der aber ohne die Annahme µX = µY = 0 auskommt.
182
6 Zweistichprobenprobleme f¨ ur unabh¨ angige Stichproben
6.4.1 Siegel-Tukey-Test Die Anwendung des Siegel-Tukey-Tests entspricht der Vorgehensweise beim Wilcoxon-Rangsummentest. Die Teststatistik f¨ ur den Siegel-Tukey-Test ist die lineare Rangstatistik SN =
N
g(i)Vi
i=1
mit Gewichtsfunktion 2i 2(N − i) + 2 g(i) = 2i − 1 2(N − i) + 1
f¨ ur f¨ ur f¨ ur f¨ ur
i i i i
gerade und 1 < i ≤ N/2 gerade und N/2 < i ≤ N ungerade und 1 ≤ i ≤ N/2 ungerade und N/2 < i < N
Diese Teststatistik ist f¨ ur gerades N konzipiert, f¨ ur ungerades N wird die mittlere Beobachtung aus der gemeinsamen geordneten Stichprobe gestrichen. Beim Wilcoxon-Rangsummentest wurden in der gemeinsamen Stichprobe den kleinen Beobachtungswerten niedrige Rangzahlen und großen Beobachtungswerten hohe Rangzahlen zugeordnet. Beim Siegel-Tukey-Test ist die allgemeine Vorgangsweise ¨ahnlich, allerdings erfolgt die Zuordnung der Rangwerte in anderer Form. Dem kleinsten Beobachtungswert wird - wie gehabt - der kleinste Rang zugeordnet. Es wird nun allerdings dem gr¨oßten Beobachtungswert der zweite Rang zugewiesen. Der zweitgr¨oßte Beobachtungswert erh¨ alt den dritten Rang, der zweite Beobachtungswert den vierten Rang, der dritte Beobachtungswert den f¨ unften Rang. Man vergibt die R¨ ange - vereinfacht gesagt - abwechselnd von außen nach innen. Eine gemeinsame geordnete Stichprobe mit 8 Elementen w¨ urde somit folgende Gewichte erhalten Beobachtung
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
Gewicht g(i)
1
4
5
8
7
6
3
2
Im Falle von Bindungen wird in Praxis die Methode der Durchschnittsr¨ ange angewendet. Es sei darauf hingewiesen, dass es bei einer großen Anzahl von Bindungen zu einer ver¨ anderten Verteilung der Pr¨ ufgr¨ oße unter der Nullhypothese kommen kann. Die Verteilung der Teststatistik SN ist unter der Nullhypothese gleich der Verteilung der Wilcoxon-Statistik WN (vgl. Abschnitt 6.3.1). Liegt kein Unterschied in der Variabilit¨ at vor, werden die Stichproben gut durchmischt sein. Streut die Verteilung von X mehr als die von Y (bei gleichem Median), so
6.4 Lineare Rangtests f¨ ur Variabilit¨ atsanalysen
183
werden die X-R¨ange eher an den Enden der gemeinsamen Stichprobe liegen und somit niedrige Gewichtungsfaktoren erhalten. Eine zu kleine Teststatistik SN weist damit auf die Hypothese hin, dass X mehr streut als Y . Testentscheidung (kritische Werte in Tabelle 11.11) •
Zweiseitiger Test: H0 ablehnen, falls SN ≤ wα/2 oder SN ≥ w1−α/2
•
Einseitiger Test, Fall A (X streut mehr): H0 ablehnen, falls SN ≤ wα
•
Einseitiger Test, Fall B: H0 ablehnen, falls SN ≥ w1−α
Beispiel 6.21. Laufleistung - Siegel-Tukey-Test Die Sch¨ ulerInnen von 2 Schulklassen sollten unabh¨ angig voneinander einen 100 m Lauf absolvieren. Man ist an der Homogenit¨at der Leistungen interessiert, das heißt, es interessiert, ob die Streuung der Leistung in der ersten Schulklasse gr¨oßer ist als in der zweiten Klasse. Die Hypothesen daf¨ ur lauten H0 : F (z) = G(z) und H1 : F (z) = G(θz), θ > 1. Die Stichprobe ergibt folgende Zeiten in Sekunden (m = 4, n = 6). Klasse 1 (xi ) Klasse 2 (yi )
12 15
13 17
29 18
30 24
25
26
Die gemeinsame geordnete Stichprobe sieht wie folgt aus: Wert
x1
x2
y1
y2
y3
y4
y5
y6
x3
x4
Zeit
12
13
15
17
Gewicht g(i)
1
4
5
8
18
24
25
26
29
30
9
10
7
6
3
2
Als Teststatistik erh¨ alt man SN = 1 + 4 + 3 + 2 = 10, da w0.05 = 21 wird H0 abgelehnt. Die Streuung in der Klasse 1 ist gr¨oßer als in der Klasse 2.
Beispiel 6.22. Laufleistung - SAS (vgl. Beispiel 6.21) Der Programmcode in SAS lautet: DATA lauf; INPUT Gruppe zeit; DATALINES; 1 12 .. .. 2 26 ; RUN;
184
6 Zweistichprobenprobleme f¨ ur unabh¨ angige Stichproben
PROC NPAR1WAY DATA=lauf ST; CLASS Gruppe; VAR zeit; EXACT ST; RUN; Der Output zu dieser Prozedur sieht etwa folgendermaßen aus: Siegel-Tukey Zwei-Stichprobentest Statistik (S) 10.0000 Normale Approximation Z -2.4518 Einseitige Pr < Z 0.0071 Zweiseitige Pr > |Z| 0.0142 Exakter Test Einseitige Pr <= S 0.0048 Zweiseitige Pr >= |S - Mittelwert| 0.0095 Es gibt sowohl bei einseitiger (p = 0.0048) als auch bei zweiseitiger (p = 0.0095) Fragestellung signifikante Unterschiede in der Streuung. Große Stichproben Da die Verteilung von SN unter der Nullhypothese der Verteilung der WilcoxonStatistik WN entspricht, kann auch beim Siegel-Tukey-Test in gleicher Weise mit der Normalverteilungsapproximation gerechnet werden.
6.4.2 Mood-Test ¨ Ein weiterer Test zur Uberpr¨ ufung von Variabilit¨ atsunterschieden ist der Mood-Test, die Voraussetzungen aus Abschnitt 6.4 gelten auch hier. Tests f¨ ur Variabilit¨ atsanalysen •
Zweiseitige Hypothesen H0 : F (z) = G(z) H1 : F (z) = G(θz) f¨ ur alle z ∈ R, θ = 1, θ > 0
•
Einseitige Hypothesen, Fall A, X streut st¨arker als Y H0 : F (z) = G(z) H1 : F (z) = G(θz) f¨ ur alle z ∈ R, 0 < θ < 1
•
Einseitige Hypothesen, Fall B, Y streut st¨arker als X H0 : F (z) = G(z) H1 : F (z) = G(θz) f¨ ur alle z ∈ R, θ > 1
6.4 Lineare Rangtests f¨ ur Variabilit¨ atsanalysen
185
Beim Mood-Test werden die quadrierten Abweichungen der R¨ange i von der mittleren Rangzahl (N + 1)/2 als Gewichte g(i) verwendet. Die Teststatistik f¨ ur den Mood-Test ist die lineare Rangstatistik MN
2 N N +1 i− = Vi 2 i=1
Falls X mehr als Y streut, w¨aren die Abweichungen der R¨ ange der xi zum Durchschnittsrang groß, und man w¨ urde einen großen Wert f¨ ur die Teststatistik erwarten. Testentscheidung (kritische Werte in Tabelle 11.11) •
Zweiseitiger Test: H0 ablehnen, falls MN ≤ cα/2 oder MN ≥ c1−α/2
•
Einseitiger Test, Fall A (X streut mehr): H0 ablehnen, falls MN ≥ c1−α
•
Einseitiger Test, Fall B (Y streut mehr): H0 ablehnen, falls MN ≤ cα
Treten Bindungen auf, so wird auch beim Mood-Test die Methode der Durchschnittsr¨ ange angewendet.
Beispiel 6.23. Laufleistung - Mood-Test (vgl. Beispiel 6.21) Die Problemstellung und die Hypothesen sind identisch zu Beispiel 6.21. Wert
x1
x2
y1
y2
y3
y4
y5
y6
x3
x4
Zeit
12
13
15
17
18
24
25
26
29
30
Rang
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Es ist (N + 1)/2 = 5.5, daraus l¨ asst sich mit einfacher Rechnung die Teststatistik MN berechnen: MN = (1 − 5.5)2 + (2 − 5.5)2 + (9 − 5.5)2 + (10 − 5.5)2 = 65.00 F¨ ur α = 0.05 ist c0.95 ≈ 13 (m = 4, n = 6). Die Nullhypothese wird daher abgelehnt, auch mit dem Mood-Test konnte nachgewiesen werden, dass die Laufleistung der ersten Klasse mehr streut als die der zweiten Klasse.
186
6 Zweistichprobenprobleme f¨ ur unabh¨ angige Stichproben
Bei einer Gesamtstichprobengr¨ oße von N > 20 kann mit der Normalverteilungsapproximation gearbeitet werden, mit E(MN ) = V (MN ) = erh¨alt man
m(N 2 − 1) 12
mn(N + 1)(N 2 − 4) 180
MN − m(N 2 − 1)/12 Z= mn(N + 1)(N 2 − 4)/180
Z ist f¨ ur N → ∞ asymptotisch standardnormalverteilt.
Beispiel 6.24. Laufleistung - Mood-Test in SAS (vgl. Beispiel 6.23) Die Dateneingabe wurde bereits vorgenommen PROC NPAR1WAY DATA=lauf MOOD; CLASS Gruppe; VAR zeit; EXACT MOOD; RUN; Als Ausgabe erh¨alt man den Wert der Teststatistik, sowie die einseitigen und zweiseitigen p-Werte, beide jeweils exakt und mittels Normalverteilungsapproximation. Auch mit dem Mood-Test erh¨ alt man sowohl bei einseitiger (p = 0.0048) als auch bei zweiseitiger Fragestellung ein signifikantes Ergebnis.
Beispiel 6.25. Laufleistung - Mood-Test in R (vgl. Beispiel 6.23) klasse1=c(12,13,29,30) klasse2=c(15,17,18,24,25,26) mood.test(klasse1,klasse2, alternative="greater") Die Alternative greater ist genau jene einseitige Fragestellung, an der wir interessiert sind (X streut mehr als Y , Fall A). Die Nullhypothese, dass die Streuung der Laufzeiten in beiden Klassen gleich ist, wird abgelehnt (approximierter p-Wert 0.0035).
6.4 Lineare Rangtests f¨ ur Variabilit¨ atsanalysen
187
6.4.3 Ansari-Bradley-Test ¨ Ein weiterer Test zur Uberpr¨ ufung von Variabilit¨ atsunterschieden ist der Ansari-Bradley-Test, wobei auch hier wieder die Voraussetzungen aus Abschnitt 6.4 gelten. Tests f¨ ur Variabilit¨ atsanalysen •
Zweiseitige Hypothesen H0 : F (z) = G(z) H1 : F (z) = G(θz) f¨ ur alle z ∈ R, θ = 1, θ > 0
•
Einseitige Hypothesen, Fall A, X streut st¨arker als Y H0 : F (z) = G(z) H1 : F (z) = G(θz) f¨ ur alle z ∈ R, 0 < θ < 1
•
Einseitige Hypothesen, Fall B, Y streut st¨arker als X H0 : F (z) = G(z) H1 : F (z) = G(θz) f¨ ur alle z ∈ R, θ > 1
Beim Ansari-Bradley-Test basiert die Teststatistik auf den Absolutbetr¨agen der Abweichungen der R¨ ange i von der mittleren Rangzahl (N + 1)/2. Die Teststatistik f¨ ur den Ansari-Bradley ist die lineare Rangstatistik AN =
' ' ' N N ' N + 1 '' N + 1 '' N + 1 '' m(N + 1) '' V − 'i − − Vi i − = i ' 2 2 ' 2 2 ' i=1 i=1
Falls X mehr als Y streut, w¨aren die Abweichungen der R¨ ange der xi zum Durchschnittsrang groß, und man w¨ urde insgesamt einen kleinen Wert f¨ ur die Teststatistik AN erwarten. Die Gewichte k¨onnen der geordneten gemeinsamen Stichprobe einfach zugeordnet werden: Der kleinste und der gr¨oßte Wert erhalten den Rang 1, der zweitgr¨ oßte und zweitkleinste den Rang 2 und so weiter. Bei geradem Stichprobenumfang N erhalten somit die beiden mittleren Werte jeweils den Rang N/2, bei ungeradem Stichprobenumfang erh¨ alt der mittlere Wert den Rang (N + 1)/2. Testentscheidung Kritische Werte f¨ ur die Testentscheidung findet man in Ansari und Bradley (1960) oder in Hollander und Wolfe (1999).
188
6 Zweistichprobenprobleme f¨ ur unabh¨ angige Stichproben
Beispiel 6.26. Laufleistung - Ansari-Bradley-Test (vgl. Beispiel 6.21) Die Problemstellung und die Hypothesen sind identisch zu Beispiel 6.21. Wert
x1
x2
y1
y2
y3
y4
y5
y6
x3
x4
Zeit
12
13
15
17
18
24
25
26
29
30
Rang
1
2
3
4
5
5
4
3
2
1
Die Teststatistik AN berechnet sich als AN = 1 + 2 + 2 + 1 = 6.00. Die Nullhypothese wird daher abgelehnt, die Laufleistung der ersten Klasse streut mehr als die der zweiten Klasse.
Beispiel 6.27. Laufleistung - Ansari-Bradley-Test in SAS (vgl. Beispiel 6.26) Die Dateneingabe wurde bereits vorgenommen. PROC NPAR1WAY DATA=lauf AB; CLASS Gruppe; VAR zeit; EXACT AB; RUN; Als Ausgabe erh¨ alt man den Wert der Teststatistik, sowie einen einseitigen (den kleineren) und den zweiseitigen p-Wert, beide jeweils exakt und mittels Normalverteilungsapproximation. Auch mit dem Ansari-Bradley-Test erh¨ alt man sowohl bei einseitiger (p = 0.004762) als auch bei zweiseitiger Fragestellung ein signifikantes Ergebnis. Hinweis: SAS bestimmt beim einseitigen Testen nur den sinnvolleren“ (= kleineren) p-Wert. Sinnvoll ist in unserem ” Beispiel die Frage, ob X (signifikant) mehr streut als Y . Bei dieser konkreten Datensituation w¨are es unsinnig zu fragen, ob X weniger als Y streut, weil dies offensichtlich nicht der Fall ist.
Beispiel 6.28. Laufleistung - Ansari-Bradley-Test in R (vgl. Beispiel 6.26) klasse1=c(12,13,29,30) klasse2=c(15,17,18,24,25,26) ansari.test(klasse1,klasse2, alternative="greater") Die Alternative greater ist genau jene einseitige Fragestellung, an der wir interessiert sind (X streut mehr als Y , Fall A). Die Nullhypothese, dass die Streuung der Laufzeiten in beiden Klassen gleich ist, wird abgelehnt (approximierter p-Wert p = 0.0035).
6.5 Konfidenzintervalle
189
Praxistipp Einseitige Fragestellungen sind in SAS und R unterschiedlich implementiert: In SAS wird der sinnvollere“ (weil kleinere) p-Wert ausgegeben und man ” muss bei der Interpretation der Ergebnisse aufmerksam sein. In R wird bei Testaufruf mit der Option alternative=less|greater|two.sided der genau spezifizierte Test durchgef¨ uhrt. Dabei steht die Alternative greater bei •
Tests auf Verteilungsanpassung f¨ ur den Fall A (X stochastisch kleiner als Y, X < Y , FX > FY )
•
Tests auf Lageunterschied f¨ ur den Fall B (X stochastisch gr¨ oßer als Y, X > Y , X − Y > 0)
•
Tests auf Variabilit¨ atsunterschied f¨ ur den Fall A (X streut mehr als Y )
6.5 Konfidenzintervalle In diesem Abschnitt werden zuerst Konstruktionsmethoden f¨ ur Konfidenzintervalle f¨ ur den Lageparameter θ betrachtet. Da die dazu verwendeten Statistiken WN von Wilcoxon bzw. die U-Statistik von Mann-Whitney diskrete Zufallsvariablen sind, k¨ onnen im Allgemeinen keine exakten Konfidenzgrenzen f¨ ur ein vorgegebenes Konfidenzniveau S = 1 − α angegeben werden. Stattdessen werden die Konfidenzgrenzen so gew¨ ahlt, dass das Konfidenzniveau mindestens 1 − α betr¨ agt. 6.5.1 Konfidenzintervall f¨ ur die Lageverschiebung θ Unser Ausgangspunkt sind zwei beliebige stetige Verteilungen F (z) und G(z), die sich nur durch den Lageparameter θ unterscheiden. Modell: X ∼ F (z) und Y ∼ G(z) mit F (z) = G(z + θ) Daten: X = x1 , . . . , xm und Y = y1 , . . . , yn Die Stichprobenvariablen X = x1 , . . . , xm und Y = y1 − θ, . . . , yn − θ kommen unter den obigen Voraussetzungen aus Grundgesamtheiten mit identischen Verteilungen. Betrachtet man zun¨achst einen zweiseitigen Test H0 : θ = θ0 zum Signifikanzniveau α, dann erh¨ alt man das Konfidenzintervall f¨ ur θ zum Konfidenzniveau 1 − α durch Dualisierung des zweiseitigen Tests. Das Konfidenzintervall besteht aus allen Werten θ, die zum vorgegebenem Signifikanzniveau nicht zur
190
6 Zweistichprobenprobleme f¨ ur unabh¨ angige Stichproben
Ablehnung von H0 f¨ uhren. Als Teststatistik wird die Wn Statistik von Wilcoxon bzw. die U-Statistik von Mann-Whitney verwendet (vgl. Abschnitt 6.3.1). WN = U +
m(m + 1) 2
Aus Symmetriegr¨ unden gilt f¨ ur die Quantile wα/2 und w1−α/2 der Verteilung von Wn folgende Beziehung: w1−α/2 = 2 · E(WN ) − wα/2 = m(N + 1) − wα/2 Als Annahmebereich f¨ ur die Nullhypothese des oben erw¨ ahnten zweiseitigen Tests wird folgender Bereich definiert: WN ∈ (wα/2 ; m(N + 1) − wα/2 ) mit N = m + n Aus diesem Annahmebereich erh¨alt man durch Dualisierung: P r(wα/2 < WN < m(N + 1) − wα/2 ) = 1 − α Unter Verwendung von r = uα/2 = wα/2 − m(m + 1)/2, dem uα/2 -Quantil der U-Verteilung (Tabelle 11.11) gilt: m(m + 1) m(2n + m + 1) + r < WN < −r =1−α Pr 2 2 Es wird also zu einem vorgegebenem α zun¨achst das Quantil wα/2 und dann das Quantil r = wα/2 − m(m + 1)/2 bestimmt. Mit dem Quantil r kann ein Konfidenzintervall f¨ ur den Lageunterschied θ konstruiert werden. Vorgehensweise •
Bildung der mn Differenzen Yj − Xi f¨ ur j = 1, . . . , n und i = 1, . . . , m
•
Ordnung s¨ amtlicher mn Differenzen nach Gr¨oße
•
Bezeichnung der geordneten Differenzen mit D(1) , . . . , D(mn)
•
Bestimmung von r = wα/2 − m(m + 1)/2
•
Untere Grenze des Konfidenzintervalls: gu = D(r+1)
•
Obere Grenze des Konfidenzintervalls: go = D(mn−r)
•
Konfidenzintervall: P r(D(r+1) < θ < D(mn−r) ) ≈ 1 − α
6.5 Konfidenzintervalle
191
6.5.2 Konfidenzintervall f¨ ur den Variabilit¨ atsunterschied θ Zur Berechnung des Konfidenzintervalls f¨ ur den Lageunterschied θ wurde ein Test auf Lageunterschied verwendet. Dem entsprechend werden nun f¨ ur die Berechnung von Konfidenzintervallen f¨ ur den Variabilit¨ atsunterschied θ Tests auf Variabilit¨ atsunterschiede verwendet. Ein geeigneter Ausgangstest ist der Moses-Test, der kurz beschrieben werden soll. Modell: X ∼ F (z) und Y ∼ G(z) mit F (z) = G(θz) F (z) und G(z) sind beliebige stetige Verteilungen, die sich nur durch den Variabilit¨ atsparameter θ unterscheiden. Daten: X = x1 , . . . , xm und Y = y1 , . . . , yn Die Stichprobenvariablen X = θx1 , . . . , θxm und Y = y1 , . . . , yn kommen unter den genannten Voraussetzungen aus Grundgesamtheiten mit identischen Verteilungen. Das entsprechende Konfidenzintervall gewinnt man wieder durch Dualisierung des zweiseitigen Test H0 : θ = θ0 auf dem Signifikanzniveau α. Das Konfidenzintervall f¨ ur θ zum Konfidenzniveau 1 − α besteht dann aus dem Annahmebereich des zweiseitigen Tests. Die Beobachtungen der Stichprobenvariablen X = x1 , . . . , xm bzw. Y = y1 , . . . , yn werden zuf¨allig auf m1 bzw. n1 Subgruppen vom Umfang k ≥ 2 aufgeteilt. Sind m oder n nicht durch k teilbar, bleiben die restlichen Beobachtungen unber¨ ucksichtigt. Man definiert
Xi =
k 1 Xvi k v=1
f¨ ur 1 ≤ i ≤ m1
Yj =
k 1 Xwj k w=1
f¨ ur 1 ≤ j ≤ n1
und erh¨ alt
Ai =
k
Xvi − X i
v=1
2
f¨ ur 1 ≤ i ≤ m1
192
6 Zweistichprobenprobleme f¨ ur unabh¨ angige Stichproben
Bj =
k 2 Ywi − Y j
f¨ ur 1 ≤ j ≤ n1
w=1
Die Testprozedur des Moses-Tests ist analog zum Wilcoxon-Rangsummentest, statt der urspr¨ unglichen Variablen X bzw. Y werden nun die Variablen A und B verwendet. Daher m¨ ussen die R¨ange der Ai der gemeinsamen geordneten Stichprobe (vom Umfang m1 + n1 = N1 ) bestimmt und aufsummiert werden. Streut X mehr als Y , so erwartet man eine große Rangsumme WN1 . Analog zum Konfidenzintervall f¨ ur Lageunterschiede kann nun wieder u ¨ ber Dualisierung des Testproblems eine geeignete Vorgehensweise zur Bestimmung von Konfidenzintervallen f¨ ur Variabilit¨ atsunterschiede empfohlen werden: Vorgehensweise •
Bildung aller m1 n1 m¨oglichen Quotienten Q = Ai /Bj f¨ ur i = 1, . . . , m1 und j = 1, . . . , n1
•
Ordnung s¨ amtlicher m1 n1 Quotienten nach Gr¨ oße
•
Bezeichnung der geordneten Quotienten mit Q(1) , . . . , Q(m1 n1 )
•
Bestimmung des wα/2 -Quantils der WN1 -Verteilung zu einem vorgegebenem Signifikanzniveau α
•
Bestimmung von r = wα/2 − m1 (m1 + 1)/2
•
Untere Grenze des Konfidenzintervalls f¨ ur θ2 : gu = Q(r+1)
•
Obere Grenze des Konfidenzintervalls f¨ ur θ2 : go = Q(m1 n1 −r)
•
Konfidenzintervall: P r(Q(r+1) < θ2 < Q(m1 n1 −r) ) ≈ 1 − α
Da f¨ ur die Berechnung des Konfidenzintervalls die quadrierten Statistiken Ai und Bj verwendet werden, erh¨alt man das Konfidenzintervall f¨ ur den quadrierten Variabilit¨ atsparameter. Die Grenzen des Konfidenzintervalls f¨ ur den Variabilit¨ atsparameter θ lauten: • • •
Untere Grenze des Konfidenzintervalls f¨ ur θ : gu = Q(r+1) Obere Grenze des Konfidenzintervalls f¨ ur θ : go = Q(m1 n1 −r) Konfidenzintervall: P r Q(r+1) < θ < Q(m1 n1 −r) ≈ 1 − α
¨ Ubungsaufgaben
193
¨ Ubungsaufgaben Aufgabe 6.1. Schuheinlagen Es wurden neuartige orthop¨ adische Schuheinlagen entwickelt, die zu einem schnelleren Erfolg bei der Behandlung von Fußfehlstellungen f¨ uhren sollen. Um festzustellen, ob tats¨ achlich ein Unterschied hinsichtlich der Behandlungsdauer vorhanden ist, wurden 7 Kinder zum Tragen der neuen Schuheinlagen (Gruppe N) und 7 weitere Kinder zum Tragen der herk¨ ommlichen Schuheinlagen (Gruppe A) ausgew¨ahlt. Nach 30 Tagen wurde der Fortschritt auf einer 10stufigen Skala gemessen. Ein niedriger Wert bedeutet, dass sich die Fußfehlstellungen verbessert haben. Testen Sie auf einem Niveau von α = 0.05. Gruppe A
6
7
5
10
7
7
9
Gruppe N
3
2
1
4
1
8
3
Aufgabe 6.2. Wetterf¨ uhligkeit In einer klinischen Untersuchung werden 16 Patienten mit bekannter Wetterf¨ uhligkeit zuf¨ allig zu gleichen Teilen auf eine Therapiegruppe und eine Kontrollgruppe aufgeteilt. In der Kontrollgruppe erhalten die Patienten ein Placebo und in der Therapiegruppe erhalten die Patienten ein Pr¨ aparat, das die Wetterf¨ uhligkeit verbessern soll. Nach 4 Wochen sollen die Patienten auf einer f¨ unfstufigen Schulnotenskala ihr Wohlbefinden angeben. Gruppe T
4
5
1
5
2
2
3
1
Gruppe K
2
3
5
5
5
4
5
2
Testen Sie jeweils auf einem Niveau von α = 0.05, ob das neue Medikament wirkt.
Aufgabe 6.3. Beweis Varianz der Linearen Rangstatistik Beweisen Sie: " N #2 N mn N V ar(LN ) = 2 g2 (i)− g(i) N (N − 1) i=1
i=1
194
6 Zweistichprobenprobleme f¨ ur unabh¨ angige Stichproben
Aufgabe 6.4. B¨ ucher Anhand einer Studie sollte untersucht werden, ob sich Studierende und Nichtstudierende hinsichtlich der Anzahl der gelesenen B¨ ucher pro Jahr signifikant unterscheiden (α = 0.05). Es werden insgesamt m = 7 Studierende und n = 9 Nichtstudierende befragt. Es ergaben sich folgende Werte: Studierende
0
3
4
7
10
12
30
Nichtstudierende
0
2
3
8
10
13
15
19
32
Untersuchen Sie, ob sich Studierende und Nichtstudierende in der Anzahl der gelesenen B¨ ucher unterscheiden. Aufgabe 6.5. Zuckerpackungen Eine Zuckerfabrik stellt Zuckerpackungen her. Die hergestellten Zuckerpackungen sollten dabei hinsichtlich des Gewichts m¨ oglichst wenig streuen. Die zur Zeit verwendete Abf¨ ullmaschine arbeitet jedoch ziemlich ungenau. Deshalb entschloss man sich, zus¨atzlich eine neue Maschine zu testen. Aufgrund einer Stichprobe von m = 7 bei der bisher verwendeten Maschine und n = 9 bei der neuen Maschine sollte u ¨berpr¨ uft werden, ob die neue Maschine besser ist als die alte Maschine (α = 0.05). Alte Maschine
870
930
935
1045
1050
1052
1055
Neue Maschine
932
970
980
1001
1009
1030
1032
1040
1046
Aufgabe 6.6. Konfidenzintervalle Es seien die beiden Stichproben X = 3, 6, 8 und Y = 2, 7, 11 gegeben. Bestimmen Sie ein Konfidenzintervall f¨ ur den Lageunterschied θ unter Verwendung der WN -Statistik von Wilcoxon bzw. der U-Statistik von Mann-Whitney. Das Konfidenzniveau soll ca. 1 − α = 0.90 betragen.
7 Zweistichprobenprobleme f¨ ur verbundene Stichproben
7.1 Problembeschreibung Dieses Kapitel besch¨aftigt sich mit Zweistichprobenproblemen f¨ ur abh¨ angige (verbundene) Stichproben (engl. Bezeichung: matched pairs, paired samples). Im Zweistichprobenfall werden an n Merkmalstr¨agern jeweils zwei Beobachtungen (Zufallsvariablen X und Y ) mit dem Ziel erhoben, Unterschiede zwischen den Verteilungen dieser Zufallsvariablen zu u ¨berpr¨ ufen. Bei dem vorliegenden Testproblem ist die allgemeine Datensituation durch eine gepaarte Stichprobe der Form (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ) der Zufallsvariablen X und Y gegeben, die an n Merkmalstr¨agern beobachtet wurden. Der Begriff Merkmalstr¨ager umfasst dabei sowohl ein- und dasselbe Individuum, an dem zu verschiedenen Zeitpunkten Messwerte erhoben werden, als auch homogene Paare, die m¨ oglichst ¨ahnliche Eigenschaften aufweisen: •
•
Die Abh¨ angigkeit von Stichproben kann dadurch entstehen, dass bestimmte Messwerte anhand ein- und desselben Individuums zu verschiedenen Zeitpunkten - beispielsweise vor und nach einer medizinischen Behandlung - gemessen werden. Abh¨ angige Stichproben k¨ onnen auch aus Paaren m¨ oglichst gleichartiger Merkmalstr¨ager resultieren (homogene Paare). Von homogenen Paaren spricht man u.a. bei eineiigen Zwillingen oder bei zwei Versuchstieren desselben Wurfs bzw. der gleichen Rasse. Diese Vorgehensweise wird dann bevorzugt, wenn es nicht m¨oglich oder vertretbar ist, Messwiederholungen an einem einzigen Merkmalstr¨ ager durchzuf¨ uhren (z.B. weil Wechselwirkungen auftreten k¨ onnen).
196
7 Zweistichprobenprobleme f¨ ur verbundene Stichproben
Das wiederholte Messen von Werten an einem Merkmalstr¨ager f¨ uhrt dabei zu einer Verringerung der Streuung der verwendeten Teststatistik. Aus diesem Grund sind f¨ ur Fragestellungen mit gebundenen Stichproben andere bzw. adaptierte Testverfahren notwendig.
7.2 Vorzeichentest Ein Vorzeichentest (Sign-Test) wurde bereits bei den Einstichprobenproblemen vorgestellt (vgl. Abschnitt 5.3.2). Im Zweistichprobenfall verwendet der Test die Anzahl der positiven Differenzen zweier Messwertepaare als Teststatistik. Dieses Verfahren ist der ¨alteste nichtparametrische Test, der aufgrund seiner geringen Voraussetzungen und der einfachen Berechnung oft anderen Methoden vorgezogen wird. Die Daten liegen in Form einer abh¨angigen Stichprobe (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ) der Zufallsvariablen X und Y vor, die an n Merkmalstr¨agern beobachtet wurden. Dabei m¨ ussen die Daten mindestens ordinalskaliert sein. Der Vorzeichentest unterliegt folgenden Annahmen: •
angig und identisch verteilt. Die Differenzen Di = Yi − Xi sind unabh¨
•
Die Wahrscheinlichkeit f¨ ur das Auftreten von identischen Werten ist gleich null (P r(Xi = Yi ) = 0 f¨ ur alle i = 1, . . . , n). Liegen dennoch Bindungen (xi = yi ) vor, so sind diese auf Messungenauigkeiten zur¨ uckzuf¨ uhren.
Die Nullhypothese geht davon aus, dass gleich viele positive und negative Differenzen Di = Yi − Xi vorliegen. Neben dem zweiseitigen Test mit der Alternativhypothese, dass es unterschiedlich viele positive und negative Differenzen gibt, kann auch einseitig getestet werden. Im Fall A beinhaltet die Alternativhypothese die Aussage, dass die Wahrscheinlichkeit einer positiven Differenz geringer als die einer negativen Differenz ist (vereinfacht formuliert: X ist ”gr¨oßer” als Y ).
7.2 Vorzeichentest
197
Vorzeichentest f¨ ur gepaarte Stichproben •
Zweiseitige Hypothesen H0 : P r(X < Y ) = P r(X > Y ) H1 : P r(X < Y ) = P r(X > Y )
•
Einseitige Hypothesen, Fall A weniger positive Differenzen, X ”gr¨ oßer” Y H0 : P r(X < Y ) ≥ P r(X > Y ) H1 : P r(X < Y ) < P r(X > Y )
•
Einseitige Hypothesen, Fall B mehr positive Differenzen, X ”kleiner” Y H0 : P r(X < Y ) ≤ P r(X > Y ) H1 : P r(X < Y ) > P r(X > Y )
Um die Anzahl der Differenzen Di = Yi − Xi mit positivem Vorzeichen zu erhalten, wird zun¨ achst die Variable Zi eingef¨ uhrt, die den Wert Eins annimmt, wenn Xi < Yi ist und Null, wenn Xi > Yi gilt: 1 Xi < Yi (≡ Di > 0) Zi = ⇐⇒ Xi > Yi (≡ Di < 0) 0 Die Teststatistik T entspricht der Summe der Zi und ist binomialverteilt T =
n
Zi
i=1
T ∼ Bn,p
mit
p = P r(Y > X)
T gibt dabei die Anzahl der Paare an, deren Differenz Yi − Xi positiv ist (Yi > Xi ). Unter der Nullhypothese ist diese Teststatistik T binomialverteilt mit den Parametern n und p = 1/2. Damit kann als Entscheidungsregel formuliert werden: Testentscheidung (tp Quantile der Binomialverteilung Bn,p ) • • •
Zweiseitiger Test: H0 ablehnen, falls T ≤ tα/2 oder T ≥ t1−α/2 Einseitiger Test, Fall A: H0 ablehnen, falls T ≤ tα Einseitiger Test, Fall B: H0 ablehnen, falls T ≥ t1−α
Bei großen Stichproben (n ≥ 20) ist die Teststatistik unter der Nullhypothese asymptotisch normalverteilt mit den Parametern µ = n/2 und σ 2 = n/4.
198
7 Zweistichprobenprobleme f¨ ur verbundene Stichproben
Treten Bindungen auf, so besteht bei großen Stichproben die M¨ oglichkeit, die Nulldifferenzen (xi = yi ) aus dem Datensatz zu entfernen und somit den Stichprobenumfang um die Anzahl der Bindungen zu reduzieren. Da diese Vorgehensweise jedoch Informationsverlust und Entscheidungen zugunsten der Alternativhypothese zur Folge hat, ist dies vor allem bei kleineren Stichproben nicht zu empfehlen. Um trotz des Auftretens von Bindungen m¨ oglichst alle Stichprobenpaare verwenden zu k¨ onnen, werden bei einer geraden Anzahl an Nulldifferenzen einer H¨alfte ein positives und der anderen H¨ alfte ein negatives Vorzeichen zugewiesen. Bei Vorliegen einer ungeraden Zahl an Bindungen wird auf ein Paar (xi , yi ) verzichtet.
Beispiel 7.1. Blutdruckvergleich Um den Effekt des Kaffeekonsums auf den menschlichen K¨orper zu u ¨ berp¨ ufen, wird eine Studie an 12 Personen durchgef¨ uhrt, im Zuge derer der systolische Blutdruck im n¨ uchternen Zustand (X) und nach der Einnahme koffeinhaltigen Kaffees (Y ) gemessen wird. An den 12 Merkmalstr¨agern wurden dabei folgende Messwerte (in mmHg) beobachtet: Person
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
X
131
105
142
115
122
162
119
136
123
129
135
147
Y
142
119
137
124
147
161
132
145
157
136
132
146
Di
11
14
-5
9
25
-1
13
9
34
7
-3
-1
Zi
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
Es soll nun zum Signifikanzniveau von α = 0.05 getestet werden, ob der systolische Blutdruck nach dem Genuss von Kaffee h¨oher ist als vorher. Zur besseren Veranschaulichung der vorliegenden Datensituation werden die Beobachtungen in Abbildung 7.1 mithilfe eines Boxplots grafisch dargestellt. Man erkennt dabei, dass der Median der Stichprobe X (
x0.5 = 130) kleiner ist als jener der Y -Stichprobe (
y0.5 = 139.5). Getestet wird, ob die Wahrscheinlichkeit f¨ ur das Auftreten positiver Differenzen zwischen den jeweiligen Wertepaaren gr¨oßer ist als jene f¨ ur negative Differenzen (Fall B). Wir bilden daher die Teststatistik T : T =
12 i=1
Zi = 8
199
160 140 100
120
systolischer Blutdruck in mmHg
180
200
7.2 Vorzeichentest
abhängige Stichproben
Abb. 7.1. Systolischer Blutdruck (in mmHg)
Der p-Wert kann mittels P r(T ≥ 8|B12,1/2 ) = 0.194 berechnet werden, d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass unter der Nullhypothese acht oder mehr Differenzen positiv sind, betr¨ agt 0.194. Da der p-Wert gr¨ oßer ist als α, muss die Nullhypothese beibehalten werden. Der Einfluss von Koffein auf den Blutdruck kann nicht nachgewiesen werden. ¨ Alternativ zu dieser Uberlegung k¨ onnte man auch das (1 − α)-Quantil der Binomialverteilung bestimmen (beispielsweise mit der Excel-Anweisung =KRITBINOM(12;0.5;0.95) oder mit qbinom(p=0.95,size=12,prob=0.5) in R). Da die Teststatistik T = 8 kleiner als der kritische Wert t1−α = 9 ist, muss die Nullhypothese beibehalten werden
Beispiel 7.2. Blutdruckvergleich in R Um den Vorzeichentest im Programmpaket R durchzuf¨ uhren, sind die Differenzen der jeweiligen Merkmalspaare zu bilden und die positiven Differenzen zu summieren. Mithilfe des Binomialtests wird die Teststatistik auf Signifikanz getestet.
200
7 Zweistichprobenprobleme f¨ ur verbundene Stichproben
n=12 x=c(131,105,142,115,122,162,119,136,123,129,135,147) y=c(142,119,137,124,147,161,132,145,157,136,132,146) D=y-x T=sum(D>0) binom.test(T,n,p=0.5,alternative="greater") Die Funktion binom.test ber¨ ucksichtigt dabei die Anzahl der positiven Differenzen T , den Stichprobenumfang n, die Erfolgswahrscheinlichkeit p (unter H0 ), sowie die zu testende Alternativhypothese alternative="greater". Mit einem p-Wert von 0.1938 kann die Nullhypothese nicht verworfen werden. Es konnte keine signifikante Erh¨ ohung des systolischen Blutdrucks nach der Einnahme von koffeinhaltigem Kaffee festgestellt werden.
Beispiel 7.3. Blutdruckvergleich in SAS F¨ uhrt man den Vorzeichentest in SAS durch, so werden zun¨ achst im Rahmen eines DATA-Steps die Daten eingegeben und gem¨aß d=y-x die Differenzen der jeweiligen Wertepaare gebildet. Mit der Prozedur UNIVARIATE werden die Teststatistik des Vorzeichentests sowie der zweiseitige p-Wert im Output angegeben. DATA Blutdruck; INPUT x y; d=y-x; DATALINES; 131 142 ... ... 147 146 ; RUN; PROC UNIVARIATE; VAR d; RUN; Der Vorzeichentest in SAS f¨ uhrt zu folgendem Ergebnis: Tests auf Lageparameter: Mu0=0 Test
-Statistik-
------p-Wert------
Studentsches t Vorzeichen Vorzeichen-Rang
t M S
Pr > |t| Pr >= |M| Pr >= |S|
2.798093 2 29
0.0173 0.3877 0.0190
7.3 Wilcoxon-Test
201
Die Teststatistik in SAS ist gegeben durch M = T − n/2 = 8 − 6 = 2. SAS bestimmt den zweiseitigen p-Wert, daher ist f¨ ur die einseitige Fragestellung p/2 mit α zu vergleichen. Mit einem p-Wert von 0.3877/2 ≈ 0.1939 kann die Nullhypothese nicht verworfen werden.
Alternativ k¨ onnen die Hypothesen des Vorzeichentests bei Vorliegen eines metrischen Messniveaus auch mithilfe des Medians der Differenzen Di = Yi − Xi fomuliert werden (Fall B): H0 : P r(X < Y ) ≤ P r(X > Y )
⇐⇒
M0 ≤ 0
H1 : P r(X < Y ) > P r(X > Y )
⇐⇒
M0 > 0
Bei symmetrischer Verteilung der Differenzen Di um den Median sollte statt des Vorzeichentests der Wilcoxon-Test verwendet werden, der die Informationen in der Stichprobe besser nutzt.
7.3 Wilcoxon-Test Der Wilcoxon-Test ber¨ ucksichtigt nicht nur die Richtung des Unterschiedes, sondern auch die Gr¨ oße der Abweichung. Dadurch unterliegt der Test jedoch st¨arkeren Voraussetzungen. Der Test entspricht exakt dem in Abschnitt 5.3.3 beschriebenen Wilcoxon-Vorzeichen-Rangtest f¨ ur Einstichprobenprobleme und wird in der Literatur auch oft so bezeichnet. Um die unterschiedliche Fragestellung zu betonen bleiben wir im Fall von zwei verbundenen Stichproben bei der Bezeichnung Wilcoxon-Test. Es liegt wiederum eine gepaarte Stichprobe vor, die aus n Beobachtungen besteht. Die Daten besitzen kardinalskaliertes Meßniveau, damit eine Differenzenbildung m¨ oglich ist. Voraussetzungen Wilcoxon-Test f¨ ur gepaarte Stichproben • •
angige und identisch verteilte Die Differenzen Di = Yi −Xi sind unabh¨ Zufallsvariablen. Die Di sind stetig und symmetrisch um den Median M verteilt.
Dem Wilcoxon-Test liegt folgendes Testproblem zugrunde:
202
7 Zweistichprobenprobleme f¨ ur verbundene Stichproben
Wilcoxon-Test f¨ ur gepaarte Stichproben •
Zweiseitige Hypothesen H0 : M = 0 H1 : M = 0
•
Einseitige Hypothesen, Fall A weniger positive Differenzen, X ”gr¨ oßer” Y H0 : M ≥ 0 H1 : M < 0
•
Einseitige Hypothesen, Fall B mehr positive Differenzen, X ”kleiner” Y H0 : M ≤ 0 H1 : M > 0
Um die Teststatistik zu erhalten werden zuerst die Differenzen Di = Yi − Xi gebildet. Anschließend werden die R¨ ange f¨ ur die Absolutbetr¨age der Differenzen |Di | von 1 bis n vergeben, wobei 1 f¨ ur die niedrigste Differenz und n f¨ ur die h¨ ochste Differenz steht. Die Teststatistik berechnet sich durch Aufsummieren der R¨ ange, die von den positiven Differenzen gebildet werden. Teststatistik Wn+ =
n
Ri+ Zi
i=1
wobei Zi =
1 0
falls Di > 0 falls Di < 0
und Ri+ der Rang von |Di | ist. Die Teststatistik kann auch als lineare Rangstatistik angeschrieben werden Wn+ =
n
i · Vi
i=1
mit Vi =
1 0
falls Di eine positive Differenz besitzt falls Di eine negative Differenz besitzt
Auffallend ist, dass sich die Teststatistiken des Wilcoxon-Vorzeichen-Rangtest und des Wilcoxon-Test f¨ ur verbundene Stichproben nicht unterscheiden, obwohl sie bei verschiedene Problemen angewendet werden.
7.3 Wilcoxon-Test
203
Testentscheidung (kritische Werte in Tabelle 11.6) •
+ + oder WN+ ≥ w1−α/2 Zweiseitiger Test: H0 ablehnen, falls WN+ ≤ wα/2
•
Einseitiger Test, Fall A: H0 ablehnen, falls WN+ ≤ wα+
•
+ Einseitiger Test, Fall B: H0 ablehnen, falls WN+ ≥ w1−α
Liegen Bindungen vor (Di = 0), dann werden die zugeh¨origen Werte aus den Stichproben entfernt und der Test mit den verbleibenden Werten durchgef¨ uhrt. Im Falle von identischen Differenzen (Di = Dj ) wird u ¨ blicherweise eine Durchschnittsrangbildung angewendet. Bei großen Stichproben n ≥ 20 kann eine Approximation durch die Normalverteilung vorgenommen werden. Unter der Nullhypothese ist der Erwartungswert von Wn+ gleich n(n + 1)/4 und die Varianz gleich n(n + 1)(2n + 1)/24. Dem entsprechend ist die Teststatistik n(n + 1) Wn+ − 4 Z= n(n + 1)(2n + 1) 24 ann¨ ahernd standardnormalverteilt. Im Fall des zweiseitigen Testproblems wird H0 abgelehnt, wenn |Z| ≥ z1− α2 gilt. Beim einseitigen Test wird H0 in Fall A verworfen, wenn Z ≤ zα ist, und in Fall B, falls Z ≥ z1−α ist. Zu beachten ist, dass die Nullhypothese H0 : M = 0 nicht a¨quivalent zu der Hypothese der Gleichheit der Mediane MX und MY ist. Der Wilcoxon-Test ¨ (0 : ”Der Median von Y −X ist l¨ asst sich aber zur Uberpr¨ ufung der Hypothese H (i = Yi −Xi −M0 M0 ” heranziehen. Statt Di = Yi −Xi werden die Differenzen D f¨ ur Wn+ betrachtet. Beispiel 7.4. Blutdruckvergleich - Wilcoxon-Test (vgl. Beispiel 7.1, Seite 198) Das einseitige Testproblem entspricht wieder dem Fall B: H0 : M ≤ 0
H1 : M > 0
Zuerst werden die Differenzen gebildet, die R¨ange vergeben und die Teststatistik berechnet (vgl. n¨ achste Seite). Es ergibt sich ein Wert von Wn+ = + 8 + 10 + 6.5 + 11 + 9 + 6.5 + 12 + 5 = 68. Der w0.95 -Wert in der Tabelle + betr¨ agt 78 − 17 = 61. Die Nullhypothese wird abgelehnt, da Wn+ ≥ w1−α gilt. Der Wilcoxon-Test verarbeitet mehr Informationen als der Vorzeichentest, daher ist es jetzt m¨ oglich nachzuweisen, dass der Kaffeekonsum den Blutdruck signifikant erh¨oht.
204
7 Zweistichprobenprobleme f¨ ur verbundene Stichproben
Person
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
X
131
105
142
115
122
162
119
136
123
129
135
147
Y
142
119
137
124
147
161
132
145
157
136
132
146
Di
11
14
-5
9
25
-1
13
9
34
7
-3
-1
8
10
4
6.5
11
1.5
9
6.5
12
5
3
1.5
R¨ ange
Beispiel 7.5. Blutdruckvergleich - Wilcoxon-Test in R Nach Installation des Paketes exactRankTests f¨ uhrt folgende Syntax zum Ergebnis x=c(131,105,142,115,122,162,119,136,123,129,135,147) y=c(142,119,137,124,147,161,132,145,157,136,132,146) library(exactRankTests) wilcox.exact(y,x,paired=TRUE,alternative="greater") Die Anweisung paired=TRUE wird angef¨ uhrt, um festzulegen, dass es sich um zwei abh¨angige Stichproben handelt. Durch exact wird der exakte p-Wert ausgerechnet. Man erh¨alt folgende Ausgabe: Exact Wilcoxon signed rank test data: y and x V = 68, p-value = 0.009521 alternative hypothesis: true mu is greater than 0 Die Teststatistik wird ausgegeben (V = 68), der p-Wert betr¨ agt 0.009521, daher ist die Nullhypothese zu verwerfen.
Beispiel 7.6. Blutdruckvergleich - Wilcoxon-Test in SAS Der Programmcode f¨ ur den Wilcoxon-Test unterscheidet sich nicht von dem des Vorzeichen-Tests (vgl. Beispiel 7.3). Die Ergebnisse des Wilcoxon-Tests sind unter dem Punkt Tests auf Lageparameter, unter Vorzeichen-Rang (SignRank) zu finden. Statt der Teststatistik Wn+ wird in SAS die um den Erwartungswert von Wn+ korrigierte Gr¨ oße S = Wn+ − 14 n(n + 1) berechnet, zudem wird zweiseitig getestet. Bei n > 20 wird in SAS automatisch approximiert. Tests auf Test Studentsches t Vorzeichen Vorzeichen-Rang
Lageparameter: -Statistikt 2.798093 M 2 S 29
Mu0=0 ------p-Wert-----Pr > |t| 0.0173 Pr >= |M| 0.3877 Pr >= |S| 0.0190
Wir erhalten (mit n = 12) als Teststatistik S = 68 − 14 12(12 + 1) = 29. Mit einem p-Wert von 0.019/2 ≈ 0.0095 muss die Nullhypothese abgelehnt werden. Der Blutdruck ist nach dem Konsum von Kaffee signifikant h¨ oher.
7.4 McNemar-Test
205
7.4 McNemar-Test Sollen dichotome Variablen in abh¨angigen Stichproben gepr¨ uft werden, so kann der McNemar-Test verwendet werden, der einem χ2 -Test f¨ ur verbundene Stichproben entspricht. Dieser Test wird beispielsweise im Zuge medizinischer Studien angewendet, um einen Vorher-Nachher-Vergleich“ durchf¨ uhren zu ” k¨ onnen. Die Daten liegen dabei in Form einer Vierfeldertafel vor: X=0
X=1
Y =0
a
b
Y =1
c
d
Tabelle 7.1. Vierfeldertafel der Daten im McNemar-Test
Um zu untersuchen, ob sich die beiden Stichproben voneinander unterscheiden, betrachtet man lediglich die Felder b und c in der obigen Tafel, bei denen sich die Auspr¨agung jeweils ge¨andert haben. Dem Test liegt also offensichtlich folgendes Testproblem zugrunde: Hypothesen McNemar-Test •
H0 : b = c Die Anzahl der Ver¨ anderungen von 0 auf 1 ist gleich der Anzahl der Ver¨anderungen von 1 auf 0.
•
H1 : b = c Die Anzahl der Ver¨ anderungen von 0 auf 1 unterscheidet sich von der Anzahl der Ver¨ anderungen von 1 auf 0.
Die Teststatistik ist unter der Nullhypothese n¨ aherungsweise χ2 -verteilt mit einem Freiheitsgrad und wird auf folgende Weise berechnet: Teststatistik McNemar-Test χ2 =
(b − c)2 b+c
χ2korr =
∼ χ21
(|b − c| − 1)2 b+c
Die korrigierte Teststatistik χ2korr ber¨ ucksichtigt eine Stetigkeitskorrektur. Ist der Wert der berechneten Pr¨ ufgr¨ oße χ2korr > χ21;1−α , so ist die Nullhypothese zu verwerfen. Ein kurzes Anwendungsbeispiel soll die Vorgehensweise des χ2 Tests nach McNemar besser verdeutlichen.
206
7 Zweistichprobenprobleme f¨ ur verbundene Stichproben
Beispiel 7.7. RaucherInnen Es soll untersucht werden, ob eine Gesundheitskampagne eine signifikante Ver¨anderung hinsichtlich der Anzahl an RaucherInnen zur Folge hat. Zu diesem Zweck werden 300 Personen jeweils vor und nach der Kampagne befragt, ob sie rauchen. Hat die Kampagne keinen Einfluss auf das Rauchverhalten der teilnehmenden Personen, so sollten die Felder b und c zufallsbedingt in etwa gleich sein. Wir erhalten folgende Vierfeldertafel:
X=0
X=1
Y =0
132
49
181
Y =1
21
98
119
153
147
300
Tabelle 7.2. Rauchverhalten vor (X) und nach (Y ) der Kampagne (1 = RaucherIn)
Die Teststatistik ist gegeben durch χ2korr = Da
729 (|49 − 21| − 1)2 = = 10.4143 49 + 21 70
χ2korr = 10.4143
>
χ21;0.95 = 3.842
gilt, ist die Nullhypothese zu verwerfen. Die Anzahl der RaucherInnen, die nach der Kampagne das Rauchen aufgegeben haben (b = 49) unterscheidet sich signifikant von der Anzahl der NichtraucherInnen, die trotz der Kampagne zu RaucherInnen wurden (c = 21).
Beispiel 7.8. RaucherInnen - McNemar-Test in R Der Test wird in R mit der Funktion mcnemar.test(x,correct=TRUE) durchgef¨ uhrt. x ist in diesem Fall die als zweidimensionale Matrix eingegebene Vierfeldertafel. Die Option correct=TRUE bewirkt die Ber¨ ucksichtigung der Stetigkeitskorrektur. x = matrix(c(132,49,21,98), ncol=2) mcnemar.test(x, correct=TRUE) Als Ergbnis erh¨ alt man den Wert der Teststatistik χ2korr = 10.4143 und den zugeh¨origen approximierten p-Wert (p = 0.00125).
7.5 Konfidenzintervalle f¨ ur den Median der Differenz
207
Beispiel 7.9. RaucherInnen - McNemar-Test in SAS Um den χ2 -Test nach McNemar in SAS durchzuf¨ uhren, werden zun¨ achst im Zuge des DATA-Steps die Datenwerte der Vierfeldertafel eingegeben. Mithilfe der Prozedur FREQ wird dann die Teststatistik des McNemar-Tests berechnet. Durch die Anweisung EXACT k¨ onnen exakte Werte f¨ ur den vorliegenden Test (MCNEM) angefordert werden. DATA Rauchen; INPUT x y Anzahl; DATALINES; 0 0 132 0 1 49 1 0 21 1 1 98 ; RUN; PROC FREQ ORDER=DATA; TABLES x * y / AGREE; WEIGHT Anzahl; EXACT MCNEM; RUN; Dieser Test in SAS liefert unter anderem folgendes Ergebnis: Test von McNemar Statistik (S) DF Pr > S Exakte Pr >= S
11.2000 1 0.0008 0.0011
Die Teststatistik beinhaltet keine Stetigkeitskorrektur, neben dem asymptotischen p-Wert (p = 0.0008) ist auch der exakte p-Wert f¨ ur die unkorrigierte Teststatistik angegeben (p = 0.0011).
7.5 Konfidenzintervalle f¨ ur den Median der Differenz Dieser Abschnitt besch¨ aftigt sich nun mit der Konstruktion von Konfidenzintervallen f¨ ur den Median M der Variablen D im Zweistichprobenfall abh¨ angiger Stichproben. Es werden dabei zwei verschiedene Konstruktionsmethoden behandelt. Beiden Verfahren gemeinsam ist die Annahme, dass die gebildeten Differenzen Di zwischen den jeweiligen Wertepaaren identisch, unabh¨ angig und stetig verteilt sind.
208
7 Zweistichprobenprobleme f¨ ur verbundene Stichproben
7.5.1 Basis Ordnungsreihen Es besteht zun¨ achst die M¨ oglichkeit, Vertrauensintervalle f¨ ur den Median zur Sicherheit S = 1 − α auf der Grundlage der Ordnungsreihe der gebildeten Differenzen zwischen den Merkmalswerten Yi − Xi zu berechnen. Die Differenzen sind folglich der Gr¨ oße nach zu ordnen und die Zahlen k und l so zu bestimmen, dass P r(D(k)
l−1 n 0.5n ≈ 1 − α < M < D(l) |M ∼ Bn,p=0.5 ) = j j=k
gilt. Diese Beziehung kann auch mithilfe der Verteilungsfunktion F einer binomialverteilten Zufallsvariablen mit den Parametern n und p dargestellt werden: F (l − 1) − F (k − 1) ≈ 1 − α D(k) und D(l) sollen dabei an symmetrischen Positionen der Ordnungsreihe gew¨ahlt werden, wobei l − k minimal sein muss. [D(k) , D(l) ] ist dann ein Konfidenzintervall zur Sicherheit S ≈ 1 − α. Bei Stichprobenumf¨ angen n ≥ 20 kann die Berechnung von k und l approximativ u ¨ ber die Normalverteilung erfolgen: Bn,p=0.5 ≈ N (n/2, n/4) Es gilt: P r(M < k|M ∼ Bn;0.5 ) = α/2
⇒
Φ
k − n/2 √ n/2
= α/2
k und l = n + 1 − k k¨ onnen nun offensichtlich (mit Φ(zp ) = p) bestimmt werden durch: √ √ n n n n k= − z1−α/2 z1−α/2 l= + 2 2 2 2 7.5.2 Basis Wilcoxon-Statistik F¨ ur die Berechnung wird nun zus¨ atzlich vorausgesetzt, dass die Differenzen Di symmetrisch um den Median M verteilt sind. Zur Berechnung werden in einem ersten Schritt die n(n + 1)/2 mittleren Differenzen Dij = (Di + Dj )/2 mit 1 ≤ i ≤ j ≤ n gebildet. Ausgehend von diesen Werten wird anschlie ßend die Ordnungsreihe D(1) , . . . , D(n(n+1)/2) geformt. Mit Hilfe der Quantile der Wilcoxon-Statistik (vgl. Tabelle 11.6) werden die R¨ ange der Grenzen des Konfidenzintervalls bestimmt als
7.5 Konfidenzintervalle f¨ ur den Median der Differenz
209
+ k = wα/2
und
+ l = n(n + 1)/2 − wα/2 +1
Bei n > 20 kann wieder u ¨ber die Normalverteilung approximiert werden mit + wα/2 ≈ n(n + 1)/4 + zα/2 n(n + 1)(2n + 1)/24
Beispiel 7.10. Konfidenzintervall An sieben Ratten wird untersucht, wie lange die Ratten brauchen, um ein Labyrinth zu durchlaufen. Die Annahme besteht, dass die Ratten beim zweiten Durchlauf schneller sind, da das Labyrinth schon bekannt ist. Ein Konfidenzintervall zum Niveau α = 0.05 f¨ ur den Median der Differenzen soll berechnet werden. x:
34
29
31
32
28
40
39
y:
39
26
29
41
35
46
44.5
di
5
-3
-2
9
7
6
5.5
Um das vorher beschriebene Verfahren anzuwenden, werden n(n + 1)/2 = 28 arithmetische Mittel Dij = (Di + Dj )/2 mit 1 ≤ i ≤ j ≤ n berechnet. Anschließend wird die Ordnungsreihe gebildet. Bei α = 0.05 wird aus der + Tabelle der Wert k = wα/2 = 3 entnommen. Der zweite Index ergibt sich aus + l = n(n + 1)/2 − wα/2 = (7 · (7 + 1))/2 − 3 + 1 = 26. Folglich lautet das Konfidenzintervall f¨ ur M [D(3) , D(26) ]. Aus der Ordnungsreihe ergibt sich das Intervall [−2, 7.5].
Beispiel 7.11. Konfidenzintervall in R Das Konfidenzintervall kann in der Anweisung f¨ ur den Wilcoxon-Test durch den Zusatz conf.int=TRUE berechnet werden. Folgende Ausgabe zeigt das Ergebnis: Exact Wilcoxon signed rank test data: y and x V = 25, p-value = 0.07813 alternative hypothesis:true mu is not equal to 0 95 percent confidence interval: -2.0 7.5 sample estimates: (pseudo)median 5.125 Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% wird der Median der Differenzen vom Intervall [−2, 7.5] u ¨ berdeckt.
210
7 Zweistichprobenprobleme f¨ ur verbundene Stichproben
¨ Ubungsaufgaben Aufgabe 7.1. Unterricht In einer Schule werden 20 Sch¨ ulerInnen einem Test unterzogen, in dem ihr Wissen in den naturwissenschaftlichen F¨ achern gepr¨ uft wird. Die Sch¨ ulerInnen k¨ onnen dabei eine maximale Anzahl von 50 Punkten erreichen. Nach 2 Wochen, in denen die Jugendlichen intensiven Unterricht in den naturwissenschaftlichen Gegenst¨ anden erhalten haben, m¨ ussen sie erneut einen Test mit gleichem Schwierigkeitsgrad durchf¨ uhren. Folgende Punkte wurden erreicht:
Test 1 32 41 18 25
5 50 47 46 30 32 22 35
6 17 14 27 48 43
8 37
Test 2 34 40 23 29 11 49 48 45 48 41 28 47 24 35 27 36 46 49 16 41
Es soll nun untersucht werden, ob sich die Testergebnisse der Sch¨ ulerInnen nach dem intensiven Unterricht signifikant ver¨andert (bzw. verbessert) haben (α = 0.05). Berechnen Sie zus¨atzlich ein Konfidenzintervall f¨ ur den Median zur Sicherheit 1 − α = 0.95.
Aufgabe 7.2. Vorsorgeuntersuchung 150 zuf¨allig ausgew¨ahlten Personen u ¨ber 50 wird die Frage gestellt, ob sie sich einer Vorsorgeuntersuchung zur Fr¨ uherkennung von Darmkrebserkrankungen unterziehen w¨ urden. Nach einigen Wochen, in denen in den Medien verst¨ arkt u ¨ ber die durchaus positiven Heilungschancen bei Fr¨ uherkennung von Darmkrebs berichtet wurde und die Wichtigkeit einer solchen Untersuchung betont wurde, werden diese Personen erneut befragt. Die Ergebnisse dieser Befragung sind in der folgenden Vierfeldertafel enthalten:
Vorher = ja
Vorher = nein
Nachher = ja
27
41
Nachher = nein
6
76
Es soll nun untersucht werden, ob die Kampagne eine signifikante Ver¨ anderung zur Folge hatte.
¨ Ubungsaufgaben
211
Aufgabe 7.3. Di¨ at Ein Forschungsinstitut hat eine neue Di¨ at f¨ ur adip¨ ose Erwachsene entwickelt. Diese soll an acht Versuchspersonen getestet werden. Anhand des Body-MassIndizes (BMI) der Versuchspersonen vor und nach dem Abnehmprogramm soll getestet werden, ob die Di¨ at den BMI der Personen signifikant verbessert hat. Zus¨ atzlich soll ein Konfidenzintervall f¨ ur den Median der BMI-Differenz berechnet werden (α = 0.05). Die Daten der Personen sind in der folgenden Tabelle zu finden: Person 1
2
3
4
5
6
7
8
9
BMI vorher
31.5
34
33.7
32.6
34.9
35.9
32
30.5
32.8
BMI nachher
29.8
32.7
30.4
32.6
33.5
33
32.9
30.3
33.1
Aufgabe 7.4. Migr¨ ane Im Rahmen einer medizinischen Studie soll an 12 PatientInnen, die an Migr¨ ane leiden, die Wirkung eines neuen Medikaments getestet werden. Zu diesem Zweck m¨ ussen die TeilnehmerInnen der Studie zun¨ achst ein Monat lang bei Migr¨ aneanf¨ allen das herk¨ ommliche Medikament X zur Schmerzlinderung verwenden. Im zweiten Monat erhalten die PatientInnen ausschließlich das neue Schmerzmittel Y . Nach diesen zwei Monaten werden die PatientInnen befragt, ob sie durch die Einnahme von Medikament Y die Schmerzen besser behandeln konnten als mit dem herk¨ ommlichen Schmerzmittel X ( +“ bei ” Verbesserung, −“ bei Verschlechterung und =“ bei gleicher Schmerzlinde” ” rung). Es soll nun untersucht werden, ob zwischen den beiden Medikamenten ein Unterschied hinsichtlich des Behandlungserfolges besteht. Ist das neue Medikament besser (α = 0.05)? PatientIn
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Bewertung
+
-
+
+
=
+
-
+
+
=
+
-
8 c-Stichproben-Problem
In den vorhergehenden Kapiteln wurden bereits Zwei-Stichproben-Tests f¨ ur unabh¨ angigen und verbundenen Stichproben behandelt. In diesem Kapitel wird die Verallgemeinerung auf c-Stichproben-Probleme besprochen. Um mehrere Stichproben miteinander zu vergleichen, ist es nicht zielf¨ uhrend alle 2c Paarvergleiche durchzuf¨ uhren, da man bei dieser Vorgehensweise stets einen insgesamt zu großen α-Fehler hat. Man ben¨otigt einen Test, der Unterschiede in den c Stichproben gleichzeitig zu einem vorgegebenen α-Niveau aufzeigt. Der Test gibt dabei lediglich an, dass Unterschiede in zumindest 2 der c Stichproben bestehen, ohne darauf einzugehen, welche Stichproben sich unterscheiden. Deckt der c-Stichproben-Test Unterschiede auf, so kann man anschließend mit Zwei-Stichproben-Tests bestimmen, welche Gruppen sich unterscheiden. In diesem Fall muss allerdings das α-Niveau der Tests mit der Anzahl der notwendigen Tests adjustiert werden, d.h. n Paarvergleiche sollten zum Niveau α/n durchgef¨ uhrt werden ( Bonferroni-Korrektur“). Eine ” weitere M¨oglichkeit zur Aufdeckung der unterschiedlichen Gruppen bietet der Nemenyi-Test, der aber in diesem Einf¨ uhrungsbuch nicht beschrieben wird.
8.1 Unabh¨ angige Stichproben ¨ Ausgangspunkt unserer Uberlegung sind c Stichproben mit Stichprobenc umf¨angen ni (i = 1, . . . , c) mit insgesamt N = ni Erhebungseinheiten: i=1
1. Stichprobe: x1 = (x11 , x12 , . . . , x1n1 ) 2. Stichprobe: x2 = (x21 , x22 , . . . , x2n2 ) .. . c. Stichprobe: xc = (xc1 , xc2 , . . . , xcnc )
214
8 c-Stichproben-Problem
Die Zufallsvariablen Xij mit i = 1, . . . , c und j = 1, . . . , ni sind unabh¨ angig und innerhalb der Stichproben identisch nach einer stetigen Verteilungsfunktion Fi verteilt. Die Stichprobengr¨ oßen ni (i = 1, . . . , c) k¨onnen dabei unterschiedlich groß sein.
8.1.1 Kruskal-Wallis-Test Mit dem Kruskal-Wallis-Test kann u ¨berpr¨ uft werden, ob c Stichproben aus einer gemeinsamen Grundgesamtheit bzw. aus Grundgesamtheiten mit gleicher Verteilungsfunktion F angeh¨ oren. Als Nullhypothese wird demnach angenommen, dass die Verteilungen aller c Stichproben identisch sind und insbesondere gleichen Mittelwert bzw. Median besitzen. Die Alternativhypothese behauptet, dass zumindest zwei Verteilungen hinsichtlich der Lage unterschiedlich sind. Hypothesen Kruskal-Wallis-Test H0 : F1 (z) = F2 (z) = . . . = Fc (z) H1 : Fi (z − θi ) = Fj (z − θj ) mit θi = θj f¨ ur mindestens ein Paar i, j (mindestens zwei Verteilungen unterschieden sich in der Lage) Der Kruskal-Wallis-Test ist eine Verallgemeinerung des bekannten WilcoxonRangsummentests f¨ ur zwei Stichproben (vgl. Abschnitt 6.3.1). Die Zufallsvariablen Xij m¨ ussen zumindest ordinales Niveau haben, unabh¨ angig und innerhalb der Stichproben identisch verteilt sein. Zun¨ achst werden alle c Stichproben in einer gepoolten Stichprobe zusammengefasst. Danach werden alle N Erhebungseinheiten der Gr¨ oße nach geordnet und die zugeh¨ origen R¨ange 1, . . . , N vergeben. Wir bezeichnen mit rij ri =
den Rang von xij in der gepoolten Stichprobe ni
rij
die Rangsumme der i-ten Stichprobe
j=1
r¯i = ri /ni
den Rangdurchschnitt der i-ten Stichprobe
Mit der Teststatistik von Kruskal und Wallis werden die Rangdurchschnitte r¯i der c Stichproben mit dem Rangdurchschnitt der gepoolten Stichprobe r¯ = (N + 1)/2 verglichen. Dazu wird folgende gewichtete Summe der quadrierten Abweichungen berechnet:
8.1 Unabh¨ angige Stichproben
1 12 12 ni (¯ ri − r¯)2 = N (N + 1) i=1 N (N + 1) i=1 ni c
H=
c
215
2 ni (N + 1) ri − 2
Je einheitlicher die Rangdurchschnitte r¯i sind, desto kleiner wird die Statistik H. Unter der Nullhypothese sind die Rangdurchschnitte r¯i ann¨ ahernd gleich, man kann hier also kleine Werte f¨ ur H erwarten. Die Teststatistik kann weiter vereinfacht werden: Teststatistik von Kruskal und Wallis ) * c ri2 12 H= − 3(N + 1) N (N + 1) i=1 ni F¨ ur große Stichprobenumf¨ ange ni kann die Statistik unter H0 durch die χ2 Verteilung mit c − 1 Freiheitsgraden approximiert werden. Dies ist bereits zul¨assig, wenn der kleinste Stichprobenumfang gr¨ oßer als 5 ist. Bei c = 3 Stichproben sollte allerdings mindestens ein ni -Wert gr¨oßer als 8 sein. F¨ ur kleinere Stichprobenumf¨ ange muss der exakte Test durchgef¨ uhrt werden. Dazu muss die berechnete H-Statistik mit den Quantilen aus Tabelle 11.14 verglichen werden. Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn H ≥ h1−α ist. Testentscheidung (kritische Werte in Tabelle 11.14) Die Nullhypothese H0 wird abgelehnt, wenn H ≥ h1−α (f¨ ur große Stichproben wenn H ≥ χ21−α;c−1 ) Treten Bindungen zwischen zwei oder mehreren Stichproben auf, so muss die H-Statistik korrigiert werden. Bindungen innerhalb von Gruppen k¨ onnen ignoriert werden, da dies auf die Rangsummen ri keinen Einfluss hat. Der Korrekturfaktor f¨ ur die H-Statistik wird wie folgt berechnet: Korrekturfaktor f¨ ur die H-Statistik bei Bindungen B lb3 − lb
C =1−
b=1
N3 − N
und
H∗ =
H C
B bezeichnet die Gesamtzahl der Rangbindungsgruppen und lb die L¨ange der b-ten Bindungsgruppe.
216
8 c-Stichproben-Problem
Beispiel 8.1. Fernsehverhalten Es soll untersucht werden, ob der TV-Konsum von Studierenden verschiedener Fakult¨ aten unterschiedlich ist. Dazu wurde von N = 21 Studierenden an c = 3 Fakult¨ aten die durchschnittliche Fernsehdauer in Stunden pro Tag erhoben: SOWI: TNF: REWI:
2.4 3.1 1.5
3.8 3.4 3.8
1.3 2.6 4.3
2.5 3.8 2.1
1.1 4.1 4.6
2.2 1.7 4.4
3.9 2.5
2.0
n1 = 7 n2 = 6 n3 = 8
3.5 3.0 2.5 2.0 1.0
1.5
TV−Konsum in Stunden pro Tag
4.0
4.5
Zur besseren Veranschaulichung sind die Daten in Abbildung 8.1 als Boxplot dargestellt. Hier erkennt man bereits, dass die Mediane der zweiten und der dritten Gruppe ann¨ ahernd gleich groß sind. Der Median der ersten Gruppe ist um etwa 0.7 Stunden kleiner als die beiden anderen Mediane.
SOWI
TNF
REWI
Fakultäten
Abb. 8.1. Boxplot der Daten
Die N Beobachtungen werden aufsteigend vom kleinsten Wert mit Rang 1 bis zum gr¨oßten Wert mit Rang N geordnet, bei Bindungen wird der Durchschnittsrang vergeben. In Tabelle 8.1 sind die Beobachtungen mit den zugeh¨ origen R¨angen und den Rangsummen angegeben. Rangbindungen sind mit ∗ gekennzeichnet.
8.1 Unabh¨ angige Stichproben SOWI j 1 2 3 4 5 6 7 8
x1j 2.4 3.8 1.3 2.5 1.1 2.2 3.9 -
TNF
r1j 8 15∗ 2 9.5∗ 1 7 17 r1 = 59.5
x2j 3.1 3.4 2.6 3.8 4.1 1.7 -
r2j 12 13 11 15∗ 18 4 r2 = 73.0
x3j 1.5 3.8 4.3 2.1 4.6 4.4 2.5 2.0
217
REWI r3j 3 15∗ 19 6 21 20 9.5∗ 5 r3 = 98.5
Tabelle 8.1. Rangsummenberechnung
F¨ ur die Berechnung der H-Statistik erh¨ alt man: 12 · H= 21(21 + 1)
59.52 73.02 98.52 + + 7 6 8
− 3 · (21 + 1) = 1.7064
Da Bindungen in den Daten vorkommen, muss die Rangstatistik noch korrigiert werden: (23 − 2) + (33 − 3) C =1− = 0.9967 213 − 21 1.7064 H∗ = = 1.712 0.9967 Da s¨ amtliche Stichprobenumf¨ ange ni gr¨ oßer als 5 sind, kann eine χ2 -Verteilung approximiert werden. F¨ ur den α-Fehler wird 0.05 festgelegt. Die korrigierte H-Statistik ist kleiner als das zugeh¨orige χ2 -Quantil: H ∗ < χ20.95;2 = 5.99. Somit kann die Nullhypothese nicht verworfen werden. Es konnte demnach nicht nachgewiesen werden, dass die durchschnittliche Fernsehdauer pro Tag in den einzelnen Fakult¨atsgruppen unterschiedlich ist.
Beispiel 8.2. Fernsehverhalten in SAS In SAS wird die Prozedur NPAR1WAY zur Durchf¨ uhrung des Kruskal-WallisTests verwendet. Im CLASS-Statement wird die Variable f¨ ur die Gruppenklassifizierung festgelegt, im VAR-Statement wird die Responsevariable angegeben. Mit dem EXACT-Statement wird der Test exakt berechnet, allerdings ist dies bereits bei kleinen Stichprobenumf¨ angen sehr zeitaufw¨andig. F¨ ur eine schnellere Berechnung mittels Monte-Carlo-Simulationen kann die MC-Option verwendet werden.
218
8 c-Stichproben-Problem
DATA tv; INPUT Gruppe Stunden; DATALINES; 1 2.4 1 3.8 .. ... 3 2.0 ; RUN; PROC NPAR1WAY WILCOXON DATA = tv; CLASS Gruppe; EXACT / MC N = 100000 SEED = 1; VAR stunden; RUN; Ausgegeben werden die korrigierte H-Statistik H ∗ , die Freiheitsgrade und der approximierte p-Wert. F¨ ur den exakten Test wird der Monte-Carlo-Sch¨ atzer und das Konfidenzintervall des p-Wertes angegeben. Kruskal-Wallis-Test Chi-Quadrat 1.7120 DF 2 Pr > Chi-Quadrat 0.4249 Monte-Carlo-Sch¨ atzer f¨ ur den exakten Test Pr >= Chi-Quadrat Sch¨ atzer 0.4396 99% Untere Konf.grenze 0.4356 99% Obere Konf.grenze 0.4437 Da der p-Wert gr¨ oßer als α ist, muss die Nullhypothese beibehalten werden, es konnten keine signifikanten Gruppenunterschiede festgestellt werden.
Beispiel 8.3. Fernsehverhalten in R In R steht im Basispaket stats die Funktion krukal.test() zur Verf¨ ugung. Die c Stichproben werden als eine Liste von Vektoren u ¨ bergeben. x1 = c(2.4, 3.8, 1.3, x2 = c(3.1, 3.4, 2.6, x3 = c(1.5, 3.8, 4.3, kruskal.test(list(x1,
2.5, 1.1, 2.2, 3.9) 3.8, 4.1, 1.7) 2.1, 4.6, 4.4, 2.5, 2.0) x2, x3))
Die Funktion gibt eine Liste zur¨ uck, die den Wert der korrigierten HStatistik H ∗ (1.712), die Freiheitsgrade (df = 2) und den approximierten pWert (0.4249) enth¨ alt. Da der p-Wert gr¨ oßer als α ist, muss die Nullhypothese beibehalten werden, es konnten keine signifikanten Gruppenunterschiede festgestellt werden.
8.1 Unabh¨ angige Stichproben
219
8.1.2 Mediantest Der Mediantest f¨ ur Zwei-Stichproben-Probleme aus Abschnitt 6.3.4 kann auf c Stichproben erweitert werden. Mit diesem Test wird die Gleichheit der c Stichprobenmediane u ¨berpr¨ uft. Die Zufallsvariablen Xij m¨ ussen wieder zumindest ordinales Niveau haben, unabh¨ angig und innerhalb der Stichproben identisch verteilt sein. Als Nullhypothese wird angenommen, dass die Mediane Mi , i = 1, . . . , c gleich sind. Die Alternativhypothese besagt, dass zumindest zwei Mediane unterschiedlich sind, ohne jedoch anzugeben, welche und wie viele Stichproben sich in welche Richtung unterscheiden. Hypothesen Mediantest H0 : M 1 = M 2 = . . . = M c H1 : nicht alle Mi , i = 1, . . . , c sind gleich Zun¨ achst werden alle c Stichproben in einer gepoolten Stichprobe zusammengefasst und es wird der gemeinsame Median M bestimmt. Danach werden die Werte der c Stichproben mit dem gemeinsamen Median M verglichen. In einer (2×c)-Kontingenztabelle wird festgehalten, wie viele Beobachtungen der i-ten Stichprobe gr¨ oßer oder kleiner gleich dem gemeinsamen Median sind. Gilt die Nullhypothese, so w¨ urden in etwa die H¨ alfte der Werte jeder Stichprobe u ¨ber bzw. unter dem gemeinsamen Median liegen. Danach wird die Teststatistik berechnet: Teststatistik f¨ ur den Mediantest χ2 =
c 2 (hoij − heij )2 heij i=1 j=1
Dabei ist hoij bzw. heij die Anzahl der beobachteten bzw. erwarteten H¨ aufigkeiten. Die unter der Nullhypothese erwarteten H¨ aufigkeiten werden wie beim klassischen χ2 -Test aus den Randh¨aufigkeiten berechnet. Die Teststatistik ist χ2 -verteilt mit c − 1 Freiheitsgraden. Testentscheidung Mediantest Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn χ2 ≥ χ21−α;c−1 . Der Einsatz des Mediantests ist besonders dann sinnvoll, wenn in den Daten viele Ausreißer enthalten sind, oder nicht alle Werte exakt beobachtbar sind, also nur gerundete Daten vorliegen. Im Vergleich zum Kruskal-Wallis-Test ist der Mediantest weniger effizient, da nicht alle Ranginformationen der Daten
220
8 c-Stichproben-Problem
enthalten sind, sondern lediglich die Information ob die Datenpunkte u ¨ber dem gemeinsamen Median liegen oder nicht. Beispiel 8.4. Fernsehverhalten F¨ ur die Daten aus Beispiel 8.1 soll der Mediantest durchgef¨ uhrt werden. Der gemeinsame Median der gepoolten Stichprobe betr¨ agt M = 2.6. Neben der Kontingenztabelle 8.2 sind in Tabelle 8.3 die erwarteten H¨ aufigkeiten angegeben. ≤M >M
SOWI 5 2 n1 = 7
TNF 2 4 n2 = 6
REWI 4 4 n3 = 8
11 10 N = 21
Tabelle 8.2. Kontingenztabelle
≤M >M
SOWI 3.667 3.333 n1 = 7
TNF 3.143 2.857 n2 = 6
REWI 4.190 3.810 n3 = 8
11 10 N = 21
Tabelle 8.3. Erwartete H¨ aufigkeiten unter Nullhypothese
F¨ ur die Berechnung der χ2 -Statistik ergibt sich:
χ2 =
(5 − 3.667)2 (2 − 3.143)2 (4 − 4.190)2 + + + 3.667 3.143 4.190 +
(2 − 3.333)2 (4 − 2.857)2 (4 − 3.810)2 + + = 1.909 3.333 2.857 3.810
Da der berechnete p-Wert bei einem α-Fehler von 5% kleiner als das entsprechende χ2 -Quantil χ20.95;2 = 5.99 ist, kann die Nullhypothese nicht verworfen werden. Zur Kontrolle wird mit R der χ2 -Wert u ¨ berpr¨ uft: kontingenztab = matrix(c(5, 2, 4, 2, 4, 4), ncol = 2) chisq.test(kontingenztab) Pearson’s Chi-squared test X-squared = 1.9091, df = 2, p-value = 0.385
8.1 Unabh¨ angige Stichproben
221
8.1.3 Jonckheere-Terpstra-Test Mit dem Kruskal-Wallis- und Mediantest kann man lediglich auf Lageunterschiede der c Stichproben, also zweiseitige Lagealternativen, testen. Man erh¨alt keinerlei Informationen dar¨ uber, welche und wie viele Stichproben sich dabei in welche Richtung voneinander unterscheiden. Der Jonckheere¨ Terpstra-Test erlaubt eine Uberpr¨ ufung eines Trends der einzelnen Stichproben, also einseitige geordnete Alternativen. Als Alternativhypothese H1 wird formuliert, dass die Lagemaße (Mittelwert, Median) ansteigen. Hypothesen Jonckheere-Terpstra-Test H0 : F1 (x) = F2 (x) = . . . = Fc (x) H1 : F1 (x) ≥ . . . ≥ Fc (x) mit mindestens einer echten Ungleichung (gleichbedeutend mit θ1 ≤ θ2 ≤ . . . ≤ θc ) Im folgenden wird angenommen, dass Xij stetig verteilt ist, d.h. dass keine Bindungen auftreten. Zur Berechnung der Teststatistik werden die MannWhitney-U-Statistiken (vgl. Abschnitt 6.3.2) u ¨ber alle paarweisen Vergleiche aufsummiert: Jonckheere-Terpstra-Statistik J=
c
Uij =
i<j
c c−1
Uij
i=1 j=i+1
Dabei ist Uij definiert als Uij =
nj ni
ψ(Xjt − Xis )
s=1 t=1
mit ψ(Xjt − Xis ) =
0 1
f¨ ur Xjt < Xis f¨ ur Xjt > Xis
und im Fall von Bindungen mit 0 ψ(Xjt − Xis ) = 0.5 1
f¨ ur Xjt < Xis f¨ ur Xjt = Xis f¨ ur Xjt > Xis
Unter der Nullhypothese ist eine kleine Teststatistik zu erwarten, w¨ ahrend eine große Teststatistik auf einen Trend in der Lage hindeutet.
222
8 c-Stichproben-Problem
Der Erwartungswert und die Varianz der J-Statistik sind: " # c 1 N2 − E(J) = n2i 4 i=1 " # c 1 2 2 N (2N + 3) − ni (2ni + 3) V (J) = 72 i=1 Somit kann man folgende Approximation vornehmen (ab N ≥ 12): J − E(J) Z= ∼ N (0, 1) V (J) Testentscheidung Jonckheere-Terpstra-Test (Tab. 11.15 u. 11.16) Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn J ≥ J1−α (f¨ ur große Stichproben, wenn Z ≥ u1−α ) Beispiel 8.5. Schlafdauer nach Kaffeekonsum In einer Studie soll der Einfluss von koffeinhaltigem Kaffee auf die Schlafdauer in Minuten untersucht werden. Insgesamt werden N = 15 Personen beobachtet. Die n1 = 4 Personen der ersten Gruppe trinken vier Tassen, die n2 = 6 Personen der zweiten Gruppe lediglich zwei Tassen und die n3 = 5 Personen der dritten Gruppe gar keinen Kaffee. Als Alternativhypothese wird angenommen, dass die Schlafdauer mit sinkendem Kaffeekonsum steigt. Gruppe 1: Gruppe 2: Gruppe 3:
447 438 513
396 521 543
383 468 506
410 391 489
504 407
472
n1 = 4 n2 = 6 n3 = 5
Zun¨ achst werden f¨ ur alle drei paarweisen Vergleiche die Mann-WhitneyStatistiken Uij berechnet. U12 = 4 + 5 + 6 + 5 = 20 U13 = 4 + 5 + 5 + 4 = 18 U23 = 4 + 1 + 4 + 5 + 3 + 4 = 21 F¨ ur die Jonckheere-Terpstra-Teststatistik J erh¨alt man: J = 20 + 18 + 21 = 59 Da 59 ≥ 54 gilt, ist die Nullhypothese abzulehnen. Der Erwartungswert und die Varianz der J-Statistik sind gegeben durch: 152 − (42 + 62 + 52 ) = 37 4 1 2 V (J) = 15 · 33 − (42 · 11 + 62 · 15 + 52 · 13) = 88.6667 72 E(J) =
8.1 Unabh¨ angige Stichproben
223
Somit erh¨ alt man f¨ ur die standardnormalverteilte Gr¨ oße Z: 59 − 37 ≈ 2.34 Z= √ 88.6667 Da Z ≥ u0.95 = 1.645 ist, wird die Nullhypothese verworfen: Die Schlafdauer steigt signifikant mit sinkendem Kaffeekonsum. Beispiel 8.6. Schlafdauer nach Kaffeekonsum in SAS SAS stellt mit der Prozedur FREQ den Jonckheere-Terpstra-Test zur Verf¨ ugung. Mit der JT-Option im TABLES-Statement wird der Test asymptotisch durchgef¨ uhrt. Im EXACT-Statement kann mit der JT-Option der exakte Test durchgef¨ uhrt werden. DATA Kaffee; INPUT Gruppe Minuten; DATALINES; 1 447 1 396 .. ... 3 407 ; RUN; PROC FREQ DATA = Kaffee; EXACT JT; TABLES Gruppe*Minuten / JT; RUN; Die Prozedur gibt die J-Statistik, die Z-Statistik und die p-Werte f¨ ur die einseitige und die zweiseitige Alternative aus. Jonckheere-Terpstra-Test Statistik (JT) 59.0000 Z 2.3364 Asymptotischer Test Einseitige Pr > Z 0.0097 Zweiseitige Pr > |Z| 0.0195 Exakter Test Einseitige Pr >= JT 0.0099 Zweiseitige Pr >= |JT - Mittelwert| 0.0197 Stichprobengr¨ oße = 15 Da der einseitige p-Wert kleiner als α ist, wird die Nullhypothese verworfen, die Schlafdauer steigt von Gruppe 1 nach Gruppe 3 signifikant an.
224
8 c-Stichproben-Problem
Beispiel 8.7. Schlafdauer nach Kaffeekonsum in R In R enth¨ alt das Paket clinfun die Funktion jonckheere.test(). Die Daten m¨ ussen hier als Matrix u ¨ bergeben werden. Zus¨atzlich muss in einem Vektor die Gruppenzugeh¨ origkeit angegeben werden. Kaffee = as.matrix(c(447,396,383,410,438,521,468, + 391,504,472,513,543,506,489,407)) Gruppe = c(rep(1, 4), rep(2, 6), rep(3, 5)) library(clinfun) jonckheere.test(Kaffee, Gruppe, alternative = "increasing") Als Teststatistik JT wird in R die Abweichung zur maximal m¨oglichen Teststatistik ausgegeben, die man u ¨ ber den Zusammenhang JT =
c c−1
ni nj − J
i=1 j=i+1
erh¨alt. In unserem Beispiel ist demnach JT = 4 · 6 + 4 · 5 + 6 · 5 − 59 = 15, der p-Wert betr¨ agt 0.009866, daher ist die Nullhypothese zu verwerfen. Die Schlafdauer steigt signifikant bei sinkendem Kaffeekonsum.
8.2 Abh¨ angige Stichproben Sind die Stichproben verbunden (abh¨ angig), werden also zum Beispiel an einer Person mehrere medizinische Untersuchungen durchgef¨ uhrt, dann sind auch im Fall von c Stichproben spezielle Test f¨ ur verbundene Stichproben zu verwenden. In diesem Kapitel werden verschiedene Verfahren behandelt, die f¨ ur mehr als zwei abh¨angige Stichproben geeignet sind. Allgemein werden die Daten in n Bl¨ocken (Gruppen, Individuen) erfasst und jeder Block umfasst c Behandlungen (Erhebungen, Messungen, vgl. Tabelle 8.4). Block 1 2 3 .. . n
1 x11 x21 x31 .. . xn1
Behandlung 2 3 ... x12 x13 . . . x22 x23 . . . x32 x33 . . . .. .. .. . . . xn2 xn3 . . .
c x1c x2c x3c .. . xnc
Tabelle 8.4. Datensituation bei c verbundenen Stichproben
8.2 Abh¨ angige Stichproben
225
Voraussetzungen 1. Die Stichprobenvariablen Xij sind innerhalb eines Blocks unabh¨ angig (i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , c). 2. Die Stichprobenvariablen Xij haben stetige Verteilungsfunktionen Fij . 3. F¨ ur die Verteilungsfunktionen Fij gilt Fij (z) = F (z − αi − θj ), wobei F eine stetige Verteilungsfunktion mit unbekannten Median, αi ein unbekannter Blockeffekt und θj der zu untersuchende Behandlungseffekt ist. 4. Die Daten besitzen mindestens ordinales Messniveau. Die hier vorgestellten Tests verwenden statt der beobachteten Variablen deren R¨ange innerhalb eines Blockes. Durch diese Vorgehensweise werden die unbekannten Blockeffekte αi eliminiert und die Behandlungseffekte θj (Lageunterschiede) k¨onnen untersucht werden. Die nachfolgenden Tests geben lediglich Aufschluss dar¨ uber, ob Unterschiede zwischen den Behandlungen vorliegen oder nicht. Die Tests k¨ onnen Hinweise darauf geben, dass Unterschiede in zumindest zwei der c Stichproben bestehen, ohne jedoch darauf einzugehen, welche Stichproben sich unterscheiden. Deckt der c-Stichproben-Test Unterschiede auf, so kann man anschließend mit Zwei-Stichproben-Tests f¨ ur verbundene Stichproben bestimmen, welche Stichproben Unterschiede aufweisen. Wie schon bei den Tests f¨ ur unabh¨ angige Stichproben erw¨ ahnt, muss das α-Niveau der Tests mit der Anzahl der durchzuf¨ uhrenden Tests adjustiert werden, d.h. die n Paarvergleiche m¨ ussen zum Niveau α/n durchgef¨ uhrt werden ( Bonferroni-Korrektur“). ” 8.2.1 Friedman-Test Der Friedman-Test ist das nichtparametrische Gegenst¨ uck zum F -Test und eine Erweiterung des Wilcoxon-Tests. Mit diesem Test wird u ¨ berpr¨ uft ob c Behandlungen gleich sind, oder ob unterschiedliche Ergebnisse erzielt werden. Hypothesen Friedman-Test H0 : θ 1 = θ 2 = . . . = θ c H1 : nicht alle θj sind gleich (j = 1, . . . , c) Um Unterschiede zwischen den Behandlungsgruppen aufzudecken, werden zun¨achst die Daten innerhalb eines Blocks durch die R¨ange ersetzt. Bei Bindungen innerhalb eines Blocks werden Durchschnittsr¨ ange vergeben. Anschließend wird pro Behandlung (Spalte) die Rangsumme rj , j = 1, . . . , c gebildet, die Rangsumme pro Block (Zeile) ist immer gleich c(c + 1)/2. Insgesamt erhalten wir eine Ausgangssituation wie in Tabelle 8.5 dargestellt.
226
8 c-Stichproben-Problem Behandlungen 2 3 ...
Individuen
1
1 2 3 .. . n
r11 r21 r31 .. . rn1
r12 r22 r32 .. . rn2
r13 r23 r33 .. . rn3
... ... ... .. . ...
rnc
c(c + 1)/2 c(c + 1)/2 c(c + 1)/2 .. . c(c + 1)/2
r1
r2
r3
···
rc
nc(c + 1)/2
c r1c r2c r3c .. .
Tabelle 8.5. R¨ ange und Rangsummen
Der Friedman-Test basiert auf der Idee, dass unter der Nullhypothese die Rangsummen der einzelnen Behandlungen rj (j = 1, . . . , c) gleich der durchc schnittlichen Rangsumme r¯ = 1c rj = n(c+1) sein sollten. 2 j=1
Die Teststatistik Fc basiert auf der Summe der Abweichungsquadrate zwischen den Rangsummen der einzelnen Behandlungen und der durchschnittlichen Rangsumme und kann angeschrieben werden als 12 2 (rj − r¯) nc(c + 1) j=1 c
Fc = oder a¨quivalent dazu Friedman-Statistik
c 12 r2 − 3n(c + 1) Fc = nc(c + 1) j=1 j
Im Falle von Bindungen innerhalb der Bl¨ ocke muss die Friedman-Statistik mit dem Korrekturfaktor C korrigiert werden: Korrekturfaktor f¨ ur die Friedman-Statistik C=
1
B
nc(c2 − 1)
b=1
Fc∗ =
(lb3 − lb )
1 Fc 1−C
8.2 Abh¨ angige Stichproben
227
Dabei ist B die Anzahl der Bindungsgruppen und lb die L¨ange der b-ten Rangbindungsgruppe. F¨ ur kleine Stichprobenumf¨ ange sind die kritischen Werte f1−α in Tabelle 11.17 angef¨ uhrt. F¨ ur große Stichprobenumf¨ ange ist die Friedman-Statistik unter der Nullhypothese asymptotisch χ2 -verteilt mit c − 1 Freiheitsgraden. Testentscheidung Friedman-Test (Tabelle 11.17) Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn Fc ≥ f1−α (f¨ ur große Stichproben, wenn Fc ≥ χ21−α;c−1 ) Beispiel 8.8. Sportleistungen Friedman-Test Es wird untersucht, ob sich die Leistungen von Studierenden w¨ ahrend der Studienzeit ver¨ andern. Dazu wird jedes Semester bei n = 5 Studierenden ein Test u ¨ ber verschiedene Gebiete des Studiums (Weitsprung, Hochsprung, Sprint, usw.) durchgef¨ uhrt. Die jeweilige Gesamtpunktezahl ist in Tabelle 8.6 angef¨ uhrt.
Person 1 2 3 4 5
1 15.5 14.3 15.3 16.9 14.9
2 15.0 15.9 15.1 16.8 14.5
3 17.2 15.1 15.9 17.1 14.3
Semester 4 5 17.6 16.9 14.9 15.2 16.3 17.1 17.3 17.2 14.8 15.1
6 17.2 15.8 17.1 18.3 15.2
7 17.3 16.1 17.3 18.5 16.0
8 17.8 16.1 17.3 19.5 15.9
Tabelle 8.6. Punktezahl der Studierenden
Zun¨ achst werden die Punkte der einzelnen Personen in eine Rangordnung gebracht. Gleiche Werte innerhalb einer Person werden dabei mit einem Durchschnittsrang ber¨ ucksichtigt, danach werden die Spaltenrangsummen rj gebildet.
Person 1 2 3 4 5 rj
1 2 1 2 2 4 11.0
2 1 6 1 1 2 11.0
Semester - R¨ ange je Person 3 4 5 6 7 4.5 7 3 4.5 6 3 2 4 5 7.5 3 4 5.5 5.5 7.5 3 5 4 6 7 1 3 5 6 8 14.5 21.0 21.5 27.0 36.0
8 8 7.5 7.5 8 7 38.0
228
8 c-Stichproben-Problem
Man erkennt, dass sich die Rangsummen der einzelnen Semester wesentlich unterscheiden. Nun ist mittels der Fc -Statistik zu u ¨berpr¨ ufen, ob diese Unterschiede auf einem α-Niveau von 5% signifikant sind. F¨ ur den Korrekturfaktor und die Friedman-Statistik erh¨ alt man: 1 24 · 4 · (23 − 2) = = 0.0095 5 · 8 · (82 − 1) 2520 2 12 1 ∗ 2 · · 11 + . . . + 38 − 3 · 5 · 9 = Fc = 1 − 0.0095 5 · 8 · (8 + 1) 1 · 25.8167 = 26.0649 = 0.9905 C=
Der Wert der korrigierten Friedman-Statistik muss mit dem zugeh¨ origen χ2 2 Quantil χ0.95; 7 = 14.067 verglichen werden. Die berechnete Fc -Statistik ist deutlich gr¨oßer, daher wird die Nullhypothese abgelehnt. Das bedeutet, es konnte nachgewiesen werden, dass sich die Leistungen der Studierenden w¨ahrend des Studiums ver¨ andern. Dieser Test gibt jedoch noch keine Auskunft dar¨ uber zwischen welchen Semestern die Unterschiede in den Leistungen vorliegen bzw. ob sich diese verbessert oder verschlechtert haben. Das Ergebnis besagt nur, dass sich mindestens zwei Semesterleistungen signifikant voneinander unterscheiden.
Beispiel 8.9. Sportleistungen Friedman-Test in SAS In SAS steht zur Berechnung der Friedman-Statistik die Prozedur FREQ mit dem Statement CMH2 SCORES = RANK zur Verf¨ ugung. DATA Studierende; INPUT id semester Punkte @@; DATALINES; 1 1 15.5 .. .. ... 5 8 15.9 ; RUN; PROC FREQ DATA = Studierende; TABLES id*semester*punkte / CMH2 SCORES = RANK; RUN; In der zweiten Zeile des Outputs der Cochran-Mantel-Haenszel-Statistiken ist der Wert der Fc -Statistik angef¨ uhrt (26.0649), zus¨atzlich werden die Freiheitsgrade (7) und der p-Wert (0.0005) angegeben. Da der p-Wert kleiner ist als α wird die Nullhypothese verworfen.
8.2 Abh¨ angige Stichproben
229
Beispiel 8.10. Sportleistungen Friedman-Test in R In R m¨ ussen die Daten in Matrixform an die Funktion friedman.test() im Basispaket stats u ¨ bergeben werden.
+ + + + +
sportstud = matrix(c(15.5, 15.0, 17.2, 17.6, 16.9, 17.2, 17.3, 17.8, 14.3, 15.9, 15.1, 14.9, 15.2, 15.8, 16.1, 16.1, 15.3, 15.1, 15.9, 16.3, 17.1, 17.1, 17.3, 17.3, 16.9, 16.8, 17.1, 17.3, 17.2, 18.3, 18.5, 19.5, 14.9, 14.5, 14.3, 14.8, 15.1, 15.2, 16.0, 15.9), 5, 8, byrow = TRUE) friedman.test(sportstud)
Die Funktion gibt den Wert der Fc -Statistik (26.0649), die Anzahl der Freiheitsgrade (7) und den zugeh¨ origen p-Wert (0.0004904) an. Weil der p-Wert kleiner ist als α wird die Nullhypothese verworfen: Es gibt signifikante Unterschiede in den Leistungen von zumindest zwei Semestern.
8.2.2 Kendall-Test Ein sehr a¨hnliches Verfahren zum Friedman-Test ist der Kendall-Test. Der enge Zusammenhang ist durch die Definition der W -Statistik ersichtlich. W-Statistik von Kendall und Babington-Smith 2 c 12 n(c + 1) 1 Fc rj − W = 2 2 = n c(c − 1) j=1 2 n(c − 1) bzw. bei Bindungen W∗ =
1 F∗ n(c − 1) c
Diese Statistik wird auch als Kendalls Konkordanzkoeffizient bezeichnet. Ur¨ spr¨ unglich war W als Maß f¨ ur die Ubereinstimmung von Rangzuweisungen durch n Beurteilungen gedacht. Statt c Behandlungen an n Personen und der Frage, ob diese Behandlungen unterschiedliche Effekte haben, wird nun gefragt, ob bei n Personen die Rangzuweisung von c Objekten (z.B. hinsichtlich eines Rankings von c Eissorten) u ¨bereinstimmt. Stimmen die Beurteilungen der n Personen vollkommen u ¨ berein, so w¨ urde man W = 1 erhalten, bei vollst¨andiger Verschiedenheit der Bewertungen w¨ urde sich W = 0 ergeben. Damit kann der Konkordanzkoeffizient aber auch als Erweiterung des Rangkorrelationskoeffizienten f¨ ur n beurteilende Personen interpretiert werden. Tats¨achlich besteht zwischen dem Konkordanzkoeffizient W und dem Rangkorrelationskoeffizienten ρ folgender funktionaler Zusammenhang:
230
8 c-Stichproben-Problem
n(W − 1) ρ¯ = n−1
mit
n n−1 1 ρ¯ = n ρij 2
i=1 j=i+1
ρ¯ ist der Mittelwert aller m¨ oglichen paarweisen Rangkorrelationen nach Spearman.
Beispiel 8.11. Sportleistungen Kendall-Test Fortsetzung von Beispiel 8.8 Die W -Statistik von Kendall und Babington-Smith ist W =
1 · 26.0649 = 0.7447 5 · (8 − 1)
In R kann diese mit der Funktion kendall.w() aus dem Paket concord berechnet werden. Die Dateneingabe erfolgt analog zu Beispiel 8.10. library(concord) kendall.w(sportstud) Das Ergebnis beinhalten den Wert der Teststatistik (W = 0.7447115) und den p-Wert (0.00049), der dem p-Wert aus dem Friedman-Test entspricht.
8.2.3 Q-Test von Cochran Aus der Fc -Statistik von Friedman wurde von Cochran eine vereinfachte Statistik f¨ ur dichotome Merkmale entwickelt. Die Auspr¨ agungen der Variablen Xij k¨ onnen daher mit 1 (z.B. f¨ ur erfolgreiche Behandlung) und 0 (nicht erfolgreich) codiert werden. Der Q-Test von Cochran eignet sich zum Untersuchen von Anteilsver¨ anderungen. Als Nullhypothese wird angenommen, dass sich die Anteile nicht unterscheiden. Hypothesen Q-Test von Cochran H0 : p1 = p2 = . . . = pc H1 : nicht alle pi sind gleich (i = 1, . . . , c) Dabei ist pi der Anteil der Erfolge in der i-ten Behandlung. Beim Betrachten der Hypothesen wird deutlich, dass auch hier weder die Richtung noch die Gr¨ oße der Unterschiede getestet wird. Es wird lediglich u ¨berpr¨ uft, ob u ¨ berhaupt ein Unterschied besteht oder nicht.
8.2 Abh¨ angige Stichproben
231
Wir bezeichnen mit Sj S¯ = Zi
die Spaltensumme der j-ten Behandlung (j = 1, . . . , c) 1 c
c
Sj
den Durchschnitt der Spaltensummen
j=1
die Summe der i-ten Zeile (i = 1, . . . , n)
Mit diesen Bezeichnungen lautet die von Cochran hergeleitete Teststatistik: Q-Statistik von Cochran c(c − 1)
c
¯2 (Sj − S)
j=1
Q= c
n i=1
Zi −
n i=1
Zi2
Q ist asymptotisch χ2 -verteilt mit c− 1 Freiheitsgraden (ab etwa n = 4 Blocks und nc ≥ 24). Der Spezialfall c = 2 f¨ uhrt uns wieder zum McNemar-Test f¨ ur zwei verbundene Stichproben mit dichotomen Merkmalen (vgl. Abschnitt 7.4). Testentscheidung Q-Test von Cochran Die Nullhypothese wird (f¨ ur große Stichproben) abgelehnt, wenn Fc ≥ χ21−α;c−1
Beispiel 8.12. Klausuren Cochran-Test Bei Studierenden wird untersucht, ob sich die Klausuren aus den F¨ achern A bis D im Schwierigkeitsgrad voneinander unterscheiden. Dazu wird bei n = 5 Studierenden erhoben, ob die Klausuren beim ersten Mal bestanden wurden (1) oder nicht (0). In Tabelle 8.7 sind die 0/1-codierten Daten angegeben.
Person 1 2 3 4 5 Sj
Fach A 1 0 0 1 1 3
Klausuren Fach B Fach C 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 3 3
Fach D 1 1 0 1 1 4
Tabelle 8.7. Klausurergebnisse
Durch Einsetzen in die Formel der Q-Statistik erh¨ alt man:
Zi 3 3 1 4 2 13
232
8 c-Stichproben-Problem
4 · 3 · 3(3 − 3.25)2 + (4 − 3.25)2 = 0.692 Q= 4 · 13 − (32 + 32 + 12 + 42 + 22 ) Der zugeh¨orige χ2 -Wert betr¨ agt χ20.95;3 = 7.815. Da Q < χ20.95;3 wird die Nullhypothese nicht abgelehnt, der Schwierigkeitsgrad der Klausuren unterscheidet sich nicht. Beispiel 8.13. Klausuren Cochran-Test in SAS In SAS ist das Vorgehen analog wie beim Friedman-Test (vgl. Beispiel 8.9), der Unterschied liegt in den Daten, die jetzt dichotom sind (0-1-Codierung). Das SAS-Ergebnis beinhaltet die Teststatistik (0.6923) und den p-Wert (0.8750). Da der p-Wert gr¨ oßer ist als α muss die Nullhypothese beibehalten werden. Es konnte kein signifikanter Unterschied gefunden werden. Beispiel 8.14. Klausuren Cochran-Test in R Die Berechnung in R ist ebenfalls mit der Funktion friedman.test() m¨oglich, da der Test von Cochran lediglich eine Vereinfachung des Friedman-Tests f¨ ur dichotome Variablen ist. Das Ergebnis beinhaltet die Teststatistik (0.6923) und den p-Wert (0.875). Da der p-Wert gr¨ oßer ist als α muss die Nullhypothese beibehalten werden. Es konnte kein signifikanter Unterschied gefunden werden.
8.2.4 Durbin-Test Wird nicht jeder Block mit jeder Behandlung erhoben (unvollst¨ andige Bl¨ocke), so kann der Test von Durbin verwendet werden. Es m¨ ussen jedoch bestimmte zus¨ atzliche Voraussetzungen erf¨ ullt sein. Voraussetzungen • • •
In jedem Block muss die gleiche Anzahl k an Behandlungen bewertet werden (k < c). Jede Behandlung wird genau r mal bewertet (r < n). Jede Behandlung wird mit den anderen Behandlungen gleich oft bewertet (m-mal)
Hypothesen H0 : θ 1 = θ 2 = . . . = θ c H1 : nicht alle θj sind gleich (j = 1, . . . , c) Die Statistik von Durbin ist folgendermaßen definiert:
8.2 Abh¨ angige Stichproben
233
D-Statistik von Durbin 2 c 12(c − 1) r(k + 1) rj − D= rc(k 2 − 1) j=1 2 rj entspricht wieder der Rangsumme der j-ten Behandlung, wobei zu beachten ist, dass bei jedem Individuum nur k Beobachtungen existieren. Die Spaltensumme besteht hier nur aus r R¨angen. Die Teststatistik D ist bereits f¨ ur r ≥ 3 approximativ χ2 -verteilt, mit c − 1 Freiheitsgraden. Testentscheidung Durbin-Test Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn D ≥ χ21−α;c−1
Beispiel 8.15. Tanzbewerb - Durbin-Test Im Rahmen eines Tanzwettbewerbes bei dem insgesamt c = 7 T¨ anze vorgef¨ uhrt werden, beurteilen 7 Wertungsrichter die einzelnen T¨ anze und bringen sie in eine Rangordnung. Um den Wertungsrichtern die Entscheidung zu erleichtern, wird jedoch nicht jeder Tanz bewertet, sondern nur insgesamt 3. Die Bewertungen der Richter sind in Tabelle 8.8 angegeben.
Richter 1 2 3 4 5 6 7 rj
1 1 1 2
2 2
3 3
1 1
4
4
Tanz 4
5
2
3
2 2 2 7
1 5
6
7
1 3
3
2 3
1
3
8
5
3 9
Tabelle 8.8. Bewertungen des Tanzwettbewerbes
Setzt man nun in die Statistik von Durbin ein (mit c = 7 und r = k = 3), so erh¨alt man:
234
8 c-Stichproben-Problem
) 2 2 2 3·4 12(7 − 1) 3·4 3·4 2 4 − D= + 2 5 − + 7 − + 3 · 7(32 − 1) 2 2 2 2 2 * 72 3·4 3·4 · 24 = 10.2857 = + 9− + 8− 2 2 168 Das χ2 -Quantil betr¨agt 19.675, daher wird die Nullhypothese beibehalten: Es konnte keine unterschiedliche Bewertung festgestellt werden.
Beispiel 8.16. Tanzbewerb - Durbin-Test in R In R kann der Durbin-Test mit Hilfe des Paketes agricolae durchgef¨ uhrt werden. Die Vorgehensweise zur Dateneingabe kann aus der kommentierten Syntax entnommen werden. # # # #
Anzahl der Richter und Anzahl der Bewertungen Richter = gl(7,3) Welche T¨ anze wurden bewertet Tanz = c(1,2,3,1,4,5,1,6,7,2,4,6,2,5,7,3,5,6,3,4,7) Wie wurden die T¨ anze bewertet Bewertung = c(1,2,3,1,2,3,2,1,3,1,2,3,1,2,3,2,3,1,2,1,3) Durbin Test im Package agricolae library(agricolae) durbin.test(Richter,Tanz,Bewertung,group=TRUE)
Unter anderem kann man im Ergebnis den Wert der Teststatistik (10.28571), die Freiheitsgrade (6) und den p-Wert (0.1131242) ablesen. Da der p-Wert gr¨ oßer ist als α wird die Nullhypothese beibehalten. Es konnte kein signifikanter Unterschied bei den Bewertungen festgestellt werden.
8.2.5 Trendtest von Page Der Trendtest von Page ist das f¨ ur abh¨ angige Stichproben geeignete Gegenst¨ uck zum Jonckheere-Terpstra-Test. Es soll getestet werden, ob ein Trend in den Stichproben vorliegt. Die einseitig geordneten Hypothesen lauten: Hypothesen Trendtest von Page H0 : F1 (x) = F2 (x) = . . . = Fc (x) H1 : F1 (x) ≥ . . . ≥ Fc (x) mit mindestens einer echten Ungleichung (gleichbedeutend mit θ1 ≤ θ2 ≤ . . . ≤ θc )
8.2 Abh¨ angige Stichproben
235
Diese Formulierung der Hypothesen ist besonders dann sinnvoll, wenn man u ¨ ber die Wirkung der unterschiedlichen Behandlungen bereits zuvor eine Aussage treffen kann. In diesem Fall ist der Trendtest von Page effizienter als der Friedman-Test. Die Statistik von Page lautet unter Verwendung der Spaltenrangsumme rj (j = 1, . . . , c): Teststatistik Trendtest von Page L=
c
j · rj
j=1
In der Formulierung der Hypothesen und der Teststatistik wurde von einem steigenden Trend ausgegangen. Soll ein sinkender Trend nachgewiesen werden, wird der Index j durch den Index c + 1 − j ersetzt. Je nachdem ob in der Alternativhypothese ein aufsteigender oder ein absteigender Trend getestet wird, wird somit auch der Index aufsteigend oder absteigend gew¨ ahlt. Man kann nat¨ urlich auch einfach die Stichproben umsortieren, damit in der Alternativhypothese ein aufsteigender Trend formuliert werden kann. Der Erwartungswert und die Varianz der L-Statistik von Page sind: E(L) =
n · c · (c + 1)2 4
n · c2 · (c + 1)2 · (c − 1) 144 F¨ ur große Stichprobenumf¨ ange kann eine Approximation durch die Standardnormalverteilung vorgenommen werden: V (L) =
L − E(L) Z= ∼ N (0, 1) V (L) Testentscheidung Page-Test H0 wird abgelehnt, wenn Z > u1−α ist. F¨ ur kleine Stichprobengr¨ oßen sind die kritischen Werte in Tabellen angegeben, wie z.B. in Hollander und Wolfe (1999) oder Page (1963).
Beispiel 8.17. Di¨ atstudie Es soll die Gewichtsver¨ anderung w¨ ahrend einer Trennkost-Di¨at untersucht werden. Dazu wird jeweils am Montag einer Woche bei 6 Personen das Gewicht in kg gemessen. Die Studie dauert insgesamt 10 Wochen. Tabelle 8.9 enth¨ alt die erhobenen Daten.
236
8 c-Stichproben-Problem Woche j Person
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
72.0
72.0
71.5
69.0
70.0
69.5
68.0
68.0
67.0
68.0
2
83.0
81.0
81.0
82.0
82.5
81.0
79.0
80.5
80.0
81.0
3
95.0
92.0
91.5
89.0
89.0
90.5
89.0
89.0
88.0
88.0
4
71.0
72.0
71.0
70.5
70.0
71.0
71.0
70.0
69.5
69.0
5
79.0
79.0
78.5
77.0
77.5
78.0
77.5
76.0
76.5
76.0
6
80.0
78.5
78.0
77.0
77.5
77.0
76.0
76.0
75.5
75.5
Tabelle 8.9. Gewichtsver¨ anderung bei der Trennkost-Di¨ at
Die interessierende Frage ist, ob diese Di¨at das Gewicht reduzieren konnte, demnach lauten die zu testenden Hypothesen H0 : das Gewicht bleibt gleich = ˆ θ1 = . . . = θ10 H1 : das Gewicht wird reduziert = ˆ θ1 ≥ . . . ≥ θ10 Zun¨achst werden die Daten je Person (Block) in eine Rangordnung gebracht, bei Bindungen werden wie u ¨blich Durchschnittsr¨ ange verwendet. Die Summe der Produkte aus Rangsummen und den (absteigenden) Indizes ergeben die Teststatistik. In Tabelle 8.10 sind die Werte angegeben.
Person 1 2 3 4 5 6 rj c+1−j rj (c + 1 − j)
1 9.5 10 10 7.5 9.5 10 56.5 10 565
2 9.5 5.5 9 10 9.5 9 52.5 9 472.5
3 8 5.5 8 7.5 8 8 45 8 360
4 5 8 4.5 5 4 5.5 32 7 224
Woche j 5 6 7 6 9 5.5 4.5 7 3.5 7.5 5.5 7 7 5.5 36.5 38.5 6 5 219 192.5
7 3 1 4.5 7.5 5.5 3.5 25 4 100
8 3 3 4.5 3.5 1.5 3.5 19 3 57
9 1 2 1.5 2 3 1.5 11 2 22
10 3 5.5 1.5 1 1.5 1.5 14 1 14
Tabelle 8.10. R¨ ange der Trennkost-Di¨ at
F¨ ur die Teststatistik, sowie deren Erwartungswert und Varianz erh¨ alt man:
8.2 Abh¨ angige Stichproben
L=
10
237
rj (c + 1 − j) = 2226
j=1
6 · 10 · 112 = 1815 4 6 · 102 · 112 · 9 = 4537.5 V (L) = 144
E(L) =
Die standardnormalverteilte Gr¨ oße Z ist somit: Z=
2226 − 1815 √ = 6.101 4537.5
(8.1)
Wegen Z > u0.95 = 1.645 wird die Nullhypothese verworfen. Es konnte demnach nachgewiesen werden, dass das Gewicht reduziert wurde (α = 0.05). Beispiel 8.18. Di¨ atstudie in R In R ist der Trendtest im Paket concord implementiert. Bei der Dateneingabe ist darauf zu achten, dass die Stichproben so sortiert sind, dass ein steigender Trend nachzuweisen ist. Die Stichproben aus Beispiel 8.17 m¨ ussen daher umsortiert werden. Gewicht=matrix(c(68.0,67.0,...,80.0),nrow=6,byrow=TRUE) library(concord) page.trend.test(Gewicht) Neben der Teststatistik (L=2226) wird auch der (exakte oder approximierte) p-Wert ausgegeben. In unserem Beispiel ist der exakte p-Wert angegeben mit <=.001, daher wird die Nullhypothese verworfen, die Di¨ at war somit erfolgreich.
8.2.6 Quade-Test Der Quade-Test ist wie der Friedman-Test eine Erweiterung des WilcoxonRangsummen-Tests. Er ist zwar aufw¨andiger als der Friedman-Test, hat im Gegenzug daf¨ ur aber eine h¨ ohere G¨ ute. Hypothesen Quade-Test H0 : θ 1 = θ 2 = . . . = θ c H1 : nicht alle θj sind gleich (j = 1, . . . , c) Zun¨achst muss pro Block die Spannweite der Beobachtungen bestimmt werden. Man bildet also f¨ ur jeden Block i = 1, . . . , n:
238
8 c-Stichproben-Problem
Di = max(xij ) − min(xij ) i
i
Den Spannweiten Di werden nun aufsteigend R¨ange qi zugeordnet, wobei auch hier die Bindungen ber¨ ucksichtigt werden m¨ ussen. Danach muss den einzelnen Messdaten innerhalb der Bl¨ ocke R¨ange rij vergeben werden. Anschließend bildet man f¨ ur alle Daten folgende Statistik: c+1 sij = qi · rij − 2 Mit St =
1 i n(
j
sij )2 und Ss =
i,j
s2ij ergibt sich folgende Teststatistik:
Teststatistik Quade-Test T =
(n − 1) · St Ss − St
Die Teststatistik T ist asymptotisch F -verteilt mit (c − 1) und (n − 1) · (c − 1) Freiheitsgraden. Testentscheidung Quade-Test H0 wird abgelehnt, wenn T > F1−α;c−1;(n−1)·(c−1) gilt.
Beispiel 8.19. Sportleistungen Quade-Test (Fortsetzung Beispiel 8.8) In Tabelle 8.11 sind neben den R¨ angen rij nun auch die Spannweiten Di der einzelnen Messdaten der Studierenden und die Rangreihenfolge qi angegeben.
Semester 4 5
Person
1
2
3
6
7
8
Dj
qj
1 2 3 4 5
2 1 2 2 4
1 6 1 1 2
4.5 3 3 3 1
7 2 4 5 3
3 4 5.5 4 5
4.5 5 5.5 6 6
6 7.5 7.5 7 8
8 7.5 7.5 8 7
2.8 1.8 2.2 2.7 1.7
5 2 3 4 1
rj
11
11
14.5
21
21.5
27
36
38
Tabelle 8.11. Rangreihe der Dj -Werte der Studierenden
8.2 Abh¨ angige Stichproben
239
Tabellen 8.12 und 8.13 enthalten die berechneten sij - bzw. s2ij -Werte.
Person 1 2 3 4 5
1 -12.5 -7 -7.5 -10 -0.5
2 -17.5 3 -10.5 -14 -2.5
3 0 -3 -4.5 -6 -3.5
-37.5
-41.5
-17
Semester 4 5 12.5 -7.5 -5 -1 -1.5 3 2 -2 -1.5 0.5 6.5
-7
6 0 1 3 6 1.5
7 7.5 6 9 10 3.5
8 17.5 6 9 14 2.5
11.5
36
49
Tabelle 8.12. sij -Werte der Studierenden
Semester 4 5
Person
1
2
3
1 2 3 4 5
156.25 49 56.25 100 0.25
306.25 9 110.25 196 6.25
0 9 20.25 36 12.25
156.25 25 2.25 4 2.25
361.75
627.75
77.5
189.75
6
7
8
56.25 1 9 4 0.25
0 1 9 36 2.25
56.25 36 81 100 12.25
306.25 36 81 196 6.25
70.5
48.25
285.5
625.5
Tabelle 8.13. s2ij -Werte der Studierenden
Nun werden die Statistiken St und Ss berechnet:
St =
1 · (−37.52) + (−41.5)2 + (−17)2 + 6.52 + (−7)2 + 5 + 11.52 + 362 + 492 = 1467.6
Ss = 361.75 + 627.75 + 77.5 + 189.75 + 70.5 + 48.25 + +285.5 + 625.5 = 2286.5 F¨ ur die T -Statistik von Quade erh¨ alt man schließlich: T =
(5 − 1) · 1467.6 = 7.169 2286.5 − 1467.6
240
8 c-Stichproben-Problem
Vergleicht man den Wert der Teststatistik mit dem Quantil der F -Verteilung F0.95;7;28 = 2.359, kann die Nullhypothese verworfen werden. In SAS ist der Quade-Test nicht implementiert.
Beispiel 8.20. Sportleistungen Quade-Test in R (Fortsetzung Beispiel 8.19) Die Berechnung in R erfolgt u ¨ ber die Funktion quade.test() im Paket stats und ist v¨ ollig a¨quivalent zum Friedman-Test. > + + + + + >
sportstud = matrix(c(15.5, 15.0, 17.2, 17.6, 16.9, 17.2, 17.3, 17.8, + 14.3, 15.9, 15.1, 14.9, 15.2, 15.8, 16.1, 16.1, 15.3, 15.1, 15.9, 16.3, 17.1, 17.1, 17.3, 17.3, 16.9, 16.8, 17.1, 17.3, 17.2, 18.3, 18.5, 19.5, 14.9, 14.5, 14.3, 14.8, 15.1, 15.2, 16.0, 15.9), 5, 8, byrow = TRUE) quade.test(sportstud)
Ausgegeben werden die Quade-Statistik (F = 7.1686), die Freiheitsgrade (num df = 7, denom df = 28) und der p-Wert (6.119e-05).
¨ Ubungsaufgaben Aufgabe 8.1. Lernmethoden In einer Studie sollen verschiedene Lernmethoden (auditiv, visuell und audiovisuell) beurteilt werden. Dazu wurden 25 ProbandInnen auf 3 Gruppen aufgeteilt. Jede Gruppe sollte mit der jeweiligen Methode (h¨oren, lesen bzw. h¨ oren und lesen) insgesamt 60 Vokabel erlernen. Im Anschluss wurde gepr¨ uft, wie viele Vokabeln von den Personen im Ged¨ achtnis behalten wurden: auditiv: visuell: audiovisuell:
9 32 47
21 28 52
16 36 38
26 17 43
14 46 22
35 24 18
23 13 41
10 33 27
31
n1 = 9 n2 = 8 n3 = 8
a) Berechnen Sie die H-Statistik von Kruskal und Wallis und testen Sie die ¨ Nullhypothese der Gleichheit der Verteilungen (α = 0.05). Uberpr¨ ufen Sie die Ergebnisse mit SAS und R. b) Testen Sie mit Hilfe des Mediantests die Nullhypothese der Gleichheit der Verteilungen (α = 0.05). c) Testen Sie mit der Hilfe der Jonckheere-Terpstra-Statistik, ob ein Trend erkennbar ist (α = 0.05).
¨ Ubungsaufgaben
241
Aufgabe 8.2. Fernsehverhalten Es soll untersucht werden, ob sich der Fernsehkonsum von Studierenden im Laufe des Studiums ver¨ andert. Dazu wurde von 10 Studierenden pro Studienjahr die t¨ agliche durchschnittliche Fernsehdauer in Stunden pro Tag erhoben. Person 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Jahr 2 3 3 3 5 4.5 3 3 2 1 5 4 3.5 3.5 3.5 3 5 6 4 5 1 1
1 5 6 5 3.5 5 4.5 2.5 6 3 2
4 3 5 2 1.5 4 1 3 5 3 1
a) Berechnen Sie die Fc -Statistik von Friedman und testen Sie, ob sich der Fernsehkonsum signifikant ver¨andert hat (α = 0.05). b) Berechnen Sie die Statistik von Kendall und u ¨ berpr¨ ufen Sie den Zusammenhang mit der Friedman-Statistik. ¨ c) Uberpr¨ ufen Sie mittels der Trendstatistik von Page, ob die durchschnittliche Fernsehdauer abgenommen hat (α = 0.05). d) F¨ uhren Sie den Quade-Test durch. Aufgabe 8.3. Eiscreme (aus Conover (1999), Seite 390ff.) Ein Eiscremehersteller m¨ochte wissen, ob bestimmte Eissorten bevorzugt werden. Jede Testperson wird gebeten 3 Eissorten zu verkosten und diese zu reihen, dabei soll 1 f¨ ur die beste Sorte stehen. Die Ergebnisse k¨ onnen folgender Tabelle entnommen werden:
Testperson 1 2 3 4 5 6 7 rj
1 2
2 3 3
3
Eissorte 4 5 1 1 2 2 1 1 2 1 3
3 3 8
9
1 4
3
5
6
7
3 3 2 1 6
Tabelle 8.14. Bewertungen von Eiscreme
2 2 7
242
8 c-Stichproben-Problem
Testen Sie auf einem Niveau von α = 0.05, ob es Unterschiede in den pr¨ aferierten Eissorten gibt.
Aufgabe 8.4. Di¨ atstudie Gegeben sind die Daten aus Beispiel 8.17. Berechnen Sie Cochran’s Q-Statistik f¨ ur dichotome Auspr¨ agungen und interpretieren Sie Ihr Ergebnis. F¨ ur die Berechnung werden die Daten zun¨ achst codiert, und zwar bedeutet 1, dass die Person bez¨ uglich der Vorwoche abgenommen hat und 0, dass die Person nicht abgenommen hat. Die umcodierten Daten lauten:
Person 1 2 3 4 5 6 Si
1 0 0 0 0 0 0 0
2 0 1 1 0 0 1 3
3 1 0 1 1 1 1 5
4 1 0 1 1 1 1 5
Woche 5 6 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 3
7 1 1 1 0 1 1 5
8 0 0 0 1 1 0 2
9 1 1 1 1 0 1 5
10 0 0 0 1 1 0 2
Zi 5 4 5 6 5 6 31
9 Unabh¨ angigkeit und Korrelation
In vielen Anwendungsf¨ allen m¨ochte man wissen, ob zwei (oder mehr) Merkmale einen Zusammenhang aufweisen, oder ob sie unabh¨angig voneinander sind. Beispielsweise soll die Frage beantwortet werden, ob bei Kindern die sportli¨ che Aktivit¨ at die Schlafdauer beeinflusst oder Ahnliches. Im einfachsten Fall sollen zwei Merkmale gemeinsam analysiert werden.
9.1 Problemstellung Vor dem statistischen Testen verschafft man sich im Normalfall mit mehrdi¨ mensionalen H¨aufigkeitstabellen einen ersten Uberblick u ¨ber die Datensituation. Zweidimensionale H¨aufigkeitsverteilungen lassen sich am besten mittels ¨ Kontingenztabellen darstellen. Dazu ist es (f¨ ur die Ubersichtlichkeit) notwendig, dass die Merkmale nur wenige Auspr¨ agungen besitzen. Dies kann durch Zusammenfassen von Auspr¨ agungen immer erreicht werden. Beispiel 9.1. Einfluss von Strategietraining In einer Studie u ¨ ber 235 zuf¨ allig ausgew¨ahlte F¨ uhrungskr¨afte wird der Einfluss von Strategietraining auf den Unternehmenserfolg untersucht. Das Ergebnis der Untersuchung kann aus folgender Kontingenztabelle entnommen werden:
kein Training mit Training Summe
kein Erfolg 40 30
Erfolg 75 90
Summe 115 120
70
165
235
244
9 Unabh¨ angigkeit und Korrelation
Bei einer zweidimensionalen H¨ aufigkeitsverteilung mit den Merkmalen X und Y verwendet man folgende Bezeichnungen: Bezeichnungen absolute H¨aufigkeit der Kombination X = i und Y = j hij relative H¨ aufigkeit der Kombination X = i und Y = j pij = hij /n Pij = pij · 100 relative H¨aufigkeit der Kombination X = i und Y = j in Prozent hi+ (pi+ ) h+j (p+j )
Zeilensummen, Randh¨aufigkeiten des Merkmals X Spaltensummen, Randh¨ aufigkeiten des Merkmals Y
Damit weist die Kontingenztabelle zu Beispiel 9.1 folgende allgemeine Form auf: Y =1
Y =2
Summe
X=1 X=2
h11 h21
h12 h22
h1+ h2+
Summe
h+1
h+2
n
Tabelle 9.1. Kontingenztabelle
Eine Randverteilung gibt Auskunft u ¨ ber die Verteilung eines Merkmals, ohne das andere Merkmal zu ber¨ ucksichtigen. Liegt eine zweidimensionale Verteilung in Form einer Kontingenztabelle vor, k¨ onnen die Randverteilungen an den Zeilen- bzw. Spaltensummen abgelesen werden. Mit der zweidimensionalen Verteilung und den beiden Randverteilungen kann noch keine Aussage u ¨ ber den Zusammenhang getroffen werden, aber meist ist dieser Zusammenhang von großem Interesse. Bezogen auf Beispiel 9.1 ist die Kernfrage, ob die Trainingsteilnahme die Erfolgsquote erh¨ oht hat. Man m¨ochte wissen, ob die Erfolgsquoten der TrainingsteilnehmerInnen h¨ oher ist als die Erfolgsquote der Personen, die kein Training absolviert haben. In statistischer Ausdrucksweise interessiert uns im Beispiel 9.1 die bedingte Verteilung des Merkmals Erfolg, gegeben das Merkmal Training. Wir berechnen die bedingte Verteilung des Merkmals Erfolg bei den TrainingsteilnehmerInnen und bei den Personen, die das Training verweigert haben.
9.2 Chi-Quadrat-Test auf Unabh¨ angigkeit
245
Bezeichnung hij /hi+ = pij /pi+
bedingte relative H¨aufigkeit der Auspr¨agung j des Merkmals Y bei gegebener Auspr¨ agung i des Merkmals X
Beispiel 9.2. Einfluss von Strategietraining (Fortsetzung von Beispiel 9.1) Die bedingten Verteilungen des Merkmals Erfolg bei den TeilnehmerInnen und den NichtteilnehmerInnen lassen sich aus folgender Tabelle ablesen:
kein Training mit Training
kein Erfolg
Erfolg
Summe
0.348 0.250
0.652 0.750
1.000 1.000
Die Erfolgsquote in der Teilgesamtheit der TrainingsteilnehmerInnen liegt wegen 90/120 = 0.75 bei 75%, die Erfolgsquote der Personen, die das Training verweigert haben, liegt hingegen bei ca. 65% (75/115 = 0.652). Daraus kann f¨ ur die Stichprobe abgelesen werden, dass das Training die Erfolgsquote erh¨oht hat, dass es also einen Zusammenhang zwischen Training und Erfolg gibt. Man kann u ¨ ber die bedingten Verteilungen Erkenntnisse u ¨ber den Zusammenhang von Merkmalen gewinnen. W¨ unschenswert sind aber Kennzahlen, die einerseits eine Aussage u ¨ ber den Zusammenhang erm¨oglichen und andererseits als Ausgangsbasis f¨ ur einen statistischen Test dienen, der die Frage beantwortet, ob dieser Zusammenhang der Merkmale auch f¨ ur die Grundgesamtheit nachweisbar ist. Je nach Skalenniveau der Merkmale gibt es unterschiedliche Zusammenhangsmaße und daher auch unterschiedliche Tests.
9.2 Chi-Quadrat-Test auf Unabh¨ angigkeit Zur Messung des Zusammenhangs zwischen zwei nominalen Merkmalen kann das Assoziationsmaß Chi-Quadrat (χ2 ) verwendet werden. Ausgangspunkt ist der Vergleich zwischen tats¨ achlich beobachteten H¨ aufigkeiten und jenen H¨aufigkeiten, die man bei Unabh¨ angigkeit der beiden Merkmale erwarten w¨ urde.
246
9 Unabh¨ angigkeit und Korrelation
Bezeichnungen hoij . . . beobachtete (= observed) absolute H¨aufigkeit der Kombination X = i und Y = j mit i = 1, . . . , r und j = 1, . . . , s angigkeit von X und Y erwartete (= expected) heij . . . bei Unabh¨ absolute H¨aufigkeit dieser Kombination Dabei gilt
heij =
hi+ · h+j n
Das Assoziationsmaß Chi-Quadrat χ2 mit χ2 =
s r (hoij − heij )2 heij i=1 j=1
misst den Zusammenhang zwischen zwei nominalen Merkmalen. Wie aus der Formel leicht nachvollziehbar gilt immer χ2 ≥ 0. Der Fall χ2 = 0 kann nur dann auftreten, wenn die beobachteten H¨ aufigkeiten den bei Unabh¨ angigkeit erwarteten H¨aufigkeiten entsprechen. Dies ist gleichbedeutend damit, dass die Merkmale unabh¨ angig sind, also keinen Zusammenhang aufweisen. Das Assoziationsmaß kann effizienter mit der Formel χ2 = n · i
j
hoij 2 − 1 hi+ · h+j
berechnet werden. Dem entsprechend lassen sich die Hypothesen f¨ ur unser Testproblem folgendermaßen ansetzen: Hypothesen Chi-Quadrat-Test auf Unabh¨ angigkeit H 0 : χ2 = 0
(Auspr¨ agungen der Merkmale unabh¨ angig)
H1 : χ 2 > 0
(Auspr¨ agungen der Merkmale abh¨ angig)
Alternativ dazu k¨ onnten die Hypothesen auch folgendermaßen formuliert werden: H0 : pij = pi+ · p+j H1 : pij = pi+ · p+j
f¨ ur mindestens ein Paar (i, j)
9.2 Chi-Quadrat-Test auf Unabh¨ angigkeit
247
Testentscheidung Chi-Quadrat-Test auf Unabh¨ angigkeit (kritische Werte in Tabelle 11.3) H0 wird mit Irrtumswahrscheinlichkeit α verworfen, wenn χ2 > χ2(r−1)(s−1);1−α Die Teststatistik χ2 ist allerdings nur approximativ χ2 -verteilt. Als Faustregel f¨ ur die Zul¨ assigkeit der Approximation m¨ ussen die erwarteten H¨aufigkeiten in den einzelnen Kategorie mindestens 1 betragen und bei h¨ochstens 20% der Kategorien d¨ urfen die erwarteten H¨aufigkeiten unter 5 liegen. χ2 -Test auf Unabh¨ angigkeit - Voraussetzungen • Die erwartete H¨aufigkeit in jeder Kategorie muss mindestens 1 betragen. • Bei h¨ ochstens 20% der Kategorien d¨ urfen die erwarteten H¨aufigkeiten unter 5 liegen. Sind diese Voraussetzungen nicht erf¨ ullt, so kann man sich manchmal damit behelfen, dass man Auspr¨agungen zusammenfasst. Dies f¨ uhrt zu einer entsprechenden Reduktion von r bzw. s.
Beispiel 9.3. Einfluss von Strategietraining (vgl. Beispiel 9.1) In einer Studie wird bei 235 zuf¨ allig ausgew¨ ahlten F¨ uhrungskr¨ aften der Einfluss von Strategietraining auf den Unternehmenserfolg mit folgendem Ergebnis untersucht. kein Erfolg
Erfolg
Summe
kein Training mit Training
40 30
75 90
115 120
Summe
70
165
235
Kann in der Grundgesamtheit ein Zusammenhang zwischen Trainingsteilnahme und Erfolg nachgewiesen werden? Die Formulierung der Hypothesen ist vorgegeben, wir w¨ahlen als Signifikanzniveau α = 0.05. Die bei Unabh¨ angigkeit erwarteten H¨aufigkeiten sind:
248
9 Unabh¨ angigkeit und Korrelation
kein Training mit Training
Daraus ergibt sich: " 2 χ = n· = 235 ·
kein Erfolg
Erfolg
Summe
34.3 35.7
80.7 84.3
115 120
70.0
165.0
235
hoij 2 −1 hi+ · h+j
#
752 302 902 402 + + + −1 115 · 70 115 · 165 120 · 70 120 · 165
= 2.69
Nachdem beide Merkmale je zwei Auspr¨ agungen aufweisen, haben wir einen Freiheitsgrad und damit als Quantil der χ2 -Verteilung χ2(r−1)(s−1);1−α = 3.84 (vgl. Tabelle 11.3). Da der errechnete Wert das Quantil nicht u ¨berschreitet, muss die Nullhypothese beibehalten werden. Es konnte kein Zusammenhang zwischen den Merkmalen Training und Erfolg nachgewiesen werden.
F¨ ur die Durchf¨ uhrung des Tests wurde eine diskrete Verteilung durch die stetige Chi-Quadrat-Verteilung approximiert. Insbesondere f¨ ur kleine Stichproben sollte daher eine Stetigkeitskorrektur vorgenommen werden, die im Fall des Chi-Quadrat-Tests auch unter dem Namen Yates-Korrektur bekannt ist (benannt nach dem Statistiker Frank Yates, der diese Korrektur vorgeschlagen hat). Der korrigierte χ2 -Wert wird nach folgender Formel berechnet: χ2Y ates =
s r (|hoij − heij | − 0.5)2 heij i=1 j=1
Diese Korrektur verkleinert den Wert der Teststatistik und f¨ uhrt somit auto¨ matisch zu einem gr¨ oßeren p-Wert. Dadurch soll eine Ubersch¨ atzung der statistischen Signifikanz vermieden werden. Die Stetigkeitskorrektur sollte verwendet werden, falls in mindestens einer Zelle eine erwartete H¨aufigkeit kleiner als 5 auftritt. Bei dieser Faustregel gehen die Meinungen allerdings auseinan¨ der, weil die Yates-Korrektur zur Uberkorrektur neigt. Bei großen Stichprobenumf¨ angen spielt die Korrektur nahezu keine Rolle.
Beispiel 9.4. Einfluss von Strategietraining in R Die Daten m¨ ussen als Matrix eingegeben werden. Um die Stetigkeitskorrektur auszuschalten muss simulate.p.value=TRUE als Argument angegeben werden.
9.3 Fisher-Test
249
strategietraining=matrix(c(40,30,75,90),ncol=2) chisq.test(strategietraining,simulate.p.value=TRUE) Als Ergebnis wird der Wert der Teststatistik (2.687) und der p-Wert (≈ 0.12) ausgegeben. Da der p-Wert gr¨ oßer ist als α, wird die Nullhypothese beibehalten. Es konnte kein signifikanter Zusammenhang nachgewiesen werden. Da die p-Werte aus Simulationen berechnet werden (mit Voreinstellung B=2000 Wiederholungen), kann es zu abweichenden Ergebnissen kommen, die aber alle deutlich gr¨ oßer als α sind und daher nichts an der Entscheidung a¨ndern. Beispiel 9.5. Einfluss von Strategietraining in SAS Nach der Dateneingabe wird mit der Prozedur PROC FREQ der Chi-QuadratTest durchgef¨ uhrt. DATA strategietraining; INPUT Training Erfolg Anzahl; DATALINES; 0 0 40 0 1 75 1 0 30 1 1 90 ; RUN; PROC FREQ DATA=strategietraining; WEIGHT Anzahl; TABLES Training*Erfolg /CHISQ; RUN; Als Ergebnis wird der Wert der Teststatistik (2.687) und der p-Wert (0.1012) in der Zeile Chi-Quadrat ausgegeben. Da der p-Wert gr¨ oßer ist als α, wird die Nullhypothese beibehalten. Es konnte kein signifikanter Zusammenhang nachgewiesen werden.
9.3 Fisher-Test Auch mit dem Fisher-Test k¨ onnen Zusammenh¨ ange zwischen zwei nominalen Merkmalen getestet werden. Im Gegensatz zum Chi-Quadrat-Test m¨ ussen aber beide Merkmale dichotom sein, d¨ urfen also nur zwei Auspr¨ agungen besitzen. Der Vorteil des Fisher-Tests ist, dass die p-Werte exakt berechnet werden, also keine Approximationen notwendig sind und dieser Test daher auch bei kleinen Stichprobenumf¨ angen anwendbar ist. Beim Fisher-Test werden aus
250
9 Unabh¨ angigkeit und Korrelation
einer gegebenen Vierfeldertafel alle anderen m¨ oglichen Kombinationen von Zellh¨ aufigkeiten mit gleichen Randh¨ aufigkeiten gebildet.
Y =0
Y =1
Summe
X=0 X=1
h11 h21
h12 h22
h1+ h2+
Summe
h+1
h+2
n
Tabelle 9.2. Vierfeldertafel der Stichprobe
Alle anderen m¨ ogliche Tafeln (bei gleichen Randh¨aufigkeiten) ergeben sich f¨ ur 0 ≤ x ≤ min(h1+ , h+1 ) aus Y =0
Y =1
Summe
X=0 X=1
x h+1 − x
h1+ − x h22 − h11 + x
h1+ h2+
Summe
h+1
h+2
n
Tabelle 9.3. Vierfeldertafel der m¨ oglichen Kombinationen
Die Zufallsvariable X folgt einer Hypergeometrischen Verteilung und ist die Teststatistik des Fisher-Tests: h+2 h+1 x h −x 1+ P r(X = x) = n h1+ Daraus kann man die Verteilungsfunktion der Hypergeometrischen Verteilung errechnen, die wir f¨ ur den Hypothesentest ben¨otigen. Da die Verteilung vollst¨andig bekannt und exakt berechenbar ist, wird der Fisher-Test auch als Fishers Exakter Test bezeichnet. Fisher-Test, Zweiseitige Hypothesen H0 : pij = pi+ · p+j H1 : pij = pi+ · p+j
f¨ ur mindestens ein Paar (i, j)
Die Nullhypothese wird verworfen, wenn h11 ≤ hα/2 oder h11 ≥ h1−α/2 , wobei hα/2 bzw. h1−α/2 die entsprechenden Quantile der Hypergeometrischen Verteilung bezeichnen.
9.3 Fisher-Test
251
Beispiel 9.6. Einfluss von Strategietraining In einer Studie mit 235 zuf¨ allig ausgew¨ ahlte F¨ uhrungskr¨aften wird der Einfluss von Strategietraining auf den Unternehmenserfolg untersucht. Das Ergebnis der Untersuchung kann aus folgender Kontingenztabelle entnommen werden: kein Training mit Training Summe
kein Erfolg 40 30 70
Erfolg 75 90 165
Summe 115 120 235
Gibt es einen Zusammenhang zwischen Training und Erfolg (α = 0.05)? Die Zufallsvariable X entspricht einer Hypergeometrischen Verteilung mit den Parametern H(n, h1+ , h+1 ) = H(235, 115, 70). F¨ ur den zweiseitigen Test ergeben sich die Quantile hα/2 = 27 und h1−α/2 = 41. Die Nullhypothese muss damit beibehalten werden (h11 = 40), es gibt keinen signifikanten Zusammenhang zwischen Training und Erfolg. Der Fisher-Test bietet aber auch die M¨ oglichkeit des einseitigen Testens mit den Hypothesen Fisher-Test, Einseitige Hypothesen, Fall A H0 : p11 = p1+ · p+1 H1 : p11 > p1+ · p+1 Fisher-Test, Einseitige Hypothesen, Fall B H0 : p11 = p1+ · p+1 H1 : p11 < p1+ · p+1 Im Beispiel 9.6 w¨ urde man vermuten, dass kein Training zu keinem Erfolg f¨ uhrt. Damit w¨aren in diesem Fall die H¨aufigkeit h11 h¨ oher als unter der Nullhypothese der Unabh¨ angigkeit. In diesem Beispiel w¨ aren wir demnach an Fall A der einseitigen Fragestellung interessiert. Es ist v¨ollig ausreichend die Hypothesen auf eine einzige (relative) H¨ aufigkeit zu beziehen, denn alle anderen H¨aufigkeiten sind durch die unver¨ anderten Randh¨ aufigkeiten eindeutig bestimmt. Die Nullhypothese im Fall A wird verworfen, wenn h11 ≥ h1−α , wobei h1−α das entsprechende Quantil der Hypergeometrischen Verteilung ist.
252
9 Unabh¨ angigkeit und Korrelation
Fisher-Test Testentscheidung (kritische Werte sind Quantile der Hypergeometrischen Verteilung) •
Zweiseitiger Test: H0 ablehnen, falls h11 ≤ hα/2 oder h11 ≥ h1−α/2
•
Einseitiger Test, Fall A: H0 ablehnen, falls h11 ≥ h1−α
•
Einseitiger Test, Fall B: H0 ablehnen, falls h11 ≤ hα
Beispiel 9.7. Einfluss von Strategietraining in SAS Mit den SAS-Anweisungen aus Beispiel 9.5 wird automatisch auch der FisherTest durchgef¨ uhrt. Der zweiseitige p-Wert betr¨ agt 0.1172 und der einseitige p-Wert 0.0672. Damit kann kein (positiver) Trainingseffekt nachgewiesen werden. Beispiel 9.8. Einfluss von Strategietraining in R Die Daten m¨ ussen als Matrix eingegeben werden (analog zu Beispiel 9.4). Der zweiseitige bzw. einseitige Testaufruf lautet dann: fisher.test(strategietraining) fisher.test(strategietraining, alternative = "greater") Der zweiseitige p-Wert betr¨ agt 0.1172 und der einseitige p-Wert 0.06717. Damit kann kein (positiver) Trainingseffekt nachgewiesen werden.
9.4 Rangkorrelation nach Spearman Zur Messung des Zusammenhanges zwischen zwei ordinalen Merkmalen werden den Auspr¨ agungen aus der Urliste zuerst Rangzahlen zugeordnet. Vereinfachend gehen wir vorerst davon aus, dass keine Bindungen vorliegen, dass also die Zuordnung von R¨ angen in eindeutiger Weise m¨oglich ist. Jede Erhebungseinheit weist somit zwei R¨ange ri und si hinsichtlich der beiden zu untersuchenden Merkmale auf. Als Kennzahl zur Berechnung des Zusammenhanges dient der Spearmansche Rangkorrelationskoeffizient.
9.4 Rangkorrelation nach Spearman
253
Spearmansche Rangkorrelationskoeffizient ohne Bindungen Der Spearmansche Rangkorrelationskoeffizient ρs wird berechnet mittels 6 · d2i ρs = 1 − n · (n2 − 1) ri , si . . . R¨ange di . . . Rangzahlendifferenz ri − si der i-ten Erhebungseinheit F¨ ur die deskriptive Interpretation ist einerseits das Vorzeichen wichtig, andererseits der Betrag |ρs |. Aus dem Vorzeichen ist die Richtung des Zusammenhanges ablesbar. Ein gleichsinniger Zusammenhang (eine niedrige Rangziffer hinsichtlich des einen Merkmals geht einher mit einer niedrigen Rangziffer des anderen Merkmals) f¨ uhrt auf einen positiven Rangkorrelationskoeffizienten, ein gegensinniger Zusammenhang (eine niedrige Rangziffer hinsichtlich des einen Merkmals geht einher mit einer hohen Rangziffer des anderen Merkmals) ergibt einen negativen Rangkorrelationskoeffizienten. Sind die Merkmale unabh¨ angig, so erh¨ alt man einen Korrelationskoeffizienten von 0. Aus dem Betrag ist die St¨arke des Zusammenhanges ablesbar, denn umso st¨arker der Zusammenhang, desto n¨aher liegt der Betrag bei 1. Spearmansche Rangkorrelationskoeffizient Es gilt
−1 ≤ ρs ≤ 1
Deskriptive Interpretation: ρs < 0 gegensinniger Zusammenhang ρs = 0 kein Zusammenhang ρs > 0 gleichsinniger Zusammenhang Je st¨arker der Zusammenhang, desto n¨aher liegt |ρs | bei 1.
Beispiel 9.9. Weinverkostung Sechs Weine wurden von zwei Expertinnen nach ihrer Qualit¨ at geordnet. Wein
A
B
C
D
E
F
Expertin 1 Expertin 2
1 1
2 3
4 4
5 6
6 5
3 2
Stimmen die Expertinnen in der Beurteilung weitgehend u ¨berein? Zur Beantwortung dieser Frage berechnen wir den Spearmanschen Rangkorrelationskoeffizienten.
254
9 Unabh¨ angigkeit und Korrelation A
B
C
D
E
F
ri si
1 1
2 3
4 4
5 6
6 5
3 2
di d2i
0 0
-1 1
0 0
-1 1
1 1
1 1
Wein Expertin 1 Expertin 2
Summe
4
6 · d2i 6·4 = ρs = 1 − = 0.886 ρs = 1 − n · (n2 − 1) 6 · 35 Zwischen den beiden Reihungen besteht deskriptiv ein starker gleichsinniger Zusammenhang. Von einer Expertin als qualitativ hochwertig eingesch¨ atzte Weine werden auch von der anderen Expertin als qualitativ hochwertig eingestuft, beide Expertinnen haben eine a¨hnliche Beurteilung der Stichproben. Liegen Bindungen vor, ist also eine Zuordnung von R¨ angen nicht in eindeutiger Weise m¨oglich, so muss zur Berechnung des Spearmanschen Rangkorrelationskoeffizienten eine etwas aufw¨ andigere Formel herangezogen werden. Spearmansche Rangkorrelationskoeffizient mit Bindungen Der Spearmansche Rangkorrelationskoeffizient ρs berechnet sich bei n Rangpaaren nach (ri − r¯)(si − s¯) i ρs = (ri − r¯)2 (si − s¯)2 i
i
ri , si . . . (Durchschnitts-)R¨ ange, i = 1, . . . , n 1 1 n+1 . . . mittlere R¨ ange ri = i= n i=1 n i=1 2 n
r¯ = s¯ =
n
Die Interpretation ist v¨ ollig analog zu dem Fall ohne Bindungen. Weisen mehrere Erhebungseinheiten die gleiche Auspr¨agung auf, so werden Durchschnittsr¨ange vergeben. Alle Erhebungseinheiten mit derselben Auspr¨ agung erhalten somit denselben Rang, die Rangsumme u ¨ ber alle Erhebungseinheiten bleibt gleich.
9.4 Rangkorrelation nach Spearman
255
Beispiel 9.10. Weinverkostung mit Bindungen Sechs Weine wurden von zwei Expertinnen nach ihrer Qualit¨ at geordnet. Expertin 1 hat die Weine D und E gleich gut bewertet, aber beide Weine schlechter als alle anderen. Diese Weine w¨aren demnach auf den R¨ angen 5 und 6, also erhalten beide Weine den Durchschnittsrang 5.5. Wein
A
B
C
D
E
F
Expertin 1 Expertin 2
1 1
2 3
4 4
5.5 6
5.5 5
3 2
Stimmen die Expertinnen in der Beurteilung weitgehend u ¨berein? Zur Beantwortung dieser Frage berechnen wir den Spearmanschen Rangkorrelationskoeffizienten (f¨ ur Merkmale mit Bindungen). Mit r¯ = s¯ = 3.5 erh¨ alt man 16 ρs = √ = 0.928 17 · 17.5 Zwischen den beiden Reihungen besteht deskriptiv ein starker gleichsinniger Zusammenhang. Von einer Expertin als qualitativ hoch eingesch¨ atzte Weine werden auch von der zweiten Expertin tendenziell als qualitativ hochwertig eingestuft. Beide Expertinnen haben eine a¨hnliche Beurteilung der Weinqualit¨ at. Nun soll der Spearmansche Rangkorrelationskoeffizient auf Signifikanz gepr¨ uft werden. Spearmansche Rangkorrelation Test Unabh¨ angigkeit ordinaler Merkmale •
Zweiseitige Hypothesen H0 : ρS = 0 (Unabh¨ angigkeit) H1 : ρS = 0 (Abh¨ angigkeit)
•
Einseitige Hypothesen, Fall A, positive Korrelation H0 : ρS = 0 (Unabh¨ angigkeit) H0 : ρS > 0 (positive Korrelation)
•
Einseitige Hypothesen, Fall B, negative Korrelation H0 : ρS = 0 (Unabh¨ angigkeit) H0 : ρS < 0 (negative Korrelation)
256
9 Unabh¨ angigkeit und Korrelation
Als Teststatistik dient die so genannte Hotelling-Pabst-Statistik n
D=
d2i
i=1
Im Fall von Bindungen wird f¨ ur die Berechnung der Teststatistik die Methode der Durchschnittsr¨ ange angewendet. F¨ ur die Herleitung der Verteilung der Teststatistik gehen wir von der Nullhypothese aus (und dem Fall, dass keine Bindungen vorliegen). Durch Umreihen der Stichprobenwerte (ri = i) a¨ndert sich die Teststatistik nicht, l¨asst sich aber einfacher anschreiben: D=
n i=1
2
(i − Si ) =
n i=1
2
i +
n
Si2 − 2
i=1
n i=1
i
Si2
n n(n + 1)(2n + 1) −2 = i Si2 3 i=1
F¨ ur die Verteilung der Teststatistik ist daher nur die Verteilung von i Si2 ausschlaggebend. Diese k¨onnte man jetzt u ¨ ber elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung herleiten (Anzahl an Permutationen). In der Praxis greift man aber wegen des schnell anwachsenden Rechenaufwandes auf Tabellen mit kritischen Werten der Hotelling-Pabst-Statistik zur¨ uck. Testentscheidung (Tabelle 11.18) •
Zweiseitiger Test: H0 ablehnen, falls D ≤ dα/2 oder D ≥ d1−α/2
•
Einseitiger Test, Fall A: H0 ablehnen, falls D ≤ dα
•
Einseitiger Test, Fall B: H0 ablehnen, falls D ≥ d1−α
Beispiel 9.11. Weinverkostung Test (Fortsetzung von Beispiel 9.9) Die Teststatistik in diesem Beispiel betr¨agt D=
n
d2i = 4
i=1
Beim einseitigen Test auf positive Korrelation (Fall A) der Urteile ist die Teststatistik mit dem Tabellenwert (n = 6) dα = d0.05 ≈ 8 zu vergleichen. Da die Teststatistik kleiner als der kritische Wert ist, kann die Nullhypothese abgelehnt werden. Es konnte eine positive Korrelation der Urteile nachgewiesen werden. Beispiel 9.12. Weinverkostung in SAS Nach der Dateneingabe wird die Prozedur PROC CORR mit der Option SPEARMAN durchgef¨ uhrt.
9.5 Korrelationskoeffizient von Kendall
257
PROC CORR DATA=Wein SPEARMAN; VAR Expertin1 Expertin2; RUN; Es wird der Spearmansche Korrelationskoeffizient (0.88571) und der approximierte zweiseitige p-Wert ausgegeben (0.0188). Beispiel 9.13. Weinverkostung in R Die Daten werden als Vektoren eingegeben. In R kann einseitig und zweiseitig getestet werden: Exp1 = c(1,2,4,5,6,3) Exp2 = c(1,3,4,6,5,2) cor.test(Exp1,Exp2,alternative="t",method="spearman") cor.test(Exp1,Exp2,alternative="g",method="spearman") Neben dem Korrelationskoeffizienten (0.8857143) und den p-Werten (einseitig p=0.01667, zweiseitig p=0.03333) wird in R auch die Hotelling-PabstStatistik ausgegeben (S=4).
9.5 Korrelationskoeffizient von Kendall Eine andere Maßzahl zur Messung des Zusammenhanges zwischen zwei ordinalen Merkmalen ist der Korrelationskoeffizient von Kendall. Ausgangspunkt ¨ unserer Uberlegung ist eine Stichprobe (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn , yn ) vom Umfang n mit (zumindest) ordinalem Skalenniveau. ¨ F¨ ur die allgemeinen Uberlegungen gehen wir vorerst von dem einfacheren Fall aus, dass keine Bindungen vorliegen. Als Einf¨ uhrungsbeispiel dienen die Angaben aus Beispiel 9.9: Sechs Weine wurden von zwei Expertinnen nach ihrer Qualit¨ at geordnet. Wein
A
B
C
D
E
F
Expertin 1 Expertin 2
1 1
2 3
4 4
5 6
6 5
3 2
In obiger Notation lautet unsere Stichprobe (1, 1), (2, 3), (4, 4), (5, 6), (6, 5), (3, 2)
258
9 Unabh¨ angigkeit und Korrelation
W¨ ahlt man zwei beliebige Beobachtungen i, j aus der Stichprobe aus, so kann man feststellen, dass K1) xi < xj ⇒ yi < yj K2) xi > xj ⇒ yi > yj Gr¨ oßer werdende x-Werte gehen mit gr¨oßer werdenden y-Werten einher und kleiner werdende x-Werte weisen auch kleiner werdende y-Werte auf. Stichprobenpaare, welche diese beiden Eigenschaften erf¨ ullen werden als konkordante Paare bezeichnet. Als diskordante Paare bezeichnet man Paare, f¨ ur welche die beiden folgenden Eigenschaften gelten: D1) xi < xj ⇒ yi > yj D2) xi > xj ⇒ yi < yj Gr¨ oßer werdende x-Werte treten nun mit kleiner werdenden y-Werten auf und umgekehrt. Da wir Bindungen ausgeschlossen haben, sind alle n2 Paare entweder konkordant oder diskordant. Treten sehr viele konkordante Paare auf, so ist dies ein Hinweis auf eine positive Korrelation, diskordante Paare deuten hingegen auf eine negative Korrelation hin. Korrelationskoeffizient von Kendall τ=
n k − nd n 2
mit nk . . . Anzahl der konkordanten Paare nd . . . Anzahl der diskordanten Paare Im Fall einer perfekten positiven Korrelation ergibt sich nk = n2 , nd = 0 und somit τ = 1, im Fall einer perfekten negativen Korrelation hingegen nd = n2 , nk = 0 und somit τ = −1. In unserem Beispiel der Weinverkostung gibt es nur zwei diskordante Paare: Das Paar B und F mit (2, 3) und (3, 2) und das Paar D und E mit (5, 6) und (6, 5). Damit kann der Korrelationskoeffizient berechnet werden als: τ=
13 − 2 ≈ 0.733 15
9.5 Korrelationskoeffizient von Kendall
259
Als Teststatistik dient allerdings eine andere Gr¨oße, n¨amlich Kendalls S: S = nk − n d damit l¨ asst sich nun folgendes Testproblem formulieren: Korrelation nach Kendall Test Unabh¨ angigkeit ordinaler Merkmale •
Zweiseitige Hypothesen H0 : τ = 0 (Unabh¨ angigkeit) H1 : τ = 0 (Abh¨ angigkeit)
•
Einseitige Hypothesen, Fall A, positive Korrelation H0 : τ = 0 (Unabh¨ angigkeit) H0 : τ > 0 (positive Korrelation)
•
Einseitige Hypothesen, Fall B, negative Korrelation H0 : τ = 0 (Unabh¨ angigkeit) H0 : τ < 0 (negative Korrelation)
Teststatistik S = nk − nd nk . . . Anzahl der konkordanten Paare nd . . . Anzahl der diskordanten Paare Testentscheidung (Tabelle 11.19) •
Zweiseitiger Test: H0 ablehnen, falls S ≤ sα/2 oder S ≥ s1−α/2
•
Einseitiger Test, Fall A: H0 ablehnen, falls S ≥ s1−α
•
Einseitiger Test, Fall B: H0 ablehnen, falls S ≤ sα
Aus Tabelle 11.19 entnehmen wir f¨ ur unser Einf¨ uhrungsbeispiel P r(S ≥ 11) = 0.028, daher wird die Nullhypothese der Unabh¨ angigkeit abgelehnt. Es kann eine positive Korrelation zwischen den Beurteilungen nachgewiesen werden. Im Fall von Bindungen wird die Teststatistik nach wie vor u ¨ ber S = nk − nd berechnet, allerdings summieren sich die beiden Werte nk und nd nicht mehr auf die Gesamtanzahl der Paare, weil es nun drei Arten von Paaren gibt: konkordante Paare, diskordante Paare und Bindungen. F¨ ur die Testentscheidung kann auch bei Bindungen Tabelle 11.19 verwendet werden, allerdings sind die p-Werte nicht mehr exakt, sondern nur noch approximiert.
260
9 Unabh¨ angigkeit und Korrelation
Der Korrelationskoeffizient wird bei Bindungen korrigiert und kann folgendermaßen berechnet werden: nk − nd τ= (n − 1)n/2 − Tx (n − 1)n/2 − Ty mit
x 1 (bi − 1)bi 2 i=1
1 (ci − 1)ci 2 i=1 ry
r
Tx =
und
Ty =
rx . . . Anzahl der Bindungsgruppen in x bi . . . Anzahl der gebundenen Elemente der i-ten Bindungsgruppe in x ry . . . Anzahl der Bindungsgruppen in y ci . . . Anzahl der gebundenen Elemente der i-ten Bindungsgruppe in y
Beispiel 9.14. Weinverkostung mit Bindungen (vgl. Beispiel 9.10, Seite 255) Sechs Weine wurden von zwei Expertinnen nach ihrer Qualit¨ at geordnet. Expertin 1 hat die Weine D und E gleich gut bewertet, aber beide Weine schlechter als alle anderen. Wein Expertin 1 Expertin 2
A 1 1
B 2 3
C 4 4
D 5.5 6
E 5.5 5
F 3 2
Von den 15 m¨oglichen Paarkonstellationen gibt es ein diskordantes Paar (Weine B und F mit (2, 3) und (3, 2)) und ein gebundenes Paar (Wein D und E mit (5.5, 6) und (5.5, 5)), die restlichen 13 Paare sind alle konkordant. In y liegen keine Bindungen vor (Ty = 0). Bei den x-Werten gibt es eine Bindung (rx = 1) mit 2 Elementen (b1 = 2) und daher kann der Korrelationskoeffizient berechnet werden als (n = 6) 13 − 1 τ= = 0.828 (15 − 1) (15 − 0)
Die Verteilung von S bzw. τ n¨ ahert sich sehr rasch einer (Standard-)Normalverteilung, daher kann bereits ab einem Stichprobenumfang von n ≥ 8 u ¨ ber die approximierte Standardnormalverteilung getestet werden. Es gilt: E(S) = E(τ ) = 0 Liegen keine Bindungen vor, so gilt
9.5 Korrelationskoeffizient von Kendall
V ar(S) =
n(n − 1)(2n + 5) 18
und damit
und
V ar(τ ) =
n(n − 1)(2n + 5) S ∼ N 0, 18 4n + 10 τ ∼ N 0, 9n(n − 1)
261
4n + 10 9n(n − 1)
Auch f¨ ur den Fall mit Bindungen kann u ¨ber die Standardnormalverteilung approximiert werden, allerdings muss die Varianz um die Bindungen korrigiert werden ry rx (n2 − n)(2n + 5) − (b2i − bi )(2bi + 5) − (c2i − ci )(2ci + 5) i=1 i=1 V ar(S) = + 18 ry rx (b2i − bi )(bi − 2) (c2i − ci )(ci − 2) i=1 + + i=1 9n(n − 1)(n − 2) ry rx (b2i − bi ) (c2i − ci ) i=1 + i=1 2n(n − 1) V ar(τ ) =
2 n(n − 1)
2 V ar(S)
Beispiel 9.15. Weinverkostung mit Bindungen in SAS (vgl. dazu auch Beispiel 9.12) Nach der Dateneingabe wird die Prozedur PROC CORR mit der Option KENDALL durchgef¨ uhrt. PROC CORR DATA=Wein KENDALL; VAR Expertin1 Expertin2; RUN; Es wird der Korrelationskoeffizient nach Kendall (0.82808) und der approximierte zweiseitige p-Wert ausgegeben (0.0217). Beispiel 9.16. Weinverkostung mit Bindungen in R (vgl. dazu auch Beispiel 9.13) Die Daten werden wieder als Vektoren eingegeben. In R kann einseitig und zweiseitig getestet werden: Exp1 = c(1,2,4,5.5,5.5,3) # oder Exp1 = c(1,2,4,5,5,3) Exp2 = c(1,3,4,6,5,2) cor.test(Exp1,Exp2,alternative="t",method="kendall") cor.test(Exp1,Exp2,alternative="g",method="kendall")
262
9 Unabh¨ angigkeit und Korrelation
Neben dem Korrelationskoeffizienten nach Kendall (0.828) und den p-Werten (einseitig p=0.01086, zweiseitig p=0.02172) wird in R auch die standardisierte Hotelling-Pabst-Statistik ausgegeben: S 12 12 Z= ≈ 2.295 = = (36−6)(12+5)−(4−2)(4+5)−0 492 V ar(S) + 0 + 0 18 18
9.6 Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson Zur Messung des Zusammenhanges zwischen zwei metrischen Merkmalen ist der Korrelationskoeffizient von Bravais-Pearson geeignet. Dieser wird kurz als Korrelationskoeffizient bezeichnet, falls aus dem Zusammenhang keine Verwechslung mit den Rangkorrelationskoeffizienten m¨ oglich ist. Ausgangspunkt zur Berechnung bildet die Kovarianz, die - wie der Name bereits andeutet - a¨hnlich wie die Varianz aufgebaut ist. Der Unterschied liegt darin, dass zur Berechnung der Varianz nur ein Merkmal herangezogen wird, zur Berechnung der Ko-varianz aber zwei. Man kann sich die Kovarianz quasi als zweidimensionales Streuungsmaß vorstellen.
y pos x1 x
Punkt1 neg x2 x
Punkt2
pos y1 y
pos y2 y
,y x neg y4 y
neg y3 y
Punkt4
pos x4 x
Punkt3
neg x3 x
Abb. 9.1. Geometrische Darstellung der Kovarianz
x
9.6 Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson
263
Die geometrische Bedeutung der Kovarianz ist aus Abbildung 9.1 ersichtlich. Zu den zweidimensionalen Daten wird der Datenschwerpunkt berechnet, dessen Koordinaten die Mittelwerte der beiden Merkmale sind (¯ x, y¯). Nun kann zwischen jedem einzelnen Datenpunkt und dem Schwerpunkt ein Rechteck konstruiert werden. Die Kovarianz ist dann nichts anderes als das arithmetische Mittel der Rechtecksfl¨ achen, wobei je nach Vorzeichen der Abweichungen diese Fl¨achen auch mit negativem Vorzeichen in die Mittelwertsberechnung eingehen k¨ onnen. Die Fl¨ achen der Punkte 1 und 3 w¨ urden in die Berechnung der Kovarianz mit positivem Vorzeichen einfließen, die der Punkte 2 und 4 mit negativem Vorzeichen. Kovarianz Liegen zu den Merkmalen X und Y zweidimensionale, metrische Daten (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn , yn ) vor, dann ist sXY
n 1 = · (xi − x ¯) · (yi − y¯) n i=1
=
n 1 · xi · yi − x ¯ · y¯ n i=1
die Kovarianz zwischen den Merkmalen X und Y . Es gilt
−∞ ≤ sXY ≤ +∞
Aus der Kovarianz k¨ onnen folgende Informationen abgelesen werden: •
Sind die Merkmale X und Y unabh¨ angig, so ist die Kovarianz gleich Null.
•
Ein gegensinniger Zusammenhang zwischen den Merkmalen X und Y f¨ uhrt zu einem negativen Vorzeichen, ein gleichsinniger Zusammenhang f¨ uhrt zu einem positiven Vorzeichen.
Die St¨ arke des Zusammenhanges kann aus der Kovarianz nicht abgelesen werden. Diese l¨asst sich durch die Berechnung des Korrelationskoeffizienten ermitteln.
264
9 Unabh¨ angigkeit und Korrelation
Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient Der Korrelationskoeffizient zur Messung des linearen Zusammenhanges zwischen X und Y ist sXY ρ= sX · sY mit sX . . . Standardabweichung des Merkmals X sY . . . Standardabweichung des Merkmals Y sXY . . . Kovarianz der Merkmale X und Y
Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient Es gilt
−1 ≤ ρ ≤ +1
Deskriptive Interpretation ρ<0 gegensinniger linearer Zusammenhang ρ=0 kein linearer Zusammenhang ρ>0 gleichsinniger linearer Zusammenhang Je st¨arker der lineare Zusammenhang, desto n¨aher liegt |ρ| bei 1. Besonders wichtig ist der Hinweis darauf, dass der Korrelationskoeffizient lediglich den linearen Zusammenhang misst. W¨ urden alle Datenpunkte exakt auf einer Geraden liegen, so w¨ are |ρ| = 1. Je n¨ aher die Daten an einer Geraden liegen, desto n¨aher liegt der Betrag von ρ bei eins. Ein positives Vorzeichen deutet auf eine steigende Gerade, ein negatives Vorzeichen auf eine fallende Gerade (vgl. grafische Darstellungen in Kapitel 9.7). Je schw¨acher der lineare Zusammenhang, desto n¨aher liegt der Korrelationskoeffizient bei 0 und je st¨ arker der lineare Zusammenhang, desto n¨aher liegt er bei -1 oder 1. Beispiel 9.17. Schlafverhalten Eine Kinderpsychologin will u ¨ berpr¨ ufen, ob sich sportliche Aktivit¨ at positiv auf die Schlafdauer von Kindern auswirkt. Es werden neun Kinder gleichen Alters zuf¨allig ausgew¨ ahlt und ihre Schlafphasen (in h) gemessen. Außerdem wird beobachtet, wie viel Sport das Kind betrieben hat (ebenfalls in h). Es ergeben sich folgende Daten: Kind Sport Schlafdauer
1 1.1 7.9
2 0.8 7.6
3 1.3 8.1
4 0.3 7.6
5 1.0 7.9
6 0.9 7.5
7 0.7 7.5
8 1.2 7.7
9 0.2 7.0
9.6 Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson
265
Nach Berechnung der Hilfsgr¨ oßen x ¯ = 0.83, y¯ = 7.64, s2X = 0.129 und s2Y = 0.089 erh¨ alt man sXY =
1 (1.1 · 7.9 + . . . + 0.2 · 7.0) − 0.83 · 7.64 = 0.087 9 ρ=
sXY 0.087 √ = 0.815 = √ sX · sY 0.129 0.089
Man findet deskriptiv einen starken gleichsinnigen linearen Zusammenhang zwischen Sportdauer und Schlafdauer. Das bedeutet je mehr Sport das Kind betreibt, desto h¨oher ist die Schlafdauer (in der Stichprobe).
Das folgende Beispiel soll illustrieren, dass der Korrelationskoeffizient als Maßzahl ausschließlich f¨ ur lineare Zusammenh¨ ange geeignet ist.
Beispiel 9.18. Quadratischer Zusammenhang F¨ ur die Merkmale X und Y wurden folgende Messwerte erhoben: Messung Merkmal X Merkmal Y
1 -4 16
2 -3 9
3 -2 4
4 -1 1
5 0 0
6 1 1
7 2 4
8 3 9
9 4 16
Aus der Datentabelle ist ersichtlich, dass die Merkmale X und Y einen funktionalen Zusammenhang besitzen, denn es gilt Y = X 2 . Die Berechnung des Korrelationskoeffizienten erfolgt u ¨ ber x ¯ = 0, y¯ = 6.67, s2X = 6.667 und s2Y = 34.222 und man erh¨ alt 1 (−4 · 16 + . . . + 4 · 16) − 0.00 · 6.67 = 0 9 sXY 0 √ ρ= =0 = √ sX · sY 6.667 34.222
sXY =
Obwohl also ein exakter quadratischer Zusammenhang zwischen den Merkmalen besteht, kann der Korrelationskoeffizient diesen nicht entdecken, weil dieser eben nur lineare Zusammenh¨ ange messen kann. Zwischen den Merkmalen X und Y gibt es keinen linearen Zusammenhang.
266
9 Unabh¨ angigkeit und Korrelation
Korrelation nach Bravais-Pearson Test Unabh¨ angigkeit metrischer Merkmale Voraussetzungen • • •
metrische oder dichotome Merkmale Beide Merkmale ann¨ahernd normalverteilt Linearer Zusammenhang zwischen den Merkmalen
Hypothesen •
Zweiseitige Hypothesen H0 : ρ = 0 (Unabh¨ angigkeit) angigkeit) H1 : ρ = 0 (Abh¨
•
Einseitige Hypothesen, Fall A, positive (lineare) Korrelation angigkeit) H0 : ρ = 0 (Unabh¨ H1 : ρ > 0 (positive (lineare) Korrelation)
•
Einseitige Hypothesen, Fall B, negative (lineare) Korrelation angigkeit) H0 : ρ = 0 (Unabh¨ H1 : ρ < 0 (negative (lineare) Korrelation)
Teststatistik √ n−2 t = r√ 1 − r2 Testentscheidung (Tabelle 11.2) •
Zweiseitiger Test: H0 ablehnen, falls t ≤ tn−2,α/2 oder S ≥ tn−2,1−α/2
•
Einseitiger Test, Fall A: H0 ablehnen, falls t ≥ tn−2,1−α
•
Einseitiger Test, Fall B: H0 ablehnen, falls t ≤ tn−2,α
Wie aus den Voraussetzungen ersichtlich, ist der Test der Korrelation nach Bravais-Pearson ein parametrischer Test (Voraussetzung der Normalverteilung f¨ ur beide Merkmale). Auch die Voraussetzung eines linearen Zusammenhanges ist zu beachten, weil der Korrelationskoeffizient alle anderen Arten von Zusammenh¨ angen (z.B. quadratische) untersch¨atzt und daher in diesen F¨ allen als Maßzahl ungeeignet ist. Bei Verletzung der Voraussetzungen sollte jedenfalls auf die ordinalen Korrelationskoeffizienten (Spearman, Kendall) zur¨ uckgegriffen werden.
9.7 Grafische Darstellung zweier metrischer Merkmale
267
9.7 Grafische Darstellung zweier metrischer Merkmale Zweidimensionale metrische Merkmale lassen sich sehr gut in Streudiagrammen darstellen, dazu wird jedem Datenpunkt ein Punkt in einem Koordinatensystem zugeordnet. Oft ist schon an den Streudiagrammen erkennbar, ob die Daten einen linearen Zusammenhang aufweisen.
y
y
x
x
Korrelation ρ = 0
y
Korrelation ρ = 0, 5
y
x
Korrelation ρ = 0, 85
x
Korrelation ρ = −0, 95
Abb. 9.2. Streudiagramme verschiedener Korrelationen
Unkorrelierte Daten (ρ = 0) verursachen Streudiagramme, in denen die Datenpunkte relativ unsystematisch angeordnet sind. Je n¨ aher der Betrag von ρ bei 1 liegt, desto besser ist der lineare Zusammenhang zwischen den Merkmalen ausgepr¨agt und die Punktewolke weist ein ellipsenf¨ ormiges Bild auf. Diese
268
9 Unabh¨ angigkeit und Korrelation
Ellipse wird mit steigendem Betrag von ρ immer schm¨aler, bis die Punkte f¨ ur |ρ| = 1 exakt auf einer Geraden liegen. Streudiagramm Ein Streudiagramm ist eine grafische Darstellung eines zweidimensionalen metrischen Merkmals. Dabei wird jeder Erhebungseinheit der zugeh¨orige Datenpunkt in einem Koordinatensystem zugeordnet. Streudiagramme erleichtern das Auffinden von Zusammenh¨ angen.
Daneben l¨asst sich aus einem Streudiagramm auch die Richtung des Zusammenhanges ablesen. Bei einem gleichsinnigen Zusammenhang muss die Punktewolke bzw. die Gerade ansteigend sein, bei einem gegensinnigen Zusammenhang ist die Punktewolke bzw. die Gerade fallend.
9.8 Korrelation und Kausalit¨ at Bei den einzelnen Maßzahlen zur Berechnung des Zusammenhanges ist zu beachten, dass aus der Kennzahl selbst nicht abgelesen werden kann, was Ursache und was Wirkung ist. Es ist nicht einmal sicher, ob es u ¨ berhaupt eine Ursache-Wirkungsbeziehung zwischen den beiden Merkmalen gibt. In der Statistik unterscheidet man zwischen einer statistischen Korrelation und einem kausalen Zusammenhang. Kennzahlen k¨onnen nur messen, ob die Daten eine statistische Korrelation aufweisen, aber niemals, ob es auch tats¨achlich einen kausalen Zusammenhang gibt. Kausale Zusammenh¨ ange sind generell nicht durch eine Berechnung zu finden, hier hilft nur Sachkompetenz und Hausverstand. Weisen Daten eine statistische Korrelation auf, f¨ ur die es keine inhaltliche Rechtfertigung gibt, dann spricht man von einer Scheinkorrelation. Als klassisches Beispiel wird meist die starke positive Korrelation zwischen der Anzahl an St¨ orchen und der Geburtenzahl angef¨ uhrt. Das folgende Beispiel zeigt einen ahnlichen Fall: ¨ Beispiel 9.19. Scheinkorrelation In f¨ unf aufeinander folgenden Jahren entwickelten sich die Anzahl der gemeldeten Aidsf¨ alle und die Anzahl der Mobiltelefon-BenutzerInnen (in Tausend) in der Schweiz gem¨aß nachstehender Tabelle: (Quellen: www.bakom.ch und www.bag.admin.ch)
9.8 Korrelation und Kausalit¨ at Jahr Aidsf¨ alle Mobiltelefon-BenutzerInnen (Tsd.)
1995 736 447
1996 542 663
1997 565 1044
1998 422 1699
269
1999 262 3058
Die Berechnung des Korrelationskoeffizienten f¨ uhrt auf ρ = −0.94, und verweist damit auf eine starke gegensinnige Korrelation zwischen Aidsf¨allen und Anzahl der HandynutzerInnen. Mit dem kausalen Zusammenhang ist es etwas schwieriger, denn Mobiltelefone d¨ urften wohl kaum als neues Mittel gegen Aids verwendbar sein. Die Variable Zeit spielt uns hier einen b¨ osen Streich, denn diese hat sowohl die Zahl der Aidsf¨ alle beeinflusst, als auch die Zahl der Mobiltelefon-BenutzerInnen. Beispiel 9.20. (Schein-)korrelation in SAS Wir verwenden die Daten aus Beispiel 9.19, um die Berechnung des Korrelationskoeffizienten nach Bravais-Pearson in SAS zu zeigen. Die Syntax zur Berechnung und zur Erstellung eines Streudiagrammes lautet: DATA Korrelation; INPUT Aids Handy; DATALINES; 736 447 542 663 565 1044 422 1699 262 3058 ; RUN; PROC CORR DATA = Korrelation; VAR Aids Handy; RUN; PROC GPLOT; PLOT Aids*Handy; RUN; Neben dem Korrelationskoeffizienten (-0.94026) wird auch der zweiseitige p-Wert ausgegeben (0.0174). Die Signifikanz a¨ndert allerdings nichts an der Feststellung, dass diese Korrelation nur eine Scheinkorrelation ist. Beispiel 9.21. (Schein-)korrelation in R In R wird mit folgender Syntax der zweiseitige und einseitige Test auf Korrelation nach Bravais-Pearson durchgef¨ uhrt und das Streudiagramm erstellt. Aids = c(736,542,565,422,262) Handy = c(447,663,1044,1699,3058)
270
9 Unabh¨ angigkeit und Korrelation
cor.test(Aids,Handy,alternative="two.sided",method="pearson") cor.test(Aids,Handy,alternative="less",method="pearson") plot(Handy, Aids) Neben dem Korrelationskoeffizienten (-0.9402642) und den p-Werten (einseitig 0.008684, zweiseitig 0.01737) wird auch der Wert der Teststatistik ausgegeben (t=-4.7837) und ein Konfidenzintervall f¨ ur den Korrelationskoeffizienten. Scheinkorrelationen werden meist durch eine zus¨ atzliche Einflussgr¨ oße verursacht, die in der Berechnung der Korrelation nicht ber¨ ucksichtigt wurde. Im Beispiel 9.19 wurde beispielsweise die Einflussgr¨oße Zeit nicht beachtet, ein Fehler, der u ¨ brigens sehr oft vorkommt. Bleibt ein entscheidendes Merkmal unber¨ ucksichtigt, kann auch der umgekehrte Effekt auftreten, dass statistisch keine Korrelation feststellbar ist, obwohl ein Zusammenhang existiert, wenn ein weiteres Merkmal ber¨ ucksichtigt wird. In diesem Fall spricht man in der Statistik von verdeckten Korrelationen. Korrelation und Kausalit¨ at • •
Scheinkorrelation: statistische Korrelation bei fehlendem direkten Zusammenhang Verdeckte Korrelationen: Zusammenhang bei fehlender statistischer Korrelation
Die Ursache liegt bei weiteren, nicht ber¨ ucksichtigten Merkmalen.
9.9 Tipps und Tricks In diesem Kapitel wurden Maßzahlen zur Messung des Zusammenhangs beschrieben, die bei zwei Merkmalen gleichen Skalenniveaus verwendet werden k¨ onnen. In der Praxis kommen oft unterschiedliche Skalenniveaus, z.B. Geschlecht (nominal) und h¨ ochste abgeschlossene Schulbildung (ordinal) vor. Es gibt zwar spezielle Maßzahlen f¨ ur solche F¨alle, aber es hilft auch folgende ¨ Uberlegung: Aufgrund der hierarchischen Anordnung der Skalenniveaus sind f¨ ur ein bestimmtes Niveau auch alle Verfahren zul¨assig, die im darunter liegenden Niveau zul¨ assig sind. Ein ordinales Merkmal darf also als nominales Merkmal behandelt werden, daher kann man den Zusammenhang zwischen Geschlecht und h¨ ochster abgeschlossener Schulbildung mit dem Assoziationsmaß χ2 messen und testen.
¨ Ubungsaufgaben
271
¨ Ubungsaufgaben Aufgabe 9.1. Interesse an Sport¨ ubertragung In einer Lehrveranstaltung wurden die dort anwesenden Studierenden gefragt, ob sie sich f¨ ur Sport¨ ubertragungen im TV interessieren. Die 240 befragten Personen verteilten sich folgendermaßen auf dem zweidimensionalen Merkmal Geschlecht und Interesse.
m¨ annlich weiblich Summe
Interesse 60 70 130
kein Interesse 30 80 110
Summe 90 150 240
Gibt es einen Zusammenhang zwischen Geschlecht und Interesse an Sportu ¨ bertragungen (α = 0.05)?
Aufgabe 9.2. K¨ orpergr¨ oße und Gewicht Bei einer Stichprobe von 10 Personen wurden K¨ orpergr¨ oße K und Gewicht G gemessen: Person 1 K 175 G 75
2 175 73
3 184 74
4 180 82
5 173 77
6 173 70
7 184 88
8 179 68
9 168 60
10 183 82
Gibt es einen Zusammenhang zwischen K¨orpergr¨ oße und Gewicht (α = 0.05)?
Aufgabe 9.3. Lehrveranstaltung Eine Lehrveranstaltungsleiterin hat beim Betrachten der Ergebnisse ihrer ¨ Ubung festgestellt, dass die beste Klausur von der Studentin mit dem bes¨ ten hinterlassenen Eindruck in der Ubung und die schlechteste Klausur von jener mit dem schlechtesten Eindruck geschrieben wurde. Sie vermutet deshalb einen Zusammenhang zwischen den Rangfolgen bei der Klausur und ihren pers¨onlichen Eindr¨ ucken: Studierende Rang Klausur Rang Eindruck
A 1 1
B 6 2
C 7 7
D 5 3
E 2 4
F 4 5
G 3 6
Gibt es einen Zusammenhang zwischen Eindruck und tats¨achlicher Klausurleistung (α = 0.05)?
272
9 Unabh¨ angigkeit und Korrelation
Aufgabe 9.4. Abfahrtslauf An einem Abfahrtslauf nahmen 8 Personen (A-H) teil. In der nachfolgenden Tabelle sind die Ergebnisse dargestellt.
Name
Startnummer
A B C D E F G H
5 8 7 1 6 2 3 4
Zeit (in min.sec.) 1.58.90 2.01.34 2.00.30 1.59.60 2.00.14 2.00.41 1.59.62 1.57.48
Gibt es einen signifikanten Zusammenhang zwischen Startnummer und Ergebnis (α = 0.05)?
Aufgabe 9.5. Freude an der Schule Bei einer Befragung von insgesamt 3220 Kindern ergab eine Auswertung nach dem zweidimensionalen Merkmal Geschlecht und Freude an der Schule folgende Verteilung. m¨ annlich weiblich Summe
große Freude 1224 1674 2898
geringe Freude 226 96 322
Summe 1450 1770 3220
Kann ein Zusammenhang zwischen den Merkmalen Geschlecht und Freude an der Schule in der Grundgesamtheit nachgewiesen werden?
10 Nichtparametrische Dichtesch¨ atzung und Regression
Gewisse Eigenschaften einer Verteilung wie Symmetrie, Ein- bzw. Mehrgipfeligkeit, Ausreißerneigung und starke Schiefe sind an der Wahrscheinlichkeitsdichte leichter erkennbar als an der Verteilungsfunktion. Deshalb widmet sich dieses Kapitel im ersten Teil der Aufgabe, aus gegebenen Daten die Dichtefunktion f zu sch¨atzen, ohne eine Annahme u ¨ ber eine zugrunde liegende Verteilungsfamilie zu treffen. Im zweiten Teil des Kapitels werden einfache Methoden der nichtparametrischen Regression vorgestellt.
10.1 Nichtparametrische Dichtesch¨ atzung Nichtparametrische Dichtesch¨atzung erfolgt normalerweise nur lokal, d.h. man sucht eine gute Ann¨aherung f¨ ur die Dichtefunktion f an der Stelle x. Das a¨lteste und wohl auch bekannteste Verfahren zur Dichtesch¨atzung ist das Histogramm. Neuere Methoden beruhen auf Kerndichtesch¨ atzern, Splines, Fourierreihen oder auf dem Maximum-Likelihood-Prinzip, wobei sich die Ausf¨ uhrungen in diesem Buch auf die Methode der Kerndichtesch¨atzer beschr¨anken.
10.1.1 Das Histogramm ¨ Eine g¨ angige M¨ oglichkeit, um einen ersten Uberblick u ¨ber eine Datenverteilung zu erhalten, ist das Zeichnen eines Histogramms.
274
10 Nichtparametrische Dichtesch¨ atzung und Regression
Histogramm Beim Histogramm werden auf der horizontalen Achse die Merkmalsauspr¨ agungen aufgetragen. Die Fl¨ achen der Rechtecke u ¨ ber der Achse repr¨ asentieren die relativen H¨aufigkeiten bzw. Wahrscheinlichkeiten. Beispiel 10.1. Histogramm In der Datei alter.txt1 ist das Alter (in Jahren) von 3500 Personen aufge¨ zeichnet. Um einen ersten Uberblick u ¨ ber diese Daten zu bekommen, wird ein Histogramm erstellt. Der zugeh¨orige SAS-Code lautet: PROC IMPORT DATAFILE=’C:\alle Pfadangaben\alter.txt’ OUT=alter; GETNAMES = yes; RUN; PROC UNIVARIATE DATA = alter; VAR jahre; HISTOGRAM jahre / VSCALE = PROPORTION; RUN;
Abb. 10.1. Histogramm der Altersverteilung in SAS 1
Die Datei kann von der Homepage der Autorin heruntergeladen werden: http://www.ifas.jku.at/personal/duller/duller.htm
10.1 Nichtparametrische Dichtesch¨ atzung
275
In R kann das Histogramm mit folgender Anweisung erstellt werden:
0.000
0.005
0.010
Dichte
0.015
0.020
0.025
alter = read.table("C:/Pfad/alter.txt",header=TRUE) hist(alter$jahre, freq = FALSE, main = "Histogramm der Altersdaten in R", ylab = "Dichte", xlab = "Alter in Jahren", col = "grey") axis(1, at = seq(0,100,10))
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Alter in Jahren
Abb. 10.2. Histogramm der Altersverteilung in R
Wird keine Angabe u ¨ ber die Intervallbreite gemacht, w¨ ahlt SAS f¨ ur diese Daten eine Intervallbreite von 4 und R eine Intervallbreite von 5 Jahren. Die Wahl vern¨ unftiger Klassen bzw. Intervalle bleibt aber prinzipiell den AnwenderInnen u ¨ berlassen. Die Intervallbreiten m¨ ussen nicht notwendigerweise gleich groß sein, Histogramme mit unterschiedlichen Intervallbreiten k¨ onnen aber nur in R erzeugt werden.
276
10 Nichtparametrische Dichtesch¨ atzung und Regression
Beispiel 10.2. Histogramm mit verschieden breiten Intervallen Die Altersdaten werden nun in folgende Klassen unterteilt (k = 6): Intervall i 1 2 3 4 5 6
Alter ci−1 < x ≤ ci 0 15 30 40 50 60
<x≤ <x≤ <x≤ <x≤ <x≤ <x≤
15 30 40 50 60 90
rel. H¨ aufigkeit pi
Intervallbreite di
Dichte fi = pi /di
0.101 0.172 0.237 0.189 0.134 0.166
15 15 10 10 10 30
0.007 0.011 0.024 0.019 0.013 0.006
Der Programmcode ist folgendermaßen abzu¨andern:
0.010 0.000
0.005
Dichte
0.015
0.020
hist(alter$jahre,breaks=c(0,15,30,40,50,60,90),freq=FALSE)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Alter in Jahren
Abb. 10.3. Histogramm in R mit unterschiedlichen Intervallbreiten
Tipp: W¨ ahlt man in R die Option plot = FALSE, dann erh¨ alt man Information u ¨ ber die H¨ aufigkeiten in den Klassen.
10.1 Nichtparametrische Dichtesch¨ atzung
277
hist(alter$jahre, breaks = c(0,15,30,40,50,60,90), plot = FALSE) Die Fl¨ achen der Rechtecke u ¨ ber den Intervallen entsprechen den relativen H¨aufigkeiten. Deshalb ist die H¨ohe dieser Rechtecke (Dichte) gleich der relativen H¨ aufigkeit dividiert durch die Intervallbreite (siehe obiges Beispiel). Sei n die Anzahl aller Beobachtungen und ni die Anzahl der Beobachtungen, welche in die Klasse (ci−1 , ci ] fallen. Bezeichne weiters fi die H¨ ohe des Rechtecks u ¨ ber dem Intervall (ci−1 , ci ]. Dann kann diese H¨ohe folgendermaßen berechnet werden: ni ni n fi = = ci − ci−1 n(ci − ci−1 ) Fasst man diese H¨ ohe als Funktion auf, die jedem x auf der horizontalen Achse einen Wert f (x) zuordnet, dann erh¨ alt man einen ersten Sch¨atzer f¨ ur die Dichte: k ni fˆHIST (x) = I(c ,c ] (x) n(c − ci−1 ) i−1 i i i=1 Dabei ist I(ci−1 ,ci ] (x) eine Indikatorfunktion mit 1 wenn x ∈ (ci−1 , ci ] I(ci−1 ,ci ] (x) = 0 sonst Wie man aus der Abbildung 10.4 gut erkennen kann, hat ein Histogramm folgende Eigenschaften: Eigenschaften des Histogramms • •
fˆHIST (x) ≥ 0 f¨ ur alle x Die Fl¨ ache zwischen der horizontalen Achse und der Funktion fˆHIST (x) summiert sich auf 1.
Dies sind genau jene zwei Eigenschaften, die auch von einer Wahrscheinlichkeitsdichte verlangt werden, daher kann das Histogramm als Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert werden. Das Histogramm approximiert die Dichte st¨ uckweise durch eine horizontale Linie. Das bedeutet aber, dass das Histogramm in der Regel lokal verzerrt ist. Ein weiteres Problem ist, dass Wahrscheinlichkeitsdichten meist glatte Kurven sind. Das Histogramm ist aber nur st¨ uckweise stetig. Eine Alternative bieten Kerndichtesch¨ atzer, die wir im folgenden Abschnitt betrachten wollen.
10 Nichtparametrische Dichtesch¨ atzung und Regression
0.010 0.000
0.005
f^(x)
0.015
0.020
278
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
x
Abb. 10.4. Histogrammsch¨ atzer f¨ ur Altersdaten
10.1.2 Kerndichtesch¨ atzer Man kann die Dichte an der Stelle x auch durch den zentralen Differenzenquotienten der Verteilungsfunktion darstellen, falls die Verteilungsfunktion F in x differenzierbar ist. Es ergibt sich der Sch¨atzer von Rosenblatt:
f (x) = lim
h→0
F (x + h) − F (x − h) 2h
Man kann dies auch als Histogramm mit Schrittweite 2h betrachten oder als Kerndichtesch¨ atzung mit einem Rechteckskern, wie sp¨ater noch zu sehen ist. Die approximierte Dichte des Histogramms bei gleichen Intervallbreiten h kann angeschrieben werden als:
10.1 Nichtparametrische Dichtesch¨ atzung
279
1 ni I(ci−1 ,ci ] (x) fˆh,HIST (x) = nh i=1 k
Beim Histogramm wird die Dichte durch Rechtecke approximiert, deren H¨ohe die approximierten Werte angeben und deren Breite der Schrittweite h entsprechen. Danach summiert man alle Fl¨acheninhalte der Rechtecke auf und normiert sie. Nun ersetzen wir die einzelnen Rechtecke (die Summanden) durch eine allgemeine Kernfunktion K(): 1 fˆh,K (x) = K nh i=1 n
x − Xi h
Wobei auch hier gelten muss: ∞ K(x) dx = 1
K(x) ≥ 0
−∞
Die Schrittweite h wird in diesem allgemeineren Fall als Bandbreite bezeichnet und ist frei zu w¨ ahlen (h > 0). Als Funktion K kann man nun eigentlich jede beliebige Funktion einsetzen, welche die Bedingungen der Normiertheit und der Nichtnegativit¨ at erf¨ ullt. In Praxis gibt es jedoch nur einige wenige Funktionen, die sich als Kern K durchgesetzt haben. Dies insbesondere auch deswegen, weil man meist noch andere Anforderungen an diese Kernfunktionen stellt:
Eigenschaften von Kernfunktionen •
K(x) = K(−x)
(Symmetrie um Null)
•
(Maximum bei x = 0)
•
arg max K(x) = 0 K(x) dx = 1
(Normiertheit)
•
K(x) ≥ 0
(Nichtnegativit¨ at)
280
10 Nichtparametrische Dichtesch¨ atzung und Regression
Rechteckskern
1 2
f¨ ur |x| ≤ 1
0
sonst
0.0
0.1
0.2
K(x)
0.3
0.4
0.5
K(x) =
−1.5
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
x
Abb. 10.5. Rechteckskern
Dreieckskern
1 − |x|
f¨ ur |x| < 1
0
sonst
0.0
0.2
0.4
K(x)
0.6
0.8
1.0
K(x) =
−1.0
−0.5
0.0
0.5
x
Abb. 10.6. Dreieckskern
1.0
10.1 Nichtparametrische Dichtesch¨ atzung
Epanechnikov-Kern 3
4 (1
− x2 )
0
f¨ ur |x| < 1 sonst
0.4 0.0
0.2
K(x)
0.6
K(x) =
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
x
Abb. 10.7. Epanechnikov-Kern
Biweight-Kern 15
16 (1
− x2 )2
0
f¨ ur |x| < 1 sonst
0.0
0.2
0.4
K(x)
0.6
0.8
K(x) =
−1.0
−0.5
0.0
0.5
x
Abb. 10.8. Biweight-Kern
1.0
281
282
10 Nichtparametrische Dichtesch¨ atzung und Regression
Normal- oder Gauß-Kern
0.2 0.0
0.1
K(x)
0.3
0.4
1 1 2 K(x) = √ exp − x 2 2π
−3
−2
−1
0
1
2
3
x
Abb. 10.9. Gauß-Kern
Wie man bereits an den Grafiken sieht, haben alle Kerne bis auf den Letzten einen lokalen Tr¨ ager, d.h. sie sind nur auf einem definierten Bereich (in diesen F¨ allen im Intervall ] − 1, 1[) ungleich null. Der Gauß-Kern als Kern der Normalverteilung ist jedoch von −∞ bis ∞ ungleich null.
Beispiel 10.3. Kerndichtesch¨ atzer in R In der Datei precip sind durchschnittliche Regenmengen in Zoll (= inch) aus US-Bundesstaaten aufgezeichnet. Es soll die Dichte der Regenmenge mit verschiedenen Kernfunktionen gesch¨ atzt werden. Die letzte Anweisung exportiert den Datensatz als Textfile, um den Datensatz f¨ ur die Verarbeitung in SAS zur Verf¨ ugung zu haben. plot(density(precip, bw = 1, kernel = "gaussian")) plot(density(precip, bw = 1, kernel = "rectangular")) plot(density(precip, bw = 1, kernel = "triangular")) plot(density(precip, bw = 1, kernel = "epanechnikov")) plot(density(precip, bw = 1, kernel = "biweight")) write.table(precip, file="C:/Pfadangabe/precip.txt") plot(density()) plottet die gesch¨ atzte Dichte des Datensatzes precip mit Bandbreite 1 und der jeweiligen Kernfunktion.
10.1 Nichtparametrische Dichtesch¨ atzung Approximation mit Rechteckskern
0.03 Dichte 0.02
0.02 0.00
0.00
0.01
0.01
20
30
40
50
60
70
10
30
40
50
Regen in Inch (1 Inch = 25.4 mm)
Approximation mit Dreieckskern
Approximation mit Epanechnikovkern
60
70
60
70
0.03
0.04
Dichte
0.03
0.01
0.02
0.00
0.00
0.01
Dichte
20
Regen in Inch (1 Inch = 25.4 mm)
0.04
10
0.02
Dichte
0.03
0.04
0.04
0.05
Approximation mit Gauß−Kern
283
10
20
30
40
50
60
70
Regen in Inch (1 Inch = 25.4 mm)
10
20
30
40
50
Regen in Inch (1 Inch = 25.4 mm)
Dichte
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
Approximation mit Biweightkern
10
20
30
40
50
60
70
Regen in Inch (1 Inch = 25.4 mm)
Abb. 10.10. Approximation der Regenfalldaten mit verschiedenen Kerndichten
284
10 Nichtparametrische Dichtesch¨ atzung und Regression
Beispiel 10.4. Kerndichtesch¨ atzer in SAS (vgl. Beispiel 10.3) Die Dichte der Regenmengen u ¨ ber die verschiedenen Staaten soll nun in SAS gesch¨atzt werden. Wir verwenden den Dreieckskern und den Gauß-Kern. PROC UNIVARIATE DATA = Precip; HISTOGRAM Regenmenge / KERNEL(k = triangular COLOR = red) MIDPOINTS = 0 to 70 by 1 NOFRAME CFILL = LTGRAY VSCALE = PROPORTION; RUN; PROC UNIVARIATE DATA = Precip; HISTOGRAM Regenmenge / KERNEL(k = normal COLOR = red) MIDPOINTS = 0 to 70 by 1 NOFRAME CFILL = LTGRAY VSCALE = PROPORTION; RUN;
Abb. 10.11. Approximation der Regenfalldaten mit Dreieckskern
10.1 Nichtparametrische Dichtesch¨ atzung
285
Abb. 10.12. Approximation der Regenfalldaten mit Gauß-Kern
10.1.3 Eigenschaften von Kerndichtesch¨ atzer Auch an Kerndichtesch¨ atzer stellt man die Forderung der Unverzerrtheit. ¨ Uber die Minimierung der Varianz versucht man zudem, einen konsistenten Sch¨ atzer zu erhalten. Als Maß der Abweichung zwischen tats¨achlicher und gesch¨atzter Dichte verwendet man deren mittlere quadratische Abweichung (mean square error, M SE). Der M SE ist jene Gr¨ oße, die es bei Approximationen zu minimieren gilt (man verwendet die Abweichungsquadrate, da die Abweichungen vorzeichenbehaftet sind und sich daher aufheben k¨ onnten). Mean Square Error, MSE Der M SE ist die mittlere quadrierte Abweichung des Sch¨atzers von der wahren Dichte:
2 M SE(fˆh ) := E fˆh (x) − f (x)
Eine Umformulierung f¨ uhrt auf folgende Beziehung:
286
10 Nichtparametrische Dichtesch¨ atzung und Regression
M SE(fˆh ) = E
2 ˆ = fh (x) − f (x)
2 = V ar fˆh (x) + E fˆh (x) − f (x) =
2 = V ar fˆh (x) + Bias fˆh (x) Damit ist der M SE einerseits ein Maß f¨ ur die Varianz, andererseits aber auch ein Maß f¨ ur die Verzerrung. Im Beispiel des Histogramms erh¨alt man als M SE
2 M SE(fˆh,HIST ) = V ar fˆh,HIST + Bias fˆh,HIST = =
1 2 1 2 fh,HIST (x) − fh,HIST (x) + [fh,HIST (x) − f (x)] nh n
mit 1 fh,HIST (x) = h
x0 +(j+1)h
f (t) dt x0 +jh
F¨ ur h → 0 wird die Verzerrung (= der Bias) klein, aber die Varianz groß. Die Varianz wird andererseits f¨ ur großen Stichprobenumfang n kleiner. Insgesamt kann der M SE beliebig klein gemacht werden, wenn die Bandbreite h klein genug und der Stichprobenumfang groß genug gew¨ ahlt wird (h → 0 und nh → ∞). Damit sch¨atzt das Histogramm die Dichte konsistent im quadratischen Mittel. Um auch globale Aussagen u ¨ber die Approximationseigenschaft des Sch¨atzers zu erhalten, verwendet man statt des M SEs den IM SE (integrated mean square error), der wie folgt definiert ist: Integrated Mean Square Error, IMSE Der IM SE ist die integrierte mittlere quadrierte Abweichung des Sch¨ atzers von der wahren Dichte: ∞ M SE(fˆh (x)) dx
IM SE(fˆh ) := −∞
In vielen Arbeiten wurde diskutiert, welche Kernfunktion nun dieses Integral minimiert und am effizientesten ist. Das Resultat dieser Optimierung ist der Epanechnikov-Kern, aber die anderen oben erw¨ ahnten Kernfunktionen liefern ebenso sehr gute Effizienzresultate. Die konkrete Wahl des Kerns ist damit nicht so entscheidend (es sind viele Kerne fast optimal), wichtig ist allerdings
10.1 Nichtparametrische Dichtesch¨ atzung
287
die Symmetrie und Unimodalit¨ at der Kernfunktion. Da die oben erw¨ ahnten Kerne diese Anforderungen erf¨ ullen, k¨ onnen damit durchwegs gute Resultate bei den Effizienztests erzielt werden. Meistens sollen Dichten stetiger Verteilungen gesch¨ atzt werden, deren Dichten stetig und hinreichend glatt sein sollen. Aus Abbildung 10.10 (Seite 283) ist erkennbar, dass das Histogramm (der Rechteckskern) diese Anforderung nur unzureichend erf¨ ullt.
10.1.4 Wahl der optimalen Bandbreite Nachdem wir grundlegenden Fragen bez¨ uglich Eigenschaften und Wahl des Kerns behandelt haben, wollen wir uns der optimalen Bandbreite hopt zuwenden und hoffen hier durch unterschiedliche Wahl der Intervallbreite bessere Ergebnisse zu erzielen. In diesem Abschnitt wollen wir nur symmetrische, univariate Kerne behandeln, da im vorherigen Abschnitt bereits erw¨ ahnt wurde, dass viele davon fast optimal sind. Daher gilt ∞ xK(x)dx = µ = 0 −∞
und weiters definieren wir ∞
2
σ =
x2 K(x)dx
−∞
Mit Hilfe der Berechnung des Bias und der Varianz und deren Minimierung kann man hopt herleiten: h2 f (x) Bias(fˆh (x)) = 2
∞
u2 K(u) du
−∞
f (x) V ar(fˆh (x)) = nh
⇒ hopt
∞
=
−∞
nσ 2
∞
K(u)2 du
−∞ 2
K(u) du ∞
−∞
f (u) du
15
288
10 Nichtparametrische Dichtesch¨ atzung und Regression
Das Problem bei dieser Formel f¨ ur hopt ist, dass man zur Berechnung eine Dichte ben¨ otigt, die zweimal differenzierbar, d.h. einmal stetig differenzierbar, ist. Diese Forderung w¨ urde viele Dichten ausschließen, die man approximieren m¨ochte. Das Ziel der Kerndichtesch¨ atzung ist es jedoch, beliebige Dichten zu approximieren. In unserem Fall heißt das, dass wir m¨oglicherweise eine Dichte haben, die nicht stetig oder nur st¨ uckweise stetig ist. Es gibt jedoch auch eine M¨ oglichkeit eine obere Schranke f¨ ur die optimale Bandbreite anzugeben.
hopt
∞ 15 K(u)2 du −∞ ≤ 1.473 σ 4 nσ
Die unbekannte Standardabweichung wird durch den Sch¨ atzer s ersetzt und man erh¨ alt eine obere Schranke f¨ ur die Bandbreite, die eine maximal m¨ogliche Gl¨ attung (maximal smoothing principle) anstrebt.
hms
∞ 15 2 K(u) du −∞ = 1.473 s 4 nσ
F¨ ur den Gauß-Kern ergibt sich als Approximation f¨ ur die optimale Bandbreite h die Silvermans Daumenregel: 1
hopt,s = 1.06 s n− 5 Alternativ dazu kann auch 1
hopt,IQR = 0.79 (x0.75 − x0.25 ) n− 5 verwendet werden. Eine andere Methode zur Festlegung der Bandbreite h bietet die so genannte Methode der Kreuzvalidierung, deren Idee anhand der LikelihoodKreuzvalidierung vorgestellt werden soll. Ausgangspunkt sind Stichprobenfunktionen, die f¨ ur jede Beobachtung xi aus der Stichprobe berechnet werden: 1 K (n − 1)h N
fh,i (xi ) =
i=j
xi − xj h
Die daraus resultierende Likelihood-Funktion wird maximiert und liefert so einen Sch¨atzer f¨ ur die optimale Bandbreite:
10.1 Nichtparametrische Dichtesch¨ atzung
289
n n 1 1 xi − xj L(h|x) = K nh i=1 h j=1 ˆ = arg max L(h|x) ˆ h Man erreicht damit f¨ ur großen Stichprobenumfang n die optimale Bandbreite hopt sehr genau, jedoch nur mit großem Aufwand. Beispiel 10.5. Optimale Bandbreite (vgl. Beispiel 10.3) In Abbildung 10.10 wurden unterschiedliche Kerndichtesch¨atzer mit Bandbreite h = 1 dargestellt. Jetzt wollen wir den Gauß-Kern verwenden und uns die Auswirkungen unterschiedlicher Bandbreiten ansehen.
Gauß−Kern, Bandweite = 5
Dichte
0.015 0.010
0.02 0.00
0.000
0.005
0.01
Dichte
0.020
0.025
0.03
0.030
0.04
0.035
Gauss−Kern, Bandweite = 2
10
20
30
40
50
60
70
0
40
60
Regen in Inch (1 Inch = 25.4 mm)
Gauß−Kern, Bandweite = hIQR
Gauss−Kern, Bandweite = hs
0.010
80
Dichte
0.004
0.006
0.008
0.012 0.010 0.008 0.006
0.002
0.004 0.002
0.000
0.000
Dichte
20
Regen in Inch (1 Inch = 25.4 mm)
0.014
0
−50
0
50
Regen in Inch (1 Inch = 25.4 mm)
100
−100
−50
0
50
100
Regen in Inch (1 Inch = 25.4 mm)
Abb. 10.13. Approximation der Regenfalldaten mit Gauß-Kernen
150
290
10 Nichtparametrische Dichtesch¨ atzung und Regression
Als Bandbreiten verwenden wir h = 2 (links oben), h = 5 (rechts oben), 1 hopt,IQR = 0.79 (x0.75 − x0.25 ) n− 5 ≈ 24.76 (links unten) und im letzten Bild 1 hopt,s = 1.06 s n− 5 ≈ 33.98 (rechts unten). Die gleichen Bandbreiten werden nun auch f¨ ur den Epanechnikov-Kern verwendet:
Epanechnikovkern, Bandweite = 5
Dichte
0.015 0.010
0.02 0.00
0.000
0.005
0.01
Dichte
0.020
0.03
0.025
0.030
0.04
Epanechnikovkern, Bandweite = 2
10
20
30
40
50
60
70
0
20
40
60
Regen in Inch (1 Inch = 25.4 mm)
Regen in Inch (1 Inch = 25.4 mm)
Epanechnikovkern, Bandweite = hIQR
Epanechnikovkern, Bandweite = hs
80
0.006 Dichte
0.004
0.006
0.000
0.000
0.002
0.002
0.004
Dichte
0.008
0.010
0.008
0.012
0
−50
0
50
Regen in Inch (1 Inch = 25.4 mm)
100
−100
−50
0
50
100
150
Regen in Inch (1 Inch = 25.4 mm)
Abb. 10.14. Approximation der Regenfalldaten mit Epanechnikov-Kernen
Aus den Darstellungen ist gut erkennbar, wie durch steigende Bandbreite die gesch¨atzte Dichte immer glatter wird. Der Unterschied zwischen den berechneten Bandbreiten hopt,IQR und hopt,s ist nur sehr gering und im Fall der optimalen Bandbreite ist auch der Unterschied zwischen Gauß-Kern und Epanechnikov-Kern nur noch gering.
10.2 Nichtparametrische Regression
291
Ausblick und Literaturhinweise Um die Verzerrung (den Bias) zu reduzieren, kann man auch Kerndichtesch¨atzer h¨oherer Ordnung definieren, indem man vorschreibt, dass zus¨ atzlich uj K(u)du = 0
f¨ ur 1 ≤ j ≤ r − 1
gilt, wobei r die Ordnung der Kernfunktion ist, die man erreichen will. Neben Kerndichtesch¨ atzern kann man auch Splines verwenden, wobei Splines Interpolationsfunktionen sind, die sich st¨ uckweise aus Polynomen niedrigen Grades zusammensetzen und nur einen lokalen Tr¨ ager besitzen. Dabei bedeutet der Begriff lokaler Tr¨ ager, dass die Funktion nur auf einem endlichen Teilintervall definiert ist. In der Literatur werden auch die Fouriertransformationen zum Gl¨ atten von Funktionen verwendet, diese besitzen jedoch keine lokalen Tr¨ ager, was wiederum zu Komplikationen f¨ uhren kann. Da dieses Buch lediglich die Grundidee zum Thema Dichtesch¨atzung vermitteln sollte, sei an dieser Stelle auf weiterf¨ uhrende Literatur verwiesen: Devroye, L. (1987), Devroye, L. und Gy¨ orfi, (1985), Eubank, R.L. (1999), Nadaraya, E.A. (1989), Prakasa, R. und Bhagavatula (1983), Silverman, B.W. (1998), Rosenblatt, M. (1956), Hodges, J.L. und Lehmann (1956), Scott, D.W. und Factor (1981), Terrell, G.R. (1990) und H¨ ardle, W. (1991).
10.2 Nichtparametrische Regression In der Regressionsanalyse soll der Zusammenhang zwischen einer metrischen Zielvariable und einer oder mehreren Einflussvariablen modelliert werden. Die Zielvariable soll auf die Einflussvariablen regressiert“ (= zur¨ uckgef¨ uhrt) wer” den. Zur Einf¨ uhrung in die nichtparametrische Regressionsanalyse wird in diesem Abschnitt nur der Zusammenhang zwischen zwei Variablen X und Y untersucht. Dazu wird eine Stichprobe (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn , yn ) erhoben. Aus diesen Beobachtungen m¨ ochte man den unbekannten Zusammenhang zwischen diesen beiden Variablen sch¨ atzen.
292
10 Nichtparametrische Dichtesch¨ atzung und Regression
Ein allgemeines Regressionsmodell l¨asst sich folgendermaßen darstellen: Allgemeines Regressionsmodell yi = m(xi ) + εi • • •
i = 1, . . . , n
m(·) repr¨ asentiert den unbekannten zu sch¨atzenden funktionalen Zusammenhang zwischen den beiden Variablen X und Y εi stellt die Abweichung der Beobachtung yi von der Regressionsfunktion m(xi ) dar (Fehler) Die Funktion m(xi ) soll so gesch¨atzt werden, dass die Summe der quadrierten Abweichungen ε2i m¨oglichst gering wird
In vielen Anwendungsf¨ allen vermutet man einen linearen Zusammenhang zwischen den Variablen X und Y , daher befassen wir uns zun¨achst mit diesem (einfacheren) Modell. In Abschnitt 10.2.3 wird das Modell der nichtlinearen Regression vorgestellt.
10.2.1 Lineare Regression - Kleinst-Quadrat-Sch¨ atzung F¨ ur unser einfaches Modell mit nur zwei Variablen ist es sinnvoll, sich mit Hilfe ¨ eines Streudiagrammes einen ersten Uberblick u ¨ ber die Daten zu verschaffen. Beispiel 10.6. Streudiagramm f¨ ur K¨ orpergewicht und Blutdruck In der Datei Blutdruckdaten.txt2 sind die Variablen K¨ orpergewicht und Blutdruck von 24 Personen gespeichert. Es wird ein linearer Zusammenhang ¨ zwischen diesen beiden Variablen vermutet. Zur besseren Ubersicht u ¨ ber die Datensituation wird ein Streudiagramm erstellt: SAS-Code: PROC IMPORT DATAFILE=’C:\Pfadangaben\blutdruckdaten.txt’ OUT=Blutdruckdaten; GETNAMES = yes; RUN; PROC GPLOT Data = Blutdruckdaten; PLOT Blutdruck*Gewicht /HAXIS = AXIS1 VAXIS = AXIS2; RUN; 2
Die Datei kann von der Homepage der Autorin heruntergeladen werden: http://www.ifas.jku.at/personal/duller/duller.htm
10.2 Nichtparametrische Regression
293
R-Code: Blutdruckdaten = read.table( + "C:/Pfadangaben/blutdruckdaten.txt",header =TRUE) plot(Blutdruckdaten$Gewicht, Blutdruckdaten$Blutdruck, + main="Streudiagramm f¨ ur K¨ orpergewicht und Blutdruck in R", + xlab="K¨ orpergewicht in kg", + ylab="systolischer Blutdruck in mmHg")
160 140 120 100
systolischer Blutdruck in mmHg
180
Streudiagramm für Körpergewicht und Blutdruck in R
50
60
70
80
90
Körpergewicht in kg
Abb. 10.15. Streudiagramm (in R)
Das Streudiagramm unterst¨ utzt die Vermutung eines linearen Zusammenhangs zwischen K¨orpergewicht und Blutdruck.
294
10 Nichtparametrische Dichtesch¨ atzung und Regression
Im Falle eines linearen Zusammenhanges zwischen den Variablen X und Y vereinfacht sich das Regressionsmodell zu folgender Geradengleichung: Lineares Regressionsmodell yi = γ + βxi + εi • • • • •
i = 1, . . . , n
yi entspricht der i-ten Beobachtung der abh¨angigen Variable (Zielvariable) und soll durch eine Funktion von xi modelliert werden xi stellt die Beobachtung der erkl¨ arenden Variable dar γ ist der konstante Achsenabschnitt der gesuchten Regressionsgerade (y-Achse) β ist die Steigung der Regressionsgerade εi beschreibt die (vertikale) Abweichung von yi von der Regressionsgerade. Die εi sind zuf¨ allig, unabh¨ angig, gen¨ ugen der gleichen Verteilung, haben eine konstante Streuung und Erwartungswert 0.
Wir stehen nun vor der Aufgabe die Steigung β und den Achsenabschnitt γ aus der Stichprobe (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn , yn ) zu sch¨atzen. Die bekannteste M¨oglichkeit ist die Methode der kleinsten Quadrate. Dabei wird die Fehlerquadratsumme Q(γ, β) =
n i=1
ε2i =
n (yi − (γ + βxi ))2 i=1
minimiert. Zur Berechnung des Minimums wird die Fehlerquadratsumme einmal nach γ und einmal nach β partiell differenziert. Die differenzierten Funktionen werden gleich Null gesetzt und nach γ und β aufgel¨ ost. ∂Q = ∂γ ∂Q = ∂β
n
− (γ + βxi ))2 ) ! = (2(yi − (γ + βxi ))(−1)) = 0 ∂γ i=1
n
− (γ + βxi ))2 ) ! = (2(yi − (γ + βxi ))(−xi )) = 0 ∂β i=1
i=1 (∂(yi
i=1 (∂(yi
n
n
Nach einigen Umformungen (vor allem bei der Berechnung der Steigung) erh¨alt man folgendes Resultat:
10.2 Nichtparametrische Regression
295
Kleinst-Quadrat-Sch¨ atzer im linearen Regressionsmodell n
βˆKQ =
i=1
(xi − x ¯)(yi − y¯) n
= (xi − x ¯)2
Cov(x, y) V ar(x)
i=1
¯ γˆKQ = y¯ − βˆKQ x
Beispiel 10.7. Sch¨ atzung der Regressionsgerade in SAS (Fortsetzung von Beispiel 10.6) Unser Ziel ist eine Gerade so durch die Punktwolke zu legen, sodass die Summe der quadrierten vertikalen Abst¨ ande zur Geraden minimal wird. In SAS rechnet z.B. die Prozedur PROC REG die Kleinst-Quadrat-Sch¨atzer f¨ ur die lineare Regression aus. PROC REG DATA = Blutdruckdaten; MODEL Blutdruck = Gewicht; PLOT Blutdruck*Gewicht; RUN;
Abb. 10.16. Lineare Regression in SAS
296
10 Nichtparametrische Dichtesch¨ atzung und Regression
In SAS wird direkt oberhalb der Grafik die gesch¨ atzte Regressionsgerade angegeben. In unserem Fall lautet diese: Y = 47.242 + 1.3044 · X
⇒
Blutdruck = 47.242 + 1.3044 · Gewicht
Beispiel 10.8. Sch¨ atzung der Regressionsgerade in R In R rechnet die Prozedur lm() die Kleinst-Quadrat-Sch¨ atzer f¨ ur die lineare Regression aus. plot(Blutdruckdaten$Gewicht, Blutdruckdaten$Blutdruck) linreg = lm(Blutdruckdaten$Blutdruck ~ Blutdruckdaten$Gewicht) abline(linreg) coefficients(linreg) fitted.values(linreg) residuals(linreg) sum(residuals(linreg)^2) summary(linreg)
160 140 120 100
systolischer Blutdruck in mmHg
180
Regressionsgerade für Körpergewicht und Blutdruck in R
50
60
70
80
Körpergewicht in kg
Abb. 10.17. Lineare Regression in R
90
10.2 Nichtparametrische Regression
297
Die Koeffizienten der Regressionsgerade γˆKQ , βˆKQ erh¨alt man mit summary() oder coefficients(). Y = 47.2419 + 1.3044 · X
⇒
Blutdruck = 47.2419 + 1.3044 · Gewicht
Mit residuals() erh¨alt man die Residuen (Abweichungen zwischen beobachteter und gesch¨ atzter Zielvariable) und mit sum(residuals()^2) die Summe der quadrierten Fehler. Die Anweisung summary erzeugt eine Zusammenfassung u ¨ ber die wichtigsten Kenngr¨ oßen der Regression, mit fitted.values werden die gesch¨atzten Werte der Zielvariable ausgegeben. Mit abline() wird die Regressionsgerade im Streudiagramm eingezeichnet.
Die Kleinst-Quadrat-Sch¨ atzung kann ohne Verteilungsannahme durchgef¨ uhrt werden, die ausgegebenen p-Werte basieren allerdings auf Verteilungsannahmen. Wir wollen daher hier noch eine explizit nichtparametrische Methode zur Sch¨ atzung der Steigung der Regressionsgerade anf¨ uhren, und zwar das Verfahren von Theil.
10.2.2 Lineare Regression - Verfahren von Theil Die Stichprobe (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn , yn ) bildet auch hier den Ausgangspunkt der Betrachtung, allerdings werden die Stichprobenelemente entsprechend den Beobachtungen xi aufsteigend geordnet. Dann wird der Datensatz in eine untere und eine obere H¨alfte der L¨ ange m unterteilt. Ist die Anzahl n der Stichprobenelemente ungerade, dann wird das mittlere Element aus der Stichprobe entfernt. Danach wird das erste Element aus der unteren H¨alfte (x1 , y1 ) mit dem ersten Element aus der oberen H¨ alfte (xm+1 , ym+1 ) verbunden, das zweite Element der unteren H¨alfte (x2 , y2 ) mit dem zweiten Element der oberen H¨alfte (xm+2 , ym+2 ) und so weiter, bis schließlich das letzte Element aus der unteren H¨ alfte (xm , ym ) mit dem letzten Element der oberen H¨alfte (xn , yn ) verbunden wird. In Abbildung 10.18 ist diese Vorgehensweise f¨ ur die Blutdruckdaten grafisch dargestellt. Von diesen m Geraden werden die Steigungen Hi ermittelt: Hi =
yi − yi+m xi − xi+m
i = 1, . . . , m
Als Sch¨atzer f¨ ur die Steigung β der Regressionsgerade wird bei diesem Verfahren der Median der Steigungen herangezogen. Setzt man in die obige Gleichung der Steigung statt yi das Regressionsmodell yi = γ + βxi ein, so erh¨alt man:
10 Nichtparametrische Dichtesch¨ atzung und Regression
160 150 140 130 120 90
100
110
systolischer Blutdruck in mmHg
170
180
298
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
Körpergewicht in kg
Abb. 10.18. Verfahren von Theil
Hi =
yi − yi+m = xi − xi+m
(i = 1, . . . , m)
β(xi − xi+m ) + (εi − εi+m ) = xi − xi+m εi − εi+m =β+ xi − xi+m
=
Der Median von εi − εi+m ist gleich Null. Dies beruht auf der Annahme der Unabh¨ angigkeit und der identischen Verteilung der εi . Daraus folgt, dass unter der Voraussetzung eines linearen Regressionsmodells der Median der Steigungen β sein muss. In Abbildung 10.19 sind die 12 Steigungen der Blutdruckdaten im Ursprung dargestellt. Die dickere strichlierte Gerade repr¨asentiert den Median dieser Steigungen.
299
1.0 0.0
0.5
y
1.5
2.0
10.2 Nichtparametrische Regression
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
Abb. 10.19. Verfahren von Theil - Median der Steigungen
Analog zum Abschnitt 4.6 k¨ onnen nun Konfidenzintervalle f¨ ur β gebildet werden oder Hypothesen u ¨ber die Steigung (H0 : β = β0 ) getestet werden. Beispiel 10.9. Verfahren von Theil in R (vgl. Beispiel 10.6) In einem ersten Schritt muss die Stichprobe aufsteigend nach Gewicht sortiert werden. o = order(Blutdruckdaten$Gewicht) blutdruckSort = cbind(blutdruckdaten$gewicht[o], blutdruckdaten$blutdruck[o]) blutdruckSort blutdruckSort ist nun eine (24 x 2)-Matrix. Nun werden die 12 Steigungen Hi und deren Median berechnet: steigungen = (blutdruckSort[13:24,2]-blutdruckSort[1:12,2]) /(blutdruckSort[13:24,1]-blutdruckSort[1:12,1]) steigungen median(steigungen)
300
10 Nichtparametrische Dichtesch¨ atzung und Regression
Der Sch¨atzer f¨ ur die Steigung β der Regressionsgerade nach dem Verfahren von Theil ist der Median dieser 12 Steigungen: βˆT H = 1.4476. Der KleinstQuadrat-Sch¨ atzer lieferte f¨ ur die Steigung 1.3044. Verfahren von Theil •
Aufsteigendes Sortieren der Daten nach den x-Beobachtungen
•
Sortierte Daten in zwei H¨alften aufteilen (wenn n ungerade, mittleres Element entfernen)
•
Verbinden der Punkte aus der unteren H¨ alfte mit den entsprechenden Punkten aus der oberen H¨ alfte
•
Berechnung der Steigungen dieser Verbindungsstrecken: yi − yi+m Hi = i = 1, . . . , m xi − xi+m
•
Sch¨ atzer f¨ ur die Steigung der Regressionsgerade ist der Median dieser Steigungen βˆT H = M edian(Hi )
Theil hat dieses Verfahren noch verbessert, in dem er jeden Punkt aus der Stichprobe mit jedem anderen Punkt verbindet (siehe Abbildung 10.20). Durch diese Vorgehensweise wird mehr Information aus den Beobachtungen ausgesch¨ opft. n Von diesen Verbindungsstrecken werden die Steigungen Hij berechnet: 2 Hij =
yi − yj xi − xj
i<j
Der Median dieser Steigungen ist der Sch¨ atzer βˆT H2 f¨ ur die Steigung der Regressionsgerade. In Abbildung 10.21 werden die Steigungen als Geraden durch den Ursprung dargestellt, die weiße strichlierte Gerade ist der Median der Steigungen. Verbessertes Verfahren von Theil •
Verbinden jeden Datenpunktes mit jedem anderen Punkt
•
Berechnung der Steigungen dieser Verbindungsstrecken: yi − yj Hij = i<j xi − xj
•
Sch¨ atzer f¨ ur die Steigung der Regressionsgerade ist der Median dieser Steigungen βˆT H2 = M edian(Hij )
301
160 150 140 130 120 90
100
110
systolischer Blutdruck in mmHg
170
180
10.2 Nichtparametrische Regression
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
Körpergewicht in kg Daten nach Gewicht aufsteigend sortiert
Abb. 10.20. Verbessertes Verfahren von Theil - Verbinden aller Punkte
Bei diesem verbesserten Verfahren von Theil wird als Sch¨ atzer f¨ ur die Steigung der Regressionsgerade βˆT H2 = 1.3734 berechnet (im Vergleich: KleinstQuadrat-Sch¨ atzer βˆKQS = 1.3044 und Theil βˆT H = 1.4476). Auch mit diesem Sch¨atzer kann die Hypothese H0 : β = β0 getestet werden. Dazu betrachtet man die Abweichungen di zwischen dem unter der Nullhypothese erwarteten Wert β0 xi und dem tats¨ achlich beobachteten Wert yi . di = yi − β0 xi Nun werden die Differenzen von je zwei Punkten i und j miteinander verglichen: 1 f¨ ur dj > di Dij = −1 f¨ ur dj < di
10 Nichtparametrische Dichtesch¨ atzung und Regression
0
1
2
y
3
4
5
302
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
Abb. 10.21. Verfahren von Theil
Als Teststatistik wird C=
Dij
i<j
verwendet. Diese Teststatistik kann als Kendalls S aufgefasst werden und daher auch u ¨ ber den Vergleich der Teststatistik mit den zugeh¨origen Quantilen getestet werden (vgl. Abschnitt 9.5). Die Nullhypothese H0 : β = β0 wird abgelehnt, wenn C ≥ S1−α/2 oder C ≤ −S1−α/2 (kritische Werte in Tabelle 11.19).
10.2 Nichtparametrische Regression
303
Die im verbesserten Verfahren von Theil berechneten Steigungen werden nun auch zur Sch¨atzung des Ordinatenabschnittes γ verwendet. F¨ ur s¨ amtliche n2 Geraden aus dem Verfahren von Theil, f¨ ur die eine Steigung Hij berechnet wurde, wird nun der Ordinatenabschnitt Gij berechnet:
γ = yi − βxi Gij = yi − Hij xi = yi −
=
i < j, xi = xj
yi − yj xi xi − xj
xi yj − xj yi xi − xj
Als Sch¨atzer f¨ ur γ kann jetzt wieder der Median der Gij herangezogen werden: γˆM = M edian(Gij ) Eine alternative M¨ oglichkeit zur Sch¨atzung der Steigung schlagen Randles, R.H. und Wolfe (1979) vor: γˆRW =
i<j Gij n 2
Dieser Sch¨atzer entspricht dem Mittelwert der Steigungen, falls keine Beobachtungen xi mehrfach auftreten. Es gibt auch noch andere M¨ oglichkeiten der Sch¨ atzung, aber zu den einzelnen Sch¨ atzern leider keine einfachen Testm¨oglichkeiten. Sch¨ atzer f¨ ur Ordinatenabschnitt •
Berechnung der Ordinatenabschnitte aus den Steigungen: xi yj − xj yi Gij = i<j xi − xj
•
Sch¨ atzer f¨ ur den Ordinatenabschnitt der Regressionsgerade ist der Median dieser Abschnitte γˆT H2 = M edian(Gij )
304
10 Nichtparametrische Dichtesch¨ atzung und Regression
In Abbildung 10.22 werden nun drei Regressionsgeraden f¨ ur die Blutdruckdaten verglichen: 1. Gerade mit Kleinst-Quadrat-Sch¨atzern f¨ ur Steigung und Ordinatenabschnitt (strichliert). 2. Gerade mit Sch¨ atzer f¨ ur die Steigung nach dem verbesserten Verfahren von Theil und dem Mediansch¨atzer f¨ ur den Ordinatenabschnitt (durchgezogen).
180
3. Gerade mit Sch¨ atzer f¨ ur die Steigung nach dem verbesserten Verfahren von Theil und dem Sch¨ atzer von Randles und Wolfe f¨ ur den Ordinatenabschnitt (strich-punktiert).
160 150 140 130 120 110 100 90
systolischer Blutdruck in mmHg
170
y = 47.24 + 1.304 x y = 39.13 + 1.373 x y = 30.44 + 1.373 x
50
55
60
65
70
75
80
85
Körpergewicht in kg Daten nach Gewicht aufsteigend sortiert
90
Abb. 10.22. Vergleich der Regressionsrechnungen
95
10.2 Nichtparametrische Regression
305
10.2.3 Nichtlineares Regressionsmodell Liegt die Vermutung nahe, dass zwischen den Variablen X und Y ein Zusammenhang besteht, dieser aber nicht linear ist, dann kann mittels Kerndichten dieser Zusammenhang gesch¨ atzt werden. Wir betrachten wieder das allgemeine Regressionsmodell: yi = m(xi ) + εi
i = 1, . . . , n
Gegeben ist wieder die Stichprobe (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn , yn ) und aus diesen Daten soll der Zusammenhang m(·) gesch¨atzt werden. Die Regressionsfunktion m(x) kann auch als bedingter Erwartungswert E(Y |X) aufgefasst werden. Daher gilt:
m(x) = E(Y |X = x) = y f (y|x) dy ΩY
y
= ΩY
=
ΩY
f (x, y) dy f (x)
y f (x, y) dy f (x)
wobei ΩY der Wertebereich von Y ist.
Die nun unbekannten Dichten ersetzen wir durch die empirischen Kerndichten und erhalten damit den Watson-Nadaraya Sch¨atzer. Watson-Nadaraya Sch¨ atzer xi − x yi K h m ˆ W N (x) = i=1n xi − x K h i=1 n
K(·)
Kernfunktion
h
Schrittweite
306
10 Nichtparametrische Dichtesch¨ atzung und Regression
Wie wir schon bei den Kerndichtesch¨ atzern im vorhergehenden Abschnitt gesehen haben, ist nicht die Wahl des Kerns K(·) wesentlich, sondern die Wahl der Schrittweite h. Je gr¨ oßer h gew¨ahlt wird, desto glatter wird die Kurve, die durch die Punktwolke gelegt wird. Bei kleiner Schrittweite h k¨ onnen andererseits Ausreißer besser in die Kurve integriert werden. Wie sich das Aussehen der gesch¨atzten Kurve durch die Wahl der Schrittweite h ¨andert, wollen wir nun anhand eines abschließenden Beispiels demonstrieren.
Beispiel 10.10. Watson-Nadaraya-Sch¨ atzer Im Programmpaket R wird im Paket stats die Funktion ksmooth zur Berechnung des Watson-Nadaraya Sch¨ atzers bereitgestellt. Wir verwenden zur Veranschaulichung des Schrittweiten-Problems den Beispieldatensatz cars, der in R zur Verf¨ ugung steht. In dieser Datei stehen 50 Datens¨atze mit Geschwindigkeiten (in mph = Miles per hour) und Bremswegen (in ft = feet) von Autos aus dem Jahr 1920 bereit. Die Daten sind bereits aufsteigend nach Geschwindigkeit sortiert. F¨ ur diese Daten wollen wir nun die Art des Zusammenhangs zwischen Geschwindigkeit und Bremsweg mit dem Watson-Nadaraya-Sch¨atzer ermitteln. Mit folgender Syntax wird zuerst ein Streudiagramm von Geschwindigkeit und Bremsweg erzeugt. In dieses Streudiagramm werden dann ein Watson-Nadaraya-Sch¨ atzer mit Gauß-Kern, sowie ein Watson-Nadaraya-Sch¨ atzer mit Rechteck-Kern eingezeichnet. Informationen u ¨ ber die gesch¨atzten Funktionswerte erh¨alt man mit ksmooth(.). plot(autos$speed, autos$dist) lines(ksmooth(autos$speed, autos$dist, + "normal", bandwidth = 1)) lines(ksmooth(autos$speed, autos$dist, + "box", bandwidth = 8)) ksmooth(autos$speed, autos$dist, + "box", bandwidth = 8) Wie die Bandbreiten h die Sch¨ atzung des Zusammenhangs zwischen zwei Variablen beeinflusst, ist aus Abbildung 10.23 f¨ ur den Gauß-Kern und in Abbildung 10.24 f¨ ur den Rechteckskern veranschaulicht.
120
10.2 Nichtparametrische Regression Gauss−Kern
60 0
20
40
Bremsweg in ft
80
100
h=1 h=2 h=8
5
10
15
20
25
Geschwindigkeit in mph Watson−Nadaraya−Schätzer mit verschiedenen Schrittweiten
120
Abb. 10.23. Watson-Nadaraya-Sch¨ atzer mit Gauß-Kern
Rechteckskern
60 0
20
40
Bremsweg in ft
80
100
h=1 h=2 h=8
5
10
15
20
25
Geschwindigkeit in mph Watson−Nadaraya−Schätzer mit verschiedenen Schrittweiten
Abb. 10.24. Watson-Nadaraya-Sch¨ atzer mit Rechteckskern
307
308
10 Nichtparametrische Dichtesch¨ atzung und Regression
¨ Ubungsaufgaben Aufgabe 10.1. Histogramm Plotten Sie ein Histogramm f¨ ur die Variable Gewicht aus dem Datensatz gewicht.txt3 in 10 kg Abst¨ anden (in R und in SAS). Plotten Sie in R ein Histogramm der Variable Gewicht mit variabler Bandbreite, sodass in jede Gruppe ca. 100 Personen fallen. Aufgabe 10.2. Mittlere Abweichung Begr¨ unden Sie, warum die mittlere Abweichung n1 ni=1 εi kein geeignetes Maß f¨ ur den Approximationsgrad der Regressionsfunktion zu den Daten ist. Welche (zwei) Maße w¨aren daf¨ ur besser geeignet? Begr¨ unden Sie. Aufgabe 10.3. Kerndichtesch¨ atzung Plotten Sie in R und SAS eine Kerndichtesch¨ atzung (Kerne: Gauß- und Dreieckskern) f¨ ur die Variable Gewicht aus dem Datensatz gewicht.txt (vgl. Aufgabe 10.1). Aufgabe 10.4. Optimale Bandbreite Verwenden Sie die Variable Gewicht aus dem Datensatz gewicht.txt (vgl. Aufgabe 10.1). Berechnen Sie die obere Schranke f¨ ur die optimale Bandbreite f¨ ur einen Gauß-Kern bzw. berechnen Sie die optimale Bandbreite mit der Daumenregel von Silverman. Plotten Sie die Dichtesch¨atzung mittels GaußKern in R. Aufgabe 10.5. Kleinst-Quadrat-Sch¨ atzung Plotten Sie in R und SAS mittels Kleinst-Quadrat-Sch¨ atzung das lineare Regressionsmodell Y = γ + βX wobei der Regressor X der Durchmesser der Kirschb¨ aume und Y die H¨ ohe der Kirschb¨aume ist (Datensatz trees aus R). Aufgabe 10.6. Verfahren von Theil F¨ uhren Sie f¨ ur die Aufgabe 10.5 das verbesserte Verfahren von Theil durch (zur Darstellung benutzen Sie R). Vergleichen Sie die Ergebnisse mit der Kleinst-Quadrat-Sch¨atzung. Aufgabe 10.7. Regression mit Kerndichtesch¨ atzung Plotten Sie in R ein allgemeines Regressionsmodell mittels Rechteckskern und Gauß-Kern mit verschiedenen Bandbreiten f¨ ur die H¨ ohe der Kirschb¨aume in Abh¨ angigkeit vom Durchmesser (vgl. Aufgabe 10.5). 3
Die Datei kann von der Homepage der Autorin heruntergeladen werden: http://www.ifas.jku.at/personal/duller/duller.htm
¨ L¨ osungen zu den Ubungsaufgaben
L¨ osungen zu Kapitel 4 4.1 Pr¨ ufungsdauer a) Ordnungsstatistiken (die geordnete Stichprobe) (12, 13.5, 15, 16, 18, 18, 19, 20) Der Median ist 17. b) Der Wert 18 ist zwei Mal in der Stichprobe enthalten, es handelt sich daher um eine einfache Bindung des Wertes 18. c) R¨ange nach unterschiedlichen Methoden aus Kapitel 4.1.
Studierende/r 1 2 3 4 5 6 7 8 Punkte 12 13.5 18 18 19 15 16 20 F¨ alle ausschließen 1 2 5 ∗∗ 6 3 4 7 zuf¨ allige R¨ ange, z.B. 1 2 5 6 7 3 4 8 Durchschnittsr¨ange 1 2 5.5 5.5 7 3 4 8 alle F¨ alle, Fall 1 1 2 5 6 7 3 4 8 alle F¨ alle, Fall 2 1 2 6 5 7 3 4 8 ** = wurde entfernt. d) R-Programmcode (empirische Verteilungsfunktion) > library(grDevices); > x=c(12, 13.5, 15, 16, 18, 18, 19, 20)
310
¨ L¨ osungen zu den Ubungsaufgaben
> plot.ecdf(x,main="Empirische Verteilungsfunktion", + xlab="x", ylab = expression(F[n](x)));
e) Das Intervall [13.5; 19.0] u ¨berdeckt den Median mit einer Sicherheit von 92,97 %. 4.2 Gleichverteilung Als Grundlage dient hier die Gleichverteilung auf dem Intervall [0, 1]. Daher lautet die Dichte f (X) = 1 und die Verteilungsfunktion F (X) = X. Des weiteren gilt f¨ ur eine einzelne Beobachtung einer gleichverteilten Variable X 1 der Erwartungswert E(X) = 12 und die Varianz V (X) = 12 .
Abb. 10.25. Die Verteilungsfunktion f¨ ur den Mittelwert aus 4.2 a)
¯ (f¨ a) Den Mittelwert X ur 2 Beobachtungen exakt und ansonsten asymptotisch). Die Verteilung des Mittelwertes entspricht der Verteilung einer Summe von Zufallsvariablen (dividiert durch die Anzahl). Nach dem zentralen Grenzwertsatz ist der Mittelwert asymptotisch normalverteilt mit dem Erwartungswert der Einzelbeobachtung und 1/n der Varianz der Einzelbeobachtung. Die exakte Verteilung des Mittelwertes a¨hnelt sehr rasch
¨ L¨ osungen zu den Ubungsaufgaben
311
einer Normalverteilung. Die exakte Dichte des Mittelwertes kann der Abbildung 10.25 entnommen werden. Diese Abbildung zeigt, dass sich bereits bei n = 4 Beobachtungen eine Glockenkurve bildet, welche der Normalverteilung a¨hnelt. Aus dem zentralen Grenzwertsatz erhalten wir f¨ ur die Verteilung des Mittelwertes: ¯n ∼ N 1 , 1 X 2 12n ¯ = Und damit gilt f¨ ur den Erwartungswert E(X) 1 ¯ V (X) = 12n .
1 2
und die Varianz
F¨ ur die exakte Berechnung wird aus der gemeinsamen Dichtefunktion der zwei unabh¨ angigen gleichverteilten Variablen X1 , X2 durch die Substitutionsmethode die Dichte f¨ ur den Mittelwert errechnet. Die gemeinsame Dichte der beiden Variablen ist fX1 ,X2 (x1 , x2 ) = 1. Dann 2 werden die beiden neuen Variablen y1 = x1 +x und y2 = x2 definiert. 2 Daraus lassen sich die Umkehrfunktionen x1 = s1 (y1 , y2 ) = 2y1 − y2 und x2 = s2 (y1 , y2 ) = y2 berechnen. Die Dichte der beiden neuen Variablen ist dann wegen der Determinante der Jacobimatrix ' ' ∂s1 (y1 , y2 ) ' ' ∂y1 det(J) = ' ' ∂s2 (y1 , y2 ) ' ∂y1
∂s1 (y1 , y2 ) ∂y2 ∂s2 (y1 , y2 ) ∂y2
' ' ' ' ' ' ' ' 2 −1 '' =2 '=' 0 1 ' ' '
wie folgt definiert: fY1 ,Y2 (y1 , y2 ) = fX1 ,X2 (2y1 − y2 , y2 ) · det(J) = 2 Die Dichte des Mittelwertes fY1 (y1 ) wird f¨ ur die Intervalle 0 ≤ y1 ≤ 12 1 und 2 ≤ y1 ≤ 1 getrennt ermittelt. Diese beiden Intervalle ergeben sich ¨ aus folgender Uberlegung: Einerseits gilt y1 ≥ x2 /2 = y2 /2, also ist y2 ≤ min{2y1 , 1}, andererseits ist y1 ≤ (x2 + 1)/2 = (y2 + 1)/2, also ist y2 ≥ max{2y1 − 1, 0}. Damit gilt:
312
¨ L¨ osungen zu den Ubungsaufgaben 2y 1
fY1 (y1 ) = fY1 (y1 ) =
0
1 2y1 −1
2dy2 = 4y1
2dy2 = 4 − 4y1
f¨ ur 0 ≤ y1 ≤ f¨ ur
1 2
1 < y1 ≤ 1 2
Diese Funktion entspricht genau der in Abbildung ?? f¨ ur n = 2 dargestellten Dreiecksfunktion. ¯ = 0.5 und die Aus dieser Dichte lassen sich der Erwartungswert E(X) ¯ = 1 berechnen. Varianz V (X) 24 Die Verteilungsfunktion des Mittelwertes ist gegeben durch x) = FX¯ (¯
2¯ x2 −2¯ x2 + 4¯ x−1
f¨ ur 0 ≤ x ¯≤ f¨ ur
1 2
1 2
<x ¯≤1
b) F¨ ur die Ordnungsstatistik X(j) gilt: n n (1 − F (yj ))(n−k) (F (yj ))k = FX(j) (yj ) = k k=j n n (1 − yj )(n−k) (yj )k = k k=j n fX(j) (yj ) = j (1 − F (yj ))(n−j) f (yj )(F (yj ))(j−1) = j n (j−1) (1 − yj )(n−j) =j y j j Vor allem aus der Dichte l¨asst sich hier die Betaverteilung mit den Parametern (j, n + 1 − j) leicht erkennen. Aus dieser Erkenntnis lassen sich der Erwartungswert
E(X(j) ) =
j j = j + (n + 1 − j) n+1
und die Varianz
V (X(j) ) = berechnen.
j(n + 1 − j) j(n + 1 − j) = (j + (n + 1 − j) + 1)(j + (n + 1 − j))2 (n + 2)(n + 1)2
¨ L¨ osungen zu den Ubungsaufgaben
313
c)+d) Das Minimum X(1) und das Maximum X(n) . Aus den allgemeinen Formeln f¨ ur das Minimum und das Maximum lassen sich folgende Verteilungs- bzw. Dichtefunktionen ableiten, und der Erwartungswert und die Varianz einer Ordnungsstatistik aus der allgemeinen Formel aus b):
FX(1) (y) = 1 − (1 − F (y))n = 1 − (1 − y)n fX(1) (y) = n(1 − F (y))(n−1) f (y) = n(1 − y)(n−1) 1 E(X(1) ) = n+1 n V (X(1) ) = (n + 2)(n + 1)2 FX(n) (y) = (F (y))n = y n fX(n) (y) = nf (y)(F (y))(n−1) = ny (n−1) n E(X(n) ) = n+1 n V (X(n) ) = (n + 2)(n + 1)2
0.5 f¨ e) Den Median X ur gerade und ungerade Stichprobengr¨ oßen n. Bei Stichproben mit einer ungeraden Anzahl von Beobachtungen handelt es sich einfach um die Verteilung bzw. Dichte der n+1 2 -ten Ordnungsstatistik. n n (1 − y)(n−k) (y)k FX 0.5 (y) = FX( n+1 ) (y) = k 2 k=( n+1 2 ) n−1 n−1 n n+1 y ( 2 ) (1 − y)( 2 ) fX 0.5 (y) = fX( n+1 ) (y) = n+1 2 ( 2 ) 2 n+1 2
1 = n+1 2 n+1 2 ( 1 2 )
0.5 ) = V (X n+1 ) = = V (X ( 2 ) (n + 2)(n + 1)2 4(n + 2)
0.5 ) = E(X n+1 ) = E(X ( ) 2
Im geraden” Fall ist der Median das arithmetische Mittel aus den bei” den mittleren (der ( n2 )-ten und der ( n2 + 1)-ten) Ordnungsstatistiken. Hier w¨are die Verteilung bzw. die Dichte nur u ¨ ber die bereits oben angewandte Methode zur Bildung der Dichte f¨ ur die Summe von mehreren Zufallsvariablen zu ermitteln.
314
¨ L¨ osungen zu den Ubungsaufgaben
1 n ( n + 1) 1 1 2 E(X( n2 ) ) + E(X( n2 +1) ) = + 2 = 2 2 (n + 1) (n + 1) 2
1
0.5 ) = V (X V (X( n2 ) ) + V (X( n2 +1) ) = 4 ( n2 )( n2 + 1) ( n2 + 1)( n2 ) 1 + ) = = 4 (n + 2)(n + 1)2 (n + 2)(n + 1)2 n n+2 n 1 1 2( 2 ) 2 = = 4 (n + 2)(n + 1)2 8 (n + 1)2
0.5 ) = E(X
4.3 Exponentialverteilung fX(1) (y1 ) = 3λe−3λy1
fX(2) (y2 ) = 6λe−2λy2 · 1 − e−λy2 2 fX(3) (y3 ) = 3λe−λy3 · 1 − e−λy3 fX(1) ,X(2) (y1 , y2 ) = 6λ2 e−λ(2y2 +y1 )
fX(1) ,X(3) (y1 , y3 ) = 6λ2 e−λ(y1 +y3 ) · e−λy1 − e−λy3 fX(2) ,X(3) (y2 , y3 ) = 6λ2 e−λ(y2 +y3 ) · 1 − e−λy2 4.4 Dichte von zwei Ordnungsstatistiken Hinweis zur L¨ osung: Aus der gemeinsamen Dichte aller Ordnungsstatistiken fX(1) ,...,X(n) (y1 , . . . , yn ) wird die gemeinsame Dichte der beiden Ordnungsstatistiken fX(j) ,X(k) (yj , yk ) durch Integration bestimmt. Die folgenden drei verwendeten Formeln werden aus der Potenzregel der Integralrechnung abgeleitet: y (F (x))i f (x)dx = −∞
∞ (1 − F (x))i f (x)dx =
(F (y))i+1 i+1
∀ i = 0, 1, 2, . . .
(1 − F (y))i+1 i+1
∀ i = 0, 1, 2, . . .
y
y (F (x) − F (t))i f (x)dx = t
(F (y) − F (t))i+1 i+1
∀ i = 0, 1, 2, . . .
¨ L¨ osungen zu den Ubungsaufgaben
315
L¨ osungen zu Kapitel 5 5.1 Arbeitslosigkeit a) Test auf Exponentialverteilung z.B. mit K-S-Test i
xi
Φ(xi )
Fn− (xi )
Fn+ (xi )
|Fn− (xi ) − Φ(xi )|
|Fn+ (xi ) − Φ(xi )|
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 3 4 6 7 14 15 20 48
0.154 0.221 0.283 0.393 0.442 0.689 0.713 0.811 0.982
0 2/10 3/10 4/10 5/10 6/10 7/10 8/10 9/10
2/10 3/10 4/10 5/10 6/10 7/10 8/10 9/10 1
0.154 0.021 0.017 0.007 0.058 0.089 0.013 0.011 0.082
0.046 0.079 0.117 0.107 0.158 0.011 0.087 0.089 0.018
Der Wert der Teststatistik (K10 = 0.158) ist kleiner als der kritische Wert aus der Tabelle (z.B. zu α = 0.1 ist k0.9 = 0.369), daher wird die Nullhypothese einer Exponentialverteilung nicht abgelehnt. b) Grafik der empirischen und theoretischen Verteilung. R-Code f¨ ur Tests und Grafiken Arbeitslosigkeit=c(2,20,15,2,48,6,4,14,3,7) ks.test(Arbeitslosigkeit,"pexp",1/12) library(truncgof) ad2.test(Arbeitslosigkeit,"pexp",1/12) library(nortest) lillie.test(Arbeitslosigkeit) ad.test(Arbeitslosigkeit) shapiro.test(Arbeitslosigkeit) cvm.test(Arbeitslosigkeit) plot(ecdf(Arbeitslosigkeit), main = "", verticals = TRUE) curve(pexp(x,1/12), add = TRUE, col = "red", lwd = 2) SAS-Code f¨ ur Tests und Grafiken DATA Stichprobe; INPUT x; DATALINES; 2 . . . 7 ; RUN;
¨ L¨ osungen zu den Ubungsaufgaben
316
PROC CAPABILITY DATA=Stichprobe; VAR x; HISTOGRAM / exponential(COLOR = red SIGMA=12 W=2) MIDPOINTS=0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50; CDFPLOT/exponential(COLOR=red SIGMA=12 W=2); RUN; PROC UNIVARIATE DATA = Stichprobe NORMAL; HISTOGRAM/NORMAL(COLOR=red W=2); RUN; PROC CAPABILITY DATA = Stichprobe; VAR x; HISTOGRAM/NORMAL(COLOR=red W=2); CDFPLOT/NORMAL(COLOR=red W=2); RUN; ¨ c) Bei einem Stichprobenumfang von n = 10 und einer erw¨ unschten Uberdeckungswahrscheinlichkeit von 1−α = 0.90 ist aus der Tabelle das Quantil k0.9 = 0.369 abzulesen. Mit 90%iger Sicherheit u ¨ berdeckt der Bereich [F10 (x) − 0.369; F10 (x) + 0.369] die Verteilungsfunktion der Grundgesamtheit. d) Test auf Normalverteilung z.B. mit Lilliefors-Test i
xi
Φ(xi )
Fn− (xi )
Fn+ (xi )
|Fn− (xi ) − Φ(xi )|
|Fn+ (xi ) − Φ(xi )|
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 3 4 6 7 14 15 20 48
0.236 0.259 0.282 0.332 0.358 0.554 0.582 0.713 0.995
0 2/10 3/10 4/10 5/10 6/10 7/10 8/10 9/10
2/10 3/10 4/10 5/10 6/10 7/10 8/10 9/10 1
0.236 0.059 0.018 0.068 0.142 0.046 0.118 0.087 0.095
0.036 0.041 0.118 0.168 0.242 0.146 0.218 0.187 0.005
Der Wert der Teststatistik (K10 = 0.242) ist gr¨ oßer als der kritische Wert aus der Tabelle (z.B. zu α = 0.1 ist k0.9 = 0.239), daher wird die Nullhypothese einer Normalverteilung abgelehnt.
5.2 W¨ urfel Beim Chi-Quadrat-Test gilt unter der Nullhypothese die Fairness und damit die H¨ aufigkeit 7 f¨ ur jede Augenzahl.
¨ L¨ osungen zu den Ubungsaufgaben
317
R-Code f¨ ur Tests und Grafiken beobachtet=c(6,5,8,10,6,7); Summe=sum(beobachtet); erwartet=rep(Summe/6,6); chisq.test(beobachtet, p = erwartet, rescale.p = TRUE) Augenzahl=c(rep(1,6),rep(2,5),rep(3,8), + rep(4,10),rep(5,6),rep(6,7)); library(nortest) ad.test(Augenzahl) m=mean(Augenzahl) s=sd(Augenzahl) plot(ecdf(Augenzahl), main="",verticals=TRUE) curve(pnorm(x,mean=m,sd=s), add=TRUE, col="red",lwd=2)
SAS-Code f¨ ur Tests und Grafiken DATA Wuerfel; INPUT Augenzahl; DATALINES; 1 . . . 6 ; RUN; PROC FREQ; TABLES Augenzahl /CHISQ; RUN; PROC CAPABILITY; HISTOGRAM; HISTOGRAM/NORMAL(COLOR=red W=2); CDFPLOT/NORMAL(COLOR=red W=2); RUN; PROC UNIVARIATE NORMAL; RUN;
Die Nullhypothese der Fairness wird beibehalten, die Hypothese der Normalverteilung wird abgelehnt (α = 0.05).
318
¨ L¨ osungen zu den Ubungsaufgaben
5.3 Experiment R-Code f¨ ur Tests und Grafiken werte=c(40,110,50,140,115,190,10,215,90,175,125,145, 65,75,70,125,80,60,70,185,240,140,120,40,90,135, 130,160,185,250,160,90,160,50,90,125,220,360,280, 145,55,115,85,80,20,110,235,60,220,160) library(nortest) lillie.test(werte) pearson.test(werte) ad.test(werte) cvm.test(werte) shapiro.test(werte) m=mean(werte) s=sd(werte) plot(ecdf(werte), main="",verticals=TRUE) curve(pnorm(x,mean=m,sd=s), add=TRUE, col="red",lwd=2) SAS-Code f¨ ur Tests und Grafiken DATA Experiment; INPUT Werte; DATALINES; 40 . . . 160 ; RUN; PROC CAPABILITY; HISTOGRAM/NORMAL(COLOR=red W=2); CDFPLOT/NORMAL(COLOR=red W=2); RUN; PROC UNIVARIATE NORMAL; RUN; Bei einem Niveau von α = 0.10 wird die Nullhypothese beim Lilliefors-Test, Chi-Quadrat-Test, Anderson-Darling-Test und Cram´er-von-Mises-Test beibehalten. Der Shapiro-Wilk-Test f¨ uhrt zu einer Ablehnung der Annahme einer Normalverteilung. Nachdem der Shapiro-Wilk-Test der Test mit der h¨ ochsten Trennsch¨arfe ist, sollte die Nullhypothese der Normalverteilung abgelehnt werden.
¨ L¨ osungen zu den Ubungsaufgaben
319
5.4 W¨ ahlerInnenanteil R-Code binom.test(x=0.4*15,n=15,p=0.35,alternative="greater") SAS-Code DATA Wahlen; INPUT Ja Nein Anzahl; DATALINES; 0 1 6 # Anzahl der W¨ ahlerInnen 1 0 9 # Anzahl der Nicht-W¨ ahlerInnen ; RUN; PROC FREQ; WEIGHT Anzahl; TABLES Ja /binomial(p=0.35) alpha=0.05; RUN; Ein Anstieg des Anteils an W¨ahlerInnen ist nicht nachweisbar (α = 0.05).
5.6 Vorzeichentest Mit den folgenden beiden Kommandos (in R) erh¨alt man zuerst die Anzahl der Sch¨ ulerInnen mit einer schlechteren Note als 2, wobei die drei Sch¨ ulerInnen mit einer 2 zuf¨allig als besser oder schlechter eingestuft werden. Ausgehend von diesem Wert f¨ ur die Teststatistik, berechnet das zweite Kommando den eigentlichen Test. schlechter = 10 + + sum(sample(x=c(0,1),size=3,replace=T,prob=c(0.5,0.5))) binom.test(x=schlechter,n=15,p=0.5) Bei (beispielsweise) 12 Sch¨ ulerInnen mit einer Note schlechter als 2 muss die Nullhypothese (Median = 2) abgelehnt werden (p = 0.03516).
5.7 Wilcoxon-Vorzeichen-Rangtest R-Code data=rnorm(20,mean=3,sd=1) wilcox.test(data,mu=2) t.test(data,mu=2)
¨ L¨ osungen zu den Ubungsaufgaben
320
SAS-Code DATA Simulation; DO i = 1 TO 20; x = normal(0)+3; OUTPUT; END; RUN; PROC FREQ; Table x; RUN; PROC UNIVARIATE mu0=2; VAR x; RUN; PROC UNIVARIATE mu0=2.5; VAR x; RUN; PROC UNIVARIATE mu0=3; VAR x; RUN; Nachdem die Generatoren f¨ ur die Erzeugung der Zufallszahlen nicht initialisiert wurden kommt es zu unterschiedlichen Ergebnissen bei jedem Programmaufruf. Bei einem geringen Stichprobenumfang sind ”falsche” Entscheidungen nicht ungew¨ ohnlich. Je h¨ oher der Stichprobenumfang, desto besser die Testergebnisse. Der t-Test ist bei normalverteilten Daten trennsch¨ arfer als der Wilcoxon-Vorzeichen-Rangtest, der Vorteil des Wilcoxon-VorzeichenRangtests ist aber, dass die Normalverteilung als Voraussetzung nicht notwendig ist.
5.8 Fairness einer M¨ unze R-Code Muenze=c(0,1,0,1,0,1,0,0,1,0,1,1,1,1,0,0,0,0,1,0); Kopf=sum(Muenze==0) Zahl=sum(Muenze==1) n=length(Muenze) beobachtet=c(Kopf, Zahl) erwartet=rep(n*0.5,2); library(lawstat) runs.test(Muenze, alternative="two.sided") chisq.test(beobachtet, p = erwartet, rescale.p = TRUE) binom.test(x=Kopf, n=n, p=0.5, alternative="two.sided") Das Ergebnis des Tests von Wald-Wolfowitz in R ist unbrauchbar, die h¨ andische Berechnung ergibt einen p-Wert von 0.23 (exakt, zweiseitig), der BartelsTest auf Zuf¨ alligkeit (hier nicht beschrieben, im Paket lawstat Funktion bartels.test) ergibt einen p-Wert von 0.3428). Damit kann die Zuf¨ alligkeit nicht abgelehnt werden. Auch die Ergebnisse des Chi-Quadrat-Tests (p = 0.6547) und des Binomialtests (p = 0.8238) sprechen nicht gegen die Fairness der M¨ unze.
¨ L¨ osungen zu den Ubungsaufgaben
321
L¨ osungen zu Kapitel 6 6.1 Schuheinlagen Bezeichnet man mit X die Gruppe mit den alten Schuheinlagen und mit Y die Gruppe mit den neuen Schuheinlagen, so ist das Ziel des Tests der Nachweis, dass Y stochastisch kleiner als X ist (Fall A, kleinere Werte bedeuten Verbesserung). Wir vergleichen die Verteilungen (K-S-Test) und f¨ uhren Tests auf Lageunterschiede durch (Wilcoxon-Rangsummentest und Van der WaerdenTest). Die vollst¨andige SAS-Syntax lautet: DATA Schuheinlagen; INPUT Gruppe Bewertung; /* Gruppe Alt = X = 1*/ DATALINES; 1 6 . . . 2 3 ; RUN; PROC NPAR1WAY EDF; CLASS Gruppe; VAR Bewertung; EXACT KS; RUN; PROC NPAR1WAY WILCOXON VW ; CLASS Gruppe; VAR Bewertung; EXACT WILCOXON; RUN; Der einseitige Kolmogorov-Smirnov-Test ist signifikant (p = 0.0041), die neuen Einlagen sind besser als die alten Einlagen. Auch der WilcoxonRangsummentest (p = 0.0047) und der Van der Waerden-Test (p = 0.0072) zeigen, dass die neuen Einlagen (im Schnitt) besser sind. Die L¨ osung in R ist analog zur L¨osung 6.2 (allerdings ist die jeweils andere einseitige Alternative zu w¨ ahlen). 6.2 Wetterf¨ uhligkeit Die Therapiegruppe wird mit X bezeichnet und die Kontrollgruppe mit Y. Die Therapiegruppe sollte bessere Noten (kleinere Werte) aufweisen, daher ist zu testen, ob X stochastisch kleiner ist als Y (Fall B). Die vollst¨ andige Syntax in R lautet:
322
¨ L¨ osungen zu den Ubungsaufgaben
x=c(4,5,1,5,2,2,3,1) y=c(2,3,5,5,5,4,5,2) ks.test(x, y, alternative="greater", exact = TRUE) wilcox.test(x,y,alternative="less",paired=FALSE,correct=T) library(exactRankTests) wilcox.exact(x,y,alternative="less",paired=FALSE,correct=T) # Neues Package, ge¨ anderte Dateneingabe Datensatz=data.frame( + Bewertung =c(x,y), + Gruppen=factor(c(1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2))) library(coin) wilcox_test(Bewertung ~ Gruppen, data = Datensatz, + distribution="exact",alternative="less",conf.int=TRUE) normal_test(Bewertung ~ Gruppen, data = Datensatz, + distribution="exact",alternative="less",conf.int=TRUE) Der einseitige Kolmogorov-Smirnov-Test ist nicht signifikant (p = 0.6065), die Wirkung des Medikaments kann nicht nachgewiesen werden. Auch der Wilcoxon-Rangsummentest (p = 0.1152) und der Van der Waerden-Test (p = 0.08811) erbringen keinen Nachweis u ¨ ber die Wirkung des Medikaments. Die L¨ osung in SAS ist analog zur L¨osung 6.1.
6.3 Varianz der linearen Rangstatistik Es gilt f¨ ur i = j: Cov(Vi , Vj ) = E(Vi Vj ) − E(Vi ) · E(Vj ) =
−mn − 1)
N 2 (N
Daraus folgt unter der Bedingung i = j: V ar(LN ) =
N i=1
g 2 (i)V ar(Vi ) +
n m
g(i)g(j)Cov(Vi , Vj ) =
i=1 j=1
n m N mn 2 mn g (i) − g(i)g(j) = N 2 i=1 N 2 (N − 1) i=1 j=1 n N N m mn N = 2 g 2 (i) − g 2 (i)− g(i)g(j) = N (N − 1) i=1 i=1 i=1 j=1
=
"N #2 N mn N g 2 (i) − g 2 (i) = 2 N (N − 1) i=1 i=1
¨ L¨ osungen zu den Ubungsaufgaben
323
6.4 B¨ ucher Es k¨ onnen keine signifikanten Unterschiede hinsichtlich der Anzahl der gelesenen B¨ ucher pro Jahr gefunden werden. Die Syntax ist analog zu L¨ osung 6.1 ¨ und 6.2. Zur Uberpr¨ ufung wurden der K-S-Test (p = 0.08663), der Cram´ervon-Mises-Test (SAS: CM a = 0.071863, der Cram´er-Test (R: p = 0.8452), der Wilcoxon-Rangsummentest (p = 0.624) und der Van der Waerden-Test (SAS p = 0.6043, R p = 0.6184) verwendet. 6.5 Zuckerpackungen Bezeichnet man mit X die alte Maschine und mit Y die neue Maschine, so ist zu testen, ob X mehr streut als Y (Fall A). Wir f¨ uhren den Siegel-Tukey-Test (nur in SAS), den Mood-Test und den Ansari-Bradley-Test durch. In SAS sind nach der Dateneingabe folgende Prozeduraufrufe notwendig: PROC NPAR1WAY ST; CLASS Maschine; VAR Gewicht; EXACT ST; RUN; PROC NPAR1WAY MOOD; CLASS Maschine; VAR Gewicht; EXACT MOOD; RUN; PROC NPAR1WAY AB; CLASS Maschine; VAR Gewicht; EXACT AB; RUN; Die vollst¨andige Syntax in R lautet: alt=c(870,930,935,1045,1050,1052,1055) neu=c(932,970,980,1001,1009,1030,1032,1040,1046) mood.test(alt, neu, alternative="greater") ansari.test(alt, neu, alternative="greater") # oder im Package COIN Datensatz=data.frame( + Gewicht =c(alt,neu), + Gruppen=factor(c(rep(1,length(alt)),rep(2,length(neu))))) library(coin) ansari_test(Gewicht ~ Gruppen, data = Datensatz, + distribution="exact", + alternative="greater",conf.int = TRUE)
324
¨ L¨ osungen zu den Ubungsaufgaben
Alle Tests zeigen ein signifikantes Ergebnis mit folgenden p-Werten: •
Siegel-Tukey-Test (SAS: p = 0.0026)
•
Mood-Test (SAS: p = 0.0016, R: p = 0.002075)
•
Ansari-Bradley-Test (SAS: p = 0.0016, R: p = 0.001573)
Die neue Maschine streut signifikant weniger als die alte Maschine.
6.6 Konfidenzintervalle Mit m = n = 3 und α = 0.1 erh¨ alt man: •
r = wα/2 = 6 aus Tabelle 11.11
•
r = wα/2 − 3(3 + 1)/2 = 6 − 6 = 0
•
gu = D(0+1) = D1
•
go = D(3·3−0) = D9
•
Konfidenzintervall: D1 < θ < D9 zum Konfidenzniveau 1 − α
ur j = 1, . . . , n und i = Bildung der geordneten mn Differenzen Yj − Xi f¨ 1, . . . , m und Bezeichnung dieser Differenzen mit D(1) , . . . , D(mn) : Rang
1
2
3
4
5
6
7
8
9
D(mn)
-6
-4
-1
-1
1
3
4
5
8
Das Konfidenzintervall f¨ ur θ zum Konfidenzniveau 1 − α = 0.9 lautet daher: P r(−6 < θ < 8) = 0.9 Aufgrund des niedrigen Stichprobenumfanges ist erwartungsgem¨ aß das Konfidenzintervall sehr breit.
¨ L¨ osungen zu den Ubungsaufgaben
325
L¨ osungen zu Kapitel 7 7.1 Unterricht Die Datensituation mit den gebildeten Differenzen ist in folgender Tabelle enthalten: 1
2
3
4
X 32 41 18 25 Y
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
5 50 47 46 30 32 22 35
6 17 14 27 48 43
8 37
34 40 23 29 11 49 48 45 48 41 28 47 24 35 27 36 46 49 16 41
Di
2 -1
5
4
6 -1
1 -1 18
9
6 12 18 18 13
9 -2
6
8
4
Zi
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
0
Zur besseren Veranschaulichung sind die Daten in Abbildung 10.26 in Form eines Boxplots dargestellt. Man erkennt dabei, dass der Median in der zweiten Stichprobe (
y0.5 = 38) deutlich h¨ oher ist als in der ersten Stichprobe (
x0.5 = 31).
Abb. 10.26. Boxplot Punktzahl
Wir berechnen zun¨ achst die Teststatistik T , die unter H0 binomialverteilt ist mit den Parametern n = 20 und p = 1/2:
326
¨ L¨ osungen zu den Ubungsaufgaben
T =
20
Zi = 16
∼ B20,1/2
i=1
Es gilt weiters: P (T ≥ 16|B20,1/2 ) = P (n − T ≤ 4|B20,1/2 ) = 0.006 d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass bei G¨ ultigkeit der Nullhypothese unter den 20 gebildeten Differenzen h¨ ochstens 4 Differenzen negativ sind, betr¨agt im zweiseitigen Fall 0.006 · 2 = 0.012. Damit kann mit dem zweiseitigen Test nachgewiesen werden, dass sich die Ergebnisse signifikant ver¨ andert haben. Der einseitige Test zeigt, dass sich die Ergebnisse signifikant verbessert haben.
R-Syntax (Fall B entspricht der einseitigen Alternative greater): n=20 x=c(32,41,18,25,5,50,47,46,30,32,22,35,6, + 17,14,27,48,43,8,37) y=c(34,40,23,29,11,49,48,45,48,41,28,47, + 24,35,27,36,46,49,16,41) D=y-x T=sum(D>0) binom.test(T,n,p=0.5,alternative="two.sided") binom.test(T,n,p=0.5,alternative="two.sided") library(exactRankTests) wilcox.exact(y,x,paired=TRUE,alternative="two.sided") wilcox.exact(y,x,paired=TRUE,alternative="greater") library(coin) wilcoxsign_test(y ~ x, alternative = "two.sided", + distribution = exact()) wilcoxsign_test(y ~ x, alternative = "greater", + distribution = exact()) boxplot(x,y,xlab="abh¨ angige Stichproben", + ylab="Punktzahl", ylim=c(0, 50)) Alle Tests zeigen ein signifikantes Ergebnis mit folgenden p-Werten: •
Binomialtest zweiseitig (p = 0.01182)
•
Binomialtest einseitig (p = 0.005909)
•
Wilcoxon-Test zweiseitig (p = 0.0001564)
•
Wilcoxon-Test zweiseitig (p = 7.82e − 05)
¨ L¨ osungen zu den Ubungsaufgaben
327
SAS-Programm: In SAS werden im DATA-Step die Differenzen der Wertepaare gebildet, ehe mithilfe der Prozedur UNIVARIATE die Berechnung der Teststatistik erfolgt. DATA Unterricht; INPUT x y @; d=y-x; DATALINES; 32 34 ..... 37 41 ; RUN; PROC UNIVARIATE DATA=Unterricht; VAR d; RUN; Die Teststatistik M nimmt dabei den Wert (M = T − n/2 = 16 − 10 = 6) an. Ausgegeben werden in SAS nur die zweiseitigen p-Werte (Vorzeichentest p = 0.0118, Wilcoxon-Test p = 0.0002).
Es soll nun ein Konfidenzintervall f¨ ur den Median zur Sicherheit 1 − α = 0.95 bestimmt werden. Mit l = 15 und k = 6 ergibt sich: F (14) − F (5) = 0.9586 ≈ 1 − α Das Konfidenzintervall ist somit gegeben durch: [D(6) , D(15) ] = [2, 9] Bei dem hier vorliegenden Stichprobenumfang von n = 20 kann die Berechnung von k und l auch approximativ u ¨ber die Normalverteilung erfolgen, da gilt: Bn,p=0.5 ≈ N (n/2, n/4) Die Werte f¨ ur k und l sind aus folgenden Formeln zu bestimmen: √ √ n 20 n z1−α/2 = 10 − · 1.96 = 5.6173 =⇒ k = 6 k= − 2 2 2 l = n + 1 − k = 15.3827 =⇒ l = 15
328
¨ L¨ osungen zu den Ubungsaufgaben
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% wird der Median der Differenzen durch das Konfidenzintervall [D(6) , D(15) ] = [2, 9] u ¨ berdeckt.
7.2 Darmkrebs Die Teststatistik ist gegeben durch: χ2korr = Da
1156 (|41 − 6| − 1)2 = = 24.596 41 + 6 47
χ2korr = 24.596
>
χ21;1−α = 3.842
gilt, wird die Nullhypothese verworfen. Die Anzahl der Personen, die sich nach der Kampagne dazu entscheiden, eine Vorsorgeuntersuchung zur Fr¨ uherkennung von Darmkrebs durchzuf¨ uhren, unterscheidet sich signifikant von jenen, die ihre Entscheidung in die entgegengesetzte Richtung ge¨ andert haben.
R-Programm: x=matrix(c(27,41,6,76),ncol=2) mcnemar.test(x,y=NULL,correct=TRUE) Der Wert der Teststatistik entspricht dem h¨andisch berechneten, der p-Wert wird mit 7.071e − 07 angegeben. Die Nullhypothese wird folglich verworfen.
SAS-Programm: Im Zuge des DATA-Steps werden die Datenwerte der Vierfeldertafel eingegeben. DATA Darmkrebs; INPUT x $ y $ Anzahl; DATALINES; + + 27 + - 41 - + 6 - - 76 ; RUN;
¨ L¨ osungen zu den Ubungsaufgaben
329
PROC FREQ ORDER=DATA; TABLES x * y / AGREE; WEIGHT Anzahl; EXACT MCNEM; RUN; Der McNemar-Test in SAS berechnet den unkorrigierten Wert der Teststatistik (S = 26.0638) mit zugeh¨origem p-Wert (p = 1.772E − 07), auch hier wird die Nullhypothese verworfen.
7.3 Di¨ at Zuerst werden die Differenzen der einzelnen Werte der Stichproben berechnet. Es tritt eine Nulldifferenz auf, dieser Fall wird f¨ ur die weitere Analyse ausgeschlossen. Die Teststatistik berechnet sich aus der Summe der R¨ange, die sich aus den positiven Differenzen ergeben (T = 5). 1
2
3
4
5
6
7
8
9
vorher
31.5
34
33.7
32.6
34.9
35.9
32
30.5
32.8
nachher
29.8
32.7
30.4
32.6
33.5
33
32.9
30.3
33.1
Differenz
-1.7
-1.3
-3.3
0
-1.4
-2.9
0.9
-0.2
0.3
6
4
8
-
5
7
3
1
2
R¨ ange
Beim einseitigen Testproblem (Fall A) wird H0 abgelehnt, wenn Wn+ ≤ wα+ + gilt. Aus Tabelle 11.6 ist w0.05 = 6 abzulesen (mit n = 8), daher wird die Nullhypothese abgelehnt. R-Syntax: x=c(31.5,34,33.7,32.6,34.9,35.9,32,30.5,32.8) y=c(29.8,32.7,30.4,32.6,33.5,33,32.9,30.3,33.1) n=length(x) D=y-x T=sum(D>0) binom.test(T,n,p=0.5,alternative="less") library(exactRankTests) wilcox.exact(y,x,paired=TRUE,conf.int=TRUE,alternative="l") library(coin) wilcoxsign_test(y ~ x,alternative="l",distribution=exact())
330
¨ L¨ osungen zu den Ubungsaufgaben
Der einseitige Binomialtest f¨ uhrt zur Beibehaltung der Nullhypothese, der Wilcoxon-Test zur Ablehnung. Die Di¨ at hat den BMI der Personen signifikant verbessert. Das SAS-Programm ist analog zu L¨osung 7.1. Zu beachten ist allerdings, dass die von SAS ausgegebenen p-Werte zweiseitig sind und somit f¨ ur den einseitigen Test halbiert werden m¨ ussen. Das Ergebnis ist auch hier, dass der Vorzeichentest noch keinen Unterschied findet, der Wilcoxon-Test aber ein signifikantes Ergebnis zeigt (p = 0.0781/2 = 0.03905). F¨ ur das zweiseitige (Wilcoxon-)Konfidenzintervall werden bei dem vorliegenden Stichprobenumfang (n = 8) insgesamt 36 arithmetische Mittel der Dij = (Di + Dj )/2 bei 1 ≤ i ≤ j ≤ n berechnet. Anschließend wird die Ordnungsreihe gebildet. Die Indizes der Konfidenzintervalle m¨ ussen noch durch + + die Tabelle bestimmt werden, k = wα/2 = 4 und l = n(n + 1)/2 − wα/2 = (8 · (8 + 1))/2 − 4 + 1 = 33. Das Konfidenzintervall f¨ ur den Median zum Niveau 1 − α lautet folglich [D(4) , D(33) ] = [−2.5, 0.3]. Dieses Ergebnis erh¨ alt man auch in R. Der Median der Differenzen wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% von dem Intervall [-2.5,0.3] u ¨ berdeckt.
7.4 Migr¨ ane Im Rahmen der Studie gaben zwei Patienten an, dass beide Medikamente die gleiche Schmerzlinderung zur Folge hatten. Bei einem Stichprobenumfang von n = 12 empfiehlt es sich jedoch nicht die Bindungen zu entfernen, daher wird eine Bindung durch +“ und die andere Bindung durch -“ ersetzt. Es ergibt ” ” sich folglich eine Teststatistik T mit dem Wert 8, die unter H0 binomialverteilt ist mit den Parametern n = 12 und p = 1/2. Die restliche Aufgabe wird analog zu Aufgabe 7.1 (Vorzeichentest) gel¨ ost. Sowohl im zweiseitigen Test (Frage nach dem Unterschied), als auch im einseitigen Test (Frage, ob neues Medikament besser) muss die Nullhypothese beibehalten werden. Der einseitige p-Wert betr¨ agt 0.1938 und der zweiseitige p-Wert demnach 0.3877. Es besteht kein nachweisbarer Unterschied zwischen den Medikamenten.
¨ L¨ osungen zu den Ubungsaufgaben
331
L¨ osungen zu Kapitel 8 8.1 Lernmethoden Die h¨andische Berechnung der Kruskal-Wallis-Statistik erfolgt u ¨ber folgende Hilfswerte: auditiv x1j r1j 19 7 21 8 16 4 26 12 14 3 35 18 23 10 10 1 31 15 r1 = 78
j 1 2 3 4 5 6 7 8 9
12 · H= 25 · (25 + 1)
visuell x2j r2j 32 16 28 14 36 19 17 5 46 23 24 11 13 2 33 17
audiovisuell x3j r3j 47 24 52 25 38 20 43 22 22 9 18 6 41 21 27 13
r2 = 107
r3 = 140
782 1072 1402 + + 9 8 8
− 3 · (25 + 1) = 6.1315
Die Nullhypothese, dass mit den verschiedenen Lernmethoden gleich viele Vokabeln behalten werden, wird abgelehnt, da H = 6.13154 > χ20.95;2 = 5.99 ist. Der Median der gepoolten Stichprobe betr¨ agt M = 27 und die 2 × 3Kontingenztabelle sieht folgendermaßen aus:
≤M >M
χ2 =
auditiv 7 2 n1 =9
visuell 3 5 n2 =8
audiovisuell 3 5 n3 =8
13 12 N =25
(3 − 4.16)2 (3 − 4.16)2 (7 − 4.68)2 + + + 4.68 4.16 4.16 (2 − 4.32)2 (5 − 3.84)2 (5 − 3.84)2 + + = 3.7437 4.32 3.84 3.84
Der berechnete χ2 -Wert 3.7437 ist kleiner als das zugeh¨orige χ2 -Quantil mit 2 Freiheitsgraden χ20.95;2 = 5.99. Im Gegensatz zum Kruskal-Wallis-Test erkennt der Mediantest keine Unterschiede zwischen den Lernmethoden.
332
¨ L¨ osungen zu den Ubungsaufgaben
F¨ ur den Jonckheere-Terpstra-Test berechnet man: j 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x1j 19 21 16 26 14 35 23 10 31
Vgl.1 r1j 6 7 4 10 3 15 8 1 12 r1 = 66
x2j 32 28 36 17 46 24 13 33
r2j 13 11 16 5 17 9 2 14
x1j 19 21 16 26 14 35 23 10 31
Vgl.2 r1j 5 6 3 9 2 12 8 1 11 r1 = 57
x3j 47 52 38 43 22 18 41 27
r3j 16 17 13 15 7 4 14 10
x2j 32 28 36 17 46 24 13 33
Vgl.3 r2j 8 7 10 2 14 5 1 9
x3j 47 52 38 43 22 18 41 27
r3j 15 16 11 13 4 3 12 6
r2 = 56
9 · 10 8·9 9 · 10 + 9 · 8 − 57 − + 8 · 8 − 56 − = J = 9 · 8 − 66 − 2 2 2 = 51 + 60 + 44 = 155 JT = 9 · 8 + 9 · 8 + 8 · 8 − 155 = 53 E(J) =
1 2 · 25 − (92 + 82 + 82 ) = 104 4
1 2 · 25 · (2 · 25 + 3) − 92 · (2 · 9 + 3) + 2 · 82 · (2 · 8 + 3) = 72 = 402.67
V (J) =
155 − 104 Z= √ = 2.5415 402.67 Da der Z-Wert 2.5415 ≥ u0.95 = 1.645 ist, wird die Nullhypothese verworfen. Es besteht demnach ein steigender Trend in den Gruppen. SAS-Programm DATA Lernmethoden; INPUT Gruppe Vokabel; DATALINES; 1 19 . . . 3 27 ; RUN;
¨ L¨ osungen zu den Ubungsaufgaben
333
PROC NPAR1WAY WILCOXON DATA = Lernmethoden; CLASS Gruppe; EXACT / MC N = 100000 SEED = 1; VAR Vokabel; RUN; PROC FREQ DATA = Lernmethoden; EXACT JT; TABLES Gruppe*Vokabel / JT; RUN; F¨ ur den Kruskal-Wallis-Test erh¨ alt man die Teststatistik (6.1315), den approximierten p-Wert (0.0466) und den Monte-Carlo-Sch¨ atzer f¨ ur den p-Wert (0.0410). F¨ ur den Jonckheere-Terpstra-Test erh¨alt man die Teststatistik (155), die einseitigen p-Werte (asymptotisch p=0.0055, exakt p=0.0110) und die einseitigen p-Werte (asymptotisch p=0.0052, exakt p=0.0105). Es gibt also einen ansteigenden Trend in den Lernmethoden.
R-Programm x1 = c(19, 21, 16, 26, 14, 35, 23, 10, 31) x2 = c(32, 28, 36, 17, 46, 24, 13, 33) x3 = c(47, 52, 38, 43, 22, 18, 41, 27) kruskal.test(list(x1, x2, x3)) Tabelle = matrix(c(7, 3, 3, 2, 5, 5), ncol = 2) chisq.test(Tabelle) library(clinfun) Lernen=as.matrix(c(x1, x2, x3)) Gruppe = c(rep(1, 9), rep(2, 8), rep(3, 8)) jonckheere.test(Lernen, Gruppe, alternative = "increasing") F¨ ur den Kruskal-Wallis-Test erh¨ alt man die Teststatistik (6.1315) und den approximierten p-Wert (0.04662). Der Mediantest weist die Teststatistik 3.7438 aus und den p-Wert (0.1538). Wie schon bei der h¨ andischen Berechnung festgestellt, wird beim Kruskal-Wallis-Test im Gegensatz zum Mediantest die Nullhypothese verworfen. Der einseitige Jonckheere-Terpstra-Test berechnet die Teststatistik (JT=53) und den p-Wert (0.005233). Demnach ist ein ansteigender Trend nachweisbar.
334
¨ L¨ osungen zu den Ubungsaufgaben
8.2 Fernsehverhalten F¨ ur die Friedman-Statistik berechnet man
Person 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C=
1 4 4 4 4 3.5 4 1 3.5 1.5 4 r1 = 33.5
Jahr 2 2 2.5 2.5 3 3.5 2.5 4 1.5 3 2 r2 = 26.5 r3
3 2 1 2.5 1 1.5 2.5 2.5 3.5 4 2 = 22.5
4 2 2.5 1 2 1.5 1 2.5 1.5 1.5 2 r4 = 17.5
1 · 2 · (33 − 3) + 9 · (23 − 2) = 0.17 2 10 · 4 · (4 − 1)
12 1 · · (33.52 + 26.52 + 22.52 + 17.52 ) − 3 · 10 · 5 = 1 − 0.17 10 · 4 · 5 1 · 8.22 = 9.904 = 1 − 0.17
Fc∗ =
Aufgrund des Stichprobenumfanges kann mittels χ2 -Verteilung approximiert werden. H0 wird abgelehnt, da Fc∗ = 9.904 > χ20.95;3 = 7.815, das bedeutet, dass sich die Fernsehdauer der Studierende signifikant ver¨ andert hat.
F¨ ur die Kendall-Statistik erh¨ alt man: ) 2 2 12 10 · 5 10 · 5 W = + 26.5 − + · 33.5 − 100 · 4 · (42 − 1) 2 2 2 2 * 10 · 5 10 · 5 = 0.274 + 17.5 − + 22.5 − 2 2 W =
8.22 = 0.274 10 · 3
W∗ =
9.904 = 0.330 10 · 3
¨ L¨ osungen zu den Ubungsaufgaben
335
F¨ ur den Trend-Test nach Page erh¨alt man: Jahr Person 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 rj j rj · j
1 4 4 4 4 3.5 4 1 3.5 1.5 4 33.5 4 134
2 2 2.5 2.5 3 3.5 2.5 4 1.5 3 2 26.5 3 79.5
3 2 1 2.5 1 1.5 2.5 2.5 3.5 4 2 22.5 2 45
4 2 2.5 1 2 1.5 1 2.5 1.5 1.5 2 17.5 1 17.5
L = 134 + 79.5 + 45 + 17.5 = 276
E(L) =
10 · 4 · 52 = 250 4
V (L) =
10 · 42 · 52 · 3 = 83.333 144
276 − 250 = 2.848 Z= √ 83.333 Die Nullhypothese wird verworfen, da u0.95 = 1.645 < 2.848 = Z ist. Die Berechnung der Teststatistik f¨ ur den Quade-Test ist etwas aufw¨ andiger: Jahr Person 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 rj
1 4 4 4 4 3.5 4 1 3.5 1.5 4 33.5
2 2 2.5 2.5 3 3.5 2.5 4 1.5 3 2 26.5
3 2 1 2.5 1 1.5 2.5 2.5 3.5 4 2 22.5
4 2 2.5 1 2 1.5 1 2.5 1.5 1.5 2 17.5
Di 2 1.5 3 2.5 1 3.5 1 1 2 1
qi 6.5 5 9 8 2.5 10 2.5 2.5 6.5 2.5
336
¨ L¨ osungen zu den Ubungsaufgaben Jahr Person 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 9.75 7.5 13.5 12 2.5 15 -3.75 2.5 -6.5 3.75 56.25
2 -3.25 0 0 4 2.5 0 3.75 -2.5 3.25 -1.25 6.5
3 -3.25 -7.5 0 -12 -2.5 0 0 2.5 9.75 -1.25 -14.25
4 -3.25 0 -13.5 -4 -2.5 -15 0 -2.5 -6.5 -1.25 -48.5
Jahr Person 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
St =
1 95.0625 56.25 182.25 144 6.25 225 14.0625 6.25 42.25 14.0625 785.4375
2 10.5625 0 0 16 6.25 0 14.0625 6.25 10.5625 1.5625 65.25
3 10.5625 56.25 0 144 6.25 0 0 6.25 95.0625 1.5625 319.9375
4 10.5625 0 182.25 16 6.25 225 0 6.25 42.25 1.5625 490.125
56.252 + 6.52 + (−14.25)2 + (−48.5)2 = 576.1625 10
Ss = 785.4375 + 65.25 + 319.9375 + 490.125 = 1660.75 T =
9 · 576.1625 = 4.781. 1660.75 − 576.1625
Die Nullhypothese wird verworfen, da T = 4.781 > F0.95;3;27 = 2.960 ist. SAS-Programm DATA Fernsehen; INPUT id Jahr Stunden @@; DATALINES; 1 1 5 1 2 3 1 3 3 1 4 3 . . . 10 1 2 10 2 1 10 3 1 10 4 1 ; RUN;
¨ L¨ osungen zu den Ubungsaufgaben
337
PROC FREQ DATA = Fernsehen; TABLES id*Jahr*stunden / CMH2 SCORES = RANK; RUN; Der Friedman-Test berechnet als Teststatistik 9.9036 und als p-Wert 0.0194, daher wird die Nullhypothese verworfen. Es gibt signifikante Unterschiede in der Fernsehdauer. R-Programm fernsehen = matrix(c(3,3,3,5,5,4.5,5,6,2,3,3,5,1.5,1,2,3.5, 4,4,5,5,1,3.5,3.5,4.5,3,3,3.5,2.5,5,6,5, 6,3,5,4,3,1,1,1,2), 10, 4, byrow = TRUE) friedman.test(fernsehen) quade.test(fernsehen) library(concord) kendall.w(fernsehen,ranks=FALSE) page.trend.test(fernsehen) Alle Tests zeigen ein signifikantes Ergebnis mit folgenden Teststatistiken bzw. p-Werten: •
Friedman-Test (Fc = 9.9036, p = 0.01940)
•
Kendall-Test (W = 0.3301205, p < 0.05)
•
Quade-Test (T = 4.781, p < 0.00846)
•
Page-Test (L = 276, p < 0.01)
8.3 Eiscreme Die Durbin-Teststatistik ergibt sich aus: ) 2 12 · 6 3·4 D= · 8− + (9 − 6)2 + (4 − 6)2 + (3 − 6)2 + 3·7·8 2 * +(5 − 6)2 + (6 − 6)2 + (7 − 6)2 = 12 Die Nullhypothese wird beibehalten, da χ20.95;6 = 12.5916 > 12 = D ist. Es gibt keine erkennbaren Unterschiede in der Pr¨ aferenz.
338
¨ L¨ osungen zu den Ubungsaufgaben
R-Programm Personen = gl(7,3) Eissorten = c(1,2,4,2,3,5,3,4,6,4,5,7,1,5,6,2,6,7,1,3,7) Bewertung = c(2,3,1,3,1,2,2,1,3,1,2,3,3,1,2,3,1,2,3,1,2) library(agricolae) durbin.test(Personen, Eissorten,Bewertung,group=TRUE) Neben der Teststatistik (12) wird auch der p-Wert ausgegeben (0.0619688), auch hier muss die Nullhypothese beibehalten werden.
8.4 Di¨ atstudie Die h¨andische Berechnung der Teststatistik ergibt: ˙ 2 + 4(5 − 3.4) ˙ 2 + (1 − 3.4) ˙ 2 + 2(2 − 3.4) ˙ 2 9 · 8 2(3 − 3.4) Q= = 12.552 9 · 31 − 163 Die Nullhypothese muss beibehalten werden, da χ20.95;8 = 15.507 > 12.552 = Q ist. Es k¨onnen keine signifikanten Unterschiede festgestellt werden. R-Programm Gewicht = matrix(c(0,1,1,0,1,1,0,1,0,1,0,0,0, 1,1,0,1,0,1,1,1,0,0,1,0,1,0,0,1,1,1,0, 0,1,1,1,0,1,1,0,0,1,1,0,1,1,1,1,0,1,1, 0,1,0), 6, 9, byrow = TRUE) friedman.test(Gewicht) quade.test(Gewicht) SAS-Programm DATA Gewicht; INPUT id Woche $ abnahme @@; DATALINES; 1 1 0 1 2 1 1 3 1 1 4 0 1 5 1 1 6 1 1 7 0 1 8 1 1 9 0 . . . 6 1 1 6 2 1 6 3 1 6 4 0 6 5 1 6 6 1 6 7 0 6 8 1 6 9 0 ; RUN; PROC FREQ DATA = Gewicht; TABLES id*woche*abnahme / CMH2 SCORES = RANK; RUN;
¨ L¨ osungen zu den Ubungsaufgaben
339
L¨ osungen zu Kapitel 9 9.1 Interesse an Sport¨ ubertragung SAS-Syntax: DATA Sport; INPUT Interesse Geschlecht Anzahl; DATALINES; 0 0 60 0 1 70 1 0 30 1 1 80 ; RUN; PROC FREQ DATA=Sport; WEIGHT Anzahl; TABLES Interesse*Geschlecht / CHISQ; RUN; Sowohl mit dem Chi-Quadrat-Test (Teststatistik 9.0629, p-Wert 0.0026), als auch nach dem Fisher-Test (Teststatistik 60, einseitiger p-Wert 0.0019, zweiseitiger p-Wert 0.0032) kann die Nullhypothese verworfen werden. Das Interesse ist signifikant vom Geschlecht abh¨ angig (zweiseitiger Test), M¨anner haben mehr Interesse als Frauen (einseitiger Test).
R-Syntax: Interesse=matrix(c(60,70,30,80),ncol=2) chisq.test(Interesse,simulate.p.value=TRUE, B=1000000) chisq.test(Interesse,simulate.p.value=FALSE) fisher.test(Interesse) fisher.test(Interesse, alternative = "greater") Sowohl mit dem Chi-Quadrat-Test (Teststatistik 9.0629, simulierter p-Wert 0.003259, Teststatistik mit Stetigkeitskorrektur 8.2752, p-Wert 0.004019), als auch nach dem Fisher-Test (einseitiger p-Wert 0.001906, zweiseitiger pWert 0.003196) kann die Nullhypothese verworfen werden. Das Interesse ist signifikant vom Geschlecht abh¨angig (zweiseitiger Test), M¨anner haben mehr Interesse als Frauen (einseitiger Test).
340
¨ L¨ osungen zu den Ubungsaufgaben
9.2 K¨ orpergr¨ oße und Gewicht SAS-Syntax: DATA Korrelation; INPUT Groesse Gewicht; DATALINES; 175 75 . . . 183 82 ; RUN; PROC CORR DATA = Korrelation; VAR Groesse Gewicht; RUN; PROC GPLOT; PLOT Gewicht*Groesse; RUN; Der Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson betr¨ agt 0.72672 mit einem (zweiseitigen) p-Wert von 0.0173. Somit gibt es einen signifikanten Zusammenhang zwischen K¨orpergr¨ oße und Gewicht. Der Korrelationskoeffizient wurde nur auf signifikante Abweichung zu Null getestet, daher wurde auch nur nachgewiesen, dass ein Zusammenhang besteht. Damit kann aber keine Aussage u ¨ ber die St¨ arke des Zusammenhanges in der Grundgesamtheit get¨atigt werden. Nur f¨ ur die Stichprobe darf zu Recht behauptet werden, dass ein eher starker Zusammenhang vorliegt. R-Syntax: Groesse = c(175,175,184,180,173,173,184,179,168,183) Gewicht = c(75,73,74,82,77,70,88,68,60,82) cor.test(Groesse,Gewicht,alternative="t",method="pearson") cor.test(Groesse,Gewicht,alternative="g",method="pearson") plot(Groesse, Gewicht) In R kann einseitig oder zweiseitig getestet werden. Der zweiseitige p-Wert (0.01727) zeigt einen signifikanten Zusammenhang zwischen Gr¨oße und Gewicht, der einseitige p-Wert zeigt eine signifikante positive Korrelation (gr¨oßere Menschen haben tendenziell mehr Gewicht). Wie leicht nachzurechnen ist ergibt sich der einseitige p-Wert direkt aus dem zweiseitigen p-Wert bei Division durch 2.
¨ L¨ osungen zu den Ubungsaufgaben
341
9.3 Lehrveranstaltung SAS-Syntax: DATA LVA; INPUT Klausur Eindruck; DATALINES; 1 1 6 2 7 7 5 3 2 4 4 5 3 6 ; RUN; PROC CORR DATA = LVA SPEARMAN; VAR Klausur Eindruck; RUN; PROC CORR DATA = LVA KENDALL; VAR Klausur Eindruck; RUN; Der Korrelationskoeffizient nach Spearman betr¨ agt 0.39286 und ist nicht signifikant (p=0.3833). Auch der Korrelationskoeffizient nach Kendall (0.2381) ist nicht signifikant (p=0.4527). Es kann kein Zusammenhang zwischen Eindruck und Leistung bei der Klausur nachgewiesen werden. R-Syntax: Klausur = c(1,6,7,5,2,4,3) Eindruck = c(1,2,7,3,4,5,6) cor.test(Klausur,Eindruck,alternative="t",method="spearman") cor.test(Klausur,Eindruck,alternative="g",method="spearman") cor.test(Klausur,Eindruck,alternative="t",method="kendall") cor.test(Klausur,Eindruck,alternative="g",method="kendall") Neben dem Korrelationskoeffizienten nach Spearman (0.3928571) und dessen p-Wert (zweiseitig 0.3956, einseitig 0.1978) wird auch die Teststatistik ausgegeben (S=34). Auch beim Korrelationskoeffizienten nach Kendall (0.2380952) und den zugeh¨ origen p-Werten (einseitig 0.2810, zweiseitig 0.5619) wird zus¨ atzlich noch die Teststatistik ausgegeben (13). Es konnte kein Zusammenhang zwischen dem Eindruck und der Klausur nachgewiesen werden.
342
¨ L¨ osungen zu den Ubungsaufgaben
9.4 Abfahrtslauf Zeit ist zwar ein metrisches Merkmal, aber die Startnummer ist lediglich eine Reihenfolge und daher ordinal. Zum Messen und Testen des Zusammenhanges sind daher der Korrelationskoeffizient nach Spearman bzw. Kendall geeignet. F¨ ur die Analyse werden die Zeiten in Platzierungen umgewandelt (= R¨ange zugeordnet). F¨ ur die Syntax sei auf die L¨ osung des Beispiels 9.3 verwiesen. Die Korrelation nach Spearman betr¨ agt 0.4048 und ist nicht signifikant (einseitiger p-Wert 0.1634), auch die Korrelation nach Kendall (0.3571) ist nicht signifikant (einseitiger p-Wert 0.1375). Ein Zusammenhang zwischen Startnummer und Platzierung kann daher nicht nachgewiesen werden.
9.5 Freude an der Schule Als Tests bieten sich der Chi-Quadrat-Test auf Unabh¨angigkeit und der Fisher-Test an. F¨ ur die Syntax sei auf die L¨ osung des Beispiels 9.1 verwiesen. Der Chi-Quadrat-Test (Teststatistik ohne Stetigkeitskorrektur 91.4623) und der Fisher-Test zeigen einen signifikanten Zusammenhang zwischen Geschlecht und Freude an der Schule mit einem p-Wert, der sehr nahe bei Null liegt (<.0001 bzw. 6.681E-22). Jungen haben signifikant weniger Freude an der Schule als M¨adchen (Fisher-Test, einseitiger p-Wert 1.025E-21).
L¨ osungen zu Kapitel 10 10.1 Histogramm R-Syntax: Gewicht = read.table("C:/Pfad/Gewicht.txt", header = TRUE) summary(Gewicht$Gewicht) hist(Gewicht$Gewicht,breaks = seq(40,180,10),freq = FALSE, main = "Histogramm des Gewichtes der Patienten", ylab = "Dichte", xlab = "Gewicht in kg", col = "grey") hist(Gewicht$Gewicht, breaks=c(40,61,68,72,76,80,85,90,98,180), freq = FALSE, main = "Histogramm des Gewichtes der Patienten mit verschiedenen Intervallbreiten", ylab = "Dichte", xlab = "Gewicht in kg", col = "grey")
¨ L¨ osungen zu den Ubungsaufgaben
343
SAS-Syntax: PROC IMPORT DATAFILE=’C:\Pfadangaben\Gewicht.txt’ OUT = Gewichtsdaten; GETNAMES = yes; RUN; PROC UNIVARIATE DATA = Gewichtsdaten; TITLE1 ’Histogramm des Gewichtes der Patienten’; VAR Gewicht; LABEL Gewicht = ’Gewicht in kg’; HISTOGRAM gewicht / MIDPOINTS = (45 55 65 75 85 95 105 115 125 135 145 155 165 175) VSCALE = PROPORTION NOFRAME CFILL = LTGRAY VAXISLABEL = ’Dichte’; RUN;
10.2 Mittlere Abweichung Die mittleren Abweichungen sind kein gutes Maß f¨ ur die G¨ ute der Approximation, da die Abweichungen vorzeichenbehaftet sind und sich daher positive und negative Abweichungen aufheben (k¨ onnen). Es ist z.B. m¨ oglich mit einer konstanten Funktion eine Gerade mit positiver Steigung anzun¨ ahern, sodass der mittlere Fehler gleich 0 ist. Bessere Maße bilden: •
Mittel der quadrierten Abweichungen
•
Mittel der absoluten Abweichungen
1 n
1 n
n
n
2 i=1 εi
i=1
|εi |
10.3 Kerndichtesch¨ atzung R-Syntax: Gewicht = read.table("C:/Pfad/Gewicht.txt", header = TRUE) plot(density(Gewicht$Gewicht, bw=1, kernel = "gaussian"), main = "Approximation mit Gausskern", xlab = "Gewicht", ylab = "Dichte") plot(density(Gewicht$Gewicht, bw=1, kernel = "triangular"), main = "Approximation mit Dreieckskern", xlab = "Gewicht", ylab = "Dichte")
344
¨ L¨ osungen zu den Ubungsaufgaben
SAS-Syntax: PROC IMPORT DATAFILE=’C:\Pfad\Gewicht.txt’ OUT = Gewichtsdaten; GETNAMES = yes; RUN; PROC UNIVARIATE DATA = Gewichtsdaten; TITLE1 ’SAS-Histogramm mit Dreieckskern’; LABEL Gewicht = ’Gewicht der Patienten’; HISTOGRAM Gewicht / KERNEL(k = triangular COLOR = red) NOFRAME CFILL = LTGRAY VSCALE = PROPORTION VAXISLABEL = ’relative H¨ aufigkeit’; RUN; PROC UNIVARIATE DATA = Gewichtsdaten; TITLE1 ’SAS-Histogramm mit Dreieckskern’; LABEL Gewicht = ’Gewicht der Patienten’; HISTOGRAM Gewicht / KERNEL(k = normal COLOR = red) NOFRAME CFILL = LTGRAY VSCALE = PROPORTION VAXISLABEL = ’relative H¨ aufigkeit’; RUN; 10.4 Optimale Bandbreite R-Syntax: Gewicht = read.table("C:/Pfad/Gewicht.txt", header = TRUE) var(Gewicht$Gewicht) length(Gewicht$Gewicht) plot(density(Gewicht$Gewicht,bw=4.5653,kernel="gaussian"), main = "Approximation mit Gausskern", xlab = "Gewicht", ylab = "Dichte") Einlesen der Daten in R zur Berechnung der Stichprobenvarianz und Ausgabe der Varianz (253.9741) sowie der L¨ange des Datensatzes (n=1014). Berechnung des Integrals f¨ ur den Gauß-Kern:
∞
K= −∞
1 2 1 √ e− 2 u 2π
2 du = 0.282095
Einsetzen in die Formel f¨ ur die optimale Bandbreite ergibt
¨ L¨ osungen zu den Ubungsaufgaben
hopt hopt hopt
1 √ K(u)2 du 5 2 ≤ 1.473 s N σ4 1 √ 0.282095 5 ≤ 1.473 253.9741 1014 · 12 ≤ 4.5653
Mit Hilfe der Silverman Daumenregel erh¨alt man √ √ 1 1 h = 1.06 s2 N − 5 = 1.06 253.97411014− 5 = 4.23149 als obere Schranke f¨ ur die optimale Bandbreite.
10.5 Kleinst-Quadrat-Sch¨ atzung R-Syntax: plot(trees$Girth,trees$Height, main="Streudiagramm", xlab="Durchmesser in inches", ylab="H¨ ohe in ft") linreg=lm(trees$Height ~ trees$Girth) abline(linreg) coefficients(linreg) fitted.values(linreg) residuals(linreg) sum(residuals(linreg)^2) summary(linreg) SAS-Syntax: PROC IMPORT DATAFILE=’C:\Pfad\baueme.txt’ OUT = Baumdaten; GETNAMES = yes; RUN; PROC REG DATA = Baumdaten; MODEL hoehe=durchmesser; PLOT hoehe*durchmesser; RUN; Die Regressionsgerade mit den Kleinst-Quadrat-Sch¨ atzern lautet: Y = 62.0313 + 1.0544 X
345
346
¨ L¨ osungen zu den Ubungsaufgaben
10.6 Verfahren von Theil R-Syntax: o = order(trees$Girth) baeumeSort = cbind(trees$Girth[o], trees$Height[o]) alleSteigungen = matrix(nrow = 31, ncol = 31) for (i in 1:30){ for (j in (i+1):31) { alleSteigungen[i,j]=(baeumeSort[j,2]-baeumeSort[i,2]) /(baeumeSort[j,1]-baeumeSort[i,1]) } } median(alleSteigungen,na.rm = TRUE) alleIntercepts = matrix(nrow = 31, ncol = 31) for (i in 1:30){ for (j in (i+1):31) { if((baeumeSort[j,1] != baeumeSort[i,1])){ alleIntercepts[i,j] = (baeumeSort[j,1]*baeumeSort[i,2] - baeumeSort[i,1]*baeumeSort[j,2])/ (baeumeSort[j,1]-baeumeSort[i,1]) } } } median(alleIntercepts,na.rm = TRUE) n = 31 sum(alleIntercepts,na.rm=TRUE)/((n*(n-1))/2)
Im verbesserten Verfahren nach Theil ergibt sich: Y = 62.61765 + 1.0 X
Verwendet man den Sch¨ atzer nach Randles und Wolfe, so erh¨ alt man: Y = 65.85774 + 1.0 X
¨ L¨ osungen zu den Ubungsaufgaben
347
10.7 Regression mit Kerndichten R-Syntax: o = order(trees$Girth) baeumeSort = cbind(trees$Girth[o], trees$Height[o]) plot(baeumeSort[,1], baeumeSort[,2], main = "Abh¨ angigkeit der H¨ ohe vom Durchmesser der B¨ aume", xlab = "Durchmesser in inches", ylab = "H¨ ohe in ft") lines(ksmooth(baeumeSort[,1], baeumeSort[,2], "normal", bandwidth = 0.1), col = 3,lwd = 2) for (i in c(1,2,4,8)){ lines(ksmooth(baeumeSort[,1], baeumeSort[,2], "normal", bandwidth = i), col = i,lwd = 2) } legend("top", legend = "Gauss-Kern ") legend("topleft", legend = c("h = 0.5","h = 1", "h = 2", "h = 4", "h = 8"), col = c(3,1,2,4,8),lwd = 2) plot(baeumeSort[,1], baeumeSort[,2], sub = "Watson-Nadaraya-Sch¨ atzer", xlab = "Durchmesser in inches", ylab = "H¨ ohe in ft") lines(ksmooth(baeumeSort[,1], baeumeSort[,2], "box", bandwidth = 0.1), col = 3,lwd = 2) for (i in c(1,2,4,8)){ lines(ksmooth(baeumeSort[,1], baeumeSort[,2], "box", bandwidth = i), col = i,lwd = 2) } legend("top",legend = "Rechteck-Kern ") legend("topleft", legend = c("h = 0.5","h = 1", "h = 2", "h = 4", "h = 8"), col = c(3,1,2,4,8),lwd = 2)
11 Tabellen
350
11 Tabellen
11.1 Standardnormalverteilung Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung Φ(−z) = 1 − Φ(z) Ablesebeispiel: Φ(−1.91) = 1 − Φ(1.91) = 1 − 0.9719 = 0.0281 z
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
z
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4
0.5000 0.5398 0.5793 0.6179 0.6554
0.5040 0.5438 0.5832 0.6217 0.6591
0.5080 0.5478 0.5871 0.6255 0.6628
0.5120 0.5517 0.5910 0.6293 0.6664
0.5160 0.5557 0.5948 0.6331 0.6700
0.5199 0.5596 0.5987 0.6368 0.6736
0.5239 0.5636 0.6026 0.6406 0.6772
0.5279 0.5675 0.6064 0.6443 0.6808
0.5319 0.5714 0.6103 0.6480 0.6844
0.5359 0.5753 0.6141 0.6517 0.6879
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
0.6915 0.7257 0.7580 0.7881 0.8159
0.6950 0.7291 0.7611 0.7910 0.8186
0.6985 0.7324 0.7642 0.7939 0.8212
0.7019 0.7357 0.7673 0.7967 0.8238
0.7054 0.7389 0.7704 0.7995 0.8264
0.7088 0.7422 0.7734 0.8023 0.8289
0.7123 0.7454 0.7764 0.8051 0.8315
0.7157 0.7486 0.7794 0.8079 0.8340
0.7190 0.7517 0.7823 0.8106 0.8365
0.7224 0.7549 0.7852 0.8133 0.8389
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4
0.8413 0.8643 0.8849 0.9032 0.9192
0.8438 0.8665 0.8869 0.9049 0.9207
0.8461 0.8686 0.8888 0.9066 0.9222
0.8485 0.8708 0.8907 0.9082 0.9236
0.8508 0.8729 0.8925 0.9099 0.9251
0.8531 0.8749 0.8944 0.9115 0.9265
0.8554 0.8770 0.8962 0.9131 0.9279
0.8577 0.8790 0.8980 0.9147 0.9292
0.8599 0.8810 0.8997 0.9162 0.9306
0.8621 0.8830 0.9015 0.9177 0.9319
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4
1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
0.9332 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713
0.9345 0.9463 0.9564 0.9649 0.9719
0.9357 0.9474 0.9573 0.9656 0.9726
0.9370 0.9484 0.9582 0.9664 0.9732
0.9382 0.9495 0.9591 0.9671 0.9738
0.9394 0.9505 0.9599 0.9678 0.9744
0.9406 0.9515 0.9608 0.9686 0.9750
0.9418 0.9525 0.9616 0.9693 0.9756
0.9429 0.9535 0.9625 0.9699 0.9761
0.9441 0.9545 0.9633 0.9706 0.9767
1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
2.0 2.1 2.2 2.3 2.4
0.9773 0.9821 0.9861 0,9893 0.9918
0.9778 0.9826 0.9864 0.9896 0.9920
0.9783 0.9830 0.9868 0.9898 0.9922
0.9788 0.9834 0.9871 0.9901 0.9925
0.9793 0.9838 0.9875 0.9904 0.9927
0.9798 0.9842 0.9878 0.9906 0.9929
0.9803 0.9846 0.9881 0.9909 0.9931
0.9808 0.9850 0.9884 0.9911 0.9932
0.9812 0.9854 0.9887 0.9913 0.9934
0.9817 0.9857 0.9890 0.9916 0.9936
2.0 2.1 2.2 2.3 2.4
2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
0.9938 0.9953 0.9965 0.9974 0.9981
0.9940 0.9955 0.9966 0.9975 0.9982
0.9941 0.9956 0.9967 0.9976 0.9983
0.9943 0.9957 0.9968 0.9977 0.9983
0.9945 0.9959 0.9969 0.9977 0.9984
0.9946 0.9960 0.9970 0.9978 0.9984
0.9948 0.9961 0.9971 0.9979 0.9985
0.9949 0.9962 0.9972 0.9979 0.9985
0.9951 0.9963 0.9973 0.9980 0.9986
0.9952 0.9964 0.9974 0.9981 0.9986
2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
Tabelle 1a: Ausgew¨ ahlte Quantile der Standardnormalverteilung p
0.8
0.9
0.95
0.975
0.98
0.99
0.995
zp
0.84162
1.28155
1.6449
1.9600
2.0538
2.3264
2.5758
11.2
Student-Verteilung (t-Verteilung)
351
11.2 Student-Verteilung (t-Verteilung) Tabelle 2: Quantile der Student-Verteilung tn;p p n
80%
90%
95%
97.5%
99%
99.5%
99.9%
99.95%
n
1 2 3 4 5
1.3764 1.0607 0.9785 0.9410 0.9195
3.0777 1.8856 1.6377 1.5332 1.4759
6.3138 2.9200 2.3534 2.1319 2.0151
12.706 4.3027 3.1825 2.7765 2.5706
31.821 6.9646 4.5407 3.7470 3.3649
63.657 9.9248 5.8409 4.6041 4.0321
318.31 22.327 10.215 7.1732 5.8934
636.62 31.599 12.924 8.6103 6.8688
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
0.9057 0.8960 0.8889 0.8830 0.8791
1.4398 1.4149 1.3968 1.3830 1.3722
1.9432 1.8946 1.8596 1.8331 1.8125
2.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.2281
3.1427 2.9980 2.8965 2.8214 2.7638
3.7074 3.4995 3.3554 3.2498 3.1693
5.2076 4.7853 4.5008 4.2968 4.1437
5.9588 5.4079 5.0413 4.7809 4.5869
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
0.8755 0.8726 0.8702 0.8681 0.8662
1.3634 1.3562 1.3502 1.3450 1.3406
1.7959 1.7823 1.7709 1.7613 1.7531
2.2010 2.1788 2.1604 2.1448 2.1315
2.7181 2.6810 2.6503 2.6245 2.6025
3.1058 3.0545 3.0123 2.9768 2.9467
4.0247 3.9296 3.8520 3.7874 3.7328
4.4370 4.3178 4.2208 4.1405 4.0728
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
0.8647 0.8633 0.8621 0.8610 0.8600
1.3368 1.3334 1.3304 1.3277 1.3253
1.7459 1.7396 1.7341 1.7291 1.7247
2.1199 2.1098 2.1009 2.0930 2.0860
2.5835 2.5669 2.5524 2.5395 2.5280
2.9208 2.8982 2.8784 2.8609 2.8453
3.6862 3.6458 3.6105 3.5794 3.5518
4.0150 3.9651 3.9217 3.8834 3.8495
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25
0.8591 0.8583 0.8575 0.8569 0.8562
1.3232 1.3212 1.3195 1.3178 1.3164
1.7207 1.7171 1.7139 1.7109 1.7081
2.0796 2.0739 2.0687 2.0639 2.0595
2.5177 2.5083 2.4999 2.4922 2.4851
2.8314 2.8188 2.8073 2.7969 2.7874
3.5272 3.5050 3.4850 3.4668 3.4502
3.8193 3.7921 3.7676 3.7454 3.7251
21 22 23 24 25
26 27 28 29 30
0.8557 0.8551 0.8547 0.8542 0.8538
1.3150 1.3137 1.3125 1.3114 1.3104
1.7056 1.7033 1.7011 1.6991 1.6973
2.0555 2.0518 2.0484 2.0452 2.0423
2.4786 2.4727 2.4671 2.4620 2.4573
2.7787 2.7707 2.7633 2.7564 2.7500
3.4350 3.4210 3.4082 3.3962 3.3852
3.7066 3.6896 3.6739 3.6594 3.6460
26 27 28 29 30
50 100 150 200 500
0.8489 0.8452 0.8440 0.8434 0.8423
1.2987 1.2901 1.2872 1.2858 1.2833
1.6759 1.6602 1.6551 1.6525 1.6479
2.0086 1.9840 1.9759 1.9719 1.9647
2.4033 2.3642 2.3515 2.3451 2.3338
2.6778 2.6259 2.6090 2.6006 2.5857
3.2614 3.1737 3.1455 3.1315 3.1066
3.4960 3.3905 3.3566 3.3398 3.3101
50 100 150 200 500
∞
0.8416
1.2816
1.6449
1.9600
2.3264
2.5758
3.0902
3.2905
∞
352
11 Tabellen
11.3 Chi-Qudrat-Verteilung Quantile der Chi-Quadrat-Verteilung χ2n;p p n
0.5%
1%
2.5%
5%
10%
50%
n
1 2 3 4 5
0.0000 0.0100 0.0717 0.2070 0.4117
0.0002 0.0201 0.1148 0.2971 0.5543
0.0010 0.0506 0.2158 0.4844 0.8312
0.0039 0.1026 0.3518 0.7107 1.1455
0.0158 0.2107 0.5844 1.0636 1.6103
0.4549 1.3863 2.3660 3.3567 4.3515
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
0.6757 0.9893 1.3444 1.7349 2.1559
0.8721 1.2390 1.2390 1.2390 2.5582
1.2373 1.6899 2.1797 2.7004 3.2470
1.6354 2.1674 2.7326 3.3251 3.3251
2.2041 2.8331 3.4895 4.1682 4.8652
5.3481 6.3458 7.3441 8.3428 9.3418
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
2.6032 3.0738 3.5650 4.0747 4.6009
3.0535 3.5706 4.1069 4.6604 5.2294
3.8158 4.4038 5.0088 5.6287 6.2621
4.5748 5.2260 5.8919 6.5706 7.2609
5.5778 6.3038 7.0415 7.7895 8.5468
10.3410 11.3403 12.3398 13.3393 14.3389
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
5.1422 5.6972 5.6972 6.8440 7.4338
5.8122 6.4078 7.0149 7.6327 8.2604
6.9077 7.5642 8.2308 8.9065 9.5908
7.9617 8.6718 9.3905 10.1170 10.8508
9.3122 10.0852 10.8649 11.6509 12.4426
15.3385 16.3382 17.3379 18.3377 19.3374
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25
8.0337 8.6427 9.2604 9.8862 10.5197
8.8972 9.5425 10.1957 10.8564 11.5240
10.2829 10.9823 11.6886 12.4012 13.1197
11.5913 12.3380 13.0905 13.8484 14.6114
13.2396 14.0415 14.8480 15.6587 16.4734
20.3372 21.3370 22.3369 23.3367 24.3366
21 22 23 24 25
26 27 28 29 30
11.1602 11.8076 12.4613 13.1212 13.7867
12.1982 12.8785 13.5647 14.2565 14.9535
13.8439 14.5734 15.3079 16.0471 16.7908
15.3792 16.1514 16.9279 17.7084 18.4927
17.2919 18.1139 18.9392 19.7677 20.5992
25.3365 26.3363 27.3362 28.3361 29.3360
26 27 28 29 30
40 50 60 70 80 90 100
20.7065 27.9908 35.5345 43.2752 51.1719 59.1963 67.3276
22.1643 29.7067 37.4849 45.4417 53.5401 61.7541 70.0649
24.4330 32.3574 40.4818 48.7576 57.1532 65.6466 74.2219
26.5093 34.7643 43.1880 51.7393 60.3915 69.1260 77.9295
29.0505 37.6887 46.4589 55.3289 64.2778 73.2911 82.3581
39.3353 49.3349 59.3347 69.3345 79.3343 89.3342 99.3341
40 50 60 70 80 90 100
11.3
Chi-Qudrat-Verteilung
353
p n
50%
90%
95%
97.5%
99%
99.5%
n
1 2 3 4 5
0.4549 1.3863 2.3660 3.3567 4.3515
2.7055 4.6052 6.2514 7.7794 9.2364
3.8415 5.9915 7.8147 9.4877 11.0705
5.0239 7.3778 9.3484 11.1433 12.8325
6.6349 9.2103 11.3449 13.2767 15.0863
7.8794 10.5966 12.8382 14.8603 16.7496
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
5.3481 6.3458 7.3441 8.3428 9.3418
10.6446 12.0170 13.3616 14.6837 15.9872
12.5916 14.0671 15.5073 16.9190 18.3070
14.4494 16.0128 17.5346 19.0228 20.4832
16.8119 18.4753 20.0902 21.6660 23.2093
18.5476 20.2777 21.9550 23.5894 25.1882
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
10.3410 11.3403 12.3398 13.3393 14.3389
17.2750 18.5494 19.8119 21.0641 22.3071
19.6751 21.0261 22.3620 23.6848 24.9958
21.9201 23.3367 24.7356 26.1190 27.4884
24.7250 26.2170 27.6883 29.1412 30.5779
26.7569 28.2995 29.8195 31.3194 32.8013
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
15.3385 16.3382 17.3379 18.3377 19.3374
23.5418 24.7690 25.9894 27.2036 28.4120
26.2962 27.5871 28.8693 30.1435 31.4104
28.8454 30.1910 31.5264 32.8523 34.1696
31.9999 33.4087 34.8053 36.1909 37.5662
34.2672 35.7185 37.1565 38.5823 39.9969
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25
20.3372 21.3370 22.3369 23.3367 24.3366
29.6151 30.8133 32.0069 33.1962 34.3816
32.6706 33.9244 35.1725 36.4150 37.6525
35.4789 36.7807 38.0756 39.3641 40.6465
38.9322 40.2894 41.6384 42.9798 44.3141
41.4011 42.7957 44.1813 45.5585 46.9279
21 22 23 24 25
26 27 28 29 30
25.3365 26.3363 27.3362 28.3361 29.3360
35.5632 36.7412 37.9159 39.0875 40.2560
38.8851 40.1133 41.3371 42.5570 43.7730
41.9232 43.1945 44.4608 45.7223 46.9792
45.6417 46.9629 48.2782 49.5879 50.8922
48.2899 49.6449 50.9934 52.3356 53.6720
26 27 28 29 30
40 50 60 70 80 90 100
39.3353 49.3349 59.3347 69.3345 79.3343 89.3342 99.3341
51.8051 63.1671 74.3970 85.5270 96.5782 107.565 118.498
55.7585 67.5048 79.0819 90.5312 101.879 113.145 124.342
59.3417 71.4202 83.2977 95.0232 106.629 118.136 129.561
63.6907 76.1539 88.3794 100.425 112.329 124.116 135.807
66.7660 79.4900 91.9517 104.215 116.321 128.299 140.169
40 50 60 70 80 90 100
354
11 Tabellen
11.4 Kolmogorov-Smirnov-Anpassungstest Die Tabelle gibt Quantile kp der K-S-Teststatistik an. p n=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.8 0.900 0.684 0.565 0.493 0.447 0.410 0.381 0.358 0.339 0.323
0.9 0.950 0.776 0.636 0.565 0.509 0.468 0.436 0.410 0.387 0.369
0.92 0.960 0.800 0.658 0.585 0.527 0.485 0.452 0.425 0.402 0.382
0.95 0.975 0.842 0.708 0.624 0.563 0.519 0.483 0.454 0.430 0.409
0.96 0.980 0.859 0.729 0.641 0.580 0.534 0.497 0.468 0.443 0.421
0.98 0.990 0.900 0.785 0.689 0.627 0.577 0.538 0.507 0.480 0.457
0.99 0.995 0.929 0.829 0.734 0.669 0.617 0.576 0.542 0.513 0.489
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0.308 0.296 0.285 0.275 0.266 0.258 0.250 0.244 0.237 0.232
0.352 0.338 0.325 0.314 0.304 0.295 0.286 0.279 0.271 0.265
0.365 0.351 0.338 0.326 0.315 0.306 0.297 0.289 0.281 0.275
0.391 0.375 0.361 0.349 0.338 0.327 0.318 0.309 0.301 0.294
0.403 0.387 0.372 0.359 0.348 0.337 0.327 0.319 0.310 0.303
0.437 0.419 0.404 0.390 0.377 0.366 0.355 0.346 0.337 0.329
0.468 0.449 0.432 0.418 0.404 0.392 0.381 0.371 0.361 0.352
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
0.226 0.221 0.216 0.212 0.208 0.204 0.200 0.197 0.193 0.190
0.259 0.253 0.247 0.242 0.238 0.233 0.229 0.225 0.221 0.218
0.268 0.262 0.257 0.251 0.246 0.242 0.237 0.233 0.229 0.226
0.287 0.281 0.275 0.269 0.264 0.259 0.254 0.250 0.246 0.242
0.296 0.289 0.283 0.277 0.272 0.267 0.262 0.257 0.253 0.249
0.321 0.314 0.307 0.301 0.295 0.290 0.284 0.279 0.275 0.270
0.344 0.337 0.330 0.323 0.317 0.311 0.305 0.300 0.295 0.290
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
0.187 0.184 0.182 0.179 0.177 0.174 0.172 0.170 0.168 0.165 1.07 √ n
0.214 0.211 0.208 0.205 0.202 0.199 0.196 0.194 0.191 0.189 1.22 √ n
0.222 0.219 0.215 0.212 0.209 0.206 0.204 0.201 0.199 0.196 1.27 √ n
0.238 0.234 0.231 0.227 0.224 0.221 0.218 0.215 0.213 0.210 1.36 √ n
0.245 0.241 0.238 0.234 0.231 0.228 0.225 0.222 0.219 0.216 1.40 √ n
0.266 0.262 0.258 0.254 0.251 0.247 0.244 0.241 0.238 0.235 1.52 √ n
0.285 0.281 0.277 0.273 0.269 0.265 0.262 0.258 0.255 0.252 1.63 √ n
n > 40
11.5
Lilliefors-Test auf Normalverteilung
355
11.5 Lilliefors-Test auf Normalverteilung Die Tabelle gibt Quantile kp der Lilliefors-Teststatistik f¨ ur einen Test auf Normalverteilung mit zwei gesch¨ atzten Parametern an. p n=4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25
0.80 0.300 0.285 0.265 0.247 0.233 0.223 0.215 0.206 0.199 0.190 0.183 0.177 0.173 0.169 0.166 0.163 0.160 0.142
0.85 0.319 0.299 0.277 0.258 0.244 0.233 0.224 0.217 0.212 0.202 0.194 0.187 0.182 0.177 0.173 0.169 0.166 0.147
0.90 0.352 0.315 0.294 0.276 0.261 0.249 0.239 0.230 0.223 0.214 0.207 0.201 0.195 0.189 0.184 0.179 0.174 0.158
0.95 0.381 0.337 0.319 0.300 0.285 0.271 0.258 0.249 0.242 0.234 0.227 0.220 0.213 0.206 0.200 0.195 0.190 0.173
0.99 0.417 0.405 0.364 0.348 0.331 0.311 0.294 0.284 0.275 0.268 0.261 0.257 0.250 0.245 0.239 0.235 0.231 0.200
30
0.131 0.736 √ n
0.136 0.768 √ n
0.144 0.805 √ n
0.161 0.886 √ n
0.187 1.031 √ n
n > 30
356
11 Tabellen
11.6 Wilcoxon-Vorzeichen-Rangtest Die Tabelle gibt kritische Werte der Wn+ −Statistik f¨ ur α ≤ 0.4 an mit P (W + ≤ ωα+ ) ≥ α und P (Wn+ < ωα+ ) ≤ α. Kritische Werte ωα+ f¨ ur α ≥ 0.6 + k¨ onnen u ¨ ber die Beziehung ωα+ = n(n + 1)/2 − ω1−α berechnet werden.
+ n ω0.005
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0 0 0 0 1 2 4 6 8 10 13 16 20 24 28 33 38
+ ω0.01
+ ω0.025
+ ω0.05
+ ω0.10
+ ω0.20
+ ω0.30
+ ω0.40
n(n+1) 2
0 0 0 1 2 4 6 8 10 13 16 20 24 28 33 38 44
0 0 1 3 4 6 9 11 14 18 22 26 30 35 41 47 53
0 1 3 4 6 9 11 14 18 22 26 31 36 42 48 54 61
1 3 4 6 9 11 15 18 22 27 32 37 43 49 56 63 70
3 4 6 9 12 15 19 23 28 33 39 45 51 58 66 74 82
3 5 8 11 14 18 22 27 32 38 44 51 58 65 73 82 91
4 6 9 12 16 20 25 30 36 42 48 55 63 71 80 89 98
10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 120 136 153 171 190 210
11.7
Wald-Wolfowitz-Iterationstest
357
11.7 Wald-Wolfowitz-Iterationstest Die Tabelle gibt kritische Werte rα der Statistik R an. F¨ ur Stichprobenumf¨ange m, n, die nicht angef¨ uhrt sind, k¨ onnen die n¨ achstliegenden (m, n)Kombinationen als gute Approximation benutzt werden. m n r0.005 r0.01 r0.025 r0.05 r0.10 r0.90 r0.95 r0.975 r0.99 r0.995 2
5 8 11 14 17 20
— — — — — —
— — — — — 3
— — — 3 3 3
— 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 4
— — — — — —
— — — — — —
— — — — — —
— — — — — —
— — — — — —
5
5 8 11 14 17 20
— 3 4 4 4 5
3 3 4 4 5 5
3 4 5 5 5 6
4 4 5 6 6 6
4 5 6 6 7 7
8 9 10 — — —
8 10 — — — —
9 10 — — — —
9 — — — — —
— — — — — —
8
8 11 14 17 20
4 5 6 6 7
5 6 6 7 7
5 6 7 8 8
6 7 8 8 9
6 8 8 9 10
12 13 14 15 15
12 14 15 15 16
13 14 15 16 16
13 15 16 — —
14 15 16 — —
11 11 14 17 20
6 7 8 9
7 8 9 9
8 9 10 10
8 9 10 11
9 10 11 12
15 16 17 18
16 17 18 19
16 18 19 20
17 19 20 21
18 19 21 21
14 14 17 20
8 9 10
9 10 11
10 11 12
11 12 13
12 13 14
18 20 21
19 21 22
20 22 23
21 23 24
22 23 24
17 17 20
11 12
11 12
12 14
13 14
14 16
22 23
23 24
24 25
25 26
25 27
20 20
13
14
15
16
17
25
26
27
28
29
358
11 Tabellen
11.8 Kolmogorov-Smirnov-Zweistichprobentest (m = n) + − Die Tabelle gibt kritische Werte der Statistiken Kn,n , Kn,n und Kn,n f¨ ur den zweiseitigen bzw. einseitigen Test an.
f¨ ur p
0.8
0.9
0.95
0.98
0.99
n=3 4 5 6 7 8 9 10
2/3 3/4 3/5 3/6 4/7 4/8 4/9 4/10
2/3 3/4 3/5 4/6 4/7 4/8 5/9 5/10
3/4 4/5 4/6 5/7 5/8 5/9 6/10
4/5 5/6 5/7 5/8 6/9 6/10
4/5 5/6 5/7 6/8 6/9 7/10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
5/11 5/12 5/13 5/14 5/15 6/16 6/17 6/18 6/19 6/20
5/11 5/12 6/13 6/14 6/15 6/16 7/17 7/18 7/19 7/20
6/11 6/12 6/13 7/14 7/15 7/16 7/17 8/18 8/19 8/20
7/11 7/12 7/13 7/14 8/15 8/16 8/17 9/18 9/19 9/20
7/11 7/12 8/13 8/14 8/15 9/16 9/17 9/18 9/19 10/20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
6/21 7/22 7/23 7/24 7/25 7/26 7/27 8/28 8/29 8/30
7/21 8/22 8/23 8/24 8/25 8/26 8/27 9/28 9/29 9/30
8/21 8/22 9/23 9/24 9/25 9/26 9/27 10/28 10/29 10/30
9/21 10/22 10/23 10/24 10/25 10/26 11/27 11/28 11/29 11/30
10/21 10/22 10/23 11/24 11/25 11/26 11/27 12/28 12/29 12/30
31 32 34 36 38 40
8/31 8/32 8/34 9/36 9/38 9/40 1.52 √ n
9/31 9/32 10/34 10/36 10/38 10/40 1.73 √ n
10/31 10/32 11/34 11/36 11/38 12/40 1.92 √ n
11/31 12/32 12/34 12/36 13/38 13/40 2.15 √ n
12/31 12/32 13/34 13/36 14/38 14/40 2.30 √ n
Approximation f¨ ur n > 40
11.9
Kolmogorov-Smirnov-Zweistichprobentest (m = n)
359
11.9 Kolmogorov-Smirnov-Zweistichprobentest (m = n) + − Die Tabelle gibt kritische Werte der Statistiken Km,n , Km,n und Km,n f¨ ur den zweiseitigen bzw. einseitigen Test an.
kp
f¨ ur p
0.8
m=1
n=9 10
17/18 9/10
m=2
n=3 4 5 6 7 8 9 10
m=3
m=4
m=5
0.9
0.95
0.98
0.99
5/6 3/4 4/5 5/6 5/7 3/4 7/9 7/10
4/5 5/6 6/7 7/8 8/9 4/5
7/8 8/9 9/10
n=4 5 6 7 8 9 10 12
3/4 2/3 2/3 2/3 5/8 2/3 3/5 7/12
3/4 4/5 2/3 5/7 3/4 2/3 7/10 2/3
4/5 5/6 6/7 3/4 7/9 4/5 3/4
6/7 7/8 8/9 9/10 5/6
8/9 9/10 11/12
n=5 6 7 8 9 10 12 16
3/5 7/12 17/28 5/8 5/9 11/20 7/12 9/16
3/4 2/3 5/7 5/8 2/3 13/20 2/3 5/8
4/5 3/4 3/4 3/4 3/4 7/10 2/3 11/16
4/5 5/6 6/7 7/8 7/9 4/5 3/4 3/4
5/6 6/7 7/8 8/9 4/5 5/6 13/16
n=6 7 8 9 10 15 20
3/5 4/7 11/20 5/9 1/2 8/15 1/2
2/3 23/35 5/8 3/5 3/5 3/5 11/20
2/3 5/7 27/40 31/45 7/10 2/3 3/5
5/6 29/35 4/5 7/9 7/10 11/15 7/10
5/6 6/7 4/5 4/5 4/5 11/15 3/4
360
11 Tabellen
kp
f¨ ur p
0.8
0.9
0.95
0.98
0.99
m=6
n=7 8 9 10 12 18 24
23/42 1/2 1/2 1/2 1/2 4/9 11/24
4/7 7/12 5/9 17/30 7/12 5/9 1/2
29/42 2/3 2/3 19/30 7/12 11/18 7/12
5/7 3/4 13/18 7/10 2/3 2/3 5/8
5/6 3/4 7/9 11/15 3/4 13/18 2/3
m=7
n=8 9 10 14 28
27/56 31/63 33/70 3/7 3/7
33/56 5/9 39/70 1/2 13/28
5/8 40/63 43/70 4/7 15/28
41/56 5/7 7/10 9/14 17/28
3/4 47/63 5/7 5/7 9/14
m=8
n=9 10 12 16 32
4/9 19/40 11/24 7/16 13/32
13/24 21/40 1/2 1/2 7/16
5/8 23/40 7/12 9/16 1/2
2/3 27/40 5/8 5/8 9/16
3/4 7/10 2/3 5/8 19/32
m=9
n = 10 12 15 18 36
7/15 4/9 19/45 7/18 13/36
1/2 1/2 22/45 4/9 5/12
26/45 5/9 8/15 1/2 17/36
2/3 11/18 3/5 5/9 19/36
31/45 2/3 29/45 11/18 5/9
m = 10
n = 15 20 40
2/5 2/5 7/20
7/15 9/20 2/5
1/2 1/2 9/20
17/30 11/20 1/2
19/30 3/5
m = 12
n = 15 16 18 20
23/60 3/8 13/36 11/30
9/20 7/16 5/12 5/12
1/2 23/48 17/36 7/15
11/20 13/24 19/36 31/60
7/12 7/12 5/9 17/30
m = 15
n = 20
7/20
2/5
13/30
29/60
31/60
m = 16
n = 20
27/80
31/80
17/40
19/40
41/80
1.07c
1.22c
1.36c
1.52c
1.63c
Approximation c =
m+n mn
11.10
Cram´er Zweistichprobentest
361
11.10 Cram´ er Zweistichprobentest Die Tabelle gibt Wahrscheinlichkeiten p = P r(C ≥ c) an. m = 4, n = 5 c 100p 0.4037 9.52 0.4093 7.94 0.4704 4.76 m = 4, n = 6 c 100p 0.3833 8.57 0.4250 7.62 0.4833 5.71 0.4917 4.76 0.5333 3.81 0.5500 2.86 m = 4, n = 7 c 100p 0.3766 9.70 0.4026 7.88 0.4416 5.45 0.4968 4.85 0.5520 3.64 0.5974 2.42 0.6169 1.82 m = 4, n = 8 c 100p 0.4028 8.89 0.4132 6.87 0.4653 5.25 0.4861 4.85 0.5069 3.64 0.6111 2.42 0.6528 1.62 0.6736 1.21 m = 4, n = 9 c 100p 0.3697 9.79 0.4017 7.83
m = 4, n = 9 c 100p 0.4573 5.59 0.4722 4.76 0.4936 3.92 0.5534 2.80 0.6090 2.24 0.6133 1.96 0.6731 1.40 0.7222 .839 m = 4, n = 10 c 100p 0.3643 9.99 0.3929 7.99 0.4393 5.99 0.4572 5.00 0.5072 4.00 0.5357 3.00 0.5786 2.40 0.6036 2.00 0.6607 1.40 0.7179 .999 0.7429 .799 0.7643 .599 m = 4, n = 11 c 100p 0.3647 9.82 0.4010 7.91 0.4359 5.86 0.4662 4.98 0.4980 3.96 0.5525 2.93 0.5722 2.34 0.6162 1.90 0.6480 1.47 0.7465 .879 0.7571 .733 0.7798 .586 0.8010 .440
m = 4, n = 12 c 100p 0.3750 9.23 0.3958 7.80 0.4479 5.82 0.4687 4.95 0.5000 3.96 0.5521 2.64 0.5937 2.42 0.6042 1.98 0.6562 1.43 0.6979 .989 0.7396 .769 0.7917 .549 0.8125 .440 0.8333 .330 m = 4, n = 13 c 100p 0.3620 9.92 0.3880 7.98 0.4401 5.97 0.4661 4.96 0.4989 3.95 0.5419 2.94 0.5713 2.44 0.6210 1.93 0.6527 1.34 0.7127 .924 0.7330 .756 0.7726 .588 0.8224 .420 0.8416 .336 0.8620 .252 m = 5, n = 5 c 100p 0.4500 8.73 0.4900 4.76 0.5700 3.17
m = 5, n = 6 c 100p 0.3727 9.96 0.4000 7.79 0.4697 5.63 0.4879 4.76 0.5455 3.90 0.5697 2.60 0.5879 2.16 0.6576 1.73 0.6636 1.30 m = 5, n = 7 c 100p 0.3718 9.85 0.4099 7.58 0.4385 5.81 0.4766 4.80 0.5337 3.54 0.5575 2.78 0.6290 2.27 0.6337 1.77 0.6718 1.26 0.7432 .758 m = 5, n = 8 c 100p 0.3692 9.63 0.3942 7.93 0.4583 5.91 0.4712 4.97 0.5135 3.88 0.5462 2.95 0.5865 2.49 0.6231 1.86 0.7019 1.40 0.7096 .932 0.7442 .777 0.8115 .466
362
11 Tabellen
m = 5, n = 9 c 100p 0.3690 9.69 0.3976 7.99 0.4389 5.99 0.4770 4.90 0.5182 3.90 0.5468 3.00 0.5786 2.50 0.6008 2.00 0.6611 1.50 0.7024 .999 0.7690 .699 0.7722 .599 0.8071 .500 0.8579 .400 0.8706 .300 m = 5, n = 10 c 100p 0.3689 9.86 0.4089 7.66 0.4422 5.79 0.4689 4.93 0.5089 3.73 0.5622 2.93 0.6022 2.20 0.6089 1.86 0.6489 1.47 0.7222 .999 0.7489 .799 0.8222 .599 0.8289 .400 0.9089 .266 0.9222 .200 m = 5, n = 11 c 100p 0.3585 9.94 0.3926 7.97 0.4426 6.00 0.4699 4.95 0.5017 3.94 0.5494 2.98 0.5767 2.47
m = 5, n = 11 c 100p 0.6153 1.97 0.6540 1.47 0.7131 .962 0.7358 .778 0.7881 .595 0.8153 .458 0.8722 .366 0.8790 .275 0.9108 .229 0.9540 .183 0.9676 .137 m = 5, n = 12 c 100p 0.3608 9.92 0.3931 7.85 0.4402 5.98 0.4696 4.98 0.5029 3.94 0.5441 2.97 0.5745 2.49 0.6147 1.94 0.6480 1.49 0.7137 .937 0.7510 .776 0.7794 .582 0.8255 .485 0.8412 .388 0.9128 .291 0.9235 .194 0.9941 .129 1.0078 .0970 m = 6, n = 6 c 100p 0.3750 9.31 0.4306 6.71 0.4861 5.41 0.5139 3.90 0.5972 2.81 0.6250 1.95 0.6806 1.30 0.7639 .866
m = 6, n = 7 c 100p 0.3755 9.67 0.4029 7.93 0.4451 5.94 0.4652 4.90 0.5055 3.96 0.5550 2.91 0.5879 2.33 0.6392 1.98 0.6685 1.40 0.7234 .932 0.7656 .699 0.7766 .583 0.8516 .466 0.8553 .350 m = 6, n = 8 c 100p 0.3661 9.52 0.4018 7.86 0.4434 5.93 0.4732 4.86 0.5089 4.00 0.5417 3.00 0.5923 2.40 0.6190 1.93 0.6786 1.27 0.7232 .999 0.7560 .799 0.7827 .599 0.8304 .466 0.8423 .400 0.9286 .266 0.9345 .200
m = 6, n = 9 c 100p 0.3704 9.71 0.4000 7.95 0.4370 5.99 0.4741 4.88 0.5074 3.84 0.5518 2.92 0.5889 2.44 0.6185 1.92 0.6741 1.40 0.7111 .999 0.7555 .759 0.8185 .559 0.8333 .480 0.8556 .400 0.9037 .280 0.9111 .240 0.9333 .200 1.0037 .120 m = 6, n = 10 c 100p 0.3646 9.84 0.3979 7.89 0.4479 5.82 0.4687 4.95 0.5104 3.97 0.5479 2.97 0.5771 2.47 0.6146 2.00 0.6604 1.50 0.7271 .999 0.7521 .749 0.7812 .599 0.8187 .500 0.8437 .400 0.9021 .300 0.9229 .250 0.9521 .200 0.9729 .150 1.0562 .0999 1.0646 .0749
11.10 m = 6, n = 11 c 100p 0.3609 9.97 0.3966 8.00 0.4385 5.96 0.4661 4.99 0.5044 3.99 0.5499 2.96 0.5766 2.49 0.6114 1.99 0.6560 1.49 0.7264 .986 0.7522 .792 0.7950 .598 0.8146 .485 0.8476 .388 0.8957 .275 0.9198 .242 0.9581 .194 0.9875 .145 1.0285 .0970 1.1096 .0646 1.1185 .0485 m = 7, n = 7 c 100p 0.3826 9.32 0.4031 7.93 0.4643 5.59 0.4847 4.90 0.5255 3.55 0.5663 2.97 0.5867 2.33 0.6480 1.69 0.6684 1.46 0.7704 .816 0.8112 .524 0.8520 .408 0.8724 .350 0.9541 .233
m = 7, n = 8 c 100p 0.3615 9.95 0.3960 7.99 0.4413 5.91 0.4794 4.94 0.5127 3.98 0.5472 2.98 0.5794 2.49 0.6091 1.99 0.6615 1.49 0.7270 .963 0.7698 .777 0.7984 .591 0.8448 .497 0.8651 .373 0.8936 .280 0.9079 .249 0.9591 .186 1.0413 .124 1.0436 .0932 m = 7, n = 9 c 100p 0.3646 9.93 0.9363 7.94 0.4420 5.91 0.4697 5.00 0.5055 3.95 0.5570 2.95 0.5769 2.48 0.6186 1.98 0.6622 1.49 0.7197 .996 0.7574 .787 0.8051 .594 0.8388 .490 0.8686 .385 0.8983 .297 0.9360 .245 0.9539 .192 0.9936 .140 1.0491 .0874 1.1186 .0699 1.1225 .0524
Cram´er Zweistichprobentest m = 7, n = 10 c 100p 0.3597 9.98 0.3941 7.99 0.4403 5.99 0.4723 5.00 0.5042 3.97 0.5445 2.99 0.5815 2.50 0.6118 1.98 0.6605 1.47 0.7218 .987 0.7555 .792 0.7941 .596 0.8235 .494 0.8672 .391 0.8983 .298 0.9227 .247 0.9529 .195 1.0143 .144 1.0395 .0926 1.1008 .0720 1.1227 .0514 1.1874 .0411 1.1924 .0309 m = 8, n = 8 c 100p 0.3750 9.63 0.4062 7.63 0.4531 5.69 0.4844 4.82 0.5156 3.88 0.5625 2.98 0.6094 2.08 0.6250 1.94 0.6719 1.46 0.7344 .979 0.7656 .730 0.8281 .544 0.8594 .420 0.8906 .388 0.9219 .249 0.9688 .186 1.0000 .140 1.0625 .0932 1.1406 .0622
363
m = 8, n = 9 c 100p 0.3611 9.98 0.3954 7.96 0.4404 5.97 0.4722 4.99 0.5033 3.99 0.5490 2.99 0.5833 2.48 0.6176 2.00 0.6601 1.50 0.7230 .995 0.7467 .798 0.7949 .584 0.8317 .494 0.8619 .395 0.9134 .296 0.9281 .247 0.9698 .197 1.0033 .148 1.0605 .0987 1.0850 .0740 1.1381 .0576 1.1495 .0494 1.2271 .0329 1.2288 .0247
364
11 Tabellen
11.11 Wilcoxon-(Rangsummen-)Test Die Tabelle gibt kritische Werte ωα der WN -Statistik f¨ ur den einseitigen Test Fall A mit m ≤ n an. F¨ ur den einseitigen Test Fall B gilt: ω1−α = 2E(WN ) − ωα = 2µ − ωα . Ist m > n, so wird durch Umbenennung die x-Stichprobe zur y-Stichprobe und umgekehrt und damit Test C zu Test B und umgekehrt.
n
ω0.001
ω0.005
m=1 ω0.010 ω0.025
ω0.05
ω0.10
2µ
2 3 4 5
4 5 6 7
6 7 8 9 10
1 1
8 9 10 11 12
11 12 13 14 15
1 1 1 1 1
13 14 15 16 17
16 17 18 19 20
1 1
1 1 1 2 2
18 19 20 21 22
21 22 23 24 25
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
23 24 25 26 27
ω0.05
ω0.10
2µ
3
3 3 4
10 12 14 16
n 2 3 4 5
ω0.001
ω0.005
m=2 ω0.010 ω0.025
11.11
Wilcoxon-(Rangsummen-)Test
365
m=2 ω0.010 ω0.025
ω0.05
ω0.10
2µ
6 7 8 9 10
3 3 3
3 3 4 4 4
4 4 5 5 6
18 20 22 24 26
11 12 13 14 15
3 3 3
3 4 4 4 4
4 5 5 6 6
6 7 7 8 8
28 30 32 34 36
16 17 18 19 20
3 3
3 3 3 4 4
4 5 5 5 5
6 6 7 7 7
8 9 9 10 10
38 40 42 44 46
21 22 23 24 25
3 3 3 3 3
4 4 4 4 4
6 6 6 6 6
8 8 8 9 9
11 11 12 12 12
48 50 52 54 56
m=3 ω0.010 ω0.025
ω0.05
ω0.10
2µ
6
6 6 7
7 7 8
21 24 27
7 7 8 8 9
8 8 9 10 10
9 10 11 11 12
30 33 36 39 42
n
n
ω0.001
ω0.001
ω0.005
ω0.005
3 4 5 6 7 8 9 10
6 6
6 6 7 7
11 12 13 14 15
6 7 7 7 8
7 8 8 8 9
9 10 10 11 11
11 11 12 13 13
13 14 15 16 16
45 48 51 54 57
16 17 18 19 20
6 6 6 6
8 8 8 9 9
9 10 10 10 11
12 12 13 13 14
14 15 15 16 17
17 18 19 20 21
60 63 66 69 72
21 22 23 24 25
7 7 7 7 7
9 10 10 10 11
11 12 12 12 13
14 15 15 16 16
17 18 18 19 20
21 22 23 24 25
75 78 81 84 87
366
n
11 Tabellen
ω0.001
ω0.005
4 5
m=4 ω0.025
ω0.05
ω0.10
2µ
10
10 11
11 12
13 14
36 40
11 11 12 13 13
12 13 14 14 15
13 14 15 16 17
15 16 17 19 20
44 48 52 56 60
ω0.010
6 7 8 9 10
10
10 10 11 11 12
11 12 13 14 15
10 10 11 11 11
12 13 13 14 15
14 15 15 16 17
16 17 18 19 20
18 19 20 21 22
21 22 23 25 26
64 68 72 76 80
16 17 18 19 20
12 12 13 13 13
15 16 16 17 18
17 18 19 19 20
21 21 22 23 24
24 25 26 27 28
27 28 30 31 32
84 88 92 96 100
21 22 23 24 25
14 14 14 15 15
18 19 19 20 20
21 21 22 23 23
25 26 27 27 28
29 30 31 32 33
33 35 36 38 38
104 108 112 116 120
n
ω0.001
ω0.005
ω0.010
m=5 ω0.025
ω0.05
ω0.10
2µ
5
15
16
17
19
20
55
6 7 8 9 10
15 16 16
16 16 17 18 19
17 18 19 20 21
18 20 21 22 23
20 21 23 24 26
22 23 25 27 28
60 65 70 75 80
11 12 13 14 15
17 17 18 18 19
20 21 22 22 23
22 23 24 25 26
24 26 27 28 29
27 28 30 31 33
30 32 33 35 37
85 90 95 100 105
16 17 18 19 20
20 20 21 22 22
24 25 26 27 28
27 28 29 30 31
30 32 33 34 35
34 35 37 38 40
38 40 42 43 45
110 115 120 125 130
21 22 23 24 25
23 23 24 25 25
29 29 30 31 32
32 33 34 35 36
37 38 39 40 42
41 43 44 45 47
47 48 50 51 53
135 140 145 150 155
11.11
Wilcoxon-(Rangsummen-)Test
m=6 ω0.025
n
ω0.001
ω0.005
ω0.010
6 7 8 9 10
21 22 23 24
23 24 25 26 27
24 25 27 28 29
11 12 13 14 15
25 25 26 27 28
28 30 31 32 33
16 17 18 19 20
29 30 31 32 33
21 22 23 24 25
367
ω0.05
ω0.10
2µ
26 27 29 31 32
28 29 31 33 35
30 32 34 36 38
78 84 90 96 102
30 32 33 34 36
34 35 37 38 40
37 38 40 42 44
40 42 44 46 48
108 114 120 126 132
34 36 37 38 39
37 39 40 41 43
42 43 45 46 48
46 47 49 51 53
50 52 55 57 59
138 144 150 156 162
33 34 35 36 37
40 42 43 44 45
44 45 47 48 50
50 51 53 54 56
55 57 58 60 62
61 63 65 67 69
168 174 180 186 192
n
ω0.001
ω0.005
ω0.010
m=7 ω0.025
ω0.05
ω0.10
2µ
7 8 9 10
29 30 31 33
32 34 35 37
34 35 37 39
36 38 40 42
39 41 43 45
41 44 46 49
105 112 119 126
11 12 13 14 15
34 35 36 37 38
38 40 41 43 44
40 42 44 45 47
44 46 48 50 52
47 49 52 54 56
51 54 56 59 61
133 140 147 154 161
16 17 18 19 20
39 41 42 43 44
46 47 49 50 52
49 51 52 54 56
54 56 58 60 62
58 61 63 65 67
64 66 69 71 74
168 175 182 189 196
21 22 23 24 25
46 47 48 49 50
53 55 57 58 60
58 59 61 63 64
64 66 68 70 72
69 72 74 76 78
76 79 81 84 86
203 210 217 224 231
368
11 Tabellen m=8 ω0.010 ω0.025
n
ω0.001
ω0.005
ω0.05
ω0.10
2µ
9 10
41 42
45 47
47 49
51 53
54 56
58 60
144 152
11 12 13 14 15
44 45 47 48 50
49 51 53 54 56
51 53 56 58 60
55 58 60 62 65
59 62 64 67 69
63 66 69 72 75
160 168 176 184 192
16 17 18 19 20
51 53 54 56 57
58 60 62 64 66
62 64 66 68 70
67 70 72 74 77
72 75 77 80 83
78 81 84 87 90
200 208 216 224 232
21 22 23 24 25
59 60 62 64 65
68 70 71 73 75
72 74 76 78 81
79 81 84 86 89
85 88 90 93 96
92 95 98 101 104
240 248 256 264 272
n
ω0.001
ω0.005
m=9 ω0.010 ω0.025
ω0.05
ω0.10
2µ
9 10
52 53
56 58
59 61
62 65
66 69
70 73
171 180
11 12 13 14 15
55 57 59 60 62
61 63 65 67 69
63 66 68 71 73
68 71 73 76 79
72 75 78 81 84
76 80 83 86 90
189 198 207 216 225
16 17 18 19 20
64 66 68 70 71
72 74 76 78 81
76 78 81 83 85
82 84 87 90 93
87 90 93 96 99
93 97 100 103 107
234 243 252 261 270
21 22 23 24 25
73 75 77 79 81
83 85 88 90 92
88 90 93 95 98
95 98 101 104 107
102 105 108 111 114
110 113 117 120 123
279 288 297 306 315
n
ω0.001
ω0.005
m = 10 ω0.010 ω0.025
ω0.05
ω0.10
2µ
10 11 12 13 14 15
65 67 69 72 74 76
71 73 76 79 81 84
82 86 89 92 96 99
87 91 94 98 102 106
210 220 230 240 250 260
74 77 79 82 85 88
78 81 84 88 91 94
11.11
Wilcoxon-(Rangsummen-)Test
m = 10 ω0.010 ω0.025
n
ω0.001
ω0.005
16 17 18 19 20
78 80 82 84 87
86 89 92 94 97
91 93 96 99 102
21 22 23 24 25
89 91 93 95 98
99 102 105 107 110
105 108 110 113 116
n
ω0.001
ω0.005
11 12 13 14 15
81 83 86 88 90
87 90 93 96 99
91 94 97 100 103
16 17 18 19 20
93 95 98 100 103
102 105 108 111 114
21 22 23 24 25
106 108 111 113 116
117 120 123 126 129
n
ω0.001
ω0.005
12 13 14 15
98 101 103 106
105 109 112 115
109 113 116 120
16 17 18 19 20
109 112 115 118 120
119 122 125 129 132
21 22 23 24 25
123 126 129 132 135
136 139 142 146 149
369
ω0.05
ω0.10
2µ
97 100 103 107 110
103 106 110 113 117
109 113 117 121 125
270 280 290 300 310
113 116 119 122 126
120 123 127 130 134
128 132 136 140 144
320 330 340 350 360
m = 11 ω0.010 ω0.025
ω0.05
ω0.10
2µ
96 99 103 106 110
100 104 108 112 116
106 110 114 118 123
253 264 275 286 297
107 110 113 116 119
113 117 121 124 128
120 123 127 131 135
127 131 135 139 144
308 319 330 341 352
123 126 129 132 136
131 135 139 142 146
139 143 147 151 155
148 152 156 161 165
363 374 385 396 407
m = 12 ω0.010 ω0.025
ω0.05
ω0.10
2µ
115 119 123 127
120 125 129 133
127 131 136 141
300 312 324 336
124 127 131 134 138
131 135 139 143 147
138 142 146 150 155
145 150 155 159 164
348 360 372 384 396
142 145 149 153 156
151 155 159 163 167
159 163 168 172 176
169 173 178 183 187
408 420 432 444 456
370
11 Tabellen m = 13 ω0.010 ω0.025
n
ω0.001
ω0.005
ω0.05
ω0.10
2µ
13 14 15
117 120 123
125 129 133
130 134 138
136 141 145
142 147 152
149 154 159
351 364 377
16 17 18 19 20
126 129 133 136 139
136 140 144 148 151
142 146 150 154 158
150 154 158 163 167
156 161 166 171 175
165 170 175 180 185
390 403 416 429 442
21 22 23 24 25
142 145 149 152 155
155 159 163 166 170
162 166 170 174 178
171 176 180 185 189
180 185 189 194 199
190 195 200 205 211
455 468 481 494 507
n
ω0.001
ω0.005
m = 14 ω0.010 ω0.025
ω0.05
ω0.10
2µ
14 15
137 141
147 151
152 156
160 164
166 171
174 179
406 420
16 17 18 19 20
144 148 151 155 159
155 159 163 168 172
161 165 170 174 178
169 174 179 183 188
176 182 187 192 197
185 190 196 202 207
434 448 462 476 490
21 22 23 24 25
162 166 169 173 177
176 180 184 188 192
183 187 192 196 200
193 198 203 207 212
202 207 212 218 223
213 218 224 229 235
504 518 532 546 560
n
ω0.001
ω0.005
m = 15 ω0.010 ω0.025
ω0.05
ω0.10
2µ
15
160
171
176
184
192
200
465
16 17 18 19 20
163 167 171 175 179
175 180 184 189 193
181 186 190 195 200
190 195 200 205 210
197 203 208 214 220
206 212 218 224 230
480 495 510 525 540
21 22 23 24 25
183 187 191 195 199
198 202 207 211 216
205 210 214 219 224
216 221 226 231 237
225 231 236 242 248
236 242 248 254 260
555 570 585 600 615
11.11
Wilcoxon-(Rangsummen-)Test
m = 16 ω0.010 ω0.025
n
ω0.001
ω0.005
16 17 18 19 20
184 188 192 196 201
196 201 206 210 215
202 207 212 218 223
21 22 23 24 25
205 209 214 218 222
220 225 230 235 240
228 233 238 244 249
n
ω0.001
ω0.005
17 18 19 20
210 214 219 223
223 228 234 239
230 235 241 246
21 22 23 24 25
228 233 238 242 247
244 249 255 260 265
252 258 263 269 275
n
ω0.001
ω0.005
18 19 20
237 242 247
252 258 263
259 265 271
21 22 23 24 25
252 257 262 267 273
269 275 280 286 292
277 283 289 295 301
n
ω0.001
ω0.005
19 20
267 272
283 289
291 297
21 22 23 24 25
277 283 288 294 299
295 301 307 313 319
303 310 316 323 329
371
ω0.05
ω0.10
2µ
211 217 222 228 234
219 225 231 237 243
229 235 242 248 255
528 544 560 576 592
239 245 251 256 262
249 255 261 267 273
261 267 274 280 287
608 624 640 656 672
m = 17 ω0.010 ω0.025
ω0.05
ω0.10
2µ
240 246 252 258
249 255 262 268
259 266 273 280
595 612 629 646
264 270 276 282 288
274 281 287 294 300
287 294 300 307 314
663 680 697 714 731
m = 18 ω0.010 ω0.025
ω0.05
ω0.10
2µ
270 277 283
280 287 294
291 299 306
666 684 702
290 296 303 309 316
301 307 314 321 328
313 321 328 335 343
720 738 756 774 792
m = 19 ω0.010 ω0.025
ω0.05
ω0.10
2µ
303 309
313 320
325 333
741 760
316 323 330 337 344
328 335 342 350 357
341 349 357 364 372
779 798 817 836 855
372
11 Tabellen m = 20 ω0.010 ω0.025
n
ω0.001
ω0.005
ω0.05
ω0.10
2µ
20
298
315
324
337
348
361
820
21 22 23 24 25
304 309 315 321 327
322 328 335 341 348
331 337 344 351 358
344 351 359 366 373
356 364 371 379 387
370 378 386 394 403
840 860 880 900 920
n
ω0.001
ω0.005
m = 21 ω0.010 ω0.025
ω0.05
ω0.10
2µ
21 22 23 24 25
331 337 343 349 356
349 356 363 370 377
373 381 388 396 404
385 393 401 410 418
399 408 417 425 434
903 924 945 966 987
n
ω0.001
ω0.005
m = 22 ω0.010 ω0.025
ω0.05
ω0.10
2µ
22 23 24 25
365 372 379 385
386 393 400 408
411 419 427 435
424 432 441 450
439 448 457 467
990 1012 1034 1056
n
ω0.001
ω0.005
m = 23 ω0.010 ω0.025
ω0.05
ω0.10
2µ
23 24 25
402 409 416
424 431 439
451 459 468
465 474 483
481 491 500
1081 1104 1127
n
ω0.001
ω0.005
m = 24 ω0.010 ω0.025
ω0.05
ω0.10
2µ
24 25
440 448
464 472
492 501
507 517
525 535
1176 1200
n
ω0.001
ω0.005
m = 25 ω0.010 ω0.025
ω0.05
ω0.10
2µ
25
480
505
552
570
1275
359 366 373 381 388
396 403 411 419
434 443 451
475 484
517
536
11.12
Van der Waerden-Test
373
11.12 Van der Waerden-Test Die Tabelle gibt kritische Werte der XN -Statistik f¨ ur α = 0.025 an. |m − n|
0 oder 1
2 oder 3
4 oder 5
6 oder 7
8 oder 9
10 oder 11
m+n=7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
∞ 2.30 2.38 2.60 2.72 2.85 2.96 3.11 3.24 3.39 3.49 3.63 3.73 3.86 3.96 4.08 4.18 4.29 4.39 4.52 4.61 4.71 4.80 4.90 4.99 5.08 5.17 5.26 5.35 5.43 5.51 5.60 5.68 5.76 5.84 5.92 5.99 6.07 6.14 6.22 6.29 6.37 6.44 6.51
∞ 2.20 2.30 2.49 2.58 2.79 2.91 3.06 3.19 3.36 3.44 3.60 3.69 3.84 3.92 4.06 4.15 4.27 4.36 4.50 4.59 4.70 4.78 4.89 4.97 5.07 5.15 5.25 5.33 5.42 5.50 5.59 5.66 5.75 5.82 5.91 5.98 6.07 6.13 6.21 6.28 6.36 6.43 6.51
∞ ∞ ∞ 2.30 2.40 2.68 2.78 3.00 3.06 3.28 3.36 3.53 3.61 3.78 3.85 4.01 4.08 4.23 4.30 4.46 4.54 4.66 4.74 4.86 4.93 5.04 5.11 5.22 5.29 5.40 5.46 5.57 5.63 5.73 5.79 5.89 5.95 6.05 6.11 6.20 6.26 6.34 6.40 6.49
– ∞ ∞ 2.03 2.11 2.47 2.52 2.83 2.89 3.15 3.21 3.44 3.50 3.70 3.76 3.95 4.01 4.18 4.24 4.39 4.46 4.60 4.67 4.80 4.86 4.99 5.05 5.18 5.24 5.36 5.42 5.53 5.59 5.69 5.75 5.86 5.91 6.01 6.07 6.17 6.22 6.32 6.37 6.46
– – – ∞ ∞ 2.18 2.27 2.56 2.61 2.94 2.99 3.26 3.31 3.55 3.61 3.82 3.87 4.07 4.12 4.30 4.35 4.51 4.57 4.72 4.78 4.92 4.97 5.11 5.17 5.30 5.35 5.47 5.53 5.64 5.69 5.81 5.86 5.97 6.02 6.13 6.18 6.28 6.33 6.43
– – – – – ∞ ∞ 2.18 2.21 2.66 2.68 3.03 3.06 3.36 3.40 3.65 3.70 3.92 3.96 4.17 4.21 4.40 4.45 4.62 4.67 4.83 4.87 5.03 5.08 5.22 5.26 5.40 5.45 5.58 5.62 5.75 5.79 5.91 5.96 6.07 6.12 6.23 6.27 6.38
374
11 Tabellen
α = 0.01 |m − n|
0 oder 1
2 oder 3
4 oder 5
6 oder 7
8 oder 9
10 oder 11
m+n=7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
∞ ∞ 2.80 3.00 3.20 3.29 3.48 3.62 3.74 3.92 4.06 4.23 4.37 4.52 4.66 4.80 4.92 5.06 5.18 5.30 5.41 5.53 5.64 5.76 5.86 5.97 6.08 6.18 6.29 6.39 6.49 6.59 6.68 6.78 6.87 6.97 7.06 7.15 7.24 7.33 7.42 7.50 7.59 7.68
∞ ∞ ∞ 2.90 3.00 3.20 3.36 3.55 3.68 3.90 4.01 4.21 4.32 4.50 4.62 4.78 4.89 5.04 5.14 5.28 5.38 5.52 5.62 5.74 5.84 5.96 6.05 6.17 6.27 6.38 6.47 6.58 6.67 6.77 6.86 6.96 7.04 7.15 7.23 7.32 7.40 7.50 7.58 7.67
∞ ∞ ∞ 2.80 2.90 3.15 3.18 3.46 3.57 3.80 3.90 4.14 4.23 4.44 4.53 4.72 4.81 4.99 5.08 5.23 5.32 5.47 5.56 5.70 5.79 5.92 6.01 6.14 6.22 6.35 6.44 6.55 6.63 6.75 6.82 6.94 7.01 7.12 7.20 7.30 7.38 7.48 7.55 7.65
– ∞ ∞ ∞ ∞ 2.85 2.92 3.28 3.34 3.66 3.74 4.01 4.08 4.33 4.40 4.62 4.70 4.89 4.97 5.15 5.23 5.40 5.48 5.64 5.71 5.87 5.94 6.09 6.16 6.30 6.37 6.50 6.58 6.70 6.77 6.90 6.96 7.09 7.15 7.27 7.34 7.45 7.51 7.62
– – – ∞ ∞ ∞ ∞ 2.97 3.02 3.39 3.47 3.80 3.86 4.15 4.21 4.47 4.53 4.76 4.83 5.04 5.10 5.30 5.36 5.55 5.61 5.78 5.85 6.01 6.08 6.23 6.29 6.44 6.50 6.64 6.71 6.84 6.90 7.03 7.09 7.22 7.28 7.40 7.46 7.58
– – – – – ∞ ∞ ∞ 2.55 3.07 3.11 3.52 3.57 3.92 3.97 4.27 4.32 4.59 4.64 4.88 4.94 5.16 5.22 5.42 5.48 5.67 5.73 5.91 5.97 6.14 6.19 6.35 6.41 6.56 6.62 6.77 6.82 6.96 7.02 7.15 7.21 7.34 7.40 7.52
11.12
Van der Waerden-Test
375
α = 0.005 |m − n|
0 oder 1
2 oder 3
4 oder 5
6 oder 7
8 oder 9
10 oder 11
m+n=7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
∞ ∞ ∞ 3.20 3.40 3.60 3.71 3.94 4.07 4.26 4.44 4.60 4.77 4.94 5.10 5.26 5.40 5.55 5.68 5.81 5.94 6.07 6.19 6.32 6.44 6.56 6.68 6.80 6.91 7.03 7.13 7.25 7.35 7.46 7.56 7.67 7.77 7.87 7.97 8.07 8.17 8.26 8.36 8.46
∞ ∞ ∞ 3.10 3.30 3.58 3.68 3.88 4.05 4.25 4.37 4.58 4.71 4.92 5.05 5.24 5.36 5.53 5.65 5.79 5.90 6.05 6.16 6.30 6.41 6.55 6.65 6.79 6.89 7.01 7.11 7.23 7.33 7.45 7.54 7.66 7.75 7.87 7.96 8.06 8.15 8.26 8.34 8.45
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 3.40 3.50 3.76 3.88 4.12 4.23 4.50 4.62 4.85 4.96 5.17 5.27 5.48 5.58 5.74 5.84 6.01 6.10 6.26 6.35 6.51 6.60 6.75 6.84 6.98 7.07 7.20 7.29 7.42 7.51 7.63 7.72 7.84 7.92 8.04 8.12 8.24 8.32 8.43
– ∞ ∞ ∞ ∞ 3.10 3.15 3.52 3.65 3.99 4.08 4.38 4.46 4.73 4.81 5.06 5.14 5.36 5.45 5.65 5.73 5.91 6.01 6.19 6.27 6.44 6.52 6.69 6.77 6.92 7.00 7.15 7.23 7.38 7.45 7.59 7.66 7.80 7.87 8.00 8.08 8.20 8.27 8.39
– – – ∞ ∞ ∞ ∞ 3.25 3.28 3.68 3.78 4.15 4.22 4.54 4.61 4.89 4.96 5.22 5.29 5.52 5.58 5.81 5.88 6.09 6.16 6.35 6.42 6.60 6.68 6.85 6.92 7.08 7.15 7.31 7.38 7.53 7.60 7.74 7.81 7.95 8.02 8.15 8.22 8.35
– – – – – ∞ ∞ ∞ ∞ 3.30 3.38 3.79 3.89 4.28 4.33 4.67 4.73 5.03 5.09 5.35 5.41 5.66 5.72 5.95 6.01 6.23 6.29 6.49 6.56 6.74 6.81 6.99 7.05 7.22 7.28 7.45 7.51 7.67 7.73 7.88 7.94 8.08 8.14 8.28
376
11 Tabellen
11.13 Mood-Test Die Tabelle gibt kritische Werte cα nach dem folgenden Schema an: cα1 α1 cα2 α2
mit α1 = P (MN ≤ cα1 ) ≤ α mit α2 = P (MN ≤ cα2 ) > α
α-Werte m n
0.005
0.010
0.025
0.050
0.100
0.900
0.950
0.975
0.990
0.995
2 2
2.50 2.50 2.50 2.50 2.50 0.8333 0.8333 0.8333 0.8333 0.8333 0.50 0.50 0.50 0.50 0.50 4.50 4.50 4.50 4.50 4.50 0.1667 0.1667 0.1667 0.1667 0.1667 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
2 3
4.00 5.00 5.00 5.00 5.00 0.5000 0.9000 0.9000 0.9000 0.9000 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 5.00 8.00 8.00 8.00 8.00 0.2000 0.2000 0.2000 0.2000 0.2000 0.9000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
2 4
0.50 6.50 8.50 8.50 8.50 8.50 0.0667 0.6667 0.9333 0.9333 0.9333 0.9333 0.50 0.50 0.50 0.50 2.50 8.50 12.50 12.50 12.50 12.50 0.0667 0.0667 0.0667 0.0667 0.3333 0.9333 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
2 5
1.00 10.00 10.00 13.00 13.00 13.00 0.0952 0.7619 0.7619 0.9524 0.9524 0.9524 1.00 1.00 1.00 1.00 2.00 13.00 13.00 18.00 18.00 18.00 0.0952 0.0952 0.0952 0.0952 0.1429 0.9524 0.9542 1.0000 1.0000 1.0000
2 6
0.50 0.50 14.50 14.50 18.50 18.50 18.50 0.0357 0.0357 0.8214 0.8214 0.9643 0.9643 0.9643 0.50 0.50 0.50 2.50 2.50 18.50 18.50 24.50 24.50 24.50 0.0357 0.0357 0.0357 0.1786 0.1786 0.9643 0.9643 1.0000 1.0000 1.0000
2 7
2.00 20.00 20.00 25.00 25.00 25.00 0.0833 0.8611 0.8611 0.9722 0.9722 0.9722 1.00 1.00 1.00 1.00 4.00 25.00 25.00 32.00 32.00 32.00 0.0556 0.0556 0.0556 0.0556 0.1389 0.9722 0.9722 1.0000 1.0000 1.0000
2 8
0.50 0.50 0.50 26.50 26.50 26.50 32.50 32.50 0.0222 0.0222 0.0222 0.8889 0.8889 0.8889 0.9778 0.9778 0.50 0.50 2.50 2.50 2.50 32.50 32.50 32.50 40.50 40.50 0.0222 0.0222 0.1111 0.1111 0.1111 0.9778 0.9778 0.9778 1.0000 1.0000
2 9
1.00 4.00 32.00 34.00 34.00 41.00 41.00 0.0364 0.0909 0.8364 0.9091 0.9091 0.9818 0.9818 1.00 1.00 1.00 2.00 5.00 34.00 41.00 41.00 50.00 50.00 0.0364 0.0364 0.0364 0.0545 0.1636 0.9091 0.9818 0.9818 1.0000 1.0000
2 10
0.50 0.50 4.50 40.50 42.50 42.50 50.50 50.50 0.0152 0.0152 0.0909 0.8636 0.9242 0.9242 0.9848 0.9848 0.50 0.50 2.50 2.50 6.50 42.50 50.50 50.50 60.50 60.50 0.0152 0.0152 0.0758 0.0758 0.1515 0.9242 0.9848 0.9848 1.0000 1.0000
11.13
Mood-Test
377
α-Werte m n
0.005
0.010
0.025
0.050
0.100
0.900
0.950
0.975
0.990
0.995
2 11
2.00 4.00 50.00 52.00 52.00 61.00 61.00 0.0385 0.0641 0.8846 0.9359 0.9359 0.9872 0.9872 1.00 1.00 1.00 4.00 5.00 52.00 61.00 61.00 72.00 72.00 0.0256 0.0256 0.0256 0.0641 0.1154 0.9359 0.9872 0.9872 1.0000 1.0000
2 12
0.50 0.50 4.50 54.50 62.50 62.50 72.50 72.50 0.0110 0.0110 0.0659 0.8901 0.9451 0.9451 0.9890 0.9890 0.50 0.50 2.50 2.50 6.50 60.50 72.50 72.50 84.50 84.50 0.0110 0.0110 0.0549 0.0549 0.1099 0.9011 0.9890 0.9890 1.0000 1.0000
2 13
1.00 4.00 8.00 61.00 72.00 74.00 74.00 85.00 0.0190 0.0476 0.0952 0.8667 0.9143 0.9524 0.9524 0.9905 1.00 1.00 2.00 5.00 9.00 65.00 74.00 85.00 85.00 98.00 0.0190 0.0190 0.0286 0.0857 0.1143 0.9048 0.9542 0.9905 0.9905 1.0000
2 14
0.50 0.50 4.50 6.50 72.50 84.50 86.50 86.50 98.50 0.0083 0.0083 0.0500 0.0833 0.8833 0.9250 0.9583 0.9583 0.9917 0.50 2.50 2.50 6.50 8.50 76.50 86.50 98.50 98.50 112.50 0.0083 0.0417 0.0417 0.0833 0.1167 0.9167 0.9583 0.9917 0.9917 1.0000
2 15
2.00 4.00 9.00 85.00 98.00 100.00 0.0221 0.0368 0.0882 0.8971 0.9338 0.9632 1.00 1.00 4.00 5.00 10.00 89.00 100.00 113.00 0.0147 0.0147 0.0368 0.0662 0.1176 0.9265 0.9632 0.9926
100.00 0.9632 113.00 0.9926
113.00 0.9926 128.00 1.0000
2 16
0.50 0.50 4.50 8.50 92.50 0.0065 0.0065 0.0392 0.0915 0.8824 0.50 2.50 2.50 6.50 12.50 98.50 0.0065 0.0327 0.0327 0.0654 0.1242 0.9085
112.50 0.9412 114.50 0.9673
114.50 0.9673 128.50 0.9935
114.50 0.9673 128.50 0.9935
128.50 0.9935 144.50 1.0000
2 17
2.00 4.00 10.00 0.0175 0.0292 0.0936 1.00 1.00 4.00 5.00 13.00 0.0117 0.0117 0.0292 0.0526 0.1170
128.00 0.9474 130.00 0.9708
130.00 0.9708 145.00 0.9942
130.00 0.9708 145.00 0.9942
145.00 0.9942 162.00 1.0000
2 18
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146.50 0.9737 162.50 0.9947
162.50 0.9947 180.50 1.0000
3 3
2.75 10.75 12.75 12.75 12.75 12.75 0.1000 0.8000 0.9000 0.9000 0.9000 0.9000 2.75 2.75 2.75 2.75 4.75 12.75 14.75 14.75 14.75 14.75 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 0.2000 0.9000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
3 4
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3 5
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3 6
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106.00 0.8947 113.00 0.9181
378
11 Tabellen α-Werte
m n
0.005
0.010
0.025
0.050
0.100
0.900
0.950
0.975
0.990
0.995
3 7
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3 8
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3 9
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3 10
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3 11
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3 12
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3 13
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3 14
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3 15
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3 16
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3 17
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4 4
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11.13
Mood-Test
379
α-Werte m n
0.005
0.010
0.025
0.050
0.100
0.900
0.950
0.975
0.990
0.995
4 5
6.00 10.00 11.00 37.00 41.00 42.00 42.00 45.00 0.0159 0.0397 0.0556 0.8730 0.9286 0.9603 0.9603 0.9921 6.00 6.00 9.00 11.00 14.00 38.00 42.00 45.00 45.00 50.00 0.0159 0.0159 0.0317 0.0556 0.1190 0.9048 0.9603 0.9921 0.9921 1.0000
4 6
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4 7
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4 8
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4 9
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4 10
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4 12
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4 13
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4 14
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4 15
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4 16
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380
11 Tabellen α-Werte
m n
0.005
0.010
0.025
0.050
0.100
0.900
0.950
0.975
0.990
0.995
5 5
11.25 15.25 17.25 23.25 55.25 59.25 61.25 65.25 67.25 0.0079 0.0159 0.0317 0.0952 0.8889 0.9365 0.9683 0.9841 0.9921 11.25 15.25 17.25 21.25 25.25 57.25 61.25 65.25 67.25 71.25 0.0079 0.0159 0.0317 0.0635 0.1111 0.9048 0.9683 0.9841 0.9921 1.0000
5 6
10.00 10.00 19.00 24.00 27.00 69.00 75.00 76.00 83.00 84.00 0.0022 0.0022 0.0238 0.0476 0.0758 0.8810 0.9459 0.9632 0.9870 0.9913 15.00 15.00 20.00 25.00 30.00 70.00 76.00 79.00 84.00 86.00 0.0108 0.0108 0.0260 0.0563 0.1104 0.9069 0.9632 0.9805 0.9913 0.9957
5 7
11.25 15.25 21.25 27.25 33.25 83.25 89.25 93.25 101.25 105.25 0.0025 0.0051 0.0202 0.0480 0.0884 0.8990 0.9495 0.9646 0.9899 0.9949 15.25 17.25 23.25 29.25 35.25 85.25 91.25 95.25 103.25 107.25 0.0051 0.0101 0.0303 0.0631 0.1136 0.9167 0.9520 0.9773 0.9924 0.9975
5 8
15.00 20.00 26.00 31.00 39.00 99.00 106.00 113.00 0.0039 0.0093 0.0225 0.0490 0.0979 0.8974 0.9448 0.9697 18.00 22.00 27.00 33.00 40.00 101.00 107.00 114.00 0.0070 0.0124 0.0272 0.0521 0.1049 0.9068 0.9510 0.9759
118.00 0.9852 122.00 0.9922
123.00 0.9938 126.00 0.9953
5 9
17.25 21.25 29.25 35.25 45.25 0.0040 0.0080 0.0250 0.0450 0.0999 21.25 23.25 31.25 37.25 47.25 0.0080 0.0120 0.0300 0.0509 0.1149
115.25 0.8951 117.25 0.9121
123.25 0.9411 125.25 0.9500
133.25 0.9710 135.25 0.9790
141.25 0.9890 143.25 0.9900
145.25 0.9910 147.25 0.9960
5 10
20.00 26.00 33.00 41.00 52.00 0.0040 0.0097 0.0223 0.0456 0.0989 22.00 27.00 34.00 42.00 53.00 0.0053 0.0117 0.0266 0.0503 0.1002
134.00 0.8934 135.00 0.9068
146.00 0.9494 147.00 0.9547
154.00 0.9724 155.00 0.9757
166.00 0.9897 168.00 0.9923
174.00 0.9947 175.00 0.9973
5 11
21.25 27.25 37.25 45.25 57.25 0.0037 0.0087 0.0234 0.0458 0.0934 23.25 29.25 39.25 47.25 59.25 0.0055 0.0114 0.0275 0.0527 0.1053
153.25 0.8997 155.25 0.9125
165.25 0.9473 167.25 0.9519
177.25 0.9748 179.25 0.9776
187.25 0.9881 191.25 0.9918
197.25 0.9950 199.25 0.9954
5 12
26.00 30.00 42.00 53.00 65.00 0.0047 0.0082 0.0244 0.0486 0.0931 27.00 31.00 43.00 54.00 66.00 0.0057 0.0102 0.0267 0.0535 0.1021
174.00 0.8993 175.00 0.9071
189.00 0.9473 190.00 0.9551
202.00 0.9746 203.00 0.9772
216.00 0.9888 217.00 0.9901
226.00 0.9945 227.00 0.9952
5 13
27.25 33.25 45.25 57.25 73.25 0.0044 0.0082 0.0233 0.0476 0.0997 29.25 35.25 47.25 59.25 75.25 0.0058 0.0105 0.0268 0.0537 0.1076
195.25 0.8985 197.25 0.9059
211.25 0.9444 213.25 0.9512
227.25 0.9741 229.25 0.9762
243.25 0.9893 245.25 0.9904
255.25 0.9946 257.25 0.9958
5 14
30.00 38.00 51.00 65.00 81.00 0.0044 0.0088 0.0248 0.0495 0.0978 31.00 39.00 52.00 66.00 82.00 0.0054 0.0108 0.0255 0.0544 0.1034
219.00 0.8999 220.00 0.9037
238.00 0.9479 239.00 0.9520
254.00 0.9720 255.00 0.9754
275.00 0.9896 276.00 0.9906
285.00 0.9946 287.00 0.9953
5 15
33.25 39.25 55.25 69.25 89.25 0.0045 0.0077 0.0235 0.0470 0.0988 35.25 41.25 57.25 71.25 91.25 0.0058 0.0103 0.0263 0.0526 0.1053
241.25 0.8951 243.25 0.9005
265.25 0.9494 267.25 0.9542
283.25 0.9739 285.25 0.9763
305.25 0.9896 307.25 0.9906
319.25 0.9946 321.25 0.9957
6 6
17.50 27.50 33.50 39.50 45.50 93.50 99.50 105.50 0.0011 0.0097 0.0238 0.0465 0.0963 0.8734 0.9307 0.9675 23.50 29.50 35.50 41.50 47.50 95.50 101.50 107.50 0.0054 0.0152 0.0325 0.0693 0.1266 0.9037 0.9535 0.9762
111.50 0.9848 113.50 0.9903
115.50 0.9946 119.50 0.9989
11.13
Mood-Test
381
α-Werte m n
0.005
0.010
0.025
0.050
0.100
0.900
0.950
0.975
0.990
0.995
6 7
27.00 31.00 38.00 45.00 54.00 0.0047 0.0099 0.0204 0.0466 0.0973 28.00 34.00 39.00 46.00 55.00 0.0052 0.0146 0.0251 0.0524 0.1206
114.00 0.8980 115.00 0.9108
122.00 0.9476 123.00 0.9580
129.00 0.9749 130.00 0.9779
135.00 0.9883 138.00 0.9918
140.00 0.9948 142.00 0.9971
6 8
29.50 35.50 41.50 49.50 59.50 0.0047 0.0100 0.0213 0.0430 0.0942 31.50 37.50 43.50 51.50 61.50 0.0060 0.0130 0.0266 0.0509 0.1062
131.50 0.8924 133.50 0.9004
141.50 0.9461 143.50 0.9540
149.50 0.9737 151.50 0.9750
157.50 0.9873 159.50 0.9900
165.50 0.9940 167.50 0.9967
6 9
34.00 39.00 49.00 58.00 69.00 0.0050 0.0086 0.0232 0.0488 0.0969 35.00 40.00 50.00 59.00 70.00 0.0062 0.0110 0.0256 0.0547 0.1039
154.00 0.8973 155.00 0.9065
165.00 0.9467 166.00 0.9504
175.00 0.9734 176.00 0.9766
186.00 0.9894 187.00 0.9910
193.00 0.9944 195.00 0.9956
6 10
37.50 43.50 53.50 63.50 75.50 0.0049 0.0100 0.0237 0.0448 0.0888 39.50 45.50 55.50 65.50 77.50 0.0054 0.0111 0.0262 0.0521 0.1010
175.50 0.8976 177.50 0.9063
189.50 0.9476 191.50 0.9540
201.50 0.9734 203.50 0.9784
213.50 0.9891 215.50 0.9901
221.50 0.9948 223.50 0.9953
6 11
42.00 49.00 61.00 73.00 87.00 0.0048 0.0094 0.0243 0.0490 0.0977 43.00 50.00 62.00 74.00 88.00 0.0060 0.0103 0.0255 0.0512 0.1037
200.00 0.8998 201.00 0.9009
216.00 0.9491 217.00 0.9504
229.00 0.9737 230.00 0.9758
244.00 0.9898 245.00 0.9901
253.00 0.9941 254.00 0.9954
6 12
45.50 51.50 67.50 79.50 95.50 0.0048 0.0082 0.0248 0.0470 0.0950 47.50 53.50 69.50 81.50 97.50 0.0063 0.0102 0.0273 0.0513 0.1033
223.50 0.8954 225.50 0.9004
243.50 0.9494 245.50 0.9542
257.50 0.9733 259.50 0.9757
273.50 0.9879 275.50 0.9900
285.50 0.9944 287.50 0.9950
6 13
50.00 58.00 74.00 89.00 107.00 252.00 0.0047 0.0090 0.0234 0.0483 0.0985 0.8979 51.00 59.00 75.00 90.00 108.00 253.00 0.0053 0.0101 0.0256 0.0503 0.1008 0.9001
273.00 0.9499 274.00 0.9510
290.00 0.9736 291.00 0.9751
310.00 0.9898 311.00 0.9902
323.00 0.9949 324.00 0.9951
6 14
53.50 63.50 81.50 97.50 117.50 279.50 0.0049 0.0093 0.0246 0.0495 0.0974 0.8972 55.50 65.50 83.50 99.50 119.50 281.50 0.0054 0.0108 0.0281 0.0527 0.1043 0.9040
301.50 0.9459 303.50 0.9501
321.50 0.9730 323.50 0.9754
343.50 0.9888 345.50 0.9901
357.50 0.9944 359.50 0.9950
7 7
41.75 47.75 57.75 65.75 75.75 0.0029 0.0082 0.0233 0.0466 0.0950 43.75 49.75 59.75 67.75 77.75 0.0052 0.0111 0.0291 0.0548 0.1131
147.75 0.8869 149.75 0.9050
157.75 0.9452 159.75 0.9534
165.75 0.9709 167.75 0.9767
175.75 0.9889 177.75 0.9918
179.75 0.9948 183.75 0.9971
7 8
50.00 55.00 66.00 75.00 87.00 0.0050 0.0082 0.0238 0.0479 0.0977 51.00 56.00 67.00 76.00 88.00 0.0059 0.0110 0.0272 0.0533 0.1052
173.00 0.8988 174.00 0.9004
184.00 0.9455 185.00 0.9510
195.00 0.9745 196.00 0.9776
204.00 0.9890 205.00 0.9902
211.00 0.9939 212.00 0.9952
7 9
53.75 59.75 71.75 83.75 95.75 0.0049 0.0087 0.0224 0.0495 0.0920 55.75 61.75 73.75 85.75 97.75 0.0058 0.0103 0.0267 0.0556 0.1016
197.75 0.8970 199.75 0.9073
211.75 0.9495 213.75 0.9549
221.75 0.9706 223.75 0.9764
235.75 0.9895 237.75 0.9911
245.75 0.9949 247.75 0.9963
7 10
59.00 67.00 82.00 94.00 109.00 226.00 0.0046 0.0090 0.0243 0.0478 0.0975 0.8978 60.00 68.00 83.00 95.00 110.00 227.00 0.0053 0.0100 0.0268 0.0521 0.1009 0.9051
242.00 0.9499 243.00 0.9544
254.00 0.9726 255.00 0.9753
270.00 0.9896 271.00 0.9902
279.00 0.9949 280.00 0.9951
382
11 Tabellen α-Werte
m n
0.005
0.010
0.025
0.050
0.100
0.900
0.950
0.975
0.990
0.995
7 11
63.75 73.75 89.75 0.0042 0.0096 0.0246 65.75 75.75 91.75 0.0050 0.0103 0.0272
103.75 0.0495 105.75 0.0526
119.75 0.0946 121.75 0.1012
253.75 0.8991 255.75 0.9053
271.75 0.9483 273.75 0.9506
287.75 0.9742 289.75 0.9767
303.75 0.9882 305.75 0.9904
315.75 0.9943 317.75 0.9952
7 12
71.00 82.00 99.00 115.00 0.0048 0.0094 0.0241 0.0489 72.00 83.00 100.00 116.00 0.0051 0.0104 0.0258 0.0519
135.00 0.0996 136.00 0.1044
285.00 0.8997 286.00 0.9020
306.00 0.9491 307.00 0.9515
323.00 0.9738 324.00 0.9754
343.00 0.9893 344.00 0.9900
357.00 0.9950 358.00 0.9952
7 13
75.75 87.75 107.75 125.75 0.0042 0.0089 0.0239 0.0487 77.75 89.75 109.75 127.75 0.0050 0.0101 0.0261 0.0528
147.75 0.0983 149.75 0.1054
315.75 0.8972 317.75 0.9039
339.75 0.9487 341.75 0.9523
359.75 0.9745 361.75 0.9758
381.75 0.9889 383.75 0.9905
397.75 0.9949 399.75 0.9953
8 8
72.00 78.00 92.00 0.0043 0.0078 0.0239 74.00 80.00 94.00 0.0058 0.0100 0.0260
104.00 0.0496 106.00 0.0543
118.00 0.0984 120.00 0.1092
218.00 0.8908 220.00 0.9016
232.00 0.9457 234.00 0.9504
244.00 0.9740 246.00 0.9761
258.00 0.9900 260.00 0.9922
264.00 0.9942 266.00 0.9957
8 9
79.00 90.00 103.00 116.00 0.0042 0.0096 0.0229 0.0487 80.00 91.00 104.00 117.00 0.0050 0.0102 0.0253 0.0510
132.00 0.0988 133.00 0.1016
250.00 0.8959 251.00 0.9005
266.00 0.9477 267.00 0.9520
279.00 0.9742 280.00 0.9760
294.00 0.9896 295.00 0.9901
303.00 0.9945 304.00 0.9952
8 10
88.00 98.00 114.00 128.00 0.0050 0.0100 0.0245 0.0481 90.00 100.00 116.00 130.00 0.0059 0.0112 0.0280 0.0525
146.00 0.0980 148.00 0.1033
280.00 0.8917 282.00 0.9001
300.00 0.9487 302.00 0.9532
316.00 0.9744 318.00 0.9768
332.00 0.9891 334.00 0.9900
344.00 0.9948 346.00 0.9950
8 11
95.00 0.0047 96.00 0.0051
107.00 0.0095 108.00 0.0105
126.00 0.0247 127.00 0.0256
143.00 0.0500 144.00 0.0530
163.00 0.0988 164.00 0.1039
316.00 0.8984 317.00 0.9021
337.00 0.9489 338.00 0.9501
355.00 0.9739 356.00 0.9759
376.00 0.9900 377.00 0.9909
388.00 0.9948 389.00 0.9953
8 12 102.00 0.0044 104.00 0.0051
116.00 0.0097 118.00 0.0103
136.00 0.0234 138.00 0.0252
156.00 0.0496 158.00 0.0533
178.00 0.0970 180.00 0.1031
352.00 0.8995 354.00 0.9056
376.00 0.9497 378.00 0.9531
396.00 0.9749 398.00 0.9763
418.00 0.9894 420.00 0.9903
434.00 0.9949 436.00 0.9953
9 9
110.25 0.0045 112.25 0.0051
120.25 0.0085 122.25 0.0101
138.25 0.0230 140.25 0.0258
154.25 0.0481 156.25 0.0524
172.25 0.0973 174.25 0.1025
308.25 0.8975 310.25 0.9027
326.25 0.9476 328.25 0.9519
342.25 0.9742 344.25 0.9770
360.25 0.9899 362.25 0.9915
370.25 0.9949 372.25 0.9955
9 10 122.00 0.0049 123.00 0.0050
134.00 0.0096 135.00 0.0101
154.00 0.0250 155.00 0.0256
171.00 0.0492 172.00 0.0514
191.00 0.0963 192.00 0.1003
347.00 0.8987 348.00 0.9021
368.00 0.9489 369.00 0.9515
385.00 0.9738 386.00 0.9751
404.00 0.9890 405.00 0.9900
419.00 0.9950 420.00 0.9955
9 11 132.25 0.0049 134.25 0.0056
144.25 0.0089 146.25 0.0102
166.25 0.0235 168.25 0.0251
186.25 0.0484 188.25 0.0519
210.25 0.0984 212.25 0.1049
384.25 0.8942 386.25 0.9005
408.25 0.9465 410.25 0.9500
430.25 0.9744 432.25 0.9765
452.25 0.9896 454.25 0.9900
468.25 0.9950 470.25 0.9955
10 10 162.50 0.0050 164.50 0.0056
176.50 0.0098 178.50 0.0109
198.50 0.0241 200.50 0.0260
218.50 0.0489 220.50 0.0521
242.50 0.0982 244.50 0.1034
418.50 0.8966 420.50 0.9018
442.50 0.9479 444.50 0.9511
462.50 0.9740 464.50 0.9759
484.50 0.9891 486.50 0.9902
498.50 0.9944 500.50 0.9950
11.14
Kruskal-Wallis-Test
383
11.14 Kruskal-Wallis-Test Die Tabelle gibt Quantile h1−α der H-Statistik an. Stichprobenumfang n2 n3 n1
Quantil
α
Stichprobenumfang n1 n2 n3
2 2 2
1 2 2
1 1 2
2.7000 3.6000 4.5714 3.7143
0.500 0.200 0.067 0.200
4
3
1
3 3
1 2
1 1
3.2000 4.2857 3.8571
0.300 0.100 0.133
4
3
2
3
3
2
5.3572 4.7143 4.5000 4.4643
0.029 0.048 0.067 0.105
4
3
3
3
3
1
5.1429 4.5714 4.0000
0.043 0.100 0.129
3
3
2
6.2500 5.3611 5.1389 4.5556 4.2500
0.011 0.032 0.061 0.100 0.121
4
4
1
3
3
3
7.2000 6.4889 5.6889 5.6000 5.0667 4.6222
0.004 0.001 0.029 0.050 0.086 0.100
4
4
2
4
4
3
4
1
1
3.5714
0.200
4
2
1
4.8214 4.5000 4.0179
0.057 0.076 0.114 4
4
4
4
2
2
6.0000 5.3333 5.1250 4.4583 4.1667
0.014 0.033 0.052 0.100 0.105
Quantil
α
5.8333 5.2083 5.0000 4.0556 3.8889 6.4444 6.3000 6.3000 5.4444 5.4000 4.5111 4.4444 6.7455 6.7091 5.7909 5.7273 4.7091 4.7000 6.6667 6.1667 4.9667 4.8667 4.1667 4.0667 7.0364 6.8727 5.4545 5.2364 4.5545 4.4455 7.1439 7.1364 5.5985 5.5758 4.5455 4.4773 7.6538 7.5385 5.6923 5.6538 4.6539 4.5001
0.021 0.050 0.057 0.093 0.129 0.008 0.011 0.011 0.046 0.051 0.098 0.102 0.010 0.013 0.046 0.050 0.092 0.101 0.010 0.022 0.048 0.054 0.082 0.102 0.006 0.011 0.046 0.052 0.098 0.103 0.010 0.011 0.049 0.051 0.099 0.102 0.008 0.011 0.049 0.054 0.097 0.104
384
11 Tabellen
Stichprobenumfang n1 n2 n3 5 5
1 2
1 1
5
2
2
5
3
1
5
3
2
5
5
5
3
4
4
3
1
2
Quantil
α
3.8571 5.2500 5.0000 4.4500 4.2000 4.0500 6.5333 6.1333 5.1600 5.0400 4.3733 4.2933 6.4000 4.9600 4.8711 4.0178 3.8400 6.9091 6.8281 5.2509 5.1055 4.6509 4.4121 7.0788 6.9818 5.6485 5.5152 4.5333 4.4121 6.9545 6.8400 4.9855 4.8600 3.9873 3.9600 7.2045 7.1182 5.2727 5.2682 4.5409 4.5182
0.143 0.036 0.048 0.071 0.095 0.119 0.005 0.013 0.034 0.056 0.090 0.112 0.012 0.048 0.052 0.095 0.123 0.009 0.010 0.049 0.052 0.091 0.101 0.009 0.011 0.049 0.051 0.097 0.109 0.008 0.011 0.044 0.056 0.098 0.102 0.009 0.010 0.049 0.050 0.098 0.101
Stichprobenumfang n1 n2 n3 5
4
3
5
4
4
5
5
1
5
5
2
5
5
3
5
5
4
5
5
5
Quantil
α
7.4449 7.3949 5.6564 5.6308 4.5487 4.5231 7.7604 7.7440 5.6571 5.6176 4.6187 4.5527 7.3091 6.8364 5.1273 4.9091 4.1091 4.0364 7.3385 7.2692 5.3385 5.2462 4.6231 4.5077 7.5780 7.5429 5.7055 5.6264 4.5451 4.5363 7.8229 7.7914 5.6657 5.6429 4.5229 4.5200 8.0000 7.9800 5.7800 5.6600 4.5600 4.5000
0.110 0.011 0.049 0.050 0.099 0.103 0.009 0.011 0.049 0.050 0.100 0.102 0.009 0.011 0.046 0.053 0.086 0.105 0.010 0.010 0.047 0.051 0.097 0.100 0.010 0.010 0.046 0.051 0.100 0.102 0.010 0.010 0.049 0.050 0.100 0.101 0.009 0.010 0.049 0.051 0.100 0.102
11.15
Jonckheere-Terpstra-Test ni = nj
385
11.15 Jonckheere-Terpstra-Test ni = nj α k 3
n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
0.2 9 18 31 47 66 88 113 142 173 208 246 287 332 379 430 483 540 600 663 729 799 871 947 1025 1107 1192 1280 1371 1465 1562 1662 1766 1872 1982 2095 2210 2329 2451 2576
0.1 10 20 34 51 71 95 121 152 185 222 261 304 351 400 453 509 568 630 696 764 836 911 989 1071 1155 1243 1333 1427 1524 1624 1728 1834 1944 2057 2173 2292 2414 2539 2667
0.05 11 22 36 54 75 100 128 160 194 232 274 318 366 418 472 530 591 655 722 793 867 944 1024 1108 1194 1284 1377 1474 1573 1676 1782 1891 2003 2118 2237 2358 2483 2611 2742
0.025 12 23 38 57 79 105 134 166 202 242 284 330 380 432 488 548 610 676 745 818 893 972 1054 1140 1228 1320 1415 1514 1615 1720 1828 1939 2054 2171 2292 2416 2543 2674 2807
0.01
0.005
25 40 60 83 110 140 174 212 252 297 344 395 450 507 568 633 701 772 846 924 1005 1089 1177 1268 1362 1459 1560 1664 1771 1882 1996 2113 2233 2356 2483 2613 2746 2883
25 42 62 86 114 145 180 218 260 305 353 406 461 520 582 648 717 790 865 944 1027 1113 1202 1294 1390 1489 1591 1697 1806 1918 2034 2153 2275 2400 2528 2660 2795 2934
386
11 Tabellen α
k 4
5
6
n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0.2 16 34 58 89 126 169 218 274 336 404 479 560 647 740 839 945 1057 1175 1299 26 54 94 144 204 275 357 448 550 663 786 919 1062 1216 37 80 138 212 302 407 528 664 816 984 1167
0.1 18 37 63 95 134 179 231 290 354 425 503 587 677 773 876 985 1101 1222 1350 28 59 100 153 216 290 375 470 576 693 819 957 1105 1263 40 85 147 224 317 427 552 693 850 1023 1211
0.05 19 40 67 100 141 188 242 302 369 443 522 609 701 801 906 1018 1137 1261 1392 30 62 106 160 226 303 390 488 597 717 847 988 1140 1302 43 90 154 234 330 443 572 717 878 1055 1248
0.025 21 42 70 105 147 196 251 313 382 457 539 628 723 824 932 1047 1168 1295 1429 32 65 110 167 235 313 403 504 615 738 871 1015 1170 1335 45 94 160 242 342 457 589 738 902 1083 1279
0.01 22 44 73 110 154 204 262 326 397 474 559 650 747 851 962 1080 1203 1334 1471 33 69 116 174 244 325 418 522 636 762 899 1046 1205 1374 47 98 167 252 354 474 609 761 930 1115 1316
0.005 23 45 76 114 158 210 269 334 407 486 572 665 764 870 983 1102 1228 1360 1499 35 71 119 179 251 334 428 534 650 778 917 1067 1228 1400 49 101 171 259 363 484 623 777 949 1136 1341
11.15
Jonckheere-Terpstra-Test ni = nj
387
α k 7
8
9
10
11
12
n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 2 3 4 5
0.2 51 109 190 293 418 564 732 922 1133 66 144 251 387 552 746 969 1221 84 183 320 494 705 954 1239 104 227 397 614 877 1186 126 276 483 746 1067 150 329 576 892
0.1 55 117 201 308 438 589 763 959 1176 71 153 264 406 577 777 1007 1266 90 194 336 516 734 990 1284 111 239 416 640 911 1229 134 290 504 777 1106 159 345 601 926
0.05 58 122 210 321 454 610 788 989 1211 75 160 275 421 597 802 1038 1303 95 202 349 535 759 1021 1321 116 249 431 661 939 1265 140 301 522 801 1139 166 358 621 954
0.025 61 127 218 332 468 628 810 1015 1242 78 166 285 434 614 824 1064 1335 99 210 360 550 779 1047 1353 121 258 444 680 964 1295 145 311 537 823 1167 172 369 639 979
0.01 64 133 227 344 484 648 835 1045 1277 82 173 296 449 634 849 1095 1371 103 218 373 568 803 1077 1390 126 268 460 701 992 1331 152 323 555 847 1199 179 383 659 1007
0.005 66 137 233 352 495 662 852 1065 1301 85 178 303 460 648 867 1116 1396 106 224 382 581 819 1097 1415 130 274 470 716 1011 1355 156 330 567 864 1221 184 391 672 1026
388
11 Tabellen
11.16 Jonckheere-Terpstra-Test ni = nj α n1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
n2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 7 7 8 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4
n3 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 5 6 7 8 6 7 8 7 8 8 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8
0.05 11 14 17 20 23 26 29 18 21 25 28 30 36 26 30 34 38 42 35 39 44 49 45 50 55 56 62 69 22 26 30 34 39 43 31 36 40 45 50
0.025 12 15 18 21 24 28 31 19 23 26 30 34 38 27 31 36 40 45 36 41 47 52 47 53 58 59 65 72 23 28 32 36 41 45 33 38 43 48 53
0.01
0.005
16 19 22 26 29 33 20 24 28 32 36 40 29 33 38 43 47 39 44 49 54 50 56 62 62 69 76 25 29 34 39 43 48 35 40 45 50 56
16 20 23 27 30 34 21 25 29 33 37 41 30 34 39 44 49 40 45 51 56 52 58 64 65 71 79 25 30 35 40 45 49 36 41 47 52 57
11.16
Jonckheere-Terpstra-Test ni = nj
389
α n1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 7 7 7 8
n2 5 5 5 5 6 6 6 7 7 8 4 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 7 7 8 5 5 5 5 6 6 6 7 7 8 6 6 6 7 7 8 7 7 8 8
n3 5 6 7 8 6 7 8 7 8 8 4 5 6 7 8 5 6 7 8 6 7 8 7 8 8 5 6 7 8 6 7 8 7 8 8 6 7 8 7 8 8 7 8 8 8
0.05 41 46 52 57 52 58 64 65 71 79 36 42 47 52 59 48 54 59 65 60 66 73 74 81 88 54 61 67 74 68 75 82 82 90 98 75 83 91 91 100 108 100 109 118 128
0.025 43 49 55 60 55 61 68 68 75 82 38 44 49 55 61 50 56 63 69 63 70 77 77 85 93 57 64 71 77 71 79 86 86 94 103 79 87 95 96 104 113 105 114 124 134
0.01 46 52 58 64 58 66 71 72 79 87 40 46 52 58 64 53 59 66 72 67 74 81 82 89 98 60 67 72 81 75 83 90 91 99 108 83 92 100 101 110 119 110 120 130 140
0.005 47 54 60 66 60 67 74 74 82 90 42 48 54 60 66 55 62 68 75 69 76 84 84 92 101 62 70 77 84 77 85 93 94 103 112 86 95 103 104 113 123 114 123 134 145
390
11 Tabellen
11.17 Friedman-Test Die Tabelle gibt Wahrscheinlichkeiten p = P R(Fc ≥ x) an.
c = 3, n = 2 x p 0.000 1.000 3.000 4.000
1.000 0.833 0.500 0.167
c = 3, n = 3 x p 0.000 0.667 2.000 2.667 4.677 6.000
1.000 0.944 0.528 0.361 0.194 0.028
c = 3, n = 4 x p 0.000 0.500 1.500 2.000 3.500 4.500 6.000 6.500 8.000
1.000 0.931 0.653 0.431 0.273 0.125 0.069 0.042 0.005
c = 3, n = 5 x p 0.000 0.400 1.200 1.600 2.800 3.600 4.800 5.200 6.400 7.600 8.400 10.000
1.000 0.954 0.691 0.522 0.367 0.182 0.124 0.093 0.039 0.024 0.008 0.001
c = 3, n = 6 x p 0.000 0.333 1.000 1.333 2.333 3.000 4.000 4.333 5.333 6.333 7.000 8.333 9.000 9.333 10.333 12.000
1.000 0.956 0.740 0.570 0.430 0.252 0.184 0.142 0.072 0.052 0.029 0.012 0.008 0.006 0.002 0.000
c = 3, n = 7 x p 0.000 0.286 0.857 1.143 2.000 2.571 3.429 3.714 4.571 5.429 6.000 7.143 7.714 8.000 8.857 10.286 10.571 11.143 12.286
1.000 0.964 0.768 0.620 0.486 0.305 0.237 0.192 0.112 0.085 0.051 0.027 0.021 0.016 0.008 0.004 0.003 0.001 0.000
c = 3, n = 8 x p 0.000 0.250 0.750 1.000 1.750 2.250 3.000 3.250 4.000 4.750 5.250 6.250 6.750
1.000 0.967 0.794 0.654 0.531 0.355 0.285 0.236 0.149 0.120 0.079 0.047 0.038
c = 3, n = 8 x p 7.000 7.750 9.000 9.250 9.750 10.750 12.000 12.250 13.000
0.030 0.018 0.010 0.008 0.005 0.002 0.001 0.001 0.000
c = 3, n = 9 x p 0.000 0.222 0.667 0.889 1.556 2.000 2.667 2.889 3.556 4.222 4.667 5.556 6.000 6.222 6.889 8.000 8.222 8.667 9.556 10.667 10.889 11.556 12.667 13.556
1.000 0.971 0.814 0.685 0.569 0.398 0.328 0.278 0.187 0.154 0.107 0.069 0.057 0.048 0.031 0.019 0.016 0.010 0.006 0.004 0.003 0.001 0.001 0.000
11.17 c = 3, n = 10 x p 0.000 0.200 0.600 0.800 1.400 1.800 2.400 2.600 3.200 3.800 4.200 5.000 5.400 5.600 6.200 7.200 7.400 7.800 8.600 9.600 9.800 10.400 11.400 12.200 12.600 12.800 13.400
1.000 0.974 0.830 0.710 0.601 0.436 0.368 0.316 0.222 0.187 0.135 0.092 0.078 0.066 0.046 0.030 0.026 0.018 0.012 0.007 0.006 0.003 0.002 0.001 0.001 0.001 0.000
c = 3, n = 11 x p 0.000 0.182 0.545 0.727 1.273 1.636 2.182 2.364 2.909 3.455 3.818 4.545 4.909 5.091 5.636 6.545
1.000 0.976 0.844 0.732 0.629 0.470 0.403 0.351 0.256 0.219 0.163 0.116 0.100 0.087 0.062 0.043
c = 3, n = 11 x p 6.727 7.091 7.818 8.727 8.909 9.455 10.364 11.091 11.455 11.636 12.182 13.273 13.636
0.038 0.027 0.019 0.013 0.011 0.006 0.004 0.003 0.002 0.001 0.001 0.001 0.000
c = 3, n = 12 x p 0.000 0.167 0.500 0.667 1.167 1.500 2.000 2.167 2.667 3.167 3.500 4.167 4.500 4.667 5.167 6.000 6.167 6.500 7.167 8.000 8.167 8.667 9.500 10.167 10.500 10.667 11.167 12.167 12.500 12.667
1.000 0.978 0.856 0.751 0.654 0.500 0.434 0.383 0.287 0.249 0.191 0.141 0.123 0.108 0.080 0.058 0.051 0.038 0.027 0.020 0.017 0.011 0.007 0.005 0.004 0.003 0.002 0.002 0.001 0.001
c = 3, n = 12 x p 13.167 0.001 13.500 0.000 c = 3, n = 13 x p 0.000 0.154 0.462 0.615 1.077 1.385 1.846 2.000 2.462 2.923 3.231 3.846 4.154 4.308 4.769 5.538 5.692 6.000 6.615 7.385 7.538 8.000 8.769 9.385 9.692 9.846 10.308 11.231 11.538 11.692 12.154 12.462 12.923 14.000 14.308
1.000 0.980 0.866 0.767 0.675 0.527 0.463 0.412 0.316 0.278 0.217 0.165 0.145 0.129 0.098 0.073 0.065 0.050 0.037 0.028 0.025 0.016 0.012 0.009 0.007 0.005 0.004 0.003 0.002 0.002 0.001 0.001 0.001 0.001 0.000
Friedman-Test
391
c = 4, n = 2 x p 0.000 0.600 1.200 1.800 2.400 3.000 3.600 4.200 4.800 5.400 6.000
1.000 0.958 0.833 0.792 0.625 0.542 0.458 0.375 0.208 0.167 0.042
c = 4, n = 3 x p 0.200 0.600 1.000 1.800 2.200 2.600 3.400 3.800 4.200 5.000 5.400 5.800 6.600 7.000 7.400 8.200 9.000
1.000 0.958 0.910 0.727 0.608 0.524 0.446 0.342 0.300 0.207 0.175 0.148 0.075 0.054 0.033 0.017 0.002
392
11 Tabellen
c = 4, n = 4 x p 0.000 0.300 0.600 0.900 1.200 1.500 1.800 2.100 2.400 2.700 3.000 3.300 3.600 3.900 4.500 4.800 5.100 5.400 5.700 6.000 6.300 6.600 6.900 7.200 7.500 7.800 8.100 8.400 8.700 9.300 9.600 9.900 10.200 10.800 11.100 12.000
1.000 0.992 0.928 0.900 0.800 0.754 0.677 0.649 0.524 0.508 0.432 0.389 0.355 0.324 0.242 0.200 0.190 0.158 0.141 0.105 0.094 0.077 0.068 0.054 0.052 0.036 0.033 0.019 0.014 0.012 0.007 0.006 0.003 0.002 0.001 0.000
c = 4, n = 5 x p 0.120 0.360 0.600 1.080 1.320 1.560 2.040 2.280 2.520 3.000 3.240 3.480 3.960 4.200 4.440 4.920 5.160 5.400 5.880 6.120 6.360 6.840 7.080 7.320 7.800 8.040 8.280 8.760 9.000 9.240 9.720 9.960 10.200 10.680 10.920 11.160 11.640 11.880 12.120 12.600 12.840
1.000 0.975 0.944 0.857 0.771 0.709 0.652 0.561 0.521 0.445 0.408 0.372 0.298 0.260 0.226 0.210 0.162 0.151 0.123 0.107 0.093 0.075 0.067 0.055 0.044 0.034 0.031 0.023 0.020 0.017 0.012 0.009 0.007 0.005 0.003 0.002 0.002 0.002 0.001 0.001 0.000
c = 4, n = 6 x p 0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600 1.800 2.000 2.200 2.400 2.600 3.000 3.200 3.400 3.600 3.800 4.000 4.200 4.400 4.600 4.800 5.000 5.200 5.400 5.600 5.800 6.200 6.400 6.600 6.800 7.000 7.200 7.400 7.600 7.800 8.000 8.200 8.400 8.600 8.800 9.000 9.400 9.600
1.000 0.996 0.957 0.940 0.874 0.844 0.789 0.772 0.679 0.668 0.609 0.574 0.541 0.512 0.431 0.386 0.375 0.338 0.317 0.270 0.256 0.230 0.218 0.197 0.194 0.163 0.155 0.127 0.114 0.108 0.089 0.088 0.073 0.066 0.060 0.056 0.043 0.041 0.037 0.035 0.032 0.029 0.023 0.022 0.017 0.014
c = 4, n = 6 x p 9.800 10.000 10.200 10.400 10.600 10.800 11.000 11.400 11.600 11.800 12.000 12.200 12.600 12.800 13.000 13.200 13.400 13.600
0.013 0.010 0.010 0.009 0.007 0.006 0.006 0.004 0.003 0.003 0.002 0.002 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.000
c = 4, n = 7 x p 0.086 0.257 0.429 0.771 0.943 1.114 1.457 1.629 1.800 2.143 2.314 2.486 2.829 3.000 3.171 3.514 3.686 3.857 4.200 4.371 4.543 4.886 5.057 5.229 5.571
1.000 0.984 0.963 0.906 0.845 0.800 0.757 0.685 0.652 0.590 0.557 0.524 0.456 0.418 0.382 0.366 0.310 0.297 0.262 0.239 0.220 0.195 0.180 0.161 0.143
11.17 c = 4, n = 7 x p 5.743 5.914 6.257 6.429 6.600 6.943 7.114 7.286 7.629 7.800 7.971 8.314 8.486 8.657 9.000 9.171 9.343 9.686 9.857 10.029 10.371 10.543 10.714 11.057 11.229 11.400 11.743 11.914 12.086 12.429 12.600 12.771 13.114 13.286 13.457 13.800 13.971 14.143 14.486
0.122 0.118 0.100 0.093 0.085 0.073 0.063 0.056 0.052 0.041 0.038 0.035 0.033 0.030 0.023 0.020 0.017 0.015 0.013 0.012 0.010 0.009 0.008 0.007 0.005 0.004 0.004 0.003 0.003 0.002 0.002 0.002 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.000
c = 4, n = 8 x p 0.000 0.150 0.300 0.450 0.600 0.750 0.900 1.050 1.200 1.350 1.500 1.650 1.800 1.950 2.250 2.400 2.550 2.700 2.850 3.000 3.150 3.300 3.450 3.600 3.750 3.900 4.050 4.200 4.350 4.650 4.800 4.950 5.100 5.250 5.400 5.550 5.700 5.850 6.000 6.150 6.300 6.450 6.600 6.750 7.050 7.200 7.350
1.000 0.998 0.971 0.959 0.912 0.890 0.849 0.837 0.765 0.757 0.710 0.681 0.654 0.629 0.558 0.517 0.507 0.471 0.450 0.404 0.389 0.362 0.350 0.326 0.323 0.287 0.278 0.242 0.226 0.219 0.193 0.191 0.168 0.158 0.148 0.141 0.121 0.117 0.110 0.106 0.100 0.094 0.081 0.079 0.068 0.060 0.058
c = 4, n = 8 x p 7.750 7.650 7.800 7.950 8.100 8.250 8.550 8.700 8.850 9.000 9.150 9.450 9.600 9.750 9.900 10.050 10.200 10.350 10.500 10.650 10.800 10.950 11.100 11.250 11.400 11.550 11.850 12.000 12.150 12.300 12.450 12.600 12.750 12.900 13.050 13.200 13.350 13.500 13.650 13.800 13.950 14.250 14.400 14.550 14.700 14.850
0.051 0.049 0.046 0.042 0.038 0.037 0.031 0.028 0.025 0.023 0.022 0.019 0.016 0.015 0.014 0.014 0.011 0.011 0.009 0.009 0.008 0.008 0.006 0.006 0.005 0.005 0.004 0.004 0.004 0.003 0.003 0.002 0.002 0.002 0.002 0.002 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.000
Friedman-Test
393
c = 5, n = 3 x p 0.000 0.267 0.533 0.800 1.067 1.333 1.600 1.867 2.133 2.400 2.667 2.933 3.200 3.467 3.733 4.000 4.267 4.533 4.800 5.067 5.333 5.600 5.867 6.133 6.400 6.667 6.933 7.200 7.467 7.733 8.000 8.267 8.533 8.800 9.067 9.333 9.600 9.867 10.133 10.400 10.667 10.933 11.467 12.000
1.000 1.000 0.988 0.972 0.941 0.914 0.845 0.831 0.768 0.720 0.682 0.649 0.595 0.559 0.493 0.475 0.432 0.406 0.347 0.326 0.291 0.253 0.236 0.213 0.172 0.163 0.127 0.117 0.096 0.080 0.063 0.056 0.045 0.038 0.028 0.026 0.017 0.015 0.008 0.005 0.004 0.003 0.001 0.000
394
11 Tabellen
c = 5, n = 4 x p 0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600 1.800 2.000 2.200 2.400 2.600 2.800 3.000 3.200 3.400 3.600 3.800 4.000 4.200 4.400 4.600 4.800 5.000 5.200 5.400 5.600 5.800 6.000 6.200 6.400 6.600 6.800 7.000 7.200 7.400 7.600 7.800 8.000 8.200 8.400
1.000 0.999 0.991 0.980 0.959 0.940 0.906 0.895 0.850 0.815 0.785 0.759 0.715 0.685 0.630 0.612 0.579 0.552 0.500 0.479 0.442 0.413 0.395 0.370 0.329 0.317 0.286 0.275 0.249 0.227 0.205 0.197 0.178 0.161 0.143 0.136 0.121 0.113 0.095 0.086 0.080 0.072 0.063
c = 5, n = 4 x p 8.600 8.800 9.000 9.200 9.400 9.600 9.800 10.000 10.200 10.400 10.600 10.800 11.000 11.200 11.400 11.600 11.800 12.000 12.200 12.400 12.600 12.800 13.000 13.200 13.400 13.600 13.800
0.060 0.049 0.043 0.038 0.035 0.028 0.025 0.021 0.019 0.017 0.014 0.011 0.010 0.008 0.007 0.006 0.005 0.004 0.004 0.003 0.002 0.002 0.001 0.001 0.001 0.001 0.000
c = 5, n = 5 x p 0.000 0.160 0.320 0.480 0.640 0.800 0.960 1.120 1.280 1.440 1.600 1.760 1.920
1.000 1.000 0.994 0.986 0.972 0.958 0.932 0.925 0.891 0.865 0.842 0.823 0.789
c = 5, n = 5 x p 2.080 2.240 2.400 2.560 2.720 2.880 3.040 3.200 3.360 3.520 3.680 3.840 4.000 4.160 4.320 4.480 4.640 4.800 4.960 5.120 5.280 5.440 5.600 5.760 5.920 6.080 6.240 6.400 6.560 6.720 6.880 7.040 7.200 7.360 7.520 7.680 7.840 8.000 8.160 8.320 8.480 8.640 8.800
0.765 0.721 0.707 0.679 0.657 0.613 0.594 0.562 0.535 0.518 0.494 0.454 0.443 0.410 0.398 0.371 0.349 0.325 0.316 0.295 0.275 0.255 0.246 0.227 0.218 0.195 0.183 0.174 0.164 0.151 0.146 0.130 0.121 0.112 0.107 0.094 0.089 0.082 0.077 0.073 0.066 0.058 0.056
c = 5, n = 5 x p 8.960 9.120 9.280 9.440 9.600 9.760 9.920 10.080 10.240 10.400 10.560 10.720 10.880 11.040 11.200 11.360 11.520 11.680 11.840 12.000 12.160 12.320 12.480 12.640 12.800 12.960 13.120 13.280 13.440 13.600 13.760 13.920 14.080 14.240 14.400 14.560 14.720 14.880 15.040
0.049 0.046 0.042 0.038 0.035 0.032 0.029 0.026 0.024 0.022 0.019 0.018 0.015 0.013 0.012 0.012 0.010 0.009 0.008 0.007 0.006 0.006 0.005 0.004 0.004 0.003 0.003 0.003 0.002 0.002 0.002 0.002 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.000
11.18
Hotelling-Pabst-Statistik
395
11.18 Hotelling-Pabst-Statistik Die Tabelle gibt kritische Werte dα der Statistik D nach dem folgenden Schema an: mit α1 = P r(D ≤ dα1 ) ≤ α mit α2 = P r(D ≤ dα2 ) ≥ α
dα1 α1 dα2 α2
α
3
4
Stichprobenumfang n 5
0.001 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035 0.040 0.045 0.050 0.100 0.125 0.200 0.250
0 2 0 2
0.167 0.500 0.167 0.500
0 2 0 2 0 2 2 4 4 6
0.042 0.167 0.042 0.167 0.042 0.167 0.167 0.208 0.208 0.375
0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 2 4 2 4 4 6 6 8 8 10 10 12
0.008 0.042 0.008 0.042 0.008 0.042 0.008 0.042 0.008 0.042 0.008 0.042 0.008 0.042 0.042 0.067 0.042 0.067 0.067 0.117 0.117 0.175 0.175 0.225 0.225 0.258
0 0 0 2 2 4 2 4 4 6 4 6 6 8 6 8 6 8 6 8 6 8 12 14 14 16 18 20 22 24
6 0.001 0.001 0.001 0.008 0.008 0.017 0.008 0.017 0.017 0.029 0.017 0.029 0.029 0.051 0.029 0.051 0.029 0.051 0.029 0.051 0.029 0.051 0.087 0.121 0.121 0.149 0.178 0.210 0.249 0.282
7 0 2 4 6 6 8 8 10 10 12 12 14 12 14 14 16 14 16 16 18 16 18 22 24 26 28 34 36 38 40
0.000 0.001 0.003 0.006 0.006 0.012 0.012 0.017 0.017 0.024 0.024 0.033 0.024 0.033 0.033 0.044 0.033 0.044 0.044 0.055 0.044 0.055 0.083 0.100 0.118 0.133 0.198 0.222 0.249 0.278
396
11 Tabellen
α 0.750 0.800 0.875 0.900 0.950 0.955 0.960 0.965 0.970 0.975 0.980 0.985 0.990 0.995 0.999
3 4 6 4 6 6 8 6 8 6 8 6 8 6 8 6 8 6 8 6 8 6 8 6 8 6 8 6 8 6 8
0.500 0.833 0.500 0.833 0.833 1.000 0.833 1.000 0.833 1.000 0.833 1.000 0.833 1.000 0.833 1.000 0.833 1.000 0.833 1.000 0.833 1.000 0.833 1.000 0.833 1.000 0.833 1.000 0.833 1.000
4 12 14 14 16 16 18 16 18 16 18 16 18 18 20 18 20 18 20 18 20 18 20 18 20 18 20 18 20 18 20
Stichprobenumfang n 5
0.625 0.792 0.792 0.833 0.833 0.958 0.833 0.958 0.833 0.958 0.833 0.958 0.958 1.000 0.958 1.000 0.958 1.000 0.958 1.000 0.958 1.000 0.958 1.000 0.958 1.000 0.958 1.000 0.958 1.000
26 28 28 30 30 32 32 34 34 36 34 36 36 38 36 38 36 38 36 38 36 38 36 38 36 38 38 40 38 40
0.742 0.775 0.775 0.825 0.825 0.883 0.833 0.933 0.933 0.958 0.933 0.958 0.958 0.992 0.958 0.992 0.958 0.992 0.958 0.992 0.958 0.992 0.958 0.992 0.958 0.992 0.992 1.000 0.992 1.000
44 46 48 50 52 54 54 56 60 62 60 62 60 62 60 62 60 62 62 64 62 64 64 66 64 66 66 68 68 70
6 0.718 0.751 0.790 0.822 0.851 0.879 0.879 0.912 0.949 0.971 0.949 0.971 0.949 0.971 0.949 0.971 0.949 0.971 0.971 0.983 0.971 0.983 0.983 0.992 0.983 0.992 0.992 0.999 0.999 1.000
7 70 72 74 76 82 84 84 86 92 94 92 94 94 96 94 96 96 98 96 98 98 100 100 102 102 104 104 106 108 110
0.722 0.751 0.778 0.802 0.867 0.882 0.882 0.900 0.945 0.956 0.945 0.956 0.956 0.967 0.956 0.967 0.967 0.976 0.967 0.976 0.976 0.983 0.983 0.988 0.988 0.994 0.994 0.997 0.999 1.000
11.18
α 0.001 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035 0.040 0.045 0.050 0.100 0.125 0.200 0.250
Stichprobenumfang n 9 10
8 4 6 10 12 14 16 18 20 20 22 22 24 24 26 26 28 26 28 28 30 30 32 40 42 44 46 54 56 58 60
0.001 0.001 0.004 0.005 0.008 0.011 0.014 0.018 0.018 0.023 0.023 0.029 0.029 0.035 0.035 0.042 0.035 0.042 0.042 0.048 0.048 0.057 0.098 0.108 0.122 0.134 0.195 0.214 0.231 0.250
Hotelling-Pabst-Statistik
10 12 20 22 26 28 30 32 34 36 36 38 40 42 42 44 44 46 46 48 48 50 62 64 68 70 80 82 88 90
0.001 0.001 0.004 0.005 0.009 0.011 0.013 0.016 0.018 0.022 0.022 0.025 0.029 0.033 0.033 0.038 0.038 0.043 0.043 0.048 0.048 0.054 0.097 0.106 0.125 0.135 0.193 0.205 0.247 0.260
20 22 34 36 42 44 48 50 54 56 58 60 60 62 64 66 66 68 70 72 72 74 90 92 98 100 114 116 124 126
0.001 0.001 0.004 0.005 0.009 0.010 0.013 0.015 0.018 0.022 0.024 0.027 0.027 0.030 0.033 0.037 0.037 0.040 0.044 0.048 0.048 0.052 0.096 0.102 0.124 0.132 0.193 0.203 0.246 0.257
11 34 36 54 56 64 66 72 74 78 80 84 86 88 90 92 94 96 98 100 102 102 104 126 128 136 138 156 158 168 170
0.001 0.001 0.005 0.006 0.009 0.010 0.014 0.015 0.018 0.020 0.024 0.026 0.028 0.030 0.033 0.035 0.038 0.041 0.044 0.047 0.047 0.050 0.096 0.102 0.124 0.130 0.193 0.201 0.243 0.252
397
398
11 Tabellen
α
8
0.750 0.800 0.875 0.900 0.950 0.955 0.960 0.965 0.970 0.975 0.980 0.985 0.990 0.995 0.999
106 108 110 112 120 122 124 126 134 136 136 138 138 140 138 140 140 142 142 144 144 146 146 148 150 152 154 156 160 162
0.750 0.769 0.786 0.805 0.866 0.878 0.892 0.902 0.943 0.952 0.952 0.958 0.958 0.965 0.958 0.965 0.965 0.971 0.971 0.977 0.977 0.982 0.982 0.986 0.989 0.992 0.995 0.996 0.999 0.999
Stichprobenumfang n 9 10 148 150 156 158 168 170 174 176 188 190 190 192 192 194 194 196 196 198 200 202 202 204 206 208 210 212 216 218 226 228
0.740 0.753 0.795 0.807 0.865 0.875 0.894 0.903 0.946 0.952 0.952 0.957 0.957 0.962 0.962 0.967 0.967 0.971 0.975 0.978 0.978 0.982 0.984 0.987 0.989 0.991 0.995 0.996 0.999 0.999
202 204 212 214 228 230 236 238 254 256 256 258 260 262 262 264 266 268 268 270 272 274 278 280 284 286 292 294 306 308
0.743 0.754 0.797 0.807 0.868 0.876 0.898 0.904 0.948 0.952 0.952 0.956 0.960 0.963 0.963 0.967 0.970 0.973 0.973 0.976 0.978 0.981 0.985 0.987 0.990 0.991 0.995 0.996 0.999 0.999
11 268 270 280 282 300 302 310 312 332 334 336 338 340 342 342 344 346 348 352 354 356 358 362 364 370 372 382 384 398 400
0.748 0.757 0.799 0.807 0.870 0.876 0.898 0.904 0.946 0.950 0.953 0.956 0.959 0.962 0.962 0.965 0.967 0.970 0.974 0.976 0.978 0.980 0.983 0.985 0.989 0.990 0.994 0.995 0.999 0.999
11.19
Kendalls S-Statistik
399
11.19 Kendalls S-Statistik Die Tabelle gibt Wahrscheinlichkeiten P r(S ≥ s) mit s ≥ 0 an. Da S symmetrisch um E(S) = 0 ist, gilt f¨ ur s < 0: P (S ≥ s) = P (S ≤ −s). Ist n(n − 1)/2 gerade bzw. ungerade, so nimmt S nur gerade bzw. ungerade Werte an.
s 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36
Stichprobenumfang n 4 5 8 0.625 0.592 0.548 0.375 0.408 0.452 0.167 0.242 0.360 0.042 0.117 0.274 0.042 0.199 0.02 83 0.138 0.089 0.054 0.031 0.016 0.02 71 0.02 28 0.03 87 0.03 19 0.04 25
9 0.540 0.460 0.381 0.306 0.238 0.179 0.130 0.090 0.060 0.038 0.022 0.012 0.02 63 0.02 29 0.02 12 0.03 43 0.03 12 0.04 25 0.05 28
s 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
Stichprobenumfang 6 7 0.500 0.500 0.360 0.386 0.235 0.281 0.136 0.191 0.068 0.119 0.028 0.068 0.02 83 0.035 0.02 14 0.015 0.02 54 0.02 14 0.03 20
n 10 0.500 0.431 0.364 0.300 0.242 0.190 0.146 0.108 0.078 0.054 0.036 0.023 0.014 0.02 83 0.02 46 0.02 23 0.02 11 0.03 47 0.03 18 0.04 58 0.04 15 0.05 28 0.06 28
Bemerkung: Wiederholte Nullen sind durch Hochzahlen gekennzeichnet. Beispielsweise steht 0.03 47 f¨ ur 0.00047.
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Sachverzeichnis
α-Fehler, 15 β-Fehler, 15 χ2 -Test, siehe Chi-Quadrat-Test a-posteriori, 6 a-priori, 6 abh¨ angige Stichproben c-Stichproben-Problem, 224 Zweistichprobenproblem, 195 Additionssatz, 4 Alternativhypothese, 15 Anderson-Darling-Test, 116, 123 Ansari-Bradley-Test, 187 Axiome von Kolmogorov, 4 Bandbreite, 287 Bayes, 6 bedingte Verteilung, 244 bedingte Wahrscheinlichkeit, 5 Bester Test, 18 Bindungen, 85, 87 Behandlung, 86 Bindungsgruppe, 85 Binomialtest, 129, 144 Biweight-Kern, 281 Bravais-Pearson, siehe Korrelationskoeffizient Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient, siehe Korrelationskoeffizient c-Stichproben-Problem, 213 abh¨ angige Stichproben, 224 Durbin-Test, 232 Friedman-Test, 225
Jonckheere-Terpstra-Test, 221 Kendall-Test, 229 Kruskal-Wallis-Test, 214 Mediantest, 219 Q-Test von Cochran, 230 Quade-Test, 237 Trendtest von Page, 234 unabh¨ angige Stichproben, 213 Chi-Quadrat-Test, 114, 115, 123, 245 Cram´er-von-Mises-Test, 119, 123, 160 CRAN, 55 dichotom, 2 Dichte diskrete Zufallsvariable, 7 Randverteilung, 9 stetige Zufallsvariable, 8 Dichtesch¨ atzung, 273 diskordante Paare, 258 diskret, 2 diskretisiert, 2 Dreieckskern, 280 Durbin-Test, 232 Effizienz, 13, 19 einseitiger Test, 17 Einstichprobenprobleme, 107 Empirische Verteilungsfunktion, 87 Eigenschaften, 90 R, 88 SAS, 89 Epanechnikov-Kern, 281 Ereignis, 3 disjunkt, 3
408
Sachverzeichnis
Komplement¨ ar-, 3 paarweise disjunkt, 3 stochastisch unabh¨ angige, 5 Erwartungstreue, 13 Erwartungswert, 10 Fehler 1. Art, 15 Fehler 2. Art, 15 Fisher-Test, 249 Fishers Exakter Test, siehe Fisher-Test Friedman-Test, 225 Fundamentalsatz, 92 G¨ ute eines Tests, 18 Gauß-Kern, 282 gebundene Beobachtungen, 85 Gegenwahrscheinlichkeit, 4 gemeinsame stetige Verteilung, 9 gemeinsame Verteilungsfunktion, 9 Geordnete Statistik, siehe Ordnungsstatistik gew¨ ohnliches Moment, 11 Gleichm¨ aßig bester Test, 18 Gruppieren, 2 G¨ utekriterien f¨ ur Sch¨ atzer, 13 G¨ utekriterien f¨ ur Tests, 18 Histogramm, 274 Eigenschaften, 277 Hypothese Alternativ-, 15 einseitig, 17 Null-, 15 zweiseitig, 17 iid-Bedingung, 81 IMSE, 286 intervallskaliert, 1 Iterationstest, siehe Wald-WolfowitzTest
Kern, 279 Biweight-Kern, 281 Dreieckskern, 280 Epanechnikov-Kern, 281 Gauß-Kern, 282 Normalkern, 282 Rechteckskern, 280 Kerndichtesch¨ atzer, 278, 285 Bandbreite, 287 Kernfunktion, 279 Kleinst-Quadrat-Sch¨ atzung, 295 Kolmogorov Axiome, 4 Kolmogorov-Smirnov-Test, 108, 109, 122, 156 Kommentar R, 57 SAS, 24 Komplement¨ arereignis, 3 Konfidenzbereich, 146 Verteilungsfunktion, 146 Konfidenzintervall, 14 Anteil, 147 Lageunterschied, 189 Median der Lagedifferenz, 207 Quantil, 102 Variabilit¨ atsunterschied, 191 konkodante Paare, 258 Konservativer Test, 18 Konsistenter Test, 18 Konsistenz, 13 Kontingenztabelle, siehe Kreuztabelle Korrelation, 243, 262, 264, 268 Kausalit¨ at, 270 Scheinkorrelation, 270 Streudiagramm, 267, 268 Korrelationskoeffizient, 12, 262 Kovarianz, 12, 262, 263 Kreuztabelle, 244 Kruskal-Wallis-Test, 214
Jonckheere-Terpstra-Test, 221 K-S-Test, siehe Kolmogorov-SmirnovTest kardinalskaliert, siehe metrisch Kausalit¨ at, 270 Kendall, siehe Rangkorrelationskoeffizient Kendall-Test, 229
Lageparameter, 13 Durbin-Test, 232 Friedman-Test, 225 Jonckheere-Terpstra-Test, 221 Kendall-Test, 229 Kruskal-Wallis-Test, 214 Mann-Whitney-U-Test, 173 Median-Test, 178
Sachverzeichnis Mediantest, 219 Q-Test von Cochran, 230 Quade-Test, 237 Trendtest von Page, 234 Van der Waerden-Test, 175 Vorzeichentest, 135, 196 Wilcoxon-Rangsummentest, 165 Wilcoxon-Test, 201 Wilcoxon-Vorzeichen-Rangtest, 138 Lilliefors-Schranken, 112 Lilliefors-Test, 112, 123 Linearer Rangtest, siehe Rangtest Mann-Whitney-U-Test, 173 Maximum, 82 Maximum-Likelihood-Methode, 13 McNemar-Test, 205 Median, 11, 82, 83 Verteilung, 99 Median-Test, 178 Mediantest, 219 Merkmal dichotom, 2 diskret, 2 diskretisiert, 2 intervallskaliert, 1 metrisch, 1 nominal, 2 ordinal, 1 quasistetig, 2 Skalenniveau, 1 stetig, 2 verh¨ altnisskaliert, 1 metrisch, 1 Minimum, 82 Moment, 11 Mood-Test, 184 MSE, 285 Multiplikationsregel, 5 nominal, 2 Normalkern, 282 Normalverteilung Anderson-Darling-Test, 116 Cram´er-von-Mises-Test, 119 Kolmogorov-Smirnov-Test, 108 Lilliefors-Test, 112 Shapiro-Wilk-Test, 121 Tests auf Verteilungsanpassung, 122
Nullhypothese, 15 ordinal, 1 Ordinatenabschnitt Sch¨ atzer, 303 Ordnungsstatistik, 81, 95 Dichte, 94 Maximum, 82 Median, 82, 83 Minimum, 82 Randverteilung, 96 Spannweite, 82 Verteilung, 93, 99 p-Wert, 17 Parameter, 13 Perzentil, siehe Quantil Produktregel, 5 Q-Test von Cochran, 230 Quade-Test, 237 Quantil, 11 Konfidenzintervall, 102 Test, 133 quantitativ, siehe metrisch Quartil, siehe Quantil quasistetig, 2 R, 55 !=, 67 .RData, 59 .RHistory, 59 ==, 67 $, 65 %*%, 62, 63 %/%, 57 %%, 57 %in%, 66 apropos(), 60 array(), 64 Arrays, 64 as.character(), 60 as.complex(), 60 as.logical(), 60 as.numeric(), 60 break, 69 c(), 62 CRAN, 55 crossprod(), 63
409
410
Sachverzeichnis
Data Frames, 65 data.frame(), 66 Datenexport, 72 Datenimport, 72, 73 Datensatz, 65 Datenstrukturen, 61 Datentyp, 59 demo(), 60 detach(), 61 Dichte, 74 dim(), 63 eigen(), 63 Eigenschaften, 55 F, 58 for, 69 function(), 71 Funktionen, 71, 76 Grafiken, 77 help(), 60 help.search(), 60 Hilfesystem, 60 if, 68 ifelse, 68 Inf, 58 install.packages(), 61 Installation, 55 invisible(), 71 is.character(), 60 is.complex(), 60 is.logical(), 60 is.numeric(), 60 is.vector(), 65 JGR, 80 kappa(), 63 Kommentar, 57 Konfiguration, 55 Konstante, 57 Konstrukte, 66 length(), 62 library(), 61 list(), 64 Listen, 64 load(), 59 ls(), 59 Matrizen, 63 MDI, 56 merge(), 66 mode(), 60 NA, 58
NaN, 58 next, 69 no save, 56 NULL, 58 objects(), 59 Objekt, 59 Operatoren, 57 Pakete, 61 pi, 58 q(), 59 Quantil, 74 quit(), 59 R Commander, 80 read.csv, 73 read.csv2, 73 read.table, 73 repeat, 69, 70 return(), 71 rm(), 59 RWinEdt, 79 save.image(), 59 Schleifen, 69 SDI, 56 search(), 61 select(), 66 solve(), 63 split(), 66 str(), 62, 66 subset(), 66 switch, 69 T, 58 t(), 62 typeof(), 60 update.package(), 61 Variable, 57 Vektoren, 62 vektorwertig, 67 Verteilung, 74 Verteilungsfunktion, 74, 88 Verzweigungen, 68 while, 69 Workspace, 55, 59 Zufallszahl, 74 Zuweisung, 57 Randverteilung, 244 Rang, 82, 95 Verteilung, 93 Rangkorrelationskoeffizient, 253, 254, 257
Sachverzeichnis Rangtest, 134 Rechteckskern, 280 Regression, 273, 291, 292, 297, 305 Kleinst-Quadrat-Sch¨ atzer, 292 Nichtlinear, 305 Verfahren von Theil, 297 Watson-Nadaraya Sch¨ atzer, 305 Regressionsmodell allgemein, 292 linear, 294 Robuster Test, 18 Run-Test, siehe Wald-Wolfowitz-Test Runs-Test, siehe Wald-Wolfowitz-Test SAS, 21 +i, 30 @i, 30 #i, 30 $, 27 Anweisungen, 38 Ausgabefenster, 22 Ausgabeformat, 47 AXIS, 45 Bibliothek, 25 BY, 38 CEIL, 34 CLASS, 38 DATA, 25, 37 DATA-Step, 23, 25 DATALINES, 26 DELIMITER, 32 Deutsche Umlaute, 46 DEVICE, 47 DLM, 32 DO-TO, 28 DO-UNTIL, 28 DO-WHILE, 28 DONUT, 42 DROP, 31 Editor, 22 ENDSAS, 39 FIRSTOBS, 31 FLOOR, 34 FOOTNOTE, 39, 45 FREQ, 38 Funktionen, 34, 35 Globale Anweisungen, 39 GOPTIONS, 47 Grafikexport, 47
GRID, 44 HBAR, 42 HISTOGRAM, 51 IF-THEN-ELSE, 34 INFILE, 31 Informate, 27 INPUT, 26, 30, 31 INTERPOLATION, 46 KEEP, 31 Kommentar, 24 LABEL, 30, 38 LEGEND, 46 LIBNAME, 25 MAPS, 26 MEAN, 35 Men¨ uleiste, 23 NOPRINT, 37 NORMAL, 35 NOTE, 45 ODS, 48 OF, 34 Operatoren, 34 Optionen, 37, 40, 43–45, 47 OPTIONS, 39 OUT, 37 OUTPUT, 29, 38 Output-Delivery-System, 48 PAGE, 39 PATTERN, 46 PIE, 42 PLOT, 42, 44 PROC BOXPLOT, 44 PROC CAPABILITY, 43 PROC CORR, 53 PROC FORMAT, 39 PROC FREQ, 52 PROC G3D, 44 PROC GCHART, 42 PROC GCONTOUR, 43 PROC GOPTIONS, 47 PROC GPLOT, 42 PROC MEANS, 50 PROC OPTIONS, 39 PROC PRINT, 39 PROC SORT, 39 PROC TABULATE, 40 PROC UNIVARIATE, 43, 48 PROC-Step, 23, 37 Programmaufbau, 23, 24
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Sachverzeichnis
PUT, 28 Quantile, 50 RAND, 36 RANGE, 35 RUN, 23 SASHELP, 26 SASUSER, 26 SCATTER, 44 Schl¨ usselw¨ orter, 50 Schleifen, 28 SEED, 35 SKIP, 39 Statistik, 48, 50, 52 STD, 35 SUM, 35 SYMBOL, 46 TABLE, 40 Testen, 50 TILT, 44 TITLE, 39, 45 VAR, 38 Variablennamen, 26 VBAR, 42 Vergleichsoperatoren, 34 Verteilungen, 36 Verteilungsfunktion, 89 WEIGHT, 38 WORK, 26 Zufallszahlen, 35 Satz Fundamentalsatz, 91 von Gliwenko und Cantelli, 91 Satz von Bayes, 6 Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit, 6 Sch¨ atzer Effizienz, 13 Erwartungstreue, 13 G¨ utekriterien, 13 Konsistenz, 13 Suffizienz, 13 Vollst¨ andigkeit, 13 Scheinkorrelation, 268, 270 Schließende Statistik, 12 Sequenztest, siehe Wald-Wolfowitz-Test Shapiro-Wilk-Test, 121, 123 Siegel-Tukey-Test, 182 Sign-Test, siehe Vorzeichentest Signifikanzniveau, 15
Skalenniveau, 1 Skalenparameter, 13 Spannweite, 82 Spearman, siehe Rangkorrelationskoeffizient Standardabweichung, 10 Standardisierung, 13 Statistischer Test, siehe Test stetig, 2 stochastisch gr¨ oßer, 9 Streudiagramm, 267, 268 Suffizienz, 13 symmetrische Zufallsvariable, 9 Tats¨ achliches Testniveau, 18 Test, 15 Ablauf, 17 Anderson-Darling, 116, 123 Ansari-Bradley-Test, 187 Anteil, 130, 131 Arbeitsweise, 16 bester, 18 Binomialtest, 129, 144 Chi-Quadrat-Test, 114, 123, 245 Cram´er-von-Mises, 119, 123 Cram´er-von-Mises-Test, 160 Durbin-Test, 232 Effizienz, 19 einseitig, 17 Fehler, 15 Fisher-Test, 249 Friedman-Test, 225 G¨ ute, 18 G¨ utekriterien, 18 gleichm¨ aßig bester, 18 Jonckheere-Terpstra-Test, 221 Kendall-Test, 229 Kolmogorov-Smirnov-Test, 108, 109, 122, 156 konservativ, 18 konsistent, 18 Kruskal-Wallis-Test, 214 Lageparameter, 135, 138, 165, 173, 175, 178, 196, 201, 214, 219, 221, 225, 229, 230, 232, 234, 237 Lilliefors, 112, 123 M¨ achtigkeit, 18 Mann-Whitney-U-Test, 173 McNemar-Test, 205
Sachverzeichnis Median-Test, 178 Mediantest, 219 Mood-Test, 184 nichtparametrisch, 17 p-Wert, 17 parametrisch, 17 Power, 18 Q-Test von Cochran, 230 Quade-Test, 237 Quantil, 133 Rangtest, 134 robust, 18 Shapiro-Wilk, 121, 123 Siegel-Tukey-Test, 182 Signifikanzniveau, 15 Testniveau, 18 Teststatistik, 17 Trendtest von Page, 234 Trennsch¨ arfe, 18 unbiased, 18 unverf¨ alscht, 18 unverzerrt, 18 Van der Waerden-Test, 175 Variabilit¨ at, 182, 184, 187 Verteilungsanpassung, 108, 112, 114, 116, 119, 121, 122, 152, 156, 160 Vorzeichentest, 135, 144, 196 Wald-Wolfowitz, 141 Wald-Wolfowitz-Test, 145, 152 Wilcoxon-Rangsummentest, 165 Wilcoxon-Test, 201 Wilcoxon-Vorzeichen-Rangtest, 138, 145 zweiseitig, 17 Test auf Zuf¨ alligkeit, siehe WaldWolfowitz-Test Teststatistik, 17 Theil Verfahren verbessert, 300 Verfahren von, 300 Trendtest von Page, 234 unabh¨ angige Stichproben c-Stichproben-Problem, 213 Zweistichprobenproblem, 151 Unabh¨ angigkeit, 10, 243 Chi-Quadrat-Test, 245 Fisher-Test, 249
Korrelationskoeffizient, 262 Rangkorrelationkoeffizient, 252 Rangkorrelationskoefizient, 257 stochastische, 5 Tipps, 270 unkorreliert, 12 Unverf¨ alschte Tests, 18 Van der Waerden-Test, 175 Variabilit¨ atsparameter, 13 Ansari-Bradley-Test, 187 Mood-Test, 184 Siegel-Tukey-Test, 182 Test, 182, 184, 187 Varianz, 10 vektorwertig, 67 verh¨ altnisskaliert, 1 Verteilung Anpassungstest, 108, 109, 112 bedingte, 244 Randverteilung, 244 Verteilungsanpassung Anderson-Darling-Test, 116 Chi-Quadrat-Test, 114 Cram´er-von-Mises-Test, 119 Kolmogorov-Smirnov-Test, 108 Lilliefors-Test, 112 Shapiro-Wilk-Test, 121 Test, 152, 156, 160 Tests, 122 Verteilungsfunktion, 87 diskrete Zufallsvariable, 7 Eigenschaften, 90 empirische, 87 gemeinsame, 9 Konfidenzbereich, 146 R, 88 SAS, 89 stetige Zufallsvariable, 8 Vollst¨ andigkeit, 13 Wahrscheinlichkeit a-posteriori, 6 a-priori, 6 Additionssatz, 4 Axiome von Kolmogorov, 4 Bayes, 6 bedingte, 5 Gegenwahrscheinlichkeit, 4
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Sachverzeichnis
Multiplikationsregel, 5 Produktregel, 5 Rechenregeln, 4 totale, 6 unabh¨ angige Ereignisse, 5 Wald-Wolfowitz-Test, 141, 145, 152 Watson-Nadaraya Sch¨ atzer, 305 Wertebereich, 3 Wilcoxon-Rangsummentest, 165 Wilcoxon-Test, 201 Wilcoxon-Vorzeichen-Rangtest, 138, 145, siehe Wilcoxon-Test zentrales Moment, 11 Zerlegung, 3 Zufallsexperiment, 3 Zufallsvariable, 3 diskrete Dichte, 7 Verteilungsfunktion, 7 Erwartungswert, 10 Quantil, 11
Standardabweichung, 10 standardisierte, 13 stetige Dichte, 8 Verteilungsfunktion, 8 stochastisch gr¨ oßer, 9 symmetrisch, 9 Unabh¨ angigkeit, 5, 10 Varianz, 10 Zusammenhang, 243 gegensinnig, 253, 264, 268 gleichsinnig, 253, 264, 268 linear, 264 metrische Merkmale, 262 nominale Merkmale, 245, 249 ordinale Merkmale, 252, 257 Streudiagramm, 267, 268 Tipps, 270 zweiseitiger Test, 17 Zweistichprobenproblem abh¨ angige Stichproben, 195 unabh¨ angige Stichproben, 151
