Grundkurs Wirtschaftsmathematik. Prјfungsrelevantes Wissen - Praxisnahe Aufgaben - Komplette Lusungswege

Benjamin Auer / Franz Seitz Grundkurs Wirtschaftsmathematik

Benjamin Auer Franz Seitz

Grundkurs Wirtschaftsmathematik Prüfungsrelevantes Wissen Praxisnahe Aufgaben Komplette Lösungswege 2., vollständ ig überarbeitete Auflage

•

GABLER

Bibliog rafische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie: detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

Dr. Franz Seitz ist Profe ssor für Volkswirtschaftslehre, insb esondere Geld und Finanzen sowie Wirtschaftsmathematik an der Hochschule für angewand te Wissenschaften Amberg-Weiden. Dipl .-Betriebsw. (FH) Benjamin Auer ist Doktorand an der wirtsc haftswissensc haftlichen Fakultät der Universität Leipzig sowie Buchautor in den Bereichen Mathematik, Statistik und Buchführung .

1. Auflage 2006 2. Auflage 2010 Alle Rechte vorbehalten © Gabler I GIfN Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010 Lektorat: Jutta Hauser-Fahr I Renate Schilling Gabler ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Seience-Business Media. www.gabler.de Das Werk einschließlic h aller seiner Teile ist urheberrechtlich gesc hützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen , Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitu ng in elektronischen Systemen . Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: Ten Brink. Mepp el Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleicht em Papier Printed in the Netnertanos ISBN 978-3-8349-1414-9

Vorwort Vorwort zur 2. Auflag e Liehe Leserinnen und Leser,

mit dieser 2. Auflage erscheint "Grund kurs \'\!irtscbaftsmathematik" in \'ollsländig neuer Optik und in ha ltlich komplett überarbeitet. Konkrete Reche n be ispiele wurden in leserfreundlicher FOl1n vom theoretischen Text abgehoben und Gleichungen zur besseren Refe ren z nummeriert. Die Fehler, d ie sich in d ie 1. Auflage etngeschl ichen hatten, wurden korrigiert und die Inh alte um weitere The men he re iche erwe itert. So werden nun z.B. auch Abschreibungen , das r\l:wton-Vt.'rf:liuen zur Nullstellenbesummung. die Rege l von ], Ho spital. numerische tmcg rauonsve rfuh rc o. elementare Differenzialgleichungen. Matrizengleichungen Lind die line are üptimierung thematisiert. Auch d e r Online-Service zum Buch unter u.u-tn.u-ima-aucr-seitz.dc wurde überarbeill'l und e rwe itert. \'('ie hisher finden xich dort d ie Grafike n des Buche s zum Einsatz in der Vorlesung, e ine au f das Buc h abgestimmte Formelsammlung und zahlreiche Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen. Darüber hinaus bieten wi r nu n auch e ine Vielzahl von M'i-Exce l-To ols , m it denen Rech c nbetsp te le und Verfahren einfach nachvollzogen und prakt isch umgesetzt werden können. Sie sind in der Pra xis insbesondere für finanzmathemat ische Frageste llunge n, n umerische Verfah re n un d d:IS Lösen von Gleichungssystemen rele vant. Imme r d ann , wenn zu einem Thema oder Beispiel ein en tsprechendes Tool im Online-Service zur Verfüg u ng steht, wurde d ies durch das Symbol Q. um Seitenrand kenntlich gemaein. ncnntzernamen Emd Passn-ort für den ZU,L:;mg zum Online-Service kö nn en Sie über das Kon taktmen u auf www.wima-auer-seitz.de anfordern . \Vir wünschen an dieser Stelle allen Lese rin ne n und Lese rn viel Erfo lg bel der Arbeit mit dem Lehrbuch und den ncuen Materialien. Wir d anken Glxela Hec ke r, Pro f. Dr. Han s ltc n ke r, Prof. Dr. Martl n Biewen, Pro f. Dr. Frank Brand , Pro f. Dr. Clandia Cottin , Prof. Dr. Ik g in:l Fisch e r, Pro f. Dr. Gcrt -Ha rald Frö h lich, Pro f. Dr. An d rc as Oad .usch . Dr. Andrcus Hil pc rt. BiOm jensen , Anas msia LUj:I, Prof. Dr. Volker Nollau, Stefan Rieh!, Pro f. Dr. Albe rt Hufr, Pro f. Dr. Ulrich Sax , Prof. Dr. Rain e r Schwabe. Pro f. Stcphun Dempe, Prof. Dr. jürgcn Strohel und Pro f. Dr. Rudolf Voller für wertvolle Hinwe ise und verbesserungsvorschlage. Be so nd e re r Dan k g ilt He rrn Steffen ß urk ha rdt für e in abschliege ndcs Ko rre ktu rle sen .

wetden i. d. O Pf. und Lei p zig , Augu .~t

2009 Prof. Dr. Franz Setrz Dipl --Betrie bsw. (1' 1[) Be njamin H, Aue r

VI

Vorwort zur 1. Auflage Lie be Leseri n nen und Leser,

mit d iese m Buch liegt Ihne n e in \X'crk vor , <.b.~ Ihne n d ie wese ntliche n Themenbereiche de r W'irtscha ftsl11athc mati k vers tändlich, anschau lich und doch knapp näherbringen soll. Vergessen Sie Mathe matikb ücher. he i dene n Sie he re its nach den ers ten Seilen an sich zu zweifeln be ginne n , da Sie kein e inzi ges \X/ort ve rstehe n . Diese s wirtsch aftsmathematische Grundlagenbuch soll Ihne n als Lehre ndem helfe n, das hei kle Thema Mat hemat ik vers tändl ich und studentengerech t für Ihre n Unterricht aufzu bereiten. Ihne n als Stud ierenden soll es da zu d teo e n. alle relevanten Themen fü r Ihre Klausu r noch einmal zu wiederholen und mit Hilfe zahlreicher Übung-aufga ben 7.U fes tigen . Be i der Lösung dieser Aufgab e n werden Sie nic ht allei ne gel assen. Anders als in anderen Lehr büche rn wird Ihne n nic ht einfach e in Erge bnis oh ne Reche nwe g und Erläut e rung präse nucrt. Standessen wird nachvollzieh bar und anschaulich jeder e inzelne Rec he nschrill und die allgemeine vorgehe nsw ci xe erklärt . Be i der Darste llung der Themenbere iche achte n wir besonders a uf Klarheit. Auf komplizierte llerleitunge n un d Be weise verzichte ten wir be wusst, wo Sie unse res Erachtens nur das Vers tändnis be hinde rn und für Sie nu r von nachgeordneter Bedeu tung sind . Es we rden die trad itio nelle n Be reiche Analysis, lineare Algebra und Pinuuzmathcmatlk besproche n. Das Buch un tersche idet sich allerd ings von an dere n etnschlägtgen Le hrbüche rn in der speziellen Darstellungswe ise und Schwerpunktbtldun g. So wird im Kapitel zur linearen Algebra a usd rücklich au f die besondere Rolle der Determinan ten zur Lösung e ine r Vielzah l von Prob lemste llungen hingewiese n. Des \'<'e ite ren bietet dieses We rk ein e ige ne s Kapite l zu den in der Praxis be deute nde n \X'.Khstumsra ten lind deren un terschied liche Bcrechnun gswe tsc n , die Sie nahezu in keinem an dere n Lehrbuch finden. Und schließlich nim mt au ch d ie Be ha ndlung von Elastiz ftäten eine he ruusgchohcnc Stellung e in. \'\-'as dieses Buc h beso nders auszeichnet, ist die Tatsache , da ss es als Co-Produktion von Professo r und Student e ntstand en ist. So ist zum e ine n die sac hliche Richtig keit und zum anderen auch di e studentengerech te Da rste llung der The men gewährlo tstet . Dida ktik un d an wendungsorientierte \X.'i ssen schaft ko nnten dad urc h auf an schauliche \X'eis e kombin iert we rden. Zur Unte rstützung von Leh renden und Lerne nden wurde eigens d ie Inte rnetseite u-mr.u-ima-auer-seitz.dc e inge richtet . Hie r finde n Sie als Do ze nt alle Gra fiken des Ruches und we iteres Material zum Einsatz in de r Vorlesung. Als Student biet e n wir Ihnen zusä tzliche Übungsaufgaben inklusive der a usfüh rlich e n Lösungen und eine au f dax Buch abgest imm te Forme lsammlung. Allen Lesern wünschen wir a uf diesem Weg, dass sie zum eine n durch d ieses Buch Ihre Klausuren e rfolgre ich meistern und uuserdem e inen Zugang zu den interessan ten Frageste llunge n finde n, die sich mit Ililfe der Mat he matik löse n lassen . Bei Fragen , Anreg unge n und Kritik würden wir uns übe r eine k urze E·;\lail via ll '{/!ll ' .Il'iIIIti -aner-soitz.dc f,ehr freuen .

'x'etde n i. d. O pf., November 200,

Prof Dr. F..mz Settz Be n jamin R. Aucr

Inhaltsverzeichnis Vorw ort

.................. ...v

.

tnh a hsve rzetch n ts

Abb iklu ngsve rze tcb nis ..

Vll

.

Symbolvc rzc ich nis

.

.

XJII

.

.

XVIl

I Allgemeine Grundlagen

1

I. Aussag e nlogik

3

1.1 Einfüh ru ng

3

1.2 Log ische Ve rknüpfungen

... -1

1.."1 I.og isch t:' Folge rungen

... S

2. Me nge nlehre

9

2.1 Gr u nd lege nd es

9

2.2 Me ng enoperationen

2.3

..

.

;\k nge n~lge hr.l

11 13

3. Grundlag en d e r Arithmetik

15

3.1 Gru nd regel n d es Ik cbne ns ........

..15

3.1.1

Grundge se tze

.

15

3.1.2

Vorze ichenregeln

17

3.1.3

Binomische Fo rme ln

IH

3.1.1

Bruch rech nu ng

3.1.5

Um fo rm un g linearer Glcichungcn.c .

. ..

3.2 Summc n-, Produkt- u nd Fakultät szeichen

19 23 26

3.2.1

Sum me nzeichen

.

26

3.2.2

p rou uktze iche n..........

.

30

3.2.3

Fukultätsze icben und Binomialkoeffizie nte n

3.3 Ung leichungen und Absolu tbeträge 3.3.1

Ungleich un ge n

3.3.2

Absolutbet räge

.31 .

j .4 Po te nze n, 'x'u rzeln und l.11g;lrithm en .....

j .~

..

3.~

.36 .

3H

3.1.1

Po te n ze n m it na tü rliche-n Exponenten

..3H

3.4.2

Po te n ze n m it gun zzahügen Exponcntcn..

..41

3.4.3

Po te n ze n m it gebroche ne n Expo ne nte n öx'urzelru..

.42

3.4.1

Logarithm en

45

Inhaltsve rze ichnis

VIII

j.5 W'e ite re Gle ichu ngs typen

47

j.5.1

' x'ene re äquivalent e Umformungen

47

3.5.2

Q uadratisch e Gle ichungen

3.53

Wurze lgleich un ge n

3.5.4

Logar ithmusgleichungen

52

3.5.5

Prod ukt- und Qu ouentengtetchungen

54

4. Aufgaben

.

.

55

11 Hnanzmathematfk

61 . 63

1. Fo lgen und Reihe n

1 Folge n

.

1. 1.1

Grundla ge n

1.1.2

Arithmetisch e Fo lgcn

1.1.,3

Ge om e trische Folgen ....

49 .... 51

6j 63

.

64

..

6 '5

1.2 Re ihe n

66

1.2.1

Gr un dlage n

1.2.2

Arithm etis ch e Re ihe n .............

1.1.3

Ge ometrisch e Re ihe n

...66 .

67

1.3 Einige spezielle Rei hen ............... 1..~. 1

Unendliche geometrisch e Re ihe .

1..~ .2

Die Eulc r'sch e Zah l e..;

2. Finanzmathe matisc he Anwendung

66

..

6H ..6H 6H

..

..

69

2.1 Allgcmeincs ..

... 69

2.2 Zinsen....................... . 1.2.1

Einfache Verz insung

1.1.2

Zinscsains.. ;

2.2.3

Unterjährige lind stetigl' v crztnsun g

..

70 70

73

..

76

2.3 Rate n

7H

2.4 Re nte n

.

2..1 .1

Nachschussige Re nte n

2..1.2

v o rschüsstge Re ruc n. .

2.1.3

Kombin ationen a us Rate n un d Renten

2A A

Unterjährige Raten und Rente n

2.'5 Tilgungen

. ..

H1 Hl

H3 H'5 ...87

... H9

2.5.1

Allgemeines

H9

1.5 .2

Annuitätische Tilgung

90

Inhallsverzeichnis

IX

2.6 Abschreib un gen

..93

3. Aufgaben

97

111 FunkCio nen e iner Variablen

10 3

1. Pun kt tonsbcgrttf lind Fu nktionseige nsch ufte n

105

1.1 Defi nitio n

.

105

1.2 Darste llun gs form n

..

106

1.3 Ve rschied ene Fun ktio nstype n

109

1.-1 Pun knonsetgc nscbaftc n

113

2. Elem en tare Fu nktio nen

..129

...129

2.1 Ele men tare Fu n ktio ne n

2.1.1

G;lI1 Z ratio na le Funktion en

130

2.1.2

Gebrochen ratio nale Fun ktio ne n

13R

2.1.3

Algebraische Funktio ne n

14·1

2.1.'1

Transzendent Fu nk tio ne n

115

2.1.4.1

Expon c n zialfun ktio n

145

2.1.4.2

Lognnrhmusfunkuon

147

.

119

2.2 Spezielle Fu n ktio ne n 2.2.1

Ahsolu tfun ktion..... ....... .... .... ..... ......... ....

2.2.2

Minimum- lind Maxi mumfu nktion

2.2.3

Vorze ichenfu n ktion

...149 150

..

152

2.3 Ökonomische Fu n ktio ne n 2.3.1

Angebots- und Nachfragefunktionen

2.3.2

Um satz funktion

2.3.3

Koste nfun ktio n

2.3.4

Gew innfunktio n

153 153 155

.

156 .. 159

3. Differenzialrechnung

.

163

3.1 Einfüh ru ng

163

.'U De r Diffe re nzialq uoti ent

164

.L~

Technik des Diffcrcnz ic rens

3.4 D.IS Differen ziaL. ...............................

167

.

..

174

3.5 Das Newton-Verfahr en

176

3.6 Ku rve ndiskussio n allg emei ne r Fun ktionen

.

....17H

3.7 Disk ussio n ö kono misch e r Fu nktio ne n

.

..... IH4

3.7.1

Kos te nfun ktio n

IR:;

3.7.2

Um satzfunktion

189

x

Inhaltsve rzeichnis

3.7.3

Ge winn funktio n

190

3.7.4

Elusrizitäte n

197

3.7.'5

'c 'ach srum sr.uc n

.~.H

203

.

3.7.5.1

Stetige w achsrumsnucn . ..

.

.

203

3.7.5.2

Diskre te \'('ach stu msrate o

20=;

3.7.5.3

z us.uumen bänge

10R

Exk urs: Die Re gel von I' Hospital

. 2 11

4. Aufgaben

. 215

IV Fun ktio ne n m ehre rer Variablen

225

1. Beg riff, Da rste llung, Eige nschafte n

.

227

1.1 Bt:griff.

227

1.2 Dar stellu ngsform en

229

13 Funktionseigenschaften

236

2. Differe nzialr ech nung

239

2.1 Allgemdnl.'s.......

.

2.2 Partielle Ableitu ngen e rster Ord nung

239

.

239

2.3 Pani e lle Ableit unge n höherer Ordnung

243

2.4 Partielle s lind totales Differen zia l.......................

.

244

2.5 Ök o no mische Anw e ndunge n

.. 2"16

2.6 Ex trem w ert bestimm u ng

.

249

2.6.1

Absolute Extrem werte

250

2.6 .2

Einbe ziehe n von Neb e nbedingunge n

253

3. AufgaIJen. ......................................................................

.

259

V In tegralrechnung

26 3

1. Beg riff lind In teg rauonste ch r uk

26 5

1.1 Allgem ei nes 1.2 unbcsumnues Inte g ral

265 .

2(>5

1.3 Technik des Inte grie rens ........

..26 7

1,4 Bestimmtes Integ ral

........... ............

1.5 Uneigc ntliches lnteg rul

.27 1 ..2 H2

2. Ö konomische Anwen du nge n.

.. 2H5

2.1 Kosten -, Umsatz- un d Gewinnfunktion

2R5

2.2 Kon sumenten- lind Produ ze nte nre nte

2H6

2.3 In vestitio ne n lind Kapitalstu ck

2.1 Die Sta ndardnormalve rteilung

.

.

.

.

2HH 2H9

XI

Inhallsverzeichnis

2.5 Nu m..:rischt.' Integra tion sve rfahre n

.

292

2.6 Exkurs: Elem ent are Diffe re nzialgleic hunge n

295

2.6.1

Einfüh rung

295

2.(l.2

Lös ung von Differenzialgleichungen durch Variablentrennung

296

2,(l.3

Ökon omische Anw e nd ungen separubler Differe nzialgle ich unge n

29R

3. Aufgab en

301

Vll.ineare Algebra

303 305

1. Vek to ren

1.1 Ikgriff .. 1.2 O rd nun gsrelation en und Ve k toroperat ionen

.

305 306

.

1..~ Grafische Darste llung und Vektorraum

30R

1.4 vektorejgcnschafren

.

3 10

1.4.1

Lin c ar komhination \"(1O Vektoren

3 10

1.4.2

Une are Abhiingigkeit und llnabhiingigkt.'it

312

1/1.3

Einheits ve ktoren

315

1.4/1

Inte rpretatio n des skalaren Prod uktes

316

2. ;\l.l1 rizt.' n ........

.

3 19

2. 1 Begriff

3 19

2.2 Spezidie Matrizen

..

320

2.3 Ordnu ngsrel auonen und Mutrizenoperattonen

324

2..1 Ra ng e iner Matrix

333

3. Lin eare G leic.. hcngssysreme

335 ...335

3.1 Einführun g. ...

3. 2 Lösung lin ea rer Glc n-hun gssvstcme

337

3.3 Lin eare Abh änglgkeü I Lineare Unabhängigkeit

,JiO

3.4 De r Gaugsche Lösungsalgo rithm us

3,1 2

4. Determi na nten

349

4.1 Begriff, Berech nung und Eige nschafren

3'i9

-1.2 Determi nant e n und der ]{.mg vo n Murrtze n .

.. }';5

4..~ Dete r minant en und die Berechnun g vo n Inver se n .

.. 3';6

4.'1 De te rminant e n und lineare Gle tchungssvsteme 4.) Exkurs: ~1at ri ze n g l e ich u n ge n .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .

3SR ..

}';9

) . Lineare Optimierung ............. ............ .... 5. 1 Grundlagen 5.2 Das Simplexverfahren 6. Aufgaben

...361 .

361 366 373

XII

Inhaltsverzeichnis

VII Lösungen

379

1. Allgemei ne Grundlagen

3Hl

2. Hn an zmathcm.uik

.

391

3. Funktio ne n einer Variablcn....

.

103

4. Fu n kt io nen mehrerer Variablen

.

431

5. Integralrech nung

413

6. linea re Algebra

1) 1

Lit eratu rve rzeic h nis

-1 ())

SIich wort verzcich nis

·i 69

Abbildungsverzeichnis Abb ild ung 11 1: Ze itstrahl

69

Abb ild un g 11 2: Einfache Verzin sung .

..71

Ah hil d un g 11 3: Zinsesz ins.

..74

Abbildung 11 4: Endkapital he i vorschüsstge n Ratc nve rtr;igc n ............

.

7H

Ahh ild ung " 5: End ka p ital b e i nachschüsslgen Ratenvert rägen

HO

Ahhild ung " 6 : Barwert oachschüsstgcr Re nte n

.XI

Ahh ild u ng 11 7 : Barwe rt vorschüsvigcr Re nte n

.H4

Ah b il du ng 11 H: Kombinationen

H6

<JUS

Raten und Renten

Abb ild u ng 11 9: Allgemeiner Tilgu ngsplan bei an nuttäuschcr Tilgung

.

Abbildung 1II 1: Abbild un gen

.

Abbild ung 1II 2: Kart esisches Koord inat e n system

91 106

. 109

Abb ild un g 1II 3: Stet ige un d d isk rete Fu n ktio ne n ........

.

110

Abb ildung 1II 4: Eind eutige und ei n ei nd e utige Fun ktione n ..... ...........

..

111

Abbildu ng 1II 5: Nullstellen

..

I]j

Allh ild un g 111 6: Re lative Extre ma

114

Abb ild un g 111 7: Absolute Extre ma .

..

115

Ah h ildung 1II H: Stcigung..;

..

116

Ah hi ldung 111 9: SIL'igende und fallende Funktion

116

Ab b ild un g I 11 10 : Besch rän ktheit

1 17

Ahb ild ung 1II 11: Ko nka ve Fu nktio nen .

.

Ahbild ung 1II 12: Ko nve xe Fun ktio nen .

117 ..

Ahhi ld u ng 1II 13: Krümm un gsheispielfunktionen ..

IIH ..

I IR

Abb ild u ng 111 1'1: Grenzwerte

119

Ab bi ldu ng 1II 15: Stet ige und unste tige Fun ktio ne n

126

Abb ild u ng 111 16: Eleme n ta re mat hematische Fu nktio nen

129

Ab hi ld u ng 111 17: Lineare Fu nktio ne n

131

Abbildung 1II IR: Geradenste igung aus zwei Pun kte n ......

Abbildung IIJ J9: Nach oben/un ten geöffne te Para hd n .... Abbild ung 111 20 : Gestauc hte und gestreckte Parabeln Ab b ild un g 1II 21: xcllstellcn b t:i Pa ra bel n Abbildu ng 1II 22: Polste lle n he i gebroche n ra tio nalen Fun kuo ne n ..

..

1.12 ..

133 133 .. 135 ... 140

XIV

Abbildung JII

Abbildungsverzeichnis 2_~:

Ge rade Woks) und ungerad e (rechts) Polste lle n

141

Ab b ild u ng 111 z.1: wurzelfu nk uooe n

14.,

Abbild ung: JII 25: Ve rlau f von Exponen zialfunkrionen

H6

Abbildung III 26: Expo oc nzral- und Logaritlullu sfllokl ionen. ................

14H

Abbildung 111 27: Verl auf von Logarühmusfunktio ncn

.. 149

Ahh ildung: 111 2H: Vorzeichenfunktion

1.,2

Abbildung: 111 29: Angebots- und I\'a chfra gef unktio n ......

.

154

Abbildung 1Il 30: Umsatzfunktio ne n be i lineare r Pre is-Absatz -Funktion

ISS

Abbildung IIJ 3 1: Fixkoste ndegressio n

156

Abbi ld ung 111 32: Lin eare Kosten fu n k tion

157

Abbildung 1Il 33: Prog ressive Kostenfunkti on.. .............

.

Abbildung 1Il 3·1 : De gressive Kos te nfunktto n..

15B .

ISB

Abbild ung JII 35: Ertragsgese tzliebe Kos tenfun ktion

159

Abbild ung 111 36: Line are Gewinnfunktion

160

Abbildung 111 37: Differenzenquotient

164

Abbild un g IIJ 3A: Herle itun g Differenzialquotient

165

Abbildung 111 39 : Nicht d ifferenzierbare, aber stetige Fun ktionen

.

166

Abbild ung III 40: He rle itung Differenzial

... 175

Abbild un g 111 41: Newton-Verfah ren

177

Abbild un g 1II 42: Funktionsbe ispie l zu r Kurven diskussion

178

Abbildung 1Il 4:~ : Zusamrn e nhung zw ischen Steigung und Krümmung

18 1

Abbildung 1Il 44: Extre ma lind S:lItelpun kte .......

..IHZ

Abbiluung IIJ 45: Eige nscha fte n ert ragsgese tzliche r Koste nfunktio ne n

l H7

Abbild ung JII (16 : Langfristiges Angebot

192

Ahb ildun g 1Il 47: Kurzfristiges Ange bot

.

193

Abbildung IIJ 4H: Courno t-Pun kt be i linearem Koste nverl au f

196

Abbi ld un g If l 49: Cournot -Punkt bei ertragsgesetzhchcm Kost en verlauf

196

Abbildung 111 50 : Pre ise lustizitä r der Nachfrage

200

Abb ildun g 1Il 51: Umsatz und Elastiz itiit

.

202

Abbild ung IIJ 52: Diffe re nz stet iger und disk reter wachsturnsraten

209

Abbi ld ung IV 1: Pun ktkon strukt ion im dreidimensionalen Ra um

230

Abbildung IV 2: Ebene

231

Ahhildung IV 3: Graphen nichtlinea rer Funktionen

232

Abbildung IV 4: cctc ns-pa nbus-Bc dt ngung be i quadratischer Funktio n

233

Abbildung IV 5: Iso linie n be i q uad ra tische r Fun ktion

231

Abbildung IV 6: Maximum un d Minim um quadratischer Funktio ne n

... 237

xv

Abbildungsverzeichnis Abbildu ng IV 7: Steig ung un d Krümm ung e iner ('Wehe

23H

Ahhildu ng IV H: Extremwe rte m it horizontalen Tan genten

2'5 (l

Abbi ld un g IV 9: Satte lpunkt LInd parabcltscber Pun kt Abbil uung V 1: Fläche u nte r ei ne r Ku rve Abbildu ng V 2: Re ch le cksap p ro ximatio n .......

2'51 .

274

.

175

Abbil dung V 3: l-läche nin halt h ei var iabler truegrauonsgrenze

276

Abb ild un g V 4: Be stimmte In te grale und FLieh e n .

..277

Abbildung V 5: Flächen zw ischen Fun kt ionen

..179

Abbi ldung V 6: Ko nsum ent en rent e

2H7

Ab bildun g V 7: Pro duze nten rente

2HH

Ahhil du ng V H: Dicht efun ktio n Ahbildu ng V 9: Standardnormalve rte ilung

.

290

.

291

Abbildung V 10: Trapezapprox imation

29 1

Ah h ild u ng VI 1: Vektordurstellung im zweidimensionale n Rau m

309

Abbildung VI 2; Linearkombinuuon vo n Vektoren

311

Abb ild u ng VI .:t Pos itive und konvexe l.inea rko mbin.nion von Vek toren

311

Abbi ldung VI 4: Linear un abhängige Vek to ren im dreidime nsionalen Rau m

314

Ab bi ldung VI '5 : Ein he itsve kto ren im d reid imensionalen Rau m

.

Abbild ung VI 6 ; Vek to ren mit Ska larp rod ukt von KuH Ab b ild u ng VI 7: Ab laufschema des Sirnp lex \"erl"ah rens. ...........

31'5 317

.

370

Symbolverzeichnis Analys is (a llgeme in ) u, b,

C

x, y, z, x, x"

Ko nstant e n , Param eter

Varia b len Variable nwe rte Allquan tor ( fü r alle)

Existcnzqua ntor (ex istie rt ci n )

unendlich Imag inäre Zahl

L

n

=..r::I

Summenze ichen

Prod uktzeic he n Gle ichheitszeichen

>

Gröser-zc tchcn

<

Klei ne r-Ze ichen G röger-G le ich-Zeichen

Kle ine r-Gle ich-Ze iche n Ungleichheilsze iche n annä hernd g leic h n!

n-Fakultät

Absolute r w e n von a Binom ialkoeffizient

Aussage nlogik A, B, C

Aussage n , .\-Ie nge n

\V

wahr

I

falsch r\ egation Ko nju nk tio n Csowohl

v

D isju nk t io n Cen tweder

Imp lika tio n Äqu ivalenz

;I1s auch ") oder")

xvru

Abkür zungs- und Symbolverzeichnis

Mengenlehre

11 e

Mengen kla mmer

Elem e nt von Unive rsalme nge Leere .\Iengc Menge de r natürlichen Zahle n Menge der ganzen Zahlen Me nge der ra tio na le n Zahlen Menge der reellen Zah len

;\bdll igke it der Menge A Te ilmenge von u

Verein igu ng (ode r)

n

D urch sch mu ( un d)

A

Ko mpleme nt von A

1]

abgeschlosse nes Inte rvall

11 1I. 11

offen es Inte rvall halboffene Intervalle

Funktionen, Differenztale un d Inte grale f: X _ Y Abbildu ng (Funk tio n )

f

D ( f)

Defi nition sbereich

VOll

\\'( f)

\X'erte he reich

f

f(x)

Funktion einer Veränderlichen (x )

f '{x )

\'(10

Um ke hrfunktio n Pote nzfunktion

a'

Expo ne nzralfun kuon zu r Basis a

e'

Ex ponenziulfu n k uon zu r B:ISis e (e- Funkt ton)

log, x

Lognrithrnusfun ktion zur Basis a

log x

dekadische Logarithmus fun ktion

In x

natürliche Logarithmusfunkt ion

ma x] I

Maximumfun ktioll

mini I

Min im um fun ktion

sign(

Vorzeichenfunktion

laJ

Zahlenfolge mit dem allgemeinen Glied a"

,lim

Grenzwert für x geg en a

..

XIX

Abkürzungs - und Symbolverzeichnis

lim ,-+,,-

Grenzwert für x gegen a von links

lim

Grenzwert für x gege n a von rech ts


Diffe re nz zweicr y-We rte

,-+". t. y

Diffe re nze nqu otie nt


Diffe re nzial von y

dy

~,
(( xl

y

-r-v f d x"

•

(x)

n

d y f' "'( Xl d x" '

Diffe re nzialq uotie nt er ste r Ordnung, erste Able itung der Funktion Y.. I~ x ) nac h x Diffe re nzialq uotie nt zwei ter O rdnung, zwei te Able itun g der Funktio n y "" f(xl nach x Diffe renzialq uotient n-t er Ord nung, n-tc Ableitung der Funktion y = fix) na ch x Eb stizitiit von x b ezüglich de r Größe y

f( x" x,l

Funktion zwefe r Verände rlk-her (x" x,)

f(x" x" ... , x")

Funktion m it n veränderlichen

ay r ax,. ' ' 1

part ieller Differeozialquoueru ers ter O rd nung. ers te part ielle Ahlei tung de r Funktion y = f'(x"x " ... ) nach Xl

a' Y f " ax", ',',

part ieller Diffe re nzialq uutie nt zwei ter O rdnu ng, zwei te part ielle Ableitung der Funk tio n y .. f(x" x" ... 1 nach XL partieller gemischte r Differenzialquotien t zwei ter Ordnung, zwe ite ge mischte partielle Able itung der Funktio n f(x L, x,) nac h x, und x,

df-,

part ielles Differ en zial de r Funktio n f(x"x " .. ) nach x,


totales Diffe re nzia l de r Funktio n

f

Integralze iche n

! f( x ) dx

un bes timm tes Inte gral de r Funktio n f(xl

F( x )

Stammfunktion zur Fun ktio n l'(xl

"

hcsnrn mte s Inte gra l der Funktio n f(x) vo n a h is h

J f( Xl dx

t~x L ' X "

..

xx

Abkürzungs- und Symbolverzeichnis Lineare Algebra

a, h, " " x

A, 8, " ', X

Vektoren

Mnu-izen Matrizen ko effiz ienten

E

Ei n h efts mat rix

A'

Transponierte der Matrix A

A-'

In verse der Matr! x A

ud A

De te rmi r mruc der Matrix A

rg( A)

Han g d e r Matri x A

aui( Al

Adjungicrte d er Matrix A

G ricth isdlt'S Alphubet

u

Alp ha

I

Io ta

P

~ y

Beta

K

K

Kap pa

r

p Roh o Sigma

Gamma

A

A

Lambda

T

t

Tau

Ö

M

~

.\Iy

Y

u

Ypsilon

Epsilon

N

~y



$

Phi

S

Xi

X

X

Chi

H

~

Eta

0

v

Z

,

Delt a

0

Omikron

'l'

ljI

Psi

Theta

11

"

Pi

n

OJ

Omega

A

B

r 6 E

0

,

e

Zeta

I

ALLGEMEINE GRUNDLAGEN

Bevor wir näher auf die eige ntliche n Te ilgeb iete der Wirt sch aftsmalhemat ik eingehen , werd en in diesem ers ten Kapit el wichtige Grundbeg riffe und grund legen de Rechenregeln erlä utert . Das Kapitel gliede rt sic h in dre i Themen gebiel e:

•

Aussagenlogik

•

Mengenlehre

•

Grundlagen der Arithm etik

Es hand elt sich dabei größten teils um Lehrinhalte. die bereits aus der Schule be kannt sein sollten. Oie Erfahrung hat jedoc h gezeigt. dass Studie nanfä nge r auf gr und unterschiedl icher Lehrpläne bzw . Schulforme n hier mehr oder weniger sta rke Defizite aufw eisen . Ohne diese Grund lag en ist es häufig sch wierig, darauf aufbauende Th emen der W irtsch aftsmath ematik proble mlos zu verstehen. Man gelnde Reche nlertig keiten können als Hauptur sache für Schwierigkeiten von Studierenden in den mathematischen Anfängerv orlesungen betra chtet werden . Wer die hier dargelegten allgem einen Grundlagen nicht be herrscht, wird nie ein Gefühl der Unsicherheit beim Umgang mit Formeln überwinden können. Besonders Studierenden, die be reits eine regelrechte Angst vor der Mathe matik entwicke lt habe n, empfehlen wir daher dr ingend ein gründlich es Studium dieses ersten Kapitels. Fortgeschrittene werden diese Einführung höch stw ahrscheinlich als trivial empfinden und sollten direkt zu Kapitel 11 überge hen.

1•

Aussagenlogik

Unter Logik versteht man allgeme in die Lehre vom folgerichtigen Denken , d .h. vom kor rekten Schließen aufgrund gegebener Aussagen. Die Aussage nlogik verfolgt zunä chst

allgemein das Ziel, Aussagen mittels eines einfachen Formalismus in eine mathematische Form zu übertragen. Die so transform ierten Aussag en können dann for mal auf ihren Aussagegehalt überprüft, zu ne uen Aussagen verknüpft ode r Schlussfolgerungen aus ihnen gezogen werden. Mit diesen drei wesentl ichen Theme nbe reichen we rden wir uns im Folgenden auseinandersetzen.

-

1.1 Einführung Um Aussagesätze kompa kt darstellen und verarbe iten zu können, werden diese in der Aussagenlogik durch Zuweisung ein es Buchstabe ns oder Symbols abge kürzt, wobe i wir im Folge nde n ste ts mit late inischen Grosbuc hstaben arbeite n we rden. So können wir z.B. de m Aussagesatz "De r deutsch e Aktie ninde x (DAXl bat ein en Stan d von ) .noo lude xp unkten ." durch de n Buchstaben A kom pakt dars tellen . Anders a ls Frage n od er Auffo rde rungen besitzt e ine de rart ige Aussage A e ine n o bjektiven Wahrhe itsgeh alt, d.h . sie kann en twe der wa hr oder falsch se in. Be zugneh me nd auf uns er Beispi el ka nn der DAX also en tweder be i 5.000 Punkte n stehen oder nicht. Wir kön nen da her festhalten, d a.~s es sich be i e ine r ei n fac hen Aussage A allgem e in um e ine n Satz han del t, de r e ntweder Il'l/h rouer f alsch sein kann. Die be ide n Zustände wa hr oder falsch, die eine Aussage A au fweisen kann, beschreiben J en sog. wahrheitswert de r Aussa ge A. Diese n 'c 'a hrhettswe rt \, '(A) können w ir ab Variable betra chte n, die nur zwei Werte ann ehmen kann (b inäre variable). Es gilt da her W(A ) = wahr

oder

W(A)

=

falsch

\X'( A ) = w

oder

W(/'I.)

=

f

bzw. Jie Kurzform die wir im Fo lge nde n verwenden we rden . Bei einfache n Aussagen (vgl. D/'I.X-Beisp ie D lässt sic-h de r W'ahr heitswert relativ schnell und problemlos feststellen . Jedoch LIssen sich Aussag en a uch log isch verknü pfen , womit sehr schnell unü bersichtliche Aussagen en tstehen können . Wir sp rechen in diesem Zusammenha ng von eine r zu sam men gesetzten Aussage , we nn mehrere Aussagen d urch die zu lässigen v erkoüpfungsoperaroren "un d ' bzw. "cdet" unter Einbeziehung der Negation "nicht' miteina nde r verbunden we rde n.

4

-

I Allgemeine Grundlagen

1.2 Logische Verknüpfungen Be vor wir näher auf d ie logischen Verkn üpfungen "und" bzw. "od e r" e ingehen, wollen wir zunäch st klären , worum es sich be i einer sog. Negat ion handelt , die ge nau genommen nicht zu den logischen Ve rknü pfungen zählt, da nu r ei ne Aussage A involv iert ist. Unte r einer N egation oder Verneinurig vers tehen wir die Um keh rt/ ug des \fIahrbettsu-enes ein e r Aussage . Formal wird die x c ga uo n einer Aussage A a ls ...,A (oder häufi g auch als A) ausgedrückt. \'('ir sprechen "nicht A". Die Negation ..., A ist wahr, wenn A falsch ist; sie ist dagegen falsch . wenn A wahr ist. Ihre \'(.'ahrhe its+ werte la s.~ ~ n sich daher in fo lgender IVah rheils(aji.'/ übe rsichtlich darstellen : Ausga ngsa ussa ge

Negation

A

~A

r

w

r

w

Beispiel: Betrachten wir die Aussage A: "Die Sonne scheint.", so erhalten wir daraus die Negation .., A: "Die Sonne scheint nicht.". Ist A wahr, ist .., A falsch und umgekehrt.

Aus einfachen A ll s,~ a ge n lassen sich durch die O pe ratio ne n Ko njunktio n un d Disjunk tion ne ue, zusa mme ngesetzte Aussage n bilden , Unter der Konju n k tion versteh t man die Verklliipf u llp, s-on AussageIl durc h das logische UAD. Sie w ird durch das Zeichen 1\ dargestellt und umgangssprachlich du rch "so wo hl ... als auch ,.." ausgedr ückt. Die Ko njukncn A 1\ B zwe fer Aussagen A und B ist nur dann wahr, wen n bcide Aussage n gleichze itig wahr sind. Ist nur eine Aussage falsch, so ist die gesamte Ko n junktion falsch . Die \'('ahrhe itstafel der Ko n junktio n zeigt daher folgendes Bild : Allsga ngsaussage n A

B

w

w

w

r r

r

w

r

Konjunktio n A I\B w

r r r

Die Wabrheitstafeln lisren also alle möglichen Werte kom binationen der einfachen Ausgangsa ussage n au f, denen der jeweilige W'ahrheitswert der zusammengesetzten Aussage zugeordnet w ird. Im Falle e ine r Ko n junktio n mit zw e i e infachen Aussage n A und B e rhalte n wir daher 2' Kombinatio ne n, wo hingegen wir be i drei Aussage n bereits Z-' Ko mbinatio ne n erhalten würden ,

5

1. Aussagenlogik Beispiel :

A:

"Christian hat in Mathematik die Klausurnote 1."

B:

"Chrtstian hat in Statistik die Klausurnote 1."

A 1\ B: "Christian hat sowohl in Mathematik als auch in Statistik die Note 1." Hat Christian also in Mathematik und Statistik die Note 1, so ist die Konjunktio n wahr. Ist er nur in einem Fach schlechter als 1, ist die Konjunktion falsch.

Un te r e iner Disjunktion verstehen wir die V"rk ll t'ipjil1lg /'01/ ,1llSsag ell durch d as logisdJe ODER. Sie w ird d urch das Zeichen v dargestellt und umgangssprachbeb durch "entweder . . . oder " . oder bctdc s' ausgedrückt . Oie D isju nk tion A v B zwc tcr A ussagen A und B ist wahr, we nn mindeste ns eine der beiden Aussagen wahr ist; sie ist n u r dann falsch , we nn bcide Aussagen falsch sind. Es erg ibt sich damit folgende Wahrhcitstafd:

Disjunktion A

Il

Av B

w

w

w

w

r r

r

w

r

w w

f

Beispiel:

A:

"Martin kauft sich ein neues Auto."

B:

"Mattin kauft sich einen neuen Computer."

A v B: "Martm kauft ein neues Auto, einen neuen Computer oder beides." Die Disjunktion der Aussagen A und B ist also nur dann falsch, wenn sich Martin weder ein Auto noch einen Computer kauft. Wird nur ein Auto, nur ein Computer oder beides geka uft, ist A v B wahr.

-

1.3 Logische Folgerung en Neben der Beu rteil ung des \'('ahrheit sgeh:dtes einfacher und zusammengesetzter Aussagen spielen Schlussfolgerungen vom wahrheuswert einer Aussage auf den einer and eren in der Aussagen!ogik eine bedeutende Roll e. Sind zwei Aussagen A und B durch " Il'f! I I1I A . dann 11" verknüp ft , sprechen wir von einer sog. Implikation . Sie wird durch einen p fei l --+ dargestellt , sodass w ir A --+ B schreiben können . D ie Aussage A wird ab V0 1'lJIISS(-'[ Z lIlIg , d ie Auss'lge B als Schll/ssjolgert/Ilg be zeich n et. \'fenn A wah r ist, isl nämlich auch B wahr. Dies bedeu tet allcrdtngs n ich t, dass, wenn A falsch ist, auch B falsch ist. Die zusammengesetzte Aussage A --+ B ist n ur dann falsch , wenn aus einer w ahren Voraussetzung die falsche Schlussfolgerung gezogen wird. D ie \'('ah rheit sl afel einer I mpli k ation erg ibt sich daher w ie folgl :

I Allgemeine Grundlagen

6

Ausgangsaussagen

A

r r

Imp l ika tion

B

A --+ B

w

w

f

f

w

r

w

w

Beispiel : A:

"Ich habe in der Mathematikklausur eine 1,"

B:

"Ich werde richtig ausgelassen feiern."

A --+ B: "Wenn ich in der Mathema l ikklausur eine 1 habe, dann werde ich richtig ausgelassen feiern."

Folglich gilt, dass die Aussa ge A hinreichende Bedingung dafür iSI , dass Aussage B wahr ist (A --+ B). Ein e I in e in er Math e m atik klausu r ist sicherlich Grund genug für ausge lassenes Feie rn . \'('äre eine 1 in de r M athemankklau sur de r einzige Grund

im Le be n, richlig ausgelassen zu feiern , so wäre die Aussage B notwendige Bedingung für Aussa ge A (B --+ Al. Da es aber auch andere Gründe für ausgelassenes Feie rn gibt, ist in diesem Be ispiel B keine no twendige Bed ing ung für A. Gilt für ZWf.' i Aussagen A -e B und B -e A, so sag t man, es liegt e ine umk eh rbare log ische Schlussfolgerung oder auch Äquivalenz vor. Allgeme in ve rsteht man unter Äq u ivale n z u ie Verknüpfurig zweier Aussage n A und B durch »uen n A , da nn 13 und w e lll! 13. dann A". Sym bolisch können wir Äqu ivalenz d urch einen Doppelpfe il e-e uusdr ücken , sodass w ir zwei äqulvalenre Aussage n A und B als A H B dars tellen kö nne n. Oie zusammengesetzte Aussage AHn ist falsch, wenn ein e der be ide n Aussagen wahr und die andere falsch ist, da sie sich ja gegenseit ig irnplizieren . Sie ist nur wah r, wenn beide Aussagen gle ichzeitig wa hr oder falsch sind. Die Wa hr he itstafe l hat daher folge ndes Ausse he n : Ausga ngsa ussagcn

Äquivalenz

A

B

AH B

w

w

w

w

f

r

f

w

f

r

r

W

Da A H B nichts anderes als "A impliziert B, und B impliziert A ." be d e utet, ist iede der be ide n Aussage n hinreichend und notwendig für d ie je weils andere . Man saW auch , A gilt ge rlall dann, wenn die Aussage B gilt.

1. Aussagenlogik

7

Beispiel:

A:

"Willi besteht die schriftliche Führerscheinprünmq ."

B:

"Willi hat in der Prüfung weniger als 5 Fehler."

A H B: "Notwendig und hinreichend für das Bestehen der Prüfung sind weniger als 5 Fehler." Anders ausgedrückt: "Willi besteht genau dann die Prüfung, wenn er weniger als 5 Fehler hat." Wenn Willi die Führerscheinprüfung besteht, dann hat er wohl weniger als 5 Fehler (A -t B). Bei weniger als 5 Fehlern hat er die Prüfung bestanden (8 -t A).

2.

Mengenlehre

In diesem Abschnitt geben wir einen kompakten Überblick über wesentliche Grundlagen der Mengenlehre, die im weiteren Verlauf noch relevant sein werden. Neben der allqemeinen Definition und Darstellung von Mengen gehen wir dabei auf spezielle Mengen, Beziehungen zwischen Mengen. Mengenoperationen und auch auf bedeutende Regeln und Geselze ein, die bei Mengenoperali onen zu beachten sind .

-

2.1 Grundlegendes Grundsätzlich verstehen wir unter einer Menge e ine Zusammenfassung von Eleme nten , die sich eindeutig i -oncina nder unterscbctden lasse n. Mehrfach ne nnunge n ein es Ele me ntes in einer .\ lenge sind also nich t zllläss iA. Mengen werden in der Regel mit großen late inischen Buchslabe n A, R, C, ''', i hre

Elemen te mit late inische n Kleinb uchstabe n a, b , c, ... be zeich net. Wollen w ir ausd rücken, dass ei n Ele me nt a zur ;\t e n g~ A gehört, schreiben wir u E A. "<'a ll ~ n wir tbs Gegenteil aussagen. a e A. Die Definition eine r Me nge e rfolgt entweder durch d ie exp lizite Aufzäh lu ng oder die implizite Bes chreihung der Ele men te der Men ge. Die Anzahl der untersc heidbaren Ele me nte einer Menge A, die auch als deren Mächtigkeit be zeichnet und mit n(A) abgekürzt wird , bestimm t dabei meist , we lche Form der Darstellung gewählt wird. Ist n(a ) w og, jedoch e ndlich , wird uie e xpltz fte For m de r Hcschreibun g be vorzugt. Liegt eine unendliche .\lenge vor, so ist e ine ve rk ürzte Aufz ählung der Ele mente üblich. Bei allen Formen e rfolgt d ie Aufzilhlu ng bzw . Beschrei bu ng innerha lb geschweifter Klamme rn. Be i der implizite n Form wird in de r geschwe iften Klamme r zunäc hst ein Eleme nt stellvert retend für alle ande re n Eleme nte allgemein genannt. Gefolg t vo n e ine m se nk rechte n SIrich wird dan n die um fasse nde unr.1 ei nde utige Beschreibung des stellvertretenden Ele me nts mit Hilfe mathemat ischer Symbole und/ oder verbaler Sätze aufgeführt. Beisp iel : Betrachten wir eine endliche Menge B, die die Elemente 7, 8 und 9 beinhalten soll. Wir können diese explizit als B '" {7; 8; 9} oder implizit als B = Ix I 6 < x < 10 1\ X ganzzahfig} darstellen. Die implizite Darstellung bedeutet dabei verbal "alle x mit der Eigenschaft: x größer 6 und kleiner 10 und zugleich x ganzzahlig", was nur von den Zahlen 7, 8 und 9 erfüllt wird. Da hier die Mächtigkeit der Menge nur bei n(B) = 3 liegt, ist die explizite Darstellung zu bevorzugen.

10

I Allgeme ine Grundlagen Eine unendliche Menge C, die d ie Zahlen 7, 8, 9 und alle ganzen Zahlen größer 9 bein halten soll, würden wir als C = {7; 8; 9; .. .} def inieren, wobei "...~ die restlichen Elemente der Menge repräsentiert . Die Mächtigkeit der Menge C liegt in diesem Fall bei n(G) = 00 .

Während wir be lie big e Me nge n mit lateinischen Grosb uc hsrabe n be ze ich ne n, habe n steh in der l.ner.uu r eine Re ihe spezieller Symbole fü r besondere Menge-n e ingebürgen. So wird e twa die leere Menge , die ke ine Ele me nte bei nhaltet, mit 0 u nd die u ntversalm cn ge . d ie bezüglich einer Anzahl an un tersuch ten Elem ente n ,

alle Elemente enthält, m it n benann t. Dur über hinaus gilt für J ic in der Mathematik relevan ten z ahle nmengen folgendes :

Die Stenge der natürlichen Zahlen be tn halt et die Zah len 1, 2, 3, ... m it deren Hilfe Gegensunde ahgedhlt we rden . Sie ist definiert als

N = {l, 2, 3, ...) . Erwei te rn w ir die natürlich en Zahlen um die () und alle negativen Zahl en, so erhalte n wir die :>'I enge der WIllzell Lab/eil als Z= { ...; - 2; - I; 0; I; 2; ...} .

Erweitern wir die Menge der ganzen Zahlen um d ie Zahlen, die sich als Quotient

einer ganzen und e ine r nat ürlichen Zahl bzw. als abbreche nde (z.B. 1/2 '" (5) oder nichtabbrechende (z .B. 1/ 3 = 0,333... ) periodische De zimalz ah l darstel len lassen , erg ibt sich die :\lenge der rationalen Zahlen als

Q = {qlq = m /n mit m e Z A n E N} . Die Me nge der retten Zahlen beinhaltet neben den ratio na le n Zahlen auch d ie sog. irra tio nale n Zahlen , so d ass wir IR = {rlr ist e ine rationale oder irratio nale Zahl } festha lte n können . Eine Zahl wird dann als irratio nal beze ich ne t, wenn ste steh nicht mehr als Quotient einer ganzen u nd e ine r na türlichen Zah l - lind damit auch nicht als pe rio disch e Dezima lza hl - darstelle n liisst. .Ied t: nichtperiodische De zimalzahl, bei der nicht aus den hish er ermittelten Dezimals te llen auf die noch fo lge nden geschlossen werden kann , isl somit eine irra tio na le Zahl. Typische Helspiele hie rfür sind d ie Kn-iszahl n "" 3, 14159 2. .. , die Eule r'scbe Zahl e '" 2,7IH2HL. .. und be stimmte wurzeln. Um auszud rücken , dass nu r positive oder nega tive \X'ert e aus diesen spez iel len Mengen hetruchct werden, w ird d tcs durch e in hochges te lltes "+" hzw. "- " gekcnnzeichnet. Positive reelle Zahlen sind demnach mit 1R+, negat ive mit 1R- benannt. Ve rgleichen w ir d ie e inzelnen Ele me nte zwe ie r Mengen mite inander, sind wir in der Lage O rdn u ngsbeziehungen zw ischen d e n Mengen he rzu ste lle n. Be sitze n zwei Stengen A u nd B d ie g leichen Eleme nte , sprechen w ir von Mengengle ichheit und können A .. B schreiben. Beso nd ers bei m vergleich vo n Me nge n u nd be i Mengenoperationen t vg l. 1 2.2 ) sind ven n-tnagmmme hilfreich . Dtc sc stellen Mengen als Kreise dar, wodurch steh im Fall der Mengengleichheit fo lgen d es e rgibt:

A

8

2. Mengenlehre

11

Beispiel:

== {±.J9}

Betrachten wir die beiden Mengen A und B == {3; - 3}, so stellen wir fest, dass beide die gleichen Elemente beinhalten, sodass A == B gilt.

Ergibt der Vergleich der Ele me nte zweler Me nge n A und B, dass alte Eleme nte von A auc h in B e n thalte n sind, xo sagen wir, dass A ei ne Tetlmenge von B ist und schreiben A c: B. \X!ir ve rse he n das klassische Te ilmengensymbol c hier mit ei nem Un te rst rich um zu verdeutlichen , dass die Me nge n A und B auch gleich se in können. Das d azugehörige veno- Dtagramm zeigt folgendes Bild:

Beispiele : 1. Betrachten wir die Mengen E == {2; 4; 6; 8; 10} und N . Da die Elemente 2, 4, 6, 8 und 10 aus E auch in der Menge der natürlichen Zahlen N vorkommen, gilt E c N. 2. Für die vorhergehend aufgeführten Zahlenmengen können wir N c Z c Q c R. festhalten. Dies bedeutet also, dass alle Elemente von N auch in Z, alle Elemente von Z auch in Q und alle Elemente von Q auch in IR. enthalten sind. Gerade im Zusammenha ng m it Te ilmenge n wird klar, dass die Ele me nte ei ner Menge seihst Me ngen se in kö nnen. So gilt etwa Z == 1...; - 2; - 1; 0; NI , d .h. N c Z und NE Z . Außerdem ist unmittelbar ein leuchte nd, dass zu den Teilme nge n ei ner

Menge A au ch imme r d ie lee re Me nge 0 und die Menge A sel bst gehört.

-

2.2 Mengenoperationen In d iesem Abschnitt befasse n wi r uns näher mit O pe ratione n , d ie a us me hre re n Mengen ei ne ne ue Men ge erzeugen. Zu diesen Zäh len die Vereinigung , de r Durchschnitt, d ie Diffe re nz und das Komple ment. Unter de r Vereinigung oder Vereinigungsmenge zweier Me nge n A und B vers tehen wir die M enge, die so wohl d ie Eleme nte von A als a uch d ie Eleme nte von B en thäl t. Formal schreibe n wir A u B ={xlx EA VX E B} , was sich im Verrn-Diagramm (gepunktet) w ie folgt darges tellt:

I Allgemeine Grundlagen

12

Beispiel : Betrachten wir die Menge n A '" {1; 2; 3} und B '" {3; 4; 5}, erhalten wir dara us die Vere inigung A u B '" {1; 2 ; 3; 4; 51.

Der Durchschnitt oder d ie Durch schninsme nge (xchn fumcnge) zwc icr Men gen A und R umfass t alle Eleme nte, die sowohl in Men ge A als auc h in Me nge B vorkommen . Es gilt A (l B =

{xlx E A i\ XE B} ,

was zu folgen dem venn-Dtag ramm füh rt. A

H

Beispiel: Der Durchsc hnill der Menge n A ,. {1; 2; 3} und B '" {3; 4; 5} ist A n B '" {3}, da das Element 3 sowohl in A als auc h in B enthal ten ist.

Hab e n zwei Me nge n A und B ke in Eleme nt gemei nsam , e ntsprich t ihr Durchschmu der leeren Men ge. Es gi lt also A n B = 0 . In e inem solchen Fa ll bezeich nen wir die bei de n Me nge n als dlsjunkt . Es sei auße rdem erwä hnt , dass de r Durchschnitt eine r Me nge A m it sich seihs t wieder die Me nge A er gibt , also A n A '" A gilt. Anlo ges gilt a uch für die Vere inigung, d.h . A u A "* A, Die Differenz oder Diffe renze nm en ge zwe ier Men gen A und B (A vermindert um Bl e nhält alle Ele me nte von A, d ie nic ht in B entha lten sind . \'{'ir schreibe n

A \ B = {xlxe A 1\ X e:: B}, was folgendes v e nn- Diag rarmn liefert:

H

Bei spiel : Betracht en wir zwei Mengen A = {1; 2; 3} und B = {3; 4; 5}, so ist A \ B = {1; 2}, da die Elemente 1 und 2 aus A nicht in B enthalten sind.

Sind A und B zwe i dis junk te Meng e n, so gilt A \ B = A lind B \ A '" B. Die Diffe re nz zweie r gleiche r Men gen e rgiht d ie leere Me nge, d .h. A \ A = 0.

13

2. Mengenlehre

Ist die Menge A e ine Teilmenge der :\lenge B, d.h . A s;:;; B, enthält d;IS Komple ment oder d ie Kom ple me ntärmen ge der Menge A bezügl ich der Menge B a lle Elemente de r Me nge B, d ie nicht in der Me nge A enthalten sind. Fo nn al gilt

was das folge nd e Venn-Diagramm liefe rt:

ß ~ ( ,~ J . .............

Beispiel: Betrachten wir zwei Mengen A = {1; 2; 3} und B = {1; 2; 3; 4; 5}, so gilt Elemente 4 und 5 zwar in B, jedoch nicht in A entha lten sind.

A-

{4; 5}. da die

Wir erkennen, dass das Komplement nichts anderes als eine spez ielle Fo rm der Differenz ist, d.h . A '" B \ A gilt. Es gilt uußcnlem , dass das Kom pleme nt eines Kom pleme nts wieder die Ursprungsmenge liefe rt. Im obigen Beispie l ist das Komplement von A'" [4; 51 nämlich gerade A '" 0 ; 2; 31.

2.3 Mengenalgebra Fü r die in Absclm ut I 2.2 behandelten Mengenoperanonen gehen eine Rei be spezieller Gesetze lind Re ge ln, welche in der folgenden Tabelle zusammengefasst sind. De m aufmerksamen Leser wird bei gerrauerer Betrachtung auffalle n, dass wir einig e davon be reits impliz it im Tex t be hande lt ha ben.

Gesetz tdem poreozgese tze

Bede utung AuA

A

An A = A

Ide ntitätsgese tze

Au 0 -A

A uQ -Q A n Q - A

Komplem entgesetze

An 0 .. 0 A u A",Q A nA"'0

Kommuta tivgesetze

Au B= BuA

Assoziat ivg eset ze

( A u In u C - A u

An B=Bn A (B

u C)

(A n B) n C - A n (B n C)

Distnbuü vgcsetzc

A u (B

rv C)

'" (A u B ) n (A u C)

A n (B u C) '" (A n B ) u (A n C) De Mo rgans Gesetze

( Au B)

An TI

(An B)

Au TI

I Allgemeine Grundlagen

14

Da die Dtstnbuuvgesetze und d ie Gesetzte von De Morgan a nders a ls d ie anderen nicht auf de n e rsten Blick nachzuvollziehen sind, be trach ten wir im Folge nde n die Aussage n dieser Ge se tze nochmals in Form vo n vcnn-Inagrammen, bei denen w ir zur besse ren Übe rsicht Hechtecke zur Symbolis ieru ng von Me nge n verwenden. Die Anmerkungen in Klamme m bezie hen sich dabe i je weils auf U;IS Ergeb nis der Me ngenopcrauonen. Be ginne n wir zunächst mit den beiden Distribut ivges e tzen .

c Au

(TI

n Cl

(A u R) n ( A u C)

(ein fach u. doppelt schraffiert )

tdop pclr schraffiert )

c

( A n B) u (A n Cl

A n lB u C) (do ppelt schraffiert)

Dc

~Io rgans

c

B

Iemfach

1I .

doppelt "d lraffk n)

Geset ze lassen sich w ie folgt veranschaulichen :

n

( A u IH

An B

tein fach schrafflvrt )

(dop pelt ,.c. h rafflcrt )

n

n

(A n IH

ÄuH

tcin fach schraffiert)

tcinfach u. doppck st"hraflkn )

3.

Grundlagen der Arithmetik

In diesem zentralen Ab schnitt unseres Einf ührun qskapitels behand eln wir die wichtig sten Regeln für das Rechnen mit reellen Zahlen. Beginnend mil allgemeinen Rechenregeln , dem Lösen einfacher linearer Gleichungen, kompakter Darstellung mathe matisc her Ausdrücke dur ch Summen- und Produktzeichen und dem Umgang mit Ungl eichungen und Abso lutbeträgen lege n wir unseren Schwerpunkt auf die von vielen Studienanfänge rn gefür chte ten Potenzen, W urzeln und Logarithmen bzw. die für sie gellend en Rechenvorschriften. In diesem Zus ammenhang ge hen wir auße rdem auf das Lösen quadr atischer , Wurzel· , Exponenzlat- und Logarithmusgleic hungen ein.

-

3.1 Grundregeln des Rechnens 3.1.1 Grundgesetze Bei reellen Zahlen sind d ie vier Grundrechenarten uneingeschränkt anwendbar. Sind u un d h Vertreter zweler beliebige r reelle r Zahlen, so existieren im He reich der reellen Zahlen also ihre Summe a + b, ihre Differenz u - b, ihr Produkt a . b un d ihr Quotient a / b (falls b *" () ist). Bei diesen Operationen ist eine Rei he von Rechengesetzen zu beacht e n. auf die wir im Folgenden im Detail eingehen . Das Vertauschu ngs- oder x ommutanvgeset z d e r Ad d ition besagt, Jass es gle ichgült ig ist, in welcher Reihen folge wir Addniom-n vornehmen , was sich bei zwei Summan den u und b in der Form a +b= b +a

(J. I)

da rstellen Hisst. Diese s Gesetz schlier,.;! auch d ie Subtrak tion e in, da uiese nich ts anderes als die Addition negativer Zahlen da rstellt. Beispi ele: 1.

1+ 2 =2 + 1= 3

2.

_xy + x2_ 4 = x1_ xy_ 4

3.

4a + 5 - a + 7 =4a - a + 5 + 7 = 3a + 12

Das venauscbungs- oder x cmmurattvgesetz d er Multiplikation besagt, da ss es ke ine Rolle sp ielt, in we lcher Reihe nfolge Multiplikationen vo rgenommen werden . Im Falle zweter Paktoren u und b können wir daher folgen des festhalten . ab = ba

(1.2)

16

I Allgemeine Grundlagen

Beispiele: 1.

3 · 8 =8 ·3 = 24

x-x.a.a e a' x' 3. ex a ·b · x · 3 =6 a.a.b.x. x e t aabx" 2.

Das Assoziativgesetz der Addition b esagt. dass e s bei de r Addition von d rei reellen Zahl en a, b u nd l' glei chgültig ist, ob zu erst d ie be iden e rste n addiert und d a nn d ie d ritte h inzugefügt ode r ob oll" e rste zur vo rhe r be stimm te n Summe de r be iden letz ten addiert wird. Fo rmal g ilt also (;1 +

!Jl + c = a + (h + C).

0,3 )

Die Klamme rn binnen a lso bel ieb ig gesetzt ode r auch we ggelassen werden. Beispiele: 1.

(x + y) +x = x + y + x = 2x + y

2.

(a + (b+ 3))+ (4 + (b+ a)) == a +a+ b e b + 3 + 4 = 2a +2b + 7

Das Assoziativgesetz der Multiplikation besagt , dass es anal og zum Assoziativge se tz der Add ition a uch bei d er Multiplikation d reier ree ller Zahlen a. h un d c nicht au f d ie Re ihe n fo lge der Muhlplikat km an kommt. E.~ gilt also (a· b )· C =;I ·( b·c),

( 1.4)

wodurch auch hie r e ine Klanuuersetzung überflüssig ist. Beispiele : 1.

(1 2) 3= 1· (2 3)= 6

2.

(x· y) ·3·(x· y · z) =3x 2 y 2 z

Durch das Distribulivgesetz ste he n die O perationen Add ition u nd Multiplikation miteinan der in Be ziehung. Es lalltet a( h + c) = a b +ac .

(1. 51

Zur Be re ch n ung tles Prod ukts aus dem Faktor a un d der Summe (h + c ) wird also jedes Glied der Summe mit a multipliziert un d die e ntste he nd e n Prod ukte addiert . Beispiele: 1.

3·(2 + 4) = 3· 2 +3 · 4 = 6 + 12 = 18

2.

3ab ·(b + 4+ 2a) =3ab2 + 12ab + 6a 2b

3.

(a, +3 2 « a, +... + ao ) .Sby = 3a,by + 3a2 by + 3a3by + ...+ 3anby

'x'erden zw ei in Klammern stehende Summen ausmultlpliziert, so ist d as Dtsufb uuvg esetz wie fo lgt anzuwen d en: la + b1 '(c + d1 : ac + ad + bc + b d

(].6)

17

3. Grundlagen der Arithmetik

Es werd e n also zu nächst der erste Term d ....r c rsrcn Klamme r m it alle n Te rm en d c r zwe tt....n Klamme r lind anschließ....nd d e r zweit e Tenn der ersten Klammer mit alle n Tennen der zw eiten Klam me r mult ipliz iert . Die dabei e ntste he nden Pro du kte we rden addiert . Kombin iert m it dem Ko nuu utunvgesctz der M u hi plikati ou ergibt sich (a + b j (c + d ] = (c + d ) -I a + b )

= c3 +c b + d3+ db = ;K +;.Id + lx + hd. Beispiele: 1.

(6 x+ 4y) (6 + 3x + c) = 36x + 18x2 + 6 xc + 24y + 12xy + 4yc

2.

(Z, + ZZ + Z3) (Y l +YZ+ Y J+ Y ~ ) = Z ,y ,+Z 'Y 2+ ZIY3 +Z IY '

+ zzY, + zz Yz + zzY3 + zzY. +Z3Y' + Z3Y2 + z3YJ + z 3Y .

Be i d re i in Klamme rn steh enden Sum men gilt ernsprechend folgen des:

-t- ttd + bc+ hd ) ' (c + 0

(a + h j . ( c + d ) · r c + f ) = rac

= arc + ;IJe + bcc + b dc + acf + adf + bcf + b df

( 1.7)

Lesen wir das Dtstrfbu nvg eset z (I :) ) von re chts na ch lin ks erhalten w ir ein e Regel fü r das .~og. Ausklammern als ah + ac '" arb + c). Ein Fa kto r, der vo r jedem Glied ei ner Sunuuc auftritt, kann also uusgeklanuuert werden , inde m jeder Summand durch den ausgeklammerten Fakto r div idie rt wird . Beispiele: 1.

2.

4x + S6y + 232z =4 ·( x + 14y + S8z) 3x 2 y+6 xy+9x Jy =3xy ·{x+2+3 x 2 )

3.1.2 Vorzeichenregeln Zu jeder Zah l ;1 Hisst sich eine dazugehörige en tgegengeset zte Zah l -a find e n, für d ie u + ( -;1> 0 g ilt. Ist a positiv, so ist - ;I negativ ; ist a negativ, so ist -a posi tiv. Es gelten in diesem Zusammenhang allgemein fo lge nde Voneichen regel n : eR

-;l=(- I ) ·:I=a ·(-1)

(-a )h

=

;l( -

b) = - (a b ) = -a b

( - a)( - h ) =

ab

-(-al = -1 ·« -1) · a) =(-1) . (-1) ' ;1 = a

(un ( 1.9)

(1. 10)

(1.10

Oie Re ge ln ( 1.9 ) und (1 .10) we rden in der Sch ulmuthenuuik häufig durch d ie Merksatze "Minus mal Plus ergibt Min us." bzw. "Min us mal Min us erg ibt Plus." ausgcdrückt.

18

I Allgemeine Grundlagen

\X'ir haben befeits erw ähn t, dass oie Subtraktion n ichts anderes als d ie Addition c ineg ative n Zahl darstellt, also

111.'T

a- b=a + (-b)

(1,12)

gilt. Ein Mi n uszei che n HJT ei ner K lam me r b ede ut et bei Klamme raufl ösung. dass jeder Tenn in der Klamme r mi t - 1 multipliziert werden muss, d.h. steh die Vorze ichen der Te nn e in der Klamme r umkehren: -(+b-t')=-b +c

(1.13)

Es handelt sich bei (1.13> um eine n Sondenall des Dixtrlb utlvgese tze s ( 1.;) m it nega tinm Zahlen und insbe so n de re a '" - 1. Allge mei n gilt für das Distributivgesetz bei negativen Zahlen, dass das Multiplizi e re n e in...s Faktors mit ei n er in Klamme rn stehenden Summe wie gewohnt geschieht. In dern der Fakto r mit jed e m Gl ied der Summe multipliziert w ird. Die Vorzeichen der en tstehenden Prod u kte ergeben sich nach den Regeln ( 1.9) und ( 1.\0). Anal oge s gill für das Ausmuh ipliz ieren zwvicr in Klammern stehender Summen. Es w ird je de s Glied der einen Klammer mi t jed e m der a nd e re n Klam me r mult ipliz iert, wobei a uch (1.9) und ( 1.1 0) zu beac hte n sind. Beisp iele: 1.

3 +( - x - z) - (3z - 6) = 3 - x - z - 3z + 6 = - x - 4z + 9

2.

a -[-(b - 4)] =a -[-b + 4] =a + b - 4

3.

(-5b)· (- 4 + b) = (-5b) · (- 4) +(- 5b)· b = 20b + (- 5b<) = 20b - 5b< (x - z }. (3x + 4) ·(- 5z) = (3 x2 + 4x - 3xz - az }. (- 5z) = _15x 2z - 20xz + 15xz 2 + 20z '

4.

Im Zusammenhang m it den Vorzeichenregeln isl zu beachten , dass natü rlich auch

- 1 ausgeklammert werden kann . Dazu wird jede r Teilte nn durch - I dividiert, wobei die Merksatz e "Minus d ivid iert durch Min us ergibt plus." und ».\Iinus d ividiert durch plus (u nd umgekehrt) ergib t Min us." zu beachten sind . Auch andere negati ve Terme können analog ausgeklammert werden . Beisp iele: 1.

~2x _5 x 2_ 4 = --{2x+5 x 2 + 4 )

2.

-6xy + 9x· - 3x = - 3x(2y - 3x + 1)

3.1.3 Binomische Formeln Die Regel n für d as Ausm u ltiplizie ren hzw. (1.6) kornbtn icrt mit den Vorze iche nre ge ln aus Ahsch ntn [ 3.1.2 liefern d ie sog. b inom ischen Formeln. Erste b in omische Fo rme l: Cl +b) !=,(a + h ) '(a+ b )=, a ! + 2ah +h~

(1.14)

Zwe ite bin omische Fo rmel :

(a -

b )!

='

(a -

hj . (a

-

bj

='

a" - 2ah + b'

u.is:

Dritte hin orniseh e Fo rmel : ( I. U'i)

3. Grundlagen der Arithmetik

19

Beispiele: zu (1.1 5):

(3xy+ 4z)2 = (3xy)2+ 2· 3xy 4z + (4zf = 9X2 y2 + 24xyz+ 16z 2 (x _ 1)2 = x 2 _ 2x + l

zu (1. 16):

(3x + 1)(3x -1 ) = {3X)2_ (1)2 = 9x2_ 1

zu (1. 14):

\\;'id ltig ist in diese m Zusammenhang, dass die ers te binomis che Fo rme l auch auf dre i Summanden erweiter t werden kann. Es gilt dann (a + b + c) '

=a ~ + b ' + c~

+2a b+2ac+2 bc .

(1.17)

(1.1 71 gilt auch im Fall negativer \'\'e rte a, b und c, da sich d urch d ie Q uad rterung und die Bild ung de r Kre uzprod ukte a b, :JC und bc die negativen Vorzeichen "versch winden". Be i gemischt positiven und negativen 'c 'ene n a, bund c sind die Vorzereben der Te rm e zab. zac un d zbc entsprechend anzupassen. Es ist außerd em zu e rwäh ne n, dass binomische Forme ln vo n rechts nach links gelesen ei nen besonderen W ert besitze n. Erke nne n wir nämlic h in einem Term e ine binomische Fo rme l, können wir diesen schnell vereinfacht darstellen . Beispiele: 1. Gegeben sei der Term 1- x". Erkennen wir hier, dass es sich um die Differenz zweier "Quadrate" 12 und x2 handelt, so erlaubt uns die dritte binomische Formel die Darstellung als (1+ x)(l - x) . 2. Der Term x 2 - 2x + 1 kann mit Hilfe der zweiten binomischen Formel, als (x - l f umgeschrieben werden. Dabei ist es wichtig, die Form a" _ 2ab+ b2 im gegebenen Term zu erkennen.

3.1.4 Bruchrechnung ln diesem Abschnitt w idmen wir uns einfachen Recheno pe ration e n mit Brüche n. W'ir geh en dahe i insbesonde re auf die Multiplikatio n und Division (dabei das Kürzen und Erweitern ) sowie das Addieren und Subtrah iere n von Brüche n e in. Auch der Be de utu ng der Kuli bei d iesen O pera tionen schenken wir gesondert Aufme rksamkeit. Für die Multiplikation zweier Brüche a lb und (. / d (m it b, d

a c

ac

h ' d'=];J '

o:t:.

Ol gilt allge me in (1.18 )

d.h . es werden Zähler und Kenner jeweils mu ltiplizie n. Da eine ganze Zahl g als Bruch mit Kenner 1 un d Zähler g inte rpret iert werden kan n, gih für die Multip lfkano n e ine r Zahl mit einem ß ruch ( 1.19 )

Es w ird also der Zähler de s Bruchs mit der Zahl mult ip liziert und der Kenner unverände rt heihchahen. Die Rege l (1.19) von rech ts nach links gelesen ist msbesondere he im Ausklammern wert voll.

20

I Allgemeine Grundlagen

Beispiele: 1.

y - 3 3x z 7

2.

( 3 x - 7) '~= {3x -7) .2 := 6x - 14 7 7 7

3.

3x - 6Y = 3 . x - 2y

8

0::

(y -3 )·3 x := 3xy - 9x z ·7 7z

8

Die Di vi si o n eines Bruchs a / h durch e inen Bruch e i d (mit b, d :F- 0) er folgt durch Multiplik ation des ers ten Bruchs m it dem Kehrw e rt des zweiten . Es gilt also

"

h a ._=d ad -=_ l'

h c

( 1.20 )

bc

J " 'i ft! du rch eine Zahl g dividiert, die ju als Buc h g I I inter pre tie rt werden kann, ist einfach m il ihrem Keh rwe rt I I g zu mult iplizieren, sodass u

a h a 1 n :g =- = - '- = h ghghg

0 .20

gilt. Es iM also led iglich der Kenner des Bruchs mit der Zahl zu mult iplizieren, wohingegen der Zähler unverändert bleibt. Für die Divisio n einer Zahl durch einen Bruch g ilt :l g h g bgh (1.22) g : h =-; = g"; = 1 ';-

=-,,-

h Es wird also e infach der Ke hrwe n des Bruc hs mit der Zahl multtpltzte n. Beispiele: x +y . 4z

x e y 2x

1. - 7- ' 2x = - 7- ' 4z =

(x + y)· 2x 7 ·4z

2x 2 + 2xy 28z

'y

2.

xy ._=2= _ 1 xy z 2 z 2z

3.

(a - b): ~ = (a - b}. (y - 3 ) = (a - b) .(y - 3) = ay - 3a - by + 3b (y -3) 2x 2x 2x

Die Regeln für das Kürzen lind Erweiter n von Brüche n können w ir dire kt aus (UR) ableiten. Hat ein Bruch im Zähler und Kenner e inen gemeinsame n Fakto r und sind alle Te rm e muhtplikativ verknüpft. so kann dieser gemeinsame Fa kto r weggelassen (gek ür zt ) we rde n.

2'

3. Grundlagen der Arithmetik

ab a b b b =- ·- =1 ·- =ac a c e c

-

( 1.2 3 )

Umgekehrt b.u eine Multip likation von Zähler und Nenner mit demselben Faktor ke ine Auswirkung auf den \'\'el1 des Bruchs. Dieses Erwe itern ei nes Bruchs ist insbesonde re bei der Addition und Subtraktion von Brüchen no twendig. Beispiele : 2x2y 2x 1. xy2 : y

,

2.

3.

3 + y x3+ 4x 2+ 4x 9 _ y 2 ' (X+ 2}2

(3+ y) , x(x2+ 4x+ 4) (X+ 2)2 (3+ y)( 3 y)

1 X(X+ 2)2 3 -y ' (X+ 2)2

,

3-,

, =- x-

3-,

Für die Bruchrechnung lasse n sich folgende Vorzeichenregeln angeben. ;1

(-Oa

-;I

-=--=h (-])b - h a

;1

( 1.2 4 )

(-1}a

-a

--=(-1) . _ = - - = h h b h -;1

b

=

( - ! J( -;ll

(- l)h

(1.2 ') )

3

=- b

Beispiele : t.

- 3x- y: - (3x + y) : 3x +y

-( 4- ,)

- (4- , )

4- ,

2.

1-p : - (- l + p) : - (p- 1) __- _, p2_ 1 (p+ 1)(p- 1) (p+ 1)(p- 1) p -s t

3.

---=--=--

-( l - x)

x -1

'_ p +1

1-x

Ande rs 31s bei der Mulup likat lon und Divisio n ist eine Addition oder Suht..aktlon von Brüche n nur da nn wbssig:, we nn sie denselben Nenner aufwe isen . Es gilt

u

h

C

c

a+ h c

- +-=-- und

a

h

a- b

-- -=--

( 1.27 )

d.h. es we rde n die Zähler addiert bzw . subtrahiert und der gem c tnsamc Nen ne r un verändert gelassen,

22

I Allgeme ine Grundlagen

Beispiel: 3x

(x-tl

4x - l := 7

- +-7 7

2.

- - +-----=

3l

=

3x+ x - 1

1.

7 2x 3

1

3 y 2+1 _2x 3

4x + 1 4x + 1 4x + 1

4x + l

Liegt ke in gemeinsamer xenner vor. muss d ieser durch Erweiterung erzeugt werden . Dies geschie ht in der Form

(U R) oder bei drei Brüch e n analog als a

e

C

b+J +f

aJf +cb f + d)(1 = ==~l~"~ll~ ' --"ce

(1.29>

Es wird also in einem ersten Schritt ei n ge meinsamer Nenner, der sog. t taupsnen" er durch Multiplik at io n aller bishe rige n Kenner gebildet. Anscblid~end wird d ieser Hauptnenner m it den vorherigen Kennern verglichen . [01 Fall von drei Brüchen würden wir da bei feststellen , dass der Kenner des Bruche s a / b nich t nur b son dem hdf lauten müsste. Es w ird also um df erweitert , d .h. der Bruc h wird mit Jf / df mulrtpltztert . Dadurch ergihl sich der erweiterte Bruc h adf I bdf. Analog wird bei den restlichen Brüchen verfahren. In einem letzten Schr ill können dlc ve rsch iedenen Brüche dann zu einem zusammengefass t we rden.

Beispiele : 1.

2.

3x 11 ---4y (x- 1) _

3x · (x -1) 4y ·(x - 1)

4y ·11 4y ·(x - 1)

3x ( x -1) - 4y ·11 4y · (x - 1)

_ ~ = x · 7(x +y ) - 4y ·2(x-y)

,_

2{x -y )

7(x +y)

2(x

y) ·7(x +y )

3x 2 - 3x - 44y 4xy - 4y

7x 2+ 7xy -8xy+8y2 14(x2 y2)

7x2 _ xy +8 y 2 14{x2 y2)

Kich t immer ist es zwo::ck1ll~if~ig , a ls Hau ptne nne r das Prod ukt aller vorhandenen Kenner zu verwenden. Allgemein suchen wi r einen Ausdruck, in dem alle beteiligten Nen ner als Fa kto r enthalten sind . Das Prod ukt aller Nenner erfüllt dies natürl ich immer. Oftmals gibt es aber auch "einfach ere" Ausd rucke (m it weniger Fa kto re n ), die das bereits erfüllen. Ist beisp ielsweise im Falle dreier Brüche e in Nenner gertau das Prod ukt der be ide n anderen , so kann dieses Prod ukt als Ha uptne nne r ve rwendet werden . W'ir können also ac+c+ d h _a + _c + _d = =.:..:c.-,-,::.: h

bee

bc

an Stelle von a b

c be

d

abe! + cb e+db!e

e

b'e'

- +-+-= rechnen.

=

bd ae + c + d b ) ae+c+ db = be Ir ' e ,

23

3. Grundlagen der Arithmetik Bei spiel e:

2.

1

2

1

1

2 ·6 +",(c':-.;. +.,, 4):, 6(x+ 4) 6(x + 4)2 6( x + 4)2 6(x+ 4)2 3.

2

1

--- 2 +---,------+--x + 4 x + 8x +16 6x +24 x +4 (X+ 4)2 6( x+ 4) 7x+16 6(x + 4)2

6(x + 4) -12+ (x +4) 6(x +4f

_ '_ + _2_'_ +_ Y_ , __' _ + _2_'_ + _ Y_" ~-~'(~'~+~Y~I~+~2~'~I'''''' -LYLI+CLY(~'~+~Y,-,-) y-x

x+y

x- y

x 2 _ 2xy + y 2 (x - y){ x+ y)

x -y

x+y

x- y

( x - y)( x + y)

(X_ y)2 == x - y (x - y)( x + y) x + y

Zum Absch luss dieses Absch n itts wo lle n wir uns n un noch der Bedeutung d e r Nu ll in d e r Bruchrech n u ng widm en. W'~ h re nd lx-i AdJition , Sub trak tion un d Multi pli ka tion
( J.j O)

;I - O = -o+ a =a

( I.:H )

O':1=a'O=O

(1.32 )

gth, ist be i der Divisio n zu beachten , Jass

a

-=0 h

wenn

:1=0 un d b e

ü

•

( J..H )

Der Q uo tient zweier W'cne a und b ist also nu r dann gle ich Null, wen n de r Nenner gleich Null ist. Eine Divisio n d urch Null ist n ich t zul ässig. Das Produkt zwe ler We rte a und b ist im Vergleich d azu dan n Null, wenn mindestens e in Fa ktor gle ich Null ist, also

'I

a · b = O wenn

a = O o der 1> = 0

( J.j 4 )

gilt. Die z usamme n hä nge (1. 33) und (1. 34 ) werden uns be so nd e rs be im Lö sen vo n Gleichungen nützliche Dienste e rweisen.

3.1.5

Umformung linearer Gleichungen

Essentie ll in der \'{'insc haftsmath em atik ist vor alle m d ie Fähigkeit , Gle ich u nge n umzu formen hzw . nach eine r Variablen au fzulösen . \X'ir lege n daher in d iesem Ahsch nitt zunächst di e w ich tigsten Regel n zur Umfo rmu ng lin earer Gleichungen dar. Mit anderen Gle ichungsty pe n besch äftige n w ir uns im Absch nitt I 3.5Be vo r wir gerr auer auf spezielle Umfor mung sre geln eingehen, müssen wir zunächst e in ige Begri ffe klären. Unte r e inem Te rm ve rstehen wir eine n Ausd ru ck in Variahlen, der für ko nkrete W'erte der Variab len de finiert ist , oder ei ne ko nk re te Zahl. Da zu zählen also bei spiel swe ise 3,5; - 4; a + b; x' - (12 + x ); usw. w äh re nd Tenne w ie y - 7, (x + y)', usw. für je d e n be liebi gen \,<'e n aus IR definiert sind , kan n es bei Bruch terme n We rte ge be n, fü r d ie der Bruch n icht d e finiert ist. Die s ist der Fall,

24

I Allgemeine Grundlagen we nn der Nenner den \VeJ1 Null unninuut. Um m it de rart ige n Te nnen sinnvoll

D pC-

rtcren zu kön ne n, müssen w ir die möglichen Bolegungen der Variablen etnsch ränke n, d.h. alle We rte ausschl ieße n, die zu einem Nullne nne r füh ren. Beispiele: Betrachten wir den Term 1- x • so können wir mit diesem nur dann bed enkenlos rechnen, wenn der Nenner nicht den Wert Null annimmt. Dies wäre hier für x '" 1 der Fall. W ir legen daher für derartige Te rme einen sog. Definitionsbereich fest. Dieser beinhaltet alle Werte, die die Variable x annehmen darf. W ir schrei ben hier x € R \ {1I .

Im Vergleich dazu unterliegt im Term x 2 _2x _3

x2 + 1 2

x keiner Einschrän kung , da der Nenner nie Null werden kann. x kann minimal Null und der

Nenner dam it minimal 1 werden. Eine Gle ichheit von zwei Termen 1', und 1'" also

Tl = Tl (1.3'i ) be zeichnen wir als Gle ic h u ng. O ft m üssen solche Gle ichungen umgeformt we rde n, um sie z.B. nach e ine r variab len aufzulös en. Es sind dabei nur solche Umfo rmunge n zubssig, d ie dazu füh ren , dass aus (1.3'il wieder eine Gle ich ung he rvor geht und dass uus der neu en tstandenen Gleichu ng au f das Beste hen d er a lte n geschlos se n we rden kann. Derartige Umfor mu ngen we rden a uch .tls Äq u ivalenzumformungen bezeichnet, da die alte und die neue Gleichung äq uivalent sind . TI = Tl H TI + l ~\ = Tl +1'.\

( 1.36)

TI = T,HTI -T\ = Tl -'I~\

( 1.37 )

Tl

= 'I~

HT1 ·T,

(I .3A)

= l~ · T\

-=-

T T . Tl = Tl H --!.. = tür Tl T~ TI .

cl;

0

(1.39 )

Es ist also zulässig, au f beid en Seiten ein e r Gle ichung densel be n Term zu addieren und zu su btra hieren oder bc tde Gleichungssetren m it ei ne m Tenn zu multi plizie re n. Auß er de m dürfen bet de Gle ichungsseite n durch denselbe n Term dividiert werde n, sofern dieser von Null verschieden Ist. wettere ll mfo nn unge n we rde n wir noch in Abschnitt 1 3.5. 1 ke nne nlernen. Eine Gleichung be ze ichne n w ir als linear, we nn sie durch die Umfo rmunge n ( 1.36 ) bis (1.39 ) auf die allgemeine Fo rm :IX = b mit :I cl; 0 (1.40) ge bracht werden kann und die Lösung h

x = - mit

a

:1 =#

0

(1.4 l)

25

3. Grundlage n de r Arithmetik

besitzt. a und b sind dabei Iesu- Gröiscn ( Konstan ten ) und x ist die sog. Variable. Be i der Auflösung einer linearen Gleichung nach der Variable n ist e s üb lich die jeweilige umformungsoperanon
1- " I-b

3x +b = 4x -5 - x+b = - 5 - x =-5- b

1-(- 1)

x =5 + b

2. x ist die Variab le, a eine Konstante: 1 -2a- =--

·(1- x) für x# 1

1-x

x+5 1- x 2a = - >+ 5 2a · (x+5) = 1- x zax et na e t -. x zax e x e t -c t öa

l+ x - 10a

x · (2a + 1) =1 - 10a

1:(2a+ 1) für a ;t -O,5

, 3.

·( x+ 5) für x#-5

=-1-1- 0a 2a +1

Es soll nach x aufgelöst we rde n:

I -~

1 1 -+-= 1 x Y

I·xfür X ;t O

1 1 -= 1- x Y

1=+ -7) ,=-1- -= - -=- '!' -y_.!. = 1

1

y

Y Y

1 y- 1 Y

Y y -1

4. Es soll na ch d aufgelöst we rde n:

ad

a=

-- +c d- 1 b

I(· b) - c für b e O

I:(1 -~) für y ;t 0 und y ;t 1

26

I Allgemeine Grundlagen

ad

ab - c = - -

I·(d - l) für d ?" 1

cd t c = ad

[c ac - c s ab

d -1 (ab -c)·(d - 1)= ad abd ab c

c

abd -cd -ad =ab -c d(ab - c -a) = ab - c d"

-

I :(ab - c - a } für ab c a e 0 c

c

ab - c

-,-i'=-:-"-::-: (ab - c - a)

3.2 Summen-, Produkt- und Fakultätszeichen In diesem Abscbntn be fasse n wir uns mir Möglichkeiten de r kompakten Darstellun g \ '011 Te rme n. Umfangreiche Additionskellen können durch das Summen-, Muluplikat tonskeuen durch Prod uktze iche n verkürzt we rde n . Spezielle Arten von Muluplikat tonskeuen lassen sich zudem d urch Fakultäten ab bilden . Diese können wir zur Bestimm ung sog. länomialkoeffizie me n he ranzie he n , die ei ne Verallgemeineru ng der unter [ j. l ..~ kc nne ngclermen bi nomi schen Formeln ermöglichen .

Summenzeichen

3.2.1

Das Summenzeichen :L (g riechisch es Sigma) symbolisiert d ie fangesetzte Addition des Tenns , der au f das Summenzeic-hen folgt. Allgemein g ilt also

L ,., 'i, = ;lk +a k+ 1+ ... +a m

o,

m it

t e Z,

( 1.42 l

w obe i a, ein allgemeines snmmauonsgitcä u nd i der sog. SIIIIIIIIll!ÜJllSil/(/ex ist, der bei m Snmmattonsanfang k beginn t. sich schrtüweise um I erhöht lind beim 511111mattansende III mit m 2: k endet. Beispiele: Die ge naue Anwendung de r Kurzschreibweise (1.42) verdeutlichen wir im Folgen den anhand einiger einfach er Beispiele. s

1.

Li =1 +2 + 3 +4 + 5 =1 5 \

,~

2.

•

L b, = b, « b, - b, + b. + ... e b, ,~

3.

,

"

L b j. \x; = b6 x; + b 7 x; + bax i + ... + bo.,x i j -5

5.

s

L (Z2 - 2') = (22 _ 22 ) + (3 2 _ 23 ) + (4 2 - 2' ) + (52 _ 2 5 ) ", -6 ."2

6.

,

L (Xi _ 5}= (X2 _ 5) + (X3_ 5) =X 2+ X3_1 0 ;.2

3. Grundlagen der Arithmetik

27

Sinn und Zweck von Summenze ichen ist die verkürzte Da rste llung nJO Additionsketten. Es ist also für uns weniger die Ausformulierun g vo n Sumrnenzeichen, sondern vielmehr das Erkennen von Summensystemanken in vorliegenden Ke tte n interessant. Beispiele:

1.

1+ 4+9 + ... +k z =

, 2/ I"' m

2.

a"x, +a'2xZ+ ··· + amxm =

L al l i-'\

Für Summen zereben gilt eine Reihe von Rechenregeln, die w ir im Folgenden kurz be ha ndeln wollen. Zunächst gilt, dass bei auditiv verknüpften Te nn en m it gleichen Summat ionsgrenzen Surrune un te r Beibe haltung nJO Summa tionsanfang und -ende aufgespalten werden kann. (1.43) Zudem kann eine Summe un ter Beibchuhung der Summationsglieder in Tetlsum1l11.'n ze rlegt werden. für k s t' < m

Beispiele :

zu {1.43}: zu (1.44):

(1.44)

I:(i.x + 3 ·i) = f, "i x + i )i = [nx + (n + 1)x +...+ mx] + [3n + 3(n + 1) +... + 3m] ',n

e , e L X = L X+ LX = 3x+3x = 6x ,_,

~,

1- '

Für eine Ko nstante c gelten im Zusammenhang mit Sumruenzuk-hen die Regel n

f c = (m - k + l ) . C,

0 .4')

f c . a, = c ' f a,

( 1.46 )

L(a; + (m-k + ne. ,., +c)= La; ,.,

( 1.47)

,-,

,.,

,.,

und somit au ch '"

on

W~i h re nd 0 .4') selbsterklärend ist, bedeutet (1.46), dass ein vom Sum mationsindex unabhängiger Faktor aus de r Summe ausgeklammert werden kann . Hege! (1.47) ist nich ts anderes als die Kombinatio n vo n ([.43) un d (1.4') .

28

I Allgemeine Grundlagen

Beispiele: zu (1.45):

e

2: 3 = 3+ 3+ 3+ 3+ 3", (5 - 1+ 1)·3 :=: 5 ·3 '" 15 '=1

,

,

zu (1.46): L: 4 . i = 4 ,:L i =4 ·{1 + 2 + 3) = 24

AhSl' blid~cnd

sei e rwä hnt, dass (1.43) nicht bei muhi ph kauver v erk nüpfurig gilt,

d.h.

..

.. ..

f (;t,b, l *-f a, · f h, . , , , Beispiel:

, L ab , = a,b, +ap2 , , L a,I b, = (a, + a )(b, + b .=1

id

,. ,

2

2

l = a ,b, + a,b2 + a 2b1 +a 2b 2 = a ,(b, + b 2 l + a 2 (b, + b 2 l

Durch zwe ifache lnd izie rung und e r nspreche nde Anwendung de r Summationsvorschrift entstehen Dop p e ts u m men (analog wei tere Me brfach summeu ). Legen wir zu anschaulicheren Darstellung die Surnmattonsaofä nge a uf 1 fest, so gilt für diese allgemein

=

"' L(a ,.,

i1 + :l ' l

+ ... +<1 ;.)

=" ' 1 +<1 '1 + ... + :1 10 + ···+<1"'1 + :1"'1 + ···+ <.I n",

( 1.48 ) ·

\'(' ir sehen, dass eine dera rtige Do ppelsumme ausformuhen werden kann, inde m zunächst die Summ e an hand ein es der be ide n Indizes i er mittel t und au s dem emstartdenen Erge bnis d ie Summe mittels de s and eren Inde x i gew onnen wird . Die Rei he nfolge der Summa tion

sp ie lt also kei ne Rolle . Zudem sei e rwähnt, dass im Fa lle de r Gle ichheit beide r Summationsgrenze n eine Do ppelsumme auch als

abgekürzt werden kann .

29

3. Grundlagen der Arithmetik

Beisp iel 1: 2

3

2

2

'=1

'=1

LL i ·a - i = L I(a - i) + (2a - i) + (3a -i)l == L [6a - 3i] = (6a - 3 ·1)+(6a - 3 · 2):=: 12a - 9 1=1 1:1

Beisp iel 2: Ökon om isch e Anwendung In einem RohmateriaUager sind m == 5 Materialien eingelagert, die je nach Bedarf in der Fertigungsabteilung entnommen und verbraucht werden. Dies geschieht innerhalb von n '" 6 Perioden. Die verbrauchte Menge von Material i in Periode j, die wir mit a , bezeichnen, ist in folgender Tabelle gegeben. Verbrauch in Stück in Periode

1 20 10 5 100 20 155

Material

1 2 3 4 5 ~

2 30 10 20 80 40 180

3 20 10 5 90 60 185

4 15 10 20 100 10 155

5 20 10 5 80 5 120

6 20 10 20 90 30 170

~

125 60 75 540 165 965

Die in dieser Tabelle enthaltenen Zeilen- und Spaltensummen erlauben uns die nähere Veranschaulichung des Prinzips von Doppelsummen. So liefert die Spaltensumme s

La" "

die Verbrauchsmenge aller Produkte in einer bestimmten Periode l. Für Periode 2 gilt etwa s

L a i2

"'

""

a12 + a22 + a32 + a 42+ 3;;2 = 30 + 10 + 20 + 80 + 40 = 180 .

Die Zeilensumme

stellt die Verbrauchsmenge eines bestimmten Produktes i in allen Perioden dar. Für Materialie 3 gilt z.8 .

• ,.,

L a3 j == a31 + a n + a33 + a34 + a35 + a 36 == 5 + 20 + 5 + 20 +5 + 20 ""75 . Die Verbrauchsmenge aller Produkte in allen Perioden

erhalten wir durch Addition aller Werte a j der obigen Tabelle als 965. Alternativ können wir auch die 5 Zeilensummen

I Allgemeine Grundlagen

30 oder die 6 Spaltensummen

t (t

a'i ) '"

t

ail

+...+

t

a iG '" 155 + 180 + 185 + 155 + 120 + 170

=:

965

aufsumm ieren.

Analog den Reche nregeln für einfache Summ en, lasse n sich auc h Rechenregeln für Doppelsummen formul iere n. Ein \ 'O!l1 Sununat tons indcx una bhängiger Fa kto r c ka nn uuch hier vor das Summ ....nzck-lu-n gezogen we rden: ( 1.49 )

Eine vom Summa tionsindex una bhängige additive Konstante c er giht

f i t;! ,;

+ c) =

i_ I

IMI

fi a'l-em -n.c . i _I

0 .50)

i-I

Im Falle e ine r einfach indi ztun en additiven Konstant e b, bzw. a, gilt (J ."j l)

bzw . (1 5 2)

wohingegen bei e inem ei nfach indizierten muhi plikntivvn Fa kto r h, (1 5 3)

gilt. Analoges gilt für einen e infach ind izierte n mulriplika uvcn Fa kto r ;],_

3.2.2

Produktzeichen

Das Prod uktze ichen Il (griechis ch es I'i ) symbolisiert d ie fo rtgesetzte Multiplikation des Terms . welc her auf das Produktzeich e n folgt. Es gilt also

I1a = <.! ~ m

j

· <.!k+l '
(1 .54)

;.~

wobe i a, ei n allgemeines Glied und i der Muhiplikarionsindcx ist, de r vorn Multiplikat ionsanfang k in Schritten vo n + 1 zum Muhiplik ntionscnde m mit m ~ k wä chst. Wie hei Sum men e xistieren auch hie r eine Reihe wichtiger Rechenregeln. wovon wir d ie w ichtigsten im Folge nde n kurz a ufführe n. Für das Produkt zweicr indizierter Grüß en gilt ( 1.55 )

3. Grundlagen der Arithmetik

31

Unter Be rücksicht igung de r Re gel

," n,..

c=

C", - h l

( 1.)(, )

für Jas Prod ukt von Konstant e n erhalte n wir

n,.,," e ' a, =e

Beispiele: zu (1. 56):

I

( 1.57 )

•

,

0 3X' = 33 -h i, I

3.2.3

-••

0 5 = 5 . 5 5 = 54-2" = 53 = 125 ,~ .

zu (1. 57):

m

l

.n,

x' = 33 · (x'· x2 · x l ) = 27 · (x .x . x . x . x.x] = 27 x6

i,'

Fakultätszeichen und Binomialkoeffizienten

Vo n beso nde re r Re levanz ist in der w ahrsche tnlichk etrsredm ung (in sbesondere der Komhin.no rik I das Pa ku lt ätszetc h e n {l} . Für jede natürliche Zah l n hat dieses die Bede utu ng

" n~= n i= 1 .2 ·3· 1j· ... · n,

( 1.58 )

i. 1

wo bei definition:;gemii8 01 " 1 gilt. Wir sp rechen vo n "n Fa kultät". Beispiele: 1.

31=1 ·2 ·3 =6

2.

10 ! = 1,2 · 3 · 4 ·5 ·6· 7 · 8 ·9 ·10 = 3.628.800

Bereits anhand dieser beiden Werte erkennen wir, dass Fakultäten sehr schnell wachsen.

n! ka nn inte rp retiert werden als Anzahl der Möglich ke uen, n eindeu tig unterscheidharc Ele me nte in e ine r be stimmte n Reih e nfolge anzuord nen . So haben wir z.B. 3 ~ = -' . 2 . I = 6 Möglichkeiten , d re l Bücher in ein Ref;:al zu stellen. Mit Hilfe des Fakultätszeich e ns kann auch bestimmt werden, auf wie viele verschiedene Arten man aus n e indeu tig unterscheidba ren Ele me nte n k auswäblen kann. Die Anzahl dieser Auswahlmöglichkeiten wird d urch

(~) = k l(nn~ k)l

(1.')9 )

be sch rieben und he ißt Binom ialko effizie nt. \', 'ir spreche n von "n über k". Es wird da be i davon ausgegangen, dass die Re ihe nfolge der gezogenen Elemente keine Holle sp iel t, d.h . z.B. e ine Kombi nation ( 1: 2) mit eine r Kombinatio n (2; 1) gleichwe rtig ist und nach e inem Zug das gezogene Eleme nt vor dem nächsten Zug nicht wieder in die Ent nahme me nge zurückgelegt wird .

32

I Allgemeine Grundlagen

Beispiel : Nehmen wir an, dass die n = 5 Elemente einer Enlnahmemenge die Zahlen von 1 bis 5 sind und aus dies er k '" 2 Elemente (ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihe nfolge) entnommen werden sollen. Wir erhalte n hier bei einer Entnahme eines der 10 möglichen Wertepaare (1; 2}, {1; 3}, {1; 4}, {1; 5}, {2; 3}, {2; 4}, {2; 5}, {3; 4}, {3; 5} und {4; 5}. Schneller als d urch Auflisl ung und Auszählung kann die Anzahl dieser Möglichke iten auch direkt über (1.59) bestimmt werden;

5) - 5 ·4 · 3 · 2 ·' -5· 4 - 10 (2 2 · ' · (3 ·2 ·1) ' ·2 Die meisten Tasch enrechner ermöglichen eine direkte Eingabe von n und k zur Bestim mung des Binomialkoeffizienten. Sente dies nicht de r Fall sein, könn en wir (1.59) durch Kürze n noch ein wenig umgestalten, was zur vereinfach ten Formel

n)= n .{n - 1)· · (n - k + 1) [k 1·2 · .k

führt (siehe auch obiges Beispiel ). Die bei der Ziehung der Lottozahlen ("6 aus 49") möglichen Ergebnisse können wir damit schnell bestimmen als

49) = 49 ·48 ·47 ·46 ·45 ·44 = 13.983.816. ( 6 1·2·3 ·4 ·5 ·6 Aus ( 5 9 ) folgt un ter Beachtung von O! = I a uch

n.er» u nd uugerdem

n ). (kn)=(n-k

(I .(i 1)

wo be i ( L(i J) b esagt . dass e in Erse tze n von k durch n - k keinen Einnuss au f den Bin omia ik ocffiz en ten ha t, also ein e ge wisse "Symmet rie" vo rliegt. Inha ltlich inte rpretiert wü rde d i e.~ z.B . he im Louo bedeut e n, dass e.'i gen:.lu.'io viele M ög lk.hk euc n gibt 6 Kugeln zu ziehen , wie 49 - 6 = 43 Kugeln in der Trommel zu lassen. De r Bino mia lkoeffizi e nt spielt außer in de r 'x'ahrsch c inhch kcttsrechn ung vor a llem hei m sog. b lnomtschen Lehrsatz e ine wichtige Holle , welcher e inen Ausdruck für die Potenz ( u + b )" liefe n . De n Fall n = 1 ha ben w ir bereit s in u .14 ) als erste binomisch e Forme l (a + b )' = a' + l ab + b' ke nnengelernt. Betracht e n wir we itere Fälle für n , wie 7: .B. (
+ b )\ = ;r{ + j a' b + jab 1 + b'

( ;1

+ b ) ' = a ' + -ta ' b + 6a 1 b! + 4a h 1 + b '

(a

+ b )~

= a'

+ 5a 'b+ lOa{l/ + }(};j'b{ + 5a h ' + b'

b.'i.'i t sich ein e ge w i.'i.'ie Regelm:ifMg ke it erkennen . So ist jeder Summand (abgesehen von den Zahh- nfak toren) e in Prod ukt e ine r Pote nz \'{JIl a m it e ine r Po te nz vo n b, be ginnend bei a'b" = a" über a"-'b', a"-:I/ , ... b is a'b....' und a'b" = b". Es fällt auf,

33

3. Grundlage n de r Arithmetik

dass die Summe der Expo ne nte n stets gleich n ist. Außerdem erweisen sich die Zahlenfaktoren a ls Bino mia lkoe ffizie nte n, und zwar steh t be i a....... der Koeffi zie nt \X'ir können also z.B. für n = '5 auch schreiben:

(k) .

ra

, (5)" b+2 (5), h-,+3 (5) .,+(5) ,I "h+(5)",I , + ,= (5), () h+1 n

h)

a

a

a-b

4

5

h

Allgemein erhalten wir d umit als bino mische n Le hrsatz ( 'I

+h )" = (~) anh" +(I;) a"~l bl +.. +(n ~ l ) albn- + (~ )a"bn 1

=

f (n)""-'h"

(1.62 )

.~ k

Dieser gilt au ch für {a - b )", da wir in diesem Fall aufgrund von ( 30 + (-h»)" nur in allen Gliedern, in denen e ine ungerade Po te nz von h steht, e in Minusze iche n se tzen müssen. Beispiel: 2.

(x + y)6 = x 6 + 6x 5y + 1 5 x~ y 2 + 20x J yJ + 15x 2y ' + 6xy5 + y 5 (x + 2y)S = XS+ 5x· (2y ) + 1OXJ{ 2y)2 + 1Ox2(2d + 5x(2yt + (2y)S = XS+ 10x ·y + 40 X3 y 2 + 80X2y 3 +80xy~ +32y s

3.

(2x - 3y )' = (2x)' - 4(2x )3(3y ) + 6(2x )2(3y )2- 4{2x )(3y )3+ (3y l'

1.

= 16x' - 96x Jy + 216x 2 y 2 _ 216xy J + 8 1y'

-

3.3 Ungleichungen und Absolutbeträge Im Rahmen des Absch nitts J 3. 15 haben wir uns mit der Gleichheit von Tennen be fasst. \'('ir wollen uns nun mit Ungleichheitsbeziehungen zwischen Te rmen befassen und außerdem den Be griff des Absolutbet rages e inführen, den wir im Ko ntext von Un gleich un gen näher analysieren .

3.3.1

Ungleichungen

\'('ir sprechen von eine r Un gleichun g. wenn ein Tenn TI ungleich ei nem Te rm T, ist (T, -:f;. T l) ' T, kann dabei kle iner als T, Tl <

'r,

(1.63 )

oder gröger als TJ <TI > T,) sein. Da (J.6.~ ) gleichbedeutend mit T, > T, ist, werden w ir die Rechenregeln für Ungleichungen nur für das "
r. .

I Allge meine Grundlage n

34

Da rübe r hin aus kö nnen wir aus unseren verzeichenregeln aus Ahschnitt I .3. 1.2 folgende zcsummcnhsnge abl e ite n: 1', ' 1'1

s

o

wenn (T, > 0 1\

T~

> 0) V (Tl <01\ T! < 0)

(1 .64)

<0 wenn (T, > 0 1\ -I~ < 0 ) v (T, <01\ Tl >0) (1.6S) Bei gle ichen Vorzeic hen der Einze lte rme ist ihr Prod ukt also positiv, bei unterschiedlichen Vorzeichen negativ . T, · l~

Ohne die Aussage ei ner Unglei chung zu verändern, d ür fe n w ir eine Reihe von U m fo rmu n gen vornehmen . So ist es z.B. zulässtg auf he ulen Seiten der Ung lei-

chung denselben Tenn zu addi e re n oder zu su btrah ieren . T,
H '1'] ± T\< T! ± T!

(1.66 )

Beispiele: 1.

- 2< 5

1+1

- 1< 2

2.

- 1< 6

1-2

- 3< 0

Eine Ungle ichung darf außerdem m it e ine m positiven Te1111 mult ipliziert werden. T, < 'I~

T, ' '1'.\ <

H

·I~ ·

'1'.\

wenn

r, > 0

(1.67)

Wird mit ein em nega tiven Te rm mu ltip liziert, ä nde rt sich da s Ung leich heits zeichen. T,

<1~

T, - 1'\

H

>l ~

- 'I',

we nn T, < 0

(1.6H)

Die Regeln (1 .67 ) und (I.6H) be lnhalten gleichZei tig Regeln bei de r Division ei ner Ungleichu ng du rch e inen vo n Null ve rschiedenen Te nn 1',. Die Divisio n durch 1', ist n.trnl k-h nich ts a nderes als d ie Muhtplikation m it 1fT ,_ Eine Ungleichung da rf also ohne Veränderu ng des Ungleichheit sze ich en s d urch ein positives 1', und m it Umkehru ng des Ungleichheilszei chen s d urch ein ne ga tives 1', dividier t we rden. T,

<1~

H

T, T,

1']

Tl

'I'

T,

- <-

we nn 1', > 0

.J.. >-=T, T,

wenn T, < 0

Beispiele: 1.

- 1< 2

- 2< 4

1

2

2< 7

2.

1+ ')

- 2 >-7

3.

2 <8

1'4

0,5 <2

4.

-4<-2

I' (- 2)

2>1

Sind so woh l T, als a uch Tl positiv bzw . nega tiv, gilt augerdem T
-

1 -1 >-

T,

T,

fü rT, -l~> O _

(1.69 )

Es kann also auf beide n Seiten zum Ke hrwe rt übergeg angen werden, we nn das Ungleichheitszeichen umgedreht wlrd .

3. Grundlagen de r Arithmetik

35

Beis p iel e:

1.

3 <9

H

1 3

1 9

- >-

2. -3 < -2

H

1 1 -- > -3

2

Die Rechenregel n 0 .(4 ) bis (1.69 ) sind be so nd e rs hei m Lö se n vo n Ungleichungen relevant. Wir wollen da her im f olge nd en unhund einiger Be isp iele veranschaulichen, wie Ungleichungen ge lös t werden . Beispiele : 1, Einfache Ungleichung:

5x - 4 <7x +8

1- 7x + 4

- 2x < 12

1:(- 2)

'>-6 2. Sonderfall (Fallunt ersch eidung hinsichtlich Variable):

5x -3 -->3 1+<

für x ,t- - 1

1·{1+ x)

Bei dieser Rechenoper ation muss eine Fallunterscheidung vorgenommen werd en, da nicht klar ist, ob de r Term (1 + x) positiv oder negativ ist. Zudem darf er nicht den Wert Null annnehmen , so dass aus den Lösun gen der Ungleichung de r W ert x '" - 1 ausgeschlossen we rden muss .

1. Fall: 1+x >O

H

x > -1

Der Term ( 1 + x) wird als positiv angenommen, sodass es durch die Multiplikation zu keiner Umkehrung des Ungleichheitszeichens kommt.

5x -3 >3 ·(1+ x) 5x -3 >3+3x

1- 3x +3

I"

2x > 6

,>3

Für die Lösung der Ungleichun g muss also in diesem Fall sowoh l x > -1 als auch x > 3 gelten, was insgesamt zu x > 3 füh rt.

2. Fall: 1+x
H

xc

c-t

Der Term (1 + x) wird als negativ angenommen, wod urch es im Zuge der Umformun g zu einer Umkehrung des Ungleichheitszeichens kommt.

5x -3 <3 ·{1+ x) 5x -3 <3 +3x 2x < 6

, <3

1- 3x+ 3

I"

In diesem Fall muss also x < - 1 und x < 3 gel ten , was insgesam t zu x < - 1 führt . 3.

Sonderfall (Fallunt ersch eidung hinsichtlich unbestimmter Konstante ):

(3 - a) · x:S 4

1:(3 - a)

Auch hier ist wieder eine Fallunterscheidung vorzunehmen , da nicht bekannt ist, ob der Term (3 - a) positiv oder negativ ist. Auf jeden Fall ist aber der W ert 3 - a '" 0 H a ", 3 unzu lässig.

36

I Allgemeine Grundlagen

1. Fall: 3 -a >0

f-t

- a >-3

H

3 <3

Unter der Bedingung a < 3 ist die Lösung des Gteichurqssystems bei unverändertem Ungleichheitszeichen

« - 4- . 3 -a

2. Fall: 3 -a <0


-ec

Unter der Bedingung a

:>

-a H

esa

3 ist die l ösung des Gleichungssyslems bei umgekehrtem

Ungleichheilszeichen

» - 4- . 3 -a

4. Sonde rfall (Produktungleichung);

(2 - x)(x +1}< O Zur Lösung dieser Ungleichung gre ife n wir auf (1. 65) zurück . Das Produkt zwe ier Terme kann nämlich nur da nn negativ sein , wenn einer der beiden Terme negativ und der andere positiv ist. Für die Lösung gill daher folgendes: (2 - X) < OA (X+ 1»O

3.3.2

v

X >2 A X > - 1

v

02

v

(2 -x»O i\(x + 1) < O X < 2 AX < - 1

x <- 1

Absolutbeträge

Unte r dem absoluten Betra g ein e r Zahl a wird der ntch rncgauve \'('e n d iese r Zahl verstanden . Er wird durch senkrechte Striche , d ie die Zahl einschließen, svmboltsten, sodass formal folgendes gilt: für

a~()

für

;1 < 0

( 1.70 )

Bei spiele : Am Besten können wir den Absolutbetrag durch Betrachtung eine r Zahlengeraden veranschaulichen , da wir diesen als (slets positiven) Abstand eines Pun ktes auf der Geraden zum Punk t 0 interpretieren könne n. (

) (

-3

o

I

I

)

I

7

Für das Re chn e n mit Absolutbet rägen ge lten e ine Rei be von Recbenvorschrtften . Aus Symmetrieg rünelen ist zunächst der Absta nd vo n a zu Null dersel be wie der Abstand von -a zu Null. ( 1.7 1J

37

3. Grundlagen de r Arithme tik

E.s gth dami t auch für den Abstand zwe ter Punkte u und h (1.72)

denn (b

- ;I) = -

(a - b ).

Beispiele :

zu (1.71), 1-51 =151 =5 zu (1.72) '

13 - 51=1 -~ = 2

und 15- 31 =1 21 = 2

Der absolu te Betrag verknüfte r Zahlen hat die Eigenschaften (1.7jJ

und (1.74 )

Beispiele:

zu (1.73): zu (1.74):

1(-4).21 =1- 81 =8

~ +~ = 2 1 =21

und

und 1-4H ~ = 4 .2 = 8

l~L~ = 2 I-~

2

für beliebige a, b e IR gelten auch d ie sog. J)r('ieck.'illllg leichIllJgell

Ic<+ "I<1"1+1"1 uoJ ( J.76 )

Beispiele :

zu (1.75), t .

1 -8 + 1 ~ =1 41 = 4

und

I -8H' ~ = 8 + 1 2 = 20 ~

2.

1 - 1 -~ =1-81 = 8

und

H+~ =1 +7 =8 ~

4 < 20

8 =8

zu (1.76)' 1. 1-8+51 =1- 31 =3 und [1-81-1511=18- 51=131=3 ~ 3= 3 2. 1' + ~ = 13J =3 und 11 '1-1~1=I ' - 21 =H = 1 ~ 3> 1 Nac-h Behan dlu ng der allge me ine n Grundlagen zu Absolutbeträgen wollen wir uns nun damit bcschä fugen , wie mit Ihne n in Ungle ichungen umzugehe n ist. W'ir veranschaulichen die s d ire kt anband e ines e infache n Beispie ls.

38

I Allgemeine Grun dla gen

Beispiel:

1'- 1[< 2 Zur Lösu ng dieser Unglei chung ist eine Fallu nterscheidung vorzunehmen: 1. Fall : x - 1 <:= O

x - 1S 2

H

X 2:1 -t lx -11= x -l

1+1

x s:3 Alle x mit 1 :S x S 3 genü gen also de r Ungle ichun g.

2. Fall: x-1 < O l - x :::; 2

H

x c t -+l x - 11 = -( x - 1) = 1- x

1- 1 ·(- 1)

x 2:- 1 In diesem Fall stellen also alle x mil - l

:s x <

1 die l ösung der Ung leichun g dar. Führen wir

die Ergebnisse beider Fälle zusammen, so erhalten wir als Endresultat - 1 :S x s 3. Ganz allgemein können wir feslha lten, dass [x -

aj < [

von allen x erfüllt wird, die von a

einen geringeren Abstand als Ehaben, d.h. von allen x mit a - E < X < a + E.

-

3.4 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen Wie die Erfah ru ng zeigt , lieg e n d ie größten Schw ierigke iten vo n Studienbeginnern im Umgang mit Po ten zen, \'( 'u fzeln und Logarith men und dem Lösen vo n Gle i-

chungen , d ie solch e bei nhalten . "" ir behandeln d iese Themengebiete dementsprechend a usfüh rlich .

3.4.1

Potenzen mit natürlichen Exponenten

Un te r e iner Potenz m it einem natürlichen Exponenten vers tehen wir d as Prod u kt n . a . a . ... . a aus n gle ichen Faktoren m it n e N . Fo rmal gilt

.I· a· ... -a e a'" , nbk'",,:n

(1.77 )

wobei u ab Basis u nd n als Bxponent bezeichnet w ird. \'('ir sp rechen "a hoch n". Aus (1 .77 ) fulgt d irek t a' .. a. Besitzt ei ne Pot e nz eine negative Basis . so ist ihr Ergebnis hci geradem Exponente n positiv. Ist d e r Exponent hingegen ungerade, so ist e s negativ. Bei m Umgang mit Po te nze n ist außerdem \vichtig, gertau auf d ie Basis zu ac hten. So besteht e in Unte rschied zwisc hen _an u nd (-:1)" u nd außerdem zwischen ab" un d (uh )" , Beispiele:

1.

0" =0 , 1" = 1

2.

(2x )' = 2x

3.

(- 3)' =(-3)( - 3)(- 31 = -27, (-3)' =(-3)(- 3)(-3)( -3)= 81

4.

(_2}2 =(_2){ _2) = 4 vs. _ 22 = -{ 22) = _( 2 · 2) = -4

3. Grundlagen de r Arithmetik

39

Für th..n Umgang mit Pote nze n ex istieren e ine Rei he wiclnig e r Rechenregcln . Beginnen w ir mit der Addition und Sub t r a ktion von Pote nze n, dürfen w ir Porenzen nur dann zusammengefasst we rden , we nn stc sowohl in der Basis als auch im Exponenten übereinstimmen. Ausd rücke w ie a" ± an oder a" ± b'" . be i denen nur Basis oder Expo ne nt übereinstimme n, und auch solche, be i denen sowo hl Basis als auch Exponent ve rsc hiede n sind ( u'" ± b" ), können also nicht zusammengefasst we rden . Beispiele : 1.

4X 2 +3x ~ = 7x 2

2.

ax" -bx" : (a -b)xn

Bei der Mu ltiplikation und Division von Pote nze n ist eint' Zusammenfassung nur dan n nlHissig, wenn e ntweder (He Exponen ten oder die Basen der betroffe ne n Poten zen übe reinst immen. Be trachten w ir zwei Potenze n mit unterscöteattcten Ba sen und gleichen Expone nten, so gilt a nh n =

a ';I '

HO

·

n b k,,,,,,,

:t . !). b ·

b = (:th)· ('lh ) · ... . (ah)

n l'.k rn

n P,-,xJu k," . 1>

= (ah) "

( I.7R)

ab leiten. Es stnd also ledigl ich d ie bcklen Basen zu multiplizieren und der gemeinsamt: Expo nent ist be izubehalten . Umgekehrt kann ( 1.7H) auch dahinge ben d interpretiert we rden, dass ein Produkt potenziert wird, indem w ir jeden Faktor porcnziere n und die so en tstehenden Pote nze n multiplizieren. Beispiele: 1.

27

2.

9x ~y ~ == 3 ~x ~y2 = ( 3 xy)~

3.

X2 x2 ,. (X 2 )2

4.

(y - 1t(y+ 1)5,. ({y _ 1)(y + 1))5,. ( y~ _ 1)5

5.

(_2y)3 = _8 y 3

2

: {2' 7)2 :

1 4~

Dividieren wir Potenzen mit unterscbteättcben nasen und gleichen Exponenten, so erhalten wir bei b 0

'*

a · a · .... a h"

( 1.79)

Es sind also lt'di!-\1ich d ie Basen zu dividieren und der ge me insame Exponent ist bei zube ha lte n. Auch hier können wir analog zu (I. 7H) eine Inte rpre tatio n der Gle ichung vo n rechts nach links vornehmen. Ein Bruch wird a lso potenziert, inde m w ir Zahler und Nenner po tenzieren und die result ierenden Pote nze n durcheinander dividieren .

40

I Allgemeine Grundlagen

Beispiele : t.

16x ~y~ _ 42 x~ y< _ (4 xy) 2 _

(4")'

- 9- - -3-'- - 3 2 - 3

2.

Multiplizieren w ir Po tenzen m it gteicber Basis und unterschiedlichen F..\1)()I/l'IIfl'II ,

so crgilu sich aß:l'" = a ·:.l · ... . :l . a . a .. ... a =:1' a · ... . a = a n + ",

( 1.80 )

~ ~ ~ " t'.. ~ ,,~,.., '" I'. k,,,.w. n+ m h k.."'....

Bei gle icher Basis er folgt die Multipli kanon von Po te nze n also durch Additio n der Exponenten hei ue fbe hah ung der gemeinsamen Basis . ln-beso ndere be i der Bildu ng e ines gemeinsamen Ha uptnen ne rs in der Bruchrech nung ist es sinnvoll d ie se Regel in der Form a n = an-k ak ZU schreiben . Beispiele: 1.

x2yx · == x' ".. 3. v'O-n(v,o.n_ v3) =: v'" _ V'3-. 2. 4.

(x _ 1)4

2

=:

(x - 1)' · (x _ 1)3 =: (x -

3

W·(x - 1)"

8

4

2b +3 a' b' + 4a 'o

5.

-a'-'+ -a'-b·- + bB =: = '---COa'i,i"b"'c'--"'---

6.

-,-.~-, - - ,-.-.,- + -,-"~-, ""--"'-C,"";;'''-=-=-

1

z2_ 1

z

Z3_ (Z2 _1) +z _z·

2z3 _ z 2 + 1 zn"~

Divid ie re n wir Po te nze n mit gtetcber Basis und unterscbicdlichen r:.1.1)(J1I('IIlI.'II, können wir bei ;1 *- 0 im Ausd ruck n FA' .... .., ~

a" :\ ·:\ ·... ·:1 -a" " a -a . ... . ;1 ~

on L Lk",,,-n

be i

11

> m gerta u m Fa kture n a kürzen , sodass im Zähler n - m Faktor e n a (bzw .

a"?') ve rbleiben und im Nen ner der \X'e11 I steht. Die s rüh rt zu r allgeme inen Regel

für

Erge bnis ist a lso eine Po te nz mit natürlichem Expo ne nte n. Ist alle Fakto re n ;1 kü rzen. und wir e rhalten a ls Erge bnis Eins . an a 'n

-" I

für

(1.8 1)

n > m.

n=m

11I .. 11,

so lassen sich

(um

3. Grundlagen de r Arithmetik

41

Is t 11 < 111, so ble ibe n nach dem Kü rze n im Kenner m - n Faktoren u übrig. D ~I im

Zähler der 'IX'erl l ver ble ibt gilt also a" ;I '"

1 = a,,,- n

für

nc m.

O .H3 )

Aufwun d dieses speziellen Falls werden wir im Abschnit t I 3.4.2 unsere Pote nzdefinition erw eitern, um eine alternative Schreibweise für (1.83 ) zu e rhalten ( Potenz a"?' mit nega tivem Expo ne nte n ).

Potenziere n wir eine Pote nz, so gilt (a "}" = ;1 " -a" · ... .a" =a n + n + ,,+ " =a m ·n •

(I.H4)

~

m F> ~'"n..n

Es also die Basis beizu be halten und e in neuer Exponent zu verw enden, der sich aus de m Prod ukt des alten und des zusätzlichen Exponenten ergibt. Beispiele : 1.

(X2)4= X24= X8

2.

(3 y')2=( 3) 2.( y 3f= 9 · y32= 9 y 5

3.

( _x~)2=( _1)2 '( XY)2= 1 · xY2= X2Y

3.4.2

Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

Da wir in Abschnitt 3.4. l Pote nze n nur für natürliche Expo ne nte n definiert hatten. waren wir gezwungl'n hl'i der Division von Potenze n m it gle iche n Basen und un tersch iedlichen Exponen ten die drei Fiille (IB I) bis (I.H3) zu definieren. Du rch ein e Erweiteru ng der Pote nzdefinition auf ganzzahltge Expo ne nte n In E Z ) können w ir erreichen, dass (I.H I) in allen drei Fällen n > m. n = m und n < m gilt. Dam it Ll.Hl l auch im Fall n = m das rk btigl' Ergebnis liefe rt, muss offe nsichtlich die Bezie hung (I.H'i ) gelten. Dam it (1.81) auch für n < m das rk btige Ergebnis liefe rt, muss

a~" =...!... an

(I.Ho)

gehen. \,\'ir haben dami t auch Poten ze n mit ncgauven Exponenten de finiert. Die bc ha nde hc n Pote nzreche nre geln hl'sitzl' n für diese un veränderte Gül tigkeit.

I Allgemeine Grundlage n

42 Beispiele:

1.

X ~ · X - l =X 4 . ( - 1) =X3

2.

-x = x3-,." = x• J

,.,

alternativ:

3. 1

4.

5

[( " . ,1,

J]'

- v'

y=[[ ; :

Jr-

y"

{2ab)6

=

[1>''''1']' - y' = [1" 1' ]' - 1

6.

3.4.3

Potenzen mit gebrochenen Exponenten (Wurzeln)

Die Aufl ösung vo n Gleichungen de s Typs an = b nach de r Unb e kan nte n ;1 fühlt zum Begri ff der n- ren wurzcl der Größe h . Fü r h ~ 0 ist die n-te Wurzel von b dc-

finie rt als diejen ige ntctunegoure 7(/1.11 a, de ren O -It' Pote nz h ergibt. Die A ll fl ös u~ von an = b nac h a liefen also t h ~ 0 vorausgesetzn die utchtnegattve Zahl u = ~h . Formal gi lt dami t a'' = b H ;1 = !Jb . ( 1.87) b bezeichnen wir als Rad/kalif u nd n ab wurxetexponens. Aus ( I.H7J kön ne n w ir

für jedes b

;?;

0 ableiten. dass O.HH)

gilt. Das W'urzd zie he n (ode r Rad iziere n I ist also ei ne Umkehrung des Potenzie rens, näml ich die Auflös ung nach de r Basis. Eine Aufl ösun g der Gleich ung an '" b nach dem Expo nenten n he igt Logarithmie ren . Dies ist Thema von Abschnitt I .~ .4.4 . Es k önn en aufgruod de r Verh indu ng zur Pote nzierung zun ächs t folgen de Eige nsch afte n HHl \X.'urzeIn aufgeführt werden: ii = 1 da In = I , W = 0 da o" = 0 und J.jh = b da b' = b . D~"og. Q Ulldral ll 'l/ rzel 4b w ird abg ekürzt als Jb gcscbnebe,n.....J:s gilt zudem "jh~ = da b' auch bei negativem b po sitiv ist. Analog gilt

'<:lI>'" = Ibl .

Ibl ,

Beispiele:

1.

.Jg =3 Wir beantworten mit der Berechnun g des Wurzelwertes die F{~e , welche nichtnegative Zahl quadriert 9 ergibt. Dies gilt für die Zahl 3. Der Term ../9 = 3 ist also eindeut ig und stets positiv. Die Gleichung l '" 9 hingegen besitzt die zwei Lösungen 3 und - 3, da sowohl 32 '" 9 als auch (-3)2 '" 9 gilt. Es ist also zwischen Wurzelwert und Gleichungslösung zu unterscheiden.

43

3. Grundlagen der Arithmetik 2.

~ In diesem Fall existiert keine Losung, da der Wert unter der Wurzel gemäß unserer vorhergehenden Definition nicht negativ sein darf.

ln den vorhe rgehenden Abschnitten I 3.4.1 und I 3.4.2 wu rde n Pot enze n m it ganzza hligen Expo ne nte n be handelt. Eine we itere Erwe ite ru ng auf ge brochene Exponenten .!ll. m it n 'f- 0 und n E Q , ist zuliissig, da auch da bei alle behandelten Heehenregel" n für Potenzen weite rhin Sinn erge ben . So gilt etwa (a "") " =a ""'" = a 1 =a . Vergle iche n wir dieses Beispiel mit ( J.HH), so erkennen wir, dass für a ~ 0 der A usdruck
"

"'

r

" T"";;; so rcrn a a'"- = Va'"

zn

( I. H9 )

.r sofern . a-" = ,,;1 a

()

( 1.90 )

~

Für negativ e gebrochene Exponent en gilt a

1

n = nr= V ;l

m

.

(I .9l )

MItern n ;?: 0 .

Zusam me nfassend kön ne n wir also festhulten , dass \X'urzeln nic hts a nderes als ein e alte rna tive Schreib weise für Pot e nze n mit gebrochenen Expo ne nte n dursn-llcn. Aus diesem Grund sind die Reche nrege ln für Pote nze n auch a uf w urzeln übertragbar. Beispiele:

='f;!

1.

xi

2.

1 3 3 x-' = 3 . !.IX = '"ij;,

3.

{/(x + y) = (X+ y)"

4.

1 -~ --- , _''

Ge na u gen omme n müs sten w ir die Reche nregeln für wurzeln nicht separat aufführen, da jede \X'llrzcl in e ine Pote nzdarstellu ng gebracht und darau f die behandelten Pote nzregeln angewendet werden kön ne n. Der Vollstän digke it hal ber und um die in de r Literatur zu findenden wurzelregeln zu e rklären, wollen wir d iese im Fo lgenden dennoch kurz behandel n. Die Zusa mmenfassung von durch Addition und Sub t r a kt io n verk nüpfte n 'x'u rzel n ist nur möglich , wenn sow ohl Radi karn als auch w urzelexpon cru übereinstimmen . Bei spiel :

~( X _ 1)3 + ~( x- W = 2. ~( X - W Die Multiplikation und Division von \X'u rzel n mit gtetcben folgt a nalog zu (1.78 ) und ( 1.7 9 ) w ie folgt:

'"' .
lVI I rzeiexpoIW II/ e ll e r-

denn es g ilt a~ · h~ = (;Ib); denn es gilt

~: =(*f

44

I Allgemeine Grundlagen

Beispi ele:

t. 2.

J{x3 -

1) . .j; =J{x3 - 1)

ifX

~1 ' -11'

=

ifX

(1' - 11')'

3. Ausklammern von

=

x = J x' - x

~

=

!IX

=q

1' - '1' VI' - 11

x

,-1

-l:

4. c unter d ie W urzel bringen;

cJ,-c'1 Jl-'c' = ""'

=

.rC.'(l-_-C'c'' ') = Vc' - ,

5. "Hationalmachen" (Elimination von Wurzeln im Nenner) von Brüchen: 8

Die Multiplikation und Division von Wurzeln mit gtetcben Kadikanten geschtelu analog zu (IBO) und OB I ) w ie folg t;

denn es gi lt

a"•

~

"

..l'.~

= a- "

Eine verbenge Umfonnung in die Pote nzsch reibweise kann in diese n Fällen Bercch nung e n e rhe blich e rleichtern. Beispiele: 1. 2.

V{x - 2) .J (x - 2} = (x _ 2)'1 .( x - 2)~ = (x _ 2)H = (x -2)~ = f)(X-2)5

~27x3

~(3X) 2

=

~(3X )3 (3 x)i

= (3x )l = (3x)H =

(3 x)i

(3 x )~ ='if3X

\'Venden w ir ( I.H4 ) auf n -te W!urze ln a n , so e rhalten w ir für m ehrfaches Radtzte re n d ie fo lge nd e Regel :

denn es gilt (a "" " )m = a ~ -' Beisp iel :

J2 .W% ;=. J2. '~ ;=. ~14212 · 4 ;=. ~21 ~ · 2~ ;=. ~~ ;=. 2* ;=. 2~ ;=.1~

45

3. Grundlagen der Arithmetik

3.4.4

Logarithmen

Ik i Auflösu ng von Gle ichungen des Typs a" = h ( mit u, h > 0) nach dem Exponenten n k0I11111en sog. Logarithme n zum Einsatz. De njen ige n Exponenten n, m it dem man d ie Basis u pote nzieren muss, um b zu e rhalten , nennt man Logarithmus vo n b zur Basis u, und schreib t n .. IOA. b. Form al gilt also an = h

H

n = log , b .

(1.92)

Bei spiele: 1.

3 n ~9Hlog39~2

Der Logarithmus beantwortet also hier die Frage, mit welchem Wert n die Zahl 3 potenziert werden muss, um 9 zu erhalten. Dies ist in diesem Fall 2, da 32 ~ 9. 3 2. JogA64 =3 ,da4 =64

Insbesonde re in w irtscbaftsw i.~ sensdla ftllche n Anwe nd unge n trete n häu fig de r Loga rithm us zur Basis 10 und der Logarith m us zur Basis der zulcr'schcn Zahl C'" 2,7IH2H 18.. . auf. Erste re r wird als d ekadischer logarithmus bezeichnet und durch log," b '" log b dargestellt. De r I.ogarithmus zur Basis e , de r sog. natürliche logarithmus . entspricht log" b '" In b. Charakterist isch für jeden Logarithmus von b zur Basis a sind die Be zie hungen a"",· h = b (1.93) log ,(a ")= n ,

(1.94)

die uns Insbeson dere he im Löse n vo n Gle ichungen, d ie Logarithme n beinhalten . nützlich sein werden . Diese charakteristischen Be zie hunge n nehmen für den dekad ischen und den natürlichen Log arithm us die folgende Ges talt an: 1 0~'l' 1>

=b

log 10" = n

Be im Umgang m it Logarithmen gilt ei ne Reihe von Rechenregeln, die unmittelbar aus denen für Pore nze n entsteh en . \'('o lle n w ir z.B. den Logarithm us ein es Prod uktes zweier Faktoren II und v zur Basis a, also log, (uv ) be sum mc n. so können wir dies durch Summa tion der Loga rnhme n der e inzelnen Faktoren tun. l()g , (uv )=log ,u+l()g~v

().97)

Analog e rhalten wir auch den l.ogaritbmus eines Quot ien ten als log..

Bei spiele: 1.

In(5x) =ln5 +ln x

2.

In( %) =ln3 - ln 4 = -O,28768...

(~ ) = log , u -

log, \- .

(1.98)

46

I Allgemeine Grundlagen

(1.97) gilt auch für eine beliebige Anzahl n von Faktoren, d.h . I(Jg, r u.u, ...ll n) = log , u 1 + log, u ~ + ... + log" lI n =

,

L log , ,.,

ll k •

Sind alle u, = u, so erhalten wir log , u" = n . log, u ,

( 1.99 )

was besagt, dass e in Expo ne nt "vor den Logarithmus ge zogen" werden darf. (1.99) gilt nicht nur für natürliche, sondern auch für ganzzahhge und gebrochene Exponen ten , sodass auch gilt :

Beispi ele: 1.

Jn( x 2 ) = 2 · ln x

2.

In(,, 4x) = 10((4x)' ) = - . ln (4x) = - ' {In 4 + In x) 3 3

3f7":

l

1

1

Ein Logarithmus zu ein er be lie bige n Basis a kann jederzeit mittels dekadischer oder natürlicher Logarithmen berech net werden. Dabei machen wir uns (1.92) und die vorhergehend be handelten Re che nre geln zu Nu tze : tcach ( 1.92) gilt an = b ,

woraus nach l.ogarithmicrung

log b loga

n -toga = logb bzw . n = - -

res ultie rt. Da die gkidle Berechn ung auch m it de m natürlichen Lo garithmus e rfolgen kann , können wir für die A l1 fl ü,~ u n g e ine r Gleichung a" = b nach n an = b

H

n= 10g b = ln b loga ln n

(1.100)

festhalten. Da nun gerade n .. log, b ist, e rkennen wir daran au ch , dass wir log, b w ie folgt aus dekad ischen oder natürliche n Logarith men berechnen können: log h = 10g b = lo b • log a lna Beisp iel :

3' '" 7

H

x ", log 7 ", ln 7 = 1, 7712437... log3 ln3

(1.10\)

47

3. Grundlagen der Arithmetik

-

3.5 Weitere Gleichungstypen ln d iesem letzten Grundlagenabschnitt setzen w ir die unter Abschnitt I 3. 1.5 be gonnene Be hand lung vo n i\l(uivalenzumformungen in linearen Gleichungen fort . Darüber hinaus erweitern w ir das in der \'\'irtsd ta ftsmathe matik notwendige Spektrum \ '011 Gleichungen auch a uf q uadratische Gle ich unge n. De n \X,'urzel· und Logarith musgleichungen sow ie speziellen Produ kt- und Quotien tengleich ungen w idmen wir aurserdem separate Abschnitte.

3.5.1

Weitere äquivalente Umformungen

Neben den in Kapitel I 3. 1.5 besch riebenen Umfo rmu ngsregel n für Gle ichu ngen, können nac h Be hand lu ng von Po tenzen, W urzel n und Logarithmen we itere ~lög­ lkhkeiten äqutvalrener Umformungen angeführt werd e n, So d ürfen et wa neide Sei fell einer Gleich ullg z u ,. selbcn Basis a m it n *- 1 !J0fellzieI1 we rd en. Umgekeh rt sind damit d ie Ex po ne n ten zweier Po te n ze n mit gleicher pos itiver Basis a mit a ~ I id enti sch . f o rmal gilt also ( 1.102) T1 = T! H aT'=a T, für 0,a *- 1 Beispiele:

1. Auflösung einer einfachen Basisgleichung:

6 -" 5 _6. -3' = 0

1+6' -3.

6 -· ,5 = 6· ,3' Da (I. 102) gilt, c örten bei gleicher Basis beide Exponenten gleichgesetzt werden: - x + 5 = 4- 3x

x =-0,5 2. Auflösung einer einfachen Logarithmusgleichun g: Inx+2,ln2 = 4 Inx +ln2<=4

4x =e'

[e

1:4

x = 13,65 Wie aus dieser Gleichung ersichtlich ist, kann Regel (1.1 02) besonders gut zur Elimination von Logarithmen in Gleichungen eingesetzt werden. Dabei ist jedoch zu beachten , dass grundsätzlich die gesamte Gleichungsseite (v~ 1. Zeile 3 obiger Auflösung) als Exponent gesetzt werden muss und nicht etwa ein. + e nol ,. e4 geschrieben werden darf. Es sei außerdem angemerkt, dass wir in diesem Abschnitt zunächst die mit Logarithmus- und Wurzel gleichungen verbunde ne Definitionsbere ichsproblematik vernachlässigen. Wir widmen diesen speziellen Gleichungsty pen die separaten Abschnitte I 3.5.3 und I 3.5.4.

I Allgemeine Grundlagen

48

Kellen dem Setzen ein e r gemeinsamen Basis ist auch e tn Potenztoren beider Gtet chungsscitcn nnt dell/sefuell llllgemdelll!.\l)()/Ie ll(ell zulässig. Es gilt dam it TI = Tl

(U03l

H

Da n auch e in Bruch sein da rf. sch ließt Regel (1.103 ) auch da s Ziehe n der n-tcn Wurzel au f beiden Gleichungsseilen e in. Tl = 'I~

H

4T: = (f;

(1. 104 )

Beispiele: 1. Auflösung einer Wu rzelgleichung: V x - 5+ 4 = 16

1-4

3

1

(V' - 5j' =12' ((X_ S)113)J '" 172 8 x- S =1 728

1+5

x =1 733 2. Auflösung einer Potenzgleichung :

(X+ 5)9 = 512

IV""

bzw. hoch i

~( X_ 5)9 = {/S12

,

(1'- 51' )' =2

1+5

x- 5 =2

x =- 7 Ist der Expo nen t in ( I.1 0.~) bzw . (1.104) gerade, so l iegen kei ne äquivalcrucn Um-

Ionnunge n HJl". SO besitzt die Gle ich ung x - 2 - 2 d ie eindeu tige Lösung x - 4. Quadrieren wir betde Seiten jedoch , so e rhalten wir (x - .n' .. 4, was deutlich erken nbar d ie beide n Lösun gen x, .. 0 und Xl .. 4 liefe n. Um also Po te nzie re n und Radiziere n auch be i geradem 11 zur Gletch ungs um formung nutzen zu können, müssen wir beachten , dass beim Po te nziere n mit geradem n Vorzeichen ve rlo re n gehen und he im Radiziere n m it geradem n aus T,n = T~n zwei Gle ichungen , nämlich T\ = 'I~ oder Tl = - Tl entstehen können. (1.10'1)

Beispiel : { x - 2)4 == 65536

Ii"'

x - 2 = 16 v x - 2 = -1 6 x = 18 v x = -1 4

Gilt T, > 0 und T, > 0, so ist für ein positives a (a cF- 1) Logarithmieren bei de r Gleichungxscltcn ei ne weite re äquivalente Umfo rmung. T, = Tl H log, T, = log " 'I~ fü r 1'" Tl > 0 und

,IE IR+\ ll ]

(L106)

3. Grundlagen der Arithmetik

49

Beispiele: 1. Auflösung einer einfachen Exponentialgleichung:

[Jn

e , -2 = 1 lne -" = ln 1

1+2

x -2 = O x ",2

2. Auflösung einer einfachen Bastsqlelctump: 2' = 4

I' og

log2 ' = log 4 x ·log 2 == log4

lo log 2

x == 2

3.5.2

Quadratische Gleichungen

während lineare Gle ich u ngen dadurch ch arakteris iert sind, dass man sie durch äqc ivulerue Umfo rm un gen in d it.' Form ux + h '" () bringen kann u nd damit nu r

e ine Lös un g lu-sitze n, ve rstehen wi r u nter e ine r quadransehen Gle ichu ng eine xolehe. die sich du rch äqu ivale n te Umformung als ax l + b x + c = O

'*

mit

;1 ,*0

( 1.107)

darstellen Hisst. Es muss dabe i a ge lten , da a ndernfalls keine q uad ra tisch e Gle ichung, sondern eine line are vorliegt. ü

Die Best immun g d er zwei Lösun gen vo n Gleichun gen die ses Typs e rfolgt m it l lilfe der Lösu ngsformel X 1.l

=

-h± JD 2a

mi t

( 1.108)

Gilt fü r d ie so g. tnsler inünantc 1) > 0, so be sitzt die Gle ich ung 2 Lös un ge n. Im Fa!· 11.' D .. 0 e rgibt sieb eine ei nzige u nd be i D c 0 keine Lö su ng. Beispiele : 1.

3x2 _ 4x == _5

1+5

2

3x - 4x +5 ==O x

=

1.2

D<0 2.

-(-41+ ~I 41' - 4 · 3 5 = ::: 4.=+~J-::4::::4 2 .3 - 6 ~

keine Lösung

x2 + 16x + 20 == 0

r-r-x-r-r-r-r:

x

-

1.2 -

- 16+ J {16f - 4. 1 20 - 16 + .Ji76 == 2 .1 2

x == -16+.Ji76 == _1 367 I 2 "

Xl

==

- 16 - .Ji76 2

- 14,633

50

I Allgemeine Grundlagen

Die Lösungsformel (I .lOH) kann au,.. h bei sog. biquadratischen Gleichungen angewendet werden . Diese sind wie folgt aufgebaut: ax '+bx l +c=O

Zur Lösung derart ige r Gleic hungen w ird das sog. Subsututtonsresfabren he rangezogen . Das folgende Be ispiel veranschaulicht die da be i nö tige vorgehenswetse. Beispiel : x 4 - 5x ~ + 2 ", O

1. Schrilt

Wir sel zen l = z und x4 = Z2 (Substitution) und erhalten damit die q uadr atische Gleichung Z 2 - 5z + 2 = 0 .

2. Schrill :

Lösen dieser Gleichun g mit Lösungsformel (1.108)

-(-51 ± ~( 51' 4 ·1· 2 z1.2 = _"--"-''-''';;'';-_CC'''=' 2. 1 3. Schrill :

2, '" 4,56 z2 =0, 44

Aesubslil ulion

x2

=

z

-t -t

x2

=

4,56 -t xl.2 : ±,J4,56

2

x = 0,44 -Jo x 3.• = ±,JO, 4 4

Liegt zunächst keine quadratische Gleichung vor. kann versucht werden , d urch Ausklammern e ine solche zu ..gc nerlcren''. Bei spiel : 3x 5 +3x' -6x J ",O 3 xJ (x 2+ x _2 ) =O Es gilt nun aufgrun d von (1.34), dass dieses Produkt nur dann gleich Null ist, wenn entweder 3 xJ = 0 oder x 2 + z x + 4 = 0 erfüllt ist. Als l ösung erhalten wir daher folge ndes:

x 2 + x _2 =O x= -2 v x =1

Ist b oder c in einer quadratische n Gle ichung gleich Null, so vereinfuchr sich die Lösung erbeblich . Ist b - 0 erg ibt sich

ax~ + c = o

--+ xl.2 =±

~.

'1 -;;

Auch hier erha lten wir zwe i Lösungen , wen n de r Te rm unte r der \X'urze l pos itiv ist, eine Lösung, we nn e r gleich Null ist, und kei ne , wenn er nega tiv ist. Beispiel : _2x 2 + 8= O 2

x =4 x = ±2

1- 8

I"

1:(- 2)

Mit l ösungsformel :

x12 = ±

.

r=a =±J"4 ", ±2 f=2

3. Grundlagen der Arithmetik

Ist

C

=

51

0 , erhalten w ir a x! + bX = X(;IX+ b ) = O

-7

-b

Xl =0 und X,= - . .

"

Beispiel: 2

4x +2x "" O

Mit lösungsformel :

x(4x +2) "" O

-2 x, ",, 0 und x 2 "" 4'" "" - O,5

x "" Ov 4x +2 = O x "" Ov x = -Q,5

Quadratische Gle ichungen werden auch als Gleichungen oder Polynome 2. Grades bezeichne t, da d ie höchste Pote nz den Expo ne nte n 2 besitzt. Gleichungen (Polynome) h öheren Grades, d.h. de s Typs anxn+a n_lx n-l+ ... +a lx+ a U= O

mit neN,;I ,,'*O ,

heißen Polynome n-ten Grades. Dabei sind die a! die Koeffizie nten des Po lynoms. Derartige Gleichungen können für n ~ .3 nur schwer und ab n = 5 überhaupt nicht me hr m it elementaren Be rec hnungsfo rmel n eindeutig gelöst werden . Es wird daher in der Rege l auf ge eignete Nä hernn gs ve rfah ren zurückgegriffen . Eines dieser Verfahren ( Newton-Ve rfahre n ) werden wir in Kapitel 11 1 noch näher betrachten.

3.5.3

Wurzel gleichungen

W'u rzelgleichungen we isen die gesuchte Variable unter einer Wurzel au f. Im Zuge des Lösungsvorganges ist es daher erforderlich die wurxel durch Pote nzie re n zu beseitigen . Im Falle eines ungeraden wurzelexponeoten stellt dies kein Prob le m dar. Bei ge rade m wurzelexponcnten jedoch sind nichtäqu ivalente Umformungen erforderlich. Dies bat zur Fo lge, dass die gefunden en Lösungen daraufhin überprüft werden müssen o b sie die Ursprungsgleichung erfüllen. Eine no twe nd ige Bedi ngung dafür ist, dass sie im Definitionsbereich der \X'urzel lie ge n . Bei spiele: 1.

~+ .JX== 7 Gemäß der ersten Wurzel darf x niemals einen Wert annehmen, der kleiner als 1 ist, da der Wert unter der ersten Quadratwurzel (n "" 2, d.h. gerade) sonst negativ wäre. Bei Betrachtung der zweiten Quadratwurzel gilt dem enstprechend, dass x nicht kleiner als 0 werden darf. Nur wenn x innerhalb dieses Deflnitcnsbereiches liegt, ergibt die Wurzel einen sinnvollen Wert. Im hier vorliegenden Fall ergeben sich die Bereiche 0, = { xi x;;:.: 1} und O2 ",, { xl x:::=O} , die zum Definitionsbereich der gesamten Gleichung

D_ , ={'I' >1) führen. Mit diesen Vorüberlegungen können wir nun die Gleichung lösen:

52

I Allgemeine Grundlagen

J x-1+JX =7

1'

{JX=1+.JX) 2= 7 2

(v'X"'=-l/ + 2 · ~ ·JX + (JX )2 = 49 x - 1+2 ·J )( - 1· .[;. + x = 49 2 · ~ ·JX =-2x + 50

1- 2x+ 1 1: 2

J (x 1) ·)( =:-x + 25 ../x2 -x = -x + 25 x 2 _ x = (25 _x )2

I'

x 2 - x = 25 2 - 2 . 25 . )( + x2

49x = 625

x =12,76 Im Zuge dieser Umformungen ist anfangs darauf zu achten. dass jeweils die gesamte Gleichungsseite und nicht etwa nur deren ein zelne Terme zu qua drieren sind . Da es sich bei den du rchgeführten Qua drierungen nun nicht um äq uivalen te Umformungen hande lt (vgL Abschnitt I 3.5.1 . . Potenzierung mit ge raden Exponenten), ist zudem zu prüfen, ob das resultierende Ergebnis x = 12,76 im Definitionsbereich der Gleichun g liegt. Dies ist hier der Fall. Auch ein Einsetzen der Lösung in die vorliegende Ausgangsgleichu ng ../12,76 1+ J12,76 = 7 füh rt zu einer wahren Aussage (7 = 7), d.h. die gefund ene Lösung erfüllt die Ausgangsgleichung.

2.

I' l-x + 6X- 9

~ =x -3 2

2

x -1 = x - 6x+ 9 - x 2 + 7x- 10= 0

Die Anwendung der Lösungsfo rmel (1. 108) liefert Xl = 5 und X2 = 2. Seide We rte liegen im Definitionsbereich 0 = [x I x z 1} der W urzel. Ein Einsetzen von Xl in di e Ausgangsgleichung liefert eine wahre Aussag e (2 = 2), wohingege n für X2 eine falsch e Aussage (1 = - 1) resultiert. Demnach ist nur Xl eine Lösung der Ausgangsgleichung.

3.

~1 20 - VX - 5 = 0

~1 20 - VX = 5 120 - tIx = 125 tIx = - 5 X=

-3 125

1+5

I'

1- 120 IHI

I'

Da hier der W urze lexponent bei allen Operation en ungerad e war , wurden nur äquiva lente Umformungen durchgeführt. Eine Überprüfung des Ergebnisses ist daher nicht erforderlich. Zudem umfass1 der Defini tionsbe reich der auft retenden Wu rze ln alle rellen Zahlen lR , d .h. es sind hier auch negative Radikanten zulässi g.

3.5.4

Logarilhmusgleichungen

Bei Logarnlunc sg tetch u ngcn handelt es sich um Gleichungen, bei den en die gcsuchte Variable unter e inem Loga rithmus vorkomm t. Gle ichungen dieses Typs

3. Grundlagen der Arithmetik

53

we rd e n durch Po ren zle rung zur Ba sis des vo rko mme nd e n Logarith m us gelüst. Die Ken nt nis de r Loga rith mus - und Po ten zge se tze sind also bte r essen ziell . Auch hie r t,>n tste ht wie bei d e n \Xrurzdgleich un gt.' n e int.' Dt.'finitions!lt,>rt.'ichsp ro!l[em'lIik, da der Lo ga rithm us nur für positive Te rme d efin iert ist. Beispiele: 1.

In5 = 4In(/ ) Der hier vorkommende Logarithmus ln (l ) ist auch für negative y positiv, sodass er lediglich im Fall y = 0 nicht definiert ist. Der Oefinitionsbereich des Logarithmus und der Gleichung ist damit 0 '" IR. \ {O}. Eine Auflösung der Gleichung liefert folgendes: InS = In(y2)'

[e

5 '" y8 y = ±~ y = ±1,22 Seide Werte liegen innerhalb des Defmiüonsbereiches und erfüllen die Ausgangsgleichung, sind also Lösungen der Gleichung. 2.

1+logx ",210g(x -1 )

110

Der erste Logarithmus ist nur für x > 0 der zweite für x > 1 definert. Dies ergibt als Oefinitionsbereich der Gleichung 0 '" {x I x > 1}. Die Gleichungsauflösung liefert folgendes: 10'010<,1 ' = 102io11l'

I)

10' .101og, ", 10 iolll ' -1)'

I...

10x = (x -1f 2

x -12x +1 = 0 Über (1. 108) ergeben sich x, = 11,92 und X2 = 0,08. Nur X, liegt innerhalb des Definitionsbereiches 0 und erfüllt zudem die Ausgangsgleichung, sodass nur Xl eine Lösung der Gleichung ist. 2.

log~ - 1 =0

1+1

Hier ist zunächst zu untersuchen, für welche Werte die auftretende Wurzel definiert ist. Da der Term l + 1 für jedes reelle x positiv ist, ist die Wurzel für ganz IR. definiert. Da der Wurzelterm damit die für den Logarithmus notwendigen Voraussetzunge n erfüllt, ist auch dieser für ganz IR. definiert. Definitionsbereich der Gleichung ist damit IR . log.Jx 2 + 1 "' 1

.Jx + 1 '" 10 2

x2+1 =1 00

, ' = 99

110 2

1

1-1

1.["

x .2 = ±.J99 ' Seide Ergebnisse liegen im Definitionsbereich und erfüllen die Ausgangsgleichung, sind also zulässige l ösungen.

54

I Allgemeine Grundlagen

3.5.5

Produkt- und Quotientengleichungen

Besitzt eine Gleichung die I' rod uktfonn Tl· TI· · · · ··I~=O ,

so gilt aufgrund v on (I.j4J fü r ih re LÜMmg TI = 0 o d er 'I~ = () oder

o de r 'I ~ =

o.

Beisp iel : In x ·{ x 2 - 4) -2x :O Für die vier potenziellen Lösungen dieser Gleichung gilt folgendes: ln x e

ü

x=1

v

x2 _ 4 = 0

v

2x = 0

v

x = ±2

v

x=O

Da der Logarithmus jedoch für x = 0 nicht definiert ist, können nur x = 1 und x = ±2 als Lösungen der Gleichung betrachtet werden. Liegt d ie Quotienten fo rm

T

--!..=O mit T, ' O 1~

vor, so g il t nach (1.33J fü r die Lö sung

Beisp iel :

Jx -3

- 2- = 0 3x + 5

J x - 3 =0 x =3 Da der Nenner nicht den Wert Null annehmen darf, muss diese Lösung noch überprüft werden. Wir erhalten 3 .3 2 + 5 = 32 '" 0 . Somit ist x = 3 eine gültige Lösung.

4.

Aufgaben

Aussa ge nlogik Aufgabe 1-1

Geben Sie für folgende Aussagenkombinationen an , ob d ie Aussage A jem::ils

001 -

wendig u nd/oder h inreichend für d ie A ussage 11 ist! a}

A: "x = - 3 "

B: " x 1 = 9 " b ] A: "x ist gerade."

x

B: " - =7" 2 c ) A : " (x = 3 l v( x = - 3l "

d j A: "x b t e ine ganze Zahl ."

B: "2 e N "

4

e) A : " tl et ;\ ;l':O"

It ",\"' exist ie rt ."

n

A: "f'{ x o) = O"

11; "An der Stelle x, lieg t e in Extre mwe rt vor. " glA: " x < l " B: " x1 < 1"

x

h) A: " ':"' e N " .; B: "x e Z (ganze Zahlen)" i)

A : "Fi xe Kosten = 0"

B: " j C\ x ) dx

e

Ct x )"

Da die Te ilaufgaben e), fJ und j) In ha lte der Kapitel III "Funktionen ein er Variablen" und VI "Linea re Algebra' beinhalten, sotnen Sie deren Bea rbe itung ggf. ers t na ch Lese n der en tsprechenden Buc h kapite l e rwägen .

56

I Allgemeine Grundlage n

Me nge nle h re

Aufgabe 1-2 Gegeben sind d ie Gru nd menge n '" 0 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 81 un d d ie zw ei Te ilmengen A" 11, 2, 3, 4, 51 und B '" 12, 3, 5, 7, xl. Bestimme n Sie

AnB

;I)

b)

A uH

d)

Än TI

cl

A n B nA nlL

Aufgabe 1-3 Gegeben sind die Menge n A '" 11, 2, 3. 4, 5, 6, 7, H, 9, 101, 16, 7, H, 9, 10, 11, 12, 131. Bestimme n Sie

n = 12, 3, 4, 5, 61 und C

=

a) A u m u Cl

c)

A u ( A n Bl

i)

A \ (B n 0

b ) A n (B n C)

n

A n ( A u B)

j)

A \ (B u Cl .

A u(B nC l

gl

(A \ Bl n B

d) A n (B v Cl

h)

(A \

c)

BJ u B

Arithmetik Aufgabe 1-4

. . .Iulriplizicrcn Sie die Klamme rn in a) - e ) aus und vereinfachen Sie so we it wie möglich! Klamm e rn Sie angerdem in [) und g) d ie gemeinsamen Fakto ren aus! a)

(2aX+ 3hY ) (~_ :I -.!.J b)

e)

(..!.2 p + ~2 q + ..!.·1 r) (2P +4q )

f)

2x' - 4xy +Hx

gl

" L ahx , y ~

,.,

dl (x+yK2x- 4y )-(jx+ y)(2 x- y )

Aufgabe 1-5 Zerlegen Sie die Ausdrü ck e u), b ), c) und be rechne n Sie e), fl und g)! a)

1l-9

b l 1- 49x l

'd)"'

2'i\'\ v! + zuvw + 4 :l l

+ h l + Cl + z ab + zac + zbc

c)

d)

nuuels der bi nomischen Formeln und

(4-2x)(4 +2x )

0 (a + b + c - d l! g l (-2 -x )! -(I -x)!

57

4. Aufgaben

Aufgabe 1-6 Vereinfa chen bzw. kürzen Sie d ie Brüche a) - g) so we it wie möglich und fassen Sie die Brüche h ) - n) je we ils zu eine m einzi gen zusammen!

a)

x- y y- x

n

,

b) cl

a- + a l

a - 1 2x - 2y :1)' -

ax

J)

x,y- xy-' xlz xz

e)

, - ) (I - r ) " - I ' - r'

g)

1 a x/+ bxy xy a ~ - b' Xl

+ Zxy +

)' 1

xz )

k ) x -y . y -x Sx . 16y

x\ ' x' y'

IJ

a

b

:1

b

m) ()- ~)(~-'cJ z z z

h)

) - -

IJ

---x - y x +y

j)

) 7s - 9 5 5 ----- +-----

-

x- y

s-I

( a + b + a + h):(~ + ~)

I+s

n)

s' - I

(m rn +2n -- -zn)._-2n

m

n

I- s

Aufgabe 1-7 Lösen Sie folgende Glei ch unge n nach x auf

a) 3x -5(a-Z(x + 1)-I)+(a -I)'

b)

x+ 1 x+ 6 = 5x+Z SX- -1

cl

- -

=-( 7:1 -

x)

3x+ 1 I - x -- - = x- 2 3x-6 5x- IO

Aufgahe 1-8 Stellen Sie die Ausdrücke u) - d) mittels Summenzeiche n kom pakt dar, schreibe n Sie e ) - [) in e xp liziter Forru und be rech nen Sie bcide: a)

c-)

X 'Y l +X~Y ~ + , · , + xnY~ Y, +Y l + ... + y ~

e)

t

C- i )' I ~ _, 2'

n

n,.

j'

,~ ..

1+ i

1+ 0+ 1+4+ ... + ( n - l) '

dj '",IWlk +\' UW ~k + . . +V ,~ W "k Aufgabe 1-9 Gehen Sie an , für welche x folg ende Ungle ichungen gelten : I _ 1 2 a ) 2x+ R < - 5x + 1 (.,) - - 5 - ü,) e) --<-x- 2 x- I x+l 2-1 + x h ) - - - + 1<4 x

58

I Allgemeine Grundlagen Aufgabe 1-1 0

Vereinfachen Sie folgende Te nne so weit wie mögl ich: a)

xn +1 '

X ' X-

1

cl

n

:\l'~z ~ x 1y .I Z ' r j(s ~ -

t'

)t l

s' (s+ !lr'

gl d)

((-yt"'_')''''1

hl

Aufgabe 1-11 Fassen Sie :t) - h ) zu je w ei ls einem Bruch zusammen , bcxeitlgc n Sie die Brüche in cl - f) durch Fo rmulie rung in Porc nzschreib wuise, sch reiben Sie g) - hI als Brüche und formen Sie i) - j) so um, dass ke ine negative n Expo ne nte n auftreten! a)

, ,

t +, t - I --+-" r'

,

cl d)

i)

n I : --=7

jl

t

b

n

hl - - - -,

r "·l

cl 1- - + ..,-

)

t-

a

a b'c

gl xy-l _ (xy)'H

x- y

hl 3(a -nh" r 1

y+x

[('XlI

( r.( r ~ u-'y - '

x-'y -' U

' v-·\

Au fgabe 1-1 2

Formu lieren Sie aI - c ) als Wur zel n und d) so weit wie möglich! a)

a

,

~

dl

hl xyH

cl

cl y--<J.'

f)

;Jx'~xP

<Ma . i}a

m s

r

s

gl

n als

Pot enze n! vere infache n Sie gl - i )

..& ..[;h .Jb

hl Jx n H .~x , n + j i)

~a !n -_j

. rJa'_n

U

Aufgabe 1-13 Fü r welche x sind die folgenden \X'urzel n defin ier t: ;l)

J ;l l -

x!

h)

~( x- 2b) '

c)

Jr::O-n-x""I'----:'

59

4. Aufgaben Aufgabe 1-1 4

Berechne n Sie folgende Gleichungen: a)

10' =

; h +l

t» 4 ' ~Xl _ 3 + 5 = 0 c)

(x _ ll-1+(x +] l-1=]

e)

.L .

n

log ,(3x)-1=log ,(x

h)

]og , O,"i =-1

i)

.j'}x -

j)

Jx + 2 -Jx - 2 = ~

x''

r.;ln l + .\ ln ,

4 = I

=

CI" >+In ~ + In l

(_1_) zx

)

+.J3x + I

Jx+2

Hinweis : Nahezu alle Aufgaben sind so gestaltet, das.s die Lösungen in die Definitio nshere iche der jeweiligen Logarithme n bz w. w urzel n liegen . Lediglich be i den Aufgaben i ) - p sind die Lösungen auf ihre Gültigkeit zu prüfen.

11

FI NA NZ MATHE MATI K

In der Finanzmathematik befassen wir uns mit Fragestellungen wie, welchen Wert ein heule oder in gewissen zeitlichen Abständen zinsbringend angelegtes Kapital in der Zukunft besitzt oder welcher Geldwert heute bzw. regelmä ßig angelegt werden muss, damit in Zukunft eine bestimmte Ausza hlung erhalten wird. Darüber hinaus interessieren wir uns dafür , wie aus einem gegebenen Anf angskapital regelmäßig wiederkehrende Auszahlungen vorgenommen werden können und wie die Tilgungsstruklu r von Krediten bestimmt werden kann. Auch die aus den Steuergesetzen bekannten Abschreibungen für die technische bzw. wirt schaftliche We rtmi nderung von Wirt schaftsgüt ern werden mit dem finanzmathematischen Intrumentarium anal ysiert und sind folglich ebenfalls Thema dieses Kapitels. Wesentlich e Grundlage für die Darstellung des unanzmathern atlschen Formelwerks sind sog . Zahlenfolgen. Sie basieren auf speziellen Funktionen (Bildungs gesetzen ). die aus der Menge der natürlichen Zahlen die Glieder der Folge liefern. In der Finanzmathem atik sind insbesondere die arithmetische und die geometrische Folge von Relevanz . So können etwa regelmä ßige Einzahlungen auf ein Konto als Zahle nfolge aufgefasst werden . Werden die Glieder einer Folge autsummiert. so erhält man sog. Reihe. Reihen finden daher überall dort Anwen dung , wo Ein- und Auszahlungen auf Konten stattfinden, die verzinst oder abqezinst werden . Kontostände stellen nämlich auch Zwische nsummen dar. die in Abhäng igkeit von den Zah lungszeitpunkt en die Glieder einer Folge bilden .

1•

Folgen und Reihen

In diesem Teilabsc hnitt legen wir mit arithmetischen und geomet rischen Folgen und Reihen das für die Finanzmathe matik notwend ige formale Fundament. Wir behandeln dabei unter 1.1 und 1.2 zunächst endliche Folgen und Reihen, das s heißt solche , deren Glieder abzählbar sind. Unter 1.3 gehen wir kurz auf spezielle unendliche Reihen ein. Wir werden

dabei unter anderem sehen. dass die Euler'sehe Zahl e aus einer unendlichen Reihe resuliert.

-

1.1 Folgen 1.1.1

Grundlagen

Unte r ein e r Fo lge [a,1 versteh e n wir allge mei n eine Funktion (ei n Bildungsgesetz), d ie (das) jeder na türlichen Za hl n e N oder einer Teilmenge von N eine reelle Zahl an E IR zuordnet. Dte reellen Zahlen a,. a,• ... , an E IR he ißen d ie Gliede r de r Folge mit a, als dem allgemeinen Glied. Beisp iel :

1a,, ] =n2 + 5 für n e N Der Term n" + 5 stellt das sog. Bildungsgesetz dar. Aus ihm resultieren durch Einsetzen der Elemente des Deünntonsberetchs (hier n e N ) die einzelnen Glieder der Folge, die in folgender Tabelle auszugsweise angegeben sind:

a,

a.

a,

"

Wert

W'ird d ie Zah l n a us ei ner begre nzten Zahle nmenge (z.B. n e Tl , 2; 3; 4; 5)) gcwühlt, so gilt d ie f olge als en d lic h . Andernfalls w ird sie als u ne n d lich bezeichnet. Ande rs als d ie Eleme nte einer .\knge können sich die Glied er e ine r Folge beliebig o ft w iede rholen, wie folge ndes Beispiel zeigt: Beisp iel : la,,] =0,25.(n+(-1)" .n) für n e {1;2; 3;4; 5; 6} Die Glieder dieser Folge ergeben sich zu 0, 1, 0, 2, 0, 3.

64

11 Finanzmathematik

Hesirzt e int;' I'ol ~e die Eigen s<.:hafl, dass ih n: Glieder einer festen Zahl Gl imme r näher kommen, wenn sich n einem \X'c rt u nähert oder gegen unendlich geht, nennen w ir sie konvergent (a nde rnfalls d il'erp,elll) . W'ir be zeichnen d iese Zahl 'P als Gre nzwert de r Folge und schre iben

lp= lim [anJ

bzw .

rp = lim [a" ].

" ... tl

" .....

Beispiel:

n n+ l

[a,, ] =-

fü r ne N

Betrachten wir die Glieder dieser Folge, stellen wir fest, dass je größer wir die Nummer n des Folgegliedes a, wähl en, an der Zahl 1 immer nähe r kommt.

o 2. ,g .i

1.000

100.000

' 2' 3 ' 5 " '" 1.001 '· ··· 100.001 o.m Q.9_ ~

~

Wir können also schreiben:

lim _ n_ ~l

n ....~ n + 1

\X'ie unsere b isher igen Hcixpicle zeigen, braucht e ine Fo lge nicht unbedingt kon vergen t zu se in. Vielmehr sind Folge n in der RC~l,' l monoton wachsend , d .h. für jedes n gilt an < an," oder monoton falle nd. d.h . für je des n ~ i lt an > an,,'

1.1.2

Arithmetische Folgen

Ist bei ein e r Fo l ~e die' Differellz mvter a ufeinander fi)~q(,llder Glieder tsonstant, d.h. ste ts gleich ein lind der sclbc n Zahl , so sprechen wir VUIl einer arithmetischen Fo lge. Sie ton auf, wenn regclm;if.~ig ein e Ko nstante addiert (bzw. subtrahiert .. Addition negat iver Konx tanrc ) wird. Beispiel:

a, 2

5

4

3

Wie unschwer zu erkennen ist, ergeben sich die Glieder der Folge indem zum Vorgänger glied stets 1 addiert wird (an., = an + 1). Die Differenz von zwei aufeinand er folgenden Gliedern ist somit auch immer gleich 1. Es liegt eine arithmetische Folge vor.

Eine Fo lge ist also urtthm ctisch , wenn für sie

J = an. ' -

;I n

mit d = konstan t für alle ne N

---

bzw . ;I n., .. an + d gilt. Die Gliede r der Folg e kö nnen wir daher schreiben als + 3d , ... ...',a',+ <..I , :E + 2d , ;l---....--... " ;11 '

1

j

j

~ ';

(II.lJ

1. Folgen und Reihen

65

Dara us e rgibt sich zur Ermittl ung einzeln er Glied er einer arithmet ische n Folge als Formel hzw. als Bildungsgesetz der arithm e tiwlu..n Fo lge an = a) + (n - ! ) ·d für alle n e N .

(11.2 )

Für d > 0 ist die Folge mono ton wac hsend, für d < 0 monoton falle nd . Beisp iele: 1. Fall d > 0: Ein Student eröffnet zum 01.01.2009 durch Einzahlung von 1.000 Euro ein Bankkonto. Am Anfang jedes Folgemonats zahlt er jeweils einen um 500 Euro erhöhten Betrag auf dieses Konto ein. Wie hoch ist die Einzahlung im November 2009? Es ergeben sich al l '" 1000 + (11- 1) ·500 '" 6.000 Euro. 2. Fall d < 0: Ein Anlagegul mit einer betriebsgewöhnlichen Nutzungsdauer von 4 Jahren und Anschaffungskosten von 40.000 Euro soll linear abgeschrieben werden, d.h. die in der Bilanz gebuchten Anschaffungskosten werden 4 Jahre lang jährlich um den gleichen Betrag reduziert, bis ein Wert von Null erreicht wird. Die Anschaffung erfolgte zum 01.01.2004. Abgeschrieben wird jeweils zum 31.12. des Jahres. Wie hoch ist der Restbuchwert (a3) zum 01.01.2006 (3. Nutzungsjahr)? Die Folge der Restbuchwerte ist arithmetisch mit d '" - 40.000 1 4 . Es ergibt sich somit a 3 == 40.000 +( 3 - 1H-10.000) == 20.000 Euro.

1.1.3

Geometrische Folgen

h ei (~t geome trisc h, wen n der Q llofiellt zuv ser auf einander fo lgender Glieder eonstant ist. Sit.' tritt a uf, wenn rl'gel m~ g ig m it e inem konstanten Fak tor multipliziert (hzw. dividiert '" Multiplikat io n mit dem Keh rwe rt) w ird.

Eine Folge

Beispiel :

a, 2

4

16

8

32

Jedes Folgeglied resultiert hier jeweils durch Multiplikation des vorhergehenden Gliedes mit der Ziffer 2 (ao.l '" an . 2). Der Quotient zweier aufeinander folgender Glieder ist daher hier immer 2 (4/2 = 814 '" 16/8 '" 32/16 '" ... '" 2).

Eine Fo lge ist damit geometrisch, wenn q = a n . \ = konstant für alle n e N

(11.3 )

an

h zw . an" '" a o . q gilt. D ie Glieder einer geom et rischen Folge lau ten also ;1 , ' a • q, a , . q " , ;1 1 • q , . l

"

---..--.. ......-...---. "

'.,

""--.---'

"

Allgem ei n er gtb t sich für die Glit.'de r der geometrischen Fo lge

ao =

:l j .

q n- I

für alle ne N .

Für q > I ist die Folgt.' mo no ton wachsend, für q < l mo not o n fallen d.

m A)

66

11 Finanzmathematik

Beispie l: Die Eltern eines Schülers legen für diesen ein Konto an, welches jeweils am Jahresende einen Zins von 2 % auf das zu diesem Zeitpunkt auf dem Konto vorhandene Kapital zahlt. Am 1.1 .2009 zahlen sie einen Betrag in Höhe von 1.000 Euro (al) auf das Konto ein. Angenommen es kommt zu keinen weiteren durch den Schüler oder die Ellern veranlasst en Ein- oder Auszahlungen, wie hoch ist dann der Kontostand am 1.1 .2013 (bzw. nach n ", 4 Jahren)? Aus einem Zins von 2 % ergibt sich ein Wachstumsfaktor von 1 + 0,02 = 1,02, was zum 1.1.2013 zum Kapitalstand 3 5 = 1.000 . 1,02 4 - 1 = 1.06 1,2 1 Euro führt .

1.2

Reihen

1.2.1

Grundl agen

Summieren w ir d ie ers ten n Glieder einer Folge la) mit Jen Gliedern su ergibt sich die sog . n -Ie Te ilsu m me So =

" La, .., = ;1 1+:I ! +:1, + ... + 3

0

;1" ;}"

a., (11.) )

•

Die Fo lge der n-ten Te ilsummen lsJ heißt Reihe . Je nach zugrunde liegender Fo lge sprechen w ir von arithmetischen oder geometrischen Re-ihe n.

1.2.2

Arithmetisch e Reihen

Wie wir a us Abschnitt 1.1.2 wissen, erh alten wir d ie Glieder der a rithmetisch e n Fo lge über das tutd uogsgese tz a n = a l + (n - 1) · d . Bilde n w ir die ri -te Te ilsumme der Glieder der arithmetischen Fo lge, schreiben diese so wo hl in regulärer als auch in umgekehrter Reih e nfolge und addie re n jeweils die un tere inander stehenden Glieder, so erh alten w ir:

.s" =

al

+ a1 +

s = a, + (n-ll ·d+ " 2s o za, + (n l)·d +

d + ... + ;1 +( n- 2) ·d + ..+ 1

2;11 +

(0

1) .

s, + ( n -l)· d

;1 1 d + ..+ 2;11+ (0

1) . d

\X'i r erk ennen, da ss d ie Additio n beid er Sum men n-mal die gleiche n Glieder liefe n , sodass wir 2sn =n . [2a 1 + (n -1) · d l= n ' [:1 1 + a l + (n - J)·d J= 0(3 1+:l n ) erha lten. Die u-te Teils umm e der a rithmet ischen Hei he bet r~i gt dam it n 0'( 0-1) s'n =-. , -d . 2 (;1 I + a n )=0 ·" 1+

(11.6 )

Beispiele: 1. Oma Helena hat durch den Tod ihres Galten eine Barerbschaft in Höhe von 100.000 Euro gemacht. Da sie wenig Vertrauen in das Bankwesen hat, zahlt sie dieses Geld monatlich und in Teilbeträgen auf ein eigens dafür angelegtes Konto ein. Diese Zahlungen beginnen am 1. Januar des Jahres 2005 mit einem Betrag von 5.000 Euro (a-].

67

1. Folgen und Reihen

Am Anfang jedes Folgemonats zahlt sie allerdings nur noch einen um jeweils 100 Euro reduzierten Betrag (d = - 100 ) ein. Wie viel Euro der Erbschaft hat sie nach einem Jahr bzw. 12 Monaten (n = 12) noch bar Zuhause? Wenden wir (11.6) auf dieses Problem an, erhalten wir die Gesamtei nzahlun g innerhalb eines Jah res als

S'2 = 12 · 5.000 + 12 ·(12 - 1) ·( - 100) = 53 .400 ,

2

was zu ein em Erbschaflsrest von 100.000 - 53 .400 = 46.600 Euro führt.

2. Für d ie Summeder ersten n natürlichen Zahlen g ilt

"

" i = - .(1+n ) sn= 2: i. l 2 Dieser Zusammenhang wird noch besonders be i finanzmathem atisc hen Umformungen in den nachfolgenden Abschnitten relevant sein.

1.2.3

Geometrische Reihen

In Ahschntrt 11 1.1.3 wurde hereits behandelt, d:ISS d ie Glieder einer geometrische n Folge durch das Bildungsgesetz an = 3 , . q ~ - I beschriebe n sind. Bilde n wir die n-te Teilsumme s, de r geometrischen Folge- lind stellen diese r die mit dem Li kto r q muhi plizlc rte n-te Teilsumme gegenüber, so erhalten wir für die Differenz be ide r Ausdrücke: Sn

= a 1 +a j ·q +:1 1 . g l +

a 1 ·q+:l I ·q l + +0

+ :1 1 .q n _ l +:I ) . q n - l + :1 1 -q "

+ ... + 0

Es resultie rt also bzw .

· (I - q) = a 1 '(I _q n ) . Dara us folgt als allgemeine Formel zur Bestimm ung der n-ten Teilsumme der geo me trischen Reih e sn

<-

" n

1 " =., .----=.s.... ' I

I -q

(11. 7 )

Bei spiel : Ein Arbeitnehm er entsc hließt sich jährlich zum 1. Janua r r = 2.000 Euro auf ein Sparkonto einzuzahl en, worauf er jeweils am Jahresende einen Zins von 5 % (p) erhält. Welches Kapita l hat er nach 3 Jahren gebildet? Der im ersten Jahr gezahlte Betrag von 2.000 Euro wird genau 3 Jahre verzinst, d.h. er wird auf r . (1 + p/100}3 anwachsen . Der im zweiten Jahr gezahl te Betrag wird nur noch 2 Jahre verzinst, d.h. er wächst auf r . {1 + p/ 100)2 an. Die letzte Zahlung wächst schließlich auf r . (1 + p/ 100) an. Als Summe diese r Beträge ergibt sich mit q = (1 + pl 100)

K3 = r -q -e r -q2 +r .q" = r .q.It + q + q2) .

68

11 Finanzmathematik

Da der Klammerausdruck nichts anderes als das dritte Glied einer geometrischen Reihe mit a, = 1 und q = 1,05 isl, können wir das angesammelte Kapital als q' ) ,- KJ =r .q . = 2.000· 1,05· ( 1- q

(H05') ' 1- 1,05

= 6.620,25 Euro

berechne n.

1.3 1.3.1

Einige spezielle Reihen Unendliche geometrische Reihe

Betrac hte n wir die unter 11 1.2.3 be han delte geometrische Re ihe mit der Bild ungs. vorschritt 1_ ( n s = : 11. _ _ 1mit qe I n 1_ q näher. können wir feststellen , dass sich im Fa ll von Iq I < 1 bei n ~ co der Te nn q" immer mehr dem \'(.' e l1 Kuli annähert bzw. im Fall f q l > I gegen"" gehl. Bei Iq I > 1 ist d ie Re ihe also divergent, wohingegen sie bei Iq I < 1 konvergent ist. Konkret konvergiert sie gegen u s = -'-

l-q

für

l ql c L :

(JUll

Interesstere n wir uns also für den "finalen" \,\-'ert ei ne r geometrischen Re ihe, so kön nen wir diesen übe r (JI.H ) bestimm e n. \X'ir sprechen be im Gre nzwe rt (II.H) auch VUIl ei ner unendlichen geomet rischen Re ihe. Beisp iel : Ein Bohrteam erreicht am ersten Bohrtag eine Tiefe von 100 m. Aulgru nd der schlechten Bodenbeschaffenheit schafft das Team am nächsten Tag nur noch 50 m. Am dritten Tag sind es nur noch 25 m. Diese schlechte Entwicklung setzt sich kontinuierlich so lort. WeIche Bohrtiefe wird bei diesen Gegebenheiten voraussichtlich insgesamt erreicht ? Da q = 50 1 100 = 0,5 gilt, können wir die maximale Bohrtiefe über den Grenzwert der geometrischen Reihe bzw. die unendliche geometrische Reihe nach (11. 8) als

100 100 , : - - : =200 m 1- 0,5 0,5 berechnen.

1.3.2

Die Euler'sche Zahl e

Die Euler'scbe Zahl e ist der Grenzwert der kon ve rgie re nden Reihe ls.l mit der Hildungsvorschritt (11.9 )

2.

Finanzmathematische Anwendung

Nach Behandlung der Begriffe Folgen und Reihen sind wir nun in der l age uns dem Themenkomplex der Finanzmathe matik zuzuwenden . Beginnend mit der Erklärung allgemeiner Begrifflichkeiten und verschiedener Arten von Verzinsungen legen wir unseren Schwerpunkt dabei auf Einmalanlagen, Raten- (regelmä ßige Einzahlungen ) und Rentenverträge (regelmäßige Auszahlungen), Kredil verträge sowie verschiedene Arten von Ab-

schreibungen.

2.1

Allgemeines

Das wohl wicht igste wirtschaftswissenschaftliche Aowe nd ungsge bte t a rithmet ischer u nd geometrischer Fo lge n u nd Re ihen stell t d ie Finanzmathematik dar. Sie lx-fasst sich mit Fragen de r Fina nzierung und Investition , beispielhaft •

de r Verzinsung e ine s angelegten Kapita ls über e ine bestimmte Laufzeit (ge llws sen in n Pe riode n ),

•

de r Abztnsung (Rückrechnung von verz tnster Auszahlung um Ende de r Laufzeit zum ursprüngli chen Anlagebetrag) ,

•

der rcgclm.usigen Einzahlung (Rate n) oder Auszahlung ( Renten ) unter Beachtung der Verzinsung,

• •

de r Tilg ung von Kred ite n und de r Abschre ibung von Anlagegütern.

\'('ie daraus unschwer zu erkennen ist, ist d ie Zinsrechnung in de r Finanzmathematik von wesentlicher Bede utung. Daher w ird diesem Themenbereich unmittelbar im Anschluss besondere Aufm e rksam keit gewidmet. Hevo r aber genau au f Deta ils eingegangen we rden kann. s ind noch e inige w ichtige Be griffe 7.11 klären. lkl.u p~.e itpu nk l

t Zc itp un ktIl )

Zei tp""riode (

I Ham en ,

Geg cn wan swcrt. Presenr V,.ll'<;"

Abbildung 11 I: Zeitstrahl

End e d...·s

Eill l.'l hl lln~

)

1 1--"------lAlI Sl.a h lll n~

Pla n ll ng,';jA'il ra ll n l ~

-

-----,j . . J->

"'

End" en , Fin:.ll V"lu<;"

70

11 Fina nz mathe matik

Abbildung 11 I zt:igt eine n sog. Zcustrahl, der dazu verwendet wird, die Ein- und Auszah lun gsstr ukt ur von rtnan zanlagc n zu ve ranscha uliche n . Auf diesem wer den Zuhl un gszc upunktc als Punkte und Zeitperioden a ls Inte rvalle a bgetra ge n. Einza hlungen werden dun-h e ine n Pfe il von o ben , Auszahlunge n durch ei ne n Pfeil nach unten vera nsch aulicht . Insb eso nde re ei n Anfangskapital C'Einznhlung zum Ze itpunkt 0") kann daher a uch als pfe il VOll o ben und ein Endkapita l (letzte Ausza hlung ) als Pfeil nach un ten abgebildet werden . Die zu untersch ied liche n Ze itpunkte n an falle nde n Zahlunge n müssen ve rgleichbar gemach t werden (inte rtc r npur aler Vergleich). Abbild ung 11 1 sagt uns zunächst. dass zu Be ginn einer bestimmte n Zeitpe riode (n Jahre, Mo nate, Tag e e tc.) bzw . de m Ze itpunkt 0 ei n bestimmte r Geldbetrag zu r Verfügung steh t. Diese r wird als Barwert . Gegenwartsw ert oder Pres e nt value be zeic hnet und w ird über die Laufzeit der Anlage verz inst. Dabei unte rliegt e r Me hr unge n (Einzahlungen) und Minde runge n (Auszahlunge n) . Am Ende der Laufzeit erg ibt steh ein sog. En d w er-t ode r Final value , der auch d ie Zinsen be inhaltet , die innerhalb de r Laufzeit be za hlt wurden <Sofern keine Ausz:lhlung der Zinsen im Anlage zeltra um erfolg t). Eine Rück rech nun g vom End we rt auf den Barwe rt hzw . e in Rückgängigmachen de r v e rzlnsung wird Abz in s u ng t Diskonuerung) ge nan nt.

-

2.2 Zinsen Alle fina nzma the ma tischen Bet ra chtunge n bas ieren auf der Cllw rlegun g, da ss für e in Kapital Zinsen be za hlt werden . Zur v e ran scha ubc hung des Prinzi ps der v e rzinsung. lege n w ir im Polg e nden die Notation Ku

Anfangs kapital t Harwert l

K"

End ka pita l (Endwert ) nach n Zinsperioden

p

Z in~fug

(in

%)

Zinssatz (in De zimulsch reib we isc , p/1(0 ) zugru nde. Als Gru nd lage für d ie Zinsrech nung folgen wir der üblichen Ko nven tio n ctn es Kale nde rjahres (12 Mo nate ) mit 360 Tagen , d. h. Monate n mit ei ner länge von 30 Tagen.

2.2.1

Einfache Verzinsung

Die so g. e infac he Verzinsu n g kommt beso nde rs bei festverzinslich en W'e ltpapie· n-n oder bei pe riodisc he r Zinsauszahlu ng zum Einsat z. Es wird für jede Pe riode n ein Zins vom Anfan gs kapital Ko berechnet. Die se r w ird e ntnommen (Auszahlung vom Anlage konto, Zinsaus sch üttu ng bei festverz inslichen \X'c rtpa pie re n ctc.j, so dass anders als be im Zinseszins (vgl . 11 2.2.2) bei der Berec hnun g des Zinses für die nächste Pe riode wieder das Anfungskupita l K" als Bere chnungsg ru ndlage d ie nt. Abbildung II 2 zeigt die Zinsen twicklung be i ein facher Verzinsung und d ie Zusammense tzung des Ge samt kapitals be i e iner Anlage über n Pe riode n. \X'ir e rken ne n , dass in jeder der n Zinsperioden der gle iche Zins in lfühe von i · Ku a us be zah lt wird. Addiere n wir zu diesen n Zahlungen den anfängl ichen Anlageberrag K", so ergiln sich für die Be rechnung des Endka pitals Ko die Fo rmel K, = K, + o- ! - K, = K, ·( 1 + n . i) .

(11.10 )

2. Finanzmalhematische Anwendung

Pe riode

71

o

3

2

Q.

n

i · Ko

K"

~

Zinszahlungen in de n Pe riode n 1 his n

- - - - - - ---'

-----

~-----Endka pita l '" Anfa ngskapital + Zinsen

Abbildung 11 2: Einfache Ve rzinsun g Bei spiel : Ein Anfangskapital von 1.000 Euro ergibt bei einfacher Verzinsung mit 3 % p. a. (per annum, pro Jahr) nach 10 Jahren einen Betrag in Höhe von

Klo '" 1.000 · (1+ 1 O· 0.03) '" 1.300 Euro.

Durch die Umstellung der Formel (11.10) kön nen wir auch das Anfangska pital K,,, die La ufzeit n und de n Zinssatz i be rec hne n , wenn je weils d ie a nde re n Größen bekannt sind . Inte resstere n wir uns dafür, we lches Anfangskapital K" bei einem Zinssatz i und einer Laufze it n angelegt we rde n m uss, um ein Endkapital von Kn zu erziele n, so können w ir d ies über Kn

K -

(11 . 11)

o - ~

e rm itteln. \X'ollen wir w isse n, wie viele Pe riode n n ein Kapital K" bei einem Zinssatz i a ngelegt werden mu ss, um ein Endkapital von Kn zu erz ielen, nutze n wir n'"

K - K n

"

( 11 .12)

.

i ·K"

Zu welc hem Zinssatz i ein Kapital K" übe r n Pe riode n a ngelegt werden mus s, um ei n Endka pital vo n Kn zu erzielen . hea ruwort c t i '" K n - K" n · K"

(1 1.13)

Bei spiele:

1. Ein Anfangskapital von 15.000 Euro ergibt nach einer Anlagezeit von 5 Jahren ein Endkapital von 20.000 Euro. Bei Unterstellung einfacher Verzinsung lag der Zinssat z i p. a. bei

i = 20 .000 - 15 .000

0,0667

5 · 15.000 bzw. der Zinsfuß bei 6 ,67 % . 2. Um nach 10 Jahren bei einer einfac hen Verzinsung von 2 "/" p. a. einen Betrag von 3.000 Euro zu erhalten, muss heute folgende r Betrag (Barwert) angelegt werden: Ko =

3.000 = 2.500 Euro 1+1 0 · 0,02

72

11 Fina nzmath ematik

Eine besondere Anwendung der e infachen Verzinsung ergibt sich ht:i de r Geldanlage in festverzinsliche Wertpapiere. Erwe rbe n wir emc p%ige Hunde sobligation im \X'crt von K" ( Ne n n wert) und ei ner Laufzeit von Tl jahren , so erh alten wir jäh rlich genau i · Ko ausgezahlt. Be i e inem A usna hekurs 1'011 100 % und uhne Benick-

sichttgung

1'0//

Gebühn-n ist d ie Re ndite ode r auch der lij]ekfi l'zills bei einfacher

Verz illslIlIU eines solchen Investments gleich dem Nonnnairtns i "'" pflOO, zu dem

d;IS Papie r ausgegeben wurde. Wird unter ode r über dem l\'e1111W(;'11 e mittie rt oder falle n Gebüh re n an , entsprich t die effektive (tats;il" hliche ) Verz insung nic ht länger dem Nominalzins . Beispiel : Eine 7%ige Bundesanleihe (Nennwert 20.000 Euro) wird zu einem Kurs von 97 % erworben. Dabei fallen Provisionen in Höhe von 1,5 % vom Ausgabewert an. W ie hoch ist die effektive Verzinsung (der durchschnittliche Wertzuwachs) bei einer Laufzeit von 20 Jahren? Für den Erwerb des Papiers ist insgesamt folgende Anfangsinvestition erforderlich: Kurswert + Provisionen _ Investition

19.400 Euro

(97 % von 20.000 )

291 Euro

(1,5 '% von 19.400)

19.69 1 Euro

In jedem der 20 Jahre Laufzeit wird ein Zins von 7 % des Nennwertes bezahlt, was zu einem Gesamtzinsertrag von 20 · (0,07· 20.000) '" 20 · 1.400 ", 28.000 Euro führt. Um nun Formel (11.13) anwenden zu können, ist zu beachten, dass sich Kn bei einem festverzinslichen Wertpapier nicht als Summe aus Anfangsinvestition und Gesamtzinsertra g, sondern als Summe aus dem Nenn wert und den gesamten Zinserträgen ergibt. Am l aufzeitende wird bei einem festverzinslichen Wertpapier nämlich immer der Nennwert ausbezahlt. Die Anfangsinvestition ist als Ko zu betrachten. Die effektive Verzinsung liegt damit p. a. bei i '" (20.000 +28.000) - 19.691 '" 0 0719 '" 7 19 %. 20 ·19.691 ' , Der Nominalzins in Höhe von 7 °/0 würde nur dann der effektiven Verzinsung entsprechen , wenn der Ausgabekurs bei 100 % liegf und keinerlei Gebühren oder Provisionen anfallen. Aufgrund der Ausgabe unter Nennwert und der geringen Gebühren können hier 0,19 Prozentpunkte mehr als der Nominalzins erzielt werden.

Auch be r Rat enkreditverträgen. für uil;' der deu tsche Gese tzge ber seit 197.~ die Angabe Ul"S Effe ktivzinssalzes zur Pfl icht gemacht hat , ist eine Unters cheidung in Nominal- lind Effektivz ins von Bede utun g, da hier nicht selten die Zinse n von de r Restkaufsumme und nicht von der Restsch uld be rech ne t werden. Man spr icht be i solch en Vertragen auch von v e rtrüge n mit taufreurtnssotr. De r effek tive Zinssa tz ein es solchen Vertrages gibt ;10, we lche n Zinssatz wir a nwe nde n müssten , um be i Ber ücksichtig ung der Tilgung genau auf die Belast ung aus dem Ve rtrag (Zinsen + ggf Ge bühren ) als Zinshe trag zu kommen . Dieser effektive Zinssatz ist bei Veruagsvergletcbeu zugrunde zu lege n. Bei spiel : Beim Kauf einer Eigenfumswohnung im Wert von 200.000 Euro sind 28 % Anzahlung zu leisten . Für die Restkaufsumme wird ein Zins von jährlich 0,5 % vereinbart. Zinsen und Tilgungen sollen in 36 gleichen Jahresraten bezahlt werden. W ie hoch ist die jährliche Rate und die Elf ektiw erzinsung p. a.?

73

2. Finanzmalh ematische Anwendu ng

Auf d ie Restkau fsumm e von 200.000 - (0,28 . 200.000) 144.000 Euro fallen jährlich 144 .000 0,005 '" 720 Euro Zinsen an, was zusammen mit der jährlichen Tilg ung von 144.000 /36 ", 4.000 zu einer Jahresrate von 4.720 Euro führt . Die Summe der Zinszahlungen liegt bei 36 . 720 '" 25 .920 Euro, was die Belas tung b aus dem Vertrag darstellt. Zur Berechnung von ien muss die Tilgung von jährlich 4.000 Euro berücksichtigt werde n, d.h . je einen Monat lang verzins en sich 144 .000, 140.000, 136 .000, ... Somit gilt für die Zinsen z '" iefl . (144.000 + 136.000 + ... ). Da die Restsch ulden elne arithm etisch e Reihe mit dem Anfangsglied 144 .000 und d '" -4.000 da rstellen, können wir ihre Summe über 36 Jahre nach (1 1. 6) als S36 '" 36 . 144.000 + (36 . 35 /2 ) . (-4.000) '" 2.66 4 .000 Euro ermitt eln . Der Zinsbetrag z muss nun der Belastung b gleichge setzt werden, d.h. b '" ien . S3 6. Der Effekt ivzins ergibt sich daraus be i einfacher Verzinsung zu . Iell

b S36

'" -

'"

Zinssumme Reslschuldsumme

25 .920 2.664.000

0,0097 p. a

bzw. 0 ,97 %. Dies entspricht ge nau genau dem Durch schnitt der folgenden Folge:

72 0 '" 0 005 720 144. 000 ' , 140. 000

,..w..

= 0 005 14 '

72 0 '" 0 00529 ... 720 = 0 18 , 136.000 ' " 4.000'

2. j.",

Bishe r ging..-n alle Berech nunge n da vo n aus, ..htss ein Anfangskapital K" um Anfang des jahres eingezahlt wurde. Erfolgt eine Einzah lung jedoch wäh rend des j uh res (sog. unterjährige Ein za h lu ng ), so ist der Zinssatz i zu korri gieren. Ocr ne ue Zinssa tz ion> für den Rest dieses a ngebrochenen Anlage ja bres (hi s zum letzten T:lg des xtonuts Dezem be r) erg ibt sich :.1tIS dem jahreszmssntz ip , als i",." =

verbleibe nde Tage des Jahres .

360

.I

r' '

U1.l 4)

wo bei be i den ve rbleihe nde n Tage n des Jahre s der Einzahlungstag nicht gerechnet wird und ei n Auszahlu ngstag ab Zinstag zählt . Bei spiel : Ein Kapital in Höhe von 1.000 Euro wird am 6.11. bei einem Zinssatz von 5 % p. a. angelegt. Welches Endkapitalliegt zum Jahresende vor?

54 . 0,05) = 1007,50 Euro 360

K, '" 1.000 ·( 1+ -

2.2.2

Zinseszins

'x'e rdcn d ie Zinsen zum Ze itpunkt de r Eilligkeit (in de r Regel arn j uhrese ndc ) nicht ent nommen, son de rn auf dem Anlagekonto belasse n (ka pitalisiert), so wird in der Folgepe riode nich t nur der u rsp r üngliche Anlagebetrag . son dern nun auch die auf de m Konto bela sse ne n Zinse n verzinst. \X'iI' spreche n da be i von e inem sog. Zin sesztnseffekt. da es "Zinse n auf d ie Zinsen" gibt. Abbild ung IJ .~ veransch aulicht d ie Entw icklung der Zinsen und des Ges am tka pitals bei Berück sichtig un g des Zinseszinseffek tes . \'('ir erk e nnen . dass sich d ie Zinsbcrech nung in Periode 1 zunächst nur auf Kr> bezie ht. Nach de r ersten Zinsgutsch rift

74

11 Finanzmathematik

Z, wird die se dann neben K" bei der Be rechn ung jedes we ite ren Zinses berücksichtigt. Analoges gih für alle we ite ren Zinszahlungen . Dies hat zur Fo lge , dass die Zinsgutsch rift von Pe riode zu Periode steiW und nicht wie bei de r e infache n Verzinsung konstant b le ibt. Allgemein gilt %, '" K...., i. Da jeweils der a uf dem Anlagekon to vorhandene Kaptratbe sta nd ve rzinst wird , ze igt Ab b ild ung 11 .~ außerdem , d;ISS sich d as Ce sam tka pital in der Fo nn K, ... Kl-1 • (l + i} entwickelt . Zi nsc ntw ickung:

Pe riode I

Peri o de 2

Pe riode 3

z; = ( K" +Z l + Zl) · j " ~

Ent wicklung d es Gesarrukapitals .

Einzahlung

Periode 1

Periode 2

Pe riode .3

Ku

Ab bildung 11 3; %inse szms Herrach te n wir die Ent wicklung d es Ge samtkapitals in d er F0 I111 K , = K,, ' ( !+i J K.l = K 1 · (1 + U =[ K,, · (I + i lJ · (1 + i ) = Kn · (I + U! K 3 = Kl ·(I + i ) = [K o ' Cl + i )lJ.( ] + i ) = Ku ·(I + i I" ,

so Wsst sich ei ne ei nde utige Syste matik erkennen . Es ha nde lt sieb um eine geometris che Folge. \'('ird e in Anfa ngskapital übe r n Pe riode n verztnst und werden die Zinse n kapitalisiert , so e rgibt sich das End kapital übe r Kn =KQ· (]+ d ,

01.15)

wo bei der Faktor I + i es q auch als Aufz ins ungsfa kto r hez e ichnet wird . Beispiele : 1. Ein Anfangskapital von 1.000 Euro ergibt nach 10 Jahren bei jährlicher Verzinsung mit 3 % p. a. unter Zinseszinsen einen Betrag in Höhe von Kl O

= 1.000 · (1+ 0,03)'° = 1.343,92 Euro,

also 43,92 Euro mehr, als bei einfacher Verz insung (vgl. Abschnill 11 2.2.1). 2. Zum 1. September werden 5.000 Euro bei einem Zins von 5 % p. a. für genau 12 Monate angelegt. Die Zinsgutschrift erfolgt am Ende des Kalenderjahres, d.h. per 31.12 . Welches Endkapital ergibt sich nach dieser Anlagezeit , wenn der Zinses zinseffekt berücksicht igt wird (a)? Welches Endkapital wird erreicht , wenn der Betrag erst am 1. Dezember einbezahlt wird (b) ? a) Da im alten Jahr genau 4 und im neuen Jahr genau 8 Anlagemonate vorliegen , ergibt sich das Endkapital zum 31.12 . und 30.08. zu

75

2. Finanzm alh ematische Anwendu ng

K3 '- 12.

-= 5.000,00 .( 1+ 1~ . 0,05) -= 5.083,33

Euro

82 K30 0l! ,", 5.083,33. ( 1+ 1 . 0,05) := 5.252,78 Euro. Da de r Zins für das alle Jah r am 31.12. gutgesch rieben wird, kommt es im Folgejahr zu einem Zinses zinseffekt. Der Zeitpunkt der Zinsgutschrift spielt also eine entscheidende Rolle. Den Beginn der Verzinsung bezeichnet man in diesem Zusammenhan g auch als Wertstelfung. b) Im alten Jahr verbleibt nun genau 1 Monat und im neuen 11 Monate zur Verzinsung de s Kapitals. Wir erhalt en da mit

~

K 3 1.12. = 5.000, 00 ·( 1 + 1 . 0,05 ) -= 5.020,83 Euro K 3o. l ,-

-= 5.020, 83 ·( 1+ ;~ . 0,05 ) -= 5.250,95

Euro.

Das Endkapital ist also ge ringer. W ählen wir den Einzahlungszeitpunk t genau in der Jahr esmille (1.7.), so erhalten wir den maximal möglichen Endkap italwerl. Es erg ibt sich dann K30.06. -= 5.253 ,13 Euro.

\'';:ie bereits bei de r einfachen Ve rzinsun g, erla ub t uns auch die Umstellung von m .15) nach den Variablen i, n u nd K" d ie Bean tw ort ung wenerführeoder FragesielJungen . So wurde ein Anfangskap ital K", das s bei Kapitalisierung der Zinsen über einen Ze itraum von n Pe rioden auf Kn ange wach se n ist, zu ei ne m Zinssatz von

> JE >" K" I = n-

-

I

(11 . 16 )

angelegt. Die Laufzeit einer Anlage kön ne n wir bei vor liegen den 'x'e rte n Kn , K, und

i über

In K n - In K" In(1 + i l

n=

(11.17 )

bestimmen und fü r K" t'rgibl sich K = "

K ( 1+

n

i )"

(l U8)

Stall eines Zinszuschlages wird hier ein Zinsabschlag vorgenommen. \X'ir sage n, d.ee, das Kap ital K, auf e inen frühe re n Zeitpunkt ahg ezinst ode r d iskon tiert wird. De r Fa ktor v "" 1 / q "" 1 / (l + i ), der nich ts a nderes als de r reziproke Aufzinsungsfaktor ist und die Verzinsung rückg;in gig mach t, wird daher a uch als Abzinsungs oder Diskontfaklor bezeich net . Bei spiel : W elches Anfangskapital muss bei einem Zinssatz von 4 % p. a. angelegt werde n, um bei Zinskap italisierung (Zinsen verbl eiben auf dem Anlagekonto) am Ende des 5. Anlagejahres 1.500 Euro zu erhalten? K

o

= ~= (l +i)n

1.500 = 1.232 89 Euro (1+ 0,04)5 '

76

11 Finanzmathematik

2.2.3

Unterjährige und stetige Verzinsung

Hishe r sind wi r d avon ausgega ngen , d:ISS In ner halb d e.~ Kale nd e rjah re s eine einfache Verzinsung m it e inem Z insfLl r~ vo n p % p . a. e rfolg t. Die Zinsgu tschrift (\X't.'rt stellung) erfolgte imme r zum 31.12. des Anlage jah re s. Nun be steh t aber a uch die Mö glichkeit eine sog . untcrjährige Ve rzin s u n g vorzunehmen . Das hetst, der Zinszuschlag o der -absch tag er folgt um ertä hng, x.It . vierteljah rlieh (quartulsweise). mo natl ich, wöchentlich o der soga r tägltcb . Somit erg tbr sich gem;iB der Zinseszinsform et (J U S) (II.19a )

K ~l' '''at " = KI) ' ( I + i ~I' '''.l' ) " ~~ "" 'e

01.19h )

Die s bed e utet, d ass wen n z. B. d er Q uartals zinssatz r p. q.) ge ge ben ist, d;IS Endkapital nach n Q uarta len m ittels ( II.19a) be rechnet we rd e n kann. Liegt ein Mon.ussztns sat z (p . 111.) oder ein Tage sztnssat z (p . t.) vor, g ilt d ie entsprechende v o rge heusweise . Beisp iel : Eine Summe von 1.000 Euro soll bei einem Zinssatz von 0,3 % p. q. genau 8 Quartale lang verzinst werden. Bei Zinseszins führt dies zu einem Endkapital von

K&= 1.000·(1+ 0,003)&= 1.024,25 Euro.

Liegt der j ahre szi nsxatz (p . a.J un d d ie An zahl der Jahre vor , soll aber unt erjäh rig verz ins t we rde n, so müsse n der Zinss atz und die J ah re sanza hl auf die ge w ünschten Zinsperioden umgere chn et werd e n. Ist n d ie Anza hl der j ah re und i der j ahresz ms, so e rgibt sich Jas End ka pita l nach n j ah re n hcl vie rteljäh rlicher Verz insu ng als

( )'"

K = K . l+ ~. " " 4 be i mon atlicher Verzinsung a ls

( )""

. K = K . 1+ "':" " I) 12

Dies führt für den t-u-n Teil etne sjahres allge me in zu (\1.20)

Beisp iel : Ein Kapital von 1.000 Euro wird zu 3 % p. a. für 3 Jahre verzinst. Die Zinsfeststellung und -gutschrift erfolgt monatlich. Unter Berücksichtigung des Zinseszinseffektes liegt der Kapitalstand nach dieser Anlagedauer bei

003 KJ = 1.000· (1+ t - )' " = 1.094,05 Euro.

2. Finanzmalhematische Anwendung

77

Um den gleichen Endwert bei jährlicher Verzinsung bzw. Zinsfeststellun q und -gutschrift am Jahresende zu erhalfen, wäre nach (11.16) ein Zinssatz p. a. von i = 3 1.094,05 - 1= 0 0304 1.000 ' erforderlich. Dieser Zinssatz wird auch als effektiver Jahreszins iel! bezeichnet. Führen wir analoge Berechnungen auch für halbjährliche, vierteljährliche, wöchentliche und monatliche Verzinsung durch, so erhalten wir folgende Ergebnisse :

K,

Art der Verzinsung halbjährliche Verzinsung

1.093,443

0,030225

vierteljährliche Verzinsung

1.093,807

0,030339

monatliche Verzinsung

1.094,051

0,030416

wöchentliche Verzinsung

1.094,144

0,030445

tägliche Verzinsung

1.094,170

0,030453

Bei Betrachtung der Werte von K3 für kleiner werdende Zinsperioden (bzw. steigendes t in (11.20)) stellen wir lest, dass der Endkapitalwert ansenemdend konvergiert. Wir wollen diese Beobachtung im Folgenden näher untersuchen.

Setzen wir in (II.20)

~

=-;

bzw. t

= i . x, so

erh alten wir

Da der Ausdruck in ec kige n Klamme rn für x -e "", d .h. für "unendlich viele unendlich kleine Zinsperiodcn " gegen die Euler's che Zah l e konvergiert, e rha lte n w ir (1 1.2 1)

Dies bedeutet , dass ein Anfangska pital K" bei s te t iger Verzinsung mit einem Satz i p . a. in n J ahren a uf e ine n \'('en gem;iß (11.2 1) wächst. \'('inl au f die Entsp rech ung der Pe riode nzeitein heil e n (Tage, Monate ctc.) und der Zinssätze geach te t. besitz! (11. 21) auch für a nde re l' e riodizuäten als Ja hre Gültigke it. Bei sp iel e: 1. Berechnen wir für unser vorhergehendes Beispiel mit Anlagebetrag 1.000 Euro, Laufzeit 3 Jahre und 3 % Zins p. a. den Wert von K3 bei stetiger Verzinsung , so erhalten wir K 3 = 1.000 · eO.03 3 = 1.094,174 Euro, was mit ietl = 0,030455 einhergeht. 2. Zu welchem Zinssatz (p. a.) muss ein Kapital in Höhe von 5.000 Euro angelegt werden, um nach 5 Jahren bei stetiger Verzinsung 7.000 Euro zu erbr ingen? 7.000 = 5.000 · e' 5 7.000 = e ; 5 5.000 In 1,4 = i·5 i = In 1,4 = 0 0673= 6 73 % 5 ' ,

I:5.000 [Jn 1: 5

78

-

11 Finanzmathematik

2.3 Raten Beson de rs bei Sparverträgen ist es häufig de r Fall, dass in gewissen Abstünden Einzahlungen a uf Anlagekonten vorg enommen we rden . Dabe i können sowohl Zinssatz a ls a uch Einza hlungen im Zeitve rlauf in ihrer Hö he var iie re n. Der einfachste Fall Hegt vor, wenn Zinssatz und Einza hlunge n über einen gew issen z enra um fi+ xic n werden . \X'ird jeweils z u Beginn eines f atsres dieselbe Rate r einge za hlt, so läss t sich der Kapitalstand bei einer Verz insung mit dem Satz i nac h n juhrcn mittels Abbildung 11 4 veranschaulichen. Periode

1

Rate 1

z

I

I

j

...

r · (1 + i t

I Yerzmsung n Perioden I Ib te 2 '0

1)

Rate 3

Perioden

I(0

2)

0

Periode n

r · Cl + it- 1 r · O + i t -l [ ·(1 + i)

Abbildu ng 11 4: End kapita l bei vorsch üss igcn Rate nvert rüge n

Wir erkennen, dass d ie ers te Hate bis zum Ende des Anlage ho rizonts. also gcnau n Pe rioden ve rzins t wird . Oie zwei te Rate wird ei ne Pe riode weniger verz inst. usw. Damit ergi bt sich als Endkapital nac h n Pe riode n K" = r . (J + i )" + r ·(J + i t - l + r . (I + i)"-l + ...+ r: (1 + i ) =r ·q " + r · q "- l + r 'q"-! + ... + r · q = r . q . (l + q + ... + q "_l ).

Da der Klammerausdruck nichts anderes als das n-Ie Glied e iner geoructnschen Re ihe iSI, können wir ihn d urch s

'"

I " =.....=.3..1- q

ersetzen . Wir e rhalten dam it den Endwe rt eine r Rate nzahlung m it konstanten Einza hlung en r und Verz insung übe r n j a bre m it dem Satz i a ls 1_ q" K,, = r · q · - I -q

m it

q e tl

s- i r e L.

(1 1.22)

Diese For me l haben wir bereits un te r 11 1.2.3 als Anwendungsbeispiel für die geomet rische Re ibe ke nne ngele rnt. Für ei n Rechenbeispie l verw eisen wir daher auf diesen Abschnitt. Betrachte n wir stattdessen ei n einfaches Be ispiel für e ine wachsende Rate.

2. Finanzmalhematische Anwendung

79

Beisp iel: Ein Sparvertrag mit einer Laufzeit von 3 Jahren und einen festen Zins von 3 % p. a. sieht jedes Jahr eine Verdopplung des Einzahlungsbetrages des Vorjahres vor. Die erste Einzahlung in Höhe von 2.000 Euro erfolgt am 01.01.2005. Wie hoch ist das Endkapital am Ende der Laufzeit? Mit r, : 2.000, ra '" 4.000 und re '" 8.000 erhalten wir K J : 2.000 · (1+ 0,03)J + 4.000 · (1+ 0,03 )2 + 8.000 · (1+ 0,03 )' a

'" 2: 8.000 . 0,5" ' . (1+0,03 )' : 14.669,05 Euro.

,=,

Je nach Fra gestell ung kö nn e n wir O(22) auch nach Jen an deren Variablen auflöse n. So erhalten w ir für d ie Rate rund die Laufzei t n

r= K " . ~ q

n=

l - q"

In (l +(Q-r 1)· q' K" )

----'_-,--:---"-----L ln q

(11.23)

(11 .24 )

Bei spi el : Wie hoch müsste der jährlich gleich bleibende Einzahlungsbetrag (jeweils zum 01 .01. eines Jahres) bei einem Bausparvertrag sein, um bei einem Zinssatz von 2,5 % p. a. und einer Laufzeit von 20 Jahren ein Endkapital von genau 25.000 Euro zu erhalten? Mit q .. 1+ 1= 1+ 0.025", 1,025 erhalten wir r : 25.000 . 1- 1,025 ", 954 81 Euro. 1,025 1 1,02520 '

Um vom End we rt. der Laufze it und der Rate uuf die vcrztnsung zu sc n die Lösungen de r Gle ichung ( n e l l-ten Grade s

schlief.~l'n,

müs -

(11 .25)

bestimmt we rden. Dies ist jedoch nu r näherungsweise mit numerischen Verfahren (z.B. Newton-verfahren ) möglich, die wir in Kapitellü no ch kennen lernen we rde n. B i.~ h e r sind wir davon ausgegangen , dass die ers te un d jede weitere Einza hlung jew eilx zu Beginn e iner Pe riode erfol gen. Man spricht in d iesem Fall von vors c h üsst ger Ein zah lu n g. \'('e rde n Einzah lunge n ers t am Ende ei ne r Pe riod e vorgenommen, so liegt ei ne sog. nachsch üss tge Ein za h lu n g vor. Hierb e l ist zu hcach te n , dass dadurch z.B. von e ine r Bank für die Pe riode, in der d ie Einzahlung e rfolgt, kei n Zins lx- zahlt wird , de nn das Geld steht der Ba nk ja nicht zur Verfügung. Be ze ichne n wir die nacbschüsstge Rate mit r , so kö nne n wir das End ka pita l be i nachscbüss tger Rate nza hlung mittel s Abb ild ung 11 5 veranschaulichen . \X'ie deu tlich zu e rke nne n ist. wird die ers te Rate ers t ah Pe riode 2, alxo nur 11 - 1 Pe riode n ve rzinst. Ana loges gilt a uch für die anderen Ratenzahlungen . Im Ve rgleich zur vorscb üssigl'n Einza hlung w ird also jed e Rate e ine I'l'riodl' weniger ve rzinst . Die letzte Rate nzahlung in Periode n wird da her nicht mehr ve rzinst.

80

11 Finan zmathem atik

Pertode

1

-'

2

It ue I

...

, Verzinsung ( n-l ) Peri oden

Ha lt: 2

n

[ · (I + i )" - '

I

r . (J + j)o_l

I ( 0- 2 ) Per toden I Rate 3

1(0-3) P.

7·(I + i r - ~

r .(l + n':" Abb ildung 11 5: En d kapi tal bei nachschu ss igen Raten vert räge n

Für das Endka pital Kn bei nachschüsstgcn Rarenverträge n er ha lten wir damit K n =7 -(1 +0"-1+7 · (1 + i)n - l + ... + 7·(1

+ D,

woraus sich nac h Vere in fachung millds der d a rin steckenden geometrischen Rclhe

Kn

_ 1- q" = r .- 1- q

m it q = (l + i)

:;t

1

(l u G)

ergibt. Im Gegensatz zu vorschüsstgen Ve rträg e n bzw . (11.22) tau ch t hie r ab der

ZU-

siltzliche Fa kto r q nic ht mehr au f. Das End kapita l ein es nacb schösstgcn Rate nvertrugcs ist also uufgrund von Kn = Kn • q imme r geringer als das e ines vorsch üsslgen . Stelle n w ir (11. 26) nach de n Größen r und n um , erg ibt sich _

-;"

I- q

r= K . _ n 1- q"

0 1.27 )

[n ( l +( q- ~)· K ") n=

(J I.2X)

ln q

Auch hier lässt sich der Zinssa tz nur aus einem Polynom ermitteln . Dieses ist nu n aber n-ten Grades und hat die Form n R, K" - r q --=- 'q + - _-=O.

r

r

(1 1.29)

Es kann wie de rum nur näherun gsweis e gelöst we rde n . Beispi el : Wie viele Jahre muss in einen Ralensparvertrag (Einzahlung von 500 Euro jeweils zum Jahresende) eingezahlt werden, um bei einem Zinssatz von 4 % p. a. ein Endkapital von 15.500 Euro zu erzielen?

In ( 1+ ((1+ 0,04) - 1) ,15 .500 ) n '"

500 In (1+ 0,04)

_ 20,56 J ahre

2. Finanzmalhematische Anwendu ng

-

81

2.4 Renten Im Ve rg leic h zu Rare n ve rträge n handelt es sich be i Renten nicht um wiede rkehrende Einza h lu nge n sondern u m I/her m ehrere Perioden certeilte Ausz ah lungen. Nach Einzah lu ng eines Anfangswe rtes tlt e nte nbarwe rtj auf e in Anlage kon to sinkt also d urch die periodischen Re nte n der W'et1 auf d e m Ko nto , wodurch auch der Zins sinkt , der vom Kred itinstitut oder der Versich erung be za h lt wird . Je nachdem, ob die Auszahlu ng am Pe riode nun fang od er -ende erfolgt , kann wieder zw ischen einer vor- un d ei ne r nac hschü sstge n Bet racht ungswe ise unterschieden werden. Analog zur Zins- b zw . Rate nrech n u ng beze ichnen wi r im Fo lge nd e n bei vorschüsstgcn Ren te n den Re n te n barw e rt mit RII , den Ren te n end wert n ach n Ren te n zah lu ngen mit Ro und d ie Ren te mit r. Im nachsch üsxige n Fall ve rwenden wir en tsprechend die Symbole Ro, Rn und r .

2.4.1

Nachschüssige Renten

Inte ressie re n wir uns dafür, welcher Betrag auf e in Anlagekonto eingezahlt werden muss, um da raus ü ber eine Laufz eit vo n n j ahrc n nachschussig (jeweils a l/1Jah resellde> eine Ren te F entnehmen zu können , kö n ne n w ir dies nu r d ad urch best immen , dass wir alle Re nten au f d e n Zei tpunkt 0 ubzinsen und die Einzelhatwerte addieren. Abbildung 11 6 ze igt, dass be i nachschussiger Betrachtung die Rente, die am End e der e rsten Pe riod e ausgezahlt wird , insgesamt nu r d ie se e ine Pe rio d e auf de m Anlagen kon to liegt und daher auch nur d iese eine Pe rio d e verzinst w ird. Bei RÜ<"krcc hnung auf den Barwe rt wird also auch nu r für e ine Period e mit dem Disko ntfak tor v =0 I / lJ = 1 / (I + j) abgez tnst. Die zweite Rcruc n zab lun g lieg t gertau 2 Pe rioden a uf dem Ko nto . Ma n erhält für 2 Pe rio d e n Zinsen . Es wird also au ch 2 Pe rioden , d.h. m it v' nbg eztnsr. Ahn liche s gilt für alle wei te re n Ren te n zahlu nge n.

z r .v

B

I

Abzlnsung I Pertode

I

Ren te 2

r

w e r I

-, . v "

n

Re nte 1

a

r ' v'

;

I

Re nte

j

.I Abzinsung 3 Perioden I -I

I

Abz msung n Pe riod en

Re nte n

I

Abb ild ung 1I 6: Barw e rt nacbscbüssrger Ren te n

82

11 Finanzmathemati k

Fü r den Ba rwe n ei ne r nac hsch üs stge n Re nte können wir da m it

R'I

=-,.. \, + -,.\.l + -,.y.l +

•• •

+"

\' ~

=r ' \ " ( 1 + v + ... + " n-l ) fes thalten . Da Ut'T Klamme rausd ruck wieder d a s n-re Glkd e iner geometrisch en Reih e m ir

1-

"n

I- v

ist, fo lgt für d en Ba rwe n der nachschüsstgen Re nte ü ber n J a hre

_

_

1 - y"

0 1.30)

Ho = r · \' · - - - . I - \'

Beispiel : Wieviel kostet eine Rente von jährlich 10.000 Euro , die bei einem Zinssatz i Jah re nachschüssig ausgezahlt wird ?

'='

0,05 über 15

Mit v = 1 / 1,05 erhalten wir

Ro = 10.000 . ,,:rs .

1 ( ')'5 - t05 = 103.796,58 . 1 1 ,~

Fü r den Rt'St\H;,11 nach n Jahre n Rn (vgl. auch (I 1.4 S ) im Tilgungsabsc h nitt 11 2 .S) , d ie Re nten au szah lung F und d ie La ufze it n gilt be i nacbschüsslgen Re nte n

Rn = R" . q " -

_ l - q" r . - -I- q

H" l e-v ,=_ ._-

_

v

unu

t c- v''

In(I_R".O -V)) r . \'

n=-

"-----,----'---'------'-

In v

(11.31 )

0 1.32 )

(1 1..33 )

Fü r d ie Bestimmu ng de s Zinss atzes ist die Gleichung ( n+1H e n Grades

\.n+l _ (I +~' ) ' V +_~_" =0

01.3 4)

zu lösen. Bei spiel : Ein Lottogewinn in Höhe von 200 .000 Euro soll auf ein spezielles Anlagekonto eingezahlt und in Form einer nachschüssigen Rente über eine Laufzeil von 7 Jah ren ausgezahlt werden. Das Kreditinstitul bietet einen Zins von 5 % p. a. W ie hoch ist die jährliche Renten auszahlung {al und wie hoch ist nach 4 Jah ren der Restwert auf dem Anlagekonto (b)?

2. Finanzma lhema tische Anwe ndu ng

a)

r =

200.000 L

1_ _1._ .

t OS

b)

R. = 20 0.000

1,05 1

1- (rl,s)

83

= 34 .563,9 6

1 05· - 34 563 96 . 1- 1,05· , ., 1- 1,05

94.1 26 ,26

Ahsdllic ge nd wolle n wir no ch einen So n derfall aufführen, der in der Praxis rela tiv häuflg vo rkom mt, u nd zwa r eine nachschü sstge Ren te , d ie [cdes ju hr um den Fak to r w .. (I + g ) wäc hst. Es gtlt in diesem Fa ll für die Entw icklung der Re nte nzahl urigen Folgendes. 1. Jahr

2. luhr

3 , ju hr

n. Jahr

r . \"

Aus d iesem Verlauf können w ir für den ltarwert einer solchen nachschussigen Re nte die allgemeine For mel

OJ.3=; ) herl e iten . Ist der Zinssa tz i wöge]" als g un d läuft n gegvn u nen d lich, so gilt zu dem

-

,

Ro =.I- g

für i > g un d n -+ "" .

(11 .36)

Dab e i handelt es sich um eine sog. ewige Reute.

2.4.2

Vorschüssige Renten

Be i einer rorscnüssigen Rellle erfolgt d ie Auszabtung des Re nre nb etrag es jeweils zu

negtnn ein er Pertode. Dies be d e utet, d ass d e r Ba n k d as angelegte Geld für einen kü rzeren Zeit raum zur Verfügung steht und so au ch der Zins im Vergleich zur

n uchschüsxigcn Re n te ge ringer au sfüllt. Da eine vorschu ssige Re nte a lso dem Anle ger Zinsen kostet h zw. frü he r au sge zah lt wird , ist eine I'orschfissip,e Rento stets /C/I rcr ats etne uachschttssige «ente; d.h . es muss heute mehr ungelegt werden, um d!e gleichen Re nte na uszahlunge n zu e rlange n.

Abbild ung l1 7 veranschaul iebt d ie Barwert be stimm ung bei \'orscbüssige n Re nte n. Da h t.'i \'orsdlüssigen Re n te n di e Auszahlung it.'wt.' ils zum Per iodenunfang erfolgt , wi rd die ers te Rente u nmitte lbar nach Einzahlu ng des Anfangswertes wieder uusgcschüttet . Die Bank be za hlt keinen Zins für die se l.' rstt.:' Re n te . Es ist som it auch keine Ahztnsung erforderlich. Die zwe ite Re nn-na uszalrlu ng liegt d ie komplette e rste Pe rio d e auf d em Anlugckoruo. sod ass für diese eine Pe riod e ein Zins bezahl t w ird . Da die Auszahlung bereits zu Begin n der zweiten Pe riode erfolgt , gibt es für d ie se keine Zinsen mehr. Es ist also nur eine Abxmsung für eine Pe riod e vorzu nehmen . Ana]o/-:es g ilt für d ie wei teren Pe rio d en .

84

11 Finanzmathemati k

H"

Periode

I

r -v r -v

,

11 a r w r-

I

Periode

I Ab zinsun g 1 Pc node n

I Ab zln sun g ( 0

0

...

Rente n

Rente 2

e t

r . V" - l

I Ab"zmsun <;0< I g -I Abzinsung I

...

1

Rente

r

,

1

I

I Rente

.3

I

I ) Peri od e n

I

Abbild ung 11 7: Barwe rt vorschüsstgc r Re nte n Dam it erg ibt sich für d e n Ba rw ert vo rsch uss ige r Renten R~

= r+ r v+r' v

\ .!

+ ... + r , \,O- I ,

woraus steh nach Vereinfachung mitte ls de r da rin steckenden geo met risch en Reih e 1 - v"

(Ju n

R =r ' - - (J 1- v

be stimm e n lässt. Im Ve rgle ich zu m Barwert der nachschüsstgen Re nte (1 1.30> erke nn e n wir, dass in 01.37 ) die Re nte nicht meh r m it de m Diskontfaktor v m ultipliziert wird , d .h. de r Barwe rt der vorschüsstgen Re nte imme r höher ist als jene r de r nachschussigen (Multiplikation mit \' < 1 redu zie rt ßa rwert ). E.s gilt Ru= Rn . v. Beispiel: In einem Beisp iel des vor hergehende n Abschnitts 11 2.4.1 hallen wir berechnet , dass eine Rente von jährlich 10.000 Euro , die bei einem Zinssatz i = 0 ,05 über 15 Jah re nachschüssig ausgezahl t wird , 103.796,58 Euro kostet . Bei vorschüss iger Auszahlung müss ten wir hingegen

,.

1 ( I )15 Ro = 10.000 · - Ui5 = 108 .986,41 Euro

1_ -'-

anlegen. Diesen Betrag können wir natü rlich auch über Ro = Ro ' q bestimmen . D ie Größen Rn t r un d n erh alte n w ir b ei vo rscb üssiger Betrachtu ng w ie fo lg t;

1 _ 'I "

"

Rn = Rn · q -r . q . - )- - 'I 1- v 1 _ v"

0 1.38) 0 1.39 )

85

2. Finanzmalhematische Anwendung

In

(1_ ""''-' "-c ' ,1,"-_'-c -- l )

n = - -'-----;In' -'----'-

II1.40 )

Den Zinssatz e rhalten wir üb e r das Polynom

R" r

Rn - r

\'+-- = 0 . r

(11.41)

Beisp iel : Mit welchem Kontostand am Ende der Anlagezeit kann ein Anleger rechnen, wenn er sich 100.000 Euro in Form einer vorschüssigen Rente in Höhe von jährlich 10.000 Euro über einen Zeitraum von 10 Jahren bei einem Zins von 3 % p. a. auszahlen lässt? RIO = 100.000 ·(1+ 0,03)'° - 10.000 (1+ 0, 03) . 1-( 1+0,03)' 0 1- (1 + 0,03) = 13 4.39 1,64 - 118 .077, 96 = 16.31 3,68 Euro

Wenn also Renten und Anlagebetrag nicht aufeinander abgestimmt sind, verbleibt am l aufzeitende ein Restbetrag auf dem Anlagekonto. Andernfalls wird der Kontostand vollständig aufgezehrt.

2.4 ,3

Kombinationen aus Raten und Renten

ln de r Regel w ird der Anfan gswen ( Bar wert) ei ner Rente nicht als Einmalzahlu ng auf ein Anlagekonto erbracht. In der Pra xis ist es hei solchen Verträgen eher de r Fall, dass der Ba rwe rt der Re nte über ein e gewisse Laufze it du rch Rate nzahlun gen angesammelt un d dann au sgezah lt wird . Auch Ruhe phase n zw ischen Rate nein zahlung und Re nte nau szahlung sind denkbar. Es kan n nurserdem vo rko mme n , dass sich inne rha lb de r Laufzeit die Zinssätz e oder die Fälligkeit en tvorsch üsslg, nachschUssig) ände rn. Zude m ist e ine Änderung de r Ve rteilung des Restwertes e ine r Re nte ab ei nem bestimmt e n Zeitpunkt möglich. Abbild un g JI R zeigt ein typisches Konstru kt. Beispiel 1: Bei einem Ratensparvertrag ergab sich nach einer Laufzeit von 20 Jahren ein Endwert von 45.550 Euro. Dieser Betrag soll nun zunächst für 3 Jahre (ab dem 01.01.) bei einem Zins von 3,5 % als Festgeld angelegt werden. Anschlie ßend soll aus dem so entstehenden Kapital eine Renfe über 10 Jahre bei einem Zinssatz von 4 % finanziert werden. Wie hoch ist die jährliche Rente, wenn sie am Jahresende ausbezahlt wird? Der Barwert der durchzuführenden Zinseszinsrechnung ergibt sich aus dem Endwert des Ratensparvertrags und beläuft sich auf 45. 550 Euro. Die Verzinsung dieses Kapitals über 3 Jahre bei 3,5 % ergibt einen Endwert von K3 = 45.550 · (1 + 0, 035)3 = 50 .502,1 O. Diese 50 .502 ,10 Euro sind nun wiederum Grundlage für die Berechnung der Rente. Konkret entspricht der Betrag dem Rentenbarwert. Mit v = 1 I 1,04 erhalten wir einen jährlichen Rentenbetrag von

86

11 Finanzmathematik

_r ", 50.502,10 , 1- 1.&10 = 6. 226 , 45 Euro.

1,~

1-

('2o:d

Beispiel 2: Es wird eine vorsch üsslae Rente für 100.000 Euro gekauft, die be i einem Zins von 3 % p. a . vorschüssig 8.000 Euro jährlich auszahlt. Nach 8 Jahren sollen aus dem Restwert noch 4 gleich große vorsch üssi ge Aentenzahlungen erfolgen. W ie hoch sind diese? Nach (11.38) erhal ten wir für den Restwert der vorschüssigen Rente

Ra '" 100.000 · 1,0 3~ - 8.00 0 -1,03 ·

1 -1, 0 3~

1 1,03

'" 53.404,16 Euro ,

wom it wir über (11.39) die vorschüssig en Rentenzahlungen

r = 53.404,16 ·

1- ....!.-

1;03 ~

1 ( 1.03)

=

13.948,70 Euro

best immen können.

I

I Ratenzahlu nge n I 1

.

lindwert der Rate nza hlunge n ( Kn Barwert d er Zinsesz insberechnung (

)

"-0)

I

I Verzinsung in Ru he p has e I 1 End wert der Zinseszinsberechnung ( Ko ) =

Barw ert der Rent enb erech nun g ( Rn )

I

I f{e nte nzah lu ngen I ,j, Even tuel le Ver teilung eines Restw ertes auf einen best im m ten Zei tra um Abbild un g 11 H: Kombinationen aus Raten u nd Re nte n

,, ,, , ,, ,,, , ,, ,, , ,,, ,, ,,

,

cvtl. Änder u ng des Zinssaztes

2. Finanzmalhematische Anwendung

2.4.4

87

Unterjährige Raten und Renten

Hisher sind wir bei den behandelten Raten und Ren ten davon ausgegangen, dass eine jährliche Zahlung und damit eine lährltchc Zinsfes tstellung und -zahlung ( \'('eltslel!ungJ erfolgt. I n der Praxis kommt es aber häufig zu mona tlichen ode r vie rteljährlichen Zahlungen . Liegt ein Monatsz ins und d ie An zahl der Anlagemonate (analog bei Quartalen) vo r, .~ o kön nen d ie bisherigen For mel n für Raten und Renten auch bei unterjähriger Zahlweise wie gewo hnt angewendet werden . Beispie l: Christian verpflichet sich, in einen Bausparvertrag monatlich jeweils zum 1. des Monats 200 Euro einzuzahlen. Die Bank bietet ihm eine monatliche Verzinsung von 0,5 % p.rn. Wie hoch ist das Bausparguthaben nach einem Jahr?

K Endo l .J ak

= 200. 1 005 . 1- 1,005'2 • 1 1,005

Liegt der Monatszinssatz (I = 0,005) und die dazugehörige Anzahl an Monaten (n = 12) vor, so kann das Endkapital also mit der bereits bekannten Formel für vorschüssige Raten berechnet werden. Bci ro d tegendem fabreszinssatz, uber unte rjähr ige r Zahlweise bestehen zwei möglichkeiten den End kap italwert bei Raten verträgen zu besurrune n. Die erste sieh t vor, die Summe der Monars zahlungen tQua rtalszablungeo i unter Berück sichtigung einfacher Verzinsung i n äq uivalente jahreszahlungcn umzurechnen, für die dann Zinsesz insen berechne t werden. Beispiel: Ein Zielsparvertrag setzt eine vorschüssige, quartalsweise Einzahlung von 200 Euro voraus. Die Bank bietet einen Zins von 5 % p. a. bei einer Laufzeit von 5 Jahren. Wie hoch ist das Kapital nach 5 Jahren? 1. Schritt: Berechnung von K1 bei einfacher Verzinsung Bei einfacher Verzinsung erhalten wir am Ende des ersten Jahres K, = r (1+

)+r . (1+ ~

J. hr...' ....

=4 r+

r .!

4

3 '7

)+r ·(1+

~

f"::' &.~~i;r.

' (4 + 3 + 2 + 1) == 4 .r +

2 ' 7 )+r .(1 + ~

f'i"~ r! 4 · 5

4 ·2

1'7 )

~

z........ ö;g 1., Ouartal

s .r!

== 4 ' f + -

2

- ,

wobei die Klammer (4 + 3 + 2 + 1) das 4. Glied einer arithmetischen Reihe enthält und daher wie angeführt umgeformt werden kann. Konkret erhalten wir also für dieses Beispiel K, == 4 .200 + 5 ·200 · 0,05 == 825 ,00 Euro. 2 2. Schritt Berücksichtigung des Zinseszinses über die gesamte Laufzeit Der Wert K, wird am Jahresende gutgeschrieben, sodass nun von einer nachschüssigen Betrachtungsweise auszugehen ist. Da sich K, in jeder Folgeperiode identisch ergibt, ist lediglich noch der Zinseszinseffekt zu berücksichtigen.

88

11 Finanzmathematik

K5 = K, . q4 +K , .q 3 +K, ·cf +K, .q' +K, = K, .( 1+ q'

1_

+rf + qJ + q4)

=K, . 1-qq

5

Wir erhalt en also für das Endkapilal bei unterjähriqer Zahl ung hie r

- = 825 . 1- 1,055 K 5 1-1,05

4.558,65 .

Eine zweite .\'Iöglichkc il, unterjährige Rate nzahlu nge n bei gege!Jel/em [ahreszins zu behan del n. beste ht darin, den j ah rcszmssatz in den erusprcc.. heuden Mo natszins rQ ua rtalszin s) umzurechnen, der dann bei monatlicher Ivierteljährltcher l Zinskapltalixieru ng zum seihen Erge bnis wie be i jährlicher Zinsberechnung führt. Exakt iSI dies allerdin gs nur bei be ka nntem Endwert mögli ch, da nur in diesem Fall ein geneuer unterjrbrlger Zinsfaktor bestimmt werden kann. Be i un bekann tem Endwert kann ein Näherungswen für den unterjährigen Zinsfaktor bestimm t werden . Aus der Übe rlegung, dass 1 Euro monatlich (
ermi tteln. Beispiel:

n

Gre ifen wir auf unse r vorhe rgehend es Beispiel zurück, so können wir bei bekanntem Endwert K s :0 4.558.65 Euro den vierteljährlichen Z insfaktor qq :0 1 + iq durch Lösen der Glei- ~ chung _ zo K 5 - r· Cl;; +r' q, +...+r q,

= r·q ._l -q~ q

t-c,

best immen. Mittels entsprechender iterativer Verfah ren (Suchen der Lösung durch Probieren ) erh alten wir die Lösung qq = 1,0 1228937. Nur bei diesem qq erhalten wir genau den Betrag 4 .558,65 Euro . Da wir aber gerade Ks in empirischen Fragestellungen best immen wollen , können wir uns de r Nähe rung

Cl, =

*'

= ~1, 05 = 1,0122722 3

bedienen, die uns zu

führt . Dieser Wert liegt sehr nah am exakten W ert 4.558 ,65 Euro.

Bei untcriährigcn Re nte n ist häufig ein e unterjäh rige Verrechnung - mit en tsprechend ei nfach er Verz insu~ - vereinbart . Durch Be rechnunfi-ei ne s äquivalenten Monatszinsfaktors 'I", = '4'q (bzw . Q uart alszinsfa ktors q ~ = '!q ) kann in d iesem Fall tro tzdem die normale Re nte nbe rechnung angewendet werden .

89

2. Finanzmalhematische Anwendung Beispiel:

Eine Summe von 100.000 Euro soll bei einem Zins von 4% p. a. über 4 Jahre in Monatsraten vorschüssi g ausbezahlt werden. Wie hoch ist die monatliche Rente? q =1 + 0,04 =1,04

~ q, = 1~1, 04 = 1,003274

r = 100.000 ·

1

~ vm = - = 0, 996 73 7

q.

1- 0,99673 7 " 2 = 2.247,35 Euro 1 0,996737

Eine analoge vo rgehcnswetse gilt hc i unter jährige n Tilg unge n (vgl. 11 1.'5).

-

2.5 Tilgungen 2. 5.1

Allgemeines

Bei der Tilgungsrechn ung w ird e ine Anfan gsschuld tz .B. Ausza hlung aus Bank kreuitl durch regelmäHige ode r un regelmäslge Rate n über einen bestim mten Zeitraum

begliche n. Die zu zahlenden Rate n setz en sich zusamme n a us Schuldzinsen z (auf d ie Restsch utd ) und Schuldtilgun g t, d ie in der Rege l jewe ils auf ein Jahr bezoge n sind. Sch uld zinse n und ulg ung zusamm en werden als sog . Annu ität a be zeichnet. ae ze r

(11.4 2 )

Am Ende der Laufzeit n ist d ie Schuld getilgt, sodass alxu d ie glei ch der Summ e der Tilgunge n sein muss.

A nfang.'i.~ ...h uld

S"

,-, Die Restschuld nach tefahren rbxw . am linde des k-ten Jahres) S, erg ibt sich als Dirfe renz a us Anfangssch uld und den bis dahin geleisteten Tilg unge n . Sk =5" -

• Lt ,-, i

(11 .44)

In de r Praxis trifft man hä ufig auf zwei Arte n von Tilgu ngen . Die sog. Abzahlungstilgung zeichnet sich du rch Annnttaten in abnetnncnder l/öhe :.IUS, d ie sich ;IUS ei ne m gleich bleili en den Ttlgungsbct rag t und ei nem abneh me nden Zins zusammensetze n ( vgl. nac hfolge ndes Beispiell. Im v e rgleich dazu we ist die Annuitätentilgung (vgl. Absch nitt 11 2.'5.2) Annnttäten 1"11 gleich htetbeuder tt öbe auf, die sich aus zunehmenden Tilgun gsbet räge n t, und ab nehmenden Zinse n z; zusanun e nse tzen . Da durch d ie Tilg ung die Restschuld und damit die Zins belastun g abnimmt, müsse n d ie Tilgungsrate n von Jahr zu Jahr ste igen , dam it d ie Surrune a us Zinse n und Tilgung die gle iche Ann uität erg iht. Be i Tilgungs rechn ungen ist es oft von Vorteil und in der Praxis üblich, ei nen sog. Tilgungsplan zu e rstellen . Diese r zeig t übersich tlich die Entwicklung de r Schu ld übe r die gesamte Laufzeit und be inhaltet die Ent wicklung vo n Restsch uld (Jahresanfa ng JA und j ab rcsendc JE), Zinsen , Tilgun g und Annuität .

90

11 Finanzmathematik Beispiel (Abzahlungstilgung):

Anfangsschuld: 40.000 Euro, l aufzeit: 4 Jah re, Schutdzins: 9 % p. a. Jahr

Restschuld JA

Zinsen

Tilgung

Annuität

Restschuld JE

1

40.000,00

3.600,00

10.000,00

13.600,00

30.000

2

30.000,00

2.700,00

10.000,00

12.700,00

20.000

3

20.000,00

1.800,00

10.000,00

11.800,00

10.000

4

10.000,00

900,00

10.000 ,00

10.900,00

0

r

100.000,00

9.000,00

40.000,00

49.000 ,00

Wie wir erkennen , werden die Zinsen jewei ls von der Aestsch uld am J ahresanfang berechnet. Die Annuität entsteht aus Zins und Tilgung, die Summe der Tilgungen entspricht der Anfangsschuld und die Bestschuld am Jahresende ergibt sich jewe ils aus Bestschuld am Jahresanfang abzüglich Tilgung. Für die Aestsch uld am Jahresende gilt der Zusammenhang Sk '" So - k . 1. Der Tilgungsbetrag ergibt sich autqrund von Sn '" durch Nullsetzen dieses Zusammenhangs und Auflösen nach t zu t '" So I n.

°

Aus einem derartigen Tilgungsplan kann leicht die Effektivverzinsung des Darlehens berechnet werden. Es gilt hier i ff = L Zinsen • LAestschuld JA

9.000 '" 0 09 '" 9 %. 100.000 '

Bei jährlicher za hlweise mit konstantem Zinssatz und ohne Gebü hren und Ausgabeab schläge ergibt sich hier der Nominalzin s.

2.5.2

Annuitätische Tilgung

\X'k bereits e rwähnt, liege n bei de r an nu uänsc be n Tilgung stt'ls ko nsta nte Aunuit ärc n vor. Die Entwicklung de r Restsch uld (/11I Ende des k-te n Jahres S, bei d ieser Tilgun gsa n kön nen wir mittel s folgende r Tabell e vera nsc-haulichen:

S.I

SI = S" ' O + j) - a

=5 0 · q - :1

S ~ =S l'q - a

S.J=S! ·q - a

= (S,, 'q- ;I) 'q - a

= (Su . q ! - a ' q - a ) ' q- a

= S,, ·q ~ -a · q - a

= S" . q'

- a . q' - a · q - a

Allge mein können wir dam it zu nächst festhalt en . dass für die Restschuld S, am Laufze itende des Kred its S" = So . q " - a · q n_l - a . q n _ ~ - ... - a = S' ' o ' q " - a · ( q " _1 +q n_~ + " '+ n . l""""'I«"Io'-'

bzw.

Q.

2. Finanzmalhematische Anwendung

91

= ,S,, ''1

S 'n

n

} -((

- a -- - -

01 .4'; )

1- q

g ilt. Die sc Formel isLuns in etwas a nderer Notation be rt.' iLs als (11.31) bege gnet und zeigt e ine erste Verwandschaft vo n nachschüsstgen Re nte n und Annuttätemtlgun gc n auf. Da die Schuld nach n Jah re n ge tilgt sein soll , hinnen wi r (II.4S) gleich Kuli setzen, wo durch wir na ch elmgcn Umformungen folgende allgemeine For me! zu r Be rech n ung der Annuuät erhalten . n

1- q

a=5,, -4 --

-

(11.46)

} - ((

Fü r jede annuitätischc Tilgung gilt der in Abbild un g 11 9 dargestellte allge meine Tilgun gspla n. Die Tilg un g t, wird auch als A IIJl lllgSfilgll llg bezeich ne t. In e inem Kreditvert rag kann d ie An nuität also ex plizit od e r im plizit ü ber d ie A ngabe der An" fangsulg ung reslgdegt werden . Sie ist bei Hyp othe ke nd arlehe n meist ein Pro ze nt" satz der Anfan gssch u ld u nd liefert zusammen m it d e r ersten Zinszahlung d ie fü r alle Fo lge pe riod e n konstan te Annu ität. Zinsen

R<:'M M,:hu IJ J:\ I

S"

z,

2

5,- S,,-I,

I .,

.'

5, · 5, -1,

I .,

- s.. i - s,

. i - (5,,- I,J' i

-

- I, -

1.,

5" - S, ., - I"

j

" "

- a-

"

;

I., -I... - I.. . r

, ,

1.,

- 11., + t,J - (I., - I, ·

· " · 1I

- s,. ; - Z, - l, .

k

TiI).:uo).:

+D

• a - z, - ( Z, + I)- ( z,- t, '

· '... (J(J ,, ni)' ·" .. . ,. , i)"

"

,

" u

I, . ( 1

Aoouil:il

R<:'.'hdllII J JE

- z, + I,

5, - 5, -1,

.. 1.,

+ I,

5, "S, -I,

.. 1.,

+ I,

- I .,

,"

5, · S,-I,

- 1.,

- I."

+ t,

5, - S. , -1,

- 1.,

' "

+

"

Ab b ild ung 11 9: Allge mei ne r T ilgu ngsplan bei a nnunä uschc r Tilgung Aus der Abbildung ist ersichtl ich, dass die Tilgungsraten eine geometrische Fo lge m it t k+ 1

=t. _( ] + D =

01 .47 )

t l_ q k

bilden und die Summe der Tilgungsleistungen nach k Jah re n wegen ~

,

"- I k =1 1 + t l · q + l l·q" + .. · + t l · q

k_l

bei

m AS)

92

11 Fina nzmath ematik

liegt. Die Restsch uld nach n j ah re n können wir daher alternativ "

Sn =5"

7:11 (11.4 ')

auch ab

1- q?

m .49)

- 11 . _ -

1- q

ausdrücken . Erne ut gle ich Kuli geset zt erhalten w ir -

So

1- (( = 11 . - - I- q

(] I. ':;0)

(11:,0) zeigt uns , dass der Ba rwe rt aller Annuitäten bei vollständiger Tilg ung gerade der Anfangssch uld ist lind Annuitätenzah lungen pr aktisch nachsetnissige Rentenzahlungen s ind.

\,('ie der können wir je nach Fragt'sle llung m it Hilfe der abgeleiteten Formel n von un te rsch iedlich gegebenen Grösen a u f gesuchte

sch l id~en .

Sind etwa Anfangstil-

gung. Anfangsch uld lind Zinsfaktor be ka nnt, so kann d ie Tilgungszeit über

In(l- So'\1 4») -

n=

1

ln q

(II .Sb )

bestimmt werden, was sich aus Umfo rmung von (JJ5 0) ergi bt . Be t vo rl iegend er Anfangssch uld. Annuität lind Zinssa tz können wir auch n=

ln a -In (a +S,,' (] - q )

In q

m.s u»

verwenden , was aus (11.46) resu ltiert. Wollen wir d ie A1/j rmgsscb l/ ld aus vorhegender Verzinsu ng und Annuuät bestimme n , kön nen wir (11. ';2)

heranziehen, was sich e benfalls aus (1 1.46 ) e rgibt. Die Verzi 1lS1/IIg können wir bei gegebener Anfangsschuld. Annu ität und Laufze it über die Lösung der Gle ichu ng O l.';j)

b estimmen, Beispiel :

n

Ein Darlehen in Höhe von 100.000 Euro soll bei einem Zinssatz von 8 % p. a. über eine Lautzeit von 15 Jahren annuitätisch getilgt werden. ~ a) Wie hoch ist die Zinsbelastung des Schuldners im 5. Jahr der Tilgung?

b) Wie hoch ist die Restschuld im 5. Jahr? a) 1. Berechnung der Annuität: a = 100.000 · 1,08 '5.

1- 1,08 15 = 11.682,95 Euro 1-1,08

93

2. Finanzmalhematische Anwendu ng 2. Berech nung der Tilgung im 5. Jahr (dazu Ermittlung der Tilgung im 1. Jahr): 11 == a -

ZI

= 11.682,9 5 -1 00.000 ·0,0 8 == 3.682,95 Euro

15 == 11 . (1+ i)5 -1 == 3.682,95· (1+ 0,08 )4 == 5.010,61 Euro 3. Berechnung der Zinsbelaslun g: a , = 15

+ Zs

--)

11,682,95 = 5.010,6 1+ Z5

b) 8 5 = 100.00 0 - 3,682,95 ·

t--+

Zs = 6.672,34 Euro

11~\~~ = 78.393,60 Euro

Ahsc hliegeml sei noch erwähnt, dass Tilgungszahlungen in der Praxis meist nicht iilhrlich, sondern monatlich oder vicrteljilhrlich erfolgen. D:.IOn wird d ie Annuität einfach durch 12 bzw. 4 get eilt.

-

2.6 Abschreibungen " 'ird von einem Unternehmen ein Anlagegut erworben , so wird dieses m it se inen Anschaffungskoste n in den Büche rn de r Untern e hmung erfasst. Im Zeitverlauf unterliegen Anlagegü ter nun aber einer gewissen wertmindcrung. sei es durch technischen Verschleig oder winschafrlk'hcn Wertverlust aufgrund technologischer \X'e ircrentwtcklungcn . die es notwendig macht, diesen anfänghchen \X'en anzupassen. Den dazu vergenommenen Korre kturvor gang bzw. die buchhalterische Erfassung der Wertminderung wird Absch re ibung genannt. Dem Prinzip nach w ird in den Ahsc hrei hu llf,:sperimkn ( i. U. R. Jahre ) bzw. am Periodenende der ''('ert des Anlagegutes um die Abschreibungsraten nach unten ko rrigiert. De r nach Abzug verbleibende Betrag entspricht dem sog. Restbuchwe rt. Wir wollen im Folgenden die Anschaffu ngskosten m it K,,, die Nutzungsdauer des Anlagegutes m it n, d il' Abschreibungsrate im k-tcn Jahr mit r. , den Restbu chwert nach k Perioden m it K. und den Restwe rt um Ende der Nutzungsdauer mit K" hezeich nen. Wir un terscheiden außerdem drei Allen von Abschre ibun ge n, d ie linea re, d ie geometrisch dcgress tvc und die arithm etisch degressive (d igitale) Abschre ibung. Be i der linearen Abs ch re ibung wird die Differenz zwischen dem Anscha ffungsWl'11 K" und dem gewünschten Restwe rt R" (gewöhnlich Rn = 0) gleichmägig auf die Nutzungsda uer verte ilt. Die Abschretb ungsraecn sind daher in jeder Pe riode Ide ntisch und be lau fen sich auf

,=

K,, -K n n

(11. ")4)

Als Restwe rt t kcstbuchwern nach k Jahren Abschreibung erha lten wir bei linearer Abschreibung som it (]1.5SJ

94

11 Finanzmathematik

Beispiel : Eine Anlage mit 4 Jahren Nutzungsdauer und Anschaffungskosten von 10.000 Euro soll linear über die Nutzungszeil abgeschrieben werde n. Der Restbuchwert nach der letzten Abschreibung soll bei Null liegen. Wi r erhalten damit unter Nutzung von (11.54) und (11.55) folgenden Abschreibungsplan:

Ende Nutzungsjahr

Abschreibungsbasis

1 2

10.000

Abschreibungsbelrag

7.500 5.000 2.500

3 4

Restbu chwert

2.500 2.500

7.500 5.00 0

2.500 2.500

2.500

o

10.000

Die degressi ve Absc h reib un g wird hei Anlageg ütern herangezogen, die in den ersten Jahren der 1':lIlz11ng einer relativ hohen ' x'ertmtndcrung unterliegen, die in den Fo lgejahren dann aber immer geringer w ird. Ocr Ab xch reibun gsbcrrug nimmt

also

HJn

Pe riode zu Pe riode ab. Isl der Abschreihnngshetrag imme r e in fester A I/teil

i I'om Kestbuchu'ert. so crgilu sich folgender allgemeine Abschreibungsplan

Jahr

Abschreibung

o

Restwe rt am Ende des koten Ja hres

x,

1

rl = Ku · j

K I = Ku - Ku . i = K o • (1 - i )

2

rl = K 1 • i

K ~ =K I - K1· j =K 1 '(1-i)=K () ·(1-d

k

r~= K~ _l 'i

Die Abschreibungsrate im k-ten Jahr entspricht also r~ = K ~ _ I . i = K ~ _ l . (1 - l j . i = ... = K o . (1 - j )k-I . i.

0 1.56)

Da K. / K k_1 = 1 - i konstant ist, handelt es sich bei der Restwe rte ntwic klu ng um die Glieder einer geometrischen Folge , sodass sich für den Restwen am Ende des koten luhres

ergibt. Aufgrund de r (fallenden> geometrischen Folge, wird diese Abschreibungsform auch als geo/1/elrisch degressire Ahschreibu IIR bezeichnet . Beispi el : Eine Anlage mit 4 Jahren Nutzungsdauer und Anschalfungskosten von 10.000 Euro soll mit einem Abschreibungssatz von 20% geometrisch degressiv über die Nutzungszeit abgeschrieben werden. Wir erhalten unter Nutzung von (1 1. 56) und (11.57) folgenden Abschreibungsplan:

95

2. Finanzmalhematische Anwendung Ende Nutzungsjahr 1

2 3 4

Abschreibungsbasis 10.000 8.000 6.4 00 5.120

Abschreibungsbetrag 2.000 1.600 1.280 1.024 5.094

Restbuchwert 8.000 6.400 5.120 4.096

n

Wir erkennen , dass wir hier anders als bei der linearen Abschreibung am Ende der Nutzungsdau er keinen Restbuchwert von 0 erreichen können. Um diesen Nachteil auszugtel- ~ chen, kann im Verlauf der Nutzungsdauer zur linearen Abschre ibung übergegangen werden. Für die Berechnung der linearen Abschreibung srate für das Jahr des Ubergangs und die folgenden J ahre (diese Rate ist ja konstant) sind der beim Übergang noch vorhandene Restbuch wert und die restliche Nutzungsdauer zugrunde zu legen. Optimal (aus steuerlichen Gesichtspunkten) ist der Übergang zu einem Zeitpunkt, zu dem erstmalig die dann berechn ete lineare Abschreibungsrate die degressive Abschreibungsrate übertrifft oder mit ihr übereinstimmt. Ist m das Jahr des Übergangs , gilt für den optimalen Übergang (vgl. Aufgabe 11-27)

1

m~n + l - - .

;

In unserem Beispiel würde der Sonderfall m ~ (4 + 1 - 1 1 0,2 = 0) gelten. Dies bedeutet, dass kein Übergang während der Lautzeit erfolgt, sondern direkt mit der linearen Abschreibun g begonne n werden sollte. Dies ist unmittelbar einleuch tend, da im ersten Jahr ein linearer Abschreibungsbetrag von 10.000 14 = 2.500 Euro dem niedrigeren degre ssiven We rt 2.000 Euro gegenüberstehen würde. Ergibt sich bei der Berechnung des optimalen m eine Dezimalzahl, so ist diese immer aufzurunden, um das Übergangsjahr zu bestimmen. Würden wir z.B. bei m ~ 3,2 abrunden, würden wir beim Übergang einen Fehler machen, da bei m = 3 die lineare Abschreibung noch unter der degressiven liegt. Verri ngern .~it'h die Abschretbungs ratcn von juh r zu Jahr um einen festen Betrag d , gi lL also all geme in r~ " 1 =r~ -d ,

so erh alt en w ir im zenverlauf d ie Fo lge der Abscbretb ungsr.uen rl , r1 - d, r l - 2d,

<.1. h. die Abs ch reibung im k-te n juhr li eg! h ei

rn.ss:

r~ = r, - ( k - I) · t1 .

Den Res twert nach k j ab rc n erhalten w ir über

K k = K, -[rl +(r,

-e

d) + t r, - 2d)+ ... + (r , - (k - I) . dIl.

In der eck igen Kla mm er steh t dabei das k-u- Glied der entsp reche nden arithmetisehen Rei he mit der Summe

x, = x, -2"k ' (r + r l

l

-(k

-I) .

k = K, - - · 12rl -(k - ]) · dJ, 2

t1 J 0 1. 59 )

96

11 Finanzmathematik

die schließlich den Restwe rt nach k j a hre n Abschreibung mit 1", als erster Abschretbun gsr ate und d als dem Minderung-betrag der Abschreibung-rate liefen. Die hie r vor liegende Absch reibungsart wird aufgrund de r auftretenden arithmetischen Ik ihe auch als arith metisch degresstre Ahschreihung be zeich net. Es gilt be i (IL59 ), dass die ers te Abschreibungsune be i arithmetisch degressiver Abschreibung mindestens gleich der linearen Haie se in muss und höchstens gleich der doppelten linearen Rare se in darf (\'gl. Aufgabe JI·2B). K,, -K n n

s r, ::;;2 . 1\.,,- K" n

(J !.GO)

Beispiel: Eine Anlage mit 4 Jahren Nulzungsdauer und Anschaffungskoslen von 10.000 Euro soll mit ]", " 3.000 Euro und d '" 500 Euro arithmetisch degressiv abgesch rieben werden . Wir erhalten damit unter Nutzung von (11. 58) und (1 1.59) folgenden Abschre ibungsplan: Ende Nutzungsjahr 1 2

3 4

Abschreibungsbasis 10.000 7.000 4.500 2.500

Abschreibungsbelrag 3.000 2.500 2.000 1.500 9.000

Restbuchwert 7.000 4.500 2.500 1.000

Das hier zulässige Intervall für r, ist 2.500 s r, s 5.000, sodass der verwe ndete Betrag von 3.000 Euro gerechtfertigt ist. Wir erkenne n außerdem, dass auch bei der arithmet isch degressive n Abschreibung die Summe der Abschreibungen nicht gleich den Anschaffungs kosten ist. Es verbleibt also am Ende der Nutzungsdauer ein Restwert .

3.

Aufgaben

Fo lge n, Re ihe n, Zinsen: Aufgabe 11-1 Frau S. will 150.()OO Euro für fünf Jahre anlegen. Sie erhält 2 Ange bote . Ba nk A bteld 65 % linsen h ei jäh rlichem Zi nstermin . Ban k B zahlt nach ') Jahren ZOO.OO(j Euro aus . ' x'etcbes Ange but ist günstiger? Begründen Sie Ihre Ant wort üb er ei ne n Vergle ich ;I)

der Endkapitale.

r»

der Barwe rte .

c)

der Zinssätze!

Aufga be 11·2 Wd ches End kapita l erhillt man bd jthrlirher Verzinsung a us einem Ka p ital von toO.OOO Euro nach 5 jabrcn bei ei nem Zinssatz vo n 6 % p. a.? \'<;'ie hoch wäre das Endk apita l be i monatliche r Verzinsung und Zinsfeststcllung?

Aufgabe 11·3 Das Bruttoinla nds produkt (BIP) in 'x'estdeutscbtand be trug 1960 999 Mrd . In 1, 1990 2.524 Mrd. f) .\1. \'X.'k hoch wa r das durchschn ittliche jäh rliche BIP-\X'achstum über diesen Zeitraum von 30 Jah ren? Aufgabe 11-4 Ein Entw icklungsland halle Ende 1990 gcnau _'\0 Miu Einwohner. Bis Ende 2000 wuchs die Bevö lkerung auf 40 Mio Einwohner ,10. a) Um wie viel Pro ze nt nahm d ie Einwo hn e rza hl im betrach teten Zeitraum d urchschnittlich pro J ahr zu? b) ' xu nn w ird das Land 50 .\Iio Einwo hne r, wan n (,0 Mio Einwo hne r haben , we nn von einem unveränderten Be völk e rungswa chstum ausgegangen wird? Aufgabe 11-5 Ein Untern e hme r erz ielt im ers te n Ja hr sei ner Tängkett e inen Ja hre sumsatz von 1,2 Mio. Euro . In den da rauf folgenden Jahren ste igt der Umsatz jeweils um 5 % . Wie hoch ist der dun-hxchnittl iche J a hresumsatz, be rechnet über 20 J;l hre ~ Aufgabe 11-6 Ein "besc heidener" Student möchte ein hal bes Jahr (26 Wochen) arbei ten . Er bietet se inem po te nzie lle n Arbei tgeber an , in der e rste n \Voche fü r ein en Euro-Cen t und in der zwe ite n \X'oche für 2 Euro-Cent zu arbeiten . In den folge nden \X'oche n soll sich wie de rum sein Gehalt vo n \'\'oc he zu Woche verdoppeln. Wie viel würde der Student nac h dem hal ben Jahr insgesamt verdient h ab en ~ Wie hoch wäre se in le tztes \,\'ochen ge ha lt?

98

11 Finanzmathemati k

Aufgabe 11·7 E.s seien zwei Za h lunge n Z\ und Z, gegeben: Z, = 700 Eu ro , fällig um 31 .12.1003 (24.00 Uh r) sowie Z, = 1.000 Eu ro , füllig um 1.1.200 7 <00.00 Uh r ). a ) \X'delle Zah lu ng hat .nn 1.1.2000 de n höheren \X'eI1? I. bei P "" H % p .a.

2. bei P '"

zo % p .a .

b ) Bei welchem Zinss atz ha ben he k k Zahlungen de ns e lben \X'e rt? Aufgahe 11-8 Ein Kap ital von '>0.000 Euro w i rd mit 8 % p . a. verzi nst. Di e Zin seszi nsen we rden

jedoch vienelidhrl ich be rechnet und kapüaltstert. a) Auf welche n Endwe rt ist das K:lp ital nach 20 J ah ren angewachsen? b I W ie h och ist di e effektive Jah re sn :rzin sll llg? c)

\X-'d che stetige Ver zinsung entspric ht der Effek tiv verzinsu ng von b )?

Aufg ab e 11-9 Wel ch es Endkapita l erzielt ma n bc ! vicrrno nauger Ve rzin sun g, w e n n m an 100.000 Eu ro für 20 Jah re an le g! und ein Zins von 6 % p. u. ge währt w ird?

Aufgahe 11-10 l lerr Mater erwi rb t ei n festverzins liches W'CJ1IX1pie r zum Nominalw ert von 5.000 Euro m it e iner Liu fzeit von I J ahr. De r Nomlnalz tns be trägt 4 % . \X'ie hoch da rf der Ausg ab e k urs h öchste ns sei n. wen n der Effekt ini ns m indestens ') % bet ra gen so ll? Aufgabe 11-11 Auf e in Kont o A werd en zu An fang e ines Jahres "i.000 Eu ro einge zah lt. Auf e in a nde res Ko nto B we rd e n jeweil s nrn End e des e rsten un d uru End e des zwe ite n Jahres v-wo Euro e ingezahlt. Be i we lche m Zinssatz p. u. sin d d ie W'erte um End e des 2. jahrcs auf beiden Kont en g leich g roß? Gehen Sie von e iner Zi nsfeststellu ng um j a hrcs en de au s. Aufgabe 11-12

Ein An fangskapital Ko w ird 10 j a hre lang j;i hrJich zu 7 % ver zinst. a) Wie hoch m üsste d e r Jah resz inssa tz bei stetiger Verzinsung sein , d am it sic h da s gleiche Endkapital e rgihtf b) Wie hoch müsste der j uh rcszinssatz bei viert eljährliche r Verzinsu ng sei n, da m it sich d as gle iche End kapital ergi bt ~ Aufgabe 11-13

Nach wie viel jab re n hat Ge ld bei e iner monatlic hen In flatio nsrate von 1 % die I liilfte se in e." W·l;'11e ." ve rloren?

3. Aufga be n

99

Raten und Rent en : Aufgabe 11-14 Der ehemalige Studen t S. bekommt vom Bunde sve rwaltu ngsam t einen Bescheid we-ge n seiner BAföG-Rückza hlung, die a b dem nächsten jahr beginn en sol l. Er bat nach diesem Besche id jährliche Rate n am j ährese nde in Hö he von 2.400 Euro übe r einen Zeitraum von 11 Jahren zu lei-ten. Alte rn ativ wird ihm an ge boten. das Darle hen so fort zurückzuhezahlen. In d iesem Fall w ird ihm e in l'\adllas.~ von 9.000 Euro auf die Darle he nssch uld gewährt. S. hat d ieses Geld zur Ve rfüg ung und zu S % an gel egt. Sein e Ba nk garant iert ibm d iesen Zins * aufgrund Meige nder Zinsetwartungcn * für die nächste n 11 Jahre. \X'as wü rden Sie S. em pfehlen? Soll e r das D;lrlehe n SOf0l1 oder in jä hrliche n Raten zurückzahlen> Aufgabe 11-15 Sie treten m it 24 jahrcn ins Beru fsle ben ein und ver dienen 50.000 Euro pro Ja hr. Ihr Gehalt wächst mit 3 % pro Ja hr. Von ihre m jabresgehalt zahlen Sie am Ende jeden Jahres 15 % in e ine p rivate Re nte nve rsiche run g e in . Oie Rent e soll ab dem 65. Le hensfahr 25 j uhre lan g als ko nsta nte r Betrag um Ende jede n j ah res a ush ezahh we rde n. Die Verzinsung des Re nte nkornos be trägt 4 %. u)

\'(,ie hoch ist das a ngesparte Kapita l zu Beginn des Ruhe sta nds?

b ) Wie ho ch ist die jährliche Re nre n zah lu ngy

Aufgabe 11·1 6 He rr Liebling za hlt jeden Quartalsanfang eine Prämie von 200 Euro an eine Ve rsicherung. w e lch en Be trag hätte e r nach 12 jahren zu r verfügung. we nn e r die Prämie a lternativ zu ein em jahresztns vo n 4 % anlegen könnte und a ) d ie Zinsfes tstellung um Q uartalsende. b I die Zinsfeststellu ng um jähresende stattfindet? Au fgabe 11-17 Ein Schenkungsvertrag . demzufolge jeweils zu jah rcsbegtnn S juhre lang je 10.000 Euro lind in de n folgenden 5 Jahren je 20.()O() Euro übere igne t werden sollen , wird zu Begton des e rsten Jahres steuerlich erfasst. Be me ssungsgrund lage der Steuer ist der \X'Clt der Gesamtschenkung bezogen au f d iesen Termin. \X'ie hoch ist dieser We n bei einem Zinssa tz von 5 %? Aufgabe 11·18 Ein Arhe itne hme r Usst per Dauerauftrag zu jedem Monatsende HO Euro a uf sein Spa rkon to übe rwe isen. \X'etchcn Betrag hat e r nach 7 Ja hre n be i einem jahreszlnx von 6 % p . :1. a ngespart? Ze igen Sie Ihre n Rechenwe g zun ächst formal auf, bevor s ie mit ko nkreten Zahlen rechn en!

10 0

11 Fina nzmath ematik

Aufgabe 11·1 9 Pau l er häh ah dem Jah r 2030 eine iiihrliche voochüsstge Re n te , d ie 20 Jah re lang gez ahlt wird und jedes Jahr um 3 % vd dlSl. ])ie erste Renten zahl ung t arn 1. j an uar 20301 be trägt 2.000 Euro . \X'ie hoch ist der Barwe rt der gesamten Ren tenzahlungen am 1. Ja nuar 2010? Unte rstelle n Sie bei de-n gesa mte n Be rechnunge n eine n Zinssatz von

5 % P. a.!

Aufgabe 11-2 0

Ein Arbeitnehmer Hisst per Da ue rc uttrag zu jedem Quartabanfang HO Euro auf se in Sparkon to überweisen . \X'e k hc n Ik lr:.lg hat er n ach 10 Ja h re n he i einem jahresztns von 9 % angesp art? \'\'ie grol.{ ist der Unterschiedbetrag im Vergleich zur Überweisung um Q uart alsend e ? Aufgabe 11·21

Sie haben in eine r Lotterie gewonnen. Als Hau ptpre -is können Sie un ter folgenden Al ternativen auswählen : a) Zahlung von 300.000 Euro jeweils um Jahresende über einen Zeitraum vo n 20 Jahren b ) e inmali ge Zahlung

\"()O

3 .'vfio. Euro.

f ür welche Alternative entscheiden Sie sich? Der relevante Dtskonuerungssatz betragt R % p.a . Aufgabe 11·22 Welche Summe muss man angespart haben, wenn eine vierteljährliche nacbsch üsstgc Rente von .'\.000 Euro für die Daue r von 10 Ja hre n gezahlt werden soll und d ie Bank einen Zins von 6 % p. a. gewährt Aufgabe 11-23 ,,'e iche r Be trag muss für e ine monatliche Re nte von 1.000 Euro über 5 Jahre heute einbezahlt we rde n, wenn die Re nte a ) \"() rschüssig h ) nad lsd lüssig

ausbezahlt werden soll und als Mon ats atnssatz 0,5 % anzusetzen iSI? Tilgungen : Aufgabe 11-24 Ein Darlehen über SO.O()O Euro wird [ilhrlk'h mit 7,5 % verz inst. Am Ende eines jeden Jahres werden 7.00() Euro annutunsch zurückgezahlt. a) Be rechne n Ste die Restsc-h uld nach 10 Jahren? b ) Nach wie vielen Jahren ist die Schul d vollständ ig ge tilgt? Berechnen Sie die Resran nuträt im le tzten Jahr? c) \X'e lche Annuität müsste 10 Jahre lang gezahlt werden, dam it das Darlehen getilgt wäre?

3. Aufgaben

101

Au fg abe 11-25 Eine Schul d H10 I=; O.O()() Eu ro soll in 10 Jah ren (bei ')0/0 P: we rde n. Erm ittel n Sie

a.)

annuitätisch ge tilgt

41) die Annuität,

b) d ie Tilgung im letzten Jahr,

c:J d ie Restsch uld nach S j äh re n. J) \X'ie hoch w äre die Tilgungszcit bei e ine r Annuitiit von ( I)

14.000 Eu ro/J a hr,

(2)

1 .~ .500

Eu ro/J ah r?

Au fgabe 11-26 Zur Tilg un g ei ne s Da rle hens in flö he von 15.000 Euro m it ei ne m jährliche n Ztnssatz von 11 % werden je weils zum Jahresende 750 Eu ro zuzüglich anfa lle nd e r Zinse n bezahlt. a}

\'\'e k he r Geldbetrag muss insgesamt für Zinszahlungen wä hrend der gesamten Lt uf7:e it aufgewendet werden?

b ) 'vlit welchem konstan ten Betra g (T ilgu ng un d Zinsen) zum jeweiligen j a brese nde könn te Jas Darle he n in ne rha lb der gleichen Laufze it auch getilgt werden? Absc hreibungen: Au fgabe 11-27 In Abschn itt 11 2.6 wurde gesagt, d ass fü r das o ptimale Jahr III des Übe rgan gs vo n e iner geometrisch deg re ssive n auf e ine lineare Absch reibung der Zusa mmenhang I m;?:n + I-;

gilt . Be wei se n Sie die Gültigke it d ieser Bezie h ung! Au fg abe 11-28 Zeige n Sie die Gül tigkeit von (JI.60) bzw .

de.~

Zusammenhangs

Aufgabe 11-29 Ein Pkw mit Anschaffungskoste n in Hö he von 260.000 Euro soll in ne rhalb vo n 12 j a hre n zuerst degressiv mit e inem Satz von 25 %, dann nach optimalem Übergang linear auf Null ab geschrieben werden. Stellen Sie den Absch re ibungs plan a uf!

1I1 FUNKTIONEN EINER VARIABLEN

Funktionen dienen allgem ein der Beschreib ung der gegenseitigen Abhängigkeiten mehrerer Faktoren. So hängen beispielsweise Absatzmengen von Güterpreisen oder Gesamtkosl en von produz ierten Stückzahlen ab.

Beginnend mit der formalen Definition des Funktionsbegriffs, Betrachtung verschiedener Darslellungslormen von Funktionen und Behandlung wesentlicher Funktionsklassen und -eigenschaften, befassen wir uns in dies em Kapitel haup tsächlich mit konkreten elementaren mathematischen Funktionen (algebraische und transzendente Funktionen ). Diese sind von besonderer W ichtigkeit, da kompliziertere und vor allem praxisgerechtere Funktionen fast immer durch Zusammensetzung elementarer Funktionen entstehen. Wir werden auch spezielle ökonomische Funktionen näher betrachte n. Nach diesem Funktions überbli ck gehen wir auf die Differenzialrechn ung über. W ir werden hierbei die Techn ik des Differenzierens (Ableitens) von Funkti onen eingehend behandeln und einen anschauli chen Regelüberbl ick herausarb eiten. Aus dem Blickwink el ökonomi scher Anwendungen werd en außerde m vor allem Elastiztt äten und W achstum sraten von Interesse sein.

1•

Funktionsbegriff und Funktionseigenschaften

In diesem Abschnitt definieren wir allgemein den Funklions begriff, veranschaulichen die Möglichkeiten der Darstellung von Funktionen (Funktionsgleichung, Wertetabelle, Graph) und legen besonderes Augenmerk auf zentrale Eigenschaften von Funktionen (NullsteIlen. Extreme. Steigung, Beschränktheit. Krümmung , Symmetrie, Grenzwert e und Stetigkeit),

-

1.1 Definition In der Mathe mati k dienen Funktio ne n der Be schreib ung der gegensetugen Abh ängigkei t ve rschiedener G rögen . Sie nehmen insb eso nd e re in den \X'irtsch aftsw isst;'n sch atten eint.' he rau sragende Ro lle ein, da wir hier häufig vo r J as Pro b lem gestel lt sind , w lrkungszusam mc nbänge zw ischen ökonomischen Grüßen zu beschreibe n. So Inte ressie ren w ir uns be isp ielsweise für d ie Abhängig kei t des Ge winn s von Produktionskosten und Verkaufspreis oder die Abhän gig keit der Nachfrage nach ein em Gu t von se inem Pre is, dem Einko mm e n der Nachfrage r und a nderen Fakto ren. Typ ische ökonomische Funktio ne n sind darü ber hin aus z.B. Prod ukt ionsLind Spurfunktion en. De r Fun ktions be griff busiert auf sog. Abbi ldu ngen. Be trachte n wir dazu zwe i Me ngcn X und ·Y. .kde d ksl'r Me nge n be steh e aus e ine r gewis.~en Anzahl vo n Eleme nte n. Werden nun den Ele me nten x E X Elemente y E Y zugeordnet, so sp rec hen wir von ein er Ab b ild u n g . Fonna l d rück en w ir e ine solche Zuordnung als (111 .11

aus. Die Me nge X wird dabei als n eft ntttonsteretcö J)(f) und die Me nge Y als IFertcbereicb W(f) der AbM/dung f bezeich net. Das Erge bnis der Abbi ld un g (Ill.L ) sind w erte paare (x, y) . Eine Abbildung können wir daher in e inem Verrn-Diagr amm dadurch beschreiben, dass wir zugeordnete Elemente der Mengen verbinden (vgl. Abbi ldung III 1), Eine e in d e uti ge Abbildung liegt vo r, we nn e inem Ele me nt des Dcfinitionsh c reich cs höchstens ein Ele me nt des wcrteberet ch es zuge ord net wird. Eine m Element des We rtebe reich es könnten du rchaus mehrere Elemente des De finitio nsb e re iches zugeordnet sein. Von einer eineindeutige n Abb ild u n g sprechen w ir hingegen , wenn jedem Eleme nt des Definition sbere iches ge nuu ein Eleme nt des Wertehereiches und umgekehrt je dem Eleme nt des w e rteberetchcs ge nau ein Eleme nt des De flntuonsb e retch es zugeordnet ist. Sind e inem Ele me nt des De finitio nsbe re iches mehrere Ele me nte des 'c'e rte be retches zugeordnet, liegt e ine m e hrd e utige Abb il· d u ng vor ("gI. Abb ildung III 1),

11 1 Funktionen einer Variablen

106

r

X

x, --x l -_.

Xi

...-

-' "

------

Y

)

-,-,

-----

; -: .

y,

Y2 h

Eind e utige Abbildu ng

- s- ,.• •

r

X

)

::-.--.-.-

x~

X Xl

--- -.--

Y

Y> .

Eine ind e utige Abbild ung

_

r :::.-:::~~::~~~ ~-.---

-)0 Yl

-'- . --). h

Meh rde utige

Abbild un g

Abbi ldung 1Il 1: Abbildungen

Mehrdeutige Abbild ung en werden ;lls Rel atio ne n . e in- und e ine indeu tige Ahbtldungen ab Funktionen bezeichn et. Du rch ei ne Fun k ti o n wird also jede m Elem ent der Menge X höchstens ei n El em ent de r Menge Y zugeordnet. X heigt n un lJ(f i'li tio nshereich DU) d er nmeuon. während Yuls IFf!t1e{J('rd ( h w '(f) der Fuuletion bc-

zeichnet w ird . D(f) kann e ine be lieb ige e ndliche oder unendlic he l\lcnge sein . ll äuflg sind es die reellen ZahIL'" oder Te ilmengen aus d iesen.

-

1.2 Darstellungsfarmen Funktio ne n lassen sich prinzip iell als Gle ichung, werrembelle oder als Gr aph in e inem Koordinate nsyste m darstellen. wobei jedoch nicht imme r alle drei Durste lIun gsforrnen für eine Funktio n möglich oder sinnvoll sind.

1. Funktionsbegriff und Funktionseigenschaften

107

1. Fu n ktio nsgleich u ng

In vielen Fällen k önnen wir Abbi ld ungen zwischen den Elemen ten x E X und den Elemen ten y E Y durch eine Gleichu ng (z .B. y = 2x + 1) beschreiben, die dann ;J1s Funk tionsgleichun g b ezeichnet wird . Um aufzuzeigen, dass zw ischen x und y eine Funkt ionsbeziehung besteht, können wir allgemein

y = F( x )

mit XE

rx r:

(111.2a )

schreiben . D as bedeutet, das.~ r eine Funkt ion von x ist. W'ir bezeichn en x auch al-, III whhällgige Veränderliche ( Variable), da sie fre i aus D(f) gewählt werden kann , und y auch als afJhällgige Veränderliche, da sich y über d ie Funktion aus dem gewühlten x-Wert ergi bt. Hängt der Funk tionswen nur von einer Variablen ab, liegen .sog. FI/II ~'ti()Jl eJl einer Variahten vor, die Thema die.~es Kap itel s sind . Punkt ione n meh rerer Va riablen werden in Kap itel IV beh and elt . Kann ein e Funk tio n i n der Fo nn (11 1.2;1 ) dargestell t werden, d.h . ist die Funk tion sgleichu ng n ach der abh äng igen Veränderlichen a u fge~).st , .~ o w ird die Fun k tionsgleichung expliz it gen annt (z. B. y = x 3 + x ! - 5 , y = x - I , Y = In ( x + 5» . Von ein er impliziten For m sprechen w ir , wenn di e Funk tionsgleichung die Form y- f( x )=f( x,y )=O m it XE J)(f)

OIl.2hl

au fwei st (z. B. e X+ y - I = 0 , In x + In y2 = 0). D abei ist zu beachte n, dass nicht jede impli zit gege bene Funk tionsglei chung durch Umformu ng in ein e explizite Form gcbr.rclu werden kann ( z.B . x' + y-I + x'y + y'x + x' + y = O). Außerdem ist nicht j<:de Funktion als Gleichung dars tell bar (Ausweichen auf z.It. Wertetabe l len erford erl ich) und nicht jede Gle ichung stellt eine Funkt ion dar, w ie fo lgendes Beisp iel zeigt.

Beispi el:

y

i

Die Gleichung i + = 1 mit Definitionsbereich x € [-1; 1) liefert das nebenstehende Bild (sog. Elnheitskreis]. Mit Ausnahme der beiden Randpunkte werden hier jedem Wert des Deünitionsbereiches zwei We rte des Wertebereichs zugeordnet. Es liegt hier also definitionsgemäß keine Funktion, sondern eine Relation vor.

-1

\X'ie (II1.2a) lind (Il1.2h ) zeigen, ist eine Funkti on nur dan n vollständ ig hcxchriebcn und ihr Verlauf klar, wenn neben de r Funk tionsgleichung auch ihr Defi nirionshcreic h angegeben ist. Beso nders b ei Funk tion en aus der wlrtschaftswissenschultlieben Praxis ist eine Defi nitionsbereichsangabe bedeutsam .

Beispi ele: 1. Ist y = x für x E IR. definiert, so ergibt sich grafisch die Winkelhalbierende im Koordinatensystem (vgl. Punkt 3 dieses Unterabschnitts). Legen wir jedoch den Deflninonsbereich 0 s x s 4 und x l' 1 fest, so besteht die Funktion aus zwei Zweigen, die durch o :s x < 1 und 1 c x s 4 definiert sind. 2. Gegeben sei die Funktion y = 25x für x E [0;00[. wobei y den Umsatz, den ein Unternehmen mit einem bestimmten Produkt erwirtschaftet, der Wert 25 den Preis des Produktes und x die abgesetzte Menge darstellen. Da es keine negativen Mengen geben kann, macht hier nur ein Definitionsb ereich Sinn, der sich aus positiven Zahlen zusammensetzt.

' 08

11 1Fun ktione n eine r V a riab le n

2. Wertetabelle Eine \'fe n l.'tabe l1e ergibt sich in der Regel a us empirisch gewonnenen Daten (z .B. Um frage n ) oder e iner Funktionsgle ich ung un d ist Grundtage für die Erste llung des Fun kttonsg raphe n. Um d ne \X'c lt l'tah d le erste llen zu kön nen, muss zun ächst dcfl nh-rt werden, für welche \X'e n l' der u nabh äng ige n Veränderlichen d ie dazugehörigen w e rte der abhängtgen Ve ränderliche n e rmit te lt werden sollen . Dab e i sol lte man sich auf einen ausgewäb ne n Be re ich mi t ei ne m bestimm ten Abstand zwischen den e in zelnen \X' e l1e n der un abhängige n v e rän derlichen besch rän ke n. Bezeichnen wir eine konkrete Ausprä gung von x m it Cl (bzw . Cl) und eine

HlO

r

m it ß (bzw. 13'> , so k önnen wir die Struk tu r der \'fe rtet'll>cJle für e ine Funktion ei n e r Varia b len allgemein w ie folgt d a rste lle n: X E D(f)

ß, •

U"

[' U ,)

Be ispiel : Zu erstellen sei die Wertetabelle für x € 11; 5] mit Laufweite öx = 1 für die Funktionsgleichung y =x 2 _ x +1. x

2

4

3

5

Berechnung y = f(xl

3 . Punktfousg rapben Oie graph ische Darstellu ng e iner Fu nktion wird als Fun ktio nskurve oder -g rap h be zeichne t. Die se r Graph wird , sofern e s sich um Fu n ktio ne n ei ne r un abhängigen Veränderlichen handelt, in ei nem xog . teartesischen Koordinatensystem (vg l. Abhildung III 2) anschaulich d arge stellt. Dieses be ste ht ;JUS einer waagrechten . d e r sog. Abszissen- oder x -Achse und e ine r senkrechten, d e r sog . Ord inaten- oder y -Achse. De r Schnittpunkt be ider Achs en wird ah Null p u nk t oder Ursprung bezeich n et . Das Ko o rd inate nsyste m bsst sich in vier Sek to ren (sog. Q uad ra nte n ) e inteilen, in denen die darin liegenden x- und y-\X'erte jeweils gewisse Vorze ichen besitze n. Q uad ran t Abszisse O rdinate

positiv

positiv

11 negativ positiv

111

nega tiv nc gauv

IV posit iv negativ

Durch Ein trag un g der wertepaare ( Ko o rd inate n ) aus einer werretabelle in das Koordinatensystem e rh alten w ir led lgllch die Grundstruk tur des Graphen e iner Fu n ktion, d a eine ko ntinu ierl iche Fun ktion du rch eine \'\.'erl e tabe He nicht volls tändig beschrieben werden kan n. Ein lineares Verb ind en der Pu n kte ist tabgesehen von line are n Fun ktione n ) zu vermeiden. Eine n Sonderfall stellen so/-:. d iskrete Fun ktio nen (\"/-:1. Absch nitt 1II 1.3 ) dar, deren De fin itionsbe reic h :l US einer .\ Ie nge iso liert e r 'x'e rte lx- sie ht. Für d iese ist der Fun ktto nsgraph nämlich be reits nach Eint rag ung der Pu nkte fertiggestell t.

1. Funktionsbegriff und Funktionseigensc haften

y

109

(0

ß ------------------------ -(> P(a;ß )

a

-1 -1

Abb ild un g 11I 1: Kartesisches Koor di nate nsystem rccbcn einer Wertetabe lle ist vo r allem die Ke nntnis der wesentlichen Eige nschafte n e iner gegebenen Fun ktio n von Vo rteil, um ihren Pun ktio nsgraphe n zu zeich nen . Zu d iesen zählen et wa d ie Lage der Nullstcllcn, Minima und Maxirun sowie wendepunkte , d ie wir im Folge nde n noch ken ne nlernen werden.

-

1.3 Verschiedene Funktionstypen Nach ihre m qu alitativen Verlauf kön ne n w ir Funktio ne n in d ie folge nden fünf Klasse n (Type n ) einteilen; 1. Zusam m engesetzte Fu n k tionen Eine Funktion y = f(g(x» wird als zusammenges etzte Funktio n be ze ich net . Durch die Subs titution z '" g( x), d.h . e in Ersetze n der Funktio n g(x) durch e ine ne ue Variable z, ka nn eine dera rtige Fun ktion in die Funktio n y '" fez) übe rfüh rt werden. Die Funktio n g{x) hcil~t d;lhe i innere , die Funktio n fez) ii ußere Funlet ion. Beispi el : y := Je, " _-2'-'-+--"

SubsUMion: z-x 2 - 2X+l

Definition s- und W'crt l'b e rckh e iner zusamme ngesetzte n Funkti on können so wohl d urch die innere als a uch du rch die äursere Fun ktio n beschränkt sein. Entspricht der Definitionsbe re ich der äursc rc n Funktio n de m \X't'rtebl'feich de r inneren Funktio n, d. h. ist d ie Funktion y = fez) überall do rt defin iert, wo z = g(x) \X'ert e besitzt , dari n ist die Fun ktio n y = f(g(x)) im Bereich x E D(g ) definiert. Beispiel : O(f) == W(g) Für die Funktion y = (x - 1)2 gilt nach Substitition z '" g(x) '" x - 1 der Zusammenhang y '" f(z) '" Z2. Die Funktion g(x) besitzt den Definitionsbereich O(g) '" IR und den Wertebereich W(g) = R . Für f(z) gilt O(f) == R und W (f ) := R. Somit resultiert O(f) = W(g), d.h. die Funktion y '" (X_ 1)2 ist im Bereich x E (W( g):= IR ) definiert.

110

11 1Funk tione n ein er Var iab len

Ist o ie Funktio n y ,. f(z) nicht mehr für alle Z E W'(g) definiert, sondern durch die c:igellSchajiell äer äupcren Funletion etngescbräntu, so ist y = f(g( x ) ) ni ch t mehr fü r alle x E f)( g) defi nie rt, sondern beschränkt auf Teilmengen von D(g). Beispiel : D(f) c W(g }

y == ~x 2 _ 1

mit z = g(x ) = x2 - 1u nd y = f(z) = JZ

RI

Es gilt D{g) == R und W(g) == {YE Y <:= - 1} . Oie äußere Funktion y == I (z) == .JZ ist nur für z z 0 definiert, d.h. nicht auf dem gesamten Wertebereich W(g) der inneren Funktion, sondern nur für x2 - 1 ;:0: Q. Den Delinitionsbereich der zusammengesetzten Funktion erhalten wir daher über x2 _ n o H x 2 ;:O:1 H lxi;:.: ' zu D{f ) == { x Ell:r.llx l ~1} . Dadurch wird offensichtlich , dass der Definilionsbereich der zusammengesetzten Funktion nur noch eine Teilme nge des Wertebereichs der inneren Funktion ist, d.h. D{f ) c W (g) gilt. D ur ch Restriktionen des Wenehereichs der inneren Funktio n kann der Definit ionshereich der äurse re n Funktion den We rte be rekh de r inneren Funktio n ab echte Te ilmenge e rnhalten . Die zusammengesetzte Funktio n y = f(g< x )J ist dann für den Bereich x E D(g l defi niert. Bei spiel : D(I ) ~ W{g) y =eJX:"i mit

z = g{x ) = ~

und y = f(z) =e z

Es gilt D ( g ) ={ x e Rl x ~ 1} und W (g ) = {z e Rlz ~ O} . Die äußere Funktion y = e wäre zwar eigentlich für jedes z E R definiert, jedoch wird ihr DeliniHonsbereich durch den Wertebereich der inneren Funktion beschränkt. Es gilt daher 0 (1) ~ W(g) und der Definltlonsbereich der zusammen gesetzten Funktion liegt bei x E [ x E IRI x e 1} . Z

2. Kontinuie r liche und d iskrete Funktto n en

Beste ht der Defin itions bere ich

rx n

eine r Funktion aus allen reellen Zahlen ct nvs rx n e ntspreche nde Funktio nswe rte zugeordnet. sprechen wir von eine r txmtinuieri tcben oder stetig el/ Punkuon. Setzt sich der Defi nition sb ere ich ( und dam it auch de r \'('e rte be reic h l ein er Funk tio n nur aus isolierten Punkte n zusammen. liegt ei ne d isk rete Pnnletinn vor. Graphisch zeigt sich di ese Eigenschaft wie in Abbildung 11I 3 dargestellt . IlIt('/"['(II/s lind sind alle n Punkte n von

y

y y = f<xl

y = f(x)

stetig

d iskret

•

Abbildung 11I 3: Stetige und diskrete Funktio ne n

•

•

•

•

•

11 1

1. Funklionsbegriff und Funktionseigenschaften

3. Eindeulige und ein ein d e uli ge Funktionen W'iru jedem Element des Definitionsbereichs c E D(O gurra u ein Element d t.'s W'ertebcrcich s ~ E W'(O zugeordnet, so sprich t man von eine r eil/dcll/igell Funenon. Dab e i kö nn e n ve rschiedene Pun k te ll." ll. , E D(fJ den sel be n W'ert ~ E \'(,'(0 besitzen tvgl. Abb ildung III ·1), d.h. ~ '" [Ca ,) '" n a , ) für a . * u .. Giht e s zu jedem a E D(f) gertau e in ~ E \'\,·(fJ und umge ke hrt, liegt ein e eineindeutige Pnnlaion vo r.

,.

y '" fe x)

eindeutig

ß

,0.,

y '" !"( x)

ein eindeutig

/

C~ ,,, ,, '

,

'

x

Abbil dung 1lI 4: Einde utige und eineindeutige Funktio ne n

4 . Um ke h rbare Fu n kt io nen Ist es möglich eine Funktio n y '" fex) nach der Varia ble n x au fzu lösen , sodass sich x '" g( yl erg ibt , so heigt die Funktio n [(x) umkehrbar. verta oseh en w ir in der nach x au fge lös te n Funktio n d ie Variablen x und y, d .h . y '" g(x) , so entsteht die sog. Umkehrfunktio n zu r Funktion Y '" Rx}, für die wir a uch y '" r '(x) schreiben können. Das -I ist dabei nicht m it e iner negativen Po te nz zu verwechseln . Es gilt generell , Jass der De finitio nsbe re ich (We rte be re ich ) der Um ke hrfunktio n gleich dem We rtd w reich (D efl nition sbc rc ich) der Ausgangsfunkt ion Ist. D (f- l ) = W'(f)

W'(f- l ) =])( 0

(JIl. 3l

Desh alb kan n e ine Umkehrfunktion nur für eineindeutige Pune uo nen ex istieren . Grafisch können wir die Umkehrbarkelt einer Fun ktiun da mit daran feststellen, dass jede zur x-Achse parallele Ge rade den Graphen der Funktio n nie in mehre ren Pun kte n schneidet . Die be klen Funktion en im nachfolgenden Be ispiel sind so typt seh e Fä lle nicht umkehrbare r Funktio ne n. Beispiele: y

y

x

112

11 1Funk tionen eine r Var iab len

Grafisch e rgibt sich die Umkehrfu nktion durch .' p il'gL'hlllg der ursp rünglich en Funktion an der W';lIkelbalbierelldell des ers ten und dritten Qu adranten des Koor dinatcnsvstems. Die Umkehrfunktion der Umkehrfunkt ion liefert somit w ieder die Ausgangsfunktton . Bei spiel 1:

y

y == f (x )

y : 2x + 1 mrt x e IR

W inkelhalbierende

1. Umstellung nach x: x = O, 5y-O,5 für y E IR

2. vartaorentauscn: y = O,5x - O,5 für x E IR Die Umkeh rfu nktion zu y = 2x + 1 ist also y = O,5x - 0,5 . Grafisch zeigt sich ihre Ermittlung neben steh en d.

y

Beispiel 2: y = x2 mit D(f } = IR, W (f) = IR+ Beim Auflösen nach x und nach Variab len lausch erhalten wir hie r:

y=

JX mi t D{g) = IR+ , W (g) = IR+

----~'-------> ,

(111.3) ist also klar nicht gegeben.

5. Absc h nittsweise defin ierte Fun ktio nen Eine Funktio n kann in verschiedenen Intervallen ihre s Definitionsbereichs durch unterschiedliche Funktio nszwe ige beschrieben werden, wobei die Tcikleflnirionsbcretchc disjunkt sein müssen. So gilt etwa für ein e aus zwei Zweigen zusammengesetzte Funktio n

.

y= t{x )=

Beispiel:

{g(X) für x e Ix g j .

ht x ) für x e D(l1)

{llL4 l

.

y y = f{xl

- - ---7fL-----> ,

y = 11' 1= { ,

"

für - oo <: x <:O für

O:S x<+oo

1. Funktionsbegriff und Funktionseigenschaften

-

113

1.4 Funklionseigenschaften Die Kenntnis verschiedener Funktionse igenschufte n erlaubt Rückschl üsse auf die zugru nde liege nd e Funktion. So ist es betsple lswei-,e im Zus amm enhang m it ök onomischen Funktione n interessant zu wisse n, be i welchem Pre is die nachgefragre Me nge auf Null fällt ( A'HI/Slelfe) oder bei welcher Prod uktio nsme nge die Stück kosten ihr sttntmum erreichen. Zusätzlich kann ein e Analyse n 10 Bereichen, in denen ei tle FUl/ kUU/t (z.B. Grenzkosten funktion j sfeigl nder f ii lll e twa bei der Entsche iJung über die Annahm e von Zus.uza uft rägcn als Emschci d ungxhi lfe d ienen . \X'ir wo llen nun zunächst d ie wich tigsten Eige nschaften von Funk tionen allgemein bcuuchte n. Eine konkrete Beschre ibung e rfolgt funktio nssp e zifisch un ter 111 2. 1. Nullste1 len Als Nullxtellc e ine r Funktion y '" ((x) ln-ze ichnen w ir den \X"e rt x '" Cl, für den die abhängige Veränderliche den \X'crt Null annimmt, d .h. für den y '" HCl ) '" 0 gilt. Die Nullste llen ei ner Funktion liege n dort vor, wo der Funktio nsgra ph d ie Abszi.sse schneidet oder be rü hrt. da d ie Gle ichun g der Abszisse ge rade y '" () ist. lieg t ein Schnittpu nkt vor, sprechen wir von ein er einfachen N ullslelle (a,). Bei e inem Berührpunkt handelt es sich um ei ne d opp ell e Xulis teile (Cl, ) (vgl . Abbildung III 5). Auch dreifache (Cl,) und n-fache Nullstelle n sind denkbar. )'

x

Abb ild ung 111 5: KullsIelIen Zur Ermittlun g der Nullstellen e iner Funktio n w ird y - 0 in di e Funktionsgleichu ng y = fex) bzw. ft x, y) = 0 ein gesetzt und die resultierende Gle ichung fex) '" 0 bzw. g{x, (l ) '" (l nach den in Kapitel I besch riebene n verfahren nach der un abhängigen v e rände rliche n x aufgelöst. Die Lösungen der Gle ichung sind schließlich die gesuchten Nullstellen . Zur Bestimm ung de r Schnittsteilen m it der Ordil/clld G!eichung der Ord inale: x '" () kann analog vorgegange n we rde n. In die Funk tionsgleichung wird also x = 0 eingesetzt, sodass d ie gesuchte n Schni ttstellen a ls tösunge n der Gle ichung y = no bz w. f(O , y) = 0 resultie ren . In Abbildung 111 5 liegt d ie Schn ittstl,'lle z.B. be i y = ß.

114

11 1Funktion en ein er Variab len

Beispiel: 3

Gegebe n sei die Fun ktio n y '" f(x) '" x +

x'Z für x E

IR .

1. Ncustene n: x3 +x 2 "' OHx 2 , (x + l) = OH x = Ov x : _ l Die betrachtete Funktion besi tzt zwei Nonsteüen und zwar x = - 1 und x = O. Bei x '" 0

liegt eine doppelte Nullslelle vor (erkennbar am 2 in der Berechnung). 2. Schnittstellen mit der y-Achse: y := 0 3 + 0 2 H Y =: 0 Bei dieser spezielle n Funktion liegl die Schnittstelle mit der y-Achse bei y '" O. Dies ist nicht verwunderlich, da immer, wenn eine Funktion eine Nullstelle bei x = 0 besitzt, die Schn ittstelle mit der y-Achse bei y = 0 liegt.

2. Exrrerna Als Extrcma lx-zeichnen wir die

grüf~len

( Maximaj oder kle insten (Minima) Funkti-

o nswe ne. d ie sich innerhalb e ines bestimm ten Inte rvalls für d ie \'('e ne der unub hängtgen Veränderlichen cretaure F.'xtromui oder inne rhalb des ge sa mte n De fi nitio nsb e retcbs ( absolute Extrema) e rge he n. w e rde n d ie Extre mwe rt e einer Funktion gertau an den Rän de rn des De flnitio nxhc reichs angenommen, sprechen w ir auch von eandexnvma. a ) Relative Extrcma Eine Funktio n y = f(x) ha t an der Stelle a E D(O e in relat iv e s (Io kale s j Maxi m um bzw. Minimum , wenn [(al in ein e r Umgebung U(W von a (bzw . ein e m In te rvall , d:ISS a enthält) der grü[:{tc bzw. klei nste Funktionswe rt ist. Formal m uss also für ein rekunvs staxtm 1/ /1/

f(X ):5f( a)

für alle

XE U ( a )

0Il.5a )

für alle

XE

U( a)

n n.st»

und e in retoures utntmum f(xnf( a )

gehen h 'gl. Abbild un g 111 6 ). relat ives Max imum

y

relatives Minim um

f( a l ------ -- --- --

, f( a)

a

'-------y-----U( a)

Abbildung 111 6: Relutlve Ex trema

----------1----, ,

x

1. Funktionsbeg riff und Funktions eigenschaften

115

b ) Absolu te Extrem a Erweite rn wir die bei relativen Extre ma be schriebe ne Umge bung l J(a ) auf den gesamten Defin itionsbe re ich D(n der zu ln-trach tenden Funktion , so lieg t he i de n 0. E e in absolutes (glohalt's) Maxim um bzw . Minim um vor , ht'i denen f(aJ de n g ri)f.~ten bzw. kleins te n \'\'1.'11 an nimmt.

J){n

E.s gilt dahe r analog für e in ahsnlutes waximnm f( x ) :5 f(a) für alle

XE

Dr f )

XE

D( f) .

(([ 1.6a )

lind für ein absolutes Mtntnn rm (( xl

~

f( a) für alle

Artha nd Ahbild ung Il! 7 kann dies nachvollzogen werden. y

absolu tes Maximum

abs olutes Mi nirn urn

u,

u,

Q

Rela tive Extreme

Abbildung 1II 7 : Absol ute Extre ma Ah sc h li d~(' n d sc l erwähn t. dass Maxima und Mi nima i. d. R. nur in Punkte n dc flnie n sind (vgl. etwa Abbildung 111 7). Eine Ausn a hmt' stellen hier lt'd iglicb Funktio ne n da r, die Be reiche ho rizontalen Verlaufs aufweisen . H ier können Maxirna b zw . Minima auch auf Inte rvalle n definie rt sein .

3. Ste igung Nehmen für zunehmende 'x'e rte der unabbä ogtge n Veränderlichen x auch die Fu nktionswert e zu , sprechen wir von !Oleigel/de ll F/IIJkIiOll . a l
(1[1.7;] )

Nehmen die Funktio nswe rt e hingegen be i ste igendem x ub, so liegt eine fa llende Punktion vor.

116

11 1 Funktionen einer Var iablen

y

y

steigend

fallend f( IX ) •• ••••• I

i

,, Ha!) -------r----------,, ,, ,

a,

a,

x

a,

a,

Abbildung III R: Ste igung

Sind die Be dingunge n (JII.7a ) hzw. (II1.7bJ für alle Elemente inne rha lb ei nes gewissen In te rva lls I, also fü r alle IX,. IX, e [ e rfüllt , so wird die be trachtete Funktion ab sln'lIg 11101101011 steigend bzw . streu/!, monoto n faltend inne rhalb des Inte rva lls [ hezeichnet. Kommt es innerhalb des betrachteten Inte rvalls I bei zune hm ende n oder abnehmenden x-Werten Cu, < c , b zw . IX, > IX) auch nur einmal zu gleich bleibenden Funktionswerten [Ia ,l - [(a ) , so kann die Funktio n nicht mehr als streng monoton , sondern nur noch als monoton steigend bzw. fa llend im Inte rvall I bc xetch ne t werden . y

I,

I,

~

I,

I.

x

Abbildung 1II 9: Ste igende und l all ende Funktion Abbildung 111 9 zeigt eine Funktion, d ie im Intervall I, munuton steigend, i n I, streng monoton ste igend. in I" ruunoton fallend und i n I, streng monoton fallend ist. \X'ir erken nen, dass durch das Max im um d ie Fun k tio n von einem steig enden in ein en fallenden Verlauf übergeht.

4. Beschrän ktheit Eine Fu n kti o n y = f(xl heir~t nach ohen beschräntn, wenn i hre Funktionswerte einen best im mten \'('ert , d ie obere Schranke Z E IR , n ich t überschreiten , d.h. wenn gilt f(x ) =:;; Z für alle

X E

1)(0 .

(II U b l

1. Funktionsbeg riff und Funktions eigenschaften

117

Sie ist nach IIl l/el/ öescbrä nta. wenn ihre Funktionswe rt e d ie sog. un tere Schranke zE R nicht unterschreiten, d .h. f(x)~1.

für alle

n (O

XE

(lI I.Rh)

gilt. y

Z ..••.••.••••••.•..••••••.• •. ••.• ••. ••..• .•••• ••.••..••.••..•..••.•••• Y .. [(xl

I.

-- .------------- ------------- ---------- .------------- ----------------

Abb ild ung 1II 10; Besch ränktben Ist (]Il.Ra l oder (JIlBh l gegeben, ist die Funkton y = fex) beschränl et. So ist I..B. die Funktio n in Abbildung IJI 10 beschrän kt, wo bei hier sogar eine obere und ein e unte rc Grenze für die Fun ktio nswe rte vorliegt . An der Abbild ung erkennen w ir zugleich. dass e ine Schranke nich t notwendig e rweise e rreicht werden m uss. Voraussetzu ng ist lediglich, dass d ie Funktio n den durch d ie Sch ranken definierten Bereich der y-w e rte nicht verbss!.

5. Krümmung Grundsätzh eb unterscheiden wir bei der Be sch reib ung der Krümmung einer Funktion d ie Beg riffe konvex und ko nkav. \X'ir sagen allgemein , dass ei ne Funkti o n da nn in e inem be stimm te n durch die x-we rte U, und c , definierten Inte rvall sln.'IIj{ eonlear ist, wenn d ie Funktio n in d iese m Inte r....all stets übe r der Strecke verläuft, die die be ide n Punkte I',(U ,; n U,)) und P,
y f(a 2 )

o.

y e ft x )

•• . .-./<"-

.~;.: .~

y = ft x ) Ha i ) ----.~..~. ." "' : o:-~

,, , (C a ll __

0

f(a l

,

a,

a,

x

Abbildu ng IJI 11: Ko nka ve Funktio ne n

)

-----·---i------------·----· a,

a,

11 1 Funktionen einer Variablen

118

y

y

y=f(x)

__ ________ " "~_ Ä _ _

f( a l

u,

e

ft x )

- - - - -~--_ - ...-,t-:---~

)

u,

x

x

Abbildung 1II 12: Konvexe Funkt ion en

Ein e Fu nktio n , d ie in ihrem De fini tionsbereich mf) so wohl konvexe ab a uc h konkave Be n: icht.' aufweist, is t timt weder konkav noch konvex. Zur Veranschaulichung d ieser vielleicht etwas ve rwirrenden Aussage be trachte n wi r Abb ildu ng IJI 13. Die linke Grafik zeigt ein t: typische Parabel. die für jede s x E R. defin iert und im gesamten De finition sbe re ich konvex isl. Für die fech te Funktio n, die ebenfalls für alle reellen Zahlen definiert ist, kann ei ne derart ige Aussage nich t ge troffe n werden , da unsere "Strcckenlösung'' »ofgrund der Kr ümmu ngsände run gen im Dennhionsbcreich kein eindeutiges Erge bnis liefern kann . Auch we nn sie konka ve und kon vexe Inte rva lle aufweist (I , konkav , I, konvex, Ij konka v und konvex), ist sie im ganzen De finitio nsb e reich weder konkav noch konvex.

,

y

v

y

e

y=f(x)

fr x )

x

Abbildung [1 1 13: Krüm m ungsb e isp ie lfun ktionen

6. Sym metrie Eine Funktion y "" f(x)

he if~1 ~piegef~J'mll1elrisch

zur y-Achse wenn gilt

f{ - x ) = f( x l für alle x

E

D(0

(IIL9a )

Sie wird als /Jull k/sym me/risch zum Ursprung bezeichnet, wenn f(-xl = -f( x ) fü r alle x erfüllt ist.

E

1)( 0

01 1.9 ]) )

1. Funktionsbegriff und Funktionseigenschaften

119

Beisp iel 1: y

y =f (x) =x 2 _ 1 f(-x) == (_x)2 - 1 == x2 - 1 == f(x) --. f(x ) ist spieqelsymmetrisch

x

Beispiel 2: y = f(x) = - x3+ 3x

y

f(-x ) == _(_x)3 + 3(-x) == -( _x 3 + 3x) = - f( x)

y == _x 3 + 3x

--. f(x ) ist punktsymmetrisch.

---+-1-+----'> x

7. Gre nzwerte Kortu ne n die Punktio nswe rt e einer Funktion y '" f(x ) bei beliebiger Ann äherung von x an eine Stelle c eine r Zahl lp imme r näher. so beze ichne n wir cp ab den Grenz u-en der nmtaton tlIl der Stelle u un d schre ibe n llrn f f x r e rp .

0 11 .10 )

HU

Abbild ung III 14 veranscha ulic-ht den Grenzwertged anken a nha nd eine r ei nfachen abschnittswe ise de finierten Funktio n, wobe i die a nderen einge trage ne n 'x 'erte im La ufe der folge nde n Be trachtunge n be nötig t we rde n.

ye ft x )

y

x ---------------------------ß ~

o: Abbild ung 111 14: Grenzwerte

a'

x

120

11 1Funktion en ein er Variablen

Beispiele: 1.

lim (x 4 + 4x 2 _5 ) = _5

x-s o

Nähert sich x immer mehr dem Wert Null an, so wird der Term x 4 + 4x2 verschwindend gering. Der Grenzwert liegt damit bei - 5. 2.

2 lim x _3 x--->2 _ x 4 + 14

1

2

Nähert sich x imme r meh r dem W ert 2 an, so ergibt sich nämlich final der Wert

Besitzt eine Funktion y - f(x) d ie Eige nschaft, dass ihre Funktionswe rte über alle Gre nzen hi na uswachse n, wenn x geg en n geh t, so nennen wir sie (/ 1/ der Stelle a diver gen t und ordnen ihr do rt den uneusentlichen Grenru-en +00 zu . \X'ir schreiben (II 1.11 a )

11m [ ( x ) = +00 . .....a

~

F;i!lt fex) un begren zt, wenn sich x der Sfelle u immer me h r nähert, gi lt lirn ( x ) =

x.....u

(111 . 111»

-ee .

Beisp iele:

2.

1.

lim

x....-2

~::--oo (X+ 2) 4

Bet rachten wir nun in Abbild ung 1II 14 den x -\X.'cI1 c ' . Es fä llt hier auf dass w ir uns verschiedenen Funktionswe rten nähern , jc nachdem, o b wir um; vnn link s ode r rec hts an u ' annähern . In diesem Zusamm enhang sp reche n wir davon , dass y "" f(x ) a n der Stelle u ' den ttnesseutgen Grenzuvrt 13 besitzt, wen n be i An nähcrung an u ' vo n links tvon un ten) die Punktto nswe rte f(x) der Za hl 13 immer näher ko mmen. \X'ir schreiben lim f(x ) =13 ,

(1]1.12 )

~ -->u'-

Analog hande lt cs sich bei de r Annäh e ru ng ;10 o ' von rechts (von oben ) um de n rechtsseitigen Grcnru-en X von fex) un der Stelle n ' und wir schreiben lim f(x )= X.

(1]1.13 )

~ -->u'+

Eine Fun ktion y = fex) besitzt allge mein e ine n Grenzwert q> an der Stellc x = U, we nn links- und rcchtssc uigc Grenzwe rte e xistieren und gle ich q> sind. Es gilt also lim f( x ) = lirn f( x) =q>

x-->u -

~ --> u+

H

lim ft x j

x ....11

e

o.

(111.1 4 )

Die Funktio n in Ahhild ung 111 14 bes itzt demnach an der Stelle x = (X ' keinen Gre nzwert, da die link s- und rccht sseitigc n Gre nzwert e ( 13 und X) un te rschiedlich sind .

1. Funktionsbegriff und Funktionseigenschaften

121

Bei spiel : Betrachten wir die folgende abschn ittsweise definierte Funktion :

f [x ] =

1

3x + l

für x s a

- x + 3 für x o z

Bei linksseitiger Annäherung an den Wert x : 2 ist in der Grenzwertbetrachtung der Term 3x + 1 zu verwenden, da diese r für x -:;; 2 die Funktionswerte besti mmt. W ir erhalten damit

urn

x..... 2-

f(x ) :

lim (3x+l ) =7 .

x..... 2-

Bei rechtsseitiger Annähe rung ist entsprechend der Term - x + 3 heranzuziehen, sodass lim f(x ) = lim (-x + 3) :1

x..... 2..

x..... 2+

gi lt. Folglich besitzt die Funktion f(x) an der Stelle x = 2 keine n Grenzwert.

Resultat einer links- oder rechtsseitige n Annähe rung an ei ne n \'( 'e n x '"' u ' kann auch ein unetgentltcher Grenzwert sein. Fa lls fix) bei Annäherung an c cvon links über alle Grenzen wachst bzw. un ter alle Grenzen fällt, erhalten w ir tim f(x )= +oo

bzw.

x.....a '-

lim ft x ) =-00 .

x.....a '-

Falls f(x) be i Annäherung an c ' von rech ts über alle Grenzen wächst bzw. unter alle Grenzen fällt , erg ibt sich lirn f( x)=+oo

x.....

bzw.

o.·..

tim f(x)=-oo.

x.....u "..

Bei spiele :

1.

1 f(x ) =x

Skizze :

y

1 . ,Im - =-t<><>

x..... O+ X

2.

1 ,.im --=-=; x..... 4 - x- 4

Nähern sieb die 'x'e rte ei ne r Funktion y - 11x) bei un be g ren zt u-achseudem x immer mehr dem 'Xfen lp an , so ist lp der Grenruvrt d er Funletion und wir schreiben lim f t x ) = ,~ -

lp .

(1 11 .1')

122

11 1Funktione n ein er Variablen

Nähern sich d ie W'(;'rtto' von ((x) h t:i 1II11J<'g rel/z l ja!/(> /I(/cII1 X im m er mehr dem \'('ert l.p a n, so ist c.p der Greneu-cn d er t-untaton und w ir schreiben

lim f (x ) = l.p.

H

U ll.1 6)

_

In den Fällen (111 .15) und (11 1.1 6 ) sagen w ir auch, dass d ie Gerade y '" e cln c sog. Asymptote de r Funktion Y '" n x ) ist , da sich der Graph von y "" fe x) diese r Gerade imm e r mehr annähen , [c gröree r bzw. kleine r x w ird . Beispiel:

~ ""O ;

lim

x-._ x

lim -;- = 0 liefert die Asymptote y = 0, d .h. die x-Acns e.

x-->_ X

Wenn eine Funkti o n y '" /( x) h l:'i unbegr enzt wachsendem (falle ndem ) x üher (un ter) alle Grenzen w:ichst Willt ), ordnen w ir ihr e be nfalls e inen unclgentlichcn Gre nzwe rt zu. Es sind dabei folge nde Eille denkbar:

lim f(x )= +c->

tim f( x) = --o<>

tim [( x) = +<><>

ltm f( x ) = --o;o

Be ispiele : 1.

H

lim (x 2 + 1)= +<-> ; _

,--

lim (x ,--

lim (x3+ 4 x+ 7) :+<->;

2,

H

2 + 1) : +<->

lim (x 3 + 4x + 7)=-oo _

Bei der Rechnung mit Gre nzwe rte n sind e ine Reih e wichtiger Vorschriften ( Grenzll'erlsülze) zu beachte n. Be vo r wir näher auf die se ei ngehe n, sind jedoch die Grenruvno unchtiger t-uneuoneu näher zu lx-trachte n, da uns diese zusammen mit den Grenzwertsätzen d ie Grcn zw crtbc surnmu ng se lbst hei kom plexen zusammengesetzte n Funktione n e rleicht e rn. ""'ir sk izziere n da bei ZUIll besse ren v e rsränd nts einige Beispi elfunktione n. Unte r Absch nitt 11 1 2 werden wir d iese speziellen Funktionen und ihre Eige nschafte n ausführl ich be ha nd eln . Für t'otenzfuntutonen (vg l. Abschnlü 1II 2. 1.1) und ihre Kehrsrene b·g!. Abs chn itt JII 2. 1.2) gil! Folg endes:

!im

XO

für n a R.+

(\I 1.1 7a )

n e N und ge rade für .fü r n e N un d ungerade

(IJ1.17h )

= +00

H_

limx " = {+OO x....._ --00

für

lim x" = 0

n e R.+

(1[1.1 7c )

X -H)

l'L'

v:-: .

'( 2

.. .-_.....i

,

1

v, = x

.

I

.

I

Inn = lirn - = () für n e R.+ x....._ XO x....._ x"

(lI1.1 7d )

,

f '

für

-........

lim - I : x.....o- X O

{+OO --00

für n e N un d ger ade für n e N und unger ade

(If1.l7e )

nn.rzr:

1. Funktionsbegriff und Funktionseigenschaften

123

Fü r lsxponenztatfuntatonen (vgl. Abschn itt 111 2 . 1.4 . 1) g ilt Fo lgen d es:

y =,,-X

. 1 "

\

\.

X

lim a =

v "<;,'

......

H_

,

-----., ,.

Um , .,

H_

Y=

{

0

für

0
1

für

a= I

+00

für

a>I

={7 0

-<;,x

für

O< a< 1

für

a= l

fü r

a> I

um a ' = lim ;l- x = 1 x.....11 x.....o

für

a> J

(11I .IRa)

(IIl . IHh )

(1II.1Hc)

Be i der Inte rp retat io n von {JIl. IRd, (JIU R!» u nd d e r nebenste henden Grafik ist zu be ach ten , da ss

(.:l- f

X

=a ' b zw .

(.:l-)' =a- x .

Dadu rch kann jede Fu n ktio n mit 0 < a < 1 in e ine Fun ktio n m it u > 1 tran sform ie rt we rd e n. An d e r Gestalt der Fu nktio n ändert sich durch eine solche Tra nsform at io n nic hts. So ist z.B. 0,2' = 1/5' = 5-' , Für negative a nehmen d ie Grenzwerte (II l.1Ha ) b is m U Re) neg ative Vo rze ich e n an . Da e' stär ker wächst als je de Po te n z, e rhal ten wir

x"

lim -=0 , .....- e '

(IIl , IHt!)

fü r n e IR .

Augerdem gilt;

tim ( 1+ 2.)" = lim

( l + x)~

=e

(JII.I Re)

I [im 1- -')' = [im ( I -x )', =" ..... _ ( x ,, -->(1+ e

(JII.I Rf)

" ....._

x

" .....1)+

Fü r ingarith tnusf unizticmen (vg l. Absch n itt 111 2.1.4.2) g ilt: v

Jim log " x = +00

>1

fü r

:1

fü r

:1 > 1

für

:1

, ~-

tim log. x = 0

y = In x

([[1.19h >

, ~ ,

!im log" x = -00

x

>1

(111.1 9 1..' )

" .....0 +

Im Fall 0 < a < 1 kehren sieh die Vorze ichen in (IIl .ISa) und (111. 18e) um. Für a> 1 und a < 0 ist die Logarithmusfunktion n icht definie rt . Nehmen wir nun :10, dass d ie De finitio nsb e reiche xweier Funktio ne n f(x) und g(x) g leich sind nx r: = J)(g ») und für n E J)(f) h zw. c E J)(g ) d ie Grenzwert e

rp e Hm ff x ) un d ' .....C1

Cjl' =

lim gc x j ' .....C1

exixteren , so gelte n folgende s ect onregeln [iir Gn'I/ZIl'(.'I"te (Grenm-ensäuen

124

11 1Funktionen einer Variablen

Der G renzwen e ine r Summt: (D ifferenz) ist gleich der Summt' (Dilft'renz) der Grenzwerte , d.b.

lim (f( x ) ± g( x») = lirn If x ) ± lim g( x ) = lp ± rp".

x -tll

X-->ll

(111.20)

X--><X

Analoges g ilt a uch für Prod ukte und Quotienten. [im (f(x) . g{

= lim f ( x} . lim g( x ) =lp ' lp'

x))

x -->0:

X-->0:

f( x ) x ) xlim -tO: - = C:""---~ g(x ) lim g( x I f(

lim -

X-->ll

H

=.!

für

~'

a

(1II.21a)

X-->ll

g(x ):;t:O

und lp' :;t: O

(11 1.21!J)

Ferner gelten im Zusammenhang mit Kort stamen k d ie folgenden Regeln : lim ft x J e k , falls f'( x j e k

(11 1.22)

[im ( f(x)+k)=li mf(x) + k= lp+k

(11 1.23)

[im k ·f(x)=k · [im f( x ) = k·lp

(11 1.24)

X-->n

x-->o:

x .....o:

x.....o:

x -->o:

Für Pote n ze n, ' xurzeln und Logarithmen gilt:

lim (f(x»" = (tim f( X»)" = lp" bzw . lim ~f(x) =

X-tll

x .....ll

X-->ll

f~

)

1;", f( X )

!i m ( n x ) = a.....a

r\

tim f(x) =

x..... ll

rfP

(111.25) (111 .26)

=a~

x-->O:

!im ,~ "

(]og~ fe x »~ = log, ( x..... Ihn f( x ») = o:

log a lp mit a > 0,

e > ()

( 111 .27)

Solange d ie Grenzwerte 'P und 'P. existieren, kann in t1l1.20) blx 01 1.27 ) überall a d urch + 00 oder -00 e rse tzt werden. Für u nc igentliche Grenzwerte geiten dle Formel n (II1.20) bis (11 1.27) im Allgeme ine n nicht. Beisp iele:

" 2.

3 ~1 lim (3 + x- 1) lim _+_'_ '" x....._ x..... _ e- x _ 1 lim (e- x _ 1) , ~-

Im 3 +

,, 1 Im

-

3 - =:: - 3 " x lim e- - lim 1 - 1

x-->_

x-t_ X

x-->_

x--> _

lim (10_e - 1,5 X) = ( lim 10) ' ( lim e - t •5X) =1 0 ' 0 =0

x -->_

x -->_

x ....._

Ein Pro b lem be i der Bestimm ung von Gre nzwerte n resultiert , wenn sich sog. un bestimmte Ausd rücke , w ie z.B. 00/00 ergeben, die eine Grenzwertangabe erschweren . Dies tritt vor allem be i gebmcbell rationalen Puntäioncn rvgl. Ahsdmitt 111 2.1.2 ) auf, da h ier be i Untersuch u ng des Verhaltens im Une ndli ch e n sowohl Zähler als auch Ken ner gegt:n unendl ich st reben können. Nclx-n der Nutzung der Regt'! von lHos p ttal (vgl. Abschnitt 111 3.Hl, die auch bei anderen Fu nktio nstyp e n u nd undercn Arte n unhestiuuutcr Ausdrücke anwendbar ist , können wir uns hier e tnes einfach e n Verfahrens be d ie n en, mit d e m wir dennoch e inen Gre nzwe rt bestimmen kön nen. Bei d iesem müssen wir zurräch....t jewei ls im Zähler und Nenner de r be-

125

1. Funktionsbeg riff und Funktions eigensc haften

trachteten Funktio n die höchste Poten z a usklammern . Da rart anschließend sind dre i Falle zu utucrschetden , d te w ir unm ittelbar unh arid von Beispi elen e rklären wollen : Beispiel 1: Zähle r und Nenner haben de n gleichen Grad.

5x2 + x -3 x2 _ 5x +1

lim x ---->_

um x---->_

,2 ' (5 + ..!. - ~-2 J x x x2 . (1 - ~ + ~ J x x2

5+ ..!. - ~-2

5 5 x x =-= l _E.+J.... 1 X x2

urn x----> _

Beispiel 2: Der Nenner hat einen größ eren Grad als der Zähler. 2

+ 4x+3 = lim x +x 2 _ 2 lI---->_

lim

x

x ---->_

3

x2 '(1 + ~x +2J 2 x =( x3 ' (1 +..!. - ~ J

xx3

..!.J .

lim

X

x ---->_

[

tim x---->_

1 + ~+ 2] 2 x x = 0 1= 0 1 + ..!. - ~

x x3

Beispiel 3 : Der Zä hler hat einen größeren Grad als der Nenner. 3

_x3_ 4x_ 1 5x-3

lim

lim

x -(

-1-?--~) =(

x{

l\---->_

5 - ~)

lim

X2).[ lim

l\---->_

lI...._

5 - -3 x

Da der zweite Grenzwert negativ ist (-0,2), verhält sich die Funktion wie -l

.

lim - x 2 =-00= lim

x ---->_

, d .h.

_x3

lI---->_

_ 4x_1 5x-3

In diesem Fall spielen also das Vorze ichen des zweiten Grenzwertes und der Grad des Terms beim ersten Teilgrenzwert die entsche idende Rolle.

zusammenfassend können wir also festhalten. dass bei verliegen einer gebrochen rationalen Funktio n

ye ft. x)

n

e

n -j

CC"""C';,-+ :"::"""c!:' x'c;;:;-+C::''C':+..:: ""' O'C+C'O"'C'_ I1 mX '"

+

I) m _ I X 1ll-1

+ •.• +

I) I X + I)0

drei Falle hins ichtlich der Grcnzwe rtbesnmmun g zu un terscheiden sind : Ist n

= 111 ,

d.h. der Grad des Zahlers gleich dem Grad des l'\enners , e rgiht sich a lim f(x)= l un f{x)=" , Ul I.2Xa ) x----> _ x...._ b lll

d .h. de r Gre nzwe n ist de r Q uotie nt der Koeffizie nte n de r höchsten Pote nze n. Es bildet also d ie Ger ade y '" an/ bm nach be ide n Seiten die Asym ptote (Gerade an die sich die Funktion an n ähert ). Ist n <

In,

also de r Grad des Zählers kleine r als de r Grad des Kenners, so gilt lim f( x ) = lim f(x ) =O , (1II.2Sh) x---->_

d.h . die Abszh se (y

= 0)

x----> ___

bildet nach be iden Seiten die Asymptote der Funktio n.

Ist n > r n. also der Grad des Zählers größer als der Grad des Kenner, verhalt sich die Funk tion y = f( x ) im Unendlichen wie x"..." . .~gn(a /b) , wo be i sgn(a/ h m ) das Vorzeich en HlJ1 a I h ist. "

"

126

11 1Funkt io nen einer Variab len

8 . Stetigkeit An sch a ulic h be zei ch ne n wir e int: Fu n ktion als s(etig Inn e rhalb eines Inte rvalls I, we nn der Graph der Funktion in diesem Inte rvall ohne Unte rbrech ung ge zeich ne t werden kann . Abbild ung 111 t S verdeutlicht d ies. Eine ab sch nittsweise definierte Funktion kann demnach uns te tig sein , muss es uber nicht. y

st et ig

un stet ig

/ x

0 :

i

, :, ,

,

:,

:' , :,

n

x

Abb ild ung 1II 15: Stet ige und uns tetige Funktio ne n Mathematisch präzbl' gilt, dass eine Funktion y '" f(x) (/1/ otner Stelle x .. a ihres Definitio nsbe re ichs Ixn sfeli/? ist, wen n e in e ndlic her Gre nzwe n e xistiert und diese r gleich de m Funktio nswe n ist, d.h. Iim f( x ) = f(a ) < oo .

X....ll

0 11 .29 )

Beispiel: Die Funktion y '" f (x) = x 2 +4 isl an der Stelle x = 3 stetig, da der Funkli onswert an der Stelle 3 gleich f(3) = 32 + 4 == 13 ist und dies dem Grenzwert an selbiger Stelle entspricht: lim (x 2 + 4) == 13 . ~3

Eine Funktio n y ". f(x) heißt tn otnom tnten -atl I stetig. falls f(x) an jede r Stelle des Inte rvalls stetig ist. Allge mei n sind alle Polyno me t vgl. Abschnitt III 2.1.1) im gesam te n Definitionsbe re ich stetig. Gebrochen rationa le Funktio ne n tv gl. Abschnitt III 2. 1.2) sind m it Ausnahme der Nullstellen des Nenners ebenfalls überall stetig. Beispi ele : 1.

x- 1 f(x) == - - - 2 ist außer an der Stelle x '" - 5 überall stelig. (x + 5)

2.

f(x ) = e

3.

f(x) == ~ ist stetig, da Zähler und Nenner stetige Funktionen sind. 4 +1

x2

+

1 ist stetig, da x2 + 1 stetig und eQ{' ! für stetige g(x) ebenfalls stetig ist.

vx

Der Nenner besitzt keine Nullstelle und ist für ganz R. definiert, da x4 + 1 immer größer als Null ist.

127

1. Funktionsbegriff und Funktionseigenschaften

Ist e ine Funktion y = fex) an e ine r Ste lle x = a nicht stetig, so b e H~ t xie dort /II/slelig bzw. wir sagen, dass dort ein e Unstetigkeitsstelle vorliegt. In einem solchen Fail lieIert a lso d ie Annäh e rung an x : a aus verschiedene n Richtunge n nich t denselb en Gre nzwert ode r der Gre nzwe rt ist unendlich. \X'ir können allgemein drei Arte n \"(JIl U nstetIgkenssrellcn

LIn rc rsche idcn :

Eine sog. Pols/elle liegt be i ,whmchell ratt onalen Pnneuonen vor, wenn der fun ktio nswert bei Annä he rung un einen Wert x .. a gegen unendlich geht. Ande rs ausgedrückt ist eine Polst elle e ine Nullstelle des Nenners, d ie nicht gleichze itig dazu führt, dass auch der Zähler Null w ird (fü r Näheres da zu vgl. Absc hnitt 111 2. 1.2). Bei spiel : Die Funktion

. 1 ,Im _ = -00,

x-..o-

X

y .. lI x besitzt

an der Stelle x "" 0 eine Polstelte, da Folgendes g ilt:

,. 1 Im -= +<x>

x-..o+ X

sprungnetten (vgl . rechte Gra fik in Abhild ung 11 1 I')) sind hnuftg be i Funktion e n anzutreffen, die aus verschiede ne n Stücken zusammengesetzt sind , d.h. be i absdlll illswe ise definierten Funktio ne n. Typ isch für e inen Sprung ist, dass links - lind redllsseitiger Grenzwert an der betrachtete n Stelle un tersch iedlich sind . Bei spiel : Für die folgende Funkti on kann vermut et we rden , dass an den Stell en x = 1 und x .. - 1 SprungsteIlen vorliegen . fü r

x<-1

für

- 1S x S 1

fü r

»

1

1. Nac hwe ismög lichke it: Grafik

y

-1

/

/

y = f {x)

x

2. Nachweismög lichkeit: Grenzwertbetrachtung Stelle x e 1:

1

1

'1')=-2 ·' =-2

lim

x -..I +

' (xl == 1, da y = x der relevan te Ter m ist.

128

11 1Funktionen einer Var iablen

Stelle x =-1: f (-1 ) = L (-1 ) = - .!

2

2

lim

x.-+- l -

f(xl "" - 1 , da y = x der relevante Term ist.

Eine letzte :\Iüg lich kd l der Entsteh ung e iner Unstet igke itsstelle stellt ei ne t. ücee dar. Eine solche liegt für e ine Funktio n Y .. (lx) an e ine r Stelle x .. a \' 0 1" , we nn der Gre nz wert

lim

f( x )

= q>

HO

e xistiert, obwohl der Funktio nswe rt an de r Stelle y ... f(x) nicht definiert ist oder un gle ich lp ist. Altern ativ kön ne n w ir auch sagen , dass Lücke n für solche \X'e rte x - c vorliege n, die dazu führe n, dass so wohl der Nen ne r als auch der Zähler e ine r gebrochen rationa len Funktio n Null w ird. Sie haben jedoch kaum praktische Be deu tung, da sie du rch geeignete Definitio n des Funktionswert e s an de r be treffe nden Stelle beseitig t we rd e n kö nne n. Beispiel: Betrachten wir die Funktion

x3 _ x2

y =f{x ) = -

x- 1

mit D(f) = R.\ {1},

deren Nenner und Zähler an der Stelle x = 1 gleich Null wird und somit dort eine Lücke aufweist. Berechnen wir noch die beiden einseitigen Grenzwerte , so erhalten wir

3 '

,

x = I·Im -~,-,1"' -,;- 21) = I·Im x ' = 1 x --,m -

x-->1-

X- 1

x-->1-

" Aufgrund der Gleichheit folgt also

X

1

und "

x-->1-

x3 _ x 2

lim - - - =1. x-->1 x -1 Es existiert also ein Grenzwert , obwohl die Funktion an der Stelle x = 1 nicht definiert ist. Wir sehen erneut , dass eine LOckevorliegt. Wenn wir nun 1(1} = 1 definieren , d.h. 3

2

- li l_ j xx --1x y- x 1

für xe t für x

e

t

setzen , so ist die Lücke geschlossen und die Funktion ist stetig . Lücken bezeichnet man daher auch als hebbare unsteuqkettssteuen , die durch eine sog. stetige Ergänzung behoben werden können.

Nebe n de n beha ndelten drei Fälle n gilt als Unstetigkeit auch ein so g. oszillie rendes verhalte n, bei de m e ine Funktio n an e iner Stelle nich t nu r ein en , sondern mehrere w e ne annehmen ka nn. Dabei handelt es steh allerd ings genau gen omnu-n um kei ne Funk tion mehr (vgl. Absch nitt III 1.1 ).

2.

Elementare Funktionen

Inhalt dieses Abschnitts ist die detaillierte Betrachtung elementarer mathematischer Funktionen. Konkret behandeln wir algebraische (ganz rationale, gebrochen rationale, Potenz- und Wurzelfunktionen), transzendente (Exponenzial- und Logarithmusfunklioneo) und einige Sonderfunklio nen (Absolut-. Maximum-, Minimum-, Vorzeichenfunktion). Im Anschluss daran gehen wir auf wichtige ökono mische Funktionen ein. Insbesondere beschreiben wir Angebots- und Nachfrage-, Kosten-, Umsatz- und Gewinnfunktionen.

-

2.1 Elementare Funktionen Beschränke n wir uns auf reelle nntkuonen Y .. f(xl, deren Definitio nsb e reich

rx o

und \X'c lt eberei <.:h \X'{fJ reetlwerttg sind, k önnen w ir zwischen algebraischen und transzendenten Fun ktion e n un terscheiden. In a lgebraischell FUllktiollell ist die: un abhiingigc: Veränderliche uusschlicßllch d urc h d ie elementaren O peratio nen Add itio n, Subtraktion, Muhl pllkation . Divisio n, Po ten zie ren u nd Radizie ren (Wurzc:!ziehcn ) verknüpft . Sie lasse n sich wle in Abb ild ung 111 10 unterscheiden. Transzendeute t/untatoncn können n icht m ittels e lementarer O pe rat io n en dargestel lt we rden. Die wic htigste n transze nde nten Fun ktion e n sind die Expo nentialfu nktion und die l.ogur itbmusfunktion. Sonderfunk tionen wei se n spezielle Charakteristika auf, die wir im De tail betrachten we rde n. Zu ihn en gehören d ie Absclut-, Mi nirn um-, Max imum- u nd Vorzeichenfunktion .

Transzendente Fun knonen

Ga nz ration al., Funkttonen

Gebrochen r,Hion: '!t:' " u nktio ne n

Algehr:li.,dw Funktionen

Sonelet-

fun ktio ne n

Vt·r;im lc·r1ich .. n n;·rknüp ti.mg d urd l:

,ol, ddition u nd/od e r Subtraktion und /oder

und Uiü,io n

Multiplikation

Abbildu ng 111 10: Elementare mathemarisehe Funktionen

.

u nd l' "t.. nzi..Tt:n unu/ " ,kr IUdizk rl'1l

11 1Funktionen einer Variablen

130

2.1.1

Ganz rationale Funktionen

Eine Fu n ktto n y = p)x) , be i der in der Funktio nsgle ichung nur die Opera tionen Additio n, Sub traktion und Multiplikatio n auftauchen hzw. deren Funkr ionxgleichung die Gesta lt

"

'" "

Y=Pn ( X ) =a U +a l ' x +a 2 ' x + .., + an' x

= ~a ;'x

;=u

'

mit a; E IR.

(11 1.30)

hat. wird als Polynom 1I-/('I/ Grades bezeichnet. Die \'('e rte a, sind d ie Koeffizienten und a., der absolute Koeffizien t (sog. Absolutglied) der Funktio n. Die wes entlichen Eigenschulten solcher Funktio ne n xind:

•

Ein Po lyno m ist für alle x E IR. de finie rt, im gesamten De finition sb e reich stetig und besitzt daher kein e Lücke n, Sprung- oder Polstelle n.

• •

De r Sch nittpunkt mit der v-Acbse hat d ie Koord inaten

•

I'{O; ;!.).

Nach dem sog. Funda mentaisatz der Algebra besitzt e in Polynom n-ten Grades /-:el /(/I/ 1/ vuttsietten. die jedoch nic ht reel l sein müssen und auch meh rfac h vorkommen kön nen . Ein Polyno m n- ten , ungerad en Grades hat jedoch m indestens ei ne reelle Nullstelle. Ein Polyno m n-ten , geraden G,.Ides ha t max imal n reelle Nulls tel len. Hins icht lich des Verh altens 1'01/ POÜ'IW II/ell i m Unendlichen ist ei ne Fallun terschc idung zw ischen geradem und ungeradem Polyno mgrad vor zun e h-

men. Fa ll I: ungerader Polynomgrad - Höchste Pot enz m it positivem Koclfiztentc n : z. ll. y= 2x."l ,y= x

x --+

- Höchste Po te nz m it negativem Koe ffiziente n: z. B. y=-2x

-00

X ...H «>

J,y=-x

Fall 2: gerader Polyno mg rad - Höchste Pot e nz m it positive m Koeffiziente n. z. B. y=3X'I, y=x !

x --+ ±oo

Y --+

- Höchste Po te nz m it negativem Koeff iziente n:

x --+ ±o:>

Y --+ -00

z. B, y=_3x

1,Y=_X

+00

2

Ein Polyno m ungeraden Grades strebt also auf e iner Seile imme r gegen +00 und a uf der anderen immer gegen - 0 0 , je nachdem welches Vorzeichen der Koeffizie nt der hö ch ste n Pote nz der Variablen be sitzt. Ein Polyno m geraden Grades strebt auf beiden Seiten gegen + 00 hzw . -00 je nach vorliegendem Vorze ichen des Koe ffizie nte n der höchsten Po te nz der unabhängigen Variablen. Wir wollen im Folge nde n eine Reihe speziell er Auspräg unge n von Polyno me n näher betrachte n, d ie wir v. u. im Zusammenhang m it ökonomischen Funktio ne n in Abscbntn 1lI 2..1 noch be nö tige n werd en .

n

~

2. Elementare Funktionen

131

1. Polynome e rs te n Grades

Eine Funktion des Typs y = p( x) = au + a[ , x

(111.3 1)

wird als lineare Funl etion oder Gerade beze ich net. Dabei gib t a. die Sleigtwg der Geraden und ;I " den Schn ittpunkt der Ge raden mit der v-Acbsc an. Je nachdem, welc hes Vorzeichen 3 , besitzt. steigt oder fällt die Gerade. Abbild ung JII 17 veranschaulicht dies, Ik silzt eine Gerade die Steigung ;L, - 0 und e inen absoluten Koe ffl ergi bt zie nt ;L" :;I:. 0, so iSI sie e ine Parallele z u r :r-Achse m it y - ;L" . Für ;L" - a. sich d ie Abszisse m it y - 0.

°

,.

P( O; a o )

x

x

y

x

Ab b ild un g 111 17: Lineare Fun ktio ne n

Die reelle Nulls telle einer Geraden (y '" 0) ergi bt sich bci a,

:;I:.

0 stets aus (11 1.32 )

Beispiel :

Die Nullstelle einer Geraden y = 2x - 1 liegt bei x = _ (- 1j = 0,5. 2

132

11 1Funktionen einer Variablen

Liege n zn-et hdiebigtl PlIllkre P,{U,; wir d ie Geradenstetgung übe r

13,)

und P,{U,;

13)

e iner Ge raden vor , können (J] 1.33 )

best immen , Abbild ung III IH veranschaulicht de n Hirnerg run d von 011.33) . y r:l.

_

e,

ß, ----------- --------------.

a,

x

a,

Abbildung 1II IR: Geradensteigung aus zwe i Punkte n Beispi el: Die Punkte Pl (1; 2) und Pd -3 ; 5) liegen auf einer Geraden. Wir können damit die Geradenste igung wie folgt ermitteln : 5 -2 3 a, = - - = - -3-1 4 lxt die Steigung a, einer Ceraden un d ein auf ihr liegender Punkt I'(U; 13) be ka nnt, kann die Ge radengleichung durch Einset ze n der vorliegenden \,\-'e ne in d ie sog. Pll llkISld g ll 1/g 'ifonn (ode r Puuktricht ungs fo rm} aufgestellt werden. Diese lautet y=a l · (x- u )+ j3 . (1]1.34)

Beispi el: Von einer Geraden sind der Punkt P(1; - 2) und die Steigung a, '" 2 bekannt. Als Gleichung der Geraden erhalten wir damit H y =2x -4 . y =2 ·(x -1) -2

Sind lediglich zwei Punkte I\ (U,; 13,) und " ,tu,; 13) e ine r GN ade n bekan nt, kann zun ächst d ie Steigung errechnet und ansehtlesend die Pun ktsre tg ungsfonn zur Ermiül ung der Ge radcngtetchung he rungezogen we rden . Vorteilhafter ist je doch di e Nutzung der sog. 7.u't'I"jm ntucfonn der Geradengtetctmug

,ß,_' ---!:ßL, u2- ul

-

ß, - -Y

- --

uj

-

x

H

y=

ß, - B, u2- uJ

•

' ( x - UJ ) + PJI

(111 .3-;)

die sich allc rdmgs a us e ben jener Vergehensweise ableite n liisst. W'ekhe Punkte dabei als 1', bzw. PJ gewählt werden, ist für d:IS Ergebnis bede ut ungslos.

2. Elementa re Funktionen

133

Beispiel: Die Punkte P1 (- 1; 2) und P 2(-3 ; - 5) liegen auf e ine r Ge raden, die durch die Gleichung Y ==

- 5- 2 · (x - (- 1»)+ 2 3 ( 1)

y == 3,5x + 5,5

beschrieben wird.

2. Polynome zweiten Grades Eine Fun ktion des Typs (111.36 )

w ird als quadra tische Punletion od er Pa rahel be zeichne t. Ihr Maximum bzw. Minimum hdgt Scheitel. \'('iedc r hat h ier das Vo rzeic he n dcs Koeffizie nte n vo r der höchsten Pote n z entscheidende Ausw irkunge n au f den v erlau f des Graphen . Für W'e ne a 1 > 0 ist die Pa ra bel nach o ben geöffnet, für a, < 0 nac h un ten geöffne t (vgl. Abbild ung 111 19 ).

,.

"

:.1 2

<0 Schei tel

P( 0; .1(1)

x

x

Scheitel Abb ildung 11 1 19 : Nach oben/unten geöffnete Parabeln Neben dem Vorzeichen hat der konkrete \X'e n von a 1 weitere Einflüsse auf die Gestalt des Graphe n der Parabel. Es liegt ein e sog. Normalparabei vor, wen n a l '" ± 1 gilt. Pür u, > 1 va, < - I ist die Parabe l im Vergleich nur No rmalpa ra bel p,es/a/lc!Jl, für - I < a, < I g ('sllt'ck/. Abbi ld ung 1II 20 verdeutlicht dies.

,.

,.

gestreckt

gestauc ht

'. \

· · \.\ .

···

x :-';onn alpa rabd

Abbild ung 1II 20: Ges tauch te lind ges treck te Parabel n

134

11 1Funktion en einer Var iablen

Um die Gleichung einer Parabel best immen zu können, benötigen wir d ie Koo rdina ten von 3 Punkte n, die auf der Parab e l liegen. Diese werden in ein sog. Gle icbungssystem (vgl. Ka pitel VI für e ine inte nsive Behandlung der Uisung von Gleichungssystemen) übenragen . welches schlkßlicb gelöst wird. Beispiel: Es soll die Gleichung der Parabel bestimmt werd en, auf der die Punkte Pl (- l ; 0), P2(1 ; 0) und P3(2; 3) liegen. Dazu wird anhand der allgemein en Parabelgleichung (11 1. 36) durch einsetzen der gegebenen Punkte das folgende Gleichungssystem (fOr jede gesuchte Grö ße ao. 3 , und es eine Gl eic hung) aufgeste llt:

I:

0", 30

+ 31 '{- 1) + 32 '(- 1)2

11:

0 = 30 +3, ,1

+ 32 '12

111 :

3 = 8 0 + 3, , 2

+ 32, 2 2

Subtrahieren wir Gleichung 11 von Gleichung I, erhalten wir - 2 · a, = O

H

a 1 =O .

Gleichung 111 minus Gleichung 11 ergibt 3 =a1 +3 ·a2

H

a2 =1 - t ·al '

Die Verbindung dieser beiden Ergebnisse führt zu a 2 =1 - t · O=1 .

al und aa eingesetzt in Gleichung 11 liefert

O=ao + O. 1+1 .12

H

a o = - 1,

sodass sich für die gesuchte Gleichung Folgendes ergibt: y = - 1+0 .x +1 . x2 H y = x 2 _1

Ist e ine r der vorliegenden Punkte der Sche itel S der Parahel . ~o reichen 2 Punkte (S< us ;ßs J, 1'( u l';ßI') ) aus . um die Parabe lgleichu ng zu bestimmen . \X'ir verwenden numltch dann d ie sog. scbeuelform de r Pa mhe/gleichullg

r

=a 2

-r x - us )2 +~ .

(1]1.37)

Beispiel: Aus dem Scheitel S{1; 2) und dem Punkt P(-3 ; -4) soll die Gleichung der dazugehörigen Parabel bestimmt werden.

1. Schritt:

Berechnung von a2 aus (111.37) durch Einsetzen der gegebenen Punkte

2. Schritt:

Aufstellen der Gleichung

-4 =a2 + ·3 - 1)2 +2

y = _ ~ . (X _1 }2 +2

H

aa = - ~

H

Ik i d ...r Ermlulu ng der Nullstellen von Parab el n sind dr ei Fiilk zu unterscheiden (vg l. Abbildu ng 11 1 2]). Verläuft d ie Par abel vollkommen ober- oder unterhalb de r x-Achsc e xistie rt keine reelle Nulls/elle. Berührt dil.' Para bel die x-AdlSI.' , so Hegr eine doppelte reelle Xullstelle vor. Schneidet dh- Parahel die x-Ac-hxe, gib t es imme r mvt einfache reelle Xulistcllen.

2_ Elementare Funktionen

135

y kctn c n-cllcn ~ ullstdk'll

v

e ine doppdre retc"lIe ~ullstdl"

----+---~x

f\

y z\\',·i einfache reelle ;-';ulbtdkn

Abhlldu ng IJI 21: N ull ste ll en be i Parabel n

\'(Iie be i jeder an deren Funktio n, muss auch be i Par abe ln zu r Bestimm ung der reellen Nullstellen die Fun ktion sglei chun g gle ich Null gesetzt werden. Resultat ist eine qua d ratische Gleichung, (He wir nach J en in Abschnitt I 3.5.2 be han delten Vorschriften lösen k önne n. Es gilt
Fälle :

- al

± JO

2· :10

wobei

D = ai - 4 -;l 2 · a\l

rll l ..~8 )

D > 0; zwe i e infac he ree lle Nullstelle n D - 0: e ine doppelte ree lle Nullstelle D < 0; kei ne reelle Nullstelle

Bei spiel e: Eine Parabel mit ae = - 3, a, = - 2 und aa = 1 besitzt die beiden einfac hen reellen Nullstellen x = - 1 und x = 3. Bei 80 = 1, 81 = - 2 und a2 = 1 fallen d ie beiden einfachen reellen Noüstellen zusammen, sodass sich die doppelte reelle Nullstelle x = 1 ergibt. Im Fall von ae = 3, a1

136

11 1Funktion en ein er Variablen

'" - 2 und 3 2 '" 1 existiert keine reelle Nullstelle. was auch ohne Berechnung daran zu erkennen ist , dass die Parabel nach oben geöffnet ist ( 32 > 0) und ihre Schnillslelle mit de r Ordinate bei y '" 3 liegt. Die ersten beiden Parabeln erfüllen klar den Fundamen talsatz de r Algebra, da zwei verschiedene bzw. zwei zusammenfallende reelle Nullstellen vorliegen. Bei de r lelzt en Parabelohne ree lle Nullsie lIen ist er auch erfüllt , was aber nicht auf Anhieb zu erkenn en ist. Es existieren für diese Parabel zwar keine reellen Nonstenen, jedoch zwei sog. komplexe Nulli und x = 1- J2.i , wobei i die sog. imaginäre Zahl ..r:i darstellt. Da wir stellen x = 1 + uns im Rahmen dieses l ehrbuchs jedoch ausschließlich mit reellen Zahlen und nicht mit komplexen Zahl en beschäftigen, wollen wir darauf nicht näher eingehen,

J2 .

Abschlie ße nd wollen w ir uns noch der Nullsteilenhestinnnung bet Potynomfuntuto1/(' 11 baöeren Grades widmen. Das Verfahre n, mit dem w ir uns dabei beschäftige n, iSI d ie sog. Potynomdn-tston. D;IS New ton-Verfahren, welches e benfalls zur Nullsrellen besununung verwendet werden kan n, wird im Rahme n der Kurve ndts kusslou unter I! l 3,'; be ha nde lt. Sind für ein Po lynom e ine oder meh re re Nullste lle n be kannt, kann durch Ausklammern e in Restpolynom bestimmt we rden , das einen e ntsprechend der Anza hl der ausgeklamme rten Nullstellen niedrige re n Grad bexhzt. \\'ir sprechen dabei auch vom Abspalten von Nullstellen oder von ein e r Poly nom div ision. Liegt also für e in Polynom Pn(x )= ao+ :l\ , x +a2 ,x 2 + ... + an,x n ei ne Nullstel le x .. a vo r, so ist p,(x) aufgründ der Ausktammerungsoperatton Pn( x): t x - al =P,,_l( x)

( II1.39a)

dars tellbar a ls p ,,(x)

= P ,,_I(X )' (x - u ) .

W l.39b )

Da ein Prod ukt imme r dann gleich Null ist, we nn ein e r de r L Ikto ren gleich Null ist, muss zur Bestimmun g der weite re n Nullste llen nur noch das Restp olynom gleic h Null gese tzt und nac h x au fgelös t we rden. Führe n wir die Po lyno md ivision für ei ne Pa rabe l m it einer be ka nnte n Nullstelle durch, ist das Restpolynom eine Funk tion ersten Grade s. d ie wir zur Bcsttnuuun g der verble ibenden Nullstelle rela tiv e infach gle ich Null setzen und nach x cutlösen können, Lie gt eine Funk tion dr illen Grades mit bek annte r Nullstelle vor, ist das Restpo lynom zwei ten Grades, Die verbleibenden Nullstelle n kö nnen also nur durch das Lösen ei ne r quadra tischen Gleichung bestimmt werden, Be i einer Funktion vie rten Grades führt eine Po lynom divisio n zu einem Restpolynom dr illen Grades. Da a ber zur en dgüh igen Bestimmung alle r Nullste llen ma ximal e in Restpolynom zwe iten Grades vorliegen darf, müsste in einem so lchen Fall e ine weite re Nullstelle be ka nnt sein , d ie eine weite re I'otynomdtvtston für das Restpoly nom ermöglicht und s('h lieglich eine Funktio n zwe iten Grades als Restpolynom liefen. Beispiel 1: 3 Gegeben sei die Funktion P3(X) = x + 2l - 1 und eine ihrer NullsIelIen x = - 1. Um das RestpoJynom P2(Xj zu bestimmen, divideren wir nun P3{X) durch (x - (-1)) = (x + 1) und erhalten da mit das auf de r Folgeseite da rgestellte Ergebnis. Die zu subtrahier enden Terme im Verlauf de r Berechnung ergeben sich gemäß de n üblichen Divisionsregeln jeweils aus dem Produkt aus (x + 1) und den Einzelterm en des Restpolynoms (vgl. Pfeile ).

137

2. Elementare Funktionen (x 3 +2x 2 - 1) : (x+ l ) '" x 2 +x - 1

_(x3 + x 2 ) <-_.•_.__. _-- _..: x2 - 1 _( x 2 + x ) .(. - - - . - - - - - - - - - ~ - x- 1

- (-x - 1) .(------ ------- -)

o Der Funktionsterm und die Nullstellenbedingung lassen sich nun wie folgt darstellen: P3(X) = (x 2 + x - 1) ·(x+ 1) = 0 Ein Produkt ist immer dann Null , wenn einer der Faktoren gle ich Null ist. Somit ergibt sich x 2 + x _ 1 =0

v

x +1 =0 .

Die erste Nullstelle x '" - 1 war bereits bekannt, sodass nur noch die quadratische Gleichun g nach den bisher verw endeten Regeln zu lösen ist. Es ergeben sich daraus die weite ren beid en Nullstellen x '" 0,62 und x '" - 1,62. Beispiel 2: 3 2 4 Für P4{X) '" x - x - 7x + X + 6 sin d die Nu llstellen x '" - 2 und x '" 1 bekannt. Um zunächst P3(X) zu bestimmen rechnen wir wie lolgt: (x 4 _

x3 _ 7x 2 + x + 6) : (x + 2) =x 3 _ 3x 2 _x + 3

_(x 4+2 x3 ) _3x 3 _ 7 x 2 _(_ 3x 3 _ 6 x 2 )

_ x2 +

X

_(_ x 2 - 2x ) 3x +6 - (3x + 6)

o

3

Diese Berechn ung lässt also zunächst die Darstellung P4(X) '" (x - 3; - x + 3)(x + 2) zu. Eine weite re Polynomdivision des Restpolynoms mit der weiteren Nullstelle liefert folgendes Erge bnis : (x3 _ 3x 2 -x+ 3) : (x - 1) '" x 2 _ 2x _ 3 _( x 3 _ x 2 ) _2x 2 _ X _(_2x 2 + 2x ) - 3x + 3 --(- 3x+ 3)

o Dieses Polynom P2{X) hätten wir natürlich auc h direkt in einem Schritt durch Division von P4(X) durch (x + 2)(x - 1) '" i + x - 2 bestimmen könn en. Ins gesamt erhalten wir mit beiden Vorgehens weisen die Darst ellung P4(X) '" (i - 2x - 3){x - l )(x + 2). Die verblei benden 2 Nullstellen können wir also wieder über das Lösen der quadratischen Gleichung x - 2x - 3 '" 0 bestimmen . Es resultiert x '" 3 und x '" - 1.

138

111 Funktionen einer Var iablen Wir können so das Polynom in de r Produkt fo rm P4(X) :- (x + 2)(x - 1)(x - 3)(x + 1) darstellen , aus der wir die Nullstellen (x-W erte, für die die Einzelfaktoren Null werde n) direkt ablesen können. Oie Potenz der Kla mmern gibt uns Auskunft über die Art der Nullstellen. Da hier nur Potenzen von 1 vorkommen , liegen insgesamt vier einfache Nullstellen vor. Sollte es im Zuge der Berechnungen vorkommen, dass eine Nullstelle x = n insgesamt rn-mal festgeste llt wird , wird d iese in der Produktform über einen Faktor (x - c )" dargestellt und als rn-fache Nullstelle bezeichnet.

Zum Abschluss des Abschnitts Po lyno m fun ktio ne n soll nun noch Jas sog. HontetSchema kurz vorgestellt we rden. Es handelt sich dabei um e ine alternative Darstel-

lung des Punktio nste rms von r'ol ynomfun kuon c n. die d ie Be re chnung von Funktionswcueo erleichtern soll. Bei m Homcr-Sch em a ordnen wir die variablen nach absu-igenden Expo ne nten, d.h. im Vergleic h zur b isherigen Anordnung gerade umgc keim. Um das Schema Zll erlangen , multiplizieren wir schri llw eise mit der Variablen x und addieren jewe ils den nächsten Koeffizienten, sodass wir ko nkret für e in Polynom n-ten Grades Pn( X) =an ·x " +an_l· x n -I + ··· +;11 ·x+a(J

(mAOa)

einen geschachtelten Ausdruck Pn( x ) = (...(a" . x

+ a n_J ) . x + a,,_!)' x + ... + ;lt ) ' x + ao

(111.4 01»

erhalten. bei dem die Klammern von inne n nach außen aus zuwerte n s ind. (Ili AOb) ist das sog. Ho m er-Sch em a e ines Polyno ms p"(x ), das durch Ausmultiplizieren der Klamme rn wieder in die FU11l1 (111.40a) überfühlt werden kann . Fehlt e inma l ein Exponent, so ist deftmuonsgemäs der zugehörige Koe ffi zient gleich Null. Beispiele: 1.

P4 (X) = 5x 4 + 3x 3 _2x 2 +x _1

2. Ps(x ) =2x S_ 3x 3+x 2 _1 0

=(((5x+3)· x - 2)· x+ 1) x - 1

=((((2x) · x -3)· x+t) x) ·x -t O

De r Vorteil des Ho rne r-Sch e mas liegt in der wesentlich geringeren Artzahl von Multiplikat ionen, die zur Funktionswertbestimmung e rf orderlich sind. Währe nd in der klassischen Funktio nsdarste llung 1 + 2 + 3 + ... + n • ntn + 1)/2 Multiplik ationen lind n Additionen auszuführen wären , sind es heim Homc r-Sclu -ma nu r n Mutti pli kationen mit ehenfalls n Add itionen.

2.1 .2

Gebrochen rationale Funktionen

De o Quotien ten zwcier Po lyno me n mtuton rt x ), d.h. cs gilt

P H(X)

lind <J..(x) nennen w ir gehrochen rationale

~

,

"

x Pn(x) \,=r( x)=--=,-,-al"' _+7"" 'c '_X_'_+c"c'c'_', _+c'c"_+_":-"' -'c .". '

q",(x)

n

hl) +bJ · x+b! , x1 + ... +hm ,x '"

;=11

011.4 1)

2. Elementare Funktionen

139

Währe nd d ie Eige1lSchaflell ganz rutio nnler Funktio ne n in ei nem kompakten Cbe rbl ick d argestellt werden konnten, beda rf es bei gebrochen rationalen Funktio ne n zur besse re n Verständlichkeit einer de taillierteren Betra chtun g.

1. Definitionsbereich Während ganz ratio nale Funktionen für ganz IR definiert sind . ist der Def initinnsbe-

reich einer gebro ch e n rationalen Funktio n eingeschränkt, da das Ne nne rp olyno m nich t gleich Null we rden darf. Der De finitio nsbe reic h einer ge brochen rationalen Funktio n rt x) ist daher gegeben du rch D( r) = IR \ [ Nulls tcllcn von q", ( x)} .

(111.42)

2. Stetigkeit Gebrochen ratio na le Funktio ne n sind im Allgem e ine n 1/111" d OJ1 sfelig. wo das ;\'( '1/nerpolynom leetue Nullstellen besitzt (vgl. dazu auch Abschnitt 111 1.4 Punkt R). Lie gen Nennernulls tellen vor, so ist zu unt erscheiden. oh ei ne Lücke oder ein e Polstelle vorliegt. Im Falle einer Lücke kann durch entsprechende Fun ktion swe rtdefinitio n die Unstet igke itsstelle beseitig t werden (hebbare ünsrengk c ftssrellej. Ik i Polstellen ist d ies nicht möglich , Die Funktion bleibt an der Po lste lle uns tetig. 3. Nu lls te llen Die SI/Ilsfef/ell einer gebrochen rational en Funktio n sind die Punkte , für die Jas Zählerpolynom . jedoch nicht gleichzeitig das Nennerpolynom J e n \X'e I1 Null annimmt (denn letz ten: ge hö re n n icht zu m Dcfinitkmsbcre ichj:

x = U ist Nullstelle

p ( a) - =0 q m( a)

H

d a) = -"-

H

Pnt uJ=O un d q",( a) =1:.0

( 1ll.43)

Beispiel: Zu bestimmen seien die Nutistellen folgender Funktion:

x- 1 r(x) = -,'-=-'--::2

x + 4x - 2

1. Nullsetzen des Zählers: x -1 = 0 H X= 1 2 2, Prüfung des Nenners: q(1) =1 + 4 ·1- 2 =3 '#- 0 Es liegt also für x 0: 1 eine Nullstelle vor.

4. Polstellen Polstellen (oder Singularttätcn) liegen dort vor , wo das Nennerpolynom seine NLl Ilstellen bes itzt, ohne dass das zählerpolynom gle ichze itig den W'e11 Null an nimmt (andernfalls würde eine LOckt: vo rliegen):

X = U ist Pols telle

H

q",t a )=O un d Pn( aJ ,*O

(ll 1.44)

\Vir wollen d iese n Sachverhalt nun etwas nübcr beleuchten um den Zusammenha ng zwischen (1 11 .44) Lind der un ter 111 1.4 Punkt H aufgeführten Definitio n von Polstelle n über Grenzwerte aufzuzeigen. Betrachte n wir dazu Abbi ld ung 111 22. Die

140

111 Funk tio nen ein er Var iablen

dort uhgcbildenm Polynome P.(x ) und <Jm(xJ erfüllen a n der Stelle x ~ a die Bedingungen uus (lI1. 4 4 ), d.h. r o(a):;c 0 und q m(a) .. O. x "" a ist e ine Pols te lle. (Die G rafik wurde zudem so ges taltet , dass Po(x) > 0 für alle x gilt.) wenn w ir uns nun de r Nullstelle des Ne nne rpolyn om s x - u aus dem Be reich mit q,,,(x) > 0 näh ern . so wird der Funktionswer t der gebrochen rationalen Funktion rtx) be liebig groü . Dagegen strebt rex) gegen -=, wenn wir uns aus dem negativen Bereich des Nennerpolynoms sein er Nullstel le nähe rn. Es gilt also in diesem Fall lirn r (x)=-oo u nd X-'>r.(-

l im r(x )=+«> .

' .... a +

De r Punkttonswert gelu also be i Annäherung an die Polstelle gew:n unendlich. Dies e ntspricht gcnuu de r Defin ition ein er Polstelle in Absch nitt 1II 1.4 (Punkt H}.

Das hier konstruierte Be ispiel ist nur ein möglicher Fall fü r das Verhallen de r Funktion an der Pols telle. Nach welcher Richtun g die Funktio n gerrau strebt. o h nach + 00 oder -00, hängt von den Vorzeiche n de r beiden Po lynome a b und ist im Einzel nen lekht zu emsehotden (vgl. nachfolgende Be ispiele ).

,. P n(X )\

,

:f

;. I

,~

:!

... .-' . . ;\..

P n( x)

rt x ) = - - q", (x )

\ /

r( x l

,. ; ;

q", ( x

) :

Abbildung 1II 22: Pols telle n bei gebrochen rationalen Funktio ne n Beisp iel : Bestimmung der Polstelle folgender Funktion: x3 - x r(x) = - -

» 5

1. Nunsetzen des Nenners: x + 5 = 0

H

X= - 5

2. Prüfung des Zählers: p(- 5) = (_5)3 - 3 = - 128 "'- 0 Bei x = -5 liegt demnach eine Potstelle vor.

Liegt im Nennerpolynom eine ei nfache Nullstelle vor, sprechen wir von e ine r etn f achen Polstelle. Be i einer mehrfachen Nullstelle hingegen handelt es sich um eine meh lfache Po/stelle.

141

2. Eleme nta re Funktionen

Existüerr ein r-fuchc Nullstelle des Nen nerpolynoms. so füh rt ein ungc rades r i01mer ZlI e in r ungeraden polsteile. bei der ein Zwe ig de r Funktion gegen + c.> und d....r andere gegen _00 strebt. Bei ge rade m r erhalten wir eine ge rade Pols/elle, bei der bctdc Zweige gegen +00 oder - 0 0 stre ben (vgl. Abb ildung 111 23). y

y

v = r( x )

~.

a :, ,, ,,

,, ,,

II a

x

y

rf x )

e

y

x

y y

c,

,, ,, ,

,, ,, ,

e

j

rt x )

x

:F X J

a

x

Abb ildung IJl 23: Gerade (links ) und un ge rade (rech ts) Pols telle n

5, Asym ptoten Nähe rt sich eine w.. bmchc n rationale Funktio n y ... rt x) '=' p/ x) / q..,(xl für x -e +c.> oder x -* imme r stärker eine r Ge radcn oder beliebigen anderen Kurve an , so ist diese Kurve die sog . Asymptote. Um diese zu bes timmen, kön ne n wir un s e ntweder unserer Erken ntnisse übe r ge broc hen rationale Funktione n aus Abschnitt 11 1 1.4 ( Punkt 7) bed ienen ode r, um a uch Aussagen über d ie Ann ähe rungsrichtu ng (von oben oder von un ten ) mach e n zu h in nen, Zähler durch Nenner divideren ( l'olyno md ivisionl uru eine Fonn -00

142

111 Funk tionen einer Var iab len

P (x )

_

i\ (x )

r( x) = -"-- = qn~1I1( X) + ---

q n,(x )

qm(x)

für


( 11 1.4';)

zu erhalten . Der erste Summand ( Polynom vom Grad n - m l ist dabei der gauz m ttouate A nteil von rt x ) und der zweite der geh rochen rationale Rest von rt xj. An dcrs ausgedr ück ist QI1 _Ill(xl das Ergeb nis lind i\(x ) der Restte rm. der bei Durch-

führung der Polynomdivisio n verbleibt (vgl. nachfolgende Beisp iele), Beim Grenzübergung x --+ ±<» strebt der gebrochen rationale Rest geg en Null, da der Zählergrad k stels kleiner ist als der Nennergrad m, d .h. der Ne nne r schneller wiic:hsl als der Zähler. Für x --+ ±oo nähert sich also rt x) dem ganz rationalen Anteil an , der damit die Asymptote darstellt. Es gilt also für die A.\ymjJ(ole y =qn_m(xL

( IJIA6)

Hinsichtlich de r Grade von Zähler- und Nennerpolynom müssen wir drei Eitle unterschc iden:

Elil I: m - n Sind Zähler und Nennergrad identisch , ergtbr sich als ga nz rationaler Anteil die Ko nstante q o =
Jl1

Ist der Zähler- kleiner als de r Nen nergrad . h~sitzt die gebrochen ration ale Funktion

ke inen ganz rationalen Anteil, d.h. d ie Asymptote ist die Ge rade y Achse .

c

0 hzw. d ie x-

F;lIl 3: n > m lst der Zähler- größ~r ;L1s der Nennergrad. ergi bt sich als gan z rationaler Anteil ein

Polynom vom Grau n -

In ~

1, dem sich die Funktio n asyrup tonscb nähen .

Mit diesen Fällen sind die Asymptoten besumnn . jedoch noch keine Aussagen über die Anndherungsrichtung der Funktion an d ie Asymptote getroffen. Hierüber en tscheidet das Vorzeichen des geörocben rationalen Rests. Dieses e rgibt xich aus dem Verzeichen der größten Potenzen im Zähler und im Nenner, wo bei zu un tc rscbetden ist, ob die Exponenten gerade oder ungerade sind , Ist das Vorzeichen für x -e + 00 (x -e -00) posuto: ist der Funktionswert de r rationalen Funk tion größer als der Asymptotenwert. d.h. d ie Annäherung e rfolgt conooen. lst es für x ~ + 00 (x ~ -00) lIep,afll', liegt ei ne Annäherung ['(J1/ IlIIfell vor. Beispiel zu Fall 1:

"- 1: n= m = 2

r(x) = - ,-

-x

Oie Polynomdivision liefert für diese Funktion folgendes Resultat: x2 : (_x2 - 1)

e(

-(x 2 + 1)

=8

<E-- ganz rationaler Anteil

Zähler des gebrochen rationalen Rests

2. Elementare Funktionen

143

Wir können r(x) also in der Form

-1 r(x) = - 1+ _x 2_ 1 darstellen , die besagt, dass y = - 1 die Asymptote ist. Das gleiche Resultat hätten wir auch erzielt , wenn wir y '" an I b"., '" 1 I (- 1) = - 1 berechnet hätten. Skizze:

y X --t

--<><>:

Restglied : Zähler und Nenner negativ -lo Restglied positiv -lo Annäherung an y = - 1 von oben

+"": Restglied: Zähler und Nenner negativ --t Restglied positiv --t Annäherung an y '" - 1 von oben X -lo

x

y = r(x)

y =-1

Beispiel zu Fall 2:

1 ,-2

r(x ) = -- :n =O < rn e t Eine Polynomdivision ist hier nicht erforderlich, da bei n < m immer y = 0 die Asymptote ist und die ursprüngliche Funktion direkt das gebrochen rationale Restglied darstellt. Skizze:

X --t

y

--<><>;

Hestqlied: Zähler positiv, Nenner negativ --t Restglied negativ --t Annäherung an y = 0 von unten

y = r(x)

2

, X --t +"";

Restglied: Zähler und Nenner positiv --t Restglied positiv --t Annäherung an y = 0 von oben

144

111 Funktionen ein er Variablen

Beispiel zu Fall 3: 3

2

r{x ) = x + 3x + 2: n '" 3

x2 - 2

Die Polynomdivision lieferl in die sem Fall folgendes Ergebnis:

(x3 + 3x2 + 2) : (x2 - 2) =: x e a -{ x3 - 2x) 2 x + 3x 2 _(3 x 2 - 6)

2x +6 +2 Dies lässt die Darstellun g in der Form

2x +8 r(x ) =: x+3 + - 2 , -2 zu, d.h. die Asymptote ist y = x + 3.

"" l/

Skizze: y

ye xeS

,

,,,

x -+-<><>: aestcsec : Zähle r negat iv, Nenner positiv -+ Reslglie d negativ -+ Annäherung an y = x + 3 von unten

: ,,'

Y X

-'

2.1.3

,,

-'

,,

,

,,

,

/

: :

,,:

,,

-' ' '

,

x --+ +<><>:

Res tglied : Zähler und Nenner positiv -+ Reslgtied positiv -+ Annäh erung an y = x + 3 von oben

x

Algebraische Funktionen

Eine algebraische Punktton besitz t allgeme in die Form y

=:

J;(;j

, _ P n(x )

m it r ( x ) - -

- - und q ",(x J "o O.

q m (x )

(111 .47 )

Da die Diskriminante (\X'e ll unter der \X'urzei) nich t neg ativ se in kann, ist der Deflnitionsbcreich dieser Funktio ne n stark eingeschränkt. Ko nkret bedeu tet dies , dass bei alge braischen Funktion e n stets r(x) 2= 0 gehen muss.

2. Elementare Funktionen

145

Beisp iele: f(x) =- .Jx 2 - 1

1.

Diese Funktion ist nur für x2 - 1 ~ 0 , d.h. für lxi :?: 1 definiert, da andernfalls der Wert unter der Wurzel negativ wäre. f(x ) =-

2.

~ , 5-4 x

Diese Funktion ist zunächst beschränkt durch die Tatsache, dass der Term x - 4 nicht gleich Null, also x nicht gleich 4 sein darf. Des We iteren muss

~> o x -4 -

gelten, Dies ist nur für x > 4 und x :s 0 erfüllt. Für den Definitionsbereich folgt damit insgesamt D{f) =-{ X E RJ X ~O vx > 4} . Es gibt eine Nullstelle bei

~ =- 0 ,-4

H

x =- o und einen Pol bei x =- 4.

Funkt ionen des Typs ft x j =!(; m it x ~ 0 (Urnk ehrfu n k üon zur Po tenzfu n k tion fex ) ... x") bctneo wu rzetfuntutonen. Sie verlaufen stets du rch den Pun k t 1'(1; I) und besitzen n ur im ersten Quad ran ten des Ko ordin atensystem s Punkttonswerte. Zudem w ird b ei zu nehmendem n d er Graph immer Flacher ( \'g l. Abbildung 1II 24) ,

y

Abb ildung 1II 24: \X" urze!funktlonen

2.1.4

Transzendente Funktionen

W'ie bereits e rwii h nt, sin d transzenden te Fun k tionen jene Fun k tion en, die sich n ich t mehr durch Pol ynome un d \X'urzeln ei ndeut ig beschreibe n lassen. Typ ische venreter dieser Klasse sind d ie Ex po n en ztal- und Log aruhm usfun ktlon. 2. 1 .~ .1

Ex pone nzial fu 11ktion

Ein e Fu nk tion des Ty ps

ye ft x i

e

u" mit a c- n ,

(l 1l.4S)

bei d er die III Ulbhtl/lg ige verä nderliche im Exponenten steht, b eif~t ttxponenz tatfnntato n zur 13(/sL~ Cl. Da die Exp on en zialfu n k tion nu r für positi ve Basen u > 0 im Hereich x E IR definiert iSI , ist der Funktionswert ebenfalls stets positiv , sodass fü r den 'x'ertebcretch = IR+ gilt.

wen

146

111 Funk tio nen einer Var iab len

Einen bedeut en de n Sonderfall von (IIlAH) ste llt die Hxponenztatfuntaion zur Basis (' (Euler's chc Zah l) oder kurz e-Puneuon. d.h. [(x) '" e', dar. Eine n Anwendungsfall derartiger Funktione n huben w ir bereits im Abschn itt 11 2.2.3 in renn der srettgon Ver zinsung k en nengele rnt . wegen <1 .93 > kann jed e Fun ktion des Ty p s f( x) - a'

auch d urch eine e- Funk tion dargestellt werden : f ( x ) = a x = t.'x In a

Es sei außerdem e rwäh nt. duxs wir zur Ve rknüp furig von Exponenztalfunktionen d ie in Kap nc l I .he h :l n ~ld ten P (.l t e m:: r(· ~'h e nrege l n (I B O), O.HI ), (I.H4), (IiH6 1nflJld ( I.H9), d.h . a x . a) = a X +\ , ax / a' = a X - \ , :l " 'x = (ax )n , a- x = 1 / ax und :.I" = x , an wenden k ö nn en.

va

Die w ich tigsten Eigenschaften von Expune nzialfunktione n wollen wir im Folge nden im Detail be trach te n: •

Da eine Exp on cn zialfunktion fe x) = a' nur für u > 0 de finiert ist, gib t es grundsät zltch ke in x für d:lS a' den 'x'c rt Null annimmt. Es existieren also kei ne Nullsteilen und de r G ra ph verläuft l'ol/sttllldig oberbalh der Absz isse.

•

f ür x = () nimmt jed e Ex pon ero jal fu nk tto n den \'lcrt 1 an, da :1" Expo ne nztalfunkuon c n verlaufen also d urch den l'un kt l'(O; 1).

•

Abbi ld ung 111 25 zeigt das Funk tionsverhalten für versch iedene Werte von

=

I gilt. Alle
a - 1:

Da fex ) - I ' - 1 für alle x gilt, liegt eine Parallele zu r x-Achse vo r.

a > I:

Die Kurve ist streng monoton steigend un d wird ste iler , je gröxcr a w ird. Dies ist der unter ö ko nom ische n Gesichtspu nkten wichtigste Fall. Dar unte r fällt auch y - c'. Für x -7 +00 gilt y -7 +00 . Für x -7 - 0 0 gilt Y -7 0, d.h . die Funktio n nähe rt sich der x Achse an, die so mit Asymp tote ist.

oc

a -c 1: Die Kurve ist streng monoton fallen d und näh e rt sich für x -7 +00 usympt otlsch der x-Achsc ( r -7 0 ). Für x -7 - 0 0 gilt y-7 +OO ·

r O< a< l

,

a -7 0

u

,,

)

,

.'

>1

' <(--a -7

00

..-

" " ,

a= 1 _..-- " ,

" . --- . "

Abbild ung [11 2<; : Ve rlauf vo n Expo ne nzialfun kuc nc n

' -

..-.._.

2. Elementare Funktionen

147

•

Als stre ng monoton ve tgen dc bzw. falle nde, im ges am ten De finitio nxbe re tch stetige Funktio n besitzt e int" Ex po nc nztalfunktio n keine tixt rema .

•

Expo nenzia lfunkucnen sind für a 0# I I/(K/) ohclI nnbeschränt a. Sacb I/Ille/l sind sie jedoch wegen y > () tx-cbränta.

•

Durc h Spiegelung der Funktio n f(x l - a' an der y-Achse erhält man die Funktio n fex) '" a-' .

2.1.4 .2

Logarnbmusfunktton

Die Umkehrfunk tion zur Ex po nc n zl alfunknon zur Basis a w ird als t oga rubmusfunknon z ur Basis a beze ichnet. Sie wird mit y = [Lx ) = log " x

mit a > 0 1\ ;1

0# 1

lind x >

ü

(11 1.-:19 )

be ze ich net , ist a lso nur für posit ive Base n definiert lind ihr De finition sb e reich ist auf die Halbachse x > 0 beschrankt (entspricht dem \'('e ne be reich der Exponenzialfunktion ). Zur wtederholung sei erwähnt, dass der Logarithm us zur Basis e als na türlicher Logarithmus hczc tc'hnet w ird, d.h. fex) = lOK. x = In x gilt, und wir un ter (km dekadischen Logarithmus den Logarithmus zur Basis 10, d.h . « x) = log l" x = log x verstehen . Je de r allgemei ne Loga rithm us ( lI I.49J kann an gerdem im mer a uf Jen natürlichen oder deka dischen Lo ga rithm us zurückge führt we rden , da gilt (vg l. Ahsdmill [ 3 .4.4) log x In x fex ) = log" x = - - = - - . loga In u Zudem ist zu beachten, dass fü r die verkn üpfu ng me hre re r Logarithmen die he re its in Ka pitel J aufgeführten Regeln ( 1.97) bis ( 1.99 ), d. h. log , tx . y ) '" lOK. x + l<;s. y, log, (x/y ) - log. x - log . y, lOK x" '" n . lOK x, log, (l / x ) '" - lOK x un d log, ('4 x ) '" t / n ' log, x, gehen . Da die Logarithmusfunktion di e Umteehrfuntnion zur Exponenaialfu nküon darstell t = :l~ ~ x = log " Y I, e rgibt sie sich graphisch du rch Sp iegelung der Expo ru-nzialfu nk tto n an der \Xrinkelha lh ier e nde n des ers ten und dri tte n Q uad ranten des Koord tnutcnsystems (vgl. Abbildung IJJ 2:6) . Deshalb ist der We rtehe re ich der Ex ponc n ziulfu nktion gleich dem D efinitionsbe reich de r Logarithmusfunktion und u mg ckehrt . Es gilt also:

(r

WIr =,,' )=h l, >0)

H

DIr = log., xl ={xlx > o}

="' l= {xl xE II!.)

H

\X'( y = log" x ) =

IX ,

[ xl x e IR}

Da die Um ke hr funktio n der Umkehrfunktion wieder d ie Ausgangsfunktio n ist, ist di e Exponentialfunktion natürlich auch d ie Umke hrfun ktio n der Logarithm usfun ktion (y = log " x ~ x = a Y ) , Elementare l:'i gel/schaftC'1I der l.ogarfth m usfunk tion sind d ie Folge nde n: • Die Gleichung fe x) = lOK x = 0 ist für beliebig e a > () au fgru nd vo n a" = J imme r an der Stelle x '" J er füllt. Alle Logarttlunusfu nktioncn bes itze n a lso dort eine Nullstelle . Es hande lt sich dabei Ulll e he ei l/zige NJlllstelle, J a die Logar uhruusfu nktion als Umkehrfun ktion zur Expo nentia lfunktion im gesamten Definhionsbc reich stetig 1/1/(1 sln'l/jl, 1II01lOtOl/ ste igend oder faltend ist. Folglic h schneiden alle Log arithmusfun ktion e n d ie Absz isse be i x '" 1.

148

111 Funktionen einer Variablen

•

Da jede Logar nhru us fun ktion in ihrem gesamten De finitio nshe re ich ~ tt.' t ig u nd streng monoton stt'igl'nd o de r fallend ist, ex tsue rcn keine iixtrema.

•

J ed e Logarithm usfun kno n Ist auserdein nac h oben un d unten nnheschränts,

•

Ahh;ingig von der Basis a des Logarithmus zeigt sich e in un terschiedlicher Verlauf des Fun ktionsgraphe n (vgl. Abbildung 1II 26 und Ul 27): a - I:

Ve rsuche n w ir log , x über (log x) / (log I ) zu be re ch ne n, stellen wir fes t, dass der Ausdruck .rufgru nd von log 1 - 0 nicht definiert ist. E~ ex isitcrt also ke ine Logar ith musfunktion für a - I.

a > I:

Die Ku rve ist .~ l1t>I I,~ mo noton -'/dgelld. Dies ist wiederum der ökonomisch releva nte Pali. Da run te r fallen au ch y =' log x L1nJ y In x. Fü r 0< x < 1 ist sie negativ und kommt steil nus dem W'e lteberei d l y - --00 . Oie y- Achse h t die Asymptot e , denn für x -? 0 geht Y -? --00 . Fü r I S; x < +00 s ind d ie Fu nktio nswe rte positiv und die Fu n ktio n wird mit zunehmendem x imme r flache r. Je gröser a ist, desto stärker gekrümmt verläuft die Fu n ktio n. 0:

0 < a < 1 : Die Kurve ist -,/ ,."IIg mo noton [a llcntl. Sie ist positiv im Inte rvall 0< x < I u nd kommt in d iesem steil von y '" 00. Die y-Achsc ist

Asym ptote , denn fü r x -? O ge h t y -e +00. Im Bere ich 1 S; x < +00 wi rd d ie Fu nktio n negativ und verläuft imme r flacher .

,. ,

It x j

w

,

(( xl=a ' (a>1)

,/ ,

fr x j

e

x

a ' (O
-:

"'"

,, '

"""" I

-_.---_.---- -_.-.----

_.--

.. .. '

" '

, "

,/

.

[(x )=

log " x LI> 1)

,"

./

-,,----x

f( x )=

Abb ild ung 1lI 26: Exponenzia l- und Logar ithmusfunktionen

log " x (0 < ;1 <

I)

149

2. Elementare Funktionen

, ,, ,

u> I

,

/

/~

/ " ,

-:

..'.-.-

-"

'. '

....

,

.'

..... .. .. '

'

-,-..., .-' -

-'-. -.-.

,, ,, ,,

i

u -s

o

>u
,,; ,, ,

Abbi ldung 111 17: v erlauf vo n Logarithm usfunktion e n

-

2.2 Spezielle Funktionen Ergän ze nd zu de n bisher behandelten Punktion stype n wolle n w ir nu n noch dn ige spezielle Funk tio ne n aufführen . Es e rfo lgt dab e i e ine Besch ränk un g auf die Ahs o1I1f-, die M inimum - und .uaximu 1/1 - sowie die vcrretchen funeuon.

2.2.1

Absolutfunktion

Im Abschnitt I 3.3.2 haben wir be reits den Begriff des Absolutbet rages einer Zahl k en nengeler nt. de r durch sen krec hte Striche symbolisiert wurde und de n nich t neo

gartven We rt dieser Zahl darstellte . lki ei ne r Absolu tfun ktion handelt es sich tim nichts an deres ab ein e absch nittsweis e defi nierte Funktio n der fo lgenden Form :

y=lfCx11=

f( x )

für

f(x )2:0

-F(x J

für

ft x j c O

1

(111.'50 )

Die Puneuonsuvrte e iner solchen für alle x E IR definierten Funktio n sind also ehenfalls stets mchtnega tio.

111 Funktionen einer Variablen

150

Beispi el : Fall f(xl = x:

1

y = lxl = -:

für

' >0

für « 0

Graf isch ergibt sich folgen der Funktionsverlauf:

y

-, Bei dieser Funktion han delt es sich also um eine stetig e Funktion, die etcts oberhalb der xAchse verläuft und ihr Minimum im Ursprung hat.

2.2.2

Minimum- und Maximumfunktion

Durc h die sog. Jf(/x i lll lllllj illlklio /l (l 1I5 1a)

f( x ) = max {g( x ); hex)}

wird e ine Funktio n

.

f( x )

=

{ A( X) falls g{ x);?: hex) hex ) falls g(x) < hex)

(1II.5l h)

dargestellt. Dies bedeute t, dass ff x) durch de n jeweils gröseren \X'en der beiden zur Auswa hl stehenden Funktione n glx) und hex) bes timmt wird. D il ' .11i 11im 1/ 1/(/; 111tuton f( x ) = m in {g(x ); lu x j]

01 1.')2,, )

is t dementsprechend de finiert als

f (x ) = {

g( X )

falls

g(x)

~

hex)

h(x )

falls

g(x )

> b (x ).

( lIJ.52b)

Für beide Funktionen kann die Gleic hheit g{x) - hex) auch in der jewe ils zwei ten Fallun terscheidung berücksichtigt werden. Zw ischen de r Mtn tmum- und Max im umfu nktio n besteht allgemein d ie Be zie hung

max {g( x ); br x j] =-m in {-g(x ); - ht xj}. Beisp iel :

011. 5.1 )

Die beiden Funktionen f(x) = maqs: x 2 - 1} und f(x ) = - min{-3:- x2 + 1} sind identisch.

~

2. Elementare Funktionen

151

Beisp iel zur Maximumfunktion : Gegeben sei die Funktion f(x) = max{x - 2; 1}: f

f x- 2 falls x -2 <:::1 falls x -2 <1 (X) = l 1

~

f

f x- 2 falls »3 (X) = 1 1 falls ><3

Grafisch ergibt sich daraus folgendes Bild, da im Bereich x 2: 3 die Funktion g(x) "" x - 2 und im Bereich x < 3 die Funktion h(x) = 1 gilt: y

g(x) =x -2

h(x) _ 1 3

x

-2

Beisp iel zur Minimumfunktion: Gegeben sei die Funktion l(x) = min{2; - x + 1}:

taue

f(x) = f 2 2 :S -x +1 l - x + 1 falls 2 > - x +1

~

falls f(x) = f 2 l - x + 1 tans

xs - 1 x> - 1

Da im Bereich x ~ - 1 die Funktion g(x) ,. 2 und im Bereich x > - 1 die Funktion h(x) ,. - x + 1 gilt, ergibt sich hier folgendes Bild: y

g(x) ,. 2

2 1

h(x) =-x+ 1

x

152

111 Funktionen einer Variablen

2.2.3

Vorzeichenfunktion

In tere ssiere n w ir uns nu r für d ie Vorzeichen der \Ver te einer Fu nk ti o n , kö nn en wir [']I d iese über d ie sog. vorzctcbenfuntuton ~

+l sig n(f( x))=

{

für ff x j c- O für

f(x)=O

- 1 für

F(x j c O

0

011.54)

ausdrücken. Grafisch ergibt sich die Vorzeichenfunktion w ie i n Ab bildu ng l f l 2H ve ranscha ulic ht. D iese Ab b il du ng zeigt , dass d ie Vorzeichen funktio n im m er d an n den We rt + I ann immt, wenn die betrac-hc te Fun kti o n ((x) übe r der x-Achse verbu h b zw . de n \,<'ert - I ann immt, wenn f( x ) unter der x- Achse liegt.

y y = f(x)

.. .' .' . '

' ''---.' ..

."',

sfgn ( ff x)

..,/ -"-""-_ _"""'--1 -1 '. ..' -'--

x

,,-

Abbildung 1II .2R Vorzeichenfu nktion

Beisp iel :

1 für sign(x 3 - 27 ) == :

1

für

- 1 für

xJ _ 27 > O x3 - 27 == 0 x3

+ 1 für H

sign(x3 - 27) ==

0

1

für

- 1 für

_ 27 < O

Skizze :

y

3 i ----.t------< -1

x

153

2. Elementare Funktionen

-

2.3 Ökonomische Funktionen Hä uftg we rden mathematische Funk tionen zur Darstellung ökonomischer Sachverha lte herangezogen . \\ 'ir sprechen dann von sog. ökrJl/omischcll Punletienen, Im Fo lge nde n werden Ange bo ts- und Nachfrage-, umsatz-, Koste n- lind Gew innfunktionen als w ichtige Vertreter diese r Funk tionsklasse kurz vorgestellt.

2.3.1

Angebots- und Nachfragefunktionen

Auf einem Markt kann dax Verhalten von Anbietern und Nachfragern durch sog . Angebots- und Nachfragefunkt tonen be schrieben werden . Die An ge bots fu n kt to n beschreib t den Zusammenhang zwischen der angebotene n xte nge x" (S; Supply = Angebot) und dem Preis p . Fo r mal bedeutet dies xS=f( pl .

•

(II 1.55 l

Diese Fun ktion ist m Oll % ll n-achsend. da be t steigende n Marktpreise n d ie Anlncter ihre Angebotsm en ge erhöhen we rden . Mit de m "+"-Zeiche n in der Formel wollen wir gertau dieses Verhalten ausd rücke n. Die Nac h fragefu n kti o n , d ie d ie Beziehu ng zwisc hen nachgefragter Me nge x'' ( D: Demari d - Nachfrage ) in Abhängigkeit vom Pre is p besch reibt . lau tet ( II1.56)

Hie r liegt ein e 1I10 11Of f)// f allende Funkt ion vo r, da bei ste igend e n Marktpreise n in der Rege! die Gü ternachfrage zurückge ht. Dies drücken w ir durch das v-v-Zek-hen in der Formel aus . De r Definition s- und Werte be reich de r beiden Funktione n ist natürlich nur auf positive 'x'crtc beschrän kt. De r Sch nittpunkt zwisch e n (11 1.55) un d 01 1.)6 ) defin iert de n sog. Gleichgewichtsprei s p", hei dem angebotene und nachgefragte :\lc nge übereinst imme n. Wir sprechen dann auch von der Gle ic h ge wt chtsmenge X·. Bei Berech nunge n und graphischen Darstellungen von Ange bots- und Nachfr agefunk tione n bedient man sich häufig derer Umhehrfnniüicnten, also im Fall der Angebotsfunknon (11 1.57)

und de r Nachfragefu nktio n (11 1:,8 )

Auch in dieser Fonn bleibt d ie Angebotsfunktton mo no ton steigen d und die NachFragefun ktion mon oton fallend . Nehmen wir an, heide Funktione n sind linear (Ange botsfunk non . P = all +:l l . XS , Nachfragefun kno n. P = hl) - " 1 . x ll l, so können wir das :\larkt gle ichgewicht mitt els Ahhildung III 29 darste llen. Die Nullstelle der Nachfragefu nktio n ne nne n wir Säntgu n gs men ge . Dies bedeutet, dass die Nachfrager maximal d iese ~ 1enge nachfragen und nich t mehr. p(xJ») = 0

(11 1.59)

154

111 Funktionen eine r Var iab len

De r Sehrunpun kt der Nachtru gefu nktion m it der p-Achsc stellt den so g. ProhibiIhrpreis dar. Dies ist de r Preis, bei dem die Nachfrage a uf Null sinkt.

pcx " = 0 )

(111.60)

De r Preis be i dem d ie a ngeborene Me nge bei Null liegt, heif31 Mindestpreis . Erst ab die sem Pre is bie ten d ie Unte rnehmen an. (] 11 .6 1)

lm Sch mu pun kt von Angebo ts- un d Nachfragek urve erg tbt sich <.la.s Marktglcich. gewlchr G( x*; p"). Hie r sind Angebo t und Nach frage gleich . pexs ) =pex])

(11 1.62)

p Angebot

Mnxirn alp rei s,

Prohibitivpreis

p'

------

, ~,( x.;

pO)

Mindestpr eis

Nach frage

"

Si[tt lgu ngsm c ng e

Ab bildung IJI 29: Angebo ts- und Nachfragefunk t fon

Beispi el: Betrachten wir einen Markt auf dem für die Angebotsfunktion p(x D) = 500 - 2,5x und für die Nachfragefunktion p(x S) = 100 +1,5xgilt. Es ergeben sich hier folgende Werte (1 11.59) bis (1i1.62): Sättigungsmenge:

500 - 2, 5x == 0 H X == 200

Pro hibitivp reis e

p == 500 - 2,5· 0 == 500

Mindestpreis:

p = 100 + 2,5 ,0 == 100

Marktgleichgewichl:

500 - 2,5x == 100 + t,5x H x == 100

--t

p{l 00) == 250

Nehmen wir nun an, der Marktpreis würde durch staatliche Maßnahmen auf p = 200 Euro festgelegt. Dann gilt für Angebot und Nachfrage: p{xD) = 500 -2,5x H xD = - 0,4p + 200 ...,. xD(200) = 120 p{x s) = 100 +1.5x

H

x S = t p _ 2g0

...,.

x S(200) = 66,67

Wir erkennen , dass bei diesem Preis die nachgefragte Menge über der angebotenen Menge liegt. Es herrscht ein sog, Nach frage überschuss. Der umgekehrte Fall wird als Ange botsüberhang bezeichnet.

155

2. Elementare Funktionen

2.3.2

Umsatzfunktion

Eine Umsatz- oder Erlösfunktion gibt den Um satz R (engl. Re ven ue) in Geldei nheiten in Abh ä ngigkeit von der abgesetzten Güterme nge x in Me nge ne inh eite n an. Da Umsatz =' Pre is ' Men ge is! , gilt ulso 0 11.63)

IH x ) = p· x .

Diese Funktion 011.6 3 ) ist nur auf einem ;\brkt mit I'Ol/ställ diRC'r K() IIA~lIrr{,lI z gültig. Auf ein em selchen Markt gibl l'S eine Vielzahl von kleinen Anhictern , von denen jedes einzelne Unternehmen keinen Einfluss auf den Marktprei s hat. Es ist sog. Preisnehmer und kan n zu dem gegebenen Marktpre is alles absetzen .

r

Ein Unte rnehmen un ter unrollsrändiger Konlenrrens: ( z.n . ein Mon opol oder ein Unternehmen un ter mo nopolistischer Ko nkurre nz ) hat hingegen einen gewissen Preiseinfluss. Es sieht sich einer monoton falle nden Preis-Absatz-Fu nktion p(xl gcgenüber. Das Unternehmen kann zwar z.B. den Pre is erhöhen . m uss aber be rück sichtigen , dass dann a uch die abgesetzte (nachgdragte) Menge sinkt. Die Erlösfunktio n ist dann nichtlinear und lau tel 0 11.64)

R(x)=p(x)·x .

Liegt ansrau p(x l die Funkt ion xt p) vor , so können wir den Umsatz auch alternativ über \{{p l =' xrp) . p bestimme n . Abbild ung Hl 30 zeigt die jeweiligen Verläufe der Umsatzfunktion bei linearen Preis-Absatz- Funktionen (Nachfrage fun ktion c n t. ße i e iner xtenge von Null ist der Umsatz auch Null, Die Umsa tzfunktion beginnt daher im Ursprung. R

R

vollstä ndige Konkurre nz I{( x )

unvollst än dig e Konku rrenz

IH x)

,

x

Abbildung !11 30: Umsatzfunktion en bei linearer Pn-is-Absntz-I'un ktio n Bei spiel e: 1, Auf einem Markt mit volfständlqer Konkurrenz herrscht für ein bestimmtes Produkt ein Preis von 10 Geldeinheiten. Für einen Anbieter eines solchen Produkts gilt daher die Umsatzfunktion R(x) : 10x. 2. Die Preis-Absatz-Funktion eines Monopolisten hat die Form p(x) = t t e? ". Es ergibt sich für diesen dann eine Umsatzfunktion von R(x) = 11xe-
11 1 Funktionen einer Var iablen

156

2.3.3

Kostenfunktion

Di e Gesam tkostenfun ktion beschreibt den Zusarnrncnhung zwischen den Gesamtkosten C und der produzierten :\lcnge x (Output): C=C(x)

•

Sie se tzt sich zusammen aus einem o utp utunabhängig e n Ante il (z. B. Vers ieherungsbenrägc. Mieten , U S\\' , ) , de n sog. fixe n Kos te n Cr' und ei nem von de r Produk tionsmenge x abhängigen Ante il (z, B, Pcrug ungsm.uertat, Betriebssto ff e, usw.). den sog , va riable n Koste n C,(x). Es g ilt also

C(x )=C I + C, ( x ).

0 11 .6; )

\'('e rd en d ie Gesamtkosten C{X ) durch d ie produ zie rte .\ le nge x dividiert, erhalten w i r d ie Durc hsch ni lls- oder s t ückkosten AC tengt . Average Costs)

C( x ) AC( x ) = - - .

x

6'

(] II . JO)

AC( x ) g ibt an , wie viel die Produ k ti o n einer Einheit kos tet , wenn gcnnu x Einheuen produziert werden . Setzen w ir (1 11.6') i n (1 11.66) ein, so e rke nnen wir, dass sich die Stückkosten aus den variablen Stückkosten AVC rengl. Ave rage var iable Costs) und den fix e n Stückkoste n AFC tengl. Av erage Fi x Costs ) zusammensetzen: Cf C,,(x ) AG x ) =- + - = A FC(x)+ A YC( x j

x

x

(11 1.67)

Bei AFeex ) ist die sog. Fixkostende gre s s ion zu be ach te n tvgl. Abbildu ng 111 31). beson dere Bede utu ng beizumessen . Lege n wir d ie Hxkosten , d ie imm e r in Höhe C, anfallen , auf d ie produzierte Menge x um, so werden sie p ro Einheit (A Feex )) im mer geringer, je mehr man produz iert . Es gilt also

-

lim AFC(x)=O , ~

.....

w enn sehr wenig p roduziert w ird, wachsen die A Fe(x ) allerdings auch überproporttonal an: lim AFC(x)=+oo ~--->l l +

D a C, eine Ko nstant e ist, verlullt sich AF C(x ) q ualitativ wie d ie Funktion l!x, w obei AFC{x) jedoch nur für x > 0 definiert ist. AFC

AFC{ x )

Abbildung [11 31: I'ix kos te ndc gressio n

2. Eleme nta re Funktionen

157

Je nachde m, wi e C ste ig t, wenn meh r p rodu ziert w ird , kö n ne n w ir vier AI1cII lW I Kostenfunkuonen un terscheiden, über d ie dü: nach folgen d e Tub elle einen ers ten Überbl ick g ib t. Ox)

Ve rla uf

AVC(x )

linear cpropomonol)

linear

ko nstant

jJmgr('.~silt

ko nvex

wachsend

degressio

konkav

falle n d

ertragsgesetzlieb

s-fö rmtg

fa llend/ wa chsend

Im

liI/C{lIt' II

Fall ha t d ie Kostenfun ktion d en Aufbau

wobei sich d ie va riablen Kost en C.ex) d urch Multip likat ion der Stüc kza h l x mit den durchschniulichen va riab len Kosten AVC erge hen. Die Gesamteosten wachse n a lso jJmjJOrlüJ1/a!mi l de r pro duzierten Men ge . Diese lineare Gesanukost enfu nktion erg ibt sich gra fisch (w ie jede andere Ge sa mt ko sten fu nkti on :IlICh ) d urch pa ralleles Ve rsc h iehen der Punktion C,(x) u m C, nach o be n tvgl. Abbildung 1I[ .32 ).

Die i-ariablcn Stü chleusten sind für ei ne line are Koste nfu n ktio n imme r konstant u nd die Stüc kkoste n funk tio n AGx ) nä hen sich au fg run d d es H xk osrendc gressio nsc ffck tes vo n oben dieser Konstante usymptotisch a n.

c

AC C( x )

AC( x )

C, (x )

r--------------- - - - - - -

AVC(x)

Cr

AFC(x )

x Abbildung 111 32: Line are Koste nfun ktion Beispiel:

C(x) =1,5 x+ 70

-t

Cv (x) = 1,5x

Cf = 70

70 AC{x) = 1,5 + -

-t

A VC(x ) = 1, 5

AFC(x) = 70

x

x

'cce un die Gesanueostenfunetton progresstr wä chst (konvex), zeigt sie d as in Abb ildung 1[1 33 d a rgest e llte Ve rlau fsmust e r. Die oariablenSttickleosten ,\ VC(x ) sleige ll

158

11 1 Funktionen einer Variablen

in diesem Fall, wo be i d ieser Anstieg p ro gressiv, linear oder auch d egressiv sein kann ,

c

AC

C(x ) C,

(x)

r------ - - - --- - - - -

AC( x ) ~

Cr

Abbil dung

[JI

- :::_ AVe( x I AI'C( x )

33: Progressive Ko ste n fu n ktio n

Beispiel: C(x) :=O,1x 2 + 25

--)

C v( X)=O,1x 2

CI = 25

25 x

-)

AVC(x) = O,1x

AFC(x) = -

AC{x) = O,1x +

25 x

\'h iehst die Gesanukostenfunteuon (( x ) degressil' (ko n ka v l, [allen die rartobten Stückleosten AVC( x). Die Fu n ktio ne n weisen di e in Abbildung 11l .~4 dargestellten Verlä ufe auf. C

AC

c ( x)

c . (x )

r------- ----- ----

Cr

Abbildung 1II 34: Deg ressive Ko sten fun ktion Beispiel: C(x) = xO.7 +55

CI = 55

AC{x) = x- O,3 + 55 x

55 AFel ' ) = x

2. Elementare Funktionen

159

Eine ertragsgesetzliebe GeSllmfkos!clljtlllkfüm wl"ist e ine n s-j(Jrl ll ip,ell vertauf auf. Sie bes itzt eine n degressiv ste igenden Abschn itt, de r nach Übcrschn-iu- n eines We-ndepunktes W' in einen progre-ssiv steige nden Absch nitt übergeh t. Im \X'l'ndepunkt liegt ein linearer Verlauf HH. Diese r kan n sich in der Praxi s auch über ei ne n längeren Abschnitt ers trecken .

c

AC

C(x)

C,,(x)

W'

AF« x ) x

AVC( x )

Abbildung III 35: Ertrugsgcsctzlk-he Koste nfunktion Bei spiel: C(x) =

ix3 _ 3x2 + 9x + 10

2 10 AC(x) = lx - 3x + 9 + 5 x

--t

C ~( x) =i x3 _ 3 x2+ 9 X

Cf = 10

-t

AVC(x) = ix2 _ 3X+9

AFC(x ) = ~ x

Damit sind alle mög lichen Koste nverläufe abgebildet. Häufig trifft man allerd ings auch auf tl ilstet ig e Kostencertaufe. die meist d urch Ptxkos re nverände runge n be i Erreichen be stimmte r Produ ktion sme nge n gepr~i!-lt sind . Beispiel: C(x) =

!

X+ 50

für

O::; x ::;100

x+70

für

100 <x ::; 200

x+ 100 für

200 < x :s300

Hier ändert sich bei steigender Produklionsmenge der Fixkostenanteil der Kostenfunktion, da z.B. ein Ausbau der Produklionsanlagen erforderlich wird. Denkbar wäre auch eine Veränderung der variablen Stückkosten (hier konstant 1 Geldeinheit) aufgrund von z.B. Mengenraballe n beim Einkauf des Fertigungsmale rials.

2,3.4

Gewinnfunktion

Da Gesrmn allgemein als Umsa tz minus Kosten definiert ist, erg ibt sich die Gewinnfun ktiun G(x ) ab Differen z aus Umsatzfunk tion H(x) lind Koste nfunktio n C(x): G( x ) = IH x ) - C{x) = p(x) ·x - C{x )

(111.68 )

Der Be re ic h in dem die Gewinnfunktion überhal b der x-Achse liegt (G(x) > 0), wird als Ge w in n zone bezeichnet. De r Punk t an dem G{ x ) = 0 gilt, heif~t Gewinn-

160

11 1Funkt io nen einer Variab len

sc h welle (oder cngl. Break-Evc n-Point, HEP). Die Gewinnschwelle ergibt sich sowohl als Nullstelle von G(x) als auch als Schnittpunkt vo m Umsatz- Lind Ko ste n funknon. G( x ) = 0 IH x ) = C( x )

I{( x ) - C( x ) = (j

\X"i rd nk-h t produziert {x = 0 ), liegt ein negativer Gewinn bzw . ei n Verlust in Hö he der Ftxkostcu vor. Es g ilt näm lich: G(x) '= R{ x ) - C( x ) = {r( x ) , x ] - [C r +C,.(x )]

--. Gral = [1'(0 ) . OJ-

[c, + C, lOlJ =-C r

Die se wesentlichen Eigenschaften von Gewinnfunktionen sind in Abbil dung 1II 36 für den Fall einer linearen Koste n- und einer linearen Umsatzfunktion im Überb lick

zusammengestellt. Es ist dar in auch eine natürl iche Gew inngre nze enthalten . Irge nd wan n erreichen d ie rerugung-antagen e iner Un ternehmung ihre Kap azträtx grenze, d.h . es können nicht mehr Me nge neinhe uen produziert werden. Bei d iese r Gre nzt' erre icht dann natürlich auch der Gewinn set n Ma ximum . C, K, G

R( x 1

Cr

L

-----:;/;:re::::::::-:-----C(XJ BEI'

Kapazitäts gren ze -C r

____

_ _y

~ _ - - - _ A

Verlustzo ne C(x) > lU x ) Abbildung

[JI

_

Gew innzone l{(x ) > Crx I

3(): Lineare Gewinnfunktion

Bei spiel : Nicht immer müssen Gewinnfunktionen einen linearen Verlauf wie in Abb ildung 111 36 aufweisen . liegen etwa eine quadratische Umsatzfunktion R(x) "" _0, 2x 2 + 5x und Kostenfunktion C(x) "" 0,4x 2 + 10 vor, so ist die Gewinnfunktio n ebenfalls quadratisch. G(x) = R(x) - C(x) = (- 0,2x2 + 5x) - [0,4x 2 + 10] = - 0,6x 2 + 5x - 1

°

2. Elementare Funktionen

161

Wird hier nicht produziert, resultiert ein Verlust in Höhe der Fixkosten der Produktion von Cf = 10. Die Gewinnzone können wir bestimmen, indem wir zunächst die Nullstellen der Gewinnfunktion bestimmen. Wir erhalten -0,6x 2+S x - 10 =0 H Xl = 3,33 ; x2 =S , Die Gewinnbedingung lautet G(x) > O. Dies beschreibt den Bereich, in dem die Gewinnfunktion (nach unten geöffnete Parabel) oberhalb der Abszisse verläuft. Mit Hilfe der ermittelten Nullstellen lässt sich die Gewinnzone als J3,33; S[ angeben. Da bei den meisten Gütern aber nur ganze Stück produziert werden können, ist die Gewinnzone besser als [4; S[ zu formulieren, wobei aufzurunden ist, da sich für x = 3 ein Verlust ergeben würde. Skizzieren wir die Ge winnfunktion allge mein, erhalten wir folgendes Ergebnis:

C,A,G

CI' )

AI')

"

'------r------'

GI' )

Gewinnzone

Werden 4 Einheiten produziert, führ! dies aulgrund Cv (4) = 0,4 . 4 2 = 6,4 und Cf = 10 zu den Gesamtkosten C(4) '" 0,4 . 42 + 10 ", 16,4 und mit R(4) '" -0,2 . 4 2 + 5 ·4 = 16,8 zum Gewinn G(4) = 16,8 - 16,4 '" 0,4 oder G{4) '" -0,6. 42 + 5 · 4 - 10 = 0,4. Für die Durchschniltskosten gilt AC(x) = 0, 4x

2+1

x

0

= 0, 4x + ~ -+ x

10

AC(4) = 0,4 .4 + - 4 =

1,6 + 2,S = 4,1. AVC(4)

AFC(4 )

Durch D ivis io n der Gesamtgewinnfu nkt io n Gt x) durch di e produ zierte Me ng e x erhalten w ir den Stückgewinn

G( x )

g(x) = - - .

(II 1.69a)

x

Alterna tiv kan n der Stückgewinn a uch ab Diffe renz aus Pre is lind Stückkosten. also ab (lJUi9b )

g( x)=p(x)- AC( x) ,

erm ittelt w erden , da G(x ) R( x ) - C( x ) p( x) ·x C( x) g( x )= - - = = - - - = p ( x )- AC( x )

x

gilt.

x

x

x

162

11 1Funkt ion en ein er Variab len

werden von der Erlös fu n ktion IH x ) nu r die va ria blen Ko sten C,(x) angezogen , er-

halten wir de n sog. Deckungsbeitrag D(x ). Er e ntspricht dem Beitrag de r Prod uktion zu r Deckung der fixen Kosten . Erst wenn der Deck un gsbe ttrag gröser als die fi xen Ko sten ist , e nts teh, ein Gew inn.

D t x ) = R(x) -C,,( xl = G( x ) + C.

(111.70 )

Die Deckungsbe itrag sfun ktion en tsteht somit du rch Pa rallc lve rxch icbung d er Ge winnfun kt ion u m d ie Fix kos te n n ach oben. Sie giht d ie Gew in n zone in dem Be reich an , in dem D(x ) üb er der Ftxkos te np urallc le zur x-Ach st" lit.'gl.

De r s rüc kdecku u gsben rag d(x ) ergibt sich als Dt x ) ~ dt x ) = -- = p( x ) - AVUx ) , x wobei d(x)

~

(l 1I.7 lJ

g( x) g ilt.

Beispi el: Für unser vorhergehendes Beispiel liegt der Stückgewinn bei g(4) '" G(4) 1 4 '" 0,4 / 4 '" 0,1. Der Deckungsbeitrag liegt bei 0( 4) : G(4) + 10 : 0,4 + 10 ", 10,4. Dieses Ergebnis erhalten wir auch durch Einsetzen von x '" 4 in D(x) '" -o,6x2 + 5x. Es wird also durch die Produktion von 4 Einheiten ein Beitrag von 10,4 zur Deckung der Fixkosten geliefert. Da dieser Beitrag die Fixkosten übersteigt, entsteht der berechnete Gewinn. Der Stückdeckungsbeitrag lag bei d(4) '" D{4) / 4 '" 10,4 / 4 '" 2,6. Grafisch zeigt sich die Deckungsbeitragsfunk tion wie folgt:

C,R,G

C{x)

A(, )

c, x

'-y--' Gewinnzone

3.

Differenzialrechnung

Die Differenzialrechnung wird überwiegend zur Analyse von Funktionseigenschaften (Extrema, Wendepunkte, usw.) eingesetzt. Aufgrund ihrer enormen Bedeutung definieren wir daher im Folgenden nach einem kurzen allgemeinen Abschnitt zunächst den Begriff des Differenzialquotienten einer Funktion y = f{xl , der auch als erste Ableitung von f(xl nach x bezeichnet wird . Da gene rell die Bestimmung des Differenzialquotienten ein aufwä ndiger Vorgang ist, stellen wir außerdem vereinfachte Techniken zur Differenzierung

vor. Den Nutzen der Differenzialrechnung veranschaulichen wir schließlich im Rahmen allgemeiner Kurvendiskussionen, ökonomischer Funktionen, Elastiziläten, Wachstumsraten, dem Newton-Verfahren zur Nullstellenbestimmung und der Regel

-

von I'Hospital.

3. 1 Einführun g In den Abschnitte n 111 I und IIJ 2 haben w ir Eigen schaften von Fun ktion e n bc trachtet. die für e ine n festen Funktionxv..'e rt x '" u oder für ein Inte rvall [ galte n. Typische Be ispiele da für waren Nullste llen und Extrema oder die Krüm mun g. \'(,ir sprechen in diesem Zusammenhang auch von sta tisch en Eil-Wl/scbajleJl einer Funknon . Im Gegensalz dazu herasst sich eine dyna mische netracbtungsuetse mit dem Vergleich von Funk tionseigenschaften a n versehredenen Stellen . Es ge ht also um Eigenschaften, die relativ zur Funktio nsände rung definiert sind. Dazu gehören etwa die Steigung oder Krüm mun g e iner Funk tion . Diese dynam ischen Eigenschaften sind bei ökonomischen Funktionen sehr wicht ig. \x'ir Inte resste re n uns nämlich typtscherweise für Antwo rten a uf Frageste llun ge n der folgenden Art: •

welchen Einfluss hat es auf den Gewinn G(x ) oder die Kosten C(x ), wenn bei e iner gewis.~en Ausbrmgungsmenge selblge gesenkt oder erhöht wird?

•

Wie verändert sich die Nachfrage x'', we nn ein Untern e hme n den Preis e rhöht oder senkt?

Konkre t ist hier also von Inte resse , w ie sich die Funktio nswe rte ändern , we nn die un abh ängige Va riable an e ine r Stelle x ., a geringfügig verän de rt wird. Eine ÄlI iterungsrate ist nic hts a nderes als ein .\I a f~ für d ie relat ive Ände l"ll ng einer Funktio n pro Einheit von x a n ei ne r Stelle x ... a . Die bishe rige Argumentation verdeutlicht, dass es nicht um Ve ränderungen generell geht, so ndern um Veränderungen an e iner vorgegebenen Stelle de r un abhän gigen Variable n. So kann es nä mlich sei n, dass a n e ine r Stelle x '" a , d ie Funktio n stark zunimmt, wenn x e rhöht wird : ;\0 einer anderen Stellt' x ... a ! jedoch deutlich abnimmt, wenn x erhöht wird .

164

11 1Funktionen einer Variab len

Um Ände rungsrare n genauer analysiere n bzw. bestimm e n zu können, bediene n wir un s de r D l.fferenzialrechnung bzw. der Bestim mung von Diffe re nzialquotie nte n.

-

3.2 Der Differenzialquotient Betrachte n wir Abbildung III 37, die den Verlauf ei ne r Fun ktio n y - [(x l im Inte rvall la, . n ) hzw. zwischen den Punkte n (',(a,; ß,) lind P,lCl,; ß,) zeig t. Die Diffe renz der Inte rvallgre nze n ist da rin m it AX.. a, - u " die der Funktio nswe rte m it ay .. ß, ß, .. ftO) - ( U = [( a , + d x ) - ( a ,) be ze ichnet. L

)

y

s

132 = Ha I + 6.x )

,, ,, ,, 6.y =

~

",

P,

_....._-_._-- -_. __.. __ . ~

ex

= U2

f( U I

+ilx )-

~

f(a l )

",

- al

a,

x

Abbildu ng 1II 37: Di fferen zen q u ot ien t

Bestimme n wir d ie d urchsch muliehe Veränderung de r Funktio n im bet rach tete n lnte rvall, d.h. d ie Veränderung vo n y pro Einheit von x, so ergi bt sich Liy = P2-131 =f( u 2) -f( u l ) = f { u l + lix) -f( u j Lix u 2 - u l u2 - ul Lix

)

Dies en tsp richt der Steigung de r Sekante S. \\ 'ird der konkrete 'x'en u , d urch die veränderliche x ersetzt, so erg ibt sich der allgemei ne Q uo tien t öv f( x +Lix ) -f( x ) - ' = öx öx

0 11 .71)

de r als Differenzenquotient der Funktion y .. f(x l an der Stelle x beze ich net wird . Innerhalb e ines Intervalls öx gibt e r d ie Än deru n g des Funktio nswe rtes rela tiv zur Ände run g der u nabh ängigen Ve rä nde rliche n an. Nähert sich der Pun kt 1', immer me hr dem Punkt 1\ , stre ben öx und öv gegen Null. Die Sekante zwischen den Punkte n P, und P, schm ie gt sich imme r enger an die Kurve y .. [(x) a n un d wird schließl ich zur Tangente im Punkt 1', rvgl. Abbildu ng 111 3H). Die Steigung der Seka nte w ird som it zur SteigU11g der 7"(1111,11"1((>. Die Tangentensteigung e rgibt sich also gerade als Gre nzwe n der Sekan tcnsre tgu ng bzw . des Diffe re nze nq uotie nte n (JIJ.72) für öx --+ O. Diese r Grenzwert ist de r sog. Differenzia lquotient der Funktion y .. [(x) a n de r Stelle x:

165

3. Differenzialrechnung

uy = tim ily = lim f(x + ,ix )-f(x) dx lIx ~1l ilx lIx->1l öx

(1 11.73)

(l l1.73 l gibt also die Steig llllg der Kurve (bzw. ihrer Tangemel an der Stelle x an. Der Unte rschied zwisc hen den Sym bole n il y bzw. öx und den Bezeichnungen dy bzw . dx besteh t da rin, dass es sich be i a y und öx um e ndlich grose Abstände ( Diffe re nze n ) und hei dy un d dx um infinitesimal kleine (une nd lich kleine) Strecken (Differe nziale) hande lt.

s

T f( x + ß X)

- --- --- - -- - - - - --- - -- -

- - --- -::;> - - - ~'t.C-

.1y -+ 0

f( x )

il x -jo 0 x

x +öx

x

Abbil d ung 111 38 : He rle itu ng Differenzialquotien t D L'r ötfferenztatquouent w ird häufig als die erste Ableitung der Punleüon .I' .. ßxJ nac h der unabbdngtgen Variablen x beze ichnet. Für diese gibt es versc hiede ne

Schreibweisen, d ie auch in den folgende n Absc hn itten Verwendung finden :

u= y v" = v( xl=d f= r' = l '( x ) =d- r( x) dx . . dx UX

\'( 'ir sprech e n "dv nach dx", "y Strich", "Y Strich von x", "df nach dx", "f Strich", "f Strich von x" hzw. "d nac h dx vo n f(x)". De n Vorgang der Be rechnun g des Differenztalquoueme n bzw . der Ableitung nennen w ir ni.D'e/"('lIzi('n'll . Dabei geht es stets um die Berechnung des obigen Grenzwertes . Beispiel: Zu berechnen sei der Differenzialquotient bzw. die erste Ableitung der stetigen Funktion 2 l(x) '" 3x + 4x + 3.

2 . [ 3 . (x + & )2 + 4 , (x + ,Q,X) + 3J- [ 3x + 4X+ 3J um '" lIXhm "--------;::--'--'-------" Ale ->0 ,Q,X ->0 ,Q,X 2 2 . L[ 3. (x + 2· x .ex + (& )2)--,+ 4x + 4 · öx + 3J= hm '--3X - 4x -3 _

, I (x) =

.

Ale ->O

l (x+& )-l (x)

ex

3x2 +6x ·ßx + 3 (&)2+ 4x + 4 'ßx+ 3 - 3x 2 - 4x- 3 ,.rm -='-'--'-"'-'-'='-'--"=-'-'-:''--''--'=-'-''--'=_-'''--'0 Ale ->O ßX

166

11 1Funktion en eine r Variablen

,

=

" 6x · ':\'x + 3 · (f!.x ) + 4 ·;1x = "1m 6 ' Im

L!.X.....o

zx ' = lim 6x + 3 · D,x +4 = 6x +4

ex.....O

"' ~O

Diese Funktion f{x) = 6x + 4 gibt nun die Steigung der Funktion f(x) an der Stelle x an. Für de n konkreten W ert x '" 5 ergibt sich

f'( x) = 6x + 4 --+

1'(5) = 6 ·5 + 4 = 34.

Die Gleichung der Tange nte an de r Stelle x = 5 wäre da her

t{x) = ad x- a ) + ß = 34 ·(x - 5)+ 1(5) = 34x - 170 + 3 . 52 + 4 · 5 + 3 = 34x - 72.

Dieses Be isp iel verdeutlicht noc hmals , dass die Bestimmun g des Diffcren zia lq uo ue nte n im 'x'csenthche n e ine Grc nzwcrtbesummung ist. Wir erkennen außerdem , dass die ers te Ablei tung einer Punktio n y - f(x) l.d.R . sel bst wieder e ine Funk tion von x ist lind durch Einsetzen eines besti mmt en \'('en c s x - 0: die Steigung f'( U )

an d ieser Stelle bestimmt we rde n ka nn . Eills der Gre nzwen (111.73) für e ine Stelle x ~ c exis tiert und für jeden beliebige n Gre nzübergang öx ~ 0 stets eindeutig ist, heißt ein e Funk tion y - f(x) an der Stelle . . - c differenz ierbar. Existie re der Gre nzw ert für jede Stelle x des Definitio nsbe reiches und ist e r zudem e indeutig, so ist y - fIx ) im Resmnfe ll Def initionshereich differenzierbar. Da der Diffe re nzialq uotie nt d ie Steigung der Funktio n angibt, muss ei ne Fun ktio n, die a n e ine r Stelle x d ifferenzierbar sein soll , do rt auch stetig sein. Andernfalls wä re der Grenzwen nich t eindeutig. Es gilt daher, dass jede dtfferenrterbare Funl etion auch stetig ist. n ies gil! jedoch nich t unbed ingt a uch umgekehrt , wie Abh ildung 111 39 verdeutlicht . Be i den hie r dargestell ten Funktio nen , d ie bcide stetig sind , be reitet es näm lich Schwierigke iten a n de n Spitze n x - u eine eindeutige Steigung zu ermitteln . g( x) besitzt bei x - o: keine Ta ngent e, sodass w ir nich t mehr von Steigung sprechen können. ht x) besitzt bei x - c hingegen zwei Ta nge nte n. \'(.'ir erhalte n e ine andere Steigung je nachdem von welcher Seite wir uns annähern. Zusammenfassend können wir dahe r festh alten . dass nur eine stetige Funktio n, die keine Ecken , Spitzen oder Ähnliches aufweist , differenzierbar ist. y

y

zwei Tangenten

keine Ta nge nte

x Abbild ung 111 39: Nk ht differenzierbare, ubcr ste tige Funktio ne n

3. Differe nzialre chnung

-

167

3.3 Technik des Dillerenzierens Grun dsätzl ich können wir Diffe re nztalq uotiente n bzw . die ers te Ableitu ng ei ne r Funktio n y = f(xl im me r m it de m in Absch nitt 111 j .2 de finie rten Grenzwe rt be rech nen. Diese ve rge be nsweise ist jedoch re cht ze itraube nd und au fw ändig . Es habe n sich des halb Ableitu ngsregeln für ele ment a re Funktio nen etab liert. .~fit die se n wol len wir uns nun im Folge nde n e ingehend beschäftige n. \'( 'ir wer den da bei außerdem die Ableitungen bestimmte r lüiufig au ftrete nder Funktio ne n a ufnehme n. die sich ;tUS die sen Regel n a bleite n lassen .

I, potenzfunktlon Eine Pote nzfu n ktion w ird a bgeleitet, inde m der Expo ne nt um ein s redu ziert u nd die Variable mit dem ursprünglich en Exponenten multipliziert wird . r

= x''

--.,. y' = n . x n- 1

( 11I .74)

Beispiele : 1.

y =x 4

2.

y == - =x

1

x

-+

_,

y' = 4x3

-+ Y = - x

3.

-2 =- - 1

,2

4.

2. Na tü r lic he l.ogarithmusfunktion Die Able itung de r Logarithmusfunktio n zur un abh ängige n Veränderlichen .

I b sL~

e e ntspricht dem Keh rw ert der

y = In x --.,. y' =-

(11 1.7; )

x

3. Exponcnzialfunktion zur Basis e Die Ableitu ng der Exponcn zialfunkt io n zur Basis Ex po ne nzia JfunktIon.

I.'

liefert w ieder d ie urs prü ngliche (11 1.76 )

4 . Konstancenregel Die Ableitun g ein e r ko nstanten Funktion iSI gle ich Null, da der Gra ph einer konstanten Funktio n eine Pa ralle le zur x-Achse ist, die ü be rall d ie Steig ung Null besitzt. Ein ko ns tanter Fakto r ka nn be im Differe nzie re n stets vor dle Able itung gezoge n

werde n. y= a --.,. y'=0 y= a- g(x ) --.,.

y'=a-g'(x )

(] 11.77 a ) (1Il.77b)

168

11 1Funkt io nen einer Variab len

Beispiele: 1. 2.

y =:2 y

=:

y' =: O

--t

3x 3 --t y'

=:

9x 2

Es gill also allge mein y e e.x" --t y' e a .n xl'l- t .

5. Su m m e n re get Ergi bt sich e in e Fu nkt io n als Summe zweicr d iffe re nzi erbarer Funkt ionen fe x) u nd

g(x ), so ist die Ahlc itung d ieser Funktion gleich der Summe der Ableitungen un d g'( x ). y= f( x )±g:(x ) ~

y'= f'( x) +g'( x )

nx)

OIl.7H)

Beispiele : 1.

2.

y =2x 2 - lnx --) V' =4X -.2. x , 1 1 Y - -- - - -

-

Nebenrechnung: 3.

h(x) =: -

1

J>.

y =: ln(2x ) +x - 1 ·(·J'Xi Nebenrechnungen :

3x 2J;3

-)

....1 =: X 2

--t

, 1 _.3. 1 h (x) = __ X 2 = - - -

2

2&

y, = 2

x

, ,

f {x ) =ln (2x ) =ln 2 +ln x --t f'( x) =:O + .!. = ..!.

g(x) =x- 1 . (·J 'X)2 =x - 1 ,x =1

-t

g'(x) = O

6. Pr odukteegel

Ein Prod ukt zwelcr d iffe rc nzterbarc r Funk tion en wird nach de r Regt'! y= f(x )' g( x)

--+ y ' =f'( x ) · g(x ) + g'(x ) ·f(x )

011.79)

ab gel e ite t, wohe! es weg en de r Symmetrie der Fo r me l gle ichgültig ist, we lchen Faktor w ir als fe x) und w elchen als g(x ) h c zeichnc n. Ein Pro du kt ; I U S m eh r als zwe i differenzierbaren Punktion en kö nne n wi r d urch wiederhohe Anwen du ng d e r Pro duktregel diffe re n zieren . Im Falle dre ic r Fak to re n bzw . y = f( x ) · g ( x ) - hc x ) e rg tb r sich damit d ie Ahlt.'it u ng L I!. ZU

y' = ['(x ) · g( x ) · h ex ) + f( x ) · g'(x) · hex ) + f( x )· g( x ) · h'( x ) . Beisp iele: 1. y =x 4 .e X ~ y' = 4x 3 .e x +e X . x 4 = e x. (x 4 + 4x3) y' =2x .lnx+ .!. .x 2 =x ' (2Inx +1) x

2.

y =x 2.lnx

3.

y = (4 -2x) · (x -1)

4.

y e x .ev.lnx

~

~

~

y' = -2 ·(x -1 )+ 1· (4 -2x ) = -2x+2+4 -2x =-4x +6

Y' = 1· e. .inx e x.e • . Inx +x ·e • .-1 x x X X X = e -fn x + x -e .ln x + e = e ·(In x ·(1+ x)+ 1)

3. Differenzialrechnung

169

7 . Q uoCien te n regel

Ist e ine Funktion als Qu otient zweter differe nzier barer Fun ktion en da rste llba r, h ute t ihre er.. . tc Able itung [Cx }

y =- gl x)

.

0111

grx j

,

e O -?

Y=

f'(x) ·g(x) -g'( x) · f( x)

,

[g(xl]"

.~ u

( 11 1.80)

Anders als die Produ ktregel ist diese Formel wegen des Vo rze ichens im Ziihler nicht symmetrisch . Zähle r und Nenner de r A usgangsfu n kt to n dü rfen daher beim Ab leiten nicht verwe chselt werden. Bei spiel e:

3x 3 _3 x Z _ x 3_ 4

x3 + 4

1.

y = ~ -.

2.

Y=--;2

3.

xZ _ 1 x Z _ l y =- - - - x -1 x+ 2

Inx

~

(x _ 1)z 1, x z_ 2x In x

y' =x

x -2x ·lnx

1- 21n x

"

"

x4

, 2x (x - l) -(1,(x z - 1» -. Y = ( x _ 1)z ,

-. Y =

2x (x + 2) -(1, (x z - l) ) (x + 2)z

2x z _2x _x z +1

2x z + 4x _ x z + l

(x _ 1)z

(x + 2)z

-. y, = (X _1)z _ Xz + 4 X+ 1 = 1_ x z + 4 X+ 1 (x _ 1)z (x + 2)z (x + 2)z ,

(x + 2)z _( x z + 4x + l)

-. Y = = = '"'('-'-"+'::2"12>""-"-

x Z + 4x + 4 - x z - 4x -1 (x + 2)z

, 3 -. Y = - - -

(x + 2)z

8 . Kettenregel

Eine zusammenge....ctz tc Funktion y = ((g(x) ka nn be kann tlich du rch d ie Subst uunon z = g{ x ) in die Fo rm y = fez) ge bracht we rden. Die Funktion fez) ist dabe i die äuge re. g( x) d ie inne re Funktion. Die Ablei tung e rfolgt folg e ndennage n. .

y=l(z ) m it z=g( x ) -?

,

d f( z ) d g{x )

y = --

dz

., , · -- - = I (z ) ·g (x )

dx

(J] 1.8 \)

Die Able itung der äurscrcn Funkt ion e rfolgt ulso nach de r Substitutionsvariablen z, d ie Able itung der inn...rc n Funktio n nach der un ab h ängige n v e rändcrhcl u- n x. Nach dem Diffe ren ziere n ist e ine Kesubstttuticn d urchzu führe n, d.h . in de r Fo rme l muss für z w ieder g( x ) e inge se tzt we rden . Die Multiplikatio n m it de m Te r m g'(x ) w ird im Zusam me nha ng mit (111.81 ) auch uls X a cbdijJerr..'JlziereJl beze ichne t. Bei spiele:

1. Y = (x2 + 3X)5 Substitution: I (z) = z5 mit z = g(x) = XZ + 3 x

170

11 1 Funk tionen einer Var iable n -t

y' = f(z ) · g'(x) == 5 ·z 4 ·( 2x + 3)

Resubstitution : y' = 5 · (x 2 + 3X)4 . (2 x + 3)

2.

y=JX+1

JZ

Subs titution: I (z ) =

-t y' = f( Z).g'( X)= - '-

mit z = g(x ) = x + 1

2.J,

Resubslitulion : y' =

3.

y =e

x3

-

,

~

2"x +l

1

Substitution: I (z ) = e Z mit z = g{x ) = x3 _ 1 -t

y' = f(z ) ·g'(x) = e Z · 3x 2

Resubsl il ul ion: y' = 3x 2 . e 4.

XJ

-

1

y = In(3 x3 + 2) Substitution: I (z ) = In z mit z = g{x) = 3x 3 + 2 -t y'

= f(z ) · g'(x) =..!. .9x z

,

Hesubstituticn : y' =

2 9x 3x 3 + 2

Sind drei Fun ktione n in einer Fu n ktio n Y = f( g( h ( x » ) verschachte..lt, so lautet d ie ers te Ahleitu ng , =Jf(z) d gh_ v ) . dh'( x ) y -_ . _

dz

dw

dx

Beispiel:

y =[l n(3 x +l )j3 Substitution: 1(2) = z3 mit z =g(w ) =ln w und w = h{x) : 3x +l -t

v' = f'(z ) ·g'(w) ·h'( x) = 3z 2 . ..!.. 3 w

,

2

1

g .[ln(3x+ 1lf

Resubslilulion: y = 3 · [ln(3 x + 1)1 . - - · 3 '" ~c..,;..,.,-;-''-3x+ 1 3x + 1

9. Ableitung einer Umkehrfunktion \X'ie b ereit s beha ndelt wu rd e, exist iert zu jeder eineindeutigen Fun ktion y .. f(x:) ei ne Um k eh rfun ktio n x '" f - 1( y ) '" g ( y) . O hn e die U mk eh rfun ktion vo rhe r bc st tm-

rm -n zu mü ssen , ka n n ih re Ahle itung als Kebrtrert d er A hIt' f1I1I1~ d er Ursprl/ligsfl lllkfirm e rmittelt w e rden . Die s bsst sic h wtc fo lgt herleiten:

'7'

3. Differenzialrechnung

Nach der Kelle nregel gilt y e It x )

mit

x=g{y )=g(f( x » .

Leiten wi r bcide Seiten n ach x a b, e rha lte n wir a uf der lin ke n Seile 1 un d n-c hts nach der Kenemegel fo lge nden Ausd ruck: 1= dg. ~ dy dx

Die Able itung der umkehrfunk non x = f~ l (y ) = g( y ) der Fu n ktio n y '"' f(x ) ka n n damit defin iert werden als

dg

1

1

(I11.H2)

d y = ill=f'< x)'

dx Bei spiel :

"

y = f(X) =2x+ 4

~ y' = f'( x ) = ~ = 2 ~ dg = ~ dy

dx

2

·-----1·----.' Ableitung der Umkehrfun kt ion x = g(y ) =

2,

y =f (x ) =e~

~

1Y - 2

Y' = f'( x ) =~ =e~ ~ dg = ...!... =~ dx

d Ye~

Y,

'-- -- --.(---- -_.

Ableitung der Umkehrfunktio n x = g(y ) = In Y Würde n wir den Differenzialquollenten des natürlichen l ogarithmus also nicht kennen , könnten wir ihn wie hier beschrieben berechnen, da die Loqartthmustuoktion die Umkehrf unklion zur Exponenzial funktion ist.

10. Ableitung einer logarithmierten Funktion Un te r der Vor au sset zu ng , d ass g( x ) > 0 ist, kan n d ie Ableitu ng e iner logarith mie rte n Fun ktio n der Fo rm y - f(x ) ~ In(g(x)) m it Hilfe der Kettenr egel bestimmt werden. Es se t f(z ) "' In z mit z = g(x), woraus sich

,

Y' = ," (z )·g 'C) x =-" 'g (x)

ergih t. Die Re suh st itution füh rt d an n zum zus ammenfasse nd dargestellten Ergd Jnis y=ln( g(x »

~

, g'( x ) y = -g(x )

( JII.H;h)

Mitte ls ähnlicher Bewe isführun g Hisst sich die Ab lcnu ngsregel für e ine n Loganthmus zur allgemeine n B:lSis u he rleiten: -4

v' =

x,-',--

_ _ ",,-',-C

g(x ) ,ln a

(lJI. H3b )

172

11 1Funktion en ein er Variablen

Beispiele:

1 ,2.JX

1.

--+ Y ""

-r

.JX

v, »

1

1

== 2.JXJX == 2x

4x 2 = 2 2x .ln2 x ·tn 2

11. Ableitung e iner Exponenzialfunktion

Allgemein können wir jede Fu nktio n fe x) wie folgt umforme n. [( x l = [( x )

ln tft xu elnt f'(x j)

H Le ite n

wtr ht.' id e Sei len nac h x ab, e rhalten wi r un ter Beac ht ung von (I[ I.H.3a ) . f'( x )

[tnrftxn]

=-- . ft x )

Eine Ums tellu ng n ac h f'( x I liefert de n ge nerellen Zusammen ha ng

«xl == f( x )· [ln( fex » ]' . Setzen wir hie r z.B. die Expo nc nzialfunktio n y =

nx ) = a

x • [I n a x j'

f(

x) = a

(IlI.H4l X

m it a > 0 e in, e rgibt sich

= a x • lx . In a( = ax . In a .

Allge mt'in ka nn also für e int;' Expon c nzlulfunkrion zur Basis a m it u > 0 folg e nde Ableitungsformel festge ha lten we rden : y= a" mt r u > n --+ y'=a " ·ln a

(1 11$'5 )

Beispiele :

1. y =2' --+ y' =2x ·ln 2 2. y = e" -t y' = e" ·lne ==e x ·1 =e x

Soll e ine Funktio n y - a'" m it a > 0 nach x abgeleitet we rde n, so kö nnen wir für die Herleit ung ei ner allgemeinen Ablen un gsfo nnel e benfalls a uf den allgemei ne n zusammen bang (11 1.8 4 ) un d auf (111.8'; ) zurückgreifen . \'('ir e rhalte n d urch Einsetzen von y - a"" y= a l':( ~ l

-e

y'= allh ) .g'(x ).]n a .

(111 .86 )

~

!In y)

Beispiele: 1.

Y =2 x2 "'4 X ~ 1

2. y =

2 e3 x -7

-7

y' =2x 2 + 4X~1 . (2 X + 4) .ln2 2

2

y' = e3x . ex- fne e e3x -ex

Das geübte Auge erkennt hier, dass es sich dabei genau um das Ergebnis handelt, welches wir auch mittels Anwendung der Kettenreg el erhalten hätten.

3. Differenzialrechnung

173

Sollte ein Fall a uftrete n, be i dem d ie un abhängige ve ränderliche sowoh l im Expone nten als a uch in der Basis a ufrauc h t, kann direkt auf (1I1.8-H zurückgegriffen we rden. Das nachfolgen de Bei spiel verdeu tlicht dies . Beisp iel : y = XX ~

y' = XX . [In(x x )]' = XX -Ix · In(x)]' = XX -[ t.ln X + X . -; ] = x" . [Inx + 1]

12. Ab le itu ng e iner Lo g arithmus fun kCio n zu r Basis a:

Die Fun ktion y = log" x m it a > 0 hesitzt die Umkehrfunktion x = a'. \X.'erden hcide Seiten der Umkehrfunktionsgleichu ng nach x abgeleitet, so ergibt sich unter Nutzung von (H I.B6 ) . dy j

eln a -u''

ux '

woraus nach Auflösen die Ableit ung der Logarithmusfunktion rcsu hlc rt: dy -= =--dx a l ' - ln a x vlna

Die allgemeine Abletru ngsfor mel für ei ne Logarithmusfunk tion zur Basis lautet also y =

x -In a .

:1

mit a > 0 (JII.H7 )

Beisp iele: • 1 ~ Y = x . ln2

1. 2.

y =l n x

~

. 1 1 Y =--=x -Ine

x

13 . Höhe re Ab leit u ngen

Ist d ie er ste Able itung f'( x I e ine r Funktio n fe x) w iede r differenzie rbar, :-0 kann man stc ern eu t ableite n. ef'(x»' he igt da nn die zwcirc Able itun g vo n fe x) und wird a ls f"( x ) be zeic hn et. Die erste Ableill/ ug stellt ei n l\la g für die Än deru ngsrate des Fun ktionswe rtes bei Ände run g de r un abhängigen Variablen, d.h . für die Sleigllllg. Die mvue A blefl //IlR kann somi t als Änderu ngsrate der Steigu ng bei Änderung de r unabhängigen Variablen, d. h. als M a f~ für d ie Knimmmrg der Fun ktion aufgefasst we rden. Darauf w ird im folgen de n Absch nitt III 3.6 gerraue r ei ngegan gen . De r beschriebe ne Ablc nungsp roze-,s kann suk zessive Iortg es ctz t we rden, sodass ma n d ie dritteA hlettung f"'( xl , d ie rterte Ableitll llg ( l l(X) bis hin zur n-ten A bteiIUllg r nl(x) erh iilt. Es gilt also allgernein (Il I. HH)

174

11 1Funktion en ein er Variablen

Ab weit e re Sch re ibwelsen für d ie Ablcttu ngcn ei ner Fu n ktio n y .. «xl nach x [i nde n sich in der Lite ratur für d ie zweite , dritte lind n-te Ableitung a uch d ie Folgenden :

"))d y " =y "(x )=(y(x =-

(ur) Jly

= _., dx dx dx -

2y Y.. =y ..( x) = ( y '"( x ) =d - (d - ,) d x dx -

d\ ,' =dx

Beispiele: 1. Zu bestimmen sind sämtliche Ableitungen der Funktion y '" 2x 7 - O,25x 4 + 2x 2 + x - 1 . Wir erhalten: y' = 14 x6 _ x 3+ 4x+ 1 y' =84x 5 _3 x 2+ 4

y" '" 420x 4 - 6 x y(4) =1 .680x 3 _ 6 y ( 5 ) '"

5.040x2

y (6 ) '"

10 .080x

y ( 7)

y(..8 )

= 10 .080 = 0

2. Die ersten drei Ableitungen der Funktion y .. a' lauten wie folgt y' =aK ·lna

y' = a" . (lo a)2 y" = a" . (lo a)3 Es gilt also für diese Funktion allgemein y(n) '" a" . (Ine)" .

-

3.4 Das Differenzial Der Differen zialquot ient y' .. dy I dx giht die St<"ig ung ei ner Funkt io n y '" f(xl bzw. e iner Ta nge nte an die Kurve an de r Stelle x an. Ge hen wir wie in Abbildung lJl 40 ein e n kle inen e ndlichen Schritt .1.x von der Stel le x aus we ite r, wird sich der Funktion swe n von f(x ) um .1.y auf ffx + .1.x ) ändern. Auf de r Tange nte resultiert an de r Ste lle x + box der Funktionswe n f( x) + n x )· .1.x . Je kle iner öx ist, desto näh e r

175

3. Differenzialrechnung

liege n die bei den Funktio nswe rte fex + tt.x) und f ( x J + f'(:x) . öx beieinande r. Beim Gre nzü berga ng d x ~ 0 erg ibt sich schlie ßlich e int.' Gleichheit. Es gilt nämlich ' lim tt.r = lim ( Hx+ tt.x)- [ ( x ) ) = !im ( f( X+ d X) - f( X-» öx) = ['(x ) , lim öx . !l.x-> O !l.x ...n tt.x t.x -> n

!l.x -o(1

Da tt.y gegen dy (alternative Schrei bwe ise df) und tt.x gege n dx stre bt, erg ibt sich das sog. Differe n zial dy e ine r Fun ktion y - [(x) als dy=f'( x) · dx ,

(IJ I.H9 )

w obei d y un d dx un endlich kleine Grögen sind . (JII.H9 ) kö nne n wir benutzen , um

a ngenäherte Funktio nswe rte in der Nähe ei nes Punktes zu bes timm en . Nehmen w ir etwa an, uns l ieg t e in Pun kt !'( U ; f(a)) und e ine Änderung tt.x vo r, so können w ir

zunächst d ie Veränderung des Fun ktionsw e rts up proxinticn-n, indem w ir die Differe nzia le d y und dx in (IJI.H9 ) d urch e ndliche Dtffc ren ze n erse tze n und x '"' u e insetze n . Dies liefert tt.y == f'( a ) · öx . Die Veränderung de r Tungc ntenordinnte w ird also zur Schä rzung der Ver änderung vo n y .. fex) he range zogen . Für die Näherung des Funktionswertex ABt Ru + tt.x) =. f( a) + ['(a ) · 8.x . W'ie Abbild ung 1II 40 zeigt, kann die Diffe re nz zwischen Nähe rungswe n und ta tsä chlic he m w e rt (Fehler F) jedoch beso nd e rs bei starker Krümmu ng und / oder grosem tt.x recht betr ächtlich werden . y

f( X) +f'( x) · ;lx ff x )

x + öx Abbild ung 111 40: Herle itung Diffe re nzial Bei spiel: Die Funktion f(x) "" e~2~2 besitzt die erste Ableitung f(x ) = eX2~2 . z x . An der Stelle x '" 1 gilt der Funktionswert f(1) '" l /e '" 0,3679 und die Steigung f'( 1) "" 0,7358. Wir können da- ~ mit für versch iedene öx folgende Näherungen bestimmen :

.,

0, 1 0,2 0,3 0,4 0,5

n

Funktionswert f(x + AX) 1(1,1) - 0,4538 1(1,2) 0,5712 1(1,3 ) : 0,7334 : 1(1,4) 0,9608 1(1,5) 1,2840

Näherung von f(x + ax ) 0,4415 0,3679 + 0,7358 . 0,1 0,5151 0,3679 + 0,7358 . 0,2 0,3679 + 0,7358 . 0.3 0,3679 + 0,7358 . 0,4 0,3679 + 0,7358 . 0,5

0,5886 0,6622 0,7358

Fehler -0,0123 -0,0561 -0,1448 -0,2986 -0,5482

176

11 1Funktionen einer Variab len

Wie sich zeigen lässt (vgl. Diskussion unter 111 3.6), weist die vorliegende Funktion in der Umgebung der Stelle x = 1 eine starke Krümmung auf. Mit zunehmend em öx weicht der Näherungswert dahe r deutlich vom tatsächlichen Funktionswert ab. Der Fehler wird also immer größer.

Die Betrachtung der zweiten Able itung führt uns zum sog. Differenzial zweiter Ordnung oder kurz zwei tem Diffe re nzia l der Funktio n y '" fex) d\'

(dx)!

= f~(x) ~ .

d!y=C"(x ) .(dx/.

tl11.90a)

Ersetzen der Diffe ren ziale durch endliche Diffe re nzen e rlau bt uns eine weite re Anniiheru ng des Fun ktio nswe rte s bei Veränderu ng der una bhängigen Variablen an einer Stt.'lle x um öx. An alog kö nnen w ir das Differenzial n-ter Ordnu ng ei ner nmal differenzierbaren Funk tion über

d"y = t~ " )(x) ·(dx) n

(II1.90h )

b ilden und zu Näherungszwecken hera nziehen.

-

3.5 Das Newton-Verfahren Im Verlauf dit..'st:s Buch t:s sind uns bere its mehrfach Problemstellu nge n begegnet, Iw i denen \'';''cl1t: der u nabhä ngtgen Veränderlichen x gesucht sind , dit: der Gletchung y = f(x) = 0 gen ügen. \X'ir waren also jt,.'weib a uf der Suche nach den Nullstellen x = Cl. e iner Funktion r = f<xl. Da diese nicht immer durch einfaches A ll tlü sen der Gleichung J(x) = 0 nach x best immbar sin d , müssen sie in vielen Fällen numerisch bestimmt werden. Bekann testes Verfuhre n dazu ist das Newton-Verfahren . Vorausse tzungen seiner Anwen dung sind neben der Bc kan mh eü der Funktfonsgleich ung und ihrer Diffe ren zic rburk ch insb esonde re Ja .~ Wissen über die ungefähre t.age der Nullstelle n. Nehmen wir an , wir ken nen in groben Zügen die Lagt: de r Nullstelle x = Cl einer Funkt ion y = lü ), wie sie in Abbildung III 41 dargestellt ist. Dann können wir ein e

Stelle Cl, in der Näh\.:' der vermutete n Nullstelle wählen. Der Funktio nswe rt ß, ... ((Cl,) Ist dan n ungleich Null, sofern e r nicht zunill ig mit der ges uchten Nullstd ie übe reinstimm t. Die Tangente im Punkt P(Cl,; ncn schneidet die x-Ach se an der Stelle a, Aufg rund des monotonen Verhaltens der dargestellten Funktio n kann leicht gefolgert we rde n, dass die Sch nittstelle Cl, näher an der gesuchten Nullste lle Cl als Cl, ist.

Da w ir d ie Steigung der Tangente im Punkt P(Cl,; f( Cl)) über f'( Cl I) bestimmen kön nen, e rgibt sich ihre Gleichung nach der Punktsteig ungsfo rm der Ge radcnglcichung 0 11.34) als y = f'( Cl I)' (x - Cl l

)+

fI Cl l) .

Nullsetzen und Aufl ösen nach x liefert für die Schnittstelle Cl, daher Cl , = Cl i •

«o, )

--,-- .

fl Cl l )

3. Differenzialrechnung

177

Mit H ilfe d ieses d er Nullstelle x

= a näh erge rück ten \'.;.'crt cs können w ir nun die Rech nung w iederholen, d.h . w ir be rechnen zunächst [( a ) . Liegt f( a,J noch de u tlic h von nu ll entfern t, wird erne ut m ittels ['(a -,) die Tungeni e ngleic hung be sti mmt un d ihre Nullstelle e rmittel t: f( a , )

a = a ,----3

~

na

2

)

Di eser Vorga ng wird so lange w iederholt, h is die gesuchte N ullstdie gefu nd en ist.

ye ft x )

y

Abbi ldun g 111 41: Ne w to n- Verfah ren

Bei spiel :

i

Für die Funktion f(xl = x 5 - x3 + 1 gilt f'(x ) = ~ X4 _ 3x 2 . Abbildung 111 42 veranschau licht ihren Verlauf. Wir wissen , dass die Nullstellen ungefähr bei x = - 2,5, x = 1 und x = 2,5 liegen. Die exakten Werte lassen sich nun mittels folgender Tabellen berechnen :

erste Nullstelle

zweite Nullstelle

f(xl

f '(xl

0,3490 -0,0123 0,0000

13,8021 14,7585

0,0253 -0,0008

1,0000 1,0769

0,1667 -0,0076 0,0000

- 2,1667 - 2,3584

-0,0769 0,0032

1,6510 0,2496 0,0099 0,0000

13,8021 9,7562 8,9878

0 ,1196 0,0256 0 ,0011

1,0737 dritte Nullstelle

'o o

x

- 2,5000 - 2,5253 - 2,5245

2 ,5000 2,3804 2,3548 2,3537

f(xl I f

n

~

11 1 Funk tionen einer Var iablen

178

-

3.6 Kurvendiskussion allgemeiner Funktionen Den Vorg ang. sich Info rm atio nen über den Verla uf einer Fu n kt ion r '" fex) mit Hi lfe ihrer Funktionsg leichung un d ihrer Ableitun gen zu vers chaffen , bezeichnet m an als Kurvendiskuss ion . Du rch d ie An alyse d er er sten Ableitung J:isst sic h feststelle n , in welchen Be rekh cn t1ie Fun k ti on ste ig t o d er Will un d wo sie ihre Extr ema be sitzt. O ie zweite Ableitu ng zeig t, wo xie konkav oder ko nvex ist und wo ihre \Ve ndepunktt' li eg en. \X'erden zus ätzlich die Nullstelle n e rmittelt und das asymptotisch e Ver ha lten dc r Fu nk t io n unter sucht, k ann m it de m W'issen um d ie Stetigk eit dc r Funktion (d ifferenz ierba re Funkti onen sin d stet ig) d er Fu n kt io nsverl au f relativ ge rtau sk izziert w erd en .

t

Unter verwendu rig der Fu n k ti o n d es v orherige n Be ispie ls f( x ) = x '; - x 3 + I mit D( O = IR wollen wir n u n im Folgenden ei ne Ku rvendiskussion exemplarisch d u rch fü hren . Di e Ku rven d er Funktion un d ih rer erste n und zw eiten Ableitu ng sind in Ab bildung III 4 2 dargestellt. )'

f'< x )

, ', ,, ', ,- ,

I

' 'I\

:

:

:

:

'

i

\[ \ "

i :

f( x ) = tx '; -x -~ +l

, ,,, ,, ,,, , ,

'

i i

" / \\" \,1I !I\III :

:1

\!:/ . .

.

:...: , 1

, ,,, ,,

..'

\

x

\

\\ \/ I J'!'Y ~

", ,t-. .:

,

'-'

Ab bild ung tII 42: Fu nk ti onsbei spi el zur Ku rven dis k ussion

1. Nu lls te llen Bei ei nem wen x = 0 hand elt es sich dan n um ei ne Nullstelle. wenn f( Ol .. 0 g ilt . Nullstell en können also du rch Nullsetzen d er Fun k uonsgl ctchung und Aullö sen nach x b estimmt w erd en . Dabei si nd di e speziellen Eigen sch aft en einer Fun ktion zu beac h te n ( z.B . N ullstelle v o n Logaruhmusfunknon cn im m er bei x '" I ) u nd be i Poly no m fun kt io nen ist au f d ie Polynomdivision un d di e Lösun gsformel fü r q uad ru-

3. Differenzialrechnung

179

tische Gle ichungen zurückzugre ifen . Gg f. ixt auch die Anwe nd ung des New tonVerfahrens zur Nullstellenb est immung not we ndig, Bei spiel : Zu r Nullstellenbestimmung ist für unse re Beispieltunktion die Lösun g der Gleichung I

f (x ) ", O

~

l

6

X

5 _ X3 + 1 "' 0

erforderlich, W ir haben hier das Nullsetzen der Funktionsgleichung durch ein "r-Zecnen zum Ausdruck gebracht, um nicht fälsch licherweise den Eindruck zu verm itteln, die zu ana lysierend e Funktion sei y '" f(x) '" 0, d.h. die x-Achse. Es wird sofo rt klar , dass ein Auflösen nach x hier nicht möglich und daher ein Rückg riff auf das Newt on-Verfahren erforderlich ist. In Ab schnitt 111 3.5 haben wir damit die Nullstellen dieser Funktion bereits berechnet. W ir erhielten die drei Nullstellen Xl '" - 2,52, X2 '" 1,07, X3 '" 2 ,35 . Mit diesen Nulls tellen der Funktionsg leichung und der Betr achtung des Verhaltens der Funktion im Unend lichen lässt sich genau angeben , in welchen Bereichen die Funktion obe rhalb und unterhalb der x-Achse verläuft . Es gilt

nm f (x) == +<» und lim f (x ) '" -co, Ä-+_

Ä ~_

Die Fun ktion verläuft also in den Intervallen 1-00; - 2,52[ und ]1,07 ; 2 ,35[ unterhalb der xAchse. Oberhalb der Abszisse verläuft sie für }-2,52; 1,07[ und ]2,35; +c.o{.

2. Ste igu ng Die Steig ung einer Funktion y - fex) bzw. ihrer Tangente a n einer Stelle .'1: kann d urch ihre erste A bleitung ('( x) an gege ben we rde n, fex) ste igt in e inem Inte rva ll [ streng monoton, we nn die ers te Ableitung für jt.:'des x d it.:'ses Inte rvalls positiv ist, un d fällt e r usprecbend , we nn sie da rin ste ts negativ ist.

Funktion stren g mo no to n ste igen d. we nn

f'( x» o

Funktion streng mon oton fallen d. wenn

Ft x j c

O

( IJI .9 1)

Bei spiel 1: Betrachten wir die im Folgenden skizzierte konvexe Funktion y '" f(xl . Die Steigung der Tangente an der Stelle (11 ist negati v und damit auch I' (a l ). Mit zunehmendem x nähert sich die Steigung Null an (Stell e x '" U2) und geht schli eßlic h in eine positive Steigung über. Die Stelle x '" ca gehört etwa zu de nen mit positiver Steigung. Da die Steigun g für jedes x < U2 negativ ist, ist die Fun ktion im Bereich ]-co:ct.2[ streng monto n fallend , im Bereich ]ct.2: +""[ entsprechend streng monoton steigend,

y

Steigung negativ

Steigun g positiv

f'(a, ) < 0

f'(ctJ) > 0 Steigung Null

f'(ct.2) '" 0

n.

11 1Funktionen einer Variablen

180

Beispiel 2: Für unsere Beispielfunktion I{xl = i x5 _ x3 + 1 lautet die erste Ableitung f'(x } =

i x4 _3 x2 .

Das Steigungsverhallen der Funkt ion können wir dam it wie folgt charakterisieren: Die Funkt ion ist streng monoton steigend für

(nx) =i X4 _ 3x 2 ) > 0. Zur genauen Angabe des Sleigu ngsinlervalls empfiehlt sich zunächst die Bestimmun g der Stellen , für die die Steig ung gleich null ist. W ir erhalten daraus I

t'{x ) = O

~

.2 x 4 _3 x 2 = x 2 . (.2 x 2_ S}= O 6

6

x == O

v

x == ±1,90 .

Mit den Nullstellen der ersten Ableitung können wir nun sagen , dass f(x} genau in dem Be-

reich steigt, in dem die Funktion " (xl überhalb der x-Achse liegt. Die Funktion !(x) steigt dah er in den Intervallen )--00; - 1,90[ und ]1,90; +<><>( • Die Funkt ion ist streng monoton fallend für ( n x) == i X4 _ 3X2 ) < o. Das Intervall , in dem f(x) fällt , ist nun vergleichbar mit dem Bere ich , in dem die erste Able itung unterhalb der x-Achse liegt. f(x) fä llt daher streng monoto n im Intervall }-1 ,90; 1,90[ .

3. Krümmung Die Frage , ob eine Funktion y .. f(x) an einer Stelle x konkav oder konvex gekrü mmt ist, kann mitte ls ihrer z u-eisen A h/eil ullg f ~( x) beantwo rtet wer de n. fex) ist in ei ne m Inte rvall I konvex gekrümmt (die Steigung w ird im me r grögt'r), wenn die zwei te Ableitung für jedes x d ieses Intervalls pos itiv ist, un d ist in einem Inte rval l [ ko nkav gekrü mmt (d ie Steigung w ird imme r kle iner), we nn die zwe ite Ahlettung da rin ste ts negativ ist. r "(x ) > 0 Funktion konvex gekrümmt , wenn (11I.92 ) Funktion konkav gekr ümm t, wenn r "(x ) < 0 De r auanunenbang zu-tschen Steigu llg und Krümmung e iner Funkt ion y ,. rex) kann grafisch mittels Abb ildun g III 43 veranschaulicht werden . Konv e xe Fun ktionen (bzw. Fun kuon-bcrctche j sind dadurch gekennzeichnet, dass m it zunehmendem x d ie Steigung de r Pun ktion zun immt (angede utet d urch d ie gestrichelten Tangenten), d. h. die Steigungsänderungsrate (a usged rückt durch die zwei te Ableitung) ist pos itiv. Die Steigung konkave r Funktio ne n sinkt mit zunehmendem x. Die Sretgungsändcr ungsr.uc (u nd dam it d ie zweite Ableitung ) ist also negat iv. Beispiel : x 3 + 1 lautet die zwei te Ableitun g ' "(x ) == \~ x3 - 6x . Ihr Für unsere Funktion f (x) Krümmungsverhall en können wir damit wie folgt cha rakte risieren :

== i x5-

Die Funktion ist konkex gekrümmffür ( f"( x ) == 1~ x 3 _ 6X) > 0 . Wie bereits bei der Bestimmung der Ste igungsbereiche, empfiehlt es sich auch hier, zunächst die Stellen zu ermitteln , an denen die Krümmu ng gleich Null ist. W ir erhalten damit I

f"( x) ==O

-Jo

x=o

v

x = ±1,34 .

3. Differenzialrechnung

181

Die Funktion f{x) ist in dem Bereich konvex gekrümmt, in dem die zweite Ableitung überhalb der x-Achse verläuft. Dies gilt genau tür die Intervalle }-1,34 ; 01 und ]1 ,34 ; +<><>[. Die Funktion ist konkav gekrümm t tür

(f"( X)='30 x3 _ 6X)< O, Entscheidend ist daher das Intervall, in dem die zweite Ableitung unterhalb der x-Achse liegt. Dies ist tür )-00; - 1,34{und 10; 1,34( der Fall.

,.

steigend : f '( x) > 0

v

steigend : f'( x ) > 0 konkav: r-( x) < o

k o nve x: ( x » O

~, r(x )

- + - - - - - - - - - . ; > ,. fallcnd:

I'( x j c O

k om'ex : f -( x »

O

f( x )

ftx )

- + - - - - - - - - - . ; >, y

falle nd :

f'(x ) < 0

ko nkav : f"( x) < 0

\ ,

f( x )

Abb ildu ng 111 43: Zusammenha ng zw ischen Steig ung und Krü mmu ng

4. Exrrerna Betracht e n w ir Abb ild ung IIJ 44 (links ), erk ennen w ir eine Funkt io n mit relativem Maximum ( x ... (X,) und relativem Minimum {x - a,> , 'X'ir se hen de utlich, dass die Ste ig ung der Ta ngente n an diesen Stellen gleich Null ist ( ho rizo ntale Tange nten), i\'o {U'('lIdig für die Existe nz e ines Ma ximum s oder Minimums a n e iner Stelle x = a ist also , dass dn- ers te Able itung dort Null ist, d.h . ('( al = () gilt. Abbild ung JIl 44 (rechts) zei gt, dass alle rdi ngs nicht a n jeder Stelle m it horizon tale r Tan gente ein Extrem um vorliege n m uss, Es kann sich auch um ein en ' x'ende punkr ( Krü mm ungsände rungspunkt ) m it hor izontaler Tangente ha ndeln , ",'ir be zeichnen einen solch en als Sattelpunkt.

182

11 1Funktione n eine r Variablen

y

y = f'( x )

,

ye ff x )

rel . Maximum

Sattel p un kt rel . .\linimu111

a

a, Abbildung III 44 : Extrcma und Sat tel punkte

Um Extrern a von Sattelpunkte n u nte rschei den zu kö nnen , m uss d ie Krü m m u ng ;10 den betroffenen Stellen mit hor izo nta ler Tungerne un ters uc ht werden . Offensichtlich ist e ine Funktio n an der Stelle des Maximum s ko nkav . an der eines Minim um s kon vex. t t inretc bende Bedi ngung für ei n Maxi mum a n einer Stelle x .. a ist daher (-( Ul< 0 , für ein Minim um (w(u) > O. Zusammenfassend können wir daher folgendes festha lte n. x = a i st ein Max imum, wen n

f'fu ) =0

1\

("( al< 0

x = a ist ei n M in imum, wenn

f'(u J = O

1\

( '{ Ul

(11 1.93)

>0

Im Fa lle n a ) = 0 1\ ("( u) = 0 kön ne n w ir nich t sofort auf e inen Sattelpunkt a n de r Stelle x .. a schließen. Eine Krümm ung von Null isl nämlich für d ie Existenz eines \\'endepunk tcs nich t ausreiche nd , w ie das nachfolgende Ik ispiel zeigt. Beispiel : 4 Für die Funktion y '" f(x} '" x gilt an der Stelle x '" 0 sowohl f'(O} '" 0 als auch f"(O) '" O. Trotzdem liegt offensichtlich kein St ättelpunkt sondern ein Minimum vor.

y

y ",x

•

x

Zur F('SIst,'lIll11,~ ei l/es Sattelpuntues für eine Funk tion y '" ftx) , ist w ie folgt vorzugehen: Es sei f "' 1( 0.) diejenige Ableitung höherer Ordn ung, die an de r Stelle x - 0. zum ersten Mal ungleich Null w ird , d.h . f'co.)=f"( o.l= ... =flnl-i J(o.)=ü und pm l( o.):1: O . Ist m ungerade , liegt :10 der Stelle x - u ein Sattelpunkt vo r. Bei geradem m erg ib t sich ein rela tives Maximum für f(lU J(a) < 0 und ein rela tives Minimum für f "'\ al > O. Beispiel 1: Für unsere Funktion f{ x)= i x5 - x3+ 1 mit f'( x} = .2x 4 _3x 2 und f"(x) = ~ x 3 _ 6 x sollen Extrema und eventuelle Sattelpunkte bestimmt wer~en. Dazu sind zun ächst die Nullste/len

183

3. Differenzialrechnung

der ersten Ableitung zu bestimm en, da eine Steigun g von Nu!I notwendige Bedingung für die Existenz eines Extremas ist. I

f'{x ) ==O

~ x 4 _ 3 x2== O

--)

Die Lösung diese r Gleichung haben wir bereits im Zusammenhang mit der Steigungsanalyse der Funktion besflrnmt. Wir erhalten also als mögliche Extrema x '" 0 und x '" ±1,90. Die Untersuchung der Krümmung an diesen Stellen liefert folgen des Ergebnis: 1"(- 1,90 ) = -1 1,46 < 0

--)

x = -1,9 0 isfMaximum

n+1,90 ) =+1 1, 46 > 0

-e

x = 1,90ist Minimum

1"(0) = 0 Wir können also ein Maximum und ein Minimum ide ntifizieren . Die Stelle x '" 0 erfordert weitere Betracht ungen. Wir bestimmen dazu die weitere Ableitung nx ) "" 10x 2 - 6, die f" (O) '" -6 liefert und damit d ie erste Ableitung ist. die für x = 0 einen von Null verschi edenen W ert liefert. Da m '" 3 und som it ungera de ist, liegt also an der Stelle x '" 0 ein Sattelpun kt vor. Bei spiel 2: 4

In unserem vorlet zten Beispiel hatten wir die Funktion y '" f(x) '" x betrachtet. Für sie gilt f'( x) "" 4x 3

--)

nx) == 12x 2

--t

f"{O) == 0

f"'(x) == 24x

--t

f"{O) == 0

f(4l (X) '" 24

--)

f'{O) "" 0

f {4}(O) '" 24 .

Erst die vierte Abteitung liefert für x '" 0 einen von Null verschiedenen Wert. Da dam it m '" 4 und ger ade ist. liegt ein Extremwert und kein SatteIpunkl vor. f{4}(O) = 24 ist zudem positiv. d.h. x '" 0 ist ein Minimum.

\'('ie wir in Abschnitt I!l 104 gesehen haben, sind ne ben den bereits abgeha ndelten relativ en Extrem e noch gloha le Extronra besttnuubar. Das glo bale Minim um (~ lax i ­ murrt) einer nu r a uf ei nem Inte rvall la ,; a J defin ierten Fun ktion y '" f(x) ist emwe der eines der in diesem Inte rva ll liegenden Minima (Maxim ul oder es ist e iner der Ran dw e rte . Zur Bestimm ung des glob alen Minim ums (Max im um s ) sind also zunäch st die relativen Minima O lax imJ ) im Interval l la, ; a ) zu bestimmen und dan n ihre Funktionswerte m it den Randwe rt en fCa,) und fC a) zu verg leichen. Besitzt e ine Fun ktio n ke ine relativen Extrema, w isse n wir sofort, dass die g lobale n Ex trc ma um Rand des De finition sbe re ich s a nge nomme n werden. Bei spiel: f(x ) =Ixl

für

XE

[-2; 1]

Wie die nachfol gende Skizze zeigt , besitzt die Funktion keine relativen Maxima . Es sind 1(-2} = 2 und f(l ) = 1. x = - 2 ist damit globales Maximum. f(x) hat ein relatives Minimum bei x = 0 mit f(O) = O. Da d ie Funktion im Definüionsbereic h keine kleineren W erte (auch nicht an den Rändern ) annimmt , ist x = 0 auch das globale Minimum .

184

111 Funktionen einer Variab len

Da es sich be i der hier untersuchten Abso lutfunktion um eine absch nittsweise defin ierte Funktion

Y=

)( 1

für

- x für

Y

X ;::O:O

2

xcO

handelt, können wir dieses Beispiel nutzen, um einen weiteren wichtigen Fakt feslzuhalten:

Relative Extrema können auch an den inneren Rändern der Teildefinitionsbereiche stetiger und abschn ittsweise def inierter Funktionen auftreten.

5. Wendepunkte Eine Stelle x .. c . an de r sich die Krüm mung einer Fun ktio n ändert (kon ve x auf konkav oder umge kehrt >wird als wendeueue. der zugehörige Punkt \'( '(a; [( al) als Well(/(jJll1l kl bezeichnet . Es muss also als 11011I'(' lI d ig e Bedi ng ung ["" = 0 gelt en , d.h . die zweite Ableitung fmuss Null se in . \X'ie unser Beispiel Y .. [(xl" x' gezeigt hat, ist diese Be ding ung nicht hinreichend . Es liegt jedoch imm e r e in Wendepunkt vor , we nn an e iner Stelle m it f"(a ) = 0 die dritte Ablei tung ungleich Null ist, d.h . die hinreichende Bedt ngu ng C"( a) "F- 0 gilt. Zusammenfass end gilt som it: x e u ist ein e w e ndestelle , wenn

f· (a) =O

1\

f"( a )=t:.O

(11I .9-4)

sollte f·( a )=O 1\ fM( a )=O gelten , sind w ieder so lang e höhere Able itunge n zu bilden bis ("' J(a) =t:. 0 erfüllt ist. Bei ungeradem m gilt da nn, dass x - a ein e w ende srolle Ist. Isl m gerade liegt hingegen ein Extre mwert vor (vgl. o bige n Punkt 4).

Bei spiel :

i

Für unsere Funktion f (x ) '" x 5 - x3 + 1 ein Nullsetzen der zweiten Ableitung I

nx) = O

--+

12. x 3 _ 6 x = 0 3

die mögliche n We ndestellen x = 0 und x '" ±1,34, die wir bereits im Zusa mmenhang mit der Krümmungsanalyse bestimmt haben. Da die Werte f'''{-1 ,34) = 11,96, " "(0) = -6 und 1"'(+ 1,34) '" 11,96 von Null verschieden sind , liegen dre i Wendestellen vor .

Genall genommen ist die Kurve ndis kussion no ch um d ie Be stimm ung des De flmtion sbercichex , der Unsrc ugke ttxste lle n, Asym ptot en , Symmemee tgenschaüen , usw . zu erweitern. Da derartige Analyse n a ber herci l.~ in früheren A bschn üren beha ndelt wurden, wird an dieser Stelle auf eine e rne ute Betracht ung verzichtet.

-

3.7 Diskussion ökonomischer Funktionen Die Vorschriften un d Erke nntnisse aus der Differenzial rechnung rbzw. der Kurve ndisk ussion des Abschnitts 11I j.6) lasse n sich auch auf ökonomische Funktion en (vgl . Abschnitt 111 2..3 ) übe rtrage n . Ist y - fix ) eine belie bige ökonomische Funktion rz.B. IIx) - C(x )), interessieren wir uns häufig da für. wie sich di ese verändert . wenn die unabhängige Variable um e ine Einhei t zu- od er abnimmt. Die Gröse

3. Differenzia lrechnung

185

± I) - f(x) bezeich nen w ir als Grenzfuntaten. Sie stellt nichts anderes als den Diffe re nze nq uoti e nte n

.6y '" f( x

.6y =f(x + .6x )-f(x) .6x

.6x

für e x '" ±I dar. Ochen w ir nun davon aus, dass eine Einhe it von x verschwindend gertng gegenü ber dem Niveau von x ixt, m it dem wir arbeiten (z .B. eine produz ierte Ein heit gegenüber Produ ktto nsme nge n von zehntausend Stück), unterscheidet stch öy nur sehr wenig von ['(x) . Gerade dah er und aufgrund d er Tatsach e, dass die Arbeit mit Ableit ungen bequemer ist ab jene m it D i ffere nzen bzw. D ifferenzenquouemen, wird in der Pra x is d ie A hleüung seihst (/ / ,1' Grt.'lIzfIUIA~(ioll aufgefasst. Sie g ibt uns an der Stelle x .. (X rnüherungswetse) die Änderung d er Funktion y '" f( x ) an , wen n die unabhängige Veränderliche ausgehend von x .. (X um e ine Einheit zuoder abn im m t. Faxsen wir d ie Grenzfunktion als D ifferenzial von v .. fex) für dx .. 1 auf, d.h . betrach ten w ir df = ['(x) , dx = f'{ x ) ' I = ['( x ) , können wi r d iesr: In terpretation der G renzfu nktio n ab ( nä he ru ng-w eise ) Fu nk ti o n sänd eru ng auc h aus der Defin ition des Differenzials ( q~l. A bschn itt 111 3.4) a ble iten. \'(Ii rd zur Berechnung des Fun ktio nsw ertes nn der Stelle d es um ei ne Ein he it veränderten Argu mentes (.6x '" ±I) d ie Gre nzfunktion herangezogen, gilt f ( x ± I) = f( x ) ± ['( x), 1. Es en tsteht somit ei n Fehler, der dem der Appro ximat ion de r D ifferenz d u rch das Dtfferen zral c ntsprtcbt . In d en fo lgen den Ab sclm utcn 11I j .7.l bis 11I 31.7.3 wollen wir nun die Grenzfun ktio ne n ei niger ökonomischer Fun kt io nen näh er be trachten un d analysieren , wozu wir d iesr: in der Praxis einse tzen könn en . Im Anschluss daran gehen w ir au f üasnz if ä l ('1/ und \Vllcbs(u msrlll en ein , die wei te re praxisrelev ante Anwendungsgebiete der Differen zial rech n u ng dars telle n.

3.7.1

Kostenfunktion

W'k ' w ir aus A b sch ni tt 11I 2.3.3 w issen , gibt die Gesamtkostenfunktion C(x) die Kosten i n Ab h än gig keit von der produzierten Mengl ' an. Fü r Unternehmer ist es nun nicht nu r v o n Inte resse, wie hoch diese Ge sumtkosren sind, sondern auch, wie sich dir: Ko sten verändern, w enn ausge hen d von e-ine m best imm ten l' rodu ktionsnivc uu x .. a die p ro du ziert e .\ll.'ngc um eine Einheit erhöht oder gesenkt wird. Um d ies zu er fahren, bed ienen wir un s de r sog . Gre nzkos ten fu n k tion C'( x ) , d.h. der ersten Ableitung der Ko sten fun k tio n C( x ) nach x. C{x)

--+

ch)=

d C< x ) dx

( 11I.9 0) )

Der \'('ert c'{ (X) gi bt n un (n ähe rungswetse) an , u m wie viele Gel d ein heiten sich die Ko sten eines Unt ern e hmen s verändern, wenn be i einer Pro d u k tio n von (X Stück eine Ei nhei t mehr od er weniger produziert wi rd . D ie Ko sten veränd eru ng ist dabei nur au f d ie v ariab len Ko sten zurückzuführen. An alog kön nen w ir auch d ie G ren zstückkos ten A C'( x ) in terpretie re n .

Beispiel: Gegeben sei die Kostenfunktton C(x) = 0,2 x 3 _1 00x 2 + 20.000x + 50.000. Untersuchen wir, welche Kosten eine bei einem Output von 300 Stück zusätzlich prod uzierte Einheit ve rursacht und wie sich die Stückkost en verändern.

186

11 1Funktione n eine r Variablen

Die Gesamt koste n erhöhen sich (näherungsweise) um 14.000 Geldein helte n, da C'(x) '" 0, 6)(2 - 200 x + 20.000 --t C'(300 ) '" 0, 6· 3002 - 200· 300 + 20. 000 '" 14. 000 . Die Stuckkos ten steigen (näherun qsweise) um 19,44 Geld einheiten. da 3

2

AC{x) '" 0,2 )( - 100)( + 20.000)(+ 50.000 '" 0,2x2 - 100x + 20.000 + 50.000

x

AC'{x ) ::= 0,4x - 100 _

50.~OO x

x

~

AC'(300) '" 0,4 ·300 - 100- 50.0~O '" 19, 44. 300

Die Gren zkoste n C'(x ) h l.'sit zen an ei ner Stelle x = Cl ei n Minim um , w en n d ingunge n C"'( U) = () A C"( a) > 0 e rfüllt sind.

die Be-

Beispiel : Für die Kosten/unktion aus dem letzten Beispiel gilt C' (x) = 1,2x - 200 und C'"(x) = 1,2. Wir erhalten damit folgendes Grenzkostenminimum: I

C' (x) = 1,2)( - 200= 0

~

x = 166,67 C-{166,67) = 1,2 > 0

Wir erkennen , das s das Ergebnis de rartige r Berechn ungen auch nicht-ga nze Zahlen sein können. Betrachten wir Produkte, deren Einheiten in z.B . kg oder Tonnen gemessen werde n, stellt dies kein Problem dar. Kön nen nur Prod ukte in ga nzen Stück hergestellt wer· den, ist ein solches Ergebn is problematisch und wir müs sen weitere Betrachtunge n anstetlen. Im hier vorliegend en Fall mü ssten wir also untersuchen ob ein Minimum bei x '" 166 oder x '" 167 vorliegt. Dazu bere chnen wir C'(166) = 33.336 und C' (167) = 33 .33 4. Da C'(166) > C' (167 ) g ilt, liegt also ein ökonomi sch sinnvolles Minimum be i x '" 167 .

Besitzen die Durchschnittskosten b zw . Stück ko sten AC( x ) an eine r Stelle x ,. a ein sttntnnnn, so sind Gren r - und l mrcbscbnittsleostcn an di eser Stelle identisch, d.h. es gi ll C'( a) = AC( a ).

(1]1.96)

Di esen Zusammen hang , der analog auch auf jede andere Fu n k tion übert ragba r ist, können wir beweisen , in dem w ir die erste Abl eit u ng von AC(x ) bestimm en und gleich Nu ll setzen: AC(x ) =C(X )

x

Ac'(x ) = O

->

....

._ ) dAC{ x ) c'(x ) · x -C(x ) AC ( x = = ,

~

dx

C'(x )' x -C(x)

,

x" C'(x ) x

=

C( x )

"

=0

.... ....

x-

C'cx ) 'x

c< x )=ü

,

,",

x"

,

Crx )

C( x)= -

x

-= AC{x )

Setze n wir hier x '" c ein, erha lten wir die Beziehung aus ( 11 1.96). Analog kö n ne n wir auch zeigen , dass sich an ei nem Extre m w ert x '" c der durc hschni ttlichen vanablen Kosten AVC(x) die Gren zkosten und die variablen Stückko sten sch ne ide n, d.h. C'l UJ = AVC( u ) g ill.

3. Differenzialrechnung

187

\X'ir wollen diese Be ziehunge n nun im Zusammenha ng m it de n un ter 111 2.j .j behandelten ert ragsgeset zl ich en Kos ten fu n knonen näh er analysiere n. Wie wir w issen, wei st ei ne solche einen s-förmigcn Ve rlau f auf lind besitzt damit sow o hl einen konvexe n als auch einen konkaven als a uch e ine n linearen Be re ich. Sx'ic Abbild ung 111 45 zeigt, sind für derartige Funkt ionen drei Outputwerte vo n be sonderem Inte resse. C(x)

C(

x)

wcndcpunkr

-+--------+-----+---+--- --7, coo. c'( x)

AC", ;n -

--

-----------------------------T---------~-----::::-:----+--:--~ - - -)L------,

:

AVCI1\;n

_

i

AC( x )

,

:

i x

Abb ild ung 1lI 45: Eigensc hafte n ert ragsgesetzlicher Koste nfun ktio nen Die sog. Sc h w e Ue des Ertragsgesetzes x = a.. ist d ie \Vendeste lle der Kost en fun ktion Cfx) bzw . das Minimum de r Gre nzkos ten C'( xl . Am sog. Betricbsmini.tnum x = c; e rre ichen die variablen Stückkoste n AVC(x ) ihr Minim um. De n dazugchörige n Funktion swe rt A VC( a~l) be ze ichnen wir als ku rzf ristige t' retsuntergrenre AVCm ," , da a b die se m Punk, zum indest e in Tei l de r Fixkoste n gedeckt sind. Die

166

11 1 Funktionen einer Var iablen

Grenzkosten e ntspreche n an der Stelle de s lk- rric bsrrurumums x ... Stückkosten. d.h. es gilt c'< a \l) = AVC< U ,\l ) = AVC min

c, de n variablen

•

Produziert bzw . verkauft e in Unte rnehme n zum Preis AVe ",,", so sind hei e iner Prudukttonsmenge von x .. a " gerade noch die variablen Koste n der Prod uktio n gedeckt. Ein Be itrag zur Deckung de r fixe n Koste n wird nicht geleistet. Da die fixen Koste n kurzfristig un ve rä nde rt a nfallen , auch wenn die Produ ktio n stückt, Ml ist es sinnvo ll , kurzfristig weiter zu produz iere n. Sinkt der Pre is u nter dn- Grenzt;.' AV e ",,,,, sind die va riable n Koste n nicl u mehr gedeckt. sodass ei n Mar kta u stritt sinnvoller ist als e ine \X'e itt.'r p ro du ktio n .

Das sog. Hetriebsoptimum x - u , liegt an der Stelle , a n der d ie Stückkosten AOx) ihr Min im um erreichen . Der \'('eTt AO llo ) wird dabei als Icmpfri.\·tige PreisII1I1"rgrellze AC"". be ze ich ne t. Es Ailt im u e rrte bso pttmum . d ass d ie Grenzkosten Aleir:b den Stückkosten sind , d.h. C'( a () ) = AO a o) = AC "'in .

\X"i rd zum Preis AC."" ve rka uft , ist fü r ei n Un tern ehm en zwar der Gew in n Aleir:h Nu ll, doch sind sowohl fixe uts auch varia ble Ko sten vollständig gedeckt.

Beispiel:

Bestimmen wir für die Funktion C(x) = x3 _ 12x 2 +54x +248 d ie Sch welle des Ertragsgesetzes, das Betriebsminimum und das Betriebsoptimum. Wir benötigen dazu folgende Fun ktionen : C'( x) = 3x 2 - 24 x + 54 --+ C-(x ) =6x-24 -t C"'{x) =6 AVC(x ) = x 2 - 12x + 54

AVC'(x ) =2x - 12

AC{x) = x 2 - 12 x +54 + 248

x

~

-t

AC'(x) = 2x _ 12 _

AVC·(x ) = 2

248 x2

~

AC. (x) = 2 + 496 x3

a) Schwelle des Ertrag sgesetzes: I

C·{ x)=O

6x -24 = O

~

C"'(4) =6 > O

~

x =4

H

x = 4 ist W endestelle von C{x ) und Minimum von O'(x )

b) Betrtebsmlnlmum: AVC'(x) = O

2x - 12 =O

~

AVC·{6 ) = 2 > 0

~

H

x=6

x = 6 ist Minimum von AVC(x)

I

Identitätsnachweis: C'(6) = 3 .6 2 - 24 ·6 + 54 = 18 AVC(6) = 6 2 - 12 ·6+ 54 = 18

C'(6) = AVC(6)

Die kurzfristige Preisuntergrenze liegt dam it bei 18 Gelde inheiten. c)

Betriebso ptimum: I

AC'(x ) =O

-t

246

2x -12 - -

"

=O

2x 3 - 12x 2 - 248=O

Das Newton-Verfahren liefert d ie Lösung x '" 7 ,958.

3. Differenzialrechn ung

189

AC· (7,9 58) = 2,98 > 0

--+

I

x = 7,958 ist Minimum von AC(x)

Identitätsnachweis:

C'(7,958) = 3 .7,96 2 - 24 ,7,96 + 54 = 53 AC(7,958) = 7,96 2 - 12 . 7,9 6 + 54 + 248 = 53 7,96

C'(7,958 ) = AC(7,958)

Die langfristige Preisuntergrenze liegt damit bei 53 Geldeinheiten. Zusa tzfrage:

Welchen Einfluss hat eine Erhöhung der Grundsteuer auf das Betriebsminimum dieses Unternehmens? Die Grundsteuer stellt einen Teil der Fixkosten dar, die auch anfallen , wenn nicht produziert wird. Die Steuererhöh ung ist also als Fixkostenerhöhung aufzufassen . Da das Betriebsminimum das Minimum der durchschnittlichen variablen Kosten darstellt, haben die erhöhten Fixkosten keinen Einfluss auf die kurzfristige Preisuntergrenze und die dort produzierte Menge. Auch die Grenzkosten sind von einer Fixkostenerhöhung nicht betroffen, da sie als additive Konstante der Gesamtkosten bei der Ableitung wegfallen.

3.7.2

Umsatzfunktion

Un ter 11I 2.•~ . 2 halt en w ir de n Um satz b zw . Erlös I{ als Produ k t :I US abges etzte r Menge und d em Prei s definiert. D ie erste Able itung de r Um satzfun kt o n I{(x ) ist die sog . Gre nzerlös fu n ktio n oder Gren zumsatzfunktion I{'ex ) . Sie gibt :111 , um w ieviele Geldeinheite n sic h der Erlö s (näherungswe ise ) ve rändert . wenn ei ne zusätzliche Einheit abgesetzt w ird.

lm Fall l'OlIstiilldiger K ontmrrene (An bictcr sin d Prei snehmer) gi lt R(x ) = p 'x --+ wobei

p

,

)

dRf x ) cl ,

_

Rt x = - - - = p ,

( 111.97)

de r fü r ei n e in zelnes unternehmen gegebene Mark tp reis isl. In d iesem

F:dl e ntspricht also der Gren ze rlös I{'(x ) dem nurcbscbntuserlae A I{( x ) ( AI{: Average Reven ue ), da gilt

Rt x ) P' x _ - = - - = p. x x

() = ARx

(11 1.98 )

Bei unr ollstdndiger Koniuc rn' II I (Anb ie te t hab en Preiseinfl u ss ) gilt h ingegen ( unter N utzung der Produ kt regen

R( x ) = p<x ) · x

--+

,

d R( x )

,

R (x) = - - = p( x ) ·x + p(x )

cl,

(11 1.99 )

und

Rt x ) p( x) 'x AR(x ) = - - = = pt x ) x x Di e Diff erenz zwischen Gre nz- u nd Du rchschni ttser lös en tsprich t also

I« x ) - A H( x ) = p'( x)· x + pt x ) - pt x ) = p'( x) · x .

(J II.I OO)

190

11 1Funkt ionen einer Variab len

D a e in t.' preis-A b satz-Fun k non (Nachfragefunktion j pr x ) de n ne gativ en Zusammen-

hang zwischen Preis und ab ge setzte r Me nge angibt, folgt p '( x ) < 0 . Som it gilt auch p '(x )· x < 0, d a x > o. Die D iffere n z zwischen Gren z- und Durchschmuserlös ist so m it negativ. Daraus folgt für d en Zusam men hang der beiden Fu nk ti o n en H.'( x )

< M {(

(111.1 01)

x ).

Be i I{ ' ( x ) handelt es sich um de n Gre nze rlös be züglich der Me nge. Im Gegensatz dazu sprechen wir im Falle e ine r Preis -Ab-atz-Fun ktio n der Fo rm x xfp ) be i R'( p l vom Grenzerlös bezüglich des Preise s. Für diesen gilt ;z

---+

R( p ) = p'x( p J

,

d Rt p) = xcp j e P : x 'r p ) .

R ( r) = -

dp

Beispiel: Ein Unternehmer hai durch Erfahrung einen Maximalpreis von 1.000 Geldeinheiten und eine Sänigungsmenge von 5.000 Stück für sein Produkt festgestellt. Er geht zudem von elner linearen Preis -Absatz -Funk tion aus. Versuchen wir herauszufinden, bei welcher Menge das Erlösmaximum liegt (a) und welchen Einfluss es auf den Erlös hat, wenn der Absatz ausgehend von einer Absalzmenge von 2.000 Stück um eine Einheit erhöht wird (b).

a} Einsetzen von Pl(O; 1.000) und Pd5. 000; 0) in die Zweipunkteform der Geradengleichung liefert: p(x) ,= 0 -1000 . (x - 0) + 1000 == 1000 - 0,2x 5000 0 R(x) '=p(x) · x == (1.000 - 0,2x)· x '=1.000x - 0,2x 2

-t

R'(x} = 1.000 - 0,4x

Ohne Bildung der Erlösfunktion und ihrer Ableitung kann im Fall einer linearen PreisAbsatz-Funktion die Grenzerlösfunktion nach folgendem Muster ermittelt werden: R'(x) '= 1.000 - 0,4x p(x ) '=1.000 - 0,2 x

I

·2

t

Im Erlösmaximum gilt: R'(x),= O

-e

1.000 - 0,4x ,= 0

R·(2.500) '= - 0,4 < 0

-t

X

H

x '=2.500

'=2.500 ist Maximum

b) Der Erlös steigt (näherungsweise) um R'(2.000) '=1.000 - 0,4 2.000 = 200 Geldeinheiten. Zusatzfrage: Wie wirkt eine Preiserhöhung von 549 auf 550 Geldeinheiten auf den Erlös?

Die Bildung der Umkehrfunktion zu p(x) liefert x(p) = 5.000 - 5p, woraus wir direkt die Grenzerlösfunktion bezüglich des Preises A'(p) = 5000 -1 Op aufstellen können. Der Erlös sinkt damit um 490 Geldeinheiten, da A'(549) = 5.000 - 10 ·5 49 = --490.

3.7 .3

Gewinnfunktion

Di e G ewinnfu nk tion w urde im Ah sch n itt 1II 2.3.4 als G( x ) '"' R( x ) - C( x) de fin iert. lh re erste Ableit ung li efen die Gren zgew in n fun k lion G'(X ) , die rnäherungsw eise) die Änderung des Gew inns bei Erhöhung ode r Senkung de r produzierten

3. Differenzialrechnung

191

un d abgesetz ten ~! e nge x um e ine Einheit :.l ng ib t und n ic ht s a nde res als dl c Differenz aus Gre nze rlös- un d G ren zko stenfu n kt io n ist. G( x ) =!{(x ) - C( x )

-e G '(x ) = d GCx) = dR ( x ) _ d U x ) = lf(x ) -C'C x ) dx

dx

( 11 1.10Z)

dx

\'<'i e die Erlösfunktion, kann a uc h d ie Ge w in n funk tion in Ab h:i ngi gkeit vorn Preis P angegeb en w erden . Di es m acht sch l i eL~lich wieder ei ne Un te rscheidung zw isch e n Grenzge w i n n bez üg lich der Menge und bezügl ic h des Preises erforde rl ich . Wir w ollen un s i m Fol gend en jed och auf eine D arstellu ng w ie in ( II1.102) k on zen triere n . Ana log zur Bi ld u ng de r G ren zfun ktion in den bt.' reit s besprochen en Fällen können wi r auch de n Gren zstückgewin n g'(x ) , de n Gre nzdecku ngsbe it rag n '( x ) u nd de n Grc nzstü ckdcck ungsbeitrag d't x ) bestimmen . Bei ein er Gewinnfu nktio n G( x) liegt an ein er Stelle x .. Cl ein Ge w in n max im u m vor, w en n d ie Bedingun gen G '( a ) = 0 " o'cco < 0 erfüllt sind . Aus de r no twe ndige n Bedingung ergibt sich G'( u )=O

H'Cu ) - c'Cu) = O

H

H

I( a ) = e'( u ).

(JIl.I Oj )

Im Ge winnmaxim um sind also Grenzerlös lind -eossen gleich. D ie Stell e x = a w ird auc h a ls gew in nm axi m ale Produ ktion sm enge be zeich net. Bei de r Erm ittl u ng d es Gewinnmax imums woll en w ir d ie im Zu sam m en hang m it der Erl ö sfunk tion b eschriebe ne n Marktsituationen voll stä ndige (lUx ) ., P . x) un d unvollst ändige Ko n kurren z (R(x ) ., pr x j . x) näher unalyxierc n . Begi nn en w ir dabei zunäc hst m it dem Fall de r vollst ändigen Konkurrenz: D er Gewinn ei nes Anbietc rs :H1f einem d erart ige n Markt er rech ne t sich nach

Gt x)

= ]{Cx) -

Ox )

=p ' x -Ox) ,

was zu einem Grenzge winn von cf'( x ) = R'Cx) - C'(x) =

p - C'(x )

fü hrt . Di e zweite Ab leitung von G( x ) er halten wir daraus zu G"(x) = ]{"( x) -c"'( x) = - C"(x) . N u llse tzen d er ersten Ab leitung von G( x) liefert einen möglichen Extrem w ert x '" U w en n gilt G '( a ) = o

H

p -c'C U)=O

H

P = c'CU ) .

\'('i r h äue n also zur Besti m mung d ieses \X'e rts auc h sofort de n Prei s CGrenzerliis) gleich de n Gren zko sten C'( x ) set zen kön nen. Dam it ei n ,\ Iaxim u m vorl ieg t, m u ss G~( a ) < 0 b zw . _ C'"( a) < 0 bz w. C ~( u) > 0 gelten. Im r all e 1'01Istiilldiger KUli eurrenz resul tie rt also : x = a ist G ewinnmaximum

(1I 1.1 (4)

Zusam me nfassend erreich t also ein A nbictcr bei vollständiger Ko nk urr en z b ei de rjcn igen Angebot sm enge x - a sein Gc wtnnma xtm um. bei der d ie Gre nzkosten c'( a) gleich de m Marktprei s p sin d u nd di ese Angebot smen ge im ko n ve xen Bere ich der Kost en Fu nk tion liegt.

11 1 Funktionen einer Variablen

192

Zum gegebene n Mar ktpreis p wird der Uruemeluner also gerrau die Menge x = Cl anbieten , di t:' d ie Gleich u ng p = C'( x ) e rfüll t. LÜsI.'n w ir d ie G le ich un g p = C'( x ) nach x a uf, er ha lte n w ir d ie Ange bot sfun ktion x' .. f{ p ), die unter der Bed ing ung

der Ge w inn m aximierung d ie zu jede m Preis p angebotene Menge ang ibt. Sie entsp rich t dem ansteige nden Ast de r Grenzko sten fun ktion . da C'( x ) > o. Oie Angcborsfunknon ist langfristig allerd ings nur fü r p ;;:: ACm m defi n iert , d. h. nur fü r Preise,

die m indeste ns der langfrtsugc n Preisuntergrenze e ntsprechen. Langfristig m üssen nämlich so wohl fixe als auch var iable Kosten d urc h den e rzielten Preis gedeckt se in . Ein Angebot unter den Durch schmuskost en AC",m ist a uf Da ue r nicht denk bar (p < AC(x) Hp ' X < Cr xn. Kurzfristig ist sie auc h für Pre ise zwischen de r kurz und langfr istigen Pre tsumergrenze , a lso insge samt für p ;:: AVCm ;" definie rt. Kurzfri.~t ig kan n der Preis also a uch unter den Durch sch nittskoste n liege n . Es we rde n dan n alle d urch die Produktion ve rursachten va riab len Koste n und auc h ei n Te il de r Fixkoste n ge dec kt. Ein Ange bot unter de n d urchschnittlichen variablen Kost e n AVCm ;" ist a uc h kur zfristig nicht vorstellbar . d a hier nicht einmal d ie durch d ie Prod ukti on ve rursacht en Koste n ge deckt sind. Jede zusätzlk-h produzie rte Einh eit w ürde (las Betrieb se rgebnis (Gewinn ) m inde rn.

r

Arbeiten wir nicht di rekt mit der Angebot sfun ktion x' .. f( p ). so ndern m it = c'(x) selbst, können wir das kurz- und langfristige Artgebot ein es Unternehmens aus der Hetmchtung vo n Abbildung IIJ 46 und 111 47 ableite n, d ie un s in ähnlic her Fo rm be re its im Zusamm e nhan g mit der De finition des Betri ebsmin imums x .. a " und des Betriebsopt imu ms x .. c., unter 1lI .3 .7. 1 bege gnet ist. De m 'c'e n p .. ACm ," e ntspr icht die Ste lle x "" Cl., des Be trieb so ptim um s. Grö lkren p e ntspreche n x-werte recht s von x .. a" . Die Grenzkosten ub der Srelh- de s Bet rieb soptimum s. ste llen so mit die lan gfristige Angeb otsfu n k tio n e ines gewinnmaximierenden p olypolixt iseh en Anh ieter s dar. Analog stellen d ie Gre nzk oste n ab der Stelle des Betrie bsminimuns, d ie kurzfristige Angebot sfu nktion da r. Aus beiden Angebot sfun ktionen kön nen w ir hci gege bene m Pre is p d irek t a uf die gewinnmaximale Produ ktionsbzw . Ange bot erne nge x'er ) sc-hließen. c'(x )

C', .. .

P .---.---.--.----------------.-----.---)0

AC( x ) AVC(x )

AC''' in

f-- - - - - - - -",..,,r-- - , -

u" Abbi ldung 1II 46: L:mg frisliges Angebot

lan gfristiges Angvbot

193

3. Differenzialrechnung

c,

C'( x )

ACex ) AV« x )

p AVC m in

._

-

-

-

kurzfris tiges AngdJo t

Ab bil du ng [11 47: Kurz fristiges Angebo t

Abschließend noch zu r .\Hi ckg ell'i llll ll/ tl.\"i m iel"ll llg be t volls tän diger Kon k u rren z:

Aufgru nd von G(x) - p' x - «xl ht g(x) - P - A«x l lind dam it g'(x ) =-AC'( x ) sowie g ·(x ) = - AC·( x ) . An einer Stelle x - a li egt somit ei n Maximum vor , we n n di e Bezieh ungen g'( u )= O bzw. AC'( UJ=O und J.(( U ) < O bzw. AC"( u » O gelten . D as Maximu m des Stück gewinns g(xl liegt som it gera de an d er Stelle d es :\lin imums vo n A(( x ), d.h . an d er Stelle Cl" des Betrieb soptim u ms. Anders ausgedrück t max im iert also ein U ntern ehm en b ei vo llständ iger Ko nk urr en z seine n Stückgewinn bei de r bemehsoprimale n Ausbrtng un gsmenge x u" . 2

Beispiel 1: Lineare KostenIunktion Betrachten wir einen Anbieter bei vollständiger Konkurrenz mit der linearen Koste nfunktion C(x) = 4x + 350. Der Marktpreis betrage 18 Geldeinheiten je Mengeneinheil. Die Kapazitätsgrenze des Anbieters liege bei 90 Mengene inheiten . Wir erhalten in dieser Situation die Gewinnl unktion G{x ) = A(x ) - C(x) = l8x - (4 x + 350) = 14x - 350, die wie lo lgt skizziert werden kann:

G, A, C

Kapazitätsgren ze

A(x)

C(, )

GI' )

25

11 1Funktionen einer Variablen

194

Das Unte rnehmen tritt nach Übersch reitung der Produktionsmenge x '" 25, die wir durch Nullsetzen und Auflösen von G(x) bestimmen können, in die Gewinnzon e ein und er reicht bei der Kapazitäl sgrenze sein Gewinnm aximum von G(90) = 9 10 Geldeinheilen . Da die Gewinnfunktion linear ist, wird ihr Maximum durch den Rand ihres Definitionsbereichs bzw . die Kapazilätsgrenze bestimmt. Die Bedin gung, dass von einem Unternehmen bei vollständiger Konkurr enz und linearer Kosle nfunkt ion überhaupt ein Gewinn erzielt wird , ist, dass die Gewinnschwelle im Intervall zwischen Null und der Kapaziläl sgrenze liegt. W äre nämlich in unserem Beispiel de r Preis bei unveränderten Kosten z.B. 5 Geldeinh eiten je Menge neinheit, so wäre G(x) = x - 350 und die Gewinnsch welle dami t x = 350. Da die Produktionskapazität aber bei 90 Mengeneinheiten liegt, wäre das Unternehm en nicht in der Lage, d ie Gewinnzone zu erreichen. Vorausgesetzt, der Marktpreis ist hoch genug, d.h . die Gewinnsch welle liegt unterhalb de r Kapazitätsgrenze, wird also ein Unternehm en bei vollstän dige r Ko nkurrenz mit linearer Koste nfunkt ion immer an de r Kapazlt ätsqrenze produzieren. Bei konstantem Marktpr eis ist der Stüc kgewinn die Differenz zwischen Marktp reis und Stückkosten, d.h. G(x) = P . x - C(x) --+ g(x) = P - AC(x), lm vorlie genden Fall gilt

~

g(x) "" 14 - 350 x

g'(x ) '" 35 , x 20

sodass g'(x) keine Nullst ellen und damit g (x) kein Maximum besitzt. Ihr Maximum ist wie auch das der Gewinn funktion durch die Kapazitätsgrenze bestimmt. Dort nehmen die unter dem Preis p liegenden Stüc kkosten ihr (Rand-)Minimum an (vgl. nachfolgende Skizze ). g, p, AC

Kapazitätsgrenze

AC(x)

p

g(,j

F;~:Ig=, 90

25

x

Bei spiel 2: Ertragsgesetzliche Kostenfunktion Betrachten wir nun den Fall vollständiger Konkurrenz mit ertragsgesetzlich er Kostenfunktion C(x) = x3 - 12l + 54x + 248, Der Marktpre is liege bei 62 Geldeinheit en je Mengeneinnen. die Kapazitätsgrenze bei 14 Menoenelnhetten. Während wir im vorhergehenden Beispiel auf grund der Linearität der Kostenfunktion nicht von der Bedingung 15 = C'(x) zur Bestimmun g der gewinnmaximalen Menge Gebrauch machen konnten, können wir nun da rauf zurückgreifen.

,

p =C'(x )

--+

62 =3 x 2 -24x+54

Die Lösung dieser quad ratischen Gleichun g liefert zwei Lösungen, wovon jedoch nur der posive Wert x = 8,32 ökonomisc h sinnvoll ist. Da G(x) = _ x3 + 12x2 + 8x - 248, G'(x) = _ 3x2 + 24x + 8, G"( x) = -6x + 24 und damit G"(8,32) < 0 ist, liegt ein Gewinnma ximum bei x = 8,32 vor. Der Gewinn liegt dabei bei G{8 ,32) = 73,30 Geldeinheiten .

195

3. Differe nzia lrechnung

Der Stückgewinn ist an der Stelle des Betriebsoptimums x = co maximal. Es liegt in unserem Fall bei ao = 7,958 und AC"," = 53 (vgl. Beispiel unter 111 3.7.1). Daraus folgt für den maximalen Stuckgewinn gmax = P - AG...." = 62 - 53 = 9. Besti mme n wir nun noch die lang fristige Angebotsfunktion X = l{p). p = C'(x) liefert daz u 2 3x _ 24x + 54 = p bzw . l - Bx + (18 - P/3) '" 0, woraus sich nach Auflösung nach x S

x1.2 =

B± ~(-B )' - 4.' (1B-

~)

2 .1

ergibt. Da ökonomisch nur der Wert fü r "+· in Frage kommt . g ilt fur die Angebotsfunktion

xS =

B+ 1(-8)' - 4., .(, B-i') "

3 _

2 ·1

B+J-8 +4" B+2 JE.- 2 2

3 _

2

3

=

JF

4 + E _2. 3

Diese gi lt langfristig nur für p ;:0: (AC",," = 53 ). Für die Kapazitätsgrenze x = 14 liefert 3l 24x + 54 = P den Preis p = 306 , sodass der Definiti onsbe reich der langfristigen Anqebotsfunkt ion durch 53 s P s 306 gegeben ist.

Bet ra chte n wir n u n d ie Gewinnmaxim ierung ei nes Unte rne hmens be i unvolls tänd lger Konkur r e n z . Auch h ier gel te n für e in Gewinnmax imum x = c 0 11.101) un d 011.1 03 ), d .h. R'(U ) = c'(a )

1\

G '"
--+

x= U ist

xtaxrruum .

(]I U O,;)

Alle rd ings ist zu bc rückstch uge n. dass R'( x ) =r '( x ) , x+r( x ) < pt x ) . Immer we n n also d ie Preis -Ab satz-Fun ktion in der Form rex) vorliegt, handelt es sich um un voll stä ndige Ko nkurren z. De r Pu nkt C au f der Preis-Absatz -Fu n ktio n p(x), dessen Abszisse de m Gewi n nmaxi mu m x .. c en tsprich t, w ird als Co u r- no t-Pu n k t C(a , ; p( Ue beze ich ne t. u , ist da be i die Co umot-xte nge un d p( <<,> der Co ur not-Preis. Setz! d e r Unte rne h me r se inen Prei s e ntsp rec hend dem Co umot-Prets, erz ieh e r max imalen Ge winn . Die da be i nachg efragte un d ab ge set zte ;\k nge ist d ie Cournot-Menge.

»

Im Falle ei ne r linearen Kost e nfu n ktio n und damit konstan ten Grenzkosten ka nn der Pun kt C w ie in Abbildung III 48 skizziert we rden . Die gew inn maximale Me ngt' a c e rgib t sich als Schnittpunkt zw isch e n der G re n zkoste n- und d e r Grenzerlösfunknon . Die Ste igu ng der Kos te nfu n ktion entsp richt hier de r Ste igu ng der Erlös fu n knon . Tragen w ir den sich ergehe nden Abszissenwe 11 auf de r Fu nktion pt x I ab, e rhal ten wir den zugehörigen Co urn ot -Pre is p( a,J b zw . de n Co urnot-Punkt C. \X'ie zu e rkenne n ist, ist fü r c, d ie Diffe renz zwischen [{(x ) u nd Ci x ), abo d e r Gew in n , maxima l (G "",). Fü r eine e rtragsgesetzliche Koste n fun kno n. deren Grenzkosten nic ht kons ta nt sind On vielen Fälle n re alis tisch e r), könne n wir d ie a ngestellten Überlegu ngen le icht übert rage n fvg l. Abhil d linA III 49 ). Bei en rags gesetzltc hem Koste n ve rlauf wachse n die Koste n zu nächst unterpro port tonal , d.h . d ie Grenzkosten fallen . Von einer Be stimmten Men ge an , we nd et sich der Ko ste nve rlauf und d ie Ge samtkoste n «eige n üb erpro portion al. d.h . die Grenzkosten stei ge n nach Durch lau fe n eines Min imu ms . De r max imale Gewinn ergib t sich auch hier a n der Stelle . a n der d ie Ste igllllA

11 1 Funktionen einer Variablen

196

]{'( x ) der Erlö sfu nk tion R( x ) u nd die Steigung C'( x ) der Ko sten fu n ktion C(x)

gleich sind .

De r vollsrändlgken halber sei erwähnt, dass bei vorliegendem Graph vun G(x) lediglic h der Abszissenwert des Ma ximums auf pt x) abzutragen ist , um de n CournotPreis hzw. de n Cournot-Punkt zu ermitteln.

C, C , I{, Ir , P C(x )

Gewinnzone

,(( x )

rex) f + - - ----\c-----',,-\c---c'<x)

Abbild ung 11I 4H: Cournot-Punkt bei linearem Kosten verlauf

C, C , I{, W, P C( x)

Gewinnzone

Abbildung tlI 49: Cournot-Punkt bei ertragsgesctzttchem Kost e nve rlauf Beispiel 1: Ein Unternehmen sieht sich der Kostenfunktion C{x) = 440 + 3x und einer Preis-Absatz Funktion p(x) = 100 - 0,2x gegenüb er. Zudem kann es auch in nichl -ganzen Stückzahlen produzie ren. Wie hoch ist der Gewinn, der maximal erzielt werde n kann ?

3. Differenzialrechnung

197

1. Benötigte Funktionen : G(x) : R(x) -C( x) == p(x) · x - C(x) : (100 - 0,2x ) · x - (440 + 3x): _0,2 x2 + 97x - 440 G'(x) = -0,4x+97 = - 0, 4

G ~(x )

2. Extremwert bestimm ung: !

G'(x): O

-t

x : 242,5

G' (242,5) : - 0,4 < 0

-t

x : 242,5 ist Maximum

Der maximale Gewinn liegt so bei G(242,5) = - 0,2· 242,5 2 + 97 ·2 42,5 - 440 : 11.321,25 Geldeinheiten. Der Preis der dazu auf dem Markt vorherrschen muss ist, p(242,5) "" 51,5. Der Cournot-Punkt liegt damit bei C(2 42,5; 51,5), Bei spiel 2: Besitzt ein Unternehmer die Preis-Absatz-Funktion p(x) '" 100 - 1 5X und die bisher schon mehrfach verwendete ertragsgesetzliche Kostenfunktio n C(x) = x 3 - 12l + 54x + 248, so können wir die gewinnma ximale Produktionsmenge wie folgt ermitteln: 1. Benötigte Funktionen : G(x) = (100 - 1, 5x) , x - (x3 _ 12x 2 + 54x + 248) == _ x 3 + 10,5 x 2 + 46x - 248 G'(x) = _3x 2 + 21x + 46 G~(x ) =

-ex+ 21

2. Extremwertbestimmung : !

G'(x) == O

-t

Xl == - 1,75, x2 '" 8,75

G'(8 ,75 ) = - 31, 5 < 0

-t

Ökonomisch sin nvoll ist nur x = 8,75 .

X= 8,75 ist Maximum

Der maximale Gewinn liegt damit bei G(8,75) '" 288,48. Der Gaurnot-Punkt liegt bei C(8,75; 86,88), da p(8,75) = 86,88 ist.

Absch ließen d sei erwäh nt, dass w ir den Maximalge winn Gm>, bei vorliegend er Co urnot-Menge h zw . gewinnma ximaler Me nge x = CL, auger als G(ll.,> auch über de n Zusamme nha ng G ,,~, = g(CL) . CL" = (AR(U) - AG CL») , c, be stimme n können .

De r Gew inn ergih r sich n ämlich als Stück gew inn m ulrtpltz tert mit der prod uzie rten Menge. d.h. G(x) = g( x) , x, und der Stückgewinn is t nichts a nderes als d ie Differenz aus Durchschmuse rlös und -koste n , d.h. g{x ) '" AI{(x) - AC(x).

3.7.4

Elastizitäten

Hishe r haben wir mittels der Gre nzfunktion {'(x) d ie absolute Änderung ein e r Funktion y - [(x) bei Ände ru ng von x UI11 e ine Einhe it betrach tet. Absolute Grösen ha be n jedoch den Nachte il, dass sie zu r Cbarakte ns teru ng des Änder u ngsverhaltens oft nicht a ussagekr;ifl ig genug sind , Die er ste Ableitung hat speziell den Nachteil, dass ihr Ergebni.s maKsstabsa hh:.ing ig ist, d.h . davon abhä ngig ist, wie x und y ge messsen we rden ( Euro oder Dollar, Gramm ode r Kilog ram m, ", ).

198

11 1Funktion en ein er Variablen

Beispiel : Betrachten wir zwei Unternehmen A und B, die ausgehend von gewissen Produktions niveaus x die Menge um eine Einheit öx '=' 1 erhöh en. Diese und die Auswirkungen auf die Produktions kosten C (in Geldeinheilen ) sind in nachfolgender Tabe lle enthalten:

A B

Out put x

Koste n C

neuer Output

40 400

200 100

41 401

neue Kosten

6 6

206 106

Absolut betrachtet sind bei beiden Untern ehm en durch die Produktionssleigerung um eine Einheit die Kosten jeweils um 6 Geldeinheilen gestiegen (t. C : 6). Interessieren wir uns nun aber dafür, bei welchem Unternehmen die Kosten empfindlicher auf eine Produktionserhöhung reagier en, helfen uns diese absolu ten Größen nicht we iler.

Bei A bedeutet die Änderung des Outputs um eine Einheit eine Steigerung von 2,5 % (= 1/40 · 100) und bei B nur 0,25 % (= 1/400 · 100). Die Kosten steigen bei A um 3 % (= 61200 · 100) und bei B um 6 % (= 6/100 ·100). Wir erkennen, dass die Kosten von B empfindlicher auf eine Erhöhung um eine Einheit reagieren. Bei B führt nämlich eine Produktionserhöhung von nur 0,25 % zu einer Koslenerhöhu ng von 6 %, wohingegen eine beträchtlichere Produktionserhöhung um 2,5 % bei A nur eine Kostensteigerung von 3 % mit sich bringt. Ein Maß für die Empfindlichkeit der Kosten bzgl einer Produktionsänderung ist der Quotient der hier bestimmten Prozentsätze

.o.C .100 .o.C C

=~.

x

x

.o.x.100

.o.x

Wir erhalten damit für A den Quotienten 3 % 12 ,5 % = 1,2 und tür B 6 % I 0,25 % = 24. Unternehmen B reagiert sensibler, was der höhere Quotient zeigt. \'\' i r wollen nun d ie Erk ennt nisse dieses Beispie ls verallgemei nern. D as Verhältnis der relativen Veränderung ei ner Grüße r = fLx) zur relativen Veränderung ei nes sie besti mmende n Einfl ussfaktors x bezeichnen wi r in diesem Zusammenhang als

Elastizität E" .

dy E

r.x

=

relat ive Änderung de r Grösc y

y .6y x =-=_ . relative Änderung des Em f lussfaktors x öx .6.x y x

(JII.I (6)

Wir sprechen von de r " E Ja.~t j z j t 5 t der Gröge y bezü glich der Größe x". Lassen w ir nun .6.x gegen Null gehe n, so erh alt en w ir die sog . Punktelastizität

uy E

Jy

= _Y_ ' = _u_y ...:. = _J_, = _y_'(_x_) = l T';W Ab lei tung r.x dx dx y r y( x ) Du rchschnittsfunk tion

x

(111.1 07)

x

Wir erk en nen an (11 1.1 07), dass die Elasüzi tär eine tuntuton d er 1l1la bbä l/g igell variablen x ist und sich immer auf einen hestinumcn Punk t der betrachtete n Fun k tion bezieht (da her Punk telastiz itilt ). Di e Elasti zit:it ist zud em ctn c dimens ionslose Größe, d. h. unubhängig davon, in welche n Mageinln-iten x und y geme ssen wer-

3. Differe nzia lre chnung

199

den. (1[1.107 ) gibt an ei n er Stelle x '"' a (nähcrungswvise) an, 1/11/ n-ie l'ief rro r ent sich y ceranden (steigt bo t E", > 0, fällt bei E" < 0), u-ennx heix» a tim 1 % stdp,l. Es gilt allgemein (JIl.I (8)

Absolut gesehen kann d ie Elasti zhilt, die natürlich nur für eine differenz ierbare Fu nktio n y : f{x) definiert ist, jeden \'('e rt zwischen 0 und 00 an ne h me n. Ist an einer Stelle x • a d ie Be zieh u ng IE",I > I erfüllt, so I \(,'il~t y • Hx) bezügl ich x an der bet rachteten Stelle elastisch. Dies bedeutet, dass y • 11x) sehr sensibel auf i\nderangen von x reagiert, u nd zwar umso senxihler je höher IEv .! ist. Be im Grenzfall IE""I • 00 sprechen wir von einer I'ollkolllllle ll elastischen Reak tion. Ist an einer Stelle x '" a d ie Be zie hu ng IE,,.I < I erfüllt, so he igt y: f(x) hczügllch x an der betrachteten Stelle unelosuscb. Dil's bedeutet, dass y: fex) wenig sensibel auf Änderungen von x reagiert. J e kleiner 1 E"I ist, desto rob uster ist y : f(xl gcgenüber Änderungen vo n x. Im Grenzfall E, . : 0 he igt y: I~x ) ooltleonnnen unelasuscb oder sta rr, d.h. d ie Funktion reagiert auf Änderungen vo n x überhau p t nicht. Im Übergang von elast ischem zu unelastischem Verh alten, d.h . he i IE", I '" 1, nennen wi r y '" [(xl be züglich x ansgeglichen elastisch, einheitselastisch oder tso-

otasuscb.

Wir wollen uns nun drei beso nd e re n Elustizitäten zuwenden, die in den \,\'iI1schaftswissensch uften große Bed e utu ng haben . Dies sind die Preis elastizität der Nachfrage , d ie Kre u zp rc tsclasrlzn ät und d ie Hnkommenselasnzuät der Nachfrage. 1. Pretsel asnznät d er Nac h frage

Die Elastizi@ der Nachfrage t bzw . der nachgefragten ,\ le nge l be züglich des Pre ises ist definiert als E ~ .f'

=_ "_x . .E=x'(p) dp x x(p)

flI1.1 09 )

(l ll.l09) wird auch als Preiselastizität der Nachfrage bezeichnet und gibt an, wie sensibel Nachfrager auf Pre isän deru nge n reagieren. Sind die Nachfrager sehr flexibel (elastische Nachfrage), da sie 7:. B. auf Ersatzp rod ukte ausweichen könne n, geht die nachgefragte Me nge stark zurück oder stei gt stark an, Sind sie hingegen un flex ibe l funelastische Nac hfrage ), da z. B. das vnn ihnen bc nör tg te Gut n ur von c incm Anbictcr ange boten wird, ändert sich die nachge frngu- .\knge nur geringfügig oder gar n icht. Ah ldngig davon , welchen \Vert E, p a nn immt , ist d ie Nachfrage mehr oder weniger elastisch und ihr Gra ph zeig t einen anderen Verla uf. Abb ild u ng 11 1 50 veranschaulicht die möglichen Fälle und d ie dazu gehörigen Be ze ich nun gen (D: DCITI;lnd).

200

11 1 Funktionen einer Variablen

Voll ko m m l'lI u n elas ttsche Nac hfrage , lle i [c dcm t>c hchigl'n Prd s wird dito' gkkht' .\ 1<:- n/((' nadlgdraj.,'1 .

r

Vo llkommen clastlsc hc

t p,

f älh dh-

:"
p

IE",I= O f)

r,

Nac hfra~c ,

~l<:'ig l der I' rt'i s nur m inimal an

IE,., 1=-

P2

t

-- ---------------

p,

D

-----------------

,

c Vnda.~ Ii.·••,_' h c

X

N,..: h fra~c:

EIa.~I i...c h c

Nach frage :

I'wis- fü hrt zu übcrprop.

I'rt'L_· fü hrt zu untc rprop . ~k ng"n :ind"ru ng. (;o;,B. I'fl'i" 10% t ...... ~k ng t' 1% 1)

(;0;.11. !'flCis !O':!1J T --t .\ k ngt' 40% V

P

p

IE"I<

IE" I> I

I

r,

._--------_._-_ ....

r,

------------------·1·--,,

p, -------------.! : 0 r, ----~

,,

, ,

~ kngt·n ;jnderung ,

, ,,

:

:

:

:

:

D

a, a ,

!

a,

x

,

a,

Elnhelts-Zlsoe lasttschc Nac h frage, Preis- u nd ;'I;al"h fragdndc ru ng sind proponiona! ( 7..11. Pr<:, ;s 1mb T --t :\kng<" 10%

P

IE"I =I

r, -- ---- ----------r, -----------------:--,, ,, ,

,, ,,

U2 U1

Abb ildung 111 50; Preiselustizhät der Nach frage

f)

x

! ).

3. Differenzialrechnung

201

Beispiel 1: Gegeben sei eine Nachfragefunktion nach Zucker xD{p) '" 10 + l~O . Bestimmen wir die Preiseiastizität der Nachfrage an der Stelle p '" 3. Es gilt zunächst lur die Elastizität

EK.P "'~~ ·;

~~ = 1 2 {_p~ ) = -p~2 .

mit

Folglich gilt - 12 P - 12 Ex.p = - 2 ' 10 + )20 = p . (10 + 12) P lOp P

- 12 10p +1 2

Setzen wir p = 3 ein, erhalten wir die gesuchte Elastizität - 12 Ex3 = = - 0,286 . , 10 · 3 + 12 Dieses Ergebnis bedeutet, dass bei einer Preissteigerung um 1 '% , also von 3 Geldeinheiten auf 3,03 Geldeinheilen , die nachgefragte Menge um 0,286 % , also von 14 (z.B. kg) auf 13,96 (z.B. kg) zurückgeht. (Der Wert 14 ergibt sich dabei durch Einsetzen von p = 3 in xD(p).) Interessieren wir uns für die Nachfrageelastizität des Preises an der Stelle x = 14, können wir diese ganz einfach über (111 .108), d.h. über Ex.p =-

1

-t

Ep,x

- 0,286 = -

1

Ep.x = - 3,497

H

Ep,x

bestimmen. Mittels der Nachfrageelastizität des Preises können wir z.B. die Frage beantworten, um wie viel Prozent der Preis gesenkt werden muss, um eine Absatzsteigerung von 1 % zu erzielen. Dazu müsste hier der Preis um 3,497 % gesenkt werden. Beispiel 2: Bestimmen wir für die Nachfragefunktion xD(p) :- 12e-
dx P

(-<J 2p · (- 0,2) ). 12

Ex.p = dp '-; = 12e '

P -o,2p = -o,2p .

e

Die Nachfrage ist prefselastisch für -o,2p < - 1, d.h. für p > 5. Für 0 < p < 5 ist sie unelastisch, für p = 0 starr und für p = 5 einheits-/ isoelastisch. Vo n be sonderer Bed eutu ng ist d ie Preis elasti zit ät de r Nachfrage b ei Berech nu ng der A usu-ntsungen /'0I1 Preisdnderuug en un d d em Umsatz. Um d ie hier vorherrsehenden Gesetzm ägigkeite n besser erklären zu kön ne n , b ri ng en w ir die sic h ; I U"'; der Umsa tzfunknon R(x) = p( x ) . x erge ben de Gren zerlösfunk tion R'( x ) in eine sp ezielle Form.

"

]{ ( x ) = p(x )·x + p( x ) = p(x ) ·

[Ph),,] pr x )

= ( € P.x +ll ' P(X )=(l +f- ) 'P( X) X.p

[dPrex)

+ 1 =p( x )· -

dx

x + 1] ·--

202

11 1Funkt ionen einer Variab len

Anhan d des Zusammenha ngs R 'r x )

=

(1+

(111.1 10 )

_1_ ) . pr x r ( " .1'

kann nun bestimmt w erd en, w ie sich lU x ) bei Preisverän de ru ngen unt er Berück sichtigu ng verschiede ner Elasrizit ätcn verlullt. Nehmen wi r an , dass p steigt, so kön nen w ir folg e nd e d re i Fälle (vg l. dazu Abbild ung 1Il SI) un te rsch e id en :

Fall I: e. , - - I

Der Umsatz bleib t konstan t, da d ie Preiserhöhu ng mit e inem proportiona len Mengenrückrang einhergeht. D ies bestätigt auch ein Einse tzen von E, p - - \ in W l.1 lO), das zu H'( x ) = O fü h rt.

Fall 2; e. , <- I

De r Umsatz sinkt, da die Stenge stärker zurü ckgeht a ls der Prei s steig t. Dies zeigt

auc h R'( x ) > 0, d a d e r Term I/ E. r in ( [11 110) d an n zwischen 0 und -1 licgt.

F;1l1 5: -1 < E, p::; 0

De r Umsa tz su- igt, da die .r.. k nge wenige r sta rk zu rü ckgeht als der Prei s ste igt. Es gilt hier H'( x J < 0 , da der Te n n I /E, ~ in (11 1.110) kleiner als -1 ist. R( x )

R(

x)

i<======:===>!<=======~ x E, .p <-1 (

Ab b ild ung 111 51 : Umsatz und Elastizität

2. Kreuzpreiselastizität Be i der Krcuzpre tsela srtznät verbindet ma n den Prei s ei nes Gu tes m it der Nachfrage nach einem an dere n Cut. Die sich einstellende Re aktion h:i ngt davon ab , oh es sich bct de n betreffenden G ütern um Substtuuons- oder Ko mp leme n tärg üte r handelt. Zwei Güter A u nd B sind Substitutionsgüter (s ich e rse tzende G üte r), wenn e in Prei sanst ieg bei e ine m G ut einen Nac hfrageanstieg he im anderen Gut auslöst (z. B. Au to s u ntersch iedlicher He rste lle r der gleichen Klasse , Kino u nd Thcaterhcsuch ). Zwei G üter A LInd B sind Komplementärgüter (sich e rgänzende G üte r), wen n de r

203

3. Differenzialrechnung

Preis anstieg de s c tru-n Gutes e ine n Nachfrage rückgan g de s anderen Gutes bew irkt (z.B. Autos un d Be nzin, Digitalka meras und Spc ichcrkartcn) . Die Kreuzprei s elast izität zwe icr Güte r A Lind B Lst folglich de finie rt als E

x"r~

d x , Pli = - - .d Pli x, '

( Jl l.l l l)

Ist Ex, .r" > 0 , bede ute t dies, dass be i ein e m Preisa nslieg bei Gu t B d ie Nachfrage nach Gut A zunimmt. Es lieg! also ein suhstitutires Verbdttnis vor. Ist i\ . , p~ < 0 , nimmt he i e inem Preisan stieg be i Gut B die Nachfrage nach Gut A a b. A und B sind also leomptement äre Güter. 3, Elnkommens elastfzlt ät d e r Na c h frage Neben ei ner Pre isän derung kann auch eine Ände ru ng des Einkommen s \. ei nen Einnuss auf die Nachfra ge haben . \'<'ir kön ne n dami t die Einkommen selastizität de r Nachfrage als UX v m U 12 ) Ex.,· =- .U\'

X

de finiere n. Ste igt di e Nachfrage nach einem Gu t bei steigen dem Einkomm en , liegt ein sog. normales GI/I mit Ex.,. > 0 vor. Sinkt d ie Nachfrage nach e ine m GUI jedoch mit steige ndem Einkomme n, so spricht ma n von e ine m sog . infe rio ren Gl/ I mit E" < O. Bei spiel : Gegebe n sei die N aCh fr~e nach einem Gut in Abhängigkeit vom verfügbaren Einkommen v in der Form xD(v) :o 3e . IV. Ermitte ln wir die Einkommenselastizität der Nachfrage an der Stelle v = 1.000 und untersuch en da ran , ob es sich bei dem Gut um ein normales oder inferiores Gut hand elt. Es gilt E

x.v

= dx .::: = (3e - O•1V . (- 0,1)) ._ '_ dv x

3e- O.1V

= -ö. iv .

Es resultiert Ex.1.000 = -0,1 . 1.000 = - 100 , Da Ex.v < 0 , liegt ein inferiores Gut vor.

3.7.5

Wachstumsraten

Die Ken ntnis de r Berech nung von Wachstum sruten ist in der Pra xis une rlässlich . Sie beschre ibe n d ie veraude rung ei n er Gröj,'e im Zeitatüauf. Es ist gru ndsä tzlich zw ische n .ste tige n Lind di sk re ten \V;ldlSlul11sraten zu umcrschciden. 3.7.5.1

Stetige WachstulII...r aten

Ausgeh e-nd vo n ein e r Fun ktion y - f(t l, wobei d ie un abhängige Verä nderliche l die Zeit (I ; time) darstellt. ist d ie sreuge \X'achstumsrate einer Gröge y defi nie rt als

cl)

~ _ ili _ f'(t) _ d ln Y ( -_ 1 n}.r y t(t) dt

\V)., - - - -. - - - -

-

In}' r_l ) '

wo be i sich der letzte Umform ungsschrill a us (JIIJl3a ) ergi bt.

( IJI . 113J

204

111 Funkt ionen einer Variab len

Beispiel : Betrachten wir die Formel für die stetige Verzinsung eines Kapitals Ko mit Zinssatz i aus Abschnitt 11 2.2.3 , also K l

'"

Ko '

In K, =d n(K o . e'" )

eil.

H

Dur ch Um form ung erh alten wir

inK,

InKo + ln ei-t

=:

H

inK, ", lnKo + ;·1.

Diesen Term können wir zu r Best immung der stet igen Wachstumsrate WS nach t ableiten. Wir erhalten

s d inK ! . == == 1 , dt

wK

d.h. die stetige Verzinsung zum Zinssatz i stellt nichts anderes als ein stetiges Kapitalwac hstu m dar.

Bet ra c h te n wi r n u n «ombtno üon mehrerer varia blen ( u u nd v) u nd wi e sich di es auf d ie stl"tige \X' ac h sltllTISra le a usw irkt : Fa!!l :

y

e

u -v

H In y = ln( u- v) H In }' = l n u

+ ln v

dln u dln v , , \V' = - - + --=\V" + w ~,

v

dt

(111.1 14)

dt

Beispiel : Innerhalb eines Monats wurde eine Preissteigerung von 1,5 % bei ei nem gleichzeitigen Rückgang der abgesetzten Menge um 5 % festgestellt. Was bedeutet dies für den Umsatz?

R(x) =p ·x ~

w ~ = 0,0 15 + (- 0,05)=-0,035 = - 3,5 %

Der Umsatz wird also um 3 ,5 % zurückgehen.

u y=v

U

H In Y = ln- (-7 In y = In II -ln v v

dl n u dln v s "' = - - - - - = \\' - \v dt

dt

\l

(11 1.1 15>

,

Bei spiel : Für das Einko mmen Y einer Volkswirtschaft war innerhalb einer bestimmten Periode ein Anstieg von 10 % bei gleichzeitigem Bevölkerunqswacbstum N von 3 % zu verzeichnen . Was kann daraus über das Wachstum des Pro-Kopt-Einkommens P ausgesagt werden?

y p =N

-'I

w ~ =w~ -w~

-'I

w~ = 0,1- 0,03 = 0,07= 7 %

3. Differenzialrechnung

Fall

~:

205

+v

y= u

e-eln y elrau s-v) d In y =

-4 \\ .s

=

,

=

y

-4 W

\V ~,

y

dt

u+v

ll ' W ~ +v ·w ~,

u+ v u

=

u" + v"

u+ v

u'

,

- = ,v u un d u

v

. \\' ~, +

~

, da

v'

-=\V ~.

v

· w ~.

u+v

(111.116)

~

An1<"il .."n , .

.~nt~ il "on" JIllG<','
"ll\G~'Jmt<'n

Beispiel : In einer Volkswirtschaft teilen sich die Gesamtexporte GE in Dienstleistungsexporte D (30 %) und Warenexporte X (70 %) auf. Es liegen für die abgelaufene Periode die stetigen = 5 % und w ~ = 3 % vor. Was kann daraus über das Wachstum der Wachstumsraten Gesamtexporte ausgesagt werden?

wb

GE = X + D

Fall 4:

y= u

Xs GE

Ds ·wD GE

wGE = - wX + -

--t

W ~ E = 0,7 · 0,03 + 0,3 ·0,05= 0,036= 3,6 %

a

H ln y eln u'' H In }'

.'

s

--t

dln y

e

u vln u

d ln u

,

( lI U I 7)

\ \ y =d"t"= a . d"t"=a .w ~

Beisp iel : Für ein bestimmtes Produkt wurde die Angebotsfunktion xS(p) '" p3 festgestellt. Was bedeutet ein Preiswachstum um 1 % für die Angebotsmenge? w ~s = 3 . w~ = 3 · 0,01= 0,03 = 3 %

3.7.5.2

Diskret e w achsrumsraten

Eine dis kre te w ach srums rate ist definiert als L\v

W ~= _' I

vI

= y , - Y1 <' 1 t-I

(111.118)

Ve re infacht ausgedrückt iSI also d ie \X'achs tum srale eine r diskre ten Grö xe y de r Quottent aus de r Ve rän de rung der G rÖI.~e y zwischen den Pe riode n t und 1- \ und dem wert de r Gröl~e y in Periode I- I. Die Periode I- I wird da be i a ls Basisperiode. d ie Periode t a ls Ve"gleicb~!}('rir}{le be ze ich net.

206

11 1Funkt ionen einer Variab len

Beispi el: Das Bruttoinlandsprodukt (BIP) einer Volkswirtschaft lag 2009 bei 200 Mrd. Geldein heiten. 2008 war ein BIP von 210 Mrd. Geldeinheiten zu verzeichnen . Das (diskrete) BIPWachstum lag bei d

w SIP

:=

B1P2009 - B1P 2008

21 0 -200

B1P2008

200

0,05 = 5%.

\'('ift! vo n e in er konstante n d isk re ten \X'achslumsr:lll...' ausgegangen, können d ie \'('t.' rte vo n y in zu kü n ftig e n Perioden I = 1 , 5, .. _, n w ie fo lg t ermittelt werden : ) '

I

= \/

J (J

· (1 + w dj" )

Y2 = Yl . (J + \\'yd ) = vo'

(l

d ' + \\\)-

Yf\=ro · (I + w~ )n Es liegt a lso e ine geometrische Folge bei ko nstante r wachstumsrare \\. ~

VOT.

Beispiel 1: Typis che Anwendung diskreter Wachstu msraten ist die Verzinsung von Sparguthabe n und Zinseszinsen. Erhält man auf ein Sparguthaben von Ko '" 1.000 Euro pro Jahr 3,5 % Zins (i '" 0,035), ergibt sich

Kn '" Ko ' (1 + w ~ )n = Ko · {l + i)n

~

KlO '" 100 0 · (1+ 0,035 )10 '" 1.4 10,6 0 Euro.

Bei spiel 2: Der Ölpreis pro Barrel betrug Ende November 2 006 46 ,70 Euro Ende November 2007 ist er auf 97 Euro angest iegen. Wie hoch war die diskrete Jahreswachstumsrate {Inflationsrate }?

Wß I = PO? - 1 =

P06

~ - 1 '" 1,077 1 = 107,7 1 % 46 ,7

Ähnl ich w ie lJt.' i ste tigen \X':.K hstu!Usral e n kann sich die G rö ge y auch bei diskreten W'ach stlilTIsr::lten au s I//eh/'(' J'('/ I vanamen zusammensetzen . Di.... dabe i gel te n de n Re chenrege ln wollen wir nun k u rz fü r zwei Variab len u und v d ars tell ....n. \Vir be ze ichnen d ab e i m it u" lin d v, de n w ert in de r Basis un d mit LI , und V I den \,\'e I1 in der vergletchspcrlode. F:l!I I :

y e u -v

={\\' ~: +l) . (w~ + ])-1 d

d

w ~. =\V U

d

d

d

+w ,. +w u · w"

(]I1.1 19 l

3. Differenzialrechnung

207

Be i dis kre ten wachsrumsrate n m uss a lso im Untersch ied zu stetige n \X'achstu ms raten das Pro dukt d er vecrncterungsraten ( Kreuzprodu ktj zusätzlich be rückxichtlgt werden. 'x'cnn u il' ei nzel ne n \,\rad lstum sratl."n kle in xind (Fau st re ge l. < 10 0/0), er g ib t sich alle rd ings nu r ein ge ringer Unte rschi e d b zw. ist der Fe hle r b ei vernac hlasstg ung d es Kreuzprod u kte s un me rklich . Bei spiel : Ein Unternehmen hat seinen Preis um 5 % erhöht. Dadurch ging die abgesetzte Menge um 2 % zurück. Um wie viel Prozent änderte sich der Umsatz? w ~ = 0,05 -0,02 = 0,03 = 3 %

w~ '" 0,05 -0,02 - 0,05 ' 0,02 = 0,029 = 2,9 % t- 3 %) U

y=-,. ~ -~ \\ <.1 _\" 1

~ \i

u j - ll u +1

~

u

=~' ~- l = ~- l = ."-c",,,-__

\" 0

Uo

~ Vo

"I

u

"+1

w,"

\V "

Vu

VI

+I

\" 0

1

'

1;\' "

1

= - ,, - - 1 = -,, - + - ,,-- - 1 = - ,, -- + - , -- \\',. +1 \\',. + 1 w ,. + 1 \\\ . +1 w,. +1 \" d =

r

wd _ w d II

1 + w d,

+ 1] (- ,' -\V ,.

\\' ,. +1

(11 1.1 20)

,.

Abschließend wo lle n w ir no ch auf d n-i in de r Praxis sehr bedeutsame dis krete wachsrum sraten e inge hen . Da zu ge he n wir dav o n aus, dass qnanatsaeee tscohachtnngen d e r Grö tk y vorhegen. Du rch den Vergle ich des Wel1es von y im akt uellen Quart al t m it dem en tsp rechenden Quartal t- 4 des Vor jah res erhalten wir d ie J ahreswachstumsrate

w1.) =-?-I. v

(1I L1 2 1)

1- '1

Ve rgleichen wir den \'(,'e rt vo n y im ak tuellen Qu artal t m it dem \'('e11 von Y im vorh e rgeh en den Q uarta l t-I erhulrcn wir d ie Quartal swachstumsrate

W~I , Q

=-?--l.

(11 1.1 22)

)- 1- 1

Die a n n ualisic rtc Wachstumsrate ergi h t sich unt e r d er An nahm e , d ass sich da s wachsrum nic ht verändert. d urc h Umre ch nun g vo n w;'.Qauf ein Jah r:

w'v.a = (..li..J'-1 .

Yl- I

(111.123)

208

11 1Funkt ionen einer Variab len

Beispi el : Für eine diskrete Größe y wurde n in 2008 und 2009 folgende Ausp rägungen festgestellt

Quartal 1

Quarta l 2

Quartal 3

Quarta l 4

2008

100

130

2009

150

165

110 180

140 200

Für das 2. Quartal 2009 ergibt sich daraus die Quartals- und d ie Jahreswachstumsrate d 165 0 d 165 0 w, a = - - 1=O,1=1 0 10 bzw. w, J = - 1= O,27 = 27 Yo . , 150 . 130

Die annualisierte Wachstumsrate beläuft sich auf d

4

w y,a = 1,1 - 1= 0, 4641= 46,7 1 %.

Die Zusammenhänge WU2l) b is (11 1.1 23 ) kön n en wtr analog auch auf andere Frtsugketrcn übertragen . d urch 12 zu ersetzen.

3.7.5.3

B t,' j

Mon atsdate n ist in den Form eln z.B. led iglich die 4

Zu sammenhänge

Zwischen stet igen und diskre ten wachsrumsraten bestehen d irekte Bezie hungen . So können stetige in d iskrete u nd d isk rete in ste tige wachsrumsraten umgerec hnet werden , ohne die Ausgangsdaten zu ke n ne n. Aus den Zusammenh ängen

, = Y' - Y,- I =.J:J...- t

wd -

)'1- 1

)" - 1

In " dt

cl - ' = ln w ~_ = -

[ YJ

y , - In Yl- I = In - 'Y1-1

w'

e '

fo lgt d

" .'.

\v r= e ' - l

(11 1.124 )

w~ =l n( I +\v~~ ) .

(JI1.I 2'i )

Es gilt dabei stt:ls ( 11 1.1 26 )

Beispiele: 1.

w ~ =1 0 % ......

w ~ = eo.1_ 1= 0,1052 = 10,52 %

2.

W~ =20 % ......

w ~ = In(1+ 0,2) = 0,1823 = 18,23 %

D ie lJiffi'It' l/z nctscten distrete n und stetige/l wacbsurmsnuen wird b e i ste tgcn-

dem bzw. sinkendem \\'~~ imme r grüger (vgl. folgendes Zahlen be ispiel und Abbil-

dung 1II 52). d

r = O, l w~ = 0,2

100 + 0, Il = 0,0953

W ~I

w ~ =lnO +0, 2>=0,IR23

wy

w~ = 0,9

w~

w

w ~_ =

= InO

+ 0, 9)

= 0,6·119

d

-

w ~. = 0, 00-17

-

w y = 0,01 77

s

wd y _ w 'y = 0,". RI

3. Differenzia lrechnung

209

\Vi r erkennen, d ass ers t fü r Iw"! < 10 % nufg rund des relativ ge ringe n Feh lers e ine Approximat ion (Nähe ru ng) diskreter durch stl.'tigl.' w ac bst um snncn sin nv o ll ist.

2% 1,5 %

-30 %

-20 %

20 %

10 %

0%

30 %

Abb ildung 1II -;2: Di fferen z ste ug er un d d iskreter Wachstu msran-n D ie Vorteile sl eliger i m vergleich ZII dtslereten vracbstumsraten sind also:

•

Bei de r Berech nung der Wuch stum srau- von Ko mb inanom-n v o n vu rtablcn e ntfallen d ie Krenzpruduiete.

•

Stetige W achsum sr..lten sind symmetrisch. t im dtcs zu vera nsch au liche n , bctrachte n w i r die Gröse y, d ie im Ze nve rlauf to bis t j fo lgend e Entw ick lung zeige, be i d er Yj > y" gil t:

,,

(J )

---->

Yll

y,

(2 )

---->

Yo

Es g ilt n u n für u ie Vo rzeichen de r h ier bere chenbaren d iskre te n u nd stl.'t ige n \'(-'ach stumsT:lten Folgendes. w ~( J)= YI -Yo l

,.

o

J"" ''' '\\' w ;.( IJ=lnY I - lnyo,

w ;.( Zl=lnYo- lnY I

p<>,' ;l;\'

ßc i stetige n Renditen resultiert also b is auf das Vorzeichen der gl eich e W en: I w~ (l )I =l w;. ( 2 )1

Bei di sk reten Renditen dagegen u nte rscheidet sich n ic ht n ur d as Vo rze ich en , sondern wegen des un terschied lic hen Bezu gszeitp u n k ts auch de r \"" ert:

I w~ ( l)l "* I w~ ( 2 )1

2 10

11 1Funkt io nen einer Va riab len

Beispiel: Der Wert eines Aktienportfolios zeigt folgende Entwicklung: Jahr

1 1.000

Wert

1+1

1+2

1.500

1.000

Für die W achstumsraten in diesem Zeitraum gilt:

W~( 1 ) = 1500 - 1000 = 0,5= 50 % 1000

wd(2) = 1000 -1500 1500

y

=

-0.3333 = - 33 33 % '

w ~ ( 1 ) = In1 500 - ln 1000 = 0,4055 = 40,55

% }

IO, 4055! =

W~ (2) = In 1000 - ln 1500 = -0,4055 = - 40,55 %

•

I -O,4o5~

Eine sfet ige mchrperiodige w a cbsn n nsrate kann als summe d er d ll /wriodige ll Wach sllllnsral ell l."nnilt clt werden. InYI -]nY t_k = (In y ,-ln Yl-l) +(]nY l-l -lnYH)+ ' " ... + ([n Yl - k..J - lnY t_k )

(11 1.1 27 )

Bei dis kreten wachstumsrar en gil t h ing egen

,-,

n (I + W~, H ) - l .

(11 1.128 )

j=l

Beispiel : Ein Unternehmen siellI für einen Zeitraum von vier Jahren folgende stetige einperiodige Umsatzwachstumsraten Ueweils Vorjahresvergleich) fe st: Jah r

wi

5%

.+

1 1%

1+2

1+3

2%

1%

Für die W achstumsrate im gesamten Vierjahreszeitraum gilt nun nach (111 .127) ges w~ '" 0,05 + 0,01 + 0,02 + 0,0 1 == 0,0 9 == 9

%.

Für diskrete W achstumsraten wäre eine solc he Berechnung nicht zulässi g. Nehmen wir an , es würde sich be i den Zahlen obiger Tabelle um diskrete Wachstumsraten handeln, so kön nten wir die Gesamtwachstumsrate nur übe r

ge s w~ = (1+0,05) ·(1+0,01) · (1+0,02) · (1+0,0 1) - 1 = 0,0 925 = 9,25 % best imme n.

3. Differe nzialre chnung

-

211

3.8 Exkurs: Die Regel von I'Hospital lsr heim Gren zü bergang ein e r ge brochen ration ale n Funktio n der Z;i11Ier t b zw. der Nenner) un gleich Null, wä hrend der Ne nner (bzw. der Zäh ler) ge ge n Null ge ht, so können wir a uf e inen Grenzwen des Quot ie nten von un e ndlich (hzv..·. vo n Null) schließen. Dies ha be n wir bereits in Absc hnitt III 1,4 ge se hen . Da s gleichze itige Verschwin de n von Zähler und Nenne r hisst e ine n derartigen Schluss je doch nicht zu .

Ein Ausd ruck, de r ke ine ein deutige Aussage hinsich tlich des Grenzwertes zulässt, heigt unbestimmter Ausd ruck . Dabe i ge ht es um Fun ktionsverk nüpfun ge n f{ x )

= g( x) , f( x ) = g{x ) . ht x ), f( x ) = g{x ) ± h( x l oder f(x) = g( X )h~ x hex)

) ,

die beim Grenz wert

lim F( x)

x·....H .

Ausd rückt' der Form

o o -

- , - , 0' 00, 00- 00, t'" , 0° oder 00°

ergebe n. Mitte ls de r D i ff erenzlulrcch nung bzw . der sog. Regel von I' n ospnal ka nn jedoch das Grenz ve rhalten derartiger Ausd rücke untersucht werden. Diese Rege l geh t vorn Q uot ie nten zwc ie r Funktio ne n f{x )=g{X) he x) aus. wo bei beide Funktion en beim Gre nz übergang ge ge n Null streben. d.h.

lim gt x r e O

und

X ~q

lim hf x I e

ü

•

X ~q

Nehme n wir nun an, dass bcide Funktionen e twa gle ich schne ll gegen ihren Gre nz wert konve rgie ren ode r zum indest in ein em ko nsta nte n Verhllltms , dann we ise n d ie Funktio ne n in etwa d ie glek-hc- Ste igun g bzw. ein konstan te s Steig ungsverhält nis auf. De r Q uoti ent der Funktio ne n strebt in diesem Fall gegen e ine n e ndlichen Grenzwert . Dies ist im w ese nrltche n die Aussage der Regel von I' Hosp ita l. Sind g(x) und hex) n-ma l differenz ierbar, so gilt t!

g ( x) 1111-- =

s -s c

ht x }

t.

g'( x) 1111.=

»-s c h'(x )

(JIL129)

Ergibt de r Quotient zwcier Fun krioru-n also e inen unbestimmte n Ausdruck % oder 00/00, so kö nn en wir den Quotien te n de r Ableitungen beider Funktione n uuf seinen

Gre nzwert bin unt e rsuchen . Ergibt sich wiede r ein un be stimmte r Ausdruck . so wiede rho len wir de n Vo rga ng so lange, b i.~ ein bestimmt e r Ausd ruc k vorl iegt.

212

11 1Funktionen einer Variab len

Beispiele: 1.

2.

2+2x

lim x _8 x---;.-4 x+ 4

u,m -x5 -- 1 =

x.....1 x 4 - 1

,.

üm 2x+2 =_6 1

x..... -4

5'

4

,.

5

5

Im --= Im X= ll ..... -4 4 x3 x.....-44 4

Oie Regel von l ' Ho spit al ist aber n ich t nur auf d ie Untersuchung vo n Quot ienten

Funktionen beschrankt. Alle anderen unbestimmten Ausdrücke lassen sich nämlich durch ei nfache arithmetische Um fo rm un ge n in d ie Standurdquot ien tenfortn a ll .~

überführen . [(x)=g( x ) ·h(x ) mit Hrn gcxj

Fili i !:

x .....a

e

O lind lirn ht xl x .....a

e ee

Wir können hier die einfache umforme ng [ (x) = g(x )·h(x)=

g(x )

I /h(x)

=

h(x )

(]ILUO)

1 /g(x )

vo rne h me n, den-n Gre n zwe rt einen der beiden unhestimnuen Ausd rück e 0/0 oder 00/00 ergibt. Beispiel : Für f(x) -= x . Inx führt der Grenzübergang für x --) 0+ zum unbestimmten Ausdruck 0 . --o
X--->O+

x ,nx ==

,.Im Inx - == ,.Im -1/x - - == uIm

x....o+ 1 / x

X-->O + _ 1 / x 2

X--->O+

(-x ) == 0

f( x)==K(x ) ±ll( x) m it lirn gf x j e Hmht x j e ee

Fall 2:

>; --->0:

x --->O:

Hie r ist d ie Umfor mung f(x )==g(x )±h(x)==

[g(x )±h(x)] ·g( x) ·h(x) g(x ), hex )

==

I1 h( x) ± I / g( x ) 1 / (g( x ) · hex )]

(11 1.1 3 0

möglich. deren G renzwert einen un bestimmten Ausdruck de r Form % fert .

lie-

Beispiel : Für f(x) == 1/x + Jnx führt der Grenzübergang für x ...... 0+ zum unbestimmten Ausoruck » - <». Nach (111.131) und (11 1.1 29) erhalten wir unter Berücksichtigung des Ergebnisses des letzten Beispiels jedoch Folgendes: Jim

, J (-t e tn x ==

x--->o+ X

x + ...L

x·ln X+l

lim ~ == llm ~= lim

x--->o+ x .

nx

., . . 1 . . . . .

x --->o +

~ ,x

nx

x--->o+

te

x .t nx X

1

== lim - = <» x--->o+ X

3. Differenzialrechnung Fall 3:

213

f( x)=g(X )hl xl m it

Hm fr x t e O'" , 00° oder I "" X.....ll

\'('ir k ön nen h ier die Um fo rm ung (JI l.I j 2 )

vornehmen, sodass lim !im f( x )= e'-'''

x....r:t

':" *:':'•

gilt . Damit si nd der unbest immte Ausdru ck 0" auf c.. .., 00" au f c.. .. u nd I "

auf

CO,"

zu rückge führt ,

Bei spiel : Für f(x) '" XX führt der Grenzübergang für x -lo 0+ zum unbestimmten Ausdruck 0°, Nach (IIL132) und (111 .129) erhalten wir unter Berücksichtigun g des Ergebnisses zu Fall 1 folgendes Ergebnis : lim

X .... o+

XX

.tu

I

lim

(x,lrlx)

= lim e v- = lim e X rlX = e<->O' x.....o+

x....o +

0

=e =1

4.

Aufgaben

Funkt tonsgrc nd tage n

Aufgabe 11I-1 Hande lt

e.~

sich be i Jen folgen den Kurve n um Funktio ne n? Begründe n Sie Ihre

Au ss:lgen ! y

he x)

g(x )

Aufgabe 11I-2 Bea ntwo rte n Sie folge nde Frag e n zu m Th em a Gerade n : a) Liegt der Punk t 1'(3 ; 4) au f der Geraden p{x) " .3 + 5x?

b i W'e lche Ger ade mit Steig ung 4 verläuft d urch den Punkt Pt I; - 21? c) welche Ge radengleichung geht d urch die Punkte 1',(3; 4) un d 1'/ - 2; -l )?

dj 'x'elcbe Beding ung müssen zwei Geraden erfüllen, dami t sie sich nich t seh ne t(k'n?

c ) Ge ben Sie zwei Ge rad en an , die sich im Punkt 1'(-1;

I)

schneiden!

A ufgab e 11I-3

nesnmmen Sie die Defi n iti onsberei che fol gender Funktionen :

"

, ) [( x)= 3x +4

e)

t"<x J =

b ) f( xl=-x 2 - 3x

o

f(x ) =

c)

[( xl= x+ 1

g)

f{ x)= ln {2 -x)

J)

F( x ) =

2x - 1

1 4x !+ ,j

xJ-3x - 4 x

~X 2 - 16

h) f( x ) = e~·-Mi

;)

f,, ) ={~X'-4 x -?

e'

j) f( x ) = In x

für

Ix I > 2

für I x 15 2

216

11 1Funktionen einer Variab len

Aufg abe 111-4 Bestim m en Sie d il' Nullstellen d er fo lgend en Fu n kti o nen : a)

[(x)=ln(x- l)

10' )

f( x)=(x -4 )(2x +! )(x 2 _ J)

bj

f( x ) = 41 - x 2

n

fexJ= x J-2 x 2-x+2

g)

ft x) = x 2 +3x +2

c) f<x J= ,3c- x - c"x d)

f(x)=ln(x + l) + Jnx

Aufgabe 111-5

Erklären Sie allgemein. wie sich die Schn ittstellen zwetcr Funktionen be stimme n lassen und e rmi tteln SiL' di e Sch nitt stellen für folg e nde Paare vo n Fun ktionen! Auf welches Pro ble m treffe n Sie bei d )? Können Sie d ie Schn ittstelle trotzdem angl'hen? a)

f(x)=2x-! , g( x )=x+ 4

b)

f( x ) = x + 3x - J , g(:';)=3x +3

cl f(x)=c", g(x)= x

2

LI) f( x)=l nx , g( x ) = - x+l

Au fg a be 111-6 Hcsunuucn Sie d ie Um k eh rfun k tio n en fern diese existieren :

y

~

r 1( x ) folgender Fu n kt io nen y '" ftx ), so-

a)

y=f(x)=-2x +5

c J Y = f(x) =

b)

y=f( x )={X 1 +J) 2

n

cl

y=f(x )=2~

g ) y = f( x ) = log ,( x - 2J

d)

y= t( x J= - 2x - 4

"

(;" " - 1

y=f(x ) =~x2 - 1

1

Aufga be 111·7 Besti m m en Sie folgen de Grenzwerte .

a)

lim (x 2 - 3x+ SJ

H'

o

.

3x ,' I- 1

lim -x ·'I - Sx-' + 4 x--><»

g)

2x , 1Im - - x-->_ xl - 6

" "X - - IIm "' , 'X 1 , -+\ 1 x- + 2

h)

X +x+n , IIm , -->- 2x ·1 _x

Li)

, xl+ 4x-1 2 Itrn "-" '-'''---'~ x-->l x " - Sx + 6

i)

e)

lirn

I>

nJ lim e X! + 1 x-->o

. '

' --> .'1(x-3)~

,

lim

"

.3

" --><» l _ e~h

t: ' + 4 lim - - x-->_ Cl >: + 2

c

217

4. Aufgaben

Aufgabe 111-8 Hesrirmnen Sie a)

bJ c)

lim f( x ) un d

rr x )

un d

l im f(x)

un d

lim f ex)

un d

Hm f( x )

u nd

!im

x -+ , -

X-l l -

dl

eJ

0

lim f( x )

X-l - l -

X-l()-

X-l - 2-

Hm fi x )

f'( x) = -

rr x )

für

f(

lim F( x)

für

t(x) = -

Hm f ( x j

fü r

f ex ) = max (

Hm f(x )

für

f( x ) =

für

1 f(x ) = - 1+ I x I

!im

X-+ ,'+

X-l I+

x - ,O+

X-l-2+

!im f ( x )

un d

X-lO-

1 1+ x

für

x -+ - h

x -+o+

x)=

.

X

x

2-5x+4

1

In x

o;~)

( x -3)( x - 2) (x - 2)

Aufgabe 111-9 Unte rsuche n Sie anband potenzieller Unsrengke nsstetten, o b d ie folgenden Fun k ti o nen slt.'tig sin d !

-o.Sx b ) ft x I =

2x

{x+ )

für

x s; 2

fü r

x >2

x <0 fü r o s x :s: 1 für x>

für

Aufgabe IIl-I O Skizzieren Sie den Verlauf folgender Funktionen! Begrün de n Sie de n Verlauf von a) u nd b i auch a nband d er verliegenden Null- und Polstellen sowie Asymp toten! a)

-.':l")(;,X_+-:l,,J' f r x ) = ~(X~·2;2 x

b ) f(x)=

cl

d) f(x )= max(x; x:\ )

· (x _ 4 )

( x -" l ( x _ 2)2( X (x-3 )

2

+ l)'~

·( x - I) 2

f(x)=m in ( lx l ; x - 1)

x e ) f(x )=min( l;e ) [)

f(x)= max{-x 2 , logx )

Experim en ti eren Sie im onlinc zur Verfügung gestellten Pu nktionsplotter mi t geb ro chen ration alen Fun k tio nen , um ein Gesp ü r für ihre vielfältigen Ve rlaufsmuster zu be kommen!

2 18

11 1Funktione n eine r Variab len

I) i ffe renzial rechnu ng allgemein

Aufgabe 11I-11 Hcwctsc n Sie die Gült igke it der Ableitungsrege ln (1ll.74) bis mUH ) d urch Be n- eh nung der en tsprech enden Gre nzwerte ! Aufgabe 11I-12

Begründe n Sie unte r Bezug nahme au f die nachfolgenden Grafi ken , warum bei einem derartigen Funktionsverlauf für e ine n \X'e nd t'pun kt x = a immer f~« (O = 0 und C"( a )

'* 0 gehen muss!

y = [(x)

y

y

./

Y = It x )

;,

.,

..--"

..' . a

"

a

x

x

Aufgabe III-13 B il den Sie d ie ersten Ahlenu nge n folgender Funktionen:

,

,

h ) f(x'= (lnx Z+.[;3)'

a) feX)=x - -l_ x-- 1 x- ]

x+ 1

11) ftx'=.[;. +l n(2x ) +x - I I

r.

c)

f(xl=

d)

2 , I( x ) = - -

e)

t( x)=3

" ex

{ J;:Y

i)

f( x )=l()g~(x -1)

j)

f(X)=~ln x x

l' - In x'

.

. ..!..!:.!L '

lJ fexJ=ln (Jx'\+x 2 ) m) fex) = ]Ogz(

g)

" 10).: 111 x I(x)=--

e'

t,' x

+ :~

-I)

4. Aufgaben

219

Aufg abe 111-14

Ermitte ln Sie \"00 folgenden Funktionen du- ers te, zweite lind dri tte A bleitung : :.1)

f( x)= ';;'

c) f( x) = x . ';;'

t;')

b ) f( x)= ln(Zx)

f(x )=x 'e-\

fJ ft x j

e

x vl n x

Aufga be 111·1 5 Bestimme n Sie mittels des Diffe re nzials für die folge nde n Funktio ne n näherungsweise die t\ nde rung de r Funk tion für d ie je wei ligen Ausgangs- und ve rände rungswerte vo n x un d vergleichen Sie ihre Appro xima tion mit der e xakten Fun ktion san de ruu g! a)

f( x ) = 7x!> + 2x 2 - x + 5

b) ft x) = x2e.... )·~x l c)

f(x ) = ~X2 + (In x )~

bei

x = .3

und

öx = 0,02

bei

x .. -1

und

öx '" 0,1

hei

x

unu

öx = - 1

>

10

Au fgabe 111-16 Be rechne n Sic mit de m Newto n-Verfah re n a uf drei Stellen nach de m Komma gcnau die Nullstellen de r Funktio n f(xl - x' - lnx - 2, we nn be ka nnt ist, dass die Punktion Nullstelle n in der N:i he der w e rte x - 0,2 lind x - 2 besitzt! Au fgabe IIl-I7 Bestimme n Sie, in wel che n Be reiche n d ie Fun ktion en a) • J ) steigen bzw. falle n un d in we lchen die Funktione n e) · g) kon ve x bzw. kon kav sind!

aI f( x ) = -2x 2 + 6x - 9

d)

f( x) =

x- I Xl

h ) ft x j

e

x-In x

e)

+X+1

g ) f( x l =x 2t: - \

f{ x ) = x 2 · ln x

x2 + I fJ f( x ) = - x -I

Aufga be 111·1 8 Bestimme n Sie die rela tiven Extrcma der Funktio ne n a) - d ) und die We ndestelle n der Funk tionen er - gJ!

a I f(x)= x i _ 2x1 +1

b) f{ x )=E · c- ~ cl

fr x j

e

zx- In x

f( x J = x l + - 1 x!> e ) f( x ) = x 1 - IOx 2 + 2x + 1 <1)

D It x j

e

e

..L,

I g) ft x ) = - , -

x- + 1

220

11 1Funkt ione n eine r Variab len

Aufgabe 11I-19 Führen Sie für d ie folgenden Fu nktio nen ei ne Kurven d isk ussio n durch! a)

f( x ) = x ~ - 4 x

b) f(x>= <- I x" - 4

c) f{ x ) = ( x - J) e
=

-r

e ) ft x ) = x 1e - x

x2 -3x + 2 x+ )

Skizzieren Sie jeweils auch de n Verlauf de r Pun k tionsk urven ! Stelle n Sie be i a) zu-

sätzlk-h auch d ie ersten zwei Ableitungen grafisch dar! Aufgabe 11I-20 Enn iue ln Sie d ie Elastizttiltcn folge nder Fun ktion e n: a)

f( x)= "/2 x+ a mit a > O

b ) ft x j

e

x''

A llw~ml'in e

t!l

f(x )=x ·ln(x- I)

Diffe re nzia lrech nu ng b ei ökonomischen Fu n ktio ne n

Aufgabe 11I·21

Einem Unternehme n entsteh en bei d e r He rste llu ng e ines Prod u ktes monatlich fixe Ko ste n in Höhe \"00 100.000 Euro u nd var iabl e Stüc kkos ten in Hö he von 2.500 Euro . Die Nac hfrag e n ach diese m Pro d u kt Ist abhä ngig vom Pro du ktpreis P un d is t gegebe n d urch x = w o - O,O lp. a ) Ge b en Sie eine formebnatuge Darste llu ng der x o sre n funkuo n , der Umsatzfu n ktton , der Gewin nfun ktion und der De ck un gsbeit ragsfu nktio n an! b) Erm itteln Sie den maximal mög lich en Umsatz . den dazu gehörigen Pre is und d ie umsatzmaximale Auxb n ngungxmenge! c) Ermitteln Sie den maximalen Ge w in n und de n Preis, de r dann verlangt wi rd. \X'ie hoch ist d ie gewin nmax imale Prod u ktion? dj \X/ie vie le Produ kte muss das Unte rne h me n pro Monat m indeste ns herstellen, um einen Verl us t zu ve rmei de n? e) ',X/e iche r Pre is ist m inde ste ns zu forde rn und welcher Preis ka nn maximal verlangt werden , damit ei n Verlust ve rrutede n wird?

fl

W'ie ve rände rt sich t näh c-rungswcisc j de r Ge winn und der Decku ngsbeitrug. wen n bei ein e m Absatz vo n 40 Stück der Ab sat z u m ei ne Ein heit reduziert w ird?

Aufgabe 11I-22 Gegebe n sei d ie Gew innfunktio n G( x ) = 92,5 x - Ct x ) m it x als a bgesetzter hzw. produzierter Menge. Die Koste nfunktton laute C( x) = 225 + I j-::; x - I4x 2 + 0, 5x :l m it 0:5 ", :525. Be re ch ne n Sie d ie gew innmaximale Ab s.u xmc nge und den max imalen Gew in n!

4. Aufgaben

22 1

Aufgabe 111· 23 Gegeben .'id dle Ko sten fu nk ti on Ct x ) = O,5 x .i - 44x

2

+ 1.314 x .

Zeigen Sie, dass im Minim u m der Du rchsch nittskoste nfu n ktio n AC(x) gilt, da ss di e Gre nz koste n C'(x J gle ich de n Du rch sch ntnskostcn AC(x ) stnd! Aufgabe 111· 24

*

Ein Unte rne hme n bei volls tändiger Ko n ku rre nz produz iert ein in Tonneu (lind auch kleine ren Me ngen ) abgesetztes Gut m it C( x ) = x.i - 50x 2 + o.OOOx + ,,2.000 als Koste nfunktion. Die x apaznärsg re n ze liege be i x ... IHO Ton nen . De r Marktpreis pro To n ne be trage 3.100 Euro . 01 )

\\;,'t.'lche Kosten verursacht e int.' zus ätzlich produzie rte Ein heil an der Schwelle des Enragsgeselzes? Berechn e n Sie den Nähe ru ngswe n übe r d ie Grenzfunk tion und vergleichen Sit' ihn mit der exa kten Veränderung!

b ) Be stimme n Sie d ie Stellt.' des Bctric bs mi nirnums u nd die ku rzfrtxrige Prei sun tergrenze! cl Bestim men Sie die SIt.'llt.' des Bctriebsopt lrnums, wen n bek an nt ist, d ass die st.'s nah e 1% Ton ne n liegt! Wie ho ch ist d ie lang fristige Preisuntergrt.'nze?

d) Bei welcher Ange botsmenge ist der Stüc kgewinn max ima l? c ) \X' ie lau tet d ie gewinnmaximierende Angebo tsfunk tion p< x ) lind in welchem Bere ich ist sie langfri stig gültig? Aufga be 111· 25 Ein Unter nehmen bei volls tändiger Ko nkurrenz produziert m it der Kostenfun ktio n CIx) - Sx + )00. Sei ne Kapazitätsgre n ze liege bei x - 100 Stüc k. Es sieht sich e inem Ma rktp rei s von 15 Euro je Stüc k gegenüber. a)

Bere chnen Sie d ie Ge wirm sch wellc!

bJ Bei welchem Absa tz w ird der Ge winn ma ximal un d w ie

grof,~

ist dieser?

cl Be rechn e n Sie d as Minim um der s tück kos ten u nd d e n max imalen Srück gewinn!

Aufgabe 111· 26 Die Steuer T auf das Ein ko mme n Y eines Steuerpflichtigen soll sich nach der Steuerfun ktion T = a( b Y + l' )'~ + kY be re ch ne n, wobei a, b, c u nd k pos luve K on stan ten sind. De r Du rch sc-hnittste ue rsatz AT crg tbt xich als Q uo tient a us T u nd Y. Be re ch ne n Sie den Wert von Y, bei dem AT minimiert wird! ( Hin we is: Es ge n ügt die Ausw e rtung der notwend igen Be d ing u ng!) Hastizitäten ökonomischer Fun ktione n. Au fga be 111· 27 Mit welchem proz en tualen Rück gang der Nachfrage ist zu rec hnen , wenn der Preis be i ei ne r Nachfrage von 1 Mio. Stüc k tim e inen Pro zent erhöh t w ird und d ie N;Kh· frag efu nknon p{x ) = 400 - 0, Z.,J; lautet?

222

11 1Funktione n eine r Variab len

Aufg abe 111· 28 D ie Gesamt nachfragefunktion auf ei nem M ark t habe ein en linearen Ver tauf.

a ) Ermitteln Sie a us den in der Tabelle angegebenen 'c'erten die Nachfragefunkrion p(x ) und setzen Sie d ie fehlenden werte ei n! SIÜckpreis p

.. __ I.

, -------_ 2.

.

Absa tzmenge x

------------_10 .------------------ -------------_ R

Ce samt e rlös R

------_._------------------32

_. ---- ------- ---------_.. _.. -_ ---------------------------IR _--_ . __ ._-_. _-- ------------------_ _--------------------------"i. 5 . . ..... . --- _. ------ - ---- -- ----- - -----------------_ ---_. -----_.-..---------------_4.. . 6.

20

CI

b) \X'e k he w e rte haben Sautgungsmenge und ~lax imal preis (GrenzpreisP c) Wie hoch ist die Preise lastizität der Nachfrage be i einem Preis von 5 E u ro~ Au fga be 111-29 Die Ges amtkostenfunktion eines Unternehmens sei Ct x) '" O ,3x ~ + 2x + ,~. Die PreisAbsatz-Funkt io n laute t pf x ) = 300 - 0, 4x " Be re ch ne n Sie d il:' Nachfrageelast izität in Be zug auf den Pre is im Gewinnmaxim urn! Ge hen Sie dabei davon aus, dass nur ga nze Stück produziert werden k ön nen !

A ufgabe 111·3 0

Ein Unternehmen be i unvollständiger Ko nkurre nz hat für sein Produ kt eine PreisAbsatz-Fun ktion der Furm I?Cx) a -lOx + 1.4% ermittelt. Seine Koste nfunk tio n hat die Gestalt C( x ) = ~ x·i - xx" + 600x + 3.960 . x ist dabe i jeweils die abgesetzte hzw . produzierte .".Ie nge". Be re chne n Sie die Preis e lastizität der Nachfragt' im Ge w innm aximum und ge ben Sie d ie Höh e der fixe n und variablen Koste n im Gewinnmaximu m an! Aufgabe 111-31 Ein l.lruemchmcn be sitzt d ie Koste nfunktio n Cf x ) = 2x 2 + IOx + 32 " a ) Bei welcher Prod uktion x sind dx- Durchschnittskosten minimal?

b) Das Unte rnehmen produziert zunächst die unter a ) berech ne n- Me nge x. Aufgrund e ines Nachfrageanstiegs um 30 % will das Unternehmen die Produktion entsprechend ausdehnen. Um wie viel Pro ze nt verändern sich dadurch die GrenzkostenA ufgabe 111·3 2

Die Nachfragefunktion nac h Geld m se i gegeben durch m = e- n x m it o: > O. Dabe i stellt 1t d ie erwartete In fl ationsrute da r. a) Be rechne n Sie die Elastizität der Geldnachtrage b zgl . der erwarteten l n fla tionxrate , d.h. ( m.x ! b) Nehmen Sie an, die Nachfrage wäre isoelastisch . Welche Be zieh ung muss dann zwischen Cl lind 1t gel ten?

4. Aufgaben

223

Aufgabe 111-33 Der Zus:.rmrnenhang zwischen dem Einkommen Y und dem k o nsum a usgabe n C eines Haushalts kan n durch eine Konsumfun ktio n C = G Y) a ngegeben we rden , Das nicht für Konsumzwecke verwenden- Einkommen ist gegeben d urc h d ie Sparfunktio n S(Y) = I - C(Y). Berech nen un d interpre tieren Sie für l

S{Y)= y - 900 Y - "') .HRO,OOO Y + 7.500

an der Stelle Y .. 'i.()OO Euro de n \'\'e rt von E" . und Interprcttcrcn Sie diesen! Geben Sie außerdem an, w ie sich die Konsum ausga be n (nä hcrungswc isc) verändern, wenn steh das Einkomme n bei eine m Nivea u von "')500 Euro um 100 Euro e rhöht! wach Si urnsrate n: Aufgabe 111-34 In einem Land sind im vergangeneu j ab r d ie gesamten Ko nsum ausgabe n um H % und die d urchschninhchen Lebenshaltu ngsko ste n alle r Haushalte um 5 % gcwachsc n. Die Bevö lke rung nahm um 4 % zu, a) Um wie viel Prozent nahmen die realen (Inflatlon sbercm igte n ) Ko usuma usgaben zu (in stetiger Betractuu ngwe ise )? b I Wie hoc h war die Steigerung des reale n Pro- Kopf-konsums ( in stetiger Herrach tun gweise )? Aufgabe 111-3 5 ln e inem l.and bet rug im 3. Q ua rtal die (dis krete) annualisierte Quartals\Vachsllll1lsr:.lte R,2 %_ Be rechne n Sie a) die Wachst umsrate gegen üb e r dem Vorquartal. b) d ie stet ige a nnuulisicrte \X'achstulllsrate! Aufgabe 111-36 ln einem Land betrug im I. Qua rtal die (dis krete) Quartals-Wachsturnsrate des Bruttoinla ndsprodukts 0,4 % , Berechnen Sie a ) die an nualtstcrtc wachsrumscnc. b) d ie stl'tige Q ua rtals-wach surnsrate! Aufgabe 111·37 Ein Ko nve rge nzkrite rium des Maustricht-Ve rtrages besagt, dass die Schuldenquote Deines Landes 60 % nich t überste igen soll, Sie ist defi niert als D = wobei B der Schuldensta nd und Y das Bruuomla nds produkt (H[P) ist. a) Be rechne n Sie d ie d iskre te und ste tige Wachstumsrate von D, wen n B pro j ahr diseret um 1 % wächst und das dislerete 'x'trtschaftswachstum , gemessen am BIP, 2 % be tragt! b ) Berec hne n Sie die d iskrete und stet ige Wach stumsrute von D, wenn B pro j ahr stetl~ um I % wächst lind das slctige W'irtschaftswachstu m, gemessen um BlP, 2 % heu iigt!

f- ,

IV FU N KTI O NE N M E H R E R E R VARIABLEN

In vielen Fällen hängt eine Größe von mehr als nur einer unabh ängigen Veränderliche n ab. So wird beispielsweise die Güternac hfrage nicht nur vom Preis des entsprechenden Gutes , sonde rn auch vom Einkommen und den Preisen anderer Güter abhängen. Mit Funkt ionen mehrerer Variablen befassen wir uns im ersten Teil dieses Kapitels zunäch st allgemein, besprechen verschiedene Darstellungsformen und gehen auf wichtige Funktionseigenschaften ein. Eine besondere Rolle nimmt hier im Vergleich zu Funktionen mit einer Veränderlichen die Steigung ein, da sie nicht mehr eindeutig ist. Im zweiten Teil behandeln wir die Differenzialrechnung und insbesondere die Extremwertbestimmung bei derartigen Funktionen. Von besonderer Bedeutung wird dabei die Extremwertbestimmung unter Nebenbedingungen sein.

1•

Begriff, Darstellung, Eigenschaften

Nach einer begrifflichen Einführung in Funktionen mehrerer Variablen legen wir in diese m

Abschnitt unser Hauptaugenmerk auf Darstellungsmöglichkeile n derartiger Funktionen und ihre Eigenschaften. Neben der klassischen Funktionsgleichung und Wertetabellen werden wir für Funktionen mit zwei unabhängigen Veränderlichen Graphen im dreidimensionalen Raum näher betrachten. Bei den Funktionseigenschaften behandeln wir speziell Nullstellen , Extrema , Ste igung, Krümmung , Grenzwerte und Stetigkeit.

-

1.1 Begriff Hängt der We rt einer Funktion y von mehr als einer unabhänglgen Ve ränderlichen h zw . allgemein von n variablen X l . x 2 ' x ~ , ..., X n ab, so sprechen wir vo n einer

Tunetio n m ir

tI

lI/ /lIhhiil1g igell Va riabi en und schre iben

y=f(x ], x 2 '

" .,

xn

) .

u v .n

In der Prax is tref fen wir vielfach auf Funktio nen des Typs OV. I ). I nsbeson de re hei ökonom ischen Fragestellungen sind sie von Rele van z, wie d ie nachfolgenden Beispiele verdeu tlichen sollen. Beisp iele : 1. Nachfragefunktion: Die Nachfrage nach einem bestimmten Gut x ist i. d. R. nicht nur von seinem eigenen Preis p abhängig. Zusätzlich können z.B. das Einkommen y der Konsumenten und Preise von Substitutions- oder Komplementärgütern (pSull, pKOmp) die Nachfrage beeinflussen. Die Nachfragefunktion XC hat dann das Aussehen xC '" f(p, y, pSub, pKomp, ...) . 2. Angebotsfunktion: Das Angebot eines Gutes x wird bestimmt durch seinen Preis p, die Preise anderer Güter p", die Preise für Produktionsfaktoren pPF, den Stand des technischen Wissens T, usw. Für eine Angebotsfunktion XS gilt also allgemein xS = f(p, p" , pPF,T, ...). 3. Kostenfunktion: Stellt ein Unternehmen z.B. 4 Produkte her, so werden die Gesamtkosten C durch die jeweiligen Produklionsmengen der einzelnen Güter bestimmt Es gilt daher für die Kostenfunktion

228

IV Funktionen mehrerer Var iablen

Dam it l'S sich bei (lV.1) auch wirklich um e ine Funktion handelt, muss jedem sog. n-Tupel rx , x,• . . ., x) des De finition sbe re ichs D(O eindeutig e ine reelle Zahl y zu geordnet sein. Unte r einem n-Tupcl ve rstehen w ir dabei eine Zusammenstellung von n Zahl en x" x" . .., x. in vorgegebener Re ihen folge. Ein z-Tupel cx., x) heißt ein Paa r, ein 3-Tupel Lx" x,. Xl) ein Tripel, ein -t-Tupcl ( x, x,. x., x) ein Quad rupel. Für die wei teren möglichen Tupel existieren ke ine be so nd e re n K ilnen. Eine bt:somlers wichtige Klasse der Fun ktio ne n mehrerer v ariablen sind d ie ttnea/l'/I Funletionen. Hier tauc hen die unabhängigen Veränderlichen nur in erster Po u -nz auf und sind ausschließlich durch Ad d itio n lind Sub traktion verknü pft . Sie ha be n also die allgemeine Form y =f(x l ,

"

x ~ , ..., X,,)=;lo +a l · Xl + ;12 ·X ~ + ... + ;1" ·X" = ;10 + L ai · X; ,

(l V.2 )

;:1

wo bei die
y (1; 3) (1; 4) (2; 3) (2; 4)

4 5

5 6

y (1; 3 ; 5) (1;3 ; 6) (1; 3;7) (1; 4; 5) (1; 4; 6) (1; 4;7)

11

13 15 10 12 14

y (2; 3 ; 5) (2; 3 ; 6) (2; 3;7) (2; 4; 5)

(2; 4 ; 6) (2; 4 ; 7)

15 17 19 14 16 18

2 ·2 ·3 ", 12 Tripel

229

1. Begriff, Darstellung , Eigenschafte n

\'(-'ie lx- i Funkt ionen e iner variablen können auch im F;l1J mehrerer v a riablen die Variablenbezeichn ungen behebrg sein . \X'ichtig ist nu r die Rechenvorschrift. die angibt, wie der Funktionswe n aus den Argumemwcrt c n bestimmt wird . Vorallem in praktischen Zusammenh ängen ist es meist üblich , nich t das Funktionssymbol f, sondern für das Funktionssym bo l de nselben Buchsta ben wie fü r die abhängige veränderliche zu verwenden. Beispiele: 1. 2.

-

z =f{x,y ) = x 2 +y2 _ 1 v =v(w ,x,y ) = w ·e H Y

mit

D{f ) = IR x IR = R 2

mit

D{v ) = :Rx :R x R = IR 3

1.2 Darstellungsfarmen Funkt ionen mehrerer Variable n kÖ111H:n wir grundsätzlich über eine Funktio nsgleichung oder e ine W'e ne tah el le darstellen. Im Falle zweier unabbängtger Verän derlicher ist zudem noch e ine gra fische Da rste llung im dreidimensionalen Raum möglich. 1. Funktionsgleichung

Eine Funktio n mit mehreren Veränderlichen kann unter Angabe des Def initio nsbereiches durch eine Gleichung angegeben werde n. Die expltztte Form ist gegeben durch

y = f{x l ,

Xl ' ... ,

x n)

für

( Xl ' Xl ' ...,

xn ) e rxu :

U V.3)

di e implizite torm durch b zw . (l V .4 )

Beispiele : Explizite Form : Implizite Form :

2 y =f(X l , X2 ) = X" X2 für (Xl' X2 ) E R x l ' X2 - y = O für (Xl' X2,Y) E x 3 g{x,. x2 ·y)

2. Wertetabelle \'(' ie auch be i Funktio ne n einer Variablen wird zur Erstellung e iner \X'e n etahe lle lediglich für ausgewählte W'e ne der unabhängigen v e rände rliche n die ahh;ingige Varluble berechnet. Die gesa mte Funktion kann dami t jedoc h nicht eindeutig beschrieben werden . Zudem ist anzume rke n, dass nur für Funk tio nen m it zwe i unubh;ing igl'n Veränderlichen d ie W'l'n t.' tahd le eine noch übe rschaubare Strukt ur aufwl'is\.

230

IV Funktionen meh rere r Variab len

Beispi el: 2 Gegeben sei die Funktion y '" I (x l • x 2 ) '" 2x ~ - 2X1X2 + 4x ~ + 7 mit D{f) = R. . Es soll die We rtetab elle für Xl E [1; 41und X2 E [1; 4] in den Sch rillen ßX i = 1 aufgestellt werden. Sie ergibt sich durch Be rechn ung der Fu nklionswerte für die 4 ·4 = 16 aus gewählten Paare wie folgt

x

y = f (x 1• x2}

'2

1

1 2 3 4

2 15 23 39 63

11

21 39 65

3 23 29 43 65

4 35 39 51 71

3. Grafische Darste llung Grundsätzlich ben ölige n wir für die grafische Dar ste llung e ine r Funkt io n fü r jede Varia öle (ahhängige u nd u nabhängige) ei ne D i me nsi on. Fu n k tio nen ei ner Variah -

len sind d ah e r in 2 Dimen sio ne n (in R. 2 ) u nd d amit :.I];; Ku rve in einem kartesischen Koo rdinate nsyste m darstellbar. Punk rionon zweier Variablen benö tigen bereits .~ Dime nsio ne n. Ihr Definitio nsbere ich ist die SOj!;. x, -x~-Ebell e oder ein Te ilhe reich (braus. Es handelt sieb da bei um alle möglichen reellen Paare (x ,; x.) bzw. eine Teilmenge daraus. Senk recht a uf dieser Ebe ne oder Teilebe ne kü nnen d ie Funkt ionswerte y a ufgetrage n we rde n. Die so en tstehenden Punkte (x" X l ' yJ im d re idimensionalen Raum (in IR.:'! ) bilde n den Graphe n der Funktio n . Die Eintragung eines solchen Punktes in ein dreidimensionales Koordinatens ystem ist in Abbildung IV [ am Be ispiel l'(..j ;3;2l veranschaulic ht.

y

2 .~

2

3 4

• •• • •

:

-- --4

--- --

------

Abb ildung IV 1: Punktkonstrukt ion im dreidimensionalen Ra um

1. Begriff, Darstellung , Eigens chafte n

23 1

Funk tionen mit mehr als zwe i Variablen LIssen sich d irekt uberhuupt nicht grafisch dar..-tellen. Im Folge nde n wird daher nu r die grafische Darstellung von Funktio nen des Typs y = f( x j , x 2 ) behandelt. Liegt eine lineare runeuon m it zwei unahlräng tgen veränaerttcben, d .h. der F0 l111 y = f(x" x) = ;1" + a,x, + :.I,X , vor, erg ibt sich e ine Ebene im dreid imensionalen Raum. i\litto.:d.'i ihrer Schn ittpunkte mit den Koordin ate nach se n, für die Schnittpunkt mit der y-Achsc:

X j = X 1= O

Scbnhtpunkt m it de r x l-Adl.'ie:

Xl

= Y= 0

Schnittpunkt mit der x j -Achsc :

XI

= Y= 0

(I V .) )

gilt, kann dil' Funktio n e infach grafisch konstruiert werden. Das nac hfolg e nde Be isp iel verdeuthehr dies. Bei spiel : Gegeben sei die Funktion y := f (x l , Xz ) '" - 2xj - Xz + 6 , deren Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sich wie folgt ergeben :

Xz '" 0

--t

Py(O, 0, 6 )

Xz := y '" 0

--t

Px, (3, 0, 0)

", y = o

--t

PX2 (0, 6,0)

Schnittpunkt mit der y-Achs e :

Xl '"

Schnittpunkt mit der xj ,Achse : Schnittpunkt mit der xz· Achse:

Xl

Trag en wir diese drei Punkte in ein dreidimensionales Koordinatensyst em ein und verbinden sie durch Geraden , erhalte n wir ein durch die Geraden bestimmtes Dreieck. Die auf d iesem Dreieck aufliegende unendliche Fläche im dreidimensionalen Raum wird als schiefe Ebene bezeichnet und stellt den Graphen der Funktion dar (vgl. Abb ildung IV 2). Konstrukt lonssk izze

Tatsächlicher Graph

y

y

./ 6 \

\

\

./

-:

3 x, Abb ildung IV 2: Ebe ne

X,

232

IV Funktionen mehrerer Variablen ,\'ic!J,lill('(lI'(' Tunle t i onen m it z w ei Variablen !:ISSl' n sich häufig n ur 110(:11 m it lI ilfe der EDV in vernünftiger Art un d \'l;'e isl' darstellen . \,('ir be dienen uns in tief Praxis sog. t-untutonsptoner. die für jede Funktion seh r anscha uliche Graphen liefern und außerdem bei der Kurve ndisk ussion unte rstütze n. Abbi ldung IV 3 zeigt typische mit

derartiger Softwa re erzeugte Fun ktio nsgrap hen . D ie Grap hen von Fu nk tio nen des

links zu sehenden Typs t ouadratische Punktionen) bezeichnet man auch ab Rotattonspa ruboloidcn.

y

y

y

x,

Abbildung IV 3: Gra ph e n nich tlinearer Fun ktio nen

Oftmals ist es in de r Pra xis wichtig zu wissen, welchen Einfluss eine der uoabhänglgen Variablen bei Konstanz alle r anderen auf de n Fun ktio ns we rt luu. \X'ir sprechen in d iesem Zusa mmenhang von de r sog. ceter ts-par tb us -Bedtngu u g. wenn wir nur eine der unabh ängtgen Variablen variieren lassen und alle n anderen feste w ene zuweisen . Eine Funktio n meh rere r unabh ängiger Variablen iSI ;I[s O unter de r cererts- partbus-uedtngung nur no ch ei ne Funk tion einer Variablen un d damit natürlieh auch g rafisch im zweidimensionalen Ra um da rstellbar.

1. Begriff, Darstellung , Eigenschaften

233

Ik i Funk tionen zweier unabhängiger Varia ble n bede ute t die

cctcrts-parfbusBed ingung, d;ISS eine unabhängige Veränder liche var iiert, die andere fest ist. Den cct er ts-partbus-Oedankcn können wir mittels Abbildung IV 4 sehr schön a nband einer quadratischen Funktion xwc ter unabh ängiger Veränderlicher veranschauliche n. Davor sei erwähnt, dass wir im f o lge nde n eine konkrete Ausprägung der ab hängigen vcrändcrltchen r als ß. der una bhängigen Ve rände rlichen x, als u und der unabhängigen Veränderlichen x, als 'Ö bezeichne n .

X,

konstant au f 1'}

X,

y

konstant auf a y

---x,

x,

----

x,

x, cerens-partbus- Kurven , wenn x, konstant auf 'Ö" 1'}, ode r 1'}, y

x,

Abbild ung IV 1: ceterts-partbus- Pedtngung hei qu adratischer Funktion

234

IV Funktionen mehrerer Variablen

In der linken Gra fik in Abb ildung IV 4 w ird für e ine quad ratische Funktio n }' = f(x,> x} die Variable X, auf dem \X'e rt 13 fixie rt. Ge om etrisch bedeutet dies, eine n Schnitt Puralle l zur x-v- Ebene durch die Funktion . Die ausgeschnittene Kurve , a uf die x,-YEben e projiziert, hat d ie Gle ich ung y ~ f(x" 'Ö) und ist e ine Parabe l. Je nachdem, we lcher W'e rt 13 gew ählt w ird , resultiert e ine andere Parabel. Eine Auswah l möglicher Erge bnisse für die 'x'c rte öl' 'Ö, und t\ ist im unteren Te il von Abbi ld ung IV 4 skizz iert. Das Konstantbalten von x, auf e inem \X'en c bedeutet einen Schnit t parallel zu r x.-y-Ebene (vgl. rech te Grafik), aus der je nach Wah l von u ebe nso ve rschiedene Parab eln resunteren. Beispiele : 1. Aus der Fun ktion y = f (x l , x2) = 3 - x~ - 2x ~ erhalten wir durch Fixierung X2 = 1 die Pa2 rabel y = f (xl ' 1) = 3 - x ~ - 2 . 1 = 1- x ~ . Bei Xl = 0 erhalten wir y = f (O, x2) = 3 -2x ~ . 2. Die lineare Funktion y = f (x l , x 2 ) = 2 x, + 5x 2 - 1 stellt , wie wir bere its gesehen haben, im Raum eine schiefe Ebene dar. Ihre Schnille mit den Ebenen X, = u = konstant bzw . X2 = Ö = konstant sind Geraden . So erg eben sich etwa y = ' (x" 5) = 2x l + 24 für X2 = 5 und y =f (- 1, x2) = 5x 2 - 3 für x, =-1. 3. Gegeben sei die Kostenfunktion C(x l' x2' x3 ) := 3x l + 5x 2 + 7 x3 +0,5x lx 2 + 50 . Es soll die Kostenfunktion in Abhängigkeit von der produzierten Menge X, unter der Bedingung , dass von Produ kt 2 die Menge X2 '" 10 und von Produkt 3 die Menge X3 20 hergestellt wird, aufgestellt we rden . C(x l. 10, 20 ) = 3x l + 5 · 10+ 7 ·20 +0,5 x l · 10 +50 = 8x l + 240

Bishe r huben wir nur eine Fixie ru ng der un abh ängigen Variablen bet rachtet. Halte n wir in y = f(x" x .) d ie abhängige Veränderlic he auf eine m hcsummten \X"eJ1 y = ß fest, erg ibt sich d ie in Abbildung IV 5 dargestellte Situat ion .

y konstant auf

ß

Isolinie n für versc hiedene

ß

r

x,

------ --- .---

-,

x, Abbildung IV 5: Isolinien bei qu adr atischer Funktio n

1. Begriff, Darstellung, Eigenschafte n

235

Fixiere n w ir y auf e inem Wert ~ , be deutet dies geometrisch, (lass e int' Hx-m- purallel zur x,-x,-Elwnt: die Funktion schneide t. Die cnstehende Linie erg ibt auf die x,xL-Eben t: projiziert ei ne so g. Isolinie (vergleich ba r m it üso- u töhenltnien auf Landkarten). Auf d ieser liege n alle Pun kte, d.h. Paa re (x" x) der unabh ängigen verände rliehen . die den gle ichen Funk tionswert ~ besitzen. \X'ie Abb ildung IV 5 zeigt, ist eine so lche Isolinie nicht zwangsläuflg e ine Funktio n, im Falle quad ratischer Funktio ne n mehrerer unabhängiger Variablen sogar e indeutig ei ne Re lation . Beispiel :

=

Für die Funktion y f (x j , Xz) == 3 - )(~ - 2 )(~ erhalten wir die Gleichung der Isol inie zu y als t = 3 - x~ - 2x ~ bzw. 2 = )( ~ + 2x z . Dieser Zusammenhang stellt keine Funktion dar.

=1

Öko n o m isc he An wen d u n g finden Isolinie n bei Ge winn- und Kost en fun ktinnen von Unter nehmen. die nur zwe i Güte r herstellen (C{x,; x), G(x,; x,)). Isoli nie n ge be n hier Produ ktionsn1l'n ge nkomhi nationen an , die d ie gleichen Koste n veru rsachen bzw . de n gleichen Gew inn ein bringe n. Auch im Ra hme n sog. Produkt ionsfunktio ne n x = x(r,; r,) , die die prod uziert e Menge x in Abhängtgke tt von den Einsatzmengen zweie r Prod uktio nsfakt o ren r, und r, (z .B. Arbelt und Kapital) an ge he n, werden Sie he rangezogen. Sie ge be n luer Kombinatio ne n de r Fakto rmc ngcn an, d it: den gleichen Output liefern (sog. lsoquante n ). Eint' der be ka nnteste n Anwendunge n offenba rt steh im Zusammenhang m it ;\'111zonfuntatonen. De rartige Funktione n U = ll (x,; x, ) drücken de n Nutze n U (engl. lJtility) aus, den ei n Konsu ment aus de m Ko nsum de r Men gen X I und Xl zweicr Gü ter ztehr, Es gilt allgemein. (hiss der Nu tzen mit zunehmender Menge e ines Gu tes zun immt, jedoch mit zunehme nder .\lenge de r Nu tzenzuwachs immer ge ri nge r wird . \X'ir sprechen von abne hmendem Gre nznutze n . Mengen kornbi nation e n ( XL ; x), die den gle ichen Nutze n stiften , liegen auf der gleich en Isolinie, die in diesem speziellen Anwe nd un gsfall als I ll dij/f.'IL'IIZ l'II IH' bezeich ne t wird. Verschiedene Indiffere nzkurve n e ine r Nut zen funktion können sich gru ndsätzlich nicht sehnetden. Dies ist auch un m ittelbar ein leuc hte nd, da sie schließlich durch den Schnitt der Nutzen funktio n mit pa rallelen Ehe ru - n entstehen . Beispiel:

=..jx;.

A us der Nutzen funktion U(x 1, x 2) ~ erhalten wir für das Nutzenniveau U = 2 die Gleichung der dazugehörigen Indiffere nzkurve (hier eine Funk tion) zu

2 =.;x; .~

H

24 =

(,JX;( )(z

H

)(z = 16 · )(1Z .

Alle Kombinationen der Menge n Xl und X2, die auf dieser Kurve liegen. stillen den Nutzen U = 2. Grafisch lässt sich diese wie folgt skizzieren :

x

236

IV Funktionen mehrerer Variablen

Unsere Be trac h tunge n zu Iso lini....n können wir auch auf Fu n ktio ne n m it n un nh hängigen variablen übertragen . Es liegen da nn jedoch kein e Linie n mehr vo r, son dern Fläch e n im n-Dimensional...n Rau m. Bet ra ch te n wir etw a e ine lineare Fu nktio n meh re rer Veränderlicher (Iv.n , so besitzt die zu Y .. ß gehörende Gleich u ng d ie Form

"

(:lo - !3 ) + L a ; . x; = O.

OV.6)

;= 1

Das dadurch erzeugte geomet rische Ge h ilde nennen wir ein e tn - t l-d ime nsio nale 1(11x.' H'be//(' im n-dimensionalen Raum . Alle n-Tupcl tx, x" " ' , x, ), d ie auf di eser

Hyp e rebene liegen, bes itzen den gleichl' n Funktionswert ß. Fü r n '" j ist d ie 11)'perebene e ine ge wöhnliche Ebe ne im dreidimension alen Ra um.

-

1.3 Funktionseigenschaften Im Folge n de n werden wir wicht ige Eige nsc haft en vo n Funletionen mit zwei unabbdngigen Va riableu be ha nd el n . \'ei r be sch rän ke n uns dabei auf Nullstellen. Extrema , Steigung, Krümmu ng , G ren zwert e u nd Steti gkeit. \Xr~h re n d wir viele der Eigen schaften von Fun ktione n e iner un a bb:ingigen Ver änderl ichen auch auf Fu nkt io ne n mehre rer un abhäng iger Ve rän derlich e r übertragen können , ist be so nd e re Aufmerksamkeil nötig, wenn w ir uns der Ste igu ng widmen. 1. Nu ll s Ie lIe n Nulls tellen e iner Fun ktio n y = f(x ) haben wir hcsnmmt, in dem wir den Funktionswert g leich Kuli setzten . Die Lö su ng x '" c der Bestimm u ngsgle ich u ng f(x ) .. () wurde als Nulls telle be zeich ne t. Auc h bei e iner Fu nktio n y = Frx, x .) e rha lten w ir durch Nullserzen des Fun ktio nswe rtes e ine Be stimmu ngsgleich u ng Kx, x,) .. 0, nur dass diese kei nen Pu n kt, sondern die Schnittkurve der Fu n ktio n mi t der x" x,-Ebene beschre ibt. Be i d iese r handelt es sich um ei ne Iso lin ie rvgl. Abschn itt IV 1.2 ) fü r das Nive au y '" O. Dies be d e utet, dass alle (x, x. j-Kombtnattonen, die auf d ieser Ku rv e liege n, den v-wert Kuli liefern . Bei spiel : Zu bestimme n seien die Nuttstetten der Funktion y == l (x 1, x2) == 2x1 + x2 - 5 . I

l ( x I , x2) =O

--t

2x1+x2 -5 == O

H

x2 == -2x l + 5

2. Extrerna Höchste und tiefste Pun kte e iner Fun ktio n y = f(x" x,) könne n wir uns leich t als Be rgsp itze n und Talsohlen vo rste lle n. Eine Fu nkti o n y .. f(x " x, ) besitzt allgemein im Pun kt rc, t} ) E e in relatires r:'\'/fV /1/I/ JII, we n n für alle Pun kte ( x., x,) ei ne r Umgebung U(a , t} ) des Pu nkte s «r, t} ) gilt :

rx n

Ein relatiocs .üaximum be i rc ,

Ih

t})

l , x 2 )S; f( a , 1)

liegt vor, wenn fü r alle

( XI ' X2 ) E

Uru , 'Ö L

OV.7a )

1. Begriff, Darstellung , Eigenschaften

Ein rvlatircs sttntmum be i r c.

237 t'})

ist

« Xl' X 2 ) ~f(a, ö )

h i nge~en

für alle

gege ben, we nn (Xl ' X ~ ) E UCa, ö l .

OV.7b l

Sind dies e Ungle ichungen für alle Punkte t x.. x,) E Dm des Definitio nsbe reich s e rfüllt, lie~t be i r c . ö l e in abso l utes (gl(Jb(/le.~) Extremum vor. Am Maxim um liegt ulxo d er b öcbsre . am Minimum der n iedrigste Funkt io nswe rt vor . Besonde rs für quadra nsehe Fun ktio ne n, d ie nur ein Extre m um besitzen , lässt sich der Sachverh alt des grüßten bzw. kleins ten Funktio nswert es seh r schön mittels Abbild ung IV 6 veranschaul ichen .

Glo bales Maximum

Glo bales Minimum y

Abbildung IV 6: Ma ximum und Minimum quad rat ischer Fun ktio ne n 3. Ste ig ung

Die Steigung e iner Funktion y = f(xl an ei ne r Stelle x = o: konnten wtr durch die Ste igung der Tange nte an die Funktion d urch de n Pun kt P(a , f(al) bestimmen. .\Iit ei ner a na loge n verge he nswei se bei einer Funkt ion y = f(x " x) haben wir jedoch Proble me. Abbi ldung IV 7 zeigt, dass es nicht me hr ohne weiteres m ögltcb ist, von der Ste igung in e inem Punkt I' zu sp rec hen , da imme r a ngegebe n we rden m uss, in weither Ric bfl/ Ilg die S te i~un~ gemessen we rden soll. Die Richt un g wird allge me in mittels eines Schni ttes durch den Punkt P festgelegt . Es entsteh t eine Schnittkurve . deren Steigung im Punkt I' ( = Steigung der Tange nte) die Ste igung der Fläch e in der gcwühlrc n Schn iurichtung bedeutet. Abb ildung IV 7 zeigt e ine Ft iche mit dem Schnitt x, '= a un d de r Schn ittkurv e y '= n o , x) hz w. dem Sch nitt x, '= Ö und der Schnittkurve y '= Kx, Öl. I m Punkt P(a, Ö, ß l fällt die Fläche sowohl in Richt ung de r x j - als auch de r x)-Achsl'. Die e ingez eichneten Tangenten verdeutlich en dies.

4. Krümmung Unsere u erraclu unge n zu r Krüm mung e iner Funktio n y = fe x) können wir nahezu unverändert auf Funktione n y = ftx, x) übertrage n. Eine eonr ex gekrümmte Fun ktion y '= f(x " x) hesitzt die Eige nscha ft. d;ISS die Ve rbindu ngslinie zwcier bclichige r

238

IV Funktionen meh rere r Variablen

Punkte 1',«(1" 'Öl' p,) und I',(a" t}, > ß) immer vollstä ndig über der Funktion verläuft. Ik i e iner konkav ge krümmten Funktion liegt diese Ver bind ungslinie imme r unte rhalb der Fun ktion swe rte. Die in Abbil d ung IV 7 sk izzierte Funktio n ist so z.B. kon kav, da bei Verb inden de r durch Vierec ke oder Dre iecke gekennzeichne ten Punkte auffällt, dass d ie Verbindungslinie n stets unte r de r Funktio n verlaufen. y

Tangen te a n y= f( a . x !) in P

Abbildung IV 7: Steigung und Kr ümm u ng einer Fläche

s. Ste tigkeit Auch den Grenzwenbe griff und den Begriff der Ste tigke it können wir e infach von Fun ktio ne n r = fex) a uf y = [(x" x,) übertrage n . Strebt eine Funktio n y = [(x " x,J für Xl ~ 0. lind x, --+ t'} gegen den 'c'e rt 19, he i l~ t q> de r Gn' I/ ZU'('11 der Funktion y an der Stel le rc, 'Ö l, \,\'ir schreiben lim fe x " ~ (x,, ", l.....(n.u >

x2 ) =

q> ,

(l V.H)

Dieser Gre nzwelt q> ist nur dann definiert, we nn e r imme r er re icht wird , gleichgültig wie (una bh äng ig vo n der Richtung) wir uns der Stelle t u , 'Ö) nähe rn. Eine Funktion y = f(x " x) wird an de r Ste lle tc , ß ) ab Slel ig be ze ich net, we nn de r Funktio nswert an dieser Stelh- de m Grenzwe rt q> e nts pricht, d.h. we nn gilt: (I V.9)

Beispiel : Prüfen wir, ob d ie Funktion f (x l , x2) = 3xf +x2 +.jX;X; -5 an der Stelle (0 ; 0) stetig ist. lim f (x l • x2) = - 5, f(O; 0) = 3 .02 + O+.JQ.O - 5 = - 5 (x,.x2 ).....(0;0 ) Grenzwert und Fun ktions wert sind identisch. Die Funktion ist an der Stelle (0; 0) stetig.

2.

Differenzialrechnung

Im Abschnitt IV 1.3 hatten wir gesehen, dass sich in jedem Punkt einer Fläche unterschiedliche Steigungen (und auch Krümmungen) ergeben, je nachdem, für welche Schnittkurve durch den entsprechenden Punkt wir sie messen. Diese Problematik führt zur Berechnung einer richtungsabhängigen Steigung (bzw. Krümmung) und läuft formal auf die Bestimmung partieller Ableitungen einer Funktion mit mehreren unabhängigen Variablen hinaus (vgl. 2.2 und 2.3). Diese werden wir unter anderem in diversen ökonomischen Anwendungen (vgl. 2.4), bei partiellen und totalen Differenzialen (vgl. 2.5) und zur Exlremwertbestimmung mit oder ohne Nebenbedingungen benötigen (vgl. 2.6).

-

2.1 Allgemeines \'(' je wir in Kapitel IIJ gesehen haben, beschreibt d ie erste Ableitung einer Funktion y = [l x) die Steigung dieser Funktio n Es stellt sich nun die Frage , o b wir cim- derartige Ableitung au ch für eine Funktion m it mehreren unabh ängigen Ve riinde rlichen bestimmen können und o h sie ähnlich interpretiert werden kann. Abschnitt IV 1.j zeigte, dasx die Steig ung einer Fläche in einem Punkt nicht ein deutig ist. Je nachdem aus weil' her Richtung wir den Punkt betruchrcn , e rgibt sich eine andere Steigung. W'ir konnten festste lle n, dass die Steigung einer Fläche in einer de finie rte n Richtung gleich der Steigung der Schnittkurve ist, die hd einem Schni tt in der be treffenden Richtung e ntsteht. \'('ie wir au s der ceteris-pa ribus Herrachtung in Abschn itt IV 1.2 w issen , entstehen solc he Schn ürkurven dadurch , d.ISS alle bis auf eine unahhängtgc Veränderliche konstant gehalten we rden . Schnittkurven sind a lso Funktio ne n der noch übrig ge blie benen unabhnng tgc n Variablen, so dass ihre Steigung durch Differentiation nach der verbleihenden Va riab len bestimmt werden kann. Die Angabe der Richtung entspricht also formal der Ang abe, nach welcher unabh ängigen Va riablen abgeleitet w ird bzw. welche konstant gehalten werden. Wir gel angen so zu einer sin nvollen Inte rpre tatio n der A bleitllllg eil/er t'untaton mit mehreren nnabbdngigen veränderlichen. Man diJJc.,IY."/ z iert I/ach eil/er II IU/bhallg/Rell verä nderlichen IIIlIer Konstautbaltnng aller andervn. Diese Ableitung be ze ich ne t man als partteuen Differenziaiquotienten.

-

2.2 Partielle Ableitungen erster Ordnung Betrachten wir noch e inmal Abbildung IV 7 hzw . d ie Kurve y = ((x " t'}l in der Schn ittehene x, '" Ö, d.h. in Richtung der x,-Achse. D ie Ste igung dieser Kurve ist durc-h den Differenztalquotienten

240

IV Funktionen meh rere r Var iablen

d y = df( x ], t3l = lirn f( x ] + .1)( 1' Ö) - f ( x,,'ö) d Xl d XI !l.x,..... U 8.X [ beschrieben, d .h. d urch die Ableit ung nach X, un ter der Bedi ngun g x, '" t') kon sta nt. \'('ir bezeichne n diese n Ausdruc k als die part ielle Ableitun g ers ter Ordnung: nach der Variablen x, ode r als erste partielle Ableitung nach x" Zur Ke nnzeichnung: de r Tatsache , dass nur nach eine r Variable n unter Kon stan thaltu ng aller übr igen diffe renziert wird , we rde n in der Lite ra tur d ie Differenztale gewöhnlich mit geschriebe n . Auch w ir wo lle n uns d ieser Notarion anschließen. \'('ir sprechen jedoch weite rlu n "d y na ch d x,".

a

Ersetzen w ir in o biger Ableitu ng de n konkreten We rt t'} durch die variable X,. so kön nen wir die e rste p artielle Ab le itu n g einer Funktion y .. f(xl' x) nach d er Va r ia b le n x , als

iL =af( x ), x 2 ) = aX t

a Xt

lim f( x ) + ß X1,X 2 ) - f( x l ,X 1) .!l.x,"'o

ausd rücken. Die e rste parrtelle Ab le itu ng ei ner Funktio n y Va riab le n x , e rgibt sich analog zu

oy = a f( x \ , x 2 ) = li m f( x ax, ax ,j,x,"'O

OV. lO )

ßX 1

t, x 1

1

=

Kx, x) n ach der

+ßx 1 ) - f( X) , x 1 ) . ßX 1

(IV.l 1)

Alternat ive Schrei bwe isen für d ie partielle Ablei tungen sind oder

bzw. oder w obe i die Variable, nac h der d ifferenziert wird , jeweils im Index tid geste l!t ist. \,\'ir erk ennen daran, d;ISS partielle Ableit unge n in der Hegel wiederum Funktion e n der unabhängigen Ve rän derl ichen sind .

Hinxichtlich der Tech n ik d es Differenzicrens gibt es bei Funkt io ne n meh rerer unabhängiger Variab le n kei ne Besonde rheiten , aurscr de r Einschrä nkun g. dass a lle Variablen, nach J en e n nicht d ifferenz iert w ird, a ls Konstant en anzuse he n sind . Die in Kap itel 111 behandelte n Ableitungsrege ln besi tzen also a uch hier Gültigkeit. In dies em Zusam me nhang ist da rau f hinzuweisen , da ss die Produkt-, Quotienten- und Kettenrege l nur dann anzuwenden sind, we nn die Variable, nach de r differen ziert wird , in be iden Faktor e n ei nes Prod uktes, im Zähler und Kenner e ines Qu otiente n oder in der inne ren Funktion e iner zus amme nges etz ten Funktion auftritt. Die Regel n we rde n insbesondere nicht be nötig t, wenn versc hiedene Var iablen entsp rechend verknüpft sind .

2. Differenzialrechnung

241

Beispiele :

1. y =:f(x l , X2) ==x l +3 x2 Da bei der Bildung der ersten partiellen Ableitung nach Xl die Variable Xz als konstant angesehen wird, fallt der Term 3xz bei der Ableitung als additive Konstante weg: y~

, == 1

Analog fällt der Term stante weg:

X,

bei der partiellen Ableitung nach

Xz

als additiv verknüpfte Kon-

Y~2 = 3 2.

y ==f(x l . X2 ) ==X~ +X l ' X2 Es braucht hier nicht die Produktregel angewendet werden, da jeweils ein Faktor des Terms X, . xa beim Differenzieren als eine Konstante anzusehen ist: y~ , = 2xl + x2

3 . Y= f(x l , x2) = e 2-x,x 2 Unter Verwendung der Kettenregel erhalten wir:

,.x

y~ , = e 2 'X 2 • 2x2

4. y =f (x l • X2) =Jx l ·ln x2 Auch hier nutzen wir die Kettenregel und erhalten:

y' =..!..( Xl . ln x2fl . ln x2= }nx z x, 2 2 . .Jxl . ln x2

5. y = f (Xl ,X2) =x2 ·exf +x~ Bei dieser Funktion muss bei der partiellen Ableitung nach Xl die Ketlenregel ange wendet werden, Um die Ableitung nach xe zu bestimmen ist sowohl die Produkt- als auch die Kettenregel erlorde rlich:

""ie die ersten partiellen Ableitu ngen ein er Fun k tion y = f( x ]. x 2 ) zur Bestim mun g de r Steigung in einem Punkt tc. t}) herangezogen werden kö nnen, veranschau licht fo lgendes Beispiel:

242

IV Funktionen mehrerer Var iablen

Beispiel: Gegeben sei die Funkt ion y "" f (x l , x 2 ) "" x12 - Xl · X2 + In xa Bestimmen wir für diese de n Wert der Ste igung im Punkt (1;1) in Richtung der x-Achse und in Richtung der xs-Achse.

,

~

f~ I (Xl ' x2) = -2 ·x,

-2

- x2 =3" - x2 Xl

f;~ (Xl' X2) :

-X t + -

1

X2

Dur ch Einsetzen des Punktes in die jewei lige Ableit ung ergibt sich die Steigung in Richtung der x-Achse als

f;, (1;1) = -312 - 1 = - 3 und die Steigung in Richtung der xs-Achse als

1;2(1; 1 )

= -1+ ~ = O .

Es gil t allgemein. dass eine Fun ktion y .. f(x" x., ..., xn ) m it 11 unabhängigen Variab len ge na u n partie lle Ab lei tu ngen erste r Ord nu ng bes itzt. Es wird nach der i-ten Var iablen x, pa rtiell differenziert. indem nach x, un ter Kons tanthaltung alle r and e re n Variable n d ifferenziert wird : Xi ' ••. , X n )

(lV . 12 )

Beispiel : 2 Y '" 4x 1 X2

+ XjX 2XJ + X2 -

X4

y~ ,

'" 8x jx 2 + X2XJ

v; , = 4 xf + X1XJ + 1

Y~ 4 ", - 1

De n Schluss die ses Abschnit ts wollen wir nu tzen , um noch einmal deu tlich ehrrauf hinzuweisen (da häufige Fe hle rq uelle ), dass be i der pa rtie lle n Ablei tung ei ne r Fun ktio n r '" Rx., x" "' , x o ) nach Xl d ie üb rige n unabhängigen Ve rän de rlichen zwar w ie Ko nstante n be hand elt we rde n, jed och keine Konstanten sind . Sie sind nach wie vo r veränderliche Grö ßen . Dies l:i s.~ t sich mittels Abbi ld ung IV 7 für eine Funk tion y = [(x " x) ver anscha ulichen. Die Ste igung e ine r Kurvt;' y = f(x" ß ) können w ir zwar nu r in e inem Punkt zu x, = c; messen, lasse n wir den Punkt jedoch der Kurvt;' e ntlangwandern . besch re ibt d ie erste part ielle Able uu ng nac h X, die Stcigung in jedem Punkt zu x,, Dies wurde be reits im Zuge der lrlshe rigc n Hetrac ht un gen insbeso ndere der Steigu ngshes timmu ng deut lich . Ähnlich verhält t;'s sich fü r d ie Var iable xl' Variiere n w ir x,, so erhalten w ir parallele Schnitte mit jewei ls neucn Schnit tk urven, sod ass die Variable x, angibt, auf welc he r Kurve aus de r Kurve nschar wir uns befinde n. Die pa rtielle Ableit ung (IV. 10) beschre ibt also die Ste igung der Schmukurve im Punkt {x.; x,) in Richtung de r x,-Achse , Sie ist also in jedem Punkt r x., x. ), in dem d ie Funktio n differe nzierbar ist, e rkl ärt un d dam it Ld.R. se lbst eine Funktio n de r be ide n unabh änglgcn Vertlndcrlichcn x, und x,.

243

2. Differenzialrechnung

-

2.3 Partielle Ableitungen höherer Ordnung Wie für Funktionen y '" Hx} können auch für Funk tionen mit mehreren unabhängigen ve rände rliche n höhere Ableitungen gebilde t werden .

Leuen \... ir die erste pa rtielle Ableitung Y ~ , einer sowohl nach x, als auch nach x, zweimal d ifferenzierbaren Funktion y .. ft x, x,) erneut nach x, ab , e rhalten wir die zweite p artielle Ab le itu ng n ach x , und schreiben dafür a' y = ( .• ), ="

,

d x2

} x, x,

(lV . 13 )

) 11. ,1<. , '

\Vi rd die erste part ielle Ahkitung y ~ . d ieser Funktion y = f(x" x) e rneut nach x, abgeleitet, ergibt sich die zweite partielle Ab le itu ng n ach x ,. \'fi r schreiben " ' y = ( " )' a x~

)1<.,

x,

= .'

(lV .14)

} 1<., x ! '

Zudem besteh t noch d ie .". Iöglichkeit, y ~ , partiell nac h x! und y ~ ! part iell na ch x, abzuleiten . Diese Abten u ngen werden als gemischte partielle Ah lel tu n ge n zwei te r Ord n u n g hezc k-hnet . \'('ir schreiben

" -' ~y- =( y' "x , ) », =Y' •\ , 11. , umI , ,..::

(lV .15 )

ax I ax 2

wobei die Reih e nfolge. in der die Variablen genannt werden , die D ffferenzku tonsreihenfelge a ngih!. Ist y = Frx ., x,) zweim al part iell diffe re nzie rbar, und sind die gemischten partiellen Abten ungen stet ig, so sind diese gleich: d.h.


Die Reihellfi>lge der Differentiation spielt also für d ie gem ischten part ielle n Ablcitu ng en keine Rolle, Bei spiel : Gegeben sei die Funktion y = f (x" x2) = 2x ~ + X~X2 - 4 x, x ~ - e Ihre ersten partiellen Ableitungen lauten:

Die zweiten partiellen Ab leitunge n nach Xl und X2 tauten: y~ x = 12x, +2x 2 _ e X1

"

,

Yx ~ x2 = - 8X1 -

1

2

' 2

Die identischen gemischten partiellen Ableitungen lauten:

Y~ IX2 = 2x,- 8 x2

Y~2x , = 2x1-8x2

X

,

-eln
244

IV Funktionen meh rere r Var iablen

Ko nnte n w ir {He erste part ielle Ahh: itung Y~ , a ls Ste igu ng der Schmu kurve für x./ = t} in Richt un g der x,-Achse interpre tie re n, so ist es ko nsequent, d ie zwe ite partie lle Ableitun g y~ ,~ , als Krümmung derselben Kurve zu deuten. Es gilt:

1": ,,< , «x in ~ ()

Schnittk urve in x l -Rid u u ng in ( a, öl konv ex

r;,,< ,cc,ers ()

Schnittkurve i n Xl -Rich tung in r c . t} ) k on k av

An ;J ]og gilt für d ie Schn ittkurve für

X, '"

(lV .17)

IX:

f: ,x, «x Ö) ;?: 0

-4

Schnittkurve in x j -Rtchtung in t u, ftJ ko nvex

r: ,x, rc . in :5 0

--+

Schnittkurve in Xl -Rich tun g in t u , t} ) ko nkav

(IV . IR)

Besond ers bei de r Bestimmu ng der Extreme von Fu n k tionen m it meh reren v ariab-

len rvgl. Absch nitt IV 2. (}) we rde n diese Zusamme nhän ge noch

VO ll

Nutzen sein.

W'ird der v e rgang des part ie llen Diffe renzie re ns fortgese tzt. so e rhalte n wir we itere partielle Ableitungen höherer Ordnung. Die parnetten Ahleincngen dritter OrdIIIlIIg ein er Funktion y = f(x,. x,) sind beispielswei se

a5 v a

,.

und - ' = y x,x,x, x~ so wie ihre gcnuscbt en pa rtiellen Ablei tungen d ritte r Ordn ung

Stetigkeit vor a usges e tzt, ist die Reihen fo lge de r Diffe renziation wieder um unerhcblieh, d.h . die ge mischten partiell en Ableitu ngen dr itte r Ordnung ide ntisch :

Beispiel: y '" f( x l • x 2) == 2x 1+ x? - 3x 2 - x tx 2

y~ , = 2+ 3x~ - X2 Y~2 = -3 -X l

-

2.4 Partielles und totales Differenzial In Ahsch uitt 111 3.4 ha tten wir den Beg riff des Differe nzia ls d y e iner Fun ktion m it e iner unabh ängigen verände rliche n y = fex) kenne n gele rnt. Es stand für d ie Wirku ng dy e ine r infinitesimal kle ine n Ände rung de r Variable x un d wa r de finiert als dy = f't x ) . d x. De r Begriff des Differe nzials lässt sich a uch auf Funkt io ne n mehre-

2. Differenzialrechnung

245

rcr unabhängiger Variablen übertragen. Es ist hie r alle rdings zw ischen partiellem und totalem Differenzial zu unterscheiden. Bet rachte n wir zur veranscbaultcbung e ine Funktio n Funktio n y '" Irx, x,). Iirhöhcn wir die Variable x, lw i Konstant huhung von x, um den Betr.tg dx.. hat dies (a uf der Schmukurve in x.-Ricluung ) e ine Pun ktion sän de rung dy x, = I~ , - dx , zur Folge. \', 'ir be zei ch ne n diese infinitesimale Grökc als das partielle Differellz ial nach der vortobten x,. Analog e rgibt sich ei n entsprechendes part ielles Diffe re nzia l nach de r Variablen Xl zu dy x, = f~ , . dx 1 . Für ei ne allgemeine Funktion mehrerer Variab len y '" f(x" x" "', x o ) können w ir dnher da s partielle Differenzial nach der variablen x, wie folgt de finie ren: I -= I " - u x. " , = -aafX.-i 'lx x, '

l" I

(lV . 19 )

I

Bei gleicbze;lif.wr A lldel7/1/g der v ariablen X, und x, be i eine r Funk tion y '" ftx ., x,) um die Beträge dx . und dx , e rgiht sich das .~ og . totatc lJiff erellz ittl de r Fun ktion y '" ft x , x .). Es entspricht der Summe de r einzelnen part iellen Differe nziale , also ein er Gesamtänderu ng dy = dy x, + dy x, = (, . d X1 + ( , . dX1 des Funktion swertes.

Für e ine Funk tion Y " f(x" x" .. ., xo ) e rgiln sich das totale Differenzial e benso als Summe der partiellen Differenziale:

ar

af

af .,

f' ,.,

d y = - - · d x 1 + - - · d x1 + " , + - - · u x" = """" x . ( dX 1 d X1 dX " i" t '

I

Xi

(lV .20 )

Beispiel: Betrachten wir eine Produktlonsfunktlc n x '" l (r\,r2) '" 2r,0.2 . r~·8 , wobei r1 für den Arbeitsund r2 lür den Kapitalinput und x lür den Output stehen. Für die vorgegebene Faktorinputkombination r, '" 20 und ra '" 10 sollen die partiellen (a) sowie die totalen Outputänderungen (b) ermittelt werden, wenn die Inputs um dr1bzw. dr2 Einheilen geändert werden. a) 1.

08 · dr dXr = -il f · dr1 "' 0,4r,-08 . · r2· 1 , il r1

r1 '" 20 und ra '" 10 eingesetzt liefert 0,2297 · dr,. Wird der Arbeitsinput bei konstantem Kapitafinput um 0,3 Einheiten reduziert, d.h. M , '" -0,3, so können wir die Veränderung des Outputs annähern über .u r1 ;: 0,2297· M I '" 0,2297· (-0,3) '" - 0,0689. 2.

C1 1 02 --\) 2 dx, ==- ' dr2 ", 1, 6r,' "a " ·dr2 2

il ra

rl '" 20 und ra '" 10 eingesetzt liele rt 1,8379 · dr2. Liegt eine Erhöhung des Kapitalinputs um 0,1 EInheiten bei unverändertem A rbeitsinput vor, d.h. t. r2 == 0,1, so können wir die Veränderung des Outputs annähern über t.xrz a 1,8379 · t.r2 == 1,8379- 0,1== 0,1838. al al b) d x e dx, + dxr ", - · dr1+- · dr2", 0,2297 · dr1+ 1, 8379· dr2 , 2 ar1 ar2 Ersetzen wir nun dr, und dr2 durch tor, == -0,3 und M 2 '" +0,1, d.h . wird der Arbeitsinput um 0,3 Einheiten vermindert und gleichze itig der KapitaJinput um 0,1 Einheiten erhöht (bezogen aul das Ausgangsniveau r, '" 20 und ra '" 10), so können wir die Änderung des Funktionswerts annähern über ex e 0,2 297 -t. r1 + 1,8379 -M 2 bzw. konkret

246

IV Funktionen meh rere r Variablen 6.x a 0,2 297 ·(--o,3) + 1,8379 ·0,1 = 0,115.

Dies bedeutet, dass der Out put (näherungsweise) um 0,115 Einheilen steigt. Ein Verg leich mit dem exakte n Änderungswert

öx = 1(20 -0.3; 10 +0, 1) - 1(20; 10) '" 2 · 19, 7°,2. , 0,1°,8 _ 2 · 20 °·2 · 10°,8 == 0,114 zeigt, dass wir e ine recht g ute Näherung durch Heran ziehen des totalen Differenzials erhalten.

-

2.5 Ökonomische Anwendungen Zu den wich tigsten ö konomischen Anwe ndungsgebiete n pa rtieller Ableitungen zahlen pa rtielle Greuzfunkr ionen und partielle Elastizttaten . Mit d iesen wollen wir uns in diese m Abschnitt im Detail be fasse n. \'( 'ir gehen außerdem näher auf Jas Spez ialthema Prod uktion sfunktio ne n ein . I. Partielle Gre n zfu n kt to nen

Ist Y = f(x t , Xl ' ..., Xn ) e ine ökonormsehe Funktion, so bezeichnen w ir die ers ten partiellen Ableitungen [~ als part ielle Grenzfunktionen von Y = [ ( X l ' Xl ' ... , x n ) . Der \X'e n einer part iellen 'Gre nzfunktion ( an ei ner bestimmte n Stelle gibt ndbeJ1 l11gs11'('ise an, w ie sich d ie Funktion [( x ;, Xl ' .. ., X n ) verändert, wenn x, a usgvhend von diese r Stelle um etne Einheit wächst. während alle anderen Variablen konstant gehalten werden. \'(-'ir können d ie Gre nzfunktion also als das part ielle Differe nzial von Y = [ (X l ' Xl' .. ., x n ) für dx ," I auffassen h ·gl. dazu IV 2.4),

Für verschiedene ökonomische Pun kriom-n haben sich in de r Literat ur spezielle Begriffe für die Gre nzfunktion e n ein geb ürgert. So bezeich net ma n z.B. die e rste partielle Ableitu ng einer Kostenfunktio n C(x" x" ..., x.J als pa rtielle Grenzkoste nfunktion C~ , ' die ei ne r Erlösfun ktio n }{(x " x" " ', x) als p.uticlle Grenzerlösfunktion I{ ~ , un d d ie einer Ge winnfunktion G(x " x " .. . , x n ) als p art ielle

Gre n zgew innfunktion G ~ ,

Beispiel : Die Funktion C(x x 2 ' xa) = 1OX1 +3 x~ + xa + 100 wurde für ein Unte rnehmen als Kostenfunk tion festgestelll " , wobe i die Variablen Xl , X2 und X3 die Produktionsmenge n der drei vom Unternehmen prod uzierte n Güter ang eben. Untersuchen wir, wie sich die Prod uktionskosten verände rn, wenn X2 ausgehen d von einem aktuellen Produktionsniveau von 500 Stück um eine Einheit erhöht w ird . Die produzierten Stückzah len der and eren Güter sollen dabei konstant bleiben . C'~2 == 6 x2

--t

C~2 (500) == 6 ·500 '" 3.000

Es ist also näh erungsweis e von einer Kostenerh öhung um 3.00 0 Euro auszu gehen.

\'('ie auch be i Gren zfunk tionen von Funkt ionen ei ner una bhängige n Variablen ist bei Be rechnunge n dieser An die .\'ii be/1/1/g II/I r bra uc hbar ; we nn vorausgesetzt wird , dass eint' Einheit von x, verglichen mit de n Gesamnuengen , mit denen man arbeite t, tdetn ist un d die Zusammenhänge nicht Z II stark nicht-linear sind .

2. Differenzialrechnung

247

2. Partielle Elas tizitä te n lst r = f(x " x 2 , de fini ert als

•.• , X II)

ei ne bel ieb ige Funk tion, so sind ihre pa rtiel len Elastizü äte n

E

y.x ,

d V . .:...l. x. = _._ dX ; y'

( [V.21)

Die partielle E b .~ t i zi t :i t E\ x gih t näherungs weise an, um w ie viel Proz ent sich y än dert. we nn sk h x, a u sg~llend von ei nem bestimmten Niveau um I % li nde rt, w ohei alle anderen Variab len konst ant bleiben. Bei spie l: Die Nachfragefunktion nach Gut i (Xi) sei xi == 40 - 0,5p, + 0,2pj - 0,5Pk + 0,1y . Dabei sind P" Pi und Pk die Preise der Güter i. l. kund y das zur Verfügung stehende Einkommen. Betrachten wir die Situation p, = 100, PI = 50, diese ausgewählte Elasnzftäten:

c, = 200 und y '" 2.000 und berechnen für

a) Direkte Preise!astizität der Nachfrage nach Gut i: = a Xi . Pi=_0 5 . 100 =-_0,5 . 100=_ 0,5 X" p, api xi ' 40- 0,5 ·100+ 0,2 · 50- 0,5 · 200 + 0,1 2.000 100

E

Wird also der Preis des Guts i um 1 % erhöht, so bewirkt dies (näherungsweise) eine Senkung der nachgetraglen Menge um 0,5 %. b) Kreuzpreiselastizitäten der Nachfrage nach Gut i: E ,

X,. PI

= ~. ~= 0, 2' ap- x J

'

50 = 0,1 100

Da die Nachfrage nach Gut i bei steigendem Preis von Gut j zunimmt, handelt es sich hier um Substitutionsgüter. E

X"Pl.,

= a Xi. Pk= -Q 5. 200=_ 1 aPk xi ' 100

Sinkende Nachfrage nach Gut i bei Preiserhöhung von Gut k bedeutet, dass beide Güter Komplementärgüter sind.

cl

Einkommenselastizität der Nachtrage nach Gut i: E

X,. Y

= ~ . 1..=- 0 1 . 2.000=- 2 a y Xi

'

100

Steigt das Einkommen um 1 % so hat dies eine Erhöhung der Nachtrage nach Gut i um (näherungsweise) 2 % zur Folge. tn ökonomischen Anwendun gen spielen sog . Co b b-Do uglas- Fu n kt io n e n ein e besonde re Holl e. Es hand elt sich hi erb ei um Fun kt ionen des Typs

y = f(x t ,

X l ' ' '' , Xn )

= a· x ~, . x 7'

- X~" ,

(l V .22 )

wobei a und b " h , h, reelle Konstanten sind . Besonderheit d ieser runk tto nsg,u" Expon ent der I-ren Vari able immer gleich der partiellen Hus tiruog ist es, dass der zitiit für diese Variable ist. Es gilt nämlich

248

IV Funktionen mehrerer Var iablen

oy

Xi

1>,

" , -I

= - -· -=h.·a , x j

aX

Y

j

-X l

\

h · X! l •

x,

. .x", !

.. .

(i V.23 J

Beispiel: Die Nachfrage nach einem Konsumgul sei durch xD =: f (p, Pa' Y) =: 100 . p~1.0 1. p~.85. yo,os beschrieben , wobei p der Preis de s Kon sumgules, Pa der Preis eines anderen Gutes und y da s zur Verfüg ung stehende Einkommen sind. Die partiellen Etasuzttäten könne n hier mittels (lV.23) einfach und schnell ermittelt werden. So ergeben sich die preisbezogenen Elasttz itäten zu 10 D

x

.p

aP-· -p= - 101 op P ,

=-

und die partielle Einko mme nselastizit ät zu t l> x ,y

oxD y

= - - ·- = 0,05. iJ y x O

3. Spezialt hema Produktlo nsfu nk tioncn Be i Pro d uktio nsfu nktio ne n handelt es sich um Fu n ktio ne n, d ie die produzie rte Menge x in Abh än gigke il von eine r ge wisse n Anza hl von Prod uküonsfukto re n 1'" . . . , 1', a ngeben. Wir besch ränke n uns im Folge nde n auf den Fall zweier I'rodu ktio nsfa ktorcn , d .h. x = 1'(1'" r,J. Die e rste n p artiellen Ab le itun ge n e ine r solche n Funktion he ige n parnette arenzprodutnuntaten oder Grenzcn räge und ge hen {nä henmgs we ise J an, wie sich d ie prod uzie rte ~It'n ge Ilnde rt, wenn sich ein e r der 1' 1'0 du ktio nsfak torcn be i Ko nstanz des anderen um eine Einhe it e rhöht oder ve rringert .

\'('ie wi r be reits geseh e n hab en , liefe rn uns Iso linien de rart iger Funktio ne n Kom bina tionen der ln putfuktoren, di e den gleiche n O utpu t liefe rn. Entlan g derartige r Kurve n ändert sich also trot z Fakt or va riatio n d ie abhängige veränderliche nicht , d.h . das tot ale DiOerenz ial der Funktio n ist gleich Null und wir e rhalten

ox

ox

- , d rl + - - · d rl =0

orJ

01'1

bzw. dr,

d r~

ox /" , =-a;::

or! '

(IV.24)

Dies e r Ausdruck h ilft un s be i der ue antwon ung folg ender Frage ste llung: Um w ieviel muss ma n Jen e ine n Produ kuo nsfuktor rJ ve rä nde rn , um bei Variation des a nde re n Fakt ors 1'1 wied e r den gle iche n O utput zu erz iden? \X'ir sprec he n bei 0\', 24) auch von de r sog. Grenzra te der technischen Subst i tutton des FaklOl's rJ durch de n Faktor r ,. Sie entsp richt dem umgekeh rten Ve rhältnis der Gren zp rod ukte .

2. Differenzialrechnung

249

Bei spiel : Gegeben sei eine Produktionsfunktion x(r1,r2) '" 2,Srlo,6r~· 4. Bestimmen wir die Grenzrate der Substitution zum Output x '" 10 und beantworten die Frage, wie man 1'2 verändern muss, wenn bei einem Einsatz von S Einheiten des Faktors fl dessen Einsatz um eine Einheit steigt, der Output x '" 10 aber konstant bleiben soll. Stellen wir x(rl, rz) bei x '" 10 nach fz um, so erhalten wir 10 '" 2, srt6r~,4

1'2°.4 ", 0,2sr,0.6

~

~

'a'" 32fl~ 1.5

und daraus dr2 = _48C 2.5 d r, " was an der Stelle 1'1 = S die konkrete Grenzrate der Substituition -0,86 liefert. Dieser Wert besagt, dass der Einsatz von re um 0,86 Einheiten sinken muss, um einen Output von x = 10 aufrechtzuerhalten. Für die partiellen Grenzprodukte gilt

~ = 1Sr--{l·4r O.4 "\ '1 2 o r,

und

Somit folgt nach (IV.24) d r2

dr = -

1, srl--{1,4r~,4

,

Bei

1'1 '"

rO,6 -o,6 r '2

S und ra '" 32 . S-I.5 '" 2,86 ergibt sich 1 5 ·S--{I,4 ·2860.4 , 20 , ' - - -'- - -0 86 SO,6 .2 ,86 --{1,6 - 1, 40 , ,

was mit der bereits ermittelten Grenzrate der Substitutio n übereinstimmt.

-

2.6 Extremwertbestimmung In Absch nitt IV 1.3 huben w ir bereits einen ers ten Blick auf Extrema von Funkrionon zweicr unabhängiger Variablen geworfen. Die d011 aufgeführte Definiten ist zwar eindeutig und a uch verallgeme tne rba r. jedoch zur konkreten Bestimmung von Extremwerten nich t zwec.. krnäßig . wtc bei Funktione n mit nur einer unabhängigen v erände rlichen bedienen wir uns dazu der Differe nztalrechnung bzw. konkret de r partiellen Ableitungen e iner zu untersuchenden Funktio n. ln diesem Abschnitt wollen wir zu nächst die Vorgehenswe»,c zur Bestimmung von Extrenia be i Funktionen des Typs y .. fIX " x .) darlegen . Im Anschluss daran be schäftig en wir uns mit der sog . ii xtremtrertbcsummung unter Xebonhedtugungen, d a d ie me iste n Oprimh-rungsproblernc in der Pra xis durch Restriktionen eingeschränkt s ind .

250

IV Funktionen mehrerer Variablen

2.6.1

Absolute Extremwerte

Ah n lich wie hci Fu n ktion e n mit e iner unabhängigen Variablen sin d auch he i Funktionen mit mehreren Veränderlichen notwendige und h inreichende Bed ing u nge n zu definieren, um die An und Lage der Extrema bestimmen zu können. 1. No twen d ige Bed ingu n gen Abbildung IV H zeigt zw ei Hiteh en y = fe x"~ x) mit e in em Maximum (links ) u nd einem Min imum (rechts). W'ie wi r uns leicht vorstell e n kön ne n, wi rd be i einem Extrempunkt die Fun ktio n y = f(x" x .) vo n ei ner Ta ngen tiale ben e . d ie parallel zur X,· x-Ebene liegen muss, in eben d ies em Pun kt berührt. Dies bedeute t, dass jede Gerad e in diese r Ta nge ntialebe ne horizontal verläuft und die Steig ung Null besitzt . Da gertau zwei sich schne ide nd e Geraden d ie Ebene e inde utig bestimm en , ist es fü r d ie Be stiuull un g des Extre mwe rte s a usre iche nd , von di esen Ge rad e n d ie beiden Tangenten .10 d ie Schnittkurven von y = f(x" x) in X L und xoRic h tu ng zu betrachten. Sie weisen eben fa lls e ine Steigung vo n Null auf, sodass bei einem Extremwert d ie ersten paniollen A blt'il l/ IIRCII in Richtung der XL u nd der x,-Achse gletcb Null sein müssen. Die se Be di ngung ist zwingend noucendtg fü r die Existe n z ei nes Extremums.

f' = 0 x,

" ,

y

y f' = 0

....lax -"

"

.'

f' = 0 , ~,

-'-

M in

.'

r "

--

= 0'

x,

,

--'x,

Abbildung IV H: Extremwert e mit ho rizontalen Tangenten Aus unseren Bet rac htu ngen könne n w ir also zus ammenfassen , da ss ein Pun kt tc , t'} ) eine r Funktion y = f(x" x) n u r dann ein Extre mp u n kt se in kann , wenn f~ ,

«x, t'} ) = 0

/\

( , tc .

t'} )

=0

(lV.2';)

g ilt. Erfüllt ein Pun kt rc. t'} ) die IW/lI'elwige Bedingung (l V,2S) für e in Extremum , sprechen wi r von e ine m sog. erutscten Punkt. Um also mög liche Extre mwerte b zw. k ritisch e Punkte e iner Punktion y '" f(x" x,) identifizieren 7.U könne n , ist die Lösung eines Gleichungssystems

25 1

2. Differenzialrechnung

nv.zs: f,' , ( x" x .,)=O erforderlich. Im Falle einer Funk tion y = f(x" "' , xJ mit n unahh ängtgen Variablen ergehen sich naturlieh au fgrund n e rster pa rtieller Ableitunge n n not we ndige Bed ing ungen bzw . ein Gleichungssystem mit n Gleic hunge n . Bei spiel : Bestimmen wir d ie kritischen Punkte der Funktion y = t(x" x2) = (4x, _ 1)2 - (x2 dem wir zunächst d ie ersten pa rtiellen Ableitungen der Funktion bilden :

-lf , in-

t; , = 2·( 4x, - 1)·4= 8·( 4x, - 1) t; 2 = - 2, (x2- 1) Anschließend werden diese Ableitungen gleich Null gesetzt und das resultierende Gleichungssystem ge löst:

,

t; I = O

-+ 8 · (4x, - 1) ", 0

+-+

x, ,,,0,25

f; 2"' 0

-+ - 2,{ x2 - 1)", 0

+-+

x2 =1

Wir erhalten den kritische n Punkt (0,25; 1).

2. Hinre ichende Bedingungen \X'urde e in kritischer Punkt e rmittelt, stelle n wir uns die f rage , ob an d ie~e r Stelk' auch tatsilrb lich ein Extrc m um vo rliegt und wen n j;l, o b e~ sich um e in Ma ximum ode r e in Minimum handelt. Abbild ung IV 9 ze igt anband zwcier Gegenbcisptcle, d;I .~S du rchaus Fläche npunkte existieren können, in denen d ie ers te n part ielle n Ableitungen gle ich Kuli sind , ohne dass Extrerna vorl iegen . lm sog. Sauetp unkt besitzt die Sch nittkurve in einer Richtung ein Minim um und in de r anderen ei n Maximum. Be im sog. parabottseben PI/llk' liegt in einer Richtung ein Maximum (oder auch Minimu m) vor, wohingegen in der anderen ke in Extre mwe rt existiert. Sattelpunkt

parabolischer Punkt

Abhild un g IV 9: Sattelpunkt und parabolischer Punkt

252

IV Funktionen mehrerer Variablen

\X'ie w ir wissen , entscheidet bei Funktionen einer unabhängigen variablen das Vorze ichen der zweiten Able itung über die Kr ümmu ng in e inem Pu nkt und damit über die An des Extre mum s . AllS ähnlichen Gründen gibt bei Fu nktio ne n mehrerer unabhängiger Veränderlicher das Vorzeichen des zwei/eil totalen Iuffe renrials (tut;L!es Differenzial zw eiter Ordnung) Auskunft über die Krü m m u ng . D tcsc s kön-

nen wir durch erneutes to tales Diffe re nzie re n des Diffe re nzia ls erste r Ordnu ng ermittel n. Für eine Funktion y = (x,. x) erhalten w ir aus totale Diffe renzial zu

dy = f~ .

· d x] +

r:, . dX 2

das zw eite

=(,x, · ( d X [ )2 +2f: ,x, · lIs t · dx l +f;,x, ·«([xl i . Dit'ses stellt in Abhänglgkcit vo n den Differe nziale n dx , und dx, eine quadrat ische Form dar. Be sitzt sie una bhängig von dx, und dx! dasselbe Vorze ichen, heigt sie definit. \'(-'ir nennen sie posttn- definit, we nn

- u; , < ,l > 0

und

r;,SL>0

l) ( x l , "'2) ==:(,,<, ' f;,s, -O;,\,)! < 0

und

( ,x, < 0

D( x l , x!) '=(,'< , . f;,s, gilt und m'Ra lil ' {((f ilii!, wenn

gilt, wobei der Ausdruck D(x J , x!) ,= f;,\ ,

.r;,l< , -
( IV.27)

t

unter dem Begriff Hesse'scbe netermtnate (zweiter O rd nu ng ) bekannt ist. (lV. 27) hilft uns ü ber d ie Art eines Extremums zu entscheiden . Sind d ie ersten Particllen Ableitungen in e inem Pu nkt ( 0. , Ö) gleich Null , d.h. erfüllt er die notwendigen Be d ing u ngen ( IV.2";) eines Extremums . bestimmt das Vorzeichen W)1l 1) ( 0. , t} ) zusammen mit dem Vorzek-hen der zweiten partiellen Ableitung s (0., t} ) an d !ese r Stelle die Art des Exrremurus. Ab h inreichende Beding ullgell fü r Extrerna resuh leren:

r; "

1)( 0. ,

Ö}> O

O( o.,Ö »O

A

f: ,S, (o.. Ö»O

--;0

rcl. Minimum hei

A

f: 1S, (0.. Ö) < O

--;0

rel. Maximum bet (o., Ö)

( 0., ß )

(IV.ZH)

Es ist hier zu ber öcks tcbugcn . dass bei 1)(0., ß ) > 0 und geltendem r;" , (0., ß ) > 0 natürlich auch r:.",(0., ß) > 0 gelten muss. Ist ])( 0., ß l > 0 und f: LX , (0., ß) < 0, gilt au tomatisch auch tS, rc , öi c O . Im Rahme n der "Regel" (IV.27 ) ist es daher ausreichend, nur eine der beiden (nicht gemisch ten ! zwe ite n partiellen Ahle itungen zu bet rach ten .

,

J:

N immt d ie llesse'scbe De terminan te e inen nich t positiven \\'1,' 11 an, g ih Fo lgen des. 1)( 0. , ß )

<0

--;0

Sat telpunkt an der Stelle

])( 0. , ß )

=0

--;0

ke ine Entschei d ung ohne weitere Rech nu ng mögl ich

( 0. , ß )

(]V.29l

Auf eine deta illierte Besc-hre ibun g der we iteren Rech n ung im Fall 1)( 0. , ß ) = 0 wollen wir hie r ve rzichten. \'<'ir verweisen dazu auf Cluang und W:.Iinw right (ZOO')).

253

2. Differenzialrechnung Gesamtbei spiel:

Bestimmen wir die Extremwerte und Sattelpunkte von y = f(x" x2) = 2x ~ - 18xjX2 + 9 x ~ . 1. Schrill : Bestimmung der ersten partiellen Ableitungen

f~, = 6x~ - 1 8x2

,

f~ = - 18x,+ 18x 2

2. Schrill : Ermittlung der kritischen Punkte aus einem Gleichungssystem nach (IV.25)

I:

I

f;, = 6 x ~ - 1 8 x2= 0 I

11: f; 2 = - 18x, + 18x2= 0 Aus Gleichung 11 ergibt sich x, = X2. Eingesetzt in Gleichung I folgt: 6x,2 - 18xl = 0

Xl ·( 6xl - 18) = 0

xl = 0

v

6x, -1 8 = 0

Xl = 0

v

xl = 3

Als kritische Punkte erhalten wir also (0; 0) und (3; 3). 3. Schrill : Bestimmung der zweiten partiellen Ableitungen f; x = 12xl

"

f;~ X2 = 18 f; ,x2 = - 18 4. Schritt: Ermittlung der Hesse'scben Determinante D(xl , x2) = f; ,x, . f; 2X2 - ( f;, x ~ )2 = 12x, ·18 - (_ 18)2 = 216x l - 324 5. Schrill : Prüfung auf Art der Extrema bzw. Sattelpunkte Kritischer Punkt (0; 0): 0(0 ; 0) = 216 -0 - 324 = - 324 <

0

~

Sattelpunkt bei (0; 0)

~

Minimum bei (3; 3)

Kritischer Punkt (3; 3): 0 (3;3) =216 ·3 - 324 =324

>

0

f;x (3;3) = 12·3 =36

>

0

"

2.6.2

Einbeziehen von Nebenbedingungen

Be i vielen ök onomischen Frageste llunge n macht ein e Extre mwe rtbestimmung er st un ter Nebenbedingunge n w irklich Sinn . So dürfte es klar sein, dass e in Unternehme r. der seine Kosten une ingeschrän kt minimie rt. sein absolutes Kosrerunin imum erreich t, wenn er nicht produziert, sein e Arbeite r e ntläss r lind sein Untern e hme n schüesr. Sinnvoll und für ihn von Interesse ist vielmehr e ine Koxtenminimic ru ng, die z.B. a uf ein bestimmtes r e rugungsprogramm unter Ausnu tzung vo rgege bener Ka pa zitäte n beschr änkt wird. Ein ähn liches Prob lem er gibt sich a uch be i der Gewinnmaximierung, da der Gewinn theore tisch unend lich ist. wenn vo n Prod ukte n

IV Funktionen mehrerer Variablen

254

mit posi tivem Deckungsbeitrag unendlich viele Stück ve rkau ft we rden . Auch hier sind es meis t technische , finanz ielle od e r absuzbcscb ränkcnde Nebenbedingun ge n. die bei de r Extrem we rt bestimm ung zu be rücksichtigen sind un d zu ein em sinnvollen Optuntc rungsproblcm führen . Die Extremwertbestimmung unter Nebenbedingungen zieh bei Funktionen mit zwei unabhä ngige n Veränderlichen darauf ab, für die Fun ktion y "" Kx., x .) e in Exrrcmu m zu finden, wo bei die Nebenbedin g ung gex,. x,J '" 0 e ingehalten we rde n soll . Die Funktion y '" f(x" x,) w ird in d iese m Zusa mm enhang auch als aelfuntatOll , die- unabhängigen Ver änderlichen x, und x, als tintscbetdungsra na bten und die Nebe nb edingung g (X " x.) '" (J als Restriktion be zeichnet. Die Menge a ller Fun kuon swertc. un ter we lchen de r Extre mwert zu suchen iSI , w ird als Iintscbcidnngsrau m bezeic hnet. Diese r wird durch die Restriktio n erngeschränk t. Beispiel : Betrachten wir eine Kostenfunktion K(r" r2) '" Pl rl + P2r2, die die Produktionskosten je Stück in Abhängigkeit von den Mengen rj und r2 zweier Produktionsfaktoren angibt, die einen Stückpreis von PI und P2 besitzen. Zudem liege die Produktionsfunktion x '" x(rl , r2) vor, bei der der Mindereinsatz eines Produktionsfaktors durch den Mehreinsatz des anderen Faktors ausgeglichen werden kann (sog. substitutionale Produktionsfunktion). Interessieren wir uns nun für die Mengen r; und r; , die bei einem Produktionsniveau von x '" o: Stück minimale Stückkosten liefern , stehen wir vor der Aufgabe das Minimum von K(r" r2) unter der Nebenbedingung x(r" r2) '" a (bzw. x(r" r2) - u '" 0) zu bestimmen. Grafisch können wir uns die Lösung dieses Problems mittels der nachfolgenden Abbildung veranschaulichen. In dieser ist die Restriktion x(rj , r2) '" c abgebildet, die nichts anderes als eine Isolinie (Isoquante) ist, die alle Faktorkombinationen beschreibt, die den gleichen Output x '" c erbringen. Die Kostenfunktion mit den Stückkosten K als Parameter beschreibt im n -rs-Syetem eine Schar paralleler Geraden (Isolinien), wobei auf einer Geraden mit K '" l( alle Faktorkombinationen liegen, die die gleichen Kosten l( verursachen. Um den Output x '" a zu erzielen muss eine Faktorkombination auf der Isoquanten gewählt werden (eingeschränkter Entscheidungsraum). Die zugehörigen minimalen Kosten ergebe n sich, in dem wir eine Kostenparallele durch diesen Punkt legen. Die Faktorkom bination , die die geringsten Kosten bei x '" a verursacht liegt, also gerade in dem Punkt, in dem die Kostengerade die Isolinie der Produktionslunktion tangiert.

255

2. Differenzialrechnung

Restriktio ne n müssen nicht in Gleichungsform vorhegen. Sie können durchaus auch in Ungle ich ungsform spe zifizie rt sein . Da in vielen öko no mische n Prob lemen negative 'x 'c rte de r Entsch eid un gsvariab le n nicht sinn voll sind (z. B. bei I'rod uktio nsmc nge n ), treffe n wir häufig au f Xichtnegaticitdtsheding tcngen de r F011ll x, ~ 0 und x, ~ O. Ge nau genommen hätten w ir also im vorhergehenden Be ispiel auch derartige Ntclunegattvttätsbedtngungen fü r die Faktorkomb inat ionen formulieren müssen . Im f olge nde n wolle n wir uns auf die Be ha ndlung von Nebenbedingungen in Form von Gle ich ungen und Zielfunktionen de s Typs y '" f<.x " x,) beschränken und zwei Methoden der Exrre ruwcrtbe sümmung unter Nebenbedingungen vors tellen, die Fa riab lens ubstitution und d ie Lagrange-vtetbode. 1. Variablensubstitulion Be i diesem Verfahren wird d ie Nebenbedingung g( x" x .) '" 0 nach e iner Variablen aufgel öst und in die Zielfunktion y = ((x" x , ) eingesetzt. Dad urch wird eine Entscheidu ngsvariable el iminiert und d ie Zielfunktion auf ei ne Fun ktio n mit nur ei ne r unabhängtgen v eränderlichen red uzie rt. Für d iese ist dann ei ne e infache Extre mwertbestimmung m it den bisher be handelten Methoden möglich. Beispiel : Das folgende Maximierungsproblem sei zu lösen (u.d.N.: "unter der Nebenbedingung"): Max.

y =f (x"x2 ) =x"x2

u.d. N.

2x,+x2 =1 0

1. Schrill : Umformung der Resfriktion In diesem Fall empfiehlt sich eine Auflösung der Nebenbedingung nach X2. x2 ", 10- 2x, 2. Schrill : Einsetzen in Zielfunktion y = f(x 10 -2x, ) = x, · (10- 2x,) = 1OX l -2x ~ " 3. Schrill : Bildung der benötigten Ableitungen der neuen Zielfunktion

f (Xl ) = 10X I -2x ~ f'(x ,) = 10 - 4x , f' (x, ) =--4 4. Schritt: Extremwertbestimmung f'(X1)= 0

--t

10 - 4x 1 = 0

f'( 2,5) = --4 < 0

H

x, = 2,5

Maximum bei x, = 2,5

--t

5. Schrill : Ermilliung des zugehörigen Werts der anderen Variablen --t

Maximun bei (2,5; 5)

256

IV Funktionen mehrerer Var iablen

2. I.agrange -Melhode Die Lagrunge-Methode besagt , dass die Extrema einer Fu n ktio n y = f(x,. x) unter der Nebenbedingung g( x,. x,l = () an den Stellen liegen, an denen d ie l.ag rtllJg ('Funtnton L( x l • Xl' )" ) =!Ü 1• X 2)± A·g(X I • Xl)

(IV ,30l

ihre Extre mw e rt e ann immt. Der Fakto r A. wird als lap,rall}!,/!-Jl//llip lika l or be zeichnet und stellt eine zusätzliche Variable dar. Er gib t an , wie sic h der Zielfunktionswe n ändert . wenn die Nebeobedtngung um ei ne Einheit angezogen oder gelockert wird . Die Lagrange- Methode gestaltet es abo, e ine durch eine Nebenbedingung eingeschränkte Extremwertbestimmung auf eine uneingeschränkte Exrremwe rtbesummung e iner Funktion zurückzuführen , d ie allerdings als zusätzliche veränderliche A bestrar . Voraussetzung für d ie Anwendung der Lagrange-Methode ist dabei, daxs die Nebe nbedingung in Gleichungsform mit rech ter Seite gle ich Null vorliegt, d.h. g(x l' x) = () sein muss. E.~ sp ielt ke ine Ho lle , o b w ir di e Nebenbedingung in (IV.30) mit "+" o der "- " mit der Zielfunktion verknüpfen , da die Kehe nheJingung ja KuH ist. Zur Be stimmu ng der Extremwerte der Fun ktio n I.(x " x" t..) mit jetzt drei un abhäng ige n v eränderucben müssen wiederum d ie e rsten part iellen Ableitu ngen Null gese tzt we rd e n (1IOfwelldip,e Bedillp,1/ 1/gel/):

L~,

OL = a

"

=f~,(X ]!Xl)± t.. ·g:\(Xl 'X!)~() (1\'.3 1)

Oie letz te Bed ing u ng ist da bei gerade die u rsprüngliche Nebenbecttngung. t ttnretcbcnde BedhlJ!, lInJ!,en ließen sic h analog zu Absch nitt IV 2,6,1 aufst ellen. Da sich dabei be i einer Fu nktio n mit drei unabhängigen veränderlichen jedoch eine He sse ' sehe De ter minan te d ritter Ordnung ergeben würde , zu deren Verständnis die Grundlagen der Linearen Algebra rvgl . Ka pitel VI) bekannt sein müssten , werden wi r uns im Fo lge nde n auf die Beuuctuung der notwendigen Bedingu ngen be schränken . lxt der Typ des Extre m ums dennoch von Inte resse , kann d ieser durch Untersuchung e iniger Pun kte in der Umgebung eines kr itischen Pun ktes be stlmrru werden. Lie ge n d ie Umgebungspunkte un ter halb des kritisch e n Pun ktes, lieg t ein Maxirnum vor. Ein Minim um ist hingegen gegeben, wenn d ie Umgebungspunkte über dem k ritischen Pu nkt a ngesiedelt sind . Bei spiel : Die Nutzenfunktion eines Haushaltes lautet U(Xl , X2) = 2X1 X2. Oie Preise der Güter 1 und 2, die in den Mengen Xl und X2 konsumiert werden , sind Px, = 3 Euro und PX = 2 Euro . Dem 2 Haushalt steht zum Kons um der beiden Güter ein Einkommen von 60 Euro zur Verfügung . Bestimmen wir die nutzenmaximalen Nachfragemengen Xl und X2. 1. Schrill : Bestimmung der Nebenbedingung g(x 1, x2) =: 3x 1+ 2x2

=:

60

2. Differenzia lrechnung

257

2. Schritt: Herstellung der Nebenbedingungsform g(XI , X2) '=' 0: g(x" x2 ) '" 3x 1+ 2x 2 - 60 '" 0 3. Schritt: Aufstellen der Laqranqe-Funkttcn : L(x " x2, J...),=, 2 x, x2 -J... ·( 3x,+ 2x2 - 60) 4. Schritt : Ermittlung der kritische n Punkte der Lagrange -Funktion

,

I:

L~ , ,=,2x 2 - J... ·3 ,=,0

11:

L~2 ,=,2x , - J... . 2 ,=, 0

111 :

L~

,

I

.:::: - (3x, + 2x2 - 60) ,=,0

Aus Gleichung 11 ergibt sich Xl '=' Ä. Einsetzen in Gleichung I liefert :

Einsetzen in Gleichung 111 ergibt: 3 X,+2 ' (%' X, ) - 60'='O

t--+

x j ",1 0

Wir erhallen damit den kritischen Punkt (10; 15). Der dazugehörige Funktionswert liegt bei U(10; 15) '=' 2 ·1 0 ·15 = 300.

Bilde n wir d ie partielle Able itung der Lagrange-Funktion ( IV.30) nach g(x " x,) , so erhalten wir Ä=

± d r.( X I ,

Xl' A ) .

dg( X I ,

x2 )

(l V.32 )

Darun erkennt man , dass der Lagrunge-M ultiplikato r A a ls Änderungsrate der Lagrange-Funktion L(x" x" Ä) bei infinitesima ler Variation d er Nebenbedingung grx , x} zu interpretieren isl. Ko n kret gibt e r a n, um wieviel sich der Fun ktio nswe rt lr x., x" Al näherungsweise ände rt, wenn g(x " x) um e ine Einheit steigt/fälll. Da I. un d f autgrund vun grx, x,) = 0 gleich xind , ha t A für die Funktion f die gleiche Bed e utu ng w ie für d ie Fu n ktio n L. Da aofgrund der Voraussetzu ng g( x" x.) .. 0 auch dg '" 0 g ilt, ist das totale Differenzial der Lagr.rngcfunktion I. gleich dem der urprüngltcben Fu nk tio n f, d.h. es gilt

.u,

=

df

Ändert sich d ie Nebenbedtnguog um a, hat d ies folgend e Auswirkung auf die Lagrange-Funktion: [.{x l ' X l '

Al = f(x l , x2 ) ± Ä · lg ( x l , x 2Ha ]

Für d ie in fi nit esimale Änd e rung von I. in Ab h;ingig keit von a erg ibt sich wegen des Differenzialquotienten d l. / da .. i A d l. .. ±A . da .. df

(lV.33)

IV Funktionen meh rere r Variablen

258

Eine infin itesimale Änderung der Nebenbe ding ung um a ba t also di ... >--f
tesi mal e durch endliche Änderungen , sind wir in der Lage, d ie Änderu ng .M des Fu nktionswerts bei Änderung der Nebenbedingung um ß a anzunähern . Da bei müsse n wir jedoch beachten, dass die Ann ä he ru ng nur in der t'\ähe des optimalen Pu nktes hinreichend gerrau ist. Wie wir bereits bei der Inte rp re tation des Diffe ren zials gesehen haben, wird der Fe hle r raurser bei linearen Fu n ktio ne n ) urnxo größer, je wei ter wir uns \ '011 diesem Optimum e ntfernen . Beispiel: Greifen wir noch einmal auf unser vorhergehen des Nutzenfunktionsbeispiel zu. Dor gilt

I.. = 10 , da I.. = x.. Nehmen wir nun an, der Haushalt wird in die Lage versetz t für die beiden

Güter 5 Euro mehr aufzuwenden. Die Konstante aus der Nebenbedingung steigt also um e a = 5. Zusammen mit dem Laqran qe-Multiplikator können wir nun die Änderung des Nutzenma ximums über LlU == A · öa annähern. Wir erhalten LlU == 10 · 5 = 50 . Das Nutzenma ximum steigt also von 300 auf näherungsweise 350.

Sind für ein e Funkt io n y '"' f(x" x" .. ., xn ) die Extrema unter mehreren tcebe nhedtux" ..., x") = 0, g,(x" x" "" x") = 0, .. ., gm(x " x" ... , x o ) = 0 gesucht, kann ebenfalls d ie Lagran ge-Me thode herangezogen werden. In diesem Fall wird für jed e Nebenbedingung. die wie de r in FOl1l1 einer Gle ichung mit rechter Seite gleich Null vorl iegen muss, e in e ige ne r l.agtunge-Multiphkator 1.." "-" ... , A," definiert. Die Lagran ge- Funkt ton hat dann das Au .~sehe n gUllgel/ g ,(x"

L(x 1, x ~ , ..., x" ' "- I ' 1..2 , .. . , Am ) = f( x J , X2' . .. , X" )

±

L m

"- i • gi(X J ,

x 2 ' .. , x " J,

i"' l

m Variablen x" x" .. ., x" plus "-.. "-" für die Existe nz e ines Extremu ms sind wieder e rste pa rtielle Ableitungen von Null, woraus sich folgendes Gle tch ungssysrem ergibt: ist also e ine Funk tio n m it den insgesamt n +

..., "-m'Notwendig

dL of '" og ' -=-+ L> --'=0 oX oXi - ''''I ' oXi

für j = 1, 2, ... . n

j

dL

d,,- =±g,(X 1,X 2 , ···, x n )=O

,

für i = 1,2, ..., m

\\-'ir erh alte n als o n + rn Gleichungen für d ie n + rn Unbekannten. Die letzten Gleichungen ernsprechen da be i wieder den Nebenbed ingungen. Das Gleichungssystem h;11 Ld.H. eine oder mehrere Lö su nge n, die Extre ma der Zielfunktion sein können. Da unter Umständ e n recht komplizierte und auch n ich tlineare Gle ichungssysteme entstehen können , müssen w ir uns in der Prax is häu fig der EDV zur Best immu ng der kritisch e n Pun kte bed ienen . Die Entscheidung über An des Extremums erfolgt über e ine He sse's ch e De te rm inan te höherer Ordnung bzw. durch ü mge bu ogsuntersuchung.

3.

Aufgaben

Partielle Able itungen, partielle lind tot ale Differen ziale Aufgabe IV- I Bilde n Sie d ie ersten partiellen Ableitungen fo lgend er Fun ktion en :

x2J= c x,x, -x! .I n x,

a)

(( XI '

bl

f( x l , X 2)=X ~ '

c)

[( X I' X2 l : x.JC· X I mit ce konx tan t

d)

f( x l ,x 2J=x ] ·! nx 2 · e x,.x,

,

z

X I - Xl

xl ·j;:; n

.

Xl

f( x l • x ,)= ~

- 1 -

In x 1

F:

x ,) = ~ ~X 2

Xl -

xl

1

+ - -x2 + I

h ) f( Xt ,X 2)= (X l - x 2 )2 ·]n(x i - 2x2 ) i)

I', X l ' x2 • X' .'I ) - ' X l ( X2

x ·" " ,\)= -

•

X .'I ) ' + X3 ' X( I - ' _X)" 2

-

Xl ' X 2 ' Xl

x ,\ .

+ X2 + X.'I

l)

f( X I ,X 2 , X .'1)= O, 1. x ;l!;' X ~·6 .x ~·7

m)

[( X I'

x2 • x 3 ) =

I"

( Xl

+ " , X 2 + b~X .i -«, / mit ;." bi, c; = konstant

i= l

'<" " , ", x )=c - ,,-,.

"

xn) =

L" i,x; i: 1

260

IV Funktionen mehrerer Variablen A ufgabe IV-2

Ge ben Sie näheruogswetse an , wie sich die Funktion y = x,x,x, verändert . wenn bei X I = x, = x , = I ;l )

d ie Variable

X L um

0,01 ahninunt!

b ) alle Variablen um 0,0 1 e rhöh t werden'

Vergleichen Sie d ie Näherungswerte mit der t.nsächhchcn Punküo nsänderung! Partielle Elustlzftären A ufgabe IV·3

ßesrimm en Sie die ' x'erte der part iellen Hastixitätcn für y = ( ( X l ' Xz) = x ie !( ~ l-~ ' I arn Pun kt 0 ; 2) und i nterp ret ieren Sie die E rge l m is.~ c! Aufgabe JV·4 Gegeben sei folgende Produktionsfunknon vom Cobb-Douglus- Typ: Y = .1' La . Kß . B 1- n - ß Dabei sind Y der Output, I., K, B d ie Produktionsfaktoren Arbei t, Kap ital und Bo den und a, u , J3 Ko nstan te n .

Bere chne n Sie d ie partiellen Produkuo nsela snz üütc n der 3 Produktio nsfukto re n! Aufgabe IV-5

Gegeben xei folgende Nachfragefunknon nach Gut x: x =a .p ~(X .p~ . ya Dabei sind P, un d P, die Preise der Güter x und z und y das Einko mme n. Die Parameter a. c , ß und Ö stellen positive Konsta nte n dar. Bere chnen Sie die pa rtielle n elas uzhilt!

I' reis el a st i zi t ~i t e l1

der Nachfrage und die Einkomme ns-

Ex trem w ertbe stim m u ng

Besch rän ke n Sie sich be i den Aufg aben m it Nebenbedingungen auf d ie Auswe rtung der no twe ndige n Bed ing ung. Aufgabe 1V-6

De r Student A!ois Pe ch m uss unbedingt seinen Ke nntnisstand in Mathematik und Statistik verbessern , um die kommenden Klausure n e rfolgreich zu bestehen . Nun ist se in \,\' isse nssta nd \X' (gemessen in Wi.~ se n sci n h ci te n \Xl: ) e ine Funktion I. de r Anzah l t der h is zur Prüfung au fgewende ten Lerntage (zu je H l.emstunden I und

2. der Me nge m (in Gramm: der von ihm konsumierten 'c'undcrctroge "Placebologtca", die ihm d ie be kannte Asrrologtn ll ub e rta Stussler em pfohlen ha t.

3. Aufgaben

26 1

Der Zusammenhang kann beschrieben we rden durch d ie l.ernfunküun \'('(m ,1) \'('(m, t ) = I()O+ 12m+I Ot - ü, 5m 2 - O,2 5t 2

mit

m.t z o

jeder Lerntag kos te t Alois 100 Euro (denn sov iel könnte er andernfalls als Aushilfs-

kraft im Fast-Food-Rextuura m McDago hert verdienen ); die wunderdrege kostet pro Gramm 150 Euro . a) \,\-'ie lange soll Alo is lernen, und welche Dos ierung der \'('unde rd roge soll er wählen , dam it se in \X"isse n.~st a n d in Mathematik/Statistik ma ximal wird~ h ) \X'ie soll Alois Lern zeit und Wunderdroge kombinieren, we nn e r insgesamt 3.000 Euro au fwe nden will~ c) Mun ermittle in a) und b ) die Hö he des max imalen Wisse nsst;lndes sowie den dafür erforderlichen finanziellen Aufwun d und komrnenriere das Erge bnis!

Aufgabe IV-7 Die Nutze nfunknon eines Ha usha ltes se i gegeben durch U(x ,z) = xO'.:\ ' / ),7 . Die Preise der Gü ter x und z seien P, '" 10 Euro und P, '" 20 Euro . Das für Ko nsumzwec ke zur Verfügung stehende Einko mm e n y be trage 1O .0()0 Euro. Be re chne n Sie die nutze nma ximale n Nachfragemengen nach Gut x und z! Aufgabe 1V-8 Ein Unternehmen stellt 2 Produkte

XL

C (X I ,X 2)

und x, her . Die Koste nfunktio n lautet

,

= x t + x 2 +x i +

, xi ·

Aufgrund von Kapaznär sb csch ränkungc n können tngesamt max imal 1.000 Einheiten prod uzie rt werden. \'( 'ie viele Pro d ukte x, und x, werden im Kostenm inimum hergeste llt? Aufgabe IV-9 Die Nutzenfunktion e ines Hau shaltes se i gegehen durch U(x ,z) =

(X

-Ir nx I + {l -

(X) .

lnfz ) ,

wobe i u e ine Ko nstante ist. Bere ch ne n Sie die nutzc nmaxirn alc n Nachfragemengen nach Gut x und z! Aufgabe IV-lO Ein Ko nsume nt ha t die Nutzenfunktion U(x ,z)= 2xz+ IOz . De r Preis des Gu tes x lx-t rägt 40 Em u , das Gut z kos tet 20 Euro . De r Konsu me nt be ab sic htigt, 1.000 Euro für bc ide Gü ter auszugehen. Be re chne n Sie die nu tzenmaximierenden Gütermengen!

262

IV Funktionen meh rere r Var iablen

Aufgabe IV-l I Eine Familie plant ihre Ausgaben . Sie wollen sich e in Ha us kaufen und gehen den Rest für Ko nsu mg üte r aus. D ie Ausgaben dafü r sollen mit h bzw. c hczeiclmet werden . Das Familie ne inkommen h et riigt y; zusätzlich steht ei n l k tr:lg z aus e ine r Erbschaft zur Verfügung. Die Nutzenfunktion LI der Familie lautet Ut h.c) =

c Jn(h)+ ß -Inf c} ,

wobei a und ß positive Kon stant en sind un d u + ß a 1 gilt. Be rech nen Sie die ou tzenmax imalen Ausgab en für hund c u nd int erp retieren Sie Jas Ergebnis ökonomisch' A u fgabe IV-12

Einem Unternehmen steh t für Werbemuteria l ein Budget von 400.000 Eu ro zur Ver-

füg ung. Dieses soll für den Druck von Flyern (xl und Kata loge n (y) verwendet werden. De r Umsa tz dieses Unternehmens ist von den Ausgabe n x und y abhängig und kann durch folgende Funktio n besch riebe n werden : R(x , y ) =

30x

3 + O,OO;$x

20'" + -;-:-~ ' :c;-

2 + O. 002y

(Angabe n in Tausend Euro )

De r Unter nehmensgewinn entspricht 10 % des Umsatze s, wovon die Ausgaben x un d y allerdings noch abzuzieh en sind. Es gilt he rauszu finden , welche Beträge x und y ausgegeben we rden sollten, um ein en max imalen Gewinn zu erz ielen! Aufga be IV· 13

\'('el che

(x.y l-Ko mbiruuio ne n

lösen Jas folgende Minuuierung-problemi Mm ;$xy 1I.d.N. x! + y! = B

Stellen Sie die Minima unter den kritischen Punkte n d urch Untersuchung der Funktionswerte fest! Au fgabe lV- t4

Ein Untern e hme n produz iert zwe i Prod ukte Absatz- Funktionen laute n-:

X,

un d

X,.

Die da zu gehörigen Pre is-

Prod u kt l : p( Xl) = 3.000 - Sx, Prod u kt 1: p( x!)=4.500- lOx 1 lm Rahme n der Produktionsplu nung wu rde folge nde Koste nfunktio n festge stellt, we lche von den Prod uktio nsme nge n (in Tausend kgJ beider Prod ukte abhä ngt: C(x l • x! ) = - J5x 1x! + 3.700 x l + 3.400x! + ;.noo ln diesem Zusammenhang sind folgende Frage stel lunge n zu be antwort e n:

a) W'ie viele kg müssen von jedem Produkt zu welchem Pre is hergestellt und abgesetzt we rde n, um den Gew inn zu ruaxlmlcrc nv 'X'ie hoch ist dieser Gewinn? b ) \Xre k he Ausw irkungen ha t es a uf den Gewinn und die gewtn nmaxtmalen Me nge n, wenn die Fixkoste n der Prod uktion l"ntfallt:n?

V

I NTE GRALRE CHNUN G

Thema dieses Kapitels ist die Umkehroperation zur Differenziation, die Integ ration. Liegt die erste Ableitung vor, so können wir durch Integrati on die ursprüngliche Funktion bis auf eine additive Konstante bestimmen. Wir sprechen bei dieser "unvollständigen" Funktion auch vom unbestimmten Integral. Das sog. bestimmte Integral werden wir als Werkzeug zur Berechnung von Flächen kennenlernen. Sind die Grenzen eines solchen Integrals unendlic h, sprec hen wir von einem uneigentlichen Integral.

Für einige elementare Funktionen kennen wir die Integrale. Für komplexere Funktionen werden wir eine Reihe von Inlegrationsregeln behandeln, die das Ziel verfolgen, eine Funktion $0 geschickt umzuformen, dass ihr Integral auf bekannte Integrale zurückgefüh rt werden kann. Vielfach ist es jedoc h nicht möglich , Integrale in Form einer Funktion darzustelle n. In solchen Fällen sind wir qezwu ngen , auf nume rische Integrationsverfahren zurückzugreifen. Von den zahlreichen dazu gehörenden Verfah ren wollen wir im Rahme n dieses Grundkurses lediglich die Rechtecks- und die Trapezintegration vorstellen.

1•

Begriff und Integrationstechnik

Nach Klärung des Begriffs des unbestimmten Integrals werden wir uns in diesem Abschnitt spezieller (nicht-numerischer) Integrationstechniken widmen , die uns schließlich im Rahmen von Flächenberechnung en über bestimmte und uneigentliehe Integrale nützliche Dienste erweisen werde n. Wir werden dabei feststellen, dass diese nicht so schematisch angewe ndet werden können , wie z.B. die Differenziationsregeln. Numerische Integrationsverfahren werden erst in Abschnitt V 2 im Zusammenhang mit ökonom ischen Anwendu ngen der Integralrechnung behandelt .

-

1.1 Allgem eines Wie wir im Rahmen unserer bis he r beha nde lten Themen tv. a. in Kapitel Il be reits gese he n haben , gibt es für nah ezu jede ma thema tische Operanon e ine sog, Um kehroperatlon, die d ie \X'irkung der Operation wieder aufhebt. Typische Be isp iele dafür sind di e Fo lge nde n :

O perat io n/llmkeh ro per:ltion Addit ion Multiplikation Pou- nzte rc n Expo nie re n

llmkehroperation /O per:lti(Jn Subtrak tion Divisio n Rad izie re n (W'urzelziehenJ Logar ithm ieren

Auc h für die Diffe re nziatio n e xistiert ein e Umkeh ro pe ratio n. d ie d ie \X'irkung de s Diffi'rcllz ia!0!Jcra/ ors d /dx wied er a ufh e bt, d.h . a us der ers ten Ablei tung d ie ursprüngucbe Funktion e rze ugt. Sie wird als Inte g ratlou be zeichne t. Die O perauen des Integrie re n .~ wird du rch das lnte gralze tche n J beschrieben. welches stets m it der Variab le angegebe n wird, nach de r integriert werden soll . Um anzuze igen, dass analog zur Diffe re ntiation d/dx e in Grenzü bergang auf infinitesima le Gröü en dx vollzogen w ird, wird d ie Integraüo nsvorsch nft als J f(x) dx angeben , wo he i fex) die zu integrier en de Funktio n ist.

-

1.2 Unbestimmtes Integral Keimten wir an, d ie ers te Ableitu ng einer unbeka nnten d tfferenr ierbarcn Funktio n F{x) sei f(x). \X'ir bet rac hte n also die Ausgan gssttuaüon

d nx ) dx

- - = F'( xJ = f( x).

(V.1)

266

V Integralrechnung \\'i r In teressteren uns n un für diejen ige Fu nk t io n Ff x}, d ie differenziert [(x) ergi bt .

Erfüllt eine Funktio n H x ) diese Bed ing un g bzw . (V.1), so IH:,H~I sie Stammfunktion von ffx) . Erfüllt allerdings F<x) (V.1) , gilt dies a uch für f{ x ) = F(x)+ c, da ~ d-,(,F(::x:.: · ):.:+:.:c::.:) =(F< x )+c). , .. = F( x )=f( x) fü r c

,"

e

konstant .

(V.2)

Es lassen sich also durch Hinzufüge n von beliebigen additive n Ko nstante n c zu einer Stammfunktion F(x ) he lit' big viele weitere Funktion e n finde n, die (V.1) genügen, da die Ko ns tan te c beim Diff e re nziere n wegfallt. "('ir sehen also, dass d ie gesuc hte Funktio n nich t eindeutig ist. Vielmehr exist iert ei ne unendliche Schar derartiger Fu nk tio nen. Di e n meuonsscbar F(x) + c. deren einzelne Fu n ktio nen sich nur durch d ie Ko nstante c un tersch eiden , heif~! das unbestimmte Integral der stetigen Funktion ((xl, fall s F'( x ) =- ft x 1 gil t. Wi r schreiben f f( x ) d x =- F( x l+ c ,

.v.»

wobe i J'(x l d ie Stammfuntrtton von l"ex l un d c ei ne b elieb ige Ko nstant e ist. I n d iesem Zusam menhang w ird die Fun k tion [(x) als Integ ra nd, d ie Var iabl e x als tntogmtionsrariable u nd d ie Konst an te c als öncgra uonseonstante beze ichnet . Gertau genommen ist d ie Schreibweise (V .3 ) n ic ht ganz korrek t, da das unbestimmte I ntegral eine :\lenge \"(111 Fu nk tio nen darste ll t und n ich t einen bestimmten ncp räsen tunten d ieser Me nge . ])a :\ Ii ss v e rst ~ n d nis se allerdings kaum vo rk ommen, wollen wir hier aus Grü nd en der b equemen Handhab u ng tro tzd em bei dieser Schreibw eise bl ei ben . D ie Ermittlung de r summfunknon F(x ) bzw . d er Schar Ft x) + c aus einer gege be nen Funktio n f(x) be zeichcn w ir als de n Vorga ng des t ntogrierens. \X'i r be an tworten damit die Frage, w elc he Fu nkt ion en F(x) + c differenz iert den gegebenen I ntegran den « x) ergeben . Ergebnis d er Int egration ist das unbestimm te Int egral.

Beispiel: Die erste Ableitung einer Funktion sei t(x) '" z x. Es gibt nun eine ganze Schar von Funktlcnen, die diese Bedingung erfüllen. Dazu gehören beispielsweise Z Z F,(x) '" xZ F'2(X) '" X + 1 F'3{X ) '" x + 2 Alle diese Funktionen ergeben dif ferenziert den vorgegebenen Integranden f(x) '" 2x. Die dazu gehörige Funktion ist also nicht eindeutig. Das unbestimmte Integral der Funktion f(x) ergibt sich daher als

I n diesem Bei sp iel war d as un besti mm te Int egral d er gege benen Fu nk tio n f( x) rech t einfach zu bestimm en. Bei komplexeren Funktionen sin d dagegen spezielle tme gratto osregeln anzuwenden , auf di e w ir im Folgen den näher eingehen .

267

1. Begriff und Integrationstechnik

-

1.3 Technik des Integrierens Das Integ rie re n läuft im Vergleich zum Diffe re nzie re n nich t ganz so schemat isch ab . Es erfordert e ine gu te Kenntnis elementarer Funktionen und ihrer Ablei tungen, sowie viel Übung lind Erfa hrung. Grundstein ist die Ke nntnis einiger wich tiger Grundintegrale. da die in diesem Abschnirt behandelten Integ ratio nsregeln Funktionen auf diese Gru n dintegrale zurückführen und so auch die Integ rat io n zusamme ngesetzte r Funktio ne n ermögl ichen . Zu den wicht igsten Grundintegralen zählen {vA) bis (v.6). Der Be we is für ihre Richtig ke it kann le icht durch Differenzieren der Stammfu nktionen e rbracht werden .

f

xn d x = _ I_ . xn+l + c für n +1

{VAl

11 :1- - 1

(V5)

f

e{x=e+c 'I '

(V.6)

Bei spiel e zu (V.4) :

1.

Jx5 dx = ~ . x6 + C

2.

L~

3.

J~ dx = Jxi dX = ~ 'X! + C = ~ ' ~ + C

4.

f Jx dX=JX-1 dX=2 ' X1 + C= 2../X +C

., 1 2 dx =j x- dx = - 1 X +c= - -+c

x

Neben diesen Grundlmegralen sind in verei nzelt en Lehrbüchern und Nachschlagewe rken weitere e infache Inte gra le tabelliert, die in den Wirtsch afts wLssen sch;lfte n eine Rolle spielen. Einen umfassenden ÜhelNick über mehrere Hun de rt unbestimmte Inte grale bieten etwa Bro nste in lind Scmcndiajcw (1997 ) in ihre m Tasche nbuch der .... futhcmatik . Darin sind LU . auch folgende Inte grale enthalten:

fa" dx=~+c In a

Jln x d x e x -ln x

c

für a > ()

(V.7)

x e c für x c- O

( V.81

dx= ..!..e,x+h +c a

f

(;I ' X+ b ln d x =

I ' (a ' x + h)n+l + c ;I·(n +1)

(V.91

für n e c- t

(V .101

268

V Integralrechnung

---,- dx =..!. . In la . x + 1~ + c f-a -xc.eb a 1

f_"-cex

x h dx = - - , ·ln l;l · x + bl + c a xe b :I .e

.v. 11) (V .12)

v

Im Fo lgen de n wollen w ir versch iedene Re geln diskutie ren , mit de ren Hilfe wir ein gegebenes In tegra l auf Grundintegrale zurliekführen kö nnen. Es sei jedoch h erei ts an dieser Stelle angemerkt , Jass dies nicht immer möglich ist. Es g ibt nämlich zahlreiche Funktio ne n, deren Integra le nich t mehr du rch e le me ntare Funktion e n darstellbar xind, und es gibt Funktio ne n, deren un best imm te Integ rale überhaupt nicht mehr in geschlossener Fo rm , y.h. als For me l. existieren. Dies tritt z.B. schon bei so einfachen Funktio ne n wie e" oder l / lnx auf, d ie nur näherungsweise intcgric rbar sind (vgl. Ahsd m itt V 2.5). 1. Konstanter-faktor-Regel

Ein ko nsta nte r Fakt or a kann vor das 11l1eg r..11 gezogen werden. J a -ft x ) d x =a · J f( x ) dx

(V.13l

Bei sp iele: 1.

J 3 dX= J 3 xO dx e

a. J xO dx e

2.

f-s«'

3.

dx "" .!.. fx-1 f~ 2v x 2

4.

J~ dx = 5· J~ dx = 5. lnl xl+c

5.

Jln x3 dx = J 3 .ln x dx = 3 · J ln x dx = 3 (x .Inx xj e c

f4

axe c

3 5+C dx e c-S . x dX= -3 · 1 X5 + c=- "5x

S

dx = .!.. 2xi + c 2

"" .JX e c

c

2. Sum men re get Da s Inte g r al ein er Funktio nssumme en ts pr icht der Summe der H nze linteg rulc . J [f( x l + g ( Xl + ...ld x = J I"(x) d x + J g ( x ) d x + ...

( V. 14 )

Beispi ele:

1.

K2X3 _1 -~) dX "" [2 ' J x3 dX] + [ -1 . J xO dX ] + [ - 2 . J~ dX] = O,5X4 - x - 2 . lnlxl + c Wie wir hier sehen, wird im Falle einer Funktionssumme die Integrationskonstant e, die eigentlich mehrfach auftreten würde, zu einer Konstante c zusammengefasst.

2.

x ( e _

x~+ ~)dx = [ JeX dX ] + [ -1 . J x- 2 dXJ+ [ 2 . J x-+ dx] =eX +~+~ . ~ + c

269

1. Begriff und Integrationstechnik 3.

f t- ln x + 3 e2H4 )dx =( -1 · flnxdx J + ( 3 · fe2x+4dxJ = - (x In x - x) + 3 ·(0, 5· e 2x+4 ) e c = - x In x + x + 1,5 ·e 2X+4 + c

\'<'ie wi r an diesen ersten be id e n lntcg ranonsrc geln erkennen können , we rden ko nstante Fakto re n und Summen h zw . Differe nzen von Fu n ktio ne n w ie be im Diffe re nzieren ganz schemat isch be rücksi cht igt . Auch für d ie Pro d uk t- un d die Ke tte n rege l existieren äquivalente Re ge ln der Inte gratio n (partielle Inte g ratio n und Integ ration durch Substitut ion), wobei di ese je doch eher Um fo rmun ge n als Rechenvo rsch rifte n dars tellen. Ein Äquh':dent zur Q uoti e n te nre gel e xistie rt nicht. 3, Partielle Integrati on Interessteren wir um für das un bestim mte Integral e ines Prod u ktes zwe ier Fun ktionen, kö n ne n wir dieses durch partiel le tme grauou bestimmen. Die hinter der partiellen Integra tio n steckende Regel können wir able iten, in dem wir zunächst die Prod uktrege l der Diffe re n ziatio n .:: ,-):c ) = ,"', x'g ) ( x ) + '"(x )'gx) '( -d.:.U:c(::.x;.-)"-,",-'x clx

bet rachten , Integ rie re n wir beide Gleichungsseiten erhalten wir na ch Umfo rmu ng

f" ,

) . g( X» d x I ( x ) · g ( x ) t! x = f d (tü ;dx

f'

f(x )·g(x ) d x .

Be r ücksieb ugen wir d ie Integ ratio nsko nstan te dl's ersten Inte grals auf der rechten Gle ichu ngsseite im zweiten Integral der rechten Sei te , erhalten wir daraus die a llgemeint' Rl'gei z u r pantctten Integ ration f f( x ) . g'(x ) dx= f( x) 'g(x)- f n X) . g( X) ,

(V .15)

die gilt, wenn fex) und g(x ) stetige Ableitu nge n be sitze n, Diese Abh:ilUngsregel sieht auf den ersten Blick rech t ko m plizie rt aus. Zudem ist im Erge bn Ls wieder e in Integ ra l enthalten , was wenig Sinn zu machen scheint. Voneil einer solchen Regel ist es a ber, dass das neu entstehe nde Integ r.Jl manchmal e infacher zu bestimmen ist (ü her Crundimegrale) als das ursprüngliche Integ ra l. Zur Umsetzung empfieh lt es s ich , von den be id e n vorliegenden Fu n ktio ne n, deren Produkt integrie rt werden soll , d ieie nige als g'(x) zu wählen, d ie It:ichtt'r Integriert werden kann . Beispiel:

fx4 -ln x dx 4

Der erste Faktor x dieses Funktionsproduktes ist einfacher zu integrieren, sodass dieser als g'(x) gewählt wird. Nach dieser Wahl können wir folgende Berechnungen anstellen, wobei wir die Integralionskonslant e c zunächst vernachlässigen können: f(x ) =lnx

->

g'(x ) == x 4

->

f'{x ) = ..:!. x ,5 g(, ) . -

5

270

V Integral rechnung Eingesetzt in (V.15) erhalt en wir damit:

i~ n x . x

5 4 dx = In x "s x -

f1 -; "5 5

5

x dx = ln x "sx -

f''5

X

4

x5 x5 dx = In x·- - - + c

5

25

Gibt es keine eindeutigen Hin weise auf e ine bestimmte \'('a l1 l, sollte zun ächst mit einer Varian te gerechnet und sich für die Alte rnative en tsch ieden werden, wenn man hc! d e r e rsten Varian te nich t we iterkommt. Ein Varian tenwechsel empfiehlt sich auch , wenn die "e infache re" Variante nicht zur Lösung führt , d.h . Jas neu en tstehende Inte gral auf der rechten Se ile von (V.15) sogar noch komplizierter wird als das ursprüngliche Integ ra l. Beispiel :

f X.2X dx Variante 1:

f(xl = 2 x

f'( x) = 2 x · ln 2

g'(x ) = x

g(X) = ..!. x 2 2

f2'

. x d x -_ 2'

f

"'2, X 2 -

f'

1 x 2 dx =2 x ' '2 1 x 2 -2 In2 ' 2 . x 2 dx 2 x .ln 2 '"2

Durch die hier durchgeführte partielle Integration erhöht sich der Komplexitätsgrad. Wir sind daher zu einem Variantenwechsel gezwungen. Variante 2:

f(xl :=

X

-'J

f'( x) == 1

2'

f '

g(x) = '02

2' x 2 dx = x . ~

I

2~

x ·2~

t

t .~ d x = ~ - ~ .

I

2~ dx

x · 2~ 1 2~ x ·2 x 2~ = - - - - · - + c := - - - - - + c In2 In2 In2 In2 (In2)2

Eine Partielle Inte gratio n kann auch mehrfach hintereinander durchgeführt werden, d.h. auf das In teg ral der rech ten Seite von (V. I) ) wiederholt angewendet werden, bis sich ein e infach zu ir ucgrfercnder Ausdruck ergibt. In Variante 1 des vorhergehenden Be ispiels können wir dies nicht durchführen, da sich dadurch d ie Koruplexirär des Integra ls erneut erhöhen würde und wir nie einen einfach zu in te grie re nden Ausdruck erhalten. Beispiel :

f~ · ex . ~ dx Es empfiehlt sich stets bei Produkten, die scheinbar aus mehr als zwei Faktoren zu bestehen scheinen, eine Umformung auf nur zwei Faktoren zu versuchen. Wir erhalten hier:

1. Begriff und Integrationstechnik

f~ · ex . ~ dx :=

f xL xL ex dx

271

e

f x 2 . e X dx

Eine erste partielle Integration dieses vereinfachten Ausdrucks liefert: f( xl := x 2

~

f'( x) := 2x

g'(x ) := e X ~

g(xl := e X

Jx 2 . e X dx = x 2 ·e x _ f 2x . e X dx =x 2 · e x _2 · f x . e x dx Für das neu entstehende (einfachere) Integral können wir nun erneut eine partielle Integration vornehmen: f x . e x dx f(xl := x

-t

f'(x) := 1

g'(x ) := e X

-t

g{x l := e X

Die Zusammenführung beider Ergebnisse liefert: Jx 2 . e x ox == x 2 · e x - 2 · (x · e x _ eX) + c == x 2 · e x - 2 x · e x _ 2· e x + c == e X. (x 2- 2x- 2)+ c [0 e inigen Fällen kann es auch von Vorte il sein , pa rtiell zu integ rieren , we nn ursp rünglich ke in Prod ukt zwe tcr Fun ktionen vorhegt . Als zwe ite r Faktor ko mmt nämlich imm e r d ie lek'ht zu inte grie re nde Funktion I in Frage .

Beispiel: Wir können Formel (v. a) wie folgt herleiten: Jln x dx '" JH n x dx

=..x!.

f( xl == Inx

f'(x )

g'(x ) == 1

g(x) := X

f ln x dx := x In x -

f~ · X dx := x . ln x - x + c

für x > 0

4 . In tegra tio n durch Sub s titut to n Zur Able itung ei ne r zusammengesetzten Funktion wird im Ra hme n de r Konenrege l die inn ere Funktion su bstituiert. so dass wir aus y == f(g< x )) mit z = g(x) eine von der Strukt ur he r vereinfachte Funkti on mit der neuen Veränderlichen z erh alten . Die Integra tion durch Substitu tion wende t gena u das gleiche Prinzip an . Durch Vurtablensubs muuon w ird hier versucht . ein e zusammengesetzte Funktio n so we it zu vere infachen, bis sie au f be kannte Inte grale zurückgeführt ist.

272

V Integralrechnung

Ko nkre t wird be i der Integrat ion du rch substturuon e tn Inte g ral des

Ty p.~

JH g( x ) . g'(x ) UX

durch die Substitution z

=::

g(x ) auf das Integral

f f( Z) dz zurückgeführt. da das Diffe re nzial der ncuen Variable d z = g'( x j dx lautet. Beispiel :

IJx 3

2 - 1. 3x dX

1. Schritt: Substitution JJZ . 3XZ dX

z = x3 _ 1 --+

2. Schritt: Ermittlung von dx z =x 3 _ 1

--+

z' ", dz =3x 2 H dx

dX = ~ . dZ ax

3. Schritt: Zusammenführung und Integration dz fJZ dz =3.. z~ +c =3. & fJZ ·3 x2 ._'3x 2 3 3 =::

»c

4. Schritt: Resubstil ul ion

IJx3 - 1· 3xz d x =~ . J(x3 _ 1)3 «c In diesem ers ten Beispie l entsprach der Integran d genuu de r in de r Re ge l defin ierten f o rm, d.h. e ine r der Faktoren des Inte gra nde n war ge na u die Ableitung der inneren Fun ktio n des a nd e re n Fak to rs. Das nac hfolgen de Ik isp id ze igt, d:ISS d iese Form je do ch nicht imme r exakt vorhegen muss, um d ie Substitutions regel anwenden zu können.

Beispiele: 1.

f ex2 . x dx

1. Schritt : Substitution f eZ' X dX

2. Schritt : Ermittlung von dx

z : x2

--'t

z, :dZ : 2x

d,

3 . Schritt: Zusammenführung und Integration

1 z 2" dz: '2. e +c fe' , x' 2x, dz fez e

1. Begriff und Integrationstechnik

273

4. Schritt : Resubstitutlon

I

e

xl

1

. x dX = '2 . e

Xl

-s c

W'ie d it' nac hfolge nde n Beispiele zetgen, können wir m it l fil(e d er Suhstituuonsregel die integrale wichtiger runtatonen her/ei/eil. \X/ir erkennen bei diesen Herleitu ngen außerdem, dass es ZUIll Te il notwendig ist, vor e iner Vanablensubsutuuon d ie Fun ktio n geschickt umzuformen . was viel Erfahrung VOf:.luSseIZI. Bei spiele : 1, Herfettunq von (V.7):

faxdx = Je1na'

dx = Je x'lna dx

1. Schritt:

z = x .lna

~

f eZ dx

2. Schri ritt:

z e x . Ina

~

dz Ina z' =-=

3. Schrill :

e I"

4. Schrill :

f ax

d,

H

,

dx e c-c-v dz Ina

"

,dz = - · e + c Ina In a

dx = _'_ .e X .ina -e c = - '-· a" e c In a

In a

2. Herleitung von (V.9): f ea'X+b dx

1. Schritt:

z =a >+b

2. Schritt :

z =a >+ b

~

~

feZdx d, d,

z =-= a

3. Schritt :

f

4. Schritt :

f ea X+b dx = ~ ea x+b + c

,

<->

dx = - ·dz

<->

dx = - ·dz

a

e Z · -1 dz = -1 · e Z -e c

a

a

3, Herleil ung von (V,10):

J(a , x + b)n dx 1. Schritt :

z e a . >+ b

~

Jzn dx

2. Schritt

z = a >+ b

~

z' = -d' =a

3. Schritt

I

4. Schritt:

d,

Zn ' ]. dZ = 1 .z"...,+c a a · (n +1)

,

(n+ 1)·( a

,

a

274

V Integralrechnung 4,

Herleitung von (V.11):

I- -' - d, a.x e b

1. Schritt :

z =a Hb

~

2. Schritt:

Z = 3'

, +b

~

3. Schritt : 4. Schritt:

HdX ,

dz

Z =-= 3

d,

Iz" a a, I-'- dx ,

t-7

,

dx =- ·dz

a

- ·_ ·dz = - .Inlzl+ c =-. Inla . x + bj + c a

a. x e b

Die Fo nn e in (V.9 ), (V.I O) und ( Vc l l ) sind spezielle Ausprägungen ei ne r a llge meinen Integrationsrege l. d ie sich aus der Inte gratio n durch Subs titution erg ibt. Sie besagt, Jass im Falle linearer Substitution imme r

I

r(
x + h j dx =..!. . F(a· x + h )+c

( V . 16 )

"

gilt, wo bei a und b beliebige Ko nstanten sind . (V.l l) ist angerdem e ine spezielle

Auspräg ung von

I

X) , -"" , --ux j( x )

I' 1

= 1n I( x ) + C

lV. I7)

,

was sich ebenfalls m it Hilfe der Integration d urch Substitution herle iten t issL

-

1.4 Bestimmtes Integral Nehmen wir an , w ir inte ressie re n uns bei einer im Inte rva ll u :::; x :s: b stl,tigen Funktio n Y.. f(x) für den Inhalt der Fläche F..., d ie zw ischen der Kurve un d der Abszisse über dem Inte rvall [a, b] ei ngeschlosse n wird (vgl . Abbild ung V 0. y

y = f( x )

/

, ,

,,,,, ,~

, , , , , , , ,, , ,,, ,, ,

,

,

/

F,

, , , , , ,,, , , , , , , , , ,,, ,,,,,,,, a Abbild ung V 1: Fläche unter e iner Kurve

b

x

1. Begriff und Integrationstechnik

275

Die gesuchte Fläche F", können wir nähe rungswe ise bere chn en , inde m wir das Inter vall [a, b) durch d ie Teilpu nkte a '" x, < x, < Xl ' < X....1 < x" '" b in Teilintervalle [a, b] = [a = Xo , Xl I U [XI' x 2 ) U . .. U (x n_l ' Xn = b] aufteilen und die Fliid le übe r dem i-te n Teilinte rvall [Xi_I,X ;1 jew eils durch ein Re chte ck mit de r Höhe Ha) und der Breite .1.\ '" x, - x...1 a p p rox buierc n. c , ist da bei ein willkürlich gewählter Wert im Inte rvall x..., S; c , S; x" Abbild ung V 2 ve ransc haulicht diese vorgchenswe tsc für den F:L1I, dass alle c , genau in der .\ Iine de r Tei linte rvalle liegen und Teilintervalle gleich .... r Grörs.... gewäh lt wurden. y

y = f( x )

-.

/

(( aj)

..

... Xj_l

xu - u a j x l a 2 X2

/1 ··

·· ·· · · ".

... Xn _ l

Xj

· · ···· ···

""

h", Xn

x

Abbildung V 2: kccbtecksapproxtm arton Die Summe der ei nzelnen Rechtecksfl äch e n bzw. de r Nähe rungswe rt für unsere Fliiche F... ha t also die Form

I~,h e I

o

f( (Xi ) ' .1.x ; .

;=1

Wie man a nband Abbildu ng V 2 erk enn t, wird die Approx imation des Fläche ninha ltes gc nauer, je mehr sich die Fe hler de r Approx imat ion (grau gefärbte Flächen) gegenseitig aufb eben oder je kleine r d ie Fehle rfl äch e n sind. Letzte res kann d urch schmalere Rech tecke, d.h . durch kleine re Teilintervalle und dam it durch eine Erhöhung ihre r Anza hl erreicht we rde n . Lassen wir die Zah l der Teilin te rvalle gegen une ndlich un d damit die Intervallbrette .1.x, geg en Null streben, entspricht de r Grenzwert der Rechtecksumm e de r gesuchten Fläche:

l~h = !im

I

Ax, -+l l ; =(

fj (Xi ) . ill. ;

Den Grenzwe rt F.~ bezeichnen wir als bestim m tes Integral der ste tigen Funktion y - ffx) über dem Interval l [a, b l un d schreiben _

h

";,h = ...~i,I2lI) I f( (Xi)·.1.X; = J f( x ) d x, i =l

"

wobei a und b die tlllle re hzw. obere I ntegrationsg renze sind.

lV.IR)

276

V Integralrechnung

(V. IB) ist in dieser Form zur Flächenberechnung jedoc h noch nicht so nderl ich hilfreich , da noch die .\lüglich kcil fehlt, das unbe stimmte Integra l (a us c r über den Gre nzwert) zu berechnen . Der sog . Hauptsatz der In tegralr echn u ng schafft h ier Abhilfe, da er den Zusammen hang zw ische n unbestimmte m und bestimmtem Inte gral hers tel l! und damit einen \X'e g aufzeigt, d as bestimmte Integ ra l m it Hilfe der Stammfu n ktion zu berechnen. Betrachte n wir dazu e ine auf dem Inte rval l [a, b] iruegrle rhare Funktio n das Integral

f( t) ,

für die

,

Ir(t ) dl = i'~ x

den Flächeninh alt un te r de r Ku rve

nu

im Inte rvall [a , x] a ng ibt Ivgl. Abbild un g

V 3) . Der Flächen inhalt ist nun von d er h ier als variabel anzusehenden oberen

Intcgrauo nsgren zc abhäng ig und daher e ine Funktio n von x . y

y = f(( )

::;::;:;:;:; ..

x

b

Abbild un g V 3: Fläche ninhalt bei va riabl er Inte gratio nsgre nze Leiten wir die Funktio n F,,(x ) nach x bzw. das Integral nach sein er Obe rgre nze ab , gilt nach dem Ha uptsatz der Integralrechnung

,

I·~x ( x j = ~ [ fU h It = f f x }. UX

"

Da d ie Inte gration nun nicht s anderes als die Um ke hrope ratio n zur Differe nzie rung ist, entspricht das bestimmte Integral I',,(x) der Stammfunktion F< x) des Integranden « x) plus ein er tme g rat tc nsko nsta r ue c, d .h. es gilt

,

t~x ( x ) = Setze n wir x

=

f fO h lt = F( xH c.

u, ist die FUche un ter de r Kurve im Inte rva ll [a, u] gle ich Null lind

,

f f(t) d \ = 0 = n a H c.

,

277

1. Begriff und Integ rationstechnik

Daraus folgt c

=

-Ha). Wir e rhalten dam it

,

f fü h lt = Fe x ) - Fra ) . Diese wichtige Be zie hung zw ischen bestimmte m und unbestimmtem Integ ral können wir als zent rale A ussag e des f{tl t/PISll IZI'S d er tntegralrccb nung wie folgt zusammenfassen: De r \,\'e rt des be stimmte n Inte grals ist gle ich dem \'\'e rt der Stam mfunktio n des Integra nde n an der oberen minus dem \'\ '1.'11 der Stammfunkt ion an der un teren Inte g rationsgre nze .

"ff( x ) dx = [ F( X )]~ = J'( b ) - Fe a )

(V.19)

Die Schr eibweise [ F(x)]~ bedeutet dabei d ie Differenz der Funktionswerte der Stammfunkt ion an der o be ren und der unieren Grenze. Aus (V.19) folgt unmiuelba r, dass bei gle ichen Integrationsgre nze n das bestimmte Integ r..rl immer den \'\'ert xuu annimmt.

,

f f ( x ) dx = [F( x )1:: =

,

F( a ) -

(V .20)

Fe a ) = 0

Außerdem gilt, dass sich durch Vertauschen de r tntcg ratton sgrc n zc n d;IS Vorz ei-

chen des Integ ra ls umkehrt . h

,

f lh ) dx=- f f< X) d x

(V .21 )

h

~

Unse re bisherige Be trachtung ging implizit davo n ;IUS , dass d it.' he rrachten- stetige Funktio n fex) im Inte rva ll [n, b ] stets oberhalb der x-Achse verläuft, d.h. fex) > 0 in [a, b] gilt. Kur in eine m solchen Fall ist (V. ll) pOSitil' und gibt d irekt die Fläche an, die zwischen der Funktio nskurve und der x-Achsc im Inte rvall [n, b] be gre nzt wird. Verläu ft die Funktio n jedoch unterhal b der x-Achse, d.h . gilt fe x) < 0 in [a, b], liefert (V.19) eine n negatnvn W'e n , der erst a ls Absolutbetrag zur Angab e des rlnchcnmhaltes verwendet werden kann rvgl. Abbildung V 4). y

y

= re x )

y

/ L~ a

Fah

, ,, , , ,,,,,, • b

I'~ h

Ir(x

=" ,

)

dx

"

x

= "Ire x ) ,

dx

b

J JJlv'

x

= re x )

/

Abbildung V 4: Bestimmte Integ ra le und Fläche n

278

V Integralrechnung

Beisp iel : Berechnen wir die Fläche, die zwisch en der Gera den y = f{x) = 2x + 1 und der x-Achse im Intervall [2; 6] eingeschlossen wird. Da hier die Funktion !(x) im betrachteten Zahlenbe reich stets oberhalb der x-Achse verläuft , ist keine "Betrags-Betrachtung" erforderlich. Wir können die Fläche (in Flächeneinheilen FE) also angeben als

2

6

6

F :6 = J(2X+ 1) dx 2

=[ x l + x+c J2= [ 62 + 6+c ] - [ 22 +2 +c J=36 FE. .

[F( x)l~

.

F(6)

.

F(2)

Wie zu erkennen ist, fällt die Integrations konstant e c im Verlauf der Berechnungen weg, wir können also im Rahmen bestimmter Integ rale generell auf ihre Angabe verzichten.

Die .\lüglichh'it negativer bestimmte r Integrale ist besonders dann zu beachten , we nn der Integrand im Integra tio nsinte rva ll se in Vorzeichen we chselt bzw. dort ein e oder me hre re Nullstelle n besitzt. Oie e ntsprechenden pos itiven Flächen (ü be r der Abszisse ) und nega tiven Plache n ( unte r der Abszisse) heben sich nämlich gegenseitig au f, wenn w ir übe r die Nullstelle n hinweg integrie re n . Um d ie ko rrekte Fbche zu best immen, gilt es, das lnte grauo nsinte rvull unharid der Nullstellen des Integra nde n zu zerlegen un d d ie Funktion ubschninsw c ise unter Be rücksichtig ung not wen d iger Absolutbet räge zu inte grie re n. Beisp iel : Bestimmen wir die Fläche A, die die Funktion y '" f{x} '" i - 3x + 1 im Intervall [-2,5; 2,5] mit der x-Achse einsc hließt. Würden wir dazu einfach das bestimmte Integ ral 21 (X3 _ 3X+ 1} dX = [ X: _ 3; 2 + x] 2.5 = 2,89 - (- 2,11)= 5,00 - 2.5

-2,5

berechnen, würden wir einen Fehler mach en, da die Funktion im Integrationsintervall mehr ere Vorzeich enwechsel vollzi eht (vgl. nachfolg ende Skizze). Es ist also eine "Aufleilung des Integrals" an de n Nullstellen der Funktion und eine "Betrags-Betrachtu ng" notwendig, um zu vermeiden, dass sich positive und negative Fläch en gegen seitig aufhe ben.

y Nullste llen der Funktion : X, = - 1, 88

x2 = 0,35 x3 = 1,53 - 2,5

:~

: :. :: ; -

2,5

n

~

27 9

1. Begriff und Integ rationstec hnik

Anhand des Graphenverlaufs und der vorli egen den Nullstellen können wir die gesuchte Fläche A durch folgende Teilin tegrale bestimmen:

f

- 1.88

A=

- 2,5

1,53

4

a

2,5

(x3 - 3x + 1) dx + f (x3 - 3 X+ 1) dX+ I (x3 - 3X+ 1) dX

- 1.88

= x4 _ 3~ + x

[

I

0.35

(x3 - 3x + 1) dx +

0,35

1,53

]-1.88 + [x44_3~+ a ]0 .35 + [X4_3;+x a ]1.53 [ 4 z ],.5 x + x4 _3~+ x - 2,5

4

- 1.88

0,35

1,53

= 10, 46 FE v erläuft e ine stetige Funk tio n fex) in einem Intervall [a, bl ste ts überha lb der Funktion g(x ) oder ist m it ihr ide ntisch , d .h. gilt fex ) ~ g( x), so gilt

o 0 I Hx ) d x ~ I g( X) d x

..

und wir können die Flüche , die in diesem Inte rvall [a, h] zw ischen den be iden Funktionen e inges ch loss en wird , als h

0

I: h = I H x ) dx - I g( X) d x

(V.22)

berech nen tvgl. Abbild ung V';) , Im Falle fe x) $; g(x) würde eine dera ttge Be rec h-

nu ng zu ei ne m negativen \'('el1 führen, sodass zur Plach e nangabe wieder e ine Berrags btldung erforderlich wäre . Alte rnativ ka nn in (V.22) na tür lich a uch die Reihe nfolge der Fun ktio ne n vertausch t we rden , um ein en postivc n \'('el1 zu erhalten.

y

~••••••.•

:: ,--

:: :::: .:: :- : :>-

7 j ,, a

y = g( x )

·,,, ·,, ··, , b

y = f< x )

x

Abbild un g V 5: Flächen zw ischen Funktione n Beispiel: Welche Fläche wird von den Funktionen l (x) = x2 und g(x) = x3 in einem abgeschlossenen Intervall begrenzt. das du rch die Schnitt -/Berührpun kte beider Funktionen definiert ist?

n

~

280

V Integral rechnung

1. Berechnung der Intervallgrenzen: An den Schnitt-Berührpunkten beider Funktionen sind die Funkttonswerte gleich , d .h. x 2 ""x 3

H

x3 _x 2 = O

x 2 , (x _ 1) = O

H

xeD

H

v

xef.

Grafisch zeigt sich folgendes Bild :

y

,, ,, ,

2 '

y =x

2.

, ,,,

",

, "

x

Berech nung der Fläche über das best imm te Integral:

Fa:, =

1

1

1

1

1

o

0

0

0

0

ff(X) dX- J9(X)dX= fx2 dX-

Jx3 dX = [~ x3 ]

1

- [{ x4J 0

'" (0,3 3 - 0 )- (0, 25 - 0) = 0,08 FE \'fit.' wi r a n den bish e rige n Re che n be lspie le n erkennen können , scheinen die im Rah me n un bestimmter Inte grale behandelte n tnteg ranonsrcg eln auch für hcxtimmte

I nt eg rale Gültigkeit zu besi tzen . \\;-'ir wollen d icM' Beobachtu ng nun konk retisieren;

•

Die Konstanter-Faktar-Rcgei gilt weiterhin: h

h

f k . f( x ) d x = k . f f< X) UX

•

Die summen reget hk'i lll eht:nf:llls erhalten. h

h

h

J lf( x ) + g(x)] dx = J f( x ) dx + J g ( X) dx Beispiel: 2

2

J x-1 + 2 dx = J x- 1 dx +

,

,

2

J2dx = [ln l xIJ~ + [2xl~ = 0, 69 + 2 = 2,69 ,

1. Begriff und Integrationstechnik

•

281

Auch d ie Ix ll1ielle tntegraüo nsrcg el bk' iht uneingeschränkt gü ltig: I,

.,

J n X) . g'(x) dx = [f< x ) . g(x)l:' - J n X) ' g< x) d x Hie rbe i ist zu beachten . dass in das Prod ukt f(x ) . g(x ) e benfalls di e Integratio nsgre n ze n e ingesetzt u nd entsprechende Diffe re n ze n gebild et werden . Beispiel :

,

JX. ln x dx 2

f(xl ", In x

f'(x) =..!. x

g'(x) '" x

9(Xl ", ..!.x 2 2

IxI n x dx = [ln x .~x2J: - j~.~ x2 dx = [l n x ~x2]: -[~ x2J:

2

2

=

•

[11,09 - 1,39] -[4 - 1] = 6,7

Im Falle einer t ntegranan du rcö suoatunton gib t es zwei xt ög hch ke ncn der Be re ch n ung des bestimmt e n Integra ls. Es müsse n en tweder d ie Inte gratio nsgrenzen mirt ran sfo r miert
J f(g(x » . g'<X) dx

w ird zunächst die Substitu tion z = g( x) vo rgenommen . Zusätzl ich mü ssen die lmegra uo nsgre n zc n x .. a und x .. h auf z .. g(a ) und z .. gib) tran slormiert werden. Es ergibt sich also das ne ue Inte gral

'

Ir

h

(g(x)) ' g( x)

dx =

f'n;

,

e

2

dx '"

('I. )

Xl" l

Beisp iel : e

Ir

x(h l

f · ~n x

,

dx

1. Schritt: Substitution

z =g(x) ", 2 ·lnx

~

dz =

[r ]'"'' H z ) xla l

= f( g ( b )) - f( g (a )) .

282

V Integralrechnung

2. Schrill : Ermittlung von dx

z e z -lnx

-+

z' = dz : ~

dx

x

3. Schritt: Berechnung der neuen Integ ra!ionsg renzen

Q(1) = 2 · ln1= O

9(e) = 2 ·lo e =2

4. Schritt: Aufstellen und Berechnen des neuen Integrals 2

f~ ·% dz

2 e

o

2] J O.52 dz =[ 0,252 : = 1

0

Es werden also im letzte n Schrill die Ergebnisse aus den Schrillen 2 und 3 in jenes vo n Sch ritt 1 eing eset zt. Eine Res ubstilution ist dann nicht erforderlich .

f all 2: Auf e ine Transformation der Inte gratio nsgre n ze n kann verzichtet werd en , we n n d ie Sranunfu nk tion mit Hilfe d e s Sub srnut tonsvertah rens e rm ittelt u nd in diese die ursprünglichen tnte granonsg re nze n e inge se tzt werde n. Beispiel :

jln;2dx

,

Wir ignorieren zunächst im Verlauf des Substilutionsverfahrens die Inlegrationsgrenzen, da wir dieses lediglich zur Bestimmung der Stammfunktion nutzen . Erst im letzten Schritt kommen die Integrationsgrenzen wieder ins Spiel. 1. Schritt: Substitution z ",g( x) = 2 ·ln x

J~ dX

-)

2. Schritt: Ermittlung von dx z =2 .ln x

--)

z· = dz =~ dx

x

3. Schrill: Zusammenführung und Integration

f~ ' % dZ =

2 JO,5Z dZ = O,25Z + C

4. Schritt : Aesubstitution und Berechnu ng des unbestimmten Integrals ,

J' n:

,

-

2

dX = [O,25

( 2. ln X)2 + c]~ ", (1+ c )- (O+ cl= 1

1.5 Uneigentliches Integral Integ ra le, bei denen ein e ode r bcide Integ ra tio nsg re nze n une nd lich we rden ode r be i denen der Integ ra nd im rme grano nsberetch ge gen un endlich strebt, we rde n als uue lgentl tche Int e gr ale bezeichnet . \'X 'ir wollen uns im Rah me n d ie se s Gru nd kur-

283

1. Begriff und Integrationstechnik

ses nur kurz mit une igentl ichcn Integra le n befassen, deren Grenzen gegen une ndlich streben . Solche können wir als ei nfache verullgememcrung des be stimmt e n Integrals (V .IH ) auffassen : Für etn e im gesamten Inte grationsinte rvall stet ige Funktio n f{x) gilt unter der Voraussetzung, dass der Gre nzwe rt extsuen . _

h

f

f( x ) d x = lim f f( x ) d x . h--->_

(V.23 )

Unter den gleichen Voraussetzungen gilt dann natürlich auch

f

h

und für e in beliebiges

"

ft x ) dx = , ~::, f f< X) dx

CE R.

_

f

(V .24)

I'

~

f( x ) dx = tim f f(x) dx + lim ,,--->_

0--->_

fre X) dx .

,

(V.2,)

Beispiel : _

b

b

[

]

f~ dX = b--->_ lim[- -,] = lim (- -'){-1) =b --->_ üm [-"!' +1J=O+ 1= 1 f ~x2 dX = b lim --->_ x2 X 1 b---> _ b b

,

,

2.

Okonomische Anwendungen

Die Integration wird in den Wirtschaftswissenschaften meist angewendet, um vom Grenzverhallen ökonomischer Funktionen auf die Funktion selbst zu schlie ßen. Neben dieser unmittelbar aus der Definiten der Integration als Umkehrop eralion der Differenziation ableitbaren Anwendung , die 2.B. im Kontext von Kosten -, Umsatz - und Gewinnfunk· tionen relevant ist, wollen wir uns in diesem Abschnitt mit den Themen Produzenl en- und

Konsumentenrente, Kapilalstock und Investitionen sowie ausgewählten Themen der Wahrscheinlichkeitsrechnung widmen. Im Zusammenhang mit l etzteren werden wir die Rechtecks- und Trapezinlegralion als Verfahren der numerischen Integration näher beleuchten.

-

2.1 Kosten-, Umsatz- und Gewinnfunktion \'('1(.: wir wissen, liefe rt d ie erste Abl e itung ei ner Kosten fu n k tion C( x) d ie G rcnxkosren funknon C'( xj. Int eg rie ren wir die Grenzkostenfunktion C'(x ), so können w ir je-

doch nur au f die varia blen Koste n C,,(x ) schli cHen, d a die fixen Koste n C, ia im ZUI-\c der Ablei tung weggefallen waren . Sind ne ben der Grenzkostenfunktion C'(x ) die fi xen Kos ten CI bek an nt , können w ir die tnteg rauonsko nstan te durch diese er-

setzen u nd d ie Koste nfu n ktio n C(x l damit als Cr x i

e

(v.26)

f c'( x ) d x = C,.( X) + C r

ermitteln.

Beispiel : Die Grenzkosten funktio n eines Unternehm ens lautet C'{x) 0: 4x3 + x. Unabhängig von der produzierten Menge fallen in diesem Unternehmen Kosten in Höhe von 1.000 Euro an. Die Kosle nfunktion lautet damit

C(x) := I (4x3 +x ) dx :=x 4 + O,5 x 2 + !EQg . C: (X)

Cf

Auc h fü r den Sch luss von der Grenzerlösfunktio n Wb; ) a uf die Umsatzfunktion) Rfx) kann die lme g ralrech n ung herangezogen we rd e n. Es gilt I{( x ) = I R'( X) dx ,

wo bei die In teg rauonskon stame ... hier d en \X't:rt Null annimmt.

(V .27)

286

V Integralrechnung

Beispiel : Die Grenzerlösfunklio n eines Unternehmens lautet R'(x) '" 2x + 1, W ir erhalten daraus die Erlös funklion

A(x) '" f (2X+ 1) dx '" )( 2 + X .

Liegen Grcn zgewtnn funktto n) G'(x) und fi xe Kosten C,

VOf,

kann die Gew i n n -

funkti on G(x» ermittelt werden als G(x)= f G '( X) dx =

In,< x) dx -- f c'( X) dx ,

(V .Z8)

w obe i für die dabei entstehende Integ rati o nsk o nsta nte t ' '" -C, gilt. Inte re ssieren wir uns fü r die lJeckllllRsbd/ mg'ifilll kfio1/ [X x}, können w ir analog vorgehen, wobei

w ir jedoch die Integrationskon stant e

C ..

0 setzen.

Beispiel : 3 Aus de r Grenzgewinnfun klio n G'(x) '" 10x + 5 und den fixen Kosten Cr '" 100 soll die Gewinn funktion G(x) ermittelt werden. W ir erhalten

G(x) = J (10x3 + S) dX= 2,5X + SX- 100 . 4

-

2.2 Konsumenten- und Produzentenrente \\'je w ir aus Absch nitt III 2..~.1 w issen, liegt auf einem Markt an der Stelle ein Ma rktgleichge wich t vor, an der sich Angebotsfun ktion p'(x) lind Nachfragefunktion r "(x) schneiden . Die in diesem Schn ittpunkt herrschende Menge x" wurde ab Gleichgewtcbtsme ngc . der Preis p. als Gle ichgew ichtspreis be zeic hnet. In die se r Ma rktsitua tio n sind in der ökonomischen Theorie zwe i Grösen von besonderer Bede utung : die Ko nsume nte n- und die Produze nte nre nte.

1. Konsumentenrente Wie Abbildu ng V 6 für den Fal l ein er linearen Nachfragefunktton zeigt , wäre n ein ige Nachfrager be reit gewesen, eine n höheren Preis ah Jen herrschenden Mark tpreis p. zu be zahle n. Da de r tutsac hliche Preis also niedriger ausfüllt als je ne r, den sie 7.U zahlen bere it gewesen wären, erg ibt sich für diese Nachfrager ei ne Ersp a rnis. Die Cesamtsumme dieser Erspa rnis für alle Ko nsume nte n wird als Konsumontouronto KR be ze ichnet. Rechne risch !:isst sich d ie Ko nsume nte nrente einfach als

"

KR = J p D( x ) dx - p· . x·

"

(V.29)

ermi tteln. Das Prod ukt p• . x" enrpricht da be i den auf dem Ma rkt für das betrachtete Gut tatsächlich getätigten Ausg abe n aller Ko nsument e n. Das Integra l ist zu interpre ttcre n als the oretische Ausgabe nhö he. die angefallen wäre. wenn alle Ko nsurn e rue n gcn nu den Pre is bezahlt hätte n, den sie ge rade noch zu zahlen be re it gewesen w äre n.

287

2. Ökonomische Anwendungen

p

.. ........

.; -:

< =:: KH::>:::: p. ,.,.,c.,.:,.'.'."'.:'.'-'-'.•c.,.:•.

,~

x

Abbild ung V 6: Konsume nte nre nte Bei spiel : Auf dem Markt für Kaolin gelle die Nachfragefunktion pO(x) '" - 2x + 50 und die Angebots funktion pS(x) = 3x + 20. Wie hoch ist d ie Konsumentenrente auf d iesem Markt ? 1. Ermilllung des Marktglei chgewich ts: Gleichsetzen der Nachfrage- und Anqebotsfunktion liefert - z x + 50 = 3x +20 und nach Auflöse n x' '" 6, woraus sich nach Einsetzen in pO(x) oder pS(x) der dazugehörige Preis p' '" 38 ergib t. 2. Berech nung der Konsume ntenrente nach (V.29): 6

KR == f {- 2X+ 50) dx - 38 · 6 == [ _ x 2 + 50x

6

Jo - 228 == 264 - 228 = 36

o 2. Produzentenrente Abbi ld ung V 7 zeigt fü r Jen Fall ein e r linearen Angebotsfu nkno n. Jass es auf eine m Markt Prod uze nte n gibt, die auch zu einem Preis anb iete n w ürden , der unter dem vorherrschenden Mar ktp reis p. liegt. Da sie aber zum Gle ichge wichtspreis p" verkaufen kö nne n, erz ielen d iese Produzente n einen z usätzlichen Geu-tnn. Die Summe alle r d ieser Gew inne bzw. Kosre ne rsparn l»,c über alle Produze nte n bezeich ne n w ir als produrentenrentc PH. Ihre Be rechnung erfolgt über

,

PR"'p· · x· -

fp'(' xJdx ,

(V.30J

n

wobei das Prod ukt P•. x· dem vo n alle n Produzente n e rwirtschaftete n Umsatz im Ma rktgleichgewicht e ntspricht. Das Integral liefe n den theoretische n Umsatz, den alle Produzent en zusammen erz ielt lütten, we nn sie gennu zu den Preise n ve rka uft hätten , zu de nen sie gerade no ch a nzubie te n be reit gewesen wären.

288

V Integralrechnung

p

p'

" Abbildung V 7: Prod uze nte nren te Beispiel : Die Angebots/unktion auf einem Markt sei gegeben durch pS(x) "" Sx + 7. Das Marktgleichgew ichl liege bei x' '" 5 und p' '" 22. Die Prod uzenl enrente auf diesem Markt ist damit 5

5

PR = 22 · 5 - f (3X+ 7) dX= 110 - [%x2 + 7xl = 110- 72,5= 37,5 .

o

-

2.3 Investitionen und Kapitalstock Die Funkt io n IU) mit I ~ 0 beschrei be die öcuotnrestittonen )(Hrullo1n\,cst itlo nen abztighch Abxchre jbungen) in einer Vo lkswi rtschaft in Ahh;ingigke it von der Zeit t. Mittels de s Integrals T

IHr> d t für t ~ 0

o

sind wir in de r Lage den Kapitalbestand zu be rechne n, welcher von t .. 0 bis t .. T erw irtschaftet wird. De r Kapttatstoce K(T) bzw. der Kapitalbestand einer Volkswi rtschaft zum Zeitpunkt T ergibt sich nun aus de m Kap ital, welches be reits zum Zeitpun kt t = 0 vorhanden war , also KU)), und aus dem von I = 0 bis t = T akk urnulierre n Ka pital, d. h. den getä tigte n Ne uotnvesunonen. Es gilt also T

KCI') = I\ (O) + JI (t) d [

für [;::0.

(V.3 D

u

Bei spiel : Zum Zeitpunkt t = 0 bet rage der Kapitalbestand einer Volkswirtschaft 1.500 Mrd . Euro. Die Nelloinvestitionen I(t) seien besch rieben durch die Funktion I(t) '" 10 · + In l .

Wt

a) Wie groß ist der Kapitalb estand nach 10 Jahren ? b) Wie hoch ist die Veränderung des Kapitalb estandes im 5. Jahr?

289

2. Ökonom ische Anwendunge n Lösung : a) Kapitalbestand nach 10 Jahren:

to K(10) '" 1.500 +

f(1 0 . ~ +I n l)

dl

o = 1.500 +[7,5 ,

~ + t- ln t

-11

0

= 1.500 + 174,61 = 1.674,61 Mrd Euro

b) Investitionen (= Zunahme des Kapitalbestandes) im 5. Jahr: 5

5

J(10 . ~ -elnt} dt '" [7, 5 ' ~ + 1. lnl - 11 '" 67,17 - 49,17 = 18 Mrd. Euro

•

-

2.4 Die Standardnormalverteilung ln der Statistik spielen Zufallsvar iablen ei ne zentrale Rolle. Unte r einer Zufallsva riablen X verstehen wir allgemein eine Gröse. deren Wert vorn Zufall abh äng t. So bilden et wa d ie Ergebnisse eines w ürfelwurfs eine Zufallsvar iable. die sechs verschiedene \X,'ene 1,2,3,45 oder 6 annehmen kann. Das Ergebnis jedes Wurfes hängt vom Zuf.1I1 ab, wobei jeder bestimm te Wen m it einer Wahrscheinlichkeit von 1/6 angenommen wird . Stellen wir di e möglichen Erge bnisse (X-Achse) den zugehörige n wahrsche tnttchke tren (Y-Achse) gegenüber, erhalten wir d ie sog. Wa h r sch e h rlic h keltsfu n k t lo n Jder Zufallsvariab len . Im Fall e ines w ürfelwurfs ist d iese disk ret, Kann e ine Zufallsva riable ) in einem Inte rvall jede n beliebige n Wen annehmen, beigt sle stetig. Für stetige Zufalls variablen X erlaubt die sog . D ichtefuoktion Q(x) ldiL' Bestimmung von w ah rsche inlich kciten Pt x. :s: X :::,; x), dass d ie Zufalls variable X einen \X/e n aus dem Inte rvall lx, x,l annimmt . Diese ixr nämlich gertau gleich der Fläche unter der Dichtefunktion im ernsprechenden Abschn itt lx, x.l, d .h. es gilt s,

P{ x j :::'; X :S: x 2 ) = J $( x ) d x .

(V,j2l

"

Abbildung V R veranschaulicht d ies. Aus (V.j2l !:isst sich e ine Beso nde rhe it ste tige r Zufallsvariablen ableiten , die besagt, das.~ die Wa hrscheinlichke it, dass X e in bestimmtes x an nimmt, im me r Null ist. Es gilt n ämlich auch hie r der Zusammenha ng (V.20), d .h.

,

I'( X = x ) =I'( x :S: X :::,; x ) = J qx. x ) dx = O .

,

(V.33l

Zudem gilt, dass die gesamte Flüche unter einer Dichtefunknon immer gleich Eins se in muss, Andernfalls dürfen wir die Fun ktio n nich t als Dichtefunktion beze ichnen.

-J

Ijl{x) dx = 1

(V,j4 )

290

V Integralrechnung

"

P(x t :5X :5 x! ) = J $<x ) dx

"

Q(X )

x,

»,

Abbildung V R: Dich tdünktion

Die sog. Verteilungsfunktion (x) jctne r stet igen Zufallsvariablen X gibt die \X'ah rsch ei n lich keit dafür a n, dass X einen \,\'el1 kleine r oder gle ich x annimm t und ist definiert ab Jas bestimmte In tegra l der Dichte fun knon Hin -00 b is zur Grenze x:

,

(x ) = f $l Z) t!z

(V .35)

Eine in The o rie und Praxis bedeute nde Dichtefunknon ist die sog. Stan dar d n o r m a tverrettung. )Sie lalltet 1 d $I z) = -

5

wobei e die Euler' sehe Zahl und lungsfunktion

1t

_ . t:

l

(V.36)

d ie Kre iszah l ist. Dam it erhalten wir d ie Verte i-

$ (x ) =

~.

v 21t

xf e.;;f dz .

( V .37 )

Abbildung V 9 veranschaulicht den Verla uf beider Funktionen . Um ihren Zusamme nhang au fzuze igen, ist in die Grafik die \X'a hrsd w inlichke it dafür au fgeno mmen, dass e ine stan dardnormalvertei he Zufallsvariable e inen Wert kleiner a ls a annimmt. DieSe kön ne n wir als Fläche un ter der Dichtefunktio n oder durch Einset ze n des We rtes in die Verteilu ngsfunktion bestimmen. Wie Abbildung IV 9 auß e rde m zeigt, ist die Standardnormalverteilung symmetrisch zur Ordinate. Es ist daher auch möglich , die Vert eilungsfun ktion (V.37) hzw. J as in ihr stec kende Integral nur von 0 bis x zu be rechne n und, um de n \'1hm der Ve rtei lungsfunktion zu e rhalten, 0,5 zu add iere n. Um kon krete w ab rschet nltch ken e n angeben zu können, gil! es , (V.37) zu berechnen . Es liegt hie r aber e in typischer Vertreter von Funktio ne n vor , die sieh nic ht in gesch lossener Form integrieren lasse n. ,( 'ir müssen a lso auf numerische Methoden zurückgreifen , von denen wir im Folgeabschnitt die zwei be kannteste n vors tellen .

2. Ökonomische Anwendungen

291

Zur Ver anschaul ichung dieser verfahren we rden wir jeweils a ufzeige n, wie sich wahrscbetnltchkencn für standa rdnormalverteilte Zufallsvariablen be rechnen lassen . In der Praxis müssen wir d iese jedoch nicht stets aufs Kelle be rechne n, da aufg ruod der hohen prakt ischen Bede ut ung der Standardnormalverteilung (viele andere Verteilungen lassen sich unter gew issen Voraussetzungen durch diese approx imicren) in nahezu jedem Statistikbuch vcrte üungsubellcn en thalten sind, die diese für versch iedene x bein halte n. Dtcht efunkrion: 4!( z ) = -

1

d

- , t.'

,rz;;

l

-3

-2

- I

c

0

2

vertetlungsfun knon. 'I>( x ) =

~. x fe.:f

..... 21t

-3

--------------:;.0------- -

dz

-2

-I

a 0

Abb ildung V 9: Standardnormalverteilung

2

3

x

292

-

V Integralrechnung

2.5 Numerische Integrationsverfahren Neben dem wahrscheinhchkettstn tcg ral (V.37 ) ex istieren eine Rei he weite re r nicht geschlossen lösbarer Integrale. Zu diesen zählen beispielswe h e der lntegrallo garitl unux)

dz f-" In z

(V.3Hl

-fe'-dz. ,

(V.39)

x

Li (x )

=

"

und die lntegralc xpone nxiclle) Ei( x ) = -

,

Dera rtige Integra le kö nne n wir naberungs uotse du rch numerische Inte gration berech ne n. \'('ir verstehen darunte r d ie Be rech nung des bestimmte n Inte grals

" JHx) dx

,

mit Hilfe de r näherungsweisen Bestimmun g des Flächen inhaltes un ter der Kurvt' de r Funktio n fex) d urch Summen von Rechtecke n oder Tra pe ze n . 1. Rechtecks appro ximati on

Die näherungsweise Bestimm ung der Fläch e unte r e iner Fun ktio n fex ) in einem Inte rvall [a, h] h uf! auf d ie hcl de r Able itung des be stimmte n Inte grals ges childerte Methode der Flächen be rechnu ng hinaus (vg l. Abschnut V 1.4 bzw. Abb ildung V 2). Te ilen wir das Inte rvall [a, b] in n gle ich gros e Teilin tervalle der Länge .1x a uf, können wir zunächst für d ie Mitte Cl, = x,_, + .1x/2 ei nes jeden Teilintervalls [x,." x] den d.rzugehöng c n Funk tion swert f(Cl,l berech ne n.

ßX xn

= x o + n · .1x = h

öx Cl , = X,+ 2

Mit di ese n Funktionswe rte n f( a ) und den Te ilir nervulllängen .1x kö nnen wir nun die Fläche unter de r Kur ve durch die felgen de Rech teckssumm e a nnähern . h

f f( X) dx ==

n

"

;:1

;:1

I r(a;). öx = .1x · I reu;).

(V.4Ol

293

2. Ökonomische Anwendungen Beispiel:

Berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine stanoaronormaiverteute Zufallsvariable X eine Realisation im Intervall J-oo; 1) annimmt. Wir müssen also

1

41(1) "' J2i '

'f =,{~ 2

1

e

lf =~2

dZ "' J2i ' e

dz+0,5

o bestimmen. Der Wert dafür ist in jeder Standardnormalverteilungstabelle als 4>(1) '" 0,8413 bzw. 84,13% enthalten. Für die beiden Schritlweiten 6.x '" 0,2 und 6.x '" 0,1 und den Startwert XC '" erhalten wir folgende Ergebnisse:

°

Ax

1 2

0,10 0,30 0,50 0,70 0,90

3 4

5 6

öx 0 ,1

0,2 0,995 0,956 0,882 0,783 0,667

7 6

9 10

0,05 0 ,15 0,25 0,35 0,45 0,55 0,65 0,75 0,85 0,95

4,283

0,999 0,989 0,969 0,941 0,904 0,860 0,810 0,755 0,697 0 637 8,559

Wir erhalten damit die beiden folgenden Näherungen: 1 öx '" 0,2: 4>(1 ) = r;;- ·Q,2· 4,283 +0,5 =0,8417

,2.

1 ex = 0,1 : $ (1) = /,,:,,"," , 0,1,8,559 + 0,5 '" 0,8 41 4

,,2.

Wie wir erkennen, wird die Approximation umso besser, je kleiner wir die Teilintervalle wählen, d.h. je mehr Teilintervalle wir berücksichtigen. 2. 'rrapezapproxtmanon

lst die Kurve einer zu integ riere nde n Funktio n Hx} nich t ge rade im gesamten Integrationsintervall konvex o der kon kav, lässt sich e in e Ve rb esse ru ng d er Fläche n n ähe rung dadurch erre ichen, das.~ wi r die Fläd le durch ei ne Summ e von Trapezen anstdll' von Re chteck en annähern ( \'gl. Ab bild ung V l ü}. Dadurch lässt sic-h nämlich e rreichen, d ass steh po sitive un d ncga th'e Fehler Oeilwebl'J aufheben. Die Plächc des Trapezes über dem Intervall Ix,,, x.l ist

0,5' (fh u ) + [( x l )) · .1.x . Als SU1ll1ll1'

der Trapezflächen e rhalten wir

0,::; ' (th (J)+ f( x j )) ·.1.x + O,S· (tü l l + f{ x 2 )) ·.1.x + ... + 0,5· ( Ih n_I ) + f(x n ») · öx '=

[

"-,

]

O,5· f(x u) + L f<x; ) + O,5 · f( xn ) -ex , 1'·1

294

V Integralrechnung

woraus wir folgende Näherungsformel der Trap eza pproximation ableiten könne n:

Jft

'0

x ) dx e öx .

" LS ;.f( x

i )

mit

;"0

So = 8" = O,S 8, = 1 für i = l,..., n - l

y

Ir

"'"

xo - a

x

y

-.

If x )

/ /

Xi_ I

"

e

( VA l)

'~i

xn_l

x

h'" x n

Ab b ild ung V 10; Trape zappro ximat io n Beispiel :

Führen wir die Berechnungen unseres letzten Beispiels mittels der Trapezapproximation d urch, erhalle n wir zunächst folgen de Zwischenerge bnisse :

~

öx e 0,2 ; 0 1 2 3 4 5

x 0 ,00

B, 0 ,50

0,20 0,40

1,00 1,00

0 ,60

1,00

0 ,80 1,00

1,00

f x, 1,000 0,980 0,923 0,835 0,726

0 ,50

0,607

x,

.ö.x -O,1 B,

0,00 0,10 0,20

0,30 0,40

0,50

6

0,60

7 8

0,70

9

0,90

10

1,00

0,80

Summen orodukt

4,268

Wir erhalten dami t die beide n folgenden Näheru ngen:

1

,2.

6,x =0 ,2; <1>(1) ::= r;;-::, O,2 · 4,268 + 0,5 = 0,8405

1

., 2.

n

6,x = 0, 1: <1>(1) := ~ · o, 1·8,551 + 0,5 = 0,8 4 11

0,50 1,00 1,0 0 1,00 1,0 0 1,00 1,00 1,00 1,00 1,0 0 0 ,50

f, 1,000 0 ,995 0 ,980

0 ,956 0 ,923 0 ,882 0 ,835 0,783

0 ,726 0 ,667

0 ,607 8 ,551

295

2. Ökonomische Anwendungen

Wir erkennen im Vergleich zum exakten Wert 4>(1) = 0,8413, dass wir auch hie r durch telnere Teilintervalle eine Verbesserung de r Approximation erre iche n könne n. Im Vergleich zur Rechte cksa pproximat ion sind die Näherungen allerdings schl echter . Das liegt oaran. das s die Trapezapproximati on in Bereichen konve xen Funktionsverlaufes die Fläche überschätzt , während sie bei konkaver Krümmung immer unterschätzt. Bei einer überall konve xen bzw. konk aven Funktion fehlt dann ein Ausgleich, sodass sich die Fehle r kumu lieren. Die Standa rdnor malverteilung ist nun im Inlegrationsintervall [0: 1J konkav gekrümmt. Die Trapezapproximation unte rschätz t hier also beständig und führ t auf einen ungenaueren Näherungswert als die Rechlecksapproximation. Dies gilt jedoch nicht allgemein.

-

2.6 Exkurs : Elementare Differenzialgleichungen 2.6.1

Einführung

Bd de r Analyse: ökonomischer zusammenh änge trete n immer wieder Gleic hunge n auf, in denen auße r eine r Funktion y "" fC.. ) selbst noch eine oder mehrere: Ableitun gen ( y", y", y " , ... ) d ieser Funktion en thalten xind. \'('ir bezeichnen derartige Gle ichu ngen als Dffferenztatgtel chunge n.) Beispiele: a)

y' =y+ 3x

mit y = I{x)

c)

( y~) 2 +( y')3 + y == e x

mit y = f(x)

b)

(y' )3 == x2 .y

mit y = !(x)

d)

Y•X1X,X 2 + Y'X2 X2 -~ y + l

mit y = f(XI, X2)

Als Ort/n lll/M otner lJifferellzia/Mleicb llllg bezeichn et man d ie höc hste vorkommende Ableitungsordnu ng. lm vorhergehenden Beisp iel: a ) 1. Ordnung, !J) 1. O rdn un g, c) 2, Ordnung , <.I ) 3. O rd nung, Eine Differenzialgle ichung 1. Ordnung ernh ält also nur ers te Ableitu nge n. Eine Differe nzialgleichung heißt gewöhlllicb, we nn d ie gesuchte Fun ktio n und ihre Able itung nu r von eine r Variable n abh änge n, a nde rnfalls p artteil. Im vor hergehenden Beispiel: a I, b) , cl gewöhnliche Differe nzialgleichunge n, d) partielle Differe nzialgle ichung, Die Vielzahl verschiedener Arte n von Differ e nzialgleic hunge n erfordert e ntsprec hend vielfältige und komplexe Lösung stechni ken. Im Rahme n dieses Grun dk urses wollen wir uns lediglich au f ei nige s p ezie lle gewöhnliche lineare Differenzialgleichungen beschr änken. d.h. nichtlin eare wie b ) und c) sowie partielle wie d ) im vorhergeh ende n Beispie l nicht be han deln . Die Lösung eine r gewöhnliche n Differenzialgle ich ung gt x, y , y ', y ",. ., y lnJ) = 0 is t diejenige Funktion y = I{ x ), die zusammen mit ihren Ahlen ung en y ', y ",..., yl nl der gegebenen Diffe re nzialgleich ung gr x, y, y', y ",..., y fnl) = 0 genügt. Bei spiel : Betrachten wir d ie Differenzialgleichung g(x, Y, y') == y' - y == O. Eine mögliche Lösung ist

z.B. die Funkt ion y == e", den n wege n y' == e" ist stets y' - y == e" - e" == 0 erfüllt. We iter sehen wir , dass jede Funktion des Typs y : C . e" ebenfalls eine Lösung der gegebenen Differenzialg leichung ist.

296

V Integralrechnung

2.6.2

Lösung von Differenzialgleichungen durch Variablentrennung

Wie bere its erwäh nt , ist die t.ösungxtcchntk für Differenzialgleich unge n im Allgeme tnon recht komplex . Einfac h dagegen (und für eine bet rächtliche Zahl ö ko nom ischer Probl e me ausre ichend! ist die LöslIllg w lelhode [ ü r gewöhllliche lineare ntfferenetatgletcbungen I , Crdntcng 1'0111 7) P g(y) ,y'=h ( x) m it y e I( x j . ( v.4 2 ) Je de Dfffe re nzialg le k-hung, die sich auf diese Fo r m brin gen liisxt,

heif~t

separa hel.

Beispiele: Separable Differenzialgleichungen

t . y' =6l+ 1

mit

g(y) " 1

ued

h(x) = 6x2 + 1

2. x ' y' = (y - l )(x + 1)

mit

1 g(y ) " Y- 1

ued

1 h{x) = 1+ x

3. (l + 1) , y' :2x · l

mit

1 g(y ) " , Y

ued

h{x) : ~ 2

x +1

Beispie l: Nach Substitution separable Differenzialgleichung Die Differenzialgleichung y' : y +x besitzt zunächst nicht die Form (V.42). Setzen wir aber z(x) = y + x. folgt wegen z' = y' +1, d.h. y' = z' - 1, aus der gegebenen Differenzialgleichung y' = z· - 1 = Y + x = z, also z' = z + 1, was zur Form (V.42) führt:

z

--= 1

ze1

mit

z ... - 1

Zur J Icrleit ung eines Lösungsve rfahrens für sc parablc Differenzialgleichu ngen des Typs (V .42 ), integrie re n wir bcide Seiten von (V.62) be züglich x, d. h . I g(y ) ' Y' d x = I h( x ) d x . Nach Anwe nd ung der tme g ratto n durch Substitution auf der linken Seite folgt daraus wegen dy = y ' dx der Zusammenhang I R( Y) dy = I h( x ) dx .

(V.43)

W'ir können dadurch d ie Lösung der scparablcn Diffe re nzialg leic hung (V.42) auf die Bestimmu ng der Stammfunktionen G(y) zu g(y) und Ht x) zu hex) zurückfüh ren . Ge linge n die beiden un best imm ten Integratione n in (V.43 ), kann die Lösungsfunkt ton Y ... f(x ) ermi ttelt werden. Da hei der Lösung von Diffe re nzialg leich ungen nach die se r !l-lethode stets tntegrarionskon stan ten auftreten, besteht die Lösung aus einer ~1en ge vo n Funktio ne n, die sich durch die Integ ralio nsko nstante n unterscheide n. Die ~I e n g c uller Lösungs fun ktion en einer Differenzialgle ichung heif~l allgemeine Lösu ng der Diffe re nzialgleichung. Je de (et wa durch Vorgabe von Anfan gswe rte n gewonnene) Einze llösungsfun ktion heigt spezie/leoder partikulä re Löst/ nR der Diffe re nzialgle ich un g.

2. Ökonomische Anwe ndungen

297

Beispiele : Lösen wir die separablen Differenzialgleichunge n der tetzten Beispiele : 1. Aus y' = 6x 2 + 1 folgt durch Anwendung von (V.43) und Zusammenfassung der beiden entstehenden Integrations konstanten 2

J1 dY = J (6x + 1) dX

3+

y =2x

H

x +c.

W ir erkennen , dass die allgemeine Lösung de r Differenzialgleichung in diesem speziel len Fall mit derjenige n der gewöhn lichen unbestimmten Integration überei nstimm t. Die Integrationskonstante c können wir bestimmen , wenn wir eine Anfan gsbedingung vorgeben . Im Falle von y(x = 2) = 20 erhalten wi r du rch Einsetzen in die l ösungsfunk3 3 tion 20 = 2 . 2 + 2 + c , d.h. c = 2 , und da mit die spezielle Lösung y = 2x + X + 2. 2.

Für x . y' = (y- 1)(x + 1) erhalten wir

J- '-

y- 1

dY"

J\r(' + ~Jd'. x

Unter den Annahmen y - 1 > 0 und x > 0 liefert die Integration bei Zusammentassung der Integrations variablen die allg emeine Lösung In(y - 1) =x+ lnx+c

3.

Ho

y _1 = e H lnH C=ex . elnx .ec =ec .x .ex

Ho

y = e c · x _e x +1 .

Mit einer Anfangsbedingung von z.B. y(x = 1) = e + 1 erhalten wir c = 0 und dami t als spezielle Lösung y = x . eX + 1. Für (x2 + 1) · y' = zx y2 erg ibt sich

J-2.y2

dy =

J~ dx, x2 +1

woraus wir die allg emein e Lösung

-v' = ln(x2 + 1)+ c

H

v»

-1 In{x 2 + 1)+ c

erhalten . Aus einer Anfangsbed ingung von z.B. y(x = 0) = 0 ,5 erhalten wir c = - 2 und somit die spezielle Lösung y = 2 -ln{x 2 + 1)'

4. Für y' = y + x erhalten wir bei Berücksichtigun g der Substitution

z= y + x

dz = J1 dx, J-'zet woraus sich für z + 1 > 0 die allgemeine Lösung In(Z +1) = x +c H z +1 = e H C

Ho

z =ec ·e x _ 1

bzw. nach Resubstitution y =ec · e x _ x _ 1 erg ibt. Für z.B. y(x = 0) = 4 erhalten wir d ie spezielle Lösung y =5e x _x _ 1.

298

V Integralrechnung

Auc h geu-abnucbc li neare D/ffi'1'r!//zialgleic h llllj?,ell höhere r Ordnung können w i r

durch e infache Intcgrauonsp roz esse lösen , we nn sie vom speziellen Typ y'.' Y '" f(x) sind .

=

y m it

Beispiel: Die lineare Differenzialgleichun g 3. Ordnung y'" '" 50>? + 12 wird d urch drei hintereinander geschaltete unbestimmte Integration en gelöst , die jeweils eine neue Integralionskonstan te erfordern. Wir erhalten sukzessi ve

y" ", 20x3 + 12x+Cl

y' ", 5x4 + 6x2 +

C1 X

+ C2

Y :: x 5 + 2x3 + O,5cl X2 + C2X + C3 . Die Anzahl der in der al lgemeinen l ösung vorkommenden Integralionskonslanlen stimmt also mit der Ordnun g der Differ enzialgleichung überein. Im vo rliegenden Fall könn te eine spez ielle Lösung durch Vorgabe dreler Anfangsbedingunge n gewonne n werde n. Für die We rte y(O) = 7, y'(O) = 0, y"(O) = 1 bzw . durch Einsetzen in y, y' und ( erhalten wir nach 3 + 7. einande r C3 = 7, C2 = 0 und Cl = 1 und dami t die spezielle l ösung y '" x + 2x +

o,sl

2.6.3

Ökonomische Anwendungen separabler Differenzialgleichungen

Von den zahlreichen Anw e nd unge n separabler Diffe re nzialgleichunge n behandeln wir im Folgenden nu r das e xponenztelle \...'achs tum und Funktio ne n m it vorgegebe ner Eb stizit:it. 1. Expone nzi elle s Wac hstum In ökonomis che n Anwe nd unge n trete n gewöhnliche Düferenztalgtetchungen bäufig dann au f, wenn die Zeit t als una bhän gige stet ige Variable auftritt, d.h. y = nu gilt. In diesem Fall stell t d ie erste Ableitu ng y' näherungsweise die Ände ru ng von y pro Zc lu-inhc h dar und jed e Be zieh ung zwischen de n Bestands w ert en y und ihre n ze itlichen Änderu ngen y' kann durch e int: Diffe re nzialgl eichung besc-hrieben werden . Nehmen wir z. B. an , der zeitabhängige Bestand einer Be völke rung könne du rch eine Funk tio n bUl be schriebe n werden. Die Be völk e rungsän de rung je Zeite inlw it wird dann im Zeitpu nkt t durch dle erste Able itung h'(t) hcsc-hriehe n. Unterstellen wir, dass d ie ze itliche Ände run g b'{[) der Be völke rung in je de m Zeitpu nkt t propo rtiona l zum ge rade vorha ndenen ltc völk e rungsbesran d h(t ) ist (konstan ter Pro po rtionalitätsfaktor p) , gi lt die Be zie hung h'(t ) = p · b
txu » o.

(V.44)

Es handelt s ich dabei um e ine gewöhnliche line a re Differe nzialg leichung e rste r Ordnung für die gesuchte ze itabh:ingige Bevöl k erungsbesrands fun k non btn. Um dies e zu finde n, we nden wir (V.43) auf (V.44) an . \X'ir erhalten

1 J-bc- db(t) = p ' Jl d t

ln br t j

t)

e

p - t e «.

Dara us ergibt sich d ie gesuchte Besta ndsfunktion b(t)=k·e lll

mit

k=e~

>0.

(V.45)

299

2. Ökonom ische Anwe ndungen

Der lk sw nd ände rt sich also oxponenztell mit der stetigen Änderungsrute p (pro Zeiteinheit). Die totegruuonsko nsta rue k kann durch eine Anfungsbcdtngung bestimmt werden . Ist etwa de r Besta nd zum Zei tpunkt t ", 0 gle ich 100 (d.h. 100 "" bW) - k . 1.'" *' k), so lau tet d ie spezielle Bestandsfunktion brn .. 100 · e". Ist p pos itiv (negativ) , wächst tfältn der Bestand brn im Zei tablauf rvgl . Eige nschafte n de r Exponenztalfunktton in Abschnitt 11 1 2.1.4.\). Für p ". 0 bleibt der Besta nd unv erändert bei k hzw. hier 100. 2. Funktionen mit vorgegebenen ElasCizit äten

Die Def tnnton sgle tchung für die Elastizttiit ~\,. einer dilferenzierbaren Funk tion y ", fe x) c nspricht einer Differenz ialgleichung für die Funk tion y = f(x): E v •x

.

,

X

=y'-

y

Ist die Elastizitätsfunktion vorgegeben, könn en wir ve rsuche n, über die Lösung dieser Diffe re nzialgleichu ng d iejenigen Funktione n ausfindig zu machen , die das vergegebene Elastizitätsverh alten besitzen. Beispiel 1 : lineare Elasliz ilätsfunkt ionen Gege ben sei die Elastizitäl sfunktion Ey.• = ax + b mit a , b = konstant und x, y > 0 . W ir interessiere n uns nun dafür, welche Funktione n dieses Elastizitäts verhallen aufweisen. Zu lösen ist dazu d ie Differenzialgleichun g

i.; = ax+ b. y Anwendung von (V.43) führt zu H d Y",

Ka + ~) dx

ln y e ax e b.ln x s- c

~

bzw. zu den gesuchten Funktionen y ",eax+btnH c ", k · xb · ea•

k ", e c > 0,

mit

Jede Funktion, die sich als Prod ukt aus einer Potenzfunktion funknon ea.< ergibt , besitzt also eine lineare Elastiz itätstunktion .

x c-

ö

/ >und

.

einer Expone nzial-

Für den Sonderfall a .= 0 ergibt sich €y.• ", b, d. h. Y ist eine elementare Potenzfunktion y = k . xb• 1m Fall b .= 0 erhalten wir Ey .• = ax und die dazugehörigen Funktionen y = k . e"". Die elementaren Exponenzjalfun ktlonen sind also die einzigen Funktionen, dere n Elastizitätsfun ktione n Ursprungsgeraden sind . Bei spiel 2 : Übereinstimmende Elastizitätsfunktionen Gegeben sei die Elastizi tätsfu nktion Ey.• ", f(x), d .h. jetzt sind die Funktionen gesucht, die mit ihren Elastizitätsfunktionen übereinstimmen. Dazu lösen wir die Differenzialgleichung

y' x = y. y Wir erhalten dy = f2. dx f...!... y' x

~

- ..:!. oo ln x + c y

300

V Integralrechnung

bzw. -1

Y ""lnx+ c

für

x s üx e e" .

Mit der Anfangsbedingung 1( 1) "" 1 erhalten wir z.B. wegen 1 :: -1Ie bzw. c "" - 1 die spezielle Lösung

1 Y =1 - ln x ' Für diese Funktion stimmt an jede r Stelle x

E

;R+ \

{e} der Funklionswert y mit der Elast izi-

tät [ y,x überei n. An de r Stelle x = e besitzt y einen Pol. Die nachfolgende Skizze zeigt. dass

d ie Elastiz ität posit iv ist, solange x < e gilt. rst x > e , ist die Elastlziät negativ.

y, Ey,x

0 0

« 0

3.

Aufgaben

tnregrulr ech n u ng allgernei n

Au fgabe V·I

Be rechne n Sie d ie folge nden un bestimmten Integrale: a)

f -t+

2

b)

f..[lf;

cl

f( '" + ' )

Jl

J( x . ln x )- l Jx

dx

Zx"

xl

Xl + I feX--3 -

cl

) dX

dx

dx

;)

f- +-

I

P

f~ )- x

kl

f~1xdx

11

J e- x dx

fl

Jx!+2x +lx -
gl

~ (1n x )2

hl

- l' fc - ' ~ JX

x

+

<X

{x

1 , )0x

-:n

c' d x 1 eX

+2

Aufgabe V-2 Be rech nen Sie die durch die folgenden bestimmte n Integra le definie rten Flächen! Eine Nullstellenprohlemutik ist da bei nur he i h) und i ) zu beachten . u)

"J( x ~ - 3x ) dx

-,

JE.x·' dx

s dl

u

J

,

In~

b)

C

X

dx

,

+

x~ 5 ) - --<X

f i:

cl

h)

f-,) :x ~ , J

il

'"J <4x:l - 9x ) dx

g)

'

x ·\ dx

-,

z z

o

Illl X ' ~

n

,

dx

dx

x +1

- 15

Aufgabe V-3 Berech ne n Sie folge nde he stimmte Integra le (spezidIe Integra nden ): +2

a) Jlxldx , -2

b l I maxlx; 2) UX u

c)

7

InX)dXmi t

-I

ft x ) =

.»

{

für - 1:5x< 2 ln x für 2 < x '5, 7 e

V Integralrechnung

302

Aufgabe v -4

,

Fü r wel ches u > 0 ist d ie Gleichu ng

Slnx dx = 1 erfOlll? ,

Aufgabe V-5 Bestim me n Sie J e- x dx !

" Ökonomisch ", An w endun gen

Aufgabe v -6 Gegeben seien folgende Daten e tnes Unternehmens, Jas sich ei ne r linearen xacbfragekurve gegen übe rste ht: ~ I R( x )=

1O-O, 2x

C, =0

~IC( x)= 2+ 0,O:;x

Dabei stelle n ;\IH den Grenzerlös. x d ie produzierte Menge. Cf d ie fixen Koste n Lind Me die Grenzkosten dar. Berech nen Sie die gewinnmaximale Preis•M engen -K ombination des Untern eh men s!

\ViI: hoch sind im Gcw tnruuaxtmum der Gewinn und die

K ().sten ~

Aufgabe V·7

Die Nachfrugefunktkm für ein Pro d u kt x lautet p l)(X )= 10-0,5 x 2 . Die eru sp rechende Ange botsfun ktio n se i gegeben d urch p S ( x)= 2x 2 - 0, 25x + 3 . Das Prod ukt x ist in belit:big kle ine n Einh eite n herstellbar.

Be rechne n Sie die Prod uzente n- und die Konsumen tenren te und stellen Sie dies e grafisch da r! Aufgabe V-8 Die Nachfrazcfunktion nac <> s h einem Gu Lx lautet p l)(x . )= on ist gegeben du rch p. ( x ) = x + 10 .

(, (_ 10

~+~ O'

Die Anze botsfun kü<>

Be rechne n Sie die Prod uze nte n- und d ie Ko nsume nte nre nte! Aufgabe V-9 Gegeben seie n folgende Ange bots- (x') und Nachfragefunktionen (x" in Abhängigkeit vo m Preis P: xS(p) = O, 25p 2

-

0, 5p + ~

Der Minde stp reis auf diesem Markt be t•age

x ll ( p ) = H _ O, OHp 2 Eu ro .

Be re ch ne n Sie d h- Produzente n- Lind Kon su nu-n rc n rc nte un d srclk-n Si!.: Jiese grafisch da r!

VI LINEARE ALGEBRA

Nach der Analysis stellt die lineare Algebra den zweiten bedeutenden Bereich der Wirtschaltsmathematik dar. Da dem Anfäng er die Analysis und dabei insbesondere die Differenzial- und Integralrechnung erfahrungsgemäß die meisten Schwierigkeiten bereitet, haben wir diese Themen sehr ausführlich behandelt. Wir wollen in diesem Kapitel nun aber auch eine Einführung in die lineare Algeb ra geben . da sie von besonderer praktischer Bedeutung ist. In den Ab schnitten VI 1 und 2 beschäfti gen wir uns zunächst mit Vektoren und Matrizen, die nichts anderes als Zusammenfassungen von Einzeigrößen zu einer neuen und kompakten Einheit darstellen. Wir interessieren uns dabei insbesondere für spezielle Arten von Vektor en und Matr izen, Beziehungen zwische n ihnen und mögliche Recheno perationen . Im Abschnitt VI 3 befassen wir uns mit dem wohl wichtigsten Anwendungsbereich der linearen Alge bra, der Lösung linearer Gleichun gssysteme. Dazu führen wir im Abschnitt VI 4 auch den Begriff der Determin ante ein, der uns bei der Beurteilung der Lösbarkeit von Gleichungssystem en sowie der konkreten Lösungsbestimmung unterstü tzt. Den Abschluss des Kapitels bildet der Absch nill VI 5 zur linearen Optimierung. Wir befassen uns darin mit der Maximierung und Minimierung linearer Funktionen me hrerer Variab len unter Nebe nbedingungen.

1•

Vektoren

Vektoren stellen Zusammenfassungen mehrerer Größen zu einer neuen Einheit dar, in der die einzelnen Größe n jedoch enthalten bleiben. Sie lassen sich vergleichen und unter bestimmten Voraussetzungen grafisch darstellen. Auch diverse Rechenoperationen sind mit ihnen möglich. Darüber hinaus klären wir in diesem Abschnitt die Begriffe der linearen

Unabhängigkeit sowie des skalaren Produkts von Vektoren, da diese für die weiteren Abschnitte zentrale Bede utung haben .

-

1.1 Begriff Nehmen wir an , jedes von e ine m Unternehmen hergestellte Pro d ukt bsst sich durch den Faktorei nsatz cha ra kte risie re n, der zu seiner Herste llun g erforderlich ist. So werden z.B. für einen Artikel e in kleiner Ste in, ein Bündel Kun srstoffhaarc, zwd selbstklebende Kunststo ffa ugen und 5 Minute n "Mo ntagc zcit " be n ötigt. Da wir die verschiedenen Produ ktionsfakt oren in unterschiedlichen Dime nsione n messen (Stück, Minuten) , wäre es sinnlos, alle d iese Zahl en addieren zu wolle n, um die Angabe-n au f eine einzige Magzahl zu verd ichten. \'('ir müssen zur vollständigen Beschreibung des Artike ls tatsäch lich alle Einze lg röße n angehen . Ko nkret b ilden wir bei m Größen ein m -Tupel . Dies führt uns zum Beg riff des Vek tors : Die Zusammenfassung von m reellen Zahlen a i

a =

["']
•

E

R. zu e inem m-Tupel der 1'0 n11

(V I.1 )

a:"

he-ißt Vektor . Vek toren werden in der Regel mit kleinen Buchsta be n im Fettdruck be ze ichne t. Sinti d ie Jl1 Zahlen in e iner Spalte angeordnet , sprechen wir vo n e inem Spottenceetor. bei Anordnung in e iner Zeile entsprechend von einem Zeüenieeto r. Die Einze lg röße a, wird als die i-te Komponente des Vektors a beze ichnet. Die Anzahl der Ko m po ne nte n des Vektor s bestimmt se ine Dimension. Ein Vek to r m it m Kom po ne nte n ist da her e in m-dimensinnaler Vel'ln r.

Eine Zusammenfassung von m Ko mpo ne nte n zu eine m rn-dimensionalen Vektor impliziert also e ine Ordnung, di e du rch die lndizicrun g der Komponenten ei ndeut ig w ird. Eine Verta uschung von Komponenten führt zu einem anderen Vektor. Im Geg ensatz zu ei nem Vektor h e il~t eint: Einzd gröge A Skala r . Jede Ko mpon en te eines Vektors iSI damit e in Skalar.

VI lineare Algebra

306

-

1.2 Ordnungsrelationen und Vektoroperationen Vektoren hissen sich vergleichen u nd ve rknüpfen . Gegenüberstellungen sind dabei nur möglich , wenn d ie Vektoren sachlich den gleichen li/ball besi tzen. Stüc kzah len- und Te mpe raturv e ktoren zu vergleichen ma cht so z.B. wenig Sinn . Außerdem dürfen wir nur Vektoren gleicher Dimension miteinander vergleichen oder verknüpfen . So ben ötigen wir z.B. in unserem Eingangsbeispiel für jedes Prod ukt die gle ichen Angaben , um entscheiden zu können, welches faktor inte nsive r ist.

Beim Verg leich zweier Vektoren können w ir di e gl eichen Ordnungsrelationen ( .. , ~ ) überprüfen , wie hei Skalaren . Bei Vektoren müssen jedoch die Ord n ungsrelationen für alle Kompo nente n gleichzeit ig gü ltig sein :

>, <, ::5,

\X'ir bezeichnen zwei rn-dimensionale Vektoren a und b als gleicb , we nn sie kom ponentenwetse gle ich sind, d.h.

a - b

a, - h, für a lle i - 1,2, . . ,m.

H

(VI.2)

Sie sind demnach ungleich . wenn sie sich in mindestens e iner Ko mpo ne nte unterscheiden . Sind a und b zwe i rn-d imensionale Vektoren, so ist a gen nu dann g rößer als b , wenn alle e ntspreche nde n Kom pone nte n von a größer als die von b sind , d.h . a >b

a, > b, für alle i ., 1,2,.. . ,m.

H

Ana loges gil! für jedes a nde re Ungleichheitszeichen «, :S;,

(VI.3)

~) .

Beispiel: Betrachten wir die folgenden Vektoren:

Zwischen diese n Vektoren bestehen u.a. folgende Beziehungen: a

s

d.

c

z

d,

e

e

b, d

e

e

.

e

e

c

Befasse n w ir uns nun mit e inige n wichtigen vektcroperattoneu . Beginne n wir mit solchen , die im Ergebnis w ieder zu Vektoren führen (Vcktoraddltlon, Multiplikat ion e ines Vektors mit einem Skala r): Zwei m-d imensionale Vektoren a und h we rden addiert (bzw . subtrahiert), indem die entsprechenden Kompo ne nte n addiert (bxw. sub trahiert ) we rde n, d .h.

±b summenc

=

a

H

C, = a, ± h, für alle i = 1,2, .. ,m,

(VIA)

wobei w ir c als bzw. mfferenzreuor von a und b bezeich nen . Dabei muss die Dimen sion der Vekto ren ide ntisch se in.

1. Vektoren

307

Beispiel: Nehmen wir an, a und b sind zwei Mengenvektoren, die uns angeben, welche Produktionsfaktoren für zwei verschiedene Produkte verwendet werden.

Wir können damit berechnen, welche Mengen für beide Produkte insgesamt erforderlich sind und wie sich beide unterschieden :

50] aeb=[~~] . a-c b [--:0]. b-a =[3 e

65

- 55

55

Ein ru -dim e nsionale r Vektor a wird mit e inem Skalar A mutupttzten. Inde rn alle Kompo ne nte n mit A multipliziert we rden, d.h .

für AE R. .

(VI.S)

De r Vektor A . a hei l~t das skala re Vielfache bz w. kurz das A-f,lCht: von a . Spez iell erg ibt sich für A a 0 der so g. NlIlll'ektnroder neutrale Veklor

0 -

m

(V L61

Beispiel: Nehmen wir an, die Fertigung einer Mengeneinheit eines Produktes erfordert den durch den Vektor a angegebenen Faktorernsatz.

We rden A = 100 Stück produziert, bedeutet dies insgesamt einen Faktoreinsatz von

'00"5] [1.500] [

100 · a = 100 ·10 '" 1.000 . 100 · 5 500

Nich t zu verwechseln mit der Muhlplikation e ines Vek tors mit e inem Skalar ist di e sog. skalare Multiplikation zweicr Vektoren. Unter de m sk alaren Prod ukt a . b = A mvter m-dtmenstonater Vekto ren a lind b ve rstell! man die Multtpl tkauon ein es Zeilenvektors mit e ine m Spaltenvektor gleicher Dime nsio n. Es ergibt sich

308

VI lineare Algebra

La;· h , m

a · b =
= Ä,

(V L7)

i=l

d.h . t:s res ultiert ei nt: reel le Zah l b zw. ein Ska lar A. Beisp iel : Nehmen wir an , der Vektor a beschreibe die Faktormengen . die zur Herste llung eines Prod uktes notwendig sind und der Vektor b die dazugehörigen Faktorpreise je Mengeneinheit des jeweiligen Faktors . a = (15

10 5 ) . b =

01,00 .,0] [ 0,50

Die Gesamtkosten , die d ie Herstellung eines Stücks verursacht, sind somit

a . b '" 15 ·0,10

-

-t

10 · 1,00 + 5 ·0,50 ", 14.

1.3 Grafische Darstellung und Vektorraum Tra gen w ir i n einem zweidimensto nale n Ko ord i natensystem je eine Kompo nente (k., k) e ines metatmenstonaten. reeüuvrugen Veiäors auf ei n er Achse ab , so w ird

jedem zweidimensionalen Vektor a e inde utfg e in Punkt P in ]R2 zugeordne t. Ve rbinde n w ir diese n Pun kt durch ein en Pfeil mit dem Koordinaten urs p run g . e rha lten wir e ine grafische Da rstellu ng des Vektors, die au ch als Ortsrektor des Punktes P be zeich net wird t vgl. Abbild ung VI I , links oben). Auf diese Weise we rden alle n Punkten aus IR l Ortsve ktor en zugeord net. Die kom plet te Ebene ist som it durch Vekto ren beschrie be n. Die Ge sam theit aller d iese r Ve ktoren be zeic hne n w ir als Ve kto rrau m V, Er ist in diesem Fall IR.! . In en tsprcc.. bender 'c'etsc bild en alle d re idirueusion ulen, reell we nigen Ve ktor e n den Vekt o rraum 1R 3 . Die Me nge aller mdirueusion ulen , reellwenigen Ve ktore n bild et den linea re n Vekto rraum IR"' . Innerhalb eines Vekto rraums V gelten umabbänglg von se iner Dime nsio n) stets folge nde sie be n Be ziehunge n: 1.

Die Addition zweier beliebige r Vektor en a und b au s de m Vek torrau m V füh rt ste ts zu e ine m Vektor , der ebenfalls Ele me nt des Vek torraumes ist.

ab e v c-e a e b

e

cmn c e V

2. Für alle Vekto ren des Vektorra umes V gelten ste ts das Kom m uuui vge sc tz und

das Axxuzianvgesetz de r Add ition. a + b '" b + a ra + b ) +

C ..

für alle a . b

a + (b + c )

E

V

für alle a, b , C

E

V

Aus de m Par allelogramm des zwe idimensiona len Falles in Abbi ld ung VI 1 (u nte n rec hts) e rken nen wir leicht d ie Gültigke it des x omm utattvgese tzes, d.h . de r Ve rtaus chharken de r Summ a nden, Auch das Assoz iativgese tz der Addition !:isst sich in ana loge r \X'e ise d urch e ntsprec.. hcnde Parallelogramm e veranscha ulichen. 3. Es e xistie rt genau e in neutrales Element 0

a +0

=

a

E

V mit der Eige nschaft:

für alte a

E

V

1. Vektoren

309

4. Es existiert ge nau e in Eleme nt ä 3

E

V, sodass gilt:

+ ä = 0

für alle

3 E V

\X'ir be ze ichne n ä = - 3 auch als neg ative n Vektor. Im zweidimensionalen Palt !5SS\ sich dieser w ie in Abbildung VI 1 (o be n rechts) veranschaulichen. S. Die Muhipllkation e ines Vektors a des Vektorraums V mit e ine m ree lle n Skalar A führt zu e inem Vektor , der Ele me nt des Vek torraums V ist.

a

E V

und A E R.

--t

A· a

E V

1m zweidimensionalen Fall können wir uns ei ne derart ige O peration d urch ei ne Streckung oder Stauchu ng des Vektors a vorstellen (vgl. Abbildung VI I , unten link s ). Alle Vektoren , die so aus a entstehen liegen a uf ein em sog . St rahl.

Vekto rdu rste llung in R. ~ _ _ _ _1 1

Ne gative r Vekt or

_

k,

k,

P I'

a

k,

()

-a

o

k

P'

,

Multiplikat ion mit e inem Ska lar

Additio n von Vektoren

k,

k, Srrnhl

A.a fürA / ... ----- ..

-- .- - .-- - ~

a

Parallelogra mmprmzip

;

...,

.' ..... ---

I'

, , ,,

//

, , c =a+b :

A· a für 0 < Ai<

o

k,

o

Abbildung VII : vekrorda rsrellung im zweid imensionalen Raum

k,

VI lineare Algebra

31 0

6. Für die Multiplikatio n m it Ska laren gd te ll d ie Distnb uttvgese rze

0.., + A) . a

A, . a + A, . a A ' (a + b l .. A. . a + A. . b =

für alle A" A,

R. lind a

E

E

V,

für alle A E R. lind a, b e V

und das Asso ziativgcsd z

LA, . A) ' a

=

A, . (Al ' a )

für Al' A,

E

IR und a

E

V.

7. Bei Multi plikation mit dem We rt 1 res ultiert stets der Ursprungsvektor a.

I . a .. a . I

-

= a

für alle a

V

E

1.4 Vektoreigenschaften In diesem Abschnitt befassen wir uns mit w ichtigen Eigenschaften von Vektoren , die WIf insb eso ndere beim Lösen von linearen Gle tchungssystemen mit Methoden der linearen Algebra noch be nö tigen we rde n. Im Spezidien wird hie r d ;IS Konze pt der linearen lJnabhiingig ke it hzw . Abh:ingig keil von Vektoren von Bede utung sein .

1.4.1

Linearkombination von Vektoren

Sind a'sa',....a" Vektoren eines gegebenen Vektorraumes V, so heißt ein Vektor b lineareombi nation der Vektoren a '.a' ,.. ..a", we nn er sich als b "" Ä, . a ' + Ä, . a ' + ... + Än

•

an =

I" Ä

j

. a'

(V I.H)

i o; [

da rstellen !;isst. Dil" Skalare Ä hc ts cn dabei unoar- oder Geu-ichtungsfaletoren. Sind alle Linear faktore n positiv 0 für alle j "" 1,2, ....n ). spre che n w ir bei b von ein e r posnnvn unearuombtnauon. Ist die Summe der Line arfaktore n z udem gle ich Eins (0 < Ä, < 1 für a lle j = 1,2,....n und LÄ, "" I J, handelt es sich bei b um eine sog.

0,,>

uanrexe uneore omb tna uon. Beispiel: Gegeben seien die Vektoren

Der Vektor b ist eine Linearkombination der Vektoren a ' und a 2 , da gilt :

. = 2 . ' - 0,5 . ' =

[-iJ

Li nearkombinationen von zweidimensionalen Vek toren lassen sich ansch aulich im zwe id imensionalen Ra um illus trie re n. So könne n wir etwa dil.' Line ark om bination Ä, . a ' + Ä, . a ' m it 1.." Ä, e IR und a', e ' e R 2 mitu-ls Abbildung VI 2 ve ranschau liehen. \X!ir haben für die gruflsche Dars te llung den Fa ll 1.., > 1 und - ) < AI < 0 ge -

1. Vektoren

3 11

wählt . De r Vek tor a ' wird also gestreckt , der Vektor a' gestaucht u nd im v orz cieben ge ändert. De r ne ue Vektor Ai . a ' + AJ . e ' e rnsteh t na ch dem Pa ralle logrammpr inz ip aus den durch die Skalare ver änderten Vektoren.

k, A, > 1

A, . a '

-1< A,
a'

....

...

A, . a ' + A, . a'

....

...

, ,,

'

k,

Abbil d ung VI 2: Linearkombination von Vektoren Aus Ab bild ung VI 2 w ird unmittelbar er sich tlich, da ss wi r (sofern d ie Vek toren a ' un d a' nicht übe rein a nde rliege n bzw. sich a uf dem sclben Strahl befinden ) jeden Vektor C E IR l durch Li ne arko mbinatio n von n ur zwe i Vektore n a'. a' E IR l ge ne rieren könne n. W'ir sagen in diesem Zusammenhang a uch, d ass d ie beiden Vektore n den Fd!fornlll lll a ufspannen. Positive

k, A, . a '+A, . a '

Linea rkom bi nation :

a,

.. .-' -.,_.-'-' , "

.. .-.-.-' '

'

,

A, . a '

a'

k,

Konvexe l.inearkombination :

k, a,

O< A,<1

O< A,
". '. A, . a' + A, . a' '.

,

A, . e'

,

.". a'

A, . a'

o

k,

Abb ild un g VI ,3 : Positive und konvexe Linearkombinanon von Vektoren

VI lin eare Algebra

312

Posit ive und ko nve xe Linearkomhinaüoncn lasse n s ich wie in Abbild ung VI 3 veranscha uhebe n. \Vir erkennen. dass wir alle in m it po sitiven Linearkombinatio nen nicht je den belie bige n Vekto r des Ve ktorr aumes generieren kön ne n. \Vir sind auf Vektoren besch ränkt, die inne rhalb des Sektors liegen , der von den Strahlen heschrä nkt wird , au f denen a ' und a' liege n. Es ist außerdem zu sehen, dass im f a lle konvexer Linear kombinationen die Vekto re n, die e benfalls auf de n O.g . Sektor bcschrä nkt sind , mit ih ren Spitzen alle auf der Verbindungsstrec ke der belden Vek tor sp itze n von a ' lind a' lie gen.

1.4.2

Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit

Lässt s ich mindestens eil/ er (nicht notwendig er weise jl'de r) vo n n Vektoren a', ...a" eines Vekto rraumes V als Linea rko mbi natio n der anderen darstellen , d.h. existiert ein Vektor a', fü r den

a' ... A, . n' +.

+ A,_,· a" + A,., .

a'" +

.. . + A" . a"

m it A. E IR

(V I.9)

gilt, ne nnen wi r d ie Ve ktoren linear abhängi g . Beispi el 1: Betrachten wir die Vektoren

Die drei Vektoren sind linear abhängig, da

a 3 = 3a' _ 2a 2 • Da hier offenbar gilt auch

Es liegt also ein spezieller Fall vor, bei dem sich tatsächlich jeder Vektor als Linearkom bination der übrigen darstellen lässt.

Beispiel 2: Betrachten wir die Vektoren

Sie sind linear abhängi g, da

a 3 = sa' + Oa2 . Wir können hier jedoch keine Linearfaktoren mehr finden, die es uns erlauben a ' und a2 in Abhängigkeit der anderen Vektoren auszudrücken.

1. Vektoren

Die Vektoren

31 3

a'ia',....a" e

V h eif~ e n linear unabhängig. Wenn d ie Be ziehun g o

A, . a' + A,' a' + .. + A" · a" = "' L, A., ·a' .. O

( VI. 10)

i"l

nur für die Linearfak toren A, = AJ

= .. . =

A.

=

0 gü ltig ist.

Beispi el : Um zu prüfen, ob die Vektoren

linear unabhängig sind, gilt es die Definitionsgleichung (VI.l 0) aufzustel len und das daraus resultierende Gleichungssystem zu lösen. Besitzt das Gleichungssystem eine andere als die triviale Lösung 1.1 = 1.2 = 0, sind die Vektoren abhängig, andernfalls unabhängig. Die Definitionsgleichung ergibt

bzw.

(~;:~~) =(~). Gleichheit der Vektoren setzt nun Gleichheit der Komponenten voraus, sodass wir daraus das folgende Gleichungssyst em erhalten:

I:

1..1 +61.. 2 =0

11 : 41.. 1 +1.. 2 = 0 Lösen wir Gleichung I nach 1.1 auf und setzen das Ergebnis in 11 ein, erhalten wir - 231.2 ", 0, d.h . 1.2 = 0 und schließlich auch A l = 0. Folglich sind die beiden betrachteten Vektoren linear unabhängig , Bei rn-dimensionalen Vektoren ist die Vorgehensweise ähnlich. Nur erhalten wir hier ein System aus m Gleichungen , dessen Lösung recht aufwend ig sein kann.

In IR! und IR:1 könn en w ir linear abbnngtge lind una bhängige Vektoren grafisch ans chaulich inte rp re tie re n . Abh ildun g VI ·1 (Hnkx) ze igt z wei li near IIIw hbä llg ige Ve ln oren a ' und a' aus IR 3 • Diese sind linear unahhängig, wenn sie im Raum e ine Ebe ne aufspannen . Linear abhängig wären d ie Vekto re n, wenn sie au f e inem Strah l Hegen und dem nac h kein e Ebe ne aufspannen . Abbild ung VI 4 (rechts ) ze igt d rei linear unahhangige Vel.!/()l'ell a', a ' Lind a' aus 1R 3. Sie sind dadurch geken nzeichnet , das,s sie e in "Dre tbe tn' in 1R 3 bilde n. Da aus den drei Vektoren durch Linearkombina tion alle Vektoren des Vektorraums generiert we rden , sage n wir auch , dass die d rei Schenkel des "Dreib ein s" den Vek to rraum IR'{ au fspannen . Liegen rier und mehr veuoren aus 1R 3 ve r, so sind d iese stots linear abbiillgig. Dies ist unmit telba r einleucht end , da aus drei unabhängige n Ve kto re n, jed er Vek to r des Vektorraums geoe ne n werden kann . Ein vierter Vekto r und je de r weitere ist daher eine Linearkom bination de r drei unabhängige n, und damit von diesen ;11>hängtg. Analoges gilt auch für rn-dimensionale Vek to rräume.

VI lin ear e Algebra

3 14

k,

k,

a

a'

~ k,

, ,,

,,

k,

o

k,

k,

Abbildung VI 1: Linear un abhängige Vektoren im dre id imension alen Ra um Die dre i uoa bhiing igen Vektoren a ', a ' und a ' ;!US Abbildung VI 4 (rech ts) bilden eine sog. Basis des Vektorra um s R.:\. Un ter einer 8 a sis ve rstehen w ir im Allgemei nen eine Teilmenge von In linear un abhä ngtgen Vektore n a', a', ..., a" e ines mdimensionalen Vektorraums. mit denen der gesam te Vek torraum a ufgespa nnt bzw . jeder Vektor des Raums durch Lincarkornbinarioncn d ieser Vektoren ge neriert werden kann . D ie darin enthultcnen Vektoren a' ( i ., 1,2,. .. .m) heißen Basisreistoren. Beispiel:

Die drei Vektoren e' ,a2. a3 € :R 3

sind linear unabhängig und bilden damit eine Basis. Aus zwei dieser Vektoren ließe sich

eine Ebene in !R3 , durch alle drei de r gesamte Vektorr aum ;R3 aufspannen. Um den beliebigen Vektor

als Linearkombination dieser Basisvektoren darstellen zu können , stellen wir zunä chst die Be ziehung

1. Vektoren

315

auf. Aus der Forderung nach komponenten weise r Gleichheit resultiert daraus das Gleichungss ystem

- A,

+ A,

11" :

A, - A2

111:

Al + 3 A2 + 2A3

" 2 " 6 " -2

mit der Lösung Al = 2, A2 = -4 und A3 = 4. Der Vektor a ist also als Linearkombination von 1 1 3 2 3 8 , 'ii und a in der Form a = 2a _ 48 + 4a darstellbar.

Einheitsvektoren

1.4.3

Im zwei - und dre id imensionalen Raum sind die Ve kto re n in Achse nncht uog dadurch geke nnz eic hnet , dass nur jeweils ei ne Kom ponent e , nämlich die in Achse nrichtung, un gleich Kuli ist. Hat diese Koo rdina te den \'('1.'11 Ei n .~ , so be zeichnen wir den Vektor als Ein h e itsve kto r . W'ie Abbildu ng VI 5 (Hnks I zeigt, liegt in ]R3 auf jede r der dre i Achsen e in Einheit svekt o r. Die Einheit sve kto ren lau te n

k, a,

-> :

i

'. -",

"-- '.,.--r-''.-,,, ,

i: e

,

k, 1

e

,

-" '-.

,

,, ,,

k,

""-.

a

k,

.' .

'.

'.

0

0

k, k, Abbildung VI 5: Einheftsve ktore n im dreidime nsionalen Raum

VI lin ear e Algebra

3 16

Den Bcg rlff UC.'i Einhe itsve kto rs könne n wir au ch a uf de n m-dimension ule n Rau m erw e itern. Es gibt hie r gc nau m Einhe itsve kto re n e' {i .. 1,2,... ,m) in der Form

o 1 +- I-re Kom po nente .

e' =

( VI.1 1)

()

Einhe itsvektor en besitzen d ie besondere Eige nschaft, dass sie a ufe ina nde r senkrech t ste hen (vgl . Abb ild ung VI S, links) , W'ir bezeichnen sie dah e r als ortboganal (senkrecht). \X'e iterhin sind die m Einheits vektor e n eines rn-dimensionalen Vek torraums l inear IIIWbhällf!Jf.:. Sie bilde n demnach ein e Basis, aus der s ich durch Lineurko mbination alle Vektoren des Vektorraums generieren lassen. Es gilt

a

=

[] 'a:" 2

=a

j

•

e ' +
• C'

+ ... + ao, . e" ,.

L'" :.l j.e'. ,=1

( V I.1 2)

:I ",

Die Kompon e nte n de s Vekt ors a sind also gerade die Linearfa kto re n der Einhe itsvektoren (vgl . Abbildu ng VI S, rechts) , "';-'ir sprechen bei (VI.12) von e ine r eano ntsche ll /.er!e!:lllllg des Vektors a und bezeic hne n die Einheits ve ktoren e ',c' ,.. ..e" als kano nische Ba sis.

1.4.4

Interpretation des skalaren Produktes

Bei der Multip likation reeller Zahlen können wir aus dem Prod ukt a h = 0 den Schluss ziehen, dass m indestens e iner der be iden Li kto re n gleich Null se in muss, Be i Vektoren könne n wir d ies nicht, wie folgendes Be ispiel 7.eigt: Beispiel : Aus den Vektore n

,, = (-3 9)

b=

(~)

erhalten wir

a · b = (- 3

9) {~) = -9 +9 = O .

Das Skala rprodu kt beider Vektoren ist also gle ich Null, ohne dass einer de r beide n Faktoren ein Nulivektor ist.

Stellen wir zwei zweid imensionale Vektoren a und b , deren Slealarp rtsdukt X liII ist , grafisch dar , so ergilu sich ei ne Gestalt wie in Abbildung VI 6. He ide stehen se nkrech t zueinande r, d.h . .sie sind onhogonat. Speziell gilt d ies für Einheltxvektore n, da auch ihre Skalarprodukte gleich Null sind .

1. Vektoren

31 7

""i r können diese Erke nntnis auch auf einen m-dimensionnlcn Vektorraum übertrugen. Auch hie r werden zwei Vektoren a , b E IR'" als o rthogona l bezeichnet, wenn ihr skalares Prod ukt gle ich Kuli ist. k, a

k,

Abbild ung VI 6: Vektoren mit Skalarprodukt vo n Kuli

2.

Matrizen

Fassen wir mehrere gleichdimensionale und sachlogisch verwandte Vektoren zusammen , entstehen mehrdimensionale, rechteckige Zahlen leider, die als Matrizen bezeichnet

werden. Sie sind Thema dieses Abschnitts. Wie bei den Vektoren werden wir auch hier Ordnungsrelalionen und verschiedene Rechenoperationen behandeln. Darüber hinaus besc häftigen wir uns mit hinsi chtlic h ihrer Strukt ur oder Anordnu ng der Elemente spezie l-

len Matrizen und mit der Bedeutung der linearen Abhängigkeit für Matrizen, die zum Begriff des Rangs einer Matrix führt .

-

2. 1 Begriff Un ter einer Matrix verstehen w ir allgemein eine Zusammen fassung von m . n reel -

len Zahlen

:1'1 e

IR zu eine m rec hteckigen (rn x m-Tupel der Fo nn

A =

"" "" a

[

21

a':'1

","

a2~

<1


m2

]

(VI.13)


Si\.' he sitzt m Zeilen lind n Spulten . sodass ihre Dimension

(01 X n ) isl. \X'ir bezeichnen .'i ie ku rz als rm X n j-Matri x. \'('ir we rden in diesem Buch Matrizen durch weg m it Hilfe fe tt gedruckter , grol.{er lateinischer Buch stab e n darstellen Lind um die Angabe der Dime nsion erg änzen, wenn diese nicht aus dem Ko ntex t hervorgeht. So schre ibe n wir für e ine (m x n j-Marrix gdl'gl'n tlicb A n1x n ' Um Ik zug au f e ine spezielle Spalte einer Matrix nehmen zu können, sch reib t man A'i" Sie be zeichne t die j-tl' Spa lte der Mat rix A. Die- i-tc Zcih- der Matrix A be nennt man e ntspre che nd

m it A i, '

'IX/ je aus d e r De fin ition der Matrix un schwer zu erkenne n ist, ist jeder Ve kto r e ben-

falls t:im: Matrix. So ist ein Spaltenvektor e ine (rn x l j-Matnx und ein Zeilenvektor clne ( 1 x nj -Matrix. Ein Skalar ist dementsprechend eine (1 x l j-Matn x. Da jede Spulte e iner Matrix einen Spaltenvektor da rste lh, können wir e ine Im x n )Matrix A a uch als geordue/cs "\) 'Sf(' JrI von n Spaltenvek to ren auffassen .

A = (b i b ' ... b

n

)

mi t b ' =

I::::]
für

i '" 1,2, ... .n

CVI.l 4)

320

VI lineare Algebra

Gle ichz eit ig ist jed e Zl;'ih: ei ne r Matrix auch e in Ze ilen ve ktor. sod as s wir e ine tm x n j-Matrix A e be nfalls als geordnetes System vo n m Zeilenve kto ren ansehe n können .

c' c'

m it c ' '" (
:.I., )

(V1.l5 )

fü r i " 1,2, . .. .m

Bei spiel : Aus der Produktion eines l ebensmittelherslellers stamme folgende Tabelle , welche die Zusammensetz ung einzelner Produkte beschreibt: Erzeugnis 1 Fert igm ischung A

110 9

Fertigmischung B

330 9

Fertigmischung C

59 29 79

Ferti gm ischung D

Fertigmischung E

Erzeugnis 2

Erzeugnis 3

09 21 9

100 9

59

105 9 210 9

200 9 300 9

39

20 9

Wie in Abschnitt I könnten wir nun für jedes Erzeugnis einen Vektor anlegen, der die einzelnen Zutatenmengen enthält. Wollen wir alle Erzeugn isse kompakt darste llen, bietet sich dafür eine (5 x 3)-Matrix an. Sie ist im Prinzip für diejenigen Personen , d ie mit dem Aufbau der Date ntabelle vert raut sind , als Informationsquelle aus reichend.

s=

11 0 0 5 330 21 100 5 105 200 2 21 0 300 7 3 20

Aus dieser Matrix S kann als o z.B. ablesen werden, dass d ie Zahl 105 in der 3. Zeile und 2. Spalte bedeutet , dass für Erzeug nis 2 genau 105 9 der Fertigmischung C erforderlic h sind.

-

2.2 Spezielle Matrizen Aufgru nd ihrer Struk tur oder gew tsse r Eige nschafte n gibt t's für be stimmte Mamze n spezielle Beze k-bnungen. \'\'ir wisse n bere its, U"SS Zeile n- und Spa lten vck to n-n als spezielle Matrizen :lufgefasst we rden kö nne n. Weitere Spez ialfälle wo lle n wir nun im Folge nden näher betrachten.

1. Quadratische Matrizen Eine Matrix A wird als qua d rat isch vo n der Ordn ung m be ze ichn et, we nn ihre Spalte nzahl gleic h de r Zeile nzah l. d.h . ihre Dime ns ion gle ich m x m ist:

2. Matrizen

32 1 a l2

[ "n A = a -' l

;122

"'m a 2m ]

a ':' l

;1",2

.,

(VI.1 6)

Die Koe ffiziente n a,; für i = 1,2,... .m ei ner quadratischen Matrix A bilden die lI a uptd iago n al e, die immer von der Eckt: links oben nach der Ec ke rechts unte n ve rläuft. Die Nebendiagona le einer quadratischen Matrix A ve rläuft vo n rec-hts oben nach links unt e n und besteht aus den Elemente n ae ...... , für i = 1,2,... ,m . Beis pie l: Für die quadratische Matrix

A = l~; ~g [ID~ ]

A=

3 2

[

rn]

7 [ID 5 [j] 9 8

besteht die Hauptdiagonale aus den Werten 3, 6 und 8 , die Nebe ndia gona le aus den Werten 4, 6 und 1. 2 . Diag;ona lmat rlzen

Eine qu adratische Matrix D der Ord nung m be zeic hne n wir als Diagonalmatrtx, we nn alle Koeffizie nten außerhalb der Hau ptdiago na le n gleich Null sind :

(VI.I7)

3. Ein h ei tsmatrizen Sind alle Koe ffizie nte n der llauptdiu go nalen einer DiaW)//alma l rix gleich Eins, h e if~t die entstehende Matrix E Einbettsmatrix.

E

=[~.. () ~].. .

.

() ()

1

(V I.18)

Wir erk ennen, dass di e Einheitsmatrix E in den Spalten un d in den Zeilen gerade di e unter VI 1.4.3 behandelten Einheitsvek to re n en thält. Aufgrund ihrer eno r men Bede utung w urde für Einheitsmatrizen in der Literatur der Buc hstabe E rese rviert. Im engllschsprachigcn Ra um verwendet man gewöhnlich I ( = tde nury matrix). \X1ir we rden das Symbol E verw enden und die O rd nung m in der Form E", explizit a nge ben, we nn sie sic-h nich t e indeutig ~lU S de m Zusammenhang e rgibt.

VI lineare Algebra

322

4. DreiecksmaCrizen Sind die Koeffizie nte n e iner quadratischen Matrix obe r- ode r unte rha lb der Ha uptd iagonalen glt:ich K uli, we ist d ie An o rdn ung d er festlichen Ko effi zi ent en eint: Dreiecks form au f. De rart ige quadrausehe Matrizen w erd en ab D re teck smatriz en ,

speziell als un tere bzw. o be re Dre ie cksmatri ze n bezeichnet. Eine o bere Dre iecksmat rix 0 ha t dam it das Ausseh en On

Olm]

o

0 =

Olm

.

[

o

o

,

(VI.19a)

0 ",,,,

(VI.19b)

5. Nu llmatrizen Sind alle Eleme nte einer (m x nj- Matrix gleich Kuli, lkgt ei ne sog. Nullmatrix vor:

O

=[~ ~ ~] .

()

(VL2Ol

.

0

()

6. Transponierte Matrizen "'.'e rden be i einer un x nl -.\Iatrix A Spalten und Zeilen ve rta uscht, vergibt sich ei ne neue (0 x rnj -Matrix ,( ', d ie man als t ra nsp o ni erte Matrix oder

bezeichnet.

A=

["n

a ~' l

.;

a ll a 2l

","

a m2

.,

:l 2n

• mn

] (mxn)

H

AT =

[""

Transpontene von A

a 2l

:1; 2

a 22

:1m 2

a 1n

a 1n

' m n (nX1ll1

.,""" J

( VI.21)

Im Fa lle ein er quad ratischen Matrix A können wir a uch sagen , dass wir die Transpunk-ne erh alten, inde m wir ihre Koe ffizie nte n an de r Haupt diago nalen sp iegeln. Eine spezielle Fo nn rransporuerter Matrizen hab e n wir im Ka pitel VI I kennengelernt. Die Tran sponie rt e e iner tm x l)-Matrix ist eine (l x m l-Matrlx, d.h . transponieren wir eine n Spaltenvektor. erhalten wir einen Zeile nve ktor und umge ke hrt.

2. Matrizen

323

Beispi el :

A=[23 4 8) 1

0

6

7 (2)<4)

AT = 3 2

~

[ :

0' ]

~

( 4)<2)

Transponieren wir die Transponierte A' noch einmal , ergibt sich w iede r d ie Ausgangsrnat tx. d.h . es gilt Die Transponierte D~ einer Diagonalmatrix D ist gle ich der Matrix selbst . \X'ir gcn, die Diagonalmatrix ist inva riant gegenüber der Transponatton . OT = 0

S: l -

(VI.13)

7. Sym m el risc he Malrizen Außer der Diagon almatrix s ind noch andere quadra usehe Matrizen inva riant ge genüber de r Trauspouarion. Es handelt sich dabei um sog. symmetrische Mat ri zen, deren Koe ffizie nte n spiegelsymmetrisch um die Hau ptd tagc nale a ngeo rdn e t sind . Eine quadratische Matrix A ist also symmetrisch , wenn sie gleich ihr er Trunsponierten AT Ist, also A ist symmetrisch

A'l" = A,

H

(VI.2-1)

hzw . wenn gilt :1, .. :1.

für a lle

i,j = 1,2,... .m.

Beispiel:

,

7

A= 7

2

[5 - 6

~]

Eine quadratische Matrix A wird als schiefs ymmetrisch beze ichnet, wenn gill A ist »chtcfsynunctnscb

H

AT = - A .

(VI.15)

Da für a lle Koeffl ziemcn a,; = - a, er füllt sei n muss, d .h. auch für d ie Ha uptding onalelemcn te a" '"' - ;I . gehen muss, folg! a" "" O. Die Ha uptd iago na le e iner schiefsymmetrischen Matrix Ill11S.S also mit Nulle n be setzt sein . Beispiel:

A=[-; ~ =~]

H

AT=U ~~ ~]=-A

V I lin eare Algebra

324

-

2.3 Ordnungsrelationen und Matrizenoperationen Nach Be ha nd lung des Be griffs der Marix und ein iger spezieller Matrize n ste llt sich nun d ie f rage , welche Relatio ne n zwisc hen Matrizen beste he n können lind welc he Reche nop e ratione n zw ischen Matrize n möglich sind . Da e in m-d imension aler Spalten ve kro r eine (111 x l r-Matrix und ei n n-dtmenstonalcr Zeile nvektor eine (l x n)-~ b lrix ist, müsse n die für Vektoren defin ierten O rdn u ugsretauoneu auch für Matrizen ensprccbcnd gellen . Besitze n die Matrize n A und B d ie gleicbe n une nston (tu x 0 ), so können w ir kompakt folgende Bezfehungert fe st halten :

....

A =B

....

A >B

....

A
;! ;j = h;j

für alle i =1 ,2,... , 111 und i= l ,l , .., n

"nu

:l ij

> h ;j

fü r alle i = 1, 2, ... ,m

:1i j

< b ;j

fü r alle i = 1, 2, ... , m und

j = 1, 2, .., n

i = 1,2

(VI.26)

.., n

Die Beziehunge n gelte n für die v e rgtet chsope ratore n ":5" und "z " entsprechen d . Zwei (m x nj- Mamzen gelte n be reits dann als ungleich , we nn sie sich nur in einem Eleme nt un terscheiden: A

~ ß

H

Es gibt mindeste ns ein Ind e xpaa r
~

h;j'

(VI.27)

Beispiel : Gegeben seien folgende oim enstonsqreich e, quadr atisch e Matrizen:

A=G ~)

B=C:

2 -1 )

c=G~) o=G~)

Aus der Vielzahl der mög lichen Ordunqsrelatione n seien nur folgende herausgest ellt: a) A "" C,

da alle Elemente von A mit allen Elementen von C übereinstimmen .

b) A ", D,

da ein Element von D (dn "" 5) von A abweicht.

c) A > B,

da jedes Element von A größer ist, als das entsprechende Element von B.

d) C

s D,

da die Elemente von D, die nicht mit dene n von C übereinstimmen (d 22 größer sind als die entsprechende n Element e von C.

""

5),

Vergleichen wir ei ne Matrix A m it eine r dimensionsgleichen Nullmatrix 0 , bezeichnen wir die Matrix A als

• • • •

posutr, wenn A > 0 bzw. a. > 0 für alle i.j. semtpostttr; wen n A ~ 0 bzw. :l
Da Vektoren spezielle Matrize n sind, müssen alle vekr oro pc rarionen für Matrizen ernsprechend gelten . W'ir können daher folgende zuläss igen Matrizenoperationen festhalten .

325

2. Matrizen 1. Multip likation mit ei nem Ska la r

Eine Matn x A wird mit e inem Ska lar A mu ltipl iziert . ind em alle Ko effizie n te n der Matrix m it A mulnpltztert we rd en . C = A ·A

H

Cij = A ';!ij

für nlte t.I

( VI.2Hl

Nimmt A d e n \'{lert Null a n, so ist d as Ergebnis d e r Mult iplikanon eine Nullmat rix O. Liege n meh rere Ska lare als Fa kto re n vor, g ilt das Assoziativge set z ( A· y) ·A- ). ·(y· Al, Beispi el: Die Produktion eines Industriebetriebes verteilt sich auf vier Fertigungsmaschinen. Es werden zwei Produkte A und B gefertigl. Die aktuellen Produktionszahlen je Maschine und Produkt in Stück sind in folgender Tabelle gegeben:

Produkt A Produkt B

Maschine 1

Maschine 2

Maschine 3

Maschine 4

400 600

500 120

550 340

200 100

Durch eine Verlängerung der täglichen Arbeitszeit lässt sich nun eine eine Erhöhung der produzierten Menge um 20 % erreichen. Welche Stückzahlen werden nach der Produkti onssteigerung je Maschine und Produkt gefertigt? B = 1 2 .A = 1 2 .( 400 500 550 200 ) , • 600 120 340 100

= ( 1,2 , 400 1,2 ·500 1,2 ·550 1,2 ,200 ) = ( 480 600 660 240 ) 720 144 408 120 1,2 ·600 1,2 ·12 0 1,2 · 340 1,2 ·100 Zur Interpretation der Ergebnismatrix sei erwähnt. dass z.B. der Wert 600 bedeutet , dass nach der Produktionssteigeru ng um 20 % auf Maschine 2 genau 600 Einheiten von Produkt A hergestellt werden.

2. Add it ion vo n Matrizen Vo raussetzung für d ie Add ition rb zw . Sub trakt ion ) von Matrize n ist, da ss beide Matrizen tlie g kric b e Dimension au fw eisen . Ma triz en m it u ngleiche n Dime nsionen kön nen nicht addiert (hzw . subtrahiert) we rden . Die Ad d itio n (b zw. Subtrakt io n ) zw c tcr ( m x nj-Matrtzen A un d ß e rfo lgt du rch die Add itio n ( bzw . Su btraktion) d er e n tsp rec he nd en Matri xkcleffiziente n. C= A±ß

H

Cij = ;l ;i ± h ii

für a lle i.]

( V1.29l

Beispi el : Die Stückzahlen der Produkte A, S, C und 0 , die an verschiedene Großkunden 1, 2 und 3 eines Unternehmens verkauft wurden, seien für zwei Halbjahre bekannt: 1. Halbjahr

Produkt Produkt Produkt Produkt

A S C D

Großkunde 1 50 SI. 100 St. 200 SI. 2.000 SI.

Großkunde 2 100 SI. 20 SI. 1,000 SI. 2.000 SI.

Großkunde 3 1.000 SI. 5.000 St. 1.000 SI. 500 SI.

VI lineare Algebra

326

2. Halbjahr: Produkt A Produkt B Produkt C

Großkunde 1 1.050 SI. 1.300 SI.

Großkunde 2 o SI. 1.200 SI.

Großkunde 3 500 SI. 1.000 SI.

2.500 SI. 2.000 SI.

1.000 SI. 1.500 SI.

2.000 SI. 7.500 SI.

Produkt 0

Aus diesen Wert en soll nun ermittelt werden, welche Liefermen gen sich je Abnehmer und Produkt im gesamten Jahr ergeben :

C =A +B ==

[

50

100

100

20

5.000

200

1.000

1.000

1.000]

2.000 2 .000 50 + 1.05 0

+ ( 4x3)

100 + 0 20 + 1.200

100 + 1.300 [

500

[ 1.050 1.300

0

500 ]

1.200

1.000

2.500 1.000

2.000

2.000 1.5 00

7.500

( 4x3 }

1.000 + 500 ] 5.000 + 1.000

1.000 + 1.000 1.000 + 2.000

200+2.500 2.000 + 2.000

2.000 + 1.500

500 +7 .500 (4)<3)

1.1 00 100 1.500 ] 1.400 t .220 6.000 2.700 2.000 3.000 [ 4.000 3.500 8 .000 (4)<3) Die Ergebnisma trix C besitzt die gleiche Dimension wie die Matrizen A und B. Der Wert C32 '" 2.000 bedeutet z.B., dass der Großkunde 2 von Produkt C im gesamten Jahr genau 2.000 Stück bezogen hat.

Für die Addi tio n thzw. Subtraktion) von Matrize n gelten folgende Rechenrege ln. 1. Kom mutativgese tz A + H =B +A

(VJ.30l

( A+ ß l + C= A + (ß + Cl

(V I.3 1)

).· ( A+ B l =A · A+).· B

(VI.32)

2. Asso ziativgeset z

3. D istrihuti vgesetz 4. Tra nspo nie re n (VI33)

5. Nullmatrix A ± O =A Beispi el: Gegeben seien die Matrizen

A"'C ~)

und

B"'G:).

(V I.34)

2. Matrizen

327

Es gilt (VI.331 , da A +B = ( 6 8 ) (A + B}T = ( 6 'O) und AT + BT = (' 3) +(57) = ( 6 10) . 10 12 ' 8 12 2 4 6 8 8 12 Außerdem gilt (VI.321, da

,2)

2 ' (A + B1= (1 2 16) = ( 2 4) +(' 0 = 2 · A + 2 ·B. 20 24 6 8 '4 '6

3 . Multiplika tion von Ma trize n

Das Produ kt A B 1.....-eter Matrizen A u nd B kann g rundsätzlich nur d ann ge bilde t werden, wenn d ie Spaltenzahl der "e rsten" Matrix A gleich d e r Zeilenzahl der "zwe ite n" Matrix B ist, d .h . wenn A mxk und B kxn g ilt. Beispiele: 1. Das Produkt A 2x3 -B3x7 kann bestimmt werden, da nA = me = 3. 2. Das Produkt A 4xS ' B 3x4 kann nicht bestimmt werden, da nA 'T- rne.

Ist A eine (m x kt -Mnrrix lind ß eine (k x n j-Mat rix , e rgibt sich als Produkt A ß der be iden Matrizen eine (m x n)-.\-la trix C, fü r die fü r i .. 1, .. .m u nd j = i, .. .n gilt: l..gl Dilm'nsion
C A,;:~~':'~':~~ H lllxn =

Cj j

=

A a., i:a'h. =

j• •

h hj

(V I.,35)

h=l

m us s gll' ich -'<.·i n

Die Matrix C besitzt a lso gcnau so viele Zeilen w ie A und so viele Spalten wie H. Ein Koeffiz ie nt c, der Matrix C e rg ibt sich als skalares Pro d ukt der i-tc n Zeile A j • der Matrix A mit der j-ten Spalte B i der Matrix B. Da das skalare Prod ukt nu r für glctchdtmcnstonale Vektoren definiert ist, liegt hieri n d e r Grund, warum d ie "ers te" Matrix gvnau Su viele Spalten wie d ie "zwe ite" Matrix Zeilen besitzen muss. Beispi el 1: Es soll das Produkt C = A . B ermittelt werden.

A =[

~ ~]

B=( 3

- 1 7 (3x2)

- 2

-') - 7 (2::< 2)

Die Multiplikation ist hier zulässig, da nA = ms. Die Ergebnismatrix C besitzt die Dimension

(m, x ne) bzw. (3 x 21, hat also drei Zeilen und zwei Spalten.

c=[~~] ( 3-') - 1 7 (3x2)

- 2 - 7 (2x2)

= [~;: ~;:] C31

c32 (3x2)

VI lineare Algebra

328 Zur Ermilliung von

Cl l

wird d ie 1. Zeile von A mit der 1. Spalt e von B multipli ziert:

O) {_~) = 4 '3 +0 '{-2) :12

c,, = {4

C21 erhalten wir aus de r 2. Zeile von A und der 1. Spalt e von B :

C21=( 3

1) {_~) =3 '3 +q-2) = 7

Dementsprechend wird zur Berechnung von aus Matrix B herangezogen:

e31 = (- 1

C31

die 3. Zeile aus Matrix A und die 1. Spalte

7) . r-~) = (-1) '3+7 ' (-2) = -17

Die verbleibenden Werte ergeben sich analog:

C,2 = (4

O) {~;) = 4 +1)+O ' (-7) =--4

cn = (3

ll{=; ) =3+ 1)+H-7l=-10

C32 =( - 1 7)

(=;)

= (- 1)·(- 1)+ 7 · <- 7) = -48

Es erg ibt sich also insgesa mt

C=

12 [

-4]

7 - 10

- 17 - 48 (3x2)

Beispiel 2: Praktisch e Anwendung Materialverflechtung Ein Unternehmen produziert zwei Produkte P, und P2. Diese Produkte entstehen durch Zusammensetzung aus einzelnen 8auteilen 8 1 , 8 2 und 8 3 , welche sich selbst wieder aus Kombination der Zwischenprodukte Zh ~ , Z:3 und ~ ergeben. Die Zwischenprodukte bestehen aus den Kleinteilen K1 und K2 .

[J --- - - - ,rn-- - - - - , DJ-- - - - - ,[J

Dieser Sachverhalt lässt sich unter Angabe der notwendigen Stückzahlen in Form von Matrizen darstellen.

z;

Z, Z, Z3 Z, K1(20 5 10 50) K, 0 25 40 30 (2x4)

8, 8, 83

B·

zr

9

Z, 5 0 Z3 6 7 Z, 3 1

~t31

P,

8T 83 3

P = 82 2

P,

~L"

2. Matrizen

329

Zur Erklärung: Der We rt 20 in Matrix Z bedeut et beispi elsweise, dass zur Produktion des Zwischenprodukte s Z, genau 20 Einheiten des Kleinteits K, benötigt werde n. Analog kön nen die Matrizen B und P interp retiert werde n. Anhand dieser Angaben soll nun ermittelt werden, wie viele Einheiten von K , und K2 insgesamt für die Produktion von P, und P2 benötigt werden. Wir interessieren uns also für die Gesam tverbrauchsmatrix G, die sich aus de r Multiplikation der einzelnen Matrizen ergibt und die Dimension (mz x np) besitzt:

G2x2 =: Z2x4 ' B40<3 ' P30<2 Anhand der in Beispiel 1 behan delten Rechensc hritte erhält man zunächst:

B1

Z2x4 B .

B2

B3

_ K, [ 315 300 430 )

40<3 -

K 2 455

310

480

(2)<3)

Diese .Zwischenerqebnisma trix" gibt de n Bedarf an Kleinteilen für die einzelne n Bauteile an. Im letzen Schritt wird der Bedarf an Kleinteilen für die Endp rodukte ermittelt:

Pl

_ [ 3 15 300 2x2 - 455 310

G

P2

=:

K, [ 2 .205 2.420 ) 430) ,P3x2 480 (2x3) K 2 2 .515 3.090 (2x2)

Be i der Muhip hkat ion vo n Matrize n ist zu beachte n, dass das uonnnutanr e Gesetz

der stutttptttmuo n nicht gtlt, d.h . A · B ;t: B ·A .

(VI.36)

\X' je das fol gende Beispiel zeigt , iSI es sinnvoll und wich tig, be i einer Multiplikation

immer ei nde utig die Stellung der Faktoren zu bezeichnen . Die s geschieht meistens durch Hinweise auf die Ano rd nung , Wollen wir z.B . ausdrü cken, dass ein e .\Ia lrix A mit ei ne r Matrix B multipliziert werden soll, so sollte die Anweis un g lauten : •

Multiplikation der Matrix A mit der Matrix 8

l'O lI

•

Multiplikati on der Matrix A mit der M atri x 8

ronttnes. B . A

Beispiele:

1.

2')

rechts: A . 8

B ~[~ -~ _~] 0

31 (2x3)'

1

1

(30<3)

Für diese Matrizen können wir das Produkt A · B berechnen :

A.B =[66 106 -3) -8

( 2)<3)

Das Produkt B . A ist jedoch nicht def iniert , da d ie Spalten zahl der "ersten" Matrix B ungleich der Zeilenzahl der "zweiten " Matrix A ist.

2.

A =: (~ ~

: ) (2)<3) '

B =[~ -~]

( 30< 2)

330

VI lineare Algebra Hier sind beide Produkte A . B und B . A definiert, jedoch ergeben sich Matrizen unterschiedlicher Dimension:

A.B =(66 106), BA = [~0 ,~3 ~]1 3.

A ~ (~ ~)(2x2) , B = (~ -~)(2x21 Auch hier existieren die Produkte A . B und B . A. Seide haben dieselbe Dimension, jedoch sind ihre Koeffizienten verschieden:

A.B =(6 5) B'A =('2 13' ) 6 9 ' Aus den Definition e n de r Addition und de r Multiplikation können wir die folgen den Gesetxmnslgkencn ableiten: I. 2.

A.~ s( l z i a t i vge set z

A . ß . C = ( A . B ) . C = A . ( B. C)

(V I.37)

A · ß + A · C = A ·(8 + C l.

(V I.3H)

Distributivgese tz

Ma n beachte jedoch, daxs im Ausdruck A · ß + c.A

die Ma trix A nicht uusgeklanunert we rden da rf. Die beide n hier aufgeführten Gesetze sind lx- sonders im ll inhlick auf de n Rechena ufu-au d d er .lI/dlijJlik a lio/l von p rakt ischem Irue rcsse . Zur Durchführu ng der Multiplikation A m ~ k ' ß k>
wobei jedes Skalarprodukt k Multiplik atione n und k - I Additione n e rfordert. Unter Vernachlässigung de r e ine n gespalte n Additio n sin d also m . n . k Operationen auszuführe n. Bei Matrize n der Dimen sion (1.000 x 1.( 00) ergeben sich bereits 10" Rechenope rat tonen , d ie a uch für mode rne EDV-Anlagen nicht mehr vernachlässigbar sind . Die Redu zie run g der Rechencper.u ione n durch das lJ istribllli /'P,esefz bzw. durch das Ausklamme rn e iner Matrix aus ei ne r Sum me von Matrize np roduk te n ist un m ittelbar einle uchte nd . Es sollte also im Falle einer wahlm ögltchkcu zuerst die Additio n und dann erst die Multiplik.uion ausgeführt we rde n. Oie Rechenvort eile durch Anwend ung des , lssoziafil'gesefzes kö nne n noch erheblicher setn als hei m Distrih utivgesetz, sind jedoch au f den e rsten Blick sch werer zu erkennen . W'ir betrac hte n daher folgen des e infach e Beispie l. Beispiel : Es soll das Produkt A lO~1 00 ' B 100~20 ' C 20~200 ausgewertet werden. In der Reihenfolge (A · B ) · C sind 10 · 100 ·20 = 20.000 Operationen für die innere und 10 . 20 . 200 = 40.000 Operationen für die äußere Multiplikation, d.h. insgesamt 60.000 Rechenoperationen erforderlich. In der Reihenfolge A · (B · Cl sind es dagegen 100 · 20 ·200 ", 400.000 für die innere und 10 ·1 00 · 200 = 200.000 für die äußere, also insgesamt 600.000 Operationen.

2. Matrizen

331

Es lohnt sich also, vor der Multiplikation eine günstige Auswertungsreihenfolge festzulegen. Während es bei drei Matrizen nur die hier gezeigten zwei Auswertungsreihenfolgen gibt, sind es bei vier Matrizen bereits fünf Allernativen ((A . B) . Cl . 0 , (A . (B . Cl) . 0 , A . ((B . C) . D), A . {B . (C . 0 )) oder (A . B) . (C . D). Bei fünf Matrizen sind es bereits vierzehn mögliche Kombinationen usw. Als Faustregel für die Wahl der geeigneten Reihenfolge können wir festhalten, dass wir diejenigen Multiplikationen zuerst ausführen sollten, die kleine Matrizen als Zwischenergebnisse haben. Sind alle Matrizen quadratisch, so ist die zahl der Rechenoperationen von der gewählten Reihenfolge unabhängig.

\\ 'ird das Produkt zweler Matrize n A und 8 tran spo nie rt, keim sich die Reihen folge der Faktoren des Prod uk ts um, d.h. ( A · 8 )l = 8 1" . A T.

(VI.39)

Für das Prod ukt me hre re r Matrizen gilt ( A . B . C . ... . Z JT = Z l" . .... c" . BT . A T. Beispiel :

-,

(A .B)T ==

[

1

-7 -4

1-7-4] 1

2

2

1 -4 -2

1-7-4] 1 2 2 1 -4 -2

Für d ie Multiplikation ein er \Iatrix A mit de r Nullma trix 0 und de r Einheitsmatrix E gelten d ie folge nde n unmittelbar e inle uchtende n Gesetzmii8igkeiten: A ·O =O ·A =O

(VI.4OJ

A ·E =E ·A =A

(VI.41)

Falls A nicht quudruusch ist, sind hier links un d recht s verschieden dimensionierte Matrizen 0 bzw . E einzusetzen . Beispiel :

A=['2 ~) , B=[:7 10:]

332

VI lineare Algebra

A.E=C 3).(' 0)=(' 3) EA =(' 0).(' 3)=(' 3) 4

01

BE =[~ 8]{~ 9 10

~) =

2 4 '

0

1

2 4

2

4

[5 8]

[' ° 0][5 8] [5 8]

6 9 , E ·B = 0 1 0 · 6 9 = 6 9 7 10 0 0 1 7 10 7 10

Zum Abschluss dieses Absch nitts wollen w ir noch zwei Speztaffä lle d e r Ma t rize n multiplikat io n au fführe n . De r ers te davo n ist uns bereits im Abschn itt VI 1.2 als Sleatarprodulet eines Zt'i1(!1/ · wut ei nes Sptlllelll ,<,klOr~, begegnet. Is t d ie Spähenzahl des Zeilenvektors «(1 x k j-Matrix j gleich de r Zeilenzahl des Spal tenvektors (Lk x 1)i\latrix) gilt näml ic h k

m it


=

L :I ,h'

h hl '

(V1.42 J

h "l

d.h. das Ergebnis ist ei ne

(l

x l j-Matrix bzw. ei n Skalar.

Auser diesem Spezialfall ist a uch noch das Pro d ukt ei nes rn -d ime nsion ale n Spalrenvcktors mit einem n-clirncnsionalcn Ze ilenvektor definiert, da e ine einxp ahig e Matrix mit einer e inze ilige n ,\1atrix mult ipliz iert wird . Ma n bezeichnet diesen Sonderfall :I[S Jas dyeadiscbe t'ru dulet zwcier Vektoren. Das Ergebnis ist e ine ( 01 x n lMat rix:

~:[ ] a~n

' (h,

< ""X l)

Beisp iele:

.=(, 2) , b = (~) 1.

Skalarprodukt von a und b :

a .b e It 2 l {:) =1 . 3+2 .4 = 11 2.

h1 a2 . h 2

:11 •

Dykadisches Produkt von a und b:

b.a =(34 ).(, 21=(3.' 3'2 )=(36 ) 4 ·1 4 ·2 4 8

;I m'

b2

""h"] b.,

:l l

...

I

< ",

.

bn

(mxnl

(VI.43)

2. Matrizen

-

333

2.4 Rang einer Matrix Ein im Rahmen der linearen Algebra bedeutender Begriff ist der des Ib ngs einer Matrix. Er ist e ng verknüpft mit der line a ren Unabh äng igkeit d e r Spalten- und ZciJenvektoren (vgl. Abschnitt VI 1.4.2 ) ei ne r Matrix. Zunächst einmal g ilt, dass die Zahl line ar unabhängiger Spal ten- b zw. Zeilenvektoren e iner ( \11 x nj -Matri x n icht g röt~e r als die Dime nsio n m b zw . n der Vektoren se in kann . Nach den Übe rleg ungen d es Abschnitts VI 1.4.2 können es jedoch wen iger se in . Es g ibt :.llso e ine maximale Anrahl linear u nabh ängiger \ 'eklorel/, die wi r als Spalten - b zw . Zeilen rang bezeichnen. Eine gru ndlegende Eigc nsch aft alle r Matriz e n ist, dass Zeilen- u nd Spal tenrang imme r identisch sind , sodass man nu r kurz vo m Rang e iner Matrix A sp richt. Er stellt die Maximalzahl linear unabh ängige r Spalten bzw. Ze ilen der Matr ix A dar und wi rd m it rg(Al abgekürz t. Beispiele:

1

E

=[~ oo 0] 1 0 1

Diese Einheitsmatrix E hat de n Rang rg(E) '" 3. Die drei Vektoren sind klar unabhängig, da es sich dabei um Einheilsvekloren hand elt.

2. M "' [ ~ -~ -~ ~] -1 -2

4

2

Diese Matrix M besi tz den Rang rg(M) '" 2, da maximal zwei de r drei Ze ilen bzw. der vier Spalten linear una bhän gig s ind. Für den Ha ng rg(A) einer un x nr- Matr tx A gilt stets, d ass er nie gröser als d ie tdeinere Se ile d e r Matr ix ist, d .h . rgeA ) $; mtnlm.nl.

(v I.44)

Eine (4 X 7h\ f:.l trix besitzt also hüchstens den Hang 4 un d e ine (4 X 2h\btrix höchstens den Rang 2. Eine (m x nj-Matrix A wird als reg ut är be zeich ne t. wenn sie den i'ollel/ Rang be sitzt, d .h. wenn rg( A ) '" minfm, n l .

( VI.4';)

And ernfalls heigt sie singutär. So ist z.B. die Matrix E aus dem vorhergehenden Be isp iel regulär und d ie Matrix M singulär. Spezi ell ist ei ne quadratische Matrix rcgulär. wenn [(Al '" m ist, d.h. alle Zeilen u nd Spalten linea r u nabhän gig sind. Das Prod u kt C - A . 8 zweic r Matrize n A u nd 8 ist singulär, wenn e ine der beide n 'vla trtzen singulär ist. Fe rne r gilt , dass C höchstens den kle ineren Rang der belden Matrizen A und 8 ha ben kan n, d.h.

334

VI lineare Algebra rg ( A · B ) :S: m inl rg( A );rg(ß)1.

(V I. 46)

Ist B im Falle von (VI.46> quadratisch , so gilt rg(A · Rl = minl rg(A): rg(ß )!.

E.s gilt generell , d ass der R;lng der Transponierten eine r Matrix A dem Rang der Ursprungsmatrix A en tspricht, d.h . rg( Al= rg( A TJ.

(V1.47)

Hishe r ist offen geblieben , w ie der Rang ein er ,\ latrix konkret be rech ne t we rden kann . In Absch nitt IV 1.4.2 haben wir zwar gelernt nachzu weise n, o b e ine gegebene Anzahl \ '00 Vektoren linear un abhä ng ig ist oder nicht. Damit ist jedoch noch kein \X'eg aufgezeigt, wie 111;10 die Maximalzahl linear un abhängiger Vek toren bestimmt. Zur Be re chnung des Rangs einer Mat rix wird der {;ollß' sche LöslIlIgsalgonth mus herangezogen, den wir im folgenden Absch nitt VI 3 deta illiert be hand eln we rden.

3.

Lineare Gleichungssysteme

In der Praxis könne n wir viel e Prob lemste llungen als lineare Gleichungssysleme modellieren. Für den Wirtschafts wissenschaftler Ist es daher nützlich , fundierte Kenntnisse über Eigenschaften, Lösung und Anwendung linearer Gle ichungs sysleme zu bes itze n. Nach einer Einführung in die Thematik werden wir uns daher in die sem Abschn itt primär mit der Lösung linearer Gle ichungssysleme beschäftigen. Eng damit verbunden ist das Thema der linearen Abhäng igkeit bzw. Unabhängigkeit von Vekto ren . Zu r Lösung eines linea ren Gleichungs syslems wird de r sog . Ga uß'sehe Lösungsalgorilhmus herangezogen. Mit ihm lässt sich auch die Frage nach der line aren Unabhängigkeit beantworte n.

-

3.1 Einführung Eine Gleich ung gilt allgeme in ab linear, we nn alle Variablen ausschl ießlich in der ersten Po ten z vorkommen un d zwisch en J en Variablen d ie Ver knüpfu nge n ;\fu[ tiplikation mit e inem Skalar und Ad d iti on rbzw . Subtrakt ion), d.h . nur uneareombtnut innen e rlau bt sind. Es g ilt also für e ine linea re Gleich ung allgemein (V I.-'l8)

wo be i wir die a, für i '" 1,2,... , 0 als die Koeffizienten, d ie x, für i = 1,2, .. ,n als die Varia blen un d b als das a bsolute Glied de r Gleich ung beze ichn en. Da w ir die Kocfff zic nte n und va riablen ei ne r lineare n Gleichung als n-dtmensionale Vek toren

ausdrücken können, ist es möglich , d ie Gle ichung auch in Form einer sog . gleichung da rzustel le n . Diese hat die Ges talt

a . x = b.

vetaor(VI.49)

Liegen mehrere Gleichungen vor, die sim ultan für dies elben Var iablen ge lten , sp rechen wir von e inem sog, G lctrhu ngssysrem . Sind alle G le ich unge n lin ea r, hanlie h es sich um ein line ares G lcich u n gssyste m :

VI lin eare Algebra

336 :IU

"

:1z1 • X l

+ al2

x,

+ ... + ;! l n

• X

+ an

• Xl

+ ... + :l 2n

• X

(VI.50) is t ein Gleichungssystem m it

III

b,

n

=

n

= b2

(VI.'50)

Gleichu nge n und n Varia blen. Sowohl d ie

Koeffizie nten a, (jedoch nicht alle gleidlzeitig) als auch die absol ute n Glied!.'f h, kön nen gleich Kuli sein .

Wie anhand (VL5OJ seh r gut zu erkennen ixt, zeichnet sich eine ma trixähnl iche Po nu ab . Die linke Setre der ers ten Gle ichung ist ge rade das Skala rprodukt des Ze iJenvektors ( " li ;!ll . . . ;I ,,,) mit dem n-dlrnenslonalen Spaltenvektor

x

=[:.:]. '0

Analoges gilt für die weiteren Gle ichungen. Fasse n wir sämtliche Koeffizie nte n zu einer t m x rn-Mat rtx A und d ie abso lu ten Glieder zu einem m-d inu-nsionalcn Vekto r b zusammen , also

A =

a ll

["";I,:,[

al 2

a -' l

;1"' 2

","

a ln

;1,:,,,

] "nu [h' ] b~n b

=

b,

-

'

sind wir in der Lage das Gletcbungssystem tn stamxf onn darzustellen : A ·x = b

(V1.5 1)

Die (m x nj-Mu mx A !sI da bei die sog. Koefftrientenmatrtx. der n-dimensionale Ve kto r x de r vanabtcnreuor und der rn-dimensionale Vekto r b de r Ergelm i.'iI'ek/fJI: Beispiel: Klassische Schreibweis e (mit Numm erierung) I:

- Xl

11 :

tJI:

- 4x 2

+3x 3

4

2x 1

- 7 X3

= 7

5x 1 +4x 2

+ x3

0

Malr ixschreibweise

Gilt für ein Gleichungssystem A . x = 0 , d.h. sind alle absoluten Glieder gleich Null, he igt es homogen. Liegt A · x = b mit b -:F- 0 vor, d.h . isl mindestens e in Abso lutkoeffizient von Null verschieden , sprechen wir von e inem inhomogenen Gleicb ungssystem,

3. Lineare Gleichungssysteme

-

337

3.2 Lösung linearer Gleichungssysleme Ob un d wie viele Lösungen ein Gle tch u ngs sysre m besitzt, hängt vom Typ des Gleichungssystems und d e r linearen Abhängigkeit bzw. Uoabhängtgkeu d er Gleichungen des Systems ab. Allgemein können wir drei Typen von Gleichungssystemen un terscheiden: Von e ine m b estimmten Gl e ichungss ystem sprechen wir , wenn m = n g ilt, d .h. so viele Gleichungen zur Verfüg ung stehen wie va riablen. Ein so k he s Gleich ungssystem hat nur dann eine {'jude/tliRe Lösung. wenn alle Gletcbungen unear nnahbältp,ip, sind. Sind u ie Gle ich unge n ttnear a hhä llg ig, e rgeben sich nnendlicb [ 'ielI' Lösungen. wenn sich u ie Gle ichu nge n des Systems tridersprechen. sodass sie nicht gleichZeitig e rfüllt sein können , d a nn kann keine Löslt tlg cxlstleren . Den Theme n d er linearen Abh;ingigkl'i t un d der linearen Una bhängigkeit so w ie Widersp rüchen , werden wi r uns im Absch nitt VI 3.3 im Det ail wid men. Ein überbestimmtes Gl eichungs system lit:gt vor, wenn m .> n gilt , J .h . meh r Gleichunge n als Variablen vorliegen. Ein solches Gle n-hungvsystem ha t Ld .R. eetne Lösung. es sei denn , die m - n üb erflüssige n Gleich unge n stellen gerade Linearkom binationen d er restlichen Gle ich u ngen da r. Unte r einem unterbestfmmten Glcich u n gs sys tcm verst ehen w ir e in Gleichungssvs tem fü r welches m < n g ilt, also d ie Anzahl der Gle ich u ngen kle iner ist als d ie der Variablen. Ein solc-hes System hat i.d .R. unendlich riete 1.()s/tt1gett. Im Rah me n d ie!ie!i Grun dk u rses be sch äft ige n wi r uns aWi!i('hl ieglich mit bestimmten Gtctcbungssyuemen der Fo nn A . x .. b , die ei ne quadratische « oefftztcntenmatrtx A besitzen . Wir ve rein ba re n also generell m '" n. Zur Lösu ng d er art iger Gle ich ungssysteme werden im Allgemeinen d ie Gleichungen des Systems m it Jlilfe be stimmter Operationen (sog. elementare zeuesuransformattoncns. d ie die Lösungsmenge d e s Systems nicht verändern , so umgeformt, d ass di e Lösunge n leicht bcstl mmhar sind. Operationen, für die d ies gilt, sind Folgende: 1. Än deru n g der Gle ic h u n gs - und Variablenanordnung

ln e inem Gle tch ung-eystem ist die Anord nu ng der Gleichu nge n Lind Variablen belid)ig. Sie können also un te rei nander vertauscht werden, ohne dass sic h die Lösungsmenge verändert. Bei spiel: Gegeben sei das folgende Gleichungssystem: I:

11 :

2x\ - 8x2 = t 2 x\ +6x2 = - 2

Wird nun die Reihenfolge der Gleichungen und der Variablen vertauscht, so hat dies keine Auswirkungen auf die Lösung (x, = 2,8 und X2 = -0,8) des Systems.

l:

6x2 + Xl

= -2

11' : -8x2 +2xl

t2

VI lineare Algebra

338

2. Multiplikat ion beliebige r Gleich u ngen m it einem Skalar

Jede Gleichung eines Systems darf mit einem Skalar A, "" 0 mult ipliziert werden, ohne J ass sich die Lösungsme nge ~nJe11 . Beispiel : Gegeben sei das folgende Gleichu ngssys lem:

I:

1 2x1 - - x2 "'-5

2

11 : 6 x1 - 3 x2 =

3

Werde n nun z.B. Gleich ung I mit - 2 multi pliziert und Gleichung 11 dur ch 3 dividiert, so erg ibt sich ein .neues' Gleichungssystem, we lches d ie gleich e L ösunq (Xl'" - 1,5 und X2 = 4) wie das Ursprungssyslem aufweist.

- 4x, + x2 = 10

r ", [·(-2):

2 - xa

Ir= II -(~):

1

3. Add itio n (Su bt rakti o n ) von Gleich u nge n Eine Gleichung e ines line aren Gleichungssystems kann zu (von) ein er anderen Gleichu ng add iert (sub trah iert ) werden, ohne dass sich die Lösun gsme nge ände rt. Bei spiel : Gegeben sei das folgende Gtelchun qssyst em:

I:

4x,

-t6x2 +4x3

-1

11 :

sx ,

- xa - 3x3

3

11 1:

x,

+2x2 +7x3

3

Mögliche Add itionen ode r Subtraktionen könnten wie folgt ausseh en:

r = I - II : Ir = II + IlI : 1Ir= - III + I:

- x , +7x2 +7x3 sx, + x2 +4x3 3x, +4x2 - 3x3

=

-4

=

6

=

-4

Dieses "neue" Gleichu ngssystem besitzt die gleiche Lösung (X1 = 0,76, X2 = - 1,10 und XJ = 0,63) wie das Ursprungssystem. Es ist wichtig, dass die zu ersetzende Gle ichun g (z.B. 11 ) bei der Berechung der neuen Gle ichung (z.B. 11') berücksichtigt werden muss .

4. I.lnearkombination von G leich u n ge n Ko m bin ieren wir die letzten beiden Regeln , so b ede ut et dies, Jass w i r G le ic hungen i n e inem l in earen Glctcbungssvstem l inear kombinieren dürfen, ohne Jass sic h die Lösungsmenge ändert. Konkret dürfen wir eine G leic h ung d ur ch ih re Lin earkornbination mit einer oder mehreren anderen Gleichungen ersetzen.

3. Lineare Gleichungssysteme

339

So können wi r etwa eint.' de r beiden Gleich ungen

" L>j ,x

i =

bl

"

und

L

ci · x i = b!

j=-I

1= 1

durch ihre l.ine a rkornbinatio n (m it A, coE R. )

A·

" La i'

Xi

+ (0.

F=I

" LC

j ' Xi

= A' hl

+ro·h!

(VI.S2)

1= 1

e rsetzen. \'\'l r e rke nne n duran , dass die Multiplikatio n einer Gle ichung mit einem Skala r lind die Addit ion (Subtraktio n ) von Gleichengen spezi elle Forme n von Unearkombinationen sind. Beispiel: Gegeben sei das folgende Gleichungssystem:

I:

5xj

+4x2

""'

-4

11 :

- Xj

- X2

""'

4

Mittels Linearkombination entsteht daraus ein "neues" Gleichungssystem, welches aber die identische Lösungsmenge (Xl""' 12 und X2 = - 16) besitzt.

1' =2 ·1+11 :

Ir = 11 - 1:

9x 1 +7x2

-4

- 5x2

8

-ex,

E~ sei noch einma l klar herausgestellt, dass durch die Lineark ombinatio n nur ei ne der an ih r bete iligten Gleichungen ersetzt werden darf und n ich t jede beliebige.

Bei spiel : Gegeben sei ein Gleichungssystem mit3 Variablen und den Gleichungen I, II und 11 1. Es ist nun beispielsweise möglich die Gleichung I durch Linearkombinationen aus I und 11 oder I und 111 aber niemals durch Linearkombinationen aus 11 und 111 zu ersetzen. Die zu ersetzende Gleichung muss immer in der Linearkombination berücksichtigt sein. Nach Behandl ung der Operationen, die die tösu ogsrneoge eines Gl eich ungs~p tem~ nicht ve rändern , si nd w ir nun i n der t age. allgemeine Verfahren zur Lö sun g von Gleichungen zu besp rech en. Die se sollten noc h aus de r Schulzeit bekann t sein un d stell en verein fachte Varian ten eine ~ allgemein gül tigen Verfahren s da r, das als GlI l/ß'scber Läsl lIIgsa lg oril blllll s od er Ga llj~~scbe ütmtuauon bezeichn et und in Abschnitt VI 3.4 im Detail behandelt w ird . \'('il' wollen die verschie denen Mög li chk eit en der Gle ichungslösu ng anhand eines einfachen Beispie-ls aufzeigen. Beispiel : Gegeben sei ein lineares Gleichungssystem, von dem bereits bekannt ist, dass alle Gleichungen linear unabhängig sind:

l:

11 :

4

+ '2 o

4

V I lineare Algebra

340

In dies em Fall bieten sich zur l ösung des Gleichun gssystems verschiede ne Varianten an:

1. Auflösen einer Gleichung nach einer Variablen und Einsetzen in die andere Gleichung: Es empfiehlt sich hier Gleichung I nach

X2

aufzulösen, woraus sich

x2 =4 - 2x l ergibt. Eingesetzt in Gleichung 11 erhal ten wir

3

x, =2" "

H

Setzen wir diesen Wert nun wieder in den ersten Auflösungsschrill ein, erhallen wir

3

x2 = 4 -2 ·~ =1 .

2

2. Auflösen beider Gleichungen nach der gleich en Variable und Gleichse tzen: Seide Gleichun gen werden nach

X2

aufgelöst. Es ergibt sich also

I: 11 :

x2 =4 - 2x 1 10 4 x2 = - x, - - .

11

11

Diese beide n Term e werden nun gleichg esetzt und nach

10 4 4 -2 · xl "' - -x, - -

11

11

H

Xl

aufg elöst:

3 x1 ", -

2

Wird nun der W ert von x , in Gleichung I oder 11 eingeset zt ergibt sich X2 '" 1.

3. Variablenelimination durch Linearkombination der Gleichungen: Diese Lösungsmöglich keit ist vor allem für Gleichungss ysteme mit meh r als zwei Variablen interessant. Zur Veranschaulichung wollen wir sie hier aber trot zdem anwenden. Dazu müssen wir die beiden Gleichungen so linea r kombini eren . dass dadurch ein e der Variablen weg fällt. Es empfiehlt sich hier die Komb ination

11·1 +11 :

(22x1 + 11x 2 )+ (10x 1- 11x 2 ) = 44 +4 ,

woraus wir Xl '" 3/2 und nach Eins etzen dieses We rtes in eine der Ausgangsgle ichungen X2 '" 1 erh alten. Egal welche Lösungs variante gewählt wird , ergibt sich also für das Gleichungssystem die eindeutige Lösungsmenge

L o { 1,5 ; 1} . ~ ­ X,

-

X2

3,3 Lineare Abhängigkeit / Lineare Unabhängigkeit Wie im vorhe rgehenden Ahsch nitt e rwäh nt wurde , hat ein bestimmtes Gle ichungssystem nur dann eine ei nde utige Lösung, wenn die Gleichungen line ar unabhängig sind. Kur da nn erbringt jede Gleichung eine eigl'nsliind ige Info nna tio n in das Gleichungssystem ein. Von line a rer Ab hängigke it e ines Gleic h u ngssyscems spre chen wir, we nn e ine Gleichung des Syste ms als tineareombiuation (\'gl. (VI.52 )) von wenigstens einer we iteren Gleichu ng des Systems darstellbar ist. Ein solches linear abhnngtgcs Gle tcbungssvstcm besitzt dann unendlich r iefe l.ösIIIIRell. Aus

3. Lineare Gleichun gssysteme

341

der Matrizensch reibweise A . x '" b für das Gleichungssystem hzw. A k . · X = b k für d ie kote Gle ichung erkennen w ir, dass lineare Abh ängrgkcü eines Glcu-hungssystcm s gcnau dann vo rli egt , wen n d ie Zeilenvektoren der Matrix A linea r :lb h:ingig sind und wen n sich d ie rech ten Seiten m it d enselben l.ineurfak ro ren entsp rechend li ne ar kombin ieren lassen . Nac h den Ergeb n issen des Ab schnitts V\ 2.4 ist dann de r Rang der Matrix A kle iner als ihre Zeilenzahl m , d .h. rg(A ) < m. Der Rang der Koeffi zicnt enmatrix A gib t uns also Hin weis e auf An de r Lö su ng eines b estim m ten Glei -

chungssystcms. Bei spiel: Gegeben sei das folgende Gleichungssystem:

I:

2xl +4x2

-8

11 : -4x 1 -8x 2 = 16 Die Gleichung 11 des Systems ergibt sich aus Gleichung I offensichtlich durch die Linearkombination 11 = - 2 . I. Man sagt auch, dass Gleichung II keine neuen Informationen zur Lösung des Gleichungssystems beiträgt. Das Gleichungssystem ist linear abhängig und besitzt unendlich viele Lösungen. Geometrisch können wir dies durch Auflösen beider Gleichun gen nach X2 verdeutlichen. Wir erhalten die zwei folgenden Geradengleichungen:

I:

x2 = -2 -0,5 xl

11 : x2 = - 2 - 0,5 xl Wir erkennen, dass die beiden Geraden übereinander liegen bzw. identisch sind. Da das Gleichun gssystem aber die Werte für Xl und X2 sucht , für die I und 11 gellen, d.h. die gleich zeitig auf beiden Geraden liegen, gibt es unendlich viele Werte, die diese Bedingung erfütlen. Nur sich schneidende Geraden führen zu einer eindeutigen Lösung (vg1. nachfolgendes Beispiel zur linearen Unabhängigkeit). In der Koeffizientenmatrix A , die wir aus dem hier vorliegenden Gleichungss ystem bilden können, ergibt sich die zweite Zeile ebenso als Linearkombination der ersten. Ihr Rang ist daher kleiner als die Zeilenzahl, d.h. rg(A) < 2. D ie llne a re U n ab h än gi gkeit eines linearen Gle tchungssysrems A . x = h ist gcgeben , we nn sich leei ne Gleich un g d l'.~ Systems als Ltneareombtnano n der üb rigen Gleich ungen dars tellen läss t. Di es b ed eut et für d ie Koe ffi zient enmatrix A , d ass sie m t/eil Nallg rg( A ) = m besitzt, d.h. sowohl d ie Ze ilen- als auch die Spaltenvektoren linear u nab h ängi g sind . Bei spiel: Gegeben sei das folgende Gleichungssyslem : I:

- Xl

+ X2

=

11 :

2xl

+ X2

=

Keine der Gleichungen lässt sich in diesem Fall als Linarkombinalion der anderen darstellen. Sie sind also linear unabhängig und das Gleichungssystem besitzt eine eindeutige Lösung. Diese Lösung ist nichts anderes als der Schnittpunkt der Geraden

I,

X2 =

11 :

x2 = - 2x1 +1.

x1 + 1

V I lineare Algebra

342

Dieser liegt bei (0; 1). Die Koeff izientenm atrix A besitzt folglich vollen Rang rg(A) = 2. Die Bedingung des vollen Ranges der Koell izientenmalrix zum Erhalt einer eindeutigen Lösung wird uns vor allem im Abschnitt VI 3.4 von Nutzen sein. Wir werden hier näm lich ein Verfahren zur Bestimmung des Ranges einer Matrix vorstellen, welches uns dann erlaubt , die Lösbarkeit eines linearen Gle ichungssystems zu beurtei len.

Kelle n line are r Ah h ii n ~igk t.'i[ oder Una bhängigke it ka nn noch e in dr itter Fall etrure te n. Es ist nämlich möglich , dass sich die Gleich ungen ei ne s Gleic hungssyste ms wide rspre chen. Solche Wide rs p rüche e rge ben sich , wenn zwar d ie linken Seilen de r Gleich ungen linear ubhüngtg sind , d ie rechten sich je doch nich t m it den gle ichen Faktore n linear kom b inie re n lassen wie d ie linken Seiten . Da rau s fo lgt, dass für das bet roffe ne Gleichungssystem leetue l,ös1I llg existie rt. Die lineare Abldngigkeit der Zeilenvekto ren der lin ke n Seite bedeutet, dass der Hang der Koc ffl zie nte runut rix kle ine r als m ist, d .h. rglAl '" r < m g ilt. rist d abei die Anza hl der unabh ängige n Ve kto re n in de r Matrix A. O ffe nsichtlich hat jedoch die um d ie rec hte Se ite h erweitertc Matr ix, wir schreiben für d iese (A, bl, e ine n um eins gröseren Han g, we il sich di esl' Koeffizien ten ge rade nicht in der sel ben W'e ise line a r kombinieren lasse n wie d ie e ntspreche nde n Koeffizie nte n der linken Seite . Zusa mmenfassend können wir da her fes thalten. Ein Gle ichungssyste m A . x .. b ist w idersprüchlic h, wenn zwar rg< A)" r c m gilt, je doch rg(A, b J .. r + I ist. Beispiel : Gegeben sei folgendes lineare Gleichungssystem: 4x , + 2x 2

4

11 : 8x1 + 4x2

16

I:

Für die linken Gleichungsseiten gilt die Beziehung 11 = 2 . I. Dieselbe Linearkombination gi lt jedo ch nicht auch für d ie rechte Se ite. Es müsste sich nämlich für die rech te Seite von Gleichung 11 der Wert 2 . 4 = 8 an Stelle der 16 ergeben. Wir sagen daher, es liegt ein Widerspruch vor und das Gleichungssystem besitzt keine Lösung. Geometrisch können wir uns dies ver anschauli chen durch die Geraden

I' :

x 2 = 2 - 2x 1

11' : x 2 = 4 - 2x 1 Sie verl aufen parallel (gleiche Steigung), sodass es keine Punkte g ibt, die auf beiden Geraden gleichzei tig liegen bzw. beide Gle ichu ngen I und 11 des Systems erfüllen .

-

3.4 Der Gauß'sche Lösungsalgorithmus De r Gaug'sche t.ösun gsalgontbmus ist ei ne s de r be ka nnte ste n Verfahren zur Lösung bestim mte r linearer Gle ichungssysteme der Fo nn A . x = b . Gru ndidee des Verfahrens ist es, (He um Jen Ergebnisve ktor b erwetrene Koeffizie nte nmat rix A mittels der unter VI 3.2 be ha nd elte n elementaren Zeilentransformationen in e ine Matrix von Dreiecksstufengestalt (VI.53 ) zu bri nge n. Entste ht durch die Transforruuno nen e ine Form (VI.53), s ind die Gleichungen des Systems linear una bhä ng ig, be sitzt die erw eiterte Matrix vollen Ran g und das Gle ich ungssyste m ist e inde utig lib bar. Die e tnde uuge Lösung kann dan n a us de r Dre iecksfo rm abgel ettc t we rde n ("g I. folg e nde Ik ispielt'l.

343

3. Lineare Gleichun gssysteme

alm

b,

a l _,

az,,,

hz

b, bm

a ll

alZ

al,'

aZI

all

;1.\ 1

a'l

:1., .,

a .~ m

a",l

a",2

am~

a mm

", " s '" j,,~

.n
ä lm

&1

a l.'

a2m

b,

5.,.1

.;

".'rn

h.i

"

s,

all

:ilZ

ä l .,

0

au

0

0

0

0

0

~

(VI.53)

Bei IIe rstellung der Mat rtx von Dre iecksstufengehalt sollte so vorgegangen werden , dass spaltensreise alle Elemen te unterhalb de r "Hau pt d iagonalcn'' durch die Transform ationen Kuli we rden. Am besten wäre es, wenn d ie Elem en te au f der "Haup tdiagonalen" dadu rch Eins würden . D ie spez ielle v o rge bcn swctse , die dies erreicht , wird auch als Ptvottste rung beze lchnet und \"(10 u ns End e di eses Abschnlrts im Detail behandelt. Komm t t:s im Zuge der Tr ansformationen d azu, dass in der erweiterten SLmix eine oder mehren: Nullzeilen en tstehen , besitzt die erweiterte M atri x ke in en vollen Rang b zw . die Gleichungen de.~ Systems sind linear abhängig und d as Gleichungssystem besitzt u nendlich viele Lösungen. Auch W'id ersprüche bei Cl etchungen werden während des Transformationsvorgangs aufgedeckt. Di e li n ken Setren sind linear abhä ngig , wodurch sich i n d iesem Tei l Nullen ergehen. Da sich die rech ten Seiten n icht entsprechend linear komb in ieren lassen, ist die recht e Seite u ngleich Nu ll. Es treten ulso Nullzeilen auf, deren letzte Koeff izienten von Kuli verschieden sind. Es wird deutlich, d ass w ir zur Lösung d es Systems nach dem Gaug'schcn Lösungsalgorithmus nicht separat den Kan g der Ma trix A betrachten müssen, wie wir es in Ab sch nitt VI 3.3 beschr ieb en haben . Im Falle eines 'x'rdersprucbs haben w ir dort näml ich gesehen , Jass eine Aussage zur Lösbark en erst durch den Vergleich des Ranges der Ko effi zienten matrix und der erwei terten M atrix möglich ist. Der Gau gsehe Lö su ngsalgorith m u s k omm t oh ne einen solchen Vergleich aus. H ier ist eine Fok usslcru ng auf d ie erweitert e Matrix ausreichend.

Beisp iel 1: System mit eindeutiger Lösung

I:

"x

11:

H ,

" -',

111 :

1

2

H 3 H 3

"

H

[~ :H::H~] 0

-1

3

•

~

A

~

b

1. Schritt Aufstellen der erweiterten Matrix (A. b) und Gauß'scher Lösungsalgorithmus

[~

~ ~ i;]*[~ -~ ~ 2~] 1tt-211 l [~ -~ ~ ~]

1 -1

1:3

0

-2

1

0

0

-1 0

Wir können daraus folgern, dass rg(A, b ) = min{3 ; 4} = 3 gilt, da im Zuge der Transformation keine Nullzeilen entstehen. Die erweiterte Matrix besitzt also vollen Rang. Dies bedeutet für das Gleichungssystem, dass 3 linear unabhängige Gleichungen mit 3 Unbekannten vorliegen und das System eine eindeutige Lösung besitzt.

VI lin eare Algebra

344

2. Schritt: Bestimmung der Lösung des Gleichungssystems Zur Berechnung der Lösung des Systems wird die Dreiecksforrn der erweiterten Matrix wieder in ein Gleichu ngssyslem umgesch rieben. Es ergibt sich in diesem Fall:

" +<, - xs +<,

I' : IJ ' :

111 ' :

0

- xs

0

0

Aus 111' folgt X3 = O. Eingeselzt in 11 ' erg ibt sich X2 = - 1. Einselzen dieses We rtes in I' wie derum liefert Xl = 2. Als Lösung smenge können wir daher L = {2 ; - 1; Ql angeben . Beispiel 2: System mit unendlich vielen Lösungen (mehrdeutige l osung)

I:

11 : 111 :

+

"

" 2' ,

"

0

+<, +<,

+2 x z

+3x z

0

4

0

5

H

1. Schritt : Aufstellen de r erweiterten Matrix (A, b) und Gauß'sch er l ösungsalgorithmus

[~

~ ~ ! :] i

2 3

11-1 ' 111 21 ) 0

[

1 5

o

, 0 1

1

']

3

' 1, 1I1-lI l 0

013' ]

[ o 0 00

1 1 3

Im Z uge der Transformationen kommt es hier zu einer Nullz eile . sodass die erweiterte Matrix nicht volle n Rang min{3; 4} '" 3, sondern nur rg(A , b}'" 2 besitzt (voller Rang reduziert um A nzahl der Nullzeilen). Dies bede utet für das Gleich ungssystem , dass nur 2 line ar una bhän gige Gleichungen mit 3 Un bekannten vorliegen und das Sys tem so unendlich viele Lösungen be sitzt.

2. Schritt : Darstellung der unendlich vielen Lösungen des Gleichungssystems Um die l ösungen des Systems da rstellen zu können , sin d in d iesem Beispiel (3-2) '" 1 Unb ekannte frei zu wählen bzw . als geg ebe n zu be trachten und d ie anderen in Abhängigkeit von dieser zu formulieren . Wählen wir z.B. X3, müssen wir X1 und X2 in Abhängigk eit von X3 ermitteln. Grundlage dafür ist wieder d ie in ein Gle ichungssystem um gesetzte Dre iecksform der erwe itert en Matrix.

I':

Xl

11':

+ X2

X2

+X3

3

Aus 11 ' erg ibt sich X2 '" 3 - X3. Eing esetzt in I' erhalt en w ir Xl + (3 - X3) '" 1 +-t Xl '" X3 - 2. Damit erha lten wir die Lösungsmenge L "" {X3 - 2 ; 3 - X3; X3}, wobei X3 aus den reellen Zahlen fre i wählbar ist. Selbstverstän dlich kön nten wir anfän glich auc h Xl oder X2 wählen und die anderen Variablen in Abhängigkeit von diesen ausd rüc ken . Beispiel 3: System ohne l ösung

I:

2x l

+ x2

11 :

4x l

+2x2

2 '"

12

[~ ~] .

[

:

:]

~~

A

,

0

V2]

~

•

3. Lineare Gleichungssysteme

345

1. Schritt: Aufstellen der erweiterten Matrix (A, b) und Gauß'scher l ösungsalgorithmus

[21 2) 4

0.5-1

)[ 1

2 12

4

0,5 1) 2

0,51)

°°

11-4-1

)[ 1

12

B

Es gilt hier zwar rg(A, b ) :0 min{2; 3} :0 2, d.h. die erweiterte Matrix hat vollen Rang, doch beinhaltet die umgeformte erweiterte Matrix eine Ncuzeue. deren letztes Element von Null verschieden ist. Es würde sich also 8 ergeben. Dies bedeutet, dass der Rang von (A, b ) größer ist als der Rang der Koeffizientenmatrix A (rg(A) '" 1, vgL nachfolgendes Beispiel) und das Gleichungssystem nach unseren Erkenntnissen aus Abschnitt VI 3.3 widersprüchlich ist.

°'"

2. Schritt: l ösung des Gleichungssystems Ein widersprüchliches Gleichungssystem besitzt keine l ösung. Wir können daher l = 0 schreiben. Dies sieht man auch direkt, wenn die beiden Ausgangsgleichungen nach xe aufgelöst werden. Es resultieren nämlich die beiden parallelen Geraden xa '" 2 - 2Xl und xa e 6 - 2Xl. \\'ie d ie vorhcrg.... he nd c n Beis pie le gezeigt haben , steht un s mit d e m Gauß'sc-hen Lösungsalgorithmus nicht nu r ei n Lösungsverfahre n für lineare Gle ichun gssys teme. sondern auch ein \'ferk zeug zur konkreten Beslim /ll l/II,!!, des R(/ 1I1W~ /'0 1/ » uurtz en zur Ver fügung. Aufgrun d dessen besonderer Bedeutu ng , w oll en w ir das Lösungsverfahren no ch einmal separat aufzeigen . \'(-'ir be stimme n dazu im fo lgenden Beispiel di e Rän g e de r Koe ffi zient enm atri zen aus den vorhergebenden Beispielen.

Beispiel: zu Beispiel 1: Zur Bestimmung von rg{A) muss zunächst versucht werden, die Matrix A mittels verschiedener linearer Zei!entransformationen in eine obere Dreiecksform zu bringen. lI- lll 111-1 )

[~ : ~] 0

-2

1

111 +211

)

[~ ~ ~] 00

1

Da keine Nullzeilen auftreten besitzt die Matrix vollen Rang, d.h. rg(A) '" min{3; 3} '" 3. zu Beispiel 2:

[~ ~ :] , :~;, ,[~ ~ :] "'" ,[~ ~ !]

Da eine Nullzeile entsteht erhalten wir den (nicht vollen) Rang rg(A) '" min{3; 3} - 1 '" 2. zu Beispiel 3:

Aufgrund der entstehenden Nullzeile besitzt die Matrix A nicht vollen Rang. Konkret gilt rg(A) '" min{2; 2} - 1 '" 1.

VI lin ear e Algebra

346

Zum Abschluss tlieses Abschnitts wollen wir nun noch auf u it: bereits e rwä hnte PivoCisierung e ingehen . Es ha ndelt sich dabei um e in systemauschcs Verfah ren, mit dem w ir d as Ergeb n is Ul.'S Gaug'schen Lösun gsalgorithmus d"fizilmt erzeugen

kön nen. \X'ir werden d ieses Verfahre n insb eso nde re im Rahme n der linea re n Optimieru ng im Ab sch n itt VI 5.2 benötigen .

Be trachte n wir dazu e in in Tuhlea u-Porm dargestel ltes Ole tchungssysrem, in de m an der Stelle a'i e int' 1, an den übrigen Stelle n de r j-te n Spalte, d.h. an den Stellen a I mit s :f:. i , ein e Null erzeugt we rden soll. Das Element u , an dessen Stelle d ie I e~zl'ugt werden soll , hl.'i!~1 ru-ctelement. Die t-te Zeile heif~;' t'trotzeüe. die i-te Spalte rtootspatte. Die Gesamtheit der Rcchc nsch rine , die die Umwa ndlung der Pivotsp alte in ei ne n Ein heitsve kto r leistet , hdgt t'irotsclnitt.

a 1i

all

alm

h,

a! !

;1"

a! l

;J !m

h!

ail

a i!

GLI

:1 il

a im

bi

a, 1

a s!

a,j

a'l

:l

ami

a ",2

ami

a ",1

a ",,,, h 1ll

;111

:11

a! l

z

.,

,m

h,

*

Um e ine Null an der Stelle a ~ (s i) zu erzeugen , mul!ip lizie re n wir die Pivotzeile mit -a'j / a ij und ad dieren d ies zur s-ten Ze ile. De r ne ue W'e lt in de r s-ten Zeile ist also gera de diese Summe, d.h . a'l + ( - a,j / a ij) · a;1' Es gil! also wie gewünsc ht

Für die übri gen Eleme nte de r s-te n Zei le gilt [ewe ils für

br\~ u

,

.~

*- i und t *- [:

= b -~ h.

' ", '

Schlie ßlich wird zur Erzeugung de r I an der Stellt' des Pivote le me nts die Pivot ze ile durch a" dividie rt:

Die Umformung eines linearen Gleichungssystems du rch sukzes si\'e Anwe nd ung de r Pivot schritte nennen wir Ptt-ottsteren. Resultat des Pivotisie re ns isl ein e Ei nbe itsn ta trix a uf de r linke n Seite de r Tableau-Form , die es uns erlau bt die finalen \X'e lle der rechten Tableau-Sehe d irek t als Lösun ge n des Gleichu ngssystems zu interpretieren.

3. Lineare Gleichungssysteme

347

Beispie l:

Ein Gleichungssystem liefere folgende Tableau-Form:

[1] 2 - 3 - 1 6 -4 1 - 1 2 3 -1 3 4 1 -3 1 1 1 1 5

,,

Zur Durchführung des ersten Pivotschrittes sind folgende Rechenoperationen notwendig:

,

!

,

--4_ H ) .,

,

,

-3 (-4)

'",

1_ (.-4) · 2 -1 - -,- . (- 3) 2 - -,- · (-1 )

,

( -4)

- 1- i::..!l· 1 3 - .t..12 · 2

4-

1

1- 1 . 1

1- 1 .2

1

3 - (-4) · 6

i:'l -(-3) 1- !=.!l -(- I) -3 - i:..!l· 6 1 1 1

,

1- 1 . (- 1)

1- 1. (-3 )

1

,

•,

5 - 1.6

1

1

Wir erhalten damit das folgende Tableau, in dem wir bereits das Pivotelement für den nächsten Schrill gekennzeichnet haben. Dieses weist nun einen Einheitsvektor in der ersten Spalte auf. Es sei angemerkt, dass wir im Prinzip die Pivotzeile hier nicht durch das Pivotelement hätten dividieren müssen, da dieses bereits 1 ist.

1 2 -3 - 1 6 0 ~ - 13 - 2 27 1 0 3 0 5 4 0 -1 2 -1 Grundsätzlich gilt, dass bei der Pivotisierung ein einmal generierter Einheitsvektor im Zuge der verschiedenen Pivotschritte im Tableau erhalten bleibt. W ir können daher die Transformation derartiger Spalten im Folgenden außer Acht lassen. Beim zweiten Pivotschritte rhallen wir:

2 - f ·9

- 3- f (- 13)

- 1- f· (-2)

.0!.1.

.,

6 - f ·27

-2

zz9

1- ' -(- 13)

0 -'- (-2)

3 -.2. '27

0 _ 1_(- 1) . 9 4 - -H ) · (- 13) 2 - -H ) -( - 2 )

_1_ (-1)· 27

•

0 0

9

5 - .2. ·9 9

9

9

9

9

0 0 0 0 0 0

_1

9

_ll 9

~ 23

9

_.

9

0

-,

3

!Q

- 12

16

2

9

9

., ., 9

9

9

VI lin eare Algebra

348 Der dritte Pivotschritt liefert:

o

_ 1. 9

o

_i:..tl. .74 1;

9

(--'l) 74

13

- 9-~' 9

•

o

0

o

0

23 9

1 '<

_X.li ~

9

5

- 92

Hl 10 I; "9

(---1;)

1;

- 9-

10

"g

.!L ~. N 9

1;

•

-'37 37

37

lliJ

~

2 - t ·{- 12)

•

9

33 37 _ 54 37

0 0 0

L: ·(- 12 )

(.-..l~

"

- -'37

0 0

"(- 12)

'<

- -'37

0

3-

•)

-'-

20 0 0 _ 37

0

(~j)

O- T

m

Nach dem vierten Pivotschritterhalten wir folgendes finale Tableau :

HYI. ~ 0 0 _.2!!._ 37 jj 37

0

0 _ ...1.._ hJ,l. 53 37 jj 37

0 0

_....§... _

(-ff). lli

37

jj

33

(3'7)

37 - T

37 212

"37

.s. , -b. ~ 37

i _ 54_.i!l. . 212 37 ~ 37

jj jj

'"" 1f

37

0 0 0

jj

0 0 2 0 1 0 0 1 0 0 1 0 -2 0 0 0 1 4 1 0

Aus diesem letzten Tableau können wir nun direkt die Lösung des Olelchunqssysterns, d.h. Xl '" 2, X2 '" 1, XJ '" - 2 und x. '" 4, ablesen.

4.

Determinanten

Jede r quadratischen Matrix kann eine reelle Zahl , die sich aus den Element en der Matri x

bestimmen lässt, eindeutig zugeordnet werden. Diese Zahl wird als ihre Determinante bezeichnet. Beginnend mit Methoden zur Berechnung von Determinante n legen wir unse r Hauptaugenmerk in die sem Abschnitt auf Anwe ndunge n von Determinanten. So können wir mit ihrer Hilfe z.B. Aussagen über den Rang von Matriz en machen, Inversen bestim men und lineare Gleichungssysteme lösen.

-

4.1 Begriff, Berechnung und Eigenschaften Je de r reettu-erttgen. quadrauseben Matrix A kö nne n wir e ine reelle Zah l k zuordne n , die sich Determin ante ne nnt u nd m it det A be ze ich ne t w ird. In de r Litera tu r ist es dabei üblich, zur Da rste llung von De te rminante n d ie run den Klamme rn der Matrix durch senkrechte Striche zu ersetzen. die allerdings nicht mit etnem AbsoIlIf!Jetrag tencecbsen werde n dü rfen :

A=

[""

al!

",", a bn

:l , J


a mi

a m2

7

.;

]

-e dc t A =

"u

a lt

:.I!l

;1!2

a ml

a m2

=k

(VI. ')4)

Abh;ingig von der Dime nsio n m der q uad ratischen Matrix ex istieren verschiede ne M öglichkeite n zu r Be r ec hnu ng von Det e rminante n : 1. (l X l )-Ma trix

Die Dete rmin ante ei ner ( 1 x I j-Matrix l' nlspricht gertau ihrem e inz igen Eleme nt: A = ( a ll )IIXIJ -'I'

dc1 A=la l ll= a l l

( V I .'); )

2 . ( 2 x 2) -Matrix

Die Dete rmi na nte eine r (2 X 2h\f:llrix e rhahen wir als Differenz :.IUS dem Prod ukt der Elemente de r Haup tdia go nale n und dem Produ kt der Elemente der Ne be ndiagonalcn . (VI.o;6 )

Q.

350

VI lineare Algebra Beisp iel 1: Berechnung

A=[1 0) -3 7

--t

~ ==1 . 7 - 0 ' (-3) "'7

det A = ll

-3 ~

Beisp iel 2: Interpretation Die Determinante einer (2 x 2)-Matrix begegnet uns bei der Lösung des allgemeinen linearen Gleichungssystems

Durch Auflösen von I nach

X1

I:

a11x1+a12x2 == b1

11 :

a21xl + a22x2 == b2,

erhallen wir

Eingesetzt in 11 ergibt sich _ al1 ,b2 - a21·bl a11 ·a 22 a21· a12

'2 -

a11 ·b2 - a21 ,b 1 det A

_ an · bl - a12 · b2 -_ ,a"2,2_'b~,c-ca ~'~2C'cb~2 a11 ·a 22 a21· a12 det A

Xl -

Wir erkennen, dass die Nenner beider Ausdrücke identisch und gleich der Determinante der Koeffizientenmatrix A sind,

3. (3 x 3)-Matr ix

Die Dete rminan te de t A können wir bestimm en, indem wir vo n de r Summt.' der Prod ukte de r "lIa uptd tago nale le merue" die Summt.' der Prod ukte der "Nch en d iagonalelc me rue" der e rwe üe ncn Matrix A..... subtrahiere n: de t A ==

a ll ';122 ·
· a2)

· a .' 1 +a l ) ' ;12 1 ' a ) 2

Beisp iel :

A

=[

~

-1

3 0

-2

:]

~

A' M

=[ ~

3 0 ; 1 0 5 2

- 1 -2 8

)-1

det A == 1·0 ·8 + 3 ·5 · (- 1) + 0 · 2 ·{-2}- 0 ·0 ·(- 1) -1 ·5 ·(-2) - 3 · 2 ·8 == - 53

(VI.58)

4. Determinanten

35 1

4 . Allgemeine Berechnung von De terminanten Die bisher behan delte n Methoden zur Be rechnung von De te r minante n stellen Verei nfnchungcn des Entwicklu ngssatzes von !.:LphKC dar. Mit diesem kön ne n auch De terminanten vnn quadratischen Mat rize n de r O rdnung m > 3 ln-rech net we rden,

Be im Entwicklungssatz von Laplace w ird e ine Dcte rminunu- m-tcr Ordnung r Dc termtnamc eine r (m x rnj- xt.urtx j so umgeformt, dass mehrere De termin an ten (m- I Her O rd nung entstehen , Ansehrte s en d e rfolgen we ite re Umformungen in D e-

tcnntnante n un-zr-rcr Ordnung und .~ o we iter. Diese Zerlegurig wird so o ft du rchgeführt, bis nur noch De te nn tnamcn dritter Ordnung vo rbanden sind, Auch ei ne wc nerc Zcrlcgung in Dere rnunanten zweiter Ord nung ist denkbar. Die O rd nung der Determinante wird also schrittweise so wei t reduziert, bis auf die be reits behan del ten Rechen regeln zu rüc kgegriffen we rden kann . Bevor wir n äher auf den Entwicklu ngssatz eingehen können , müssen wir zu nächst e inige Begriffe klären, d ie da bei eine zentrale Rolle sp ielen . Bei einer sog , Un te r determ inante (m- 1Her Ordnung IA"I (auch a ls Mirto r beze ichnet) wird im Vergleic h zur Ausgangsdetcrmtnun tc ctnc Zeile i lind eine Spa lte i gestrichen. I m Schn ittpu nkt de r gestrichenen Zeile und Spal te liegt das Eleme nt a" , welchem die entstehende Unterdctcrminurue zugeordnet wird, a ll

wu

:121

;I!!

i i an

alm

'a ,·'

a! m

! :-I!

.. ..: ..:

, --------------- _ ,----.--------_.a iJ a i! '" i ;li i i'" a im --.., ----_.,------_ -.,- -.. . ' , ' , ,

.

am I

" m2

'

•..

!;I

mi ! "

;! i- J j+J

(V I.59)

_----~--

;I

'

am i+l

lllm

a n""

Zu jedem Element a, der Dete rminan te det A gehört also eine Unterdete rminante IA"I, d ie ei ne reelle Zahl darstellt. Mit Vorzeichen nach dem Muster (VI.6ü> versehen, be ze ichne n wir diese auch als Adjunkte (ode r Kofa kto r) A, von a,'

+

+

+ +

+

+

+ +

+ +

(V I.60)

+

Die Positio ne n mit ei ner /!,eradell SUl1IlIIe a us Zeilen- u n d spatten tndex er halte n also e in postures Vorzeichen, wäh rend d iejen igen m it ungerader Sl/ lII lIIe ei n I/('/!,(J til'('S vo rseteben erhalte n, \X'ir können daher auch schreiben: A ; = (- I)" I , I A , I

( VI,6 1)

Hie r setz t nun der Entw icklun gssatz VOll Lsplace an. Er erlaubt mit I lilfe der Adjunkten A, eine Darste llung e iner De te rm ina nte, d ie für die Berechnung ihres W'ertes geeignet ist. Ko nkret wird da he i eine Dete rminante der A m-ter Ordnu ng en twede r nac-h ei ne r Ze ile i oder ein e r Spalte j entwickelt (berechnet), wo be i Folgendes gilt;

VI lin eare Algebra

352 I . Ent wicklu ng nnch

zene i dct A =

L'" aj

· A ;j =

j=l

I'":C -lJi+i

' :ljj"I A ,j I

(VI.62)

<- l ) i+i ':lij,1 A ij I

(VI.63)

j=l

2. Entwic klung nach Spa lte j m

m

der A = L

=L

;\ ;j ' A i j

i=l

j",]

Die Determinant e de t A erg ibt sich also bei Zeilenernwicklung als Summe der Produkte aus den Zeilenkoeffizien ten m it ihren Adju nktc n. Entsprechendes gilt be i der spaltenwebe n Ent wicklung. Egal ob nach e ine r Zeile oder e iner Spa lte e nt wicke lt wird und egal welche Zeile oder Spalte verw endet w ird, e rha lten w ir dasselbe Ergc bnis. Bei de r Anw e nd ung des Ent wicklungssatzes von l.ap luce e m pfi ehlt es sich jedoch, je ne Entwicklungszeile oder -spalte ZlI wä hlen, welche d ie me isten Nullen en thält. (VI.62) und ( VJ.6.~ ) zeigen nämlich , dass sich die no twe nd ige n Be rechnungen reduzieren , da die Adju nkte n de r Nullko effizienten nich t be rech net we rden müsse n. Bei spiel :

A { -~] 5

1

2 5

1

0

1

0

1

0

5

2

3

det A =

~

3 -1

1 2

2

1 -1

1

1 -1

1

Wir wollen hier die Determinante det A nach Zeile 1 entwickeln. Alternativ böten sich auch Zeile 2 oder die Spalten 3 und 4 an, da auch hier jeweils ein Nullwert enthalten ist, der die Berechnung vereinfacht. Es we rden die Elemente der ersten Ze ile mit den zugehörigen Unterdetermi nanten mult ipliziert, di e sich ergeben , wenn wir die erste Zeile und die Spalte des jeweiligen Elementes aus der Matrix streiche n. Wi r erhalten vier Te rme , die wir nach dem Vorzeichenschema (V1.60) verknüpfen. Da nach der ersten Ze ile entw ickelt wird , ist auch die erste Ze ile dieser Vorzeichenmatrix relevant.

2 5

1

0

2 5

1

0

2 5

1

0

2 5

1

0

1 1

0

5

1 1

0

5

1

0

5

1 1

0

5

1 2

3 -1

1 2

3 -1

3 -1

1 2

3 -1

2

1 -1

2

1

1 -1 '.

d et A = +2 · 2

0

1 2

2

1

.... ..

1 -1

,,

<,.A,

'-.~

1

1

5

1

0

5

1

•

1

2

1

0'

5

1

1

1 -1

,,

1

., ,. 0

3 - 1 - 5· 1 3 - 1 + 1· 1 2 - 1 - 0· 1 2 3 1 2 -1 1 2 1 1 2 1 -1

1 -1

In dies er Form können wir die vorliegenden Determinan ten a-ter Ordnung mill els der Regel von Sarrus berechnen. Die Determinan te mit dem Faktor 0 können wir dab ei natürlich außer Acht lassen. W ir erhalten daraus det A '" 104.

4. Determinanten

353

W'ie hcreits e rw ähnt, ist d ie Re gel von Sarrus ei nt: Ve reinfac hung des Ent wick lungssatzcs von l.aplace. Wir kön ne n d ie sen daher auc h au f (3 x 3 )·.\ Iatrizo::n unwenden. Beispie l:

A

0 1 -1 0

=[ :

-~]

~

5 0 2 det A = 6 1 9 - 1 0 -3

Hier empfiehlt sich die Entwicklung nach Spalte 2, da hier zwei Nullen enthalten sind. Dabei ist wieder das behandelte Vorzeichenschema zu beachten, wobei hier Spalte 2 der Vorzeichenmatrix zur Verknüpfung der einzelnen Terme heranzuziehen ist. 502 6 1 9 - 1 0 -3

5 0 2 6 1 9 -1 0 -3

.

"

5 0

c·····

~'

2

6 1 9 - 1 0 -3

-- ...

2 1_ 0 15 2 1= 5 . (-3)-<- 1) .2 = -13 det A = - o ·16 9 1+ 1.15 -1 -3 - 1 -3 6 9

Liegt eine Dreieclesmatrix vo r, ve re infach t sich d ie Be rech n u ng der De te rminan te erheblich . Bet rachte n w ir etwa d ie Determinante e iner o be ren Dreieck smatrix 0

det O=

O ll

° 12

°u

O lm

0

0 21

°u

° 2m

0

0

°H

O .'Im

o

o

o ...

0 m lll

so füh rt die Entw icklu ng nach Spalte 1 zu 0n

uet O= OII'

0 2m

02~

o o

0

'"

0 ",,,,

Es ergibt sich also nu r e ine Unte rdete rmi nan te. d ie erneu t nach d e r ersten Spa lte en twickelt wird :

o ...

o ",m

VI lin eare Algebra

354

\X'ir<..! diese Entw icklung rm - t j-ma l wie derholt, erhä lt man schlid~l ich als Erge b nis , dass die Dete rmina nte e iner o beren Dreie cksmatrix gleich dem Produkt ihrer Ha uptdiago nale le me nte ist:

n m

der 0

= 0 11

' 02~

· . .. ·(l " Ull

=

0;;

(VI.64)

i=l

Diese Überl egungen gelten e ntspreche nd für unten: Dreiecksmatrize n U, deren ZeiJenentwicklung zum seihen Erge bnis führt . Beispie l: 2 5 7

9

0

2 5 7

9

0

0

1

1

0

1

1

1 2

0 = 0 0 3 0

0 0

0

0 0

2 0 -1 2 0

1

~

1 2

0 0

2 0 = 2 -1-3-(- 1)· 1= -6 0 -1 2

0 0

0

det O = 0 0 3

1

0

Zum Abschluss dieses einführenden Abscbntus wollen wir noch einige wich tige Eig enschaften von Determinanten auffüh ren : •

Vertauschen wir in e iner Matrix zwei benachb arte Zeilen (Oller Spalten ), ändert sich das Vorze ichen ihrer D etermi nante.

•

Multiplizieren wir ein e Zeile (oder Spalt e) e iner Matrix mit e inem Fa kto r A, ändert sich auch ihn: Dc tu rmin un te um d iesen Fukror.

•

'x'e röen alle Zeilen (Sp ulte n) einer Matrix m it demsel ben Faktor A m ultipliziert, ve rändert sich der \Ve rt ihrer De term ina nt e um das /.."fache. Für eine (m X ml-Matrix A gilt also

det( /.. . A ) = Am. der A.

(V I.6'j)

•

Für die Determinante des Prod ukt s zweter Matrizen A und ß gilt

•

(V I.66) detC A · B ) = der A · det B . Die Dete rmin an te n einer Matrix und ihrer Transponierten sind gleich:

•

dc t A = det A T (V1.67 J Zwischen den Dererrntnamcn e ine r M atrix A und ihrer I nversen A-' (vgl. Abschnitt VI 4.3 ) ln-ste h t die Bezie hung t Ie t A

-r

1

=-- , dct A

(V I.6H)

•

Bei nhaltet ei ne Matrix eine Nullzei le (oder -spalte }, ist ihre De te rminan te gleic h Null.

•

Sind d ie Zeilen (Spalte n ) e ine r .\Iatrix Iill('u r ll hhiillgig, so ist der Wert der n etermtnantc gleich AI/lI. Umge ke hrt gill auch , dass wenn der \X'ert einer Dete r mi na nte n Null ist, die Zeile n (Spalte n) der zugehörigen Matrix linear a bhängig sind. Ge rade aufgrund dieser Eigenschaft, geben Deter minante n Hinwe ise auf den Rang von Matrizen (vgl. Abschnitt VI 4.2> und können zur Be urte ilung der L ösbarkeit und zur Lösung lineare r Gleic hungssysteme (vgl . Absch nitt VI 4.4) herangezogen werden.

355

4. Determinanten

-

4.2 Determinanten und der Rang von Matrizen D ie De te r minan te dc t A einer quadrat ischen Mat rix A ermöglicht Au ssagen über i hr en Hang rg( A l , Es sind dabei zw ei L ilie zu unterscheiden:

I. Fall : det A #- 0 Eine rm x m j-M atri x A hat ge nau dann couen RauM rg( AJ - m, ist also ei ne reguläre Matrix, wen n ihre De te rminan te VOll Null verschieden ist. det A #- 0 bede utet also , dass ulle Zeilen (Spalt en) der Matr ix linear u l/abbiillM ig sind . Beispiel:

,

2

A = 4 5 : ] .... deI A = --3 ,0

[

7 8

Da die Determinante von A ungleich Null ist, hat die Matrix vollen Rang, d.h. rg(A) = 3 . Erfül lt die Koe ffiz ien tenmatrix A ein es linearen ctetcöungssysems die Bedingu ng

der A 'f- 0, bedeutet d ies, dass es ei ne eindeutige Lösung gib t ("gl. Abschnitt VI 4 .4). 2. Fall: dei A = 0

Ist d ie D eterminante einer I m x m l-.\l atrix A gleich Ku li, ist ihr Rang leleincrals ih re 7.eilell zabl, d .h. rg(A ) < m. Sie Ist also singulär und e.~ liegen l ineare Ahbii1/gigeeiten de r Zeilen bzw. Sp alten vor. Eine Aussage über den genauen nang kann nicht getro ffen werden. D azu wäre ein e Darstel lun g i n D reieck sform ( vg l. Gauß'scher Lösungsalgorithmus in Abschnitt VI 3.4) erforderlich. Beispiel:

,

2

A = 4 5 : ] .... del A = 0

[

7 8

Da det A = 0, können wir folgern , dass rg(A) < 3 gelten muss. Eine genauere Aussage über den Rang von A ist anhand der Determinante allerdings nicht möglich . Gilt für die Koe ffiziente nmatrix A eines linearen Gleichungs...\)'slems det A be s itzt t:'s leeine ei1/deutige Lf)s1l11g.

0, so

356

-

VI lineare Algebra

4.3 Determinanten und die Berechnung von Inversen Eine quadratische Matrix A-1 heißt inverse Matrix oder Inverse einer regulären quadransehen Matrix A, wenn das Prod ukt be ide r Matrizen e int' liinhe itxrrun nx liefe rt, d.h. wenn gilt A ·A - I =A - I ·A = E. (VI.69J Die inve rse Matrix ist nur für reguläre quaarauscbe Matrizen defin iert, d.h. für quad ratische Matrize n deren Zeilen (und Spalten: linear unabhängig sind und damit vo lle n !{ang besitze n. Nac h den Erke nn tnixse n des Absch nitts VI 4.2 ist die Inverse also nur für quadra tisch e Matrizen definie rt, für die dct A :f' 0 gilt. Singulä re quad ratische Mautzen. d.h. solche mit linea r abh ängige n Zeilen ( und Spalten) bzw. mit de t A = 0, sind nich t inve rtier bar. Es e xistiert also nicht zu jede r quadransehen Matrix eine Inve rse . Die Inverse A_I e iner regulären q uadrat ischen Matrix A errechnet sich über A

_, = -1- ·alI,.(A) dct A

mit

d!.'l A

:f'

(Vl.iOJ

O.

Dab ei ist ad i(AJ d ie sog. adjungicrte Matrix. Sie e rgibt sicb du rch Eintragung der Adjun kte n A, = (-I )"' · IA"I der Matrix A tvgl. Ahxchni tt VI 4.l) in e ine Matrix lind Transponiere n dle ser ne u entstandenen Matrix, d .h.

J

r.,I -IA"I +IA"I [+IA"I -lAd +IA ... _ -lA d [+IA"I -lA d +IA d -lAd +IA "I "dj(A) = -IA"I ... +IA .. , I -lAd +IA"I +IA"I -lAd +IA"I

...

]

(V 1.7 1)

Beispiel: Bestimmen wir die Inverse der Matrix

1. Schritt: Berechnung von det A

~

4 0 = 1· 0 · 4+ 4 ·0· 3 + 3· 2 -5- 3 · 0· 3- 5· 0 -1- 4· 2· 4 = 30- 32 =-2 det A = 21 0

3 5 Da die Matrix A quadratisch ist und außerdem det A '*- 0 gilt, ist die Matrix A invertierbar, 2. Schrill : Bestimmung von adj(A) Die adjungierte Matrix können wir bestimmen, indem wir die Unterdeterminanten der Matrix A aufstellen und in das durch (VI.71) vorgegebene Schema eintragen. Wir erhalten damit folgendes Ergebnis:

357

4. Determinanten

-[2 . 4-3 .01 +[1 4 -3 .3 J - [H- 2 31

3. Schritt Bestimmun g der Inversen A~l

1 -- · 0 2 2 1 1 1 - _ .( -B) - - (- 5) - - ·6 2 2 2 1 1 1 - - (-8) - -· 7 - -· 10 2 2 2 1 -- ·0

A -'

= 2.[_~ -2

-1

~]=

-5 10 7 - 8

2

1 -- ·(- 1)

f

0,5 2,5

- 5 - 3,5

-:] 1

Um die Richtigkeit unserer Berechnungen zu überprüfen , können wir A- mit A multiplizieren und müssen dabei eine Einheitsmatrix erhalten:

, 00] [

A - 1 .A = 0

1 0

0 0 1

Inve rse n besitze n folgende Eigen sch a fte n . •

Die Inverse einer inve rse n Matrix A-1 erg ibt wieder die Ausgangsm.utx A: ( A ~I f l = A

•

( VI.72)

Die Reihe nfolge des Tra nspontercr», und Inve rt ierc ns ist umkehrbar: CA - l i l = ( A1f l

Dies bedeutet, dass ( A-I ) '1 gerade d ie Inverse der Matrix •

A T ist.

Die Inve rse e ines Prod uktes A . B ist gleich de m Prod ukt der Inver se n Teilmatrizen in II mgd'ehrler Reihen fo lge , d.h. ( A. ß )- l = 8 - 1 . A - I .

•

(V I.73)

( VI.7 4)

Die Lösung e ines linearen Gle ich ungs syste ms A . x .. b e rhalte n w ir d urch Linksmultiplikation der fech ten Seite b mit der Inve rse n A-l der Koe ffizic nte n matr ix, d.h . x =A- 1·b .

(VI.7;)

Eine komfortablere , jedoch äq uivale nte Lösungsm öglichkeit für line are Gle-ichungssysteme lernen wir im unmittelbar folgende n Abschnitt kennen.

V I lineare Algebra

358

-

4.4 Determinanten und lineare Gleichungssysteme Die sog. Crame r 'sche Regel ist wohl eines der einfuchsten Verfahren zur Lösung linearer Gtetcbungssysterne . Es be die nt sich de r De te rminan te n, sodass ohne Anwe ndung des Gaus'schen t.ösuogsatgortrbmus oder die Be re chnung der Inve rse n ein e Aussage über d ie Lösbarkeit des Gle ich ungssyste ms gemacht und die Lösung bestimmt werden kann. Dah c i sind allge mei n folgende Schritte durchzuführen: I.

2.

Das line are Gleichungssystems w ird in .\I:.itrixsch re ih w e isc A . x = b darges te llt, wobei die Ko effi zient enmatrix A eine ( m x m l- Matrix sein muss.

Es w ird dle De te rminan te von A berechnet, da das Gle tchungssvsrern nur be i d er A

1: ()

e ine eindeutige Lösu ng hesitz\. Für ein line a r abhängiges G leich un gs-

system gilt dc t A = 0 und dte Anwendu ng der Cramer'schcn Regel ist nicht m öglich. ;3 .

\X'ir ersetzen in der Matrix A die Spalte i durch den Ergebnisve ktor b der rechte n Se ile, wodurch neue Matrize n A i =( A· l

•••

A

H

b

A j+1

A

Il1 )

e ntste hen . ;\lit d iesen Mat rize n hzw . ihren Determinanten Jet A, können w ir da nn die Lösun gen x, des lineare n Gle ichungssystems be stimmen :

1

x j = - - · det A j uet A

mit det A e O für i=l,2, ... , lll

( VI.76)

Beisp iel : Zu Lösen sei das folgende lineare Gleichungssystem :

I,

11,

x, + x2 - xo 2x, - 3x 2 +x3

1

- xa

2

111 :

x,

o

1. Darstell ung in Matrixschreibweise:

2. Berechnung der Determinanten von A:

1 1 -1 1 = 3+ 1+ 0 - 3 - 0 -(-2}= 3 det A == 2 - 3 1 o -1 Es ist somit det A ~ 0, A hat vollen Rang rg(A) '" 3, die Gleichungen sind linear unabhängig und das System besitzt eine eindeut ige Lösung.

359

4. Determinanten 3. Bestimmung der lösung : Ersetzen der ersten Spalte durch b liefert

Ersetzen der zweiten Spalte durch b liefert

Xj

X

1 1 -1 t =_. 0 - 3 t =-3 3 2 0 1

t =_.

,

-,

1 -1

z 3 2 0

1 = - 1.

1 2 -1

Ersetzen der dritten Spalte durch b liefert

-

1 1 1 7 1 x j =_ . 2 - 3 0 =--

3

1

0 2

3

4.5 Exkurs: Matrizengleichungen In einfache n alge braische n Gleichungen , wie w ir xie in Kapitel I kennengelernt haben, werden Konsta nten lind eine Variable x durch Operatione n verknüpft lind mittels des O rdnungssymbo ls "=" mit einem anderen Term aus Koris tamen und d iese r Variablen gleichgesetzt. In der Hege! ist eine Au flösun g derartiger Gleich unge n nach der Variable möglich, die dan n isolie rt auf einer Seite stelu , während alle Ko nstante n auf der anderen Seite zu ei nem Ausdruck zusammengefasst werden . Für Matrize n gilt nun Ähnliches. Unte r Beachtung der für Matrizen gellenden öimensionsbescbränkungen lassen sich Matrize n ebenfalls verknü pfen und vergleiche n, sodass es auch hier sinnvoll se in ka nn, zu Fragen, ob es eine Matrix X giht, die einer Mautzen gleichun g ge nügt. Eine Matrizengleichung gilt nur dann ;J1s sinnv oll , wenn in ihr alle Operanonen definie rt sind, d.h. konkret die Dimensione n der Operanden den notwendigen Voraussetzungen genügen und die Operanonen auch erklärt sind. Beispiele :

1. A ·X +8 =C ·X +D

-s-

Die drei in dieser Gleichung auftretenden Operationen "e ", -.« und lassen sich nur ausführen, wenn d ie Matrizen A und C gleichdimensional sind , die Matrizen 8 und 0 die gleiche Dimension besitzen und die Produkte A . X und C . X die selten Dime nsio nen wie 8 bzw. 0 aufweisen.

2.

J AZ+ XZ = 8 z Diese Gleichung kann nicht gelöst werden, da d ie Wurzel einer Matrix nicht definiert 2 2 2 ist. Eine Gleichung A + X = 8 wäre hinge gen tür quadratische Matrizen A , 8 und X gleicher Dimension lösba r, da alle Operationen (A 2 = A . A und 8 2 = 8 . 8 ) ausführbar sind .

3. A ·X +X ·A =8 Diese Gleic hung ist nur für gleichdimensionale quadratische Matrizen definiert.

V I lineare Algebra

360

Sind die dtm ensroosmäntgen v o rau sset zuna en ge prüft, können wir die Matrizengle ichurig un ter Beachtung de r Reche nregeln für Matrizen lösen . Dah e i ist je doch zu beachte n, dass das leommuta üce Gesetz jii I" die .Ha t r iz('1/lI/ ll ll iP/U'(lf io /l nicht gilt. Beispiele: 1. A · X +B :C · X +D Vorausgesetzt A und C bzw. D und B sind gleichdimensional, können wir rechnen :

A · X -C · X =D-B (A - C) · X= D - 8 151 (A - Cl quad ratisch und regulär, ergibt sich weiter:

X ", (A _ C)-l . (0 _ B) Ist sch ließlich das Produ kt (A - C)- I . (0 - B) dimensionsmäßig definiert, haben wir die Lösung gef unden .

2. A- 1 • X :: B . X + A- 1 X ", A · B ·X + E

(E - A · B) · X = E X ", (E _ A . 8 )-1 . E

Die Gleichung besitzt eine eindeutige Lösung. vorausgesetzt die Dimensionen der Matrizen lassen die dargelegten Operation en zu und die Inverse existiert .

Wie die beiden vorhergehenden Beispiele zeigen , ist es bei de r Lösung einer Matrizengleichung das Ziel , die Gle ichu ng un ter Beachtung der gel tenden Reche nrege ln in e ine For m A . X = B zu bringen . Die Matrize ngle ich ung besitzt e ine ei ndeutige Lös u ng, wenn die Matrix A ein e ( 11/ x m )-,l f(/(rix und i m-ertierhar sowie B e ine ( 11/ x 1I ) -.H(/ f riX ist, wo bei au ch n = m zultissig ist. Nur dann kann sich nämlich d ie Lösung in der Fon11 X = A-1 • B erg e ben, wo bei X ein e (m x nj-Matrix, also dimensinnsgle ich mit B ist. Bei spiel : Gegeben seien die Matrizen

A.[2 4)und 8.[612). 1 -1

9

-3

Bestimmen wir die Lösung der Matrizeng leichung A · X = B. Da det A = 2 · (-1) - 1 · 4 = --6 1:- 0, existiert die Inverse von A und die Matrizengleichun g besitzt eine eindeutige Lösung. Wir erhalten mit

die Lösung

X=A- .B=[- 72 03). 1

5.

Lineare Optimierung

Anders als der Begriff vielleicht vermuten lässt, ist die lineare Optimierung ein wichtiges Teilgebiet der linearen Algebra und keine Optimierung unter Nebenbedingun gen, die man der Analysis zuordn en würde. Zur Lösung linearer Oplimierungsprobleme versagen näm-

lich die Methoden der Analysis, da die zu optimierende (maximierende, minimierende) Funktion linear ist. Zur Lösungsfindung sind lineare Transformationen erforderlich , sodass eine Einordnung bei der linearen Algebra gerechtfe rtigt ist. Bekanntestes Lösungsverfahren ist das Simplexverfahren, das neben allgemeinen Grundlagen Thema dieses Abschn itts sein soll.

-

5.1 Grundl agen Das Stan dard problem der linearen Op tim ie run g ist t1il: Aufgabe, ein e linea re 7.ielfiw klioll unter linearen NeI)ellhed i IlRI/ Ilf.l<'l l zu op timieren , d.h . eine Funktion Z

=


L" c

j •

xi

(VI.i7 )

i=1

mit n Va riablen un ter den Nebenbedingungen

"

L ' l ii ' x i = b j i=1

für

i = 1, 2,..., m

( VI.78)

für

j = 1,2" .., n

(VI.79)

zu mavtm teron oder zu minimieren. Ein mathematisch sinnvolles Proble m ist nur gegebe n, wenn das C leic hun gssysrer n der Nebenbedingungen unterbestimmt ist. Eine Minimierung ist einfach au f de n Fall einer Maximie run g zurückführbar. wenn wir d ie Zielfunktion mit - I mu ltiplizieren. Die 111 Nebenbedingungen (VI.78) stellen ei nschrän ke nde Funktio ne n zw ische n den zmsche td ungsvuna ble n da r, während (VI.79) l\"ichtnegati" it;itshed ingungen sind, d ie für die meis ten ökonomischen Proble me erforderlich sind. In zahlreichen Anwen dungen sind l lö cbsf- oder .Hi n d est!J
V I lineare Algebra

362

rech ten Seite ( Höc hstrne nge ) und der linken Se ite (aktueller \Vl'I1 der Nebcnhedingung ) als Jen Schlupf Y" so sag t d ie Ungleichu ng

" 2>;j.

Xi

s b,

j=l

dasseIhe aus w ie die folgend e Gle ichung un ter ue rück stchnguog einer Ntctunega uvi tfltsbcdingung fü r y,;

Yi +

" L>ij' x = h; j

m it

Yi;?: 0

(i

= 1, 2,..., Il1 )

(V I.HO)

1"1

Analog können wir eine Größer-Glclch-Nchcnhcdlngung beh ande ln. wenn sie zuv or mit - 1 muhtpl iziert wird . Die Gröser-Gtetch-uedtngung wird also zunächst d urch Multip likatio n in e ine Kle iner-Gleich-Bed ing ung und dann durch Einf üh rung einer Schlupfvariablen in Gle ichungsform gebracht:

"

:L aii - x j

~

b,

I· ( -I)

i"'l

-I" "ii ' x

j

$-b j

1= 1

~

Yi -

" L:>ij'

Xi = - bi

m it

Yi ~O

(i

= 1,2.. .., ml

( Vl.8 1)

j=l

Grundsätzlich gilt, dass in einer Neben bedingung keine reine Ungleichung der Form "<" oder ">" he rücksic htigt werde n kann. In diesem Fall e xistie rt nämlich ke in Maxirnurn oder Minimu m. Be vor w ir uns näher mit dem Simplenerfahren als Lösungsverfahren für lineare Opünuerungsproblerne befasse n, wo llen wir zunächst zwei konkrete Be ispiele bctrachten , d ie den Sinn und Zweck der linea ren Opt imierung verde utliche n und zu den Standardbeispielen in der Literatur zä hlen . W'ir werden in diesem Zusa mmenha ng auße rdem veranscha ulichen, wie sich linea re Opumteru ngsprobleme mit zwe i v ariablen noch grafisch löse n lassen. Bei sp iel 1: Maximierungsproblem Nehmen wir an, ein Produkt kann mittels zweier verschiedener Verfahren aus drei Komponenten K1 , K2 und K3 hergestellt werden, wobei diese drei Komponenten nur in beschränktet Menge zur Verfügung stehen. Die folgende Tabelle zeigt diese verfügbaren Mengen und außerdem die Verbrauchskoeffizienten (Bedarf an K1 , K2 und K3 für die Herstellung einer Mengeneinheit des Produkts):

K1

K2 K3

v erbrauchskoetuzfenten Verfahren 1 Verfahren 2 1 3

5 2

7 1

verfügbare Mengen 24

64 22

n

~

5. Lineare Optimierung

363

Die Frage ist nun, wie viele Mengeneinheiten des Produktes nach jedem der beiden Verfahren erzeugt werde n sollen, damit insgesamt eine möglichst große Menge an Produkten entsteht und gleichzeitig die Restriktionen über die verfügbaren Mengen der Ausgangskomponenten eingehalten werden. Hinter dieser Fragestellung verbirgt sich das Problem einer Maximierung der Gesamtmenge z des Produkts, die sich aus der Menge an nach Verfahren 1 hergeste llten Produkten x, und der Menge an nach Verfah ren 2 hergestellten Produkten X2 zusammensetzt. Unsere Zielfunktion ist hier also Von der Komponen te K1 benötigen wir insgesamt 1 . Xl + 3 . X2 Mengeneinheiten, wobei jedoch maximal 24 zur Verfügung stehen. Es gilt also als Nebenbedingung die Ungleichung 1 . x, + 3 . X2 s 24. Analoge Überlegungen für die anderen Komponenten führen zu folgendem System an Nebenbedingungen:

xl +3X2 s 24 5xl +7x2 s 64 2xl

+ x2 :s 22

Da Produktionsm engen nicht negativ sein können, müssen zudem noch die folgenden Nichtnegativitätsbedingu ngen gelten: xl ~ O

x2 ~ O

Jede Mengenkombination (Xl, X2), die die Nebenbedingungen und die Nichtnegativitätsbedingun gen erfüllt, wird als zulässige Lösung bezeichne t. So ist z.B. (4; 2) zulässig , denn beide Werte sind positiv und es gilt 4 + 3 ·2", 10 < 24; 5 · 4 + 7·2", 34 < 64 und 2 · 4 + 2 '" 10< 22. Da diese Lösung die Grenzen der Ressourcen aber bei Weilern nicht ausschöpft, kann sie nicht als optimal bezeichnet werden. Wir wollen daher zunächst den Bereich der zulässi gen Lösungen grafisch skizzieren . Betrachten wir dazu vorerst eine der Nebenbedingungen 5x, + 7X2 :S 64, welche die Restriktion für K2 ausdrückt. Die Obergren ze für K2 ist 64. Jede Kombination (x. , X2), die diese Grenze ausschöpft , liegt auf der Geraden 5Xl + 7X2 '" 64 H x 2 == - ~ X l + 574 . Diejenigen Kombinationen (x" X2), die 5xl + 7'X2 < 64 erfüllen , liegen unterhalb der Geraden (in folgender Skizze durch Pfeile angedeutet). Die Ungleichung 5Xl + 7X2:S 64 beschreibt also eine Halbebene einschließlich der Begrenzung. Analog erhalten wir für die anderen Nebenbedingungen ebenso Halbebenen . Auch die Nichtnegati vitätsbedingungen beschreiben Halbebenen: Xl :?: 0 ist die Halbebene rechts der Ordinate einschließlich selbiger und X2 :?: 0 ist die Halbebene oberhal b der Abszisse einschließlich selbiger.

5

64

x2 = - - xl + 7 7

' - - - - - - ---"" -7 ,,

VI lineare Algebra

36 4

Die Punkte (Xl, X2 ), die gleichzeitig allen Halbebenen angehö ren, sind in der folgenden Skizze g rau schatti ert und bilden den zulässig en Bereich. Die Geraden, welche die Ober grenzen der Komponent en Kl, K2 und K3 darstellen, sind darin mit diesen Buchstab en gekennzeichn et. Die Schnittpunkte von je zwei Restriktionsgeraden , wozu auch die Koordinatenachsen zählen , heißen Ecken des Restriktionss ystems. Die Ecken, die dem zulässigen Bereich angehören , heißen die zulässigen Ecken. Die zulässigen Ecken sind hier (O; 0), (0; 8), (3; 7), (10; 2) und (11; 0).

xe

(3; 7) (0; 8)

K1

, ~

-> ->

~

,

~

"" ~

(0; 0)

(11 ; 0)

x,

Zur Auffindung einer optima len l ösung setzen wir in der Ziellunklion zunächst z = 0, d.h. wir nehmen an, dass nicht produziert wird, wodurch wir die Gerade x, + X2 '" 0 ~ X2 '" - Xl erhalten. Sukzessives Erhöhen von z (z.B. z '" 2, 4, ... ) bedeutet, dass die Zielfunklicnsqerade X2 '" - Xl in X2 '" - Xl + 2, X2 '" - Xl + 4, .. . übergeht. Dies stellt nichts anderes als eine Parallelverschiebung der Zielfunkt ionsgeraden dar (vgl. folgende Skizze).

"

(10; 2)

" ' . " ",.,., --

-, -

-.

"

..

(11;0)

x,

Das maximale z '" X, + X2, das noch zu einer zulässigen Lösung (x, X2) gehört , erhalten wir, indem wir die Parallelverschiebung möglichst weit durchfü hren, sodass der zulässige Bereich und die verschobene Gerade noch maximal einen Punkt gemeinsam haben. Im hier vorliegenden Beispiel erhalten wir das Maximum, wenn wir die Zielfunktionsgerade so weit verschieben, bis sie durch die Ecke (10; 2) geht. Diese Ecke ist dann die gesuchte Lösung. Das optimale Produktionsprogramm sieht also vor Xl '" 10 Mengeneinheiten nach Verfahren 1 und X2 '" 2 Mengeneinheiten nach Verfahre n 2 zu produzi eren. Die maximal erzeugbare Menge beträgt also unter Einhaltung der gegebenen Restriktionen 12 Mengeneinheiten.

365

5. Lineare Optim ierung Bei spiel 2: Minimierungsproblem

Ein Viehzüchter ist bemüht, seine Tiere mit ausre ichend Vitaminen A, B, C und 0 zu versorgen , wofü r ihm zwei Futtermittel F 1 und F2 zur Verf ügung stehen . Die Preise beider Futtermittel (in Euro je 100g), die in ihnen enthaltenen Vitam ine (in mg je 100g Futtert und der Mindestbedarf an Vitaminen je Tier (in mg je Tag ) sind in folge nder Tabelle gegeben: Vitam ine

B

A 6 1 22

Fl F2 Mindestbedarf je Tier

7 4 71

0

C 6

3 9

10 120

Preis

1,50 1,00

72

W ir interessieren uns nun dafür , wie der Züchter sein Futter aus den beiden Sorten zu sammenstellen soflle, um den fina nziellen Aufwand daf ür möglichst gering zu hallen und g leichzeitig den Vita minbedarf der Tiere zu decken . Dabei ist zu beachten , dass ein Tier je Tag nicht mehr als 2 kg Fulter erhalten darf. Bezeichne n wir mit X, die Menge an F 1 und mit X2 die Menge an F2 (jeweils in 1009 je Tag ) erhalten wir daraus ein Minimierungsprob lem mit folgender Ziellu nktion (Kostenfunktion) und Nebenbedi ngungen :

Zleltunktton :

, ", "" , ,,

120

+9x 2

,

72

s

20

Nebenbedingungen :

6', +>,

z = 1, 5x l + x 2

6x 1 +10X2

3"

" +>,

Nichtnegativitätsbedingungen :

22

Xl ;::: 0

71

X2;::: 0

Ana log zum vorhergehenden Beispiel können wir erne ut Restrikt ionsgeraden zeic hnen . Bei der Bestimmung des zuläss igen Bereiches ist jedoch zu beachten , dass nun die ersten vier Nebenbedingungen Halbebenen oberha lb der jeweiligen Gerade n beschreiben und nur bei der letzten Nebenbedingung eine Halbebene unterhalb der Geraden vorliegt. W ir erha lten dann folgenden zuläss igen Bereich :

(0 ; 20)

(0,4; 19,6)

(1; 16)'

"

(5; 9)

\

~~..:(~',B ; 2) \ ,(15; 3) "

(20 ; 0)

x

n

~

V I lin ear e Algebr a

366

Die optimale Lösun g finden wir wiederum, indem wir d ie Nultgerade X2 '" - 1,5xl so lange nach rechts verschieben, bis sie erstmalig einen Punkt des zuläs sigen Bereichs errei cht. Anders als beim Maximierungsp rob lem wollen wir nun nämlich nicht, dass die Zielfunkli onsgerade möglichst weit von der Nulllage entfernt ist, sondern dass sie der Nulllage möglichst nahe ist, aber noch mindeste ns einen Punkt mit dem zulässigen Bereich gemeinsam hat. In unserem Beispiel erhalten wir damit die Ecke (5; 9) als Losung, sodass ein Tier in

dieser optimalen Konstellation 500 9 von Fl und 900 9 von F2 erhält. Die Kosten dieser Mischung liegen bei 1,5 . 5 + 9 '" 16,5 Euro. Dieser Betrag stellt unter den gegebe nen Bedingungen den minimalen Kostenbelrag dar.

Arthund der beiden vorhergehenden Beispiele ha be n w ir gesehen, dass das Optimum jewe ils an ein er Ecke des zulässigen Be re ic hs liegt. Dies gilt für he liehige lineare Op umte rungsprobteme. vorausgesetzt, xie ha ben eine eindeutige t ösung. Probleme der lineare n Optimie run g können jedoch auch mehrdeutige Lösu1Ige u bc xltzen . Dies ist z.B. der Fall we nn die parallel verschobene Zielfunktion sge rade in ihre r finalen Lage m it e ine r Restriktio nsge rade n zusammenfä llt. In ein e m solchen F:tlI sind alle Punkte auf der Begr en zung des zulässigen Be re ichs optimal , d te auf der Restriktio nsge raue n zw ischen zwe i zu Hissigen Ec ke n liegen. Da d ie Ecken Elemente dieser Strecke sind, bleibt d ie Auss:tge kor rekt , dass d ie optimale Lösu ng in min deste ns einer Ecke des zulässige n Bere ichs an genommen wird . Ein allgeme ines Lös un gsve rfuh re n muss also nu r die e ndlich vielen Ecke n durchgehen Li nd eine davon finden, in de r z o ptimal ist. E.s kann au ße rdem vorkommen, dass e in lineares Opum terungsprobtem keine LöslI ll g besitzt. Dies ist z.B. der Fall, wen n sich Restriktio ne n widers prechen (z. B.

"höchs tem I kg Futte r pro Tier pro Tag" in vorhergehen dem Be ispiel ). De r zulässige Be re ich ist da nn nämlic h lee r. Bei ;\lax imieru ngsprohlemen kann es außerdem vor komm e n, das.~ de r zulässige Bere ich nach rechts offen ist und so die Zielfu nktionsgerade un endlich parallel nach rech ts verschoben we rde n ka nn. Auch hier ex tsncrt kei ne optimale Lösung.

-

5.2 Das Simp lexverfahre n Da ei ne gra fische Lösung linearer O ptimierungsprobleme für praktische Zwecke wen tg effizient und für mehr als drei Variablen unmöglich ist, empfiehlt sich die Anwend ung des Slrn p le xvcefa h r -errs
(VI.H2)

durc-h f inde n geeigne ter We ne der n unabhängigen Variable n zu ma ximie ren, wobei das System der m Nebenbedingun ge n

367

5. Lineare Optim ierung :L UX ] +;1 ]2X 2 + .•. +a1 nX n

::;

b,

a 21x 1 + :.I12 X 2 + .•. + a 2n Xn

::;;;

h2

(V I.H3)

und d ie r\ idllnl.'gativiläts bedingungen Xl 2::: 0, x 2 2::: 0, ..., x" 2:: 0 ( VI.H4) erfüll t sein müssen. Durch die Einführung von Schlupfva riablen nach (V I.HO) in (V I.H3) hisst sich dieses Optim ierungsproblem folgendernunen umformulieren : ,\1;In ermittle die Uisung de.~ Restriklümsgleicbll llgs..\ ystcms

(VI.H';)

welc he den Bedi ngunge n x, 2::: 0, x, 2::: 0, . . ., x, 2::: 0 sow ie Y, 2:: 0 , Yl2::: 0, . ", Ym 2::: 0 genügt und fü r welche (VI.H2) maximal ist. Das System (VI.H';) besteht aus m Gleichungen für n + !TI Variablen, ist also 1I 111erbestimmt. Die Koeffizientenmatrix des Systems be in hallet gvnau m Einhcits vc ktorcn . da die Matrix die folgende Gestalt aufweist:

["" a 21

a':'1

vu

a ln

1 0

a 22

a 2n

0

a ", 2

amn

,

1

0

0

... ...

~]

()

(VI.H6)

1

Man beze ich ne t ein Gletch ungssystem mit einer derartigen Koeffi zie nte nmatrix als ea nontscbes Gk-tcbungssystem, die Variablen y" y" .. ., Yn, als nastsrartaoten und X" x,• .. . , x. ab Nicbtbastsrariahten. In eine m be liebigen kanonischen Gleich ungssys tem finden wir SOf1ll1 eine Lösung, wenn wir alle Nichtbasisvariablen gle ich l\"ull setzen. Eine solche Lösung ist ei ne de r sog. Hasiski sungen des Systems. W'f.'itf.' rt.' Basislüsllnge n erhalten wir durch das Nullse tzen von jeweils n de r Variablen und Auflösen des Restsyste ms, falls die Gleichungen linea r unabhängig sind . Erfüllt eine rvsult icrcrule Basislüsung d ie Nich tnegat iv it;i1.~hedingllngen der Basis- un d Nichtbnxisvariablcn , sprechen wir von ein er z ulässigen LJasisltisllllf,i. Beispiel:

Im Abschnitt VI 5.1 hatten wir im Beispiel 1 die Suche nach dem optimalen Produktions programm als lineares Optimierungsp roblem formuliert. Durch Einführung von Schlupfvariablen erhalten wir für dieses Standardmaximierungsproblem das Restriktionsgleichungssystem :

x

5" 2"

+ 3x2 +Y, +7x 2

+>,

= 24

+Y,

= 64

+Y3 = 22

VI lin eare Algebra

368

Ökonomisch stellen die W erte der y, für jedes zulässi ge (x.. x2)-Paar die nicht ausg enutz ten Ressou rcen dar . So ist l. 8. für x, = 4 und X2 = 2 der We rt von YI gleich 14. Dies bedeutet, dass bei der Produktion von 4 Mengeneinheiten nach Vertanren 1 und 2 Mengeneinheiten nach Ve rfahren 2 von der Gesamtkapazität an Kompone nte K1 nur 4 ·1 + 3 ·2 = 10 Mengeneinheiten genutzt werden . y, '" 14 Mengeneinheiten bleiben ungenutzt. Setzen wir nun die Nichlbasisvariablen x, und X2 gleich Null, er halte n wir dire kt Yl = 24, Y2 = 64 und Y3 = 22 , d.h. die Basislösung La = [x. , X2, Yl , Y2, Y3} = {O; 0; 24; 64; 22}.

Die grafisc he Lösung linearer Optimierungsproblerne im Fall z uv ier 1I1/(/hbii ll p,i/.:el" va riaölen hat gezl'igt, dass für uns die Ecke n d~s zul ässigen Be n: ichs von hesonde re r Bede utung sind . Dte Fr.l,gt: ist nun , wek-he der unendlich viele n Lösunge n des Ik striktio nsgle ichungssystt:ms die Ec ke n des zuläss ige n Be reich s da rstellen. Wir wisse n bereits . dass ein e Ecke als Schmupunkt zweier Restriktion sge raden. e ine r Rcstrlktio nsge rude n m it e ine r Koo rdi nate nachse oder de r be ide n Koordinatenachse n entsteh t. Die i-n- Restriktionsge rade ist du rch y. '" 0 charaktenstcrt. Setze n wir jewe ils ein e de r Schlupfvariablen gleich Null, so verble ibt in der Ze ile des Systems gertau die zuge hörige Gle ichung der Restrikt ionsge raden. Die Gleichungen x, "" 0 charakterisieren die Koordinate nachse n . \,\'ir können also zusammenfassen: Die Ge raden , d ie den zulässigen Bereic h be gren ze n, sind du rch das Verschw inden einer Variablen charakter isiert. Da d ie Ecke n jewei ls auf zwei d ieser Ge raden liegen, sind diese durch das Versc hw inden vo n je zwe i Variablen charakterisiert. Bei spiel : Bestimmen wir die Basislösungen bzw. Ecken unseres Produktionsprog rammbeis piels . Die aus dem Restriktionss ystem sofort abtesba re Basislösung haben wir bere its im letzten Beispiel bestimmt: x, '" X2 '" 0

-+

LB '" {O; 0 ; 24; 64; 22}

~

Ecke (0; 0)

Die we iteren Basislösungen ergeben sich durch Nullsetzen je zwele r Varia blen und Auflö· sen der Restsysteme. W ir erhalten als Ergebnis : X2 "'Y3 "'0

-+

LB ",{ 11;0;13;9;0}

-+

Ecke (11;0)

Y2 "'Y3 "' 0

-+

LB ",{10;2 ;8 ;0 ;0}

-+

Eck e (10; 2)

Yl '" Y2 '" 0

-+

LB '" {3 ; 7 ; 0; 0; 9}

-+

Ecke (3; 7)

Xl '" Yl '" 0

--t

LB '" {O; 8; 0; 8 ; 14}

-+

Ecke (0 ; 8)

Da alle Variablenwerte nichtnegaliv sind, sind alle Basislösungen zulässig . Die Eckpunk te des zulässigen Bereichs sind also gerade die zulässigen Basislösungen des Restriktionsg leichungssystems. Berechnen wir z für die verschiedenen Ecken , so ist die Ecke die optimale Lösung , die den höchs ten We rt für z liefert. In diesem einfachen Beispiel halten wir den Vorteil , dass wir bereits grafisch eine Lösung ermitte lt hatten und damit genau wussten, welche Variablen w ir zum Erhalt zuläss iger Ecken gleich Null setzen müssen. Zur Bestimmung der Ecke (10 ; 2) mussten wir z.B. den Schnittpunkt aus K2 und K3 errechnen und dazu Y2 und Y3 gleich Null setzen. Verfügen wir über kein e grafische Lösung müssten wir auch die verblei benden Kombinationen Xl '" Y2 '" 0, Xl '" X3 '" 0 , usw. berechnen. Die Basislösungen für diese Kombinatione n würde n dann aber aufg rund negati ver Variabl enwe rte nicht zu den zulässigen Lösungen zählen . Da wir in der Praxis nicht für jedes lineare Optimierungs problem eine gra fische Lösungsdarstellung anfertigen können und die Berechnung sämtlicher Basislösungen mit anschli eßendem Ausschluss der unzulässig en seh r rechen intensiv sein kann, bedienen wir uns eines effi zientere n Verfah rens (Simplexverfahren), welches wir im Folgenden vors tellen.

5. Lineare Optimierun g

369

Nach de n bis he rige n Ausführungen können w ir zunächst für unser allgemeines Re srnknonsgleu'bu ngssystem (VI.8')) fexthalten, dass die Ecke n des zulässigen Be re ichs durch das Versch winden von jl.' n der Variablen des Re striktion ssyste ms charak terisie rt sind . \X'e nn in e inem Gleich ungssyste m mit n + 111 Var iabl en und Hang m ge nau n Variablen ve rschwinden , sind d ie restlichen m Variablen ein deut ig bestimm t. \'('ir erh alten auf d iese \'(,'eise Basisl ösungen. Die Ecteen des mtässtgen Berei chs sind genau d ie z ulässigen ttaststösungen des Rc strtkucnsgle tch ungssystc ms (VI.8') . Eine Baxislös un g von (VI.8') e rha lten w ir sofort, indem wir d ie n Nichtbasisvariab le n gleich Null se tzen . Sie lautet I,, " [O, .. ., 0, b., b, ' '' , b",l llnd ist zuHissig, da b, ;:: 0, Zum Erh alt we itere r Basisliisunge n muss das Gleic hungssyste m durch Pirotschritte so um geformt werden, dass die Einh e ilsvekt o re n in ande ren Spalten de r Koeffizie nte nmatrix (VI.86) und nich t wie zu Beg inn nur in den letzte n m Spalten ste hen . Es werden also gew isse Mc htbus isvanablen durch Pivot schritte in Bas isvariablen. ge wisse ß as tsvariahlen in Nich thus lsva riablen umge wande lt (sog. Basistauseh r. Ge nau da rin beste ht die v orge he nswe tse des Slmplexveefahrens . Von der sofort ubl csba rc n zu1ib~ igen B a ~i~ l ü~ ung Lu = 10, ... , 0, h" b, ... , h.J ausgehend , wird Schritt für Schri n zu neuc n ltas tslöxunge n überge ga ngen, und zwar so, dass sich he i j....dem Schr itt der \X'er t der Zielfunktio n vc rgröxert, b is ei ne Vergrö r~e ru ng n icht meh r möglich Ist und das Max im um erre icht wurde. Zur urnse rzuo g des Simple xve rfahrens wird das vorliegende Re striktio nsgleichungssystem (V I.8 5) um d ie Zielfunktionszeile z = CIX I + c!x! + ...+ cnx n in der Fo rm -C I X l -c 2 x! - ... -v,« , + Z = ergänzt, sodass wir ein Gle tch ungsvysteru m it m + 1 Gle ichu ngen und n + m + 1 Varia blen erhalten:

°

(V1.87 ) + )' '''

°

+z = Dieses formulieren wir als Tableau, wo bei wir in ein e r Ko pfze ile alle Variablen aufführe n , in einer Ko pfspalte nur d ie Basis var iab le n (im Ausgangslableau y" " ', y." z). Die Zielfun ktions zeile wird von den übrig en Zeile n d urch eine Linie ge trenn t: XI

"

x"

.,

V

y!

Yn

,

b

0

0

0

b,

0

0

b2

0

b",

)' 1

an

al !

a ln

y!

a!l

a!!

:1!n

0

YIll

amI

a m2

;1",,,

0

0

z

-c ,

-c,

0

0

0

0

Mac he n w ir nun e ine Nichtbasisvariabl e x" in der e n zugehörige r Spa lte der \'('e rt der Zielfunktion negat iv !sI, zu r Bastsva riable . d.h. setzen x, > 0 statt X. - 0, so führt dies zu ei ner Zuna hme von z um ", . x" da z = " lX I + c! x! + ...+ l""x n . \X'ir er ha lten da mit ein Krite rium für die Auswah l der Ptvotspatre, das sog, Opttmalltätskrttertum- Wir wählen e ine Spalte , in welcher der \Fe11 der 7.ieljll Jlkf i oll Il eg a fit ' ist.

VI lineare Algebra

37 0

Sind alle 'x'cue der Zielfunküonszc ile positiv, haben wir Jas Endtablea u erreicht. Die optimale Lösun g ist dann d ie d iesem Ta bleau entsprechende Basislüsung. Nach W'ahl der Pivots pa he , in der e in Einhe itsve ktor erzeugt werden soll, ist no ch die Pivot ze ile zu wühlen, d.h. die Zeile, in der die I ernsehen soll. Durch eine geeig nete Wahl der Pivo lze ilt' können wir ga rant iere n, dass die entstehende neue Basislüsung zuWssig isl. Die Bed ing un g, die d ies gewäh rleiste t. he i!~1 En g passkri te rium und lautet wie folgt: Lie gt ein Simple xtableau vor und soll in der j-te n Spa lte ei n Einheusvektor erzeugt we rde n, wählen wir dasjen ige a" als Pivote lcmc nt, d.h . J iejen ige Zeile i als Pivot ze ile. für die der je we ilige Q uotient b/ a, seinen kleinsten positiven wen annnirnrnt. Zweckmätstgcrwetse führen wir im Tableau deshalb noch eine Spalte für die Q utie nte n h /a, ei n. Zusammenfassend können wir d ie Vergehensweise zur Lösung eines Standardma xim ierungsproblems mittels des Simplexve rfah rens m it folgender Abb ildung \ef".mscha uliehen.

I

Auf'!dkn d"" m,"h",m,"iwh<:n ),I,)(ldl.-

I

Einführu nl< Hlll SI.'hlupf\";,ri"hkn

I

Auf'ldkn d"" "\ " ' l<" nl<-, whk all'

I

t

I

t

I

1 Giht es in der z-zetle des Ta ble aus

nein

Ahl<'s<'n der B"'i,lihlllll< lid",n o ptimale> Lihllfll<

negative Elemen te

Y

t ;"

I

\X'a hl d<:r l'i\'Ol'p;L1I'" n;td, 0 plimalil ;il,kril<:ri"m

I

W;thl der Pivotzeile nach f nl
I

t

I

t

I

Pi,'ol>;<·hriU ( Au fs!d l' l1l.!! <:in"" 11<:",'0 Tah l",,,,,,)

Abbildung VI 7: Abl aufschema des Simplexverfahren» Beis piel : Für unser Produktionsprogrammbeispiel erhalten wir das folgende erweiterte Restr iktions g leichungssysfem:

+3x 2 +Y, " 5', +7x 2

2', +>,

- x,

-xs

= 24

+Y,

= 64

+Y 3

= 22 +Z

=0

5. Lineare Optimierung

37 1

.,

Daraus erhalten wir das folgende Anfangstableau: b

~

0

0 0 24

24

1

0 0 64 l a B

0

1 0 22

0

1

'2 y, Y2 Y3

"

Y, 1 3 1 Y2 5 7 0 Y3 [I] 1 0 z - 1 -1 0

Z

0

0

11

,

In diesem Tableau haben wir nach dem Optimalitätskriterium die erste Spalte als Pivotspalte gewählt, da hier der zugehörige Wert der z-Zeile mit - 1 negativ ist. Alternativ hätten wir mit der gleichen Begründung auch die zweite Spalte wählen können. Von den Quotienten Wa,l bzw. bI/al l '" 24/1 '" 24, bc'a21 '" 64/5 '" 18,2 und bJ!a3l '" 2212 '" 11 ist bJ!a31 '" 11 der kleinste, sodass die drill e Zeile nach dem Engpasskriterium die Pivotzeile und a31 '" 2 das Pivotelement (im Tableau eingerahmt) sind. Die Berechnung des neuen Tableaus erfolgt nun nach der in Abschnitt VI 3.4 beschriebenen Vorgehensweise zur Durchführung eines Pivotschrills . Die Pivotzeile wird umgeformt, indem jedes Element der Zeile durch das Pivotelement dividiert wird. Die Umformung der Elemente einer von der Pivotzeile verschiedenen Zeile s (inklusive der z-Zeile) erfolgt folgendermaßen:

a bneu _ b - -!!. b s - S a. I "

Um das zweite Tableau nach dem ersten Pivotschritt zu erhalten, führen wir also folgende Berechnungen durch:

Y, Y2

"

"

Y,

' 2

,

3

' .1

1 ' ·0 2

0

5 - i ·2

7 - i ·1

o - i ·o

1- i 0

2

2

1

2 z - 1-i:..!l· 2

Y3

Y2

1 ' 2

' ·0

2

2

O- i · 1

•

~

b

Z

t .1

0

0

' ·0

2

1· 22

24

2

o- i ·o

64 - i- 22

{

-'i-

1

O- i:..!l ·O O- i::!l ·O O- i:!l ·1 1- i:..!l · O O_H l · 22

_ 1_(~ l l· 1

2

2

2

2

2

2

Dies liefert das nachfolgende zweite Tableau. Für den nächsten Pivotschritt kommt als Pivotspalte nur noch die zweite Spalte in Frage, denn nur dort hat die Zielfunktionszeile ein negatives Element (Optimalitätskriterium). Berechnen wir nun die bla,2, so liefert die Engpassbedingung (b1/a1 2 '" 13/(5/2) '" 5,2; b2/a22 '" 9/(9/2) '" 2; bJ!a32 '" 11/( 1/2) '" 22) die zweite Zeile als Pivotzeile und damit a22 '" 9/2 als das Pivotetement für den nächsten Schritl. Wir haben dieses bereits im zweiten Tableau markiert.

"

Y, 0 Y2 0 x

z

1

' 2

•

Y, Y2

m , 2

0 _ 12

Y3

Z

b

.,

~

0

9

2

0

-. 1

0

11

22

0

1

1 11

1

0 _12 0 13 5,2

0

1

0 0

2 2

2

Es sei hier angemerkt, dass im zweiten Tableau nun in der Kopfspalte nicht länger Yl, Y2 und Y3, sondern nun Ylo Y2 und Xl enthalten sind. Y3 ist nach dem ersten Pivotschrill nämlich keine Basisvariable mehr, Xl nun jedoch schon. Die Variablen sind dabei so angeord-

VI lin eare Algebra

372

net, dass als erste Basisvariable immer jene angegeben wird, die in ihrer Tabellenspalte die 1 als erstes Element aufweis t (zeilenweise betrachtet) . Diejenige Basisvariable mit der 1 an zweiter Stelle ist entsp rechend die zweite Variable in der Kap/spalte , usw. Zum Erhalt des dritten Tableaus bzw. zur Durchfüh rung des zweite n Pivotschritts stellen wir folgende Berech nungen an:

"

Y2

,

' 2

z

Y3

b

1- t -O Q

•1

.i

1

1

o-t·o

l _ H l .o 11_ H I .g

0 - (-1> .0 O_ l--1I . 1

1

1

1

1

Wir erhalten damit:

' 2 Y, Y2

x

Y,

-, Y•3 • -,

0

0

1

'2 0

1

0

1

0

0 _19

0

0

0

x Z

9

9

9

9

1 9

I

9

• 9

Z

b

0

8

0

2

0 10 1 12

In diesem Tableau enthält die Zielfunktionszeile keine negativen Werte mehr. Die Basislösung dieses Tableaus ist also die optimale Lösung. Setzen wir die Nichtbasisvariablen Y2 und Y3 gleich Null, erhalt en wir X, = 10 und X2 = 2 mit z = 12, was wir auc h dire kt aus dem Tableau ablesen können (vgl. Grausch atl ierung ). Diese Lösung hall en wir bereits graf isch ermittelt. Den W ert Yt = 8 können wir wie /olgt interpretieren: Werden beim optimalen Prod uktionsprogramm 10 Einheiten nach Verfahren 1 und 2 Einheiten nach Verfahr en 2 hergestell t, werden die vorhandenen Aessou rcen der Komponente K1 nicht voll ausgenutzt. Der Bedarf bleibt 8 Einheiten unter der Höchstg renze.

6.

Aufgaben

All gemeine Berech n ungen m it Vektoren un d Matrizen

Aufgabe VI- t Sind d ie fo lge nde n Vek toren a , b und c linear unabhiingig?

Aufgabe VI-2 Ve reinfachen Sie m it Hilfe der Rechengese tze für Matrize n die un ten steh enden Ausdr ücke, sodass möghchst we nig Matrhze nmulrip likutione n auszuführen sind : a}

0 "1' · A T · C + ( D T · A · ß )T + ( C T · A · U )T + ( A · ß )'I - D,

\\'ohei A~-'1 , 8 1><2' h l A T , B .C+ (C 'f . HT ,nl' )l' _pT · E · C ,

w oher A !><.~ , B v.! , C ZX I' D ;\><2' E!X2 { Einheitxnuu rix l und F.x~ '

Aufgabe VJ· 3 Geg eben seien folgende Matrizen:

("6 6.) ]

A = H -1

ß =

(75 -5o

:J

-')

Führen Sie, wenn mögl ich, die folgen de n Matrize no pe ratio nen . a)

A · 8

h)

A ·C

c)

ß

1

d)

Aufgabe VJ·4 Gegeben st.'i folgende Matri x

(o~ :: ~] nur "

0 =

a, hE R ,

C'

VI linear e Algebra

374 Berech nen Sie a)

d ie D eterminante von 0 , Jet 0 ,

b ) den Han g von 0 , fg( O), e)

die Inve rse von 0 , O ·,!

Aufgabe VI-S Gegeben se ien folge nde Matrize n

A =[~ ~ -~l 8=[; -; ~l · 20-')

--6-3 4

Be re chnen Sie

d, det ( A . R ) er det( 3· A l

dei A

"b,

det ß

d

det A-

n

1

X'

rgIB)

h,

rg( A . B )

rgr AJ

Aufgabe VI-G

Gegeben sei d ie Matrix A=

r:: ,I

o

1.

1- a0 h

o

;1

1- a - b

Be re chne n Sie d ie inverse Matrix (E-Ar'! Aufgabe VI·7

Gegeben se i folgende Matrix I A =

[

+,

2

1

2

1

2:.1

~Il · J

Fü r welche W'e n e von a isl d ie Matrix A lnverticrh ar? Be rechne n Sie d ie In ve rse A" für u e O!

Aufgabe vt-a Fü r welche x

E

IR gil t x

J et - : [

6. Aufgaben

375

Aufgabe VJ-9 Gegeben sei die Matrix m it A=C "J b

a, b e IR.

Bestim m en Sie d ie Paramete r a und b so , d ass gilt

A ·A

T

=G 1~) '

Au fg a be VI-I O Berech nen Stc die fo lge nde Dete rmin ante: ()

2

()

()

0

3 0

1

-1

0

Jet A = 1 2 0 0

1 j

()

()

0

()

-2 - 2

Lineare Gleichu ng ssysteme

Au fg a be VI-l I Löse n Sie d as folge nde lineare Gle tchungssvstem . x 2 -c + x ., !=O Xl + b X2 +bx ~ = ax 2 Xl + a x l + a x~ e ac cbx.. Aufg abe VJ-12 Gegeben sei die Matrix

Bere c-h ne n Sie (.lie Lösu ng d es Clctchu ngxsys tems (E- A ) . x = b (mit b bel iehig )! Au fga be VJ-13 Gegeben seien folgende Ole tchu ng csystcme . a)

-l X J

+ j X2

-

2x 'l = 7

b)

x J + Xl

-

2x I - j x l Xl - X.'!

X:,>

= I

+ X~

=0

=2

Besitze n die o b igen Gle ichu ngssysteme e indeu tige Lö su nge n? Begrü nd e n Sie Ih re Aussage n und be rech ne n d ie ggf. d ie Lösungen der Systeme!

VI linear e Algebra

376

Aufga be VI-14 Geg e ben se i folgendes lineare Gleichungssystem ( a E IR ): 2X

j+

;IX 2+X 3

=ü

- 2x I + ( 4 -2a )x z+ (;1- 5)x j = O 4x 1 + (3a - .i )x z+ 2x j ;1)

=()

Für welche werte von ;[ ist das Gle tchungssystem lösbar?

b I Bestimme n Sie die Lösung für a =

o.

A u fga be V1-15

DN linke obere Teil der folgenden Tabelle enthält sog. l/ el,11ech l l lllgsk oejJiz i ell tw . Sie ge ben den In put des in der Kop fze ile bezeichneten \'(Iilt -"l' hah szw e igl'!i an , der zur Prod uktio n eine r Leistungseinheu (L E ) des in der e rste n Spalte ge nannten Zweiges benötigt wird. So werden z.B. zur Erze ugung einer LE in der Landwirtschaft 0,2 LE landwirtschaftliche Prod ukte , 0,3 LE des ind ustriel le n Se kto rs 1 und 0,2 LE des industriellen Sektors 2 benötigt. Die Nachfragem atrix oben re chts enthält Angaben übe r die Ge samt nach frage . In der sog. Primäraufw a ndsmatrix unten links sind die Daten über die Arbe itsze it in Stunden je l.E und über Löhne in W:i1uungseinheilen je I.E enthalten. Output

Landwirt schaff

ludustri....se kto r I

Landwirt schuft

0 .2

Industriesektor 1

0.3

0."

Irrdustriese kto r

Inp ut

z

Arb.... itsz ei t Lehn....

Bea ntwo rte n Sie a uf

I h~ i s

lndust ri....-

-ekror z

Nachfrage

O..i

0,1 '5

UOO

0.2

0 ,4

0 ,25

600

0,04

O,OH

0,12

2,6

43

1.7

"00

dieser Da te n folg ende Fragen:

a ) \'(!e lche Outpulmengen müsse n di e ei nzel ne n Winschaftszweige e rb ring e n , um d ie bestehende Nachfrage zu befr iedigen? Nutzen Sie zur Beantwortung dieser fragestellung "IS- Exce l ~ bj \X'icv iele Stunden Arheitsze it müsse n zur Erb gingu rig der O utpu tmengen a ll .~

n)

geleistet we rde n, und w ie hoch ist d ie dabei anfallende Lohn summe-

c ) \X'ie wirken sich e ine Erhöhung der Nach fragen in der Landwlrtx rhaft um 40 LE und im Ind u strie se ktor 2 um IR I.E bei gleichzeitige r Verr ingerung der Nachfrage im Ind ustrie se kto r 1 um 70 LE au f die Arbe itsze it und die Lö hne aus, wenn diese zusätxliche Nachfrage d ur ch Erhö hung der Outpulmengen befrie digt werden soll?

n

lIIIIt

6. Aufgaben

377

Matrizengle ichu ngen AufgabeVI-t6 Gegeben .'ieien die Matrize n I und

B = Cl [

Cl

0

1 0

() o

1

welche Matrix X erfüll! d ie Gleichung A . X .. ß ' Nurzen Sie zur Besumm ung d e r Lösung MS-Excd !

Ir) ~

Aufgabe Vl-17 Gegeben sei d ie Matrizengleichung AB · X '" C . X + D. Es sind zudem d ie Dime nsio nen de r Matrizen A:\XI ' B lx.~ , C .!><.~ und D1><5 be ka nnt. Übe rprü fen Sie, o b die Matrizen d ie formalen Voraussetzungen er füllen , damit d k Gle ichung lösbar ist! Aufgabe VI-IB Wdche Murrtzen X u nd Y genügen den folgenden Gleich u nge n? I;

2A · X + B · Y= C

1l: 3A · X-2Y= ß

mit

A=('3 2')' 8=(-1 l)undC= ('2 02) 0 -1

Linea re O pt imie ru ng Aufgabe VI-19 Lösen sie mit dem Simplexverfahren die folg e nden be ld e n Standardmaxim ierungsprobleme! lI .d.N.

x,

< 10

x 2 :5 12 XI

b) z

v

2x, + 3x, +x,

u.d.N.

+ x2 :5 J!l. XI

;?:O

Xl ;?: 0

x .~

;?: 0

Prüfe n Sie Ih re Ergeb nisse du rch Lös ung der Maximierungsp robl erne minels der Fu nktio n "So lve r" von .\IS-Excd !

Q.

VII

LÖSUNGEN

1•

Allgemeine Grundlagen

Aufgabe 1-1

:1) Aussag e A ist hinreiche nde, aber nicht no twe nd ige Be di ng un g für Aussagc B. Erk l.: wenn A vorlieg t, lie gt auch B vor (A ma tisch A, d a ( ± 3) 1 = 9 ( B -4 A gilt nicht) .

~

B ). Aus B fo lg! :11)(;1" nich t au to -

b ) Aussage A ist nich t hinreichende, aber no twendige Bedin g ung für Alls.sage B. Erkl.: 'X'enn A vorl iegt, liegt nich t un bedingt auc h B vor, da nur für J e n \Y'e rt J.i B ei n tritt lind A :llk ge raden Zahlen e inschließt (A -4 B gilt nic-ht) . Liegt allerdings B vor, so kann x nur ge rad e ( 4 ) sein (B --+ Al. e) Aussa ge A ist h inreichende und no twend ige Bed ingu ng für Aussage B.

Erk l.: w e nn A vorl iegt , lie gt auch B vor, LI:l sowohl Y als a uch (-3)! den Wie n 9 ergehen CA --+ Bl. Umgekehrt kann auch von B a uf A geschlosse n werden

(B--+ ,ü

1..1 ) Aussage A ist nich t hinreichende, ab e r notwendige Be ding ung für Aussag e B. Erkl.: Aus A folgt nich t imme r B, da z.u. be i neg. Zah len d ie Aussag e B nicht gilt (A ~ B gilt nklll). Aus B folgt allerdings A, da x / 4 nur aus der Menge der na türliche n Zahlen stammen kann, we nn x eine gan ze Za hl ist ( B ~ Al. e) Aussag e A ist n icht hinreichende , aber not wen dig e Be ding un g für Aussa ge B. Erkl.: Es gilt A- 1 =(I /det A)· :.ldj(A) . Hat dct A den \X'e I1 0 so exi stie rt ke ine Inve rse. Doch auch we nn det A :1:- 0, ka nn es vo rkommen, dass keine Inve rse ex istiert Ci\ ~ B gilt nich t). Existiert je doch eine Inve rse. dann muss det A von Kuli verschieden se in (B ~ A). f)

Aussa ge A ist nicht hinreichende, a ber notwendige Bedingung für Auss age B. Erkl.: Für e inen Extrem wert muss imme r gelte n, d as.~ d ie Tange nte nsteig ung gleich Kuli ist ( B ~ A). Ist dies de r Fa ll, ka nn es sich ab e r a uch um einen Wendepunkt handeln (A ~ B gilt nicht ).

g) Aussa ge A ist nicht hinreichende , abe r no twe ndige Be ding ung für Aussage B. Erkl.: Aus A fo lgt nich t n, da z.It. der \'<'e n -1 kle iner als I , doch ( ~O' nicht klein e r a ls 1 ist (A ~ B gilt nicht>. Ist nun aber B erfüllt, so muss der et nges etzte x-wert kle iner als 1 se in m ~ Al. h) Aussage A ist hinreiche nde, aber nicht no twe ndige Bedi ngun g für Aussag \"" B. Erkl.: Ltegt A vor, so liegt au ch B vor (A ~ Bl. Da d ie Me nge .z uuc h negat iv e Zahle n be inhaltet, folgt aus B nicht imme r A ( B -4 A gilt nicht) . i)

Aussag e A ist hinreichende und notwendige Bedi ng ung für Aussage B. Erk l.: Sind die fixen Kosten gleich 0, so kann nac h Be rec hnung des Inte grals de r Grenzkostenfunktion d ie additive Ko nsta nte we ggelassen werden , d.h. man

382

VlJ Lösun gen

erhält so fort d ie Kos ten fun ktio n (A -) Bl. Dies g ilt a uch umgekehrt . Bei nhaltet J as berechnete In tegr al der Grenzkosten funk tion ke ine ad ditiv e Ko nstante , so sind d ie Fixkos te n gleich 0 (B ~ A). Aufgabe 1-2

{6,7,H}n {2,3,5,7, H}= {7,H} b) { I , ~ 3,4,5} v {I, 4,6} = [t.z 3, 4,5, 6) c) {6,7,H} n {I,4,6} = {6} co )

d ) { ~ 3, 5}n {I, 2,3,4,5}n {1,4,6} = {I, 4,6,7,H} rv {1,2,3, 4,5}rv {I, 4,6}

= {I,4}rv {1, i ,6} ={U 5, 6,7,H}n {I,4,6) = {6} Aufgabe 1-3 a ) 11. 2,3, "" 12, 131

e)

A

il

11 , 2, 3.4,5,7, H, 9. 10l

hl 161

jl

1I1

cl A

.,

A

d l 12,3, .. ., 9, 101

hl

A

fl

0

Aufgahe 1-4

a j (2ax + 3hy )(..!. a- ..!. h) = a' x - ~ ahx + .i ahy _ b-y 2 3 3 2 b) (t l + t j + ... + I n )( x-y)=x0 1 + I !

+ ... +( 0 ) -

)' (11 +t ~+ ... + t n ) =X i:>, - r i :r, ;_1

i _I

'"' ( i; x,"'] (" - hl = " i; x,y, - hi; x,y, ,_]

,_I

,_I

d ) r x + vxzx - 4y J- O X + Y )(2x - y) = lX ' - 1x)' + zxv - 'l y l - f ox l - 3xy + zxv _ y l )

= - 1x' - xy - 3y! = -<4x! + xy +3 y l )

el

(.!. p+ i q + "!'r ){Z p + 4'1 ) = p! + zpq+ 3pq + 6q ! + 0,Srp + rq 2

2

-1

= p! + Sr '! + 6<1 ' + 0, Srp + rq f)

2x 1 - 4xy e ax = zxt x -2y + 4)

1. Allgemeine Grundlagen

383

Aufgabe 1-5

a)

4y 1

-

9 = (zy - 3)(2y + 3)

b ) 1-49 x' =(l- 7x)(l+7x ) c)

25\"\ ,,1 + 20\'\\' + 4 = ( Svw + 2/

d) a' + h" + c" + 2a b + 2ac + zbc = (a + h + C)' e)

(4- 2x}(4 + 2x)= 16- 4x '

n

(:I

+ b + c - d )l = a 1 + b' + c' + d l + la ll + 2K + 2hc - l ad - 2hd - led

g ) (-2- x)'

_(1_X )1

= 4 + 4x + x'

-(I

-lx + »' )=3+6 x

Aufgahe 1-6 a)

- (y-x ) =-1 y- x

X-Y

--= y- x

a :1- 1 c)

2x- 2y uyr- ax

=

-Z( y-x)

.u y

2

x)

d1

x\ -xy" xy(x -y ) y(x-y) x'z- x1.' = xZ( X- 1. ) = z( x-z)

e)

( l_d-=.!-=_(t-r)(l-r)=_~=~

t"_r"

n

_1_ a x)" + bxy

a1

xy

b'

(t- r)( t + r)

t+ r

t +r

xy(ay +h) = :ly + b b') a' - b-

xr (a"

( X+ yl xyl _ (X+y) xyl 1.{x -y)( x +Y) 1.( x-y) h) il

1 x- y ) x-y - I I - - - = - - - - - = "----'-----' x - y x - y x-y x-y ( x +)')

x -y

x+y

(x

y)( x + y )

(x -

y)

2y

rx + ynx

jJ

_1 s- l

5_ + _7,_, -_9 _ _ 5_ = ~(,~'+ ---,1~)_ -_5~(,~ . _-~1~)~+~7~'~-~'~ )~ +~5~(~'~ +~1,,) l +s sl_ l )- s (s- l)(s+ )

k)

~ : 16 y =~ y- x

x- y

y-x

J)

( a + h + a + h), (~ + ..!..) = a( a + b) + b( a + b ) : b + :l h

a

x - y. 16y =_2)'

a

h

x

ab

ab

384

VlJ Lösun gen

a(a+ b )+!l(a+ b)

=

all

m ) ( 1- ~. ). <•

nj

•

(a+ b )(a+ b l

11+3

11+ 3

-=

<1 + 11

(..Z!. _-.Zl!.- ) = z -Z 1 . Z-Z l I = z -Z 1 . ~ =Z z- ) . m l _ 4 n1

(~ _ 2n) : m + 2n 2n

ab

._

m

._ -Tl - = (m-2n)(m+2n) =m-2n ---

2nm

Tl

III

2m( 11l + Zn)

+ 2n

2m

Au fgabe 1-7 a)

5x-S( a-2(x+ l)-lJ+(a-lJ 1 = - ( 7a-x)

-5;\ + l Or x + 1)+5+a 1 - 2a + 1 =-7<1 -2x

H

H 2x

~ H + IOx =-;\"' - lI}

12x =-;\ .' - ln~ H x

=- -a -)1+ 161

~ - 4 )=(x+o)()x+2) ' I,) - x+- 1 =x--+6 H ( x + ! l()x

5x + 2

5x - 1

H Sx' -4 x +5x -4 = 5x 1 + 2x + 50x + 12 H -5 1x = 16 H x =_16

J1

d

3x+ 1 I -x - - ---=-

x-2

3x-6

15( x - 2 )

Sax =-15

5x-1O

H

3x + 1

I -x

x-2

3(x-2)

-

--

5(1-x ) + .3 15(x-2) 15(x-2)

H 1'5(3x + 1)

H

I

H

+

=0

5(x-2)

=O H 15x + 15-5 +5x +3=O 1')( x - 2)

x =-Q 50

Aufg ahe 1-8

•

L x,y, al

e)

,-,

•

L,-, I',

b)

,.

..

2>, ,-.

cl)

'

2' ] l 0 ' - 1\ - 2'1 r 1 r' z" i z

~

~ V \\' iI<

,-,

L..

~

- + - + - +-+-= 13 2 +2 +0 -0) -2 =31)

"

Au fga be 1-9 a)

2x + 8 < -5x + 1 H 7 x < - 7 H x <- I

21 + x ~ 2-1 + x I, ) - - + I < '-1 H - - < J x x

FaHl (x > 0): 21 +x <3x

H

x > 12 -- Lösung FaH l : x > 12

Fall 2 (x < 0): 24 + x >3x

H

x < 12- - Lösung FaH 2: x < 0

'I

n

2 '3·6 =36

1. Allgemeine Grundlagen

cl Fall I (x >

385

2): 1 :5 -o.Sr x -2) H 1 :5-()"x

Fall 2 ( x < 2): 1 ~-o,.,( x -2)

H

+1H

1 ~-o,5 x + 1 H

x :5 0 -- Lö sung Fall 1: 0 X ~O

-+

Lösung Fall 2: 0 :5 x < 2

z 1):

d) Fall I tx

2x -1 > x - lH X > 0

. - Lösu ng F.L1l 1: x

~

I

Fall 2 (0,5 :5 x < I ): 1,-II= -(x -I)= I - x -- Lösun g Fall 2:

--* 2x -I ~ 1 -XHx 2: i

i :5 x < 1

Fall 3 (x < 0,5 ):

Ix- 1I = -ex-1) = 1 - x 12x - I1= -(2x - 1) = \- 2x I - 2x :51-x

H

x

-- Lösu ng Fa ll 3: 0 :5 x < 0, 5

~ O

e) Fa ll 1 (x > I ): be ul e Nenner positiv x

+ I < 2{ x - I) H - x < -3 H x > 3

-- Lö su ng Fall 1: x > 3

Fall 2 (- I< x < I ): lin k er Nenner negativ, rechter Kenner po siti v x

+ I > 2< x - l ) H

-x > -3 H x < 3

-- Lösun g Fa ll 2: - \ < x < 1

Fall 3 (x < -I); bcide Nenner negativ

x + 1 < 2{ x - I ) H - x < -3 H x > 3

-- Lösung Fall 3: 0

Aufgahe 1-10

d)

( { _ y ),n_l)'n+l = (_y) ,n' _l =_y ,n' _l

n

r ~( sl

h)

Sl(S

_ 11 >('

+t

I

r

=

'

(y ,n-l _ 2y -nH

t s - 1J{s + m' r s ' r

s

+ t)

=

+ y -, n -.~ ) : y -n+l

(s - [)( '

rs'

= y..n -l

_

2y

+ y -.
386

VlJ Lösun gen

Aufgabe 1-1 1 a)

1-11 +11«-1)

t +l

[l +l

- - + -- = - -- + -- = - -

,,1

r'

r~

r'

r'

cl d)

x-y =( x-y)( x +yrl

c)

1- ':' + - =

y+x J

}

I

[2

2

7

t'

1

1

(1

)'

~ -=..+ _ = --_'_ = ,-10 _ u' 1 l t

,'

fl gl

X xy-' - ( xy ln-t =-y

1,

( xy)_ n

Aufga be 1-1 2 4

=

1

y -
a)

;1 '

d)

,I ,,,","" r: ,....-c .rt: " 'I,/x , ~ xv,rc x'- = Vx xx ' = x "I x ' = vx· x ' = vx " = x " ,{IF

'"

va-

, (""7

V'

l

l

J:

e) "'la 'v a- =a" -a ' =a "J

n

~ .~

rr;;

'ifY'

387

1. Allgemeine Grundlage n

Aufgabe 1-13 a) D ie Wurzel iSI nur definiert, w enn a' - x' ~ 0 gilt. D em nach gilt: _ Xl ~

_a l H

Xl

:5 a 1 H

-'J

:5 X :5 a

b) D ie Bedi ngung ( x - 2h )1 ~ 0 ist fü r jedes x E IR erfüllt .

cl Zunächst muss gellen: (Inx )l - I~() H (Jnx)l ~ 1 H ± ln x ~.JJ e-e d ln x ~ I

Es sind also 2 Fälle ZU unterscheiden.

Fall 1: In x ~ 1 H ein ' ~ e ' H x ~ e I

FaJl l :-ln x ~ 1 H In x:5 - 1 H c O" :5 C~ l H x :5c Da In x n ur für pos itive x de finie rt ist , können wir für de n Definitionsberei ch insgesamt festhalten.

D = {xl o < x :5~ Ax ~ c} Aufg abe 1-14 a)

In 10' = In S,>+I x . In 10= (2x + l) · ln S

X. In 1()= 2 · ln S · X + In S

X l_ .~=

x . In 10= ln S" . x + ln5

x J = I, 05

x -tn 10= ln 2') ' x + In5

x.,

-l n5= (ln 25 - 1n 10) · x x=

cl

-

I

-ln5

I n ( :~)

= ±.JI ,05 = ±1,Ol

InS = - - - = - 1 76 In2 ,5 '

I

- + --= ]

cl)

x - I x +l ( x + D +{ x - J) = 1 ( x - l ){ x + 1) (x + I )+ ( x - 1) =( x - l jt x +

1)

,

x

c =-= 1

x ln c'i eln I

2x = x ~ - 1

- x l + 2x + I=O x l.! =

-J'=-1,95 (-*

x =0

-2 + .Ji - 4 · (-1) · 1 2·(

1)

x, =-{), ·11, », =2,41

388

VlJ Lösun gen

n

log ,(3x)- l=]og ,(x ')

log , 3 + log , x - 1 = 21og , x

e 'n h ' - -,- = e in.; , + In I-ln 2x

- !og , x =- !og, 3 + 1 log , x = log , 3-log , 4

x-

3x'

- , =3 x +ln l-\ln 2+1 nx ) x 3x = 3x + In ] - ln 2 - ln x lnx=l nO,5

log , x = log ,

i,]

x = 0,75

x = 0,5 gl

In( 2,1) = In(5 · 2' · ') Xl .

h)

0,5=

In 2 = In 5 + In 2'"

In2 = In5 + x . In 2 + 5· In2

x! -102- x · ln 2 = In5+5 · 10 2

In 2· (X l

-

x ) = ln 5 + ') -In 2

x -, - x = -,ln"-,,S~+_S~'~I~n-=2

102

x l - x = 7. 32 x! - x-7, 32=O

x l,l --

-{ - l)

± .J(- I)'

-

4 . 1· (-7.3 2)

2. I

x , =3,25. x! =-2,25 j)

,J' x - ·1 = 1+ .J3 x+ l

.J5x -4 - ./3x + 1 = I (.)Sx - 4 - .).lx + I)'

X-I

X=O,S -l

Xl ' \0 2 = In5 +( x + 5 ) · 10 2 Xl .

!og,O,5=-!

=,'

(5x - 4) - Z.J5x - 4 J3;+l + (jx + J) = 1

J(5x - 4)i3x + ]) = 4x - 2 (5x - 4)(3x + J) = (.i x _ 2) 2 15x' + 5x - 12x - 4 = Hix' -lox + 4 - x' +9 x-R=O

x=2

389

1. Allgemeine Grundlagen

jl

F+2 -.J, - 2=

x +1

~ +2 x +2 -~.f;:+2 = x + 1 J( x

"X

2)(x+ 2) =!

( x-2J{x +2)= !

x' _ 4 = 1

X

- + t:

u - - ",

Da d ie zwctre \X'u rzd für x

=-.,f, nicht definiert ist, ist x =.J5

d ie Lösu ng.

2.

Finanzmathematik

A ufgabe 11·1 ;I )

Endkapitalvergleich. K ~ = I SO . O ()O · (l + O, ()6S )~ =205.513,0'5 Eu ro K ~ = 200 .()()() Euro

-+ Endkapital Ban k A > End kapit a l Ran k B -? Ba nk A ist zu be vo rzuge n. b ] Barwenvergle ich. K ,~ = 1"io.non Euro B

Ko =

200.00 0 t: , = 200.000·(J +ü,O\ö r

'

1,065

/.

= 145.97ll,1 7 Eu ro

-+ B:IfWCrl Ban k A :> Barw e rt Bank B -+ Bank B ist zu be vo rzuge n. da dort weniger angelegt werden muss.

c) Zinssatz ve rgleich . i , = 0,06') "" 65 % i =' B

200.()()O

150 .000

- 1= 0,0592=5, 92 %

-+ Zinssatz Ba nk A .> Zinssatz Ban k B --+ Ba n k A macht das be sse re Angebot.

Be i allen .3 Vergle ichen muss sich no twendigerwe ise das gle iche Ergebnis ergeben . Aufgabe 11-2 Bd p hr liche r Ver zinsu ng erg ib t sich ei n End kapi tal von K, = lOo.non - t ,ne)' = 133.H22,60 Euro.

Gesu cht ist nun aber K, bei monatlicher Verzinsung. De r Zinxsatz p . m. lkgl hei 0,06 ~_ =--=0 ()(h=()) % 12 ' , was h d ., . 12 = 60 Monaten Anl ageZt:l1 zu folgendem Emdk apaa l führ t .

Kr.:> = IOO.()O{) ' 1.00.,(°' = 131.HH5, 06 Eu ro

Au fgabe 11·3 K" '" BI!',_ '" 999 Mrd . D~I , K"" '" BIP,,,,,. '" 25 24 Mrd . D.\1

Es g ilt 2.':;24 '" 999 . q" '" 999 . i=

fiC

VO:; n

(I +

0 "'. Dar aus ergi hl sich für die Wach st umsrat e i:

2.':;2·1 - - 1= 0, 03 14 =3, 11 %

1 ... ' -

999

392

VlJ Lösunge n

Aufgabe 11-4

a) Es gilt 40 = 30 · q '" = 30 . (l + D''', Dara us ergibt sich für d ie wachsrumsrate i: i '"

,Im vi) -1 = o,ü 292 = 2,92 %

!J) Gesucht ist hier n über den allgemeinen Ansatz In K n

n =

In K"

-

m it q = 1,0 292.

Jnq

Eine Einwohner zah l von ':;0 Mlo. (K) ausgehend von 30 Mio. 0 0;0

=

10 50 -1030

( K ,,)

wird in

17,74H2 Ja hren

In 1,0 292

erreicht. Im Jah r 200R (He rbst 200H ) wi rd das LInd ':;0 Mic . Einwoh ne r ha ben. Bis e ine Einwo hne rza hl von 60 Mio. ( K) ausgehend von 30 Mio. (K) e rre icht ist, werden n

,,cl

=

1060 -10",0 . = :21 OH la b re In 1,0292 ' .

vergeben. lmjah r 2015 (Anfang 20\ '5 ) wird das Land 60 :\Iio. Einwohne r ha ben. Aufgabe 11-5 Erster Lösung-weg: Umsatz im k -t cn Jah r: u.... 1,2 Mto . . ( I + 0,0'; )"

Die da tl"., I u. '" 1,0':; ,. ko n stant gilt, liegt e ine ge ometrische Fol ge vo r. Die kumuIicrten Umsätz e bi lden dam it e ine geometrische Reib e . sodass w ir d ie Summe der Umsätze nach 20 Ja hre n w ie folgt bestimmen können : 1- ( '"

I _ l OS.!< '

1- q

1- 1,05

S~,,=u , . _ _I_= 1, 2.

'

=39,68 Mio . Euro

Dividie rt du rch 20 J ahre erhalten wir den gesuchten du rschschniülichcn Jahresumsatz zu .W ,68 .\fio. I 20 '" 1,98 .\!io . Euro .

Zwe iter Lösu ngswe g . Um satz im 20 . Jahr: u .!<, '" 1,2 · (1

Durchschnittliche r jahresum satz:

+ 0,05)'" '" .\ 18 Mto. Euro ll llJ - tl , '"

3,18 Mio. - 1,2 .\lio .

1,9H Mio. Euro

Aufgabe 11-6

Da sich das Ge halt des Studenten in der Fonn 0,01 , 0,02 , 0, 0'" ~

l, l/, <x 'h e

~ ~ .\I ',x·1>e

~

J I/" x 'h ,'

0,08 , 0,16 , ... ..............................

' .Wad,,'

~. \\,x· hc

en twickelt, liegt eine geometrische Folge mit q WH. Das let zte w oche ngeb alt liegt daher bei a n '" a , .

q?"

=

2 und dem Anfangsglie d

~ :1> '" a , . q' '" 0,0 1· 2" '" 33
:I , ""

0,0 1

2. Fina nzmalhematik

393

Die Gehaltssumme stellt ei ne ernsprechende geometrische Re ihe dar . sodass das Gesamtgehalt nach ei ne m halben Jahr wie folgt bestimmt we rden kann: 1-« ' " =;1, · _ - -+ s I-q -",

1-2'" 1- 2

=0,01 · ---=671 .0HH,6.~

Euro

Aufgabe 11-7 a ) Da Z L und Z, d ie je weiligen Endwerte Kn m it n , ~ 4 Ja hre und n1 " 7 Jahre darstellen, k önnen w ir den wert am 0 1.0 1.2000 ( Harwe n ) wie folgt bestimme n: I . i = O,OH p.a. Z,: K" = 700 =5 1'1,'52 Euro I, OH'

Z,:

u

K o = ] ·00~ = 5H3, -19Eu ro I, OS

_ Barwe rt von Z, > Barwert vou Zj 2. i = 0,20 p.a. Z, : K " = 700 = 337, ')8 Euro

1, 20'

-

Z.,: K, = I.OO? = 279,08 Euro 1, 20

Barwe rt von Zl > Barwe rt von 2 ,

b) Gle khe Barwerte bedeuten, he ide Te nn e aus

;1)

sind gleich zu setzen. Dam it

resultiert

70n 1.000 O+u '=O +i f H

H

700 {]+ i )l --= 1.000 (] + j)'

1.000 700

i = ' - - - 1 =0,1262= 12, 62 %.

Aufgabe 11-8 a ) De r End wen nach 20 Jahren (bzw. 20 . -1 = HO Q ua rta le n ) ergibt slch bei e ine m Q ua rtalszinsatz von i = O,OH / 4 = 0,02 zu KlO = 50.000 · 1,02'" = 243.771,96 Euro. b)

i= ...

K

VK"":

- 1= " 2·ij.77 1,96 -1=0,082·1=8,24 % p.a. '::;0.000 i n e In K, -lnK u v

H i = In K" -In K" = In 24j.774, 96 - ln "jO.OOO _ 0,0792 = 7, 92 % n 20 Aufgabe 11-9 Bei 20 Ja hre n (b zw . 20 . .3 .. 60 vtcrmonats pbascn: e rgib t steh be i ein em vicunon:ltszins von 0,06 /3 = 0,02 ein Betrag von K,o = 100.000' 1, 02'''' = 32H.103,OH Euro.

394

VlJ Lös ungen Aufgabe 11-10 Das Kapital liegt be i e inem Nonunalzins von 4 % nach e inem Jahr bei K, = 5.000 · (l + 0 ,04 ) = 5.200 Euro .

Die gewünschte Effektivverz insung so ll ab e r S % betragen . \Vir müssen dahe r die Frage beantworten, wie viel Euro bei einem Zins von 5 % für ein jahr angelegt we rden müssen , um 5.200 Euro zu e rhalt en :

KI) =5.200 - - = 4.9')2,38 Euro 1, 05 Der Allsgabekurs darf daher nich t höher als 4.9 52,38 Euro bzw . prozen tual (4.952,38 /5000> . 100 .. 99 ,05 % sein. Aufgabe 11-11 Aufgrund der vorschüssigcn Einza hlung w ird der Be tmg vo n 5.000 Euro auf Ko nto A so wohl um Ende des ersten als a uch um Ende des zw e iten Anla gejah res verz inst. Das Endkapital liegt damit hei K2 = 5.000· (] + i) l . Auf Ko nto B wird nur der arn Ende des ers ten Ja hres (nacbschüsstig) ei nbezahlte Betrag \"(1l1 2.800 Euro für ein Ja hr ve rzinst. Die ZWl' itL" Zahlung von 2.800 Euro wird nich t mehr ve rzins t. Wir erhalten dam it auf Ko nto R 1\2 = 2.HOO· (] + i) + 2.HOO . Sollen die We rte identisch sein, muss gel ten: 5.000 · q' .. 2.HOO · q + 2.HOO H 5.000q' - 2.800q - 2.HOO .. 0

q'.l =

-( -2.800 ) + ~2 .8002 - 1 . 5.000 · (-2.HOO ) 2 .5 .000

Cl, .. -0,52

--+ ö ko no misch irrelevant

q,

-e q

=

1,079

'=

1 + i -e i

=

q - t '" 0,079 '" 7,9 %

Aufgabe 11-12

a ) Jährliche Verzinsung: Kn = Kn . q" , stt:tige Verzinsung: K" = K" . e i .n Gleichset ze n beider Te nn e liefer t: KI) · q n = Ko ·e, n 1,07' '' = 1.';.10

In 1, 07 10 = i · 1O i = In 1,07 '" = 0, 0677 = 6, 77 % 10 h ) Jährliche Verzinsung: K. '= Kn . q", vie ncljährl. Ve rzinsung: Kn = K" . (1 + +t ' Gle ichsetze n be ide r Te nne liefert: KII · q " = K,, · O + -:;- t '

.

107 10 =( 1+ .1.) , '0 ..l.,

=

'41.07

10

-

I

i = 4 ·0,0 17 = 0,068 = 6,S %

2. Fina nzmalhe matik

395

Aufgabe 11-1 3

K" = 0,5 . K", q n=

~

I + i = 1 + (- O,Oll = 0,99

In K -ln Kn

In( O,-; · K")-ln K,, = In 0, -; = 68,97 Mo na re = ') Jahre 9 Mo nate InO,99 ln O, 99

n

ln q

Aufgabe 11-14

Der Student S. muss insgesamt K" .. 2.400 . 11 '" 26.400 Euro zurückzahlen. Möglichkeit I : sofort ige Rückzahlung K, = Dar le ben ssum me -

K;tch!as.~ =

26.400 - 9.000 = 17.400 Euro

,\ lögJichke it 2: Rate nrück zahlu ng Die Rate nrückzahlung in I lühe von 2.400 Euro ist als nachsch ussige Re rue r bei n .. 11 und i .. 0,0'; p. a. zu betrachten. Zu berechnen ist nämlich , w ie viel Geld S. je tzt anlegen muss, um [ährlich 11 Jahre lang 2.400 Euro zurückzahlen zu können, d.h . der Barwert Ru der nachschüsstgcn Rerue. Dieser e rgibt sich be i einem Diskontfakror von v '" I I I ,0'; zu

Ru = 2/100 · I.:,,

1- ( ...!... ) 1 1 '

I ,U';

1- l,~'

= 19.9.35, 39 Euro.

Die sofortige R ückza h lu ng ist also zu bevorzugen , da S. heule nur l7 .4oo Euro aufwenden I11US,~. Im Ge ge nsatz dazu müsste e r bei ei ne r Rate nzahlung hellte 19.93';,39 Euro anlegen, um davon Phrlich Rate n in Höhe von 2.400 Euro zurückzahlen zu können . Aufgabe 11-15

a ) Das angespa ne Ka pital zu Beginn des Ruhe sta nde s ist das 40. Glied einer geometrischen Re ihe mit q ~ 1,03 und ;1, = 0,15 ' K, = 0,15 ' ';0.000 , also o

s . , = O. I'=; · ';0.000 . 1- I,DY = ,;65.509,:15 Euro. 1- 1. 03 b I Aus der nacbscbüsslgen Rente mit n = 25, v - I I 1,04 un d Euro e rgibt sich die fo lge nde jährlich e Re me nzahlu ng. I- v ,= _Ro ._--= n v

J_ v

565.509, 45

Ru'" 565509,45

I - ..L

---,--,'"":' ;;- = 39. 199,37 Euro 1_(...L)1' 1.(}'

Aufgabe 11·1 6

u) Zinsfeststellung urn Q ua rta lse nde (vo rschüssigt.' Einza hlung ): Bt.'i einer Quartalsrare r = :200 Euro, n = 12 Jahre hzw. 12 . 4 .. 4H Qu a rtale und ei nem Q ua rtalszins von i = 0,04 / 4 = Cl,OI t.' rgiht sich ein Endwe n vo n q . l _ q n. --+ 1\ 1'=200 .1.01. 1-1,0 1'" = 12.366,97 Euro . l- q 1- 1,01

396

VlJ Lösun gen

b) Zinsfeststellu ng am j uh re se nd e :

Bei vorschussiger Einza hlung wird die e rsrc Rate das volle Jahr und alle anderen Rate n
+ 200· (l + 2 . ~ ) + 200 · (I + ] · f

) = 820 Eu ro .

Die se G utschri ft
1-

"

K " = K 1 . _ -q-

--+K 1l =820 ·

l- q

1_1 01 11 .

1- 1, 0-i

= 12.321,16 Euro

n utz en .

Aufgabe 11-17 Lösungsmöglichkeit I: Re ntenrech nung In den Ja hre n I his '; (Sche nkung Al handelt es sich be i den Zahlungen von je we ils 10.000 Euro um e ine vorsch üsstge Re nte . De r Barw e rt dieser Re nte lieg t bei R ~ = 10.000 ·

l -( .-L)~

,,"~

l -~

= 45.159,50 Euro .

Die vorsch üsstgc Re nte mit Zahlungen vo n je wei ls 20.000 Euro <Sch e nkung Bl liefe n eine n a uf das ers te j ah r bezogenen Barwert von 20 000 .

1 - ( .....L)~

l."~

. J - "j"ffi" ' K~ = -1.-0-'~-' = ----::-:::,,--""--

R"

1, 05'

71.237,4 2 Euro.

Die Summe aus beiden Barwe rte n ste llt die Beme ssungsw undlage für d ie Steu ern da r und liegt be i 45.459,50 + 7 1.237,42" 116.696,92 Euro . Lösungsru öghchkeit 2: Raten re ch n un g

Betrach te n wir die ers te n'; Zahlungen a ls vo rsch üsstge Rate n, so ergi bt sich nach 5 lah re n e in End wert von

K~

1 1 I -I, O)

=10 .000 .1 ,05 . - ,0 5' =5H.0 19, 13Eu ru.

K, wird für di e ver blei henden ') Jah re zu 5 % ange legt, liefen Insge sam t (also nach 10 j ähren) e inen End we rt von

K:O" 5H.019,13 ·

1,05'" 74.04H,75 Euro.

In den Jahre n (, bis 10 wird ebenfalls Geld übere ignet , was im LO. Jah r des Betrach tungsze itraum bzw. nach 5 Jahren Anlage zu K il = 20 000 · I OS · ~

.

,

1 - 10 5~

' - = I I(i'()3H, 26 Euro 1 1, 05

füh rt. Insgesamt lieg t also im 10. Jahr ein Kapital von

2. Finanzmalhem at ik

397

K,n = 74.04H,75 + 116.03H, 26 = 190.0H7,0 1 Eu ro vor. Davo n wird der Barw en be rech ne t, d.h . es wird 10 J ah re mit 5 % abgezi nst. Ku =

190.0H7, OI I

1, 05 "

= 116 .696, 93 Eu ro

Aufgabe 11-18 1] ' . 10~. .1. ' K, -_ -r . (l + TI J) + r . (J + J71l + r . (l + J71l + ... + r . (l + I ~ I) + r

....,

r ·i

K = r · 12+ I

-

K , =12 ·HO +

12

_ r·i 11 · 12 _ Il · r · j · (I + 2+3 + ... + 11) = r · 12 + - · - - = 12· r + ~-:--' 12 2 2

11·HO·O,06

2

= 9H6,4 0 Eu ro

h , I -qK. = K1 'q + K1 ·q + K, ·q ' + ... + K] =K ,' - I- q

-

/. . 1- 1,06· 2 ' K. =9H\l,'l0 ' =H. 79, oHEu ro 1- 1, 06 Aufg abe 11-19 1. Schritt: Be rechn ung des Barwe rtes de r vorscbüsstgcn Re n te um 0 1.01. 2030 Da RIO (vor sd lüssige Re nte ) = q . Ru (na<:hschüssige Re nte ) g ilt, e rh alte n wir un ter Berücksich tig ung vo n (11.35) de n Renten ba rwen zu

Ru =1 ,05 ·2 .000 ·

I - ( ~ i"

~

1.(0';

0,0, - 0, 03

=3 3.5 26,05 Eu ro .

2. Schritt: Berech n ung des Barwertes am 01. 01.20 10 :13.526, oS _ . . Ku = ~ "' = 12.( 3) , 62 Euro 1, 0y Au fgabe 11· 20 vorsch üssigc Betrachtu ng: K , = HO · (l + 0,09 ) + HO· (I + ~. 0,09) + HO· (l + f · 0,0 9) + HO (1 + ~ 0,09) = 33H Euro

K

10

10 1 1 09]0' I =K · -=..L =:B H. - , =5. U5,2 IEuro I 1_ '1 .• 1-1,09

Nachschüsstge Betrac h tun g. K I = HO · ( 1+ 1, . (09) + HO·(] + l..0 (9 )+ HO · (I + J., . 0,09)+ HO= 3.30,HO Euro ' , ' 1- Q-=330 11) I - I 09 ' K'I) =K , · - ,HO . ' ='.0 25,H2 Euro 1-I, D9 I- q 1)

Differenzbetrag. 5.135, 21 - 5.D25,H2 = 109, 39 Eu ro

398

VlJ Lösun gen

Aufgabe 11-21 a) Burwe rt d er nachsch üsstgcn Re nte: Ro = 300 .()()O · Tio<.

I - ( ....!.... ) .!!) UI>I

1- r.1>o

,

= 2.9 45 .444,22 Eu ro

b} Ba rwert der Einmalzahl ung. K.. '" j .non.()O() Eu ro

De r Barwe rt d e r Einm a lzahl u ng ist also höher , d.h . man wird sich den tone rrege win n auf e inmal auszahlen lassen. Au fgabe 11-22

Be i einem Quartalszins vo n 0,06 /4 '" 0,015 und 10 jähren bzw . 10 ·4 ,., 40 Q uartalen Laufzeit erg ih t sich e in Barwe rt von Rn =

1

3.non "l:ii'i"' ·

J - ( U:l ' ) ~'

1-

= H9.747,54 EUfO.

I

1;iiiS

Au fgabe 11-23

a) \'orschüssig: l{u = I .OOO·

1 _ ( -.L )" 1l

I,'~

I-

I,"'''

=5 1.9H1, 19Euro

b ) nach sch üs stg. "" n -_ I .()()() . .....l.1<10' •

,

l _ ( -.L )' ll Ll"'"

I- Th

= 5 1.725, % Eu ro

Aus diesen Ergebn issen fo lgt I{o = Rn . 1, 005> Rn' Die vo rschüsstge Rente ist also reurer als d ie nachscb üsstge Re nte . Aufgabe 11-2 4 :J)

SH,=S,,·q Ul_

1 _ ,, 10

_ 1 _ 1 07")10 = J O,OOO· I.075 1O - 7,OOO· , . 1- q 1 - 1, 075

a ·__'-

4.021, 97 Euro

Aue matt ver I.ösungswcg: Z , - 50.000 ·0,07':; - 3.750 Eu ro

--+ r, '" 7.000 - 3.7:::;0 10

Sw = So - t , ' 1 - q W = 50 .000 _ j.250. 1 - 1, 075 1- q ] - 1, 07:'i

b ] Tilgungsze hra u m lind Rc stan n uitlit:

ln q

.~ . 2 ':; 0

Eu ro

4.02 1,97 Eu ro

399

2. Finanzmalhematik

Das Darlehen isl
g~lilgl.

Rc sran n u tntt: a,," Sw ' q '" 4.02 1,97· 1,075" 4.323,6 1 Euro

cl v olls tändig e Tilg ung übe r 10 J ah re: .

_

.

l -q _ ~

ß

a - \ , ' q ·- -

O ~ )O

- "l0.000 · 1, 7'

I-q" .

.

1- 1, 075 _ ? j O . I( -7._K· , 3 Eu ro 1- 1, 075 '

Aufg ahe 11· 25

I-qn ) = 1-) 0.()0O· I, O~"'" . ( 1- 1, 09) a) u = Sn . q " . ( 10 = 23.37 3,01 Euro 1- '1

1-1,09

bl Tilgung im letzten J ahr: t w = t, . '1 "

c)

q

~

110

"

1,09, I, '" a - z, = a - i . S" =

2 .~ . 37 3 ,01

- 0,09 ' 1, 0.000

=

9.873,0 1 Euro

9.R73,01 . 1,09° = 21.443,12 Eu ro

.. l -q~ _ 1 - I . 09~ So - I 1 . _ - = 1)0.000 - 9.K73,0I · I- Q 1- 1. 09

~,=

90.912,K9 Euro

d ) ( Il a" 14.000 Euro : 11 =

u - z, "" 14.()()o - i · So = 14.()oo - 0,09 ' 150.000

~

500 Eu ro

~

()

ln q ( 2) a = 13."jOO Eu ro :

I, = a - z, = 13."i()() - i . S" = 13.s 00 - 0,09 ' 150.()OO

Aufgabe 11-26 a)

Laufzeit des Darlehe ns

=

15.000 / 750 = 20 Jahre

L Zß = i -SI, + i · (S" - t> + i ·( S" - 2t) + i ·( So - 31) + ... + i · (S" - (n - I) I ) = i . [n . Sn - (I + 21+ 31 + = i ·[n ·So -

1 ·O+2+ .~+

= i . [ n . s.,_ -cL.zl\J = O, 11· [ 2o .

I.n . ( ~ - 1)] ~

e

rn -1)))

20 ' 19] 1) . 0()0 - 7 ) 0 ' ~

I . "(I-q) _ J)

~

+ (n - ]}I)J

=17 .32-v Euro

) = 1.KK3, o. ~ \ Euro a = So ' q . - " = 1) .000 '1 ,11,, . ( 1- 1, 11 _'0 l -q 1- 1,11

400

VlJ Lösungen

Aufgabe 11-27 Nehmen wi r an , der Übergang e rfo lgt im Jahr m . w ürde n wir fü r das Ja hr m deg ress iv weüc rre ch ne n , e rhielten wir r~ = Rm_1 • i. Ein Üh e rga ng au f de n linea re n Fa ll ergii he

Rcsm lllZlIngsda lief Es soll nun

>R

R",_, n - ( m - l)

-

rn- )

.. I

ge hen , was durch Umformung zu folgende r Be zie h ung führt :

1;:: i -ln -

(m

- l)J

1 2= i · n - j · m+ i i ' m~i '(n + l) - l

1

q .e.d

m 2= n +l - i Aufgabe 11-28

Aus der Restwertform el (1 1.59 ) erhalten wir be i n Abxchnnbu ngsperiodcn für k .. n . . K - K "

LI = 2 · (T I ' n + Ku - K,, ) .

o·( n- I) · J

= r . n - CC-"--,-"---'-

2

"I

0' ( 0 - 1)

Fü r e ine dcgress tve Absch re ib un g muss d gelten :

~

() sein , d.h . für d ie Anfan gsrate m uss > Kr, - Kn <. n

Ande re rseits soll au ch d ie letz te Abxchn- Ibungsrute nich t negativ sein, J. h . es soll r, ~ O gel ten . Die s füh rt zum zweiten Tei l des zu be we ise nd e n Zusammenhangs:

fl-(n-! l -

,

-

n -(n-I)

r1 - (n- ] )· d2=0

' ( r, - n + K o -Ko) ;;?: O -r,

+ 2-

K - K 0

n

n

2= 0

"
' I -

-

K - K n

n

~

2. Fina nzmalhe mat ik

40 1

Aufgabe 11-2 9

DN Ühe rgang i.~ t optimal , wenn m ~ ( 12 + 1 - 1 / 0,2') '" 9> g ilt, d.h. im 9. Jahr. ergibt steh dam it folgender Abschreibungsplan .

Ende l\;J

.\

Abschreibungsbasts 260.000,00 19 5.()()0,OO 146.1,)(),OO

4

109.6H7,50

1

2

Abschreibung 6').()OO,OO 4B.7S0,O() 36.%2 ,')() 27,42 1,HH

Re stbuchwert 19').000 ,00 146.2,)0 ,()() 109.6H750 82.265 ,63

)

H2:. 26') ,6.~

20.566 ,41

(,

61.699,22

15.424,SO

61.C>99, 22 46.27 4,41

7

46.274,4 1

11.568,60

34.70'),S I

R

34.705,81

9

26.029,36

8 .676 ,45 6.')07,34

26.029,36 19.')22 ,02

III

19 5 22,0 2

6.')07,34

13.{J1 4,68

11

13.014,6H

6.507 ,.H

6507 ,34

12

6507,34

6.507,3 4

0,00

260.000,00

E~

3.

Funktionen einer Variablen

Aufgabe 11I· 1

g(x) ist eine Fu n ktio n, da jed e m x- nur ein y-We rt zugeordnet wird. h(x) ist ke ine Funktion, da ei nzel ne n x- bts zu dr ei y-\Vcne zugeordnet werden. Aufgahe 11I-2 a) De r Funktionswert an der Stelle x = .3 ist p(3l = .3 + '; . .3 = IR und nicht 4. De r gegebene Pu nkt liegt dam it nic ht auf der Geraden . b)

y=4 ·( x-l)- 2= 4x-6

t'l

y = - - , ( x-3l+ 4=- ,( x-3)+ ·1=- x+-

-2- 4

--6

6

2

- 2- 3

-5

5

5

0) Sie mü ssen die gleiche Steigung

:l ,

aufweisen .

e) Allgemein gilt y = a , . ( x + Il + L Fü r bellehige \,<'ert e Geraden, d ie sich im gegebenen Punkt schneide n.

VOll " ,

erhillt man immer

Aufgabe III-3 a)

XE

R.

b)

XE

c)

XE

R. \ 1-1; 41

0

l xi > -4

;)

xe R

j)

x > 0 , x *- 1

R.

c)

x e lR\121


~

gl

x< 2

h) x e

~

Aufgabe 11I-4 a)

In(x- l)=O

H

x - l = co

b)

~4 - X 2 = O

H

4 _ X2 = Ol

H

x = 2 H

x],!=±2 H

dj In(x + I) +lnx=O H -+

x ]= O,62

Inlrx e Dxl e u

H

X

2

+ X = c I)

In 3 4

x=H

x z=-1 ,62

Nur x, Ist e ine Nullst elle. J a In für ncgauve x n icht definiert ist. e)

(x- 1)( Zx+ 1)(x 2 _ l) = Ü (x- 4)=()

x=4

Y

v

(2 x + J)=O x =--0, 5

Y

x =±I

x 2+ x _I =O

404

VlJ Lös ungen f)

Nullste lle x, '" 1 durch Probie ren .

+ 2> : (x- 1) = X Z -

( x~ _2 x 2 - x

x-2

-<,, 3 _ x2) - x .! - x

+ x) 2x + 2: -(-2x + 2)

_(_ x 2

(J

D ie Lösun g \"00 x 2 - x - 2 = () liefert d ie restlichen beiden Nullstellen un d x" "'- I.

Xl =

2

g) Die vorliegende Parabel iSI nach obe n geö ffnet und schneide t die y-Achse be im Pun k t JlW; 2). Es l iegt demnach ke i ne N ullstelle vor.

Aufgabe III-5 Heide Fun ktionsterm e sind gleic hzusetze n un d nac h x aufzulösen. Inte ressie rt man sich a uch für d ie y-Koo rdinate n der Schnittpu nk te , können diese d urch Einset zen de r Sch nittstellen in eine der beiden Funktionen gewonnen werden.

a) 2x- 1=x+4 H x = 5 x 2=4 h) x2 +3x - 1= 3x +3 H

H

x l,2 =±2

c) D ie hie r en tstehende Gleich ung e" = x [;isst sich nicht nach x auflösen . Auch e ine allgemeine Betracht ung der e- Funktion und de r wtnke lhalbtere nde u des ers ten und dr illen Q uad rante n zeig t, dass keine Sehnlustellen vorlie gen kön ne n. d) Die Gle ich ung In x = - x + 1 ist nicht nac h x auflösbar. Aufgr und des offe nsieht liehen Funktionsverlau fs ist abe r die Sch nhtstelle x = I so fort er sichtlich. Aufgabe 111-6 a)

y=-2x +5

Ho

x =-{), 5y+2,5

~

y= f- l( x J=-{), 5x +2.5

b ) Die Funkt ion ist nicht ein eindeutig. Es ex istiert somit keine Um k eh rfunk tion .

x = -(), Z5y 2 +4 ~

y=f- l( x)=-o,Z5x! + 4

c-)

y=Z.)4- x

J)

y=_' _ Zx - 4

10')

y=e

n

Die Funkt ion ist nicht ei neinde utig. Es exis tiert som it keine Umkehrfunktio n.

g)

Y=[OKI (X- Z)

lx -l

Ho Ho

Ho

x=_I_ +Z Zy

~

In v + 1

X='

Ho

4

--?

x = 41"+2

y= f - 1( x)=_I_ +2 2x ._[ .ln ::c: xc+:....:1 ye t ( x)=-

4

~

y= f- 1 (x)= 4 x + Z

Aufgahe 111·7 a)

li m( x 2-;.h +51= 12 - 3· 1+ 5=3 , ~,

.

lim

x--->o

x 5 -2x -J 1

x +2

J

=-Z

b ) lim e ,~,

xl l + =

e

ol 1 + =

e

405

3. Funktionen einer Variablen

0 ) Da x = :2 Nullst elle . x 2+ 1 x-12 ]1I11 = x 2-5 x+6

x..... 2 e)

f)

H1111 1 = x......'1 ( x - 3 J2

HlO

u

Zähle r un d Nenne r ist. gilt Folgen des:

( x + (i ){ x - 2)

1111 x...... 2( x

- 3)( x - 2)

H

f<>;>

x'('--')

~x 3 - 1

x ''I

. =l il11 x..... ~ -x ·'1 _5x 2+ ·1 x....... x3(- }- -') + - -1) lilll

-

x

g)

h)

iJ

,

2x

IU11 - , - x..... -- x· - 6

=

~

uIm x +x+ 6 = ]im x.....__ Zx _ x x.....__

u1111 -""',:= = 3 x....... l _ c - 2x

X .....

- I- x + 1

-I

x ''I

,( 1+- I, 6)

x~

x

-1

,

lnn

-00 .

+~

x

(

2- -

x 1)

"e "

,

I

] ]' = x..... im x . x.....____ Im

+ .-}

,

- - =+00

x.....- l+ X

+I

x

X

cl

11111 _ _ x..... l - In x

d) e) f)

lim

x.....o-

. 1 = -00 , 11m - - =+00

x..... J+ In x

max (o;-!.-) = 0 , ti mmax (o;..!.) = +00 x..... I)+

X

' ( x - 3X x - 2) ]Im t x - 2)

x..... -2,

=-00

.-}

11m = -00 lirn =+00 ' x..... l+ x2 - 5x + 4 x..... ,- x 2 - ')x + 4 I

1

:2- ---:j'" x'

hl

.

6

]+ - + x' X ~ __"--;-"-

11m - - - = - =2 x..... c 2x + 2 :2

j)

]

,

lim - - =

~

=~=-3

0

Au fg abe 111-8

a)

0

= - = -0 - J

,

,

lim - - - = 1, ltm

x.....o- 1+l x l

X

'

-5 , ]Im

( x - 3)( x - 2)

x.....- 2+

(>; - 2)

_

= -)

I

---= ]

x...... lJ+ 1+ 1x I

Aufgabe III -9 :.I)

b)

lim [( x ) = 22 - 2 =4

:1:-

lim f( x ) = --o, 5 · 0 = 0

'*'

x..... 2-

x.....o-

lim f (x )=2 ·1 =:2

x..... l -

-e n ich t ste tig

lirn [(x ) =2 ·2+ 1 =5

x ..... 2+

lirn [( x) = 2 ·0 =0

... f{O)

~

stet ig

lim f( x ) = l+ 1= 2

'"

~

ste tig

x ---->l l+ x..... 2+

f(O )

406

VlJ Lösungen

c)

f( x)= f x- .1

für + 1 für

1-x

x - 4 ;:: O

lim f ( x ) = -1+ 4 =0

~ .....

Ix-i

x - 4< O = l - x +4

l-

fü r fü r

lim [ ( x ) = 4 - '\ = 0

'" [(4 )

x....H +

d) x = 1 ist ei nt' Polste lle . Die Fu nktio n Ist dami t n ich t stl.'tig .

Aufgabe 111-10

"Nullstellen. x .. 1, x

r =

- I (doppelt)

Polstellen. x = 0 (doppelt). x = 1, x =-2 Asympto te : y = 0

Fü r x > 2 sind Zähler u nd Nenn er posi tiv , d.h. fex) verläuft für x -e 00

stets oberh alb Y .. O. Fü r x < -2 ist de r Zähler neganv

u nd

der Nenner

2

2 - 1

positiv, sodass sich fix) für x -7 - 0 0 von un ten an y .. 0 annähen .

r

t» Nullstellen. x .. 4, x = 2 (doppelt>, x = - 1 (d reifach )

Polstellen. x = 1, x = 3 (doppelt ) Für x > 4 sind Zähler und Nenner positiv, d.h . fex ) strebt fü r x -7 00 gege n Unendlich. Fü r

x < -I ist der Zähler PcsI11\" und

der

Kenner

negativ, sodass Rx) für x -+

- 00

gegen m inus

Unendlich stre bt.

- 1

2

-)

stet ig

3. Funktione n einer Variablen c)

··

407

cl

y

y

, , ,

... x

- I

...

.'

.

...

..

/ x

,

·· c)

n

y

y

··,· , ...

- 1 ....

x

,

· ,. . ,

Au fgabe 111-11

rotenzfuutaton. dy ]' (x + ö x)n _x n = Im dx Il.~ .....o öx

Es ist

(~) xn _x n = xn _x n =0

und

(~) = n .

/

..

.,.. ....I

.'

....

x

.

. ,, ,

408

VlJ Lösunge n

Au s dem Ausd ru ck

(n)

+ ... +

2 x 0 _~' ( Llx ) ,

(n)

n ( 6x) 0

lässt sich ('6. x)' ausklammern, wodurch Ü'ix)' . n e ntstcbt, wobei R ein Rest term ist , dessen gc nuue Struktur für die wei te re Betrach tun g nicht mehr releva nt ist. Es ergibt sich dam it uy I' n x n- 1ö x +( 6.x)2 · R = uu lim t nx ' "" + .1.x · 10 = nx rH .

dx

öx


<\x.....o

ti xponcnzta tfu 11 kf iOI/ :

dy

- = Iim dx 11.'.....0

(' x +!l.\ _ t" x

Ersetze n wir

1.1 x

.1.x..... O

_

c"

ex

= tim

ll.x.....O

(e . --1.' ' '' _I) Li.x

durch d en positive n Tenn 1+k, so ergibt sich m it

('.:I"

c A\ = l + k H6.x

Da mit L\x , sich :

c" . c A'

= lirn

Im l e k) ,

e

0 auch k

~

0 stre b t und un ter Be n utzu ng der Grenzwe rt sätze erg ibt

dy= Iim ( c ' . k ) = Iim ( c ' . 1 ) = tim ( C , '---------:1 -----"-----I ) dx k.....o In( l + k ) k..... u t · ]nO + k ) k.....O ln(]+k)t =1:."

.

I In ( lim O H

'

+ k )I )

= e, ._I_=e'

lne

Natürliche l.oga rilbml /sj i lllkl ioll:

"x)'"

dv = I'Im In(x+ilx ) -ln x = I·Im ( _ 1 . In ( X+-LlX)) -" - = I·Im In ( 1+ clx ",,-+11 ß..x &x -+IJ öx x Ax -+O X = lim In ( 1+ -öx Ax-->U X

):t~ =

[

lim -1 · In ( 1 +/Ix Ax-+O X x

)tc]

Ersetz en w ir a x/ x durch k (x / .6.x d urch l / k ), so fo lgt, da mit .6.x -e 0 auch k strebt, un ter Nutzung der Grenzwertsätze

[1

,] 1 [

IJ 1

dy -=lim - ·ln { l +k )" =-·10 lim { l +k ) dx k-+O x X k-+O

K(J 11sta 11tell regel 11: dy ° a- a . - = lim - - = 11m 0= 0 dx Ax -+o .6.x Ax-+O dy 10 ;1-g(X+ .6.x)- ,, ·g( x) - = Im d x &x-+o öx

. g( x + .6.x)-g( x) '( =a · I1111 =aog .x i Ax -+II öx

1

=- olnc=X X

~

()

3. Funktionen einer Variablen

409

SI/ 111 menregel:

dv dx

I'

- ' = lm

&: ..... 0

,

= IIm

l l

w

f( x + ß x)+g(x + ßx)-(f( x) +g(x)) öx f( x + ß x ) + g( x + tl.x ) - f( x ) + g( x) ßX

1+ ,'1 x) . · f(x+ 6.x)-f( x) +I· _ Im g(x + tl.x)-g( x)_f' -(x_g Ium

öx

~~-->l l

öx

'h .....O

Prnduletregel:

dY · +ccc"',-',,1". '2.""'''+,-'''= ' "I---,-1',,',,1_·g"",,x,,1 = I.Im cf',,',, dx .1~ .....0 ßX = I.Im

cf'"x,,·"+,,6=',,I_·~gc.'=x,,+,,"' ='--,-1 ---,-I,,',--,-+"6=,,,I_·~gc.'=,,,1 _ +"f,,'',,·,,+,,"='--,-1.~g=""x"I_-"],,·(=',,I~·""",,',,.1 ~

&: _ 1)

.

= IUll

a~""'I )

( [ f( x + öx ) - f( xjl6x

g( x )

+-"[g,,".::'-.:+-.:"='.:.'o..-_g,,",,',,I,-'·-,I,-',--,-+.:6:::x-,l)

' f(X+ tI.x)-f(X» ) ' g( x ) + = ( IIm ~~ ""' Il ex

6.x

(I'

n ll

.1~ "", o

g( x+ .6.X)-g(X») • ,.1111 ,., x + .6..x) .6. x

~~ ""'Il

= f'( x )· g( x) + g' ( x ) · f(x) Q/lOtten teil regel:

Auf die explizite Be rechnung des D ifferenzialquotienten können wir hier verziehten . Sofern y' n ämlich e xist iert , können wir hier ff x ) Y= - g(x)

H

y 'g(x )=f( x)

nach der Produktregel ableiten , wo durch sich

v': g{x )+ v ' g'( x ) = f'tx) erg ibt. Umstellung nach y' liefen schließlich das zu beweisende Ergebnis: y'. g(x ) = f'( x) - Y ' ~(x ) H

,

Y ' g( x ) =

y"g( x )= "f',,',,,',,·~gc.(.=x,,1-,-'-1(=,=1_."g'"(.,,,-x) g(x)

H

r ( x ) -f'(-x-) g(

x)

g'( x j

, "f',,'x,·,)".~gc.',x·, ,,1---,-](+x"I_.",,',,('",-' y= (g(xl)'

Kelt ell!"eg el:

dy= I.Im :eH.,,".:.' .x:.·-' +-=""';.:',-'--'Cf'ceg,,'-":.:. " dx <1.'.....0 6,x Erwei tern wir den Te rm der Grenzwertbetrachtung mit .6.z - g(x + 6,x) - g( x), so folgt (sofern .6.z als \"(JO Kuli verschieden vorausgesetzt wird )

M).

dy = ltm ( Hg( X + tI.x ») - f(g( x)) . M ) = lim ( f(g( x + 6,x )) - fege x » . dx .1, .....0 öx M A' .....o 6,z öx

4 10

VlJ Lös ungen

Bt:.l<.. . hren wi r nu n , dass wege n I1z .. g(x + 6.x ) z + 6.z gilt, resul tie rt

dv

u

grx ) auch

~( x

+ 6.x) .. ,g(x ) + l!z ..

(((Z + 6.Z)-((Z ) g( X+ 6.X ) -g{X») . .

- " = Im d x '\' <-->1 1

6.z

öx

Da mit öx ~ () auch f.. z .. gr x + Ax } - glx ) gegen Null stre b t (z i.~t ste tig, J a Jiffere nzie rbnr ), stre bt der er ste Fakto r ge ge n f'czl und der zwe ite Fa kto r ge gen g'( x) , was folge ndes Resultat liefert :

dy= r ( z) ' g ,(x ) -

dx

Aufgabe 111-12

Für konvexes (konkaves) Ver ha lte n ist cha rakteris tisch, dass do rt d ie Ste igung wächst (fällt ). Bei m Übergang des Krürnmungsverhulte ns muss a lso die Steig ung einen relativen Extrem wert ha ben: Geht ko nka ves in ko nve xes Ver ha lte n übe r, hat sie e in relatives Min imu m (lin ke Grafik) , im um ke hren Fall ein rela tives Maximum

(rechte Grafik). Dem nach bat he i einem 'x'e nde punkr vo n (x) d ie Steig ung von

(l x) ei n rela tives Extrem uru. Da d ie Ste igung a ber ge rade d urch Ft x r gegeben ist, hat also a n ei ne m Wen depun kt vo n ((x ) die er ste Ahle itung ( x) ein re l:lIives Extremern . Also ist notwendig für ein e n \X'endeplInkt von fex), dass d ie ers te Ahlei-

tung vo n ('( x ) , das ist ge rade ( ~( x ) , gleich Null ist, und hinre iche nd , d•.l.~s dit: zwe ite Ablcitu ng von r'( x ) , d .h. f"'( x ) , griif~ t: r oder kleiner bzw. un gle ich ~ ul1 ist. A u fga be 1II·I3

a ) 1. Alternative: Anwendung de r Quotienten rege l ., 2x (x - J) - (x ~ - 1)·1 I ( x) = , (x- I)"

= =

( x-1) [ 2x -( x + 1)]

2x (x+ l) - (x ~ -l) ·

( x + I)' ( x + 1) [ 2x - ( x - 1)] ( X + 1)l

( x - 1)~

2x -( x + l) x- I

-

2x - ( x -I ) x+ 1

x- I x+I = - - - - -= 1- 1=0 x- I x + 1

2. Alt ernat ive : Um form u ng der Ausgan gsfu nktio n 1

f( x )= x 1 _1 _ x _ 1 = ( x + ])( x- 1) x-I x +1 ( x -I)

( x + ])( x - 1) = ( x +l) -{x- J)= 2 (x + 1)

Ft xr e O b)

f( x ) = .r;. + In( 2x ) +

X- I

· ( .r;. r = x i + ln{2 x ) + 1 = xi + [n 2 + ln x + 1

_, 1 -1 1 1 1 I( x)= - x ' + - = - - + -

2

x

2.[;.

x

c) Anwendu ng der Ke ttenregel. . 1 1 x -o.s I( x ) = - - = - . =(t: ) .

J;;;

( e X )().~

4 11

3. Funktionen einer Variablen

Ftxx) = ......,.., .. n ,-, C ' ,.

)- H f\ ")~ . " (' . ' C'' = ......,

,.

') e -In , '

1 -ln ,' C

)~'=-' I2.J:1

,

,

d) f(x )= - '- = 2 -- - = 2 -(c- 1n, ) - 1 =2·('ln, =2x ~ « x)=4 x

c ) Anwe nd ung von Ahle ttungsreg el ( IIl .Ho ); f( x ) = 3--=fL = 3 --(1,~ ' ,+1 "

f'( x ) = 3--(15"'+11' . [ - 2. ( x + 1)1 . I] . In 3 = _3-0,' ''+11' . 2 -I x + 1) .1 . In 3

n

f'( x ) =

f'( x) =

~x,J;. . ( O,5xl

+';)

J7 .(0, 5x~ + X - I )

=

1, 375 x l.,~ -O,25x - w

= 1,375 -,f;! -

,~

1 "x ~

g) Anwe nd ung der Produktrege l. log

x

1

f t x ) = --~" -' = (\og m xj . - = (\og m xi (e' c e'

)- 1

= (log lO x i c'"

I - Iog mx ) 1·,( x)= :.; ·ln1IO -c:_' Iog mx) -e-, - ( - I ) = c _,(- x-fnlG + (

11) Anwe nd ung der Kettenre gel. f(x)= (l nx l

Ft

+R )' =( 2.l nx +x

I5

)'

xj =1 (Inx' +J;J)' (~+ 1, 5 X"')=(lnx' +R)' (~ + 6-F)

il Anwe nd ung der Ablei tungsregel (JI 1.83b ); f'( .x)

=

log ~ (x-1)

1 f'( x ) = -:--,':-,-."

( x- J) · l n H

j) Anwendung von Ketten- und Quotientenregel.

.

ffnx= (Inx)' --

H X)= ·I __

x

X

f'( x ) =..!.. ( [n x ) - _ X - I . X - l In x . I =1. _( In x ) . _1- I~ x 3 x x .3 x x k) Anw endung von Ableitungsregeln (JI I.Ho) und (I[ 1.H3a); f( x) = 2'n
1'( x ) -- 2Inl o ~,'+~ )

.

~

X

o "' Xl + 5

27 - I n 2 -_ 21n< O, ~ x' .~ 1 - -.c:x~.~h~'~ ~ l

O,5x + 5

4 12

VlJ Lös ungen

II Anwendun g

f( x) = In

\"Oll

011.8 3") und der Ke tte nre gel.

(.Jx';+ x ~ ) = In(ex-' + X ~)t ) 0,5

'(3x ' + 2x )

n x J = 0,5' (x ~ + x' )"'()5 . (3 x' + Zx ) = C.JLX~'_+"-iX='~~:__ Jx· + x-

Jx l + x!

1

=

0,5 ' (3x '+2x) '(·(1,5 x+1) x' + X" = cx~·~.(~x~ · ,C+-x7-)

1, 5x +1 x'' + x

m ) Anw endung von (1I 1.H3bl lind Quotiente nre gel.

f( X)=IOg,(l" +:'-I)

(e ' + 5x' ),x - ( c' + x ' - I )· ] x!

C"'+;'-I}ln2

=

(e ' + 5'< ' ) ' x _(e x + x' x'

-I)

ln z - t c' +x ' I) e' , x + 5x'-t:' - x' + 1 e" · x + 4x'-t:' + 1 = = 102 · (e '+x'-I)·'( In Z·(e' +x'-i) ·x Aufgabe 111·1 4 a) f( x)= ,[;.= x t _,

frx r e

I c

2

b) I

~

2,,[;.

I

1

~

)

x)=-=x x

x·

1.• (x)=3 - x --i = -.3-

f

HN

c) I·( x)= x · " r: x =x·x "' =x '

d)

•

3 .3, 2 2 3 ....J .3 ," 1 (x )=- x = _ _ 4 4.Jx .• 3 ~ 3

(x )

,

f(x )=e - "

r"( x ) =-2 · e l - x ' -2x _eH ' ·(-2x) = ( 4x ! - 2J·c l - - '

1

c)

1

=---.X· 2

f'(X)=t' I~" · (-2x ) = - 2x - ...\-"

.,

t l x ) = -x ' =- vx

I ( x)=--x 8

f --( x J = xx ' e H ' + (4 x ! - 2)· eH ' . ( - 2x )

= - --

8R

= ( -Rx-' + 12x ) · 1."1- "

f( xJ= x- e- x

f'( x ) = ) . c- ' + x . e-, . ( -

I)

= (] - x ) - e- '

r"(x) = (-1). c" + (1 - x ) ' c- x - ( - 1) = t x - 2)

C..( x I = ) - e- '

+tx

,

I·· ( x ) =-x .'- = - )-,

:IR

'1

8

,

.,(

x ' =- -

I (x )=-- x ' = - - .#

f( x )= ln(2x ) = In 2 + In x

' 1."-'

- 2)· e" - (-1) = (3- x} . c "

3. Funktione n einer Variablen f)

f'( x j

4 13

x -In x

e

I 1 ~I ' f'(x) = 1· 1n x + x . _ = Inx + I, f (x )= -=x • f'- (x)=-x - I =- - 1

x

Xl

x

Au fgahe 11I·1 5 u)

f'(x )=2 1x2+4x- l

6.y =: ( 3 ) . 0,02 = 200 ·0,02 = 4 6.y =

f( .~,

02) - f(3) = 21.1,026 - 209 = ,1,026

öy =: n - I) ' 0, 1= -O,M7· 0, 1 = -0,0607 öy =

f( - 0, 9) - [(-1) = 0,540 - 0,607 = -0,067

IJ

I », J 1 . ( 2x+::>- ·(nx I )' .- c) t.,( x) = _1 · ( x 2 +(nx 3 x -

6.y =: roo » öy = f(9) -

(- 1) f(

2x + 2 .(1nxj"

-J'~xb~=;=" . 3~(x 2 +(] n x)~)!

= 0,3 7H . ( - 1) = -o,37H

JO) = 5,09·1 - 5, 4H2 = --0, JHH

Au fgabe 11I-16 , 1 f (x ) = 2x - -

x

x 0,2

f( x)

f'( x)

-4,6

-O ,.'i506

fex) / f'( x ) 0,0762

0,1238

0,1045

-7,8306

-0,0133

0,1371

0,005';

- 7,0173

-0,0008

0.1379

0

2

1,3069

3,5

1,6266

0,1';9 4

2,6385

0,O(i04

t ,%62

0,0049

2,49.W

0,00 17

1.5615

0

Aufgabe 11I -17

a) f'(x )=-1 x+6 Funk tion Meigt: -4 x + 6 > 0 Funk tion fallt: -dx

+ 6 < ()

f-lo f-lo

X X

< I. 5

> 1, ';

0,3734

414

VlJ Lösungen

I)

I Inx + 1 l·,( x ) = I · Inx +x · -=

x

Fu nktio n s te igt: In x + I > 0

H

Funkt ion fällt : In x + 1 < 0 c ) ( x ) = zx . e - ( x+ .i l

xc

H

+ (X l + 2)

x> e- I 1..' - 1

' l' -I x +j ). ( -1)

=

(_X l

+ 2x _2) 'e-( X+j l

Der zweite Fakto r ist stets positiv, der erste stets negauv , sodass fex) überall fallend ist. 2

d ] f'(x )= '· ( x + x + ·i ) - ( x - J) · (l x + J) (x 2+x+4)2 =

_ Xl

Xl

+ x + 1 - 2x! - X + l x + I (x! + x + 4)!

+ 2:-; + '5

2

(x +x +4i

Funktio n s te igt:

_X l

+ 2x + '5 > () H

Fu n ktio n füllt: _x 2 + 2x + S < t:l f'<x ) = zx . In x

ü

H

x <-1,45 v

x>';, 45

- 1,45< x<3,45

+ x 2 . "!' = 2x - ln x +x x

( "(x)= 2 ·]ox +Zx ·..!..+ I =21 0x +3

x

Fu nktio n konvex; 2l n x

+ .3 > (} H

Funktio n konkav: 2ln x +'; < 0

fJ

H

f'<x )=2X ,( X-I)- (x ! +1) ·1 = 2x! -2x- x ! -1 = Xl -2x-1 (x-l)!

r

{x )

= =

( x_ I )!

(Z x- 2) ·( x- l)!-(X2_ 2x-I) ·2 ,(x-I) · !

='--=='--=-=-,-:"'---===-'--" ( X _ l)'I (2x -2)·( x _ l)_ (x 2 -2x-1)·2 ( x - o-~

=

2x 2 -lx-lx + l - 2x 2 + 4x + 2

4

= -(x - --' - -"-;, , Funktion ko nvex :

_ _.1=, >0 ( x - lJ·~

4

Fu n kt ion konkav: -,..'ce< ( x - 1)"'1

g ) f'(x ) = zx . c~ x

<0

x> I x
+ x 2 · c~ x . ( -I) = ( 2x _ x 2 ) . c- x

(x-l):I

4 15

3. Funktionen einer Variablen

D:IS Vorzeichen de r zweiten Ableitung rich tet sich wegen Vorzeichen des ersten Fak tors. Fun ktion konvex : x2 - -lx + Z > 0 Fu nk tion k onkav: x 2 - 4x

+ Z< 0

x<0,59 H

v

e~x

> 0 nach dem

x >.3, 41

O,59<x<3, 4 1

Aufgabe 111 -18

a) f'lx )= 4x 3-6x2 , f-( x ) = IZx 2 - 1Zx , f""(xl= Z4 x - lZ 4x 3 _6x 2 =(J

H X= O v x= I,5

H

r"'O,51=9 > 0

-;

x = 1, 5 ist Min im um

["(0)=0

-;

k.A.

-;

x = 0 ist Sattelpunkt

f "'(O ) =-12

,

()

,

~

.l x 1 _x '= {)

z

r-(0,5) = -0,86 < cl

0

--.

H

I

,

--= x '

Zx'•

H

.,

)

-= x ' oX ' 2

x = 0, 5 ist Maximum

,

f'<x )=Z olnx +2x o..!.=Z oln x+Z , r"{x) = ":' x x Z· ln x+ Z = O

H

ln x=-l

["(<., - 1)=5, 45> o

X

= C~ l ist Mi nimu m

H

x =VO,75 = O,96

H

-e

["(O,96)=25, 7H >O

x=ü,96ist MinimUlll

e) f'<x )=3x 2 -ZOx +2 , f-(x ) = 6x - 20 , r "(x)=6

6x-zo=o r"(

[l' ) = 6

'*

H

x = 1i!.

0

~

.'

x = I.~l ist 'x'cndcstc llc

1

X

=

3 4

x =0,5

4 16

VlJ Lösungen

fJ

." -....:. --<.!. t ( x)=- ) · c l + (- x ) · t." ·( - x)=( x 2 - 1) ·t.'-4-

I.,(x )= ... -..:-. , (- x l = - x , {"--<.!.

'" --<.!. , --<.!. f (x)=2x ·t.' ' + ( x- - l ) · {' '. ( -x l

,

(x- - 1) '1.."

c -" >0

-" '

g)

.

-....: l

=0 x 2 _1 = 0

--+

'*

0

f"( - 1) = - 1, 21

*

f"'(1)= 1,2 1

~

= ( -x· +3~d ' t.'

0

H

x =±l

--+

x= l ist \'('t.'I1l\t:sll'lIt.'

-e

x = - ] ist \'\'t.:nd t.: std ll'

f(x)=(x 2 + 11- t , f'( x)=-( x 2 +J)- 2 · 2x , f"(xl =(2 · (x 2 + 1)-3 . 2x ). 2x- ( x 2 + 1)-2 . 2 = 2 . ( x 2 + f"'( x ) = (-1 · ( X l + U-3 . 2x ) ·(4x 2. ( x 2 + 2. ( Xl + 2 '(x 2

1)-2 -[

tl- I - I)

1) - 2

' (4x 2 .r x- +

1)-1_ 1)

+

xx -( x 2 + 1)-1 + clX 2 • (-(x 2 + 1)-2 . 2X)]

+ 1) - 2 ' (4x 2 ' (x 2 + n-I -1)=0 4 x2 ' ( X2 + J)-t _ 1 = () 4x 2 -

(x

2

+ 0 =0

H

~_ x 2 +1=O

H

:h 2 = 1

x2 + )

x2 +

--+ x = -i: ist \X't.'ndl'sld \t:

'-(-*) ..n = - 2,90

!

"

".,... 0

x = J'!, ' .ISl \\ 'cru 1cstc11 ...

--+

Au fga be 11I-19 a) 1. Defi n itio nsb e rei ch. f(x) ist für alle reellen Zahlen definiert . 2. Nullstellen .

x 5 - 4x=0 H

x · {x l - 4 ) = 0

H

x = O v xl - 4 = O

H

x = O v x=±2

3. Verh alten im Une nd liche n: litu f(x)= +<x>; x..... lim f( x)=-<><> x-t _ _

4. Extre ma und Srelgungsverhatren . f'<x )=3x l - 4 , f-( xJ=6x 3x l - 4 =0 H

x =±j1 =±1, 15

f"{-1, 15l=-6,9 < 0

--+

x=- 1, 15 ist Maximum

n l, I 5) = 6, 9 > 0

--+

x =I ,15 ist Minimum

1

H X =±

I

l'

3. Funktionen einer Variablen

4 17

Fun k tion steigend: 3x l - 4 > 0 Ib e.~ sich be i der ersten Ableitu ng um eine nach oben geöffnete Parabel handelt , ist der Be reich , in dem It x) ste igt, gleich dem Bere ich, in dem d iese Parabel ohcrhalh der x-Arhse liegt. fex) ste igt also für x-Werte aus den Inte rvalle n j-ee: - I , IS[ und ]I, IS; +00['

Fu n ktio n fallend: 3x l

-

4 < ()

Das Inte rvall, in dem ffx) füllt, ist nun vergleich bar mit dem Be re ich, in dem die e rste Ableitung (Para bel) un terhalb der x-Acbse lieg t. ((xl fallt daher im tme rvaü l- t.t S: 1, 15[. S. \'\'e nd estcl le n und Krümm un gsve rha lten. f-( x ) = (} x , f"(xJ=6 6x=()

H

x=O

f-(0 ) = 6"" ()

-+

x=O ist 'x'endestc llc

Fu n ktio n konv'ex : 6 x > 0 l"<x ) ist in dem Be re ich konvex ge krümmt, in dem die Gerade Y .. 6x o berhalb der x-Achs e lieg t, d.h . für x > O. Fu nk no n konkav; 6x < 0 f(x) ist in dem Be re ich konkav gekrümmt, in dem d ie Gerade y '" 6x unterhalb der x-Achxe lieg t, d .h. für x < O. 6. Skizze: y

1"'( x L.

,, ,, ,

f "( x J

, ,,, , ,,

,, ,, ,, ,, ,, ,

,,, "

f(x)

t.

,, I

. _ .'

,

b) I. Defi nitio nsbercicb : f(x) ist für alle reellen Zah len definiert, außer für x '" -2 und x '" 2, d.h . die Nulls tellen des Ken ne rs. 2. Nulls tellen. x- - I = 0 Da ra us erg ibt sich x = - I und x = 1. J):J bei die se n x-We rten nich t auch der Kenner gle ich null wird , sind d iese d ie Nullstellen von Rx},

418

VlJ Lösungen

3. Verh alten im Une nd lich e n:

1

, x- I X·' l - ~ .1 11m -' - - = lim - ' - -'-= 1 x-f- x ~- 4 x.... _ x ~ 4 1- Analo g ergib t s ich ltm

"1

Xl --

-'- -= 1

,....- xl_ 'i

4. Zusat z: Unste tigke itsstellen fex ) ist an de n r\ullslcllen d es Nen nc rs {x = ±2) u m tel ig . Es g ilt h ie r

lim f(x ) =oo , Iim f( x ) = -oo , !im f( x)= -oo und lim f( x ) = oo .

x --+-l-

' ..... -1+

, ..... !-

.--.1+

5. Extre m.r lind Steig ungsverhalten .

-6,

f"

(x)=

(x

...()x=o

1

-- -1 )

--;0

l'

f"

__ 18x" + 24

(x)-

,

( x -- 4)

.1

x=o

f "(0 )=--0,375 < 0

--;0

x = 0 is t Maximum

l ( x _ 4 )1

Da der Te nn in ( x) ste ts positiv ist, richtet steh das Vo rze iche n von ('( x) n ach de m Vo rze ichen von --Gx. Es gilt --6x > 0 für x c 0 und -ox < 0 für x > O. fe x) ist demnach wachsend für --00 < X < -2, - 2 < x < 0 und falle nd für 0 < x -c 2, 2 < x < 00 . 6. w endestelleo un d k rünuu ungs ve rhaner »

';-'_+"'74

f"( x) = .,. IH ....

( x l_4) ~

IHx' + 24 = 0 besit zt keine reellen Lösungen . f(x) damit kein e Wend e pu nkte . Da IHx' + 24 stets positiv ist, richtet sich das Vorzeiche n vo n f-( x ) nach de m Vorze ichen von (X l - 4)\ . Dieses ist ide nt isch mit dem Vorze ichen von x' - 4, sodass f(x) für x' - 4 > () bzw. Ix I > 2 kon ve x und für x' - 4 < 0 b zw . lxi < 2 konkav gekrümmt ist. 7. Skizze:

y

,, , ,, ,,, ,, ,, ,, , ----'--, -- - ,. - -- -

3. Funktione n einer Variablen c)

4 19

1. Deflnuionsbcreich: [(x) ist für alle reellen Zahlen definiert.

2. Nullstellen. ( x - I)\.'- t = 0 ~

Da I.' ! stets positiv ist, muss x - 1 .. 0 se in. Dies liefert die cmztgc NullstelJe der Fun k ti on x = I. j. Verhalten im Unendlichen :

Da der Te rm -x/2 für nega tive x positiv ist, stre bt I.' -r für x -+ - 0 0 gegen 00 . Da (x - I ) für x -+ - 0 0 gegvn _ 00 stre bt, sm..h t das Pro d u kt be ide r Teil funktionen b zw . ft x) gegen-oo;

lim f( x ) =

"-C">

H_

Da ff x ) =

-

(x - 1)

ist, g ilt nach mI.1 9a ) Ihn f(x )={) . ,.... e •' 4. Extre ma u nd Steigungsverhalten . f'( x ) = O,5e- 10 - x ) , f· ( x ) = 0. 25e- 1(x -5 ) 0,51.'

~

~ (3 - x ) = O

~

-+

0,5e ~>O

f'(j ) = -0. 11

j -x=O

< 0

-+

H

x= 3

x = 3 iSl Maximum

Da ste ts 0, 5e --t > 0 gih, rich tet sich das Vorzeichen vo n f'( x ) nach 3 - x. X < 3 un d füllt für 3 - x< 0 hzw . X > 3.

[( x) steigt som it für 3 - x > 0 hz w.

S. \'('e nuestd kn u nd Krüm m ungsve rha lte n. f· ( x ) = 0,251.'-1 ( x - 5) , f "(x ) = 0, 12) ,--,-1(7 - xl ~

0,251.' ! ( x - S) = O ~

0,251.' t >0

f· (5 ) = 0,02

-+

'*

0

x-5=0

-+

H

x=5

x = 5 ist wendestolle

Da sich das Vorzeichen \'(JIl f' (xl nach dem Vorzeichen vo n (x - 51 richte t, ist fex) konvex für x - 5 > 0 bzw . x > 5 und ko nkav für x - 5 < 0 bzw . x < 5. 6. Skizze: y

420

VlJ Lös ungen

J ) 1. De finuio nsbe re ich : I~ x )

ist für alle reellen Zahlen definiert, auser für x - - 1 ( Nenn e rnullsre l!e).

2. Nulls tellen .

Xl -

3" + 2 = ()

Da rau s cr ,giht sich x '" I und x '" 2. Da be i d iese n x-Weru-n nicht a uc h der Kenne r gleich null wird , sind diese die Nullstel len von fex). 3. Verh ähe n im Un endlic hen :

uIm

, -...-

>

,(I_i +-.3,) x + 1 ,--.x . (1+ -IJ xJ

.

x- - 3 x + 2 = \'nu _---''--,--''' -,,':'---'-

hm x .

um

] - -5 + - 2

\'t,~rh:i l t

I

1+ x

x

Da der zwt:itc Te rm positiv ist ,

Xl

X

sich f< x ) w ie y =

'C,

d. h.

t:.'i

g ilt

tim f(x)= -e<> und analog auch xlim f( x) =+<><> . ..... -

x ...._

4. Zusatz; Un-aeugke nsste llen fe x ) ist an de r Nullste lle dt.'s Nen ners {x =

- 1)

unste tig. Es gilt hier

tim f( x ) =--oo und tim f(x ) =-too . , .... _1+

x ....~t _

5. Extre ma und Stetgungxvc rhalten. 1 f'<X) =x + Zx - 5 (x + I)2

x2 + 2x- 5= 0

f'''(x )=_:.:12:..-,'

(x+ I )''I

H

x = - 3,45

r·(- .\ 45'= -{),82 < 0 f'(1 , -1) = 0,8 2 > 0

-)

n

-)

v

x= I,45

x = -3,15 tst Maxunum

x = 1, 45 ist M inimum

Das Vorze iche n von x j wird du rch den Zähler bcsümmr. Die Funktio n f(x) ist damit wachsend für x < -j ,45 und x > 1,45, fallend für -3,45 < x <-1 und - 1< x < 1,45. 6. W'e nuestd len und Krümmungsvcrhuh cn.

Es exist ie re n ke ine w e ndestellen, da de r Ke nner vo n f'( x ) ung leich Null ist. Ihs Vorze ichen von f'"<. x ) wird durch seinen Ke nne rs bes uuinn . Desse n Vorze iche n verhält sich w ie das von x + 1. f(xl ist so ko nve x für x + 1 > 0 b zw. x > - I und ko nka v für x + 1 < 0 b zw . x >-1. 7. Skizze :

,.

----- :t--~'-'----- -- ,

42 1

3. Funktionen einer Variablen

e) 1. Deflnuionsbereicb: f(x) ist für alle reellen Zahlen defin ien . 2. Nulls tellen .

X 21'- x

: 0 ~

x: 0 (doppelte Nullstellc )

j. Verhalten im Unendlichen :

Fü r x ~ -00 strebt d er Tenn e - x gegen +<><>. Da x' für x ~ - 0 0 ebenfalls ge gen +<><> strebt, strebt das Produkt b eider Teilfunktionen b zw. ((xl gegvn +oc: lim f(x ) : +«>

Für x ~ +oc strebt der Tenn e- x gegen Null. x' stre bt für x ~ -00 gegen +<><>, sodass das Prod u kt beid er Teilfunktionen bzw . f(x) gegen n ull strebt :

lirn f( x ) : O

," -

4. Exrrema und Steigungsverhalten. f'( x ) : ( 2x - x 2) . e - x , n x ) : (2 - 4x + X l ( 2X _ X 2 ) ' l ' - X

e- x

=0

x= O 1'. (0 ) = 2 > 0

).

-e

v

x= 2

x = 0 ist Minimum

x = 2 ist Ma ximum Das Vorzeichen vo n f'( x ) wi rd durch de n Tenn (2x - x 2 ) = x( 2 - x ) bestimmt, da e stl'ts positiv ist . (( x) ist somit steigend fü r 2x - x ' > 0 bzw. O < x < 2 und fallend für 2x - x' < () bzw. x < () und x > 2.

5. W'en d este lle n und Krümm ungs vc rhahe n. nx ) = ( 2 - 4 x + x 2 ) ' e- x , f - ( x ) = (_x 2 + OX _ 0) ' e- x

( 2 _ 4x + x 1 ) 1..' - ' >0

~

. (' - -

=0

2- 4x+x 1=0

f"(0, 59 ) = - 1, 56 *- 0

1'-( 3, 4 ])=0,09 *- 0

-e

H

x = 0,59

v

x =j, 4 1

x =0,')9 ist \Vcndcstl'lle x=3, 4 1 ist 'x'cndcsteltc

~

Das Vorzeichen von (·( x) w ird aufgrund des stets positiven e" durc h den Term 2 - 4x + xl b estimmt. fex ) ist som it konvex für 2 - 4x + xl > 0 bzw. x c 0,59 und x > 3,41, konkav für 2 -4 x + x 2 < 0 hzw . 0,59 < x < 3,41.

6. Skizze :

y

42 2

VlJ Lösungen

Aufgabe 111-20

uy

~

a ) - = -\- · (2 x+ a ) dx ~

~

· 2= ( 2x +a) '

,

~

f\ . = ( 2x + ;\) ' ·

,

ur

br -=n·x

0 -1

d,

cl

1

-7

x J

2x +a

(2x +a )'

€,. , =n ·x

für

n-l

"

·-

X

zx e a e O Ho

a 2

x :{:.--

" =n x'' X

x"

= o ·-

uy = l . ...~.. + x . c-.' . (- a ) = c-" . (I - ax )
1_ d I dy =1 .10( x-l) +x . _ dx x- I E p

x ln(x- !l + - = In( x - l )+ ~ . x = x- 1 ( x-I ) x · lo(x- 1) lo(x- I)

Aufgabe 111-21 a) K(r) '" 100 - O,Olp Ho p(x) '" 10.000 - WOx

C(x) .. C,{x) + C, = 2.')()()x + WO.OO()

R( x) '" p( x)· x

>

(10 .000 - I OOx ) · x .. 1O.000x - 100x'

G( x) '" Rt x } - C(x) '" 10.000x - IOOx' - (2.500x + toO.OOO) = -IOOx' + 7.s00x - 100 .000

f)(x ) = G(x) - C, = - IOOx' + 7 .500x b) R'<x ) = IO.()()O - 200x , R"( x ) = - 200

,

R'( x) ';" O

-7

10.000 - ZOOx'" 0

R"(50 ) .. -200 < 0

-7

X"

H

X""

50

50 ist Max imum

p('iO) .. 10.000 - 100 · ';i() .. 'j,OOO Eu ro

IWi O) '" 10.000 · 50 - 100· 50' '" 2')0.000 Euro c)

G'exl '" -20th + 7.500 , G"( x ) '" -200

,

G'(xJ=O

~

-200x+ 7.S00=O

C·{37,S)= -200 < 0

-e

e-e

x=37,S

x =37,S ist Ma ximum

p(37,5l = lO.ü Oü - 100 ·37;) = 6.2.,0 Euro G(37,5J '" -IOD · 37;5 ' + 7500 · 37 ,S - IOO.OO() = 40.625 Euro Kö nn e n nu r ganze Stück p ro d u ziert werd e n, ist die folg ende Untersuchung vorzunehmen:

423

3. Funktionen einer Variablen

G(37 ) =

-Ion · 37'

+ 7.500 ' 37 - 100.000 '" 40 .60() Euro

G(3R) .. -100 · 3R' + 75 00 · 3H- 100.000 ... 40.600 Eu ro Die gewinnmaximale Pro d uktio n liegt h ier bei 37 o d e r 38 Stück, da d ie Hü he d es Gewinns jewe ils ide nt isch ist. Dies lässt sich auch daran erkennen , dass d ie Gewinn fu nk tion e ine (nach un ten geöffnete ) symmetrisch e Pa rabe l darstellt. Die d azu ge hö rige n Pre ise sind folge nde: p(37 ) = 10.000 - 100 · 37 = 6.300 Eu ro p(3S) = 10.000 - 100 · 3S = Cl.200 Eu ro d ) An der Ge winnsch welle muss der Ge w in n gle ich n ull se in . Es sind a lso d ie Nulls tellen de r Gewinnfunktion aus _IOOx l + 7.500x - !OO.()OO= 0 zu ermitteln.

_-7.500 + ~7.500'- 1 '(-IOO) '(- 100.000)

Xli -

.

l ' ( - IOO)

,x ,

".. 7 3 '

I , "t

I

um x,

-

_ '7

u ) ,nil

Ge n au zwischen d iesen beiden x-wert en sind die Gewinne positiv (bzw. liegt d ie Gewinnparabel überhalb der x-Achse) . Die Minde stp rodu knon liegt somn bei IS Stück pro Monat . e) Gewinn e werden nach J) ab 18 und b is ::;7 produzierte Stück erzielt. Die dazugehörigen Pre ise xind folgen de: P, ., p( 18) = 10.000 - 100 · IH '" 8 .200 Euro (Maximalpreix ) P, = p(57) = 10.000 - 100 · 57 = 4.300 Eu ro (Minimalpreis) f)

])'( x ) = G'( x ) = - 200 x + 7.500 , ])'(40 ) = G'( 40) =-500 Es gilt li D =: D'(40l . (- I) '" 500 bz w. LiG == G'( 40 ) . (-1) = '500, d.h . so wohl Ge winn als auch De ck u ngsbenrag ste igen durch d ie Senkung der Absatz me nge .

Au fg abe 111· 2 2

G(x) '" 92,'5x - c (x ) "" 92,'5x - (22'5 + 13Sx - 14x' + O,'5x.') '" -O,5x ' + 14x' _ 42,5x - 225 G'( x ) '" - 1,5x' + 2Hx - 4 2,5, G""(x) '" -ö x + 28 G'(x)= O x u=

---+

-1,5x l + 2 H x- 42,5=O

-2H± ~28' -4 ' 1 ,5 ' 42,5 2 . (- 1, 5 )

, Xj

'"

_ I I und x, -1 ,67

G""(7 ) = - H < O

---+

x"' 1 7 i.~t\bx lmum

G""(1,67J = 23 > 0

---+

x

«

1,67 ist Minim um

G(l 7) = -0,5 · 17 ' + 14 · 17' - 42,5· 17 - 225 = 642 Euro

424

VlJ Lösungen

Aufgabe 111-23 C'( x )

l ;5x' - HHx + 1.314

=

C(x ) " " AC( x ) " - - -0,;x'-44x+ 1.314, AC (x ) -2 ·0,'jx- 44'"'x- 44, AC(x ) '"' I

x

, Ac'(x)=O

x- 44= 0

--+

x = ·14

H

Ac (44) = 0,5 · 44'-44 · 44 + 1.3 14 = 346 C'(44) '" 1,'j · 44' - HH· 44 + 1.314 '" 346

Es gih also c'( 44) = AC( 44) = 346.

Au fga be 111-24 a)

C'(X )= !x 2- lOOx+6.000 , C"( x)=x-WO, C '< x ) = I

,

C"( x)=O C" ( WO)

x-100=0

~

=1

x =100 ist \'('l'o d t:std k·

--+

cF- 0

wo

x=

H

x ... IOD iSI dam it Schwelle des Enrag sgeset ze s. 6 C e c'UOO) · I '" 1.000 Eu ro 6,C .. C(lOI) - C( 100) - 3 19.666,H3 - 31H.6M,,67'" 1.000,16 Eu ro b)

1 x ·~ - 50x 2 + 6.000x , AVC( x ) = (, = +x ~ -50 x +6.000

x

'

AVC'(x ) = t x - 50 , AVC-(x J= ~ . . AVc'(x ) = O

~

~ x - 50 = O

AVC-(1 50 ) = ~ > 0

--+

x = 150

H

x = 150 ist Minimunt

x .. 150 To n ne n iSI die Stelle des Betriebsminim um s. AVC( 150) '" 2.250 Euro stellt die kurzfristige Pre isu nte rgrenze d;IL c)

AC( x ) =

*x"' -

AC.'( x ) =' 0

2

50x + 6.000x + 52.000 X

-e

I

)

)

.! X - ){) ~ - 52.000 0 -,= .1 x"

Newton- verfuhren mit f(x) = die Stelle x '" 156:

~ 52.000
x' -

H

X

x3

_

150x 2

-

156.000 = 0

150x 2 - 156.000 und f'( x ) = 3x 2 - 300x für

3. Funktionen einer Variablen

425

ft x) / f'(x)

/(x )

x

156 ,0000 156.38 10 156,3792

-9.9K4,OOOO

26, 20B,OOOO

-O,jKI O

46, 2049 0 ,00 10

26 .4=;0,72 11

O,(JOI7

Da AC"( 156,379) > 0 , liegt an der Stelle x = 156,38 Tonnen (i m Fo lge nd e n wird d e r auf zwei Nachkommastellen gerunde te \'('e r! ve rwendet) das Bctrte bsoptimUI1l . Die langfristige Pre isuntergrenze lieg t so hei ACO=;6,3K) = 2589,3 1 Euro .

d ) De r Stückgew inn wird am Bc trtcbso prtmum max imiert . Für d ie gegebe ne Kc stenfunktion wurde d ieses un ter c) be stimmt und liegt bei x = 156.3K Tonnen, e ) Die gewinnma ximale Angebotsfun knon ist pr x)

=

0, =;x 2 -lOOx

+ s.ooo = C'(x) .

Diese Fun ktio n g ilt für p ~ 2.'}89.31. Da für d ie Kupazüät sgre nze p( 180) 4. 200 gilt , wi rd der De finitionsbereich der Fu nktio n we iter eingeschränkt u nd zwar auf 2.'}B9,3 1 s p s 4.200 .

Aufgabe 111-25 a) G( x ) = 15x - (5x + 5(0) = IOx - ':;00

,

G(x)=O

~

I Ox - 500 = 0

H

x=50

b J De r Ma ximalgewinn liegt an der Stelle x = 100, d.h . der Kap az nätsg rcn ze , da eine lineare Ge w in nfu nktio n vorliegt . Der Max imalge win n ist G( 100) = 500 . e)

Das Maximum von g(x) wird zusammen mit dem von G(x) an der Kap az itätsgrenze e rre ich t. Dam it muss be i konstantem Pre is h ier auch die Funktion AC(x) ihr Minimum bes itze n. '}OO

"iOÜ g(x)=I0---

g(l OO) = 5 , AC(x ) = 5 + -· x

x

AC(l OO) = 10

Aufgabe 111-26

AT( y ) = :I( hY+ c)" + kY =a(hY +cl" +k

Y

Y

AT'( Y) = 3a( b Y + c / ' b Y - a(bY + c )' · y'

3abY( bY + c ) ~ - a(b)' + cl' Y~

,

AT '(,') = O

H

3ab Y( bY+ c) ~-a(hY +C) '

H

3abY -a( bY + c )=O

H

Y=~=~ jab zb

H

=0 3ahY-;lbY -ac= 0

H

zab v

e

ac

426

VlJ Lös ungen

Aufgabe 111-2 7

'",' ir Interesste re n uns hier für die Preiselustizhät der Nachfrage E, . be i e ine r Nachfrag eme nge von x = 1.0()O.OOÜ. Lösu ngsweg 1:

dp x 1 ...J. X -0, 1 . .[;. Ep ., = - '-=--{),2 '-x J . = dx p 2 400-0,2,,[; 400-0,2 ..[;

e

=

-0, )' .J1.000.000

400

r,I'OJor~,

0,2.J 1.000 .000

= -100 = --0 ') 200 ,.

Da E' .r ,., 11 Er _. gi lt, erhal ten wi r d ie gesuch te l' reise lusitzität der Nachfrage a ls 1/-0 ,5 = - 2. De r Nachfragerückgang be träg t also tnäherungswetsej 2 %.

Lösun gsweg 2: p( r.oon.oom = ZOO l

p=100-0,2 x ' H E

'.1'

l

p-400=0,2x '

H

X = 25 p~ - ZO.()OOr + 4 .0()().OOO

=

, P

--+

X .X

l

5p- 2.000= x '

~

--+

,

x = ( 5p - 2.000)"

H

x " = 50p - zn.ouü

E" ll" = (50 · 200 - 20,000)·

200

r.ooo.ooo

=-2

Aufgabe 111-28 n)

Lineare Nachfragefun k non pt x) = ax + b, Erl üsfun kt ion R( x) = pr x ) - x.

Gesanuerlös H 0 --------------------------------- ----- ----------------------------------------2. R 1 32 L

Slück pre is p

Absatzme nge x

10

0

------------------------------------------------------------------------------_A ~ ~ 1~ _ 4. 9 0Jer J 2 00e _r... JH--... -----------------------IR ------------------------------------------... 'i. 5 JO 50 ----------------------------- -----------_ ... -- ----- .------------------------- .-

6.

0

2()

()

6. Zeile: R( 20) "' 0 -+

p(20) '20 = O -+

p( 20) ",,0

2. Ze ile:

IH.,,)

e

pr x) ' x -+ 32-·H ·x

H

x " 4

Nach (111.3,,) e rgih t sich hier Folg e nd e s. H-O

O- p

4 - 20

20- x

--=-H

I p =lO - -x 2

H ·(20- x)=-p ·(4-20 )

H

H

H

16o - Hx = -4 p + 20p

x=20-2p

Die wei teren fehlenden Tabellenwerte können nun besnn um werden .

427

3. Funktionen einer Variablen

1. Zeile : x( IO) '" 20- 2 ·10 '" n (I O) '" 10·0 '"

(J

0

j. Zeile:

p(H) '" 1O - 0,':; · R '" 6

IHR) '" 6·8 '" 48

4. Zeile: p( x ) = 1O - 1 x

]{( x ) = lOx - 1 xl

~

R( x ) = 18

X .l '

=

-IO ± JIO~ - 4 · ( --(), S)· ( - I 8 ) 2· (--(),S) ,x ,'" lx und x,'" 2

Damit ergehen sich p, '" 1 und p, '" 9.

S. Zeile: x ( '; ) '"

20- 2·'; '" 10

R(S) '" S·IO "' ':;0

b ) Maximalpre is '" pt x '" 0) '" 10 Euro Säntgungsmenge

d

>

xrp .. 0)" 20 Stück

re x) '" 10 - O,S · x

-e

p '( x ) "' -0'"

x( p)""ZO-2p

~

x'(p) "' -2

Bei e inem Preis von p '" S e rgibt sich x '" 10 (vgl . Tahelle aus Aufgahe all. e "p

=_ d_ x .E. =- l. P dp x 20-2p

( " . = -2 '

Aln- rna ti VI;' ßerec hn un gsmögltch keit: dp x ~ x Ep.,

= - · - = -() ) · dx P ' 1O - 0, 5x I

' ... = "

Ep "

~

~

E

p.IO

S lO-2 ·S ~

=-(),) .

S

=-2 ·-=-1

10

10 _10 =-0 ) · - = - 1 10 - 0, 5 . 10 ' 5

I

( ~=-=-1

"

-1

Aufgabe 111-29 G(x) '" pt x) - x - Ct x) '" 300x - O,4x' - (0,3 x' + 2x + 3) '" -O,7x ' + 298x - 3 G'( x ) '" -2 · 0,7x + 29H'" -1 ,4x + 29H, G·( x ) '" -1,4

G '( x ) ~ O

-+ -1.·1x +298=O

G'Ü I 2,86 ) = - 1, 4 < 0

~

H

x =2 12,H6

x =2 12,80 ist Ma ximunt

p( 212,H6) '" 300 - 0,4· 212,H6 '" 2 14,86 Euro

428

VlJ Lösun gen

Da nu r ganze Stück p rod uzie rt werden können folg t aus G( 212l .. 31.7 12,2 und G( Zlj l = 31.7 12,7, Jass x '" 213 als gewinn ma ximale !\le nge anzusehen ist (folgt auch uus der Gewinnfunkt ion als symmetrischer, nac h umcn geöffneter Parabel >. E.~ ergiht sich so der gewin nmaximale Preis p(Z13l = 30D - 0,4 · 2 13 " 214,80 Euro.

dp x

Ep,, = -

A

· _ = -Q,t ·

dx p

X , e 11\ 300-0, 4 x r

= -{)

1

2 1'S 0: ' - - - - = - O, 39no 214,BO

Aufgabe 111·3 0 C(x) = R(x ) - C( x ) =

pr x ) . x

- 1x" -

Ct x )

<1X ,I -

= -lOx l + 1A 96 x =

-e

Hx 1

+ 600 x + 3.9(0)

2x! + H96x - 3.960

(j '( x J= -x l - 4x+ Hl)6 , G\ xJ=-2x-4 G'(xl=O Xu

=

-x 1 - - i x + H 9 6 = O

-4

4± .J41 - 4 ·<- I).H9(i 2.( - 1)

-32 (ö ko no misch irre le va nt ) und x,

, XL "

=

2B

G ( 2H) = -2· 2H _ 4 = -60 < 0 ~ x = 2R ist Maxir num W

p(ZHl = -10 ' 28 + 1.496 G(lS) =

-1' 2X' -

J.2 16 Euro

=

2 · 2X l + H% · 28 - 3.960 = 12.242,67 Eu ro

C, = 3.960 Euro, CJ2H ) =

dp x

*.

2H' - 8 · 2H" + 6oü· 28 = 17.845, 33 Eu ro

x

E

= - · - = -10· t dx p -lOx +J..196 ,

Da

( p,.

p, '

=

11 t

"p ,

p ,.!><

=-10 ·

2H =-{)2303 -1O ·2H + l .496 ,

erhalten w ir d ie gesuchll' Elast izitiit

( , 1 "h

=

1/(-0,2303) =

4, .~4 2 2.

Au fgabe 111·3 1 a)

C( x) 32 AC( x ) = - - = 2x + IO + -

x

x

, ~, 32 ~ ~\ 64 AC ( x ) = 2 - 32 · x . = 2 - ---;- , AC ( x) = (-32)' (-2) · x ' = { x" x,

!

AC ( x )={)

32

-e 2 - -, = 0 x·

Ho

2x 1=32

Ho

x= ±4

Nu r de r \X' el t x = 4 ist ökonomisch releva nt: Ac'\ 4) = I > 0

~

x = 4 ist Minimum

b} Ge sucht ist h ier d ie Outpu telasuzüil t de r Grenzkosten . d .h . e s ist vo n Interesse , wie sich die Grenzkosten lu- i einer Pro d uktio nsän deru ng verändern. t c-.,

= dc'( x ). _'_ = C~( X ) . _'_ =4. dx

C( x)

c'<x)

x

4x+lO '

E . = 4. r...

4

1 ·4 + 10

=062

'

429

3. Funktionen einer Variablen

Die E!:.tstizitiit b e zieh t sich au f 1 %, d .h. die G renzkosten e rhö hen sich hier tnäherungswe ixe) um 0,62 %, wenn sich der Output um 1 % erhöht. De r Outp ut erhöht sich lau t Angabe aber um jO %, sodass sich die gesuch te Grenzkos tenänderung zu 0,62 · j O '" 18,6 % e rgibt.

Aufgabe 111-3 2 E

a)

m, '

dm 1t , 1t -a. 1t =-- ·-=mUt) · - = -a ·e · - - = -a· 1t d1t m m e'? "

hl Isoelastische 1'\achfrage, we nn I Em.lt I = I:

--+

- cox e

t

1t = -

)

)

a =-

"

u

Aufgabe 111-33 dS

(2Y - 900)· ( l' + 7:,(0) - (l'

l

-

900 l' - .,.H80.0(0) · 1

ev

=

E

=~ .!.= y l + 15.000 '1' -870 .000 . y . uv S ( Y +7.5()()"

S.Y

( Y + 7. 5 00 )~

l

=

l' + 1" .OOOl' - 870.000

CY + 7.500)"

Y + 7.500

y l - <)()()Y - 5.H80 .()()0

(y l + I; .OOOY _ 870.0(0) . Y

=

70"'-:+':7;-.,:C,);-,o"',"'.,::,'C.,i-_'-:o900:(":,,"-·"_";".HO:",:',."0C70(:O: ))

Da E S,H 'Ul = 2,71 g ilt, src lgt bei ei ne r Einkommenserhöhung von 5.000 auf 5.0')0 Eu ro (bzw. um 1 % ) d ie Ersp arn is um 2,7 1 %. C( l'l=l-S( Y)= I-

y 2 _ 9001' _ 5.R80.000

'I'

--+

+ 7.500

'(

) .2

+ I;.OOOY _ 870.000

C Y ) = - -'--'--'--'-':-:c-'7-'-"-

('I' + 7.500)2

.l'!.C a C'(; .;(0) . 100 = 0, 61120 . 100 = llll, 20 Be i einem Ein ko mmen von 5500 Euro fü h rt ei ne Einko mm en se rhöh un g um 100 Euro ( näherungswcise) zu einer Erhö hu ng de r Kon su ma usgab e n um llll,20 Euro.

Aufga he 111· 34 a)

Bezei chnen w ir d ie \X'ach stu msrale der realen Kon suma usgab e n m it wf C'), d ie \\';lch s!umsra!e der nominalen Konsumausg abe n mi t ,,,(CO) lind d ie \X',lChstumsrate d er Lebe nshalt ungskoste n der Haushalte m it wf P ), g ilt bei stetigen Wacbsrumsraten

')

wtC = w

p = w (C) (C"J"

. % .. 3 % .

w ( Jl) = 8 % - )

b ) G ilt die No tat ion a us a) un d ist wt N) die wachsrumsrare der Bevölk erung. so erhalten wi r

w(rC" J= .1'\

w(C")- w ( P) -v.·(Nl '" 8 %-':; % - 4 % = - I % .

430

VlJ Lös ungen

Aufgabe 111-35 a)

w'' =-

"

(.L...)' -

w''j - ,; + I =

I H

)' H

(.L...)' Y<-1

Einset zen der gegebene n Wac!lstu lllsr;t!e liefert

.L... =- 4o,OHZ + I

=- 1, 0 199 .

Y,- I

die ges uchte Wac hstumsrate w dP) =- v. , / 0,0 199" 1,99 %. ]);1

b)

w;'" =In(l+w ~,;)

\!

1 ' _1

_

I ist g ih w d)"."" "

=- 1 0 199 - I -

w;,,; =In(]+ O,OH2J=ln l,OH2=O, 07HH=7,HH %

~

Aufgabe 111-36

.L... =- 1 001 Yl-I

w ~ ,'

b) w'y. Q

=- lnt l + w ;d ,Q )

=- 1,00·1 ' - 1 =0,0 161 =- 1, 6 1 %

\\1;,0 =- In 1,001 =- 0, 00399 =- 0, 399 %

-4

Aufgabe 111·3 7 a)

\V ~

=-

" ," =- n,O] -

W u - \\ \'

1+ w~

w;, =w;, -w ~ -4

w;, =- Ion

alre mativ:

0, 0 2 1 + 0,02

mit

+ 0, 0 1) -

w~

InO

=- -o,009H =- -o,9R

=- lnf l + w ~) und

w~

%

e

lnf I + w ~)

+ 0, 02 ) =- 0,00995 - 0, 0 19H =- -0,00985 =- -o,9HS %

w;, =- Ion + \\'1,)

--+

w;, =- lnt l -

O,009H) =- -o, 009H5 =- -0,985 %

b) w ;)= \V ~-w~=O, 0l-O,02=-o,OI=-1 %

w1, =c ~ ;, -

1 --+

\\'1, =C --<J·'ll -

1=-O,()()995 =-0,995 %

4.

Funktionen mehrerer Variablen

Aufgabe IV- I a)

f(x l' X ~}=l" ' " -x l,[nx 1

An w end un g der Kett en regel liefert:

f:, = e X'x, .

( d)

,

Xl -

.-.!... =

X l'

( c ' " _ X; l )

X,

= (c- x J '; .

f(x p x 2 ) =

x,

(-~) - lnrc. X,) . da (11 1.86) angewende t wird Xl ,

Xl

· ]n x l "e ' l ' l

Anwendung vo n Produkt- u nd Ket ten rege l liefert:

r' I = In X l " e" >'' + X I - In

Xl '

c ' "' 1 . Xl = In

Xl '

c '"' . ( I + X I .

xx1j;:; ;-x,-[x;-x 'J' - x,F; Anwe nd un g vo n Kett e n - und Q uotientenregel liefert:

,

x ~)

432

VlJ Lösungen

n

x - 1 rex p x 1 ) = - ' - = (x 1 -l)·(\nx1r1

In X l

f' =([nx , )~l = _ 1_ "

gJ

•

.

te X t ,

x2 ) =

ln x,

F: +--xl- I .Jx! - X I x2 + 1

Anwen du ng der Quotienten rege l nur hei f:, : ., 1x,

=

=

=

h)

- X·...l u5 0 ,)

-"x {

2

r

. )",u·~ . ( - I) ' .(X X I - VX l " O,) 2- XI X2 -

Xl

( X2 - Xt )"-1J5'[ X:15 ' ( X2 - XI) + .j;;:;]

-ir: ».

2( X 2 - X I ) · J X 2 - X I

. I , X 2 ) =( X I -X 2 )~' ' HX

1

+-x2 + 1

2(X 2 - X 1 ) + x -o.s \ - X 2 - X 05 I

1

X,

+-- = .. x 2 + 1 2( X 2 - X I ) 15

-- -( , X• l _

X2 ) •

10(x j' -2x 1)

x2 )

,

In(xi - 2x 2 ) + ( X I

•[

, 2x I - X 2 )~ . -,'::::.L_

xi - 2x 2

x'cc'] In(x ,1 _ ,_x. 2 ) + .:.' - 'C(:;,',,-.,-:--.:. xi - 2x 2

1

+- - . ..[;;:; x2 + 1

Anwe nd un g vo n Produ kt- lin d Kettenrege l liefert :

r;, = 2( x I -

1

+- - x2 +1

4. Funktionen mehrerer Variablen

il

H x l , X2 • X3

)

r:, = ( X ~ r:, = -i x , ( Xl -

= X\ ( X2

X, ) '

f'.' ,

=-1 x

I

X.3 ) 1 + X3 (X I -2x 2 /

+ 6 x ,,( x ,

Xl ) .1

rx Z -

-

433

x

-

- 2x ~ )'

12x\( x j

,.1+ (X I

:\

'

2x 1

-

)'

-2x )(, 1

An w endu ng d er Ketten regel li efert: X,

+x, Anwend ung von Pro dukt- und Kettenregel li efert;

f:, = ( - x

j

e" ",H , ) + (- x ~ . X, . e"· ,,H• . x j ) = -x ., . e" ", H, . ( I + Xl ' XI)

.

.

k) H x p x2 ' x :\ )=

XI

X, x 1 X, . + X1 + X.,

An w endung d er Q uotient enregel liefen :

f'

= x !x, · ( x j+ x !+ x , )-x , x , x -, · l ( X I + X ~ + X,)~

"

r

=

X I Xl ' ( X l

1)

+ X1 + X, ) -

1=

.'

"

. x ~·" . X ~·7

f"_, = 006 , .x o" • I

_ x l-l)" ' X O ,7 .\

= 0.

mt Hx l ,

XlX1 '

"

0.' 0." "';'.5 I - Xl ' X , ' X ,'

o~

X2 •

x .~ ) =

L"

( Xl

+ a i x2 + hf X i

; =1

"

r:, = 2L

{XI +
,,' 1

" f:, = 2L (X I + a x2 + hfx.'I j

Ci ) ' :l i

i=\

"

( , = 2L ( x l +
,(x

I

+ X~ )

( x,

+ x~ )

( X1 +X, + X, )'

x . ) =O,l ,x (,'5 ,x O,·(> . x ~·7

X

I' . 2.

r:, = 0,05 ' x ~'" f".,

X jX ~ X, '

( X j + X , + X")~

ff x

( X I + X , + X,)~

( XI + X ~ + X ,l)l

( x j + x ! + X., )l

"

x !x , ' ( X Z + x , )

= x lx ,\

f" = XIX., ' ( XI + x ~ + x ., ) - X I X ~X ~' "

=

- Ci ) 1

434

VlJ Lösun gen

n ) f'( x [. x 2'

'C .

•.• ,

,

f' :: - 2x, . t' _ "':"' ",. , x 'l

x n )-- c- '::"'· ' '' '

"

2>'X; o

0)

x 2,

[( XI'

"', X n ) =

fx, :: .I.'i - xi,

;" I

Au fg abe IV· 2

a ) Part ie lles Diffe renztal.

dy,

"

=f;

6y",

· dX l=X 2 X ~·dx l

=: 1": , · llx!

.

=l ' ! ' (-(),Ol)=-O,O I

6 y x, = fW,99: I; 1)

- r(] ; 1; })

= 0, 99

-e

l = -ü,OI

b) To tale s Dfffere n ztal:

dy = ( , . dx , + f;, -dx, +( . clx, = x!x, . dx , +X ,X, . d x, +X ,X1 · l!x, 6y s

r:. · L\-x

1

+ r;, - 6 x, +( · Ax.\ = 1 ·1 · 0, 0 1 + J - ] · 0,0 1 + ) · ] · 0,0 1=0,03

dy = It l. 01; LOl; 1, 0 1) - [(1 ; I: 1) = 1, 0303 - I = 0,0303

Aufgabe IV-3

Es gilt f ~ . l = 2(1 + 1) = 4 . d.h . wächst x, be i 0 ; 2) u m nimmt y rnähcrungs wctse ) um 4 % zu .

% hei unverä nd ertem x" so

Es gilt EI .1 = -2·2 = -4 , d. h. wäc hst x, bei ( I; 2) um 1 % bei unverä ndertem x., so nimmt Y tnähcrungswetser u m 4 % ab. Aufgabe IV-4 Die hie r gesuchte n Elastizitätc n gehen Ausk unft da rü be r, Ulll w ie vh-l Pro ze nt sich der O utput Y t nähcrungswcisc j ä ndert, wen n der Arlx-üs-, Kap ital- bzw . Bod eneinsatz ccu-rts partbus um I % wächst.

e

1. _(. 1. _ (:1. "..... , 1,"-1 . K" · f~ ' - " - ~ 1"-' . K' . I,,-a-p ) ' - .1 ·0: ' . ClL y y a . e . KP • B ,- a P

_ 0. vi

l - -

;.

=

f) K =

=

'-

a - 0: · I.a . K ~

' Bl --
a ·La ·K ~ ·B , a ~ 0. v,

'K o

K

y

' -=(:1 '

L"

L

= 0:

"K H ' fl ,- a - ~ ) , ....

:1· 1." .p. K ~ ' B ' -a - ~ a · I." ' K' . 1" -" ~

)'

=p

K

v

(..1' L" . ..... n K' -'

•

I , ' _a _ ~ )

:I· I."· KP · B '-"~

.

K

435

4. Funktionen mehrerer Variablen

c., 11 = ( a. L~_ . K'. . (I _ a _ nt..,) ·B<1-U- • l-1 ) . _11 E 1J = _ U_ }. _

all y

y.

(a

y

. 1." . K ~ · (l - a - ß)· BOI - " - ~ l-1 ). B

:1' L" · K ~ . (I - a - ß) . B l -" -~

;l . I''' 'K~ ' B'-'' ~

=

a 'I."'K~ 'B'-" ~

=

= 1- a- ß

Auf Basis vo n (l V.22) hätte n wir dies auch direkt angeben können. Aufgabe 1V·5 ,

= ~ ..ß!..=

op,

({

x


)

-
- Cl ' 1',

~

' p, 'y

~ )

' 1', = ... =-a

:1. p," . p~. y6

- ,- ß ox y 0).' x

= - ' -=

( a .p :
- . •.

- 3

Auf Basis vo n (l V.22 ) hätte n wir dies e benfalls auch direk t ange be n können. Aufgabe IV·G a) Be n ötigte part ie lle Ableitungen: 0\\ ' 'i\r' = --= 12 -2 ·05m = 12 -m

m .1tll

aW

d'W -= - } anl !

W,,, = -

'

m,n

d' W

W~

W: =~ = 10 - 2 · 0,25t = 10 - 0, 51

"=7

=

'i\'" = a! 'i\ ' = 0

amal

"~

-0-

.>

Olctchungssystem aus no twendigen Be di ngu ngen: \X"m =

12 - m~0

m = 12

\'(,r: = 1O - 0, 5t ~ 0

1= 20

Hinr eichende Be d ingu nge n: I . Ermittlu ng der He sse ' sehen De re muname .

DCm, t )=W,:'m '\'('; - (\'(',:

)1

=(-I)·( -o,S)-(())" =0,5 2. Entscheid u ng über An d es Extrenuuns: >

0

W:. " 02; 20)=- 1 <

0

])(J 2;

20l = 0,5

....Iaxi rnum bei 02; 20 )

Alois sollte als o 20 Lernrage a ufwe nd e n un d 12 Gramm der 'x'underctrcgc zu sich nehmen. b) Nebenbedingung. 1001 + 150m = ."1. 000

t rm. I, A. l = 160 + 12m + IOt - 0, 5m 1

-

H

1001 + t Süm -

j.oon

=

0

0, 251! - A.(IOOt + 150m - ."1.0(0 )

436

VlJ Lösungen

Gle tcb ungssysre m aus notwendigen Bed ing un gen : , I: L ~, =1 2 -m - I SOA. ';' ()

,

11 :

L;=1O-0,5t-lOOt..=O

IIl:

L~

= - lOOI- 150m + 3 .000 ';"0

Au s I ergibt sich:

l':

lTl

Gl eich ung 11 liefert:

11':

100)..= 1O-0.5t

]' und

Ir

'Z'

12 - 150). H

A = O,! - O, 00 51

in 111 eingesetzt führt zu :

- IDOl - 1SO · ( 12 - ISO", ) + 3 .()O() = 0 - 100 t - I .BOO + 22. 5( 0). + 3.(lOO = ()

-1001 - 1.800 + 22.500 · (0, 1 - 0, OOS!)

- IOD, -

+ 3 .000

= ()

umo+ 2.250 - 1 12,51 + 3 .000 = 0

- 2 12,'::;t + 3.450 = 0

1=16, 24

H

Eingesetzt in 11 ' lie fe rt Ä - O,OIRR. Fo lglich ist gel11äf~ I' 111 - 9,1fl.

.\ l il den 3.000 Eu ro sol lte Aluis a lso 16 ,24 Stunden lernen lind 9,18 Gramm der 'x'un dc rdro ge kon sumiere n. c) Ma xim aler \X'isse ns sl:m d Lind finanzieller Aufwa nd : W'(I2; 20 ) = 160 + 12 . 12 + 10 . 20 - 0 ,5 . 12' - 0,25 . 20' .. 332 \X' E

Ausgaben = 100 · 20 + 1"i0· 12 " 3BOO Eu ro Ko sten je wlssense tnhe ft - 3JlOO Eu ro

I

3.~2 \'('E -

11,45 Eu ro /\XIE

\'(C (9 ,I H: 16 ,241" 160 + 12 . 9 ,l H + 10 . 16 ,24 - 0,5 · 9 , IHI - O,25 · 16 ,24' '" 324,49 \X'E

Ausgaben '" 100 . 16,24 + 150 . 9, lR '" 3.000 Euro Ko sten ie w tssen setnh etr - 3.000 Eu ro / 324,49 \'CE '" 9,25 Euro!\X 'E

Bei Teilaufgabe bj ....rgib t sich e in niedrigerer Preis pro \'('E, d.h . d ie

un.n-

Komb in ation aus Te ilaufgabe b) ist fin an ziell be trach tet günstiger.

Aufgabe IV-7 Ncbenbcdtng u ng. lOx + 20z '" 10.000 H Lt x, Z, Al = x o, ~ . ZU.7 - A( lOx

10x + 20z - 10.000 '" 0

+ 20z - 10.0(0)

1.: = 0, 3x -o·7 ' Zn' ~ _ 1 0/.. ~ O

I:

11 : 1.; = xn._l ' O, 7Z-o·~ _20A ~ 0

,

111 : I. ~ = -lOx- 20z + 1O.000= O Bringe n wi r die /..-Tenl1e in [ u nd 11 j..-wc ils a uf d ie rech te Gle ichu ngss eite u nd dividieren wir da n n bc lde res ultie renden Gleichungen d urc he ina nder. e rgibt sic h: 0,3X-<',7 . zn.7

x

U3

•

0,7:1.""'"

10A o

20/..

H

0, _~z

I

0, 7 x

2

--=-

H

0,3z= O,35 x

H

z= 1, I7 x

4. Funktionen mehrerer Variablen

437

Hinw eis ; Es gilt ge nerell, dass im Nutze nma xim um d ie Gre nzra te der Substitution stets gle ich dem Pre isverhältnis ist.

au

ik =.ß..

eu

dZ

p,

über diesen Zusam me nh a ng härte n wir das Ergebnis z '" 1,17x auch ohne Lagrungc- Funkticn und Gleichungssystem bestimme n kö nne n. Eingesetzt in J1 [ oder d ie Budgetre strik tion ergi b t -lOx - 20· 1,17 x + 10.000'" 0

.~ ic h:

- 33,33x· -1 0.000

H

\'('ir e rhalte n da raus x '" 300 un d z '" 3S0. Aufgabe IV-8 Nebenbedi ngun g. x, + x, - 1.000 J.(X l' X l ,t.. )

=

XI

+ x ~ + x: + x ~ -

L' = 1+ 2x, "

11 :

H

A (X I

x, + x, - 1.000 - 0

+ Xl - 1.(00 )

- A~O

,

1.:, = 1 + 2 x ~ - A = O

111 : I. ,~ = - x l - x l + l .()OO=' O Aus [ lind [[ fo lgt : 1+2x )- A = 1 +2x! - A

xl= x j

~

Einge set zt i n J1 [ erh alten wir -2x 1 = -1.000, worau s sic h x, '" x, '" SOO erg fbt . Aufgabe IV-9 Nebenb c d tngung . P, . x + p,. z '" y

~

1\ ' x + P, . z - y '" 0

L(X, Z, A) e n vln x +() - u l · ln z - A(p. · x + Ps : z -y) I ,

, a ' L, = - - A 'P, =0

11 :

, 1- a ' L = - - - A 'P = 0

111 :

L ~ =- p , ' x - p, ' z + y= O

x

'

z

'

'

,

Au s Gle ichu ng [ e rgibt sich :

. a

I :

,

- = "" p,

x

a = A' p " X

~

Gleich ung 11 lie fe rt:

l -a 11': - - = A· p,

,

~

l -a = A· p, · Z

~

a = -A , p, · z +1

438

VlJ Lösungen

Folg lich gilt:

A. ' P"x = -A , p, · z + l

HA · y =l

A' P" x +A., p, · z = l

H

Ä,(p"x + p, · z) =l

H

1

A= -

H

y

A = l/y el ngesetzt in I' liefert:

a ·y x=--

r,

A " Uy e ingesetzt in Ir liefe rt:

z = .c(I.c-_U"l,-'-,-Y

r,

Aufgabe IV-IO Ncbenbcdtngung 40x + 201. = 1.000 H

40x + 201. - 1.0 00 = 0

U x, r; A. ) = 2xz + )01. - /,,(40x + 201. - 1.000) , I : L:= 21. - 401..=0 , 11 : L:= 2x +1O - 20/"";'O

,

I1I : L~ = -40x - 201. + 1.000= ()

Bringe n wi r die ",-Tennt' in [ lind JI jeweils a uf die rec h te Gle ichu ngsseite u nd d ividieren wir d ie resultierenden Gleic h unge n, erg ibt sich:

21. ·i O!.. "2x-""-+'-1"0 = -'0>-

21. C'x=+'-I"O = 2

....

H

2z=2 · (2 x + 1O) H

z=2x +1O

Der Te nn z - 2x + 10 wird nun in 111 e ingesetzt: -40x-20 ·(2x+ 10) + 1.000= 0

H

-H Ox +80ü= Ü

Damit e rhalten w ir z = 2 · 10 + 10 = jO.

Aufgabe IV-li

Nebenbedingu ng . h + c - y +

Z H

Y + z - h - c .. 0

L(h,(', A) = a ·loh + ß- ln c -t..( y + z-h -c l

1 h

'

I:

L~= a --+ t..=()

11 :

1 ' L;= ß ·-+ t..=O c

,

111 : L: =-y-z +h+c=O Aus [ und 11 erg ibt sich durch .Gletcbserzerr' :

~+t.. =Q.+t.. h

c

H

a =.@. h

c

H

U

11=--c

ß

H

x = 1O

439

4. Funktionen mehrerer Variablen Dieser Ausdruck fü r h wird in Gl eichung III e ingesetzt:

-Y -Z+ ~ ' C+C= O H e

.

Y + Z = ~'C + C

H

H

Y+Z = C( ;+ I)

y +z y s- z y+ z = - -= - -= - -= [3(y+ z l !!. + 1 ,,+~ ,\-

,

"

Damit ergib t sich:

u h = _ · [3( y+zJ = a(y + z ) ~ Di e Au sgaben fü r h li nd c er fol gen also je nach ih rer Ccwk-h t ung in de r Nutzen -

funknon . Au fg abe lV-t2

Zielfun ktion .

Gex,y)=O, 1O ' (

30x . + 20 Y ) - X- Y 3 + 0, 003x 2 + 0,00 2y

Nebenbedi ngun g.

x + y = 100

X

l j x,

,

y, 11. )=0,10 · =

I ,

11 :

( .Jox

3 + 0, 003 x

jx

3 + o, o03x

+

H

,ar )

2 + 0, 002y

zy

+

+ Y - 100 = 0

2 + 0, 002y

,

,

-x-y + II.(X + Y- 'IOO )

x-y + A. · (x + y- 400)

~ 9 ~ I , 3·( 3 + 0, o03x ) -3x· o, 003 = - 1 + 11. = -1+11. =0 ' C3 + 0, 003x )" O + 0,003 X)l , 2· (2 +0002v ) -2v ·0 002 4 1. . = " ', ' - 1 + "-= , - 1+ "-=0 l C2 +0,002y) ( 2+ 0, 00 2y )-

l

,

111 : L ~ =x+y - 4 00 = 0

Gleich ung 111 li efert : x = 100 - Y ~G le ic h scl ze n '; d er G le ichungen

9 0 + 0,003 ' (400 H

9

y»!

(1 , 2 0, 003y l!

I + A. =

1 u nd 11 un d Einse tze n d it,'ses Erge bnisse s li efert :

4

, - 1+ "(2 + O, 002y) -

= .,-;-,--;:-4::::::---"

C2 + 0,00 2y )l

H

9· (4 + 0, OOHy + 0,OO()004 y l ) = 4 . (17,64 - O, 0252y + O, 000009y! )

H

36 + 0, On y + 0, 000030y l = 70,56 - 0, 100Hy + 0, 000036 y l

H

O, 172HY- 34,56=0 y =200 ~ x =200

H

440

VlJ Lösungen

Aufgabe IV-13

Nebe nbedingung. x' +

v' .. H

x' +

Ho

y' -

H .. 0

lf x, y, A.) = j xy - A. (x ~ + )' 1 -8)

I:

1.: = 3y - 1Ax = O

J1 :

L~ = 3x - l A}'= 0

,

IlI : I. ~

=_X1 _y l

, + .H = O

L 3y =2l.

Aus [ u nd 11 e rgibt sich:

x

3x = 2')",

Y

"G lt,'icbsc lze n" de r G le ichun ge n I' und Ir liefert:

3y = -3x x y

öy"" = 3x

Ho

H

y ." = x "

Einsetze n d iesl's Tenns in Gleichung 111 :

8 -x' - x'=0

Ho

8-2x'= 0 H

H=2x' Ho x' = 4

Es ergibt sic h da mit x ±2 und y .. ±2, d.h . w ir e rhalten vie r kritische Pu n kte . Minima u nter d iesen könne n wir durch folgend e werrerabelte identifiziere n : ;00;

Fun ktionswert f: f .. 12 f .. - 12 f = - 12 f = 12

x-wen , y-Wert x = 2; Y = 2 x = 2; y = - 2 x = -2 ; Y = 2 x = - 2; Y = - 2

Es j(isen aho die (x,y)-Kombinar ionen (x '" 2: Y .. - 2); (x .. - 2: y = 2) das Mimmierungsp roblem. da sie di e geri ngeren Funk tionsw e rte aufweisen. Aufgabe IV -14

a)

l{(x 1) = p (x 1) · x j = (3.000-Hx j ) ·x j =3.000x j - H x ; R( x l ) = p( x!)· Xl = (·i.500 - lOx l ) · Xl = 4.500x l - lOx ~ Gt x., x l)= R(x j)+ R(x l ) -C( x ll Xl )

G( x l' x l ) = C3 .f)OOx l -Hx: l+ (4.500x! - lO x ~ ) - (-15x j x! = - 70 0x 1

-

+ 3.700 x , + 3AOOx z + 5.000)

Hx : + 1.100 x , -lOx i + 15x , x! - 5.000

Bestim mu ng der kritische n Pun kte :

, ,

[ : G: , = -700-J(lx j + 15x!=O

11 :

G:,

=

1.100 - l 0x , + l5x 1 =()

4. Funktione n mehre rer Varia blen

441

700

16

Gleich ung I cr gtb t. x , = - - + -X 1 • 15 15 Ein geset zt in Gleichung 11 liefer t: ) . I ( )()

'( . ( 700 16 1 ) + ' )"X l -_( J - _J - +-x

15

15

H

166,67 - 6,3:h l = 0

Es erg ibt steh daraus de r kritisch e Punkt (26.32; 74 ,74 ). Es werden a lso 26.320 kg vo n Prod ukt 1 un d 74.740 kg von Produkt 2 hergestellt.

Entsche id un g über Art des Ex tremums.

rxx ., xl ) =G ; , "

·G: ,

1)( 26, 32; 74,74 )=95

"

_( G; ,)l = { - 16) ' {-20)-15~ =95

G; ,( 26,32;71,74 )=-16

"

" > 0 < 0

-4

Maxim unt bei (26,32; 71, 74 )

Als gewtnnmaxnnale Preise de r Prod ukte ergeben sich:

Prod ukt 1: p<2o,32)=3.000-H · ,26,32= 2.7H9,4·i Euro Produkt 2: p(74, 74) = 4.500 - 10· 7i, 74 = 3.75 2, 60 Euro Als Ges am tgewi nn resultiert G(26,32; 74, 74) = 26B9 4, 74 Euro .

br Falle n die Fixkosten von S.OOO Euro we g, so steigt de r Gew inn um diesen Betrag. Die ge w lnnmuxfm ule Me nge bleib t jedoch un ve rände rt, da die Fixkoste n als ad d itive Konsta nte bei der Extrem we rtbes timmun g wegfallen und so ke inen Einl1u ss auf d ie Berechnung haben.

5.

Integralrechnung

Aufga be V-I

x: _x; + '~ J ux= f(x' - x' +'x-l )ux 0' Jlb '-,.Jx+' )ux= rl :.K Jl x'

x'

x'

3 ~ 6 : ~ =- x ' -- x' +3x ' + c H

11)

c)

7

r.F t ,X= I(x " ') ' Llx = 1' x - l1 X= "7X" (" +c 1"vx

f(

2x U/o + x\ ) dx = 1, 25x l ,h

-

X-I

+c

d) ! ( x . ln x )-l dx Int eg rat ion durch Substitutio n :

cl

1. Schritt:

z = In x

f ( x . zr ! dx

2, Schri tt;

z = ln x --+

3. Schritt:

I(x.zJ-

4. Schritt:

fex. In x )-1 dx e In [In xl+ c

-4

1

•

, dz 1 z = - =dx

x dz e

H

x

UX = x ·dz

I-I_. x -dz = I..!. dz = Inlz[+ c x·z z

Il', ' -x' 3-+ I..ux = I(' ' . (Ij X-,+jI)ux1

,

1. Partiell e Integ ration :

Hx)= .!.x1 +..!. 3 3

,

--+

f(x )=-x

3

g'( x ) =r.:'

2 fe,.X3+ i dx = (.3.!. x +..!.)' C '- f3.3x. c' 3 J

f~x . c'

2. P;1l1idle In tegratio n für

3

f( x)=~x

--+

nx)=~

g'< x ) =c '

--+

gcx j

3

I3, -

3

dx :

3

z X '(, , -

I = X ·(' ' lX

dx

e

e'

I' , 1 _ . {:"

3

2

l X=-X'('

3

,

2,

- _ .r.; '

3

+c

444

VlJ Lös ungen

Zusa mmenführung der Erge bnisse :

+ 1 1 = ( '3" x +'3' ) "(', - [ '32 x , - '23 "1;' ,] + c f" , .x'-30

n

=1;'

, . ( '3' x,

f

,2x + 1

x" + x - 5

' l'

2 +'23 ) + C=I;' , . ( 3"X ' ", 3"X 2 +! ) + C +3", -3"x dx

Inte gr ation du rch Subsr trutton.

+X _ 5

I. Schritt:

z = x'

2. Schritt:

z = x' +

X -.,

l X+ 1

dz

flX,+ I d x

4

~

,

z' = Jz = 2x + 1 H-

fl ,

dz 2x + I

lX=--

elx

- uz= nz+ c f- z_ ._-= 2x+! z ?x + 1 f -+ x - 5 d x=In(x l+x-S)+c

3. Schr itt: 4. Schr itt:

I

Xl

Dieses Ergeb nis hät te n wir auch d irekt über (V.17) er halten können.

AI

(

(l n-xl' -+ X

I (x-2 )

j

) lX= , f(l n-xl' 1 + -lX x

fex-_,,-'" l 1X

Für heide Te ilintegrale ist das Subsitutionsverfahren a nzuwenden . ßei zwe item können wir jedoch d irek t auf (V.IO) zurückgreifen .

Tetltnrcgral I : z

1. Schritt :

z= ln x

-;

2. Schritt:

z = ln x

-;

J~ d x x

, = Ll z = tlx

x

dx

H

e

x -dz

dz = 2.1.-' + C

3. Schritt:

3

f ([n x )1 dx =..!..(] n x )' +c

4. Schr itt:

x

j

'l'eilinregral 2:

f(x- zr-
Jlr(
hl

+

1 , ) d x = .!.(]n X).' .3

(x - 2)-

Je-" ~l - t'-" dx Integration d urc h Substtnnton:

1

Z ·(X- Z) l

+c

5. Integralrechnung

44 5

dz <.Ix = - -,

2. Schr itt: .~ .

c

Schritt:

dx = In 11+ e f~ 1+ e

liefert

i)

Anw en d u ng von (V.17 )

I)

Anwen dung vo n (V. I I) l iefe rt

X

f- - = - ln l l - x l +c. dx

1- x

= 0,5 ' (4x + 2)1 + c = 0,5 ' ,J4x + 2 -e c f~ 4x + 2

k ) An w en d u ng vo n (V. IO) lie fert ])

An wendung von (V.9) li efen

x l -ec .

x x Je- dx = -c-

+ r.

A ufgabe V·2 a)

'J( X~ - 3X ) dX = [.!.6 X" _ ~_ x! ]n_ =o - (-i)= .:!. FE 3 3

_I

b) l"j e' dx

,

-r-r = eln ~

1

_ eu = 5 -1 = 4 FE

Integ ration d urch Subxtltutio n:

,

I. Schrttt:

z = 2x

2. Schri tt;

z= 2x

Jc'dx

3 . Schr itt:

, dz z = -= 2 H dx Z( 2J= 2 · 2= '1, zO )= 2 · 3=6

.1. Schr itt:

,. e" .!. d z = .!.e ,

, d)

-e

J~ ' x'

"

f I

tl x =

,

2

->

1

dx =_ . tlz 2

[ ]" -

=2., , c " - .!..c 2 '=20 17 • 1-2730 , =17 4 . 41 FE

,

-

Jx \·~ dx = [ 0, 22 , x l'~ l~ = 3 1, 18 - 0 =3 1, lH FE

,

= [0,.1 . X!5 + 10 · xU'~ I = 14,72 -16,40 = 2H,32 FE

446

VlJ Lös ungen

f)

f ln x . J;I dx= f ln x . x1 dx

,

,

Partielle In te g rati o n :

f'( x j

In x

e

r (x ) =-I

~

x 5 •

g(x)=- x '

"

flnx.if;! t1x= [ln x .ix~ ]~ - J~. i x~ dX =I. 65 - fi .x-l . x~tlX H

I

I X

H

I

B

= 1,6';-

f~ ' X' dX = 1'(6 - [~ ' ~ ' x* I =1,65- [O,B9- ~1 ]=O,90 FE

f :x +

dx

~

(J

g)

I

-t

x

I

Inte gratio n d urc h Substitution 1. Schritt:

J -X~ J x

r. = x" + 1

o ~

+1

2. Schritt:

z=x

-)

3. Schritt :

/.(_1)=(_1)6

Z

, dz z =- = clx

rlX ,

dz (x= I - -, 6x

f.7

+ 1 =2, z(O)= O"+ I = I

4. SdHilt: I

=- -(0,69 -0 )=0, 12 FE

6

h) De r Integ rand ist link s von se iner e inzige n Nullstelle x '" 0 negativ, rechts da von p ositi v. Es g ilt daher.

fx~ dx fx I

(I

=

-I

i)

5

1

J

dx + f x d x = [ + x

-I

()

l

t +[±xll =]-+I+± =~ I

(l

FE

De r Inte grand besitzt se ine dr ei Nullstellen bei - 3. 0 lind 3. 1m Inter vall 1-3; 01 ist e r posit iv, im Inte rva ll JO; 3[ negativ. Es gilt da her: l.~


l ,~

f ( 4 x '~ - 9x ) J x = J <4x3 - 9x ) dx + J <4x3 - 9x ) dx - l,~

- 15

I)

447

5. Integralrechnun g Aufgabe V-3

[ I]" [I ]'

" - x dx +Jz x dX = _ _ X l a ) ,J lxl dx =J + J"x l _2 -i " 2 _l 11)

{

,

,

J maxlx; 2I dx = J tÜ ) dx mit f( x)= ;

"

,

,

"

l

"

= 2+ 2= 4

0

z2

für

x

für

x<2

= J 2 dx + I x d x = [2x ]~ + [0, 5x'J: = 4 + [12, 5 - 2] = 14,5 c)

[ fi x ) dx mit f'( x ) = _I

,

f e'

[ ln x

dx + I ln x dx = [ c' z

Aufgabe

v.s

Nach (V.H) e rha lte n

fü r - I S x < 2 für

1+

2< x S 7

[x - In x - x

1: = 7,0 2 + 7,24 = 11, 26

,

I,In x dx = [x. In x- xl: = [a . In u- a] - [-1].

wi r

Dieser Ausd ruck soll nach Aufgab e nstellu ng gleich Eins se in: :[ · Io a - :[+ I = I H a v ln a e u H ln a e I H a = e 1 =e Aufgabe V-5

.{e-' dx = lim "{e- ' dx =lim [ -e-· ] h = Hmc-c' " +co)= O+ 1 = 1, da limr.:h......

"

h......

"

" h ......

h_..

h

=0 ist.

Aufgabe v-6 (j '! x ) = ,\lR - .\IC = 0 0 -- O, 2x ) - ( 2 + 0, 05x ) = - 0 , 2Sx + H, (j"( x) = --0, 2S G ,(x ) =' O

x=32

~

(j"( 32J = -Q,2 S <

°

~

x = 32 ist Maximum

Zur Bestimmung de r prcts ah sarzfunktion p(x ) können wir e ntweder MR(x ) Intcgrieren und di e resultierende Funkti on (bei c = 0) du rch x tei len ode r un s e iner interessa nte n Eige nschaft linearer Grenze rlösfunktionen bed iene n. Es gilt nämlich : ,\ I!Hx ) = IO- O, 2x ~ p(x)=10-0, lx ~ p(3 2) = 6,80 Da C, .. 0 ist, kann bei der Integration von Gre nz kosten und Gren zgew inn c .. 0 gesetz t we rde n: C(x)= I (2 + 0,05x ) dx = 2x + O,025x! G(x)= J(- O, 25x + H)d x =-o, 125x' + Hx

~

COZ)=H9,60

~

G(32)= 12H

Aufgabe V-7

,

p l' (X)=p' (x)

~

1O - 0,5x ' = 2x ' -0, 25x+ 3

H

2,5x 2-O,25x- 7= 0

448

VlJ Lös ungen

-1/i2 (ök o no m isch irrele vant), x,

-? X L ~

KR =:

~

x" - 1,72 -. p* - 8,5 1

IJ00 - 0,5x ' Idx _ p " . x· == [laX_ .!. X\ ]l'~l - 14,64 "

Pk e p

6

•

•

v

l."l

'

co;

16,3i - 14,64 = 1,71

"

[2\ 1,

_

x - f <2x- - O, b x + 3 l d x = 14,6-1 - -x' - - x' + 3x

"

.3

Skizze zu Aufgabe V-7:

R

]1." =14.64 -8, 18=6,46 "

Skizze zu Aufgabe V-9:

p p'( x )

x'(r>

R, __ x· -----------------------

p "(x)

PR

KR 10

p' Aufgabe V-8

,

--+

p ll(X)=p' (x)

--+

6.000 - - = x+1O

x' +60x-5.5()()=O

H

x +50

= - 110 (ö ko nomisch irre levan t) , x, = x" .. 50

Xl

"

[I ]"

PR = 50 · 60 - J <,x + JO ) d x = .'i,OOO- )"x '+ lOx u

-

--+ p"

= 60

=3 .000 -1.750= U50

"

Unte r Bc rücksichugun g von (V. 11) ergib t sich: KR =

"f'(-6.1100 '" - . - ) d x - ' .(lOO = [ 6.000 - In 1x + ';0 I J n

x e So

(I

-

'.DOO

= s .ooo · ln IO() -(j.DO()· In 50 - j.mn = 6.000 · ( In ] O() - ln 50) - j.OOO = 6.DOO· In 2 -

3.non =

J.15H,RH

Aufgabe V-9

,

x '(p )= x ll (p)

--+ P,

c

--+ O.25p' - O,Sp +

2.4 "" 8 -

O,08p'

-j ,465 (ökonomisch Irrele van t), P,

=

p'

=

4,965 '" 5 --+ x"

=

6

P

5. Integ ralrechnung

PR =

449

'f(l, 9) dp= [1 9]' = 40 -P- - O,)-P+- p ,- -1, p" + -p I

'" \

'1

'1

[

12

-1

OOH 3

]10= -50

KR = H H- O,OHp' ) dp = Hp- -'-p~

,

-1

1

j

3

Bei der geforderten grafisc hen Darste llung (z u finde n be i der Lösung von Aufgabe V-7) ist zu beachten . dass in d iese m besonderen Fall d ie Achse nb ezeich nung von der übliche n Norm ab weicht . Dementsprechen d er gehen sich a uch eine andere ..tage'' von Konsume nte n- lind Produ ze nte nre nte und da mit auch die verwendeten anderen n e recb oungsfo r meln .

6.

Lineare Algebra

Aufgabe VI-I :.I)

Die Vektoren si nd linear unabhängig, wenn A" A, und A, in d er folge nden Bez iehung g11.:'i<:l1 Null s ind . [

,

11 :

H

IJl :

2A, +A! +5A;\ = 0 0 -A, -.J A, = - 3A +31".2 +9 ".:1 =0 1

Aus lJ folgt AL- - 3).,. Eingese tzt in I lie fert --6>', + A, + 5A, - 0 H A., - A,. Eingese tzt in Hl erg ibt 9Ä, + 31.., + 3A," 0 H 15A, " 0 H ).., .. "0 und dam it :llKh A, .. A; .. O. Die Ve kto re n sind also linear unabh:i ngig. L

bl

A,·m+A' [_}A,·[;] =m

H

2"'1 +2A2 +51...'1

11 :

A, +2A

2

+2 /...'1

- zA,

+A;\

1II :

Aus 111 folg t A, " ZAr Eingesetzt in I u nd ll Hcfert :

= 00 =0 =

0 0 2A +12A = = A, +21. + ü ! 0 A, +6A 0 IJ' : = = l' un d 11' si nd ide nt isch. d.h. eine de r Gle ichu nge n ist überflüssig. Fo lg lich ge -

1':

2A 1 +21,, 2 + IOA!

H H

2

1

2 2

nügt jede Lösung de r Gle ichung A, + 6/.., .. 0 dem Glek hung.ssystc m I b ts (1.. 11. A, " - 1, AL" 6 u nd A,, " - 2). Die Vektor en sind also line ar ab h:ingig . Aufgabe VI-2 a)

B I' · A l ' · C +( OT · A · ß)T + ( C T · A · B )T + ( A · 8 )T · 0 = ( A · B )T · C + ( A · B )T . O + (A · H )T . C + (A · 8 )'1 · 0 = 2· ( A · 8 )T · ( C+ 0 )

b)

A T . 8 . C +( c T oUT _O T )T _ F 1 - E . C

= A'" · H · C+ O · H · C - FT · E · C

Aufgabe VI-3

a)

D=A .B =[ H 6] . ( 7 H -4 (,

i

.

(.'xl)

-40 -40 - 30

-6] ~~

('X.')

ur

452

VlJ Lösungen Neb enrechn ungen .

d ll ={H 6) ·C)=H .'+(i . 7= 40 +4Z=H2 du =(H

6)· (~n=H '(-5l+6'O=-iO+O=-'iO

d l \ =(H

(i)' (~5)=H '3 +6 '(-5)= 24 -30=-6

d~l = (8 -i )' (~)=H '5 +(-4)' 7= 4U-2fl= 12 LI!! = (8

-'i ) -(~'))=8'(-5l+(-1) 'O=-40 +0=-iO

tl " = (8

-4 )'(~5) = 8 ' 3 + (-4 )'( -5) = 24 + 20 =44

d" = (6 4) ·C) = 6 . , +4. 7 = 30 + 2H= S8

bj

tl .l ! = (6

4 )-(~n = 6' ( -5 l+4 ' O = -30 + 0 = -30

d.'.1 = (6

4){~5)=6 '3 + 4 ' (-5)=IH -2()=-2

Die O perano n A . C ist n ich t zu lässig, da d ie Spaltenzahl vo n A n ich t mit de r Zeilenzahl vo n C überei nstim mt .

<:J Die Inverse ist nur für e ine q uadratische Matrix defi niert . Da B kei ne qua d ratisc he Matr ix ist, e xistiert fü r sie somit a uch ke in e Inve rse .

dc t C =

3 3 4 .3 =1·4·4 +3 ·3· 1+3· \ ·3- ] · 4 ·3-3 ·3 ·1- :j· 1·3= 1 3

4

+14 31 _11 31 +1 1 41' ,ld j{ C ) =

-I; ;1

+I~ :1-I:1 ;1

{ : -:

·13 13 -3 ~]= [~1 ~3 ~]

+13 31 _11 31 +1 1 341 o

I

-t

0

I

-~]

453

6. Lineare Algebra

Aufgabe VJ-4 a) Regel von Sarrus:

" 0 ''''- = 0 [

o

h :J

°b

o a

a

h]

0

;1

o

0

det 0 " a ·a ·a + b - 0 · 0+ 0 ·0 ·O-O ·a · 0 - 0· b -u-c a - ü b= a l

b) Falluntersche idung in Bezug auf Paramete r u: u '1c- 0 ---+ der 0 '1c- 0 ---+ rg(Ol '" 3 u .. 0 ~ de t 0 .. 0 ~ rg(OI < 3 (Rang ist abhängig vo n Parame ter b.J

Fallu nte rsche id u ng in Bezug a uf Param ete r h:

h

u '"

0, h

0:

'1c-

[~ ~]

---+ rg( O ) '" 2 (da 2 Zeilen mit Gl iedern '1c- 0 )

0

0

a '" 0, b '" 0:

~]

0

[0() 0

0

0

-->

,"( 0) =

0

c ) D iL' Matrix 0 ist nur inverticrbar, we nn det 0 .. a' '1c- 0, d. h. a '1c- O.

0 -1 =_I_ .ad j( o) dc t 0

+I ~ ~I -I ~ ::1 +I~ ;:1 -I~ :1 +I ~ :1 -I ~ bl +1:: ~I -I~ ~I -I~ :~I

adj{O ) =

o- t

I ="""'T "

a

0

a

-ab

('"0

o

b a1

b' ]

al

-;~h = 0

a

0

0

-r

{i

-ab al 0

b' ]

-:.:h a

bl al

b

a 0

,,' a

Aufgabe VJ-5 a) Regel von Sarrus:

A'' ' ' = [~ ~ -;: 0 o~ ] 2 0 -5

2

det A = 1- 2 - (-5>+ 2 - o· 2 + ( - 3 ) · 0 -0 -2·2 · (-3 )- 0 ·0 · 1- (-5) ·0 ·2 = 2

454

VlJ Lösungen

b) Hegt'! von Sarrus: H' N

=[ ~ -; : ~ -;] -
det H = 1 · 2 ·"

+ (-I). I · ( --6 )+ ')· 7 ' ( - 3)

-(--6) ·2 -) - (- 3 ) · 1 · 1- 4 · 7 . ( - 1) = 0

4-o-j

er dc t A -1 = _1_ =.!. dct A 2 u) det ( A · ß ) = d eI A ·det H =2· 0 = O l')

dt:t(3 · A) = 3 1 · t1t:t A = 27 ·2 = S4

f)

voller Hang rg( A) - 3, d a dct A

'* 0

g) Es g il t de t 8 = 0 , d.h . B bes itzt n icht vollen Rang (rg(ß) < 3) . Um jedoch d ie

gcnauc Rangzah l bestimmen zu k önn en, ist de-r Gauß'sche t.ösu ngsalgortrhmus ( elem entare Zcilen trans fonnanonen) auf H urizuw ende n.

1-I 5]

[~ -~ ~

111+(,1

)

11 7 ,

[

'] 0I - 9I -34 •

o

-9

11 1+11

)

34

I -I 5] [000 0

9 -3,1

Es e rg ibt sich damit rg(8) '" 2, da die 3. Zeile de r Matri x e ine Nullzeile ist . h ) rg( A · ß)=minl rg{ A); rg( B l ! = 2

Aufgabe VI-6

E-A =[~ ~ 0o]- [I-'-b a

1

( E- Ar] =

: ]=["~,b

()

1- a - h

()

}- a- h

a

o a+ h

()

-;I

1 ' ad j( E - A I d etCE- Al

lk't( E - A ) =

ra + b ) · Ia + h) ' (;1 + b ) + 0 ·0·0 + Il - (- a } . (- u )

-Q · (,I + hJ·O- {- a) ·O ·{a + !lJ-(;I + hJ ·( - a )·O= (;l + b )' Fü r (a + b)

01:-

0 e xistie rt d ie Inve rse und es gilt:

Hb

I _1-a°

+ -a
0

ae b 0

a+ b

I

I

Hbl +I'+ h 01 o h I -I"+ { ) -a

-IH

+la ~ h ~I (
_1-"o a+h 0 I + 1-"

= ;I(a : hJ (a + hJ' [ a;1( a + hJ

h

001

.. -a

0

0 a +b

r

O -a

+IH - ;I

h

°1

a+ b

6_Lineare Algebra

( E _ A)-l =

455

1

(a

+h)

, -a<.l j( E - A) =

Aufgabe VJ-7 D ie Matrix ist invertu- rb a r. wenn dct A

A'~~. = [ 1 +11 a

2

-1

o

a+ b a

o

0/. 0_

i ]+ a

2 2:1

det A =

(I

+ a ) . 2 - 1+ 2 · 1 -1 + (-ll - 1- 2a - 1 - 2 . ( -

= 2 + 2:1+ 2 -2a + 1 -Za _ laI - 2 =

2a - 1 . (] +

I) -

a) -

1. ] . 1

- 2:/ - 2a + 4

Anwendung der Lösun gsformel für qu adra tisch e Gleic hungen .

- 2/ -2a+4"'0

Die Mat rix A ist nich t tnvertrerbar. wenn der Paramete r a die 'x'crte I bz w . - 2 annimm t. Folglich ist die Matrix also tnverrterbar. wenn a 0/. 1 und n 0/.-2. Berech nu ng der Inve-rsen für u '" 0:

1 A- ' = - - ·a<.lj(A) det A 2 a e O --+ 2

=[: -:) +I~ :1 -I: Il -I ~ ~11 -il -I: ~I =[~ ~11 -I: ~11 +I~ ~ =+ [ o4) [ Il,S 41'~) A

--+ der A .. - 2 . 0 2 - 2 . 0 + 4 = 4 "" 0

0

:1 +1:

ad j(A) =

r

+ 1:

-2

+1:

2 -2

A- '

0

-2

2 -2 =

2

-0,5

0

0,5

-0,5

0. 5

-2 2

2

~2

)

456

VlJ Lösun gen

Aufgabe V1-H A=

A '~"

-'

,

-1

3x

[

-1]

o , w o h t:i der A .. 0 gel ten xoll.

1 -2 der A = (-x ) · jx . 0 + 2 · x . 1 + (-1). (-1). (-2)

-' 2 - I !-x , = - ] 3x x [ 1 - 2 0: I - 2

1-1 3~]

- I -.h . ( - 1) - (-2 ) ·

x . (-x)-O · ( -

1) . 2

= 2x -2 + .h _ lx = _2 x +5 x-2 l

l

Die Dc tcrnun anrc gl eich Nu ll gesetz t liefert:

~

I

_2x l + ) X- 2=0 --+ x i l = .

-5 ± ·jsz- ii·(-Z)·(-2) -5 ±3 = -2·(-2) -1

de r A • 0 ist also erfüll t, wen n x '" 0 ,5 o der x .. 2. Aufgabe IV·9 A ·A r =

(0,, )(01) (" +'b ) I

b

.

a

h

=

ab

1

b-

Nebenrechn unge n.

II = (0

a ) {~)=O ' O +:I " I= al

all = (0

a) {l~) =O 'l+ :l 'b = :lb

:L

a ll

3

= (1 b) · C ) = l ' O+b . a = ab

zz =(1

h) ' C~) =l 'l+b ' h = l+hl

Nach Aufgaben stellu ng mu ss gel te n:

(" +'b) (13) ah

= .3

bl

1

10

Ihrau s res ultiert das Clc tch ungssyste m: I;

a~

=1

-+ a '" ±l , b .. ±3

ll : ah=3

111 : 1 + h

l=

1O

Da a uch ab .. j gelte n muss. sind n ur d ie Ko m b in atio ne n (a - I , b-3} und (3 -- 1, b"'-3) Lösun ge n. Aufgabe VI-lO Dit: Entwick lung der gegebe ne n Dete rm ina nte nach der 1. Zeile lie fe rt: 0

tkt A= l·

0

3 0

0

3

1

2 0 1 1 2 0 1 + 2· I 4 -1 0 0 1 -1 0 0 0 -2 -2 0 0 -2 -2

457

6. Lineare Algebra

D ie erste Dc termmant e wird nun nach de r 2_ Spal te und d ie zwei te nac h der I .

Spalte en twic kelt :

o ut:t A= 1 · (-4)· 2

o

3

2

0 1 -I

1

0

-'

,~ ]

-I 0 - 1: + 2 -[ 1 0 -2 -2 -2 -2 0 -2 -2 0

Es kann nun die Rl'}!;c1 von Sa rrux a nge we ndet oder weiter entwickelt we rde n. Entwicke ln w ir die erste De te rm inante nach Spalte I, d ie zweite nac h Zeile 1 un d die dr itte nac h Spalte 1, erhalten wir: 1 - II]+2-(-I ).{-1) -13 'I det A= I .(-4 ).(-2 }·I-' 11+ 2 ' 1[ 2 -1-1 01+ 1_1 -2 -2 -2 -2 - 2 -~ 0 -~ = -32 +H - 4 -H= -36

Au fgabe VI-l I

+ x~ = c

Umstellung der I. Zeile:

Xl

ümsreltung der z. Xetle .

x l +hx ~ + h x ~-ax l=O

Umste llung der 3. Zeile: Xl + aX l

+;IX~

H

+ hx, = :JC H

x l+ ( h - a )x ~ + hx ., = O

Xl + aXl + (a + b jx , = ac

Gleichu ngssys tem in M atrix fo r m.

[~

1

1>-" a

;I

,

[ ~)

1» -(::) = +h x, ac

.

•

""-v--'

"

-..-..

det A = 0 . (b - a ) . (a + b ) + 1 . h - 1 + 1. 1 . a - 1 . l h - ;1) . 1- a . h . 0 - (a + b ) . 1. 1 = h+ ;l-(h-;I)- (a+ h) = h + ;I - b + a -a - b =a - h

Ist a

'* b gilt der A =1' 0 lind das Gletchungssystcm ist eindeut ig lösbar.

Anwe ndung der Crunu-r'sche n Ik gel : XI

1 =-- - 0 a- h ac

b

b- a

1 I bc · ( b - a ) = - - . (h c - a hc) = .::..:.::..::.,-.:::. a- h a- b

a+ h " Nebenrech nung. Berech nu ng der D eterminante

Ix=---::.'=; a _-.:: 1>.::) =- Ix -- -, a- b

c- (h -a )· (a + b ) + 1 · b -uc + I · 0 ':1 - ac' tb - a ) · I - a · b -c - (:1+ h ) · 0 ·1 = (eh - CI ) ' (a + b ) + atx- + 0 - al x -- (_aze) - abc - 0 = ab c + b'c - a'c -cabc + abc - abc + a'c - abc = b' c - ulx'

o

c

x , =-- - 1 • a- h

o

I

b

ac a + b

)

= - - ·0=0

a- b

Nebenrechnung. Be rechnung der Determ ina nte

0 ·0 ·(;1 + h l+ c· h · l + ) · 1 · ac - 1 · 0 · 1- ac · b · O- (a + b) · I ·c = 0 + bce- uc - 0 -ac - bc = ()

458

VlJ Lösun gen

x, = -

o

1

c

- · 1 b c- u

a- h

(J

ac

1

I

= - -·c(a- h )= a- h

c( a- b )

a -h

= l'

Nebenrech nung. Berech nu ng d er D etermi nante Q ·( IJ-a) · ac + 1·0 ·1 +C']';I - l · (b-a ) · c- a ·0 · 0 -ac- ] · 1

= 0 + 0 + ae - bc -(-;IC ) - 0 -ac = ae - bc = rf a - b ) A u fga be V1·1 2

E - A = [~ ~ ~] _ [_: ~ ~]= [-: o

0

I

0

-2

1

0

-1_~] 2-3

Gle ichungssystem in Matr ixform.

0] [X') [1,') [-1-1 o I

x,

1 -2

2 -3

~

E .\

=

bl

X,

b,

~

~

b

~

der ( E - A ) = { - ]) · 1 · ( - 3 ) + (-1) . (-2) · 0 + ü- t . 2 -{) . J . 0 - 2 ·( - 2)· ( -

1)

-(-3 ) · 1· ( - 1) =-1

Das Gletchungssvsrem ist einde ut ig lösba r. da detr E -

A ) :f'

O.

Anwe nd un g der Cramcr'scbcn Regel :

h, - 1 0

1 x , =_. b ,

.

-1

- 2 =-±' (-3b j + 2h.\ + O- O- ( -1b l

. b,

2

-3

Hq,d

)-3b! ~

";on ~"rru'

1 . I 3 1 x 1 =--· ( h 1 -3h. ,+2h ) = -- h + - b - - b ' 3

4

41

-1

b, b, h.l

Xl

=

I

-4" ' O b -\

1 x! = - 1 . 1 (]

1

1 -2 =-4 · ~ .~b.: + O +O-O-2h;- (-3b ,) ~ -3 Me Md ,.:., ';"
1

+ 3h z - 2h., ) = - -;jh , - 4 hz +2" h ~ -I

h, b~

2

1

= - '4. (-b.; + O+ 2hl - O- (2h) - (- b) )

b.i

"q,d,..," ...."'"

\

\

x - - -4 ·(Zb I + 2h -,) = --2 b I - -2 h -,

'! -

2

0

3

j

4l

6_Lineare Algebra

459

Aufgabe VJ-1 3 a) C letcb u ngssv srem in Matrixform.

det A =4 · 1· ) + 3·0 -3+ (-2) - 1-0 -3 · 1· ( - 2) - (). 0 · 4 -1 · 1. 3 = 7

Das Gleichungssystem besitzt eine eindeutige Lösung. da det A "# O. Anwendung der Crame r'schen Hegt-I:

7 3 -2

I x , = -7 - 5

o

1

1

= - ·0=0

I

4 0

7

N eb enrechnung. Berechnung der Dc rermtn ant e

7 · 1· 1+ 3 · 0 · 4 +(-2 ) ') '0- 4 · ) · (- 2) - 0' 0 · 7 - 1 ' 5' 3 = 0 Einsetzen in die 2. Zeile liefen x, b ) C le tcb u ngssvsrcm in Matrixform. ;

[

1

_~

[,I,)

- : ) . [:: ) =

.

() - 1

5. Einsetze n in die .3 . Zeile liefen x, '" 4.

det A = 1· ( - 3) '0 + 1· 1· 1+ ( - I) ·2 · (-l)

2

x,

, ~ -

t

- ) - (-.3) - (- ] )- (- 1) - ) ·1-0 -2 -1 = .3

,

-

Das Gleichungssystem besitzt eine eindeutige Lösung, da det A "# O. Anwendung der Crame r'schen Hegt'!:

I I x , = -1 ·0

.

2

I

-I

1 1 I 1 = - . (j + 2- 6 ) = -- (- l) =--

-3 0

3

-1

3

3

N eb enre ch n ung. Berechn ung der Determ inant e

. (-.3 ). ( - 1) + 1·1 · 2 + (-I) . 0 · 0 - 2 ' (-.3 ) . ( - 1) - O' 1· 1- (- I) . 0 · 1 =- 1 I 1 x =- · 2 0 l

-I

I I 1 =- · (1 +( - 1) - 2 -(-2») =- '( -3 )= -1

3 1 2 -1

.~

3

Nebenrechn un g . Berechn u ng eh-r Determ in ante

1·0 · (-1) + I · 1· ] + (- 0 · 2 · 2 - I · 0 · (- 1) - 2 · I · 1 - ( - 1)· 2 · 1= -.3

1

I

1

0

1 x, = - · 2 -3

-

3

I

1 . 1 7 () =-:- · « -0 ) -( - 3) - 4 ) =-:- · (-7) =--

2

3

.3

3

Nebenrechn u ng. Berechn ung der Determin ante

I . (-.~) . 2 + I . 0 . 1 + ] . 2 · 0 - 1 . (-3 ) . 1- 0 . 0 . 1- 2 . 2 . 1 = - 7

460

VlJ Lösungen

Aufgabe V1-14 a) Gletchu ngssvstem i n Mntrixform:

[

I ] [,,] [0]

' -2 4-u 2a

4


,.

3a - 4

2

=

x!

--0

0

XI

,"

~

1):IS Gleic hungssystem ist lösbar, wen n der A *- O. det A = 2·(4- 2a)- 2+ ;I·(;1-5) -'1 +1 · (-2) ·(3<1- 4) -4· (4 - 2a ) · 1-(3a - 4)· (a -5 ) · 2- 2 · (-2 ) . a

= 16 -Ha + 4a! - 20a -6a + H- 16 + Rl - Ga! -Ha + 30:1 - /iO + 4a = -Za!+ 16a-32

Nullsetz en und Berücksichtigung der Lösun gsfo rme t für quadratische Gle ichurigen liefert : -2a!

!

+ IGa - 32= 0

a

~

=

u

- 16+ J16! - 4 ·(- 2)' ( - 32) 2. (-2 )

Das Gleichungssys tem ist somit lösbar für alle u

* 4.

=

-1 6 ±o

-'i

b) Gleichungssystem in Matri xfenn fü r a = 0:

[ -~ ~ -~] . 1 -1

[ :: ) =

2

,

[~]

det A =_2.0 1 + 16 · 0 - 32 = -32

0

XI

,"

~~

An w endung der Cramer'schcn Regel:

o o

I x = - - ·0 1 32

°

I

4 -5 = - - ·0=0 32 -4 2

Neb enrechnung. Berech n u ng der Determ in an te

u-(-5 ) ·0 + 1-0- (-4) - 0 ·4 - 12 o I x=-_·_, o -5 = -_1 ·()= o ! 32 32 -1 o 2

0 ·4·2 +

(-4).

(-5)·0 - 2 · 0·0 = 0

Nebe nrechnun g. Be rechnung de r Dc tcmun unte 2 ·0 - 2 +0 · (- 5)· 4 + 1· (- 2) ·0-4 ·0 - 1(-5) - 2 - 2 · ( - 2) · 0 = 0 ü

2

I

(]

x = - - - -2 4 5 32 -1 - ,I

0

°o

.

I

= -- ·0 = 0

32

Nebenrechnung. Be rechnung de r Dcu- mun an te 2 · 4 ,0 + 0 , 4 + o. (- 2 )· ( -4 ) - 4 · 4 · 0 - (-4) ,0 ·2 -0 , (-2) ·0 = () ü

.

6. Lineare Algebra

461

Aufgabe V1-15

a) Es sei x, - Outputmenge in der l.andwirtschnft, x, '" Outpurmenge im Ind ustrie w ktor 1 und x_, .. O utp urme nge im Ind ustrie se kto r 2. Die Cesamtleistung jedes Zweige.s setz t sich zusammen a us den Vorleistungen an d ie e inzelnen Zwe ige plus de r Nachfrage , sodass wir folge ndes Clct c hungesystem aufs telle n k önnen. I:

Xl

=

11 :

Xz

=

0. 2x , +O,8x z +I{OO 0,3x , +0, 4x z +O, ISx J + 1.200

0. 2x , +O,4x z ;{},2S x J +000 Wir e rhalte n darau s x, '" 10.222,22, x, '" 9.222.22 und x.' '" 8.4 44,44. b) Es sind die Lösungen aus a) ein zusetz en in: X, " 0,04x , + 0,08x, + 0,12x, XL '" 2,ox, + 4,3x, + 1,7x, \X'ir erhalten x, '" 2.100 (z.B. Stunden) und XL '" RO.S88,89 (z.B. Euro ). c ) Die Auswirkungen der Nach frage ände run g kö nne n wir dadurch bestimmen , dass w ir d ie absoluten Glieder des Gleichungssystems aus a) ändern (nun 840, 1.130 und ( 18 ) un d es erneu t löse n. Wir erhalten x, - 9.997,78. x, - R.947 ,78 und x, - R.262 ,22 . Dies liefen neue 'x'er te x, '" 2.107,20 und xß ... 7H.51S,44, 111 :

x3 =

Aufgabe VI-16

4 1 A- = [

-I

~), da det A

-1,~ o,~

X = A~~j ' BjXI =[

=2 'F-O

2,5

o

-2

-3)

0,5

2,S

1,5

-I

: -1,5

-I

\ j>Ol

Aufgabe VI-1 7 f A · B - C) , X" D

H

X " (A ·B _ C r L ·D

Dam it d ie Gle ichung lösb a r ist, m uss A . B quadratisch und d imensionsgleich rnit C se in. (A . B - C l muss invertierbar sein . 0 muss gleich viele Zeilen be sitze n wie das Produ kt A . B bzw. C. Die Murrtzen e rfüllen nich t d ie Voraussetzungen , da A ' ß und C nicht dimensio nsgk-tch sind. Aufgabe V1-IB

Aus 11 erg ibt sich Y = 1A ,X - 18 . Eingest'tzt in I liefe rt: 2A · X +1.2 B · A ·X _ .12 8 2 = C (2 A+ 1 H ' A ) , X = C + 1 H2 X = ( 2A + 1ß .A )- I , (C + 182) ~

Y = 1A . (2A + !R .A )- I , (C + 182l - 1R

46 2

VlJ Lösun gen

Berech n ung der kon kreten Lösung.

P A + 1 B . A) = -

2

(11z 2) 2

P A + 1 B . AJ- 1 =

2

1\ '-

2

(-64

Aufgabe VI·1 9

Mit d en Schlu pfvariabl en y" y, und Yj resultiert:

Gk-trhu ngssvstcm fü r a): Xl

+ Yl

= 10

+Y2

Xl

Xl

Gleichungssystem für h):

+ Xl

Xl +X 2

= 12

-x . -2X 1

XI +2X 2 +3x;"I

= 14

+ Y:l

-lx ] - 3x2

+z = 0

= 10

+X ;"I + Yl

= 12

+ )' 2

-Xi

+Z

=0

""'ir e rha lte n da raus das folge nde Ausgangstableau und die weiteren Tab leau s: a)

x, x,

y.

,

bj

,

z

Y2 Y

h

-"-

0

10

10

12

-

y,

[j]

0

I

0

)' 2

0

I

0

I

0

()

I 1 Y.' z -I -2

0

0

I

()

0

0

()

I

0

x, x, y,

y,

Y;"I

z

h ~

0

10

-

14 14

x,

I

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I

0

y,

0

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0

I

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0

12

12

.'

()

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()

I

0

4

4

0

0

()

I

10

.,

Y;"I

z

b

-"".,

0 0

10

10

z

0

-2

X,

Xl

Yl

x,

I

0

I

0

y,

0

0

[j]

I

- I

0

8

H

Xl

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I

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.]

-1

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0

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()

2

I

IR

z

y

y, Y2

Z

,,-

I I h, I

s.,

y,

[j]

I

I

I

0

0

W :1O

y,

I

2

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0

I

0

12 : 12

2

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0

0

I

,

x,

x,

. , Y2

Z

,

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()

Y

x, x, x,

~"

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x Xl

I

Y,

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z

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0

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1

I

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I

0 0

,

0 '

,,-a"

I I h, I

10:, 10

"-,

-I

I

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I

I

0

I

20

X, x, x,

Yt

)' 2

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b

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0

H

x,

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Xl

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I

2 -I

I

0

2

0

0

J

])

I

22

z

-I

()

I

2

6. Lineare Algebra

x, x,

463

,

h

1 0

2

y, Y2 y,

x,

1

0

0

Yl

0

0

I

1 - 1 0

H

xl

0

1

0

1

0

()

12

r.

0

0

0

1

1

1 26

-1

Es ergehe n sic h dam it als optimale Lösunge n x, ... 2 und li nd x , ... R, x, .. 2 und 0 m it r: ... 21 bei b) .

x.,'"

Xl ...

12 mit z ... 26 b ei a)

Literaturverzeichnis Da sich na hezu alle Lehrbücher hinsicht lich Darste llungsform und gesetzter Sch werpun kte unterscheiden , empfieh lt es stcli . zur Prüfung- vor bere itung mehr a ls n u r ein \X'erk he ranzuziehen. Au s d iesem G rund w ird im Fol gend en m-ben d er

vera rbeiteten Lite rat ur ei nt: Ausw ahl weitere r Lehrbücher u nd Te xte zu speziellen Gebieten aufgeführt.

Allen, R.G.n.: Mathe matik für Volks- und Be trie bswirte . 4. Auflage. Be rlin: Dun ck e r & Humblot 1972. Hauer, c., Cla us e n , M., Kerber, A., Meier-Reinhold. 11.: Mathe mat ik für wt nscha ftswtss cnschaüler - Mit zahlreichen Anwe ndungsbeis pie len . Übungsaufgahcn un d Lösung en. ; . Aoflag e. Stuttgart: Schä ffer-Poescbel 200K

Berg. c.e., Korb U.-G.: Mathe matik für \'\'irtsch aftsw issc nschaftler I, Analysis. 3. Auflage. \'('iesbade n: Gabler 19H5. Berg , c.e" Korb U.-G. : Mathematik für Wirt sch aftswisse nsch a ftler 11 , Line are hru und Linea re Pro grammie ru ng. 3. Auflage . \,('ic shaden : Gabler 1993.

Al ge~

Beurel spa cher, A.: Lineare Algebru - Eine Einführung in die Wisse nsch aft der Vektoren , Abhüdungen und Matrize n . 6. Auflag e . Wiesbad e n : Vteweg 2003. Hliefern ich, M. , Gryck, .\1., Pfeifer , .\1., Wagner, C .~J.: Aufga be n zur Matrize nrechnung und Li nearen O pt imie rung - Mit a usführliche n Lösungswegen . 2. Auflage . 'x' ürzb urg, 'x'te n: Phystci 1995. Höhm, V.: Mathe mati sche Grundlagen für Bcrlin : Spr inger 2007.

\X'irt .~ dlaft s \\' i.~se n sc h a ft l er.

1. Auflage.

Bosch, K.: Finan zuuu hemank . 7. Auflage , Mü nchen : Oklenbourg 2007. 8reitung, K.W., Filip , P., Hass, 0 .: Einführung in die Mathematik für Öko nom e n. 3. Auflage . Münche n : Old enbourg 200!. Br onstetn, I. N., Se men d jajew , K.A., Mu siol, G., Mu ehlig, 11.: Tasche n buch der Mathematik. 7. Auflage. Fra nkfurt arn Main : Ha r rt De utsch 200K

Cle r mon t, S., j ochems , 8., Kamps, U.: \X'it1s<:haftsma lhe ma lik Lösung en. 3. Auflage . München , \Xlie n: Oldenbourg 2001.

~

Aufgaben und

Ch ta n g, A,C., Wa lnwright, K.: Fundameta l Methodx of Mathe mutical Bco nomtcs . 4. Auflu ge . New York: ;\k G r..lw-lIill 200S. Oobbener, R.: Analysis - Studien buch für Ökonomen. 4. Auflage . Mün chen , wtcn: O ld enbo u rg 2007.

Dö rsam, P.: Mathe ma tik - unschanlieh dargestellt - für Studiere nde der W'in sch aüswtsscnscbaften. H. Auflage . Heidenau: PD-Ve rlag 200K Dö rsam, P.: Mathe matik in den \X'irtsch aftswi ssenscha ftcn - Aufge bensammlu ng mit Lösungen - Über 170 g rund legen de Klausura ufgaben m it a usführliche n Lösungsvorschlägen . 9. Auflag e. l leid e nau: I'D~ Vc rla g 20llH.

Literaturverzeichnis

466

Hackbusch. W, Sc h warz, H.R., Zeidlcr, E.: Te ubner-Taschenbuch de r Mathe matik. 2. Auflage. Wiesh:u.len : Teubner 200}. Hackt, P., xatze n betsser, W.: Mathematik für Sozial- und W'inschaftswhsenschaften . 9 . Aufl age . München, , ( 'jen : Oldenbourg 20(jO.

Jäger, A., w äscher, G.: Mathematische Pro pädeutik für Wirtschaftsw issenscha ftler Lin eare Algeb ra u nd Li neare Pro grammi eru ng. 1. Auflage . M ün ch en, 'x'ien: O ld e nho u rg 1998. Kali, P .: Analysis für Ökonomen . Stuttgart: Teubner 19H2.

K öhler, 11.: Line are Algebra . 2. Auflage. München , \X'jen : Hanxer 199H. Luderer, B., No tla u. V., Ve tters, K.: Mathematische Fo rmeln für ''('irtscbaftswissen schaftle r. 6 . Auflage . \'f iesh;HJen: Teuhner 200K Luderer, B., w ürker, U.: Einstieg in die wlrtschaftsmatbcmauk. 7. Auflage . , f iesbad e n: v teweg-Teubncr 2008 . Luderer, B.: Klau su rtraining Math ematik für W'irt.'ichaft.'iwi.'i.'ien.'ichaftler. 3. Aufla ge. \X'iesba d e n: Vieweg -Teubner ZOOR No llau , V.: Mathemat ik für \X'irtsl·h
O hse, D.: Elemen tare Algebra u nd Funktionen Ein Hochschulstudium. Z. Auflage. Münche n: Vahlen ZOOO .

Brücke nk urs

zum

Ohs e , D.: Mathe nuuik für \'firtsch aft.'i w isse nscha ftle r I: Analys is. 6. Auflage. München : Vahle n 200 ·1. O hse, D.: Mathematik fü r \\'irb ch aft.'i w i.'i.'ie n.'i cba ftle r 11 : Li neare \"\'irt.'ic haft.'ialge h ra . 5. Auflage. München: vahlcn 2005. Partoll, H ., Wagner, ] .: Mathe Macchkn o Analysis . Cartoon-Mathematikkurs für Schüler und Studenten. M ünchen : Pearso n ZOO). Purkert, W.: Brücke n k urs Mathe matik fü r Wirtschaftswissenschaftler. 6 . Auflage. Te ubne r: \'fie sh ad e n 200ft Renger, K.: Finan zmathe matik m it Excel - Grundlagen, Beispiele, Lösungen. 2. Auflage . Wies baden : Ga bler 2006. Sc häfe r , W., Geor g i, K. , Trippier, G .: Mathem.utk-v o rkurs - Üb ungs- u nd Arbeitsbuch für Studienunfänger. 6 . Aufl uge . Wiesbaden: Vicweg-Te ubner Z006. Sc hwa ne, ] .: Aufgabensammlung zur Mathematik für Wirt.'il·h afts wis.'ie nscha ftler. 6. Auflag e . He rne , Berlin : Neue \'('irtschaft s-Brie fe Z007. Sc h w a ne, J.: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler - Eleme n tare Grundlagen für Studienanfänger. 7. Auflage . Herne, ßcrlin : Neue Wirtschafts-Briefe 2003 . Sc h wane, ] .: Mathe matik für Wirtschaftsw issenschaftler, Ban d 1: Grundlagen. 12. Auflage. He rne , Be rlin: rce ue 'x'trtschafts-Brtefe 200'l. schwa rze, ] .: Mathematik für \X'irtschaft.'iwissenschaftler, Hand Z: Differenztal- u nd In te gralre ch nu ng. 12. Auflage . l le rne , Be rlin. Neue \X'irtsch:lfts-Briefc 200'). Sc h w arze, J.: Mat hemat ik für W'i rt sc h a ft s\\" i sse n.~c ll a ft l e r, Band 3: Lineare Algehra, Lineare Opt imie ru ng und G raphen theorie. 12, Auflage. l lc m c , Berlin : Neue Wirtschafts-Briefe 2004.

Lil eratu rver ze ich nis

467

Ttetze, ] .: Einführung in die ungewandte \\;'irtscha ftslllathe matik, 14. Auflage. \,('iesb:tde n; Vieweg-Te ubner 200H.

Hetze, J .: Einführung in die Hnan zmath er natik - Klassische Verfahren und neuere Entwicklungen . 9. Auflage. \\;'ie.~b;l d e n : Vieweg- Teubner 200H. Tietze, ].: Üb ungsb uch zur angcwa ndtcn Wirtschaftsmathemat ik - Aufgabe n. Testklausuren und Lösungen. 7. Auflage . Wiesb ade n: vtcwcg-Teubncr 200H. Ziehten, R.E.: Fina nzmat he matik. 3. Auflage. München , Wi...n: Oldenbo urg 2007.

Stichwortverzeichnis Abb ildung....... - , eindeutige -, ernein de utige

-, mehrdeutige AbMngigkdt.lim·;w.:"

. IOS IOS

10 5 10 5 3 12, 337, ;H O, 354,

35) Able itung 173. 179, IRl, 184, 165 -, part ielle 240 , 24 1, 2,13, 250 -, höh ere 173. l ·H Abschreibung 93 -, arithmetisch degress ive 911 -, dcgrcssin: 9,j -, geomctrtsch dcgn.'ssin 9,j -, lineare 95 Ahschreibungspla n .. . 9·j Ahsolutbct rag.. ... . 56 AbszisSl· .............. . IOH Abzinsung . 70 Abzinsungsfak t{)r..... . 7-. Adjunktl: ............. . Yi l .5=>6 Anfangstilgu ng .. . 91 Ann uitä t . B9 Aq ui\'alenz . 6 Äq u tvale n zumfo rtn u ng.. .2 /1, 301. ·n Arith me tik.......... ...... 1'5 Asso ziati\'ge sc tz 13. 16. JOH, 510, 526, 5jO Asymptote . 12.2 . 125, 141 Aufztnsungsfak tor .. . 74 Ausdnn-k, unbestimm ter 21 1 Aussage

- , ernfache - , zusauunengescrzre

,\ uss;lgc nlogik Aus zahlung Barwert Ikl~i ~ _ Ikl~i ~l ii~un g Ikl~i~pe fiod c

Ih~i s!a u sc h

.3 .3 5 70 70 ~H . 51·i 567,569 20 ::; 569

Ik d ingung - , hin reichende 6, 1H2, llH , 252, 2=)6 - , Xichtncgativ itäts2=>::; - , notwe ndige 6, 1HI , IH-i, 2=>0, 2=)6

Be rei ch , zulässiger 3M Besrh rün krhe u 116, J.l7 . 148 Betrie bsminimu m IH7, 192 Betrie bso ptimu m IHH. 192 Bino mialkoeffizie nt 51 binomische Formeln 18 binomische r Lehrsatz 52 Break -Evvn-Poin t 160 cetcrls-parlbus-ßedingung 252 Cournol-I'unkl .............. . 195 De 1'. lorg;ms Gese tz .. B. 1·\ Deckungsbl'itr:tg 162 Deflnulonsbcreich .2·1 , IO=>, 106, 139, H =>, 147, 22H Dvtc munate , ,... . 3-l9 -. lI esse \ d le........... . 2"i2 Diffcrcnzenquonenr.c., . IM Difkn:nzial.. ,.... . 175 . l- i4 -. pa rtielles .............. . 2·15 -. tOlales .................. . 2·i5 Differenzialgleichung . 2 \)') - , gew öhnliche . 2 \)') - , lineare . 2 \)') - , partielle . 2 \)') - , sepurable.i.., . 2\)6 Differenztaloperator . 26') Differcnzmlquonem.... . 164.259 - , pa n k'lIer. ............. ...... 239 ... 163.259 Differcnzmln-chnung, Differcnzserbarkcir . 166 Differenzieren 16'). 240 Dimension 250 . 30'}, ;H9. 3-59 Disjunktion 5 Diskontfaktor 75 Divkoruierung 70 ·j9 Diskruninanre Distributivgesetz U , 14. 16, 310, 326. _BO Dnppclvnrnmc 2H Dn-icckxungh-ichung 37 Durchschntnserlös IH9 Durchsc-hnlnskoxren IHG dvka de-ches Produkt 5j2 Ebene 250, 251 , 2}1, 255

470

Slichw ortverzeic hnis

Ecke, zulüssige .

.

Effekt ivz ins Einzahlung

-,

untcrj~i hrige

Elasril.iliit - , Einkommens-

- , Kreuzpreis - , Preis-

.

- , Pu nk t-

56 '! 72, 90 70 73 . 19H 203. 247 202 , 247 199 . 247 . 19H

2-17

- , part ielle Endwert .

..... 70

Engpussknrertum.

,n

.n

370 254 H.351

Entschchlungsraum Entwirklungss.uz von LarhLn .'........ Erweitern Exponent

Extrcma - , absolute - , glohall.' - , relat ive Fakuhüts zc k-lu-n Fi x kl )s t c n deg~~s ion

,n

,.." 20 .

147, 14H, lHl , 156, . . .

3R

150 11<; IHj 11·1 j I

1%

Fo lge . 63 -, anthmensche 6·i -, dive rgentev.. . 6·i -, e nd liche . 63 -, gewnetrbche 6 <; - , konvergente. . 64 - , unendliche . 63 Fundamentalsatz d e r Alge bra . . 130 Fu nktio n . 106 - , nbscbr urtswetse definierte 112 - , Absolut. 1-1') - , ulgc braischc ., .. 141 - , Angebo ts-...... ...... l<;j. 192, 227 - , unsere .. 109 - , Cobb-Douglas247 - , degressive Kosten- .... . .. I <;H - , Oir hlc -.... ....... .. 2B9 - , diskret e . 110 - einer Var iable n . 10<;, 107 - , eindeutige . 11 J - , eineindeutige . 11 J - , c1clllentarc ................... . 129 - , Erlü.'1<;<;, I R9 -, enragsgeserzhrhe Koste n1<;9 . 1H7 . 194. 19-;, 197 -, Expom- nztal12j, 14-;, 167, 172 -, g;mz rationale 130

- . gebrochen rationale 12,1, 127 . UH - . Gewinn 159, 190. 2116 - . Grenz . 111'; -. GrenzerlösIH9, 191.201 , 2H':; -. Cn-nzgewtnn19(), 2H6 -. Crenzkostcn - . . IH.:;. 191, 2H':; -. Grenzurnxux-. . lH9 -. inn ere 109 -. Ko sten- .. . 156, IH5. 227 . 2H':; -. l.ag rangc- . .. 2<;6 -. line;\fI.'..... . 131 . 22B. 2j1 -. line;\fI.' Ko ste n- . .1':;7, 193. 19':;. 196 -. Iog'lrilhm k' rte... . . 171 -. J.o gar ithmus- ..... .123. 147. 167. 173 . 150 - . .vl:1x imum- ......... - mehrerer vanablcn 127 - •.Min fr num-.., . 150 - . i';arhfrJgc-.. . 1.:;3. 227 - . Nutzen135 - . ökonomisc-he 153 - . Potenz122. 167 -' , Produktions 135, 1-i8 - . progrexvive Ko ste n157 -' , quadratische 133, 252 - . Stamm160 - . ste tige . ... 110 - . Srückdeckungsbeümgs... 162 - . transzen dente ... 14<; t'mkchr...... 111, 14':;' 147, 1':;3 . 170 - . l ' ms'I1l- . ...155, IR9, ZOI, ZH':; - . VerteilungsZ')O - . Vorzeichen 15Z - . wabochcmltchkens- . ... ZH9 -. \'('\1,'d-............................... ...... 145 - . Zid2.:;4. 36 1 - . zusamme ngesetzte 109. 27 1 Funktionsgleichung - . explizite ....... .. 107 . 229 - . implizite 107 . 229 Punknonsgrapb .. .. IOB. 2jO Gaug'scher L ösun gsalg or ithmus j -12 Gqwnwanswcr1 . .. 70 Gerade 131 Gewic-htungsfuktur . jl O Gcwinnmaxuuum 191 Gewinnschwelle 160 Gleichung... . 24 - . biq uadratische "iO - . linea re 24 -c

47 1

Slichwortve rzeichni s

-, -, -, -,

-,

..............)

Logartrh mus-. Produktq uadra nsrhc . Q uo tie nte n-

.

.

.

-

lnt egrattonsk on vtante

.49

Imegr ano nsva nabhInve rse Inve stitio n ....... Isolin ie kano nisc he Hasis kano nisc he Zl'rlegung xa paznätsgre nze . Kapilaht(wk ..... Ko d fi zi<:nt ....... Konimutanvgc se rz 13, Komplementärgur Komplcmentgexetz Kom pon e nte Konjunkt ion konkav .

.......5--1

- , Ve ktor-

.

.... .3~5

- , wurzcl-

.

.......51

G lcichungssystem

- , besnnuntes .... .3~7 - , homogenes .... .3~ei -, inho mog e ne s . ....Bei -, kanonis che s . ..3ei7 -, lineares ....B 5 ..,3ei7 -, lk Slfiktio ns- ... -, überbesrlrumtcs . ....B 7 -, unterbestimmtes . ....B 7 ..... 19 1 Grenxdc ckungsbcitrng . Gre m.c rtr.tg , particlh-r .. .....24H Grenzkosten .. .....IHei Gren zp rodukrlvnät, parnclh.....24H Grenzrare der Substitutio n .....24H Gre m.stlkhh:r ku ngshci tr.tg ..... 19 1 Gren zsutckgew in n ..... 19 1 Gren zsrück kos te n ..... IH5 Grenzwert ....... 119. 164, 23H - , linksse itiger. .. ..... 120 ..... 120 - , re chtsse itiger ..... 120

- , uneigenthcher

Gfl' n /.wcrtsii tze Grun din tegrale.. 1lauptdiag tmule 1lauptnenner

.

.......... ..123 . 267 .......... ..32 1

.

......... .....22

1lo m er-Sc he ma

.

.......... .. I~H

Hypere bene klc nntätsgc sc tz , lruplikatlon , Inde mp o te nzge se tz lndüfc re n zkurvc ., Intt'W<11 -, bcstlrnrmes ..,

.

-, unbesrlnuntes . -, uncigc ntlichcs

rntegraucn-grenze.

:)·1

......... ... 2 ~ei

.

275 266 266

. 354,356, 360 2HH

. . .

2}) ~ 16 ~ 16

.

1-),

v..

160 .. , , 2HH .. , 130 .308. 326 . .329. 360 .. , , 202 .. , 13 305 4 .. 117 ..

Konkurren z

-, un vollständige -, vollst:i nd igl' .

.......... . 155, IH9, 195 .......... . 155, IH9, 191

Konsu mn-n tcnrcm e

.......... ................ 2H6

kon ve x K( sord inant cnsvsrem - , dretdnnenstonules

117 . 2.30

- , kartesisches

Kosten - , Durch sehnins- , Fixe - , Itxe Stüc k- , Stück- .. - , variable .. - , variable Stüc k. kritische r Punkt

lOH

........ ............. ..... 156 ..... 15ei, 160 ............. .............. 156 ............. .............. 156 . 156 . 156 . 250

, , , ,

.........,...,13 ........., 5 ........., ,13

Krü mmung 117, 17.3, 1HO, 1H2, 237 , 244, 252 Kur....c ndtsk usston ... ..... 17H

............235

Lagrangc -Mcthode.

,

.........,..27 ::; ....266

.

....2H2

Kürzen

"..,

Lauran gc -Mulnplikato r ,

I ntc g mlex pune nziellc ....292 ....292 Integ rallogarithmus . Integ ralrech nun g. Ha u p tsatz eh-r ....276 Integ ran d . ....266 Integr atio n . ......... 26 '5 - durch Subst itutio n ... 271,2R! - , num e risc he .... ..... 292 - , partielle ... 269,2R!

Laufzvitz.ins xntz Linearfaktor Lin c arkumbination

- , kon vcx e . - , pO.'iitivc ... Logarüh mus .... - , de kadische r

-, nat ürl iche r Lüc ke .\Iiir htigkci t .. .\l:Irktg[e ichge \\·icht

20 ..

256

2% , 257 72 .. 310 .. 310,335, 33H, 340 . 310 .. 310 .. ·15 ·15 45 .. 12R ...... 9 .. 15,1

Slichwo rtverzeichni s

472

xr.ue nafve rflech tu ng xr.urtx ..; ..,

............ 328 . 3 19 ............ 3";6 - , adjungierte ., , . - , Diugon ul- . ..... 31 1 - , Drenx-ks........ 322 ,3";3 - , Einhefts . . 321 ,331 - , erweiterte ..... 3";0 - , Koe ffizienten ..... 336 - , negative . ..... 314 - , i\ull- , .. .... 32 1, 326, 33 1 - , pos itin.· , .. ,.. 32·1 - , quadra te-ehe . ,.. 320 - , reguläre .. ,.. 333 - , sr hid sym lllc trische . ,.. 32,j - , scmincg ative . ,.. 32·1 - , sl·mipos itin.· ..... 32-1 - , singulä re . ..... 3:B - , symmetrtsche ..... 323 - , transpon ierte ..... 322 .\ I:.lt ri zengl d <-hu ng ..... 3'59 Matrizc ncsperut in ne n ..... 32-1 .\ I;lxim it:> n lngsp ro h lc m . .... 36 2.366

,

.

xraxnuum

-, absolutes .. -, globales -, relatives .... .\ lenge ...

-, -, -, -,

DifferenzDurchsehrunse nd lich Gle u-hgewrchts-

..... 115 ................ IR3. 237 .... 1I4 . IRI , 236, 252 ......... 9 . .......... .... 11 . .......... .... 11 . ................ 'J . . 153

- , Komp lementär-

.

.............. 13

- , leere - , S:iltigungs- ""

.

.............. 10 .... ... 153 ......... 11

- , Teil .. - , urwndllcbc .. - , Universal- ..

........... 9 llJ

11 12

- , Vereinigungs- .

- , disjunktc

..

~k ngt~ n aI W.·hr:1

.

....... 15

~k ngt~n gldl' hht:i l

. .

...... . 10 ......... 9 ....... I J ..... 36:;

~k ngt~ n k llft'

. ~ I inimi l ' runt:sp m b k m ~k ngt~n (}rC rJl i(}n (;' n

~ Ii n i fllllrn

-, nbsolutes, -, g lohales.... . -, relat ives.... . Nac-hdrffere nz u-ren

.

11'i

uu. 237

114 , IRI , 137 , 2";2 . 169

Nebenbedingung Neben diagonale I\"egation

25,1, 258 , 361 311 . 4 xcwron- vcrtahrcu . . 176 X omjnulzms 71, 90 xutlstcllc ... 113, 130, 131, 134. 139, 146, 147, 160. 176, 178 , 136 . 17H Optnnahtätskritenum , , 369 Optmuerung. lineare , 361 Ordinate ,......... lOH Orclnungsrclutionen ...... 306. 324 Onhogon:lhtlit .. 316 Pa rabe l ..,......... 133 -, ge stauchte ......... 133 -, gc strcl·ktc .......... 133 - . I\"omlal· . . 133 p arJ bo lischl'r Punk t , , 2:; I Pivoteleme nt , 3·16 ,

Piv otlxicrun g

Pivotschrin.. Pivotsp alte Pivo tzt'ile Po lstd lt:> Polynom Polynomdivision Pot e nz Prei s - , Clt.'ichgl'wichts- , Mmdcst-. - , Prolubtr! v- ..

,

.

H6 yio 127. U9 130 136 38, 4 1, 42 ... 153 ............... ....... .. .. 154 .. 154

Prc isun rergren ze - , kurzfristige . .. - , langfns rtge .. .. produkrz k-hcni.. .. Produze nt e nre nte Pun ktsre ig ungsfo r rn Rudlkam ,........... .. Rang , .3.H, - . Spalt n· .. - . Zeilen. Rate - . nachschüsxige ... - . u nte rjährig e - . \'ofsdlüss ig... Rate nkreditverträg Re clueck sa pprox hnauon Re gl' l - . Ableit un gs- . Abs olutberrags-.

H6 3-16. 369

187 . 192 18H, 192 30 287 132

·1 2 341 . 3-1:;, 3'i5 ~33

H3 ................ 79 ................ 87 .. 78 ................ 72 ... 292 ....... 167 ..... 36

473

Slich wort verzeichni s - , cmmer'sche

.

- , tnrcg rano ns- . - , x ctren- , Konstanten-

.

3';H

26H 169. 271 167 - , Konstanrer- Pakro r268 , 280 - , Logaruhmus-. . .4'5 - , I'ote nz- ...... . ,39 - , I'rod ukt- .... .... ,30, 168 - , Quot ient en .....169 - , Sununcn-c. .......27 , 30, 168, 26R, 2RO \'00 l' ll osp ir;IJ........... . 21 1 - \"00 Sarrus 350 , 353 - , vorzen-lwn 17, 21 - , W'u rzel - ..... .. 43 Iki he .................. .. 66 - , anthmcnsche 66 - , geollletrisl,.'lw 67 - , unendliche gcometrtsche . . 68 Re latio n . 106 Re nte - , \'wigc . B3 - , na chschüss tge BI . B7 - , unterjä hrige .. - , vorschüsslge . . B3 Re stb uch we rt 93 Re striktion . . 2;·1 ne stsch uld . . B9 Rc sub srtrunon

.

169

Rotartonsp ambolotd 2,32 Sattelpunkt IRl , l R2, 251, 252 Schei tel . 1,33 Sehe freiform . 1,3-1 Schw el le des Enr,lgsgest't/.es IR7 Sekante , 16·1 Simpkx\'Cn:lhrcn ................. ... .366 , .369 Skalar , 3 0 '; skalare Multtplikarlon , 3 07 skalares Vielfaches , 3 07 SkLlarprodukt....................... ,3 16, .B 2 Sprungstelle 127 Srandardnormulvcrtcilung 290 Stcigung .... l l S, 13 1, 1.'02 , H6, 1'17, IM , 16;' 17.3, 179, lRI , 237, 211 Stet igkeit 116, 130, 139, 2.38 Strahl . .309 Stückgewinn 16 1 Stückkosten 186 - , I"ari;lb le 186 Subst itution 169

Substitunonsgur Sununurtonsunfung Sunununonsemle Summurionsghed. Sunununonsindex Summenzetchcn.. Syrrmu-mc....

. . . .

. .

- , Punkt-

202 26 26 26 26 26 20') I1 R I1 R

- , Sp iegelTableau Tangemc .......... Tenn Tilgung -, Ab z;.l hlungs- ......

.346. .369 16<'1. IRI .. 23 89 .. 89 -, Annuitätcn- . .89, 90 T ilgungspbn 89 Transinv nät., . B Transponierte .... 321.326, .331 , .Bi , .3';4, .3'57 Trapezap proximation 293 Umkehropenuinn 265 Unablulngigkeit, lineare ..31.3, 316, .337, .H I , j';5 L:ngleichung .33 Unstetigkeit Unterdeterminante

Variable - , H:ISis- ... - , Entscheidungs- , L\ idubasis- , Schlupf-e. vn rtablensubsuumon Vektor - , Ha si.~- ... -, Differenz - .. -, Einheits- .. -, Ergl.'hnis- .. -, neutraler -, ;.;\111-....... -, Ons-, Spalten- .. -, Summen-, variablen-, Zeile n- .... Vekturopcrat lrmen

Vektorraum Ven n -Diag ramm

127

. . .

,351 107 ,367 2-;4 367 36 1

-.,.,

......................... . r-

......................... . 305 . 3 14 306 315 336 307 307 30R .. 30<;.319

.......................... 306 ............. 336 ..... .30<;. 319

............. 306 ............. 30R .... 10

Veränderliche

- , ubhäng tge - , un abhängige

.. 107 .. 107

474

Slichwo rtverzeichni s

............ zos

v ergleu-hspenode

- , ein fache - , ste tige -, u ntc rj ~i h rigc

.

............ .. 70

....... 77

.

....... 76 ..... 2<)H

exponcnztelles . \X' uchsunnsrarc \'Cl d lS1Ulll ,

-, a nnuahsiert... -, diskrete -. jnhrcs-. Q uart als - .. -. stdigc . \X'ahrhl'iN;l rd .. \X 'ahrhl'it.swl'rt ..

\'\,ide rsp rllch

................ ....... 557, 3·12 ....... 11 2

\,\'in kelhnlbiere nde

Verzinsun g

.

........................ W, 68 ...... ......... ...

-, Kn-is -

10

Zahlen

.

..... 207 WS. lOH ....._ 207 ...._......_ 207 . 20 3 , l OH

....... 4

....... .3

\X'c nd c p u nk l lHl , UH W't;.·n d e slt'l!e . ..... IRi W't;.·rtd wrci r h ......... ..........•. ]0<; , 106, ' ·IS, 147 W\'·r1t..·ta h d k . . lOH, 229

W't;.·rtp apic r, Icsrverzmsllches ...

.4 2

\'\'u rzd .... Zahl -, Eulcr'sche

.

72

-, ganze -, irranonale - , naturliehe - , ratio nale . - , reelle . Zins<.'s.d ns . Zinsfug , . Zinss;m: . Zufallsvariable Zweipunkteform

.

.. 10 ...... ......... ........... .... 10 .... 10 .... 10 .... 10

.... 73

.

.... 70 .... 70 2H9

............................ 152