Grundlagen der Elektrotechnik und Elektronik 1: Gleichstromnetzwerke und ihre Anwendungen, 4. Auflage

Springer-Lehrbuch

Steffen Paul · Reinhold Paul

Grundlagen der Elektrotechnik und Elektronik 1 Gleichstromnetzwerke und ihre Anwendungen

4., neu bearbeitete Auflage

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Prof. Dr.-Ing. Steffen Paul Universität Bremen Institut für theoretische Elektrotechnik und Mikroelektronik Otto-Hahn-Allee 1 D-28359 Bremen [email protected] Prof. em. Dr.-Ing. habil. Reinhold Paul Technische Universität Hamburg-Harburg Institut für Nanoelektronik Eißendorfer Str. 38 D-21073 Hamburg

ISSN 0937-7433 ISBN 978-3-540-69076-4 e-ISBN 978-3-540-69078-8 DOI 10.1007/978-3-540-69078-8 Springer Heidelberg Dordrecht London New York Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Einbandentwurf: WMXDesign GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier Springer ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (www.springer.de)

Vorwort zur Neuauflage Nichts kennzeichnet den Umfang, in dem die Elektrotechnik heute Wirtschaft, Technik und u offentlich-gesellschaftliche Leben beherrscht, bes¨berhaupt das ¨ ser als ein pl¨otzlicher Stromausfall: alles ruht. Deshalb ist dieses Gebiet stark interdisziplin¨ar ausgerichtet, stellt es doch einerseits mit der Energietechnik die Grundlage f¨ ur großtechnischen Energietransport und Energiewandlung dar, andererseits hat es in der Informations- und Kommunikationstechnik mit Stichworten wie Rundfunk-/Fernsehen, Computer, Internet und Satellitentechnik Anwendungsbereiche weltweiten Ausmaßes. Nur folgerichtig haben die Grundlagen dieses Gebietes in ingenieurtechnischen Studienrichtungen Elektrotechnik, Informationstechnik, Mikroelektronik, Automatisierungstechnik und nat¨ urlich Energie- und Antriebstechnik, aber auch Mechatronik und Maschinenbau an Fachhochschulen und Universit¨aten seit langem einen festen Platz. Das vorliegende dreib¨ andige Lehrwerk Grundlagen der Elektrotechnik und ” Elektronik“ vermittelt dazu notwendiges Grundwissen nach modernen methodisch-didaktischen Gesichtspunkten basierend auf langj¨ahrigen Ausbildungserfahrungen der Autoren. Motivation Gegen¨ uber vorherigen Ausgaben dieses Lehrbuches erfolgte eine

weitgehende Neubearbeitung aus mehreren Gr¨ unden: Die eingef¨ uhrten Bachelor- und Master-Abschl¨ usse als Angebot statt des Diplom-Studiengangs dr¨ angen zur Neubewertung und st¨arker modularisierten Form des Lehrstoffes. Deshalb muss die Themenfolge der Vorlesung nicht unbedingt mit der Stofffolge eines Lehrbuches u ¨ bereinstimmen. Es gibt Stoffverschiebungen: Fortschritte der Mikroelektronik, der Solartechnik, die wachsende Bedeutung elektromagnetischer Felder durch die Thematik der elektromagnetischen Vertr¨ aglichkeit, die wachsende Sensorik und Mikrosystemtechnik u. a. finden sich nicht nur im Ausbildungsangebot der Oberstufe, sondern verschieben auch relevante Grundaspekte ins Grundstudium. Halbleiterbauelemente (Solarzellen, Dioden, Transistoren, Operationsverst¨arker u. a.) bestimmen heute die Schaltungstechnik. Das erfordert von der Grundausbildung eine st¨ arkere Beachtung nichtlinearer Probleme, vor allem aber gesteuerter Quellen und ihren Einbezug in Netzwerke. Dazu ist ein einfaches Verst¨ andnis ihrer Funktionsprinzipien und Eigenschaften im Stromkreis w¨ unschenswert. Die wachsende Bedeutung der Mechatronik verlangt eine st¨arkere Ber¨ ucksichtigung der elektromechanischen Wechselwirkung (Stichworte Aktorik/

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Vorwort zur Neuauflage

Sensorik), der Erweiterung des Netzwerkes zum physikalischen Netzwerk und den damit verbundenen Analogien. Der PC ist heute in den Ausbildungseinrichtungen breit verf¨ ugbar. Das er¨offnet die M¨ oglichkeit der Softwarenutzung bei der Probleml¨osung: Programme wie SPICE/PSPICE (u. a.) f¨ ur die Schaltungssimulation oder MATLAB/SIMULINK, Mathematika/MAPLE u. a. f¨ ur die mathematische Unterst¨ utzung sind sehr n¨ utzliche Hilfsmittel. Durchweg stehen begrenzte, f¨ ur die Grundausbildung ausreichende Versionen kostenlos im Internet zur Verf¨ ugung, auch gibt es preisg¨ unstige Studentenversionen. Doch dieses sei vermerkt: Man erlernt Grundkenntnisse der Elektrotechnik nicht durch Besch¨aftigung mit solchen Hilfsmitteln, sondern zun¨achst durch permanente Nutzung von Papier, Stift und eigenes Nachdenken! Erst dann bieten diese Werkzeuge eine sinnvolle Erg¨anzung. Manche Normen und Begriffe, ja sogar die Rechtschreibung haben sich teilweise ver¨ andert. Der erste Band umfasst einfache (Gleich-) Stromkreise sowie Netzwerke, ihre Analyseverfahren und Anwendungen, der zweite Band die Gesetzm¨aßigkeiten des elektrischen und magnetischen Feldes, die Verbindung zu den Netzwerkelementen und schließlich die Energiewandlung sowie Energie und Kraftwirkung in elektromagnetischen Feldern einschließlich verallgemeinerter physikalischer Netzwerke und Analogievorstellungen. Der dritte Band enth¨ alt dynamische Netzwerke und zeitver¨anderliche Vorg¨ ange (Wechsel-, Drehstromtechnik), Transformationen und Schaltvorg¨ange. Begriffen wird in allen B¨ anden die Grundausbildung nicht als etwas Abgeschlossenes, Selbst¨ andiges, sondern als das, was sie ist: das Fundament nachfolgender Lehrgebiete. Inhalt und Stoffgestaltung Zu den stoffbezogenen Problemen einer elektro-

technischen Grundvorlesung treten erfahrungsgem¨aß noch die Schwierigkeiten der Anwendung mathematischer Methoden auf technisch-naturwissenschaftliche Problemstellungen, wie sie beispielsweise das Verst¨andnis der elementaren Vektoralgebra zum Umgang mit Feldgr¨oßen erfordert, st¨ unde die Feldvorstellung am Beginn der Ausbildung. Dagegen sind Stichworte wie Strom, Spannung, Widerstand als Schulwissen, durch die Berufsausbildung oder eigenes Interesse meist schon bekannt. Diesem Aspekt tr¨agt der erste Band Rechnung. Ein einf¨ uhrender Abschnitt fasst diese Grundbegriffe zusammen und wendet sie im Kapitel Gleichstromnetzwerke“ auf einfache Strom” kreise an.

Vorwort zur Neuauflage

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Dem Einsatz von Halbleiterbauelementen in der Schaltungstechnik tragen Schwerpunkte wie nichtlinearer Grundstromkreis, Zweitore und gesteuerte Quellen mit besonderer Beachtung der netzwerktechnischen Modellierung des Transistors und Verst¨ arkers (Operationsverst¨ arker) Rechnung. Das Kapitel Netzwerkanalyse“ behandelt die Standardverfahren und eine ” vertiefte Zusammenstellung der matrixorientierten Darstellung (letztlich als Grundlage aller rechnergest¨ utzten Methoden). Weil sie zunehmend wichtiger werden, f¨ uhrt eine knappe Vertiefung in Simulationsmethoden“ und ihre An” wendung ein. Hier spielen haupts¨ achlich lineare Gleichungssysteme eine Rolle und deshalb findet die meist parallel verlaufende Mathematikausbildung ein sehr praktisches Anwendungsfeld. Das vierte Kapitel stellt n¨ utzliche Netzwerktheoreme zusammen, deren Anwendung die Netzwerkberechnung stark vereinfacht. Ein knapper Anhang enth¨ alt u ¨bergreifende Themen: physikalische Gr¨oßen und Gleichungen, Einheiten und Dimensionen. Hat der Lernende an dieser Stelle den ersten Schwerpunkt der Grundausbildung erarbeitet, so konzentriert sich der zweite Schwerpunkt auf die Wirkungen ruhender und bewegter Ladungen im Raumpunkt beschrieben durch das elektromagnetische Feld mit seinen Bestandteilen Str¨omungsfeld, elektrostatisches und magnetisches Feld. An dieser Stelle d¨ urfte seitens der Mathematikausbildung die Vektorrechnung (erg¨ anzt durch Linien- und H¨ ullenintegrale) verf¨ ugbar sein. ¨ Der Ubergang vom Stromkreis zur Feldbetrachtung im Band 2 gelingt am anschaulichsten mit dem Str¨ omungsfeld“. Ausgehend von Strom und Span” nung wird zun¨achst der feldm¨ aßige Ursache-Wirkungs-Zusammenhang durch Feldgr¨oßen im Raumpunkt hergeleitet mit dem Str¨omungsfeld als Mittler. Am Ende steht die feldm¨ aßige Begr¨ undung des Netzwerkelementes ohmscher Widerstand. Vertraut mit dieser Vorgehensweise wird anschließend das Elektrostatische ” Feld“ mit seinen relevanten Feldgr¨ oßen und Ph¨anomenen erl¨autert. Am ¨ Schluss f¨ uhrt der Ubergang auf die Globalgr¨oßen Spannung und Ladung zum Netzwerk- und Schaltelement Kondensator. Besonderer Wert liegt auf den technischen Aspekten der Felder und ihren Anwendungen, etwa der Einf¨ uhrung des MOSFET als Beispiel eines feldgesteuerten, nichtlinearen Str¨o¨ mungsfeldes. Ein Uberblick der Stromleitungsvorg¨ange in Festk¨orpern, Fl¨ ussigkeiten und Gasen schließt den Abschnitt ab, lenken doch heute Brennstoffzellen den Blick st¨ arker auf dieses Teilgebiet.

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Vorwort zur Neuauflage

Die gleiche Vorgehensweise nutzt das Kapitel Magnetisches Feld“ mit den ” zugeh¨origen Feldgr¨ oßen und Ph¨ anomenen. Das fundamentale Induktionsgesetz und seine Anwendungen wird unter verschiedenen Gesichtspunkten behandelt, wichtige Netzwerkfolgerungen sind die Einf¨ uhrung der Selbst- und Gegeninduktivit¨ at. Den Schluss bilden die Maxwellschen Gleichungen in Integralform, wie sie f¨ ur viele praktische Problemstellungen ausreichen. Ihre Differenzialform wird lediglich als Ausblick erw¨ ahnt, denn sie ist Inhalt des Lehrgebietes Theoretische Elektrotechnik. Wird auf diese Vertiefung verzichtet – was manche Studieng¨ange bevorzugen – so gen¨ ugen einige einfache Beispiele zum breiteren Verst¨andnis der Differenzialform. Das elektromagnetische Feld ist Tr¨ ager der elektromagnetischen Energie. Energie und Kraftwirkungen bilden deshalb den letzten Schwerpunkt. Hier haben Wechselwirkungen zu anderen Energieformen, besonders zur Mechanik, große Bedeutung mit Einrichtungen wie Motoren, Generatoren, Elektromagneten, heute verstanden als Teilgebiet der Aktoren. F¨ ur die Energiewandlungsvorg¨ange elektrisch – nichtelektrisch wird ihre Modellierung zunehmend wichtiger und durch Analogievorstellungen lassen sich Netzwerkverfahren auf nichtelektrische Vorg¨ ange u ¨ ber den Begriff physikalische Netzwerke u ¨bertragen. Die Stoffzuordnung der ersten beiden B¨ ande hat sich nicht nur p¨adagogisch langj¨ahrig bew¨ahrt, sondern sie zeigt auch den Unterschied zur Elektrizit¨atslehre der Physik: beginnt diese mit der ruhenden Ladung und Elektrostatik gefolgt von den Ph¨ anomen der bewegten Ladung usw., so stehen in der Elektrotechnikausbildung mehr Zweck und Mittel im Focus: die Energie- und Informations¨ ubertragung mit Netzwerken. Erst allm¨ahlich wird das Verst¨andnis zum elektromagnetischen Feld und seiner Nutzung aufgebaut. Didaktik Die Lehrveranstaltung Grundgebiete der Elektrotechnik“ bringt

” den ersten Kontakt der Studierenden zum sp¨ateren Berufsfeld. Das verlangt neben der motivierenden inhaltlichen Darlegung nicht nur einen st¨andigen Bezug zu praktischen Beispielen, er stellt auch eine didaktische Herausforderung dar. Methodisch ist der Stoff so angelegt, dass er selbst¨andig erarbeitet werden kann und vom Lernenden einen st¨ andigen Dialog mit dem Lehrbuch verlangt. Damit eignen sich die B¨ ucher auch zum autodidaktischen Lernen unterst¨ utzt durch mehrere Aspekte: Formulierung der Lernziele f¨ ur jeden Stoffschwerpunkt, knappe Erkl¨arung wichtiger Begriffe als Merks¨ atze, strukturierte L¨osungsmethoden zur An-

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wendung bestimmter Verfahren, Zusammenfassungen/Tutorials zu jedem Stoffschwerpunkt, Pr¨ ufungs- und Kontrollfragen, optische Hervorhebung wichtiger Begriffe und Fakten, sie sind gleichzeitig St¨ utzstellen zur Pr¨ ufungsvorbereitung, Stoffgebiete mit erh¨ ohtem Schwierigkeitsgrad oder speziellen Problem, die zun¨achst zur¨ ucktreten k¨ onnen, werden mit einem Stern (*) ausgewiesen, wichtige Themen werden mit einem ansteigenden, zweistufigen Anforderungsniveau behandelt. So l¨ asst sich der Vertiefungsgrad selbst w¨ahlen. Dabei verhelfen manche R¨ uckverweise zum allm¨ahlichen Aufbau eines ¨ Ubersichtswissens, Anleitung zum Einbezug relevanter Computerprogramme, zahlreiche Beispiele und praktische Hinweise festigen den Lehrstoff, gut gestaltete Bilder, sie wurden durchweg neu bearbeitet, Hinweise auf Aufgaben, die mit L¨ osung in zwei Arbeitsb¨ uchern bereit¨ stehen. Eine begleitende Webseite h¨ alt weitere Ubungsbeispiele bereit (www.item.uni-bremen.de/PaulGrundlagenlehrbuch). Studienmethodik Die Erlernung elektrotechnischer Grundlagen gelingt oh-

ne intensives Selbststudium kaum. Dazu geh¨oren neben der Beherrschung der wichtigsten Definitionen und Gesetze, L¨ osungsmethoden und physikali¨ schen Sachverhalte die permanente eigenst¨ andige L¨osung von Ubungsaufgaben. Dann wird schnell deutlich, was verstanden wurde und was nicht. Die Fragen zur Selbstkontrolle sollten unbedingt beantwortet werden, um ein Gef¨ uhl f¨ ur das Stoffverst¨andnis zu erhalten. Leserkreis Das Lehrwerk wendet sich an:

Studierende der Fachrichtungen Elektrotechnik, Informationstechnik, Informatik, aber auch Maschinenbau, Physik und Wirtschaftsingenieurwesen an Universit¨ aten und Fachhochschulen, an den im Berufsleben stehenden Ingenieur und Techniker als Nachschlagewerk bei auftretenden Problemen u ¨ ber Grundzusammenh¨ange, die er einmal geh¨ort hat, an Abiturienten und Sch¨ uler in oberen Klassen, die sich w¨ahrend der Schulzeit oder im Wehr- und Ersatzdienst auf ein Studium vorbereiten wollen. Dank Die Motivation zu diesem Buch entsprang der Erkenntnis, dass die

Grundlagen eines Fachgebietes nie abgeschlossen sind, sondern in Abst¨anden neu durchdacht und formuliert werden m¨ ussen. Das best¨atigte sich auch in zahlreichen Diskussionen mit Fachkollegen, wodurch das Vorhaben sehr

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gef¨ordert wurde. Der Dank gilt aber gleichfalls den Lesern vorhergehender Auflagen, die manch gute Ratschl¨ age zur Verbesserung u ¨ bermittelten. In der Bearbeitungsphase des Manuskriptes hat Herr Dr.-Ing. sc. techn. H.-G. Schulz mit einer Reihe von Vorschl¨ agen aus seiner langj¨ahrigen T¨atigkeit als Lehrender des Fachgebietes Theoretische Elektrotechnik (TU Dresden) beigetragen. Ihm gilt unser ganz pers¨ onlicher und herzlicher Dank. Dem Springer-Verlag, insbesondere Frau E. Hestermann-Beyerle, danken wir f¨ ur die gute Zusammenarbeit, die sorgf¨ altige Drucklegung des Buches sowie daf¨ ur, dass W¨ unschen weitgehend entsprochen worden ist. Der Firma le-tex, insbesondere Frau N. Kroke und Frau P. M¨ows danken wir f¨ ur die Unterst¨ utzung bei der Erstellung des druckreifen Manuskripts. ¨ Uber die Jahre gingen von vielen Fachkollegen und Lesern zahlreiche Hinweise und Anregungen ein, ein Fundus f¨ ur die Neubearbeitung. Unzul¨anglichkeiten bleiben nat¨ urlich nicht aus und wir sind f¨ ur Anregungen, Fehler und Verbesserungshinweise jederzeit dankbar ([email protected], [email protected]). Ein Grundlagenbuch Elektrotechnik mit einem Anspruch f¨ ur einen weiten Nutzerkreis ist immer eine Herausforderung: es soll einerseits den Leser in seiner Studienwahl bekr¨ aftigen, ein breites Fundament f¨ ur das weitere Studium legen eingebettet in die Lernfortschritte, die er in Mathematik und Physik erzielt und ihn schließlich auf die Vielfalt der Elektrotechnik neugierig machen. Die Autoren hoffen, dass das Buch diesem Anspruch gerecht wird. Bremen, Fr¨ uhjahr 2010

Steffen Paul

Buchholz, Fr¨ uhjahr 2010

Reinhold Paul

Inhaltsverzeichnis Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grundaufgaben der Elektrotechnik ........................... Teilchen- und Feldmodell....................................... Elektrische Ladung ............................................. Eigenschaften der elektrischen Ladung ...................... Erhaltungssatz der Ladung..................................... Elektrische Feldst¨arke .......................................... Bewegte Ladung, elektrische Stromst¨arke................... Strombegriff ...................................................... Elektrische Stromst¨arke ........................................ Erstes Kirchhoffsches Gesetz, Knotensatz................... Zusammenhang Strom-Ladung................................ Elektrische Spannung, elektrisches Potenzial ............... Elektrische Spannung .......................................... Zweites Kirchhoffsches Gesetz, Maschensatz ............... Spannung, Potenzial und elektrische Feldst¨arke ........... Elektrische Energie, elektrische Leistung .................... Energie ............................................................. Elektrische Energie .............................................. Elektrische Leistung, Wirkungsgrad ..........................

1 3 6 10 10 15 16 20 20 23 27 30 32 32 39 41 43 43 44 47

Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modelle elektrischer Stromkreise.............................. 2.1 2.2 Unabh¨angige Spannungs- und Stromquellen................ 2.2.1 Ideale Spannungs- und Stromquellen ........................ 2.2.2 Reale Spannungs- und Stromquellen ......................... 2.3 Widerstand, resistiver Zweipol ................................ 2.3.1 Lineare resistive Zweipole ...................................... 2.3.2 Zusammenschaltungen linearer resistiver Zweipole ........ 2.3.3 Nichtlineare resistive Zweipole ................................ 2.3.4 Temperaturverhalten resistiver Zweipole .................... 2.3.5 Allgemeine resistive Zweipole.................................. angige resistive Zweipole........................... 2.3.5.1 Zeitunabh¨ 2.3.5.2 Zeitvariante resistive Zweipole ................................ 2.3.6 Widerstand als Bauelement ................................... 2.4 Der Grundstromkreis ............................................ 2.4.1 Der lineare Grundstromkreis ................................... 2.4.2 Leistungsumsatz im Grundstromkreis ........................ 2.4.3 Einfache verzweigte Stromkreise ..............................

53 57 60 62 65 74 74 80 87 90 95 95 97 99 102 102 106 111

1 1.1 1.2 1.3 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.4 1.4.1 1.4.2 1.4.3 1.4.4 1.5 1.5.1 1.5.2 1.5.3 1.6 1.6.1 1.6.2 1.6.3 2

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Inhaltsverzeichnis

117 123 126

2.7.8

Zweipoltheorie .................................................... ¨ Uberlagerungssatz ............................................... Nichtlinearer resistiver Grundstromkreis* ................... Zusammenschaltung nichtlinearer und linearer Schaltelemente, Ersatzkennlinie ............... Kennlinienapproximationen..................................... Arbeitspunkteinstellung ......................................... Leistungsumsatz im nichtlinearen Grundstromkreis ....... Kleinsignalverhalten ............................................. Zweitore ........................................................... Zweitorbegriff ..................................................... Strom-Spannungs-Beziehungen linearer Zweitore.......... Zweitorarten ...................................................... Zweitorersatzschaltungen, gesteuerte Quellen ............. Elementarzweitore ............................................... Zweitorzusammenschaltungen ................................. Zweitor in der Schaltung, Betriebsverhalten ................ Zweitor mit unabh¨angigen Quellen ........................... ¨ Uberlagerungssatz und Zweipoltheorie in Netzwerken mit gesteuerten Quellen ........................................ Gesteuerte Bauelemente und ihre Modellierung* ......... Allgemeine gesteuerte Quellen ................................ Nichtlineares Zweitor ............................................ Bipolartransistormodell ........................................ Kleinsignalverhalten nichtlinearer Zweitore ................ Kleinsignalverhalten des Bipolartransistors, Verst¨arkungsprinzip.............................................. Allgemeines lineares Verst¨arkermodell ....................... Operational-Transkonduktanz-Verst¨arker, Operationsverst¨arker ............................................ Grundschaltungen mit Operationsverst¨arkern .............

3 3.1 3.1.1 3.1.2 3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4

Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen . . . . Netzwerkbeschreibung .......................................... Netzwerkgleichungen ............................................ Zweigstromanalyse............................................... Maschenstromanalyse ........................................... Maschenstr¨ome................................................... Maschenwiderstandsmatrix..................................... Erweitere Maschenstromanalyse* ............................. Maschenstromanalyse in Matrixform .........................

235 237 238 247 250 251 256 263 268

2.4.4 2.4.5 2.5 2.5.1 2.5.2 2.5.3 2.5.4 2.5.5 2.6 2.6.1 2.6.2 2.6.3 2.6.4 2.6.5 2.6.6 2.6.7 2.6.8 2.6.9 2.7 2.7.1 2.7.2 2.7.3 2.7.4 2.7.5 2.7.6 2.7.7

127 131 133 134 138 142 143 147 157 159 172 175 179 186 187 190 192 193 194 200 204 211 214 223

Inhaltsverzeichnis

xiii

3.2.5 3.3 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4 3.3.5 3.3.6 3.3.7 3.3.8 3.4 3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 3.5 3.5.1 3.5.2 3.6 3.6.1 3.6.2 3.6.3 3.6.4 3.6.5

Maschenstromanalyse in nichtlinearen Netzwerken........ Knotenspannungsanalyse ....................................... Knotenspannungen, Knotenleitwertmatrix .................. Erweiterte Knotenspannungsanalyse* ........................ Modifizierte Knotenspannungsanalyse* ...................... Knotenspannungsanalyse in Matrixform .................... Unbestimmte Knotenleitwertgleichungen.................... Knotenspannungsanalyse und Zweipolparameter* ......... Netzwerkanalyse mit Operationsverst¨arkern ............... Knotenspannungsanalyse von nichtlinearen Netzwerken* Netzwerkanalyse in Matrixdarstellung* ...................... Netzwerke, Graph und Inzidenzmatrizen .................... Schleifenanalyse .................................................. Schnittmengenanalyse .......................................... Zusammenh¨ange, Vergleiche................................... Computerunterst¨ utzte Netzwerkanalyse ..................... Numerische Auswertung ........................................ Schaltungssimulation ............................................ Mehrpolige Netzwerke* ......................................... Str¨ome und Spannungen an Mehrpolen ..................... Zusammenschaltung von Mehrpolen ......................... Mehrtore .......................................................... Torgruppierung .................................................. Klemmenmanipulationen .......................................

269 270 271 282 291 292 293 296 298 303 304 305 314 316 322 326 327 332 341 341 345 355 359 363

4 4.1 4.2 4.3 4.4

369 371 372 374

4.5 4.6 4.7

Netzwerktheoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Ahnlichkeitssatz .................................................. Versetzungs- und Teilungssatz idealer Quellen ............. Reziprozit¨ats-Theorem, Umkehrsatz.......................... Ver¨anderung von Zweipolen durch gesteuerte Quellen, Miller-Theorem ................................................... ¨ Aquivalente Netzwerke* ........................................ Duale Netzwerke*................................................ Leistung in elektrischen Netzwerken, Tellegen-Theorem*

A A.1 A.2 A.3 A.4

Anhang. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Physikalische Gr¨oßen und Gleichungen ...................... Physikalische Gr¨oßen, Vorzeichen- und Richtungsregeln . Verzeichnis der wichtigsten Symbole......................... Literaturverzeichnis ..............................................

393 395 404 417 421

376 381 383 387

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423

Kapitel 1 Grundbegriffe

1

1

1 1.1 1.2 1.3 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.4 1.4.1 1.4.2 1.4.3 1.4.4 1.5 1.5.1 1.5.2 1.5.3 1.6 1.6.1 1.6.2 1.6.3

Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grundaufgaben der Elektrotechnik ........................... Teilchen- und Feldmodell....................................... Elektrische Ladung ............................................. Eigenschaften der elektrischen Ladung ...................... Erhaltungssatz der Ladung..................................... Elektrische Feldst¨arke .......................................... Bewegte Ladung, elektrische Stromst¨arke................... Strombegriff ...................................................... Elektrische Stromst¨arke ........................................ Erstes Kirchhoffsches Gesetz, Knotensatz................... Zusammenhang Strom-Ladung................................ Elektrische Spannung, elektrisches Potenzial ............... Elektrische Spannung .......................................... Zweites Kirchhoffsches Gesetz, Maschensatz ............... Spannung, Potenzial und elektrische Feldst¨arke ........... Elektrische Energie, elektrische Leistung .................... Energie ............................................................. Elektrische Energie .............................................. Elektrische Leistung, Wirkungsgrad ..........................

3 3 6 10 10 15 16 20 20 23 27 30 32 32 39 41 43 43 44 47

1 Grundbegriffe Lernziel Nach Durcharbeit dieses Kapitels sollten beherrscht werden die Teilchen- und Felddarstellung als einander erg¨ anzende Beschreibungsformen elektrischer Vorg¨ ange, die Ladung und ihre Eigenschaften, der Strombegriff, seine Kennzeichen und Beziehung zur Ladung, die Begriffe Feldst¨ arke, Potenzial und Spannung, Quellenspannung, Spannungsabfall und Bezugspfeile, die Kirchhoffschen Gesetze, die Begriffe Erzeuger- und Verbraucher, aktiver und passiver Zweipol, Arbeit, Energie und Leistung im Stromkreis.

1.1 Grundaufgaben der Elektrotechnik Seit alters her besch¨ aftigt den Menschen die Nachrichten¨ ubermittlung sowie ¨ die Umformung und Ubertragung von Energie u ¨ ber große Entfernungen. Vielf¨altige Methoden wurden ersonnen: Signal¨ ubertragung durch Feuer, Rauch, optische Telegrafen, Signalh¨ orner, also optisch und akustisch. M¨ uhlen- und Windrad, sp¨ater die Dampfmaschine waren die wichtigsten Energieumformer. Signale und Energie konnten nur u ¨ ber kurze Entfernungen mit erheblichen ¨ Ubertragungszeiten u ¨bermittelt werden. Erst die Entdeckung und Anwendung der Elektrizit¨at brachte Verbesserung. Sie erm¨oglichte die Signal¨ ubertragung u ¨ ber gr¨oßte Entfernungen (heute bis ¨ zu den Planeten) mit Lichtgeschwindigkeit. Auch die Ubertragung großer Energiemengen vom Umformort – dem Kohle-, Kern-, Wasser- oder Windkraftwerk – zum Verbraucher wurde erst durch die Elektrizit¨at m¨oglich. Heute bestimmt die Elektrotechnik das Leben des Menschen in hohem Maße: Beispielsweise sind je Haushalt etwa 10–20 Elektromotoren im Einsatz und im PC arbeiten viele hundert Millionen (!) Transistoren, ohne dass sich der Nutzer dar¨ uber Gedanken machen muss. Vielf¨altig sind die Kontakte zur Elektrizit¨ at u ¨ ber den Arbeitsprozess, das Nachrichten- und Verkehrswesen. Stichworte wie Rundfunk und Fernsehen, Internet, MP3-Player, PC, globale Satellitennavigation, Digitaluhr, Mess-, Steuer- und Regelungstechnik, mikroprozessorgesteuerte Maschinensysteme, Fahrzeuge, N¨ahmaschinen, elektronische Musikinstrumente und Roboter veranschaulichen, dass zu den traditionellen Aufgaben der Informationstechnik durch die Mikroelektronik neuartige Gebiete hinzutraten.

S. Paul, R. Paul, Grundlagen der Elektrotechnik und Elektronik 1 DOI 10.1007/978-3-540-69078-8, © Springer 2010

1.1

4

1. Grundbegriffe

Diese Beispiele zeigen die Hauptaufgaben der Elektrotechnik und Elektronik: 1.

2.

3.

¨ Umformung und Ubertragung großer Energiemengen vom Kraftwerk zum Energieverbraucher. Dort wird elektrische Energie z. B. in mechanische (Motoren), W¨ arme (Heizung), chemische (Elektrolyse), sichtbare Strahlung (Beleuchtung) u. a. m. umgeformt. In der Energie- und Antriebstechnik spielt die Leistungselektronik beim Steuern, Umformen und Schalten großer Energiemengen mit Halbleiterbauelementen eine wichtige Rolle. ¨ Gewinnung, Ubertragung und Verarbeitung von Informationen, also Signalen und Nachrichten durch Str¨ ome bzw. Spannungen (drahtgebunden) und Wellen (drahtlos) von einer Quelle (Sensor, Rundfunk-, Fernsehsender, Mobiltelefon) zu einem Empf¨ anger (Rundfunk-, Fernsehempf¨anger, Mobiltelefon). Bauelementetechnik und Mikroelektronik. Energie- und Informationstechnik ben¨ otigen Ger¨ ate mit hoher Arbeitsgeschwindigkeit, Zuverl¨assigkeit, kleinem Volumen und geringer Masse. Diese Forderungen k¨onnen nur moderne miniaturisierte Bauelemente wie Widerst¨ande, Schalter, Kondensatoren, Transistoren, integrierte Schaltungen u. a. m. erf¨ ullen. Damit ist die Mikroelektronik das dritte Teilgebiet der Elektrotechnik und Elektronik. Gerade sie l¨ oste mit der Erfindung des Transistors und der integrierten Schaltung fundamentale Umw¨alzungen aus. Erfunden wurden neue Bauelemente mit neuen Qualit¨aten. Bestand eine Schaltung im R¨ohrenzeitalter aus einzelnen Bauelementen, so wird sie heute mit Millionen kleinster Bauelemente in einem Halbleiterpl¨attchen von einigen zehn Quadratmillimetern Fl¨ ache mit einem Schlage integriert“. ”

Diese Bemerkungen zeigen, dass die Fortschritte der Elektrotechnik haupts¨ achlich durch Zusammenwirken mit zwei Grenzgebieten erfolgten: zur Mathematik hin durch die Computertechnik und Informationstechnik, zur Physik durch Nutzung von Halbleitermaterialien und optischer Prinzipien. Deshalb ist die Aneignung mathematischer und physikalischer Kenntnisse ebenso wichtig wie die Einarbeitung in die Elektrotechnik selbst. Vorschau Grundlage der elektrischen Erscheinungen (Kap. 1) ist die ruhende und unter Krafteinfluss bewegte elektrische Ladung. Aus ihrer Kraftwirkung auf andere Ladungen wird zun¨ achst die elektrische Feldst¨arke und daraus der Spannungsbegriff, u undet. ¨ ber die bewegte Ladung der Strombegriff begr¨ Beiden Gr¨oßen unterliegen Erhaltungss¨ atzen (f¨ ur Ladung und Energie). Sie

1.1

Grundaufgaben der Elektrotechnik

5

bilden – bekannter als Kirchhoffsche Gleichungen – die Grundlage zur Berechnung elektrischer Stromkreise. Das sind Zusammenschaltungen der Grundelemente Quellen (Spannung, Strom) und Widerst¨ande so, dass Str¨ome fließen k¨ onnen, zun¨achst beschr¨ ankt auf Gleichstr¨ ome (Kap. 2.1–2.3). Quelle und Verbraucher wirken als Grundstromkreis (Kap. 2.4) zusammen, er kann auch nichtlineare Elemente enthalten (Kap. 2.5). Viele Anwendungsbeispiele lassen sich auf ihn zur¨ uckf¨ uhren. Oft liegt zwischen Quelle und Verbraucher noch ein Zwischennetzwerk – bekannter als Vierpol- oder Zweitornetzwerk (Kap. 2.6). Seine wichtigsten Beschreibungsformen bereiten ein allgemeineres Netzwerkverst¨andnis vor. Eine besonders wichtige Zweitorgruppe sind gesteuerte Quellen. Sie bilden die netzwerktechnische Grundlage der Verst¨ arkerbauelemente. Das Folgekapitel (Kap. 2.7) schafft ein erstes Verst¨ andnis des Bipolartransistors und Operationsverst¨arkers, in deren Modellen gesteuerte Quellen umfangreiche Anwendung finden. Mit diesem Wissen lassen sich bereits zahlreiche Problemstellungen l¨osen, gleichzeitig sind sie die Grundlage zur Analyse elektrischer Netzwerke (Kap. 3). Ihr Merkmal ist die systematische Anwendung der Kirchhoffschen Gleichungen: Maschenstrom- und Knotenspannungsanalyse bilden dabei die Standardverfahren. Erweiterungen erlauben ihren Einsatz auch auf F¨alle, die zun¨achst ausgeschlossen sind. Der notwendige Computereinsatz bei großen Netzwerken erfordert die matrixbasierte Netzwerkbeschreibung (Kap. 3.4). Computerbasierte L¨osungsverfahren (Kap. 3.5) nutzen sie. Aus praktischer Sicht kann es zweckm¨ aßig sein, die Knotenzahl mehrpoliger Netzwerke zu manipulieren (Kap. 3.6), um die Analyse zu vereinfachen. Das Problem tritt beim Einf¨ ugen von Operationsverst¨arkern in gr¨oßere Schaltungen auf. Auch Netzwerktheoreme (Kap. 4) vereinfachen oft die L¨osungsverfahren, wenn sich auch ihre volle Wirksamkeit erst in Wechselstromnetzwerken zeigt. Die Netzwerkverfahren beschr¨ anken sich zun¨ achst auf Gleichstromnetzwerke (mit geringen mathematischen Anforderungen wie Algebra und Matrixrechnung). Sie bilden das wichtigste Fundament der Grundausbildung, das sich sp¨ ater durch Einbezug weiterer Netzwerkelemente wie Kondensator und Spule m¨ uhelos auf zeitver¨ anderliche Netzwerkerregungen, etwa Wechselspannungen, u ¨bertragen l¨asst. Das elektrische und magnetische Feld und u ¨ berhaupt der Feldbegriff ist eines der wichtigsten Anliegen der Elektrizit¨ atslehre und Gegenstand des Folgebandes 2. Dazu geh¨oren Ursachen, Wirkungen und Gesetzm¨aßigkeiten der Felder und ihre Beschreibung im Raumpunkt durch Feldgr¨oßen, f¨ ur ein Raumgebiet

6

1. Grundbegriffe

¨ aber durch Integral- oder Globalgr¨oßen wie etwa Strom und Spannung. Uber sie definieren wir die Grundbauelemente Widerstand, Kondensator, Spule und Transformator, Spannungs- und Stromquelle. Die Haupteigenschaft des elektromagnetischen Feldes ist seine F¨ahigkeit zur Speicherung von Energie und deren Transport. Deshalb z¨ahlen der Energiebegriff und die Energieumformung etwa in Licht, W¨arme, chemische und mechanische Energie ebenso zum Kern der Elektrotechnik wie die elektromagnetischen Felder und Stromkreise. Der Energiebegriff ist allen Gebieten gemeinsam. Gerade die Energieumformung elektrischer in nichtelektrische Energie und umgekehrt bildet die Grundlage vielf¨altiger Anwendungen der Elektrotechnik. Historische Entwicklung Historisch entstand die Lehre von den elektrischen und magnetischen Erscheinungen durch eine große Zahl entdeckter Einzelph¨anomene, wie Reibungselektrizit¨ at, Magnetismus (Dauermagnet), Blitz als elektrische Entladung u. a. m. Die Erzeugung elektrischer Str¨ome auf galvanischem Wege f¨ uhrte zur Erkenntnis, dass zwischen elektrischen und magnetischen Vorg¨ angen enge Wechselwirkungen bestehen (Faraday: Induktion, Oersted: Magnetfeld des Stromes). Maxwell formulierte aus diesen Einzelerscheinungen durch geniale Intuition die Grundgesetze des elektromagnetischen Feldes. Tabelle 1.1 stellt einige Marksteine zusammen. Das Erkennen dieser Naturgesetze aus Einzelerscheinungen und Experimenten wurde durch zwei Modellvorstellungen erleichtert, das Teilchen- und das Feldmodell. Was versteht man u ¨ berhaupt unter einem Modell?

Ein Modell ist ein gedankliches Hilfsmittel zur einfachen und verst¨andlichen Beschreibung eines komplizierten Vorganges oder Zusammenhanges unter bestimmten Annahmen bzw. Vereinfachungen. Modelle lassen Gesetzm¨ aßigkeiten erkennen und durch mathematische Gleichungen formulieren. Das Modell ist g¨ ultig“, wenn seine Schlussfolgerun” gen durch das Experiment best¨ atigt werden. Da Annahmen den G¨ ultigkeitsbereich eines Modells begrenzen, muss es oft erweitert werden. So entstehen Modellfamilien. Besonders ausgepr¨ agt ist diese Modellphilosophie beispielsweise bei Halbleiterbauelementen.

1.2

1.2 Teilchen- und Feldmodell Das Teilchenmodell erkl¨ art die diskrete Struktur der Stoffe. Danach bestehen Gase, Fl¨ ussigkeiten und Festk¨ orper aus Teilchen (Molek¨ ulen, Atomen), letzte-

1.2

Teilchen- und Feldmodell

7

Tabelle 1.1. Historische Entwicklung bis zur Erfindung der integrierten Schaltung

Zeitraum

Entdeckung, Erfindung

Altertum

Entdeckung magnetischer Effekte und der statischen Elektrizit¨ at an geriebenem Bernstein Magnetischer Kompass zur Navigation benutzt C.-F. du Fay entdeckt die entgegengesetzten elektrischen Ladungen Leydener Flasche (Kondensator) durch G. v. Kleist, P. v. Musschenbroek entdeckt B. Franklin entdeckt den Blitzableiter Ch. A. de Coulomb formuliert die Kraftwirkung zwischen Ladungen A. Volta erfindet die Batterie und entdeckt den elektrischen Strom H. C. Oersted entdeckt das Magnetfeld des Stromes J. B. Biote, F. Savart entdecken das Biot-Savartsche Gesetz G. S. Ohm formuliert das Ohmsche Gesetz M. Faraday entdeckt das Induktionsgesetz C. F. Gauß formuliert das Gaußsche Gesetz J. C. Maxwell beschreibt elektromagnetische Wellen durch von ihm formulierte Gleichungen H. Hertz weist elektromagnetische Wellen experimentell nach N. Tesla, Erfindung des Wechselstromes L. D. Forest erfindet die Elektronenr¨ ohre (Triode) E. Armstrong erfindet den R¨ uckkopplungsempf¨ anger ¨ E. Armstrong, W. Schottky erfinden den Uberlagerungsempf¨ anger J. Lilienfeld, Patentanmeldung eines sperrschicht¨ ahnlichen FETTransistors, 1934 erste Realisierung durch O. Heil W. Schottky, B. Davidow, Theorie des Metall-Halbleiterkontaktes Verwendung von Ge- und Si-Dioden in Radarger¨ aten (Siemens, Telefunken) E. Spenke (Siemens), Patentanmeldung f¨ ur eine Transistorstruktur H. Matar´e, H. Welker, Erfindung des Transistrons im Auftrag d. franz. Post J. Bardeen, W. Brattain, W. Shockley, Transistorerfindung N. Kapany, Erfindung der Glasfaserleitung J. Kilby, R. Noyce, Erfindung und Umsetzung integrierter Schaltungen

ab 1000 1733 1745 1752 1785 1800 1820 1820 1827 1831 1835 1864 1887 1888 1906 1914 1919 1926 1938 1942 1945 1945–47 1947 1955 1958

re aus Elektronen, Protonen und Neutronen. Spezifisch f¨ ur elektrische Erscheinungen ist die Ladung eines Teilchens. Dabei wird seine stoffliche Substanz und Ladung eines Teilchens in einem Punkt konzentriert gedacht: Punktmasse, Punktladung. Makroskopische K¨ orper enthalten sehr viele Teilchen, man erfasst sie deshalb durch den Begriff Teilchenkollektiv. Metalle besitzen rd. 1023 Elektronen pro

8

1. Grundbegriffe

cm3 .1 Dadurch lassen sich seine elektrischen Eigenschaften durch Stoff- oder Materialkonstanten ausdr¨ ucken, etwa die elektrische Leitf¨ahigkeit. Das Verhalten des Einzelelektrons in diesem Kollektiv erfordert dann eine mikrophysikalische Betrachtung der Elektrizit¨ atsleitung. Feldmodell Eine Kraft¨ ubertragung zwischen zwei K¨orpern erfordert keinen

unmittelbaren Kontakt zwischen ihnen. Das wissen wir aus dem Gravitationsgesetz oder der Kraftwirkung des Erdmagnetfeldes auf eine Kompassnadel. Man vermutet deshalb eine Fernwirkung zwischen den K¨orpern. Dann m¨ usste sich eine Ver¨ anderung eines K¨ orpers sofort auf den anderen auswirken. Dies widerspricht der Tatsache, dass die Lichtgeschwindigkeit die h¨ochste Geschwindigkeit ist. Diese Schwierigkeiten umging Faraday mit der Annahme, dass durch die Anwesenheit eines K¨ orpers der ihn umgebende Raum selbst zum Tr¨ager physikalischer Eigenschaften wird. Dieser besondere Raumzustand, gekennzeichnet durch Kraftwirkung auf andere K¨orper (Masse, Ladung, Magnetpole), wird als Feld bezeichnet. Das Feldmodell beschreibt die Kraftwirkung auf einen K¨orper als Folge eines anderen K¨orpers (Ursache) in einem Raumpunkt durch die Einf¨ uhrung des Feldbegriffes (Tab. 1.2) und zugeordneter Feldgr¨oßen. Teilchen- und Feldmodell stehen in Wechselwirkung. Nach Tabelle 1.2 erzeugen ruhende und bewegte Ladungen das elektromagnetische Feld, sind also seine Ursache, andererseits u ¨ ben elektromagnetische Felder Kraftwirkungen auf ruhende und bewegte Ladungen aus. Im Feldmodell tragen Feldlinien (Kraftlinien) zur Veranschaulichung bei. Gegenstand der Feldbetrachtungen sind ruhende und bewegte Ladungen, ihre wechselseitigen Kraftwirkungen sowie die dadurch erzeugten elektrischen und magnetischen Felder und ihre Wechselwirkungen. Aus praktischer Sicht interessiert oft nicht das elektromagnetische Feld in einzelnen Raumpunkten, sondern nur sein Globalverhalten im Raumbereich. Daf¨ ur werden aus den Feldgr¨ oßen durch ¨ortliche Integration u ¨ber Linien- und Flussintegrale (s. Bd. 2) integrale Gr¨oßen eingef¨ uhrt. Zu ihnen geh¨oren Strom und Spannung. Dann erfordert auch ihr Ursache-Wirkungs-Zusammenhang neue Begriffe wie Widerstand, Kapazit¨at oder Induktivit¨at. Die globale Feld1

Vergleich: Ein Sack Weizen mit einer Masse von 50 kg enth¨ alt etwa 3 · 106 Weizenk¨ orner. Im Metall vom Volumen eines Kubikzentimeters befinden sich rd. 1016 mal so viele Elektronen.

1.2

Teilchen- und Feldmodell

9

Tabelle 1.2. Teilchen- und Feldmodell

Beschreibung elektromagnetischer Erscheinungen durch

Teilchenmodell

6 ?

Globalgr¨ oßen

Feldmodell

6

?

Erzeugung von Feldern durch Ladungen, Kraftwirkung auf Ladungen

6

LinienFl¨ achenintegrale

?

?

Kennzeichnende Gr¨ oße: Ladung ruhend, bewegt Darstellung: Punktladung, Ladungsmenge

Kennzeichnende Gr¨ oßen: Fluss-, Differenzgr¨ oßen Verkn¨ upfung u ¨ ber Schaltelement Arten und Eigenschaften: elektrische und magnetische Kreise Kirchhoffsche S¨ atze

? Kennzeichnende Gr¨ oßen: Feldgr¨ oßen (Ursache, Wirkung) materialabh¨ angige Verkn¨ upfung Darstellung: Feldlinie Feldarten: elektrisches Feld, (ruhende Ladung, Quellenfeld) magnetisches Feld (bewegte Ladung, Wirbelfeld) Verkn¨ upfung beider

?

Feldanalyse

?

Netzwerkanalyse

beschreibung macht die Angabe der Strom-Spannungs-Zusammenh¨ange der Bauelemente Widerstand, Kondensator und Spule u ¨berhaupt erst m¨oglich. Auf diese Weise k¨ onnen ausgedehnte Felderscheinungen (unter bestimmten Voraussetzungen) auf die Zusammenschaltungen von Bauelementen zu Schaltungen oder Netzwerken zur¨ uckgef¨ uhrt und einfach analysiert werden. Das ist das wichtigste Ergebnis des Feldmodells.

10

1. Grundbegriffe

Auf der anderen Seite sind Begriffe wie Spannung, Strom und Widerstand aus dem t¨aglichen Leben, der Schul- oder Berufsausbildung wohlbekannt. Dann liegt es nahe, sie zu vertiefen und zur praktischen L¨osung von Gleichstromschaltungen und u ¨berhaupt Netzwerken zu nutzen. So wird ein wichtiges Teilgebiet der Elektrotechnik systematisch erarbeitet. Umso leichter f¨allt dann die Behandlung elektromagnetischer Felder im Band 2.

1.3

1.3 Elektrische Ladung 1.3.1 Eigenschaften der elektrischen Ladung Ladungsarten Alle elektrischen Erscheinungen beruhen auf der Existenz elek-

trischer Ladungen. Deshalb wird sie als eigenst¨andige vierte Grundgr¨oße (neben L¨ange, Masse, und Zeit) f¨ ur die Elektrotechnik festgelegt (s. Anhang A.1). Man schließt durch Beobachtung von Kraftwirkungen auf ihre Existenz. Die Erfahrung zeigt, dass sich viele Stoffe durch Reiben in einen besonderen Zustand versetzen lassen. Dann stoßen sie Gegenst¨ande aus gleichem Material ab, ziehen andere an oder stoßen sie ab oder es erfolgt u ¨ berhaupt keine Wirkung. Der Alltag bietet zahlreiche Beispiele: Aneinanderhaften von Papierbogen, Anziehen von Papierschnitzeln, Str¨auben der Haare bei bestimmten K¨ammen u. a. m. Der Effekt war schon in der Antike mit geriebenem Bernstein2 bekannt, der Vogelfedern anzog. Das griechische Wort electron (Bernstein) lieferte den Begriff elektrisch“ f¨ ur solche Erscheinungen. ” Diese Kraftwirkungen k¨ onnen nicht auf mechanische Gesetze zur¨ uckgef¨ uhrt werden. Ihre Erkl¨ arung gelingt erst durch Einf¨ uhrung der elektrischen Ladung Q als neuer physikalischer Gr¨ oße. Da es abstoßende und anziehende Kr¨ afte gibt, nimmt man positive (Q > 0) und negative Ladungen (Q < 0) an. Willk¨ urlich wurde die beim Reiben eines Glasstabes feststellbare Ladung als positiv und f¨ ur den Hartgummistab als uberschuss mit negativ angesehen.3 Verallgemeinert wird dann ein Elektronen¨ 2 3

Georg Christoph Lichtenberg (1744–1799), deutscher Physiker und Schriftsteller. Die Vereinbarung, nach der Elektronen negative Ladung tragen, geht auf B. Franklin zur¨ uck. Er definierte willk¨ urlich, dass Ladungen auf Glas, das vorher mit einem Seidentuch gerieben wurde, positiv sein sollen. Danach muss das etwa 100 Jahre sp¨ ater entdeckte Elektron negative Ladung besitzen. Aus heutiger Sicht w¨ are es zur Beseitigung des Vorzeichens besser gewesen, den Elektronen positive Ladungen zuzuordnen. Da heute mit den L¨ ochern (in Halbleitern) auch positive Ladungstr¨ ager bekannt sind, werden wir die Gesetze jeweils f¨ ur positive Elementarladungen definieren.

1.3

Elektrische Ladung

11

negativem, ein Elektronendefizit mit positivem Vorzeichen gekennzeichnet. Wir wissen aus Erfahrung: Ladungen verschiedenen Vorzeichens ziehen einander an, gleichen Vorzeichens stoßen einander ab. Die Kraftwirkungen werden Coulomb-Kr¨ afte genannt und durch das Coulombsche Gesetz4 beschrieben (s. Kap. 1.3.3). Was Ladung eigentlich bedeutet, wissen wir bis heute nicht genau, denn die Einf¨ uhrung des Begriffs elektrische Ladung“ beschreibt nur die F¨ahigkeit, ” andere Ladungen anzuziehen (oder abzustoßen), nicht die Ladung selbst. Sie wird lediglich durch ihre Wirkung und die Tatsache nachgewiesen, dass sie am Aufbau der Materie entscheidend beteiligt ist. Nach dem Bohrschen Atommodell besteht jedes Atom aus dem Kern (= Anzahl von Protonen und Neutronen) und der Elektronenh¨ ulle. Dabei ist das Elektron Tr¨ager negativer elektrischer Ladung, der Elementarladung oder des elektrischen Elementarquantums. Protonen tragen eine gleich große positive Elementarladung. Im Atom wird die positive Kernladung durch eine gleich große Zahl von H¨ ullelektronen neu” tralisiert“. Ursache der gegenseitigen Anziehung der Elektronen und Protonen sind die Coulomb-Kr¨ afte. Sie halten durch die Zentripetalkraft im Atom die Elektronen auf Bahnen um den Atomkern. Energiezufuhr kann Elektronen aus der H¨ ulle herausl¨osen. Dabei verbleibt ¨ netto eine positive Uberschussladung, ein positives Ion. Seine Ladung entspricht der Zahl entfernter Elektronen. Diese k¨ onnen dann als freie“ Elektro” nen z. B. Kraftwirkungen aus¨ uben oder Kr¨ aften unterworfen werden. Besitzt ein Ion im Vergleich zum vorher neutralen Atom zu viel Elektronen (negative ¨ ¨ Uberschussladung), so heißt es Anion. Ein Ion mit positiver Uberschussladung ¨ heißt Kation. Je nachdem, ob 1, 2 oder 3 Elementarladungen im Uberschuss sind, sprechen wir von 1-, 2- oder 3-wertigen Ionen. Die (Netto)ladung eines K¨ orpers entsteht durch Trennung in gleich große positive und negative Ladungsmengen. Die Summe der getrennten Ladungen entspricht dem Ausgangszustand. Deshalb gilt f¨ ur die Ladung ein Erhaltungssatz. Die elektrische Ladung eines K¨ orpers wird nicht erzeugt, sondern durch Trennung positiver und negativer Ladungen, d. h. Abtrennung einer oder mehrerer Elementarladungen von vorher neutralen Atomen, verursacht! 4

Charles Augustin de Coulomb, franz¨ osischer Physiker 1736–1806.

12

1. Grundbegriffe

Quantitatives, Einheit Die Ladung Q hat die Einheit Coulomb (s. Anhang A.1):

[Q] = 1 Coulomb = 1 C = 1 As. Sie ist keine Grundeinheit des SI, vielmehr wird die Ladungseinheit aus messtechnischen Gr¨ unden auf die gesetzliche Grundeinheit der Stromst¨ arke (das Ampere = 1 A) und die Zeit zur¨ uckgef¨ uhrt (Kap. 1.4.2). Dann stellt ein Coulomb die Ladungsmenge dar, die ein Strom der St¨arke 1 A innerhalb einer Sekunde durch einen Leiterquerschnitt f¨ uhrt. Neben der Ladung Q gibt es die Ladung q von Ladungstr¨agern, denn elektrische Ladung ist eine Eigenschaft von Elementarteilchen. Alle Ladungen lassen sich auf die Elementarladung e = 1, 6021892 · 10−19 As zur¨ uckf¨ uhren. Damit folgt5 : q− = −e ≈ −1, 602 · 10−19 As, Elektron (negative Elementarladung)

q+ = +e ≈ 1, 602 · 10−19 As, Defektelektron, Loch (positive Elementarladung).

Deswegen treten Ladungen nur gequantelt auf und die Ladung eines beliebigen K¨orpers unterliegt stets der Bedingung Q = ±N e,

N ≥ 0, ganz, e Elementarladung.

(1.3.1)

Ladungen sind stets ein Vielfaches der Elementarladung. Die Quantelung der Ladung war zur Zeit Maxwells noch unbekannt. Weil bei technischen Problemstellungen ohnehin nur extrem viele Ladungstr¨ ager mitwirken, wird die Einzelladung u ¨berdeckt und die Maxwellsche Theorie basiert auf kontinuierlichen Ladungsverteilungen.

F¨ ur die Feldbeschreibung ist die Einf¨ uhrung der Punktladung zweckm¨aßig: Punktladung: Ladung eines Tr¨ agers mit der Linearabmessung null“. Je” de makroskopische Ladungsverteilung l¨ asst sich aus Punktladungen zusammensetzen. Zusammengefasst sind die wichtigsten Merkmale der Ladung die unterschiedlichen Ladungsarten, ihre Quantelung und die G¨ ultigkeit eines Ladungserhaltungssatzes. W¨ahrend sich die Quantelung nur in bestimmten F¨allen bemerkbar macht (z. B. als Rauschen in elektronischen Schaltungen), haben positive und negative Ladungstr¨ ager und der Erhaltungssatz grundlegende Bedeutung. Gr¨ oßenvorstellung Die Elektronenladung veranschaulicht folgendes Beispiel: W¨ urde ein Elektron je Sekunde durch einen Leitungsquerschnitt fließen, so entspr¨ ache das einem Strom I = 1, 6 · 10−19 A. Empfindliche Strommesser weisen 5

Der Index − bei der Elektronen- bzw. + bei der L¨ ocherladung wird beigef¨ ugt, wenn auf das Vorzeichen besonders hingewiesen werden soll.

1.3

Elektrische Ladung

13

heute Str¨ ome von etwa 10−14 A nach. Das entspricht etwa 100 000 Elektronen/Sekunde. Eine Ladungsmenge Q = 1 As enth¨ alt insgesamt n = |Q/q| = 1 As/1, 6 · 10−19 As ≈ 6, 3 · 1018 Elektronen. Ein dynamischer Speicher (DRAM) eines PC’s speichert Ladungen in Kondensatorzellen (ein Speicher enth¨ alt einige GBit solcher Zellen). Setzt man als Kapazit¨ at einer Zelle C = 10−15 As/ V = 1 fF und liegt eine Spannung von U = 1 V an, so betr¨ agt die Ladung Q = C · U zur Speicherung der Informationsmenge 1 Bit etwa 10−15 fF · 1 V = 10−15 As. Diese Ladung wird von n = Q/q = 10−15 As/1, 6 · 10−19 As ≈ 6000 Elektronen getragen! In der Nanoelektronik sind an Bauelementefunktionen noch deutlich weniger Elektronen beteiligt, beim sog. Ein-Elektron-Transistor nur ein Elektron!

Die Ladungstr¨agerdichten unterscheiden sich in typischen Materialien. Metalle enthalten Elektronen wegen der schwachen Atombindung in großer Zahl, also hoher Konzentration n ≈ 1022 Elektronen/cm3. Gleichzeitig gibt es entsprechend viele positive Atomr¨ umpfe: Metalle sind elektrisch neutral. Die Elektronendichte liegt bei ca. 1022 cm−3 und sorgt f¨ ur gute Leitungseigenschaften. In Halbleitern (wie z. B. Silizium) entstehen freie Elektronen oder Defektelektronen beim Ersatz von Atomen des Grundgitters durch Fremdatome, die sog. St¨orstellen. Halbleiter sind elektrisch stets neutral und besitzen eine Ladungstr¨agerdichte n ≈ (1010 . . . 1021) cm−3 abh¨ angig von Anzahl und Art zugesetzter St¨orstellen. Nichtleiter, auch Isolatoren oder Dielektrika genannt, haben (im Idealfall) keine frei beweglichen Ladungstr¨ ager. Der ideale Nichtleiter ist das Vakuum. In der Praxis werden Stoffe mit einer Elektronenkonzentration n < 108 cm−3 noch als Nichtleiter angesehen. Auf die wichtigste Eigenschaft der Ladung, den umgebenden Raum mit einem elektrischen Feld zu erf¨ ullen, kommen wir im Kap. 1.3.3 zur¨ uck. Ladungstr¨ agerdichte, Ladungsverteilungen F¨ ur den Ladungstransport eignet sich die (volumenbezogene) Ladungstr¨agerdichte n besser als die absolute Tr¨agerzahl. Das ist die Zahl ΔN einer Ladungstr¨ agersorte in einem Volumenelement ΔV bezogen auf dieses Volumenelement6 :

dN 1 ΔN resp. n = , [n] = . ΔV →0 ΔV dV cm3

n = lim

6

(1.3.2)

Der Grenz¨ ubergang zum differenziell kleinen Volumenelement empfiehlt sich bei ortsver¨ anderlicher Tr¨ agerverteilung.

14

1. Grundbegriffe

Zur Beschreibung einer Ladungsverteilung bezieht man die Ladung auf ein Volumen, eine Fl¨ ache oder eine Linie: Raumladung: Ladungsverteilung in einem Volumen, etwa die Raumladungswolke in einer Gasentladung oder in der Sperrschicht einer Halbleiterdiode, Fl¨achenladung auf der Oberfl¨ ache einer leitenden Elektrode, Linienladung auf einem Draht mit vernachl¨assigbarem Durchmesser, Punktladung etwa f¨ ur das Elektron. Merkmal der Raumladung ist die Raumladungsdichte  (Abb. 1.3.1). Es gilt  Raumladungsdichte, Q= (r) dV. (1.3.3) Definitionsgleichung Volumen V

mit7 (r) = lim

ΔV →0

dQ As ΔQ = , [] = 1 3 . ΔV dV m

Raumladungsdichte im Raumpunkt r

Dabei ist ΔQ die Ladung im Volumenelement ΔV . Bei ortsunabh¨angiger Raumladungsdichte gilt: Ladung gleich Raumladung mal Volumen. Die Raumladungsdichte spielt in elektronischen Bauelementen, ionisierten Gasen und Elektrolyten eine Rolle. Die u ¨brigen Ladungsverteilungen werden in Band 2 behandelt. Ist die Ladungsverteilung eines Raumes, einer Fl¨ ache, Linie oder in einem oder an verschiedenen Punkten bekannt, so ergibt sich die Gesamtladung durch Integration bzw. Summation u ¨ ber den jeweiligen Bereich: Die Gesamtladung ist die Integralgr¨ oße“ der Ladungsverteilung. ” Q = å Qν

-

dQ=ρ(r)dV

Raumladungsdichte ρ(r)

Q=∫ρ(r)dV

+

+ dV

+

+

- +

- + -

-

Volumen V mit Einzelladungen

a 7

ersetzt durch Ladungskontinuum

b

Abb. 1.3.1. Ladungsverteilung. (a) Einzelladungen im Volumen. (b) Raumladung. Im Volumen V wird die kontinuierliche Ladungsverteilung durch die Raumladungsdichte beschrieben

Man beachte den Unterschied zwischen Raumladungsdichte  und spezifischem Widerstand  (s. Kap. 2.3).

1.3

Elektrische Ladung

15

Merkmale der Ladung

Ladung sitzt als masseloses Fluidum immer auf Materie, Ladungen k¨onnen nur gequantelt auftreten, doch spielt die Quantelung bei makroskopischen K¨ orpern mit großer Elektronenzahl keine Rolle, Ladungen u ¨ ben auf andere Ladungen u ¨ ber beliebige Entfernungen und durch alle Materialien hindurch eine Kraft aus, die auf den K¨orper wirkt, der die Ladung tr¨ agt, jeder materielle K¨ orper hat (im Regelfall) gleich viele positive wie negative Ladungen, in einem Leiter ist beliebig viel verschiebbare Ladung vorhanden, in Isolatoren werden Ladungen hingegen elastisch“ festgehalten, ” das Modell der Punktladung ist die auf einen Raumpunkt komprimierte Ladung (analoger Begriff in der Mechanik die Punktmasse), die sich f¨ ur die mathematische Beschreibung gut eignet. Auf drei weitere Merkmale verweisen wir im Vorgriff: f¨ ur die von Ladungen ausge¨ ubte Kraftwirkung wird im Kap. 1.3.3 der Begriff elektrisches Feld E eingef¨ uhrt, Ladungen sind Quellen und Senken des elektrischen Feldes, es gilt f¨ ur die Ladung ein Erhaltungssatz. 1.3.2 Erhaltungssatz der Ladung Die Physik basiert u. a. auf verschiedenen Erhaltungss¨atzen f¨ ur abgeschlossene Systeme: Erhaltung der Gesamtenergie, des Gesamtimpulses, der Gesamtmasse u. a. m. Sie werden als Naturgesetze durch das Experiment immer wieder best¨atigt, konnten aber nie absolut bewiesen werden. Zu diesen S¨atzen geh¨ort der Satz von der Ladungserhaltung: Die Gesamtladung Q (= algebraische Summe der in einem abgeschlossenen Volumen enthaltenen Ladungen) ist stets konstant (Naturgesetz). Ladungserhaltungssatz, abgeschlossenes System (H¨ ullfl¨ache undurchl¨assig)   d Qi   i Qi  = const bzw. gleichwertig =0 (1.3.4) abgeschl. dt i

Volumen

Kontinuit¨ ulle durchl¨assig)  atsgleichung, nichtabgeschlossenes System (H¨ d i Qi = 0. dt

16

1. Grundbegriffe

Der Satz beruht auf der Unver¨ anderbarkeit der Elementarladung und der Tatsache, dass sich die Wirkungen zweier entgegengesetzt gleicher Ladungen kompensieren. Ladungsverteilungen sind in der Gesamtladung Q sinngem¨aß zu ber¨ ucksichtigen. Umgekehrt folgt dann aus Gl. (1.3.4): Eine Ladung Q im Volumen V kann sich nicht durch Erzeugung oder Vernichtung, sondern nur durch Zu- oder Abfluss von Ladungen durch eine gedachte oder vorhandene H¨ ullfl¨ ache ¨ andern. Die Ladungserhaltung ist die Grundlage der Bilanz- oder Kontinuit¨atsgleichung (1.4.5), die in einer speziellen Form als Kirchhoffscher Knotensatz auftritt. 1.3.3 Elektrische Feldst¨ arke Coulombsches Gesetz Ladungen erzeugen Kraftfelder und u ¨ ben so Kr¨afte aufeinander aus. Die Kraftwirkung zwischen zwei ruhenden Punktladungen wird durch das Coulombsche Gesetz beschrieben

F =

1 kg m 1 Q1 Q2 r Ws , [F ] = 1N = . =1 4πε r2 r s2 m

Coulombsches (1.3.5) Gesetz

Es gilt streng genommen nur f¨ ur Punktladungen, aber auch f¨ ur geladene K¨ orper, wenn die Linearabmessungen kleinen gegen¨ uber dem Abstand sind.

Der Einheitsvektor r/r zeigt in Richtung des Ortsvektors r und hat den Betrag 1. Abh¨angig vom Vorzeichen von Q1 Q2 kann F positiv, negativ oder null sein (Abb. 1.3.2). Dem Bild ist zu entnehmen die Kraft wirkt l¨ angs der Verbindungslinie zwischen den Punktladungen, Ladungen gleicher Polarit¨ at (Q1 Q2 > 0) stoßen einander ab, solche entgegengesetzter Polarit¨ at (Q1 Q2 < 0) ziehen sich an (Abb. a, b): im ersten Fall wirkt F in der Orientierung r, sonst entgegen, die von Q1 auf Q2 ausge¨ ubte Kraft ist betragsm¨aßig gleich der Kraft, die die Ladung Q2 auf Q1 aus¨ ubt. Die Permittivit¨ at ε in Gl. (1.3.5) As (1.3.6) Vm setzt sich aus ε0 , der elektrischen Feldkonstante (absolute Permittivit¨ at des Vakuums, Naturkonstante) und der relativen Permittivit¨ at oder Permittivit¨ atszahl εr zusammen. Sie kennzeichnet den Einfluss der Materie auf das elektrische Feld. Im Vakuum gilt εr = 1, f¨ ur u autern die Permittivit¨ at ¨ brige Materialien εr > 1. Wir erl¨ im Band 2 eingehender. ε = εr ε0

mit ε0 = 8, 854 · 10−12

1.3

Elektrische Ladung

17

Elektrische Feldst¨ arke Die Kraftwirkung zwischen den Ladungen ist nach Gl.

(1.3.5) die Aussage des Teilchenmodells. Danach verursacht die Ladung Q1 an der Ladung Q2 eine Kraft F 2 (und umgekehrt) u ¨ ber beliebige Entfernung. Damit wird der Ursache (elektrische Ladung Q1 ) eine entfernt auftretende Wirkung (Kraft auf Ladung Q2 ) ohne Vermittlung des zwischenliegenden Raumes zugeschrieben! Wir erkl¨aren jetzt den Sachverhalt durch das Feldmodell. Danach muss jeder Feldgr¨oße, die eine Wirkung beschreibt (hier die Kraft F 2 auf die zweite Ladung) eine andere, im gleichen Raumpunkt zur gleichen Zeit auftretende Feldgr¨oße, also eine Ursache zugeordnet werden. Im Beispiel wirkt auf die Ladung Q2 im Raumpunkt 2 die Kraft F 2    Q1 r 12 F 2 = Q2 . (1.3.7) 2 4πε0 r12 r12

  als Raumzustand betrachtet

Deshalb ist der zusammengefasste Anteil eine Eigenschaft des Raumes am Ort angig von Q2 . Das Feldmodell f¨ uhrt diese Wirkung von Q2 selbst, aber unabh¨ auf eine Feldgr¨oße zur¨ uck, die am Ort von Q2 herrscht (Abb. 1.3.2c). Sie muss unabh¨angig vom Objekt (→ Q2 ) sein, auf das sie wirkt (die Kraft h¨angt von Betrag und Vorzeichen von Q2 ab, kann also nicht Zustandsgr¨oße des Raumes sein)! Der Quotient   r 12 F2 Q1 = E2 = 2 Q2 4πε0 r12 r12 erf¨ ullt diese Eigenschaft. Wir interpretieren ihn als die dem Raumpunkt eigene Feldgr¨oße, die elektrische Feldst¨arke E. Sie charakterisiert die Kraftwirkung F 2 auf die Ladung Q2 (als qualitatives Verst¨andnis der Feldst¨arke am Ort der Ladung): er

Q2 Q1 +

F1

a

r

º

r12 r21 F2

F1

Wirkung F2 F2

+

+

Q2

Q2 +

F2

º

Q2 +

F2=Q2E

Feldstärke E bes. phys. Raumzustand Feld ausgedrückt durch

-

b

Q1

c

Abb. 1.3.2. Kraftwirkung zwischen zwei Punktladungen. (a) Kraftwirkung zwischen zwei

ur Q1 Q2 < 0. (c) Kraftwirkung auf die Ladung Q2 Ladungen, Q1 Q2 > 0. (b) dto. f¨ erkl¨ art durch den besonderen physikalischen Raumzustand Elektrisches Feld“ mit der ” Feldst¨ arke E

18

1. Grundbegriffe

Elektrische Feldst¨ arke =

Kraft auf Ladung . Ladung

Wie die Kraft F ist auch die Feldst¨ arke E eine vektorielle physikalische Gr¨oße und wir kommen zu folgender Definition: Wirkt auf eine am Ort P befindliche ruhende Punktladung Q die Kraft F , so herrscht am gleichen Ort die elektrische Feldst¨arke E. Diese Definitionsgleichung gilt, unabh¨ angig von der Feldursache, f¨ ur das gesamte elektromagnetische Feld. E=

F . Q

Elektrische Feldst¨ arke, Definitionsgleichung (1.3.8)

Die Richtung der Feldst¨ arke E stimmt bei positiver Ladung mit der Richtung der Kraft u ¨ berein, bei negativer Ladung wirken sie einander entgegen (Abb.1.3.2b). Die prinzipielle Bedeutung der Definition liegt in der Beschreibung der Wechselbeziehung zwischen Feldgr¨ oße und Kraftwirkung am gleichen Ort. Damit ordnet das elektrische Feld jedem Raumpunkt eine lokale Eigenschaft zu. Ist E dort bekannt, so steht fest, was dort mit jeder Ladung geschehen w¨ urde unabh¨ angig davon, ob vorhanden oder nicht.

Die Definition Gl. (1.3.8) sagt nichts u ¨ ber die Erzeugung der Feldst¨arke. Deshalb kann sie auf zwei Arten interpretiert werden: 1.

2.

Man stellt das elektrische Feld an einem Ort durch die Kraftwirkung auf eine dort befindliche oder hingebrachte Ladung fest: dann wirkt die Ladung als Feldindikator“ und heißt Probeladung. Zwangsl¨aufig verschiebt ” die Feldst¨arke bewegliche Ladungen (etwa im Leiter) durch ihre Kraftwirkung: Feldst¨arke als Antriebsursache der Tr¨agerbewegung. Ladungen erzeugen in ihrer Umgebung ein Kraftfeld (Abb. 1.3.2a) und damit ein elektrisches Feld. Deshalb sind Ladungen immer Anfang (Quelle) und Ende (Senke) von Feldst¨arkelinien.

Abb. 1.3.3 zeigt Beispiele zur Feldst¨ arke: Ladungen zwischen einer Gewitterwolke und der Erde erzeugen ein elektrisches Feld in der Atmosph¨are, ebenso Ladungen auf zwei isoliert angebrachten Metallplatten. Wirkt in einem Leiter eine Feldst¨ arke E (z. B. durch Anlegen einer Batteriespannung), so setzt die Feldst¨arke Ladungstr¨ ager in Bewegung. Auch auf den Batteriepolen (+, −) sitzen Ladungen, zwischen denen sich ein elektrisches Feld ausdehnt (Abb. 1.3.3b, c).

1.3

Elektrische Ladung

19

Einheit, Gr¨ oßenordnung Die Einheit der elektrischen Feldst¨ arke lautet



V V As F N kg m kg m2 = 1 =1 [E] = =1 =1 mit 1 = 1 V. 3 3 Q As m As As As Dabei ist 1 V eine abgeleitete Einheit. Untereinheiten sind V/cm, kV/cm und MV/cm. Gr¨ oßenvorstellung E E E E E E E

Atmosph¨ are (klares Wetter) Oberfl¨ ache einer Rundfunkempfangsantenne Oberfl¨ ache einer Hochspannungsleitung Kondensator stromdurchflossener Leiter Sperrschicht in Halbleiterbauelementen Durchschlagfestigkeit der Luft

≈ ≈ ≈ ≈ ≈ ≈ ≈

(100 . . . 200) V/ m (1 . . . 103 ) μV/ m 106 V/ m 6 (10 . . . 107 ) V/ m 0, 1 V/ m (104 . . . 106 ) V/ cm 30 kV/ cm

Eine Feldst¨ arke E = 106 V/ m u ¨ bt auf eine positive Elementarladung q = 1, 6 · −19 As die Kraft F = qE = 1, 6 · 10−19 As · 106 V/ m = 1, 6 · 10−13 Ws m−1 ≈ 10 agt. 1, 6 · 1011 p aus, da 1 Ws/m ≈ 0,1 kp = 100 p betr¨

Homogenes Feld Dieser Sonderfall entsteht bei Belegung zweier unendlich großer paralleler, voneinander isolierter Metallplatten mit fl¨ achenhaft verteilten Ladungen Q+ , Q− (Abb. 1.3.3a). Dann herrscht u ¨ berall zwischen den Platten die gleiche Feldst¨ arke E (Gr¨ oße, Richtung). Anwendungen Kraftwirkungen zwischen elektrischen Ladungen treten vielf¨altig auf und werden umfangreich genutzt. Beispiele sind: das elektrostatische Aufspannen von Papier auf Plottern, die Herstellung eines Ladungsbildes bei Xerografie- und Laserdruckverfahren, Wolke

+ +

+

+Q + + +

++ +

Spannung U =1,5 V

Leiter +Q + + +

U =1,5V Strom I

E

-

Erde

a

-Q

Leiter

+v

-

-

+ -

-Q elektr. Feld E ~F

b

-

Bewegung durch Kraftwirkung ~ Feldstärke E

elektr. Feld E(r)

c

Abb. 1.3.3. Beispiele zum elektrischen Feld. (a) Ausbildung eines elektrischen Feldes zwi-

schen Ladungen (Gewitterwolke, geladene isolierte Metallplatten). Bei parallelen Metallplatten entsteht ein homogenes elektrisches Feld. (b) Eine Spannung am Leiter verursacht ein elektrisches Feld mit Kraftwirkung auf Ladungstr¨ ager: Ladungstr¨ agerbewegung, Stromtransport. Die Bewegungsrichtung h¨ angt vom Vorzeichen der Ladung ab. (c) Elektrisches Feld zwischen den Polen einer Batterie

20

1. Grundbegriffe

die Kraftwirkung zwischen beweglichen, geladenen Elektroden (Kondensatormikrofon, elektrostatisches Voltmeter), das Prinzip mancher Tintenstrahldrucker, die Ablenkung eines Elektronenstrahls (Prinzip der Bild- oder Oszillografenr¨ ohre) u. v. a. m. Wegen der Bedeutung dieser Kraftwirkungen vertiefen wir sie sp¨ ater im Band 2.

Zusammenfassung Das elektrische Feld ist an eine Ursache (z. B. ruhende Ladung) gebunden und tritt im Raum als Wirkung auf. Umgekehrt kann ein (von anderen ruhenden Ladungen erzeugtes) elektrisches Feld Kr¨afte auf Ladungstr¨ager aus¨ uben und sie bewegen. Deshalb unterteilen wir Felderscheinungen zweckm¨ aßig in das elektrostatische Feld gebunden an ruhende Ladungen und das Str¨omungsfeld verkn¨ upft mit Ladungsbewegungen. Wir vertiefen den Feldst¨arkebegriff im Band 2.

1.4

1.4 Bewegte Ladung, elektrische Stromst¨ arke 1.4.1 Strombegriff Der Begriff elektrischer Strom“ kn¨ upft an Str¨omungsbegriffe des t¨aglichen ” Lebens: Verkehrsstrom, Geldstrom, Fl¨ ussigkeitsstrom u. a. So wird etwa die St¨arke eines Luftstromes in einem Abluftrohr durch die Menge der durchstr¨omenden Luft pro Zeiteinheit beschrieben, z. B. 1 m3 /min. Auch ein Verkehrsstrom ist nichts anderes als die Anzahl der Verkehrsteilnehmer pro Zeiteinheit durch die Messstelle, etwa an einer Straße. Eine Str¨omung ist ein Transportvorgang, bei dem Teilchen durch Kraftwirkung (als Antriebsursache) eine gerichtete Bewegung ausf¨ uhren. Beispielsweise stellt man sich unter Begriffen wie Wasserstr¨ omung (= Menge des dahinstr¨ omenden Wassers), Luftstrom (= Menge der dahinstr¨ omenden Luft) sofort etwas vor. In beiden F¨ allen handelt es sich um Massenstr¨ ome (Str¨ ome bewegter Masse). Zur Entstehung einer Str¨ omung ist eine Antriebsursache f¨ ur die Teilchen erforderlich. Das ist z. B. beim Fl¨ ussigkeits- oder Gasstrom ein Druckgef¨ alle oder beim W¨ armestrom ein Temperaturgef¨ alle. Auch f¨ ur den elektrischen Strom gibt es ein solches Gef¨ alle, das Potenzialgef¨ alle als Antriebsursache.

Eine Str¨omung entsteht durch ein Gef¨alle (= r¨aumliche Abnahme) einer physikalischen Gr¨oße als Kraftursache. Sie ist stets so gerichtet, dass ein Ausgleich erfolgt. Dann bestimmt das Gef¨ alle die Transportrichtung. Ohne Gef¨alle erfolgt keine Str¨omung.

1.4

Bewegte Ladung, elektrische Stromst¨ arke

21

So verringert sich der Druckunterschied zwischen zwei u ¨ber ein Rohr verbundenen Wasserbeh¨ altern durch den ausgleichenden Wasserstrom. Er h¨ ort auf, wenn keine antreibende Kraft mehr vorhanden, der Druckunterschied ausgeglichen ist. Massenaustausch zwischen den beiden Reservoiren und Str¨ omung sind miteinander verbunden.

Gilt f¨ ur eine physikalische Gr¨ oße ein Erhaltungssatz im abgeschlossenen Sys¨ tem, so verlangt ihre zeitliche Anderung zwangsl¨aufig einen Austausch (= Str¨omungsvorgang) mit einem zweiten System. Str¨omungsvorgang und Erhaltungssatz einer physikalischen Gr¨ oße stehen in direkter Beziehung (Tab. 1.3). Wir zeigen dies zun¨ achst an der Erhaltung der Masse und betrachten ein allseitig abgeschlossen gedachtes Volumen (Abb. 1.4.1a), etwa einen Eimer gef¨ ullt mit Wasser der Masse m. Str¨ omt durch eine gedachte H¨ ullfl¨ache (= Oberfl¨ache des Volumens) an beliebiger Stelle ein Massenfluss Imzu (Wasserstrom = Massenstrom) zu und an anderer Stelle Imab ab, so gilt: Zeitliche Zunahme der Masse + Abfluss − Zufluss = 0 oder dm + Imab − Imzu = 0. 

 dt

Kontinuit¨atsgleichung (1.4.1) des Massenflusses

Nettomassenfluss

Diese Bilanz heißt Kontinuit¨atsgleichung (der Masse). Sie folgt aus ihrem Erhaltungssatz. Dabei wurde der Massenabfluss als positiv angesetzt. Fließt

Tabelle 1.3. Erhaltungss¨ atze f¨ ur Ladung und Energie und ihre Folgerungen

Naturgesetz: Erhaltungss¨atze der Ladung Q und Energie W (abgeschl. System) 

- Darstellung: Q bzw. W = const

St¨ orung durch ¨außere Ursache, z. B. Kraft auf Teilchen

? ¨ Zeitliche Anderung der Erhaltungsgr¨ oße, Str¨ omung (Fluss als Ausgleich) ? Ladungsstr¨omung, el. Strom

? Energiestr¨omung, Energiestrom

? ? darstellbar mit den Gr¨ oßen des Teilchen- und Feldmodells

22

1. Grundbegriffe

Massenzustrom Imzu

Hüllfläche

Änderung dm/dt

Izu

Hüllfläche Q=const

a

dQ =0 dt

Q≠const

I2 Iab

Masse m

Massenabstrom Imab

Hülle (Knoten)

I1

æ dQ

ö = 0÷ ç è dt ø

b

dQ dt

c

=I

I5 zu

-I

ab

I4

I3

I1+I2-I3-I4-I5=0

d

Abb. 1.4.1. Zur Kontinuit¨ atsgleichung. (a) Kontinuit¨ at des Massenflusses. (b) Bilanzgleichung der Ladung Q im Volumen, Ladungserhaltung. (c) Ladungs¨ anderung durch die Differenz von Zu- und Abstrom. (d) Bilanzgleichung (Ladungserhaltung), Knotensatz

nur Wasser ab (Imzu = 0), so sinkt die Wassermasse zeitlich: Imab = − dm dt . ¨ Das negative Vorzeichen bedeutet Abnahme! Andert sich die Masse nicht (dm/dt = 0, d. h. m = const, Erhaltungssatz), dann folgt daraus Imab − Imzu = 0.

Stromkontinuit¨at (1.4.2)

Stimmen Zu- und Abfluss u ¨ berein, so bleibt die Wassermasse erhalten. Sie kann sich im abgeschlossenen Volumen weder vergr¨oßern noch verkleinern, ohne dass durch die zugeh¨ orige H¨ ullfl¨ ache ein entsprechender Massenfluss auftritt (Satz von der Erhaltung der Masse) oder verallgemeinert: ¨ Die zeitliche Anderung einer Erhaltungsgr¨ oße verursacht stets einen Fluss dieser Gr¨oße durch eine (gedachte) H¨ ullfl¨ ache: Kontinuit¨atssatz der Erhaltungsgr¨oße. Diese Ergebnisse wenden wir auf die Ladung und Energie an (Tab. 1.3), denn beide unterliegen Erhaltungss¨ atzen (Gl. (1.3.4)). F¨ ur die Ladung erwarten wir einen Ladungstr¨agerstrom = elektrischen Strom I = Strom dahinfließender Ladungstr¨ager (Abb. 1.4.1b). Er heißt auch Konvektionsstrom.8 Zur Energie geh¨ort ebenso ein Energiefluss oder Energiestrom = Strom dahinfließender Energiemenge (s. Bd. 2).

8

Mit den Begriffen Strom, Str¨ omung“ verbindet sich meist die Vorstellung von ” bewegten Stoffen, z. B. Masseteilchen oder Ladungstr¨ agern. Besser w¨ are die Benutzung des Begriffes Fluss“ von Ladungstr¨ agern, weil wir sp¨ ater auch von ” Verschiebungs- und Magnetfluss sprechen. Flussgr¨ oßen werden stets u ¨ ber das Flussintegral des zugeh¨ origen Vektors gebildet (s. Bd. 2). Bei einem Fluss muss keinesfalls etwas Stoffliches fließen“, wie der Verschiebungs- und Magnetfluss zeigen wird. Die ” Beibehaltung des Strombegriffes ber¨ ucksichtigt die praktische Gepflogenheit.

1.4

Bewegte Ladung, elektrische Stromst¨ arke

23

1.4.2 Elektrische Stromst¨ arke F¨ ur die Elektrotechnik hat der Strombegriff fundamentale Bedeutung. Der elektrische Strom (Konvektionsstrom) ist eine gerichtete Bewegung von Ladungstr¨agern als Folge einer Antriebsursache. Intensit¨ at der elektrischen Str¨ omung: Stromst¨ arke Unter der Stromst¨ arke (=

Intensit¨at der elektrischen Str¨ omung) versteht man den Quotienten der Ladungsmenge ΔQ, die w¨ ahrend einer Zeitspanne Δt durch einen gedachten Querschnitt (Messebene, Leiterquerschnitt A, Abb. 1.4.2a) str¨omt, dividiert . Im Grenzfall Δt → 0 wird daraus durch diese Zeitspanne: I = ΔQ Δt I(t) = lim

Δt→0

ΔQ dQ = . Δt dt

Elektrische Stromst¨arke, (1.4.3) Definitionsgleichung

Dabei ist ΔQ die zur Durchstr¨ omdauer Δt geh¨ orende Ladungsmenge. Anschaulich beschreibt der Begriff Stromst¨ arke, ob in einer Zeitspanne Δt eine große oder kleine Ladungsmenge durch einen Querschnitt transportiert wird. Der Durchtrittsquerschnitt selbst tritt in der Definitionsgleichung (1.4.3) nicht auf.

Strom I

ΔQ Betrachtungsfläche

Gleichstrom

i(t)

i(t)

Mischstrom

ΔQ Strom I

Zeitpunkt t

Wechselstrom

t

Impulsstrom

Zeitpunkt t+Δt

c

a

t dQ <0

dQ =idt >0

IA

I < 0, z.B. I =-2A Querschnitt A

+

-

Stromantrieb

+ +

IC

Querschnitt B

Strom I > 0, z.B. I =+2A

b

IB

d

Querschnitt C

Abb. 1.4.2. Strombegriff. (a) Definition der Stromst¨ arke I. Strom gekennzeichnet durch ei-

ne Ladungsmenge ΔQ, die w¨ ahrend der Zeitspanne Δt durch eine (gedachte oder materielle) Fl¨ ache fließt. (b) Z¨ ahlrichtung des Stromes und Bewegungsrichtung der Ladungstr¨ ager. (c) Stromarten. (d) Stromkontinuit¨ at. Im Leiterkreis fließt u ¨berall der gleiche Strom I unabh¨ angig vom Leiterquerschnitt

24

1. Grundbegriffe

Einheit, Dimension Die Stromst¨ arke wurde im Internationalen Einheitensys-

tem (SI) als (einzige) Grunddimension der Elektrotechnik festgelegt. Als Einheit gilt nach der Definitionsgleichung (1.4.3)9 : [I] =

As [Q] =1 = 1 A. [t] s

Die Einheit des Stromes heißt 1 Amp`ere (Symbol A). Sie wird u ¨ ber die magnetische Kraftwirkung zweier paralleler stromdurchflossener Dr¨ahte mit definiertem Abstand bestimmt (s. Bd. 2). Mit der Dimension der Stromst¨ arke l¨ asst sich die Einheit der Ladung u ¨ber die Definitionsgleichung (1.4.3) begr¨ unden: dim (Ladung) = dim (Stromst¨ arke · Zeit), Einheit 1 C = 1 As. Gr¨ oßenvorstellung Folgende Stromst¨arken sind typisch: Strom bei Blitzschlag Fahrstrom ICE (15 000 PS) Straßenbahn Autoanlasser Kochplatte, Tauchsieder Gl¨ uhlampe Strahlstrom Fernsehr¨ ohre Stromempfindlichkeit Mensch Armbanduhr empfindlicher Strommesser Steuerstrom Feldeffekttransistor Biometrische Signale

≈ ≈ ≈ ≈ ≈ ≈ ≈ ≈ ≈ ≈ < ≈

(10 . . . 100) kA 1000 A (100 . . . 200) A (20 . . . 100) A einige A 0,1 A (1 . . . 10) μA (10−4 . . . 10−3 ) A 1 μA 1 pA 1 pA 1 fA . . . 1 pA

Stromrichtung Weil der Strom eine gerichtete Bewegung positiver und negativer Ladungstr¨ager darstellt, ist eine Richtungsangabe (Z¨ahlpfeil) erforderlich (Abb. 1.4.2b).

Ein Strom hat positive Richtung, wenn sich positive Ladungstr¨ager auf einen (vorhandenen oder gedachten ) Querschnitt zu bewegen. Diese Festlegung heißt auch technische Stromrichtung“. ” Die Richtung wird durch einen Z¨ ahlpfeil neben oder im Leiter markiert. 9

Obwohl wir die Ladung als nicht weiter definierte vierte Grundgr¨ oße verwenden und die Stromst¨ arke aus ihr durch die Definitionsgleichung (1.4.3) abgeleitet haben, besteht keine Notwendigkeit, die Ladung auch als Grunddimension zu benutzen. Beide Einheiten lassen sich durch die zugeh¨ orige Definitionsgleichung u uhren. F¨ ur die ¨ berf¨ Wahl der Ladung als Grundgr¨ oße sprechen didaktisch-methodische Aspekte, weil das Teilchenmodell sehr anschaulich ist. Die Wahl des Stromes als Grunddimension erfolgt nach praktischen Gesichtspunkten.

1.4

Bewegte Ladung, elektrische Stromst¨ arke

25

Der Ladungsfluss durch die Fl¨ ache erfordert n¨ amlich die Festlegung einer positiven Z¨ ahlrichtung, der Strom I selbst ist aber ein Skalar. Die Durchflussrichtung der Ladungstr¨ ager ergibt sich aus dem Z¨ ahlpfeil und dem Vorzeichen des Zahlenwertes des Stromes (Abb. 1.4.2b). F¨ ur I > 0 stimmen Durchflussrichtung positiver Tr¨ ager und die Richtung des Z¨ ahlpfeiles u ¨ berein, negative Ladungen bewegen sich entgegen der Z¨ ahlrichtung. Bei positivem (negativem) Wert der Stromst¨ arke fließt der Strom in (entgegen der) Richtung des Z¨ ahlpfeiles.

Sind n¨ahere Flussverh¨ altnisse unbekannt, so wird die Stromrichtung willk¨ urlich festgelegt und im Ergebnis der Analyse gepr¨ uft, ob die angesetzte Stromrichtung stimmt (positiver Zahlenwert) oder nicht (negativer Zahlenwert). Weil die positive Stromrichtung f¨ ur positive Ladungen stets mit ihrer Bewegungsrichtung u ¨ bereinstimmt und sich negative Ladungen (Elektronen) in entgegengesetzter Richtung bewegen (Abb. 1.4.2b), ist es gleichg¨ ultig, ob sich in einem Halbleiter positive Ladungen mit der Geschwindigkeit v oder negative mit −v bewegen. Der physikalische Richtungssinn des Stromes stimmt in beiden F¨allen u ur die Gruppe metallischer Leiter folgt dann:10 ¨ berein. F¨ In metallischen Leitern bewegen sich Elektronen dem positiven Richtungssinn des Stromes entgegen. Man versteht den Begriff Stromrichtung“ daher besser als Durchtrittssinn ” der Ladung durch eine Querschnittsfl¨ache. Das wird deutlich, wenn wir sp¨ater die zum Strom geh¨ orige Feldgr¨ oße Stromdichte J betrachten (Anhang A.2 und Bd. 2). Stets ist jedoch zu beachten: Der Strom ist kein Vektor, sondern eine vorzeichenbehaftete skalare Gr¨ oße, eine Flussgr¨oße (Bd. 2). Stromarten, Zeitabh¨ angigkeit Nach der Zeitabh¨ angigkeit des Stromes i(t)

werden unterschieden: zeitkonstanter Strom oder Gleichstrom. Dann fließt je Zeitspanne Δt stets die gleiche Ladungsmenge (St¨ arke und Richtung gleichbleibend) I=

10

Q dQ = const = dt t

Gleichstrom (1.4.4a)

Hier zeigt sich die Unzweckm¨ aßigkeit der Vereinbarung (Kap. 1.3), dem Elektron negative Ladung zuzuordnen. Die entgegengesetzten Richtungen der Elektronenbewegung und des physikalischen Richtungssinnes des Stromes waren Anlass zu Unterschieden wie physikalische“ und technische“ Stromrichtung u. a. m. Wir ver” ” wenden sie nicht.

26

1. Grundbegriffe

zeitver¨anderlicher Strom, dann fließt je Zeitspanne Δt eine ver¨anderliche Ladungsmenge I(t) = i(t) =

dQ(t) . dt

zeitver¨anderlicher Strom (1.4.4b)

Zeitver¨anderliche Gr¨ oßen tragen sp¨ ater kleine Symbole. Technisch wichtige zeitver¨ anderliche Str¨ ome zeigt Abb. 1.4.2c (DIN 5488): Wechselstrom, dessen Zeitwert i(t) periodisch wechselt mit verschwindendem linearen Mittelwert |i(t)|. Der Sinusstrom bildet die Grundlage der Wechselstromtechnik. ¨ Mischstrom als Uberlagerung von Gleich- und Wechselstrom, oft auch als welliger Gleichstrom bezeichnet, weil er beim Gleichrichten eines Wechselstroms entsteht. Impulsstrom als Stromst¨ oße kurzer Dauer, die periodisch oder nichtperiodisch auftreten.

Wirkungen des Stroms Der Mensch nimmt eine Ladungstr¨ agerstr¨omung nur indirekt u ¨ ber Stromwirkungen wahr. Sie gelten als Stromkennzeichen:

1.

Magnetische Wirkung. Jeder Strom wird von einem Magnetfeld umgeben. Es a¨ußert sich durch Kraftwirkung auf ferromagnetische Stoffe oder stromdurchflossene Leiter, ist das wichtigste Kennzeichen eines Stromes und dient zur Definition eines verallgemeinerten Strombegriffes. Ausgenutzt wird die Magnetfeldwirkung zur Erzeugung von Kr¨ aften, Drehmomenten und mechanischer Energie (z. B. Motoren, Messinstrumente, Magnete, elektroakustische Ger¨ ate).

2.

Thermische Wirkung. Jeder stromdurchflossene Stoff erw¨armt sich. Darauf beruhen Elektrow¨ armeger¨ ate, die Gl¨ uhemission in Elektronenr¨ohren, die dielektrische Erw¨ armung (Mikrowelle), das elektrische Schweißen u. a. Die thermische Wirkung ist unerw¨ unscht, wenn sie die Betriebssicherheit elektrischer Ger¨ ate und Bauelemente (Motor, PC, Halbleiterbauelemente) beeintr¨ achtigt.

3.

4.

Chemische Wirkung. In bestimmten Fl¨ ussigkeiten erfolgt durch Ladungstr¨ager (Ionen) ein Stofftransport, der den Stoff chemisch ver¨andert, z. B. auch ein Leitermaterial zersetzen kann. Das wird bei der Elektrolyse, der elektrolytischen Abscheidung, zur Speicherung chemischer Energie im Akkumulator, in Brennstoffzellen u. a. m. ausgenutzt. Elektromagnetische Strahlung. Durch Stromfluss kann in Gasen (Leuchtstoffr¨ohre, Blitz u. a.) und Festk¨ orpern (z. B. Lichtemitterdioden, Laserdiode) eine Licht- oder Strahlungsemission entstehen. Ursache ist die Anregung gebundener Elektronen auf ein h¨oheres Energieniveau durch

1.4

Bewegte Ladung, elektrische Stromst¨ arke

27

Energiezufuhr und R¨ uckkehr auf das Ausgangsniveau mit Emission eines Lichtquants. W¨ ahrend die vorherigen Wirkungen bei jeder Stromst¨arke auftreten, erfordert die optische Wirkung oft einen bestimmten Schwellstrom. Gerade die optischen Wirkungen haben mit der Optoelektronik/Photonik ein v¨ ollig neues Feld der Elektrotechnik er¨ offnet. So werden LEDs immer mehr zum Ersatz der Gl¨ uhlampe eingesetzt, Laser bestimmen viele Technikbereiche und mit der Erfindung der Glasfaserleitungen gelang die weltweite optische Nachrichten¨ ubertragung.

5.

In tierischen und menschlichen K¨ orpern erfolgen bei Stromdurchgang physiologische Wirkungen. Sie ¨ außern sich, je nach Stromintensit¨at, in Muskel- und Nervenreaktionen und k¨ onnen zu gr¨oßeren organischen St¨orungen oder gar zum Tod f¨ uhren.

Gew¨ ohnlich treten die Stromwirkungen verkoppelt auf. Ein typisches Beispiel ist die Gl¨ uhlampe, die neben der Strahlung (Umsetzwirkungsgrad etwa 2%!) noch betr¨ achtliche W¨ arme entwickelt.

Beispiel 1.4.1 Mittlere Elektronengeschwindigkeit Wir sch¨atzen die mittlere Geschwindigkeit v¯ ab, mit der sich Elektronen beim Strom I = 3 A durch einen metallischen Leiter (Ladungstr¨ agerdichte n = 8, 6 · 1022 cm−3 , Querschnitt A = 1 mm2 ) bewegen. Aus der Definitionsgleichung (1.4.3) und Abb. 1.4.2a muss die Ladung ΔQ ermittelt werden, die w¨ ahrend der Zeitspanne Δt einseitig zu- und am Leiterende wieder abgef¨ uhrt wird. Dabei legen die Elektronen die Wegstrecke Δs = vΔt zur¨ uck und bewegen das Volumen ΔV = AΔs = AvΔt, also die Ladung ΔQ = nqΔV = nqAvΔt = −enAvΔt. Daraus folgt I = ΔQ/Δt = qnAv = −enAv und v=

I 1 −3 A ≈ ≈ −0, 22 mm/ s. Aqn 1 mm2 1, 6 · 10−19 As · 8, 6 · 1022 cm−3

Die Elektronen bewegen sich entgegen der positiven Z¨ ahlrichtung des Stromes.

1.4.3 Erstes Kirchhoffsches Gesetz, Knotensatz Haupteigenschaft des Stromes: Kontinuit¨ at Nach dem Satz von der Erhaltung

der Ladung Gl. (1.3.4) kann sich, wie bei der Erhaltung der Masse (Gl. (1.4.1) und Tabelle 1.3) erl¨ autert, die Gesamtladung in einem Volumen (abgeschlossenes System) nur ¨ andern, wenn Ladungstr¨agerzu- oder -abfluss durch eine (materielle oder gedachte) H¨ ullfl¨ ache um das Volumen erfolgt. Deshalb erwarten wir aus der Ladungserhaltung Gl. (1.3.4) eine Kontinuit¨atsgleichung des Ladungsflusses = Stromflusses, wie sie durch Gl. (1.4.1) f¨ ur den Massenfluss gegeben ist:

28

1. Grundbegriffe

dQ dt  

=

  dQ  dQ  − = dt zu dt ab

Ladungs¨ anderung pro Zeitspanne

I| − I|  zu ab

.

zufließender-abfließender Konvektionsstrom

(1.4.5)

Bilanz-, Kontinuit¨atsgleichung Die Ladung in einem geschlossenen Volumen ¨andert sich nicht durch Generation und Rekombination, sondern nur Zu- und Abfluss. ¨ Die zeitliche Anderung der Gesamtladung Q im Volumen V ist gleich der durch seine Oberfl¨ ache je Zeitspanne zu- und/oder abfließenden Ladungsmenge, also dem Ladungszu- und -abfluss (Abb. 1.4.1c). Wird die Kontinuit¨atsgleichung auf einen beliebig geformten, vom Strom I durchflossenen Leiterkreis angewendet, so l¨ asst sich an jeder Stelle ein Volumen mit der Ladung Q konstruieren und die Kontinuit¨ atsgleichung aufstellen. Bei Erhaltung der Ladung Q (Q = const → dQ/dt = 0) folgt aus Gl. (1.4.5) an jeder Stelle (A, B, C, Abb. 1.4.2d) Iab = Izu = IA = IB = IC .

Stromkontinuit¨at bei (1.4.6) konstanter Ladung

Der Strom ist eine in sich geschlossene Erscheinung. Er besitzt in jedem Querschnitt die gleiche St¨ arke und hat daher keine Quellen oder Senken. Das ist der Inhalt der Stromkontinuit¨ at: Strom als Band“ ohne Anfang ” und Ende. Deshalb heißt eine geschlossene Leiteranordnung auch Leiteroder Stromkreis. Stromkontinuit¨ at bedeutet zwangsl¨ aufig, dass Ladungstr¨ ager einen Bewegungsantrieb erfahren, also durch eine Antriebsquelle“ hindurchfließen m¨ ussen. Sie werden ” dort weder erzeugt noch verbraucht, sondern nur durch Energiezufuhr in Bewegung versetzt. Da hierzu Energie aufgewendet werden muss, ist die Antriebsquelle zugleich Umformorgan nichtelektrischer in elektrische Energie (s. Bd. 2).

Als Folge der Ladungserhaltung (dQ/dt = 0) verschwindet die Summe der zu- und abfließenden Konvektionsstr¨ ome auch dann, wenn mehrere Str¨ome durch die H¨ ullfl¨ ache fließen (Zufluss positives Vorzeichen): m n  d  Qν = Iμ = 0. dt ν=1 μ=1

1. Kirchhoffsches Gesetz, Knotensatz (1.4.7)

Die algebraische Summe aller durch eine (gedachte) H¨ ullfl¨ache bzw. eine geschlossene Schnittlinie in einem Netzwerk fließenden Str¨ome verschwindet (bei Ladungserhalt) zu jedem Zeitpunkt: Schnittgesetz oder erweiterter Knotensatz.

1.4

Bewegte Ladung, elektrische Stromst¨ arke

29

Dabei f¨ uhren Str¨ome, die in die H¨ ulle fließen ein positives (Richtungspfeil hinweisend), herausfließende ein negatives Vorzeichen (Abb. 1.4.1c). Deshalb gilt gleichwertig beim Schrumpfen der H¨ ullfl¨ ache (Schnittlinie) zu einem Knoten (Abb. 1.4.3) Summe der zum Knoten hinfließenden Str¨ ome ist gleich Summe der abfließenden Str¨ome. Werden dagegen die Richtungspfeile am Knoten einheitlich angesetzt (alle hin- oder wegweisend), so besagt der Knotensatz: In einem Stromknoten verschwindet die Summe aller vorzeichenbehafteten Str¨ome (mit einheitlicher Richtungsorientierung). Im technischen Sprachgebrauch, besonders in der Netzwerkanalyse, wird die H¨ ullfl¨ache als Knoten (Verbindungsstelle von Leitungen, L¨otverbindung mehrerer Leitungen) bezeichnet und der Knotenbegriff auf eine Verbindungsstelle mit Stromverzweigung beschr¨ ankt. Davon abweichend bezeichnen Netzwerkanalyseprogramme (Kap. 3.5) jede Verbindung, auch die Durchverbindung von zwei reihengeschalteten Netzwerkelementen als Knoten. In einer solchen Verbindung erfolgt keine Stromverzweigung. Bei Anwendung dieser Vereinbarung in der Netzwerkanalyse entstehen unn¨ otig viele Gleichungen. Der Knotensatz ist ein Fundamentalgesetz zur Analyse elektrischer Netzwerke mit Konsequenzen f¨ ur Bauelemente und Schaltungen: f¨ ur ein Bauelement mit zwei Anschl¨ ussen, ein Zweipol oder Eintor, gilt IA = IB (Strom als kontinuierliches Band, Abb. 1.4.3b),

I1 I2

I1 I3

I4

åI = åI ν

Zu

Ab

μ

Hüllknoten, Schnittlinie

Zweipol

I2

I1 I1=I2

I2

Knoten I1

I2

b IB

I3

I4

åI a

ν

R2 R1

IC

Uq IE

=0

IE=IB+IC

c

R7

R4 R3 I3

R5

R6

I1+I2+I3=0

d

Abb. 1.4.3. Knotensatz. (a) Knotensatz (im engeren Sinn) f¨ ur Z¨ ahlpfeile in gleicher oder unterschiedlicher Richtung. (b) Schnittgesetz, (erweiterter) Knotensatz f¨ ur eine Schnittlinie am Zweipol. (c) Schnittgesetz am Bipolartransistor. (d) Schnittgesetz f¨ ur einen Schaltungsteil. Er kann weitere Knoten enthalten

30

1. Grundbegriffe

am Mehrpol (Transistor, Schaltkreis, Netzwerk) mit n Klemmen m¨ ussen nur n−1 Str¨ ome bekannt sein, um den restlichen Strom zu bestimmen (Abb. 1.4.3c), der Knotensatz gilt f¨ ur alle Str¨ ome einer Schaltung, die durch einen beliebig gelegten (geschlossenen) Schnitt (H¨ ullfl¨ ache, erweiterter Knotenbegriff) fließen (Abb. 1.4.3d). Deshalb kann auch eine H¨ ullfl¨ ache als Knoten angesehen werden, die mehrere zusammengeschaltete Bauelemente oder Schaltungsteile enth¨ alt (bisweilen als Superknoten bezeichnet). Das ist der tiefere Inhalt des Knotensatzes. der Knotensatz gilt streng genommen nur f¨ ur zeitunabh¨ angige Str¨ ome (Gleichstr¨ ome); f¨ ur zeitver¨ anderliche Str¨ ome ¨ andert sich die H¨ ullenladung, was z. B. durch zus¨ atzliche kapazitive Str¨ ome modelliert werden kann (vgl. Bd. 2).

1.4.4 Zusammenhang Strom-Ladung Ladungsmenge, Zusammenhang Strom-Ladung War der Strom als zeitliche

Ladungs¨anderung definiert (Gl. (1.4.3)), so ergibt sich die Ladungsmenge oder Ladungskurve durch Umkehrung der Differenzial- zur Integralbeziehung11 zwischen den Zeitpunkten t und t0 t Q(t)   Gesamtladung

=

Q(t0 )   Anfangsladung

+ t0



I(t ) dt

.

(1.4.8)



vom Strom I(t) transportierte Ladung

Die Ladung Q(t0 ) zu Beginn des Stromflusses heißt Anfangsladung. Sie muss bekannt sein. Die vom Strom zwischen zwei Zeitpunkten gef¨ uhrte Nettoladung (= Differenz zwischen Ladung und Anfangsladung) ist gleich seinem Zeitintegral, grafisch also der Strom-Zeit-Fl¨ ache (Abb. 1.4.4). Ein Strom von kurzer Zeitdauer heißt Stromstoß. Dann interessiert nur das Zeitintegral der Stromst¨ arke als Ladung, die w¨ahrend des Stromstoßes durch den Leiter fließt. Mathematisch wird der Stromstoß im Idealfall unendlich kurzer Dauer durch die sog. Impulsfunktion (Diracstoß) beschrieben (s. Bd. 2). Diskussion Der Strom ergibt sich aus einem gegebenem Ladungsverlauf Q(t) durch Differenzieren nach der Zeit. Abb. 1.4.4a enth¨ alt typische Verl¨ aufe. Aus der Kurventangente im Zeitpunkt t folgt der Stromwert im gleichen Zeitpunkt (z. B. f¨ ur Punkt A). Im Zeitbereich t < 0 fließt keine Ladung (Q = const. = 0), d. h. I = 0. 11

Man repetiere den Unterschied zwischen unbestimmtem und bestimmtem Integral: Kurven mit gleichem Anstieg auf unterschiedlichem H¨ ohenniveau“ haben ” die gleiche Ableitung, aber Kurven gleicher Steigung k¨ onnen auf unterschiedlichem H¨ ohenniveau liegen. Sie erfordern eine Aussage zum Ausgangswert.

1.4

Bewegte Ladung, elektrische Stromst¨ arke

Q(t) A

dQ =0 dt dQ <0 dt

Knick

t0

t1

t2

t3

i(t)

31

dQ dt

i (t ) =

Strom: Differntialkurve der Ladung Sprung

t

t0

t1

t2

t3

t

a i(t)

Ladung ~ StromZeitfläche

2

Q(t)

1 dQ=i(t)dt 3

Q(t0)>0

ò

t0

0 t0

dt t1

b

t2 t

t

t0 Q(t0)<0

t1

i (t )dt t2

t

Ladung: Integralkurve des Stromes + Anfangsladung

Abb. 1.4.4. Zusammenhang Strom-Ladung. (a) Stromkurve zu gegebenem Ladungsverlauf

als Tangente dQ/dt an den Ladungsverlauf, Knickstellen werden zu Sprungstellen des Stromes. (b) Vorgegebener Stromverlauf. Die zugeh¨ orige Ladungskurve ist das Integral der Stromkurve vom Zeitpunkt t0 an, die Anfangsladung verschiebt den Kurvenverlauf

Im Zeitbereich 0 < t < t2 w¨ achst Q(t) an, daher sind dQ/dt und I(t) positiv. Vom achst die Ladung langsamer: I f¨ allt, hat aber noch gleiche RichZeitpunkt t1 an w¨ tung (gleiches Vorzeichen). Ab der Zeit t2 bewegt sich die Ladung entgegengesetzt und kehrt das Vorzeichen des Stromes. An Knickstellen der Ladungskurve hat der Strom Sprungstellen. Bei gegebenem Stromverlauf hingegen (Abb. 1.4.4b) ergibt sich die Ladung durch Integration als Strom-Zeit-Fl¨ ache (Gl. (1.4.8)). Sie w¨ achst bei konstantem Strom allt der Strom, deshalb zeitproportional bis zur Zeit t1 an. Im Zeitbereich t1 . . . t2 f¨ steigt die Ladung langsamer. W¨ urde der Strom zur Zeit t1 auf null springen, so bliebe die Ladung Q(t1 ) = const. erhalten. Die Anfangsladung Q(t0 ) bestimmt nur den jeweiligen Kurvenansatzpunkt“, nicht den Kurvenverlauf. Sprungstellen im ” Stromverlauf ergeben Knickstellen im Ladungsverlauf.

Strommessung

Einrichtungen zur Messung der Stromst¨ arke heißen Strommesser oder veraltet Amp`eremeter“. ” Dazu werden unterschiedliche Stromwirkungen, besonders das Magnetfeld (Drehspulinstrument), W¨ armeentwicklung (Hitzdraht-Instrument, selten ver-

32

1. Grundbegriffe

+

A

Abb. 1.4.5. Strommessung. (a) Strom-

IA

richtig

-

+

(1)

A +

I

-

A

A

IB

falsch

Stromantrieb

+

IC

A

messer mit stromrichtungsabh¨ angigem Ausschlag. (b) Einschalten von Strommessern im Stromkreis mit Stromverzweigungen bei (1) und (2). Angezeigt wird der jeweils durchfließende Strom

I (2)

a

b

wendet) und Spannungsabfall genutzt. Wir erl¨autern das Drehspulinstrument in Bd. 2. Es gibt zwei Gruppen von Strommessern: 1.

2.

solche, deren Ausschlag von der Stromrichtung abh¨angt (und deswegen die Markierungen +, − auf den Anschlussklemmen tragen, wobei der Strom bei + ein- und bei − austritt, Abb. 1.4.5a). solche mit stromrichtungsunabh¨ angigem Ausschlag.

Hinsichtlich der Anordnung im Stromkreis gilt: Strommesser sind so in den Stromkreis zu schalten, dass der Strom durch sie fließt (Abb. 1.4.5b). Zunehmend kommen Digitalmultimeter zum Einsatz. Dort wird der stromproportionale Spannungsabfall an einem Widerstand verst¨arkt, evtl. gleichgerichtet (Wechselstrom) und digital angezeigt.

1.5

1.5 Elektrische Spannung, elektrisches Potenzial 1.5.1 Elektrische Spannung Potenzielle Energie Ein von anderen Ladungen verursachtes Kraft- oder elektrisches Feld u ¨bt auf eine Punktladung Q eine Kraft aus. Das folgt aus dem Coulombschen Gesetz Gl. (1.3.5). Beim Verschieben dieser Ladung vom Punkt A zum Punkt B gegen die Kraftwirkung muss Energie zugef¨ uhrt, also Arbeit W (engl. work) aufgewendet werden. Dadurch erh¨oht sich ihre potenzielle Energie Wpot analog zur potenziellen Energie einer Masse m im Schwerefeld g der Erde (Abb. 1.5.1a). Erfolgt dagegen die Bewegung in Richtung des elektrischen Feldes, dann verrichtet das Feld Arbeit an der Ladung und ihre potenzielle Energie nimmt ab. Wir wollen die Arbeit W als positiv ansehen, wenn sie bei positiver Ladung vom elektrischen Feld aufgebracht wird und als negativ, wenn sie dem Feld zugef¨ uhrt wird.

1.5

Elektrische Spannung, elektrisches Potenzial Äquipotenziallinie

Höhenlinie

m g

Q +

F = QE

gh3 W3 gh2 W2 gh1 W1

A UAB= φA-φB

WA (1) WB

B

gh0 W0

φA

φ3 W3 φ2 W 2

Q E,F

UAB

ds Weg s

φB B

φ1 W1 E F = QE

φ0 W0 W=Qφ

W=mgh

a

E

(2)

A

+

F

33

c

b

Abb. 1.5.1. Potenzial und Spannung. (a) Potenzielle Energie und Potenzial im Gravi-

tationsfeld und (b) im elektrischen Feld. Eingetragen ist die Definition der elektrischen Spannung zwischen den Punkten A, B. (c) Arbeit WAB , die im Kraftfeld F = QE bei Verschiebung einer positiven Ladung von A nach B zu leisten ist

Die Arbeit ist eine skalare Gr¨ oße und aus der Mechanik definiert als Produkt von der l¨angs eines Weges wirkenden Kraft F und dem zur¨ uckgelegten Weg, zun¨achst einem differenziellen Wegelement ds dW = F · ds = QE · ds = F ds cos(∠F , ds) = QEds cos(∠E, ds).(1.5.1a) Dabei wurde die Feldst¨ arke Gl. (1.3.8) verwendet. Im elektrischen Feld hat eine Ladung Q am Punkt A (Abb. 1.5.1b) eine bestimmte potenzielle Energie WA , die proportional der Ladung ist. Bei ihrer Verschiebung nach B l¨angs eines Weges s wird Arbeit ΔW geleistet B ΔW = (WA − WB ) = WAB =

B F ·ds = Q

A

E·ds ≡ QUAB .

(1.5.1b)

A

Das gilt auch, wenn das elektrische Feld inhomogen verl¨auft, wie in Abb. 1.5.1c skizziert. Die an der Ladung Q geleistete Arbeit WAB ist gleich dem Weg- oder Linienintegral der elektrischen Feldst¨ arke E u ¨ ber einen Weg zwischen den Punkten A, B. Weil diese Aussage noch die Ladung Q enth¨ alt, f¨ uhrt man die spezifische, von der Ladung unabh¨angige Arbeit ein, die Spannung UAB (Abb. 1.5.1b) UAB =

WAB WA − WB = = ϕA − ϕB . Q Q

Definition der (1.5.2a) Spannung UAB

Die elektrische Spannung UAB (vom Raumpunkt A nach B) oder kurz die Spannung zwischen A und B ist bestimmt

34

1. Grundbegriffe

als Differenz der auf die (positive) Ladung Q bezogenen potenziellen Energien WA , WB in den Punkten A, B eines Potenzialfeldes oder gleichwertig als die auf die Ladung bezogene Arbeit WAB , die das elektrische Feld beim Transport l¨ angs des Weges an der Ladung verrichtet. F¨ ur WA > WB nimmt die potenzielle Energie der Ladungstr¨ager in Bewegungsrichtung ab und die dabei frei werdende Energie wird in andere Formen (W¨arme, Licht . . .) gewandelt. Deshalb bezieht sich die Spannungsdefinition Gl. (1.5.2a) auf den Spannungsabfall. Aus Gl. (1.5.1b) gilt daf¨ ur gleichwertig B E · ds.

UAB =

Spannungsabfall von A nach B (1.5.2b)

A

Der Spannungsabfall oder umgangssprachlich die Spannung zwischen zwei Punkten ist gleich dem Weg- oder Linienintegral der Feldst¨arke zwischen diesen Punkten. Das Ergebnis Gl. (1.5.2b) kann gleichfalls als Definition der Spannung durch Bezug auf die Feldst¨ arke verstanden werden.12 Die Spannung ist als integrale oder globale Gr¨oße des elektrisches Feldes eine Fundamentalgr¨ oße f¨ ur die Stromkreisberechnung (s. Bd. 2). Weil die Ladung in den Punkten A, B eine bestimmte potenzielle Energie WA , WB hat, kann den Punkten auch ein elektrostatisches Potenzial oder kurz Potenzial ϕA , ϕB zugeschrieben werden (Abb. 1.5.1c) ϕA =

WA , Q

ϕB =

WB . Q

Definition der Potenziale ϕA , ϕB (1.5.3)

Potenzial: Quotient von potenzieller Energie W und zugeordneter Punktladung Q im Ladungsfeld. Man merke: das Potenzial ist die einem Raumpunkt zugeordnete (skalare) Feldgr¨oße des elektrischen Feldes, 12

F¨ ur ein konservatives Kraftfeld, wie f¨ ur ruhende Ladungen zutreffend, sind die beiden Schreibweisen in Gl. (1.5.2) gleichwertig. Trifft diese Bedingung nicht zu, so wird Gl. (1.5.2b) als Spannungsdefinition vereinbart. Die R¨ uckf¨ uhrung der Spannung auf eine Potenzialdifferenz versagt beim Induktionsgesetz, aber auch in stromdurchflossenen Halbleiterbauelementen durch Einf¨ uhrung der sog. Quasifermipotenziale.

1.5

Elektrische Spannung, elektrisches Potenzial

35

die Spannung UAB beschreibt als Globalgr¨ oße die Potenzialdifferenz zwischen zwei Feldpunkten. Ganz analoge Vorg¨ ange gelten im Gravitationsfeld der Erde (Abb. 1.5.1a): wird eine Masse m (z. B. ein Stein) gehoben“, so muss Arbeit (gegen das Schwerefeld) ” geleistet werden, die potenzielle Energie der Masse erh¨ oht sich. F¨ allt der Stein von A nach B, so nimmt seine potenzielle Energie ab, gleichzeitig erf¨ ahrt er eine kinetische Energie. So wie die potenzielle Energie des Ladungstr¨ agers der Ladung proportional ist, ist die des Steines seiner Masse m proportional. Hinweis: Die Zusammenh¨ ange zwischen Potenzial, Spannung und der elektrischen Feldst¨ arke E werden in Band 2 vertieft.

Einheit Die Definitionsgleichung ergibt als Einheit der Spannung U

[U ] =

[W ] Joule Nm kg m2 Ws VA =1 =1 =1 =1 = 1 V. (1.5.4) 3 =1 [Q] As Coulomb As A As

Zwischen zwei Punkten A, B liegt eine Spannung von 1 V, wenn eine Ladung von 1 C eine Energie¨ anderung von 1 J = 1 Ws = 1 Nm bei Bewegung von A nach B erf¨ahrt. Mit Untereinheiten wird bei technischen Problemstellungen ein Bereich von nV bis MV u oßenordnungen! ¨ berdeckt, also von 15 Gr¨

Gr¨ oßenvorstellung13 Empfangsspannung am Rundfunkempf¨ anger kleinster Wert elektronischer Messger¨ ate Spannung zwischen Hand und Herz Spannung an Halbleiterbauelementen Spannung einer Trockenbatterie Brennstoffzelle, Solarzelle Autobatterie Lichtnetz Bahnnetz Hochspannungsleitung Blitz

μV . . . mV nV mV 0,5 . . . 100 V 1,5 V 1,2 V, 0,6 V 6 . . . 24 V 110, 230 V 3 . . . 25 kV 10 . . . 750 kV 10–100 MV.

Z¨ ahlpfeil, Richtungssinn Die Spannung hat einen physikalischen Richtungs-

sinn. Er folgt gleichwertig nach Gl. (1.5.2) aus dem Linienintegral der elektrischen Feldst¨arke E in Richtung des Weges von A nach B, oder ¨ aus der Bewegungsrichtung positiver Ladungstr¨ager bei Ubergang von h¨oherer zu niedrigerer potenzieller Energie. 13

Spannung u ahrlich. ¨ber 42 V ist lebensgef¨

36

1. Grundbegriffe

Die Spannung UAB l¨ angs des Weges A nach B wird positiv angesetzt, wenn die potenzielle Energie (oder das Potenzial) in A h¨oher ist als in B (DIN 5489), (s. Gl. (1.5.2a)). Die Richtungsangabe erfolgt entweder durch zwei Indizes (UAB ) oder einen Richtungs- bzw. Z¨ ahlpfeil. Er zeigt bei positiver Richtung von + nach −, also UAB positiv, wenn WA > WB . Im Doppelindex A, B (UAB ) ist A der Betrachtungs- und B der Bezugspunkt. Aus Gl. (1.5.2b) folgt B

A E · ds = −

A

E · ds

→

UAB = −UBA ,

(1.5.5)

B

dass die Spannung UBA von Punkt B nach A l¨angs des gleichen Weges negativ gleich UAB sein muss. Diese Relation gilt grunds¨ atzlich f¨ ur die Anwendung des Spannungsbegriffs in Netzwerken. Dort wird durch den Z¨ ahlpfeil eine Orientierung eingef¨ uhrt. Er kann willk¨ urlich gew¨ahlt werden und definiert die positive Z¨ahlrichtung der Spannung. Der Spannungsz¨ ahlpfeil gibt deshalb, wie der Stromz¨ ahlpfeil, in der realen Schaltung auch an, in welcher Orientierung ein Messger¨ at eingef¨ ugt werden muss, damit es richtig anzeigt.

Zeitverlauf Verbreitete Spannungsarten sind, analog zum Strom (Abb. 1.4.2), die Gleich-, Wechsel-, Sinus-, Impulsspannung usw. Spannungsarten Die Spannung tritt als Spannungsabfall und Quellenspan-

nung auf: Spannungsabfall. Das ist die bei Stromfluss u ¨ber einem Leiter abfallende Spannung U (oft auch als Verbraucherspannung bezeichnet) ΔWab = UAB . Q

Spannungsabfall (1.5.6a)

Die Spannungsrichtung weist vereinbarungsgem¨aß vom Anschluss mit h¨oherer potenzieller Energie zum Anschluss mit geringerer Energie, also von A nach B: bewegte (positive) Ladungstr¨ ager geben potenzielle Energie ab durch Wandlung in eine andere Energieform (z. B. Erw¨armung des Leiters Gewinn an kinetischer Energie bei Bewegung um Vakuum). Das ist die Verbraucherfunktion, bei der Strom- und Spannungsrichtungen nat¨ urlicherweise u ¨ bereinstimmen. Abb. 1.5.2a zeigt die Richtungszuordnung am Schaltzeichen. Bauelemente mit dieser Eigenschaft werden auch als passive Elemente bezeichnet.

1.5

Elektrische Spannung, elektrisches Potenzial A I

(+) A I

(+)

a

R UAB

B

(-)

Uq

I=0

B

Eq

(-)

Stromantriebsrichtung

I=0 A

A

(+)

(+)

Ei Eq

b

U=EqB

d

Uq

Uq (-)

(+) (-)

c

37

(∑U=∑Eq)

Uq=U

(-)

Uq=U

U=UqB

(∑Uν=0)

Abb. 1.5.2. Spannungsz¨ ahlpfeile, Schaltzeichen. (a) Schaltzeichen f¨ ur Spannungsabfall, Verbraucherpfeilrichtung. (b) Schaltzeichen f¨ ur Spannungsquelle mit Spannungsabfall Uq : physikalischer Richtungssinn von + nach − in Richtung der Abnahme potenzieller Energie positiver Tr¨ ager. Mit aufgef¨ uhrt ist das Schaltzeichen f¨ ur die Spannungsquelle mit der EMK Eq . (c) Verbreitetes Schaltzeichen einer Gleichspannungsquelle. (d) Bestimmung der Spannung einer Spannungsquelle mit Spannungsmesser zur Definition der Quellengr¨ oße

Elektromotorische Kraft, Quellenspannung als Spannung von Spannungsquellen = Antriebsquelle der Ladungstr¨ agerbewegung, mithin des elektrischen Stromes ΔWzu = Eq . Q

Elektromotorische Kraft (EMK, Urspannung) (1.5.6b)

Die potenzielle Energie der (positiven) Ladungstr¨ ager wird beim Durchlauf durch die Quelle erh¨ oht, man spricht von einem Erzeuger (Generator) oder schlechthin einer Quelle. Das erfordert eine Bewegung positiver Tr¨ ager von −“ nach +“ (ne” ” ager durch den Vergativer von +“ nach −“), also entgegen der Kraft F , die Tr¨ ” ” braucherzweipol treibt. Jede Energieumformung nichtelektrisch → elektrisch bewirkt im Erzeugerzweipol eine (innere) Feldst¨ arke E i , die Ladungen trennt, also positive Tr¨ ager nach +“ und Elektronen nach −“ verschiebt und damit einen ” ” ¨ Uberschuss positiver Tr¨ ager (unten negativ) schafft. Dadurch entsteht eine ¨ außere“ ” Feldst¨ arke E. Diese innere Kraft E i ist der eigentliche Grund der Spannung einer Spannungsquelle, die auch bei I = 0 vorliegt (Beispiel Taschenlampenbatterie), kann je nach Energieumsatzart unterschiedliche Ursache haben (elektrochemisch, Strahlung, mechanisch).

Zur Unterscheidung vom Spannungsabfall U spricht man von der elektromotorischen Kraft (EMK) Eq oder besser der Quellenspannung Uq einer Spannungsquelle.14 Sie h¨ angt wegen der Energiewandlungsfunktion nicht vom Strom ab (im Gegensatz zum Spannungsabfall U am stromdurchflossenen 14

Der Begriff elektromotorische Kraft bzw. Urspannung war in der ¨ alteren Literatur u andlich, weil keine Kraft ¨ ber Jahrzehnte u ¨ blich (die Bezeichnung selbst ist missverst¨ vorliegt, sondern eine Spannung). Zur Vermeidung von Verwechselungen mit der elektrischen Feldst¨ arke E wird der Index q (Quelle) angef¨ ugt. Wenn heute auch auf die EMK bei der Netzwerkanalyse zugunsten der Quellenspannung Uq verzichtet

38

1. Grundbegriffe

Verbraucher!). Elemente mit solchen Eigenschaften heißen sprachlich meist auch Erzeuger, aktive Bauelemente, Spannungs- oder Stromquellen bzw. Generatoren. Die elektrische Spannung entsteht im Erzeugerzweipol durch Ladungstrennung und -verschiebung und ihre Aufrechterhaltung. Im Gefolge bildet sich ein ¨außeres“ elektrisches Feld, das beim Anschluss eines Leiters ” zwischen den Polen zum Stromfluss f¨ uhrt. Energetisch ist die Spannungsquelle ein Umformort anderer Energieformen (mechanische, chemische, W¨ arme oder Licht) in elektrische Energie.

Beispiel 1.5.1 Spannungsquellen Sie sind in unterschiedlicher Form zu finden: Lichteinfall auf die Solarzelle erzeugt Ladungstr¨ agerpaare und trennt sie (Umwandlung Strahlungs- in elektrische Energie), im Akkumulator erfolgt eine Ladungstrennung durch chemische Reaktionen (Wandlung chemisch-elektrisch), eine Leiterbewegung im Magnetfeld trennt Ladungstr¨ ager durch die LorentzKraft (Wandlung mechanisch-elektrisch) u. a. m. So wird die Spannung durch verschiedene physikalische Ursachen erzeugt.

Abb. 1.5.2d zeigt das Schaltsymbol der Spannungsquelle sowohl f¨ ur die EMKals auch Uq -Form mit unterschiedlichem Richtungssinn. Uq hat einen entgegengesetzten Richtungssinn zum antreibenden Strom (Energiezufuhr). Die Konsequenz sind zwei unterschiedliche Formen des sog. Maschensatzes. Wir verwenden in diesem Lehrbuch die Quellenspannung Uq . Nur beim Induktionsgesetz (Bd. 2) schließen wir die EMK-Form mit ein aus R¨ ucksicht auf die historische Entwicklung. Nach den einschl¨ agigen Vorschriften ist der Begriff elektromotorische Kraft nicht mehr zu verwenden. Diese Entscheidung wird auch dadurch gest¨ utzt, dass die EMK selbst nicht messbar ist, sondern nur der ihr zugeordnete Spannungsabfall. Ein an die Spannungsquelle angeschlossener Spannungsmesser misst die EMK stets als Spannungsabfall (!) (Abb. 1.5.2d). Dann liegt es nahe, der Spannungsquelle diesen Messwert U = Uq selbst als Merkmal zuzuordnen und auf die EMK zu verzichten. Der Vorteil ist ein problemloser Umgang mit dem Maschensatz.

Zusammenwirken Spannungsquelle – Verbraucher: ein (positiver) Ladungstr¨ager nimmt beim Durchlauf durch die Spannungsquelle potenzielle Energie

wird, kommt sie doch bei der Analyse magnetischer Kreise und der Formulierung des Induktionsgesetzes (s. Bd. 2) h¨ aufig noch zur Anwendung.

1.5

Elektrische Spannung, elektrisches Potenzial

39

auf und gibt sie bei Bewegung durch den Verbraucher wieder ab, hat also nach einem Umlauf die gleiche Ausgangsenergie. Spannungsmessung Spannungsmesser messen den Spannungsabfall und liegen parallel zur Messstrecke (s. Abb. 1.5.2d). Aus der Vielzahl eingesetzter Verfahren sind zu nennen

Spannungsmesser basierend auf dem Stromfluss (sog. stromverbrauchende Spannungsmesser), im Grunde handelt es sich um empfindliche Strommesser: Drehspul- und Dreheiseninstrumente, digitale Spannungsmesser (mit extrem hohen Eingangswiderst¨anden von 1 . . . 1000 MΩ), Spannungsmesser basierend auf mechanischer Kraftwirkung als elektrostatische Voltmeter. 1.5.2 Zweites Kirchhoffsches Gesetz, Maschensatz Zwischen ruhenden Ladungen breitet sich ein Kraftfeld F = QE mit einer potenziellen Energie aus. Ein solches Feld heißt konservativ (erhaltend) und wird gleichwertig beschrieben durch die potenzielle Energie und damit die F¨ ahigkeit, bei Verschiebung einer Ladung Arbeit zu leisten, verschwindende Arbeit l¨angs eines (beliebigen) geschlossenen Weges. Dann muss die auf dem Weg l (Abb. 1.5.3a) von A nach B aufgenommene Energie gleich der auf dem Weg 2 von B nach A abgegebenen sein, wenn das Feld ohne ¨außere Energiezufuhr erhalten bleiben soll: B ΔWel = Q A,Weg1

A E · ds + Q B,Weg2

 E · ds = Q

E · ds = 0.

(1.5.7)

bel. Weg

Weil sich die Ladung nach einem Umlauf wieder am Ausgangspunkt befindet, hat sich ihre Energie nicht ver¨ andert und die w¨ ahrend des Umlaufs geleistete Arbeit muss verschwinden oder Im Feldst¨arkefeld ruhender Ladungen verschwindet das Umlaufintegral der Kraftwirkung l¨angs eines beliebigen Weges immer. Ein Feld mit dieser Eigenschaft heißt Potenzial- oder elektrostatisches Feld. Ein geschlossener Weg wird mathematisch durch ein Ring- oder Umlaufintegral (angedeutet durch das Integralzeichen mit Ring, Bd. 2) beschrieben.

40

1. Grundbegriffe

UCD

ds

Weg 1

UBC

B E

C φC

B UAB

D φD

ds

φB

A

Umlaufweg φA

A

UDA

Weg 2

Ñò Eds = åU

Umlaufrichtung

a

E

ν

ν

=0

b

Abb. 1.5.3. Begr¨ undung des Maschensatzes. (a) Potenzielle Energie, konservatives Kraftfeld. Veranschaulichung des Linienintegrals. (Verschwindendes Umlaufintegral). (b) Maschensatz im Feldst¨ arkefeld

Jetzt werden l¨angs eines geschlossenen Weges verschiedene Punkte A, B, C, D (Abb. 1.5.3b) herausgegriffen und zwischen benachbarten Punkten jeweils die Spannungsdefinition u ¨ ber die Potenziale ϕA . . . ϕD angewendet. Ein solcher Umlauf zwischen diskreten Punkten heißt Masche: ⎧B ⎫  C D A ⎨ ⎬ Q E · ds = Q E · ds + E · ds + E · ds + E · ds = 0 ⎩ ⎭ A

B

C

D

oder mit den Spannungsabf¨allen   E · ds = E · ds = UAB + UBC + UCD + UDA = 0.

(1.5.8)

Umlauf

Das Ergebnis ist der Kirchhoffsche Maschensatz15 n 

Uν = 0.

2. Kirchhoffsches Gesetz, Maschensatz (1.5.9)

ν=1

Die algebraische Summe aller Spannungen (zwischen Knotenpaaren) in einer beliebigen Masche verschwindet zu jedem Zeitpunkt (willk¨ urliche, aber einheitliche Umlaufrichtung). Dabei werden Spannungen in Umlaufrichtung als positiv, entgegengesetzt gerichtete negativ angesetzt (oder umgekehrt). In der Schreibweise Gl. (1.5.9) 15

G. R. Kirchhoff, deutscher Physiker 1824–1887. Professor f¨ ur Physik (Breslau 1850, Heidelberg 1854, Berlin 1874). Die beiden nach ihm benannten S¨ atze entwickelte er w¨ ahrend eines Seminars als zwanzigj¨ ahriger Student in K¨ onigsberg.

1.5

Elektrische Spannung, elektrisches Potenzial

41

treten nur Spannungsabf¨ alle auf (gekennzeichnet durch die Verbraucherz¨ahlpfeilrichtung), deshalb sind Spannungsquellen als Spannungsabfall Uq anzusetzen. Maschen- und Knotensatz, auch als Kirchhoffsche Gesetze bezeichnet, bilden die Grundlage der Berechnung elektrischer Netzwerke. Basierte der Knotensatz auf der Erhaltung der Ladung (Gl. (1.4.7)), so beruht der Maschensatz auf dem Satz von der Erhaltung der Energie.

1.5.3 Spannung, Potenzial und elektrische Feldst¨ arke Die Begriffe Spannung und Potenzial h¨ angen mit der elektrische Feldst¨arke ¨ zusammen. Wir verschaffen uns einen ersten Uberblick am homogenen elektrischen Feld, verschieben aber die eingehendere Behandlung auf das elektrische Feld in Band 2. Ein homogenes elektrisches Feld entsteht zwischen zwei parallelen Metallplatten gleicher Gr¨oße (Abstand d) bei Anlegen einer Spannung UAB (Abb. 1.5.4). Zwischen den Platten befinde sich Luft oder ein homogenes Leitermaterial. Die anliegende Spannung verursacht im Zwischenraum ein nach rechts gerichtetes elektrisches Feld mit konstanter Richtung und konstantem Betrag. Auf eine Ladung Q im Feld wirkt dann u ¨berall die gleiche Kraft, beim Leiter w¨ urden sich die Ladungstr¨ ager mit gleicher Geschwindigkeit (der sog. Drift-

A

B

E=Exex

-

+ + +

+Q

d x

x1 E=const.

0 Ex(x)

-Q

φ(x) φA UAB

UAx

-

UxB

+

φB 0

(xA)

ò

x1

xA

a

x1

E x dx

ò

xB

x1

d x (xB)

Ex dx

0

(xA)

x1

d x (xB)

b

Abb. 1.5.4. Homogenes elektrisches Feld. (a) Feldverlauf. (b) Zuordnung von Potenzialverlauf und Spannungsabfall

42

1. Grundbegriffe

geschwindigkeit) bewegen. Zwischen der anliegenden Spannung UAB und der konstanten Feldst¨ arke E = Ex ex (Wegelement ds = ex dx) gilt B

d E·ds = Ex

UAB = A

ex · ex dx = Ed.

(1.5.10)

0

Daraus folgt als Feldst¨ arke (Betrag) eines homogenen Feldes E=

UAB . d

(1.5.11)

Im homogenen Feld bestimmt die u ¨ ber der Strecke d abfallende Spannung U den Betrag der Feldst¨ arke E. Zwischen den Platten gilt f¨ ur den Spannungsabfall zwischen Punkt x und B (Spannung UxB ) ZxB UxB = ϕ(x) − ϕ(xB ) = Ex ex · ex dx = Ex (xB − x)

(1.5.12a)

x

f¨ ur den Spannungsabfall zwischen Punkt A und x Zx UAx = ϕ(xA ) − ϕ(x) = Ex ex · e x dx = Ex (x − xA ).

(1.5.12b)

xA

Der Potenzialverlauf lautet (Gl. (1.5.12a)) ϕ(x) = ϕ(xB ) + Ex (xB − x) ∼ −xEx .

In Richtung der Feldst¨ arke E entsteht ein Potenzialgef¨alle oder gleichwertig: die Feldst¨arke ist in Richtung des Spannungsabfalls orientiert. Das Poten¨ zialgef¨alle ¨andert sich nicht bei Anderung des Bezugspotenzials ϕ(xB ). Zur Darstellungsvereinfachung wird ϕ(xB ) = 0 gesetzt und xA = 0 gew¨ ahlt, dann gilt „ « x UAB ϕ(x) = Ex (xB − x) = . (1.5.13) (xB − x) = UAB 1 − xB xB Die potentielle Energie einer Ladung Q am Ort x betr¨ agt Wpot = Qϕ(x). Sie ist ochsten und nimmt nach rechts ab. Ein positiver Ladungstr¨ ager am Punkt xA am h¨ bewegt sich in Kraftrichtung, er w¨ urde die schiefe Ebene“ hinunterrollen und da” bei seine potentielle Energie verkleinern, ein negativer Tr¨ ager bewegt sich ebenfalls in Kraftrichtung, steigt also (wie eine Luftblase in Fl¨ ussigkeit) die schiefe Potenzialebene hinauf“ und die schiefe Ebene der potenziellen Energie W hinunter. Die ” Integrale in Gl. (1.5.12) sind den im Bild dargestellten Fl¨ achen proportional. Dieses Beispiel ist orientierend f¨ ur homogene Feld- und Str¨ omungsvorg¨ ange, wie sie in den folgenden Abschnitten in homogenen Leitern, im Plattenkondensator u. a. auftreten. Inhomogene Felder verlangen jedoch eine tiefere Behandlung (Bd. 2).

1.6

Elektrische Energie, elektrische Leistung

43

1.6 Elektrische Energie, elektrische Leistung 1.6.1 Energie Was ist Energie? In Physik und Technik hat der Energiebegriff fundamentale

Bedeutung. Er basiert auf einem weitgehenden Abstraktionsvorgang: gerade durch die Energie lassen sich alle Naturvorg¨ ange einheitlich qualitativ und quantitativ erfassen. Obwohl im Einzelnen bewegte Teilchen, Felder, Wellen vorliegen, kann aus allen Erscheinungen eine skalare Gr¨oße W (engl. work, Arbeit), die Energie (Arbeit), mit folgenden Eigenschaften gefunden werden: 1.

Die Gesamtmenge der einzelnen Energien eines abgeschlossenen Systems bleibt konstant (Erhaltungssatz, s. Tabelle 1.3)16  Wν = const. Satz von der Erhaltung der Energie In physikalischen Vorg¨ angen wird deshalb keine Energie vernichtet, sondern nur verschiedene Energiearten ineinander umgewandelt.

2.

3.

Die Energie ist durch den momentanen Zustand eines physikalischen Systems bestimmt. Die Energiedifferenz zwischen zwei Zust¨anden muss dem System als Arbeit zugeleitet werden. Energie tritt in verschiedenen Erscheinungsformen auf. Alle Naturvorg¨ange sind Umwandlungen einer Energieform in eine andere. Alle Erscheinungsformen lassen sich in mechanische Arbeit umwandeln.

Energie ist eine Zustandsgr¨ oße. Sie kennzeichnet das in einem materiellen System (Feld, Strahlung, K¨orper) enthaltene Arbeitsverm¨ogen und ¨außert sich in verschiedenen Erscheinungsformen: W¨ arme, Strahlung, mechanische und chemische, elektrische und magnetische Energie. Durch die vielf¨altigen Erscheinungsformen stellt der Energiebegriff wohl eine der genialsten Formulierungen dar, die das Gemeinsame aller Naturerscheinungen beschreibt. Energie spielt heute in Wissenschaft, Technik und Wirtschaft eine entscheidende Rolle. Beispielsweise h¨ angt die Entwicklung einer Volkswirtschaft grundlegend von der Energieversorgung ab. Weltweit wachsen die Anstrengungen, das Aufkommen an Prim¨ arenergie“ zu erh¨ ohen, ” die Energiewandler weiterzuentwickeln und neue Wandlungsmethoden nutzbar zu machen, 16

Julius Robert v. Mayer, 1814–1878 Postulat, Hermann v. Helmholtz 1847 Formulierung und Folgerungen.

1.6

44

1. Grundbegriffe

die Effizienz der elektrische Energie¨ ubertragung zu steigern und die Speichermethoden zu verbessern.

Elektrische Energie F¨ ur die Elektrotechnik ist die elektromagnetische Energie

grundlegend. Sie hat gegen¨ uber anderen Energieformen einige Vorz¨ uge: direkte Umsetzbarkeit in und aus andere(n) Energieformen mit z. T. hohem Umwandlungswirkungsgrad. Beispiele: Windkraft, Wasserkraft, Brennstoffzellen, Solarenergie, u. a. zur Erzeugung elektrischer Energie, Wandlung in mechanische Energie (Motor), bequemer Transport u oßte Entfernungen durch Leitungen oder ¨ber gr¨ drahtlosem Wege, Umweltfreundlichkeit (keine Verbrennungs- und Nebenprodukte), einfache Speicherbarkeit, bequeme Steuer- und Regelbarkeit, sofortige Einsatzbereitschaft. In der Grundausbildung hat der Energiebegriff zwei Aspekte: 1. 2.

fundierte Kenntnis des Zusammenspiels zwischen Quelle und Verbraucher ¨ mit zwischengeschalteten Ubertragungsgliedern (Netzwerke), einf¨ uhrende Kenntnis typischer Wandlungsverfahren zwischen nichtelektrischer und elektrische Energie und umgekehrt.

1.6.2 Elektrische Energie Unter elektrischer Energie verstehen wir jene Energieform, die durch elektrische Ph¨anomene (Strom, Spannung, elektromagnetische Felder) von einer Energieumsatzstelle (Erzeuger, nichtelektrisch-elektrisch) zu einer anderen (Verbraucher, elektrisch-nichtelektrisch) transportiert wird. Zun¨achst denkt man dabei an die mit Ladungen verkn¨ upfte Energie. So basiert die Spannung (Gl. (1.5.6)) auf der elektrischen Energie, die bei einer tats¨achlichen oder gedachten Ladungsbewegung umgesetzt wird. Fließt durch einen Zweipol die Ladung dQ(t) und f¨ allt an ihm die Spannung u(t) ab, so wird die Energie dW (t) = u(t)dQ(t) = u(t)i(t)dt umgesetzt, w¨ahrend der Zeitspanne Δt also Δt ΔW = u(t )i(t )dt .

[ΔW ] = 1W · s = 1 Joule

(1.6.1)

0

Meist w¨ahlt man ΔW → W und Δt → t und f¨ ur Gleichgr¨oßen ΔW = U IΔt. Zur elektrischen Energie tragen Spannung, Strom und Zeit gleichberechtigt bei.

1.6

Elektrische Energie, elektrische Leistung

45

Einheit, Gr¨ oßenvorstellungen F¨ ur die Energie sind außer der Einheit 1 Joule

noch SI-fremde Einheiten im Gebrauch: 1 Kilowattstunde = 1 kWh = 3,6·106 Ws = 3,6 MJ, 1 Megawattstunde = 1 MWh, 1 eV = 1,602·10−19J (Elektronenvolt). Bemerkung: Energie und Leistung verbinden die elektrischen mit den nichtelektrischen SI-Einheiten. Das erlaubt einfache Umrechnungen zwischen zugeordneten Problemstellungen. Dennoch bevorzugen manche Technikgebiete bestimmte Maßeinheiten: Elektrotechnik Ws, Elektrophysik eV, W¨ armetechnik J, Mechanik Nm (s. Anhang A.1).

Gr¨ oßenvorstellung Energie, typische Betriebszeit Raumheizger¨ at Rundfunkger¨ at Straßenbahn Haushalt Taschenrechner, Transistorradio Kraftwerk Transport der Elementarladung durch einen Spannungsabfall 1 V Elektronenblitz

(1 . . . 2) kWh 0,1 kWh 100 kWh (10 . . . 300) kWh 0,01 Wh 100 MWh 0,4410−25 kWh

1 Std. 2 . . . 3 Std. 10 Std. 1 Monat 1 Std. Jahre 1 Std.

10 Ws

1/5000 s

Zum Vergleich: Die Energie 1 kWh = 36, 72 · 106 kp cm = 367 kp km entspricht einer Arbeit, die beim Heben von 30 kp auf eine H¨ ohe von 12,2 km verrichtet w¨ urde. Bei einer angenommenen Hubgeschwindigkeit von 1 m/s m¨ usste diese T¨ atigkeit 3,4 Stunden lang ausgef¨ uhrt werden, um beim Tarif von 20 ct/kWh insgesamt 20 ct zu verdienen! Um 1 Liter Wasser zum Kochen zu bringen (also um ca. 80o zu erw¨ armen) sind etwa 80 kcal erforderlich d. h. rd. 1/10 kWh. Die sog. Stand-by-Schaltung eines elektronischen Ger¨ ates verbraucht etwa eine Leistung von 5 W, w¨ ahrend eines Jahres entsteht so ein Energieverbrauch W = 5 W · 365·24 h = 43,8 kWh. Bei einem Energiepreis von 20 ct/kWh laufen j¨ ahrliche Kosten von etwa 8,8 e auf.

Energiedurchsatz, Zusammenwirken von Erzeuger- und Verbraucherzweipol

Die einer Spannungsquelle von außen zugef¨ uhrte Energie Wzu = QUq mit Quellenspannung Uq

Wzu = QEq

(1.6.2)

mit EMK Eq

wird nach Gl. (1.5.6) durch die Quellenspannung Uq oder die EMK Eq ausgedr¨ uckt, die an den Verbraucher abgef¨ uhrte Energie stets durch Wab = QU . 1.

Bei Anwendung der Quellenspannung Uq lautet der Energiesatz f¨ ur die Zusammenschaltung Erzeuger-Verbraucher l  i=1

Wabi = W1 + W2 + . . . + Wl = 0.

(1.6.3)

46

1. Grundbegriffe

Die Summe aller vorzeichenbehafteten Energien verschwindet (abgegebene Energie positiv, zugef¨ uhrte negativ). Dem entspricht der Maschensatz Gl. (1.5.9) mit verschwindender Summe aller Spannungen. Dann gilt f¨ ur die Spannungsquellen das Erzeuger-, f¨ ur Verbraucher das Verbraucherpfeilsystem. Bei Anwendung der EMK hingegen muss die dem Stromkreis zugef¨ uhrte Energie Wzu gleich der abgegebenen Wab sein n m     Wzui = Wabi , Eqi = Uμ . (1.6.4)

2.

i=1

i=1

i(EPS)

μ(VPS)

Daraus folgt der Maschensatz rechts umgesetzt auf die EMK-Form. In einer Masche ist die Summe aller EMK gleich der Summe aller Spannungsabf¨alle bei gleichem Umlaufsinn. Beispiel 1.6.1 Maschensatz Wir formulieren den Maschensatz f¨ ur den Stromkreis nach Abb. 1.6.1 mit drei Maschen zum Vergleich in der Form Gl. (1.5.9) mit Spannungsabf¨ allen und der EMK-Form Gl. (1.6.4): M 1 : U1 + U2 + U3 − Uq1 = 0 M 2 : U4 + U5 − U2 − Uq2 = 0 M 3 : −U3 − U5 + U6 + Uq3 = 0

Eq1 = U1 + U2 + U3 Eq2 = U4 + U5 − U2 −Eq3 = −U3 − U5 + U6

W¨ ahrend die linke Seite problemlos hinzuschreiben ist, erfordert die rechte Seite mit der EMK mehr Aufmerksamkeit.

Die Bindung der elektrischen Energie an Strom und Spannung ist zwar die verbreitetste Form, sie schließt aber die Energieausbreitung u ¨ ber elektromagnetische Wellen nicht ein. Deshalb tritt sp¨ ater eine universelle Gr¨ oße, die Energiestromdichte an diese Stelle mit z. T. u ¨ berraschenden Ergebnissen.

U1

U4

M1

U2

Uq2 U3

M3

U6

U4

M1

M2

Uq1

a

U1

U2

M2

Eq1

U5

Eq2 U3

Uq3

b

M3

U6

U5 Eq3

Abb. 1.6.1. Anwendung des Maschensatzes f¨ ur Spannungsquellen in Quellenspannungs-

und EMK-Form

1.6

Elektrische Energie, elektrische Leistung

47

1.6.3 Elektrische Leistung, Wirkungsgrad Leistung Der Energiebegriff enth¨ alt keine Zeit. Im technisch-wirtschaftlichen

Bereich wird aber angestrebt, eine bestimmte Arbeit pro Zeit zu verrichten, also etwas zu leisten“. Dies f¨ uhrt direkt zum Leistungsbegriff (auch verstan” den als Energiedurchsatz pro Zeit) oder die pro Zeiteinheit geleistete Arbeit17 ΔWel dWel = , Δt dt 1 J kg · m2 = 1 W. = [P ] = 1s s2 P

= lim

Δt→0

Definition der Leistung (1.6.5)

¨ Die Leistung ist stets gleich der Anderung der Energie Wel pro Zeiteinheit. F¨ ur den Zweipol folgt damit (Abb. 1.6.2) P = U · I,

Verbrauch“ ( Erzeugung“) ” ” (1.6.6) elektrischer Leistung

P > 0 (< 0).

Zur Leistung tragen Strom und Spannung gleichberechtigt bei: Die gleiche Leistung wird entweder mit großer Spannung und kleinem Strom oder großem Strom und kleiner Spannung erzeugt. So ben¨ otigt eine Autolampe von 70 W Leistung bei der Spannung U = 12 V den Strom I = 5, 83 A, eine Gl¨ uhlampe 60 W bei U = 230 V den Strom I = 0, 26 A.

I - + Wzu

(+)

-

Wel

U (-)

a

R

-R B

U-Uq=0 Verbraucher (passiver Zweipol)

AI

UU

U Uq

ideale Leitung

IA

Wab E

+ Erzeuger (aktiver Zweipol)

P, W

IA

+

Ei

P, W

B

U+I(-R)=0

Erzeugerpfeilsystem (EPS)

B

U=IR

Verbraucherpfeilsystem (VPS)

b

Abb. 1.6.2. Energiewandlung im Stromkreis. (a) Der elektrische Stromkreis als Mittler

zwischen zwei nichtelektrischen Energieformen. (b) Pfeilsysteme abgeleitet aus der unterschiedlichen Rolle der Energiewandlung. Statt der Erzeugerdarstellung kann auch der Begriff negativer Widerstand (Synonym f¨ ur Energielieferung) eingef¨ uhrt werden

17

Leistung hat die Einheit VA = W nach J. Watt, 1736–1819.

48

1. Grundbegriffe

Einheit Das Watt ist die SI-Einheit der Leistung einer Anordnung, die pro

Sekunde die Arbeit 1 J verrichtet. Daneben sind noch Untereinheiten im Gebrauch 106 W 103 W 10−3 W

= = =

1 MW, auch Gigawatt, 1 kW 1 mW . . . 10−9 W = 1 nW

Kraftwerksbereich t¨ agliches Leben Informationstechnik

H¨ aufig benutzt (wenn auch nicht zugelassen) wird noch 1 Pferdest¨ arke (1 PS) = 735,49 W bzw. 1 kW = 1,36 PS.

Gr¨ oßenordnungen Speicherzelle DRAM Empfangsleistung Antenne Armbanduhr Transistorradio Pentium IV (Prozessor)

1nW < 1 μW 1 μW einige W 80 W

Gl¨ uhlampe PC B¨ ugeleisen Rundfunksender Kraftwerk

40 . . . 100 W 100 . . . 300 W 500 W 100 kW MW

Der Mensch entwickelt im Ruhezustand etwa eine Verlustleistung von 50 W, bei angestrengter Arbeit (Bergsteigen) etwa 100 W und sportlicher H¨ ochstleistung kurzzeitig 500 . . . 1000 W.

Generator-, Verbraucherenergie, Leistung Am Zweipol sind die Bezugspfeile

f¨ ur Strom und Spannung unabh¨ angig voneinander w¨ahlbar, sie stehen aber in Relation zum Leistungsumsatz Gl. (1.6.6). Ein Zweipol wirkt als Generator (Verbraucher) bei Abgabe (Aufnahme) elektrischer Energie. Deshalb gibt es zwei Bezugspfeilzuordnungen (Abb. 1.6.2): 1.

2.

Verbraucherpfeilsystem (VPS): Gleicher Bezugssinn f¨ ur Strom und Spannung, Leistung P = U I positiv. Der in die positive Klemme (bei positiver Spannung) einfließende Strom wird positiv gew¨ahlt. Es gilt f¨ ur den ohmschen Widerstand U = IR, weil diese Zuordnung dem Verhalten des Widerstandes im Str¨ omungsfeld entspricht. Der Zweipol wandelt elektrische Energie in W¨ arme um: Verbraucher oder passiver Zweipol. Erzeugerpfeilsystem (EPS): Bezugssinn f¨ ur Strom und Spannung sind am Zweipol einander entgegengerichtet. Der bei positiver Spannung U aus der positiven Klemme herausfließende Strom wird positiv gew¨ahlt. Jetzt lautet das Ohmsche Gesetz: −U = IR und die negative Leistung −IU = I 2 R ist gleich einer vom Zweipol aufgenommenen elektrischen Leistung. Umgekehrt bedeutet positives Produkt U I eine Abgabe elektrischer Zweipolleistung: Erzeuger oder aktiver Zweipol.

Zusammengefasst: Leistung P = U I wird vom Zweipol abgegeben (aufgenommen), wenn sie im Erzeugerpfeilsystem positiv (negativ) ist,

1.6

Elektrische Energie, elektrische Leistung

49

aufgenommen (abgegeben), wenn sie im Verbraucherpfeilsystem positiv (negativ) ist.

Negativer (ohmscher) Widerstand Bringt man das negative Vorzeichen nach rechts IU = I 2 (−R),

(1.6.7)

so l¨ asst sich die Haupteigenschaft Leistungsabgabe“ einer Energiequelle formal ” durch den Begriff negativer (ohmscher) Widerstand (−R) beschreiben. F¨ ur verschiedene Probleme, etwa die elektrische Schwingungserzeugung und Stabilit¨ at eines Stromkreises, ist diese Betrachtungsweise sehr zweckm¨ aßig, aber auch die Energietechnik kennt das Ph¨ anomen bei Lichtbogen und Gasentladung seit Jahrzehnten (s. Kap. 2.5).

Tabelle 1.4 enth¨alt die Leistungszuordnungen und Z¨ahlpfeilsysteme. Tabelle 1.4. Richtungspfeilsysteme und Leistungsumsatz am Zweipol

Z¨ ahlpfeilsysteme Erzeuger (EPS)

i

u

Erzeugte Leistung

Verbrauchte Leistung

p = ui > 0

p = −ui

(Verbraucher p < 0)

(Verbraucher p > 0)

p = −ui

p = ui > 0

(Erzeuger p > 0)

(Erzeuger p < 0)

Kennlinienzuordnung

i

p Verbraucher (VPS)

i u p

E

R

V Iq

E

E

Uq u V

i

E

i

Uq

u

i

V

R V

Beispiele

u

u

R

Damit ein Verbraucher stets als solcher arbeitet (ebenso wie der Erzeuger), m¨ ussen ¨ Strom und Spannung die Polarit¨ at gleichzeitig wechseln. Andert nur eine Gr¨ oße (U , I) die Richtung, so geht der Betriebszustand vom Erzeuger zum Verbraucher resp. umgekehrt u ¨ ber. Das tritt bei Energiespeicherelementen (Kondensator, Spule) auf, die w¨ ahrend einer bestimmten Zeit Energie aufnehmen, im Feld speichern und sp¨ ater wieder in die angeschlossene Schaltung zur¨ uckgeben. Energie- und Leistungsgesichtspunkte haben f¨ ur einzelne Teilbereiche der Elektrotechnik durchaus verschiedene Gewichtung. So strebt die Energietechnik an, die bereitstehende elektrische Energie mit hohem Wirkungsgrad zum Verbraucher zu transportieren. Jeder Verlust (Erw¨ armung der Leitungen) ist unerw¨ unscht; am Ende berechnet man dem Nutzer einen Preis f¨ ur die gelieferte elektrische Energie.

50

1. Grundbegriffe

In der Informationstechnik dient Energie lediglich zum Transport elektrischer Si¨ gnale (Informations¨ ubertragung). Zur Ubertragung eines Bit (als kleinste Informationseinheit) ist – je nach Ansatz – eine Mindestenergie von Wmin = kT · ln 2 = achlich bestimmt durch das Verm¨ ogen UT q·ln2 = 28, 8·10−22 Ws erforderlich, haupts¨ der Elementarladung q = 1, 6 · 10−19 As, eine Spannungsstufe von UT = 26 mV zu u ¨ berwinden. Weil die mit einer Nachricht u ¨ bermittelte Energie extrem klein ist, erzeugen Ger¨ ate und Einrichtungen der Informationstechnik (Handy, Fernsehempf¨ anger, PC . . .) in der Regel nur Verlustw¨ arme und der Wirkungsgrad spielt keine Rolle. Deshalb stehen anfallende Kosten in direkter Beziehung zum Ger¨ at u. a., nicht aber zur u ¨ bertragenen Nachricht (aus energetischer Sicht).

Leistungssatz Energie und Leistung h¨ angen nach Gl. (1.6.5) zusammen. Es

folgt dann aus dem Energieerhaltungssatz (eines abgeschlossenen Systems) der Leistungssatz f¨ ur Netzwerke         Welν  = const → Pelν  = 0.   (1.6.8) ν ν EPS

VPS

Leistungsbilanzgleichung Die Summe der einer Schaltung netto zugef¨ uhrten Leistungen (Quellenleistungen negatives Vorzeichen) verschwindet oder gleichwertig: Die Summe der Quellenleistungen ist stets gleich der Summe der Verbraucherleistungen. Dieser Satz erlaubt die Kontrolle einer Schaltungsanalyse. Manche Schaltungssimulatoren wie SPICE/PSPICE f¨ uhren diese Pr¨ ufung automatisch durch.

Energie- und Leistungsmessung Die Messung der elektrischen Energie erfolgt mit Elektrizit¨ats- oder Wattstundenz¨ ahlern. Sie messen direkt die elektrische Energie nach Gl. (1.6.1) mit einem Drehsystem, dessen Drehgeschwindigkeit dα/dt dem Produkt u(t)i(t) proportional ist. Dann gilt

t2 dα = k(α2 − α1 ).

W =k t1

Die Energie ist dem Drehwinkel proportional und dr¨ uckt sich durch die Umlaufzahl aus, die ein Z¨ ahlwerk anzeigt. Wattstundenz¨ahler haben einen Strom- und Spannungspfad, beide sind vor den zu messenden Verbraucher geschaltet. Die Leistungsmessung erfordert ein Messger¨ at, das Strom und Spannung gleichzeitig erfasst und beide Gr¨ oßen multipliziert (die getrennte Messung und nachtr¨agliche Berechnung scheidet aus praktischen Gr¨ unden vor allem bei zeitver¨anderlichen Gr¨ oßen aus). Die Multiplikation erfolgt

1.6

P

Elektrische Energie, elektrische Leistung Spannungspfad Strompfad

Pqab

Erzeuger

Verbraucher

a

PLverl

Pqverl Pqzu

I U

Pvzu

51

Pvverl

Abb. 1.6.3. (a) Leistungsmessung, Gleichstromkreis. (b) Leistungsumsatz im Stromkreis

Pvab

Verbraucher

b analog durch das sog. elektrodynamische Messwerk (Abb. 1.6.3a). numerisch. Dabei werden beide Messgr¨ oßen mit AD-Umsetzern digitalisiert und durch ein Rechenwerk multipliziert.

Da nur die dem Verbraucher zugef¨ uhrte Leistung messbar ist, muss die Erzeugerleistung indirekt u ¨ ber die gesamte abgegebene Leistung ermittelt werden. Wirkungsgrad Bei jeder Energieumwandlung geht im Energiewandler ein Teil

der Energie als Verlustenergie bzw. Verlustleistung PV irreversibel verloren. Man versteht deshalb als Wirkungsgrad η das Verh¨altnis der Arbeit, die bei einer Energieumwandlung geleistet wird zur aufgenommenen Arbeit Wirkungsgrad =

Nutzarbeit Ausgangsleistung = Gesamtarbeit Eingangsleistung

oder η=

Paus Pein − Pverlust Pverlust = =1− . Pein Pein Pein

(1.6.9)

Der Wirkungsgrad ist dimensionslos, oft wird er in Prozent angegeben (Abb. 1.6.3b). Hat beispielsweise ein Grundstromkreis aus Erzeuger- und Verbraucherzweipol sowie verlustbehaftete Zwischenleitungen die im Bild zugeordneten Wirkungsgrade, so ergibt sich der Gesamtwirkungsgrad als Produkt der Einzelwirkungsgrade ηges =

PVab = ηQ · ηL · ηV . PVzu

Der Gesamtwirkungsgrad einer Anordnung ist stets gleich dem Produkt der Teilwirkungsgrade aller in Kette wirkenden Systemteile. Er u ¨ berschreitet nie den Wirkungsgrad eines einzelnen Systemteils.

52

1. Grundbegriffe

Selbstkontrolle Kapitel 1

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

Was beinhalten die Teilchen- und Feldmodelle? Wie lautet der Ladungserhaltungssatz? Warum kann man einen geladenen isolierten K¨orper durch Ber¨ uhrung mit den Fingern entladen? Was erfolgt mit den Ladungen? Ein positiv geladener Glasstab zieht einen leichten Gegenstand an. Muss man daraus schließen, dass er negativ geladen ist? Welche Merkmale hat die Ladung? Wie lautet die Definition der Stromst¨ arke? Wie kann man aus einem gegebenen Stromverlauf i(t) den Ladungsverlauf Q(t) gewinnen? Beispiele angeben. Erl¨autern Sie die Stromrichtung im Zusammenhang mit der Bewegungsrichtung positiver und negativer Ladungstr¨ager? Gibt es Materialien mit positiven Ladungstr¨ agern? Was versteht man unter der Kontinuit¨ atsgleichung des Ladungsflusses? Welche Wirkungen hat der Strom? Wie lautet die Definition der Feldst¨ arke, des Potenzials und der Spannung? Was verbirgt sich hinter diesen Begriffen? Welche Kraft u arke auf eine positive Ladung aus? ¨bt die Feldst¨ Was ist ein homogenes elektrisches Feld (Merkmale, Beschreibung)? Erl¨autern Sie die Verl¨ aufe der Feldst¨ arke, des Potenzials und der Spannung. Was besagt der Begriff Maschensatz, was ist der physikalische Hintergrund? Jemand gibt die Spannung einer Batterie mit 12 Nm/As an. Hat er recht (Erkl¨arung)? Wie lautet die Kontinuit¨ atsbedingung des station¨aren Str¨omungsfeldes?

Kapitel 2 Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

2

Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modelle elektrischer Stromkreise.............................. 2.1 2.2 Unabh¨angige Spannungs- und Stromquellen................ 2.2.1 Ideale Spannungs- und Stromquellen ........................ 2.2.2 Reale Spannungs- und Stromquellen ......................... 2.3 Widerstand, resistiver Zweipol ................................ 2.3.1 Lineare resistive Zweipole ...................................... 2.3.2 Zusammenschaltungen linearer resistiver Zweipole ........ 2.3.3 Nichtlineare resistive Zweipole ................................ 2.3.4 Temperaturverhalten resistiver Zweipole .................... 2.3.5 Allgemeine resistive Zweipole.................................. angige resistive Zweipole........................... 2.3.5.1 Zeitunabh¨ 2.3.5.2 Zeitvariante resistive Zweipole ................................ 2.3.6 Widerstand als Bauelement ................................... 2.4 Der Grundstromkreis ............................................ 2.4.1 Der lineare Grundstromkreis ................................... 2.4.2 Leistungsumsatz im Grundstromkreis ........................ 2.4.3 Einfache verzweigte Stromkreise .............................. 2.4.4 Zweipoltheorie .................................................... ¨ 2.4.5 Uberlagerungssatz ............................................... 2.5 Nichtlinearer resistiver Grundstromkreis* ................... 2.5.1 Zusammenschaltung nichtlinearer und linearer Schaltelemente, Ersatzkennlinie ............... 2.5.2 Kennlinienapproximationen..................................... 2.5.3 Arbeitspunkteinstellung ......................................... 2.5.4 Leistungsumsatz im nichtlinearen Grundstromkreis ....... 2.5.5 Kleinsignalverhalten ............................................. 2.6 Zweitore ........................................................... 2.6.1 Zweitorbegriff ..................................................... 2.6.2 Strom-Spannungs-Beziehungen linearer Zweitore.......... 2.6.3 Zweitorarten ...................................................... 2.6.4 Zweitorersatzschaltungen, gesteuerte Quellen ............. 2.6.5 Elementarzweitore ............................................... 2.6.6 Zweitorzusammenschaltungen ................................. 2.6.7 Zweitor in der Schaltung, Betriebsverhalten ................ angigen Quellen ........................... 2.6.8 Zweitor mit unabh¨ ¨ und Zweipoltheorie in Netzwerken 2.6.9 Uberlagerungssatz mit gesteuerten Quellen ........................................ 2

2

57 57 60 62 65 74 74 80 87 90 95 95 97 99 102 102 106 111 117 123 126 127 131 133 134 138 142 143 147 157 159 172 175 179 186 187

2.7 2.7.1 2.7.2 2.7.3 2.7.4 2.7.5 2.7.6 2.7.7 2.7.8

Gesteuerte Bauelemente und ihre Modellierung* ......... Allgemeine gesteuerte Quellen ................................ Nichtlineares Zweitor ............................................ Bipolartransistormodell ........................................ Kleinsignalverhalten nichtlinearer Zweitore ................ Kleinsignalverhalten des Bipolartransistors, Verst¨arkungsprinzip.............................................. Allgemeines lineares Verst¨arkermodell ....................... Operational-Transkonduktanz-Verst¨arker, Operationsverst¨arker ............................................ Grundschaltungen mit Operationsverst¨arkern .............

190 192 193 194 200 204 211 214 223

2

2 Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente Lernziel Nach Durcharbeit dieses Kapitels sollte der Leser kennen die Begriffe Strom, Quellenspannung und Stromkreis, das ohmsche Gesetz und die Definition des ohmschen Widerstandes, den Zweipolbegriff, die Kirchhoffschen Gesetze und ihre Anwendung auf einfache Stromkreise, den Grundstromkreis und seine Merkmale, das Prinzip der Strom- und Spannungsmessung, die Zweipoltheorie und ihre Anwendung auf einfache Stromkreise, den Grundstromkreis mit nichtlinearen Elementen, den Umgang mit gesteuerten Quellen, das Grundverst¨ andnis von Dioden, Transistoren und Operationsverst¨ arkern und ihre Anwendung als Netzwerkelement.

2.1 Modelle elektrischer Stromkreise Wir wenden die bisherigen Grundbegriffe auf ein Beispiel an: elektromagnetische Strahlung in Form von Sonnenlicht soll elektrisch den Keller eines Geb¨audes beleuchten: durch eine Lumineszenzdiode, eine gr¨oßere LED oder eine Minileuchtstoffr¨ ohre. Bei Abschalten muss die LED noch eine Weile nachleuchten. ¨ Diese (primitive) Systemaufgabe (Energiewandlung, elektrische Ubertragung, R¨ uckwandlung in nichtelektrische Energie) wird mit Bauelementen realisiert: Solarzellen, Verbindungsdr¨ ahte, ein Schalter, die Beleuchtungselemente und ein Kondensator zur Energiespeicherung. Die Zweipolelemente bilden einen Stromkreis nach Abb. 2.1.1. Bei Schließen des Schalters S verstreicht eine Zeit, bis der Kondensator auf die Spannung der Solarzelle geladen ist, gleichzeitig beginnt die LED zu leuchten. Nach dem Abschalten verlischt die Diode allm¨ahlich. Fehlt der Kondensator, so leuchtet die LED unmittelbar und verlischt sofort mit dem Abschalten. Da LEDs f¨ ur das gesamte sichtbare Spektrum verf¨ ugbar sind, kann damit z. B. ein bestimmter Spektralteil des Tageslichts zur Raumbeleuchtung gew¨ ahlt werden, etwa Gelb. Grundlagen einer Analyse dieses Netzwerkes sind wirklichkeitsnahe Bauelementemodelle ersetzt durch Netzwerkelemente, Analyseverfahren, die die Kirchhoffschen Gleichungen sowie die Klemmenbeziehungen der Netzwerkelemente nutzen. S. Paul, R. Paul, Grundlagen der Elektrotechnik und Elektronik 1 DOI 10.1007/978-3-540-69078-8, © Springer 2010

2.1

58

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

Systemaufgabe - Energieumformung und -übertragung Bauelemente - Solarzelle B - Widerstand R - Leuchtdiode D - Spule L - Kondensator C - Schalter S - Verbindungen

a

Schaltplan

+ S -B

D

C

Verbindung

b

Netzwerk

+ -B c

L

R

R

L

C

RD

Masche Knoten

Abb. 2.1.1. Systemaufgabe gel¨ ost durch eine Schaltung

Je nach Komplexit¨ at erfolgt die Netzwerkanalyse entweder von Hand, dem Taschenrechner oder dem PC unter Nutzung von Programmen wie MATLAB, Multisim (Electronics Workbench), PSPICE/SPICE u. a. Der Vergleich der Ergebnisse mit der Messung gibt Aufschluss u ute der Netzwerkmo¨ber die G¨ delle. Ihre Schaltungsformen werden als Ersatzschaltungen“ bezeichnet. So ” besteht die Ersatzschaltung der Solarzelle aus einer Stromquelle mit zugeschalteter (nichtlinearer) Diode, die LED wird als Diode mit einer optischen Quelle f¨ ur die erzeugte Strahlung modelliert. Zur Funktion muss die Schaltung bemessen werden: eine LED hat eine Betriebsspannung von 2 V beim Strom von 10 mA (eine große LED der Leistung P = 3 W erfordert I = 1, 5 A). Eine Solarzelle liefert die Spannung 0, 6 . . . 0, 7 V, deswegen sind drei in Reihenschaltung erforderlich. Bei einem Solarumsetzungswirkungsgrad von 20% setzt die Zelle die Solarleistung von etwa 1 kW/m2 in eine elektrische ache A > 1 cm2 Leistung von 200 W/ m2 = 20 mW/ cm2 um. Eine Solarzelle der Fl¨ reicht zur Versorgung der kleinen LED. Die leistungsst¨ arkere LED erfordert entweder eine Erh¨ ohung der Zellenfl¨ ache oder einen Stromverst¨ arker mit der Stromarker im verst¨ arkung Ia /Ie = 1, 5 A/10 mA = 150, was immer ein solcher Verst¨ Moment auch sein m¨ oge. Soll als Leuchtmittel eine Minileuchtstoffr¨ ohre (Leistung ca. 1 W, Betriebsspannung 230 V) dienen, dann m¨ usste ein Spannungsverst¨ arker mit der Spannungsverst¨ arkung Ua /Ue = 230 V/2 V = 115 zwischengeschaltet werden. Die Anordnung Abb. 2.1.1 hat mehrere Merkmale: sie erf¨ ullt die gestellte Systemaufgabe, besteht aus Bauelementen, die zu einer Schaltung mit Stromknoten und Maschen zusammengef¨ ugt sind und l¨ asst sich verk¨ urzt durch einen Schaltplan darstellen, wenn jedem Bauelement ein Schaltzeichen zugeordnet wird (Abb. 2.1.1b).

Das Gesamtverhalten erkennen wir durch Modellierung. Dabei wird jedem Bauelement ein Modell- oder Netzwerkelement zugeordnet (Abb. 2.1.1c). Es

2.1

Modelle elektrischer Stromkreise

59

erfasst sein typisches Verhalten frei von Sekund¨areffekten“ (z. B. Verluste ” durch Widerst¨ande). So geht die Schaltung in eine Zusammenschaltung von Netzwerkelementen, kurz ein elektrisches Netzwerk u ¨ ber. Ein Netzwerk ist eine modellhafte (mathematische) Abbildung einer Schaltung. Seine Str¨ome und Spannungen werden durch die Klemmenbeziehungen der Netzwerkelemente und ihre Zusammenschaltung, die Topologie oder Netzwerkstruktur bestimmt. Dabei gelten die Kirchhoffschen Gleichungen zu jedem Zeitpunkt. Die Berechnung der Str¨ ome und Spannungen heißt Netzwerkanalyse. Technisch verbinden Leitungen die einzelnen Bauelemente als Verbindungsdr¨ahte, als Leitungen auf einer Leiterplatte oder in einer integrierten Schaltung. Im Netzwerk-/Schaltplan werden Leitungsverbindungen als ideal (widerstandslos) angesehen. Zwischen Schaltung und Netzwerk besteht ein grunds¨atzlicher Unterschied: in der Schaltung sind Str¨ ome und Spannungen messbar, im zugeh¨origen Netzwerk k¨ onnen sie nur berechnet werden. Deshalb hat die Netzwerkanalyse fundamentale Bedeutung zur Bemessung einer Schaltung. Die Modellierung der Netzwerkelemente bestimmt dabei den Analyseaufwand. F¨ urs erste k¨ onnte die Diode D in Abb. 2.1.1b durch einen Widerstand R ersetzt werden, ein sicher ungenaues Modell. Deshalb ist zwischen Modellierungsgenauigkeit und Analyseaufwand abzuw¨ agen. Hier spielen die Netzwerkanalyseprogramme ihre St¨ arken aus: bei Programmen reicht die Eingabe der Schaltungsstruktur und die Wahl der Netzwerkmodelle zur anschließenden automatischen Netzwerkanalyse. Dieser Vorgang wird als Schaltungssimulation bezeichnet, heute Standardverfahren der Netzwerkanalyse.

Das Beispiel spricht bereits die Themenkreise an, die vor einer Netzwerkanalyse stehen und den Inhalt dieses Kapitels bilden Strom- oder Spannungsquellen (Kap. 2.2) als Modelle aktiver Zweipole, das Modell des resistiven Zweipols (Kap. 2.3), die Zusammenschaltung von aktivem und passivem Zweipol zum Grundstromkreis (Kap. 2.4), auch als nichtlinearer Grundstromkreis (Kap. 2.5), einfache Mehrpole“ mit Ein- und Ausgangsklemmen zwischen Quelle ” und Verbraucher (Kap. 2.6). Typische Bauelemente sind Doppelleitungen, Transformatoren, aber auch Verst¨ arkerelemente. Aus Sicht des Netzwerkes bilden sie gesteuerte Quellen, praktisch werden sie durch Transistoren und damit aufgebaute Schaltungseinheiten (z. B. Operationsverst¨arker u. a.) realisiert. Die Kapitel 2.2–2.4 sind unverzichtbare Grundlagen f¨ ur Netzwerke, die Kapitel 2.6 und 2.7 k¨onnen zun¨ achst zur¨ uckgestellt werden. Obwohl nichtlineares

60

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

Verhalten durch Halbleiterbauelemente schon bei sehr einfachen Beispielen auftritt, entf¨allt es zumeist im Rahmen der Grundausbildung. Wir beschreiten diesen Weg nicht, sondern betrachten den Themenkreis in Kap. 2.5. Kapitel 2 beschr¨ ankt sich auf Gleichstromkreise. Da Kondensatoren (ebenso wie Spulen und der Transformator) erst bei zeitver¨anderlichen Vorg¨angen wirksam werden, behandeln wir diese Bauelemente sp¨ater zusammen mit dem elektrischen und magnetischen Feld (s. Bd. 2), denn ihr Merkmal ist Energiespeicherung.

2.2

2.2 Unabh¨ angige Spannungs- und Stromquellen ¨ Ubersicht. Zweipolbegriff Ein zwischen zwei Knoten (als Klemmenpaar) lie-

gendes Netzwerk ist bez¨ uglich dieses Klemmenpaares ein Zweipol. Er kann aus einem oder mehreren Netzwerkelementen bestehen, wie sie bereits benutzt wurden: Einzelwiderstand, Zusammenschaltung von Widerst¨anden, Stromoder Spannungsquellen. Zweipole lassen sich bez¨ uglich des Energieumsatzes (Kap. 1.6.3) unterteilen in aktive Zweipole, die elektrische Energie abgeben (und deshalb wenigstens eine Quelle enthalten) und passive Zweipole, die elektrische Energie aufnehmen und in anderer Form (meist W¨arme) abgeben. Besser spricht man von einem Energiewandler, weil außer W¨ arme auch eine andere Energieform (z. B. mechanische Energie beim Motor) bereitgestellt werden kann. Der verbreitetste passive Zweipol ist der ohmsche Widerstand oder resistive Zweipol. Weil die Z¨ahlrichtungen von Strom und Spannungen am Zweipol unabh¨angig voneinander gew¨ ahlt werden k¨ onnen, aber in Beziehung zum Leistungsumsatz stehen, wird der Begriff aktiver-passiver Zweipol gleichwertig durch das Verbraucher-Erzeuger-Z¨ahlpfeilsystem beschrieben (s. Kap. 1.6.2). Seine Wirkung im Netzwerk dr¨ uckt sich als Klemmen- oder U, I-Verhalten aus. Vorerst betrachten wir Quellen als Grundtyp aktiver Zweipole und den ohmschen Widerstand als den passiven Zweipol. Quelle Ursache der Str¨ ome in Netzwerken sind unabh¨angige Quellen als

Umformorte nichtelektrischer in elektrische Energie (Tab. 2.1), z. B. Generatoren, Batterien, Thermoelemente, Solar- und Brennstoffzellen, oder Orte, an denen elektrische Energie einer Form in eine andere gewandelt wird (Beispiele: Gleichspannung durch Gleichrichtung der Netzspannung).

2.2

Unabh¨ angige Spannungs- und Stromquellen

61

Tabelle 2.1. Beispiele zur direkten Erzeugung elektrischer Energie

Ausgangsenergie

Beispiele

Effekt

Mechanisch

Elektrischer Generator, van der Graff-Generator, Piezogenerator, Dehnungsschwinger Prim¨ ar-, Sekund¨ arelement, Brennstoffzelle Solarzelle, Fotozelle, Fotodiode Thermoelement, MHD-Generator Transistoroszillator (Umformung Gleichin Wechselleistung)

Induktionsgesetz, Reibungselektrizit¨ at, Piezoelektr. Effekt

Chemisch Strahlung W¨ arme Elektrisch

Elektrochemische Reaktion an Elektroden Fotoeffekt Seebeckeffekt, Induktion in Plasmen Wandlung elektrischer Energie in elektromagnetische Feldenergie

Typische Beispiele des U, I-Verhaltens von unabh¨angigen Quellen zeigt Abb. 2.2.1. Es gibt sie mit linearem Klemmenverhalten abh¨ angig von Strom bzw. Spannung, die linearen Spannungs- oder Stromquellen, nichtlinearem Verhalten: nichtlineare Spannungs- oder Stromquellen, begrenzter Linearit¨ at. Die Spannung (bzw. der Strom) ist in einem großen Bereich lastunabh¨ angig und erst von einem bestimmten Grenzwert an setzt starker Abfall ein. So verhalten sich Solarzellen und elektronische ” Netzger¨ate“ mit Strombegrenzung.

U

ideale Spannungsquelle, Ri=0

U UB =Uq

Uq Ui(I) Ri Uq

U

Stromquelle linear

Ii(U)

linear Ri= const.

Iq

nichtlinear 0

a

I

Spannungsquelle

I

Gi

Gi= const.

U

nichtlinear 0

IB=Iq I

ideale Stromquelle, Gi=0

Iq I

b

Abb. 2.2.1. U ,I-Kennlinien idealer und nichtidealer Quellen. (a) Spannungsquelle (ideale,

nichtlineare und lineare Form). (b) Stromquelle (ideale, nichtlineare und lineare Form)

62

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

Eine Quelle hat zwei ausgezeichnete Betriebsf¨alle: den Leerlauf (open circuit) ohne Stromentnahme (I = 0). Dabei wird an den Klemmen die Leerlaufspannung (open circuit voltage) Ul gemessen, auch als Quellenspannung Uq bezeichnet, den Kurzschluss (short circuit) mit idealer Leiterverbindung der beiden Klemmen (U = 0). Dann fließt der Kurzschlussstrom (short-circuit current) Ik , auch als Quellenstrom Iq benannt. Ob ein Kurzschluss technisch durchf¨ uhrbar ist, h¨ angt vom aktiven Zweipol ab. So vertr¨ agt eine Solarzelle durchaus einen zeitlich begrenzten Kurzschlussbetrieb, ei¨ ne (kleine) Batterie erw¨ armt sich durch Uberlastung, doch bei einer Autobatterie besteht Explosionsgefahr. Im Kraftwerk schließlich h¨ atte ein Kurzschlussversuch katastrophale Folgen. Deshalb eignet sich der Kurzschlussstrom zwar als Modellgr¨ oße, bestimmt werden muss er in der realen Welt anders als durch Kurzschluss.

2.2.1 Ideale Spannungs- und Stromquellen Die Grundelemente zur Modellierung technischer Spannungs- und Stromquellen sind (unabh¨ angige) ideale Spannungs- und Stromquellen.1 2 Ideale Spannungsquelle

Ein Zweipol mit belastungsunabh¨ angiger Klemmenspannung Uq (t) heißt ideale Spannungsquelle (ideal voltage source). Sie ist ein Netzwerkelement zur Modellierung realer elektrischer Spannungsquellen. Gleichwertige Begriffe sind ideale Spannungsquelle, Urspannungsquelle, eingepr¨ agte oder starre, vom Strom I unabh¨ angige Spannung.

Eine zeitlich konstante Spannung liefert die ideale Gleichspannungsquelle. Abb. 2.2.2 zeigt das Strom-Spannungsverhalten der Quellen und typische Schaltzeichen. Die Strom- und Spannungsz¨ ahlpfeile werden zweckm¨aßig nach dem Erzeugerpfeilsystem (EPS) orientiert. Dann arbeitet die Spannungsquelle entweder im 1. oder 3. Quadranten der I,U -Kennlinie, letztere bei Richtungsumkehr von U und I, wie sie bei Wechselspannungen auftritt. Im 2. oder 4. Quadranten wirkt die Quelle als passiver Zweipol. Dieser Fall tritt z. B. beim Aufladen einer Batterie auf (Gegenschalten einer Spannungsquelle).3

1 2

Gesteuerte Quellen (Kap. 2.6) sind das Gegenst¨ uck zu unabh¨ angigen Quellen.

Der Hinweis auf Unabh¨ angigkeit unterbleibt k¨ unftig, daf¨ ur wird die Abh¨ angigkeit durch den Begriff gesteuerte Quelle“ hervorgehoben. ” 3 Ideale Spannungs- (und z. T. Stromquellen) dienen als Verbraucher auch zur abschnittsweisen Beschreibung des Verhaltens technischer Bauelemente durch Knickkennlinien, wie beispielsweise bei der Diode und Z-Diode.

2.2

Unabh¨ angige Spannungs- und Stromquellen

U

ideale Spannungsquelle

I Uq ideale Stromquelle

Erzeuger

Verbraucher

I

0

Iq

Iq U

I

b4

b3

b2

Iq Erzeuger

uq(t) Uq

Uq

b1

i(t)

I

+

+ -

U

Uq

63

iq(t) u(t)

U

Verbraucher

c1

a

c2

c3

Abb. 2.2.2. Ideale Quellen. (a) Strom-Spannungskennlinie, Erzeuger- und Verbraucherpfeilrichtung (der dritte Quadrant gilt f¨ ur Vorzeichenwechsel von u und i). (b1) Schaltzeichen der Spannungsquelle nach DIN EN 60617-2:1997. (b2) Schaltzeichen bevorzugt f¨ ur Gleichspannungsquellen (mit oder ohne Polarit¨ atsangabe). (b3) Weitere, weniger benutzte Schaltzeichen. (b4) Schaltzeichen f¨ ur zeitver¨ anderliche Spannung. (c1) Schaltzeichen der Stromquelle entspr. (b1). (c2) Schaltzeichen bevorzugt f¨ ur Gleichstromquellen und zeitver¨ anderliche Quellen (c3)

Im Schaltzeichen deutet die durchgehende Linie symbolisch auf den Innenwiderstand null. Fr¨ uher benutzte Schaltzeichen (z. B. f¨ ur Batterie mit Polarit¨ atsangabe) sollten nicht mehr verwendet werden, sind aber aus Anschauungsgr¨ unden noch verbreitet. Oft werden auch Hinweise auf die Strom-/ Spannungssart, wie in Abb. 2.2.2 dargestellt, am Quellensymbol vermerkt.

F¨ ur den Umgang mit idealen Spannungsquellen ist zu beachten: 1.

2.

Die ideale Spannungsquelle darf nie u ¨ ber eine ¨außere widerstandslose Leiterverbindung kurzgeschlossen werden, weil es keinen Punkt auf der I, U -Kennlinie mit U = 0 gibt. Eine ideale Spannungsquelle mit der Quellenspannung Uq = 0 wirkt wie ein Kurzschluss ihrer Klemmen.

¨ Dieser Zustand wird bei Anwendung des Uberlagerungssatzes und der Zweipoltheorie ben¨ otigt und als Kurzschluss“ der Spannungsquelle bezeichnet.4 ”

Der Vorteil der Ersatzschaltung Abb. 2.2.2 ist, dass bei bekannter Quellenspannung Uq auf Einzelheiten innerer Vorg¨ ange (physikalisches Prinzip) verzichtet werden kann. Ideale Stromquelle Das Gegenst¨ uck zur idealen Spannungsquelle ist die ideale

Stromquelle (ideal current source). 4

Man sollte korrekter von Nullsetzen“ sprechen mit Uq = 0 oder dem Ersatz der ” Spannungsquelle durch Kurzschluss.

64

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

Ein Zweipol mit belastungsunabh¨ angigem Klemmenstrom, dem Quellenoße eines anderen Netzwerkzweiges strom Iq (t) (der nicht von der Gr¨ abh¨angt) heißt unabh¨ angige ideale oder kurz ideale Stromquelle. Gleichwertige Begriffe sind Einstr¨ omung“, eingepr¨ agter oder starrer Strom, auch ” Quellenstrom oder Urstromquelle.

Bei zeitlich konstantem Strom liegt eine ideale Gleichstromquelle Iq vor. Im Erzeugerpfeilsystem hat sie eine Kennlinie im 1. resp. 3. Quadranten, im 2. und 4. wirkt sie als Leistungsverbraucher. Abb. 2.2.2c zeigt u ¨ bliche Schaltzeichen. Der Bezugspfeil von Iq (wie der von Uq ) geh¨ort zum Quellensymbol. Der Querstrich deutet einen unendlich hohen Innenwiderstand an. Abweichend von der Norm sind weitere Quellensymbole u ahere Kennzeichnung z. B. f¨ ur Wechselstrom ¨ blich, auch solche, die eine n¨ tragen. So, wie die ideale Spannungsquelle nie im Kurzschluss betrieben werden darf, ist Leerlauf der idealen Stromquelle nie zul¨assig. Deshalb kann sie streng genommen nie im Leerlauf dargestellt werden (Widerspruch zum Strom als ununterbrochenem Band, Verletzung des Knotensatzes). Erfordert ein Netzwerkanalyseverfahren dennoch die zeitweilige Nullsetzung des Wertes Iq , so wirkt der Ersatzzweipol als Leerlaufstrecke (Leitungsunterbrechung). Zusammenschaltung idealer Quellen Ideale Spannungsquellen d¨ urfen

reihengeschaltet und durch eine ideale Ersatzspannungsquelle Uq =

n 

Uqν

ν=1

Reihenschaltung (2.2.1) idealer Spannungsquellen

ersetzt werden (Abb. 2.2.3a, b), nur bei gleichen Quellenspannungen (Richtung, Wert) parallel geschaltet werden. Ideale Stromquellen d¨ urfen parallel geschaltet werden mit der Ersatzquelle Iq nach dem Knotensatz (Abb. 2.2.3c, d) Iq =

n  ν=1

Iqν ,

Parallelschaltung (2.2.2) idealer Stromquellen

2.2

Unabh¨ angige Spannungs- und Stromquellen

65

Iq1

Uq

Iq

Uq1

Uq2

Uq3

a

Iq2

Uq

Uq=Uq1-Uq2+Uq3

Iq

b

Iq

Iq=Iq1+Iq2

Uq

c

d

Abb. 2.2.3. Zusammenschaltung idealer Quellen. (a) Reihenschaltung idealer Spannungs-

quellen. (b) Parallelschaltung nur gleicher idealer Spannungsquellen zul¨ assig. (c) Parallelschaltung idealer Stromquellen. (d) Reihenschaltung nur gleicher idealer Stromquellen zul¨ assig

nur bei gleichen Quellenstr¨ omen (Richtung, Wert) reihengeschaltet werden. F¨ ur Quellen mit Innenwiderstand gelten diese Beschr¨ankungen nicht. 2.2.2 Reale Spannungs- und Stromquellen Technische Spannungs- und Stromquellen Ideale Quellen kennt die reale Welt nicht. Trotzdem eignen sie sich gut zur Modellierung realer oder technischer Spannungs- und Stromquellen mit inneren Verlusten, die durch einen linearen/nichtlinearen Innenwiderstand darstellbar sind. Dadurch wird die Quellengr¨oße lastabh¨angig. Beispielsweise haben Konstantspannungsger¨ ate, die dem Namen nach ideale Spannungsquellen vermuten lassen, zwar eine einstellbare Konstantspannung, doch sinkt sie bei Strombelastung, je nach Ger¨ ateg¨ ute, um einige % ab.

Reale Quellen werden modelliert als Spannungsquellen mit stromabh¨ angigen inneren Spannungsabfall Ui (I) durch den linearen/nichtlinearen Innenwiderstand Ri (Abb. 2.2.1a), Stromquellen mit (spannungsabh¨ angigem) inneren Stromverlust“ Ii (U ) ” durch den linearen oder nichtlinearen Innenleitwert Gi (Abb. 2.2.1b). H¨aufig kann der Innenwiderstand Ri als konstant angesehen werden. Dann ist der innere Spannungsabfall Ui (I) = IRi stromproportional und der Verluststrom Ii (U ) = Gi U spannungsproportional. So entstehen

66

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

1.

die lineare Spannungsquelle mit der Klemmenspannung U = Uq − IRi .

Strom-Spannungsbeziehung, EPS (2.2.3)

Abb. 2.2.4 zeigt die U, I-Kennlinie. Die Klemmenspannung f¨allt linear mit dem Strom zwischen Uq und dem Kurzschluss U = 0 ab. Dabei fließt als Klemmenstrom der Kurzschlussstrom I(U = 0) I|U=0 = Ik =

Uq . Ri

Kurzschlussstrom (2.2.4)

Die reale Spannungsquelle entspricht der idealen Spannungsquelle um so besser, je kleiner ihr Innenwiderstand Ri ist. Im Grenzfall Ri = 0 geht sie in die ideale u ¨ ber. idealer aktiver Zweipol: Spannungsquelle Uq (Ri = 0)

Stromquelle Iq (Gi = 0)

realer aktiver Zweipol: Spannungsquelle Ui=IRi

I

Stromquelle I

A

Gleichwertigkeit:

Ri Uq

U

A

Ii=UGi Iq

U

Gi

B

B

Kenngrößen: Quellenspannung Uq, Quellenstrom Iq, Innenwiderstand Ri = 1/Gi

ideale Spannungsquelle

U

U

Uq

U1

P1

U2

IRi lineare Spannungsquelle U =Uq-IRi

lineare Stromquelle I =Iq-UGi

Uq

UGi

ideale Stromquelle

P2

I1

a

I2

Iq

Iq

I

I

b

Abb. 2.2.4. Lineare Spannungs- und Stromquellen mit konstantem Innenwiderstand und

ihre Ersatzschaltungen. (a) Lineare Spannungsquelle. (b) Lineare Stromquelle, beide Formen sind gleichwertig ineinander u uhrbar ¨berf¨

2.2

Unabh¨ angige Spannungs- und Stromquellen

67

Die Ersatzschaltung lineare Spannungsquelle“ mit Quellenspannung ” Uq und Innenwiderstand Ri beschreibt das Verhalten des linearen aktiven Zweipols bez¨ uglich seines Verhaltens an den Klemmen AB eindeutig und unabh¨angig von inneren physikalischen Vorg¨angen.

2.

Abb. 2.2.4 best¨ atigt das Erzeugerpfeilsystem als nat¨ urliche Strom-Spannungszuordnung an den Klemmen AB aus der Stromflussrichtung, die sich im Verbraucherwiderstand fortsetzt. die lineare Stromquelle mit dem Klemmenstrom I = Iq − Ii (U ) = Iq − Gi U.

Strom-Spannungsbeziehung aktiver Zweipol, EPS

(2.2.5)

Die I, U -Kennlinie beginnt beim Quellenstrom Iq f¨ ur U = 0, der Strom sinkt mit wachsender Klemmenspannung. Im Leerlauf (I = 0) fließt der gesamte Quellenstrom durch den Innenleitwert Gi und erzeugt die Leerlaufspannung U |I=0 = Ul =

Iq . Gi

Leerlaufspannung (2.2.6)

Die reale Stromquelle entspricht der idealen Stromquelle um so besser, je kleiner ihr Innenleitwert Gi ist. Im Grenzfall Gi = 0 geht sie in die ideale Quelle u ¨ ber. Die Ersatzschaltung lineare Stromquelle“ mit Quellenstrom Iq und In” nenleitwert Gi beschreibt das Verhalten des linearen Zweipols bez¨ uglich seines Verhaltens an den Klemmen AB eindeutig. Kennliniengleichungen Die Kennliniengleichung U (I) der Spannungsquelle ist eine fallende Gerade (y = mx + n), die die U -Achse bei der Quellenoder Leerlaufspannung Ul , = Uq schneidet und mit der Steigung tan β = U/I = −Ri f¨allt (Abb. 2.2.4a). Sie kreuzt die I-Achse (U = 0) beim Kurzschlussstrom I(U = 0) = Ik = Iq . Die Stromquelle hat die gleiche Gerade (durch Umstellen von Gl. (2.2.3) und Division durch Ri ersichtlich). Kennt man zwei Punkte P1 (U1 , I1 ) und P2 (U2 , I2 ) der Kennliniengleichung (Abb. 2.2.4a), so kann damit der Innenwiderstand der Quelle bestimmt werden: Ri = −(U2 − U1 )/(I2 − I1 ).

Weiter gilt: deaktivierte Quellen (Spannungsquelle mit Uq = 0 bzw. Stromquelle mit Iq = 0) verhalten sich wie ein ohmscher Widerstand Ri (bzw. Gi ). Als Schlussfolgerung lassen sich ideale Quellen durch Zuschalten eines Innenwiderstandes jederzeit in reale Quellen verwandeln. Zur wirklichkeitsnahen Modellierung werden daher

68

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

niederohmige Quellen besser als Spannungsquellenersatzschaltung und hochohmige Quellen als Stromquellenersatzschaltung dargestellt. Deshalb heißt die erste Gruppe auch Konstantspannungsquelle (Abb. 2.2.1), die letzte Konstantstromquelle. Sie liefern ann¨ahernd konstante Spannung bzw. konstanten Strom u ullen Spannungs¨ber einen bestimmten Bereich. Erf¨ quellen wie Batterien, Solarzellen u. a. diese Forderungen einigermaßen, so erreichen aktive Zweipole auf Basis elektronischer Schaltungen, bekannt als elektronisch stabilisierte Netzger¨ate, diese Forderungen fast perfekt. Gleichwertigkeit von Quellen Die Kennlinien der Spannungsquelle mit Innen-

widerstand und Stromquelle mit Innenleitwert sind proportional zueinander. ¨ Gleichheit (Aquivalenz) liegt vor, wenn beide Ersatzschaltungen bei gleichem Lastelement gleiche Strom-Spannungswerte ergeben. Weil beide Kennlinien durch Leerlaufspannung und Kurzschlussstrom bestimmt sind, erfordert die Gleichheit Iq (2.2.7) Ul |Spannungsquelle = Uq = Ul |Stromquelle = Gi und Uq Ik |Spannungsquelle = = Ik |Stromquelle = Iq . Ri Beide Quellen sind zueinander ¨ aquivalent, wenn gilt (Abb. 2.2.4) Uq =

Iq , Gi

Iq =

Uq , Ri

Ri =

1 . Gi

¨ (2.2.8) Aquivalenzbedingung

Eine lineare Spannungsquelle mit Innenwiderstand ist u uhrbar in eine ¨ berf¨ lineare Stromquelle mit Innenleitwert und umgekehrt. Zweipole mit gleichem Klemmenverhalten (Spannung, Strom) heißen gleichwertig oder ¨aquivalent. Sie k¨ onnen dabei im Netzwerkaufbau (Zahl der Quellen, Art, Schaltung, Grundbauelemente) sehr unterschiedlich sein. uckgehende Satz Dieser auf Helmholtz5 , Mayer, Th´evenin und Norton6 zur¨ erlaubt betr¨achtliche Vereinfachungen in der Netzwerkanalyse. Zusammengefasst: Jeder aktive (lineare) Zweipol wird gleichwertig durch eine Spannungs- oder Stromquellenersatzschaltung beschrieben. Von seinen 5

Hermann von Helmholtz, deutscher Physiker und Physiologe, 1821–1894 (Professor f¨ ur Physiologie in K¨ onigsberg, Bonn, Heidelberg, 1870 f¨ ur Physik in Berlin).

6

Der Satz wurde unabh¨ angig von Helmholtz und Mayer und im englischen Schrifttum von Th´evenin und Norton angegeben, s. Kap. 2.4.4.

2.2

Unabh¨ angige Spannungs- und Stromquellen

69

Kenngr¨oßen Quellenspannung Uq , Quellenstrom Iq und Innenwiderstand Ri m¨ ussen zwei bekannt sein, die dritte folgt aus

Ri =

Uq Ul ULeerlauf = = . Iq Ik IKurzschluss

Beispiel 2.2.1 Aktiver Zweipol, Gleichwertigkeit F¨ ur die Schaltung in Abb. 2.2.5a wird die Gleichwertigkeit des aktiven Zweipols untersucht. Ausgang ist die Gleichwertigkeit der Spannungs- und Stromquelle Abb. 2.2.4. Wir ermitteln Leerlaufspannung Ul , Kurzschlussstrom Ik und Innenwiderstand Ri . F¨ ur die Leerlaufspannung Ul ergibt sich wegen I = 0 (kein Spannungsabfall an R3 ) aus dem Maschensatz Uq = Iq (R1 +R2 ) und dem Spannungsabfall Ul = Iq R2 durch Eliminieren des Stromes R2 Uq 5 Ω · 10 V = 5 V. Ul = = R1 + R2 (5 + 5) Ω Der Kurzschlussstrom ist der Strom I durch die Klemmen AB f¨ ur U = 0. Er berechnet sich als Teil des Stromes Iq durch die Quelle entsprechend der Stromverzweigung am Knoten K. Dort gilt R3 Ik = R2 (Iq − Ik ) mit dem Quellenstrom Iq = Uq /(R1 + R2  R3 ). Daraus folgt Ik =

R2 Iq Uq R 2 5 Ω · 10 V = = = 0, 4 A. R2 + R3 R1 (R2 + R3 ) + R2 R3 5 Ω(5 + 10) Ω + 10 · 5 Ω2

Der Innenwiderstand wird bei Ersatz der Quellenspannung Uq durch Kurzschluss von den Klemmen AB aus in die Schaltungen hineingesehen“: Ri = R3 + R1 ||R2 = ”

Abb. 2.2.5. Gleichwertigkeit der linearen Spannungs- und Stromquellenersatzschaltungen.

(a) Ersatzgr¨ oßenbestimmung. (b) Beispielanordnung mit Kennlinie

70

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

(10 + 2, 5) Ω = 12, 5 Ω. Er folgt auch aus Ri = Ul /Ik = 5 V/0, 4 A = 12, 5 Ω. In der Abbildung sind die Ersatzschaltungen und ihre Kennlinien eingetragen. Diskussion Wir diskutieren, ob es nicht trotz der Gleichwertigkeit der Strom- und Spannungsquellenersatzschaltung Anschauungsgr¨ unde gibt, die eine oder andere Form zu bevorzugen. Dazu m¨ ogen drei Beispiele dienen: 1.

2.

Eine Batterie wird wegen ihres kleinen Innenwiderstandes und der physikalischen Eigenschaft, eine Spannung zu liefern“ besser durch die Spannungsquel” lenersatzschaltung beschrieben. Eine Steckdose (Gleichstromnetz) besitze eine Leerlaufspannung Uq = 230 V. Es soll beim Laststrom I = 10 A (d. h. einem Lastwiderstand Ra = 23 Ω) eine Spannungs¨ anderung von 1% der Steckdosenspannung U “ auftreten (U = ” 0, 99Uq ). Damit ergibt sich der Innenwiderstand des Netzes aus U = 0, 99Uq = Uq − IRi zu: Uq − 0, 99Uq 0, 01Uq = = 0, 23 Ω. I I Auch hier ist die Spannungsquellenersatzschaltung wegen des geringen Innenwiderstandes und der Eigenschaft, eine Spannung zu liefern“, zweckm¨ aßig. Bei ” Modellierung durch eine Stromquellenersatzschaltung m¨ usste sie einen Kurzschlussstrom Ik = Iq = Uq /Ri = 230 V/0, 23 Ω = 1000 A (!) besitzen, wobei der Innenleitwert Gi = 1/Ri = 1/0, 23 Ω = 4, 35 S der Quelle parallel liegt. Das ist unanschaulich. Außerdem w¨ urde sich bei jeder Innenwiderstands¨ anderung des Netzes (z. B. Zuschaltung weiterer Verbraucher) Ri und damit Ik stark ¨ andern. Ein Transistor verst¨ arke eine Wechselspannung. Wir stellen seinen Ausgang sp¨ ater als Zweipol (Wechselspannungsquelle) dar. Solche Anordnungen haben Kurzschlussstr¨ ome von einigen mA bei relativ großen Innenwiderst¨ anden Ri (Gr¨ oßenordnung 50 kΩ). In der Spannungsquellenersatzschaltung geh¨ ort dazu oßenorddie Leerlaufspannung Uq = Iq Ri = 10 mA·50 kΩ = 500 V (!). Diese Gr¨ nung ist f¨ ur die Transistortechnik un¨ ublich, außerdem kann sie wegen der geringen Betriebsspannung von einigen Volt (2 . . . 10) technisch so nicht auftreten. Deshalb werden hier vorwiegend Stromquellenersatzschaltungen benutzt. Ri =

3.

Beispiel 2.2.2 Gleichwertigkeit von linearen aktiven Zweipolen Abb. 2.2.6 zeigt gleichwertige Schaltungen. Obwohl sie gleiche Zweipolkenngr¨ oßen besitzen, weicht ihr Aufbau voneinander ab. Teilweise kommt es zum Leistungsverbrauch, ohne dass Leistung an den Verbraucher abgegeben wird! W¨ ahrend die Spannungsquellenersatzschaltung keine Leistung verbraucht (Leerlauf!), setzt die Stromquellenersatzschaltung best¨ andig Leistung zur Erzeugung der Leerlaufspannung“ um. Das Bei” spiel veranschaulicht die Modellhaftigkeit von Ersatzschaltungen sehr gut. In Abb. 2.2.1 wurde dargestellt, dass eine Spannungsquelle von einem bestimmten Strom an eine Strombegrenzung“ IB und eine Stromquelle von einer bestimmten ” Spannung an eine Spannungsbegrenzung“ UB haben kann: es liegen begrenzt g¨ ultige ” Kennlinien vor. Im einfachsten Fall wird der Verlauf durch Geraden angen¨ ahert. Man sieht sofort den Unterschied: W¨ ahrend die ideale Quelle eine beliebige Leistung bereitstellt (eine ihrer beiden Gr¨ oßen kann immer u ¨ ber alle Grenzen wachsen), wird jetzt die verf¨ ugbare Leistung begrenzt auf Pel = Uq IB . Genau dieses Merk-

2.2

Unabh¨ angige Spannungs- und Stromquellen

Ersatzspannungsquelle

Doppelquelle

Spannungsteiler

Ersatzstromquelle

20Ω

10Ω Ul= 3V

71

20Ω 3V

I k= 0,3A

20Ω 3V

3V

6V

2V

4V

P = 0,9W

P = 0,9W

P=0

20Ω

10Ω 3V

P = 0,1W

Leerlaufbetrieb 20Ω

10Ω 3V

Ik

Ik Ik

10Ω

Ik 6V

= 0,3A

P = 1,8W

P=0

P = 0,9W

20Ω

Ik

20Ω

20Ω

4V

2V

Ik

P = 1W

Kurzschlussbetrieb Abb. 2.2.6. Elektrisch gleichwertige Schaltungen eines linearen aktiven Zweipols (Ul = 3 V,

Ik = 0, 3 A, Ri = 10 Ω) mit Angabe der intern umgesetzten Verlustleistung P

mal haben Konstantspannungs- und Konstantstromquellen. Meist kann bei handels¨ ublichen Konstantspannungsquellen eine Strombegrenzung eingestellt werden. Vom I, U -Verhalten her gesehen liegt ein nichtlinearer aktiver Zweipol vor. Diese Knickkennlinie l¨ asst sich durch geeignete nichtlineare Schaltelemente gut ann¨ ahern.

Zusammenschaltung von Quellen Oft ben¨ otigt man Spannungen oder Str¨ome,

die eine Quelle u ¨ berfordern. Beispiele sind die Reihenschaltung von Batterien zur Spannungserh¨ ohung oder ihre Parallelschaltung zur Erh¨ohung des verf¨ ugbaren Stromes. Andererseits zeigen gleichwertige Quellen mit verschiedenem Aufbau, dass die Zusammenschaltung innere Str¨ome und Verlustleistungen verursachen kann, die nur die Quellen belasten. Unkritisch sind auch bei technischen Quellen die Reihenschaltung von Spannungsquellen und die Parallelschaltung von Stromquellen. Problematischer ist die Parallelschaltung von Spannungsquellen und die Reihenschaltung von Stromquellen bei unterschiedlichen Einzelquellen. Im ersten Fall wird eine h¨ohere Stromverf¨ ugbarkeit angestrebt, im letzteren gr¨oßere Gesamtspannung. Wir betrachten zun¨ achst Spannungsquellen. So ergibt ihre Reihenschaltung (Abb. 2.2.7a) gem¨ aß Maschensatz Uqers =

n  ν=1

Uqν ,

Rers =

n 

Rν .

(2.2.9)

ν=1

Die Spannungsvorzeichen sind nach dem gew¨ ahlten Umlaufsinn anzusetzen.

72

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

Uq1

Uqn

R1

A

A Rn B

R1 Uqers

Uq1

Rers

a

Rers

Rn Uqn

Uqers

B

b A

Iqn

Iq1 Iq1

R1

Rn Iqn

Iqers

R1

Rers

Rn B

A

B

c

Iqers

Rers

d

Abb. 2.2.7. Zusammenschaltung linearer Spannungs- und Stromquellen. (a) Reihenschaltung und (b) Parallelschaltung von Spannungsquellen und gleichwertige Ersatzspannungsquelle. (c) Parallelschaltung und (d) Reihenschaltung von Stromquellen und gleichwertige Ersatzstromquelle

Zur Parallelschaltung von Spannungsquellen (Abb. 2.2.7b) werden zun¨achst die Quellenspannung zu null gesetzt und der Ersatzwiderstand von den Klemmen AB her berechnet. Alle Widerst¨ ande liegen einander parallel und der reziproke Ersatzwiderstand lautet (Verfahren s. Kap. 2.3.2):  1  1 = = Gers = Gν . Rers ν=1 Rν ν=1 n

n

(2.2.10)

Die Ersatzspannung Uqers wird u ¨ber den resultierenden Kurzschlussstrom Ikers = Iqers ermittelt. Weil jede Quelle einzeln mit ihrem Kurzschlussstrom Ikν = Uqν Gν beitr¨ agt, ergibt die Summation aller Einzelkurzschlussstr¨ome n  Uqν Giν . Die Ersatzleerlaufspannung nach dem Knotensatz Iqers = IABk = ν=1

entsteht dadurch, dass jeder Kurzschlussstrom am zugeh¨origen Innenleitwert einen Spannungsabfall erzeugt und die Summe aller Spannungsabf¨alle die gesuchte Leerlaufspannung bildet n Uqν n Ikν ν=1 ν=1 Uqers = Iqers Rers = n = n R1iν . (2.2.11) G iν ν=1 ν=1 Riν n parallel geschaltete Spannungsquellen mit den Einzelgr¨oßen Uqν (ν = 1 . . . n) und Riν ergeben eine Ersatzspannungsquelle mit Uqers und dem Innenwiderstand Rers nach Gl. (2.2.11).

2.2

Unabh¨ angige Spannungs- und Stromquellen

73

Bei gleichen Spannungsquellen bleibt die Gesamtquellenspannung erhalten und der Kurzschlussstrom vergr¨ oßert sich auf das n-fache der Einzelquelle. In allen anderen F¨ allen entstehen innere (unerw¨ unschte) Ausgleichsstr¨ome. Mit den Dualit¨atsregeln (s. Kap. 4.6) l¨ asst sich das Ergebnis f¨ ur die Reihenschaltung technischer Stromquellen u ¨ bernehmen (s. Abb. 2.2.7c, d): n n Uqν ν=1 Riν Iqν  Iqers = Uqers Gers = ν=1 = n n R iν ν=1 ν=1 Riν n n   1 1 = = Rers = Riν . Gers G iν ν=1 ν=1 Das Verhalten erlaubt generelle Schl¨ usse: Bei unterschiedlichen Einzelquellen (Spannung, Innenwiderstand, Strom) kommt es zu best¨ andigem Leistungsumsatz in den Quellen unabh¨angig davon, ob von außen Leistung entnommen wird, Ein Teil der Quellen kann als Verbraucher wirken und die von anderen Quellen gelieferte Energie aufnehmen (Beispiel: Laden einer Batterie), Nur bei identischen Quellen geben alle die gleiche Leistung an den Verbraucher ab. Die Zusammenfassung von parallel- oder reihengeschalteten Quellen eignet sich umgekehrt zum Verschieben“ von Quellen aus einem Netzwerkzweig in benachbarte ” Zweige u ¨ ber Knoten hinweg oder zum Teilen“ von Stromquellen u ¨ ber weitere Kno” ten. Dieses Problem wird in Kap. 4.2 behandelt.

Beispiel 2.2.3 Parallelschaltung zweier Autobatterien Zwei Batterien (Uq1 = 12, 2 V, ande konstant angenommen) Ri1 = 10 mΩ, Uq2 = 12 V, Ri2 = 30 mΩ, Innenwiderst¨ sind parallel geschaltet. Welcher Strom fließt bei Leerlauf, welcher bei einem ¨ außeren Laststrom IL = 20 A? Die L¨ osung kann grunds¨ atzlich mit Gl. (2.2.11) erfolgen, in diesem Fall bietet sich aber die Direktberechnung an (Skizze der Schaltung !). Bei leerlaufenden Klemmen AB der Parallelschaltung fließt im Stromkreis der parallel geschalteten Batterien der Strom I = (Uq1 − Uq2 )/(Ri1 + Ri2 ) = 0, 2 V/40 mΩ = 5 A (ohne nach außen Energie abzugeben!). Die Leerlaufspannung betr¨ agt UAB = Uq2 +IRi2 = 12 V+5 A·30 mΩ = 12, 15 V. Beim Laststrom IL = 20 A stellt sich u ¨ ber der Last die Spannung UL = UAB − IL (Ri1  Ri2 ) = 12, 15 V − 20 A · 7, 5 mΩ = 12, 00 V ein. Der Laststrom IL = I1 + I2 setzt sich aus den beiden Str¨ omen I1 , I2 durch die Batterien zusammen. Es gilt dann UL = UAB − IL (Ri1  Ri2 ) = Uq2 − I2 Ri2 (Schaltskizze!). Daraus folgt −I2 = (Uq2 − UAB + IL (Ri1  Ri2 )) = (12 V − 12, 15 V + 20 A· 7, 5 mΩ) = 0 A. Deshalb fließt

74

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

nach dem Knotensatz der Strom I1 = IL − I2 = (20 + 0) A = 20 A durch Batterie 1, d. h. Batterie 2 arbeitet im Leerlauf (I2 = 0)! Die gleiche Problematik betrifft die Parallelschaltung zweier 1,5 V Trockenelemente (sog. R 20-Zellen mit Uq ≈ 1, 5 V und Ri ≈ 1 Ω, wie sie in transportablen Ger¨ aten eingesetzt werden). Unterscheiden sich beide Spannung um 10%, so fließt best¨ andig ein Kreisstrom von 75 mA (!). Ein Element gilt als entladen, wenn seine Leerlaufspannung auf 0, 9 V gefallen ist. Bei einer Normalentladung“ durch einen ” Verbraucherwiderstand R = 10 Ω ist die Entladegrenze nach rd. 36 h erreicht. Pro Element ist damit etwa die Ladung Q = 36 h · 1, 5 V/10 Ω = 5, 4 Ah gespeichert, in beiden also die doppelte Menge. Durch den Kreisstrom I = 75 mA w¨ aren beide Batterien nach rd. 5, 4 Ah/75 mA = 72 h entladen, ohne Energie an einen ¨ außeren Verbraucher abzugeben! Die Beispiele zeigen, dass die Parallelschaltung schon bei kleinen Batterieunterschieden zu betr¨ achtlichem Stromfluss f¨ uhrt. Man sollte sie deshalb grunds¨ atzlich vermeiden. Deutlich wird außerdem, dass Ersatzschaltungen nur das Klemmenverhalten modellieren, denn in der resultierenden Spannungsquellenersatzschaltung tritt der Entladevorgang nicht auf.

2.3

2.3 Widerstand, resistiver Zweipol Der ohmsche Widerstand“ d¨ urfte wohl einer der bekanntesten Begriffe der ” Elektrotechnik sein: Materialien haben einen Widerstand“ (ideale Leiter gibt es nicht). ” Ohmsche Widerst¨ ande sind das wichtigste Bauelement der Elektrotechnik. Ihr Wertebereich umfasst etwa 10−3 . . . 1012 Ω. Auch ungewollt treten Widerst¨ ande etwa in Verbindungsleitungen, Starkstromleitungen, Elektroger¨ aten auf und verursachen W¨armeverluste. Physikalisch beruht der Widerstandsbegriff auf der Leitf¨ahigkeit von Stoffen aller Art. 2.3.1 Lineare resistive Zweipole Widerstandsbegriff Fließt Strom durch einen linienhaften Leiter mit u ¨ berall

gleichem Querschnitt (als Folge einer anliegenden Feldst¨arke), so bewegen sich die Ladungstr¨ ager auf parallelen Bahnen, den Str¨omungslinien und man spricht von einem homogenen Str¨omungsfeld. Diesem Stromfluss setzt jeder Leiter einen elektrischen Widerstand“ entgegen und deshalb besteht ” zwischen der Antriebsursache der Bewegung, dem elektrischen Feld, und der Str¨omung bzw. dem Strom I als Wirkung ein Zusammenhang u ¨ ber die Leitf¨ahigkeit. Zwischen zwei Querschnitten AA und AB (mit zugeordneten

2.3

Widerstand, resistiver Zweipol

75

Potenzialfl¨achen) ϕA und ϕB f¨ allt dann die Spannung UAB ab und es gilt f¨ ur 7 die Eigenschaft Widerstand“ dieser Leiterstrecke ” [U ] V UAB Widerstand R , [R] = = 1 = 1 Ω. (2.3.1) RAB = Definitionsgleichung I [I] A Der Quotient aus dem Spannungsabfall UAB zwischen zwei Potenzialfl¨achen A (ϕA = const) und B (ϕB = const) und dem Strom I durch die zuomungsfeldes heißt Widerstand RAB geh¨origen Querschnitte A1 , A2 eines Str¨ (Abb. 2.3.1a) des Volumens, in dem sich das Str¨omungsfeld ausbildet. Der Widerstandsbegriff ersetzt ein volumenhaftes Str¨omungsfeld durch eine Beziehung zwischen dem Strom durch seinen Querschnitt und der Spannung zwischen den beiden begrenzenden Potenzialfl¨achen. So treten Einzelheiten des Str¨omungsfeldes zur¨ uck und Gl. (2.3.1) wird in der Schreibweise RAB =

UAB = const I

Ohmsches Gesetz (2.3.2)

als ohmsches Gesetz8 bezeichnet. Dann ist der Widerstand unabh¨angig von Strom und Spannung ein linearer Widerstand. Diese Bedingung erf¨ ullen viele Materialien, wie Metalle bei konstanter Temperatur, homogene Halbleitergebiete, z. T. auch Fl¨ ussigkeiten bei konstanter Temperatur.

φA

Leiter U

UAB l

Leerlauf R→∞

φB

A A1

I

A I R

UAB

R

Querschnitt A

B

Berandung

a

leitende Fläche A2

I

B

Kurzschluss, R=0

b

c

Abb. 2.3.1. Widerstandsdefinition, linearer Widerstand (resistiver Zweipol). (a) Einf¨ uh-

rung des Widerstandsbegriffes f¨ ur ein leitendes r¨ aumliches Gebilde (Str¨ omungsfeld) mit zwei leitenden Potenzialfl¨ achen. (b) Gleichwertige Beschreibung durch einen passiven Zweipol mit der Eigenschaft Widerstand, Verbraucherz¨ ahlpfeilrichtung. (c) U ,I-Kennlinie

7

Dieser Widerstand wird gel¨ aufig ohmscher Widerstand genannt, weil der Widerstandsbegriff in der Wechselstromtechnik noch erweitert wird.

8

Georg Simon Ohm, deutscher Physiker 1799–1854, Professor Polytechnikum N¨ urnberg, ab 1852 Universit¨ at M¨ unchen. Gesetz im Jahre 1826 formuliert.

76

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

Das ohmsche Gesetz definiert das Netzwerkelement Widerstand durch seine U, I-Proportionalit¨ at. Anschaulich beschreibt der Begriff den Widerstand“, den ein Leiter der Bewegung ” freier Ladungstr¨ ager bei Stromfluss entgegensetzt. Dazu ist Energieaufwand (UAB ) erforderlich. Die eingespeiste Energie wird in W¨ arme umgesetzt.

Ein Zweipol ist resistiv, wenn er keine Strom- und Spannungsquellen enth¨alt, sein U, I-Verhalten nicht durch die Speicherung elektrischer und magnetischer Feldenergie beeinflusst wird und die Kennlinie durch den Nullpunkt geht. Ein resistiver Zweipol heißt linearer oder ohmscher Widerstand, wenn er das ohmsche Gesetz erf¨ ullt, sonst nichtlinearer Widerstand (Kap. 2.5). Physikalisch ist der resistive Zweipol stets Umsatzort zugef¨ uhrter elektrischer Energie in W¨ arme (irreversibel): Widerstand wirkt als Verbraucher elektrischer Energie. Deshalb wird er als passives Bauelement bezeichnet. Bei Verbraucherz¨ ahlpfeilrichtung gilt f¨ ur die umgesetzte elektrische (Verlust)leistung P P = U I = I 2R =

U2 > 0. R

(2.3.3)

Der Begriff Widerstand“ wird (leider) im doppelten Sinn verwendet: ” 1. Er kennzeichnet das Bauelement Widerstand“ als Objekt (engl. resistor). Ein” zelne Objekte (Widerst¨ ande) unterscheiden sich nach der Bau- und Konstruktionsform (s. Kap. 2.3.6), z. B. Massewiderstand. Das Bauelement Widerstand wird in elektrischen Netzwerken und Schaltpl¨ anen durch ein Schaltsymbol gekennzeichnet (Abb. 2.3.2). Im Gegensatz zu extern einstellbaren Widerst¨ anden tritt die Widerstands¨ anderung bei den inh¨ arent ver¨ anderbaren Elementen durch Vorg¨ ange im Widerstand selbst auf. 2. Er bezieht sich auf die Eigenschaft des Objektes (engl. resistance), beschreibt also sein Strom-Spannungs-Verhalten. Die Eigenschaft Widerstand“ h¨ angt u. a. ” vom Material (Leitf¨ ahigkeit κ) und der Geometrie ab und kann durch eine Bemessungsgleichung, einen Strom-Spannungs-Zusammenhang oder ein Schaltzeichen ausgedr¨ uckt werden.

Kennlinie Der lineare Widerstand hat nach Gl. (2.3.2) eine U, I-Kennlinie

durch den Nullpunkt (Abb. 2.3.1c). Grenzf¨ alle sind Kurzschluss R = 0 (U = 0) als Kennzeichen eines idealen Leiters und Leerlauf R → ∞ f¨ ur eine Leiterunterbrechung oder den idealen Isolator. Das Verbraucherpfeilsystem bietet sich zwar beim Widerstand an, ist aber nicht zwingend. Im Erzeugerpfeilsystem w¨ urde seine Kennlinie lauten U = −IR, dem

2.3

Widerstand, resistiver Zweipol

stetig veränderbar

Festwert

77

Rges

abgleichbar

B

A R1

R inhärent veränderbar

inhärent veränderbar, nichtlinear

spannungsabhängiger Widerstand

A

R1~l

U1 U

a

l R2~(L-l) B

Uges

b

Abb. 2.3.2. Schaltzeichen von Widerst¨ anden nach DIN EN 60617-4. (a) Schaltzeichen

f¨ ur feste und ver¨ anderbare Widerst¨ ande: ver¨ anderbar (z. B. durch Drehknopf), einstellbar (mit Schraubenzieher), stellbar (Potentiometer) und parameterabh¨ angig (z. B. Temperatur, Magnetfeld). (b) Ersatzschaltung eines stellbaren Widerstandes

entspr¨ ache nach Kap. 1.6.3 eine Energieabgabe an das System (formaler Begriff: negativer Widerstand).

Widerstand des homogenen Str¨ omungsfeldes. Bemessungsgleichung Ein wich-

tiger Sonderfall ist der linienhafte Leiter (L¨ ange l, konstanter Querschnitt A Abb. 2.3.3a) mit homogenen Str¨ omungslinien. Daf¨ ur kann eine Bemessungsgleichung R = f (Geometrie, Materialeigenschaften) entwickelt werden9 : R=

l l = . A κA

Widerstandsbemessungsgleichung (2.3.4) eines linienhaften Leiters

Der Widerstand R eines linienhaften Leiters ist proportional seiner L¨ange l, dem spezifischen Widerstand  und umgekehrt proportional dem Querschnitt A. Der spezifische Widerstand  mm2 m S 1 , [] = 1 Ω oder 1 Ω cm, [κ] = 1 S oder 1 κ m mm2 cm bzw. die spezifische Leitf¨ ahigkeit κ (als Reziprokwert des spezifischen Widerstandes, oft nur Leitf¨ ahigkeit genannt) ist materialbestimmt (Tab. 2.2). Metalle haben eine sehr hohe spezifische Leitf¨ahigkeit (Silber und Gold am h¨ochsten, aus Preisgr¨ unden nur als Kontaktwerkstoff und zur Oberfl¨achenveredelung verwendet). Standardwerkstoffe der Elektrotechnik sind Kupferund Aluminiumleiter. =

9

Genauere Begr¨ undung in Bd. 2.

78

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

R ≈RSl/b

B

A

b

R = ρ•l/A d

Querschnitt A

Länge l spez. Widerstand ρ

Leiter

a

Substrat

b

Abb. 2.3.3. Linienhafter Leiter. (a) Homogenes Str¨ omungsfeld (homogene Str¨ omungslinien, homogene Leitf¨ ahigkeit). (b) Sonderform eines linienhaften Leiters (m¨ aanderf¨ ormig angeordnet) als Schichtwiderstand auf einem isolierenden Substrat Tabelle 2.2. Spezifischer Widerstand, Leitf¨ ahigkeit und Temperaturkoeffizient wichtiger Leitermaterialien

Werkstoff

Spezifischer Widerstand  ρ  Ω·

Aluminium Chromnickel Eisen Gold Konstantan Kupfer Messing Silber Tantal Cermet (Cr/SiO) Grafit

mm2 m

0,0282 1,1 0,12 0,0222 0,5 0,0178 0,08 0,0165 0,13 100 . . . 108 40

Leitf¨ ahigkeit κ   m S · mm 2 35,5 0,91 8,33 45 2 56 12 60,5 7,7 100 . . . 10−8 0,025

TK 

α20 −3

10

 /K

4,1 0,1 4,5 . . . 5,5 3,9 -0,002 3.93 1,8 3,9 4 -10 . . . 1 -0,3

TK 

10

β20 −6

/K2



1,3 ≈ 0 6 3 ≈ 0 0,6 ≈ 0 0,7 0,15

Einheit, Gr¨ oßenordnung Die Einheit des Widerstandes wurde mit dem Namen Ohm (Symbol Ω) belegt. H¨ aufig benutzte Vors¨atze sind 1 mΩ = 1Milliohm = −3 10 Ω, 1 kΩ = 1Kiloohm = 103 Ω, 1 MΩ = 1Megaohm = 106 Ω. Gr¨ oßenvorstellungen Cu-Draht l = 1 m, d = 0, 15 mm, Al-Draht l = 1 km, d = 1 cm (d = 1 mm) Cu-Leiterbahn l = 1 cm, b = 25 μm, d = 1 μm, menschlicher K¨ orper Bauelement Widerstand typischer Isolationswiderstand

R ≈ 1Ω R ≈ 0, 36 Ω (36 Ω) R ≈ 7, 14 Ω R ≈ (0, 3 . . . 3) kΩ R ≈ 0, 1 Ω . . . 50 MΩ R ≈ (108 . . . 1012 ) Ω

2.3

Widerstand, resistiver Zweipol

79

W¨ ahrend die Gr¨ oßenordnung von Widerst¨ anden der Elektrotechnik im unteren Bereich (wegen der im Mittel gr¨ oßeren Str¨ ome) liegt, haben elektronische Schaltungen meist Widerst¨ ande ab einigen 10 Ω bis in den MΩ Bereich. Die Einheit 1 Ω wurde lange Zeit u ¨ ber einen bestimmten Leiter (Material, Abmessungen) als Widerstandsnormal definiert. Durch den von K. von Klitzing10 (1980) entdeckten Quanten-Hall-Effekt kann sie heute u ¨ ber Naturkonstanten definiert werden: h/q 2 = 25812, 8 Ω (Plancksches Wirkungsquantum h = 4, 13610−19 eV · s, q Elementarladung).

Materialeinfluss Der spezifische Widerstand von Festk¨orpern umfasst etwa 25 Zehnerpotenzen. Man kann grob drei Gruppen erkennen: Leiterwerkstoffe (Metalle, spezifischer Widerstand ≈ (10−8 . . . 10−4 ) Ω cm), Halbleiterwerkstoffe zwischen (10−2 . . . 108 )Ω cm. Halbleiter und Leiter unterscheiden sich bei tiefen Temperaturen grundlegend: Metalle leiten bei tiefen Temperaturen sehr gut, Halbleiter tendieren zum Nichtleiter. Isolatoren ab 1010 Ω cm. In der Elektrotechnik dienen Leiter als Kontakt- und Widerstandswerkstoffe (Metalle, Metalllegierungen, Halbleiter (besonders Grafit)). Manche Werkstoffe zeigen bei Unterschreiten einer kritischen Sprungtemperatur“ einen abrupten Abfall des ” spezifischen Widerstandes fast auf null: ein Effekt, der als Supraleitung bezeichnet 11 wird . Sie verschwindet oberhalb der Sprungtemperatur und bei hohem Magnetfeld. Weil jeder stromdurchflossene Leiter ein inneres Magnetfeld f¨ uhrt, hat jeder Supraleiter eine kritische Stromdichte, die nicht u ¨ berschritten werden darf. Die Sprungtemperaturen metallischer Supraleiter betragen bis zu 10 K. 1986 wurden keramische Hochtemperatur-Supraleiter (HTS, high temperature superconductors) erfunden mit Sprungtemperaturen bis zu 90 K, so dass fl¨ ussiger Stickstoff zur K¨ uhlung ausreicht. Die Anwendungserwartungen an Supraleiter sind hoch: Einsatz in der Energietechnik, als Energiespeicher, Magnete f¨ ur extreme Magnetfelder, Anwendung in der Kernspinresonanz (Kernspintomografen) u. a. m.

Leitwert Der Reziprokwert des Widerstandes R heißt Leitwert

1 , UAB RAB A 1 [I] = 1 = 1S = 1 . = [U ] V Ω

GAB = [G]

I

=

Leitwert, (2.3.5) Definitionsgleichung

10

K. von Klitzing, deutscher Physiker. 1943-. Nobelpreis 1985.

11

H. K. Onnes, holl¨ andischer Physiker 1853–1926, Nobelpreis 1913.

80

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

Er tr¨agt den eigenen Namen Siemens12 13 , (Symbol S). H¨aufig benutzte Untereinheiten sind 1 mS = 1Millisiemens = 10−3 S, 1 μS = 1Mikrosiemens = ur die Netzwerkanalyse Vorteile durch vereinfach10−6 S. Der Leitwert bietet f¨ te Schreibweise von Beziehungen. Das beruht auf der Dualit¨at (s. Kap. 4.6) von Netzwerkbegriffen: die Rolle von Spannung und Strom beim Widerstand vertauscht sich mit der Rolle von Strom und Spannung beim Leitwert. Der Vorteil zeigt sich bereits bei der Parallelschaltung mehrerer Widerst¨ande.

Beispiel 2.3.1 Fl¨ achenwiderstand Der Fl¨ achen- oder Schichtwiderstand ist ein zweckm¨ aßiger Widerstandsbegriff f¨ ur fl¨ achenhafte Widerstandsschichten konstanter Dicke d, wie sie in Halbleiterschaltkreisen typisch auftreten. Nach Abb. 2.3.3b gilt l (d) · l (d) = RS mit RS = Schichtwiderstand RS (2.3.6) d·b b d f¨ ur eine Leiterbahn der L¨ ange l, Breite b und Dicke d. Weil in d¨ unnen Schichten (Schichtdicke einige μm) der spezifische Widerstand (d) von der Schichtdicke d abh¨ angt und seine Berechnung schwierig, die Messung von RS aber sehr leicht m¨ oglich ist, hat der Schichtwiderstand Vorteile. Er ist dann gleich dem Widerstand eines Quadrates b = l der Breite b und L¨ ange l. Sein Wert wird oft in Ω/Fl¨ ache angegeben trotz der Einheit Ohm! Typische Werte von RS betragen f¨ ur Halbleiterschichten 10 . . . 500 Ω. R=

Mit dem Fl¨ achenwiderstand kann der Widerstand einer Widerstandsbahn leicht gekennzeichnet werden. Aus Platzgr¨ unden sind integrierte Widerst¨ ande“ m¨ aander” f¨ ormig ausgef¨ uhrt (Abb. 2.3.3b). Die Gr¨ oße eines Widerstandes h¨ angt so nicht allein vom Fl¨ achenwiderstand ab, sondern auch seiner Geometrie – dem l/b Verh¨ altnis. Daher beruht die Schaltungsbemessung in integrierten Schaltungen u. a. auf einer Geometrieeinstellung von Widerstandsbahnen.

2.3.2 Zusammenschaltungen linearer resistiver Zweipole Der Widerstandsbegriff Gl. (2.3.1) gilt allgemein. Deshalb lassen sich zusammengeschaltete Einzelwiderst¨ ande immer als Ersatzwiderstand zusammenfassen. Beispiele sind die Reihen- und Parallelschaltung (Abb. 2.3.4). Merkmal der Reihenschaltung ist der gemeinsame Strom durch alle Elemente und der Parallelschaltung die gemeinsame Spannung an allen Elementen. Bei nichtlinearen Einzelelementen muss die Gesamtgr¨oße (Spannung 12

Werner von Siemens, deutscher Techniker, Unternehmer und Erfinder 1816–1892, F¨ orderer der Physiklisch-Technischen Reichsanstalt, Entwurf des Deutschen Patentgesetzes 1876.

13

Im englischen Sprachraum mho (Ohm r¨ uckw¨ arts). Dann bedeutet 1 mS = 1 mmho.

2.3

Widerstand, resistiver Zweipol

81

oder Strom) mit den jeweiligen Kennlinienzusammenh¨angen bestimmt werden, was grafisch immer gelingt, analytisch hingegen meist nicht. F¨ ur lineare Widerst¨ande gelten dagegen allgemeine Regeln: sie wurden bereits stillschweigend in Abb. 2.2.7 benutzt. Reihenschaltung Bei der Reihenschaltung mehrerer Widerst¨ ande addieren

sich die Spannungsabf¨ alle nach dem Maschensatz (Abb. 2.3.4a) n 

UAB =

Uν = I

ν=1

n 

Rν = IRers wegen I1 = I2 = I3 = . . . = Iν = I

ν=1

mit Rers =

n 

Reihenschaltung von (2.3.7a) n Widerst¨anden

Rν .

ν=1

Im unverzweigten Stromkreis (Reihenschaltung) besteht der Gesamtwiderstand Rges aus der Summe der Teilwiderst¨ ande. Typische Anwendungen der Reihenschaltung sind Spannungsteiler und Potentiometer (Abb. 2.3.2b). Parallelschaltung Bei Parallelschaltung einzelner Widerst¨ ande (Abb. 2.3.4b)

addieren sich ihre Teilstr¨ ome nach dem Knotensatz n n n    UAB I= Iν = = Gν UAB = UAB Gers Rν ν=1 ν=1 ν=1 mit dem Ersatzleitwert Gers =

n  ν=1

 1 1 bzw. = . Rers ν=1 Rν n

Gν

Parallelschaltung von (2.3.7b) n linearen Leitwerten

Abb. 2.3.4. Reihen- und Parallelschaltung linearer resistiver Zweipole. (a) Reihenschaltung. (b) Parallelschaltung

82

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

Im verzweigten Stromkreis (Parallelschaltung) besteht der Gesamtleitwert (zwischen zwei Knoten) aus der Summe der Teilleitwerte. Hinweis: 1.

Die Parallelschaltung ergibt eine umst¨ andlichere Aussage in der Widerstandsdarstellung: Der reziproke Gesamtwiderstand ist gleich der Summe aller reziproken Teilwiderst¨ ande (eine entsprechende Aussage gilt f¨ ur die Reihenschaltung, wenn Teilleitwerte verwendet werden, niemand k¨ ame auf diese Idee). uhrt auf Die Parallelschaltung zweier Widerst¨ ande R1 , R2 f¨ Gers =

1 1 1 R1 + R2 = + = , Rers R1 R2 R1 R2

oder als Kehrwert Rers =

R1 R2 = R1  R 2 . R1 + R2

Bei abgek¨ urzter Schreibweise achte man sorgf¨ altig auf die Anwendung von Klammern (Abb. 2.3.5b, c) RAB = R3 + (R1  R2 ) = R3 + R1  R2 , RAB = (R3 + R2 )  R1 . Das erste Resultat gilt f¨ ur die Abbildung. Drei parallel geschaltete Widerst¨ ande R1 , R2 , R3 ergeben den Gesamtwiderstand R3 (R1 + R2 ) + R1 R2 1 1 1 + + = bzw. Gers = G1 + G2 + G3 = R1 R2 R3 R1 R2 R3 R1 R2 R3 Rers = R1 R2 + R1 R3 + R2 R3 = (R1  R2 )  R3 = R1  (R2  R3 ) = R2  (R1  R3 ). Der Widerstand wird mit wachsender Zahl paralleler Widerst¨ ande un¨ ubersichtlicher. Bei Parallelschaltung zweier unterschiedlicher Widerst¨ ande R1 , R2 (z. B. R1  aherung 1/(1 + ε) ≈ 1 − ε (ε  1) n¨ utzlich R2 ), ist die N¨ „ «˛ R1 R2 R2 R2 ˛˛ = ≈ R . Rers = 1 − 2 2 R1 + R2 R1 ˛R1 R2 1+ R R

2.

1

A R3 Uges

R2

A R5 R1

B RAB= R3+(R2//R1)

a

c‘

U1 RAB‘= R5+Rc‘b‘ B

a‘ R4

b‘

Rc‘b‘= R4//Ra‘b‘

b

R3

R2 R1

b‘

A R1 Uges 2 U‘

R3 1 R2 R4

U4

B

Ra‘b‘= R1+(R2//R3)

c

Abb. 2.3.5. Beispiel einer Widerstandszusammenschaltung. (a) – (c) Ausgangsschaltung

mit schrittweiser Vereinfachung durch Zusammenfassung von Widerstandsgruppen

2.3

Widerstand, resistiver Zweipol

83

F¨ ur R2 /R1 = 0, 1 gilt Rers ≈ 0, 9R2 und so liegt Rers um rd. 10% unter R2 . Bei gemischter Reihen- und Parallelschaltung sind die Regeln der Reihen- und Parallelschaltung der Reihe nach anzuwenden, also Widerst¨ ande schrittweise zusammenfassen und Schaltung ggf. neu zeichnen, bei abgek¨ urzter Schreibweise sorgf¨ altig auf Klammern achten. Abb. 2.3.5b zeigt ein Beispiel. Beginnend mit dem Widerstand am entferntesten von der Schnittstelle, werden Widerst¨ ande schrittweise zu Gruppen bis hin zur Schnittstelle AB zusammengefasst und berechnet.

Spannungs-, Stromteilerregel Der Widerstandszusammenschaltung entnimmt

man zwei wichtige Regeln (Abb. 2.3.4, 2.3.6a): 1. Spannungsteilerregel Im unverzweigten Stromkreis gilt

 Teilspannung  Gesamtspannung unverzweigter Kreis Uν Rν = . Uges Rges

Teilwiderstand oder Gesamtwiderstand

=

(2.3.8)

Spannungsteilerregel

Bei der Reihenschaltung linearer Widerst¨ ande (Spannungsteiler) verhalten sich die Teilspannungen zur Gesamtspannung wie die Teilwiderst¨ande zum Gesamtwiderstand. Die Regel kann mehrfach angewendet werden, wichtig ist nur jeweils der unverzweigte Stromkreis. Man beachte 1.

Die Spannungsteilerregel gilt nicht nach Gl. (2.3.8), wenn der Strom in den Teilwiderst¨ anden einer Masche verschieden, also verzweigt ist. Dann muss man an der Verzweigungsstelle den Gesamtstrom (= unverzweigter Strom) beachten,

I

I R1 Uq R2

a

U1

R1

U2 Uq R2

Zweitor

I (1-α)R

U1 U2 Uq

b

αR RL

U2

U1

I

I2

I1 R1 R2

U2

I1 I2 G1 G2

RL

c

U

Iq

Uq

d

Abb. 2.3.6. Spannungs- und Stromteilerregel. (a) Spannungsteiler mit festem und einstell-

barem Teilerverh¨ altnis. (b) Einstellbarer belasteter Spannungsteiler. (c) Interpretation des Spannungsteilers als Zweitor. (d) Stromteiler mit festem Teilerverh¨ altnis

84

2.

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

somit die Parallelschaltung durch einen Ersatzwiderstand ersetzen. Beispielsweise galt f¨ ur Abb. 2.3.5a: U1 R1  R2 R1 R2 = = . Uges R3 + R1 ||R2 (R1 + R2 )R3 + R1 R3 Bei Stromverzweigungen kann es vorteilhaft sein, zwischen den Verzweigungsaltnis U4 /Uges klemmen eine Hilfsspannung (U  ) anzusetzen. Das Teilerverh¨ (Abb. 2.3.5c) wird u ¨ ber die Spannungsteilerregel wegen der Stromverzweigung nicht direkt berechnet, sondern mit der Hilfsspannung U  : U4: R4 U R M1: = , M2: =  U R3 + R4 Uges R1 + R  mit R = R2  (R3 + R4 ), RAB = R1 + R . Die Gesamtl¨ osung lautet U4 U  R4 R U4 =  · = · . Uges U Uges R3 + R4 R1 + R

Als typisches Beispiel zur Spannungsteilerregel gilt das Potentiometer (Abb. 2.3.6b). Sein Widerstand ist (bei homogenem Leiterquerschnitt) proportional der Drahtl¨ ange (R ∼ l). Deshalb wirkt es als Spannungsteiler mit den beiden Widerst¨ anden R1 = αR und R2 = (1 − α)R (α Drehwinkel oder Wegstrecke). Die Spannungsteilerregel ergibt (Abb. 2.3.6b) αR Ua l = =α∼ . Ue αR + (1 − α)R L

(2.3.9a)

Die Ausgangsspannung steigt proportional zum Drehwinkel. Bei ausgangsseitig angeschlossenem Lastwiderstand RL wird die Charakteristik nichtlinear. W¨ ahlt man als Abzweigverh¨ altnis α = R2 /(R1 + R2 ) und als Lastagt das Spannungsteilerverh¨ altnis faktor p = (R1 + R2 )/RL , so betr¨

α U2 . = Uq 1 + (1 − α)αp

(2.3.9b)

Linearit¨at bleibt f¨ ur αp  1 etwa erhalten: der Lastwiderstand RL muss gr¨oßer als der Teilergesamtwiderstand sein. Ein Spannungsteiler kann aus funktioneller Sicht auch als Schaltung mit zwei zusammenwirkenden Klemmenpaaren oder als Zweitor (Abb. 2.3.6c) aufgefasst werden: es gibt das eingangsseitige Klemmenpaar mit den Gr¨ oßen I1 , U1 und das ausgangsseitige mit U2 , I2 . Bei Leerlauf am Ausgang gilt I2 = 0. Ein Zweitor verbindet eine Quelle am Eingangsklemmenpaar mit einem Verbraucher am Ausgangsklemmen¨ paar. Solche Ubertragungselemente werden in Kap. 2.6 vertieft.

2. Stromteilerregel Im verzweigten Stromkreis gilt (Abb. 2.3.6d, 2.3.6b)

 Teilstrom  Teilleitwert oder = Gesamtstrom gleiche Spannung Gesamtleitwert Iν

Gν = . Iges Gges

Stromteilerregel

(2.3.10)

2.3

Widerstand, resistiver Zweipol

85

Verzweigt ein Stromkreis zwischen zwei Knoten (mit gleicher Spannung an allen Leitwerten), so verhalten sich die Teilstr¨ome zum Gesamtstrom wie die zugeh¨origen Teilleitwerte zum Gesamtleitwert. Auch die Stromteilerregel kann mehrfach angewendet werden, Voraussetzung ist nur die jeweils u ¨ber den Elementen erforderliche gleiche Spannung. Oft gibt man die Stromteilerregel in abgewandelter Form an, z. B. f¨ ur die Parallelschaltung zweier Widerst¨ ande R1 und R2 : Der Teilstrom I2 verh¨ alt sich zum Gesamtstrom Iges wie der Widerstand des nicht vom Teilstrom (I2 ) durchflossenen Zweiges (R1 ) zum Ringwiderstand (R1 + R2 ) der Masche, in der die Stromteilung auftritt « „ I2 1/R2 R1 G2 . (2.3.11) = = = Iges 1/R1 + 1/R2 R1 + R2 G1 + G2 Im Vergleich dazu ist die Leitwertform (in Klammern) einfacher, denn die Widerstandsform f¨ uhrt bei komplizierteren Schaltungen leicht zu Fehlern.

Spannungs- und Stromteilerregel sowie die Reihen- und Parallelschaltung von Widerst¨anden vereinfachen nicht nur Schaltungsstrukturen. Sie werden oft angewendet f¨ ur: Erzeugung von Teilspannungen und Teilstr¨omen, Messbereichserweiterung von Messinstrumenten, Widerstandsabgleich u. a. m. Stern-Dreieck-Umwandlung Beim Ersatz komplizierter Schaltungen kann es

vorkommen, dass sich die Regeln der Parallel- und Reihenschaltung erst nach einer Stern-Dreieck-Umformung (oder umgekehrt) anwenden lassen14 (Abb. 2.3.7). Solche Umwandlungen beruhen auf der Gleichwertigkeit der Schaltungen: Zwei Schaltungen sind dann gleichwertig (k¨onnen ineinander u uhrt werden), wenn die U, I-Relationen zwischen jeder Klemmenkombi¨ berf¨ 2

G23

3

2

0 G20 G30 G12

R23

R12

G13

3

R13

R23

2

a

2 R20 0 R30 3

0 R20 R30 R12

R10

R13 R10

G10 1

3

1

b

1

1

c

1

1

d

Abb. 2.3.7. Stern-Dreieck-Umwandlungen. (a) Stern-Dreieck-Umwandlung. (b) Gleichwer-

tige π-Ersatzschaltung. (c) Dreieck-Stern-Umwandlung. (d) Gleichwertige T-Ersatzschaltung 14

Die Anordnungen werden wegen ihres Aussehens nach Umzeichnung auch als T- oder π-Schaltung bezeichnet.

86

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

nation der einen Schaltung mit der entsprechenden Kombination der anderen Schaltung u ¨bereinstimmen, hier also jeweils zwischen den Klemmen 1–2–3. Ein Stern ist eine Anordnung von drei Widerst¨anden zusammengeschaltet in einem Mittelpunktsknoten, ein Dreieck eine Masche aus drei Widerst¨anden. Zur Umwandlung dienen folgende Transformationsbeziehungen (Abb. 2.3.7): Stern → Dreieck- Umwandlung (mit

G12 =

G10 G20 G10 G30  , G13 =  , G G

Dreieck → Stern-Umwandlung (mit

R10 =



R12 R13  , R



R12 R23 R20 =  , R

G = G10 + G20 + G30 )

G23 =

G20 G30  . G

(2.3.12a)

R = R12 + R13 + R23 ) R30 =

R13 R23  . R

(2.3.12b)

Der symmetrische Aufbau der Stern- und Dreieckschaltung ergibt die Beziehungen durch zyklische Vertauschung der Indizes: Stern → Dreieck: Produkt der Sternleitwerte zwischen den Knoten GDreieck = Summe aller Sternleitwerte Dreieck → Stern: Produkt der Dreieckwiderst¨ ande am betreffenden Knoten . RStern = Summe aller Dreieckwiderst¨ ande Die Ergebnisse entstehen, wenn man z. B. in der Sternschaltung jeweils die Widerst¨ ande zwischen den Knoten 1–2, 2–3 und 3–1 berechnet und durch die Elemente der Dreieckschaltung ausdr¨ uckt. Werden je zwei dieser Gleichungen addiert und die restliche subtrahiert, so folgen die Widerst¨ ande der Sternschaltung. Zur Berechnung der Dreieckelemente aus den Sternelementen vollzieht man die gleichen Schritte mit den Leitwertdarstellungen. Stern- und Dreieckschaltung sind gleichwertig und dual (s. Kap. 4.6). Das folgt aus der gleichartigen Struktur, wenn die Leitwerte der Dreieckschaltung durch die Widerst¨ ande der Sternschaltung und umgekehrt die Leitwerte der Sternschaltung durch die Widerst¨ ande der Dreieckschaltung ersetzt werden. Die Stern-DreieckTransformation ist ein Sonderfall der allgemeineren Stern-n-Eck-Transformation: jeder n-strahlige Stern l¨ asst sich in ein gleichwertiges n-Eck wandeln (dabei gilt Gl. (2.3.12a) sinngem¨ aß f¨ ur jeden Knoten). Umgekehrt ist die Transformation eines n-Ecks in einen n-Stern nur im Fall n = 3 m¨ oglich.

Die Stern-Dreieck-Transformation hat zahlreiche Anwendungen, sie reichen von der klassischen Drehstromtechnik bis zu Schaltungsstrukturen, die so u angig werden: die Br¨ uckenschaltung mit Innenwiderstand ¨ berhaupt erst zug¨ der Quelle, die u uckte T-Schaltung, ferner die Knotenunterdr¨ uckung ¨ berbr¨ (Kap. 3.6). Abb. 2.3.8 zeigt die schrittweise Vereinfachung einer Schaltung mit dieser Transformation.

2.3

Widerstand, resistiver Zweipol

87

A

A

3,33Ω

20Ω

10Ω

5Ω

30Ω C

0

D

B

B

25,7Ω

60Ω

45Ω

50Ω

40Ω

50Ω

3,33Ω

3,33Ω

10Ω

C

D

40Ω

A

A

B

B

Abb. 2.3.8. Anwendungsbeispiel zur Stern-Dreieck-Umwandlung: Schrittweise Berechnung

des Ersatzwiderstandes RAB

2.3.3 Nichtlineare resistive Zweipole Viele Zweipolbauelemente mit der Eigenschaft Widerstand“ besitzen ei” ne nichtlineare Strom-Spannungs-Relation. Dann gilt das ohmsche Gesetz Gl. (2.3.1) nicht, weil der Quotient U/I = f (U ) selbst z. B. vom Strom abh¨angt und keine Konstante mehr ist. Das geht aus Abb. 2.3.9 hervor. Im Punkt A ist der Quotient UA /IA kleiner als im Punkt B (UB /IB ). In Stromkreisen mit nichtlinearen Bauelementen gelten wohl die Kirchhoff¨ schen Gleichungen, nicht aber der Uberlagerungssatz (Kap. 2.4.5). Statt des ohmschen Gesetzes ist im Zweig mit dem nichtlinearen Bauelement die Strom-Spannungs-Relation anzuwenden. Enth¨alt ein Netzwerk wenigstens ein nichtlineares Netzwerkelement, so heißt es nichtlineares Netzwerk. Die Vielfalt nichtlinearer resistiver Zweipole l¨asst sich nach dem Kennlinientyp unterteilen in solche (Abb. 2.3.9 b, c) mit eindeutiger I(U )- und U (I)-Relation. Beispiele: Halbleiterdiode, Varistor, Gl¨ uhl¨ampchen, Solarzelle . . .,

U UB

U

I

nichtlineare B Kennlinie U(I)

U~I UA

A IA IB

a

I(U)

Dynatron, spannungsgesteuert Lichtbogen, stromgesteuert

Uq= const

α

U(I)

U -IS

I

b

U

Iq=const

I

c

Abb. 2.3.9. Nichtlineare resistive Zweipole. (a) Passive Zweipole mit linearer und nichtli-

nearer U ,I-Kennlinie. (b) Kennlinien einer Halbleiterdiode und eines symmetrischen nichtlinearen Bauelementes (spannungsabh¨ angiger Widerstand). (c) Nichtlineare resistive Zweipole mit bereichsweise fallender Kennlinien vom spannungs- und stromgesteuerten Typ

88

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

bei denen I(U ) eindeutig, aber U (I) mehrdeutig ist: man spricht auch vom spannungsgesteuerten Zweipol (Beispiel: Tunneldiode, λ-Diode, Kaltleiter bei Eigenerw¨ armung, Kennlinie vom N- oder (besser) DynatronTyp 15,16 ). Bei Aufnahme der Kennlinie mit einer idealen Spannungsquelle ist jeder Arbeitspunkt einstellbar, mit einer Stromquelle u. U. nicht. mit eindeutigem U (I)-, aber mehrdeutigem I(U )-Verhalten, also stromgesteuertem Zweipol (Beispiel: Glimmlampe, Bogenentladung, Thyristor, Heißleiter bei Eigenerw¨ armung, Kennlinie vom S- oder (besser) Lichtbogen-Typ). Hier ist jeder Arbeitspunkt durch eine ideale Stromquelle einstellbar. Auf Einzelheiten gehen wir im Kap. 2.5.5 ein. Als typisches Merkmal der S- und N-Typ-Kennlinien treten bereichsweise fallende Kennlinienabschnitte auf. Bei nichtlinearer Strom-Spannungs-Relation werden oft die Begriffe Gleichstromwiderstand als Steigung der Verbindungsgeraden zwischen Nullpunkt und Arbeitspunkt verwendet sowie differenzieller Widerstand f¨ ur die Steigung der Kennlinie U = f (I) im Arbeitspunkt. Aus der Vielfalt nichtlinearer Zweipole greifen wir einige heraus: Spannungsabh¨ angiger Widerstand oder Varistor (VDR, voltage dependent resistor): Massewiderstand aus gesintertem Si-Karbid, der durch r¨ aumlich verteilte Sperrschichteffekte eine Kennlinie der Form U = cI β (2.3.13) hat (Abb. 2.3.9b). c und β gibt der Hersteller an: c beschreibt die Spannung zum Erreichen eines Stromes von 1A, der Exponent β (Stromindex) liegt bei 0, 1 . . . 0, 3. Varistoren haben eine symmetrische Kennlinie I(U ) = −I(−U ). ¨ Sie sch¨ utzen gegen Uberspannungen und liegen der gef¨ ahrdeten Zweipolstrecke parallel. Auch ein Metallwiderstand, dessen Widerstandswert durch die eigene Verlustleistung und den Temperaturkoeffizient steigt, hat einen im Prinzip ¨ ahnlichen Kennlinienverlauf. Das u ohnlich als lineares Schalt¨ berrascht, denn er wird gew¨ element mit einem Temperaturkoeffizienten (TK) beschrieben, dessen Widerstandswert sich durch ¨ außere Temperaturerh¨ ohung ¨ andert. Erst die R¨ uckkopplung u uhrt zur Kennliniennichtlinearit¨ at. ¨ ber die eigene Verlustleistung f¨

15

Die Bezeichnung N- oder S-Typ ist nicht eindeutig, denn sie h¨ angt von der Darstellungsart (I(U ) oder U (I)) ab. Spannungs- bzw. stromgesteuert sind hingegen eindeutig.

16

Das Dynatron ist eine spezielle Schirmgitterr¨ ohre mit bereichsweise fallendem I(U )Verlauf. Es stammt von A. Hull (1933), zum gleichen Zeitpunkt hat H. Fr¨ uhauf die fallenden Kennlinienbereiche intensiv untersucht. Heute lassen sich Zweipole mit fallenden Kennlinienbereichen durch Halbleiterbauelemente und -schaltungen einfach realisieren.

2.3

Widerstand, resistiver Zweipol

89

Halbleiterdiode mit einer Kennlinie „ « U I = IS exp −1 . (2.3.14) UT attigungsstrom (Gr¨ oßenordnung 1 nA . . . 1 mA), UT = kT /q = 26 mV (bei IS S¨ Zimmertemperatur, k Boltzmann-Konstante17 ). Die Diodenkennlinie ist stark unsymmetrisch (Abb. 2.3.9b) mit einem Durchlassbereich ( kleiner Klemmenwiderstand“) f¨ ur positive Spannung und dem Sperrbereich ” (bei negativer Spannung). Hier fließt nur ein sehr kleiner S¨ attigungsstrom IS . Halbleiterdioden sind wegen ihres Masseneinsatzes (und als Grundlage f¨ ur die Transistorkennlinien) das Beispiel der Nichtlinearit¨ at. So ergibt die Antiparallelschaltung von zwei gleichen Dioden eine symmetrische Kennlinie « „ U I = IS sinh UT (mit qualitativ ¨ ahnlichem Verlauf zur Varistorkennlinie). Die Kennlinie einer Z-Diode unterscheidet sich von der Halbleiterdiode nur durch eine Begrenzungsspannung im Sperrbereich, die Durchbruchspannung von einigen Volt bis zu einigen 10 V. Eine Gl¨ uhlampe (Abb. 2.3.10a) ist ein ausgesprochener Kaltleiter, der Widerstand w¨ achst mit steigender Spannung. Eine Glimmlampe (Abb. 2.3.10b) z¨ undet bei einer bestimmten Spannung (meist oberhalb von 70 V), darunter fließt kein Strom. Nach der Z¨ undung bricht die Spannung sofort zusammen, um bei gr¨ oßeren Str¨ omen wieder anzusteigen. Dazwischen gibt es einen r¨ uckl¨ aufigen Bereich I(U ). Die drei m¨ oglichen Stromwerte bei Anlegen einer Spannung lassen die Frage nach dem sich einstellenden Strom offen, er h¨ angt von der Messschaltung (Innenwiderstand der Spannungsquelle) ab. Sie muss so ausgelegt sein, dass es immer nur einen Arbeitspunkt gibt! Bei Aufnahme der Kennlinie mit variabler Spannungsquelle springt der Strom im Moment des Z¨ undens auf einen großen Wert: die Lampe leuchtet. Bei weiterer

I/A 0,2

I/mA U

50

U

25

0,1

100

a

I

I/mA

I

200 U/ V

U

2

50

b

4

I

100 U/ V

200

400 U/ mV

c

Abb. 2.3.10. Beispiele nichtlinearer resistiver Zweipole. (a) Gl¨ uhlampe. (b) Glimmlampe. (c) Tunneldiode 17

Ludwig Boltzmann, ¨ osterreichischer Physiker 1844–1906. Professor f¨ ur Physik in Graz, M¨ unchen und Wien.

90

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

Steigerung von U leuchtet sie heller. Der Strom im Punkt P ist aufgrund der Niederohmigkeit der Plasmastrecke nach der Z¨ undung meist so hoch, dass eine Sicherung im Stromkreis anspricht. Wird die Kennlinie hingegen mit variabler Stromquelle aufgenommen, so ist jeder Kennlinienpunkt, auch im fallenden Bereich, einstellbar. Unabh¨ angig von den Einzelbereichen der Kennlinie gilt, dass in jedem Gebiet vom Zweipol Leistung aufgenommen wird. Er verh¨ alt sich passiv. Die Situation ¨ andert sich allerdings bei Betrachtung des Kleinsignalverhaltens in einem Arbeitspunkt (s. Kap. 2.5.5). Auch Heiß- und Kaltleiter (s. Kap. 2.3.6) haben eine stark nichtlineare U ,IKennlinie. Die Tunneldiode (Abb. 2.3.10c) hat ebenfalls einen fallenden Bereich in der ¨ Darstellung I(U ). Es handelt sich um einen hoch dotierten pn-Ubergang. Der ¨ fallende Bereich entsteht durch Uberlagerung eines quantenmechanisch zu erkl¨ arenden Tunnelstromes zum normalen Verhalten der pn-Diode. Weil Tunneldioden, trotz der Genialit¨ at des Konzeptes, auch heute noch ein Schattendasein f¨ uhren, gab es Versuche, bereichsweise fallende Kennlinienteile aus normalen Kennlinien und r¨ uckgekoppelten gesteuerten Quellen aufzubauen. Die Elektronik hat daf¨ ur zahlreiche Beispiele: so etwa f¨ ur spannungsgesteuerte Kennlinien mit der λ-Diode und stromgesteuerte Kennlinien durch zwei verkoppelte Komplement¨ artransistoren u. a. m. Unabh¨ angig vom physikalischen Mechanismus, der einen fallenden Kennlinienbereich verursacht, gibt es eine Gemeinsamkeit: die Erzeugung eines negativen differenziellen Leitwertes bzw. Widerstandes. Er ist Ursache einer Instabilit¨ at, die zusammen mit einem Resonanzkreis zur Schwingungserzeugung dienen kann.

Fallende Kennlinienbereiche sind Grundlage des Oszillatorprinzips zur Erzeugung von Spannungen, insbesondere Sinusspannungen in der Elektronik. Die Elektrotechnik nutzt daf¨ ur das Induktionsprinzip.

2.3.4 Temperaturverhalten resistiver Zweipole Temperaturkoeffizient Der Stromleitungsmechanismus h¨ angt meist von der

Temperatur ab (Abb. 2.3.11a): bei Metallen steigt der Widerstand mit der Temperatur, weil die Atome intensivere Gitterschwingungen ausf¨ uhren und sich dadurch die Wahrscheinlichkeit eines Zusammenstoßes mit hindurchfließenden Elektronen erh¨oht, bei Halbleitern w¨ achst die Ladungstr¨ agerzahl im Bereich der Eigenleitung mit der Temperatur durch Aufbrechen von Gitterbindungen, wodurch der Widerstand sinkt. In allen F¨allen ¨andert sich der Widerstand R um den Wert ΔR(T ) gegen¨ uber einem Ausgangswert R(T0 ) bei einer Bezugstemperatur T0 (meist Zimmer-

2.3

Widerstand, resistiver Zweipol

ρ(T)

Δρ = ρ(T0+ΔT)

ρ(T0)

R(T)

dρ dT

91

ΔT

Kaltleiter TK > 0

ρ(T)

TK=0

T0

Normalleiter

Δρ ΔT

Supraleiter

Heissleiter TK < 0

T

T0 T0+ΔT T

Tc T

c

b

a

Abb. 2.3.11. Temperatureinfluss auf den Widerstand. (a) Temperaturabh¨ angigkeit des

spezifischen Widerstandes, Definition des Temperaturkoeffizienten. (b) Temperaturabh¨ angigkeit des Widerstandes von Heiss- und Kaltleitern. (c) Verlauf des spezifischen Widerstandes bei tiefen Temperaturen

¨ temperatur 20o C). Diese Anderung wird auf den spezifischen Widerstand (T ) zur¨ uckgef¨ uhrt und mit dem Temperaturkoeffizienten oder -beiwert (TK) α erfasst. N¨aherungsweise gilt durch Taylorentwicklung des spezifischen Widerstandes um T0 :   d(T )  1 d2 (T )  (T ) = (T0 ) + (T − T ) + (T − T0 )2 + . . . . 0 dT  2 dT 2  T0

T0

F¨ ur geringe Temperatur¨ anderungen (bis etwa 100 K) reicht die Ber¨ ucksichtigung des linearen Terms (mit ΔT = T − T0 )  d(T )  (T ) ≈ (T0 ) + (T − T0 ) = (T0 ) (1 + αT0 ΔT ) (2.3.15) dT T0  d(T )  mit αT0 = (T1 0 ) dT  . T0

¨ Der Temperaturkoeffizient α ist die relative Anderung des spezifischen Widerstandes pro Grad Temperatur¨ anderung. Er wird in 1/K (1/Kelvin)18 oder in %/K angegeben, oft auch in ppm [part per million (= 10−6), 1 ppm = 10−6 ]. Im Temperaturverhalten gibt es positive Temperaturkoeffizienten wie bei Kaltleitern (die im kalten Zustand besser leiten) und Heißleitern mit negativem TK (deren Widerstand mit steigender Temperatur sinkt (Abb. 2.3.11b)). Bei gr¨ oßeren Temperaturschwankungen reicht der lineare Temperatureinfluss nach Gl. (2.3.15) nicht. Dann wird der quadratische Term ber¨ ucksichtigt ` ´ 2 (2.3.16) (T ) = T0 1 + αT0 ΔT + βT0 (ΔT ) . Hier ist βT0 der quadratische Temperaturkoeffizient (Einheit K−2 ). 18

Hinweis: Die Temperaturdifferenz im Nenner hat in der Kelvin- und Celsius Temperaturskala den gleichen Wert. Deshalb kann der TK sowohl in der Einheit K−1 wie auch o C−1 angegeben werden.

92

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

Meist gen¨ ugt f¨ ur den Temperaturgang eines Widerstandes R(T ) der Ansatz R(T ) = R(T0 ) (1 + αT0 ΔT ) mit ˛ „ «˛ 1 dR ˛˛ d(T ) ˛˛ 1 1 ΔR αT0 = . = ≈ (T0 ) dT ˛T0 R dT ˛T0 R ΔT

(2.3.17)

Richtwerte f¨ ur den Temperaturkoeffizienten α sind: Metalle Cu, Au, Ag: α ≈ 0,4%/K, Al α ≈ 0,6%/K, temperaturkonstante Leiter (Konstantan, Nickelin, Manganin): α ≈ 0, Halbleiter und einige Elektrolyte: α ≈ -1%/K, z. T. noch gr¨ oßer. Bei starkem Temperatureinfluss reicht die lineare N¨ aherung Gl. (2.3.17) nicht aus. Dann folgt besser wegen α(T )dT = dR/R durch beiderseitige Integration ZT

ZR

dR = ln R

α(T )dT = T0

R(T0 )

„

R(T ) R(T0 )

«

und anschließendes Exponieren (exp(ln y) = y) ZT R(T ) = R(T0 ) exp

α(T )dT = R(T0 ) exp (α(T − T0 ))|α=const .

(2.3.18)

T0

F¨ ur kleine Temperatur¨ anderungen (T − T0 ) und/oder Temperaturbeiwerte ergibt die Reihenentwicklung exp y ≈ 1−y+y 2 /2 f¨ ur |y|  1 den linearen Temperaturgang nach Gl. (2.3.17).

Allgemeine Temperaturabh¨ angigkeit Da der Widerstandsbegriff an das linea-

re Netzwerkelement gekn¨ upft ist, aber viele nichtlineare resistive Zweipole ebenfalls von der Temperatur abh¨ angen (wie beispielsweise Halbleiterbauelemente), geht man besser von einer Kennlinie U (I, T ) bzw. I(U, T ) mit Temperatureinfluss aus und bezieht den entsprechenden TK auf die Spannung oder den Strom (s. Abb. 2.3.12a). So geh¨ort z. B. zur Kennlinie U (I, T ) die totale Spannungs¨ anderung ∂U ∂U (2.3.19) ΔI + ΔT = r|T ΔI + DU ΔT . ∂I ∂T Sie ergibt sich im Arbeitspunkt (I, T = const) nach Maßgabe des Kleinsignalwiderstandes r und Temperaturdurchgriffs ΔT  ∂U dU  DU = . Temperaturkoeffizient der Spannung (2.3.20) = ∂T dT I=const ΔU =

Er betr¨agt beispielsweise f¨ ur die Halbleiterdiode im Flusszustand etwa DU ≈ −2 mV/K. Die Ersatzschaltung Abb. 2.3.12b interpretiert Gl. (2.3.19) als Reihenschaltung des Kleinsignalwiderstandes und einer temperaturgesteuer-

2.3

Widerstand, resistiver Zweipol

93

U(I)

R(I)

U(I0+ΔI, T0+ΔT)

DUΔT

U(I0,T0)

r|TΔI

ΔI

ΔI

r|T

DUΔT

α>0 α=0

ΔU

α<0

I0 I0+ΔI

a

I

I

b

c

Abb. 2.3.12. Temperaturersatzschaltung. (a) N¨ aherungsweise Modellierung des implizi-

ten Temperatureinflusses auf eine Kennlinie U (I, T ). (b) Modellierung kleiner Strom- und Temperatur¨ anderungen auf eine temperaturabh¨ angige nichtlineare Kennlinie. (c) Einfluss der Eigenerw¨ armung auf einen linearen Widerstand. Mit wachsender Strombelastung wird der Widerstand nichtlinear

ten Spannungsquelle (zweiter Term), die u ¨ ber die Temperatur¨anderung mit zur Spannungs¨anderung an den Klemmen beitr¨agt. ¨ Die sinngem¨ aße Uberlegung gilt f¨ ur eine Kennlinie I(U, T ), wie sie f¨ ur viele Zweipolbauelemente zutrifft. Man erh¨ alt analog zu Gl. (2.3.19) ∂I ∂I (2.3.21a) ΔU + ΔT = g|T ΔU + DI ΔT ∂U ∂T ˛ ∂I dI ˛ mit DI = ∂T = dT . Hier w¨ are der letzte Term ein entsprechender TK des U =const ” Stromes“. In der Ersatzschaltung wird die Gleichung als differenzieller Leitwert mit parallel liegender temperaturgesteuerter Stromquelle interpretiert. ΔI =

F¨ ur praktische Anwendungen interessiert meist die Strom¨ anderung bezogen auf den Strom I im Arbeitspunkt: ˛ ˛ ΔI 1 dI ˛˛ 1 dI ˛˛ gΔU = + cI ΔT ΔU + ΔT ≡ (2.3.21b) I I dU ˛T I dT ˛I I ˛ dI ˛ ∂I = 1I ∂T . Der Temperaturkoeffizient cI ist bei Halbleiterbauelemenmit cI = I1 dT I ten verbreitet, er liegt in der Gr¨ oßenordnung von cI ≈ 0, 1/K = 10%/K. Temperatureinfl¨ usse k¨ onnen n¨ utzlich wie unerw¨ unscht sein. N¨ utzlich sind sie zur elektrischen Temperaturmessung. So haben einfache Silizium-Widerst¨ ande Temperaturkoeffizienten α ≈ 8 · 10−3 K−1 und β ≈ 20 · 10−6 K−2 . Die Temperaturmessung basiert dann auf Auswertung der Widerstands¨ anderung mit einer Wheatstoneschen Br¨ uckenschaltung (s. Kap. 2.4.3). ¨ Ein anderer Ansatz nutzt die temperaturbedingte Anderung der Flussspannung einer Halbleiterdiode, die mit etwa −2mV/K absinkt. zur Kompensation von Temperatureinfl¨ ussen (s. Kap. 2.3.6). Unerw¨ unscht sind Temperatureffekte generell in elektronischen Schaltungen. Durch K¨ uhlung, W¨ armeableitung, die Verwendung von Bauelementen mit kleinem TK und Kompensationseffekten versucht man, den Temperatureinfluss zu beherrschen.

94

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

Beispiel 2.3.2 Nichtlinearer Widerstand, Selbstaufheizung Bei Stromfluss durch den temperaturabh¨ angigen Widerstand steigt seine Temperatur. Dadurch erh¨ oht sich nach Gl. (2.3.17) r¨ uckwirkend der Widerstand und wieder die Verlustleistung: es gibt eine thermische R¨ uckwirkung u ¨ ber den Temperaturkoeffizienten α20 . Die Verlustleistung PV = RI 2 erzeugt die Temperaturerh¨ ohung Δ(T − T20 ) = Rth PV nach Maßgabe des thermischen Widerstandes Rth (s. Gl. (2.3.29)) und es gilt T = T20 + Rth PV = T20 + Rth I 2 R(T ). Eingesetzt in den temperaturabh¨ angigen osung Widerstand Gl. (2.3.17) R(T ) = R20 (1 + α20 Rth I 2 R(T )) wird nach Aufl¨ R20 1 − R20 α20 Rth I 2 R20 I U = R(T )I = . 1 − R20 α20 Rth I 2 R(T, I)

=

nichtisothermer Widerstand (2.3.22a)

Der Temperatureinfluss u ¨ ber die eigene Verlustleistung macht den linearen Widerstand R(T, I) stromabh¨ angig und damit nichtlinear (!). Deshalb steigt die Spannung mit wachsendem Strom u ¨ berproportional an bzw. w¨ achst der Widerstand u ¨ ber dem Strom, bei negativem Temperaturkoeffizient α20 (wie f¨ ur Kaltleiter zutreffend) tritt dagegen eine Absenkung ein (Abb. 2.3.12c). Zahlenm¨ aßig ergibt sich mit α20 = 4 · 10−3 K−1 , R20 = 10 Ω und Rth = 2 K/ W f¨ ur einen Strom I = 1 A → α20 Rth I 2 R = 4 · 10−3 K−1 · 2 K/ W · 10 W = 0, 08 und damit R(T ) = 1, 08 · R20 , beim Strom I = 5 A hingegen α20 Rth I 2 R = 2 und damit R(T ) = 2 · R20 , also eine Widerstandsverdoppelung! Der Einfluss dieses Effektes sinkt durch gute W¨ armeableitung (kleiner thermischer Widerstand Rth ) und geringen Temperaturkoeffizienten.

Temperaturabh¨angige Widerst¨ ande verhalten sich linear, solange die Eigenaufheizung in Verbindungen mit dem Temperaturkoeffizienten und der W¨armeableitung keine wesentliche Kennlinien¨anderung verursacht, also insbesondere gilt Linearit¨atsbedingung R20 I 2 α20 Rth = PV α20 Rth  1. (2.3.22b) bei Eigenaufheizung Das Temperaturverhalten von Netzwerk- und Bauelementen wird vielf¨altig ausgenutzt: zur Temperaturbestimmung (als sog. Temperatursensor) durch Auswertung der Widerstands- oder Kennlinien¨ anderung (Kontrolle der Ger¨atebetriebstemperatur), ¨ zur Temperaturkontrolle als Uberlastungsschutz zusammen mit W¨armeableitungsmaßnahmen, zur Analyse von Arbeitspunkt¨anderung in Schaltungen zusammen mit stabilisierenden Maßnahmen, zur Kontrolle der thermischen Stabilit¨at einer Schaltung (Verhinderung eines instabilen Arbeitspunktes durch unbegrenztes Anwachsen der Be-

2.3

Widerstand, resistiver Zweipol

95

triebstemperatur eines Netzwerkelementes. Beispielsweise w¨ urde ein nichtisothermer Widerstand nach Gl. (2.3.22a) f¨ ur die Bedingung PV α20 Rth = 1 u ¨ber alle Grenzen wachsen oder thermisch instabil sein. 2.3.5 Allgemeine resistive Zweipole Das wichtigste passive Netzwerkelement ist der Widerstand R oder besser resistive Zweipol als Netzwerkmodell f¨ ur Stromleitungsvorg¨ange. Es gibt zeitunabh¨angige und zeitabh¨ angige und jeweils lineare und nichtlineare resistive Zweipole (Tab. 2.3). Tabelle 2.3. Resistive Zweipole, Grundarten: (a) linear zeitunabh¨ angig, nichtlinear zeitun-

abh¨ angig, (b) linear zeitabh¨ angig, (c) nichtlinear zeitabh¨ angig

2.3.5.1 Zeitunabh¨ angige resistive Zweipole

Beim zeitunabh¨angigen resistiven Zweipol h¨ angt die U, I-Beziehung (oder die Kennlinie) nicht von der Zeit ab. Das gilt f¨ ur die meisten Widerst¨ande“, z. B. ” den linearen Widerstand“ (Gl. (2.3.1)), sowie den nichtlinearen Widerstand ” (Tab. 2.3a) mit nichtlinearer U, I-Beziehung. Oft arbeiten nichtlineare resistive Zweipole in Gleichstromkreisen mit zus¨ atzlicher Wechselspannungsquelle kleiner Amplitude ΔUq (Abb. 2.3.13). Sie wirkt wie eine Parallelverschiebung der Kennlinie des aktiven Zweipols und der Arbeitspunkt wandert von A nach A . Dadurch entsteht u ¨ ber dem nichtlinearen Element die Spannungs¨ anderung ΔU und im Kreis die Strom¨anderung ¨ ΔI. Bei kleiner Spannungs¨ anderung ΔUq kann der Ubergang von A nach A in erster N¨aherung durch eine Tangente mit dem Anstieg r = ΔU/ΔI an die Kennlinie im Arbeitspunkt UA , IA ersetzt werden. F¨ ur ΔU , ΔI → 0 folgt 19 daraus der Differenzialquotient

19

Differenzielle Kenngr¨ oßen erhalten kleine Symbole.

96

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

r=

 dU  . dI UA ,IA

Differenzieller Widerstand, (2.3.23) Definitionsgleichung

Der differenzielle oder Kleinsignalwiderstand r eines nichtlinearen resistiven Zweipols beschreibt sein Verhalten f¨ ur kleine Strom-SpannungsSchwankungen ΔI, ΔU um einem Arbeitspunkt A. Dann hat das linearisierte Element eine lineare Strom-Spannungs-Beziehung f¨ ur die Kleinsignalaussteuerung: Aussteuernde Amplituden ΔI, ΔU sind klein gegen die Werte IA , UA des Arbeitspunktes, als Richtwert gilt |ΔI|, |ΔU | ≤ 0, 1(|IA |, |UA |). Analog zum differenziellen Widerstand gibt es den differenziellen Leitwert  dI  Differenzieller Leitwert, g= . (2.3.24) Definitionsgleichung dU UA ,IA Stets gilt r = 1/g. Im Stromkreis nach Abb. 2.3.13a wirken somit die Gleichgr¨oßen IA , UA durch das Zusammenspiel von aktivem Zweipol (hier) und nichtlinearem passivem Zweipol, ¨ die Anderungen ΔUq , ΔI, ΔU . F¨ ur sie besteht der Stromkreis aus der Spannungsquelle ΔUq , dem Innenwiderstand Ri und differenziellen Widerstand r: linearer Stromkreis. Bei Kleinsignalaussteuerung u ¨ berlagert sich das Kleinsignalverhalten dem nichtlinearen Gleichstromverhalten des Stromkreises. Gleichstromnetzwerk

IA

I, ΔI A

U(I) Uq+ΔUq

U(I)

dI

Uq

Ri ~ ΔUq U(I) = Uq

dU

U, ΔU U(I ) ΔU A B

UA B

ΔU ΔUq

ΔI A

ΔU

=r

+ A‘

A

Ri = U q

Ri

A IA IA+ΔI I

~

Ri ΔUq r

ΔU

A

Kleinsignalverhalten

r A‘ ΔI

Ri ΔI

B Kleinsignalnetzwerk

a

b

c

Abb. 2.3.13. Kleinsignalverhalten. (a) Schaltung mit nichtlinearem resistiven Zweipol. (b)

Kennlinienverhalten des aktiven und nichtlinearen passiven Zweipols bei Kleinsignalaussteuerung. (c) Ersatzschaltungen: Zerlegung in nichtlinearen Gleichstromkreis und linearen Grundstromkreis f¨ ur Kleinsignalaussteuerung

2.3

Widerstand, resistiver Zweipol

97

Das erlaubt die Trennung beider Analyseaufgaben. In Abb. 2.3.13c wurde deshalb der Stromkreis nach den Erregerursachen getrennt dargestellt. So betragen die Spannung ΔU u ¨ ber dem differenziellen Widerstand r nach der ΔU r Spannungsteilerregel ΔU = ΔUq r+R und der Strom im Kreis ΔI = r+Rq . Das sind Ergebnisse linearer Stromkreise. Differenzielle Netzwerkelemente und Kleinsignalsteuerung haben f¨ ur die Elektronik mit ihren nichtlinearen Bauelementen grundlegende Bedeutung. F¨ ur Kleinsignalansteuerung gelten die Gesetze linearer Netzwerke. Offen bleibt noch, wie der Kleinsignalleitwert ermittelt wird und die Analyse eines Stromkreises unter Kleinsignalbedingungen abl¨auft. Wir gehen darauf im Kap. 2.5.5 ein. 2.3.5.2 Zeitvariante resistive Zweipole

Ein zeitvarianter linearer Widerstand resp. Leitwert ist ein Netzwerkelement mit linearer Strom-Spannungs-Beziehung, aber zeitabh¨angigem Widerstandswert R(t)20 : u(t) = R(t)i(t) bzw. i(t) = G(t)u(t).

zeitabh¨angiger linearer (2.3.25) Widerstand

¨ F¨ ur Gleichgr¨oßen U, I bedeutet dieser Zeiteinfluss auf R eine Anderung der Kennliniensteigung (Tab. 2.3b). Derartige Widerst¨ande dienen oft zur Modellierung nichtelektrischer Umgebungsbedingungen, z. B. Temperatur, Licht (Fotoleiter), Magnetfeld. Ein zeitabh¨ angiger Widerstand entsteht beispielsweise mit zwei reihengeschalteten Widerst¨ anden, von denen einer durch einen periodisch schließenden Schalter u uckt wird (Abb. 2.3.14a, b). Dadurch schwankt der Widerstand RAB (t) zwi¨ berbr¨ schen R1 und R1 + R2 . Auch ein Widerstand, dessen Widerstandswert proportional zu einem auftreffenden Magnetfeld ist, wird zeitabh¨ angig, wenn das Magnetfeld durch einen Steuerstrom zeitlich variiert. Zeitver¨ anderliche Widerst¨ ande verursachen im Stromkreis gegen¨ uber zeitunabh¨ angigen Elementen neuartige Wirkungen. Wird ein Widerstand mit R(t) = R0 + ΔR cos ω2 t vom Strom i(t) = I cos ω1 t durchflossen, so lautet die Klemmenspannung u(t) = R(t)i(t) = (R0 + ΔR cos ω2 t) · I · cos ω1 t ΔR · I ( cos(ω2 − ω1 )t + cos(ω2 + ω1 )t ) . = R cos ω t + | 0 {z 1} 2 | {z } | {z } Ausgangsfrequenz

20

neue Frequenz

neue Frequenz

Allgemein zeitver¨ anderliche Amplituden erhalten kleine Symbole.

98

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

S Aus

U

Ein

S R(γ)

B

A

R1

R2

R(t) R2+R1 R1

t

t

I

b

a

Abb. 2.3.14. Zeitver¨ anderlicher linearer Widerstand. (a) U, I-Kennlinie mit allgemeinem Steuerparameter. (b) Anordnung mit periodisch geschaltetem Widerstand RAB (t)

F¨ ur R = const. (zeitunabh¨ angig) w¨ are u(t) ∼ cos ω1 t und Strom- und Spannungszeitfunktionen stimmen u ¨ berein. Bei harmonischer Steuerung des Widerstandes mit ur cos α cos β eine der Kreisfrequenz ω2 ergibt sich u ¨ ber das Additionstheorem f¨ L¨ osung, in der zwei neue Frequenzen auftreten: die Summen- und Differenzfrequenz von aufgepr¨ agter (ω1 ) und steuernder Kreisfrequenz ω2 . Solche Anordnungen dienen zur Erzeugung neuer Frequenzen. Tats¨ achlich ist der zeitgesteuerte Widerstand“ ” das Grundelement der Modulation“, ein grundlegendes Prinzip der Informations” technik.

Ein spezieller zeitver¨ anderlicher Widerstand ist der Schalter s(t), dessen Widerstandswert zwischen 0 und ∞ (ideal) schwankt. Der jeweilige Schalterzustand wird durch die Schaltfunktion s(t) beschrieben: 1 Schalter geschlossen s(t) = . (2.3.26) 0 Schalter offen Dieses Modell dient in der Elektrotechnik verbreitet zur Modellierung von Schaltaufgaben (s. Bd. 3). Zeitvariante nichtlineare resistive Zweipole (Tab. 2.3c) schließlich haben U, I-Beziehungen der Art I(t) = f (U (t), t)

bzw. U (t) = g (I(t), t) .

(2.3.27)

Beispiele sind: nichtlineare Zweipole, deren U, I-Relationen noch von einem weiteren zeitabh¨ angigen Parameter abh¨ angt: Solarzelle mit einfallender zeitver¨ anderlicher Strahlung, Halbleiterdiode, deren Temperatur sich zeitabh¨ angig ¨ andert (z. B. durch Selbstaufheizung), elektronische Schalter (realisiert durch geschaltete Bauelemente, etwa Transistoren im Schalterbetrieb). Solche Elemente l¨ osen in der Informationstechnik unterschiedlichste Aufgabenstellungen.

2.3

Widerstand, resistiver Zweipol

99

2.3.6 Widerstand als Bauelement Widerst¨ande sind Bauelemente mit definierten elektrischen Widerstandseigenschaften (linear, nichtlinear) und bestimmten Ausf¨ uhrungsformen. Typische Merkmale bilden Nennwiderstand und Toleranz, der TK und die (bauformabh¨angige) Leistungsbelastbarkeit (oft ausgedr¨ uckt durch eine maximale Dauerspannung). Die Nennwerte werden nach einer geometrischen Folge (E-Reihen) so gestuft, dass sich innerhalb jeder Dekade die gleiche Anzahl von Werten ergibt. Der E-Wert ¨ kennzeichnet die im Bereich 1 . . . 10 untergebrachten Werte. Ublich sind die Reihen E6 (±20%), E12 (±10%), E24 (±5%), E48 (±2,5%), E96 (±1,25%), E192 (±0,6%). Die Stufung erfolgt gem¨ aß En = 10m/n (n = 6, 12, 24, 48, 96, 192, m = 0, 1, 2 . . . (n− 1)). Durch Streichung eines jeden zweiten Wertes aus einer Reihe En entsteht die Reihe En/2. Tabelle 2.4 enth¨ alt die Werte bis zur Reihe E24: beginnend mit E6 verdoppelt sich die Spaltenzahl f¨ ur jede folgende Reihe. Die Reihe E24 wurde aus Platzgr¨ unden nur anders geschrieben. Jede Normreihe u ¨ berdeckt die reelle Achse l¨ uckenlos (kein Fertigungsausschuss). Tabelle 2.4. Internationale Normenreihe (IEC) der Widerstandswerte

Reihe Toleranz E6 E 12 E 24

±20% ±10% ±5%

Widerstandswerte (gerundet) 1,0 1,5 1,0 1,2 1,5 1,8 1,0 1,2 1,5 1,8 1,1 1,3 1,6 2,0

2,2 3,3 2,2 2,7 3,3 3,9 2,2 2,7 3,3 3,9 2,4 3,0 3,6 4,3

4,7 6,8 4,7 5,6 6,8 8,2 4,4 5,6 6,8 8,2 5,1 6,2 7,5 9,1

Stufen-√ faktor n 10 1,468 1,21 1,049 1,049

Der Nennwert wird aufgedruckt oder durch eine Farbcodierung (Farbringe) aus 4 . . . 6 Ringen ausgedr¨ uckt (DIN 41425, IEC 62), bei kleinen Widerst¨ anden codiert (z. B. f¨ ur die E24 Reihe). Widerstandswerte von 1, 0 . . . 9, 1 Ω erhalten statt des Kommas den Buchstaben R“, also statt 2, 7 Ω = 2R7 usw. ”

Bauform Festwiderst¨ande bestehen aus einem isolierenden Tr¨ager, der eine Metalldrahtwicklung, eine Kohle- oder Metallschichtbahn tr¨ agt oder selbst leitet (Massewiderstand) Abb. 2.3.15: Drahtwiderst¨ ande sind hoch belastbar (Bereich 0,25–200 W) mit einlagiger Drahtwicklung (Widerstandsdraht aus Chrom-Nickel, Konstantan, Manganin). Der Widerstandsbereich reicht von mOhm bis zu etwa 250 kOhm. Schichtwiderst¨ ande bilden die Masse der Widerst¨ ande. Sie bestehen aus einem Keramikk¨ orper mit aufgebrachter Kohle- oder Metallschicht (CrNi). Kohleschichtwiderst¨ ande haben einen negativen TK von −1000 . . .−200 ppm/K. Der Nennlastbereich liegt zwischen 0, 1 . . . 2 W, der Widerstandsbereich zwischen 1 Ω bis 22 MΩ. Begrenzte Langzeitstabilit¨ at und große Toleranz (< 5%) werden bei niedrigem Preis in Kauf genommen.

100

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

Metallschichtwiderst¨ ande aus Nickel-Chrom-Legierungen werden wegen des begrenzten Fl¨ achenwiderstandes unter 3 kΩ mit gewendelter Schicht (Abgleich durch Schliff oder Laserstrahl) gefertigt. Sie haben einen positiven TK von (2 . . . 100) ppm/K, kleine Toleranz (0, 1 . . . 2%) und hohe Langzeitstabilit¨ at. Ihr Preisvorteil macht sie zum Massentyp. Metallglasurschichtwiderst¨ ande, auch als Dickschicht- oder Cermetwiderst¨ ande bekannt, verwenden als Widerstandsschicht eine Glasurpaste mit eingelagerten Metallteilen (Cermet) hergestellt durch Dickschichttechnik. Der Toleranzbereich reicht von (0, 1 . . . 5)%, der TK betr¨ agt ±(25 . . . 200) ppm/K und der Widerstandsbereich u ¨berstreicht Werte von 1 Ω bis 50 G Ω! Aus der Gruppe der stark nichtlinearen Widerst¨ ande sind zu nennen:

Heißleiter oder NTC-Widerst¨ande (NTC: negative temperature coefficient) haben bei hohen Temperaturen einen geringeren Widerstand als im kalten Zustand (Abb. 2.3.15a). Sie bestehen aus Mischkristallen von Fe3 O4 (mit MgCr2 O4 ), aus Fe2 O3 (mit TiO2 ) und NiO oder CoO mit F¨ ullstoffen. Der Widerstand gehorcht n¨ aherungsweise der Beziehung « „ 1 B 1 = R0 exp B − (2.3.28) R(T ) = R∞ exp T T T0 mit dem Bezugswert R0 bei 25o C, B ≈ 1500 K . . . 6000 K. Der TK αR = − TB2 hat nach Gl. (2.3.15) Werte zwischen −3 . . . − 6%/K, (negativ). Er ist hoch und h¨ angt selbst von der Temperatur ab. Die Kennlinie U (I) des Heißleiters erfordert wegen des großen TKs die Ber¨ ucksichtigung der Eigenerw¨ armung (Abb. 2.3.15c). Bei geringer Eigenerw¨ armung dominiert Fremderw¨ armung und der Widerstand h¨ angt nur von der Umgebungstemperatur ab. Sie ist u anderung messbar. ¨ber die Widerstands¨ Solange f¨ ur konstante Betriebstemperatur gesorgt wird (etwa durch K¨ uhlung, Anblasen), verh¨ alt sich der Heißleiter wie ein linearer Widerstand. Steigt die Eigenerw¨ armung, dann bestimmt die im Zweipol erzeugte Verlustleistung die Betriebstemperatur und diese wirkt u ¨ ber den Temperaturkoeffizient auf das elektrische Klemmenverhalten zur¨ uck. So w¨ achst der Strom durch die ansteigende Leitf¨ ahigkeit stark an, was von einem bestimmten Punkt P an (s. Abb. 2.3.15a)

Kaltleiter Heiss+T leiter

P

R

NTC, PTC

I Erwärmung fremd eigen

Heissleiter

-T

T

a

U

Kaltleiter

(log)

U

R = const PV= const

(log)

T

b

Erwärmung fremd eigen

c

UK

I

U

d

Abb. 2.3.15. Temperaturabh¨ angige resistive Zweipole. (a) Kennlinie der Heiß- und Kaltleiterwiderst¨ ande f¨ ur station¨ aren Betrieb und Schaltzeichen. (b) Widerstandsverl¨ aufe u ¨ber der Temperatur. (c) Einfluss der Eigen- und Fremderw¨ armung auf das Strom-SpannungsVerhalten beim Heißleiter und Kaltleiter (Abb. d)

2.3

Widerstand, resistiver Zweipol

101

eine Kennlinienr¨ uckl¨ aufigkeit einleitet. Die Stromzunahme bei gleichzeitiger Spannungsabnahme f¨ uhrt ohne Arbeitspunktstabilisierung zur Zerst¨ orung des Bauelementes. Die R¨ uckkopplung zwischen Widerstandswert, Temperaturanstieg und der ¨ Anderung der U, I-Klemmenbeziehung korrigiert das Strom-Spannungsverhalten. Einfluss hat die W¨ armeableitung, also der Zusammenhang zwischen der zugef¨ uhrten elektrischen Leistung P , dem W¨ armeleitwert Gth = 1/Rth (verbreiteter ist der W¨ armewiderstand Rth ) und der W¨ armekapazit¨ at Cth dT . (2.3.29) dt Bei gen¨ ugend langsamer Leistungserh¨ ohung tritt der NTC immer mit der Umarmeausgleich und eine schnelle Temperatur¨ anderung gebungstemperatur Tu in W¨ (dT /dt = 0) unterbleibt. Dann gilt P = Gth (T − Tu ) + Cth

I 2 R = Gth (T − Tu ),

U 2 /R = Gth (T − Tu )

(2.3.30)

als Parameterdarstellung der U, I-Kennlinie. In doppelt-logarithmischer Darstellung werden dabei Kurven gleicher Leistung (P = const) zu abfallenden, Kurven gleichen Widerstandes zu unter 45o ansteigenden Geraden (Abb. 2.3.15c). Die Kennlinie zeigt zun¨ achst konstanten Widerstand bei kleiner Leistung. Mit wachsender Leistung steigt die Eigenerw¨ armung und die Kurve flacht ab, weil der Widerstand sinkt. Schließlich stellt sich ein Maximum ein: dort ist die relative Widerstandsabnahme gleich der relativen Stromzunahme. Steigt sie weiter, f¨ allt die Kurve jenseits des Maximums ab und der NTC hat einen negativen (differenziellen) Wi¨ derstand. Andert sich der W¨ armewiderstand z. B. durch zus¨ atzliche K¨ uhlung, so stellt sich eine andere Kennlinie ein. Eingesetzt werden Heißleiter mit Fremd- oder Eigenerw¨ armung. Bei Fremderw¨ armung arbeiten sie als Mess- oder Kompensationsheißleiter zur Temperaturmessung oder Kompensation von positiven Temperaturkoeffizienten. Im Bereich der Eigenerw¨ armung dienen sie oft als Anlassheißleiter zur Einschaltstrombegrenzung. Ein weiteres Anwendungsfeld ist die Kompensation der starken Widerstandsabnahme im fallenden Bereich durch den entgegengesetzten Widerstandsverlauf eines Kaltleiters (z. B. einer Gl¨ uhlampe).

Kaltleiter oder PTC-Widerst¨ande (PTC: positiv temperature coeffizient) sind Widerst¨ ande mit positivem TK in begrenztem Temperaturbereich, also gr¨ oßerer Leitf¨ ahigkeit im kalten Zustand als im erw¨ armten (Name!, Abb. 2.3.15b). Sie bestehen aus ferroelektrischer Mischkeramik. In einem sehr begrenzten Temperaturbereich betr¨ agt ihr TK etwa 5%/K bis zu 75%/K, m. a. W. a ¨ndert sich der Widerstand innerhalb weniger Kelvin um Gr¨ oßenordnungen. F¨ ur PTC-Widerst¨ ande gilt eine Kennlinie R(T ) = R0 exp αT

(2.3.31)

mit positivem Wert α. Abb. 2.3.15b zeigt die typische Kaltleiterkennlinie. Bei geringer Eigenerw¨ armung ist sie linear. Von einer bestimmten Eigenerw¨ armung an be¨ stimmt die zugef¨ uhrte Leistung die Ubertemperatur abh¨ angig vom W¨ armeleitwert ¨ Gth der Anordnung: P = Gth (T − TU ). Uber das elektrische Leistungs¨ aquivalent = P ist die zugeh¨ o rige Kippspannung“ U der Kennlinie zugeordnet: UK = P K el p √ ” Pel RT = RT Gth (T − TU ). Von diesem Punkt an (Abb. 2.3.15d) bleibt die Temperatur etwa konstant (und damit auch die W¨ armeleistung) und als Folge f¨ allt der

102

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

Strom I = P/U hyperbolisch u ur andere W¨ armeableitungs¨ber der Spannung ab. F¨ bedingungen gilt eine andere Kennlinie. Kaltleiter haben drei Anwendungsgebiete: bei Fremderw¨ armung arbeiten sie als Sensor zur Temperaturerfassung (elektro¨ nisches Thermometer) und als Uberwachungselement, bei Eigenerw¨ armung wird sowohl die nichtlineare Kennlinie als auch der Einfluss des W¨ armewiderstandes ausgenutzt. So bildet die Reihenschaltung von Lastelement und PTC-Widerstand einen einfa¨ chen Uberlastungsschutz. Mit steigendem Strom begrenzt die Eigenerw¨ armung den Widerstandswert und so den Laststrom. ¨ Uber den W¨ armeleitwert h¨ angt die Kennlinie von den Umgebungsbedingungen ab. Befindet sich ein Kaltleiter in einem Gef¨ aß mit oder ohne Fl¨ ussigkeit, so kann die W¨ armeleitwert¨ anderung zur F¨ ullstandsanzeige (¨ uber die Widerstands¨ anderung) dienen. Das dritte Anwendungsfeld sind selbstregelnde Heizelemente (W¨ armequelle mit ¨ Uberlastungsschutz). Dazu liegt der Kaltleiter direkt an einer Spannungsquelle. Abh¨ angig vom W¨ armeleitwert und der zugef¨ uhrten Leistung stellt sich eine be¨ ¨ stimmte Ubertemperatur ein. Ubertrifft die zugef¨ uhrte Leistung die thermisch abgef¨ uhrte, so steigt die Temperatur weiter an und so auch der Widerstandswert. Dadurch sinkt aber die elektrische Leistung Pel = U 2 /R(T ): die Temperatur beginnt sich zu stabilisieren. Wird dagegen viel W¨ arme abgef¨ uhrt, so sinkt der Widerstand, steigt also die elektrische Leistung mit der Tendenz zur Temperaturerh¨ ohung. Auf diese Weise wirkt das Heizelement selbststabilisierend.

Ein Sonderfall eines Kaltleiters ist die Metallfaden-Gl¨ uhlampe, denn metallische Leiter haben PTC-Verhalten.

2.4

2.4 Der Grundstromkreis Im einfachsten Fall besteht ein Netzwerk nur aus einem aktiven Zweipol, der u ¨ ber ideale Verbindungsleitungen mit einem passiven Zweipol als unverzweigter Stromkreis oder Grundstromkreis zusammenwirkt. Dagegen haben verzweigte Stromkreise wenigstens einen Verzweigungsknoten und komplexe Stromkreise viele Knoten, Zweige und h¨ aufig mehrere Quellen. 2.4.1 Der lineare Grundstromkreis Der Grundstromkreis (Abb. 2.4.1a) modelliert den Energietransport von der Energie- oder Informationsquelle zum Verbraucher und ist die Grundschaltung, auf die sich viele kompliziertere Aufgaben zur¨ uckf¨ uhren lassen. Der

2.4

Der Grundstromkreis

103

Energietransfer Quelle → Verbraucher A I Ri Uq

U Ra

U

U/Uq

Uq =Ul

B

passiver aktiver linearer Zweipol

IRi

I/Iq 1 Ra

IRa Gi

~U

AP

UAB

A I

Pa 0,5

Ri ~I

U Ga

Iq

0

Iq=Ik I

0

1

Ra/Ri

B

a

b

c

Abb. 2.4.1. Der lineare Grundstromkreis. (a) Anordnung mit linearem aktiven und passi-

ven Zweipol in Spannungs- und Stromquellenersatzschaltung. (b) Lineare U, I-Kennlinien von Quelle und Verbraucher mit Angabe des Arbeitspunktes. (c) Abh¨ angigkeit von Spannung U und Strom I (normiert) und der im Außenwiderstand umgesetzten Leistung Pa vom Außenwiderstand (bezogen auf den Innenwiderstand)

aktive Zweipol enth¨ alt eine unabh¨ angige Quelle, der passive nur das Grundelement Widerstand R (und sp¨ ater Kondensator C und Spule L). Im Grundstromkreis erkennt man leicht die Zweckm¨ aßigkeit des Verbraucher-Erzeugerpfeilsystems: das Verbrauchersystem (VPS) am passiven Zweipol bedeutet mit P = U2 I2 > 0 Leistungsaufnahme, das Erzeugerpfeilsystem (EPS) f¨ ur die Quelle P = U1 I1 > 0 Leistungsabgabe. Der Strom fließt in Umlaufrichtung. Die Strom-Spannungsbeziehungen an den Klemmen AB folgen aus den Kirchhoffschen Gesetzen und den Zweigbeziehungen beider Zweipole, die L¨osung heißt Arbeitspunkt A I1 = I2 = I

U1 = U2 = U = UAB .

Arbeitspunkt

Er wird bestimmt bei linearen Zweipolen analytisch (Gl (2.4.1)) oder grafisch als Schnittpunkt der Kennlinien des aktiven und passiven Zweipols, bei nichtlinearen Zweipolen grafisch oder numerisch, durch Computerprogramme wie z. B. Multisim (EWB), SPICE, PSPICE u. a. als Ergebnis einer DC (direct current) Analyse.

Der lineare Grundstromkreis (Abb. 2.4.1b) mit Zweipolen in Spannungs- oder Stromquellendarstellung f¨ uhrt u ¨ ber die Maschengleichungen M1 : M2 :

0 = U + IRi − Uq aktiver Zweipol passiver Zweipol 0 = IRa − U

104

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

bzw. f¨ ur die Stromquellendarstellung als Knotengleichung I = Iq − U Gi auf I =

Uq Uq = , Ri + Ra Rges

U = IRa = Uq

U =

Iq Iq = , Gi + Ga Gges

Ga . I = U Ga = Iq Gi + Ga

Ra , Ri + Ra

(2.4.1)

Die Strom-Spannungsbeziehung des linearen Grundstromkreises ist zugleich der Arbeitspunkt. Zweckm¨aßig wird das Ergebnis in normierten Gr¨oßen dargestellt: I Iq

=

Ri Ri +Ra

=

1 1+Ra /Ri

=

Ga Gi +Ga

=

1 1+Gi /Ga

Stromteilerregel

U Uq

=

Ra Ri +Ra

=

Ra /Ri 1+Ra /Ri

=

Gi Gi +Ga

=

1 1+Ga /Gi

Spannungsteilerregel.

(2.4.2)

Diese Darstellung hat mehrere Vorteile: unabh¨ angig von den Einheiten der darzustellenden Gr¨ oßen, unabh¨ angig von speziellen Bemessungen der Elemente.

Im Ergebnis sind die Spannungs- und Stromteilerregeln Gln. (2.3.8), (2.3.10) zu erkennen. Der Einfluss des Lastwiderstandes Ra wird sofort deutlich: mit sinkendem Lastwiderstand Ra steigt der Strom I. Er schwankt zwischen dem Maximalwert I = Imax = Ik = Iq bei Kurzschluss (Ra = 0) und dem Minimalwert I = 0 bei Leerlauf (Ra → ∞). Die Spannung U ist proportional dem Lastwiderstand: sie verschwindet im Kurzschlussfall und erreicht den h¨ ochsten Wert U = Ul = Uq im Leerlauf. Dann stimmen Leerlauf- und Quellenspannung u ¨ berein (so wurden die Ersatzgr¨oßen des aktiven Zweipols bestimmt): Strom und Spannung ¨ andern sich u ¨ ber dem Lastwiderstand Ra gegenl¨aufig! Das Produkt von Strom und Spannung, die Leistung, durchl¨auft deshalb ein Maximum (Abb. 2.4.1c). Bei der (Leistungs-) Anpassung Ra < Ri Unteranpassung → (2.4.3) Ra = Ri ¨ Uberanpassung Ra > Ri sinken Strom und Spannung auf die H¨ alfte ihrer Kurzschluss- bzw. Leerlaufwerte: I|Ra =Ri =

Iq Ik = , 2 2

U |Ra =Ri =

Uq Ul = . 2 2

Anpassung (2.4.4)

Praktisch sind der Kurzschluss (Ra = 0) wegen stets vorhandener Zuleitungswiaufiger Isolationsm¨ angel derst¨ ande der Dr¨ ahte sowie der Leerlauf (Ra → ∞) wegen h¨ nur bedingt realisierbar. Dann gilt: praktischer Kurzschluss Ra  Ri und damit (Gl. (2.4.2))

2.4

Der Grundstromkreis

105

˛ 1 Ra ˛˛ I = ≈ 1− Ik 1 + Ra /Ri Ri ˛Ra Ri

(2.4.5a)

und praktischer Leerlauf Ra  Ri ˛ Ra /Ri Ri ˛˛ U = ≈ 1− . Ul 1 + Ra /Ri Ra ˛Ra Ri

(2.4.5b)

Die relativen Fehler des Kurzschlussstromes bzw. der Leerlaufspannung betragen I − Ik ΔIk Ra Gi = ≈− =− , Ik Ik Ri Ga

U − Ul ΔUl Ri Ga = ≈− =− . Ul Ul Ra Gi

(2.4.5c)

Darf bei der Kurzschlussstrombestimmung ein Fehler von 10% auftreten, so muss Ra ≤ 0, 1Ri gelten, soll die Leerlaufspannung mit 5% Fehler bestimmt werden, so ist Ra ≥ Ri /0, 05 = 20Ri erforderlich.

Beispiel 2.4.1 Spannungsmesser Ein Spannungsmesser (Ra = 10 kΩ) soll die Leerlaufspannung einer Spannungsquelle (Uq = 10 V, Ri = 2 kΩ) ermitteln. Welche Spannung zeigt das Instrument? Nach Gl. (2.4.2) gilt U = Ul = Uq Ra /(Ri + Ra ) = 10 V · 10 kΩ/12 kΩ = 8, 33 V. urde die Spannung H¨ atte der Spannungsmesser einen Widerstand Ra = 100 kΩ, so w¨ U = 10 V · 10 kΩ/102 kΩ = 9, 8 V angezeigt. Nach Gl. (2.4.5) betr¨ agt der relative Fehler ΔU/Uq ≈ −2 kΩ/100 kΩ ≈ −2%. Nur f¨ ur Ra → ∞ zeigt der Spannungsmesser die richtige Spannung an. Veranschaulicht wird das Verhalten des Grundstromkreises durch die Kennlinien beider Zweipole. Ihr Schnittpunkt ist der Arbeitspunkt A. Man u ¨ bersieht sofort den Einfluss von Ver¨ anderungen (Abb. 2.4.2): die Aufteilung der Spannungen (Spannungsersatzschaltung) bzw. Str¨ ome (Stromersatzschaltung) auf Verbraucher und Quelle; U

U

Uq-Änderung

Ri wächst

U=IRa

Uq

Uq

AP Ri

UA

Ra wächst

Iq-Änderung

Ra=0

IRa 0

a

Iq

I

0

I

b

Abb. 2.4.2. Einfluss von Quellen- und Widerstands¨ anderungen auf den linearen Grundstromkreis. (a) Veranschaulichung von Quellenspannungs-/oder -strom¨ anderungen. (b) Auswirkung von Widerstands¨ anderungen (Innen-, Außenwiderstand) auf den Arbeitspunkt

106

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

A I Ri Uq

U

I‘

Ra Uq2

Laden → I (Uq> Uq2) Entladen ← I‘ (Uq2> Uq)

B Ladegerät (aktiver Zweipol)

Akkumulator (passiver Zweipol mit Gegenspannung)

Abb. 2.4.3. Grundstromkreis. Zusammenwirken von aktivem und passivem Zweipol bei

Gegenspannung im passiven Zweipol

¨ Ra -Anderung: bei Leerlauf und Kurzschluss f¨ allt die Kennlinie des passiven Zweipols entweder mit der U - oder I-Achse zusammen; bei Anpassung bilden die Kennlinien beider Zweipole ein gleichschenkliges Dreieck; ¨ Ri -Anderung: bei konstantem Uq oder Iq dreht sich die Kennlinie des aktiven Zweipols um den betreffenden Punkt; ¨ Uq - bzw. Iq -Anderung (Ri = const): Parallelverschiebung der Kennlinie des aktiven Zweipols.

Liegt dem passiven Zweipol noch eine Spannungsquelle Uq2 in Reihe, so wird er ebenfalls aktiv als Zweipol mit Gegenspannung“ (Beispiel: Akkumulator ” U −U . Er veram Ladeger¨at, Abb. 2.4.3). Der Strom betr¨agt jetzt I = Rqi +Rq2 a ur Uq2 > Uq treibt Uq2 schwindet f¨ ur Uq = Uq2 : Spannungskompensation. F¨ den Strom in entgegengesetzter Richtung an: Vertauschung der Rolle von Generator und Verbraucher. Kompensation spielt in der Elektrotechnik eine wichtige Rolle: Spannungskompensation: Aufhebung der Quellenspannung eines aktiven Zweipols durch eine Gegenspannung“. ” Stromkompensation: Aufhebung des Quellenstromes eines aktiven Zweipoles durch einen Gegenstrom“. ” 2.4.2 Leistungsumsatz im Grundstromkreis Die Energie¨ ubertragung im Grundstromkreis kann unter zwei Gesichtspunkten erfolgen: Von der Erzeugerenergie WA soll ein m¨ oglichst großer Teil WB zum Verbraucher gelangen, also der Wirkungsgrad hoch sein: Grundaufgabe der Energietechnik. Die dem Verbraucher zugef¨ uhrte Energie soll einem hohen Absolutbetrag zustreben (ohne R¨ ucksicht auf das Verh¨ altnis WB /WA ): Grundaufgabe der Informationstechnik.

2.4

Der Grundstromkreis

107

Grundlage ist der Leistungsumsatz. Die von der Spannungsquelle gelieferte Energie wird im Innen- und Außenwiderstand umgesetzt. Aus der Maschengleichung folgt durch Multiplikation mit dem Strom I Uq I = I 2 Ri + I 2 Ra .

   Pi

Pq

(2.4.6)

Pa

die Verbraucherleistung Pa = I 2 Ra = U 2 /Ra , die insgesamt in den Kreis eingebrachte, d. h. erzeugte“ elektrische Leis” tung Pq = Uq I = I 2 (Ri + Ra ), die Verlustleistung Pi = I 2 Ri im Quelleninnenwiderstand. Der Energieerhaltungssatz erfordert Pq = Pi + Pa . F¨ ur den Leistungsumsatz interessieren der Wirkungsgrad (Gl. (1.6.9)) η=

IU Ra 1 Pa = = = Pq IUq Ri + Ra 1 + Ri /Ra

(2.4.7)

als Verh¨altnis der im Verbraucher umgesetzten Leitung zur insgesamt aufgewendeten, also verf¨ ugbaren Leistung und die im Verbraucher absolut umgesetzte Leistung bei konstanter Quellenspannung Uq bzw. konstantem Quellenstrom Iq Pa = I 2 Ra =

Ra

2 2 Uq .

(Ri + Ra )

Unter Bezug auf die angebotene Quellenleistung PQ = Iq Uq 21 IU I 1 Pa 1 = =η = PQ Iq Uq Iq 1 + Ri /Ra 1 + Ra /Ri

(2.4.8)

hat die Verbraucherleistung Pa (Ra ) u ¨ber Ra /Ri ein Maximum bei Ra = Ri

Leistungsanpassung (2.4.9)

im Arbeitspunkt U = Uq /2, I = Iq /2 mit dem Wirkungsgrad η = 1/2. Dabei wird  Uq2 Iq2 Ri Verbraucherleistung U 2  (2.4.10) Pa |max = = =  b. Leistungsanpassung Ra Ra =Ri 4Ri 4 als verf¨ ugbare Leistung an den Verbraucher abgegeben. 21

Das ist zun¨ achst ein hypothetischer Wert, denn beim idealen Generator kann entweder der Strom oder die Spannung u alt ¨ ber alle Grenzen wachsen. Physikalisch erh¨ die angebotene Quellenleistung ihre Bedeutung erst f¨ ur den nichtlinearen aktiven Zweipol (s. Kap. 2.5.4).

108

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

Bei Anpassung Ra = Ri betr¨ agt der Wirkungsgrad im linearen Grundstromkreis 50% und dem Verbraucher wird die maximale Leistung (1/4 der uhrt. angebotenen Quellenleistung, Leistungsfl¨ ache Uq Iq ) zugef¨ Das trifft nur auf den linearen Grundstromkreis zu, im nichtlinearen Fall gelten Korrekturen (s. Kap. 2.5.4). ur zwei Generatorauslegungen (Ri = Wir untersuchen die Nutzleistung Pa f¨ const, Abb. 2.4.4): a) Quelle mit konstant angebotener Leistung Pq = const, dann ist der Wirkungsgrad nach Gl. (2.4.7) maßgebend. b) Quelle mit konstant erzeugter Quellenspannung Uq bzw. Quellenstrom Iq . Jetzt erh¨alt der Lastwiderstand Ra die Leistung nach Gl. (2.4.8). Mehr als die verf¨ ugbare Leistung Pmax kann der Generator an den Verbraucher nie abgeben. Sie umfasst also nur 1/4 (!) der angebotenen Generatorleistung (angebotene Quellenleistung). Das Leistungsmaximum verl¨auft in Umgebung von Ri = Ra relativ flach. Deswegen entsteht bei der Fehlanpassung von 1:2 (also Ra = Ri /2 oder Ra = 2Ri ) nur ein Leistungsverlust von 12%. 1. Energie¨ ubertragung mit hohem Wirkungsgrad η → 1. Hoher Wirkungsgrad η = Pa /Pq → max erfordert nach Gl. (2.4.7) praktischen Leerlauf Ra  Ri des Verbrauangig. Gleichzeitig chers. Nur dann ist die Klemmenspannung U ≈ Uq lastunabh¨ ¨ sinkt die Generatorverlustleistung. Da die Ubertragung großer Energiemengen teuer ist (Anlage-, Energietr¨ agerkosten u. a.) arbeitet eine Anlage mit h¨ ochstem Wirkungsgrad (bei Pq = const) am wirtschaftlichsten. Das gilt f¨ ur die Energietechnik generell. Nur dieser Forderung verdanken wir, dass die Spannung des Versorgungsnetzes [→ Netzwerk aus Spannungsquelle und Innenwiderstand (Leitungsnetz)], weitgehend unabh¨ angig von der Einzelbelastung bleibt. Der Verbraucherwiderstand

P

Pq= const

P Pq

U q = c × 1 + Ra / Ri Pi

Uq= const

Pq = U q2 / Ri

Uq Pamax Pq/4

Pi

Pa 0

a

Pa Ra/Ri

0

1

Ra/Ri

b

Abb. 2.4.4. Leistungsverh¨ altnisse im Grundstromkreis. (a) Bei konstant erzeugter Generatorleistung. (b) Bei konstanter Quellenspannung

2.4

Der Grundstromkreis

109

Ra soll nach Gl. (2.4.7) f¨ ur eine bestimmte Verbraucherleistung Pa m¨ oglichst hoch oglichst hohe Spannung Uq . sein. Das erfordert wegen Pa = Uq /Ra eine m¨ Nur Hochspannungsnetze u ¨ bertragen große Leistungen u ¨ ber große Entfernung mit gutem Wirkungsgrad.

Beispiel 2.4.2 Wirkungsgrad Eine Leistung Pa = 1 MW werde von einem Generator mit Uq = 100 kV bzw. mit Uq = 10 kV zum Verbraucher u ¨ bertragen (Verbraucher f¨ ur entsprechende Spannung ausgelegt, Leitungswiderstand zwischen Generator und agt 10 kΩ Verbraucher Ri = 100 Ω). Der Verbraucherwiderstand Ra = Uq2 /Pa betr¨ (bei Uq = 100 kV) bzw. Ra = 100 Ω bei Uq = 10 kV. Daraus folgen die Wirkungsgrade Uq = 100 kV → Ra = 10 kΩ → η = Uq = 10 kV → Ra = 100 Ω → η =

1 1+100/104 1 = 50 1+1

≈ 99, 01 % %.

Die Hochspannungs¨ ubertragung erfordert entsprechende Generatoren und Verbraucher. Das ist f¨ ur Spannungen oberhalb einiger kV (genauer 27 kV) technisch nicht m¨ oglich bzw. sinnvoll (Isolationskosten, Gef¨ ahrdung des Menschen). Deshalb werden in Wechselspannungsnetzen zwischen Generator und Leitung sowie Leitung und Verbraucher Transformatoren eingef¨ ugt (Abb. 2.4.5). Sie transformieren die Generatorspannung Uq auf die Leitungsspannung UL  Uq und diese am Verbraucherort wieder auf die Verbraucherspannung UV  UL . 2. Erzielung hoher Absolutleistung am Verbraucher. Nach Abb. 2.4.4 hat die Absolutleistung Pa f¨ ur Uq = const bei Anpassung Ra = Ri (Gl. (2.4.3)) ein Maximum gegeben durch Gl. (2.4.10). Weil den Empf¨ anger in der Informationstechnik meist nur ¨ kleine Leistungen erreichen (und nur die Ubertragung von Information interessiert, nicht Energie), ist Zielstellung eine m¨ oglichst hohe Absolutleistung am Empfangsort. Auch die Kostenfrage stellt sich anders: Das Kraftwerk erh¨ alt nur die Energie verg¨ utet, die der Verbraucher tats¨ achlich als Leistung Pa entnimmt. Dagegen muss ein Fernsprechteilnehmer z. B. an der Sendestelle (am Handy als Informationserzeuger) noch zahlen und nicht etwa der Teilnehmer am Empfangs-Handy! Die Geb¨ uhr

IL<
a

Leitung Ra

UV

Uq

b

IV UL Leitung

Ra

UV

Transformatoren

Abb. 2.4.5. Wirtschaftliche Energie¨ ubertragung durch hohe Spannung. (a) Schaltung ohne

Transformator, niedriger Wirkungsgrad durch Leitungsverluste. (b) Schaltung mit Transformatoren und hoher Leitungsspannung (z. B. Uq = 5 kV, UL = 500 kV, UV = 50 V, IG = 1 kA, IL = 10 A, IV = 105 A)

110

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

h¨ angt auch nicht davon ab, ob er laut oder leise spricht, also von der eingepr¨ agten Energie. Die Kosten beinhalten vielmehr Anlagenkosten (Sender, Vermittlungseinrichtungen), Instandhaltung u. a. m. Der Empf¨ anger ist nur am guten Empfang“ ” (Verst¨ andigung, St¨ orfreiheit) interessiert. Deshalb zielt die Problemstellung der Informationstechnik auf m¨ oglichst hohe Empfangsenergie am Empfangsort hin. Der Wirkungsgrad ist uninteressant. Gr¨ oßenordnungsm¨ aßig entsteht bei der Energie¨ ubertragung zwischen einem Rundfunksender (Sendeleistung Pa = 100 kW, u ¨ blicher Großsender) und einem Empf¨ anger u ¨ ber das elektromagnetische Feld nur eine Antennenspannung U = 1 μV (typischer Wert von UKW-Empf¨ angern). Sie wirkt in der Empfangsantenne u ¨ ber das Induktionsgesetz aus dem elektromagnetischen Strahlungsfeld der entfernten Sendeantenne. Dem Empf¨ anger mit einem Antenneneingangswiderstand R = 300 Ω uhrt. Der wird die Leistung Pa = U 2 /Ra = (1 μV)2 /300 Ω = 3, 3 · 10−9 W(!) zugef¨ Wirkungsgrad der Energie¨ ubertragung betr¨ agt also Pa /Pq = 3, 3 · 10−9 /105 W ≈ 3 · 10−14 (!). Das ist uninteressant. Am Empfangsort interessiert die Antennenspannung U = 1 μV. uckwirkungsfreiheit der meisDie Generatorbedingung Uq = const ist durch die R¨ ten Generatoren der Informationstechnik (z. B. Mikrofon, Datenquellen, gesteuerte Quellen, Solarzelle u. a. m.) immer gegeben. Im starkstromtechnischen Fall dagegen merkt das Kraftwerk sehr wohl, ob viele oder wenige Energieverbraucher angeschlossen sind22 : Pq = const bedeutet zwangsl¨ aufig, dass mit steigender abgegebener Leistung Pa die Quellenspannung sinkt und damit dem Generator mehr mechanische Energie zugef¨ uhrt werden muss. Es herrscht R¨ uckwirkung des Verbraucherverhaltens auf den Erzeuger, denn ein elektrischer Generator ist ein mechanischelektrischer Wandler. Der informationstechnische Fall unterscheidet sich grundlegend. Der Sprecher am Mikrofon des Rundfunkstudios oder am Handy bzw. das Bedienungspersonal des Rundfunksenders bemerkt nicht, wie viele Verbraucher am Empfangsort Energie entnehmen. Stets liefert der Sender die gleiche Quellenspannung. Auch die von der Sonne ausgesandte Strahlungsenergie (je Quadratmeter Erdoberfl¨ ache reichlich 1000 W!)23 ist unbeeinflusst von der Anzahl der Solarzellen auf der Erde, die diese Strahlung in elektrische Energie umsetzen.

Beispiel 2.4.3 Quellenzusammenschaltung, Anpassung N (= 16) gleiche reale Spannungsquellen sollen so zusammengeschaltet werden, dass ein gegebener Verbraucherwiderstand Ra maximale Leistung erh¨ alt. Es gelte Ra = 4Ri . Wie sind die Spannungsquellen anzuordnen? Die Zusammenschaltung besteht aus n reihengeschalteten Zellen in einem Strang, wobei m Str¨ ange parallel geschaltet sind (mit N = n · m). Der Ersatzwiderstand 22

Daraus leitet es Hinweise auf die Energiesituation, Spitzenlast u. a. ab.

23

Je nach Sonnenstand 1 . . . 1, 36 kW/ m2 . Der Umsetzwirkungsgrad von Solarzellen liegt zwischen 10 . . . 20%.

2.4

Der Grundstromkreis

111

dieser Anordnung lautet Ri = nRa /m,qbei Anpassung muss gelten Ra = Riers = √ Ra nRi /m = n2 Ri /N . Daraus folgt n = N = 4 · 16 = 2 · 4 = 8. Die Anzahl Ri paralleler Str¨ ange betr¨ agt dann m = N/n = 16/8 = 2.

Beispiel 2.4.4 Grundstromkreis, Leistungswirkungsgrad Es ist ein Grundstromkreis (Spannungsquelle Uq , Ri , Verbraucher mit Leistung Pa ) gegeben. Gesucht ist der Leistungswirkungsgrad nach Gl. (2.4.7) und die Verbesserung, die sich (bei gleicher Verbraucherleistung) ergibt, wenn n = 4 gleiche Spannungsquellen in Reihe geschaltet werden. U 2 Ra

q Ausgang ist die Verbraucherleistung Pa = U I = (R +R osung nach Ra ergibt 2 . L¨ a) i r “ ” Uq2 Uq2 Uq2 den Außenwiderstand Ra = 2Pa − Ri ± Pa 4Pa − Ri . F¨ ur Uq = 1, 5 V, Ri =

1 Ω und Pa = 0, 5 W folgen zwei L¨ osungen Ra1 = 2 Ω und Ra2 = 0, 5 Ω mit den Leistungswirkungsgraden nach Gl. (2.4.7) η = 2/(1 + 2) = 66% bzw. 33, 3% f¨ ur Ra2 . Wegen des kleineren Wirkungsgrades scheidet Ra2 aus. Solche Daten sind typisch f¨ ur eine Handlampe mit einer Trockenzelle. Bei Vergr¨ oßerung der Zellenzahl auf n = 4, d. h. Uq = 6 V und Ri = 4 Ω folgen bei gleicher Verbraucherleistung ande Ra1 = 63, 7 Ω und Ra2 = 0, 25 Ω. Dann liegt Pa = 0, 5 W die Außenwiderst¨ am Lastwiderstand die Spannung U = 6 V · 63, 7 Ω/(4 + 63, 7) Ω = 5, 64 V. Damit betr¨ agt der Leistungswirkungsgrad nach Gl. (2.4.7) η = 63, 7/(4 + 63, 7) = 94%, er steigt deutlich.

2.4.3 Einfache verzweigte Stromkreise Manche Problemstellungen zwingen zur Erweiterung des Grundstromkreises um wenige Knoten und Maschen. Wir betrachten einige F¨alle. Messung von Spannung und Strom, Messbereichserweiterung Gleichstr¨ ome

und -spannungen werden oft mit Drehspulmesswerken bestimmt. Der Zeigerausschlag ist dem Strom proportional. Ihr Widerstand Rm soll m¨oglichst klein sein, um den Spannungsabfall I · Rm gering zu halten. Die aufgenommene Leistung liegt in der Gr¨ oßenordnung bis herab zu 10−5 W. Wegen des Widerstandes Rm k¨ onnen Drehspulinstrumente auch als Spannungsmesser arbeiten. Sie liegen parallel zur Messstrecke, dabei sollte der Stromverbrauch m¨oglichst klein sein. Durch Neben- und Vorwiderst¨ande wird der Gesamtwiderstand des Messwerkes f¨ ur den jeweiligen Messbereich ausgelegt. Diese Messbereichserweiterung erlaubt die Messung gr¨oßerer Str¨ome und Spannungen, als das Messwerk vertr¨ agt. Strommessbereichserweiterung durch Parallelwiderstand Der Parallelwider-

ussigen Stromes stand RP = 1/GP dient als Nebenweg (Shunt) des u ¨ bersch¨

112

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

I

Ip

I Im

RV

RP U

A Rm

V

a

b

I IR

Uq V R RU

Um Rm

AA RI

RI Uq VV

UR

spannungsrichtige Messung

c

A U R RU

IR UR

stromrichtige Messung

d

Abb. 2.4.6. Strom- und Spannungsmessung, Messbereichserweiterung. (a) Messbereichserweiterung am Strommesser. (b) Messbereichserweiterung am Spannungsmesser. (c) Widerstandsbestimmung durch spannungsrichtige Strom-Spannungs-Messung. (d) Widerstandsbestimmung durch stromrichtige Strom-Spannung-Messung

zum Messinstrument (Abb. 2.4.6a). Nach der Stromteilerregel gilt zwischen Messwerkstrom Im und Gesamtstrom I = pI Im Gm Rm Im = . , also GP = Gm (pI − 1), RP = I Gm + GP pI − 1

(2.4.11)

Der Gesamtwiderstand R = RP  Rm des geshunteten“ Strommessers ist ” um einen Faktor pI kleiner als Rm , der Strom I um pI gr¨oßer als Im (Spannungsabfall u ¨ ber der Gesamtschaltung bleibt erhalten). Spannungsmessbereichserweiterung durch Vorwiderstand

Ein Vorwiderstand RV nimmt die u ussige Spannung U − Um (Abb. ¨ bersch¨ 2.4.6b) auf (Vollausschlag des Instrumentes Um , Gesamtspannung U = pU Um ). Nach der Spannungsteilerregel gilt Um Rm , also RV = Rm (pU − 1). (2.4.12) = U Rm + R V Der Gesamtwiderstand R = RV + Rm ist um den gleichen Faktor pU gr¨oßer als die Spannung U gegen¨ uber Um . Beispiel 2.4.5 Drehspulinstrument Ein Drehpulsinstrument zeigt beim Strom I = 1 mA Vollausschlag, dazu geh¨ ore die Spannung U = 100 mV. Der Instrumentenwiderstand betr¨ agt also Rm = 0, 1 kΩ. Eine Erweiterung auf den Strombereich 200 mA w¨ urde mit pI = 200/1 einen Parallelwiderstand Rp = Rm /(200 − 1) ≈ Rm /200 ≈ 0, 5 Ω erfordern, eine Erweiterung auf eine Spannung U = 10 V (pU = 10/0, 1 = 100) einen Vorwiderstand RV = Rm (pU − 1) ≈ Rm pU = 100 · 102 Ω = 10 kΩ. Weil das Drehspulinstrument die Leistung stets dem Messkreis entnimmt, gibt man als spezifische Belastungsgr¨ oße den sog. Kennwiderstand in kΩ/ V an. Er liegt bei guten Drehspulinstrumenten zwischen 1 . . . 200 kΩ/ V, bei Dreheiseninstrumenten deutlich darunter. Ein Vollausschlag erfordert Str¨ ome zwischen 10 μA . . . 100 μA beim Innenwiderstand zwischen 1 kΩ und 10 kΩ.

2.4

Der Grundstromkreis

113

Digital anzeigende Spannungsmesser (Digitalvoltmeter) besitzen meist mehrere, dekadisch gestufte Messbereiche (0,2, 2, 20, 200 und 1000 V, auch 0,4, 4, 40, 400 und 100 V). Der h¨ ochste Messbereich 1000 V resultiert aus einer Vorschrift, die Ger¨ate f¨ ur h¨ ohere Spannungen als Hochspannungsger¨ate einstuft mit anderen Sicherheitsanforderungen. Der Innenwiderstand ist unabh¨angig vom Messbereich sehr hoch (> 10 MΩ). Digital anzeigende Strommesser messen den Spannungsabfall an einem dekadisch gestuften Widerstand. Der Fehler ist etwas h¨oher als bei der Spannungsmessung. Der Spannungsabfall betr¨ agt unabh¨angig vom Messbereich etwa 100 mV. Neben den genannten Instrumenten kommen noch zur Anwendung: elektrostatische Messwerke (in Sonderf¨ allen), f¨ ur Str¨ome Stromzangen und Galva−12 A. Stromzangen zur Strommessung nutzen den nometer bis herab zu 10 Halleffekt im Magnetfeld aus (s. Bd. 2). Widerstandsbestimmung Es gibt zahlreiche Verfahren zur Bestimmung von

Widerst¨anden, wir greifen zwei heraus: die gleichzeitige Strom-Spannungsmessung und das Br¨ uckenverfahren. Widerstandsbestimmung durch Strom- und Spannungsmessung Ein unbekannter Widerstand R = UR /IR kann durch gleichzeitige Messung der (fehlerfreien) Klemmengr¨ oßen UR , IR bestimmt werden. Die Widerst¨ande der Messinstrumente (Anzeigewerte U , I) verursachen dabei Fehler. Es gibt zwei Schaltungsm¨oglichkeiten (Abb. 2.4.6c):

1.

2.

Spannungsmesser parallel zum Messobjekt geschaltet, spannungsrichtige Messung (U = UR ). Der Strommesser misst den zu großen Strom I durch das Messobjekt (IR ) und den Zusatzstrom U GU durch den Spannungsmesser (Widerstand RU ): I = UR GU + IR . Der gesuchte Widerstand G = IR /UR betr¨ agt  I  IR 1 = − GU . (2.4.13) =G= R UR UR Messwert Ohne Korrektur wird R zu klein ermittelt. Anzustreben ist I ≈ IR , d. h. GU  IR /UR oder RU R. Der Fehler sinkt mit wachsendem Spannungsmesserwiderstand RU im Vergleich zum Messobjekt R. Strommesser in Reihe zum Messobjekt R geschaltet, stromrichtige Messung. Hier wird der Strom I = IR richtig (Abb. 2.4.6d), die Spannung U hingegen u ¨ ber Messobjekt R und dem Spannungsabfall am Strommes-

114

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

ser (RI ) zu groß angezeigt: U = UR + IRI . Daraus berechnet sich der Widerstand R  U  UR = − RI . (2.4.14) R= IR IR Messwert Ohne Korrektur wird R zu groß gemessen. Anzustreben ist stets U ≈ UR und damit RI  R. Die Korrektur durch den Messinstrumentwiderstand bei der direkten U, IMessung entsch¨arft sich, wenn niederohmige Widerst¨ ande spannungsrichtig, hochohmige Widerst¨ ande stromrichtig gemessen werden. Auf Messfehler durch den Instrumentenwiderstand bei Messung der Leerlaufspannung oder des Kurzschlussstromes eines aktiven Zweipols wurde bereits verwiesen (s. Gl. (2.4.5)).

Widerstandsbestimmung mit der Messbr¨ ucke Sehr verbreitete Verfahren zur Widerstandsbestimmung sind die Wheatstone- und Thomson-Messbr¨ ucke, (letztere f¨ ur kleine Widerst¨ ande).

Eine Messbr¨ ucke besteht aus zwei parallelen Spannungsteilern, deren Spannungsabgriffe A, B als Diagonalspannung mit einem Nullindikator verbunden sind. Br¨ uckenschaltungen arbeiten nach dem Abgleichverfahren, der klassischen Methode. Bei Abgleich verschwindet die Diagonalspannung UAB . Ausschlagverfahren. Dabei ist die Spannung UAB ein Maß f¨ ur die Abweichung des zu messenden Widerstandes von einem Sollwert. Diese Methode ist heute sehr verbreitet. In der Schaltung (Abb. 2.4.7a) sei Rx = R1 ein unbekannter Widerstand in einem Spannungsteiler, die Werte R2 . . . R4 sind bekannt. Dann betr¨agt die Diagonalspannung UAB im Leerlauf (Spannungsteilerregel, Maschengleichung) UAB |I=0 = UAC − UBC =

R3 Uq R4 Uq − . Rx + R3 R2 + R4

Sie verschwindet (Abgleichzustand) f¨ ur R4 R3 = , Rx + R3 R2 + R4

d. h.

Rx R2 = . R3 R4

Br¨ uckenabgleich(2.4.15) bedingung

2.4

Der Grundstromkreis

1

115

1 Rx UAB A Uq

R3

RI

R UAB

R2 I

A

B Iq

R4

2

2

a

b

I RI R-ΔR

R B R+ΔR

Abb. 2.4.7. Br¨ uckenschaltungen. (a) Klassische Form, Wheatstonesche Br¨ uckenschaltung. angig von der Quellenspannung Uq . Bei Abgleich verschwindet die Spannung UAB unabh¨ (b) Verstimmte Br¨ ucke (Ausschlagverfahren). Die Quelle kann entweder eine Spannungsoder Stromquelle sein

Die Abgleichbedingung h¨ angt nur vom Widerstandsverh¨altnis R2 /R4 ab, deshalb m¨ ussen R2 und R4 selbst nicht bekannt sein. Bildet man R2 + R4 aus einem kalibrierten Draht (L¨ ange L, Querschnitt A) mit dem Schleiferabgriff asst sich das Verh¨ altnis R2 /R4 = l/(L − l) beliebig R2 ∼ l, R4 ∼ (L − l), so l¨ einstellen (auch ein Potentiometer mit Drehwinkel α ∼ Rabgriff erf¨ ullt die gleiche Aufgabe). Das Messverfahren hat mehrere Vorteile: Abgleich unabh¨ angig von der Versorgungsspannung, eine verschwindende Diagonalspannung kann mit hoher Genauigkeit festgestellt werden. Der Abgleich selbst ist etwas aufwendig, weil er schrittweise bei gleichzeitiger Erh¨ ohung der Instrumentempfindlichkeit erfolgen muss in dem Maße, wie man sich dem Abgleichpunkt n¨ ahert. Deshalb hat diese Br¨ ucke f¨ ur Messzwecke nicht mehr die Bedeutung, die ihr historisch zukam.

Nicht abgeglichene Br¨ ucke Wir beachten einen endlichen Widerstand RI des Nullanzeigeinstrumentes und berechnen den Strom bei beliebiger Br¨ uckeneinstellung, zweckm¨ aßig durch R¨ uckf¨ uhrung der Schaltung auf den Grundstromkreis: Br¨ uckenschaltung aktiver Zweipol, Instrument passiver Zweipol (mit Ra = Ri ). Dann gilt der Reihe nach (Abb. 2.4.7a) mit der bereits oben berechneten Leerlaufspannung Ul = UAB |I=0 , dem Innenwiderstand und dem Strom durch das Anzeigeinstrument 1 1 Ri = + Innenwiderstand (2.4.16) G1 + G3 G2 + G4 Ul Ul I= = . (2.4.17) Ri + Ra Ri + RI Der Innenwiderstand Ri wird von den Klemmen AB aus ermittelt bei Kurzschluss der Spannungsquelle. Der Strom I zwischen AB verschwindet f¨ ur Ul = 0 (Br¨ uckenabgleich).

116

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

Bei Nichtabgleich zeigt der Indikator einen Ausschlag und die Schaltung arbeitet als Ausschlagbr¨ ucke. Sind R2 . . . R4 bekannt, so l¨asst sich der unbekannte Widerstand R1 u ¨ber die Diagonalspannung bestimmen. ¨ Ein großer Vorteil dieses Verfahrens ist, dass sich auch kleine Anderungen ΔR eines oder mehrerer Br¨ uckenwiderst¨ ande direkt anzeigen lassen, eine gleichsinnige ¨ Anderung aller Widerst¨ ande R (z. B. durch Temperaturerh¨ ohung) st¨ ort dabei nicht. Beim Ausschlagverfahren – und so wird es eingesetzt – ¨ andern sich einer oder mehrere Widerst¨ ande durch eine zu messende physikalische Gr¨ oße (Druck, Dehnung, etc.): die Widerstands¨ anderung kann dabei positiv oder negativ sein. Je nachdem, wieviel ver¨ anderliche Widerst¨ ande (und an welcher Stelle) wirken, spricht man von einer Viertelbr¨ ucke bei nur einem ver¨ anderlichen Widerstand, Halb- bzw. Vollbr¨ ucke, wenn sich zwei oder alle a ¨ndern. Die Viertelbr¨ ucke hat einen nichtlinearen Zusammenhang zwischen Ausgangsspannung und ver¨ anderlichem Widerstand unabh¨ angig davon, ob spannungs- oder stromgespeist. Halbbr¨ ucken zeigen bei Stromeinspeisung eine lineare Abh¨ angigkeit zur Widerstands¨ anderung, Vollbr¨ ucken haben diese Eigenschaft f¨ ur Spannungs- und Stromeinspeisung.

Beispiel 2.4.6 Stromgespeiste Br¨ uckenschaltung Abb. 2.4.7b zeigt die Anordnung mit Stromquellenspeisung. Die Berechnung des Stromes I erfolgt u ¨ ber Ik und Innenwiderstand mit der Zuordnung R1 = R2 = R, R3 = R − ΔR, R4 = R + ΔR: « „ « „ R R3 R − ΔR R1 ΔR Ik = I q Iq = − − Iq , = − R3 + R4 R1 + R2 2R 2R 2R 2R · 2R (R3 + R4 ) (R1 + R2 ) = = R, (R1 + R2 + R3 + R4 ) 4R ΔR Ri R ΔR Ik = − Ik . = Ik = − Ri + Ra R + Ra 2R 2(R + Ra )

Ri = II

Erwartungsgem¨ aß entsteht Proportionalit¨ at zur Widerstands¨ anderung. Sie bleibt erhalten, wenn sich die Widerst¨ ande R2 , R3 gleich oder sich R1 und R3 entgegengesetzt zueinander ¨ andern. Dann f¨ uhrt auch die Spannungseinspeisung zur propor¨ tionalen Anderung. Sehr verbreitet sind Br¨ uckenschaltungen zur Kraftmessung mit Dehnmessstreifen. Je nach der Anordnung auf einem Biegestreifen wird der Messstreifen gedehnt (Widerstandszunahme) oder gestaucht (Widerstandsabnahme).

Kompensation Das Kompensationsprinzip beruht darauf, den Strom f¨ ur ein

Messger¨at durch eine Hilfsquelle so aufzubringen, dass das Messobjekt durch das Messinstrument nicht belastet wird. Abb. 2.4.8a zeigt eine Kompensationsschaltung. Man schließt an die Klemmen AB der Spannungsteilerschal-

2.4

Der Grundstromkreis

117

I Kompensation: I→0

R2 Uq1 R1

A

I

Ri1

R UAB i2

Uq1

Uq2 B

a

RI

Ri2

I

Uq2

b

Abb. 2.4.8. Kompensationsverfahren. (a) Der Spannungsteiler wird so eingestellt, dass der

Strom durch das Kompensationsinstrument (Strommesser) verschwindet. (b) Ersatzschaltung zu Abb. (a)

tung, deren Spannung genau gemessen werden soll, eine (regelbare) Hilfsspannungsquelle (Uq2 , Ri2 ) in Reihe zu einem Strommesser an. Der Strom im Kreis betr¨agt Uq1 − Uq2 . (2.4.18) Ri1 + Ri2 + Rl Er verschwindet f¨ ur Uq1 = Uq2 durch Nachregeln von Uq2 . So kann die Spannung Uq1 praktisch im Leerlauf mit hoher Genauigkeit bei Kenntnis von Uq2 gemessen werden. I=

Anwendung findet die Kompensation zum Vergleich unbekannter Spannungen mit einem Spannungsnormal (Un ). Es besitzt eine Spannung Un = 1, 01865 V (Toleranz omen I < 10−7 A belastet werden. Bei direkter ± 10−5 %) und darf nur mit Str¨ Messung m¨ usste der Spannungsmesser einen Widerstand RU > 107 Ω besitzen. Das Kompensationsverfahren umgeht diese Problematik. Heute werden elektronische Spannungsnormale (Netzanschlussger¨ ate, deren Ausgangsspannung konstant gehalten wird) verwendet. Vorteil: h¨ ohere Belastbarkeit (I bis 100 mA, gleiche Toleranz ±10%). Das Prinzip ist auch f¨ ur Stromkompensationsschaltungen anwendbar.

2.4.4 Zweipoltheorie Ersatzquellens¨ atze Der Grundstromkreis vereinfacht die Analyse gr¨ oßerer li-

nearer Netzwerke, wenn nur das Verhalten zwischen zwei Knoten interessiert: man betrachtet diesen Zweig als passiven Zweipol und ersetzt das restliche Netzwerk mit allen Quellen durch einen aktiven Zweipol (Abb. 2.4.9).24 25 26 24

¨ Von Helmholtz 1853 begr¨ undet und mit dem Uberlagerungssatz bewiesen.

25

Die Angabe von L. Ch. Th´evenin (franz. Ingenieur, 1857–1926) stammt aus dem Jahre 1883, (Prinzip wiederentdeckt), seitdem in der englischen Literatur als Th´evenin-Theorem bezeichnet.

26

E. L. Norton, amerikanischer Ingenieur 1898–1983. Die Anordnung ist in einem Bericht von 1926 erw¨ ahnt (sonst nicht ver¨ offentlicht). Seit 1936 wird die Anordnung

118

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente Abb. 2.4.9. Ersatzquellens¨ atze. Ersatz eines beliebigen linearen Netzwerkes durch aktive Zweipole in Spannungs- oder Stromquellersatzschaltung. Bestimmung der Ersatzkenngr¨ oßen: Leerlaufspannung Ul = Uq , Kurzschlussstrom Ik = Iq , Innenwiderstand RiAB = Ul /Ik oder direkt aus dem Netzwerk des aktiven Zweipols

Beliebiges Netzwerk mit Elementen Uq, Iq, R...

I

U B

A

Leerlauf Uq= Ul I A Ri Uq

U

Kurzschluss Iq=Ik I A Zweipoläquivalenz

B Théveninscher Satz

Iq

Gi

U

Ik

B Mayer-Theorem

Unabh¨angig vom inneren Aufbau l¨ asst sich ein lineares Netzwerk mit beliebigen Quellen zwischen zwei Anschlusspunkten stets ersetzen durch einen aktiven Zweipol mit gleichwertigem Klemmenverhalten, entweder als lineare Ersatzspannungsquelle mit Quellenspannung Uq = Ul und Ersatzinnenwiderstand Ri (diese Ersatzform wird als Th´eveninscher Satz bezeichnet) oder als lineare Ersatzstromquelle mit Ersatzquellenstrom Iq = Ik und Ersatzinnenleitwert Gi (diese Ersatzschaltung ist das Mayer- oder NortonTheorem). Das so gewonnene Ersatznetzwerk ist dem origin¨aren Netzwerk gleichwertig (¨aquivalent), wenn es das gleiche U, I-Verhalten an den Klemmen besitzt. So reduziert sich der Zweig mit den gesuchten Gr¨oßen (Strom, Spannung) zum passiven Zweipol zwischen den Klemmen AB, der Schaltungsrest“ (mit allen ” unabh¨angigen Quellen) zum aktiven Ersatzzweipol. Leerlaufspannung Ul , Kurzschlussstrom Ik und (oder) Innenwiderstand Ri bilden die Ersatzgr¨ oßen des aktiven Ersatzzweipols zwischen den Klemmen AB. Davon sind zwei unabh¨ angig voneinander (und zu ermitteln), die dritte wird daraus berechnet. Das ist der Inhalt der Ersatzquellens¨atze. Beide S¨atze beschreiben das gegebene Netzwerk bez¨ uglich der Klemmen AB f¨ ur jeden Betriebsfall (Leerlauf bis Kurzschluss) vollst¨andig. Sie erlauben aber keine Aussagen ¨ uber den inneren Aufbau und somit auch nicht ¨ uber die Leistungsverh¨altnisse (Verluste!) in den einzelnen Zweigen. im englischen Schrifttum als Norton-Ersatzschaltung gef¨ uhrt. Mayer gab die Ersatzschaltung 1926 erstmalig an.

2.4

Der Grundstromkreis

119

Zweipoltheorie27

Die Anwendung der Ersatzquellens¨ atze und des Ersatzwiderstandes auf lineare Netzwerke, das Zusammenwirken zwischen aktivem und passivem Zweipol sowie die Bestimmung der Zweipolersatzgr¨oßen bilden zusammen die Zweipoltheorie. Sie ist ein leistungsf¨ ahiges Analyseverfahren zur Ermittlung der Gr¨ oßen (nur!) eines Netzwerkzweiges, Vereinfachung gr¨ oßerer Netzwerke, Untersuchung von Leistungs- und Anpassungsproblemen. Bei Erweiterung des Verfahrens kann der passive Zweipol selbst ein gr¨oßerer Netzwerkteil sein, der durch einen (klemmen-) gleichwertigen Ersatzaußen” widerstand“ Ra substituiert wird. So lassen sich in einem Folgeschritt auch mehrere seiner Zweiggr¨ oßen ermitteln. Zur Reduktion eines gr¨ oßeren Netzwerkes auf einen Ersatzwiderstand Ra verhelfen die Gesetze der Reihen-/ Parallelschaltung, Stern-Dreieck-Umformung oder gleichwertige andere Verfahren. Hinweis: beim Ersatz gr¨ oßerer Netzwerkteile bestimmt man ihre Ersatzgr¨ oßen zweckm¨ aßig mit der Knotenspannungsanalyse (Kap. 3.3), ¨ bei mehreren Quellen im aktiven Zweipol kann der Uberlagerungssatz (Kap. 2.4.5) hilfreich sein, die Zweipoltheorie l¨ asst sich auf Netzwerke mit gesteuerten Quellen erweitern (Kap. 2.6). Dann werden die Ersatzgr¨ oßen mit dem Probestrom-, Probespannungsverfahren bestimmt. bei nichtlinearen Netzwerken ist die Zweipoltheorie f¨ ur den linearen Netzwerkanteil zul¨ assig (s. Kap. 2.5). Die Zweipoltheorie eignet sich nicht zur Bestimmung aller Zweiggr¨ oßen eines Netzwerkes. Daf¨ ur m¨ ussen entweder die vollst¨ andigen Kirchhoffschen Gleichungen gel¨ ost oder Maschenstrom- und Knotenspannungsanalyse herangezogen werden.

Abb. 2.4.10 erl¨autert die Anwendung der Zweipoltheorie. Gesucht sei der Strom durch R4 . Wir f¨ uhren an seinen Anschlussstellen die Klemmen AB ein und legen damit den passiven Zweipol R4 = Ra als (Ersatz-) Außenwiderstand des Grundstromkreises fest. Die restliche Schaltung mit den Quellen ist der aktive Zweipol. Zweckm¨ aßig wird sie so umgezeichnet, dass die Zuordnung aktiver-passiver Zweipol deutlich hervortritt. 27

Nicht zu verwechseln mit der Zweitortheorie (Kap. 2.6).

120

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

Umordnung

Netzwerk

R1 Uq1

R3 R2

I

Grundstromkreis A

A

A

R5 R4 R6

Uq2

R1 Uq1

R4

B aktiver Zweipol

I

Ri R4

UAB

Ul

Uq2

B passiver Zweipol

I

R R2 3 R5+R6

B

passiver Zweipol

Abb. 2.4.10. Zweipoltheorie. Aufteilung eines Netzwerkes in aktiven und passiven Zweipol. Bestimmung der Ersatzkenngr¨ oßen und R¨ uckf¨ uhrung auf den Grundstromkreis

Jeder lineare aktive Zweipol hat eine Leerlaufspannung Ul = UAB |I=0 , einen Kurzschlussstrom Ik = IAB |UAB =0 = Ul /Ri herr¨ uhrend vom zugeordneten (noch unbekannten) Quellenstrom Iq , einen Ersatzinnenwiderstand Ri zwischen AB gemessen oder berechnet. Mit den Strom-Spannungs-Gleichungen UAB = Ul |AB − IRi bzw. I = Ik |AB − UAB Gi des aktiven Zweipols stellt sich beim Anschalten des passiven Zweipols UAB = Ra I der gesuchte Strom I bzw. die gesuchte Spannung ein (s. Gl. (2.4.1a)): Ra Ga Grundgleichungen Ul , I = Ik (2.4.19) Ri + R a Gi + Ga U = Ra I, Ul = Ri Ik , U = UAB I = IAB . der Zweipoltheorie U =

Dabei sind Ul , Ik und Ri Ersatzgr¨oßen Ul ≡ Uqers , Ik ≡ Iqers , Ri ≡ Riers , was der Index ers“ unterstreicht (wir verzichten k¨ unftig darauf). ” Kenngr¨ oßenbestimmung Die Kenngr¨ oßen des linearen aktiven Zweipols wer-

den bestimmt: 1.

Experimentell durch Messung aus dem Leerlaufversuch (I = 0): Spannungsmessung mit unendlich hohem Spannungsmesserwiderstand (Ra → ∞, d. h. I = 0) ergibt die Leerlauf- oder Quellenspannung Ul = Uq , Kurzschlussversuch (UAB = 0): Strommessung mit Strommesserwiderstand Ra = 0, (d. h. U = 0) ergibt den Kurzschluss- oder Quellenstrom Ik = Iq ,

2.4

Der Grundstromkreis

121

Belastungsversuch (UAB = 0, I = 0): Messung der Spannungen U1 , U2 und Str¨ome I1 , I2 bei Belastung mit zwei verschiedenen Widerst¨anden oßen mit Gl. (2.2.3) resp. (2.2.5). Ra1 , Ra2 und Berechnung der Kenngr¨ 2.

Rechnerisch durch die Leerlaufspannung Ul = Uq (bei I = 0), den Kurzschlussstrom Ik = Iq (bei U = 0), den Innenwiderstand Ri , indem s¨ amtliche (unabh¨angige28 ) Stromund Spannungsquellen außer Betrieb gesetzt werden (Stromquellen entfernen, Spannungsquellen durch Kurzschluss ersetzen). Der errechnete Widerstand zwischen den Zweipolklemmen AB ist der Innenwiderstand Ri .

Ein weiteres, n¨ utzliches Verfahren ist die Probestrommethode: Man legt an die Schaltung mit außer Kraft gesetzten unabh¨angigen Quellen eine Probestromquelle Ipr und berechnet die Spannung UAB . Der Innenwiderstand ur Netzwerke betr¨agt Ri = UAB /Ipr . Das Verfahren eignet sich besonders f¨ mit gesteuerten Quellen. Bei der experimentellen Bestimmung von Ik wird stillschweigend angenommen, dass der aktive Zweipol die Kurzschlussbelastung vertr¨ agt. Besonders kleine Innenwiderst¨ ande verursachen sehr große Kurzschlussstr¨ ome, die ihn u. U. zerst¨ oren. Zum Erlernen der Grundgesetze wird der Kurzschluss gedanklich ohne Einschr¨ ankung eingesetzt.

Zusammengefasst ergibt sich als L¨ osungsmethodik Zweipoltheorie

1. 2.

3.

4.

Auftrennen des Netzwerkes am Ort der gesuchten Gr¨oße in aktiven und passiven Ersatzzweipol. Bestimmung der Zweipolkennwerte des passiven (Ra ) und aktiven Zweipols (U1 , Ik , Ri ). Entscheidung zwischen Strom- und Spannungsquellenersatzschaltung. Bestimmung der gesuchten Gr¨ oße (UAB , IAB ) mit den Zweipolkennwerten Pkt. 2 bei Zusammenschaltung von passivem und aktivem Zweipol (Modell des Grundstromkreises). Berechnung der gesuchten Netzwerkgr¨ oßen aus der L¨osung Pkt. 3.

Beispiel 2.4.7 Kenngr¨ oßen des aktiven Zweipols Wir ermitteln die Zweipolkenngr¨ oßen f¨ ur folgende Schaltungen (Abb. 2.4.11) 28

Abh¨ angige oder gesteuerte Quellen (Kap. 2.6.4) werden anders ber¨ ucksichtigt.

122

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

Schaltung a Die Leerlaufspannung folgt aus der Spannungsteilerregel UAB |I=0 = Ul = Uq

R2 , R1 + R2

der Innenwiderstand Ri ergibt sich bei Kurzschluss von Uq zu Ri = R1  R2 und der Kurzschlussstrom folgt direkt aus der Schaltung Ik = Uq /R1 = Ul /Ri (Rechenkontrolle). Schaltung b Die Leerlaufspannung setzt sich aus Ul (nur von Iq1 stammend) und Uq2 zusammen (Richtung Uq2 beachten!): Ul = Ul + Uq2 = Iq1 R1 + Uq2 . Der Innenwiderstand betr¨ agt (Abtrennen von Iq1 , Kurzschluss Uq2 ) Ri = R1 + R2 . Der ¨ Kurzschlussstrom wird zweckm¨ aßig mit dem Uberlagerungssatz ermittelt u ¨ ber Ik1 (herr¨ uhrend von Iq1 ) und Iq2 (herr¨ uhrend von Uq2 ): Ik1 = Iq1

G2 R1 = Iq1 G1 + G2 R1 + R2

(Stromteilerregel),

Ik2 =

Uq2 . G1 + G2

Der Gesamtstrom folgt damit zu Ik = Ik1 + Ik2 =

Iq1 R1 + Uq2 . R1 + R2

Schaltung c F¨ ur die Berechnung der Leerlaufspannung berechnet am besten zuuhrend von den Spannungen Uq1 , Uq2 : n¨ achst die Kurzschlussstr¨ ome Ik1 , Ik2 herr¨ Ik1 = Uq1 /R1 , Ik2 = Uq2 /R2 und daraus die Leerlaufspannung Ul : P Ikges Ik1 + Ik2 Uq1 G1 + Uq2 G2 Ik = P = = . Ul = Giges G1 + G2 + G3 G1 + G2 + G3 Gi R1

U= Ul

Uq R2

B

Uq2 B A

R1

Ik

Uq R2

R2

Iq1

Iq1

R1 U‘l

Iq1 R2

Uq1

Ul

Uq2

Iq1

B

c

Uq2

Ul

A R2

Ri

R1

A

B

R3

A

R2

B A

B

a

R1

R2

~

Ri

Uq R2

A

Uq2=0

~

R1

A

A Ik1 +

R1 B

Ik

R1 Uq2

R2

B A

R1

Ik2 B

b

Abb. 2.4.11. Beispiele zur Zweipoltheorie. (a) Einfache Schaltung mit Schritten zur Kenn-

wertbestimmung. (b) Schaltung mit Strom- und Spannungsquelle. (c) Parallelschaltung von zwei linearen Spannungsquellen am Lastwiderstand R3 , Bestimmung der Ersatzgr¨ oßen

2.4

Der Grundstromkreis

123

Gleichwertig kann die Leerlaufspannung auch durch Anwendung der Spannungsteilerregel f¨ ur jede Spannungsquelle gewonnen werden: Ul = Uq1

R3  R 2 R3  R1 Uq1 G1 + Uq2 G2 + Uq2 ≡ . R1 + R3  R2 R2 + R3  R1 G1 + G2 + G3

Das Ergebnis l¨ asst sich identisch umformen. Der Innenwiderstand besteht aus der Parallelschaltung der drei Leitwerte Ri =

1 1 = = R1  R2  R3 . Gi G1 + G2 + G3

Beispiel 2.4.8 Ersatzinnenwiderstand Zur Bestimmung des Ersatzinnenwiderstandes des gegebenen aktiven Zweipols Abb. 2.4.12a werden die Spannungsquellen durch Kurzschluss ersetzt und die Stromquellen aufgetrennt. Dadurch gehen die Widerst¨ ande R1 , R3 nicht in das Ergebnis ein. F¨ ur die u ¨ brige Schaltung Abb. 2.4.12b beginnt die Berechnung in Richtung auf die Klemmen zu. Die Analyse endet mit Ri bzw. Gi 1 1 G = G2 + G4 = + . R2 R4 Der Widerstand R = 1/G besteht aus der Reihenschaltung von R5 und 1/G : R = R5 + 1/G = 1/G . G liegt parallel zu Leitwert G6 und ergibt schließlich Gi = G6 + G = G6 +

1 1 . = G6 + R5 + 1/G R5 + 1/(G2 + G4 )

Zahlenbeispiel: Mit den Werten R2 = 10 Ω, R4 = 30 Ω , R5 = 20 Ω, R6 = 40 Ω ergibt sich: G = 0, 133 S, R = 7, 5 Ω, R = 20 Ω + 7, 5 Ω = 27, 52 Ω, G = 1/R = 36, 4 mS, Gi = 1/(40 Ω) + 36, 4 mS = 61, 4 mS.

¨ 2.4.5 Uberlagerungssatz In einem linearen physikalischen System, auf das mehrere Ursachen ein¨ wirken, entsteht die Gesamtwirkung durch Summation (Uberlagerung) der Teilwirkungen als Folge der Teilursachen (Helmholtz 1853).

Uq2 Iq1

R1

R3 R2

Iq2 R5 R4 Uq3

G‘ A

A R2

R6 B

a

R5

R4

G‘‘

b

R6 Gi B

Abb. 2.4.12. Bestimmung des Innenwiderstandes am aktiven Zweipol. (a) Schaltung (aufgetrennte Stromquellen). (b) Ersatzanordnung zur Bestimmung des Innenwiderstandes

124

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

Eine Teilwirkung wird bestimmt durch Nullsetzen aller Teilursachen außer der gerade betrachteten. Daraus folgt weiter: ¨ Ein physikalisches System ist linear, wenn der Uberlagerungssatz zutrifft und umgekehrt. ¨ Der Uberlagerungssatz gilt universell. Er bestimmt lineare Zusammenh¨ange in vielen Teilgebieten der Physik. In Netzwerken mit mehreren Quellen (aufgefasst als Teilursachen) denkt man sich dann die Str¨ome bzw. Spannungen in ¨ den einzelnen Netzwerkzweigen entstanden als Uberlagerung von Teilwirkungen, die sich zur betreffenden Gesamtgr¨ oße addieren. Dieser Ansatz vereinfacht die Netzwerkanalyse merklich, denn zur Berechnung der Teilwirkungen reichen oft Zweipolbetrachtungen: In einem linearen Netzwerk mit mehreren unabh¨angigen Quellen (Spannung, Strom) kann jede Zweiggr¨ oße (Strom, Spannung) als vorzeichenbehaftete Summe der Teilzweiggr¨ oßen berechnet werden, die jeweils von einer unabh¨angigen Quelle (bei Nullsetzung der restlichen) herr¨ uhren: ¨ Uberlagerungs-, Superpositionsprinzip. Nullsetzen einer nicht ben¨ otigten Spannung heißt, ihren Quellenwert auf null zu setzen, (nicht den Innenwiderstand bzw. Innenleitwert!). Bei Stromquellen gilt entsprechendes: man setzt den Quellenstrom auf null, ihr Innenleitwert bleibt in der Schaltung.

¨ L¨ osungsmethodik Uberlagerungssatz

1.

2. 3.

Setze alle unabh¨ angigen Quellen Qn (außer der ersten) außer Betrieb (ideale Spannungsquellen durch Kurzschluss ersetzen, ideale Stromquellen auftrennen, Leerlauf) und berechne die gesuchte Zweiggr¨oße, z. B. uhrend von Q1 (mit einer zweckm¨aßigen Meden Zweigstrom Iν1 herr¨ thode). Verfahre so der Reihe nach mit allen anderen Quellen: berechne also die gesuchte Zweiggr¨ oße Iν2 , herr¨ uhrend von Q2 usw. Addiere die Teilwirkung Iν1 . . . Iνn vorzeichenbehaftet zur Gesamtwirkung Iνges .

Hinweis: ¨ gesteuerte Quellen (s. Kap. 2.6) werden bei Anwendung des Uberlagerungssatzes nicht außer Betrieb gesetzt, sie beeinflussen daher die Teilergebnisse; ¨ vor Anwendung des Uberlagerungssatzes Schaltung vereinfachen; bei Analyse eines Netzwerkes mit mehreren unabh¨ angigen Quellen mittels der Kirchhoffschen Gleichungen (oder darauf aufbauender Verfahren) treten in der ¨ L¨ osung die einzelnen Quellenanteile additiv auf. Das ist Ergebnis des Uberlagerungssatzes.

2.4

Der Grundstromkreis

125

¨ Der Aufwand bei Anwendung des Ubertragungssatzes sinkt, wenn Quellengruppen zusammengefasst werden, z. B. alle Strom- und Spannungsquellen. Andererseits kann zur Berechnung der Einzelwirkungen die Zweipoltheorie dienen. ¨ Der Uberlagerungssatz versagt bei nichtlinearen Ursache-Wirkungs-Zusammenh¨angen, also nichtlinearen Netzwerken oder f¨ ur Leistungen auch in linearen (!) Netzwerken. So soll ein gesuchter Zweigstrom durch einen Widerstand R aus zwei Anteilen be2 stehen: Iges = I1` + I2 . Dann betr¨ ´ agt die Leistung im Widerstand P = RI = 2 2 2 ¨ osung). Nach dem Uberlagerungssatz R (I1 + I2 ) = R I1 + 2I1 I2 + I2 (richtige L¨ ¨ w¨ urde folgen: nur Strom I1 :→ Pl = `RI12 , nur Strom I2 : → P2 = RI22 . Die Uberla´ gerung ergibt: Pges = P1 + P2 = R I12 + I22 = R(I1 + I2 )2 (falsch!). Dabei ist es gleichg¨ ultig, ob das Netzwerkelement in seinem aktiven oder passiven Teil liegt. Ber¨ ucksichtigt man beispielsweise eine Widerstands¨ anderung durch Eigenerw¨ ar¨ mung, so wird er nichtlinear und es darf der Uberlagerungssatz nicht angewendet werden. Ob der Effekt im Einzelfall relevant ist, muss fallspezifisch entschieden werden (s. Beispiel 2.3.2).

¨ Beispiel 2.4.9 Uberlagerungssatz Im Netzwerk Abb. 2.4.13 soll die Spannung U3 ¨ (in der angenommenen Richtung) durch Uberlagerung bestimmt werden. Nach der L¨ osungsmethodik sind folgende Schritte durchzuf¨ uhren:

1.

Kurzschluss aller Spannungsquellen außer Uq1 (hier also Uq2 = 0). Damit verbleibt Schaltung b). Nach der Spannungsteilerregel ergibt sich der Spannungsuhrend von Uq1 : abfall U3 herr¨ R2  R3 R2 R3  U3 = Uq1 = Uq1 . R 1 + R2  R 3 R1 (R2 + R3 ) + R2 R3

A R1

R2

R3

Uq1 B

a

A

U3

R1 Uq1

Uq2

U3=U3‘-U3‘‘

A

R3

R2

R1

+

U3'

U3'‘

R2 Uq2

B Uq1= 0, Kurzschluss

B Uq2= 0, Kurzschluss

b

R3

c

¨ Abb. 2.4.13. Bestimmung der Ersatzgr¨ oßen eines aktiven Zweipols mit dem Uberlagerungssatz. (a) Ausgangsschaltung. (b) Verh¨ altnisse, wenn nur Quelle Uq1 wirkt, (b) dto. bei Wirkung nur der Quelle Uq2

126

2.

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

Kurzschluss aller Spannungsquellen außer Uq2 (Abb. c). Wegen der Richtung von Uq2 entsteht der Spannungsabfall U3 in der eingetragenen Weise positiv. Die Spannungsteilerregel f¨ uhrt auf U3 = Uq2

3.

R1  R3 . R2 + R1  R3

¨ uhrten Richtung auszugehen, Die Uberlagerung hat von der f¨ ur U3 positiv eingef¨ deshalb ist die Differenz zu bilden Uq1 R2 R3 Uq2 R1 R3 U3 = U3 − U3 = − R1 (R2 + R3 ) + R2 R3 R2 (R1 + R3 ) + R1 R3 R3 (Uq1 R2 − Uq2 R1 ) = . R2 (R1 + R3 ) + R1 R3

Bei L¨ osung des Problems mit den Kirchhoffschen S¨ atzen steigt der Aufwand.

2.5

2.5 Nichtlinearer resistiver Grundstromkreis* Einf¨ uhrung Zahlreiche Bauelemente, wie etwa Gl¨ uhl¨ampchen, Heiß-, Kaltlei-

ter, Dioden, Transistoren, Batterien, Solarzellen, elektronische Netzger¨ate, Spulen mit Eisenkern oder nichtlineare Kapazit¨aten rechtfertigen die Erweiterung des Grundstromkreises zum nichtlinearen Grundstromkreis. Uneingeschr¨ankt gelten auch f¨ ur den nichtlinearen Grundstromkreis die Kirchhoffschen S¨ atze, denn sie basieren auf physikalischen Grundaxiomen. Wenigstens eine Zweigbeziehung ist dabei nichtlinear. Dann entsteht stets ein nichtlineares Gleichungssystem f¨ ur die unabh¨angigen Str¨ome und Spannungen. Eine explizite L¨ osung nach den Unbekannten ist allgemein nicht m¨ oglich. Im Grundstromkreis k¨ onnen entweder der passive oder der aktive Zweipol oder beide nichtlinear sein. Beispielsweise ist jede Transistorgrundschaltung mit einem Transistor als Lastelement, die sog. Transistorlastschaltung, einerseits ein nichtlinearer Grundstromkreis, andererseits eine in der Elektronik massenhaft eingesetzte Schaltung (n¨ ahere Einzelheiten s. Kap. 2.7.5). Selbst eine Solarzelle mit angeschlossenem Lastelement ist ein verbreiteter nichtlinearer Grundstromkreis.

Enth¨alt das Netzwerk nur ein nichtlineares Schaltelement, so l¨asst sich der Teil außerhalb dieses Elementes stets durch einen aktiven (linearen) Zweipol ersetzen und so das Problem auf den Grundstromkreis mit einem nichtlinearen passiven Zweipol zur¨ uckf¨ uhren. Die Analyse des nichtlinearen Grundstromkreises umfasst zwei Schritte: 1.

Schaltungsaufbereitung, d. h. Wahl der Bauelemente-/ Netzwerkmodelle und ihrer Klemmenbeschreibung (analytisch, grafisch, st¨ uckweise lineare Approximation),

2.5

Nichtlinearer resistiver Grundstromkreis*

127

Trennung in linearen und nichtlinearen Teil (wenn m¨oglich), Ersatz des linearen Teils durch eine Zweipolersatzschaltung. 2.

Netzwerkanalyse, z. B. analytisch (was nur selten gelingen d¨ urfte), grafisch (anschaulich, erlaubt einen qualitativen Einblick), numerisch durch entsprechende L¨ osungsverfahren oder besser durch Schaltungssimulation. Solche Programme (wie z. B. Multisim/EWB, PSPICE) enthalten Modelle aller g¨ angigen nichtlinearen Bauelemente, verf¨ ugen u osung nichtlinearer Gleichungen und ¨ ber Methoden zur L¨ geben die Ergebnisse komfortabel aus.

Die Netzwerkanalyse schließt neben der Arbeitspunktbestimmung gew¨ohnlich ¨ eine Kleinsignalanalyse ein mit dem Ziel, Aussagen zum Ubertragungsver¨ halten bei kleinen Anderungen der Signalspannung zu erhalten. F¨ urs erste betrachten wir den Grundstromkreis aus linearem aktiven und nichtlinearem passiven Zweipol mit dem Ziel, eine Ersatzkennlinie zu konstruieren. 2.5.1 Zusammenschaltung nichtlinearer und linearer Schaltelemente, Ersatzkennlinie Beim Zusammenschalten eines nichtlinearen und eines linearen Elementes gelten entsprechend der Knoten- und Maschens¨atze Addition der Teilspannungen bei Reihenschaltung f¨ ur gegebenen Strom, Addition der Str¨ ome f¨ ur eine gegebene Spannung. Im Ergebnis entsteht eine Ersatzkennlinie. So bei einer   sind beispielsweise UD Halbleiterdiode mit der Kennlinie I(UD ) = IS exp UT − 1 nach Gl. (2.3.14) bei Reihenschaltung eines Widerstandes R die Teilspannungen U1 + UD = U f¨ ur jeden Stromwert zu addieren (Abb. 2.5.1a). Das Ergebnis I(U ) ist die Ersatzkennlinie.   I U = U1 + UD = IR + UT ln + 1 = U (I). (2.5.1a) IS Die Umkehrfunktion existiert nicht. Der Zusatzwiderstand R verflacht“ (li” nearisiert) den Verlauf, man spricht auch von Scherung der Diodenkennlinie. Bei einer Parallelschaltung liegt an beiden Elementen die gleiche Spannung ome I1 , I2 f¨ ur jede Spannung U zu U = UD und deshalb sind die Teilstr¨ addieren   U U = I(U ). (2.5.1b) −1 + I = I1 + I2 = IS exp UT R

128

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

Auch hier schw¨acht der ohmsche Leitwert 1/R die Nichtlinearit¨at ab. Eine Ersatzkennlinie l¨ asst sich auch f¨ ur einen nichtlinearen aktiven Zweipol konstruieren, beispielsweise durch Zusammenschalten einer idealen Quelle mit einem nichtlinearen Element. Zu seinem Aufbau ist vorab die Darstellung einer Nichtlinearit¨ at, hier stellvertretend wieder eine Halbleiterdiode, in verschiedenen I, U -Zuordnungen zweckm¨aßig (Abb. 2.5.1b). Dabei wird zwischen Diodengr¨ oßen ID , UD , gebunden an das Schaltzeichen und den Klemmengr¨oßen I, U unterschieden. Im VPS folgt mit Kennlinie (1) nach Gl. (2.5.1a) die u ¨ bliche Form. Bei Umpolung der Diode und Darstellung wieder im VPS (I = −ID , U = −UD ) entsteht Kennlinie (2) durch Spiegelung der Kennlinie (1) sowohl an der I- als auch U -Achse. Wird dagegen Kennlinie (1) im EPS dargestellt (I = −ID , U = UD ), so erh¨alt man Kennlinie (3) als Spiegelung der Kennlinie (1) an der U -Achse. Je nach Zuordnung der Klemmengr¨oßen zu den vereinbarten I, U -Richtungen entstehen ganz unterschiedliche Kennlinien! Mit diesen Vorbetrachtungen l¨ asst sich durch Reihenschaltung einer idealen Spannungsquelle Uq leicht eine Spannungsquelle mit nichtlinearem Innenwi” derstand“ modellieren (Abb. 2.5.2). Die Reihenschaltung von Diode (VPS) und Spannungsquelle Uq (Abb. 2.5.2a) verschiebt die Diodenkennlinie um Uq nach rechts. Das ist der Verlauf Abb. 2.5.2b in Erzeugerpfeilrichtung. Zu Abb. a) geh¨ort mit U = UD + Uq die Ersatzkennlinie   U − Uq I = ID = IS exp −1 . (2.5.2) UT

I

U1

UD

I

UD, ID

UD, ID I

I

ID U I 1 2 U1

UD U1+UD

U

U UD, ID I

U U

3

a

b

Abb. 2.5.1. Kennlinien einer Halbleiterdiode als Beispiel eines nichtlinearen passiven Zwei-

pols. (a) Reihenschaltung Diode und Widerstand, Ersatzkennlinie durch Spannungsaddition. (b) Kennliniendarstellungen mit verschiedenen Strom-Spannungs-Z¨ ahlpfeilsystemen (1), (2) VPS, (3) EPS

2.5

Nichtlinearer resistiver Grundstromkreis* Iq

I

UD

UD

I

I ID

ID

UD

Uq

I

U

U

Uq

I

0 -I S

c

I

EPS, I = -ID

IS 0

U

Uq

b UD

I

Uq I

UD

Iq

ID

Ik

Uq

U

U

Uq

Iq

a

UD ID

VPS, I = ID

0 -IS

129

ID U

U‘= - U= Uq- UD

Uq

Iq I

EPS, U = -U‘, I = ID,

IS

U‘

0

EPS, I = -ID

Ri=const

Ul

U

d

Abb. 2.5.2. Nichtlinearer aktiver Zweipol. (a) Reihen-/Parallelschaltung von flussgepolter Diode mit Spannungs- oder Stromquelle, Darstellung im VPS. (b) Reihenschaltung von Spannungsquelle mit sperrgepolter Diode. (c) Reihenschaltung von Spannungsquelle und flussgepolter Diode, EPS. (d) Parallelschaltung von Stromquelle und flussgepolter Diode, EPS

Ein Flussstrom I > 0 fließt nur, wenn die anliegende Spannung U gr¨oßer als die Quellenspannung Uq ist: Zweipol mit Gegenspannung“. Bei umge” polter Stromrichtung an der Diode (Anordnung arbeitet als aktiver Zweipol, ¨ Ubergang zur EPS an der Diode) entsteht die Ersatzkennlinie: Spannungs” quelle mit Leerlaufspannung Ul = Uq “, nichtlinearem Innenwiderstand und kleinem Kurzschlussstrom Ik = IS . Das ist anschaulich verst¨andlich, es liegt die Reihenschaltung von Spannungsquelle und gesperrter Diode vor: die Spannung Uq sperrt“ die Diode bei Kurzschluss des aktiven Zweipols und es kann ” maximal der S¨attigungsstrom IS fließen. Die Ersatzkennlinie folgt aus der Diodengleichung (2.3.14) sowie I = −ID und dem Maschensatz U = UD + Uq zu     UD U − Uq − 1 = IS 1 − exp . I = −ID = −IS exp UT UT Das ist die Kennlinie von Abb. 2.5.2a, gespiegelt an der U -Achse. Wird das EPS beibehalten, die Diode aber umgepolt (Abb. 2.5.2c), so entsteht wieder die Ersatzkennlinie einer Spannungsquelle mit nichtlinearem ”

130

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

Innenwiderstand“, aber hohem Kurzschlussstrom Ik . Bei Kurzschluss des aktiven Zweipols liegt die Spannungsquelle Uq voll u ¨ber der flussgepolten Diode. Die Ersatzkennlinie lautet mit I = ID und UD = Uq − U   −U Uq − U I = IS exp − 1 ≈ Ik exp , UT UT   U U da Ik = IS exp UTq − 1 ≈ IS exp UTq . Das ist Kennlinie a), gespiegelt um die I-Achse am Punkt Uq . Sie beginnt im Flussbereich mit dem Kurzschlussstrom Ik und geht bei Uq durch null. Wird schließlich der Diode (in EPS, Kennlinie (3)) in Abb. 2.5.2b eine Stromquelle Iq parallel geschaltet (Abb. 2.5.2d), so ergibt sich mit UD = U , ID = −I1 die Ersatzkennlinie   U I = Iq +I1 = Iq −IS exp − 1 mit Ik = I|U=0 = Iq −IS ≈ Iq .(2.5.3) UT Schaltet man in Abb. 2.5.2a der Diode eine Stromquelle Iq parallel (mit ¨ I = ID − Iq ), so verschiebt sich die Kennlinie (bei Uq = 0) nach −Iq . Ubergang zum EPS bedeutet Umkehr des Gesamtstromes, also Spiegelung an der U -Achse und so erkl¨ art sich die Kennlinie Abb. 2.5.2d. Das Ergebnis stellt Kennlinie und Modell einer Solarzelle bzw. Fotodiode dar. Die Stromquelle Iq ist der einfallenden Strahlung proportional, sie entspricht praktisch dem Kurzschlussstrom Ik der Ersatzquelle. Die Solarzelle wird durch einen nichtlinearen aktiven Zweipol mit dem Kurzschlussstrom Ik und einer Leerlaufspannung Ul modelliert. F¨ ur diesen nichtlinearen aktiven Zweipol gilt nicht Ul = Ik Ri , denn die Nichtlinearit¨ at erlaubt keine Definition des Innenwiderstandes Ri !

Die Ersatzkennlinie einer idealen Spannungs- bzw. Stromquelle zusammengeschaltet mit einer Halbleiterdiode repr¨ asentiert drei typische, nichtlineare aktive Zweipole: den Stromquellentyp mit Stroms¨ attigungscharakter u ¨ ber einen gr¨oßeren Spannungsbereich (Abb. 2.5.2b), dazu m¨ usste allerdings der als Quellenstrom Iq fungierende Diodens¨ attigungsstrom einstellbar“ sein. Dieser ” Quellentyp wird auch als Konstantstromquelle bezeichnet (s. Abb. 2.2.1): Eine Konstantstromquelle ist ein aktiver Zweipol, dessen Klemmenstrom in bestimmten Grenzen konstant ist. Sie arbeitet in diesen Grenzen wie eine ideale Stromquelle (Abb. 2.2.1b).

2.5

Nichtlinearer resistiver Grundstromkreis*

131

den niederohmigen Spannungsquellentyp mit geringerem Innenwiderstand im Vergleich zur linearen Zweipolquelle (Abb. 2.5.2c), er legt die Grundlage f¨ ur die Konstantspannungsquelle: Eine Konstantspannungsquelle ist ein aktiver Zweipol, dessen Klemmenspannung in bestimmten Grenzen konstant bleibt. Sie arbeitet in diesen Grenzen wie eine ideale Spannungsquelle (Abb. 2.2.1a). den Stromquellentyp ohne Hilfsspannung mit eingepr¨agtem Quellenstrom und relativ kleiner Leerlaufspannung Uq , gegeben durch die Diodenflussspannung (0,7 V) (Abb. 2.5.2d). W¨ ahrend die letzte Form eine nat¨ urliche Ersatzschaltung der Solarzelle und des Fotoelementes ist, hat die erstgenannte Stromquelle grunds¨ atzliche Bedeutung f¨ ur die Transistorschaltungstechnik (s. Kap. 2.7.5).

2.5.2 Kennlinienapproximationen Oft vereinfacht sich die Schaltungsanalyse, wenn eine nichtlineare Kennlinie durch eine einfachere Form approximiert und ggf. durch eine Ersatzschaltung nachgebildet wird. Approximationsfunktionen sind Potenzkennlinien, die tanh-Kennlinie f¨ ur eine S¨ attigungsfunktion, st¨ uckweise lineare Ann¨aherungen oder das Schaltermodell. Am Beispiel der Halbleiterdiode wird das Verfahren gezeigt (Abb. 2.5.3). Ausgang ist die Diodenkennlinie I = f (U ) Gl. (2.3.14) als nichtlineare algebraische Gleichung mit richtungsabh¨angigem Stromfluss. Ein idealer Gleichrichter h¨ atte allerdings folgende Eigenschaften U = 0 I = 0

I≥0 . U ≤0

f¨ ur f¨ ur

U

UF

I

Idealer Gleichrichter (2.5.4)

I

U I

I RF

I I

UF

idealer Gleichrichter

RF

RF 0

a

UF U

0

b

UF U

-IS

UF IRF U

c

Abb. 2.5.3. Kennlinienn¨ aherungen der Halbleiterdiode. (a) Ideale Gleichrichtung, Schalter-

modell (Knickkennlinie). (b) Erg¨ anzung einer Versetzungsspannung UF . (c) Knickkennlinie aherung der tats¨ achlichen Kennlinie (Fluss- und Sperrbemit Zusatzwiderstand RF als N¨ reich unterschiedliche Maßst¨ abe)

132

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

Sie bilden das Schaltermodell mit einer Umschaltvorschrift Gl. (2.3.26). Die Abbildung zeigt das entsprechende Schaltsymbol. Der ideale Gleichrichter hat im Flussfall keinen Spannungsabfall und f¨ uhrt im Sperrfall keinen Strom. Im n¨achsten Schritt wird das Modell durch eine Flussspannung UF (Richtwert 0,7 V) in Reihe zur idealen Diode erg¨ anzt (Kennlinienverschiebung nach rechts). Um schließlich einen endlichen Widerstand RF im Flusszustand zu modellieren (Bahnwiderst¨ ande, aber auch zur Ann¨ aherung an die reale Diodenkennlinie), wird der Flusswiderstand RF in Reihe zur ideale Diode geschaltet (Abb. 2.5.3b). So entsteht eine st¨ uckweise gen¨ aherte Kennlinie. Stromfluss erfolgt erst, wenn die anliegende Spannung gr¨ oßer als die Flussspannung ist. Die eingef¨ uhrte ideale Spannungsquelle hat die Bedeutung eines hypothetischen Netzwerkelementes (sie wirkt hier als Leistungsverbraucher!) und speist keine Energie in den Kreis (sonst m¨ usste die Spannung bei leerlaufender Diode messbar sein).

Experimentell werden die Hilfsspannung UF und der Flusswiderstand RF aus der realen Diodenkennlinie bestimmt: Anlegen einer Tangente an die Kennlinie bei merklichem Flussstrom und Bestimmung von RF und UF als Achsenabschnitt (Abb. 2.5.3c). Auf die Modellierung des S¨attigungsstromes verzichtet dieses einfache Modell. Es dient z. B. zur Modellierung einer ZDiode, deren Sperrstrom bei einer bestimmten Spannung, der Z-Spannung, steil ansteigt. Als Ersatzschaltung werden zwei Knickdiodenmodelle parallel geschaltet: eines f¨ ur die Flussrichtung, ein zweites (antiparallel) f¨ ur die Sperrrichtung. Das Diodenmodell eignet sich gut zur Modellierung einer Konstantspannungsquelle. Eine Stromeinpr¨ agung in eine flussgepolte Diode stellt etwa die Fluss¨ sich die Eingangsspanspannung UF ≈ 0, 7 V ein (Abb. 2.5.4a, b). Andert

I

I

R1 Uq

UZ

RF

RF

UF

UZ

UF ΔUA

a

IZ

UA ΔI

b

UA

Uq

ΔUq

U

UZ

UF U IZ

c

Abb. 2.5.4. Spannungsstabilisierung durch eine Diode. (a) Stabilisierung einer Spannung

durch flussgepolte Diode, Ersatzschaltung mit abschnittsweise linearem Diodenmodell. (b) Kennlinie zur Anordnung (a). (c) Stabilisierung mit Z-Diode bei Ersatz der Diode in Abb. (a) durch eine Z-Diode

2.5

Nichtlinearer resistiver Grundstromkreis*

133

nung Uq um ΔUq , so schwankt die Ausgangsspannung um ΔUA rd rd ΔUA = ΔUq ≈ ΔUq . (2.5.5) rd + R1 R1 Sie sinkt mit abnehmendem differenziellen Widerstand der Kennlinie: die Schaltung wirkt spannungsstabilisierend. Das gleiche Prinzip nutzt die ZDiode (Abb. 2.5.4c). Sie hat nicht nur eine h¨ ohere Ausgangsspannung (die ZSpannung), sondern erlaubt wegen des deutlich kleineren Widerstandes auch eine bessere Stabilisierung. 2.5.3 Arbeitspunkteinstellung Beim Zusammenschalten des nichtlinearen aktiven Zweipols mit einem nichtlinearen passiven Zweipol m¨ ussen die Strom-Spannungsbeziehungen an der Schnittstelle u ¨bereinstimmen. Das Ergebnis ist der Arbeitspunkt AP: UA , IA . Wir beschr¨anken uns hier wegen der Anschaulichkeit auf eine grafische L¨osung. Es gilt die L¨ osungsstrategie Grafische Arbeitspunktbestimmung“ ”

Eintragen der Kennlinien der aktiven und passive Zweipole in ein gemeinsames Diagramm (mit linearen I, U -Maßst¨ aben, Erkennen der Leerlaufspannung und des Kurzschlussstromes aus den Achsenabschnitten U  = Uq (I = 0), Ik = Iq (U = 0)). Aufsuchen des Schnittpunktes beider Kennlinien: Arbeitspunkt. Sind mehrere m¨oglich, so ist eine Stabilit¨ ats¨ uberlegung erforderlich.

Beispiel 2.5.1 Arbeitspunkt Wir schalten einen passiven Zweipol mit der Diodenkennlinie Gl. (2.3.14) an einen linearen aktiven Zweipol (Abb. 2.5.5a). Der Maschensatz ergibt: Uq = IRi + U = IRi + UT ln(I/IS + 1) f¨ ur den unbekannten Strom ur die unbekannte Spannung U . I oder U = Uq − IRi = Uq − Ri IS (exp U/UT − 1) f¨ Die Gleichungen sind nicht explizit nach U bzw. I aufl¨ osbar, also analytisch nicht zu behandeln. Zur grafischen L¨ osung (Abb. 2.5.5b) wird folgendermaßen verfahren: Aufzeichnen der U, I-Kennlinien der aktiven und passiven Zweipole, der Schnittpunkt beider Kurven ist der Arbeitspunkt. F¨ ur die Zahlenwerte Uq = 1 V, IS = 1 nA, Ri = 100 Ω, agt er (zeichnerische Genauigkeit) I ≈ 6 mA, U ≈ 0, 4 V. UT = 25 mV betr¨

Die Kirchhoffschen Gleichungen f¨ uhren bei nichtlinearen Netzwerken immer auf ein nichtlineares Gleichungssystem. In Sonderf¨ allen (abh¨ angig von der Nichtlinearit¨ at) gelingt eine analytische L¨ osung, z. B. bei Potenzkennlinien der Form I = kU Z . Beispielsweise liefert die Reihenschaltung der Spannungsquelle Uq mit dem Wider-

134

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente U=f(I) A I Ui(I) Uq

U B

passiver aktiver nichtlinearer Zweipol

U-Quelle Ui(I)

U Uq

Ri

I=f (U)

AP

I=g(U) Iq

Ri

Im

0

A A‘

B B‘

Ra=Uq/Ik

b

a

AP‘

g(I)

U=f(I)

U

B

I-Quelle

I Iq

-1

AI

Ra

Gaopt=Iq/Ul

Iq=Ik I

0

Um Uq=Ul U

c

Abb. 2.5.5.

Grundstromkreis mit nichtlinearen aktiven und passiven Zweipolen. (a) Spannungs- und Stromquellendarstellung. (b) Graphische Arbeitspunktermittlung. (c) Leistungsabgabe an den passiven Zweipol bei nichtlinearer Quelle mit Rechteck- bzw. angen¨ aherter stetiger Kennlinie

stand R und dem nichtlinearen Netzwerkelement I = kU 2 die Maschengleichung Uq = U + RkU 2 , die sich analytisch l¨ osen l¨ asst.

Auf numerische L¨ osungsverfahren verzichten wir, da hierf¨ ur heute Simulationsprogramme eingesetzt werden und derartige L¨osungen nur noch in Sonderf¨allen anfallen (Kap. 3.5). 2.5.4 Leistungsumsatz im nichtlinearen Grundstromkreis Auch der nichtlineare Grundstromstromkreis hat die gleiche Energieproblematik des entsprechenden linearen Stromkreises (s. Kap. 2.4.2), der Unterschied besteht aber darin, dass der aktive Zweipol nur u ugt und ¨ ber eine begrenzte Leistung verf¨ der Begriff Widerstand nicht existiert, sondern durch die jeweilige nichtlineare U, I-Relation ersetzt werden muss. Daher macht auch die Anpassbedingung Ri = Ra keinen Sinn. Als Vorbereitung betrachten wir einen st¨ uckweise linearen aktiven Zweipol, der bis zur Quellenspannung den konstanten Quellenstrom Iq liefert und bei U = Uq abrupt auf null f¨ allt (Abb. 2.5.5b, c). Seine angebotene Leistung Pq = Uq Iq (Gl. (2.4.8)) macht Sinn: es ist die Leistungsfl¨ache, die er tats¨achlich bereitstellt. Bei Belastung mit einem variablen Lastleitwert ur Ga = I/U wird die Verbraucherleistung Pa = IU = U 2 Ga umgesetzt. F¨ großen Leitwert stellt sich konstanter Strom bei variabler Spannung ein, bei

2.5

Nichtlinearer resistiver Grundstromkreis*

135

kleinem Lastleitwert bleibt die Spannung konstant und der Strom f¨allt. Die im Verbraucher umgesetzte Leistung hat dann im Punkt Iq , Uq ihr Maximum Gaopt =

Iq . Uq

maximale Leistungsabgabe (2.5.6) an den Verbraucher

Es gibt einen Arbeitspunkt Iq , Uq , bei dem an den Verbraucher die maximale Leistung (gleich der angebotenen Leistung des aktiven Zweipols) abgegeben wird: Pmax = Im Um = Iq Uq . (Arbeitspunkt maximaler Leistung [MPP, Maximum Power Point]). Dann erreicht der Leistungswirkungsgrad oder der F¨ ullfaktor FF den Wert 1: FF =

Pa Im Um = ≤ 1. Pverv Iq Uq

(2.5.7)

Im n¨achsten Schritt w¨ ahlen wir einen aktiven Zweipol mit stetiger, nichtlinearer Kennlinie, die sich der Rechteckkennlinie anschmiegt (Abb. 2.5.5c). Das entspricht einer Quelle mit nichtlinearem Innenleitwert und den Ersatzgr¨oßen ur die Konstantstromquelle, beispielsweise eine Iq , Uq . Diese Form ist typisch f¨ Solarzelle. Jetzt gibt es den Arbeitspunkt A’ mit maximaler Leistungsabgabe (gr¨oßte Leistungsfl¨ ache Im Um ) an den Verbraucher. Diese Leistung ist gr¨oßer als im linearen Grundstromkreises bei Anpassung (Arbeitspunkt B, ullfaktor 1/4 s. Kap. 2.4.2), aber kleiner als Iq Uq Im = Iq /2, Um = Uq /2, F¨ (F¨ ullfaktor 1). Der Grundstromkreis mit nichtlinearem aktiven Zweipol vom Solarzellentyp hat im Gleichstromverhalten einen h¨ oheren F¨ ullfaktor als der lineare Grundstromkreis. Vertiefung Wir suchen die an einen Verbraucher maximal abgebbare Leistung einer Solarzelle nach Abb. 2.5.6 mit der Kennlinie Gl. (2.5.3). Dabei stammt die Einstr¨omung Iq von der Solarstrahlung, die parallel liegende Diode simuliert den nichtlinearen Innenleitwert. Das Lastelement Ga ist linear. Bahnwiderst¨ande der Solarzelle werden vernachl¨ assigt, auch soll der S¨attigungsstrom omung Iq sein. Ihre Leerlaufspannung Ul liegt IS deutlich kleiner als die Einstr¨ durch die Bedingung (Gl. (2.5.3)) I(Ul ) = 0 fest (Gr¨oßenordnung 0, 7 . . . 0, 9 V bei Si-Solarzellen, andere Ausf¨ uhrungen geringf¨ ugig h¨oher).

Der Lastleitwert erh¨ alt die Leistung P = U · I      U U Ul −1 = U · IS exp − exp P = U · Iq − IS exp . (2.5.8) UT UT UT Der Verlauf steigt zun¨ achst proportional zu U , um schließlich durch den Diodenterm wieder abzufallen, sobald sich die Klemmenspannung U der Leerahert. laufspannung Ul n¨

136

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

Die maximal abgegebene Leistung Pm = Um · Im folgt aus der Bedingung dP alt mit Gl. (2.5.8) f¨ ur U ≡ Um dU = 0. Man erh¨   Um Iq Um +1− 1+ =0 (2.5.9a) exp IS UT UT bzw.

  Um Ul Um − 1+ = 0. exp exp UT UT UT

(2.5.9b)

Die erste Beziehung ergibt den Zusammenhang von Um und Iq , die zweite den von Um und Ul . Aus der ersten Beziehung muss die Spannung Um numerisch berechnet werden. Durch R¨ uckeinsetzen in die Kennliniengleichung ergibt sich der zum Maximum geh¨ orige Strom Im :   Um Iq Im = +1 · . (2.5.10) IS IS Um + UT Im letzten Schritt wird die im Maximum umgesetzte Leistung Pm mit Gl. (2.5.9) bestimmt 2 Um Pm = Um · Im = (Iq + IS ) · Um + UT  UT  ≈ (Iq + IS ) · Um 1 − Um Um UT

(2.5.11)

ausgedr¨ uckt durch die Rechteckfl¨ ache Im ·Um im I, U -Diagramm. Dazu geh¨ort der optimale Lastleitwert Ga |opt =

Im (Iq + IS ) · Um Iq = . ≈ Um Um · (Um + UT ) Um

I, P Solarzelle, I(U) ID(U)=g(U) Iq A Im A

I dg

A‘

dU

Gaopt=Iq/Ul

I U

Iq B

dP

Ga

P 0

b

dU

=0

Gaopt

m

Um

m

A‘

I(U)

ID(U)

a

(2.5.12)

Ul U

c

U

Abb. 2.5.6. Zur Leistungsabgabe bei nichtlinearer Quelle. (a) Nichtlinearer Grundsstrom-

kreis. Ersatzschaltung einer Solarzelle aus eingepr¨ agtem Quellenstrom und Diode zur Darstellung des nichtlinearen Innenleitwertes. (b) Kennlinie des aktiven und passiven Zweipols und Verlauf der abgegebenen Leistung. (c) Ersatzschaltung im Arbeitspunkt f¨ ur kleine ¨ Strom-Spannungs-Anderungen bei maximal abgegebener Leistung

2.5

Nichtlinearer resistiver Grundstromkreis*

137

Mit der Bezugsleistung Pq = Iq Ul (mit Uq = Ul ) lautet schließlich der Leistungswirkungsgrad bzw. F¨ ullfaktor   2 Um Pm Um Im IS 1   · η = = = 1+ · Pq Ul Iq Iq Um + UT U + U ln 1 + Um m T UT Um .  (2.5.13) ≈ m Um + UT ln 1 + U UT F¨ ur Um /UT = 20 betr¨ agt er beispielsweise 82%, f¨ ur Um /UT = 40 → 94%! Die Solarzelle gibt als Konstantstromquelle“ zufolge ihrer rechteck¨ahn” lichen Kennlinie eine wesentlich h¨ ohere Gleichleistung an das Lastelement ab als ein linearer aktiver Zweipol! Im letzten Schritt suchen wir eine Beziehung zwischen dem optimalen Lastleitwert Gaopt und einem Innenleitwert der Solarzelle. Im Maximum a¨ndert sich die an den Verbraucher abgegebene Leistung nicht mit der Spannung   = 0 war der Ansatz zur Berechnung des Arbeitsund die Bedingung dP dU m   punktes Um , Im . Gleichzeitig muss dort auch dP dI m = 0 gelten, denn nach Abb. 2.5.6b a¨ndert sich im Leistungsmaximum der Strom ebenfalls nicht. Wegen Pm = Im Um (Im ) folgt daraus allgemein   dP (I · U (I))  dU   = U (I)|m + Im dI  = U (I)|m + Im rd |m = 0. (2.5.14) dI m m Im letzten Term ist rd der differenzielle Widerstand des nichtlinearen aktiven Zweipols im Maximum. Bei optimaler Leistungsabgabe stimmen der optimale Lastwiderstand mit dem differenziellen Innenwiderstand des aktiven Zweipols u ¨berein   Um  dU  Ra |m = = = rd |m,Quelle . (2.5.15) Im Last dI m F¨ ur die Leitwertdarstellung gilt das entsprechende, den Leitwert gd = 1/rd bestimmen wir aus der Kennliniengleichung  d(−I)  IS Um Im gd = = exp = = Gaopt . (2.5.16) dU  UT UT Um m

Maximale Leistungsabgabe an den Verbraucher bedeutet bei nichtlinearer Quelle, dass der Abschlussleitwert des linearen Zweipols mit dem Kleinsignalleitwert des nichtlinearen aktiven Zweipols im Punkt maximaler Leistungsabgabe u ¨ bereinstimmt. Es gelten aber nicht die vom linearen Fall her bekannten Bedingungen, wonach bei Anpassung Strom und Spannung auf je die halben Kurzschluss- oder Leerlaufwerte fallen.

138

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

Allgemeiner nichtlinearer aktiver und passiver Zweipol Wir untersuchen noch

den Fall, dass sowohl der aktive Zweipol nichtlinear ist mit der Kennlinie I = Iq − g(U ) als auch der Lastzweipol mit der Kennlinie I(U ) = f (U ). Der Verbraucher erh¨alt die Leistung P = U I = U (Iq − g(U )). Sie erreicht ihr Maximum f¨ ur die Bedingung    dP  dg =0 = (I − g(U )) | − U q m dU  dU 

m

I

oder zusammengefasst   I  dg  = = Gaopt . dU  U m

(2.5.17)

m

In der Last wird maximale Leistung umgesetzt, wenn ihr Ersatzleitwert Gaopt = Im /Um im Arbeitspunkt Im , Um gleich dem Kleinsignalleitwert der Stromquelle in diesem Punkt ist unabh¨ angig von der Nichtlinearit¨at der Ausgangslast. Damit h¨angt die Anpassbedingung von der Nichtlinearit¨at der Quelle ab und die Bedingung Gi = Ga des linearen Grundstromkreises geht jetzt u ¨ ber in eine Bedingung zwischen Kleinsignalinnenleitwert der Quelle und dem Se” kantenleitwert“ Im /Um der Last im Arbeitspunkt. Abh¨angig von der Nichtlinearit¨ at kann der Leistungswirkungsgrad gr¨oßer oder kleiner als beim linearen Grundstromkreis sein. Beispiel 2.5.2 Leistungswirkungsgrad Wir betrachten den Leistungswirkungsgrad f¨ ur eine Stromquelle mit unterschiedlicher Nichtlinearit¨ at bei linearer Last. 1.

2.

F¨ ur eine Nichtlinearit¨ at g(U ) = aU 3 (a > 0) folgt als Lastleistung bei Anpasur den Lastleitwert Gaopt = sung: Pa = Im Um und damit nach Gl. (2.5.17) f¨ dg = 3aU 2 . Die zugeh¨ orige Verlustleistung in der Quelle betr¨ agt Pi = dU 4 Um g(Um ) = aUm und man erh¨ alt f¨ ur den Leistungswirkungsgrad. 4 3aUm 3 Pa = = . η= 4 4 Pa + Pi 3aUm + aUm 4 at Er wird unabh¨ angig vom Quellenstrom Iq und nur durch die Nichtlinearit¨ der Quelle bestimmt (er w¨ urde bei linearer Quelle 50% betragen). √ f¨ ur eine Nichtlinearit¨ at g(U ) = a U (a > 0, U > 0) ergibt sich auf die gleiche Weise 3/2 aUm 1 η= = . 3/2 3/2 3 aUm + 2aUm

2.5.5 Kleinsignalverhalten Nichtlineare Bauelemente sind oft Bestandteil eines Netzwerkes. Der Regelfall ist dabei die Aussteuerung mit einem zeitabh¨angigen Signal um einen

2.5

Nichtlinearer resistiver Grundstromkreis*

139

Arbeitspunkt. Dann erzeugt die Netzwerkerregung x(t) = XA + Δx(t) eine entsprechende Wirkung Y (t) = YA + Δy(t) an einem Ausgangs- oder Last¨ element. Der Zusammenhang y(x) ≈ Y (X) ist die Ubertragungskennlinie des Netzwerkes. ¨ Die Kleinsignalanalyse linearisiert das Verhalten der Ubertragungskennlinie Y (X) im Arbeitspunkt A f¨ ur kleine Aussteuerungen Δx, Δy. Wir haben dieses Prinzip schon bei Einf¨ uhrung der differenziellen Schaltelemente kennengelernt. So ist beispielsweise in der Schaltung Abb. 2.3.13 mit Dioden als nichtlinearem passivem Zweipol die Diodenspannung UD die Ausgangsgr¨oße y bei gegebener Quellenspannung Uq (t) = x(t). Die Kleinsignalanalyse von UD (t) zerf¨ allt dann in zwei Aufgaben: Arbeitspunktbestimmung, d. h. L¨ osung der nichtlinearen Gleichung   UD − 1 → IA , U A , Uq = UD + RIS exp UT Kleinsignalanalyse: Bestimmung ΔUD = f (ΔUq ). Sie erfordert den differenziellen Leitwert des nichtlinearen Netzwerkelementes im Arbeitspunkt. Ansonsten liegt ein lineares Netzwerkproblem vor, m. a. W. wird die Kleinsignalanalyse dem Arbeitspunkt ¨ uberlagert und kann unabh¨angig von der Arbeitspunkt-Bestimmung erfolgen. Bei Ersatz der Kennlinie durch die Tangente in A (Abb. 2.3.13b) wird vorausgesetzt, dass die zeitlichen Spannungs¨ anderungen langsam erfolgen. Trifft dies nicht zu, so m¨ ussen Energiespeicherelemente (Induktivit¨ aten, Kapazit¨ aten) beachtet werden. Kleinsignalsteuerung ist besonders f¨ ur elektronische Schaltungen mit ihren nichtlinearen Bauelementen (Transistoren, Thyristoren, Dioden) von Bedeutung. Deshalb wird bei den relevanten Netzwerkelementen stets auf sie verwiesen. Eine Vertiefung erf¨ ahrt die Kleinsignalbetrachtung bei mehrpoligen Bauelementen (s. Kap. 2.7.4).

Negativer Kleinsignalwiderstand Manche nichtlinearen Zweipole haben bereichsweise fallende Kennlinien (Abb. 2.5.7): dann sinkt die Spannung U um ΔU , wenn der Strom I um ΔI steigt und der Quotient wird negativ:

r=

dU ΔU ↓ → < 0. ΔI ↑ dI

negativer (differenzieller) (2.5.18) Widerstand

Das gilt im Punkt A des fallenden Bereiches zwischen P und Q. Bei Verbraucherz¨ahlpfeilrichtung am passiven Zweipol bedeutet ein negativer differenziel¨ ler Widerstand Leistungsabgabe in den Stromkreis f¨ ur die Anderungsgr¨ oßen, das Produkt UA IA > 0 bleibt aber positiv! Ein negativer Widerstand f¨ uhrt einem Stromkreis Energie zu, wirkt also wie ein aktiver Zweipol.

140

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

Diese Leistung entstammt der Gleichstromversorgung des Bauelementes. Weil sie durch Spannungsquelle und Innenwiderstand begrenzt ist, kann u ¨ ber den negativen Widerstand nie mehr Leistung in den Kreis gespeist werden als die Quelle abzugeben vermag.

Es gibt zwei Formen fallender Kennlinien 1.

den stromgesteuerten Typ (Lichtbogenkennlinie) mit horizontaler Tangente im U (I)-Verlauf in den Umkehrpunkten P , Q (Abb. 2.5.7a) und verschwindendem differenziellen Widerstand dU/dI. den spannungsgesteuerten Typ (Dynatronkennlinie) mit vertikaler Tangente in den Umkehrpunkten P , Q (Abb. 2.5.7b), also unendlich hohem differenziellen Widerstand dU/dI resp. verschwindendem differenziellen Leitwert g = dI/dU .

2.

Bei stromgesteuerter Kennlinie geh¨ oren zu jedem Stromwert nur eine Spannung, aber zu bestimmten Spannungen drei verschiedene Stromwerte, von denen der mittlere stets instabil ist. Zur Kennlinienaufnahme muss daher ein Strom eingepr¨ agt und die Spannung gemessen werden. Dann ist jeder Punkt erfassbar und man spricht vom stromstabilen negativen Widerstand. Umgekehrt hat eine spannungsgesteuerte Kennlinie zu jedem Spannungswert einen definierten Strom, dagegen f¨ ur einen gegebenen Strom bis zu drei Spannungswerten. Zur Kennlinienaufnahme wird daher eine variable Spannung angelegt und der

AI

A I U

U(I) Lichtbogenkennlinie, Messschaltung

Iq

U

Uq

I(U) Dynatronkennlinie, Messschaltung

(R i= 0) B

(Gi = 0) B

I

U

dU dI

Uq

B

=0

dU

P

dI

dI

<0

0

a

P‘

B

Iq B‘

A Q‘

dU

Q‘ I

0

dI dU

P

A

Q Gi > 0 Iq (Gi = 0)

=0

<0

P‘

B‘ Q Ri > 0 Uq (R i= 0) U

b

Abb. 2.5.7. Kennlinien mit fallenden Bereichen. (a) Stromgesteuert (Lichtbogentyp). (b)

Spannungsgesteuert (Dynatrontyp). In beiden F¨ allen k¨ onnen bei endlichem Quellenwiderstand Sprungerscheinungen auftreten

2.5

Nichtlinearer resistiver Grundstromkreis*

141

Strom gemessen; man spricht vom spannungsstabilen negativen Widerstand (besser Leitwert).

Zur Einstellung eines stabilen Arbeitspunktes A im fallenden Bereich darf die Quellenkennlinie das nichtlineare Lastelement nur in einem Punkt schneiden. Liegt beispielsweise an einer Lichtbogenkennlinie eine Spannungsquelle mit geringem Innenwiderstand (Kennlinientyp BB ), so springt der Strom bei Spannungserh¨ohung vom Punkt P nach P und beim Absenken von Q nach Q : es gibt Stromsprungstellen (und einen Hystereseverlauf). Ein stabiler AP im fallenden Bereich erfordert deshalb    dU  stromgesteuerte   . (2.5.19a) Riq >   dI Kennlinie max

F¨ ur die Dynatronkennlinie gilt die entsprechende Bedingung    dU  spannungsgesteuerte  Riq <  . dI min Kennlinie

(2.5.19b)

Erzeugung und Anwendung negativer Widerst¨ande. Fallende Kennlinienbereiche entstehen in Zweipolelementen generell durch R¨ uckkopplung: eine Ursache erzeugt eine Wirkung, die die Ursache wieder unterst¨ utzt. Solche R¨ uckkopplungsmechanismen k¨ onnen physikalisch im Wirkprinzip eines Bauelementes begr¨ undet sein. Beispiele: Kennlinien des Thyristors, der Tunneldiode, der Glimmlampe u. a. m.; schaltungstechnisch durch gesteuerte Quellen (und damit Verst¨arkerbauelemente) realisiert werden. Ein Beispiel erl¨autern wir im Kap. 2.7.7 beim Operationsverst¨arker. Vertiefung Wir vertiefen den Begriff des negativen Widerstandes Rn Rn = −

(−U ) U U = = . I I (−I)

Er kann interpretiert werden durch eine vertauschte Spannungs- oder Stromrichtung (Abb. 2.5.8a, b), was zwei Typen negativer Widerst¨ ande bedingt. Im ersten Fall (eingepr¨ agter Strom) erfolgt eine Spannungsrichtungsumkehr, im zweiten bei Spannungssteuerung eine Stromrichtungsumkehr. Das entspricht dem Kennlinienverhalten Abb. 2.5.7. Zur Untersuchung der Leistungsbilanz schalten wir den negativen Widerstand Rn = −R im Grundstromkreis in Reihe zu Ri und Ra und untersuchen die Leistung am Lastwiderstand Ra (Abb. 2.5.8c): P =U ·I =

Ra Uq2 Ra Uq2 1 = . 2 (Ri + Ra − R) (Ri + Ra ) (1 − R/(Ri + Ra ))2 | {z } neg.Widerstand

142

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

Iq

a

U

Ri

A I

A I

U

-R

Uq

-R

Rn= -R A I U

Ra

Uq B

b

B

c

B

Abb. 2.5.8. Zur physikalischen Begr¨ undung des negativen Widerstandes. (a) Umkehr der Spannungsrichtung. (b) Umkehr der Stromrichtung. (c) Leistungsbilanz im Grundstromkreis bei eingef¨ ugtem negativen Widerstand

Der erste Faktor ist die im Lastwiderstand Ra umgesetzte Leistung des Grundstromkreises. Sie wird als Folge des negativen Widerstandes durch den zweiten Term (>1!) vergr¨ oßert, und zwar um so mehr, je st¨ arker der negative Widerstand den positiven Gesamtwiderstand Ri + Ra des Kreises kompensiert! Die zus¨ atzliche Leistung gelangt durch den negativen Widerstand selbst in den Kreis, denn an der Spannungsquelle hat sich nichts ver¨ andert. Diese Energielieferung ist endlich, da negative Widerst¨ ande nur in begrenztem Kennlinienbereich wirken. Die Energie entstammt der Stromversorgung des Kreises, denn der negative ¨ Widerstand tritt nur f¨ ur Anderungen (ΔU , ΔI) von U und I auf und die damit verbundenen Leistungsverh¨ altnisse erscheinen in der Gesamtbilanz der Quelle.

Anwendung finden negative Widerst¨ ande z. B. zur Kompensation von (positiven) resistiven Zweipolen, bei der Verlustkompensation im Schwingkreis (→ idealer Schwingkreis) und in Filtern. Auch das Oszillatorprinzip zur Erzeugung von Schwingungen nutzt den negativen Widerstand.

2.6

2.6 Zweitore Einf¨ uhrung Oft ist im Grundstromkreis zwischen Quelle und Verbraucher ein

weiteres Netzwerk mit zwei funktionell zusammenwirkenden Klemmenpaaren, ein Zweitor oder Vierpol zwischengeschaltet. Es kann, je nach Aufgabenstellung, ganz unterschiedlichen Inhalt“ haben (Abb. 2.6.1a): Leitungs” verbindung, Filterschaltung, D¨ ampfungsglied, gesteuerte Quelle (Verst¨arker) u.a.m. Selbst bekannte Schaltungen sind anders betrachtet Zweitornetzwerke: die Wheatsone-Br¨ ucke mit der Diagonalspannung als Ausgang und der Versorgungsspannung als Eingang, der Spannungs- (Abb. 2.6.1b) oder Stromteiler (Abb. 2.6.1c). Dabei wird das Lastelement einbezogen. Zweitore haben vor allem als Netzwerkgrundstruktur prinzipielle Bedeutung: gesteuerte Quellen bilden nat¨ urliche Zweitore,

2.6

Zweitore

143

Zweitor Quelle 1 I1

I2 2

Uq

Energiefluss Ri

U1

1

1' I‘1

a

2

U2

RL

R, L, C, M, gesteuerte Quellen

Uq

Eingangstor

I2

I1

Last

Zweitor

b

R1 R2

RL

Zweitor I1

I‘2 2' Ausgangstor

U2

Iq

G1

I2 G2

U2

c

¨ ¨ Abb. 2.6.1. Elektrisches Ubertragungssystem aus Quelle, Ubertragungszweitor und an¨ geschlossener Last. (a) Grundanordnung; das Ubertragungssystem ist zwischen aktivem und passivem Zweipol geschaltet. (b) Spannungsteiler als einfaches Zweitor aufgefasst. (c) Stromteiler aufgefasst als belastetes Zweitor

manche Bauelemente (Transformator, Verst¨arker, u. a.) sind vier- oder dreipolig, gr¨oßere Zweitore lassen sich aus Elementarzweitoren“ aufbauen, ” mehrere zusammengef¨ ugte Zweitore bilden ein neues Zweitor.

2.6.1 Zweitorbegriff Zweitore erweitern das Zusammenspiel zwischen Quelle und Verbraucher und damit den Grundstromkreis durch ein Zwischenglied. Ein Zweitornetzwerk ist eine geschlossen gedachte Einheit (Teilnetzwerk), das nur u angig ist. Ihre Eigenschaften liegen ¨ ber Ein- und Ausgangstore zug¨ durch die U, I-Relationen der Tore fest und werden z. B. durch Rechnung oder Messung bestimmt. Wir stellen hier Grundlagen der Zweitore zusammen, soweit sie zur Einf¨ uhrung gesteuerter Quellen in Netzwerke erforderlich sind. Weil Zweitore allerdings eine gr¨oßere Rolle spielen als hier zusammengefasst, werden sie im Kap. 3.6 Mehrpole“ vertieft und zu speziellen Wechselstromproblemen im ” Bd. 3 erg¨anzt. ¨ Uber Jahrzehnte wurden Netzwerke mit vier Klemmen als Vierpole oder 29 30 ¨ Ubertragungsvierpole bezeichnet und bestimmte Beschreibungs- und Betrachtungsweisen entwickelt, zusammengefasst als Vierpoltheorie“. ” 29

Vierpol nach DIN 4899, DIN 1344.

30

Der Vierpolgedanke wird erstmalig von H. Hausrath (1907) verwendet, die Bezeichnung Vierpol stammt von F. Breisig (1921).

144

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

Ein Vierpol ist ein Netzwerk mit zwei Eingangs- und zwei Ausgangsklemmen ¨ zur Ubertragung von Energie und/oder Signalen. Als vierpoliges Netzwerk bezeichnet man dagegen ein allgemeines Netzwerk mit vier Klemmen. Von den vier Spannungen zwischen seinen Knoten und den vier Klemmenstr¨ omen sind nach dem Maschen- und Knotensatz nur je drei voneinander unabh¨ angig. Eingebettet in ein gr¨oßeres Netzwerk gilt f¨ ur die Klemmenstr¨ ome (Abb. 2.6.2a) I1 + I2 + I3 + I4 = 0. Ob ein vierpoliges Netzwerk zum Zweitor wird, h¨ angt von seiner Beschaltung ab: Fließt bei zwei zusammengeh¨ origen Klemmen (einem Klemmenpaar) ein Strom I in eine Klemme und der gleiche Strom aus der anderen wieder heraus, so heißt dieses Klemmenpaar ein Tor und es folgen als Torbedingung z. B. f¨ ur Tor 1 I1 + I3 = 0 → I3 = −I1 , I2 + I4 = 0 → I4 = −I2 .

(2.6.1)

Zwangsl¨aufig erf¨ ullt auch das zweite Klemmenpaar diese Bedingung. Nur mit der Torbedingung f¨ ur jedes Klemmenpaar wird ein vierpoliges Netzwerk zum Zweitor. So trifft die Strombedingung auf das Netzwerk Abb. 2.6.2a wegen I1 = I3 und I2 = I4 nicht zu, aber auf Schaltung 2.6.2b. Die Torbedingung wird automatisch erf¨ ullt, wenn eine vierpolige Schaltung an jedem Klemmenpaar mit einem Zweipol beschaltet ist. Dann tritt der Strom I1 an Klemme 1 ein und bei 1 aus, gleichermaßen der ugt eine Stromangabe Strom I2 bei 2 aus und bei 2 wieder ein, m. a. W. gen¨ zufolge der Vorbedingung: Zweitore f¨ uhren stets zwei unabh¨ angige Str¨ome I1 , I2 am Eingangs- und Ausgangstor (abgesehen von stromgesteuerten Stromquellen). Einige echte Zweitore (Transformator, Optokoppler) erf¨ ullen die Torbedingung automatisch, andere erzwungene Zweitore“ erst durch den Anschluss eines Quellen” bzw. Verbraucherzweipols.

I5 I2 2

1 I1 vierpoliges Netzwerk

U13

U24 I4 4

3 I3

1 I1 Zweitor

U1 1' I‘1

U2 I‘2 2'

Torbedingungen: I1= I‘1= -I3, I2= I‘2= -I4

I6

a

I2 2

b

Abb. 2.6.2. Vierpoliges Netzwerk und Zweitor. (a) Allgemeines vierpoliges Netzwerk. (b) ¨ Ubergang zum Zweitor durch Erf¨ ullung der Torbedingungen

2.6

Zweitore

145

Generell liegt am Tor 1, dem Eingang (input), ein aktiver Zweipol (Erregerquelle), am Tor 2, dem Ausgang (output), ein Verbraucherzweipol. Damit besorgt das Zweitor den Energiefluss von der Quelle zum Verbraucher und man unterscheidet eine Vorw¨ artsrichtung 1 → 2 von der R¨ uckw¨artsrichtung 2 → 1. Ein Zweitor kann in ein Netzwerk eingebettet sein. Erf¨ ullt es die Torbedingungen, so gelten sie auch im Netzwerk. Dieses Problem wird in Kap. 3.6 behandelt. Von der Struktur her gibt es zwei prinzipielle Zweitorformen: erdunsymmetrischer und symmetrischer Aufbau. Erdunsymmetrische Schaltungen besitzen eine Kurzschlussverbindung zwischen zwei Polen beider Tore, als Masse bezeichnet (eine Br¨ uckenschaltung w¨ urde so funktionsunf¨ ahig!). Die innere Struktur des Zweitores bestimmt, ob seine Tore einseitig an Masse liegen bzw. liegen k¨ onnen. Solche Zweitore sind eigentlich Dreipole und werden deshalb als unechte Vierpole“ bezeichnet ” (Abb. 2.6.3a). Sie stellen die Masse der Zweitore: Netzwerkmodelle von Transistoren, vielen Verst¨ arkern und passiver Zweitore. Ein Zweitor, das z. B. eine Br¨ uckenschaltung modelliert, ist erdsymmetrisch“: zwi” schen den zugeordneten Klemmen treten gleiche Spannungen auf und in die Schaltung l¨ asst sich eine Symmetrielinie in L¨ angsrichtung eintragen. Abb. 2.6.3b zeigt ein allgemeines symmetrisches Zweitor. Quellen und Verbraucherzweipol liegen gegen¨ uber einem Massepunkt potenzialm¨ aßig hoch“. Solche Schaltungen sind i. a. ” unempfindlich gegen¨ uber Spannungen von den Klemmen nach Masse. Im prakti¨ schen Betrieb wirken dann als Ubertragungsgr¨ oßen Differenzsignale und die Spannungen nach Masse werden als st¨ orend angesehen. Deshalb haben Differenzsigna¨ le f¨ ur die Ubertragungstechnik erhebliche Bedeutung, wie der Differenzverst¨ arker (s. Kap. 2.7.7) zeigt. ¨ Ein erdsymmetrisches Zweitor l¨ asst sich durch zwischengeschaltete Ubertrager ¨ (Abb. 2.6.3c) stets in eine erdunsymmetrische Ubertragungsanordnung einbetten.

Zweitoreinteilung Zweitore k¨ onnen eingeteilt werden in linear zeitunabh¨angige, zeitabh¨angige sowie nichtlineare Zweitore. Wir beschr¨anken uns hier U1 R R

R R R

Uq

Masseleitung

a

R

R R

R

R R R

R

Uq

U1

Ra

Übertrager

Symmetrielinie

b

erdsymm. Netzwerk

c

Abb. 2.6.3. Zweitorsymmetrie. (a) Erdunsymmetrischer Aufbau (durchgehende Masselei-

¨ tung). (b) Erdsymmetrischer Aufbau. (c) Ubergang vom symmetrischen Zweitor zum un¨ symmetrischen (und umgekehrt) durch zwischengeschaltete Ubertrager

146

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

zun¨achst auf lineare zeitunabh¨ angige Zweitore und beziehen sp¨ater nichtlineare Anordnungen ein. Nach dem energetischen Verhalten gibt es aktive Zweitore mit wenigstens einer unabh¨angigen Quelle. An den Klemmen treten (analog zum aktiven Zweipol) Kurzschlussstr¨ ome und Leerlaufspannungen auf (s. Kap. 2.6.8). Dazu z¨ ahlen auch gesteuerte Quellen sowie Zweitore, die sie enthalten. Technisch wichtige aktive Zweitore sind die Modelle der Verst¨arkerelemente im Kleinsignalbetrieb: Transistoren, alle Verst¨arkerarten. Eigentlich ist der Sachverhalt umgekehrt: gesteuerte Quellen wurden eingef¨ uhrt, um bestimmte Bauelemente (anfangs Elektronenr¨ ohren) zu modellieren.

Aktive Zweitore entnehmen die Energie f¨ ur die Nettoleistungsabgabe nicht dem Eingangssignal, sondern Hilfsquellen zur Stromversorgung (etwa eines Transistors). Zweitore mit unabh¨ angigen Quellen erhalten die elektrische Energie durch Wandlung aus nichtelektrischer. Passive Zweitore bestehen aus den Grundelementen R, C, L. Sie k¨onnen auch gesteuerte Quellen enthalten, wenn bestimmte Bedingungen zutreffen (Beispiel: Modellierung gekoppelter Spulen durch gesteuerte Quellen). Fehlende gesteuerte Quellen sind kein Merkmal eines passiven Zweitores, vielmehr muss bei Passivit¨ at die netto aufgenommene sog. Wirkleistung (ein Begriff der Wechselstromtechnik, s. Bd. 3) stets positiv sein. Strom-Spannungs-Beziehungen Unabh¨ angig vom inneren Aufbau wird das

Zweitor als Funktionsblock symbolisiert und durch zwei Torstr¨ome und spannungen beschrieben, beispielsweise der Form I1 = f1 (U1 , U2 ), I2 = g1 (U1 , U2 ), oder U1 = f2 (I1 , I2 ), U2 = g2 (I1 , I2 ),

I, U -Beziehungen des (2.6.2) allgemeinen Zweitors

(oder beliebig austauschbaren Beziehungen zwischen abh¨angigen und unabh¨angigen Variablen)31 . Ein (zeitunabh¨ angiges) Zweitor wird durch zwei Zweitorfunktionen f¨ ur die Torgr¨oßen I1 , I2 , U1 , U2 z. B. nach Gl. (2.6.2) vollst¨andig beschrieben und durch Ersatzschaltungen veranschaulicht. Beim Bezugssinn der Str¨ ome sind, wie am Zweipol, zwei Darstellungen u ¨ blich (und auch zweckm¨ aßig)

31

Neben der Zweitordarstellung durch Str¨ ome und Spannungen gibt es noch die f¨ ur die Hochfrequenztechnik entwickelte Form mit Leistungswellen (s. Bd. 3).

2.6

Zweitore I1 U1

Uq

a

Zweitor

147 I2 U2

R

Uq

b

I1

I2

U1

U2

Erzeugerausgang

(-I2)

I1 R

U1

Uq

c

A

U2

R

Kettenmatrix

Abb. 2.6.4. Spannungs- und Stromrichtungen am Zweitor. (a) Symmetrisches Pfeilsystem,

beiderseits VPS. (b) Unsymmetrisches Pfeilsystem, Kettenpfeilsystem (VPS am Zweitoreingang, EPS am Zweitorausgang). (c) Gemischte Form f¨ ur die Kettenmatrixbeschreibung

Verbraucher-Z¨ahlpfeilsystem f¨ ur jedes Tor, auch symmetrisches Pfeilsystem oder mathematische Vorzeichenrichtung genannt (DIN 40148, Abb. 2.6.4a). Sie eignet sich f¨ ur Grundsatzbetrachtungen, wie eine Stabilit¨ atsanalyse. Dort st¨ ort das Mitschleppen negativer Vorzeichen, die z. T. beim Kettenpfeilsystem auftreten.

das Kettenpfeilsystem oder eingangsseitiges Verbraucher-, ausgangsseitiges Erzeugerpfeilsystem, auch technisches oder unsymmetrisches Pfeilsystem genannt. Hier fließt der Strom I1 in das Zweitor, der Strom I2 heraus (Abb. 2.6.4b). Das ist die physikalisch nat¨ urliche Richtungsfestlegung. Beispielsweise treibt die Quellenspannung einen Strom positiv in den Zweitoreingang und ausgangsseitig fließt er in den Verbraucher. Von den Klemmen 2–2’ her gesehen wirkt die Anordnung als aktiver Zweipol. Wir verwenden das Kettenpfeilsystem nur gelegentlich, z. B. beim Transformator. Weil es aber bei der Kaskadenschaltung von Zweitoren zweckm¨aßig ist (und physikalisch auftritt), gibt es noch das gemischte Pfeilsystem mit Kettenpfeilrichtung nur f¨ ur die Kettenmatrix (→ A-Matrix, s. u.), aber symmetrischer Pfeilrichtung f¨ ur die u ¨ brigen Zweitorbeschreibungen (Abb. 2.6.4c). Dieses Pfeilsystem kombiniert die Vorz¨ uge beider Darstellungen und entspricht DIN 4899, 40148 und 1344, es erfordert aber Aufmerksamkeit beim Wechsel der Beschreibungsarten in die Kettenmatrixform. Wir sind daher bei Zweitorbetrachtungen gehalten, den Umgang mit beiden Vorzeichenfestlegungen des Ausgangsstromes I2 zu kennen und auf das benutzte Vorzeichensystem zu achten. Optisch wird darauf am besten durch Eintragung des Z¨ ahlpfeiles I2 am Zweitorausgang hingewiesen.

2.6.2 Strom-Spannungs-Beziehungen linearer Zweitore Der lineare Zweipol oder das Eintor wurde durch das ohmsche Gesetz beschrieben: eine Ursache (Spannung, Strom) erzwingt eine Wirkung (Strom,

148

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

Spannung). Beim Zweitor gibt es stets zwei Ursachen, z. B. die Str¨ome I1 , I2 in Gl. (2.6.2). Dann sind die Spannungen U1 , U2 die Wirkungen und es gilt entsprechend der allgemeinen I, U -Relation f¨ ur ein lineares Zweitor Zweitorgleichung in Widerstandsform U1 = Z11 I1 + Z12 I2 . (2.6.3) Definitionsgleichung U2 = Z21 I1 + Z22 I2 Die Koeffizienten heißen Widerstands- oder Z-Parameter, sie h¨angen nur von den Netzwerkeigenschaften des Zweitors ab. Der erste Parameterindex ist durch den Index der abh¨ angigen Gr¨ oße links bestimmt, der zweite durch den Index der unabh¨ angigen Gr¨ oße rechts. So verbindet der Parameter Z11 Strom und Spannung am Eingang unter der Nebenbedingung I2 = 0, also Leerlauf am Ausgang. Entsprechend verkn¨ upft der Parameter Z21 die Ausgangsspannung U2 mit dem Eingangsstrom I1 wieder bei Leerlauf I2 = 0, also Ursache (Strom I1 ) am Eingang und Wirkung U2 am Ausgang.

Das Gleichungssystem (2.6.3) kann mit dem Spaltenvektor I der unabh¨angigen Str¨ome, dem Spaltenvektor U der abh¨angigen Spannungen und der Widerstandsmatrix Z auch als Matrixgleichung geschrieben werden32       U1 Z11 Z12 I1 = · bzw. abgek¨ urzt U = Z · I. (2.6.4) U2 Z21 Z22 I2 Die Bedeutung der Widerstandsparameter folgt aus ihrer Definition (Abb. 2.6.5a). Dazu wird jeweils eine der unabh¨angigen Variablen I1 oder I2 gleich null gesetzt (dem entspricht schaltungstechnisch Leerlauf I = 0) und der restliche Quotient von Spannung und Strom gebildet. So ergeben sich die Definitionen I1 Iq

U1

Z11 =

a

I2

I1 (Z)

U1 I1

U2 Leerlauf (I2= 0)

Z 21 = I2 = 0

Uq

U1

U2 I1

Y11 = I2 = 0

Kurzschluss (U2= 0)

(Y)

I1 U1

Y21 = U2 = 0

I2 U1

U2 = 0

b

Abb. 2.6.5. Bestimmung der Z- und Y -Parameter. (a) Ausgangsseitiger Leerlauf, Bestimmung von Z11 und Z21 . (b) Ausgangsseitiger Kurzschluss, Bestimmung von Y11 und Y21

32

Die Anwendung der Matrizenrechnung auf Zweitore geht auf F. Strecker und R. Feldtkeller (1929) zur¨ uck.

2.6

Zweitore

149

bei Betriebszustand I2 = 0, ausgangsseitiger Leerlauf 33   Z11 = UI11  Eingangsleerlaufwiderstand, I2 =0  Z21 = UI12  Leerlauf¨ ubertragungswiderstand vorw¨arts

(2.6.5a)

I2 =0

und f¨ ur den Betriebszustand I1 = 0, eingangsseitiger Leerlauf   Z22 = UI22  Ausgangsleerlaufwiderstand, I1 =0 (2.6.5b)  Z12 = UI21  Leerlauf¨ ubertragungswiderstand r¨ uckw¨arts. I1 =0

Wurde im ersten Fall ein Probestrom“ I1 auf der Eingangsseite eingespeist, um ” die Spannung U1 unter der Bedingung I2 = 0 zu messen, so liegt im zweiten Fall der Probestrom I2 ausgangsseitig an und die Spannungen U1 , U2 werden gemessen. Die Angabe vorw¨ arts“ bzw. r¨ uckw¨ arts“ bezieht sich auf den Energiefluss von ” ” Zweitorseite 1 nach 2 resp. umgekehrt.

Die Zweitorparameter zerfallen in (gilt nicht f¨ ur Kettenmatrix): ¨ Zweipolgr¨oßen (Leitwerte-, Widerst¨ ande) bei Ubereinstimmung beider Indizes. Physikalisch entspricht das der Widerstandsbestimmung eines Klemmenpaares bei spezifischem Abschluss (Leerlauf, Kurzschluss) der anderen Seite. ¨ Ubertragungs-, Transfergr¨oßen. Sie verkn¨ upfen die Strom- oder Spannungsgr¨oße einer Zweitorseite mit Strom oder Spannung auf der anderen unter Nebenbedingungen. So gilt beispielsweise nach Abb. 2.6.5 Ausgangsleerlaufspannung = Z21 · Eingangsstrom.

(2.6.6)

Transfergr¨oßen werden schaltungstechnisch durch gesteuerte Quellen realisiert, in bestimmten F¨ allen auch durch passive Netzwerkelemente. Beispiel 2.6.1 Br¨ uckenschaltung F¨ ur die Wheatsone-Br¨ ucke (Abb. 2.6.6a) lassen agt sich die Z-Parameter leicht ermitteln; der Eingangsleerlaufwiderstand Z11 betr¨ I1

I1 R2

U1

R1 U 2

I2

R1 R2

R1

R2 U1 R 2

I2

I1 U2 U1

R3 R1

I2

I1 R1

R2 U2 U1

R2 I2 R3

U2

R1

a

b

c

Abb. 2.6.6. Beispiele einfacher passiver Zweitore. (a) Br¨ uckenschaltung dargestellt als sym-

metrisches X-Zweitor. (b) π-Ersatzschaltung. (c) T -Ersatzschaltung 33

Gelesen U1 dividiert durch I1 bei I2 = 0 als Nebenbedingung.

150

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

Z11 =

˛ U1 ˛˛ R1 + R2 = Z22 , = (R1 + R2 )  (R2 + R1 ) = I1 ˛I2 =0 2

¨ der Ubertragungswiderstand vorw¨ arts ergibt sich zu ˛ ˛ U2 ˛˛ U1 ˛˛ 1 R2 − R1 = Z12 = = (I1 R2 − I1 R1 ) = Z21 = . I1 ˛I2 =0 I2 ˛I1 =0 2I1 2 W¨ ahrend sich das erste Ergebnis direkt von der Torseite 1 aus in die Schaltung ” hineinsehen“ l¨ asst, folgt das zweite aus der Tatsache, dass jeder Br¨ uckenzweig vom halben Eingangsstrom I1 durchflossen wird und sich die Ausgangsspannung aus uckenabgleich der Differenz der Spannungsabf¨ alle u ¨ber R2 und R1 ergibt. Bei Br¨ ¨ R2 = R1 verschwindet die Ubertragungseigenschaft (U2 = 0, Z21 = 0: das Zweitor ist entkoppelt).

Weitere Zweitordarstellungen Bei gegebenen Str¨ omen und gesuchten Spannungen ist die Widerstandsform zur Zweitorbeschreibung zweckm¨aßig. Umgekehrt w¨are die zu Gl. (2.6.4) duale Leitwertform g¨ unstiger. Diese (und weitere) Zuordnungen entstehen durch systematischen Variablentausch: ins  = 6 M¨ o glichkeiten und somit 6 Gleichungssysteme gesamt gibt es 42 = (4·3) (1·2) zur gleichwertigen Zweitorbeschreibung. Tabelle 2.5 fast sie zusammen. In der Praxis wichtig sind die Widerstands-, Leitwert- und Kettenform, die restlichen (Hybridformen und Kettenform r¨ uckw¨ arts) haben geringere Bedeutung. Obwohl es keine bevorzugte Darstellung gibt, k¨onnen manche Formen f¨ ur bestimmte Zweitore nicht definiert sein. Je nach Anwendungsfall ist die eine oder andere Zweitorbeschreibung zweckm¨ aßiger. So wird beispielsweise die Widerstandsform bei der Schaltungsanalyse im HochTabelle 2.5. Zweitorbeschreibungsformen

Form/ Matrix

Gleichungen

Matrixform

Widerstandsform Widerstandsmatrix Z

U1 = Z11 I1 + Z12 I2 U2 = Z21 I1 + Z22 I2

U =Z·I

Leitwertform Leitwertmatrix Y

I1 = Y11 U1 + Y12 U2 I2 = Y21 U1 + Y22 U2

I = Y ·U

Hybridform 1 U1 = H11 I1 + H12 U2 Reihenparallelmatrix H I2 = H21 I1 + H22 U2 Hybridform 2 Parallelreihenmatrix C

I1 = C11 U1 + C12 I2 U2 = C21 U1 + C22 I2

Kettenform Kettenmatrix A

U1 = A11 U2 + A12 (−I2 ) I1 = A21 U2 + A22 (−I2 )

Kettenform invers Kettenmatrix B

U2 = B11 U1 + B12 (−I1 ) I2 = B21 U1 + B22 (−I1 )

   

U1 I2 I1 U2 U1 I1 U2 I2



 =H·



 =C·



 =A·



 =B·

I1 U2 U1 I2

 

U2 −I2 U1 −I1

 

2.6

Zweitore

151

frequenzbereich kaum verwendet, denn ihre Parameterbestimmung verlangt Leerlauf (durch unvermeidliche parasit¨ are Kapazit¨ aten bei hohen Frequenzen nicht zu verwirklichen). Hier bietet die Leitwertform Vorteile, deren Parameter alle unter Kurzschlussbedingungen bestimmt werden. Passive Zweitore nutzen oft die Widerstandsform (Transformator), weil damit die sehr einfache T-Ersatzschaltung (Abb. 2.6.6b) verbunden ist.

Die oft verwendete Leitwertform Zweitorgleichungen Leitwertform (2.6.7a) (Definitionsgleichung)

I1 = Y11 U1 + Y12 U2 I2 = Y21 U1 + Y22 U2

lautet in Matrixschreibweise       I1 Y11 Y12 U1 = · bzw. I = Y · U . I2 Y21 Y22 U2

(2.6.7b)

Tabelle 2.6 enth¨alt diese Parameter und ihre Umrechnungen f¨ ur das symmetrische Pfeilsystem (bzw. gemischte Pfeilsystem der Kettenmatrix). Tabelle 2.6. Parameterumrechnungen f¨ ur die Zweitormatrizen Z, Y , H, und A

Z Y

Z   Z11 Z12 Z21 Z22   Z22 det Z −Z21 det Z

 H

det Z Z22 −Z21 Z22

Z A

11

Z21 1 Z21

−Z12 det Z Z11 det Z Z12 Z22 1 Z22

det Z Z21 Z22 Z21







Y Y22 det Y −Y21 det Y

−Y12 det Y Y11 det Y



  Y11 Y12 Y21 Y22   −Y 

1 Y11 Y21 Y11

−Y22 Y21 − det Y Y21

 

−1 Y21 −Y11 Y21



det H H22 −H21 H22 1 H11 H21 H11

H12 H22 1 H22 −H12 H11 det H H11

 



− det H H21 −H22 H21

−H11 H21 −1 H21

A 



A 11

A21 1 A21 A22 A12 −1 A12

A

  H11 H12 H21 H22

12

Y11 det Y Y11

H

12

A22 −1 A22

det A A21 A22 A21



− det A A12 A11 A12 det A A22 A21 A22





  A11 A12 A21 A22

¨ Ublich sind verschiedene gleichberechtigte Bezeichnungen arts Y11 : Kurzschlusseingangsleitwert, Kurzschlussleitwert vorw¨ ubertragungsleitwert vorw¨ arts, Vorw¨ artssteilheit Y21 : Kurzschluss¨ (Transistor, R¨ ohre), Transadmittanz Y12 : Kurzschluss¨ ubertragungsleitwert r¨ uckw¨ arts, R¨ uckw¨ artssteilheit Y22 : Kurzschlussausgangsleitwert.

Die Definition der Leitwertparameter ergibt sich sinngem¨aß aus den dualen Bedingungen zu den Z-Parametern Gl. (2.6.5), in Abb. 2.6.5b wurde ihre Bestimmung am Zweitor erl¨ autert.

152

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

So, wie beim Zweipol Widerstand und Leitwert reziprok zueinander sind (R = 1/G), gilt dies auch f¨ ur die Widerstands- und Leitwertmatrizen und ihre Koeffizienten. Durch Aufl¨ osung der Widerstandsdarstellung nach den Str¨omen I1 , I2 ergibt sich abgek¨ urzt f¨ ur die Matrixkoeffizienten (Matrixinversion, falls die Matrix invertierbar ist)   1 Z22 −Z12 −1 (2.6.8) Y =Z = det Z −Z21 Z11 mit det Z = Z11 Z22 − Z12 Z21 (dabei sei an das symmetrische Pfeilsystem erinnert). Deshalb k¨ onnen die Leitwertparameter auch aus den Widerstandsparametern berechnet werden. Die Leitwertbeschreibung passiver Zweitore l¨asst sich stets durch eine πErsatzschaltung (s. Abb. 2.6.6b) als Netzwerk interpretieren. Das ist die duale ¨ Form zur T-Ersatzschaltung. Die wechselseitige Uberf¨ uhrung beider Ersatzschaltungen gelingt u ¨ber eine Stern-Dreieck-Umwandlung (Kap. 2.3.2). Die Leitwertform ist zweckm¨ aßig, wenn am Zweitor eine Stromquelle anliegt und der Verbraucherzweipol als Parallelschaltung mehrerer Leitwerte auftritt. Daraus resultiert ihre Verbreitung in der Schaltungstechnik. Der Begriff Vorw¨ artssteilheit“ ” entstammt diesem Bereich. Hinzu kommt, dass man den zur Parameterbestimmung n¨ otigen Kurzschluss bei hohen Frequenzen leicht durch Parallelschaltung einer großen Kapazit¨ at herstellen kann.

Beispiel 2.6.2 Leitwertparameter F¨ ur das in Abb. 2.6.6d gegebene Zweitor sind die Leitwertparameter gesucht. ˛ ˛ folgt bei ausgangsseitigem Kurzschluss f¨ ur Y11 : Aus der Definition Y11 = UI11 ˛ U2 =0

eine angelegte Spannung U1 der Strom I1 = U1 (G1 + G3 ), also Y11 = G1 + G3 .

Y21 : Die Eingangsspannung U1 erzeugt den Strom I2 = U1 /R3 bei ausgangsseitigem Kurzschluss (U2 = 0). Weil der Ausgangsstrom ˛ I2 am Zweitor aber symmetrisch ˛ definiert ist (I2 = −I2 ), folgt daraus Y21 = UI21 ˛ = −G3 . U2 =0

¨ wie f¨ ur Y21 : (angelegte Spannung U2 , Kurzschluss Y12 : es gilt die gleiche Uberlegung am Eingang U1 = 0). Man hat I1 = −I1 (bei U1 = 0) = U2 G3 , also Y12 = −G3 . Der Kurzschluss macht R1 wirkungslos. ur die Ausgangsseite Y22 : f¨ ˛ gilt bei eingangsseitigem Kurzschluss (U1 = 0) mit I2 = ˛ U2 (G2 + G3 ): Y22 = UI22 ˛ = G2 + G3 . U1 =0

Geringere Bedeutung haben die beiden Hybridformen, die Reihenparallelmatrix mit der H-Matrix (Form 1) (Tab. 2.5) und die Parallelreihenmatrix (Form 2).

2.6

Zweitore

153

Die erste Form stammt aus der Anfangszeit der Transistortechnik. Erw¨ ahnenswert ist h¨ ochstes, dass in ihr die Stromverst¨ arkung als gesteuerte Quelle auftritt, die beim Bipolartransistor eine Rolle spielt.

Die Kettenform vorw¨arts (und ebenso r¨ uckw¨arts) ist die origin¨are Zweitorbeschreibung f¨ ur die Hintereinander- oder Kettenschaltung von Zweitoren, wie sie bei der Leitungs¨ ubertragungstechnik auftritt. Sie beschreibt die Gr¨oßen eines Tores als Funktion der anderen Torgr¨ oßen. Eine weitere Eigenschaft ¨ ist, dass in ihr nur Ubersetzungs-/Transfergr¨ oßen vorkommen, die durch gesteuerte Quellen interpretiert werden k¨ onnen. Weil dabei ausgangsseitig immer das Erzeugerpfeilsystem vorliegen muss, wird der Ausgangsstrom als −I2 (und in der umgekehrten Kettenmatrix entsprechend der Eingangsstrom −I1 ) eingef¨ uhrt. Dann fließt der Strom −I2 tats¨achlich in den Lastwiderstand, f¨ ur den das Verbraucherpfeilsystem gilt (s. Abb. 2.6.4c). Die Kettenform ist zweckm¨ aßig, wenn Zweitore in Kette geschaltet werden. Sie stellt die klassische Zweitorbeschreibung dar, daher stammt auch die Kettenpfeilrichtung.

Umwandlungen der Zweitorparameter Ein Zweitor wird durch eine der sechs

Zweitordarstellungen (Tab. 2.5) gleichwertig beschrieben. Deshalb gen¨ ugt ein ¨ von eivollst¨andiger Parametersatz zu seiner Darstellung.34 Der Ubergang ner Zweitorform in eine andere heißt Parametertransformation. Sie entsteht durch Umformung eines gegebenen Gleichungspaares so, dass die Zuordnung der abh¨angigen und unabh¨ angigen Variablen der gew¨ unschten Gleichungsform entspricht. Gl. (2.6.8) zeigt als Beispiel die Zuordnung zwischen Leitwert- und Widerstandsparametern. Tabelle 2.6 enth¨alt die Umrechnungsbeziehungen. F¨ ur ein Zweitor m¨ ussen nicht alle Beschreibungsformen existieren, dann sind einige nicht definiert (Beispiele: ideale gesteuerte Quellen, idealer Transformator, ideale Leitungsdurchverbindung, Elementarzweitore mit nur einem Zweipolelement). Eine Matrixdarstellung existiert dann nicht, wenn die Ursachengr¨ oßen voneinander abh¨ angen. Gilt dies in der Leitwertform f¨ ur die Spannungen U1 , U2 , etwa wegen durchgehender L¨ angsverbindungen, so existiert die Y -Matrix nicht. H¨ angen beide Str¨ ome voneinander ab, wie bei einem L¨ angswiderstand, so gibt es keine Z-Matrix. Im Kap. 2.6.5 werden wir Beispiele kennenlernen.

Beispiel 2.6.3 Umwandlung Leitwert- → Widerstandsparameter Die Leitwertparameter des Beispiels 2.6.2 (Schaltung Abb. 2.6.6b) sollen in die Widerstandsform gewandelt werden. 34

Allgemein m¨ ussen unabh¨ angige Parameter durch andere unabh¨ angige ausgedr¨ uckt werden. Sie k¨ onnen verschiedenen Zweitordarstellungen und/oder Grundschaltungen angeh¨ oren.

154

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

Mit der Umwandlung nach Tabelle 2.6 folgt „ „ « « 1 1 Y22 −Y12 G2 + G3 −G2 Z= = −Y21 Y11 −G2 G1 + G2 det Y N mit N = G1 G2 + G3 (G1 + G2 ). Die Z-Parameter lassen sich auch direkt berechnen (man f¨ uhre dies durch). Analog zu Beispiel 2.6.2 k¨ onnen die Z-Parameter f¨ ur die sog. T-Schaltung Abb. 2.6.6c ermittelt werden (direkte Berechnung oder Dreieck-Stern-Umwandlung aus Abb. 2.6.6b oder u osungen sind sp¨ ater in Tabel¨ ber die duale Schaltung); die L¨ le 2.11 mit verzeichnet.

Physikalische Bedeutung der Parameter Die vielf¨ altigen Parameterbezeich-

nungen in Tabelle 2.5 verlangen eine Systematik. Generell sind Zweitorparameter definiert durch  Wirkung m  Pmn = . (2.6.9) Ursache n zweite Ursache verschwindet Die Nebenbedingung betrifft entweder einen Torstrom oder eine Torspannung. Dann muss der entsprechende Torabschluss Leerlauf oder Kurzschluss sein. Bei Leerlauf/ Kurzschluss verschwindet stets einer der beiden Terme auf der rechten Seite der Zweitorgleichung und die Bedeutung des verbliebenen Parameters ist direkt zu erkennen. Als Zweitorparameter treten Zweipol- oder Transfergr¨oßen auf: Die Zweipolparameter (m = n) lauten Um /Im bzw. Im /Um und heißen Widerstand bzw. Leitwert bei Kurzschluss oder Leerlauf. Die Nebenbedingung wird erw¨ ahnt. Bei den Transfergr¨oßen35 werden unterschieden ¨ der Ubertragungswiderstand vorw¨ arts/r¨ uckw¨arts U2 /I1 bzw. U1 /I2 (bei Kurzschluss oder Leerlauf), auch Transimpedanz, Kernwiderstand, ¨ der Ubertragungsleitwert vorw¨ arts/r¨ uckw¨arts I2 /U1 bzw. I1 /U2 (bei Kurzschluss oder Leerlauf), Vorw¨ artssteilheit, bzw. R¨ uckw¨artssteilheit, die Leerlaufspannungsverst¨arkung U2 /U1 (= Au ) auch Spannungs¨ ubersetzung, Spannungsverst¨ arkung, die Kurzschlussstromverst¨arkung I2 /I1 (= Ai ), auch Strom¨ ubersetzung.

35

Mit Zusatz reziprok oder r¨ uckw¨ arts f¨ ur Betriebsrichtung 2 → 1 resp. vorw¨ arts f¨ ur Betriebsrichtung 1 → 2.

2.6

Zweitore

155

Transfergr¨oßen treten bei gesteuerten Quellen auf (Kap. 2.6.4). Die Bestimmung der Zweitorparameter erfolgt durch Anwendung der Definition und Berechnung (z. B. Bestimmung von Ersatzwiderst¨ anden, Anlegen von Probequellen), bei gegebener Schaltung durch Aufstellen der Netzwerkgleichungen und Koeffizientenvergleich der L¨ osung mit den Zweitorgleichungen, durch Messung mit der Parameterdefinition als Messvorschrift, durch Umrechnung aus einem anderen Parametersatz.

L¨ osungsmethodik Zweitorparameter

Die Parameter eines Zweitors werden zweckm¨aßig in folgender Weise bestimmt: 1. gew¨ unschtes Zweitorgleichungssystem ausw¨ahlen, aus Zweitorart (passiv, aktiv, l¨angssymmetrisch u. a.) auf die notwendigen Parameter (2 . . . 4) schließen, 2. Probequelle (Strom, Spannung) entsprechend der Koeffizientenart auf einer Zweitorseite anlegen, Berechnung der zugeh¨origen Ein- und Ausgangsgr¨oßen (letztere unter der geforderten Nebenbedingung), 3. Vorgang f¨ ur die andere Zweitorseite wiederholen, 4. Auf die Richtung zwischen eingepr¨ agten Quellenstr¨omen und festgelegten Stromrichtungen achten. 5. Einfache Kontroll¨ uberlegungen durchf¨ uhren.

Beispiel 2.6.4 Bestimmung der Z -Parameter Folgende Schritte m¨ ussen durchgef¨ uhrt werden: 1) Berechnung von Z11 und Z21 : Anlegen eines Stromes I1 (oder Spannung U1 ) bei Leerlauf am Ausgang (I2 = 0), Berechnung von U1 (oder I1 ) und U2 und daraus Z11 , Z21 gem¨ aß Definition; 2) Berechnung von Z22 und Z12 : Anlegen eines Stromes I2 (oder Spannung U2 ) bei Leerlauf am Eingang (I1 = 0), Berechnung von U2 (bzw. I2 ) und U1 und Berechnung von Z22 , Z12 nach Definition. Einige Schritte wurden in Abb. 2.6.5a erl¨ autert, f¨ ur die Beispielzweitore Abb. 2.6.6 k¨ onnen damit die Z-Parameter direkt bestimmt werden.

Beispiel 2.6.5 Zweipolersatzgr¨ oßen eines Zweitores F¨ ur eine Abzweigschaltung nach Abb. 2.6.6b (mit gegebenen Leitwertparametern und eingangsseitiger Stromoßen Leerlaufspannung U2l , Kurzschlussstrom quelle Iq ) sind die Zweipolersatzgr¨

156

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

I2k und Innenleitwert Gi am Zweitorausgang allgemein und speziell f¨ ur Iq = 1 A, Y11 = 20 mS, Y21 = Y12 = −10 mS, Y22 = 10 mS gesucht. Der Ausgangskurzschlussstrom I2k = −I2 (Richtung am Zweitor definiert, Richtung I2k durch Grundstromkreis festgelegt) folgt aus Gl. (2.6.7a) f¨ ur U2 = 0 durch Eliminieren von U1 zu −I2k Y21 Y21 1 I2 = = → I2k = − Iq = Iq . I1 Iq Y11 Y11 A22 Er ist durch die Strom¨ ubersetzung A22 bestimmt. Der Innenwiderstand (bei Leerlauf eingangsseitig) folgt aus Gl. (2.6.7a) f¨ ur I1 = 0 « „ detY U2 −Y21 Y12 I2 = Y21 U1 + Y22 U2 = + Y22 U2 = U2 = , Y11 Y11 Z22 da 0 = Y11 U1 + Y12 U2 . Der Innenwiderstand U2 /I2 = Z22 ist gleich dem ausgangsseitigen Leerlaufwiderstand Z22 . Die ausgangsseitige Leerlaufspannung U2l (bei I2 = 0) ergibt sich aus « „ detY U2 −Y11 Y22 + Y12 U2 = − U2 = , Iq = Y11 U1 + Y12 U2 = Y21 Y21 Z21 da 0 = Y21 U1 + Y22 U2 . Damit gilt zusammengefasst U2l = Z21 Iq , I2k = I2k Gi = 1/Z22 = U = A221Z21 . 2l

Iq , A22

Zahlenm¨ aßig folgt Z21 = 100Ω, A22 = 2, Z22 = 200 Ω. Im Beispiel lassen sich die Ersatzgr¨ oßen durch die Zweipoltheorie zwar rascher ¨ gewinnen, aber bei umfangreicherem Ubertragungsnetzwerk ist der Weg u ¨ ber die Zweitorbeschreibung transparenter.

Beispiel 2.6.6 Spannungs- und Stromteilerregel in Zweitordarstellung Liegt am Eingang eines Zweitors eine Spannung U1 = Uq , so stellt sich ausgangsseitig (bei Leerlauf I2 = 0) die Spannung (nach Gl. (2.6.7)) ˛ U2 ˛˛ Y21 Z21 1 =− = = Spannungs¨ ubersetzung U1 ˛I2 =0 Y22 Z11 A11 ein. Es h¨ angt von den Zweitorkoeffizienten ab, ob dieses Verh¨ altnis kleiner 1 (wie bei normaler Spannungsteilung, Gl. (2.3.8)) oder gr¨ oßer 1 ist, wenn z. B. Y21 eine gesteuerte Quelle darstellt. F¨ ur die Schaltung Abb. 2.6.6b entsteht eine Spannungsteilung R2 /(R1 + R2 ). agt der AusgangskurzschlussLiegt eingangsseitig eine Stromquelle I1 = Iq , so betr¨ strom des Zweitors (bei U2 = 0) nach Gl. (2.6.7) ˛ I2 ˛˛ Y21 Z21 −1 = =− = Strom¨ ubersetzung. I1 ˛U2 =0 Y11 Z22 A22 F¨ ur die Schaltung Abb. 2.6.6c wird daraus die Stromteilerformel −G2 /(G2 + G3 ). Mit gesteuerten Quellen kann die Strom¨ ubersetzung auf Werte gr¨ oßer 1 anwachsen.

2.6

Zweitore

157

In diese Ergebnisse lassen sich problemlos Ausgangbelastungen mit einbeziehen (s. Kap. 2.6.7) Das negative Vorzeichen in der Strom¨ ubersetzung ergibt sich aus der symmetrischen Stromfestlegung, es fehlt in der Stromteilerregel Gl. (2.3.10). Die Beispiele zeigen, dass die Spannungs- und Stromteilerregel Sonderf¨ alle von Zweitorbetrachtungen sind, die auch gesteuerte Quellen zul¨ asst.

2.6.3 Zweitorarten Die Zweitorparameter erlauben die Einteilung der Zweitore durch Parameterbedingungen (Tab. 2.7). Mehrere k¨ onnen gleichzeitig zutreffen. Ihre Kenntnis bestimmt die Anzahl der notwendigen Zweitorparameter und die zugeh¨orige Ersatzschaltung. Ben¨ otigt das allgemeine Zweitor alle vier Parameter, so sinkt ihre Zahl bis auf zwei f¨ ur spezielle Zweitore (und gar einen f¨ ur manche Elementarzweipole). Wichtige Merkmale sind Umkehrbarkeit und Symmetrie. Umkehrbarkeit

Ein Zweitor heißt umkehrbar, ¨ ubertragungssymmetrisch oder reziprok, wenn es unabh¨angig von der Einspeisungsseite bei gleicher Ursache die gleiche ¨ Wirkung zeigt und so richtungsunabh¨ angiges Ubertragungsverhalten hat. Das ist der Inhalt des Reziprozit¨atstheorems oder der Umkehrbarkeitsbedingung (Kap. 4.3). Deshalb gelten   U2  U1  Umkehrbarkeits= bzw. Z12 = Z21 . (2.6.10)   bedingung I2 I1 =0 I1 I2 =0 Verursacht ein Eingangsstrom I1 (Ursache) am Zweitorausgang die Leerlaufspannung U2 und umgekehrt der gleiche Strom I2 (Ursache) am Ausgang die gleiche Leerlaufspannung am Zweitoreingang (U1 ≡ U2 ), so ist das Zweitor umkehrbar. Sinngem¨aße Erkl¨ arungen gelten f¨ ur andere Zweitordarstellungen. ¨ Beim Ubergang von der Widerstandsform zu anderen Zweitorgleichungen folgt dann (symmetrisches Richtungssystem) die Umkehrbarkeitsbedingung Y21 = Y12 , Z21 = Z12 , H12 = −H21 , det A = 1

(2.6.11a)

Hinweis: in der (nicht benutzten) Kettenpfeilrichtung lautet die Umkehrbarkeitsbedingung     = −Y12 , Z21 = −Z12 , H12 = H21 , det A = −1 Y21

(2.6.11b)

dabei wurden die Parameter zur Unterscheidung mit einem Strich versehen.

158

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

Ein umkehrbares Zweitor hat drei (unabh¨ angige) Zweitorparameter, der vierte liegt durch die Umkehrbarkeitsbedingung fest. Zweitore aus linearen zeitunabh¨ angigen Netzwerkelementen (R, L, C) sind stets umkehrbar, wenn nur Y12 = 0 (gleichwertig Z12 , H12 , det A = 1) gilt und so eine Verbindung zwischen Ein- und Ausgang besteht. Umkehrbare Zweitore lassen sich stets durch eine quellenfreie T- oder πErsatzschaltung modellieren (s. Tab. 2.11). Zweitore, die die Umkehrbarkeitsbedingung nicht erf¨ ullen, heißen nicht umkehrbar, nicht reziprok oder ubertragungsunsymmetrisch, auch aktive Zweitore. Dazu geh¨oren z. B. sol¨ che mit einer gesteuerten Quelle. Tabelle 2.7. Grundeigenschaften ausgew¨ ahlter Zweitore

Zweitor

Zahl und Bedingung unabh¨ angiger Zweitorparameter

Beispiele

Umkehrbar, unsymmetrisch

3: Z12 = Z21 , Y12 = Y21 , H12 = −H21 , det A = 1

unsymm. Zweitor aus Grundelementen R, C, L, (M )

Widerstandssymmetrisch, nicht umkehrbar

3: Z11 = Z22 , Y11 = Y22 , det H = 1, A11 = A22

gesteuerte Quelle, gleiche Ein- und Ausgangswiderst¨ande

Widerstandssymmetrisch umkehrbar

2: beide vorigen Bedingungen gleichzeitig

symm. Zweitor aus Grundelementen R, C, L, (M )

R¨ uckwirkungsfrei, nicht umkehrbar

3: Z12 = Y12 = 0 H12 = det A = 0

gesteuerte Quelle, Verst¨arker ohne R¨ uckwirkung

Richtungssymmetrisches Zweitor Ein Zweitor wird richtungssymmetrisch genannt, wenn sein Eingangswiderstand bei beliebigem Abschluss auf Seite 2 mit dem Ausgangswiderstand bei beliebigem Abschluss auf Seite 1 u ¨ bereinstimmt (Tab. 2.7). Der Beweis erfolgt durch Widerstandsberechnung, die Bedingungen lautet

Z11 = Z22 , Y11 = Y22 , A11 = A22 , det H = 1.

Widerstandssymmetrie (2.6.12)

2.6

Zweitore

159

Ein richtungssymmetrisches Zweitor hat drei unabh¨angige Parameter. Gilt zus¨atzlich Umkehrbarkeit, so liegt ein l¨angssymmetrisches Zweitor vor mit zwei Zweitorparametern. Hier h¨ angen die Betriebseigenschaften nicht von der Betriebsrichtung ab: sie sind umkehrbar, u ¨ bertragungs- und widerstandssymmetrisch. R¨ uckwirkungsfreies Zweitor Ein nicht umkehrbares Zweitor wird im Grenzfall

uckwirkungsfrei Y12 = 0 r¨ Y12 = 0, Z12 = 0, H12 = 0 det A = 0. R¨ uckwirkungsfreiheit (2.6.13) Beim r¨ uckwirkungsfreien Zweitor ist die U, I-Relation des Eingangstores unabh¨angig vom Ausgangstorverhalten. Dann verschwindet in der Zweitorgleichung I1 = Y11 U1 + Y12 U2 der letzte Term und man spricht von einem unilateralen Zweitor. Es u ¨ bertr¨agt in R¨ uckw¨artsrichtung kein Signal: der Eingang ist vom Ausgang entkoppelt. Ein r¨ uckwirkungsfreies Zweitor hat drei unabh¨angige Parameter (Ein-, Ausgangswiderst¨ande, eine Steuergr¨ oße). Es ist die grundlegende Zweitorform eines Verst¨arkers.

2.6.4 Zweitorersatzschaltungen, gesteuerte Quellen Einf¨ uhrung Zweitorersatzschaltungen dienen der Nachbildung des Klemmen-

verhaltens durch ein einfacheres Netzwerk. Ein Vergleich zum Zweipol bietet sich an: auch dort beschrieb der Ersatzzweipol das Klemmenverhalten eines Netzwerkes zwischen zwei Klemmen gleichwertig. Zweitorersatzschaltungen stellen das gleiche Torverhalten durch ein einfacheres Netzwerk dar, gestatten eine physikalische Modellierung in Grenzen (Beispiel: Transistorersatzschaltungen), erm¨oglichen einfache Umrechnungen in andere Grundschaltungen. Formale Zweitorersatzschaltungen haben entweder keine, eine oder zwei gesteuerte Quellen (abh¨ angig vom Zweitor). Sie leiten sich direkt aus den Zweitorgleichungen ab. Gesteuerte Quellen f¨ uhren wir zun¨achst nur ein, vertiefen sie aber wegen ihrer grunds¨ atzlichen Bedeutung im Kap. 2.7. Gesteuerte Quellen Der Begriff gesteuerte Quelle“ beschreibt die Nachbil-

” dung eines physikalischen Effektes an einem bestimmten Ort, der von einer Ursache an einem anderen Ort abh¨ angt:

160

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

Eine gesteuerte Quelle ist eine ideale Quelle, deren Intensit¨at (und Richtung) von einer Schaltungsvariablen (Strom, Spannung) eines anderen Zweiges – der Steuergr¨ oße – abh¨ angt, letztere aber nicht r¨ uckwirkend beeinflusst (h¨ochstens indirekt u ¨ ber eine umgebende Schaltung). Sie heißt deshalb auch abh¨angige Quelle und verschwindet bei fehlender Steuergr¨oße im Gegensatz zur unabh¨angigen idealen Quelle. Gegen¨ uber der unabh¨angigen idealen Quelle ist die gesteuerte Quelle ein Zweitor mit einer Steuer- und einer Quellenseite. Es gibt damit vier Quellenarten (Abb. 2.6.7): spannungs- oder stromgesteuerte Spannungs- oder Stromquellen. Ihre Schaltsymbole entsprechen den Quellen (erg¨anzt um den Steuerzweig), im amerikanischen Schrifttum und der neuen Vorschrift DIN EN 60375 erhalten sie oft Schaltzeichen, die sich von denen unabh¨angiger Quellen unterscheiden. gesteuerte Stromquelle

gesteuerte Spannungsquelle Uq

IA

Ust

Ist

Ust 0

IA

Iq= AiIst

Steuergröße: Spannung

UA

b IA

Ist

Uq

IA

Ist Ust

UA

Uq= RmIst

0

Iq

Iq= GmUst

Steuergröße: Strom

1

c Uq

Uq(I) I

I U

UA

2

Uq= f(I) I

0

Steuergröße: Spannung

d 2

Ust

UA

IA

1

a +

I

Uq=f(Icd)

I 1'

e1

0

Steuergröße: Strom

a

U

Ist

UA Uq= AuUst

c

Iq

IA

e2

2'

1'

e3

2'

d

b

e4

Abb. 2.6.7. Gesteuerte ideale Quellen. (a) . . . (d) Steuerkennlinien linearer idealer Quel-

len mit zugeordnetem Ausgangskennlinienfeld. (e) Schaltzeichen gesteuerter Quellen mit Angabe der jeweiligen Steuergr¨ oße: (e1) Kurzform der spannungs- bzw. stromgesteuerten Spannungsquelle, dto. f¨ ur die Stromquelle. (e2) Darstellung einer stromgesteuerten idealen Spannungsquelle als Zweitor. (e3) Gleichwertige Form zu (e2). (e4) Schaltzeichen zu (e2) nach DIN EN 60375

2.6

Zweitore

161

Gesteuerte Quellen haben folgende Merkmale es sind ideale Quellen, Nichtumkehrbarkeit (R¨ uckwirkungsfreiheit): die Steuergr¨oße beeinflusst direkt die Quellengr¨ oße, aber diese nicht die Steuergr¨oße, leistungslose Steuerung: sie erfordert nur eine Steuergr¨oße (Spannung oder Strom) und arbeitet deshalb leistungslos. Dem entspricht ein unendlich großer oder verschwindender Widerstand des Steuerzweiges, Steuer- und Quellenzweig haben a priori keine galvanische Verbindung. Sie ergibt sich erst durch die Modellierung eines bestimmten Bauelementes (z. B. beim Transistor). Auf eine weitere Besonderheit verweisen wir schon jetzt: In Netzwerken d¨ urfen gesteuerte Quellen bei Anwendung bestimmter Analyseverfahren (Zweipoltheorie, ¨ Ersatzgr¨ oßenbestimmung, Uberlagerungssatz u. a.) nie zeitweilig außer Betrieb gesetzt werden (wie unabh¨ angige Quellen), sie verbleiben vielmehr stets im Netzwerk.

Gesteuerte Quellen sind das Netzwerkmodell f¨ ur die unidirektionale, nichtgalvanische Verkn¨ upfung zweier Stromkreise. Sie erlauben so die Modellierung von Bauelementen mit Verst¨ arkereffekt bzw. nichtgalvanischer Verkopplung zweier Stromkreise. Die Modellierung einer R¨ uckwirkung erfordert deshalb weitere Netzwerkelemente, beispielsweise eine zweite, r¨ uckw¨arts arbeitende gesteuerte Quelle. So, wie jedes Netzwerkelement ein typisches Verhalten aufweist, hat auch eine gesteuerte Quelle nach dem Linearit¨ ats- und Zeitverhalten vier Verhaltensmuster. Es gibt deshalb linear-zeitabh¨ angige (zeitunabh¨ angige) und nichtlinear-zeitabh¨ angige (zeitunabh¨ angige) Quellen. Wir beschr¨ anken uns zun¨ achst auf linearer zeitunabh¨ angige Quellen (Erg¨ anzung s. Kap. 2.7).

Abb. 2.6.7 fasst die vier linear zeitunabh¨ angigen Quellentypen zusammen. Bei der spannungsgesteuerten Spannungsquelle h¨ angt die Quellenspannung Uq Uq = Au Ust |−∞
Spannungsgesteuerte (2.6.14a) Spannungsquelle

von der Steuerspannung Ust in einem anderen Netzwerkzweig nach dem Steuerfaktor Au , der (Leerlauf )spannungsverst¨arkung ab36 . Das Kennlinienfeld besteht aus Parallelen im Abstand Au Ust zur Achse des Ausgangsstromes I = IA . Mit steigender Steuerspannung steigt die Quellenspannung. Der Steuerfaktor Spannungsverst¨ arkung“ (> 1) dr¨ uckt die Verst¨ arkerwirkung der ” Quelle aus: eine kleine Steuerspannung ver¨ andert eine große Quellenspannung leis-

36

Leerlaufspannungshinweis eigentlich u ussig, da Spannung der idealen Quelle ¨berfl¨ lastunabh¨ angig. Der Begriff stammt von der messtechnischen Bestimmung von Au .

162

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

tungslos. Diese Quellenform ist typisch f¨ ur Spannungs- und Operationsverst¨ arker (s. Kap. 2.7.7).

Die spannungsgesteuerte Stromquelle Iq = Gm Ust |−∞
Spannungsgesteuerte (2.6.14b) Stromquelle

steuert den Quellenstrom Iq durch die Steuerspannung Ust in einem anderen Netzwerkzweig. Der Proportionalit¨ atsfaktor heißt Transferleitwert, verbreitet aber (¨ ubernommen von der Elektronenr¨ ohre) Steilheit S = Gm (der Term Gm stammt von mutal conductance). Die spannungsgesteuerte Stromquelle ist die Standardform zur Modellierung von Transistorersatzschaltungen. Die stromgesteuerte Spannungsquelle Uq = Rm Ist |−∞
Stromgesteuerte (2.6.14c) Spannungsquelle

steuert die Quellenspannung Uq durch einen Zweigstrom Ist . Die Proportionalit¨atskonstante heißt Transferwiderstand, auch Transimpedanz Rm 37 . Die stromgesteuerte Stromquelle Iq = Ai Ist |−∞
Stromgesteuerte (2.6.14d) Stromquelle

beschreibt den Zusammenhang zwischen Zweigstrom und Ausgangsquellenstrom gem¨aß der Kurzschlussstromverst¨arkung Ai . Sie dient zur Modellierung des Stromverst¨arkers, etwa als Stromverst¨arkung beim Bipolartransistor. F¨ ur die idealen gesteuerten Quellen nach Gl. (2.6.14) gilt ausgangsseitig das ugen einer Quelle in ein Zweitor mit symErzeugerpfeilsystem.38 Beim Einf¨ metrisch definierten Stromrichtungen kehrt sich das Vorzeichen bei den Steuerparametern Steilheit und Stromverst¨ arkung. Dann gilt die Zuordnung nach Gl. (2.6.15). Gesteuerte Quellen und Matrixdarstellung W¨ ahrend der historischen Entwicklung entstanden f¨ ur gesteuerte Quellen nat¨ urliche Bezeichnungen (wie Steilheit, Spannungsverst¨ arkung, Kurzschlussstromverst¨arkung, Transimpedanz), 37

Sie ist Grundlage des Transimpedanzverst¨ arkers.

38

Es gibt keine einheitliche Regelung, daher jeweils die ausgangsseitige Stromrichtungsdefinition u ufen. ¨ berpr¨

2.6

Zweitore

163

meist (nicht einheitlich!) gekoppelt an die ausgangsseitige Erzeugerpfeilrichtung. Auf der andere Seite hat die Zweitorbeschreibung Koeffizienten, die als gesteuerte Quelle interpretiert werden k¨ onnen und eine (nutzerabh¨angige) Zuordnung nat¨ urlicher Bezeichnungen nahelegt. Tabelle 2.8 stellt die Matrixformen der gesteuerten Quellen zusammen (Gl. (2.6.15)): spannungsgest. Spannungsquelle stromgest. Spannungsquelle stromgest. Stromquelle spannungsgest. Stromquelle

C21 = A111 = Au Z21 = A121 = Rm H21 = − A122 = −Ai Y21 = − A112 = −Gm = −S.

(2.6.15)

Hinweis: f¨ ur die Zweitorkoeffizienten Y21 , H21 gilt die symmetrische Stromrichtung, die Gr¨ oßen Ai , Gm sind aber f¨ ur das Erzeugerpfeilsystem ausgangsseitig positiv definiert. Das begr¨ undet die negativen Vorzeichen. Die Vorzeichen der Kettenparameter resultieren aus dem gemischten Richtungssystem (s. Abb. 2.6.4).

Stets sind nur die Koeffizienten der gesteuerten Quellen von null verschieden, alle restlichen Elemente verschwinden. Andere Zweitordarstellungen existieren in den betreffenden F¨ allen nicht. Die Quellenersatzschaltungen ergeben sich aus Tabelle 2.5 durch Nullsetzen der restlichen Elemente, z. B. Z11 , Z12 , Z22 f¨ ur die stromgesteuerte Spannungsquelle. Tabelle 2.8. Zweitordarstellungen gesteuerter Quellen (n. d.: nicht definiert)

spannungsgest. Spannungsquelle I2

Ra= 0

Ge= 0

„

0 0 C21 0

I2

Z21I1

„ Z=

Ge = 0

0 0 Z21 0

«

„ Y =

stromgest. Stromquelle I2

I1

H21I1

Y21U1

U1

Ra= 0

Re= 0

«

spannungsgest. Stromquelle

I2

I1

C21U1

U1

C=

stromgest. Spannungsquelle

Ga= 0

0 0 Y21 0

Re= 0

«

G a= 0

„ H=

0 0 H21 0

«

Z-, Y -, H Matrix n. d. « „ −1 C21 0 A= 0 0

Y -, H -, CMatrix n. d. « „ 0 0 A= −1 Z21 0

Z-, H -, CMatrix n. d. „ « 0 0 A= −1 −Y21 0

Z-, Y -, CMatrix n. d. „ « 0 0 A= −1 0 −H21

Spannungsverst. Au = C21 = A111

Transimpedanz Rm = Z21 = A121

Steilheit Gm = S = −Y21 = A112

Stromverst¨ arkung Ai = −H21 = A121

U2 = C21 U1 = Au U1

U2 = Z21 I1 = Rm I1

I2 = Y21 U1 = −Gm U1

I2 = H21 H1 = −Ai I1

164

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

Ideale Quellen (unabh¨ angige, gesteuerte) sind nicht ineinander u uhrbar. ¨ berf¨ Dagegen k¨onnen reale Quellen (Spannungsquelle mit Innenwiderstand oder Stromquelle mit Innenleitwert, endlicher Widerstand des Steuerzweiges) ineinander ¨ uberf¨ uhrt werden, sowohl auf der Quellen- wie auch Steuerseite: u ¨ ber den Eingangswiderstand Rst (Ust = Rst Ist ) ist eine spannungsgesteuerte Quelle (Spannung oder Strom) in eine stromgesteuerte u uhrbar ¨ berf¨ und umgekehrt (Abb. 2.6.8), bei endlichem Innenwiderstand Ri der gesteuerten Quelle ist eine Wandlung der Strom- in eine Spannungsquelle (und umgekehrt) m¨oglich: Steuergleichung: Ust = Rst Ist , Ausgangsbeziehung: UA = Au Ust − Ri IA IA = Ai Ist − Gi UA .

(2.6.16a)

Dazu treten die Gleichwertigkeiten Uq = Au Ust = Ri Gm Ust = Ri Ai Ist = Rm Ist = Ri Iq Iq = Ai Ist = Gi Rm Ist = Gm Ust = Gi Au Ust = Gi Uq .

(2.6.16b)

¨ Die wechselseitige Uberf¨ uhrung der Strom- und Spannungsquelle erfolgt wie beim aktiven Zweipol (s. Kap. 2.4.1). Standen dort Leerlaufspannung, Kurzschlussstrom und Innenwiderstand in direktem Verh¨altnis, so dr¨ uckt sich das hier durch die Steuerkoeffizienten aus   Au  Rm  Ri = = . (2.6.17) Gm spannungsgesteuert Ai stromgesteuert Die Steuerparameter sind u upft. ¨ ber den Innenwiderstand verkn¨ War der Innenwiderstand beim aktiven Zweipol durch den Quotient von Leerlaufspannung und Kurzschlussstrom gegeben, so geht dieser Zusammenhang bei gesteuerten Quellen in den Quotienten zweier spannungs- oder stromgesteuerter Steuergr¨ oßen nach Gl. (2.6.17) u ¨ ber. Ursache sind die Parameterumrechnungen des Zweitore.

Ist Ust Rst

Ri IA

Ist UA Ust Rst

Gi Iq= GmUst= AiIst

Uq= AuUst= RmIst

a

IA

b

UA

Abb. 2.6.8. Umwandlung gesteuerter realer linearer spannungsund stromgesteuerter Quellen. (a) Spannungs- oder stromgesteuerte Spannungsquelle. (b) Spannungsoder stromgesteuerte Stromquelle

2.6

Zweitore

165

Der Zusammenhang zwischen Spannungsverst¨ arkung Au , Steilheit Gm und Ausur Elektronenr¨ ohren gangsinnenwiderstand Ri wurde bereits von Barkhausen39 f¨ erkannt (in der R¨ ohrenformel“ SDRi = 1 mit dem Durchgriff“ D = 1/Au , sie ” ” ur das stromgesteuerte Element). findet eine Entsprechung Ai = Rm Gi f¨

Zusammengefasst: Die reale gesteuerte Quelle entsteht aus einer idealen durch Erg¨anzung von Ausgangs- und Eingangswiderst¨ anden. Damit lassen sich alle gesteuerten Quellen auf eine Form reduzieren. Die eingef¨ uhrten Quellen gen¨ ugen zum Aufstellen von Zweitorersatzschaltungen. Eine Vertiefung erfolgt in Kap. 2.7, weil reale gesteuerte Quellen meist nichtlinear sind und Steuergr¨ oße, Kennlinie und Kleinsignalverhalten direkt zusammenh¨ angen. Eine interessante Anwendung finden gesteuerte Quellen zur Erzeugung ungew¨ ohnlicher Widerst¨ ande (s. Beispiel 2.6.16).

Beispiel 2.6.7 Verst¨ arkeranordnung F¨ ur die Verst¨ arkerersatzschaltung in Abb. 2.6.9a ist der Strom I4 durch R4 als Funktion der Quellenspannung Uq gesucht. Zwischen beiden Stromkreisen scheint keine unmittelbare Verbindung zu bestehen, nur die gesteuerte Spannungsquelle verkn¨ upft beide in einer Richtung. Der Strom I4 folgt in der Ausgangsmasche zu Uq Au Uq Au Ust R2 = = , R3 + R4 R 3 + R4 R1 + R2 R3 + R4 Gm Iq G4 G4 = Gm Ust = . G3 + G 4 G3 + G4 G1 + G2

I4 = I4

Die Steuerspannung Ust (Leerlaufspannung u ¨ ber R2 ) ergibt sich u ¨ber die Spannungsteilerregel im Eingangskreis. F¨ ur Au = 100, Uq = 1 V, R1 = R2 = R3 = R4 = urde die Quelle entfernt und R3 unmittelbar an R2 ge1 kΩ betr¨ agt I4 = 25 mA. W¨ legt, so erg¨ abe sich ein Strom von gr¨ oßenordnungsm¨ aßig I4 ≈ (Uq /2)/(R3 + R4 ) ≈ ¨ 0, 25 mA. Man erkennt die Verst¨ arkerwirkung. Im Beispiel hat eine Anderung von R4 keinen Einfluss auf die Steuergr¨ oße Ust . Der gleiche Verst¨ arker kann auch mit einer spannungsgesteuerten Stromquelle ausgestattet sein (Abb. 2.6.9b). Der Teilstrom I4 wird u ¨ber die ausgangsseitige Stromteilerregel auf die gesteuerte Quellengr¨ oße zur¨ uckgef¨ uhrt und anschließend die Steuerspannung Ust aus dem Eingangskreis berechnet. Sind alle Parameter der linken Schaltung gegeben, so liefert die rechte Schaltung das gleiche Ausgangsergebnis, wenn die Steilheit Gm entsprechend Gm = Au /R3 u ¨ ber die Barkhausen-Beziehung ermittelt wird (R3 als Innenwiderstand der gesteuerten Quelle aufgefasst, Eingangsquelle Iq aus gleichwertiger Zweipolspannungsquellenersatzschaltung bestimmt). 39

Au = Gm Ri Barkhausen-Beziehung. Sie entstand zu einem Zeitpunkt (1919), als Zweitorbetrachtungen noch nicht g¨ angig waren. H. Barkhausen (1881–1956) gr¨ undete an der Technischen Hochschule Dresden im Jahre 1911 das erste Institut f¨ ur Schwachstromtechnik.

166

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

R1 R2

R3 I 4

IA Ust

R4

I4 G1 G2

U4

Aktiver Zweipol

a

Passiver Zweipol

U‘q= AuUst Gesteuerte Quelle

Aktiver Zweipol

b

UE

Ga

G1

UA

UE

Ga

G4

U4

Passiver Zweipol

I‘q= GmUst Gesteuerte Quelle

I2= 0 G1

UA

UE

UA

I‘q= SUE

I‘q= SUE

I‘q= SUE

Ga

Iq

Iq

Iq

c1

G3

I2= -GaUA

IA G1

Ust

Iq

Uq

c2

c3

Abb. 2.6.9. Verst¨ arkeranordnungen. (a) Mit spannungsgesteuerter Spannungsquelle. (b)

Mit spannungsgesteuerter Stromquelle. (c) Manipulation des Lastleitwertes in Erzeugerpfeilrichtung (c1), in Verbraucherpfeilrichtung (c2) Aufgefasst als Bestandteil des Verst¨ arkerzweitores (c3)

Beispiel 2.6.8 Gesteuerte Stromquelle Eine spannungsgesteuerte Stromquelle (IA = SUE ) arbeitet auf einen Lastwiderstand Ra (Abb. 2.6.9c). Die Ausgangsspannung UA ergibt sich durch Direktberechnung mit der Quellendarstellung im Erzeugerpfeilsystem zu UA = IA Ra = Ra SUE . Bei Berechnung u ¨ ber die Zweitorbeziehungen gelten (mit U1 = UE , U2 = UA ) bei idealer Quelle (Y22 = 0), Abb. 2.6.9c2) I2 = Y21 UE + 0UA , UA = −Ra I2 = −Ra Y21 UE = Ra SUE ,

da Y21 = −S.

Schließlich kann auch die Last Ra als Bestandteil des Zweitores betrachtet werden (Y22 = 1/Ra ), Abb. 2.6.9c3). Es arbeitet dann im Leerlauf und so gilt I2 = Y21 UE + Y22 UA = Y21 UE + (1/Ra )UA = 0 → UA = −Ra Y21 UE = Ra SUE . Die Ergebnisse stimmen erwartungsgem¨ aß u ¨ berein.

Zweitorersatzschaltungen

Zweitorersatzschaltungen bilden ein Zweitor bez¨ uglich seines Klemmenverhaltens durch m¨ oglichst wenige Ersatzschaltelemente nach ohne Bezug auf seinen physikalischen Inhalt. Ersatzschaltungen mit zwei gesteuerten Quellen Jede Zweitorbeschreibung kann durch zwei gesteuerte Quellen (in Vor- und R¨ uckw¨artsrichtung arbeitend) und zugeschaltete Widerst¨ ande interpretiert werden (Tab. 2.9). So bil-

2.6

Zweitore

167

Tabelle 2.9. Ersatzschaltungen

Zwei gesteuerte Quellen I1

Z U 1

Z11

Z12I2

Z22

U2

Z12

U1

I2 Y12U2

Z22-Z12

I1 Z11-Z12

I2

Z21I1

I1

Y U1 Y11

Eine gesteuerte Quelle

-Y12

I1

I2

(Z21-Z12)I1

U2

(Y21-Y12)U1

I2

Y21U1 Y22 U2

Y11+Y12

U1

U2

Y12+Y22 I1

H11

I2

H U1

I1

H22 U2 H12U2

R1

U1

H21I1

R2

I2

R3 (H21+H12)I1

U2

det in der Widerstandsform Gl. (2.6.3) die erste Zeile U1 = Z11 I1 + Z12 I2 die Reihenschaltung einer stromgesteuerten Spannungsquelle Uq = Z12 I2 und eines L¨angswiderstandes Z11 nach. Analog liegen in der Ausgangsmasche die gesteuerte Spannungsquelle Uq = Z21 I1 und der Innenwiderstand Z22 in Reihe. Ganz entsprechend entstehen die u ¨ brigen Ersatzschaltungen. Es folgt die Leitwertersatzschaltung durch Wandlung der Reihenschaltung von Widerstand und gesteuerter Spannungsquelle in eine gesteuerte Stromquelle mit Parallelleitwert. Zweitorersatzschaltungen gibt es auch f¨ ur die Kettenmatrix. Wegen der seltenen Anwendung verzichten wir darauf. Ersatzschaltungen mit einer gesteuerten Quelle Jede Zweitorersatzschaltung mit zwei Quellen l¨ asst sich in eine Form mit einer Quelle u uhren, also in ¨berf¨ eine Zusammenschaltung von passivem Zweitor und gesteuerter Quelle (aktives Zweitor). Sie werden ihres Aussehens wegen als π- und T-Ersatzschaltung bezeichnet, wir beschr¨ anken uns auf diese Formen. π -Ersatzschaltung Zur Leitwertdarstellung des Zweitors

I1 = Y11 U1 + Y12 U2 = Y11 U1 + Y12 U2 + 0 + 0 I2 = Y21 U1 + Y22 U2 = Y12 U1 + Y22 U2 + (Y21 − Y12 )U1





umkehrbarer Vp.

aktiver Vp.

(2.6.18)

168

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

geh¨oren zwei Torbeziehungen, die u ¨ ber spannungsgesteuerte Stromquellen Y21 U1 in Vorw¨ arts- und Y12 U2 in R¨ uckw¨artsrichtung verkoppelt sind ¨ (Tab. 2.9). Beide Tore haben keine galvanische Verbindung. Zum Ubergang auf eine spannungsgesteuerte Stromquelle am Ausgang werden die Knoten 1 , 2 verbunden und die Eingangsstromquelle Y12 U2 durch Quellenteilung (s. Kap. 4.2) u uhrt (Abb. 2.6.10a). So ad¨ ber den Ausgangsknoten 2 gef¨ diert sich zum Teilstrom Y22 U2 noch Y12 U2 und beide Stromanteile werden im Leitwert Y3 = Y12 + Y22 zusammengefasst. (Eine von der eigenen Klemmenspannung gesteuerte Stromquelle wirkt wie ein Zweipolleitwert −Y12 ). Anschließend wird am Eingangsknoten 1 der Nullstrom I  = 0 = Y12 U1 − uhrt. Y12 U1 addiert und sein zweiter Anteil u ¨ ber den Ausgangsknoten 2 gef¨ Dann k¨onnen eingangsseitig der Leitwert Y1 = Y11 + Y12 ersetzt, ausgangsseitig die beiden gesteuerten Stromquellen zu (Y21 − Y12 )U1 vereint und die Stromquelle zwischen Knoten 1 und 2 durch den Leitwert Y2 = −Y12 ersetzt werden (durch diesen Zweig fließt der Strom I  = Y2 (U1 − U2 ) = −Y12 (U1 − U2 )). Das Ergebnis ist die π-Ersatzschaltung. Sie wird besonders bei verschwindender Quelle (Y12 = Y21 ) deutlich. Die π-Ersatzschaltung besteht aus einem passiven Zweitor mit den Elementen Y1 . . . Y3 und einer gesteuerten Stromquelle (Y21 − Y12 )U1 am Ausgang. Im Gleichungssystem (2.6.18) ist der erste Anteil (mit Y21 = Y12 ) ein umkehrbares Zweitor und der zweite die ideale spannungsgesteuerte Stromquelle (Y21 − Y12 )U1 (s. Abb. 2.6.10b). Sie verschwindet bei umkehrbarem Gesamtzweitor (Y21 = Y12 ). Ganz offenbar gibt es neben der Vorw¨artswirkung durch die Stromquelle auch eine R¨ uckwirkung“, entweder durch die gesteuer” te Stromquelle Y12 U2 direkt (Abb. 2.6.10a) oder als Knotenverbindung u ¨ber den Leitwert Y2 im Fall Abb. 2.6.10b.

I‘=0 Y12U1

I1

Y12U1 Y12U2

U1 Y11

I2 Y22 U2 U1

-Y12=Y2

I1 Y1

Y12+Y22

(Y21-Y12)U1

I2 U2

Y3

Y11+Y12 Y11+Y12

a

Y12U2

(Y21-Y12)U1

Y12+Y22

umkehrbares Zweitor

gesteuerte Quelle

b

¨ von der Zweitorersatzschaltung mit zwei gesteuerten Quellen zur Abb. 2.6.10. Ubergang π-Zweitorersatzschaltung. (a) Ausgangsform mit Umformung durch eingangsseitige Addition eines Nullstromes I’ und Quellenteilung. (b) Aufteilung des Gesamtzweitores in ein umkehrbares Zweitor und eine gesteuerte Quelle

2.6

Zweitore

169

Die Zerlegung des Zweitors in ein reziprokes Zweitor und eine gesteuerte Quelle folgt auch direkt aus einer Matrixumformung: „

I1 I2

«

„ =

=

« „ « „ « „ « U1 U1 Y12 Y11 · = · U2 U2 Y21 + Y12 − Y12 Y22 | {z } 0 « „ « „ «! „ U1 Y11 Y12 0 0 · . (2.6.19) + Y12 Y22 U2 Y21 − Y12 0 {z } | {z } |

Y11 Y12 Y21 Y22

rez. Zweitor

gest. Quelle

Durch Erweitern des Koeffizienten Y21 mit 0 wird die Matrix in zwei Teilmatrizen zerlegt: die erste f¨ ur das reziproke Zweitor, die zweite als gesteuerte Quelle mit dem Steuerkoeffizient Y21 − Y12 . Nach der Zusammenschaltung von Zweitoren entspricht der Addition zweier Leitwertmatrizen eine Parallelschaltung beider Zweitore. Diese Ersatzschaltung muss in ihren Schaltelementen (besonderes Y2 ) nicht durch Grundelemente realisierbar sein. Beim Transistor erlaubt sie allerdings eine gute Zuordnung zwischen Leitwerten und physikalischen Vorg¨ angen (s. Kap. 2.7.6). Dort werden die Leitwerte Y1 . . . Y3 besonders benannt: Eingangsleitwert Y1 = Y11 + Y12 R¨ uckwirkungsleitwert Y2 = −Y12 (neg.) Summensteilheit −SS = Y21 − Y12 Ausgangsleitwert Y3 = Y12 + Y22 . ¨ aßig, weil sie beim Ubergang auf andere GrundDie Summensteilheit SS ist zweckm¨ schaltungen bis auf das Vorzeichen stets erhalten bleibt. F¨ ur Verst¨ arkervierpole gilt praktisch immer |Y21 |  |Y12 |.

T-Ersatzschaltung W¨ ahrend die π-Ersatzschaltung Bedeutung f¨ ur die Schal-

tungstechnik hat, ist die T-Ersatzschaltung besonders anschaulich. Wie oben wird zun¨achst von der Ersatzschaltung mit zwei stromgesteuerten Spannungsquellen Z21 I1 , Z12 I2 eine einfache Form aus zwei separaten Zweigen, eben den Torbeziehungen, abgeleitet (Tab. 2.9) mit beliebigen L¨angsspannungen zwischen den Toren. Die Widerstandsgleichung U1 = Z11 I1 + Z12 I2 bildet diese Masche ab, ausgangsseitig entsprechend. Bei Durchverbindung der beiden unteren Knoten l¨asst sich durch Quellenerg¨anzung (Nullquelle Z12 I1 −Z12 I1 ) und Quellenversetzung schließlich (analog wie oben) die T-Ersatzschaltung mit stromgesteuerter Spannungsquelle am Ausgang herleiten. Auch die Zerlegung in eine reziproke und nichtreziproke Widerstandsmatrix, die der Reihenschaltung zweier Zweitore entspricht, ist leicht m¨oglich. Die T-Ersatzschaltung ist zur π-Ersatzschaltung dual. Sie dient verbreitet zur Modellierung des Transformators, aber auch als Schaltung eines umkehrbaren Zweitors mit drei Elementen.

170

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

Das allgemeine Zweitor enth¨ alt wenigstens eine gesteuerte Quelle, ihre Form wird durch die Zweipolbeschreibung bestimmt. Tabelle 2.9 zeigt noch die Hybridersatzschaltung. Sie enth¨alt ihrer Definition nach eine eingangsseitige gesteuerte Spannungsquelle und ausgangsseitig eine stromgesteuerte Stromquelle bzw. eingangsseitig eine Strom- und ausgangsseitig eine spannungsgesteuerte Spannungsquelle. F¨ ur die H- und C-Matrixform gibt es auch Einquellen-Ersatzschaltungen mit geringer Bedeutung. Man erh¨ alt die Parameter der Ersatzschaltung durch direkte Berechnung der Hybridparameter des Netzwerkes und anschließende Ersetzung der Netzwerkelemente durch die Zweitorparameter. F¨ ur die H-Matrixform sind die Ergebnisse in Tab. 2.9 aufgenommen. Erw¨ ahnt sei, dass die H -Ersatzschaltung aus der Y -Ersatzschaltung durch Wandlung der eingangsseitigen Strom- in eine Spannungsquelle hervorgeht. Sie eignet sich f¨ ur Stromverst¨ arker, die C-Ersatzschaltung f¨ ur Spannungsverst¨ arker. Man erh¨ alt sie durch Wandlung der Strom- in eine Spannungsquelle.

Beispiel 2.6.9 Berechnung Z -Parameter F¨ ur die Schaltung Abb. 2.6.11a berechne man die Z-Parameter. Welche Werte gelten f¨ ur S = 0? a) Zur Bestimmung der Parameter Z11 , Z21 legt man eine Probespannung U1 bei ur den ausgangsseitigen Leerlauf I2 = 0 an (Schaltung Abb. a). Es ergeben sich f¨ Knoten K1 und die Eingangsmasche I1 − SU2 − I = 0, U1 = R1 I1 + (R2 + R3 )I und U2 = IR3 . Zusammengefasst folgt ˛ U2 ˛˛ 1 = . I1 = SU2 + U2 G3 → Z21 = I1 ˛I2 =0 S + G3 Die Maschengleichung liefert U1 = R1 I1 + (1 + R2 G3 )U2 =→ Z11 =

˛ (1 + R2 G3 ) U1 ˛˛ = R1 + . I1 ˛I2 =0 S + G3

AuU1 I1 I1

R1

R2

K1

a

SU2

R2

U1 R3

AuU1 I2

I1

U2

U1 U‘

K R1

K2 I2

I U1

R1

U2

R3 U2

RmI1

RmI1

b

R2

I2

I‘

I‘‘

c

Abb. 2.6.11. Beispiele zum Zweitorverhalten. (a) Berechnung der Z-Parameter. (b) Be-

rechnung der Hybridparameter. (c) Reziproke Schaltung mit gesteuerten Quellen

2.6

Zweitore

171

b) Zur Berechnung der Parameter Z22 und Z12 wird die Probespannung U2 angelegt ur K2: und eingangsseitiger Leerlauf eingestellt (I1 = 0). Es gilt f¨ I2 = U2 G3 + SU2 → Z22 =

U2 1 = . I2 S + G3

Die Spannung U1 wird aus U2 mit dem Spannungsabfall u ¨ber R2 bestimmt U1 = U2 − R2 (SU2 ) = (1 − R2 S)Z22 I2 =→ Z12 =

U1 (1 − R2 S) = . I2 S + G3

asst sich Im Sonderfall S = 0 ist die Schaltung umkehrbar (Z21 = Z12 ), außerdem l¨ Z11 = R1 + R2 + R3 und Z22 = R3 direkt ablesen.

Beispiel 2.6.10 Hybridparameter F¨ ur die Schaltung Abb. 2.6.11b berechne man die Hybridparameter. Welche Werte gelten f¨ ur verschwindende gesteuerte Quellen (Au = Rm = 0)? ˛ ˛ R1 H11 : Die Masche U1 = Au U1 + R1 I1 ergibt H11 = UI11 ˛ = 1−A . u H12 : Die Eingangsmasche liefert H12 =

U2 =0

˛

U1 ˛ U2 ˛ I1 =0

=

1 . 1−Au

H22 : Wegen I1 = 0 wirkt die stromgesteuerte Spannungsquelle nicht: H22 = 1/R2 . H21 : Bei Kurzschluss des Ausgangs U2˛ = 0 folgt “aus der ”Ausgangsmasche (I1 + ˛ I2 )R2 + Rm I1 = 0 und damit H21 = II21 ˛ = − 1 + RRm2 . U2 =0

Ohne gesteuerte Quellen folgt: H11 = R1 , H12 = 1, H22 = 1/R2 , H21 = −1.

Beispiel 2.6.11 Reziprozit¨ at Welche Bedingung m¨ ussen die gesteuerten Quellen Abb. 2.6.11c erf¨ ullen, damit die Schaltung umkehrbar ist? Die Umkehrbarkeitsbedingung dr¨ uckt sich in Zweitorkoeffizienten aus, wir fordern Z21 = Z12 . Die Berechnung der Parameter erfolgt schrittweise. ur I2 = 0 betr¨ agt die Ausgangsspannung U2 = R3 I  − Rm I1 . Die Beziehung Z21 : F¨ zwischen den Str¨ omen I1 und I  wird u ¨ ber die Stromteilung am Knoten K ermittelt, dabei muss f¨ ur die Masche der Maschensatz erf¨ ullt sein: U  = R2 (I1 −I  ) = I  (R1 + alt R3 ) − Rm I1 . Man erh¨ Z21 =

I  Rm + R2 U2 = R3 − Rm und I  = I1 → I1 I1 R1 + R2 + R3

Z21 =

R3 R2 − Rm (R1 + R2 ) . (R1 + R2 + R3 )

Z12 : Hier gilt U1 = Au U2 + R2 I  und I  wird aus der Stromteilung ermittelt (dabei ist die Quelle Rm I1 durch Kurzschluss ersetzt I1 = 0). Es gilt dann I  = I2 /(1 +

172

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

G3 (R1 + R2 )). Strom I2 und Spannung U2 h¨ angen direkt zusammen: I2 = U2 /(R3  (R1 + R2 )). Damit ergibt sich R2 Au I2 (R3  (R1 + R2 )) + I2 (1+G3 (R U1 1 +R2 )) = I2 I2 Au R3 (R1 + R2 ) + R2 R3 = . R1 + R2 + R3

Z12 =

uhrt auf −Rm = Au R3 : Auch eine Schaltung mit gesteuDie Bedingung Z12 = Z21 f¨ erten Quellen kann umkehrbar sein, sofern die Umkehrbarkeitsbedingung erf¨ ullt ist. Fehlende gesteuerte Quellen reicht als Kriterium nicht aus.

2.6.5 Elementarzweitore Wir stellen elementare Zweitore zum Aufbau komplexerer Zweitore zusammen. Die zugeh¨ origen Matrizen k¨ onnen direkt aus der Schaltung abgelesen“ ” werden. In Zweifelsf¨ allen geht man von einem Zweitor mit mehreren Elementen aus, berechnet seine Matrixelemente und f¨ uhrt anschließend Grenz¨ u berg¨ a nge durch: Uberbr¨ u ckung (R → 0 bzw. G → ∞) oder Aufschneiden ¨ einer Verbindung (R → ∞ bzw. G → 0). So geht die T-Ersatzschaltung (Tab. 2.9) durch Weglassen oder Kurzschließen einzelner Elemente in verschiedene Grundzweitore u ¨ ber.

Tabelle 2.10. Elementarzweipole (n. d. nicht definiert)

Zweitor

Z

R,G

Y „

n. d.

G −G −G G

« „ R R R R

n. d.

H «

„

R 1 −1 0

A «

„

«

„

1 R 0 1

«

Längswiderstand

R,G

„

0 1 −1 G

1 0 G 1

«

Querwiderstand R1 R2

n. d.

1 R1 +R2

„ « 1 1 1 1

« „ R1 + R2 −1 1 0

„ « −1 −(R1 + R2 ) 0 −1

Vertauschung

„ n. d. ü = w1/w idealer Übertrager

n. d.

0 u ¨ −¨ u 0

«

„

u ¨ 0 0 1/¨ u

«

2.6

Zweitore

173

Die einfachsten Zweitore enthalten nur ein Schaltelement, z. B. die durchgehende Leitungsverbindung mit Widerstand im Quer- oder L¨angszweig (Tab. 2.10). Eine Leitungskreuzung vertauscht die Richtungen von Strom und Spannung am Zweitorausgang. Charakteristisch f¨ ur Elementarzweitore ist, dass nicht alle Matrixdarstellungen existieren. Das L¨ angselement hat nur die Leitwertmatrix, weil in der Widerstandsmatrix angen. Die Leitwertelemente Y11 = Y22 die Torstr¨ ome I1 und I2 voneinander abh¨ betragen ˛ ˛ I1 ˛˛ 1 I2 ˛˛ 1 Y11 = , Y = G = = = −G = − = Y12 , 21 U1 ˛U2 =0 R U1 ˛U2 =0 R ¨ ebenso der Ubertragungsleitwert aus seiner Definition. Letztere bestimmt (¨ uber I2 ) das negative Zeichen, denn bei Anlegen der Spannung U1 (Ursache) wird at ist die Richtung von I1 = −I2 und damit auch I2 erzwungen. Die Reziprozit¨ augenscheinlich. Weil die Matrixdeterminante verschwindet (det Y = 0), gibt es keine Widerstandsform Z = Y −1 . Beim Querelement sind die Verh¨ altnisse analog (duale Schaltung). Jetzt h¨ angen die Torspannungen U1 , U2 voneinander ab (U1 = U2 ), deswegen existiert keine Leitwertmatrix. Die Matrixelemente Z11 = Z22 sind unmittelbar hinzuschrei¨ ben, der Querwiderstandsleitwert ist zugleich Ubertragungswiderstand Z12 = agten Str¨ ome I1 , I2 Z21 = R. Eine Vorzeichenumkehr fehlt, weil die eingepr¨ einen Spannungsabfall an R im VPS hervorrufen. ¨ der ideale Ubertrager (s. Bd. 2) u ¨ bersetzt nur Strom und Spannung, deswegen gibt es lediglich die Hybrid- und Kettenmatrix.

Die T-Schaltung (Tab. 2.11) ist die Standardform zur Darstellung der (umkehrbaren) Widerstandsmatrix durch ein Netzwerk. Ihre Elemente werden nach Definition berechnet oder aus der Schaltung abgelesen“. So betr¨agt der ” Eingangsleerlaufwiderstand Z11 = R1 + R3 , weil der Widerstand R2 durch den ausgangsseitigen Leerlauf (I2 = 0) ohne Einfluss bleibt (beim Eingangskurzschlusswiderstand 1/Y11 nicht!). Entsprechend gilt Z22 = R3 + R2 . Der ¨ Ubertragungswiderstand Z21 = R3 wird wie beim Querelement ermittelt: ein eingepr¨agter Eingangsstrom I1 fließt zwar durch R1 , maßgebend f¨ ur Z21 ist aber der Spannungsabfall an R3 . Deshalb entsteht bei Einpr¨agung von I2 der ¨ gleiche Ubertragungswiderstand und macht das Zweitor bez¨ uglich der eingepr¨agten Str¨ome I1 , I2 umkehrbar: Z21 = Z12 . Die Widerst¨ande R1 . . . R3 ergeben sich aus dem Widerstandsgleichungssystem: R1 = Z11 − Z21 , R2 = Z22 − Z21 , R3 = Z21 = Z12 . Schließlich k¨ onnen die Z-Elemente der T-Schaltung auch (h¨ ochst umst¨ andlich!) aus den Elementarvierpolen L¨ angselement und Querleitwert berechnet werden: wir fassen die Gesamtschaltung auf als Kettenschaltung des L¨ angswiderstandes R1 (Kettenmatrix A1 ), des Querleitwertes G3 = 1/R3 (Kettenmatrix A 3 ) und des

174

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

L¨ angswiderstandes R2 (Kettenmatrix A 2 ). Die Kettenmatrix der Gesamtschaltung ist das Produkt der drei Einzelmatrizen: „ « „ « „ « 1 R1 1 0 1 R2 · · Ages = A 1 · A3 · A2 = 0 1 1 0 1 2 G3 1 3 „ « (2.6.20) R1 G3 + 1 R1 + R2 + R1 R2 G3 = . G3 R2 G3 + 1 Die Z-Parameter werden durch Matrixumrechnung gewonnen, wir greifen stellvertretend die Elemente Z11 und Z12 heraus Z11 =

A11 = R1 + R3, A21

Z12 =

det A 1 = = R3 . A21 G3

Statt der Determinantenberechnung (Kontrolle auf richtige Vorzeichen!) wird die Umkehrbarkeitsbedingung det A = 1 benutzt (passives Zweitor!). Diese umst¨ andliche Berechnung der T-Schaltung bietet eine Kontrolle der Vorzeichen der Einzelvierpolmatrizen, außerdem schafft sie Sicherheit im Umgang mit der Kettenmatrix und ihrer (hybriden) Festlegung des Ausgangsstromes. Das Beispiel zeigt auch, dass die Zusammenschaltung von Zweitoren u ¨ ber Matrixbeziehungen zwar anschaulich, aber in der Durchf¨ uhrung nicht effizient sein muss. Eine unmittelbare Netzwerkanalyse w¨ are hier g¨ unstiger. Tabelle 2.11 zeigt die Ersatzschaltungen und zugeh¨ origen Zweitorparameter f¨ ur h¨ aufig verwendete passive Zweitore, aus denen die Elementarzweitore (Tab. 2.10) sofort hervorgehen.

Zur Gruppe umkehrbarer Zweitore geh¨ oren außer der T-Ersatzschaltung auch die π und X- oder Kreuz-Ersatzschaltungen (s. Tab. 2.11), letztere als Zweitorform der Br¨ uckenschaltung. Bei Abgleich (R1 = R2 ) verschwinden ihre ¨ Ubertragungseigenschaften: der Ausgang ist vom Eingang entkoppelt.

Tabelle 2.11. Ersatzschaltungen passiver Zweipole (NG = G1 G2 + G1 G3 + G2 G3 , G12 = G1 + G2 , NR = R1 R2 + R1 R3 + R2 R3 , R12 = R1 + R2 )

R1

R3

R2 R1

R3 T-Schaltung

Z Y „ A

« „ R1+R3 R3 R3 R2+R3 „ « R2+R3 −R3 1 NR −R3 R1+R3 1+R1 G3 R12+R1 R2 G3 G3 1+R2 G3

R1 R2

R2

R1

X-Schaltung

Π-Schaltung

«„

„ « G2+G3 G3 1 NG G3 G1+G3 „ « G1+G3 −G3 −G3 G2+G3

1+R3 G2 G12+G1 G2 R3

R2

„ 1 2

„

R2+R1 R2 − R1 R2 − R1 R2+R1

«

« G2+G1 G2 − G1 G2 − G1 G2+G1 « „ « R3 R1+R2 2R1 R2 1 1+R3 G1 R2 −R1 2 R1+R2 1 2

2.6

Zweitore

175

Spannungsteilerregel und T-Ersatzschaltung Die T-Ersatzschaltung hebt auch das Zweitorverst¨ andnis der Spannungsteilerregel hervor (s. Gl. (2.3.8) und Beispiel 2.6.6): ˛ U2 ˛ ˛ ˛ I ˛ 1 I =0 U2 ˛ R3 Z21 1 ˛2 = = = = . (2.6.21) ˛ U1 ˛ U1 I2 =0 R1 + R3 Z A 11 11 I1 ˛ I2 =0

Die Spannungsteilung (bei ausgangsseitigem Leerlauf) entspricht der reziproken Leerlaufspannungs¨ ubersetzung des Zweitores! Damit k¨ onnen umgekehrt die Kettenmatrixparameter direkt berechnet werden. Beispielsweise korrespondiert die Stromteilerregel Gl. (2.3.10) mit der reziproken Kurzschlussstrom¨ ubersetzung (1/A22 ) und die Nebendiagonalelemente A21 und A12 stehen mit Z21 resp. Y21 in Beziehung.

¨ Beispiel 2.6.12 Zweitorlast Zur Ubung mit dem Lastwiderstand und Vorzeichen des Ausgangsstromes zerlegen wir eine T-Ersatzschaltung in ein Zweitor mit den Elementen R1 und R3 (mit zugeordneten Widerstandsparametern) und betrachten den L¨ angswiderstand R2 als seine Last (Skizze!). Gesucht sei der Eingangskurzschlusswiderstand R1k = 1/Y11 = R1 + (R3  R2 ), wie er der Schaltung sofort entnommen wird. Bei der Zweitoranalyse U1 = Z11 I1 + Z12 I2 , U2 = Z12 I1 + Z22 I2

Lastbeziehung U2 = −R2 I2

tritt zu den Zweitorgleichungen noch die Lastbeziehung. Weil der Ausgangsstrom I2 am Zweitor symmetrisch festliegt, muss die Stromrichtung im Lastelement ber¨ ucksichtigt werden: das Zweitor ordnet dem Widerstand die Erzeugerpfeilrichtung zu! Der Eingangswiderstand der neuen“ Schaltung folgt zu ” „ « 2 I2 U1 Z12 R1 = R1k = = Z11 − = Z11 + Z12 I1 I1 R2 + Z22 R32 = R1 + R3 − = R1 + (R3  R2 ). R 2 + R3 Das Stromverh¨ altnis I2 /I1 liegt durch die zweite Zweitorgleichung und die Lastbeziehung fest: U2 = −R2 I2 = Z12 I1 + Z22 I2

→

I2 −Z12 = . I1 R2 + Z22

Nachdr¨ ucklich ist hervorzuheben, dass die definierten symmetrischen Stromrichtungen am Zweitor f¨ ur das Lastelement definitorisch die Erzeugerpfeilrichtung U2 = −IR2 zur Folge haben!

2.6.6 Zweitorzusammenschaltungen Zweitorzusammenschaltungen umfassen den Aufbau gr¨oßerer Schaltungen aus bekannten Zweitoren, die Einbettung eines Zweitores in ein anderes Netzwerk oder die R¨ uckf¨ uhrung komplizierter Schaltungen auf Elementaranord-

176

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

nungen. Zusammenschaltungen erfolgen durch Parallel- und/oder Reihenoder Kettenschaltung von Einzelzweitoren. Es gibt f¨ unf M¨oglichkeiten (inverse Formen wegen geringer Bedeutung nicht beachtet) (Abb. 2.6.12). Mit angepassten“ Zweitorparametern f¨ uhrt die Zusammenschaltung auf ” eine Addition entsprechender Matrixdarstellungen. ¨ Voraussetzung einer Zusammenschaltung ist keine St¨ orung der Ubertragungsfunktion der einzelnen Zweitore. Das trifft bei Einhaltung der Torbedingungen f¨ ur die Einzelzweitore und das Gesamtzweitor zu.

Reihenschaltung Bei der Reihenschaltung von Zweitoren (Abb. 2.6.13) mit

eingehaltenen Torbedingungen f¨ ur die Zweitore Na , Nb , also I1 = I1a = I1b und I2 = I2a = I2b f¨ uhrt die Addition der Spannungen U1 = U1a + U1b , U2 = U2a + U2b auf die Addition der Widerstandsmatrizen. Mit den Vektoren       I1a I1b I1 Ia = , Ib = , I= und I2a I2b I2       U1a U1b U1 , Ub = , U= Ua = U2a U2b U2

a

a

(-I2) I1

a

a

a b

b

bb

b

Y =Ya+Yb

Z =Za+Zb

H =Ha+Hb

C =Ca+Cb

ReihenParallelSchaltung

ParallelReihenSchaltung

ParallelParallelSchaltung

ReihenReihenSchaltung

b

A =Aa•Ab KettenSchaltung

Abb. 2.6.12. Zusammenschaltungen erdunsymmetrischer Zweitore (durchgehende Masse-

leitung)

I2a

I1 U1a

U2a U1a

a

U1b

falsch

U2a

a I2b

I1b b

U2b U1b

b

a

U2a U1a

a

I2b

I1b

I2a

I1a

I2a

I1a

I1b

b

U2b U1b richtig

U2b

b

I2b

richtig

1:1

c

Abb. 2.6.13. Reihenschaltung zweier Zweitore. (a) Falsche Anordnung, ein L¨ angszweig wird kurzgeschlossen. (b) Richtige Zusammenschaltung bei erdunsymmetrischen Zweito¨ ren. (c) Zusammenschaltung beliebiger Zweitore mit idealem Ubertrager am Ausgang

2.6

Zweitore

177

folgt U = U a + U b und I = I a + I b , sowie U a = Z a · I a , U b = Z b · I b und U = (Z a + Z b ) · I = Z · I mit Z = Z a + Z b .

(2.6.22)

Bei der Reihenschaltung zweier Zweitore addieren sich die Widerstandsmatrizen der Einzelzweitore. Abb. 2.6.13a zeigt eine nicht zul¨ assige Reihenschaltung: die Torbedingung ist verletzt. Die Nullverbindung des oberen Zweitoren u uckt den L¨ angswiderstand ¨ berbr¨ des unteren Zweitores. Besitzt jedes Zweitor dagegen eine Nullverbindung (Abb. 2.6.13b), so ist die Zusammenschaltung m¨ oglich. Das Problem kann durch ¨ Einschaltung eines idealen Ubertragers 1:1 am Ausgang (Abb. 2.6.13c) beseitigt werden, der die Einhaltung der Torbedingung erzwingt.

Bei der Reihenschaltung wird die Torbedingungen (ohne Zwischen¨ ubertrager) nur eingehalten, wenn jedes Zweitor eine durchgehende Nullverbindung hat. Ob zwei Zweitore reihengeschaltet werden k¨ onnen, kann mit dem Brunetest40 u ¨ berpr¨ uft werden. Man legt eine Eingangsspannung an die Reihenschaltung und misst die Spannung zwischen den ausgangsseitig zu verbindenden Klemmen. Anschließend wird der Schritt von Seite 2 her wiederholt. Verschwinden in beiden F¨ allen die gemessenen Spannungen, so k¨ onnen die Zweitore reihengeschaltet werden. In Abb. 2.6.13a stellt sich eine Brunespannung ein, in Abb. b nicht.

Parallelschaltung Bei der Parallelschaltung zweier Zweitore erfolgt eine Addi-

tion der jeweiligen Klemmenstr¨ ome (Abb. 2.6.14) Es gelten U1 = U1a = U1b , U2 = U2a = U2b und I1 = I1a + I1b , I2 = I2a + I2b . Bei Verwendung der Vektorschreibweise I a = Y a · U a , I b = Y b · U b und U = U a = U b , I = I a + I b wird damit I = Y · U = (Y a + Y b ) · U .

(2.6.23)

Bei Parallelschaltung zweier Zweitore addieren sich die Leitwertmatrizen der Einzelzweitore. Voraussetzung ist die Einhaltung der Torbedingungen, entweder mit durchgehender Masseverbindung eines jeden Zweitores, dann k¨onnen beliebig viele Zweitore parallel geschaltet werden (!), oder durch Anschaltung eines idealen ¨ Ubertragers (1:1) am Ausgang (Abb. 2.6.14b). Er erzwingt die Torbedingung. Die Parallelschaltbarkeit wird mit dem Brunetest u uft: Beide Zweitore werden ¨ berpr¨ eingangsseitig parallel geschaltet und je am Ausgang kurzgeschlossen. Bei Anlegen einer Eingangsspannung darf zwischen den Ausgangsklemmen keine Spannung entstehen. Nach Wiederholung des Tests vom Ausgang her (mit gleichem Ergebnis) sind beide Zweitore parallel schaltbar.

40

Auf die Netzwerkbegr¨ undung des Brunetests sei hier verzichtet.

178

I1

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

I1a U1a

U1

U2a

a

U1

U2

U2b

b

I2

U2a

a

I2b 1:1

I1b U1b

a

I2a

I1a U1a

I2b

I1b U1b

I1

I2

I2a

U2

U2b

b

b R2 a R2 Yab

Zab +

b

Yabc

Zc

R1 c

R1

c Abb. 2.6.14. Parallelschaltung von Zweitoren. (a) Parallelschaltung erdunsymmetrischer

¨ Zweitore. (b) Parallelschaltung allgemeiner Zweitore mit idealem Ubertrager. (c) Beispiel einer Zusammenschaltung von Zweitoren. Zerlegung einer Schaltung in Elementarzweitore, von denen Y a und Y b zun¨ achst parallelgeschaltet, dann in eine Z-Form u uhrt und ¨berf¨ mit Zc reihengeschaltet werden

Nach dem gleichen Schema k¨ onnen die Reihen-Parallel- und die ParallelReihenschaltung durch Addition der entsprechenden Matrizen gewonnen werden (im ersten Fall durch die H-Matrix, im letzten durch die C-Matrix).

Beispiel 2.6.13 Kettenschaltung von Zweitoren Bei der Kettenschaltung arbeitet der Ausgang eines Zweitores Na auf den Eingang des Folgezweitores Nb . Haben beide die Kettenmatrizen « « „ « « „ „ „ U1b U1a U2a U2b = Aa · , = Ab · , I1a −I2a I1b −I2b so gelten folgende Bedingungen : I1 = I1a , U1 = U1a , I2 = I2b , U2 = U2b und U2a = U1b , I1b = −I2a . Die letzten Beziehungen beschreiben die Schnittstelle. Damit lautet die Gesamtschaltung (Abb. 2.6.12). „ „ „ « „ « « « U1 U2a U1b U1a = = Aa · = Aa · I1 I1a −I2a I1b « „ « „ U2 U2b = Aa · A b · =A· . −I2b −I2 Ihre Matrix ist das Produkt der Kettenmatrizen der Einzelzweitore: « „ A11a A11b + A12a A21b A11a A12b + A12a A22b . A = Aa · A b = A21a A11b + A22a A21b A21a A12b + A22a A22b

2.6

Zweitore

179

Die Reihenfolge der Multiplikation darf nicht ver¨ andert werden. Die Kettenschaltung l¨ asst sich auf beliebig viele Zweitore erweitern, denn die Torbedingung an den Schnittstellen wird automatisch eingehalten. Das liegt an der Richtungsfestlegung des ausgangsseitigen Stromes in Erzeugerrichtung, aber des Folgetores in Verbraucherrichtung.

Beispiel 2.6.14 Zweitorschaltung Ein Transistor sei u ande R1 , R2 ¨ ber die Widerst¨ r¨ uckgekoppelt“ (Abb. 2.6.14c). Gesucht ist die Widerstandsmatrix der Anordnung. ” Die Schaltung l¨ asst sich in drei Teilzweitore Na . . . Nc gruppieren, von denen der Transistor (aus Vereinfachungsgr¨ unden) nur als spannungsgesteuerte Stromquelle angesetzt wird mit einer Leitwertmatrix „ « 0 0 . Yb= Y21 0 Die Parallelschaltung der Teilnetzwerke Na und Nb ergibt (durch Addition der zugeh¨ origen Leitwertmatrizen) die Gesamtmatrix « „ G2 −G2 Y ab = . Y21 − G2 G2 Damit das Netzwerk Nc mit dem Querwiderstand R1 in Reihe zu dieser Gesamtschaltung geschaltet werden kann, wandeln wir die Leitwertmatrix in die Widerstandsmatrix um (Tab. 2.6) „ « „ « 1 1 1 1 Yab22 −Yab12 Z ab = = . Y21 det Y ab −Yab21 Yab11 Y21 1 − G2 1 Zu dieser Teilschaltung wird der L¨ angswiderstand R1 in Reihe geschaltet, also seine Zweitormatrix Z c zu Z ab addiert « „ « „ 1 1 + R1 + R1 R1 R1 Y21 Y21 = . Z = Z ab + Z c = Z ab + 1 R1 R1 + R1 − G12 Y121 + R1 Y21 Das Vorzeichen der gesteuerten Stromquelle Y21 kann, je nach der Transistorgrundschaltung, positiv oder negativ sein. Die Gesamtanordnung hat auch sonst noch interessante Eigenschaften, beispielsweise f¨ ur die Widerstandsanpassung.

2.6.7 Zweitor in der Schaltung, Betriebsverhalten ¨ Die Ubertragungseigenschaften des Zweitores zwischen Quelle und Verbrau¨ cher bestimmen Zweitorbetriebsgr¨oßen oder Ubertragungsfaktoren (Strom-, Spannungs¨ ubersetzung, Leistungs¨ ubertragung). Die Betriebseigenschaften k¨ onnen in jeder Zweitorbeschreibung ausgedr¨ uckt werden, wir beschr¨ anken uns auf die Leitwertform und w¨ahlen eine lineare Stromquelle mit den Kennwerten Iq und Gi und den Lastleitwert Ga (Abb. 2.6.15a). Zum Zweitor in der Schaltung“ geh¨oren dann ”

180

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

Iq

Ri

U1

G1

a

I‘1

I2

I1 Zweitor

U2

Ra

U1

Iq

G2

b

G‘1

Ri

I‘2=0

I2

I1 Zweitor

Ersatzzweitor Y‘

Ra

U2

G‘2

Abb. 2.6.15. Zweitor in der Schaltung. (a) Grundanordnung betrieben mit linearer Strom-

quelle und linearem Lastelement (gleichwertiger Betrieb mit linearer Spannungsquelle m¨ oglich). (b) Ersatzzweitor mit einbezogenem Quelleninnen- und Lastleitwert

die Quellen- und Lastbeziehungen U1 = Uq − I1 Ri resp. I1 = Iq − Gi U1 Quellenbeziehung (2.6.24) U2 = −Ra I2 Lastbeziehung und die Zweitorgleichungen (2.6.7). Aus diesen vier Gleichungen f¨ ur die vier Unbekannten I1 , I2 , U1 , U2 geht jede gew¨ unschte Torgr¨ oße hervor. Typische Betriebsparameter sind der Eingangsleitwert G1 bei ausgangsseitiger Last Ga , der Ausgangsleitwert G2 bei ¨ eingangsseitigem Abschluss mit der Stromquelle sowie die Ubertragungsverh¨altnisse f¨ ur Strom, Spannung und Leistung. Quellen-, Lasteinbezug Die Schaltung Abb. 2.6.15b kann bei Einbezug der Leitwerte Gi , Ga in das Zweitor auch interpretiert werden als neues Zweitor Y  , das von einer Stromquelle Iq gespeist wird und am Ausgang leerl¨auft (I2 = 0), weil der Lastleitwert Ga im Zweitor ber¨ ucksichtigt ist. Das Ersatzzweitor Y  hat die Matrix       Y11 Y12 Gi 0 Y12 Y11 + Gi = + . (2.6.25) Y= 0 Ga Y21 Y22 + Ga Y21 Y22

Die einbezogenen Leitwerte Gi , Ga addieren sich zu den Ein- und Ausgangskurzschlussleitwerten Y11 , Y22 des Zweitores. Dann gilt das Ersatzzweitor als ¨ unbeschaltet, was die Berechnung der Ubertragungsgr¨ oßen vereinfacht. Eingangsleitwert Y1 Das ist der Leitwert gemessen an der Eingangsseite 1 des Zweitors bei Abschluss mit dem Lastleitwert Ga . Aus der ersten Zeile der Leitwertgleichung (2.6.7a) folgt durch Division mit U1

Y1 =

U2 I1 Y12 Y21 = Y11 + Y12 = Y11 − . U1 U1 Y22 + Ga

Eingangsleitwert (2.6.26)

Der Eingangsleitwert Y1 h¨ angt vom Eingangskurzschussleitwert Y11 und der uckwirkung Y12 ab. Spannungs¨ ubersetzung U2 /U1 u ¨ ber die Zweitorr¨

2.6

Zweitore

181

Das Spannungsverh¨ altnis wird aus der zweiten Zweitorgleichung bestimmt: I2 = Y21 U1 + Y22 U2 = −U2 /Ra = −U2 Ga →

U2 Y21 =− . U1 Y22 + Ga

Beim r¨ uckwirkungsbehafteten Zweitor (Y12 = 0) h¨angt der Eingangsleitwert Y1 stets von der Ausgangslast ab Y1 = f (Ga ). Grenzf¨alle sind Kurzschluss (Ra = 0, Ga → ∞) und Leerlauf (Ga = 0, Za → ∞)   1  1 1  det Y = , Z1 |l = = Z11 = . (2.6.27) Z1 |k = Y1  Y11 Y1  Y22 k

l

Je nach Lastwiderstand gibt es typisches Verhalten: bei umkehrbaren Zweitoren gilt stets Z11 > 1/Y11 , deshalb steigt der Eingangswiderstand immer mit wachsendem Lastwiderstand. Bei geringer R¨ uckwirkung (Y12 ≈ 0) stimmen Z11 und 1/Y11 u ¨ berein und ein Lasteinfluss unterbleibt. bei nichtumkehrbaren Stufen (z. B. Transistor in Emitterschaltung), kann Z11 < 1/Y11 auftreten. Dann sinkt der Eingangswiderstand Z1 mit steigendem Lastwiderstand (das gilt auch f¨ ur den Ausgangswiderstand, der mit steigendem Generatorwiderstand sinkt).

Ausgangsleitwert Der Leitwert Y2 wird bei aufgetrennter Stromquelle am

Zweitoreingang von der Ausgangsseite her berechnet. Grundlage sind Iq

= 0 = (Y11 + Gi )U1 + Y12 U2 ,

U1 Y12 = − , U2 Y11 + Gi

und

→

I2 U1 = Y21 + Y22 . U2 U2

Daraus folgt zusammengefasst Y2 =

I2 Y21 Y12 = Y22 − U2 Y11 + Gi

Ausgangsleitwert (2.6.28a)

mit den Grenzwerten Ausgangskurzschlussleitwert Y2k (Gi → ∞, Ri = 0) und Ausgangsleerlaufleitwert Y21 (Gi = 0, Ri → ∞) Y2k = Y22 , Y21 = Y22 −

Y21 Y12 . Y11

(2.6.28b)

Durch R¨ uckwirkung h¨ angt der Ausgangsleitwert von der eingangsseitigen Zweitorlast ab. ¨ ¨ ur das Zweitor in der Schaltung interessiert das UberUbertragungsgr¨ oßen F¨ tragungsverhalten f¨ ur Spannung, Strom und Leistung. Bezugsgr¨oßen f¨ ur die Transferparameter k¨ onnen die Zweitoreingangs- oder die Quellengr¨oßen sein. Spannungs¨ ubersetzung Eine Eingangsspannung U1 u ¨ bertr¨agt sich auf die

Spannung U2 am Ausgangsleitwert Ga . Wir erhalten aus der Zweitorgleichung I2 = Y21 U1 + Y22 U2 und mit der Lastbeziehung U2 = −I2 Ra

182

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

vu =

U2 −Y21 Y22 = = vu |l · U1 Y22 + Ga Y22 + Ga

Spannungs¨ uber(2.6.29a) tragungsfaktor

mit dem Leerlauf-Spannungs¨ ubertragungsfaktor (gleich 1/A11 ) vu |l =

−Y21 1 Gm = = . Y22 A11 Y22

Leerlaufspannungs(2.6.29b) u ¨ bertragungsfaktor

Die Spannungs¨ ubersetzung vu h¨ angt von der Transadmittanz Y21 (negative Steilheit) ab. Kleine Innen- (Y22 ) und Lastleitwerte Ga vergr¨oßern die Spannungs¨ ubersetzung. Wird die Spannungs¨ ubersetzung auf die Quellenspannung Uq (bei eingangsseitiger Spannungsquellenersatzschaltung) bezogen, so ist die Spannungsteilung durch Ri und R1 zu beachten. Bei Berechnung u ¨ ber das Ersatzzweitor Abb. 2.6.15b folgt  als Leerlaufspannungsverst¨ arkung; der Vorteil der einfachen dann vu = −Y21 /Y22 Analyse ist offenbar.

Strom¨ ubersetzung Der Quotient Ausgangsstrom I2 zu Eingangsstrom I1 heißt

Strom¨ ubersetzung, auch Stromverst¨arkung (falls sein Betrag gr¨oßer als 1 ist). Zur Berechnung wird in der Zweitorgleichung I2 = Y21 U1 + (Y22 + Ga )U2 die Spannung U1 durch den Strom I1 aus der ersten Zweitorgleichung ersetzt und zusammengefasst I2 Y21 = I1 Y11 + Ra det Y (2.6.30a) vi |k −1 = = . Strom¨ ubertragungsfaktor 1 + H22 Ra A22 + Ra A21

vi =

Sie erreicht bei Kurzschluss (Ga → ∞) den H¨ochstwert, die Kurzschlussstrom¨ ubersetzung vi |k = H21 =

−1 . A22

Kurzschlussstromverst¨arkung (2.6.30b)

Die f¨ ur Transistorschaltungen oft benutzte Schreibweise mit Hybridparametern ochste l¨ asst erkennen, dass die Kurzschlussstromverst¨ arkung H21 (und damit der h¨ Wert) nur erreicht wird, wenn H22 Ra  1 gilt, also der Lastwiderstand klein gegen oßenden Ausgangsleerlaufwiderstand 1/H22 ist (er liegt u ¨ blicherweise in der Gr¨ ordnung von mehreren 10 kΩ). Spannungs- und Stromverst¨ arkung interessieren vor allem bei Verst¨ arkerzweitoren. F¨ ur den Bipolartransistor werden sie in Kap. 2.7 betrachtet.

Transimpedanzen Wir erw¨ ahnen noch  ¨ die Ubertragungsimpedanz (Transimpedanz) Z21 (mit Gl. (2.6.29a))

2.6

Zweitore

 Z21 =

183

U2 −Y21 1 = vu Z1 = = . I1 det Y + Y11 Ga A21 + Ga A22

(2.6.31)

Sie ist das Produkt von Spannungs¨ ubersetzung und Eingangswiderstand, im Grenzfall Leerlauf (Ra → ∞) gilt Z21 = Rm = 1/A21 und man erh¨alt die Transimpedanz der stromgesteuerten Spannungsquelle. ¨ die Ubertragungsadmittanz (Transadmittanz) oder (negative) Betriebssteilheit I2 I2 I1 vu Y21 −1  Y21 = = = v i Y1 = = = (2.6.32) U1 I1 U1 Ra 1 + Y22 Ra A11 Ra + A12 als Produkt von Strom¨ ubersetzung und Eingangsleitwert mit der (negativen) Steilheit Y21 = −Gm = −1/A12 im Kurzschluss U2 = 0. ¨ ¨ Uber die Umrechnungstafel 2.6 k¨ onnen die Ubertragungsgr¨ oßen auf andere Parameterformen umgeschrieben werden. Kontrollbeziehungen Zwischen den genannten Gr¨oßen bestehen Beziehungen, die bei Umrechnungen zur Kontrolle der Ergebnisse (Vorzeichen!) n¨ utzlich sein k¨ onnen vi Z1 = , vu Ra

vu Y1 = , vi Ga

Z1 = Z11 + vi Z12 ,

Y1 = Y11 + vu Y12 .

(2.6.33)

Strom- und Spannungsverst¨ arkung des Zweitores bestimmen so den Eingangswiderstand Z1 bei gegebener Last.

Leistungs¨ ubertragungsfaktor Das Zweitor verbraucht eingangsseitig Leistung und gibt ausgangsseitig Leistung an den Verbraucher ab. Das Verh¨altnis beider Leistungen heißt Leistungs¨ ubertragungsfaktor oder Leistungsverst¨arkung (bei Verst¨arkerzweitoren). Sie kann gr¨ oßer oder kleiner als eins sein, im letzteren Fall benutzt man den Reziprokwert und spricht von D¨ampfung. Es gibt mehrere Leistungs¨ ubertragungsfaktoren. Sie unterscheiden sich

in der Bezugsleistung (Vierpoleingang, verf¨ ugbare Generatorleistung), im Charakter: man unterscheidet zwischen Wirk- oder Scheinleistung bei Wechselstr¨omen (s. Bd. 3), in der Optimierung, denn es gibt verschiedene Anpassbedingungen (nach maximaler Wirkleistung oder dem sog. Wellenwiderstand, s. Bd. 3). Ausgang ist die Klemmenleistungsverst¨arkung als Verh¨altnis der an den Lastleitwert abgegebenen Leistung P2 zur eingangsseitig aufgenommenen Leisur Gleichstrom wie hier sind Wirkleistung und Gleichleistung identung P1 (f¨ tisch). Mit P2 = U22 Ga und P1 = U12 G1 lautet die Leistungsverst¨arkung  2 Y21 U 2 Ga Ga 2 Ga Leistungsvp = 22 = vu = = vu · v i . (2.6.34) verst¨arkung U1 G1 G1 G1 Y22 + Ga

184

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

Die Leistungsverst¨ arkung ist das Produkt aus Spannungs- und Stromverst¨arkung vu , vi . Weil der Quellenleitwert keinen Einfluss hat, gibt vp keine Auskunft u ¨ber die tats¨achlich vom Zweitor u ugbare Quellenleistung. Die ¨bernommene verf¨ gr¨oßtm¨ogliche Leistungsverst¨ arkung h¨ angt vielmehr vom Lastleitwert Ga und dem Quellenleitwert Gi ab. Galt im linearen Grundstromkreis die Anpassbedingung f¨ ur maximale Leistungs¨ ubertragung, so ist eine ¨ahnliche Bedingung auch f¨ ur das Zweitor, aber je f¨ ur Ein- und Ausgang zu erwarten. Daher wird als Bezugsleistung die verf¨ ugbare Quellenleistung P1max = Iq2 /4Gi angesetzt und das Verh¨ altnis P2 /P1max untersucht. Man erh¨alt f¨ ur die Leistungs¨ ubertragung vpq bezogen auf die maximale Quellenleistung P1max vpq =

P2 P1max

=

2 4Y21 Gi Ga

((Y11 + Gi ) (Y22 + Ga ) − Y12 Y21 )

2.

(2.6.35)

Sie wird f¨ ur beiderseitige Anpassung am Eingang (Ri = R1,m ) und Ausgang (Ra = R2,m ) maximal:    Y11 Z22 detZ H11 = , R2,m = = Y22 detY Z11 H detH (2.6.36)  22   Y22 Z11 detZ H11 detH R1,m = = . = Y11 detY Z22 H22 Das ist die Anpassung nach den sog. Wellenwiderst¨anden (s. Bd. 3) 2 2 Y21 H21 2 = √ 2 √ √ detY + Y11 Y22 detH + H11 H22   2 2   Y21 H21   = = .  4Y11 Y22 4H11 H22 

vpqmax = √

Y12 =0

(2.6.37)

H12 =0

Sie hat beim r¨ uckwirkungsfreien Zweitor einen typischen Wert. Der Wellenwiderstand eines Zweitores ist derjenige Widerstand, mit dem es ausgangsseitig abgeschlossen sein muss, damit am Eingang der gleiche Wert auftritt (sinngem¨ aß gibt p es einen Wellenwiderstand Rw der Eingangs- und Ausgangsseite, es gilt Rw1 = Z11 /Y11 ).

Zweipolersatzgr¨ oßen eines Tores Oft steht folgendes Problem an: am Zweitoreingang liegt eine Quelle und das Ausgangstor soll als aktive Zweipolersatzschaltung dargestellt werden. Wie lauten ihre Ersatzgr¨oßen? Wir ermitteln die Ausgangsleerlaufspannung und den Ausgangskurzschlussstrom als Funktion der Eingangsbelastung und w¨ ahlen eine Zweitorbeschreibung, die geringsten L¨osungsaufwand verspricht. Abb. 2.6.16 zeigt die Anordnung. Zur Bestim-

2.6

Zweitore

185 I2

I1 U q, I q, Ri

U1

Zweitor

U2

I2= 0

I2= 0

≡

I2k

Ri U2l ≡ U2l

Ri

Zweipolersatzschaltung

Quelle

Abb. 2.6.16. Zweitorersatzgr¨ oßen. Ersatz eines mit einer linearen Quelle betriebenen Zwei-

tores am Zweitoreingang durch eine Zweipolersatzschaltung in Spannungs- oder Stromquellenform am Zweitorausgang

mung der ausgangsseitigen Leerlaufspannung (I2 = 0) mit realer Spannungsquelle (Innenwiderstand R1 ) werden die Spannungsquellenbeziehung und die eingangsseitige Widerstandsbeschreibung des Zweitores zusammengef¨ ugt U1 = Uq − I1 R1 = Z11 I1 + Z12 0 und U2l = U2 |I2 =0 = Z21 I1 . Man erh¨alt zusammengefasst als Zweipolersatzgr¨oßen Uq Z21 = , Z11 + R1 A11 + A21 R1 −Y21 R1 = −I2 |U2 =0 = Iq = Iq . Y11 + G1 A12 + A22 R1

U2l = Uq I2k

(2.6.38)

Das rechte Ergebnis, der ausgangsseitige Kurzschlussstrom, folgt aus der Leitwertbeschreibung Iq − G1 U1 = I1 = Y11 U1 + I2k = −I2 |U2 =0 = −Y21 U1 . ¨ F¨ ur den Ausgangskurzschlussstrom I2k wurde in Ubereinstimmung mit der Ersatzschaltung eines aktiven Zweipols die Erzeugerpfeilrichtung gew¨ahlt. Der Strom I2 liegt hingegen durch die Definitionsrichtung am Zweitor fest! Der Innenwiderstand der Ersatzquelle wird mit einem Probestrom ermittelt oder als Quotient von Leerlaufspannung und Kurzschlussstrom bestimmt (wie hier) Ri =

1 Z21 Z12 Y11 + G1 A12 + A22 R1 = Z22 − = = . (2.6.39) Gi Z11 + R1 det Y + Y22 G1 A11 + A21 R1

Ein Zweitor transformiert eine eingangsseitige Quelle an den Ausgang in die Ersatzgr¨oßen U2l , I2k und Ri eines Ersatzzweipols nach Gl. (2.6.38, 2.6.39). Das Ergebnis gilt gleichwertig f¨ ur andere Zweitorparameter. Die Beziehungen sind n¨ utzlich, wenn das Zweitor ein Verst¨ arker ist, dessen Zusammenwirken mit der Last einfach dargestellt werden soll.

186

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

2.6.8 Zweitor mit unabh¨ angigen Quellen Wir betrachteten bisher Zweitore ohne unabh¨angige Quellen. F¨ ur verschiedene Aufgabenstellungen (z. B. Rauschprobleme, Temperatureinfl¨ usse in Schaltungen, Arbeitspunktverschiebungen, Sensorprobleme u. a.) ist eine Zweitordarstellung mit unabh¨ angigen Quellen zweckm¨aßig. Ein Zweitor mit unabh¨ angigen Quellen liegt vor, wenn wenigstens an einem Tor Str¨ome oder Spannung ohne Anschluss einer a¨ußeren Quelle auftreten. Ausgang ist der aktive Zweipol im Verbraucherpfeilsystem: U1 = I1 Ri + Uq , I1 = U1 Gi + Iq aufteilt in Quelle und Spannungsabfall. Ein Zweitor mit unabh¨angigen Quellen l¨ asst sich ebenso aufteilen in ein passives Zweitor und zwei unabh¨angige Quellen (in Spannungs- oder Stromquellenform): Widerstandsform (Maschensatz) U1 = Z11 I1 + Z12 I2 U2 = Z21 I1 + Z22 I2



+ +

Zweitor ohne unabh¨ angige Quellen

Leitwertform (Knotensatz) I1 = Y11 U1 + Y12 U2 I2 = Y U +Y U

21 1  22 2

Uq1 Uq2

 unabh¨ angige Quellen

+ +

Zweitor ohne unabh¨ angige Quellen

Iq1 Iq2



(2.6.40) .

unabh¨ angige Quellen

Abb. 2.6.17 zeigt die Ersatzschaltungen. Die unabh¨angigen Spannungsquellen liegen in Reihe zu den Zweitorein- und -ausg¨angen. Sie wirken bei beiderseitigem Leerlauf (I1 = I2 = 0) als Leerlaufspannungen. Bei Belastung der ¨außeren Klemmen fließen Str¨ ome. Analog ist die Stromquellenschaltung aufgebaut mit Kurzschlussquellen (ermittelt bei U1 = U2 = 0). I2

I1 U1

Uq1 U1

a

I2

I1 U‘1

Zweitor ohne unabhängige Quellen

U‘2

Zweitor mit unabhängigen Quellen

Uq2

U2

I1

U1l, U2l: I1= I2= 0 U2

I1k, I2k: U1= U2= 0

I‘1

≡ Iq1

U1

I‘2 Zweitor ohne unabhängige Quellen

U2

I2 Iq2

b

Abb. 2.6.17. Zweitor mit unabh¨ angigen Quellen. (a) Allgemeine Ersatzschaltung aus quel-

lenfreiem Zweitor und zwei idealen Spannungsquellen. (b) Gleichwertige Form mit Stromquellen

2.6

Zweitore

187

Die Umrechnung von einer zu anderen Zweitordarstellungen erfolgt durch Umstellung nach der gesuchten Gr¨ oße und Koeffizientenvergleich. Einfacher ist folgender Weg: Außerbetriebsetzen aller unabh¨ angigen Quellen und Umrechnung der Zweitorparameter, weil die Transformation f¨ ur jeden Klemmenabschluss, also auch Leerlauf und Kurzschluss gelten muss, vergleicht man die Quellenterme speziell nur f¨ ur diesen Fall.

¨ 2.6.9 Uberlagerungssatz und Zweipoltheorie in Netzwerken mit gesteuerten Quellen ¨ Wir untersuchen den Einfluss gesteuerter Quellen auf Uberlagerungssatz und Zweipoltheorie. ¨ ¨ Beim Uberlagerungssatz (Kap. 2.4.5) wurden unabh¨angige Uberlagerungssatz Quellen schrittweise bis auf jeweils eine zu null gesetzt und die betreffende Teilwirkung berechnet. Hat das Netzwerk gesteuerte Quellen, so gilt: ¨ Gesteuerte Quellen bleiben beim Uberlagerungssatz im Netzwerk voll wirksam. Sie werden nie außer Betrieb gesetzt. ¨ Abb. 2.6.18 zeigt eine falsche Anwendung des Uberlagerungssatzes. Im linken Bildteil ist die unabh¨ angige Spannung zu null gesetzt, damit verschwindet auch UA1 , im rechten wurde die gesteuerte Quelle (f¨ alschlicherweise) null gesetzt.

Zweipoltheorie mit gesteuerten Quellen Die Zweipoltheorie gilt auch in Netz-

werken mit gesteuerten Quellen, wenn folgendes beachtet wird: 1.

Der passive Zweipol ist nur ¨ uber seine Klemmen AB mit dem aktiven Zweipol verbunden (nicht u ber gesteuerte Quellen oder magnetische oder ¨

Ri

RL

UA1

AuUst Ust

Ri

Ust

RL

UA

Ust=0, UA1=0

AuUst

+

Überlagerung UA1+UA2= 0 falsch!

Ri USt

Ust

RL

UA2

UA2=0, falsch! ¨ Abb. 2.6.18. Beispiel einer falschen Anwendung des Uberlagerungssatzes

188

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

elektrostatische Kopplungen). Er kann gesteuerte Quellen enthalten, die aber durch Zweiggr¨ oßen des passiven Zweipols gesteuert werden m¨ ussen (ob dann der Begriff passiver Zweipol noch zutrifft, ist belanglos). Bei Bestimmung des Ersatzwiderstandes Ra = RAB des passiven Zweipoles verbleiben gesteuerte Quellen in der Schaltung. Die Widerstandsberechnung erfolgt durch Anlegen einer Pr¨ ufgr¨oße UP bzw. IP und Berechnung von IP bzw. UP . Der Ersatzinnenwiderstand lautet

2.

RAB = 3.

UP . IP

Zweipolersatzwiderstand ausgedr¨ uckt (2.6.41) durch Pr¨ ufgr¨ oßen UP , IP

Der aktive Zweipol wird durch Leerlaufspannung Ul , Kurzschlussstrom Ik und Innenwiderstand Ri gekennzeichnet. Er enth¨alt alle unabh¨angigen und gesteuerten Quellen, letztere d¨ urfen nur von Str¨omen und Spannungen im aktiven Zweipol abh¨angen. Bei Bestimmung der Ersatzgr¨oßen Ul , Ik und Ri bleiben alle gesteuerten Quellen im Netzwerk. Leerlaufspannung und Kurzschlussstrom werden mit u ¨ blichen Netzwerkanalysemethoden, der Innenwiderstand entweder u ¨ ber Ri = Ul /Ik oder nach dem Verfahren der Pr¨ ufgr¨ oße (UP , IP ) bestimmt.

4.

Abb. 2.6.19 zeigt das Verfahren an zwei Beispielen. In Abb. a wird eine Pr¨ ufstromquelle IP angelegt und die Klemmenspannung u atze ¨ ber die Kirchhoffschen S¨ berechnet, in Abb. b kommt eine Pr¨ ufspannung UP zum Ansatz. Es ergeben sich der Reihe nach IE = (1+B)IP, UP = (1+B)RE IP , Ri = UP /IP = RE (1+B). Meist beeinflussen gesteuerte Quellen in Netzwerkteilen ihre Ersatzklemmenwiderst¨ ande. Dadurch kann ein passiver Zweipol zum negativen Widerstand, also aktiv werden. Das ist z. B. f¨ ur eine negative Stromverst¨ arkung B (|B| < 1) der Fall: Umpolen der Stromrichtung der gesteuerten Quelle.

¨ Beispiel 2.6.15 Gesteuerte Quelle, Zweipoltheorie, Uberlagerungssatz In der Schaltung Abb. 2.6.19b wirken die beiden unabh¨ angigen Quellen Uq , Iq , außerdem die

A I1 IP

UP

BI1

I1 R1

I1 R1

I2 RE RL

Uq R2

Iq

b

A I2

R2

U‘, U‘‘

IP

RmI1

RmI1

B RAB= RE/(1+B)

a

A

B

B

c

Abb. 2.6.19. Beispiele zur Anwendung der Zweipoltheorie auf Netzwerke mit gesteuer-

¨ ten Quellen. (a) Methode des Pr¨ ufstromes. (b) Zweipoltheorie und Uberlagerungssatz. (c) Innenwiderstandsbestimmung mit Pr¨ ufstrom

2.6

Zweitore

189

stromgesteuerte Spannungsquelle Rm I1 . Gesucht sind Leerlaufspannung an den Klemmen AB und der Innenwiderstand. ¨ Wirkt nach dem Uberlagerungssatz nur die Spannung Uq (Iq = 0 gesetzt), so ergibt sich u osen nach I1 die Leerlaufspannung Ul ¨ ber die Maschengleichung durch Aufl¨ an AB: 0 = −Uq + (R1 + R2 )I1 + Rm I1 → I1 → Ul = Uq − R1 I1 = Uq − R1 Uq /(R1 + R2 + Rm ). Wirkt nur die Stromquelle Iq (Uq = 0), so lautet die Maschengleichung 0 = R1 I1 + (I1 + I2 )R1 + Rm I1 → I1 → Ul = −R1 I1 = −R1 R2 Iq /(R1 + R2 + Rm ). ¨ Die gesamte Leerlaufspannung folgt durch Uberlagerung zu Ul = Ul + Ul . Der Innenwiderstand wird durch Anlegen eines Probestromes IP und Nullsetzen der unabh¨ angigen Quellen ermittelt (Abb. 2.6.19c). Mit I = −IP gilt am Knoten A UAB /R1 + (UAB − Rm I1 )/R2 = IP und I1 = −UAB /R1 . Durch Eliminieren des Steuerstromes I1 folgt UAB und schließlich UAB = R1 R2 IP /(R1 + R2 + Rm ) → Ri = UAB /IP .

Sp¨ater nutzen wir zur Zweipolersatzgr¨ oßenbestimmung von gr¨oßeren Netzwerken die Knotenspannungsanalyse (Kap. 3.3).

Beispiel 2.6.16 Gesteuerte Quelle, Ersatzzweipol Gesteuerte Quellen lassen sich zur Ver¨ anderung oder Erzeugung ungew¨ ohnlicher Zweipole verwenden. Abb. 2.6.20 zeigt Beispiele. Die Reihenschaltung einer spannungsgesteuerten Spannungsquelle mit dem Widerstand R (Abgriff der Steuerspannung u ¨ ber dem Widerstand) ergibt einen vergr¨ oßerten, verkleinerten oder negativen Widerstand R(1−Au ) (Abb. 2.6.20a, Vorzei-

A U1 R

B

A

AuU1

A I1 G

B

a

b

B

A AiI1

U1

GmU1

I1

RmI1

B

c

d

Abb. 2.6.20. Manipulation von resistiven Zweipolen durch gesteuerte Quellen. Zwischen den Klemmen A, B tritt ein Ersatzwiderstand auf. (a) Reihenschaltung von Widerstand und spannungsgesteuerter Spannungsquelle. (b) Parallelschaltung von Leitwert und stromgesteuerter Stromquelle. (c) Ersatzzweipol einer spannungsselbstgesteuerten Stromquelle. (d) Ersatzzweipol einer stromselbstgesteuerten Spannungsquelle

190

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

chenumkehr des gesteuerten Anteils durch Umpolung der Steuerspannung). Analog ver¨ andert die Parallelschaltung einer stromgesteuerten Stromquelle den Leitwert G(1 − Ai ) (Abb. 2.6.20b). Wird die Steuerstrecke einer spannungsgesteuerten Stromquelle dem Ausgang parallel gelegt, so entsteht ein Zweipol mit dem Leitwert ±Gm (Abb. 2.6.20c, Vorzeichenumkehr durch Vertauschen der Steuerstrecke). Ganz entsprechend f¨ uhrt die Reihenschaltung der Steuerstrecke einer stromgesteuerten Spannungsquelle direkt zum Widerstand ±Rm (Abb. 2.6.20d). Auf diese Weise lassen sich mit gesteuerten Quellen nicht nur negative, sondern auch ver¨ anderte und elektronisch steuerbare Widerst¨ ande erzeugen. Solche Widerst¨ ande zeigen andersartiges Rauschverhalten.41

2.7

2.7 Gesteuerte Bauelemente und ihre Modellierung* Gesteuerte Quellen erkl¨ aren einerseits bestimmte Zweitoreigenschaften, andererseits dienen sie zur Modellierung des Klemmenverhaltens elektrotechnischer (gekoppelte Spulen) und elektronischer Bauelemente (Transistoren, Feldeffekttransistoren, Operationsverst¨ arker, u. a.), also der Verst¨arker- (und Schalter-) Funktion. Deshalb liegt ihr physikalischer Hintergrund stets im Wirkprinzip des Bauelementes begr¨ undet. So arbeitet ein Transistor als isoliertes Bauelement nicht als gesteuerte Quelle, die Steuerf¨ahigkeit entsteht erst im Netzwerk mit unabh¨ angigen Quellen. Dann verh¨alt er sich als nichtlineare gesteuerte Quelle (modelliert als nichtlineares Zweitor) und das umgebende Netzwerk legt den Arbeitspunkt fest, im Arbeitspunkt bei Kleinsignalaussteuerung als lineare gesteuerte Quelle, modelliert durch Zweitorersatzschaltungen. Dieses Schema f¨ uhrt z. B. zu einem Netzwerkmodell des Operationsverst¨arkers, es bildet auch eine solide Grundlage f¨ ur den Einbezug gesteuerter Quellen in die Netzwerkanalyse (Kap. 3 und 4). Das Prinzip gesteuerter Quellen findet sich in unterschiedlichsten Formen: 1.

41

Der fremderregte Gleichstromgenerator (Abb. 2.7.1a) kann als gesteuerte Spannungsquelle betrachtet werden. Ein drehendes Leiterr¨ ahmchen im Magnetfeld erzeugt nach dem Induktionsgesetz an den B¨ ursten eine Quellenspannung Uq . Sie ist der Intensit¨ at des Magnetfeldes und damit seinem Erregerstrom I pro-

In jedem Leiter entstehen durch thermische Bewegung der Ladungstr¨ ager statistische Spannungsschwankungen, die thermische Rauschspannung“. Diese Rausch” leistung Pr = 4kT Δf = U 2 /R ist jedem Widerstand R eigen (Rauschspannung Gr¨ oßenordnung nV . . . μV bei einer Bandbreite Δf = 1 Hz und Zimmertemperatur). Widerst¨ ande, die durch gesteuerte Quellen ver¨ andert werden, k¨ onnen erhebliche Abweichungen vom thermischen Rauschverhalten haben.

2.7

Gesteuerte Bauelemente und ihre Modellierung*

191

portional: Uq (t) = const · I. So bestimmt der Steuerstrom I“ die Spannung ” Uq in einem anderen Stromkreis: es liegt eine stromgesteuerte Spannungsquelle vor. Zwischen Steuerkreis und Ausgangsspannung wirkt das magnetische Feld als Vermittlergr¨ oße. Beim Optokoppler (Abb. 2.7.1b) sendet eine Leuchtdiode (LED) Strahlung u ¨ ber einen (kurzen) optischen Weg (Luft, Kunststoffleiter) an eine Fotodiode. Diese wandelt sie nach dem Prinzip der Solarzelle in einen Strom IA um. Der Zusammenhang IA = kIE beschreibt diese stromgesteuerte Stromquelle“ mit der ” Stromverst¨ arkung k. Steuer- und Quellenkreis sind galvanisch getrennt. W¨ urde die Spannung an der Eingangsdiode als Steuergr¨ oße betrachtet, so erg¨ abe das eine spannungsgesteuerte, stark nichtlineare Stromquelle (durch die Nichtlinearit¨ at der Eingangsdiode). Beim Bipolartransistor (Abb. 2.7.1c) bestimmt die Spannung UEB an der Eingangsdiode nicht nur den Emitterstrom IE , sondern auch den Kollektorstrom IC am Transistorausgang: IC = f (UEB ). Wir modellieren diesen Ausgangsstrom durch eine Stromquelle, die (nichtlinear) von der Eingangsspannung gesteuert wird: nichtlineare, spannungsgesteuerte Stromquelle IC = f (UEB ). Steigende Steuerspannung UEB bewirkt einen steigenden Emitter- und Kollektorstrom. oße sein. Dann Grunds¨ atzlich k¨ onnte auch der Eingangsstrom IE die Steuergr¨ entsteht eine Abh¨ angigkeit IC = g(IE) vom Typ einer stromgesteuerten Stromquelle. Diese Wandlung der Steuergr¨ oße (Strom oder Spannung) war bereits im Kap. 2.6.4 diskutiert worden.

2.

3.

IE

IC

UEB

UCB

gesteuerte Größe

IC

Antrieb

uq(t) ~ i(t)

i(t)

IC(IE)

IE2 IE1

uq(t) IE

IC(UEB)

a

IE(UEB)

UEB1 UEB2 UEB

UCB

Steuergrößen

c

Strahlung

UE

IA=kIq

UA

UA/V 3 2 1

Sättigung

UA(UE)

ΔUA

Uq

0

Iq

b

0

UEB

Feldwicklung

UE LED

IE

UA(UE)

Fotodiode

ΔUE

d

1 2 UE/mV Verstärkerbereich

Sättigung

Abb. 2.7.1. Beispiele gesteuerter Quellen. (a) Felderregter Gleichstromgenerator. (b) Op-

¨ tokoppler. (c) pnp-Bipolartransistor mit Eingangs-, Ubertragungsund Ausgangskennlini¨ enfeldern. (d) Spannungsverst¨ arker mit Ersatzschaltung und Ubertragungskennlinie

192

4.

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

Verst¨ arker. Eine nichtlineare gesteuerte Quelle kann grafisch durch eine sog. ¨ Transfer- oder Ubertragungskennlinie (z. B. IC = f (IE ), Abb. 2.7.1c) beschrieben werden mit einer Geraden bei linearer IC (IE )-Abh¨ angigkeit. Im Verst¨ arker wird z. B. eine kleine Eingangsspannungs¨ anderung ΔUE in eine arkt. Ursache ist eine nichtligr¨ oßere Ausgangsspannungs¨ anderung ΔUA verst¨ ¨ attigungs¨ aste neare Ubertragungskennlinie UA = f (UE ) (Abb. 2.7.1d). Ihre S¨ entstehen durch die begrenzte Betriebsspannung des Verst¨ arkers. Im linearen Kennlinienbereich (kleine Spannungs¨ anderung ΔU ) l¨ asst sich das Verhalten durch eine spannungsgesteuerte Spannungsquelle modellieren: ΔUA = Au ΔUE mit der Spannungsverst¨ arkung Au .

2.7.1 Allgemeine gesteuerte Quellen Gesteuerte Quelle als Netzwerkelement Gesteuerte Quellen arbeiten als:

Linear-zeitunabh¨angig gesteuerte Quellen in linearen Netzwerken. Nichtlinear-zeitunabh¨angig gesteuerte Quellen, wie sie f¨ ur reale Bauelemente typisch sind, z. B. IC = f (UBE ) (genauer IC ∼ exp UBE /UT ) beim Bipolartransistor. Linear-zeitabh¨angig gesteuerte Quelle mit zeitabh¨angigem Steuerungskoeffizienten. Bei konstanter Steuergr¨ oße ¨ andert sich dann das Ausgangssignal zeitlich. Ein Beispiel ist der Optokoppler (Abb. 2.7.1b). Wird der Lichtstrahl durch eine rotierende Scheibe mit Schlitzen unterbrochen, so ¨ entspricht das einer Steuerung des optischen Ubertragungsweges mit der angiger Strom¨ ubersetzung Ai (t). Kennlinie IA = Ai (t) · Ist mit zeitabh¨ Nichtlinear-zeitabh¨angig gesteuerte Quelle als Verallgemeinerung. Diese Merkmale entsprechen generell denen der allgemeinen Netzwerkelemente, z. B. des Widerstandes (s. Tab. 2.3), hier nur f¨ ur die Kenngr¨oße der gesteuerten Quelle, etwa der Spannungsverst¨ arkung Au . Steuerbare Bauelemente haben meist einen nichtlinearen Zusammenhang zwischen Aus- und Eingangsgr¨oßen und nichtlineares Verhalten der Ein- und Ausgangstore selbst. Deshalb kommt Kennliniendarstellungen große Bedeutung zu, die nach diesen Merkmalen unterteilt werden k¨ onnen. Die folgenden Kapitel befassen sich mit den Kennlinienformen des nichtlinearen Zweitores (Beispiel Bipolartransistor), dem nichtlinearen Zweitor in der Grundschaltung (Arbeitspunkteinstellung) und seinem Kleinsignalverhalten (Modellierung und zugeordnete Zweitorersatzschaltungen). In Abb. 2.6.7 hatten wir bereits auf das Kennlinienfeld einer linearen gesteuerten Quellen verwiesen: im Gegensatz zur Kennlinie der unabh¨angigen Quelle geh¨ort hier zu jedem Steuerparameter eine Kennlinie. Die Gesamtheit

2.7

Gesteuerte Bauelemente und ihre Modellierung*

193

aller (bzw. ausgew¨ ahlter) Werte des Steuerparameters ergibt das Kennlinienfeld. Diese Darstellungsform gilt auch f¨ ur nichtlineare gesteuerte Quellen. 2.7.2 Nichtlineares Zweitor In der Schaltungstechnik haben nichtlineare Zweitore fundamentale Bedeutung. Ein Zweitor heißt nichtlinear, wenn seine I, U -Beziehungen Gl. (2.6.2) F1 (I1 , I2 , U1 , U2 ) = 0, F2 (I1 , I2 , Ul , U2 ) = 0 nichtlinear sind. Sie f¨ uhren zu unterschiedlichen Darstellungsformen (Tab. 2.12) und beim linearem Zweitor auf die Zweitorgleichungen nach Tabelle 2.5. Tabelle 2.12. Darstellungsformen eines nichtlinearen resistiven Zweitors

U1 (I1 , I2 ), U2 (I1 , I2 ), stromgesteuert I1 (U1 , U2 ), I2 (U1 , U2 ), spannungsgesteuert

U1 (I1 , U2 ), I2 (I1 , U2 ), hybridgesteuert (1) I1 (U1 , I2 ), U2 (U1 , I2 ), hybridgesteuert (2)

U1 (U2 , I2 ), I1 (U2 , I2 ), ausgangsgesteuert U2 (U1 , I1 ), I2 (U1 , I1 ), eingangsgesteuert

Voraussetzung sind zeitunabh¨ angige Gr¨ oßen. Energiespeichervorg¨ ange spielen dann keine Rolle und es liegt ein nichtlineares resistives Zweitor vor.

Die obigen Beziehungen resultieren aus der Tatsache, dass zum resistiven Zweitor nur zwei Strom-Spannungs-Beziehungen f¨ ur die 6 Klemmengr¨oßen I1 , I2 , −(I1 + I2 ) und U1 , U2 , U1 − U2 erforderlich sind, denn durch die Knoten- und Maschengleichung I1 + I2 − (I1 + I2 ) = 0,

U1 − U2 − (U1 − U2 ) = 0

(2.7.1)

und die Torbeschaltung reichen 6−2−2 = 2 Klemmengr¨oßen als unabh¨angige Variable aus, z. B. U1 und U2 (oder I1 und I2 ): Zwei Kennlinienfelder beschreiben ein nichtlineares Zweitor vollst¨andig. Wir w¨ahlen die Form I1 = f (U1 , U2 ),

I2 = g(U1 , U2 ),

(2.7.2)

sie entspricht im linearen Fall der Leitwertdarstellung. Nach der Parameterfestlegung gibt es aus praktischen Gr¨ unden die Kennlinien Eingangskennlinienfeld Transferkennlinienfeld (r¨ uckw¨ arts) Ausgangskennlinienfeld Transferkennlinienfeld (vorw¨ arts)

I1 I1 I2 I2

= = = =

f (U1 )|U2 f (U2 )|U1 g(U2 )|U1 f (U1 )|U2 .

(2.7.3)

194

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

I1 U1

I2

Eingangskennlinien

I1

U2, I2

I2

U1, I1

I2

Transferkennlinien

U2 , I1

U2

b

U1

U2

U1

a

Ausgangskennlinien

c

d

Abb. 2.7.2. Kennlinienfelder eines nichtlinearen resistiven Zweitores. (a) Nichtlineares re-

sistives Zweitor. (b) Eingangskennlinienfeld, Parameter Ausgangsspannung oder -strom. (b) Ausgangskennlinienfeld, Parameter Eingangsspannung oder -strom. (d) Transferkennlinienfeld, Parameter Ausgangsspannung oder Eingangsstrom

Abb. 2.7.2 zeigt diese Verl¨ aufe. Wenn auch nicht alle gleich wichtig sind, so vermitteln doch die Eingangs- und Ausgangskennlinienfelder den Zusammenhang mit den ¨außeren Klemmenbelastungen. Aus Anschauungsgr¨ unden wird die Transferkennlinie vorw¨ arts erg¨ anzt, weil sie das Verhalten der gesteuerten Quelle direkt ausdr¨ uckt. Grunds¨ atzlich k¨ onnen in den Kennliniendarstellung Strom oder Spannung als fester Parameter definiert werden, aus praktischen Gr¨ unden w¨ahlt man meist die Ausgangsspannung U2 und beim Ausgangskennlinienfeld Eingangspannung oder -strom. Kennlinienfelder sind bequem messbar, sie veranschaulichen die Wechselwirkung mit den angeschlossenen Zweipolen zur Stromversorgung (z. B. eines Transistors) und erleichtern die Arbeitspunktbestimmung. W¨ ahrend ihre messtechnische Bestimmung stets m¨ oglich ist, gelingt die Berechnung leicht f¨ ur lineare Zweitore und nur in Sonderf¨ allen (z. B. Transistorkennlinien, s. u.) auch f¨ ur nichtlineare. Die Netzwerkanalyse mit einem nichtlinearen Zweitor erfordert geeignete Darstellungen (analytisch, Kennlinienform, st¨ uckweise Geraden u. a.), die Aufbereitung der Schaltung und ein L¨ osungsverfahren. Heute erfolgt dieser Schritt meist durch Schaltungssimulation.

Eine typische Betriebssituation des nichtlinearen Zweitors ist die folgende: ein Bauelement, etwa ein Transistor, arbeitet im Gleichstromkreis, ist also mit aktiven Zweipolen abgeschlossen. Dadurch stellt sich der Arbeitspunkt ein. Vom Energieumsatz her betrachtet ist es in der Arbeitspunktschaltung stets Leistungsverbraucher = passives Zweitor(!). Netzwerktechnisch bedeutet die Arbeitspunkteinstellung die L¨ osung der nichtlinearen Netzwerkgleichungen. Zun¨achst betrachten wir das Netzwerkmodell des Bipolartransistors als typisches nichtlineares Zweitor. 2.7.3 Bipolartransistormodell Wir zeigen am Beispiel des Bipolartransistors die Einbindung eines nichtlinearen Zweitors in eine Schaltung und seine Modellierung mit gesteuerten

2.7

Gesteuerte Bauelemente und ihre Modellierung*

195

Quellen als Grundlage von Netzwerkmodellen, meist als Ersatzschaltungen bezeichnet.42 Sie beschreiben als Gleichstromersatzschaltung das statische“ Verhalten, ” ¨ als Kleinsignalmodell das Ubertragungsverhalten und als Großsignalersatzschaltung das Verhalten etwa im Schalterbetrieb. Funktionsprinzip, Kennlinienmodell Der npn-Transistor (Abb. 2.7.3a) besteht

aus drei aufeinanderfolgenden n-, p- und n-leitenden Halbleitergebieten mit den Anschlusskontakten Emitter (E), Basis (B), Kollektor (C). Er verh¨alt sich etwa wie zwei Halbleiterdioden (Emitter-Basis, Kollektor-Basis), die u ¨ber ein gemeinsames, extrem schmales Mittelgebiet, den Basisraum (Dicke 1 μm und weniger43 ) elektrisch miteinander wechselwirken“. Das unterscheidet sie von ” zwei, nebeneinander angeordneten Einzeldioden. Die Transistorwirkung beruht auf 1. der Injektionswirkung der flussgepolten Emitter-Basis-Diode (UBE > 0), weil der Emitterstrom IE u ¨ berwiegend zur Kollektorsperrschicht und nicht zum Basiskontakt fließt, wie zu erwarten w¨are, 2. der Kollektorwirkung der sperrgepolten Kollektor-Basis-Diode (UCB > 0), zu deren Sperrstrom sich der injizierte Emitterstrom addiert, 3. der Transferfunktion des Injektionsstromes vom Emitterbereich durch den Basisraum hin zum Kollektorbereich. Dadurch u ¨bertr¨agt sich die Steuergr¨oße des Eingangskreises in den Kollektor- oder Ausgangskreis.

E IE npn IC C Sperrschichten

E IE RE UBB

1 n p 4 3 +

IB

Basisraum

2 n

Vorwärtsrichtung

IE

IF

IR

RL UBE

UCC

UBE

ANIF

AIIR

IC C

IB

IC UBC

B E IE pnp IC C UEB

UCB

IB B

B

a

UBC

IB

b

c

Abb. 2.7.3. Bipolartransistor. (a) Prinzipieller Aufbau und Wirkprinzip, Spannungen und

Stromanteile im npn-Transistor (aktiver Bereich). (b) Ebers-Moll-Modell (npn-Transistor). Hervorgehobene Elemente wirken im Vorw¨ artsbetrieb. (c) Schaltzeichen f¨ ur npn- und pnpBipolartransistoren

42

Zum tieferen Verst¨ andnis des Transistorfunktionsprinzips sei auf Bauelementelehrb¨ ucher verwiesen.

43

Zum Vergleich: ein menschliches Haar hat eine Dicke von etwa 30 μm.

196

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

Beim Strom¨ ubergang vom Emitter- zum Kollektorbereich tritt im Basisraum ein Tr¨agerverlust (durch Rekombination mit dort anwesenden Partnern) auf, der als Basisstrom IB u ¨ ber den Basiskontakt ausgeglichen wird. Deshalb gilt die Strombilanz IE = IB +IC (Knotensatz!), aus der sich die Stromverst¨arkung AN in Basisschaltung ergibt: AN =

IC ≤ 1 (0, 99 . . . 0, 999). IE

Stromverst¨arkung in (2.7.4) Basisschaltung

Sie kennzeichnet den Stromtransport durch den Basisraum (in Wirklichkeit eine Stromschw¨achung!). Der Index N bezieht sich auf die normale Betriebsrichtung (s. u.). Genauer injiziert die flussgepolte Emitterdiode einen Elektronenstrom (1) (Abb. 2.7.3a) in den Basisraum, der gr¨ oßtenteils als Transferstrom (2) die Kollektorsperrschicht erreicht. Ein geringer Teil (4) rekombiniert mit L¨ ochern, die u ¨ ber den Basiskontakt (als sog. Majorit¨ atstr¨ ager) herbeifließen. Ein Teil des Basisstromes bildet den R¨ uckinjektionsstrom (3) u ¨ ber die Emitterdiode, er ist nicht mit dem Kollektorstrom verkoppelt. Damit gilt:

Die Transistorfunktion wird modelliert durch die flussgepolte Emitterdiode im Eingangskreis, eine gesteuerte Stromquelle im Ausgangskreis mit paralleler (gesperrter) Kollektordiode. Die zugeh¨origen Strom-Spannungs-Beziehungen der Basisschaltung     UBE UBC IE = IES exp − 1 − AI IES exp −1 UT UT







Emitterdiode r¨ uckw. ≈0.   Transferstrom, UBE UBC (2.7.5) IC = AN IES exp − 1 − ICS exp −1 UT UT







Transferstrom vorw.

≈ AN IE + ICS |Kollektor gesperrt

Kollektordiode, ≈0

Ebers-Moll-Beziehungen

werden verbreitet auch als Ebers-Moll-Gleichungen44 bezeichnet und enthalten mit IES , ICS Diodens¨ attigungsstr¨ ome (Gr¨oßenordnung 10−12 . . . 10−9 A) und die Stromverst¨arkung AN vorw¨arts bzw. AI r¨ uckw¨arts (0, 2 . . . 0, 8). Mit dem Basiskontakt als Bezugsknoten sind die beiden Emitter- und Kollektorstr¨ome IE , IC Funktionen der anliegenden Spannungen UBE , UBC . 44

Die Beziehung wurde 1954 von Ebers und Moll angegeben und bildet auch heute noch die Grundlage eines aussagef¨ ahigen Transistormodells.

2.7

Gesteuerte Bauelemente und ihre Modellierung*

197

Der Transistor ist ein nichtlinearer resistiver Dreipol mit Kennlinien nach Gl. (2.7.5) modelliert durch zwei Dioden, die u ¨ ber Transferstr¨ome vorw¨arts und r¨ uckw¨arts in Wechselwirkung stehen. Das dr¨ uckt die Ersatzschaltung Abb. 2.7.3 aus Dioden und parallel liegenden stromgesteuerten Stromquellen aus. Bei Umkehr der Spannungen (also UBE < 0, UBC > 0) arbeitet der Transistor in R¨ uckw¨ artsrichtung (invers): Kollektordiode ist flussgepolt und injiziert einen Transferstrom zur sperrgepolten Emitterdiode. Diese Betriebsrichtung hat geringe Bedeutung. Wir beschr¨ anken uns auf den Fall mit flussgepolter Emitter- und sperrgepolter Kollektor-Diode (UBE > 0, UBC < 0), also den Vorw¨ artsbetrieb.

Im Vorw¨artsbetrieb f¨ uhrt die Kollektordiode nach Gl. (2.7.5) nur den S¨attigungsstrom ICS und der Kollektorstrom IC setzt sich aus ICS und einem durch die Eingangsspannung UBE steuerbaren Anteil ∼ exp UBE /UT zusammen: diese Form wurde bereits fr¨ uher (Abb. 2.7.1c) qualitativ betrachtet. Dort gilt das Modell des pnp-Transistors, verbreiteter sind heute npn-Transistoren. Deshalb das Schaltsymbol der Eingangsdiode in Abb. 2.7.3b umgedreht. Wird jedoch die Basis-Emitterspannung im Transferstrom durch den Emitterstrom ersetzt (zweites Ergebnis in Gl. (2.7.5)), also zur Stromsteuerung u ¨ bergegangen, so steuert der Eingangsstrom IE den Kollektorstrom proportional und der Vorgang wird durch eine linear stromgesteuerte Stromquelle modelliert. Die Eingangssteuergr¨ oße bestimmt damit den Steuertyp: linea¨ res Ubertragungsverhalten bei Stromsteuerung, stark nichtlineares bei Spannungssteuerung! Als Kennlinienfelder treten die Eingangskennlinie (flussgepolte Diode) und die Ausgangskennlinie mit dem Emitterstrom IE bzw. der Emitterspannung UBE als Parameter auf. Damit schließt sich der Kreis zu Abb. 2.7.1c, nur sind gegen¨ uber dem pnp-Transistor beim npn-Transistor alle Richtungen der Str¨ ome und Spannung umzudrehen (s. Abb. 2.7.3c).

Emitterschaltung Wir betrachten jetzt den Einfluss des Basisstromes

IB = IE − IC = IE (1 − AN )  IC .

(2.7.6)

Seine Ursache sind Transportverluste“ beim Fluss der Ladungstr¨ager vom ” Emitter zum Kollektor. Es liegt nahe, auch den kleineren Basisstrom als Steuergr¨oße zu verwenden. Dazu wird der Emitter als Bezugspunkt des Ein- und Ausgangskreises gew¨ ahlt. So entsteht die Emitterschaltung (Abb. 2.7.4a), die meist verwendete Grundschaltung des Transistors. Die zugeh¨origen Kennlini-

198

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

R1

R2

IB

akt. Zweipol

Verbraucher

UBE

BNIB

akt. Zweipol

E

b

a Ausgangskennlinienfeld Transferkennlinie

IC(IB)

IB R1

IC C

Uq2

UBE

Uq1

B IB

UCE

A‘‘

IB

Eingangskennlinie

IC

IB

Uq2 UCE

IBA

R1

0

UF0 Uq1UBE

ICA 0

Ausgangskennlinie

R2 A

IB

UCEA Uq2 UCE

Arbeitsgerade R2

A‘

Eingangskennlinie

UBEA Uq1 UBE

c

d

Abb. 2.7.4. Bipolartransistor in Emitterschaltung im Grundstromkreis. (a) Zusammenspiel zwischen aktiven Zweipolen zur Arbeitspunkteinstellung und Bipolartransistor (als Verbraucherzweitor). (b) Stark vereinfachte Ersatzschaltung in Emitterschaltung. ¨ (c) Eingangs-, Ubertragungsund Ausgangskennlinienfelder mit eingetragenen Arbeits-

geraden. (d) Stark vereinfachte Form mit Eingangsknickkennlinie und ausgangsseitig gesteuerter Quelle

engleichungen I1 = IB = f1 (UBE , UCE ) = f1 (U1 , U2 ) I2 = IC = f2 (UBE , UCE ) = f2 (U1 , U2 )

(2.7.7)

gehen u ¨ber die Kirchhoffschen Gleichungen UBE = −UEB , UCE = UCB − UEB , IB = IE − IC direkt aus den Ebers-Moll-Beziehungen Gl. (2.7.5) hervor. Bei gesperrter Kollektordiode und flussgepoltem Emitter gilt |UCE | ≈ |UCB | UBE und die Kennlinien der Emitterschaltung lauten   IB ≈ (1 − AN )IES exp UUBE − 1 = IE (1 − AN ) T UBE (2.7.8) IC = AN IES exp UT + ICS ≈ (AN /(1 − AN )) IB + ICrest . 

BN

Die Ersatzschaltung Abb. 2.7.4b enth¨ alt wieder eine eingangsseitige Diode (jetzt in pn-Form f¨ ur den Basisstrom) und eine spannungs- oder stromgesteuerten Stromquelle im Ausgangskreis, die einen (vernachl¨assigbaren)

2.7

Gesteuerte Bauelemente und ihre Modellierung*

199

S¨attigungsstrom ICrest f¨ uhrt. Der Unterschied zur Basisschaltung besteht im deutlich gr¨oßeren Stromverst¨ arkungsfaktor BN BN ≈

IC 1. IB

Stromverst¨ arkungsfaktor in Emitterschaltung (2.7.9)

Die Eingangskennlinie ist eine Diodenkennlinie (Parameter UCE praktisch ohne Einfluss). Nennenswerter Stromfluss setzt erst ab der Spannung UBE = UF ≈ 0, 7 V ein. Das Ausgangskennlinienfeld IC = IC (UCE ) (Abb. 2.7.3c) wird entweder mit der Steuerspannung UBE oder dem Steuerstrom IB als Parameter dargestellt. Es liegt im ersten Quadranten und ist das typische Kennlinienfeld einer gesperrten Diode, zu der ein Transferstrom BN IB durch die Stromquelle addiert wird. Eine sinnvolle Kennlinienkombination ergibt sich (Abb. 2.7.4c) bei gemischter Darstellung, die den Steuerzusammenhang IC = f (IB ) im zweiten Quadranten angibt (mit UCE als Parameter, kaum Einfluss). Nach Gl.(2.7.8) ist die Kennlinie in etwa eine Gerade. Das R¨ uckwirkungsfeld UBE = f (UCE ) mit IB als Parameter im 4. Quadranten spielt praktisch keine Rolle. Diese Kennliniendarstellung stammt aus der Anfangszeit des Transistors, ihre Steigungen im Arbeitspunkt bilden die Zweitorkoeffizienten der Hybriddarstellung (s. Tab. 2.9), eine heute kaum noch verwendete Form.

Zusammengefasst hat der Bipolartransistor als nichtlineares resistives Zweitor zwei typische Kennlinienzusammenh¨ ange Zweipolverhalten an den Ein- und Ausg¨ angen, wobei der Steuerparameter praktisch nur ausgangsseitig wirksam wird und zum Ausgangskennlinienfeld f¨ uhrt, ¨ Ubertragungsverhalten zwischen Ausgangs- und Eingangsgr¨oße. Obwohl dieser Zusammenhang implizit in der Zweitorkennlinie enthalten ist, wird er aus Anschauungsgr¨ unden getrennt dargestellt.

Arbeitspunkteinstellung Im Betrieb liegen am Transistor eingangsseitig eine

Spannungsquelle Uq1 (R1 ) und ausgangsseitig die Quelle Uq2 mit dem Lastwiderstand R2 (Abb. 2.7.4a). Gesucht sind die Str¨ome und Spannungen im Netzwerk oder der Arbeitspunkt. Seine Bestimmung h¨angt vom Transistormodell ab: bei nichtlinearem Modell sind das grafische Verfahren mit dem Kennlinienfeld, numerische Verfahren oder am bestem die Schaltungssimulation, bei st¨ uckweise linearem Modell gelingt eine analytische Bestimmung.

200

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

Stets wirken die U, I-Beziehungen der ¨ außeren aktiven Schaltungsteile mit den nichtlinearen U, I-Beziehungen des Zweitors zusammen. Die L¨osung ist der Arbeitspunkt. Statt ihn zu suchen, geht man (wegen der bekannten Schwierigkeiten) meist umgekehrt vor: Wahl eines Arbeitspunktes im Ausgangskennlinienfeld und anschließende schrittweise Bemessung des umgebenden Netzwerkes. Der Arbeitspunkt wird fixiert eingangsseitig durch einen aktiven Zweipol (der sp¨ater auch das Steuersignal f¨ uhrt). Seine Widerstandsgerade schneidet die Eingangskennlinie im Punkt A : eingangsseitiger nichtlinearer Grundstromkreis, ausgangsseitig durch den aktiven Zweipol Spannungsquelle mit Lastele” ment“. Es entsteht der Arbeitspunkt A . Er wird nach Anwendungsgesichtspunkten (z. B. große Verst¨ arkung) festgelegt. Anschließend tr¨agt man die Arbeitsgerade (Lastkennlinie) wegen UCE = UCC − IC RC durch Verbinden des Punktes UCC (IC = 0) mit dem Arbeitsort ein bestimmter Basisstrom, den man u punkt A ein. Dazu geh¨ ¨ ber die Strom¨ ubertragungskennlinie ermittelt. Schließlich wird die Widerstandsgerade im Eingangskreis durch diesen Punkt A und die eingangsseitige Versorgungsspannung Uq gelegt. St¨ uckweise lineares Modell In Kap. 2.5.2 wurde die st¨ uckweise lineare N¨ aherung einer nichtlinearen Netzwerkelementbeziehung erl¨ autert. Wir wenden sie auf die Ersatzschaltung Abb. 2.7.4b an, ersetzen die Eingangsdiode durch eine Knickkennlinie (ideal) mit der Schleusenspannung UFO und verwenden weiter eine lineare gesteuerte Quelle. Eine (nicht gezeichnete) sperrgepolte parallele Diode verhindert Stromfluss f¨ ur UCE < 0. Die S¨ attigungsstromquelle wurde weggelassen. Damit ergibt sich die Kleinsignalform Abb. 2.7.4d. Die Netzwerkbeziehungen der angeschlossenen aktiven Zweipole lauten (Uq1 , Uq2 > 0) UBE = Uq1 − R1 IB , UCE = Uq2 − R2 IC . Das st¨ uckweise lineare Zweitor ist gegeben durch UBE = UF0 , IC = BN IB . Damit folgen aus beiden Gleichungen U

−U

eingangsseitig: IB = q1R1 F0 , UBE = UF0 N ausgangsseitig: IC = BN IB = B (Uq1 − UF0 ) , R1 2 B (Uq1 − UF0 ) . UCE = Uq2 − R2 IC = Uq2 − R R1 N

(2.7.10)

Sie bestimmen den Arbeitspunkt A mit den Werten UBEA , IBA , UCEA , ICA wie in Abb. 2.7.4d dargestellt.

2.7.4 Kleinsignalverhalten nichtlinearer Zweitore H¨aufig liegt ein nichtlineares Zweitor zwischen einer nichtlinearen Signalqueloßen ΔUq , ΔIq ) und einem nichtlinearen le (Gleichgr¨oßen Uq , Iq , Signalgr¨

2.7

Gesteuerte Bauelemente und ihre Modellierung*

201

Lastelement. Es enth¨ alt zur Arbeitspunkteinstellung zus¨atzlich eine Gleichquelle. F¨ ur diese Anordnung wird zun¨ achst der Arbeitspunkt bestimmt. Die Signalgr¨oßen sind im Regelfall zeitabh¨ angig und bewirken entsprechende ¨ ¨ Anderungen im Netzwerk. Das Ubertragungsverhalten f¨ ur Signal¨anderungen (Kleinsignalsteuerung) wurde schon im Kap. 2.5.5 am Beispiel einer Halbleiterdiode mit Arbeitspunktanalyse und u ¨berlagertem Kleinsignalverhalten erl¨ autert. Diesen Ansatz u bertragen wir auf das nichtlineare Zweitor im ¨ Grundstromkreis. Zweitorkleinsignalparameter In der Ausgangsschaltung Abb. 2.7.5a stellen die Spannungsquellen Uq1 , Uq2 den Arbeitspunkt (U10 . . . I20 ) ein, eine zus¨atzliche Signalquelle“ (= Eingangsspannungs¨anderung ΔUq = ΔUq1 ) ver” ursacht die Spannungs-/ Strom¨ anderungen ΔU , ΔI um ihn. Grunds¨atzlich k¨onnte auch ausgangsseitig eine Signalquelle ΔUq2 anliegen, wir setzen aber ¨ ΔU2 am Ausgang des linearen ΔUq2 = 0 und betrachten nur die Anderung Zweitors.

Bei Kleinsignalaussteuerung (Abb. 2.7.5b) liegen am Zweitor zwei unabh¨angige Ver¨anderliche, z. B. die Spannungs¨ anderungen ΔU1 , ΔU2 . Der Innenwiderstand des ausgangsseitigen aktiven Zweipols in Abb. 2.7.5a ist jetzt das Lastelement. Durch die Quelle ΔUq1 arbeitet das Zweitor im Kleinsignalbe-

Kleinsignalverhalten R1

I1

I2

Uq1

U1

nichtlin. Zweitor U2

R1

R2

Lineares Netzwerk

Arbeitspunkt

a I2 I20

R2

lineares ΔUq1 ΔU1 Zweitor ΔU2 ΔUq2

+

Uq2

ΔI2

ΔI1

b U1=const

I2

P ΔU2 g 22 =

U20

ΔI2 ΔI 2 ΔU 2

I20

I1=const

P ΔU2 h22 =

U1

U2

U20

ΔI2 ΔI 2 ΔU 2

I1

U2

c Abb. 2.7.5. Kleinsignalverhalten des Bipolartransistors (als nichtlineares resistives Zwei-

tor). (a) Anordnung zur Arbeitspunkteinstellung. (b) Nichtlineares resistives Zweitor im Kleinsignalbetrieb. (c) Einfluß der Nebenbedingung auf das Kleinsignalverhalten im Ausgangskennlinienfeld

202

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

trieb in der Schaltung“, eingangsseitig abgeschlossen durch die Signalquelle ” und ausgangsseitig durch ein Lastelement. Gesucht sind die Strom¨anderungen ΔI1 , ΔI2 an den Zweitorklemmen als Folge der Spannungs¨anderungen ΔU1 , ΔU2 . Wir finden sie durch (zweidimensionale) Taylor-Entwicklung der Str¨ome I1 = f1 (U1 , U2 ) und I2 = f2 (U1 , U2 ) um den Arbeitspunkt U10 , U20 I10 + ΔI1 = f1 (U10 , U20 ) 

Strom in A   ∂I1  ∂I1  + · ΔU1 + · ΔU2 ∂U1 ΔU2 =0 ∂U2 ΔU1 =0



Kleinsignalverhalten

+

...

 h¨ ohere Ableitungen

I20 + ΔI2 = f2 (U10 , U20 )



Strom in A   ∂I2  ∂I2  + · ΔU + · ΔU2 1 ∂U1 ΔU2 =0 ∂U2 ΔU1 =0



(2.7.11)

Kleinsignalverhalten

+

...



.

h¨ ohere Ableitungen

Anschaulich sind die Differenzialquotienten die Tangenten an die jeweilige Kennlinie im Arbeitspunkt. Sie heißen Kleinsignalparameter. Im Kleinsignalbetrieb wird die Aussteuerung um den Arbeitspunkt als so klein vorausgesetzt, dass h¨ ohere Koeffizienten in der Taylorentwicklung Gl. (2.7.11) vernachl¨ assigt werden k¨ onnen. Dann beschreibt das lineare Zweitorgleichungssystem ΔI1 = g11 ΔU1 + g12 ΔU2 , ΔI2 = g21 ΔU1 + g22 ΔU2

Zweitor, (2.7.12) Kleinsignaldarstellung

das Kleinsignalverhalten. Die Parameter gik (i, k = 1, 2) sind Tangenten an die entsprechenden Kennlinien unter gegebenen Nebenbedingungen. Kleinsignalparameter lassen sich f¨ ur alle U, I-Darstellungen eines Zweitores herleiten und durch Kleinsignalersatzschaltungen interpretieren. Im Kleinsignalbetrieb wird das linearisierte Zweitor im Arbeitspunkt grafisch durch ein linearisiertes Kennliniengebiet und mathematisch durch Zweitorgleichungen beschrieben; ¨ durch den Uberlagerungssatz nach Gleichstrom- und Kleinsignalverhalten getrennt betrachtet.

2.7

Gesteuerte Bauelemente und ihre Modellierung*

203

Der Dimension nach sind die totalen Kennlinienableitungen Gl. (2.7.12) Leitwertparameter. Sie unterscheiden sich von den Leitwertparametern eines aus linearen Schaltelementen aufgebauten Zweitors in mehrfacher Hinsicht: 1.

2.

3.

Es sind dynamische (differenzielle) Parameter, die nach der Festlegung Kap. 2.3.5.1 mit kleinen Symbolen bezeichnet werden. Sie gelten nur f¨ ur kleine Aussteuerung. ¨ Die Koeffizienten h¨ angen vom Arbeitspunkt ab. Anderungen der Gleichvorspannungen verschieben den Arbeitspunkt, somit die Kennliniensteigungen und folglich die Zweitorparameter. Der Arbeitspunkt ist bei Angabe von Kleinsignalparametern in jedem Fall zu nennen. ˛ ∂I2 ˛ . Entscheidend f¨ ur die richtige Definition ist die Nebenbedingung z. B. ∂U ˛ 2 ΔU1 =0

¨ So bedeutet die Angabe U1 = const oder ΔU1 = 0 keine Anderung der Eingangsspannung bei Bildung der Ableitung. Anschaulich wird dann die Steigung ˛ ∂I2 ˛ = g22 an der Kennlinie I2 = f (U2 ) f¨ ur konstanten Parameter U1 ∂U2 ˛ U1 =const ˛ ∂I2 ˛ gebildet (vgl. Abb. 2.7.5c). Dagegen ergibt die Steigung ∂U ˛ an die Kennlinie 2 I1

I2 = f (U2 ) bei I1 = const einen ganz anderen Wert, n¨ amlich h22 (= g22 !).

Die Taylor-Entwicklung Gl. (2.7.11) basiert auf (stillschweigend) zeitkonphas angenommenen Strom- und Spannungs¨ anderungen. Sie vernachl¨ assigt Energiespeichervorg¨ ange. In Halbleiterbauelementen sind jedoch Str¨ ome und Spannungen bei h¨ oheren Frequenzen phasenverschoben, weil Tr¨ agheiten u. a. mitwirken. Solche Vorg¨ ange lassen sich durch komplexe Kleinsignalleitwertparameter (oder Leitwertoperatoren) ber¨ ucksichtigen (Bd. 3).

Kleinsignalparameter von Bauelementen Die Herleitung der Kleinsignalparameter f¨ ur ein Bauelement ist Aufgabe der Bauelemente-Elektronik. Herangezogen werden dazu entweder Kennliniengleichungen, experimentell am Bauelement gemessene Werte oder das physikalische Wirkprinzip. Weil sich die Kennlinien f¨ ur einzelne Grundschaltungen (z. B. Basis- und Emitterschaltung) voneinander unterscheiden, sind auch die Kleinsignalparameter grundschaltungsabh¨ angig. Zwischen den Parametern einzelner Grundschaltungen gibt es aber Beziehungen. Sie werden entweder u ¨ ber Ersatzschaltungen oder sog. Zweitordrehung (zyklische Vertauschung des Massepunktes) gewonnen. Wir gehen darauf in Kap. 3.6 ein. Zu beachten ist, dass st¨ uckweise linear approximierte Zweitorgleichungen Spr¨ unge der Kleinsignalparameter an den Knickpunkten verursachen und solche Kleinsignalmodelle f¨ ur viele Anwendungen nicht brauchbar sind (Problem mancher Transistormodelle).

L¨ osungsmethodik Kleinsignalanalyse Eine Kleinsignalanalyse f¨ ur ein nichtli-

neares Netzwerk (mit nichtlinearem Zweitor) mit den Zweiggr¨oßen iμ (t) = IμA + Δiμ (t), uν (t) = UνA + Δuν (t) erfordert zusammengefasst:

204

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

1.

Analyse des Gleichstromverhaltens: Arbeitspunktbestimmung. (a) Aufstellen der Gleichstromersatzschaltung (Kurzschluss der Kleinsignalspannungs- und Leerlauf der Kleinsignalstromquellen). (b) Arbeitspunktbestimmung durch L¨ osung des nichtlinearen Gleichungssystems (Methode: Kirchhoffsche Gleichungen, Knotenspannungs- oder Maschenstromanalyse u. a.) Ergebnis: IμA , UνA

2.

Kleinsignalanalyse (a) Unabh¨ angige Gleichspannungsquellen kurzschließen und unabh¨ angige Gleichstromquellen entfernen. Nichtlineare Netzwerkelemente durch ihre Kleinsignalnetzwerkelemente im Arbeitspunkt ersetzen. ¨ (b) Aufstellung/Ubernahme des linearen Gleichungssystems f¨ ur Kleinsignalgr¨ oßen Δiμ (t), Δuν (t) im Arbeitspunkt. Zweigbeziehungen f¨ ur Kleinosung des Gleichungssignalelemente einschließlich Quellen Δuq , Δiq , L¨ systems. ¨ (c) Gesamtl¨ osung des Netzwerkes durch Uberlagerung der Gleichstromund Kleinsignall¨ osungen iμ (t) = IμA + Δiμ (t), uν (t) = UνA + Δuν (t).

Diese Strategie lag der Schaltung nach Abb. 2.3.13 resp. Abb. 2.7.5 zugrunde. Hinweis: Bei Arbeitspunkt¨ anderung muss die Kleinsignalanalyse neu durchgef¨ uhrt werden.

2.7.5 Kleinsignalverhalten des Bipolartransistors, Verst¨ arkungsprinzip Eine Kleinsignalanalyse liefert f¨ ur jedes Netzwerkelement eine entsprechende ¨ Ersatzschaltung. Dabei erhalten Str¨ ome und Spannung statt der Anderungen ur Gleich(ΔUE = Ue ) kleine Indizes (im Gegensatz zu großen Indices f¨ gr¨oßen). Beim Bipolartransistor bevorzugt man die Leitwertersatzschaltung. Ziel sind Anhaltswerte f¨ ur die Elemente der Ersatzschaltung zur raschen Bewertungen einer Schaltungsanalyse. Ausgang ist die Emitterschaltung (Abb. 2.7.6a) mit der Kennliniengleichung (s. Gl. (2.7.8)) f¨ ur das einfache Modell im Betriebsbereich vorw¨ arts   UCE UBE IC ≈ IS 1 + , exp UAF UT (2.7.13) IS UBE IC IC 1 IB = exp ≈ ≈ . BN UT BN 1 + UCE /UAF BN Sie unterscheidet sich von Gl. (2.7.8) nur durch einen Vorfaktor (s. u.) und Annahme des Flussbereiches (exp x 1). Damit und den Definitionen der Leitwertparameter Gl. (2.7.12) sowie den Zuordnungen I1 = IB , I2 = IC , U1 = UBE und U2 = UCE ergeben sich der Reihe nach45 die Kleinsignalpa-

2.7

Gesteuerte Bauelemente und ihre Modellierung*

205

gmUbe B Ib gπ

Ube E

gmUbe

E Ie

IC C go Uce

gπ

Ube B

Emitterschaltung

a

IC C go

Basisschaltung

E Ie gmUeb gmUeb Ueb gπ B gb= gπ+gm

I C C

go Ucb Ube= -Ueb

b

Abb. 2.7.6. Elementare Kleinsignalersatzschaltung. (a) in Emitterschaltung (resistives Ver¨ halten), spannungsgesteuerte Form. (b) Ubergang zur Basisschaltung mit zugeh¨ origen Kleinsignalelementen

rameter des Bipolartransistors in Emitterschaltung  ∂IB  g11e = ∂U = UIBT = gπ ,  BE UCE ∂IB  = 0 g12e = ∂U  CE UBE ∂IC  g21e = ∂U = UICT = gm ,  BE UCE ∂IC  C = UCEI+U = go . g22e = ∂U  CE AF

(2.7.14)

UBE

Die Parameter werden u ¨ blicherweise als Eingangs- oder Emitterleitwert gπ , ¨ als Ubertragungsleitwert oder Steilheit gm und Ausgangsleitwert go (genauer Ausgangskurzschlussleitwert (s. u.)) bezeichnet. Der R¨ uckwirkungsleitwert g12e verschwindet. Arbeitspunkt (IC ), Stromverst¨arkung BN (resp. IB ) und die sog. Earlyspannung UAF bestimmen die vier Kleinsignalparameter des Transistors in Emitterschaltung. Diese Gr¨ oßen berechnet das Programm SPICE bei jeder Arbeitspunktermittlung automatisch (wenn kein besseres Transistormodell vorgeschrieben ist). Die wichtigsten Parameter sind die Steilheit S = gm = g21e und der Ausgangswiderstand ro = 1/go . Die Steilheit46 ˛ ∂IC ˛˛ IC AN IE AN g21e = = gm = = = (2.7.15) ∂UBE ˛UCE UT UT rd 45

Es ist u ¨ blich, die Kleinsignalparameter statt mit Y (resp. Z) mit g bzw. r als Symbol zu bezeichnen. Der Unterschied wird bei Wechselstromvorg¨ angen (Bd. 3) diskutiert.

46

Hinzuweisen ist auf das Vorzeichen: Weil die Richtungen der Gr¨ oßen UBE und IC mit den Definitionsrichtungen U1 , I2 am Zweitor u ¨ bereinstimmen, hat die Steilheit in Emitterschaltung und f¨ ur das symmetrische Richtungssystem stets einen positiven Wert (f¨ ur die Basisschaltung kehrt sich ihr Vorzeichen um!). Außerdem gilt g21b = −gm , g21e ≈ −g21b = gm .

206

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

ist dem Kollektorstrom proportional, die Schreibweise mit dem Emitterstrom dr¨ uckt den Stromtransfer vom Emitter zum Kollektor aus. Sie stimmt praktisch mit dem reziproken Diffusionswiderstand rd (Kleinsignalwiderstand der Emitterdiode) u ¨ berein. Wird der Bipolartransistor stromgesteuert (großer Generatorwiderstand), dann arkungskennzeichnung besser als die eignet sich die Stromverst¨ arkung h21e zur Verst¨ Steilheit. Der Ausgangswiderstand ro = 1/go beschreibt die endliche Steigung der Kennlinie im Ausgangskennlinienfeld IC (UCE ). Nach den Kennlinien Gl. (2.7.5) sollte der Widerstand unendlich groß sein. Am realen Transistor gibt es jedoch den Early-Effekt, der eine endliche Steigung der Ausgangskennlinie zur Folge hat. Man modelliert ihn einfach durch Anlegen einer Extrapolationsgeraden an die Kennlinie, die die U -Achse bei UAF schneidet (Richtwert einige 10 V). So ergeben sich Ausgangswiderst¨ ande ro von gr¨ oßenordnungsm¨ aßig einigen 10 . . . 100 kΩ bedingt durch g22e = go ≈ IC /UAF .

Der Transistor hat in Emitterschaltung einen großen Ausgangswiderstand. Der Eingangsleitwert  ∂IB  IB IC gm g11e = = gπ = = = ∂UBE UCE UT BN UT BN

(2.7.16)

ist wesentlich kleiner als die Steilheit gm (n¨ amlich um die Stromverst¨arkung BN , weil eingangsseitig der kleinere Basisstrom die Signalquelle belastet). Die Kollektorspannung hat praktisch keinen Einfluss. Zahlenbeispiel, Richtwerte Ein g¨ angiger Arbeitspunkt ist ein Kollektorstrom ur eine Stromverst¨ arkung BN = 100 und eine Early-Spannung IC = 1 mA. F¨ UAF = 100 V (Wert liegt vielfach niedriger) ergeben sich als Parameterrichtwerte nach Gl. (2.7.14)

g11e =

1 mA 1 mA 1 mA = 0, 4 mS, g21e = = 40 mS, g22e = = 10 μS. 100 · 25 mV 25 mV 100 V

Der reale Transistor hat im Basisraum einen Basiswiderstand. Er wird einfach als Reihenwiderstand rb (Gr¨ oßenordnung einige 10 Ω) am Basisanschluss B modelliert, wir ber¨ ucksichtigen diesen Einfluss nicht.

Basisgrundschaltung Die zur Basisschaltung geh¨orende Ersatzschaltung kann unterschiedlich gewonnen werden: man definiert eine π-Ersatzschaltung mit neuen Leitwertparametern gikb (Index b f¨ ur Basisschaltung) und berechnet sie aus den alten (z. B. durch Vierpoldrehung oder Umzeichnen des Netzwerkes), durch Umzeichnen der Ersatzschaltung und Parameterberechnung (wie hier in Abb. 2.7.6b): Umkehr der Richtung der Eingangsspannung (UBE = −UEB ) und damit auch der Richtung der gesteuerte Quelle und verzweigt die Stromquelle u ¨ ber den Basisanschluss (s. Quellenverzweigung, Kap. 4.2). Dann liegt eingangs-

2.7

Gesteuerte Bauelemente und ihre Modellierung*

207

seitig dem Leitwert gπ der Leitwert gm parallel (Stromquelle selbstgesteuert). So entsteht der Eingangsleitwert g11b = gπ + gm =

I B + IC IE = UT UT

(2.7.17a)

als Leitwert der Eingangsdiode betrieben mit dem Emitterstrom IE und damit gr¨ oßer als in Emitterschaltung. Wichtig ist noch das ver¨ anderte Vorzeichen der Steilheit g21b = −gm ≈ −g21e , (2.7.17b) weil jetzt die gesteuerte Quelle (bei sonst gleichen Richtungen der Zweitorgr¨ oßen) zum Ausgang hin weist, also dem positiv definierten Kollektorstrom IC entgegengesetzt gerichtet ist. Das Vorzeichen einer gesteuerten Quelle hat fundamentalen Einfluss auf Netzwerkeigenschaften, besonders bei R¨ uckkopplung. Wir diskutieren dies am Beispiel des Miller-Effektes (Kap. 4.6).

Emitterfolger Die Kollektorschaltung (mit dem Kollektor als Bezugspunkt) und dem Emitterwiderstand R als Lastwiderstand ist die letzte Grundschaltung (Abb. 2.7.7a). Sie hat eine Spannungsverst¨ arkung kleiner als 1, weil sich die Ausund Eingangsspannungen nur durch die Basisspannung UBE ≈ 0, 7 V unterscheiden: UA ≤ UE . Anschaulich folgt die Ausgangsspannung UA der Eingangsspannung UE (weshalb die Schaltung auch Emitterfolger heißt). Die Kleinsignalspannungsverst¨ arkung und der ausgangsseitige Innenwiderstand ergeben sich aus der Ersatzschaltung (Abb. 2.7.7b). Wir vernachl¨ assigen f¨ urs erste den Widerstand rbe . Die Ausgangsspannung entsteht, weil die gesteuerte Stromquelle direkt in den Lastwiderstand einspeist. Mit der Steuerspannung Ube = Ue −Ua folgt dann Ua = Rgm UBE = Rgm (Ue − Ua ) und daraus « „ gm R Ua 1 = Au = ≤ 1. (2.7.18a) ≈ 1− Ue 1 + gm R gm R Der Emitterfolger u agt die eingangsseitige Spannung Ue fast ungeschw¨ acht auf ¨ bertr¨ die Ausgangsseite (Bezeichnung Spannungsfolger!).

UCC

C B IB

gmUbe B Ib

UE, Ue

UBE

E UA, Ua

R

E

gb Ue

R C

Ri

a

I2

I2

b

Ua Abb. 2.7.7. Emitterfolger (Kollektorschaltung). (a) Grundschaltung. (b) Kleinsignalersatzschaltung, resistives Verhalten

208

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

Der Innenwiderstand von der Ausgangsseite her (ihm entspr¨ ache der Wert 1/g22 ) origen ergibt sich durch Einpr¨ agen eines Probestromes I2 und Berechnung der zugeh¨ Spannung Ua : ˛ 1 ˛˛ 1 1 ≈ = . (2.7.18b) Ri = g22c gm + 1/R gm ˛Rgm 1 Er ist sehr klein von gr¨ oßenordnungsm¨ aßig der reziproken Steilheit gm . Der hohe Eingangswiderstand belastet die Signalquelle nicht. Deswegen arbeitet er als Widerstandswandler: eine hochohmige Signalquelle wird unter Beibehalt der Quellenspannung in eine Quelle mit geringem Innenwiderstand gewandelt.

Spannungsverst¨ arkung, Lastkennlinie Zur Spannungsverst¨ arkung der Emit-

terschaltung kommt es, wenn eine Eingangsspannungs¨anderung ΔUBE eine Strom¨anderung ΔIC nach Maßgabe der Steilheit gm am Lastwiderstand RC die Spannungs¨ anderung ΔUA = −RC ΔIC bewirkt (Abb. 2.7.8a). Deutlich wird die Verst¨ arkerfunktion durch Eintrag der Arbeitsgeraden“ Uq = ” RC IC +UCE in das Ausgangskennlinienfeld. Ihre Schnittpunkte mit den Parameterkennlinien fixieren den jeweiligen Arbeitspunkt. Variiert die Eingangsspannung von null aus, so sinkt die Ausgangsspannung UCE von Uq ausge¨ hend bis zum Punkt P4 ab. Der Verlauf UA = f (UBE ) heißt Ubertragungskennlinie und ihre Steigung im Arbeitspunkt die Leerlaufspannungsverst¨arkung (Kleinsignalgr¨ oße)    dUA  ΔUA  ≈ . Au = dUBE  ΔUBE  A

A

Ausgangskennlinienfeld IC, ΔIC P4

R1

IB, ΔIB

Uq1, ΔUq1

RC UCE

UBE, ΔUBE

ΔUA= -RCΔIC

P2

P1

0 0 gmΔUBE

IB,UBE

Uq2

a B ΔIB

P3

C ΔIC

Arbeitsgerade RC Uq2 UCE ΔUA UA=UCE

ΔUBE ΔUBE

rb

ro

RC ΔUA UBE

Übertragungskennlinie UA=f(UBE)

E

b

c

Abb. 2.7.8. Spannungsverst¨ arkung, Emitterschaltung. (a) Grundschaltung mit aktiven

Zweipolen zur Arbeitspunkteinstellung. (b) Kleinsignalersatzschaltung. (c) Ausgangskenn¨ linie mit Arbeitswiderstand und zugeh¨ orige Ubertragungskennlinie

2.7

Gesteuerte Bauelemente und ihre Modellierung*

209

Die Ersatzschaltung Abb. 2.7.8b liefert mit der Knotengleichung gm ΔUBE + go ΔUA = −ΔUA /RC die Spannungsverst¨ arkung Au =

  ΔUA  gm gm  = − → − . ΔUBE A go + 1/RC go RC →∞

Leerlaufspannungs- (2.7.19) verst¨arkung

Die Emitterschaltung arbeitet als Spannungsinverter. Ihre Spannungsverst¨ arkung steigt mit dem Lastwiderstand zur Leerlaufspannungsverst¨arkung (f¨ ur RC → ∞) als Grenzwert. Bei ausgangsseitigem Leerlauf erzeugt die spannungsgesteuerte Stromquelle gm ΔUBE (Steilheit) am Ausgangsleitwert go die Ausgangsspannung ΔUA . Das ist eine Spannungsquelle mit großen Innenwiderstand (unerw¨ unscht). Ein großer Lastwiderstand RC hat zwei Konsequenzen: er erfordert hohe Versorgungsspannung Uq von gr¨ oßenordnungsm¨ aßig 100 V und mehr, verf¨ ugbar sind nur Versorgungsspannungen unter 10 V, er ben¨ otigt in integrierter Technik viel Chipfl¨ ache, was ebenso ausscheidet. Die L¨ osung ist eine Konstantstromquelle auf der Kollektorseite mit hohem Innenwiderstand, besser bekannt als nichtlineare Transistorlast mit einer S¨ attigungskennlinie vom Typ Abb. 2.5.5c. Sie bietet folgende Vorteile Festlegung (Vorgabe) des Arbeitspunktes durch Stromeinspeisung im Ausgangskreis, hoher dynamischer Innenwiderstand durch den Ausgangswiderstand des Lasttransistors, wegen des starken Abfalls der Stromquellenkennlinie bei der Quellenspannung nur geringe Quellenspannung erforderlich. Die Standardausf¨ uhrung dieser Konstantstromquelle ist der sog. Stromspiegel.

Vertiefung Stromspiegel Der Transistor wird mit ausgangsseitiger Stromeinpr¨agung betrieben (Spannungsquelle Q mit hohem Innenwiderstand Ri ), z.B durch eine Spannungsquelle mit Diode D, die den S¨ attigungsstom IS (U ) hat (Abb. 2.7.9a, b). F¨ ur die Spannungsquelle ist er das (nichtlineare) Lastelement mit Kennlinie vom S¨ attigungstyp (Wert durch die Steuerspannung UBE bestimmt). Im Zusammenspiel mit dem aktiven Zweipol stellt sich der Arbeitspunkt A ein (Abb. 2.7.9a, b). Vom Transistor (als Verst¨ arkerelement) her gesehen sollte hochohmige Last vorliegen: hoher Innenwiderstand der Konstantstromquelle. Die L¨ osung ist ein nichtlinearer aktiver Zweipol vom Konstantstromtyp nach Abb. 2.5.2b und Abb. 2.7.9b. Aus Sicht der Quelle wirkt der Verst¨ arkertransistor T1 als nichtlineare Last und der Quellenstrom“ Iq = IS liegt durch den Di” odens¨ attigungsstrom IS fest (auch der Arbeitspunkt A). Dort ist der Kleinsignallastwiderstand (= Kleinsignalinnenwiderstand 1/g der Stromquelle) groß. So sind

210

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

Uq

Uq

Uq

R

D

UA

I Iq

Uq

R

Q

I Q T1

Uq

UEB

R

IC

IRef

D2 T2

A

IRef

IC

A

T1

A

D2 T2

Q UA

T1 UA RRef

IS(U)

UA

UBE

Uq U

B IC=AiIRef Stromspiegel

a

c

b

d

Abb. 2.7.9. Bipolartransistor mit nichtlinearer Versorgungsquelle. (a) Grundschaltung mit

nichtlinearer Versorgungsquelle. (b) Kennlinie f¨ ur nichtlineare Quelle (aktiver Zweipol) und Bipolartransistor (als Last), es stellt sich der Arbeitspunkt A ein. (c) Grundschaltung eines Stromspiegels mit npn-Bipolartransistor. (d) npn- Transistor belastet mit einem Stromspiegel als Last (ausgef¨ uhrt mit pnp-Transistor)

die Forderungen des großen Kleinsignallastwiderstandes und kleiner Versorgungsullt, weil die Kennlinie in N¨ ahe von Uq steil abknickt (Kennlinispannung Uq erf¨ en¨ ubergangsbereich Uq − U ≈ 1 V). osungen Problem bleibt der Quellenstrom Iq = IS , der einstellbar sein soll. Zwei L¨ bieten sich an: Ersatz der Diode durch einen Transistor, dessen Quellenstrom Iq u altig genutzt) oder der Stromspiegel. ¨ber die Steuerspannung eingestellt wird (vielf¨ Abb. 2.7.9c zeigt das Prinzip: Eine Diode D2 und die Basis-Emitterstrecke eines Bipolartransistors T2 sind parallel geschaltet mit gleicher Spannung UBE . Der Tranangt exponentiell von UBE ab (als sistorausgangsstrom IC (Kollektorstrom von T2) h¨ ur die Spannungen der Diodenkennlinie mit dem S¨ attigungsstrom IST ). Dann gilt f¨ Diode und Basis-Emitterstrecke ausgedr¨ uckt durch die jeweiligen Str¨ ome ID = IRef = IS exp

UD UT

Diode,

IC = IST exp

UBE Transistor. UT

Mit UD = UBE wird die Spannung eliminiert und es verbleibt I C = Iq =

IST · IRef = Ai IRef . IS

(2.7.20)

Ein Stromspiegel spiegelt den eingangsseitigen Referenzstrom IRef an den Ausgang nach Maßgabe des sog. Spiegelverh¨ altnisses AI = IST /IS . Er wirkt als Stromquelle, deren Quellenstrom IC durch einen Referenzstrom IRef einstellbar ist. Letzterer wird u ¨ ber einen Vorwiderstand R (IRef = (Uq − UD )/R) eingepr¨ agt. Dann reicht wegen der geringen Flussspannung (etwa 0,7 V) schon eine geringe Spannung Uq . So wirkt der Stromspiegel D2/T2 in Abb. 2.7.9c als nichtlinearer Zweipol mit den Klemmen AB, denn die Ausgangskennlinie eines Transis-

2.7

Gesteuerte Bauelemente und ihre Modellierung*

211

tors T2 hat in großem Bereich S¨ attigungscharakter. Er ist die einstellbare Last der Spannungsquelle Q (Nachteil: Spiegel einseitig an Masse). Um ihn als einstellbaren Innenwiderstand einer Quelle und damit als Belastungselement des Transistors T1 nach Abb. 2.7.9a einsetzen zu k¨ onnen, wird er mit einem pnp-Transistor ausgef¨ uhrt (Abb. 2.7.9d). Dadurch kehren sich seine Stromrichtungen um und er kann die Diode D in Abb. 2.7.9b direkt ersetzen. Jetzt bilden Stromspiegel und Spannung Uq eine (¨ uber den Referenzstrom IRef ) einstellbare Konstantstromquelle (mit der Beullt. grenzungsspannung Uq ) als Last des Transistors T1, die obige Forderungen erf¨ Der Stromspiegel realisiert einen aktiven nichtlinearen Zweipol vom Konstantstromtyp und ist eine wichtige Grundstruktur der Transistorschaltungstechnik. Es gibt dieses Prinzip in vielen Varianten, auch mit Feldeffekttransistoren. Der angt von den S¨ attigungsstr¨ omen von Diode bzw. Spiegelfaktor Ai in Gl. (2.7.20) h¨ Transistor ab, meist wird Ai ≈ 1 . . . 5 gew¨ ahlt.

Die Emitterschaltung mit Transistorlast l¨ asst sich zusammengefasst durch eine spannungs- (oder auch stromgesteuerte) hochohmige Stromquelle mit hoher Spannungsverst¨ arkung modellieren. Niederohmig wird diese Spannungsquelle erst durch einen nachgeschalteten Spannungs- oder Emitterfolger. Auf diesem Konzept beruht der Operationsverst¨arker (s. Kap. 2.7.7). 2.7.6 Allgemeines lineares Verst¨ arkermodell Die in Kap. 2.6.4 eingef¨ uhrten gesteuerten Quellen sind auf unterschiedlichste Weise im elektronischen Bereich realisierbar durch Verst¨arkerbauelemente: Bipolar- und Feldeffekttransistoren; Verst¨arker: Zusammenschaltungen von wenigstens einem Verst¨arkerbauelement mit diskreten oder integrierten Bauelementen, heute durchweg als integrierte Verst¨ arker. Ihre wichtigsten Formen sind der OperationsTranskonduktanz- und der Operationsverst¨arker. Als Netzwerkelement umfasst ein Verst¨arker (Tab. 2.13) wenigstens eine gesteuerte Quelle, im Realfall endliche Ein- und Ausgangsleitwerte g1k , g2k , mitunter noch R¨ uckwirkung. Sie wird vernachl¨assigt (d. h. g12 = 0). Das r¨ uckwirkungsfreie Verst¨ arkerzweitor (g12 = 0) hat drei Kennwerte: die Eingangs- und Ausgangs-(kurzschluss-)leitwerte g1k , g2k und eine gesteuerte Gr¨oße. F¨ ur die Leitwertmatrix ist dies die (negative) Steilheit −gm = −S = g21 :     g11 0 g1k 0 g= = . (2.7.21) g21 g22 −S g2k

212

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

Tabelle 2.13. Verst¨ arker

Verst¨ arkertyp

Ersatzschaltung

Typ. Verst¨ arkergr¨ oße

Spannung „ « 0 g1k C= C21 1/g2k

Spannungsverst. ˛ ˛ U2 ˛ 1 ˛ = ˛ U1 A11 ˛ = C21

Transimpedanz „ « 1/g1k 0 Z= Z21 1/g2k

Transimpedanz ˛ U2 ˛ = A121 = Z21 I1 ˛

Transkonduktanz « „ g1k 0 Y = Y21 g2k

Steilheit ˛ I2 ˛ = U1 ˛

Strom„ « 1/g1k 0 H= H21 g2k

Stromverst¨ arkung ˛ I2 ˛ = A−1 = H21 I1 ˛ 22

I2 =0

= Au =

−Y21 Y22

I2 =0

= Rm =

U2 =0

=

−Y21 Y11 Y22

−1 A12

S g2k

=

S g1k g2k

= Y21

= −Gm = −S

U2 =0

= −Ai =

Y21 Y22

=

−S g1k

In anderen Matrixformen treten als Steuergr¨oßen auf (s. Gl. (2.6.15))47

48

:

die Leerlaufspannungsverst¨arkung Au (Parallel-Reihenmatrix); die Kurzschlussstromverst¨arkung Ai (Reihen-Parallelmatrix); die Transimpedanz Rm (Widerstandsmatrix). Damit sind die vier Verst¨ arkergrundtypen definiert. Zugeh¨orige Ersatzschaltungen und Matrixdarstellungen enth¨ alt Tabelle 2.13. Der Steuerzweig bleibt schwebend“, dadurch kann das Verst¨arkermodell auf ” den Differenzverst¨ arker (Kap. 2.7.7) u ¨bertragen werden. Der Steuerwiderstand Rst bestimmt Strom- oder Spannungssteuerung.

47

Wir bleiben bei der Bezeichnung Kurzschlussleitwerte, um die Innenleitwerte von anderen Leitwerten zu unterscheiden.

48

Die Parameter des Verst¨ arkermodells werden generell als Kleinsignalgr¨ oßen verstanden.

2.7

Gesteuerte Bauelemente und ihre Modellierung*

213

Kettenmatrixdarstellung Die Parameter der vier gesteuerten Quellen sind

durch die Kettenmatrix des Verst¨ arkervierpols darstellbar (s. Gl. (2.6.15)): ⎫     U2 2) ⎬ 1 1 1 1 U1 = A + (−I Gm u Au G m C21 − Y21 → A= = .(2.7.22a) 1 1 1 2) ⎭ − H121 I1 = RUm2 + (−I R A Z m i 21 Ai Die R¨ uckwirkungsfreiheit Y12 = 0 erfordert det A = 0. Daraus resultieren ein ausgangsseitiger Widerstand Z22 = 1/Y22 = Ri (unabh¨angig von der Eingangsbelastung) und eine Beziehung zwischen den Steuerparametern aus der Gleichwertigkeit der Spannungs- und Stromquellendarstellung Y21 Z21 = C21 H21 → Au Ai = Gm Rm =

Gm Rm Gm Rm = . 1 Ri Gi

(2.7.22b)

Die Steuergr¨oßen des idealen Verst¨ arkers h¨ angen zusammen. Bei unendlich hohem Verst¨ arkungsparameter einer Quelle (gilt zwangsl¨aufig f¨ ur alle vier Formen) verschwinden s¨ amtliche Kettenparameter: idealer Verst¨arker mit unendlicher Verst¨arkung:       idealer Verst¨arker, U2 U1 0 0 . (2.7.23) · = unendliche Verst¨arkung I1 (−I2 ) 0 0 Dann verschwindet die Eingangsspannung U1 f¨ ur endliche Ausgangsspannung (und ebenso der Eingangsstrom I1 ). Durch diese Eigenschaft der Kettenmatrix werden alle Eingangsgr¨oßen unabh¨angig von den Ausgangsgr¨oßen. Daf¨ ur wurden f¨ ur die Ein- und Ausgangstore (physikalisch nicht realisierbare!) Netzwerkelemente definiert: der Nullator (mit U1 , I1 stets null, Ursprung der U, I-Darstellung). Ein Nullator ist gleichzeitig ein leerlaufender (I = 0) und kurzgeschlossener Zweig (U = 0); den Norator (mit beliebigen Werten f¨ ur U2 , I2 ). Der ideale Verst¨ arker mit unendlich hoher Verst¨arkung verl¨asst das Modell des Verst¨arkers mit gesteuerter Quelle: Str¨ome und Spannungen am Ein-/ Ausgang werden dann nur noch durch das umgebende Netzwerk bestimmt. Dieses Konzept hat Vorteile bei der Netzwerkanalyse mit idealen Verst¨ arkern. Wir verwenden es zugunsten der Anschaulichkeit nicht, sondern modellieren den idealen Verst¨ arker durch Grenz¨ ubergang: es wird das Netzwerk mit realem Verst¨ arker analysiert und im Ergebnis der Quellenparameter u ¨ ber alle Grenzen wachsen lassen (z. B. S → ∞ resp. Au → ∞).

214

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

Tabelle 2.13 enth¨ alt gleichwertige Verst¨ arkermodelle. Obwohl sie ineinander u uhrbar sind, werden aus praktischer Sicht unterschieden ¨berf¨ strom- oder spannungsgesteuerte Verst¨arker mit niederohmigem Spannungsquellenausgang, die Spannungs- und Transimpedanzverst¨arker, strom- oder spannungsgesteuerte Verst¨arker mit hochohmigem Stromquellenausgang, das sind die Steilheits- (Transkonduktanz-) und Stromverst¨arker. Wir beschr¨anken uns auf den Steilheitsverst¨arker als Operations-Transkonduktanz-Verst¨arker und den Spannungsverst¨arker in Form des Operationsverst¨arkers als einheitliche Grundlage f¨ ur den Einbezug von Verst¨arkern in die Netzwerkanalyse unabh¨ angig von ihrer Realisierung. 2.7.7 Operational-Transkonduktanz-Verst¨ arker, Operationsverst¨ arker Oft soll ein Differenzsignal zwischen zwei Knoten verarbeitet werden, die selbst auf hoher Spannung gegen¨ uber einem Bezugspunkt liegen. Das gilt beispielsweise f¨ ur die Wheatsone-Br¨ ucke (Abb. 2.4.7): Liegt ihre Spannungsversorgung einseitig an Masse“, so ist bei Quasiabgleich nur ein geringes ” Diagonal-, also Differenzsignal verf¨ ugbar, w¨ ahrend die Knotenspannungen nach Masse, die diese Diagonalspannung bilden, relativ groß sind.

Die Verst¨arkung eines Differenzsignals unter diesen Bedingungen besorgt der Differenzverst¨arker. Er wird im Idealfall modelliert durch eine gesteuerte Quelle, die von der Differenz der beiden Eingangsspannungen (bez¨ uglich Masse) abh¨angt: spannungsgesteuerte Quellen nach Tabelle 2.8 mit masseungebundenem Steuerzweig. Die Standardausf¨ uhrung ist der Steilheits- oder Transkonduktanz-Verst¨arker (auch als Operational Transconductance Amplifier, OTA oder Spannungs-Strom-Wandler bezeichnet) mit (hochohmigem) Stromquellenausgang. Vom Quellentyp her liegt eine differenzspannungsgesteuerte Stromquelle vor. Durch Schaltungsmodifikation kann dieser Verst¨arkertyp in eine differenzspannungsgesteuerte (niederohmige) Spannungsquelle u uhrt werden, besser bekannt als idealisiertes Modell eines Operations¨ berf¨ verst¨arkers (operational amplifier). Beide Verst¨arkertypen beherrschen als (integrierte) Universalverst¨ arker den Markt. F¨ ur die Netzwerkanalyse werden beide Verst¨arker durch gesteuerte Quellen modelliert. Differenzverst¨ arker Zwei gleiche Spannungsverst¨ arker (Verst¨arkung A) ver-

st¨arken nicht nur die Eingangsspannungen (UA = AUE , UA = AUE ), sondern auch ihre Differenz: UAD = UA − UA = A(UE − UE ) = AUED (Abb. 2.7.10a).

2.7

Gesteuerte Bauelemente und ihre Modellierung*

215 Abb. 2.7.10. Prinzip des Differenzverst¨ arkers. (a) Aufbau aus zwei gleichen Einzelverst¨ arkern. (b) Zerlegung einer unsymmetrischen Steuerspannung in eine Differenz- und Gleichtaktspannung

Dazu zerlegt man die Eingangsspannungen UE , UE in ein Differenzsignal UED und ein Gleichtaktsignal UEG (analog das Ausgangssignal) UED =

UE − UE , 2



UE + UE . 2



UEG =

Differenzsignal

(2.7.24)

Gleichtaktsignal

W¨ahrend das (doppelte) Differenzsignal 2UED die tats¨achliche Differenz UD der beiden Eingangsspannungen UE , UE ausdr¨ uckt, kennzeichnet das Gleichtaktsignal als Mittelwert beider Eingangsspannungen die H¨ohe“, um die das ” Differenzsignal aussteuert (bei einer Br¨ uckenschaltung w¨are das etwa die halbe Versorgungsspannung). Abb. 2.7.10b zeigt die Zerlegung der Eingangsspannung. Als typisches Merkmal hat ein Differenzverst¨ arker unterschiedliche Verst¨arur Differenz- und Gleichtaktsignale. kungen ADD bzw. AGG f¨ Am Verst¨arkerausgang treten Differenz- und Gleichtaktspannung UAD , UAG auf. Angestrebt wird ein symmetrisch aufgebauter Verst¨arker: Differenzsignal:

UAD = ADD UED +ADG UEG ,

 erw¨ unscht

Gleichtaktsignal: UAG = AGD UED + AGG UEG .



(2.7.25)

unerw¨ unscht

Beim symmetrisch aufgebautem Verst¨arker erzeugt ein Differenzeingangssignal kein Gleichtaktausgangssignal (ADG = 0) und ebenso ein Gleichtakteingangssignal kein Differenzausgangssignal (AGD = 0). Dann treten nur das verst¨arkte Differenzsignal UAD = ADD UED und das Gleichtaktsignal UAG = AGG UEG auf bzw. die unsymmetrischen Ausgangsspannungen UA bzw. UA (am invertierenden Ausgang) UA = ADD UED + AGG UEG UA = −ADD UED + AGG UEG .

(2.7.26)

216

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

Der Differenzverst¨ arker ist ein symmetrisch aufgebauter Verst¨arker, der Differenzsignale mit großer Differenzverst¨ arkung ADD verst¨arkt, aber Gleichtaktsignale wegen der geringen Gleichtaktverst¨arkung AGG unterdr¨ uckt. ¨ Ublicherweise bezeichnet man die beiden Eing¨ange E, E (Abb. 2.7.10a) als Nichtinvertierender, P- oder (+)-Eingang. Eine angelegte Spannung UP erscheint am Ausgang (UA ) mit gleicher Polung bzw. Phasenlage. Invertierender, N- oder (−)-Eingang. Eine angelegte Spannung UN erscheint am gleichen Ausgang (UA ) umgekehrt bzw. um 180o phasenverschoben. Zwischen den Eingangsklemmen liegt die Differenzspannung UD = UP −UN 49 . Grundschaltung Das Schaltungsmodul

Differenzverst¨arker“ dient als Ein” gangsstufe eines jeden Operations- und Transkonduktanz-Verst¨arkers. Ein Differenzverst¨arker besteht aus zwei identischen Verst¨arkerstufen, im Beispiel mit dem Bipolartransistor in Emitterschaltung in den L¨angszweigen einer symmetrisch aufgebauten Br¨ uckenschaltung (Abb. 2.7.11a). Beide Br¨ ucken-

RC

ΔUA1 y22e UCC

A1

(+)

RC

RC A1

A2

E1

T1

T2

P

ΔUA2 A2

h21eΔIE2

h21eΔIE1 ΔIE1

ΔIE2

P

h11e

RE

ΔUE1 E1,(P)

y22e

E2

h11e ΔUE2

E2,(N)

b UA1

Iq

UA2

RE UE2

UE1

ΔIE

(-)

h11e ΔUEG

UCC

a

P

h21eΔIE 2RE RC

ΔUAG

c

Abb. 2.7.11. Differenzverst¨ arker. (a) Ausf¨ uhrung mit Bipolartransistoren. (b) Kleinsignal-

ersatzschaltung, f¨ ur das Differenzsignal kann der Widerstand RE kurzgeschlossen werden. (c) Kleinsignalersatzschaltung f¨ ur das Gleichtaktsignal 49

Die Festlegung der Eingangsdifferenzspannung erfolgt nicht einheitlich, wir verwenden (aus Symmetriegr¨ unden) UED , in der praktischen Schaltungstechnik ist dagegen UD = UP − UN = 2UED verbreitet.

2.7

Gesteuerte Bauelemente und ihre Modellierung*

217

zweige liegen parallel und werden aus einer gemeinsamen (Emitter-) Stromquelle Iq gespeist. Wegen der Symmetrie f¨ uhren gleiche Eingangsspannungen UE1 , UE2 zu proportionalen Ausgangsspannungen UA1 , UA2 . Bei Gleichtaktaussteuerung (common mode) verursachen die Eingangsspannungen ΔUE1 = ΔUE2 entsprechende Ausgangsspannungen ΔUA1 = ΔUA2 und ihre Differenz verschwindet (UAD = 0). Ursache ist die Teilung des Quellenstromes Iq auf beide Zweige. Soll jeder verst¨ arken, so m¨ usste jeder Teilstrom anwachsen, was nicht geht. Somit unterbleibt die Gleichtaktverst¨ arkung.

Bei Differenzaussteuerung, also ΔUE1 = −ΔUE2 , tritt nur ein Differenzsignal am symmetrischen Ausgang auf. Ursache ist die Verteilung des Stroms im Wechseltakt (→ Stromverteilungssteuerung) auf beide Transistorzweige. Steigt ein Teilstrom, so sinkt der andere. Der Gesamtstrom bleibt immer konstant (bei idealer Stromquelle, ein ev. parallel liegender Widerstand RE l¨ asst ein ausgangsseitiges Gleichtaktsignal zu).

an den unsymmetrischen Ausg¨angen A1, A2 treten hingegen nach Gl. (2.7.26) gemischte Signale nach Masse auf. Die symmetrische Differenzverst¨arkung ADD (Differenzeingang, Differenzausgang) betr¨agt (Abb. 2.7.11) ADD =

ΔUAD y21e y21e =− ≈− = −gm RC . (2.7.27) ΔUED y22e + GC GC Symmetrische Differenzverst¨arkung

Das ist die Spannungsverst¨ arkung der Emitterschaltung mit dem Lastwiderstand RC , dem Zweitorkoeffizienten y21e ≈ gm und vernachl¨assigtem Transistorausgangsleitwert y22e . Diese L¨ osung gilt, weil sich das Potenzial des Fußpunktes P nicht ¨ andert, er gewissermaßen auf Masse liegt“. Deshalb ” arbeitet jeder Transistor in (gew¨ ohnlicher) Emitterschaltung. Die Gleichtaktverst¨arkung AGG ist nach Gl. (2.7.25) das Verh¨altnis der Ausgangsspannung ΔUAG (nach Masse) bezogen auf die Eingangsgleichtaktspannung ΔUEG  ΔUAG RC h21e RC  AGG = =− ≈ − (2.7.28) ΔUEG h11e + (1 + h21e )2RE 2RE 2RE h21e h11e dabei wurde der Innenwiderstand RE der Stromquelle ber¨ ucksichtigt. Er bestimmt die Gleichtaktverst¨ arkung maßgebend. Das Kleinsignalergebnis kommt zustande, wenn man die Schaltung wegen der Symmetrie zun¨ achst teilt (dabei ist der Widerstand RE zu verdoppeln). So entsteht die Kleinsignalersatzschaltung Abb. 2.7.11c. Daf¨ ur kann das Spannungsverh¨ altnis

218

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

ΔUAG /ΔUEG berechnet werden. F¨ ur große Stromverst¨ arkung h21e ist es nur durch Last- und Quellenwiderstand RE bestimmt. (Genauer wirkt dieser Widerstand als Gegenkopplung).

Oft gibt man statt der Gleichtaktverst¨ arkung die Gleichtaktunterdr¨ uckung G (oder CMRR common mode rejection ratio) an und notiert den Wert in Dezibel: G=

ADD −gm RC = −RC = 2gmRE , AGG 2R

CMRR = 20 lg G.

(2.7.29)

E

Werte von G in der Gr¨ oßenordnung von 40 . . . 100 dB sind u ¨ blich. H¨ aufig wird das verst¨ arkte Eingangsdifferenzsignal am Ausgang unsymmetrisch entnommen. Dabei verliert die Standardschaltung die halbe Verst¨ arkung. Abhilfe schafft eine Stromspiegellast (Abb. 2.7.12a). Wird beispielsweise die Eingangsspanahrend er durch T2 im nung an T1 erh¨ oht, so steigt der Kollektorstrom um ΔIC1 , w¨ gleichen Maße sinkt. Der Stromspiegel pr¨ agt die Strom¨ anderung durch T1 in den Knoten A ein, w¨ ahrend der Strom durch T2 ebenfalls zum Knoten hinfließt. Deshalb betr¨ agt der Ausgangsstrom ΔIA = ΔIC1 + ΔIC2 = 2ΔIC1 . Damit bleibt die volle Verst¨ arkung erhalten. Der Knoten A ist hochohmig, weil beide Transistoren mit ihren Kollektoren angeschlossen sind.

Ein Differenzverst¨ arker mit Stromspiegellast (und unsymmetrischem Ausgang) verh¨alt sich wie eine differenzspannungsgesteuerte Stromquelle mit großem Innenwiderstand (Ri = ro1  ro2 = 1/(go1 + go2 )), er stellt den Grundtyp des Steilheitsverst¨arkers dar.

UCC Stromspiegel

1:1

E1

A

(E2)

b

E2

IA

P

Sättigung

ΔUA2

Iq

RE ΔUE2

ΔUE1

UD linearer Bereich

UCC

a

Gm

(A) IA

-

ΔIC2 T2

T1

+ UD

ΔIC1 ΔIA A2

ΔIC1

(E1)

c

Abb. 2.7.12. Transkonduktanzverst¨ arker. (a) als Differenzverst¨ arker mit Stromspiegellast, dadurch verdoppelt sich die Ausgangsstrom¨ anderung. (b) Schaltsymbol eines Steilheitsverst¨ arkers (OTA). (c) Zugeh¨ orige ¨ Ubertragskennlinie

2.7

Gesteuerte Bauelemente und ihre Modellierung*

219

Steilheitsverst¨ arker (Operational transconductance amplifier, OTA)

Der Steilheitsverst¨ arker (OTA) ist ein differenzspannungsgesteuerter Verst¨arker mit ausgangsseitiger Stromquelle ΔIA = SΔUD = Gm ΔUD . Die Steilheit oder Transkonduktanz S kann Werte im Bereich bis zu eini¨ gen A/V erreichen. Abb. 2.7.12b, c zeigt die Ubertragungskennlinie und das Schaltbild mit einem Stromquellensymbol am Ausgang. Der (hochohmige) Ausgang kann symmetrisch (seltener) oder unsymmetrisch (meist) ausgelegt sein. Die Steilheit S l¨ asst sich bei einigen Typen durch den Betriebsstrom einstellen. Vom Operationsverst¨arker unterscheidet sich der OTA durch einen hochohmigen Ausgang und geringere Verst¨arkung, so dass er auch ohne R¨ uckkopplung arbeiten kann. Der Betrieb als Spannungsverst¨ arker erfordert einen großen Lastwiderstand. Das grenzt den Anwendungsbereich ein. Ein nachgeschalteter Spannungsfolger (Spannungsverst¨ arker mit der Spannungsverst¨ arkung Au ≈ 1 und kleinem Innenwiderstand) schafft Abhilfe. Einsatzgebiete sind Filterschaltungen, die Signalverarbeitung und Messtechnik sowie allgemeine Verst¨ arkeraufgaben.

Operationsverst¨ arker Der Operationsverst¨ arker ist ein Gleichspannungsdifferenzverst¨arker mit sehr hoher Verst¨ arkung (bis 106 ). Er dominierr heute die Schaltungstechnik. Historisch geht dieser Verst¨ arker auf Schaltungen f¨ ur R¨ ohrenvoltmeter Ende der 30er/Anfang der 40er Jahre zur¨ uck (allerdings nicht unter diesem Namen, der Begriff Operationsverst¨ arker taucht (noch in R¨ ohrenausf¨ uhrung!) zu Ende der 40er Jahre im Zusammenhang mit der Analogrechentechnik auf. Diskret mit Transistoren aufgebaute Schaltungen finden sich in den 50er Jahren, der erste integrierte Operationsverst¨ arker (μA741) stammt aus dem Jahre 1966.

Operationsverst¨arker sind mehrstufige Gleichspannungsverst¨arker so hoher Differenzverst¨arkung AuD , dass sie etwa als ideale gesteuerte Quelle mit unendlich hoher Verst¨ arkung wirken. Dann bestimmt nur die ¨außere Be¨ schaltung die Ubertragungseigenschaften. Abb. 2.7.13a zeigt Schaltsymbole: neben dem heute u ¨blichen auch noch andere. Der Verst¨arker hat meist einen unsymmetrischen Signalausgang (UA ) (auch symmetrische Ausg¨ ange sind u ur die beiden ¨ blich), ferner Klemmen f¨ Versorgungsspannungen +UB und −UB . Die doppelte Versorgungsspannung erlaubt die Aussteuerung zu positiven und negativen Spannungen und einen Eingang auf der Spannung null. In Schaltpl¨ anen werden die Versorgungsanschl¨ usse meist nicht gezeichnet. Dadurch entsteht der Eindruck, dass die Knotengleichung des Verst¨ arkers bei IN = IP = 0 verletzt ist. Richtig ist vielmehr IB+ + IB− + IA = 0 (Abb. 2.7.13a), denn der

220

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

Ausgangsstrom findet sein Abbild in den Versorgungsstr¨ omen. Folglich muss ein ausgangsseitiger Wechselstrom iA durch den Wandel Wechsel → Gleichstrom u ¨ ber die Versorgungsquellen aufgebracht werden. Die Knotengleichung l¨ asst sich in Verbindung mit Stromspiegelschaltungen in den Zuleitungen auch dazu verwenden, den Ausgang nicht unsymmetrisch, sondern symmetrisch ( schwebend!“) zu gestalten. ”

Die Funktionsbeziehung des unsymmetrischen Operationsverst¨arkers lautet  ADD = ADD UED = (2.7.30) UD . UA = AuD (UP − UN ) = AuD UD 2 Dabei mag offen bleiben, ob die Spannungsverst¨arkung AuD bei unsymmetrischem Ausgang den vollen Wert ADD oder nur den halben umfasst, der Wert ¨ h¨angt vom Schaltungskonzept ab. Abb. 2.7.13b zeigt die Ubertragungsoder Verst¨arkerkennlinie UA (UD ) mit zwei Merkmalen: dem linearen UA ,UD -Zusammenhang im Verst¨arkungsbereich. Die maximale Ausgangsspannung UA liegt knapp (0,5 . . . 1 V) unter der Versor-

UB (+)

IB+

IP (∞)

UD

UN

IA

dU A dU D

IN

UP

idealer Verstärker

UA

+

Usätt

= AuD

UOS

UA

IB-

UA

UD

-USätt

UB

virtueller Kurzschluss ra=0

UD=0

(-)

IP=IN=0

idealer Verstärker

b +UB IB+

P

+ IA

UD

rgl

IB-UB

a

ra

rd

UD UA

N

rgl

AuDUD

UA

AGGUGl

c

Abb. 2.7.13. Operationsverst¨ arker. (a) Schaltbild, Anschl¨ usse und Bezugspunkt. Es gilt IN + IP + IB+ + IB− + IA = 0 ≈ IB+ + IB− + IA = 0. Gleichfalls verbreitetes Schaltzei¨ chen. (b) Ubertragungskennlinie des idealen und realen Operationsverst¨ arkers, zugeh¨ orige Ersatzschaltung des idealen Verst¨ arkers (unendlich hohe Spannungsverst¨ arkung und virtueller Kurzschluss am Eingang). (c) Kleinsignalersatzschaltung f¨ ur Differenz- und Gleichtaktverst¨ arkung

2.7

Gesteuerte Bauelemente und ihre Modellierung*

221

gungsspannung UB . Die zugeh¨ orige Differenzspannung UD ist wegen der extrem hohen Differenzspannungsverst¨ arkung AuD ≈ 104 . . . 106 sehr klein (μV-Bereich). zwei S¨attigungsbereiche f¨ ur |UD | > |UB /AuD |. Die Eingangsspannung ist im Linearbereich so klein, dass die Eingangsklemmen als praktisch kurzgeschlossen betrachtet werden k¨onnen (sog. virtueller Kurzschluss). Das erleichtert die Schaltungsanalyse erheblich (s. u.). ¨ Im Idealfall sollte die Ubertragungskennlinie durch den Koordinatenursprung verlaufen, also ohne Eingangsspannung keine Ausgangsspannung auftreten. Durch innere Unsymmetrie (und Temperatureinfluss) entsteht oft eine Kennlinienverschiebung, die durch eine Offsetspannung UOS (Gr¨ oßenordnung unter 1 mV) modelliert wird. Damit umgekehrt die Ausgangsspannung UA auf null geht, muss die Offsetspannung U = UOS angelegt werden. Eventuelle Eingangsstr¨ ome IN , IP (Gr¨ oßenassigt. Reale Operationsverst¨ arker haben ordnung 10−12 A) werden meist vernachl¨ eine endliche Gleichtaktverst¨ arkung AGG . Dann wird die Ausgangsspannung nach Gl. (2.7.26) ermittelt.

Der Operationsverst¨ arker verst¨ arkt eine Differenzspannung mit sehr hoher Differenzverst¨arkung AuD ( 1), eine Gleichtaktspannung (UP = UN = UGl ) praktisch nicht (AGG  1). Er verh¨ alt sich f¨ ur Differenzspannungen wie eine spannungsgesteuerte Spannungsquelle (mit niedrigem Innenwiderstand ra ). Sein Gesamtverhalten wird wegen der extrem hohen Verst¨arkung haupts¨achlich durch die umgebende Schaltung bestimmt. Bei Bedarf k¨ onnen auf der Eingangsseite noch Eingangswiderst¨ ande rd , rgl f¨ ur die Differenz- und Gleichtaktsignale modelliert werden. Sie sind sehr groß und treten selten in Erscheinung (Abb. 2.7.13c).

Tabelle 2.14 enth¨ alt einige Merkmale realer Operationsverst¨arker, sie kommen den Idealforderungen recht nahe. Die obere Grenzfrequenz der Verst¨arkung AuD spielt erst in Wechselstromnetzwerken eine Rolle.

Tabelle 2.14. Parameter des idealen und realen Operationsverst¨ arkers

Differenzverst¨arkung AuD Gleichtaktunterdr¨ uckung G Differenzeingangswiderstand Gleichtakteingangswiderstand Ausgangswiderstand obere Grenzfrequenz

Ideal

Real

∞ ∞ ∞ ∞ 0 ∞

103 . . . 106 40 . . . 100 dB 104 . . . 106 Ω 104 . . . 106 Ω 10 . . . 100 Ω kHz-Bereich

222

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

Aufbau Der Operationsverst¨arker besteht meist aus drei funktionellen Einheiten (Abb. 2.7.14a): dem Differenzverst¨ arker am Eingang (maßgebend f¨ ur die Unterdr¨ uckung des Gleichtaktsignals bei gleichzeitig hoher Differenzverst¨ arkung). Die nachgeschaltete Stufe verst¨ arkt haupts¨ achlich das Differenzsignal. Bis zu ihrem Ausgang A wirkt die Gesamtanordnung als differenzspannungsgesteuerte Stromquelle, ist also vom Typ des OTA und damit hochohmig. Die nachgeschaltete dritte Stufe mit Spannungsfolgerfunktion sorgt f¨ ur den kleinen Innenwiderstand, den der Verst¨ arker als spannungsgesteuerte Spannungsquelle haben soll. Praktisch wird sie als Gegentaktkollektorschaltung ausgef¨ uhrt mit dem Ergebnis einer spiegelsymme¨ trischen Ubertragungskennlinie. Dazu muss die Vorstufe das Gegentaktsteuersignal bereitstellen. Abb. 2.7.14a zeigt ein einfaches Modell. Am Ausgang der zweiten Stufe steht die Spannung U2 = Gm r0 UD , wenn die Steilheit Gm alle Verst¨ arkung bis zu diesem Knoten erfasst. Die Wandlung in die Spannung U2 erfolgt am Innenwiderstand ro von Stufe 2, also aus Gr¨ unden hoher Verst¨ arkung an einem hochohmigen Knoten“. ” Der anschließende Spannungsfolger beh¨ alt diese Spannung etwa bei, er reduziert aber den Innenwiderstand (Werte einige 10 Ω).

Idealer Verst¨ arker F¨ ur das Verst¨ andnis von Operationsverst¨arkerschaltungen ist ein idealer Operationsverst¨arker“ mit folgenden Eigenschaften hilfreich: ” IP = 0, IN = 0, UP − UN = UD = 0 virtueller Kurzschluss D| (2.7.31) (UD = 0) S¨ attigungs¨aste UA = US¨att |U UD UD = 0, −US¨att < UA < US¨att Sprung¨ ubergang.

¨ Er hat eine sprungf¨ormige Ubertragungskennlinie (Abb. 2.7.13b), wie sie zu Schalteranwendungen dient. F¨ ur Verst¨ arkeranwendungen geh¨ort dazu die Ersatzschaltung mit virtuellem Kurzschluss am Eingang (gestrichelte Verbindung) und einer Ausgangsspannung, die durch das umgebende Netzwerk festliegt. Je nach Vorzeichen der Eingangsspannung springt der Ausgang entweder auf die positive oder negative Versorgungsspannung. Im Grenzfall des Operationsverstärker Folger

OTA P DV

V

Folger

P

A‘ UD

N

ro

UA

N

A‘ ra

UA

AuUA≈UA

GmUD

OTA

a

A

A

UA=GmroUD

b

Abb. 2.7.14. Struktureller Aufbau des Operationsverst¨ arkers. (a) Grundstruktur aus Ope-

rationstranskonduktanzverst¨ arker (OTA) und nachgeschaltetem Spannungsfolger. (b) Zugeh¨ orige idealisierte Kleinsignalersatzschaltung

2.7

Gesteuerte Bauelemente und ihre Modellierung*

223

virtuellen Kurzschlusses mit AuD → ∞ und UD → 0 nimmt die Ausgangsspannung einen Wert unabh¨ angig vom Eingang an, den nur das ¨außere Netzwerk bestimmt! Der ideale Operationsverst¨ arker hat ferner unendlich hohen Eingangswiderstand und sein Ausgangswiderstand verschwindet, wie aus Abb. 2.7.13b ersichtlich. Zur schaltungstechnischen Einbindung des idealen Operationsverst¨arkers stellt man zun¨achst die Netzwerkgleichungen mit dem Modell der spannungsgesteuerten Spannungsquelle (endliche Spannungsverst¨arkung AuD ) auf und f¨ uhrt anschließend den Grenz¨ ubergang AuD → ∞ (UN → UP ) durch (entweder nach Aufstellung der Gleichungen oder in der L¨osung). 2.7.8 Grundschaltungen mit Operationsverst¨ arkern Der Operationsverst¨ arker arbeitet wegen seiner hohen Verst¨arkung durchweg mit R¨ uckkopplung durch Verbindung des Ausganges A direkt (oder u ¨ ber ein Netzwerk) mit den Eing¨ angen P als Mitkopplung (positive R¨ uckkopplung, verst¨arkungserh¨ohend); N als Gegenkopplung (negative R¨ uckkopplung, verst¨arkungssenkend). Abb. 2.7.15 zeigt die beiden typischen Grundschaltungen mit Gegenkopplung: den Umkehr- oder invertierenden Verst¨ arker (Steuergr¨oße am N-Eingang); den Elektrometer- oder nichtinvertierenden Verst¨arker (Steuergr¨oße am P-Eingang, Gegenkopplungsnetzwerk am N-Eingang) mit dem Sonderfall Spannungsfolger. Weitere Grundschaltungen sind beispielsweise Differenzverst¨ arker, Schmitt-Trigger und Zeitglieder.

Wir analysieren zun¨ achst den Einfluss des idealen Verst¨arkers, das Kennlinienverhalten und schließlich die Wirkung des realen Operationsverst¨arkers. 1. Umkehrverst¨ arker (Gegenkopplung, Abb. 2.7.15a). Bei idealem Operationsverst¨arker gilt (wegen der unendlich hohen Verst¨arkung) eingangsseitig virtueller Kurzschluss UN → 0. Deshalb fließt der von der Eingangsspannung Uq verursachte Strom I1 durch R1 und anschließend durch R2 (und nicht zum Massepunkt ab trotz UN → 0!). Dann muss gelten (Abb. 2.7.15a1) I1 =

Uq − UN UN − UA = I2 = . R1 R2

(2.7.32)

224

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

Invertierender Verstärker R1 U N R2

Nicht invertierender Verstärker + UD

UA

UD

Uq

-

Uq

+

UN R2

R1

a

K1 R2

R1

N Uq UD

b

K2

UD

UA

K1 R2

P rd N

ra

rd

Uq

UA

K2 ra UA

R1

P AuDUD

Re

a1

AuDUD

Re

Ra

UA

UA

OP

UAmax

OP

UAmax Uq

UD-

UD+

UD

UD

Arbeitsgerade

Arbeitsgerade

UAmin

UAmin

b2

a2 UA UA(Uq)

R1

Uq

UDUD+

R2

Ra

b1

UA

UAmax

UD-

Sättigung

UD+ UAmin Linearbereich

R2

dU q

dU q

­

UAmax UA(Uq)

dU A

dU A

Uq

Sättigung

R1

UDSättigung

UD+

­

Uq

UAmin Sättigung

Linearbereich

b3

a3

Abb. 2.7.15. Gegengekoppelte Operationsverst¨ arker. (a) Invertierender oder Umkehrverst¨ arker. (a1) Kleinsignalersatzschaltung. (a2) Verst¨ arkerkennlinie und Arbeitsgerade. ¨ (a3) Ubertragungskennlinie, Gesamtverst¨ arkung UA = f (Uq ). (b) Nichtinvertierender oder Elektrometerverst¨ arker. (b1) Kleinsignalersatzschaltung. (b2) Verst¨ arkerkennlinie und Ar¨ beitsgerade. (b3) Ubertragungskennlinie, Gesamtverst¨ arkung UA = f (Uq )

Bei virtuellem Kurzschluss UN → 0 wird daraus R2 UA =− . Uq R1

Umkehrverst¨arker (2.7.33) (idealer Op)

2.7

Gesteuerte Bauelemente und ihre Modellierung*

225

Mit UN → 0 geht der Knoten N auf Potenzial null, ohne dass ein Strom von N nach Masse fließt (IN = 0). Deshalb stellt sich die Ausgangsspannung UA stets so ein, dass der Eingang UN die virtuelle Kurzschlussbedingung erf¨ ullt, also auf Masse“ liegt. ” Die Spannungsverst¨ arkung des Umkehrverst¨ arkers (Name aus Vorzeichenumkehr) h¨angt nur vom Widerstandsverh¨ altnis ab. F¨ ur R1 = R2 erscheint die Eingangsspannung invertiert am Ausgang. Gleichwertige Bezeichnungen sind invertierender Verst¨ arker oder Inverter. Im Prinzip arbeitet die Schaltung als I → U Wandler: die Eingangsspannung Uq wird durch R1 in den Eingangsstrom I1 = Uq /R1 umgesetzt und die anschließende I → U Wandlerschaltung verst¨ arkt ihn auf UA = −I1 R2 .

Zwei Eigenschaften sind bemerkenswert: ausgangsseitig wirkt die Anordnung als ideale (gesteuerte) Spannungsquelle, deshalb verschwindet der Ausgangswiderstand (Ra → 0), der virtuelle Kurzschluss erzwingt den Eingangswiderstand Re = R1 . Kennlinieninterpretation Die Funktion des Umkehrverst¨arkers mit endlicher Verst¨arkung des OPs wird durch zwei Kennlinien bestimmt: die Verst¨arkerkennlinie UA = AuD UD mit UD = UP − UN ; die R¨ uckf¨ uhrungskennlinie UA = −(R1 +R2 )/R1 ·UD −(R2 /Ri )Uq , auch als Arbeitsgerade bezeichnet. Sie folgt aus der Knotenbilanz Gl. (2.7.32) am Knoten N mit UN = −UD . Der Arbeitspunkt ist der Schnittpunkt beider ¨ Kennlinien (Abb. 2.7.15a2). Damit liegt auch die Ubertragungskennlinie UA = f (Uq ) fest (Abb. 2.7.15a3):

 −(R2 /R1 ) R2  UA = ≈−  . Uq 1 + (1 + R2 /R1 )/AuD R1 AuD →∞

(2.7.34)

Gegen¨ uber dem idealen Operationsverst¨ arker mit unendlich hoher Verst¨arkung ist endliche Verst¨arkung AuD durch die Verst¨arkerkennlinie angesetzt, deshalb gibt es keinen virtuellen Kurzschluss mehr (die Eingangsspannung ahert UN ≈ −UA /AuD ], aber nicht null wie oben). UN ist zwar klein [angen¨ F¨ ur sehr große Verst¨ arkung AuD (→ ∞) folgt Gl. (2.7.33). ¨ allt wegen des Vorzeichens ab. Die Die Ubertragungskennlinie UA = f (Uq ) f¨ Proportionalit¨at UA ∼ −Uq gilt im linearen Bereich Uq− ≈ −UAmax /x und Uq+ ≈ −UAmin/x (mit x = R2 /R1 ); außerhalb davon liegt der Verst¨arker in ¨ der Ubersteuerung (S¨ attigung).

226

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

Kleinsignalmodell Im Kleinsignalmodell (Abb. 2.7.15a1) wird der Ausgangswiderstand ra = 1/ga des Verst¨ arkers ber¨ ucksichtigt. Dann gilt f¨ ur die Knoten K1, K2: K1 : G1 (UN − Uq ) + G2 (UN − UA ) = 0 K2 : G2 (UA − UN ) + ga (UA − AuD UD ) = 0

(2.7.35)

mit UD = UP − UN ≡ −UN . Durch Eliminieren der Eingangsspannung UN und Zusammenfassen folgt schließlich R2 (1 − ra G2 /AuD ) UA =− . Uq R1 1 + 1+(1+ra G2 )R2 /R1

Umkehrverst¨arker, (2.7.36) realer Op

AuD

Zwei Schlussfolgerungen sind interessant: ¨ beim Ubergang zum idealen Verst¨ arker AuD → ∞ erh¨alt man Gl. (2.7.33) unabh¨angig vom Ausgangswiderstand ra , f¨ ur ra → 0 folgt Gl. (2.7.34) bei endlicher Verst¨arkung AuD . Im letzten Schritt berechnen wir noch die Ein- und Ausgangswiderst¨ ande. Der agt (von der Spannungsquelle her gesehen) mit I1 = Eingangswiderstand Re betr¨ (Uq − UN )/R1 : Re =

Uq R1 = , I1 1 − UN /Uq

(2.7.37)

G1 (1+G2 ra ) dabei wurde UN /Uq aus Gl. (2.7.35) bemit UUNq = (G1 +G2 )(1+G 2 ra )+G2 (AuD −ra G2 ) rechnet. F¨ ur AuD 1 gilt

Re ≈ R1 +

ra + R1 + R2 . AuD

(2.7.38)

Die Korrektur gegen¨ uber dem Wert R1 des idealen Verst¨ arkers ist gering. Den Ausgangswiderstand Ra = U2l /I2k ermitteln wir mit der Zweipoltheorie: die Leerlaufspannung ist durch Gl. (2.7.36) bekannt. Der Kurzschlussstrom (UA = 0) folgt direkt aus der Schaltung zu I2k =

(1 − R2 ga AuD )Uq R1 + R2

und damit der Ausgangswiderstand U2l UA (R1 + R2 )ra = = I2k „ I2k R (1 + r 2 a G2 ) + R1 (1 + AuD ) « ra R2 ≈ 1+ AuD R1

Ra =

oder als Leitwert Ga =

1 1 + R1 + R2 ra

„ 1+

AuD 1 + R2 /R1

« .

(2.7.39)

2.7

Gesteuerte Bauelemente und ihre Modellierung*

227

Das ist die Parallelschaltung des Gegenkopplungszweiges 1/(R1 + R2 ) mit einem transformierten Leitwert des Verst¨ arkers. F¨ ur AuD → ∞ verschwindet der Ausgangswiderstand Ra , wie erw¨ ahnt.

2. Elektrometerverst¨ arker, nichtinvertierender Verst¨ arker 50 (Abb. 2.7.15b, b1) Die Eingangsspannung Uq (liegt jetzt am Eingang UP und dem UN -Eingang) wird u ¨ ber das Netzwerk R1 , R2 ein Teil der Ausgangsspannung UA zugef¨ uhrt. So herrscht Gegenkopplung. Bei idealem Operationsverst¨arker f¨ uhrt der Abgriffspunkt am Spannungsteiler R1 , R2 wegen des virtuellen Kurzschlusses UP = UN die Spannung Uq (so folgt der invertierende Eingang praktisch der Eingangsspannung Uq ). Deshalb betr¨agt die Spannungsverst¨ arkung R1 + R2 R2 UA = =1+ . Uq R1 R1

Elektrometerverst¨arker (2.7.40) (idealer OP)

Die Spannungsverst¨ arkung des nichtinvertierenden Verst¨arkers h¨angt (bei idealem Operationsverst¨ arker) nur vom Widerstandsverh¨altnis des Gegenkopplungszweiges ab. Stets hat die Ausgangsspannung das Vorzeichen der Eingangsspannung. Bemerkenswert sind die nichtinvertierende Verst¨arkung, ferner: ausgangsseitig ihre Wirkung als ideale (gesteuerte) Spannungsquelle. Deshalb verschwindet ihr Widerstand (Ra → 0), durch den virtuellen Kurzschluss ist Eingangswiderstand Re = Rst gleich dem Widerstand der Steuerstrecke, hier also unendlich groß (leistungslose Steuerung). Kennlinieninterpretation Ausgangspunkte sind die Verst¨arkerkennlinie UA = AuD UD und R¨ uckf¨ uhrungskennlinie UA = −(1+R2 /R1 )UD +(1+R2 /R1 )Uq . Sie folgt aus UN = −UD +Uq und UN = UA R1 /(R1 +R2 ) (Abb. 2.7.15b2). Der Schnittpunkt beider Kennlinien ist der Arbeitspunkt. Wird UD eliminiert, so verbleibt (Abb. 2.7.15b3)  UA 1 + R2 /R1 UA  R2 = mit =1+ . (2.7.41)  Uq 1 + (1 + R2 /R1 )/AuD Uq AuD →∞ R1 ¨ Die Ubertragungskennlinie UA = f (Uq ) des Elektrometerverst¨arkers unterscheidet sich vom Umkehrverst¨ arker u. a. durch das Vorzeichen der Steigung

50

Der Begriff Elektrometerverst¨ arker stammt vom hochohmigen Eingang.

228

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

dUA /dUq (differenzielle Spannungsverst¨arkung). Beim idealen Operationsangt sie nur vom Gegenkopplungsnetzwerk ab! verst¨arker (AuD → ∞) h¨ Der Sonderfall R1 → ∞ (oder besser R2 → 0, Direktverbindung) heißt Spanarkung ≤ 1) nungsfolger mit UA ≤ Uq (Spannungsverst¨  1 UA  Spannungsfolger UA = ≤ 1 mit = 1. (2.7.42) (idealer OP) Uq 1 + 1/AuD Uq AuD →∞ Kleinsignalmodell Auch hier wird im Kleinsignalmodell Abb. 2.7.15b1 der arkers ber¨ ucksichtigt ebenso wie ein Ausgangswiderstand ra = 1/ga des Verst¨ Eingangsleitwert gd (zwischen UP und UN ) zum einfacheren Aufstellen der Knotengleichungen K1 und K2: K1: (G1 + G2 + gd ) U1 − G2 U2 = gd Uq K2: (−G2 + AuD ga ) U1 + (ga + G2 ) U2 = ga AuD Uq . Dabei gilt UD = Uq − U1 . Mit U2 = UA folgt durch Eliminierung von U1 als Spannungsverst¨ arkung (f¨ ur gd = 0) UA 1 + R2 /R1 = . Uq 1 + (1 + (R2 + ra ) /R1 ) /AuD

(2.7.43)

Das Ergebnis unterscheidet sich von Gl. (2.7.41) nur durch den ver¨anderten Widerstand im Nenner (R2 → R2 + ra ). Der Eingangswiderstand bleibt unendlich hoch. Der Ausgangswiderstand wird wieder mit der Zweipoltheorie bestimmt aus der eben berechneten Ausgangsleerlaufspannung und dem Kurzschlussstrom I2k = AuD U1 /ra . Die Rechnung f¨ uhrt auf das Ergebnis Gl. (2.7.39) wie beim invertierenden Verst¨arker. Besonders stark sinkt der Ausgangswiderstand beim Spannungsfolger: dann geht Gl. (2.7.39) f¨ ur R1 → ∞ u ¨ ber in Ra =

U2l UA ra ra = = . ≈ I2k I2k (1 + AuD ) AuD

(2.7.44)

Der geringe Innenwiderstand begr¨ undet, zusammen mit dem extrem hohen Eingangswiderstand (ideal → ∞), die Anwendung als Trennverst¨arker zur Entkopplung von Schaltungsteilen. Im Idealfall geht der Ausgangswiderstand gegen null, weil ausgangsseitig eine ideale gesteuerte Spannungsquelle liegt. 3. Schmitt-Trigger, nichtinvertierend OP-Schaltungen mit (starker) Mitkopplung werden oft als Schmitt-Trigger bezeichnet (Abb. 2.7.16). Im Unterschied zum gegengekoppelten Verst¨ arker ist das R¨ uckkopplungsnetzwerk jetzt zwischen Ausgang und dem P-Eingang geschaltet.

2.7

Gesteuerte Bauelemente und ihre Modellierung*

Nicht invertierender Schmitt- Trigger R1 R2 E A

Invertierender Schmitt- Trigger E

-

A

UD

+ Uq

229

UD

UA

+

Uq

UA

R3

R4

b

a Uq

UA UAmax

P3

Uq

UA P2

UAmax

P1

instabil

instabil

UD

UD P4

P1

UAmin

P3

b1

UA

P3

UAmax

UA

P2

P4 R2 R1

UAmin

Uamax

P1 R4

­

R3

UD

fallende Kennlinie

P4

UAmin

P2

Arbeitsgeraden

Arbeitsgeraden

a1

P4

P1

a2

UD

fallende Kennlinie

P2

UAmin

­

P3

b2

Abb. 2.7.16. Mitgekoppelte Operationsverst¨ arker (Schmitt-Trigger). (a) Nichtinvertieren-

der Schmitt-Trigger durch Mitkopplung. (a1) OP-Kennlinie und Arbeitsgerade, stabile und instabile Arbeitspunkte. (a2) Gesamtverst¨ arkung, Entstehung der Schalthysterese. (b) Invertierender Schmitt-Trigger durch Mitkopplung eines nicht invertierenden OP’s. (b1) OP-Kennlinie und Arbeitsgerade, stabile und instabile Arbeitspunkte. (b2) Gesamtverst¨ arkung, Schalthysterese. In Abb. (a2), (b2) wurde der auftretende fallende Kennlinienbereich angedeutet

Der Arbeitspunkt liegt durch die Verst¨ arkerkennlinie UA = f (Uq ) und die Arbeitsgerade des Netzwerkes fest. Sie folgt aus der Knotenbilanz in P: −G1 Uq + (G1 + G2 )UP − UA G2 = 0. Mit UD = UP wird daraus UA =

R1 + R2 R2 UD − Uq R1 R1

(2.7.45)

als Gleichung der Arbeitsgeraden UA = f (Uq , UD ) (Abb. 2.7.16a1). Jetzt gibt es u. U. Arbeitsbereiche mit drei Schnittpunkten, von denen der mittlere achst instabil ist. W¨ achst Uq von kleinen Spannungen ausgehend, so stellt sich zun¨

230

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

ein Schnittpunkt im negativen S¨ attigungsbereich ein. Schließlich springt UA von P1 nach P2 . L¨ auft dagegen Uq nach kleinen Werten, dann springt UA letztlich von P3 nach P4 . Deshalb hat der Zusammenhang UA = f (Uq ) Hystereseverhalten (wobei die Kennlinie von P1 nach P3 als fallender Bereich durchgezeichnet werden kann, Abb. 2.7.16a2). Durch Mitkopplung entsteht ein fallender Kennlinienbereich als Ursache der Kennlinienhysterese. 4. Schmitt-Trigger, invertierend In diesem Fall liegt die Eingangsspannung Uq am N-Eingang, das mitkoppelnde Netzwerk aber am P-Eingang (Abb. 2.7.16b1). Die Kennlinie des Mitkopplungsnetzwerkes lautet UA = (1 + R4 /R3 )UD + (1 + R4 /R3 )Uq .

(2.7.46)

ur bestimmte Zusammen mit der Verst¨ arkungskennlinie UA = f (UD ) gibt es dann f¨ Parameterwerte Uq wieder Bereiche mit drei Schnittpunkten, von denen der innere instabil ist. Steigt Uq , so springt die Spannung UA bei P1 auf −UA , umgekehrt erfolgt bei abnehmender Spannung Uq ein Sprung bei P2 um +UA . Auch hier stellt sich Hysterese mit eingeschlossener fallender Kennlinie ein (Abb. 2.7.16b2). Wir erkennen zusammenfassend: bei Gegenkopplung ist die Steigung der Arbeitskennlinie UA = f (UD ) immer negativ, bei Mitkopplung immer positiv; bei sehr hoher Verst¨ arkung (virtueller Kurzschluss) bestimmt nur das Netz¨ werk das Ubertragungsverhalten, durch Mitkopplung lassen sich fallende Kennlinienbereiche erzeugen, die allerdings in einer Hysterese verborgen sein k¨ onnen. Die folgenden Anwendungsf¨ alle nutzen die Zusammenschaltung eines Operationsverst¨ arkers mit einem Energiespeicherelement, dem Kondensator. Jetzt treten zeitver¨ anderliche Spannungen auf. Wir behandeln sie hier vorbereitend zur Unterstreichung des Netzwerkeinflusses, im Bd. 3 folgt die ausf¨ uhrlichere Diskussion aus der Sicht dynamischer Netzwerke. 5. Differenzierschaltung Wird im Gegenkopplungsnetzwerk einer der beiden Widerst¨ ande durch ein Energiespeicherelement ersetzt, so arbeitet die Verst¨ arkerschaltung als sog. Zeitglied und kann zum Differenzieren oder Integrieren einer Spannung dienen. Beim Differenzierglied (Abb. 2.7.17a) wird der Widerstand R1 (Abb. 2.7.15a) durch einen Kondensator mit der Strom-Spannungs-Relation iC = C(duC /dt) ersetzt. Dann folgt statt Gl. (2.7.33) f¨ ur den idealen Operationsverst¨ arker (mit R2 = R) C und virtuellem Kurzschluss am N-Eingang iC = iR → C du = − uRA oder dt uA (t) = −RC

duq . dt

Differenziererschaltung (2.7.47)

Beim Differenzierglied ist die Ausgangsspannung das (negative) Differenzial der Eingangsspannung.

2.7

Gesteuerte Bauelemente und ihre Modellierung*

Integrator

Differenzierer i1

uq

C uN

uD

R

i2

-

231

i1

uA

R

uq

+

uC C uD

Rücksetzen

i2 uA

+

a

b

Abb. 2.7.17. Analoge Differenziation und Integration mit Operationsverst¨ arker. (a) Diffe-

renzierschaltung. (b) Integratorschaltung

6. Integrierschaltung, Integrator Bei Ersatz des Widerstandes R2 in Abb. 2.7.15a durch einen Kondensator l¨ adt der Eingangsstrom i1 = uq /R den Kondensator um. Da die Ausgangsspannung wegen des virtuellen Kurzschlusses der Kondensatorspannung entspricht, wird sie zum Integral u ¨ ber die Eingangsspannung (Abb. 2.7.17b) 1 uA = − RC

Zt

uq (t )dt + UA (t0 ).

Integratorschaltung (2.7.48)

t0

Der letzte Term ist der sog. Anfangszustand: n¨ amlich die Spannung, auf die der Kondensator beim Beginn des Anlegens der Spannung aufgeladen war. Damit ein definierter Anfangszustand entsteht (z. B. UA (t0 ) = 0), wird er durch Entladen r¨ uckgesetzt“: man schließt ihn einfach kurz. ” Beim Integrator ist die Ausgangsspannung das (negative) Integral der Eingangsspannung. Integratoren sind sehr verbreitet (z. B. Gewinnung einer Dreieckspannung aus einer Rechteckspannung, Aufbau von Filterschaltungen, Realisierung von elektronischen Induktivit¨ aten u. a.).

232

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

Selbstkontrolle Kapitel 2.1 . . . 2.4

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

17. 18. 19.

20.

21.

Was bedeutet der Begriff Grundstromkreis, welche Elemente enth¨alt er? Erl¨autern Sie die Begriffe Strom-Spannungs-Beziehung und Kennlinie. Erl¨autern Sie die Begriffe: ideale bzw. reale Strom- und Spannungsquelle (Kennlinie, Ersatzschaltungen). Erl¨autern Sie den Grundstromkreis (Strom-Spannungs-Beziehung, Kennlinie, Einfluß eines ver¨ anderbaren Außenwiderstandes, Anpassung). Erl¨autern Sie folgende Begriffe Strom-Spannungs-Beziehung und Kennlinie des aktiven/passiven Zweipols. Was versteht man unter dem Begriff Arbeitspunkt? Welche Kenngr¨ oßen hat ein aktiver Zweipol und wie k¨onnen sie ermittelt werden? Welche Ersatzschaltung des aktiven/passiven Zweipols gibt es (Skizze, Gleichungen), was bedeutet Erzeuger- und Verbraucherpfeilsystem. Wie lassen sich resistive Zweipole nach dem Strom-Spannungs-Verhalten unterteilen? Nennen Sie Beispiele f¨ ur nichtlineare Widerst¨ande. Was versteht man unter einem negativen Widerstand? Wie ist der Temperaturkoeffizient des Widerstandes definiert? Wie a¨ndert sich der Widerstand von Heiß- und Kaltleitern mit steigender Temperatur? Was versteht man unter Supraleitung? Wie lauten die Ersatzwiderst¨ ande (Leitwerte) f¨ ur die Reihen- bzw. Parallelschaltung von n Widerst¨ anden? Richtiges ankreuzen: Bei der Parallelschaltung von Widerst¨anden ist der Gesamtwiderstand kleiner als der kleinste, gr¨oßer als der gr¨oßte Widerstand? Ist der Gesamtleitwert der Reihenschaltung kleiner als der kleinste bzw. gr¨oßer als der gr¨ oßte Leitwert? Wie lauten die Spannungs- und Stromteilerregeln? (Beispiel angeben) Unter welchen Voraussetzungen gelten sie? Ein Strom-(Spannungs-)-messer (Widerstand Rm ) soll im Messbereich um einen Faktor 10 erweitert werden. Was ist jeweils zu tun (Erl¨auterung) ? Im Grundstromkreis soll der Strom bzw. die Spannung am Außenwiderstand mit einem Instrument (Widerstand Rm ) gemessen werden. Wie muss der Instrumentenwiderstand jeweils gew¨ahlt werden, welcher Fehler entsteht? Was muss gelten, wenn der Messfehler kleiner als 1% sein soll? Was versteht man unter der Zweipoltheorie, wie kann sie angewendet werden. Gilt sie auch bei nichtlinearen Netzwerkelementen?

2.7

Gesteuerte Bauelemente und ihre Modellierung*

233

22. Erl¨autern Sie das Prinzip einer Br¨ uckenschaltung. 23. Erl¨autern Sie den Leistungsumsatz im linearen Grundstromkreis, was bedeutet Anpassung? 24. Was versteht man unter einer Kompensationsschaltung? (Beispiel angeben) Kapitel 2.5

1. 2. 3. 4. 5.

Nennen Sie nichtlineare aktive Zweipole, wie gehen sie aus linearen aktiven Zweipolen hervor? Welche Elemente kann ein nichtlinearer Grundstromkreis enthalten, gilt die Anpassbedingung Ri = Ra ? Wie wird der Arbeitspunkt eines nichtlinearen Grundstromkreises bestimmt? Wie verh¨alt sich der Kreis bei Kleinsignalbetrieb (was besagt Kleinsignalsteuerung, wo tritt sie auf)? Man veranschauliche an einer Diodenkennlinie den Begriff differenzieller ” Widerstand“! Wie groß ist er im Nullpunkt?

Kapitel 2.6

1. 2.

Welche Gleichungssysteme beschreiben ein lineares Zweitor (Beispiele)? Wie lauten die Zweitorgleichungen in Leitwert- und Widerstandsform? Welche Bedeutung haben die Parameter, wie k¨onnen sie bestimmt werden? Welchen Einfluß hat die Richtung des Ausgangsstromes? ¨ 3. Nennen Sie drei Ubertragungsgr¨ oßen von Zweitoren (Erl¨auterung). 4. Wie entstehen aus den Leitwertparametern die Widerstandsparameter? 5. Erl¨autern Sie die Begriffe Kleinsignalparameter“ und Kleinsignalaus” ” steuerung“ eines Zweitores. 6. Was bedeutet der Begriff gesteuerte Quelle“, welche Formen (mit Er” satzschaltungen) gibt es? 7. Was ist bei der Zweipoltheorie bei gesteuerten Quellen im Grundstromkreis zu beachten? 8. Skizzieren Sie Ersatzschaltungen des allgemeinen Zweitors in Leitwertund Widerstandsdarstellung. 9. Welche Bedingungen erf¨ ullt ein Zweitor bei Widerstandssymmetrie Umkehrbarkeit, und R¨ uckwirkungsfreiheit? 10. Welche Arten der Zweitorzusammenschaltung gibt es, was ist zu beachten? ¨ 11. Was versteht man unter Eingangswiderstand, Ubertragungsund Stromu autern Sie die Begriffe mit den ¨ bertragungsfaktor eines Zweitors? Erl¨ Widerstands- und Leitwertformen der Zweitorgleichungen.

234

2. Einfache resistive Stromkreise und Netzwerkelemente

12. Geben Sie typische Elementarzweitore mit zugeh¨origen Zweitorparametern an. W¨ahlen Sie die T- oder π-Schaltung als Ausgang. Kapitel 2.7

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

14. 15. 16.

Erl¨autern Sie die Entstehung einer nichtlinearen Diodenkennlinie, warum ist sie richtungsabh¨ angig? Erl¨autern sie das Funktionsprinzip eines Bipolartransistors, welche Aufgabe hat der Basisraum? Unter welcher Arbeitspunktbedingung verst¨arkt ein Bipolartransistor? Erl¨autern Sie das Verst¨ arkungsprinzip. Wie kann der Bipolartransistor auf einfache Weise modelliert werden? Wie entsteht die Ausgangskennlinie, was dr¨ uckt sie aus? Welche Grundschaltungen hat ein Bipolartransistor, wie unterscheiden sie sich? Erl¨autern Sie die Zweitordarstellung des Bipolartransistors (Emitterschaltung, Gr¨ oßenordnung der Elemente). Welche Netzwerkelemente muss ein Verst¨arkermodell wenigstens haben, wie lautet die Zweitordarstellung? Erl¨autern Sie das Prinzip des Differenzverst¨arkers. Was ist ein OTA (Funktionsprinzip, Ersatzschaltung)? Was ist ein Operationsverst¨ arker, wie unterschiedet er sich vom OTA? (Ersatzschaltung, typische Parameter). Welche Eigenschaften hat ein Operationsverst¨arker und in welchen typischen Schaltungen wird er verwendet? Was versteht man unter virtuellem Kurzschluss, wie unterscheidet er sich vom gew¨ohnlichen Kurzschluss? Welche Folgen hat er f¨ ur die Netzwerkanalyse? Welche Ersatzschaltung hat ein realer Verst¨arker, wie kann daraus ein idealer Verst¨ arker entwickelt werden? Zeigen Sie den Unterschied zwischen einem Umkehr- und einem Elektrometerverst¨arker mit endlicher Differenzverst¨arkung. Wie arbeitet eine Integratorschaltung?

Kapitel 3 Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

3

3

3 3.1 3.1.1 3.1.2 3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5 3.3 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4 3.3.5 3.3.6 3.3.7 3.3.8 3.4 3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 3.5 3.5.1 3.5.2 3.6 3.6.1 3.6.2 3.6.3 3.6.4 3.6.5

Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen . . . . Netzwerkbeschreibung .......................................... Netzwerkgleichungen ............................................ Zweigstromanalyse............................................... Maschenstromanalyse ........................................... Maschenstr¨ome................................................... Maschenwiderstandsmatrix..................................... Erweitere Maschenstromanalyse* ............................. Maschenstromanalyse in Matrixform ......................... Maschenstromanalyse in nichtlinearen Netzwerken........ Knotenspannungsanalyse ....................................... Knotenspannungen, Knotenleitwertmatrix .................. Erweiterte Knotenspannungsanalyse* ........................ Modifizierte Knotenspannungsanalyse* ...................... Knotenspannungsanalyse in Matrixform .................... Unbestimmte Knotenleitwertgleichungen.................... Knotenspannungsanalyse und Zweipolparameter* ......... Netzwerkanalyse mit Operationsverst¨arkern ............... Knotenspannungsanalyse von nichtlinearen Netzwerken* Netzwerkanalyse in Matrixdarstellung* ...................... Netzwerke, Graph und Inzidenzmatrizen .................... Schleifenanalyse .................................................. Schnittmengenanalyse .......................................... Zusammenh¨ange, Vergleiche................................... Computerunterst¨ utzte Netzwerkanalyse ..................... Numerische Auswertung ........................................ Schaltungssimulation ............................................ Mehrpolige Netzwerke* ......................................... Str¨ome und Spannungen an Mehrpolen ..................... Zusammenschaltung von Mehrpolen ......................... Mehrtore .......................................................... Torgruppierung .................................................. Klemmenmanipulationen .......................................

237 237 238 247 250 251 256 263 268 269 270 271 282 291 292 293 296 298 303 304 305 314 316 322 326 327 332 341 341 345 355 359 363

3 Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen Lernziel Nach Durcharbeit dieses Kapitels sollten beherrscht werden die Kirchhoffschen Gesetze und das Aufstellen der vollst¨ andigen Gleichungen eines resistiven Netzwerkes, die Maschenstromanalyse, Maschenwiderstandsmatrix, Erweiterungen, die Knotenspannungsanalyse, Knotenleitwertmatrix, Erweiterungen, topologische Grundlagen von Netzwerken, die Begriffe Graph, Baumkomplement, vollst¨ andiger Baum, Verst¨ andnis topologischer Matrizen, Grundlagen der rechnergest¨ utzten Analyse von Netzwerken, die Matrixdarstellungen der Netzwerkgrundgleichungen, Schleifen- und Schnittmengenanalyse, Einbezug von Operationsverst¨ arkern in die Netzwerkanalyse, Mehrpolnetzwerke, Aufbau, Umgang, Einsatz zur Netzwerkanalyse. Umwandlungsmethoden von Mehrpolen, Polmanipulationen.

3.1 Netzwerkbeschreibung ¨ Die bisher betrachteten Netzwerke hatten nur wenige Knoten und Ubersicht

Zweige. Moderne Schaltungen sind nat¨ urlich komplexer: sie umfassen viele Bauelemente (bis zu mehreren 100 Millionen) und diese u ¨berdecken das gesamte Spektrum, außer Widerst¨ anden und Quellen auch Kondensatoren, Spulen, Dioden u. a. m. Dabei ist eine Schaltung (circuit) die widerstandslose Verbindung von Bauelementen u ¨ber (Anschluss-) Knoten (terminal nodes) so, dass Uml¨aufe (loops) entstehen und Str¨ ome fließen k¨onnen. Eine Schaltung wird zum Netzwerk beim Austausch ihrer Bauelemente durch zugeh¨orige Modelle – die Netzwerkelemente (NWE). Ein elektrisches Netzwerk ist ein mathematisches Modell aus Netzwerkelementen (mit definiertem U, I-Verhalten), die in bestimmter Weise, der Topologie, u ¨ ber Knoten zu Maschen verbunden sind. Ein Netzwerk enth¨ alt gew¨ ohnlich Quellen- und Verbraucherelemente verbunden durch Verbindungsleitungen und Schalter zur zeitweiligen Unterbrechung des Stromflusses. Die reale Schaltung findet sich in dem Maße wieder, wie es gelingt, die Bauelemente durch Netzwerkelemente mehr oder weniger gut zu modellieren“. ”

S. Paul, R. Paul, Grundlagen der Elektrotechnik und Elektronik 1 DOI 10.1007/978-3-540-69078-8, © Springer 2010

3.1

238

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

Die Analyseaufgabe eines Netzwerkes besteht darin, einige oder alle Zweigstr¨ome und -spannungen numerisch oder symbolisch auf Grundlage der Kirchhoffschen Gleichungen, der U, I-Beziehungen der Netzwerkelemente und ggf. von Anfangswerten zu finden. Dabei soll sich die symbolische Handanalyse auf nur wenige Gleichungen beschr¨ anken und f¨ ur die rechnergest¨ utzte Analyse (numerisch, z. T. symbolisch) ein formalisierter Ablauf erkennbar sein. Zahlreiche Computerprogramme (MATLAB, MATHCAD, SPICE etc.) u aufe. ¨ bernehmen solche Abl¨

Eine Analyse umfasst grunds¨ atzlich folgende Schritte (Tabelle 3.1): 1.

2. 3.

4.

Gewinnung des Netzwerkes: Ersatz der Bauelemente durch Netzwerkelemente, Analysevorbereitungen: Benennung und Bemessung der Elemente, Ersatz von Schaltungsteilen, Knoten-/Maschenbezeichnung, Z¨ahlpfeile. Hilfreich kann eine Normierung der Netzwerkgr¨oßen sein. Wahl des L¨osungsverfahrens abh¨ angig von Problemstellung, Schaltungsumfang, Nichtlinearit¨ aten und Hilfsmitteln (Hand-, Computerl¨osung). Durchf¨ uhrung der Analyse durch Anwendung der Kirchhoffschen Gesetze, Netzwerkelementbeziehungen und L¨ osung des Gleichungssystems, Nutzung vereinfachter Verfahren. Diskussion der L¨osung durch zweckm¨ aßige Vereinfachungen, ggf. R¨ uckeinsetzen u. a. m.

3.1.1 Netzwerkgleichungen Grundlage der Analyse eines Netzwerkes mit z Zweigen, k Knoten und m unabh¨angigen Maschen, gegebenen Quellen und den U, I-Zweigbeziehungen der Netzwerkelemente (NWE) sind die Kirchhoffschen Gesetze f¨ ur Momentanwerte der Str¨ ome und Spannungen  Knotensatz iν (t) = 0 Geschlossene Oberfl¨ ache Maschensatz uν (t) = 0 (3.1.1) Geschlossene Knotenfolge

Zweigbeziehungen uν = f (iν ). Der Knotensatz wurde dabei gegen¨ uber Gl. (1.4.5) auf ein geschlossenes Volumen erweitert: die algebraische Summe der Str¨ ome durch die H¨ ullfl¨ ache muss zu jedem Zeitpunkt verschwinden. Der Maschensatz wurde gegen¨ uber Gl. (1.5.9) auf die vorzeichenbehaftete Summe von Zweigspannungen l¨ angs eines Umlaufs (geschlossene Folge von Knoten) zu jedem Zeitpunkt erweitert.

3.1

Netzwerkbeschreibung

239

F¨ ur die z unbekannten Zweigstr¨ome und Zweigspannungen, also 2z Gr¨oßen, stehen als vollst¨andiges Kirchhoffsches Gleichungssystem bereit p=k−1 unabh¨ angige Knotengleichungen m = z − (k − 1) unabh¨ angige Maschengleichungen z u, i-Beziehungen der Zweigelemente.

(3.1.2)

Der L¨osungsaufwand sinkt beim reduzierten Kirchhoffschen Gleichungssystem auf die halbe Zahl der zu l¨ osenden Gleichungen (z), wenn entweder alle Str¨ome in den Knotengleichungen (Zweigspannungsanalyse) oder alle Spannungen in den Maschengleichungen (Zweigstromanalyse) durch die Zweigbeziehungen ersetzt werden. Diese Verfahrensweise gilt unabh¨ angig von der Netzwerkerregung f¨ ur lineare und nichtlineare, zeitabh¨ angige und zeitunabh¨ angige Netzwerkelemente. Tabelle 3.1. Netzwerkanalyseverfahren

Netzwerk  z Zweige, k Knoten

?

Kirchhoffsche Gleichungen

? Zweigstromanalyse z unabh. Zweige, z Gleichungen (k − 1) unabh. Knoten (z − k + 1) unabh. Maschen L¨ osung nichtlinear linear

?

Vereinfachungen

s ? Grundstromkreis (Sonderfall)

?

Zweipoltheorie

? Zweitortheorie

lineare NWE nichtlineare NWE Theoreme: ¨ Uberlagerung Quellenwandlung (-versetzung, -teilung) Umkehrbarkeit Miller-Theorem NW-Umwandlung (Stern-Dreieck, Reihe-/Parallel) Zusammenfassung v. Netzwerkteilen

 ? Maschenstromanalyse (z − k + 1) Gleichungen Knotenspannungsanalyse (k − 1) Gleichungen

? weitere Verfahren: modifizierte Knotenspannungsanalyse Schleifen-, Schnittmengenanalyse Sparse-Tableau-Analyse

240

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

Die z linear unabh¨ angigen Gleichungen unterteilen sich in (k − 1) linear unabh¨angige Knoten- und m linear unabh¨ angige Maschengleichungen. Linear unabh¨angig heißt dabei, dass eine Gleichung nicht durch die Linearkombination aus anderen Gleichungen herleitbar ist. Tabelle 3.1 stellt die typischen Netzwerkanalyseverfahren zusammen. Abh¨ angig von der Erregung gelten grunds¨ atzliche Aussagen u ¨ ber das zu erwartende Gleichungssystem: 1. 2.

3.

4.

5.

In Gleichstromnetzwerken spielen energiespeichernde Netzwerkelemente (Kondensator, Spule) keine Rolle und lineare NWE f¨ uhren zu linearen Gleichungen. Netzwerke mit zeitver¨ anderlicher Erregung (d/dt = 0) und Energiespeicherelementen ergeben immer sog. Integro-Differenzialgleichungen. Sie enthalten Integrale und Differenziale der Ver¨ anderlichen. Bei linearen (zeitunabh¨ angigen) NWE sind das gew¨ ohnliche Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten (s. Bd. 3). Bei station¨ arer Sinuserregung und linearen NWE spricht man von Wechselstromschaltungen. Dann gibt es f¨ ur Punkt 2. vereinfachte L¨ osungsverfahren, die sog. komplexe Rechnung und es m¨ ussen nur algebraische Gleichungen gel¨ ost werden (s. Bd. 3). Nichtlineare Netzwerkelemente (z. B. Dioden, Transistoren, Spule mit Eisenkern) f¨ uhren auf nichtlineare Gleichungssysteme. Sie k¨ onnen nur im Zeitbereich gel¨ ost werden, durchweg mit Computerhilfe. Impulsf¨ ormig erregte Netzwerke, besser bekannt als Schaltverhalten, sind ein besonderes Anwendungsfeld (Digitaltechnik, digitale Signalverarbeitung). Dort werden die Netzwerkgleichung entweder direkt oder mit Hilfe von Transformationen (Fourier-, Laplace-) gel¨ ost (s. Bd. 3).

Entscheidend f¨ ur die Anwendung der Kirchhoffschen Gesetze ist die Gewinnung der notwendigen (und ausreichenden) Gleichungen f¨ ur die gesuchten Gr¨oßen. Oft besteht die Gefahr, Gleichungen f¨ ur abh¨angige Gr¨oßen mit aufzustellen. Sichere Kriterien f¨ ur die erforderliche Gleichungszahl entnehmen wir der Netzwerkstruktur oder Topologie. Zur Senkung des L¨osungsaufwandes dienen auch Hilfsvariablen, n¨ amlich der Schleifen-, Maschen- oder Umlaufstrom, der (durch seine Definition) die Knotengleichung automatisch erf¨ ullt. So entf¨allt ihre L¨osung und es sind nur noch die m Umlaufstr¨ ome (→ Maschengleichungen) zu berechnen. Das Verfahren heißt Maschenstromanalyse, ihre umfassendere Form Schleifenanalyse. das Knotenpotenzial oder die Knotenspannung. Seine Definition erf¨ ullt jede Maschengleichung automatisch und so sind nur noch (k − 1) Knotenspannungen zu ermitteln. Das ist die Knoten- oder Knotenspannungsanalyse bzw. Schnittmengenanalyse in verallgemeinerter Form.

3.1

Netzwerkbeschreibung

241

Beide Verfahren erlauben die systematische und automatisierte Aufstellung der Gleichungen. So eignen sie sich zur rechnergest¨ utzten Netzwerkanalyse. Gr¨oßere Netzwerke werden ausschließlich mit der Matrizenrechnung analysiert; sie ist auch die Grundlage f¨ ur Simulationsprogramme. Im Kap. 3.5 vertiefen wir diese Probleme. Wenn Maschenstrom- und Knotenspannungsverfahren auch weniger Aufwand erfordern, so bestimmen sie doch alle (nicht nur die gesuchten!) Zweiggr¨ oßen. Sucht man nur eine Zweiggr¨ oße, so bietet sich die Zweipoltheorie (ggf. in Verbindung mit ¨ dem Uberlagerungssatz) als aufwands¨ armstes Verfahren an. Auch die R¨ uckf¨ uhrung eines gr¨ oßeren Netzwerkes auf ein Zweitor kann eine hilfreiche Alternative sein.

Begriffe Wir stellen einige Netzwerkbegriffe voran:

Knoten: Punkt (Klemme, node), in dem zwei oder mehrere Netzwerkelemente widerstandslos miteinander verbunden sind. Praktisch spricht man nur bei Stromverzweigung von einem Knoten. Gleichwertige graphentheoretische Bezeichnung: Ecke (vertex). Mehrere widerstandslos verbundene Knoten bilden nur einen Knoten. Zweig: Verbindung zweier Knoten durch ein zweipoliges Netzwerkelement. Gleichwertige graphentheoretische Bezeichnung: Kante (edge). Jedem Zweig entspricht ein Knotenpaar: es ist mit ihm inzident. Verallgemeinert kann ein Zweig auch mehrere (beliebige), vom gleichen Strom durchflossene Netzwerkelemente umfassen. Schleife: kontinuierliche Folge von Zweigen, die in einem Knoten beginnt und dort wieder endet und keinen Knoten mehr als einmal durchl¨auft. Gleichwertig: Umlauf, geschlossener Weg (loop). Masche: Schleife eines ebenen Graphen, in dessen Innern sich kein anderer Zweig befindet oder gleichwertig: spezielle Schleife, die keine anderen Schleifen (mesh) einschließt1 . Graph: Abstrakte Beschreibung der Netzwerkstruktur (Zahl der Knoten, Lage und Zahl der Zweige) durch Knoten und Linien statt der Zweige. Im Kap. 3.4 vertiefen wir diese Begriffe.

Unabh¨ angige Knoten und Maschen Die Eigenschaften eines Netzwerkes wer-

den von den Netzwerkelementen und der Netzwerkstruktur oder -topologie bestimmt. Das ist die Art ihrer Zusammenschaltung. Sie wird auch als Ger¨ ust“ ” 1

Im deutschen Sprachgebrauch wird h¨ aufig nicht zwischen Schleife und Masche unterschieden. Deshalb versteht man unter einer Masche auch einen u ¨ ber mehrere Zweige gelegten geschlossenen Umlauf.

242

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

bezeichnet und zeichnerisch durch den Streckenkomplex (graph) ausgedr¨ uckt. Die Beschreibung kann gleichwertig durch eine topologische Matrix erfolgen. Der Graph erfasst die Netzwerkzweige unabh¨ angig vom physikalischen Inhalt (Netzwerkelemente). Jeder Netzwerkzweig wird durch eine Strecke oder Kante dargestellt. Mehrere Strecken sind in Punkten, den Knoten oder Ecken miteinander verbunden. Der Netzwerkgraph beschreibt die Verbindung der Netzwerkelemente durch Abstraktion der Netzwerkgeometrie. Jedem Knoten im Graphen entspricht ein Knoten im Netzwerk und jeder Verbindungslinie ein Zweig zwischen zwei Knoten. Er ist Grundlage der Zahl unabh¨ angiger Knoten- und Maschengleichungen und kann durch topologische Matrizen (sog. Inzidenzmatrizen) mathematisch beschrieben werden. Dabei werden Zweipolelemente durch einen und Zweitorelemente durch zwei Zweige ersetzt, ideale Spannungsquellen durch einen Zweig ersetzt, ideale Stromquellen im Graphen ein Leerlauf ersetzt (Aufschneiden)2 . Haben die Zweige noch den Bezugssinn positiver Zweigstr¨ome und Zweigspannungen (bestimmt durch das jeweilige Netzwerkelement), so entsteht der gerichtete Graph (directed graph, digraph) oder orientierte Streckenkomplex. Weil ideale Spannungs- bzw. Stromquellen durch einen kurzgeschlossenen bzw. leerlaufenden Zweig dem inneren Widerstand entsprechend ersetzt werden, verschiebt man sie zweckm¨ aßig durch Quellenverschiebung oder -teilung in Zweige mit endlichen Widerst¨ anden.

Abb. 3.1.1a zeigt ein Netzwerk mit z = 6 Zweigen und k = 4 Knoten und dem zugeordneten gerichteten Graphen (Zweigstr¨ ome) in Abb. b. Die reale Stromquelle Iq , R6 erscheint als ein Zweig bestimmt durch den Widerstand R6 . W¨ahrend k−1 unabh¨angige Knoten dem Netzwerk direkt entnommen werden, ist die Bestimmung der m = z−(k−1) unabh¨angigen Maschen schwieriger. Es gibt daf¨ ur mehrere Verfahren: den vollst¨andigen Baum, die Auftrennmethode und das Fenstermaschenverfahren. Vollst¨ andiger Baum, Baum- und Verbindungszweige Ein Netzwerkgraph ent-

h¨alt stets Maschen (sonst kein Stromfluss). Ihre Zahl l¨asst sich durch schritt-

2

Das widerspricht der Vorstellung vom Strom als ununterbrochenem Band.

3.1

Netzwerkbeschreibung

K1

I2

I5

R5

R2

K2

I1

I3

K3

5

R4

K2

K1

I6

I4 R1

R3

243

R6

6

4

1

K3

3

2 Iq

Uq1

K4 K4

b

a Baumkomplement

Verbindungszweig

5 K1

M3 K2 M1

2

K3 K1

M1

M2

vollständiger Baum K4

c

M3 K2 M2

M3 K2

K3 K1

K4

K4

d

K3

M2

M1

6

e

Abb. 3.1.1. Netzwerk mit zugeh¨ origem Graph. (a) Netzwerk. (b) Gerichteter Graph. (c)

Vollst¨ andiger Baum und Baumkomplement. (d) Linienf¨ ormiger Baum zwischen den Knoten K1 und K3. (e) Sternbaum; Knoten K4 ist Bezugsknoten

weise Entfernung von Zweigen verkleinern. So entsteht schließlich ein Streckenkomplex, der vollst¨andige Baum, mit folgenden Eigenschaften: 1. 2. 3.

alle Knoten sind direkt oder indirekt miteinander verbunden, wird ein weiterer Zweig entfernt, so geht Merkmal 1. verloren, es treten keine Uml¨ aufe auf.

Ausgehend von einem beliebigen Knoten wird dann jeder andere Knoten nur u ¨ ber einen Weg auf dem vollst¨andigen Baum erreicht. Ein Netzwerk hat i. a. mehrere vollst¨andige B¨ aume. Zwangsl¨ aufig folgt: Ein vollst¨andiger Baum (tree) ist ein Teilgraph, der keine Uml¨aufe besitzt und alle Knoten des Ausgangsgraphen miteinander verbindet. In einem Netzwerk mit k Knoten hat der vollst¨ andige Baum insgesamt k − 1 Zweige. Es gibt damit zwei Arten von Zweigen: die k − 1 Zweige des vollst¨ andigen Baumes, auch Baumzweige oder Baum¨aste genannt (in Abb. 3.1.1c dick gezeichnet), die u ¨brigen m = z − (k − 1) Verbindungs- oder Maschenzweige, die nicht zum vollst¨andigen Baum geh¨ oren (in Abb. 3.1.1c gestrichelt eingetragen). Sie bilden das Baumkomplement oder den Komplement¨arbaum (sog. Kobaum).

244

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

Das Baumkomplement bildet als Gesamtheit aller Verbindungszweige das System unabh¨angiger Zweige. Jeder Verbindungszweig geh¨ort genau zu einer Schleife (Masche), die nur aus diesem Verbindungszweig und Zweigen des vollst¨andigen Baumes besteht. Eine solche Schleife heißt Fundamentalschleife (unabh¨angige Masche). Davon gibt es m = z − (k − 1). Besondere vollst¨ andige B¨ aume sind die mit linienf¨ormiger Struktur (Abb. 3.1.1d) und der Sternbaum (Abb. 3.1.1e) mit einem Bezugsknoten (datum node), in dem alle Baumzweige enden. Auffinden des vollst¨ andigen Baumes Ein Netzwerk mit k Knoten und z Zwei-

 z  Zweigkombinationen. Zum Auffinden der Zweige, die gen erlaubt k−1 einen vollst¨andigen Baum bilden, werden alle Zweigkombinationen systematisch variiert. Dazu erhalten die Zweige Nummern, z. B. 1, 2, 3 usw. F¨ ur das Netzwerk Abb. 3.1.1a mit z = 6 Zweigen und k = 4 Knoten gibt es insgesamt  6 3 = 20 Zweigkombinationen. Werden davon die Kombinationen abgezogen, die Maschen, und damit keine vollst¨ andigen B¨aume bilden, so verbleiben 16 unterschiedliche vollst¨ andige B¨ aume entsprechend 16 Gleichungssystemen f¨ ur jeweils m = z − (k − 1) = 3 unabh¨ angige Variable aus den Str¨omen I1 . . . I6 . Allgemein hat ein Netzwerk mehrere vollst¨ andige B¨aume. Praktisch beginnt man den Baum an einem Knoten, verbindet u ¨ ber einen Zweig zum Nachbarknoten usw. solange, bis alle k Knoten verkn¨ upft sind. Der vollst¨andige Baum umfasst k − 1 Zweige. Die restlichen m Zweige sind die Verbindungszweige. Wird jeder Verbindungszweig u ¨ ber den vollst¨andigen Baum zu einer Masche/Schleife erg¨ anzt, so entsteht eine unabh¨angige Masche/Schleife. Abb. 3.1.1c zeigt einen vollst¨ andigen Baum (k − 1 = 3 Zweige) und das Baumkomplement mit drei Verbindungszweigen. Es lassen sich drei unabh¨angige Maschen M1 . . . M3 finden. Auch f¨ ur den linienf¨ormigen Baum (Abb. 3.1.1d) gibt es drei unabh¨ angige Maschen M1 . . . M3, ebenso f¨ ur den Sternbaum (Abb. 3.1.1e) mit gemeinsamen Bezugsknoten K4 (grunds¨atzlich kann jeder der vier Knoten als Bezugsknoten eines Sternbaumes gew¨ahlt werden). Der zweckm¨ aßigste vollst¨ andige Baum bestimmt den L¨osungsaufwand (s. u.). ¨ Auftrennmethode Das Verfahren beruht auf der Uberlegung, dass eine Masche dann unabh¨ angig ist, wenn sie wenigstens einen Zweig enth¨alt, der in vorherigen Maschen nicht enthalten war. Man w¨ahlt einen Maschenumlauf und kennzeichnet den Zweig, der nicht Teil einer neuen Masche sein darf (zweckm¨ aßig auftrennen),

3.1

Netzwerkbeschreibung

245

wiederholt den Vorgang solange, bis kein Umlauf mehr m¨oglich ist. Abb. 3.1.1d zeigt ein Beispiel: man beginnt mit Masche M2, trennt Zweig 6 auf, setzt mit Masche M3 fort, trennt Zweig 5 auf, formuliert Masche M1 und trennt Zweig 2 auf. Weitere Uml¨ aufe k¨ onnen nicht gebildet werden. Fenstermaschenmethode Der vollst¨ andige Baum wird so aufgestellt, dass

fensterartig nebeneinander liegende Maschen entstehen (Abb. 3.1.2b). Sie f¨ uhren zum Fundamentalsystem unabh¨angiger Maschen. Voraussetzung ist ¨ allerdings ein ebener“ Graph (ohne Uberkreuzungen). Das so erhaltene Glei” chungssystem muss nicht unbedingt das g¨ unstigste f¨ ur die Aufgabenstellung sein. Planares Netzwerk Ein planares Netzwerk hat einen ebenen Graphen. Er l¨asst sich ¨ in einer Ebene ohne Uberkreuzungen zeichnen. Nur wenn es (ev. durch Umzeich¨ nen) nicht gelingt, alle Uberkreuzungen zu beseitigen, liegt ein nichtplanarer Graph vor. F¨ ur vollst¨ andige N -Ecke (jeder der N Knoten durch Zweige mit jedem anderen Knoten verbunden) gilt: N -Ecke mit N ≤ 4 sind planar, mit N ≥ 5 nichtplanar. Bei planaren Netzwerken k¨ onnen statt der Schleifen ausreichend viele Maschen gefunden werden. Wird in jeder unabh¨ angigen Masche ein Maschenstrom eingef¨ uhrt, so entf¨ allt die Baumsuche. Bei ebenen Netzwerken kann es vorkommen, dass es vollst¨ andige Systeme unabh¨ angiger Maschen gibt, die kein Maschenfundamentalsystem bilden. Abb. 3.1.2a zeigt einen Graph mit f¨ unf Fenstermaschen Sie bilden ein vollst¨ andiges System unabh¨ angiger Maschen: es gibt aber keinen vollst¨ andigen Baum, zu dem dieses Maschensystem als Fundamentalsystem passt. So m¨ ussten beispielsweise f¨ ur Masche M5 drei der Zweige 1 . . . 4 zum vollst¨ andigen Baum geh¨ oren. Dann kann aber eine der ¨ außeren Maschen nicht Fundamentalmasche sein. Deshalb gibt es keinen vollst¨ andigen Baum, zu dem dieses Maschensystem als Fundamentalsystem geh¨ ort. Dann gilt der Satz Im ebenen Graphen bilden die (inneren) Fenstermaschen ein vollst¨ andiges System unabh¨ angiger Maschen.

M1

K1

K2

M1

K4

K3

K2 M2

M3

M4

I1 M4

I4

M5

I2

M2

K1

b

I3

a

K4

M3

K3

M1

c

K3

K2 M2

K4 M3

M4

K1

Abb. 3.1.2. Spezielle Graphen. (a) System unabh¨ angiger Maschen, das sich der Baumsuche widersetzt. (b) Vollst¨ andiger Baum einer viermaschigen Kettenschaltung. (c) Vollst¨ andiger linienf¨ ormiger Baum einer viermaschigen Kettenschaltung

246

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

Abb. 3.1.2b zeigt einen Graph mit nur unabh¨ angigen Maschen M1 . . . M4 (das kann der Graph einer Kettenschaltung sein). Nur benachbarte Maschen sind verkoppelt. F¨ ur die gleiche Schaltung kann aber auch ein System unabh¨ angiger Schleifen M1 . . . M4 gew¨ ahlt werden (Abb. 3.1.2c). Jetzt sind in den Baumzweigen der Masche M1 alle unabh¨ angigen Schleifenstr¨ ome u ¨ berlagert, was zu einem Gleichungssystem mit mehr von null verschiedenen Koeffizienten f¨ uhrt. Dagegen u ¨ berlagern sich in jedem Baumzweig des Graphen Abb. 3.1.2b nur zwei Maschenstr¨ ome, wodurch der Aufwand sinkt. In der Maschenanordnung Abb. 3.1.2b ist Knoten K1 zugleich Bezugsknoten. Deshalb reduziert ein sternf¨ ormiger vollst¨ andiger Baum meist den L¨ osungsaufwand. Grunds¨ atzlich kann ein vollst¨ andiger Baum beliebig ausgew¨ ahlt werden, doch sollte man beachten: Baum so legen, dass einfache Uml¨ aufe entstehen, Stromquellen in Verbindungszweige legen, Spannungsquellen in Baumzweigen anordnen (sie treten im Gleichungssystem allerdings nur einmal auf, wenn sie in Verbindungszweigen liegen), sind nicht alle Str¨ ome gesucht, so sollte ein Baum gew¨ ahlt werden, in dem gesuchte Str¨ ome in Verbindungszweigen fließen (direkte L¨ osung nach den Unbekannten), spannungsgesteuerte Quellen sollten nur durch Baumzweigspannungen gesteuert werden, stromgesteuerte Quellen sollten durch Str¨ ome in Verbindungszweigen gesteuert werden.

Analyseverfahren Die folgenden Analyseverfahren nutzen die Erkenntnisse dieses Abschnittes: Aufsuchen linear unabh¨ angiger Variabler mit dem vollst¨andigen Baum, die jeweils nur in einem Zweig des Graphen auftreten. Das sind

in den z − (k − 1) Verbindungszweigen die Verbindungszweigstr¨ome, in den k − 1 Baumzweigen die Baumzweig- oder Astspannungen, die k − 1 Knotenspannungen, die den Baumzweigspannungen zugeordnet werden k¨onnen. Dann gilt: die m Verbindungszweigstr¨ ome, fortgesetzt je als Schleifen- bzw. Maschenstrom, der jeweils in einer der m Fundamentalschleifen oder Fundamentalmaschen fließt oder die k−1 Baumzweig- resp. Knotenspannungen bilden je ein vollst¨andiges, d. h. linear unabh¨ angiges System von Strom- bzw. Spannungsvariablen. Deshalb sind die Verbindungszweigstr¨ ome die Grundlage des Schleifen- bzw. Maschenstromverfahrens und die Baumzweig- bzw. Knotenspannungen die

3.1

Netzwerkbeschreibung

247

Basis der Schnittmengen- oder Knotenspannungsanalyse. Beide Ans¨atze beruhen auf Transformationen der Unbekannten. Wir betrachten zun¨ achst die Maschenstrom- und Knotenspannungsverfahren, die ohne Baumsuche3 auskommen und verallgemeinern anschließend zur Schleifen- und Schnittmengenanalyse. 3.1.2 Zweigstromanalyse Allgemeiner Netzwerkzweig In einem Netzwerk mit unabh¨ angigen Quellen und Widerst¨anden (gesteuerte Quellen und gekoppelte Spulen zun¨achst ausgeschlossen) besteht der allgemeine Zweig zwischen den Knoten i und j aus der Reihenschaltung von Widerstand R und Spannungsquelle Uq , zus¨atzlich kann eine Stromquelle Iq parallel liegen (Abb. 3.1.3a). L¨angs des Zweiges f¨allt die Zweigspannung Uz ab und es fließt der Zweigstrom Iz in einen Zweigknoten hinein und zum anderen wieder heraus. Die festgelegten Richtungen der Quellengr¨oßen erfordern gegen¨ uber dem Grundstromkreis (s. Kap. 2.4) z. T. Vorzeichenkorrekturen in den Analysegleichungen.

Uz = Rz (Iz + Iqz ) − Uqz Iz = Gz (Uz + Uqz ) − Iqz

mit Rz = 1/Gz .

Netzwerkzweig (3.1.3)

Bei verschwindenden Quellengr¨ oßen wird der Netzwerkzweig zum Zweigwiderstand Rz 4 . Gew¨ohnlich besteht folgende Aufgabe: In einer Schaltung mit gegebenen Strom- und Spannungsquellen, z Zweigen und k Knoten sind bestimmte Uz

Uz Iz

Iz Rz

Rz,,Gz

Uqz

Iqz

Iqz

a

Uqz

b

Abb. 3.1.3. Allgemeiner Netzwerkzweig. (a) Verbraucherz¨ ahlpfeilsystem. (b) Erzeugerz¨ ahl-

pfeilsystem

3

Weil ihnen Fenstermaschen bzw. ein Sternbaum als spezielle Graphen zugrunde liegen.

4

Der Index z weist auf die Zweiggr¨ oße hin, er entf¨ allt, wenn der Unterschied zwischen Zweiggr¨ oßen und anderen Gr¨ oßen, wie Maschenstrom und Knotenspannung, nicht besonders hervorgehoben werden soll.

248

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

Zweigstr¨ome oder -spannungen gesucht. Wir l¨osen sie mit den Kirchhoffschen Gleichungen. Die Analyse beginnt mit der Festlegung unabh¨angiger Gr¨oßen. Die k − 1 unabh¨angigen Knotengleichungen werden direkt ausgew¨ahlt. Die m = z − k + 1 unabh¨angigen Maschengleichungen finden wir am schnellsten, wenn man eine Masche, f¨ ur die die Maschengleichung aufgestellt wurde, an beliebiger Stelle auftrennt (entfernen des Zweiges, Kreuz im Zweig) und f¨ ur die n¨achste Masche einen weiteren Umlauf (also ohne Trennstelle) sucht, solange, bis keine geschlossenen Uml¨ aufe mehr m¨ oglich sind. L¨ osungsmethodik Zweigstromanalyse F¨ ur die systematische Anwendung der

Zweigstromanalyse empfiehlt sich: 1.

2.

3. 4. 5.

Fortlaufende Nummerierung der Zweige und Netzwerkelemente, Festlegung der Richtung der Zweigstr¨ ome und Eliminierung der Zweigspannungen u ¨ ber die U, I-Beziehung der Netzwerkelemente. Auswahl der k − 1 Knoten und m = z − (k − 1) unabh¨angigen Maschen. Kennzeichnung der Knoten (K1, . . . ,K(k − 1)) und unabh¨angigen Maschen (M1, . . . ,Mm) durch Ringpfeil in gew¨ahlter Umlaufrichtung (zweckm¨aßig Uhrzeigersinn). Aufstellung der unabh¨ angigen Knoten- und Maschengleichungen mit Einschluss der U, I-Beziehungen der Netzwerkelemente. L¨osung des Gleichungssystems nach den z Unbekannten. ¨ Uberpr¨ ufen der Ergebnisse durch zweckm¨ aßige Vereinfachungen, Sonderf¨alle, Diskussion und R¨ uckeinsetzen.

Wir beschr¨anken uns auf die Punkte 1–4. Zur Senkung des L¨ osungsaufwandes 1. 2.

3.

Netzwerk so zusammenfassen, dass m¨ oglichst wenige Variable auftreten (reihenoder parallelgeschaltete Elemente zusammenfassen). Vereinfachung quellenloser Netzwerkteile durch unabh¨ angige Recheng¨ ange. So entsteht ein Netzwerk mit weniger Maschen und Knoten. Methoden: Reihenund Parallelschaltung von Elementen, Stern-Dreieck-Umwandlung, Quellenver¨ schiebung, Anwendung des Uberlagerungssatzes. Oft vereinfacht sich das Netzwerk durch Umwandlung von Strom- in Spannungsquellen (und umgekehrt) und Zusammenfassen.

F¨ ur bis zu 4 Unbekannten ist die direkte L¨osung der Gleichungen noch m¨oglich, dar¨ uber empfiehlt sich die Anwendung der Matrizenrechnung mit rechnergest¨ utzter L¨ osung oder der Einsatz von Simulationsprogrammen.

3.1

Netzwerkbeschreibung

249

Beispiel 3.1.1 Reduzierte Kirchhoffsche Gleichungen Es ist die Schaltung in Abb. 3.1.4 zu analysieren. Erforderlich sind mit z = 3 Zweigen und k = 2 Knoten insgesamt eine Knoten- und zwei unabh¨ angige Maschengleichungen zur Berechnung der Str¨ ome I1 . . . I3 . Die Spannungsabf¨ alle in den Maschengleichungen werden u ¨ ber die Elementbeziehungen durch die Str¨ ome ausgedr¨ uckt: K1 : I1 + I2 − I3 = 0 (1) } ff M 1 : R1 I1 + R3 I3 = Uq1 (2) M 2 : −R2 I2 − R3 I3 = Uq2 (3)

k − 1 = 1 Gleichung z − (k − 1) = 2 Gleichungen.

(Strom in Gl. (1) hinfließend +, wegfließend −). Zur L¨ osung des Stromes I3 werden die Str¨ ome I1 und I2 eliminiert: I3 =

Uq1 G1 − Uq2 G2 . 1 + R3 (G1 + G2 )

Diskussion F¨ ur R3 → 0 darf I1 und I2 nur noch von der Spannungsquelle in der ur R3 → ∞ muss betreffenden Masche abh¨ angen: I1 = Uq1 /R1 , Iq2 = Uq2 /R2 , f¨ I1 = −I2 = (Uq1 − Uq2 )/(R1 + R2 ) gelten, da eine einfache Masche vorliegt.

Systematische Zweigstromanalyse, Matrixdarstellung Spaltenweises Ordnen

der Kirchhoffschen Gleichungen nach den Zweigstr¨omen I1 . . . I3 ergibt folgendes Schema: Gleichung I1 I2 I3 Quellenspannung Knoten +1 +1 −1 0 R3 Uq1 Masche 1 R1 0 Masche 2 0 −R2 −R3 Uq2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ I1 0 +1 +1 −1 ⎝ R1 0 R3 ⎠ · ⎝ I2 ⎠ = ⎝ Uq1 ⎠ . 0 −R2 −R3 I3 Uq2       Koeffizientenmatrix

Spaltenmatrix d. Str¨ ome

(3.1.4)

Spaltenmatrix d. Quellen

Die links stehende Koeffizientenmatrix ist quadratisch, da stets so viele Gleichungen (∼ Zeilen) wie Unbekannte (Spalten, Str¨ ome) auftreten. Die Koeffizienten sind entweder ±1 (herr¨ uhrend von den Knotengleichungen) oder Widerst¨ ande (herr¨ uhrend von den Maschengleichungen). Nicht vorhandene Terme erhalten den Eintrag 0. Die einzelnen Zeilen bilden genau die einzelnen Gleichungen ab. I1 I1R1 Uq1

R1 M1

I2

K1 I3 R3

I3R3

R2

I2R2

M2

Uq2 K2

Abb. 3.1.4. Beispiel zur Zweigstromanalyse

250

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

Die Spaltenvektoren enthalten die Str¨ ome und Quellenspannungen. Die Multiplikation der Matrizen ergibt das Ausgangsgleichungssystem. Der Vorteil der Schreibweise Gl. (3.1.4) besteht u. a. darin, dass die Matrix der Schaltung entnommen werden kann. F¨ ur ein lineares Netzwerk gilt: 1.

2.

3.

In Knotengleichungen stehen als Matrixelemente entweder +1, (−1) oder null, je nachdem, ob der betreffende Strom zum Knoten hin -(weg)- fließt oder nicht vorhanden ist (0). Die Maschengleichungen enthalten als Matrixelemente in der jeweiligen Zeile den Widerstand, der von dem zur Spalte geh¨ origen Strom durchflossen wird [Vorzeichen +(−), wenn Maschenumlaufrichtung und Stromrichtung u ¨ bereinstimmen (nicht u atze haben den Eintrag null. ¨ bereinstimmen)]. Leere Pl¨ In der Spaltenmatrix der Quellengr¨ oßen stehen die Quellenspannungen (positiv, wenn Maschenumlauf und Quellenrichtungssinn entgegengesetzt orientiert und umgekehrt) bzw. die Quellenstr¨ ome (negativ, wenn zum Knoten hin gerichtet und umgekehrt).

Die Matrixdarstellung Gl. (3.1.4) repr¨ asentiert ein lineares Gleichungssystem. Es kann, abh¨ angig von der Netzwerkgr¨oße, von wenigen Unbekannten bis zu einigen Tausend f¨ ur große Netzwerke reichen. Dann sind numerische Auswertungen erforderlich. Das Zweigstrom-/bzw. Zweigspannungsverfahren ist uneingeschr¨ankt anwendbar, auch f¨ ur nichtlineare Netzwerke.

3.2

3.2 Maschenstromanalyse Einf¨ uhrung Der Analyseaufwand beim Zweigstromverfahren sinkt durch Ein-

f¨ uhrung von Hilfsvariablen, die entweder die Knoten- oder die Maschengleichung automatisch (durch ihre Definition) erf¨ ullen. Dann entf¨allt die Aufstellung dieser Gleichungen. Hilfsvariable sind beim Maschenstromverfahren die Maschenstr¨ome und beim Knotenspannungsverfahren die Knotenspannungen (Kap. 3.3). Das Maschenstromverfahren benutzt f¨ ur die Maschenstr¨ome die Fundamentalmaschen und/oder Fenstermaschen, das Knotenspannungsverfahren die Baumzweige eines Sternbaumes. Deshalb kommen beide ohne Baumsuche aus. Zur Erh¨ ohung der Anwendungsflexibilit¨ at werden beim Maschenstromverfahren h¨ aufig auch Schleifen einbezogen (es mutiert damit in Strenge zum Schleifenverfahren, das eine Baumfestlegung erfordert). Wir behalten in diesem Abschnitt die Bezeichnung Maschenstromverfahren“ bei, ber¨ ucksichtigen aber schon das Aufstellen ” von Schleifengleichungen. Erst bei der matrixorientierten Darstellung (Kap. 3.4.1) trennen wir zwischen Schleifen- und Schnittmengengleichungen und diskutieren

3.2

Maschenstromanalyse

251

dann die Vereinfachungen, die zum Maschenstrom- und Knotenspannungsverfahren f¨ uhren.

Beide Methoden haben bestimmte Voraussetzungen. So erlauben Schleifenstr¨ ome keine Stromquellen und Baumzweigspannungen keine Spannungsquellen. Diese Bedingungen stammen von der Unvertr¨aglichkeit mit den eingef¨ uhrten Unbekannten. Sie werden sp¨ ater entsch¨arft (Supermaschen-, Superknotenkonzept). 3.2.1 Maschenstr¨ ome Ein Netzwerk mit z Zweigen und k − 1 Knoten hat m unabh¨angige Maschen. Bei der Maschenstrom- oder kurz Maschenanalyse (mesh analysis) wird in jeder unabh¨angigen Masche ein Maschenstrom Im (Symbolindex m, Masche) als Unbekannte eingef¨ uhrt. Er fließt als Umlaufstrom nur in einer unabh¨angigen Masche. Seine Richtung wird frei gew¨ahlt und durch einen Ringpfeil ausgedr¨ uckt. Abb. 3.2.1a zeigt den Unterschied zwischen Zweig- und Maschenstrom (am Beispiels des Netzwerkes Abb. 3.1.1). Zweigstr¨ ome sind physikalisch existent, also messbar. Dagegen ist der Maschen-/Schleifenstrom der Strom im Verbindungszweig der betreffenden unabh¨ angigen Masche /Schleife und kann nur dort gemessen werden, sonst nicht (deswegen Rechengr¨ oße“). ” Umgekehrt lassen sich die Zweigstr¨ ome (Str¨ome in den Zweigen des vollst¨andigen Baumes) durch die algebraische Summe der zugeh¨origen Maschen-/ Schleifenstr¨ ome ausdr¨ ucken). Zweigströme (Messgrössen)

I5

K1 M1

I2 K2

K3

Im1

Im2 I4

I1

a

Im3 I M3 3

Im3

K2

K2 K3

K3 K1

K1

Im2

Im1

Im2 Im1

M2

I6 K4

K4 Maschenströme Im I1=Im1 I2=Im1-Im3 I4=Im1-Im2

K4

Im3

b

c

Abb. 3.2.1. Zum Maschenstrombegriff. (a) Definition des Maschenstromes. (b) Netzwerk-

graph mit Fenstermaschen. (c) Anderer vollst¨ andiger Baum, es treten auch Schleifenstr¨ ome auf

252

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

Zum Netzwerk der Abb. 3.2.1a wurde in Abb. 3.2.1b ein Sternbaum angegeben (Bezugsknoten K4). Abb. 3.2.1c zeigt einen anderen Graphen des gleichen Netzwerkes. Jetzt tritt ein Schleifenstrom auf, dessen Festlegung einen Baum erfordern w¨ urde (hier nicht wegen Einfachheit). Ein Oberbegriff f¨ ur beide Str¨ome ist der Umlaufstrom“. ” Im Netzwerk mit z Zweigen und k Knoten bilden die m = z −k+1 Maschen/Schleifenstr¨ome ein vollst¨ andiges System unabh¨angiger Zweigstr¨ome. Sie erf¨ ullen die k − 1 Knotengleichungen automatisch. Weil f¨ ur die Maschenstr¨ ome5 nur noch Maschengleichungen aufzustellen sind, wird schon eine Voraussetzung des Verfahrens sichtbar: die U, I-Relationen der Zweige m¨ ussen nach den Spannungen aufl¨osbar sein. Deshalb d¨ urfen im Netzwerk nur unabh¨ angige oder stromgesteuerte Spannungsquellen auftreten, keine Stromquellen (unabh¨ angige und gesteuerte). Ideale Stromquellen sind beim Grundverfahren deshalb nicht zul¨ assig, weil die Spannung u ome ausgedr¨ uckt werden kann. Ande¨ber der Quelle nicht durch Str¨ rerseits w¨ urde eine ideale Stromquelle als Verbindungszweig aber automatisch den zugeh¨ origen Maschenstrom festlegen, m. a. W. muss diese Maschengleichung nicht aufgestellt werden. Diesen Ansatz nutzt sp¨ ater die Erweiterung auf Stromquellen (s. Kap. 3.2.3).

Damit ergibt sich f¨ ur ein lineares Netzwerk mit nur unabh¨angigen Spannungsquellen die L¨ osungsmethodik Maschenstromanalyse

1. 2. 3.

4. 5.

Ermittlung der Zahl unabh¨ angiger Maschen m (z. B. nach der Methode des vollst¨andigen Baumes oder anderer Verfahren). Einf¨ uhrung eines Maschenstromes in jeder unabh¨angigen Masche mit beliebiger Umlaufrichtung. Aufstellen der Maschengleichung (ΣU = 0) f¨ ur jede unabh¨angige Masche (in Umlaufrichtung des Maschenstromes). Spannungsabf¨alle u ¨ber den Netzwerkelementen durch Maschenstr¨ome ausdr¨ ucken. Darstellung der gesuchten Zweigstr¨ ome durch ihre Maschenstr¨ome. Aufl¨osung des Gleichungssystems 3. nach den Maschenstr¨omen, die gem¨aß 4. erforderlich sind.

Schritt 4 und 5 reduzieren sich auf einen Maschenstrom, wenn der betreffende Zweig als unabh¨ angiger Zweig gew¨ ahlt wird: dann ist der gesuchte Zweigstrom zugleich Maschenstrom. 5

Wir sprechen k¨ unftig nur noch von Maschenstr¨ omen, aus dem Kontext ergibt sich, ob ein Maschen- oder Schleifenstrom vorliegt.

3.2

Maschenstromanalyse

253

Hinweis: Zu 1. Nach der Anschauung oder der Methode des vollst¨ andigen Baumes (Aufzeichnen des Streckenkomplexes, Nummerierung der Zweige, Eintragen des Bezugssinnes der Zweigstr¨ ome und Spannungsquellen mit Richtung) oder der Fenstermaschenmethode B¨ aume so aufstellen, dass die gesuchten Str¨ ome in den Zweigen des Komplement¨ arbaumes auftreten (Rechenvereinfachung). Spannungsquellen in Verbindungszweigen kommen nur einmal (d. h. in einer Gleichung) vor. Zu 3. Zweckm¨ aßig schematische Anordnung der m Maschengleichungen (Zeilen) und m Maschenstr¨ ome (Spalten): in der Hauptdiagonalen des Gleichungssystems stehen die Umlaufwiderst¨ ande, als Nebendiagonalelemente die Koppelwiderst¨ ande (s. u.); das Gleichungssystem ist symmetrisch, wenn nur die Grundelemente R, C, L (und gekoppelte Spulen) vorkommen. Zweckm¨ aßig schreibt man zuerst den Spannungsabfall durch den Maschenstrom der betreffenden Masche und dann, geordnet nach den Maschenstr¨ omen der Nachbarmaschen, die dadurch erzeugten Spannungsabf¨ alle (Vorzeichen s. Abb. 3.2.2); bei Fenstermaschen und gleichen Umlaufrichtungen aller Maschenstr¨ ome haben alle Nebendiagonalglieder negative Vorzeichen.

Beispiel 3.2.1 Maschenstromanalyse F¨ ur die Schaltung Abb. 3.2.2 (k = 2 Knoten (K1, K2), z = 3 Zweige und damit m = z − (k − 1) = 3 − 1 = 2 unabh¨ angige Maschen) wird der Zweigstrom I3 nach dem Maschenstromverfahren bestimmt. Die drei Zweigstr¨ ome I1 . . . I3 als Unbekannte erfordern nach der Zweigstromanalyse (Kap. 3.1.2) die L¨ osung von drei Gleichungen. Es fallen folgende Schritte an: 1.

2.

Zeichnung der Schaltung als Streckenkomplex (Abb. 3.2.2b), Ermittlung des vollst¨ andigen Baumes (Abb. c). Er enth¨ alt wegen k = 2 nur einen Zweig. Das Baumkomplement gibt mit dem vollst¨ andigen Baum gerade den Streckenkomplex. Die m = 2 unabh¨ angigen (Verbindungs-) Zweige schließen die beiden unabh¨ angigen Maschen M1, M2. In diesen Maschen werden die Maschenstr¨ ome Im1 und Im2 mit willk¨ urlich angesetzter Orientierung eingef¨ uhrt. I1

K1

R1 Uq M1

R2

K1 vollständiger Baum

K1

I2

I3 M2

R3

I2 I1

I3 K2

K2

a

b

Im2

Im1

K2 unabhängige Zweige

c

Abb. 3.2.2. Beispiel zur Maschenstromanalyse. (a) Netzwerk. (b) Gerichteter Graph. (c)

Zugeh¨ origer vollst¨ andiger Baum

254

3.

4.

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

Die Maschengleichungen lauten: M1: (R1 + R2 )Im1 − R2 Im2 = Uq ,

(3.2.1a)

M2: −R2 Im1 + (R2 + R3 )Im2 = 0. (3.2.1b) Der erste Term in (3.2.1a) ist der Gesamtspannungsabfall in Masche M1 durch Im1 , der zweite der Spannungsabfall in M1 durch Im2 durch R2 (negatives Vorzeichen, da Im2 durch R2 entgegen der Richtung von Im1 fließt. Rechts steht die Quellenspannung. In Gl. (3.2.1b) ist der erste Term der Spannungsabfall an R2 durch Im1 , der zweite der Gesamtspannungsabfall des Maschenstromes Im2 in der Masche. Die rechte Seite verschwindet wegen fehlender Quellenspannung in M2. Es ist wichtig, die Maschengleichung sofort in der Form (3.2.1a) und (3.2.1b) zu schreiben, um die Symmetrie zu erkennen (Senkung von Fehlerquellen!). Man beachte, dass alle Terme positiv sind, die vom Maschenstrom der eigenen Masche erzeugt werden. Aus Gl. (3.2.1a) erkennt man: R11 = R1 + R2 , R22 = R2 + R3 , R12 = R21 = −R2 im Hinblick auf eine Matrixschreibweise Gl. (3.2.7). Der gesuchte Zweigstrom I3 entspricht dem Maschenstrom Im2 . Daher wird Gl. ost: (3.2.1) nach Im2 aufgel¨ ˛ ˛ ˛ R1 + R 2 U q ˛ ˛ ˛ ˛ −R2 0 ˛ R2 Uq ˛ = Im2 = ˛ . (3.2.2) ˛ R1 + R2 (R1 + R2 ) (R2 + R3 ) − R22 −R2 ˛˛ ˛ ˛ −R2 R2 + R3 ˛ Der Zweigstrom I2 = Im1 − Im2 erfordert beide Maschenstr¨ ome. Deshalb ist ein vollst¨ andiger Baum g¨ unstiger, der den von I2 durchflossenen Zweig als unabh¨ angigen Zweig enth¨ alt: I2 wird zugleich Maschenstrom.

Beispiel 3.2.2 Maschenstromanalyse F¨ ur die Br¨ uckenschaltung in Abb. 3.2.3a (z = 6, k = 4) sind alle Zweigstr¨ ome nach der Maschenstromanalyse zu bestimmen. Abb. b zeigt den gerichteten Graph. Die Zahl der Maschenstr¨ ome folgt aus den unabh¨ angigen Zweigen als Baumkomplement. Das Netzwerk ist eben, die drei unabh¨ angigen Maschen M1 . . . M3 sind rasch festgelegt. Jeder unabh¨ angige Zweig erh¨ alt einen Maschenstrom Im zugeordnet (Abb. c). Er fließt in der zugeh¨ origen Masche. Von den 6 Zweigstr¨ omen I1 . . . I6 stimmen drei (I2 , I3 , I4 ) unmittelbar (u. U. bis auf Vorzeichen) mit den Maschenstr¨ omen Im1 , Im2 , Im3 u ¨ berein. Die restome ausgedr¨ uckt: I1 = Im1 − Im3 , lichen Str¨ ome I1 , I5 , I6 werden durch Maschenstr¨ I5 = −Im3 − Im2 , I6 = −Im2 − Im1 . Damit erf¨ ullen die m = z − (k − 1) = 6 − 3 Maschenstr¨ ome die Knotens¨ atze der Knoten K1 . . . K4 automatisch. (Man bilde versuchsweise die Bilanz f¨ ur K3, es treten nur Maschenstr¨ ome auf). Der n¨ achste Schritt formuliert den Maschensatz f¨ ur jede unabh¨ angige Masche mit den Maschenstr¨ omen. Von einem Knoten ausgehend wird die Masche dabei in Richtung des Maschenstromes umfahren. Dann sind Spannungsabf¨ alle an den Netzwerkelementen positiv. Der gleiche Zweig kann von mehreren Maschenstr¨ omen durchlaufen sein (z. B. Zweig mit I6 in Abb. c). Der Gesamtstrom in diesem Zweig ist die vorzeichenbehaftete Summe der beteiligten Maschenstr¨ ome.

3.2

Maschenstromanalyse

255

Zur Schaltung mit den eingetragenen unabh¨ angigen Maschen geh¨ oren drei Maschengleichungen: M1 : R1 Im1 + R2 (Im1 − Im3 ) + R3 (Im1 + Im2 ) = 0 M2 : R4 Im2 + R5 (Im2 + Im3 ) + R3 (Im1 + Im2 ) = 0 M3 : R6 Im3 + R5 (Im2 + Im3 ) + R2 (Im3 − Im1 ) = Uq .

(3.2.3)

Geordnet nach den Maschenstr¨ omen auf der linken Seite folgt Im1 (R1 + R2 + R3 )Im1 + (−) R3 Im1 − (+) R2 Im1

+ (−)

+ +

Im2 R3 Im2 (R3 + R4 + R5 )Im2 R5 Im2

Im3 R2 Im3 = 0 + R5 Im3 = 0 + (R2 + R5 + R6 )Im3 = Uq .

− (+)

(3.2.4) ost. Die Zweigstr¨ ome Mit Aufl¨ osung nach Im1 , Im2 , Im3 ist die Aufgabe prinzipiell gel¨ ergeben sich aus den Maschenstr¨ omen u ¨ ber lineare Gleichungen. Wird die Richtung des Maschenstroms Im1 vertauscht (also der Uhrzeigersinn gew¨ ahlt), so gelten die ome unteren Vorzeichen. Dann fließt z. B. durch R3 die Differenz der Maschenstr¨ ur Gl. (3.2.3) bietet sich Matrixschreibweise Gl. (3.2.7) an. Im1 und Im2 . F¨

Modifikation Wird die Spannungsquelle Uq (¨ uber R6 ) in eine Stromquelle umgewandelt, so bleibt die Rolle des Maschenstromes Im3 erhalten. In Gl. (3.2.4) ist statt Uq jetzt Iq R6 zu schreiben. Im Grenzfall R6 → ∞, oder besser G6 = ¨ zur idealen Stromquelle) geht die Maschengleichung M3 u 1/R6 → 0 (Ubergang ¨ ber in Im3 = Iq : jetzt ist der Maschenstrom Im3 vorgegeben (und das Gleichungssystem schrumpft auf M1, M2 f¨ ur Im1 und Im2 ! Wir erkennen: eine ideale Stromquelle als Verbindungszweig senkt die Zahl der Unbekannten um eine und sie bringt keinen Verbindungszweig zwischen zwei Knoten.

G¨ ultigkeitsbereich Die Maschenstromanalyse gilt wie die Kirchhoffschen Gesetze allgemein, also f¨ ur lineare und nichtlineare zeitunabh¨angige und zeitabh¨angige Netzwerke. K1 I4 R1

I6 M1

K2 I1

K3

Im1

K4

6 5

1

3

im1

Im2

R5 im3

Im3

R6

R6

a

b

im2

C2

K3

Uq

R4 R3

2

4 K4 K2 I5

M2 R5

M3

L1

R4

R3

R2

I3

K1

I2

c

uq

d

Abb. 3.2.3. Beispiel Maschenstromanalyse. (a) Netzwerk mit eingetragenen Zweigstr¨ omen

und Maschen. (b) Gerichteter Graph. c) Vollst¨ andiger Baum (Sternbaum) mit eingetragenen Maschenstr¨ omen. (d) Netzwerk mit allgemeinen Netzwerkelementen (Darstellung im Zeitbereich)

256

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

Voraussetzung f¨ ur den Einbezug nichtlinearer Netzwerkelemente ist, dass ihre U, IRelation in der Form U (I) dargestellt werden kann (s. Kap. 3.2.5). F¨ ur das Netzwerk Abb. 3.2.3d mit Energiespeichern (ohne Anfangsenergie) und den Maschenstr¨ omen im1 , im2 , im3 lautet z. B. die Maschengleichung M1 im Zeitbereich: « „ Z Z dim1 1 1 + R3 im2 − (3.2.5) im1 dt + R3 im1 + L1 im3 dt = 0 C2 dt C2 (andere Maschen analog). Im Zeitbereich entstehen dann Integro-Differenzialgleichungen (sie enthalten Differenziale und Integrale).

3.2.2 Maschenwiderstandsmatrix Maschenwiderstandsmatrix Bei großen Netzwerken empfiehlt sich die Ver-

wendung von Matrizen. Wir beschr¨ anken uns damit auf lineare Gleichstromnetzwerke. Ausgang ist das System der m Maschengleichungen mit folgender Schreibweise Maschenstr¨ ome → M1 : R11 Im1 + R12 Im2 + . . . + R1m Imm Nummer ↓ M2 : R21 Im1 + R22 Im2 + . . . + R2m Imm der .. .. Masche . . Mm : Rm1 Im1 + Rm2 Im2 + . . . + Rmm Imm

= = .. . =

Uq1 Uq2 .. . Uqm .

(3.2.6)

Die Maschenstr¨ome sind in einer Zeile so geordnet, dass die zugeh¨orige Spaltennummer mit der Zeilennummer dieses Maschenstromes u ¨bereinstimmt. So entsteht immer eine quadratische Matrix (gleiche Spalten- und Zeilenzahl). Der einzelne Maschenstrom fließt durch den Umlaufwiderstand“ der betref” fenden Masche (R11 , R22 , . . .). Er steht in der Hauptdiagonale“ der Glei” chungsanordnung. Die restlichen Pl¨ atze nehmen die Koppelwiderst¨ande“ ” ein, z. B. R12 zwischen Masche 1 und 2 usw. F¨ ur die Koeffizienten Rij gelten einfache Bildungsregeln: 1. 2.

ande in Masche i (immer posiRii ist stets gleich der Summe der Zweigwiderst¨ tiv), daher der Name Umlauf- oder Ringwiderstand “. ” Rij ist der den Maschen i und j gemeinsame Widerstand = Koppelwiderstand, der sie miteinander verkoppelt (Name!). Er wird von den Maschenstr¨ omen Imi und Imj durchflossen. Ein Koppelwiderstand Rij erh¨ alt negatives Vorzeichen, wenn die Maschenstr¨ ome der verkoppelten Maschen in entgegengesetzten ur lineare NetzwerRichtungen fließen. Dabei gilt die Bedingung Rij = Rji f¨ ke aus nur passiven Netzwerkelementen (Rechenkontrolle beim Aufstellen der Maschengleichungen (3.2.6)). So hat beispielsweise der Koppelwiderstand R13 in Gl. (3.2.4) einen negativen Wert (−R2 ), weil die Maschenstr¨ ome Im1 , Im3 entgegengerichtet durch R2 fließen, w¨ ahrend R12 = R3 durch gleichgerichtete Maschenstr¨ ome positiv anf¨ allt.

3.2

Maschenstromanalyse

257

Das Gleichungssystem (3.2.6) der Maschenstr¨ ome lautet in Matrixform6 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ R11 R12 · · · R1m Im1 Uq1 ⎜ R21 R22 · · · R2m ⎟ ⎜ Im2 ⎟ ⎜ Uq2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (3.2.7a) ⎜ . .. . . .. ⎟ · ⎜ .. ⎟ = ⎜ .. ⎟ ⎝ .. ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ . . . . . ⎠ Rm1 Rm2 · · · Rmm Imm Uqm oder abgek¨ urzt R  

·

Im  

Maschenwider- Vektor der standsmatrix Maschenstr¨ ome

=

U qm   Vektor der Maschenquellenspannungen

.

Maschenstromgleichung, Matrixform

(3.2.7b)

Jede Matrixzeile beschreibt die Schaltungsstruktur einer Masche. Die Matrix der Koeffizienten heißt Maschenwiderstandsmatrix, ihre Koeffizienten sind die Ringwiderst¨ ande Rii bzw. die Koppelwiderst¨ande Rij = Rji . Uqj ist die Summe der unabh¨ angigen Quellenspannungen in der Masche i (gegen die Richtung des Maschenstromes positiv gez¨ahlt (Erzeugerpfeilrichtung)). Stimmt der Richtungssinn der Quellenspannung mit dem Maschenumlaufsinn u ¨berein (Verbraucherrichtung), so ist Uqj negativ anzusetzen. Die Maschenwiderstandsmatrix wird direkt dem Netzwerk entnommen: 1. 2. 3. 4.

5.

angigen Maschen ein (Umlauf beF¨ uhre Maschenstr¨ ome Im1 . . . Imm in unabh¨ liebig). Stelle ein Schema f¨ ur die m Maschenstr¨ ome (Spalten) und m Maschen (Zeilen) auf. Trage die Ringwiderst¨ ande Rii der zu den Zeilen geh¨ origen Maschen in den Hauptdiagonalelementen ein. atzen ein (Rij posiF¨ uge die Koppelwiderst¨ ande Rij auf den Nebendiagonalpl¨ tiv (negativ), wenn beide Maschenstr¨ ome Imi , Imj den Widerstand in gleicher (entgegengesetzter) Richtung durchfließen. Beachte die Symmetrie der Matrix (Rij = Rji ).

Im n¨achsten Schritt wird Gl. (3.2.7) nach den gesuchten Maschenstr¨omen aufgel¨ost und anschließend u ¨ ber die Knotengleichungen die Zweigstr¨ome ermittelt. Das lineare Gleichungssystem Gl. (3.2.7) hat die L¨osung I m = R−1 U qm .

6

L¨ osung der Maschenstr¨ome (3.2.8a)

Dieses ohmsche Gesetz in Matrixform wurde bereits von Maxwell formuliert.

258

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

Aufl¨ osung der Maschengleichungen Die L¨osung des Maschengleichungssystems (3.2.8a) kann manuell oder rechnergest¨ utzt, symbolisch oder numerisch erfolgen. Im ersten Fall bietet sich die Cramersche Regel an (praktisch beschr¨ ankt auf 4 × 4Matrizen), im letzteren Fall unterst¨ utzt durch Rechnerprogramme (Taschenrechner, MATHCAD, MATLAB). Zur Vermeidung von Fehlern bei der numerischen Auswertung sollte eine Kontrolle u ¨ ber die Leistungsbilanz erfolgen. Danach muss die u uhrte Leistung gleich der Leistung sein, die in allen Zweig¨ber alle Quellen zugef¨ widerst¨ anden umgesetzt wird. Wir vertiefen diesen Aspekt im Zusammenhang mit dem Tellegen-Theorem (Kap. 4.7). Nach der Cramerschen Regel folgt f¨ ur den Maschenstrom Imi aus Gl. (3.2.8a): X Δji Uqj Δ1i Uq1 Δ2i Uq2 Δmi Uqm det Ri = + + ··· + = det R Δ Δ Δ Δ j=1 m

Imi =

(3.2.8b)

f¨ ur jedes i = 1 . . . m. Die Determinante der Maschenwiderstandsmatrix lautet ˛ ˛ ˛ R11 · · · R1m ˛ ˛ ˛ ˛ . .. ˛ , .. det R = Δ = ˛ .. ˛ . . ˛ ˛ ˛ Rm1 · · · Rmm ˛ ˛ ˛ ˛ R11 . . . R1(i−1) Uq1 R1(i+1) . . . R1m ˛ ˛ ˛ ˛ .. .. .. ˛ det Ri = ˛ ... . . . ˛˛ ˛ ˛ Rm1 . . . R Uqm R . . . Rmm ˛ m(i−1)

m(i+1)

ferner ist det R i die Determinante der Matrix R mit Ersatz der Spalte i durch den Quellenspannungsvektor U q . Die Unterdeterminante oder Adjunkte Δji zum Platz ji ist die Determinante der um die Zeile j und Spalte i reduzierten Matrix R multipliziert mit (−1)i+j . Die Determinante der Widerstandsmatrix h¨ angt nur von der Netzwerktopologie ab. Sie enth¨ alt bei Netzwerken ohne gesteuerte Quellen keine negativen Terme.

F¨ ur gr¨oßere Netzwerke bietet sich die direkte numerische Auswertung der Gl. (3.2.7b) mit Nutzung der Matrixinversion an (s. Gl. (3.4.13)), f¨ ur die es effiziente Implementierungen gibt. Interessiert jedoch nur der Einfluss bestimmter Bauelementeeigenschaften in einem (oder wenig zusammengefassten) Zweig, etwa f¨ ur Optimierungsuntersuchungen, so stellt die Anwendung der Zweipoltheorie eine Alternative dar (s. Kap. 3.3.6): das Restnetzwerk wird als aktiver Zweipol numerisch ausgewertet und der gew¨ unschte Zweig analytisch ber¨ ucksichtigt. Vertiefung Zweigstr¨ ome, Zweigspannungen Nach Gl. (3.2.8) setzt sich der Maschenstrom als Summe der Wirkungen der einzelnen Quellenspannun¨ ¨ gen nach Maßgabe eines Ubertragungsfaktors“ Δji /Δ zusammen: Uberlage” rungsprinzip. Aus den Maschenstr¨ omen Imi folgen die Zweigstr¨ome durch Linearkombination (Addition, Subtraktion). Auch daf¨ ur bietet sich die Matrixdarstellung an. Wir stellen ein Schema mit den Maschenstr¨omen als Spal-

3.2

Maschenstromanalyse

259

ten und den Zweigstr¨ omen als Zeilen auf. Ausgang ist der einzelne Zweig. Wird er von einem Maschenstrom durchflossen, so ist der zugeh¨orige Platz mit +1 (gleiche Stromrichtungen) bzw. −1 (entgegengesetzt) versehen. Alle u age: Das Schema lautet in allge¨brigen Pl¨atze der Zeile erhalten Nulleintr¨ meiner Schreibweise Im1 . . . Imm I1 c11 . . . c1m .. .. .. , . . . Iz cz1 . . . czm

Im1 Im2 Im3 1 0 −1 −1 1 0 0 1 −1 . 0 1 0 0 0 1 1 0 0

I1 I2 I3 I4 I5 I6

z. B.

(3.2.9)

Die Koeffizienten cij bestimmen sich nach der angegebenen Regel. Als Beispiel betrachten das Netzwerk Abb. 3.2.4a mit den dort eingef¨ uhrten sechs Zweig- und drei Maschenstr¨ omen (Abb. c). Jeder Zweigstrom wird durch die beitragenden Maschenstr¨ ome ausgedr¨ uckt, z. B. I1 = Im1 − Im3 usw. So folgt das rechte Schema Gl. (3.2.9). In Matrixform geh¨ort dazu I = C · I m.

Beziehung Zweig-Maschenstrom (3.2.10)

Dabei bedeuten C die Zweig-Maschen-Inzidenzmatrix7, I den Vektor der Zweigstr¨ome und I m den Vektor der Maschenstr¨ome. Die Spalten von C geben an, zu welchen Zweigstr¨ omen ein Maschenstrom beitr¨agt und die Zeilen, welche Maschenstr¨ ome einen Zweigstrom bilden. Zweig- und Maschenstr¨ ome h¨ angen u ¨ ber die Zweig-Maschen-Inzidenzmatrix C zusammen. U5 R5

I5

K1

R1

I1 I6

U6

U1

R6

Uq3 R3

K2 I2

K1

U4

4

R4

K3 K1

I1 K2 I3

3 6

1

I6 K4

b

I2

M1

Im3 Im1 Im2

M2

M2

M1

I4

K4

K4

c

M3

K3

Im2

Im1

K4

a

M3

Im3

K2 2

Uq2

Uq1

I5 5

K3

I4

U3

R2

U2

I3

d

Abb. 3.2.4. Beispiel Maschenstromanalyse. (a) Netzwerk. (b) Gerichteter Graph des Netz-

werkes. (c) Gew¨ ahlter vollst¨ andiger Baum, Festlegung der Maschenstr¨ ome (Fenstermaschenwahl). (d) Anderer vollst¨ andiger Baum mit anderen Maschen-/Schleifenstr¨ omen

7

incidere (lat.) verbinden.

260

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

In den einzelnen Maschen gilt der Maschensatz f¨ ur die Zweigspannungen. Dabei besteht der allgemeine Zweig nach Abb. 3.1.3 aus der Reihenschaltung eines Widerstandes R mit einer Spannungsquelle Uq . Ein Zweig zwischen den Knoten i und j hat dann die Zweigbeziehung Uij = Rij Iij − Uqij (bei Verbraucherrichtung (s. Gl. (3.1.3)). Die Maschengleichungen f¨ ur die Zweigspannungen U1 . . . U6 in Abb. 3.2.4a lauten somit (in Umlaufrichtung des jeweiligen Maschenstromes) M 1 : U 1 − U2 + U6 = 0 M 2 : U 2 + U3 + U4 = 0 M 3 : −U1 − U3 + U5 = 0 oder ⎛

⎞ ⎛U ⎞ 1 1 −1 0 0 0 1 .. ⎟ = M U = 0. ⎝ 0 1 1 1 0 0 ⎠·⎜ ⎝ . ⎠ z −1 0 −1 0 1 0 U6

Dabei sind Spannungsquellen in die Zweigspannungen eingeschlossen: U2 = I2 R2 − Uq2 , U5 = I5 R5 + Uq3 , U6 = I6 R6 − Uq1 . Die eingef¨ uhrte MaschenZweig-Inzidenzmatrix M (Index-Zuordnung (mi,j Masche (Zeile) i, Zweig (Spalte) j)) Zweige 1 2 3 4 ⎛ M1 1 −1 0 0 Maschen M2 ⎝ 0 1 1 1 M3 −1 0 −1 0

5 0 0 1

6 ⎞ 1 0⎠ =M 0

besteht aus m Zeilen und z Spalten. Man erkennt weiter, dass in der Spalte der Matrix, die den Verbindungszweigen zugeordnet ist (Spalten 4 . . . 6), immer nur ein Element von null verschieden ist w¨ahrend in den Spalten, die zu Baumzweigen geh¨ oren (Spalten 1 . . . 3), wenigstens zwei Elemente von null verschieden sind. Ein Vergleich der Maschen-Zweig-Inzidenzmatrix M mit der oben eingef¨ uhrten Zweig-Maschen-Inzidenzmatrix C ergibt8 M U = C T U = 0.

Maschensatz (3.2.11)

Dies ist der Maschensatz in der Form ΣU = 0 f¨ ur jede Masche ausgedr¨ uckt f¨ ur den Vektor U der Zweigspannungen (vorausgesetzt, dass er in der gleichen Weise geordnet ist wie der Vektor der Zweigstr¨ome I). Ferner folgt M = C T 8

Die transponierte Matrix C T geht aus C durch Vertauschen von Zeilen und Spalten hervor. Dabei werden die Elemente cij mit cji der Matrix C vertauscht. So entsteht z. B. aus einer 6 × 3 Matrix eine 3 × 6 Matrix.

3.2

Maschenstromanalyse

261

bzw. C = M T : die Maschen-Zweig Inzidenzmatrix ist die Transponierte der Zweig-Maschen Inzidenzmatrix! Wir k¨ onnen deshalb auf die weitere Benutzung der Maschen-Inzidenzmatrix C zugunsten von M verzichten9 . Die Zweigspannungen sind u ¨ ber die Maschen-Zweig-Inzidenzmatrix M miteinander verkn¨ upft. Sie gibt an, welche Zweige des Graphen mit welchen Maschen inzident sind. Die Zeilen entsprechen den Maschen, die Zweige den Spalten. Letztere kennzeichnen, zu welchen Maschen die betreffende Zweigspannung beitr¨agt und die Zeilen, welche Zweige zu einer Masche geh¨oren. Die L¨osung der Zweigstr¨ ome lautet schließlich mit Gl. (3.2.10), (3.2.8a) I = CR−1 U q = M T R−1 U q .

Zweigstr¨ ome-Spannungsquellen, (3.2.12) Maschenstromverfahren

Dabei wurde Uqm = Uq gesetzt. Das Schema Gl. (3.2.10) enth¨ alt in den Zweigstr¨ omen auch die m Maschenstr¨ ome mit (im Schema rechts z. B. I4 = Im2 , I5 = Im3 , I6 = Im1 ). Deshalb kann der Zweigstromvektor prinzipiell auch auf einen Vektor reduziert werden, der nur die Str¨ ome in den Baumzweigen (in Abb. 3.2.4a I1 , I2 , I3 ) umfasst. Dadurch verkleinert ¨ sich die Matrix C resp. M . Im Kap. 3.4 erfolgen dazu weitere Uberlegungen. Durch Umordnung der Zeilen der Matrix C in eine Einheitsmatrix E und einen Rest wird die Verkn¨ upfung zwischen Baumzweig- und Maschenstr¨ omen deutlicher.

Alternativform Genauer betrachtet wurde in Gl. (3.2.9) die Zuordnung der Zweigund Maschenstr¨ ome auf Zeilen und Spalten vertauscht, was zur Maschen-ZweigInzidenzmatrix M f¨ uhrte I1 · · · Iz I1m b11 . . . b1z .. .. .. . . . Imm bm1 . . . bmz

I1 I2 I3 I4 I5 I6 Im1 1 −1 0 0 0 1 . Im2 0 1 1 1 0 0 Im3 −1 0 −1 0 1 0

In den Spalten dieser Maschen-Zweig-Inzidenzmatrix, die Verbindungszweigen zugeordnet sind (I4 , I5 , I6 ), steht jeweils nur ein von null verschiedenes Element, w¨ ahrend in den restlichen Baumzweigen mindestens zwei von null verschiedene Elemente auftreten. Die Maschen-Zweig-Inzidenzmatrix M ist eine spezielle Form der allgemeineren Schleifen-Zweig-Inzidenzmatrix B. Sie wird sp¨ ater ausschließlich verwendet. Es hat sich eingeb¨ urgert, die Zweige als Spalten anzusetzen und die Zeilen als Maschen (wie hier) oder in einer anderen Form auch als Knoten. In den folgenden Ausf¨ uhrungen kann deshalb C = M T bzw. M = C T ausgetauscht werden.

9

Die Maschen-Zweig-Inzidenzmatrix M wird k¨ unftig kurz als Maschen-Matrix bezeichnet.

262

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

Beispiel 3.2.3 Unabh¨ angige Maschen Wir vertiefen die Analyse der Schaltung Abb. 3.2.4a mit k = 4 Knoten (K1, . . ., K4), z = 6 Zweigen und m = 6 − 3 = 3 unabh¨ angigen Maschen, entweder durch Zeichnen eines vollst¨ andigen Baumes oder direkt aus der Schaltung (gelegentlich als ¨ außere Fenstermaschen“ bezeichnet, ” Abb. 3.2.4c). Hier sind die Zweige 1. . .3 Baumzweige und Zweige 4. . .6 Verbindungszweige. Der Zweigstrom durch R2 wird aus Im1 , Im2 gebildet. Die L¨ osungsmethodik erfordert folgende Schritte: 1. 2. 3.

4.

5.

Der vollst¨ andige Baum ergibt m = 3 unabh¨ angige Zweige als Baumkomplement. Es werden drei unabh¨ angige Maschenstr¨ ome Im1 . . . Im3 in den Maschen M1 . . . M3 mit je einem unabh¨ angigen Zweig (= Verbindungszweig) eingef¨ uhrt. Man erh¨ a lt die Maschengleichungen in Matrixform 0 1 0 1 0 1 −R2 −R1 R1 + R2 + R6 Im1 Uq1 − Uq2 @ A · @Im2 A = @ A. −R2 R2 + R3 + R4 −R3 Uq2 −R1 −R3 R1 + R3 + R5 Im3 −Uq3 (3.2.13) Dieses Gleichungssystem folgt auch sofort aus dem Netzwerk. Sichtbar ist die Symmetrie der Matrix: Rij = Rji . Die Hauptdiagonalglieder sind die Maschenwiderst¨ ande Rii . Beispielsweise ergibt ein Umlauf in M2 die Widerstandssumme R2 +R3 +R4 , in M3 die Summe R1 +R3 +R5 usw. Das Nebendiagonalglied R12 wird aus dem Spannungsabfall gebildet, der in Masche 1 (in Umlaufrichtung von Im1 ) durch den Maschenstrom Im2 aus Masche 2 entsteht. Er ist nach der Vorzeichenfestlegung negativ, also −R2 Im2 , d. h., R12 = −R2 . In Masche M1 entsteht noch ein Spannungsabfall herr¨ uhrend von Im3 an R1 (letztes Glied der ersten Zeile). Mit der ersten Zeile ist auch die erste Spalte bestimmt. So kann die Koeffizientenmatrix direkt aus der Schaltung abgelesen werden und das Aufstellen der Maschengleichungen entf¨ allt. Durch die unabh¨ angigen Maschen und gleiche Umlaufrichtungen der Maschenstr¨ ome hat das Schema noch eine Besonderheit: alle Nebendiagonalglieder haben negative Vorzeichen (das ist bei unterschiedlichen Umlaufrichtungen und/ oder allgemeinem Baum nicht der Fall!). Der gesuchte Zweigstrom durch R2 erfordert die Beziehungen zwischen Zweigund Maschenstr¨ omen (Gl. (3.2.10)). Es gibt 6 Zweigstr¨ ome I1 . . . I6 , davon 3 Maschenstr¨ ome. Der Schaltung oder auch der Zweig-Maschen-Inzidenzmatrix Gl. (3.2.9) entnimmt man I1 = Im1 − Im3 , I2 = Im2 − Im1 , I3 = Im2 − Im3 , . I4 = Im2 , I5 = Im3 I6 = Im1 Die Knotenregel wird durch die Maschenstr¨ ome von selbst erf¨ ullt z. B. gilt f¨ ur Knoten K2: I1 + I2 − I3 = (Im1 − Im3 ) + (Im2 − Im1 ) − (Im2 − Im3 ) = 0. Im letzten Schritt l¨ osen wir das Gleichungssystem (3.2.13) nach Im2 und Im1 auf und berechnen den Zweigstrom I2 = Im2 − Im1 . Einfache Beziehungen ergeben sich f¨ ur Zweigstr¨ ome, die auch Maschenstr¨ ome sind (hier I4 , I5 , I6 ). Damit der Zweigstrom I2 zugleich Maschenstrom wird, m¨ usste ein anderer vollst¨ andiger Baum gew¨ ahlt werden, wie beispielsweise in Abb. 3.2.4d. Dann entf¨ allt allerdings der Vorteil der ¨ außeren Fenstermaschen.

3.2

Maschenstromanalyse

263

3.2.3 Erweitere Maschenstromanalyse* Allgemeine Erweiterungen Wir entsch¨ arfen jetzt die f¨ ur das Grundverfahren getroffenen Voraussetzungen und lassen unabh¨angige Stromquellen, gesteuerte Quellen und gekoppelte Spulen zu.

Unabh¨angige Stromquellen k¨ onnen unterschiedlich einbezogen werden: Durch Strom-Spannungsquellen-Transformation. Sie setzt einen Quelleninnenwiderstand voraus. Er ist ggf. hinzuzuf¨ ugen und in der L¨osung wieder zu entfernen. Durch Quellenteilung und -versetzung (¨ uber Widerstandszweige und anschließende Wandlung in Spannungsquellen). Durch Einf¨ uhrung des Quellenstromes als Maschenstrom im betreffenden Zweig: Supermaschenanalyse. Einf¨ uhrung eines kleinen Hilfsleitwertes parallel zur Stromquelle (und Wandlung in eine Spannungsquelle), der das Ergebnis praktisch nicht beeinflusst. Dieses Verfahren nutzen numerische L¨osungen. Gesteuerte Quellen Spannungsquellen werden als maschenstromgesteuert formuliert und bei Aufstellung des Gleichungssystems vorerst als unabh¨angig angesetzt (und bei den unabh¨ angigen Spannungen rechts ber¨ ucksichtigt). Im n¨achsten Schritt bringt man sie nach links zum entsprechenden Maschenstrom. Dadurch geht die Matrixsymmetrie verloren. Stromquellen werden in gesteuerte Spannungsquellen u uhrt oder, falls ¨ berf¨ nicht m¨oglich, wie unabh¨ angige Stromquellen behandelt (s. o.). Gekoppelte Spulen ber¨ ucksichtigt man durch ihre Ersatzschaltung mit gesteuerten Spannungsquellen (Bd. 2). Jede Spulenseite wird als Zweig des Netzwerkes betrachtet und die Gegeninduktivit¨ at als maschenstromgesteuerte Spannungsquelle modelliert. Zusammengefasst ist in der L¨ osungsmethodik Maschenstromanalyse der Punkt 3 f¨ ur Netzwerke mit unabh¨ angigen Stromquellen, gesteuerten Quellen und gekoppelten Spulen durch folgende Schritte zu erg¨anzen: Transformiere unabh¨ angige Stromquellen in unabh¨ angige Spannungsquellen (evtl. unter Benutzung von Netzwerkelementen). Gesteuerte Spannungsquellen betrachte man zun¨ achst als unabh¨ angige Quellen und dr¨ ucke anschließend ihre Steuergr¨ oße durch Maschenstr¨ ome aus.

264

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

Gesteuerte Stromquellen betrachte man zun¨ achst als unabh¨ angige Quellen, transformiere sie in Spannungsquellen und dr¨ ucke ihre Steuergr¨ oße anschließend durch Maschenstr¨ ome aus. Gekoppelte Spulen werden durch ihre Ersatzschaltung mit stromgesteuerter Spannungsquelle erfasst.

Stromquellen als Maschenstr¨ ome, Supermaschenverfahren Bei Stromquellen

kann es vorteilhaft sein, Quellenstr¨ome selbst als (bekannte) Maschenstr¨ome zu verwenden. Diese Methode ist in einer speziellen Variante als Supermaschenverfahren (superloop analysis) bekannt. Dazu wird ein vollst¨andiger Baum so gew¨ahlt, dass (unabh¨ angige und gesteuerte) Stromquellen nur in Verbindungszweigen liegen. Dann bildet jede eine unabh¨angige Fundamentalschleife, deren Schleifenstrom (ev. vorzeichenbehaftet) gleich dem jeweiligen Quellenstrom ist. Hat das Netzwerk n Stromquellen und gibt es insgesamt m = z − (k − 1) Fundamentalschleifen, so sind nur noch m − n unabh¨angige Schleifenstr¨ome zu bestimmen! Damit entf¨ allt die Aufstellung der n Maschengleichungen u ¨ ber Stromquellen, weil ihre Maschenstr¨ome bekannt sind. Mit steigender Zahl an Stromquellen sinkt bei diesem Ansatz der L¨osungsaufwand. Das Verfahren ist in dieser Form unabh¨ angig von der Lage der Stromquellen anwendbar, f¨ ur spezielle Stromquellenanordnungen heißt es Supermaschenverfahren. L¨ osungsmethodik Maschenstromanalyse mit Stromquellen

1.

2. 3.

4.

Man entferne alle (idealen) Stromquellen (abh¨angige und gesteuerte) aus dem Netzwerk, bilde den vollst¨ andigen Baum und damit m − n unabh¨angige Schleifen. Zuordnung eines Maschenstromes zu jeder unabh¨angigen Schleife. Man setze die Stromquellen der Reihe nach wieder ein und f¨ uhre u ¨ber jede einen Maschenstrom, der (vorzeichenbehaftet) gleich dem Quellenstrom ist. Bei spannungsgesteuerten Quellen m¨ ussen die Steuergr¨oßen durch Maschenstr¨ ome ausgedr¨ uckt werden. F¨ ur jede Schleife, die keine Stromquelle enth¨alt, wird die Maschengleichung aufgestellt. So entstehen m − n unabh¨angige Gleichungen.

Beim Supermaschenkonzept wird das Verfahren modifiziert. In Netzwerken treten drei Maschenarten auf: Maschen ohne Stromquellen, die wesentlichen oder Hauptmaschen, Maschen mit einer Stromquelle am Schaltungsrand“ (sog. ¨außere oder ” nicht wesentliche Maschen), Supermaschen.

3.2

Maschenstromanalyse

265

Eine Supermasche ist eine gr¨ oßere Masche gebildet aus zwei Maschen mit gemeinsamer idealer Stromquelle. Am einfachsten erkennt man die Maschengruppen durch Auftrennen aller Stromquellen und Ersatz der Spannungsquellen durch Kurzschl¨ usse. Zur Analyse werden wie bisher Maschenstr¨ ome in allen Hauptmaschen eingef¨ uhrt, die Stromquellen u außere Maschen als (bekannte) Maschenstr¨ome ¨ber ¨ u uhrt, ¨ber das Netzwerk gef¨ in jeder Supermasche zwei Maschenstr¨ ome u ¨ ber eine gemeinsame (bekannte) Stromquelle eingef¨ uhrt. Die Supermasche wird so durch einen Spannungsumlauf l¨angs der Masche und eine Zwangsbedingung (Knotensatz) zwischen den beiden (eingef¨ uhrten) Maschenstr¨ omen und dem Quellenstrom beschrieben, m. a. W. nur durch einen (unbekannten) Maschenstrom. Diese Stromquellenzwangsbedingung eliminiert einen der beiden Maschenstr¨ome. So erkl¨art sich (ebenso wie f¨ ur Stromquellen in ¨außeren Maschen), dass jede Stromquelle die Zahl der zu bestimmenden Maschenstr¨ome um eins reduziert. Ein anderer Ansatz ist die Beschreibung einer Supermasche durch eine einzuf¨ uhrende Hilfsspannung UH u ¨ ber der Stromquelle (s. u.). L¨ osungsmethodik Supermaschenverfahren

1. 2.

3.

4.

Entferne alle unabh¨ angigen und gesteuerten Stromquellen und bereite das Netzwerk zur Maschenstromanalyse vor. F¨ uge der Reihe nach die Stromquellen in den a¨ußeren Maschen ein und lege jeweils einen Maschenstrom durch jede Stromquelle (der damit bekannt ist). F¨ uhre in jeder Supermasche zwei Maschenstr¨ome u ¨ ber die gemeinsame Stromquelle ein und verbinde beide Maschenstr¨ome mit dem Quellenstrom u ¨ ber den Knotensatz (Zwangsbedingung). (Bei gesteuerten Quellen muss die Steuergr¨ oße durch Maschenstr¨ome ausgedr¨ uckt werden). Eliminiere so einen der beiden Maschenstr¨ome. Stelle die m − n Maschengleichungen f¨ ur die unabh¨angigen Maschen nach 1. und die Supermaschen nach 3. auf und l¨ose nach den m − n unbekannten Maschenstr¨ omen.

Die Maschengleichung f¨ ur eine Supermasche kann man auch dadurch gewinnen, dass u uhrt und anschlie¨ ber der gemeinsamen Stromquelle eine Hilfsspannung UH eingef¨ ßend zwei Maschengleichungen f¨ ur jeden der beiden Maschenstr¨ ome mit Einbezug der Hilfsspannung aufgestellt werden. Anschließend eliminiert man die Hilfsspan-

266

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

nung aus beiden Gleichungen. Das ergibt den Maschenumlauf der Supermasche. Da beide Maschenstr¨ ome u angen, ¨ber den Knotensatz mit der Stromquelle zusammenh¨ entsteht die Supermaschengleichung automatisch.

Beispiel 3.2.4 Stromquelle, Supermasche Abb. 3.2.5a zeigt ein Netzwerk mit Stromquelle. Eingetragen sind zwei Maschen (Maschenstr¨ ome Im1 , Im2 ), von denen Im2 durch die Stromquelle Iq festliegt. Die Schaltung hat z = 3 Zweige, k = 3 Knoten10 und damit reicht mit m = 1 eine Maschengleichung zur Bestimmung des Maschenstromes Im1 . Es gelten ff Uq − R1 Iq M1: R1 (Im1 − Im2 ) + R2 Im1 − Uq = 0 → Im1 = , ZB: Im2 = −Iq R1 + R2 also neben der Maschengleichung f¨ ur Masche M1 noch die Zwangsbedingung f¨ ur Maosung ist sofort m¨ oglich. Die Stromschenstrom Im2 durch die Stromquelle. Die Aufl¨ quelle h¨ atte auch u onnen. ¨ ber R2 in eine Spannungsquelle umgerechnet werden k¨ In Schaltung Abb. 3.2.5b liegt die Stromquelle im Innern eines Netzwerkes. Es gibt zwei Maschen (Maschenstr¨ ome Im1 , Im2 ) und eine Zwangsbedingung durch die ater Stromquelle. Wir bringen u ¨ ber der Stromquelle die Hilfsspannung UH an (sp¨ eliminiert) und formulieren zun¨ achst die Maschengleichungen M1: R1 Im1 + UH − Uq = 0 M2: −UH + (R2 + R3 )Im2 = 0 . ZB: Iq = Im2 − Im1

(3.2.14)

Zur Verf¨ ugung stehen drei Gleichungen f¨ ur beide Maschenstr¨ ome und die Hilfsspannung. Bei Addition beider Maschengleichungen M1, M2 hebt sich UH heraus: R1 Im1 + (R2 + R3 )Im2 = Uq .

(3.2.15)

Zusammen mit der Zwangsbedingung l¨ asst sich ein Maschenstrom eliminieren. Die L¨ osung lautet z. B. f¨ ur Im1 : Im1 =

K3

R2

Uq − Iq (R2 + R3 ) . (R1 + R2 + R3 ) R1

K1

R2

K

M3

Im3 Im2

Im1 Uq1

a

Iq

R1 M2

M1 K2

Im1 Uq

M1

Im2 UH Iq

R3

M2

b

Abb. 3.2.5. Beispiel zur Supermasche. (a) Netzwerk mit Stromquelle. (b) Bildung einer Supermasche

10

Hier wurde der Verbindungsknoten K3 ber¨ ucksichtigt, daher entstehen drei Zweige. Die Stromquelle tritt im Graph nicht auf.

3.2

Maschenstromanalyse

267

Sie entsteht auch direkt durch Maschenbildung u ¨ ber Uq , R1 . . . R3 als Superma¨ sche, das ist Gl. (3.2.15). Uber die Quellenzwangsbedingung wird anschließend ein Maschenstrom eliminiert.

Beispiel 3.2.5 Stromquellen im Maschenstromverfahren Die Schaltung außeren Masche und die StromAbb. 3.2.6a enth¨ alt die Stromquelle Iq2 in einer ¨ andige Baum (Abb. quelle Iq3 als Teil zweier Maschen (Supermasche). Der vollst¨ b) mit k = 4, z = 6 → m = 3 verlangt drei unabh¨ angige Maschen. Wegen der beiden Stromquellen (n = 2) muss eine Maschengleichung zur vollst¨ andigen Schaltungsbeschreibung ausreichen. Wir untersuchen die Schaltung zun¨ achst mit dem ¨ Uberlagerungskonzept und entfernen beide Stromquellen. Dann bleibt die Haupt masche M1’ (s. Abb. b, c) mit dem Maschenstrom Im1 :  (R1 + R2 + R3 + R4 ) = Uq1 . M1’: Im1

¨ Uberlagerung der Stromquellenmaschenstr¨ ome Im2 = Iq2 und Im3 = −Iq3 bringt die Zus¨ atze −Im2 (R1 + R3 )

und

Im3 (R3 + R4 )

 . So gen¨ ugt die Maschengleichung M1 zu Bestimmung in Umlaufrichtung von Im1  von Im1 :

M1’: R2 Im1 + R4 (Im1 + Im3 ) + R3 (Im1 + Im3 − Im2 ) + R1 (Im1 − Im2 ) − Uq1 = 0

R2

Uq1 I‘m1

M1 K1

K2

R1 Iq2

K3

R3

M2

Iq3

K4

a

(2)

(1)

Im3

(4)

b

R2

(3)

Im2

R4

M3

Im1

R2

Uq1

Uq1 I‘m1

M1' UH R1 R3

M1' I‘m1

Iq3

R1 R4 Iq2

R3

Im2=Iq2

Im3

R4 SM

K4

c

d

Abb. 3.2.6. Maschenstromverfahren und Stromquellen. (a) Netzwerk. (b) Gew¨ ahlter voll-

st¨ andiger Baum. (c) Entfernung der Stromquellen. (d) Bildung einer Supermasche

268

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

 oder geordnet mit Im1 = Im1

(R1 + R2 + R3 + R4 )Im1 = Uq1 + (R1 + R3 )Im2 − (R3 + R4 )Im3 = Uq1 + (R1 + R3 )Iq2 + (R3 + R4 )Iq3 .

(3.2.16)

Links steht als Beifaktor der Ringwiderstand, den der Maschenstrom Im1 vorfindet. Die rechten stromabh¨ angigen Terme sind Quellenspannungen, die die Stromquellen jeweils an den betreffenden Widerst¨ anden erzeugen. Die rechte Seite dr¨ uckt gleichzeitig die Quellen¨ uberlagerung aus. Beispielsweise kann die Quelle Iq2 (Iq3 analog) u ande R1 , R3 in ¨ber den Knoten 2 (5) geteilt und die Stromquelle u ¨ ber die Widerst¨ Spannungsquellen verwandelt werden. Das sind genau die Terme rechts. Alternativ l¨ asst sich die Stromquelle Iq3 auch als Bestandteil einer Supermasche (Abb. 3.2.6d) auffassen bestehend aus den Maschen M1 (Maschenstrom Im1 ) und ome bestimmt die StromM3 (→ Im3 ). Die Zwangsbedingung beider Maschenstr¨ quelle Iq3 z. B.: Iq3 = Im1 − Im3 .

(3.2.17)

Die Gleichung der Supermasche (SM) lautet (nachdem vorher noch die Stromquelle ucksichtigt wurde) Iq2 im Maschenstrom Im2 ber¨ SM: Im1 (R1 + R2 ) + Im3 (R3 + R4 ) − Im2 (R1 + R2 ) = Uq1 .

(3.2.18)

Wird Im3 durch die Zwangsbedingung Gl. (3.2.17) eliminiert und Im2 durch Iq2 ersetzt, so ergibt sich die L¨ osung Gl. (3.2.16). Die aus M1 und M3 bestehende Supermasche M1’ und die Knotenzwangsbedingung Gl. (3.2.17) bilden so ein hinreichendes Gleichungssystem f¨ ur den Maschenstrom Im1 . Gleichwertig ordnen wir jetzt der Stromquelle in der Supermasche eine Hilfsspannung UH (Abb. 3.2.6d) zu. Es ergibt sich (nach Hinzunahme von Iq2 ) M1: R2 Im1 − UH + R1 (Im1 − Im2 ) − Uq1 = 0 M3: UH + R4 Im3 + R3 (Im3 − Im2 ) = 0 z. B.: Im1 − Im3 = Iq3 .

(3.2.19)

Durch Addition von M1, M3 zur Supermasche M1’ (3.2.18) f¨ allt die Hilfsspannung heraus. Einsetzen der Quellenzwangsbedingung und der Quellenstr¨ ome ergibt schließlich die L¨ osung Gl. (3.2.16).

3.2.4 Maschenstromanalyse in Matrixform Die Maschenstromanalyse erfolgte bisher sowohl in Einzelschritten als auch in Matrixdarstellung. Wir fassen sie jetzt in allgemeiner Matrixschreibweise zusammen mit der in Gl. (3.2.11) eingef¨ uhrten Maschen-Zweig-Inzidenzmatrix M . Ausgang sind die Zuordnungen von Zweigspannungen und Zweigstr¨omen in den einzelnen Zweigen herr¨ uhrend vom Zweig ij: Uij = Rij Iij − Uqij (s. Gl. (3.1.3) und Abb. 3.1.3) U z = Rz I z − U qz .

allgemeiner Netzwerkzweig (3.2.20)

3.2

Maschenstromanalyse

269

Dabei wurde zur Hervorhebung der Zweiggr¨ oßen der Index z angef¨ ugt. Rz ist die Diagonalmatrix der Zweigwiderst¨ande (nur Diagonalelemente). Die Verkn¨ upfung von Zweig- und Maschenstr¨omen wird in der MaschenZweig-Inzidenzmatrix M (eine m × z-Matrix) ausgedr¨ uckt (s. Gl. (3.2.10)) I z = M TI m ,

Beziehung Zweig-Maschenstrom (3.2.21)

dazu tritt der Maschensatz Gl. (3.2.11) f¨ ur die Zweigspannungen (das sind insgesamt m Gleichungen) M U z = U m = 0.

Maschensatz (3.2.22)

Zusammengefasst f¨ uhren diese drei Gleichungen auf die Matrixformulierung des Maschensatzes ausgedr¨ uckt durch Maschenstr¨ome M U z = M Rz M T I m − M U qz = RI m − U qm = 0     R

U qm

oder RI m = U qm .

Maschenstromanalyse (3.2.23)

Die Maschenwiderstandsmatrix R ≡ Rm ergibt sich aus der Diagonalmatrix Rz der Zweigwiderst¨ ande. Sie ist eine m × m-Matrix vom Rang m. Die rechts alt jeweils die Summe der Quelstehende Maschenquellenspannung U qm enth¨ lenspannungen in einer Masche. Im letzten Schritt werden aus der L¨osung Gl. (3.2.23) die nach Gl. (3.2.21) gesuchten Zweigstr¨ome bestimmt. Die Formulierung Gl. (3.2.23) RI m − U qm = 0 entspricht der L¨ osung Gl. (3.2.7b). Der Unterschied im Vorzeichen von U qz ergibt sich, weil im allgemeinen Maschenzweig Gl. (3.1.3) die Verbraucherrichtung f¨ ur den Strom verwendet wurde. Wir zeigen sp¨ ater dazu zwei computergest¨ utzt gel¨ oste einfache Beispiele 3.5.2 und 3.5.3 (Kap. 3.5.1).

Zusammengefasst kann das Gleichungssystem der Maschenstromanalyse direkt aus der Schaltung mit der Maschen-Inzidenzmatrix aufgestellt werden. Das ist rechnergest¨ utzt m¨ oglich und damit automatisierbar.

3.2.5 Maschenstromanalyse in nichtlinearen Netzwerken In nichtlinearen Netzwerkelementen h¨ angt der Spannungsabfall nichtlinear vom Maschenstrom durch das betreffende Element ab. Grunds¨atzlich bleibt deshalb die L¨osungsmethodik zum Aufstellen der Gleichungen erhalten, nur werden die nichtlinearen Elemente zun¨ achst als gesteuerte Quellen betrachtet (treten rechts auf). Erst dann stellt man sie nach links um. Dabei entsteht

270

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen Abb. 3.2.7. Nichtlineares Netzwerkelement im

K1

R1

Uq1

Maschenstromverfahren

R2

UD Im1

Im2

M1

M2

Uq2

zwangsl¨aufig eine nichtlineare Gleichung, die mit entsprechenden Verfahren (z. B. Newtonverfahren) zu l¨ osen ist.

Beispiel 3.2.6 Maschenstromanalyse, Diode Die Schaltung Abb. 3.2.7 mit einer flussgepolten Halbleiterdiode (UD ≈ UT ln(I/IS )) f¨ uhrt mit der Maschenstromanalyse auf zwei Maschenstr¨ ome Im1 , Im2 : M1: R1 Im1 = Uq1 − UD (Im1 , Im2 ), M2: R2 Im2 = −Uq2 + UD (Im1 , Im2 ). Die nichtlineare Diodenspannung kommt im n¨ achsten Schritt auf die linke Seite: “ ” m2 = Uq1 , M1: R1 Im1 + UT ln Im1I−I “ ” S Im1 −Im2 M2: −UT ln + R2 Im2 = −Uq2 . IS Das sind die Maschenstromgleichungen. Die L¨ osung muss numerisch erfolgen.

3.3

3.3 Knotenspannungsanalyse Einf¨ uhrung Beim Knotenspannungsverfahren11 wird die Hilfsvariable Kno-

” tenspannung“ so eingef¨ uhrt, dass jede Maschengleichung automatisch erf¨ ullt ist und daher alle wegfallen. Das Verfahren umfasst dann die Aufstellung der Knotengleichungen f¨ ur die Zweigstr¨ome, ihren Ersatz durch die Zweigbeziehungen I = f (U ) der Netzwerkelemente ausgedr¨ uckt durch Knotenspannungen (statt der Zweigspannung) und die L¨osung der Gleichungen nach den Knotenspannungen.

So m¨ ussen f¨ ur ein Netzwerk mit z Zweigen und k Knoten nur die k − 1 Knotengleichungen aufgestellt und nach den Knotenspannungen aufgel¨ost werden. Im Vergleich zum Maschenstromverfahren sind augenf¨allig: 11

Die Knotenspannungsanalyse geht auf Maxwell (1873) zur¨ uck.

3.3

Knotenspannungsanalyse

271

Wegfall der Baumsuche, auch spielt die Zahl unabh¨angiger Maschen m = z − (k − 1) und damit die Anzahl der Zweige keine Rolle, weil die Knotenspannungen unabh¨ angige Variablen sind, d¨ urfen Spannungsquellen nicht auftreten, denn eine ideale Spannungsquelle zwischen zwei Knoten macht den Strom durch die Quelle unbestimmt. Das Standardverfahren erlaubt deshalb nur ideale Stromquellen. Es l¨asst sich allerdings f¨ ur Spannungsquellen, gesteuerte Quellen und gekoppelte Spulen erweitern (s. Kap. 3.3.2). 3.3.1 Knotenspannungen, Knotenleitwertmatrix Nach dem Maschensatz ist die Zweigspannung Uij zwischen den Knoten i, j die Differenz der zugeh¨ origen Knotenspannungen12 (Abb. 3.3.1a): Uij = Uki0 − Ukj0 .

uckt Zweigspannung Uij ausgedr¨ (3.3.1) durch Knotenspannungen

Man definiert als Knotenspannung Uk0 > 0 die Spannung eines Knotens K gegen einen (willk¨ urlichen) Bezugspunkt 0 (Symbolindex k: Nummer des Knotens). Jeder der k−1 Knoten erh¨ alt so eine unabh¨angige Knotenspannung Uk0 als Unbekannte. Sie bilden ein vollst¨ andiges System der unabh¨angigen Spannungsvariablen (s. Tab. 3.1), so wie beim Maschenstromverfahren die m Maschenstr¨ome ein vollst¨ andiges System der unabh¨angiger Stromvariablen waren. Bezugsknoten Der Bezugs- oder Referenzknoten B ist im Prinzip frei w¨ ahl-

bar. Er sollte Knoten des Netzwerkes sein, muss es aber nicht. Ein Knoten außerhalb des Netzwerkes erfordert dann k Knotenspannungen (Abb. 3.3.1a). Hat der Bezugsknoten das (elektrische) Potenzial ϕB , so nimmt Knoten K das Potenzial ϕk an und es gilt (Abb. 3.3.1b) ϕk = ϕB + UkB ,

Knotenpotenzial ϕk (3.3.2)

deswegen wird das Verfahren auch als Knotenpotenzialverfahren bezeichnet13 .

12

Der Index 0 entf¨ allt k¨ unftig.

13

Begriff nicht vorteilhaft, weil das Potenzial eines Knotens immer gegen einen Bezug angegeben werden muss. Gerade das dr¨ uckt aber die Knotenspannung aus.

272

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen Zweigspannungen

U41 K1

Iq G8

U12 G1 G2 U1B

K5 Knotenspannungen

a

K2

G7 U32 G3 U3B

K3

U43

K4

Superknoten

I3 G3 φE

G1 I2

φC G5 G6 G4 U4B

K3

I1

U5B

BK Bezugsknoten

φD

G2

G5

φA KnotenIq potenziale φB

K1

G4

K2

BK

K4

K5

Bezugspotential φB

b

c

Abb. 3.3.1. Einf¨ uhrung der Knotenspannung. (a) Netzwerk mit Zweig- und Knotenspan-

nungen. Bei einem Bezugspunkt außerhalb des Netzwerkes sind Zweig- und Knotenspannungen getrennt, sonst k¨ onnen bestimmte Zweispannungen auch Knotenspannungen sein. (b) Teil eines Netzwerkes mit Knotenpotenzialen. (c) Vollst¨ andiger Baum, Auftreten eines Superknotens

Die aus den Knotenspannungen errechenbaren Zweigspannungen erf¨ ullen den Maur Abb. 3.3.1 schensatz (unabh¨ angig von der Wahl von ϕB ) stets, beispielsweise gilt f¨ die Maschengleichung 0 = U12 − U32 − U43 + U41 = (U1B − U2B ) − (U3B − U2B ) − (U4B − U3B ) + (U4B − U1B ). Auch das paarweise Auftreten der Knotenspannungen mit unterschiedlichen Vorzeichen erf¨ ullt den Maschensatz.

Aus praktischen Gr¨ unden w¨ ahlt man den k-ten Knoten als Netzwerkknoten und besetzt ihn mit dem Potenzial ϕB = 0. Nur dann gibt es k − 1 unabh¨angige Knotenspannungen. Die Knotenspannungen Uk0 sind (gegen¨ uber dem Bezugspunkt) stets messbar (was bei Maschenstr¨omen nur in Verbindungszweigen m¨oglich war). Vorteilhaft ist ein Bezugsknoten mit m¨ oglichst vielen Zweigen. Das gilt f¨ ur Masseknoten in elektronischen Schaltungen durchweg. Dann wird der zugeh¨orige Graph zum Sterngraphen (s. z.B. Abb 3.2.1b). Er umfasst alle k − 1 Baumzweige, umgekehrt wird von ihm aus jeder Knoten direkt u ¨ ber einen Baumzweig erreicht. Die Knotenspannungen sind (durch Wahl eines Sternknotens) identisch mit einem ausgew¨ahlten Satz von Baumzweigspannungen. Die Baumzweigspannungen sind ausgew¨ ahlt, weil eine Baumzweigspannung im allgemeinen keine Knotenspannung sein muss (s. Kap. 3.4). Umgekehrt impliziert die Einf¨ uhrung der Knotenspannungen mit gemeinsamen Referenzknoten automatisch die Wahl eines Sternbaumes und die Suche unabh¨angiger Baumzweige entf¨allt.

3.3

Knotenspannungsanalyse

273

Beim Knotenspannungsverfahren ist f¨ ur jeden der k − 1 Knoten der Knotensatz mit den Knotenspannungen aufzustellen, z. B. f¨ ur Knoten K1 in Abb. 3.3.1a: G1 (Uk1 − Uk2 ) + G7 (Uk1 − Uk4 ) = (G1 + G7 )Uk1 − G1 Uk2 − G7 Uk4 = Iq . Dabei sind Str¨ome, die vom Knoten wegfließen, positiv angesetzt. Eine solche Festlegung muss f¨ ur alle k − 1 Knoten des Netzwerkes gelten. Abb. 3.3.1a zeigt ein Netzwerk mit zentralem Referenzknoten K5, von dem aus alle Knoten u ¨ ber einen Baumzweig erreichbar sind. Es gibt z = 8 Zweige und k−1 = 4 unabh¨angige Knoten (also beim Maschenstromverfahren m = z − (k − 1) = 4 unabh¨angige Maschengleichungen). Eine Erh¨ ohung der Zweigzahl (durch weitere Parallelschaltung von Leitwerten) w¨ urde die Zweigzahl erh¨ohen, die Knotenzahl aber nicht. Das unterstreicht den Vorteil des Knotenspannungsverfahrens bei Netzwerken mit vielen Zweigen, aber wenig Knoten. Der Knotensatz kann gleichwertig auch mit Knotenpotenzialen formuliert werden, beispielsweise f¨ ur einen Netzwerkknoten mit dem Potenzial ϕ (Abb. 3.3.1b) G1 (ϕA − ϕC ) + G2 (ϕA − ϕD ) + G3 (ϕA − ϕE ) = Iq . Beim Einsetzen des jeweiligen Potenzials hebt sich das Bezugspotenzial heraus und statt dessen treten die Knotenspannungen auf. Deshalb werden Knotengleichungen durchweg mit Knotenspannungen formuliert. Hinweis: Es gibt allerdings F¨ alle, in denen nicht alle Knoten von einem Bezugsknoten aus direkt erreichbar sind. Abb. 3.3.1c zeigt ein Beispiel (z = 9, k = 6). Vom Referenzknoten 0 aus sind alle bis auf Knoten 3 direkt erreichbar. Zum Knoten K3 gelangt man vom Bezugsknoten aus nur u ¨ ber K2. Das Problem wird unterschiedlich gel¨ ost: man definiert einen Superknoten“ (der Knoten 3 einschließt), daf¨ ur kann ” die Knotenspannung U20 aufgestellt werden oder man w¨ ahlt einen anderen Referenzknoten. In F¨ allen, bei denen kein Knoten auffindbar ist mit direktem Zugang zu Iq

Iq2

Iq1

R4

K2

K1

G1

G2 G Uk1 3

K1

Uk2

K2

iq2(t) R5

K1

4 2

K3 K1

R2 R1

K2

R3

1

5

G2 C uk1

K3

3

L uk2

iq1(t)

K3

a

K2

K3

b

c

Abb. 3.3.2. Beispiele zur Knotenspannungsanalyse. (a) Netzwerk. (b) Stromgespeiste

Br¨ uckenschaltung mit zugeh¨ origem Graph. (c) Netzwerk nach Abb. a mit Energiespeicherelementen

274

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

allen, wird das Knotenspannungsverfahren erweitert zum Schnittmengenverfahren (s. Kap. 3.4). Der Ansatz mit einem Superknoten basiert darauf.

Die Anwendung der Knotenspannungsanalyse auf ein Netzwerk mit nur unabh¨angigen Stromquellen erfolgt am besten nach der L¨ osungsmethodik Knotenspannungsanalyse

1. 2. 3.

4. 5.

Wahl eines Bezugsknotens im Netzwerk (nach Zweignummerierung und Festlegung der Zweigstromrichtungen). F¨ ur jeden Knoten i wird die Knotenspannung Ui0 nach dem Bezugsknoten eingef¨ uhrt (Richtung nach 0 positiv). Aufstellung der k − 1 Knotengleichungen f¨ ur die Zweigstr¨ome. Zum Knoten hinfließende Str¨ ome erhalten negatives, wegfließende positives Vorzeichen. Die Zweigstr¨ ome sind u ¨ ber die I, U -Beziehung (Leitwertdarstellung) des zugeh¨ origen Netzwerkelementes durch die Knotenspannungen auszudr¨ ucken. Darstellung der gesuchten Zweigspannungen durch Knotenspannungen. L¨osung des Gleichungssystems Punkt 3 nach den Knotenspannungen, die gem¨aß Punkt 4 erforderlich sind.

Hinweis: Zu 1. Er kann Knoten des Netzwerkes sein (bevorzugen) oder außerhalb liegen (fiktiver Knoten). Wird nur ein Zweigstrom gesucht, so sollte ein Knoten dieses Zweiges Bezugspunkt sein. Zu 3. Jeder Knoten wird nach unabh¨ angigen Quellenstr¨ omen rechts und restlichen Zweigstr¨ omen links geordnet und anschließend nach den Knotenspannungen: Schematische Anordnung der k − 1 (bzw. k) Knotengleichungen (Zeilen) und k − 1 (k) Knotenspannungen (Spalten). Unabh¨ angige Stromquellen sollten beim Knotenspannungsverfahren immer in Baumzweigen liegen. Dann treten sie nur in der Knotengleichung auf, die zu diesem Baumzweig geh¨ ort. Zu 5. Der Schritt reduziert sich auf die Berechnung einer Knotenspannung, wenn der Bezugsknoten zum Zweig der gesuchten Zweigspannung geh¨ ort.

Beispiel 3.3.1 Knotenspannungsverfahren In der Schaltung Abb. 3.3.2a (z = 3, k = 3) w¨ ahlen wir einen Bezugsknoten (K3) f¨ ur die Knotenspannungen Uk1 , Uk2 , dr¨ ucken alle Zweigstr¨ ome durch diese Knotenspannungen aus und stellen die Knotengleichungen f¨ ur die Knoten K1, K2 auf. Die Zweigstr¨ ome werden durch die betreffenden Zweigleitwerte und die Zweigspannungen formuliert. Es gilt (abfließende Str¨ ome positiv, zufließende negativ) K1: −Iq1 − Iq2 + I2 + I1 = 0

K2: +Iq2 − I2 + I3 = 0

3.3

Knotenspannungsanalyse

275

und weiter: I1 = G1 U13 = G1 Uk1 , I2 = G2 U12 = G2 (Uk1 − Uk2 ), I3 = G3 U23 = G3 Uk2 . Das ergibt die Knotengleichungen K1: (G1 + G2 )Uk1 −G2 Uk2 = Iq1 + Iq2 , K2: −G2 Uk1 +(G2 + G3 )Uk2 = −Iq2 .

(3.3.3)

Durch Aufl¨ osen nach Uk1 , Uk2 ist die Aufgabe gel¨ ost, die Zweigspannungen U13 , U23 , urde der Bezugspunkt im U12 folgen u ¨ ber U13 = Uk1 , U21 = Uk2 −Uk1 , U23 = Uk2 . W¨ Raum und nicht auf Knoten 3 liegen, so w¨ aren drei Knotenspannungen Uk1 . . . Uk3 mit drei Knotengleichungen erforderlich: −G2 Uk2 −G1 Uk3 = Iq1 + Iq2 , K1: (G1 + G2 )Uk1 −G3 Uk3 = −Iq2 , K2: −G2 Uk1 +(G2 + G3 )Uk2 K3: −G1 Uk1 −G3 Uk2 +(G1 + G3 )Uk3 = −Iq1 .

(3.3.4)

F¨ ur Uk3 = 0 ergibt sich Gl. (3.3.3), weil die Gleichung des Bezugsknotens K3 gestrichen werden kann (s. u.). Darin liegt der Vorteil des Bezugsknotens auf dem Netzwerk. Andererseits entsteht durch Kombination der Knotengleichungen K1 und K2 die Gleichung K3 f¨ ur Iq1 . Der Netzwerkbezugsknoten erspart (¨ ubereinstimmend mit dem Knotensatz) das Aufstellen einer Knotengleichung.

Beispiel 3.3.2 Br¨ uckenschaltung Wir wenden die L¨ osungsmethodik auf die stromgespeiste Wheatstonesche Br¨ ucke Abb. 3.3.2b an. Gesucht ist der Strom osungsmethodik an: 1. und 2. Da durch G2 . Folgende Schritte fallen nach der L¨ origen Knoten der Zweigstrom I2 (Abb. b) gesucht ist, wird einer der beiden zugeh¨ als Bezugspunkt gew¨ ahlt. Die angesetzten Zweigstromrichtungen sind im Streckenkomplex verzeichnet, auf ihn kann aber grunds¨ atzlich verzichtet werden. Es gibt k − 1 = 3 unabh¨ angige Knotenspannungen Uk1 , Uk2 , Uk3 . 3. Die Knotengleichungen lauten K1: I1 − I4 + Iq = 0 → 0 = G1 Uk1 − G4 (Uk2 − Uk1 ) +Iq {z } | U21

K2: I2 + I4 + I5 = 0 → 0 = G2 Uk2 + G4 (Uk2 − Uk1 ) −G5 (Uk3 − Uk2 ) {z } {z } | | U21

K3: I3 + I5 − Iq = 0 → 0 = G3 Uk3 + G5 (Uk3 − Uk2 ) −Iq . | {z }

U32

U32

Geordnet nach Knotenspannungen folgt −G4 Uk2 +0 = −Iq K1: (G1 + G4 )Uk1 K2: −G4 Uk1 +(G2 + G4 + G5 )Uk2 −G5 Uk3 = 0 K3: 0 −G5 Uk2 +(G3 + G5 )Uk3 = Iq . Deutlich werden die Symmetrie der Gleichungen, die Knotenleitwerte als Diagonalelemente sowie die Minuszeichen vor allen Koppelelementen. 4. Der Zweigstrom I2 h¨ angt mit der zugeh¨ origen Zweigspannung = Knotenspannung Uk2 u ¨ ber I2 = G2 Uk2 zusammen. 5. Auf die L¨ osung des Gleichungssystems nach Uk2 verzichten wir.

276

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

Hinweis: Das Netzwerk wurde spannungsgespeist im Beispiel 3.2.2 mit der Maschenstromanalyse bearbeitet.

G¨ ultigkeitsbereich Die Knotenspannungsanalyse gilt f¨ ur lineare und nichtli-

neare zeitunabh¨ angige und zeitabh¨ angige Netzwerke. Knotenspannungen haben die Bedeutung von Rechengr¨ oßen, wenn der Bezugsknoten nicht Knoten eines Netzwerkes ist. Ersetzt man beispielsweise die Schaltung nach Abb. 3.3.2a durch die Schaltung Abb. 3.3.2c mit beliebigem Erregerzeitverlauf iq1 (t), iq2 (t), so folgen bei energielosen Speicherelementen f¨ ur die Knotenspannungen uk1 , uk2 die Knotengleichungen K1: Guk1 + C dudtk1 −Guk2 +Guk2 + K2: −Guk1

1 L

R

= iq1 (t) + iq2 (t) uk2 dt = −iq2 (t).

(3.3.5)

Dieses System ergibt als L¨ osung die Knotenspannungen uk1 , uk2 . Man u ¨ berzeugt sich, dass es formal der folgenden Gl. (3.3.6) entspricht, nur treten Differenziale und Integrale der Unbekannten auf. Im Bd. 3 lernen wir Verfahren zur L¨ osung derartiger Probleme kennen.

Matrixform Die Knotenspannungsanalyse f¨ uhrt bei einem Netzwerk mit un-

abh¨angigen Stromquellen allgemein auf p = k − 1 Knotengleichungen: Knotenspannungen → Knoten- K1: G11 Uk1 + G12 Uk2 + . . . + G1p Ukp = nummer K2: G21 Uk1 + G22 Uk2 + . . . + G2p Ukp = .. .. ↓ . .

Iq1 Iq2

Kp: Gp1 Uk1 + Gp2 Uk2 + . . . + Gpp Ukp =  

Iqp  

Zweigstr¨ ome

. (3.3.6)

Quellenstr¨ ome

Die Matrix der Koeffizienten heißt Knotenleitwertmatrix, ihre Koeffizienten Gii Knotenleitwerte und die Gij = Gji die Koppelleitwerte (zwischen den Knotenpunkten i und j). Iqi ist die Summe der Quellenstr¨ome im Knoten i (positiv, wenn zum Knoten hin gerichtet) und Uki die Knotenspannung des Knotens i. F¨ ur die Koeffizienten gibt es einfache Bildungsregeln (s. u.). Das vereinfacht die Knotenspannungsanalyse erheblich. Im n¨achsten Schritt wird Gl. (3.3.6) nach den Knotenspannungen aufgel¨ost und aus dem Ergebnis die Zweigspannungen Gl. (3.3.1) berechnet. Das Gleichungssystem (3.3.6) lautet gleichwertig in Matrixform ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ G11 G12 . . . G1p Uk1 Iq1 ⎜ G21 G22 . . . G2p ⎟ ⎜ Uk2 ⎟ ⎜ Iq2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ . .. . . . ⎟·⎜ . ⎟=⎜ . ⎟ ⎝ .. . .. ⎠ ⎝ .. ⎠ ⎝ .. ⎠ . Gp1 Gp2 . . . Gpp

Ukp

Iqp

(3.3.7a)

3.3

Knotenspannungsanalyse

277

oder abgek¨ urzt G ·  

Uk  

Knoten- Vektor der leitwert- Knotenmatrix spannungen

=

Iq  

.

Knotenspannungsgleichungen, (3.3.7b) Matrixform

Vektor der Stromquellen

Jede Zeile der Matrix beschreibt die Schaltungsstruktur, also die Umgebung des betreffenden Knotens. F¨ ur die Koeffizienten gelten einfache Bildungsregeln: 1. 2.

3. 4.

5.

Hauptdiagonalelement = Knotenleitwert Gii . Das ist die (stets positive) Summe aller am Knoten i angeschlossenen Leitwerte; Matrixelemente außerhalb der Hauptdiagonalen sind die (negativen) Koppelleitwerte zwischen dem Knoten i (Zeile) und benachbarten Knoten j (Spalte). So ist Gij stets gleich der negativen Summe aller zwischen den Knoten i und j liegenden Leitwerte. F¨ ur ein Netzwerk nur mit den Elementen R, C, L gilt Gij = Gji : die Knotenleitwertmatrix ist symmetrisch;14 Fehlende Verbindungen erhalten Eintrag 0 am Knoten der Knotenspannung; Die Zeilensumme [Spaltensumme] gibt den Leitwert zwischen dem betrachteten Knoten (Zeilennummer [Spaltennummer]) und Bezugsknoten. Sie verschwindet, wenn zwischen Knoten und Bezug kein Leitwert“ liegt (Rechen” und Kontrollm¨ oglichkeit). Die Eigenschaften nach Pkt. 2 (Symmetrie zur Hauptdiagonalen, alle Koppelleitwerte negativ) setzen einen Sternbaum voraus, erfordern zum Bezugsknoten hin positiv definierte Knotenspannung und keine gesteuerten Stromquellen.

Durch diese Eigenschaften kann die Matrix direkt aus der Schaltung zusammen mit dem Vektor der Einstr¨ omungen gewonnen werden, ein großer Vorteil des Knotenspannungsverfahrens. Praktische Ablauffolge: 1. 2. 3.

4.

Stelle ein Schema f¨ ur die p = (k−1)-Knotenspannungen (Spalten) und p Knoten (Zeilen) nach Einf¨ uhrung der Knotenspannungen auf. F¨ uge die Knotenleitwerte (= Summe der Leitwerte am Knotenpunkt, stets positiv) als Hauptdiagonalelemente in die zum Knoten geh¨ orige Zeile ein. Trage in die Nebendiagonalelementen die negativen Koppelleitwerte zwischen den Knotenpunkten und Nachbarknoten (z. B. 2. Zeile Knoten 2, 3. Spalte Knoten 3) ein. Beachte die Symmetrie der Matrix. Im Vektor der unabh¨ angigen Quellenstr¨ ome steht der Quellenstrom des jeweiligen Knotens (Zeilennummer, Zufluss positiv, Abfluss negativ).

Die Symmetrie der Matrix entf¨ allt bei Anwesenheit gesteuerter Quellen. 14

Das negative Vorzeichen tritt auf, wenn die Knotenspannungen zum Bezugspunkt 0 hin positiv eingef¨ uhrt ist (was der Konvention entspricht).

278

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

Gl. (3.3.7) ist ein lineares Gleichungssystem mit der L¨osung U k = G−1 · I q .

L¨ osung Knotenspannungen (3.3.8)

Aufl¨ osung der Knotengleichungen Die Aufl¨osung nach einer Knotenspannung Uki gelingt nach dem gleichen Formalismus wie bei der Maschenstromanalyse (Gl. (3.2.8)). Kap. 3.5.1 zeigt im einfachen Beispiel 3.5.1 eine computergest¨ utzte L¨ osung der Knotengleichungen. Hier bereitet auch der Einbau realer Spannungsquellen (durch Umrechnung in Stromquellen) kein Problem.

Vertiefung. Zweigspannungen, Zweigstr¨ ome* Die Zweigspannungen Uij erge-

ben sich aus den Knotenspannungen Uk u ¨ ber ein lineares Gleichungssystem geschrieben als Matrixgleichung U = AT U k .

Beziehung Zweig-Knotenspannungen (3.3.9)

U ist der Spaltenvektor der Zweigspannungen, U k der Spaltenvektor der Knotenspannungen und AT die Zweig-Knoten Inzidenzmatrix (der sog. Schnitte  T durch die Baumzweige)15 . Die Transponierte von AT , n¨amlich ( AT = A ist die Knoten-Zweig-Inzidenzmatrix A. Die Knoten-Zweig Inzidenzmatrix A gibt an, welche Zweige eines Graphen mit welchen Knoten inzident sind. Man bestimmt sie, indem die Knotenspannungen den Zeilen und die Zweigspannungen Spalten zugeordnet werden Uk1 Uk2 .. . Ukp

U1 U 2 a11 a12 ⎜ a21 a22 ⎜ ⎜ . .. ⎝ .. . ap1 ap2 ⎛

··· ··· ··· .. . ···

Uz a1z a2p .. . apz

⎞ ⎟ =A ⎟ ⎟ ⎠

U1 U2 .. . Uz

Uk1 a11 ⎜ a12 ⎜ ⎜ . ⎝ .. a1z ⎛

Uk2 · · · Ukp ⎞ a21 · · · ap1 T a22 · · · ap2 ⎟ ⎟ =A , .. . . .. ⎟ . . ⎠ . a2z · · · apz (3.3.10)

Index-Zuordnung: aij : Knoten (Zeile) i, Zweig (Spalte) j. In der Inzidenzmatrix A treten als Matrixelemente aij nur die Werte +1, −1 oder 0 auf abh¨angig davon, ob beim betreffenden Maschenumlauf die Knotenspannung enthalten ist oder nicht; die Richtung von Zweig- und Knotenspannung bestimmt das Vorzeichen. Rechts in Gl. (3.3.10) stehen die Maschengleichungen und damit die Zweigspannungen ausgedr¨ uckt durch die Knotenspannungen, links die Knotenspannungen ausgedr¨ uckt durch die Zweigspannungen. 15

Die Knoten-Zweig-Inzidenzmatrix A wird im Kap. 3.4 eingehender erl¨ autert, ebenso der Schnittbegriff.

3.3

Knotenspannungsanalyse

279

Abschließend lauten die Zweigspannungen berechnet nach der Knotenspannungsanalyse mit Gl. (3.3.8) Beziehung Zweigspannungen-Stromquellen, (3.3.11) Knotenspannungsverfahren

U = AT G−1 I q .

Hinweis: Da die Zweig-Knotenspannungsmatrix AT auch jene Zweigspannungen enth¨ alt, die zugleich Knotenspannungen sind, kann sie – analog zur Maschen-Zweig Inzidenzmatrix C (Gl (3.2.10)) – auf die Elemente nur f¨ ur die (unbekannte) Verbindungszweigmatrix (also die Verbindungszweigspannungen) reduziert werden.

Die Zweig-Knoten-Inzidenzmatrix AT wird verst¨andlicher, wenn wir die Knoten-Zweig-Inzidenzmatrix A (Gl. (3.3.10)) betrachten. Statt der Zweigspanonnen auch die (gleichgerichteten) Zweigstr¨ome I1 . . . Iz nungen U1 . . . Uz k¨ f¨ ur jeden Knoten betrachtet werden: nach dem Knotensatz verschwindet ihre vorzeichenbehaftete Summe f¨ ur jeden der k−1 Knoten. In Matrixschreibweise lautet dieser Sachverhalt: A · I = 0.

Knotensatz (3.3.12)

Damit hat die Knoten-Zweig-Inzidenzmatrix ihre eigentliche Bedeutung: sie beschreibt die Koeffizienten der (Zweig-) Str¨ome im Knotensatz. Diesen fundamentalen Aspekt vertiefen wir in Kap. 3.4.1

Beispiel 3.3.3 Beziehung Knoten-, Zweigspannungen, Knotenleitwertmatrix Wir veranschaulichen die bisherigen Ergebnisse am Netzwerk Abb. 3.3.3 mit z = 6 Zweigen und k = 4 Knoten. Knoten 4 sei Bezugsknoten. Die Knotenspannungen Uk1 . . . Uk3 stehen zu den Zweigspannungen U1 . . . U6 u ¨ ber den Maschensatz in Beziehung: U1 = Uk1 , U2 = Uk2 , U3 = Uk3 , U4 = Uk1 − Uk2 , U5 = −Uk2 + Uk3 , U6 = Uk1 − Uk3 .

U6

I6 I4

K1

I1 Iq1

G1

U4

G6 K2

G4 I 2 Uk1 G2

U5 G5 Uk2

I5

K3

I3 G3

Uk3

Iq3 Abb. 3.3.3. Beispiel zur Knotenspannungs-

K4

analyse

280

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

Dieses Gleichungssystem lautet (geordnet) in Matrixform nach Gl. (3.3.9) 0 1 1 0 0 B0 1 0C 0 1 B C Uk1 B0 0 1C C @ A = ATU k . U =B B 1 −1 0 C · Uk2 B C Uk3 @ 0 −1 1 A 1 0 −1 Der Spaltenvektor U der Zweigspannungen ist mit dem Spaltenvektor U k der Knoupft. Ihre Matrixtenspannungen u ¨ ber die Zweig-Knoten-Inzidenzmatrix AT verkn¨ age +1, −1 oder 0 abh¨ angig davon, ob die Richtung elemente aij haben die Eintr¨ der Zweigspannung beim zugeh¨ origen Maschenumlauf mit der Knotenspannung u ¨bereinstimmt (+1), nicht u ¨ bereinstimmt (−1) oder sie u ¨ berhaupt nicht auftritt (0). Die Zweigspannungen und somit auch die Knotenspannungen sind Folge der Stromquellen. Deshalb ben¨ otigen wir im n¨ achsten Schritt den Knotensatz f¨ ur jeden Knoten zur Bestimmung der Knotenspannung als Funktion der Quellenstr¨ ome. Dabei treten die zugeh¨ origen Zweigstr¨ ome auf. Sie werden durch den Zweigleitwert und die Zweigspannung ausgedr¨ uckt und diese nach Gl. (3.3.1) als Differenz der Knotenspannungen geschrieben. Der Knotensatz lautet f¨ ur die Schaltung Abb. 3.3.3 (abfließende Str¨ ome positiv, zufließende negativ) jeweils f¨ ur Knoten K1 . . . K3 zun¨ achst ohne Quellenstr¨ ome 1 0 I1 9 0 1 B I2 C C B K1: I1 + I4 + I6 = 0 = 1 0 0 1 0 1 B I3 C C K2: I2 − I4 − I5 = 0 → @ 0 1 0 −1 −1 0 A · B B I4 C = A · I = 0. ; C B K3: I3 + I5 − I6 = 0 0 0 1 0 1 −1 @ I5 A I6 (3.3.13) Das ist der Inhalt von Gl. (3.3.12). In Matrixschreibweise erf¨ ullen die Zweigstr¨ ome u ¨ber die Knoten-Zweig Inzidenzmatrix A den Knotensatz! Die Knotengleichungen ergeben sich aus dem Netzwerk auch direkt K1: G1 U1 + G4 U4 + G6 U6 = G1 Uk1 + G4 (Uk1 − Uk2 ) + G6 (Uk1 − Uk3 ) = Iq1 K2: G2 U2 − G5 U − G6 U6 = G2 Uk2 − G4 (Uk1 − Uk2 ) − G5 (Uk3 − Uk2 ) = 0 K3: G3 U3 + G5 U5 − G6 U6 = G3 Uk3 + G5 (Uk3 − Uk2 ) − G6 (Uk1 − Uk3 ) = −Iq3 (3.3.14) oder geordnet in Matrixschreibweise nach Gl. (3.3.7) 1 0 1 0 1 0 Uk1 Iq1 −G4 −G6 G1 + G4 + G6 A · @ Uk2 A = @ 0 A . @ −G4 G2 + G4 + G5 −G5 −G6 −G5 G3 + G5 + G6 Uk3 −Iq3 (3.3.15)

3.3

Knotenspannungsanalyse

281

Diese Matrixform l¨ asst sich unmittelbar aus der Schaltung ablesen: so sind am Knoten K1 die Leitwerte G1 , G4 und G6 angeschlossen, sie bilden den Knotenleitwert, der Koppelleitwert zwischen den Knoten 1 und 2 ist −G4 , zwischen Knoten 1 und 3 −G6 usw. Zum Knoten K1 str¨ omt Iq1 hin (positiver Eintrag rechts) usw. Dieses Gleichungssystem kann nach den Knotenspannungen aufgel¨ ost werden, die Zweigspannungen folgen u ¨ ber Gl. (3.3.9).

Hinweis: 1.

2. 3.

4.

5.

6. 7.

Die Bildungsregeln des Gleichungssystems (3.3.7) entsprechen denen der Maschenstromanalyse. Nebendiagonalelemente sind hier aber stets negativ! Deshalb kann der Koppelleitwert direkt aus dem Netzwerk abgelesen werden. Die Knotenspannungsanalyse ist vorteilhaft bei stromgespeisten Netzwerken. Das begr¨ undet ihre große Verbreitung in der Elektronik. In der Knotenspannungsanalyse fehlt die explizite Festlegung des vollst¨ andigen Baumes, weil ein (immer w¨ ahlbarer) Sternbaum zugrunde liegt. Es kann jedoch auch ein beliebiger Baum aufgestellt und ein anderer (wegzulassender) Knoten zum Bezug gew¨ ahlt werden. Dann geht die Gleichungssymmetrie verloren. Ein Sternbaum bringt so viele Vorteile, dass man dieses Verfahren schlechthin als Knotenspannungsanalyse bezeichnet. Wird im allgemeinen Fall die Bevorzugung eines Bezugsknotens aufgegeben und nur noch mit Knotenpaaren gerechnet, so heißt das Verfahren Schnittmengenanalyse. Sie ist das eigentliche Analogon zur Schleifenanalyse (s. Kap. 3.4.2). Da viele nichtlineare Zweipolbeziehungen in der Form I(U ) vorliegen (Dioden-, Transistorkennlinien), lassen sie sich in der Knotenspannungsanalyse leicht ber¨ ucksichtigen. Spannungsquellen (gesteuert, ungesteuert, z. B. Operationsverst¨ arker) werden durch Erweiterung einbezogen. Wegen der Vorz¨ uge bildet die Knotenspannungsanalyse (in modifizierter Form) die Grundlage rechnergest¨ utzter Analyse- und Simulationsverfahren (z. B. SPICE/PSPICE).

Vergleich Maschenstrom-Knotenspannungsanalyse Bei der Maschenstromanalyse mussten m Gleichungen gel¨ ost werden, bei der Knotenspannungsanalyse hingegen k − 1. F¨ ur eine gegebene Zweigzahl z w¨ ahlt man das Verfahren mit der geringeren Zahl von Unbekannten, also die Knotenspannungsanalyse f¨ ur (k − 1) < m = z − (k − 1) bzw. z (k − 1) < . (3.3.16) 2 Die Knotenspannungsanalyse empfiehlt sich bei kleiner Knoten-, aber hoher Zweigzahl sowie nichtlinearen Netzwerkelementen mit einer Strom-Spannungs-Beziehung

282

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

I(U ). Ein weiterer Vorteil liegt in der verfahrensbedingten Wahl des Sternbaumes. Das Maschenstromverfahren erfordert dagegen eine Baumsuche, wenn nicht von vornherein unabh¨ angige Maschen oder Fenstermaschen gew¨ ahlt werden k¨ onnen. Es dient, trotz dieses Mehraufwandes, h¨ aufig zur Modellierung magnetischer Kopplungen.

3.3.2 Erweiterte Knotenspannungsanalyse* Allgemeine Erweiterungen Wir entsch¨ arfen die bisherige Beschr¨ankung auf

Stromquellen und lassen unabh¨ angige und gesteuerte Spannungsquellen sowie gekoppelte Spulen zu. Unabh¨angige Spannungsquellen zwischen zwei Knoten k¨onnen unterschiedlich ber¨ ucksichtigt werden: Durch Wandlung in eine Stromquelle u ¨ ber einen Quelleninnenwiderstand. Er muss ggf. erg¨ anzt und aus der L¨ osung wieder entfernt werden. Durch Quellenverschiebung (¨ uber Knoten) und anschließende Wandlung in Stromquellen. Durch Einf¨ uhrung der Quellenspannung als Knotenspannung. Dann ist die Knotenspannung nicht mehr unbekannt, sondern die (bekannte) Quellenspannung: Superknotenverfahren. Einf¨ uhrung eines kleinen Hilfswiderstandes in Reihe zur Spannungsquelle und anschließende Wandlung in eine Stromquelle. Er sollte so klein sein, dass er das Ergebnis praktisch nicht beeinflusst (Verfahren bei numerischen L¨osungen u ¨blich). Gesteuerte Quellen Gesteuerte Stromquellen werden in knotenspannungsgesteuerte Stromquellen umgeformt. Man sieht sie bei Aufstellung des Gleichungssystems zun¨achst als unabh¨ angig an und beachtet sie auf der rechten Seite. Im n¨achsten Schritt kommen sie nach links zu den entsprechenden Knotenspannungen: man verliert die Symmetrie der Knotenleitwertmatrix. Gesteuerte Spannungsquellen werden entweder in gesteuerte Stromquellen u uhrt oder, falls nicht m¨ oglich, wie unabh¨angige Spannungsquellen ¨ berf¨ behandelt. Gekoppelte Spulen werden durch ihre (ungew¨ohnliche) Ersatzschaltung mit zwei spannungsgesteuerten Stromquellen beschrieben (s. Bd. 2) und nach vorstehendem Schema erfasst.

3.3

Knotenspannungsanalyse

283

Insgesamt erfordern diese F¨ alle eine Erg¨ anzung des L¨ osungsablaufes der Knotenspannungsanalyse zu Punkt 3 f¨ ur Netzwerke mit unabh¨ angigen Spannungsquellen, gesteuerten Quellen und gekoppelten Spulen: Transformiere unabh¨ angige Spannungsquellen in unabh¨ angige Stromquellen – falls notwendig unter Benutzung von Netzwerkelementen oder Hilfsgr¨ oßen. Betrachte gesteuerte Stromquellen beim Aufstellen der Knotengleichungen zun¨ achst als unabh¨ angige Quellen und dr¨ ucke ihre Steuergr¨ oßen anschließend durch Knotenspannungen aus. Gekoppelte Spulen werden auf ihre Ersatzschaltung mit zwei spannungsgesteuerten Stromquellen zur¨ uckgef¨ uhrt.

Beispiel 3.3.4 Quellentransformation Im Zweig eines Netzwerkes Abb. 3.3.4a liegt eine ideale Spannungsquelle. Sie wird zur Durchf¨ uhrung der Knotenspannungsanalyse in eine Stromquelle mit Hilfswiderstand R transformiert: man erg¨ anzt einen Hilfswiderstand, vollzieht die Quellenwandlung und anschließend die Standardanalyse. Im Endergebnis muss der Hilfswiderstand gegen null gehen, um die richtige L¨ osung zu erhalten. Nach der Zweipoltheorie belastet das Netzwerk die so modifizierte Spannungsquelle mit einem Ersatzwiderstand Ra (einfach zu ermitteln). Ein ort die L¨ osung kaum, solange er (sehr) klein gegen den ErsatzHilfswiderstand R st¨ widerstand Ra bleibt (z. B. R ≈ (10−2 . . . 10−3 )Ra ). Dann kann er in der L¨ osung verbleiben und muss nicht entfernt werden (bei symbolischer L¨ osung zus¨ atzlicher Aufwand, bei numerischer L¨ osung ohnehin nicht m¨ oglich). Einen anderen Weg bieten die Versetzungss¨ atze (Kap. 4.2). Wir verschieben die uhren also in den Zweigen 4 und 5 die SpanSpannungsquelle u ¨ ber den Knoten i , f¨ nungsquelle Uq ein (Abb. 3.3.4b, c). Der Maschensatz in Masche M1 wird dadurch nicht ver¨ andert, auch nicht in den restlichen Maschen. Anschließend werden die Zweige 4 und 5 in Stromquellen transformiert und das Knotenspannungsverfahren durchgef¨ uhrt.

1 R4

R4 R5 Hilfswiderstand

R1 i R2

a

Uq

Uq

R1

i‘ i

R3

R2

b

1

Uq/R4

R5

Uq

i‘ R‘

2

M1

R4

R1 i,i‘

Knoten i i‘

2 R5

R3

R2

R3 Uq/R5

c

Abb. 3.3.4. Spannungsquellentransformation bei der Knotenspannungsanalyse. (a) Ein-

f¨ ugen eines vernachl¨ assigbaren Hilfswiderstandes. (b) Quellenverschiebung und anschließende (c) Wandlung in Stromquellen

284

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

Beispiel 3.3.5 Gesteuerte Stromquelle Eine spannungsgesteuerte Stromquelle hat die Steuergleichung Iji = SUmn = S(Um − Un ) (Abb. 3.3.5a). Dann stehen in den Zeilen i bzw. j des Stromquellenvektors keine festen Werte Iq bzw. −Iq (wie bei ungesteuerter Quelle), sondern S(Um0 − Un0 ) resp. −S(Um0 − Un0 ). Beim Transfer dieser Anteile nach links tritt in Zeile i zum Leitwert Gim noch der Beitrag −S und zu Gin der Beitrag +S, in Zeile j zum Leitwert Gjm noch der Beitrag S und zu Gjn der Beitrag −S. Entsprechend verf¨ ahrt man bei der stromgesteuerten Stromquelle Iji = Ai Imn = achst Ai Gmn (Um0 −Un0 ). Der Steuerstrom Umn zwischen den Knoten m, n wird zun¨ uckt durch den zugeh¨ origen Zweigleitwert Gmn und die Knotenspannungen ausgedr¨ und die Beitr¨ age in den Zeilen i und j ber¨ ucksichtigt, also in Zeile i die Elemente Gim und −Ai Gmn sowie Gin um Ai Gmn erg¨ anzt (und analog wie oben mit der Zeile j verfahren). Gesteuerte Spannungsquellen betrachten wir in Kap. 3.6.2.

Beispiel 3.3.6 Stromgesteuerte Stromquelle F¨ ur die Schaltung Abb. 3.3.5b mit stromgesteuerter Stromquelle stellen wir (zur Veranschaulichung) zun¨ achst die beiden Knotengleichungen K1, K2 auf: K1: Ai ISt + G1 Uk1 + G2 (Uk1 − Uk2 ) = 0, K2: G2 (Uk2 − Uk1 ) + ISt − Iq = 0. Daraus folgt mit dem Steuerstrom ISt = G3 Uk2 in Matrixform „ « „ « „ « G1 + G2 − (G2 − Ai G3 ) Uk1 0 · = . G2 + G3 Uk2 Iq −G2 Weil ein Knoten des Steuerstromes zugleich Bezugsknoten ist, tritt die gesteuerte Quelle nur in der erste Zeile auf.

Beispiel 3.3.7 Gesteuerte Quelle F¨ ur die Schaltung Abb. 3.3.5c mit spannungsgesteuerter Stromquelle entnehmen wir die Matrix der Schaltung. Die gesteuerte Iq1 m

i

m

K1

i

G2 ISt Imn Iij=SUmn n

a

j

Iij=AiImn n

AiISt

G1

Uk1G3

K2

K1

K2

Uk2

Iq

Uk1

USt

G2

G3

G1 Uk2

G4 SUSt

K3

Uk3

Iq2

j

b

c

Abb. 3.3.5. Gesteuerte Stromquelle in der Knotenspannungsanalyse. (a) Spannungs- und stromgesteuerte Stromquelle. (b) Netzwerk mit stromgesteuerter Stromquelle. (c) Netzwerk mit spannungsgesteuerter Stromquelle

3.3

Knotenspannungsanalyse

285

Quelle wirkt nur am Knoten 2, deshalb gibt es Steuerbeitr¨ age nur in Zeile 2. Die Steuerspannung zwischen den Knoten 2 und 3 verursacht in Zeile 2 bei den Steuerspannungen Uk2 und Uk3 Beitr¨ age. So wird die Matrix unsymmetrisch. Die u ¨ brigen Koeffizienten f¨ ugen wir aus der Schaltung ein 1 0 1 1 0 0 −G2 0 Iq1 Uk1 (G1 + G2 ) @ −G2 (G2 + G3 + S) − (S + G3 ) A · @ Uk2 A = @ −Iq1 A . (G3 + G4 ) Uk3 Iq2 0 −G2

Spannungsquellen als Knotenspannungen, Superknotenverfahren Ideale Spannungsquellen k¨onnen auch in die Knotenspannungsanalyse als Superknotenverfahren (super node analysis) einbezogen werden. Die Idee besteht darin, die ideale Spannungsquelle mit einem Superknoten“ zu umschließen und ” ihm nur ein unbekanntes Knotenpotenzial als Referenzgr¨oße zuzuweisen. Das Potenzial des zweiten Knotens ergibt sich aus der Spannungsquelle und dem Referenzpotenzial. Das Verfahren eignet sich unter bestimmten Bedingungen auch f¨ ur mehrere Spannungsquellen. Bei der Schleifen-/Maschenstromanalyse wurde die ideale Stromquelle in einen Verbindungszweig des vollst¨ andigen Baumes gelegt. Damit bildete sie einen bekannten Schleifenstrom und senkte die Zahl zu l¨ osender Schleifengleichungen um eine, bei n Stromquellen also von m auf m − n. Die Spannungsquellen lagen dort in den k − 1 Zweigen des vollst¨ andigen Baumes. F¨ ur das gleiche Netzwerk (mit gleichem Baum) k¨ onnen bei gegebenen Stromquellen (aber ohne Spannungsquellen) zur Analyse auch die entsprechenden Baumzweigspannungen als Unbekannte dienen (duale Betrachtung, das ist der Inhalt der Schnittmengenanalyse s. Kap. 3.4.2). Legt man nun eine ideale Spannungsquelle in einen Baumzweig, so ist die zugeh¨ orige Baumzweigspannung bekannt: n Spannungsquellen senken dann die Zahl zu bestimmender Baumzweigspannungen auf (k − 1) − n. Das ist das duale Ergebnis der Maschenstromanalyse.

Obwohl die Knotenspannungsanalyse einen Sternbaum nutzt, lassen sich ideale Spannungsquellen einbeziehen mit der Methode des Superknotens oder dem Verfahren eines Hilfsstromes“ durch die Spannungsquelle (Grundlage ” der modifizierten Knotenspannungsanalyse: MNA, modified nodal analysis). Das erste Verfahren eignet sich f¨ ur die Handanalyse, die letzte f¨ ur rechnergest¨ utzte Ans¨atze. Eine Spannungsquelle kann im Netzwerk liegen: einseitig am Bezugsknoten. Dann erzwingt sie die Knotenspannung des (anderen) Anschlussknotens und es entf¨allt die Formulierung dieser Knotengleichung wegen bekannter Knotenspannung. schwebend“ zwischen zwei Knoten. Das ist eine Zwangsbedingung f¨ ur ” beide Knotenspannungen (etwa zwischen den Knoten i und j) Uq = Uki − Ukj . (3.3.17)

286

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

Dadurch h¨angt die zweite Knotenspannung von der ersten ab und die Knotenspannungen der Knoten i und j gehen effektiv in eine u ¨ber. Umgibt man die Spannungsquelle mit einer Gaußschen H¨ ullfl¨ache, eben einem Superknoten, so bleibt der Knotensatz erhalten. Gleichzeitig eliminiert der Superknoten eine Knotengleichung und statt der k−1 Knotengleichungen sind nur noch k−1−n zu l¨ osen, wenn es n Superknoten (n Spannungsquellen) gibt. Ideale Spannungsquellen senken den L¨osungsaufwand der Knotenspannungsanalyse. Superknoten: Gaußsche H¨ ullfl¨ ache, die zwei, durch eine ideale Spannungsquelle (unabh¨angig, gesteuert) verbundene Netzwerkknoten umschließt. Mehrere Superknoten mit gemeinsamen Knoten k¨onnen zu einem gr¨oßeren Superknoten zusammengefasst werden: ein Superknoten darf mehrere Spannungsquellen enthalten. Oft werden Superknoten nur auf schwebende Spannungsquellen beschr¨ ankt, da ideale Spannungsquellen mit einseitigen Bezugspunkt ohnehin keine Knotengleichung liefern. Ein zweiter L¨ osungsansatz ist die Einf¨ uhrung eines (unbekannten) Hilfsstromes IH durch die ideale Spannungsquelle. Wird das Knotenspannungssystem damit aufgestellt (wobei jeweils eine der mit der Spannungsquelle verkn¨ upften Knotenspannungen als abh¨ angige Variable auftritt und der unbekannte Strom als unabh¨ angige Variable zu betrachten ist), so entsteht das u ¨ bliche Knotenspannungsgleichungssystem, nur mit dem Unterschied, dass Str¨ ome und Spannungen ungeordnet und z. T. bekannt oder unbekannt sind. Deshalb versagt zun¨ achst die Standardl¨ osung nach den Knotenspannungen. Erst durch Umordnen lassen sich u ussige Kno¨ berfl¨ tenspannungen u ome auf ¨ber die Zwangsbedingung Gl. (3.3.17) und unbekannte Str¨ der Erregerseite beseitigen. Damit ist die ideale Spannungsquelle wieder Inhalt eines Superknotens.

Das Superknotenprinzip l¨ asst sich anschaulich erkl¨aren. Ausgang ist ein Netzwerk (Abb. 3.3.6a) mit zwei verschmolzenen Knoten. Die Knotenspannung Uk betr¨agt Uk = (Iq1 + Iq2 )/(G1 + G2 ), es gibt nur eine (unabh¨angige) Knotengleichung. Eine eingef¨ ugte ideale Spannungsquelle zwischen beiden Knoten Superknoten

Hilfsstrom IH

K1

K1

Uq

K1

K2

K2

Uq G1 Iq1

a

G1

Uk1 G2 Iq2

Iq1

b

Uk1 G2

Uk2

G1 Iq2

K2

IH Uk1 G2

Iq1

Uk2

Iq2

c

Abb. 3.3.6. Superknoten. (a) Ausgangsnetzwerk. (b) Ideale Spannungsquelle im Superkno-

ten. (c) Ber¨ ucksichtigung der Spannungsquelle durch einen Hilfsstrom IH

3.3

Knotenspannungsanalyse

287

(Abb. 3.3.6b) wird als Inhalt eines Superknotens betrachtet. F¨ ur ihn gilt die Superknotengleichung und eine Spannungsbedingung f¨ ur beide Knotenspannungen Uk1 und Uk2 : SK: G1 Uk1 + G2 Uk2 = Iq1 + Iq2 ,

ZB : Uq = Uk2 − Uk1 .

Beide Gleichungen liefern beispielsweise als gesuchte Knotenspannung Uk2 Uk2 =

Iq1 + Iq2 G1 Uq + . G1 + G2 G1 + G2

¨ Der letzte Term kann auch als Uberlagerung des von der Spannungsquelle ausgehenden Stromes durch R2 verstanden werden. Als weitere Analysevariante betrachten wir die Einf¨ uhrung eines Hilfsstromes IH durch die Spannungsquelle (bei Wegfall des Superknotens, Abb. 3.3.6c). Damit lauten die Knotengleichungen K2: G2 Uk2 − IH = Iq2 .

K1: G1 Uk1 + IH = Iq1 ,

Zus¨atzlich gilt die Zwangsbedingung f¨ ur beide Knotenspannungen. Durch Addition der beiden Knotengleichungen hebt sich der Hilfsstrom heraus und es entsteht die Gleichung SK des Superknotens mit der schon angegebenen L¨osung.

Beispiel 3.3.8 Superknotenkonzept, Hilfsstrom Abb. 3.3.7a zeigt eine Schaltung mit idealer Spannungsquelle, die Inhalt des Superknotens S ist. Er hat zwei Merkmale: die Knotenspannung Uk3 liegt durch Uk1 und Uq fest: Uk3 − Uk1 = Uq , Sk2

K2 K3 IH

K1

Iq

I1

G2 I 2

G1

Uk1 G3

G4 K2

I3

G3 K1

I2 G 2 Uk2

a

G4

K2

UqG4

G4

SK1

b

I1

Uq K2

G5 K3

K1

I4

G2 UK1

G1 Uq1

K1

Uq2 I5 K4

SK

G1 Uk2

Uq K3

K1

G3 G4 Uk3

Uq G5

G1

Uq3 SK3

c

d

Abb. 3.3.7. Beispiele zum Superknotenkonzept. (a) Netzwerk mit schwimmender“ Span-

” nungsquelle. (b) Netzwerk mit drei Superknoten. (c) Netzwerk (Br¨ uckenschaltung) mit einem Superknoten. (d) Durch Quellenverschiebung entsteht ein Netzwerk, in dem die Spannungs- in Stromquellen gewandelt werden k¨ onnen. Vereinfachung durch Knotenkurzschluss K1, K3 m¨ oglich

288

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

durch die Spannungsquelle Uq fließt der Hilfsstrom IH aus Knoten 1 heraus und in Knoten 3 hinein. Deshalb muss er im Gleichungssystem paarweise mit entgegengesetztem Vorzeichen vorkommen. Durch die erste Aussage k¨ onnen zwei Spalten der Matrixgleichung zusammengefasst werden, w¨ ahrend die zweite die Zeilenzahl durch additive Zusammenfassung senkt. Wir stellen zun¨ achst die Gleichung der Schaltung auf und ber¨ ucksichtigen die Spannungsquelle Uq durch ihren Hilfsstrom IH als unabh¨ angige Stromquelle 1 0 1 0 1 0 Uk1 Iq1 − IH −G2 0 K1: (G1 + G2 ) A. (G2 + G3 + G4 ) −G4 A · @ Uk2 A = @ 0 −G2 K2: @ 0 −G4 (G4 ) Uk3 IH K3: (3.3.18) In der ersten und dritten Zeile tritt der Hilfsstrom IH auf. Addiert man die dritte Zeile zur ersten und streicht dann die dritte (Vereinigung der Knoten K1 und K3), so bleibt 1 0 « „ « „ Uk1 Iq1 G4 (G1 + G2 ) − (G2 + G4 ) A @ · Uk2 = . −G2 (G2 + G3 + G4 ) −G4 0 Uk3 Da die Gleichung 3 Spalten und 2 Zeilen enth¨ alt, wird die u ussige Spalte durch ¨ berfl¨ Eliminieren der Knotenspannung Uk3 u ¨ ber die Zwangsbedingung der Spannungsquelle beseitigt: Uk3 = Uk1 + Uq : « „ « „ « „ Uk1 Iq1 − G4 Uq K1: G1 + G2 + G4 − (G2 + G4 ) · = . (3.3.19) Uk2 +G4 Uq − (G2 + G4 ) G2 + G3 + G4 K2: Jetzt k¨ onnen die Knotenspannungen Uk1 , Uk2 gel¨ ost werden. Statt der drei Knotenspannungen (K1 . . . K3) reduziert die Spannungsquelle die Zahl der Unbekannten auf zwei! Zu diesem Gleichungssystem gelangen wir auch direkt mit dem Superknotenkonzept. Die Schaltung hat den Superknoten S/K1 und Knoten 2 (→ Uk1 , Uk2 ), also gibt es zwei Gleichungen S/K1 : G1 Uk1 + G2 (Uk1 − Uk2 ) + G4 (Uk3 − Uk2 ) = Iq1 → S/K1: (G1 + G2 + G5 ) Uk1 − (G2 + G4 )Uk2 = Iq1 − G4 Uq K2: − (G2 + G4 )) Uk1 + (G2 + G3 + G4 )Uk2 = G4 Uq .

(3.3.20)

Wir erhalten sie wie folgt: F¨ ur den Superknoten wird die Knotengleichung (mit Uk1 . . . Uk3 ) aufgestellt und Uk3 = Uq + Uk1 ersetzt. Das ist gleichwertig mit getrennter Aufstellung der Knotengleichungen f¨ ur K1 und K3 und Addition. in der Knotengleichung f¨ ur K2 wird Uk3 durch Uq + Uk1 ersetzt. Das erlaubt folgende Erkl¨ arung: Von S/K1 ausgehend gibt es zun¨ achst den Knotenleitwert G1 + G2 + G4 (Superknoten als Einheit betrachtet); der Koppelleitwert von S nach K2 ist −(G2 + G4 );

3.3

Knotenspannungsanalyse

289

S/K1 hat die (¨ außere) Einstr¨ omung Iq1 , weg fließt der Strom IH = Uq G4 bedingt durch die Spannungsquelle; f¨ ur Knoten K2 gelten die u ¨blichen Beziehungen, es tritt aber der Zustrom IH = Uq G4 auf. Das folgt sofort durch Wandlung der Spannungsquelle (mit G4 ) in eine gleichwertige Stromquelle; der Hilfsstrom IH ist der Kurzschlussstrom Uq G4 , den die Quelle Uq liefert. Da er im Gleichungssystem explizit nicht mehr auftritt, kann er von Anfang an unber¨ ucksichtigt bleiben. Durch Quellenverschiebung u asst sich statt des Superknotens auch ¨ ber Knoten K3 l¨ eine gleichwertige Stromquellenersatzschaltung gewinnen.

Beispiel 3.3.9 Spannungsquelle am Bezugsknoten Im letzten Beispiel wurde eine schwimmende“ Spannungsquelle betrachtet. Sinngem¨ aß ist zu verfahren, wenn ” Spannungsquellen einseitig am Bezugsknoten liegen. Beim Aufstellen der Matrixgleichung in der u ¨ blichen Form fehlt eine Zeile, die zur Eliminierung des unbekannten Stromes IH durch die ideale Spannungsquelle erforderlich w¨ are. Da f¨ ur den Bezugsknoten keine Strombilanz geschrieben wird, tritt IH nur einmal auf. ¨ Abhilfe schafft der Ubergang zur unbestimmten Knotenmatrix (s. Kap. 3.3.5). Dort wird ein Bezugsknoten außerhalb des Netzwerkes angenommen und deshalb auch ¨ f¨ ur den Bezugsknoten eine Stromsummenzeile aufgestellt. Der Ubergang zur normalen Matrix mit dem Bezugsknoten k erfolgt durch Streichen der k-ten Zeile und Spalte. Entscheidend ist aber, dass vorher der unbekannte Strom IH und eine abh¨ angige Knotenspannung eliminiert werden k¨ onnen.

Beispiel 3.3.10 Superknoten Die Schaltung Abb. 3.3.7b besitzt k − 1 = 4 unabh¨ angige Knoten mit Uk1 . . . Uk4 . Es gibt n = 3 Superknoten (S1 . . . S3). Damit ist grunds¨ atzlich nur eine Gleichung (k − 1 − n = 1) zu l¨ osen! Wir umschließen die Spannungsquellen durch Superknoten S1 . . . S3. F¨ ur jeden gilt der Knotensatz (z. B. S2: I3 + I5 + I2 + I1 + I4 = 0, weil der Strom eines angig von Uq2 durch die Spannungsquelle fließt). Quellenknotens, etwa I3 +I5 , unabh¨ F¨ ur die Superknoten S1, S3 (einseitig am Bezugsknoten) ist die Quellenspannung zugleich Knotenspannung: Uk1 = Uq1 , Uk3 = Uq3 (bekannt). Es sind Masseknoten“, ” deren Strombilanz linear abh¨ angig ist (z. B. tritt Strom I3 , I2 des Knotens 1 von S1 zum Bezugsknoten 5 aus). Deshalb erfordern die Masseknoten keine Aufstellung einer Knotengleichung. F¨ ur Knoten S2 (mit der Referenzknotenspannung Uk4 ) gilt: Uk2 = Uq2 + Uk4 . Insgesamt lauten die Zwangsbedingungen f¨ ur die Knotenspannungen der Superknoten Uk1 = Uq1 ,

Uk2 = Uq2 + Uk4 ,

Uk3 = Uq3 .

Wir stellen jetzt Knoten-/ Superknotengleichungen (S2) f¨ ur Knoten 4 auf: S2/K4: G1 Uk4 + G2 (Uk4 − Uk1 ) + G4 (Uk4 − Uk3 )+ G5 (Uk2 − Uk3 ) + G3 (Uk2 − Uk1 ) = 0.

290

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

Die ersten drei Terme sind die aus S2 am Knoten K4 herausfließenden Str¨ ome. Die gleiche Stromsumme muss (vorzeichenbehaftet!) wieder aus S2 am Knoten K2 hin” einfließen“, das sind die Terme 4 und 5. Die Gesamtstrombilanz des Superknotens S2 verschwindet (Knotensatz). Im n¨ achsten Schritt eliminieren wir Uk1 , Uk3 , Uk2 durch die Quellengr¨ oßen und die unbekannte Knotenspannung Uk4 und erhalten Uk4 (G1 + G2 + G3 + G4 + G5 ) + Uq2 (G3 + G5 ) −Uq1 (G2 + G3 ) − Uq3 (G4 + G5 ) = 0. Mit der Aufl¨ osung nach Uk4 ist die Aufgabe gel¨ ost.

Beispiel 3.3.11 Superknoten F¨ ur die Br¨ uckenschaltung Abb. 3.3.7c mit idealer Spannungsquelle (im Superknoten S) wird die Knotenspannung Uk2 (Bezugsknoten K4) gesucht. Aufzustellen sind mit k − 1 = 3 und n = 1 insgesamt 2 Knotengleichungen. Wir w¨ ahlen daf¨ ur die Knoten 2 und 3 mit den Unbekannten Uk2 , Uk3 . Die Knotenspanangt von Uk3 ab. Die Knotengleichungen lauten: nung Uk1 = Uq + Uk3 h¨ K2: G4 Uk2 + G3 (Uk2 − Uk3 ) + G2 (Uk2 − Uk1 ) = 0 S/K3: G5 Uk3 + G3 (Uk3 − Uk2 ) + G1 Uk1 + G2 (Uk1 − Uk2 ) = 0. osbar. Es f¨ uhrt f¨ ur (G2 G5 = G1 G3 ) auf Das System ist problemlos nach Uk2 , Uk3 l¨ uckenschaltung !). verschwindende Knotenspannung Uk2 (Br¨ Wir interpretieren noch den Quelleneinfluss in beiden Knotengleichungen. Wird die Spannungsquelle Uq u ¨ ber den Knoten 1 versetzt“ (Abb. 3.3.7d) und anschlie” ßend in Stromquellen gewandelt, so verschmelzen zun¨ achst die Knoten 1 und 3 (Kurzschlussbr¨ ucke!) und die Stromquellen Uq G2 und Uq G1 treten direkt in beiden Knotengleichungen auf.

Insgesamt ergibt sich die L¨ osungsmethodik Knotenanalyse mit Superknoten

1. 2.

3.

Bereite das Netzwerk zur Knotenanalyse vor: stelle die k − 1 Knoten fest, w¨ahle einen Bezugsknoten und die k − 1 Knotenspannungen. Umschließe jede Spannungsquelle (unabh¨angige und gesteuerte) mit einer H¨ ulle (Superknotenbildung) und lege f¨ ur jeden Superknoten eine Referenzknotenspannung fest. Die Gesamtzahl der Superknoten sei n. Stelle die Zwangsbedingungen f¨ ur die u ¨ brigen Knotenspannungen der Superknoten in Bezug zur jeweiligen Referenzknotenspannung dar. Enth¨alt ein Superknoten den Bezugsknoten (= Supermasseknoten), so ist seine Referenzknotenspannung gleich der Bezugsknotenspannung (identisch null).

3.3

4.

5.

Knotenspannungsanalyse

291

Stelle die k − 1 − n Knotengleichungen f¨ ur die Knotenspannungen auf und l¨ose das Gleichungssystem. Knotengleichungen f¨ ur Superknoten, die den Bezugsknoten einschließen, entfallen, da ihre Knotenspannung durch die Spannungsquelle be¨ kannt ist. Ubrig bleiben so nur Superknotengleichungen f¨ ur schweben” de Superknoten“ und die normalen Netzwerkknoten. Das Verfahren ist sinngem¨ aß auf gesteuerte Spannungsquellen anwendbar, bei stromgesteuerten Spannungsquellen wird der Steuerstrom durch Knotenspannungen und Zweigbeziehungen ausgedr¨ uckt.

3.3.3 Modifizierte Knotenspannungsanalyse* Die Erweiterung der Knotenspannungsanalyse um zus¨ atzliche Gleichungen durch Netzwerkelemente, die beim Standard-Verfahren nicht zugelassen sind, heißt modifizierte Knotenspannungsanalyse (Modified nodal analysis, MNA). Sie verwendet als Unbekannte außer den Knotenspannungen noch Hilfsstr¨ ome durch diese Elemente: Str¨ ome durch ideale Spannungsquellen, Steuerstr¨ ome f¨ ur stromgesteuerte Quellen, beliebige Zweigstr¨ ome, die explizit ermittelt werden sollen z. B. f¨ ur stromgesteuerte nichtlineare Netzwerkelemente oder in Kurzschlusszweigen (als Ausgangsgr¨ oße). Zur Durchf¨ uhrung des Verfahrens werden 1.

2. 3.

in jedem fraglichen Element ein Hilfsstrom IH (zeitweilig) eingef¨ uhrt und f¨ ur dieses Netzwerk mit nur den Elementen Leitwert G, Stromquellen und gesteuerten Stromquellen die Standardanalyse formuliert, f¨ ur jedes Element mit Hilfsstrom eine zus¨ atzliche Gleichung entsprechend dem Originalnetzwerk geschrieben, und die Schritte 1 und 2 in Form einer Matrixgleichung vom Typ [Koeffizientenmatrix][Vektor der Unbekannten U k , I H ]= [Vektor der bekannten Quellen I q , U q ] zusammengefasst oder ausformuliert „ « „ « „ « Y B Uk Iq Standardanalyse · = . (3.3.21) Hilfszweiggleichungen C D IH Uq

Dabei sind U k der Spaltenvektor der Knotenspannungen, I H der Vektor der unbekannten Hilfsstr¨ ome und U q , I q die Vektoren der Quellen. Die Untermatrix Y ist die Standardknotenleitwertmatrix durch die Zweige mit den ”uneigentlichen“ Elementen. Die B . . . D Matrizen ergeben sich aus der Lage und dem Typ der nicht zugelassenen Elemente. Diese Darstellung erweitert die Knotenspannungsmatrix u ¨ ber den Hilfsstrom I H um je eine zus¨ atzliche Spalte und Zeile f¨ ur jedes Netzwerkelement, das nicht in die Standardanalyse passt (bei manchen gesteuerten Elementen z. B. der stromgesteuerten Spannungsquelle und Transformatoren k¨ onnen es auch zwei Spalten und Zeilen sein).

292

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

So folgt f¨ ur die Schaltung Abb. 3.3.7a des Beispiels 3.3.8 (Superknotenkonzept) mit dem Ausgangsgleichungssystem Gl. (3.3.18) durch Umordnen 1 0 0 1 0 1 Uk1 G1 + G2 Iq −G2 0 1 StandardB C B B C G2 + G3 + G4 −G4 0 C B Uk2 C B 0 C gleichung B −G2 C. · = @ G4 −1 A @ Uk3 A @ 0 A 0 −G4 Hilfszweig −1 0 1 0 IH Uq Die L¨ osung liefert Uk1 . . . Uk3 , IH . Der Hilfsstrom wurde beim Superknotenverfahren eliminiert. Soll beispielsweise ein Zweigstrom bestimmt werden, so f¨ ugt man einfach diesem Zweig reihengeschaltet einen Zweig mit einer idealen Spannungsquelle vom Wert null“ hinzu. Dann tritt der Strom in der Kurzschlussverbindung als Unbekannte ” auf, die Spannung auf der rechten Seite der Gleichung verschwindet. Wie beim Standardverfahren lassen sich durch die nichtkonformen Netzwerkelemente Belegungs- oder Ausf¨ ullmuster der Matrix, die sog. stamps, entwickeln, die schließlich ein direktes Ablesen der modifizierten Knotenmatrix (jetzt von gemischter Form) aus der Schaltung erlauben. Das Verfahren eignet sich besonders f¨ ur die rechnergest¨ utzte Netzwerkanalyse. Es entstehen zwar gr¨ oßere (meist schwach besetzte) Matrixgleichungen als beim Superknotenverfahren, doch sind sie mit speziellen Verfahren effizient l¨ osbar. Viele Schaltungssimulationsprogramme (darunter SPICE und PSPICE) basieren auf diesem Verfahren.

3.3.4 Knotenspannungsanalyse in Matrixform Wir fassen die Knotenspannungsanalyse in Matrixform zusammen: Ausgang sind die Zuordnungen von Zweigstr¨ omen und Zweigspannungen zwischen den einzelnen Knoten herr¨ uhrend f¨ ur einen Zweig ij: Iij = Gij Uij − Iqij nach Gl. (3.1.3) und Abb. 3.1.3: I z = Gz U z − I qz .

allgemeiner Netzwerkzweig (3.3.22)

Zum Hervorheben der Zweiggr¨ oßen wurde der Index z angef¨ ugt. Gz ist die Diagonalmatrix der Zweigleitwerte, deren Elemente außerhalb der Diagonale alle verschwinden. Die Verkn¨ upfung von Zweig- und Knotenspannungen erfolgt durch die ZweigKnoten-Inzidenzmatrix AT . Das ist eine z × (k − 1)-Matrix mit z Zeilen und k − 1 Spalten (Gl. (3.3.9)). U z = AT U k .

Beziehung Zweig-Knotenspannung (3.3.23)

Dazu tritt der Knotensatz Gl. (3.3.12) f¨ ur die Zweigstr¨ome (das sind insgesamt k − 1 Gleichungen) AI z = I k = 0.

Knotensatz (3.3.24)

3.3

Knotenspannungsanalyse

293

Die Knoten-Zweig Inzidenzmatrix A hat k − 1 Zeilen und z Spalten. Zusammengefasst ergeben die drei Gleichungen AI z = AGz AT U k − AI qz = Gk U k − I qk = 0     G

I qk

oder GU k = I qk .

Knotenspannungsanalyse (3.3.25)

Die Knotenleitwertmatrix G = Gk ist die Diagonalmatrix der Zweigleitwerte (quadratisch, also eine (k − 1) × (k − 1)-Matrix). Der rechts stehende Knotenquellenstromvektor I qk umfasst jeweils die Summe der Quellenstr¨ome eines Knotens. Mit Gl. (3.3.25) ergibt sich die L¨osung zu Gl. (3.2.8). Im letzten Schritt werden damit die gesuchten Zweigspannungen u ¨ber Gl. (3.3.23) bestimmt. Auf diese Weise l¨ asst sich das Knotenspannungssystem mit der Knoten-Zweig-Inzidenzmatrix A, die der Schaltung direkt entnommen wird, aufstellen. Das kann rechnergest¨ utzt erfolgen. 3.3.5 Unbestimmte Knotenleitwertgleichungen Um das Knotenspannungsverfahren auf einen fiktiven Bezugsknoten außerhalb des Netzwerkes zu erweitern, m¨ ussen f¨ ur die jetzt k Knoten insgesamt k Knotengleichungen und ebenso viele Knotenspannungen existieren. Da nur k − 1 Gleichungen unabh¨angig sein k¨onnen, wird das Gleichungssystem unbestimmt und lautet (in Matrixschreibweise) ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ U10 Iq1 G11 G12 · · · G1k ⎜ G21 G22 · · · G1k ⎟ ⎜ U20 ⎟ ⎜ Iq2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ (3.3.26) ⎜ .. .. . . .. ⎟ · ⎜ .. ⎟ = ⎜ .. ⎟ . ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ . . . . . . ⎠ Gk1 · · · · · · Gkk

Uk0

Iqk

Das Ergebnis ⎛ ⎞     unbestimmte Quellenstrom⎝ Knotenleit- ⎠ · Vektor der = vektor Knotenspannungen wertmatrix entspricht dem Ansatz Gl. (3.3.6) um einen Knoten erweitert. Unbestimmte Knotenleitwertmatrix: Leitwertmatrix der Dimension k × k, die k Klemmenstr¨ ome mit k Klemmenspannungen verbindet und NullZeilen-Summen und Null-Spaltensummen enth¨alt. Die Knotenspannungen sind auf einen Knoten außerhalb des Netzwerkes bezogen.

294

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

Die Methode, einen ¨ außeren Knoten einzubeziehen, wird auch als R¨ andern einer ” Matrix“ bezeichnet. Die unbestimmte Knotenmatrix hat folgende Merkmale: Die urspr¨ unglich (k − 1) bestimmten Gleichungen gehen in k unbestimmte Leitwertgleichungen u ¨ ber (weil die neu hinzukommende Gleichung linear von den anderen abh¨ angt). Durch die Erweiterung der (k − 1) × (k − 1)- zur k × k-Matrix verschwinden jeweils ihre Spalten- und Zeilensummen und die Komponentensumme des Quellenvektors. Die Determinante der unbestimmten Matrix verschwindet, deshalb gibt es keine Widerstandsmatrix. Wird der Bezugsknoten zu einem Netzwerkknoten gemacht, so ist die zu diesem Knoten zugeh¨ orige Gleichung (Zeile und Spalte) zu streichen und das Gleichungssystem wird bestimmt.

Zur Anwendung der unbestimmten Knotenleitwertmatrix (Kap. 3.6.5) sind drei Regeln wichtig: 1.

2.

3.

Zuf¨ ugen eines isolierten Knotens. Eine k × k-Knotenleitwertmatrix geht durch Einbezug eines isolierten Knotens in eine (k + 1) × (k + 1)-Matrix u ugt ¨ ber, wenn je eine Spalte und Zeile mit nur Nulleintr¨agen hinzugef¨ werden. Zusammenschalten zweier k-Knoten-Netzwerke. Werden zwei Netzwerke Na und Nb mit gleicher Knotenzahl k (mit den Knotenleitwertmatrizen Ga und Gb ) so zusammengeschaltet, das korrespondierende Knoten zusammenfallen, so entsteht die neue unbestimmte Knotenmatrix Gs = Ga + Gb . Knotenreduktion. Die Knotenzahl eines Netzwerkes sinkt entweder durch Knotenzusammenschaltung oder Knotenunterdr¨ uckung. So reduziert sich ein Zweitor (mit gemeinsamer Masseverbindung) durch Zusammenschaltung des Ein- und Ausgangsknotens auf einen Zweipol. Ein Zweipol entsteht aber auch am Eingangstor, wenn das Ausgangstor leerl¨auft (also der Ausgangsknoten unterdr¨ uckt wird). Beide Ergebnisse unterscheiden sich. Wir vertiefen diese Aspekte im Kap. 3.6.5.

Die besonderen Eigenschaften verhelfen unbestimmten Gleichungssystemen zu vielf¨ altigen Anwendungen: Rechenkontrolle beim Aufstellen der Gleichungen, Einsatz bei der rechnergest¨ utzten Analyse gr¨ oßerer Netzwerke (Kontrollzwecke, Netzwerkumformung, additiver Aufbau gr¨ oßerer Schaltungen aus Einzelkomponenten), Schaltungsanalyse mit idealen Operationsverst¨ arkern und u ¨ berhaupt gesteuerten Quellen (s. Kap. 3.6), Gewinnung unterschiedlicher Knotengleichungssysteme mit verschiedenen Bezugsknoten.

3.3

Knotenspannungsanalyse

295

So kann man beispielsweise ein Drei- und ein Vier-Klemmen Netzwerk zusammenschalten, indem beide durch Erg¨ anzung von Null-Elementen auf F¨ unf-Klemmen Netzwerke erweitert werden. Anschließend erfolgt die gew¨ unschte Knotenunterdr¨ uckung. Eine andere Anwendung ist die sog. Drehung“ von Netzwerken, etwa zur Berech” nung der Leitwertparameter des Transistors in verschiedenen Grundschaltungen. Ist ein Netzwerk mit drei Klemmen (Basis, Emitter, Kollektor) gegeben und sind die Parameter der unbestimmten Knotenmatrix bekannt, so k¨ onnen die Parameter anderer Grundschaltungen durch die der gegebenen Schaltung ausgedr¨ uckt werden. Dazu macht man in der unbestimmten Knotenleitwertmatrix eine Klemme zum gew¨ unschten Bezugsknoten und streicht die zugeh¨ orige Zeile und Spalte. Die verbleibende bestimmte Knotenleitwertmatrix ist die der neuen Grundschaltung. Ein weiterer Weg zur Gewinnung einer gedrehten“ Dreipolgrundschaltung ist die ” Transformation seiner Str¨ ome und Spannungen: man stellt f¨ ur den Dreipol (mit gegebenem Zweitor/Dreipolverhalten) den Knoten- und Maschensatz auf und eliminiert die Gr¨ oßen (Bezugsstrom und L¨ angsspannung), die in der neuen Grundschaltung nicht auftreten sollen. Das verbleibende Dreipolverhalten ist das der gesuchten neuen Grundschaltung. Anwendungsbeispiele daf¨ ur waren die Kennliniengleichungen des Bipolartransistors in den drei Grundschaltungen oder die Kleinsignalparameter nach Abb. 2.7.6.

Beispiel 3.3.12 Transistorgrundschaltungen Gegeben sind die Zweitorparameter des Transistors in Basisschaltung (Leitwertmatrix y b mit Elementen y11b . . . y22b (Abb. 3.3.8). Gesucht sind die Leitwertparameter der Emitterschaltung. Zun¨ achst erzeugt man aus der Leitwertmatrix der Basisschaltung durch R¨ andern“ eine un” bestimmte Form, macht also die 2 × 2- zur 3 × 3-Matrix (die Summe jeder Zeile bzw. Spalte muss verschwinden) E C B 1 y11b y12b −(y11b + y12b ) A. y22b −(y21b + y22b ) y21b = @ −(y11b + y21b ) −(y12b + y22b ) (y11b + y12b + y21b + y22b ) 0

y∞

(3.3.27a) Soll der Emitter neuer Bezugsknoten werden, gilt U10 = 0 und der zugeh¨ orige Strom I1 darf in der neuen Gleichung nicht auftreten: Streichung der ersten Zeile

I2 2

1 I1

U2

U1 E

3 U3

a

C

E

C

B

I2 2

3 I3 U3

B

1 I3

b

U2 Abb. 3.3.8. Unbestimmte Knoten-

leitwertgleichungen. Klemmenvertauschung am Dreipol (Bipolartransistor). (a) Ausgangsdreipol, Emitterschaltung. (b) Gedrehter Dreipol, Basisschaltung

296

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

und Spalte. Die so verbleibende 2 × 2-Matrix wird noch umgeordnet, damit der Basisknoten am Schaltungseingang liegt: „ ye =

B C « (y11b + y12b + y21b + y22b ) −(y12b + y22b ) . y22b −(y21b + y22b )

(3.3.27b)

Die Parameter der Kollektorschaltung ergeben sich durch Streichen der zweiten Zeile und Spalte und Umordnung, denn f¨ ur diese Schaltung ist der Basisknoten der Eingang (1) und der Emitter der Ausgang (2). Aus Gl. (3.3.27) lassen sich die Leitwertparameter der drei Grundschaltungen systematisch gewinnen, die Ergebnisse gelten auch f¨ ur Feldeffekttransistoren mit anderen Klemmenbezeichnungen wie S (Source), G (Gate) und D (Drain). Die Methode eignet sich ebenfalls zur Darstellung gesteuerter Quellen in verschiedenen Konfigurationen, wobei automatisch (durch die symmetrische Stromrichtungswahl) die richtigen Vorzeichen der Quellenparameter anfallen.

3.3.6 Knotenspannungsanalyse und Zweipolparameter* Bei Anwendung der Zweipoltheorie auf große Netzwerke (besonders mit gesteuerten Quellen) wird die Bestimmung der Ersatzgr¨oßen nach Kap. 2.4.4 rasch aufwendig. Hier kann der Einsatz der Knotenspannungsanalyse Vorteile bringen. Zur Bestimmung der Ersatzgr¨ oßen Leerlaufspannung Ul , Kurzschlussstrom Ik und Innenwiderstand Ri (nur zwei sind erforderlich) des Ersatzzweipols (Abb. 3.3.9a) wird 1. 2. 3.

das Netzwerk f¨ ur die Knotenspannungsanalyse vorbereitet (dabei sollen an den Zweipolklemmen die Knoten 1, 0 liegen). den Zweipolklemmen ein Probestrom IP aufgepr¨agt. Unabh¨angige und abh¨angige Quellen im Netzwerk bleiben in Betrieb! das Knotengleichungssystem aufgestellt und nach der Klemmenspannung U10 aufgel¨ost. RF

aktives Netzwerk

R1

1 U10

Uq Ud

IP

ra

G1

G1Uq

AuUd 0

0

a

re +

U20 K2 GF K1 U10

1

-

b

ge

Ud SUd

1

ga IP 0

c

Abb. 3.3.9. Zweipolparameterbestimmung mit der Knotenspannungsanalyse. (a) Probe-

strom am Netzwerk aufgefasst als Ersatzzweipol. Durch Auswertung der Klemmenspannung mit und ohne Probestrom ergeben sich die Zweipolersatzgr¨ oßen. (b) Beispielschaltung und zugeh¨ orige Ersatzschaltung. (c) Umwandlung der spannungsgesteuerten Spannungsquelle in eine spannungsgesteuerte Stromquelle

3.3

Knotenspannungsanalyse

297

Die L¨osung hat als lineares Netzwerk folgende Form U10 = a + bIP ≡ Ul + Ri IP .

(3.3.28)

Der Koeffizient a enth¨ alt die inneren Quellen, bildet also die Leerlaufspannung. Der Faktor b stellt den Innenwiderstand dar (f¨ ur den Zweipol wurde die Verbraucherpfeilrichtung gew¨ ahlt, daher +Ri ). Gibt es das Knotenleitwertsystem (mit p = k − 1 unabh¨angigen Knoten) entsprechend Gl. (3.3.8) mit dem Quellenstromvektor rechts, so setzt man statt des Koeffizienten Iq1 jetzt an Iq1 + IP mit der L¨osung Δ11 IP detG1 + ≡ Ul + Ri IP . (3.3.29) detG detG Die Koeffizienten werden nach den Regeln der Knotenspannungsanalyse ermittelt. U10 =

Beispiel 3.3.13 Zweipolparameter Gegeben ist eine Schaltung mit Operationsverst¨ arker (Ersatzschaltung Abb. 3.3.9b). Gesucht sind die Zweipolgr¨ oßen an den Klemmen 1,0. Wir bereiten die Schaltung f¨ ur die Knotenanalyse vor, wandeln unabh¨ angige und gesteuerte Spannungsquellen in Stromquellen und erhalten als Gleichungssystem f¨ ur die Knotenspannungen U10 , U20 : „ « „ « „ « K1: GF + ga U10 SUd + IP −GF · = . K2: −GF G1 + ge + GF U20 G1 Uq Rechts steht außer dem Probestrom IP noch die gesteuerte Stromquelle und in der zweiten Zeile die unabh¨ angige Quelle der Schaltung. Wir bringen die gesteuerte Quelle auf die linke Seite, beachten die Steuerbedingung Ud = −U20 und erhalten „ « „ « „ « K1: GF + ga U10 IP −GF + S · = . K2: U20 G1 Uq −GF G1 + ge + GF Die Aufl¨ osung nach der Klemmenspannung U10 ergibt U10 =

(GF − S)G1 Uq + (G1 + ge + GF )IP . (GF + ga )(G1 + ge + GF ) − GF (GF − S)

Der Koeffizient von IP ist Ri und der zu Uq proportionale Term die Leerlaufspannung Ul . Im Sonderfall S = 0 (Wegfall der gesteuerten Quelle) k¨ onnen Leerlaufspannung (doppelte Spannungsteilerregel) und Innenwiderstand problemlos u ¨ ber die Schaltung kontrolliert werden. Auf diese Weise werden die Zweipolparameter mit der Knotenspannungsanalyse relativ einfach bestimmt, zumal die Knotenleitwertmatrix der Schaltung direkt zu entnehmen ist. Das Verfahren l¨ asst sich auf Zweitore erweitern, nur m¨ ussen dann zwei Probestr¨ ome angelegt und die u ¨ ber den Quellen abfallenden Spannungen berechnet werden. Die Methode kann z. B. dazu dienen, ein gr¨ oßeres Netzwerk auf ein Zweitor zu reduzieren (s. Kap. 3.6.3).

Besonders einfach lassen sich Zweipolgr¨ oßen linearer (und nichtlinearer) Netzwerke, letztere im Kleinsignalfall, mit dem Schaltungssimulationsprogramm

298

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

SPICE ohne Aufstellung der Knotenspannungsmatrix bestimmen, wie die Beispiele 3.5.5 und 3.5.6 (Kap. 3.5.2) zeigen.

3.3.7 Netzwerkanalyse mit Operationsverst¨ arkern Einf¨ uhrung Operationsverst¨ arker arbeiten meist eingebettet“ in einer Schal-

” tung. Die Standardanalyse ersetzt den Verst¨ arker durch ein Netzwerkmodell. Im Regelfall reicht eine gesteuerte Quelle mit zus¨atzlichen Netzwerkelementen (Eingangs-, Ausgangswiderst¨ ande, Differenz-, Gleichtaktverhalten u. a.). Drei typische F¨ alle treten auf: 1.

2.

die gesteuerte Quelle hat einen Innenwiderstand/-leitwert und kann in alle vier Grundformen (Kap. 2.7.6) gewandelt werden. Zur Analyse eignen sich alle bisherigen Verfahren, besonders die Knotenspannungsanalyse (gemeinsamer Bezugspunkt mit vielen Zweigen). Gesucht ist eine Systematik zur Einbettung eines (oder mehrerer) Verst¨arkers in ein Netzwerk. ideale Quelle, endlicher Steuerparameter (Innenwiderstand null bzw. unendlich, aber endliche Steilheit, Spannungsverst¨arkung). Auch hier eignen sich alle Analyseverfahren mit Erweiterungen: so f¨ ur die Knotenspannungsanalyse der Einbezug idealer gesteuerter Spannungsquellen (oder bei der Maschenstromanalyse von gesteuerten Stromquellen). Alternativ bietet sich an, eine Quellenform zu w¨ ahlen, f¨ ur die sich die Standardanalyse eignet (z. B. spannungsgesteuerte Stromquelle mit Innenwiderstand ra beim Knotenspannungsverfahren) und im Ergebnis eine Quellenumwandlung ubergang ra → ∞ durchzuf¨ uhren (Weg zur Rechendurch Au = Sra mit Grenz¨ kontrolle).

3.

ideale Quelle, unendlicher Steuerparameter. Jetzt tritt bei Spannungssteuerung ein virtueller Kurzschluss am Steuereingang auf und durch die spannungsgesteuerte Spannungsquelle stellt sich ein Strom (nur vom Netzwerk abh¨ angig) so ein, dass der virtuelle Kurzschluss gilt. Nach Gl. (2.7.23) f¨ uhrt jede gesteuerte Quelle im Grenz¨ ubergang zum gleichen idealen Verst¨ arker. Deshalb kann ein Netzwerk mit idealem Operationsverst¨arker auch so analysiert werden, dass man von der idealen spannungsgesteuerten Stromquelle (Steilheits) ausgeht und nach Aufstellung der Gleichungen den Grenz¨ ubergang S → ∞ vollzieht.

In den F¨ allen 2 und 3 stellt sich die Ausgangsspannung des Operationsverst¨ arkers (ideale Spannungsquelle) im Netzwerk als Funktion der anderen Netzwerkspannungen ein. Deshalb erfordert der Ausgang keine Knotengleichung und von den k − 1 Knotengleichungen werden nur k − 2 formuliert. Weil es aber k − 1 Knotenspannungen gibt, dient als fehlende Gleichung entweder

3.3

Knotenspannungsanalyse

299

die Steuergleichung, z. B. U1 = U2 + Ua /Au (von Ua = Au (U1 − U2 ) beim Operationsverst¨ arker mit endlicher Verst¨ arkung Au (Fall 2)) oder der virtuelle Kurzschluss U1 → U2 (Au → ∞) (Fall 3). In beiden F¨ allen wird eine Knotenspannung eliminiert!

Deshalb erfordert ein Operationsverst¨ arker im Netzwerk zwei Analyseschritte: Einf¨ uhrung aller Knotenspannungen mit Aufstellungen aller Knotengleichungen (außer f¨ ur Verst¨ arkerausgang), Aufstellung der Steuergleichung oder virtueller Kurzschluss am Eingang zur Eliminierung einer Knotenspannung. Knotenspannungsanalyse und Operationsverst¨ arkern Wir konzentrieren uns

auf die F¨alle 2 und 3 und reduzieren den Verst¨arker auf eine differenzspannungsgesteuerte Spannungsquelle (Stromquelle unproblematisch). Sie wird mit ra = 1/y2k = 0, rd = rgl → ∞ und AD = Au > 0 modelliert (s. Tab. 2.13). Wir entwickeln zun¨ achst eine L¨ osungsstrategie f¨ ur einfache OPSchaltungen und erg¨ anzen sie sp¨ ater durch ein leistungsf¨ahigeres Verfahren (s. Kap. 3.6.2), f¨ ur das sich der Aufwand bei einfachen Schaltungen nicht lohnt. Ausgang ist das Knotenspannungskonzept nach Kap. 3.3.2 mit Spannungsquelle einseitig am Bezugsknoten und die schwimmende Quelle“. Beide F¨alle ” lassen sich mit dem Superknotenkonzept analysieren. Dann folgt die L¨ osungsmethodik Knotenspannungsanalyse mit n Operationsverst¨ arkern

1. 2.

3.

4.

5.

Vorbereitung des Netzwerkes f¨ ur die Knotenspannungsanalyse. Jeder Operationsverst¨ arker erh¨ alt ein Netzwerkmodell mit verschwindenden Ausgangswiderst¨ anden. (Bei endlichen Ausgangswiderst¨anden rechnet man die Spannungsquellen in spannungsgesteuerte Stromquellen um und f¨ uhrt die Standardknotenanalyse durch.) Aufgestellt werden die Knotengleichungen nur f¨ ur jene Knoten, die nicht mit Spannungsquellen verbunden sind. Es gibt k−1−n Knotengleichungen. Jeder der n Operationsverst¨ arker wird mit seiner Steuergleichung als (differenz-) spannungsgesteuerte Spannungsquelle UA = AD (UP − UN ) eingef¨ uhrt und die Klemmenspannungen UA , UP , UN durch Knotenspannungen ausgedr¨ uckt. L¨osung des Gleichungssystems f¨ ur die k − 1 − n Knotenspannungen.

300

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

Bei virtuellem Kurzschluss (AD → ∞) wird die Differenz UP − UN (ausgedr¨ uckt durch Knotenspannungen) f¨ ur jeden Verst¨arkereingang gleich null gesetzt. Dann stellt sich die zugeh¨ orige Ausgangsspannung durch die Schaltung ein.

6.

Beispiel 3.3.14 Elektrometerverst¨ arker Im Elektrometerverst¨ arker nach Abb. 3.3.10a mit einem Kleinsignalmodell nach Abb. 2.7.15b1 gibt es nur einen relevanten Knoten K1, weil die u ¨ brigen Knoten K2 (Ausgangsspannung), K3 und K4 direkt an Spannungsquellen liegen. Aus der Schaltung folgen (bei verschwindendem Eingangsleitwert gd ) die Knotengleichung Knoten K1 (G1 + G2 )U1 − G2 UA = 0,

(3.3.30a)

die Ausgangsspannung des Operationsverst¨ arkers (Steuergleichung): UA = AuD (UP − UN ) = AuD (Uq − U1 ).

(3.3.30b)

Daraus wird als Knotenspannungsmatrix geschrieben „ « „ « „ « G1 + G2 −G2 U1 0 · = . 1 1 UA Uq AuD

(3.3.30c)

arkung UA (Uq ) (¨ ubereinDurch Eliminieren von U1 ergibt sich die Spannungsverst¨ stimmend mit Gl. (2.7.41)): UA 1 = . Uq G2 /(G1 + G2 ) + 1/AuD

(3.3.31)

F¨ ur AuD → ∞ geht in Gl. (3.3.30b) U1 → Uq und die Verst¨ arkerbeziehung ent” artet“, d. h. UA kann jeden beliebigen (endlichen) Wert annehmen, auch den nach Gl. (3.3.30a). W¨ are von Anfang an mit virtuellem Kurzschluss gerechnet worden, so h¨ atte die Aufstellung nur der Knotengleichung (3.3.30a) und die Bedingung U1 = Uq gen¨ ugt! K1

K4 P

Uq

UD rd

K2

K1 N

R2 R1

ra K3 UA

Uq1

UD

+ -

K3 ∞

K4 K2

AuDUD Uq2

R2

+ -

∞

K5

K2

K1

R1 UA R1 UD Uq

N

R2 rd

ra UA

P AuDUD

R3 K6

R4

a

b

c

Abb. 3.3.10. Knotenspannungsanalyse und Operationsverst¨ arker. (a) Kleinsignalmodell des Elektrometerverst¨ arkers. (b) Modell eines Differenzverst¨ arkers. (c) Kleinsignalmodell des Umkehrverst¨ arkers

3.3

Knotenspannungsanalyse

301

Beispiel 3.3.15 Differenzverst¨ arker Gegeben ist die Schaltung Abb. 3.3.10b mit zwei idealen Operationsverst¨ arkern und 6 Knoten außer dem Referenzknoten. Knoten K1 und K2 liegen an idealen Spannungsquellen, die Knoten K3 und K5 an Ausg¨ angen der Verst¨ arker. So entfallen vier Knotengleichungen. Dann sind nur noch die Knotengleichungen f¨ ur K4 und K6 aufzustellen: K4: (G1 + G2 )U4 − G1 U3 − G2 U5 = 0 K6: (G3 + G4 )U6 − G3 U5 = 0. Den vier Unbekannten stehen zwei Gleichungen gegen¨ uber. Die Knotenspannungen U1 und U2 liegen durch die Quellenspannungen fest: U1 = Uq1 , U2 = Uq2 . Die virtuellen Kurzschlussbedingungen beider Verst¨ arker erzwingen (UP = UN ) → U4 = U1 = Uq1 , U6 = U2 = Uq2 . Damit ergibt sich G1 U3 + G2 U5 = (G1 + G2 )Uq1 . G3 U5 = (G3 + G4 )Uq2 Durch Eliminieren von U5 folgt schließlich die Ausgangsspannung 1 (1 + R3 /R4 ) Uq2 UA = U3 = (1 + R1 /R2 ) Uq1 − R R2 = (1 + R1 /R2 ) (Uq1 − Uq2 )|R1 =R4 ,R2 =R3 .

(3.3.32)

Die Schaltung arbeitet dann als Differenzverst¨ arker mit hochohmigem Eingang.

Beispiel 3.3.16 Standardumkehrverst¨ arker Wir betrachten einen Umkehrverst¨ arker mit einem Netzwerkmodell (Abb. 3.3.10c), das eine endliche Verst¨ arkung sowie einalt. Grundlage ist die von Abb. 2.7.15a1 und ausgangsseitige Widerst¨ ande rd , ra enth¨ u ¨ bernommene Ersatzschaltung. Die Knotengleichungen K1 und K2 lauten K1: G1 (UD + Uq ) + G2 (UD + UA ) + UD /rd = 0 K2: G2 (UA + UD ) + (UA − AuD UD )/ra = 0. Durch Eliminieren der Eingangsspannung UD folgt die Spannungsverst¨ arkung „ „ « «−1 UA ra + R2 1 1 G1 + G2 + + G2 = − Uq R1 AuD R2 − ra rd ˛ „ «−1 ˛ 1 1 ˛ ≈ − (G1 + G2 ) + G2 . ˛ ˛ R1 AuD ra R2 rd

¨ Uber die Gleichwertigkeit AuD UD = Sra UD wird die Spannungsquelle in eine Stromquelle umgewandelt. Bei vernachl¨ assigten Widerst¨ anden ra , rd entsteht die angegebene N¨ aherung (s. auch Gl. (2.7.34)).

Beispiel 3.3.17 Schaltung mit zwei Operationsverst¨ arkern Es gelten f¨ ur die Schaltung Abb. 3.3.11a mit zwei Operationsverst¨ arkern und k = 6 Knoten insgesamt 5 Knotenspannungen, von denen Knotengleichungen f¨ ur die Knotenspannungen

302

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

K3 . . . K5 (bei idealem Verst¨ arker) nicht formuliert werden m¨ ussen. Die Netzwerkbeziehungen lauten K1: (G1 + G3 + G4 ) U1 − G1 U4 − G3 U5 = G4 Uq . K2: (G2 + G5 ) U2 − G2 U4 − G5 Ua = 0

(3.3.33a)

F¨ ur die Knoten K3 (Uq ) und K4, K5 sind die Spannungen bekannt. Die Verst¨ arker werden beschrieben durch OP1: U4 = AuD1 (UP − UN ) = −AuD1 U1 . OP2: U5 = AuD2 (UP − UN ) = −AuD2 U2

(3.3.33b)

Damit stehen vier Gleichungen f¨ ur die Spannungen U1 , U2 , U4 , U5 bereit und das System ist l¨ osbar (wir verzichten, weil es um den prinzipiellen Umgang mit gesteuerten Quellen geht). F¨ ur AuD1 → ∞, AuD2 → ∞ gehen U1 und U2 gegen null, aber nicht U4 und U5 : dann verbleibt aus Gl. (3.3.33a) in Matrixform „ « « „ « „ −G1 −G3 U4 G4 Uq . (3.3.33c) · = −G2 −G5 U5 0 W¨ aren von Anfang an ideale Operationsverst¨ arker verwendet worden, so h¨ atte lediglich die Aufstellung der Knotengleichungen (3.3.33a), (3.3.33b) gen¨ ugt. Das ist aber Gl. (3.3.33c).

Beispiel 3.3.18 Schaltung mit zwei Operationsverst¨ arkern Die Schaltung in Abb. 3.3.11b hat 5 unabh¨ angige Knoten und zwei Operationsverst¨ arker, f¨ ur die AuD → ∞ (virtueller Kurzschluss) gelten soll. Dadurch werden U1 = U3 und U3 = U5 , d. h. U1 = U3 = U5 erzwungen. Wir schreiben die Knotengleichungen nicht f¨ ur die OP-Ausg¨ ange (Knoten K2 und K4), wohl aber f¨ ur K1, K3, K5. In der Rechnung treten die Knotenspannungen U1 (= U3 = U5 ) sowie U2 und U4 auf. Die Gleichungen der Knoten K1, K3, K5 lauten:

K1

+

∞

U1 G5

K5

UA

Iq

K3

K2

G6

U2

U4 G8 K5

G7

U5

K4

+

a

K1

-∞

Uq

G5 K4 G2 K2 ∞ + G1

K3 G4

+

G3

-∞

K1 : G5 U1 − G5 U2 = Iq K3 : (G6 + G7 )U3 − G6 U2 − G7 U4 = 0 K5 : (G8 + G9 )U5 − G8 U4 = 0

G9

b

Abb. 3.3.11. Schaltungen mit zwei Operationsverst¨ arkern und Knotenspannungsanalyse. (a) Beispielschaltung. (b) Andere Beispielschaltung

3.3

Knotenspannungsanalyse

303

oder mit U1 = U3 = U5 in Matrixform 0 1 0 1 0 1 G5 U1 Iq −G5 0 @ G6 + G7 −G6 −G7 A · @ U2 A = @ 0 A . G8 + G9 0 −G8 U4 0

(3.3.34)

Gl. (3.3.34) kann f¨ ur die drei Knotenspannungen U1 , U2 , U4 gel¨ ost und damit die ¨ Ubertragungsfunktion, z. B. U5 = U1 = f (Iq ) bestimmt werden. Das Beispiel zeigt die N¨ utzlichkeit des virtuellen Kurzschlusskonzeptes bei gr¨ oßeren urde zwei weitere GleiSchaltungen. Der Ansatz mit endlicher Verst¨ arkung AuD w¨ chungen bedingen mit f¨ unf Knotenspannungen. Wie in den vorhergehenden Beispielen m¨ ussen selbstverst¨ andlich die Knotengleichungen der virtuell kurzgeschlossenen Knoten (z. B. K1 und K3) aufgestellt werden, obwohl U1 = U3 gilt: gerade dies ist der Inhalt des virtuellen Kurzschlussbegriffes.

3.3.8 Knotenspannungsanalyse von nichtlinearen Netzwerken* Nichtlineare Netzwerke enthalten nichtlineare I, U -Beziehungen in den Knotengleichungen. Letztere verlangen Kennlinien der Form I = f (U ), wie sie viele Bauelemente haben (Diode, Transistoren). Dann bleibt die L¨osungsmethodik der Knotenspannungsanalyse erhalten, nur sind statt der Matrixgleichungen Systeme nichtlinearer Gleichungen zu l¨osen. Am nichtlinearen NWE sollte nur eine Knotenspannung liegen.

Beispiel 3.3.19 Nichtlineare Schaltung Das Netzwerk Abb. 3.3.12 hat die Knotengleichungen (Bezugsknoten 3) K1: G1 Uk1 = Iq1 − ID (Uk1 , Uk2 ) K2: G2 Uk2 = Iq2 + ID (Uk1 , Uk2 )

mit ID = IS exp

“

Uk1 −Uk2 UT

” −1 .

Umstellen der Diodengleichung nach links f¨ uhrt auf zwei nichtlineare Gleichungen, deren Knotenspannungen u upft sind. ¨ ber das nichtlineare Element verkn¨ Das Gleichungssystem vereinfacht sich durch Wahl eines neuen Bezugsknotens (bei   , Uk3 2) mit den Knotenspannungen Uk1 ” “ U   K1: G1 Uk1 + IS exp Uk1 − 1 − G1 Uk3 = Iq1 T .   K2: −G1 Uk1 + (G2 + G3 )Uk3 = −Iq1 − Iq2

K1

Uk1 Iq1

UD

G1

K2

ID G2

K1

K2

ID Uk2

G1

G2

U‘k3

Iq1

Iq2 K3

a

U‘k1

K3

b

Iq2

Abb. 3.3.12. Nichtlineares Netzwerk, Knotenspannungsanalyse, Wahl des Bezugspunktes. (a) Knoten K3 ist Bezugspunkt. (b) Knoten K2 ist Bezugspunkt

304

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

 Bei L¨ osung nach Uk3 k¨ onnen die Knoten- und Zweigspannungen bestimmt werden. Das erfordert ein nichtlineares L¨ osungsverfahren und die Vorgabe numerischer Werte. F¨ ur derartige Probleme sind komfortable Computerprogramme verf¨ ugbar wie z. B. PSPICE und SPICE.

3.4

3.4 Netzwerkanalyse in Matrixdarstellung* Einf¨ uhrung Ziel dieses Abschnittes sind systematische Methoden zur Aufstel-

lung der Analysegleichungen f¨ ur gr¨ oßere Netzwerke abh¨angig von der Verbindungsstruktur und den Netzwerkelementen, die anschließend symbolisch oder numerisch und damit automatisierbar ausgewertet werden k¨onnen. Ihre Grundlage ist die Graphentheorie mit der Matrizenrechnung als Hilfsmittel. Ausgang sind die Kirchhoffschen Gleichungen, die U, I-Beziehungen der Netzwerkelemente und die topologischen Bedingungen (Verbindungsstruktur) f¨ ur die Zusammenschaltung der NWE. Das Problem zerf¨allt so in ein Verbindungsnetzwerk, den Verbindungsmehrpol mit widerstandslosen Leiterverbindungen, und das Einf¨ ugen von Netzwerkelementen zwischen Knoten, oder allgemeiner das Einf¨ ugen von Zweipolzweigen (Abb. 3.4.1). Gesucht sind die mathematische Beschreibung des Verbindungs- oder Inzidenznetzwerkes, die allgemeine Zweigbeziehung (hier zun¨achst nur unabh¨angige Quellen und Widerst¨ ande) und das Zusammenwirken dieser Schritte zu einem Analyseverfahren. Ans¨ atze zur Beschreibung des Verbindungsnetzwerkes bieten die Maschen-Zweig- und Knoten-Zweig-Inzidenzmatrizen M , A (Gl. (3.2.11), (3.3.10)). Die geometrische Darstellung der topologischen Beziehungen erfolgt durch den Netzwerkgraph mit Knoten und Zweigen als Elementen. Er gew¨ahrleistet die Gewinnung der maximalen Zahl linear unabh¨angiger Schleifen- oder Kno-

Verbindungsmehrpol

Menge der Zweipolzweige

Matrix A, B, D, M

Allgemeiner Zweipolzweig

Uz

Iz Rz

Uqz Iqz

Abb. 3.4.1. Netzwerkgleichungen und Topologie

3.4

Netzwerkanalyse in Matrixdarstellung*

305

tengleichungen. Mit Einbezug des allgemeinen Netzwerkzweiges in das Netzwerkger¨ ust f¨ uhren die Kirchhoffschen Gleichungen schließlich zur Schleifenund Schnittmengenanalyse mit der Maschenstrom- und Knotenspannungs¨ analyse als Sonderf¨ allen. Tabelle 3.2 gibt eine erste Ubersicht. Tabelle 3.2. Netzwerkanalyse

Kirchhoffsche Gleichungen

Netzwerktopologie

?

Zweigstrom-/ -spannungsanalyse

?



Schleifenanalyse

6

dual

?

? - Schnittmengenanalyse 6

Grundlage: Zerlegung des Graphen in Baum und Glieder

?

Maschenstromanalyse

6

?

Knotenspannungsanalyse

6

Zerlegung des Graphen entf¨ allt

3.4.1 Netzwerke, Graph und Inzidenzmatrizen Zur Beschreibung der Netzwerktopologie ist die Art der Netzwerkelemente in den Netzwerkzweigen nebens¨ achlich. Es kommt vielmehr darauf an, zwischen welchen Knoten die Zweige liegen. Dabei wird ein Zweig einfach durch eine Linie zwischen zwei Knoten dargestellt (mehrere parallele Zweige k¨onnen zusammengefasst sein). So entsteht aus dem Netzwerk ein Graph als abstrakte Beschreibung der Netzwerkstruktur: Ersatz aller Netzwerkelemente durch Linien (Zweige) und aller Verzweigungen durch Punkte (Knoten). Mit gerichteten Zweigen (Richtung durch eingetragene Pfeile verdeutlicht) entsteht der gerichtete Graph. Die Zweigrichtung liegt durch die am Netzwerkelement gew¨ ahlte Strom-Spannungsrichtung fest, vereinbart ist die Verbraucherrichtung. Im gerichteten Graphen haben die Zweige Anfangs- und Endpunkte. Außer durch die Pfeilrichtung wird die Richtung auch durch die Knotenfolge (Anfangs-, Endknoten) in runden Klammern ausgedr¨ uckt. Ein Graph h¨angt zusammen, wenn jeder beliebige Knoten von einem anderen aus u ¨ber eine Reihe anschließender Zweige erreicht wird. Nichtzusam-

306

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

menh¨angende Graphen treten z. B. bei induktiver Kopplung auf. Ein Sonderfall ist der ebene Graph, der sich immer in einer Ebene aufzeichnen l¨asst. Ein gerichteter Graph l¨ asst sich durch eine (vollst¨andige) Verbindungs- oder Knoten-Zweig-Verbindungsmatrix (Inzidenzmatrix) Aa (Gl. (3.3.10)) der Dimension (k × z) mit k Zeilen (Knotenzahl) und z Spalten (Zweige) beschreiben. Die Inzidenzmatrix beinhaltet, welche Zweige des Graphen mit welchen Knoten inzident (verbunden) sind. W¨ ahlt man statt der Zweige die Zweigstr¨ome, so beschreiben die Koeffizienten der Inzidenzmatrix Aa die Koeffizienten der Zweigstr¨ome im Knotensatz (s. Gl. (3.3.12), dort mit A auf die k − 1 unabh¨angigen Knotengleichungen beschr¨ ankt). Es gibt noch weitere Inzidenzmatrizen: zwischen Maschen und Zweigen B (Gl. (3.2.11)), Schleifen und Zweigen M und den sog. Schnittmengen D.

Zur Aufstellung der Inzidenzmatrix wird zun¨achst ein Netzwerkgraph entwickelt, seine Knoten (1 . . . k) und Zweige (1 . . . z) nummeriert und jedem Zweig die Richtung zugeordnet. Die Elemente aij (i = 1, . . . k, j = 1 . . . z) liegen durch folgende Definition fest ⎧ uhrt ⎨ 1 wenn Zweig (Strom) j vom Knoten i wegf¨ aij = −1 wenn Zweig (Strom) j zum Knoten i hinf¨ uhrt ⎩ 0 wenn Zweig (Strom) j mit Knoten i nicht verbunden ist. Jede Zeile enth¨ alt die Zeilenelemente (mit ±1 belegt), deren Zweige den betreffenden Knoten nutzen. Jede Spalte kann nur ein Element mit +1 und eines mit −1 enthalten (jeder Zweig beginnt an einem Knoten und endet an einem anderen). Abb. 3.4.2a zeigt eine Schaltung und den zugeh¨ origen gerichteten Graphen (Abb. b). Die Zweige werden von 1 . . . z, die Knoten von 1 . . . k nummeriert. Die vollst¨ andige Knoten-Zweig Inzidenzmatrix ergibt sich daf¨ ur zu

Aa

Zweige 0 1 2 3 4 5 6 7 1 0 0 1 0 −1 0 1 B 0 −1 −1 1 0 0 0 C B C B 0 0 0 −1 0 −1 −1 C = B C @ −1 1 0 0 0 1 0 A 1 0 0 0 1 0 0

1 2 3 4 5

9 > > > > = > > > > ;

Knoten.

uhrt, So erh¨ alt der Koeffizient a13 den Eintrag +1, weil Zweig 3 vom Knoten 1 wegf¨ Zweig 2 hingegen den Eintrag −1, weil er zum Knoten 2 hinf¨ uhrt.

Die Information u ¨ ber die Netzwerkstruktur a ¨ndert sich nicht, wenn in der Inzidenzmatrix eine Zeile gestrichen, also zu k − 1 Zeilen u ¨bergegangen wird. Diese reduzierte Inzidenzmatrix A (schlechthin als Inzidenzmatrix bezeich-

3.4

Netzwerkanalyse in Matrixdarstellung*

307

net) entsteht z. B. durch Streichen der Zeile 4 (Knoten 4 tritt nicht mehr auf) oder eines anderen Knotens. Der gestrichene Knoten ist der Bezugsknoten. Die Knoten-Zweig-Verbindungsmatrix A ist die einfachste Beschreibung des Netzwerkgraphen. Sie steht in direkter Beziehung zum Kirchhoffschen Knotensatz (Gl. (3.3.12)) und weiteren Inzidenzmatrizen. F¨ ur die Schaltung Abb. 3.4.2a lauten die Knotengleichungen f¨ ur die Knoten K1: I3 − I5 + I7 = 0 und K2: −I2 − I3 + I4 = 0 bzw. + 0I2 + a12 I2 + (−1)I2 + a22 I2

K1: 0I1 a11 I1 K2: 0I1 a21 I1

+ (+1)I3 + a13 I3 + (−1)I3 + a23 I3

+ 0I4 + a14 I4 + (+1)I4 + a24 I4

+ (−1)I5 + a15 I5 + 0I5 + a25 I5

+ 0I6 + a16 I6 + 0I6 + a26 I6

+ (+1)I7 + a17 I7 + 0I7 + a27 I7

= = = =

0 0 . 0 0

Schleife, Masche Eine Schleife oder Umlauf (loop) ist ein zusammenh¨ angen-

der Teil eines Graphen, bei dem jeder Knoten genau zwei Zweige verbindet. So bilden in Abb. 3.4.2b die Mengen der Zweige {4,6,2}, {5,3,2,1} oder {7,6,1,5} jeweils Schleifen. Die Masche ist eine Schleife eines ebenen Graphen ohne innere Zweige (in einer Masche gibt es keine weitere Masche). In der Abbildung sind die Mengen der Zweige {3,2,1,5} oder {4,6,2} Maschen, aber nicht {3,4,6,1,5}, weil die Maschen {4,6,2} und {2,1,5,3} in einer Schleife liegen. Mit der Schleifenfestlegung lautet die zweite Kirchhoffsche Gleichung: Die vorzeichenbehaftete Summe aller Zweigspannungen l¨angs einer Schleife verschwindet zu jedem Zeitpunkt. Die u ankt aus dieser Sicht zu ¨ bliche Bezeichnung Maschenregel, Maschensatz schr¨ stark ein, tats¨ achlich gilt diese Regel f¨ ur einen Umlauf.

Auch f¨ ur Verkn¨ upfung von Schleifen (Maschen) mit den sie bildenden Zweigen gibt es eine beschreibende Matrix, die Schleifen/Maschen-Zweig Inzidenzmatrix B bzw. M . Die Maschen-Zweig-Inzidenzmatrix M diente zur Schnittmenge

A

I7 I3 K2

K1

a

K3

K1

U5 5 1

I1 K5

U3

I6

I2

I5

I4

Uq

K4

K5

b

3 M1 U1

7 K3

2 4 6 M2 K4

C

7

K2

U2

K2

K1

3 5 K5 1

c

K3

4 2 6

D

K4

B Hüllfläche

Abb. 3.4.2. Beispielnetzwerk und zugeh¨ orige Topographie. (a) Netzwerk. (b) Zugeh¨ origer

gerichteter Graph mit zwei eingetragenen Maschen/Schleifen. (c) Zum Schnittmengenbegriff

308

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

Formulierung des Maschensatzes (Gl. (3.2.11)), wir werden sie sp¨ater (Gl. (3.4.5ff)). vertiefen. Die Schaltung Abb. 3.4.2b hat z. B. die Uml¨aufe M1 und M2: M1: U3 − U2 − U1 + U5 = 0, M2: −U1 − U6 + U4 + U3 + U5 = 0. Im ersten Fall liegt eine Masche vor, im zweiten eine Schleife, die die Maschenmatrix nicht erfasst. Deshalb erfolgt sp¨ ater eine Erweiterung zur SchleifenInzidenzmatrix B. Schnittmenge (cut-set, auch Schnitte, Trennmenge oder treffender H¨ ullknoten). Das ist die Menge von Zweigen eines Graphen, die von einer H¨ ullfl¨ache oder zweidimensional einer geschlossenen Schnittlinie (außerhalb eines Knotens verlaufend) einmal geschnitten wird und deren Entfernung den Graph in zwei einzelne, aber zusammenh¨ angende Teilgraphen teilt. Schnittlinien werden abgek¨ urzt mit S (und laufender Nummer) gekennzeichnet. Das Beispielnetzwerk Abb. 3.4.2c mit gegebenen Zweigstr¨ omen verdeutlicht den Begriff. Ausgang sind die Knotengleichungen f¨ ur die Knoten K2 . . . K4: K2: −I2 − I3 + I4 = 0, K3: −I4 − I6 − I7 = 0, K4: −I1 + I2 + I6 = 0. ome, die Die Addition der Gleichungen ergibt −I1 −I3 −I7 = 0. Das sind aber die Str¨ durch eine um das Netzwerk mit den Knoten 1 . . . 3 gedachte H¨ ullfl¨ ache zufließen (unabh¨ angig davon, was im Innern der H¨ ulle geschieht). Die Menge der Zweige (hier 1, 3, 7), die durch diese H¨ ulle geschnitten wird, ist die Schnitt- oder Trennmenge. (Meist wird nur eine Schnittlinie A . . . B zur Veranschaulichung der Trennmenge angegeben). Entfernt man alle drei geschnittenen Zweige“, dann zerf¨ allt der Graph ” in zwei separate Teile. Wird ein Zweig wieder ersetzt, so entsteht ein verbundener Graph. Die Schnittmenge formuliert das Kirchhoffsche Gesetz f¨ ur eine H¨ ullfl¨ ache oder einen H¨ ullknoten: Das ist nichts anderes als eine erweiterte Knotenregel, nach der die Summe aller durch die H¨ ulle hindurchtretenden Str¨ ome (vorzeichenbehaftet in Bezug auf die H¨ ulle) verschwinden muss. Sie wird mitunter als zweite Form des Kirchhoffschen Knotensatzes bezeichnet. Bei der Definition der Knotenregel Gl. (1.4.7) wurde schon darauf hingewiesen.

Der Knotensatz f¨ ur den Einzelknoten ist dann als Knotenschnittmenge zu verstehen (in Abb. 3.4.2c durch den Schnitt CD f¨ ur Knoten K3 angedeutet). Praktisch gewinnt man eine Trennmenge durch Umschließen eines Netzwerkteiles mit einem H¨ ullknoten. Die Menge aller Zweige, die diese H¨ ulle durchschneidet, bildet sie. Ihr wird eine Orientierung zugeordnet, etwa vom Innern ¨ zum Außeren positiv weisend. Damit lautet der Knotensatz allgemeiner:

3.4

Netzwerkanalyse in Matrixdarstellung*

309

Die vorzeichenbehaftete Summe der Zweigstr¨ome einer Schnittmenge verschwindet zu jedem Zeitpunkt. Ein Netzwerkgraph hat k − 1 unabh¨ angige Schnitte. Sie bilden eine Schnittbasis. Baum Ein Baum ist ein zusammenh¨ angender Teilgraph, der s¨amtliche Knoten

eines Graphen enth¨ alt ohne Schleifen zu bilden. Alle nicht zum Baum (tree) geh¨orenden Zweige bilden den Cobaum. Ein Baum besteht aus Baumzweigen, ein Cobaum aus Verbindungszweigen oder Sehnen (links). Zu einem Graph gibt es meist mehrere B¨ aume (insgesamt det(AAT )). Der Baumbegriff f¨ uhrt zur Definition besonderer Schleifen- und Schnittmengen, der Fundamentalschleifen und Fundamentalschnittmengen. Sie bestimmen die Zahl notwendiger und hinreichender Gleichungen zur L¨osung der Kirchhoffschen Gleichungen. Fundamentalschleife (fundamental loop) Jede Schleife, die nur einen Verbindungszweig, aber beliebig viele Baumzweige enth¨alt, heißt Fundamentalschleife. Sie ist die Grundlage der Schleifenanalyse. Ihre Richtung stimmt mit der Richtung des Verbindungszweiges u ¨berein. Zu jedem Graph geh¨oren k − 1 Baumzweige und m Verbindungszweige, es gibt also m = z − (k − 1) Fundamentalschleifen. Fundamentalschnittmenge (fundamental cut set) Eine Schnittmenge, die nur einen Baumzweig, sonst nur Verbindungszweige enth¨alt, heißt Fundamentalschnittmenge. Sie ist die Grundlage der Schnittmengenanalyse. Ein Graph mit gew¨ahltem Baum hat k − 1 Fundamentalschnittmengen. Unabh¨ angige Str¨ ome und Spannungen In Netzwerken gibt es mehrere S¨ atze

voneinander unabh¨ angiger Gr¨ oßen, die gleichberechtigt zur Analyse dienen k¨onnen. Das sind k − 1 Baumzweigspannungen, m Verbindungszweigstr¨ome (als Maschenstr¨ome die Grundlage des Maschenstromverfahrens) und k − 1 Knotenspannungen als spezielle Baumzweigspannungen (Grundlage der Knotenspannungsanalyse). Unabh¨angige Variable der Schleifen- bzw. Schnittmengenanalyse sind die m Verbindungszweigstr¨ome bzw. die k − 1 Baumzweigspannungen. Die (sehr praktischen!) Knotenspannungen werden nach Gl. (3.3.1) aus den Baumzweigspannungen gewonnen. Die Analyse bestimmt dann zun¨achst die unabh¨angigen Variablen und daraus die gesuchten Zweiggr¨oßen.

310

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

Inzidenzmatrizen In jedem Netzwerk fließen Zweigstr¨ ome I und liegen Zweig-

spannungen U an, ihre Gesamtheit wird im Zweigstromvektor I = (I1 . . . Iz )T T und Zweigspannungsvektor U = (U1 . . . Uz ) ausgedr¨ uckt. Wir betrachten zun¨achst die Kirchhoffschen Gleichungen in Matrixdarstellung mit Inzidenzmatrizen. Knotensatz Das Netzwerk mit z Zweigen und (allen) k Knoten hat die Kno-

tengleichungen (Gl. (3.3.12)) Aa I = 0

Knotensatz, Matrixform (3.4.1)

mit der vollst¨andigen Knoten-Inzidenzmatrix mit p + 1 = k Zeilen ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ a11 a12 . . . a1z a11 a12 . . . a1z ⎜ a21 a22 . . . a2z ⎟ ⎜ a21 a22 . . . a2z ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ Aa = ⎜ . , A = (3.4.2a) ⎟ ⎜ . . . .. . . . ⎟. .. . . . .. ⎠ ⎝ .. ⎝ .. . .. ⎠ . ak1 ak2 . . . akz ap1 ap2 . . . apz Es entsprechen die Knoten den Zeilen und die Zweige den Spalten der Matrix. Da jeder Zweig zwei Knotenpunkte verbindet, enth¨alt jede Spalte einen Eintrag +1 und −1 (die Summe einer Spalte muss stets null sein). Damit sind die Zeilen der Inzidenzmatrix Aa linear abh¨ angig, m. a. W. kann eine beliebige Zeile gestrichen werden. So entsteht die reduzierte Inzidenzmatrix A, sie wird als Inzidenzmatrix (Dimension (k − 1) × z) bezeichnet. Die gestrichene Zeile ist der Bezugsknoten“. ” Gl. (3.4.1) f¨ uhrt durch Ausmultiplizieren zum System unabh¨angiger Knotengleichungen; f¨ ur Abb. 3.4.2a wurde das veranschaulicht. Der Knotensatz Gl. (3.4.1) gilt unabh¨ angig von der Wahl eines Baumes. Ein festgelegter Baum erlaubt aber weitere Aussagen, weil es dann Baum- und Verbindungszweige gibt

Baumzweige

K1

K2 7

3

5

4 2 6

K5 1

a

K4

Baumzweige

K3

K2 7

K1

3

5

2

K3

4 6

K5 1

b

K4

Abb. 3.4.3. B¨ aume zum Netzwerk Abb. 3.4.2. (a) Gew¨ ahlter Baum. (b) Linienbaum

3.4

Netzwerkanalyse in Matrixdarstellung*

311

⎛

⎞ a11 . . . a1z ⎜ ⎟ A = ⎝ ... . . . ... ⎠ ap1 . . . apz

1 ⎛ a11 = ⎜a ⎜ 21 ⎜ . ⎝ .. =



Baumzweige

 2 ... k − 1 a12 . . . a1p a22 a2p .. .

ap1 . .. . . . Ab Av .

app

Verbindungszweige

k

  a1k   a2k   ..  .   a pk

 ... z ⎫ ⎞ . . . a1z 1⎪ ⎪ ⎪ ⎬ . . . a2z ⎟ ⎟ 2 ⎟ .. . Knoten . ⎠ .. ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ . . . apz p

(3.4.2b)

Dann hat die Knoten-Inzidenzmatrix eine Teilmatrix Ab der Baumzweige (Index b f¨ ur Baum, Index v f¨ ur Verbindungszweig) und Verbindungszweige Av . Dabei ist Ab quadratisch (p × p) und Av eine p × m Matrix (Zahl der Verbindungszweige stets gleich der Zahl der Zweige minus der Zahl (k − 1) unabh¨angiger Knoten). F¨ ur Beispiel Abb. 3.4.2b wurden in Abb. 3.4.3 zwei B¨aume gew¨ahlt: im ersten Fall (Abb. a) sind die Zweige (1) . . . (4) Baumzweige, der Rest Verbindungszweige, Abb. b sind (1), (2), (4), (7) Baumzweige. In Gl. (3.4.2) enth¨ alt jede Spalte die Knoten eines Zweiges: deshalb lassen sich die Zweigspannungen auch durch Knotenspannungen U k ausdr¨ ucken U = AT · U k

Zusammenhang Zweig-Knotenspannungen (3.4.3)

(s. Gl. (3.3.10)). Darin ist AT die transponierte Knoten-Inzidenzmatrix A, also eine z × p-Matrix. Offen bleibt noch die Formulierung des Knotensatzes mit Schnittmengen (s. u.). Maschensatz Der Maschensatz (3.2.11)

MU = 0

Maschensatz, Marixform

wird durch die Maschen-Zweig-Inzidenzmatrix M erfasst. Sie gibt Auskunft u ¨ber die Zweige in den einzelnen Maschen. In einer Zeile stehen alle zur betreffenden Masche geh¨ orenden Zweige, in ihren Spalten die Maschen, zu denen der jeweilige Zweig geh¨ ort. Die Matrixelemente sind definiert durch ⎧ ⎨ 1 Zweig j in Masche i mit gleicher Orientierung, mij = −1 Zweig j in Masche i mit entgegengesetzter Orientierung, ⎩ 0 Zweig j nicht Masche i.

312

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

In Abb. 3.4.2b wurden zwei Uml¨ aufe M1 (Masche) und M2 (Schleife) gebildet. Der zweite erfordert eine Erweiterung der Maschenmatrix zur (vollst¨andigen) Schleifen-Zweig-Inzidenzmatrix B a . Mit ihr lautet der Maschensatz B a U = 0.

Maschensatz (3.4.4)

Er schließt alle m¨oglichen Maschen ein: die Zahl der Zeilen ist gleich der Zahl der Schleifen und die Zahl der Spalten gleich der Zahl der Zweige. Diese Schleifen sind nicht unabh¨ angig voneinander, so k¨onnen in Abb. 3.4.2b insgesamt 7 Uml¨ aufe gebildet werden aus den Zweigen {2,3,7,6}, {5,7,6,1}, {5,7,4,2,1}, {5,3,2,1}, {3,4,7}, {4,6,2} und {5,3,4,6,1}. Von ihnen sind nur m = z − (k − 1) = 3 linear unabh¨ angig, sie bilden die Fundamentalschleifen. Fundamentalschleifenmatrix Die richtige Anwendung des Maschensatzes erfordert die Anzahl voneinander unabh¨angiger Maschen, das sind genau m = z − (k − 1), symbolisiert durch die Verbindungszweige im vollst¨andigen Baum. Erst die Baumwahl erlaubt die Festlegung der Fundamentalschleifen!

Das System der Maschenzweige der m unabh¨angigen Maschengleichungen wird durch die Schleifen-Zweig-Inzidenzmatrix (auch Schleifeninzidenz- oder Fundamentalschleifenmatrix), kurz die Schleifenmatrix B gekennzeichnet16 ⎛ ⎞ b11 . . . b1z ⎜ ⎟ B = ⎝ ... . . . ... ⎠ bm1 . . . bmz

⎛ =

⎜ ⎜ ⎜ ⎝

1 b11 b21 .. . bm1

Baumzweige

Verbindungszweige

 2 ... k − 1 k  b12 . . . b1p  b1k b2p  b2k ..  .. .  . . . . . . . bmp  bmk

 ... z ⎞ . . . b1z b2z ⎟ ⎟ .. ⎟ . ⎠

1 2 .. .

. . . bmz

m

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬

.

Fundamental⎪ schleifen

⎪ ⎪ ⎭

(3.4.5) Die Schleifenmatrix B ist eine m × z Matrix gegeben durch die Schleifenuml¨aufe in jeder der m Fundamentalschleifen. Jede Zeile repr¨asentiert eine Fundamentalschleife, jede Spalte einen Zweig. Abb. 3.4.4 zeigt drei unterschiedliche Fundamentalschleifen zu Abb. 3.4.2. Es gibt 5 Knoten, 7 Zweige und 3 Fundamentalschleifen. Die Baumzweige wer16

Man unterscheidet zwischen der vollst¨ andigen Schleifenmatrix B a , die alle Schleifen des Graphen einschließt und der Fundamentalschleifenmatrix B = B f , die nur die m Fundamentalschleifen umfasst. Wir beschr¨ anken uns darauf.

3.4

Netzwerkanalyse in Matrixdarstellung*

313

den stets vor Verbindungszweigen nummeriert. Dann geh¨ort zu Abb. 3.4.4a folgende Schleifeninzidenzmatrix Baumzweige

1 ⎛ −1 B= ⎝ 0 0

 2 3 4  −1 1 0  −1 0 −1  0 −1 −1 

Verbindungszweige

 5 6 7 ⎞ 1 0 0 0 1 0⎠ 0 0 1

⎫ 1⎬ 2 Fundamentalschleifen. ⎭ 3 (3.4.6)

In Abb. 3.4.4b, c wurden weitere Fundamentalschleifen angegeben. Nach jeweiliger Festlegung des Baumes ist die B-Matrix direkt ablesbar. Die Schleifenmatrix B l¨asst sich durch Aufteilung der Zweige in (k − 1) Baum- und m Verbindungszweige in zwei Teilmatrizen B b und B v gruppieren   Bv Bb     m Fundamentalschleifen B =  ≡

p Baumzweige m Verbindungszweige

Bb  



E  

Baumzweige Verbindungszweige

m. (3.4.7)

Dabei stimmt die Orientierung der Fundamentalschleifen mit der der Verbindungszweige u ur die Matrixkoef¨ berein. E bezeichnet die Einheitsmatrix. F¨ fizienten gilt ⎧ ⎨ 1 Zweig j in Fundamentalschleife i, beide Richtungen gleich bij = −1 dito, aber beide Richtungen verschieden ⎩ 0 Zweig j nicht zur Schleife i geh¨orig. Der Maschensatz formuliert als System der m unabh¨angigen Schleifengleichungen lautet dann mit dem Zweigspannungsvektor U und der (Fundamental-) Schleifen-Inzidenzmatrix B BU = 0.

Maschensatz, Matrixform (3.4.8) 7

7 K2

K1 3 5

K5

2

M1 1

M3

M3 K3

M2

K1

4

5 3

K4

a

K2

2 M2

M1

6 K5

b

1

4 K2 M1 K3 4

K4

K1

6

5 7

M2

M3 2

K5 1

K3

3 6

K4

c

Abb. 3.4.4. Fundamentalschleifen. (a) Fundamentalmaschen. (b), (c) Weitere Fundamen-

talschleifen/-maschen

314

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

Die Zweigspannungen lassen sich weiter unterteilen in Baum- und Verbindungszweigspannungen, gleiches gilt f¨ ur die Spannungsvektoren: U besteht aus dem Vektor U b der (k − 1) Baumzweigspannungen und dem Vektor U v  T der m Verbindungszweigspannungen: U = U b U v . Dann ergibt sich u ¨ber den Maschensatz mit Gl. (3.4.7)     Ub B · U = Bb E · = BbU b + U v = 0 Uv ein Zusammenhang zwischen den Verbindungs- und Baumzweigspannungen U v = −B b U b .

Beziehung Verbindungs-Baumzweigspannung (3.4.9)

Die bisherigen Formulierungen der Kirchhoffschen Gleichungen ber¨ ucksichtigen nur die Netzwerktopologie. Dabei ist (stillschweigend) vorausgesetzt, dass jeder Knoten mit wenigstens einem anderen Knoten verbunden ist. Im konkreten Netzwerk gibt es unterschiedliche Verbindungen durch Netzwerkelemente, teilweise fehlen sie: deshalb m¨ ussen noch die U, I-Beziehungen der NWE einbezogen werden. Ergebnis sind die Schleifen- und Schnittmengenanalyse. 3.4.2 Schleifenanalyse Umfassender als Maschenstrom- und Knotenspannungsanalyse sind Schleifenund Schnittmengenanalyse. Sie basieren auf Fundamentalschleifen bzw. Fundamentalschnitten und erfordern deswegen einen Baum. Unabh¨angige Netzwerkvariable sind die Schleifenstr¨ome (erf¨ ullen die Knotengleichungen der Schleifenanalyse) bzw. die Baumzweigspannungen (erf¨ ullen die Schleifengleichungen der Schnittmengenanalyse). Entsprechen die Schleifenstr¨ome verallgemeinerten Maschenstr¨ omen, so muss die Beziehung zwischen Baumzweigund Knotenspannungen noch begr¨ undet werden. Die Grundlage der Schleifenanalyse sind die Schleifenstr¨ome als unabh¨angige Variable in Fundamentalschleifen beschrieben durch die Fundamentalschleifenmatrix B Gl. (3.4.6). Sie werden nach Wahl eines Baumes ermittelt und in der Matrix B zusammengefasst. Weil die Umlaufrichtung einer Fundamentalschleife mit der des Verbindungszweiges u ¨bereinstimmt, k¨onnen ihre Koeffizienten direkt u ur die weitere Analyse ¨ ber Gl. (3.4.7) bestimmt werden. F¨ ist die Orthogonalit¨ at der Knoten- und Fundamentalschleifen-Inzidenzmatrix von grundlegender Bedeutung (s. u.). Grundgleichungen Die Schleifenstromanalyse basiert auf drei Ans¨atzen: 1. dem Maschensatz Gl. (3.4.8) f¨ ur jede Fundamentalmasche B, 2. dem allgemeinen Netzwerkzweig (Abb. 3.1.3) mit der Zweigspannung Uj = Rjz Ij − Uqj + Rjz Iqj j = 0, 1, 2 . . . z

3.4

Netzwerkanalyse in Matrixdarstellung*

315

oder als Matrixgleichung (s. Gl. (3.2.20)) U = Rz I − U q + Rz I q 3.

allgemeiner Netzwerkzweig (3.4.10)

dem Zusammenhang zwischen Zweigstrom I und Schleifenstrom I m u ¨ ber die transponierte Fundamentalschleifenmatrix B T (s. u.) I = CI m = B T I m . Zusammenhang Zweig-, Schleifenstrom (3.4.11)

Einsetzen des Netzwerkzweiges (3.4.10) in den Maschensatz Gl. (3.4.8) ergibt BU = BRz I − BU q + BRz I q = 0 und bei Ersatz des Zweigstromvektors durch den Schleifenstromvektor Gl. (3.4.11) BRz RT I m = BU q − BRz I q = U qm  

(3.4.12a)

R

oder RI m = U qm .

Grundgleichung Schleifenstromanalyse (3.4.12b)

In der Schleifenstromanalyse treten die Schleifenwiderstandsmatrix R = BRz B T , der Quellenspannungsumlaufvektor U qm (Summe der Quellenspannungen in der Schleife, positiv, wenn in Umlaufrichtung orientiert) und der gesuchte Schleifenstromvektor I m auf mit I m = R−1 U qm .

Schleifenstromanalyse, L¨osung (3.4.13)

Aus der L¨osung k¨onnen Zweigstromvektor Gl. (3.4.11) und mit Gln. (3.4.10), (3.4.11) die Zweigspannungen bestimmt werden. Diskussion 1.

2.

In der L¨ osung Gl. (3.4.13) enth¨ alt der Quellenspannungsumlaufvektor nicht nur die Spannungsquellen (einer Schleife), sondern auch Stromquellen, die u ¨ ber den Zweigwiderstand zu den Spannungen beitragen. Die Matrix R z ist die Zweigwiderstandsmatrix (nur Diagonalelemente), die Matrix R die Schleifenwiderstandsmatrix aus Haupt- und Nebendiagonalelementen (Bedeutung wie bei der Maschenstromanalyse, nur treten hier die jeweiligen Schleifen auf).

Orthogonalit¨ at Aus der Beziehung zwischen Zweig- und Schleifenstrom Gl. T (3.4.11) und dem Knotensatz Gl. (3.4.1) folgt AI = AB  I m = 0. Das gilt

nur, wenn A und B orthogonal zueinander sind: AB T = 0

resp.

BAT = 0.

0

(3.4.14)

316

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

Die Knoten-Inzidenzmatrix A und die Fundamentalschleifen-Inzidenzmatrix B sind stets orthogonal zueinander. 3.4.3 Schnittmengenanalyse Im Kap. 3.4.1 wurde die Schnittmenge aus dem erweiterten Knotenbegriff erkl¨art: umh¨ ullt man einen Netzwerkteil, der einen oder mehrere Knoten enth¨alt durch eine H¨ ullfl¨ ache, so muss die vorzeichenbehaftete Summe aller Str¨ome durch die H¨ ullfl¨ ache verschwinden. In der Ebene hinterl¨asst die H¨ ullfl¨ache eine Spur, auch verstanden als Trennlinie eines Schnittes. Deshalb verschwindet die Summe der Str¨ ome einer Trennmenge. Dies ist eine verallgemeinerte Knotenpunktregel. So, wie der Knotensatz f¨ ur einen gegebenen Netzwerkgraphen k − 1 voneinander unabh¨ angige Gleichungen f¨ ur die Str¨ome liefert, f¨ uhrt der erweiterte Knotensatz beim gleichen Graphen auf k − 1 unabh¨angige Schnitte. Sie bilden eine Schnittbasis. Abb. 3.4.5a, b zeigt einen Netzwerkgraphen mit 4 Knoten und allen Schnitten einschließlich der Orientierung. Grundlage sind die Kirchhoffschen Gleichungen, z. B. f¨ ur die ersten drei Schnitte =0 S1: I1 + I2 + + I3 + I5 = 0 S2: −I2 S3: − I4 + I5 = 0. Der vollst¨andige Gleichungssatz lautet in Matrixschreibweise ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ S1 1 1 0 0 0 I1 0 ⎟ ⎜I ⎟ ⎜0⎟ S2 ⎜ 0 −1 1 0 1 ⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ S3 ⎜ 0 0 0 −1 −1 ⎟ ⎜ I3 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟·⎜ ⎟ =⎜ ⎟ S4 ⎜ −1 0 −1 1 0 ⎟ ⎜ I4 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ S5 ⎝ 1 0 1 0 1 ⎠ ⎝ I5 ⎠ ⎝ 0 ⎠ I6 S6 0 1 −1 1 0 0 S1 K2

K1

K1

K3

I5

I2

I1 I1

I4

I3

K2

I5

K4

S4

I4 S5

S1 K2

K1

2

S6 1

I3

K4

a

S2 I2

K3

K4

3 4

S2 5 K3 S3

S3

b

c

Abb. 3.4.5. Schnittmengen im elektrischen Netzwerk. (a) Netzwerk. (b) Gerichteter Graph

zu Abb. a. (c) Schnittmengen bei gew¨ ahltem Linienbaum

3.4

Netzwerkanalyse in Matrixdarstellung*

317

oder kompakt formuliert17 D a I = 0.

(3.4.15)

F¨ ur die Schnittmenge und die mit ihr verbundenen Zweige gibt es eine vollst¨andige Schnittmengen-Zweig-Verbindungsmatrix oder kurz Schnitt- oder Trennmengenmatrix D a . Ihre Elemente werden durch folgende Definition bestimmt ⎧ 1 Zweig j in Fundamentalschnittmenge i, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ gleicher Richtungssinn ⎨ dij = −1 Zweig j nicht in Fundamentalschnittmenge i, (3.4.16) ⎪ ⎪ ⎪ verschiedener Richtungssinn ⎪ ⎩ 0 Zweig j nicht zur Fundamentalschnittmenge geh¨orig. Jede Zeile von Da ist mit einem Schnitt des Graphen assoziiert, jede Spalte mit einem Zweig. Im Abb. 3.4.5b geh¨ ort Zweig z3 zu den Schnitten 2,4,5,6 (nicht verschwindende Elemente in Zeilen 2,4,5,6 in Spalte 3). Das Element in Zeile 5 betr¨agt +1, weil die Orientierung von Schnitt 5 mit der von Zweig 3u agt das Element in Zeile 6 −1, da Schnitt 6 ¨ bereinstimmt (dagegen betr¨ entgegen zu Zweig 3 orientiert ist). F¨ ur Abb. 3.4.5b wurden oben 6 Gleichungen f¨ ur 5 Unbekannte gefunden: sie sind daher linear abh¨ angig. Man stellt weiter fest, dass Da Zeilen der (vollst¨andigen) Knoten-Zweig-Inzidenzmatrix Aa und/oder Zeilen enth¨alt, die durch Linearkombination der Zeilen von Aa entstehen. So umfasst die Schnittgleichung S6 die Knoten 2 und 3 (Zeilen 2 und 3), die Schnittgleichung S5 die Zeilen 3 und 4 (Knoten 3 und 4). Linear unabh¨angig sind im gegebenen Netzwerk nur k − 1 Gleichungen (hier drei) entsprechend dem Knotensatz. Daf¨ ur l¨asst sich die (reduzierte) Schnittmengen-Zweig-Inzidenzmatrix D vereinbaren (forthin immer als Schnittmengen-Inzidenzmatrix D verstanden). Beispielsweise bilden die ersten drei Zeilen (Gleichungen) als Teilmatrix von D a ⎛ ⎞ 1 1 0 0 0 D = ⎝ 0 −1 1 0 1 ⎠ 0 0 0 −1 −1 einen Satz (n¨amlich k − 1 = 3) unabh¨ angiger Schnittmengen in Abb. 3.4.5c. Die systematische Suche einer Schnittmengenbasis f¨ uhrt zur Vereinbarung der Fundamentalschnittmenge:

17

Diese Matrix wird oft auch mit Qa bezeichnet.

318

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

Eine Fundamentalschnittmenge schneidet nur einen Baumzweig, sonst nur Verbindungszweige. Ihre Richtung ist die des Baumzweiges. Ein Graph mit zugeordnetem Baum hat k − 1 Fundamentalschnittmengen. Damit stimmt die Zahl der Fundamentalschnittmengen mit der Anzahl der Baumzweige u orige Fundamentalschnittmengen¨ berein und es gibt eine zugeh¨ Inzidenzmatrix D mit p = k−1 Zeilen und z Spalten entsprechend der Anzahl der Zweige. Dabei werden, den bisherigen Vereinbarungen gem¨aß, zuerst die Baum-, dann die Verbindungszweige aufgef¨ uhrt. So lassen sich die Elemente von D auch ohne Aufstellung der Kirchhoffschen Gleichungen nach folgender Regel gewinnen (wobei die Richtung der Fundamentalschnittmenge mit der Richtung der zugeh¨ origen Baumzweige u ¨bereinstimmen muss): In jeder Zeile der Matrix stehen die Zweige ausgedr¨ uckt durch den Koeffizienten dij , die in einer Schnittmenge (also am betreffenden erweiterten Knoten) enthalten sind. Dann lautet die erste Kirchhoffsche Gleichung (Knotensatz) formuliert als Schnittgesetz Knotensatz in Matrixform, (3.4.17) Schnittgesetz

DI = 0.

Die Schnittmengen-Zweig-Inzidenzmatrix verkn¨ upft die Schnittmengen mit den sie bildenden Zweigen, also jeden H¨ ullknoten mit seinen auftreffenden Zweigen (erweiterte Form des Knotensatzes). Daher sind Beziehungen zwischen der Schnittmengenmatrix D und der KnotenInzidenzmatrix A zu erwarten, s. u.

Die zur Fundamentalschnittbasis geh¨ orende Schnittmengen-Inzidenzmatrix lautet ⎞ ⎛ d11 . . . d1z ⎟ ⎜ D = ⎝ ... . . . ... ⎠ dp1 . . . dpz Baumzweige

⎛ = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

1 d11 d21 .. .

 2 ... k − 1 d12 . . . d1p d2p .. .

dp1 . . . . . .

dpp

Verbindungszweige

k

  d1k   d2k   ..  .   d pk

 ... z ⎫ ⎞ . . . d1z 1⎪ ⎪ ⎪ ⎬ . . . d2z ⎟ ⎟ 2 Fundamental. ⎟ .. . schnitte ⎪ . ⎠ .. ⎪ ⎪ ⎭ p . . . dpz (3.4.18)

Weil jede Fundamentalschnittmenge genau einen Baumzweig enth¨alt, kann die Matrix D in zwei Untermatrizen D b und D v entsprechend der Baum-

3.4

Netzwerkanalyse in Matrixdarstellung*

319

und Verbindungszweige unterteilt werden  D= E | Dv 



 





}p



Fundamentalschnittmengen.

(3.4.19)

m Baumzweige

p Verbindungszweige

D hat den Rang p = k − 1, weil eine der beiden Untermatrizen die Einheitsmatrix ist. Deshalb bilden die Stromgleichungen der Fundamentalschnittmengen ein System linear unabh¨ angiger Gleichungen, m. a. W. beschreibt die Fundamentalschnittmengenmatrix D (mit ihren k − 1 Stromgleichungen) das Netzwerk vollst¨andig. Die Schnittmengenanalyse basiert auf der Definition von Fundamentalschnittmengen im Netzwerkgraph, sie ist zur Schleifenanalyse dual. In Abb. 3.4.5c wurde ein Baum aus den Zweigen 2,3,4 gew¨ahlt. Es gibt entsprechend der drei Baumzweige drei Fundamentalschnittmengen z ⎛ 2 S1: 1 ⎝ D = S2: 0 S3: 0

z3 0 1 0

z4 0 0 1

z1 1 1 0

z5 ⎞ 0 . 1 ⎠ 1

Gewinnung der Fundamentalschnitte: 1. 2.

3.

Wahl eines Baumes, Nummerierung der Baumzweige von 1 . . . (k − 1) und der Verbindungszweige von k . . . z. Erzeugung eines Schnittes durch jeden Baumzweig (jeder Baumzweig wird von einem H¨ ullknoten geschnitten, der auch vorhergehende H¨ ullknoten einschließen kann). Nummerierung der Schnitte nach den zugeh¨ origen Baumzweigen, Festlegung der Richtung nach der des erzeugenden Baumzweiges.

Abb. 3.4.6 veranschaulicht den Zusammenhang zwischen Graph und Schnittmenge f¨ ur das Netzwerk nach Abb. 3.4.2a. Zu den Graphen Abb. a und b geh¨ oren die Fundamentalschnittmatrizen 0 z1 1 S1: 0 S2: B B D= S3: @ 0 0 S4:

z2 0 1 0 0

z3 0 0 1 0

z4 z 5 z 6 0 1 0 0 1 1 0 −1 0 1 0 1

0 z1 1 S1: S2: B B 0 D= S3: @ 0 0 S4:

z2 0 1 0 0

z3 0 0 1 0

z4 z 5 z 6 z 7 1 0 1 0 1 0 1 −1 0 C C . 0 −1 0 −1 A 1 0 1 1

z7 0 0 1 1

1 C C A

Ausgang ist der Graph nach Abb. 3.4.2b. Es gibt entsprechend der 5 Knoten vier Fundamentalschnitte. Schnittrichtung und Baumzweigrichtung stimmen jeweils

320

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

S4

S3 3

K1

7 K2 4 2

5 K5

1

K4

K3

S3 K2

K1

S2

2

3

S4 5

K1

S2

4

7

K3 6

S4 K5

K5 1

3 K2 2

K3 6

5 6

4

S1

7

1

S3

K4

S2

K4

S1

S1

b

a

c

Abb. 3.4.6. (a), (b), (c) Wahl verschiedener Schnittmengen zu Abb. 3.4.4

u ¨berein. Schnitt S2 schließt Schnitt S1 in Abb. a ein. In Abb. 3.4.6b bedingt ein anderer Graph eine neue Nummerierung der Baumzweige. In Abb. c schließt ein Schnitt jeweils den vorhergehenden mit ein.

Transformation Zweig-Baumzweigspannung Waren bei der Schleifenanalyse

Schleifenstr¨ome I m die Netzwerkvariablen, so treten bei der Schnittmengenanalyse die (dazu dualen) Baumzweigspannungen U b als unabh¨angige Netzwerkvariable auf. Sie stehen mit den Zweigspannungen U in Beziehung: Zweigspannungen sind Linearkombinationen von Baumzweigspannungen. Es gilt allgemein U = DTU b .

Zusammenhang Zweig-Baumzweigspannungen (3.4.20)

Zweig- und Bauzweigspannungen h¨ angen u ¨ ber die transponierte Fundamentalschnittmengenmatrix zusammen. Das ist die analoge Beziehung zu Gl. (3.4.11) zwischen Zweig- und Schleifenstr¨omen bei der Schleifenanalyse. Grundgleichungen Die Schnittmengenanalyse beruht auf drei Ans¨atzen 1. 2.

dem erweiterten Knotensatz/Schnittmengengesetz Gl. (3.4.17), dem allgemeinen Netzwerkzweig (Abb. 3.1.3) mit dem Zweigstrom Ij = Gjz Uj − Iqj + Gjz Uqj j = 1, 2, . . . z oder verallgemeinert f¨ ur alle Zweigstr¨ ome in Matrixform I = Gz U − I q + Gz U q .

3.

allgemeiner Netzwerkzweig (3.4.21)

Dabei ist Gz eine Diagonalmatrix. Jeder der auftretenden Vektoren hat z Komponenten. dem Zusammenhang zwischen Zweigspannung U und Baumzweigspannung U b nach Gl. (3.4.20) u ¨ ber die transponierte FundamentalschnittInzidenzmatrix.

3.4

Netzwerkanalyse in Matrixdarstellung*

321

Einsetzen der Netzwerkgleichung (3.4.21) in Gl. (3.4.17) ergibt DI = DGz U − DI q + DGz U q = 0 und schließlich bei Ersatz der Zweigspannungsvektors U durch den Baumzweigspannungsvektor U b nach Gl. (3.4.20) DGz D T U b = DI q − DGz U q = I qs  

(3.4.22)

G

oder zusammengefasst mit den Abk¨ urzungen GU b = I qs .

Grundgleichung Schnittmengenanalyse (3.4.23)

Der Stromquellenvektor I qs ist der (¨aquivalente) Schnittmengenquellenstrom. In der zur Schleifenanalyse dualen Schnittmengenanalyse treten auf: die Schnittmengenleitwertmatrix G, der Quellenstromschnittmengenvektor I qs und die gesuchten Baumzweigspannung U b . Die L¨osung lautet U b = G−1 I qs .

Schnittmengenanalyse, L¨osung (3.4.24)

Aus den Baumzweigspannungen k¨ onnen alle u ¨ brigen Gr¨oßen U , I analog zum Vorgehen bei der Schleifenanalyse berechnet werden. Die Schnittmengenleitwertmatrix ist quadratisch (Rang k − 1). Sie kann, wie die Schleifenwiderstandsmatrix, direkt aus dem Netzwerk aufgestellt werden: die Diagonalelemente sind die Summe der zu jeder Fundamentalschnittmenge geh¨ orenden Leitwerte der Zweige (stets positiv), die u ¨ brigen Elemente der (symmetrischen) Matrix enthalten die Leitwerte, die zu den Fundamentalschnittmengen geh¨ oren, die der jeweiligen Zeile und Spalte gemeinsam sind. Sie liegen immer in Verbindungszweigen. Unterscheiden sich zwei Zeilen einer Spalte durch von null verschiedene Eintr¨ age, so gibt es einen gemeinsamen Leitwert der zugeh¨ origen Fundamentalschnittmenge (bei gleichen Vorzeichen der Eintr¨ age hat der Leitwert positives Vorzeichen, bei Ungleichheit der Vorzeichen negatives Vorzeichen).

Orthogonalit¨ at Waren die Knoten-Inzidenzmatrix A und die (transponierte) Fundamentalschleifen-Inzidenzmatrix B orthogonal zueinander (s. Gl. (3.4.14)) begr¨ undet durch den Knotensatz, so gilt dies auch f¨ ur die Schnittmengen-Inzidenzmatrix D und die (transponierte) Fundamentalschleifen-Inzidenzmatrix B

AB T = 0 ,

BAT = 0

resp.

DB T = 0 ,

BDT = 0.

(3.4.25)

322

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

Deshalb hat jede Masche mit jeder Schnittmenge eine gerade Zahl von Zweigen gemeinsam: bei der einen Zweigh¨alfte stimmen Maschen- und Schnittmengen-Orientierung u ¨ berein, bei der anderen sind sie entgegengerichtet.

3.4.4 Zusammenh¨ ange, Vergleiche Die Dualit¨at der Schnittmengen- und Schleifenanalyse dr¨ uckt sich z. B. aus durch die Zuordnungen Schleifenanalyse

Trennmengenanalyse

Fundamentalschleife Fundamentalschleifenmatrix B Verbindungszweig Verbindungszweigstrom I v

Fundamentaltrennmenge Fundamentaltrennmengenmatrix D Baumzweig Baumzweigspannung U b .

Zusammenh¨ ange der Inzidenzmatrizen Jede Inzidenzmatrix beschreibt die

Topologie des Netzwerkgraphen gleichwertig. Deshalb lassen sich alle (B, D) auf die Knoten-Inzidenzmatrix A zur¨ uckf¨ uhren. Dazu erfolgt eine Unterteilung nach Baum- und Verbindungszweigen entsprechend Gl. (3.4.2):   A = Ab Av (3.4.26) (Ab quadratische p × p Matrix, Av p × m Matrix). Diese Unterteilung ergibt: Zusammenhang B, A Maschensatz Gl. (3.4.8) und Orthogonalit¨atsbedingung Gl. (3.4.25) f¨ uhren auf  T   Bb T A · B = 0 → Ab Av · = Ab B T b + Av = 0 E oder −1 BT b = −Ab Av ; B =



 Bb E .

Beziehung Maschen- ↔ KnotenInzidenzmatrix

(3.4.27)

Zwischen Maschen- und Knoten-Inzidenzmatrix besteht ein direkter Zusammenhang (Berechnung der inversen Matrix von Ab aufwendig). Beziehung D, A Die Beziehung zwischen den Trennmengen- und KnotenInzidenzmatrizen hat große praktische Bedeutung. Ausgang ist die Orthogonalit¨atsbedingung Gl. (3.4.25) und die Aufteilung der Trennmengen-Funda-

3.4

Netzwerkanalyse in Matrixdarstellung*

323

mentalmatrix Gl. (3.4.18), wobei der Baumanteil wegen der p Trennmengen eine Einheitsmatrix ist. Zusammen mit Gl. (3.4.7) ergibt sich     BT T b =0 (3.4.28) DB = 0 → E Dv E f¨ ur den transponierten Baumanteil der Schleifen-Inzidenzmatrix −1 BT b = −D v = −Ab Av

und nach Einsetzen in Gl. (3.4.18) endg¨ ultig   −1   D = E Ab Av   Schnittmengen- ↔ (3.4.29) = A−1 Ab A v b Knoten-Inzidenzmatrix −1 = Ab A. Schnittmengen- und Schleifen-Inzidenzmatrix k¨onnen aus der KnotenInzidenzmatrix berechnet werden. Mit Gln. (3.4.7) und (3.4.29) besteht ein Zusammenhang zwischen Schnittmengen- und Schleifen-Inzidenzmatrix durch die Orthogonalit¨atsbedingung Gl. (3.4.25): D=



   , B = −DT E −B T v E . b

Beziehung Schleifen(3.4.30) SchnittmengenInzidenzmatrix

Transformationsbeziehungen Die bisherigen Ergebnisse f¨ uhren auf Transformationsbeziehungen zwischen den Baumzweigspannungen, Verbindungsstr¨omen, Knotenspannungen und den Zweigspannungen und -str¨omen:       Ub Ub E U = = = U b = DT U b U DT DT v Ub   v   T  v  Ib Bb −Dv I v −Dv Iv = I v = BT I = = = b I v. Iv Iv E E (3.4.31a)

Das sind beim Schnittmengenverfahren alle Zweigspannungen aus den (k − 1) Baumzweigspannungen und beim Schleifenverfahren alle Zweigstr¨ome aus den m = z − (k − 1) Str¨ omen in den Verbindungszweigen oder den Schleifenoder Umlaufstr¨omen. Die Baumzweigspannungen lassen sich immer durch Knotenspannungen (bei gew¨ ahltem Bezugsknoten) ausdr¨ ucken. Die Beziehung zwischen Zweig- und den (k − 1) Knotenspannungen U k lautet U = AT U k .

(3.4.31b)

324

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

Die Kirchhoffschen Gleichungen lauten dann zusammengefasst in Matrixform Knotenbeschreibung

Knotensatz Maschensatz

AI = 0 U = AT U q

Trennmengenbeschreibung

DI = 0 U = DT U b

Schleifenbeschreibung

I = BT I v BU = 0.

Die Inzidenzmatrizen des Netzwerkes sind gegeben durch18       A = Ab Av , B = B b E , D = E Dv .

(3.4.32)

(3.4.33)

Zwischen den Zweiggr¨ oßen und Baumzweigspannung bzw. Schleifenstr¨omen gilt Gl. (3.4.31). Verfahrensvergleich Die Betrachtungen zeigen den engen Zusammenhang zwischen der dualen Schleifen- und Schnittmengenanalyse. Beide erfordern einen Baum, (zugeh¨orige Inzidenzmatrizen ineinander u uhrbar) und zur L¨osung ¨ berf¨ die Matrixinversion. Aufwands¨ armer ist die

Schleifenanalyse, wenn mehr Baum- als Verbindungszweige auftreten, Schnittmengenanalyse, wenn der gew¨ ahlte Baum m¨oglichst wenig Knoten bzw. Schnittmengen und m¨ oglichst viele Verbindungszweige (Maschen) hat. Vorteilhaft ist, dass alle relevanten Matrizen aus der Knoten-Inzidenzmatrix und der Widerstand/Leitwertdiagonalmatrix ermittelt werden k¨onnen. Bereitet die Handberechnung schnell Probleme (hier bringen die Widerstands- und Leitwertmatrizen Erleichterung, da sie direkt der Schaltung entnommen werden k¨onnen), so gibt es f¨ ur ihre numerische Berechnung vielf¨altige Verfahren. Deshalb liegt ihre St¨ arke vor allem in der numerischen Auswertung. Schleifen-, Maschenstromverfahren Gelingt es, im Netzwerk statt eines Bau-

mes mit Fundamentalschleifen Fenstermaschen zu w¨ahlen, so geht die Schleifenmatrix in die Maschenmatrix u ¨ber und die Baumsuche entf¨allt. Abb. 3.4.7 zeigt einen Graphen (k = 6, z = 10, m = 5). Nach Baumwahl und damit der Baum- und Verbindungszweige (Baumzweige 2,3,5,9,10, Verbindungszweige 1,4,6,7,8) wird die Fundamentalschleifenmatrix Gl. (3.4.6) aufgestellt M1: M2: B = M3: M4: M5:

2 3 5 9 10 1 −1 0 0 0 ⎜ −1 0 −1 0 0 ⎜ ⎜ 0 0 −1 1 −1 ⎜ ⎝ 0 −1 −1 1 −1 0 0 0 −1 1 ⎛

1 1 0 0 0 0

4 0 1 0 0 0

6 0 0 1 0 0

7 0 0 0 1 0

8 ⎞ 0 0⎟ ⎟, 0⎟ ⎟ 0⎠ 1

3.4

Netzwerkanalyse in Matrixdarstellung*

325

1 2 3 4 5 6 −1 −1 1 0 0 0 ⎜ 0 1 0 −1 1 0 ⎜ ⎜ 0 0 −1 0 0 −1 ⎜ ⎝ 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 0 0 0 ⎛

M1: M2: M = M3: M4: M5:

7 8 0 0 0 0 1 0 0 1 0 −1

9 10 ⎞ 0 0 0 0⎟ ⎟ 0 0⎟ ⎟. 0 0⎠ 1 −1

In der oberen Matrix enth¨ alt jede Zeile die Zweige der betreffenden Schleife nach Abb. 3.4.7a. Dabei stimmt die Richtung der Fundamentalschleife mit der Orientierung der sie definierenden Verbindungszweige u ¨ berein, also M3 mit Zweig 6. Die Matrix besteht aus Anteilen f¨ ur die Baum- und Verbindungszweige. In der unteren Matrix werden 5 Maschen gem¨aß Abb. b definiert, sie f¨ uhren zur Maschenmatrix. In den Spalten stehen alle Maschen, zu denen der betreffende Zweig geh¨ ort. Auff¨ allig ist die schwache Matrixbesetzung (geringer Auswerteaufwand). Schleifen- und Maschenanalyse gehen ineinander u ¨ber, wenn alle Schleifen zu Maschen werden. Das Beispiel zeigt aber auch, dass ein Fenstermaschensystem, wie rechts, in ein Schleifensystem (und umgekehrt) gewandelt werden kann. Das verdeutlicht Abb. 3.4.7c. Alle inneren Zweige einer Fenstermasche k¨ onnen keine Baumzweige sein (Verletzung der Baumregel). Deshalb gibt es keinen Baum. Die eingef¨ uhrten Fenstermaschen M1 . . . M4 liefern ein vollst¨ andiges System von Maschenstr¨ omen. Die Anordnung kann aber durch Aufteilung eines Knotens und Verbindung beider H¨ alften u uhrt ¨ ber einen widerstandslosen Verbindungszweig in einen Baum u ¨ berf¨ werden. Dann sind Schleifen definierbar. Der widerstandslose Zweig tr¨ agt nicht zur Widerstandsmatrix bei. Auf diese Weise kann eine Maschenanalyse immer als spezielle Schleifenanalyse verstanden werden mit der Besonderheit, dass Fenstermaschen einen unabh¨ angigen Satz von Maschenstr¨ omen gew¨ ahrleisten. 4

4

1

M2 5

2 M1 3

M3 M4

6

8

9

2 1

10

3

6

M2 M5

M3

M3

M2

M1

M1

M4

M4

10

7

7

a

M3

9

5 8 M4

M1

M5

Knotenteilung

M2

b

c

d

Abb. 3.4.7. Netzwerk mit Schleifen- und Fenstermaschen. (a) Graph mit Fundamental-

¨ schleifen. (b) Fenstermaschenanordnung. (c) Fenstermaschenanordnung. (d) Uberf¨ uhrung eines Graphen durch Knotenaufteilung in Schleifen

18

Dabei ist vorausgesetzt, dass die Zeilen von U und I und die Spalten von A, B und D in der gleichen Zweigfolge angeordnet sind.

326

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

Schnittmengen- und Knotenspannungsanalyse Die f¨ ur die Schnittmengenana-

¨ lyse erforderliche Baumsuche entf¨ allt beim Ubergang zur Knotenspannungsanalyse, außerdem treten statt der Baumzweigspannungen als unabh¨angige ¨ Variable die Knotenspannungen auf. Wir zeigen diesen Ubergang ausgehend vom allgemeinen Netzwerkzweig Gl. (3.4.21). Nach Multiplikation mit D von links und Beachtung des Knotensatzes Gl. (3.4.17) wird nach U umgestellt. Ersatz des Terms U = DT U b = AT U k (Gl. (3.4.3), (3.4.20)) sowie D durch Gl. (3.4.29) liefert als Zwischenergebnis T DGz D T U b = DGz AT U k = A−1 zA U k b AG     G

G

= Ab −1 A (I q − Gz U q )

oder zusammengefasst AGz AT U k = A (I q − Gz U q ) .   G

Knotenspannungs(3.4.34) verfahren

Das ist die allgemeine Grundgleichung der Knotenspannungsanalyse (s. Gl. (3.3.7)). Dabei werden Spannungsquellen u ¨ber ihre Zweigleitwerte in Stromquellen u uhrt: die Knotenspannungsanalyse ist eine spezielle Schnittmen¨berf¨ genanalyse.

3.5

3.5 Computerunterst¨ utzte Netzwerkanalyse Wenn auch die Netzwerkanalyse neben elektromagnetischen Feldern den Kern der Elektrotechnikausbildung darstellt, so wird dieses Anliegen heute vielf¨altig durch computergest¨ utzte Verfahren begleitet. Sie beziehen sich auf numerische Auswertung symbolischer L¨ osungen mit grafischer Ergebnisaufbereitung, die symbolische L¨ osung von Netzwerkgleichungen, die Schaltungssimulation beginnend von der Schaltungseingabe u ¨ ber eine Netzliste bis hin zur Eingabe als Schaltungsaufbau mit Messger¨aten und Anzeigeeinrichtungen. Ein Problem rechnergest¨ utzter Analysen ist die Pr¨ ufung ihrer Ergebnisse: ein Rechner liefert immer etwas, die Frage bleibt nur, ob es die Probleml¨osung ist. Hier sind elektrotechnische und z. T. auch mathematische Kenntnisse erforderlich gepaart mit wachsender Erfahrung. Das symbolische Rechnen st¨oßt schnell an Grenzen und erfordert oft Eingreifen, deshalb werden die

3.5

Computerunterst¨ utzte Netzwerkanalyse

327

meisten elektrotechnischen Probleme numerisch gel¨ost. Eine sichere Kontrolle einer numerischen Netzwerkanalyse bietet der Tellegensche Leistungssatz (Kap. 4.7). Danach muss die Summe der im Netzwerk erzeugten Leistungen gleich der Summe der verbrauchten sein. Diese Kontrolle vollziehen Schaltungssimulatoren durchweg automatisch. 3.5.1 Numerische Auswertung Die anfallenden numerischen Aufgaben zerfallen in drei Kategorien: numerische Auswertung allgemeiner L¨ osungen. Hier reicht eine Genauigkeit im Prozent- und Promille-Bereich aus und vieles ist rascher mit dem Taschenrechner erledigt als mit aufwendigen Computerprogrammen. L¨osung großer linearer Gleichungssysteme, wie sie f¨ ur lineare Netzwerke anfallen, das schließt die Inversion von Matrizen ein. die L¨osung nichtlinearer Probleme, die bereits bei einfachen nichtlinearen Stromkreisen auftreten. Eingesetzt werden daf¨ ur Computerprogramme wie beispielsweise MATLAB, MATHEMATICA oder MAPLE. Ein eleganter Ausweg ist die Schaltungssimulation (s. Kap. 3.5.2), die den Nutzer von diesen Problemen befreit. Wir benutzen MATLAB. Es ist nicht nur weit verbreitet, sondern durch spezifische Programmzus¨ atze (sog. Toolboxes) das Programm f¨ ur weitere Gebiete der Elektrotechnik: Signalverarbeitung, Nachrichtentechnik, Transformationen, regelungstechnische, elektromechanische Probleme. Mit der Symbolics Toolbox hat der MATLAB-Anwender Zugriff auf den Kern des Computeralgebraprogramms MAPLE mit symbolischen Rechenm¨oglichkeiten. Zun¨achst verwenden wir MATLAB zur L¨ osung linearer Netzwerkgleichungen. Ausgang ist die Matrixgleichung Ax = B mit der Netzwerkmatrix A, dem Erregungsvektor B und dem Vektor x der gesuchten Unbekannten. Vorausgesetzt wird A quadratisch und det A = 0, was Gleichstromnetzwerke durchweg erf¨ ullen.19 Die Matrixeingabe lautet beispielsweise f¨ ur das Gleichungssystem 10 = x + 3y 8 = 5x − 2y in der MATLAB-Form A 19

=[1 3;5 -2]; B =[10;8];. Die L¨osung erfolgt

Wir geben hier nur einige Hinweise zum ersten Umgang mit dem Programm, in jedem Falle sollte man sich mit dem Handbuch oder einem MATLAB-unterst¨ utzten Mathematikbuch einarbeiten.

328

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

numerisch in der Standardform >>X=A\B oder alternativ >>X=inv(A)*B;. die Befehle >>X=sym(A)\sym(B) oder >>X=linsolve(A,B) ermitteln die symbolische L¨ osung des Gleichungssystems. Symbolisches Gleichungssystem Bei der symbolischen Analyse kommen Varia-

blennamen zur Anwendung, die dem Programm vorher unter dem Codewort syms mitgeteilt werden.  F¨ ur die symbolische osung des Gleichungssystems   L¨  a1 a2 b1 mit den Matrizen A = ,B = erfolgt die Eingabe von A a3 a4 b2 und B in der Form syms a1 a2 a3 a4 b1 b2; A=[a1 a2; a3 a4]; B=[b1;b2];. Die L¨osung wird mit >>sym(A) \ sym(B) oder >>linsolve(A,B) eingeleitet (der letzte Befehl stammt aus dem MAPLE-Vorrat in MATLAB). Bereits bei einer dreireihigen Matrix erfordert eine symbolische L¨osung schon merkliche Rechenzeit. Die Anweisungen werden in MATLAB entweder direkt ins Command Window eingeben und gestartet oder als Befehlsfolge in Form eines Programms, eine sog. m-Datei. Das ist eine ASCII-Datei mit einem Namen (nach u ¨ blichen Regeln festgelegt), die darunter in einem Verzeichnis gespeichert wird (Erweiterung .m) und vom Command Window durch den Dateiname (z. B. kno1.m) aufrufbar ist.

Beispiel 3.5.1 Knotenspannungsanalyse Zum Netzwerk Abb. 3.5.1a geh¨ort das Knotenspannungssystem „ «„ « „ « −G3 G1 + G3 U1 Iq1 = , −G3 G2 + G3 U2 −Iq2 «„ « „ « „ U1 G4 Uq1 −G3 G1 + G3 + G4 = . −G3 G2 + G3 + G5 U2 −G5 Uq2

R5

K1

G3

R1

K1

K2

Im3

Uk1 G2

Iq1

R3 K3

K2 R2 I m2

R6 I m1 G1

Uq1

Uq3

K6

Uk2

K4

K5

Iq2

Uq1

K1 I1

R4

I2

R2

Im3

R3 I3

K2 R1 Im1

Uq2

Im2

K3 R4

Uq2

K3

a

b

c

Abb. 3.5.1. Elektrische Netzwerke. (a) Beispiel zur Knotenspannungsanalyse mit MATLAB. (b) Beispiel zur Maschenstromanalyse mit MATLAB. (c) Beispiel zur Maschenstromanalyse mit symbolischen Variablen

3.5

Computerunterst¨ utzte Netzwerkanalyse

329

Unten wurden beide Stromquellen durch reale Spannungsquellen modelliert. Die MATLAB-L¨ osung setzt mit der Form GU = I ein. Die Matrixeingabe erfolgt nach dem prompt-Zeichen >>. Zur Separierung der Zeilen dienen Semikolons, der Spalten Kommas. Klammern [ ] kennzeichnen Vektoren oder Matrizen. Als Beispiel gelten die Zahlenwerte R1 = 1 kΩ, R2 = 2 kΩ, R3 = 3 kΩ (entsprechende Leitwerte jeweils vor Eingabe bilden) und Iq1 = 1 mA, Iq2 = 4 mA. Nach Eingabe der Matrix G und des Vektors I wird die L¨ osung durch Eingabe von >>U=inv(G)*I gestartet und das Ergebnis als Vektor angezeigt. >> G=[0.001333,-0.000333;-0.000333,0.000833] G = 0.0013 -0.0003 -0.0003 0.0008 >>I=[0.001;-0.004] I = 0.0010 -0.0040 >>V=inv(G)*I V = -0.4992 -5.0015 (Dimensionen entfallen, deshalb vorher benutzte Einheiten festlegen z. B. R/ kΩ und entsprechend I/ mA). Jede Zahlenwert¨ anderung verlangt die Prozedur erneut. Deshalb wurde im Programm kno1.m die Eingabe (gleichzeitige Eingabe aller Widerstands- und Stromquellenwerte) und die Leitwertbildung (Koeffizient f¨ ur Koeffizient) verbessert. Auch die Zweigstr¨ ome werden aus den zugeh¨ origen Knotenspannungen ermittelt. Das Programm kno1.m wird mit >>kno1 im Kommandofenster aufgerufen und es erscheint die Eingabeaufforderung f¨ ur die Widerst¨ ande, die mit >>R=[1,2,3]; und >>I=[1,-4]; (letzteres nachfolgend f¨ ur Str¨ ome) f¨ ur die Zahlenwerte beantwortet wird. Der n¨ achste Schritt berechnet die Leitwertmatrix und zun¨ achst die Leitwerte aus den Widerst¨ anden mit der Anweisung >>G=1./R;. Die Eingabe der Matrix erfolgt durch >>GG=[G(1) + G(3), -G(3); -G(3), (G(2) + G(3))]; (GG wurde zur besseren Unterscheidung verwendet). Der Vektor der Stromquellen lautet >>I=[I(1),I(2)];. Die Eingabe >>U=GG\I ermittelt den Vektor der Knotenspannungen (und gibt ihn aus, fehlendes Semikolon). Danach berechnet man die Zweigstr¨ ome Iz (1) . . . Iz (3): >>IZ(1)=G(1)*U(1); >>IZ(2)=G(2)*U(2); >>IZ(3)=G(3)*(U(1)-U(2)); Die Knotenspannungen lauten U = −0.5000 und −5.000 (die Werte oben sind auf Rundungsfehler bei Eingabe der Reziprokwerte verursacht). F¨ ur praktische Belange fallen diese Unterschiede kaum ins Gewicht.

330

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

Tabelle 3.3. MATLAB-Programm kno1.m

R=input(’input R-Werte:[R1,R2,R3]’); I=input(’input Quellenstr¨ ome:[I]’); G=1./R; GG=[(G(1)+G(3)),-G(3);-G(3),(G(2)+G(3))]; I=[I(1);I(2)]; U=GG\I IZ(1)=G(1)*U(1) IZ(2)=G(2)*U(2) IZ(3)=G(3)*(U(1)-U(2))

Das Programm kann auf ein gr¨ oßeres Netzwerk erweitert werden. Um Fehler aus¨ zuschließen, sollte eine numerische Uberpr¨ ufung bei kleiner Matrix (2 × 2 wie hier) mit einer Handrechnung (z. B. f¨ ur gleiche Widerst¨ ande und Stromquellen) erfolgen. ur einen Auch die Eingabe extremer Werte (z. B. R = 10−10 . . . 10+12 kann hilfreich f¨ Test sein. Im n¨ achsten Schritt werden die idealen Stromquellen durch reale Spannungsquellen (mit den Leitwerten G4 , G5 ) ersetzt. Das u ¨bernimmt das Programm kno2.m. Tabelle 3.4. MATLAB-Programm kno2.m

R=input(’input R-Werte:[R1,R2,R3,R4,R5]’); UQ=input(’input Quellenspannungen:[UQ]’); G=1./R; GG=[(G(1)+G(3)+G(4)),-G(3);-G(3),(G(2)+G(3)+G(5))]; I=[G(4)*UQ(1);G(5)*UQ(2)]; U=GG \ I IZ(1)=G(1)*U(1); IZ(2)=G(2)*U(2); IZ(3)=G(3)*(U(1)-U(2)); IZ(4)=G(4)*(UQ(1)-U(1)); IZ(5)=G(5)*(UQ(2)-U(2)); Der Unterschied besteht (neben ver¨ anderten Hauptdiagonalelementen in der Leitwertmatrix) im ge¨ anderten Quellenstromvektor I (jetzt aus den Quellenspannungen aß gibt es insgesamt 5 Zweigstr¨ ome. mit den Leitwerten G4 , G5 ermittelt), sinngem¨ Ein Vergleich zum Programm von oben ist aufschlussreich: f¨ ur die Zahlenwerte Iq1 = 1 mA, Iq2 = 5 mA (Richtung beachten) und R1 = 10 kΩ, R2 = 5 kΩ, R3 = 5 kΩ ergibt sich U (1) = −7, 5 V, U (2) = −16, 25 V sowie als Stromvektor I z = [−0.75, −3.25, 1.75]T mA. Mit realen Stromquellen und identischen Leitwerten G1 . . . G3 werden die Kurzschlussstr¨ ome der Quellen Iq1 , Iq2 konstant gehalten, z. B. Iq1 = Uq1 /R4 , dito Iq2 . W¨ ahlt man beispielsweise Uq1 = 1000 V, R4 = 1 MΩ und Uq2 = −2500 V, R5 = 500 kΩ, so stellen sich die Werte U (1) = −7, 38 V, U (2) = −16, 11 V,

3.5

Computerunterst¨ utzte Netzwerkanalyse

331

I z = [−0, 738, −3, 22, 1.74] mA ein. Die Unterschiede sind gering, sie stammen von den ver¨ anderten Knotenleitwerten. Eine bessere N¨ aherung w¨ urde sich bei noch gr¨ oßeren Widerst¨ anden R4 , R5 und Spannungsquellen ergeben.

Beispiel 3.5.2 Maschenstromanalyse Das Netzwerk Abb. 3.5.1b wird mit der Maschenstromanalyse berechnet. Die Matrix lautet 10 1 0 1 0 Im1 Uq1 − Uq2 R1 + R2 + R6 −R2 −R1 A@ Im2 A = @ A. @ −R2 R2 + R3 + R4 −R3 Uq2 −R1 −R3 R1 + R3 + R5 Im3 −Uq3 Die L¨ osung des Gleichungssystems in MATLAB beginnt mit der Festlegung der Widerst¨ ande und Spannungsquellen (hier gew¨ ahlt R1 = R3 = R5 = 1 kΩ, R2 = R4 = R6 = 2 kΩ und Uq1 = 1 V, Uq2 = 3 V, Uq3 = 3 V). Nach Programmaufruf >>masch1 erfolgt die Widerstandseingabe; >>R=[1,2,1,2,1,2]; und anschließend die Spannungseingabe >>UQ=[1,3,5]; Im n¨ achsten Schritt wird der Spannungsvektor (rechte Erregerseite) erzeugt, dort sind die Spannungsrichtungen (Vorzeichen) ber¨ ucksichtigt. Tabelle 3.5. MATLAB-Programm masch1.m

R=input(’input R-Werte:[R1,R2,R3,R4,R5,R6]’); UQ=input(’input Quellenspannungen:[UQ]’); U=[UQ(1)-UQ(2);UQ(2);-UQ(3)]; RR=[(R(1)+R(2)+R(6)),-R(2),-R(1);-R(2),(R(2)+R(3)+R(4)),-R(3); -R(1),-R(3),(R(1)+R(3)+R(5))]; I=RR\U U1=UQ(1)+R(6)*I(1) U12=UQ(3)+R(5)*I(3) U3=R(4)*I(2) U2=UQ(2)+R(2)*(I(1)-I(2)) Anschließend bildet das Programm aus den Eingabewerten die Widerstandsmatrix >>RR=[(R(1)+R(2)+R(6)), -R(2), -R(1); -R(2),...]; l¨ ost das Gleichungssystem und gibt die Zweigstr¨ ome >>I=RR\U aus (fehlendes Semikolon ;). Abschließend werden die Knotenspannungen berechnet (und angezeigt): >>U1=UQ(1)+R(6)*I(1), U12=UQ(3)+R(5)*I(3) bis zu >>U2=UQ(2)+R(2)*(I(1)-I(2)). >> masch1 input R-Werte:[R1,R2,R3,R4,R5,R6][1,2,1,2,1,2]; input Quellenspannungen:[UQ][1,3,5]; I = -0.8571 U1 = -0.7143 U13 = 3 U3 = -0.2857 U2 = 1.5714

-0.1429

-2.0000

332

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

Zum Test empfiehlt sich eine Handanalyse. Sie sollte auch die Vorzeichen der Str¨ ome (durch schrittweises Nullsetzen von Spannungsquellen) einschließen.

Beispiel 3.5.3 Maschenstrom 2, symbolische Variable F¨ ur das gleiche Netzwerk Abb. 3.5.1c werden die Maschenstromgleichungen aufgestellt unter der Maßgabe, dass nur die Widerst¨ ande R zahlenm¨ aßig eingegeben werden, dagegen die Spannungsquellen symbolisch erhalten bleiben. Ergebnis ist die Datei masch2.m. Die MATLAB- Eingabe beginnt mit der Widerstandseingabe und anschließender Aufbereitung der Widerstandsmatrix. Dann erfolgt der Wechsel zu symbolischen Variablen: >>syms UQ1,UQ2. Im n¨ achsten Schritt wird der Spannungsvektor U entsprechend der Schaltung aufgestellt und anschließend die Maschenstr¨ ome berechnet. Tabelle 3.6. MATLAB Programm masch2.m

R=input(’input R-Werte:[R1,R2,R3,R4]’); RR=[(R(1)+R(2)),0,-R(2);0,(R(3)+R(4)),-R(3); -R(2),-R(3),(R(2)+R(3))]; syms UQ1 UQ2 %symbolische Variable U=[-UQ2;UQ2;-UQ1]; I=RR\U %Maschenstr¨ ome Das Ergebnis f¨ ur beispielsweise R1 = R3 = 1 kΩ, R2 = R4 = 2 kΩ ist nachfolgend angegeben. Zur weiteren Rechnung k¨ onnen dann Zahlenwerte angesetzt werden. Die Methode er¨ ubrigt bei gr¨ oßeren Netzwerken die aufwendige Berechnung des Netzwerkes, sie eignet sich auch zur Pr¨ ufung, wann einzelne Maschenstr¨ ome verschwinden.

input R-Werte:[R1,R2,R3,R4][1,2,1,2]; I = -1/2*UQ2-1/2*UQ1 1/4*UQ2-1/4*UQ1 -1/4*UQ2-3/4*UQ1.

3.5.2 Schaltungssimulation Die bisherige Rechnerunterst¨ utzung beschr¨ ankte sich auf die Auswertung linearer Gleichungssysteme. Die Effizienz einer Analyse steigt, wenn ein Programm auch das Gleichungssystem aufstellt. Die Grundlage daf¨ ur ist die Erfassung der Schaltungsstruktur durch die Knoten-Zweig-Inzidenzmatrix A. Zusammen mit den Netzwerkelementen wurden damit die verschiedenen Analysegleichungen begr¨ undet. Aus solchen Ans¨atzen entstanden in den 60er und 70er Jahren zahlreiche Schaltungsanalyseprogramme, aus denen sich

3.5

Computerunterst¨ utzte Netzwerkanalyse

333

SPICE20 quasi als Standard herausbildete. Wenn sich auch die Programme haupts¨achlich in Eingabe, Auswertung, grafischer Oberfl¨ache und dem Modellumfang unterscheiden, so ist ihre Grundidee doch sehr ¨ahnlich. SPICE erlaubt nicht nur die automatische Generation des Verbindungsnetzwerkes u ¨ber die Eingabe der Netzwerkknoten, sondern erfasst durch viele Modelle (lineare und nichtlineare) die meisten Bauelemente abgelegt in einer Programmbibliothek. Damit beschr¨ ankt sich die Arbeit des Nutzers auf die Schaltungseingabe. Sie kann unterschiedlich erfolgen Man u ¨bergibt die Netzwerkknoten und anliegenden Netzwerkelemente als Netzwerkliste oder kurz Netzliste. Heute haben Schaltungssimulatoren einen Schaltplaneditor“ als grafische ” Oberfl¨ache, mit der die Schaltung wie auf einem Zeichenblatt entworfen wird. F¨ ur Bauelemente gibt es Schaltzeichen, Verbindungswerkzeuge und Zuweisungen der Parameter und Modelle, außerdem sind virtuelle Messund Anzeigeger¨ ate (Spannungs-, Strommesser, Oszillograf, . . .) verf¨ ugbar. Nach der Schaltungseingabe wird zu Beginn der Simulation eine Netzliste erzeugt, die alle Informationen u ¨ber das Netzwerk enth¨alt. Deshalb verarbeiten Simulatoren mit Schaltplaneditor auch eingegebene Netzlisten. Wir bevorzugen die Netzliste aus unterschiedlichen Gr¨ unden: N¨ahe zum Netzwerk, dessen Gesetzm¨ aßigkeiten erlernt werden sollen, Netzlisten werden von allen Schaltungssimulatoren abgearbeitet, die Eingabe kleiner Netzwerke ist rasch durchgef¨ uhrt. Erst f¨ ur gr¨ oßere Schaltungen, den Einbezug unterschiedlicher Bauelemente mit unterschiedlichen Modellen und vor allem f¨ ur zeitver¨ anderliche Vorg¨ ange (Bd. 3) nutzen wir st¨ arker die komfortable Schaltplaneingabe und Oszillograf, Ortskurvenschreiber u. a. virtuelle Messger¨ ate als Anzeigeeinrichtungen. Bei der Verarbeitung werden f¨ ur zeitkontinuierliche Vorg¨ ange, bekannter als analoge Schaltungssimulation, drei typische Simulationsarten unterschieden: Gleichstrom(DC), Wechselstrom- (AC) und Transienten-Analyse (TRAN). Der erste Fall analysiert das Gleichstromverhalten. Eine AC-Analyse wird bei sinusf¨ ormigen Quellen in der Wechselstromtechnik erforderlich. Die Transienten-Analyse kommt bei nichtsinusf¨ ormigen Quellen, Schalt- und Impulsvorg¨ angen zur Anwendung. 20

Das Programm SPICE (Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis) wurde 1973 von D. O. Pederson und L. W. Nagel (University of California Berkeley) ver¨ offentlicht. Es ist heute in vielen Varianten und Weiterentwicklungen verf¨ ugbar. Einige davon (Aim-SPICE, WinSPICE, TOPSPICE, LTspice . . .) sind z. T. im Internet frei verf¨ ugbar, von kommerziellen Versionen (wie PSPICE, MULTISIM/EWB, Mircosim, . . .) gibt es g¨ unstige Studentenangebote.

334

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

Die Netzliste enth¨ alt alle Netzwerkelemente (gekennzeichnet durch einen Elementnamen), die zugeh¨ origen Knoten und eine Spezifikation des Elementes. Alle Knoten m¨ ussen einen Gleichstromweg zum Bezugsknoten haben (intern vorgesehen), außerdem d¨ urfen keine Maschen mit Gleichstromwiderstand null auftreten (man erkennt hier die Knotenspannungsanalyse). Wichtige Elementnamen sind C D E F G H I

Kapazit¨ at Diode spannungsgesteuerte Spannungsquelle stromgesteuerte Stromquelle spannungsgesteuerte Stromquelle stromgesteuerte Spannungsquelle unabh¨ angige Stromquelle

K L M Q R V

gekoppelte Induktivit¨ aten Induktivit¨ at MOSFET Bipolartransistor Widerstand unabh¨ angige Spannungsquelle

¨ Jede Netzliste hat vier Bestandteile: eine Uberschrift (oft mit vorangestelltem * als Kommentarzeichen), die Elementanweisungen (Beginn der Netzliste), einen Teil f¨ ur Steueranweisungen und einen Schlussteil mit Ausgabeanweisungen: *knot1 I1 1 0 -1E-3 I2 2 0 4E-3 R1 1 0 1E3 R2 2 0 2E3 R3 1 2 3E3 Variables in circuit Values v(1) -0.5 V v(2) -5 V So enth¨alt die zu Abb. 3.5.1a geh¨ orende Netzliste kno1.cir die beiden Stromquellen I1 . . . I2 (Richtung positiv vom Knoten nach Bezug) sowie drei Widerst¨ande R1 . . . R3 . Die Steueranweisungen sind der Arbeitspunkt oder die Gleichstroml¨ osung (entweder durch Anweisung .OP oder sie erfolgt automatisch); die Anweisung .TF (s. u.) erzeugt die Kleinsignal¨ ubertragungsfunktion sowie die Ein- und Ausgangswiderst¨ ande, also eine Zweipolersatzschaltung der Anordnung; die Anweisung .DC variiert eine Quelle zwischen zwei Grenzen, sie wird z. B. zur Kennlinienaufnahme ben¨ otigt.

3.5

Computerunterst¨ utzte Netzwerkanalyse

335

Zur Ausgabe dienen die Anweisungen .PRINT (tabellarische Ergebnisausgabe) und eine in PSPICE u ¨ bliche .PROBE Anweisung. Sie bereitet eine Datei zur grafischen Auswertung auf. Abgespeichert wird die Datei unter einem Namen mit der Endung .CIR, z. B. kno1.CIR. Zum Verst¨ andnis sollten weiter bedacht werden: Elementwertangaben k¨ onnen lauten 3, 3., 3.0, 3E+3, 3.0E+3, 3.E3, Einheitsangaben werden bei einigen SPICE-Versionen vernachl¨ assigt. Es sind dann gleichwertig: 20E-3, 20.0E-3, 20M, 20MV, 20MOHM, M bedeutet Milli, nicht Mega. 1 MΩ w¨ are zu schreiben 1MEG oder 1MEGOHM. Bei den Ausgabegr¨ oßen bedeuten V(2) Spannung am Knoten 2 mit Bezug auf Masse V(4,2) Spannung zwischen Knoten 4 und 2 (manche Versionen erlauben diese Angabe nicht), V(R1) Spannung u ¨ ber Element R1, VCB(Q2) Kollektor-Basisspannung des Transistors Q2, I(VS) Strom gerichtet in die Gleichspannungsquelle VS I(D1) Strom in Diode D1 (manche Versionen erlauben das nicht). Ein sicherer Weg zur Strommessung ist die Einf¨ ugung einer Spannungsquelle mit Wert 0 (z. B. VX = 0) zur Anzeige des Stromes durch die Quelle. Die Anweisung VX 5 4 DC 0V misst den Gleichstrom durch ein Element zwischen den Knoten 5, 4.

Nach Aufruf des Programms, hier unter Benutzung von AIM-SPICE und PSPICE, wird die Netzliste erstellt und abgespeichert. Zum Ablauf wird sie importiert, die Simulation (DC Operation Point) durchgef¨ uhrt und das Ergebnis angezeigt und ausgewertet.

Beispiel 3.5.4 Maschenstrom Zum Netzwerk Abb. 3.5.1b geh¨ort die Schaltungsdatei masch1.cir. *masch1 V1 4 0 1 V2 5 0 3 V3 6 3 5 R1 1 2 1E3 R2 2 5 2E3 R3 2 3 1E3 R4 3 0 2E3 R5 1 6 1E3 R6 1 4 2E3

336

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

**** BIAS SOLUTION NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE ... (1) 2.7143 (2) 1.5714 (3) -.2857 (4) 1.0000 (5) 3.0000 (6) 4.7143 VOLTAGE SOURCE CURRENTS NAME CURRENT V1 8.571E-04 V2 -7.143E-04 V3 -2.000E-03 Die Simulation liefert die angegeben Knotenspannungen und Str¨ ome durch die Spannungsquellen. Zur Stromrichtung ist die f¨ ur SPICE vereinbarte Verbraucherrichtung zu beachten: Strom fließt in Richtung des Spannungsabfalls positiv durch die Spannungsquelle, in Stromquellen positiv vom ersten Knoten zum zweiten.

Beispiel 3.5.5 Gesteuerte Quelle, Kleinsignalverhalten mit TF-Anweisung Die Anweisung .TF (Small-Signal Transfer Function) ermittelt die Kleinsignal¨ ubertragungsfunktion (DC-Kleinsignalverhalten) sowie die Ein- und Ausgangs-Kleinsignalwiderst¨ ande einer Schaltung. Sie lautet .TF X1 X2. Dabei ist X1 die Ausgangsvariable (gesteuerte Gr¨ oße) und X2 die Eingangsvariable (steuernde Gr¨ oße), das k¨ onnen Spannungen und/oder Str¨ ome sein. Die so berechnete Zweipolersatzschaltung wird automatisch (d. h. ohne weitere Ausgabeanweisung) ausgedruckt. Anweisungsbeispiele sind: .TF V(3,4) VIN Ausgangsspannung V(3,4), VIN Eingangspannung; .TF V(20), IIN Ausgangsspannung V(20), IIN Eingangsstrom; .TF I(VX) IIN Strom durch VX am Ausgang, IIN Strom am Eingang. F¨ ur das Netzwerk Abb. 3.5.2a ermittelt der .TF Befehl die Spannungsverst¨ arkung, sowie Ein- und Ausgangswiderst¨ ande re , ra . Die Schaltung verwendet eine stromgesteuerte Stromquelle (F-Quelle), der Steuerstrom durch den Eingangswiderstand RST wird u ¨ ber die Spannungsquelle VX (Wert 0) gewonnen. Er tritt bei der Steuergr¨ oße als Steuerparameter auf. VE 1 0 DC 1V R1 1 2 1K R2 2 0 10K RST 2 6 2.5K RE 3 0 200 F1 4 3 VX 50 RO 4 3 100K RL 4 5 1K VX 6 3 DC 0V VY 5 0 DC 0V .TF V(4) VE .END

3.5

Computerunterst¨ utzte Netzwerkanalyse

337 IQ

K1

R1 K2

1kΩ UE=1V R2

re

Rst

F1=50IB

K1

IB

2,5kΩ VX=0V K3

10kΩ

K4 RO

RL 1kΩ K5 ra

100kΩ 200Ω

RE

re

R1 K2

10Ω UE=1V R3 40Ω

R2

R5

20Ω K3 50Ω UA=V(2,4) ra

20Ω

K4 VX=0V K5 R4

VY=0V

a

b H1=3IX

K1

R1

K2

IE 10Ω F1=2IE re

UE=1V

G1=5UE

K5

R2 100Ω

IX

K3

R4 50Ω

VX=0V

UA=V(2,5) ra

R3 100Ω

K4

IQ

E1=2UE

c Abb. 3.5.2. Analyse elektrischer Netzwerke mit SPICE/PSPICE. (a) Spannungsverst¨ arkung im Netzwerk mit stromgesteuerter Stromquelle. (b) Bestimmung der Zweipolersatzschaltung; Leerlaufspannung UA = Ul = V (2, 4) und Innenwiderstand (hier ra ). (c) Bestimmung der Knotenspannungen und Zweipolersatzschaltung eines Netzwerkes mit allen vier Typen gesteuerter Quellen

**** SMALL SIGNAL BIAS SOLUTION NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE.. ( 1) 1.0000 ( 2) .8478 ( 3) .6794 ( 4) -3.3294 ( 5) 0.0000 ( 6) .6794 VOLTAGE SOURCE CURRENTS VE -1.522E-04 VX 6.739E-05 VY -3.329E-03 **** SMALL-SIGNAL CHARACTERISTICS V(4)/VE = -3.329E+00; Au = -3,32 INPUT RESISTANCE AT VE = 6.572E+03, re= 6.57 kOhm OUTPUT RESISTANCE AT V(4) = 9.974E+02, ra = 0.997 kOhm

Beispiel 3.5.6 Zweipolersatzschaltung F¨ ur das Netzwerk Abb. 3.5.2b ist die Zweipolersatzschaltung zwischen den Klemmen A,B (Knoten 2,4) u ¨ ber die .TF-Anweisung zu ermitteln. VE 1 0 DC 10 IQ 4 3 1A

338

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

R1 1 2 10 R2 2 3 20 R3 2 0 40 R4 5 0 20 R5 4 3 50 VX 4 5 DC 0V .TF V(2,4) VE .END **** SMALL SIGNAL BIAS SOLUTION NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE... ( 1) 10.0000 ( 2) 11.4290 ( 3) 20.0000 ( 4) -8.5714 ( 5) -8.5714 VOLTAGE SOURCE CURRENTS NAME CURRENT VE 1.429E-01 VX -4.286E-01 **** SMALL-SIGNAL CHARACTERISTICS V(2,4)/VE = 5.714E-01 = U(1)=0,57 V INPUT RESISTANCE AT VE = 3.769E+01, re= 37,7 Ohm OUTPUT RESISTANCE AT V(2,4) = 2.000E+01, ra = 20 Ohm Die von SPICE ausgegebene Leerlaufspannung V(2,4)= Ul sowie der Ersatzwideronnen aus der Schaltung leicht nachgerechnet werden. stand ri = ra k¨

Beispiel 3.5.7 Gesteuerte Quellen Das Netzwerk Abb. 3.5.2c enth¨alt alle vier Typen gesteuerter Quellen. VE 1 0 DC 100 IQ 0 3 DC 1A R1 1 2 10 R2 2 5 100 R3 3 0 100 R4 3 4 50 VX 5 3 DC 0V E1 4 0 1 0 2 F1 0 2 VE 2 G1 4 3 1 0 5 H1 1 3 VX 5 .TF V(2,5) VE .END **** SMALL SIGNAL BIAS SOLUTION quelle 3.cir NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE ( 1) 100.0000 ( 2)-8731.50 ( 3) 564.81 ( 4) 200.00 ( 5) 564.8100 VOLTAGE SOURCE CURRENTS NAME CURRENT VE -4.881E+02

3.5

Computerunterst¨ utzte Netzwerkanalyse

339

VX -9.296E+01 **** SMALL-SIGNAL CHARACTERISTICS V(2,5)/VE = -9.278E+01 INPUT RESISTANCE AT VE = 2.053E-01 OUTPUT RESISTANCE AT V(2,5) = 7.407E+00 Die spannungsgesteuerten Quellen werden von der Steuerspannung V(1,0) gesteuert, die stromgesteuerten von den Str¨ omen durch die Spannungsquellen VE und VX. ¨ Die Ubertragungsfunktion ist hier ein Spannungsverh¨ altnis. Die Klemmen A, B der Zweipolersatzschaltung entsprechen den Klemmen 2,5.

Beispiel 3.5.8 Diodenschaltung In einer Schaltung mit nichtlinearem Bauelement, z. B. der Diodenschaltung Abb. 3.5.3a, sind Arbeitspunktbestimmung und Kleinsignalverhalten die wichtigsten Analysen. Die Arbeitspunktbestimmung erfolgt in PSPICE entweder eigenst¨ andig durch eine .OP Anweisung oder (automatisch) vor Beginn einer weiteren Analyse. Hier wird zun¨ achst nur der Arbeitspunkt (Datei diod1a.cir) bestimmt und in der .OUT Datei ausgegeben. An der Diode f¨ allt etwa die Spannung V(4) ≈ 0.75 V ab. Damit fließt durch R1 der Strom (V (1) − V (2))/R1 = (5 − 0, 75)/100 Ω = 42, 5 mA, also auch praktisch durch die Diode (Stromanteil durch R2 vernachl¨ assigbar). *diod1a V1 1 0 DC 5 R1 1 2 100 R2 2 0 1K D1 2 0 Diod .Model Diod D .end NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE ( 1) 5.0000 ( 2) .7516 VOLTAGE SOURCE CURRENTS NAME CURRENT 1 -4.248E-02 TOTAL POWER DISSIPATION 2.12E-01 WATTS

K1

R1

K2

re

K1

D1 Uq1=1V

R1

K2

ra

ΔI

10Ω

rd

R2

R2

200 I/mA

ΔU2 100

b

2 U2/V

ID

ΔUq1

1kΩ

1 V(2)

0

a

V1

0,8

1,6

2,4 Uq/V

c

Abb. 3.5.3. Diodenschaltung. (a) Schaltung zur Bestimmung des Arbeitspunktes. (b)

Kleinsignalersatzschaltung. (c) Abh¨ angigkeit des Knotenspannungen und des Diodenstromes von der Eingangsspannung

340

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

Das Kleinsignalverhalten wird mit einer .TF-Anweisung untersucht, die zugeh¨ orige Kleinsignalersatzschaltung zeigt Abb. 3.5.3b (Datei diod1b.cir) **** SMALL-SIGNAL CHARACTERISTICS V(2)/V1 = 6.156E-03 INPUT RESISTANCE AT V1 = 1.006E+02 OUTPUT RESISTANCE AT V(2) = 6.156E-01 Der Quotient V(2)/V1 stellt das Spannungsteilerverh¨ altnis der Spannungen V(2) = ΔV2 ΔU2 und V1 = ΔU1 dar, es gilt (Abb. 3.5.3b) nach der Ersatzschaltung ΔV ≡ 1 V (2) rd −3 = = 6, 156 · 10 . Daraus folgt der Kleinsignalwiderstand r = 6, 188 Ω. d V1 rd +R2 Der Eingangswiderstand ist die Reihenschaltung von R1 und rd (R2 vernachl¨ assigt): ΔV1 = R1 + rd = 100, 6 Ω. Mit R1 = 100 Ω liegt man bereits an der GenauigkeitsΔI1 grenze der Einstellungen. betr¨ agt nach der Kleinsignaler”−1 “ Der Ausgangswiderstand 1 1 1 2 satzschaltung ΔV = + + = 0, 6156 Ω. Daraus errechnet sich der ΔI2 R1 R2 rd Diodenkleinsignalwiderstand rd zu 0, 6197Ω. Das Beispiel zeigt, dass durchaus numerische Probleme auftreten k¨ onnen.

DC Anweisung Diese Anweisung dient beispielsweise zur Kennlinienaufnahme. Sie variiert den Wert einer Erregerquelle in vorgegebenen Grenzen mit definierter Schrittweite und wird als .DC QUELLENNAME START STOP SCHRITT in die Netzliste aufgenommen.

*diod1c.CIR V1 1 0 DC 5 R1 1 2 100 R2 2 0 1K D1 2 0 Diod .Model Diod D .DC V1 0 5 20M .PRINT DC V(2), V(1), V(1,2) .PROBE .end In der Netzliste diod1c.cir wird die Ausgangsspannung V(2) der Schaltung Abb. 3.5.3a als Funktion der Eingangsspannung V1 erzeugt. Die Anweisung lautet .DC V1 0 5 20. Dabei variiert die Eingangsspannung zwischen 0 . . . 5 V in Schritten von 20 mV. Das Ergebnis, die Ausgangsspannung V(2), steht neben der .DAT-Datei auch in einer Ausgabedatei .OUT, die mit PROBE als Kennlinie angezeigt werden kann. Aufgetragen sind neben dem Verlauf V1 (linearer Anstieg) die Spannung V(2): sobald die Diode gen¨ ugend niederohmig geworden ist (ab etwa 0,7 V) verh¨alt sie sich wie ein konstanter Widerstand und die Spannung steigt langsamer an. Die Spannungsdifferenz

3.6

Mehrpolige Netzwerke*

341

V1-V(2) ist dem Strom durch R1 proportional, das ist praktisch die Kennlinie des Diodenstromes.

3.6 Mehrpolige Netzwerke* Im Kap. 2.6 wurden Zweitor-Netzwerke entwickelt. Sie versagen jedoch bei nicht eingehaltenen Torbedingungen. So kann z. B. in jede der vier Klemmen eines (resistiven) Vierpolnetzwerkes ein Strom aus einer Quelle eingepr¨agt werden. Die Strom-Spannungsverh¨ altnisse in einem Punkt P im Netzwerk sind dann nur mit der Maschenstrom- oder Knotenspannungsanalyse berechenbar, aber nicht u ¨ ber die Zweitortheorie. Mehrpolnetzwerke treten als Problemstellung und auch Bauelemente auf: so ist die Energieverteilung aus mehreren unterschiedlichen Quellen u ¨ ber ein vermaschtes Netzwerk zum Verbraucher eine entsprechende Aufgabenstellung; auch ¨ eine in Teilpunkten angezapfte Leitung oder Leitungssysteme zur Ubertragung von Drehstrom sind Mehrpolprobleme. ¨ typische Mehrpolbauelemente sind Ubertrager mit mehreren Wicklungen (auch Differenzial¨ ubertrager), Multiplizierer oder Operationsverst¨ arker mit symmetrischem Ausgang, aber auch Schaltkreise mit mehreren Anschlussklemmen u. a. m.

Das Verst¨andnis mehrpoliger Netzwerke ist wichtig: zur Entwicklung angepasster Analyseverfahren, zu ihrer Modellierung und Parameterbestimmung, ¨ f¨ ur Manipulationsverfahren zur Anderung der Klemmenzahl durch Klemmenunterdr¨ uckung oder Klemmenerg¨ anzung sowie f¨ ur Verfahren, die Mehrpolnetzwerke auf eine Zwei- oder Mehrtorbeschrei¨ bung reduzieren, wenn das Ubertragungsverhalten von einer Quelle zu Verbrauchern interessiert. Zu unterscheiden ist stets zwischen Mehrpol- und Mehrtornetzwerk (Abb. 3.6.1). Im letzten Fall erf¨ ullen Klemmenpaare stets die Torbedingung ¨ (Beispiel: Ubertrager mit mehreren eigenst¨ andigen, nicht verketteten Wicklungen oder ein Optokoppler mit zwei unabh¨ angigen Ausg¨angen). 3.6.1 Str¨ ome und Spannungen an Mehrpolen Ein Mehrpol ist ein Netzwerk mit mehreren Anschlusspolen oder -klemmen. Nach den Kirschhoffschen Gleichungen gilt f¨ ur ihn:

3.6

342

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

I1

I1 I2

1

I1

U1

I2

2 U1

1

2

I2

U2 n-Pol

U2

n-Tor

Abb. 3.6.1. Mehrpolnetzwerke. (a) n-Pol mit Klemmenspannungen und -str¨ omen, ein Netzwerkknoten ist Bezugsknoten. (b) Mehrtor mit Torspannungen und -str¨ omen

In n

a

Un

In

n

b

Jeder n-Pol (n ≥ 2) wird durch (n − 1) Klemmenspannungen zwischen benachbarten Anschl¨ ussen und (n − 1) Klemmenstr¨ome charakterisiert. Bei Kombination aller M¨ oglichkeiten der Spannungszuordnung (zwischen den Klemmen) gibt es insgesamt n(n − 1) Spannungen und mit Vorzeichenbeachtung Uab = −Uba noch n(n − 1)/2. Das sind beim Dreipol (n = 3, Klemmen 1, 2, 3) die drei Spannungen U12 , U23 , U31 und beim Vierpol (n = 4, Klemmen 1 . . . 4) die sechs Spannungen U12 , U13 , U14 , U23 , U24 und U34 . Maschen- bzw. Knotensatz schr¨ anken auf die unabh¨ angige Anzahl ein.

Aus praktischen Gr¨ unden bezieht man alle Spannungen auf einen Nullknoten (Abb. 3.6.1a). Dann lassen sich (bei stabilem Netzwerk) alle Klemmenspannungen als Funktion der Klemmenstr¨ome (stromgesteuerte Darstellung) angeben, alle Klemmenstr¨ ome als Funktion der Klemmenspannungen darstellen (spannungsgesteuerte Darstellung), eine Mischform w¨ ahlen mit einem Teil vorgegebener Spannungen und dem Rest als Str¨ome. Wir beschr¨ anken uns auf die ersten beiden. Vom Dreipol (Zweitor) her sind die Verh¨ altnisse gel¨ aufig: dem ersten Fall entspricht die Widerstandsdarstellung, dem zweiten die Leitwertdarstellung und dem dritten die Hybridform.

Durch Erweiterung der Widerstandsbeschreibung des Dreipols gilt f¨ ur einen Mehrpol mit n Klemmen die U, I-Relation in Widerstandsform aus p = n − 1 Gleichungen: R11 I1 + R12 I2 R21 I1 + R22 I1 .. .. . . Rp1 I1 + Rp2 I1

. . . + R1p Ip = U1 . . . + R2p Ip = U2 .. .. . .. . . . . . . + Rpp Ip = Up

(3.6.1)

3.6

Mehrpolige Netzwerke*

343

Die Str¨ome treten an den Anschlussstellen (+ -Klemme) in das Netzwerk und die Spannung ist von dieser Klemme zum Bezugsknoten orientiert. Damit gilt an der Klemme die Verbraucherzuordnung von Strom und Spannung. Mit Klemme n als Bezugspunkt gibt es p = n − 1 unabh¨angige Str¨ome (der Strom In folgt nach dem Knotensatz als Summe der u ¨brigen Str¨ome). Die Matrixdarstellung zu Gl. (3.6.1) lautet ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ R11 R12 . . . R1p I1 U1 ⎜ R21 R22 . . . R2p ⎟ ⎜ I2 ⎟ ⎜ U2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ . .. ⎟ · ⎜ .. ⎟ = ⎜ .. .. . . ⎝ .. . . ⎠ ⎝ . ⎠ ⎝ . . Rp1 Rp2 . . . Rpp Ip Up

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ → RI = U . ⎠

(3.6.2)

Die Eigenschaften des n-Pols sind durch die (n − 1) × (n − 1) Koeffizienten Rij der Widerstandsmatrix vollst¨ andig bestimmt. Sie unterteilen sich wie beim Zweitor (Dreipol) in Leerlaufwiderst¨ande und ¨ Ubertragungsgr¨ oßen. Die jeweilige Bestimmung liegt durch die Definition fest. So wird der Eingangsleerlaufwiderstand R11 gemessen durch Einpr¨agen eines Probestromes I1 in Klemme 1 und Messung der Spannung U1 unter der Voraussetzung, dass alle restlichen Str¨ ome verschwinden, d. h. die ¨ ubrigen Klemmen leerlaufen (Abb. 3.6.2a):  U1  . (3.6.3a) R11 = I1 Ii = 0 außer I1 ¨ Entsprechend wird f¨ ur die Ubertragungswiderst¨ ande verfahren, z. B. R13 und R31 (Abb. 3.6.2b)   U1  U3  , R31 = . (3.6.3b) R13 = I3 alle Ii = 0 außer I3 I1 alle Ii = 0 außer I1 2 I1

I1 I2 U1

1 2 n-Pol

I2 I3 U1

G12

I2 1

Uq

U1

2 3 n-Pol

Iq

n

b

n

n

c

G23 G13

G20

U2

Iq2 3

1 G10

U1

Iq

a

1 2 3 n-Pol

I1

Iq1

G30 Iq3

U3

d

Abb. 3.6.2. Parameterbestimmung am Mehrpolnetzwerk. (a) Bestimmung des Eingangs-

¨ R13 . (c) Beleerlaufwiderstandes R11 . (b) Bestimmung des Ubertragungswiderstandes stimmung des Eingangskurzschlussleitwertes G11 . (d) Beispielschaltung, Bestimmung der Leitwertparameter

344

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

Die Anzahl der unabh¨ angigen Widerstandskoeffizienten h¨angt vom Netzwerk ab: f¨ ur reziproke Netzwerke gilt Rab = Rba , weitere Vereinfachungen entstehen z. B. bei f¨ ur Widerstandssymmetrie u. ¨ a. Die Widerstandsmatrix Gl. (3.6.2) gilt f¨ ur die Klemmenfestlegung und den Bezugsknoten nach Abb. 3.6.2a; ver¨ anderte Zuordnungen f¨ uhren zu einer anderen Widerstandsmatrix. Formell hat sie den gleichen Aufbau wie die Maschenwiderstandsmatrix Gl. (3.2.6). Doch besteht ein prinzipieller Unterschied. Dort fließen Maschenstr¨ ome entsprechend der Anzahl unabh¨ angiger Maschen und die Maschenquellenspannung auf der rechten Seite ist entweder vorhanden oder nicht. In das Netzwerk wird von außen nicht eingegriffen. Die Widerstandsmatrix wird hingegen von der zug¨ angigen Klemmenzahl bestimmt.

Leitwertbeschreibung Das U, I-Verhalten kann gleichwertig auch in der dualen

Leitwertform erfolgen. Sie hat sogar gr¨ oßere Bedeutung. Statt der Schreibweise als Gleichungssystem u ¨ bernehmen wir die Matrixdarstellung (mit p = n − 1): ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ G11 G12 . . . G1p U1 I1 ⎜ G21 G22 . . . G2p ⎟ ⎜ U2 ⎟ ⎜ I2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (3.6.4) ⎜ . .. . . .. ⎟ · ⎜ .. ⎟ = ⎜ .. ⎟ → GU = I. ⎝ .. ⎠ ⎝ . . . . ⎠ ⎝ . ⎠ Gp1 Gp2 . . . Gpp Up Ip Jetzt treten die Kurzschlussleitwerte G11 , G22 , . . . Gpp auf, z. B.  I1  . G11 = U1 Ui = 0 außer U1

(3.6.5a)

Der Kurzschlussleitwert Gii der Klemme i (nach dem Referenzknoten) ist der Leitwert gemessen an dieser Klemme bei Kurzschluss aller u ¨ brigen Klemmen. Dazu wird dem Eingang 1 ein Probestrom I1 eingepr¨agt und die Spannung U1 bei Kurzschluss aller restlichen Klemmen gemessen (Abb. 3.6.2c). Die ¨ u ¨ brigen Parameter sind die Ubertragungsleitwerte   I1  I3  G13 = , G31 = .(3.6.5b) U3 alle Ui = 0 außer U3 U1 alle Ui = 0 außer U1 Man legt dazu z. B. die Spannung U3 an und misst den Kurzschlussstrom I1 bei Kurzschluss aller restlichen Klemmen. Die Elemente der Leitwertmatrix werden der Definition entsprechend aus Kurzschlussmessungen bestimmt, aus der Widerstandsmatrix R direkt ermittelt (falls ihre Koeffizientendeterminante nicht verschwindet) gem¨ aß G = R−1 ,

3.6

Mehrpolige Netzwerke*

345

nach der bei der Knotenspannungsanalyse diskutierten Strukturregel aus der Schaltung abgelesen (dabei ist die symmetrische Stromrichtung vorteilhaft).

Beispiel 3.6.1 Dreipol F¨ ur die Schaltung Abb. 3.6.2d ergibt sich die Leitwertmatrix durch Aufstellen des Knotensatzes f¨ ur jeden Knoten, etwa f¨ ur Knoten 1: I1 = Iq1 = G10 U1 + G12 (U1 − U2 ) + G13 (U1 − U3 )

usw.

Erstreckt auf die restlichen Knoten folgt (nach Ordnen) die Leitwertmatrix 0 1 −G12 −G13 G10 + G12 + G13 A. −G21 G20 + G21 + G23 −G23 G=@ (3.6.6) −G31 −G32 G30 + G31 + G32 Die Leitwertmatrix eines erdunsymmetrischen Zweipolnetzes mit n Knoten ist quadratisch von der Dimension ((n − 1) × (n − 1)). In der Hauptdiagonalen steht die Summe aller am Knoten angeschlossenen Leitwerte, als Nebendiagonalelemente (mit negativem Vorzeichen) die Koppelleitwerte zwischen den beiden zugeh¨ origen Knoten. Ferner liegt Symmetrie zur Hauptdiagonalen vor (solange das Netzwerk keine gesteuerten Quellen enth¨ alt). Dieses Ergebnis kennen wir von der Knoten¨ analyse. Die Ubereinstimmung ist nicht zuf¨ allig: Die Str¨ ome des Stromvektors sind die Klemmenstr¨ ome zu den Stromknoten, wie sie auch f¨ ur die Knotenspannungsanalyse vereinbart wurden.

3.6.2 Zusammenschaltung von Mehrpolen Mehrpole lassen sich durch Verbinden entsprechender Knoten nach den gleichen Regeln wie f¨ ur Zweitore zusammenschalten (Kap. 2.6.6). Dabei d¨ urfen in entstehenden Erdschleifen keine Ausgleichsstr¨ome fließen. Diese Bedingung trifft z. B. nicht zu, wenn Mehrtor (1) erdunsymmetrisch, Mehrtor (2) aber erdsymmetrisch ist. Dann werden beim Zusammenschalten Klemmen am Mehrtor (2) kurzgeschlossen, m. a.W ¨ andert sich seine Matrix: Beispiel: Parallelschaltung einer T- und einer X- (Br¨ ucken-) Ersatzschaltung.

Unkritisch ist die Parallelschaltung zweier erdunsymmetrischer Mehrpole (1) und (2) gleicher Klemmenzahl n (Abb. 3.6.3a). Haben die Netzwerke die Leitwertmatrizen G(a) und G(b) , so folgt analog zur Parallelschaltung von Zweitoren   (3.6.7) I = I (a) + I (b) = G(a) + G(b) U = GU . Bei der Parallelschaltung zweier Mehrpole gleicher Polzahl n ergibt sich die neue Knotenleitwertmatrix aus der Summe der einzelnen Knotenleitwertmatrizen. Eine Parallelschaltung kann mehr als zwei Mehrpole umfassen.

346

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

U1

U2

I1

I1a

I2

I2a

I3

I3a

I1b

1

I2b

2

I3b

1 2

G(a)

G(b)

K1

U3

G1

K3

G2

K2

G4 In

Ina

n

Inb

n K4

a

b

Abb. 3.6.3. Parallelschaltung von Mehrpolen. (a) Zusammenschaltung zweier n-Mehrpole. (b) Zusammenschaltung einfacher Netzwerkelemente zu einer gr¨ oßeren Anordnung durch Parallelschaltung von Mehrpolen

Stimmen die Klemmenzahlen der Einzelmehrpole nicht u ¨ berein, so wird die Schaltung mit der kleineren Polzahl durch fiktive leerlaufende Klemmen (Null-Eintr¨ age in der Leitwertmatrix) solange erg¨ anzt, bis gleiche Klemmenzahlen vorliegen.

Beispiel 3.6.2 Schaltungsaufbau Eine Schaltung (Abb. 3.6.3b) mit 4 Klemmen und drei Netzwerkelementen hat die (unbestimmte) Leitwertmatrix 1 0 0 −G1 0 G1 B 0 −G2 0 C G2 C B @ −G1 −G2 G1 + G2 + G4 −G4 A = 0 0 −G4 G4 0 1(c) 1(a) 0 1(b) 0 G1 0 −G1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B 0 0 0 0C B 0 G2 −G2 0 C B0 0 0 0 C B C C C B B @ −G1 0 G1 0 A + @ 0 −G2 G2 0 A + @ 0 0 G4 −G4 A . 0 0 −G4 G4 0 0 0 0 0 0 0 0 Sie kann in drei Einzelmatrizen mit je nur einem Netzwerkelement zerlegt werden. Umgekehrt l¨ asst sich jedes gr¨ oßere Zweipolnetzwerk durch Parallelschaltung entsprechender Teilnetzwerke aufbauen. Das Einf¨ ugen eines Zweipolelementes zwischen den Knoten i und j erfolgt durch Addition von Gii und Gjj in die Hauptdiagonalelemente, Einf¨ ugen von −Gij und −Gji in die Nebendiagonalelemente. Ganz analog verf¨ ahrt man bei der Reihenschaltung zweier n-Mehrpolnetzwerke. Hier ergibt sich dual zur Parallelschaltung: Die Reihenschaltung von zwei n-Mehrpolen f¨ uhrt zu einer neuen Widerstandsmatrix aus der Summe der einzelnen Widerstandsmatrizen. Erdunsymmetrische Mehrpole erf¨ ullen die Voraussetzungen f¨ ur die Zusammenschaltung wie bei der Parallelschaltung, allerdings lassen sich h¨ ochstens zwei in Reihe schalten. Das hat geringe Bedeutung.

3.6

Mehrpolige Netzwerke*

347

Einbezug von Zweitorelementen Durch Parallelschaltung von Teilnetzwerken

k¨onnen auch Zweitorelemente, wie gesteuerte Quellen, einbezogen werden. Wir w¨ahlen die spannungsgesteuerten Strom- und Spannungsquellen wegen ihrer Bedeutung f¨ ur Operationsverst¨ arker. In einem ersten Schritt wird die gesteuerte Quelle aus dem Netzwerk (Abb. 3.6.4a) zwischen den Klemmen a . . . d separiert und f¨ ur das Netzwerk ein externer Referenzpunkt gew¨ahlt. Ohne gesteuerte Quelle hat es die Leitwertgleichung ⎞ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ I1 U1 . . G1a . . G1d . ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ . ⎟ . ⎜ . . . . . . ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ a ⎜ ⎜ . Gaa . . Gad . ⎟ ⎜ Ua ⎟ ⎜ Ia ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ b ⎜ . Gba . . . . ⎟ ⎜ Ub ⎟ ⎜ Ib ⎟ (3.6.8) ⎟ = ⎜ ⎟. ⎟·⎜ ⎜ c ⎜ . Gca . . . . ⎟ ⎜ Uc ⎟ ⎜ Ic ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ d ⎜ ⎜ . Gda . . Gdd . ⎟ ⎜ Ud ⎟ ⎜ Id ⎟ ⎠ ⎝ ⎝ . ⎠ ⎝ . ⎠ . . . . . . . Un In . . Gna . . . . Die gesteuerte Quelle erh¨ alt eine Knotenmatrix mit Nulleintr¨agen außer an Stellen, an denen sie Eintr¨ age verursacht. Diese Matrix wird der Netzwerkmatrix zugeschaltet, also zu Gl. (3.6.8) addiert. Eine spannungsgesteuerte Stromquelle (Abb. 3.6.4b) mit den Klemmen a . . . d und den Knotenspannungen Ua0 , . . . Ud0 zum Bezugspunkt 0, verschwindendem Eingangsstrom I1 = 0 und dem Ausgangsstrom I2 = Gm U1 = Y21 U1 (in Zweitordarstellung) f¨ uhrt zu folgenden Knotenbeitr¨agen: Knoten a: +I1 = 0, Knoten b: −I1 = 0, Knoten c: +I2 = Gm U1 = Gm (Ua0 − Ub0 ), (weil I2 den

1 a n-Pol

b c d n

I1 separierte gesteuerte Quelle

Ia Uab

Ib

GmUR3

Ic

a

Id

Ud

AuUab

I2 GmUd

b

In Un

Ub0

Bezugspunkt

a

c

K1

G4 G1 G3

d Ud0

K2

K3

G5 UR3

G2

Iq

0

b

c

Abb. 3.6.4. Einf¨ ugen einer gesteuerter Quelle in einen Mehrpol. (a) Trennung des Netzwerkes in gesteuerte Quelle und Restnetzwerk. (b) Ersatzschaltung einer idealen spannungsgesteuerten Spannungsquelle. (c) Beispielnetzwerk mit spannungsgesteuerter Stromquelle

348

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

Knoten verl¨asst) und schließlich Knoten d: −I2 = −Gm (Ua0 − Ub0 ), weil der Strom I2 in den Knoten tritt. Damit bleiben als Eintr¨age . . a b c d . .

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

. . . . . . . . .

a b . . . . 0 0 0 0 Gm −Gm −Gm Gm . . Gna .

c . . . . . . . .

d . . . . . . . .

. . . . . . . . .

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎛

U1 ⎜ . ⎜ ⎜U ⎜ a ⎜ ⎜U ·⎜ b ⎜ Uc ⎜ ⎜ Ud ⎜ ⎝ . Un

⎞

⎛

I1 ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ ⎟ ⎜I ⎟ ⎜ a ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ Ib ⎟=⎜ ⎟ ⎜ Ic ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ Id ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ . In

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (3.6.9)

Wird einer der Knoten a . . . d zum Bezugsknoten, so verschwinden die zugeh¨origen Eintr¨ age (Zeile, Spalte). H¨ atte die Steuerstrecke zwischen den Knoten a, b noch einen endlichen Leitwert (nicht null wie hier), so w¨ urde er an den entsprechenden Positionen als Haupt- bzw. Nebendiagonalelement auftreten. F¨ ur die Beispielschaltung Abb. 3.6.4c mit den Knoten K1 . . . K3 kann die Knotenleitwertmatrix sofort nachvollzogen werden: 1 0 K1: G1 + G4 −G4 + Gm 0 G3 + G4 + G5 −G5 A = G. K2: @ −G4 0 −G5 − Gm G2 + G5 K3: Die gesteuerte Quelle liegt zwischen Knoten K1 (= c) und K3 (= d), die Steuerspannung zwischen Knoten K2 (= a) und Bezug (b = 0). Deshalb tritt ihr Beitrag nur an den Matrixpositionen 12 und 32 (mit −Gm ) auf. Da Knoten b mit dem Bezugsknoten zusammenf¨ allt, gibt es nur zwei Matrixeintr¨ age.

Spannungsgesteuerte Spannungsquelle Wir nutzen die ideale spannungsge-

steuerte Spannungsquelle als Modell des Operationsverst¨arkers von Abb. 3.3.10. Eingangsstr¨ome werden vernachl¨ assigt, die Ausgangsspannung Ua = Au Ud ist die mit Au ≡ AuD verst¨ arkte Eingangsdifferenzspannung Ud . Durch die Spannungsquelle fließt der Hilfsstrom IH (Abb. 3.6.5a). Zun¨achst wird die Netzwerkgleichung aufgestellt und anschließend der Verst¨arker eingef¨ ugt. Dabei unterscheidet man zwischen endlicher Verst¨arkung arkung oder virtuellem Kurzschluss. Au und unendlich hoher Verst¨ 1.

Im ersten Fall erfolgt der Einbau der gesteuerten Spannungsquelle nach dem Superknotenkonzept. Es verlangt einen Hilfsstrom durch die Quelle (empfehlenswert) und anschließendes Zusammenfassen der beiden ausgangsseitigen Knotengleichungen (so entsteht eine Zwangsbedingung f¨ ur die ausgangsseitigen Knotenspannungen und nur eine muss ermittelt werden),

3.6

Mehrpolige Netzwerke*

349

G4

a Uab b

IH

G1 G3 c G2

AuUab d

Uq2 G5

a

b

G4

SK

K2

K1 U1 + U2 ∞ -

IH IH

SK G1

K3

U3 Ua

U4 K4

K1 U1 + U2 ∞ -

G2 Uq

K2

G6 G7

G5

G7

IH K3 U3

Ua

K4 U4=0

c

Abb. 3.6.5. Einf¨ ugen eines Operationsverst¨ arkers in ein Netzwerk. (a) Modell des idealisier-

ten Operationsverst¨ arkers mit endlicher Spannungsverst¨ arkung. (b) Operationsverst¨ arker mit symmetrischem Ausgang im Netzwerk. (c) Operationsverst¨ arker mit unsymmetrischem Ausgang im Netzwerk

oder das Superknotenkonzept beim Aufstellen der Superknotengleichung, den Zusammenhang zwischen den Verst¨ arkeraus- und -eingangsspannungen u ¨ ber die Steuergleichung. 2.

Der zweite Fall (Verst¨ arker mit unendlich hoher Verst¨ arkung Au → ∞) geht entweder aus dem ersten durch Grenz¨ ubergang hervor oder durch Manipulation der Leitwertmatrix, der u ur Netzwerke mit mehreren Operations¨ bliche Weg f¨ verst¨ arkern.

Wir erl¨autern die Einzelschritte am Beispiel der spannungsgesteuerten Spannungsquelle (endliche Verst¨ arkung Au ) mit symmetrischem Ausgang (Abb. 3.6.5b). Die ideale Spannungsquelle wird zun¨achst u ¨ ber ihren Hilfsstrom IH zwischen Knoten K4 und K3 zum Aufstellen der Knotengleichungen angesetzt und sp¨ ater eliminiert. Die Schaltung hat 4 Knoten (Bezugsknoten anfangs festlegt). Die Eingangsspannung Uq ist gegeben. Die Knotengleichungen (mit Hilfsstrom IH ) lauten:

0 10 K1: G1 + G2 + G3 0 −G3 0 B 0 −G7 C K2:B 0 G5 + G6 + G7 B CB @ @ A K3: −G3 0 G3 + G4 0 K4: 0 G7 0 −G7

1 0 G1 U q U1 B G5 Uq U2 C C=B U3 A @ G4 Uq + IH U4 −IH

1

C C. A

(3.6.10)

W¨are IH bekannt, so k¨ onnten alle Knotenspannungen ermittelt werden. Mit der Zwangsbedingung Ua = U3 −U4 (beim Superknotenkonzept ein konkreter Spannungswert) wird der Hilfsstrom ersetzt und so eliminiert: man zieht beide Knotenbilanzen K3 und K4 zusammen (beide Zeilen addieren zur Zeile K3+4 und Zeile K4 streichen, rechts hebt sich IH heraus). Dann (und mit U4 = U3 − Ua ) sind die Knotenspannungen U1 . . . U3 darstellbar. Im n¨achsten Schritt wird die aus der Zwangsbedingung resultierende (noch arkergleichung Ua = Au (U1 − U2 ) unbekannte!) Spannung Ua u ¨ber die Verst¨

350

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

auf die Knotenspannungen U1 , U2 zur¨ uckgef¨ uhrt (entweder durch die Substitution U3 = U4 + Au (U1 − U2 ) und Eliminierung von U3 ) oder besser durch U2 = U1 − A−1 u (U3 − U4 ). In diesem Fall stellt sich mit Au → ∞ automatisch U1 = U2 , d. h. virtueller Kurzschluss ein. Wir ersetzen die Spannung allt Spalte 2 (U2 ) und es verbleiben U2 = U1 + A−1 u (U4 − U3 ). Dadurch entf¨ (G1 + G2 + G3 )U1 − G3 U3 = G1 Uq −1 (G5 + 7 )U1 − Au (G5 +G6 + G7 )U3  G6 + G−1 − G7 − Au (G5 + G6 + G7 ) U4 = G5 Uq K3+4: −(G3 + G7 )U1 + (G3 + G4 + G7 A−1 u )U3 +G7 (1 − A−1 u )U4 = G4 Uq .

K1: K2:

(3.6.11)

Damit sind die Knotenspannungen U1 , U3 und U4 bestimmt (und durch Eliminieren von U1 ) auch die Ausgangsspannung Ua = U3 − U4 als Differenz der Knotenspannungen, die anf¨ angliche Aufgabenstellung. ¨ Der Ubergang zum idealen Operationsverst¨arker mit Au → ∞ (und virtuellem Kurzschluss U1 = U2 ) kann auf zwei Wegen erfolgen: durch den Grenz¨ ubergang A−1 osung mit endlicher Verst¨aru → 0 in der L¨ kung (falls sie – wie hier – bereitsteht) mit dem Ergebnis ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ K1: (G1 + G2 + G3 ) −G3 U1 G1 Uq 0 0 −G7 ⎠ ⎝ U3 ⎠ = ⎝ G5 Uq ⎠ K2: ⎝ (G5 + G6 + G7 ) K3+4: −(G3 + G7 ) G3 + G4 G7 U4 G4 Uq (3.6.12) (leicht nachpr¨ ufbar, hier zeigt sich der Vorteil, die Eingangsspannung als Funktion der Ausgangsknotenspannungen zu ersetzen, nicht umgekehrt). durch Beachtung der idealen Verst¨ arkerbedingung virtueller Kurschluss“ ” und des Superknotens am Ausgang mit Manipulation der ohne Verst¨arker aufgestellten Netzwerkgleichungen. Bei idealem Operationsverst¨ arker gilt eingangsseitig virtueller Kurzschluss, ausgangsseitig liegt die gesteuerte Spannungsquelle in einem Superknoten. Eingangsseitig heißt virtueller Kurzschluss U1 = U2 , die Spalten U1 und U2 in der Ausgangsmatrix Gl. (3.6.10) zu addieren und eine zu streichen (z. B. die zweite, U2 ). So geht die Matrix Gl. (3.6.10) u ¨ ber in 0 1 0 1 0 1 K1: (G1 + G2 + G3 ) −G3 U1 G1 Uq 0 K2: @ (G5 + G6 + G7 ) 0 −G7 A · @ U3 A = @ G5 Uq A . (3.6.13) K3+4: −(G3 + G7 ) G3 + G4 G7 U4 G4 Uq Es treten nur noch die Spannung U1 , U3 , U4 auf. Der n¨ achste Schritt betrifft die Ausgangsknoten K3 und K4. Die zusammengefassten Knoten K3 und K4 oben sind nichts anderes als der Superknoten, von dem aus die Knotengleichungen nach den Knoten K1, K2 (mit U2 , U1 ) zu bilden sind. Man kann also

3.6

Mehrpolige Netzwerke*

351

beide Knotengleichungen K3, K4 getrennt aufstellen (dabei ist der Hilfsstrom utzlich), sie anschließend addieren (d. h. zwei Matrixzeilen addieren) und IH n¨ eine streichen (g¨ angiger Weg) oder die eine Knotengleichung K3+4 des Superknotens aufstellen. Liegt er zudem einseitig an Masse, so entf¨ allt diese Knotengleichung und Knotenspannung. Wird z. B. Knoten K3 nach Masse gelegt, so ist Zeile K3+4 zu streichen und ebenso die zu U3 geh¨ orende zweite Spalte. Gelangt zus¨ atzlich Knoten K1 an Masse, so ist die Spalte mit U1 und die Zeile K1 zu streichen. Dann verbleibt aus Zeile 2 (K2) nur noch −G7 U4 = G5 Uq oder U4 = −(G5 /G7 )Uq . Das ist die Ausgangsspannung des invertierenden idealen Operationsverst¨ arkers.

L¨ osungsmethodik Einbezug Operationsverst¨ arker Soll ein Operationsverst¨ arker in das separierte Netzwerk (Abb. 3.6.4a) mit der Leitwertgleichung Gl. (3.6.8) z. B. zwischen den Klemmen a . . . d mit Ucd = Uc − Ud = Au Uab = uhren: Au (Ua − Ub ) einbezogen werden, so sind folgende Schritte durchzuf¨

1. 2.

3.

4. 5. 6.

Aufstellung der unbestimmten Knotenspannungsmatrix des Netzwerkes (ohne Operationsverst¨ arker). Aufl¨osung der Verst¨ arkergleichung nach einer zu eliminierenden Spannung, z. B. Uc durch Uc = Au (Ua − Ub ) + Ud (zweckm¨aßig die Steuerspannung Ua oder Ub , weil dann der ev. Grenz¨ ubergang einfacher wird Ua = Ub + A−1 u (Uc − Ud )). Einsetzen der zu eliminierenden Spannung z. B. Uc , d. h. Spalte c mit Au multipliziert und zu Spalte a addiert, ebenso Spalte c mit −Au multipliziert und zu Spalte b addiert sowie Spalte c zu Spalte d addiert. Anschließend ist Spalte c zu streichen. Zusammenfassen der Knotengleichungen Kc und Kd (beide addieren und eine (Zeile Kc)) streichen). So hebt sich der Hilfsstrom heraus. Wird ein Knoten (z. B. d zum Referenzknoten (Ud = 0), so Spalte d streichen und ebenso Knotengleichung Kd (Zeile) streichen. Aufl¨osung des Gleichungssystems nach den gesuchten Knotenspannungen.

Damit geht Gl. (3.6.8) ⎛ . . . G1a + Au G1c ⎜ .. ⎜ ... . ⎜ ⎜ a ⎜ . . . Gaa + Au Gac ⎜ b ⎜ . . . Gba + Au Gbc ⎜ .. ⎜ ⎝ ... . . . . Gna + Au Gnc

u ¨ber in eine Form

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ G1b − Au G1c G1c + G1d . . . U1 I1 ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜.⎟ .. .. ⎜ . ⎟ ⎜.⎟ . . ... ⎟ ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜.⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Gab − Au Gac Gac + Gad . . . ⎟ ⎜ Ua ⎟ ⎜ Ia ⎟ ⎟ · ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟. Gbb − Au Gbc Gbc + Gbd . . . ⎟ ⎜ Ub ⎟ ⎜ Ib ⎟ ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜.⎟ .. .. ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ . . . . . ⎠ ⎝ .. ⎠ ⎝ .. ⎠ Un In Gnb − Au Gnc Gnc + Gnd . . . (3.6.14)

352

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

Bei mehreren Operationsverst¨ arkern ist das Verfahren f¨ ur jeden Verst¨arker zu wiederholen. Deshalb empfiehlt sich zun¨achst eine Analyse mit Operationsverst¨arkern unendlich hoher Verst¨arkung. Idealer Operationsverst¨ arker Bei unendlich grosser Verst¨ arkung wird jeder

Operationsverst¨arker eingangsseitig durch virtuellen Kurzschluss und ausgangsseitig durch einen Superknoten repr¨ asentiert. Diese Bedingungen dienen zur Manipulation der unbestimmten Knotenspannungsmatrix, n¨amlich Zusammenfassen der korrespondierenden Spalten (virtueller Kurzschluss) und Superknotenbedingung (korrespondierende Zeilen) am Verst¨arkerort: 1.

2.

3.

Einhaltung des virtuellen Kurzschlusses mit identischen Spannungen Ua = Ub (ohne dass eine zus¨ atzliche Einstr¨omung in die Knoten erfolgt) durch Zusammenfassen der Spalten a und b (Addition von Spalte b zu Spalte a und Streichung von Spalte b, ebenso der b-te Eintrag im Spannungsvektor). Aufstellung der Superknotengleichung Kc+d f¨ ur den Verst¨arkerausgang (1 Zeile) oder gleichwertig der Knotengleichungen Kc, Kd, ihre Addition und Streichung einer Knotengleichung, z. B. Kd und ebenso der d-te Eintrag im Stromvektor rechts. Wird ein Knoten Referenzknoten, so sind die zugeh¨orige Spalte der Knotenspannung und die zugeh¨ orige Knotengleichung zu streichen.

Das verleibende Gleichungssystem ist das Netzwerk mit idealem Operationsverst¨arker. Es empfiehlt sich, zun¨ achst die Superknotengleichungen aufzustellen und dann den virtuellen Kurzschluss einzuarbeiten. Das Verfahren kann mehrere Verst¨arker einschließen. Diese Methode ist weitgehend identisch mit der Darstellung des idealen Operationsverst¨ arkers durch ein sog. Nullator-Norator-Paar.

Beispiel 3.6.3 Operationsverst¨ arkerschaltung Ins Netzwerk Abb. 3.6.5c soll ein idealer Operationsverst¨ arker einbezogen werden. Von den vier Knoten ist K4 sp¨ ater Referenz. Es gilt die Knotenleitwertmatrix (ohne Verst¨ arker) 1 0 1 0 10 Iq K1: G1 + G2 + G3 0 −G3 − (G1 + G2 ) U1 C B U2 C B 0 C −G4 −G5 K2: B 0 G4 + G5 C B C B C ·B A @ U3 A = @ 0 A . −G3 −G4 G3 + G4 0 K3: @ − (G1 + G2 ) −Iq K4: −G5 0 (G1 + G2 + G5 ) U4 (3.6.15) Die einspeisende Spannungsquelle wurde in eine Stromquelle gewandelt.

3.6

Mehrpolige Netzwerke*

353

Der n¨ achste Schritt schließt den idealen Operationsverst¨ arker ein. Der virtuelle Kurzschluss ergibt identische Knotenspannungen U1 , U2 : Zusammenfassen der Spalten 1 und 2 durch Addition von Spalte 2 zu 1 und anschließende Streichung Spalte 2 (neue Spannungsvariable U1+2 ). 0 0 1 1 1 0 −G3 − (G1 + G2 ) K1: G1 + G2 + G3 Iq U 1+2 B C C G4 + G5 K2: B −G4 −G5 0 B C @ U3 A = B C @ +IH A . A K3: @ −(G3 + G4 ) G3 + G4 0 U4 0 G1 + G2 + G5 −Iq − IH K4: − (G1 + G2 + G5 ) (3.6.16) Jetzt ist die Zeilenzahl um eine gr¨ oßer als die Zahl unabh¨ angiger Klemmenspannungen. Daf¨ ur kommt der Hilfsstrom IH des Superknotens zwischen Knoten 3 und 4 hinzu. Er stellt sich so ein, dass virtueller Kurzschluss gilt. Zusammenfassen der Zeilen 3 und 4 eliminiert ihn (Zeile 3 zu 4 addieren und Zeile 3 streichen, Zwischenergebnis wurde nicht notiert). Die Beziehung K3+4 ist die Superknotengleichung, sie h¨ atte auch sofort aus der Schaltung geschrieben werden k¨ onnen. Anschließend wird Knoten K4 zum Bezugsknoten: das bedeutet Uk4 = 0 oder Streichen der Spalte 4 und ebenso der (neuen) Zeile K3+4. Dann bleibt als Knotenspannungssystem « « „ « „ „ U1+2 Iq K1: (G1 + G2 + G3 ) −G3 . (3.6.17) · = (G4 + G5 ) −G4 U3 0 K2: Gesucht ist die Ausgangsspannung (U3 , Knotenspannung Uk3 ). Dazu wird die Spanosung lautet nung U1 eliminiert und schließlich Iq = Uq G1 substituiert. Die L¨ U3 = Ua =

(G4 + G5 )G1 Uq . (G1 + G2 )G4 − G3 G5

(3.6.18)

Im Ergebnis f¨ allt auf: die Knotengleichung K3 muss nicht formuliert werden. Durch den Massebezug der gesteuerten Spannungsquelle des Operationsverst¨ arkers am Ausgang tritt die Knotenspannung Uk3 (als Spannung einer idealen Quelle nach Masse) auf, f¨ ur die das Superknotenkonzept gilt. bei Operationsverst¨ arkerausgang nach Masse vereinfacht sich die Formulierung. Deshalb h¨ atten die Knotengleichungen von Beginn an nur f¨ ur Knoten 1 und 2 aufgestellt werden m¨ ussen (jetzt mit unsymmetrischem Verst¨ arkerausgang). Bei endlicher Verst¨ arkung Ua = Au (U1 − U2 ) werden (mit geerdetem Bezugsknoten 4) nur die Knotengleichungen K1, K2 formuliert (K3 nicht, ideale Spannungsquelle) und zus¨ atzlich die Verst¨ arkerbeziehung: K1: G1 (U1 − Uq ) + G2 U1 + G3 (U1 − U3 ) = 0 K2: G5 U2 + G4 (U2 − U3 ) = 0 U3 = Au (U1 − U2 ).

(3.6.19)

osen. Im Grenzfall Au → ∞ folgt Gl. Das System l¨ asst sich nach U3 = f (Uq ) aufl¨ (3.6.18).

354

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

Spannungsgesteuerte Stromquelle Wir ersetzen den Operationsverst¨ arker durch eine spannungesteuerte ideale Stromquelle Ia = S(U1 − U2 ). Jetzt muss die Knotengleichung K3 formuliert werden (zus¨ atzlich wurde ein Innenleitwert ga der Stromquelle hinzugenommen) K1: G1 (U1 − Uq ) + G2 U1 + G3 (U1 − U3 ) = 0 K2: G5 U2 + G4 (U2 − U3 ) = 0 K3: −G3 U1 − G4 U2 + (G3 + G4 + ga )U3 = S(U1 − U2 ). Dieses Gleichungssystem l¨ asst sich ohne Schwierigkeiten l¨ osen. Es enth¨ alt ¨ den Ubergang zur spannungsgesteuerten Quelle (Quellenwandlung, es gilt Au = Sra , ra = 1/ga mit dem Ausgangswiderstand ra der gesteuerten Quelle). Die ideale Spannungsquelle entsteht mit ga → ∞. ¨ auch den Ubergang zum idealen Operationsverst¨ arker. Nach Gl. (2.7.23) gilt f¨ ur jeden Steuerparameter im Grenzfall unendlich hoher Werte der gleiche ideale Verst¨ arker. K3 „ Die Knotengleichung „ « « lautet (nach Division mit S): G3 G2 U3 −U1 1 + (G3 + G4 + ga ) = 0. + U2 1 − + S S S F¨ ur S → ∞ folgt daraus U1 ≡ U2 : virtueller Kurzschluss. Die Knotengleichungen K1 und K2 bleiben unver¨ andert und f¨ uhren zur L¨ osung Gl. (3.6.19).

Beispiel 3.6.4 Schaltung mit drei Operationsverst¨ arkern Abb. 3.6.6 zeigt ein Netzwerk mit drei, ausgangsseitig unsymmetrischen idealen Operationsverst¨ arkern. Gesucht ist die Ausgangsspannung U6 als Funktion der Eingangsspannung Uq . Zun¨ achst k¨ onnte die unbestimmte Knotenspannungsmatrix des Netzwerkes ohne Operationsverst¨ arker aufgestellt werden. Da alle Ausg¨ ange unsymmetrisch sind, d. h. einseitig an Masse liegen, entfallen die zugeh¨ origen (Super-) Knotengleichun¨ gen der Knoten K4 . . . K6. Sie wurden aber (aus Ubungsgr¨ unden) notiert. F¨ ur die weitere Rechnung sind nur die Knotengleichungen K1 . . . K3 relevant. Durch virtuellen Kurzschluss verschwinden die Knotenspannungen U1 . . . U3 . Wir schreiben die entsprechenden Knotengleichungen auf, setzen aber f¨ ur die Knotenspannungen U1 . . . U3 einen Nullwert an (durchgestrichenes Symbol). Dann verbleiben K1: K2: K3: SK4: SK5: SK6:

/ 1− G1 U4 − G3 U6 (G1 + G3 + G4 ) U (G2 + G7 ) U / 2− G2 U4 − G7 U5 (G5 + G6 ) U / 3− G5 U5 − G6 U6 −G1 U1 − G2 U2 + (G1 + G2 )U4 −G7 U2 − G5 U3 + (G5 + G7 )U5 −G3 U1 − G6 U3 + (G3 + G6 )U6

= G4 Uq = 0 = 0 . = 0 = 0 = 0

(3.6.20)

Die Superknotengleichungen werden zu null gesetzt. Dann verbleiben als restliche Gleichungen f¨ ur die Knotenspannungen U4 . . . U6 : 0 10 1 0 1 −G1 0 −G3 U4 G4 Uq @ −G2 −G7 0 A @ U5 A = @ 0 A . (3.6.21) 0 −G5 −G6 0 U6

3.6

Mehrpolige Netzwerke*

355

Abb. 3.6.6. Beispielschaltung mit drei idealen Operationsverst¨ arkern

Diese Matrixgleichung kann nach den Knotenspannungen U4 . . . U6 aufgel¨ ost und die gesuchte Abh¨ angigkeit U6 = f (Uq ) gewonnen werden.

3.6.3 Mehrtore Einf¨ uhrung Ein Mehrpol mit n Klemmen beschreibt ein allgemeines Netzwerk,

dessen Klemmenbeziehungen durch die Kirchhoffschen Gleichungen festliegen. Praktisch werden Klemmen durch ¨außere Zweipolelemente (Last, Quelle) belastet, also eine Torbedingung erzwungen. Dann fließt durch das Klemmenpaar der gleiche Strom: in eine Klemme hinein und aus der anderen heraus. ¨ In solchen F¨allen ist der Ubergang vom Mehrpol zum Mehrtor zweckm¨aßig. ¨ Auch f¨ ur Ubertragungssaufgaben (Energie, Signal) interessieren nur die Netzwerkeigenschaften zwischen einem Eingangsklemmenpaar und einem (oder mehreren) Ausgangsklemmenpaaren, aber nicht die Spannungen an nicht abgeschlossenen Klemmen. Ein Mehrtor ist ein Netzwerk mit mehr als zwei Toren. Jedes Tor hat ein zugeordnetes Klemmenpaar (2 Pole). Das n-Tor-Netzwerk ist identisch mit einem 2n Pol-Netzwerk und es erf¨ ullt die Torbedingung. Wird der Mehrpol nur durch seine Klemmen gekennzeichnet, so erfordert das Mehrtor eine Definition der positiven und negativen Klemmen und eine Ordnung. n-Tor Netzwerke werden unterteilt in (Abb. 3.6.1) 2n-Pol Netzwerke mit getrennten negativen Bezugsklemmen, also zug¨anglichen, isolierten Toren. Alle positiven Klemmen sind getrennt und folglich ist die Klemmenzahl gerade: 2n-Pol, Beispiel: Transformator mit mehreren getrennten Wicklungen. Merkmal der Mehrtornetzwerke ist die Erf¨ ullung der Torbedingung: der in den positiven Pol eines Tores zufließende Strom tritt am negativen Pol heraus (in Abb. 3.6.1b) durch einen beigef¨ ugten

356

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

Zweipol stilisiert). Die Tore k¨ onnen gegenseitig isoliert oder an einer Klemme (meist der negativen ) vollst¨ andig oder teilweise verbunden sein. n+1 Pol-Netzwerke mit gemeinsamer (negativer) Bezugsklemme, der Masse. Jetzt liegt ein erdunsymmetrisches“ Mehrtor vor und das n-Tor geht ” in einen n + 1 Pol u ¨ ber. Sonderf¨ alle sind f¨ ur n = 2 der (2+1) Pol = Dreipol und der 2 × 2 Pol als echter Vierpol (z. B. Transformator mit zwei Wicklungen). Ein Dreipol kann durch die außere Beschaltung als Zweitor wirken. ¨

Die Mehrtortheorie untersucht die Beziehungen zwischen den Str¨omen und Spannungen an den einzelnen Toren oder Klemmenpaaren, dagegen i. a. nicht die Spannungen zwischen den Klemmen verschiedener Tore. Sie erweitert die Zweitortheorie bez¨ uglich der Torzahl und der Toraufgabe: jedes Tor kann Ein- oder Ausgang oder beides zugleich sein. Unterschiedliche Zahlen von Ein- und Ausgangstoren f¨ uhren zur Torunsymmetrie. Vor allem der letzte Punkt resultiert aus der Tatsache, dass viele Einrichtungen der Informationstechnik komplexe Bausteine mit großer Torzahl sind, wobei die Toraufgabe von vornherein nicht feststeht.

Strom-Spannungsbeziehungen Generell wird ein lineares n-Tor durch n linear

unabh¨angige U, I-Gleichungen f¨ ur die 2n Klemmengr¨oßen (Str¨ome, Spannungen) beschrieben21 . Das sind beim Vierpol“ mit n = 2 Toren die Zweitor” gleichungen. Grunds¨ atzlich ist dieser Zusammenhang in Matrixform darstellbar. Da sich das zugeh¨ orige  Gleichungssystem in n beliebige Gr¨oßen aufl¨osen l¨asst, gibt es insgesamt 2n n verschiedene Darstellungsformen (beim Zweitor mit n = 2 insgesamt 6). Davon haben f¨ ur große Torzahlen haupts¨achlich die Leitwert-, weniger die Ketten- und Widerstandsform Bedeutung (die restlichen betrachten wir hier nicht). F¨ ur die Stromrichtungen wird das symmetrische Pfeilsystem gew¨ ahlt (Ausnahme Kettenform, gemischt-symmetrisch). L¨asst man auch f¨ ur Mehrtore die (linearen) Grundelemente R, L, C und gesteuerte Quellen zu, so gilt z. B. f¨ ur die Leitwertform das Gleichungssystem G11 U1 + G12 U2 + . . . + G1n Un = I1 G21 U1 + G22 U1 + . . . + G2n Un = I2 Mehrtorgleichung .. . Gn1 U1 + Gn2 U1 + . . . + Gnn Un = In

21

(3.6.22)

Dabei interessieren nur die Klemmenspannungen und -str¨ ome, i. a. nicht die zwischen den Toren auftretenden L¨ angsspannungen.

3.6

Mehrpolige Netzwerke*

357

oder in Matrixform (dual zur Widerstandsform) GU = I. Von den n2 -Elementen der n-Tor-Matrix sind beim passiven Mehrpol insgesamt nur n(n + 1)/2 Elemente unabh¨ angig voneinander, beim 2-Tor (Vierpol) mit n = 2 insgesamt drei, beim 3-Tor → 6. Tats¨ achlich kann jede passive 2-Torschaltung (Dreipol) durch eine Dreieck- oder Sternschaltung mit 3 Elementen und eine 3Torschaltungen (Vierpol) mit 4, nur u ¨ ber Netzwerkelemente verbundene Klemmen als Viereck mit zwei Diagonalelementen durch 6 Widerst¨ ande realisiert werden.

Beispiel 3.6.5 Dreitorschaltung Abb. 3.6.7 zeigt eine Dreitoranordnung als Funktionsblock (Abb. a) und interpretiert durch Netzwerkelemente (Abb. b). Mit n = 3 gibt es insgesamt n2 = 9 Leitwertkoeffizienten. Bei Umkehrbarkeit gilt Gab = Gba und die Matrix wird spiegelbildlich zur Hauptdiagonalen. Dann sinkt die Zahl unabh¨ angiger Koeffizienten auf 6. In der Dreitorschaltung Abb. a ist jeweils eine Torklemme zun¨ achst noch frei verf¨ ugbar, deshalb k¨ onnen alle zum gemeinsamen Nullpunkt verkn¨ upft werden. Dann treten in einer Ersatzschaltung z. B. des passiven Dreitores Knotenleitwerte und Koppelleitwerte auf (Abb. c). Dabei sinkt die Zahl der zug¨ anglichen Klemmen von 2n (hier 6) auf 2n − (n − 1) = n + 1, also vier: aus der 3-Tor-Schaltung wird ein 4-Klemmen-Netzwerk genau so, wie ein 2-Tor-Element in ein 3-Klemmen-Netzwerk u ¨ bergehen kann.

¨ Betriebsverhalten Beim Betrieb eines Mehrtores interessiert i. a. das Ubertragungsverhalten von Quellen an wenigen Toren zu einem oder mehreren Verbrauchern an anderen Toren. Dabei tritt oft folgendes Problem auf: das Netzwerk ist als erdunsymmetrischer Mehrpol (mit 2n Klemmen) bekannt, gesucht sind die Matrixkoeffizienten bei Betrieb als n-Tor. So wird beispielsweise ein vierpoliges Netzwerk (mit einem Masseknoten) durch neun MaU2

G13

I2 I1

1

2

2'

3

U1

1'

a

3'

I3

I1 1 U3 U1 G11

G12U2 G13U3

K1

G12 K2 G23 K3 G1=G11-G13-G12 G1

G2

G3

G2=G22-G21-G23 G3=G33-G31-G32

1'

b

c

Abb. 3.6.7. Mehrtornetzwerk. (a) Dreitor. (b) Ersatzschaltung eines Tores, die u ¨brigen

Tore haben sinngem¨ aße Ersatzschaltungen. (c) Ersatzschaltung eines reziproken (unsymmetrischen) Dreitornetzwerkes

358

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

trixelemente bestimmt, zum Betrieb als Zweitor reichen dagegen schon vier Elemente aus.

Beispiel 3.6.6 Zuordnung unsymmetrischer Mehrpol – Zweitor Ein (erdunsymmetrisches) Vierpolnetzwerk Abb. 3.6.8 (Klemme A Bezugspol) mit bekannter Widerstandsmatrix R a 0 1 1 0 1 0 U1 I1 R11 R12 R13 @ U2 A = @ R21 R22 R23 A @ I2 A → U a = Ra I a (3.6.23) U3 a R31 R32 R33 a I3 a soll als Zweitor (Abb. b) in Widerstandsform beschrieben werden: „ « „ « „ « U1 R11 R12 I1 = · → U = RI. U2 R21 R22 I2

(3.6.24)

Zwischen den Mehrpolklemmengr¨ oßen und der Zweitorform gelten die Torbedingungen Tor T1: U1 = U1a , I1 = I1a , −I1 = I4a ; Tor T2: U2 = U2a −U3a , I2 = I2a , −I2 = I3a . Gesucht sind die Zweitorparameter. Nach Einsetzen der Torbedingungen in Gl. (3.6.23) und Ordnung der Ausgangsgleichungen in Zweitordarstellung Gl. (3.6.24) ergibt sich U1 = R11a I1 + (R12a − R13a )I2 U2 = (R21a − R31a )I1 + (R22a + R33a − R23a − R32a )I2 also

„

R=

R11a R12a − R13a R21a − R31a R22a + R33a − R23a − R32a

« .

Der Unterschied wird aus der konkreten Schaltung sichtbar 1 0 « „ R1 0 0 R1 0 . Ra = @ 0 R2 0 A , R = 0 R2 + R3 0 0 R3 a

1 I1a

I1

T1

2 I2a

I2

3 I3a

U1a U2a

U3a I4a

R3

R2

U2

R1

R2 U1

R3

T2

R2

R1 T1 R1

I4

R3

T2

4

4

a

I3

b

c

Abb. 3.6.8. Mehrpolnetzwerk im Zweitorbetrieb. (a) Erdgebundener Mehrpol. (b) Wahl

zweier Tore und damit Zuordnung der Strom-Spannungsbeziehungen. (c) Umgezeichnetes Netzwerk in Zweitordarstellung

3.6

Mehrpolige Netzwerke*

359

¨ Das in Abb. 3.6.8c entwickelte Zweitor hat keine Ubertragungseigenschaften, weil die Koeffizienten R12 , R21 verschwinden. Es diente lediglich als einfaches Netzwerk zur Erl¨auterung des Wandlungsverfahrens. Das allgemeine 2n-Pol-Netzwerk wird zweckm¨aßig durch eine Knotenspannungsmatrix beschrieben, deren Koeffizienten aus den Mehrpolparametern ¨ zu bilden sind. Außere Quellen k¨ onnen einbezogen werden. Interessiert am Mehrpol-/Mehrtornetzwerk das Verhalten nur zwischen zwei Toren (nicht benutzte Tore k¨onnen mit allgemeinen Zweipolen belastet sein), so ist das Netzwerk durch ein Zweitor ersetzbar. Bei Mehrtornetzwerken interessieren folgende Fragestellungen: ¨ wie gewinnt man die Ubertragungseigenschaften zwischen ausgew¨ahlten Toren, z. B. am Eingang und Ausgang aus der allgemeinen Mehrpolbeschreibung? Der Extremfall ist die Reduktion auf eine Zweitorschaltung. wie erfolgt die Reduktion des Mehrpols auf eine kleinere Schaltung, durch Unterdr¨ uckung oder Verbindung von Schaltungsknoten? wie wird eine neue Bezugselektrode eines erdunsymmetrischen Mehrpols gew¨ahlt? Alle F¨alle erfordern entweder eine Torgruppierung/-umgruppierung oder eine Klemmenmanipulation. Sie kann die Analyse von Mehrpolnetzwerken deutlich vereinfachen. 3.6.4 Torgruppierung ¨ Zur Uberf¨ uhrung eines Mehrpolnetzwerkes in eine Zweitorform werden die beiden ins Auge gefassten Pole und ein Bezugsknoten herausgezogen (Abb. 3.6.9a), diesen Polen die Ziffern 0,1,2 zugeordnet und an beide Tore Probestromquellen“ Iq1 und Iq2 (symmetrische Zweitororientierung) ange” schlossen. Wir unterscheiden deshalb zwischen den Knotenspannungen der Knotenleitwertmatrix, den zugeh¨ origen Klemmenstr¨omen (I1 , I2 ) und den Klemmenspannungen des Ersatzzweitores: U1 = U1K , U2 = U2K .22 Die restlichen Knotenspannungen interessieren nicht und die restlichen Str¨ome (außer I1 , I2 ) werden zu null gesetzt: Leerlauf“ dieser Netzwerkklemmen (ebenso ” k¨ onnte Kurzschluss oder eine andere Belastung verf¨ ugt werden, s. u.).

22

Das hochgestellte K bezieht sich auf das Knotenspannungsverfahren, das hier zugrunde liegt.

360

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen Leerlauf, Ii=0

I1

1 U1

Kurzschluß, Ui=0

In-1

I3

I2

I2

I2

I1

2 GK

U2

Iq1

I2

2

1

U1 Iq2

In-1

I3 RK

U2 Uq2

Uq1

a

b

Abb. 3.6.9. Reduktion eines Mehrpolnetzwerkes auf ein Zweitornetzwerk. (a) Anwendung

des Knotenspannungsverfahrens. (b) Anwendung des Maschenstromverfahrens

Ein n-Mehrpol (mit n−1 unabh¨ angigen Klemmen) hat die Strom-Spannungsrelationen ⎛ ⎞⎛ K ⎞ ⎛ ⎞ G11 G12 . . . G1(n−1) U1 Iq1 ⎜ G21 ⎜ K ⎟ G22 . . . G2(n−1) ⎟ Iq2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ U2 ⎟ ⎜ ⎟ (3.6.25a) ⎜ ⎜ . ⎟=⎜ ⎟ . .. .. . ⎝ . . . 0 ⎠ ⎝ ⎠⎝ . ⎠ . . . . K 0 G(n−1)1 G(n−1)2 . . . G(n−1)(n−1) Un−1 GK U K = I K

(3.6.25b)

mit verschwindenden Str¨ omen I3 . . . In−1 außer Iq1 und Iq2 im Stromvektor. In dieser Schreibweise ist GK die Knotenleitwertmatrix, U K der Spaltenvektor der Knotenspannungen (Bezugspotenzial 0) und I K der Spaltenvektor ¨ der Klemmenstr¨ ome. Die Zwangsbedingungen zum Ubergang auf das Zweitor lauten U1 = U1K , U2 = U2K , I1 = Iq1 ,

I2 = Iq2 .

(3.6.26)

Wir l¨osen Gl. (3.6.25) mit der Bedingung Gl. (3.6.26) nach den Spannungen U1 und U2 auf (Cramersche Regel) und erhalten zusammengefasst als Ergebnis die Zweitorwiderstandsmatrix R       1 U1 det11 GK − det21 GK I1 = · = R · I. (3.6.27) U2 det22 GK I2 det GK − det12 GK Hierein ist det GK die Determinante von GK , und det GK ij die Adjunkte zum Ort (i, j). Die Adjunkte (mit dem Vorzeichen (−1)i+j , hier bereits ber¨ ucksichtigt) ergibt sich als Determinante der Untermatrix von GK , die durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte in der Ausgangsmatrix entsteht. Das Ersatzzweitor des Mehrpolnetzwerkes wir durch eine Zweitorwiderstandsmatrix R nach Gl. (3.6.27) ausgedr¨ uckt, zu der alle Elemente der Knotenleitwertmatrix beitragen.

3.6

Mehrpolige Netzwerke*

361

Als Ergebnis entsteht die Widerstandsform, obwohl von der Knotenleitwertmatrix des Mehrpols ausgegangen wurde. Die gesuchte Leitwertform als L¨osung erfordert eine (aufwendige) Matrixinversion (f¨ ur gr¨oßere Netzwerke nur numerisch m¨oglich). Schon ein 4-Knoten Netzwerk (+ Bezugsknoten) erfordert die Determinantenbildung von 3×3-Matrizen, praktisch die Grenze einer Handrechnung. F¨ ur die 2 × 2-Widerstandsmatrix nach Gl. (3.6.27) kann die invertierte L¨osung, also die neue Zweitorleitwertmatrix G = R−1 allgemein angegeben werden23   det GK det22 GK det21 GK G= . det11 GK det22 GK − det12 GK det21 GK det12 GK det11 GK (3.6.28) Eine Alternative zur direkten Berechnung von G ist, die Maschenwiderstandsmaahlen (Abb. 3.6.9b). Legt man an trix RM des Mehrpolnetzwerkes als Ausgang zu w¨ die Eing¨ ange 0, 1, 2 die Probespannungen Uq1 , Uq2 und setzt die restlichen Spannungen U3 . . . Un−1 gleich null (das bedeutet Klemmenkurzschluss, oben Leerlauf!), so entsteht ein zu Gl. (3.6.25) analoges Gleichungssystem RM I M = U M .

(3.6.29)

Mit den entsprechend angepassten Zwangsbedingungen (analog zu Gl. (3.6.26)) ergibt sich dann ein der Gl. (3.6.27) entsprechendes Ergebnis f¨ ur die Zweitorleitwertmatrix G (in Gl. (3.6.27) muss GK gegen RM ausgetauscht werden, ebenso R gegen G und wechselseitig Str¨ ome gegen Spannungen). Auch wenn sich jetzt die Zweitorleitwertmatrix direkt ergibt, so bleibt die aufwendige Determinantenauswertung.

Beispiel 3.6.7 Abzweigschaltung Die Leitwertmatrix GK der Abzweigschaltung Abb. 3.6.10 kann der Schaltung direkt entnommen werden 1 0 G1 + G2 0 −G2 K A. 0 G4 + G 5 −G4 G =@ −G2 −G4 G2 + G3 + G4

K1

G2 G1

K3

G4 G3

K2

G5 Abb. 3.6.10. Knotenunterdr¨ uckung an einem Netzwerk

23

Nach dem Determinantensatz gilt det11 GK det22 GK − det12 GK det21 GK = det12,12 GK det GK .

362

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

Die f¨ ur Gl. (3.6.28) erforderlichen Unterdeterminanten zur Matrix G lauten det11 GK = G2 (G4 + G5 ) + G3 G4 + (G3 + G4 )G5 , det12 GK = det21 GK = −G2 G4 det22 GK = G1 (G2 + G3 ) + G2 G3 + (G1 + G2 )G4 , det G K = G2 +G13 +G4 . det G K det G K −det G K det G K 11

22

12

21

Damit ist die Leitwertmatrix G nach Gl. (3.6.28) bestimmt. Die Unterdeterminanten sind leicht nachzuvollziehen: det11 GK : Streichen der ersten Zeile und Spalte und Ausrechnung der Unterdeterminante → ((G4 + G5 )(G2 + G3 + G4 ) − G24 , det12 GK : Streichung der 1.Zeile und 2. Spalte: −G2 G4 usw. det12,12 GK ist die Unterdeterminante, die durch Streichen der 1. und 2. Zeile und 1. und 2. Spalte entsteht. Die Richtigkeit l¨ asst sich durch Direktberechnung des Eingangskurzschlussleitwertes Y˜11 ufen. oder des Transferleitwertes Y˜21 u ¨berpr¨ Die Reduktion des Mehrpols auf ein Zweitor erfolgte durch Unterdr¨ uckung aller nichtbenutzten Klemmen (Nullsetzen der Klemmenstr¨ ome/Leerlauf), was den Aufwand der Determinantenberechnung verursacht. Zwei Auswege bieten sich an: man unterdr¨ uckt nur einen Klemmenstrom, berechnet eine neue Knotenleitwertmatrix und wiederholt das Verfahren schrittweise solange, bis nur noch die Knoten der gesuchten neuen Zweitordarstellung u ¨ brig bleiben. in allgemeinerer Form werden diese Teilschritte durch Bildung von zwei Torgruppen zusammengefasst: die zug¨ anglichen (des beabsichtigten neuen Zweitores) und die unzug¨ anglichen, deren Verhalten im Zweitor nicht auftreten soll. Das Verfahren heißt Schaltungsreduktion durch Torgruppierung.

Beispiel 3.6.8 Torgruppierung An einem Zweitor (Knotenleitwertmatrix GK ) sei ¨ das Verfahren erl¨ autert. Zur Uberf¨ uhrung in einen Zweipol mit den Klemmengr¨ oßen U1 , I1 muss der Klemmenstrom I2 unzug¨ anglich sein: Knoten 2 wird so zum unter” dr¨ uckten“ Knoten und sein Strom darf nicht auftreten. Weil in eine unzug¨ angliche Klemme 2 kein Strom eingespeist werden kann, gilt I2 = 0 und damit lauten die urspr¨ unglichen Zweitorgleichungen K K K I1K = GK 11 U1 + G12 U2 , K K K I2K = I2 = 0 = GK 21 U1 + G22 U2

K K → U2K = −GK 21 U1 /G22 .

K uhrt auf I1K = GK Ersetzen von U2 im verbleibenden Strom des Knotens 1 f¨ 11 U1 + K K K K G12 U2 f¨ ur die gesuchte neue Zweipolform (I1 = I1 , U1 = U1 ) « „ K GK 12 G21 · U1 , − I1 = G11 U1 = GK 11 GK 22

also auf den Eingangsleerlaufleitwert G11 = 1/R11 . Damit wird das Zweitor am Knoten 1 durch einen Zweipol (mit dem Eingangsleerlaufleitwert I1 /U1 bei I2 = 0) ersetzt bedingt durch Unterdr¨ uckung des Ausgangsknotens. Die zweite M¨ oglichkeit ¨ der Uberf¨ uhrung eines Zweitors in einen Zweipol ist die Verbindung der Knoten 1 und 2.

3.6

Mehrpolige Netzwerke*

363

3.6.5 Klemmenmanipulationen Zum Betrieb eines Mehrtornetzwerkes zwischen zwei Toren (Quelle und Lastelement) muss es schrittweise in ein Zweitor u uhrt werden. Das ist gleich¨ berf¨ bedeutend mit einer Reduktion der Klemmenzahl auf jene, deren U, I-Verhalten interessiert. Wir legen ein Netzwerk mit m Klemmen (nicht Toren!, Abb. 3.6.11a) zugrunde und beschreiben es durch eine Knotenleitwertform sinngem¨aß vom Typ Gl. (3.3.26). Der Bezugspunkt der Knotenspannungen sei zun¨achst kein Netzwerkknoten, damit ist die Matrix unbestimmt. Folgende Klemmenmanipulationen sind u ¨ blich: Klemmenerdung Bei Wahl einer Klemme als Bezugspunkt ist die entsprechen-

de Zeile und Spalte in der Leitwertmatrix Gl. (3.3.26) zu streichen. Dann sind alle Knotenspannungen auf diesen Knoten bezogen. Klemmenverbindung Ein erdunsymmetrischer Mehrpol mit n Klemmen, also

n − 1 unabh¨angigen Klemmen hat eine Knotenleitwertmatrix G der Dimension (n − 1) × (n − 1). Werden zwei Klemmen (widerstandslos) verbunden, so stimmen ihre Knotenspannungen u ¨ berein und der Gesamtstrom in die Ersatzklemme“ ist die Summe beider Klemmenstr¨ome. Wir verbinden die ” Klemmen i und j (Abb. 3.6.11b). Die Spannungsgleichheit verlangt die Addition der Leitwertelemente der Spalte j zu denen der Spalte i (dann Spalte j streichen). Anschließend wird f¨ ur die neue Stromsumme die Zeile j zu Zeile i addiert und Zeile i gestrichen i+j j i+j j i j       → i ij → i + j ij Gi+j G Gii + Gij G Gii Gij Gji + Gjj G G j Gji Gjj jj ji+ G jj G jj j  mit Gi+j = Gii +Gij +Gji +Gjj . Die neue Matrix hat so eine Zeile und Spalte weniger und anstelle des alten Koeffizienten Gii tritt ein umfangreicherer auf. Ebenso gibt es Beitr¨ age zu den u ¨ brigen Koeffizienten. i j



I1

m

1 i

U10

j

Im

I1

1 i

Um0 U10

ΣI

m-1 j m

0

a

Klemme k unterdrückt

Klemmenverbindung

m-Pol-Netzwerk

b

Ii+Ij

Ui=Uj

Im-1 Um-1 U10

I1

1 i

m-1 k m

Im-1 Um-1

Ik=0 Uk

Abb. 3.6.11. Klemmenmanipulationen am Mehrpolnetzwerk. (a) Allgemeine Anordnung.

(b) Knotenverbindung durch Kurzschluss der Klemmen i und j. (c) Unterdr¨ uckung des Knotens k

364

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

Beispiel 3.6.9 Dreipol An einem Dreipol mit drei unabh¨angigen Klemmen 1, 2, 3 und dem Strom-Spannungssystem 0 U1 1 G11 2 @ G21 3 G31

U2 G12 G22 G32

U3 1 0 1 0 1 U1 I1 G13 G23 A · @ U2 A = @ I2 A G33 U3 I3

werden die Knoten 2 und 3 zum neuen Knoten p verbunden. Das bedingt gleiche Knotenspannungen Uk2 = Uk3 = Up und die Stromsumme Ip = I2 + I3 . Die Spannungsgleichheit f¨ uhrt zun¨ achst auf 1 : G11 U1 + (G12 + G13 )Up = I1 2 : G21 U1 + (G22 + G23 )Up = I2 3 : G31 U1 + (G32 + G33 )Up = I3 . Werden die Str¨ ome I2 und I3 , also die letzten beiden Gleichungen zum neuen Strom Ip addiert, so verbleibt 1 : G11 U1 + (G12 + G13 )Up = I1 p : (G21 + G31 )U1 + (G22 + G23 + G32 + G33 )Up = I2 + I3 = Ip . Damit lautet das Ergebnis der Klemmenverbindung 2 und 3 in Matrixschreibweise 1 p

„

U1 Up « „ « „ « U1 I1 G11 G12 + G13 · = . G21 + G31 G22 + G23 + G32 + G33 Up Ip

Die Verbindung zweier Klemmen f¨ uhrt zur Addition der entsprechenden Zeilen und Spalten und Streichung einer der beiden Zeilen und Spalten. So reduziert sich beispielsweise ein Zweitor zum Eintor (Zweipol) bei Verbindung der Klemmen 1, 2, also des Ein- und Ausgangs mit dem Ersatzleitwert G1ers : G1ers = G11 + G12 + G21 + G22 . Eine so verbundene spannungsgesteuerte Stromquelle kann dann, abh¨ angig vom Vorzeichen, zum negativen Widerstand werden. Darauf wurde schon im Beispiel 2.6.16 im Zusammenhang mit gesteuerten Quellen verwiesen.

Klemmeneinbezug (als interner Knoten) Soll eine Klemme eines Netzwerkes einbezogen“ werden, also verschwinden, so fließt u ¨ ber sie nach außen ” kein Strom (I = 0) und die zugeh¨ orige Knotenspannung darf in der Knotenleitwertmatrix nicht mehr auftreten. Deshalb muss die Knotenspannung aus allen restlichen Gleichungen eliminiert werden. Wird beispielsweise an einem Zweitor die Ausgangsklemme 2 unterdr¨ uckt, so be¨ bleibt deutet das ausgangsseitig Leerlauf (I2 = 0) und Eliminierung von U2 . Ubrig schließlich ein Eintor (Zweipol zwischen Klemmenpaar 1.

Soll an einem Mehrpol der Knoten k verschwinden (Abb. 3.6.11c), so ist in Zeile k der Strom Ik = 0 zu setzen, dann aus dieser Zeile die Knotenspannung Uk zu berechnen, in Spalte k zu eliminieren und anschließend Zeile und Spalte

3.6

Mehrpolige Netzwerke*

365

k in der Knotenleitwertmatrix zu streichen. Im Ergebnis tritt anstelle des Matrixelementes Gij das neue Element Gik Gkj (3.6.30) Gkk in Zeile i und Spalte j auf, m. a. W. muss zum origin¨aren Eintrag Gij noch jeweils −Gik Gkj /Gkk addiert werden. Dabei ist Gkk das Element der Zeile und Spalte k, Gik das Element der Spalte k und Zeile i, Gkj das Element der Zeile k und Spalte j. Damit bei dieser Unterdr¨ uckung in der Matrix keine Indizes zu ¨andern sind, sollte der zu eliminierende Knoten in der Knotenleitwertmatrix als letzter Knoten stehen. Gij |neu = Gij −

Bei Unterdr¨ uckung eines Knotens verschwindet dessen Strom in der Knotenleitwertmatrix (Streichen der zugeh¨ origen Zeile), seine Knotenspannung wird eliminiert (Streichen der zugeh¨ origen Spalte) und alle u ¨ brigen Elemente erhalten einen Zusatz solcher Gr¨ oße, dass die Leerlaufbedingung am unterdr¨ uckten Knoten aufrecht erhalten bleibt. Bei schrittweiser Wiederholung lassen sich mehrere Knoten eliminieren.

Beispiel 3.6.10 Knotenunterdr¨ uckung In einem Mehrpol mit vier Klemmen (davon einer als Masseknoten nach Abb. 3.6.11c, m = 4) soll der letzte Knoten m − 1 = 3 eliminiert werden. Es gibt deshalb die Klemmengr¨ oßen U1 . . . U3 und I1 . . . I3 mit I3 = 0. Ausgang ist das Knotengleichungssystem 0 U1 G11 1 2 @ G21 3 G31

U2 G12 G22 G32

U3 1 0 1 0 1 G13 U1 I1 G23 A · @ U2 A = @ I2 A . U 3  I3 G33

Zun¨ achst muss der Strom des zu eliminierenden Knotens verschwinden 1 I3 = 0 = G31 U1 + G32 U2 + G33 U3 → −U3 = (G31 U1 + G32 U2 ) . G33 Anschließend wird die zugeh¨ orige Knotenspannung U3 in allen restlichen Gleichungen eliminiert (also in der gesamten Spalte). Das Ergebnis lautet G13 G31 G13 G32 I1 = G11 U1 + G12 U2 − U1 − U2 G33 « « G33„ „ G13 G31 G13 G32 U1 + G12 − U2 = G11 − G33 G33 G23 G31 G23 G32 I2 = G21 U1 + G22 U2 − U1 − U2 G33 « « G33„ „ G23 G31 G23 G32 U1 + G22 − U2 . = G21 − G33 G33 Jeder Matrixkoeffizient wird nach Gl. (3.6.30) durch einen neuen Koeffizienten ersetzt.

366

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

Beispiel 3.6.11 Knotenunterdr¨ uckung F¨ ur die Abzweigschaltung Abb. 3.6.10 soll die Knotenleitwertmatrix durch Unterdr¨ uckung des Knotens 3 in eine Zweitorform u uhrt werden. ¨berf¨ Die Knotenleitwertmatrix wird aus der Schaltung abgelesen bzw. vom Beispiel 3.6.7 u uckende Knoten 3 steht in der letzten Zeile/Spalte: ¨bernommen. Der zu unterdr¨ 0 10 1 0 1 1 0 0 −G2 G1 + G2 G11 G12 G13 U1 I1 @ G21 G22 G23 A @ U2 A = @ I2 A → @ A. 0 G4 + G5 −G4 G31 G32 G33 U3 I3 −G2 −G4 G2 + G3 + G4 (3.6.31) F¨ ur sein Verschwinden (Mutation zum inneren Knoten) muss I3 = 0 gelten. Daf¨ ur osen nach der Spannung folgt aus der dritten Zeile G33 U3 = −(G31 U1 +G32 U2 ). Aufl¨ U3 und Einsetzen in die Gleichungen der Str¨ ome I1 , I2 f¨ uhrt auf ! „ « „ « G13 G31 G13 G32 G12 − G33 G11 − G33 I1 U1 = → GU = I · G31 G23 G32 U I G21 − G23 G − 2 2 22 G G 33

33

mit der neuen Zweitorleitwertmatrix „ « « „ ´ ` −1 G2 G1 + G2 0 G = + P · G2 G4 , G4 0 G4 + G5 1 0 G2 X − G2PG4 G1 + G2 − P2 A, = G2 + G3 + G4 . = @ 2 G G2 G − P4 G4 + G5 − P4 Das sind aber die Einzelterme, die nach der Bildungsregel der Knotenunterdr¨ uckung Gl. (3.6.30) anfallen. Die Multiplikation der Spalten- und Zeilenvektoren gibt vier Matrixkoeffizienten, die zu den entsprechenden Gliedern der neuen Matrix erg¨ anzt werden. (Eine Kontrolle k¨ onnte z. B. durch Direktberechnung der Zweitorkoeffizienten aus der Schaltung, etwa f¨ ur G11 erfolgen).

Verallgemeinerte Knotenunterdr¨ uckung Das Verfahren zur Unterdr¨ uckung eines Knotens l¨ asst sich auf mehrere Knoten erweitern, wenn die m = n − 1 Klemmen eines erdunsymmetrischen Mehrpols unterteilt werden in z zug¨ angliche Knoten und den unzug¨ anglichen Rest (Index u). Die Gesamtzahl betr¨ agt z + u = m = n − 1. Bekannt sei die Knotenleitwertmatrix 0 1 0 1 0 1 I1 G11 G12 . . . G1i G1j . . . G1m U1 B I2 C B G21 G22 . . . G2i G2j . . . G2m C B U2 C B C B C B C B . C B . B C .. .. .. C .. .. .. B .. C B .. C B ... C . . . . . . B C B C B C B C B C B C (3.6.32) B Ii C = B Gi1 Gi2 . . . Gii Gij . . . Gim C · B Ui C . B C B C B C B Ij C B Gj1 Gj2 . . . Gji Gjj . . . Gjm C B Uj C B C B C B C .. .. .. .. C B .. C B .. C B .. .. .. @ . A @ . @ A . . . . . . . A Im Gm1 Gm2 . . . Gmm Gmj . . . Gmm Um Im Mehrpol sollen die Klemmen j = i + 1 . . . m unterdr¨ uckt werden, was eine entsprechende Unterteilung der Knotenleitwertmatrix zur Folge hat. Die zu unterdr¨ uckenden Str¨ ome m¨ ussen je verschwinden: Ij . . . Im = 0. Dabei entsteht an jedem

3.6

Mehrpolige Netzwerke*

367

Knoten eine entsprechende Knotenspannung und die so berechneten Knotenspannungen Uj . . . Um werden in den restlichen Gleichungen eliminiert. In Matrixform lautet die Gl. (3.6.32) (mit entsprechenden Untermatrizen) „ « „ « „ « Iz G11 G12 Uz I= = · → I z = G11 |neu U z . (3.6.33) Iu G21 G22 Uu Die gesuchte neue Knotenleitwertmatrix der klemmenunterdr¨ uckten Schaltung ergibt sich aus der Bedingung I u = 0 = G21 U z + G22 U u → U u = −G22 −1 G21 U z

(3.6.34)

und durch Eliminieren der unzug¨ anglichen Spannungen Uu schließlich zu ` ´ I z = G11neu U z = G11 − G12 G22 −1 G21 U z . (3.6.35a) Die Untermatrizen lauten 1 0 G11 . . . G1i C B G11 = @ ... . . . ... A , Gi1 . . . Gii

1 G1j . . . G1m B .. C = @ ... . . . . A Gij . . . Gim 0

G12

(3.6.35b)

usw. Damit ist das Problem gel¨ ost. Die Schwierigkeit besteht eher in der Auswertung: es werden Multiplikation und Inversion von Matrizen erforderlich, die schon bei kleinen Netzwerken nur numerisch durchf¨ uhrbar sind. F¨ ur das Beispiel 3.6.10 eines Dreipols (m = 3), dessen Klemme 3 unterdr¨ uckt werden soll, lauten die Teilmatrizen « « „ „ ´ ` G11 G12 G13 G11 = , G12 = , G21 = G31 G32 , G22 = G33 . G21 G22 G23 Die L¨ osung erfordert die Bildung von „ „ « « ´ ` G13 G31 G13 G32 G13 G12 G21 = · G31 G32 = G23 G23 G31 G23 G32 und G −1 22 =

1 . G33

G11 |neu =

Daraus ergibt sich als neue Matrix (s. o.) ! G31 G32 G11 − G13 G12 − G13 G33 G33 . G31 G32 G21 − G23 G22 − G23 G33 G33

Netzwerkmanipulationen dienen der Netzwerkvereinfachung (Torunterdr¨ uckung an Drei- und Viertornetzwerken, Stern-Dreieckumwandlung, Zusammenschaltung von Zweitoren mit externen Elementen, Drehstromnetze). Weil sie bei voll besetzter Matrix rasch aufwendig werden, beschr¨anken sich die Verfahren bei Handauswertung auf kleine Netzwerke. F¨ ur die numerische Bearbeitung gr¨oßerer Netzwerke gibt es effiziente Verfahren, sodass diese Vereinfachungen durchaus Anwendung finden.

368

3. Netzwerkanalyseverfahren, resistive Schaltungen

Selbstkontrolle Kapitel 3

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

12. 13. 14. 15. 16.

17. 18. 19. 20.

Welche Gleichungen sind zur Analyse eines Netzwerkes erforderlich? Wie kann der Aufwand bei der L¨ osung der Netzwerkgleichungen gesenkt werden? Erl¨autern Sie die Maschenstromanalyse (Ansatz, Vorteile, Aufstellung der Gleichungen, Gewinnung der Netzwerkmatrix). Wie k¨onnen die m linear unabh¨ angigen Maschengleichungen eines Netzes gefunden werden? Was ist der Unterschied zwischen Maschen- und Zweigstrom, wie kann ein Maschenstrom gemessen werden? Welcher Unterschied besteht zwischen der Schleifen- und Maschenanalyse? Erl¨autern Sie die Knotenspannungsanalyse (Methodik, Ansatz, Vorteile, Aufstellung der Gleichungen, Gewinnung der Netzwerkmatrix). Wann muss zur Gewinnung der Netzwerkgleichungen ein Baum des Netzwerkes entworfen werden? Was bedeuten die Begriffe Koppelwiderstand und Koppelleitwert? Welcher Unterschied besteht zwischen Knoten- und Zweigspannung? K¨onnen Maschenstrom und Knotenspannungsanalyse auf folgende Netzwerke angewendet werden: mit nichtlinearen Elementen, mit Energiespeichern? Wie k¨onnen ideale Spannungsquellen in die Knotenspannungsanalyse einbezogen werden? Erkl¨aren Sie die Begriffe Superknoten, Supermasche. Sind Knotenspannungs- und Schnittmengenanalyse identisch? Erl¨autern sie die Anwendung des Knotenspannungsverfahrens zur Bestimmung der Ersatzzweipolparameter eines Netzwerkes. Ist es richtig, dass jede ideale Stromquelle beim Maschenstromverfahren und jede ideale Spannungsquelle beim Knotenspannungsverfahren jeweils das Gleichungssystem um eine Gleichung reduziert? Wie kann die Knotenspannungsanalyse in Netzwerken mit gesteuerten Quellen eingesetzt werden? Wie viele unabh¨ angige U, I-Beziehungen kennzeichnen einen n-Pol? Erl¨autern Sie die Begriffen Knoten-Zweig- und Maschen-Zweig-Inzidenzmatrix. Wie kann die Zahl der Pole eines Mehrpols um einen Pol reduziert werden (Beispiele Vierpol, Dreipol)?

Kapitel 4 Netzwerktheoreme

4

4

4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

Netzwerktheoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Ahnlichkeitssatz .................................................. Versetzungs- und Teilungssatz idealer Quellen ............. Reziprozit¨ats-Theorem, Umkehrsatz.......................... Ver¨anderung von Zweipolen durch gesteuerte Quellen, Miller-Theorem ................................................... ¨ Aquivalente Netzwerke* ........................................ Duale Netzwerke*................................................ Leistung in elektrischen Netzwerken, Tellegen-Theorem*

371 371 372 374 376 381 383 387

4 Netzwerktheoreme Ziel Nach Durcharbeit dieses Kapitels sollten beherrscht werden: Kenntnis der wichtigsten Netzwerktheoreme, S¨ atze zur Quellenversetzung und -teilung, selbstgesteuerte Quellen, Reziprozit¨ atsbegriff und seine Anwendung, Verst¨ andnis ¨ aquivalenter und dualer Netzwerke, Leistungsbegriff in Netzwerken, Tellegen-Theorem.

Einf¨ uhrung Bei großen Netzwerken steigt der Analyseaufwand rasch. Durch

Hilfss¨atze oder Netzwerktheoreme k¨ onnen oft Vereinfachungen erzielt werden, ¨ wie Uberlagerungssatz, Zweipoltheorie oder Stern-Dreieck-Umwandlung zeigten. Alle sind Netzwerktheoreme, sie wurden aber aus Zweckm¨aßigkeitsgr¨ unden vorgezogen. In diesem Kapitel werden weitere Theoreme erl¨autert. Wenn dabei mitunter auf Wechselstrombeziehungen vorgegriffen werden muss, so sollten diese Teile zun¨ achst u ¨berlesen werden und die Durcharbeit sp¨ater erfolgen.

4.1

¨ 4.1 Ahnlichkeitssatz Enth¨alt ein lineares Netzwerk nur eine unabh¨angige Quelle, so k¨onnen alle Zweigstr¨ome außer u ¨ ber die bisherigen Analyseverfahren auch durch schrittweises R¨ uckrechnen, also rekursive Berechnung (mit den Knoten- und Maschens¨atzen) aus einer bekannten oder angenommenen L¨osung gewonnen werden: Vorgabe des gesuchten Zweigstromes Ia und schrittweise Bestimmung aller u ome und -spannungen in Richtung auf die Quelle und ¨brigen Zweigstr¨ zuletzt der Quellenspannung Uqa (oder des Quellenstromes Iqa ), die (der) erforderlich w¨are, um den angenommenen Strom Ia zu verursachen. In linearen Netzwerken steht ein gesuchter Zweigstrom Ir zur tats¨achlich wirkenden Quellengr¨ oße Uqr , Iqr im gleichen Verh¨altnis wie der gleiche angenommene Strom Ia zur zugeh¨ origen berechneten Quelle Uqa , Iqa Uqr Ir = . Ia Uqa

¨ Ahnlichkeitssatz (4.1.1)

¨ Der Ahnlichkeitssatz ist eine logische Konsequenz linearer Netzwerke. Er l¨asst ¨ sich bei mehreren Quellen zusammen mit dem Uberlagerungssatz einsetzen:

S. Paul, R. Paul, Grundlagen der Elektrotechnik und Elektronik 1 DOI 10.1007/978-3-540-69078-8, © Springer 2010

372

4. Netzwerktheoreme

I1

R1 Uq U2

I3 R3

I5

R2

R4

U4

¨ Abb. 4.1.1. Ahnlichkeitssatz

R5 R6

¨ Man berechnet zun¨ achst jede einzelne Wirkung mit dem Ahnlichkeitssatz und u ¨berlagert anschließend alle Ergebnisse. ¨ Der Ahnlichkeitssatz eignet sich vor allem zur Kontrolle numerischer Ergebnisse und ist bei Abzweigschaltungen einfach durchf¨ uhrbar.

¨ Beispiel 4.1.1 Ahnlichkeitssatz Im Netzwerk Abb. 4.1.1 sei der Strom I5 gesucht. Abgesehen davon, dass sich diese Aufgabe hier direkt leicht l¨ osen l¨ asst, benutzen ¨ wir den Ahnlichkeitssatz und nehmen Ia = I5 = 1 A als L¨ osung an. Dann betr¨ agt der Spannungsabfall U4 = I5 (R5 + R6 ) = 40 V und der Strom I3 = U4 /R4 + I5 = 2, 33 A. Damit wird U2 = I3 R3 + U4 = 23, 3 V + 40 V = 63, 3 V. Schließlich folgt I1 = U2 /R2 +I3 = 2, 11 A+2, 33 A = 4, 44 A. Das ergibt Uqa = I1 R1 +U2 = 107, 7 V. ¨ Nach dem Ahnlichkeitssatz (4.4.1) gilt I5 = Ir = Uqr (Ia /Uqa ) = 0, 093 A.

4.2

4.2 Versetzungs- und Teilungssatz idealer Quellen Gelingt in Netzwerken eine Verschiebung idealer Quellen in Bereiche mit einem Widerstand, so wird die Wandlung Spannungs- ↔ Stromquelle m¨oglich und die Analyse vereinfacht sich u. U. Solange dabei die Kirchhoffschen Gesetze eingehalten werden, ¨andert sich am Gesamtzustand des Netzwerkes nichts. Darauf basieren der Versetzungssatz idealer Spannungsquellen und der Teilungssatz idealer Stromquellen. Versetzungssatz idealer Spannungsquellen Wir betrachten die Schaltung in Abb. 4.2.1a und fragen nach den Auswirkungen bei Verschiebung der idealen Spannungsquelle Uq u ¨ber den Knoten K1 hinweg z. B. in Reihe zu R2 : In Masche M1 gilt der Maschensatz unver¨andert und die Verschiebung hat keine Auswirkung. In Masche M2 w¨ urde aber eine Quellenspannung auftreten, die vor der Verschiebung nicht vorhanden war. Diesen Fehler korrigiert die ur den Einf¨ ugung der gleichen Spannungsquelle Uq in Reihe zu R3 . Dann gilt f¨ Umlauf in M2 wieder richtig −Uq + I3 R3 − I2 R2 + Uq = 0. In einer Masche k¨onnen damit an jeder Stelle ideale Spannungsquellen so eingef¨ uhrt werden, dass sich die Gesamtspannung nicht ¨ andert. Daraus folgt der Versetzungssatz idealer Spannungsquellen:

4.2

Versetzungs- und Teilungssatz idealer Quellen

373

K1

R1

R3

R2

M1

M2

Uq

K1

R1 M1

a

Uq R2

i

2 j n

R3

M2

Uq

1

Uq

≡

Uq

j‘ 1

I=0

i 2 Uq n

j I=0

Uq

Uq

1 j‘

Uq 2

i=j Uq

j‘

n

b

Abb. 4.2.1. Versetzungssatz idealer Spannungsquellen. (a) Verschiebung einer Spannungs-

quelle im Netzwerk u ¨ber einen Knoten. (b) Allgemeine Verschiebung einer Spannungsquelle u ¨ber einen Knoten in mehrere angeschlossene Zweige

Beim Verschieben einer idealen Spannungsquelle u ¨ ber einen Knoten ist in allen benachbarten Zweigen die gleiche Spannung (in gleicher Richtung) anzubringen. Das Gesamtverhalten des Netzwerkes bleibt unver¨andert. Abb. 4.2.1b zeigt eine zwischen den Knoten i und j liegende ideale Spannungsquelle. Um sie u achst n gleiche ¨ ber den Knoten j zu verschieben, schalten wir zun¨ Spannungsquellen parallel (f¨ ur gleiche ideale Spannungsquellen erlaubt) und trennen die Verbindungen am Knoten j auf. Sie sind stromlos, da auf gleichem Potenzial liegend. Der alten Knoten j wird so zum neuen Knoten j  und j verschmilzt mit Knoten i: die Quelle ist in die angeschlossenen Zweige verschoben und tritt in jedem Zweig auf. Durch die Verschiebung der Quelle in Zweige mit Widerst¨ anden ist eine Wandlung in Stromquellen m¨ oglich.

Teilungssatz idealer Stromquellen Dieser Satz ist das Analogon zum Ver-

schiebungssatz von Spannungsquellen. Wird einem Knoten ein zus¨atzlicher uhrt (Iab = Izu ), so ¨andert sich Strom Izu zu und gleichzeitig wieder weggef¨ die Knotenbilanz nicht (Abb. 4.2.2a). Beachtet man zus¨atzlich die Stromkontinuit¨at (s. Gl. (1.4.6)), die den Ersatz einer Stromquelle Iq durch eine Reihenschaltung mehrerer, gleich großer und gleich gerichteter Stromquellen erlaubt (Abb. 4.2.2b) (Iq1 = Iq2 = Iq ), so ergibt sich der Teilungssatz idealer Stromquellen: Eine ideale Stromquelle l¨ asst sich verlagern durch Unterteilung in eine Reihenschaltung mehrerer gleichgroßer, gleichgerichteter idealer Stromquellen, deren Verbindungsknoten mit beliebigen Knoten eines Netzwerkes verkn¨ upft werden. Das Gesamtverhalten des Netzwerkes bleibt unver¨andert. Dies zeigt Abb. 4.2.2c am Knoten K. Die Verbindung zwischen der unterteilten Stromquelle und dem weiteren Netzwerkknoten ist stromlos. Deshalb ¨ andert sich das Netzwerkverhalten nicht. Die so verschobenen“ Stromquellen k¨ onnen mit den ”

374

4. Netzwerktheoreme

I=0

Iq

Izu Iab

K

K R2 Iq

R1

Iq R3

R3

R1

≡

R1

R3

Iq

Iq

b

a

I=0

N Iq

c

K

R2

≡

Iq

N

Iq

K ≡

N Iq Iq

Abb. 4.2.2. Teilungssatz idealer Stromquellen. (a) Netzwerk mit Stromquelle. (b) Teilung

einer idealen Stromquelle im Netzwerk u ¨ber einen Knoten K. (c) Verallgemeinerung der Quellenteilung im Netzwerk

jetzt parallel liegenden Zweigwiderst¨ anden in Spannungsquellen u uhrt werden. ¨ berf¨ Die Stromquellenteilung ist auch u oglich, wie im Bild dar¨ ber mehrere Knoten m¨ gestellt.

Die Teilungs- und Verschiebungss¨ atze sind wichtige Hilfsmittel f¨ ur die Netzwerkanalyse, die auch auf gesteuerte Quellen unter der Voraussetzung einer unver¨anderten Steuergr¨ oße anwendbar sind.

4.3

4.3 Reziprozit¨ ats-Theorem, Umkehrsatz Reziprozit¨at (Umkehr-, Austauschbarkeit) ist eine verbreitete Eigenschaft physikalischer Systeme. Man versteht darunter als Axiom: Werden in einem physikalischen System Ursache und Wirkung vertauscht, so zeigt ein reziprokes System bei gleicher Ursache die gleiche Wirkung (Reziprozit¨atstheorem). Wir betrachten ein lineares, quellenfreies Netzwerk aus passiven Elementen. Ursache und Wirkung sind Str¨ ome und/oder Spannungen in zwei herausgegriffenen Zweigen (Abb. 4.3.1). Ein Netzwerk ist reziprok (umkehrbar), wenn eine Spannung U1 (Ursache) im (beliebigen) Zweig 1 im Zweig 2 den Kurzschlussstrom I2k (Wirkung) und umgekehrt die Spannung U2 im Zweig 2 (Ursache) im Zweig 1 den Kurzschlussstrom I1k verursacht und sich die Kurzschlussstr¨ome umgekehrt wie die Spannungen verhalten:

4.3

Reziprozit¨ ats-Theorem, Umkehrsatz

N

N 1

375

2

I2k

I1k 1

Abb. 4.3.1.

2 Uq2

Uq1

Uq2 Uq1 = , I2k I1k

analog

U2l U1l = . Iq1 Iq2

Reziprozit¨ atstheorem am Beispiel eins Netzwerkes mit Spannungsquelle als Ursache und dem Strom als Wirkung

Reziprozit¨atsbedingung (4.3.1)

Weil auch eine Stromquelle Ursachengr¨ oße im Zweig 1 und im Zweig 2 eine Leerlaufspannung die gesuchte Wirkung sein k¨ onnen, enth¨alt Gl. (4.3.1) noch die analoge Formulierung f¨ ur die Stromquellenerregung (Abb. 4.3.1). Verallgemeinert: eine Quelle (Ursache) in einem Zweig m eines reziproken Netzwerkes hat in einem anderen Zweig n die gleiche Wirkung wie die gleiche Quelle im Zweig n auf den Zweig m (Austauschprinzip f¨ ur Spannungs- oder Stromquellen). Die Reziprozit¨ atsbedingung (4.3.1) f¨ ur ein Netzwerk mit zwei herausgegriffenen Zweigen entspricht der Auffassung vom Zweitor: deshalb gilt die Reziprozit¨ atsbedingung auch f¨ ur bestimmte Zweitorkoeffizienten (s. Gl. (2.6.11)ff).

Der Reziprozit¨atsbegriff l¨ asst sich auf Netzwerke mit n Klemmenpaaren (Toren) erweitern: n  

(1) (2)

(2) (1)

Uk Ik − Uk Ik



Reziprozit¨atsbedingung, n-Tor (4.3.2)

= 0.

k=1 (1)

(1)

(2)

(2)

In dieser Formulierung sind Uk , Ik und Uk , Ik zwei beliebige verschiedene S¨atze von Klemmenspannungen und -str¨ omen, die die Kirchhoffschen Gleichungen erf¨ ullen. Hier tritt die Beziehung zwischen Umkehrbarkeit und dem Tellegenschen Satz (s. Kap. 4.7) zutage. Die Reziprozit¨ at vereinfacht die Netzwerkanalyse erheblich, beispielsweise bei der Bestimmung von Netzwerkeigenschaften (einfachere Bestimmung der Knotenleitwert- und Maschenwiderstandsmatrix, weniger zu bestimmende Koeffizienten, u. a.). Die Reziprozit¨ at kann auch zum Austausch von Quellen und Zweigen verwendet werden, wenn sich dadurch die Netzwerkberechnung vereinfacht. Hinweis: 1. 2.

Das Reziprozit¨ atstheorem trifft auch auf zeitver¨ anderliche Str¨ ome und Spannungen zu. Reziprozit¨ at gilt nur f¨ ur Netzwerke ohne gesteuerte Quellen. Netzwerke mit gesteuerten Quellen k¨ onnen bei spezieller Parameterwahl reziprok sein.

376

3.

Reziproke Netzwerke haben symmetrische Maschenwiderstands- bzw. Knotenleitwertmatrizen. Bei Zweitoren gilt: Ein aktives Zweitor ist nichtreziprok. Beispiel: Mikrofonverst¨ arker, der das gesprochene Wort im Lautsprecher h¨ orbar macht. W¨ are es reziprok, so w¨ urde das Besprechen des Lautsprechers im Mikrofon h¨ orbar sein. Ein aktives Zweitor kann reziprok sein: Beispiel der sog. Zweidraht- (= Zweirichtungs-) Verst¨ arker im Fernsprecher, der in jeder Richtung verst¨ arkt. Es gibt Netzwerke, die zugleich passiv und nichtreziprok sind, wie etwa der Gyrator (s. Bd. 3).

4.

5.

4.4

4. Netzwerktheoreme

Weil Reziprozit¨ at ein allgemeines physikalisches Prinzip ist, gilt sie auch f¨ ur ¨ Feldprobleme (z. B. gekoppelte Spulen), Ubertragungsstrecken, Antennen u. a.

4.4 Ver¨ anderung von Zweipolen durch gesteuerte Quellen, Miller-Theorem Die Zusammenschaltung von Zweipolelementen mit gesteuerten Quellen kann zur signifikanten Ver¨ anderung der urspr¨ unglichen Zweipolfunktion f¨ uhren, besonders bei R¨ uckkopplung. Dabei beeinflusst die Wirkungsgr¨oße, etwa Spannung oder Strom am Quellenausgang, u ¨ ber ein Netzwerk die Steuergr¨oße. Im Extremfall wird die Steuergr¨ oße an der gesteuerten Quelle selbst abgegriffen. Im Beispiel 2.6.16 (und Abb. 2.6.20) wurden diese Schaltungsm¨oglichkeiten bereits erw¨ahnt. Abb. 4.4.1 zeigt r¨ uckgekoppelte Ersatzzweipole. In Abb. a liegt eine spannungsgesteuerte Spannungsquelle in Reihe zum Widerstand R, Steuergr¨ oße ist der Spannungsabfall am Widerstand. Legt man an den Zweipol Abb. 4.4.1a einen Probestrom an, so stellt sich die Klemmenspannung Ue ein. Damit ergibt sich ein Ersatzandert das Vorzeichen widerstand Re = R(1 + Au ) (Umkehr der Steuerspannung ¨

R

Ue

A Ie

A I

A I USt

R

Ue

USt

A Ie ISt

U

G

A uUe

AuUSt

ISt AiISt

U G

B

B

B

B

Re=Ue/I =R(1+Au)

Re=Ue/I =R/(1-Au)

Ge=Ie/U =G(1+Ai)

Ge=Ie/U =G/(1-Ai)

c

d

a

b

AiIe

Abb. 4.4.1. Selbstgesteuerte Quellen. (a) Reihenschaltung von spannungsgesteuerter Spannungsquelle und Widerstand, Steuerspannung dem Klemmenstrom proportional. (b) Wie (a), jedoch Steuerspannung gleich der Eingangsspannung. (c) Parallelschaltung von stromgesteuerter Stromquelle und Leitwert G, Steuerstrom der Eingangsspannung proportional. (d) Wie (c), jedoch Steuerstrom gleich dem Eingangsstrom

4.4

Ver¨ anderung von Zweipolen durch gesteuerte Quellen, Miller-Theorem

377

von Au ). Wirkt als Steuerspannung die Gesamtspannung (Abb. 4.4.1b), so sinkt der Ersatzwiderstand bzw. betr¨ agt der Ersatzleitwert Ge = R−1 (1 − Au ). Abb. c zeigt die Parallelschaltung eines Leitwertes G und einer stromgesteuerten Stromquelle, der Steuerstrom kann entweder durch den Leitwert fließen (Ge = G(1 + Ai )) oder als Eingangsstrom auftreten: Re = G−1 (1 − Ai ). Die Ergebnisse sind dual zu denen der Abb. a.

Die Reihenschaltung eines Widerstandes R mit einer spannungsgesteuerten Spannungsquelle und Abgriff der Steuerspannung u ¨ ber dem Widerstand oder der Gesamtanordnung vergr¨ oßert oder verkleinert den Zweipolersatzwiderstand. Das duale Verhalten zeigt ein Leitwert G mit parallel geschalteter stromgesteuerter Stromquelle. Ersatz gesteuerter Quellen Oft ist es zweckm¨ aßig, gesteuerte Quellen selbst

zu substituieren. Dabei wird die Steuergr¨ oße zur Zweiggr¨oße der gesteuerten Quelle. So kann die spannungsgesteuerte Stromquelle I = Gm U durch den Zweipol Gm ersetzt werden, wenn die Steuergr¨oße gleichzeitig an der Stromquelle anliegt: R¨ uckf¨ uhrung der Ausgangsgr¨ oße als Steuerspannung. Dieses Prinzip wurde bereits in Abb. 2.6.20 erl¨ autert. Eine gesteuerte Quelle geht durch Selbststeuerung (Steuerspannung liegt an der spannungsgesteuerten Stromquelle Gm U bzw. Steuerstrom fließt durch die stromgesteuerte Spannungsquelle Rm I) in einen Zweipolleitwert Gm bzw. Widerstand Rm u ¨ ber. Diese Verfahren eignen sich zur Realisierung elektronisch steuerbarer Widerst¨ ande, auch negativer.

Zwei verbreitete Quellenanordnungen sind die nach Abb. 4.4.2. Vom Ausgang eines Netzwerkes mit ausgangsseitig spannungsgesteuerter Spannungs- oder Stromquelle wird ein der Ausgangsspannung proportionaler Strom (¨ uber einen Leituckgekoppelt und zum Eingangsstrom adwert Gp ) an den Eingang r¨ diert. Als Folge ¨ andert sich der Eingangsleitwert (es liegt die ParallelR¨ uckkopplung vor). mit einer ausgangsseitigen stromgesteuerten Spannungs- oder Stromquelle wird eine dem Ausgangsstrom proportionale Spannung (als Spannungsabuckgekoppelt und fall u ¨ber einen Reihenwiderstand Rr ) an den Eingang r¨ zur Eingangsspannung addiert. Im Gefolge ¨andert sich der Eingangswiderstand (es handelt sich um eine Reihen-R¨ uckkopplung). Der erste Fall spielte bereits bei Elektronenr¨ ohren eine Rolle: eine R¨ uckkopplung u at Cga (Gr¨ oßenordnung wenige pF) erzeugt eingangs¨ ber die Gitter-Anodenkapazit¨ arkung Au seitig eine Ersatzkapazit¨ at C  ≈ Cga |Au |, etwa um die Spannungsverst¨

378

4. Netzwerktheoreme

(≈ 102 . . . 103 ) vergr¨ oßert. Der Effekt wurde erstmalig von Miller beschrieben1 . Auch der zweite Effekt, dual zum ersten, wurde zun¨ achst bei Elektronenr¨ ohren zu Beginn der 50er Jahre beobachtet und zur Rauschabsenkung als Katodeninduktivit¨ at eingesetzt. Heute ist er in Bipolartransistorschaltungen verbreitet. Vom praktischen Standpunkt interessiert die Auswirkung der R¨ uckkopplung auf die Ein- und Ausgangswiderst¨ ande eines Verst¨ arkers. Zur Probleml¨ osung bieten sich an (neben Knotenspannungs- und Maschenstromanalyse) eine Berechnung u ¨ ber Zweitorzusammenschaltungen (Parallel- bzw. Reihenschaltung von Zweitoren), Ersatz der r¨ uckgef¨ uhrten Gr¨ oße durch eine gesteuerte Quelle sowie Quellenteilung- bzw. -versetzung, oder die direkte Berechnung wie hier, indem die zus¨ atzliche Belastung der Klemmen 1 und 2 auf zwei Ersatzleitwerte zwischen den Klemmen 1, 2 und Masse zur¨ uckgef¨ uhrt wird.

In der Schaltung Abb. 4.4.2a verursachen die Knotenspannungen U1 , U2 am Knoten 1 den Zusatzstrom I1 und am Knoten 2 den Strom I2 = −I1 I1 = Gp (U1 − U2 ) = Gp (1 − Au )U1, I2 = −Gp (U1 − U2 ) = Gp 1 −

U1

a

1 K1

Au

2

I1 U1

Ai

2

Rr

I2

U‘

1

I‘1

U2

U2

0

I2 K2

0

1

(4.4.1)

U2

Gp

I‘1 I1

1 Au

Gp1

I1

U‘2 1

2

0

U‘1

U1

Au

Ai 0

2

I2

U2

I‘1 Gp2

I1 Rr1 U1

1

Ai 0

2

Rr2 I2 U2

b Abb. 4.4.2. Miller-Theorem. (a) Gleichwertige Transformation eines Widerstandes R zwi-

schen den Knoten 1 und 2 eines Netzwerkes mit der Spannungs¨ ubersetzung Au = U2 /U1 . (b) Gleichwertige Transformation eines Widerstandes R im gemeinsamen Verbindungszweig zwischen Aus- und Eingangskreis eines Netzwerkes mit der Strom¨ ubersetzung Ai = I2 /I1 1

J. M. Miller, Effekt 1920 ver¨ offentlicht. Der Effekt ist in deutschen Lehrb¨ uchern (Barkhausen, Rothe-Kleen) u ohren in den 30er Jahren ausf¨ uhrlich ¨ber Elektronenr¨ beschrieben und erkl¨ art.

4.4

Ver¨ anderung von Zweipolen durch gesteuerte Quellen, Miller-Theorem

379

mit dem Spannungsverh¨altnis Au = U2 /U1 . Im n¨achsten Schritt interpretieren wir diese Zusatzstr¨ ome als Klemmenleitwerte parallel zum Ein- und Ausgang:    I1 I2 1 Gp1 = = Gp (1 − Au ) und Gp2 = = Gp 1 − . (4.4.2) U1 U2 Au Miller-Theorem ¨ Damit ist der Uberbr¨ uckungswiderstand Rp durch die ein- und ausgangsseitigen Ersatzwiderst¨ ande Rp1 , Rp2 ersetzt, ohne die Schaltung zu ¨andern. Dieses Ergebnis formuliert das Theorem von Miller: Ein zwischen Ein- und Ausgangsknoten 1, 2 eines (erdunsymmetrischen) Zweitores liegender Widerstand R kann durch zwei, von der Spannungsverangige ein- und ausgangsseitige Ersatzwiderst¨anst¨arkung Au = U2 /U1 abh¨ de ersetzt werden. Die Ersatzwiderst¨ ande Rp1 , Rp2 ¨ andern die Ein- und Ausgangswiderst¨ande. Zwei F¨alle treten auf: beim Millereffekt ist die Ausgangsspannung durch die hohe Spannungsverst¨arkung gr¨ oßer als die Eingangsspannung und gegenphasig (Au hat negatives Vorzeichen). Dann gilt |Rp1 |  |Rp2 | und der Eingangswiderstand sinkt dem Betrag nach. beim Bootstrapeffekt2 sind Ein- und Ausgangsspannung von der gleichen Gr¨oßenordnung und gleichphasig (Spannungsverst¨arkung Au ≈ 1, positiv). Dann steigt der Widerstand Rp1 stark an. Im ersten Fall kann ein reeller Widerstand Rp (bei Au > 1) sogar zu negativem Widerstand an den Eingangsklemmen f¨ uhren, f¨ ur Au < 1 analog am Ausgang (Methode zur Erzeugung negativer Widerst¨ande). Wirkt anstelle des Widerstandes ein Kondensator (z. B. C = 10 pF), so entsteht eingangseitig die Kapazit¨at C1 = C(1−Au ), bei Au = −103 von immerhin C1 = 104 pF! Der Millereffekt verursacht eine unerw¨ unschte Kapazit¨atsvervielfachung! Ein analoges Theorem ergibt sich bei Zuschalten eines Widerstandes Rr in die Verbindungsleitung eines Zweitores, also in Reihe zu ihm (Abb. 4.4.2b). Bei Analyse mit der Zweitortheorie m¨ ussen die Z-Matrizen des Verst¨ arkers und des Reihenwiderstandes addiert und das Ergebnis ausgewertet werden. Zu erwarten sind, entsprechend der Dualit¨ at, L¨ angswiderst¨ ande in den Zuleitungen des Ersatzzweitores. Wir analysieren die Schaltung durch Spannungsquellenversetzung: zun¨ achst wird der Spannungsabfall am Widerstand Rr als Spannungsquelle Rr (I1 + I2 ) aufgefasst, die der Strom I1 + I2 verursacht (H¨ ullknotensatz mit dem Zweitor als Inhalt). Sie 2

¨ Sinngem¨ aße Ubersetzung: Hochziehen der eigenen Stiefelschlaufe“. ”

380

4. Netzwerktheoreme

wird u ullknoten in die Ein- und Ausgangsleitungen verschoben. Dort ¨ ber den H¨ treten die Spannungen U1 und U2 auf U1 = Rr (I1 + I2 ) = Rr (1 + Ai )I1 U2 = Rr (I1 + I2 ) = Rr (1 +

1 )I2 Ai

(4.4.3)

.

arkung der Schaltung. Im letzten Schritt Der Quotient Ai = I2 /I1 ist die Stromverst¨ werden die gesteuerten Spannungsquellen U1 und U2 in die L¨ angswiderst¨ ande Rr1 und Rr2 gewandelt: Rr1 =

U1 = Rr (1 + Ai ) und I1

Rr2 =

U2 1 = Rr (1 + ). I2 Ai Duales Miller-Theorem

(4.4.4)

Das (duale) Miller-Theorem3 besagt: Ein Widerstand Rr im gemeinsamen Massezweig eines Zweitores kann durch zwei, von der Stromverst¨ arkung Ai = I2 /I1 bestimmte Einzelwiderst¨ ande Rr1 , Rr2 in Reihe zu den Ein- und Ausgangstoren ersetzt werden. Vor allem in Wechselstromnetzwerken lassen sich abh¨ angig vom Charakter des Zuohnliche Effekte realisieren satzwiderstandes und der Stromverst¨ arkung Ai ungew¨ (s. Bd. 3). Hinweis: Bisher wurde der Einfluss weiterer Verst¨ arkerelemente, etwa des Ausgangswiderstandes, vernachl¨ assigt, um den wesentlichen Effekt im Auge zu behalten. In diesem Fall muss die Spannungsverst¨ arkung Au (resp. Stromverst¨ arkung Ai ) durch ubersetzung vi ) nach Gl. (2.6.29a, ff) erdie Spannungs¨ ubersetzung vu (bzw. Strom¨ setzt werden. Die praktischen Auswirkungen sind meist gering.

Zusammengefasst beinhaltet das Miller-Theorem f¨ ur ein Zweitor einen multiplikativen Eingangsleitwert Ge = G(1 − Au ) ≈ −GAu , mit der Spannungsverst¨ arkung Au = U2 /U1 bei Parallel-R¨ uckkopplung. einen multiplizierten Eingangswiderstand Re = R(1 + Ai ) ≈ RAi mit der Stromverst¨arkung Ai = I2 /I1 bei Reihenr¨ uckkopplung. Das Miller-Theorem findet entweder gezielte Anwendung (beispielsweise zur Erzeugung von Sinusschwingungen in der Elektronik, Oszillatorprinzip) oder es beschreibt einen St¨ oreffekt, wie die Vergr¨ oßerung der Eingangskapazit¨ at. Der Miller-Effekt spielt wegen der Kollektor- bzw. Drainkapazit¨ at von Bipolar-/Feldeffekttransistoren auch heute noch eine Rolle, er kann durch Neutralisation (R¨ uckf¨ uhrung der im Vorzeichen vertauschten Ausgangsspannung u ¨ ber einen Widerstand auf den Eingang) beseitigt werden. Operationsverst¨ arker haben keinen Millereffekt.

3

Begriff nicht u ¨ blich; wir verwenden ihn, weil es sich um die duale Schaltung handelt.

¨ Aquivalente Netzwerke*

4.5

381

4.5

¨ 4.5 Aquivalente Netzwerke* Schon die Stern-Dreieck-Transformation zeigte, dass zwei Netzwerke zwischen zwei (oder mehr) Klemmen v¨ ollig gleiches U, I-Verhalten haben k¨onnen trotz unterschiedlichem Aufbaues. Auch die Strom-Spannungsquellen-Ersatzschaltungen des aktiven Zweipols sind gleichwertige Netzwerke. Zwei n-Pol-Elemente heißen zueinander unbedingt ¨aquivalent (gleichwertig), wenn ihre Strom-Spannungs-Beziehungen an den Klemmen unabh¨angig vom inneren Aufbau f¨ ur jeden Zeitpunkt oder jede Frequenz identisch sind. Dabei ist zu unterscheiden zwischen den bedingt ¨ aquivalenten Schaltungen, die (in der Wechselstromtechnik) nur bei einer bestimmten Frequenz gleichwertig sind und unbedingt ¨ aquivalenten Schaltungen mit gleichem Verhalten unabh¨ angig von der Frequenz. So ist die Umrechnung der Reihen- in eine Parallelschaltungen (und umgekehrt) mit allgemeinen Bauelementen R, L, C nur f¨ ur eine Frequenz gleichwertig (s. Bd. 3). Unbedingte Gleichwertigkeit schließt ein, dass bei ¨ aquivalenten Zweipolen im Wechselstromverhalten der komplexe Widerstand Z A (ω) = Z B (ω) und damit auch die Ortskurven u ¨ bereinstimmen.

Es gibt viele ¨aquivalente Netzwerke, wir greifen ¨aquivalente Zweipole heraus (Abb. 4.5.1a). F¨ ur einen Zweipol mit Reihen- und Parallelzweig l¨asst sich der Reihenwiderstand in die Parallelschaltung einrechnen (wenn einer der Parallelwiderst¨ande vom gleichen Typ ist und die angegebenen Bemessungsbedingungen eingehalten werden): Za =

aZ 21 + (a + 1)Z 1 Z 2 aZ 1 + Z 2

(4.5.1a)

Zb =

bZ 21 + Z 1 Z 2 . (b + 1)Z 1 + Z 2

(4.5.1b)

Wir haben mit den Symbolen Z 1 , Z 2 auf komplexe Widerst¨ ande vorgegriffen (s. Bd. 3), a und b sind reelle Konstanten. Die Beziehungen gelten auch f¨ ur ohmsche Widerst¨ ande, dann wird einfach Z 1 → R1 ersetzt (Z 2 analog). A Za aZ1

A

Z1

æ 1+ a ö ç ÷ Z1 è a ø

B

Zb

Z1 bZ1

2

Z2

æ 1+ a ö ç ÷ Z2 è a ø

(1 + a )Z1

a

A

Z2

B

B

b

A bZ1 1+ b

b2 Z1 1+ b

b2 Z 2 (1 + b) 2

B

¨ Abb. 4.5.1. Aquivalente Zweipole mit drei Elementen. (a) Wandlung einer Reihen-Parallel- in eine Parallel-Reihenschaltung. (b) Wandlung einer ParallelReihen- in eine ReihenParallelschaltung

382

4. Netzwerktheoreme

Umgekehrt kann aus einer Parallelschaltung ein Widerstand als Reihenwiderstand herausgezogen werden (Abb. 4.5.1a). Als Nachweis der Gleichwertigkeit bilden wir vom Widerstand Z a Gl. (4.5.1a) zun¨achst den Leitwert mit Ka = (1 + 1/a) Y Y Y 21 + aY 1 Y 2 Y1 1  1 2  + = = Za aY 2 + (1 + a)Y 1 1 + a K2 Y 2 + Y a Ka 1 1 Y1 + = . 1 + a Ka Z 1 + Ka2 Z 2 Die Abspaltung des ersten Leitwertes ist m¨ oglich, weil der Grad des Z¨ahlers oßer als der Nenner ist. Der zweite Term ist die im Term 1/Z a um eins gr¨ Reihenschaltung zweier Widerst¨ ande, die dem ersten Leitwert parallel liegt. Damit ist die Gleichwertigkeiten der beiden Schaltung Abb. 4.5.1a best¨atigt. ¨ Die Schaltungen Abb. 4.5.1b sind ebenfalls ¨ aquivalent. Die Uberf¨ uhrung in die neue Form gelingt, wenn vom Ersatzwiderstand Z b Gl. (4.5.1b) zun¨achst ein Reihenwiderstand abgespalten wird (m¨ oglich, weil der Z¨ahlergrad hinsichtlich Z 1 um eins gr¨oßer als der Nennergrad ist): Zb =

bZ 1 + 1+b

1 1 Z2

2

1 Z1

(1 + b) +

(1 + b)

.

Auch diese Zerlegung ist, genau wie oben, eine Polynomdivision. Abb. 4.5.2 zeigt zwei Beispiele zur Gleichwertigkeit: in Abb. a wurden die beiden ¨aquivalenten Schaltungen zu Abb. 4.5.1a f¨ ur a = 0, 2 angegeben und in Abb. b, im Vorgriff auf die Bauelemente Kondensator und Spule, entsprechen¨ de Schaltungen mit diesen Bauelementen skizziert. Durch Aquivalenz weisen diese Schaltungen auch gleiches Zeitverhalten f¨ ur Str¨ome und Spannungen auf. Eine wichtige Konsequenz gleichwertiger Schaltungen ist, dass sie verschiedene Topologie und Bauelementewerte haben k¨ onnen und so Spielr¨ aume bei der Realisierung entstehen.

A

A

L=1H

R1 100Ω 600Ω 20Ω aR1

a

Z2

B

R2 400Ω

120Ω

6H 1,2H

0,2H

10Ω

360Ω

1 μF

27,7nF

14,4kΩ

B

b

Abb. 4.5.2. Beispiele gleichwertiger Schaltungen

4.6

Duale Netzwerke*

383

¨ Abgesehen von der Vielfalt ¨ aquivalenter Schaltungen fasst man den Aquivalenzbegriff in der Elektrotechnik jedoch oft weiter. So werden die bereits betrachteten Zweitor-T- und π-Ersatzschaltungen oft als zueinander ¨ aquivalent angesehen, obwohl sie es nur unter bestimmten Bedingungen sind. Auch spricht man von aquivalenten Schaltungen und Bauelementen immer dann, wenn sie in ihren we¨ ¨ sentlichen Eigenschaften u von Transisto¨ bereinstimmen (Beispiel: Aquivalenzliste ren und integrierten Schaltungen u. a. m.).

4.6

4.6 Duale Netzwerke* Dualit¨ atsprinzip Oft lassen sich verschiedene physikalische Sachverhalte mit

dem gleichen mathematischen Formalismus beschreiben: dann bewirkt eine Vertauschung der Begriffsbeziehungen, dass die Sachverhalte des Systems A durch Vertauschung auf das System B u ¨ bertragbar sind und damit eine Transformationsregel gilt. Beispiele sind die mathematische Beschreibung eines elektrischen LC-Kreises und eines mechanischen Feder-Masse-Systems, das Verhalten des spannungsgespeisten Reihenschwingkreises und des stromgespeisten Parallelschwingkreis oder die Spannungs- und Stromquellenersatzschaltungen des aktiven Zweipols. Zweipole sind zueinander dual, wenn ihre I, U -Beziehung bei wechselseitiger Vertauschung von Strom und Spannung erhalten bleibt. Damit ergibt sich duale Zweipol B zu Zweipol A durch Vertauschen: i ↔ u,

iq ↔ uq,

R ↔ G,

C ↔ L.

Beispielsweise geh¨ ort zum ohmschen Widerstand R mit U = R · I durch Vertauschung (U → I, I → U , R → G) die duale Beziehung I = G · U . Deshalb sind R und G duale Zweipolelemente. Gleichermaßen folgt f¨ ur die Spule aus u = Ldi/dt durch Vertauschung (u → i, i → u, L → C) die Relation i = Cdu/dt: Spule und Kondensator sind duale Schaltelemente.

Duale Netzwerke Zwei zueinander duale Netzwerke liegen vor, wenn f¨ ur Netz-

werk A das Kirchhoffsche Gleichungssystem und die Elementbeziehungen   diμ duμ uν = 0, iμ = 0, uμ = Rμ iμ , uμ = Lμ , iμ = Cμ (4.6.1a) dt dt μ ν μ gegeben sind und es ein (duales) Netzwerk B (gestrichene Gr¨oßen) gibt, f¨ ur das zutrifft   duμ diμ , uμ = Lμ . (4.6.1b) iμ = 0, uν = 0, iμ = Gμ uμ , iμ = Cμ dt dt μ ν

384

4. Netzwerktheoreme

Dualit¨at erfordert somit die Dualit¨atsbedingung u = Z0 i,

i = u/Z0 .

(4.6.2)

Die Dualit¨atskonstante Z0 (Einheit 1 Ω) ist frei w¨ahlbar. Damit gelten als Dualit¨atsbedingung zwischen den Netzwerken A und B G = ZR2 , C  = ZL2 , L = C · Z02 , 0 0 . u iq = Zq0 , uq = iq Z0

Dualit¨atsbeziehungen (4.6.3)

Aus der Tatsache, dass die Knoten- und Maschengleichungen (4.6.1) miteinander vertauscht sind, ergeben sich f¨ ur zwei zueinander duale Netzwerke die Dualit¨atsbedingungen: jeder Zweipol im Netzwerk A ist durch den dualen im Netzwerk B ersetzt, es gibt eine Dualit¨ atskonstante Z0 , einer Masche (Knoten) im Netzwerk A entspricht ein Knoten (Masche) im Netzwerk B (oder einer Reihen- die Parallelschaltung von Zweipolelementen und umgekehrt). Der letzte Punkt folgt direkt aus der Dualit¨ at von Knoten- und Maschensatz: die Reihenschaltung (Maschensatz) von Zweipolen geht in die Parallelschaltung (Knotensatz) dualer Zweipole u ¨ ber. Deshalb geh¨ort zum Netzwerk A mit k − 1 unabh¨angigen Knoten und m = z − (k − 1) unabh¨angigen Maschen das duale Netzwerk mit k − 1 unabh¨ angigen Maschen und m unabh¨angigen Knoten. Dualit¨ at verlangt also, dass zur Reihenschaltung von Widerst¨ anden in einem Netzwerk die Parallelschaltung im dualen Netzwerk geh¨ ort (und umgekehrt), Kondensatoren in einem Netzwerk den Spulen im anderen entsprechen (und umgekehrt), sich Strom- und Spannungsquellen wechselseitig vertauschen, eine spannungsgesteuerte Quelle geht in die duale stromgesteuerte u ¨ bergeht und umgekehrt, Baumzweige in einem Netzwerk in Verbindungszweige im anderen u ¨ bergehen und umgekehrt. Typische Beispiele dualer Schaltung sind der Reihen- und Parallelschwingkreis, die Stern-Dreieckschaltung, der Grundstromkreis in Spannungs- und Stromquellendarstellung, die T- und π-Ersatzschaltungen u. a. m. Nicht zu jedem Netzwerk muss ein duales existieren! Tab. 4.1 stellt die wichtigsten dualen Gr¨ oßen und Begriffe gegen¨ uber.

4.6

Duale Netzwerke*

385

Tabelle 4.1. Transformationsregeln f¨ ur duale Netzwerke

Netzwerk 1

⇔

Netzwerk 2

Beziehung

Spannung Spannungsquelle Widerstand Induktivit¨at Spulenfluss Reihenschaltung Leerlauf Masche ¨ Außere Masche

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

Strom Stromquelle Leitwert Kapazit¨ at Ladung Parallelschaltung Kurzschluss Knoten Nullknoten

u 1 = Z0 i 2 uq1 = Z0 iq2 R1 = Z02 G2 L1 = Z02 C2 Ψ1 = Z0 Q2

Hinweis: Maschen- und Knotenanalyse sind nicht dual zueinander. Erst nach Einf¨ uhrung fiktiver Zweige k¨ onnen sie als spezielle Formen der Schleifen- und Schnittmengenanalyse aufgefasst werden, dann werden sie zueinander dual. Schleifen- und Schnittmengenanalyse hingegen sind dual zueinander, darauf wurde schon im Kap. 3.4 hingewiesen.

Beispiel 4.6.1 Duale Schaltungen In Abb. 4.6.1 wurden zwei duale Schaltungen A und B dargestellt. Es gelten folgende Beziehungen Netzwerk A uq = u1 + u2 = u3 i1 = i2 + i3 u1 = R1 i2 u2 = L2 di2 /dt i3 = C3 du3 /dt

Netzwerk B iq = i1 + i2 = i3 u1 = u2 + u3 i1 = G1 u2 i2 = C2 du2 /dt u3 = L3 di3 /dt

mit iq =

uq , Z0

G1 =

R1 , Z02

C2 =

L2 , Z02

L3 = C3 Z02 .

Deutlich ist der Wechsel Parallel-Reihenschaltung zu erkennen. Bei Vorgabe des Dualit¨ atswiderstandes liegt das duale Netzwerk auch zahlenm¨ aßig fest.

i1 R1 uq

L2

i2

i3

i‘3

u1

u2

C3

i‘2

i‘1 u‘1

G‘1

C‘2

u3 i‘q

L‘3

u‘3 Abb. 4.6.1. Duale Schaltungen

386

4. Netzwerktheoreme

Zu einem Netzwerk findet man das duale Netzwerk nach der L¨ osungsmethodik Duale Netzwerke

1.

Zeichne den Graphen des Netzwerkes A. Trage in jede von Zweigen gebildete Masche einen Knoten ein und ebenso einen Knoten außerhalb des Netzwerkgraphen (zweckm¨ aßig als Kurzschlussring). Kennzeichne jeden Knoten (Buchstabe, Ziffer) als Knoten des dualen Netzwerkes. Verbinde die eingetragenen Knoten untereinander so, dass jeder Zweig (NWE) des gegebenen Netzwerkes durch genau eine Knotenverbindungslinie (Zweig) des dualen Netzwerkes geschnitten wird. Ordne jeden so gewonnenen Zweig des dualen Netzwerkes das (duale) Netzwerkelement zu, das im Ausgangsnetzwerk geschnitten wird.

2.

3.

Das Verfahren beschr¨ ankt sich auf planare Netzwerke und schließt magnetische Kopplungen aus. Abb. 4.6.2 zeigt ein Beispiel. So schneidet die Linie von Knoten 1 und 2 das Element R1 , deshalb hat die duale Schaltungen zwischen 1, 2 den Leitwert G1 = R1 /Z02 , at L2 = C2 Z02 usw. analog zwischen 2 und 3 statt des Kondensators C2 die Induktivit¨ ahlt, so entspr¨ ache den Elementen R1 = 5 Ω → G1 = 5 S, Wird z. B. Z0 = 1 Ω gew¨ C2 = 5 μF → L2 = 5 μH usw. Die Dualit¨ at zweier Netzwerke l¨ asst sich vorteilhaft nutzen ¨ zur Ubertragung der Ergebnisse einer Netzwerkberechnung auf ein duales Netzwerk (Analysereduktion): Einsparung an Arbeit, R2 R3

C1 R1

uq1

L1

5

L2

C2

a

b R‘1 2

1

C‘1 i‘q1

1

uq2

L‘1

2

3

4

6

C‘2 4

3 L‘2

5

R‘3

R‘2

i‘q2 6

c Abb. 4.6.2. Duales Netzwerk. (a) Ausgangsnetzwerk. (b) Gewinnung des Graphen zum

dualen Netzwerk. (c) Ausgef¨ uhrtes duales Netzwerk mit eingesetzten dualen Netzwerkelementen

4.7

Leistung in elektrischen Netzwerken, Tellegen-Theorem*

387

zur Vereinfachung von Netzwerkaufgaben, in der Schaltungstechnik (z. B. Filtertechnik) zum Ersatz von Schaltungen mit Induktivit¨ aten durch solche mit Kapazit¨ aten.

4.7 Leistung in elektrischen Netzwerken, Tellegen-Theorem* Erhaltung der elektrischen Leistung In einem Netzwerk mit verschiedenar-

tigen Netzwerkelementen treten unterschiedliche Energiefl¨ usse zwischen den Elementen auf, stets muss aber die Summe der erzeugten elektrischen Leistungen gleich der Summe der verbrauchten Leistungen sein. Bei Wahl eines einheitlichen Z¨ahlpfeilsystems (Verbraucherrichtung) mit verbrauchten Leistungen positiv (erzeugte negativ) lautet der Energiesatz f¨ ur ein Netzwerk mit z Zweigen, k Knoten und den (zeitabh¨ angigen) Zweigspannung uμ (t) und Zweigstr¨omen iμ (t) z  μ=1

pμ (t) =

z  μ=1

uμ (t)iμ (t) = 0.

Energieerhaltung, (4.7.1) Tellegensches Theorem

In einem Netzwerk muss die Summe der von allen Zweigen aufgenommenen Leistungen zu jedem Zeitpunkt verschwinden. Diese Aussage heißt Tellegenscher oder Leistungs-Satz4 . Weil die Zweige Quellen einschließen, muss die Summe der in den passiven Netzwerkelementen verbrauchten angige Quellen P Leistung P gleich der sein, die unabh¨ P insgesamt liefern. Dann gilt P P Uq I, Q + R = 0 mit den Quellenleistungen − P ur alle Spannungs- und Stromquellen sowie die verbrauchten Leistun− P Iq U f¨ oße falsch gen RI 2 in den Zweigen. Wird bei einer Netzwerkanalyse eine Zweiggr¨ berechnet, so stimmt die Leistungsbilanz nicht. Das Tellegensche Theorem dient deshalb verbreitet zur Kontrolle von Netzwerkanalysen.

Der Tellegensche Satz gilt nicht nur f¨ ur jeden Zeitpunkt, sondern auch v¨ollig unabh¨angig von den Netzwerkelementen und damit ebenso f¨ ur nichtlineare Elemente (f¨ ur die Elemente in den Zweigen wurden keine Voraussetzungen getroffen!). Die einzige Voraussetzung f¨ ur Gl. (4.7.1) ist die G¨ ultigkeit des Knotensatzes f¨ ur jeden Knoten und des Maschensatzes f¨ ur jede Masche, m. a. W. ist die Energieerhaltung (4.7.1) eine direkte Folge der Kirchhoff-

4

B. D. Tellegen (1900–1990) holl¨ andischer Ingenieur. Das Theorem wurde 1953 angegeben.

4.7

388

4. Netzwerktheoreme

schen Gleichungen!5 Dann sind die beiden Kirchhoffsche Gleichungen und die Energieerhaltung Aussagen, von denen jeweils zwei die G¨ ultigkeit der dritten begr¨ unden! So folgt aus dem Maschensatz und Energiesatz der Knotensatz usw. Der Nachweis des Leistungs-Satzes gelingt z. B. dadurch, dass man die Zweigspannungen durch Knotenspannungen ausdr¨ uckt und f¨ ur jeden Knoten die Knotenbilanz betrachtet.

Die wesentlichsten Aussagen des Tellegen-Theorems sind: zwei Netzwerke (1) und (2) mit gleichem Netzwerkgraph (und gleicher Zweignummerierung) haben (bei v¨ ollig unterschiedlichen Zweigfunktionen!) mit z 

(1) u(1) μ (t) · iμ (t) =

μ=1

z 

(2) u(2) μ (t) · iμ (t) = 0

(4.7.2)

μ=1

die gleiche Leistungsbilanz. die erweiterte Form f¨ ur zwei Netzwerke (mit gleichem Graph) lautet z  μ=1

(2) u(1) μ (t) · iμ (t) =

z 

(1) u(2) μ (t) · iμ (t) = 0.

(4.7.3)

μ=1

Die Summe der Produkte der Zweigspannungen des einen Netzwerkes mit den korrespondierenden Zweigstr¨ omen des anderen (und umgekehrt) verschwindet, auch wenn ein Netzwerk nichtlinear ist! W¨ahrend Gl. (4.7.2) noch auf der Energieerhaltung basiert, erlaubt Gl. (4.7.3) keine direkte Interpretation mit dem Energiesatz, denn die Produkte sind nicht mehr Zweigleistungen eines Netzwerkes. Wir nennen diese Produkte (mit der Dimension einer Leistung) die Austauschleistung, eine Rechengr¨oße, die physikalisch nicht interpretiert werden kann.

Beispiel 4.7.1 Tellegenscher Satz F¨ ur die beiden Netzwerke nach Abb. 4.7.1a, b ¨ ergeben sich die einzelnen Zweiggr¨ oßen (Berechnung linke Schaltung mit Uberlagerungssatz, R1 = 30 Ω, R2 = 70 Ω, Uq = 10 V, Iq = 1 A; R1 = R2 = 20 Ω, R3 = 40 Ω, Uq = 20 V)

5

Der physikalische Sachverhalt ist umgekehrt: den Kirchhoffschen Gleichungen liegen Erhaltungss¨ atze zugrunde.

4.7

Leistung in elektrischen Netzwerken, Tellegen-Theorem*

U3 I‘3

I3 I4

I2

I1 U1

Uq R2

R1

I‘1 U4

I‘2 R‘2

R‘1 U‘2

U‘1

U‘3 R‘3 Uq

Iq

a

389

I‘4 U‘4

b

Abb. 4.7.1. Anwendung des Tellegenschen Satzes auf zwei Netzwerke. (a) Ausgangsnetz-

werk. (b) Netzwerk mit gleichem Graphen, es erf¨ ullt das Tellegen-Theorem

Iν / A Uν / V P/W Iν / A Uν / V P  /W I · U  /W 0, 6 18 0, 6 · 18 0, 2 4 0, 2 · 4 0, 6 · 4 −1, 0 18 −1, 0 · 18 0, 2 4 0, 2 · 4 −1 · 4 0, 4 −10 −0, 4 · 10 −0, 4 −16 0, 4 · 16 −0, 4 · 16 0, 4 28 0, 4 · 28 −0, 4 20 −0, 4 · 20 0, 4 · 20 Durch Aufsummieren der einzelnen Leistungsanteile der Zweige best¨ atigt sich die Leistungsbilanz f¨ ur beide Schaltungen trotz unterschiedlicher Auslegung (Ger¨ ust aber gleich), die rechte Spalte best¨ atigt auch die Austauschbilanz f¨ ur das Produkt ome der linken Schaltung mit den Zweigspannungen der rechten Schalder Zweigstr¨ tung.

Matrixformulierung F¨ ur die Matrixschreibweise des Theorems wird der Kno-

tensatz AI = 0 (Gl. (3.4.1)), der Maschensatz BU = 0 (Gl. (3.4.8)), die Beziehungen zwischen Zweig- und Knotenspannung U = AT U k (Gl. (3.4.3)) und die zwischen Zweig - und Schleifenstrom I = B T I m (Gl. (3.4.11)) genutzt. Dann betragen die Zweigleistungen 0 = U T I = AU k T I = U k T 

AI 0

0 = U T I = U T B T I m = U k T (AB)T I m  

0

oder gleichwertig als Tellegenscher Satz geschrieben (vgl. Gl. (4.7.1)) U T I = I T U = 0.

(4.7.4)

Ein beliebiger Vektor der Zweigspannungen, der den Maschensatz im Netzwerk erf¨ ullt und ein beliebiger Vektor der Zweigstr¨ome, der den Knotensatz erf¨ ullt, sind zueinander orthogonal. Dabei m¨ ussen die Str¨ ome nicht denen entsprechen, die sich als Folge der Zweigspannungen einstellen(!). Folglich gilt Gl. (4.7.4) auch f¨ ur Strom- bzw. Spannungsvektoren, die zu zwei verschiedenen Netzwerken N1 und N2 (aber gleicher Topologie) geh¨ oren. Deshalb gilt der Tellegensche Satz in Matrix-

390

4. Netzwerktheoreme

form erweitert entsprechend Gl. (4.7.2) T

T

T

T

U (1) I (2) = U (2) I (1) = I (1) U (2) = I (2) U (1) = 0.

(4.7.5) T

Ein beliebiger (transponierter) Vektor von Zweigspannungen U (1) , die den Maschensatz erf¨ ullen und ein beliebiger Vektor von Zweigstr¨omen I (2) , die den Knotensatz in einem anderen Netzwerk (aber mit gleicher Topologie) erf¨ ullen, sind zueinander orthogonal. Beim Ausmultiplizieren der entsteht dann genau die Summe nach  Matrizen T Gl. (4.7.3). Ist hingegen U T , I T die L¨ osung der Netzwerkgleichung, so geht der Tellegensche Satz (4.7.5) in den Energiesatz Gl. (4.7.4) u ¨ ber. Umkehrsatz Der Tellegensche Satz in Gl. (4.7.5) erlaubt eine Umformulierung des Umkehrsatzes Gl. (4.3.1). Wir betrachten dazu ein (quellenfreies) Netzwerk N und speziell die Strom-Spannungsverh¨ altnis an den Toren 1, 2 (Abb. 4.7.2). Dann besagt die Leistungsbilanz X Uzν Iν , U I +U I = | 1 1 {z 2 2} ν Klemmenleistung | {z } Zweigleistungen

dass die u ¨ ber die Tore 1,2 ausgetauschte Leistung im Netzwerk verbraucht wird. Im n¨ achsten Schritt erf¨ ahrt das Netzwerk zwei unterschiedliche Zust¨ ande (1), (2) (1) (z. B. unterschiedliche Wertebemessung), die entsprechende Klemmengr¨ oßen I1 , (2) I1 usw. zur Folge haben. Wir kombinieren jetzt nach dem Tellegenschen-Satz die Spannungen des Zustandes (1) mit den Str¨ omen des Zustandes (2) und anschließend die Spannungen des Zustandes (2) mit den Str¨ ome des Zustandes (1). Das Ergebnis lautet X (1) (2) X (2) (1) (1) (2) (1) (2) (2) (1) (2) (1) Uzν Iν , U1 I1 + U2 I2 = Uzν Iν . U1 I1 + U2 I2 = | {z } | {z } ν ν Klemmenleistung Klemmenleistung | {z } | {z } Zweigleistungen

Zweigleistungen

(1) Uzν

(1) Rν I ν ,

F¨ ur die Zweige (Zweigwiderst¨ ande Rν ) gilt: = stimmen die Zweigleistungen ¨ uberein und es verbleibt I1

U1 Netz- U2 werk

a

I1a

I2

U1a

Uqa

b

I1b

I2a R1

R3 R2

U2a

(2) Uzν

Ra

U1b

Rb

(2)

= Rν Iν , m. a. W.

I2b R3 R1 R2

U2b

Iqb

c

Abb. 4.7.2. Tellegen-Theorem und Umkehrbarkeit eines Netzwerkes. (a) Netzwerk mit

zwei zug¨ anglichen Zweigen. (b) Ausgangsbetriebszustand eines Netzwerkes mit Gleichspannungsanregung, Ra = 10 Ω. (c) Umgekehrter Betrieb des Netzwerkes bei Stromanregung, Rb = 40 Ω

4.7

Leistung in elektrischen Netzwerken, Tellegen-Theorem*

(1) (2)

U1 I1

(1) (2)

+ U2 I2

(2) (1)

= U1 I1

(2) (1)

+ U2 I2

391

Reziprozit¨ atstheorem (4.7.6)

als Umkehrsatz. Er h¨ atte sich auch aus Gl. (4.7.5) ergeben, weil die Spannungs- und Stromvektoren beim Zweitornetzwerk nur zwei Elemente haben: ! ” I (2) “ (1) (1) (1) (2) (1) (2) (1) T (2) 1 = U1 I1 + U2 I2 = 0. I = U1 , U2 U (2) I2 F¨ ur den zweiten Term von Gl.(4.7.5) erh¨ alt man die rechte Seite der Gl. (4.7.6). Gegen¨ uber dem Umkehrsatz Gl. (4.3.1) gilt diese Tellegensche Form f¨ ur einen beliebigen Betriebszustand. Das l¨ asst sich mit Abb. 4.7.2 zeigen: dort wird ein Netzwerk einmal mit Spannungsquelle und Lastwiderstand betrieben, in umgekehrter Betriebsrichtung mit Stromquelle und einem anderen Lastwiderstand. F¨ ur konkrete Schaltungen k¨ onnen die Klemmenwerte berechnet und die Pr¨ ufung durchgef¨ uhrt werden. Im Beispiel wurden gew¨ ahlt: R1 = R2 = 10 Ω, R3 = 5 Ω, Uq1 = 1 V, Iq2 = 1 A. (1) (1) (1) Damit berechnen sich I1 = 0, 2 A, U2 = 0, 5 V, I2 = −0, 05 A und weiter (2) (2) (2) −2 U2 = 5, 65 V, U1 = 3, 47 V, I1 = 8, 6910 A. Es l¨ asst sich best¨ atigen U1(1) I1(2)

(1) (2)

+ U2 I 2 −2

1 · 8, 69 · 10

+

0, 5 · 1

(2) (1)

= U1 I 1

(2) (1)

U2 I 2

+

= 3, 47 · 0, 2 − 5, 65 · 0, 05.

Sonderf¨ alle gestatten Aussagen, die f¨ ur umkehrbare Zweitore schon genannt wurden. So ergibt (1)

(2)

wechselseitige Spannungsanregung U1 = U2 bei jeweils Kurzschluss auf der anderen Seite gleiche Kurzschlussstr¨ ome (dem entspricht die Bedingung Y21 = Y12 ) und (1) (2) wechselseitige Stromanregung I1 = I2 bei jeweils Leerlauf auf der anderen Seite gleiche Leerlaufspannungen (dem entspricht die Bedingung Z21 = Z12 ). Das Tellegensche Theorem ist, wie die Reziprozit¨ atsbedingung, ein sehr leistungsf¨ ahiges Resultat besonders zur numerischen Auswertung (und Kontrolle) von Netzwerkanalysen. So gibt das Schaltungssimulationsprogramm SPICE bei jeder Arbeitspunktbestimmung die gesamte, in allen Widerst¨ anden verbrauchte Leistung automatisch mit aus.

392

4. Netzwerktheoreme

Selbstkontrolle Kapitel 4

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Nennen Sie einige Netzwerktheoreme und ihre Anwendung. Erl¨autern Sie die Begriffe duales“ und a¨quivalentes“ Netzwerk. ” ” Welche Vorteile bringen duale Netzwerke? Erl¨autern Sie das Reziprozit¨ atstheorem. Wie k¨onnen gesteuerte Quellen Zweipolelemente beeinflussen? Was beinhalten die Teilungs- und Versetzungss¨atze? Erl¨autern sie den Tellegenschen Satz (Grundlagen, wozu dient er). Wie lauten der Energieerhaltungssatz, Leistung und Energie in linearen und nichtlinearen resistiven Netzwerken?

Anhang A Anhang

A

A

A A.1 A.2 A.3 A.4

Anhang. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Physikalische Gr¨oßen und Gleichungen ...................... Physikalische Gr¨oßen, Vorzeichen- und Richtungsregeln . Verzeichnis der wichtigsten Symbole......................... Literaturverzeichnis ..............................................

395 395 404 417 421

A Anhang A.1 Physikalische Gr¨ oßen und Gleichungen Physikalische Gr¨ oße Physikalische Vorg¨ ange werden durch mathematische

Objekte (Zahlen, Vektoren, Funktionen . . .) und Beziehungen zwischen ihnen mittels physikalischer Gr¨ oßen beschrieben: Eine physikalische Gr¨ oße erfasst Merkmale eines physikalischen Objektes (Eigenschaft, Vorgang, Zustand der Natur und der Medien, in denen sich physikalische Prozesse abspielen), die qualitativ gekennzeichnet und quantitativ bestimmt, also gemessen werden k¨ onnen. Jede physikalische Gr¨ oße hat symbolhaft ein Formelzeichen (DIN 1313, DIN 1301-1, DIN 1304-1). Da physikalische Gr¨ oßen keine Zahlen sind, erfordern Rechenoperationen einige Hinweise: es lassen sich nur Gr¨ oßen gleicher Gr¨ oßenart addieren/subtrahieren, die Multiplikation-/Division von Gr¨ oßen gleicher und verschiedener Gr¨ oßenart ist zul¨ assig. Potenzieren und Radizieren, Differenzieren und Integrieren sind zul¨ assig, in den Argumenten transzendenter Funktionen oder Exponenten sind nur Zahlen zul¨ assig, also entweder Gr¨ oßen mit reinem Zahlencharakter oder Produkte physikalischer Gr¨ oßen mit Zahlencharakter. Beispielsweise ist cos t (t Symbol der Gr¨ oße Zeit) nicht zul¨ assig, jedoch cos ωt (ω Winkelgeschwindigkeit mit der Dimension 1/Zeit (s. u.)).

Schreibweise Formelzeichen bestehen aus einem Grundzeichen (lateinischer

oder griechischer Buchstabe) und einem hoch- oder tiefgestellten Nebenzeichen. Grundzeichen werden immer in Kursivschrift angegeben (DIN 1338), Nebenzeichen dagegen nicht. Die Schreibweise von Vektoren (Tensoren) und Matrizen liegen nach DIN1303, DIN 547 fest. Vektoren werden (im Buch) durch Fettdruck dargestellt, in handschriftlicher Darstellung durch einen Pfeil u ¨ ber dem Symbol. Die Kombination Fettdruck und Pfeil ist manchmal in Bildern u ¨ blich, wenn Fettdruck nicht deutlich hervortritt. In zeitabh¨angigen physikalischen Gr¨ oßen wird die Zeitabh¨angigkeit zur Hervorhebung oft explizit ausgedr¨ uckt, z. B. f¨ ur die Spannung u(t). F¨ ur Strom und Spannung gilt zudem die Feststellung, dass zeitunabh¨angige Gr¨oßen mit großem Buchstaben, zeitabh¨ angige generell mit kleinem Buchstaben darge-

A.1

396

A. Anhang

stellt werden (bei Weglassen der expliziten Angabe). Oft muss aus dem Zusammenhang auf die Zeitabh¨ angigkeit geschlossen werden. Arten physikalischer Gr¨ oßen Es gibt drei Arten von physikalischen Gr¨ oßen:

1.

Grund- oder Basisgr¨oßen. Das sind naturgegebene, nicht weiter zur¨ uckf¨ uhrbare Gr¨ oßen. Ihre Wahl erfolgt nach praktischen Gesichtspunkten im Zusammenhang mit einem Maß- und Einheitensystem. F¨ ur Physik und Technik wurden sieben Grundgr¨ oßen festgelegt. Ihnen sind Grundeinheiten zugeordnet definiert entweder durch Normale (Prototypen) oder Messvorschriften. In vielen Wissensgebieten reichen drei bis vier Grundgr¨oßen (Tab. A.1) aus, z. B. in der Mechanik die L¨ange l, Masse m und Zeit t. Die W¨ armelehre ben¨ otigt zus¨ atzlich die Temperatur als Grundgr¨oße. Die Grundgr¨ oßen der Elektrotechnik sind L¨ange s, Zeit t, Masse m, und elektrische Ladung Q.

2. 3.

Als Grundeinheit wurde allerdings die der Stromst¨arke vereinbart. Die elektrische Ladung tritt als neue Grundgr¨oße gegen¨ uber der Mechanik auf. Sie wird nicht durch andere Gr¨ oßen erkl¨art, sondern dient selbst zur Erkl¨arung anderer Erscheinungen (z. B. Strom, Feldst¨arke). Definitionsgr¨oßen (abgeleitete Gr¨ oßenarten) entstehen durch Zusammenfassung mehrerer physikalischer Gr¨ oßen u ¨ ber eine Definitionsgleichung. Naturkonstanten mit einem festen Wert.

Dimensionen, Einheiten Jede physikalische Gr¨ oße hat einen qualitativen und

quantitativen Inhalt. Die Qualit¨at dr¨ uckt sich in der Dimension aus. Damit umfasst dieser Begriff mehr als etwa nur die Abmessung eines Gegenstandes. Wir kennzeichnen L¨ ange, Fl¨ ache und Raum durch Angaben einer oder mehrerer L¨angen und nennen die L¨ ange eindimensional, Fl¨ache zweidimensional usw. Deshalb gilt f¨ ur den Bereich von Physik und Technik: Die Dimension kennzeichnet die Qualit¨ at einer physikalischen Gr¨oße. Sie ist das aus Grundgr¨ oßenarten gebildete Potenzprodukt dieser Gr¨oße. Beispielsweise ist die Qualit¨ at Zeit“ unabh¨ angig von ihrem Wert und der Angabe ” in einer bestimmten Einheit. In Kurzform gilt f¨ ur die Dimension der Gr¨ oße y: dim (y) = dim(physikalische Gr¨ oße), also f¨ ur v=

ds dt

dim (Geschwindigkeit) =

dim(L¨ ange) , dim(Zeit)

wenn L¨ ange und Zeit als Grundgr¨ oßen gew¨ ahlt werden.

A.1

Physikalische Gr¨ oßen und Gleichungen

397

Tabelle A.1. Basis-, SI-Einheiten

Basisgr¨oße

Formelzeichen

Grundeinheit

Einheitenzeichen

L¨ ange Masse Zeit Elektr. Stromst¨arke Absolute Temperatur Lichtst¨arke Stoffmenge

l m t I T Iv n

Meter Kilogramm Sekunde Amp`ere Kelvin Candela Mol

m kg s A K cd mol

Bei der Dimensionsbildung werden in physikalischen Gleichungen eventuell vorhandene Zahlenfaktoren, Infinitesimalzeichen (d, ∫ ) sowie Vektoreigenschaften weggelassen. Gr¨ oßen von gleicher Dimension k¨ onnen daher von unterschiedlicher Art sein, z. B. Arbeit und Drehmoment.

Einheit

Die Quantit¨at einer physikalischen Gr¨ oße wird immer als Produkt von Zahlenwert und Einheit (bei skalaren Gr¨ oßen) dargestellt. Physikalische Gr¨ oße = Zahlenwert · Einheit. Nur beide zusammen kennzeichnen die physikalische Gr¨oße. Bei Bedarf werden f¨ ur die physikalische Gr¨ oße G Zahlwert (in geschweiften Klammern {G}) und Einheit (in eckigen Klammern [G]) getrennt angegeben G = {G} [G] .

Physikalische Gr¨oße G (A.1.1)

So muss es heißen: [Ladung] = Coulomb mit 1 C = 1 As, [s] = m Einheit der L¨ange s ist das Meter. Beispielsweise hat die physikalische Gr¨ oße Zeit t = 3 s als Qualit¨ at die Dimension der Zeit, ihre Quantit¨ at 3 ist die dreifache Zeiteinheit. Eine Spannung U = 230 V hat den Zahlenwert {U } = 230 und die Einheit [U ] = 1 V. Obwohl die physikalische Gr¨ oße als Produkt von Zahlenwert und Einheit betrachtet wird, steht zwischen beiden kein Multiplikations-, sondern ein Leerzeichen.

Die Quantit¨at einer Gr¨ oße kann in beliebig vielen Einheiten angegeben werden, es gibt aber nur eine der physikalischen Gr¨ oße entsprechende Dimension (im gleichen Dimensionssystem). So l¨ asst sich der Wert der physikalischen Gr¨ oße L¨ange“ in Kilometern, Metern, Zentimetern usw. angeben, ihre Di” mension ist aber stets die L¨ ange“. ”

398

A. Anhang

Die Einheiten werden, wie die physikalischen Gr¨oßen, in Grund- und abgeleitete Einheiten unterteilt. Bestimmte Grundeinheiten liegen durch internationale Vereinbarungen auf der Basis von Messmethoden fest. Letztere k¨onnen sich im Verlaufe der Zeit verbessern und erfordern dann neue gesetzliche Festlegungen. So definierte man die Grundeinheit Meter“ f¨ ur die Grundgr¨ oße L¨ ange“ durch ” ” das in Paris aufbewahrte Urmeter. Heute wird sie durch die Wellenl¨ ange des zum Leuchten angeregten Gases Krypton bei einer bestimmten Spektrallinie vereinbart. Auch die urspr¨ ungliche Festlegung der Grundeinheit Amp`ere“ f¨ ur die elektrische ” Stromst¨ arke durch Silberausscheidung aus einem Silbernitrat wurde sp¨ ater durch Bezug auf die Kraftwirkung des Stromes ersetzt.

F¨ ur Physik und Technik liegen sieben unabh¨ angige Grundeinheiten durch das international vereinbarte System der SI-Einheiten (SI = Syst`eme International d’Unit´es) fest (Tab. A.1). Die ersten vier Basisgr¨ oßen gen¨ ugen zur Beschreibung mechanischer und elektromagnetischer Vorg¨ ange: Die Grundeinheiten Meter, Kilogramm, Sekunde und Amp`ere bilden das MKSA-System (Abk¨ urzung f¨ ur Meter, Kilogramm, Sekunde, Amp`ere). Es wird als Teilsystem des SI in der Elektrotechnik ausschließlich verwendet. Die Wahl der Grundeinheiten h¨ angt von messtechnischen Gesichtspunkten ab. Es m¨ ussen nicht die Einheiten der gew¨ ahlten Basisgr¨oßen sein. So wurde f¨ ur die Elektrotechnik die Ladung Q als Grundgr¨oße, aber als Grundeinheit die Einheit der Stromst¨arke I festgelegt. Als erg¨anzende Einheiten kommen hinzu: der Radiant (rad) f¨ ur den ebenen Winkel φ der Steradiant (sr) f¨ ur den r¨ aumlichen Winkel Ω. Nach internationaler Empfehlung werden auch systemfremde Einheiten in speziellen Gebieten verwendet, wie etwa das Elektronenvolt 1 eV = 1, 60210−19J als kinetische Energie, die ein Elektron beim Durchlauf der Spannung 1V im Vakuum erf¨ahrt, die atomare Masseneinheit 1u (angegeben in kg), die 1/12 der Masse des Kohlenstoffisotops 12 C entspricht: 1 u = 1, 661 · 10−27kg. Mit der relativen Atommasse Ar (z. B. Cu 63,5) ergibt sich dann die Atommasse zu mA = Ar · u, f¨ ur Cu also mA =1,055·10−25 kg. Weitere SI-fremde Einheiten sind kWh, km/h, Ah, min−1 usw., eine Reihe davon ist gesetzlich zugelassen (z. B. Minute, Stunde, Tag, Liter, Tonne, Bar . . .). Nicht mehr zugelassen sind einige fr¨ uher verwendete Einheiten wie PS, cal, at, kp, Torr

A.1

Physikalische Gr¨ oßen und Gleichungen

399

u. a., sie werden aber trotzdem noch verwendet. Ein Beispiel f¨ ur die Langlebigkeit ist das Pfund (1 pfd = 500 g) als Gewichtsmaß, das seit u ¨ ber 150 Jahren gesetzlich nicht mehr erlaubt, aber dennoch benutzt wird.

Ein Vorteil der SI-Einheiten liegt in ihrer wechselseitigen Verkn¨ upfung durch den Zahlenfaktor 1 (sog. koh¨arente Einheiten), sodass nichtganzzahlige Umrechnungsfaktoren entfallen. Beispielsweise gilt: 1 Ws = 1 Nm = 1 kg m2 s−2 = 1 J (im Vergleich: 1 Ws = 0,239 cal = 10,2 kpcm oder 1 PS= 736 W). Abgeleitete Einheiten folgen aus Basiseinheiten u ¨ ber Definitionsgleichungen. Sie tragen aus Zweckm¨ aßigkeitsgr¨ unden h¨ aufig Namen herausragender Naturforscher (z. B. 1 kg m/s2 = 1 Newton = 1 N). Tab. A.2 stellt zeigt elektrische Gr¨ oßen. Grunds¨atzlich k¨onnen die f¨ ur die Elektrotechnik abgeleiteten Einheiten durch MKSA-Einheiten ausgedr¨ uckt werden, es ist aber g¨ angige Praxis, elektrische Einheiten zu verwenden (aufbauend auf den Einheiten Meter (m), Sekunde (s), Volt (V) und Amp`ere (A)). Augenf¨allig unhandlich sind MKSA-Einheiten in der technischen Anwendung:   1 W = 1 kg m2 / s3 = 1 V · A und f¨ ur die Spannung 1 V = 1 kg m2 / A s3 . Auch die Darstellung der Einheit der Masse durch 1 kg = 1 Vm−2 s3 A ist nicht u ¨ berzeugender.

Tabelle A.2. Ausgew¨ ahlte physikalische Gr¨ oßen der Elektrotechnik und deren Einheiten

Physikalische Gr¨oße, Formelzeichen

Name, SI-Einheit, Kurzzeichen

Definition Umrechnungen

Kraft F Energie W Leistung P Spannung U Ladung Q el. Widerstand R el. Leitwert G Kapazit¨at C el. Feldst¨arke E el. Flussdichte D mag. Fluss Φ mag. Flussdichte B mag. Feldst¨arke H Induktivit¨at L

Newton N Joule J Watt W Volt V Coulomb C Ohm Ω Siemens S Farad F – – Weber Wb Tesla T – Henry H

1 N = 1 kg m/s2 1 J = 1 Nm= 1 VAs 1 W = 1 Nm/s= 1 VA 1 V = 1 W/A 1 C = 1 As 1 Ω = 1 V/A 1 S = 1 A/V 1 F = 1 C/V= 1 As/V 1 V/m =1 W/(Am) 1 C/m2 = 1 As/V 1 Wb = 1 Vs 1 T = 1 Wb/m2 = 1 Vs/m2 1 A/m 1 H = 1 Wb/A = 1 Vs/A

400

A. Anhang

Vors¨ atze Abh¨ angig von der Anwendung sind die vereinbarten Einheiten oft

deutlich zu klein oder groß. Deshalb wurden Vors¨atze zur Bezeichnung dezimaler Teile und Vielfacher von Einheiten geschaffen und gesetzlich eingef¨ uhrt (Tab. A.3). Sie stehen vor dem Einheitennamen bzw. dem Kurzzeichen der Gr¨oße. Vors¨ atze zur Kennzeichnung positiver Exponenten tragen große, f¨ ur negative Exponenten kleine Buchstaben. Eine Ausnahme bildet das Kilo (z. B. kg, km). F¨ ur die Elektrotechnik sind 3, 6, 9-er Zehnerpotenzen zu bevorzugen. Vorfaktoren wie 102 (Hekto), 101 (Deka), 10−1 (Dezi) und 10−2 (Zenti) sind im t¨ aglichen Leben verbreitet, die L¨angeneinheit Zentimeter sogar durchweg. Ein Vorsatzzeichen steht ohne Zwischenraum vor dem Einheitenzeichen. Hinweis: Beim Umgang mit Einheiten beachte man: 1. 2.

3.

4.

5.

Die gleichzeitige Verwendung mehrerer Vors¨ atze ist unzul¨ assig: Richtig: 1 nm = 10−9 m, 1 μs = 10−6 s, falsch 10−9 m = 1 m · μm, 10−6 s = 1 m · ms. Einheit, Vorsatz (und Vorsatzkurzzeichen) gelten als ein Symbol. Es`kann ohne ´3 Klammerschreibweise zur Potenz erhoben werden: Richtig: 1 km3 = 103 m = ` ´ 109 m3 , falsch 1 km3 = 103 m3 = k m3 . Einheitenkurzzeichen erhalten keine Indizes, diese stehen beim zugeh¨ origen Formelzeichen: Richtig: Ueff = 100 V, UAB = 10 V, falsch: U = 100 Veff , U = 10 VAB . Verboten sind Kombinationen von Einheitenkurzzeichen und ausgeschriebenem Vorsatz: Richtig: μA (Mikroamp`ere), kΩ (Kiloohm), falsch: Mikro A, k Ohm, Kilo Ω. In Tabellenk¨ opfen oder an Koordinatenachsen eignen sich beispielsweise folgenI de Schreibweisen von Zahlenwerten: AI ; 1·A ; I/A oder I in A. Nicht zul¨ assig ist I [A], denn Einheiten d¨ urfen nicht in Klammern verwendet werden.

Weitere Gr¨ oßenarten H¨aufig treten noch folgende Gr¨oßenarten auf: Gr¨ oßenquotient als Quotient zweier physikalischer Gr¨ oßen und gesprochen: Z¨ ahlergr¨ oße durch Nennergr¨ oße“. Un¨ ublich sind je“ und pro“. ” ” ” Tabelle A.3. Einheitenvors¨ atze

Potenz 18

10 1015 1012 109 106 103

Name Exa Peta Tera Giga Meg Kilo

Symbol E P T G M k

Potenz

Name

Symbol

−3

Milli Mikro Nano Piko Femto Atto

m μ n p f a

10 10−6 10−9 10−12 10−15 10−18

A.1

Physikalische Gr¨ oßen und Gleichungen

401

Verh¨ altnisgr¨ oße als Gr¨ oßenquotient zweier Gr¨ oßen gleicher Art und Dimension, z. B. Wirkungsgrad, Dielektrizit¨ atszahl, Verst¨ arkungsfaktor. Spezielle Verh¨ altnisgr¨ oßen sind: 1% = 10−2 (%-Prozent), 1ppm = 10−6 (ppm – parts per million, Millionstel) 1ppb = 10−9 (ppb – parts per Billion, Milliardstel). Funktionen von Gr¨ oßen. Oft treten physikalische Gr¨ oßen in Funktionen auf: Transzendente Funktionen sind nur f¨ ur Zahlen definiert. Deshalb d¨ urfen in ihren Argumenten nur Gr¨ oßen der Dimension 1 auftreten. Beispiel u(t) = U sin (ωt) , dim (ωt) = 1; i(t) = I exp (−t/T ) , dim (t/T ) = 1. Logarithmische Gr¨ oßenverh¨ altnisse werden verwendet, wenn die Gr¨ oßenverh¨ altnisse mehrere Zehnerpotenzen u ¨ berstreichen.

Physikalische Gleichung Verschiedene physikalische Gr¨ oßen sind durch Gesetze verkn¨ upft. Ihre mathematische Form heißt physikalische Gleichung:

Die physikalische Gleichung ist eine funktionelle Verkn¨ upfung zwischen physikalischen Gr¨oßen. Physikalische Gleichungen treten als Grundgleichungen (f¨ ur Naturgesetze) und Definitionsgleichungen auf. Naturgesetze sind stets reproduzierbare Verkopplungen artfremder physikalischer Gr¨ oßen. Nur sie enthalten echte, von der Natur offenbarte physikalische Erkenntnisse. Im Ergebnis von Beobachtungen entstehen dabei Proportionalbeziehungen. So u ¨ ben beispielsweise zwei Massen m1 , m2 im Abstand l eine Kraft F aufeinander aus: F ∼ m1 m2 /l2 . Dieser Proportionalzusammenhang geht erst durch Einf¨ uhrung einer Proportionalkonstanten k gem¨aß m1 m 2 F =k 2 l in eine mathematische Gleichung u ¨ ber. Der Faktor k muss folglich dimensionsbehaftet sein und eine unver¨anderliche physikalische Gr¨oße, eine Naturkonstante, darstellen. Die Erfahrung zeigt, dass es in der Natur nur endlich viele Grundgesetze gibt. F¨ ur die Elektrotechnik geh¨ oren die Maxwellschen Gleichungen dazu. Die Zahl praktisch benutzter physikalischer Gr¨oßen ist erheblich gr¨oßer, als sie aus den Grundgleichungen hervorgeht, denn durch Definitionsgleichungen k¨ onnen st¨andig neue Gr¨ oßen vereinbart werden. Definitionsgleichungen f¨ uhren (willk¨ urlich) neu vereinbarte physikalische Gr¨oßen auf mehrere einfach messbare und bekannte Gr¨oßen mittels einer eindeutigen Anweisung, der Definition, zur¨ uck.

402

A. Anhang

So ist v = ds eine Definitionsgleichung. Sie fasst die physikalischen Gr¨oßen dt Weg“ und Zeit“ durch die Vorschrift differenziere nach“ zur neuen physi” ” ” kalischen Gr¨oße Geschwindigkeit“ zusammen. ” Arten physikalischer Gleichungen Physikalische Gleichungen k¨ onnen entweder

als Gr¨oßen- oder zugeschnittene Gr¨oßengleichungen aufgestellt werden. Gr¨ oßengleichung In einer Gr¨ oßengleichung besteht jede Gr¨oße aus dem Pro-

dukt von Zahlenwert und Einheit. Deshalb m¨ ussen beide Seiten der Gleichung nach Zahlenwert und Einheit u bereinstimmen. Das gibt eine Rechen¨ hilfe durch Dimensionskontrolle, auf die nie verzichtet werden sollte1 . Man ermittelt den resultierenden Zahlenwert und die Einheit zweckm¨aßig durch getrennte Zahlenwert- und Einheiten-Rechnung. So kann die Gr¨oßengleichung v=

150 m m 10−3 km km s = = 15 = 15 = 54 t 10 s s 1 h/3600 h

statt in der Maßeinheit m/s auch in der Einheit km/h angegeben werden, wenn man die Einheitengleichungen 1 m = 10−3 km und 1 s = 1 h/3600 beachtet. Gr¨oßengleichungen bieten folgende Vorteile: Benutzung beliebiger Einheiten m¨ oglich, g¨ ultig unabh¨ angig vom Dimensionssystem, Dimensionskontrolle erh¨ oht die L¨ osungssicherheit. Da in Gr¨oßengleichungen stets die Produkte von Zahlenwert und Einheit ausgewertet werden m¨ ussen, entsteht bei h¨ aufiger Wiederholung, etwa bei Auswertung von Messreihen mit unver¨ anderlichen Einheiten, ein u ussiger ¨ berfl¨ Rechenaufwand. Er wird durch zugeschnittene Gr¨oßengleichungen (Zahlenwertgleichungen) vermieden. Zugeschnittene Gr¨ oßengleichung Eine Gr¨ oßengleichung kann direkt auf gew¨ unschte Einheiten zugeschnitten werden: man erweitert dazu jede Gr¨oße mit der gew¨ unschten Einheit    Gr¨ oße Gr¨oße = f · gew Einheit (A.1.2) gew. Einheit

und ordnet dabei die im Nenner einer jeden Gr¨oße stehende Einheit dieser Gr¨oße zu (zweckm¨ aßig durch Schr¨ agstrich). Anschließend werden alle im 1

Gerade die Zahlenwertrechnung durch Computer-Programme verleitet zur Vernachl¨ assigung der Dimensionskontrolle.

A.1

Physikalische Gr¨ oßen und Gleichungen

403

Z¨ ahler stehenden Einheiten zu einem Einheitenprodukt zusammengefasst. Es kann beliebig umgeformt werden und als Faktor hinter der Gleichung oder als Divisor unter der Ergebnisgr¨ oße auftreten. Deshalb ist es unzweckm¨ aßig, f¨ ur eine Gr¨ oße das gleiche Symbol wie f¨ ur seine Einheit zu w¨ ahlen, wie etwa die in der englischsprachlichen Literatur u ¨ bliche Wahl Voltage (V ) f¨ ur die Spannung und Volt (V) f¨ ur seine Einheit. Ein Ausdruck V = 10 V (soll bedeuten Spannung betr¨ agt 10 V“) w¨ urde bei (gedankenloser) K¨ urzung mit ” V auf 1 = 10 f¨ uhren!

Beispiel A.1.1 Zugeschnittene Gr¨ oßengleichung Gegeben sei U = IR. Daraus soll eine zugeschnittene Gr¨ oßengleichung abgeleitet werden, in der die Spannung U gemessen in kV, der Strom I gemessen in μA und der Widerstand R gemessen in MΩ auftreten. U I R U =I·R= · kV = μA MΩ kV μA MΩ oder2 U μA · MΩ I R 10−6 A · 106 V = · = kV kV μA MΩ 103 V · A « „ R R I I · · = 10−3 = 10−3 μA MΩ μA MΩ

„

I R · μA MΩ

«

bzw. als physikalische Gr¨ oße U = 10−3 I/ μA · R/ MΩ · |{z} kV . {z } | Einheit Zahl Die zu den Gr¨ oßen geh¨ orenden Einheiten m¨ ussen in einer Legende angegeben werden.

Besonders zweckm¨ aßig f¨ ur zugeschnittene Gleichungen ist die Wahl selbstkonsis” tenter Einheiten“, die einen Zahlenfaktor 1 ergeben: mV V V = = = 1. kΩ · mA Ω · mA MΩ · μA Bei Angabe des Stromes in μA und des Widerstandes in MΩ ergibt sich die Spannung in V. Ganz entsprechend gilt beispielsweise f¨ ur die Ladungsbeziehung Q = C·U Q C pC μC nC =1= = = = . C·U F·V nF · mV μF · V μF · mV

2

Gelesen U gemessen in Kilovolt“ oder U in Kilovolt“, obwohl es sich um die ” ” Division der Gr¨ oße durch eine Einheit handelt.

404

A. Anhang

Durch Weglassen der Einheiten in den Gleichungen entsteht die (fr¨ uher oft benutzte) Zahlenwertgleichung. Sie verwendet f¨ ur die einzelnen Gr¨ oßen nur eine festgelegte Einheit. Beispielsweise geh¨ ort zur Gr¨ oßengleichung die untere Zahlenwertgleichung: s Gr¨ oßengleichung: v = t 50 {s} = 3, 6 · = 36, 6. Zahlenwertgleichung: {v} = 3, 6 · {t} 5 Wird ein Weg s = 50 m in der Zeit t = 5 s zur¨ uckgelegt, so betr¨ ` ´ ` agt die ´Geschwindigkeit v = s/t = 50 m/5 s = 10 m/ s = 36 km/ h, da 1 m/ s = 1· 10−3 km / 3600−1 h = 3, 6 km/ h. Diese Zahlenwertgleichung verlangt die Vereinbarung v in km/h, s in m und t in s. Die Schreibweise mit geschweiften Klammern ist korrekt, wenn auch nicht verbreitet. Da Rechnerprogramme (von solchen mit symbolischer Auswertung abgesehen) keine Einheiten verarbeiten, hat sich f¨ ur Zahlenwertgleichungen die Benutzung der Grundeinheiten (z. B. U in V, I in A, R in Ω) eingeb¨ urgert. Zahlenwertgleichungen f¨ uhren leicht zu schwer kontrollierbaren Fehlern, sie erfordern deshalb große Vorsicht.

¨ Verwendung normierter Gr¨ oßen Oft ist der Ubergang zu normierten Gr¨oßen vorteilhaft (dimensionslose allgemeine Darstellung, vorteilhaftere Zahlenrechnung, Senkung des Rechenaufwandes). Normierte Gr¨oßen sind Zahlenwerte, die durch Division der jeweiligen physikalischen Gr¨oße durch eine (vereinbarte) physikalische Normierungsgr¨oße entstehen. Beispiel A.1.2 Normierung Sind v0 , s0 , t0 Normierungsgr¨oßen (etwa 5 m/s, 3 m und 10 s), so ergeben die normierten Gr¨ oßen vn = v/v0 , sn = s/s0 und tn = t/t0 vn =

v s sn · s0 1 3m sn 3 sn = = · = · = . v0 t · v0 tn · t0 v0 10 s · 5 ms−1 tn 50 tn

F¨ ur die (zweckm¨ aßigere) Normierungsgeschwindigkeit v0 = s0 /t0 = 0, 3 m/ s wird der Zahlenfaktor rechts zu 1.

A.2

A.2 Physikalische Gr¨ oßen, Vorzeichenund Richtungsregeln Außer Zahlenwert und Einheiten erfordern zahlreiche physikalische Gr¨oßen noch eine Richtungsangabe: sie haben einen Richtungssinn. Das gilt außer f¨ ur vektorielle physikalische Gr¨ oßen auch f¨ ur einige (elektrotechnische) skalare physikalische Gr¨ oßen durch Beachtung von Vorzeichen. Vektorielle physikalische Gr¨ oßen Physikalische Gr¨ oßen mit bestimmter Richtung im Raum heißen Vektoren oder vektorielle physikalische Gr¨oßen. Sie sind

A.2

Physikalische Gr¨ oßen, Vorzeichen- und Richtungsregeln

405

stets einem Raumpunkt zugeordnet und erfordern zur eindeutigen Kennzeichnung die Angabe des Betrages und der Richtung. Sie werden durch Symbole (oder u ¨bergesetzten Pfeil) bezeichnet und im Raum durch gerichtete Strecken (Pfeile) dargestellt. Der Betrag eines Vektors ist das Produkt von Maßzahl und Einheit. Er dr¨ uckt sich z. B. in der L¨ ange des Pfeiles aus, geschrieben entweder mit Betragsstrichen oder kursiv |v| = v. Die Richtung eines Vektors wird durch seinen Einheitsvektor e (dimensionslos, Betrag 1) gekennzeichnet v = |v| ev = v · ev = {v} [v] · ev .

(A.2.1a)

In einem Koordinatensystem, z. B. dem x, y, z-System, gilt v = v x + v y + vz = vx ex + vy ey + vz ez = vx i + vy j + vz k.

(A.2.1b)

Die Einheitsvektoren ex , ey , ez sind zueinander orthogonal (Abb. A.2.1a) und bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem (Rechtsschraubenregel): Die Drehbewegung einer Schraube (auf k¨ urzestem Weg) von ex nach ey bewirkt eine Bewegung in ez -Richtung (Abb. A.2.1b). Die Komponenten des Vektors lauten in kartesischen Koordinaten (Abb. A.2.1c): vx = |v| cos ∠ (v, ex ) , vy = |v| cos ∠ (v, ey ) , vz = |v| cos ∠ (v, ez ) (A.2.1c) mit dem Betrag v aus den Komponenten  v = vx2 + vy2 + vz2 .

z r

Feldvektor v P v(r)

z

x

z Daumen

y P

z

dr

vz Q

ez

r r+dr x

a

0

ez

φ-Ebene

Zeigefinger

Ortsvektor 0

P(ρ,φ,z)

Mittelfinger

vx

y

x

b

z-Ebene

z

eρ

r

eφ ρ-Zylinder

P(x,y,z) v

ex ey

y

φ=0 vy

y

x=ρcosφ

x

φ

ρ

y

y=ρsinφ

x

v=vx+vy+vz

c

Abb. A.2.1. Vektordarstellung. (a) Orts- und Feldvektor. (b) Vektor v im kartesischen Koordinatensystem und Rechte-Hand-Regel. (c) Ortsvektor im zylindrischen Koordinatensystem

406

A. Anhang

Die Richtung eines Vektors liegt durch seine Definition fest. Er erh¨alt positives Vorzeichen, wenn diese Richtung mit der geometrischen Orientierung einer festgelegten Linie u ¨bereinstimmt. Ein spezieller Vektor ist der Ortsvektor (hier im kartesischen Koordinatensystem) r = xex + yey + zez mit r = |r| = x2 + y 2 + z 2 . Er zeigt vom Koordinatenursprung zu einem Raumpunkt P und hat die L¨ange r (Abb. A.2.1a). In elektromagnetischen Feldern treten Linien-, Fl¨achen- und Volumenintegrale auf, die zwangsl¨ aufig differenzielle L¨ angen-, Fl¨achen- und Volumenelemente einschließen. Sie entstehen durch Verschiebung der Koordinaten eines Punktes um unendlich kleine Betr¨ age. So unterscheiden sich zwei benachbarte Punkte P (x, y, z) und Q(x + dx, y + dy, z + dz) (Abb. A.2.1a) um den differenziellen L¨angen- oder Ortsvektor dr  dr = ex dx + ey dy + ez dz mit dr = |dr| = (dx)2 + (dy)2 + (dz)2 in Richtung der zugeordneten Koordinaten. Er heißt auch vektorielles Wegelement oder Linienelement der L¨ ange dr. Aus Zweckm¨aßigkeitsgr¨ unden werden außer dem kartesischen Koordinatensystem noch weitere verwendet, insbesondere zylindrische und sph¨arische oder Kugel-Koordinaten zylindrische Koordinaten (ρ, ϕ, z) mit ρ = x2 + y 2 , sph¨arische Koordinaten (r, ϑ, ϕ) mit r = x2 + y 2 + z 2 . Beispielsweise lauten der Vektor v und der Ortsvektor r in Zylinderkoordinaten v = vρ eρ + vϕ eϕ + vz ez und r = eρ ρ + eϕ ρϕ + ez z, dr = eρ dρ + eϕ ρdϕ + ez dz. Dabei z¨ahlt der Winkel ϕ (beginnend auf der positiven x-Achse) mit ϕ = 0 entgegen dem Uhrzeigersinn positiv (Abb. A.2.1c). Analog verl¨auft die Darstellung in sph¨ arischen Koordinaten. Die Vektoren verschiedener Koordinatensysteme lassen sich ineinander umrechnen. Typische Vektoren der Elektrotechnik sind die elektromagnetischen Feldgr¨oßen: elektrische und magnetische Feldst¨ arke E bzw. H (beides Feldst¨arkevektoren) sowie Stromdichte J , Verschiebungsdichte D und die magnetische Induktion B als Flussdichtevektoren. F¨ ur das Rechnen mit vektoriellen Gr¨ oßen gelten die Regeln der Vektorrechnung, insbesondere die Skalar- und Vektorprodukte sowie die sog. Feldintegrale f¨ ur Feldgr¨oßen.

A.2

Physikalische Gr¨ oßen, Vorzeichen- und Richtungsregeln

407

Skalarprodukt Zwei Vektoren u und v haben das Skalar- oder Punktprodukt

u · v = |u| |v| cos(u, v) = (ux ex + uy ey + uz ez ) · (vx ex + vy ey + vz ez ) = ux vx + uy vy + uz vz (explizit gekennzeichnet durch einen Punkt) mit einem Skalar als Ergebnis. Dabei ist |v| cos (u, v) die Projektion von v auf u bzw. |u| cos (u, v) die Projektion von u auf v (Abb. A.2.2a). Es wird maximal, wenn beide Vektoren parallel verlaufen. Das Punktprodukt zweier Einheitsvektoren mit sich selbst hat den Wert 1, sonst null. Vektorprodukt Das Vektor- oder Kreuzprodukt der Vektoren u und v

u×v =w

mit |w| = |u × v| = |u| |v| sin(u, v)

(explizit gekennzeichnet durch ein Kreuz) ergibt einen Vektor w senkrecht auf der durch die Vektoren u, v gebildeten Ebene von u, v und w (Rechtsdreibein mit dem Betrag |w |). |u × v| ist gleich der von u und v aufgespannten Fl¨ ache, als Winkel zwischen u und v gilt der spitze Winkel. Das Kreuzprodukt zweier Vektoren wird maximal, wenn beide senkrecht aufeinander stehen und es verschwindet, wenn beide parallel verlaufen. Im letzteren Fall entsteht ein Nullvektor, dessen s¨amtliche Komponenten verschwinden. In Komponentenschreibweise lautet das Kreuzprodukt in kartesischen Koordinaten



ex ey ez



w = |u × v| =

ux uy uz

v v v

x y z = (uy vz − uz vy )ex + (uz vx − ux vz )ey + (ux vy − uy vx )ez . Daraus resultieren als Sonderf¨ alle u × u = 0 und u × v = −v × u (Kreuzprodukt nicht kommutativ). Durch zyklische Vertauschung der Indizes folgt aus der ersten Komponente die zweite und daraus die dritte. F¨ ur die Ein-

w

w = u × v sin(u, v )

v

v

α

v cos(u, v ) u a

v sin(u, v )

ex

-ez

-ex

ex

-ey ez

u

b

ez

ey

ey

c

Abb. A.2.2. Veranschaulichung von Produktbildungen. (a) Punktprodukt. (b) Kreuzpro-

dukt. (c) Umlauffolge der Einheitsvektoren zur Kreuzproduktbildung

408

A. Anhang

heitsvektoren (Abb. A.2.2c) gilt zwangsl¨ aufig: ex × ey = ez , ey × ez = ex , ez × ex = ey . Skalare physikalische Gr¨ oßen physikalischer Richtungssinn Physikalische Gr¨ oßen ohne Richtung im Raum heißen skalare physikalische Gr¨oßen oder Skalare. Sie sind durch Angabe eines Zahlenwertes und der Einheit vollst¨andig bestimmt. Beispiele: Arbeit W , Masse m, Leistung P , Temperatur T u. a. Manche skalare Gr¨ oßen bed¨ urfen zus¨ atzlich eines Vorzeichens, wie z. B. die Ladung. Positiv“ und negativ“ dr¨ ucken wohl unterschiedliche Qualit¨aten ” ” aus, doch besteht kein Zusammenhang zu einer Richtungsaussage.

Einige skalare Gr¨ oßen der Elektrotechnik, wie Strom, Spannung, magnetischer Fluss und magnetische Spannung, k¨ onnen je nach der gegenseitigen Lage der Vektoren, aus denen sie durch skalare Produkte gebildet werden, positiv oder negativ sein. Wir erfassen diese (stets notwendige) Vorzeichenvoraussage durch den Begriff physikalischer Richtungssinn und seinen Vergleich mit einem Bezugssinn, Bezugs- oder Z¨ahlpfeil (DIN 5489, s. u.). Feldintegrale Bei der Berechnung elektromagnetischer Felder treten typische Linien-, Fl¨achen- und Volumenintegrale auf. Weil sie jeweils nur Produkte aus Integrand und einem Differenzial aufsummieren, bestimmt die Natur des Produktes, ob es sich um ein Skalar- und Vektorintegral handelt. Stets ist dabei die Kenntnis differenzieller L¨angen-, Fl¨achen- und Volumenelemente im jeweiligen Koordinatensystem erforderlich.

Zu den Skalarintegralen (mit einem Skalar als Produkt) z¨ahlen    u · dr, (Linien-I.) u · dA (Fl¨ achen-I.), u · dV (Volumen-I.), C

A

V

dagegen lauten die entsprechenden Vektorintegrale    udr (Linien-I.) u × dA (Fl¨ achen-I.), (u × v) dV (Volumen-I.). C

A

V

Typische Beispiele solcher Integrale sind etwa Spannung und Strom dargestellt aus den zugeh¨ origen Feldgr¨ oßen 

B E · ds =

C

E · ds = UAB ,

A

 E · ds,

C

J · dA = I A

u. a. Wir beschr¨ anken uns hier auf generelle Erl¨auterungen, die Auswertung solcher Integrale muss in zweckm¨ aßigen Koordinatensystemen erfolgen.

A.2

Physikalische Gr¨ oßen, Vorzeichen- und Richtungsregeln

409

Linienintegral Die gew¨ ohnliche Integration zwischen den Punkten A und B

bedeutet Berechnung des Skalarintegrals a)   L = ds a), L = ds b), L

L

mit der tats¨achlichen L¨ ange L als Ergebnis (Abb. A.2.3a). Das Vektorintegral b) hingegen beinhaltet vektorielles Aufsummieren aller Elemente ds zwischen Beginn und Ende des Integrationsweges und ergibt den gerichteten Abstand L zwischen A und B (Abb. A.2.3b). Von einem Linienintegral spricht man auch, wenn eine Funktion f (x) zwischen zwei Grenzen x = A und B bestimmt werden soll (Abb. A.2.3c) n

FAB = lim

Δx→0 n→∞ i=1

B fi · Δxi =

f (x)dx. A

Dabei ist fi der Wert f (x) beim Segment Δxi . Diese Festlegung des Linienintegrals l¨asst sich auf eine Kurve C im dreidimensionalen Raum ausdehnen, in dem ein Skalarfeld f herrscht (Abb. A.2.3c). Die L¨angenelemente sind jetzt Vektoren. Das Linienintegral lautet ausgedr¨ uckt als Grenzwert der Summe n

f AB = lim

Δs→0 n→∞ i=1

B fi · Δsi =

f · ds. A

Dabei ist fi eine Skalarfunktion innerhalb des L¨angenelementes Δsi und das Integral ein Vektor. skalare B Verschiebung ds Weg L Weg L

a

C

f(x) fi

A

b

B

A Δxi

A

vektorielle Verschiebung Δs Δs2 Δs1 Δsi L

Feldlinie

B

Δsi

C

Δsn A

Wegvektor L

ri 0

c

x B

ri+Δsi

Δs1

Δs2

A

αi

B

WAB = ò F ×ds

P

Δsn Δsi

Weg

Feld F

B

Fi

ds A

Weg

Wegelement B Fcosα

Ficosαi ΔWi=Fi•Δsi

Feldlinien

A

d

α

e

Abb. A.2.3. Linienintegral. (a) Integration des Skalars ds u ¨ber den Weg L. (b) Integration

des Vektors ds u ¨ber den Weg L. (c) Linienintegral einer stetigen Funktion und differenzielles Wegelement auf einem Pfad C im dreidimensionalen Raum. (d) Veranschaulichung des Linienintegrals Arbeit WAB im Kraftfeld, Bestimmung der Komponente eines Vektors l¨ angs eines Weges. (e) Linienintegral Arbeit W in einem Kraftfeld F , angegeben ist das Skalarprodukt F · ds in einem Punkt P auf dem Weg

410

A. Anhang

Ein Linienintegral kann auch f¨ ur ein Vektorfeld F mit einem Wegelement ds l¨ angs einer Linie A . . . B im Raum definiert werden. Es ist ein Skalar. Wird beispielsweise ein K¨ orper im Punkt A (Abb. A.2.3d) durch die Kraft F l¨angs des Wegst¨ uckes Δs nach Punkt B verschoben, dann leistet sie an ihm die Arbeit ΔW = F · Δs cos (F , Δs) = F · Δs.

(A.2.2)

Das gilt, solange sich die Kraft F l¨ angs des zur¨ uckgelegten Weges Δs nicht andert. Dann verlaufen alle Kraftlinien parallel und die Kraft hat u ¨ ¨ berall die gleiche St¨arke: homogenes Kraftfeld mit skalarem Produkt der beiden Vektoren F und Δs. ¨ Andert sich dagegen die Kraft r¨ aumlich (Abb. A.2.3d), so zerlegen wir den Gesamtweg von A nach B in n kleine, gerade St¨ ucke der L¨ange Δs und definieren die Vektoren Δsi . L¨ angs eines solchen Weges ¨andert sich die Kraft onnen wieder Gl. (A.2.2) verwenden: es wird die F i praktisch nicht und wir k¨ Projektion der Kraft F auf die Richtung des Wegelementes Δsi gebildet oder nur die tangential zum Wegelement wirkende Komponente ber¨ ucksichtigt. Dann ist die Gesamtarbeit WAB die Summe der Teilarbeiten ΔWi l¨angs der einzelnen Wegst¨ ucke: WAB =

n

ΔWi =

i=1

n

F i · Δsi .

(A.2.3)

i=1

Das Ergebnis verbessert sich mit zunehmender Wegunterteilung, also steigender Zahl n der Wegelemente. Im Grenzfall n → ∞, d. h. Δsi → 0 geht die Summe in das Integral u ¨ber und aus Δs wird das vektorielle Wegelement ds (Abb. A.2.3e): WAB = lim

n

Δs→0 n→∞ i=1 B

B F i · Δsi = B

F t · ds =

= A

F · ds A

F · ds cos ∠ (F , ds)

(A.2.4) Linienintegral.

A

Das Linienintegral WAB ist der Integral der Tangentialkomponente eines Vektors F l¨angs eines Weges s zwischen den Punkten A und B. Die Arbeit WAB kann durch jede der drei Formen bestimmt werden. Ihr physikalischer Richtungssinn stimmt mit der Wegrichtung von der unteren Grenze A l¨angs einer Linie zur oberen B u ¨berein, wenn das Skalarprodukt von F und ds positiv ist, also ∠ (F , ds) < π/2 gilt. So liegt der Weg fest. Beispielsweise ist die Spannung U u ¨ ber das Linienintegral der elektrischen

A.2

Physikalische Gr¨ oßen, Vorzeichen- und Richtungsregeln

411

Feldst¨arke E definiert, deshalb hat sie als Skalargr¨oße einen physikalischen Richtungssinn. Das Linienintegral u ¨ber einen geschlossenen Weg heißt Ring- oder Umlaufintegral gekennzeichnet durch einen Kreis am Integralzeichen: F · ds. Dieses Kurvenintegral wird auch als Zirkulation des Vektorfeldes F l¨angs des geschlossenen Weges C bezeichnet. Das Linienintegral h¨angt i. a. vom Anfangsund Endpunkt des Integrationsweges und dem eingeschlagenen Weg ab. Es wird aber wegunabh¨angig, falls es l¨angs einer geschlossenen Kurve verschwindet. Ein solches Feld ist wirbelfrei (gleichwertig mit der Aussage, dass keine in sich geschlossenen Feldlinien existieren, das gilt beispielsweise f¨ ur das elektrostatische Feld). Ein wirbelfreies Vektorfeld heißt gleichwertig konservativ oder Potenzialfeld mit folgenden weiteren Eigenschaften: das Linienintegral l¨ angs einer Kurve C zwischen zwei Punkten ist wegunabh¨angig, der Feldvektor F kann stets als Gradient einer Potenzialfunktion ϕ dargestellt werden, das Skalarfeld F · ds ist das vollst¨ andige Differenzial einer Potenzialfunktion ϕ: dϕ = F · ds, jedes homogene Feld ist wirbelfrei, denn es gilt wegen F = const F · ds ≡ F · geschl.Weg

ds = 0. geschl.Weg

Vektorielles Linienintegral Neben dem skalaren gibt es noch das vektorielle

Linienintegral L = lim

n

Δs→0 n→∞ i=1

B F i × Δsi =

F × ds. vektorielles Linienintegral A

Es tritt z. B. bei der Berechnung des magnetischen Feldes eines linienhaften elektrischen Stromes im Raum auf. Fl¨ achenintegral Zur Berechnung des Fl¨ achenintegrals eines Skalar- oder Vektorfeldes wird eine gegebene Fl¨ ache in (unendlich) viele Teilfl¨achen ΔAi zerlegt (wobei jede einen Fl¨ achenvektor hat) und u ¨ber die Gesamtfl¨ache summiert (integriert). F¨ ur ein Skalarfeld f ergibt sich dann das Fl¨achenintegral  n

fi · ΔAi = f · dA Fl¨ achenintegral. A = lim ΔA→0 n→∞ i=1

A

412

A. Anhang

Es handelt sich um einen Vektor, fi ist der Wert der Skalarfunktion u ¨ ber das vektorielle Fl¨achenelement ΔAi (Abb. A.2.4a). Skalares Fl¨ achenintegral, Flussintegral Ganz entsprechend kann ein skalares Fl¨achenintegral als Punktprodukt eines Vektorfeldes v (z. B. der Geschwindigkeit) mit jedem Fl¨ achenelement ΔAi (und Summation) gebildet werden (Abb. A.2.4a)   n n

ΔΨi = lim v i · ΔAi = v · dA ≡ v · dA. (A.2.5) Ψ= ΔA→0 n→∞

i=1

i

Fl¨ ache A

A

Es heißt gleichwertig auch Fluss eines Vektors, hier der Geschwindigkeit v. Gleichwertige Schreibweisen lauten    Ψ= v ·dA = vn ·dA = v ·dA cos ∠ (v, dA) . Flussintegral (A.2.6) Fl¨ ache A

A

A

Das Flussintegral ist das Integral der Normalkomponente des Vektors v ¨ uber eine Fl¨ache A, es heißt auch Fluss Ψ des Vektors v durch eine offene oder geschlossene Fl¨ache A. Der differenzielle Fl¨achenvektor steht dabei senkrecht auf dem zugeordneten Fl¨achenelement. Der Vektor v, der den Fluss bildet, ist die Flussdichte. Sie dr¨ uckt ersatzweise den Feldvektor einer Str¨ omungsgr¨ oße“ aus, im elektromagnetischen Feld ” also J , B, D, nicht aber eine Feldst¨ arkegr¨ oße wie E oder H. Gleichwertige Bezeichnungen zum Flussintegral eines Vektorfeldes F sind Fluss“ des Vek” tors F durch die Fl¨ ache A oder Fl¨achenintegral des Vektorfeldes F u ¨ ber eine orientierte Fl¨ache A.

v-Linien ΔAi

v

Flussröhre ΔΨ=v•ΔA=vΔA Fluss ΔΨ‘=vΔA‘ v ΔA

α ΔA

Fläche A

a

v

ΔA‘

dA

vr(r)

v3

v2

vr(r)

ψ

ψ

dA A1 dA

Gesamtfluss Ψ

b

Flussröhre ΔΨ

A2 A3

c

Abb. A.2.4. Fluss eines Vektorfeldes. (a) Oberfl¨ ache mit differenziellem Oberfl¨ achenelement. und Fluss eines Vektors v durch eine gekr¨ ummte Fl¨ ache A. (b) Flussbegriff im homogenen Feld mit dem Teilfluss ΔΨ = v · A durch eine Fl¨ ache ΔA. Er h¨ angt von der senkrecht zu v vorhandenen Fl¨ ache ΔA ab. (c) Flussbegriff in einem Radialk¨ orper bei radialer Geschwindigkeitsverteilung und unterschiedlichen Querschnitten. Stets herrscht der gleiche Fluss

A.2

Physikalische Gr¨ oßen, Vorzeichen- und Richtungsregeln

413

Was bedeutet der Flussbegriff? Gegeben ist eine Wasserstr¨omung, die mit homogener Geschwindigkeit v dahinfließt. Die gesamte Str¨omung stellt einen Fluss dar. Wir w¨ ahlen daraus einen Ausschnitt (Abb. A.2.4b), eine sog. Flussr¨ohre mit dem Teilfluss ΔΨ durch die zugeh¨orige Teilfl¨ache ΔA (senkrecht zu v stehend. Durch diese Flussr¨ ohre str¨omt w¨ahrend der Zeit dt die ur eine Fl¨ache Fl¨ ussigkeitsmenge ΔΨdt mit ΔΨ = |v| ΔA = |v| ΔA cos α. F¨ ΔA (mit dem Normalenvektor n, ΔA = nΔA), die um den Winkel α gegen agt dann der Teilfluss ΔA’ geneigt ist (mit ΔA = ΔA cos α) betr¨ ΔΨ = v · ΔA = |v| · |ΔA| cos ∠ (v, ΔA) .

(A.2.7a)

Der gesamte Fluss Ψ durch die Fl¨ ache ergibt sich durch Summation aller Teilfl¨ usse, im homogenen Str¨ omungsfeld also

Ψ= ΔΨ = v · A. (A.2.7b) Bei inhomogenem Geschwindigkeitsfeld v zerlegen wir die Gesamtfl¨ache in n Teilfl¨achen mit den Fl¨ achenvektoren ΔAi (i = 1 . . . n). Jede Teilfl¨ache f¨ uhrt den Teilfluss ΔΨi gebildet mit der dort herrschenden Geschwindigkeit v i . Der Gesamtfluss aller Fl¨ achen entsteht durch Summation u ¨ber alle Flussr¨ohren ΔΨi = v i · ΔAi des Vektors v: Ψ=

n

i=1

ΔΨi =

n

v i · ΔAi .

(A.2.8)

i=1

Das f¨ uhrt f¨ ur n → ∞ mit der unendlich kleinen Teilfl¨ache dAi durch Integration zur Flussdefinition Gl. (A.2.5). Die Richtung von dA zeigt bei geschlossener Fl¨ache stets in Normalrichtung nach außen. Bei offener Fl¨ ache steht dA auf der Seite der Fl¨ache, aus der ein angenommener Bezugspfeil herauszeigt: bei geschlossener Fl¨ache (z.B einer Kugel) zeigt dann dA nach außen, bei offener Fl¨ache wird die Randkurve der Fl¨ache so durchlaufen, dass mit der Fl¨ achennormalen eine Rechtsschraube entsteht. Weil Fl¨achenelement dA und Flussdichtevektor v je eine Richtung haben, sich das aber im Skalarprodukt nicht ausdr¨ uckt, muss ein physikalischer Richtungssinn des Flusses Ψ vereinbart werden: man setzt ihn u ¨bereinstimmend mit der (mittleren) Richtung des Vektors v an, wenn v mit der Fl¨achennormalen des Fl¨achenelementes dA einen spitzen Winkel ∠ (v, dA) < π/2 (positives Skalarprodukt beider Gr¨ oßen, s. o.) bildet. (Stumpfer Winkel ∠ (v, dA) > π/2 ergibt negatives Skalarprodukt und die Z¨ ahlpfeilrichtung kehrt sich um). Sonderf¨alle zum Flussbegriff sind gleiche Richtung der Vektoren v und dA: Ψ =

 A

v · dA

414

A. Anhang

bei homogenem Feld (v u ¨ ber den Querschnitt konstant) Ψ = v



dA =

A

v · A. Dann ist der Fluss das Produkt von Flussdichte (Betrag des Vektors v) und durchsetzter Fl¨ ache A. Geht die Fl¨ache A in eine geschlossene Oberfl¨ache eines Volumens u ¨ ber – eine sog. H¨ ullfl¨ache – so wird Gl. (A.2.6) zum Oberfl¨achen- oder H¨ ullintegral (Kreis im Integralzeichen)   H =  v · dA = v · dA. (A.2.9) A

Ober߬ ache A

Sein Wert H h¨angt vom Problem ab: umschließt z. B. die H¨ ulle eine Ladung Q, dann ist der H¨ ullenfluss Q = Ψ das H¨ ullintegral u ¨ber die Verschiebungsflussdichte D (entspricht hier v), im Str¨ omungsfeld entspricht v der Stromdichte J , dem Fluss der Strom und das H¨ ullintegral verschwindet (Grundlage des Knotensatzes). Im Sprachgebrauch verbindet man mit dem Begriff Fluss“ immer etwas Flie” ßendes, Dahinstr¨ omendes. Das gilt z. B. f¨ ur die Stromst¨arke (dahinfließende Ladungstr¨ager), aber nicht beim Verschiebungs- und magnetischen Fluss. Begr¨ undung: der Fluss eines Vektors ist eine mathematische Festlegung nach Gl. (A.2.6). Der Flussbegriff entstammt der Str¨ omungslehre. Dort ist das Vektorfeld das Geschwindigkeitsfeld einer str¨ omenden Fl¨ ussigkeit. In der Elektrotechnik tritt der Begriff mehrfach auf: Zugeordnet sind der magnetische Fluss Φ der Induktionsdichte B, der elektrische Fluss Ψ der elektrischen Erregung D, der Leitungsstrom I der Stromdichte J und die induzierte Spannung (beim Induktionsgesetz) der zeitlichen Fluss¨ anderung. Beispiel: Wir betrachten eine trichterf¨ ormige Anordnung mit gew¨ olbter Austrittsoberfl¨ ache (Trichter einer Gießkanne, Abb. A.2.4c), durch den eine inkompressible Fl¨ ussigkeit (Wasser) fließt. Jeder Rohrquerschnitt f¨ uhrt das gleiche Fl¨ ussigkeitsvolumen je Zeiteinheit, also den Fluss ZZ Volumen Fluss Ψ = = v · dA. Zeitspanne

A

Links – am Querschnitt A1 – tritt das Wasser ein, dort wirkt (durch Reibung an der Rohrwand) eine ortsabh¨ angige Geschwindigkeit (Betrag abh¨ angig vom Radius), die v-Linien sind aber parallel gerichtet. Im Trichter (Querschnitt A2 ) ¨ andert sich die Geschwindigkeit nach Richtung und Betrag, jetzt abh¨ angig vom Radius und der L¨ angskoordinate im Trichter. An der gew¨ olbten Oberfl¨ ache A3 stim-

A.2

Physikalische Gr¨ oßen, Vorzeichen- und Richtungsregeln

415

men (aus Symmetriegr¨ unden) Geschwindigkeitsrichtung und Normalenrichtung der Fl¨ achenelemente u ¨ berein. Der gesamte, dort austretende Fluss ist aber gleich dem links eintretenden. Eingetragen ist im Bild auch eine Flussr¨ ohre.

Zusammengefasst: Der physikalische Richtungssinn tritt bei einigen skalaren physikalischen Gr¨ oßen (Strom, Spannung, magnetische Spannung, magnetischer Fluss u. a. m.) auf. Er entsteht durch die gegenseitige Lage der beiden Vektoren, aus denen die Gr¨ oßen durch Integration von Linien- oder Fl¨ achenintegralen hervorgehen. Neben dem physikalischen Richtungssinn wird in Netzwerken ein Bezugssinn oder besser die (frei w¨ ahlbare) Z¨ahlpfeilrichtung festgelegt wie bei Strom und Spannung, aber auch im magnetischen Kreis (magnetischer Spannungsabfall und Fluss). Der Zusammenhang zwischen Z¨ ahlpfeil und dem tats¨achlichen physikalischen Richtungssinn gibt das Vorzeichen der skalaren Gr¨oße: positives Vorzeichen bedeutet u ¨ bereinstimmenden physikalischen Richtungssinn und Z¨ahlpfeil, negatives Vorzeichen, dass sie einander entgegenwirken. Die Kennzeichnungen der Z¨ ahlrichtungen wurden beim Strom- und Spannungsbegriff erl¨autert. Vektorielles Fl¨ achenintegral Neben dem skalaren Fl¨ achenintegral gibt es auch ein vektorielles  n

F i × ΔAi = F × dA. vektorielles Fl¨achenintegral B = lim ΔA→0 n→∞ i=1

A

Es spielt eine Rolle bei Anwendung elektromagnetischer Wirbelfelder, u ¨bersteigt aber den Rahmen eines Grundlagenlehrbuches. Volumenintegral Zur Definition wird ein gegebenes Volumen in n kleine Volumenelemente ΔV mit ΔV → 0 f¨ ur n → ∞ unterteilt. Beim skalaren Volumenintegral multipliziert man jedes Volumenelement mit dem Skalarfeld f und summiert u ¨ ber alle Volumenelemente:  n

P = lim fi · ΔVi = f · dV . ΔV →0 n→∞

i

V

F¨ ur ein Vektorfeld F l¨ asst sich sinngem¨ aß ein zugeh¨origes Volumenintegral definieren. Eine Anwendungen des skalaren Volumenintegrals ist z. B. die Berechnung der Energie aus der sog. Energiedichte. Grenzfl¨ achenbedingungen Grenzen zwei unterschiedliche Materialgebiete (di-

elektrische, magnetische oder ohmsche Leitf¨ ahigkeiten) fl¨achenhaft aneinander, so ¨andern sich an der Grenzfl¨ ache teilweise die Feldgr¨oßen (Abb. A.2.5):

416

A. Anhang

n Medium 1 X1 Feldlinie

Xn1

Y1

Xt1=Xt2

Yt1

Yn1=Yn2

Xn2

E=H=B=D=0

t

Feldlinie

X2

Medium1 idealer Leiter (ρ=0)

Medium 1 Yt2

t

Medium 2

Bt2

Et2=0

Bn2=0

Y2

Medium 2 Flussdichtevektoren Y

Feldstärkevektoren X

En2

Medium2

ε1>ε2

ε1>ε2

a

n

b

c

Abb. A.2.5. Merkmale von Feldst¨ arke- und Flussdichtevektoren an einer Grenzfl¨ ache

(Medium 1 mit gr¨ oßerem Leitungsverm¨ ogen“). (a) Die Tangentialkomponenten der ” Feldst¨ arkevektoren sind stetig. (b) Die Normalkomponente des Flussdichtevektors ist stetig. (c) Grenzfl¨ achenbedingungen am idealen Leiter: die Tangentialkomponente der elektrischen Feldst¨ arke E und die Normalkomponente der magnetischen Flussdichte B (bzw. Stromdichte J) verschwinden

Feldst¨arkevektoren haben stets gleiche Tangentialkomponenten (vgl. Abb. A.2.5a) und Flussdichtevektoren gleiche Normalkomponenten (Abb. A.2.5b), vorausgesetzt, dass die Grenzfl¨ ache keine Ladungs- oder Fl¨achenstromdichte f¨ uhrt. Diese Ergebnisse lassen sich formal mit dem Linenintegral u ¨ber einen geschlossenen Weg an der Grenzfl¨ ache und das sog Gaußsche Gesetz f¨ ur das jeweilige Feld begr¨ unden (s. Bd. 2). Aus diesen Grenzfl¨ achenbedingungen ergeben sich mit den sog. Materialgleichungen zwischen den jeweiligen Feldst¨ arke- und Flussdichtevektoren die Bedingungen f¨ ur die u brigen Vektorkomponenten. Deshalb werden Feldli¨ nien an der Grenzfl¨ache stets gebrochen. Im Sonderfall des idealen Leiters (Abb. A.2.5c) verschwindet die Tangentialkomponente der Feldst¨arke- und die Normalkomponente der Flussdichtevektoren. Dann ist seine Oberfl¨ache immer eine Potenzialfl¨ ache und der Strom fließt an ihr entlang.

A.3

Verzeichnis der wichtigsten Symbole

A.3 Verzeichnis der wichtigsten Symbole Symbol

Bezeichnung

A

1) Knoten-Zweig-Indzidenzmatrix 2) Kettenmatrix Fl¨ache, Querschnitt Stromverst¨ arkung relative Atommasse symmetrische Differenzverst¨ arkung Stromverst¨ arkung Basisschaltung Spannungsverst¨ arkung Differenzverst¨ arkung Beschleunigung 1) Schleifenmatrix 2) magnetische Flussdichte Stromverst¨ arkung (Emitterschaltung) Remanenzinduktion Zweig-Maschen-Inzidenzmatrix Kapazit¨ at W¨armekapazit¨ at 1) spezifische W¨ arme ¨ 2) elektrochemisches Aquivalent differenzielle Kapazit¨ at Verschiebungsdichte Diffusionskoeffizient Elektronen, L¨ ocher Temperaturkoeffizient d. Spannung Durchmesser, Plattenabstand, Dicke 1) Einheitsmatrix 2) elektrische Feldst¨ arke elektromotorische Kraft, Urspannung Einheitsvektor Elementarladung Kraft Faraday-Konstante Frequenz Knotenleitwertmatrix 1) Leitwert 2) Gleichtaktverst¨ arkung 1) magnetischer Leitwert 2) Steilheit, Transferleitwert differenzieller Leitwert, R¨ uckkopplungsgrad,

A Ai Ar ADD AN Au AuD a B BN Br C C Cth c cd D Dn,p DU d E Eq e e F F f G G Gm g

417

A.3

418

A. Anhang

Symbol

Bezeichnung

gm H

Steilheit 1) magnetische Feldst¨ arke 2) Reihenparallelmatrix Koerzitivfeldst¨ arke Spaltenvektor (Strom) Stromst¨ arke Kurzschlussstrom Maschenstrom Quellenstrom Energiestrom Verschiebungsstrom zeitver¨ anderlicher Strom 1) Stromdichte 2) magnetische Polarisation Konvektionsstromdichte Verschiebungsstromdichte Energiestromdichte, Poynting-Vektor Transistorkonstante 1) Knotenzahl 2) Boltzmann-Konstante 3) Kopplungsfaktor Induktivit¨ at innere Induktivit¨ at Gegeninduktivit¨ at Leiter i, k Streuinduktivit¨ at L¨ange differenzielle Induktivit¨ at 1) Drehmoment 2) Maschen-Zweig-Inzidenzmatrix Gegeninduktivit¨ at Zahl unabh. Maschengleichungen St¨orstellendichte (Akzeptor, Donator) 1) Z¨ahlindex 2) Betrag des Normalenvektors 3) Drehzahl, Tr¨ agerdichte Eigenleitungsdichte Leistung dielektrische Polarisation Verlustleistung W¨armestrom

Hc I I Ik Im Iq IW iv i J JK JV JW K k

L Li Lik Ls l ld M M m NA,D n

ni P P PV PW

A.3

Verzeichnis der wichtigsten Symbole

Symbol

Bezeichnung

p

1) Momentanleistung 2) Zahl unabh. Knotengleichungen Leistungsdichte Verlustleistungsdichte Ladung (allgemein), Elektrizit¨ atsmenge, gespeicherte W¨ armemenge positive Elementarladung Maschenwiderstandsmatrix ohmscher Widerstand Außenwiderstand Innenwiderstand 1) Transferwiderstand, -impedanz 2) magnetischer Widerstand W¨armewiderstand differenzieller Widerstand Transferleitwert, Steilheit Strecke 1) Periodendauer 2) Temperatur Temperaturkoeffizient Zeit Halbwertzeit Spaltenvektor (Spannung) Spannung Diffusionsspannung Hallspannung Knotenspannung Leerlaufspannung Quellenspannung Temperaturspannung Spannung, zeitabh¨ angig ¨ Ubersetzungsverh¨ altnis Volumen magnetische Spannung Geschwindigkeit Arbeit, Energie elektrische Energie Bandbreite (Energie) Hysteresearbeit magnetische Energie

p pv Q q R R Ra Ri Rm Rth r S s T TK t tH U U UD UH Uk Ul Uq UT u u ¨ V Vm v W Wel WG WH Wm

419

420

A. Anhang

Symbol

Bezeichnung

w

1) Energiedichte 2) Windungszahl magnetische Energiedichte 1) Zweigzahl 2) Wertigkeit eines Ions 1) linearer Temperaturkoeffizient 2) Winkel W¨arme¨ ubergangszahl quadratischer Temperaturkoeffizient Differenz Luftspaltl¨ ange Permittivit¨ at elektrische Feldkonstante relative Permittivit¨ at Wirkungsgrad Durchflutung elektrische Leitf¨ ahigkeit W¨armeleitf¨ ahigkeit Linienladungsdichte 1) Beweglichkeit 2) Permeabilit¨ at 3) Steuerfaktor magnetische Feldkonstante relative Permeabilit¨ at 1) L¨ ange, Radius 2) spezifischer Widerstand 3) Raumladungsdichte 1) Fl¨ achenladungsdichte 2) Streuung Zeitkonstante Relaxationszeitkonstante magnetischer Fluss 1) elektrisches Potenzial 2) Nullphasenwinkel Suszeptibilit¨ at 1) elektrischer Fluss 2) magnetischer verketteter Fluss 1) Winkelgeschwindigkeit 2) Kreisfrequenz

wm z α αk β Δ δ ε ε0 εr η θ κ κW λ μ

μ0 μr 

σ τ τR Φ ϕ χ Ψ ω

A.4

Literaturverzeichnis

421

A.4 Literaturverzeichnis 1. 2.

3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

Albach, M.: Grundlagen der Elektrotechnik 1. M¨ unchen: Pearson Studium 2005. Bosse, G.: Grundlagen der Elektrotechnik. Bd. 1: Elektrostatisches Feld und Gleichstrom. 2. Aufl.; Bd. II: Magnetisches Feld und Induktion. 3. Aufl.; Bd. III Wechselstromlehre, Vierpol- und Leitungstheorie, 2. Aufl.; Bd. IV: Drehstrom, Ausgleichsvorg¨ ange in linearen Netzen. Mannheim: Bibliogr. Institut. 1973-1989. Frohne, H., L¨ ocherer, K. H., M¨ uller, H.: Moeller Grundlagen der Elektrotechnik, 20. Aufl. Stuttgart: Teubner 2005. Frohne, H.: Elektrische und magnetische Felder, Stuttgart: Teubner 1994. F¨ uhrer, A., Heidemann, K., Nerreter, W.: Grundgebiete der Elektrotechnik 1 und 2, 8. Aufl. M¨ unchen: Hanser Verlag 2006. Haase, H., Garbe, H.: Elektrotechnik Berlin: Springer Verlag 1998. Hofmann, H.: Das elektromagnetische Feld, 3. Aufl. Wien: Springer 1986. K¨ upfm¨ uller, K., Mathis, W., Reibiger, A.: Theoretische Elektrotechnik, 17. Aufl. Berlin: Springer 2006. Paul, R.: Elektrotechnik 1, 3. Aufl. Berlin: Springer Verlag 1993. Paul, R., Paul, S.: Arbeitsbuch 1,2, Berlin: Springer Verlag 1994. Phillipow, E.: Grundlagen der Elektrotechnik, 10. Aufl. Berlin: Verlag Technik 2000. Pregla, R.: Grundlagen der Elektrotechnik, 7. Aufl. Heidelberg: H¨ uthig 2004. Seidel, H. U., Wagner, E.: Allgemeine Elektrotechnik Bd. 1 und Bd. 2, 3. Aufl. M¨ unchen: Hanser Verlag 2006. Wolff, I.: Grundlagen der Elektrotechnik Bd. 1 und 2, Aachen: Verlagsbuchhandlung Dr. Wolff GmbH 2003. v. Weiß, A.: Die elektromagnetischen Felder. Braunschweig: Vieweg 1983.

A.4

Index Abgleichbedingung, 115 Abzweigschaltung, 361 ¨ Ahnlichkeitssatz, 371 Amp`ere, 24 Anfangsladung, 31 Anpassung, 110, 184 Arbeit, 32, 39 Arbeitspunkt, 88, 103 Arbeitspunkteinstellung, 133 Auftrennmethode, 244 Ausgangskennlinienfeld, 193 Ausgangskurzschlussleitwert, 181 Ausgangsleerlaufleitwert, 181 Ausgangsleerlaufwiderstand, 149 Ausgangsleitwert, 180, 181 Basiseinheit, 399 Basisgr¨ oße, 396 Basisschaltung, 206 Bauelement, 4, 58 passives, 76 Bauelementemodell, 57 Baum, 309 vollst¨ andiger, 243 Baumzweige, 243 Baumzweigspannung, 314 Belastungsversuch, 121 Bemessungsgleichung, 77 Betriebssteilheit, 183 Betriebsverhalten, 357 Bewegung gerichtete, 20 Bezugsknoten, 271 Bezugspfeilsystem, 48 Bezugssinn, 146 Bipolartransistor, 191, 194 Br¨ uckenabgleich, 114 Br¨ uckenschaltung, 275 Coulomb, 12 Coulombsches Gesetz, 11, 16 Defektelektron, 13

Definitionsgleichung, 396 Definitionsgr¨ oße, 396 Differenzierschaltung, 230 Differenzsignal, 214 Differenzspannung, 216 Differenzverst¨ arker, 214, 301 Differenzverst¨ arkung, 217 Diffusionswiderstand, 206 Drahtwiderstand, 99 Dreipol, 145 Dualit¨ atskonstante, 384 Durchlassbereich, 89 Dynatron, 88 Ebers-Moll-Beziehungen, 196 Eingangskennlinienfeld, 193 Eingangsleerlaufwiderstand, 149 Eingangsleitwert, 180 Einheit abgeleitete, 399 Einheitensystem internationales, 398 Einheitsvektor, 405 Eintor, 147 Elektrometerverst¨ arker, 223, 227, 300 Elektromotorische Kraft, 37 Elektron, 7 Elektronenkonzentration, 13 Elektronenvolt, 398 Elementarladung, 12 Elementarzweitore, 172 Emitterfolger, 207 Emitterschaltung, 197 EMK, 37 Energie, 43 elektrische, 44 potenzielle, 32 Energie¨ ubertragung, 44, 106 Energieerhaltung, 43 Energiefluss, 145 Energieformen, 38, 44 Energiestrom, 22 Energiestromdichte, 46

424

Index

Energietechnik, 49 Grundaufgabe, 106 Energietransport, 102 Energieumformung, 37 Erhaltungssatz, 11, 15 Ersatzinnenwiderstand, 118, 188 Ersatzschaltung, 58 Ersatzspannungsquelle, 72 Ersatzzweipol, 159 Erzeugerpfeilsystem, 48 Fehlanpassung, 108 Feld elektrisches, 15 elektromagnetisches, 8 homogenes, 19 Feldbegriff, 8 Feldeffekttransistor, 211 Feldmodell, 8 Feldst¨ arke elektrische, 16–18, 406 magnetische, 406 Fenstermaschenmethode, 245 Fenstermaschenverfahren, 242 Festk¨ orper, 7 Fl¨ achenintegral, 412 Fl¨ achenladung, 14 Fl¨ achenwiderstand, 80 Fluss, 408 Flussdichte, 412 Flussintegral, 412 F¨ ullfaktor, 135 Fundamentalschleife, 309 Fundamentalschleifenmatrix, 312 Fundamentalschnittmenge, 309 Gegenkopplung, 223 Gleichrichter idealer, 131 Gleichspannungsquelle, 62 Gleichstrom, 25 Gleichstromgenerator, 190 Gleichtaktaussteuerung, 217 Gleichtaktsignal, 215 Gleichtaktunterdr¨ uckung, 218

Gleichtaktverst¨ arkung, 217 Gleichung physikalische, 401 Gleichungssystem symbolisches, 328 Glimmlampe, 89 Globalgr¨ oße, 6 Gl¨ uhlampe, 89 Gradient, 411 Graph, 241 gerichteter, 242 Grenzfl¨ achenbedingung, 415 Gr¨ oße physikalische, 397 Gr¨ oßengleichung, 402 zugeschnittene, 402 Grundgr¨ oße, 396 Grundstromkreis, 102 Leistungsumsatz, 106 linearer, 102 nichtlinearer, 126 Halbbr¨ ucke, 116 Halbleiter, 13 Halbleiterdiode, 89 Heißleiter, 90 Helmholtz, 68 H¨ ullfl¨ ache, 28 Gaußsche, 286 IEC Normenreihe, 99 Induktion, 90 Informationstechnik, 50 Grundaufgabe, 106 Innenleitwert, 67, 68 Innenwiderstand, 118 Integralgr¨ oße, 6 Integrierschaltung, 231 Inzidenzmatrix, 306 Isolator, 13 Joule, 45 Kaltleiter, 90, 101 Kennlinie

Index

fallende, 87 Kennliniengleichung, 67, 198 Kettenmatrix, 150 Kettenpfeilsystem, 147 Kettenschaltung, 178 Kirchhoffsches Gesetz, 27, 28, 39 Kleinsignalaussteuerung, 96, 190 Kleinsignalparameter, 203 Kleinsignalverhalten, 138 Kleinsignalwiderstand, 96 Klemmenerdung, 363 Klemmenmanipulation, 359 Klemmenspannung, 67 Klemmenstrom, 67 Knoten, 241 Knoten-Zweig-Inzidenzmatrix, 278, 306 Knotengleichung unabh¨ angige, 239 Knotenleitwert, 276 Knotenleitwertmatrix, 271, 276, 293 Knotenquellenstromvektor, 293 Knotensatz, 27, 28, 238, 279, 310 Knotenspannung, 271 Knotenspannungsanalyse, 270, 274 Knotenunterdr¨ uckung, 365 Kohleschichtwiderstand, 99 Kollektorschaltung, 207, 296 Kompensation, 116 Konstantspannungsquelle, 132 Konstantstromquelle, 130 Kontinuit¨ atsgleichung, 15, 21 Konvektionsstrom, 22 Koppelleitwert, 276 Koppelwiderstand, 256 Kraftwirkung, 8 Kurzschluss, 62 praktischer, 104 Kurzschlussstrom, 62, 66, 118 Kurzschlussstrom¨ ubersetzung, 182 Kurzschlussstromverst¨ arkung, 154, 212 Kurzschlussversuch, 120 Ladung, 15 bewegte, 8 elektrische, 10, 11

425

Ladungserhaltung, 15 Ladungstr¨ agerdichte, 13 Ladungstrennung, 38 Ladungsverteilung, 14 Lastwiderstand, 122 optimaler, 137 Leerlauf, 62 praktischer, 105 Leerlauf¨ ubertragungswiderstand, 149 Leerlaufspannung, 62, 67, 118 Leerlaufspannungsverst¨ arkung, 154, 212 Leerlaufversuch, 120 Leistung angebotene, 107 elektrische, 47 maximale, 135 verf¨ ugbare, 107 Leistungsanpassung, 107 Leistungsbilanzgleichung, 50 Leistungselektronik, 4 Leistungsmessung, 50 Leistungssatz, 50 Leistungsumsatz, 106, 134 Leistungsverst¨ arkung, 183 Leistungswirkungsgrad, 137 Leiter linienhafter, 77 metallischer, 25 Leitf¨ ahigkeit, 74 Leitwert, 79 differenzieller, 96 Zusammenschaltung, 81 Leitwertmatrix, 150 Linienintegral, 409 Linienladung, 14 Loch, 12 Masche, 241, 307 Maschengleichung unabh¨ angige, 239 Maschensatz, 39, 40, 238, 260, 311 Maschenstromanalyse, 250, 269 Maschenwiderstandsmatrix, 256 Masse, 214, 272 Mayer, 68

426

Index

Mayer-Theorem, 117 Mehrtor, 355 Messbereichserweiterung, 111 Metall, 13 Metallglasurschichtwiderstand, 100 Metallschichtwiderstand, 100 Mikroelektronik, 4 Miller-Theorem, 376 Mitkopplung, 223 Naturkonstante, 396 Nennwiderstand, 99 Netzliste, 333 Netzwerk aquivalentes, 381 ¨ duales, 383 mehrpoliges, 341 planares, 245 Netzwerkelement, 58 Nichtleiter, 13 Norator, 213 Norton, 68 Norton-Theorem, 117 NTC-Widerstand, 100 Nullator, 213 Ohm, 75 ohmsches Gesetz, 75 Operational transconductance amplifier, 214 Operationsverst¨ arker, 211, 219, 351 idealer, 221 Ortsvektor, 406 OTA, 214 Parallelreihenmatrix, 150 Parallelschaltung, 81, 177 Permittivit¨ at, 16 Permittivit¨ atszahl, 16 Potentiometer, 84 Potenzial, 34 elektrisches, 32 Potenzialdifferenz, 35 Potenzialgef¨ alle, 20 Probeladung, 18

Proton, 7 PTC-Widerstand, 101 Punktladung, 12, 14 Quelle gesteuerte, 159 Quellen ¨ Aquivalenzbedingung, 68 Teilungssatz, 372 Versetzungssatz, 372 Zusammenschaltung, 64 Quellenleistung, 107 Quellenspannung, 37, 62 Quellenstrom, 62 Quellenteilung, 263 Quellenversetzung, 263 Raumladung, 14 Raumladungsdichte, 14 Rechtssystem, 405 Reihenparallelmatrix, 150 Reihenschaltung, 81, 176 Reziprozit¨ ats-Theorem, 374 Reziprozit¨ atsbedingung, 375 Richtungssinn, 35 Ringwiderstand, 256 R¨ uckkopplung, 141, 223 R¨ uckwirkungsleitwert, 205 Schaltelement, 127 Schaltungssimulation, 59, 333 Schichtwiderstand, 80, 99 Schleife, 241, 307 Schleifen-Zweig-Inzidenzmatrix, 261 Schleifenanalyse, 314 Schleifenstrom, 314 Schmitt-Trigger, 228 Schnittmenge, 308 Schnittmengenanalyse, 316, 317 Schnittmengenverfahren, 274 Siemens, 80 Skalarprodukt, 407 Spannung, 32, 33 Spannungs¨ ubersetzung, 181 Spannungsabfall, 34

Index

Spannungsfolger, 223, 228 Spannungskompensation, 106 Spannungsmessbereichserweiterung, 112 Spannungsquelle ideale, 62 spannungsgesteuerte, 161 stromgesteuerte, 162 Spannungsteiler einstellbarer, 83 Spannungsteilerregel, 83, 175 Spannungsteilerschaltung, 117 Spannungsverst¨ arker, 214 Spannungsverst¨ arkung, 154 Sperrbereich, 89 Steilheit, 183, 205 Steilheitsverst¨ arker, 214, 219 Stern-Dreieck-Umwandlung, 85 Sterngraph, 272 Steuerung leistungslose, 161 Str¨ omungsfeld, 20, 74 Strahlung elektromagnetische, 26 Strom, 20 zeitver¨ anderlicher, 26 Strom¨ ubersetzung, 182 Stromdichte, 25 Stromkontinuit¨ at, 22 Strommessbereichserweiterung, 111 Strommesser, 31 Stromquelle ideale, 62 spannungsgesteuerte, 162 stromgesteuerte, 162 Teilungssatz, 372 Stromrichtung, 24 technische, 24 Stromspiegel, 209 Stromst¨ arke, 20 Stromstoß, 30 Stromteilerregel, 84 Stromverst¨ arkung, 182 Superknoten, 285

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Superknotenverfahren, 282, 285 Supermaschenverfahren, 264 Superpositionsprinzip, 124 Supraleitung, 79 T-Schaltung, 173 Teilchenmodell, 8 Tellegen-Theorem, 387 Temperaturkoeffizient, 78, 90 Th´evenin, 68 Torbedingung, 144, 176, 355 Transadmittanz, 183 Transferkennlinie, 194 Transferkennlinienfeld, 193 Transimpedanz, 154, 182, 212 Transimpedanzverst¨ arker, 214 Transkonduktanzverst¨ arker, 214 Tunneldiode, 88, 90 ¨ Uberlagerungssatz, 123, 187 ¨ Ubertragungsadmittanz, 183 ¨ Ubertragungsgr¨ oßen, 181 ¨ Ubertragungsimpedanz, 182 ¨ Ubertragungskennlinie, 139 ¨ Ubertragungsleitwert, 154 ¨ Ubertragungswiderstand, 150, 154 Umkehrsatz, 374 Umkehrverst¨ arker, 223 Umlaufintegral, 411 Urspannung, 37 Varistor, 88 Vektorfeld wirbelfreies, 411 Vektorprodukt, 407 Verbindungszweige, 243 Verbraucherleistung, 107 Verbraucherpfeilsystem, 48 Verbraucherzweipol, 144 Verlustleistung, 107 Verst¨ arker, 192 invertierender, 223 nichtinvertierender, 223, 227 Vierpol, 143 Viertelbr¨ ucke, 116

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Index

Vollbr¨ ucke, 116 Volt, 35 Volumenintegral, 415 Vors¨ atze, 400 W¨ armekapazit¨ at, 101 W¨ armeleitwert, 101 W¨ armewiderstand, 101 Wellenwiderstand, 184 Wheatsone-Br¨ ucke, 142, 149 Widerstand Bemessungsgleichung, 77 Definition, 75 differenzieller, 88, 96 linearer, 75 negativer, 49 nichtlinearer, 100 ohmscher, 74 Schaltzeichen, 77 spezifischer, 78 temperaturabh¨ angiger, 94 thermischer, 94 Zusammenschaltung, 81 Widerstandsmatrix, 150 Wirkungsgrad, 47, 51, 107 Z¨ ahlpfeil, 35

Zahlenwertgleichung, 402 Zweig, 241 Zweig-Maschen-Inzidenzmatrix, 259 Zweigbeziehungen, 238 Zweigstromanalyse, 247 Zweipol, 60 aktiver, 60 nichtlinearer, 87 passiver, 60 resistiver, 60, 95 spannungsgesteuerter, 88 stromgesteuerter, 88 zeitvarianter resisitver, 97 Zweipoltheorie, 117 Zweitor, 144 aquivalentes, 381 ¨ aktives, 146 erdunsymmetrisches, 145 Kleinsignaldarstellung, 202 nichtlineares, 200 passives, 146 r¨ uckwirkungsfreies, 159 reziprokes, 157 symmetrisches, 145, 157 umkehrbares, 157 Zweitorersatzschaltungen, 166 Zweitorwiderstandsmatrix, 360