Einfuhrung in die angewandte Wirtschaftsmathematik: Das praxisnahe Lehrbuch - bewahrt durch seine brillante Darstellung, 15. Auflage

Jürgen Tietze Einführung in die angewandte Wirtschaftsmathematik

Jü rgen Tietze

Einführung in die angewandte Wirtschaftsmathematik Das praxisnahe Lehrbu ch - bewährt durch seine bril lante Darste llung 15., überarbeit ete und erweiterte Aufl age Mit 500 Abbildungen und 1300 Übungsaufgaben STUDIUM

11 VIEWEG + TEUBNER

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deut sche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliograf ie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

Prof. Dr. Jürgen Tietze Fachbereich Wirtschaft swissenschaften Fachhochschule Aachen Eupener Straße 70 52066 Aachen E-Mail: [email protected]

1. Auflage 1988 2., verbesserte Auflage 1990 3., verbesserte Auflage 199\ 4., verbesserteAuflage 1992 5., neu bearbeitete und erweiterte Auflage 1995 6., verbesserte Auflage 1996 7., durchgesehene Auflage 1998 8., durchgesehene Auflage 1999 9., durchgesehene Auflage 2000 10.,verbesserte und aktualisierte Auflage 2002 11., verbesserte Auflage 2003 12., vollständig überarbeitete Auflage 2005 13., verbesserte Auflage 2006 14., aktualisierte Auflage 2008 15., überarbeitete und erweiterte Auflage 2010 Alle Rechte vorbehalten © Vieweg+Teubner Verlag I GVN Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010 l ektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch I Nastassja Vanselow Der Vieweg+Teubner Verlag ist ein Unternehmen von Springer Seience-Business Media. www.viewegteubner.oe Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrecht sgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen, Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen. Handetsnarnen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der w areozetcnen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermannbenutzt werden dürften . Umschlaggestaltung: Künkell opka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbindensehe Verarbeitung: Ten Bnnk., Meppel Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in t he Netherlands ISBN 978-3-8348-0976-6

v " Mathematik = Höhere FaulMit: ständig hone Arbeit auf der Suche nach dem lrichteren Weg "

(Graffito auf einer H örsaalbank )

Vorwort zur 15. Auflage Ein wirtschaftswissens chaftliches Studium ist heu tzutage ohne Mathematik (als Hüf~issenschaft) un denkbar, mathematische Beschreibungs-,Erklärungs- und Optimierungs-Modelle beherrschen großeTeile der ökonomischen Theorie und in zunehmendem Maße auch der ökonomischen Praxis. Mathematik in diesem Zusanunenhang bed eut et einersei ts das Problem, mathematische Ideen zu ver-

stehen, um die dazugehörigen Techniken zu beherrschen und andererseits, diese zunächst abstrakten Techniken zielgericbt et und sinnvoll für ökonomisc he Anwendungen n utzbar zu machen .

Das nun in 15. Auflagevorliegende Buch - als Lehr-, Arbeits- und Übungsbuch vorrangig zumSelbsrstudium konzipiert - versuc ht , beid e Aspekt e zu berü cks ich tigen durch ausführliche Darstellung, plausible BegrOndung und EinObung mathematischer Grundelemente und öko nomisc h relevan ter mathematischer Techni ken a us der Analysis (d.h. der Diff erential· und Int egralrechnung) , der linearen Algebra undder linearen Optimierung sowie ausführliche Demonstration der Anwendbarkeit ma thematisch er Instrumente auf Beschreibung, Erk1ärung, Analyse und Optimierung öko nomisc her Vorgan ge. Situationen und Probleme. Dieses Buch wendet sich daher sowohl an Studi erende der ersten Semester, die das notwendige mat hemat ische E lementarrüstzeug von Grund eutversreten, wieder holen, einüben und öko nomisc h anwende n möchten als auch an fortges chri tten e Studierende oder quan titativ orientiert e Wirtschaftspraktiker, die sich über die Füll e der Anwendungsm öglichkelten mathematischen Instrumen tariums auf ökonomische Sachverhalte informi eren möcht en . J ahr eJange Erfahrungen mit T eilnehmer(inne)n meiner Vorlesungen in Finanz- und Wirtschaftsmathemat ik bzw . Operations Research haben mich darin bestärkt, ein Buch fürden (zunächst) nicht so bewan derten Les er zu schreiben (und niduf ur den ma thematischen Experten) . Wenn daher auch in man chen P.i.llen die mathematischen Beweise nicht streng sind oder fehlen, so habe ich mich doch bemüht, jeden mathematischen Sachverhalt in einer das Verstehen erleichternden Weise zu begründen und plausibel herz uleit en . Die daraus resultierende relativ breite (weil auf Verstandnis abzielende) Darstellung dürfte allen den Leserinnen und Lesern entgegenkonunen, die sich im Selbstst udium die E lemente der Wirtschaftsma thema tik anei gnen wollen. Weiterhin habe ich bewus st auf das eine oder andere Detail tradi tion eller Mathematikdarstellungen verzichtet, so auf die Theori e der Folgen und Reihen, auf die sog. Epsil ont ik oder auf die Theorie der De terminanten, auf Stoffinhalte also, die zwar von prinzipiellem mathematischen Interes se sind, nicht aber im Vordergrund ökonomisc her Anwendungen stehen und daher dem Studienanfänger (und erstrecht d em Praktiker) als unnöt iger t heoretischer Ballast erscheinen können. Die vorliege nde 15. Auflage wurde sorgfältig d urchgesehen, in vielen Details verbessert und mit einem wnfangreichen Lösungsanhang für ausgewählte A ufgaben versehen. Das bis zur 4 . Auflage noc h enthaltene Kapitel überFinanzmathematik ist in wesentli ch erweitert er Fonn als eigenständiges Lehrbuch, Ei nführung in die Fmanzmathematik" im gleichen Verlag erschienen , siehe [66 ] im L iteraturverzeichnis. Der Text en thäl t eine Vielzahl ergänzender Beispiele und Übungsaufgabe n, die das Gefühlfürdießeherrschung und die Anwendbarkeit des mathematischen Kemstoffes stärken sollen. Für den wnfangreichen

Vorwort

VI

Aufgabenteil (mit mehrau lJOOAufgabrn inilbc 300 ObungsrriJm) ist im gieichen Vc:rIagein separates Übungsbuch erschienen. das neben säm tlichen A ufgaben dieses Lehrbuchs auch deren L6sunp - mit z.T. ausflihrli chen LosUJ1&5WCgcn - sowie zehn Original-Klausuren mit Losungen enthalt: Tietze.L:

Übungsbuch zur anp'3Ddten Wutsehaftsmathematik - Aufgaben. TestIdausuren und Losungen - 7. A uflage

VleWeg+Teubner.Wiesbaden2009.ISBN

978 -3 -83 48~5 12-6

Z um Gebrauch des Boches : Um die Lesbar keit des Textes zu verbessern, wurde die äußere Fonn strukturiert: Defi nition en, mathcmatischeSätze und

I

wicht ige E rgebnisse

I sind jewcils ei ngerahm t.

Bemerkungen sind in kursiver Schrifttype gehauen.

Belspid e sind mit einem senkrechten Strichbal ken am linken Rand gekennzeichne t. Definitionen (Ikf. ) • Sätze, Bemerkungen (Bem.), Formel n, Beispiele (Bsp.), Aufgaben (Aufg.) undAbbildungen (Abh.) sind in jedon ersts telligen Unterkapitel ohne Rocksicht a uf den T yp fortlaufend durchnummeriert. So folgen etwa in Kap. 6.2nacbeinander Bsp.6.2.1S. Abb. 6.2.16, Ben, 6.2.17. Dcf. 6.2.18 usw. Ein • an einet Aufgabe weist a uf einen erwas erböbten Schwierigkeitsgrad hin. Zahlen in eckigen KIamman. LB. (66 ). beziehen sichauf das Literaturverzeichnisam Schluss des Buches. Die reproduktionsfähige Rohvorlage für den Druck ha t in monatelanger unermüdlicher und sachkundiger Weise H err cand. rer. pol. Norbert Breker gestaltet. H ilfreiche Unterstümmg erhielt ich von H cnn cand. rer. pol. Manfred Havenith (digilak Ikarlxitung du Graphikm) sowie von Harn cand. rer. pol. Roland H ansen (Komktur). Ihnen allen danke ich herzlieb.

Die 3· D-Darstdlungen in Kapitel 3 wurden mit der Grnphiksoftware GRAPH DAT. einer Entwic klung des Institu ts für Geometrie und Prak tis<:beMathematik der RwnI Aachen erst ellt . Für seinedies bezügliehe Unterstützungdanke ich Herrn Prof. Dr. Reinhard Wodicka vielmals. Dieses Buch hätt e nicht entst ehen kö nne n ohne H erma, die mir in vielen kritiscbenSituationcn ihre Kraft zwn Weitermachen lieh. Z um Schlus s gebührt mein Dank dem Vieweg +Teubner Verlag Wiesbad en und hier besonders Fra u Ulrike Schmic kjer-H irzcb ruc h für die jahrelange gute und verstän dnisvolle Zusamm enarbeil. Die H inweise vie ler leserinnen und Lese r auf Fehler und Vcrbcsserungsmöglichkeitcn in den vorhergehenden A uflagen waren für mich und - so hoffe ich - auch für diese Neuauflage sehr wertvoll. Da ich allerdin gs dami t rechne, das s trotz aller Sorgfalt der Fehlcrteufd (brw. die Fthlmeuf tlin) nicht untätig geb lieben sind, danke ich schon je tzt allen l...eserinnen WK.I Lesern für entsprechende Korrekturhinweise oder Verbe:ssen.mgsvorschl1ge, z.B. per E-Mail (tim~ -aachm.tk) . Ich werde jede lbrer Rückme!d un· gen beantworten und in allen Fallen auc h um eine schnelle Antwort bemilht sein.

Aachen. im September 2009

Jiu'gm TlLtU

VII

Inhaltsver zeichnis

Vorwort . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .

V

xv

Symbolverzeichnis

Abkürzungen, Variablennamen, griechisches Alphabet . . . . . . . . XVI 1 Grundlagen und Hilfsmittel .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I

Mengen und Aussage n .. ........... ............ ..... 1.1.1 Mengen begriff 1.1.2 Spezielle Za hlenmengen . 1.1.3 Aussagen und Aussagefo rmen 1.1.4 Verknüpfunge n von Aussagen und Aussageformen

I 1 3 4 R

I.l

1.1.5

1.2

1.1.4.1

Konjunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.4.2

Disjunkt ion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.4.3 Negation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 .4.4 Z usammengesetzte Aussagen . . . . . . . . . . . Folgeru ng (Implikat ion) und Äq uivalenz . . . . . . . . .

1.1.5.1 Folgerung (Implikation) 1.1.5.2 Äquiva lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.6 Relat ionen zwischen Mengen 1.1.6.1 Gleichheit zweier Mengen 1.1.6.2 Teilmengen 1.1 .7 Verknüpfungen (Operationen) mit Mengen 1.1.7.1 Durchschnittsmenge 1.1.7.2 Vereinigungsmenge 1.1.7.3 Restmenge (Differe nzmenge) 1.1.8 Paa rmengen, Produktmengen Arit hmetik im Bereich der ree llen Za hlen . 1.2.1 Gr undregeln (Axiome) und elementare Rechenr egeln

1.2.2

8 9

10 lO 13 13 14 15 15 15 16 16 17 17 20 21

in IR . . . .. . . . . . . . . . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.2.1.1 Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1.2 Elementa re Rechenregeln für reelle Zahl en 1.2.1.3 Betrag einer Zahl . . . . . . . . . 1.2.1.4 Das Summenzeichen 1.2.1.5 Das Produktzeichen 1.2.1.6 Fak ultät und Binomialkoeffizien t Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2.1 Potenzen mit natürlichen Exponenten 1.2.2.2 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten . . . . . . . 1.2.2.3 Potenzen mit rationalen (geb rochenen) Exponenten ; Wurzeln

22 24 29 29 31 32 34 34 36 37

Inhalrsverzeichnis

VIII

1.2.3

1.2.4

1.2.5 1.2.6

2

1.2.2.4 Potenzen mit reellen Exponenten Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3.1 Begriff des Logarithmus 1.2.3.2 Logarithmenb asen 1.2.3.3 Rechenr egeln für Logarithmen 1.2.3.4 Logarithmen zu beliebiger Basis Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4.1 Allgemeines über Gleichungen und deren Lösungen 1.2.4.2 Äquivalenzumfo rmungen 1.2.4.3 Lineare Gleichungen ax + b = cx + d 1.2.4.4 Lineare Gleichungssysteme (LGS ) 1.2.4.5 Quadrat ische Gleichungen ax' + bx + C = 0 1.2.4.6 Gleichungen höheren als zweiten Grades 1.2.4.7 Wurzelgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4.8 Exponentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4.9 Logarithm engleichungen .. 1.2.4.10 ß ruchgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ungleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wo steckt der Fehler ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6.1 Fehler bei Termumformungen 1.2.6.2 Fehler bei der Lösung von Gleichungen . . . . . . . 1.2.6.3 Fehler bei der Lösung von Ungleichungen . . . . .

40 42 42 43 44 46 47 47 50 54 55 59 62 65 66 67 67 69 72 73 74 76

Funktionen einer unabh än gigen Variahlen . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

Begriff und Darstellung von Funktionen 2.1.1 Funktionsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Graphische Darstellung von Funktio nen . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Abschnittsweise definier te Funktionen 2.1.4 Umkehrfunktionen 2.1.5 Implizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.6 Verkettete Funktionen Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Beschränk te Funkt ionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 2.2.2 Monotone Funktionen 2.2.3 Symmet rische Funktionen 2.2.4 NullstelIen von Funktionen Elemen tare Typen von Funktionen 2.3.1 Ga nzrat ionale Funktionen (Polynome ) 2.3.1.1 Grun dbegriffe. Hom er-Schema 2.3.1.2 Konstante und lineare Funktionen 2.3.1.3 Q uadra tische Funkt ionen . . . . . .. 2.:U .4 NullstelIen von Polynomen und Polynomzerlegung 2.3.2 Gebrochen-rationale Funktio nen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77 77 82 87 89 94 95 96 96 97 99 100 100 100 l ül 102 109

2.1

2.2

2.3

111 114

Inhaltsverzeichnis

IX

2.3.3 2.3.4 2.3.5 2.3.6 2.4 2.5

3

121 127 131

Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen.. . . . . . .

153 153

Begriff von Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen . Darstellung einer Funktion mit mehreren unabhängigen Variablen Homogenität von Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen 4.1 4.2 4.3

5

116 118 120

3.1 3.2 3.3 4

Algeb raische Funktionen (Wurzelfunktionen) Exponentialfunktionen . .. .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. Logarithmusfunktionen Trigonom etrische Funktionen (Kreisfunktio nen, Winkelfunktionen) Iterat ive Gleichungslösung und Nullstellenbestimmung (Regula falsi) ................................... Beispiele ökonomischer Funktionen

Der Gr enzwertbegriff . 4.1.1 Grenzwerte von Funktionen für X -t XjI 4.1.2 Grenzwerte von Funktionen für x --+ Xl (bzw. x -t - w ) G renzwerte spezieller Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Grenzwertsätze und ihre Anwendungen . . . . . .

154 163 167 167 168 172 178 181

4.4

Der Stetigkeitsbegriff . .

4.5 4.6 4.7 4.8

Unstetigkeitstypen Stetigkeitsanalyse Stetigkeit öko nomischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Asymptoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

187 189 192 195

Differeutialrechnung für Funktionen mit einer unabhängigeu Varia bleu - Grundlageu und Technik . . . . . . .

199

5.1

5.2

.

Grundlagen der Differen tialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Durchschnittliche Funktionssteigung (Sekantensteigung) und Differenzenquot ient 5.1.3 Steigung und A bleitung einer Funktion (D ifferentialquotient ) 5.1.4 Differenzierbarkeit und Stetigkeit Technik des Differenzierens 5.2.1 Die A bleitung der G rundfunktionen 5.2.1.1 Ableit ung der konstanten Funktion f(x) = C 5.2.1.2 Ableitung der Potenzfunktion f(x) = x" 5.2.1.3 Ableitung der Exponentialfunktion f(x) = e' .. . 5.2.1.4 Ableitung der Logarithmusfunkt ion f(x) = In x . 5.2.2 A bleit ungsregeln 5.2.2.1 Faktorregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IR5

199 199 199 201 205 206 207 207 207 208 209 211 211

x

InhaItsverzeichnis

5.2.2.2

5.2.3

5.3

5.4

6

Summe nregel

212 213

5.2.2.5 Kettenregel Ergänzunge n zur Ab leit ungstechnik .. 5.2.3.1 Ab leitung de r Umke hrfunktion 5.2.3.2 Ableitung allgemeiner Exponential- und

215 218 218

Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

220

5.2.3.3 Logar ithm ische A bleitu ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4 Höh ere Ab leitungen 5.2.5 Z usammen fassung der wichtigsten Diffe re nt iationsregeln G renzwert e bei unbestimmt en Ausdrücke n - Regeln

222 223 225

von de L'Höspital . .

226

Newton-Verfahren zur näheru ngsweisen Ermitt lung von Nullstellen einer Funktion .

233

Anwendungen der Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen 6.1

6.2

6.3

211

5.2.2.3 Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2.4 Quotientenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Z ur ökono mischen Inter pre tation de r e rsten Ab leitung . . . . . . . . 6.1.1 Das Diffe re ntial eine r Fu nkt ion 6.1.2 Die Interpre tation der 1. A bleitung als (ökonomische ) Gre nzfun ktio n 6,1 .2.1 Grenzkoste n 6.1.2.2 Grenzerlös (G ren zumsa tz, G renza usgaben) . . . . 6.1.2.3 G renzproduk tivitä t (G renze rtrag) 6.1.2.4 G renzgewinn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2.5 Marginale Kon sumqu ote ................ 6.1.2.6 Marginale Spa rq uote 6.1.2.7 Grenzrate der Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2.8 Grenzfunktio n und D urchschnittsfunkt ion .... Anw endu ng de r Differe ntialrechnun g auf d ie Unte rsuchung von Funktione n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Mon otonie- und Krümm ungsverhalte n 6.2.2 Extremwe rte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 We ndepunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.4 Kur vendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.5 Ext remwer te bei nichtdiffe re nzie rbare n Fu nktione n . . . . Die A nwe ndung de r Diffe rentialrechnung a uf ök onomische Probleme 6.3.1 Beschreib ung ökonomische r Pro zesse mit Hilfe von Ab leitunge n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1.1 Beschreibu ng des Wachstum sve rhalten s öko no mische r Funktione n 6.3.1.2 Konstru ktion ökono mische r Funktione n mit vorgegebene n Eigen schaften . . . . . . . . . . . . .

237 237 237 240 242 243 244 246 247 247 248 249 252 253 256 260 262 268 270 270 271 274

Inhaltsverzeichnis

6.3.2

6.3.3

6.3.4

7

XI

Analyse 6.3.2.1 6.3.2.2 6.3.2.3 6.3.2.4

und Optimierung ökono mischer Funktionen . . . Fahrstrahlanalyse Diskussio n öko nomischer Funktionen Gewinnmaximierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gewinnmaximier ung bei doppelt-geknickter Preis-Absatz-Funkt ion 6.3.2.5 Optimale Lagerhaltung ......... ... . Die Elastizität ökonomischer Funktionen 6.3.3.1 Änderungen vo n Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3.2 Begriff. Bedeut ung und Berechnung der Elastizität von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3.3 Elastizität ökonomischer Funktionen 6.3.3.4 Graphische Ermittlung der Elastizität Überprüfung ökonomischer Gesetzmäßigkeiten mit Hilfe der Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variableu 7.1

7.2

Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Begriff und Berechnung von partiellen Ableit ungen . . . , 7.1.2 Ökonomische Interpretation partieller Ableitungen . . . . 7.1.3 Partielle Ableit ung höherer Ord nung . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.4 Kennzeichnu ng von Monotonie und Krümmung d urch partielle Ableitungen 7.1.5 Partielles und vollständiges (totales) Differential . . . . . . . 7.1.6 Kettenregel. totale Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.7 Ableit ung impliziter Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Extrema bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen 7.2.1 Relative Extrema ohne Nebenbedingungen 7.2.2 Extremwerte unter Nebenbedingungen .. 7.2.2.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 7.2.2.2 Variablensubstitution .

7.2.2.3 Lagrange-M elhode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.3

Beispiele für die Anwendung der Differentialrechnung auf ökonomische Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen 7.3.1 Partielle Elastizitäten 7.3.1.1 Begriff der part iellen Elastizität . . . . . . . . . . . . .. 7.3.1.2 Die Eulersche Homogenitätsrelation 7.3.1.3 Elastizität homogener Funktionen 7.3.1.4 Faktorentlohnung und Verteilung des Produktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Ökonomische Beispiele für relative Extrema (ohne Nebenbedingungen) . . 7.3.2.1 Optimaler Fakto reinsatz in der Produk tion . . . .

276 277 280 282 289 291 301 301 303 308 3 14 319

325 325 325 330 331 333 335 337 340 344 344 346 346 348

348

352 352 352 353 354 357 362 362

JnhaItsverzeichnls

XII

7.3.2.2

Gewinnmaximierung von Meh rpro dukt unte rnehm ungen

7.3.2.3

7.3.3

Gewinnmaximierung bei räumlicher Preisdifferenzierung 7.3.2.4 Die Methode der kleinsten Quadrate . . . . . . Ökonomische Beispiele für Extrema unter Nebenbedingungen .. 7.3.3.1 Minimalkostenkombination 7.3.3.2 Expansionspfad, f akto rnachfrage- und

366

371 374 377 377

Gesamtkostenfunk tion

383

Nutzenmaximieru ng und Haushaltsoptimum Nutzenmaximale G üternachfrage- und

387

Konsumfu nkt ionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

393

8 Einfü hrung in die In tegralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

401

7.3.3.3 7.3.3.4

8.1

8.2

8.3

8.4 8.5

8.6

Das unbestimmte Integral . . . . . 8.1.1 Sta mmfunktion und unbestimmtes Integral . . . . . . . . 8.1.2 Grundintegrale 8.1.3 Elementare Rechenregeln für das unbestimmte Integral Das bestimmte Integral 8.2.1 Das Flächeninhaltsproblem und der Begriff des bestimmten Integrals 8.2.2 Beispiel zur elementaren Berechnu ng eines bestimmte n Integrals 8.2.3 Elementare Eigenschaften des bestimmten Integrals . . . . Beziehu ngen zwische n bestimmtem und unbestimmtem Integral 8.3.1 Integralfunktion 8.3.2 Der 1. Haup tsatz der Differen tial- und Integralrechnung 8.3.3 Der 2. Haup tsatz der Differen tial- und Integralrechnung 8.3.4 Flächeninhaltsberechnun g Spezielle Integrat ionstechniken 8.4.1 Partielle Integration 8.4.2 Integration durch Substit ution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ö konom ische Anwendu ngen der Integralrechnung 8.5.1 Kosten -, Er lös- und Gew innfunktionen 8.5.2 Die Konsumentenrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.3 Die Produzentenren te . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.4 Kontinuierliche Za hlungsströme .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.5 Kapitalstock und Investitionen eine r Volkswirtschaft 8.5.6 Opti male Nutzungsda uer von Investitionen Elementar e Differentialgleichungen 8.6.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.2 Lösung von Differen tialgleichun gen durch Trennung der Variablen

401 401 404 405 407 407 409 410 41 2 412 413 415 416 418 419 420 422 422 425 426 428 432 433 437 437 438

Inhaltsverzelchnis

8.6.3

XIII Ökonomische Anwen dungen sepa rabler Differentialgleichun gen 8.6.3.1 Exponent ielles Wachstum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.3.2 Funktione n mit vorgegebene r Elastizität . . . . . . 8.6.3.3 Neoklassische s Wachstumsmodell nach Solow . .

9 Einführung in die Lineare Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1

9.2

Mat rizen und Vekto ren 9.1.1 Grundbegriffe der Matrize nrechnung. .. . . . . . . . . . .. . . . 9.1 .2 Spezielle Mat rizen und Vektore n 9.1.3 Opera tionen mit Matrize n 9.1.3.1 Addit ion von Mat rizen 9.1.3.2 Multiplikation eine r Matri x mit einem Ska larfaktor 9.1.3.3 Die skalare Multiplikat ion zweier Vektore n (Skalarprod ukt) 9.1.3.4 Multipl ikat ion von Matrizen . . . . .. 9.1.4 Die inverse Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.5 Ökonomisches Anwendungsbeispiel (Input-O utput-Analyse) Linear e G leichungssysteme (LGS) 9.2.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.2 Lösungsverfahren für lineare Gleichungssyste me Ga ußscher A lgorithmus 9.2.3 Pivotisieren . . .. 9.2.4 Lösbarkeit linearer G leichungssysteme 9.2.5 Berechnu ng der Inversen einer Mat rix . . .. 9.2.6 Ökonomische A nwen dungsbeispiele für lineare Gleichungssysteme 9.2.6.1 Teilebedarfsrechnung. Stücklistenaufl ösung . . . . 9.2.6.2 Innerb etrieb liche Leistun gsverrechnun g

10 Lineare Optimierung (LO) 10.1

Grundlagen und gra phische Lösun gsmethode 10.1.1 Ein Problem der Prod ukt ionsplanung 10.1.2 Grap hische Lösung des Produktionsplanu ngsproblems .. 10.1.3 Ein Diät-Problem 10.1.4 Grap hische Lösung des Diät-Problems . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.5 Sonderfä lle bei graphischer Lösun g 10.1.6 Graphische Lösung von LO-P roblemen Zu sammen fassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Simplexver fahren 10.2.1 Math ematisches Modell des allgemeinen LO-P roblems . 10.2.2 Grundidee des Simplexverfahre ns 10.2.3 Ein führu ng von Schlupfvariablen

44 1 441 441 443 449 449 449 453 454 454

456 458 459 466 468 473 473 475 481 486 491 493 493 495 499 499 499 500 502 503 505

508 510 510 512 512

XIV

Inhaltsverzeichnis 10.2.4 10.2.5 10.2.6 10.2.7

10.3 10.4

10.5

10.6

10.7

Eckpu nkte und Basislösungen . Op tima litätskriter ium Engpassbedingung . Simplexverfahre n im Sta ndard-Max imum-Fall Z usammen fassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.8 Be isp iel zum Simplexve rfahre n (Stand ard -Maximu m-Pro blem) Zweip hasenmethode zur Lösung beliebiger LO-Probleme Sonde rfälle bei LO -Probl emen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.1 Keine zulässige Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.2 Keine endliche optimale Lösung (unbeschränkte Lösung) .. . 10.4.3 Degene rat io n (Enta rtung) 10.4.4 Meh rdeutige o pt imale Lösunge n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.5 Fehlen von Nic htnegati vitätsbedingungen 10.4.6 A blau fdiagram m des Simp lexve rfahren s im a llge me inen Fall Die ökono mische Interpre tation des o ptima len Simple xtablea us 10.5.1 Produktion splan ungsp rob lem 10.5.1.1 Pro ble mfo rmulierung, Einführung vo n E inhe iten . 10.5.1.2 Optima ltab le au und o ptimale Basislösung . 10.5.1.3 Deutung der Zi elfunktio nskoe ffizien ten 10.5.1.4 Deut ung der inneren Koeffizienten . . . . . . . . . . . 10.5.1.5 Z usa mme nfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.2 Diät pro ble m . . . Du alität 10.6.1 Das d uale L04Probie m . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 10.6.2 Du a litätssätze ............ ......... ... . Ö ko nomi sch e Inte rpretatio n des D ualprobl ems 10.7.1 Du a l e ines Produktionsplan ungspro blem s 10.7.2 Du a l e ines Diätp rob lems

513 515 516

518 519

521 528 528 529 529

531 533 534 535 535 535 537 537 538 540 541 542 542

545 548 548 550

11 Lösungshinweise zu au sgewählten Aufgaben . . . .

553

12 Literaturverzeichnis . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

585

13 Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

589

xv Symbc lverzelch n is (auf den angtgtlHnm Sritm [Uldm sidl nahm Erlduldtmgrn :u dm

e (ll) {>. M I···}

in (kein) Ekmcnl von, I Mengenklammer. 2f

N. Z. O. R

spezielle Zahleruncngcn.3 leere Mcn~ 2

C

I. \l

[LbJ; [a.b ] [a,b [; )LbJ < ; > ;

w. ,

s

•

A(.}. A(x,' ....) T(. ). T(x,' ....)

DA' Dei 1., LA' ~

,= ; =

-

•

"

I\ ,V ,-. ~.

~

~

C

n.u

\ A x B x ...

R'

1. 1

r.n nl

( ~)

·Vi". , an, ex

Inteoaue. a

,-,

'(g(. ))

'I . fI stn. ccs tau, rot

•.1."

"-

'"

· 0+

z_

Grenzy.mvmf. 167ff für. z gcgc:D. ueD4lidI

tu,.,

~&C&Q~

rech lSSeitigcr 1'1 ~ .... GreatWen

-.;

Differenzc:nquotient

M

(5ekantcJlSlclgung)

'" ,

~~

• 200

Diffcrentlalquotlcnt 201r 1. Ableitung ,

f'(x).

wah r, falsch. 4

di

Aussageformen. .5

' ''(" ), ~ d )(2

2. Ableitung, 223f

Terme, .5

" .'( ) , "f

n- te Ableitun g, 2Z3f

DeIinilionsmcngc. 6,47 Lösungsmenge. 6ff.48f ddini l ion.~t.-e:rnaß gleich. 3 identisch gleich ungrlähr gleich ent spricht und. oder. nicht. 8ff ~olgerung, l3f AquivaJcnz. 14f li t Teilmenge von. 15f Durchschni tt.Vereinigung. 16f Mcngcndiffercnz, 17f Produktmengc. 20f n-dimensionajer Rawn, 2 1 abso luter Betrag, 29 Summe. Produkt. 29ff Fakultät, 32

df

Differential, 237ft

t"

x-Elastjzn ät von r, 303ff

Binomialkoeffizient, 32f Potenz, 34ff

~

x _ f(x)

lim f(x)

S)m bolm )

kleiner. kleiner Oller gleich größer; großer oder gleich

a ii Wurzel, 37ff 11lg.. X, Inx, Igx Logarithmus, 42ff unendlich, 4,43,167ff f.f(.~ f(x,y...) Funktionen. 77ff.l5 3ff

Oe. Wf

.-.' --lI.

j~d/jgm

Deflranons-, Wertebereich, 78 Zuordnungsvorschrift. 77ft Umkehrfunknon, 89ff verkettete Funktion. 95f.215 f sleigt bzw. fällt, 97f,6· 18( trigonomet ri.~he Funkrioneu, 12 lff Vektor, 154,451f uneigentliche Terme, IBO.226ft

,

x 'dxll

Diffcrcntlalopcrator.jäl!

äi . r,

Länge der (gmduf'tm) Strecke von A nach B. 3141 I. partieJle Ableitung. 327ft

äi

partieller Differential· operator, 327

IAB I

ar

,

.', ax

1 ' ('"

2. partielle Ableitung. 33 1f partielles Ditfcrennal, 335f

df. df

f'(·)'"

i~(X)dx

totales Differential, 336 unbestimmtes Integral. 403 bestimmtes Integral, 408

*'

,

y'(t),

A.B•... Am,.

Matrizen. 449ft

F(·) I:

F(b) - F(. ). 415 437

(~. ) 3,k'

bl1 • •..

AT

Matrix-Elemente, 450 transponierte

~ta [rix.

45 1

i . b,...

Spahenvektoren, 45Jf

äT.bT, ••• 0,0

Nullmalrix. x unvestor, 453

Zeilenvektoren. 45U

A-I

Einheitsmatrix, Einheusvektor. 453 inverse Matrix, 466

rg A

Rang der Matrix A. 486

E. "1;

X VI

Abkürz ungen

A bkürzungen

ME

BL BV

Basislösung Basisvariable

CD

Cobb-Douglas

c.p.

DB

cctcns paribus

d.h .

Deckungsbeit rag das heißt

€

p.a.

Euro

s.

siehe

falsch Faktoreinkommen

tausend Euro und vieles andere und vieles andere mehr

Lei stungseinheit

T€ u.v.a u.v.a.m. vgl.

Lineares Gleichungssystem

w WE

f FE

GE LE

Las

Ge ldeinheu

Lineare Opt imierun g LO m.a.W. mit anderen Wor ten

NB NBV NNB

Mengen-Einheit Ncbcnbcdingung

Abkürz ungen für Rerh engesetze:

Nichtbasisvariable Nichtncgativität sbcdingung

D

A I -A5

pro Jahr

Axiome für " +" Distributivgesetz

MI -M5 Axiome für "." Ll - L3 Logarithmengesetze PI - P7 Potenzgesetze Rl - RB Rechenregeln in IR \VI - W5 Wurzelgesetze

ve rgleiche wahr Währungseinhei t

w.z.b.w, was zu beweisen war

ZE

Z eiteinheit

Häu fig verwendete Va ria blenna men a., a(l) Auszahlung d. Periode t A . A (!) Ann uitä t; A rbeit sinput (in t) Bestand; (zulii ssigrr) Bereich B Konsum, Konsumsununc C

Co

K, K,

k" K.

stückvariable Kosten variable Kosten Lösungsmenge. Lagrange-

Erlös, Umsatz, Ausgaben;

A

Einhcit smatrix Ela stizit ät

q

Lagrange-Multiplikator Preis; Zinsfuß Zinsfaktor (:: ] +i) Input; Homogenüätsgrad: (stetiger) Zinssatz; Rang einer Matrix

Kapitalwert Eulerache Zahl

e

c(t)

Cl'

E

,

g

gD G GD

h

i

I. 1(')

k

L

Einzahlung d. Periode t

Fu nktio n; Liq uidat ionserlö s

p

Stückgewinn Stückdeckungsbeitrag Gewinn Deckungsbettrag Slum.lc(n) Zinssatz (::: pIl OO) Investition (im Z('itpunkr t)

r

R R.

S

Stückkosten

K

k, K,

K"

Barwert {eines Kapitals] Zeitwert (tines Kapitals im Zeitpunkt t)

Kosten; Kapital stückfixe Kosten Fixkosten Endwen (eines Kapuals]

Ra te ; Zahlun gsstrom Renten-Endwert

Sparen, Sparsumme

t

Zeit

T U x

Laufzeit

Y Z

Nutzen(inda ) ; Umsatz

Nachfrage; Angebot; Output; Menge Einkommen; Sozialprodukt Zic1funktion

Griechisc hes Alphabet a, A

p, B y, r d, " e, E

(. Z

e

" H ß,

Alpha

Be,"

t, !

" K

A, A

Gamma Delta Epsilon Zc,"

,u, M v, N

E'a

0, 0

Theta

I, ,

.'1",

n

Jota "' PI" Lambda My Ny Xi Om ik ron

Pi

P, P G, r

.,'" " T

v, Y

X, X ~, 'J'

w, R

Rho

Sigma T,u Ypsilon Phi Chi Psi Omega

I

1 Grundlagen nnd Hilfsmittel 1.1

Mengen und Aussagen

Bcgriffsbildungen, v ergehensweisen und Erkenntnisse in einer WISsenschaftsdisziplinlassen sich immer dann präzise und zweifelsfrei darstellen, wenn eine geeignete Fachsprache zur Verfügungsteht, die zwar auf der Umgangssprache basiert, deren Vokabeln und deren Gl'lllIlIIl.IIotik aber vollständig und eindeutig defini ert sind und bei korrekter Anwendung keiner Interpr etationswiUkfu un terliegen. Zu den wichtig-

sten klassischen Grundbausteinen der mathematischen Fachsprache gehören Elemente der Mengenlehre und der Au.~ogik. Wir wollen diese Elemente so weit darstellen, wie wir sie zur bequemen Anwendung der Mathematik auf ökonomische Probleme benötigen. Z iel dabei ist nicht, die Mengenlehr e und Aussageejogik als eigenständige mathematische Disziplinen abzuhandeln, sondern ihre sprachlichen und logischen Begriffsbi ldungen für eine möglichst einfache, dabei aber gleichze itig möglichst präzise und

unmissverständliche Beschreibung und H andhabung mathematischer Methoden bereuzustellen.

1.1.1 Mengenbegriff Von Georg Cantor (1845-1918), dem Begründerder klassischen Mengenlehre, stammt diefolgende (für unsere Zweck e geeignete) Definitioneiner Menge: Der. 1.1.1: Eine Menge ist eine Zllwnmenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens - welche die Elemente der Mengegenannt werden - zu einem Ganzen. Beispiel 1.1.2: Die natürlichen Zahlen von 3 bis 7 bilden eine Menge. Bezeichnen wir diese Menge mit A I , so sagen wir, die Zahl 4 seiein Element von A, die Zahl 9 sei kein Element von A usw.

I

Folgende Symbole für die Elemenrbezlchung haben sich eingebürgert: 4 e A bedeutet: 4 ist ein E lement der Menge A (oder: 4 gehört zu A) . 91$ A bedeutet: 9 ist k ein Element der Menge A (oder: 9 gehart nicht zu A ) Man kann Mengen beschreiben l) ü) ili)

durch Auhählen durch Angabe der sie charakterisierenden Eigenschaft durch graphische Darstellung.

Dabei dürfen Mengen nur derart gebildet werden, dass für irgendein Objekt eindeutig feststeht, ob es zur Menge gehört oder nicht. So kann man etwa die "Menge aller sehr hohen Berge" nicht bilden, da nicht eindeutig feststeht, bei welcher H öhe ein Berg sehr hoch ist oder nicht. Um darüber hinaus logischen Widersprüchen innerhalb der Mengenlehre aus dem Wege gehen zu können, dürfen bestimmte Mengen wie etwa"Menge aller Mengen" nichl gebildet werden. Bemerkung 1.1.3: Die Fut.t3 Logic (Lo gik unscha rfer Mengen) ist in der Lage, auch derartige unscharfe mengenbildende Eigenschaften sinn voll zu veraröeuen, indem sie IJIjmlich nicht nur- wie beider traduio nellen :wei wenigen Lo gik - strikt nur " wahr " oder "f alsch ", nur e oder It zulässt, sondern auch Z...ischenstuJen der Zugehörigkeil. So k önnte man etwa - um beim obigen Beispiel zu bleiben - jeden in Frage k ommenden (mehr oder weniger hoh en) Berg m il seinem Namen und zusa tzlich mu einem (:wisehen 0 und 1 gelegenen) Z ugeM rigk eilsgrad:ur " Menge der sehr hohen Berge " anführen, also etwa:

Mengen werden gewöhnlich mit großenlateinischen Buchstaben bezeichnet.

Grundlagen und H ilfsmitt el

2

{(Mount Evern lll ,oO); (Mont Bland O,95); (Zugsp irze/O,85); (Lo usberg/Q,Ol) usw.} , Fuzzy Logie kann bemerkm swene Erfolge bei der Steuerung ko mplexer Systeme [ur sich verbuchen, sieheetwa [Ba] oder(4J]. i)

Werden die Element e einer Menge an fgezähh, so setzt man a lle vorko mme nde n Elemen te in geschweifte KJammem (Mengenk/ammem ); A'" {3, 4. 5.6, 7} . Dabei iSI die Reihenfolge innerhalb der Mengenklammem unerh eblich . Man hätte auch schreibe n können: A = {3, 7,5, 6, 4} usw. Ha t eine Menge (wie A in BeispielJ .] .2) nur endlich viele Elemente, so heißt sie endliche Menge,

andernfallsunenunehe :\Ienge. Beispiel l. lA: Die Menge IN = {l , 2, 3....} aller natürlichen Zahlen ist eine unendliche Menge. Da nicht alle El ement e aufgezählt werd en kön nen , füh rt man die ersten Element e auf un d deut et du rch Punkte an, da ss ses so weiter gehen soll".

ii) H äufig werd en Mengen dadurch gebild et , dass man die Eigenscha rten od er Me rkmale der E lemente dieser Menge exp lizit angibt. Um etwa d ie Menge A (vgl, Beispiel 1.1.2) mit A = {3, 4 , 5, 6, 7 } zu charakte risieren, sagt man: ist d ie M cnge aller derjenigen nat ürlichen Zahlen x, für die gilt: x ist großer als 2 und gleich zeiti g kleiner als 8." Fü r die se Sprechweise gibt es folgende symbo lische.Schreibweise :

~A

A = {xeIN 12< x<8 )

I

Beispiel 1.1.5: a) Gegeben sei d ie Men ge P mit: P = {xe IN x ist eine ungerade Primza hl ) . P iSI also die Menge aller Primza hlen a ußer der (einzigen) geraden Primzahl 2: P = {3, 5, 7, 11, 13 ,...}. b) Ge geben sei die Menge L mit L = {XE IN x2 = 4} (Gelesen: L ist die Menge aller natürlichen Zahlen x, f ur die x 2 = 4 wahrist). Da von den beiden Lös ungen 2, - 2 der G leichung x2 '" 4 nur die

I

Z ahl 2 a us IN Ist, gilt:

L = {2) . iü ) Z ur gra phischen Verans cha ulichu ng von Mengen benutzt ma n häufig sogenan nte venn-Diegramme,

d.h . bc randctc Punktmengen in der Zeichenebene . Die Menge A wird veran schau licht du rch die Menge a ller im be rande ren Bereic h liegenden Punkte . Will man die Elemente einer Menge exp lizit auffüh ren , kann man sie in den betaöde ten Bereich eintra ge n: B = {I , 7, 5,1 3 }

5

13

A

I

7

----8

Bemerkung 1.1.6.' i) Nach Der 1.1.1 messen die Elemente einer Menge unterscheidbar sein. Daher werden mehrfach auftretende identische Elemente (wie z.B. 2, 6/ J, Y4) als ein Element betrachtet. So ist etwa die Menge B der Buchstaben des Wortes uMlSSISIPP1" gegeben durch B = {M, 1, S. P} . ii) Es ist mögtich (und sinnvoll), eine Menge zu definieren, die kein Elemellt besitzt.

(Beispiele: Die Menge aller natürlichen Z ahlen, die zugleich größer als 100 und kleiner als 90 sind, hat kein Element. Die Menge aller reellen Zahlen x, tar diegilt: x 2 + 4 = 0, hat kein Element. Eine Menge, die kein Element besitzt, heißt leere Menge, symbolisch: { } oder ~ . Man unterscheide dal'On sorgf ältigdie Menge {O}, deren (einziges) Element die Zahl 0 ist, während { } kein Element besim.

1.1

3

Men gen und Aussage n

1.1.2 Spezielle Za hlenmengen Bestimmte Zahlenmengen. die häufig in der Mathemat ik verwendet werden, haben genormt e Symbole I)

IN ,= 2 ( 1, 2, 3, ...}

(Menge der natürlichen Z ahlen)

2)

Z ,=

{... - 2. - I, 0, 1, 2, ...)

(Menge der ganzen Z ahlen) ;

3)

(J) ,=

(x x =

I

~

mit p , qE Z und q

*- O}

Fügt man die sogenannten ..irrat ionalen Zahlen " (wie z.B. ratio nalen Zahlen hinzu, so ergibt sich

(A{enge derrationalen Zahltm)

V2, V1O, n , e, ...)

zu r Menge (J) der

R ,= Menge der reellen Za hlen .

4)

J eder reellen Zahl entspricht ein Punkt auf dem Zahlenst rahl und umgekehrt.

-2

-1

-I

1

1

0

I

1

1

- 0,5

2 11

V2

3

e

, 1---+1- -+-+-1-+ n

Abb . 1.1.7

Die reellen Zah len bedec ken den Zahl enstrahl lückenlos.

Bemerkung 1.1.8: MiJ Z "', f! ~, IR" wollen wir die jeweils posiJiven und mit Z o· , t2o· , IRo'" die jeweils nichm egativen ganzen, rationalen bzw. reellenZ ahlen bezeichnen. Analog bedeutet N o = {O, I , 2, ...} die Menge der um die Z ahl 0 eweuenen natürlichen Z ahlen. O bwohl zwischen je zwei Brüchen (rationalen Z ah len) beliebig viele weitere Brüche Bemerkung 1.1.9: liegen, die rationalen Z ahlen (t2) also gewissermaßen beliebig " dicht~ auf dem Z ahlenstrahl (vgl. Abb. 1.1.7) liegen, $tellte m an bereits vor mehr als 2000 Jahren m it Erstaunen fe$t, dass es daneben beliebig viele weitere Zah len gibt, die nicht als Bruch darstellbar, also " irrational" sind. Als Kostprob e sei der Beweis für die " Irrationalität " von Angenommen,

V2

V2 skizziert:

sei als (vollständig gekürzter) Brnch :

darstellbar (p, q seien som it

~ de na tumc " I' he Za hlen, z.B. P = 249669803 176 543210 ) . tel'Ie'Jrem

q

Weiterhin sei der Nenner q als verschieden von Eins vorausgesetzt, denn andernfalls wäre eine natürliche Z ahl (= p ), was offensichtlich nicht zutriff t. Aus der Annahme,

(. )

V2 = 2

:

VT

sei wahr, folg t durch Quadrieren:

=(;/= : . :

Nun k ann aber dieser Brnch ( . ) unmöglich eine na tarliche Z ah l (= 2) darstellen, denn einer' seas ist er- da p, q teilerfremd sind - nicht wenerkurzborunä andererseits kan n er sich - wegen q 'I: J - nicht auf eine natürliche Z ahl reduzieren. Es ist also unmöglich, dass die Gleichung (.) wahrist. A us diesem Widerspruch folgt zwangsläufig, dass dieAnnahme n

VT=

:

U

falsch sein m uss.

Wenn nich t eindeutig anders vermerkt, werde n wir im fo lgenden d ie Menge IR der reellen Za hlen für säm tliche Rec hnungen zugrundclegen (Grundm ellge ist IR). (Dabei ist zu beachten, da ss bei allen prak tischen Rechnungen, z.B. auf elektronischen Rechenanlagen, jede reelleZa hl durch eine rationale Zahl angensnen wird.)

2 a) Das Symbol " '= ~ bedclllet: . ist defin i tio ns gemäß gleich". b) Manche Autorendefinieren: IN.= {O. 1.2 , 3...}.

4

1

Grundla gen und H ilfsmittel

Spezielle Men gen reeller Zahl en sind die Intervalle, die sich als lückenlose Teilstrecken des Zahlenstrahls darstellen lassen :

Der. 1.1.10:

(Eigendiche Intervalle)

Seien a, b e IR mit a < b. Dann heißen

I

[a , b] ,=: {xe!R a s x :S b} abgeschlossenes Intervall (inclusive derEndpunkte) ;

- ------i[:....--

-

-

---.-,;)1---

-

--

x b [ a. b] ,= {x e IR a < x < b} offenes Intervall (ohne die Endpunkte)

I

a

{xl {xl

----)-- ------1[:....-_~

o

x

b

I

IR I

Die Mengen [a , b [ ,= {xe a :S x < b} und ] a, b] 1= {xe IR a < x s b] heißen halboffene Intervalle (nur j eweils ein Endpunkt gehön zum Intervall) . Mi t naheliegender Symbolik gill für die sog. " uneigentlichen" )ntervalle:

[a, oo(

]- oo, a]

;=

Aufgabe I, 1.11:

{xE fR lx ~ a} {xe lR l x:S a} ;

] a, oo(

,=: {xeR lx >a}

]- oo, a[ ,= {xelR jx
]_ oo, oo[ ,= IR .

GebenSiedie Elemente der folgenden Mengen in aufzählender Fonn an:

(xezi x<3}j E = {VE IN I v + 4 = 3} j

I) A = Die Mengeder BuchstabendesWortes "Ml NIMALNUMME R" j ll) B = iü )

C = {x e N

vi) F = {ze lR

12< x< 3};

I z2 + 36 = 25}j

Iv) vü)

I v) G = {ye lR I y2- y -6 '" O}. D = {ue lR u2 '" 2};

Aufgabe 1.1.12: Zu welcher der Mengen IN, Z. 0 , IR gehören die folgenden Zahl en: 1)

V4 ;

ü) 0,333 ... ;

üi)

I~ j

Iv)

N

j

v) 0;

vi) 0,125 j

vü)

v;+e .

1.1.3 Aussagen und Aussageformen Wir wollen im folgenden einige Grundbegriffeder (zweiwertigen) Aussagenl ogik kennenlemen. Aussagen und ihre logischen Verknüpfungen mit Hilfe einer formalisierten Sprache dienen dazu , exakt e und von wngangssprachlichen Int erpretationsschwierigke lten freie Fonnuiierungen mathematischer Sachverhalte zu ennöglichen. Der. 1.1.13: Unt er einer Aussage A versteht man ein sprachliches Gebi lde (z.B. einen Satz), das entwederwahr (w) oder falsch (f) ist.

BcI!.]Jiell.l.14:

A: 2 ist eine Primzahl (w) j B:V4 = ± 2 (t); C: (- 4)2", 16 [w}; D: -2 >2 (f) .

Bemerkung 1.1.15: Der Wahrheitsgehalt der Aussage "Jede gerade Zahl, die gräßer als 2 ist, lässt sich als Summe zweier Primzahlen schreiben" ist (noch) unbekannt ("Goldba ch'sche Vemrutung "). Wir zweifelll jedoch nicht daran, d ass sie entweder wahr oderfalsch sein muss. Daherwerden auch deranige Sätze als Aussagen betrachtet.

Keine Aussagen dagegen sind: "Gu ten Abend!"; "Nacht s ist es kälter als draußen."j " Wie spät ist es? ";

54321 +165615.

1.1

5

Mengen und Aussagen

Der Salz ~ Die Zahl x ist großer als die Za hl y ~ ist zunächst keine A ussage, weil übe r den Zahlenwert de r beide n vorkommenden Varia blen x und y nichts bek annt ist. Setzen wir z.B. d ie Zahl 4 für x und die Zahl 7 für y. so geh t de r Satz in die (falsche) A ussage ~ 4 ist größer als 7" übe r, be i den Einsetzu ngen 9 und 5 für x und y ergibt sich diewahre Aussage ~ 9 ist größe r als 5" :

Def, 1.1.16: Sätze mit einer oder mehr eren Var iablen heiße n AIL'i..o;ageformen, we nn sie be i spezieller Wahl der Va riablen in eine A ussage übergehen. Beispiel 1.1.17: Folgend e Sätze sind Aussageformen.

G(x):

x+4 = 7

mi t x e IN

ii)

U(a, b, c): A(x, y):

a +b +e 2: 3 x ist ein Teiler von y

m it a,b,ee IR;

iii)

i)

mit x, ye IN 3 .

Folgende Ausd rück e sind kein e A ussageform en. da sie be im E inset ze n der Variab len nicht in A ussagcn überge hen: Beispiell.I.18:

i) x2 + y2 =

A usdrücke wie x , x2 + y2 ,

Del.1.1.19:

VX ,

ii ) x ist größe r 25

iii)

VX '*'

iv)

xZ - 9

ist kleiner

(siehe Bei'·piel l .J. 18) nen nt man Terme:

x2- 9

Als Tenn T bez eichnet ma n jeden mathemati sch en Ausdruck, der

VT· 4 + 7 - 0,3

-

eine def iniert e Zahl da rstellt , z.B.

-

nach E rsetzen der vorkommenden Variablen d urc h Zahlen in eine definie rte Zahl ühergeht, 22 Ir 25 z.B. x +y oder rx oder xL 9 '

oder

D ie Menge D-r der in ein en Tenn sinnvoll einsetzbaren Zahlen nennt man . Defimuonsmenge" des Tenns (so giI1l'fl<,'a [ur den letzten Term: D r = lRmit Ausnahme der Zah len -3 ,. 3). Keine Terme sind sinnlose oder nich t definierte A usdrü cke wie z.B.

~ , ~ , 00 4.

T enn e werden oft mi t dem Buchstaben T be zeichnet, gefolgt von den geklammert en Variablennamen , z.B.

(gelesen: " Tenn T von x gfeich ... ~)

T(x, y) = x2 + yZ

(gelesen: " Tenn T von x und y gleich ... U)

J ede mat hema tisch e Gleichung TI = T 2 (bzw. Ungleichung TI :$ T z) , deren Tenn e eine od er me hrere Variabl e enthalten, ist eine AIL'i..o;agefoml . E rsetzt man die Variablen der Terme dureh E lement e de r zugeh örigen Defin itionsmenge (siehe dienachfolgetuie DeI 1.1.23) , so geht die Glei chung (bzw. Ungleichung) La . in eine (wahre oderfa lsche) Aussage über.

) Aussageformen werden meist mit einem Buchstaben A,G ,U und nachfolgend er geklammerter A ufzählung der Variablennamen gekennzeichnet (siehe Bsp. l. l. l7): G(x ); U(a,b,c); A(x,y) (gelesen: G vo n x; U von a,b,e usw.)

4 Derartige ~ un\x:st immte Ausdrücke" spielen im Zusammenhang mi t Grenzwenbetrachtungen eine wichtige Rolle, siehe Kap.u.j sowie Kap. S.3.

G rundl agen und H ilfsmitt el

6

1. 1.20: Die Gleichu ng G(x): x2-4:: 0 iSI eine Aussageform. Die Gru ndmenge (aus der die Variablenwen e stam m en) sei IR. E rsetz t ma n 2.6 . x durch 7 , so laut et die G leichun g: G(7 ): 72 - 4 = 0 und stell t eine (falsche) Aussage dar. E rsetz t ma n x dur ch 2 oder - 2, so erhä lt

Bl'i~pit>1

man die jeweils wahren Aussagen 22- 4=0(w)

und

(- 2)2_ 4 = 0 (w)

D ie Zahlen 2 und - 2 heißen Lösungen der Gle ichung G(x).

Def. 1.1.21:

Diejenigen Elemente der Grundmenge. die eine Aussageform (Gleichung, Ungleichung)

zu einer wahren A ussage machen, heißen L ösungen der Aussa gcfonn (Gleichung, Ungleichung) . Siewerden zusammengefasst in der Lösungsmenge L derAussageform (Gleichung, Ungleichung). (Wie schon zuvor bem erkt, wollen wir IR als Grundmenge der G leich ungen/ Ungleichungen voraussetun. )

Beispiel 1.1.22 : i) Die Lösungsmenge L de r G leichung G(x): x -(x - 2) = 0 L '" {O; 2}, den n O· (0 - 2) = 0 (w) und 2 ' (2 - 2) = 0 (w). ii) Die Lösungsmenge L de r U ngleichun g laut et L = {x elR x < I} .

I

x - 1 < 0,

x e lR

(x elR)

lautet:

o

1

-- -1--[: --

E s gibt unendlich viele Lösungen der Ungleichung, siehe Abb. [

Gelege ntlich kann es vorkomm en , dass ein E lement aus de r G rundmenge beim Einsetzen einen nicht defin ierten A usdruck erze ugt. Setz t man etwa in A(x):

,

x - I =2 ;

x elR

fü r x die Zah l 1 ein, so entste ht der nicht definierte A usdr uck ~ = 2. Daher ist es erforderlich, die Grundmenge (bier IR) zu reduzi eren auf die sogena nn te Definit ionsme nge: Der; 1.1.23: Die Definitionsmenge DA der A ussageform A (x) ent hält nur diejenigen E lemente der Orundmcngc, bei deren E insetzen A(x) in eine sinnvolle, definierte Aussage übe rgeht .

1m letzten Beispiel gilt: Bei.~piell.1.24:

D ie Lösungsmenge L der Gleichung (x + li = x2 +2x +l, x e lR ist:

L = IR,

denn für jede E insetzung aus der Grundmenge gebt die G leichung in eine wahre A ussage über. Derartige Aussageformen (G leichungen, Ungle ichungen ) beißen allgemein gültig.

Der. 1.1.25: (allgemeingültige Aussageform) E ine Au ssageform A (G leichung, Ungleichung) heißt allgemeingültig, wen n jede Eins etzung (aus der Def initionsmenge DA) zu einer wahren Aussage führt (oder: wenn die Lösungsmenge von A mit de r Dcf initionsmcngc von A überein stim mt).

Beispiel 1.1.26: Jede da folgenden Gleichu ngen! U ngleichungen ist allgemeingültig in IR:

l

i) (x - 2)(X + 2) = X2 - 4 ;

ij) O < 2 ;

iii) - ' - > O z2+5

iv) 2 x > 0 ;

l') e -Y> O.

1.1

,

Mengen und Aussagen

Ist - wie im vorstehenden Beispiel - eine Gleichung T l'" T 2 allgemeingültig, so muss für jed e Einset zung der links vo m Gleichheitszeichen ste hende Term T I denselben Zahlenwert annehme n wic dcr rechts stehende Te rm T 2 (denn T I '" T z ist f ür jede Einsetzung wahrl] : Man nennt dahe r T I und T z äqui\~ent (gkkh wenig) .

Der. 1.1.27:

(Äq uival enz von Tennen)

Zwei Tenn e T I u nd Tz heißen äqutvetent (gleichwertig - geschrieben T t = T 2)' wenn bei jede r Einsetzung von Variab len die beiden T enne T I und T 2 dieselben Zahlenwerte liefern.

Beispiel 1.1,28:

Folgende T enne T I' T z sindjeweils äquivalent. d.h. T I = T z ist wahr: T ,(x) = (x+ 7Xx-2)

I)

T z(x) = x2 + 5x- 14 T I(x. y) = x4 _y"

ii}

= T z(x, y) =

(X2 +y2X XL

y2)

, -b

-, · '

T I(a, b. x) = -b-

iii)

T 2(a, b, x) = - x U.X -

iv)

(a e b) . \·x

T I(u. v, x) = - ,- , x + x

Beispiel 1.1.29:

Die Lösungsmenge L der Gleichung 2x +4 = 2x-6,

x eIR

lau tet:

L = { } .

den n für jede Ei nsetzung geht die Gleichung in eine falsche A ussage über . Derartige Aussagefermen (Gleichungen, Ungleichungen) hei ßen unerfüllbar.

Der. 1.1.30: (unerfüllbare All';~geronn) Einc Au ssageform A (2. B. Gleichung, Ungleichung) heißt unerfünhar (oder: widersprüchlich) , wen n keine Zahl (aus derDef initionsmenge} Lösung von A ist. Die I-ösung.smenge unerfüllbarer Aussageformen ist leer. Beispiel 1.1.31: Fo lgende Gle ichungen bzw. Ung leichungen sind unerfüllbar in IR: i)

2009+ x = x+2

32 = 2 1

il)

x4 < 0

iii) h')

x2

+ 25 = 0

I n Kap. 1.2.4 folgen a usfüh rliche Erläuterungen zur Tec hnik von Gtcichungstösungcn. A us dem Vorangegangenen bleibt zusammenfasse nd festzuh alte n-

8

Grundlagen und H ilfsmittel

Satz 1.1.32: (Lösungen von AU'i.'Wlgefonnen (Gleichungen, Ungleichungen)) Es gibt Aussageformen (Gleichungen, Ungleichungen) , die in IR. i)

lösbar sind, und zwa r

(Beispiel: x - I = 0;

a) mit genau einer Lösung; b) mit mehre ren Lösungen;

L = (l}) L = (- 2; 2}) L = (xe IR 1-7 <x< 7})

c) mit unendl ich vtelen Lö sungen;

(Beispiel: x 2 = 4: (Beispiel: x 2 < 49:

ii )

allgemeingültig sind ;

(Beispiel: x 2 _

iii)

unerftil lbar sind

(Beispiele: r+l=O,. 2 x
(x-J )(x+- J):

] =

L = IR)

Aufgabe 1.1.33: i) In welchen Fällen handelt es sich um AU''iagen. in welchen um Aussagerormen? a)x 2 + 1= 1+ x2 b) A+ B = 1 c) 4 + 1=0 d) O ~ 0 2 + V4- 1 c) x +y= 4 2 1) y=x + 1 g) ~ = 0 h) 2 Ist Lö sung von x>4 i) a 2 + b 2 . ii) Ma n gebe d ie Uisungsmengen fo lgend er Aussagcformen an . Welche A ussagefo rmen sind allgemeingültig, welche unerfüllbar? (Gnmdmenge: IR) a)x 2:: 49 b)p2 2: 0 e) Ox :: 5x d) (y+ l )(y + 2) :: O

e) 0 + h)

x2

X ::

t) 2z + 1 :: 1 + 2z i) u2 < 8 1 .

5 +x

> 36

g) P ist eine gerade Primzahl;

pE

N

Ver kn üpfungen von Aussage n und Aussagefonnen

1.1.4

Verkn üptt man zwei Aussagen (A ussagefonnen) durch UND bzw . OD ER miteinander, so entsteht eine

neue A ussage (Aussagefonn). Ebenso ent steht durch die VER l'\EI NUNG einer Aussage eine neue Aussage. A ls Beispiel betrachten wir die folgenden beidenAussagcn: A: B:

1.1.4.1

Konjunktion

Die konjunktive Aussage

Tanja geht heute mit Andreas ins Th eater. Tanja geht heute mit Benjamin ins Th eater.

EI

(gelesen A und B) bedeutet :

T anja geht heute mit Andrcas ins Th eater und sie gehl heule mit Benjamin ins Th eater.

Der Wahrheitsgehalt dieser zusammengesetzten Aussage A A B hangt von den Wahrhcitswcrten der beteiligten Aussagen A, B ab und ist nach unserem logi schen A lltagsverständnis definiert: A A B ist nur dann wahr, wenn Tanja tatsächlich mit beiden Herren ins Theater geht (d.h. wenn sowohl A , als auch B wahr sind), dagegen ist A A B fa lsch, wenn sie auch nur einen von beiden zu Hause lässt. Wir erhalten somit für die" Ul'\Og-Vcrk nupfung (" Konj unkJion") die wahrheltstatel (1.1.34 )

A

B

w w

w

w

f

f f f

f f

w

f

A AB ("UND"-Verknüpfung)

(Bei zwei [bzw. n 1 Teilaussagen hat die Wahrheitstafel 22 :: 4 [bzw. 2"] Zeilen, um sam/liehe Wahrheuswenk ombinationen zu emhalten (n ::2: ww, wf,fw,ff; '1::3: www,wwf, wf w, wff, fww, fwf, ffw, fffl .

1.1

9

Mengen und Au ssagen 3+7= 1O A8 -4= 4

Beispiel 1.1.35:

V4

I

= 2

A

V4 =-2

(w) (f),

V4 = - 2 falsch ist .

da

ßeispiell.1.36: A(x); x > 3 A X < 7 (xe IR) ist eine konjunktive A ussageform. von der zunächst nicht entschiede n werden kann , ob sie wahr oder falsch ist. Wir nehmen einige Einsetzu ngen vor:

.

,

i)

0 für x: Es entsteht die Au ssage

A(O): 0 > 3 A 0 < 7

(f)

ü)

5 für x: Es entsteht die Aussage

A(5); 5 > 3 A 5 < 7

(w)

iii)

9 für x: Es entste ht die Au ssage

A(9); 9 > 3 A 9 < 7

(f)

Daher ist die Lösungsmenge L von A(x); L = { x e IR

1.1.4.2

B

•

•

•

t

3

13< x < 7} = 13; 7 [ .

7

-lf-----1[l

lxi

-

Di sj u nkti o n

(gelesen A oder B) bede utet: Tanja geht heute mit And reas ins Theater oder sie geht heute

mit Benjamin ins Th eater. Nach unserem logischen Allt agsverstän dni s ist diese A ussage sicher richti g, wenn sie sich für einen von beiden entscheidet und falsch, wenn sie alleine ins Theater geht. Für den Fall, dass sie mit beiden ins Th eater geht, bedarf es einer Vereinbarung, da in unserem Sprachgebrauch das Wort "oder" in zweierlei Bedeutung gebraucht wird: i) ii)

als ausscb hcßeedes "oder" ("rnl weder - oder") als einschließendes "oder" ("und/odrr").

Beispiel zu i):

5 ist eine Primzahl oder 5 ist keine Primzahl. (DerFall, dass 5 sowohl Primzahl als auch keine Primzahl ist, irr ausgeschlossen.}

Beispiel zu ii ] :

(aus einerStellet/a nzeige) . Der s rencntewerber muss Diplom- Kaufma nnoder DiplomVolkswirt sein." (Ein Bewerber besitzt sicherdie geforderten Voraussetzungen, wenn er beide Qualifikationen besim.]

In der Au ssagcnlogik wird das "ode r" ( v) im emschtlcßenden Sinne (siehe ii» definiert, d.h. A v B ist auch dann wahr, wenn belde Teilaussagen wahr sind. Wir erhalten somit für die " ODER «, Verknüpfung (..Dtqunktlon") die Wahrh eilstafel

A (1.1.37)

Beispiel 1.1.38:

w w f f

B w f w f

A vB w w w f

(.,ODER"· Verkn üpfung)

i) A: 3 = 3 v 3 = - 3 ist wahr, da die Teila ussage (3 = 3) wahr ist.

ii) A(x): x = R v x = - R ist eine disjunktive Aussagefonn. von der zunächst nicht entschieden werden kann , ob sie wahr oder falsch ist. Daher wollen wir für x verschiedene Einsetzunge n vornehmen:

a ) 8 für x: Es entsteht die Aussage A(8) : 8 = 8 v 8 = -8 w

t

[w]

Grundlagen und Hilfsmittel

10

,

,

b) 0 für x: Es entsteht die Aussage: A(O) : 0 '" 8 v 0 :0 -8

(t)

c) -8 für x: Es entsteht die A ussage : A(- 8): -8 = 8 v -8 ,,-8

(w)

,

w

Daher ist die Lösungsmenge L der Aussageform A(x) gegeben durch : L = {Bi -8} . Fo lgend e Merkregcln sind zweckm ä ßig:

I) A 1\ B ist genau dann riehlig. wenn beide Teilaussagen richtig sind. ii) A v B ist gcnau dmm falsch, wenn betde Teilaussagen falsch sind. ili) A " B bede utet logisch dasselbe wie B A A. ebenso bede uten A v Bund B v A dasselbe [Kommuta uvgeserz de r Aussageel ogik). (Umgangssp rachlich n icht immer! Beispiel: DieAussage: »Hubers Krankheit wurde im mer sentimm er und er ging zum Ant. " bedeU/elumgangssprachlich etwas anderes als " Huber ging zum Ant und seine Krank heit wurde immer schlimmer. " (Gebrauch 1'011 " und " im Sinne von " und d aher"!)

1.1.4.3 Negation Unter der Negation w ahrheltstafel

B

(gelesen: mehr A) der Aussage A versteht man eine Aussage mit der

(Negauon)

(1.1.39)

D.h. wenn A wahr ist, da nn ist ..... A falsch und umgekehrt (stimmt mit der " nonn alen" Logik liberein). (Stall .....A schreibt man gelegentlich auch A-.) Beispiel 1.1.40 : Das Auto ist weiß. ..... A: Das Au to ist nicht weiß. (Vorsicht! Die Aussage: "Das A u/O ist schwarz. " ist keineswegs die Negation von A, denn ein nicht-weißesA w o k ann ebensogut rot oäer grun sein.);

i)

A;

ii )

A;

92 "" 82 A(x): x < 10 (XEIR)

iii)

~ ~

*'

..... A: 92 82 (nicht c1\\<1: 92 "" 81 !) ; -, A(x): x > 10 v x = 10 d.h . x ~ 10 .

1.1.4,4 Zusammengesetzte Aussagen Mit H ilfe von Konjunktion, Disjunktion und Negation lassen sieh alle Ergehnisse der lJa~sischen Aussagenlogik darstellen. Insbesondere lassen sieh die Wahrheitswerte beliebiger All~sage\'erknü pfungen mit H ilfe von Wa hrhdtstafeln ermitteln. Bei.~pi eI I,1.4 1 :

Es sollen die Wahrheitswerte der Au ssagcnverknüpfungen i)

..... (A v 8)

und

ii)

..... A 1\ -, 8

für alle w ahrhcitswcrtckombinanoncn der Teilaussagen A , B erstellt werden: f)

A

B

Av B

-, (A v 8)

w w f f

w f w f

w w w f

rn

J.l

Mengen und Aussagen

ii)

11

A

B

w w

f

f f

f

~A

w w

..... A A ..., 8

~B

f f

w

w w

w

D

f f

Beispiel 1.1.41 zeigt, dass für jede w abrbeüswcrtkombmanon der bcide n Teilaussagen A , B die Au ssagen , (A v B) und ..... A A ...., B dieselben Wahrheitswerte besitzen (erkennbar aus der identischen

w ahrhehswertspelte). DerartigeAussagen nennt man äqu lvalent. Symbolische Schreibweise: -. (A v B) "" ...,A (zum "i"quiva/enzpfeil" ~ " sieh e auch Absdmiu 1.1.5.2). A uch umgangssprachlich ist die Äquivalenz von , (A v B) und ...,A

A

...,8

1\ ..... 8

zu erkennen (siehe das

Theat er-Ein gangsbeispiel): Wenn es nicht so ist, dass Tanja mit Andreas oder Benjamin (oder heide n) ins Theater geht l-' (A v Bj ], so bedeutet dies dasselbe, als wenn sie weder mit Andrcas (, A ) noc h mit Benjamin (...., B) ins Theater geht [.., A 1\ ..., B].

Es können auc h mehr als zwei Au ssagen durch 11 , V, ..., miteinander verbunden werden. Durch geeignete Klammerbildung ist die Reihenfolge der Verknüpfungen zu verdeutlichen. Beispiel 1.1.42:

Wahrheitstafel von A v (B

A

C)

Um alle Kombinatiommöglichkcilen zu erfassen, sind 2 3 :: 8 Zei len e rforderlich:

A

B

C

B ~ C

W

W

W

W

A v (B 1\ C)

-W

W

w

f

w w

f f

w

f

f f f

f f f f

w w

w

w

w w w w

f

f f f

f f f

f f

Klammert man anders: (A v B)

Daher gilt:

A v (B I\ C)

w

f 1\

-

C, so lautet d ie w ahrhctn tabcüc:

A

B

C

A v B

W

W

W

W

W

w

f

w w

f f

w

f f f f

w w

w

w w w w w

f f

w

*

f f

f f

f (A v B)

1\

C,

(A v B) I\ C

-

W

f w

f w

-

f f f

d.h. es kommt auf die Klammerung an.

Grundlagen und H ilfsmittel

12 Aufgab e 1.1.-13:

Man überprüfe d urch A ufstellen vo n Wahrheits tabelle n die fo lgenden Gesetze der (zweiwert igen)

AU'i..agenlogik (" Aussa~,'cnalgebra·1 . Dabei behauptet der Äquivalenzpfeil w.cass die Wahrhcitstabellen übereinstimmen: 10)

Ib)

(Av B)vC

A v (B v C) A ssoziativgesetze fü r v,

(A A B) AC<'=>

A A (B

A v (B 1\ C)

(A v B)

1\

A

C)

(Bei gleichartigen Operatoren kommtes auf die Klammerungnichl an) 2.1) 2b)

<=>

1\

(A v C)

Disnibuuvgesen e für v,

1\

A 1\ (B v C) <=> (A A B) v (A 1\ C) (Bei ungleichartigen Operatoren ist die Klammcrung wcscntlich l]

3. )

AvA

3b)

A AA

-1.1)

A v (A /\B)

4b)

A /\(A v B)

., ., .,

.,

A

Idempotenzgesetze für V,A

A A

A bsorptionsgesetze für v , /\

A

5)

A v ...., A immer wahr Satz vom ausgeschlossenen Drillen (Eine Aussage mussentweder wahroder nicht wahr sein, ein Drittes gibt es nicht.)

6)

A I\ ...,A immer falsch Satz vom Widerspruch (Es ist unmöglich. dass eine Aussage ,...a hr und fa lsch z ugleich ist.)

.. ( -,A)

7)

A

Gesetz von der doppelten Negation

8.)

.. (A v B)

-, A /\ .. B

8b)

.. (A /\ B)

.. A v .. B

Gesetzevon de Morgan

Bemerkung: Unmittelbar einsichtig ist die Gültigkeit der Kommuta tivgesetze für v, /\:

AvB

~

B vA ;

A/\ B

~

B /\A .

Aufgabe 1.1.44: i) Alois Ist schüc htern. Trotz seiner Zurückhaltung haben ihn Ulla und Pet ra innigst in ihr Herz gesc hlossen. Ihr einziger Kummer ist, dass Alois sich nicht ausdrücklich für eine von ihnen ent-

scheiden will - er hat Sorge, er könne eine der beiden Verehrerinnen verletzen. Schließlich wird Ulla ungeduldig und stellt Alois - in taktvoller Weise - zur Rede: " Alois, liebst du Petra, oder ist es nicht so, dass du Petra oder mich liebst?" Aluis überlegt einen Moment, dann sagt er " Ncin~. Was hat A lois damit zum A usdruck gebracht'? ii) Student Alois berichte t in seiner bekannten zurückhaltenden Art von den Ergebnissen seiner Di-

plornprüfung; " Ich habe in Mathematik und in Betriebswirtschaftslehre bestanden, oder es trifft nic ht zu. dass ich in Mathematik oder Volk swirtschaftslehre bestanden habe. Es ist unzutreffend, dass ich in Mathematik bestanden habe oder in Betriebswirtschaftslehre durchgefallen bin." Wie sieht das Erge bnis von Alois Prüfung aus?

1.1

Men gen und Au ssagen

13

1.1.5 Folgeru ng (Implikation) und Äquivalenz 1.l.5.1 Folgerung (Implikation) (=» Def. 1.1.45:

A(x) => B(x)

bedeutet:

Man sagt - Wenn A(x) gilt. so auch B(x) - Au s A(x) folgt B(x) - A(x) impliziert B(x)

Immer, wenn A(x) vwahr ist, ist aueh B(x) wahr . 5 - A(x) i~t hinreichend für B(x) - B(x) ist notwendig für A(x)

Beispiel 1.1.46: Vorgegeben sind die beiden G leichungen

A(x): x - 3 '" 0 und

B(x): x 2 - 3x = 0 .

A(x) ist nur wah r, wenn man 3 für x setzt A(3): 3 - 3 '" 0 (w). B(x) ist ebe nfalls wahr, wenn A(x) wahr ist, d.h. wenn man 3 für x setzt B(3): 32 - 3· 3 '" 0 (w). Also gilt: x - 3 = 0 => x2 - 3x = O. Man beach te, dass bei Vorliegen der FolgcrungA(x) => B(x) die zweite Aussageform B(x) durcha us wahr sein kann, ohne das s A(x) wahr ist: Setzt man im letzten Beispiel 0 für x, so gilt A(O): 0 - 3 '" 0 falsch, aber B(O): 0 2 - 3 ' 0 = 0 wahr. Man hüte sich also, aus der Folgerung A(x) => B(x) den Umkehrschluss B(x) => A(x) zu ziehen, wie es umgangssprach lich nicht selten zu hören ist nach dem Motto: Tünnes: Alle jutcn Kölner trinken Kölsch. Scheel: Dann ist mein Schwager aus M ünchen auch 'ne jute Kölner, der trinkt auc h inune r Kölsch. Beispiel 1.1.47: Der Fußballstar Franz H uberbauer wird vom Schiedsrichter verwarnt: ~ Wenn Sie noclunal den Ball (erkennbar u. absichtlich ) mit der Ha nd spielen (Aus sage A), so fliegen Sie vom Platz " (~ rote Karte" - A ussage B) . Der Schiedsrichter stellt also die Implikation: A => 8 auf. Folgende Fälle stehen nun im Einklangmit dieser Folgerung: a) H . spielt (erkennbar und absichtlich) erneut Hand (A ist wahr) . Dann erhält er die rote Karte (B ist wahr). Dies ist der HauptfaIl de r Folgerung.

b) H . spiel! nicht erneut Hand (A ist falsch). Dann ist mit de r Implikation A => B verträglic h: bl) E r erhält nicht die rote Karte (B istfalsch) . b2) E r erhält trotzdem die rote Karte (8 ist wahr), etwa deshalb, weil er ein böses Foul begeht. Nicht eintreten darf lediglich de r Fall, dass er im Spiel bleibt (8 ist falsch), obwohl er (erkennbar und absichtlich) den Ball mit der Hand spielt (A wahr). Denn A => 8 fordert ja gerade, dass aus A wahr (- ~ Hand ") zwingend folgt: B wah r "rote Karte").

e-

Au s A(x) => B(x) lässt sich - wie die voranstehenden Beispiele belegen - durch Kentrapositlon der Schlus s ziehen: Immer, wenn B(x) falsch ist, dann ist auch A(x) falsch (denn andernfalls - d.h . wenn A(x) wahrwäre -r müsste wegen A(x) =:>B(x) aueh B(x) wahr seinj. Symbolisch. A(x)

Beispiel 1.1.48:

~

B(x)

bedeutet dasselbe wie ...., B(x) => ...., A(x)

A: Es regnet jetz t. ...., A : Es regnet jetzt nicht.

8; Dic Straße wird nass. ...., 8; Die Straße ......-ird nicht nass .

Es gilt: A => 8 (Wenn es wahr ist, dass es jetzt regnet, so ist es auch wahr, dass die Straße nass wirdvorausgesetzt, die Straße ist nicht überdacht.) und gleichbedeutend: ...., B => ...., A (Wenn es wahr ist, dass die Straße nicht nass wird, ist es auch wahr, dass es (gerade) jetzt nicht regnet.) . Man beac hte: B => A gilt nicht , da die Straße a uch nass werden kann, ohne dass es regnet, z.B. wenn H uber die Straße mit dem Wasserschlauch abspritzt. S Wenn A(x) dagegenfalsch ist. so kann B(x) wahr oder falsc h sein. Bei ~=>~ handeltes sich hierum einenmetasprachlichen Hinweis, der eine Aussage über den Wahrheitsgehalt der verknüpften Aussagen liefert.

1

14

Nach dem ebe n Gesagten wird die Folgerung A(x)

~

Grundlagen und Hilfsmittel

B(x) zwischen zwei Aussagefonncn (z.B. Glei-

chungen, Ungleichungen) stets dann angewendet. wenn diejenigen x, die A(x) zu einer wahrenAussage machen( '" Lösungsmenge LA von A(x» , auch B(x)zu einerwahren Aussagemachen, d.h.: Salz 1.1.49: Es gilt die Folgerung A(x)

~

B(x), wennalle Lösungenvon A(x) auch Lösungen von

B(x) sind .

Wir untersuchen, ob in den folgenden Fallen der Folgerungspfeil x2 = 9

Bebp iel 1.1.50:

I

richtigverwendet wurde:

x = 3 v x = -3

Ri chtige V erwendung. denn x2 = 9 wird wahr für xe {3 ;- 3} . Für diese Elementewird auch die A us-

sageforrn x = 3 v x :: -3 wahr(siehedie Wahrheitstafel der"ODER"-Vcrknüpfung).

Beispiel 1.1.51:

I

=>

~ ~u

(x - 1Xx- 2) = O

=>

x - I =0

Falsche Verwendung. denn (x-l XX-2) = 0 wird u.a. wahr für x = 2 , nieht dagegen die rechte Aussage, denn 2- 1 = 0 ist falsch. Alsowürde aus Wahrem etwas Falsches folgen - Widerspruch!

Aurgabe 1.1.52: Man untersuche, ob der Folgcrungspfcil korrekt verwendet wurde: l) x = 3 ~ x2 = 9

iv) x(x + 1) =0 \ i)

1. P

~

ii) x 2 - 1 6 = O ~ x = 4

x+ 1=0

= 0 => p = 1

h ) k 2 > 4 ~ k> 2

v] (z-4Xz+ S) =O

~

iii) z = V4~ z2 = 4

z = 4 v z= - S

,i i) x2 < 16 => x -c 4

x) k2 > 4 ~ k > 2 v k < -2

, i U) x2 < 16

~ x < 4 A X > -4

xi) x < 3 ~ x2 < 9 .

1.1.5,2 Äq u ivalenz ( ~ )

ver, 1.1.52: Man sagt:

A(x) ~ B(x) bedeutet: Immer, .....c nn A(x) wahrist, ist auch B(x) wahr. und immer, wenn B(x) wahr ist, dann ist auch A(x) wahr. - Gcn au dann, wenn A(x) gilt, gill auch B(x). - Wenn A(x), so B(x) und umgekehrt. - A(x) ist notwend ig und hinreichend für B(x) - B(x) ist notwendig und hinreichend für A(x). - A(x) ist äq uivalent zu B(x).

Aus Def. 1,1.52 folgt: Ist eine der äquivalenten Aussageforme n A(x) , B(x) falsch, so auch die andere. Da A(x) ,B(x) genau da nn wahr werden, wenn x aus der Lösungsmenge von A(x) bzw. B(x) stammt (siehe Def. 1.1.1 1: Lösungsmenge einer Aussageform). folgt aus der Äquivalenz in Def. 1.1.52 unmittelbar: Salz 1.1.53: Die A ussageformen A(x) und B(x) sind äqulvalent. A(x) ~ B(x), gcnau dann, wenn die L ösungsmengen beider Aussageformen übereinslimmen. Bei der Umformung von Gleichungen zur Lö sungsfindu ng darf man daher nur Äquivaienzumrormungen vornehmen, d.h. Gleiehungsumformungcn, die die Lösungsmenge der Ausgangsgleichung nicht verändern, siehe auch Kap. 1.1.4 .1.

1.1

15

Mengen und Aussage n A(x):x 2 - 25=O

Beispiel 1.1.54:

B(x); x = 5 v x = -5

D ie Lö sungsmengen sind; (-5)2 _ 25 = 0 (w)

LA = {5;-5}, denn 52-25 = 0 (w) L(I = {5; -5 }, den n 5 = 5 v 5 = -5 (w)

und

-5 = 5 v -5 = -5 (w)

(siehe Wa hrheitstafel der ~ O D ER"-Ver knOpfung) Also ist LA = Ln und somit gilt: x2 = 25 ~ x = 5 v x =- 5 Aufgabe 1.1.55: Man untersuche du rch Vergleich der Lösungsmengen. ob die folgenden A ussageformen äquivalent sind [d.h . ob der Äq uivalenzpfeil zut reffend angewendet wurde]. i)

X=7 ~ X2 =4 9 ;

ü)

x = I vx = 4 <=} (x - I Xx - 4) = O

iii )

x- I -x >2

= 0 A X =1= 2 <=} x =

iv)

x=

v)

x2 = 4

x=2vx=-2

'1)

x(x - 5) = O <=} x = 5 ;

,ii)

x2 > 0

, >0 ;

,m)

x2 > 9

ix)

x2 < 36

,)

y, ~ - 4

... .

x < ö Ax >-6

v4

1( 7

<=} x = 2 v x = - 2

....

x > 3 v x < -3

x = 16

In den Fällen falscher Anwendung ermittele man die kor rek te Folgerun gsbcz ichu ng

1.1.6

(~

ode r <=).

R elationen zwisc h en Mengen

W ir wollen Gleichheit und Te ilmeng eneigenscha ft zwcicr Mengen klären.

1.1.6.1 Gleichheit zweler Mengen Der; 1.1.56: Zwei Mengen A, B heißen gleich. geschrieben A = B, wenn sie dieselben E lemente en tha lten. ;<=} 6 Für alle x gilt: xe A <=} xe B. A =B A = {49,

Beispiel 1.1.57:

V4, 50},

B = {l , 2, 7 2 }, also A = B .

1.1.6.2 Teilmengen Def. 1.1.58: D ie Menge A he ißt Teilmenge der Menge B, geschrieben Ac B, wenn jedes Element von A gleichzc itig aueh E lement von B ist. D.h.: A CB

Beispiel 1.1.59:

I

:<=}

Fü r alle x gilt: x E A

A = {2, 3, 4 }, B = {l, 2, 3, 4. 5}:

J edes E lemen t von A Ist Element von B, also ist A eine Teilm enge von B :

6

Das Symbol :<=} bedeutet; "ist definitionsgemäß äquivalent zu",

~

KE B.

Z2~~ 5~

Ac 8

1 Grundlagen und H ilfsmittel

16

Nach Def. 1.1.58 gilt im Falle der Gleichheit von A und B: A c B und BCA. Das Teilme ngensymbol " c ~ schließt die Gleichhei t der Mengen nicht aus, mit anderen Wo rten: jede Menge enthä lt sich selbst als TeiLmenge: A CA (gelegen/lich benutzt ma n da/ ur auch das Symbol S). Es wird vereinbart, dass die leere Mcnge Teilmengejedcr Mcngc ist: Füralle Mcngcn A gilt: { }CA.

Der. 1.1.60:

Die Menge P(A) aller Teilmengen !\I einer gegebenen Menge A heißt Potenzmenge

P(A) "" {M MCA }.

A "" ( 2, 3. 4}

Beispiel 1.1.61:

I

I

der Menge A:

~

P(A) = {{ } , {2} , {3} , {4} , {2,3}, {2,4 }, {3,4 } , {2,3, 4}}

Aufgabe 1.1.62: I) Man ermittle die z utreffenden R elationen ( = oder C) zwisch en fo lgenden Mengen:

,0

a)

N ;

;

b}

A = {M

R ;

Z .

, O, V25, 20};

B = {O,I , - 2, 5, - 5} .

ii) Man ermittle sämtliche Teilmengen folgender Mengen: a) A = {x, y. z} ; b) B = W. { }}; c) C = {I . (2, 3})

1.1.7 Verkn üpfungen (Operationen) mit Mengen Äh nlich wie Aussagen lassen sich zwe i gegebene Mengen A. B d ureh eine Operation z u einer neucn Mengc verknüpfen.

1.1.7.1 Du rehschn itt smenge Def.1.1.63: Untcr dem Durchschnitt (der Schniu menge) A nB (gelesen: A geschnitte n B)derMcngcn A und B versteht man die Menge aller Elemente, die sowohl zu A atsa uch (gleichzeitig) zu B gehören: A nB ,= {x xe A A x e B} .

I

Beispiel 1.1.64: A = {I, 2, 3, 4 }

B = (3, 4,5,6. 7) ::::}

Bemerkung 1.1.65:

AnB = {3,4 } . Es gilt:

~::::~-A n8

A 2

An B = BM

Beispiel 1.1.66: In den folgenden Venn-Diagrammen ist die Durchschniusmcnge A nB schraffiert:

Beispiel 1.1,67: (Du rchschnitt von Interva llen)

A = [2,4J , B = [O, 3 J ::::} AnB = [2,4] n [0. 3J = [2, 3 ]

o

1

8

2

A 3

-,

An 8

4

1.1

17

Mengen und Aussagen

1.1.7.2

Vereinigungsmen ge

Der.I.U8: Unter der Verein igung.~mffige A u B (gelesen: A vereinigt B) der Mengen A , B versteht man die Menge aller Elemente, die zu A oder zu B (oder zu bcidcn] gehören: Au B '"'" {x x e A v x e B} .

I

Beispiel 1.1.69: (siehe Beispiel 1.1.64)

A ::: (I .2. 3, 4} B ::: {3. 4, 5, 6. 7} ~

AuB '" (1 ,2,3, 4.5.6. 7}

Au B

Bemerkung 1.1.70: Es gilt: AuB '" B uA Beispiel 1.1.71: (siehe Bcisptclt.t .öö) In den folgenden Vcnn- Dlagrammcn ist die Vereinigungsmenge schraffiert:

o

Beispiel 1.1.72: (Vereinigung von Intervallen)

A

i)

~

= [2, 4]

B

A 3

2

Au B /

o

B= [3, 4 ]

1

-,

2

4

3

AuB = [0, 1] u (3, 4 ]

B

A 1.1,7.3

4

; B = [0, 3]

A uB = [0,4]

ii) A =[ O, I] , ~

1

Restmenge ( Di fferen zmenge)

Der. 1.1.73: Unt er der Restmenge (Dirferenzmellge) A\B (gelesen: A ohne B) versteht man die Menge aller Elemente, die zu A , nicht aber zu B gehören : A\B '"'" {XI XE AA XEB}

Bei.~piell.1.74:

(siehe Beispiel 1.1.64)

A = {l , 2, 3,4 }

AlB

1

B = {3, 4, 5,6, 7} ~

A\B = {I , 2}

5

, B

18

Gru ndlagen und H il fsmittel

Beispiel 1.1.75: In den folgenden Vcnn-Diagrammcn ist die Restmenge A \ B schra ffiert:

ße ispiel l.l.76: (Dlffcrcnzmcngc von Intervallcn}

A = [2,4 ] "

8 = [0, 3]

0

_

A -

2

J

-----l=:::=:~f----

AlB = ]3. 4]

'Al B

8 -

Beispiel 1.1.77:

I

4

Die Gleichu ng G(x):

5~ + I 4

(x -. J(x + )

= 1 liefert für xEIR nur dann slnnvollc fwahrc

, -cD

oder falsche) A ussagen, wen n der Nen ner des Bruches nich t Null wird. Daher lautet die Definili onsmenge Da (sichc DLf.1. 1.23) der Gleichung G(x): Da = 1R \ {I , -4 } .

Beachten Sie bitte, dass A\B La. crwas anderes be deutet als B \ A:

~

AlB

'IA

Ist A eine Teilmenge von B. so bezeichnet man die Differenzmcngc BIA auc h als Komplementär menge CIlA von A bzgl. B . CBA enthal t alle EIerncnt c vo n H, die nicht zu A gehören.

E s kö nnen auch mehr als zwei Mengen d urch n , u, \ mitein ander verknüpft werde n. D urch geeign ete K1amm ersetzun g ist d ie Reihenfolge der Verknüpfu ngen zu verdeutl ichen . Beispiel 1.1.78:

1. Schrit t: Bilde B n C

i) M I = A u (B n C)

A~ ' C ii )

I . Schritt: Bilde A u B

A~ ' M, C

2. Schritt: Vereinige A mit B n C

M2 = (A U B) n C

A~ . e C

2. Schritt: M2

Schneide A u B mi t C

An den unterschiedlich schraff ierten MengenbilJ ern des letzten Beispie ls erke nnt man, dass es a uf die Klarnmcrsctzung an komrnt, d .h. es gilt im allgemeinen:

A u (B n C) * (A U B) n C

19

1.1 Mengen und A ussagen

AUfgabe 1.1.79: Mit Hife von Mengenbildern (Venn-Diagrammen) überprüfe man, ob die folgenden Gesetze der Mengenalgebra gültigsind: 1) A U (B U C) = (A u B) U C 2) A n (Bn C)"'(An B)n C

l Assoziativgesetze für u, n f

J) A u (B n C) = (A u B) n (A U C) 4) A n (B u C) = (A n B) u (A n C)

I Distnbiui vgesetze f ür u, n

5) A U (A n B) = A 6) A n (A U B) = A

f

I A bsorptionsgesetzef ür u, n

f

7)(A \B) nB = \l

SalZ vom Widerspruch:

8) (A \ B) u B =A uB

Satz vom ausgeschlossenen Driften

' ) A \ (B n C) = (A \ B) U (A \C) 10) A \ (Bu C) = (A \ B)n (A \C)

} Gesetzevon de Morgan

(Man vergleiche hierzu die entsprechenden

Gesetze der

A ussagenlogik, A ufg. J.1.43 !)

Aufgabe 1.1.80: Gegeben seien die Mengen A = {1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8,9, 1O} ;

B = (2,3, 4, 5,6) ; C = {6, 7, 8, 9,10, 11,12, 13}. Man gebe damit die in Aufgabe 1.1.79 jeweils links stehenden Mcngen an.

Au fgabe 1.1.81:

Man gebe die Definitionsmengen (siehe Dcf. 1.1.23) folgender Aussagefonnen (Gleichungen) an: I

i)

G(x): l +x 2 = - , ;

il)

G(p): p2 + t = Q ;

x

i..:..!

iii)

iv)

G(z):

VZ"'+T + -z2 -' 49 -

= Q •

20

G rundlagen und H ilfsmittel

1.1.8 Paarmengen, Produkt mengen Bisher haben wir Elemente von Mengen nur als ~ vereinzcl te" Objekte. ....-ic z.B, Zahlen oder Variable,

kennengele rntBeispiel 1.1.82:

A = {2,3,5};

B = {t, 2. 3} .

Bildet man nun a us den Elementen vo n A und B neue Elemente derart, dass man jeweils ein Element x aus A mit einem Element y aus B zu einem geordneten Paar (x; y) zusammenfasst, so entsteht eine Paarrnenge (oder P rodnkt menge):

Ax B (. A kreuz

B, ,~

{(2,1 ),(2; 2),(2;3),(3; 1),(3, 2),(3;3),("I ),(,, 2), (,,3)}

E lemente von A X B sind nicht mehr einzelne Zahlen, so ndern geordnete Zahlenpaare (geordnet deshalb, weil z.B. das Paar ( 2 j 3 ) vom Paar ( 3 ; 2 ) verschieden b t). Allgemein definie rt man:

Der. 1,1.83: Unter der Produktmenge (Paann enge) A x B (gelesen: ~ A kreuz Bj versteht man die :\Ienge aller geordneten Paare (x: y) mit der Eigenschaft XE A und y E B: A x B ,=

(X iY)

I XEA A yE B}.

Paarmengen A x B lassen sich in einem kartesischen Koordinatensystem veranscha ulichen. Trägt man die Elemente XEA auf der horizo ntalen Achse (Abszissenaehse) und die Elemente y E B a ufdervertikalen Achs e (O rdinatenachse) auf, so lässt sichjedes Paar (x; y) als Schnittpunkt der entsprechenden Aehsenparallelen d urch x bzw. y darstellen (siehe A bb. 1.1.84). Für A x B aus Bcispicl 1.1.82 ergibt sich die graphische Darstellung (Ab b. 1.1.85):

8I

{y/ I

tcvt

.,

y

3

2 1

x

A

8

, • , , (3,21 , • , • ,

A

5

lxi

t2.'3/

2 3 4

Abb. f. f.84

Abb. f. f.85

A us Abb. 1.1.85 wird deutlich, dass sich die Paare ( 2 ; 3 ) und (3 i 2) ume rscbeid en, (Man beac hte also: {2j3 }={3;2} aber (2 ;3) -*(3 ;2)!) Die Mengen A und B in A x B können auch überetn süm mee! Besonders wichtig ist der Fall A ;; B ;; IR: Stat t IR x IR schreib t man auch IR2 (gelesen: IR zwei).

Graphisch stellt IR x IR sämtliche Punkte der Koordin atencbenc uar (Abb.1.1.86) . Bemerkung:

Die in Kilpilel 2 behandelten reellenFunktionen sind Teilmengen von IRl .

Man kann auch mehr a ls zwei Za hlen zu neuen Elementen zusammenfasse n, z.B.

Tripel:

(x: y; z)

mit XE A, yEB, zEC ;

Q uadrupel:

(Xl; X2; x3; X4)

mit xjEA j

n-Tupck

mit

x.e A,

{i> 1,... ,4)

j

{i » 1,2,....n).

1.2

A rithmet ik im Bereich der reellen Za hlen 1R

21

Anal og zu Def. 1.1.83 setzt man fest:

D~f. 1.1.87:

A x Bx C

Der So nderfall A

= B = C = IR

IR x IR x IR

= 1R3

I

((x ; y; z) x eA

11

yeB

11

ae C } .

liefert:

(~IR drei").

Gra phisch stellt 1R3 sämtliche Punkte des dreidimcnsionalen Koordi natenraums dar (Abb. 1.1.88). Abb. 1.1.88

Allgemein definiert man:

ner, I. 1.89: Der Sonde rfall A I = ... = A n = IR. füh rt zu IR xlR x ... xlR =, IRn

IRn liefert sämt liche .. Punkte" (XI; ... ; xn) des ~n-dimensionalen Raumes". (graphisch nicht m ehr zu veranschouiichen]

(geb-en: ~ IR-n N).

n-mal

Aufgabe 1.1.90 : Man bestimme für die Mengen A, Bmit d ie Prod uktmengen:

A = {ae. f}

i)

AxB ;

ii ) B x A j

iii) A 2 ;

v)

B x A xB ;

\i) Ax B x A :

\ii ) Ax Bx Bx A

B = { nm} h ') B2;

Aufgabe I. 1.91: i) Man zeige (etwa an einem Beispiel), dass für zwei Mengen A, B La. gilt:

*

A xB B xA , 11) Mit H ilfe von Def. 1.1.83 zeige man die Gültigkeit folgender ..Distrib utivgeset ze ": Es seien A, B, C drei Men gen. Dann gilt: a)

A X(B nC)

(Ax B)n(Axe)

b)

Ax (B U C)

(A

e)

A X(B \ C)

x B)

U (AX C)

= (AX B) \(AXe).

1.2 Arit h metik im Bereich der reellen Zahlen (R) De r fo lgende Abschnitt stellt die Grun dregeln und Rechengesetze für reelle Za hlen zusammen, o hne deren Kenntni s keine mathematische A nwendung möglich ist. Es handelt sich dabei um element ares math ematisches G rundwissen. das in der Mittelstufe einer jeden allgemeinbildende n Schulterm behan delt wird. E rfahrungen aus den wirtschaftsmat hematischen Einführungsvorles ungen zeigen jedoch, dass nicht selten große Teile dieser mathematischen Grundken ntn isse nicht ode r nicht mehr in ausreichender Weise beherrscht werden. Dieser A bschnitt über eleme ntare Rec hengesetze dient daher in erster Linie zur A uffrischu ng dieser möglicherweise versch üttete n G rundkenntnisse.

22

Gru ndlagen und H ilfsmittel

1.2.1 1.2.1.1

Grundregeln (Axiome) und elementare Rechenregeln in R Axiome

Das Rechnen im Bereich der reellen Zahlen IR st ützt sieh auf ein vollständ iges und in sich widerspruchsfreies System elemen tars ter Gru ndregeln (Axiome genannt), deren G Ül tigkeit nicht bewiesen wird, so ndern als u nmntelbar einleuchtend unterstellt wird. Bemerkung 1.2./: Um Axiom e " beweisen" zu können, m usste ma n noch einfachere Grundgesetze kenn en, deren " B eweis " noch einf achere Grundregeln erfordert UM. Die im[olgenden vorgesteliten A siom egeh ören bereits d er elementarsten Kategorie an.

Satz 1.2.2:

I n der Menge IR der ree llen Zahlen sind N d Operationen (nä mlich ..+ und ". (Multiplikatioo» erklärt, die den folgen den Axiomen genügen :

(Addition)

M

M

Axiome der Mult iplikation

Ax iome der Addition A l (Existenz der Summe)

:\11 (Existenz des Produktes)

Zu je zwei Zahlen a.be IR gibt es gm au eine Zahl s e lR mit der E igenschaft: s :: a + b.

Z u je N d Zahlen a, be IR gibt es genau eine Zahl p E IR mit de r Eigenschaft: p :: a -b = ' ab

(s heißt Summ e).

(r heißt Produk t) .

Al {Assosiauvgesaz bzgi. +)

:\12 (Assozianvgesetz bzgi. . )

Für alle a.b.c e R gilt:

Für alle a, b, c E IR gilt:

(a + b) +c

=

a+ (b+ c) _ .

I(a ' b) ' c =

a- b-c

a ·(b · c) =, a b c

I

AJ (neutrales E lem ent bzgl. + ; Nullelement]

M J (neutrales Element bzgl. • ,. Einselrment]

E s gibt genau ein E lement aus IR (näm lich die Za hl De R j. so das s f ür aüe a e R gilt:

E s gib t grn a u ein Ele ment aus IR (nämlich die Zahl I e IR). so dass für allc a E IR gilt:

a +O = O+a = a

a ' 1= ] ' a=a

A4 {inverses Elem ent bzgl. +)

1\14 (inverses Element bzgl. • )

Z ujedcr Z ah l a e lR gibt csgena u eine Gegen zahl (inverses E lement bzgl.+ ) nämlich -aE IR. so dass gilt:

Z u jeder Zahl a EIR\ {O} gibt es genuu eine reziproke Z ahl (in verses E lement bzgl.• ) nämlich E IR, so dass gilt:

i

a· ~ = ~ · a = 1

a + (- a) = (-a) +a = 0

AS tKommuunivgesen bzgl. +) Für alte a .b e R gilt:

(a *O)

1\15 (Kom m ututivgesetz bzgi. .)

a-e b :: b +a

Für alle a . b e lR gilt:

D (Distributivgesetz)

Für alle a, b, c E IR gilt:

Ia -fb e c)

= a·b

+ a -c

I

ab

e

b -a

1.2

23

Arithmetik im Bereich der reellen Zah len IR

Bemerkung I .2.3: Eine Menge, die den Axiomen Al -A5, M I -M5 und D genagt, heißt Körper. Sowoh l die reellen Zahlen (IR) als auch die rationalen Zahlen (Q) bilden bzgl. ,, + « und " . « einen Körp er.

Subtraktion und Di\is ion werden wie folgt erklärt: 1) Die Subtra ktion ist d ie Ad dition der Gcgenzahl :

I,- b '~

(1.2.4 )

a+ (-b)

I

li) Die Division ist die Multiplikation mit der reziproken Zahl:

(b.O)

(1.25 ) Im Bruch ~ heißen a der Zähle r und b der Nenner.

A us (1.2.4), (1.2.5) erkennt man, dass für die Subtraktion (u- ") und für die Division (,,: ") die Kommutativgesetze A5 bzw. M5 nicht gelten: Subtraktion: Division:

a b e b al r

Richtig ist vielmehr : a - b

r

a: b e b . a r

Richtig ist vielmehr:

a :b

= a + (-b) = (- b) + a : - b + a ;

( 1.2.4)

A5

I

=a ' -

( 1.2.5)

b

=

M'i

1

-r- va . b

Bemerkung I.2.6: Es sei noch einma l aus drücklich dara uf hingewiesen, dass zur Z ahl Null kein inverses Element bzgl. der Multiplika tion existien (siehe M4), anders gesprochen, dass eine Division dur ch NuU nk ht defin iert (und daher " verboten ") ist. Jeder Versuch, die Division durch NuU zu erklären, fühn zu einem Widerspruch innerhalb des Axiomensystems! Beispiel: G äbe es in JR ein bzgl. der Multiplik ation inverses Elem ent zu 0, etwa O· genannt, so musste nach (1.2.5) und Mom M4 gelten:

o

0,=0'0· =1 . NWl ist aber (siehe die nachfolgende, aus den Axiomen beweisbare Rechen-Regell3a) jedes Produk t Null, in dem ein Faktor Null ist. Somit müsste O' 0" einerseitsgleich Eins, andererseits gleich Null sein: Widerspruch!Also m uss die Annahm e -n ömticn die Existenz von O· E JR «[alsch sein. Bemerkung 1.2.7: BeiAnf ängem werden nicht selten die Gesetze M2 bzw. D (in Satz 1.2.2 durch Rahmung hervorgehohen) falsch angewendet: Auf ein mehrfaches Prod ukt, etwa 2 . (a .b), wirdfälschlicherweisedas . Dism butivgeseu" angewendet, und d as " Ergebnis " tautet:

, , (, ' b)

t

"" " b = 4,b

W

Daher unterscheide man genou: 2 ' (a 'b) und

2 -(a +b)

= (2 -a) -b = 2 ·a ·b = 2ab

M2

= (2 ·a) + (2 ·b) = 2a+2b .

D

24

1

Grundlagen und H ilfsmittel

Um eine übe rsichtliche Sch reibweise ohne allzu viele Klamm em cnnöglich en zu könne n, verwendet man einige Konventionen hinsich tlich de r Reihenfo lge der Rechenoperationen (und spart auf diese Weiseprä-

zisierende Klamm em ein) : Vereinbaru ng 1.2.8: [Konventionen überdie Reihenfolge der Rechenoperationen in IR) I)

Klammem haben absoluten Vorrang (werden also stets zuerst berechnet) ;

ü)

Danach werden alle Potenzen be rechnet, und zwar - be i feh lenden Klamm em -von " oben nach unten " ;

ili)

Danach werden alle Punktoperationen (Multiplikalion " . ~ ; Division " füh rt , und zwar von links nochrechts, fa lls keine Klamm ern stehen ;

: ~)

Iv)

Dana ch werden alle St richopemtionen (A ddition » +« ; Subtraktion (bei fehlend en Klamm em ebenfalls von links nach rechls ) .

durc hgeführt

,, -~)

d urchge-

Merkregel: Klam m em vor Potenz vor Punkt vor Strich

Beispiel 1.2.9:

;)

5 +3 -«9 -6) -4)' -7

=

ii)

i)

5 + 3 '1 44-7

= 5 + 432 -7 = 430 . iii) Iv)

ii )

-2 4

iii )

4

32

,=

-(2 4) (nPOIenz vorStrich"!) = - 16 2

,= 4(3

)

aber: (4 3)2= 64 2

aber:

(-2 )4 = (- 2) ' (- 2) ' (- 2) '(-2) = +16 .

(nvon oben nach unten "! ) = 4 9 = 262 .144 (nKlammer zuerst " !) = 4.096 .

lv]

48 : 3: 4 ·2 = 16 : 4 ' 2 ,= 4 ' 2 = 8 (n \.-·on linkr nach red lls."!) ober:48 : 3 : (4 ' 2) = 48 :3:8 (nKlamm er zuerst") = 16 : 8 = 2

v)

X - y - Z l= (X- y) - z ober:x - (y - z) = x - y + z

(nvon links nach rechts"!) ("Klammer zuerst" 1)

Bemerkung 1.2.10: Werden geklammene Terme dividien, z.B, (0 + b) : (c + d), so k ann ma n bei Verwendung eines Bruchstriches diese Klamm em weglassen:

.!!....i....!!. c +d

(a + b) (c+ d)

= (0 + h) : (e + d)

Beispiel:

i)

~ :~ = (7 +8):(2 +3)=15 :5=3

ü)

1O~ - 8

1.2.1.2

=

r

nicht etwa:

~:~ = 7 +8 : 2 +3 (= 147)

(lOx - 8) (d ie Klamm er I1IUSS wiedergeschrieben werden, wenn der Bruchstrich emfällI!)

Elementare Rec henregeln f'in- reelle Zahlen

Aus den Körperaxio men A I-AS, M 1-M5, D sowie den defmitonschen Formeln ( 1.2.4). (1.2.5) folgen sämtliche bekannten Rcchenregc1n. Diese Rechenregeln sind ihrer Natur nach allgemeingiiltige Aussagercrm en (z.B. Gleichungen, siehe Der 1.1.25), die für jede beliebige Einsetz ung wahr sind (wobei - siehe Bem erkung 1.2.6 -sämtliche vorko mmenden Nenneroder Divisoren als von Null verschieden vorausgesetzt werden müssen) .

1.2

Arithmetik im Bereich der reellen Za hlen IR

25

ELEMENTARE RECHEl'\REGELN in R - (- a)

RI.

az.

-t

=

(zum Beweis siehe etwa [70a). Band 1, 6f)

a

a = (- l ) 'a

R3a.

- ab = - tab) = (-a)'b = a-f-b)

R3b.

(- , ) -f- b) = ab

Bemerkung 1.2.11: A u.\' R3a folgt: Ein Minusz.eichen vor einemProdukt ändertbei genau einem derFak lorendas Vorzeichen (vgJ. dagegen Bemerkung 1.2.15 weiter unlen). Beispiel: - obc ä = - (abcd) = (- a) ' b . C ' d = a . (-b) . C' d = a . b . (-c) .d = a .b · c · (-d) Ein Plus reichen vor einem Produkt kann weggelassen werden: + (0 .b · c) = +abc = abc .

R4a.

~ = - fa : b)

-

-,

a

-b

b

= -: =

_~

-=-

R04b. a '-(bc)

- abc

abc

- ubc

abc

(- d)' c

- dc

de

dc

- dc

Beispiel: - - - - = - - - = - - = - - = -

R5.

Anwendung der Regeln 3a/3 b auf das Distributivgesetz:

a (b + c) = ab + ac, (-a)( b + c) = -ab - ac, a (b - c) = ab - ac, (- a)(b - c) = -ab + ac,

a (-b + c) =- ab + ac,

(- a) (- b + c) = ab - ac, a (- b - c) = -ab - ac, (- a)(-b - c) = ab + ac .

Durch mehrfache schrittweise Anwendu ng des Distributivgesetzes lassen sich auch umfangreiche Summen untereinander multiplizieren:

R6a.

Bemerkung 1.2.12: Liest man die Regel 60 von rechts nach links, so erkennt man, dass die Summe ax j +ux2+ +UX" durch Ausklommern des in ullen Summ anden enthaltenen Faktors 0 in ein Produkt a(x / +x 2+ +x,J verwandelt wird (Faktarisieren). Beispiel: R6h.

my+2ux-x

= x(6y+2a-1)

(a,+ az+···+am) ·(b, +bz+···+ bn) = a lb, +a\ b z + ...+a 1b, + aZb\+azbz+ ···+a 2bn

(insgesamt m' n Summanden)

(Zwei Summen werdenmiteinander multipliziert, indem man jeden Summanden desersten Faktors mit jedem Summanden des zweiten Faktors mulnplizienund schließlich alleentstehendenProdukte addiert.)

26

1

Grundlagen und Hilfsmittel

Bei'ipiel 1.2.13: i) (x+a)(y- b+ c) = xy- bx- cx--ey-abe ac ii ) Die folgenden, allgemeingültigen G leic hungen werden als Binomische Formeln bezeichnet:

(a+b)2 = a2+2ab+b2 (a- bf = aL2a b+b 2 al - bz = (a+bXa- b)

R6c.

Hi) Werden mehr als 2 Summen miteinander multipliziert, so gehl man schrittweise vor: (a - W

R7.

'" (a - W (a < b) '" (al -2ab + b2)(a < b)

= al - 2a 2b + b2a- a2b + 2ab 2- b3 = a J - 3a 2h + 3ab z - b J (siehe auch Satz 1.2.42: . Binomischer Satz ")

- ta-b) = - a-b

- (-a+b) = a-b

- (a-b)

- (- a- b) = a+b

- a+b

Bemerkung 1.2.14: Die Vorzeichenregeln R7 ergeben sichfonn al durchdieA nwendung von R2 und R5. Beispiel: u - (v- (w+(x -y))) = u - (v -(w+x - y)) = u-(v-w-x +y) = u -v +w+x- y (Klammem von innen nach außen auflösen I) Bemerkung J.2.15: Aus R7 folgt : Ein Minusi eichen vor einer {geklammerten} Summe ändert bei jedem Summa nden das Vorzeichen bzw. das Rechenzeichen: Beispiel:

(vgl. dagegen Bem. 1.2.11 fü r ein Produk t!).

-(a-b+c +d) = - a+b-c-d

Ein I'lusu ichen vor einer (gek fammenen ) Summe kann einschließlich der Klammem fo rtgelassen werBeispiel: +(a - b+c+d) = a - b+c+d . den. Bemerkung 1.2.16: Beisp iel:

u +b

Ein Bruchstrich wirkt auf Zähler und Nenner wie eine Klamm er: (u+b )

c + d = (c + d)

(die Klammem sind entbehrlich, siehe auch Bem. 1.2.10)

Beispiel: Die Klamm er muss geschrieben werden, wenn der Bruchstrich ersetzl wird: i) ,.,.)

RB.

(Falsch: ~ = a + b : c + d

a +db = (a + b) : (c + d)

c+

c+d

6) =-ze + 3y - 4x -,-- 6y = - "]1 (4x -!y

1" );

.

(Multiplikation vün Brüchen)

R8a. R8b.

a

b 'c

a- C C = - b- = a b

( folgt aus R8a mit d = 1 und c =

f)

1.2

27

Arith metik im Bereich der reellen Zah len IR

R9.

(Division \'00 Brüchen. Doppelbriiche)

R9a.

a b

aca

[Ein Bruch wird durch einen zweiten Bruch di j'jdiert, indem man den Zahlerbruchmildem Kehrwert des Nennerbruchsmuuipliiiert.]

d ad

c=b" :d"""b" 'c="bC d

a b

a

=

R9b.

c"" b":c""b;;'"

(folgt aus R9a mit c

R9c.

--;-= a : ~ = ~

(folgt aus R9a mit a =

f) -t )

c

RIO. (Kürz ungsregel, Erwene rung sregel)

,

.>..:..GJ = b

'l:J

.kü rzcn'' durch c"* 0

(Vors icht:

Bemerkung:

ili tJ

a

Zwei Brüche J.E. und ~ sind genau den n gleich, wenn sie dur Erweitern oder Kurzen (z.B. mit ).,*0) auseinanderhervorgegangen sind, m.a,TY.

b :

~erweilem"

A us

mit x,*,O

%"" %

folgt:

c=la

A

d=).b (,#G)

,' + + ,JX, ist nicht durch x " kürzbar" ! )

R Il. (Addition gleichnamiger Bruche) (Brüche mit gleichemNenner td.h, " gleichnamige" Brüche) werden addiert, indem man dieZähter addiertund den Nennerunverändert lässt.) Bemerkung 1.2.17: Liest man R11 von rechts nach links, so erkennt man, dass eine Summe durch eine Zahl c dividiertwird, indem jeder Summand durch c dividiert wird:

asb

- ,-

=

Beispiel:

I

7' (a

± b) ""

b

7' ± 7' Q

( fil Distributivgesetz t] ,

6x2 - 2& _ 6x 2 _ 2!!:=..._ 3 _

2X2

- "'27

2x2 -

!.i x

R12. (Addition beliebiger Brüche)

(Ungleichnamige Brüche werden zunacnn durch geeignete Erweiterung gleichnamig gemacht und dann nach RegelRI 1 addiert.) Beispiel: Beispiel:

3

I

7

9

27 7 34 + -= 63 63 63 '

- +-: ,!",,_I -y

x

y

=..1..._ .ry

y-x (1- y ) y-x + xy (l-y )x = = .ry -'Y -'Y

28

1 Grundtagen und Hilfsmittel

R H a.

a "O=ü ' a=O

Rl3b.

..Q. = 0

(R13c besagt: Das Produkt zweierreeller Zahlen (oder Tenn e) ist W' IWU dann Null, wenn einer derbeiden Faktoren (uderbeide) Null sind.)

b

R l3 c. Regel 13c liefert de n Schlüssel fü r d ie Beispiel 1.2.19:

xZ :

i)

4

(Lösungsmengequadratischer Gleichungen) ~

x2 - 4 = 0

~

x =2 vx = -2

ii) X2 + 4x - 5 = 0

<=>

(x+2)2-9 = 0

<=>

x- I =Ov x+S ",O

IU k

~

Me

(x - Z)(x +2) = 0

C=}

R6c

(

»

" quadratische Ergiin zwrg ")

(x +2 - 3)(x+2 +3)=0

<=>

x -2 = O vx+ l=O

~

RB<

L = { - 2;2} .

~

X2 + 4x + 4 - 4 - 5 = 0

<=>

R 6c

q uadratischer Gleichungen:

Lö~ ung

x=l vx = - 5

C=}

C=}

(x - l)(x+ 5) =O L = {-5; 1} .

Naheres zur Lösung quadratischer Gleichungen findet sich in Kap. 1.2.4.5

(Ein Bruch LU genau dann Null, wenn derZälller Null und gfeidlZtdlig derNenner ungleich Null lXI.)

Rl3d.

Beisp iel:

...!..:...L = 0

Beirp iel :

-

x- 2

x x

=0

Aufgahe 1.2.20:

~

,-1 =0 I> x- 2* 0

~

X2 =O AX * O

"

L = {I }

~

X=l A X * 2

"

L = { } (unerfüllbare Aussage) .

Man vereinfache so weit wie möglich (Brüche so weit wie möglich k urz en I ) :

I)

2ab- I flab -abx -3abx =

ii)

ab" (bc) =

iii)

(-3x)" (ay)-(-2xy) =

iv)

(x + 2Yl -(2x- Yl =

\")

(ax+ bx-cx): x =

\ 1)

(axbxcxji x

\'ii) (4a + 3b- 5c) "7x- (5a - 4b + 6c) Jx ix)

,-,

(- b) " c

a

2x+ 1 1 x+5 ,) - +--= x zx x2

a

n)

X\'i) 4a - c = c

am + all ax + av --_ .---- = m X

,

x 1- _ ,_ x -I

~ + E.

b

...) 5a - b b - 5a

")

xiii) - - . =

xii)

X\'I JI - - - -

\iii) - (a- xXb - yXc-z)"

e

,

>

y

X\'ii)

4 X2 _

16x 2 +

9).2

81 ~.2 =

1.2

29

Arithmetik im Bereich der reellen Zahlen IR

Im folgende n werden einige häufi g be nutzte mathematisch e Begriffe und Symbole autgcfüh rt:

1.2.1..3

Betrag einer Zahl

U nter d em (ab solut en ) Betrag

l a l einer Zahl a (E IR) versteht man : awenna > O

+.1.2.2\,

lal

Beispiel 1.2.22:

,=

1- a

Owenn a =O wenn a < 0 fiirx ~ 3

1-21= 2 ; 101 = 0 ; IX-3 1=

117 1= 17 ;

fUr x < 3 .

E s gilt also stcls :

~IZ 1.2.23:

i)l a l ~ O

ii)

l a]> I- al.

Unt er dem (absolut en ) Abstan d zwcier Zah len a , b versteht man den Betrag ihrer Differenz [ a -r b ] bzw. j b a] . r

Beispiel 1.2.24: Der Abstand zwisch en 4 und 7 beträgt DerAb.'i landzwi.'iehen -2und 5 ~l rägt

I 4 -7 [ =

17 - 4 1= 3.

Analog:

1-2-51 = 15 -(-2)1'" 7 ;

Der Ab stan d zwisch en - 10 und - 2 be trägt 1-10 - (-2) I = 1-2 - (-10) 1= 8 ; De r Abstand zwischen a und 0 be trägt l a - 0 I = [a l ~ a ] ist also der Abstand von a bzw. -a zum Nullpunkt.)

(Oeomeut sch: I a - b I ist die positiv gerech nete länge L der Verbindung zwischen a und b auf dem Z ahJenstrahl (od er die absolu te Abweichung voneinander).

o

0

b

--!f -- - +----1!1 - - -I I 1=lo-bl= lb -o l

E s gilt d ie berühmte Drci ecksun gleichun g für alle a, b E IR:

~IZ 1.2.25:

[a ± b l s l a l + [b]

1.2.1.4 Das S u m men z eic hen Eine Summ e mit mehreren Summanden lässt sich mit H ilfe des Summation soperators ~ :E " häufig kurz und übe rsichtlich schreiben:

L" a ,-.

Def. 1.2.26:

j

,= am+am+ 1+a.n +z+ ... +an '

n z m,

n.me Z

(gelesen: Summe aller a i von i '" m bis i = n)

Der la ufende Summation sindex ~ i" erhöht sich je wcils um 1 beim Iolgcndcn Surnmanden , beginnend bei der Summation sunt ergrenz e m (steht unter dem Summationsbefehl :E ) und ende nd mit der obcre n Summatio nsgrenze n (steht über :E); :E (griech.): Sigma.

e

ßetspiel es

I

;_4

aj = a4 + a5 + a6

2c9 + 3clO + 4c 11 + ... + (k - l ) · c~ + 6 .

30

Grundlagen und H ilfsmitt el

usw.

Der Summationsindcx kann beliebig be nann t werden :

(Er sollte aber von den Summationsgrenzen unterscheidbar sein.') H äufig ist die untere Summationsgrenze die Zahl 0 oder 1:

,

I

, aj

,_0

,

Beispiel: L

""

30

I

+ 3 1 + 3 2 + ... + an

j."

a;= aj+ a2 + ... + an

(i+ l ) j = 2 · 1 + 3 · 2 + 4 · 3 = 20 .

i· I

Beispiel:

, ,

..

L (kL

1) = - 1 + 0+ 3 + 8 + 15 + ... +( pLl) .

Beispiel: Das arithmetische Mittel

,

I

einfach beschr eibe n: -X = - I

n

x der

n Zah len xl' X2' ..., Kn lässt sich mit dem Summenzeichen

x·

; .. 1

'

Salz 1.2.27: Es gelten folgende Rechenregeln: I)

,

,,"

I(,'b,) I , 'I b, i- I

i_ I

,

2)

( f?, Assoziolivgew z , siehe Kap. 1.2.1.1)

=

L C' i_I

3)

i -I

,

aj

= C'

L a,

(~ Ausklammern")

( ;;;;;' Distributivgesetz. siehe Kap. J.2.1.1)

i_I

c+ c+ ... + c

n' C

•

n Summanden

,

Bemerkung J .2.28: Es gill i.a.:

L Ui b; ; -/

Beispiel: (/1 = 2):

"

,

(siehe RegelR 6b in Kap. J .2.1.2)

1.2

A rithmeti k im Bereich der reellen Zahlen IR

31

Unter einer Doppelsumme versteh t man;

Def. 1.2.29:

I

m

il;k ,,=

k- I

I

"

(a il + a i2 + ... + a im) =

i- I

üb e r

~

su mmiert

en + a l 2 + ... + a lm +321 + 322+ ···+ a2m

+ ...

Es wird zu näc hst übe r k summiert und die entstandene Summe dann übe r i summiert (od er um gekehrt ). Die Summatlo nsrelhcnfolge (ent über i , dan n über k ode r umgekeh rt) ist belanglo s: "

m

m

"

Aufgahe 1.2.30: Man schreibe mit H ilfe des Summe nzeichens.

. I ) 'X1Y l . ,XzY2 +

,

...

+ 2X20Y20 ;

ii )

1 + ..!..+ ..!.. 2 3 + ... + _1_ WO .'

Aufgahe 1.2.31: Man ermi ttle den Wert der folgen den Summe n.

HL: i=1

,

_ i_ . i +2 '

I

ii )

<2k2 - k + 1)

iii)

, , L I (i+lXk + 2) i = l k '"1

k =2

"

~'i) L(2k-l)

· vii)

,.,

Aufgalte I.2..U : E s sei

x das arit hmetische.Mi ttel de r _

I

L" i

2

i_ I

n Einzelwerte I

x '= I1 (xl + x2 + ... + xn) = 11

XI'

,., vlll} I

xi

i- 0

x2' " " xn (€ IR), d.h. es gelte;

I Xi n

i_I

Man zetge, dass dann fü r die Summe der q uadrie rten A bweichungen der E inzelwerte Xi vom Mitt elwert gilt: n n

x

L (Xi - i )2 = L Xi2- n ,i 2 . i_I

i_I

1.2. 1.5 D as Produktzeich en A nalog zur Summe nsc hreibweise lassen sich lanb'e Prod ukte in abb'Ckürzter Schreibweise da rstellen:

D'~f.l.2 .33: •

IT ai '= am· am+I · ... -a,

i _m

rn.n e Z;

(xelesen: Prod uk t aller aj von i = m (untere Multiplik ationsgrm ze] bis x: (gn·feh.)Pi) .

!I

n em .

(obereMultiplik etionsgrem e};

32

Grundlagen und H ilfsmitt el

• TI (' +I ) = 2 ,3 ' 4 ,5 = 120

Beispi el:

i- I

Satz 1.2.34: E s gelten folgende Rechenregeln:

,

I)

n TI ;-, c '" r 'e 'c ' ... 'e ",,:c ß

(Potenz) .

Fakte ren

,

aj '" ra l"ca2' ... ' can '" cn.

2)

Aufgahe 1.2.35:

11 a;b ;- 1

j '"

Man ermittle: io

')TI,

ii)

i_I

i- \

•

•

3)

TI a;

, TI ,.,

•

TI a TI b

a lb , ' a 2b 2 ' ... . anbn '"

i- \

j '

i_I

j

ze

iii )

XiJ'I;.z", ;

TI (i - 2) i_ I

1.2.1.6 Fa kultät und Binomialkoertizient Für das Produk t der ersten n natürlichen Zahlen schreibt man abkürzend n! (gelesen: n Falwltilt). Off. 1.2.36:

Bei.~"i el :

n! :=1 · 2 · 3 · ... ·(n - 1) · "

,

nE IN ,

und D! := 1 .

3! = 1 · 2 · 3 '" 6 20 ! '" 1 · 2 · 3 · ... ' 19 · 20 = 2.432.902.008. 176.64 0.000

Im Zusanunenhang mit statistischen oder kombinatorischen Fragestellungen hat der Binomialkoeffizlent (~) (gelesen: n über k) eine gro&: Bedeutung. Er isl wie folb'1 definielt:

(~) ''''

D;r. 1.2.37:

(n _

Belspiek

~~! k !

n 2: k ;

n,kE

Na

= 10

Durch Kürze n erhält ma n: 1' 2 '

'(n -k) '(n - k + 1)'

' (n - I ) 'n

' (k - I) ' k 1. 2 ' ... . (n - k) . "'...: ' '=-'.:. ' _' '''--'''---''--~ (n - k)!

k!

d.h. statt Dcr. 1.2.37 lässt sich zur Defi nit ion des Binom ialkoe ffizienten auch verwenden: Satz 1.2.38:

Beispiel:

(~) =

" ) = n '(n -1 ) 0 0.. o(n _ k + l ) (k 1· 2' .. . k

49 ' 48' 47 ' 46 ' 45 ' -l-4 1 ' 2 ' ) '4 · 5 · 6

13.983 .81 6

n 2: k ;

n,k E N a ·

(f:l A nzahl möglicher Tipreihen im Lollo)

1.2

Arlthmcn k im Bereich der rcellcn Zahlen IR

33

Salz 1.2.39: Es gelten folgende Regeln (ohne Beweis]: I)

(~ )= 1; 1=1

2)

( ßn_ l) "'( ~ ) "' n

3)

I; I = I ':kl ;

4)

( ~)

+

( k~ l )

Bemerkung 1.2.0$0:

(ZJ

( ~: :) .

I".d '" 1"7 1 '"

Ill =l l l = lO;

Belsplet:

'"

(wegen O! '" 1) ;

85.900.584 .

gibt die m ögliche Anzahl verschiedener k-dementiger Teilm engen an, die m an

aus einer n -elememigen Menge (n ~ k ) bilden k ann. So gihl etwa (1) an, wieviele verschiedene 6elementige Teilm engen (z.B. Lotto- Tippreihen) aus einer 4 9-elem em igen Menge (z.B. der Menge aller Loumahlen i gebildet werden k önnen . Ergebn is:

( "/) '" 13.983.816

t- Anzahl der verschiedenen Lotto -Tlp reihen 6 aus 0$ 9)

Bemerkung 1.2.41: Mit Hilf e der Binomialkoeifu iemen tam sich der Binom ische S atz. allgemein [ormutieren. Für n e JNa , a,he lR gill:

~"

•

(a+b)n '" L( ~ ) an-k b k .

,.,

1.2.42,

z

Beispiel: (a+ W "'L

,-,

Beispiel:

( ~ ) aZ-k · bk "' ( ~) a2 + ( ~) ab +( i) b2 '" a2+2ab+b2

(6)a4 + ( ~) a3 (-b) + {il a 2 (-W + ( ~ ) a (-b)3 + ( ~ ) (-b)4

(a-b)4 '" (a +(-b» 4 '"

'" a4- 4a3b+6a 2b2 - 4ab3+ b4 . Die im binomischen Tenn (aeb)" auftretenden Binomialkoeffizienten lassen sic h besonde rs einfach am sogenannten Pascalsehen Dreieckablese n: n

e

0:

n '" 1:

2

n '" 2:

n

e

3

3:

1

n '" 4: n '" 5:

1

n '" 6:

1 6

4

5

3 6

Jede innere Dreieckszahl ergibt sich als Summe de r bcidcn unmittel bar darüber liegenden Dreiec kszahlen (wegen:

1 1 4

10 10 5 15 20 15 6

( ~ : :) 1

'"

( ~)

+

( k~ l) )

34

Grundlage n und H ilfsmitt el

Aufgahe 1.2.4 3: M an berech ne

..l!.. .

KI .(, 31

tot

31'

2! 71

31 3! 4!

( 100) 99

ii)

(10,0) "

;

Man multipliziere d ie Klammern aus:

iv) (2x- y)1O =

(a+W :

iii)

1.2.2 Potenzen 1.2.2.1

Poten zen mit natürlich en Exponen ten

Wird eine reelle Zah l a n-ma l mit sich selbst multipliziert, so füh rt man fü r das entstehe nde Prod ukt

a ' a- a · .... a eine neue Schreibweiseein: Der. 1.2.44:

an '=a ·a · a · ... · a

(aEIR, nE IN) .

n Faktoren

Bemerkung 1.2,45 : i) a" wird gelesen "u hoch n " ii) Im Term an heißen:

a:

n:

Basis, Gnm dzahl Exponent, Hochzahl

a M:

Potenz, Potenzwert

Beispiel 1.2.-16: (- 1) '(- 1)' ... ' (- 1)

I)

ln-mal 1 1 .I : -I (-1 )' : _._

ii )

2

222

.

S '

(- 2)' : (- 2)(-2) ' (- 2) ' (-2) : 16

iii)

aber;

- 24 = - (24 ) = -1 6 ; (im Tenn - o" gehön das Minuszeichen Ilkllt zur Basis, siehe Vereinbarung 1.2.8

(" Po/enz vor Strich "!))

5 , 72

iv) aber:

5 · 49 = 245 (5 - 7)2 = 35 2 = 1.225 ""

(in ah ll gelJön der Fak tor a nicht zur Basis (~ PotellZ vor Punk t "!) )

Man unterscheide: -h (ab)" =

ab , ab , ab , ... "ab,

und

(siehe Vereinbarung 1.2.8)

1.2

J5

Arithmetik im Bereich der reellen Zahlen IR 10 1 =

10

JOZ =

100

10 3 =

1.000

10 6 =

1.000 .000

10 9 = 1.000 .000 .000

Zehnerpotellzen:

Z ehnerpotenzen werden benutzt, um große Zah len kurz und ubersichttich schreiben zu k önnen :

lO n = 1000 ...0 ~

n Nullen

(a -b)10= (a - bXa- b) ... (a -b) =

vii)

=

a IO-10a9b+ 45a Sb 2...120a 7b]

432.100.000.000 = 4,32 1 ' W fl - 2.170.000 = -2,17' 1.000.000

= -2,17'106

(siehe Satz 1.2,42)

+ 21Oa 6b4- 252a 5 b 5 +2 1Oa4b 6- 120a 3 b 7+45a Zb8-lO ab 9 + b lO

Für die nach Dcf. 1.2 .44 erklärten Potenze n (mil m , n e N) gelten die folgenden Rechen regehu Satz 1.2.4 7:

Pt.

Beisp iel:

1'--,m

-

P 2:

a''

_ =

,m -"

für m > n

I

fur m = n

1

I

an - m

für m < n

a 2 ,, 3 = (a 'o ) '(a'a 'a) = ,, 2 +3 = ,, 5

-;;r =

,, 5

a '''' a'''' '' u· u· u

u3

u ·u· u

-;;r=~=1

u3

-;r =

u ·u·u

I

u· u ·u·u · u

={ii I = ,, 5- 3

(a 2)3= a 2' a 2'a 2 = ,,2+ 2 +2 = a6

P3:

'" a 3 '

2 =

(a 3 )2

(a 'b)3 = (a ' b)(a ' b)(a ' b) . .,

1

--

,"

PS:

b"

(H O)

= u ·u ·a · b · b ·b = aJ ' b 3

36

Grundlagen und H ilfsmitt el

Beispiel 1.2.48: a3 . b 6 aS 'b 4

(a- b 2)3 (aZ'b)4 =

. .)

P4

"

b 6. 4 b2 a8 - 3 =

7 ;

P2

lI3{_X)Z 'y 6 ,y _ (x 8y4)

P3/N

iii ) 2.20U.OOO 30.000 ::: 2,2 . 106 . 3 . 10 4 = 6,6 ' 106 + 4 = 6.6 '

10 ' 0 =

66 .00 0 .000 .000

iv) 4.000 .000 3 = (4 ' 106)3 : 4 3 ,106 ' 3 = 64. 10 18 = 6 ,4-10 19 = 64.000 .000 .000 .000.000.000 y) 3(3

3

)=

3 27 = 7,6 -10 12

(33)3 = 3 9 = 19 .683

aber.

Definitionsgem äß gilt: ab~ ,= a(b ') . siehe Vereinbaru ng I .2 .1l

Bemerkung 1.2.-19: j) Pur die Ad dinan zweier Pu/ m u l l gibt es kein einheitliches . Potenzgesen", Es besteht höchstens die Möglichkeit, einen gemeinsamen Faktor auszuklummem.

Beispiel:

3x 4 +2x2 = x 2(3x2+2)

x L5x" = x3(l -5) = - 4x 3 Die Tenne xl +y2 oder x' +yJ us\\'olassen sich in IR nicht weiler" vereinfachen", ii) Für die Multiplikation (Divi.\'itm) zweier Potenzen, die sowohl verschiedene Basen als auch verschiedene Exponemen haben (z.B. x" .y"), gibt es ebenfalls kein eigenes Potenz gesetz. Hier ka nn man evemudl einegeeignete Teilpotenz abspalten und mit den Potenzgesetzen PI -PS umfo mlt'n.

Beispiele: i) 3X3 "y'1 = 3x 3 -y3. y : 3y · (X)~ 3

7 x 3·x 4 x ii) _x = _ _ '" (_) 3 ·x 4 y3 y3 Y

;

1'4

P1

•

1.2.2.2 Potenzen mit ganzzah ligen Exponenten D ie umständ liche Fallunterschcid ung be i der Division zweier Pote nzen mit gleicher Basis (Regel P2) gibt A nlass z ur Erwetrerung des Pot enz begriffs auf nich tpo sitive ganzza hlige Exponenten n (ne Z ).

Nach Potenzgesetz P2 erha lten wir z.B: a3 (.) -;s =

11 aH :

7

bzw.

a3

-;;3 : 1 m

Fordert man ein einheitliches Potenzgesetz in der Fo nn ~ : a" :", so liefert das Beispiel: a a3

(· · ) _

a5

: a 3 - 5 : a- Z

bzw.

a3

-

a3

: a3 - 3 : aO,

(a =l= O !) .

Damit die E rgebnisse von (.) und (••) ebcreinstimmcn , m uss man als Definition ford ern: a - 2 sowie aO,: 1. Al lgemein definiert man da her (unter de r Vorau ssetzung a 0);

"*

i) a- n

,"'

ii) ao ,= 1

(aelR \ {O}

neZ)

1.2

A rith met ik im Bereich der reellen Zahlen IR

37

Mit dieser Definit ion lautet das 2. Potenz gesetz einheitlich für alle Exponenten;

[EJ _

P2:

m

a

'= am - n

(ae lR\ {O} ; n ,m e Z ) .

Ohne Beweis sei angemerkt, dass auch fü r dicsc cnc uen" Potenzcn sämtliche Potenzgesetze P I -PS gültig bleiben (Perm anentjJrinzip: Die Erweiterung von Begriff eneifolgt derart, dass diebisherigenGesnze ernatren bleiben). Beispiel 1.2.51:

,'. -'a

I) - '- = - ' - = an

Zehnerpolenzen

ü ) 10- 4 = -'-4 = - '= 0 0001 10.000 ' 10

10'

'0' '0' 10'

allgemein: Zehnerpotenzen mit negativem Ex ponent en:

1O-n =~,= 10

-

1 = 0,000 ... 01 ; 100 ... 00

n Nullen

2,9 .10 - 3

'=

ne IN;

= 1.000

100

,

10

10- 1 =

0, '

10- 2 ,= 10- 3 =

n Nullen

0,01 0,00 1

2,9 0,00 1 = 0,0029

aber:

- 2-4 = _J. = 24

_-1. . 16 '

aber:

1.2.2.3 Potenzen mit rati onalen (gebrochenen) Exponenten; Wurzeln Der Potenzbcgriff kann nochmal s erweitert werden: D ie Ford erung, dass die Pot enzgleichun g

(n e N ;

a, x 2: 0),

z.B.:

XS

=

32

eine Lösung x e IR ~ in Fonn eine r Pot enz haben soll, gibt A nlass zur Erweite rung des Potenz bcgriffs auf bcl icbige ra lionaie Exponenten n (n e O) . Pot en ziert man beide Seiten von (v}: xn = a forma l mit

, ,

J. , so folgt n

,

(x")n =a n . Unt erstellen wir die Gü ltigkeit vo n P3, so folgt aus (H) wegen

,

xn = a

~

x= a "

(X")ii

.

= xii = x

(" e H ; a,x 2:0) .

das R esultat:

Dahe r definie rt man:

38

Grundlagen und Hilfsmittel 1 Die Potenz a n , ae IR~, n e N, ist die mchtnegauve Lösung der Gleichung x" = a,

,

Der.I.Z.52:

d.h. es gilt:

(a" t : a .

, Beispiel 1.2.53:

I

32

5

, ist diejeni ge nichtnegative Zahl x, für die gilt: ,,5 =- ( 32 5 )5 =- 32.

Wegen 25 == 32 gilt; 32

,

~ :. 2 .

Nach Dcf. 1.2.52 ist an diejenige (nichtnegative) Zahl, die - mit n potenziert - wiederum a ergibt.

Dafür kennt man auch die Schreibweise

"va (gelesen:

~ n - (e wurzet aus a"; Die Basis a heißt ~ Radi -

kand-, n heißt ; W urzclexpo ncnt" (0 E IN).) Daher defin iert ma n:

1 a"

!

3

BeisJliel 1.2.55: 8 3 =

I

(-49) i =

VB r- 2)

(a :::: 0; ne IN') .

:=

I

42 =

2

V4 = V4 =- 2

!

-49 2 =

v:49 ist nicht definiert, denn die G leich ung x 2 = - 49

-V49 = - 7

;

hai keine Lös ung in IR.

Analoge Überlegungen über die nichtnegative Lösung der Gleichung x" = a" (ne IN, me Z, a > 0) führen zur Definition vo n Po te nzen mit bcltebigen Brüchen als Ex po nenten: Der. 1.2.56:

m

i) DicPotenz

an m

(an)n= a m

d.h .: m

ii)

(as Rt, n elN,m E Z ) ist die nichtnegative Lösuog der Gleichu ng xn ::: am,

V;m .

an

Beispiel 1.2.57: ~

i) 8 3 ",

•

3

3

V""8T = V64 = 4

, ii) -8 3

, "V"'2""

iii) 2 12 = ist die Lö sung der G leich ung x 12 '" 2 1 = 128. Positive Lös ung (mit H ilfe eines ele ktronischen T aschenrechners ermit telt): X "" 1,4983.

Man ka nn (mi! etwas A uf wand) zeigen: A uch jetzt beh ält das Pennanenzprinzip seine G ültigkeit: Sämtliche Potenzgesetze P l· P5 bleibe n auch für Potenzen amIn erhalte n.

1.2

Arithmeti k im Bereic h der reellen Za hlen IR

39

Bemerku ng 1.2.58: Ohne Beweis sei angem erkt, dass die als Exp onenten auf tretenden Bruche m it Hilfe der entsprechenden Rechenregeln f ür Bn'iche umgefo rmt (z.B. erweitert und/o der gekürzt) werden dürfen, sofern die Basis stets posirivist! Andernf alls k önnen Widerspru che auf treten, Kostp robe:

,

,

- 8 = (- 2]3 = (_2) 6/ 2 = « _2) 6)2 = 64 2

Beisp iel:

= +8 ,

also gilt: -8

= +8

( 1)

- .

Beispiel 1.2.59: (alle B asen a, x, )', u positiv)

,

m

i) van'= a

,

A

,

= ( a nr= ( va)",

1-

ii )

VX2 =

iii)

Vry-."VY' ''y'eo

x4 =

~

1

u "

=

tv-u m

•vam

Wie schon in Beispiel 1.2.59 ansatzweise gezeigt, erü hrigen sich wegen = a n eigene Gesetze ftir da... Rechn en mit wurz eltenneu . Vielmehr lassen sieh alle Umformungen für Wurzelterme auf die fünf Potenzgcsezc PI -PS zu rüc kführen. In w urzclschrctbweisc laute n sie:

Salz 1.2.60: (Wurzelgesetze) Für a . bo W I:

ü

:

"

, W3:

r, seO gilt:

-, ,-,

•va' .

W2:

W4:

n ,m e lN ;

. , .. "

a

m

m.

.m rc;;;;;-c;-;;;-

Varm

+ Sn

.m =

~

nya;:- . nV"i)r'"" =

WS:

Bemerkung 1.2.61: Ist in 0-< der Exp onent x eine beliebige rationa le Zah l (x e fQ), so muss die Basis a entstehen k önn en. positiv sein, damit kein e undejinien en Ausdrücke, wie z.B. 00, 0. , (- I) 1/ 2 '" A usn ahm en (um er Beachtung von B em. 1.2.58) :

'

N ,

- Ist der Exponent stets positiv, so darf die Basis Nu ll sein iz.B. 0 '12 = 0). - Ist der Expon ent eine ga nze Z ahl, darf die Basis negativ sein (z.B. (_2)3 = - 8).

40

Grundlagen und Hilfsmittel

Bemerkung / .2.62:

"

Beispiele:

a)

1-21= 2 ..

V(_2) 2 =

L

Y;;;;-=( ,")"

i) Man beachte: für gerades n und a e IR gilt:

b)

Beispiel:

(- 8)

v:s

!..

3

3 ""

,= -

3

VB

X - 3 für X ~ 3

V(x - 3)'

ii) Für ungerades n d efini ert m an gelegentlich a 1/ " bzw.

1, 1 (La. *' a) IX- 31 = { 3 -xfilr x<3 =

va auch füreine negative Basis a:

"

= - 2, denn (- 2/ = - 8.

Man beachte aber die aus B em erkung 1.2.58 folgenden Einschränkungen .' iii) Man unterscheide:

V4'"

a)

Der Term / 12 = 2 ist eindeuligund slets posiJiv! Die weitverbreitete »Gldchung ": = ± 2 ist alsofalscll!

b)

Die Gleichung x 2 = 4 dagegen bemu die L ösungsmenge L = (- Vi, h at also zwei L ösungen, näm lich 2 und - 2 !

jy) A llgemein gilt:

,)

V4) =

(- 2, 2),

Die Gleichung J!l = a ,- n eN .. a ,.r e JR hat Iolgende L ösungcn:

n gerade: fa lls a

?:

,

~

Beispiel: x 3 = - 125

.L

,

f alls 0<0:

L = { V"i6, - V!6 J = {2, - 2j ..

(=)

n ungerade: fal ls a

.L

L = { a" ,_a n l ;

0:

Beispiele: x:' =16 b)

V4

L

L = { a n} ,

0:

f alls a < 0:

3

<::}

L ={ }

xl = -1 6 L =

~

I-I"

L = ( ).

,

7 1 }.

L = { -VTi5} = {-5} .

1.2.2.4 Potenz en mit reellen Exponenten Eine nochmalige E rweite rung des Potenzbe griffes für belieb ige ree lle Exponenten ist (mi t H ilfe von

V2

zwischen sogena nnt en . Jmervaüschachretungen'q möglich. Danach liegt ctwa der Wert dcr Potenz 3 3 1,41 und 31,4 2 b zw . zwischen 31,414 und 3 1,415 b zw. zwischen 3 1,4142 und 3 1,4143 usw. und lässt sich beliebig gcnau dureh Potenz en mit rat ionalen Exponenten " ein sc haehte l n ~. A uch fü r den dam it erreichtcn allgemeinsten Potenzbegriff gelten sämtliche Potenzgesetze P I -PS analogweiter (Perm anenz). Zusammentassend werden nun die Potenz ges etze noc h einmal in allgemeiner Form aufgeführt : Satz 1.2.63: Dei. 1.2.44 :

Unter Beachtu ng der De finition en

,= a · a · a · ... ·a

a~

a'

:=

a

(/1 e N)

n Faktoren

Der. 1.2.50: t

Der. 1.2.54:

." .

,=_1_ .

(lI e N, a * O)

, " ,= "va ,= • a n ,= vam

positive Lö sung der Gleichu ng x" = a

(li e N, a>O)

m

Der. 1.2.56:

gilt fü r Po tenzen mit positive r

Ba~i s

(n e N, m e ,E, a > O) (a , b > 0) und beliebigen ree llen Expon ent en (x , y elR):

1.2

41

A rith metik im Bereich der ree llen Z ahlen IR

a"' aY'" a"+Y

PI:

"'"

P2:

-

P3:

(a")Y

Vereinbarungen: '" a"-Y

= a'Y = (a1')"

N:

(ab)"

PS:

(b")

abc ,= ibc )

= a"b"

e .«

a(b n) - (an)

ab'' - a''

(i. a. -'# (ab( l)

(a +bf<-'# aX+ Jr

aber:

(11/)

a"

= bX

A ußerdem gelten fü r posluv e B asen fo lgende für d ie Gleic hungslösu ng ....'ichtigc n Äquivalenzbc zlchungem

I a" = ar

P6:

~

(x = y v a = 1)

I

(a > 0)

("Sind zwei Potenzen mit gleichen Basen gleich, so auch ihre Exponenten, oder die Basis ist Eins - und umgekeh rt"};

I

P7:

~

a" = b"

(a = b v x = 0)

I

(a,b>O)

(" Sind zwei Potenzen m it gleicheil Exponenten gleich, oder der Exponent ist Null - lind umgekeh n. d) Außerdem :

.1'0

auch ihre Basen,

6

E ine Po ten z mit positiver Basis ist stets posi tiv;

(aE IR +) .

Aufgabe 1.2.64: Man forme mit H ilfe der Po tenzgesetze so weit wie möglich um:

ij

, Ve- ·Vc=3 ~l

iv)

., 3

v;r.~

Jq

a _ . ~ ii ) VX2. VX ;

'j

iii)

(

.

a2

,

·Vb V'

,

)a

('v (,vJJ V')V'

Aufgahe 1.2.65: Man ermittle die Lös ungen folgender Gleichungen (Nä her ungswerte: ele ktronis cher

Taschenrechner): i) XS = 1.0 24 ;

ii) x4

iv) 243 xs = 1.02 4

v) 4x 20 - 10.000 = 0

= 11 ;

iii ) 16x4 = -I ; vi]

4.300 = 85001.1 17 - 10.000 (q17 - 1)

42

Gr undlagen und Hilfsmittel

1.2.3 Logarithmen 1.2.3.1 Begriff des Logarithmus E s kommt häufig vor. dass in einer Gleich ung a'' = x der Exponen t u zu bestimmen ist. (De rartige G leichungen nennt man " Exponentialgleichun gen" - sorgfältig zu unterscheiden von den " Potenzgleichu ngen" \\i e z.B. x4 = 17, bei dene n die Basis d ie Lösungsvariable enthäl t.) Beispiel 1.2 .66:

ii)

2u = 32 ; u = '!

Da 2 5

1011 = 0,00 1

u = -3, de nn 10 , 3 = - I 3 = - I- = 0.00 1 10 1000

~

u =

iii) iv)

2009 11 = J

~

= 32

gilt.folgt u

=5

;

1.) ' denn

u = 0, denn 2009 ° = 1

Jede Expo nentialgleichu ng der Form aU = x (m it ae IR+\{ 1}. Xe IR +) hat eine eindeutig bestimmte Lösung u (u e IR). Dieser einde utig best immte Exponent u heißt Logantbmus von x zur Basis a . symbo lisch: u = IOlkx . Es gilt a lso die definitorisch begrü ndete Aquivalenzbez iehung: aelR+\{l}

Der. 1.2.67:

x E IR+

uelR .

Beispiel 1.2.66 lässt sich mit Dcf. 1.2.67 formal wie folgt lösen:

i)

2u = 32

Co}

u = log232 :: 5, denn 25 = 32

ii)

lOu = 0,00 1

Co}

u = k% o 0.00 1 = -3, de nn 10- 3 = 0,001

iii)

125 11 = 5

Co}

u = log125 5 =

+,

1 denn 125 3 = 5 .

Bem erkung 1.2.68: i)

Das Wort LogoriJIlITlIls bedeutet dasselbe wie Exponent (oder Hochza hl).

ii) Der Potenz wert x in a U = x bzw.

U

= (og"x heiß t auch Numerus.

iii) Der Numerus x mUH stets positiv sein, denn zu einer positiven Basis a giht es keinen Exponenten, so dass die entstehende Potenz x (der Numerus] Nu ll oder Ilega/iv wird. M Statt der Def. 1.2.67 definiert ma n häufig:

Def. 1.2.69: Der Logarfthmus von x zur Basis a ist derjen ige (eindeutig bestim m te) Exponent u , mit de m man a potenzieren muss, um x zu erhalten. (0, x > 0, U *-1) v) Die Bildung des Logarithmus logaX zu einem gegebenen Numerus x heiß/ logarithm iere" .

1.2

43

Arithmetik im Bereich der reellen Z ah len IR

Bei Expo nentialgleichungen wie z.B. 3 u = 25 nü tzt dic fo rmalc c l.ösung" nach Dcf . 1.2.67 allerdings zunächst wenig:

E s fehlt offenba r eine Method e. mit der solch e Logarithmen (= Expon enten) bestimmt werden kön nen, der en Wert sieh nicht d ureh escharfes Hinsehen" offen bart (wie etwa die Logarithmen in Bcispicl1.2.66). G rundbau steine dieser im fo lgenden da rgest ellten Bereehn ungsmeth ode bilden - die Loga rithmen zu den Basen a 1= 10 bzw. a "" e (da nur diese tabelliert od er au f ele ktronischen Taschenrec hnern programmiert sind). - die Rechenregeln L1- L3 für Logar ithmen (siehe Kap. 1.2.3.3).

1.2.3.2

Logari th menbasen

Lo garithmen (dA Expon ent en) zu r Ba~is 10 heißen dekadisch e Logarithmen (Zehnerlogari thmen od er Brigg'sch e 7 I.ogarit hm en). Ma n kürz t ab:

I.

- -- -

(1.2.70) Beispiel:

lag lO x ==lg x Ig1O.000 '" lag lo 10.000 = 4

(denn 104 = 10.000).

Lo garithmen zu r Basls e heiße n natürliche l -Ogarithm en (e = Eut erseh e Zahl s ). Man kürzt ab:

log, x = , In x _ _ I

(1.2 .71)

u = log, 3 = In 3

Belspiel.

<::::

1,0986 .

Beispiel 1.2.72: Mit H ilfe eines elek tronischen T aschenrec hners erha lt man (auf 4 Nachkommastellcn gerundet): 1.2304

Ig 17

~

Ig l

= 0

<::::

17)

(d .h. Wo = 1) ;

Ig 3, 1632 ::::< 0.5000 In 0.0017

(d .h. lO t ,2104

~ - 6 ,377 1

(d .h. lOo.5 =

2,8332

In 17

<:::<

ln I

= 0

(d.h. e 2,8332

<:::<

17)

(d .h. eo = 1) ;

V10 ::::<3.1632)

(d .h. e - (,,3771 = 0 ,0( 17)

.

Bemerkung 1.2.73: Gelegentlich verwendet man die L ogarimm en zur Basis 2, auch duale oder binäre L ogarithm en gman"t. Abkurzung: log2x = , ld x = , lb x, Die Berechnung vo" L ogarithm en zu beliebtgen Basen erfotgt in Kapitel 1.2.3.4. 7 Nac h HCII!:' Briggs, der 162-1 die erstell unitassenden dekadisc hen Logarithmentafeln ( 1-1 stcllig) veröffentlichte. Dcr T crmillus Logarilhm us stam mt vom Edinburgher Mathematiker John Napscr ( 161-1). g

Für c-Faus hier die ersten -1- 1 Stellen der Euierschen Zahl: e = 2,711128 1828-1 59ll-l5 23536 0287-1 7 1352 662-19 77572 ...

=

",," ..1 _ Jim (I + l )n , L 0n! n _'" n ._

siehe ("'-2. 10).

1 Grundlagen und H ilfsmittel

44

1.2..3.3 Rechenrcgeln für Logarithmen Die Rechenregeln für Logarithmen lassen sich unmittelbar aus Dcf. 1.2.67 und den Potenzgesetzen ableiten . Dabei we rden ste ts positive Numeri x, y vorausgesetzt:

Salz 1.2.74:

(LI)

I IOg. (X' y) = !Og. X + IOg. y

I·

(x.y > 0)

("Der L ogarithmus einesProduktes ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren. ") Beweis: Setze n wir loib. x = u und log. y = v, so folgt nach Dei. 1.2.67: a'' = x und aV Also gilt: x-y = aU ' av = av 'v Nach Def. 1.2.67 folgt darau s:

Beispiel 1.2.75:

y.

log" (x -y) = u-ev = [og,.X + !O&'y .

Es ist: 10&2 8 = 3 und IOg24 = 2.

1 10&; (8 , 4) = 10&28 + log2 4 = 3+ 2 '" 5

Satz 1.2.76:

'"

Also muss nach LogarithmcngcsctzLl gelten:

(Probe: 25 = 32 = 8 ' 4) .

(1.2)

(x, y> O)

(" Der Logarirhmus eines QUOlienten ist gleich der Diff erenz aus dem Logoruhmus des Zahlers und des Logarithmus des Nenners. ")

.. ..

Beweis: (Analog zum Be....eis von L1); Seien

ner. \.2 .67

log. x "" u

log. y "" v vorgegeben.

und

x a'' a'' "" x und a" "" y ::) - "" - = aU - v y

a"

x

Dd . 1.2.67

loga( y) = u-t v = log,x - Iog. y

Beispiel 1.2.77: (siehe auch Beispiel 1.2.75): Es gilt; logz 8 "" 3 und logz 4 "" 2.

I::)

logz( :)

Satz 1.2.78:

= logz8 -logz 4 "" 3-2 ""

(U )

1

(Probe: 2 1 = :

I log. (x' ) = r -log. x

= 2)

(rE IR).

(r > 0)

(,.Der L ogarithmus einer Potenz ist gleich Exponent mal Logarithmus der Basis. ")

('* (JogqtJ'! )

Vereinbarung: log"r' .= loga(x' )

Beweis: Sei log. x = u

~ Def.I.2.67

aU

~ DeI. 1.2.67

Jog. (xf) = r -u =r log. x .

""

x

::)

1.2

Es gilt log28 = 3 => log28 5 I~ 5 log28 = 5 . 3 = 15

ßei~pi el 1.2.79: (siehe auch Beisp iel 1.2.75):

I

45

Arithmet ik im Bereich der reellen Zahlen IR

(Probe: 2 15

= 32.7 68 = 8 5)

•

Au s de m Logarithmengesetz 1..3 ergeben sich zwei Sonde rfalle:

I,

(1.2.80)

(1.2.8 1)

log.,

,

de nn lo&.+ = log., x - !

,

I

VX = n log" x

,

Aus der Dcfinitionsg1cichung 1.2.67: ergeben sich zwei wicht ige Schlussfolgerungen:

denn log.,

aU = x

~

I

VX = log., xii

=

I.]

..!. log., x n

u = log., x

a) Setzt man die linke Gleichung in die rech te Gleich ung ein. so folgt:

I log., aU = u I .

(1.2.82)

b) Setzt man d ie rechte Gleichung in die linke G leich ung ein, so fo lgt: (1.2.83) Daraus wird d eutlic h, dass POlenzieren und Logarnhmteren Umkehroperanonen sind. Für die Basen und e folgt speziell aus (1.2.8 2) und (l.2.il3):

bzw,

Ig lOu =u

(l .2 . 8~)

110

1P

( 1.2.85)

Bei~piell.2.86:

= X

I 1n c =1

bzw.

I ln c't

e

u

10

I

I d"= , I

; l lg lO = l l

l log., a = l l

Inel~ = lne-y= -y ; l ln l=o l; l lg l=o l ; I IOg., I= o l

IgJ OOO =l gI03 : 3

(den nao = l)

47 13 = eln4713 oder x2+ 1 = e1n(x.l" I): Jede positive Zahl ist als Potenz zur Basis c darstellbar! Sowohl die de kadischen a ls auch d ie natu rliehen Loganthmcn gesta tten unter Verwendung der Rechenregeln LI ~ L3 für Lo garithmen die E nn iUlung de r Lös ungen von Exponcmial- und Logarithmusglcichungcn (siehe die folgenden Kap itel I. 2A.I:J, I.2A.!)) . E benso ist es jetzt möglich, die Logarithmen zu jede r beliebigen (positiven) Ba sis zu ennitteln:

46

Gru ndlagen und Hilfsmittel

1.2.3."

Logarit hmen zu beliebiger Basis

Gesucht sei der Zahlenwert von [og.,x für eine beliebige positive Basis a (mit a * 1), z.B. l0Rs 14. Setze n wir: 10&,x = y, so fo lgt nach Def. 1.2.67: a~' = x. Wenn man jetzt auf beiden Seite n den Logarithmus zu einer a nderen pos itiven Basis b (mit b * 1) bildet, so folgt 10b"!> aY = lob"!> x , d.h. wegen L3: Y' I0b"ba = [°b"bX

•

Daraus ergibt sich d er gesuch te Wert y zu: [OgbX/ l0b"ba, ....' ir haben als allgemeine Umrec hnungsregel : [Ogb x log. x = - logb a

(1.2 .87)

(a.b > 0

a ,b * I

x > 0)

E in Logarithmus lässt sich also ste ts durch den Quo tien ten zweier Logarithmen zu einer anderen Basis a usdrücken. Wählt man für d ie neue Basis b insbesondere d ie Werte e bzw. 10, so ergeben sich aus (1.2.87) d ie nützliche n E rgeb nisse

In x log , . - a In a

( 1.2.88 )

log x

a

10, Ig a

= ..:2....:.:.

Beispiel 1.2.89: logs 14 = ii )

I

~ = .!L!.±. == In S

Ig S

(Probe: 51. 6397

1 6397 '

(Probe: 2- 0.5146 == 0,7 )

0 7=~= ln o,7 == _05 1 46

og2 '

Ig 2

In2

== 14 )

'

Beispiel 1.2.90: Mit H ilfe vo n (1.2.88 ) lassen sich einfache Exponcntialgleichungen lösen: 1,07x =3

<=}

Dd .\.2.67

x = log\ 07 3

=

10 3

' (L a S)

- - ==16,24 In 1,07

Aufgabe 1.2.91 :

I) Man fo rme mit Hilfe der Loga n thm engeserze L t - Lj wn : i) Ig(2,

'V, 'y

) ;

ii) 10 (2," u'-' ) ;

iii)

10

V

(5'" r,;:;, )

2) i) wieviele Dezimalstellen besitzt die Za hl a) 3 LOoo b) 999 ? ii ) Wie lau tet d ie näheru ngswcisc Darstellung von 2 500 als Dezi malzahl (Zc hncrpotcnz !) ?

.

3) Man sc hreibe als Potenz zur Basis e:

i) 17;

ü)

V7 ;

iii) 2x ; iv) x' ;

" v) ~ ;

, vl) In x

\i i) X Ln x ;

viii) hubcr" ,

(b,e,h,r,u 4) Man ermittle d ie Zahlen.....crte folgender Lo garit hmen: i} 10& 27 ;

ii) 1°&20100 + log lO0 20 ;

iii ) 1°&0,570 + [0&0,, 200 + 10g L.sO,01 .

E

IR)

1.2

47

Ari thmetik im Bereich der reellen Za hlen IR

1.2.4

Gleichungen

1.2.4.1 Allgemeines über Gleichungen und deren Lösun gen Zu den elementaren, aber auch zentrale n H ilfsmitteln für jegliche Anwendung von Mathematik geh ört die Technik der Oleichun gslösung.

Im Zu sammenhang mit Auss agenl Aussageformen (Kapitel 1.1.3., 1.1.4) sowie in den Abschnitten über Po tenzen (Ka pitel 1.2.2) und Logarithmen (K.1pitell.2.3) haben wir uns schon mehrfach mit der Lösung von Gleichunge n/Ungleichungen besch äftigt. Wir wollen die bisherigen Übe rlegungen zusamme nfassen und im H inblick auf eine systematische Gleichungslösungstechnik erweitern. Seien Tl ' Tz zwei Tenn e (zum Tennbegriff siehe Dcf. 1.1. 19):

ner, 1.2.92:

Unter ei ner Gleichung G versteht m an die Anssagerorm (bzw. Au ssage)

G: T I =Tz . Die Tenne T i' Tz seien vorgegeben mit: T I(X) = XZ + 2x - 4 , Tz(x) = XZ - 1. Z Dann ist die Aussageform G(x): X + 2x - 7 = xZ _1 eine Gleichung. Ersetzt man die Variable x durch eine Za hl, z.B. 5, so geht G(x) über in die AU\.'>lIge:

Bei.spiel 1.2.93:

G(x): 25 + 10-7

= 25-1

d.h. 28

= 24

(full'ch).

Dagegen liefert G(3) eincwahreAussage.

Bemerkung 1.2.9-1:

All' Grundmenge aller vorkommenden Terme verwenden wir [wen n nicht ausdrücklich anders vennerkt) die Menge IR der reelten Za hlen tbzw. IRxlRx ... x lR, f alls Terme Ttx, y, z, ...) mit mehrerenVariablenauftreten.] Nicht immer lassen sich alle Elemente von IR in G einsetze n (siehe Dcf. 1.1.23): Def. 1.2.95: Unt er der Defillitionsmenge D{; der Gleich ung G versteht man die Menge aller Elcmcntc der G rundmcnge (hier: IR), bei deren Ein setzen anstelle der Variablen die Gleic hung G in eine (wahre oder falsche) Aussage übergeht. Beispiel 1.2.96:

G(x):

I

VX '" ...i..-, ,-

Da einersei ts die Q uadratwurzel einer negativen Zahl nicht definierl ist, andererseits der Nenner nicht Null werden darf, gilt: Da = IR ~ \ {1}.

Beispiel I.Z.97:

G(x. y): y2 =

Da In x nur für positive x erklärt ist und der Nennerfür x = 5 sowie für x = - 5 Null wird, crhaltcn wir - da für y keinerlei Beschränkungen bestehen -r :

Du z.B. G( I,O): OZ =

= {(x, y) E IRxlR I x > 0 11 X4= 5} = (IR+\ (5}) X IR , --l.!!...!..- (w) ]L 25

G(e, - 1): (- I)z = ~ (1) eL25

usw.

48

Grund lagen und H ilfsmittel

Def. 1.2.98: Unt er de r Lös ungsme nge I, G der Gleichung G versteh t man die Menge aller Elem ente des Definitionsbereic hes DG• die <ein gese tzt in die Variablen von G - die G leichung zu einer wah ren Aussage machen [siehe Dd . 1.1.2 1) .

Beispiel 1.2.99: (siehe auch Satz 1.1.32) G(x):

x2 = 4 ;

denn

2 2 = 4 (w)

(G ii)

hei ßllö~ba r

G(x):

DG

G(x):

IR

(-2? '" 4 (w)

und

LG

~

'"

{2, -2 }

und sonst (f).

und besitzt endlich viele Lösungen.)

x- 5 "'O ;

de nn 5-5 = 0 (w) iii)

'"

DG = IR

~

und sonst (f).

x + 4 '" x-ö :

DG

'"

(G heißt

Ln = {5}

ei nde utig lö~har. )

IR

denn für jede Einsetz ung gehl G in eineja Ische Aussage über. (G heißt unlösba r, unerrunbar.) i\')

G(x):

(X+I )2 =x 2+2 x+l ;

DG -=IR

~

LG = IR.

de nn jede Ei nsetzung XE D G liefert eine wahre Aussage. (G heißt a1lgemcingiiltig.) G(x.y): y '" 2x-l ;

DG

",

IR x IR

~

Ln = {{"yj ly = 2, -I } .

G besitzt unendlich viele Za~I~aare (die Elemente von D G sind Zah lenpaa re !) als Lösungen.z.B, (0 ; - 1), (0.5 ;0), (V2 ; 2V"2-I ). (2356 ; 471l) usw. Es ist das Ziel der folgenden Ausführungen . auf mögli chst sy stem ansehe Weise die Lösungen (bzw. die Lösungsmcngcn) von G leichungen zu ermitteln. Die Lösunge n einer G leichun g (bzw. einer A ussageform. die aus meh reren durch 1\ bzw. v verknüpften Gleich ungen besteht) lassen sich unmitt elbar ablesen, wenn die auftretende n Gleichungen von der Fonn sind:

B .

a e lR.

Beispiel 1.2.10 0 : i)

G(x):

x '" 3

~

Ln = {3} ;

ii)

A(x):

x ", 3 v x = -3

~

LA '" {3, -3 )

denn eine d urch v (~ oder") verknüpfte Auss age ist bereits dann wahr, wenn nur eine der Teilaussagen (hier: Gleichun gen) wahr ist (siehe (1.1.37» und / alseh , wenn k eine Tellaussage wahr ist. iii)

A(x):

x = 5

1\ X

= 7

~

LA '" { } ,

denn eine d urch 1\ (,.undj verknüpf te A ussage ist fa lsch, wenn auch nur eine der T eilaussagen (hier: G leic hungen] falsch ist. siehe (1.1.34).

1.2

49

Arithmetik im Bereich der reellen Zah len IR

Der. 1.2.101: Folgende Aussagcfonnen (Gleich ungen) mit einer Variablen heißen unmittelbar euü ösber- (a, xi E IR) i)

G(x): x : a

ii)

A(x):

Xl V X = X2 v

iii)

A(x): x: Xl A X = X2 A

x

e

~

La : {a] ;

V X = Xn

~

LA : {xi' x2' .... xn}

A X = Xn

~

LA : { l , sofern nicht alle Xi identisc h.

Man kann die Lösungsmengen von disjunktiven bzw. konjunktiven A ussageformen aus den Lösungsmengen der Teilaus sagdonn en kombinieren: Seien A l(x), A 2(x) zwei (Tcil·)Aussagefonnen (z.B. Gleichungen) und LAI' L A2 ihrcLösu ngsmengen; Da die di.sjunkt i\"e (. ode r") Au ssageform A ](x) v Alx) bereits wah r .....'ird, wenn nur eine Teilaussage (Gleichung) wahr ist, ist die Lösungsmenge LA von A I v A 2 gleich der v erelnlgungsmeuge der T eil-Lös ungsmengen.

i)

(1.2.102)

Bcispiel l.2.103:

I A(x) :

AI (x): x > 4 ; Alx); x '" -2 ~ LAI = {4}; LA2 = {-2} A )(x) v A 2(x): x: 4 v x = - 2 ~ LA: LAIVA2 : LAI U L A2 = {4} u {-2} = (-2, 4 ) .

ii) Da die konjunktiw ("und") Auss ageform A 1(x) A A l x) nur wahr wt rd, wenn berde Teilaussagen {Gleich unge n) zugleich wahr werden, ist die Lösungsmenge LA von Al 1\ A 2 gleich der Scbnfumenge der T eil- Lösu ngsmcngcn:

(1.2.104)

Beispiel 1.2.105: AI(x): x = 3 ; A 2(x); X = 5

I

A (x) = A l(x)

1\

A 2(x): x = 3

1\

X= 5

~

:::)

LAI: (3) ; L A2 : {5}

LA = L Al f\A2 = LAI n LA2 = {3} n {5} = { }

Bei.spiel 1.2,10 6: Vorgegeben sind die beiden Aussagcfo nnen: A l(x, y): x = 3 ;

Alx . y): y =

5

Daraus kombinieren wir die ko njunktive A ussageform. A(x; y); x = 3 deren Elemente reelle Zahlenpaare «x , y)E IRXIR) sind.

1\

Y = 5,

A l wird wahr für; x = 3, y beliebig; also L Al = {(3;y)}. LAI besitzt also unendlich viele Elemente! l

A 2 .....i rd wah r für: x bclicbig y. e S; also L A2 = {(x;5)} . LA2 besitzt also eberfalls unendlich viele Elemente! Also:

LA = LAI A A2 = {(3;y)} n {(x;5)} = {(3;5)}:

Das Z ahlenpaa r (3;5) ist somit die einzige Lösung von A(x, y): x = 3 A Y = 5.

50

Grundlagen und Hilfsmittel

1.2.4.2

Äqulvalenzumtormungen

Das Problem der Gleichungslösung bes teht darin, eine vorgelegte Gleichung G mit H ilfe geeigneter Umformungen, die die t ösu ngsmenge La nicht veränd ern 0quiva[enzum! onnungen), in eine unmittelba r auflösbare Gkichungbzw. Aussageform (siehe Der 1.2./01) zu überführen. Deren Lösungen sind dann identisch mit den gesuchten Lö sungen von G (zur Lösungvon Glcichungs.\)'.I"lemm siehe Kapitel 1.2.4.4 sowieinsbesondere Kap. 9.2). Der. 1.2.107: Zwei Gleichungen G \ . O 2 (bzw. Aussageformen A I' A zI heißen äljui\'aJent, G \ Co) 0 2 (bzw. A l (=) A zJ, wenn sie diese lbe L ösungsmen ge besitzen. Jede Umformung, d ie eine

Gleichung in eine zu ihr äquiva1cnte Gleichung überführt, heißt Äquh'alenzumronn ullg. Bemerk/mg J.2.108: Man vergleiche hierzu die analogen Formulierungen im Zusammenhang mit der Defi nition VOll ~ ~ "in Kapitel l .l .5.2, insbesondereSatz 1.1.53 sowie Bei fp iell .I.S4.

BdsllicJ 1.2. 109:

G I: 2x z -32=0 ; G 2: x2 -1 6 = 0 ; G 3: (x- 4Xx + 4)=0 A 4 : x - 4 = 0 v x + 4 = 0 ; A s: x = 4 v x = - 4 .

Man überprüft leicht, dass gilt:

Lo l

=

Lo2 =

LG3 = LA.( = LAS = {4; -4 }

Daher sind alle o bigen Aussageformen/Gleichungen äquivalent: G I ~ G 2 ~ G 3 ~ A 4~ A s, sämtliche soe ben d urchgeführten Umformungen sind A quiv alcnzumtorrnunge n. Nicht in allen Fällen lässt sich eine Gleichu ng so problemlos wie in Beispiel 1.2.] 09 äquivalent umformen. Es stellt sich daher die Frage. welche Umformungen überhaupt Äquh'alenzumfomlUngen sind. Die folgende Übers icht gibt die für die meisten Fä lle ausreichenden Aquivalenzu mformungen an. Bezeichn en wir d ie vorkommenden Ter me wieder mit T i' T 2, T 3, ... und unterstellen wir, dass bei allen vorkommende n O perati onen die Definitionsmenge Da der A usgangsgleichung G: T l = T 2 unvcrändert bleibt, so sind die folgenden Gleichungsumformungen '\quivalenz umfomlUngen. 1assen also die Lösung der Gleichung unverändert : In der Gleichung Tl = T 2 darf jeder der Terme T l und/oder Tz dureh cinenihm äq uivalcn ten Term T; , T; erse tzt werden (T ennerselzung ist eine Äqu ivalenzumformung). Wenn Ti und Ti· äquivalent sind. d.h. wenn die Gleichung Ti = Ti· allgemeingültig ist, so gilt: (1.2. 110)

Beispiel 1.2.11 1: Die Axiome A I-A5, M 1-M5, D (siehe Satz 1.2.2), die elementaren Rechenregeln R 1 bis R 13b (s. Kapitel 1.2.1.2), die Potcnzgeseue P I-P5 (s. Satz 1.2.63), d ie Logant nmengesetze U L3 (s. Sätze 1.2.74-78) liefern wichtige Beispiele für äquivalente Terme . Daher sind etwa die folgenden Gleichungen (p er Termerretzung) äqu ivalent : i)

x2 - 1 = 0

~

(x- lX x+l )=O

(wegen R6 b)

ii )

I n ~ =1 0

~

~ l n(x2+ 1)= 10

(wegen L3)

iii)

2" 3' =17 +4

~

6' = 21

(wegen P4 undAl )

h')

Ei n Tenn T darf - wegen A3 - äq uivalent erset z! werden d urch den T enn T ±O. Beispiel: x2+ IOx = 11 ~ x2+ IOx+0 = 11 (wcgc n Aä) ~ x 2+lOx+25 -25 = 11 (wegcn A4) ~

(x- 5)2-25 = I I

(~ qua dra /ücllf! Ergänzung ") (wegen R6b bzw. Bsp. 1.2.13).

1.2

"

A rithmetik im Bereich de r reene n Zahlen IR

v) E in T erm T darf äquiva lent erse tz t werd en durch den mit e ( ", 0) erweiterten (bzw. gek ürzten} Term T ~ C [bzw.

T , 1)'

i : ~), d.h. T darf -

a) ....!.+..!.. :1O ~ .i!.+ 1..!. :10 3

..

1212

wegen M3 - äquivalent erset zt werden dur ch T · 1 (bzw, <:9

.1.!5....: 12

10

b) ..!1.!!.... : 7 5

~ 3x ", 7

Für jedes der oben aufgeführte n Beisp iele gilt: D ie Termwerte links vom Gle ichheit szeichen behalten auc h nach U mfo rmung für jede E insetzung de nselben Z ahlenwer t (d.h. sie sind äq uivalem) . Für dic T enn wert e rec hts vorn G leichheitszeichen gilt dasselbe - ihr Wert ble ibt unveränd ert .

I T l '" T 2

( 1.2.112)

~

Tl ± T] : T2 ± T]

(Derse lbe Term darf auf beiden Seite n einer Gleichung addie rt (subtrahiert) werd en.) Beispiel:

2x +7 '" 4 -x , 2x +7 +x - 7 :

Ad diti on des T enns x -7 auf beiden Seiren liefert :

a -x - x- ?

d.h . mit (1.2.11O):

3x '" -3 .

( 1.2.1 13) (BeideSeitcn einer G leichung dürfen mit dem selben ntcbtv ers chwtnd end en Term muhlpllzlert werden .) Beispiel: i)

~ x : 7 , Multi plikation mit 2 (* 0) liefert: x '" 14 ;

ii)

.~

'"

x ~l:

Du ", IR\ {O, t}; M ultiplikat ion m it T ] "' x (x- l ) * O liefert:

x- 1 ",2x.

Bem erku ng: Mit nichtk onstanten Tennen wird i.a. nur bei der L ÖSIIllg von Bruchgleichungen m ultip liziere!

( 1.2.114) {Bcidc Scltcn der Gleichu ng dürfen durch denseihen ntcju verscbwmdenden Tenn dlvtdlert werden.] BeisIlieie: i)

3x '" -1 2 , Division du rch 3 ( * 0) liefert die äquivalente Glei chun g: x = - 4

ii)

(x - 5) ' c" =

°;

Da

= IR

; D ivision durch e' (> 0) liefert: x - 5

=0

.

Bemerkung / .2.1/ 5: Keine Aquivalenzumf ormu ng dagegen tst die Division der letzten Gleichung ii) durch x - 5, denn der Term x - 5 wird Nu ll für .r ,= 5, daher h ärtedie so umgef orm te Gleichung . -5 - 'e" '" eX '" 0 . - 5 einen anderen Definitionsbereich. n äm lich IR\ { 5 j , als die A llsgangsgleichung G (Da = IR). D ass die Division du rch x - 5 k eine A quivatenzumfo rmu ng ist, läss t sich im übrigen leichI daran erkenn en, dass (x - 5) . t:' = 0 die L ösung ~ 5« besitzt, während t>'" '" 0 keine Losung besitzt. (Die Division nichtkonstanter Tenne ist m eist entbehrlich und so llte - wenn überhaup t - nu r mit größ trr Vorsicht erfolgen.' )

52

G rundlagen und H ilfsmittel

=

(1,2.116)

(E in Prod ukt zwcic r Te nne wlrd gcnau dann N ull, ....e nn einer der Tenne N ull 'Wi rd (oder beide), siehe Kap. 1.2.1 .2, R13c.) Beispi el:

i)

(x - 2 Xx+ J!3l=0 ~ x-2=Ovx +vJ=O

ii )

(1.2.116) kan n auch auf beliebig vide Fak toren ange wendet werden:

I

(1.2.117)

~

T \ · TZ· ..· ·Tn=O

(d.h. L = {2 , - V'3 } )

T 1 = O v T z = O v ... v T n= O

(.

2x (x + 2Xx -4)(2x-1O) = 0 ~ 2x = 0 V I + 2 = (l v x a = 0 v zx tü = 0 , d.h. L = {O,-2, 4,5 }

z.G.:

e

e

(1.2.11 8) (Bcidc Seiten eine r Gleic hung dürfe n zur gleichen po sitiven Ba.o;is a (a e 1) poten ziert werdenoder: Sind zwei Pot enzterme mit gleiche r Basis a gleich, so auch ihre Exponcntcn.) Beispiel : Ig x = 2,5

i)

~

IOIIP =

d.h.

102.5,

x = 10 2,5 ~ 3 16,23

(siehe auch diespiueren Kapitrl1.2.4.8 und J .2.4.9.)

1. = x2 + x

ii)

I T l '" T z

( 1.2. 119)

~

1

logdT 1 =loga Tz

(T" Tz > Oi ae tR+\{ l} ) .

(Bcidc Seiten einer Gleichung d ürfen logarithmiert werden zu jeder pos üivc n Basis a el. oder: Sind zwei Logarithmen zur gleichen Basis gleich, so auch ihre Nu meri.)

BeisJliel: (sieheauch äasspstcreKap. 1.2.4.8) ;)

3eX = 69

ii )

LOS" = 4

=

eX = 23

=

""1,

IgI,OS" = Ig4

"

In eX = In 23

= L1

d.h . x = In 23

n'lg 1,08 '" 194

,

~

3,1355 ;

d.h . n -- ~1g J,Ol~ - 18,01.

Beim Potenzieren und Radi aleren von G leich ungen müssen wir eine Fallunterscheldung mac hen : Fall i) D er Ex po nent bzw. WUlZclexponent sei ungemcle:

( 1.2, 120)

=

(1.2.121)

=

T ," - TJ"

ne IN und n ungerade

(Bcide Seiten einer G leichung dürfen potenziert bzw. radiziert werden , wenn der angewend ete EXI)()llent n (bzw. Wurzelexpon ent n) ungerad e ist.)

,

1.2

53

Arithmetik im Bereich der reellen Zahlen IR

Beispiel 1.2.122:

1

(X- 1)3 =2

i)

x - l = 23 = 8

C=>

d.h.

x=9

2X+ l=V 16.807= 7

d.h.

(Beide Seiten mit 3 potenzieren.)

s

(2x+ l)s =16 .807

ii)

<:::'

x=3

(A uf beiden Seiten die 5. Wurzel ziehen bzw. mit 1/5 potenzieren.)

Fall ii) Bei geraden Exponenten bzw. Wurzelexponenten sind Potenzieren und Radizieren allerdings La. keine Äquivalenzumfonnungcn! Beispiel 1.2.123: GI: x = 3. Quadriert man auf beiden Seiten, so ergibt sich: G 2: x2 = 9. GI hat die einzige Lösung 3, 0 2 dagegen hat die Lösungen 3 und - 3. d.h. beim Quadrieren ist eine Lösung " hinzugekmrum:n". Daher ist Qua driere n La. keine Äqulvalenzurnformung. Dasselbe gilt für das Potenzieren mit allen anderen geraden Hochza hlen 4, 6, 8• ... . Bemerku ng 1.2.124: Wird dennoch - wiees beim Lösen von Wurzelgleichungen ublich ist-durch Qu adrieren bzw. Potenzieren mu geraden Exponenten umgefo mu, so muss mit den erhaltenen Lösungen unoedingi eine Probe an der A usgangsgleichung vorgenommen werden, um die eventuell hinzugekommenen " Losungen" identifizieren und eliminierenzu können. Beisp iel:

VX

Quadriert man beide Seiten der Gleichung 1 = ~ ,so erhäll man 1 x. Quadrien ma n nun erneut, so f olgt: 4x = x 2 mit den Lösungen Setzt man diese beiden Werte zur Probe in die Ausgangsgleichung ein, so [olgt

ä.h.

-2VX'"

1) 2)

VO = VI = 1 1 - V4 = V8+T, 1-

2VX+ x = 2x + 1, XI =

0 ,. x2 = 4.

: Probe stimmt.

d.h. -1 '" 3 : Probe falsch.

A lso tst nur x I '" 0 L ösung der ursprünglichen Gleichung, Quadrieren gehört daher i.a. nicht zu den Aquivulenzumj ormungen. Wird eine Gleichung quadriert, isl anschließend stets die Probe zu machen!

°

°

Beispiel 1.2.1 25: 1: x2 = 25. Z ieht man auf beiden Seiten forma l die Quadratwurzel, so ergibt sich: 2: x = 5. 0 1 hat die Lö sungen 5 und -5 , G 2 hat die einzige Lösung 5. d.h.bcirnQuadra [WUrzelziehen ist eine Lösung "verlorcngegangcn", das Ziehen der Quadratwu rzel ist daher ebe nfalls keine Aqu ivalenzumfonnung.

1

Das Radizieren mit geraden Exponenten führt vielmehr - wegen Ri 3c - auf eine disjunkth'e A ussageform: (n e N. n gerade).

(1.2. 126)

Beispiel 1.2.1 27:

I

i) (x- l )2=

16

ii) (x + 1)4 = 100

<:::'

x l = 4 v x - 1 '" - 4 , d.h. x '" 5 v x '" -3 ; r-

<:::' X+

1

=

•V"'iOO v x + I = -V"' • iOO , d.h. x ~ 2,1623

v x ~ - 4,1623 .

54

Grundlage n und H ilfsmitt el

Bemerkung J .2.1 27a: Das Potenzieren einer Gleichung mit beliebigm reellen Expoflellten ist nur dann eine Aouivalenzumjormung, wenn heide Seiten der Gleichungpositiv sind und der Exponent V Oll Null verschieden ist:

,

Beispiele: a) 3yO .7J/8 "" 252 (y>O) ~ yO ,7 31 /J '" 84

b) x~ = 100 (x>O)

x

=

100'12

y

~

=<

= 84 ~ 7m "= 426,1037

25,9546,

c) 2(z 2+2)/,7 = 12

Die meisten der im Bereich der Wirtschaftsmat hemat ik vorkommenden Gleichungen lassen sich mit H ilfe der aufgeführ te n Ä quivalcnz umfo nnungcn in eine unmittelbar autlösbarc Form (5. Dcf. 1.2. 101) überführen9. Für die besonders häufig vorkommenden Gleichungstypen wollenwirdie entsprechenden Lösungsverfahren im folgenden angeben: Bemerkung 1.2.128: Man beachte dabei den Unterschiedzwischen der aquivalemen Umformu ng von Termen und von Gieiell/Illgen: -

zwei Terme T und T* sind äqui~alerlt (umgrformt), wenn sie tarjede Einsetzung denselben Zahlenwert ergehen. T = 2 T = Beisp iel: T = x + 2x + I oder oder (x > 0) t» « (x + 1)2 [ T* '" 5x [ P = - ln x 2

19x

f

l

-

In~

Bei der äquimlellten Umf ormung einer Gleichung können sich die beteiligten Terme i.a. beliebig ändern, wenn nur die Lön lllgsmerlge unverändert bleibt. Beispiel:

2x '" 6 ~ x '" 3. Die beteiligten Terme sind nicht äquivalent umgeformt, wohl aber die beiden Gleichungen.

1.2.4.3 Lineare Gleichungen

I

ax + b = cx + d

I

A lk Tenn e, die die Lö sungsvariable enthalten, werden isolie rt (d.h. mit H ilfe von (1.2. 112) auf eine Seite der Gleichung gebracht). Dann fasst man d ie Tenne zusamme n (gegebe nenfalls dur ch Aus klammern der Variablen) und löst mit (1.2.1 13) bzw. (1 .2.114 ) nac h x auf. BcislJieJ 1.2,129: i)

G(x) : 3x + 7 = 12x-29

~ 3x - 12x = - 29 - 7

1-1 2x-7 (1.2.1 12) (isolieren)

I(1.2.1 10) (zusammenfassen)

~ - 9x = -36 1:-9 (1.2.114) ii ) G(x): ax + b = ex + d

~ ax- cx = d b e

~

x = 4 , d.h.

La = {4 } .

I- cx - b (1.2 .112) (isolieren) I (1.2 .110) (aus klammern)

~ x(a -e)=d - b l:a-c *O (1.2.114) ~ x= ~ =~,

d.h. '

""G

d--' } und ={ a -c

ae c.

9 Gleic hungen, die sieb nicht exp lizit au flösen lassen (wie 1..6. e" + x = 0) oder dere n explizite Auflösung sclzwierig ist (wie I, B. x4 - 3x J + x 2 - X + 1 =() lassen sich i.a. mit Hilfe VO ll gceignetcllNil1u?rungxverjuhren lösen, siehe etwa Kapitclz. a ode r Kap. 5.4.

1.2

55

A rithmetik im Bereich der reellen Zahlcn IR

Aufgabe 1.2.130: Man löse d ie Gleichu ngen bzgl. der angegebenen Variable n: q- ,

,

I)

O= Kq- R· - . ; q=?; R=? ; K=? ;i=?

ii)

O(q): 0 = 1Q.000q - 12.500 (q -1 )

iii)

O(x): 0 = 200.000 - 40.000 ' - ,

x- I

O(b):

1.2.4.4

0, 6

-,+b ,- 'Y= F

Iv) G(r): 2.000 = UOO (1 + \'i) G(y): ky - Y = by

Iii ' 0.5 )

+a

Lin eare Olelchungsssysteme (LGS)

Bereits in den Beisp ielen 1.2.99 v) und 1.2.106 ha tten wir es mit einer oJer mehreren (linearen) G leich ung(cn ) zu t un, de ren Lösungen aus Za hlenpaaren [x; y) bestanden. Systeme solcher Gleic hungen mit mehrere n Variab len werden Linea re Gleich ung.ssystem (abgek ürzt." L GS) genannt . Sie treten invicJen, selbst einfach gearteten Fragestellungen auf: Der Einkauf vo n 17t Benzin und 9t Dieselkraftstoff kostet zusammen 3 1.90U € , während die Beschaffung von tOt Benzin und 12t Dieselkraftstoff 24.800 € (bei un veränderten Einzelpreisen) kostet. Die Frage nach den Preisen x (in € /t für Benzin] und y (in €It für Diesel) führt unmittelbar auf die beid en linearen Gleichungen, das LOS:

Bei~pieI1.2 .131:

17x + 9y =3 1.900 10x + 12y = 24.800 Die gesuchten Preise x und y müssen z ugleich beide n G leichungen gen ügen. Wie ma n durch Ein set ze n bestätigt , erf üllen die Preise x = 1400 € / t (Benzin) und y = 900 € /I (Diesel) zugleich beide Gleichungcnvon (.). Die Frage nac h der Exist enz von Lö sungen und ihrer Gewinnung wird ausfüh rlich in Ka p. 9.2 e rörtert. Da wir aber auch vorher schon gelegentlich lineare Gleichungssysteme ( LGS) zu lösen habe n, sollen - im Vorgriff auf Kap. 9.2 - schon jetzt die Standardfälle einfacher LOS (mit zwei und drei Variablen) behandelt werdcn.

Def 1.2.132: Unter einem Linea ren GI('ichung.~sy.~tt'm (LGS) versteht man zwei ode r mehr lineare G leichungen (in mehreren Variablen), die durch" und" ( !\) miteinander verknüpft sind lO.) I)

Li neares G leichungssystem von zwei Gleichu ngen in zwei Variablen x und y: a1x + b .y = Cl !\

ii)

a2x +

bvr

= C2 '

(ai.b;,c; e IR)

Lineares G leichungssystem VOll drei G leichungen in d rei Variab len x, y. z: !\ !\

a .x + b.y + c.z = a 2x + b 2y + c-zz = ay: + b 3y ... c 3z =

dl d2 d3

(ai,bj,cA e JR) .

Bemerk/mg: Auf das logische,, !\ " (und) wird meist stillschweigend verzidua.

10 Die Zahl der Variablen einesLGS musskeineswegs immer mit der Anzahl der Gleichungen übereinsti mmen, sondern kann sowohl nach obenals euchnoch unten davon abweic hen, sieheetwa Satz 9.2.62.

56

G rundla gen und Hilfs mittel

Bei~'Piel

1.2. 133:

3x+ 2y - z=13 ü) 2x - y + 3z = -1 5x - 4y + 4z = 3

2x+ 3y = 29 i) - x + 2y = -4

Unter der LosungeinesLGSversteht man im FallI)ein Zahlenpaar (Xi}') bzw. imFall ii) ein Zahlentripel (X; y; Z), dasjede Glcichungzu einerwah renAussage macht, sieheetwadie Lösungin Beispiel 1.2.1 31. Bem erkung 1.2.134: Wie erst in Kap. 9.2 ausführlich er önen wird, k önnen LGS genau eine, ke ine oder unendticn viele Lösungen besitzen. Beispiele: x + y = 10) besitzt k eine Lösung

x +y = Q' x+O ' y =

x+ y = ll

121tesuu beliebig viele L ösu ngen 0

Wir betrachten hier nur den Standard/all von LGS mit genau einerLösung (x; y) bzw. (x; y; z), siehe Beispiel1.2.131. D ie Lö_~ulIg~ve rfahren für I.GS be ruhen im wesentlichen auf der Tat sache (vgl. Kap. 9.2.2, Salz 9.2.17) , dass ein gegebe nes LOS in ein dazu äq u lca lentes LOS (mil derselben L ösungsm enge I) durch d ie beiden folgenden Äq ui\'alenzumfonn ungen übe rführt werden kann : Satz 1.2. 135: (Äquivalr nzumfonn ungen für I.GS)

i)

E ine Gleichu ng darf mit einer (von Null verschiedenen) Z ah l k mu ltipliziert werden, die üb rigen G leichungen bleiben unverä nde rt.

ii)

E ine G leichung darf verä ndert werden dadurch, dass man ein beliebiges Vielfaches einer anderen Gleich ung zu ihr addiert. d ie üb rigen Gleich ungen blei ben unverändert.

Bemerkung 1.2./36: Diese beiden gefasst werden:

~ erla uhten"

Umfo nnungen kön nen in einer einzigen Regel zusammen-

Ma n darf eine G leichung erselten durch das k-fache (k * 0) dieser Gleichung plus dem r-fachen einer anderen Gleichung. A lle anderen Gleichungen taußer derersetztcni bleiben un verändert.

Beispiel 1.2. 137: Das LOS

J 2x + 3y = 29 l - x +2y=- 4

geht bei MUltiplikat ion der 2. Gleichung mit 2 über in das äquivn-

!ente LOS:

{_;~ : ~~ : :~

. A ddiert man jetzt zur zweiten Z eile d ie erste Ze ile, so ergibt sich

das äquiva lent e LOS:

f

1

2x + 3y = 29 (" ) 7y = 21

.

Dass elbe häUe ma n in einem Schrill (nach Bem . /. 2.136) erreichen können, indem ma n im ersten LG S die z weite Z eile ersetu ha ue durch d as 2-f ache dieser Zeile plus der ersten Z eile.

D ie zweite Zeile von (0) en thält nur noc h eine Variable. so da ss unmittelbar fo lgt: y = 3. Dies eingesetzt in die 1. Gleichun g liefert x = 10. Damit lau tet die Lös ung (x;y) des LOS: (x;y) = (10 ;3) .

57

A rithm eti k im Bereich der reelle n Zahlen IR

1.2

Das im letz ten Beispiel vorgestellte Lösungsverfahren nennt man Ehmlna nc nsverrahre n oder Addi tionsverfahren (bzw. Subtrcktionsverfuhren}. M it H ilfe der (bciden) Äq uivalenz u mform ungen Satz 1.2.135 bzw. 1.2.136 kann man in einem LGS nach und nach in einer Glei chung alle Variahlen bis auf eine eliminieren und da nn deren Lösungswert ermittel n. Du rch E insetzen dieses Wertes in die anderen G leichungen kann so schrittweise rekursiv die vollstä ndige Lösun g gewonnen werden. Am Beispiel eines LGS aus d rei G leichungen mit 3 Variablen soll die Additions met hod e verde utlicht werden . Dazu ist es zweckm äßig, die Gleich unge n mit (1), (2), (3) z u nummerieren und die umgeformt en bzw. ersetzte n Gl eichun ge n entsprec hend mit (1'), (2 '], ..., ( I "], (2" ), ... usw. zu bezeichne n.

Beispiel 1.2. 138: Gege ben sei das LGS von Bsp. 1.2. 133 ii]:

(I )

3x+2y-

z .e 13

y + 3z '" - 1

(2)

2x -

(3)

5x - 4y + 4z = 3

Idee für de n ers ten Eliminationsschritt. Man kann in der ersten (und dritt en) G leichung y eliminieren, indem man -

die e rste G leichu ng (1) ersetzt d urch die Summe a us d iese r Gleic hung (1) und de m z-tachende r 2. Glei chun g (2) (~)'mholüch : (I') = (1) + 2· (2) )

-

die dritt e Glei chu ng (3) ersetzt d urch die Summe aus dieser G leichun g (3) und dem (- 4)~fae hen der 2. G leichun g (2) (.I}'m ho!isch: (3 ') = (3) - 4 · (2) )

Die zweite G leichu ng bleibt unverändert: (2)' = (2).

(I ') = (1) + 2 · (2)

7x

(2 ') "'(2 )

2x-y +3z"'- 1

(3') = (3) - 4 ' (2)

-3,

Dam it lautet das neue. äq uivalente LGS:

+ 5z = 11 -Hp 7 .

Idee für den zweite n Elim inat ion sschr itt. Ma n kann z in der letzten Z eile (3 ') eliminieren. indem man diese Zeile (3 ') ersetz t du rch das 5fache d ieser Zeile plus dem S-fac hcn der erste n Zeile (1'). d.h . (3 " ) = 5 . (3 ') + 8 . (I '). D ie beide n a nderen Zei len b leiben unverän de rt: (1" ) = (1') ; (2") = (2 ')

(1") =(1 ') (2") = (2') (3") = 5 '(3J H ' (I ')

7x

+ 5z =

11

2x-y + 3z = -1

41x

= 123

A us der letzten Gleic hung folgt sofor t: x = 3. Dies eingesetzt in d ie erste Zeile ergibt z = - 2. Beides eingesetzt in die 2. G leichu ng ergibt y = 1, d .h. die I.ö sung des LGS laut et:

(x ;)' ;z) = (3; 1 ; - 2).

Bemerkung 1.2.139: Gelegenrlich benutzt man - bei einfach gebumen LGS - das sog, "Einsetzllllgn erjallren ": Man last eine Gleichung nach einer Variablen auf und ersetzt diese Variable in den übrigen Gleichungen durch den erhaltenen Tenn. Damit ist in diesen Gleichungen eine Variable eliminiert. /n diesem" reduzierten" LGS wiederholt man das Verfahren solange, bis schließliCh eineunmittelbar auj1ösbareGleichung eil /Hehl. Zur Veranschaulichung lösen wir das LGS des teuten Beispiels mit dieserEinsetzungsmethode:

G rundlagen und Hilfsmittel

58

(I)

3x+2y- z = 13

(2)

2x - y +3z= -1

(3)

5x- 4y+ 4z = 3

(l ')

3x+2y - z= 13

(2')

2x -

(2')

(I) wird (z,B.) nach z aufgelöst; z = 3x + 2y- 13 und in (2) sowie (3) eingesetzt:

y +3(3x +2y- 13) = - 1,

Ilx+5y

= 38

5x - 4y+4 (3x+2y-13) = 3,

(3') (3 ')

17x +4y

(I ")

d.h. (2 ') wird nach y aufgelöst: y = - 1115x + 3815 und in (3') eingesetzt

d.h.

=55

3x+2y- z= 13

(2")

Ilx +5y

(3")

17x + 4 (- 1115x +3815) = 55,

=38

8,2x

(3 ")

=

d.h.

24,6

x =3

Daraus fo lgt (Einsetzen in (2"»: y = 1 und weiter (aus (l ")): z = -2, d.h. die schon bek annte Losung: (x;y ;z) =(3 ;1 ;- 2) . Das Einsetzungsverjahren k ann zu unübersichtlichen tBruch-] Tennen bzw. Tennumformungen [uhren und ist n ur im Fall kleiner und einfac h gebauter L GS sinnvoll einsenher.

Aufgabe 1.2, 140: Man löse d ie folgende n Linearen Gleic bungssysteme: i)

7x- l1y=-7

ii) 13,9m - 2,6n = - 5,2

- 3x + 5y= 5

- W A m + 6,5n = 13,U

iii)

2x - 3y+ z = 8 x+ 2y -3z= 11

5x - 4y + 3z = 15 h'l 2u - 8v + 3w= 23 u + 7v- 2w =

-2

3u- 5v - 6w = - 32

3a

- 4c = - 29

-7a + 3b + 2c = 6a +5 b

7 12

Aufgahe 1.2,141 : Ocr Brauchwasserspeicher einer chemischen Fabrik ist um 9 00 Uhr nur noch zu 50 % gefüllt. Daher schaltet man um g OO Uhr eine Fördcrpumpe an, die neues Wasser zuführt . Der (stets kontinuierliche) Verbrauch d es Wasse rs im Produkt io nsprozess der Fabrik ist allerdings so hoc h, dass trotz des Wassernachschubs der Speiehe rinhalt um 10 00 Uhr auf 40 % des Fassungsvermögens abgesunkcn ist. Daher schalt et man nun eine weitere, gleich starke Förderpumpe ein. Daraufbin füll t sich der Speicher bis 12°0 U hr auf 80 % seines Fassungsverm ögens (be i stets gleichem Wasserverbrauch) . I) Nach welcher Zei t würde nun de r Behälte r leer sein, wennman heide Pumpen abschaltete? ii) Wie lange h raucht eine Pumpe, um den leeren Speicherbebälte r vo llstä ndig zu füllen, wenn kein Wasser entno mmen wird?

1.2

Arithmetik im Bereich der reellen Zahlen IR.

1.2.4.5

Quadratisch eGleichungen

59

I a x2 + bx + e = 0 I

(a*O)

Dividiert man die Gleichung durch a (*,0). so erhält man die sog. Normalterm der quadratischen Glcichung(in der der Koeffizient des quadratischen Gliedes gleich 1 ist), es folgt:

X2+!.. X+ ~:0 . a

Setzt man zur Ab kürzung

~a =' P

a

und ~ =, q , so lautet die NormalCorm der quadratischen Gleichung:

Ix2 + px + q :

(1.2. 142)

o l

Beispiel 1.2.14 3:

G(x):

2xL 16x - l s = 0 1 :2 ~

Nonna lfonn:

x2 - Sx - 9 = 0

mit p = - S und q = - 9

ZurLösung isolicrcn wir al1c Tcrme mit x:

x2 - ax = 9 .

~

Dann addieren wir - .....ie schon einmal in Bsp. 1.2.19 ü) demonstriert - auf beiden Seiten den Term 42 ( = 16), um die linke Seite zu einem Binomzu machen (siehe Bsp. 1.2.13) (quadratische Ergänzung): ~

x2-Sx+ 16=9 + 16

(x-4)2=25

~ R~

Zur weiteren äquivalenten Umformung benutzen wir (1.2.126):

~

x - 4 = V2'5 v x -4 = - V"25

~

x

e

yv x

e

r-I , d.h. La = {9, - l) .

Wenden wir dasselbe Lösungsverfahren auf die in Nonnal fonn vorliegende allgemeine quadratische Gleichung an. so folgt:

I X2 + px + Q :

I+(

o l l -q

~

x2 + px = -q

~

x2 + px + ( .E..)2 =(.E.. l - q ~ (X+.E.. )2 = (.E..l- q 2 2 2 2

~

(1.2.144)

~ )2 ("quadratische Ergänzung")

(1.2.126)

Lo = l- l'.+V( l'.)L V( l'.)' -q } q .' _l'.2 2 2 2 (Lösungen der quadratischen Gleichung x2+ px+q = 0 .)

Bezeichnet man die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung mit Xl' x2• so schreibt man häufig abkürzend anstcne vonü .z.t aa) die LösungsConnei für die quadratische Gleichung xl + px + q = 0:

(1.2. 145)

I

60

Grundlagen und Hilfsmlrtel

( ~ )2 -q =' D in (1.2.145) heißl auch Diskrim inante der quadratisehen Gleichung, weildurch ihn entschieden wird, ob die quadratische Gleichung zwei, eine oder keine Lösung besitzt.

Bemerkung 1.2.146: Der Radika nd

Beispiel 1.2.147: i)

)[2-

~ (1.2.145)

x- 6 : 0

X 1,2 = ~ ±V ~+ 6

as (d.h. D = "4 > 0)

L '" {3; - 2} ; also zwei Lösu ngen, wenn D > 0 .

~

x 2 - 2x + 1 "" 0

ii )

<=>

x1,2 '" 1 ± ~

(1.2.145)

(d.h. D . 0)

L '" {t} ; also eine Lösung, wenn D '" 0 .

~

XL 4x + 20 = 0 <=>

iii )

~

L = { } , da

(1.2.145)

V4 -

X\,2 = 2 ±

20

(d.h. 0 = - 16 < 0)

v:t'6 nich t definiert ist, also kein e Lös ung, wen n

D < 0 .

Bemerkung 1.2.148: Wend et m an auf an aloge Weise das eben dem onstrierte L ösungsverfahren auf die allgem eine qua dratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0, (a "*' 0), an , so erhält man nacheinander:

axa +bx + c = O

~

(/. 2.126)

~x

,"

, + -" x + - = o aa

Vb2 - 4ac

x +.J!.... = _'_ Zu

2u

Daraus folgt - wieder mit

Xl

~

X, + -x+ " ( -), - (- '" ) +a 2a 2 a

a

=0

v x + ...E.... = - - '-V bL 4ac Zu

2a

und x2 als Namen [ur die beiden L ösungen « d ie allgemeine Lö sungs-

formel fürdiequadratischeGleichung a.r2 + bx + C= 0 : -h :l: Vb2 - 4ac

(/.2.149)

2,

mit der Diskr iminante D

.= b2 - 4ac . Falls gill:

D > 0 , existieren 2 Lösungen, siehe (1.2. 149) D = 0 , gibt es 1 L ösung, namttcn x '"

D < 0 , gibt es keine Länmg

l1

~~

;

•

Folgende Sondemille quadratischer Gleichungen lassen sichauchohne Lösungsformel bzw.ohnequadratische Ergänzung lösen:

I

x2 + px '" 0

i)

I

(Es fehlt das konstante Glied.)

~

(x ausklammern) x(x+p) = 0

~

L = {O; -e p} .

~

(1.2.116)

x=0 vx=-p

1I Im Körper 0: der komplexen Zahlen z (mit z ,= a + ib ; a,b E R ; j2 ~ - I) hat ( 1.2. 149) auch im Fall D < 0 zwei Lösungen, nämlich zl,2 =

- b:t iVbL ,Jac; _ 2a ' siebe etwa [21], Bd.l, 206 11

A rithmetik im Bereich der reellen Zahlen IR

1.2

Ih= OI

ii)

~

X2

: q

61

(Es fehlt das linea re Glied.)

~ (1.2.116)

x : yq v x: - yq ,

d.h. L = {vq ; -vq },sofcrn q>O;

L = {O). sofem q=O ;

L = { }. sofern q
Beispiel t Z.150:

I

2x L 6x= 0 5x 2 - S0 = O

i) ii)

~

2x(x - 3) = 0

L = (0, 3) ;

~

x2 = 16

L = (4 ,- 4) .

Bemerkung 1.2.151: i) Zwischen den beiden Lösungen x l' xl und den Koeffizienten p, q der quadratischen Gleichung Xl + px + q = 0 bestehen die beiden Beziehungen: (Salz von VlETA)

(1.2.152)

(Beweisdurch Nochrechnen mit (1.2.144).) Die quadratische Gleichung xl - x - 6 = 0 ho/ die Lösungen: xl =3 ; xl = -2 (siehe Beispiel 1.2.147i» .

Beispiel:

-(x/ +xy = - (3- 2) = - I = p ; x/ 'x2 =3 ' (- 2) = -6 =q

Esgill:

ii) Kennt man die Lösungen x t- x2 der quadratischen Gleichung x 2 + px + q = 0, so fo lgt wegen x = x / v x= x2 ~ x -xI = Ovx - x2 = 0 ~ (1.2.116)

I

(x-xI ) (x- xV = 0

I'

ä.n. eine quadratische Gleichung xl + px + q = 0, die die Lösungen Xl' Xl besitzt, lässt sich in ein Produkt (x-x l) (X-Xl) = 0 ausdenzw eiL inearjakwren X-Xl und x-x2 zerlegen. Beispiel: Seien Xl = 3, x2 = - 5 die beiden Lösungen einer quadratischen Gleichung. Dann lässt sich diese Gleichungschreibenals : (x - 3)(x + 5) = 0 I SI umgekehn das Produkt zweierLinearjaktoren Null, so lassen sich die Lösungen der entsprechenden quadratischen Gleichung unmittelbar angeben.

Beispiel: Sei eine quadratische Gleichung G gegeben durch das Produkt: G (x):

2(x + 1,5)(x-0,3)

=0

~

Lo

= {- 1,5 ,. 0,3 } .

Aufgabe 1.2,1 52: Man löse die quadratischen Gleich ungen: i)

x 2 + x - 16 = 0 ;

ii ) xL 17x + 70 = 0

ii1)

x 2 - 13x = -40 ;

h') x 2 + 16x + 100 = 0

v)

lOx 2 - 17x = - 7 ;

vi) 2X 2 - 2OX + 50 = O ;

\'ii) - 2.000q2 + 5.000q - 3.120 = 0

\-iii) 1,2 ' 104t 2 - 2,5 ' 105 1- 1 = 0

ix) 2x2 - 3 = k(x+ l ), k = const.

xl

100q2- 62,5q - 56,25 = 0

Aufgabe 1.2.15 3: I) Wie muß die Konst ante c gewählt werden, damit die G leichung 3x2 + lOx .;. c = 0 zwei Lösungen besitzt ?

62

Grundlagen und Hil fsmittel

,

ii ) Ma n gebedie Nonn alform einer quad ratische n G leichu ng an, die folgende Lös ungen bes itz t:

a) xl = 3 ; Xz = - 7;

b) XI = - Dm ; Xz = ., ;

c) Xl = Xz = - 4;

d) Xl = 0 ; X z = 0,25 ;

e)

f) Xu =

XI

= Xz = 0;

, , ,/7

'2

:t

'2 r 5

.

iii) Ocr Preis für unverble ites Superbenz in (Mi tt elwert) lag 200 8 um 22% übe r dem entspreche nde n

Preis in 2006. Um wieviel Prozen t pro Jahr hat sich d urchs chnittli ch der Preis in 2007 und 2008 (gegenüber dem jeweiligen Vorjahr) veränd ert :

iv) Huber leiht sich 100.000 € . Als Gegenleistung zahlt er nach einem Jahr 62.500 € und nach einem weit eren J ahr 56. 250 € . Bei welch em (positiven) J ahres zinssatz ( = ~ Efft:kt ivzins ") sind Krcd itau szah lung und Gegc nlcls tungc n äquivalent '! (Zinsperiode = 1 Jahr)

1.2.4.6 Gleichu ngen höheren als zweiten Gra des Im a llgemei ne n kön nen G leich ungen höh eren Gr ades. d.h. des Typs G(x):

x n+axn- '+bx n- 2+ ... + c =0

0(,)'

,., ' + , •. ,..- ' + ... + ',' + '" = 0

(nE IN)

oder

für n ~ 3 nur schwer bzw. ab n = 5 übe rhau pt nicht mit den elementa ren (klas sischen) Berechnun gsmethode n vollstä nd ig gelöst werden , so da ss man meistens - erfolgreic h - zu geeigneten Näherungsverfahr en greift (siehe Kap. 2.4 oder Kap . 5.4) . Wir könn en da her an d ieser Stelle nur fü r einige einfac he Sonderfalle d ie Lö sung von Gleich ungen höheren Gr ades explizit an gebe n.

I

I

Sonderfall A:

Die Gleichunge n sind einfache Potenzgleichungen des Typs:

I

a ·T" = e

Beispiel 1.2.154:

i) 4x4

,.

64

I

(a , e = coos t.) ii ) (zLz - W = - 8

iii) 2{3A)o.8 = 1000

Derartige G leichungen lassen sich du rch Ra dizieren (bzw. Potenz ieren m it gebroc hene n E xpon enten) lösen (Bem. 1.2.62 iv) und 1.2 .127a). Für die Fa lle von Beispicll .2.l 54 erhalten wir: + , i) 4x4 64 ~ x4 16 <::} x ,. v x = d.h . L {2; -2 }

=

Vi6

{ZL

iii )

d.h. L = {- 2,3 } . 2(3A)O,S = 1000 ~ 30 ,8·Ao,s = 500 ~ 1 A = (500 .3- (1.8/ (1.8 = (500 · 3 ~ (I·8)1.25 =: 788 ,118

Sonderfall B:

-VJ6,

Z2 - Z- 8 = - 2 c=> Z2 - Z - 6 = 0 c=> Z, 2 ,. 0 ,5

ii)

<=:>

I

z - 8)3 = - 8 ~

=

A(I,s = 500 ·3- (1,8

= ± V6,25

•

~

I

Ei ne Reih e vo n Glei chungen höheren Grades lässt sich einer Lösu ng zuführen, indem man eine neue Lös ungsva riable e inführt (Subslilulion).

1.2 A rithmetik im Bereich der reellen Za hlen IR

63

G(x); x4 - x2 - (1 '= () (Biquadratisc he Gleichung) Man ers etzt (suhstituicrt) x 2 durch eine neue Variable, z.B, z , d.b . x2 = : i , und erhält damit wegen x'' = zl .1us G(x) eine äquivale nte q uadratische Gleiehungin z:

Beispiel 1.2.155:

z2 - z - 6 =0.

G*(z);

Diese Gleichung führt auf z '= - 2 v z '= 3. Nun muss dieSubstitut ion x 2 = z ruckgängiggemacht werden [Res ubsthu üon], man erhält: x2 = -2 V x2 = 3 ~ x = v x = v x '" V3 v x = -V3 , d.h. (da

M

M

-M

nicht dcfinlcrtlst}

Ln =

IV3, -V'31.

G(x): (xL 2x - 8)L 2(xL 2x - 8) - 35 = 0 .

Bei~pieI1,2.I56:

Nicht zum E rfolg führt ein Aus multiplizieren der Tenne mit dem ~ lösungsfei ndliehcn " Ergebnis: x4 -4x 3 - 14x2 + 36x + 45 '= 0 . Daher substituiert ma n: x2 - 2x - X = : Z, so dass fo lgt; z2- 2z -35 = 0 ~ z = - 5 vz = 7 ~ (Res ubsritution) xL 2x - 8 = - 5 v xL 2x - 8 = 7 . Nach Lösen der beiden quad ratischen Gleichungen ergibt sich schließlich: L = {3, - 1, 5, - 3}.

I Sonderfall C; I

Die Gleichung G lasse sich als verschwindendes Prod ukt

I TI ' T 2 ' ... . T

( 1.2.157)

n

I

=0

schreiben, deren Faktortenne Tl höchstens quadratisch sind oder zu den Sonderfällen A, B gehören. Da ein Produk t bereits Null wird. wenn a uch nur einer der Faktoren Null wird, erha lten wir nach (1.2. 102) und ( 1.2.116) die Lösungen von (1.2.157) über

I

(1.2. 158)

TI = 0

V

T2 = 0

V . .. V

Tn =

°

Beispiel 1.2. 159: Die nicht explizit lösbare Gleichung 7. Grades G*(x):

2x7 - IOx6 - 156x5 + 70Ox 4 + 2.842x3 - 1O.29Ox2 = 0

ist identisc h mit der Gleichung G(x): 2x2( x- 3Xx2-4 9Xx +5Xx-7)= 0 .

°

Die Lös ungen von G(x) lassen sich nach (1.2.116) sofort über die äquivalente Aussageform 2x2 = 0 v x S = 0 v x2- 49 = v x + 5 = 0 v x- 7 = 0 angeben; r

La = {O;3;7; -7; -5 } .

I n der Praxis gelingt es freilich selten oder nie, ohne ausgesprochenes ~ Rategl üc k" die vollständige Fakturaerlegung zu finden. Ab hilfe; geeignetes Iterationsverfahren, siehe Kap. 2.4 oder Kap . 5.4 . Beispiel 1.2.160: Häufig lässt sich durch Ausklammern einer Potenz xk eine Gleichung in Faktoren zerlegen, wenn das kons tant e Glicd und event uell weitere Potenzen x, x2, ... fehlen: G(x);

x5 + 4x4 - 5xJ = O.

(=>

x\x2+4x - S) = 0

~

x = 0 v x ", I v x '" -5 , d.h . La = {O, 1, - 5 }

Bci.~pi cll .2 . 16 1 :

I

~

x 20 + 27x l 7 =

x 17(x 3

0

+ 27) = 0

11.1n klammert xJ aus; ~ (1. 2 .1 1 6)

X3

= O v x2 + 4x - 5 = O

; x l 7 ausk lammern: (=> (1.2.1 16) X 17 = O v x3 + 27 = O . d.h . L '= {O,-3 }.

Grundlage n und H ilf smitt el

64

Bemerkung 1.2.162: Wie schon in Bemerkung 1.2.115 gaeigl, vermeide man möglichst, bei Gleichungen der eben behandelten Art durch einen Term T(x) zu dividieren! In aller Regel gehen dabei ein oder mehrereLösungswerte veriorent (Ausnahme: T(x) ist stets ungleich Null.} Eine Division im letzten Beispiel von x20 + 27x 17 = 0 etwa durch den Tenn x 17 liefen x3 + 27 = 0 und damit nur eine LÖ,\'Wlg der A usgangsgleichung. nämlich x = -3 ! Die Lösung x = 0 ist durch die

Tenndivision verloren gegangen. Bemerkung J.2.163:

Kennt man eineLösung(wirnennensie x/) einer (gamranonalen]Gleichung höheren Grades G (x): T(x) = 0.1" + a ".~ · l . . . = 0, so lässt sich T(x) in zweiFaktorenzerlegen: G (x) ; T(x) = (x-x /) ' R(x) = 0

wohei der .Rest" R(x) um einen Grad niedrigerist als T(x) (siehe dazu Kapitel 2.3.1.4). G{x): xL 8x 2+1 9x-1 2 = 0

Beispiel 1.2.164:

Durch . Prohlcren- erhält man eine Lösung: XI = 1. Also lässt sich G{x) schreiben: ( 1.2. 165) x3-8x 2+19x - 12 = (x -l) -R(x) = 0 mit quadrati schem Rest R(x). R(x) erhalt man aus (1.2.165). indem man durch (x - 1) dividiert: R(x) = (xL 8x2 + I9x -1 2) : (x-I) = xL 7x +1 2 .

-lx3 -

X2

- 7x2 + 19x - 1- 7x2 + 7x 12x - 12

- 112><-12

o Die Ausgangsglcichung G{x) lautet also:

[x - I Xx2 - 7x + 12) = 0 .

Jetzt lassen sich nach (1.2.158) sämtliche Lö sungen bestimmen: ~ x- ]=O vx 2- 7x+ 12=0 ~ x = l v x = 3 v x = 4 , d.h. L = {1; 3;4 }.

Aufgabe 1.2. 166: Man e nnitt1c die Lösungsmengen folgender Gleichungen: i) x8 -18x4 +32=0 ; ii ) (X2- 7)2 = 10(x2-7)- 9 ; iii) (S-(x -I )6)lO= 4 iv) 64 - (z2- 2z - 6)6=0 vii} t4 - 8t 2 + 7 = 0 ;

v]

ix) (1 +X)12 = 1, 12 ;

x)

p8 = - 64pS ; \iii ) XL IOx2 + 3 1x- 30 = 0

\i) 3y3 _ 2y2- y=0

(Tipp: eine Lösung ~fl 2) ;

100q6_ 122,8q J-86,4= O

Aufgahe 1.2. 167: i) Um wieviel Proze nt pro Jahr (gegenüber dem jewciligen Vorjahr) muss die H uber AG durchschnittlich ihren Umsatz (ausgehend vom Basisjahr 2005) steigern, damit ihr Umsatz im Jahr 2020 siebenmal so hoch ist wie im Jahr 2005 ? ii) Maser lnvcsticrt züüO üü € in eine Diamantmine. Nach drei Jahren erhält er eine erste Gewinnausschü ttu ng in Höhe von 24S.600 € , nach weiteren drei Jahren in Höhe von 172.800 € (weilere Zahlungen erfolgen nicht] , Bei welchem Ja hreszinssatz (= Rendite) ist Masers Investition äquivalent zu den erhaltenen R ückflüssen ? (Zinsprri(}de '" 1 Jahr)

1.2

Arithmetik im Bereich der reellen Za hlen IR

65

1.2.4.7 Wurz elgleichungen Wurzclgleichungen sind Gleichungen, bei denen die Lösungsvariable im Radikanden autrrirt. Beispiel 1.2.168:

i) G I:

~

+ 3 "" x ;

ii) 0 2:

V"X""+T '"

V2X - 1 ;

iii) G 3: (x2- 1)1/ 3 - 2 '" O.

Bci Wurzelgleichungen ist zunächst der Definitionsbereich zu bestimmen. da - bei geraden wuraclexponcntcn - der Radikand stets nichtn egativ sein muss. Für die Gleichunge n in Beispiel 1.2.168 gilt: i) DG I '" { xeIR I x

~ I}

ii) DG2

'"

Ixe R I x ~ O}

iii) D G ] = IR .

Sind die Wurzelgleichungen nicht zu kompliziert gebaut. so erhält man ihre Lösungen nach vorherigem Isolieren der Wurzeln durch ein- oder mehrmaliges Potenzieren (z.B. Qu adrieren). Wie a us Bsp. 1.2.123 deutlich wird, ist Potenzieren (insbesondere Quadrieren) im allgemei nen keine Äquh'aJenzumfonn ung (es können neue Lös ungselemente hinzukommen), so dass mit den "Lösungen" stets an der A usgangsgleichung eine Probe gemacht werden muss. Wir zeigen dies an den Fallen des Beispiels 1.2.168:

~+3= x ; x ~ 1

G I(x):

i)

Vor dem Quadrieren ist die Wurzel zu isolieren, da sich andernfalls (binomische Fonn el !) erneut ein Wurzeltenn ergibt:

~ ~

vx=t = , -310'

x - I = (x-3)2=x L6x +9

x2 - 7x + l O = O

x = 5 vx = 2 .

V4

V1

Probe: 0 1( 5): + 3 = 5 (wahr) G 1(2): + 3 '" 2 (falsch) . 2 ist durch das Quadrieren zur Lösungsmenge hinzugekommen, ist aber keine Lösung der A usgangsglcichung, also gilt: la I = {5} .

~ =V2X -l ;x ~O .

0 2(x):

ii )

Da eine Wurzel bereits isoliert ist, kann man quadrieren :

(Y2X - 1)2 =

I Wurzel isolieren

~

x+1=

~

2V2X = 2x + 1 - x -I", x erneut q uadrieren 4 ' 2x = x2 <=:> x 2 - 8x = O ~ x(x-8)= O,

<=:>

Probe:

G 2(O):

VT '" VO -1

G3(x):

iii )

~ ~

Prob e:

(x 2 _

I

2x -2V2X + 1

I

(f)

0 2(8):

(x 2 -1 )1/3 _2 = 0

V9 '" Vi"6 - 1 (w)

d.hx = O vx = 8 also:

La2

'"

{8) .

I Isolieren

1)1/ 3 = 2 Mit 3 potenzieren (dies ist eine Aquivalenzumfonn ung) 2 (1.2.120) x - 1 '" 8 ~ x 2 '" 9 ~ x", 3 v x ", -3. G 3(3): (3 2 - 1)1/3_2 = 0 (w); Gk 3): « _3)2_ 1)1/3- 2 = 0 (w), also:

La3 =

{3, - 3}.

AUfgabe 1.2.169: Man bestimme Dcfinitions- und Lös ungsmenge folgender Gleichungen: i)

V'5=-+~Vr4~,=+"71 = 2

;

iV) z = VZ+ 20 ; ' -ü)

V"4'+'X + ~ '" V2X'+'"8 ;

ii)

~ = 5- x ;

iii ) 7 =

v)

z+VZ=6 ;

\1)

\i ii)

2VY + 2 = 5 · VY ;

,

~+x

V"X'+'4 :6-V x -20

;

Produktionsfunktion (Um k ehrung): h:)

r"' 2~ ;

x)

r =

lOV"'Ö'"',5,:-'= 100

(beide Gleichungen hzgl. x lösen, r

~

0).

1

66

1.2.4.8

Grundlagen und Hilfsmittel

Exponent ia lgleichu ngen

Bereits in (1.2.119) hatten wir gesehen, dass wegen der Eindeutigkeit des LogaritJunus beideSeiten einer G leichung G: T I '" T z logarithmiert werden d ürfen, oh ne das s sich die Lös ungsmenge von G ändert; log"T1 =logaTz ;

~

D iese E igenschaft wird (z usammen mit den Logarithmengesetzen, insbesondere LJ) zur Lös ung von

Exponentialgleichungen verwendet, die zuvor auf die Form I)

a, C > O. a* 1

(einfach er Fall)

oder

ii)

gebrac ht worden sind (wobei die Exponenten f ex), g (x), ..., k (x) höchstens quadratische Polynome (siehe (2.3.49» in x sind).

Beispiel 1.2.170:

3)(:: 25 .

Logarithmieren aufbeiden Seiten mit 19 (oder In) liefert: A nwendung von L3 liefert:

Beispiel 1.2.171: e:>

x 'lg 3 = 1925

~

x lOO· 1 08 x _ 1O · 1,08 - I = O •

0,08

8'1,08~-1O(1 ,08~- I)= O

<=}

x '"

<=} <=} <=}

<=} <=}

<=>

Ig 3

In 25 In 3

=

-2 '1 ,08 ~+1O= O

3 . 62~ + 1 = 11 . 7~+ 2

In 3 + (2x + I ) In 6 = In 11 + (x + 2) In 7 2x ln6-x ln7 = In 11 + 2In 7 - ln 3 -ln 6

2 929 9 '

<=}

I ,08~ 1 ,08~ = 5

I, ,

x = In I,OS .=:: 20,9124 .

I Logarithmieren und Logarithmengesetze Ielementare Umfonnung

x= In l l + 2I n 7 -ln 3 - ln 6 dh .=::2 0758 2 1n 6 -ln7 , . . x ,

Bei~piel l .2 . 173 : <=}

~:

I man isoliert zunächst

Jetzt weiter wie in Beispiel 1.2.170:

Beispiel 1.2,172:

19(3") '" Ig 25 .

3 ~2 +1 = 6' 5 2~ + 1

(x2 + 1)ln 3 = In6 + (2x + 1) ln 5 x2 1n 3 - 2x In 5 '" In 6 -In 3 + In 5 = In 10

~

x2_ 2 1n 5 x _ In 10 = 0 x = In 5 ± Vc(--cI,C,; -),- +CIC , CIO OIn 3 In 3 In 3 In3 In 3 XI ::::;" 3,5246 ; x2 .=:: - 0,5947 .

(Bei Exponenten, die Polynome höheren als zweiten Grades sind, ist im allgemeinen ein Näherungsverfahren erforderlich, siehe Kap. 2.4 oder Kap. 5.4.)

1.2

67

A rithmetik im Bereich der reellen Z ahlcn IR

1.2.4.9

Log a ri thmengl eichungen

Die Lösung von l.ogalithmenglekhungen beruht au f den Regeln (1.2 .83) bzw, (1.2.8 5) und der in Regel ( 1.2.118) zum A usdru ck komme nde n Äquivalenz

Um etwa de n N umerus x der Logarit hmengleichung In x ::c 1,5 zu erhalte n, pote nzie rt man bcidc Scitc n zur Basis e (siehe (P6») und bea cht e (1.2.83) bzw. (1.2.85) : eln >: ::c e l •5

x::c e l •5

~

"'"

4,48 17 .

Bemerkung: Den Übergang von log" x zum Numerus x durch Potenzieren zur Basis a (d.h. x ::c alug,,~) nennt man Emlo garithmieren.

I

Ig x == 2,4 178 J etzt pote nziere man z ur Basis 10 und beac hte (1.2.85) 10 11: >: == x = 10 2.4178 "", 261.70 .

Bei.~pi el1.2 .I 74 :

I '"

Beispiel 1.2.175: Man löse die Gleichung In x + I = 2 In (x - 1). Da alle N umer i positiv sein müsse n, muss gcnco: x > I. Man potenziert bcidcScitc nzur Basis c:

I Anwendung der Potenzgesetze (P l),(P3)

~

ein x + 1 = e 2In{X- I)

~

Cln " C I

~

x 2 - ~ - o +1 = 0

"... _

= [C1n{. - I)f

<=>

(1.2.85)

~

x2 - (2+ e) x+ l = 0

~ 2 ± V(2 2+ ')' -1

~

x' e = (x- I) 2

XI "" 4,4959 ; (x 2 "" 0 ,2224)

Dic ..Lösung" x 2 muss verworfen werden, da sie nicht de r Bedingung x > 1 genügt. D ie einz ige Lösungla utet 4,4 959 .

Aufgabe 1.2.1 76: Man löse folgende G leic hungen unter Beac htu ng de r je......ciligen Definit ionsme ngen: 7c' = 63 ;

ii)

2c" - c- 2x=O ;

iv) 200 = 50 · CO. In

\.)

1::c 2 · c

i)

\ ii ) 0 = 200 ' 1 In- 30 . ,

.1.L..:J. . n,t '

x) In (y + l )2- 0, 1=0 ;

1,2.4.1 0

100

- 2 Ig x = 0

I n~-l::c O;

Bru chgleichungen

Gleichungen, bei denen die Variable im Nenner auf tritt . wie z.B. I)

heißen Bruchg letchu ngen.

ii)

0 ,5' ]' - 1,3 ' 4 - x +7=0

\t)

10.000 == 5.000 ' 1,09'

h:)

log2 P+ 0 .l = 0;

xii)

y'g Y' 4 Ig y =

_..t.. 12

\"m) Ig v;r+T xi)

iii)

G : _1_ + ...!.. = _ ' _ ; 2 x -I x x+3

0,25 '': y

68

1

Grundlagen und Hilfsmittel

Das Lösungsschema für Bruchgleichungen lässt sich wiefolgt zusammenfassen: 1) Erm ittlung der Definitionsmenge Do • um Einsetzungen auszuschließen, für die ein Nenner Null werden ka nn .

2) Um die Nenner zu ~bcsei t igen ", multipliziert man die Bruchgleichung mit dem Hauptnenner und künl die Bruchterme (ist erlaubt, da die gekiirllrn Tenne nicht Null werden können: Da beachten!) 3) Die nun entstandene Gleichung (ohne Bruchtenne) wird gelöst. 4) Die erhaltenen Lö swlgen werden daraufhin überprüft, ob sie in Da liegen . Wir wollen die E inga ngsbeispiele nach diesem Schema lösen:

Beispiel 1.2.177:

G ,(x):

i)

4.: ~ 12

~

= 6

Da] = IR\{l}

MUltiplikation mi t dem Hauptnenner x -I (*0):

I

~

~

4x - 2 -(x - t l = 6 (x-l ) kürzen x -I x = 2

0 0 , ,d.h.

Lo l

1 x- I

, x+3

E

1 x

= {2}

-- + - = -

ii )

4x - 2 = 6x - 6

Dcq = IR \ {l, O, - 3} .

Multiplizieren mit dem Hauptnenner (x - I) ' X' [x + 3) (=*, 0) und anschließendes Kurzen liefen:

~

x(x+ 3) + (x -1Xx+ 3) = 5 (x -l )x

, x = 3 v x = 3" '

L G!

d.h.

2

G2 .

-2 = -,, -' -2 ~ G3(x}: x x+x 2- 4

iii)

xL lQx +l = O 3

~

, = (3; 3" }c D

DG 3 = IR\ {2, - 2) .

Multiplikation mit dem Hauptnenner x2 - 4 = (x- 2Xx + 2) und anschließendes Kürzen liefert:

x2 + x - 2 = x + 2

~

~

,,2 = 4

Heide . Lösuogse-Bremenrc liegen nicht in DG3 , 0

3

xe zvx

~

hat keine Lösung.

e

lu3 =

r-z . { } .

Bemerkung 1.2.1 78: Bruchgleichungen im weiteren Sinne können in den Bruchtermen Wurzeln, Exponential- oder Logarithmenterme enthalten. Das genannte Losungsschema bleibt prinzipiell erhalten, lediglich die Besonderheiten der noch zu lösenden Wun el-, Exponenttal- bzw. Logarithmengleichungen sind zu beachten. (Bei. zu komplizierten Bruchgleichungen mJpfiehlt sich von vom eherein die Anwendung eines Nöherungsverjohrens, sieheKnpitel 2.4 oder Kapitel 5.4.) Aufga be 1.2.1 79:

')

_ 1 x+1

'_ = 0 x +3

~ + _2_ _ 1 3 + x2tv) 3:.:2 +7

iii)

..l.!... + _

ri)

_ 1_ + 2 = 0

° -tx- 7 ' i l) y = - - ;x = ? 5x - 2

viü) 100 = 2x + 40 + 250 ; Ix)

xl j.= - ' _ o i= ?

xi)

1 - in •

x

ay + b x=- ; y= ? cy+ d

x- 4

' _ = ....fu.... ° xe I x- I '

e-1 km

sp

----;2+ 200

= 0; x =?

1.2

69

A rithmet ik im Bereich der reellen Zahlen IR

1.2.5

U ngleich u nge n

Der. 1.2.180: Seien T I und T z zwei Tenn e . Dan n nennt mandie A ussageform U mit U: T l T z) eine Vngleich ung. Bemerkung 1.2.181: T/ ~

T 2 bedeutet: T /
V

T 1< T 2 bedeutet dasselbe wie T 2> T J

T /= T 2 ;

•

Di e Begriffe Deünluo ns- und t ö sulIg; melige von llngl eichu ngen sind ana log w'ic für Glc ichungen definie rt (siehe ocr. 1.2.95, Der. 1.2.98). Beispiel 1.2. 182 :

,.

UI:

>< 5

U2:

x2

U):

2x - 2 -->0 x -2

D u t = lR .

,. ,.

< 9 (oder auch: x2 > 16)

.

d.h . - '- > 1 , -2

D u z = IR. D l,;) = 1R\ {2) .

An alog zur Ve rgehensweise bei Gleichungslösungen versucht man auch Ungle ichu ngen derart äq uivalen t umzutormen, dass eine unmittelbar auflösba re Ungleich ung (x -c I' j x > 1' ) (bzw. eine aus unmittelbar auflösbaren Un gleichungen bestehende A ussagcfonn ) entsteht. So Ist z.B. U 1 aus Beispiel 1.2.182 unmittelbar a uflösbar:

Lu} =

{XE IR

I x -c 5} .

E s stellt sich dahe r die Frage, welche Umformungen einer Ungleichung Äquh'alenzu mfoITIm ngen sind (also die Lös ungsmenge der Ung leichung nicht verändern). Dazu benö tigen .....tr die elem entaren Rechen regeln bzw. Axiome der Anordn ung ftir Ungleic hungen zwischen reellen Zahlen (l\fonolon iegesetz e):

Satz 1.2.183: l\folloloniegesetze

Beispicle

Seien a.b .c e R , dann gilt:

(I)

E s gilt genau eine der d rei Beziehungen: a < b ode r a=b ode r a > b.

(2)

I a< b Ab< c

(3)

l a < b

~

~

a< c

a ± c< b ± c

(Auf beiden Seiten einer Ungleichung d arjen beliebige reelle Z ahlen addien/sutnrahiert werden]

(4a)

I

(4b)

Ia < b A C < 0 ~ ac > bc

a < b AC> 0

~

2 < 3 A 3 < 1O also 2< 3 also d .h.7<8

2+5<3 + 5

2 - 5 < 3 - 5 d.h. - 3 <-2

ae < be

(Wird eine Ungleichung mit einer negati~en Zahl multipliziert, so ändert sich d ie Richtung des Ungleichheitszeichens.)

2<10

xc

ä

., zx «

ee

4

,

2< 3 ~ . 10 < 15 2< 3

~

. (-5)

- 10 > - 15

-.!..x<2 ~ x > - 4 2

' ( - Z)

(!)

Grundlagen und Hilfsmittel

1

70

I O < a < b ~ an < bn l

(5a)

0<2<3

(0) 0)

22

i) (Quadrieren, Wurzelziehen, Potenzieren mu positiven Exponenten erhalt die Richtung der Ungleichung.) (Sb)

I0 < a < b ~

3- D

> b- n

1

I

I b

,

iii)

(0 • 2)

Vz
(n = 1/ 2)

V2 < V3

(0

10

10

=

1' 10)

(n > 0)

0< 2<3 ~ i) 2-2>3-2 d.h.+>+

( 0) 0)

.,.,) 2- ' > , -. d h I

d.h. O < a < b ~ n > n

H)

~

<3 2

. ' "2 > "31

(Kehrwertbi/dung endendieRichtung der Ungleichung)

0< 2<3

I

~

(6)

10< a < b

(7a)

Ix
(a > J; xe .IR)

a = 2 , 3 <5 4* 23<25 denn 8<32 ~ e] < e5 ; 10 3 < 105

(7b)

Ix < y ~ a-x > a -Y I

(a > 1; xEIR)

3<5

{=>

log.a < log,b Ce > I)

i)

In 2< ln 3

ii) Ig 2 < lg 3

(=}

dh.

Wichtig für das Lösen von quadratischen Ungleichungen oder Bruch-Ungleichungen ist die Beantwortung der Frage, wann ein Produkt a · b (bzw. ein Quotient G) pestuv bzw. negativ ist. Es gilt in PortsetzungvonSatz 1.2.183:

I I

,------:-- -- - - -- ----,

(8)

o b> 0 .!. > 0 b

(9)

J!. < 0 b

~

(a>O

1\

b >O) v (a
A

b < O)

~

(a > O

A

b
A

b > O)

E ingängig (wenn auch nicht ganz korrekt) sind dafür die umgangssprachlichen Merksätze: "E in Produkt ist genau dann positiv, wenn betde Fa ktore n gletches Vorzeichen bes itzen und gcnau dann n egat iv, wenn beide Faktore n vers chied enes Vorz eichen besi tze n. ~ (Analoges gilt für Zähler/Nenner von Q uot ienten.) Die Vnglcichungsregcln (1) bis (9) lassen sich sinngemäß auf Ungleichungen und dere n Tenne anwenden. D ie folgend en Beispiele zeigen die wicht igsten Umfonnu ngcn für Ungl eichungen:

Beispiel (.2.184: i)

3x-4<x +8

(3) ~

2x<12

d.h. L = {xE IR I x -c 6} .

(4a) ~

x<6

Veranschaulichun g am Za hlenst rahl:

o

I

I

1.2

Artthmenk im Bereich der reellen Zahlen IR ii )

x ' lg Ü,S S - 2 1 : lg D,S «O !)

iii)

,

,

.,

(Sb)

,

g •

. .,

_...!.. , > In OS

(7a)

[c"

~

~> C2

(x> VC !\ X> - VC) v (x < VC !\ x< -Vc )

I

U

I"

~

L

{XE IR

I X <-VC}

X ~ - VC}

x2 -8x+ 12< O ~

(X-4)2 < 4

x

x- 2

PI ., .",

I

x > VC vx < - VC

-Vc

.

(x- VCXx + J!'C) X+

s

x- 4<2

A

~

x < -9 vx >9

0

VCs 0)

-Vc

= [-VC;VCI ,

o

x S 4!\ x ~- 4, d.h.

~

.,

1"

x 2 - 8x < - 12

Vc

,

0

Beispiel: r > 81

Beispiei: x2 S 16

, ii)

x> c6= 403,43.

(x - VC< O !\ x + VC< O)

(x- VCS O !\ x+ VC ~O) V (x- ve ~ O !\

= {XE IR I x S VC!\

-< - In OS

x2 - c > O ~ (Binom) (x - ~)(x + ~»()

PI ~

V

~

3

(x - ~> O !\ x+ VC> O)

{XE IR x > VC }

.

,1

(4b)

10

3

1'1 ~

L =

<::< 6,64

-1 <::< 1,44 ; In 0,5

.,.,

d.h .

-2

~ 105

<> - -

1" ~

d.h ,

x

('1 .,

«» .,

I

- x < InO,5

In ~> 2; (x>O)

.,

(4b )

I'n".

' > 0,5 ; (x> O)

71

x - 4> -2

x 2 - Bx + 4 2

I"

~

L =[- 4; 4j.

< - 12 + 4 2

x<6

A

x> 2.

>-1 ;

Multipliziert man je tzt mit dem T enn x- 2, so muss man eine Feüunt ers cbeidung ma chen : Ist x-2 positiv, so bleibt nach (4a) das Ungleichheitszeichen erhalten , für x- 2 < 0 ä ndert sich nach (4b) die R ichtung des Ung leichheitszeichens. Ein fach er ist es, die Bruehglciehung auf die Form T I (x) > 0 zu b ringen und dann (8) anzuwende n: Tz(x )

- ' - >- I

x- 2

(3)

.,

x +1>U x- 2

~

(erweitern)

x x- 2

x -2 >0 x -2

-'-+ -

72

Grundlagen und H ilfsmitt el

~

(') ~

<:::>

(')

2x - 2

-- > 0 ,-2

~

(2x - 2 > 0 A x-2>0) v (2x - 2 <0

(x >1 I\ x > 2) v(x < l AX < 2) (x > 2) v (x < 1) .

o

1\

x -2<0)

2

f

3

- - E - j l - - -, ...

Aurgahe 1.2. 185: Man ermit tle d ie Lösungsmenge n folgenJer U ngleichungen und stelle sie am Zahlenstrahl graphisch dar:

i) - 6x + 4 <:: x - 6

ii) - 10-' - > 5 1 000

v} x 2- 9x 2: 20

m) 2x - 1

., -- >, , +1

iü) 3 1g x > - 6 ; ~ii) O,Sx < 1.000

,iU)

,-, <_, .

.2..

1.2.6 Wo steckt der Fehler ? Lan gjä hrige E rfahrungen mit H örern der Einfüh rungsvorlesung in Fina nzmathema tik und wtrtschaftsmathema tik habe n mich dazu e rmuntert, den zuvor da rgeste llten elementarmathem atisc hen H ilfsmitt eln einen Exkurs über beliebt e Fehlerrn öglichkcit cn in de r Arithmetik folgen zu lassen - in de r H offnung, es gelte auc h hier der Satz, dass man a us seinen Fehlern am besten lernt. Zwa r ist es einerseits nahezu unm ög li ch. di e Vielfalt und phantasievolle Krea tivität im E rfinden imme r neuer " Rcchenregd n" (und allerdings uuch im Verzapfen haarst rä ubenden mathematisch en Un sin ns) erschöpfend darz ustellen - anderers eits kann man allerdings beobachten, dass gewisse Fehler, Fehlerkom bination en un d Trugschlüsse verstä rkt und immer wieder auftreten, so dass es nahelie gt. der art ige den Studlcnanfängcr gleichsam ma gisch anziehe nde T rugsehluss- und/ oder Feh lerfallen aufzuzeigen, um so - durch vert iefende E insich t de n falschen Weg ein für allemal zu b rand mar ken . Im folgenden werden dahe r beliebte Fehler und T rugsch lüsse anhand ko nkreter Beispiele aufgcführt 12. De r be i der ersten Lektüre möglicherweise beim Le ser hervorgerufen e Effekt lässt sich am besten d urch d ie fo lgenden Zeilen 13 besc hreiben:

" Man liest's, soweit man gut gelaunt, man räusp ert sich und ist erstaunt, ist halb e/freut und halh ergrimmt, doch weiß man nicht, weshaih 's nicht stimmt. " E s ist ein Z iel dc r vo rliegcnden Fe hlerdokumentatio n. dass der in de r letzten Zei le besc hriebene Z ustand bei m Leser möglichst übe rwunden wird - wer d ie A usführun gen bis hierher durchgearbeitet hat, wird wissen , an welche r Stelle der Feh ler lieb" und wie es richtig hätte sei n müssen",

Bemerkung: Da das mit dieser Trugschlusssam mlung beabsichtigte Verständnis der eiementarmathematischen Instrumente erst durch eigene (e/folgreiche) Fehlersuche gewonnen werden ka nn, werden die Lösungshinweise mctu hier, sondern im separaten Übungs- und Lö sungsbuch gegeben, siehe [69hJ. 12 In diesem Zusamme nhang sei auf das vo rzügliche , stoßlieh über das hier Dargebote ne hinausgehende Büchle in " Wo steckt der Fehler" von W. Lietzmann (Smttgan 1969) hingewiesen, nach dem auch der vo rliegende Abschnitt benannt ist. 13 Entnommen aus: Cremer, H.: Cannina Mathcmauca, Aachcn 1965. 14 Näheres zum .Ricbrigcn und Falschen in der elementaren Algebra" siehe Lite raturverzeichnis f6geJ.

1.2

Arithmetik im Bereich der reellen Zahlen IR

73

(VO RSICHT: Fehler 1)

Fehler bei Termu mformungen

1.2.6. 1

a) Wo steckt der Fehler? Worin besteht der Fehler, weshalb ist etwas fehlerhaft? h) Wie müsste diefehlerfreie Umfo rmung/Losung aus sehen? I)

Klanunervereinbarung: 5+7 ' x = 12x

j

zx- (y + x) = Zx - Y + x = 3x - Y j

2) Subtraktion geklammerter Summen:

3) Hintereinanderausführung mehrerer Operationen: i) 48 : 8 ' 6 = 48 : 48 = 1 j ii) 48- 8 +6 = 48-1 4 = 34 4)

As soziativ- und Distributivgcsetz: i) Z'(ab) = Za 'Zb ;

5)

Bruchrechnen :

- R . q;l=_~ .q_ ~;

I)

n - I R · ..::.L.....,;

ii) 6)

2

=

n 1 R ·..3. -.

2

2 •

Kürzen: I)

7)

ü) - (2x) = (-2) ' (- x) = 2x ;

5x -7y'

5a -7b

x

e

v

iii)

.~ ;

a- b

9x2 - 16y2 - = 3x - 4y 3x - 4y

j

Potenzdefinition, Potenzgesetzc: i)

5a3 = 125a 3

2 ' 1,52 = 3 2 ;

ii)

j

iii)

2 (x+y)3 = (2u Zy)3

j

I, ) -2'· (- 2) -(- 2)-(-2) -(- 2) ' 16 v) - (a+b)2 = (- a - b)2 = (- a-bX-a-b) = a 2+2ab+b 2 = (a+ bf

\i ) (a · b)2 = a2. 2ab ·b2

i,)

2r

liii) 5 1/ 2 =

\ii ) 5° =0 ;

1{3 = _ - ' - -

xi)

273 '

1.. 5- 1/2 2

9 - 1/ 2 =

~

j

xii) 0° = 1 ; 8)

Logarithmusdefinition, Logarithmengesctze: I)

a) Ig 900 + Ig 100 = tg (900 + 100) = Ig 1.000 = 3 b) Ig 900 ' lg lOO = Ig(900 + 100) '" Igl .000 =3 1n6

6

ii) a) 1n 2 = ln2"=l n3 c) iü)

j

ln a

b ) - = I na -Inb ' In b '

18 1.100

1 '" Ig(1.l00-100) = Ig 1.000 = 3 g 100

~=~ ; In y

Iv) InO= O ;

y

\i) In(5e') = 5 'ln e"= 5x

j

lii) 2 x = x' lg2 ;

v)

In (-4) = - In 4 ;

\lii) In(lO ' eY) = In 10 · In cl' = y -In 10 ;

1 Grundlagen und H ilfsmittel

74

( VORS I CHT: Fehler ! )

9)

Potenzieren einer Summe: i) (a -b)4"'a L b 4;

Beispiel:

} : (2 - 1)4 : 2L I 4 : 15 .

ii) VaZ+ bl - a+ b ;

Beispiel:

5 :

iil) - ' - ",..!..-+ ..!.. ;

Beispiel: - - = - + - = 1

iv) (x+ y)O'" xO-+ yO , d.h .

1 = 1-+ 1 = 2 ;

n +v

n

v

V25: V9+16 = V'"3"' "c.c4"

1

I

I

2+ 2

2

2

,i) al+ a3 = aZ+3 = a5

v) (p+ q) I/5 '" p l/5+ q l/5

,ii) & +e" : e" +Y ;

' i ii) 10

,

23

d.h.

-

1

4

- 3 -+ 4 = 7 •

= 1

;

= 1003 = LOOO.OOO

,

10) Logarithmieren einer Summe: I) In( e" -eX) '" In e" - ln ex = X- XZ ii )

Ig (2X - 5~

= x · lg 2 - x · lg 5 ;

iii) Ig(I ,l n -100) = n -Ig 1,1 -lg 100 = n ' lg l ,I - 2 11) Negativer Radikand: i)

V- 16

ii) 20 + iil)

= -4 ;

N :

20 (denn

N

gibt es nicht in IR) ;

v=t = (_1)1/ 2 = (_1)2/4 = ((_1)2)1/4 = 11/4 : •VI = 1

12) w urzerziehen.

V16 =

13) Bruchrechnen (x

x

;) -

0

= x ;

0 v) - = 0 0

± 4

*' 0): ii)

.s , 0

1

iii)

0 = 1 ; 0

.s0 ,

' ") - I \ 11

\1) -

=

0

0

0 ;

Iv) - = x x

=

1.2.6.2 Fehler, Irrtümer, Trugschlüsse bei der Lösung von Gleichungen (Im fo lgenden wird die . Lösungsmenge" der vorgelegten Gleichungen m it feh lerhaften Methoden gewon nen. Wo steck t der Fehler? Korrek ter Lösungsweg? Korrekte Losungsmenge?) I)

1,2

= 1 + l~

I · 100

~

120

=1 + P ~

~

p = 119

(x-4)2-1=0

~

(0)

L = {119 }

(x -4)2= 1

~

x-4 =l vx-4 = -1

(0)

x:5 v x= 3 ; L={ 3, 5) ; ~

x-} = o

~

x =l ;L = {l }

1.2

Arithmetik im Bereich der reellen Zahlen IR

V

4) xL 49 : 0 1 +49

~

X2

5) , - 1 · 0 1· ('- 2)

{=>

(x - IXx -2) = 0

°~

7) xL 4 x + 29 =

1

1

x

-r-

10) i)

{=>

x - I =Ov x- 2:0

~

L == {l ,2} ;

v=25 nicht gibt, folgt;

x\,2 : 2 ± V 4 -29 = 2 ± V-25 . Da es

8) 5 + VX ==0 9)

~ x : 7 ; L = {7} ;

x = 1 v x == 2

~

°

6) xL 2x + 37 :

== 49

I +I ;L == { -l + -i } x a. b e u e b . Kehl\vert bl. ld ung ~ x == a b a b

'"

ii ) c2x +c" :6 ~ " 2x ' x = ln6

~

Jx

~

2x 2 = ln 6 Xl

L : {2};

x = 25 ; L = {25} ;

~

c" + eh: 6 ~ x + 2x = In 6

75

(VORSI CHT: Feh/er I)

>

==

In6

eu:

I

x = "31 n 6 ::::: 0,5973;

~

Probe?

~

x2 : .! in 6 2 VO,5 · ln6 ::::: 0,9465;

x 2 = -VO,5 ' ln6 ::::: - 0,9465 ;

11) I) 5ex == 26 I,

ii) 5ex = 26

'".,

iii) 5c": 26

~

X =

In 5'x: In 26

, · -

~ "

5 In 26:::::0,6516 In 26

(In5) ' x = In26

2x - (-2x): 0

- :::::2 0244 . In 5 ' ,

In 26 In 5

26 5

~

, . - - = ln(-)::::: 16487

~

4x = 0

(zwei Fehler, aber riduiges Endergebnis!)

12) 2c"- e- h = 0

I

5x: In 26

L : {O}

•

(3Fehler !) ;

13) Gegeben ist die Gleichung ( ~ )x = ( ; / l . L ösungsweg:

~

3X ' 3 2: 42.4 x 1 (PI )

(P5) ~

2. L ösungsweg:

Wegen

(; )2 :

~

x -In

(~r

2

gilt:

3 = 4 (f), d.h. L ={)

{ ~r : (~ r2 1In; t,

~ : -2In~ I; ln ~ (*0)

~

x = -2

d.h.

L = {- 2) .

Welche(r) Lösung(sweg) Ist richtig ? 14) Behauptung: Alle Zahlen sind gleich.

Beweis: Es ist stets 36 - 66 = 25 - 55 (= - 30) <:;0

,

11 2

2

2

2

~

6 2 - 6 ·11 = 52 - 5 · 11 11 2

2

112

6 -6 '11 +(2") : 5 -5 '11 + (2")

[r quodratische Ergönzung (2")) :

~ (6_ !! )2 = (5-!! )2IV

~

6- !! =5-!! 1 + !!

°

2

2

2

~

6=5

Daraus folgt durch Subtraktion von fünf: I : und daraus (Mull. mit 100 bzw. e) : 100 = 0; e = 0; Und daraus folgt; I : 100 = e (usw.). Damit ist bewiesen. dass alle Zahlen gleich sind.

76

1

(VORSICHT: Fehler ! )

Grundlagen und H ilfsmittel

15) Beh aup tung: Es gilt: 1 = 2 . Beweis: Der Tenn a 2 - a 2 kann auf zwei Arten geschrieben werden:

i) a 2 - a 2 = a· (a - a) ii) a L a 2 = (a +a) · (a- a)

(a ausklammern - Distributivgesetz) (3. binomische Formel -R6c)

Also muss wegen der Gleichheit der linken Seite gelten: a·(a-a) = (a+ a) · (a-a)

~ ~

a = a+a = 2a 1 = 2 (?)

I:a

I : (a-a)

16) Nochmals: Alle Zahl en sind gleich.

Beweis: a und b seien zwe i beliebige positive reelle Zahlen mit a c b. Dann gibt es eine positive reelle Zah l c, so dass gilt: a + e = b (denn: a « b)

MUltiplikation mit b -ra t» 0) liefert:

~

(a+ e) ' (b - a) = b - (b - a) ab + cb -a2-ae = b2 - ba I -eb

~

ab -a2 -ae = b 2 -ba -eb

~

a (b - a -c) = b Ib a t-c] I : (b - a -c)

~

a

~

r

= b .

Also sind die (bis auf " a < h" heliebig gewählten) Za hlen a und b entgegen der Annahme (a
I beidcSeite n quadricrcn

3V'X = x + 2 9x = x2+4

~

4,5 ±

x 2 - 9x +4 = 0

~

V4,52

4

XI "'"

8,5311 ;

x2 "'" 0,4689

Probe an der Ausgangsgleichung: Weder XI noch x2 ist Lösung! Dagegen stellt man durch Einsetzen fest: Lösungen sind ,,4" und " I " . Wo stec kt der Fehler lm . Lösungsweg' ?

1.2,6.3 Fehler bei der Lösung von Ungleich ungen (Im folgenden wird die " Lösung" der vorgelegten Ungleichungen mitfehlerhaften Methoden gewonnen. Wo steckt der Fehler? Korrekter L ösungsweg? Korrekte L ösungsmenge?)

1' -2

1)

-2 x < 6

2)

I) x2 > 9 ii ) x2

3)

< 25

2 > -;. I ·x

Iv Iv

.,

~

x < -3

(aber: Probe mit dem errechneten L ösungswen ,,- 4" ist{alseh!)

~

x> 3 x<5

(aber: Probe mit ,,- 4" (gehört nicht zur " L ösung ") ist richtig!)

~

2x> 1

(aber: Probe mit dem errechneten Lösungswert ,,-6" isl j alschf)

~ x> ...!.. 2

4)

- ' - <0 1 -(, - \0) x - 10

~

x -c 0

(aber: Probe mit ,,- I " (gehört n k htzur " Lösung ") ist richtig/)

(aber: Probe mit ,,5 " (gehö fT nicht zur " Lö sung ") ist richtig!)

77

2 Funktionen einer unabhängigen Variablen 2.1 Begriff und Da rstellung von Funktionen 2.1.1

Funktionsbegriff

Für d ie Beschreibung, E rklärung, Analyse und Opt imierung wirtschaftli cher Vorgänge ist der mat hematisch e Funktiensbegrttf (im Sinne der gegenseitigen Zuordnung wirtschaftlich er Größen) von grundle-

gender Bedeutung. In vielen ökonomischenBereichen haben wir es mit Zuordnungen der Elemente einer Menge zuJen Elementen eineranderen Menge zu tun: -

den verschiedenen Quantitäten einesProduktes sind dieentsprechenden Erlöse zugeordnet ;

-

verschiede ne n Einkommen eines H aushaltes sind die ents preche nde n Kon sumau sgabe n zugeordnet ;

-

verschiede nen Lci stun gsint cnsit ätcn eines masc hinellen A ggregates sind entsp rechende Verb rauch szahlen zugeo rdnet;

-

verschiedenen Briefgcwichtcn ist das en tsprechende Inlandspor to a ugeord ne t j

-

verschiedenen Outputmen gen einer Ein-P roduk t-Unternehmung sind en tsprec hende Gesamt-Stückkosten zugeordnet, u.v.a .m.

Beispiel 2.1.1 : D ie H uber G mb H erzielte in den ersten 6 Monat en eines J ahres d ie folgend en wertmäßigen Umsätze (in T € ): Monat U msatz (in T € ) Man erkenn t: Z u jedem M onat gehö rt genau ein bestimmter U msatz, jed em Mo nat wird genau ein bes timmter Umsat z einde utig z ugeordne t, so et ....a dem Monat 4 der Umsatz 13. E ine derartige eindeutige Zuordnung (oder A bbildung) der El emente eine r (Zahlen-) Menge zu den E lementen einer ande ren (Zahlen-) Menge nenn t man Funkti on: Def.2.1. 2: (re elle Funktion) Es seien M I und M 2 zwei Men gen reeller Zahlen. Ordnet man jede m Elem ent x ( E M 1) du rch irgcndcine Zuordnungsvorschrift f genau ein Elemen t y ( E M 2) zu, so nennt ma n die dadurch gegebe ne paarweise Zu ordnung eine (ree lle) Funktion f . (Da mit ist f gleichzei tig chara kterisiert als Menge aller der bei dieser Zuordnung auftretenden Paare (XjY) , d.h. f ist eine Teilmenge von M I XM 2 j slchc Dcf 1.1.83) Beispiel 2.1, 3: (Fortsetzu ng von Bcispie1 2.1.1) Nach dieser Def inition lässt sich die Z eit- I Umsatz-Funktion de r Huber GmbH deuten als Zuordnung (Abb. 2. 1.4)

W, Monat

od er als

Paarm enge. f = {(1;1O),(2 ;12), (3 ; 14), (4 ; 13), (5 ; l 6), (6 ; 12)} .

0,

Umsatz (in r€.J

Abb. 2.1.4

2

78

Funktionen einer unabhängigen V ariablen

Man beachte, dass -

von je dem Element aus M I gella u ein Pfeil nach M 2 ausgeht (Eindeutigkeit der Zuordn ung) nicht notwcndig jcdcs E lement von M 2 als "Part ner" vorkommen muss (so bleiben etwa die U msatzzahlen 11,15, 17 T € frei)

-

es vorkommen kann , da ss auf einem E lement aus M 2 meh r als ein Pfeil endet (so fällt et wa der Umsatz von 12 T€ sowohl im Monat 2 als auch im Monat 6 an). Damit wird zum A usdruck gebracht.

dasseine Funktion zwar eine eindeuuge Zuordnungsein muss, nicht aber notwendigcr.....cisc die umgekehrte Zuord nung(d.h. von " rechts nach links") einde utig ist.

Die Funktionsdcfinition 2. 1.2 ist sehr allgemein formuliert. Wegen der grundlegenden Bedeut ung und de r mannigfac hen A nwendungen des Funk tionsbegriffes sollen im fo lgenden die wichtigsten im Zu sammenhang mit dem Begriff de r F unktion auftretenden Bezeichnongeu. Symbole und sonstigen Besonderheiten aufgefü hrt werden.

(I ) Die " l i n ke~ Menge MI' von der die Zuo rdnungspfeilc ausgehen, bezeichnet man als Deü ntuonsmenge (oder Dejinitiollsberekh ) Dr der Funktion f. Df ist also die Menge aller x, dene n ein y zugeordn et ist. ln Beispielz.t .ä gilt som n: Dr ,=, { ] , 2,3, 4,5,6} ('=' MI) ' (2) Die ..rechte" Menge M 2, in der die Pfeile ende n, heißt Zielmenge Z (oder Bildmenge B). Z '=' B = { 10,11 , 12, 13, 14, 15 , 16, 17 } (= M 2) . In Beispiel 2.1.3 gilt (siehe A bb. 2.1.4): (3) Die M enge de rjenigen Elemente von Z , d ie bei der Zuordnung f ta tsächlich als Part ner vorkommen, heißt wenemeege (oder Werteberekh ) "'r von f.

In Beisp icl 2.1.3 gilt also: Wr = { 10, 12, 13, 14, 16 } C Z

(siehe Ab b. 2.1.4 ) .

(4) Will man zum A usdruck bringen, dass dem Wert x ( E D r) d urch die Funkt ion f der Wert y ( E Wr) zugeordnet ist, so schreibt man:

i :

··: ·i

xÄ y f:

xe D f

x ~f(x)

xe D,

f: y = f{x)

xe Df

f: x s-e y

oder

f: oder a uch einfac h:

x~y

Y = f(, )

xe D f

oder

= f(x) , xe D r

xe D f

·

Dabei wird z.B. die symbolische SChreibweise f: x ~ y '=' f(x) gelesen als " f ist die Funktion, die : de m Wert x den Funktionswert y gleich r von x z uordnet". 1 Die Gleichung y = f(x) hei ßt " GleichungderFunktion f " oder . Funktionsgieichung von f ".

i

: Man beachte , dass zur vollständigen Beschreibung einer Funktion die A ngabe des Dcflnitio nsbcrci: ches unerlässlich ist.

Bemerkung 2.1.5: Wenn nicht ausdrucklieh andersvermerkt, soll im folgenden der Def initionsbereich D, aller vorkommenden Funktionen f gleich IR (bIW. gleich einer geeigneten Teilmenge von IR) sein. Damit ist einereelle Funktion f als Teilmengedes IR2 r- /Rx lR) wiefolgt definien: f= { (x, y} e IR2

I xE D,

A

y=f(x) } .

Insbesondere wollenwir vereinbaren: Ist f durch eine" Formel " definien, I.B. durch [: fex} = ~ 4-,

so soll derDefiniüonsbcreich D, aus allen Wertt'nderunabhängigen Variablen (hier:x) bestehen, für die die Formel einen eindeutig definierten Zahlenwen ergibt, d.h. etwa im Beispiel: D, = IR \ (-2; 2), (D, ='DmaJ. Etwas anderes ergibtsich dann, wenn (etwa aus ökonomischen Gründen) derDefinitionsbeteich I/on f explizit weitereingeschriinkt wird, 1.8. auf nurpositive Werte von .r, Der Abbildungspfeil (oder FI/ßp/em 1-7 ist speziell ftlr derartige (funktionale)Zuordrnmgcn reserviert.

79

Begriff und Darstellung von Funktionen

2.1

Die in (4) auftretende n Symbole werden üblicherweise folgendermaßen benannt: x:

unabhängige Variable (oder Argument)

f:

Funktion ; Name der Funktion ; "f" ist mathema tisch sorgfältig zu unterscheide n von " f(x)":

f(x):

(Zah lcn-)Wcrt der Funktion f an der Stelle x (gesprochen: I> f von x "') ; Der (Zah len-[wert. der der Varia blen x zug..co rdnot ist ; abhängige Variable ; Funktion swert ; Funktionsterm ; (so bezeichnet etwa f(3) de njenigen Za hlenwert aus W f , der dem Wert 3 aus Df zugeo rdnet ist, in Beispiel 2.1.3 : f(3) =: 14 ) ;

x 1--+ fex): Z uo tdnu ngsvorschnft, Abbildungsvorschrift der Fu nktion f ;

Y =: fex): Zu ordnungsvorsch rift oder Funktionsgleichung, die definiert, auf welche Weise dem Wert x ein Funk tionswert y (=: fex »~ zugeordnet wird.

Bemerkung 2.1.5a: Wir werden aus Vereinf ochungsgrunden (und wenn Missverständnisse ausgeschlossen sind) haufig schon dann von einer" Funktion "sprechen, wenn nur ihreFunktionsgleichung y = fex) oderihr Funktionstenn fex) vorliegt, auch wenn dies nuch dem Vorhergehenden mathematischnicht korrekt isl. Beispiel einer funktio nalen Zuordnungsvorschrift (alle Aussage" bedeuten dasselbe !) : Jeder reellen Zahl wird ihr um 2 vermindertes Quadra t z ugeordnet x 2- 2

mit

x e lR.

p l--+ p2 - 2

mit

p e IR

x

1--+

y =: {(x) = -2 + x 2

mit

x e lR

A =h(B) =: B2 - 2

mit

Be IR .

Man erkennt , dass es für die fo rmale Z uordnung unerheblich ist, welche Bezeichnun gen den Variablen gegeben werden: Die Z uord nung C = y2- 1 bedeutet dasselbe wie y = C2 - 1 oder K =: x 2 - 1 . Vorsicht bei der Wah l der Variablenbezeichnung ist led iglich dann geboten, wenn eine Variable eine bestimmte (ökonomische) Größe symbolis iert: Beispiel 2.1.6: Es ist üblich (abe r nicht zwingend vorgeschrieben), die folgend en Variablennamen zur Bezeichnung ö konomische r G rö ßen zu verwenden:

C: Kons um

Y: Ei nkommen

K Kosten/Kapital

p: Preis, Zinsfuß

G: Ge winn

k: Stückkosten

U: Nut zen

t: Ze it

i:

I: Investitionsausgaben

S: Sparquote

r: Input

Zin ssatz

E, U: E rlös, Umsatz (wertmä ßig)

x: O utput, A bsatz (mcngcnmäßig)

L : Liquiditätsna chfrage u.v.a.m.

(siehe auch das Verzeichnis " Häufig verwendete Var iablennumen " in der Einleitung dieses Buches). Versteht man etwa unter C die . Konsumausgaben- und unter Y tes, so unte rsch eiden sich die ebe n genann ten Z uordnungen

(i)

C = yL

l ; Y elR +

u"d

(ii)

d..1S " Einkommen"

eines Haushal-

Y = CL } ; Ce R '" .

80

2

Funktionen einer unabhängigen Variablen

Zwar sind die bei beiden Zuordnungen auftretenden Wertepaare identisch (z.8. (1 ;0), (2 ;3), (3 ;8), usw.), nur be deute n im Fall (i) die links ste hend en Zahlen Ein kommen swerte, d ie recht s stehenden Z ahle n Konsumwerte (so geh ört zum Einkomm en 2 der Konsum 3), während es im Fall (ii) umgekehr t ist (z um Kon sum 3 gehö rt nu n das Ei nkomm en 8, also nicht - wie zuvor - da s E inkommen 2 !) (5) Um zum A usdruck zu bringen, dass die Größe y durch eine funktionale Zuordnung f von dem je.....cihge n Wert x ( E Df ) ~ abhängt ". schreibt man statt "y = f(xt häufig (nicht ganzkorreta, aberbequem ) auch:

y = y(x) U,'c ksen: "y gleich y von x") y(x) =x2-2 , xelR

Beispiel (siehe (4» :

; A( B) = B2 - Z , SelR .

(6) D ie in y = fex) verwendete n Namen "unabhä ngige Variable" fü r x und " abha ngige Variable " für y dürfen nicht dazu verleit en, zwisch en x und y eine Abhängigkeit im ka usalen Sinne zu kon strui eren (wenn au ch gelegentli ch eine derartige Abhängigkeit bei ökonormsehen Variab len vorkommt).

So han gen beispielsweise die Umsatzza h1cn der H uber Gm bH (siehe Beispiel 2.1.3) nicht not wendig kausal vo n den Zeiträumen ihre r Erzielung ab , sie sind vielmehr verschiedenen Zeiträum en (im mathematisch funkti onalen Sinne) zugeordnet Der Begriff ~ abhängigc Variab le " (hier für den Umsatz) soll lcdiglich zum Ausdruck bringen, dass die Umsatzzahlen den Z eiträumen (u nd nicht umgekehrt ) zugeordnet sind . (7) Schreibt man die Funktions gleichung y = f(x) in der Gestalt

y - f(x) = 0

bzw,

g(x,y) = 0

so wird auc h dadur ch eine Zuordnung definiert. J etzt ist allerdings nicht von vome herein erkennba r, welch e Variable ~ ahhängi g" und welche Va riab le ~ unabhängig" sein soll. Dies muss vorhe r vereinbart werden (stcbc . Jmphette Fun ktion en ", Kap. 2.1.5). (8) Ein e Funktion f ist erst dann eindeutig defi niert, wcnn außer der Zuordnungsvorschrif t y = f(x) auch d ic zugehörige Definitionsmenge D f angegebe n wird. Nach Bcm. 2.1 .5 untcrstcllcn wi r, dass D, - sofern kein e a ndere Vere inbarung vorliegt - aus allen reellen Zahlen x bes teht, für die der Funk tionstenn f(x) einen definiert en Z ahlenwert annimm t (Dj ='D"'tA = m axim aler Definuionsöereich},

Bei ökonomischen Funktion en allerdings wird man häuf ig nicht diesen (mathematisch) umfassenden Definitionsbereich Dmax , sond ern den ökonomisch slnnvoüen Definitionsbereich DÖ1 (d.h. eine Teilmenge von Dm B~) zugrunde legen: Beispiel:

(I<: Gesamt kosten be i Prod uktion des Outputs x) . K(x) = o.t x + 7 Offenbar gilt: Dma>: IR. Da aber La. nur nichtnegative Outputwerte vorkommen könne n, legt man als öko nomisch sinnvollen Dcfin ition sbereich D ök zugrunde:

Dök =lR ~

(= {x ElR l x ~ o }) .

E s ist also durchaus sinnvoll, zu einer vorgelegte n Zuordnungsvorschrift f.x Ho fex) erst im Nachhinein einen Definitionsbereich zu ermitteln, z .B. D f = D max od er D f = D ö1 ! Bei der E rmittlung des Definitionsbereiches D f einer Funktion f kommt es häuf ig darauf a n, diejen igen Wert e für die unabhä ngige Variable zu ermitteln, für die keine Zuordnung möglich ist, weil ein nich t definierter Au sdruck entsteht:

'- . Y " f(, ) " l -x~

D, - '),

Da der Nenn er nicht Null werde n da rf, m üssen die Lös ungen der Glei ch ung 1- x~ = O , d.h. l u nd - La usgcschlosscn wcrde n: D r = IR\{- l j 1} .

2.1 Begriff und Darstellung von Funktionen Beispiel:

y = fex) = ~

81 Df = ?

Da der Radikand größer oder gleich Null sein muss, d.h. x - I Dr = {x e IR x 2: I }.

2: 0,

I

folgt:

Wir wollen (wie schon in Bem. 2.1.5 erwähnt) im Folgenden -wenn nicht ausdrücklich anders vereinbart- slets den ma\.imalen (ökonomischen) Definitionsbereich Dr (c IR) zugrunde legen. (9) Liegt eine Funktion f in Form ihrer Funktionsgleichung y = fex) vor, so erhält man zu jedem Xo ~ durch Einsetzen anstelle von x im Tenn f'(x) den zugeh örigen Funktion...wert f(Xo).

= 2+ I , D = IR . f mit der Gleichung ··: Beispiel: Gegeben sei die Funktion 2 Dann gilt: f(2) = 2 1 = 5; f(- lO) = (-to)2 1 = JO l; f(p) = p2+1 ·· 2+ f(x+Öx) " (x+.6xl+ 1 x 2x ' Öx+(6.x)2+1 ·· = usw, ·~ Wie die Beispiele zeigen, können in f(xo) fürxoZahlen, Variable oder sogar Terme werden. f(x)

+

x

f

+

=

f(6p2_9 p+ 4)

(6p2_9 p+ 4)2+ 1

gewä hlt

( 10) Wie schon erwähnt, ist nicht durchjetle Zuordnungsvorschrift eine Funktion definiert:

Beispiel:

f: fex) = Vi'" ; xe IR: f ist keine Funktion, weil für negative Werte von x der Tenn (Für Df = IR. ~ ist f allerdingseine Funktion!)

Vi'" nicht definiert ist.

Beispiel:

f: y =~ ; xeIR : f ist keine Funktion, weil y für kein x e IR(außer für x = 0) definiert ist.

Beispiel:

f: xl--loy mit y2= x ; Df = lIP: f ist keine Funktion, weil die Zuordnung xl--lo Y nicht elndeuug tst, z.B. ist demArgument x ,= 9 sowohlder Wert y = 3 als auch der Wert y = - 3 zugeordnet.

Beispiel:

1

f: fex) = -,- - ; x - 16

D f = IR. :

f ist keine Funktion, weil den Zahlen 4, - 4 E Df kein Funktionswert zugeordnet ist fj tstoöertur Dj = IR\ {- 4;4 } eine Funktianl) . (11) Kanndie Funktion f nicht durch eine Zuordnungsvorschrift in Glciehungsform beschrieben werden (so etwa bei empirischen Funktionen, deren Werte z.B. aus Mcssdaten bestehen), so stellt man die einander zugeordneten Wertepaare häufig in einer w ertetabeile zusammen: Beispiel: f: T = f(t): Lufttemperatur T als Funktion der Uhrzeit t , siehe Tabelle:

t: Uhrzeit (h)

9.00 11.00 12.00 14.00 16.00 18.00

I

T, Lufttemperat ur (OCl 12 °C 17 -c 20°C 22 °C 22 °C 21 -c

Umgekehrt lässt sich La. zu jeder in Gleichungsform vorliegenden Zuordnung eine Wertetabelle aufstellen.

Beispiel: f: y = fex) = x2 - 1

j

Df = IN :

x

5

f(, )

24

2

82

Funktio nen einer unabhängigen Variablen

2.1.2 Graphische Darstellu ng von Funktionen Nach Dcf. 2.1.2 versteht man unter einer Funkt ion f einerseits eine Zu ordnu ng, andere rseits die Menge aller Paare (x ; y), die bei der Z uordnung f einander zugeordnet sind: f '" {(x, Y) x ~ y '" f(x) A XE D, }.

I

Daher ist es möglich - wie bei jeder Paarmenge . siehe Kapitel 1.1.7 - dtc zu einer Funktion f gehörenden Wertepaare (x ; y) in einem rechtwinkligen Koordinate nsystem darzustellen, siehe Abb. 2.1.7. -

Punkt P imx.y-Koordinatensystcmveranschaulichen. -

-

IM

Je des Paar (x;y)einer Funktion lässt sich durch einen x und y heißen Koordinaten des Punktes p(x;y). Die erste Koordinate (hie r: x) heißt Abszis,~e, die 2. Koordinat e (hier: y) heißt Ordinate. Die Menge aller dieser Punkte liefert den Gm phen vo n f (od er das Scha uhild von 1).

-

ffxi

._f p( \ i : X.Y

Wr

f

I

o

(xl

-,

x

o,

Abb. 2. 1.7

Beispiel 2. 1.8 (siehe Beispiel 2. 1.3): Der Zdt-/ Umsatz-Funktio n U '" U(1) von Beispiel 2.1.3 liegt fo lgende Wcrtctabd 1ezugrunde:

,

I (UI

15

U

Dargestellt im (I. Uj- Koordinatcnsysrcm erhalten wir den folgenden Funktionsgr aphen (Abb. 2.1.9):

Der G raph von U(I) besteht aus sechs isolierten Punkten.

10

.--

1

0

.

0

0 0

0

01

2

(li

.

3 ,

5 6

Abb. 2. 1.9

Bemerku ng 2.1.10: i) Die waagerechten Koord inatenachse bezeichnet ma n auch als Abszisse/lachse, die senkrechte Koordinatena chse als Ordinatena chs e. Die durch d ie Koordinatenachsen abgeteilten Viet1el der Ebene werden als Quadranten bezeichnet, sieheAbb. 2.].1] . ii) Die in da funk tionalen Zu ordnung y = f(x) vorko mmende Imab1langige Var iable (hier x) Iragl

m an vereinbarungsgemäß grundsaulieh auf der Abszissenoch se ab (und somit stets die abhä ngige Variabte y, d.h. die Funk tionsw ene f(x), aufder Ordinatenochsei. Der an den Koordinat enachsen stehende Var iablenna me wird zweckmäßigerweise in Klam m erngesetzt, der Graph der Funktion trägt den Funk tionsnamen. z.B, f , siehe A bb. 2.]. ] 2:

I

11. Qua drant

•

I.

"S

g

"~

Quadrant

Quadrant

I (fl

oder

(yl

f

(funktrons~

wertl

0

11I.

(obhängige Varioblel

0

f

2

Abszissenachse

Iv.

1

oo

Quadrant 0

Abb. 2. 1. 11

Abb. 2. 1. 12

r » f{xl

2

3

(unabhanw,e Von' e)

ijj) Die Abszissenwerte werden nach rechts hin größer, die Funk tionswerte (= Ordinaten wen e} nach oben h in. DerAchsenschnittpunkt 0 heißt Ursprung des Koordir unensystems (.\'ieheAbh. 2.J.12).

2.1

83

Begriff und Darstellung von Funktionen

Bei der graphischen Funktionsdarstellung ist es nicht unbedingt notwendig. aufbeiden Koordinatenachsen denselben Maßstab zu verwenden: f:y =x+l ;

Beispiel 2. 1.13:

Abb ildung 2.1.14 zeigt drei Funktionsschaubilder mit verschiedenen Achsenma üstäbcn:

,

, I III

III

f

f

3

2

lxi

o

2

I

3

~r I

lxi

0

2

lxi 0

3

I

2 3

Abb. 2.1. 14 Alle drei Schaubilder stellen dieselbe Funktion f dar. Häufig ergibt sich ein geeignete r Achsenmaßstab durch die Zah lenwerte der auftretenden Daten und die Forderung nach anschaulicher Darstellung. Z u beachten ist allerdings. dass jede Wahl eines Maßstabes zu optischen verzerrnugcn oder (ökonomischen) Fehlinterpretationen führen kann, siehe Abb. 2.1.14. Im folgenden sind die Grap hen einiger bäufig,·orkommender Elementar-F unktionen aufgcfühn : Bt'i~pi eI 2 . 1.1 5:

EI ;

I)

(>cl I III

iI I

j

·1

[,

3

2

3

4

{(xl = x

a

Iy '" x2 1 ; xe lR ( Pa rabel)

il)

xelR

{(xl = x 2

iiJ

lxi

I

falls gleiche AchsenmaßsIIJbe. {I =45" tew. Steigung= fGn a = 1

·1

01

,

2

-

lxi

2

iii)

I ~ X31 y

; xe IR (kubische Parabel)

Funktionen einer unabhängigen Variablen

I ~ I; y=

h ·)

,

-2 -1

0

0,5

2 ...

x

1(, )

- K -I

lJ

0,125

8 ...

fex)

I f/I

iii) 1

" , 1-

,

xe lR\{O} (Hyperbel)

"

<2

, 1-

<2

' 1

2

±4 ...

II/I~ fM: -

fM : x 3

e-_+ i

1

±+ , 1-,

lxi

x

- lxi

I

\.) I y ~ VX I : xelR;

(Wun clrunktion)

2

I III

ftxl : VX 9 3

1(,)

\ 'i)

Iy=exl

vi) ; x e lR

f/l l

(Exponentialfunktion, siehe Kap, 2.3.4)

Hx) : e X

5 I(x)

\li)

148,4

I

y= In x

I;

xelR+

(l.ogarithmusfunktlon, siehe Kap. 2,3.5)

x

10

fex)

2,303

_ _ _ '"'"i,--:~~---,IXI

t o

f(x) :ln x 1

Ix} vii)

2.1

85

Begriff und Dars tellung von Funktionen

Bemerkung 2.1.16: In ridl.'fl Fällen nützlich ist dir f olgende (nach dem Vom ergehenden eigentlich selbstverst ändliche} Eigenschafl von Funktionspunkten:

f/I

t y = f(x}

Liegt ein Punkt P mit den Koordinaten (xo,Yo) a/lf dem Graphen der Fu nküon f mit der Funklionsgldchung y = f{.t), .n ! gmügen die Koordinaten (xo,Yo) dieses Punkses P der Gleichung: Yo = f (xoJ(d.h. die Gleichung y = f (x) wirdbeim Einseizen von Yo (für y) und Xo ifür x) wahr).

lxi

Beispiel: Es sei bekannt, dass der Punkt P mit den Koordinaten (3 ; 7) auf dem Graphen derFunk tion f mit y = f ex} = ax2 + bx + C Ut'gt (a, b, C sind reelle Konstanten]. Dann muss notwendigerweise die Gleichung: 9a + 3b + c = 7 wahrsein. Die Eindeuti gkeit einer funktiona len Darstellung lässt sich gut am Funktionsgraphen überprüfen: Eindeutigkeit einer Funktion f: y = f(x) besagt, dass es zu jedem x ( E D r) gena u ein (d.h. nicht mehr und nicht weniger als ein] y (E W f ) als Funktionswert gibt. Graphisch bede utet dies nichts anderes. als dass es zu jedem xe D f nur genau einen senkrecht darüber (oder darun ter) gelegenen Funklionspunkl gebendarf.mit anderen Worten, das s jede Senkrechte den Funktionsgraphen gena u einmal .~ chneidel1 muss (s. Abb. 2. 1.17).

So gehört etwa der G raph in Abb. 2.1.18 nicht zu einer Funktion : Z u unend lich vielen Werten x ( E D r) gehört mehr ab ein zugeord neter Wert fex) (im Beispiel bis zu 3 verschiedene Werte !) . I n Abb. 2.1. 18 erkennt man dies daran, dass es (beliebig I'iele) Senkrechte innerhalb vo n D f gibt, die den Graphen mehr als einmal schneiden.

I 111

ffxl _

I

. I

I

I

I1

I

1

~ I- II 1

,,

,'

x '

0,

Abb . 2. 1. 17 Abb. 2. 1. 18

I 111 I f(xJ ~ ··- - · -

1I

.. . -

f J _ 11 I

10

I

I

IlxII----l l

Bemerkung 2.1.19: Auch die nicht eindeutigen und daher nicht 2U Funktionen gehäfl.'lIden Zuordnungen (wie etwa in Abb. 2.1.18 dargesteth] Hellen eine Beziehung zwischen zwei Variablen her.Derartige (allgemeine) Zu ordnungen (bzw. ihre Paarmengen] heißen Reiauonen. (Daher nennt man eine Funktion auchjimktionale Relation.) Aufgabe 2.1.20: Gegeben sind die Graphen in Abb. 2.1.2 Ia / b. Man ermittle die Fälle, in denen es sich um Funktions graphe n handelt.

111

i lil

\L)<

~

Abb. 2. 1.210

(xl

- -+---\c""lxi

lxi

86

2 Funk tion en einer u nabhängigen Variablen

I

Abb. 2.1.21b

Il.., I

_+

11)

1 11I "

{ III

" ""

Iv )

~

""

"

;:; (x ) _ _

"

"

"

vii

-

v]

,

"

+__ -"" + (x)

(X)

Aufgabe 2.1.22: i) Welche Paarmengen stellen eine Funktion dar1 a) {(!; ! ).(2;! ). (3;! ). (4;!) } ; b) ((!; ! ),(2; 3), (! ;4),(' ; ' ) )

x

c)

3

fex)

ü) Man ermittle von den angegebe nen Funktionen den max ima len Dcfinitionsbcreich , eine Werte-

tabell e und skizziere den Graphen. 11) f: f(x) = ,. x2 - 1 ; b) g: g(x) = -2x 2 ... 25 ; c) h: hex) = _,_1_ ; d) k: k(x) = x - 49 iii) Welche der Punkte Pi' ..., Ps gehören zu den Graphen der Funktionen C,

gegangenen Aufgabe ii) 'I PI = (7 ; 0), Pz = (0 ; 7), P, = (4 ; 7), P, = (-4 ; 7).

P3 =(- 7 j O).

P4 = (O ;-7),

P, = (8 ;

P,

-11]5\

=

V49

x2 .

g, h, k der voran-

(V15; - 34) .

iv) Im Bäckerladen. Ein kleiner Junge streckt die geschlosseneFaust mit Kleingeld über den Tresen: ~ Ei n

Bro t, bitte," Die Bäckersfrau entnimmt das Kleingeld mit der Bemerkun g: " Mal se hen, wa s für

ein Brot es sein soll.~

Welche Beziehung muss zwischen Brotp reisen und Brotsorten in diesem Fa ll bestehen? Aufgabe 2. 1.23: Gegebe n sind folgende Funktionen f und g: f: f(x) = 21;z + x -4

g g(t) =

v;r:t6

i) Man erm ittle jeweils den Dc firutjonsbereich von f und g (sieheSem. 2.1.5) .

ii ) Man ermittle für jeden der nachst ehend au fgeführten Ausdrück e das en tsp rec hende Wertepaar (x ; f) un d (t ;g): (Beispiel: zu f (ab) gehört das Paar: (x jf) = (ab ; 2(ab) 2+ab- 4) usw.)

a

~ ) .~) , ~) .~) , ~ , ~0 , ~ 0 ,~~ ) ,

g(x+ßx) , g(t-4) , f(xL 4) , g( ~) , f(xo+h) , f( 2xz +x- 4) .

Aufgabe 2. 1.24:

Ge geben seien 9 tzun öchst leere) Ge fäße A bis I. siehe Skizze:

2. 1

87

Begriff und Darstellung vo n Funktionen J edes Gefäßwird nun kontinuierlich mit Wasser bcfüllt, die Z uströmgeschwindigkeit des Wa ssers sei st ets konstant. Der Füllvorgang beginne jeweils bei einer Fü llhöhe h = 0 im Z eitpunkt t = O.Zu jedem Zeitpun kt t ( 2: 0) ergibt sich somit gcnau eine Fü llhöhe h , d.h . die Füllhöhe h(l) ist eine Fu nktio n h de r Zei t t (2: 0). 10 de rartige " Füllfun kt ionen ~ h: t 1-'1' h(l) sind graph isch dargestellt: (Dahei sind nur solche Zeiten t

berucksiduigt, die vor dem Überlauf rn desjeweiligen Gefiißes liegen.)

1

tr - . - l1u -i)

J

Welche Fillifunktion gehört zu welchem Ge fäß ?

2.1.3 Abschnittsweise definiert e Fun ktionen H äufig ist es nicht möglich. eine Fu nkt ion f in ihrem gesam ten Definit ionsbereich D, du rch einen ein7.Igen, geschlossenen Funktionsterm darzus tellen. Vielmehr kan n zu jedem einzelnen Absc hnitt ihres Definitio nsbe reich es jeweils ein and erer Funktionstenn gehören , man spricht von abschnn tswetse definierten Funktionen.

lkispieI 2.1.25:

€

l) (" Porto/unktion ")

Die Funk t ion k mit

' (') :

1

0,55 für O < x~ 20 1,00 fu, 20 < x s so 1,44 für 50 <x s ' Im 2,20 fu, 500 -c x s 100()

bes chreibt die Briefportokosten k (in € )in A bhängigkcit vom Briefgewicht x (in g). s. Abb. 2.1.26 (z ulässige Maße vorausgesetz t).

Ilki

1,10 1,44

.Porlofunklion "

1,00 0,55

lxi

° -P---+--+---"~+-+-'100

Abb. 2.1.26

5009

I IKI ii) Die Funkt ion K mit (x: Output)

300 --

10 + x für O ~ x ~ I OO 60 + 0,50x Iür 100 < x s 500 185 + 0,25x für 500 < x

könn te eine Gesamtkostenfun ktion besc hreiben, die abschnitts weise konstant e degressive variable Kosten bes itzt, siehe Abb. 2.1.27.

Abb. 2. 1.27

110

lxi

10

100

500

2 Funktionen einer unabhängigen Variablen

88

iii) Der folgende Text gibt auszugsweiseden §32a des Einkommensteuergesetzes(EStG) (ab Veran-

lagungszeitraum 2005) wieder: .. §32a Einkommensteuertarif (1) Die tarifliche Einkommensteuer bemisstsich nach dem zu versteuernden Einkommen. Siebeträgt ... j e-

weils in Euro fiirzuversteuernde Einkommen I. bis

7 664 Euro (Grundfreibetrag) : 7 665 Euro bis 12739 Euro: 3. von 12 740 Euro bis 52 151 Euro: -' . \ "0 0 52 151 Euro an: 2 . \ '0 0

0; (88J, ' .J· y+ 1 5OO) "y ; (228,74' Z + 2 397) ' z + 989 ; 0,42' x - 7 914;

"y" ist ein Zehntausendstel des 7 664 Euro übersteigendenTeils desaufeinen vollen Eure -Betrag abgerundeten zu versteuernden Einkommens. "z" ist ein Zehntausendstel des 12739 Euro übersteigenden Teils des auf

einen vollen Euro-Betrag abgerundeten zu versteuernden Einkommens. .x.. ist das aufeinen vollen Euro" Betrag abgerundete zu versleuemdeEinkommen. Der sich ergebende Steuerbelrag ist aufden nächsten vollen Euro-Betrag abzurunden." Die sich darausergebende Einkommensteuerfunktion S [S(E): Einkonunensteuer (in € I Jahr) in Abhängigkeit von E 1= zu versteuerndes (abgerundetes) Einkommen (in € /Jah r) J ist eine abschntusweise definierte Funktion:

In jedem der Bereiche 0 :0::; E :0::; 7.664; 7.664 < E :0::; 12.739; 12.739 < E :0::; 52.151; E > 52.151 wird S durch einen anderen Funktionstenn beschrieben (siehe E'StG-Text sowieAbb. 2.1.28) steuerschuld (5 ) & in T€

20

Einkommensleuerfunklion 2005

10

2

!EI 52,2

7.7 12.7 Abb 2.1,28

Einkommen in T€

Bemerkung 2.1.29: Wie an den vorangehenden dreiBeispielen erkennbar ist, kann es an den Nahtstellen der Definilionsbereiche zu eigenartigem Verhalten der entspredunden absdmiusweise defimen en Funk/ion kommen, z.B. in Form von " Unsletigkd ten" wie in Beispiel 2.1.25 i) (siehe Kap. 4.4) oder in Form von " Ecken " wie in Beispiel 2.1.25 ii) (siehe JWp. 6.4.5) .

2.1 Begriff und Darstellung von Funktionen

89

Aufgabe 2. 1.30: Man ennittlc anhand von §32a des Emkommensteuergesctzes (siehe Beispiel 2.1.25 ii i) die Einkommensteuer S(E) bei einemjährlich zu versteuernden Einkommen E von: i)

7.670 ,95 €

v) 12.741,98 €

Aufgabe 2,1.31:

7.67 1,OO€

ii)

12.739,99 €

iv) 12.740.00 €

\ii) 50.000,00 €

\iii) 500.000,00 €

Iü)

\i ) 49.999.99 €

Man skizziere diefolgende Funktion f imIntervall [-3;5 ]:

,'2; -- I 1

I für

f(x) =

-

x

x so

fiir O < x

• 3 fiirx > 2

2,1.4 Umkehlfunkt ionen Für ein Gut existiere auf dem Markt die folgende Nachfragefunktion f: x ~ p = f(x) : (2.1.32)

p =f(x)= - ...!.. x + 5 2

D f = [ 0; 10] ,

j

(x: nachgefragte Menge (in ME); p: Preis (in GE/ME» ;

W r = [ 0; 5 ] .

Dureh die funktionale Zuordnung f: x H p = gehöriger l\farklpreis p zugeordnet

'Ix+ 5 ....i rd jeder Menge x(aus Dr) gcnau ein zu-

So ist etwa einer nachgcfragtcn Menge von 4 ME ein

Marktpreis von3 GE/ME zugeordnet. s. Abb. 2.1.33. Andererseits ist es häufigso, dass die umgekehrte Zuordnungvon Interesse ist: Gegeben sei ein Marktpreis P. gesucht ist die zugehörige nachgefragte Menge x. Offensichtlich handelt es sich dabei um die vumgekehrte" Zuordnung pHX: Um etwa die zum Preis p = 1 zugehörige nachgcfragte Menge zu erhalten, gelangt man in Abb. 2.1.33 vom entsprechenden Ordinatenwe n p = 1 (GE/ME) . rückwä rrs" auf eindeutige Weise zum zugehörigen Abszissenwert x = 8 (ME). Diccntsprechendefnverse ZuordnungS""orschrifl g. pHX(p) (inGleichungsfonn) erhält man aus der ursprünglichen Funktionsgleichung (2.1.32)

f: p = - ...!.. x + 5 2

D f = [O; lO]

GE

ME

{pi

T5

I

W,

I

3

,

(xl

-'- 0

t

8

4

10 ME

0, - - --.<

I •

Abb. 2. 1,33 Wr = [0; 5 ],

indem man diese Gleichung nach x umstellt: (2.1.34)

g. x = -2p + l 0

D, (=W,) = [O; 5 j

W, ( = D,) =[ O; lOj .

An diesem Beispiel erkennt man: Damit eine Funktion f: x H y = f(x) umkehrbar (invertierbar) ist, ist es notwendig, dass zuJedemFunkücnswert Y( EWr) genau ein Wert x (E Df) der unabhängigen Variablen existiert: Die Inverse Zuordnung g: YI-+X = g(y) musswieder eindeutigsein.

90

2 Funktionen einer unabhängigen Variab len

Bemerkung 2.1.35: Dass dies nidn selbstverst ändlich ist, zeigt das folgende Beispiel deraus (2.1.32) abgeleiteten "Erlös/ unktion": E(x) "" x ' p (x) = -

L2

x 2 + 5x

I

GE

(E)

8

So gibt es etwa zum Erlös 8 GE sowohl die Menge

2 als auch die Menge 8 alszugeordnete Wrne, siehe Abb. 2.1.36 . Die Zuordnung E 1--+ X ist nicht eindeutig, also keine Funktion (wohl aber eine Relation, sieheBemerkung 2.1.19).

(xl

o

2

8

10 M E

Abb. 2.1.36

Z usamme nfassend erha lte n wir:

DeI. 2. 1.37: (Umkehrlunklion)

Ein e Funktion f : x t-+ y = f(x) mit XE D, ; yE Wf heißt (einde utig) umkehrbar (oder eineimleutig), wen n es aujedem y ( E W r) gena u ein x ( E D I) giht. Die Z uordnung g: y t-+ X = g(y) ; yE Wr (= D g) heißt Vmkehrfunktion oder inverse f unktion zu f (und w-ird daher auch häufig mit f - I (~ f invers") bez eich net).

Bemerkung 1.1.38: i) Ist das Schaubild einer Funktion 1 gegeben, so lässt sich die Frage nach der Umkehrbarkeitvon 1 leich/ entscheiden: 1 ist umkehrbar, wellll jede Waagerechte (innerh alb W, ) den Funktionsgraphen gellau einmal sehnetdet, sieheAbb. 2.1.39.

I

I

{t{

Abb. 2. 1.39

to

t t ,-

1-

{xl

o

,-I

al t ist umkehrbar (dh.

exi5h'erfJ

(Negariv [ormulien: 1 besitzt eineUmkehrfunktion tionsgraphen von 1 mehr aLr einmal schneidet.j

bl f ist nicht umkehrbar

(f"1 exis h'erf

nichtl

1-1, wenn es keine Waagerechtegibt, die den Funk-

jj) Um aus der Funktionsgleichung y = fix ) die Gleichung x = g(y) der Umkehrjunktion ZII erhalten, löst man dir ursprünglicheFunktionsgleichung }' = fix) nachderunabhängigen Variablen (hier x) auf. Ist diese Auilö sung eindeutig möglich, so handeltessich hd x = g(y) um die Gleichung derz u f gehorigen Umkehrjunktion.

91

Begriff und Darstellu ng von Funktionen

2. 1

Ir)!} i ~ - +--, -------

Beisp iele: a)

[: y

= fIx) =

2x - 4

,.

~

y(x-I) = 2x- 4 yx-2x=y - 4

DJ = /R \ { 1 } Wf= U< I{2 }

yx - y = 2x - 4 x(y- 2) =y- 4

<=} <=}

x = L::..!y -2 = g(y) ,. Dg=Wf

-~ - ~ - - - ~

~

; Wg = DJ

(Gleichung da Umkehrfunktion zu [, sirhe Abb.2.1.40).

ixl Abb. 2. 1.40

IM

b}

j

~:I-;

Die schon am Graphen (s. A hb. 2.1.41) erkennbare M ehrd eutigk eit der inversen Z uordnung drückt sich in der Mehrdeutigk eit der Aufl osung nach .r aus:

l....x 2 = y - l <=} x 2 = 2y- 2

Abb. 2 141

2

<=}

ir

~:t

x=V2y-2 vx=-V2y- 2 (zwei mögliche inverse Zu ordnungen).

-3

01 1

3

Also besuzt [ keine Umkehrfunktion. Etwas anderes ergähe sich dann, wenn ma n zuvor den Definitionsbereich von [ nuraufnichtnegative x-IVrr1e (D = /Rh) beschränkt. Dann giht es bei der Umt {inn lmg auch nur d ie positive L ösung x = V2y - 2 , die Umkehrung wäre eindeutig und g: y 1-+ X = 2y-2 ; Dg = {Y E IR y ~ I } = IV , die Gleichung der Umkehrfunktion g zu f.

I

t

iii) G elegentlich schreibt man die zusammengehörigen Tenne von Funk tion und Umkehrfunktion auch in der (nicht ganz korrek ten, aber sinnvollen) Schreibweise:

[: y "" y(x)

=

[Funktion]

Beisp iel: (siehe (2.1.32), (2.1.34»

I

[ -1: x = x (y) [Umkehrfunktion).

1 p(x) = -T x+5

=

x(p) = - 2p+ l0 .

I

Weiterhin erkennt ma n, äass d ie nochm alige Umkehrung der Umkehrfunktion wieder zur ursprünglichen Funk tion [ !ü}m:

I-I ([- 1) =

f

(Die Inverse da Inversen ist die A usgangsfunlaion} .

Bei der grap hischen Darstellung der Umkehrfunktion f - I zu f beaehte ma n, dass vereinba rungsgemäß stets die unabhängige Variable auf der Abszi sse abgetragen wird (siehe Bcmerku ng2 .1.10 ii» . N un verta usche n bei der Bildung der Umkeh rfunktion die Variablen gerade ihre Rollen: aus de r abhängigen Variablen y in y = f(x) wird die unabh ängi ge Variab le y in x = g(y) (und umgekehrt). Beispiel: <=}

I

"2 x + 1

f:

y =

r-'.

x = 2y - 2

:1:: unabhängige Variable y: abhängige Variable

y: unabhängige Variable X · abhängige Variable

Zwar sind die zugeordneten Werte von x und y in beiden Fällen gleich (so geh ört etwa x = 4 zu Y = 3 und y = 3 zu x '" 4 usw.], abe r die graphische Darstellung lindert sich wegen der o.a. Konvention, siehe Bem. 2.1.l 0 H).

92

2 Funktio nen einer unabhängigen Variablen

Wenn wir beac hte n, da ss nach dieser Konven tion dem Punkt (x , y) = (4 ;3)vonf dcr Punkl (y,x) = (3 ; 4) von f -1 entspricht, so erken nen wir, dass bcide Punkte offenbar durch vertauschen von x und y entstehe n (A bb. 2.1.42). E in v ertauschen der Koo rd inaten x und y be....i rkt denselbe n E ffekt wie eine Spiegelung des Grap hen vo n f incl. der Koo rdinatenachsen un der Winkelha lbierende n des ersten und d ritt en Q uadranten; siehe Abb. 2 .1.42.

(xi l lr j

I

.

4

. 1 I

_______!0'

/

/

.

f

I'

3 r --

-

f.- y = O.SX+ 1

o ./ /

1( -1

1

-

l.-::'

/ - .,

1/ '; r-

./ , 1

,

./ / f·

1; X= 2r - 2

I

,I

;

3 Abb. 2. 1.42

Zusammenfa ssend erhalten wir

Satz 2. [,4 3: Wird die unabhängige Variable ste ts a uf der Abszisse abgetragen, so gehen die Gra phe n der Fu nktio n f und ihre r Um kehrfunktion f -1 durch Spiegelung an de r Wink elhalbierend en des 1. und 1Il. Quadrant en aus eina nde r hervor (dabei werden d ie Koo rdinat enachsen [incl. der zugehörigen Moßcinh eiteni ] ebenfallsgespiegelt).

,x.' I

Bemerkung 2.1.·14: Was in Satz 2.1.43 für Funktionen gesagt ist, gill allgem ein f ür beliebige (auch nicht eindeutige} Relationen R und ihre Umkehrrelationen R - J, siehe z.B.Abh. 2.1.45:

Abb . 2. 1.45

/

Bei.~ piel 2.1 .46 :

+x 2

; X

a 0; y

~0

(xi

[Funktio n ]

/

R~ ' 1/t. ./

f: y '"

I

{y/

.

/

/ / ,_,-, Ir 1

!

/1

....-, I \

'1

-~

/

I

/XI

/ - - - ir!

Ir)

4

= f - 1: x '"

2VY ; Y ~ 0; x ~ 0

[inverse Funkt ion ] siehe A bb. 2.1.47:

Abb. 2. 1.41

lxi .~----Ir /

Bemerkung 2.1.48 : In ma nchen Büchern wird empfohlen, die Umkehrfunktion zu y = f ex) dad urch zu ermiueln, dass m an zunächst die Variablen venausdu: x = f (y), und anschließ end nach y auflöst: y '" g(x) '" [ - I (x) . Selbstverständlich handelt es sich bei dieser Darstellung ehenfalls um die Gleichung der Umkehrfunktion. A llerdings haben die Variablen ihre N amell getauscht. Bei ökonomischen Funk tionen stehen die

2 .1

93

Begriff und Darstellung vo n Funkt ionen

Variablennamen stellvertretend für ökonomische Größen, z.B. x für Menge, p [ur Preis usw. Würde man bei Bildung der Umkehrfunktion diese Variablennamen vertauschen, so gingedie Zuordnung von Variablennamen zu ökonomischen Großen verloren, mehr noch, es käme zu Missverständnissen in der ökonomischen Deutung derFunktion: Beispiel: (siehe (2.1.32» (2.1.49)

In der Nachfragefunktion p mit

p (x) = - : x + 5

bedeuten p: Preis ,- x: Menge .

Nach dem eben skizzierten, häufig anzutreffenden Vorgehen zur Bildung der Umkehrfunktion vertauscht man zunächst die Variablen: J

x = - T P+ 5

und Wst diese Gleichung nach p auf (vgl. dazu (2.1.34» .-

(2.1.50)

p = - 2x f1 0 .

Z war hat man aufdieseWeiseerreicht. dass die unabhängige Variable stets x heIßt (und somit eine Umorientiau ng des Koordinatensystems gemäß derKonvention nicht erforderlich ist), allerdings bedeuten in (2.1.50) p eineMengengr öße und x eine Preisgröße, entgegen allen ökonomischen Konventionen. Um dera rtige Missverstandnisse zu vermeiden, achte man darauf, dass bei Umformung ökonomischerGleichungen und Funktionen die Variablen stets ihreunveränderte Bedeutung behalten.

Aufgabe 2.1.5 1: i) Welcheder in Aufgabe2.1.20dargestellten G rap hen besitzen als Um keh rung eine Funk tion " ii) Von folgenden. Funktion en gebe man den Definitionsbereich sowie d ie G leichun gen der Umkehrzuordnungen an. H andelt es sic h um U mkehrf unknonen '! Man skizziere jeweils f sowie die inverse Funkt ion f - I bzw. die inverse Relation R - 1.

a) f; f(x) =

XL

I

d) f: f(x)= ~

h) f: f(z) = 5z -8 6z +7 I

e) f: fex) = - , r-

(x)

I Outpuf xrr}

iii) Gegebe n sei der Graph (siehe A bb. 2. 1.52) einer crt ragsgese tzlichcn Produktionsfunktion x = x(r) (x: Ou tp ut (M E ),J : r: I nput (ME r

».

Man skizziere die zugehörige Umkehrf unk tion r: x 1-+ r(x) im gleic hen Koo rdinatensystem.

aö ö. 2. 1,52

,

Aufgabe 2. 1.53: Man skizz iere die neben stehend e Funkt ion r und gebe im gleichen Koord inatensystcm den Gr aphen der Um kehrfunktion (hzw. Umkehrrelation) an .

y=f(x)=

,

flir - ) ::: x ::: -l

x

für -I <,, ::: 0

x

frt, 0 < x ::: 2

1,

rur 2 < :-.: :::

)

2 Funktionen einer u nabhängigen V ariabl en

94

2.1.54: Vier Funktionen sind durch ihre Fun ktionsgleich ungen ge geben. Man ermittle von jeder dieser Funktionen a) den [maxim alen] Definit ionsbereich (siehe Sem. 2.1.5) , b) die G leichung der Umkehrfunktion (bzw. Umkehrrelation} , c) den (maxim alen) Definit ionsbereich der Um keh rfunktion (bzw. Umkehrrekuion),

Au rga~

d ) den Graph en von Funk tion und Umkehru ng:

i) jjj)

2.1.5

x

=

x(r)

=

6V3 r 120

I = tex) = O,25x2 + 2

ii)

p = p(x) '" 10 ' C- O,lx

h·')

1. = 1.(k)

= - 5k-

k- I

Implizit e Funktionen

Die bisher be trac htet en Fu nkt ionsgleichu ngen ließen ste ts erkennen, welches die unabhängige und weic hes die abhä ngige Variable wa r, da d ie G leichungen stets nach elner dc r Variab len aufgelös t waren:

y = - x +5 ;

p = - f U)+ 5 ;

r = s2-4

usw.

In einer de rartigen Darstellung y = fex ) hei ßt f eXllli rit e (ell/wicke/le) Funknon von x. Ebenso ist eine funktionale Z uordnu ngsvorschrift denkbar, in der nicht nraeh einer Variablen aufge löst ist , z.B. 2y+x -to = 0 Daraus könnte man dann durc h Umfonn ung Y =-+ X+5 x=-2y +1O

oder

gcwi nnen.

Liegt allgemein die funktionale Z uordnung in der zuletz t beschriebenen Form vor, d.h . F(x, y) = 0, so nennt man die zugrundeliegende Zuordn ung implizit e ( r envicke/le) Funktion. ß eispiel 2.1. 56: i)

F(x, y) = 2x + 3y - 5 = O

(x,ye JR);

ii)

h(u, v) = u L v 2 + I = O

(u, v 2':O);

iii)

g(p, x)

vP- x

(p, x 2: 0) .

=

2

+ 36 "" 0

In eine r imp lizite n Funk t ion ist die Unterscheid ung von abhängiger und urunbhängigcr Variablen zunächst nicht mög lich oder sinnvo ll. E rst du rch Darstellung in de r nach einer Variable n a ufgelösten Form od er dur ch willkü rliche Angabe ist d iese Unterschei dung mög lich. lIiicht alle implizit gegebenen Fun krioncn F(x, y) = 0 lassen indes eine explizite Darstellu ng in Fonn eines gesch!os" enen Funktionsausdrucks (etwa y=y(x» z u: ßciSI,icI2.1. 57:

F:

F(x, y) = 2X2y4 - x6y3 + y5 - 16 : 0

(x, y

> 0)

D iese implizit definierte Funktion F ist explizit wed er nach x noch nach y autl ösba r. Wo hl ist eine Darstellung in Fonn eine r w ertetebelle ode r eines Graphen mit H ilfe von Näherun gsverfahr en möglich (z.B. Vorwahlvon x und n äherungsweise Gleichungslösung bzgl. y ) . Aufgahe 2. 1.58: Man emut ue aus den in Beispiel 2. 1.56 implizit gegebenen Fun ktionen jeweils die beiden expliziten Funkti on sgleichu ngen.

2 .1

95

Begriff und Darst ellung von Fun ktionen

2.1.6 Verkett ete Fu nktionen Funk t ion en h, k mit Funktionsgleichungen 'Wie z.B. i)

h(x) =

v;::r+T,

k(x) = (xL 1)20 ; x EIR

ii )

x EIR ;

kann man sich entstanden de nken durch lIintercimllldernusnihrung zwcicr (ele mentarer) Funktionen , wobei an dieStelle der unabhängigen Variablen einer Fu nktio n der kom pleit e Funkt ionstenn der anderen Funktion tritt :

V"fergibt sich;

zu i);

mit f(x) = x4 + 1 und !,>(l) =

(2.1.59)

g(f(, » =

z u ii);

mit f(x) = x2 - 1 und g(l) = f 20 ergibt sich:

(2.1.60)

g(f(x)) = f(x)20 = (xL 1)20 = k(x) .

Vf(, )

=

V7+T = h(» .

Man bezeichnet die du rch Ein setzen von f in g entstandene neue Funktion g(f(x)) als die a us f und g zusammengeseme. mittelhare ode rverkettete Funknon. In g(f(x») (d .h . erst f dann g bzw. g nac h f) heißt f die innere und g die äußere Funknon . Wie das fo lgende Beispiel zeigt, ist die Reihenfolge der Verkettung von Bedeu tu ng. Beispiel 2.1.6 1: Seien die beiden Funktionen f, g mit fex) = x4 + 1 und g(x) = ~ vorgegebe n (s.o . un ter i» . i)

Setzt man f in g ein, so erhält man (sie he 2.1.59): g(f(x» =

ii)

Setzt man umgekehrt g in f ein, so erhält man: f(g(x» = g(x)4 + 1 = ( V~">4 + 1 = x2 + 1 •

d. h. im allge meinen gilt:

g(f(,» • f(g(' »

Vfex) '"

~.

(2.J.62)

Bemerkung 2.1.63 : Damit eine Verkel/ung g(f(x)) zweier Funktionen f, g möglich ist, müssen die Wem der inneren Fun ktion I zum indest teilweise im Dcfinitionsh ereicn der äußeren Funktion g liegen, die Bi/dung von g(f(x)) ist somit nur dann m öglich; wenn WJ n Dg =I: { } .

Beispiel:

lI(x) '"

Vx 2 - 9

mit I (x) = x 2 - 9 , .re IR und g (f) '"

1fT,

Dg = IR; .

Wertebereich von I ist [-9, oo[ , der Def initionsbereich Dg der äußeren Funkt ion g aber nur IR; . Damit gilt [iir den Definitionsbereich derverketteten Funktion h:

I

D 11 = { x xL 9 2: 0 } .

Beispiel:

h(x) =

V

x 2 l mit f (x}

=- x 2 « l

und gif)

= 1fT .

o,

Der Wenebereich WJ ist [_ 00, -I] , der Definitionsbereicb ist IR; , so dass W/ und Dg kein gemeinsames Element besitzen: h = g(f(x)) ist keine Funktion, da D h = { l Besitzt eine Funktion feine Umkehrfu nktion vo n der Reihenfolge:

r-t . so ist die verke uung von

A us der Bezieh ung y = fex) ~ x = f - 1 (y) fo lgt d urch E insetzen:

(2.l.64)

i)

I fW '(y» I = y

ii )

I

f - 1(f(x» = x

I.

L und r- r unabh ängig

96

2

Funkt ionen einer unabhängigen Variablen

,

Wie man durch Glclchungslösengfcststcttt. sind f und C- I mit

ßci~p ieI2.1 . 6 5:

y ~ fex) '" XL 1

und

x ::: f - l(y) '"

V"Y"+l

Umkehrfunktio nen zuei nander. Du rch E insetzen (bzw. H intcreinanderau sfuhren} erhält ma n;

i)

a " IW ' (Y» = f( l'"Y""'l ) = (I'"Y""'l r

ii)

( - l (f(x» = C- 1(x3- 1) =

,

VxL

-, = ye l

,

r-

l =Y

t + l ::: ~ e x :

A n diesem Beispiel wird noch einmal deutlich, dass die An wendung der Umkehrfunktio n f -I auf f die ursprüngliche Funktionszuordnung f ~ rü rkgängi g~ macht. Man kann auch mehr als zwei Funktionen durch Hintereinanderausführen mitei nander ver kee ce:

,

Seien di e Fu nk tionen C, g. h und k gegeben durch di e Funktionsgleichungen

Beispiel 2. 1.6 6:

fex) = x2 + 1 ;

g(x) =

V; ;

~x

h{x)=2x +3

+I

k(x) ::: 3x _ 5

(x

* 1]). j

,

Dann erhä lt man durch Verkettung z.B.: k(h(g(I(,))))

=

.f (2

,JQ+'I + 3)+ 1 • D = R

3 (2~ + 3 ) -5 Aufgabe 2. 1.67: Gegebe n seien d ie Funktionen f, g, h und k mit den G leiehungcn:

f(x) =

VX ;

g(x) ==...!... ;

x

hex) == xl + 8x - 9

;

k(x) == Xi S .

Man ermittl e d ie Funk tionsterme und Dcfinit ionsbert:iehe zu folgen den Verkett ungen : i)

f(g(x»

ii )

g(f(x»

iii)

g(h(x»

h(g(x»

iv)

v)

,i ) h(k(f(x»)

k(f(b>(x»)

Aufgabe 2. 1.68: Ge geben sind d ie folgenden zusamme ngesetzten Funktio nsgleichungen:

a

h(x) =4 ~

1 )22 . 7 - 1O Man ze rlege jeweils h in innere und äußere Fu nknonstcrmc , deren Verk ettung wiederum die gegebene Fun kt ion h liefert .

i)

iii)

,

hex) = (

VxL

Aufgabe 2.1.69: Bei welchen Funktio ns-Paa ren ist die Rerbcntotge der Verke tt ung egal '? I)

2.2

fex) == x7

ii )

g(x) == x20

iii)

hex) =

VX

tv} k(x) = 14x

")

p(x) = -7x .

Eigensc ha ften von Funktionen

In den folgenden A bschnitt en wolle n wir einige wichtige E igenschaft en von Funktionen behandeln und graphisch veranschaulichen.

2.2.1 Besc hrän kte Fu nktionen E s kann vo rkom men, das s die Funk tion swcrte fex) einer Funkt ion f nic übe r eincn festen Wert hina usgehen oder untcr einen festen Wcrt absinkcn:

2.2

97

E igen schaft en von Funk tion en

DeI. 2.2. 1: [Beschränkte Funktionen) f sei ei ne Funktion mit dem Definition sbereich D f • Dann heißt f nach obe n besc hrän kt falls es eine reelle Zahl k (E IR) gibt , sodass für alle x ( E D f ) gilt: f(x) S k. Analog heißt f nach unt en beschränkt. falls es ein k (E IR) giht mit fex) 2: k für alle x (E D f ) .

Bei~piel

2.2.2: i)

,' ,' )

f(x) = - x2 + 4

,J ) &\x

1 ,~ =2x

ta!

. (fJ~

5

1

g

Abb. 2.2.4

lxi

I--+~-\--

o

f übe rsteigt a.B. nie den Wert k = 5, fex) s 5, also ist f nac h oben besc hrankt.

E ine Fun kt ion f in D, heißt unten besc hrä nkt ist.

Dei. 2.2.5:

Beispiel 2.2.6:

Da ste ts gilt: g(x) 2: 0, ist g nach unt en beschränkt.

he.~ chrän kt, wenn

f sowohl nach obe n als auch nach

Nach A bb. 2.2.7 gilt für f ste ts:

fex) s 1 und f(x) 2: 0, also ist f besc hränkt.

lxi Abb. 2.2.1

2.2.2 Monotone Funktionen Besonders w; chtig ist der Fall, dass eine Fu nktio n f mit zunehm enden Argumentenwerten selbst stets zunimmt (od er aImimmi). Derartige Funkt ionen heiße n (streng) mo noto n steigend (oder fallend) . Def,2.2,8: i) O ie Funktion f heißt in e inem Inte rvall I (e D r) streng monoton ste igend, wenn für alle Arg umentenwerte XI' Xz E I mit Xz > XI stets gilt: f(xz ) > f(x l ). ii) f heißt in I stre ng monoton fallend, wenn für alle x I' Xz E I mit Xz > XI stets gilt: f(xz) < f(xI)'

98

2

Beispiel 2.2.9:

Funktionen einer u nabhängigen Var iablen

f; y '" f(x) '" :0;3• XE IR (siehe A bb. 2.2.10)

f ist in D f streng mono to n steigend.

x2 > x\

=-

f(x l ) :> f(xl )·

Abb. 2.2.10 {(x,1

f: f(x) =x 2 , xelR (siehe Abb. 2.2.12)

Beisp id 2.2. 11:

(I/

Links vom Ursprung ist f streng mcnoton fallend, rechts vom Ursprung ist f streng monoton steigend.

II

In jed em o ffenen Intervall, das den Nullpunkt ent hält, ist f nicht monot on. (Das Symbo l f oder ~ am Funktionsnamen in A bb. 2.2.12

(x/

.,

soll die Richtung der Monotonie andcutcn.]

01 Abb. 2.2. 12

Bemerk/mg 2.2.13: i) Bei zahlreichen ökorwmiscllen Funktionen, wie etwa Konsumf unktion. Preis/ Ahsatz- Funktion, neoklassische Produktionsf unktion. G esamtk ostenfunk tion II. V.Ii. wird Monotonie beobachtet oder uufgnm d von Vem oltenshypothesen postuliert. ii) Nimmt eine Funktion [ in einem Intervall [ fü r wachsende Argumenlwerte nicht ab (zu), so heißI [ in I mOlIOLOn steigend (fallend). Bei dieser (gemilderten) MOllo(t)niede[initio" ist es also zugelassen, dass f in I stück weise kons tantist (siehe Abb. 2.2. 14):

I (I/

I (I/ I

Ab b. 2,2. 14

I

J

lxi

0 ,-

f ist monoton steigend, nicht aller streng monot on steigend: f(x2) 2: f(xtJ, falls Xz > x, .

f ist mo not on fallend, nicht aber streng monot on fallend: f(xz) ~ f(x l), falls x2 > xI .

I (I/ Streng monotone Funktionen nehm en offenbar je· uen Funktio nswert f ( E W f ) gena u einmal an. Daher muss es in d iesem Fall z u jedem Funktionswert fex) gcnau einen Wert x der unabhängigen Variablen gehen, mit anderen Wo rten, f ist eindeutig umkehrb ar (siebe A bb. 2.2.15).

I

f~! 1········· f{X11

Abb. 2.2,15

••-

,•.

2.2

99

Eigenschaften vo n Funkno nen

Satz 2.2.16:

Es sei f eine ~ I rellg monotolle Funktion in D f . Dann existiert zu f die U mkehrfuuktlon f - I mit D( - l :: W f .

Bem erkung 2.2.17: A llS DeI 2.2.8 folg t unminelber, dass die Umkehrfu llktion einer !ilrellg mOlloton steigenden (fallenden) Funk tion selbs t wieder strellg m onoto n steigelld (fallend) ist. Beispiel 2.2. 18:

I

Die Funktion I: y ::

+

x2 ist f ür x 2: 0 st reng monoto n steigend (siehe auch Beispiel

2.2.11). Daher existiert zu f die Um ke hrfunktion.

r-'. x '" 2

VY

mit y 2: 0, (s. A bb. 2.1.47).

Auch / - 1 ist streng m onotoll ueigcnd I

2.2.3 Symmetrische Fun ktio nen Der. 2.2. 19:

Eine Funktion f heißt arhsensymmet risch ZUt Spiegelachse x :: a. wenn für alle x(E D f ) gilt (mit a e consr.]: f(a- x) :: f(a+ x)

(s. A bb. 2.2.20).

Gilt für eine achscnsyrnrnetrische Funktton insbesondere a = 0, so folgt für alle x ( E D f ) :

tl- x) = tex) . In diesem Falle heißt die Funktion gerade.

Abb ,2.2.20

(Spiegcl acbsc ist die O rdinatenachse.) Beispiel 2.2.2 1: f: y :: x2n (n E IN) ist eine

I (I)

gerade Funktion. denn es gilt:

---.-.-.__ I

f(- x) :: (_x)2n :: x2n :: fex)

._...

fl-x} = ffxl

f{x } = x 2n

.. ,

(siehe Abb. 2.2.22): (x )

Abb. 2.2.2.2.'-----L_-";~'-------'----

,

-,

Det. 2.2.23 : Ei ne Funktion f heißt ungerade in D f • falls für alle x (E Df)gi!t: f(-x) = - f'(x]. Ungerade Funktionen sind punk tsymmetrisch zum Ursprung. Beislliel 2.2.24:

111/ {(xl

I

I _

f: fex) = x3 , x E IR:

Es gilt: fe-x) = (- X)3 = - x 3 = - f(x) , f(- xl

also ist f ungerade (s. Abb. 2.2.25) . Aufgahe 2.2.26: Man untersuche die Funktionen f a uf Symmetrie: i)

f:f(x )=X~ +x 2 + 1;

ii)

x

f: f(x) = - - ; ,,2- 2

ii i)

f: f(x)= (x - 4)2+ 2

Abb. 2.2.25

2

100

Fu nktio nen einer unabh ängigen Variab len

2.2.4 Nullstellen von Fu nkt ionen Beso nders wichtig sind d iejenigen A rgumen twerte xj einer Funktion, für die sich der Funkl ionswert Null ergiht. Diese Argumen twerte Xi heiße n N"ullstelkn de r betreffenden Funkt ion.

-J

I IfI

x,

G raphi sch be trac htet handelt es sich bei den Nu llste llen einer Funkt ion f um die Schnntsteücn XI' x2' ,.. des Funkt ionsgraphen vo n f mit der (waagerechten) A hszi~wnacll\e, s. A bb. 2.2.27.

f

-}X "2- - - - ->.\

I

ot

Ab b.2. 2.27

Der, 2.2.28: U nter den Nulistellen X; der Funkt ion f in D f verste ht ma n die A rgumen te xj mit f(x j) = 0 , Um die Nullst ellen der Funkt ion f: y = f(x) zu ermitteln, setzt man f(x) = 0 und löst die entsta ndene Gl eich ung bzgl. x. Beispiel 2.2.29: i)

f: y = 2x - 6 hat die N ullstelle XI "" 3 .

ij)

h: u = y2- y - 6 hat d ie Nullstellen VI = 3 ; Y2 = -2 . f: y = 3x(x - 4Xx + S)(xL 49 )(x2 + 36 ) hat die Nu llstellen

iii) iv)

; x2 = 4 ; x3 = - 5

; xs= -7 .

\' - I

g: k = -v-r , y e IR.\ {- l ; 1} y2 _ I hat keine Nullstellen. da die G leichung k(y) = {) keine Lös unge n hat (denn für y == I ist k nicht definiert).

N äheres übe r d ie Nulls tellen spezieller Funktionen findet sich in Kapitel 2 .3 .

Aufgahe 2.2.30: Ma n ermittle De finitionsbereich un d N ullst ellen der Fun ktionen , die du rch die folgenden Funkt ionsgleichungen definiert sind: 2 L 4 ; iv) k(x) = 6x - 20 ;) f(x) = 42 ; ii ) g{z) = - z2 + z+6 iii ) h(a) = x 5x2 - -15

Va

'I

9 - \"2

"(y) = -

-

-

2y+ 6 '

\i)

8(1) = 100· c" ;

vll} f(x) =

1,L ,

111, 111,

2: - 4 - + 1 111, x

x~ o 0 < xs)

x> 3

Weitere wichtige Eigenschaften von Funktionen wie etwa Stet igkeit, Steigungsverha lten , Krümmungsverhall en werden in den Kapiteln 4 . 5 und 6 behandelt.

2.3

Elementare Type n von Funktionen

Im fo lgenden sollen die wichtigste n Typen der bei ö konomisc hen Fragestellungen verwendet en Funktio nen dargestellt werden .

2.3.1 Ganzratio na le Funktionen (Polynome) Z u den wichti gsten Funktio nstype n gehö ren die Funkt ionen , deren T enn e d urch additive Kombination von Pote nzcndcs T yps ex" , n E lNo, a e R vcntstchcn.

2.3

101

E lementare Type n von Fun kt ionen

2.3.1.1 Gru ndbegriffe, H örner-Schema Dei. 2.3. I: Die Funktion f in D1 = IR mit der G leichung fex) '" anx n + an_1x n- 1 + ... + a1x + aij heißt ganzra tion aJe Funktion n-ten Grades oder Polynom n-Ien G rades . D ie reellen Zahlen

3 0'

a ., ..., an heißen die Koefflalcnten des Po lynoms.

Bemerkung: Häufig bezeichnet man bereits den Term f (x) = awt' +an_tX n -1 + ... +a Ix +ao als Polynom.

Beispiel 2.3.2: i) ii)

iii )

f fex) = x2 : g: !,,>(x) = - x" + jf3x2 -

Polynom 2. G rades (q uadratisches Polynom ) ; Polynom 6 . G rades mit den Koeffizie nten a 6 = - 1; as=O; a 4"'0 ; a3 = 0; a 2 ",jf3; a l "'- Jl;

;rx :

h: h(x) = 7 :

Polynom ü-ten Grades (konstan te Funktion ) ;

k:k(x) '" S -+x :

Polynom 1. G rades (lineare Funk t ion)

3 0=0;

u: u(p) = 2(p -1X p +l XpL 4) Po lynom 4. G rades. Die numerische E rmittlu ng eines Polynomwertes f(x) kann bei komplizierten Argumentwert en x wegen der a uftrete nden Poten zen x'' schwierig und aufwend ig sein . Das sogenannte Ilomer-Schema zur Berechn ung von Polynomwerten vermeid et den Nachteil des Porcnz lcrcns unhandlicher Zahlen. Die Da rstellung im Ho rner-Schema sei an einem einfac hen Beispiel demonstriert: lkispiel2.3.3: Ge gebe n sei das Polyno m 4. Grades f mit fex) '" 2x4- SX 3 + 4x2 + 6x - 2 1 .

(2 .3 .4)

Wir klamm em jetzt sukzessive - von rec hts a usgehe nd - das jeweils letzte "x ~ a us. es ergibt sich nacheinander: fex ) = (2x3 - Sx 2+4 x + 6)x - 2 1 fex) '" « 2x2- Sx+4 )x+ 6)x - 21 fex) = « (2x - S)x+ 4)x+6 )x - 21.

(2.3.5)

Au f diese Weise lässt sich jedes Polynom schreiben - die Berechn ung eines Polynom -Wertes fex) läuft dabe i h inaus auf wiederhohes Multiplizieren und Ad d ieren und ist daher besonde rs geeignet fü r cine aurorna tislerte spe ichersparende A uswert ung. Will man etwa f(3) ermitt eln. so kann man - beginnend in der Innersten Klammer - ohne Potenzieren ausschließlic h durch me hrfac he M ultiplikat ion und Ad diti on den Po lynomwert ermit teln:

f(3) od er schematisc h:

I ,= 3 I

= «(2 ' 3 -5 )-3 + 4 ) ' 3+ 6)

(a~)

(a 3)

(a2)

2

-5

4

j

2

6

· 3/

----

'"+ J 1

3

' 3/

/"

"'+ l 7

3 -21 = 60,

(ao) -21

(a l) 6

21 '3/ + I

----

27

' 3/ /"

81 '" + l

I 60 = f(3)

I

2

102

Funktionen einer unabhängigen Variablen

Allgemein erhält man auf völlig analoge Weise: (2.3.6)

und damit das allgemeine Ho rnor ~ Schema:

EJ

'. '.

a n _I

an''',

'Y " + I ,'y... + l A,.. ,

'.

"

3 0 _2

A 2 "" 1

An _ I 'X I

)-/

+

A l -X I

I ?

A n _2

y '

+l

I C(xl ) I

A,

De r entlang des mit Pfeilen markierten Weges füh rende Rec hengang erfordert lediglich n M ultiplikationen mit " , und su kzessives H inzuaddieren der Polynomk oeffizienten a k (insgesa mt n Additio nen). Daher eignet sich das Homer-Schema gut für zeit- und speichersparende Berechnung auf programmierbaren elektronischen Rechnern. Bei.~pieI 2 .3.7 :

f(x) = ll,tx S - 0,3x4 + 2x2 - 3,5x + 2,85

Ix= 1,21

0,1

0,1

"

-{l,3

gesucht : f(I,2):

2,85

-3,5

2

0,12

-0,2 16

-0,2592

2.08 896

-0,18

-0,2 16

1,7408

- 1,4 1104

- 1,6932 48 1, 156 752 "" f(l ,2)

Aufgabe 2.3.8 : Welche der folgenden Funktionen sind Polynome? Man gebe gegebenenfalls den G rad des Po lynoms an: i)

f(x) = - x ;

iv) v(x)=3x L x + 4-YX;

V1O . 2

ii )

P{Y) '" ay2 + by + C

iii ) u(x) =

v)

s k(x) = 6x - 1

' i ) « p) = 2r' (p -1)(p +

26

7 ;

17)

Aufgabe 2.3.9: Man ermittle mit H ilfe des Ho rncr-Schcrnas die Funktio nswerte f(- ] ) ; f(0.5) ; f(2); i) f(z)= 5z 3+3zL4z+ 12;

2.3.1.2

Konstante und lineare Funktionen

Für n = 0 er halten wir nach Def. 2.3. 1 das Polynom f mit

I f(x) = 3 0 = con~1. 1 . E in dera rtiges Polynom wird als konstante Funknon bezeic hnet . Ihr G raph ist eine Parallele zur A bszisse, siehe A bb. 2.3.10. Jed e E insetz ung führt zum seihe n Punktionswert. f(x) = f(l ) = f(17,4) = f(- 5) = ... = ao = const.

I (li

I

-~I

f(x l = 0 0 = coast.

Abb. 2.3. fO

2.3

E lementare Typen von Funktionen

lO3

Beispiel 2.3.1 1: Fixkost enfunktio nen sind kon stante Funkt ionen, z.B. mon atliche Gru ndgebühr Ko eines Telefonanschlusses. für jede Zahl x von monallich verbra uchten Gebühren einheite n ergibt sich derselbe Wert (z.B. 24,60 € / Mo nat), siehe .Ahb . 2.3 .12.

Kc;" 24,6 "

30

coost.

20 10

{xl

o

GebOhrenein!Jeilen pro Monat

Abb . 2.3. 12 Bemerkung 2.3.13: Man beachte, da ss die durch die Relation x = ronst. (y beliebig) gegebene Punktmenge einesenkrechte Gerade darstellt, die allerdings nicht zu einer Funktion gen ön. (Denn zu Xo gibt es beliebig viele . Funtaionswene", sieheA bb. 2.3.1 4.)

{yl

{xl

o

Wohl ober existiert umgekeh n zu. jedem y gena u ein x (= Xo = const.), d.h. die Umkeh rung [ - 1: y l-+ X ist eine Funk tion.

x, Abb. 2.3. 14

Für n = l erha lten wir nach Dei. 2.3.1 das Polynom 1. Gra des

(2.3.15)

I [(x) = a tx+ao I

E in Polynom I . G rades bezeichne t man auch als lineare Funktion und schreibt häuf ig sta tt (2.3 .15) (mit a ]= m j ao=b)

(2.3.16)

I [: y '" mx + b I

I {li

xe lR . 1t" fIx;

P,

------------------

.

x e lR .

Beispiel 2.3. 17: Für m = 0,5 und b = 1 erhält man die lineare Funk tion y = O,5x + 1 .

.- -

,

xt - xr--]

i

x,

(xl

x, Abb.2.3,18

De r Graph einer linearen Funk tion ist ste ts eine Gerade (A bb. 2.3.18). A us Abb. 2.3 .18 wird die Bed eut ung dcr Koeffizient en m und b in der Gcradenglcicbung y = fex) = mx + b de utlich: I) Für x = 0 ist Y = m · 0 + b = b. Daher schneidet der G raph der Geraden gleich ung y = mx + b die Ordinat ena chse im Pu nkt (0; b). Man nen nt b auch den {Ordinaten -) Achsenehschntn. ii) Die Sleigung einer Geraden ist definiert als da s Verhältnis von Ordin atend ifferenz Y2 - YI zur e ntsprec henden A bszissendifferenz x2 - XI zweier beliebiger Ge raden punk te P I P2' Die Steigung ent spricht dem "T angens" des Steigungswinkels a (A bb. 2.3.18), geschrieben: ta n a (siehe Kap. 2.3.6) .

*'

(2.3.19)

(2.3. 20) Daher bedeutet der Koeffizient m die Steigung der Ge raden y = mxe b.

2

104

Funktionen einer unabhängigen Variablen

Bemerkung 2.3.21: i) Fur m > 0 (positive Steigung) ist die lineare Fun ktion m onoton steigend, f ür m <0 {negative Steigung) ist sie monoton f allend.

1 a) Y= TX + ] , m >O ,.

Beispiel:

b) y= -2x- 1 , m < O

(sieheAbb. 2.3.22).

ii) Fur b = 0 ist der Ordinatena chsenahsch nitt 0, die Gerade y »mxrb verläuft durch den Kooräina-

tenursprung, sieheAbb. 2.3.23:

I 1I1

f{x) = 0.5x

-

\ -1

m = 0,5 (>0 1 f Ist steIgend

\+::-c-- \ 0 -1 \ \

lxi

m=-2 (<:0 ) f Ist fallend

\

Abb. 2.3.22

txt

\

Abb. 2.3.23

\

D ie zeic hneri sche Darstellung der Geraden y = mx + b kann erfolgen i) durch Verbindung zweier verschiedener Gerade npunkte (Xl'[(X l» ' (Xl' f(x2» mit XI* x2"

(tl

ii) durchfo lgende Konstrnktion: a) Die Gerade verläuft durc h den Punkt B(Ojb) der Ordina tena chs e (A bb. 2.3.24) . b) Da die Ge rade die Steigung m hat , können wir - vom Punk t B a usgehend - einen zweite n Punkt P I (bzw. P2) ermitt eln, indem .....i r 1 E in-

heit (bzw. k Einheiten) in Abszissenrichtung und dann m Einheiten (bzw. m · k Ein heiten) in Ordinatenrtchtung abrragco{Abb. 2.3.24). Betsptel 2.3.25:

lfI

<[

lxi

o

Abb. 2,3.24

t,,

(nach unten, falls m<:O)

(sieheAbb. 2.3.26):

3

I Ipl

p

" B{0.2J

Bl o,bl

") 2 v+5 11 P '" - -

Y '" 3x+2 ;

i)

. m ( noch oben, falls m > OI

I

BtO.5~:-:"-l

"

111

p

+2

---':l~';c----

-2

lxi

'-'

M

o Abb. 2.3.26

2.3

105

Elementare Typen von Funklionen

A ußer d ureh die Angabe der Koeffizienten mund b kann eine Geradengleichung aueh dan n ermnten werden, wenn i) die Steigung m und ein beliebiger P unkt P1 mit den Koordinaten (XI' Yl) gegeben ist, oder ii) wenn zwel beliebige Geradenpunkte PI (XI' YI) und P 2 (x z' Y2) (mit Xl X2) gegeben sind.

'*'

{y {

I

I{

P

Y Y, ...

~

,

P,

Y T

«

m

Y,

--.

ca

x Abb. 2.3.27

~

P,

;1}

T Y2 -Y ,

P,

f

__ __1

:--- X

,

x,

{y{

t

_X

f

-----j (xl x,

x,

Im Fall i) müssen (vgl. (2.3. 19») die Koordinaten (x, y) jedes beliebigen Geradenp unktes P die Beziehung Y - Yl

(2.3.28)

erfüllen (s.Abb. 2.3.27 i)).

- - =m x - Xl

Da xI'Yl und m gegeben sind, folgt aus (2.3.28): Y-Y I = m(x-xI) ' d.h. ( Punkt-Stelgungsrorm einer Geraden) .

(2.3.2 9)

Im Fall ii) kann man zunächst die Steigung m ermitteln (siehe 2.3.20): m = Y2 - Yt

Xl - :'tl

Setzt man dies in (2.3.29) ein, so erhält man die Gcradc ngleichung (2,3,30)

h - YI

_ · " ( y,-nu, ) Y -- Xl - Xl

(z- Punkteform einer Gerade n)

=b Beispie12.3.31: i)

Gegeben m = 0,2 sowie PI mit

Pl(xI: YI) = PI (2,5; t .5). Mit (2.3.29) ergibt sich:

y =O,2x +( 1,5-0,2· 2,5) d.h. y=O,2x+ l (Abb. 1.3.32) : Ii) Gegeben seien die Geradenpu nkte pet ; 5) und

,

=;1

t.s

{x l

Abb. 2.3,32

0(3; 3). Aus (2.3.19) folgt: m= -

.5 - 3 2 - = - =-1 . t - 3 -2

Abb. 2,3.33

Damit folgt aus (2.3.29) unt er Verwend ung von P (bzw, Q)' y = ->+(5-(-1) ·1) (bzw. Y = -x + (3-(-3) · 1» d.h.

y= - x+ 6 , (Ahb. 2.3.33) :

o

2

106

Funktionen einer unabhängigen Variablen

Lineare Funknonen sind wegen ihrer einfache n mathematischen Struktur zur Beschreibun g vieler ökonomischerSa chverhalte belieht. Sowcrdcn sie u.a. verwendet als -

Kostennmknonen K (z .8. Gesam tkosten K(x) einer Prod ukt ion in A bhängigkeit des prod uzierten

Outputs x, Abb. 2.3.34) -

Nachfrngefunklionen x (z.B. Nachfrage x(p) nach Butter in Abhän gigkeit vom Butt erp reis p , siehe Ahh. 2 .3.35) häufi g als Um kehrung p = p(x) da rgestellt. siehe Abb. 2.3 .36 .

IKI oesoovkosten

Kf

(pJ ~ Preis

" ~PM

----, - -

-+__~,

I fixkoslen Kf I

Ip)

o

Preis

_

Ncxhfroge

Abb. 2.3.35

Abb . 2.3.34

IX)

---C

Abb.2.3.36

-

Konsumfunktionen C (z.B . A usgaben C(Y) für Lebenshaltu ng in A bhängigkeit vom verfügbaren Einkommen Y, Ab b. 2.3.37)

-

Produktionsfunktionen x (Out put x(r) einer Prod uktion in Abhängigkeit des eingesetzten Inputs r, Abb. 2.3.38)

-

Eriösfunktionen E (z.B. Erlös (wertmäßiger Umsatz) E(x) in Abhängigkeit der abgesetzten Menge x bei festem Preis p, s. Abb. 2.3.39) u.v.n.

IC)i K~Um

.:«

~ c;

Abb .2.3.37

fE)

I

ErIOs

an

E(xI

x(rJ

--, ---

. Existenz minimum "

I

o

(x) 1 OUlput

I
IY) Einkommen

01

Abb.2. 3.38

Inpu t

lxi

01 Abb.2. 3.39

M enge

Häufig werden funktionale ökonomische Zusammenhänge Cfi llirisch (z.B.durch Messungoderstatistische Erhebung) gewonnen. Bei der Frage. welehe Funktion die gemessenen Punkte (wcrtcpaare) besonders gut approximiert. Jegt man in vielen Fällen eine lineare Funktion als Approximationsgerade zugrunde. siehe Abb. 2.3.40. Die Frage. nach welchen Kriterien eine derartige " Ersat zfu n k tion ~ ausgesucht wird,kann in derStatislik mit Hilft:der R ~res.\ion ~nalyse beantwortet werden (siehe auch Kapitel?.3.2.4).

.Regressionsgerode"

Abb . 2.3.40

Ix )

2.3

107

Elementa re Typen vo n Funktionen

Aufgabe 2.3.4 1: i) Man ermittle die G leichung der zugehörigen linearen Funktion, wen n folgende Dat en gegeben sind (P Imd Q sind zweiPunkte, die auf derjeweiligen Geraden liegen);

a) Steigung: -3; P(0.6 ; 1.2) ;

b) P(0.5; 3) ; 0(- 1; -4)

c) p(l ; a) ; O(a;4)

ii ) Man ermittle jeweils den Schnittp unkt der Geraden g und h:

a) g; y '" 2x + 1 ;

h: y "" -O,5x + 6 ;

b) g; x-2y +3""0

h: 6y - 3x +4 "" 0 ;

c) g; y "" 0,25x + 1

h: 4y - x - 4 "" 0 ;

d) g; ax + by + c '" 0 ;

h: UX + vy + W

""

(o. b, c, u, v, w ""

0

COIl Sl. )

Aufgahe 2.3 .42 :

Elekt rische Energie kann zu zwei a lternat iven Tarifen bezogen werden; Tarif I: Gru ndgebü hr; 30,- € / Monat ; Arbeitspreis. lJ,25 € / kWh ; Ta rif 1I: G rundgebühr: 12,- € / Monat ; Arbcitspreis: 0,40 € /k Wh ; i) Man ermittle für jeden der beiden Ta rife d ie Gleichun g der Kostenf unktion K, die die monatlichen Gesamtkosten K( x) in A bhä ngigkeit des monatlichen E nergieverbrauchs x angibt. Man zeichne beide Kostenf unk tion en in ein einziges Koo rdinatensystem.

ii) Man berechne den monatli chen E nergieverbrauch (in kWh/M onat), für den sich in beiden T arifen dieselben Kos ten ergeben. Für welche Verbrauchswerte ist Tarif I günstiger als Ta rif II ? Aufgahe 2.3,43:

Ein PKW kann übe r das Woc henende zu zwei alternativen T arifen gemietet werden: T arif A: Grun dmiete 100,- € , zuzüglich km- Gebühren: für die ersten 100 km: 1,- € /km; fü r jede n km über 100 km bis 200 km: 80 Cent/ km; fü r jeden km über 200 km bis 400 km: 60 Ce nt/ km; jeder km über 400 km hina us kostet 50 Ce nt / km. T arif B: Gru ndmiete 150.- € . zuzug/ich km-Ge bühren: für die ersten 200 km: 70 Ce nt/ km; f(ir jeden km über 200 km bis 500 km: 50 Ce nt/ km; für jeden km über 500 km hinaus: 40 Ce nt / km. i) Man ermittle die Terme KA(x) und Ku(x) der beiden Gesamtkostenfunktionen in A bhängigkeit der ge fahrenen Strecke x und skizziere bcidc Funkt ionen in e inem Koo rdinatensystem, ii ) Man gebe an. fürwelche km- Lcist ung wd eher T arif für den Mieter am günstigsten ist.

Aufgabe 2.3.44: Der Ko nsum C(Y) eines H aushalts ist durch eine Konsumfunktion C in Abh ängigkeit des Ha ushaltseinkommens Y vorgegeben durch:

c "" C( Y)

"" 120 + 0.6 ' Y

,

(Y

~

0)

.

i) Man berechne die Höhe des E xistenz minimums (Minde,l"rkonsum ) des Ha ushaltes.

ii ) Man ermittle die Spa rfunktion S und gebe das Einkommen an, bei desse n Übe rschreiten die Sparsumme S(Y) positiv wird. iii ) Gibt es ein Einkommen. bei dem Sparsumme und Konsum gleich groß sind ? Man ermittle gegebcnenfalls dieses Einkommen. ( Rechnerische und graphische Losung angeben!)

2

108

Funk tionen einer unahhängigen Variablen

AufgalJe 2.3..15: D ie H ube rmobil AG produziert zwei Automodcllc: den H uber 1,8 N (Benziner) sowie den H uber 2,3 D (Diesd) , Mot orlcistu ng und Ausstattung beider Modelle sind identisch. D ie ne ues te Bet riebskostentabelle e iner A utomob il-Zeitschrift weist folgende Koste nda ten aus;

monatliche

mo natliche R ücklage f ür Neuwagen (€)

FIX kos ten (€)

97,-

1,8 N 2,3 D

218,244,-

105,-

Betriebskosten pro km (in Ü'ntikm) 21,92

19,28

M an untersuche, für welche jährl ichen Fahrleistu ngen (in kmßahr) der Typ 1,8 N und für welche Fa hrleistungen der Typ 2,3 D das kosten günstigere Modell ist. Man ermittle die Telefon- Kostenfunktion K , d ie d ie mon atlich en Gesamtkosten Aufgahe 2.3.46 : K(x) ein es T elefon-Mobilanschlusses in Abhän gigkeit von der A nza hl x der pro MOI1<1t verb rauc hten Ge bühren einh eiten angibt. Dabei bcrückstchugc man: a) b) c)

die G rundgeb ühr beträgt 24,60 € / Mo nat j die erste n 10 Ge b ühreneinheite n sind kostenl os eine Gebühreneinheit kostet 23 Cent.

• Aufgahe 2.3047: A uf zwei Teilmär kten eines Gesam tma rktes seien für ein wirtschansgut die Naehfragcfunktionen wie folgt def iniert: Markt I: p(x) = 6 - x j

Markt 11: p(x) = 4 - O.5x

(p: Preis; x: Mcnge) .

Man ermittle graphisc h und rechnerisch diccaggrcgicrtc" Na chfragcfu nkti on CUr das Gut auf dem zusamme ngefassten Ges amtmarkt (siehe Bem . 2.5.4) .

• Aurgahe 2.3.48: E ine E in-Produkt-U nterneh mung prod uziert pro Periode mit folgenden Kos ten :

Fixkosten. 10.000 € j

variable Stück kosten: 50 € / ME für O utputwerte bis incl. 800 ME.

Infolgc Kostendegression d urch o ptimale A uslastung sinke n für die Ou tputwerte übe r 800 ME (bis incl. 2.40 0 ME) die stüe kva riablen Kosten um 50 % . Ou tp utwerte über 2.400 M E hinaus können nur unter ext rem er Übe rlast ung von Mensch und Mate rial erzeugt werd en, für jede ME über 2 .400 ME hina us fallen st ückvariable Kost en an, die um 200 % über de m u rspriingliehcn Wert ( » 50 € /ME) liegen. Die pro Periode erzeugte n Mengen kö nnen unmittelbar an de n Ha uptk unde n der Unterne lun ung verk auft werden . J e nach beabsichtigter Ahsat zmenge müssen Rab att e eingeräumt werden : -

Grundpreis IOO€/ ME f ür M cngc n bisincl, 1.0QO M E; 20 % Ra batt bei Mengen über 1.000 bis Inc t. 2.000 M E ; 40 % Ra batt (bezogen auf den Grundpreis] be i Mengen über 2 .000 ME

FallA: Der R abau bezieht sieh jeweils auf die gesamte Ahsat zmengc; Fall B: De r Raba u bezieht sich jeweils nur auf das zuge hörige Mengcn inlcrvall (s.o.) . Innerhalb welche r Prod uktions- u. Absatzmen ge n ope riert die Un ternehmung mit Gewinn '!

Manlöse das gestellte Problem f ur jeden der Fälle A und B

grap hi<~ch

und rechnerisch

Hin weise: Koordinatensystem: Abszisse 0-4.000 II,fE; Ordinate 0 -300.000 € . Fur die rechnerische Lös ung stelle ma n die G esam tk ostenf unk tion sowie die beiden Er{ö.f! unk lionen aufund ermittle (unler Beachtung der ökonomischen Dcfi nitionsbereicne] die Gewinnschwellen.

2.3

Elem enta re Typen vo n Funkt ionen

109

2.3.1.3 Quadrati sche Funktionen Für n = 2 erhalten .....i r nach Dcf. 2.3.1 das Polynom fex) '" a2x2 + alx + "0 ' XE IR oder

I

(2.3.49)

fex) '" a.,\:2+ bx +c

I

; xE IR .

D iese Funktionen heißen quadransehe Polynome, ihre Scha ubilder heißen (q uadratische) Parabeln . Beispi el 2.3.50:

i) fex) = x2 ;

ii ) fex) '" O.5x 2-x - 4 ;

iii ) fex) '" -2x 2 + 4 :

,

Itl 4

\-'--;;1-'-~--1 o

{x}

iii}

ii)

___ ~"'--,_ _

'I

A us Bsp. 2.3.50 so.....ie aus A bb. 2.3.51Iicsl ma n ab; i) Is t in de r Pa rabclglcichung

y'" ax2 + bx + e der Koeffizient a des quadra tische n Gliedes postäv. so ist die Parabel nach oben geöffue l, ist er negati v, so isl die Parabel nach unten geö ffnet (Abb. 2.3.52) .

txt

,

Ixl

Abb. 2.3.5 1

i

I

m

r I IfI

~ 0 >0

I

lxi

lxi

I

Abb. 2.3.52

ii ) De r Betrag des Koeffizienten a des q uadratischen

G liedes hat E influss a uf die Ö ffn ung.sbre ile der Parabel (Abb. 2.3 .53):

y=_2x 2 + 4 \ .:'\ ,

\

I a I = 1 ~ Normalparabel

Ia I > Ia I <

101

. -< \

v.

1 ~ Parabel enger als Normalparabel

r»

\

o

1 .

_x2 + 4

lal=1

\

1 ~ Parabel breiter als Normalparabc l .

= 2 t» 1}

y = _0.5x 2 + 4 lai = 0.5 (dl

\

(xl

Abb. 2.3.53 Die Nullstellen q uadratischer Po lynome erhä lt ma n als Lös ungen der qu ad ratisc hen G leichung fex) = ax2+ bx-c = O. siehe Kap. 1.2.4 .5.

1lO

2

Funktionen einer unabhängigen Variablen

Aus Abb. 2.3.54 wirddeutlich, dass ein quadratisches Polynom i) zweiverschiedene reelle Nullstellen ii) gcnau eine (Doppcl-) Nullstelle iii) keine Nullstelle besitzen kann.

11 ~we i

liil

MJ/fstelfen

keine Nulls/elle

o

x,

(xl

0' I

Abb.2.3. 54

Beispiel 2.3.55: 1)

y = x2 +x - 6 = 0

Nullstellen. ii)

y = 2x 2- 8x + 8 = 0

oe=>

x2- 4x+ 4 = 0

iii)

Y = xL 6x + 10 = 0

(=)

Xl 2 =

Xl

3 ± ~= 3 ±

=2±~ = 2

v=r

negativer Radikand, also keine Lö sung. da her keine N ullstelle .

Bemerkung 2.3.56: Allgemein ergeben sich aus derNullstellengleichung [(x) = ax 2 + bx + C = 0 aber x 2 + !!... x + .E.. = 0 die Lösungen (siehe (J.2. J49»:

" " x = _ !!... ± V~_.E.... =-!!.. ±..!....Vb 2 4ac 1,2 2a 402 a 2a 2a - . . =, D

Die verschiedenen Fülle ergeben sich i) ii] iii)

(J US

dem Verhalten des Radikanden ("Diskriminante ") D:

Falls D > 0, d.h . b 2 > 4ac , so gibl es 2 Lösungen ; Falls D = 0, so gibt es eine Lösung ;

Falls D < 0, so gibt es keine LÖSWlg .

Beispiel 2.3.57: Die variablen Gesamtkosten K..(x) be i Produktion von x ME eines Gutes seien gegebe n durch die Funktion K, mit K..~x) =

O,I x'L

2x2

+ Il x ; X 2: 0 .

'kll

I-

to

I

Abb .2. 3.58

variable

SfOckkoslen fh CLIM lI

Dann erhalt man als variab le Ko sten pro produzi ertcr M engeneinheil die Stückkostenfunktion k" mit K.,(x)

kv(x) = - - = O,l x2 - 2x + 11 x

j

x>0.

De r Graph von k" ist eine nach oben geöffnete Parabel (mit " b rei ler~ Öffnung), siehe Abb. 2.3.58 .

o

s

to

15

Output f lft hlEl

2.3

111

E lemen tare Type n vo n Funktionen

Aufgabe 2.3.5 9: I) M an ermittle die Nullstehen folgender quadra tisc her Polynome : a) f: f(x) = -x 2 +7 x +1 6 b) g: g(p) = 2p2+ 6p + 18 c) h: h(y) = 1,2yL 24y + 198

ü) Wielautel die G leichung der Parabel, die durch folgende Punkte verla uft ?

a) P(0; 3) ; 0(2; 4) ; R(4; 8) ;

b) A(2; 0) ; B(14 ; I) ; q - 6; - I )

Aufgabe 2.3.60: Angebo tspreis PA und N achfragepreis Pr>; für ein Gu t seie n dur ch folgende Funktionsgleichu ngen gegebe n: PA(X) = 2(x+ 1) ;

",,{, ) =

0.5(36- , ' )

(x: Menge) .

i) Man bestimme den ökonomisc h sinnvolle n Definitions- und Wert ebereich von Px und PA' li ) Man ermitt le Gl eichgewicht spreis und -rnenge sowie den Ge samtumsatz im Gleichgewichtspunkt ( = nMarktgleichgewicht ": Schnittpunk t von Angebots- und Nachfragefu nknon]. iii ) Von welc hem Preis an wird die geplante Nachfrage größer od er gleich 5 ME ? Aufgabe 2.3 .6 1: Für ein Gut sei folgen de Preis-Absatz- Funktion p(x) = 1.200 - 0,2 x

p: X1-+ p(x) gegebe n:

(p( x): Absatzpreis (€ I ME). x: nachgefragte Menge (ME)).

i) Man ermi ttle die zugehörige E rlösfunktion E

a) InAbhängigkeit von der Menge td.h. E = E (x) ) ; b) in A bhängigkeit vom Preis (d.h. E = E(P) ) . ii) De r Produzent de s G utes (Monop olist) prod uziere mit folgen der Gesamtkostenfunk tion K:

K(x) = 0,2x2 + 500.000

(Kfx): Gesamtkosen (€ ) , x: Output (ME» .

Der produzierte Output kann vollst ändig nach der o.a. Preis -A bsatz-Funktion abgesetzt werden .

Man ermittle die Gewinnzone des Monopolisten (d.h. diejenigen Oiuput-Eckwene, auch Gewinnschwellen genannt, innerhalb derersich ein nichtnegativer Gewinn ergibt).

(Lösung graphisch und rechnerisch!)

2.3.1.4 Nullstellen von Polynomen und Polynomzerlegung Übe r die Nu llste lIen von Polynomen n -tcn Gra des (d.h. die Lös ungen der algebraisc hen Gleichungen nten Grades) gibt es einige wichtige Aussagen, die im fo lgenden (ohne Beweis)zusanunengest cllt werden: Satz 2.3 .62 :

(2 .3 .63)

Sci Xl eine N ullstelle des Polynoms f (vom Grad n ; n > 0). Linea rfak tor X-X l von f abs palten:

I

fex) = (x - Xl) ' g(x)

I.

D ann lässt sich der

Dabe i ist g(x) ein Polynom vom Grad n - L

Bemerkung 1.3.64: Bei Kenntnis einer Nulls/elle XI ahiilt ma n den Fak tor g (x) nach (23.63) durch Polynomdivision:

(2.3.65)

f(x)

g(x) = - - =f(x) : (x -xI) x- x]

Satz 2.3.62 besagt, dass diese Division ohne Rest möglich ist, siehe auch Bem. 1.2.163.

2

112

Funktionen einer unabhängigenVariablen

Gesucht seien die Nullstellcndes Polynoms f mi t Eine Nullstelle ist Xl = 3, wieman durch E insetzen überprüft. Dann muss es ein Polynom 2. Graues ~;(x ) geben mit: fex) = XL 5x L 2x + 24 '" (x - 3) ' g(x) .

Bei.~piel2 . 3.66:

fex)

== xJ - 5 )[2 -

2)[ + 24 .

Polynomdivisio n liefert:

g(x) = (xJ -5x2 - 2x + 24): (x - 3) = x2 - h- 8 - (xJ - 3x2) - 2xI - 2x - ( - 2x2 +6 x) -8x +24 - (8x+ 24)

o f(x) = xL 5xL 2x +24 = (x- 3) "(xL 2x- 8) . Um die weiteren N ullstcl lcn von f zu e rmitteln, genügt es nun, g(x) '" x2 - 2x- 8 a uf Nullstellen zu

Daraus folgt:

untersuchen:

)[2- 2x - 8 = 0

:::)

xü =1 ± ~ = 1 ± 3

Damit haben wir sämtlic he Nullstellen von f erhalten:

Somit gilt nachSatz 2.3.62:

j )[ 3 = - 2 (x- 3Xx - 4Xx + 2) .

Xl = 3 ; x 2 = 4

fex) = a(x-xlXx - x2Xx- )[3)

=

A us Satz 2.3.62 folgt der wichtige Satz 2.3.67:

Ein Polynom n-ten Grades (n>O) hat höchstens n reelle Nullstcllcn.

2.3.68: i) (genau n Nullstcllcn) f(x) = [x-rl ] -(x- I) ; (n = 2) hat die Nullstcllen 1 ; - I . ii ) (weniger als n Nullstellen) fex) = [x - 1)2' (x2+ 1) ; (n = 4) hat nur die Nullstelle I. Da der Faktor x -1 zweimal vorkommt, spricht man von einer DoJlllelnull~telle (analog gibt es dreifache Nußstellen usw.).

ßei~pieJ

Bem erkung 1.3.69: L äss t man als L ösungen einer Gleichung ,H en Grades auch die sogenannten kom plexen Zall/en 2 zu. so kann Satz 2.3.67 Iyrschärft werden: Ein Polynom n- sen Grades (n > 0) hat gena/l n (reelle oder komplexe) N ullstellen (Fund amenta lso tz der Algebra). Dabei werden mehrfache Nullstellen entsprechend ihrer Vidfa chheitgezahlt.

Zu n vorgegebenen Nullstellen XI' ..., xn eines Polynoms lässt sieh naeh (2.3.63)auf naheliegende Weise ein Polynom n-ten Grades mit eben diesen Nullstellen konstruie ren: (2.3.70)

Wie man durch Einsetzen unmittelbar erkennt, gilt für alle k ( = I , 2, ..., 11): Beispiel 2.3.71: Ein Polynom 4. Grades mit den vorgegebenen Nullstellen I ,

I

f{x) = 2009'(x - 1Xx -Y2Xx+n) x .

2 siehe etwa (2\ 1. Bd . I. 206 f[

V2, -."'1", 0

ist z.B.

2.3

113

E lement are Typen vo n Funktionen

Die Enn iltJullg von Nunsrene n be i Polynomen höh eren a ls 2. Grades d urch Abs palten von Lmearfaktorcn x -x k (und Untersuc hung des Restpolynoms] ist nur möglich be i Kenntnis dc r xk {d.h . nur in A usnah mcfällcn. siehe Kap. 1.2.4 .6). Meist ist es zur E rmittlung der Nußstellen einfac he r, ein Näherungsve rfahren (z.B. dtc . Rcgula falsi" (Kap. 2.4) oder das ~ Newton- Verfahren" (Kap. 5.4) ) zu verwenden. Die folgende n A bbildu ngen zeigen (Abb. 2.3 .72 i)-v)) exemplarisch die G raphe n einige r Polynome h öheren G rades:

1 111

Abb.2. 3.12

Itl

iil

11

2

lxi

f(xJ

= 0,01)(1- 0,025;(3-0, 5;(2+ O,5x +4

I I tl

111

lxi

lxi

I

f(xJ

I

= - O,0 Ix 7 +t5x3- x

i Abb.2.3.12

iiil

ffxl = X5~5x3 + 4x

i

'I

A n diesen Abbild ungen erkenn t man einige typisc he Eigen_~ chaften von Polynomen n-ren Grades: -

Die Zahl der N ullstellen eines Polynoms n-tcn G rades kann mit dem Gr ad n übereinsti mme n {Abb. i), v) oder aber geringer sein [A bb. ii ], iii], I V»~, siehe Satz 2.3.67.

2

114 -

Funkt ionen einer unabhängigen Var iablen

Ein Po lynom von ungeradem Grad hat SIelS mtn destens eine Nullstelle [Abb. iii), IV), v». E in Polynom von geradem Grad besitzt ma nchmal keine einzige Nu llstcllc (Abb.

ii».

Polynom e sind entweder nur na ch oben ode r nur nach un ten od er aber überhaupt nicht beschränkt: 1) Ist der Polynomgr ad n ungerade, so ist das Po lynom unbeschränkt, und zwar aufsteigend von - 00 bis + 00 (Abb. iii], v», falls an positiv und absteigend von + 00 bis - 00 (Ahb. IV»~, falls an nega tiv.

2) Ist der Polynomgrad n gerade, so ist das Polynom einseitig beschränkt, und zwa r nach oben besch ränkt [d .h. von - 00 aufste igend und wieder nac h - 00 absteigend, Ahb . li» falls an negati v und nach unten besch ränkt [d.h. von + 00 abste igend und w'icdcr nach + 00 aufslcigcnd, Ab b. i» , wenn a n pos itiv ist ! Aufgabe 2.3.73: Gegeben sind die Polynome f und eine oder meh rere zugehörige Nullst ellen xk (k == 1. 2• ...). Man ermit t le sämtliche reellen Nullstellen vo n f. i)

f(x) ==

XL

2xL 2x + 4 ;

Xl:::

2

x4 -

6x 3

XI ==

3 ; x2 == -2

+

3x2

+ 26x - 24 ;

ii )

f(x) :::

iii)

f(x) ::: x 3 -2x +

iv)

f(x) ::: 2x4-3xL lOx2 + 5x - 6 ;

1 ;

XI ::: 1

Xl :::

- 2 ; x2 ::: 3

Aufgabe 2.3.74: Man ermittle sämtliche reellen Losungen fo lgender G leichungen: i) x3 ::: 10 - 9x h·) n3-3n2",75-25n ii) y3 + 12 '" 34y v) z L 5z ::: 3z 2 + 25 iii)

3a 3 - 2a 2 + 30

'=

23a

\i )

t 4 - 4t 3 - 212 - 201 + 25 = 0

2.3.2 Gebroc hen-rationa le Funktionen Der Q uotient zwcie r Polynome heißt geb roc hen-rationa le Funktion : Def.2.3.75: Die Funk tio n f mit der Gleichung a" xn + a" l Xn~1 + bkx k + b k_1Xk 41 +

f(,) =

+ 3l x + 30 + b lx + b o

heißt gehrochen- rationale Funkt ion. Da f led iglich an den l"iullxtellen des Nennerpolynoms Nk(x) nicht definiert ist. muss man zur Ermittlung des Definitionsbereiches D, zunächst d iese Nullstellen ermitteln und als Deüntnousl ückcn ausschließe n:

Beispiel 2.3.76:

xI ' D

i)

f(x) =

ii)

f(x)

iii)

f(x) = ,..-' ''---cx2-2x + 2

'=

f

2:1: - -I

~,

,

= IR\ {O }

Df

'=

IR\ {I },

siehe Abb. 2.3.76 ii) ;

D f = IR, da der Nenner keine Nullstelle n hat, A bb. 2.3.76 iii)

2.3

1J5

Elementa re Typen von Funktionen {II I

~ j

Ifll

,

i :

(II I

il Abb. 2.3.76 2x

iv)

f(x) =- .~2 _ 1 , Dr =- lR \ { I; - I I , Abb. 2.3.76 iv) f(x) -

Ixfür x * 1

xLx _ x- I -

-

x 3 + 3x 2 + 3x + 2 x2 +2 x +1

fex) =- X + 1 + - '-, (x+l )

I {li

I

I I I I I

Abb. 2.3.76 v)

nicbt definiert für x = I

, Df = lR\ {-l I , Abb. 2.3.76 vi).

VtL/' / -'

I lfi

I

i ~ ~:

, I

-1

\ ! I

I II

'

Ixl -

1 I I

I I I I I I

· 1:,/

j-7-{:;j

ivJ

,, 1

t ...... /

I I

'I

,,

, ,,

,,

, ,,

,

'/

-"

' ,,

-'

0

Ix!

,

vi}

Abb. 2.3.76

In Abb. 2.3.76 wird deutlich, dass in der Umgebung der Definition slücken sowie für sehr große (bzw. sehr kleine) Argumcntwcrte die gebroc hen-rationalen Funktionen Beson derh eiten aufweisen, wie z.B. Unendlichke ltsstejlen (Pole), A.s~mptol ell od er L ücken. Näh eres hierzu s. Kapttcl a.S bzw, Kapitc14.8.

Bemerkung 2.3.77: Gebrochen-rationale Funktionstypen können im Bereich ökonomischer Fragestellungen imm er dann auf/relen, wenn slückbel.ogene oder Durchs chninsgr öß en (z.B. Stuckkosten. Stückgewinn, Durchschnusmrag ...) hetrachtetwerden. Beispiel: Sei K einelineare Kanenf unkunn, z.B. K(x) = O,9x + 25 (x> O; K" Gesamtkosten. x: OutpUl). Dann erhält man die Stückk osten k(x) t- Kosten pro O utp uteinheit), indem ma n K(x) durch die Anzahl x derOutputeinheiten dividiert: K(x) O,9x +15 25 k {x) = - = =- 0 9 + - ' X

X

'

x '

k(x) ist gebrochen-rational, sieheAhb. 2.3. 78.

(k

0.9

o

-- ----- -

_

{xl

5

Abb . 2.3.18

2

11 6

Funktionen einer unabhängigen Variablen

Aufgabe 2.3.79: i) Die monatlichen Kost en K für elektrische E nergie eines Haushaltes seizen sich zusammen a us der monatlichen Grund geh uhr in Hö he von 40 € / Monat und einem Ar beitspreis von 0, l oS € /k Wh. Man erm it tele und skizziere die Funktion k(x), die die monatlichen Kosten pro verbrauchter kWh in Abhängigkeit vom monatlichen Gesamtverbrauch x angibt. ii) Au sgehend von der ertragsgesetzflehen G esam tkostenfunktion K mit K(x) = 0,07x3 - 2x2 + 60" + 267 ( K(x): Gesamt kostcn, x: O utput ( ~ O»

ermittle man die Funktionsgleichunge n und ökonomischen Dcfinitionsbcrcichc der variablen und

fixen Kosten sowieder variablen, fixen und gesamten Stückkosten. Skizze! iii) Unter Z ugrundd cgung des Ergebnisses von Aufgabe 2.3.46 cnnittlc ma n die Stückkostenfunktion k, die die Kosten k(x) pro Geb ühreneinheit in Abh ängigkeit von der Anzahl x der insgesamt pro Mo nat verbrauchten Gebüh re neinheiten angibt. Skizze !

2.3.3 Algebraisc he Funktionen (Wunelfu nktionen) Sowo hl ganzrationale als auch gebrochen-rationale Funktione n gehören zu einer allgemeineren Klasse vo n Funktionen, den sogenannten algehraischen Funktionen. Man kann eine algebraische Funktion implizit definieren als Polynom der Potenzen xi . y~ :

(2.3.80)

F(" y) =

•

m

i_ O

~. O

L L ',."r' = 0

aik E

IR iii)

xy- I ; O.

An diesem Beispiel erkennt man, dass algebra ische Funktionen La. in impliziter Form F(x, y) ; 0 vorliegen, und - wlc etwa in i) ersichtlich - häufignieht in explizite Darstellung gebracht werden können. An ii) erkennt man, dass die implizite Darstellung x 2 + y2 - I ; 0 offenbar nicht zu einer Funktion, sondern zu einer (zwcidcuugcn) Relation gehört, s. Abb. 2.3,82. IM Die Auflösung von X 2+y2_ l ; 0 nach y licfert nämy . j1"i"7 lieh die beiden Lösungen

y; +~;

l xls t

y =-~ ;

l xls f

Abb. 2.3.82 _

An diesem Beispiel wird gleichzeitig deutlic h, dass bel der expliziten Darstellung einer algebraischen Funktion (anders als bei rational en Funktionen) Wurzehenn e aufl rcten können.

~

An iii) erkennt man, dass es sieh um die gebrochen-rationale Funktion

I:}

_

o

\,

--

1

, /r » - jI"i"7

I

y = .~ ; x ,*, O handelt.

Umgekehrt kann jede gebrochen-rationale Funktion y = Z(x) durc h einfache Umformung in folgende N(x)

"algcbmische~ Fonn gebracht werden: (2.3.83)

y ·N(,) - Z(, ) = O .

E ine allgemeine Analyse der Typen algebraischer Funktio nen verbietet sich im Rahmen diese r Darstellung. Als relativ hä ufig vorkommendes Beispiel sei an dieser Stelle nur der Typ der Wurzclfunk tion herausgehobe n (als Spezialfall der allgemeinen Potenzfunktion y = x'' , ne IR) :

2.3

Elementare Typen von Fun ktionen

117

Der. 2.3.84: Die Umkehrfunktionen der Po tcnzfunklio n f: y e x'" , xe lR ~ ; n e N'{ I }

(y)

y=x n

.-;:. _---n

!xi

heiße n w urz elrunkuon en .

Schreibweise:

/

."

x =y 'ln=VY

=

"VY;

ye lR ~ .

(siehe Abb. 2.3.85) I

Abb. 2.3.85 Bem erkung 2.3.86: Fur den Def initions bereich bei geradem n gilt wegen der Forderung eines nichm ega -

tiven Radikanden: D1 = IR; . Bei ungeradem " ist .l'l'm Fallgilt: Df "= IR.

Beispiel 2.3.87:

i) f(x) =

V;- ; Df = lR ~

"VY al/ch Jar negative y

ü) f(x)

=

,

VX ;

erklärt, so dass in die-

D f = 1R.

(Abb. 2.3.88) .

I itl

1/

iI}

I(x} =

V7

s IM =

V7

o _ _ --:----'Ixl

-I

ot

\

oI Abb 2.3 88

Po te nzfunkt ionen mit nicht-n atü rlichen Exponenten werden u.a. für (gesamtwirtschaftliche] Prod uktionsfu nktionen verwende t:

Beispiel 2.3.89 :

Y '" e · A0,8. KO.2

• (A , K

~ O) .

A: A rbcitsin put; K: Kapitalin put: Y: Sozialp rodukt: (c: Konsta nte) . So ergibt sieh etwa für K = 32 = co nst. (und y =2 ·Ao.s e = 1): (siehe A bb. 2.3.90 )

"v;-

(-

-

-

I

-

-

-

lAI

Abb.2. 3.9O

Au s den elementaren Wurzclfunktionen f f(x) = (x a 0 ) ergebe n sich durchSpicgcln an der O rd inate bzw. Vcrsch iebung längs der A bszisse die folgenden - ebenfalls elementaren - W urzelfunktionen (siehe A bh. 2.3.9 1) (man beac hte jeweils die geä nderte n Dcflnirion sbcrcichc !):

2

118

Funktio nen einer unabhängigen Variab len

lfI

I II1

u

.,

111

.1

iiil

lxi

°l-(;j .,

0

lxi 0

1

2

Abb 2.3.91 Aufgabe 2.3.92 : Für die nachfolgend definierten Funktionen ermittle man den maximalen Definit ionsbereich und (in den Fallen i) - iv)) dieGleichung derUmkehrrelationen. i) y =(x + 1)2; ii) y=3y xL 4 ;

AUfgahe 2.3.93:

iii ) y= 4VJ=X2 ;

h')

y=~;

\') y =

Vrl

;~ SVx2 - 16

Gegeben ist eine Prod uktio nsfunktio n x: r 1-+ x(r) mit der Gleichung x(r) =

V4r

IOn - 10

(x: Ouput in r-IE. ; r: Faktorinput in ME r).

Pro eingesetz ter Fakto reinheit en tste hen Kosten von 8 G E /ME r• pro prod uzierter O utputeinheit kan n um Markt ein Preis von 100 GE/M E. erzielt werden. i) Man ermittle den (maximalen) mathemat ischen Definitionshereich sowiedenökonomischen Dcfinitionsbcrcic h (Output mus s nich tnegat iv sein!)

Ii) Es werde ein Ou tp ut von 50 ME, prod uziert und abgesetzt. Man berechne die entstande nen Fakto rkosten sowie den Umsatz.

iii) Man ennitt1e die Kostenfunktion K, die d ie Beziehung zwischen Ou tput x und zugehörigen Faktor kosten K(x) angibt . h') Welche O utpu tmengen müssen prod uziert (und abgesetzt) werden, damit die Unte rnehmung in der Gewinnzone prod uziert'!

2..3.4 Exponentialfunktionen Zu den wicht igsten nichtalgebraische n Funktionen (transzendenten Funktion en ) gehören die Expo nentialfunktionen: n-r, 2,3.94: Man nenn t die für alle xe IR definierte Funktion f mit Exponentialfunktion.

Betsptcl 2.3.95:

i)

y

= 2x ;

il)

Y = (+)"

= 2-'

; iii) y

I fex) = a I' a e IR+\ {I },

= c-' ""

X

2,71828'

.

Bemerkung 2.3.96: i) Der strenge Beweis f ür die Existenz von u'- für alle XE IR kann an dieser Stelle nicht gef uhr!werden. ii) Die Basis a in a'- sollte lmgleieh Eins sein, da andrmfa lls dir Exponcnüalfunktion in den trivialen Fallderkonstanten Funktton mit y = 1 ~ eIlta rlr/~.

2.3

119

Elementare Typen von Funktionen

iii) Der wesentliche in derf onn alen Darstellung zum A usdruck kommende Unterschied zwischen Potenzfunktion (mu fex) =x a) und ExporwIltialfimktwn (mit f(x ) = a X) bestehtdarin, dass im ersten Fall der Exponent (» a) konstant, im zwei/eil Fall derExponent ( =x) variabei ist. Cl· af/ (>:) +c2· ah (x) + ... Auen zusammenges etzte Funktionen des Typs f(x) = g () /i (J (mit f / x), g;(x) algebraisch) heißen Exponentialfunktionen. b 1 · a 1 x +b 2 · a 2 x +...

i~)

Beispiele: ~)

f ex) = 7· rs

,

fex) =

/i

4r Xf 2 + 1 3x +4

-,

Die allgemeinste Exponentialfunktion ist 110m Typ: fex)

= g(x)h(x) ,

z.B. f ex)

=XX

oder

fex) '" (2 +lr: rx)

X2 - J

.

Abb . 2.3.97 zeigt die Graphen einiger Exponentialfunktionen zu unterschiedlichen Bastszahlen.

\

\

Abb.2.3.97

(tl

\ \

\ e- x

\

2'

\

\

\

B

\

\ \ \

Es gilt stets;

\

\ \

( a e lR+;x e lR)

\ ,

"~

_f

0

An Ahh. 2.3.97 werden die Eigenschaften der Exponenlialfunktionen aX deutlich: Fall I:

8 ,

Beispiel:

f(x) = c X

:

i) Definitionsbereich D, = IR ; Wertebereich W f = IR. + (d.h. f: f(x) = cl[ ist stet s posnlv) . ii ) f ist in Of streng monoton steigend und nähert sich mit abnehmendem x (d.h. von rechts nach links

betrachtet) immer me hr dem Wert O.

iii ) f verläuft (wegen a O = 1) durch den Punkt p(O; 1) . Fall 11 :

I 0 < a < I I, Beispiel: f(x) = (-;- y;: = e- x;

I) Definitionsbe reich Of = IR : Wertebereich Wf = IR+ (d.h. f: f(x) = e- x ist stets VO"ith') ii) f ist in D, st reng monoto n fallend und nähert sich mit wachsendem x immer mehr dem Wert O. iii) f verläuft (wegen a(} = 1) durch den Punkt p(O; I ) .

Bemerkung 2.3.98: Da man z.B, e-x aus eX durch Vertauschen von negativen mit belrag.lglei,he!J p ositiven Argumemt'/l erhälr, agibt sich der Graph von e-x aus dem Graphen von eX durch Spiegelung {In der (.u nkrechlfl/) Ordinatenachse.

2

120

Funktionen einer unabhä ngigen Variablen

Bemerkung 2.3.99: i) Exponentialfunk tionen des Typs [ (x) '" eg(x) (g(x) algebraisch) sind f ür die Be-

schreibung vieler technischer und ökonomischer Vorgange - vor allem wenn sie mit Wach.l"turn oder Z erfall zu tun haben - von großer Bedeutung. A uch f ür die Bereiche der reinen Mathematik: und der

Stutis'ik gehörendie Exponentialfunktionen zu den wichtigsten Flink/ionen. ji) Jede Potenz aX (1.1 > 0) kan n in eine Potenz Zfl r Basis e umgeform t werden: Wegen u = (siehe Kap. J.2.3.3, (1.2.85») gilt: aX = (eln ay '" r -ln 0 ,1.8 . 7 x = e X 'In 7

A nalog:

g(x)h(x) '" I.jl(x) -ln g(x)

Aufgahe 2.3.100:

(g> 0) .

Man ermittle den maximalen Dcfinitionsbcrcich und die Nullstelle n von

I) f(x) = 3c- x -

e2"

j

iv) k(x) = 3xz·e -· 2_ 12e- x2 ;

2..3.5

elll a

, -, \I) p{x) = 7 'e

%+3 .

Loga rit hmusfunkt ione n

Da die Expon entialfunk tion f: y = aX , a E IR+\ {I} in ihrem Dcfinitionsbcreieh IR streng monoton ist, existie rt ihre Umkeh rfun ktion r-I , siehe Satz 2.2.16: Dd. 2.3. 101:

Die Umkehrfunkt ion f - 1 zu r Ex ponentialfunk tion f mit y = a X (y = CX) (a >O ; a e l } heißt l .ogarithmu~run klion ' b'e$e hri ehen :

(f - I : x = In y) . Ihr Definitionsbereich Df ~ 1 ist gleich de m Wert ebe reich W f der Expo ncntialfunktion: D r- I = W, = IR-. Ihr Wert ebereich W, _I ist IR ( = D r) .

,xi Abb. 2.3 .102 zeigt die Verhältn isse am Beispiel

f: y = e'

und

r -'. x = logS

= In y.

x = In y ergibt sich aus y = e" graphisch du rch Spiegelung an der " lnkelhalh ierenden des I. und IlI . Quadran ten (unter Beach tung der Konvention, dass die unahh ängige Variahle stets auf de r Ahszis~e abge trage n wird, siehe Bemerku ng 2.1 .10

ii».

y

= e~

Abb. 2.3, 102

;(-~-~

lxi

Iy':

x = lny

Aus Abb. 2.3. 102 werde n die Etgensche tten der Llgarilhm llsfunklion log,. (f ür a > I ) deu tlich: i)

Die Lo garithmusfunktion ist streng mon oto n steigend.

ii) De r Dcfinitionsbcrcich der Logarithmusfunkt ion umfasst nu r d ie positiven reellen Z ahlen IR+ (so ist etwa In 0 oder In (- 2) nicht delini ert !). iii) Die einzige Nullstelle der Loganthrnu sfunk tlon liegt beim Abszisscnwcrt , 1":

loga 1 = O.

h') Wenn x > l , soist log,.x posi tiv, wenn x -c 1, so ist 10&." negativ. v) Wenn sich der A rgumen twert de r Z ahl Null nähert, so fällt der w ert der Logarithmusfu nktion un ter jede negative Schranke.

2.3

121

Elem ent are Type n von Fun kt ionen

Bemerkung 2.3.103: i) Für die Gleichung der Umkehrf unk tion vun f: y = e~ schreibt m an x = In , (logarithm us naturalis], f ür die Umk ehrfunk nonsgieichung von f: y = J(}" schreibt ma n x = Ig Y oder x = log y (dekadischer Logarithm us). ii) Die Umformung von Funk uansterm en, die Logarithmen enthalten, geschieht mif Hilfe der Logorilllmellgeserze, siehe Kapifef J .2.3.3:

Beispiel:

LI:

Joga (u' v) = Joga u + loga v

L2:

/oga ( V' ) = Joga u - Jogav

L3:

/08aul' = v ·loga u .

u

s

f(X) = In (xS . ~ ) = 5 ·Jnx

1

+3 In (x +l),

(x> 0) .

Zu den im Z usamm enhang m it logarithm ischen Umfonnungen auftretenden Fehlern siehe Kap . J .2.6. AUfgabe 2.3. 104: Man ermittle den maximalen Dcfinition sbereich, d ie N ullstellen sowie die Umk ehrfunkt ionen (hzw. Umkehrrelationen} der nachfolgend defi nierte n Funktionen f, g, k, h mit:

I) iv)

= In ~ ; h(u) = In u + In r;;cT .

f(x)

ii)

g(p) = In (

~

iii )

) ;

k(x) = ln (x+l ) +ln x

2.3.6 Trigonomet rische Funkt ionen (Kreisfunktionen, " 1nkelfunklionen) Zur De finitio n dieser Fu nktio nen ste llen wir uns einen Kreis vor mit dem Rad ius r = 1 (" Einhcitskrcjs~), dessen Mitt elpu nkt 0 im U rsprung eines u.v- Koordina tensys tcms liegt, sichc Abb. 2.3.105 :

C

M (0.1/

pfu,vJ e-r-

0

-,

x

-,

8

(-f.{J!

E

iui

(1,0/

Einheitskreis (Radius = "

f Abb. 2 .3. 105

G

(0.--11

De r Radiu s 6P (L änge : r = 1) m öge nu n gcgen den Uhrz eigersinn (in " mathematisch positiver D reh ric ht ung") um den U rspru ng 0 rotieren, beginnend in der Ausgangslage OB.

oe.

Nacheinander e rreicht so de r Radiusstrabl die Posit ionen 15P, 00 usw., um nach einer volle n Umdrehu ng wiede r in die A usgangstage OB z urückzu kehren. J ede weit ere Rotat ion liefert erne ut die scho n bei der ersten Umdreh ung angenommenen Posit ionen, ein ident ischer Zyklus beginnt.

2

122

Funktio nen einer unabhängigen Variablen

Betrachten 'Wir nun im Verlauf der Rotation irgcndcinc Situalion, z.B. OP (fettgedruckt in Abb. 2.3.105). Die Spitze P des Radiusvekto rs besitzt d ie du rch die spezielle Lage def inierten Koordinat en u (= waa gerechte, horizon tale Koord inate, Abszissenwert von P) und v (= senkrech te, vertikale Koordinate, Ordi natenwert von P). Im gleichen Maß, wie sich nun der Winkel x bei diesem Rotationsvorgang äoden, ändern sich auc h die Koordinaten u;v der Ra diusspitze (P). (Lediglich die Länge r (= 1) des Radius bleibt bei der Drehung unverändert.] A us diesem G rund ändern sich mit Variation des Winkels x auch die Seitenverhältnisse

dick gezeichneten Dreieck, m.a.w., diese Sen enverhä nutsse sind jeweils Funktionen des Drehwinkels x .

v

u

7 ' -;:-

v

im u

(wegen r = 1: , = v; ,

=u)

Diese Funktio nen haben sfX:zielle Namen. nämlich Sillusfullklion {sinx) und Coslnusfunküon (cos x): (Sinus, Costnus)

Der. 2.3. 106:

,

.

sm x ,= -

(2.3.107 a)

bzw. (falls r = 1)

t

(2.3.107 b)

sin x '= v (sieheA bb. 2.3.1(5)

cos x '=u

Bemerkung 2.3.108: in A nbetracht der Tatsache, dass diese Funktionen am Kreis veranschaulicht taw. definiert werden können, nennt man siehäufig Kreisfunknonen. Die Tatsache, dass sie Funk tionen eines Winkels .r sind. fühn zur alternativen Bezeichnung Winkelfuntaionen. Eine drille Bezeichnung schließlich trägt der Tatsache Rechnung, dass diese Funktionen durch die Seaenvernatnusse in einem (rechtwinkligen) Dreieck (sieheAbb. 2.3.105) definiertsind: trigonometrische Punkno nen. Die Sinus- und Cosinusfunktlonc n sind nicht die einzigen Kreisfunkti onen. Bezugnehmend a uf Ab b. 2.3.105 definiert man die Tang enstunkuen (tan x) und die Cotangensfunklion (cot x) wte folgt:

Der. 2.3.10 9:

(Tangens. Cotengens) sin x

cos x e

v

(2.3.110)

tan x '= - - = cos x II

(2.3. 111)

eot x ,= - '- = ~ lan x sin x

(u

=.E..v

* 0)

sin x (v

ü

(sieheAhb.2.3.105)

*0

* 0)

Bemerkung 2.3.112: Die Definitionen der trigonometrischen Funktion (vgl. Der 2.3.106/ J09) stimmen überein mir den allgemein beka nnten elememargeomemschen Definitionen (Im rechtwinkligen Dreieck:

"'.'·~'c'k""O"C"e"'- = _' sinx= ~,G ros x =

Hypoehcnuse

r

A I/kurhete

u

Hypoehenus e

r

,

lan x =

Grgenkuthele = A I/k urhele u

cot x =

Ankuthete u =Gegenkathete v

Hypothenuse

r

a

x

Gegenkathete

,onx

u = Ankathete von x

3 Strenggenommen müsste man anstattvon ~ Gegenkathetev" von der"M"lßlahl v derLängeder Gcgcnkathcte'' sprechen usw. Solangekeine Missverständnisse zubefürchten sind, werden wir dic kürzer e und bequemere (wenn auch nicht ganz korrekte) Sprechweiseverwenden

2.3

123

E lementare Type n von Funktionen

Wühlt man jeweils eine (geeignete) Seitenlange des rechtwinkligen Dreiecks mit dem Wert ,,1 " vor, so ergeben sich anschauliche Interpretationen der Kreisf unk /ionen:

~/an x cos x

1

col x

Es ste llt sich nun hera us, dass es für mathema tische Anwend ungen zweckmäJlig ist, de n Winkel x nic ht im G radma ß (0°,3 0°,90° , ...) zu messen, sond ern im sogenannte n Bogenmaß.

Weil be i fest em Rad ius (hier wurde r = 1 ("E inheitskreis ") gt:Wähll) dem Mill elpunktswi nkd 'P umkehrbar ei ndeut ig die en tsprec hende Bogenlange x zugeord net ist, kann ma n (stall 'PJ genausogu t die Bogenlänge x (im Einheitskreis) als Maß für de n Winkel 'P nehmen:

AM . 2.3. 113

Der. 2.3. 114: (Bogenma ß eines Wink els, A bb. 2.3.113) Das Bogenmaß x eines Winkels 'P ist die LUnge x des zugehö rigen Bogens im Ein heits kreis.

Da (im Einhcuskreis] zu ei ner vollen U mdrehung (d.h. zum Vollwinkel 36ff') die volle Kreisboge nlänge 2."1"r l = 2.'l gehört 4 • gilt für Teilwinkel die Propor tion r= 1 Teilbo gen Voll bogen

(2.3. 115)

Te ilwinkcl (o) Vollwinkel ( 0)

d. h.

~

'-. n x = 3('0" ·'P = llWo ''P

Daher gilt 5atz2.3, 116: E in Winkel 'P (im G radma ß) hat das Bogenmaß x mit

Bemerkung 2.3.11 7: Entsprechende Winkel im Grad- und im Bogenmaß veranschaulichtdie nachf olgende Tabelle (2.J.II8):

(2.3.118)

4

Wink el im Gradmaß (0 ) 360"

27(}"

Winkel im Bogenm aß (X]

2";1

2.

3

180"

9(}"

"

st

x

2

3

60"

57,30"

1

W

30"

0"

•4

•6

0 usw.

Die Kreisza hl :r ist (als VerltiIllnis l' VJI UmJallg und Durchmesser eines Kreises) clnc sogenannte transzendente Zahl (dahe r ist auch die be rühmte " Qu adWlUr des Kreise s" unter aussc hließlich klassischer Benutzung vö n Zir kcl und Lineal unmöglich). Für Pt-Fans hier die ersten ~6 Ziffern: st = 3, 1-1- 159 26535 K9 793 238-1-(, 26-1- 33 83279 502 KK-1-197 1 69399 ...

124

2

Funktionen einer unab hängigen Variablen

W ir sind jetz t in de r Lage. die Eigenschaft<'ß der Kreisfunktionen angeben z u können und sie graphisch darzustellen. Die A usgangssituat ion sei wie in A bb. 2.3 .105 : Z u jed em winket x (im Bogcnmaü) gibt es genau einen Wert sln x, cos x . tan x usw., siehe Def 2.3 .10612.3.109 . Betrachten wir als Beisp iel die Stnusrue knen f: x 1-+ stn x

(~ v

in Abb. 2.3.1 U5, siehe Def. 2.3.106) :

I n de r Startposmo n OB gilt offen ba r v = sfn 0 = Q. Wenn de r Rad iusstrahl nun wie besc hrieben gegen den U hrzeigersinn rotiert, wächst v zunächst bis z um Maximalwert v = 1 (in QC. beim Winkel x = n /2 ( ;;;' 90°) ). Weitere Drehung vermindert v ( = sin x) wieder bis zum Wert 0 (bei OE mit x = .:rr ( ;;;' limO». Beim E intritt in de n IlI . Q uadranten wird sin x (= v) negativ, um schließlich vom M inima lwert (be i

Da:

sin

i :r (=

- 1» ....'icdc r anzus teige n bis z um Wert 0 in der Sta rtpos ition

58

(x =

2..". = 360 "). J etzt beginnt derselbe Z yklus vo n ncuc m, wobe i led iglich a lle Winkel x um 2.'1" (= 360") grü ßer sind a ls be im erste n Umlauf usw. Au f ganz ana loge Weise überlegt man sich, das s d ie Werte de r Cosleus-Funkuou f: x 1-+ cos x (sie entsprec hen den A bszissenwerten u in A bb. 2.3 .105) beim ~ Start " mit + 1 beginnen und da nn über cos x = 0 (bei x = ;r/2 ), cos x = - 1 (bei x = .7), cos X = 0 (bei x = 3; ) wieder zum E ndwert cos x == 1 (bei x = 2.7 = 360°) nach einem vo llen Umla uf führen. A uch hier beginnt nach jeder Vollumdrehungvoll neu em e in ide ntischer Umlauf. Wenn man auc h neganve Bogenmaße x zulässt [definiert du rch solche Bogenmaße x, die be i Rotation im Uhrz eigersi nn entstehen), so erhä lt man über ei ne w ertcrabelle , wie etwa (2 .3.1 19) (2 .3. 119)

_ !!-

x

sm

2

x

cos x

-1

0 0

st:

4

1!.

-7

1!!-

2"

.ly,

0

-1

0

_.ly,

-1

0

2

4

.ly, 2

.ly,

()

s:

2

2

0

1

1

5;r

2

3."[

0 0

-1

die Graphen de r Sinus- und Cos inusfunktion, vgl. A bb. 2.3.120 :

(sin xl

lxi (Winkel im Bogenmaß!

Abb , 2.3.120

Bemerkung 2.3.121: A nhunä von A bb. 2.3.120 wird deutlich, dass sowohl dieSinus- als auch die Cosinusfu nknon i) für beliebige

XE

IR definien sind ;

2 .3

E lementare Typen von Funk tionen

125

ii) periodisch zwischen dem Maxim alwert +1 und dem Minim alwert - I schwanken. Da nachjeder Vollum drehu ng (2Jr) derselbe Zyk lus erneut beginnt, spricht m an bei sin x und cos x von periodiS Chell Funktionen mil der Periode 2Jr:

(2.3,12 2)

4Jr)

= sin (x + 2kJr)

cos x = ros (x ± 2Jr) = cos(x ± 4Jr)

= cos(x + 2/w-r)

sin X = sin (x

.t

2Jr) = sin (x

±

m it k = 0, ± 1, ±2, ...

d.h. sin x und cos x ändern ihren Wen nicht, wenn m an zu .r ein beliebiges ganzzahligcs Vielfa ches von 2Jr addiert oder subtrahiert. iii) Verschiebt ma n die Cosinus- Kurve in AM. 2.3. I 20 um ;

nach rechts (links} so fä llt sie gmuu

m it der (negativen) Sinusfunktion ;:usam mrn, d.h. es gilt: (2.3,123a)

/ +T Jr) cos x = nn. ix

sin x

(2.3.123b)

. Ix - -.') = -cos x sm 2 cos(x + ;) = « sin x

= cos(x - ;)

iv) Aus Abb. 2.3.120 erkenn t m an weiterhin: sill x ist eine ungerade Fun ktion (siehe D e[. 2.2.23), d .h. punk tsymmetrisch zu m Ursprung:

I sin(-x) = - sin x

(2.3.12 4)

I

cos x ist achsensymmetrisch zur Ordinatena chse, also eine gerade Funksion (vgl. Der 2.2.11)):

I

(2.3.125)

ros t-x) = cos x

Zwische n Sinus- und Co sinusf unknon gibt es eine Reihe weiterer allgemeingiiltiger Relatio nen. A uße r den eben genan nten sind dies beispielsweise:

I sinzx + cos

(2.3 .126)

2x

= 1

I

5

« 2.3.126) folgt ansc haulich aus Abb. 2.3.105 m it H ilfe des Sat zes des Pythagoras)

sowie d ie ~ Addi l ionsthcoremc" der Sinus- Funktio n (2.3.1 27)

(2 .3.128) (zu den anderen Additionstheorem en siehe A ufgabe 2.3.136)

Bemerkung 1.3.119: Wie aus Def. 2.3.109 bzw. Bem erkung 2.3.1 I 2 ersichtlich, ergeben sich die Tangensbzw. Cotangensf un k tion aus der Sinus - und Cosinusfunkuon zu tan x '= sill X cos X

und

1 coIX '= --

flJJ1 X

cos x = - .-.

sm x

5 Stall (sin x) z schreibt mansinzx. um Verwechslungen mit sin .~ 2 (,= sin (x z)) zu vermetden

2

126

Funktionen einer unabhängigen Variablen

Überall don, wo cos x (bzw. sin x) versch windet, ist daher ran x (bzw. cot x) nich t definiert. Bildet man UlUf!/' Berucksiduigung dieser E inschränk ungen (e(Wa in Tabelle (2.3. J 19» zu jedem Bugenmaß x die Quotienten von sin x und (OS x und übertriigt die erhaltenen Wenepaare in ein Koordinaten ~)'Slem, so erhäll ma n die Graphen von tal/X und COI x:

(fan x) {colx

Ab b . 2 3. 13 0

," (xl

Man erkennt, dass lan x und cot x rben/alls p eriodisch, allrrdings m it der Periode n , sind:

'*' ;

(2.3.131)

[an x = tun(x + b:)

(x

(2.3.132)

cot x =col (x+b)

(x,*, b:)

+b ) (k = 0, ±J, ±2•. ..)

Aufgabe 2.3. 133: i) Man gebe zu folgenden Winkeln (0, im Gradmaß) das äq uivalente Bogenmaß a n;

60° ;

1° ; -300

;

1.400" ; - 36.00no .

ii ) Man ermittle zu folgenden Bogenmaßzahlen das entsprechende Gradmaß (Winke/m uß):

, , ....:.!.. VT'.

0 5'

,

90'

,

- 1'

:r. 6'

2;tr.

9'

2o.'l

iii ) Wie lang ist ein Bogen auf einem Kreis mit dem Radius 4, zu dem ein Ze ntriwinkel von a ) 33°

b) ~

(im Bogenmaß) gehört'!

Aufgabe 2.3.134: i) Man ermittle folgende Funktionswertee

sinO,5; sin

+

cos at v : lan l ; cot 45°;

V2 + cos V3 ;

sin 1000;

"

la n ~ ;

sin 1000° .

cos (2"l:+1)

sin ;T+3 . 2

'

2 .4

127

Iterat ive G leichungslös ung und NuJlstcl lenbcstimm ung (R egula fa lsi)

ii ) Zu folgenden Funkt ionswerten ermitt le man den kleinsten pos itiven Wi nkel x im Bogen - sowie im Gra dma ß:

x=1 x = '!

sinx = I,5 ;

x= 1

sin 2x : 0,5 ;

ta n x = 99.999

x = '!

coq-x + 1)

x = '!

2 sin (3x + iT/2) =

sin x : - I; = 0 ,35

V2 ;

x= 1

AUfgabe 2.3. 135: Man vereinfache folgende T erme: I) i~')

cosx · ta nx

sin2x 1 - 005 :<

ii) v)

sin x tan :<

iii)

1- -cos-x 'tanx - l siux ccs x

tan x stnx e cos x

e

A ufgahe 2.3. 136: Mit H ilfe von (2.3. 126) , (2.3.1 27), (2.3. 128), (2 .3.110), (2.3 .123 ), (2.3.124) sowie

(2.3 .125 ) zeige ma n die A llgeme ingültigkeit fo lgende r tr igonometrischer G leichungen:

") I eos ( x 1 ±) x2 = eos x1eos x2 +s " mx" tslll x 2

"IV) tan 2 x =

ii) sin2x = 2 sin x cos x ;

v) t r-cos x = 2 sin2 .!.. ;

iii) cos 2x = 1 - 2 sin 2x '" 2 costx - 1 '" cos-x - sin 2x

2.4

2 1an 2x

l r- tan x

2

\'i) 1 + cos x = 2 cos 2

x 2 .

Iterative Gleich ungslösu ng und Nullste llenbesti mmung (Regu la fa lsi)

Po lynomglcie hungen anx n + ... + a lx + ao = 0 höheren als zweiten Grades lassen sich i.a. in geschlossener Form nur durch einen aufwendigen Formelappara t (n = 3; 4) oder überhaupt nicht (n > 4) lösen. Einer ge schlo ssen en ~ fonn e l m ä ßi gen" Lösu ng widerset zen sich La . a uch transzende nte G leichungen, in den en Potenzen, E xpo ncntialausd rücke und /oder Logar ithmen nebeneinander auftrete n. Beispiel 2.4. 1: I) Folgende Gleic hungen lassen sich nur mit relativ hohem rechentechnischen A ufwand geschlossen lösen:

a) b)

4x 3 - 6x 2 + 2x - 7: 0 x4 - 2x 3 + 8x 2 - x = 13

(Gle ich ung 3. Grades) ; (Gleichung 4 . Grades) .

ii) Die Lösungen folge nder Gleic hungen lassen sich nic ht in geschlossener Form angeben: b) e' + x = 18 ;

e) In x+ e!' =x 2-l

d) eosx = x .

Von den zahl reichen 1"\äherungswrfahren zur Gleirhu l1g.~lösu ng wollen wir hier die sogenannte Regula falsi be handel n, die sich dur ch einfachc H andhabung und hoh e Wirksamkeit a usze ichnet. (Nach Bereitstellung der Diff erentialrechnung werden wir in Kapitel 5.4 noch eine weitere Methode - das ßNewtOI1 - Ver-

[a hrcn" - kennentemen.t D ie Lösungen einer jede n Gleichung f(x) = 0 lassen sich auffassen als die 1"\u1 lstellen der Fun ktion f mit y = f(x) . Wir betracht en nun eine Funktio n f , die im untersucht en Intervall stetig ist und dort gcnau ein e N ullstelle i besitzt, siehe Satz 4.6.7; Bcm . 4.6.8; A hh. 2 .4.2 .

2

128

Funktionen einer unabhängigen Variablen

Nu n cnn ittclt man (etwa dur ch Prob ieren) zwei Stellen (Sta rtwert e) XI' x 2 mit t{x]) ' f(x 2) < 0 (d.h. solch e Stellen x I' x2' in denen die ent sprechende n Funkuonswerte f(x l) und f(xl) unt erschiedliches Vorzeic hen besi tze n). Dann muss (da f steti g ist) zwischen x, und x2 die gesuchte N u1Jstelle x liegen, siehe Abb. 2.4 .3:

I

to

P,

I (I!

I gesuchte

Nut/stelle

o

0

\

(x! ffx/I
x,

x,

Pt :

.

,,

ot

I

I

- - -'----------+ A- " ) - - -x1 - xJ

, - --

---l

I

Abb.2.4.2

Abb. 2.4.3

A ls ers te Niiheru ng x 3 für die gesuchte Nu llstelle X erhäl t mande nSchniu punkl xJ der Verb indungsgeraden PIP z (:= Sekante) der e rmitt elte n Kurvenpunkte P I(X l , f(x l» und Pz(xz, f(Xl » mit der A bs-

zisse x3 =x ,sichc Abb.2.4.3.

Zur Bere chnu ng von x3 aus den gegebenen Werten XI' x2_f(x t ) , f(x 2) kann manmit H ilfe der 2-PunkteForm einer Ge raden (2.3.30) die Gle ichung y =: mx + b der Sekante ermitt eln und de ren Nullstelle x3 be rechnen . Rechnerisch einfacher ist folgend e Überlegung: DieStcigung m der Sekante PIP2 kann auf zwei Weisen ermittel t werden , vg!. Abb. 2.4 .3: f(x,) i) im (kleinen) Steigungsdreieck (P 2, x3' x2): m = - --- ; x2 - x 3

ii) im (große n) Steigu ngsdreiec k (P2' P I' A) : f(x2) - f(Xl)

Durch Glei chset zen folgt:

X2 - Xl

und da raus d urch Auflös en nach )(3 d ie l'\ähc ru ngsfonncl [Iterations..vorxchri ft) der Regula fats!: (2.4.4)

(2.4.5)

x3 = x2 - f(X2) '

x 2 - Xl

f(x2) - l\xI)

bzw. äq uivalent nach weiterer Umfo rmung

r---

--,

XI[(X2) - x2f( x !) f{x2) - [(XI)

Diese erste Näh erung x 3 lässt sich m it H ilfe ders elbe n Prozed ur beliebig gena u verbesse rn. Dazuerm utelt man zu x 3 den Funktion swert f(x 3) und führt (2.4.5) sta tt mit XI' x2 nunm ehr mit x i' x3od er x2' X3 aus, je nachde m, welche der be ide n Funk tionswertepaa re f(x l ), f(x3) ode r f(x2)' f(x3) verschiedene Vo rzeichen besitze n. (Im Fall der Abbildung2.4.6 gilt : f(x2)' f(x3) < 0 .) Den so erhaltenen zweiten Näh erun gswert )(4 verbessert man wiede rum a uf dieselbe Weise usw, Das Vorgehen wird deutli ch an A bbild ung 2.4.6: Die Fo lge der Sekanten- Nullstellen wird d urch den mit Pfeilen mar kierten Streckenzug erze ugt und nähert sich schließlic h be liebig gena u der gesuchten N ullste lle x. Da die Näherungsvorschrift (2.4.5) wiederholt dureh VemendungderzuvOT enn itt dten Nä heru ngswerte )(3' x4' ... durchlau fen wird, spricht man von einem Itera tionsverfah ren.

2 .4

129

It erat ive G leichungslösung und Nul lstellenbestimmung (R cgula falsi)

iii

P,

Regu/o fa/si

x,

o Abb. 2.4.6

x,

i P,

Bemerkung 2../. 7: i) In Abb. 2.4.6 erkennt m an, dass das Veifah ren desto sehneuer zum Ziel fühn vergien d), je nä her die beiden Stanwene x t- Xz an der gesuchten N ullstelle liegen.

x

(~kon­

ii) Rundl/ngs - oder sogar Rechenf ehler während des Iterationsprozesses beeinträchtigen nicht die Kon -

vergmr des Verfahrens, so lange f(xJ abnehmen.

I (xJ

< 0 gilt, lediglich die Kan vergenzgesch wmd igk eit k önnte

iii) l teranonsveriahrcn wie die Regula [alsi (oder äas in Kap. 5.4. behandelte Newton- Vafahren} eignen sich hervorragend für progromm ierbore elektrotlische Rechner: Da stets derselbe Rechen weg durchlaufen wird, ist ein nu rgeringer Programm ierauf wand eiforderiich.

Beispiel 2.4.8: E s soll die Lö sung der Gleichung CX + x = 18 (siehe Beispiel 2.4.1 ii b) mit Hilfe der Regula Iarsl ermittelt werden . Zu nächst muss die Gleichungauf" N ullstd lenfonn" f(x) = 0 gebrac ht werden: f(x) = e'" + x - 18 = 0 . U m zwei geeignete Startwerte XI' Xz ausfindig zu machen, legt man zw ec km äßige rwei se eine Wertetabelle an . Wir setzen nac heinander für x die Zahlen 1, 2 und 3 ein und erhalte n (auf 4 Dczimalen gerundet ):

(Xz)

(XI)

, 2 3 f(x)

- 14,2817

-8,6 109

5,0855

Z ....-is chcn XI = 2 und Xz = 3 muss (wegen f(x l) ,f(xz) < 0) eine NuJlstelle d er I teration svorschrift (2.4 .5) der Regula falsi erhalte n wir:

x = 3

x lf(xZ) - xzf(x l) f(xz ) - f!:.xl )

=

2 · 5,0855 - 3· (- 8,6109) 5,0855 - (-8 ,6109)

x liegen. Mit H ilfe

= 2,6287

Den erste n Näherungswert (sowie en eweiteren) trägt man zweckmäßigerweise in die bereits angelegte Wertetabell e ein , d ie dan n folgendes Au ssehen erhäl t:

f(,)

-8 ,6109

Da f(x3) < 0, wird f ür die zweite Näherung

XI

(X2)

(x3)

(~)

3

2,62H7

2,7139

5,0855

- 1,5156

- 0,1973

durch x3 ersetz t:

x3f(xZ) - x2f!:.X3)

2.6287·5.0855 - 3 -(- 1,5 156)

f(xz) - f( x 3)

5,0855 - (- 1,5 156)

= 2,7139

.

2

130

Funk tionen einer unahhängigen Variablen

Analog ergehen sich die weiteren Näherungen: Xs = 2,72 46

x6

::

2,7260

x7 :: 2,726 1

Xs = 2,7261

Nach 5 Schrillen "stcht" das Iterationsverfahren. weitere Iterationsschritte bringen in den ersten vier

Dezimalen keine Veränderung. so dass als Lösung x der vorgegebenen Gleichun g e" + x = 18 a uf vier Dezimal en genau der Wert x = 2,726 1 betrachtet werden kann . (Wert auf 9 Dezimalen genau : = 2,726142694 .)

x

Bemerkung 2.4.9: Um sich einen Oberbfick über die Anzahl und Lage der gesuchten Nullstellen zu verscharren, kann es zweckm äßig sein, außer einer Wenetabeile eine graphische Funktionsdarstellung vortuschalten.

Ein ökonomisch w ichtiges Anwendu ngsfd d für die Gleichungslösung mit Hilfe der Regula falsi stellt die finanz mat hema tisch e E ffektivzinsber echnung 6 dar.

AUfgabe 2.4.10: Man ermittle auf 4 Dezimalen nach dem Komma genau die Lösungenfolgender Glcichungen mit Hilfe der Regula Ialsi:

ii )

O, l x3 - x 2 - 2x = 7

iii)

In x + t:" = x2 - t ;

iv)

q20 _ I 0= 100 · q20-1O ' _ _ q- I

o = - 100q5 + 20q4 + 30q3 + 40q2 + 50q + 60 Aufgabe 2.4. 11: Für eine Ein-Produkt-Unternehmung seien Gesamtkostenfunktion K: x 1-+ K(x) und Preis-Absatz-Funktion p: x 1-+ p{x) gegeben durch: K(x) = x3 - 2x2 + 30x + 98 ;

p{x) = 100 - 0,5x ;

[x: produzierte/abgesetzte Menge (in ME), x 2: 0 ) K: Gesamtkosten (in GE ), p: Marktprcis (in GE/ME), p


O.

Man ermittle die obere und die untere Gcy,innscbwclle (Nutzengrenaen], d.h. diejenigenOutputmengen Xl' x2• innerhalb derer die Unternehmung mit (positivem) Gewinn (,= Erlös - Kosten) operiert (siehe etwaAbb. 2.5.33).

6 siehe hierzu elwa [66]. Kap. 5.

2.5 Beispiele ökonormscher Funkt ion ell

2 .5

131

Beispiel e ökonomischer F u n ktione n

In nahezu allcn Be reichen de r Ökonomie werden zur Besc hreibung und Er klärun g ökonomisc her Sachverhalte Funktionen verwende t. Die Funktion ist gleic hermaßen das mathematische Mod ell der zugr undellegenden öko nomische n Stru ktur.

Polgeode Ein<;chriihkungc n bei der Verwendung ökonomischer Funktionen sind zu beachte n: In vielen Fällen ist bei vermu te ten funktio nale n Z usarruncnh ängcn zwische n versc hiede nen ö konomisc hen Variabl en eine exakt dcfmic rte Funktio n a priori nicht vorgegeben. Das ka nn da zu fü hren, ei nen Funkt ion saus drue k (z.B, mit Hilfe statistischer M('/hoden) zu schätze n bzw. a1L~ vorgegebe nen Mcss- oder Beobachtungswe rten eine möglichst ein tache, gleic hzei tig aber weitgehend zutreffende Funk tio nsgleichung zu kon struieren (Interpo lation , Appru xirna tjon, Regression). Zur rein quaätauven E rklär ung wirt schaftlic her Prozesse genügen h äufig die Vorgaben einfac her Fu nktionstypen, die led iglich in ihren hauptsächlich en Eige nsc hafte n [wie z.B. Mon oto nie oder Krü mmungsverha ltcn) mit der R ealität überein st immen. Um die Methoden de r Mathcm an k anwe nde n zu kö nnen, lässt man d ie z ugrundeliegenden Variablen häu fig auch dann in s tetige r Weise variiere n, wenn es sich dabei um diskret e Zusammenhä nge ha ndelt (wenn z.B. die unabhängige Variable nurganzzahlige Wene, etwa 1, 2, 3, . annehmen ka nn - Beisp iel: Kastenfu nktion f ür einen nicht teilbann O utput wie z.B. A utomobile). In derartige n Fällen wird man bei der Interpretatio n mathem atischer Folgcrungcn besonde rs vorsich tig sein müssen. Fun ktion ale Z usam menhänge zwischen ö konomischen Größen dürfen nicht (oder nic ht immer) als kausal e Ursac henf Wirkungs- Z usa mmenhänh'C interpretiert werden. Dics gilt vor alle m da nn, wenn sole he Z usamm enhänge d urch Beo bachtungen aus stat istischen Zeitreihen abge leitet werden . So ist zum Beispiel ein formale r statis tisc her Z usammen han g (auf Gr und belegbarer Daten) zwischen dem Le bensha lt ungs-Pre isindex und der Zahl der E heschlie ßungen ein es Staates kon struierbar, ohne dass ein inh altlich erklärbare r Zusammen hang bestehen dürft e. H äufig - wenn nicht in nahezu alle n Fällen - hängt de r We rt einer ö konomisc hen G r öße n icht nur von einer, so ndern vo n mehreren unahhiillgigen Vartahlen in funkt ionale r Weise ab. So ist etwa d ie H öhe Y des Sozialprod ukts einer Volkswirtschaft u.a. abhängig von den Intensitäten A, K, Bund k der entsp rec hen den I nputfaktore n A rbeit, Kapital, Boden und tec hnischer Fortschritt: Y = f(A, K, B, k). Um nun de rartige Sachverhalte d urch Funktionenf des Typs y = f(x) abbilde n zu können (und so mit eine graphische Darstell ung in der 2-dime nsiona len Koordinatenebene zu ermöglichen), bet rac htet man die Va rianonen des Fun ktio nswertes f nur in Abhängigkeit von eine r der unabhängigen Variahlen und unterstell t, dass der Wert sämtlicher ande rer unabhängigen Variablen konstant bleibt. Diese Bedingu ng bezeichnet man in den Wirt schaftswissen schaften als cetens-panbus- (c.p. )- Präm is...e. siehe Kapitel 3 und Kapitel 7. Unter Bea ch tung der gena nnte n E inschrän kungen solle n im folgenden weitere Beispie le häufig verwendeter ökonom i.sche r Funktionen angeführt we rden:

2

132

Funktionen einer unabhängigen Varia blen

( I ) Nachfragefunktion (Preis-Absatz-Funktion) Funktio naler Z usammenhang x = x(p) oder p = p{x) zwischen - P reis p eines Gutes (in G E / ME) und - nachgefragier (abgeset zter ) !\lenge x des Gut es (in ME) (in der Bczugspcriodc). Mögliche Verlaufe von Nac hfragefunktionen zeigt Abb. 2.5.1:

I Ipl IIJ

I

lxi

I Ipl

J

p(x} = 10 - O.5x

(pI

lxi

0

lxi Abb. 2.5 1 s

Ipl

lxi

In den meisten Fällen unterstellt man, dass die Nachtragefunknon nach einem GU! streng monoton frillt (A usnahmen: Güt er mit ~Snob-Effc kt". z.B. seltene, prestiget rächtige Güter des Luxusbeda rfs. die um so begehrter werden, je höher ihr Preis wird). Häufig benu tzt man statt x = x(p) die Umkehrfunknon mit p = p(x), wobei die Mono to nie erhalte n bleibt, siehe Abb. 2.5.2:

(x/ I Ir}

\ \ x(pl

\

\ ./

o /

/

/

/

/

pM

', ~~--

lxi

, - - - - - - /p/

Abb. 2.5 2 Die Darstellung de r Prcis-Absatz- Funktion in der Fonn p = p(x) hat den (formalen ] Vorteil, dass ohne Änderung de r A bszisse nbeze ichnungzus:ttzlichc Funktionen wie U msatz-. Kosten- und/oder Gewinnfun ktionen (deren unabhängige Variable ebenfalls C ürcrmengc n . x" sind) in dasselbe Koord ina tensystem integr iert und gemeinsam analysiert bzw. interpretiert werden können.

2.5

133

Beispiele ökonomischer Funktionen

(2) Angebo tsf u n ktion

Funktionaler Zusammenhang zwischen - Preis p eines Gu tes (in GE/ME) und - angebotener Menge x des Gu tes (in ME) (pro Bezugspcriode). Man unterstellt La. eine monoton steigende Angcbotsfunktlon, da ein Produzent in aller Regel seine Angebotsmenge erhöhen wird, wenn der Marktpreis steigt, Aueh hier ist es -wie bei der Preis-Absatz-Funktion - meist üblich, die Angebotsmenge x als unabhän· gigeVariable zu betrachten und somit auf der Abszisse abzutragen. Typische Verläufe von Angebotsfunktionen zeigt Abbildung 2.5.3:

/p/

,I /pi

I /pi

~l

r

"j prx!,=, 0,4..! +x +20

ro

/xl

o

..".j

s

"

p(x!

I

'='

2

V5.>:+4

s.

~,I

,

/xl to

Abb. 2.5 3

Bemerkung 2.5.4: Sowohl bei A ngebots- als auch bei Nachfragefun ktionen unterscheidet man zwischen indil'idueller und aggregierter Funk/ion: -

die individuelle Funk tion ist bezogen auf einen Anbieterbzw. einen Nachfrageraufeinem Markt.

-

die jeweilige aggregierte Funktion bezieht sich auf die Summe aller An bieter/Nachfrager auf allen Teilmannen. So erhalt ma n etwa aus dmindilül uellenAngebo tsfunkt ionen x/p) die entsprechende aggregiene oder G esanuangehotsfunknon x (p) (siehe Abb. 2.5.5), indem man zu jedem A ngeboispreis p die Summe x t + X2 +... + x" derentsprechenden Angebotsmengen atler einz elnen Produzenten aufallen Markten bildet:

x/p) :

2:" xM

(siehe A ufgabe 2.3.4 7) .

i_/

p/ X)

p.lxl

pM

<,

Abb. 2.5 5

Aggregierte Angebotsfunkfion p (x )

,

, x,

,

,

o

x,

•

x(p ) (

~

x 1+x2+x, 1

134

2

Funktionen einer unabhängige n Variablen

(3) Erlösfunktion, Umsat zfun ktion, Ausgabenfunktion Funktiona ler Zu sammenhang zwischen -

abgese tzter Güt ermen ge x (in ME ) bzw. Güterpreis p (in GEfME) und wertm äßigem Umsa tz E (in G E) ( ~ Erlös aus der Sicht der Anbieter ;

(bezogen auf eine

Rechnungspcriodc)

f:o Ausgaben aus der Sicht der NacJifrug er)

Da misc hen Preis p, abgesetzter Menge x und zuge hörigem Erlös E die definitorisc he Beziehung ME rlös = Menge mal Preis"

d.h. E = x· p besteht, kann je nach Wahl der unabhängigen Variablen in der zugrundeliegenden PreisA bsatz- Funkt ion (p (x) oderx (p») a uch der Umsatz E inAbhängigkcitvon p

(2.5.6)

E(p) = ' (p) .p

oder in Abhä ngigkeit von x dargestellt wcrdcn:

(2.5.7)

E(x)=x'p{x)

I (EI

.

F{xl = p x

Rec ht häufig wählt ma n x als unabhängige Va riab le. Mögliche Funktionsverläufe von E(x) ergeben sich aus dem Typ de r Preis-Absatz-Funktion . i) Ist P = coost. (Po lypol), so crhält man E(x) = p ' x a ls lineare ErlösfunkliOIl (Ge rade du rch den Koo rdina tcnursprung, siehe Abb. 2.5.H). DicSteigung der Erlösgeraden ist identisch mit de m (konstanten) Mar ktpreis p des G utes.

lxi

01

Abb.2.5. 8

"*'

ii) Ist p = p(x) ccnsi. (z.B. Monopolfall), so erhalten wir etwa für den Fall der lineare n Preis-A bsatzFunktion p(x) =0 a - bx die quad rati sche Erlösfunktion
E(x) = p(x) ' x = (a -hx) 'x = mithin ei nen parebelfön n tgcn Verlauf. Beispiel 2.5.9:

p(x) = 10 - 1,25x

~

E(x) =0 x · p(xj = 10 x - 1,25 x2

(siehe A bh. 2.5 .10) .

Derselbe Zusanunenhangmi t p als unabhängige Variable crgiht sieh nach Umkehrung p(x) x(p)=oS -O,Sp

~

E(P) = p 'x(p) =0 8 p - O,8 p2

20

x(p):

(siehe Abh . 2.5.1 1):

I lEI {xl

10

8

p/xl

x/p I

lxi 0

4

Abb.2. 5.10

8

Ipl

01

5

Abb. 2.5. 11

10

135

Beispiele ökonomischer Funktionen

2.5

(4) Produkt ionstu nktionen Produktionsfunktionen (Enragsfunktionen) beschreiben den Zusammenhang zwischen -

(effizientem) Faktor-Input r einer Produktion (in MEy) und zugehörigem Output (Ertrag) x des erzeugten Produktes (in MEJ

sowohl bei gesamtwirtschaftlichen (makroökonomischen) als aueh bei einzelwirtschaftlichen tmikroökonomischen) Produktionsprozessen. Schreibweise:

x == x(r) ; r

~O .

Beispiel 2.5.12: I)

Ertragsgesetzliche Produklionsfunktion: z.B.

ii )

neok.lassi...ehe Produktionsfunktiom z.B.

a) b)

x(r) '" 0.7 ' fI·5 x(r) = (r- o.5 +ü,5r z

i (xJ

(x}

J 0,75r für r s 20 1 15 furr>20

,-

ot

800

bl _

,,

200

(,} 0

5

Abb . 2.5.13

(s. Abb. 2.5.13);

(nCobb-Douglas"-Produktionsfunktion. s. Abb. 2.5.14 a); (CES-Produktionsfunktion (s. Bsp . 5.3.9) , Abb. 2.5.14 b);

limitationale Produktionsfunktion. z.B. x(r) =

iii )

x(r) := - r3+12rz+60r

01

/

~

,,

~~

(s. Ab b. 2.5. 15).

1(xJ

j

'l

(,}

5

0

Abb . 2.5. 14

1

(,} 10

20

Abb , 2,5. 15

Bemerkung; Die als Beisp iel angefahrren Funkt ions typ en behandeln nur den Fall der Variation eines ProduklionsjakuJrs (z.B. A rbeit, Maschinenlaufzeit o.a.) bei gleichzeitigerKonstan thaltung aller ubngm Produk tionsfa k toren (np arrielle Fak torvariation "), Bemerkun g 2.5.16; Diviäien ma n d en Output (» Enrag) x(r) durch den zu seiner Produk tion erfurderlieben Inp ut r, so erhält ma n die sog. »Produkti vität 11 x (oder: den Durchschniusenrag] des betreffen den Inputjak /Ors: x,=x(r)/r (r > 0) .

x

In Beisp iel 2.5.12 i) etwa ergibt sich die Produk tivität zu: = x(r) = -,.2 +12r +60. Bei einem Input von z.B. 10 ME r ergibt sich die Produktivität: X "" 80 ME:/ME" d.h. jede der 10 Inputeinheiten hat durchschnittlich einen Output in Höhe von 80 MEx eneugt.

Eine Produktionsfunktion x = x(rl' rz) mit zwei variablen subsuuu erteren Produktionsfaktoren lässt sich in der Regel in Form einerScharvon sogenannten Isoquanten darstellen, siehe Kapirel 3.2. Dabei ist eine Isoquanrc definiert als Z usammenfassung allerMengenkombinationen (rI,rz)der beiden{substltuicrbaren) Faktoren. die zum seihen Output x = xo = const. führen. Im (r]> rz)-Koordinatensystem könnte eine derartige Isoquamc ctwa folgende Gestalt haben (Abb.2.5.17):

136

2

Um einen Out put von xlJ '" 6 ~ E produzieren zu kön-

1{21i

nen, benötigt man z.B. 2 ME von Faktor 1 und 4,5

ME von Faktor 2 od er alternativ 9 ME von Faktor 1 und 1 ME von Fak tor 2 usw.

Z u jedem festen OUIIlut Xo ( = const.) gehört La. genau eine Ertragdsoquante. so dass die zugrundeliegende Prod uktionsfunktion als Schar von Isoquanten im (r l• Tz)-Koord inatcnsystcm darstell bar ist (s. A bb. 2.5.18).

Funktionen einer unabhängigen Variablen

(2; 4,5/ /

'51 ~

x o = 6M[ (9,. tl

2

I

Irt)

9

Abb 2.517

Die Funktionsgleichung f2 '" f(t l ) der Isoquantc mit xI) = const. ergibt sich aus der zugrundclicgcndcn Produktionsfunktlon x '" x(rl' TZ) d urch Ko nstantsetzen von x ( = xo) und anschließendes A uflösen na ch [2'

x=6

Bei\pi el:

x = x(rl'

=>

6 ""

TZ) '"

2~ ; x '" Xo '" 6 = const.:

2~ ~ .2. ,, '" TZ

o. >0)

o

Abb. 2.5. 18

(Isoqua ntcnglciclmng für de n Dut putxj = 6 ME = CO IISt.)

(5) Kostenfunktion Zu sammenhang zwischen - Oulput x (Prod uknonsmc nge, Besc häftigung; in M E ) und - Cesamrkcst en K (in GE) für die Produktion des O utputs x ;

Schreihweise: K = K(x) ,

Bemerkung 2.5.19: i) Üblicherweise u r/rgtman die Gesamtkosten K(x) in die beschii[/igung,l'unuhhiingigen fu en Kosten Kf ,= K(O) = const. (auch . Kosten der Produktionsbereitschaft " grnannt) und die von der Art und

Höheder Besch äftigungabhangenden voriabien Kostm K,.(x): K ();) = K,,();) + Kj

I.

ii) Fass/ man die Kasten K(x) auf als den (mit dem Faktorpreisper)) bewerteten Faktorvrrhrauchr(x) für dir Produktion VOll x ME (wobei r die Umkellrjilllktion der zugrunde liegenden Produk tions[unktion x ist], so erhüh ma ll zu jr!der Produktionsfunktion x mit partieller Faktorvariation dieentsprechende Kasten[unktion K' x~K(x) mit: K (r ) = P. · r ex)

+ XI

(sieheAbb. 2.5.20),

Werden samtliehe Produktionsfaktoren variiert (totale Fek torvariation), so ergibt sich die zugehörige Kostenfunk tion durch diesog, Minimallwstenlwmbinatian, sieheKapitel 7.3.3.1.

(x!

01

(ri Abb. 2.5 20

2.5

(OUIpUl x

Typische Ko stenverläufe können sein i)

137

Beispiele ökono misc her Fu nkt ionen

~

0) :

Ertragsgeseuhche Kostent unknon K, z.B.: K(x) : O,01x 3 - x 2 + 60x + 800 . E s gilt : KJx) = 0,01x3 - x2 + 60 x und

Kr :

(siehe Abb. 2.5.21 i» .

K(O) = 800

ii) Necklasstsehe Kostenfu nktion K. z.B.: a ) K(x) = 0 ,1 x2 + 200 (mit K,,(x) ~ 0, 1x2 und Kr = K(O) ~ 2(0 ) ; 36 b) K(x) = 0,5x + 1 + x + 9

(mit

c) K(x) : 36 · eO.Oh + 2009

(mit Kf : K(O) : 20-15 (I) und K,..( x) : 36 ' eo,Oh - 36),

Kr ~ K (O) ~ 5 (1)

lind K,..(x) = 0,5.'1: -

~

36

+ x+9 ) ;

siehe Abb. 2.5 .2 1 ii) K(x) '" 0.8x + 100 : K(x)

iii) Lineare Kostenfunkt ion K. z.8.: E s gilt: KJx) : O,8x und

Kr

= 100

I IK!

(siehe Abb. 2.5.2 1 iii) .

IK!

Kfx)

n

--

- - - - - - - - - - -:;.-; ;/

~~ 1 ....... I

fil

/

fii}

Kr/xl

(

/ K( ' - ---

K{x!

KM

/ /

/

/

/ / /'

K(

'--.---- - -------,(------

01 c=-. _ . . . ./ /

{xl 0

(xl _

I

K(

-~~~~------- - -

Ix! --""

"" '-)"'-----

Abb.2.521

Im Zusammenha ng mit der Erschei nung sogenannter prod uktionsbedin gter Anpa....s uugsprozesse kön nen Kostenfunktionen auft reten, die absc hnitts weise definiert sind und /oder sich aus Kombinat io nen de r o ben angefü hrten Typen dars tellen lassen: Beispi el 2.5.22: Gegebe n sei die Gesam tkostenfunktion K: x I--+ K(x) durch (siehe A bb. 2.5.23 ): K(x) :

I

0.25x + 3 O,25x +5 n.Snx + 3 O,125x2-2.5x +2 1

Hi T O<x S -I (I) für -t cs s 8 (11) für 8 < x S 12 (111) für 12 <x S 16 (IV) .

Die vier a uftretenden Abschnitt e könnten z.B. folgendennaße n inter pretie rt werden : Pha se I: linea re Kostenfun ktion

("GrundJaslj

Phas e 11 : quant itat ive An passung (z.B. zusä tzliebes Aggregat) ~ sprun gfixe Kosten Phase 111: zeitl iche Anpassun g (z.B. Überstunden) ::::} erhöhter variable r Kostensatz Phase IV; intcnsitätsmäßigc A npassung (z.B. höhere Drehzahl) ~ überpropo rtionale Ve rschleiß kost en .

.1'r-"

Abb. 2.523

•

~r

F

11

IV

111 12

Ix! 16

2

138

Funktionen einer unabhängigen Variablen

D ividiert maß die Gesamt kost en K(x) du rch den entsprechend en Ou tput x, so erhä lt man die Kosten k(x). die die Produktio n einer einzigen Einheit des G utes im Durchschnür kostet, wenn insgesamt x E inheit en prod uziert werd en. Daher nennt man die Fun ktion k mit

k(, )

(2.5.24)

K (x )

= -

du rchs cbnmhche Oesemtkosten oder gesa mte Koste n 111'0 Stück. (Sluckkoslen)

x

Analog nennt man

~ (')

kJ, j =x-

(2.5.25) und

I

(2.5.26)

k, ,) = K, x

Wegen K(x) = KJx) + Kr

durcbscbnlunc he vartable Kosten (variab le Kosten pro Stück) Istuckvoriable Kosten)

I

du rchschmnnche fixe Kosten (fixe Ko sten pro Stück). (stückfixe Kosten) K {x )

gilt;

Kv(x )

+ Kt

x k(x) =

~(x) + k, (x)

K,,(x) Kr =--, x x

d.h.

I ,d.h.

Die Ges amtkosten pro Stüc k ent stehen durch Addit ion von variablen und fixen Kosten pro Stüc k.

I lkl

Beispiel 2.5.27: Ertragsgesetzflehe Gesamt kostenfunktion (sieh e Abh. 2.5.2 1 i)): 7

kfxl

K(x) = + x3 - 2x2 + 10x + 72 . Die Stückkos tenfunktionen ergebe n sich somit zu: K( x)

1

K,,(x)

1

72

k('j = - - = - x 2 - 2x + 1O + ; x 3 x 2 - 2x + 10 ; kjx) '" -, - = -x 3 ~

K, k, , ) = x

n

=-

x

; vgl. Ab b. 2.5.28.

5

Man kann de n Wert der Durr hschnlt tskesten k(x) =

__

lxi

10

I IKI

---x- au f graphischem Wege ermittel n, wenn der G raph

K

der Ges am tkostenfun ktion K vorliegt: Daz u zeichn et man für eine aebe nc Ou tput menge x den zugehörigen Fahrs tra hl (vom Urspru ng 0 bis zum entsprechenden Kurvenpunkt P, auch als "O rt~­ vcktor" 5P bezeichnet. siehe a uch Abb. 9.1.17) und vervolls tändigt diesen Fahrst rahl d urch das darunterllegcndc Steigungsdreieck.

or

7

~

Abb.2.528

K (x)

Man sieht (Abb. 2.5.29):

"

-.J

o

p

KM

Abb.2.529

+0 ; ------'_ --+--1-_ .- -

-

lxi

x

X --1

Über die allgemeinen Zusammenhänge zwischen den Graphcn von Ges amtkosten- und Stückkostenfunktionen siehez.B. [67J.

2.5

Beispiele ökonomischer Funktio nen

139

De r Wert K{x) der Stückkos ten k(x) für den O utput x ergibt sich als SteigUllg ta n a des zum Punkt x (x ; K(x» gehörigen Fabrs trahls a n den Graph en de r Gesamtkost enfunktion K:

k(x)

K (x) :0 -

x

'"

tao «

Dieser Sachverhalt läßt sich auf je de Durchschnittsfunktion f(x) verallgemeinern:

x

Man erhält den Wert

f(x) der z u f gehörenden Durchsch nittsfu nktion als Steigung des zur

x

Stelle x gehörenden Fahrstrahl s an den Graphen von t{ x) . Näheres zum Thema ~ Fa hrs t ra hl analyse " folgt in Kapitel 6.3 .2. 1.

(6) Gewinnfunktion Zu sanun en hang zwischen -

Produkti onsmenge x. die prod uziert und am Markt umgesetzt ....'ird (in ME ) zugehörigem Betriebserfolg G [ Betr iebsgewinn, Gewi nn) (i n G E).

und

Da sich der Ge....'inn G(x) definitionsgemäß a us der Differenz von Belriebser1mg ('" Erlös) E(x) und Kosten K(x) ergibt, gilt die gr undlegende Beziehung

(2.5 .30 )

Wegen E(x) = x -p(x) , siehe (2.5.7) , ergibt sieh aus (2.5.30): G(x) = x ·p(x) - K(x)

BeisllieI2.5.3 1:

Gegeben sei die Gesamtkostenfunktion K: XH- K(x) mit K(x) = x 3 - 12t 2 + 60x + 98,

x

~

0,

i) Der :\larktpreis p des produz ierten O utputs sei konstant (polypoli.Hischer Fall), z.B.

p = 52,50 GE/M E. Damit lautet die Erlös f unktionG(x)

:0

E(x) - K(x)

:0

E(x) '" 52,5x sowie die ents prechende Ge....'innfunktion: -x! + 12xL 7,5x - 98 , (siehe Ab b. 2.5.3 2) .

ii) Absetzbare Menge x und Marktpreis p seien über eine P reis-Absarz -Funküon verknüpft (wie e twa im monopoli stischen Fa ll), z.B.:

p(x) ::>

= 120 -

1Ox ~ E(x)

= x 'p(x) = 120x -

G(x) = E(x) - K.(x) '" - x3 + 2x 2 + 60x - 98

lOx2

(Iiehe Abb. 2.5.33 ):

2

140

Funk tionen einer unabhängigen Variablen

IKI

lEI

/EI IKI IGI

IGI

100

lxi

01G1 0 -c

-100

',

i

posi/iver

: G<:O : negah'ver

8 elriebs erfolg

negah'ver :

lxi Oewinnzone - . : fabele

: Be/riebserfolg

:

18elriebSerfol9:

Gewinn-

\

grenze

Abb . 2.5 32

Abb. 2.5.33

Bemerkung 2.5.34: i) Das ron E und K eingeschlossene Ft äcnenstuck (mit G > 0) heißt auch "Gewilmiinse". ii) Zur Bestimmung des Oewinnmaximums siehedieAusf ühmngen in Kapuet 6.3.2.3. iii) Zur Ermiutung der Gewinnsc!lwe[len muss die Gleichung G (x) ~ E (x) - K(x) '" 0 hzw. E(.t) '" K(x) gelä,'I/ werden. Im vorliegenden Beispiel empfiehlt sich dazu ein geeignetes Naherungsverfahren,

z.B. die Regll/a fu /si (Kap. 2.4) oderdas Newton- Verjahren (/VIp. 5.4). In A nalogie zur Bild ung der Stückkostenfunktion erhält man aus der Gewi nnt unk tion G(x) nach Division durc h die z ugehörige Menge x die Stückge""'innfunklion g mit: (in GE/ME)

.

Die Werte g(x) geben an, wie groß der durchschnittliche Gewinn (Bctriebsetfolg) pro abgese tzter O utputeinheit ist, wenn der gesamte O utput x ME bet rägt.

w ege n (2.5.35)

G(x) = E(x) - K(x)

::::.

G(x)

eoo

K (x )

x

x

x

1 g(x) = p(x) - k(x) I. d.h. "StückgL'\vinn = Preis minus Stückkostcn".

Bemerkung 2.5.36: Berücksichtigt man in den Stuckkosten nur den variablen An teil, so nennt man (2.5.3 7)

1

CD(X) '''' p(x) - kvC.x)

1

auch Deckungsbeitrag (pro Sn'ick) oder Stück· Deckllllgsbeilrag. Der gesamte Deckllllgsbeitrag G n(x) = cll x) .x ergibt sich analog als Differenz zwischen Gesamterlösunä gesamten variablen Kosten: (2.5.38)

1 GD(X) =

E (x) - KvCx)

1

( ::::.

Deck ungsbeitrag - Fixkosten = Gewinn) .

2 .5

141

Beispiele öko nom ischer Fun ktionen

(7) Konsumfunktion U nter einer (makroöko nomischen] Konsumrunjnon C mit C = C(Y) versteht ma n einen funkt io nalen Z usamm enhan g zwischen -

Volks einkommen bzw. Sozlajprodukt Y (in GEIZ E) und gesamtwirtschaftlieben Au.~gahell C für Konsum güter (in GE IZE ) .

J e nac h t heo retischem A nsatz (z.B. Keynes, Fr iedman ...) ergeben sich unterschiedlic he Einkommens- bzw. Konsumbegriffe sowie un tersc hiedliche (stets monoton ste igende ) Funkt ionsverläufe. H äufig unters tellt ma n eine lineare Funktion mit C = CO+c 1' Y ;

(co>O ; O
Dabei heißen Co Existenzminimum und CI marginale Konsumquot e (ode r Gren zhallg z um Konsum ), vgl. Kapitel 6.1. 2.5.

I ICI

'~f----Abb. 2.5 39

In einer geschlossenen Volk swirtschaft oh ne staatliche A kt ivität defin iert man die D ifferenz Y - C von E inkommen und Konsum als Sparen S, so dass die Id en tität Y = C + S bes teh t. Daher lässt sich bei Kenn tnis de r Konsu mfunktio n C(Y) die Sparfunknon S(Y) dcfi-

I {CI 10

CQ=4

Abb. 2.5 .41 zeigt für eine lineare Konsumfunkt ion am C(Y) = 0.6Y+4 '=) Beispiel:

/. CIYI

1(~~ _

I // l -c>y- -

niereo: (2.5.40 )

IYI

/ -':"'- -C< y-

/

SIYl

21/ ,,0

C~ y

IYI

/

S(Y) = Y - (0,6Y +4) = O,4 Y- 4

5,0

die Z usammenhänge.

Abb.2.5 4 1

Nebe n ge samtwi rtscbattlic hen Konsumfunktionen b>ibt es auch einzelwirtschaftliche (mikroökonomisehe) Konsumfunktionen. in denen der Z usammenhang zwischen dem E inkommen Y ciocs H aushaltes und seinen Ausgabe n C für Konsumgüter besc hrieben wird. H andelt es sich dabei speziell um Konswnfunkt ionen. die die Nac hfrage nac h bestimmten Konsum gütern (z.8. Wohnung. Nah rungsmitt el, Kleidung....) in Abh ängigkei t vom H aushaltseinkommen beschreiben, so spricht man auc h von Engelfunktionen (nach dem Sta tis tiker E . E ngel, 182 1- 1896). E inige Typen von Engelfwlklionen sind: i) Potcnzfunktionen:

(a. b > 0) ii) Gebroc hen- ratio nale Funktionen:

2Y

a) C =Y+ l; iii) Exponentlalfu nktionem

b) C = 2

,

C = a - C)"

Y- I

Y+ 2

,

z.B.: C= 2 ·e)"

c) C = O,S Y

.Y..:..!. Y +2

(sieheAbb. 2.5. 42):

2

142

2 I _.{Cl

Funktionen einer una bhä ngigen Variabl en

Sdlti'gungswerl _ .~

2

l tct

Söltigungswen

--------- - ------ - - - --- - -.

bd

ur b J

ii/ oJ

!""- -

-

-

I r}

o

IIC}

,

(Y)

2

I

I r}

0

5
+ .

Abb. 2.5.42

I r}

(8) lndlüerenzku rven, Nut zenfun ktion Unter einer lmütferenzkurve - meist dargestellt in der impliziten Punkttonsschreibweise U(x l,x2) = Vn = const. verste ht man d ie Menge aller Kombinat ionen (Xl' X2) zwcicr {substituierbareri Gü ter, bei deren Ko nsum ein Haushalt denselben (individuellen) Grad U o der Bedürfnisbef riedigung (Nutzen, l'i' ulze nilldex) em pfindet, Abh. 2.5 .43. Fo nnal entsprechen die Indifferenz kurven (Linien gleichen NU/zens) den unter (4) Prod ukt ionsfunktion en behandelten Isoquanten (Linien gleicherAusbnngung}.

IX; I ' P'

u s const.

V3 = const;

u; = coos: - - -__ U, = cons t.

o

x,

x, Abb . 2.5 43

01 Abb. 2.5 44

De r H aushalt em pfindet also keinen Nu tzenu nterschied beim Konsum der Güter kombinati on (Xl'; Xz') gegenübe r (Xl" ; xz" ). Führt man für jeden Nu tzengrad U eine neue Ind ifferenzkurve ein, so erhält ma n

2.5 Beispiele ö konomischer Funktionen

143

eine Schar von lndilferml.lalrno. deren (jeweils konstantes] Nutzenniveau zunimmt, je weiter rech ts bzw. oben die Indifferenzkurve verläuft, siehe Abb. 2.5.44.

Die entsprechende (von beiden unabhängigen Variablen XI' x2 abhangcnde) Nuttenfunl.1ioo,die jcdem Nutzmnheau U genau eine Indilftmldun'e zoordnet, lasst sich schreiben als: U '" U(x l • xIl (SkM ad Kapitt13.2). Z u jedem fest en Nutzennivea u U ., const. lasst sich dann die entsprechende (implizit dargestellte) lodifferenzkurvedadurchablesen.dass man U .. const. setzt . Belq)i.... 2.5.45:

Es sei fo lgende Nutzenfunktion vorgegeben: U ;; U(xl' xIl ;; 2:1:)0,5. x2 .

Daraus ergibt sich z.B. für das N utzenniveau U =: 8 die en tsprechende Indifferenzkurve zu 2xIO,5. x2 ;; 8

bzw.

o

X2 .. 4xj" °·S '" - ' - ; siehe Abb. 2.5.46.

v.;-

Abb.2.5.46

(9) Samtige ökon omische Funktionen Eine voIlst1ndige Darstellung sonstiger in den verschiedenen ökonomischen Diszipl inen verwendeter Funktionen ist an dieser Stelle nicht möglich. Es sollen im folgenden lediglich sdchwortartig einige wcitele Beispiele ökonomischer Funk tionen angeführt waden. i)

IDvestitionsfuo ktioo

J; h-+I

.. I(i)

Zusammenhang zwischen

€ I II}

J

... Marktzi nssatz i und ... Ausgaben für (AniageT Investitione n I(i)

III}

(z.B. Zusammenhang zwischen Investitionsa usgabe n I für Mietshäuser und H öhe i de r Hypothckenzinsen.]

II}

21p.a.

(Abb. 2.5.47)

Abb. 2.541 11) Trandonnationskun'e

f(C . I) .. const.

Zusammenhang zwischen ... Produkt ionsmöglichkeit von Investitionsgüt ern (in G EJ J ahr) und

- Produktionsmöglichkeiten von Konsumgütern (in GEIl"") einer Volkswirtschaft bei gegebenem Sozialprodukt.

(Die VoIw.-irtschaft kann bei gegebenen Ressourcen LB. 11 GE für I nvestitions güter und CI G E Konsum güter oder alt ernativ für 12 GE Investitions gOter und C; GE Konsumgüter produzieren usw.) (Abb. 2.5.48)

GE IC} 1.

C, r.-..-..-..-..

P,

TranslormaHons· k
C2 .. . ..

III

o Abb. 2.548

2

144 iii ) Phllltps-Kurve

p.:; p*(A)

Funktionen einer unabhängigen V ariablen

%p ,o.

Ip'l

Phillips-Kurve

(kunjristiger) Zus ammenhang mischen - Arbcttsloscnquo rc A (in %)

und

- Änderung p" des Preisniveaus (in %) • (d.h. p. ,= ~; " Infla tionsrate") p A o: Arbeitslosigkeit bei vollkommener Preisstabilität (A bb. 2.5.49)

A,

lAI

o Abb. 2,$ 49

Iv) verbre uchsrunkucn

Verbra uchsfunklion

v '" v(J)

Z usanun cnhang zwischen

vfdJ

- Intensität d cincs Aggrcgatcs (z.B.: Motoru mdrcbungcnJmin) und

- Verbrauch (bzw. Ab nutzu ng) v des Aggregats (z.B. in € pro produ zierter ME) (A hb. 2.5.50) \') Prod uktlebe nszyklus

U = U(I)

o

miii

Abb .2,5.50

ME &I U)

ZE

Zusammenhang zwischen

- (mcngenmaßigcm) Umsatz U ME/ZE) und

Idl u

um

(pro Zeiteinheit;

Produktlebenszyklus

- der Zeit t (ZE) (Lebensdauer im Markt) . (Ahb. 2.5.51)

III

o

(zn Abb .2, 5.51

....!!... I {A )

\i ) l..ohnJ Arl,ell'ilUlgehoMunklion

A = A(L)

Zusammenhang zwischen - Arbeitslohn L (z.B. in € / h)

und

~IL )

bhr

(

!~~::'~~A~~:n

angebotsfunklion

" II I

- Ar beits ange bot A (z.B. in h/J ah r) .

(Abb.2.5.52) Abb. 2,5.52 vll} Stetiges wachsrum

181 I

B = B(t) = Bo· ei Z usammenhang zwischen - Besta nd 8 (z.B. einer exponentiell wachsenden Bevölkeru ng ode r biologische n Substa nz) und - der

Zeit t .

(Bo: Anfangs bestand für t = 0 ; i = ];)(] : stetige Wac hstu msrate)

8m

stefig es Wachstum

8"

I

(AM. 2.5.53)

01 Abb.2,553

III

2.5

Beispiele öko nomischer Fu nktion en

\"iii)

Logi ~t i.~c he

145

Funktion

B -8(t) -

a l +b ' c- L'1

a, b,c > 0

(81 I a

Zusamme nha ng zwisch en - Bestand B (z .B. ein er Bevölkerung, derSpartätigk cit, dcr Stcucrcinnahmcn ) u nd - der a it l.

r----------------81tl

Funlcflon

01

(a: Sältigu ngsgrenz e)

logislts che

Abb.2. 554

Aufgahe 2.5.55: Ge geben seie n die folgenden ö konomi schen Fu nktionen. definie rt durch ihre Fu nktionsgle ichungen (Dl'jinitümshrrrich '" ökonomischerDefinitionsbereicn): - Preis -A bsatz- Funktion :

x = x(p) '" 120-0,4 p

x: nac hgefragte Menge (M E) p: Preis (GEfI\..fE)

- Erl ösfunkt ion-

E = E(x) = 300x - 2.5x 2

x: Menge (M E) E: Erlös (GE)

- Kostenfunkt ion:

K '" K(x) '" 0,0 1x2 + IOx + 200

x: Output (ME) K: Gesamtkosten (GE)

r: Input (ME .)

- Pr odukt lon sfunkt ion: - Konsum funkti on:

x: Outpu t (ME x)

c '"

C(Y ) '" 500 + O,4Y

Y : Ei nkomm en (GE)

C: Konsumausgaben (GE)

i) Für welche O utputmengen betrage n

a) d ie Gesam tkost en 509 GE c) die variable n Kos ten 4 16 GE

b) die gesamt en Stückk ost en 13GE / ME d) die durchsch nittli chen fixen Kosten g GEIME '!

ii) Für welche Preise ist die nac hgefragte Menge klciner als 9 ] ,2 ME? iii) Bei welchem Einkomm en wird f ür Konsumzw eck e genauso viel ausgegeben wie gespa rt wird? (Hinweis: Konsumausgaben + Sparsumm e '" Eink ommen) iv) Welch e Inp utwerte füh ren zu einem O ut put von 20 ME;? v) Welch e Absatzmengen führ en zu einem Gesamterlös von 8.000 GE? vi) Bei welchen Abs at zmengen w'ird der E rlös Null'! { öko no m ische Erklärun g ?) vii) Bei welch er prod uz ierten und abgese tzte n Menge ist dc r Gewinn

a) Null

b) pos itiv?

Aufgab e 2.5.56: D ie Ei n- Produkt-Unternehmung eines Monopo listen sehe sie h folgende r Nachfragex 2: 0 ,p 2: 0 . funkno n gegen über: x: x(p) '"125 - l,25p , Die Kostenfunktion K des Mo no polisten sei gegebcndureh: K(x) '" 0,2x 2+ 4x+ 704 • x 2: O. Man ermit tle das Me ngenintervall. innerhalb de ssen die Untemehmungmi t positivem Gewinn produziert (Gewinnschwdlcn).

2

146

Aufgahe 2.5.57: Gegeben ist eine Produktionsfunktion x: r

x(r) = V2r

200,

Funktio nen einer unabhängigen Variablen

I---'>

r >100.

x(r) mit der Gleichung:

(x: Output (ME,l : r: Input [r...tErJ ) .

Der Preis Pr des variablen Produktionsfaktors betrage 2 € /ME" de r Marktpreis Px des Produktes betrage 30 € / ME x' i)

Man ermitt le d ie G esam tkoste nfunktion K(x).

il)

Man ermitt le die Gt:winnfunktion G(x).

iii)

Man ermi ttle die Gewinnschwellen .

i ~')

I nnerhalb welc her Outputwert e ist der

- Stückgewinn - Deckungsbeitrag - Stückdec ku ngsbeitrug positiv'! Aufgahe 2.5 .58: De r Wied crvcrka ufswert W(t) (in € ) eines PK W sei in Abhä ngigkeit von sein em A lter t (in J ah re n) d urch folgende Funktionsgleichung gegeben:

W(t) = 10.000 ' ~5+-; ; i)

re

ü

Nach wieviel J ah ren ist der Wiederverka ufswert a uf Null ( 'OO Schrottwert) abgesunken?

ii ) In welchem Zeit punkt beträgt der gesamte Wertvcrlusl 60% des Neuwagcnwertes ?

Aufgabe 2.5.59: Eine Ein- Prod ukt-Unternehmu ng produziert ihren O utp ut x (in ME) z u fotge nden Gesamtkosten K = K(x) (in G E ): K(x) = 200 ' eo'olx + 400 ,

x 2:0 .

i) Man ermitt le die H öhe ~ de r Fixkost en.

ii ) Wie hoc h sind die.durchschnittlichen variablen Kosten für einen Output von 120 ME ? iii) Der O utpu t kan n (in beliebiger Höhe) zu einem Preis von 30 GE/ ME abgesetzt werden. Man e rmitt le d ie Gewinnzone der U nterne hmung. (Näherungsverfahrenl] Aufgahe 2.5.60: Ge geben sei eine Prod uktionsfunktio n x durch folgende Zuonl nungsvorschrift:

x(r) = -2r + 8r3 + 27 r2

(r: Input, in ME, ; x(r): Output, in ME).

Für welche Inputwerte ist diese Funktion ökonomisch sinnvoll definiert? Aufgabe 2.5.6 1: Ein Handelsunternehmen kann das Prod ukt P zu einem Preis von 140 € / ME a bsetzen. pm Monat werden da nn 600 ME nachgefragt. Bei Preiserhöhung auf 170 € / ME reagieren die Kunden mit einem Nachfragerückgang auf 500 ME / Monat. Die Nachfr age fu nktion x: Pl-+ x(p) (x: Mcnge (ME/ Mona t); p: Preis (€ / ME» ist vom Typ x(p) :

a p+ b '

a,b E lR .

Wie m üssen die Konst anten a und b gewählt werden, damit die n.a. empirischen Preis-I MengenKombinatio nen d urch die Nachfragefunktion beschrieben werden'!

2.5

Beispiele ökonomischer Funktionen

147

Aufgabe 2.5.62: Die monatlichen Konsumausgaben C(Y) eines Haushaltes seien in Abhängigkeit des H a ushaltseinkom mens Y ( ;,>: 0 ) gegeben durch die Funktionsgleichung: C(Y) = 900 + 0,6Y . i) Man enn ittle die Sparfunktion S: S = S(Y) des Haushaltes. ii ) Wie hoch ist das monatliche Existenzminimumdes Haushaltes? iii) Bei welchem monatlichen Ha ushaltsein kommen wird das gesamte Einkommen für Konsumzwecke verwendet? iv) Man ermittle das Haushaltscmkommcn, bei dessen Überschreiten dicSparsumrnc erstmals positiv ....-i rd.

\') Man zeige graphisch mit Hilfe von Fahrstrahlen, dass die durchschnittliche Konsumquote (d.h. der Quotient aus C(Y) und Y) mit steigendem Einkommen abnimmt. Aufgabe 2.5.63: Die Konsumausgaben C(Y) (in € /Monat) eines Haushaltes hängen vom Haushaltseinkonunen Y (in € /:vIonat) in folgender Weise ab: C(Y) = 80 . VO,2 Y + 36 i) Man ennittlcden mathematischen und ökonomischen Definitionsbereich der Konsumfunktion.

ii) Wie hoch ist das Existenzminimum? iii) Von weichem Monatseinkommen an wird die monatliche Sparsumme positiv'! iv) Bei welchem Monatseinkommcn verbraucht der Haushalt für Konsumzwecke gena u 90% seines Einkommens'! (Man sagt, die " Verbraucnsquote" belrage90% bzw. die " SparquOle" betrage 10 %.)

Aufgahe2.5.64: Der monatliche Butterverbrauch B(Y) (in € /Monat) eines Haushaltes hängevom monatliehen Haushaltseinkommen Y (in 100€/MOfW /) in folgender Weise ab: B = B(Y ) = 35 ' e

" Y

,

(Y >O).

I) Man e rmitt le den ökonomischen Defi nitionsbereich und skizziere die Funktion. ii) Wie hoch ist der monatliche Butlerverbrauch bei einem Haushaltseinkommen von 2.800 € I Mo-

nat? iii) Welches Monatscinkommcn erzielt ein Haushalt, dessen monatlicher Butterverbrauch eine Höhe

von 10 € /Monat erreicht '! h ') Man ermitt le und skizziere die Umkehrfunktion Y = Y(B). Wie laute! der ökonomische Dcfinitionsbcrcich der Umkehrfunktion'!

Aufgabe 2.5.65: Für ein Gut existiere die folgende Preis-A bsatz-Funktion :

p= p(x)= 1100 r-- 4rle x + 20 ; x c- ü c pc- ü , x

[x:

Menge (ME ); p: Preis (GEIME )) .

i) Man ermittle den Erlös, wenn 60 ME abgesetzt werden.

ii) Für welche nachgefragt en Mengen ist der Preis positiv?

Aufgabe 2.5.66: Für einen Haushalt seien die [monatlichen] A usgaben A(Y) für Energie (in € /M .) in Ahhängigkeit vom Haushaltseinkommen Y (in € /Mona!) gegeben durch die Gleichung A

= A(Y) = 200 ' ln(Y+100) -750

; Y ;'>: O.

14"

Funktionen einer unabhängigen Variablen

2

i) Die monatlichen En crgicau sgabcn betragen 900 ,-

€ . W ie hoch ist das H aushalrseinkommen?

ii) Bei welchem H aushaltseinkommen bewirkt eine E inkommcnscrh.öhung um 500,- € eine Ste ige-

rung dcr Encrgicausgabcn um gcnau 100,- €? iii) Bei welchem Einkommen werden 20% dieses Einkommens für Energie ausgegeben? (Nähcrungsvcrlahrcn !)

Aufgabe 2.5.67: H uber will ein ncues - nur für Glatzköpfe cnr....tckcttcs - Haa rwuchsmittel vermarkten. Pro abges etzter Men genein holt (M E ) des H aarwu chsmittels erzielt er einen E rlös von 10 Gctdelnhei-

Icn(GE). Er will nun in allenMedien eineaufwendigeWerbekampagne starten, die einmalig Fixkosten in H öhe von 10.000,- GE verursach t und zusä tzlich pro w erbe -Tag 20 ,000 ,- GE ko stet . Die kumuliert e A bsatzmen ge x (in M E) des H aarwu chsmitt els hängt vo n der Laufzeit t (in T agen) der Werbekampagne ab und kann durch folgende Funktion besc hrieben werden: x= x(t)=100.000(1-e- O,II) ,

rs

o.

i) Man e rmittle die Funktionsgleichung G '" G(t ), die H ube rs Gesamtgewi nn G( t) in A bhängigkeit von der Laufzeit t der Werbe kampagne beschreibt.

ii) W ie hoc h ist sein d urc hschnitt licher Gewinn pro Ta g, wenn die Werbe kam pagne 20 T age läuft ?

iii) Welchen Gesam tgewinn erzielt er, wenn er völlig auf die Werbekarnpagne verzichtet" iv) Wie hoc h ist die (Iheorelische) kumullerte A bsatzhöc hstmengc? v) Von welcher La ufzeit an wird der kumulierte Gesamtgewinn erstma ls negativ'!

Aufgabe 2.5.68: In einer Moddl-Vo lkswirtschalt kann die jäh rliche Prod uktio n von Schwefelsäure (Produktlonsm enge: x (in 1.000 I/Jahr)) in Abhängigkeit des erzielte n Brutt osozialprod uktes (ESP) (y, in Mif!jonen €I Jahr) besc hriebe n werden du rch folgende Funk tion sgleichung:

(y > I ) .

x '" x(y) '" 1,2 y°.5+ 420 ,

Im Jahr 2005 wurden 900 .000 t Schwefelsäu re produzi ert . Wie hoch war das ESP in 2005'!

Aufgabe 2.5.69 : Gegeben seien für ein Gut eine Preis-Absatz-Funkt ion eine Angebotsfunk tion P.. mit pix) = 12 + 0,5x , x 2: O.

r

mit p(x) '" 200· e"

O, 2x und

Ma n ermittle Menge x und Preis p (= Pa) im Marktgleichgcwicht. (N ähcrungsvcrfahrcnl)

Aufgahe 2.5,70 : Die Nachfra ge x (in ME/ Jahr) nach einem Marken an ikc1hänge (c.p.) ab von seinem Preis r (in G E /ME) und von den A ufwendun gen w (in G E /J ahr) für Werbu ng (und ande re markcring-politi sche I nstru mente). La ngjährige U nt ersuchungen f ühren zur folgenden funktionalen Beziehung zwisch en x, p und w: x = x(p, w) = 3 .950- 20 p + Y;

;

(p,w> 0).

Bei de r Produkt io n des Artikels fallen fixe Kosten in H öhe vo n 7.950 GEI J ahr an, die stü ckvariablen Prod ukt ionskosten be lragen ste ts 79 GE/ME. Selbstverständlich sind a ueh die jährlichen Mark etingau sgabe n w uls direkte Kosten für den Art ikel anzusehen. Im betracht et en Jahr werden 1.600 G E für Werbung/ Marketin g ausgegebe n. Man ermittle die Gleichung G '" G(p) der Gewinntunktion in Abhängigkeit vom Preis p des G utes .

2.5

149

Beisp iele ökono mischer Fu nktio nen

Aufgabe Z.S.7 1: Gegeben sei eine Investitionsfunktion I , die den Z usammen hang zwischen Investlnons a usgaben I(i) für den Wo hnungsbau (in Mio. €/Jahr) und dem (eff ek tiven) Kapitalmark tzinssat z i (in % p.a.: z.B. i '" 0,08 = 8%p.a. usw.) beschreibt: = 50.000 . ( . , 0 ) I = 1(·) I 250i + l ' I .

Bei welchem Ma rktzinssatz we rden pro J ah r 2 Milliarden € in den Wo hnungsbau investiert'! Aufgahe 2.5.72: Betrachtet werde ein ~ d u rc hschn i ttl ieher" U nte rnehmer. dessen J ahreseinkommen Y mit einer Steuer belastet wird. Ocr Steuersatz s sei vorgegeben (z.B. bedeutet s == 0,6: 60 % der Unternehmereinkommens werden als Steuer an den Staot abge[uhn usw. ); s kann vom Staa t geände rt werden. Langjäh rige Untersuchunge n zeigen, dass die Gesam teinnahmen T des Staat es an d iese rSte uer wiederum von der Höhe des Steuersa tzes s abhängen, d.h . T = T(s). Für die Eckwerte von s (nämlich 0 % und 100%) ergaben sich aus Erfah rung: i) Wenn s = 0 ( ~ 0% ), so benötigt der Staat offenbar keine Steuern, es gilt T == 0, das gesamte Einkorrunen verbleibt heim U nternehmer. ii) Wenn s = I ( ~ 100%) beträgt, so muss der Unternehmer sein gesamtes Einkorrunen an den

Staat abf ühren, daher wird der U nternehmer in diesem Fall - getreu dem ö konomischen Prinzip überhaupt kein Einkommen erziele n wollen, d.h . aueh jetzt wird derStaat keine Steuerein nahmen erzielen, T = O. iii ) Nur wenn der Steuersat z größer als 0 und kleiner als I ist, erzielt der Staat Ste uereinna hmen. d.h. nur in diesem Fall gilt: T > O.

Es werde nun unterstellt, dass d ie eben beschriebene Funktio n T fo lgende Gest alt besitzt; T = T(s) = a ' s ' (1 - s) ; (ü s s s I) ,

a

e

co nst. (>0) .

(T : Steuereinnahmen des Sta3ICS s: SICUCr5:llz)

Man zeige, das s diese Funktio n T die in i), ii ) und iii) beschriebenen Eigenschaften besitzt. Aufgahe Z.S.73: Die H uber AG will ihr neues Prod ukt vermarkten, pro Mengcneinlteit (ME ) erzielt sie einen Verkaufserlös von 50 Geldeinheiten (G E) . Bei der Prod uktion des Prod uktes fallen Fixkosten in Höhe von 5.000 G E / J ahr an, darüber hina us verursacht jede hergestellte Mengeneinheit Prod uktionskosten in Höhe von 4 GE. Um den Markterfolg ihres Prod uktes langfristig z u sichern, beauftragt die H uber AG eine Werbeage nt ur. Bezeichn et man die jährlichen Gcsamtaufwendungen für Werbung mit w (in GE/ Ja hr), so best eh t zwischen nach gefragter Menge x (in ME !Jahr) und Werbeaufwand w (in GE!Jahr) fo lgende fun ktionale Beziehung;

x = x(w) = 1.000 -200 ' c" O,OOlw, (x. w i)

~

0) .

Man ermn nc die Gewin nfunk tion für dieses Produkt in Ab hängigkeit des (jährlichen) w erbeaufwandcs: G '" G(w).

ii ) Wie hoch ist de r Gewinn, falls für Werbung 500 G E!J ahr aufgewende t werden'!

Aufgabe 2.5,74: Die H uber Gmb H produzi ert in der hier bet rachteten Period e ausschließlich Gimmicks. Dazu benötigt sie (außerfesten Inputfo ktoren] einen einzigen variablen lnputfaktor, nämlich Energie.

2

150

Funktionen einer unabhängigen V ariablen

Bezeichnet man die Ges amtheit der in der Bezugsperiode prod uzierten Gimmicks mit m (in kg) und die dafür insgesamt be nötigt e E nergiemenge mit E (m) (in Energieeinheiten (EE) ) , so besteht zwi-

schen mund E der folgendefunktionalc Zusammenhang:

E <: 160 . Ei ne E nergieeinheit kostet die H uber Gm bH 20 G E. Die G immi ck- Produkt ion kan n unmittelbar am Ma rkt abgesetzt werden zum Marktpreis P. der vo n der H uber Gm bH fes tgesetzt wird . Z wischen nachgefragter Me nge m und A bsatzp reis p (in GEI kg) bes teht folgender Zusamm enh ang: rn

e

m(p) = 400 - O,25p,

[m, p ?: 0)

.

i) Man ermittle die Kostentunktion K = K(m), die den Zusammenhang zwischen Gimmick-Output m und die dafür angefallenen benöt igten Energiekoste n K besc hreib t. ii) Ma n ermittle d ie Ge....innfu nktion G , die zu jedcm Gimmick- Preis p den zugehö rigen Ges amtgewinn G(p) aus Produktion und A bsat z beschreibt. iii) Ma n enni ttle die von E ab hängige Gewin ntunktio n G = G( E ). Iv) Man ermitt le die von m abhängige Gewi nnfu nktion G = G( m).

Aufgabe 2.5.75: Gegeben sei (nach Gmenbergi einedoppelt -gekn ickte Preis-Absatz -Funktio n p = p(x) gemäß nebe nste hende r Skizze.

e

Mi ! (p )

i) Man gebe die mat hematische Darstellung dieser Prcis-A bsatz-Funktion an (/liflweis: Es ha ndelt sich hier um eine abschnittsweise definierte Funk/ion!) . U) Man gebe die math emati sche Darstellung der E rl ösfunktion E = E{x) an.

50

I

p: Preis

X: nochg efrogle Menge

25 ...

iii) Die Gesamtkostenf unkt io n de s [einzigen] Anbiet ers sei gegebe n du rch K( x) = IOx

+ 250

(K : Gesamtkosten (GE) , x: Output

(~IE»

.

Man ermittle d ie Gewinnzone des Mono poliste n a) graphisch b) rech nerisch.

(xl

o

10

20

70 Mf

Aufgabe 2.5.76: Gegeben seie n für ein G ut auf zwei verschiedene n Märkten jeweils Angebots- und Nac hfrageverha lten durch folgende Funk tionsgleichu ngen (x, PA' P,V ;>: 0) :

A ngebotsfunkt ion: Naehfragcfunktion:

:\Iarkt I

Markl 2

PA(X) = 2x + 2 Pl\{x) = 16 - 2x

PA(X) = X + 4 r:..{x) = 10 - x

I) Man ermittle für jeden Mar kt getrenn t den G leichgewichtspunk t und gehe die Ges amts umme der Gleic hgewich tsumsätze beide r M ärkte an. ii) D ie zunächst getrennten Märkte werden nun zu einem Ges amtma rkt zusammengefass t ("aggregien") . Zu jedem Marktpreis ergibt sich nunmehr d ie resultierende An gebots- bzw. Nachfr agemenge als Summe der ents prechenden E inzelmengen auf jedem Teilmarkt .

2.5

151

Beisp iele öko nomische r Funktio nen

Man enni ttle zunächst gra phisch und dann rec hnerisch jeweils d ie aggregiene Angebots- bzw. Nachfra gcfunkti on und berech ne den Gleichgewichtspunkt des aggregierte n Ges amtmarktes. Welcher Gesamtumsatz ergibt sich nun? (Man vergleiche mit i ) !) Aufgabe 2.5.77:

Ei ne Philllps-Kurve sei gegeben d urch die Fu nktionsgleichu ng (12 - A) ' 10

V A(40 -A)

(A: Arbeitslosenquote (in %-Punkten) ;

p. : Preisniveauänderung. Inflationsrate (in %-Punklen)).

i) Für welche Prelsändcroogsrate crgibt sich cine Arbeitslosenq uote von 4 % ? ii) Wie hoch ist die Ar beitslosenquote bei absol ute r Preisstabilität?

Aufgabe 2.5.78:

E ine Indifferenzlinie (N utzenisoquante) für das konstan te Nurzenniveau

U "" 32 "" const. sei vorgegebe n durch die G leichung. 2:<10.5. X O,8 '" Z

32 .

(XI' Xz: Konsum mengen zwcier nutzenstiftender Güter (in MEt. MEz)). I) Man ermitt le die explizite Darstellung Xz :;: f(x l) der Indifferenzlinie. ii ) Von G ut 2 sollen 10 M E z kon sumiert werden. Welche Konsummenge x t benöt igt der Haushalt, um da s gegebene N utzenniveau einhal ten zu können?

Aufgabe 2.5.79: E ine Bevölkerung wachse expo nentiell mi t der ste tigen Wachstumsrate i '" 0,02 (d.h. ste tiger Wachstu mssatz 2% p.a.). Naeh wieviel J ahren hat sich die Bcv ölkerung verdoppek? Aufgabe 2.5.80: Di e Bevölkeru ngszahl des Staat es T ranssylvanicn (Fläche: 17.800km 1) bct rug im Jahr 200 4 1,8 Millionen Menschen. Nach de n vorliegenden de mographischen Prognosen wird sich die Bevölkerung nach jeweils 16 J ahren verdoppeln.

i) Man ermittle die entsprech end e stetige Wachstumsrate. ii) In welchem J ah r - unverän dert e Wachstumsrat e vo rausgesetzt - ist T ranssylvanien genauso dicht bevölke rt wie Deutschlan d 2003 (349.000 km 1; 80,6 Mio. Einwohner) ?

iii) I n welch em Ja hr - unveränderte Wachst umsrate vorausgesetzt - wird (rein rechnerisch) auf jedem Flächenst ück T ranssylvaniens von der Größe 100 m Z genau ein Mensch wo hnen?

153

3 Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen 3.1

Begri ff von Funktionen mit mehreren un abhängigen Variabl en

W ie in der E mtenung zu Kapitel 2.5 be reits bemerkt , ha ngt de r Wert der meis te n tec hnisc hen oder ö konomischen Größe n (oder Variab len ) nicht von einer, sondern von mehreren unabhängigen Variablen ab:

Beispiel 3. 1.1: i) Der O utp ut x einer Ein- Prod ukt- Fertigung hängt von de n Eins atzmengen T, . TZ' •••• Tn verschiede ner Prod uktionsfa ktoren ab, wie z .B. Ar be itsleist ung. Maschine nlaufzeilen, E nergieernsatz, Einsatz vo n Werkstoffen, H ilfsstoffcn, Betr iebsstoffen usw.. Werden kcineFaktoren verschwender, so gibt es z u jeder E insalzmcngcnko mbination rl' TZ' •••, In genau einen zugehörigen O utput x. Ma n sagt:

x ist eine Funktion f der n unahbängigen VarialJlen r I' [2' ..., In' geschrieben: X

fj heißI Produkuonsf unktion].

= f(r l • ra- ..., rn)

ii) Der Dru ck P eines Gases (Helium, Sauerstoff, ...) hängt außer von der T emperatur T auch vom Gasvolumen V ab. Zu jed em vorgegebe0nen w ertepaar T, V stellt sich gena u ein Wert P für den zugeo rdneten Gasdruck ein. Man sagt: p ist eine Funktion von T und V, geschrieben:

P = f(T. V).

iii) Die Nachfrage x ei nes Ha ushaltes nach einem Konsumgut hängt außer vom Preis P des Gu tes auch von den Preisen PI' P2' .... Pn anderer (Substitutions-oder Komplemenlär-) Gü ter sowie vom (veifügb aren) Ei nkommen y des Haushaltes ab:

x = f(p, PI' P2' ..., Pn' y) . d.h . zu jed er ö kono misch sinnvollen Wertekombination p, PI' ..., Pn' Y fragt der betreffe nde Haushalt genau eine Quantitä t x des betreffenden Ko nsumgutes nach. Man sagt, x sei eine Funktion der n + 2 Variablen Po PI' ...• Pu' y. Analog zum Fall einer unab hängigen Variablen (siehe Dcf. 2.1.2) definiert man:

Def 3. 1.2: (Funktionen mit mehreren unahhängi gen Variabl en) Es seien XI' x2, ..., xn reelle (unabhängige) Variablen. Wcnn jcder Wertekombination (XI' x2,

..., xJ genau eine reelle Za hl ye IR zugeordn et ist, (xi' x2' ..., x n) ~ y, so nennt man dies e

Zuordnung (b zw. d ie Menge de r bei diese r Z uo rdnu ng a uft rete nde n Wertc-(n+ 1)- Tu pel (xr..., xn' y» eine reelle Funktion r der n unabhängigen Varia blen xl••••'x,. und ben utzt für d ie Zu ord nungsvorsehrift die allgemeine Funktionsgleichung:

I y = f(xl, x2" " ' xn) I

(gesprochen: " f von x } bis x,,") .

Beispiel 3. 1.3: (For tsetzu ng) mit I r- r 2. rJ a 0.

C' ~

> 0 und c

(> 0).

ii)

P = f(T. V) =

iii)

x = f(p, PI' .... Pn' Y) = 25 - 0,5p+O,l PI+O,IP2+ ... +O,l pn+O.5y mit p, P I' .... Pn' Y ?: 0.

mit T. V

= const.

3

154

Funktio nen mit mehreren unabhängigen Variablen

B emerkun g 3.1.4:

i) Die meisten Begriffe im Zusammenhang mit Funktionen einer unabhängigen Variablen (sieheKapilell.} .}) können sinngemäß unemommen werden. ii) Definiert man den tl-dimensionalen Raum IR" als Menge aller geordneten n- Tupel (x], xl> .n, x,J reeller Zahlen, so kan n man jedes n- Tupel (x J' •••, x,J als Punkt P des /R" auffassen. Dabei bezeichnet man x j als j-te Koordinate des Punktes P = (xb . .•, xJ E !Rn, Der DefiniliollSbereich DJ einer Funk/ion f mit n unabhängigen Variablen x J, .. ., x" besteht dann aus Punkten des n-dimensionalen Raumes IR", d.h. Dj e IR", DerWertebereich WJ ist dagegen nach wie vor eineTeilmenge der

reellen Zahlen IR.

Beispiel; Die Nachfrage x nach einem Gut sei durch den Preis p des Gutes sowieden Preis Ps eines Subsntunvgutesdurch folgende Funktionsgleichung gegeben:

x- = f(P, P.) = 25 - 0,5p + O,IPr Der ( ökonomisch sinnvolle) Definitionsbereich umfa sst nur nichtnegativePreise und besiehtsomit aus Punkten (p, pJ des lR 2 mit P 2: 0; P, 2: O. Die Funk tionswerte f sind dagegen reelle Zahlen: So ist z.8. der Preiskombination (10, 20) = (10 GElME, 20 GElME) die nachgefragte Menge x(= Funksionswert f(J 0,20) Ei IR) zugeordnet:

= 25- 0,5 · 10 + 0,1 '2 0 = 22 ME .. Symbolisch: (10, 20) Ä 22 . Manchmal schreibt mon statt (x-}, xl' ..., x,J kurz x (x heißt auch Vektor des IR"), so dass sichdie /(1 0, 20) = x

;ii)

[ormule Funktionsgleichung in der einfachen Vektorschreibweise y = f(X) ; lässt. (Zum VektorhegriffsieheKap. 9.1. 1)

3.2

xE Di e IR" darstellen

Darste llung einer Funktion mit mehreren unabhängigen Variablen

A ußer durch eine Funkt ionsgleichung y = f(X) = f(x l •. ..•xJ kann man Funk tionen mit meh reren unabhängigen Variablen auch durch w ertetebenen oder graphisch darstellen. Allerdings wird diese Darstellung desto unübe rsich tlicher, je mehr unabhängige Variable vorhanden sind. Beispiel 3.2. 1: (Dars tellung du rch eine Wertetabe lle)

y = f(x l• x2) = 2(XI)2 + (X 2)2,

I)

X,

x,

-3

-2

-I

0

I

2

3

-3

27

22

19

18

19

22

27

-2

17

12

9

s

9

12

17

-I

11

6

3

2

3

6

11

0

9

4

I

0

I

4

9

I

11

6

3

2

3

6

11

2

17

12

9

8

9

12

17

3

27

22

19

18

19

22

27

(wertctabctlc mit zwei Eingängen)

Z.B. f(-2, 3) = 2(-2)2 + 3 2 = 17 .

3 .2

155

D arstellung einer Funktio n mit mehreren unabhängigen Va riablen xje lR..

ii)

- 1

0

1

- 1

0

1

-

1

0

1

2

- 4

- 4

- 4

- 3

- 1

1

- 2

2

6

3

- 9

- 9

- 9

- 9

- 6

- 3

- 9

- 3

3

4

-16

-16

-16

-17

-13

- 9

- 18

-10

-2

2

- 8

- 8

- 8

- 7

- 3

1

- 6

2

10

3

-18

-18

-18

-19

-13

- 7

- 20

- 8

4

4

-32

-32

-32

-35

-27

-19

-38 -22

- 6

2

-12

-12

-1 2

-11

- 5

1

-10

2

14

3

-27

-27

-27

-29

-20

-11

- 31

- 13

5

4

-48

-48

-48

-53

-4 1

-29

-58

-3 4

-10

" Xl '" 1

Xl '" 2

Xl = 3

Xz = 2

Xz = 1

xz '" 0

"

z.B. f(2, 1, 4.-1)

(wertetabeüc mit 4 E ingängen)

= - 35.

Da s letzte Beispiel zeigt, dass de r Dar stellung mit H ilfe von Wertetahe llen hinsichtlich Übersic ht lichkeit und Variationsb reite dervo rkommenden Variablen enge Grenzcn gesetzt sind. Für die graphi~che Darstellung von y = f( x ) müssen wir uns - sofern der Gesamtverl auf von f dargeste llt werden soll - auf Fu nkt ionen mit zwei unabhängigen Variablen y = f(x l • Xz) bzw. z = fex. y) beschrän ken. da unse re A nscha uung maximal drei R aumd imcnsionen zulässt (zwcifürdicbcidcn unabhängigen Variable n und eine für d ie Funk tio nswert e (bzw. für die abhä ngige Variable)). Zur Veranscha ulichung der räumlichen Verhältnisse in de r Zeic henebe ne nut zen wi r im allgemeinen eine perspektivische D arstel lung. D azu legen wir im dreid imensionalen Raum IR? ein kartesisches Koord ina tensystem mit drei paarweise aufeinander sen krech t ste hende n Koo rdinatenachsen zu grunde. Dan n kann jeder Pun kt P des IR3durch seine 3 Koo rdinate n x, y, z beschrieben werde n, umgekeh rt gehört zu jedem Pu nkt P des lR3 gena u ein geordnetes T ripel (x, y, z) reel ler Zahlen. siehe Abb. 3 .2.2:

,

Izl

I1 Abb. 3.2.2 P(X.y.z)

lxi

' ------~____

11

i , -l ; : --·..1.---1 (y)

3

156

Funkt ione n mit mehreren unabhängigen Variablen

Iflj

Die Darstellung der Funktion z = f(x. y) liefert, da zu jedem Punkt [x, y) E D f genau ein Funkucnswen z gehört, ein (in der Regel zusanuncnhängcndes) Flächen-

1-.

stück im 1R3, Dabei orientiert man im 1R3 das Koo rd inatensystem so, dass der Funkucnswert z der Höhe über (falls z > 0) oder unt er (falls z < 0) der üblichen x, y-Ebcnc ent spricht, siehe Abb. 3.2.3:

Bemerkung 3.2. 4: Gelegentlich bezeichnet man eine räumlich darstellbareFunktionsfläche (Ab b. 3.2.3) von f(x, y) auch als " Funk lw nsgebirge ". Bei dieser Sprechweise ist jedoch zu beachten, dass die Fun k tionsp unk te nur auf der Oberflii·

x

o

lxi Abb.3.2.3

ehe des " Gebirges«liegen können, nicht aber im (massiven) Innem.A ndernfalls müsste es zujedem (x, f wäredann keine Funktion. sieheDef. 3.1.2.

y) mehr als einen Funktionswertgeben,

Da die perspektivische Darstellung räumlicher Flächenstücke in der Zeicheneben e erheblichen geo metrischen Aufwand bedeuten kann, benutzt man zur getrennten (~ partiellen") Darstellung von f häufig ebene Schnitte durch die Funktionsflächc parallel zu den 3 Koordinatenebenen. Dabei hält man eine Koordinate konsta nt und bet rachtet die dadurch entstehende (funktionale) Abhängigkeit der übrigen beiden Variablen, siehe A bb. 3.2.5. Die dabei entste henden ebenen Schnittk u.... en kann man dann in der entsprechenden parallelen Ebe ne darstellen.

Izi (x

= ffl

coasr t

,

" .. .. -

lxi

----:--- I

... ...

~ ~ ~ ~ )... - - - --

Ir

Ir Abb. 3.2.5

Ilzi Bei.~piel3 ,2.6 :

z '" f(x, y) '"

4 - XL

y2

mit x.ye R .

I) Ein Schnitt parallel z ur (x. z)-E bcne (siehe A bb. 3.2.5 I» erfolgt d urch Konstantsetzen vtm y:y '" Yo '" c. Wir erhaltcnfür jcdcs fcstc Yo '" c: z '" f(x, yo) '" 4 - x L e 2 '" k -x 2 • (k e ccnst.}.

Man crhält mit hin eine Schar von Parabeln in der (x.zj- Ebc ne, die d urch Parallclversehiebungauseinander hervorgehen. Abb. 3.2.7 zeigt für cinigc Werte von y '" e die entsprechenden Schnittk urven. die in die (x, z)-Ebcne projiziert wurden.

VZ

/ ' :==.5+2 y = 2__ z =_ x 2

- --,i--,+-c-,,,\---iXJ r»

v,-.

z = _x2 _2

\\

Abb. 3.2.7

3.2

Darstellung einer Funkt ion mit mehreren un abh ängigen Variablen

157

ii) Anal og ergeben sich die ebe nen Flächenschnitte parallel zur (y,z)-Ebene (wie in Abb . 3.2.5 ii» , in denen man x = Xo = const. setzt und dann

z = f(xo' y) = 4 -Xij_ y2 = 4 - eL y2 = k _ y2

z = -s

(mit k =consl.) erhält, d.h. wiederum eine Parabelschar, diesma l parallel zur (y.zj- Bbcrc (siehe Abb. 3.2.7, wenn ma n y statt x setzt).

{x!

iii) Schließlich liefern Schnitte parallel zur (x,y)Ebene (siehe A bb. 3.2.5 iii», d.h. mit konstantem z (und somit aue h mit konstantem Funktionswert) die Darstellung

z=z.o =e = 4 -x L y 2,

(z $: 4) .

Es handelt sieh um eine Schar konzent rischer Kreise mit dem Millelpunkt im Ursprung und dem Rad ius r = siehe A bb. 3.2.8.

Abb. 3.2.8

V"4'='Z ,

Dabei gibt der z- Wert des jeweiligen Kreises a n, in welcher Höhe über (ode r unter) der [x, y) - E bene sieh die Schnitt kurve befindet. Aus diesem G rund nennt man die Schnittkurven mit f(x, y) = z = const. auch Linien gleicher Höhe ode r Isohöhenlinien der gegebene n Funktion (analog den Höben-

linieneinerk artographischen Darstellung eines Gebirges],

Zusammentassend erhalten wir in perspek tivischer Darstellung für u nser Beispiel ein Rotationsparaboloid, dessen Sch nittkurven Parabeln bzw. konzentrische Kreise mit nach unten hin zunehmendem Radius sind, srehe A bb . 3.2.9:

z = f/x,y} = 4 _x2 _y2

{x!

{r !

y=O

z=-12 . ,=4

Abb. 3.2.9

3

158

Fun ktionen mit me hreren unabhängigen Variablen

Es felgen einige tzun ehm ena komp lex werdend e) Beispiele perspektivischer Darstellungvon Funktionen f(x,y) mit zwei unabhängigen Variablen mit Hilfe der Parameterlinien x 0: const. und y "" co nst. (Drahlgittermodelle -evgl. Abb. 3.2.10 i) -viii)): Abb. 3.2.10

z = f{x,yl =x· y

I.hyperbolisches Paraboloid"J

I Izi I

iiil _

x :: coost

z = flx,yj = sinlx + sin y} r » coosr

y= coost

lxi

3.2

Darstellung einer Funktion mit mehreren unabhän gigen Variablen

159

Abb . 3.2.10

vi r = f(x,y/ = y'1

- 3x2y

( .A ffensatte/"/

vii z = f{x,Y/ = xy(x2 •

r/

( " 5attel " höherer Ordnung /

v/I)

z = {(x,y/ = e - Y. cos x

x hra ubenHdche Parameferdarsfel/ung .· x x(u,v / 3v y=y(u,v /= u 'cosv z z(u,v/ u · sin v

= =

U, V

= =

e /-:r,lr/

160

3

Funktio nen mit meh reren unabhängigen Variablen

Die Darstellung und A nalyse einer Funktion f mit Z = f(x,y) in der (x.y)-Ebc ne mit H ilfe ihrer H öhenlinien z = const . wird häufig bei ökonomischen Funktionen angewendet. Einige auttretende Isohöhenlinien habe n eigene Bezeichnungen: i) Bei einer Produklionsfunktion x = x(r l • c2) (x: Output: Ti: E insat zmenge de s Fak tors i) heißen die Li nien gleichen O ut puts x = Xo = const. l soquanl en. Sie entsprechen Horizontalschnitte n durch das ~ Ertragsgebirge~

(siehe A bb. 3.2 .11 bzw. A bb. 3.2.12 sowie Kapitel 2.5 (4». Produklionsfunklion

x =x(r,.rtl Isohd henlinie

fSClquanfen x = c:onsf der

Produk~onsfunkhon x

=

I ('21

Isoquante for den

festen Ou!p (Jf X= Xo

,{'tl ~ x.

o

tl'elcher AU5bn'ngung In

I

----- -1 ' r consf 'l=consl.

Isoquante X = X o = «()f1st

o I

Ir,J

= H{f' (2)

d~8Stef/l als linien der ff 1J2J-Ebene

~x.

x, x, x,

x=)(o

/r,1

in die ' 1,r;rEbene pro/Wert

Abb. 3.2. 11

Abb. 3.2.12

ii) Die entsprechenden Linien gleichen Nutzens U = const. einer Nerzentunknon U = U(xj • x2) heißen 111m fferenzkurven.

iii) In analoge r Bcgriffsbildung spricht man von lso kostenkurven, Isogewumkurven usw.

Belspiel 3.2.13: Eine Kostcnisoquanre (Isokostcn linie, Bilan zgcradc) ist definiert als Linie aller Fak torkombinationen (oder Gü terkombinatione n), die dieselben Fak tor kosten ~ (bzw. denselben Nutzcn-

grad U o) verursachen. Seien etwader Preis des Faktors 1 mit PI = 0,4 GE/ME und der des Faktors 2 mit Pa = 0,5 GE /ME fest vorgegeben, dann betragen die gesamten Faktorkosten Ko bei festem Faktoreinsatz von [\ bzw. f2 ME

Ko

= O,4 'c\ +

0,5 -[2 '

Möc hte m an nu n wissen, welche Faktormengenkombina tionen zu Gesamtkosten von z.B. 3 G E führen. so setzt man Ko gleich 3 und erhält

(3.2.14)

Koslenisoquanfe K(J=3

Diese Beziehun g definiert die zugehörige Kostentsoqua nte im (rl,r2)-Systcm. Lös t man (3.2.14) nach r2 auf. so erhält man

Slelgung.'

p, P,

sieh e Abb. 3.2.15.

Jeder Punkt der Kostenlsoquante liefert eine xr engenkombinalion (r l • r2) . d ie z u denselben Cesamt kosten Ko "" 3 GE führt.

o

7.5

Abb. 3.2.15

Offenba r ergi bt sich die Steigung de r Kosten-Isoquantc du rch das negative Verhältnis - Pl /p2 der Faktorpreise .

3.2

161

Darst ellung einer Fun ktion mit mehrere n unabhän gigen Variab len Mit steigende n Koste n versc hieben sich die Kostenisoq uanten nac h oben, wäh rend die Steigung unverändert bleibt (das Preisverhältn is bleibt konstant!). Die explizite Gleich ung rz = rz(r\) de r Schar der Kostenisoq uanten des vorliegenden Beispiels ergibt sich somit aus O,4rl + 0,5rz =

Ko '" const.

D urch Aufl ösung nach ra erhält man:

rz '" - 0,8r, + 2Ko . Variiert man Ko (Ko = I , 2, ",), so erhalt man d ie in A bb. 3.2.16 da rges tellte Kostenisoquantenschar.

Abb. 3.2.16

A uch in Fallen mit mehr als zwei unabhängigen Variablen ist eine graphische Darstellung und An alyse der entspreche nde n Funktion in der Koo rdinatenebcne möglich, sofern man sämtliche Variab len außer zweien einen konstanten Wert zuweist. Dann betracht et man die Z uordn ung zwischen de nbeidcn verbliebenen variablen G röße n bei konstanten Werten der übrigen - es handelt sich um die ceterts- panb us (c.p.) Prämisse (siehe Kapitel 2.5). Die zuletzt genannt e A rt der Darstellung und Untersuchung ökonomischer Funktionen bezeic hnet man allgemein als Partialanalyse (im Gegensatz z ur Untersuchungbei gleichzeitiger Variation aller Variablen, die als Totalanal yse bezeichnet wird ). Beispiel 3.2.17: Gegebe n sei folgende Produktionsfunktion (x: O utp ut; ri: Ei nsatzmenge des i-ten Fak tors (i» 1,...,4)

x: x = x(rl' rz' r3, r4 )

= 2Tlo.z· rzO,8· r30,5·T4 '

Um eine Darstellung der Funktion in 2 Variab len zu erhalten, muss man dcn übrigen Variab len einen feste n Wert z uweisen. Im vorliegenden Fall erhalt man je nach A uswahl der konstanten Variab len insgesamt (~) = 10 verschiedene Möglichkeiten einer Partialda rsteIlung. Für einige Beispiele seien d iese Darstellungen ausgefüh rt: rz = 1 ; ra = 4 ; r4 = 0.6

~ ii)

x

= x(rl; 1; 4;0.6)

'" 2 ' l l o.z ·l · I'4·0,6 = f(l l)

= 2,4r, 0,2

(siehe A bb. 3.2.18)

x = 32 ; r3 = r4 '" 1 32 = 2r,0,Z· lzo,8 · ] . 1 ~ 16 = rlo,z· rzO,8 (x, r3 ,T4 "' co nsL)

iii )

1\

, J2

v;;-

(siehe Abb. 3.2.19)

(r4 ~O)

(siehe Abb. 3.2.20)

= 1 ; rz '" 1 ; r3 = 0,04

J( '"

x(r4) '" 2 · 1 · 1 ·0,2r4 = 0,4r4

Funktionen mit mehreren unabhängige n Variablen

3

162

lxi

1 Iftl

lxi

partielle Produ*~'onsfunkßon

1

p anielle Produlclionsfunkfion

X=X(' I' (' 2-

r» '-/ = coasü

partielle !soquonle

'2='1'1'

x=xt,,,)

(x, r" '4 = coasu

t'l'

' 2' '3

=1 consf./

,I 1

o

(r,1

Abb. 3.2. 18

,-

01

(r-ll

Abb. 3.2.20

Abb . 3.2. 19

Besonders hä ufig hat man es mit lineare n Funktion en von mehreren unabhängigen Variab len zu tun.

Ihre Funktionsgleichung lautet allgemein

- --

-

-

-

-

-

(3.2. 21) (mit konsta nten reellen Koeffizienten aj .

Bei<;pieI 3.2.22: Gegeben sei in impl iziter Darstellung (siehe Kap. 2. 1.5) die lineare Funkt ion 15x +1 2y+ 20z - 60 = O.

(3.2.23)

i) Die Isohöhenlinien z = const. = 20 führen auf paralleleGeraden

15x + 12y = 611- 20Zo bzw,

5

Y = -- x + 4

60 - 2U;;,

12

-

(A bb. 3.2.24).

ll) Die Schnitt e y = Yo = const. parallel zur (x.z)- Ebene füh ren ebe nso wie die Schnitte x = Xo = cons t. auf parallele Ge raden: 3 60 - 12,·

y = Yo = const.

~

15x + 20z = 60 - 12yo

~

z = - -x+

x = Xo = const.

~

12y+ 20z = 60- 15xo

~

z = - S" x +

20

3

6O - 15:y

20

(Abb. 3.2.25)

Q

,

; (Abb.3 .2.26)

I n räumlicher Darstellung erhalten wir als G raph von f daher eine Ebene: I n A bbild ung 3.2.27 ist nur der T e il im positiven O ktanten mit den begrenzende n Schnit tgeraden x = O. Y = 0, Z = 0 dargestellt. j

Irl

I {z/

t

sN I

r =O

,~

"'"

ot -h~~-,:-+-,--_ 01

1

4

Abb, 3.2,24

,=0

~~ ":! Abb , 3.2.25

3.3

163

Homogenität von Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

I (z/

3hi~ 1

o

~"t-.

_---'(r l

5

(zl (.. '5X+ 12y+20z ·&0=0 y=o.z= · 0,15x+3 _

x=O: z=- 0,6y+3

/,>(/~':; ()v/ 1

z=O: y=- 1,25x+5

Abb. 3.2.27

Abb.3.2.26

(rl

Bemerkung 3.2.28: In Analogiezur Darstellung einerzweidimensionalen Ebene im 1R3durch ax+by+cz=d spricht man bei Vorliegen einer linearen Funktion der Form y=a ft 1+'" +a"rtm+c von einerm- dimensionalen Hyperebene im n-dimensionaten Raum IR" (m < n) ,

Aufgahe 3.2.29: Gegeben sei die Produktionsfunktion x = x(cl' (2) = 2 · ~ (r;: Input des i-tcn Faktors (ME j ) , x: Output (ME» . i) Man ermittle die Gleichungen der Isoquanten für x = 2 bzw. 4 bzw. 6 ME und skizzieresie. ii )

Man ermitt le die Kostenfunktion K(x). wenn vom zweiten Faktor stets 4 ME 2 eingesetzt werden [d.h. wenn nur die Einsatzmenge r l des ersten Faktors variiert wird) und die Faktorpreise mit 32,- € / ME I bzw. 20,-€/ME 2 fest vorgegeben sind.

iii)

Es möge eine Produktion realisiert werden mit den Inputs r] = 100 ME ], r2 = 150 ME 2. Es sei nun vom ersten Faktor eine Einheit zusätzlich einsetzbar. WicvielEinheiten des zweiten Faktors können eingespart werden, wenn das bisherige Produktionsniveau unverändert bleiben soll?

3.3 Hom ogenität von Fu n kt ionen mit mehreren unabhängigen Va riablen Die Beschränkung auf zwei Variablen bei Konstanz der übrigen Variablen (c.p-Bedingung) lässt eine partielle Funktionsanalyse zu. Wir wo llen jetzt untersuchen, wie sich der Wert y einer Funktion y = f(xl• ..., x~) ändert, wenn sämtliche unabhängigen Variablen um denselben Prozentsatz geändert werden (d.h. mit demselben Proportionalitätsfaktor ..l. > multipliziert werden).

°

Gegeben sei die Produktionsfunktion x "" f(rl.r2) = 10 · rlo,2. r20,6 . Es werde mit fest vorgegebenen Inputs 11, c2 der Output x produziert. Die Einsatzmengen der beiden Inputfaktoren mögen nun mit demselben Faktor ). > multipliziert werden (z.B.). = 1,1, was eincr lO%-igcn Erhöhung beider Inputmengen entspricht). Die Einsatzmengen ändern sich von rl , 12 auf }.rl' }.r2. Es stellt sich die Frage, um welchen Betrag dadurch die Outputmenge x geändert wird. Dazu setzen wir in die Produktionsfunktion x "" f(rI'r2) "" 10· r I 0.2. r2o.6 statt rI ' r2 die neuen Inputs ..l.r], ..l.r 2 ein. Man erhält: f(}.rI' ..l.( ) = lO(}.r])0.2(..l.r2)0.6 = 10·}.0.2. r]0.2 }.0.6 . r20,6 = ).0,8. 10 ' rlo,2. r20.6

Bei ~piel 3. 3 . 1 :

°

2

d.h.

Vervielfacht man in unserem Beispiel alle Inputmengen um }. (> 0), so erhöht sieh der Output um das }.0,8- fache und z.....ar für jedes beliebige Ausgangsnlveeu r l' 12' x(rl,r2) '

164

3

Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

F unk tionen mit der ebe n skizzie rten E igenschaf t nennt man homogen : Der. 3.3.2: (Homogenität von Funk tionen)

E ine Fun ktion f y = f( x ) = f(xI' x2' ...• xn) ; XE Of heißt homogen vom cred r, wenn für alle (xl,Xz' ..., xn)EDf und fOr alle AE1R+ gilt:

f(AXI' ,h z, ...•AXn) = .V · f(x l• )[2' ..., Xn)

(3.3.3)

I·

Bem erkun g 3.3.4: i) Gilt insbesondere fü r den Hom ogenit ätsgrad r = I, so nennt man gen , f ür r < 1 heißt f umeriinear-ho mogen.fur r > 1 überlinear-ho mogen.

f linear-homo-

ii) Die in Beispiel 3.3 .1 skizzierte Produktions/ unktion hat wegen f Ox l' A.t 2) = Ä.0~ r (x I»x2) den Ho'

mugeniliitsgrad 0,8, ist also umedin ear-homogen.

Beispiel 3.3.5: l) Gegeben sei

Dann erhält man durch gleichzeitigeMultiplikation aller unabhängigen Variablen mit ..t > 0: f(A.x p A.X2').x3) = 5(A.x l)2A.X2 - 6 V(A.XI)3A.X2 (A.X3)2 = ~

A.35xl zxz - 6VA.6xI3xz xl

~

A. 3 f(xl' xZ' x3)

f ist homogen vom Grad 3 .

f(u,v) = 6uZv + 5uv

ii )

A.35xIZXZ- A.36V XI 3 xz xl

~

f(h , A.v)

f ist nicht homogen . f sei eine COBB-DO UGLAS-Produktionsfunktion mit der Gleic hung:

iii)

(3.3.6)

y = f( v ) '" f(vl' vz' ..., vn) '" C ' vlal ' v z8 2·v3a3 Vn8n (Vi: Einsatzmenge des i-ten Inputfaktors. i = l , .n: c,1\ E IR. +).

M Ultiplikat ion aller Inputwerte mit A. > 0 liefert:

f(A. v) = c · (A. V,)81' (A.VZ)8Z . ... . (A.v n)8n '"

I( v ) Damit erhalten wir als allgemeines E rgeb nis: Ei ne COBB-DOUGLAS -P roduk lionsfunktion (3.3 .6) ist homogen vom Grad r = a, +az+ ... +a n. (Die ai bezeichnet man auch als Prod uktionselastizitäten, siehe Kapitel 7.3.1.3.) Für a l +a 2+ ...+a n = 1 ist die COBB-DO UGLAS- Proouk tionsfunktion linear-homogen. Die folgenden ersten drei Beispiele von Abb. 3.3.7 zeigen die drei Standard typen von Cob b-Do ugtasProduktionsfunktionen (C D- Funktio n). Die ljrweUs aufsteigende) obere Um risslinie (Ko.mmlinie) der flächen gibt einen Hinweis auf die Höhe r des H omogenitätsgrades der entsprechende n CD-Funktion :

3.3 I)

165

Homoge nität von Funktio nen mit mehreren unabhängigen Variablen In Abb. 3.3.7 i) erkennt man eine degressiv ansteigende Kammlinie, d.h. proporti o nale E rhöhungen beider Inputs bewirkt einen unterproportional steigenden Output x, die Prod uktionsfunktion ist umedin ear- homogen (r < 1), man spricht von abnehm enden Ska lenenmgen.

Ix} '

Oulpul

il

Abb. 3.3.7 ii) Die Kammlinie de r C D-Funktion in A bb. 3.3.7 ii) ist linear, proportionale Inputstcigcrungen liefern eine Outputsteigerung im gleichen Verhältnis (r= f ). Somit handelt es sich hier um eine linear-homogene Cobb-Douglas- Prod uktionsfu nktion , man spricht von konstanten Sk ulenerträgen.

(r;1

iii) Schließlich erkenn t man in Ab bil-

du ng3.3 .7 iii) die progrcsslvcStclgung der Kammlinie, eine gleichzeitige (z.B.) Verdopplung beider Inputs bewirkt einen mehr alsdoppelt so großen O utput . die CobbDo uglas - Prod uktionsfunktion ist uberlinl'ur-homogcn (r > 1, man spnduvon nmehmendenSkalenertragen) .

f =

1,4 (;>11

Die in de n A bbildunge n auftre tenden Gi tternetzlinien ent sprechendenlinicn r 1 =const. und r2 =const. , also den Schnittkurven der R äche in Richtung der Koordinatenebenen. Interessant ist, dass in allen d rei obe nstehe nden Fällen diese pa rtieiten Produktionsfunktionen x(r r) (m it rz = const.] und x(r2) (m it r] = const.) cinen d egressivsteigenden Verlauf aufweisen. d.h. für fü r jede n einze lnen I nputfaktor (c.p.) beobachte t man einen mit steigendem Input abnehmenden Ertragszuwachs. iv) Dagegen liefert A bb. iv) eine CI tragsgesctzßche Produktio nsfunklion {nidnhomogen ; zunächst zunehm ende, dann abn ehmende Ska-

I.JL_ _Ir;) (r1 1

Ir;)

(" )

lenenröge}. H ier sind sowohl die Kammlinie als auc h die partiellen Prod ukt ionsfunkt ionen ( ~ Ginemeulinieni s· fönni gimSinne des Ertragsgesetzes.

3

166

Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

Aufgabe 3.3 .8:

Welche der folgenden Funktionen sind homogen? f(x, y) = 5 ·

vxrys;

f(u, v) =

3 U2 V 3

iii)

f(x, y)=

x' eY ;

iv)

2, b f(a,b) = - , - , a +b

ii )

Homogenitätsgrad ?

+

1

Aufgabe 3.3.9: Man konstruiere die Funktionsgleichung einer homogenen Funktion mit vier unabhängigen Variablen. deren Homogenitätsgrad 3 ist. Aufgabe 3.3. 10:

Gegeben sei eine Nurzenfunktion U mit der Gleichung U(x1• x2) =

Xl O,S. X2·

Wie ändert sich der Nutzenindex U. wenn man - ausgehend von einer Güterkombinatio n x I_x2- die

Konsummengen

Xl ' Xl

der nutzenstiftenden Güter jeweils verdoppelt ?

Aufgabe 3.3.11:

Gegeben sei einel inear--homogene (makroökonomischc) Produktionsfunktion

Y = f(A, K) (Y: Sozialprodukt; A: Bevölkerung( = Arbeit) ; K: Kapitala usstatru ng}. Man zeige. dass das Sozialprodukt pro Kopf t- YI A) eine Funktion biKlA) der Kapitalausstattung pro Kopf(= KJA)i st. ( Tipp:

Dazu dividiereman die Funk tionsgleichung durch A und beachte die lineare Homogenität.)

Die Beschreibung. Analyse, und Optimierung ökonomischer Modelle mit Hilfe von Funktionen mitmehrcrcn unabhängigen Variablen soll im Z usanunenhang mit der Differentialrechnung der entsprechenden Funktionen (in Kapitel 7) näher erfolgen.

167

4 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen 4.1 Der Grenzwertbegriff Bei vielen funkt ional (d.h. d urch mathematische Funk tionen) darstellbaren P rozessen (z.B. Wachslums -

prozesse, Kostenemw icklungen, Nachfrage- und Angebotsbewegungen. Gewinn- und E rl össchwankungen

u.\I.a.m.) kommt es nicht nur auf die absoluten Zahlenwerte der beteiligten Variablen an, sonde rn ebenso

(und ganz besonders) auf deren wech selseit ig bedingte Bewegung, En twicklung oder Änderung. Im folgenden Kapitel (Kap. 5) werden wir mit der dort behand elten nirferenlialredmung ein mäc htiges Werk-

zeug indie Hände bekommen, um derartigeProzcssändcrungcn beschreibenund analysierenzu können. Es wirdsich herausstellen (in Kap. 5), dass die Differentialrechnung es mit (sehr) kleinen Änderungender beteiligten Variablen zu tun hat. Um derart ige Änderungen mathematisch sinnvoll beschreiben zu können, benötigt man de n Gren zwertbegriff Das richtige Verständnis dieses nicht immer handl ichen Begriffes ist grundlegend für das richtige Verständnis der Differentialrechnung. 1m folgenden sollen daher die wes entlichen Ideen des G renzwertes von Punktionen diskut iert werde n und Methoden zur Grenzwenennittlung bereitgestellt werden, soweit sie mathema tisch notwendig sind, bei öko nomischen Anwendungen unmittelbar einsetzbar oderfür das Verständnis des allgemeinen Funktions begriffes im H inblick a uf d ie später zu behandelnde Differentialrec hnung notwend ig sind. Der Grenzwertbcgriff ist mat hematisch nicht unmitt elbar zugänglich und bietet bei erster oberflächlicher Betrachtung reichlich Fallstricke. Wie soll man sich den n auch richtig konkret vorstellen, was es bedeutet, einer Variablen oder einem Funktio nswert ~ beli ebi g nahe" zu kommen (evtl. ohne ihn zu erreichen) ? Andererseits kennt man auch im nichtmathematischen Bereich, selbst in der Antegssprachc, eine intuitive Verwendung von "G renzprozessen" der hier zu diskutierenden Art. So ist beispielsweise die maximale Leistungsfähigkeit eines Sportle rs (die berührmen "lOO%") ein Grenzwert, der nur selten oder allenfalls "angenähert" erreichbar scheint. Dasselbe gilt für den maximalen Wirkungsgrad einer Maschine -es handelt sieh um einen Grenzwert, der in der Praxis nie ganz erreichba r ist. E in weiteres Beispiel ist die maximale Betriebsdaue r einer batteriegetriebenen elektrischen Maschine: Auch hier handelt es sich um einen Grenzwert , der nur theore tisch oder unter beso nders günstigen Umweltbedingungen und aueh. dann nur annähernd erreicht werde n kann. E ntsprechende untere/obere Grenzwerte existieren für Produk tio nskosten, Höhe der Aussch ussprodu ktion . Grad der Staubfreiheit eines Raumes usw. Wir wollen nun im folgenden an Beispielen klären, was mit den Funktionswerten f(x) passieren kann, wenn d ie unabhängige Variable (hier: x ) -

sich immer meh r einer (inneren) Stelle Xo (e IR) nähert (symbolisch: x - xo), siehe Kap. 4. 1.1 oder aber

-

über alle Schranken wächst (x -

00) oder unter jede G renze fallt (x - - 00), siehe Kap. 4.1.2 .

168

4.1.1

4

Grenzwerte und Ste tigkeit von Fun kt ionen

Gre nzwerte von Fu n kt ionen fü r x - Xo

Man sagt, die Variable x nä here sieh der reellen Konstantcn x.,(z . B. Xo = 1) ..imme r mehr ", oder Xo sei der " Gre nzwert" be i der An näherung x - xo, wenn dabei der ab solute Ah stand lx- Xo I der beide n Wert e vo neinande r kleiner wird, als jede beliebige vorgegebene Zahl 0 (> 0), egal, wie klcin man diese Z ah l ö auch wählt. Dafür schreibt man ku rz lim x = Xo

("xgegen xo ")'

oder: x - xo

Betsptel 4.1.1: Wenn die Varia ble x nacheinander die fo lgende n Z ah lenwerte annimmt , so gilt - wie man leich t übe rprüft <jedesmal "x - 2":

!! . .!.L

,. 20 - I ,.

- 2

n . 11.

; -20 +_1 .

- 2

6 ' 7 '

3.,1..2 . .2.. . Il .

2'3 ' 4 ' 5 ' 6 ' 7 '

1,9

1,99 ; 1,999 ; 1,9999

n

n

1,99999

2 -( I~)n;

-2

... ,'2+( ~ 10 )" ''

-2

;

,

2, 1 ; 2,01 ; 2.001 ; 2 ,0001 ; 2,00001

.1 . .2.. . 11 . 11. ..&.L 2 ' 4 ' K'

129 . 255. 16 ' 32 ' 64 ' 128'

Dagegen nähert sich x beim Du rchlaufen der Z ahlenfolge

- 1 . +.1.. '

2 '

_1.. . + 2. _.2.. . + !!. _ ll. 3 '4 '

5 '

6 '

7 " '"

.

(_I )n . 20 - 1 . n '

keinem Grenzwert , sondern strebt abwech selnd gegen +2 und - 2 .

D urch läuft nun etwa die unab hä ngige Variab le x einer Funk tion f: xl-+ f(x) eine solche Folgc von Z ah len mit x - x o, so ist es denkbar, dass dabei gleichze itig auch die Funktionswerte f(x) gegen einen bes timmten Ordinatenwert g streben, m.a .W ., dass - sofern x - Xo - aueh f(x) - g strebt. In diesem Fal1 nenn t man die Zahl g de n Grenzwert der Funk tion ( bei der A nnäherung x- xo:

Det. 4. 1.2: (C renzwert einer Funktion

f ftir x -

"0)

Wenn sich für x - Xo die zugehörige n Punkttonsv..e rte f(x) einem kon stanten Wert g ( e IR) immer mehr näh ern, egal, a ufweiche Weise x gegen Xo strebt, so sagt man.

g ist der Grenzw ert von f(x) bei der A nnä herung von x gegen xo ; sym bolisch:

lim f(x) = g x- xo (.,Limes von f(x) fü r x gegen Xo gleich g"),

oder:

f(x) korn'crgiert für x - Xo gegen (den Gre nzwert) g ( E IR).

4.1

169

Der Gr enzwertbegriff

Bei~pi eI4. 1.3:

(x -* 2) , vorgegebe n. Dann könnte sich be i A nnäh crung x - Z

Sei f: f(x)

etwa folgendes ergeben:

x -- Z von " rcehts~: 1(2,1) " 1,1 [(2,01) " 1,01

x -Z von " links ":

1(1 ,9) 1(1,99) f(I ,999) f(l ,9999) usw.

d.h .

" 0,9 " 0,99 = 0,999 = 0,9999

f(Z,OO I)

usw. d.h .

f -l

rn.a.W, es gilt:

f- 1

,-,

lim fex ) = 1

Bemerkung: A n der Stelle so = 2 ist [nicht de[inien! Dennoch können wir uns dieser Stelle Xo ( = 2) beliebig genau nähern, und dabei stellen wir[est, d ass die Funktionswenr [(x) dem Grenzwen ,,1 " beliebig nahe kommen!

(;,enzwerl g =1

A bbildun g 4.1 .4 veranscha ulicht diesen Sachverhalt durch die klei-

Abb. 4. 1, 4

nen Annähr~gsp[eil~

Bemerkung 4. 1.5:

= 1,001

f(Z,OOOl) = 1,0001

Diepräzise De[inition dieses Sachverhaltes k ann so beschrieben werden:

Man sagt, die Funktion [: x~[(x) hat[ür x - Xo d en Grenzwen g ( e IR), wenn die abso hue Diffe renz (der Abstand) zwischen [(x) und g beliebig klein gemacht werden ka nn, sofern m an nur x nahe genug an s o wählt. Und noch gen e uer (wenn au ch weniger anscha ulich): Die Funk tion [ hat den Grenz wert g für A nn äherung x - X o (" ko nvergien gegen g f ür x - Xo ") wenn für jede (noch so klein gewählte) Zahl E ( > 0) eine Zahl 0 ( > 0) existiert, so dass, wenn x in [xo - 0,. Xo + o} liegt, aue zugehörigen Fun ktions werte [(x) in [g - E; g + EI liegen; d.h.: Wenn aus 0 <

1Xo - x I < 0

[olgt:

1[ (x) - t I < E ,

(

{c.:/{- ---,''''''evf'--'----

g +E","I -

g g -E

-----

\---;;-i""'"i"",\-- -

so hat [ den Grenzwen g [ur x -

Xo'

(We/l1l g der Grenzwert VOll f ex) in, sa mussgeuen: Egal, wie klein mall E auch wc1hll, es muss dazu stets ein E,O -Bereicn um x. existieren, in dem die Funktion "ge/angen" ist. )

Diese Definition (siehe Bcm. 4. 1.5) ist zwar mathema tisch korrekt, aber auf den erste n Blick ein wenig ab schreckend und unverständlich. Wir werden auf diese sog. "E,O- Definit ion " im weiteren bewu sst verz icht en , da der Gewi nn an (spä ter nur se lten genu tzte r) fonn aler E xakth eit wede r de n ho hen A ufwand noch den dami t verb undenen Verlust an Anschaulichkeit ode r A nwend ungsbez ug aufwiegt.

Grenzwerte und Stetigkeit von F unktionen

4

170

Bemerkung -1.1.6 : f kann auch dann einen (ein-

deutig definierten) Grenzwen g besitzen, wenn an der befrachteten Stellr

liegt:

Xo

eine "ECke " vorAuch hier gilt:

,-ljm,[(x) = g D ass nicht jede Funktion f: f(x) an jeder Ste lle

Xo einen Gre nzwe rt

(im Sinne von De[. 4.1. 2) besitzt,

zeigen die folgenden Beispiele: Bemerkung4.J. 7: Wenn

f

fü r

X-

Xc

nicht konvergiert, so sagt man : fis/für

X -Xo

divergent.

1

f: f(x) = "2 ;

Beispiel 4. 1.8:

x

Betrachten wir die Annäherung x - 0, so stellen wir fest: Die Funktionswerte f(x) wachsen mit

zunehmender Annäherung x- 0 über alle Grenzen,z.B. f( 1)

"

!(0.1 ) !(0 .0 1)

1

" f(-I )

0,1 2 I

= (0,0 1)2

!(0 .00 1) "

I

(0,00 1)2

= 100

" !(-0.1)

= 10.000

" f(-O.OI)

= 1.000.000 " f(-O.OOI)

usw.

usw.

III

11m t txt = x_,

=

[ übersteigt dabei jede noc h so großcSchrankc, wenn man nur x nahe genug an Xo = 0 wählt, siehe Abb . 4 .1.9. Wo llte man z.B. erreichen, dass f(x) > 1.000 .000 ist. brauchte man nur

Ix I <

l.~

zu wähl en, usw.

f ist also für x - 0 dh'ergent.

Abb . 4,1.9

lxi B em erkun g 4.1.1 0: Die Senkrechte an der Stellexo nennt m an auch (senkrechte) A symptote von f fü r x - x o' (Näheres zu A symp toten siehe Kilpite14.8)

x --o - - x

Bei Vorliegen dieses Sachverhaltes (d.h. wie in Beisp ie14.1.8) sag! man: -

D ie Funktionswerte f(x) wac hsen über alle Grenzen, wenn sie b die unabhängige Va riable x inuner mehr der Stelle 0 nähert.

-

f hat an der Stelle Xo = 0 einen Pol (eine Unendlichkeitsstelle). lim f(x) = ,-,

-

00

("unendlich").

f ist in Xo = 0 " bestimmt divergent" (bes itzt in Xo = 0 den uneigenllichen Grenzwert 00).

AnalogeSprcch-/Schrcibweise n benutzt man für x _ 00, x - - 00, bzw. für f(x) - -

00 .

4.1

171

Der G renzwertbegriff

Bemerkung 4.1.11: Das Zeichen ,, 00 " bedeutet keine Zah l, sondern soll den Approxima tionsp rozess (" über alle Grenzen ") symbolis ieren. Daher haben" Terme " wie z.B. 00 2 , 00 + 4 , :., usw. oder " Gleichungen " wie etwa f(x) = 00 (zunächi·t) keinen Sinn. Erst in Kom bination mit Sym bol " fim " , also etwa /im f(x) = 00, ist das Gleichh eitszeichen erlaub t und symbolisiert den zuvor beschriebenen Grenzprozess J_ 00.

<-,

,!, ",

Wir werden in Kap. 4.2 (S em. 4.2.12) eine weiteresymbolische Schreibweise, «s, ,, 00+ 2 " (also mit A nj uhnmgsi eichen " ... " !) einfUhren, die ebenfalls den G renzprozess andeuten soll, darüber hinaus aber besonders einfach zu handh aben ist.

Beispiel 4.1.12 : Auc h das folgende graphische Beispiel zeigt, dass bei Annäherung x - Xo dic dargestellte Funktion f kcincn (eindeutig definierten) Grenzwert besitzt:

f('j -

j

O,25x + 1

für x c 4

O,25x + 2

fur x > 4

~

I I II

I

9 2 - 3-

I

--~

~

- -- -- - - --

.

g' r - - - -~ , ~ ~

Abb. 4. t. f 3

I

(al

-j

- -x -

4

{bI

---

x" -

lxi

X

(a) Nä hert man sich von links der Stelle Xo ( = 4) , symbolisch: x _ xe- (das Minuszeic hen soll andeuten: von kleineren Werten her, von links ), so streben die Fun ktionswerte offenbar gegen 2, symbolisch:

lim

x_

4-

fex) = 2

("Iinksseitiger Grenzwert")

(b) Nähert man sich dagegen von rechts der Stelle Xo (= 4), d.h. x _ xo'" (das Pluszeichen soll die Annäherung von größeren Werten her ande uten), so streben d ie Funktionswerte f offenbar immer mehr gegen 3 , symbolisch:

("reeh tsseitiger Grenzwert")

(Man beachte, d ass zu dieser Grenz wen betrachtung die Existenz eines Funktions wertes f(xoJ = f(4) an der Stelle Xo = 4 nicht notwendig ist! Bei d er Grenzbetraduung x - xo'" bzw. x - Xo - nä hern sich zwar die x- Werte beliebig gena u d er Stelle xo, stets abergilu x xo!)

'*'

Im vorstehenden Beispiel ergebe n sich verschiedene "einseitige" Grenzwerte für f, je nachdem , von welcher Seite die unabhängige Variable x gegen Xo ( = 4) strebt. Die Funktion f hat in Xo =: 4 einen Sprung (t;pisch z.B. fü r " sp nmgfixe" Kosten in Kastenjunktionen, siehe etwa Bsp. 2.5.22 oder 4.7.5. E rst wenn sowohl linksseitiger wie rechtsseitiger G renzwert übereinstimmen , spricht man von dem Grenzwert von f in xo: d.h. es gilt allgemein:

(4. 1.14)

lim f(x) = g

<-"

lim } (x) ~ -xo

=:

!im l(x) = g

x-xo

(gElR)

4

172

Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen

Bemerkung 4.1.15: Eine weitere Möglichk eit für f [außer ~ Pol" und " Sp rung"), an der Stelle Xo keinen Grenz wen zu besitzen, ist derFall deroszillierenden (oder: unbestimmten) Dirergenz in x o :

Beispiel:

fex) = sin ;

DieNullstellen dieser Funktion (sieheKap. 2.3.6) liegen dort, wo : die Werte ± ;r, ± 2:r, ± ] ;r, .

1

... , t k· ;r (k EN) anmmmt, m,a.w. an den Stellen x= ± -;r ,

1 1 t -, " -3 , ... , Jt;r

1

± -k ;r , d.h.

je näher x aufdie Stelle Xo = 0 zurückt, desto meh r Nulls/ellen (und damit Sinusbögrn) treten auf,

und zwar in immerkürzeren Abständen. Die Funktionswene schwanken also in der NähedesNullX o == 0 " un endlich oft" hin und her und können sich dah er k einem festen Wen g nahem.

p unk tes

I III

,\

,...-_ ."-'--------- ------

Abb. 4. 1. 16

oa

fex} = sill: ist also f ür x - Xo divergent . Dieser Fall" oszillierend er" Divergenz ist allerdings für ökonomische Fun k tion en ohne Bedeutung) .

(bzw. x __ 00)

....1.2 Grenzwert e von Funktionen fü r x _ 00

Bisher haben ....i r das Grenzverhalten einer Funktion f im l nnem ihres Detinttlons bereiches D f betrachtet (x- xo mit xoEDr). Für viele Prozesse ebenso wichtig ist die Frage nach dem Verhallen der Funktio nswerte f(x), wenn die unabhängige Variable x über alle Grenzen wächst (x- 00) (bzw . unterjede Grenze f ällt (x - - 00)) , Ganz ana.log z u den zuvor diskutierten Fällen mit x _ Xo beobachtet man a uch für x _ che unterschiedliche Verhallen_~......etsen von f(x):

-

f konvergiere für x -

-

f wächst über (fällt unter) alle Grenzen für x wert . siehe Bsp. 4.1.23.

-

f verha lt sich für x -

00

00

00

drei mögli-

gegen einen (endlichen) Grenzwert g(E IR), siehe Bsp. 4.1.17. 00

{bes nmmte Dlvergenz, uneigentlicherG renz -

völlig unbestimmt (unbestimmte Divergenz}, siehe Bsp. 4.1.26.

4.1 Der Grenzwertbc griff Beispiel 4.1. 17:

173

(Kom'ergenzrall nir x -

± 00 )

2x + ~ -".:.l-f'-"'C. x

Bet rach te t werde die Funktion f mit f(x) = sendes (bzw. fallendes) x:

*' O. und ihre Wertetabelle nfür wachItl

tat Grenzwert von f fur x _

{bI

00

= 3

Asymptote

Asymptote

I = Grenzw, von f (ur x _ _ 00

--,-------'lc-1,------ lxl

{-oo} -

-

-

-

-

-

(00 1

Abb. 4. t. 18

Man sieht: D ie Funktionswerte f(x) nähe rn sich immer meh r der Zahl 3, wenn die unabhängige Variable x immer größer wird. Die Funk tionswerte kommen dem Gre nzwert 3 so nah e. wie man will. sofern man x groß genug wählt (analog: dem Grenzwen 1 beliebignah, wenn man nur xklein genug (x - - 00) wählt) . sichc Abb. 4.1.18. Analog zu D efinition 4.1.2 formuliert man die

Der. 4.1. 19: (Grenzwert einer Funktion r für ,, _ 00 ) Wenn für un beschrän kt wa chsendes Ar gument x (d.h. x -s- cQ) die ents prcche nden Funk tionswerte f(x) dem Zahlenwert g (E IR) schließlich be liebig nah e kommen. so heißt die Funktion f für x- <XI konw rgent gegen den Grenzwert g. symbo lisch:

,-tim

f(x) = g

(Ge lesen:

~ Li mcs

von f(x) für x gegen Unendlich gleich g " .)

Bemerkung 4.1.20: j) Def. 4.1.19 gilt analog f ür den Fall x - A rgument x. 1n B!'p .4.1.17 bzw. Abb.4. 1.18 gillsomil firn 2x +

~=3

sowie

x

(X) ,

d.h: f ür unbeschränkt fallendes

lim

2x +~

"'_ · 00

x

= 1.

3 (bzw. Y = 1) in Abb. 4.1.18 (Parallelen zur A bszisse) werden von der Funktionskurve f ür x -- ± beliebig genau angenähert, man bezeichnet sie daher als (waagerechte) Asympwren von f f ür x (bzw. x - _<>0) . (Näheres zu Asymptoten siehe Kap . 4.8)

jj) Die beiden Geraden y =

(X)

(X)

4

174

G renzwerte und Stet igkeit von Funktio nen

Bemerkung 4./.2/: Gdegemfich wird bei Vorliegendes Kon vergenzfa lles lim [(x) = g (E JR) sinngeohne ihn tu erreichen." maß behaup tet: »f nahen sichfur x - 00 immer mehr dem (Grenz-) JVen Diese Behauptung ist nicht immer korrea, wir diefolgenden Beispiele belegen:

g

I {{I

Abb. 4. 1.22a

(Einschwingvorgang bei plötzlicher Belastung einerwenig gedämpften Waage, Abb. 4.1.22 a)

Offenbar gi/I:

9

i)

(x) -----------------

I ( t)

Abb . 4. f .226

9-:----~• t

1

~r_-----iE

Beispicl4.1.23:

,--

1 ,

00

oft an.

fex) == g == const., d.h. die Funktion f ;'1"/ identisch mit ihrem Grenzwert! (A bb. 4.1.22 b) ~

.-(im

,--,- f(x) =-00

f (x) =g !

±

00 )

-f{xl = O,Ix2 -x+l (x)

---

; ,0-- - - - - - - -,/ ""- , ,

----

--L iE r

(x )

!im

,

sowie

ii) f ex) nim m t den Grenzwert g beliebig

(tl

, f(x) =

Analog:

,- -

!im f ex) = g

(uneigentlicher Gre nzwen oder: bestimmte Dtvergeoz fiir x _

f(x) wächst über alle Grenzen (oder: fällt un ter alle Gre nze n) fü r unbeschränkt wachsendes x ;

!im

._-

~

Abb. 4. 1.24

I {tl

!im _ _ <wofex) =

(tl

--

00 ~

lim _

fex) ~

oo

=

- 00

4.1

Der Grenzwenbe griff

175

f(x) = -x 2+ 3 lim (-x 2+3)

Beispiel:

,--

=

-

(><>

Beispiel: fex) = ll,tx 3+2

firn_ (O,1x3+ 2)

x_

(><>

(><>

(><>

I (I!

(x!

T Beispiel 4.1. 26:

Beisp iel: fex) = 2x2+ 1 2 x _lim_ (2x + 1) =

T

Abb.4.1.25

oa

(unbes timmte Divergenz für x -

= -00

* 00 )

Liegt d ieser Fall vor, so strebt f keinem fest en endlichen Wert zu, wächs t/fällt allerdings a uch nicht übe r/unter jede Grenze. Vielmehr verhält sich f für x 00 völlig unbe stimm t bzw. schwa nkend (wie inAbb. 4.1.2 7 am Beispiel [(x) = sin x zu sehen):

*

{(xl = sin X

I (I! f

,, ,,

,,

3n \

!x!

•• ,

-f

Abb.4.1.27

Zusammenfassung:

i)

x !im _ _2 f(x)

I

'

I

_"

Betracht et werde die A nnähe rung de r unab hängigen Var iablen (hier: x) an eine innere Stelle Xo (EIR).

= 4

-[

,-11m , f(x) = 3

Konvergenz /Grenzwert existiert/

I

- - - - - - - - - - --(x! -2

ii)

x lim _ _! - f(x)

=

00

lim_l +f(x) =

00

x _

x lim _ 2-

f(x) = -

, lim - ,.. f(x) =

..,

I Ei n Cren zverhan en von Funktionen tr itt in fo lge nden Varian ten auf (Bsp.):

===:::;-----' Fall t: x- xo

.., .

00

00

(bestimmte/

Abb. 4. 1.28

Divergenz

Pol

(uneigentficher Grenzwertl

(x! Abb. 4. 1.29

176

4

iii )

lim

• _

0

+ f(x) =

x lim _ 3-

I It)

2

4

f(x) = 2

.- ,

2

lim +f(x) = 4

.- ,

1

x lim _ 7 + f(x)

<> Sprung

---

1-------0,..;. .. .

_+

lim _ f(x) = 0

Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen

"=

,IX)

7

3

= 1

Abb. 4. 1.30 x .O,2

lv)

I

[im f(x) = unbestimmt

x _

O,2

Abb. 4 . 1.3 1

flxl= sin-'x _ 0,2

Ix)

Divergenz

I Fall 2: i)

x-

00

.--

I

Betrachtet werde f ,wenn die unabhängigeVariable (hier: x) über alle Grenzen Wächst (x- 00) bzw. unter alle Grcnzenfä.llt (x- - 00).

tim f(x) = 3

f(x) = x _lim_ ....

Konvergenz

-1

I

(I)

3 ........

nnn~! _,

Ix)

111)

ii)

x _[im__ f(x)

.--

=

I

00

tim f(x) = -00

IbesUmmte)

Abb. 4. 1.32

Abb. 4. 1.33

oa

Divergenz

I f wächst /trilll}Ober lunter!alle Grenzen J

iii)

lim

x-

f(x) = unbestimmt

±_

{unbestimmte)

Divergenz

I (1)

I

/{xJ = sinx

Abb. 4. f.j4

Ix)

4.1

Der Grenzwertbegriff

177

Bemerkung 4.1.35: i) Es sei noch einmal (sieheBsp, 4.1.12) ausdrücklich betont, dass eineGrenzwertbetrachtung von [(x) für x - Xo auch dann durchgeführt werden ka nn, wenn an der Stelle Xo die Funktion f nichl defin iert ist. E~ kann sogar vorkommen, dass [ in so einen (endlichen) Grenzwen besitzt, ohne dass [ (x Q) existien (" Lücke", siehe Kßpilel4.5). ii) A us Abb. 4.1.30 wird noch einmal deutlich,dass in so [üreine Funktion

f

zwar rechts- und links-

seitigeGrenzwen e extstieren kö nnen, dennoch [ für x - Xo divergent ist: lim

x_r

[(x) =g / = 0

lim J(x) = g 2 = J . ,-,

und

Wegen gl * g2 aber gilt:

lim f ex) existiert nichl ,-,

("Sp m ng", siehe Kap . 4.5) .

iii] Ist von " Existenz eines Grenzwertes s " einer Funktion f die Rede, so meint ma n stets einen endlichen Grenzwert g ( E IR) . Bei deretwas missverständlichenBezeichnung "u neigentlicher Grenzwert" (d.h. lim f(x) = ± 00) gibt es dagegenkeinen (endlichen) Wert, gegenden [ strebt.

Aufgabe 4. 1.36:

{tl

Eine Funk tion f: y = f(x) besitze den nebenstehenden Graphen.

-.. 5

Man beschreibe mit H ilfe der G renzwert-Symbolik das Verhallen von f an jeder der zehn durch Pfeile markierten Stellen der Abszisse.

3

(Beispiel: lim [(x) = lim [(x) =

usw.)

x_ ·r

I n diesem einleitenden Kapitel 4. I haben wir gruudsätzhch zu klären versucht, was man unte rdem Crenzwert einer Funkt ion versteh t und welche Varianten prinzipiell bei Grenzprozessen auftreten können. Es stellt sich nun die Frage, wie man bei konkret vorliegenden ( ökonom ischem Funktionen korrekte Aussage n über das Gre nzverhalte n erhält. Die Antwort auf diese Frage geben wir in zwei Schritten: Zu nächst stellen wir fü r die wichtigsten Gr undtypen von Funktionen die Sta ndard-Grenzwerte zusammen (siehe Kap. 4.2) . Diese Elementar-Grenzwerte diene n dann als Gru ndbausteine, um mit H ilfe der G renzwertsät ze ( f:l Rechenregeln für Grenzwe rte) auch G renzwerte komplexer Funktionen zu ermitteln (siehe Kap. 4.3) .

Bemerkung 4.1.3 7: Um die symbolische Kurzschreibweise möglichst aussagekrä[tig zu machen, wollen wir die Art der A nnäherung von fex) an den (endlichen) Grenzwert g durch ein hochgestelltes" +" oder . -:" kennzeichnen, z.B; i)

<--

lim [(x) =

s"

I {tl

fr;, I

bedeutet: [ nähen sich (für x - 00) dem Grenzwert g "von oben ", d.h. von größeren Werten aus.

~I-··-------

{xl

Abb . 4. 1. 38

4

178 jj)

tim ... [(x) = g:l:-

xo

G renzwerte und Stetigkeit von Funktionen

J {tl

bedeutet:

r-" I .-"----j

I

11"'-'1

f

nähert sich (beirechtsseiü-

ger Ann äherung von x gegen xo) dem

Grenzwert g » von unten", d.h. von kleineren Werten her.

t

:

; o-x Alle weiteren Kom binationen x -+ ... , f -Es gill (sofern x ,= unabhängige Variable,

(xl

Abb. 4.1.39

... sind analog zu interpretieren. f ,: abhtingige Variable, Funk non swen ]:

txt

x - xt heißt: An n öherung der A bszissenwene von " rechts«

(d.h. von größeren x*Werten her).

___---+--f:! I

x - xj, heißt: Annähenmg äerAbszissenwene von " links" (d.h. von kleinerenx-Wenen her).

f-

xr-: -

-

xQ

s ' heißt: An näherung der Funkt ionswerte von "oben " td.h: von größeren Funktionswerten her).

(tl

f -- s:

heißt: Ann öherung der Funktions werte von " unten"

(d.h. von kleineren Funktionswerten her).

I

'r-( \ !

{(xl

4.2 Grenzwert e spezieller Funktionen In diesem Abschnitt sollen die Gren zwerte der ....'ichdgsten elementaren Funktionstypen angegeben WCT4 den, mit deren H ilfe cs möglich wird (zusammen mit den G renzwertsät zen. siehe Kap itel 4.3), die Grenz werte auch komplexer zusammengesetzte r Fun kt ionen zu be rech nen:

I to (4.2. 1)

.--

tim x"

=: 00

(ne IR"")

I

v;- »> /

/

---

x'

txt

I {tl (4.2.2)

x_lim_

.1 " n =0

(n eIR +)

I~

{xl

4.2

Grenzwerte spezieller Funktionen

179

x1

{tl l (4.2.3) (Fürnicht-ganzzahllge Hochzahlen (z.8 . fü r Wurzeln) darf nur der rechtsseitige Limes (x -O +) gebildet werden.)

.:,...-

_ _ 11 VX

/

...

/

.. /

••· x / _ -

ta

..

(4.2.4)

J+ 1- -

(4.2.5)

falls n gerade falls nungerade

(n e IN)

(4.2.6) I)

IL-

lim e'" ""

00

I1 'I)

_

1 {fJ

,, I t

lim_ e'" '" 0 +

(4.2.7) i)

X_

ii)

O>

.~

(zur symbolischen Schreibweise sieheBem. 4.1.37)

(4.2.8)

!im CX ""

x_ o

lim e-< "" 1

x_ o

{analog für fex) "" aX mit a > 1)

,.-- 01

/

/

,'

0'

{xl

1{fJ Inx

(4.2.9) i)

iii)

\im (Inx) ""

x __

,-.

lirn + (In x) '"

00

ii)

lim (In x) '" 0

x- I

'-----_-----.J - 00

(analog für f Ix) "" log(/x ; a > 1)

{xl

o

4

180 (4.2. 10) i)

11)

iii)

[im {1+1. / :

x_ _

x

(1-1./ :

lim x_""

x

," ,, lim _ 00 - e"

[im (l+ X)l / x : C

,,_ 0+

lim (l-X)' /X = 1 x_o+ e

(na IR)

=0

,"' - -

,, -0

(4.2. 11)a)

b)

sin x

,- ,-lim

q'? =

(e 2,71828 18284590452353602874 ...; Eulersche Zahl, Basis der natürlichen Logarithmcn) :0

(Einenachtragliehe Bestätigung - wenn auch kein Beweis - dieser Grenzwerte erfolgt in Kapite! 5.3)

(xe ü)

x

lirn q' =

Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen

0

für O
1

furq = l

-,

fiirq > l

0

fur q >l

11

für

ü

c q e; I

I " I x ) ; ( ,) = ,-, Beispiel: ( ,

(-

Beispiel: 1,08" ; c"

(- - )

Beispiel: (O,Zf " = 5" ;

ftIrq =1

(-tr" = e!-

0)

(- -)

x

Beispiel: 1,25- = 0,8" ; e- X = ( {- /

(-0).

Bemerkung 4.2.12: Um die Berechnung komplexer Grenzwerte im Ablauf übersichtlich darstellen zu kan firn, wollen wir gelegentlich Jur elementare Grenzprozesse eine in Anführungszeichen (»u. ") grsetzte Kurzschreibweise verwenden. 1"; " p",,: ., " ~ S elS

1 " ; "e " --0=

0<>"

; " e - 00 " ; "e 1/ 0-" ; " Ln 0" " i , 0,50<> " usw.

DieAnfü hrungszeichen " ... " an derartigen nicht definiel1en und somit eigentlich unsinnigenTennen sollen signalisieren, dass es sich um Grenzprozesse von Funktionen handelt. So könnte etwa derAusdm ck ..!.... " bedeuten (siehe (4.2.1) bis (4.2.11) ):

-4- oder : _fim0- J-z- t

" O'

um

..!.... oder Um

x _o+ x

p _o P

oder tim

y _ .""

+ e

oder lim 1_

1+

I

/11 1

asw,

Allen diesen Grenzv enen ist gemeinsam, dass ihr Ziih1er gegen J und ihr Nenner (von rechts] gegen Null strebt. Nach (4.2.1) bis (4.2.11) lauteneinigederGrenzlt'errregein in dieser Symbolik: (4.2.1)

" oo n,,: oo

(4.2.2)

" ;; " =

(4.2.4)

J " O'

(42.6)

"e""'« = =

(4.2.9.iii)

" ln 0 "

(4.2.11)

,,1,1""''' : 00;

I

0+ ;

"

"= =

«

(4.2.3)

(n >O)

-I

"

00 ""' ' ' : 00

O± ,,: . ;;

" : 0-

_I " " 0-

(4.2.5) (42. 7)

= _ 00

,,0,5 00 "

:

0;

,,1,08 -

00

" = 0+

o±

:_00'

,

181

4.3

Die G renzwertsät ze und ih re A nwend ungen

4.3

Di e Grenzwertsä tze un d ih r e Anwen d u ngen

D ie folgenden Rechenregeln für Grenzwerte erleichtern ganz wesentlic h die Berechnung von Grenz werte n kom plexer zusammengesetzter Funktionen :

Salz 4.3 . 1: [Rechenregeln Cü r Grenzwerte) Die beiden Funkttonen f , h seien in einer Umgebun g der Stelle Xo defi niert. Für x-xo mögen beide Funkt ionen konvergieren, die Grenzwerte seien g, und &2' Wir schreiben daf ür kurz:

lim f

.«

lim f(x) = g1

lim h.e lim h(x) '" g2

(EIR) ;

x _~

( EIR)

.

x _ ~

W eiterhin sei e eine reelle Kon stante: Dann existieren aueh die folgenden Gr enzwert e, und es gilt: i)

!im e "'e ;

ii )

!im(f ± h) = !imf ± lim h = g,±g2

jii)

lim If-h}

iv)

hm h - I·Im h -

v)

lim f"> (lim f)" "' g,n

.

= lim f

. limh

= g, ' g2

(d.h. man darf die Grenzwene zusam mengesetzter Funk tionen einzeln bilden und die Grenzwerte entsprechend miteinander verknupfen l )

;

!. _~ _ h.

lirn

g2 ,sofern g2* 0

(nE IN) ;

" VT " '" ~ '" "vg;-

(nEIN

(d.h. der Grenzwen einer Funktion ist gleich der Funktion des Grenzwertes Grenzwenbildung und Funktionsbildung durfen vertauscht werden)

f,g, 2: 0)

"l i) !im (In f) '" In (Iim f) = In g, ,sofern f, g, > O.

\ iii)

Bemerkung 4.3.2: i)

Satz 4.3.1 bleibtgiillig, wenn x -

00

statt x - xv gesetzt wird.

ij) Satl 4.3.1 i)- iIJ) bedeutet, dass der Grenzwen einer Summe, einesProduktesbzw. einesQuotienten von Funktionen identisch ist mit der Summe, dem Produkt bzw. dem Quotienten der einzelnen Funk tionsgrenzwene, soferndieseendlich (d.h. aus JR) sind. iii) Satz 4.3.1 IJ)-IJiii) bedeutet, dass die Reihenf olge IJon Grenzwerthitdung und Funktionsbildung vertauscht werden kann, d.h. im Fall der Konvergenz ist der Grenzwert einer Funkrum identisch mit der Funksionder Grenzwenes. Dies gilt insbesonderefur zusammengesetzte (IJerkettete) Funktionen f(h(x)), sofern lim h(x) existiert und f stetig(siehe Kap. 4.4) ist: limf(h(x)) '" f (lim h(x)) = f(g ~ .

(unter Verwendung der Elementar-Grenzwerte (Kap . 4.2) , der Symbolik w kung 4.2.12 sowieden Grenzwenregeln aus Satz 4.3.1)

Bei.~pieI4.3.3:

I)

lim

,--"a

Iim( 3 -...!..)

•

, 11m (5 + -:;2) .

3 - lim...!..

5+,

•

!im - '-

"

"

«aus Bemer-

lim 3- 1im ";-

z

lim 5 +lim - ,, 3- 0 5 + 2' 0

,

1- .

._-

( tim ,= lim )

182

ii)

,.

,

s lim e r

,--

Grenzwert e und Stetigkeit von Funkt ionen

e o-

1

,.

14 -]jm e- x

14 - e- x

,

e x

4

,

lim e

+ 52

14 _ , CO- U

e"O" + 52

x + 52

_1_'_

14-1

0,25 .

0 + 52

16 •

"-;r;

iv) !im

,- 0

v)

1- I

lim

0,1

,-n

1- " I,r """

lim_ - -0,'-1

n_

0,1

10 .

0,1

Die Grenzwcrtberechnung bei gebrochen-rationalen Funknonen führt gelegentlich auf sogenannte unbestimmte Ausdrücke wie % ode r 00100 1 . Derartige Grenzwerte lassen sich unmittelba r weder mit

(4.2.1)-(4.2.11) noch mit Satz4.3.1 ermitteln. Die folgendenBeispiele zeigen exemplarisch das Vorgehen in solchen Fallen: Beispiel 4.3.4:

.

lim

x_ '"

6,,3 +4x 2 - 7 X

3

'"' ?

+x

Klammert ma n im Zä hler wie im Nenner die jeweils h öchst e Potenz aus, so erhäl t man : 3 (6 + - 4 - - 7 ) __x _ _ 0'-,-2.0'_ lim x3 (1 + 1.. )

,--

~

.--

'

!im

Wegen (4.2.2) gehen die Tenne a/xn für xergibt (siehe Bcispic14.3.3

i».

4

6+-

00

- -

7

"

6

sämtlichgegenNull, so dass sieh 6 als Grenzwert

Bemerkung: Dieses Verfahren (A usklammern der jeweils höchsten Potenz} ist bei " 00/00 « nur dann sinnvo ll, sofern es sich a) um gebrochen-rationale Funktionen handelt und b) die unabhängige Variableaberalle Grenzen strebt (x- 00 oder x - - oo) .

Beispi el 4.3.5: Klammert man in Zählerwi e im Nenner die jeweils kleinst e Pot enz aus. so erhält man: x2(5x + 4) 5x + 4 4 lim := (X,* O) lim :=(4.2.4):=-00 . 3 2 2 x _o + x (2x -8)

x _o + x (2x -8)

0 + · (-8)

Bemerkung: Ausklammern der jeweils kleinsten Potenz ist bei ,,010" nur sinnvoll, sofern es sich a) um gebrochen-rationale Funktionen handelt und b) die unabhängige Variable gegrn Null strebt (x - 0) . Grenzwerte sonstiger Funktionen, die auf unbcstimmte Ausdrücke wie 0/0. führen, lassensich mit der Regelvon L'Hospital ermitteln, siehe Kap. 5.3.

00 /00 ,

00.

00

0• 00

-

00 .

O· 00, 1-

4.3

D ie G re nzwertsät ze und ihre Anwendungen

183

x2 + 3x -4

Beispiel 4.3.6:

.Q. ..

= ?

o

2x2 -9)( +7

D a die Zahl 1 die Nullstelle des Z ähler- wie des Ne nne rpolynoms ist , müssen sieh Zähler wie N enner ohne R est durch (x - 1) tei len u nd somit in Teilpolynome zerlegen lassen {s. Knpitel2.3.1.4): x2 + 3x - 4 : (x - l ) = x +4 ;

Zahler:

x2

x

-

d.h .

x2 + 3x - 4 = (x + 4)(x - 1)

d.h.

2x L 9x + 7 = (2x - 7)(x - 1)

4, 4 4x - 4

o

2x2 - 9x+ 7 2x2 -2x -7x + 7 -7x + 7

Nenner:

(x -1)= 2x - 7

o

x2 + 3x - 4

(x + 4) (x - l ) (2x -7)(x - l)

2x2 -9x +7 =

'*

(x 1)

. ,,m

x -I

- x +-4 = -1. 2x -7

Bemerkung: Man k önnte im Fall x _ Xo (hier x - I) ebensogut die Variable x substituierendurch den Term xo+h (hier: 1 +h) und dann statt x - xo (hier: x -I) den Grenzübergang n -r 0 (siehe Beispiel 4.3.5) durchführen. 1m obigen Beispiel erhalten wir:

.!L "

" 0

Ausklam mern der kleinsten Potenz (siehe Beispiel 4.3. 5) fühn auf" lim h (h+ S) h _ 0 h(21t -5)

lim h +5 h _ 0 2h- 5

~ = -1 ,

-5

.1".0.

D ie folgenden Beisp iele zeigen einige unmittelbare Anwendungen des Grenzwert begriffes auf ökonomische Fragestellungen. Bei.\pieI 4.3.7: Für das Gesamteinkommen Y(t) (in GE/J ah r) eines expand ierenden wirtschaftszweiges wird - a usgehe nd vom Planungszeitpunkt t = 0 - im Zeitablauf eine En twicklu ng prognostiz iert , die gcmäßfolgcnder Funktion verläuft (.,Logist isehe Funktion ", siehe Kap. 2.5, (9) viii»: Y (t) =

210 0, 1 + 20' e- O,S t

(I: Z eudauer in Iahren seit I = 0) Gesucht ist der "SäUigungswert" des Einkornmens "a uf lange Sicht ", d .h. der Grenzwert des E inkommens, wen n die Z eit " über alle Grenzen" wächst. E rmittelt wird d ieser Sättigungswett über den Grenzwert vo n Y für t - 00 :

lim Y(t) =

1__

lim

I_

210 O , 1 +20 · "e - - ~

oe

210 0,1 + 20 "e - O,51

Abb ,4,3.8 200

o

.

Zeit

5

,

(/(

Das E inkomm en des Wirt schaft szweiges nähert sieh mit wachsend er Zeitda uer immcr me hr der Sätti gungsgrenz e 2100 GE/ J ahr, sieheAbb. 4.3.8 .

4 Grenzwert e und Stetigkeit von Funktionen

184

BeispieI4.3.9: Ocr monatliche Butt erverbrauch B (in € / Momll) eines H aushaltes hänge vom H aushalts einkomme n Y (in € / Monat) in folgende r Weise ab: ~

B{Y): 60 ' c

Y

; Y>O

Gesucht ist i) der Sättigungswcrt des Butterverbrauchs für unbeschränkt wachsendes Einkommen sowie - da B(Y ) fü r Y "" 0 nicht defi niert ist, - ii ) der Grenzwe rt des Butrervcrbrauch s, wenn das

Einkommen gegen Nullgeht. L ösung: i) Der Sättigungswert des Butterverbrauchs ist gegeben durch den Grenzwert von Bfür unbe schrä nkt wachse ndes Einkommen (Y -+ 00), d.h.

im B(Y) = v_ !im _ 60 - e v1__

~

(BJl Buflerverbrouch

Y

60

_ St:tlligungsgrenze

(Asymptote , B = 60)

= 60· e-« = 60 € /Monat, d.h . selbst bei unbe schränkt wa chsendem E inkommen werden nicht mehr als 60 € /Monat für den Butt erkonsum ausgege ben. ~

ii)

lim B(Y) = Jim 60c v _ o+ v _ o+ _ 1500

8fY)

y

10

~

60e" 0+

= 60 " c - .... " = 60·0 = 0,

Einkommen

d.h . mit sinkendem Einkommcn geht de r Bu tte rverbra uch gegen 0 , siehe A bb. 4.3.10 .

o

' 000

Aufgabe 4.3.11: Man ermittle folgend e G renzwerte (sofern sie existieren): 5x3 -4 2y + I i) lirn ii) lim iii) 2 x_ .... x y _ .... 3y5 - r

iv)

,-. lim

,

+

\ii) lim

p3 _ 3p2 + Kp ; v)

3t 5 - 313

5 (ln

1 _0+ 512 - Kl4

.--

lim R

qn _ I

- - .-

q - 1 q"

Aufgabe 4.3.12: I) Für f(x) =

..:.!.:..L /

ztim _ _ ( 2cz + d

lim + .L

vi)

p4 + P 2z2 -3z + I / . z2 - I '

tn

Abb. 4.3.10

x_ o ln x

. x2 + x - 2 11m _2± x3 + 5x2 + 8x + 4 . x_

ix)

(q > 1) .

---fl- be stimme man die Grenzwertefür x -

0+; 0- ; "" ; - "" .

e + 10 X

ii) Für die Fun ktion f mit nebens teh end er Gleichun g best imme man a n de r Stelle X o = 1 den links - und den rechtsseit igen Grenzwert :

2

~ 6 (1-x)

f ür

O<x< 1

für

x= 1

für

x> 1

4.4

Der Stet igkeit sbegriff

185

Aufgabe 4.3. 13: I) Gege ben sei die Preis-A bsatz-Punktion p mit p(x) '" 10 · In xl~ , (x > 2). Gegen welchen Wert strebt die nachgcfragteMengcx, wenn der Preis p übe r alle G renzen wächst ? ii) Der Nahr ungsmittel konsum C (in GE/ Ja hr) eines H a ushaltes sei in A bhängigkeit vom H aushaltseinkommen V (in GEI Jah r) gegeben durch die Konsumtunktion-

qV) '" ~Oy - 140 ; Y ;:: 0 Y+8 a) Man enn ittlc dcn Sättigungswert des Nahrungsmittelko nsums. b) Ge!,'Cn welchen Wert streb t die durchschni ttliche Nah rungsmitt clquole(d.h. C(Y )/ Y), wenn das E inkommen übe r alle Gren zen steigt?

4.4

Der S t el ig keitsbegri lT

Bei der graphischen Darstellung von Funktionen geht man meist st illschweigend davon aus, da ss sich die (z.B. über eine Wertet abelle ermittel ten) Funk tionspunkte ohne Unterbrechung und lückenlos durch einen ".<;teligen" Kurvenzug miteinander verbinden lassen (und dies auch noch in " endlicher Zeit ") . D ass dies keineswegs immer so sein muss, zeigen etwa d ie Beispiele Ab b. 4.1.29· 4.1.30 oder d ie fo lgende n Scha ubilder (A bb. 4.4.1), in denen f jeweils an der Stelle Xo im obigen Sinne "u nste tig" ist.

iI

.s->

Abb. 4.4. f

.>: f

'

{xl

)( -: {xl

x.

x.

.~

{xl

x.

Sollen dera rtige Uns tetigkeiten von f an der Stelle Xo ausgeschlosse n sein (also nur "s tetige" Funktionen betrac htet we rden), so muss f an derStelle Xo offenba rfolgcnden Bedingungen genügen: I)

ii)

f muss in Xo definiert sein, d.h, f(xo) muss existieren ; f muss für x -- Xo einen (endlichen) Grenzwert (und somit übereinstimmende rechts- und lin ksseitigc Grenzwerte) besi tzen, d.h. es muss gcJten:

(4,4.2)

lim f(x) = lim

X-"c

iii) der Grenzwert von f für d.h . lim f(x) = f(xo) '

' - "0+

f(x) = lim f(x) = g

x_,,;

(E IR);

x - xc muss mit dem Funktionswert an der Stelle Xo übereinstimmen,

.- ~

Z usammenfassend erhä lt man die

Def. 4.4.3:

(Stetigkeit von r in Xu)

Sei f eine in (a ,b J defin ierte Fun ktion. Dann heißt f ste tigan d er Stelle XoE Ja , b [ , wenn gilt: (4.4.4)

.-,

lim f(x) = f(xo)

4

186

Grenzwerte und Stetigkeit von Funkt ionen

Bemerkung 4.4.5:

r

f im Inte rvall I stetig, wenn in jedem Punkt von I stetig ist. In einem abgeschlossenen Intervall 1 = [a, bJ ka nn f in den Ralldpunkten a, b h öchstens einseitig stetigsein, wenn ncmlich: gill:

i) In logischer Fonseuung zu Def. 4.4.] nennt man

lim

.< _0 '"

f ex) '" fra)

bzw.

lim

x_

b-

[(x) "" b .

ii) Emhält einlmervall I einenodermehrere Punk te, in denen f nichtdefiniertist (z.B. dieNulls/ellen des Nenners einergebrochen-rationalen Funk/ion), so ist f dort nid unetig, also auch nicht im gesam-

ten lruervatl.

Aus Dei. 4.4.3 folgt zusammen m it den Grenzwertregeln (Satz 4.3.1 i) - iv», dass - sofern zwei Funk tionen f und h in einem Intervall stetig sind - auch ihre Summe f ± h, ihr Produkt f · h sowie ihr Quoti ent f!h (h 0) dort stetigsind.

'*

A us Satz 4.3.1 i) - viii) folgt weiter: f(x) := anxn+ ... +ao sind in IR stetig.

i)

Alle Polynome

ii)

a" xn + ··· +ao Alle gebrccben- ranonelen Funktionen f(x):= m bm x + ... + b o mit Ausnah me der Nullstellen des Nenners .

iii )

sind in IR stetig

Ist i: Y := f(x) in einem Intervall stetig. so sind es a uch die Funktionen mit den Funktionstennen (n E IN): a)

( f(x) l"

b)

"Vf(x)

(falls fex) ~ 0)

c) l.J {x)

d) Inf(x)

(fa/Isf(x) >0) .

Beispiel 4.4.6: Das Polynom f mit f(x):= x2 + X- 6 := (x- 2Xx + 3) (siehe A bb. 4.4. 7) ist in IR stetig, also sind aueh (z.B.) die folgenden Funkt ionen stetig: g: g(x) :=

X2

·ex2+X -6

y','-'

,'--,---'-6 für alle x mit x 2+x -6 d.h. in lR. \ ] -3, 2 [ .

h: h(x) :=

~

0

k: k(x) : 7 (x2 + x-6)5

(xl -3

o

p: p(x) : X · In (x2 + x- 6) für alle x mit x2 + x >0 -ö

d.h. in IR \ [ - 3, 2 ] .

,,*) • Cxi'~ '~-~'_6" 2 +x

mit Ausnahme der Stellen 2 und -3.

r'

Abb. 44.7

187

4.5 Unstetigkeitstypen 4.5

Un stetigkeitsty pen

Eine wichtige Aufgabe bei der Analyse einer ökonomischen Funktion f besteht darin, mögliche Unsteugkeltsstenee herauszufinden und zu untersuchen, wie sich f verhält, wenn man sich den Unstetigkeitsstellen nähert (1)]) der Unstetigkeit. siehe z.B. Abb. 4.4. 1). Dazu wollen wir im folgenden eine Chara kterisienm g der üblicherweise auftretenden Unstetigkeibt)])en geben. Diese ergeben sich aus der Stetigkeitsbcdingung Dcf. 4.4.3 bzw. aus (4.4.2) dadurch, dass die eine oder andere Teilbedinguog verletzt ist: Uns letigkei l~l)])

1

Sprung

-

(sieheA bb. 4.4.1 i»:

An der Stelle Xo existiert der Grenzwert lim f'(x) für x - Xo insofern nicht, als zwarder rechts- und linksseitige Grenzwert jeweils endlich ist, bcidc Grenzwerte jedoch voneinander versehreden sind: Die Funktion f besitzt an der Stelle Xo einen (endlichen) Sprung, wenn gilt: g, = lim fex) lim f(x) = g2.

'*'

x-X;

x- 'r'+

(Dabei ist es unerheblich, ob [(xo) eäsüen odernicht.)

11/1 3 9,-- - " " "

Beispiel: (siehe Abb. 4.5.1):

f

fex) =

mit

1

O,5x +1 -x+ 5

lim f(x) = 2

x_ 2-

,

für 0 s x <2 x e z

rur

*'

lim I(x) = 3

Abb. 4.5.1

x _2 +

Bemerkung: Ök onomische Funk/ionen mit Sprungs/ellentreten u.a. au/ bei Kastenfu nktionen mit sprungfixen Kasten (z.B. »Ponofunktion ", siehe Beispiel Z. 1.25) oderbei Angebots/u nktionen mit eingearbeitaer Raba ustaffel (siehe Beispiel 4.7.3).

Unstetigkeitst)Jl 2

-

Pol

I

(sieheAbb. 4.4.1 ii)) :

Einer oder bcide einseitigen Grenzwerte existieren nicht, d.h. f strebe für x _

Xo

&'Cgen ±

00 ; 2

f hat an der Stelle Xo eine Unendlichkeltsstelle oder einen Pol, wenn f für x - x ~ und/oder für x - Xö den uneigentliehen Grenzwert 00 oder - 00 besitzt.

(Dabeiist es unerheblich, ob / {xo} existiert odernicht.)

(tl

Bei\piele:

;) f(' l =

1(,;2)'

filr x

ez

für x = 2

E s gilt: !im f(x) = 11m f(x) = x_ r

x_ 2+

1 _.• 00

also

liegt ein (beidseitiger) Pol vor (Abh. 4.5.2).

.,,,

Abb. 4.5.2

.

, I

txt

Xo existiert auch dann nicht, wennes sich umeinc soszillierende" Unstetigkeit bei xa (E R ) handelt, siehe Se m. 4,1.15. Jedochsind derartige Fälle fü r ökonomischeFunktionenohne Bedeutung.

2 Der Grenzwert lim f{x) für x -

4

188

__ 1

ruf

1-

ii)

fex) =

Da

Gr enzwerte und Stetigkei t von Funkt io nen

,,, ,, +

X ::F l

el,/ (X- I )

lim

x -+ t -

für x = I

fex) =

00,

abe r

lim f(x) = 0,

x_

l+

f

handelt es sich an de r Stelle Xo = 1 um einen einseitigen Pol (auch Mllnend lichcr Sprung" genannt), sichcAbb. 4.5.3.

Unsteligkcit<;typ 3

-

Abb.4.5.3

o

lxi

(siehe Abb. 4.4.1 iii)) :

Lücke (hebbare Unstetigkeit)

In diesem Fall existiert zwar der Grenzwert von f an de r Stelle Xo [d .h.Hnks- und rechtsseitige Grenzwerte sind identisch) , stimmt abe r nicht mit dem Funktio nswert f(Xo) übe rein {bzw. f tst in x(lnicht definiert ):

Die Funktion f hat an der SIelle Xo eine Lücke, wenn gilt: lim fex) = lim fex) = lim fex) = g ( EIR) ,

X-

x_xg

lfo

aber:

x-+Jfo+

g

* f(xo)

oder Xo lt D f

•

B em erkung: Durch nachtragliehe willkürliche Fesnenung f {xo} ,= g kann f in X o " stetig ergänzt " werden .

Daher heißt eineLückeauch" hebbare Ufl!J"leligkeitsstelie".

Betsptef

fur x *l Iür x = 1 .

Wegen

13' -': - ~

1~1-=-'.-1---~--

lim f(x) = !im f(x) = 2 existiert zwarderGrenZ\vertan derStelle l, istabervomdortgege-

~ _I ·

~ _ l '"

benen Funk tionswert f(l) = 1 verschieden; f hat in Xu = 1 eine Lücke . Würde man nachträglich definieren: f(l) "', 2, so wäref überall stetig. siehe Abb. 4.5.4.

- (x- l i

f(x) = l - e Es gill:

II1

,

Beispiel:

!im f(x) =

x_ z-

(x * 2) . lim f(x) = 1 ,

~ _z'"

o

2

(=)(,,'

lx/

jedoc h existiert f(2) nicht : f hat an der Stclle Xu = 2 eine Lücke, die nachträ glich nur dadurch behebbar iSI, dass man definiert ; f(2) ,= 1, siehe Abb. 4.5.5.

189

4.5

Stetigkeitsanalyse

4. 6

S te tigkeitsan a lyse

Um eine vorgegebene Funktion in einem Intervall auf lhr Sretigkeitsverhalten hin zu untersuchen, genügt es. sämtliche Uostetigkellsstellen zu ermitte ln. A ußer an diesen Stellen muss die Funktion definitionsgemäß stetig sein . Es kommt also darauf an, die uns tetigkei tsverdäc htigen "kritischen" Std len einer Funktion f ausfindig zu machen und auf Stetigkei t zu analysieren . Kri tische Stellen von f bez üglich Ste tigkeit sind: i) Stdlen

Xi'

in denen f nicht definiert ist,

a) weil dort ein Nenner zu Null wird

(siehe Beispiel a. ö.I :

,

f(x) = - -- en den Stellen 2 - ei / X

Xo

=0 ;

Xl

= 1/ ln 2 "=' 1,44);

b) weil ein Logarithmus von Null gebildet werden müsste (siehe Beispiel4.6.3: f(x) = In (9- x 2) an den Stellen Xo = 3 ; XI = -3); ii) Stellen Xi' die Nahtstellen im Definitionsbereich von absclmi ttsweise definierten Funktionen sind (siehe Beispie14.6.5 : fur 0 5x <4 fUr x" 4 fur4 < x < 6 für x 2: 6

Bei~pid

4.6.1:

U(,) = -

andcnStellen Xo = 4 ; Xl = 6) .

,

2 - ei/ x

Die Fun ktion ist nicht definiert inden NullstelIen der vorkommenden Nenner, d.h. in

Xo = 0

und

i) xo = O.

r

x~o-

..

III

,,'

Xl = .L, "=' 1,4427:

EsgiltfürdieGrenzwertex- O:l:;

1

0,5

I( ) X

,

=2 -" e- - "

= _ '_ = 0 5 und 2-0 '

0

1_ .. =,,_ ' _"= 0, lim f(x) =2 x_ o+ -"e _00

,,V ,,I ,,

lxi

,

d.h. f hat an der Stelle Xo = 0 einen Sprung, siehe Abb . 4.6.2 .

,,'

7ni

Abb.4.6.2

ö) XI = -'- "=' 1,4427. Es gilt für die Grenzwert e x _ Xl = -'- ,

rnz

lim f(, ) = - ' - "= .L .. = - oo " 2-2 • " 0" x-xi" d.h. f hat an der Stelle Xl =

I~ 2

"d

einen Pol (mit Zeichenwechsel), siehe Abb. 4.6.2. Da keine weite-

ren Vnstetigkeit en existieren, ist f sonst überall ste tig.

4

190

G renzwerte und Stetigke it von Funktio nen

f(x) = In (9 -x 2).

Bei_,piI'1 4.6.3:

l, ifI

Au ßerhalb des Interva lls ]-3,3 [ ist f nicht definiert, kann dort also auch nicht stetig sein. Zu untersuchen ist d1S Verhalten von f in der

Nähe der Intervallgrenzen +3;- 3: Wegen 11m f(x) = lim f(x) = x-3-

x-o- -3 +

~ ln O +" =

-00

o

besitzt f an der Stelle "- 3" einen rec htsseiti-

genund an dcr Stcllc ,,3"einen linksseitigen Pol (siehe A bb. 4.6.4) und ist im offe nen I ntervall ]- 3 , 3[ stetig .

Abb.4,6.4

Beispiel 4.6.5:

f(,)=

-O, 25x 2+ x +3 3 2x-7 x L 16x + 65

1

mr u s ec a für

,, " 4 fur -l < x < 6 für x ~ (,

Auf Stetigkeit zu untersuchen sind die"Nahtstelle n" xo =4 und XI =6: i) xo = 4:

._4- ._4-

lim f(x) = lim (- O,25x 2 + x + 3) = 3

[im f(x) = lim (2x- 7) = 1;

. _4+

. _ 4+

f(4) = 3 ,

Abb,4. 6,6

d.h. f hat a n der Stelle Xo = 4 einen Sprung. (siehe Abb. 4.6.6) ii) XI =6 : !im f(x) = !im (2x-7) = 5 ; • _ 6-

. _6-

lim ! (x) = lim (x2- 16x + 65) = 5 ; f(6) = 5 .

• __ 6

. _ 6+

Da G renzwert und Fun ktion swert in Xl = 6 übereinstimmc n, ist f dort ste tig (auch wcnn der G raph eme, Ecke " (siche Abb. 4.6.6) aufweist!). Stetige Funktionen sind bei mat hematischen ~ Anwc ndcrn" höchst beliebt - sie verhalten sich sozusagen ~gut art ig" u nd weisen Eigenschaften a uf, die mit der gewöhn flehen Anschauung verdnbar sind;

I

Ist eine im abgesc hlosse nen reellen In tervall [a , b ] ,= {x e IR a :::; x :::; b } definierte Funktion f do rt auch stetig. so besitzt sie (u.e.) die folgenden wlehügen Eigenschaften: Satz 4.6.7: (Eigen.schaften stetiger Funktionen) Die Funktion f sei im abgesc hlossenen Intervall [ a , b 1[c IR) stetig. l)

Dann gilt;

f ist in [ a , b I beschrän kt.

ii)

f nimmt in [ a, b J ihr :\Iaximum und ihr Minlmum (mindestem einm al ) an.

iii)

f nimmt in [u , b 1 N ischen zwei beliebigen Funktionswe rten jed en büschenwert tminäeu ens einm al) an.

iv)

Ist f an der Stelle Xo im Innem von [a. b I positiv (negativ), so gibt es eine (beidseitige) Umgebung von xo' in der f beständig positiv (negativ) ist (" Vorzeichenbestandigkeis"),

4.5

191

Stetigkeitsan alyse

Bemerkun g 4.6.8: 0) A us iii} folgt eine fiir die Nullstellenbestimmung wichtige Eigenschaft ,\'teäger Funktionen: Gilt in [a , b]: [(a) 1(b) < () (d.h. besitzen fra) und f(b) unterschiedliches Vorzeichen), so hat f in [a , b] (m indestens) eine Nuuueue. b) Bereits die einfach gebaute (in [-2; 2] u,,stetige) Funk tion

fiX) =

-'-x

11

fi"

III I ·2

x*"

flOI=I !

- , . -_ _1

\

* <, 11x!=

Ii

Jar x - 0 , xe[-2; 2J,

(H}perbel mit Extra-Punkt, s. Abb. 4.6.9)

I

zeigl, dass [ü r llnstetige Funk tionen keine der Eigenschaften von Satz 4.6.7 zU/reffen muss:

lxi

' Abb. 4 6.9

x_,

i)

f ist in [-2 ; 2] unbeschr änkt, denn es gilt:

ii)

A usdem selben Grund besitzt

iii)

Es gitt: f(-2):: - ~«O) und f(+2) '" + ~ (>0). Den Zwischenwen ,,0" aber nimmt f

I

!im :t:: :: ± 00 ("Pol").

in [-2;2] weder ein Maximum noch ein Minim um .

nirgendwo in [-2; 2] an. Daher kann man hier auch nicht wegen der Voneichenunterschiede von f(-2) und f (2) auf die Existenzeiner Null~telle von f in [-2 ; 2 I schließen. iv)

r ist on der Stelle Xo = 0

positiv: [ (0) = I (siehe Abb. 4.6.9). Es gibt aber keine beidseitige Umgebung der Stelle Xo (= 0), in der [ nur positiv ist!

c) Auch die übngen Voraus .\'etzungen \.-'on Satz 4.6.7: (abgeschlossenes Intervall reeller Zahlen) sind (neben der Stetigkeit) für die Folgerungen i)- iv) unabdingbar (die nachfolgenden Beispiele beziehen sich wiederum aufAbb. 4.6.9):

I() <x<2} zwar ueug, aber (für x --O-)

-

So ist I im offenen lntav all IO;2[ ,= {x e IR beschränkt.

-

Selbst, wenn man das offene lntev a ü ]1; 2[ betrachtet, in dem [ sowohl stetig als auch beschränkt ist:

-

In ] l ; 2[ besitzt [ weder ein Maxim um noch ein Min imum (denn die Randwene x, =1 wldx 2=2 gehören nicht zu]l; 2[.

-

Schließlich muss es sich beim abgeschlossenen Intervall [a, b] um eine reelle Zahlenmenge handeln, dam it Satz 4.6.7 stimmt: So ist z.B. (siehe A bb. 4.6. 10) die quadratische Funktion = x 2 - 3 (Parabel) im abgeschlossenen rationalen Intervall [1; 2] (C Q) stetig, und es gill: f(I ) = - 2 (> 0); f(2) = + I « 0). Alm musste eigentlich (nach Satz 4.6.7 iii] zwischen Xl = 1 und x 2 = 2 eine Nullstelle so (ah. mit f(x o) = 0) liegen. Tatsächlich aber besitzt [in [1 ;2] (C Q) keine NuliJtelle, denn der dafür in Frage k om m ende Wen so = ist keine rationale Za hl, liegt also nicht in Q !

f: I(x)

V3

nicht

I m

,,

·· --+---,--'-;'0( : Ix} \---;-...

x,,= Y3E1 0!

Abb. 4.6. 10

192

4

Grenze..c rte und Stetigkeit vo n Fu nktionen

4.7 Stetigkeit ökonomischer Fu nkt ionen Für die meist en vorkomm ende n ökonomischen Funktionen wird stetiges Verhallen in ihrem ökonomischen Definitionsbe reich unt erst ellt oder geforde rt , und zwar auch dann, wen n es sich um diskret e Funktionen ha ndelt , die nur in isolierten Pu nkten defini ert sind (z.B. Kostcnfunkt ioncn bei unteilbarem oder

ganzzahligem Output). Der Grund für diese Idealisierung diskreter ökonomischer Funktionen liegt darin, dass die Anwendung vieler effizienter Method en der math emat ischen A nalysis (insbes ondere die D ifferential- und Integralrechnung) die Stetigkei t der betracht eten Fu nkti onen vorausse tzt. Freilich dürften bei der Umsetzu ng dera rtig erhaltener Resultate in die ökon omische Realit ät dieseve rborgenen Voraus se tz ungen nicht in Vergessenheit gerat en - andernfalls können unsinnige Ergebn isse die Folge sein. Auch im ökonen nsehen Bereich gibt es Funktio nen mit ~ klassi schen" Unsletigkeilen: Beispiel 4.7.1: E ine Unternehmung bietet eine Ware zu einem Grundpreis von 100 ,- € / ME an. Bei ein er Bestellung ab 1.000 M E wird ein Rabatt von 20 %. ab 2.000 ME ein Rabatt vo n 40% auf de n Grundpreis gewäh rt (und zwa r jeweils für die gesamte l.i eferm enge). De r Bestellwert W (in €) in Abhängigkeit vom Lieferumfang x (in ME) e rgibt sich daher wie folgt: 100,

W(x) =

1

rur

o s xs

sox

für

60,

für 2.000

~,w;€

i.oco

5~

1.000 5 x s 2.000 ~

//

x

1000

Abb.4.7.2

Raba ttsto ffelfunktion t

lxi

2000

m ME

An den Rabattgrenzen 1.000 ME bzw, 2.000 ME bes itzt W lruolgc der Rabattsprünge ctcntaus Sp rung.'itelIen, was daz u füh rt , das s der Zahlbetrag W nich t monoton mit der Bestellmenge x wächst. Dies bed eutet in der Praxis, das s bes t immte Bestellmengen unwahrschein lich sind: So kos ten z.B. 1.60 0 M E (z uje 80,- € / M E ) 128 T€,während 2.000 ME (zu je 60 ,- € / ME ) lediglich 120 T € koste n. Daher werden - aus reichende Lagerkapazität beim Besteller vorausgese tzt - Bestellvolumina zwischen 1.500 und 1.999 ME (zugunstcn einer Bestenmenge von 2.000 ME) in der Regel nicht realisiert werden. Beispiel 4,7.3: Eine Unternehmung biet et eine Ware zu einem Grundpr eis von 100,- € /ME für alle Best ellmengen bis e inschließlich 1.000 M E an. Für jede darüber hinau s bestellte ME (b is incl. 2.000 ME ) wird ein Raba tt von 40 % , für jede über 2.000 ME hinaus be stel lte ME wird ein Rabatt von 70 % auf den Grundpreis gewährt. (Man beachte, dass d er Rabau hier - im Gegensatz zu Beispiel 4. 7.1 - nicht auf die gesam te, sondern nur auf die jeweils bestimmte Grenzen iibersteigende Bestellmenge wirkt.) Werd en beispielsweise 2.500 M E bes tellt und geliefert , so za hlt der Kunde für die erste n 1.000 ME je 100 ,-€/ME,fürdie:m'eiten 1.000 ME je 60,-€/ M E und für d ie letzten 500 ME je 30,- € /ME, insgesamt also 175 .000 € . Damit laute t der Best ellwert W(in€)i nAbhä ngigkcit der Ltefermenge x (in ME):

I I

100,

W(,) = d.h.

W(x) =

60( x - 1.000) + 100 .00 0 30( x-2.000) + 160.000

IOOx 6()x +

ruT fUT rur rur

~ O . OOO

30x + 100.000

O :S x s L(lOO 1.000 < x 2.()(}() < x

~

2,(lOO

o s x s LO(lO

rur t , OOO < .~ s 2.000 fü r 2 ,000 < x

193

4.7 Stctigkeit ö konomischer Funktionen

Bildet man an den Naht stellen (d.h. xI =1.UOObzw. x2 = 2.000) des Defin itionsbereiches die G renzwerte von W(x) für x- l .000 bzw, x -2.00Q, (W ) in T€ so folgt:

'"'

IJm

W(x) = lim lOOx = to O.OOO = W(1.000),

!im

W(x) = lim (60x+4 0.000) = 100.000,

lim

W(x) = lim (60x+40.000) = 160.000 = W(2.000),

x_

1000-

x_

x _100 0 +

x_

x_

x _ 2000~

lim

1000-

Rabatts/affe/-

funktion 11

1000 +

2000-

- r--

- ' --

W(x) = lim (30x+ l 00.000) = 160.000,

. _2000 +

._

- ' --

IO:W

2000 +

ZO:W

-

lxi ME

1f"J

Abb.4.74

d.h. W ist - wie nach der Ko nstruktion der Rabattstaffel zu erwarten - überall stctig fs. Abb. 4.7.4).

Beispiel 4.7.5: Bei P roduktionen mit quanutenver Anpa'isung eines Produktionsfaktors wird mit steigendem Output x jeweils bei Vollauslastung cines Aggregates zusätz lich ein neues eingesetz t. Da für jedes Aggregat fixe Bcreitstcllungskosten entste hen, ergibt sieh - bei konsta nten stückvanablen Kosten - etwa folgender Cesarn tkes tenverla uf

I IKJ Abb. 4.76

(el' werden im Beispiel mehrereidentische Aggregate

»>

umerstelh]: 0,8:0.: + 150 O.Rx + 200 O,Sx + 250 O,Sx + 300

K(,) =

für

,

~

O~x~IOO

für WO < x s 200

»>

,

Gesamt/(ostenfunkhon bei quantitativer Anpassung

10°1

rur 200 < x s 300 fur 300 -c x ~ -400

lxi

ol-~~'c----~--=c.:. 100 200 300

Dabei ent stehen pro Aggregat "intervallfixe" Bcrcnstcltungskostcn in llöhe von 50 G E sowieeinmalig globa l Fixkosten von 100 GE. Pro Leist ungseinheit (LE) entstehe n variable Kosten von 0,8 GE ILE . Die maximale Ausfestung eines jede n Aggregates beträgt 100 LE. Die Gcsam tkostenfunktion K hat nach jeweils 100 LE e inen Sprung in Hö he der intervallfixen Kosten von 50 G E pro neu eingesetztem Aggregat.

I lkl

Die zugchö ngc Stüc kkosrenfunktton k mit

K ( x)

k(x) = - x =

0 ,8 + 150/x O,S + 200/x 0,8 + 250/x U,S + 3UO/x

fü r

1

0< x ~100

für 100 < x s 2UO

für 200 < x für 300 -c x

~ ~

300 ·WO

1., j .

,i

o

\~ 5IVckkosienbei quantitativer Anpassung

Abb.4.1.7

~...... •• . . "_•. ••• __

x, 100

200

hat ebenfa lls nach jeweils 100 LE einen Sprung in Höhe der auf die bisherige Produktlonsmengcx, zu verteilenden neu hinzuge kommenen intervallfixen Kosten ~ (x, = 100.200,300, ...). Für x-O + wachsen die Stückkosten übe r alle G renzen, da lim k(x) = !im (0.8 + l ~.O ) = 00, d.h. k hat an der Stelle xQ = 0 einen Pol. x_o+ x_o+ I

194

4

Grenzwe rte und Stetigkeit von Funktionen

Beispiel 4.7.8: Kostenfunktio nen für P rodu ktionen mit zeitlicher AIl P:L~S un g eines Produktionsfaktors können Ecken aufweisen, wenn man unterstellt, dass von einer gewissen Austastung an konstante " Übe rta.~tzll';chläge~ auf die variablen Stückkoste n ~ zu zahlen sind. &(KI

Beispiel: Fixkosten: 100 GE; variable Stüc kkosten für eine Auslastu ng 0 < x s 50. Für Ausrasr ungen über 50 LE erfolgt ein Zus chlag von 100% auf k, ~ Gcsamt kostcnfunktion K

k... = 2 GEILE

fIir

2x + 100 4.(x - 50) + 200

K(') •

rur

Abb. 4.7.9

Ge!iamlk.os len

bei zeillicher

O <x ~50

Anpassung

50 < x ,

d.h . 2x + 100 -lx

K(,) =

Hir

O< xS 50

lxi

für 50 < x .

'00

50

Da gilt:

lim K(x) = Jim (2x + 100) = 200,

x_50 -

x _sö -

sowie

Iim K(x) = lim 4x = ZOO

. _ 50 +

. _ 50 +

sowie

K(50) = 2 ·50 + 100 = 200, ist K (trotz Ecke) stetig, siehe Abb . 4.7.9. durchschnitltiche variable Kosten be i z eitlicher Anpassung

Die Funk tion k, mit

k...(x) '" K,(x ) x

4

der d urchsch nit tliehen variablen Kosten {identisch mit der Steigung VOll K(x» ist dagegen an der E cke Xo '" 50 LE un,tetig. "" springt von 2 GEILE um 100% auf 4 GEILE (sieheAbb. 4.7.10): O <x S50 Hir 50 < x

für

kJX)"' {~

~J,-_-,-

o

IXI

50

Abb.41 10

'00

Aufgahe 4.7. 11: Für die folgenden Fun ktionen ermittle man a) den Definltkmsbereich, b) die N ul1stcllcn sowie c) Ort und Art ihrer Unstctigkcitcn:

un

f(y)::

ii)

f(x)::

I c 1/ (2y- 4) 10

i\')

z-e l f(z) :: ln ( ;:-;, ) ;

\-i)

her) =

für )' "*" 2

m r y ~ 2;

(x + h)4 - .~ 4 rur h* 0 v]

vii)

" iii)

,)

ffh) =

b>(t) =

(x 2 - 2x + I ) (x - 4) (x - l) (x2 - 4x + 3)

3x 2 - ]x (x - I)(x L3x +2 )

1

-Ix 3

{

~

h

_ 1/t 2

b1x) :: (x + I ) (x -

v;- - 2

f(,) = 0,5

f(jr h ::() ; (x

>

ix) f(, ) = .

I, - 2 I + 1

4

const)

für 1 "*" 0 für 1 :: 0 ; I)

pL

2- 1/ p _ 2

x2+ i - 4x + 13 x L2x -i

rur - o<> <x S2

'ftirl<

5

fil,

2 <x S 3 3<x< 4 xe 4

.u,

fil,

4<x<

.-.

0<>

4.8

Asympto ten

195

4.8

Asymptoten

Betrachten wir die elementars te gebrochen-rationale Funktion, f(x) '" sich die Hype rbel-Aste für x - ± oo jeweils der x-Acbsc beliebig gcnau annä hern. a ndererseits für x- O sich der I-Achse beliebig genau ann ähern, waagere chte Asymptote siehe Abb. 4.8.1. fOr x _

Wie schon in Bemerkung 4.1 .20 erwähnt, nennt man diese waagerechten (bzw. senkrechten) Näh erungsgcradcn AsP lllltote( n) 3 von f 4 für x _ 00 (bzw. für x - 0).

~

-,

±oo

(x 4= 0). so stellen wir fest , dass

{tl I

I

IM = x!.

,

_____ senk.rec hte

Abb.4. 81

{x {

Asymptote fürx _O

!

Insbeso nde re bci gebrochen-rationalen Funktionen ist es immer wi eder zu beo bachten, dass für sehr große (x - 00) bzw. sehr kleine (x- - 00 ) Werte der unabhä ngigen Variable n x d ie bet rachtete gebrochenrat ionale Funktion fex) sich einer Asym ptoten -Gerade ode r einem La. recht einfach gebauten Asymptote n- Polynom immer mehr nä hern und sich schließlich kaum noch von d ieser Nähcrungsfun ktion(odcr " Asym ptote nfunklion"}un terscheiden.

{tl Beispiel 4.8.2: E s gilt:

.- -

lim f(x) '" 00

sowie -

(sieheAbb. 4.8.3)

lim f(x) = - 00 x- - .,.,

Übe r die A rt und Weise der Ann äherun g f kann man nun gcnauercs sagen: W egcn f() x =

0,5x2 + 1

x

=

(xl

Asymptote A(xJ fOr x _ ± oo

00

1x ., nämlich: u

05 , X+ -

gilt

A (xl = O.5x

Abb. 4.8.3

h

Für große x, d.h. x _ 00, verschwindet de r T enn 1/ x• so dass f sich immer mehr dem verbleibenden T erm 0 ,5x nähert (von oben, da I/x > 0). Für sehr kleine x (x - - 00 ) verschwi ndet 11x ebe nfalls, f(x) untersc heide t sich von dem verbleibenden Term O,5x hcliebig wenig, sichc A bb. 4.8.3: Man sagt: Die Gerade A(x) = 0,5 x

I.~t A~)mptotenfunklion zu:

f: fex) = 0.5 x +

~

für

x _ 00.

Allgemein def iniert man ein e Asympto tenf unktio n A A(x) zu eine r gegebenen Funktio n U(x) y,i e folgt: Def, 4.8.4: Gegebe n sei die Funktion f: f(x) mit rechtsseitig (bzw. linksseitig] unbegrenztem Defi mtionsbcreicb . D ie Fun ktion A: A(x) heißt Asymptote zu f für x-e- 00 (bzw. x - - 00), wenn für x- 00 (bzw. x - - 00) die Differenz zwisehcn f fx} und Asymptot e A(x) gegen Null geht, d.h. wenn gilt: (bzw. tim (j(x) - A (x» = 0 ) lim (f(x) - A(x») '" 0

3 Das Wort ~ AS}mptote " (griech.) bedeutet - wörtlich übersetzt - ~ N I,ht-ZUsaJnm'ltfal1el1d' "; vgl. atlerding s hierzu Bemerkung -1.1.21. 4 eigenthc h: Asymptote des Fu nktionsgraphen von f .

G renzwerte und Stetigkeit von Funk tionen

196

Bei gebroc hen-ra tionale n Funkti onen Jassen sich A symptoten dad urch ermitteln, dass ma n fex) durc h Polynomdivision in ein Polynom A(x) plus einem (für x- ± 00 stet s verschwindenden) echt 5 rationalen

Rest R(x) zerlegt.

,.

Beispiel 4.8.5: Ges ucht ist die Asymptotenfun ktion A(x) zu f rmt. f·() x = -,6x-43 fü ur x -+

Polynomdivision liefert:

(6x - 4) : (2x + 3) 6x+9

3

1 (/1

13 2x+ 3

I

- 13 Wegen

<><> .

3· A(x }= 3

!im R(x) "" lim _ 1_'- : 0 x_<><> 2x + 3

x _<><>

lautet d ie A sympt ot e: A (x) : 3, siehe A bb. 4.8 .6.

Abb .4. 8.6

Bemerkung 4.8.7: Ist fex) von vomeherein echt-rational, so gill lei A (x) = 0, sie isl identisch mit der Abszisse, siehe das

Beispiel 4.8.8:

Gesucht ist die A symtotc A(x) fü r x (x * - 1) .

lim [(x ) = 0, d.h. die Asymptote lau-

Beis/ielJ<:t.j =;

inAbb. 4.8.1.

± 00 der Funkt ion (mit fex) =

x3+3x 2+ 3x +2 x2 + 2x+ 1

Po lynomdivision liefert: f(x)=(x 3+3x2+ 3x+2) x 3+ 2x 2+ x x 2+2x+2 2 + 2x + I

-I

(x 2+2x+l)

-lx

x+ 1 + A(x)

~ Rcs t "

R(x)

1 De r R est R(x) vcrsch....i ndet für x .... :l;oo, da her ist die A symptote gegeben durch die linea re Funktion A(x) = x+ 1. Weiterhin er kennt man, dass der Rest R(x) sowohl für sehr großcx (X"" 00) als auch für sehr kle ine x [x .... _00 ) posit iv ist, so dass man zur A symp tote noc h etwas Positives hinzufügen muss, um f(x)zuerha lten: fex) = A(x) + R(x)

1 111 I

I

-,

(für X"" ± oo ),

,I

."

Asymp -

~

>0

A{x/ =x+1

rn.a.w. f mus s stets obe rhalb der Asymp tote verlaufen, siehe A bb . 4.8 .9.

Abb.4. 8.9

S Eine gebrochen-rationale Fu nktion f: f(x) hciBt ~cchl "-ratio nal , wenn der Grad des Nennerpolynoms größer ist als

der Grad des Zälücrpolynoms , wie :1,.8 . bei f(x) = S';',+3. 2. · -1

4.8

197

As ymptot en x 6 + 5.,,2 - 50x 5x4 + 25

Beispiel ·1.8. 10:

xe lR .

Polynomd ivision liefert: f(x) = (x6+ Sx 2-S0x )

- lx

6

+ sX

10.'(

(5x4 + 25)

- x4 + 5

2

(. )

50x

D ie Asympto tenfunktion A :A(x) = ~X2 ist quad ratisch, der " Rest" R(x) st rebt fü r x -- ± 00 gegen N ull. Dabei ist R(x) = 0 für x = 0, dort also schneidet die Funktion f(x) ihre Asymptote A. Der Rest R(x) ist für x __ 00 positiv (bzw. für x - - 00 negativ), also muss wege n f(x) = A(x) - R(x) (siehe die O riginalfun ktio n f für x - 00 unterh alb der Asymptot e fbzw. für x --oo ober halb der Asymptot e) verlaufen, siehe Abb. 4.8 .11:

r-»

I III

I

lxi

Abb. 4.8. 11

Aufgabe 4.8. 12: Man ermittle die Asymptoten für x sehr große und sehr kleine x: i)

f(x) = - ' - ; 1+x

iii) f(,) =

~ l -h 2

ii)

± 00 folgende r Funkt io nen und skizziere f für

f(x) =

iv) f(x) =

9x3 + x 2+ 1 3x3 + x + -I

5 \i) f(x) = - - . e" + -I '

eK _ 10 cK + 2 •

\ ii) f(,) = - - - .

ix) f(x) = xV;- + 1

v:;-

z

\-iii) f(x) = - ]6 ' ~3';

Grenzwerte undStetigkeit von Funktionen

198 Aufg:lbe4.B.13 :

Man erm ittle jeweils eine möglichst einfac he gebroch en -ra tionale Funktion, die fo lgende Asym ptotenfunkt ionen A (fürx- <><» besitzt: i)

A(x) = - 2,5

ii )

A(x) = 0

iii)

• +3 A(x) = '2x

lv]

A(x) = 2xz - 2x - 3

Aufgabe 4.8.14:

Es sei K(x) = ax! + bx! + cx + d, x > 0, die Gk ichung einer(ertragsgesetzlichen)Gesamtkostenfunk tion K: x 1--+ K(x). Man zeige, dass die durch schnittlic hen variablen Kosten kjx) Asymptotcnfunktion (für x -- 00) der du rchschnittlichen Gesamtkosten k(x) sind.

Aufgahe 4.8.15: Gegebe n sind die Konsumfunktionen C mit:

C( Y) = ~ Y +l ' b)

Y > - O.

q V) = O, 5y2 + 5,5YH5, Y a 0 Y+ 9

(Y: Einkummen in GE ; C: Konsu m in GE - jeweilsp ro Rrferenzperiode). i) Man überprüfe jeweils das asymptctische Verhalten des Konsums für unbeschränkt wachsendes

Einkommen. ii) Gibt es einen Sättigungswert (siehe Bsp. 4.3. 7 ) für den

iii) Man skizzie re jeweils den Konsumvert auf.

Konsum'!

199

5 Differentialrechnung für Funktionen mit einer unabhängigen Variablen - Grundlagen und Technik

5.1 Gru ndlagen der Dttreren üat rechnung 5.1.1 P roblemstellung Wie be reits in der E inleitu ng z um letz ten Kapitel angede utet, gehört zu vielen wichtigen fun ktional darstcllbarc n Problemen in Nat urwissenschaft und Öko nomie nicht nur d ie Frage nach der fu nktionalen Zuordnung von Proble mvariablen. so ndern ebenso die Information über deren wechselseitig verursachte Bewegungen , Entwicklungen und Änderungen: -

Für den Piloten eine r R aumfä hre ist es nicht nur wicht ig zu wissen, in .....clcher Position er sich zu einem bestimmten Zeitpunkt befindet, sondern a uch, wie sich dies e Position im Zeitablauf ändert. wie großseine Ge schwindigkeit s- und Bcschlcunigungsän dcrungen im Zcitablauf sind.

-

Für den A nbieter eines G utes ist es nich t nur wichtig zu wissen, wie hoch sein E rlös bei clncmgcgcbcnen festen Marktpreis ist, sondern vor allem auch, wie sich - nachfragcbcdingt - sein Erlös ändert . wenn er den Verkaufspreis um eine n bestimmten Betrag (ode r Prozen tsatz) anheb t ode r senkt.

-

Für den Hersteller eines Produktes ist es nicht nur wichtig zu wissen, wie hoch seine Gesamtkosten oder Stüc kkosten für eine best immte Prod uktio nsmenge (oder A uslastung) sind, sondern vor allem auch, in welcher Weise sich diese Kosten ändern . wenn die Produktionsmenge (oder die Auslastu ng) gesteige rt oder gemindert wird.

-

Bei der An alyse der A uswirkungen von Lohnerhöhunge n ist es u.a. wichtig zu wissen, wie sich die G uternachfrage bzw. die Konsumau sgaben der Haus halte ändern. wen n das Ha usha ltseinkomm en um einen best immte n Betrag (ode r Prozentsatz) a1t~l eigt .

Die Aullist ung derartiger Probleme, bei denen es entsche idend a uf die Äntlerung.\ lendenz einer Funktion f: y '" fex) an kommt. wenn sich d ie unabhängige Variab le x ändert, lässt sich beliebig fortsetzen. Vor etwa 300 J ahren schufen - fast unab hä ngig voneina nder - Go ttfncd Wilhd m LEIB]\.l Z (1646 -17 16) und Isaac NEWTOC\l (164 2· 1727) mit der Differ entialrechnun g ein a ußerorde ntlich leistu ngsfähiges und effektives I nstrumentarium I zur mathematischen E rfassung derartiger .Änderungen';

5.1.2 Durchschnittlich e Funktionsst eigun g (Seka ntensteigung) und Differen zenquotient A nschaulich kommt d ie Änden mgstendeuz einer Funktion f durch d ie meh r od er weniger große "Stcilheit" ihrer Funktionsk urve zum A usd ruck (A M. 5.1.1); l Ohnedie Differentialrechnung wäredie rapide neuzeitliche Entwicklung von Naturwissensc haft und Technik nicht möglich gewesen.

200

5

Di fferentialrechnung fü r Funkti onen mit einer unabhängigen Variablen

I {Kosten}

l lKoslenJ

il

ii}

Kostenzu wachs . g ro{j "

Abb. 51. f (Oulp ul)

{Output}

,,1 So wachsen bei einer ,,steil" ansteigenden Kosten kurve (AM . 5. 1.1 i)) die Kostenwert e be i Qutputzunah· rot: relat iv rasc h , bei einer " flach" ans teigenden Kostenkurve (AM. 5./ .1 ii» dagegen relat iv lan gsem .

o

Bei ünea ren Funktione n lässt sich das Änderu ng.w er* hallen vo n f d urch die Gern de nsteigung q uant ita tiv besc hreiben (s. Kap. 2.3. 1.2): Un ter der Steigung mder linearen Funkt ion f: y '" f(x) == mx + b versteht man da s (überall konstan te) Verh mlnis von I1öhenänderung A f (Ä ndcr ung von f ) zur ent sprechenden Honzoetalenän deru ng.6..x(Än de rung von x). siehe .Abb. 5 .1.2 :

p .-

-

- .1<

Abb 5 1.2 f(x o + 6.x) - f(xo)

(5.1.3)

A,

E s liegt nah e, den linea ren Stcigungsbegriff auc h auf nichtlinea re Funknon en zu übertragen. Da bei Mgckriimm te n" Funktionsgraph en de r MA nstieg" von Pu nkt zu Pu nkt versch iede n ist. stellt sich somit die Frage nac h der _Ilteigung von r in ein em Punkt P (~ , r(~» " . Kon struiert I1UIh in Analogi e zum linearen Fall im Punkt P ein be liebiges Stctgungsdrclcck, so misst das Verhältnis M I öx die Steigung der Sekante PO (sieh e A hb. 5. 1.5) oder a uch die Mdurchschllitt liche " Steigung von f zwischen P und Q. Offenba r approximiert die Sekantensteigung de n gesuchten Ku rvenen sueg in P umso besser. je näher der zweite Kurven-Seka ntenschnittpunkt Q zu P liegt . W ir wollen im folgenden versuc hen. die dami t angedeut et e Idee zu r Ermittlung der Funkt lonssteigung in P zu präzisieren : E s seien P(xo• f(xo)) und Qt(x I' fex ))) zwei benachha rte Punkte einer gegebenen Funk tio n f. Dann ist die Ste igung m s der Sekante PO, gegeben durch de n Te nn (siehe Abb. 5 .1.5):

(5.l.6)

ms = tan cq

=

fl) ;:o+ 6.x ) - f(x o)

A,

0,

P

Pb.~"'"

+---'-

,

Llf = trx,l -f(X,) = f(xo+t1xI ·f(xo !

--'--;-_

'xl

Abb. 5 1.5 = ((XI) - QXU) XI - Xo

Bemerkung 5.1.7: Die Sekantensteigung (5.1.6) hdßI aus naheliegenden Gründen auch DijJerellzelllJllOlien!. Sein Wert .1J1L1x hängt sowohl VOll der gewählten Stelle Xo wie auch vom gewählten horizontatenA bstand .1x der Punkte P und QJ ab, sieheAbb. 5.1.5.

5.1

201

Grundlagen der Differentialrechnung

s.u

Steigun g und Ableit ung einer Funktion (Differentialquotient )

Da die Sckantensteigung den gesuchten Kurvenanstieg in P umso besser annähert, je dichter Ql an P liegt, halten wir nun den Punkt p(xo, f(xo» fest und nähern den Punkt Q I (etwa über die Stationen 02,0), ...) längs der Funktionskurveimmer mehr dcm Punkt P. Aus Abb. 5.1.11 ist ersichtlich, dass sich bei Lageänderung der Sekante auch dercn Steigung ändcrt. l n den meisten vorkommenden Fällen kann man nun folgendes beobachten:

Während sich für Oi- P die entsprechenden Sekanten immer mchr einer Gr enzlage (in Ab b. 5.1.8 mit "Tangente- bczciehnct) nähern,streben dieSekanten-Steigungen immer mehr einem Gre nzwert zu (und zwar unabhängig davon, von welcherSeite die Punkt e Oj gegen P streben).

; 111 = f(x o+<1XI - f(xj

Wenn dieser Fall eintritt, so bezeichnet man den Grenzwert der Sekanten-S teigungen als Steigung der Funktton f an der Stelle xo' Diejenige Gerade, die dureh P verläuft und deren Steigung mit der Funktionsstcigung überel nsnmnn . heißt Tangente an f in P (siehe Abb . 5.1.8).

f(x I

--.-

o

P

...

f'-= '-'-'';'''''''-9 ",x

oa Abb. 5.1.8

Der soeben graphisch und auf anschauliche Weise demons trierte Grenzprozess zur Ermittlung der Funktionssteigung lässt sich mit den Symbolen von Abb . 5.1.8 auch formalmathematisch durchfüh ren. Bevor wir dies an einem Beispiel zeigen, sollen die üblichen Bezeiehnungsweisen definiert werden:

Der. 5. 1.9: Existiert für eine Funktion f y '" f(x) an der Stelle Xo der Grenzwert des Differenzenquotienten (5.1.6):

11m O

(5.1.10)

Ax _

Qxo + ~x) - Qxo)

M ~x

~,

so heißt f an der Stelle Xo differenzierbar (oder ahleithar ) . Den Grenzwert selbst bezeichnet man als Funktionssteigung. (erste) Ableitung oder Differentialquotient von f an der Stelle Xo und schreibt dafür symbolisch:

f'(xo)

bzw,

~f I

(gelesen: "f -Strich vo n x o " taw. " df flach dx an der Slelle Xo ").

x x- x"

Bem erku ng 5.1,11: i) Geometrisch bedeutet die erste Ableitung !'(xo) da sselbe wie die FunktionsTangentensteigung von f an der Stefle XO'

t aw.

ii) Die Berechnung des Grenzwen es (5.1.10) heißt A bleuen oder Differem ieren. iii) Folgende Beseidmungsweisen [ur die erste A bleitung einer Funk tion sind anz utreffen:

flx,1

0

y ,(x,)

0

.!!1. I

dx .........

0

.!'LI

dx x_x"

0

f: y

= f(x) an der Sielle Xo

I

- d f (xl ~ ax x -x.

(Die letzte B ezeichnung wird gelesen: "d nach dx von f(x) an der Sufle Xo", Dabei f asst man - analog zum " Strich" in!'(xo) - das Sym bol ~ als Operator auf, der signatisten, dass f ahgeleitet werden sol1.) iv} Die Bezeichnung Differentialquotient f ür die erste A bleitung soll daran erinnern, d ass es ruh dabei um den Grenzwert des DijJerenl.enquotienten ha ndelt.

202

Differentialrech nung für Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

5

Für f : f(x) = 0,2x 2 sollen ermit telt werden:

Beispiel 5.1.12:

i) die Funktionssteigung (Ableitung) an der Stelle p(2; 0.8 ) ii) die Gl eic hung der Tangente an f durch P ; iii) die Funktionssteigung (Ableitung) an der Stelle (xo; O,2xo2),

IIfI

zu 1): Wählen wir als Nachbarpunkt zu P(2;O,8) den Kurvenpunkt Q I mit Q l( 2+ Ax ; Q,2(2 +6x)2), so erhalten wir als Steigungder Sekanten PQ I (siehe Abb. 5.1.13): l{2 +6.x) - f( 2)

6,

U,2(2 + .:\1\) 2 - 0,2 . 2 2

=

;,

0,8 + 0,8 · ;').x + O,2(6.x)2- 0,8

6, = 0.8

1

ff2+dxl

=

6'

01

+ O,26x

,

.....

Die Funklion-".~Ieigull g ( Tongerumsteig ung, A bleitung) f'( 2) ergibt sich als Grenzwert der SekanI!'nsteigung für ex __ 0: df

['(2)

= =

.

.1<

lxi 2• .1<

2

Ar

dX l x ~ 2 =o~l~ 0 ~

I

=

y,

lim (0.8 + 0,2 Ax) = 0,8 .

Ax_

O

zu ii): Nach der Punkt-Steigungsform (2.3.29) für Ge raden hat d ie T angente d urch P(2;O,8) mit der Steigung 0,8 die Gleichung:

(JieheAb b.5.1.14) .

= 0,8x - 0 ,8

zu iii): Ein von P verschiedener Nachbarpunkt Q ] hat die Koordinaten

(xo+illI: ; O, 2 (xo + ~xl), so dass sich als & kantcns tcigung ergibt (siehe A bb. 5.1.15):

O,2(xo + ~x) 2 - n,2x o2

6,

o,2xl

-' :-

"

Abb. 5 f . f3

Die Funktion (bzw. ihre n Tangente") hat im Punkt p(2; 0,8) die Steigung 0,8 .

y,

P

,. {(21 -,

0,8

8.:.:(0,8 + 0,2 d x)

+ O,4x o ' ~x + O,2{~x)2 - O,2 xo2

6,

6.x (O,.Jxo + O.26.x)

a,

0,8

p

°1 - 0-8 I

2

Abb. 5

1111 0,

ffx()+LlxI =(fiix~~AxI2

'.(~'tL=:..

,'-

O,2x/

-:

- .1<

"

Abb , 5. f . f5 = O,4xo + 0,26..x .

t, f 4

IM = o,2x2

5 .1

203

G rund lage n der Differenti alrechnung

ex- 0

Dcr Grcnzwert der Sckantensteigung für

liefert die gesuchte Funktionssteigung (Ab1cit ung)

an derStelle x(l: f'(Xo) =

lim

Ax- (l

~f

u. X

=

iim (OAx(l+ O,Z6x) = OAx(l'

ax _

O

Für einige spezielle Werte Xo sind un ten stehend Punktionswert. Steigung und Tangentcngleichung aufgefü hrt , siehe auch Abb. 5.1.16.

I (I/

'.

-2

f(xo) = O,Zx02

2

OAxo -0,8

)' - - 0,8x - 0,8

0,2 0,8

0,4 0,8

y "" Y"" 0.4:.; - 0,2 )' ~ 0,8x - 0,8

°

f!xl = O.2X'

T angentengleichung

0,8

°

0 1

f'(xo) =

~~~

°

-2

I

2

lx /

Abb. 5. 1.16 Das obige Beispiel lässt fo lgendes erkennen: I) De r Rechenaufwand z ur E nnittJ ung de r A bleitu ng f(xo) an einer beliebigen Stelle xo (vgt. iii» ist fast genauso groß 'Nie der zu r E nn itt iung von f'(Z) (siehe

i».

2) D ie Ken ntn is der allgemeinen Ableitu ng f (xo) b ietet dc n große n Vort eil, das s nunmehr die Ab leitung von f an jeder beliebigen Ste lle xo unmittel bar durch Ernsetzen von xo in den A bleitu ngsterm f(xo) erhalten werden kan n, d.h. ohne das s jedesmal von neu em ein - mühsamer - Grenzprozcss d urchgeführt werden mus s. 3) Die Tatsache, dass - 'Nie im vor stehenden Beispiel - für eine vorgegebene Funkt ion f zu jeder Stelle

Xo genau eine AbleitWlg (od er Kurvens tcigung) f'(xo) existieren kann, zeigt, dass man die Ableit ung f" in einem I ntervall (od er in IR) wi ederum als Fu nktion der unabhängigen Variah len x auffassen kann : Def. 5. 1.17: (Ableitungsfunktioo)

I)

Ex istiert ZU einer Funktion f in jedem Punkt x eines Inte rva lls I (mit I C DiJ die (erste) A bleitun g f'(x ) , so heißt f (in I) differen zierbar 2.

ii)

Die Funktion f ", d ie jedem x ( E I) die zugehörige (erst e) Ableit ung (oder Funktionssteigung) I'(x) vo n f zuord net , heißt abge leitete Funktion von f, Ableit ungsfunklion von f od er kurz Able itung f' von I .

iii)

Ist f' in I stetig, so heißt f in I ste tig differe nzie rbar.

Um z u einer vorgegebe nen Funktion f: y = f(x) dic Ableitungsfunklion f ": y' = f (x) zuerhalten.crmi trclt man wie bisher (siehe Beispiel 5.1.1Z iii» den Grenzwert des Dtfferen zen quetlenten (5.1 .10), wo bei ma n nun für Xo allgemein x setzen kann:

(H I 8)

f '(x) =

.M. d,

=

tim

M

Ax -" 0 ll. x

lim

'" - ,

f(x

.,

+ ll.x) - f(x)

2 Ist I - [a,b] cin abgeschlossenes Intervall, so genügt an den Intervallgrenze n a ,b einseitige Ditrcrcnzierbarkeil, d.h. Existenzder einseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten M Ill.x (siehe auch Bemerkung 4A .5).

204

5

Differentialrechnung für Funkt io nen mit einer unabhängigen Variablen

i) Für die Ableitung I'(x} der linea ren Funktion f: f(x) = rnx+ b ergibt sich wegen

Bei~pi eI5.1.1 9:

.M

ll.x =

f(x + tr.x)-Qx)

öx

'"

m(x +t..x)+ b - mx - b

tr.x

=

mö x

~

= m

der stets konstante Wert fe x) = m, in Übe reinstimmung mit dem üblichen Steigungswert m der Geraden y = mx+b . Für m = 1, b '" 0 ergibt sich insbesondere:

Ifex)

(5.l.20)

=

x "

f(x)

ii) Die Ableilung zu f(x) = 0,2,,2 lautet: f'(x) = O,4x

= 1

I.

(siehe Beispiel 5.1.12 iii» .

iii) Sei f(x) z.B. gegeben d urch f(x) = xL 12x . Nach (5.1.18) gilt:

Af f(x + 6 x) - ((x) 6x = 6"

Cl' + 11,,)3- 12(x + tr.x) - ,,3 + 12x 6"

3x2 . 6,x +3x" (6.x)2+ {.D.x)3_ 12 6 x 3' 3 tl x = x + X· ßX

=

Daraus folgt: f(x) =

lim

& _

0

4f. I.lX

= lim ill _

O

+

( ), 12 M .

(3x2 + 3:< ' ex + (ll.xi - 12) = 3x2 - 12 .

f besitzt daher z.B. an der Stelle x '" 1 die Steigung f ( l ) = - 9 usw. Ei ne waagerechte Tangente (d.h. mit der Steigung f'( x) '" 0) liegt vor für x = 2 bzw. x '" - 2 .

iv) Es werde nunmehr die Funktion f mit fex) =

.x

f(x +6'1:) - f(x )

•-«.. &x) (n

.x

-...'-. .. - -'-,

Nach (5.1.18) gilt:

(fJ

{{xl =

L: x

rfXI=-;

•.x

-6 x 6x · ( x + 6 x) ·x

&xl ' ,

-1

f'(x)", .JL ( ..!.. )"']im -] dx x &x - o (x +6. x)·x

~

(x!

·2

Daraus folgt;

(x + 6 x) ' x

f'(x) = -

~ (x,*O)betrachtet.

o

4

. d.h.

(siehe auch Abb. 5.1.21).

x

2

Abb.5 1.21

Aufgabe 5. 1.22: Für die nachstehenden Funktionen ermittele man nach (5.1.18); a) b) c) d)

(Losungen zu a) in Klammem) ; die Ablcitungsfunktion f'(x) die Funktionssteigu ng an der Stelle xc = 1 ; die Gleichu ng der Kurventangente an der Stelle Xo '" 2 ; diejenigen Stellen xo, XI' ..., in denen der Gra ph von f eine horizontale Ta ngente (I'(x) '" 0) bes itzt; i)

f(x) '" - 2x2 + x (- 4x +J ) ;

iii)

fex) =

v)

fex)

=

VX (x > 0) 0,Jx4

( ,:- ) 2"

(O,4x3).

ii)

fex) = 2010x + 1

(2010);

fex) = -5x-1. (x",O) x

(-5 + 2 ) x'

5.1

205

Gr undlagen der Differentialrechnung

5.1.4 Differenzierbarkeit und Stetigkeit Bei allen b isher be trac hteten Fu nktionen wurd e st illschweigend d ie Ex istenz de r A bleit ung f'(xo) a n jeder Stelle Xo vorausgesetzt. Da jedoch f (Xo) ein Grenzwert (des Differen zenquotienten von f ) ist, können die gleichen Falle der Nicht existenz eines Grenzwertes (hier: f'(xo)) auft rete n, wie sie in Kapitel 4.5 (U nstetigkeits type njfür be lieb ige Funkt ion en f an der Ste lle Xo beschrieb en wurden: 1.) Der G rap h d er Funkt ion f könn te in Xo ei ne Ecke oder einen Knic k (Abb. 5.1.23 ) aufweisen, d.h. link sseitiger und rechtsse itiger G renzwert des Differenzenquotienten existieren dann zwar, sind aber von einand er verschieden. D ies bedeutet:

f'( xo) existie rt nicht, es gibt in Xo keine (eindeutige)Steigungv
r hat in Xo einen Spru ng.

Betsplel:

Die Funkt ion f mit f(x) '"

l

-x+3 2x _ 3

fii r x c z .

.-, .

Iür x e 2 Ist wegen hm fex) '" f(2) '" 1 an der Stelle Xo "'2

stet ig. J e nach A nnä herung an Xo (von links bzw. rechts) erhält man aber verschi edene Steigungen:

,)

lim

"", _

b)

lim

Ax_

f(2 + L\x) - f(2)

;,

0'

f(2 + L\x) - f(2)

;,

O·

=

=

lim

ill: _

!im

O-

- 2- L\x+ 3+ 2 - ) '" -1 öx 4 + 2L\x -3 - 4 +3

ruc _ o'"

2

;,

D ie linksseitige Ableitu ng ist -I , die rechtsseitige A bleitung + 2, d.h. f'( 2) existiert nicht, siehe A bb . 5. 1.24 .

IIfI ,

II!I

f

p I

oEcke o

f __

I

,p (x!

Ix!

'.

Abb. 5. 1.23

--

2

0

Abb. 5. 1.24

2.) Der Graph de r Funktion f könnte abe r auch in Xo eine senkr ech te Tangente (A bb . 5.1 .25) bes itzen. d .h. der Gr enzwert des Differenzenquotienten existierte nicht als endliche r Wert , die Sckantcnstcigungcn wachsen über alle Grenz en, streben also gegen .. oo ~. Dies bedeutet: f besitzt in Xo nur ei ne ..uneigcntli chc " A bleitung,

Bctsptel: Die überall stetige Funk tio n f mit fex) '" Ableitung, denn aus

,

f{Xo + L\x) - f(xQ) '"

;,

folgt mit ex - 0 : f'(2) '" siehe Abb. 5. 1.26:

00

,

VX"=2 + 1

r

hat in Xo eine n Pol.

ha t an der Stelle Xo '" 2 eine une igentlic he

,

V 2 + L\x - 2+ 1- VO- l

;,

a

V(L\x)z

, d .h. f'( 2) existiert nicht, die Tangentensteigung

tst, unendlich" groß,

206

5

D ifferentialrechnun g fü r Funktionen mit ein er unabhä ngigen Variabl en

111 I

11) p .Spitze"

p

ftx/=

Vx-2

,

lxi Abb.5.1.25

,

0

Xo

+1

lxi

x,,= 2

Abb . 5.1.26

Die beiden letzte n Beispiele lassen erkenne n, dass eine in Xo stetige Funktion dort nicht unbedi ngt differenzierbar sein muss, denn in Ecken ode r Stellen mit senkrechte r Tangen te existiert f'(x o) nicht . Umgekehrt dagegen kann man sch ließen; Ist eine Funkt ion f in Xo differenzierbar, so ist sie dort auch stetig. Urnkehrschlu...s: Ist f in xo nichl stctig, so auch nichr diffcrcnz icrba r.

Satz 5. 1.27:

Beweis: Nach

Der. 4.4.3 muss gezeigf werden, dass gilt:

lim f(x) f(xo) ,-" lim (f(x ax) - f(x » O.

d.h.

1'.. _ 0

=

o+

bzw. - gleichbedeutend -

o =

N un gill - da f'(xo) nach Vora ussetzung exist iert - : 11m (f(xo+ ax)- f(xo» = lim

"" -

0

f{x o+ Ax ) -f( xo)

Ax ' I D ; = f '(xo) ' ]im öx = f'(xo) -O L\x_ O

~- o

0,

d.h . aus de r D ifferenz icrba rkeit folgt imme r die Ste tigkeit, nicht aber umgekehrt . Aufgabe 5. 1.28: Man ermit tle die Ableitung f'(x o) folgender Funktion en an der angegebe nen Stelle xoFalls f in xo nicht d iffere nzierba r sein sollte, gebe ma n den näheren Gr und dafür an (z.B. Eck e, senkrec hte T angent e ode r Uns tetigkeit von f) . i)

f(xl =

iii) f(x) =

!_ x

s

2 O.Sx - 1 für x a z 2 + 5 für x c-z

Xo = 2

ii)

fiir x :> 3 für x > 3

xc = 3

iv) f(x) = x +

{:~ +3

f(x) =

VX ;xo = 0

I x- I I ; Xo = 1 .

5.2 Techni k des D i ffe re nzie rens Aus den Berechnunge n zu Beispiel 5 .1.19 wird erneut de utlic h, dass zur Bestimmung jeder Ableit ung

[Funkttonssteigu ng) ein - mit der Kompliziertheit der zugrundeliegenden Funktion f zun ehmend müh-

sam werdender - G renzprozess gehö rt. Wie sich zeigen wird, gibt es - glücklicherweise - eine Reihe relativ einfac her Ablehungsrege fn. die es gest att en. bei Kenntnis der A bleitungen nu r weniger Gru ntlfun ktionen (z .B. x", eX, In x) ohne erneute Grenzwertprozed uren auch alle diejenigen Funktionen abz ule iten, die sic h a us einer od er mehreren elementare n Grund funkti onen in bel iebiger Weise mathema tisch komb inieren lassen . Diese - für eine erfo lgreiche A nwend ung der D ifferenti alrechn ung unabd ingbare Technik des Differen zierens wi rd im folgenden zunäch st au sführlich behandelt, ehe sich I nterpretat ion und An wend ung von Abl eitun gen bei ökono mischen Funktionen ansc hließe n.

5.2

207

Technik des Differenzicrcns

5.2.1 Die Ableitung der Gru ndfunktionen 5.2.1.1 Ableit ung der konstanten Funktion r( x)

=c

Für den Differenzenq uotienten von f(x) = c = co nst. (e elR) erhält man: df

f(x+6x) -f(x)

dX=

t.x

c

e

c

= t.x =O

{(xl := const.

,

so dass gilt (wie es wegen des waagerechten Verlaufs des Funktionsgraphen (Abb. 5.2.1) zu erwarten war):

Abb.52.1

Satz 5.2.2: Die konstante Funktion f fex) = c = const. (ce IR) ist überall differenzierbar, und es gilt:

fex) = c = const. f'(x) = 0

(5.2.3) ~

1) 1(, ) " 2

Beispiele:

11) x(p) =

f'(x) = 0

~

"""

J!. const. = 0 d,

5.2.1.2 Ableitun g der Potenztunktton fex)

= x"

I

,

V4 - 2eO,5 + In 23

(n e N )

Für den Differenzenquotienten von fex) '" x n (n E IN) erhalten wir nach (5.1.18): M

t. x =

[(,, +6x) - f(x) t. x

Mit H ilfe der Binomischen Pe rmet (Satz 1.2.42) folgt daraus: M "ß + (n · " ß- I. t.x +( ~ ) ." ß-2 · (6x) 2 + ...+ { n·(dx) n - x ß 6.'1: = ßX n( n- I) , ß X' (n x n I + - ,_ ' x n - ' d x + ... + (ß x)n-I ) +

n (n- 1)

n-x'" I + - -z

' xß

z +

' ß X + ... + (Ax)o- I

Jeder dieser Summanden enthält mindestens einen Faktor 6 x, strebt alsofür 6 x - 0 ebenfalls gege n Null.

Daraus folgt:

I'(x} = (Xli)' =

lim

/UI: _

O

.M. Ax

Satz 5.2.4: (5.2.5)

fex) = xn

:::} f'(x) = ß ' xn- I

so dass giLt:

~

dx

dp '" O.

208

5

Bei~piel

Differentialrechnung für Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

to

5.2 .6:

i) f(x) = x <=> f(x) = xl ~

f'( x) = l ' xO = 1, (x* ü) . Wegen (5.1.20) bleibt das E rgeb nis auch für

x = 0 richtig,

*

r --:-'-...l ...

ii) f(x) = x3 => f'(x) '" 3x2 . iii ) p(t) = t

2OO9 =>

= 2009 · t

2OO8

I Abb. 5Z 7

(siehe auch Abb. 5.2.7) .

I... fxl

x.

Bemerkung 5.2.8: Wie sichsp öter zeigen wird(siehe 5.2.60), behält dieAbleitungsregel (5.2.5) für Potenzen ihre Giiltigkeit auch f ür ganzzahlige Exponenten 11 (ne Z; x 0) und - sofern x > 0 -sogar fur

*

beliebige reelle Exponenten (n E IR). Somitgilt allgemein: a) (5.2.9)

I1EN,

XE JR

mir b) neZ, xeIR\ {O } c) /1e fR, xe IR"

Setzen wir (5.2.9) als gültig voraus (der Beweis erjolgt in Kap. 5.2.3.2 i»), lässt sich die Klasse der differenzierbarenPotenzfunktionen he/räch/lieherweitern:

Beispiel 5.2.10: i)

f(x) ""

~ (x*O). Wegen ~ "" x- 6 folgt mlt(5 .2.9): f'(x) x

x

=

-6x- 6- 1 = -6x-7 "" -~ .

ü) f(x) "" 1. Wegen 1 "" xl} (x,*O) folgt mit (5.2.9): f'(x) "" 0 ' x O- 1

iii) f(x) ""

JfX (x > 0).

Wegen

VX = xi

x

""

.Q. "" x

o.

folgt mit (5.2.9):

j ....!..xL :..l · x H "" ..!.x- = - ' -

dx

2

iv) f(x) "" -

2

,-

'v;;-

2V;- .

(x > 0). Wegen _, _ -I

v;;-

5.2.1.3 Ableit ung der Exponen tia lfunkt ion f : f(x)

folgt aus (5.2.9):

= eX

Für den Differenzenquotienten von f: f(x) = CX erhält man nach (5.1.18): M ~ =

f(x + 6.x) -f(x) e"fAx -e" = (PI) 0' .<" - 0' 6..'1: = öx ;,

cA x _ I

e' - ; -,

.

5.2

209

Tec hnik des Differcnzicrens

Ersetzt man

e8-x

durch den T erm k + 1 ( > 0), socrgibt sich mit

,

_k_ = 0". -

-'--

k• In(k+l )

In(k+l )

e8-x ""

_ (L3) _ 0" .

-

-

k+ 1

illl:""l n(k + 1):

<=)

,

In ( I+k)lh

Da mit 6X - 0 auc h k - 0 stre bt, folgt für die Able itung unter Benutzung der G renzwertsätze (Satz 4.3.1) sowie (4.2 .10): f'(x) =

lim

Ax_

M =

O ex

lim eX'

k_

O

,

I In ( I+k)l /k

In [ !im (l+ k)l/k

'-0

1

,

= eX· In e = ev .

=e

Damit haben wir

Satz 5.2.11: Die Exponentialfunktion f: f(x) = e" ist überall differenzie rbar, und es gitt:

(5.2. 12) ~

f(x) "" eX f '(x) = eX

(fJ

Die Ablc itungsregel (5.2.12) lasst erkenne n:

_.. I ....

Die Steigung der Exponentialfunktion c X ist anj cder Ste lle Xo( E IR) Idemtsch mit ihrem Funkt ionswert. slehe A bb. 5.2 .13. Diesecexkluslve" Eigenschaft: f ' "" f besitzen nur die Exponenlialfunktionen y = c · eX, was dazu führt , dass für mathcma tische Anwe ndungen die ~ nat ürlic he~ Exponentialfunktion e X allen ande ren Exponentialfunktionen a X vorgezogen wird. (Z ur A bleitung der Expo nentialfunkti on f(x) "" aX zu beliebiger Basis a ( > 0) siehe (5.2.61).)

5.2.1.4

I

e"

.

(xl Abb.5.2.13

Ableit u ng der Loga rithmusfu n kt ton f: f(x)

= In x

Für den Differenzenquotienten von f: f(x) "" ln x (x > 0) erhält man nach (5.1.18) und unter mehrfache r Anwcnd ung dcr Logen nane agesetze L2/ L3 (siehe 1.2.3.3):

,

~ "" f(x +ßx) - f(x) = In (x + ß x) - In x = _ '_ . Ln x +ßx = In (1 + ßX)& ßx Ax Ax Ax x x

.

x

· I nur . x (d .. h Ax I "" Ax I .-;[ x "" Ax x . I),so f 0 ' gt: E rwertert man d en Expcccnrcn Ax

~~ Ersetzt man

~x

,

= In (l +

~x)~ ~ = (L3) + '

durch k [d.h. ';x ""

~)

,

In (1+

Axx) ~

so fo lgt (da mit ex - 0 auch k =

~"(

-

0 ) für die A b-

leitu ng unter Berücksichtigung de r Grenzwertsätze (Satz 4.3.1) sowie (4.2.10): f'(x) "" es gilt:

1

I;

1

';

lim M "" lim _ . In ( l + k) k = _ . Ln ( lim (l + k) k ) ~ _o Ax k_ O X X k_ O

--e

m.a.W.

5 Differentialrechnung für Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

210

Satz 5.2. 14: Die natürl iche Logarithmusfunktion f: f(x) = ln x ist für x>O überall d ifferenzierbar, und es gilt:

f(x)

(5.2. 15)

~

+

In x

( '(x) =

It-

bzw,

ln x

=+!

I lt/

U nte r allen Logarithm usfunkti onen f(x) = log.. x hat der nat ürliche Logarithmus In x (mit a ·= c)

ffxJ = /nx

die einfacltste Ableitung. (Zur Ableitung der allgemeinen Logarithmusfunktion siehe(5.2.63).) Daher ist es zweckmäßig. für mathematische Anwendungen den natürlichen Logarithmus anstelle z.B. des dekad ischen Logarithmus z u verwenden.

",

lx/ Abb. 5.2. 16

Bemerkenswert an der Regel (5.2.15) ist weiter-

hin, dass übcr dic Funktionssteigung bzw.den Differentialquotienten zwei auf den ersten Blick so grundverschiedene Funktionen wiedie " transzendente" Loganthrnusfunktion und die (elementa rste) gebroc hen- rationale Funktion in engs tem Zusammen hang stehen, siehe Abb. 5.2.16.

Bemerk/mg 5.2.1 7: Für elem entare ök ono m ische Probleme weniger bedeutend und dahe r selten anzutreffen sind die trigonometrischen Grundfunktionen f(x) :0 sin x , f(x) :0 COS x ; f ex) = tan x, deren A bleinmgen hier aus Vollstandigkeusgrunden angefüh rt werden (zum Bewris siehe etwa {2I}, Bd. 1l, 32f) : (5.2.18)

d~

(5.2.19)

d~ cos x e s- sin x , xe JR

(5.2.20)

-

d

dx

sin x = cos x ,

x e lR

2]

tan x = 1 + tan x = - co)"2x

x eJR\{ (k +0,5) ' :r ) keZ .

Aufgahe 5.2.21 : Man gebe d ie erste Ab leitung der folgend en Funktionen bzgl. der in Klammern stehenden unabhängigen Variablen an. Alle Übrigen Variablen sind wie Konstanten zu behande ln. I)

f(t) ==

1 I'"

ii)

, (t * O)

iv) g(z) = z17. jI'Z , (z > O) "ii) f(k) = / 12 . / 12

x) f(y)=l nx ,(x>O)

v)

f(x) = x2. x7 ' x9 h(p)

iii)

I :0 -, , --

JtP23

,

xi) t(z) =l n ( jI'Z · jI'Z) , (z > O)

7) xiii) u(v) = In e In (v , (v> 0)

,y,

(z > 0)

"i ) x(y) = yl ll 20, (y>O)

(P > 0)

"i ii) k(x) = x2c. x· ln 2, (X > O)

g(, ) "

ix)

t( n) = 3

1

V/ 2

,(n > Oj

xii) k(p)=C Iß P2 , (p>O)

5.2

211

Technik des Ditfc rcnzierens

5.2.2

Ableitungsregeln

A hnlieh wie bei dcn Grenzwertsätzen (siehe Satz 4.3.1) existieren Ableitung!igesetze zur EnniUlung des Differentialquotienten von solchen Funktionen, die sich alt'; den Grundfunktionen (deren Ableitungen bekannt sind. siehe Kapitel 5.2. 1) kombinieren lassen.

5.2.2.1

Faktorregel

Kennt man die Ableitung g'(x) einer Funktion g, so lässt sich aueh die Funktion f mit fex) 0': c · g(x) {c 0': const.) ableiten, und es gilt nach (5.1.18): fex ) =

lim f(x + f),x) - f(x) = Ill _ O f),x

""_0 lim

c

g(x+f),x) -

;,

C

g(x)

'

= c · ]Im lll -

g(x+f),x) - g(x) O

f),x

und daher: Mit g(x) ist aueh die Funktion f: fex) = c g(x) • (ce IR) differenzierbar,

Satz 5.2.22: (Faktorregel) und es gilt:

fex)

(5.2.23) ~

0':

c· g(x)

bzw.

f'(x) = e' g'(x)

(c g(x» = c · .ss, I. dx dx- I ' I-L

Die Ablcitungsregcl (5.2.23) wird häufig (erwas salopp) so formuliert: nEin konste ruer Faktor k ann vor äieA bieitunggezogen werden ."

Beispiel 5.2.24: I)

fex) = 5x20

~ f'(') =5· ..! x20 dx

= 5 '20x l 9 = 100x 19 . '

x ~ f'(x) = -7' ..! d, eX '" - 7e ;

ii)

fex) = - 7eX

iii)

fex) = 0,5 1n x

iv)

fex) = -,_,_ = 7 ' (9x3f l f8=7'9- l f8' x- 3f8 (x > O)

V9x]

q ,) =

5.2.2.2

~ f'(x) = 0,5 'd~ In x = ~ ( x > 0 ) ;

I 7 -9- 1' 8 -(- -3 ) , - Hf' = - - 21 (9 I -, 11)- 1'8 = -21 - - ..a_ -'-_

a

8

8

V90T

Summenregel

Au s den belden differenzierbaren Funktionen u: u(x) und v: v(x) we rde die Sunune nfunktion f mit fex) 0': u(x) + v(x) gebildet. Für deren Differenzenquotienten erhält man mit (5.1.18): f),f f(x + f),x) - f(xl -f),x = f),x

=

u(x + f),x) + v(x + f),.~) - u{x) - v(x) öx

=

u(x + f),.~) - u(x) öx

+

v(x + f),x) - v(x)

öx

Dcr Grenzübergang (für M - 0) liefert für die beiden letzten Summanden genau u'(x)+v'(x) , so dass wir schließlich erhalten:

212

5

Differentialrechnung für Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

Satz 5.2,25: (Summenregel) Sind die beiden Funktionen u. u(x) und v: v(x) differenzierbar, so auch dere nSumme fex) = u(x) + v(x) und Differenz fex) = u(x)- v(x), undes gilt:

fex)

(5.2. 26) ~

= u(x) ± v(x)

bzw.

f '(x) = u'(x) ± v'(x)

1 J!. (u:tV) = i!..!!. ±Jb:. Idx dx dx

Die Summenregel (5.2.26) wird häufig auch so formuliert: " Eine Sum me (bzw. Diff erenz) d arfgliedweise (d.h. summe ndenweise) differenziertwerden. " Belspiel 5.2.27 : i)

f(x) = 4x7 -x + 2

F'(x) = 28x6 - 1 ;

ii)

g(x) = ax"+bxn-1+c

g'(x) = a -nxn" ! + b '(n - l ) 'xn - 2;

iii )

hex) = 2ex + 4 In x __,_

h'(x) = 2eX+..:!... + - ' x ~

iV)

f(x) = v 8 + 2x

V.

,r;;"

V3 - 10 2

,r;;"

f (x)=2V3 ' x

V3 - I

(X>O);

, (x > O) .

B emerkung 5.1.28: Die Satze 5.2.2215.2.25 gestalten die A bleitung beliebiger PolJlwm e:

[(x) = unx" + a" _lx" - 1 + ... + u/ x + e » "" Lu; .xi ;_ 0

f(x) "" n 'allx " - / + (n -l) .a" _lx" -2 + ... + a1 =

L "

,.,

j ·(li · x i - /

.

5.2.2.3 Produktregel Für die Ableitung f" des Produktes fex) = u(x) ·v(x) zweier differenzierbarer Funk tionen u, v könnte man in Analogie zwn Grenzw crtsatz für Prod ukte (siche Satz 4.3.1 iii) dic" Regel" (u - v)' = u' · v' vermuten :

Beispiel 5.2.29: Wegen u'(x)

=

Seien u: u(x) = x2 und v: v(x) "" x3 vorgegeben. 2x und v'(x) = 3x2 folgt: u'[x]. ' v'(x) "" Zx - 3x2

Tatsächlich aber ist die Ab leitung von f mit fex) = u(x)' v(x)

f(x) = 5x-4

(* 6x3).

Damit ist die Vermutung

= 6x3 .

= x2 . x3 = x5 gegeben d urch (u . v)' = u': v'

widerlegt.

Für den Differenzenquo tiente n der Produktfunktion fex) = u(x) · v(x) erhält man nach (5.1.18): lJ.f f(x + lJ.x) -f(x) lJ.x = Ax

u(x +Ax) ·v(x +h.x) -u( x) ·v(x) öx

Addiert manimZähler den "N ullterm" -v(x+ lJ.x)· u(x) + v(X+ AX)' U(X) • so folgt: lJ.f ~ \'( x + Ax) ' [ u(x + h.x) - u(x) I + u(x) ' [v(x+ lJ.x) - v(x) 1 lJ.x Ax

=

u( x+ lJ.x) - u(x) "

öx

)

() V(X+ßx)-v(x)

·\\x+h.X + u x ·

Ax

.

Strebt nun ex - 0, so streben die beide n Differenzenquotienten nach Voraussetzung gegen u'(x) bzw. v'(x), v(x+ tU) strebt (da v(x) stetig ist) gegen v(x), so dass wir schließlich erhalten:

5.2

2IJ

T echnik des Differenzierens

Satz 5.2.30: (Prod uklregel) Sind die Funktionen u: u(x) und v: v(x) differenzierbar, so auc h die Prod uktfunktion f: fex) = li(X)' v(x), und es gill: f(x) = u(x)'v(x)

(5.2.3 1) ~

I

bzw,

f(x) = u'(x) ' v(x) + u(x)'v'(x)

-d (u ' v) = -du 'v + u ' -dv dx dx dx

I.

Belspiel 5.2.32: i)

f(x) = 2x2 'e x

~

ii )

g(z) = z7 . Inz

~

iü)

iv)

f'( x) = 4x · c x+2 x2·ex = 2xe X( 2+x) . g'(z) = 7z 6 'lnz + z7 . ~ = z6( 7Inz +1) .

Die Faktorregel (5.2 .Z3) ergibt sich auch mit H ilfe der Pnxluktregel: Scif(x)= C'b>(x)

~

f(x) =c "g(x) + c 'g'(x)= c 'g'(x)

f(l) = (In t)2

::;>

f(t)=~ ·ln t+ ln t · ~ =2 · I~t.

(da e ' = O) .

D urch mehrlache Anwendung der P rodukt reget lassen sich auch Fu nktionen ableiten, d ie aus mehr als zwei Fa ktore n bestehen:

Beispiel:

~

fe x) = (3x 2 . eX) ' -lnx + 3x2. e X ' = (6x ' e x +3x 2 'ex) 'l nx+3x ' e x = 3x ' e-X(Z 'ln x +x ' ln x + I ).

~

"

+

~

f(x) =3x 2 . e X' ln x v

Allgemein gilt, sofern fex) = fl (x) ' f2(x) ' ... . fn(x):

I

(5.2.33)

fex) = f l ' ·f2· ..· · f n

+ f l · f 2'·fr ..·· f o

+ ... + f l · f2 · ·.. ·f o'

I.

5.2.2.4 Quotientenregel Dureh eine analoge Beweisführung wie in Kap. 5.2.2.3 erhält man d ie A bleit ungsregel für den Quotienten f(x) = u(x)/v(x), (v,*,O) zv....eier d ifferenzierbarer Funktionen u und v, Der Nachweis wird einfach, wenn man unters tellt, dass die A bleitu ng f'(x) existiert . Dann nämlich kann man wie folgt schließen: f(x) = u(x) \'(x)

~

f(x) ' v(x): u(x)

.

Nach der Prod ukt regel (5.2.31) folgt daraus durch Differenzieren: f'(x)'v(x) + f(x) ' v'(x) = u'(x) . Diese G leich ung muss noch nach f" aufgelöst werden:

f ·v

e

u' - f · v' = u' _ ..!!... · v'

u"v - u 'v'

v

Division durch v liefert schließlich die gesuchte A hlcitungsformcl für t', Damit haben wir schließlich Salz 5.2.34: (Q uotienlenregel) Sind die Funktionen u: u(x) und v: v(x) d ifferenzierbar, so auc h die Quotiententunktion f : f(x) = u(x)/v(x) (v,*O), und csgilt: f(x) = u(x) v(x)

(5.2.35) ::;>

f'(x) =

o'(x) ' v(x) - u(x) ·,·'(x) Iv(x)J2

du

dv

d;"" - Udx'"

"

214

5

Differentialrec hnung für Funktione n mit einer unab hängigen Variablen

Damit kö nnen beliebige gebroc hen- rationale Funkt io nen abgeleitet werden (Definitionsbereichbeachten/) . Beispi el 5.2.3 6:

f(x) = 4)\2 + 1

i)

f(x)

xl - X

ü)

",) = -

iii)

h(l) = -

e

g'(z) =

r. + I t

h'(I)

In I

iv)

f(x) '"

=

xl.

::)

V3 + ln 2

f'( x) =

8:>:

(x3 - xl - (4,,2 + 1){3x2 -

I)

(x3 _ x)2

eZ (z4 + l) - CO: . 4 2.3 = (7.4 + 1) 2 21 Int - t2 , 1ft (In 1) 2

=

- 4x4 - 7,,2 +1

Cl ( z4 - 4 1.3 +

( x3 _ X)2

1l

(z4 + 1)2

1 (2· 1nt- l) (In 1) 2

2x

V3 + ln2

.

(Quotiemenregel hierunvorteilhaft, besser mit Faktorregel (5.2.23 ) ableiten l)

V5

g'( x) = - 7 ' (l n4+ V'5) .

g(x) = In4 + h'

v)

2x8

(QuOIienleliregd hier weniger vorteilhaft, besser mit Faktorregel (5.2.23) in Verbindung mit (5.2.9) ableiten I] Bemerkung 5.2.3 7; Bei der allgemeinen Darstellung von Funktionstypen können neben der eigentlichen unabh ängigen Variablen weitere Variable als (komtall/e) Parameter auftfeien. Beispiel: a) [(x) = Xl ; x: unabhängige Variable; (allgemeine Potenz/unktion)

n (=const.): Parameter

b) / (z) = mz + b ; z: unabhängige Variable; (allgemeine Geradeng/eichung)

m, b t- const.]: Parameter

Werden derartige Funktionen bzgl, der unabhängigen Variablen abgeleitet, so müssen s ämtliche Parameter als Konstanten behandelt werden 3: Beispiel: Vorgegeben sei eine Funktion [ mit dem Funksionsterm

[ : 2.1;2 'z - z3 .;. z2 -lnx .

i)

Fasst man [ als Funktion [(x ) der unabhängigen Variablen x auf, so ist z ein konstanter Parameter, und esgilt: .!!L :2 f'(x) : ax : 4xz + X

ü)

Ist dagegen z die unabhängige Variable, so muss x wie ein konstanterParameterbehandelt werden, und es gilt: f'(z) : 2.1;1-3:2 + 2z 'lnx ,

11-:

Aufgabe 5.2.38: Man differenziere folgende Funktionen nach der geklanunerten Variablen: i) f(z) : ~ ii) g(t): 4 .(2t 3- 1Hf"iS iii) f(y): 4x3

v;ts

;v)

h(p) =

,y.yy

4 2+ I

p -,--"'---c-(p2 _1) (2 4+ p

p)

3 Dies Verfahren entspricht der pa rtiellen Ableiwng ~0I1 Funkt iOllen mit mehreren IInablrdllgigen Vari ablen , siehe Kapitel 7. Man benutzt dafür die Schreibweise afi'ax, um anzudeuten, dass r nach x abzuleiten sei, wobei alle übrigen Variablen wie Konstanten zu behandeln sind.

5.2

Tec hnik des Ditfe renzierens

ix)

Aufga~

215

u(v) :=x 2 . _2\' -- X 5v+ x

vii)

b(x):= e X _ ..!...

,)

e'

5.2.39:

a(x) := e X + ~)

.L

'"

2 · Inb

'tb) " 2b2 + cb

Man untersuche die a ngegebenen Funktionen f

a) auf Stetigkeit in 1R. b) auf Differenzierbar kelt in IR, c) auf Stetigkeit der ersten Ablcitung in IR. und skizziere f sowie ihre Ableitung f": x2 +x - 6

C)

f(,) "

1x2 +5x- 14

iii)

f(, ) "

j

.'(2 _

Inx

mrx e z mr x a z

x für x S

,

ii )

2 f():= { x +2 x mr x s z x 1,5 x2 für x > 2

filr x >1

Aufgabe 5.2.40: i) Man ermittle die G leichung der T angente an den Graphen von f: f(x) := x2- I an der Stelle x +I ii) Mit wclc hemSteigungsmaß schneidet der Gmph der Fun ktion f: f(x):=

I:;

Xo := 2.

die Ab szisse?

5.2.2.5 Kettenregel Obwohl die Klasse der Funktionen, d ie mit den bisher behandelten Ableitungsregeln diffe renziert werden kön nen, bereits recht umfangreich ist, lassen sich schon recht einfache zusammengesetzte Funktionen wie etwa

ii) fex) :=

V3x2 + X

iii ) f(x) := er;

iv) f(x) := ln (x 2 + 4)

nicht oder nich t ohne weiteres mit den bisherigen Regeln ableiten.

Bemerkung 5.2.41: Z war könnte man in Beispiel i) prinzipiell dieAbleitung durch Ausmultiplizieren des Funktionsterms und anschließende Anwendung der Produktregel gewinntn . Der Umfang der dadurch entstehenden Rechenarbeit ver uneiu jedoch dieseMethode zum Scheitern. Ebenso verbietet sichdieum ständliche Ermittlungdes Grenzwertes des Differenzellquolienletl (5.1.18) in jedem EimelfalJ. Bei den eben angef ührten Beispielen handelt es sieh ausnahmslos tun mittel bare Funktionen, die aus zwei elementaren Fun ktionen zusammengese tzt oder verkettet sind (Kapit el 2,1.6). Dabei erfolgt der Prozess der Verkett ung (odcr Hintcrcinandera usführung) zwcicr Funktionen ste ts in der Weise. dass der Funktlonstcrm g(x) der inner en Funktion g ansteIle der unabhängigen Variablen g in die ä ußere Funktion f := f(g) etegesetat winl, so dass d ie zusam mengesetz te Funktion f := fÜ,>(x» en tsteht (Beispiel 2.1,61): Beispiel 5.2.42: äußere Funktion f(g) i) f(g) := g lOO

vg

innere Funktion g(x) ; g := h>(x) := x2 + eX

zusammengesetz te Funktion f(g(x» ; ~ f(h>(x» := (x2 + ex)100

V3x 2 +X

g := g(x) := 3x 2 +X

~

f(g(x»:=

f(g) '" cS

g"g(,) " y,

~

f(g) := In g

g := g(x) := x2 + 4

~

f(g(x» := e I{X f(g(x)) := In(x2 + 4)

U)

f(g) "

iii)

Iv)

(Dabei ist zu beac hten, dass der Wen ebereich Wg dcr Inneren Funktion g und de r Dctinitio nsbereich Df der äußeren Funktion f einen nichtleeren Durchschnitt habe n, sie he Bcmerk ung2.l ,63.)

5

216

Differentialrechnung für Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

Es zeigt sich nun, dass auch verkettete Funktionen f(g(x» nach x differenziert werden können, sofern die Ab leitung f (g) der äußeren Funktion bezüglich g sowie die Ableit ung g'(x) der inneren Funktion bezüglich x existieren. Dazu betr achte n 'Wi r nach (S.1.t 8) den Differenzenquotienten zu f(g(x)): M f(g(x + 'ö'x)) - f(g(x)) .ö.x = ex

Erweitert man den Tenn auf der rechten Seite mit ög ,= g(X+Ax) - g(x), so folgt (sofern ög stets als von Nullverschieden vorausgesetzt wird 4): M _ f(gC x .6.x)) - f(g(x)) . ~ 6.:-: öx ag

Beachtet man, dass wc~,'cn

li.g ' ~

~

(5.2.43)

_

f{g(x + 6.x)) - f(g{x)) . ~

-

Ax

6.g

b'< x+.ix) - g(x) gill: g(x+ Alt) = g(x)+ ög = g+ eg, so folgt (ctnserzcnt).

_ 1"(8+6.8) - f(g)

6.g

öx -

g(x+6.x) - g{x )

öx

Da mit zx - 0 auch 6g = g(x+ ex) - g(x) gegen Null strebt (g ist - da differenzierbar- auc h stetig!), strebt für sx - 0 der e rste Fakto r von (5.2.43) gegen f'(g) und der zweite Faktor von (5.2.43) gegen g'(x). so dass wir zusammenfassend erhalten: Satz 5.2.44: (Kenenregel) Es sei f y :< f(g(x») eine aus f(g) und g(x) zusammengesetzte Funktion. Weiterhin mögen g'(x) und f(g) (mit g :< g(x» existieren. Dann existiert auch die Ableitung f'(x) der zusamme ngesetzten Funktion f(g(x» , und es gilt: (5.2.45)

f = f(g(, n ,.

fN

=

I dx I Jid x f(g(x)) :< dfd g . ss

bzw.

f(g ) · g"(')

mit g e g(x) .

BeispieI 5.2A 6: (siehe Bcispicl 5.2.42) I)

I f(x) :< (x2+ ex)100 Wegen: f(g) :< gl00 => g(x) :< x2 +e x =>

ii)

Ifex)

f(g) :< 100 g99 :< 100 (x2+ e X)99 g'(x) :< 2x+ e x

und

g(x) = 3x2+x

=>

6x+ 1

2,V 3xz+x

1 g- 1/2 = - 1- = _=~I== f '(g) = 2 2vg 2V 3xz+ x

g'(x) = 6x+ 1

und

f (x) :< f(g) · g'(x) .

r;

If(,) = / ' I Wegen: f(g) :< eg

f'(x) :< f '(g) · g'(x) . f '(x) =

V3x2 +x

Wegen: f(g) :< ,,..,. v g =g 1/2 =>

iii)

f'ex):< 100 .(x2 + eX)99.(2x+e X)

=>

f ex) = - ' -

2V;-

=> f '(g) = eg :< er;

,e- 1/ g(x) = v x= x 2 =>

I

g'(x) =-x 2

- 1/,

1

=-2V;

und I'(x) = f (g) ' g'(x) .

4 Wcgcn d iescr einschränkenden Vora ussetzung ist der o.a, Beweis der Keltenregel mathematisch nicht streng.

5.2

217

Tec hnik des Ditferenzie rens

If(x) ~ In (x2+ 4) I

Iv)

Wegen: f(g) = In g

g(x) = x2 +4

, ;) 1.

,,;)

I'(g) =

,,;)

g'(x) = 2x

g

(f '(x) = ~ I

= _1-

x2 +4

und

f '(x) = f (g)' g'(x).

Bemerkung 5.2.47: i) In dldx f(g(x» = ['(g) .g'(x) bezeichnet man dieA bleitung r (g) der äußrren Funktion als äußere

Ableitung und die A bleitungg'(x) derinneren Funktion als innereA bleilrmg, so dass man die Katenregel auch in derKurzf orm "/f llß ere Ableitung mal innere Ableitung" formulien. ii) Gelegentlich nennt man das Muitiptiiieren von ['(gY mit der inneren Abteuung g'(x) auch "Nach-

differenrierell".

!!L-.<J1. . ~

üi) Die Schreibweise (5.2.45)

dx -

dg

dx

der Kat enregel ist besonderseinprägsam, da fo rmal links wie rechts vom Gleichheitszeichenderselbe Tenn steht. Man beachte jedoch, dass ein tatsächliches " Kürzen" derSymbole dg nicht zul össig isl, da sie nur zur formalen Schreibweise eines Grenzwertes benutzl werden. Wie an der Form ( ,) der Kauenregel deutlich wird, ist diese (berei/s von Leibniz stammende] Schreibweisevon derart eleganter Z weckm äßigkeit, dass sie äem An wenda etnhohes Maß an Denkurbeu abnimmt. iv) A uch Funktionen, die aus mehr als zwei Trilfunktionen verkeilet sind, lassensich durch wiederholte Anwendung der Kenenregel differenzieren. Allgemeinerhält man so fü r eineaus n Teilfunklionenzusammtngesetzle Funktiun mit dem Funktionsterm f(g l(g 2(g3'" (gn(x»» ...) die allgemeine Knienregel (5.2.48)

Beispiel: Wegen:

fex) = [In (x4 + ])]8 f(g J)=gl

~

f'(gl ) = 8 g /

' ) srs:

~

) = g2 J J gl " lg2 = x4+ 1

~

g/ (x)

g2(x)

= Ing2

=x 4 + ]

= 8 [1n (x4 + l)p ; ;

= 4x 3

folgt: 32 x 3 [ln (x "' +

x' + J

l)l

Wie in Beisp iel 5.2.46 demonstr iert, erhält man mit H ilfe der Kettenregel unmitt elbar die Ablei tungen der verallge meinerten Grun d run ktione n mit J en Funktion sterm en . [g(x) ]n (n = consl.) ;

In g(x) ,

d ie a us den en tsprech end en elementare n G rundfunktionen xn, c'', In x da durch hervorgehen, dass an die Stc lle der unabhängigen Variablen x nun die innere Funktion g(x) tritt . E s gilt (u nter Beach tun g der üblichen Ei nsch ränkungen):

2 18

5

Differentialrechnung für Funktionen mit ein er unabhängigen Variablen

Satz 5.2.49: (Ableit ung der e ngereeinen Gru ndfunküc nen}

f(' j - [g(,)I" :::} fex) = n '[g(x)]O - I 'g'(X)

(5.2.50)

bzw.

fex) = ~( )[)

(5.2.5 1)

bzw.

:::} f'(x ) = ~(x). g'(x)

fex) = In g(x)

(5.2.52)

:::} f ex) =

bzw.

M g(x)

..!.. In g(x) '" ~ dx g(x)

Aufgabe 5.2.53: Man ermittle die Ableitung folgender Funktionen (nach der jeweils angegebenen un-

abhängigen Variablen): I) fex) = 0.5(4x'- 3x5)64 Iv) p{u) = c- 2u \li ) C( I) '"

,

,

V2f.e- I

Y"',2'_-",7"

iii)

k(z) = z5 . In (1 - z5)

k(t ) = 5 In (ln t)

\1)

K(y) = 20· e·

viii) k(x) = x" ' c - fLX

Ix)

0(,)

ii)

g(y)

=

= In

17

Iy .

V +sl

a

VTri"7

1

6 +s 2

2 x) P(W) = (In w ; I)20

e

5.2.3 Ergänzu ngen zu r Ableitungstechnik Im folgenden sollen einerseits die Klasse der differenzierbaren Funktionstypen erweitert werden (Kap. 5.2.3.2) und andererseits nützl iche zusärzltche Ableilung.'itechniken bereitgestellt werd en, die den Differenti at ionsaufwand verminde rn kön nen (Kap. 5.2.3.115.2.3.3) . Dabe i wird sieh zeigen. da ss in allen Fä llen der Kenee rege t (5.2.45) eine Schlü.<;''icUunklion bei der Problemlö sung zukomm t. 5.2..3.1 Ableit u ng de r Umkeh rfu n ktion Wenn eine vorgegebe ne Funktion f: y = f(x) diffe renzie rbar ist und auße rdem eine Umkehrfunktron r": x = f - l(y) besitzt(Kap itcl2.l.4), so ist anschaulich kla r (Abb. 5.2.55), dass auc h d ic Umkehrfunküon differen zierba r ist (sofern f =f O).

r-'

D er Zll'iaffimenhang zwischen den Ableitu ngen f" und f - I' kann auf anschauliche Weise aus Abb. 5.2.55 abgelese n werden: Die Tange nte h'iteigung
/xi I (rl

/

/

x

I

/

!x y

Abb.52.55

/

5.2

219

Technik des Differenzierens

Daher besteht zwischen der Abl eit ung f' und de r Ableitung f -I ' de r Umkehrfunktion die folgende Relat ion:

(5.2.54)

f' (x) =

-r:."-1 (Y) Y.

f ", f - I' * 0 .

f( x)

Dieses anschaulich gewonnene E rgebnis lässt sich - Differenzierbarkelt von fund f " ! vorausgesetzt auch mit H ilfe der Kett enregel nachweisen: Au s Y ~ f(x) folgt durch Umkehrung:

x ~ f - l(y) ~ f -1(f(x)).

A bleitung nach x liefert mit der Kettenregel (innere Funktion ist y bzw. fex)):

(lr l dv

1 = -dy- . dx Satz 5.2.56:

di l er

Daraus folgt (sof ern keine der Ableitungen Null wird):

~ -;:;;:- . dx ' Y}

._

Es seien f: y '" f(x) und f ~ l: x '" f - l(y) jeweils Umkehrfunktio nen zuei nande r. Dann besteht Z\\ischcn ihren Ab leitungen die Beziehung: ... f(x) = -,--- ' -d<

(5.2.57)

mit Y'" fex).

( f", f - I' :I= 0)

Somit genügt es, zur Ermittlung der Ab leitung f'(x) einer Funktion f led iglich d ie A bleit ung f - I' ihrer U mkehrfunktion zu kennen. Beispiel 5.2.58: i) Die Funk tion f sei vorgegeben durch y '" f(x) =

DieUmkehrung

r-': x =y2

ist nach

VX

(x > 0).

ydiffcrc nzicrbar.

f - t '(y) ", 2y, so dass (5.2.57) liefert:

~ VX =_I- = _ 1_ '" I~' (x > 0) , siehe a uch Bsp. 5.2.10 iii) . dx d 2 2y 2~ x dy Y

ii) Vo n den zueinand er inversen G rundfunktionen e", In x (siehe Kapitc1 5.2.1.3! 5.2.1.4) ist nur

die Kennt nis einer de r beiden Ab leit ungen erforderlich! Die fehlende A bleit ung liefert (5.2.57): Fall a)

Die A bleitung von eY nach y sei bekannt, die A bleit ung von f: y = In x sei gesucht (x > 0). Wegen f: y '" Jn x = x = eY = f - I(y) folgt nach (5.2.57):

~ln x= -_I- = _ 1 dx -2.. cY r! dy

I

y .lnx

", .1 ; X

(x > O) .

Fall b) Die Ab leitu ng von In y nach y sei bekannt, d ie A bleitung von f: y = eX sei gesucht (y Wegen f: y = e X = x = In y = f - I(y) folgt nach (5.2.5 7):

..5L cx = dx

Aufgabe 5.2.59:

I = _'_=y ....!!... In y ...!.. dy

,

Iy=c'"

> 0).

=e x .

Man zeige mit (5.2 .57), dass für x > 0 die Abl eitung der allgemeinen Wurzelfunktion

•

f: y = VX nach der (noch unbewiesenen] Potenzreget (5.2.9) erfolgen kann.

5

220

Differentialrechnung für Funktionen mit einer unabhä ngigen Variablen

5.2.3.2 Ableitung allgemeiner Exponent ial- un d Logarith musfunktionen M it H ilfe der Kette nregel (5.2 .45) sowie der Ableitungen der Gru ndfunklionen (vgl. Satz 5.2 .49) lassen sich auch Expone ntial- und Loga ri thmll~fun ktionen allgemeinster Art differenzieren. i)

D ie Porenaregel (5.2.9) für Potenzf unktionen fex) "" XI mit beliebigen konstan ten re ellen Exponenl en r kann bewiese n werden , indem man nach (1. 2.85) die Basis x (x > 0) äqui valent als ExJXJncn tlalfun ktion zur Basis e schre ibt:

x '" eIn x , (x> O). Damit lautet die abzuleitende Potenzfunktion: fex) = XC = (ein X)! =

(1.2 .85)

Cf

In x , und man erhält mit der

Kettenregel (innere Fun ktion ist r ' In x]:

(5.2.60)

I dxd xr"' ....!.(er . lnX) = er . lnx · r ·..!.x =xr. r ·1.x = ~ dx ~

also das ber eits in (5 .2.9) vo rweggen omm ene und seitdem verwendete Ergebnis.

Beispiel:

f'(x) = In 2 · x(1n 2) - I '" 0,6931 .x - O,3069.

f(x) "" xln 2

ii ) Die Exponentialfunktion f : fex) = a'" mit beliebiger rcener Basts a (a = const. > 0) lässt sich mit H ilfe der Kett enregel ableiten, wenn die Basis a nach (1.2.85) umschreibt: a == eina, Dann folgt:

f'(x):: e x · ln a . In a = a X In a .

und daher

Wir erhalten somit für die Ableit ung der allgemeinen Exponentialfunktion mit konstanter positiver Basis a die Regeln:

, - -- -- - - - - - - - - ,

(5.2.6 ')

fex)

(5.2.62)

fex) =

Belspieles

i)

ii )

fex)

=

aX

f'(x) =

ag( x)

fex) = ag(x). g'(x) . In a

= lO x

f(x) =2 x2+x

a'~ '

In a

=>

f'(x ) = lO x -In 10

=>

f'(x) = 2 x 2+x '(2x+l) 'ln 2 .

=

2,3026 ' lO x

Für den Spezialfall a = e ergibt sich wegen In c = t das bekannt e Ergebnis (eX)' = cl( Ine = e'~ bzw.

(~(x) ' = ~( x). g·(x) . l ne '" eS(x). g'(x),

siehe (5 .2.12) und (5.2 .51).

> 0) zu be liebiger positiver Basis a (a * I ) lässt sich mit (5 ,2.15) abl eiten, wen n man bea chtet, das s wegen (1.2 .88) ganz allgemein gilt:

iü ) Die Lcgartthrnusfunkü on f f(x) '" lo&,x (x

(1.2.88)

Inx

log ax '" In a

+.

(a eR d l».

Daraus folgt mit (5 .2 ,15) und (5 .2.23) sofort:

..!L logx = ..!!.lnx ",_I_' ''!!'!n x ", _I_ .-l dx a dx ln a ln a dx ln a x

so dass folgende Regeln resultieren: x> O a> O

i '(, ) - _1- x -Ina

(5.2,63) (5.2,6 4)

f(x) '" logag(x)

Beixpiele: I)

f(x) '" 19x '" loglOx

,*1

g'( x)

~

g(x»O ,

f (x) = g(x) ' ln a ~

f'(, ) - _ 1 - x -tetu

;:::< 0,4343

1

' X'

5 .2

T ech nik des D ifferenzie ren s

221 2x + 7 (x2 + 7x)' ln 2

ii )

Für dcnSpezialfall a = e erhält man wegen In e = 1 das be kannte Ergebnis ,

,

(logex) = (In x) =

xI

bzw.

(In ~,'(x)

)/ _ g/(X) - g(x)'

( ( siehe 5.2.15) und 5 .2.52) .

Bemerkung: Regel (5.2.63) f olgt auch aus (5. 2.61) mit Hilfe der Ab leitung der Umkehrfu nktion (5.2.57): Wegen y = foga x ~ x = aY ergibt sich nämlich: d dx loga x =

1

d (#

ay

1

1

= (# ' 111 0 = ;.. 1110 .

iv) D ie allgemein .\ te Exponential funktion ist vom Typ f: fex) = g(x)b(x ) (g > 0). Setzt ma n wegen (1.2.85): b'< x) = ein

sro,

so lautet die abzulei tende Funkt io n f:

fex) = g(x)h(x) = [elng(x)jh( X) = ch(X) ' In g(x) , und dic Ket ten regel bzw. Produ ktregcl licfcm: d '(x) f'( x) = ;h (eh(x) In g(x» = ch{x) ' In g(x) .(h' (x) · In g(x) + h(x) ' ~) , d.h . es gilt die Regel: fex) = g(x)h(x)

(5.2.65) Beispieh i)

fex) = XX (x > 0)

~ ii )

~

('(x ) = g(x)h(x) . (h '(x) · In g(x) + h(x) '

<==>

f'(x ) = c"' ln x (ln l'+ x '

fex) = (x2+ 1)ln (x+4)

~

(1.2.85)

Mg(x) )

(g> O) .

fex) = (ein X)X = eX' lnx

~ ),

ci~xx =xX .(ln x+l ).

d. h.

<==> (1.2.85)

fex) = e In (x2+1) ' In(x+4)

f '(, ) = e1n(x2+1) ' In (x+4) . (..1..!...-. [n(" 4) , 1" (x2+ 1) ' _1_ ). x2 + 1 x+4 '

d.h .

2+

..~(x2 + 1 in (x+4) = (x2+ 1)11I (X+4) .( 2x . III (XH) + III(X 1» . u.~ xi + I x +4

d.h.

v) Die allgemein.\ te I.ogarithmu~funktion ist vom Typ fex) = log g(x) h{x) , Na ch (1.2.88 ) kann ma n stattdessen schreiben:

g> 0; g* 1; h > O.

fex) = In hex) , In g(x)

so dass d ie A ble itung mil H ilfe vo n Qu ot ienten- und Kelt enreb'Cl erfolgen kann: d ci" log g(x) hex) =

(5.2.66)

Beispiel: i) ü)

In7 fex) = log 7 : x ln x fex) = log

~

(i"

~ hex) ' Ing(x) [ In

,.

..u&

In h(x) ' g(x)

sou 2

/ - ln 7 f(, ) : - l' (ln l')2

g(x»O ; h(x» O g(,)H (x > O,x * l)

x In e" cl' = - - : - -InV;o.s- tnx

f(x) = 1·0,5 ·lnx - l' ·0,5 · ' /" 0,52 .(In x)2

Inx -I 0,5' (Inl') 2

(x > o , x * 1) .

222

5

D ifferent ialrechnung für Funkt ionen mit einer unab hängige n Variablen

Aufgahe 5.2.67: Ma n ermittle (unter Beacht un g der jeweiligen Defmitionsbereiche] die erste Ableitun g

folgender Funktionen, definiert durch ihre Funktionsgleichungen: I)

fex) = x3 . y'

iv) f(, ) :

j I'X+{V'211- x

'0

\ 'ii) p{v) = vln\'

.

,-

h(z) == 2 In z ' (lnz)1O

, ) k(l ) = t JII

'i)

H(u) = (u +e - U)

, i ü) C(y) = (Iny)lny

ix)

Q(s) =

g(y)

= yllllO + (ln lO)Y

x 2 + .J

x) r(t) = (1 + 12) i+T

xiii)

iii)

ii )

1-u

s(s<)

xii) o(a) = 10g 33 4

xl) fex) = log 7 - ' x +2

L(b) = loglnb (b 2 + 1)

2

(b> I) .

5.2.3.3 Logari th mische Ableitung Gelegent lich vereinfac ht sich die Bildu ng de r Ableitung f' einer vor gegebenen Funktion f, "'..c nn man die Funkt ionsgleichung y = fex) "or dern Ableiten bcide rseits logarithmiert, umfonnt (mit H ilfe der Logarit hmengesetze L I-L3, sie he Kap itel 1.2.3.3) und d ie entstandene Gleich ung ers t dann mit H ilfe der Kettenregel dtrreremrert. Dieses A bleitungsverfahren - Iogari thmiscbe Ableitun g gena nnt - sei an einem Beispiel demons triert:

Beispiel 5.2 .68:

E s sei die A bleitung f" gesuch t zu

(5.2.69)

fex) ""

(x 2 H )'

Vx6 + 1 • (2x4 + I )

20

Z war könnte man f prinzipiell du rch mehrfach kombinierte Anwendun g von Ou ouc ntcnrcgcl, Kct -

tenregcl und Prod uktregcl erhalten. doch entstehe n nebe n hohem Rec hena ufwand unübe rsichtliche Te rme. logarithm iert man nun zuvo r (5 .2.69), so folgt (mit L1-L3):

A us Quot ienten, Prod ukten und Potenzen sind som it Differenzen. Summen und Prod ukte der logarithmierte n Terme e nts tanden , deren A bleitung keine Mühe bereitet. Lei te! man die letzte Gleichung bciderseits nach x ab. so entsteht (KcUenregcl bzw. (5 .2.52» auf der linken Seite "a utomatisch" der gcsuch tc Ab lcitungste nn f'(x):

-

d

dx

f (x) 2x 1 6xs 8x3 ln f(x) = = 7 · - - - - . - - 20 · f{x) x2+4 2 x6+ 1 2x4+1 '

Löst man nach f'( x) auf und ersetzt fex) d urch.(5.2.69 ), so erh ält man schließl ich die ge suchte Ableitung f ex):

f (, ) :

Die logarithmiscb e Ableitung ist stets dan n sinn voll anwendbar, wenn der abzu leitend e Funk tionsterm f(x) aus mehrfac he n Produkten. Quot ient en und/ oder Pot enzen bes te ht.

5.2

223

T echnik des Diffcrcnzierens

Beisp iel 5.2.70:

Die Funktion f mit:

f(x) :::

UI(X) ' u2(x) .

. un(x)

" 1(X) ' ''2(X) .

. " m(x)

::!O"'--"''''--'''--''''''-

kann prinzipiell du rc h mehrfac he A nwendung von Produkt- und Quotientcnregel abgeleitet werden. Einfacher erhält man f'(x) du rch logarithmi sche Ableit ung: Aus

In f(x) ::: ln u j + In u2 + ... + Inuß - lnv I -In v2 - ... - lnvrn f'(x)

u l '( x)

u2'( x)

un'(x)

" I '(x)

v2'(x)

-=-+-+... +-un(x) -- -v lex) - --- .. f(x) Ul(x) U2(xj v2(x) M ultiplikat ion mit f(x) ::

~l :

' I

:'~nm

fo lgt; _ "m '( x) vm(x)

liefert die gesuchte A bleitu ng ['(x) .

A uch beliebige Exponentialfunktionen lassen sich mit Hilfe de r logarithmischen Ableitun g auf einfache Weise differenzieren: Beispiel 5.2.7 1: i)

(siche (5.2.65» Die allgemeinste Ex ponen tialfunktion f: fex) :: g(x)h(x) liefert nach dem Logarithmieren d

Inf(x) :: In [g(x)h(x) 1::: (U ) h(x) -In g(x) f'(x) :: h'(x) ' lng(x) + h(x) . ...ü& f(x) g(x)

"(-) d,

.

M ult iplikatio n mit f(x) liefert f (x) und somit dasselbe Resultat wie (5.2.65). fex) ::: (3xy'(2

ii )

In f(x) :: x2 -In Sx

~

( . >0)

f (x) 2 3 - : : : 2x 'ln3x + x ' -

"

f(x)

3x

~

2 f '(x) ::: (3xf" ·(2x · [n3x +x) .

Aufgabe 5.2.72 : Ma n differenziere mit Hilfe de r logarithmischen A bleitun g:

,

i)

V2x2 + 1 '

(x 4 + x2)22

f(,) = -'-='--'-'-:-;=':~'-'--­ e -% ' ~

lv) h(z) ::: (2 In z)47.

5.2.4

a ii )

g(y) :: y2 . 10 '(Y

v)

-2; k(v) '" e 7v '(lnv) v

,i)

s(p) ::: (4p) lg p .

Höh ere Ableit ungen

Das Beispiel f(x) :: x 3 + 6x 2 - 4x + 1 ~ 1"(x) :: 3x2 + 12x - 4 zeigt. dass die ers te Ableitung 1" e iner vorgegebenen Funktio n f selbst wiederum differenzierb ar sein kann. Man erhält als Ableit ung der Ableitung im obigenBeispiel: (['(x », :: 6x + 12. Sta ll (f '(x»)' schreibt man kurz f"(x) (gelesen: " f~zwe i-Srrich von X) und nen nt f" die zweite Ableitun g von f bzgl. x. Ganz analog defi niert man die drille Ableitung t'" als A bleitung (f" )' der zweiten Ableitung I" usw.: Der. 5.2.73:

Die Funktion f heißt n-mal differen zierbar, wen n die A bleitungen t' j t" ,., (1")' ; f"' .= (f")' ; ... ; f (n),= (f (n-l)' existieren. f (D) heiß t n-Ie Ableitung oder Ableitung n-t er O rdnung von f.

224

5

Differen tialrechnung fü r Funkt ionen mi t einer unabhä ngigen Variablen

Bem erkung 5.2.74:

f kennzeichnetman in derRegel durch Striche: I '. [",/,,'. FürAbleitungen höherer Ordnung (n = 4, 5, ...) schreibt man: fi 4), pS}, ... (gde.!"en: "i - vier-Strich " U,IW .) .

i) Die ersten drei Ableitungen l 'Oll ii)

Statt

r ex) schreibt man wegen r ex)

,=

(I'(x» , =

d~

~:{

("*" ) häufig auch

(gelesen: " d -zwei-j nach dx-hoch -zwd"} ,

JfItJ{x} = d''J

An alog:

("d -n-! nach dx-hoch-n ")

dx" d" p n)(x) = dx,,!(x)

taw.

("d-Il nach dx-hoch-n von f (x) ")

8eispiel5.2.75: i) fex) = fx S - ~ x3 +4x+ 1 ::}

f ex)

d 2f d3f f"(x) = dx 2 = 4x3 - x ::) (' ''(x) =
~= x-l - i- x2 + 4 ::}

=

d4f

::) f{4l(x) =
d5f

f{5)(x) = - 5 = 24 ::) f{6)(x) = - 6'" O.
fex)

= 7e x

f'(x) '" f"(x) = ... ::: f (ß)(x) = 7e"'"

::)

~ f'( x) =..l

iii) f(x) = In x (x > 0)

~

2'l

t"<4l(x) = - --::l ... x

~

•

1'"

)

~ f"( x) = _.!.2

~ f"'(x)

x

=

(n - 1) 1 (x) = (_1)11 - I . -' .

,"

1. ~

"

Ebenso wie d ie erste Ableitung f' ein Maß für die Steigung ( Ändcrungstcnde nz) dCI Funktion fist, liefert die zweite Ableitung f" ein Maß für d ie Ste igung ( Ändc rungstcndc nz) der ersten Ableitun g ['. A ngernern misst somit die n-te Ableitun g fl:1I) die Steigung der [n -e l j-t eo A bleitun g f (n - I) .

m. tn: 1f'l. 11'"! I

I

Das folgende Beis piel (siehe Abb. 5.2.76) zeigt d ie G raphen von f, f ", I", f '" de r Fu nkt ion f mit

~

f(x) = + xL+x L

f'( x) = -t-xLx-

x+3.

~ .

f" (x) = x - I und f' '' (x) = I .

..

\.

'

\ ,

j

1,-

.{

r / / lr f ,/ 1. .. ;;, ;

,

~

1; ;

.: f"' /

- 1---

- - ,\ Man e rkenn t an A bb. 5.2.76 etwa, dass die -1' 0 ,'J': ,3 Ix} \.. erste Ab leitung f " in de m Bereich (nämlich - 1 <x <3) negativ ist {d.h. der Graph von f' unt erhalb der A bszisse verläuft), in dem Abb.52.76 f eine negative Steigung bes itzt . In dem Bereich, in dem d ie f' einepos itiveSteigungbcsitzt [d.h. für x > 1). ist die A blcitu ng von f', d.h . die zwcite Ableit ung f " von f positiv usw,

V r// r~~i":':/

/

Aufgabe 5.2.77: Man ermit tle die Ableitungen erste r bis dritter Ordnung folgender Fu nkti onen: f(x) =x IU

ii )

1/ v) k(r)= e r

,i)

i)

.+I h(z) =-'- -

bv)=y 'l ny

iii )

F(x) = lO ~+ lgx

vii) N(Y) = (1 + 2Y )

Iv)

(z- I)2

y2

p( t) = t ' e t

. nur N' urld N" bilden .'

5. 2

225

Technik des Differenzjcrens

Aufgabe 5.2.78: Man untersuche, wie oft die folgende n Funktionen auf IR differenz ierbar sind und ermitt le die ents preche nden A bleit ungen. Sind alle A bleitu ngen übe rall ste tig'! l)

I x3 1 = I -x~ für x
f(x) :

iii ) f(x) =

I

1

ii)

f(x) =

I

2

1

0,5x +x + 1 flir x < O e" fur x z u

2 - O,5x + 2.x - I,5 rur x < I ln x furx <: l

5.2.5 Zusammenfassung der wicht igsten Differentiationsregeln f(, )

(1)

cc nst.

(2)

f\, )

n

x

1

(3)

"

n -x'

(4)

"

"I

,< 1

Bemerkungen

,,"

falls n.=IN: x",1R falls n e Z: x", IR\ {O} falls n e R : xe R "

,,"

1",

-

x e IR+

(6)

C' g(x)

C' g'(x)

c e IR: kon stant er Faktor

(7)

u(x) ± v(x)

u '(x) ± v'(x)

Summ enregel

(8)

u(x) 'v(x)

u'(x) 'v(x) + u(x) ' v'(x)

Prod uktregd

(9)

u(x) v(xl

u'(x ) ' v(x) - u(x) -v'(x) [\'(x)J2

Ouorientenregcl (v* O)

(10)

f(b\<»

f '(g) ' g'(,)

Kettenregel

(11)

a-X. In a

a", lR+ ; x ",1R

(12)

"log ax

x -tn a

ae lR+\{ l) ; x elR+

(13)

[&(, ) l'

, . [&(, )]" I . g'(x)

falls ne N: b>(x)", 1R falls n e Z: g(x) * O falls ne lR: g(x»O

(14)

eg(x)

eg(x) . g'(x)

(15)

ag(x)

ag(x) · In a · g'(x)

(16)

In g(x)

(17)

loga g(x)

(18)

b>(x)h(x)

siehe (5.2.65)

g(x)h(x) = ch(x) · Ing(x) (1.2 .85)

(19)

logg(x)h(X)

siehe (5.2.66)

In lI(x) logg(x) h(X) = lo g(x)

(5)

x

1

..lli g(x) s'oi

g{x) -ln a

aeR" g(x» O a e lR+\{t} ; g(x»O

(1.2.88)

226

5

Differentialrechnung für Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

A us Volls tändigkeltsgrün den folgen die Ab leitungen de r (beiökonomischen Problemenrelativselten vorkommenden) elementaren trigon ometrischen Funktionen (siehe Kap . 2.3 .6) :

f(,)

Bemerkungen

f'(x)

(20)

sin x

cos x

(21)

cos x

- sln x

(22)

tan x

(23)

sin g(x)

cos g(x) ' g'(x)

g(X)E IR

(24)

cos g(x)

-sin g(x)' g'(x)

g(X)EIR

" IR " IR

1

cos x =1= II

l;os2 x

fex) = 5 -510(2x + l)

Beispiele:

:;)

f'( x) :: 1O -C05 (2x+ l)

ii)

fex) '" (sin x)S = sinSx :;) f'(x)

i ii)

fex) = c lan x :;) f '(x)

jv)

fex) =

,,0051'" '" ( l.2. 85)

:;)

I'(x) = xcost'X . ( ~cos

= 5sin4 x - cos x

= elallX. - '2-

cos x

clnx 'cos VX x

VX -rln x - sin VX. _ 1_) 2VX

f(x) : cos(sin2x ) :;) f'(x)=-si n (sin2x) ·2 sin x ·cos x.

5.3

Gre nzwert e bei un bestimmten Ausdrü c ken - Regeln von de L'Höspital

W ie wir gesehen haben , spielt die Grenzwertb ildu ng im Zu samm enhang mit der Differen tialrech nung (wie überhaupl in d er gesamll'n Hoheren Malhem atik ) eine zentrale Ro lle. Bereits in K.1p. 4 war allerd ings nutgefallen (siehe etwa die Beispiele 4.3.4-4.3.6) , dass Grenzwerte be i sog. " unbest immten A usdrücken " (wit z.B. ,,00 /00 oder " O/(J ") mit den bisherigen Met hoden nicht od er nu r mühsam ermittelt werden ko nnten. Q

U nter einem unb estimmten Ausd ruck versteht ma n einen Te nn, der im Verlau f des G rcnzwertprozcs-

ses (zunüch~'I) gege n einen der nachstehend autgcführrcn sieben A usdru cke stre bt:

o'

(5.3.' )

• 0 •

-. ..

"00- 00" ,

(zur Schreibweise siehe Bem. 4.2.12) Beis plele:

x2 + 3x - 4

0"

,- , 2x - 9x+ 7 ist vom Typ ,,-0 !im

2

;

1 x lim (1 + 'X) ist vom T yp " 1 00"

,--

usw.

D ie Bezeic hnun gswelse unbes timmter Ausdmck wird verst ändlich, wenn man sich die sieben A usdrück e (5.3 .1) näher anschaut: In jedem diese r (aus zwti Teilen, wie z.B. ,,0/0" zllsammmgesetztell) A usd rücke tendie rt der eine T eil in eine prinzipiell ande re R ichtung als de r andere, so da ss (zunäd lSl) völlig unklllr ist , wer schließlieb die O berhand be hält oder ob sich bcide T eile soz usah'Cn gütlich auf eine n (endlichen) G ren zwert "einigen".

5.3 Grenzwerte bei unbestinunten Ausdrucken - Regeln von de L'Höspital

227

Beispiel 5.3.2:

(l) 1 " ~ " 1

Der Zähler strebt gegen Null, dies spricht für..Null" als Grenzwert. Der Nenner strebt gegen Null, dies spricht für..Unendlich" als Grenzwert.

Das Beispiel (4.3.6);

x2+3x- 4

'" -1 x_ I 2x2 - sx + 7 !im

zeigt, dass auch etwas völligUnerwartetes

aus .. ~ " resultieren kann. Fürdie übrigensechs Falle gilt ähnliches, was wir in symbolischer Kurzschreibweise andeuten wollen:

(2) 1·:- 1

Zähler - 00 , also Grenzwert- 00 ? Nenner- oo, also Grenzwert -O?

Beispiel (4.3.4):

(3)8

1. Faktor - 0, also Grenzwert '" 0 ? 2. Faktor - 00 , also Grenzwert '" 00 ?

x 3x = 3 lim_ ..l· dagegen Beispiel: x_

t=.:....:J

~

(4)

1. Summand-

00 ,

00

2. Swnmand -

00 ,

also Grenzwert '" also Grenzwert '" oder gar"oo-oo "=O ?

-00

? ?

,--

dagegen Beispiel: lim [(6+ 5x3)-(2+ 5x3») '" 4

(5) E]

Basis - 1, also Grenzwert '" I ? Hochzahl e-- 00 , also Grenzwert '" 00 ? (oder, falls Basis < 1, Grenzwert '" O? )

,--

dagegen Beispiel: lim (1+-tt =e (<:::2,71828) (6)

I _ ~o _ I

dagegen Beispiel:

(7) [3

(siehe (4.2.lOi»

Basis - 00, also Grenzwert = 00 ? Hochzabt-e- 0, also Grenzwert = 1 ?

,

,--

lim (x + 1)

In

x = e2 (<::: 7,3891)

(Herleitung spiner, s.u.)

°

Basis - 0, also Grenzwert = ? Hochzahl - 0, also Grenzwert = 1 ?

,

(V'X.3ji;';' o+

vgl. dagegen das Beispiel: lim

x_

=

ve

(==' 1,6487)

(Herleitung spater)

Mit den Mitteln der Differentialrechnung ist es nun in den meisten Fällen möglich, die Grenzwerte bei beliebigen unbestinunten Ausdrucken zu ennitteln.

228

5

Differentialrechnung für Funktionen mit eine r unab hängigen Variab len

Als Kernsatz dient dazu die sogenannte Regel von de L'H öspitatS für den ersten Fall n ~

" :

(Regel \'on de I/Höspital für .. ~ ")

Satz 5.3.3:

Die beiden Funktionen f(x) und g(x) seien in Xli (sletig) differenzierbar (mit g'(xo) Wenn dann der Grenzwert

A ußt:rdem gelte: f(xo) = g(xo) = O.

existiert. so existiert auch der Gre nzwert

lim

x_

gilt dann:

.-.

(5.3.4)

lim

-

n·)- :

g(x)

lim

'*' 0).

f' (x)

- ,-

x _ xo g (x )

x tt ) . und beide Gre nzwerte sind gleich. d.h. es

«e g(x)

.-.

f ' (x) ('("al - : --

lim

g'(x)

g' (Xo)

Beweis: Um die Ablcitungsdcfinition (5.1.10)anwenden zu können, benutzen wirdie Tatsache, dass lim f(x) genauso gut schreiben kann: lim f(xo+ex) .

man fü r einen Grenzwert

x - x",

lIx -O

Damit folgt für den gesuchten Grenzwert (unter Beachtung der Voraussetz ungen und unter Verwendung der Grenzwcrtsätzc (Satz 4.3.1» : f{:
hm

X-

"o

fex)

-

g(x )

.

"" hm /u _

f{:
O

::o

öx

lim

/u _O

f ' (:
g(:
(s.L10) g ' (:
öx (denn ! (xo) "" g(x o) "" 0 ,

Iuut Voraussetzung)

Bt'i~picl

5.3.5:

Die folgenden Te rme liefem für x - Xo stets den unbest immten A usdruc k " (un ter Beachtung der übrigen Voraussetzungen) anwend bar:

~ ~, d.h. Satz 5.3.3 ist

s,

lim 2c" - I "0 . x_ o x Leitet man Zä hler und Nennet gemäB der Regel von de L'H öspital (Satz 5.3.3) getrennt ab, so folgt:

lim 2e" - I ""

, -0

x

lim 2c" "" lim 2e" x_o 1 x_ o

::0

2co

::0

2

,

Analog ermitte lt man folgende Grenzwerte 5· -

ü)

::0

iii)

.-.

iV)

lim sinx , -0 x

firn

e- 1

7

:

lim - -'

x_ I

:

1

"

['rm r-r-rx-o 5x4

lim ~ , -0 1

:

:

!im

2. = 5 ,

x _l x

_1_ " '"

" 0"

cos

ü

e

1

5 G.F.A. dc L'Hcspital (l 66l-170 ~), franz ösischer Mathematiker

00

siehe (4.2. 10) lv) .

5.3

229

Grenzwert e bei unbes timmten Ausdruc ken - Regeln von dc L'H öspital

Bemerku ng 5.3.6: Die Regel von de L 'Hospital kann in verschiedene Richtungen verallgemeinen werden: i) Wenn sich nach A nwendung der de L ' Hospitalsehen Regelerneut ein unbestimmter A usdruck "

ergibt, kann man die Regel erneut und ggf. mehifach anwenden, denn es gilt: [im

(5.3. 7)

fex) =

X _ Xp

g(x)

(sofern der recna stehende QlWtienl der n-trn Abteitungen erstmalig nicht gegen dem einen (eigentlichenoderuneigerutichen} Grenzwen besitze] +x - e"

Beispiel:

1 r-

E:«

"'

[im

x -o

I - e" 2x

ii) Die äe L 'Hbspitalsche Regel behält ihre Gültigkeitfür 6

,. "' I x-

±

()O

I sowie auch für unbestimmte

•

._- " .-- " -. Um

= n firn _ _ qn 'lnq

q'

e"

firn

Beispiel:

"0O. strebI, son·

I" : "1

AusdlÜcke des Typs Beispiel:

g«

. ;;;

~

: " .!..." 00 =o' e

x _Jim_ -xl

(q > l )

.-- 3,'""-

= firn

=

", .

(3-mafigeAnwendung der Regel!)

.-- ""'" Um

6,

_ " xJ_im _

"

_ : 00

6

An alog zeigt mall durch n-matige Anwendung:

.-- " .-- " firn

X'

fim

X'

=

=

=0

(neN) (siehe (4.2.10) iii»

M it H ilfeder Regel von de L'H öspitallassen sieh Grenzwerte von gebroc hen -rationalen Funktionen für die Fälle

I" ~ Iund 1" : Ieinfaeh ermitteln. Da s folgen de Beis piel dem onstriere dies in A nalogie K

K

zu den Beispielen 4.3.4-4 .3.6 von Kapitel 4: Beispiel 5.3 .8: l)

.-lim

.--

6xl _ 4x2 + 1

lim

sx + 2xl

36x - 8

36

12x

12

(Dasselbe E rge bnis resultiert direkt, siehe Beisp iel 4.3.4 , wenn man im Z ähler und N enner die jeweils höchste Potenz [d.h. hier jeweils Xl) aus klammert, kürzt und dann direkt den Grenzwert be rec hne t: lim

6x3 - 4x 2 + 1 5x + 2x 3

" (6 - ~ + .!...)

= lim

•_ _

x

" 6 zumBeweis siehe etwa 16511] 333f

xl

x3( 2.... + 2)

6

= - = 3, wie zuv or.) 2

230

5 Differentialrechnung für Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

..Q..

15",2 - 8x

30x - 8

IOx4 + N x 2

40x 3 + 48x

-,

'" ,, -~ '" o'

.

~

,

" 0

siehe BcispieI4 .3.5 .

. 3xL -I x - 15 = 11m ..!!.." x_3 +3 x2- 18x + 27 " 0

siehe Beispiel 4.3.6

'" .!:!.~ =

00

" 0+

o ,

'

" 0

Die übrigen 5 Fälle von unbestimmten Ausdrucken lassen sichdurch geeignete Umformungstets aufdie Fälle (1)

I" ~ ~ Ioder (2) I" : ~ I zurückführen, so dass die L'H öspital-Grundregefn (5.3.4) bzw.

(5. 3.7 ) angewendet we rden können:

(J) E]

Seien lim fex) = 0 und lim g(x) = bzw. lim fex) g(x) = lim -

g(x)

,-

=

fex)

Beispiel: lim

x_o+

00

..!..

(4)

EJ ,, 00 - 00 "

00 ;

1

lim b1x) =

,

" <>0

lim

. _ 0+

' ),-,, f(c ' )c . _ lim C,~("

soo

f( x)

lim +

x_o

(..!...+ ln x) X

~

tim (f(x) -

= lim (

, , 0 0 - 00 ")

= O.

: - : ) fex) ero

_0 " " 0

, ,,,

-

(=

g(x»)

- '-= lim (- x) 1 . - 0+

--;;z

1

--1 -1 " -

Beispiel:

00

"

g(x)

I

Seien lim fex) :

~

'

~" ) (S.3'".4)

x - fn x ( = ,,0' - 00") = lim + 1n x ( = 1_ 0

.-

Iim f(x) ' g(X) = lim f(;l = "

~

00

=

h

,

lim + x-o

,"-

I + x ' lnx

x

," ,

(da nach dem letzten Beisp iel gilt: lim (x -ln x) = 0)

(5)0

x_ o'"

Seien lim f(x) = 1 und lim g(x) =

00

lim f(X) IO(X)

'=

=

lim [ein f(x) ] g(.)

( 1.2.85)

lim ~ (x) ' In roo

Der Exponent ist jetzt vom Typ " 00 • QU und kann nach (3) ermittelt werden. Dieser Wert muss dann noch zur Basis e cexpomert - werden. Bemerkung: Bei umi angreicnenAusdrucken ist das fol gende zweistufige Verfahren übersichtlicher: Gesucht sei der Grenzwen von y = f(x)g(XJ • (J) Man logarithmiert zun ächst beide Seiten und bildet nun den Grenzwert (entspricht dem Grenzwert des Exponenten von e r-, s.o.) : lim (ln y) = lim In (f(x)g(x) = [g(x) · In [(x») = ,, 00 ·0" . u (2) A ngenom men, der Grenzwen von (1) sei g. Dann gilt: lim (lny) = g, und nach den Grenzwerts ätzen, siehe Satz 4.3.1 viii), gilt:

um

/im (In y) = In (lim y) = g,

d.h.

,/"

(lim

yJ =

ei, a.n.

tim y = rC .

5.3

__ Bei~piel: x lim

J..l

(1 +

Wegen

x_ _ lim

00 •

I x 'l n( l + - ) =

lim

In(l + ..!...) x

x_ ...

.--

I x

(=

,

lim. ln(l +i )

seien lim f(x) = lim f(x)l:(x)

00

,.

x _ ....

~

=

e'

=

e,

siehe (4.2.10) i)_

und lim g(x) = 0

~, der Gr enzwert wird ana log ermitt elt:

a

(e ,

De r Exponent ist vom Typ "

x--

.' ,

I + I/x

lautet der gesuc hte G renzwe rt:

z

(5 .3_4) licfert: lim

(5 ,3.4)

lim

1im [eln fC')jl:(x) ,. 1im c l:(x) ' ln f(x)

(l.2.85 )

x_tim....(x e I)ln.

x ln(l + i )

o

' 0" )

De r Ex ponent ist nunm eh r -wic in (5)
lim e

•

1+ -

•

,

•

~:

I - ,- = l + () "

lim (1 +X" ) = e

[3

0

lim

x

-

,

In(l + - ) ' X

lim o

( >, I - " )

X

D ie Hochzah l ist vom Typ "

(61

231

G renzwerte bei unbestimmten A usdr ücken - Rc/,'C1n von dc L'H öspital

oo O ~ ) = x_!im_

0

00 '

2 -ln (x +l) In x

,.

~

In(x +I )- ein.

,

bzw. in der Form

x-tim

2 In(x + I)

vom Ty p

x__

x+ I 2 - - : lim 1

•

In x

x 2 -: 2, x+ 1

so dass de r gesuchte Grenzwert laute t: e 2 (=:: 7,3891 ) .

(7) 0

seien lim f(x) ,. 0 und lim g(x) = 0 lim f(x)g(x)

:

lim [eln f(x)]g(.) = lim lf(x) - In f(x) _

(1. 2.8S)

Der Exponent ist -wie in (5), (6) - vom Typ " 0 - 00

Beh piel:

lim

. _ 0+

(V"X. 3

,

X) ; ; ; ;

~, dcr Grcnzwert

,

wird analo g ermittelt: ( ilnx +x'ln3)

( = . 0' " )

,

z;: +I n 3

- -,,(5.3 .4)

Beispie l 5.3.9:

=

(= 1.6487) .

(CES-Produktionsfunknon)

Bezeich net ma n mi t x de n O utp ut e iner Prod ukt ion un d mit rI' r2, , rn die In puts von n Prod uktions fa kto ren, so lässt sic h mit den (p ositiven) Kon stan ten ao; a1' a2' , an sowie d em sog ."Substitutio nsparamet er " p ( p > - I ;p 0 ) die neoklassisch e C ES- P rodu kti ons fu n kti on 7 wie folgt da rstellen:

'*

7 Das Kürzel CE S bedeutet C onstant E lasticit}, of S ubstilution: Die CES-Funktion besitzt eine konsta nte SubsuIutic nselastizi tät, siehe Kap. 6.3.3_3.

5

232

Differentialrechnung für Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

Da bei wird voraus gese tzt, dass für die Summ e der sog. " Vertenun gspa ramerer'' a l l a2' ... gilt ; 3, + a 2+ ... + a n = 1 (tässr sich durch geeignete Wahl der Outputeinheit Siels erreichen'] Es stellt sich die Frage, welche Fonn die CES-Produktionsfunktion (. ) bei unterschiedlicher Wahl des Substitutionsparameters p annimmt, insbesondere, was mit (. ) passiert. wenn derSubstitutionsparameter p gegen Nullstrebt (p 0 !). Eine erste Bet rachtung f ür p - 0 zeigt, dass der Klammerinhalt gegen a,f\o + 32[2° + ... + <\nfno

'*

~

= 3, + 32 + ... + an "" 1 strebt, der Exponent -

andererseits wegen

M

~

..

über alle Grenzen

wächst oder fällt, rn.a.w. es liegt für p - 0 ein unbestimmter A usdruck des Typs (5).. 1"" " vor. Wir bilden daher zunächst den Grenzwert der logarit hmierten Funktion (-):

,

(n)

= In [ao (a lr \-p + ... + ~rn-p) p l = In "o - ~

In x

· In(aj rl -P+ ... + anrn- P ) .

Der rechte Teil von (n ) ist für p - 0 vom Typ " ~ " (wegen In 1 = 0 sowie I a; = 1), so dass die R egel vo n de L'H öspital (5 .3.4) anwendbar ist (man beachte die Kettenregel so.....-ie Kap. 5 .2.5 (12): d

p -dp r·ln r·)· , = - r·-P· , , .

lirn (In x) = In ao - lim p_o p_o

- ajrl- " ' In rl-'" - a"rn-P' ln rn alr\-P + ... + a"rn-P

"O " c+--e"c' +--O", IC "O "L In "0 + o" cIC al + a2 + " ' + a" =I

=

,-=> ,

InaO+a llnrl + ·.. + anln rn

Jn(rnan)

clna, 'eln(r,"I '

PI.P3

a ., I"rr2', .

=

0

...

Dieser Funkt ionstyp entspricht gcnau dem Typ der COBB-DO UG LAS-Produktionsfunkt ion, vgl. (7. 3.14 ), m.a.w.: die allgemeine CES-Prod uktionsfun ktion umfasst (für p - 0) als Spez ialfall auch die CO BB-DO UGLAS -Produktionsfunk tion. Aufgabe 5.3.10 : Man e rmittle folgen de G renzwerte:

11 h')

vii)

ix)

lim

x_o

'"

ii)

e" - I

r,m -In x 2

x- -

x 4 + x3 -

,-, tim

lim ,-,

'I

x

111

lim

!im

._

1+

Hi)

e

Vx- I I" ,

\i)

) Ox2 + 76x - 56

x4 - 5x 3+ 6x 2 +4x _8 x

x-r I

,

,-, xx:T

xii) lim

,-- ~

Xl

. ( 2/ -2

lirn x -

, -2

xiii) lim (1 x_ _

r

_.!. X

!im x' In x

x_o+

lim ( Iß( XI+I ) -

,-0

,

~)

\'iii)

,--

~I

._1VJ="X2"., _ -

xiv)

lim

(in x)~

lim '

lim (1 + x3) ;3

. _ 0+

I

c" - e

5.4

Newton- Verfahren zur näherungsweisen E nn ittlung von Nullstellen einer Funktio n

,

~)

lim (I- xf x_ o+

ni)

1--

lim

2x +e'" (x + 3)

e"

X\iii) lim

~

. e'" - e- x xix) hm - - -

xxi) x_ lim I

(~ - -ln'x- ) x -I

xxii) lim (x- Vx2 4x +7 )

x_ o

x -I

xxiv ) Es sei lim f(x) '"

x_ _

00

2x

,- -

if dzffmnzierhar, ['(x) ,*0).

X\ii)

,--

>X)

lim

Um

xxiii) lim x-

Zeigen Sie:

o+

233

'0"

h + 7r?-

a (x-V x3 _

X2 )

-'-

x lnx

lirn ( " _'_ ) r(x) '" e .

x__

ttx)

5.4 Newt on-v erfa hren zur näherungsweisen Erm itt lung von Nu llstellen einer Funktion Neben der - in Kap. 2.4 behandelten - . Rcgula falsi" gibt es eine Reihe weiterer iterativer v erfahren zur näherungsweisen Nullstellenbestimmung bzw. Gteichungstösung. siehe etwa [20]. Eines de r bekanntesten Verfahren ist das Newton- v ertab re n (für einfache Nullstetlen). gelegent lich a uch als Tangen tenverfahre n bezeichnet (analog zur Regula falsi ~ Sekantc nvcrfahrcn]. Die Bezeichnung deute t bereits darauf hin, dass das Newton-Verfahren die Differentialrcchnung zu Hilfe nimmt. Während bei de r Regula falsi zwei Start punkte erforderlich sind. um die Sckante (als Näherungsfunktion für f ) zu konstruieren, genügt für das Newton-Verfahren ein einzigerS tart punkt P I(X l ; f(x l

».

A usgehend vo n d iesem Startp unkt PI ersetzt man die Originalfunktio n f in PI durch ihre Tangente ( '" . besre" lineare Approximat ion) in PI und ermittelt nun deren Nullstelle x2 ' siehe A bb. 5.4.1 . Hai man XI e inigcnnaßcn gut gewählt, so ist x2 eine Näherung für die gesuchte NullstelJe Nun fü hrt man das Verfahren mit x2 (anstelle von XI) erne ut (iterativ) durch und erhält übe r die Tangente in P2CX2 ; f(x2» eine noch besse re Näherung )[3 usw.• siehe A bb. 5.4 .1.

11/1

x.

Um eine Berechnu ngsvorschr ift für die itcricrtcn Werte X2' x3' ... bei beka nnte m Startwert XI zu erhalte n, betrachten wir das getön te D reieck in Abb. 5.4.1 , das Stctgungsdrclcck der Tangente in PI . Diese Tangente in P l hat definitionsgemäß die Steigung f'(x l ) . so da ss aus dem Seitenver hältnis fo lgt:

x

o

Abb. 54. 1

~= f'(X ) »r - X2 1 "

f{x I)

Da ra us folgt fü r X2 uber - - = X - x : ( '(XI)

(x!

-I---------::/---"-------"-'~-"WL_ Xx

1

2

(5.4.2)

234

5

Differentialrechnung für Funknonen mir einer unabhängigen Variablen

1m nächsten I tcrauonsschrttt ersetz t man x\ durch den soebe n ermittelten Wert x2 und erhält analog: x3 = x2- f(X2)/f'( x2) usw. Allgem ein gilt som it die

(5.4.3)

k = 1,2, ...

Itera tionsvorsch ritt rur das Newton-Verfahre n:

Beispiel 5.4.4: i) Es soll der Wert von

a

V7 ( =

1,912 931 2...) ermittelt werden.

Dazu sucht man die (einzige) Nullstelleder Funktion f mit fex) = XL? iterativ im Intervall [1 ;2] (de nn: ) 3 = 1 < 7 und 2 3 ", 8 > 7). Mit I'(x) = 3x 2 1autet die Iterationsvo rschrift (5.4.3 ): x

n:x~) xkL , - x ---- , --

k+ l -

k

r ' ( Xk) -

k

h k2

In der folgende n T abelle sind die ersten 4 Iterat ionsschritte (Startwert: xl '" 2) durch geführt. x,

((Xj)

i

x

f(, ,)

f'(xi)

1 2

2

1

1,9 166667

1,9166667

0,0410883

12 11 ,0208337

3

1,9129385

0,0000803

10,9780011

1,91293 12

4

1,91 29312

0,0000002

10,9779173

1+1

= X, - - ,

f'(X;,)

1,9129 385 1,9 129312 (exakt auf 7 NachkommastelIen)

Man e rkennt gut die sc hnelle Konvergenz des Verfa hrens. Vora usset zung daf ür: Der erste Startwert x t muss . nahe genug " an der Nullstelle i liegen. ii) Anb and eines klassischen Beispiels aus de r Pmanzmathematik sollen . Reguta falsi" (Kap. 2.4)

und " Nev.1:on-Verfahren" verglichen werden: Ei n A nnuitä tenkredit von 100 (T i:) wird - beginnend nach einem J ah r- mit 20 Ja hresrat en zu je 10 (Ti:) vollständ ig zurückgeza hlt. Gesucht ist de r Effektivzinssatz dieses Kredits. Bezeichnet man mit q (= 1 + i err) den Effektivzinsfakto r. so muss gelten (siehe [66], S. 118);

q20_ I f(q) = 100'q20-1O ' - - = 0 q-

(a)

1

Die "Regula falsi" mit den Startwertcn q l = 1,07 und q2 = 1,08 liefert nacheinande r: 1,07 8,4761 - 1,08 ' (-22 ,986S)

43 =

8,4761 - (- 22,986S) _

30~6~'~8.~47~6~1~-~1~ .O~':,·(~-~O,~80~':::!6) q4 = 1~,O~7~7~

8,4761- (- 0,8046)

= 1,0 77306

= 1,077540

1,077540 ' 8,4761 - 1,08 ' (-0,0247) = 1,0 77547 8,4761- (- 0,0247) q/i = qs ' d.h. es gilt;

ie1f = 7,7547 % p.a. (auf 4 Nach kommastelIen)

5.4 Newton-Verfahren zur näherungsweisen Ermittlung von Nullstellen einer Funktion (b)

235

~ Newton -Verfahren~:

q20_ 1 f(q) = 100q20- 10 ' - - folgt (Quol ienlenregd ):

Aus

q- I

2Oq " (q _I) _ q20 + 1

C( ) = 20011 19-10· = q q

'-'''--''-,-''--''':''': (q _ I)2

Das Verfahren versagt (!) mit herkömmlichen 9-stelligen elektronischen Taschenrechnern. da starke Rundung:sfehler durch Auslöschung entstehen. Daher ist es sinnvoll bzw.notwendig,die Nullsteliengleichung f(q) = zunächst umzuformen:

°

q20 _ 1

f(q) = IOOq20- 1O · - - = 0 q -]

Aus

folgt nach 2 Umformung:ssehritten die äquivalente Gleichung f"'(q) = 0 :

Mil dem Startwert ql = 1,08 ergeben sich darausnacheinander mit (5.4.2) q2 = 1,077689 q3 = 1,077547 q, = 1,077547 d.h. für den Effektivzins ergibt sich ebenfalls auf 4 NachkommastelIen: ieff = 7,7547% p.a.

Man sieht, dass das Newton-Verfahren zwar schneller konvergiert, dafür aber bei der Einzelauswertung aufwendigcr ist und gelegentlieb sogar- wie gesehen-vorhenge Termumformungenverlangt. Fürfinanzmathematische Effektivzins-fRenditeermiulungen - siehe etwa [66 ], Kap. 5 - ist die stabilere und einfacher zu handhabende Regula falsi vorzuziehen. Was bei ungeschickter Wahl dcsStanwenes XI passieren kann, zeige n die Rille i) - iv) von Abb. 5.4.5:

Ifll

11 Abb.54.5

Das Verfahren scheitert, da die erste Näherung x2 nicht im Definitionsbereich der Funktion f liegt.

5

236

Differentialrechnung für Funknon en mü einer unabhängigen Variablen

----F-?~-.;;:---I P,

, ,, , ,,

iil

--

Die Tangente ver/duft parallel zur Abszisse, hat olso keine SChnitt-

stellex2 mit der Abszisse.

, ,,

,,

-~

:

,

x (xl

x,

»

1111 iiil

... und was beim Newtonverfahren sonstnoch

so passierenkann ..

..

~~';::+--------:----\x Die positive Nulls/elle

istgesucht, aber die negative Nuf/stelle wird approximlerl.

x

Abb. 54. 5

I ( = xj = x s =

Dos Verfahren bewegt sich im Kreis, wIrd nie erreicht ( .Käfig ") .

x

X,

../

I

Aufgabe 5.4.6: Man ermittle die Nullsterlen folgender Funktionen mit Hilfe des Newton-Verfahrens auf 4 Nachkommast cllcn:

f(x) = x3 + 3x - 6 ii)

g(x} = 2 + x3 - O.2 5 x~

iii )

h(x) = c" + x k(x) =x +lnx

q30 - 1

f(q) = 20'1 30 - 3 - - - 10 q -] 20

2U

30

50

60

C(q) o = 100 - - q - -q2 - -q3 - -q 4 - -q5 (entspricht derErminlungdes internen Z inssatzes einer Investition)

237

6 Anwendungen der Dilferentialrechnung bei Fuuktionen mit einer unabhängigen Variablen 6.1 Zur ökonomischen J nt erpretaü on der ersten Ableitung 6.1.1 Das Different ial einer Funktion Die Frage nach der Ände rung...tend enz einer gegeben en Funk tion f an der Stel le Xo war A usgangspunkt fü r d ie E rmittlung der Steigung von f in Xo gewes en (siehe Kap. 5.1.1). Als Ergebnis des notwendigen O renzproaesses erhi elten wir die erste Ableitung f (xo)' die ....-ir geometrisch als Steigung der Tangent e an den Gra phen vo n f in Xo interpre tieren ko nnt en.

Die Tangente t selbst ist dabei d iejenige Gerad e, die d ie Funknon f in Xo ambcstcn ann ähert (approximiert) , da sie mit f sowohl den Punkt p(xo; f(:
(siehe A bb . 6. 1.1). D aher kann man in ein er (nic ht

II1

f(x)

Ändert man - ausgehend von de r Stelle Xo - den We rt der unah hängigen Variablen um M auf xo+ex. so ergibt sich eine resultierende Ä nderung von f um M (s. Ab b. 6. 1.3). Diese uns irrte ressierende Änderu ng I1f kann nun nach dem Vorhergehende n in erster Näherung crserzt werden durch die entsprechende Ändcru ng df der Tan genteufunktion t (stebe A bb.e.t.a):

.: /

zu großen) Umgcb ungdcrStdlc xod ie Tangent enfunktion t als Näheru ngsfunktion von f bet rachten.

.

x,

lxi Abb. 6. f. f

II1I

··r ···

I

I

"f

--",,------,J .- - .;x -

.;

-+_-'--_-1- _ _ lxi x,

(6 ,1.2)

Abb. 6.1.3

Die rechnerische Enn ittl uugdes Nä herungswertes df für die wahre Funktionsdifferenz M bereitet nun mit H ilfe der Ableit ung f'( xo) keine Schwierigkeiten: (Zur Ba eidmungsweise in Abb. 6.1.4 seivorab folgendes bemerkt: AllstellI' der Differm zell Llx, ,df bezeichnet man die entsprechenden (endlichen) Differenzen fü r die Tangelllenjimlaion mit dx (= th) und df und nenm sie Differelltjale VO l l x bzw. f. )

I

T

I

df ...M

~a~ L L _ _ dx i

x,

(=

Llxl

X,,+.1x

Abb . 6. 1.4 A us A bb. 6.1.4 lies t man ab: Die Steigung der Tangente an f in Xo ist einersei ts gegeben d urch die erste Ablcitung f'(xo) und zum anderen d urch d..1S Verhmlni.s der Kathetcnlängcn df und dx des [schraffier-

tcn)Stcigun~dreiccks:

f '(xo) = ddr . Multipliziert man diese G lcich ung mit dx ( * 0), so ergibt sich der s:

gesuchte Näherungswert df ( ~ M ) zu:

df = f(Xo) · dx .

238

6 A nwem.lunb'Cn der Differentialrechnung hci Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

Zusammenfassend erhalten wir: Def. 6. 1.5: (Differential vun f) Es sei f eine in Xo differenzierbare Funktion. Unter dem Differential

" 0 zum Zuwachs dx ( ,*0) versteht man:

'I d'- '-=-"'-('-')-'=-''-f'-')-'

(6.1.6)

dr der Funktion f an derStelle

-",,'I

Nach Abb. 6. 1.4 gibt das Differenli al df(xo) die Änderung der Tangenlenorilinate an, wenn Xo um dx geändert wird. Da andere rseits df ein Näherungswert für die tatsächliche Funktionsdifferenz Mist, d.h . df :::::: M, folgt für jede SteIle x, in der f differenzierbar ist: Salz 6. 1.7:

Das Differential

(6. 1.8) gibt für jede Stelle XE Dl, an, um wieviele Einheilen sich fex) (nä hcrungsweise) ändert, wenn die unabhä ngigeVariable x um dx Einheilen geändert wird. (Das Differential df ist somit eine Funktion der belden Variablen x und dx! ) Dabei ist die Gü te der Näherung llf :::::: df desto besser, je kleiner die (willkürliche) Abszissenänderung dx gewä hlt wird.

Beispiel 6. l.9:

f

f(x) = O,Ix 2 ; Xo = 2

I

Für dx = ex = 1,5 (1; 0, I) sollen a) die Different iale df b) die exakten Funktionsdifferenzen M ermitt elt werden: a) .If(x) = ('(x) · d:<.

Mit f'(x) = O,2x und x = 2 felgt: 1) df = 0,2 ' 2 'J ,5 = 0,60 2)df=O,2'2 -1 =0,40 3) df = 0,2'2 -0, 1 = 0,040

r--:

r---

dX - ", J d X2 - -,

b) 1) M = f(3.5) - f(2) = n,l'3,5 LO, 1'22 = 0,83 2)M = f(3) - f(2) = 0,1 -3 LO ,l ' 2 2 =0,50 3) M = f(2,1)-f(2) = 0,1'2, l LO, l'2 2 = 0,041 .

dx, - - -"

lxi

Abb. 6. 1. 10

An diesem Beispiel wird deutlich, dass -

die Ennilliung des Differentials df weniger aufwendig ist als die Enn ittlung der entsprechenden Funktionsdiffcrenz M

-

die Näherung df :::::: M mit sinkender Abszissendifferenz dx immer b'Cnauer wird, siehe Abb . 6.1.10.

Beispiel 6.1.11: Wie das Beispiel f(x) = ~ ; Xo = 4, dx = 0,2 zeigt{Abb. 6.1.12), bedeute t ein neganver Wert des Differentials. dass die Funktjenswe rte mit wachsendem x abnehmen: df(x) '" f'(x)"Ux = -

f

I"'"

____ dx» 0 ------l

,

""'=-- - - .,y r

--

~~~l dl
:2 'dx = - 1~ 'O,2 = -0, 100 8

8

(exakt: M == f(4,2) - f(4) = 4,2 - -:( = -0,095).

4

Abb. 6. 1.12

lxi

6 .1

239

Zu r ö konomisc hcn Interpreta tion der ersten A bleitun g

Beispiel 6. 1. 13: Gegeben sei die Gesamtkostenfunktion K einer Ei n-Produkt -Unternehm ung mu K(x) = O,06x3 -2x2 + 60 x + 200 (x: Outp ut [M E]; K: Gesam tkos ten [GE ]). Ausgehen d von einem Ou tput

Xo =

10 M E sind d ie Koslenänd erungen ges uch t, wenn d ie Prod uktion

i) um 2 M E ausgedehnt wird Mit H ilfe des D ifferent ials d K(xo) = K'(xo) ' dx

ii) um eine M E gesen kt wird (siehe A bo . 6.1 .14).

d K = (0,18x2- 4x + 60) dx l

,/K

Abb. 6. 1.14

erhält ma n:

I

dK> O

x· IO

: (18 - 40 + 60)dx = 38dx. Daraus folgt:

l) dx= 2 ME=> dK = 38 ' 2 :76 GE ii) dx = -1 ME => dK = 38 ' (-1): -38 G E .

x,,= 10 ME

lxi

Df i., wird die Produ ktion - ausgehe nd von 10 ME - um 2 M E erhöht, so nehmen die Kosten um ca. 76 GE zu, wird die Prod uktion um 1 ME verminder t, so sinken die Prod uktionskosten umea. 38 GE. (Z um Vergleich hier d ie etwas umständlich zu ermitt elnden exakt en Kostenä nderungen-

i)

6.K = K(12) - K(1O) = 75 ,7 GE

ii)

6.K = K(9) - K( IO) = - 38,3 GE.)

Bemerkung 6./.15: Durcn die Wahl der Bezeichnungen df, dx [ur die Änderungen von Tangentenfunktion und II/labh iingiger Vari abler erhiilt die schon fruher (siehe Der 5,/ .9) eingefuhne Schreibweise df/dx ("df nach dx ") für die ersteA bleitung f'(x) einenachträgliche Berechtigung. Das ~)'mbol df/dx kann nun in zweierlei Weise allfgefasst werden: i) dfldx ist der " Grenzwert des Difjerenzenqlloliemen" und somit identisch mit der l , Ableitung f'(x) (df nach dx). ii) df/dx ist der Quotiellt der Differentiale df ( Q, Ordinosenönderung der Tangemenf unktion] und dx (~zugehörige Absziuendifferenz

(* 0)) (df durch dx).

Da zwiscnen den Diff m mia/en df und dx (* 0) die Beziehung df = ['(x) . dx besteht (siehe (6./.8)), ist es unerheblich, welche derbeidenAuffa ssungen im Einzelfallzugrundegelegt wird: BeideAuffassungen führen stets zu gleichen, widerspruchsfreien Resultaten. AUfgabe 6.1.1 6: Man ermittle das Differential folgender Funk tion en und damit n äher ungsweise die Funkt ionswcrtändcr ungcn bei den gegebe nen Abszissenänderungen. Zur Kontrolle ermittle man die entsprec hen den wahr en Fu nktionsändcrungcn: i) k: k(x) '" O,2x2 - 4x + 60-

2~O ;xo

= 20; dx = 1

ii ) f: f(z) = c -z ;Z<J = 2 ;dz = 0,3

iii) p: p(t) = tn t ; t o = 7 ; dt = - 0,6 ,

AUfgabe 6.1 .1 7: Gegeben sei d ie ertragsgesetzflehe Prod uktionsfunktion x mit: x(r) = -r3 + 12rl + 30 r [x: O utpu t [MExl j r: I nput [MEl). Man e rmittle mit H ilfe des Different ials dx(r) näherungsweise die Ou tpurerh öhung. wenn - ausgehend von einer Inputmenge von 11 ME
V"'i05,

Aufgahe 6.1. 18: Man ermittle näherungsweise (ohnc Taschenrechner !) den Zahlenwert von Dabei be nutze ma n da s Differential von f(x) = an de r Stelle Xo : 100 für de n Zu wachs dx = 5.

VX

Bemerkung 6./ ./9: Dem Begriff des Differelltials kommt eine besondere Bedeutung im Zusammenhang mit dem ElastiziJätsbegriffvon Funknonen zu, sieheKap 6.3.3.

240

6 A nwendungen der Differentialrech nun g bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

6.1.2 Die Interpretation der I. Ableitung als (ökonomische) Grenzfun ktion Vom Begriff des Differen tials df(x) als Produkt f (x) ' dx aus erste r Ableit ung f'(x) und Abszissenänderung dx (5. Dei. 6. 1.5) ist es nu r noch e in kleinerSchritt zur Int erpretation der 1, Ableit ung f'(x ) selbs t:

I (f)

Ände rt man (sieh e A bb. 6. 1.2 1) - aus geh end von der Stelle Xo < die un abhängige Variable um gcnau eine Einheit (d.h. M = dx = I), so ergibt sich als T angcntcnste igung in Xo (siehe schraffiertes Stctgungsdreieck in Abb. 6 .1.21): (6 .1.20)

f(Xo) =

~.~

'"

~f

I

/

---- - _ ..

----,-' ,-

I p

= df,

m.a.w.:

Für dx = 1 s timmen die Z ahlenwerte von FUliktionsdiffe rent ial dr r- O rdmat cnändcrung der Tangcntenfunktio n) und erste r Ableitung r'( Xij) übe rein .

-9

~

'.

1 dx

lxi

xr;+ f

Abb. 6. 1.2f

Da a ndererseits df ein (guter) Näherungswen für die wahre Fun kt ionsänd erung Ai ist (s. Abb. 6. 1.21), erhä lt man mit der ers ten Ableitun g f'(xo) einen (gute n) l'\ähcnmg~·wert fü r d ie Änderun g Af an der Stcllc xg, sofern dx = 1 gewählt wird: Satz 6.1.22: Der Wert f(Xij) der ersten Ableitun g einer Fun ktion f gibt (n ähcrungswcisc) an, um wie viele Einheile n sich der Funk tion swert f(Xo) än dert , wenn die unabhängi ge Variable - ausgehend vo n Xo - um eine Einhe it geä ndert wird:

(6.1.23 )

(li

Bci.~picl6 .1 .24 :

Wir betrachten die Funktion f mit f(x) '" O. l x2 an de r Stc11c xc '" 3 . Wie ändert sich f(xo)' wennxo um eine E inheit verändert wird? w ege n f'(x) '" O,2x und somit f'( 3) '" 0,6 folgt. dass die Funktion f (näherungw..e ise) um 0 ,6 Ei nheiten zunimmt (abnim mt), wenn x vo n 3 auf 4 Ei nheiten erhö ht (au{ z.wei Einheuen vermindert] wird, siehe A bb. 6. 1.25.

0,6 = 1r3)

-1

__-j--S,L-~_-+-

IXI

x() (=3)

Abb . 6. f .25

rex)

rex)

Bemerkung 6./.26: Lst die erste A bleitung posinv, (siehe A bb. 6./ .27), so liefen der Wert die FlmktJQnsZll1lU/lme, wenn .r (um eine Einheit) tunimmt, und die Funtaionsa bnahm e; wenn x abnimmt: Das Verhatmis df/dx ist stets posinv.

rex)

die Funktionsobnahme, Ist dagegen j'(x) negativ (siehe Ahb. 6./. 28), so liefen der Wen von wenn x zunimmt, und die Funktionstunahme. weml x (um / Einheit) abnim mt: Das Vemattm s dfldx ist stets ne gativ.

6. 1

241

Z ur ökonomisc hen Interpretation der e rsten A bleit ung

Ifl I

I

ifI

I

I

{'(xl> 0

'----- -,

-

I

, ' I...;{ ,

I r-r-:

--'

I f'lxl< O I

,

··'1 ..

d/>O

dfo=f7xJ>O

,

f

, - -

J..

.L.

dfo=f7xl < O

dx

0=

1

"

._

ot

dx=-1

dx= 1

<,

lxi

x- I

Abb. 6.1.27

J.. .

Abb. 6.1.28

Nach Satz 6. 1.22 licfert dic Ableltu ngsfunktien f" von f an jeder SteIle xe Dr d ie (ungcfährc) Funklions ände rung. falls x um eine Ein heit variiert. De rartige Änderu ngsfunklionen sind für ökonomische Fragestellungen beso nde rs bede utsam und tragen dah er eigene Bezeichnungen wie G renz funklion oder l\targinalfunktlcn: i)

Ma lhemati sc h-ökonom i.~c h

verste ht man unter de r C rcnzrenktlon f ' zu f den Grenzwe rt des Q uound zu gehöriger Ä nderung öx der unabhängigen Variablen [mit-

uemen aus Fun ktionsänderung M hin die erste Ableitung f "]:

r - - -- - - - - - - - ,

(6.1.29)

G renzfunk tion

.=

f (x)

I .m · li -"' öx

lu _

ii) P rakusch - ökoncm tsch verste ht man unter der Grenzfunktion M den Fun kucnsz uwa chs (bzw. die Funkt ion sahnahme] pro z usätz licher Einheil (iU = 1) der unabhängigen Variable n:

(6.1.30)

G renzfunktion

,=

M (x) = f(x+1)- f(x) .

Wegen f '(x) == M (x) für öx = dx = 1 stimmen beide Auffa~sungen nahezu übc rem. Da es sich mit dem A bleitungsbegriff einfache r und unive rseller arbeiten lässt, so ll im folgend en unter Crenz funktien (z.B. Grenzkosten. Grenzgewinn. G renz erlös usw.) srets die I. Ahleitung der z ugrundeliegenden ökonomischen Fu nktion (z.B. Kostenfunkt lon, Gewinnf unkt ion. E rlösfunkt ion) vers tanden werden , während für die In terpretation der Crenzrunkuon die p raktisch-ökonomische Auffas sung benu tzt werden kann : Satz 6. 1.3 1: Die Gre nzfunktion (od er l\IarginalfunktiOfl I ) ei ner öko nom ischen Fu nktion f kann durch ihre ers te Ableitu ng f" beschrieben werden . Der w ert f(x) de r Grenzfunkt ion gibt (näherungsweise) den Funktionszuwachs (bzw. die Funk tionsabnahme) an, der du rch die nächste (od er let zt e) Einheit der unahhängigen Variablen x hen orgerufen wird. A uf dieser Basis so llen nun die G renz funk tionen ei niger wtchug er ökonomische r Fu nktionen exemplarisch behandelt werde n (zu den ents preche nden ö konomisc hen G rundfunktionen siehe Kap. 2 .5).

Die Behandlung ökonomischer Fragestellungen in dL'TDifferentialrechnung mit Hilfe \'011 Grenzfuukucnen heißt daher auch Marginalall alyse ("Denkcn an der Grenze ").

242

6 Anwend ungen der Differentialrech nung bei Funkt ion en mit einer unabhängi gen Variab len

6.1.2.1 Grenzkosten Die erste Ableit ung K' einer Gesam tkos tenfunklion K heißt Grenzkostenfunku on, Die Gre nzkost en K'(x) geben für jeden O utp ut x d ie Kostenän derung für die letzt e bzw. folgende prod uzierte Out put einh eit an . La ssen sich die Cesam tkosten K in variable [d.h . outputabhä ngigc) Kosten K.. und fixe Kosten Kr au fteilen , d.h. (6 .1.32) K(x) = Kjx) + Kr

Kr = K(O) = const.). so liefert die Diffe ren tiat ion wegen Kr' = 0 (6, 1.33)

(mit

I K'(,) = "''«) I ' d.h.

d ie Grenzfun ktionen der Gc samt kosten und der variablen Kosten stimm en übe rein. die Änderu ng de r Gesa mt kosten für die let zte Prod uktionseinheit ist gleich de r ent sprechenden Ände ru ng der variablen Kosten, siehe Abb. 6.1.34 (" Die Grenzkosten sind unabhängig Imn den Fiskosten ") . Bei.~pi el

6. 1.35:

Für die Ge sam tkostenfunktio n

I (KI

/K.)

"

K,

~ o~(Xi .,

K, I

~-

-

Abb. 6,1.34

K

(K'I I(KI

K(x) = ..!.. x3 - 2x2 + 60x + 200

K

I Klxl = K'jxl I

-,~ 40

(K(x); Gesamtkosten (in GE), x: Outpur (in ME) ) lautet die Grenzkos tenfunktion. K'(x) = 0,2x2 - 4x + 60 . Für eine Prod uk tion von z.B. 10 fo..1E ergebe n sich Grenz kosten in H öhe von K '(10) = 40 GEI !\IfE, d .h. wird die Prod uktio n - ausgehend von x = 10 ME - urn eine E inhci t ausged eh nt (hzw. vermindert ). ents tehe n Mehrkosten (bzw.Mindcrkost en ) von ca. 40 GE, siehe A bb. 6.1.3 6.

'0

Abb,6.1.36

Die Ablei tung k' de r aus K zu gewinnenden Stückkl)';len funktion k(x) = K(x)/ x (k: durchs chnitt liche Gesamtk osten) hei ßt analog C renz-Stüekkcetcnfun kuon . Ihr Wert k '(x) gibt die Änderun g de r gesa mten Stückkosten pro zusät zlicher Produktio nseinheit an . Bcispicl 6. 1.37:

Mit K a us Beispiel 6.1.35 ergibt sich als Stückkost enfu nktion: K( x)

I 2 x 15

k(x) = - - = -

x

k '(x) =

1~ X - 2 - ~~

200

2x + 60 + - x

und somit d ie Grcnz-Stückkosrentnnkuen

(m it x e ll}.

Für eine n O utput von 10 ME ergibt sich k'( lO) = - 2,67 G~1E , d .h. wird d ie Prod uktion ausgc hend von x = 10 ME - um eine Einheit a usgede hnt, vcnni nutm sich (da k '( lO) < 0) die Stückkosten der gesam ten Prod uk tion um ca. 2,67 G E/M E. -t

Bemerkung 6.1.38: Fur die Imerpretaüon ökonomischerGrößen und Variablen ist die zutreffen de Maßeinheil von großer Bedeutung. Da eine Grenzfunktion F(x) als Quotient dfldx derDifferentiale ( ~rfnde' nmgen) df und auf gefa m werden kann (siehe Bemerkung 6.1.15), ergibt sich die Maß einheit der

ax

6, 1

Zur ökonomisc he n Int erpretation de r ersten Ableitung

243

rex)

Grenl/! m !dl'ofl als Quotient derMaß einheite/1 VOll df und dx. Da d[ und [ bzw. d ( und .r jeweils in d erselben Maß einheit gemeswn werden [ulgl allgrm ein:

,

(6.1.39)

'...!J1...

'

_

Maß einheit von I Maßeinheit VOll x

Maße mhelt \i(H/ dx [hzw. [ (x)) -

Einheit der Gesamtkosten K: E inheit der Prod uk tionsm enge x : Einh eit der Grenzkosten K'(x):

Beispiel: ~

I GE 1 ME 1 GElME

(z.B. 1 € ) (z.B.lkg) (z.B. 1 €/kg) .

1 GElME1 (z.B. 1 €/kg) (z.B. 1 t) 1 ME 2 GE/MEt € /kg Einheit der Grenzstuck kosten k '(x) : I ME (z.B. 1

Einheit der Stückkosten k: Einheit der Produk tionsm enge x:

Beispiel:

~

- ,-I

a

6.1.2.2 Grenzer lös (Orcnz u msatz, Grenza usgaben ) D ie I. Ahleit ung E ' einer E rlösrun klioo E [Umsarzfunküon, Ausgabeßrunk tion) mit E ,~ x - p (x: Menge (ME ); p; Preis (G E / ME ») heißt Cre nzcn ösnmkuon (bzw. G renzumsa tz- od er Grenzausgebentunknon). J e nachd em. ob x oder p als unabhä ngige Variable fungiert. un tersc heide t man zwei Frille; I)

Una bhän gige Variable sei die nachgerragte Menge x. Da nn erhält man mit der Preis-A bsatz-Funktio n (oder Naehfragcf unkt ion ) p = p(x) die Erlösfunktion E in A bhängigkeit von der Menge x:

E(x) = x p(x). D ie entspreche nde A bleitung E'(x ) = dE / dx heißt Grenze rlös (G renzumsatz, G rcnzausgabc] bzgl. der :\Ienge. E '(x) liefert die E rlösände rung. wenn sieh die nachgefragte Menge (0 priori) um eine ME erhöht. Bei.~piel6. I AO I):

I {EI

Gegeben (p : Preis [GElME]

x: nachge[raglc Menge [ME]

Prei s-Absa tz- Funktion: p(x) = 150-0,5x (x ? O, p"?O)

f (x/

Erlosrunkuom E(x)

= x · p(x) = 150x - 0,5x 2 /XI

Grenze rlös run ktioll bzgl. der J\ten ge: E '(x) = 150 - x Für eine Menge x = 80 ME ergebe n sieh (siehe Abb. 6,1.4 1):

i) ein Preis

P(80 ) = 110 G E / ME ii) ein E rlös E (80) = 8 .800 GE iii) ei n G renz erlös bzgl. de r Menge;

150

I lpl I(E'I

''' ~ ! .......... : 7()

' .'

_ .........

N)

E '(80) = 70 GE /ME, d.h. bei Mehrabsatz von 1 ME (be i x = 80 M E) steigt der Gesam terlös um 70 G E .

'"

I

,'";(f........,

Erx)' < ,

_ 150

.• .•

Abb. 6.1.41

(x /

'Ja)

.

",,:,,:"'- ;

-

244

6 A nwend unb'Cn der Differentialrech nung be i Funkt ionen mi t einer unab hä ngigen Variablen

11) Una bhäng ige Variable sei der Preis p. Mit H ilfe der Preis-A bsat z-Punktion x = x(p) (x(P ) ist die Umkehrfim ktion der Preis-A bsatz-Funktion p == p(x)) laut et die Erlösfunktion E in Abhängigkeit des Preises p: Die en tsprechende Ableitung nach p, d.h . E'(p) == d E / dp he ißt Grenze rlös (G renz umsatz, Grenzausgebe ) bzgl. des Prei ses. E '(p) liefe rt die Erlö sänderung. wenn de r Marktpreis r des G utes (a priori) um 1 GE/ME steigt. Beispiel 6.1 AO ii): (Fonseuung VOll Beispiel 6.1.40 I)) Preis-Absa tz- Funktion:

, (E!

x(p) = 300 -2p (x ~ O,p ~ O) ( = Umk ehrung von p (x) = 150 -0,5x) Erlösfun ktion: E(p) = x(p) 'p = 300p - 2p2 Gre nze rlösfun ktion bzgl. des Preises:

E'(p) = 300 - 4p

J(I()

Für einen Preis p = 110 G E / ME ergeben sich (sieheAbb. 6.1.42): i)

J

(x/,(E'I

"

HO

ISO

x(pl \

eine Menge x(110) = 80 M E

15

\

,

-+--~,)~ 1SO-

ii) ein E rlös E(llO) = 8.800 GE

\ ;

iii) ein Grenz erlös bzgl. des Preises:

'--- '\

E '( l lO) = - 140 G E /G Efl'o..tE, d.h . bei e iner Preiserhöh ung von I G E/ME (bei P = 110 GE/ME ) sinkt der Gesam terlös um 140 G E.

E'(p]\

(p I - -

,

. ,. .

Abb. 6,1.42

Bemerkungr i) Die Beispiele 6.1. 40 hzw. A M. 6.1.41/6.1.42 sind charakienstisch f ür /ineare Nochfragefunktionen

mit negativerSteigung. ii) DerErlös pro Stück [oder Durchschnittseriös] EIx ist wegen E = x ·p stetsidenns ch mit dem Preis p.

6.1.2.3 Orena produktlvlt ät (G re n ze rt rag) D ie erste Ableitung x'(r) einer Produk tion.sfunktion x(r) (x: O utpu t (in MEJ ; r: Input (in ME ,)) heißt Grenzprod ukthiläl od er Crcnze rt reg 2. Die G renz produktivität x '(r) = dx/dr gibt an, um wiev iele Ou tputcinhcite n d ie Prod uktion zu- oder abnimm t. wenn die E insatz menge r des variablen Prod uktionsfaktor s um eine Ei nheit zunimmt 3 •

.=

2 Gelegentlich bezeichnet man auch das Differell/ial d.~ (rj x'(rj dr (mit: x = Output (in MEx); r = Input (in t-.1E r als G'en::ert'ug (häufiger: Grcnzprodukt) . Nach Satz 6.1.1 liefcrt dx(r) die Produktmengenänderung. wenn der Input r um dr Einheitengeändert wird. 3 Jc nach Art des variablen loputfaktors spricht manz.B. von Grenzproduktivitätder Arbeit, des Kapitals, des n-tcn Produktionsfaktors usw.

»

6 .1

245

Zu r ökonomischen Interpretat ion de r ers ten A bleitung

x(r)

:0

(ME) I

Prod uktionsfu nktion x :

Bei~pieI6 .1.43:

I

- O,Ir3 + 6r 2 + I SOr

(r: Input (M E T); x: O utpu t (MEJ: r ~ 0).

i

Für die Faktoremsatzrncnge r :0 20 ME, ergibt sich die Grcnzproduktfvirät zu ..,

x'(r) :o(-0.3r- + 12r + 150) 1

M Ex

. .. 20

:0

(xl

4600

1

270 " IE •

J' .

d.h. wird der Input - ausgehend von 20 Inputeinheiten - um eine Ei nheit erh öht (gesenkt), so stei gt (sinkt) der Ou tp ut um ca. 270 ME x (exa kt: 269,9 MEJ ; siche A bb. 6 .1.44.

1

1000

20

50

80 (ME,I

Abb. 6. 1.44

Die Prod uk tmenge X. die du rchsc hnittl ich pro eingeset zter Inputeinheit prod uz iert wird. heißt Durchscbnntse rt rag ode r (durchsc hnitt liche) Prcdukuvnät. D ie Prod uktivität ergil?t Nch für jeden Input r als Gesamtoutput x(r) geleilt durch die dafü r erforderliche Inputmenge. x(r) '''' (s. auch Bem. 2.5.16).

7

Die Abtenung x '(r) der Produknvn är (od er des Dur chschnittsertrage s] x( r) heißt Grenz -Du rehr..chnu ts-

ertrag. Sein Wert gibt für jeden Input r an. um wiev iele Einheiten sich der Durchschnittsertrag

xändert,

wenn der Inp ut um eine E inheit zun immt.

Sfl

2 + 6r + 150 Beislliel 6.lA5: (s. Bsp. 6 .1.43): Ableitcn des Durchschnittsertrages x(r):o :0 - O,h liefert den Gre nzd urchschn ittsertrag x' (r) '=' -0,2r + 6. Für (z.B.) r '" 20 M E , ergibt sich: _

x'(20) = 2

MEx/ ME r

l\fE

,

'

d.h. erhöht man be i r = 20 M E , den Input um 1 M E" so

erhö ht sich die Prod ukt ivität (= durch schnittlicher Ertrag pro Inp uteinheit) um ca. 2 ME / MET'

Bemerkung 6.1,46: Den Kehrwen rl.r des Durchschnittsertrages xIr bezeichnet man als Produlaionskoef : lizie"t r. Ein Produktionskoeffiz ientenwen VOll Z.B. 0,7 ME/lI,fE", bedeutet, dass im Durchschmu 0,7 lnmueinheiien pro Osupuieinheu ben ötigt werden. Entsprechend bezeichne: man die AbleiJImg rex) '''' ( r~x)) des Produaions koeffitienten als Grellz-Produktinl/.skoeffizienle" . Ein Wen des Grenz-

:ix

ME, / ME x

pm dukliom koeffizienten VtJll z.B. 0,2 ME besagt, dass bei Produktionsausdehnung 11m 1 MEx derdurduchniuliche Produktionskoeffizient II~ 0,2 ME, / MEx zunimmt. Die in der Definition , '''' r~) des Produktionskoejfiziemen allflretmde Flink/ion r = r tx) ist die Umkellrfimkliof/. der Produktionsfunknon x(r) und liefert für jede Prouukuonsmenge x den dafurerforder/idie" Faktoreinsatz bzw. -verbrauch. s. Kap. 2.5, (5). Daher heIßt r = rex) aucn Faklorei"sat1ftmktiofl oderFakiarverbrauchs funta ion, ihreAbleiumg r' t- r'(x)) Crenrverbrauchsfunkiion. (xI I (r': Beispiel: Zur Produk tionsfunktion x: x(r) = IOV7;r ~o, gehörtdiedurch UmkehrunggewonneneFoktoreim'atzfunk/iull r: rex) '" 0,o/x 2 (x e 0); siehe A bb.6.1.47.

50

Da Grenzverbrauch r'(x) = O,02x tiefm z.B.

fü, x = 60 MEx den Wen r'(60) = 1,2 ME, / MEx ' d.h. für die nachste Produkteinheit werden 1,2 Inputeinheiten zusätzlich benötigt.

Abb . 6. 1.41

50

'00

('I

24 6

6 Anwendunb't'n der Different ialrechnung be i Funkt ionen mil einer unabhängigen Variah len

6.1.2.4

G r enzgewi n n

Die erste Ahleilung G ' (:= G '(x» einer Gewinn funktioo G heißt Grenz gewinn (· funktion) bzgl. der abgesetzten Menge x. De r Wert G'( x) gibt an, um wieviele Geldeinheit en sich de r Gewinn ändert, wenn die produzierte und abgesetz te Menge x um eine Menge neinheit zunimmt. D a die Ge....i nnfunkt ion G als Differenz aus Er lösfunktion E und Kost enfunk tion K definiert ist, d.h. G(x ) := E(x) - K(x), ergibt sich nach der Sununenregc1 für den G rcnzgcwi nn (6. 1.48)

d.h . der Gren zgewinn G ' ist d ie Differen z aus Oreuze rtös E' und Grenzkosten K'.

BeiSlliel 6.1.-19:

E ine mo nopolist isc he E in- Pro-dukt-Unt emehrnung produziere den Output x (x <: 0) mit der Kostenfunktion K: K: K(x) := O.05x2 + x + 300

K

I lEI

IKI IGI

E

und sehe sich der Prcls-Absntz-Funkt ion p mit p(x) = 19 -0.1x gegenüber. Da nn laut et wegen E(x) = x ' p(x) = 19x-ll, lx 2

G~O

die Glcie hungder Gcwinn funktion G;

G(x) = E(x) - K(x) := - 0, 15x2 + 18x- 300 und somit die Grenzgewinnfunktion G':

60

G'(x) = - 0.3x + 18. Für eine prod uz ierte uodebgeset zte Menge von 20 ME (bzw. 80 ME bzw. 60 ME ) ergeben sich Greozgcwinnwert e von 12 GE/ME (bzw. - 6 GEIMEbzw. OGEJME).

300

-

I

s öö,6. 1,50

G

Im erste n Fall ergibt sich pro zusä tzlich produzi erter und abgesetzter Mengeneinheit eine Gcwinnzunahme von 12 GE, im zweite n Fa ll eine Gcwin nminderung von 6 GE. Im letz ten Fall ist der Gr enzgewinn Nu ll, d ie Gewinntunk tion hat eine waagerecht e Tangente, Gr enz kosten und Gr enzerlös sum=:> E '(60) = K'(60) , sieh e Abb. 6. 1.50. mcn übc rcn» G'( 60) = E '(60) -K'(60) = 0 B emerkung 6.1.51: Wird der Gewinn als Funktion einer anderen unabhängigen VariablenalsderProduktions -Zsbsanmengc betrachtet [z.B. als Funktion des Marktpreises oder der Zeir), so drückt m an dies bei der Bezeichnung des Grenz gewinns aus (z.B . Grenzg('Winn hzgl. des Preises oderzeitlicher Grenzgewinn],

D ie ers te Abteit nng g'(x) dcr Stückgewtunfunknon g(x) ,: G(x) "" E( x) - K (x) '" p(x) _ k(x) x Gren zslü ckge\o\inn. Im Fall vo n Beispiel 6. 1.49 e rgibt sich; x

g(x):= -0,15x + 18 - 3(Kl, d.h.

x

g'(20) =1l60 , GE/ME ME

heißt

g'(x) =- 0, 15 + 30,0. Für x = 20 M E (bzw. 50 ME) ergibt sich

x

Ib

GE/ME ) zw, g '(50)=- 003 ' ME '

d.h. wird die Produkt- sAbsatzme ngc Ix:irnStand von 20 ME (bz w. 50 ME ) um eine Einheit erhö ht, so steigt (bz w. sinkt] de r (auf sämt liche Einheiten bezogene) Stückgewinn um 0,60 G E / ME (bz w. um 0,03 G E/ME) .

6.1 Zur ökonomischen Interpretation der ersten Ableitung

247

Bemerkung 6.1.52 : DieA bleitung derDeckungsbeitragsfunktion G/) (x) = E(x) - K,,(x)

(siehe (2.5.38))

bzw. der Stückdeckungsbeifrags/unktuJII Kr/ X) = G:X) = p (x) - k .(x) (siehe (2.5.3 7)) heißen Grenzäeckungsteurag bzw. Gremstuckdeckungsbeurag. In Bek>p itl 6.1.49 gilt: dG/)

dX" = G/)'(x)

dg/)

= -0,3x + 18;

dX = gp'(x) = -0,15 =

COlLI'!.

6.1.2.5 Marginale Konsumquote Die erste Ableitung ~c = C'(Y) einer Konsumfunktlee C: C = C(Y) heißt marginale Kcosumquote

(od er Crenzhang bzw. ~ren7JIeigung zum Konsum). Ihr Wert gibt zujedem H aushaltsein komm en Yan, um wieviele Geldeinheiten sich die (pcnodcnbczogcncn) Konsumausgaben C(Y) dieses Haushaltes ändern, wenn das (pcriodenbczogcne) Haushaltscinkommen Y um eine Geld ein heit steigt.

8eispieI6.1.53: Für die Konsumfunktion C mit C( Y) = 10.00 0

J ICI

r

Y + 900 (Y ?: 0) Y+ 9.(}OO

dC

dY

8.100 = 10.000 (Y+9.00W

lA/

Bei einem Einkorrunen von z.B. 2000 GE ergibt sich die marginale Konsumquot e C (2000) = 0,67 GEIGE, d.h . vom nächs ten eingenommenen Euro werden 67 %. d.h. 67 Cent konsumiert (siehe Abb. 6. 1.54). Wegen u

dC

,.

unoo dY = y_ Im <><>

y_

' 0 000 .

8.100 0 (Y+9000)2 = '

'~ r/

- 1000

re b

SI

lautet die marginale Konsumquote.

/<

C

0.67

/

5

(YJ

2000 0.33

/

Abb , 6, 1. 54

strebt die marginale Konsumquote für unbeschränkt wachsendes Einkommen immer mehr gegen Null, d.h . bei sehr hohen Einkommen wirdjedes zusätzliche Einkommen nahezu voltständiggespart. Die Konsumausgaben selbst streben wq ,'Cn

y~

00

9

C(Y) = y ~00 10.000 Y: +9 :

=

10.000

(siehe Bsp. 4.3.4)

für unbeschränkt wachsendes Einkommen immer gegen ihre Sättigungsgrenze C"" = 10.000 G E.

6.1.2.6 Marginale Spa rquote Die erste Ahleitung ~~ = S'( Y) einer Spa rfunktion S mit S '" S(Y) heißt marginale Sparq uote (oder Grcnzlumgbzw. Grenzneigung zum Sparen). Ihr Wert gibt zu jedem Einkommen Y an, um wieviele Geldeinheit en sich die (pcriodenbczogenc) Ersparnis S eines H aushalt es ändert, wenn dessen (periodcnbezogenes) Einkommen Y u m eine E inheit zunimmt. Da ein Haushalt sein Einkommen Y deünluon sgemäüm Konsum C und Sparen S (= Nieht-Konswn) aufteilt.d.h. (6. 1.55)

(6.1.56)

I

Y = C( Y) + S(Y)

I,

erhält man d urch A bleiten nach Y:

248

6 Anwendungen der Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unab hängigen Variablen

Beispiel 6. 1.57: (siehe Bcispicl6.1.53):

Wegen C(Y) = 10.000

/+~~

folgt a us (6.1.55):

Y+ 900 S(Y) = Y -10.000 Y+ 9.000 ' so dass sieh als marginale Sparquot e ergibt:

& = l _ dC dY

dY

IU OO

1 - 10.000 (Y+9.000)2'

=

Fü r Y = 2.000 GE ergibt sich wegen C'(2000 ) = 0,67: S'(2000) = J - 0,67 = 0,33 GEIG E, d.h. vo n 2.000 GE (pro Periode) we rden von jedem zusätzlich einkommenden E uro 33 Cent gespart , siche Abb. 6.1.54.

6. 1.2.7

G re nz ra te der S ubs tit u tion

H ält man bei eine r Produküonsfunkt ion x mit x = X(fI'r2) den Output x konstan t (z.B. x = xo), so definiert die dadurc h entstehende implizite Funktion x(r!,f2) = xo für den Fall subsütu terbarer Inputs eine Funktion f: r 2 = f(f t) zwischen den Inputmengen rl' r2' die man als Isoquant e für den (festen) Ou tput Xo bezeichnet (siehe Kap. 2.5 (4) sowie Kap. 3.2). Jeder Punkt (rI' r2) derzu X o gehö renden Isoquan tc liefert eine I nputmengenkombinatio n. die zum stets gleichen O utput Xo führt. Variiert man nun die Ou tputm enge xo. so entsteht eine Isoquant enschar, siehe Abb. 6. 1.58. Dic erste Ahleitung

\

, dr2 r2( rl) = -d I rl S" "o

<:

einer ISO(luantenfun ktion heißt Grenzra te der Substitution und gibt zu jedem Wert rI des ersten Inputfaktors an, um wievide Einheiten die Einsatzmenge ra des zweiten I nputfa ktors geänd ert werden muss, wenn [I um eine Einheit zunimmt und der O ut put xo unverände rt bleibe n soll, siehe Abb. 6.1.58.

~~.." Ir, 1 Abb. 6. 1.58

Beispiel 6. 1.59: Für die Produktio nsfunktion x = x(rl,r2) = 0,5 . r10,2. r20.8 e rgibt sich bei festem OUlput x = Xo = JOO ME die lsoq uantengleiehung 0,5r]0.2. r20.8 '" 100. Durch Auflöse n nach r2 erhält man die explizite Darstellung der Isoq uante: r2 = f(r l)

= 200 1.2S rt - O,2S =

Dam it lautet die Grenzrate der Substitution:

d',

~52. 1 2

~ L".. roc

'.

-d

= - 188.03 . rI- 1,2S.

Bei einem Input vo n z.B.

r2 = 376,06 ME2) er~,i' bt sich ddr 2 = - 5,88 ME 2/M E I. d.h. um
= 16ME I (und somit

6. 1

249

Z ur ökono mischen Interpretation der ersten A bleitung

Analoge Übe rtegungen gelten für Nutzenfu nkno nen U = U(x l'X2), mit denen das Nutzenniveau U inAbhä ngigkeit de r Konsummengcn xl'x2 zweier (subs titu icrba rer) G üter beschrieben wird (siehe Kap. 2.5 (8)): Zu jede m festen Nutzenniveau U = U o = const. definiert die dad urc h entstehende implizite Gleichung U(x" x2) = Uo eine Funktio n x2 = f(x,) , deren Punkte (x"x 2) die Konsummengen beid er Güter angeben, die zum stets gleichen N utzenni veau U o führen . Die Funktio n f: x2 = f(x1),u _ u wird als Indiffere nrl inie z um Nutzen niveau Uo bezeichn et .

,

Anal og .....je im Fall der lsoq uante nennt man die Ableitung der Indirferenzlinie

(x;1

die Grcnzrnte der Subs tit ution zum Nutzenniveau

U o' De r Wert vo n ::: gibt für jede ko nsumiert e Mengc Xl des ersten Konsumgutes an, wie viele E inheit en des zweit en Ko nsumgutes mehr (bzw. weniger) kon sumi ert werden müssen, um bei Verringeru ng (hzw. Ausdehnung) des Konsums dcserste n G utes um 1 Ei nheit dasselbe Nutzenniveau Uo '.vie zu vor zu erzielen, siehe A bb. 6.1.60.

x,

(Bcispicl 6.1 .59 kannana logve rwendet werde n, indem U statt x und x1'x2 statt r\ ,rZ gcsctzt wird .]

(x,1

Abb. 6. 1.60

Bemerkung 6.1.6 1: i) Üher den allgemeinen Kurven vai auf VOll Isoq uanten bzw. IndiJf erenzlinien sow ie so nstige Schreibweisenfür die Grenzrateder Substitution siehe Kap itel 7, Bem erkung 7. 1.7017.1.73. ii) Wir werden noch sehen, dan' der Welt der Grenzr ate der SubstitutiQn dann große Bedeutun g besitzt, wenn es damm gehl, denjenigen Punkt einer l soquante bzw. Indiff erenzlinie ausfindig zu machen, der die Kosten f ür Inp ut bz w. Konsum - bei vorgegebenem Outp ut bzw. Nutz enn iveau - minimien (Mi" il1la{kostenkomb inatlon, siehe Kap 7.3.3.1).

6. 1.2.8 G renzfu n ktion u n d Durc h schnitt sfun k t ion Wie be reits meh rfach in den letzten Absch nitten ersichtlich, stellen sowohl de r Gre nzfunktionswcrt : : als auch der Du rchschm trstue küonswcrt

~X)

ciner gegebenen Fu nkt ion f stückbezogene GfÖlk-n dar.

Während sich aber de r G renzfunktio nswert : : auf die lelzte/n äch'ICte E inhei t der unabhängigen Varia blen be zieht , liegen de m Durc hschmusfu nktk mswcrt blen zu grunde:

~X)

., ärntliche E inheiten der unabh ängigen Varia-

Die erste Ableitung (, Grenz funktion ") : : (= f'(x» gibt (näherungsweise) dcn zusäta nchen pro E inheit der unabhängigen Variablen X en tfalle nde n Funkti onswert an, bez ieht sic h a lso au f die letzl e/forgende Ein heit de r unab hängigen Variable n - ausgehend von der Stelle x. K'(x) = G rcnzk ostcn '" Kosten pro Stück für die letzt e/ nächste Outputeinheit (wenn schon x E inheite n produziert sind) .

250 -

6 Anwendungen der Differentialrech nung bei F unktio nen mit einer unabhängigen Variahle n Die

~Stüek-Funklion~ ~'() (~, f (x»

gibt den

pro Einheit der unabhängigen Variablen x en t-

I lfi

fallenden durchschnittlichen Funktio nswert an - bezieht sich also auf sämtliche x Einheiten. Beispiel:

~~x)

I

= St ückkosten k(x)

= Kosten proSt ück im Du rchschnitt aller x prod uzierten O utput einheiten. Der ZlLsammenhang zwischen Crenarunkuon und Durchschnnrstunkuon lässt sich graphisch veranschaulichen: In Ab b. 6.1 .62 erkennt man, dass an jeder Steno x (mit x -* 0) gilt: df

;h

und

= tan a l

f(x)

-

x

ftxl

IM fix! _ f(xl

-

f(xl

-r

= tan a2

d.h ., da a l der Steigun gswink el der Kurventan gente und a2 der Steigungswi nkel des Fahrst rahls (siehe Kap . 2.5 (5» in P ist:

(6. 1.63)

p

f(xl ..

x

t-- - - - - -

oI

X x ---i

- -

lxi

Abb, 6.1,62

- G renz funktionswert ,dr = Steigung der Tangente in P x

- Durchscbn u rsfuoknon swert

f(x) = Steigung des Fahrs tra his in P x

Nur wenn (zufiillig) in einem Punkt P(x;f(x» Fahrstrahl und Kurventangente identisch sind (Sonderfall, siehe A bb. 6.1 .64). stimmen an diese r Stelle Gr enzfunktionswert und D urchsc hnittsfunktionswert überei n:

I II1

f7xl = 1txt , falls fahrstrahl = Tangente

sofern gill:

dx

x

Fahrstrahl = Tan gente.

df

p

df fIx) - = - = t an a , dx

I

Son derfall:

Abb. 6,1.64

1 01

lxi

x

Aufgabe 6. 1,65: Folgende ökono mische Funktionen seien vorgegeben: -

K(x) = 0,06x 3 - x2 + SOx + 400 Gesam tkos tenfunktion K mit (K(x): Gesamtkonen in G E; x: Outpiu in ME)

-

Prod uktionsfunktion x mit x(r) '" (x(r): Outpu t in MEx '- r: Input in ,~lEr)

-

Preis-Absatz- Funkti on p mit p(x) = 150 - 0,4x (p: Preis in GE/ME; Nachfrage: in ME)

(x > O; p > O)

-

Konsumfunktion C mit C(Y) = 1,000 + 0,2 Y (C: Kon sum in G E; Y: Haushu usem kom men in GE)

(Y > O)

-

Nutzenfunknon U mit U(x) = 10 , (U: Nutzeninda; x: k onsum ierte Gtuerm enge in M E)

6~ r3 + ~

VX

r2 + 3r

(x > 0)

(r > O;x >O)

(x > O)

6 .1

251

Zur ö kono mischen Interpretat ion der ersten Ahleit ung

Man ermitt le: I ) die G renz kos ten bei einem Output von 70 M E , 2) die du rchschn itt lichen variab len Kosten für eine Prod uktmenge von 70 ME, 3) die G renz st ückkosten für den Ou tput 100 l\1E , 4) die Produ ktivität ( = D urchschnitt scrtrag) für den Fak torinput 40 ME r , 5) d ie G renz produktivität für eine Fakt o reinsatzmenge vo n 40 ME r 6) den A nstieg de r Grenzprodukt ivitätsfunkt ion be i einem Input von 40 ME r , 7) den Gesamtd eckungsbeitra g sowie de n Stüc kdec kungsbeitrag fü r den Ou t put 30 ME , 8) den G renzdec kungsbei trag sowie de n Grcnzs t ückd cck ungsbcitragfür de n O utput 30 ME , 9) de n Grenze rlös bzgl. der Menge be i einer A bsat zmenge von 150 ME , 10) de n G renze rlös hzgl. des Preises bei einem Markt preis von 120 GE/ME , 11) de n G renzgewinn bzg l. der Menge be i eincm Marktpr eis vo n 100 G E / ME , 12) d ie marginale Sparq uo te bei einem H aushaltsem kommen von 1.000 GE , 13) die d urchschnitt liche Kon sumquot e für das Einkommen 1.000 G E , 14) den Grenzst ückgewinn für den Output 40 ME , 15) den G renznutzen bei eine r kon sumierten G ütenncngc von 4 ME , 16) das d urch schnittli che Nutzennivea u für eine Konsumme ngevon 4 ME , 17) denjenigen Outpu t. be i dem i) die dur chsch nitt lichen variab len Kosten ii) die du rchschnittl ichen Gesamtk osten den A ns tieg Nu ll haben iii) die G renzkos ten gleich den (gesamte n) Stück ko ste n sind , 18) das H aushaltsein kommen. bei dem i) von jedem eingenomme nen Euro ii) von jed em zu sätzlich ei ngenommenen E uro 60 % gespa rt werd en , 19) denje nigen Faktorinput. für de n i) der A nstieg des Gesamt ertrages Null wird ii] die G renzproduktivität Null wird iii) die Prod ukt ivität N ull wird iv] Grenzproduktivität und D urchschnittsertrag über eins timme n, 20) denjenigen M arktpreis, für den der Grenzgewinn bzgl. der M enge Null wird , 2 1) denjenigen O utpu t, für den Grenzk osten und Grenze rlös über einstimm en , 22) diejen ige produ ziert e Menge, für die d ie G renzk ostenfunk tio n eine ho rizontale Tangente besitzt , 23) denjen igen Ma rktpreis, bei dem eine Preiserh öhung von 0,1 GE/ME zu einer Erl ösminderung von (ca. ) n,5 GE führt , 24 ) d iejen ige Faktoreinsatzmenge. bei der ein zusä tz licher I nput von 2 11E r die Prod uktionsmenge wn(ca .)O.1 MEx steige rt , 25) den jen igen O utput , be i dem d ie Stückkos ten um (ca.) 0,4 GE/ME sinken. wen n der Output um ein e M E gesteigert wird , 26) d iejenige Fak torcmsatzmcngc, bei der die Prod uktivität um (ca .) 0,5 ME x/l\1Er zunimmt, wenn ei ne I np ute inhe it weniger eingesetzt wird , 27) de njeni gen Output, bei dem der Stüc kgewinn u rn {ca .) 2 GE/ ME abni mmt, wenn d ie Prod ukt ion um 10 ME gesteigert winl , 28) d iejenige konsumierte Cütermcnge, bei de r i) der Grenznutzen N utzcnn ivea udcnWcrt .1) n.5 h) Nu ll annimmt ,

ii) das durch schnittliche

29) denjen igen O utput , bei dem der Gesam tdec kungsbe itrag um (ca.) 80 GE z unimmt. wenn d ie Prod uktion um 4 ME gedrossel t wird.

252

6

Anwendungen d er Differentia lrechn ung be i Funk tionen mit einer unab hängigen Variab len

Aufgabe 6.1.66: Für die folgenden ökonomisc hen Funktionen bea ntworte man d ie Fragen I) bis 29 ) von A ufgabe6. 1.65 : -

Gesam tkostenfunktion.

K(x) = eO,OO lx +IO + 10.000

-

Produ ktionsfunktion:

x(r) =

-

Nacbf ragefunktion;

x(p) = -100 · In (0,0005p)

-

Konsumfunktion.

-

Nutzenfunkt ion:

C( Y) = 200Y + 10.000 Y + 80 U(x) = _..l x3 + 1,5x2 3

V4r - loo

(0 < x

~

15.000 M E)

(r a 25 ME.) (0 < P s 2.000 GE/ME) (Y > 0)

+ 2x

(x > 0) .

Weiterhin ermit tle ma n;

30) den Produktionskoeffizienten für einen Ou tput von 20 MEx ' 3 1) die Fakto rverh ra uehsfunktion r = r(x),

32) dcn G renzverb rauc h des Prod uktionsfaktors bei einem O utp ut von 20 MEx ' 33) den Sätti gungswe n des K onsums sowie der d urchschnitt liche n Kons umqu ot e für unbegrenzt wachsend es Einkommen ,

34) d ie Sätt igungswert e von marginaler Kon sumquote und marginaler Sparquo te für un beschrän kt wachsendes E inkommen . 35) Bei welcher Kopazträtsaustastcng (in % der Maxlmalkapazirär) habe n die G renzs tückk os ten den Wert N ull'! Für diese Kapaz itätsauslastu ng ermittle ma n die Werte der Stückkosten sowie der G renzkost en. Aufgabe 6.1.6 7: Man ermittle und interp retiere die Grenzrate dcr Substitution in folgende n Fällen; i) Prod uktio nsfunktion: x(rl ; r2) = 5r I O,IL r2o,4 (x: O utput in ME; ri- f2: Inputs in ME !, M ~ ). Der Output sei mit 20 ME fest vorgegebe n: a) rl= 4 M E I

h) r2= l ME 2,

ii) N utz enfunktion: U(x 1. x2) = 2x] ' ~ (U: N utzenindext X I' X2 : kon sum ierte G ütermengen in M EI' ME 2). Der Nutzen index sei fes t vorgegeben mit U a = 100;

a) x l = 10 M E I

6.2

b) X2 = 4 ME 2 .

Anwend u ng der Differentialrechnung a uf die Untersuchung von Funktionen

Für die Untersuch ung funktional beschreibba rer öko nomisc her Z usammenhänge ist eine genau e Kenn tnis des Verhallens der zugrundclicgend cn ökcnomtschc n Funknon en bedeutsam : In welche n Bereich en et wa wächst (fä llt) eine Fun ktion ; ist diese Z unahme ~ progressiv~ oder ~deb'Te,~siv~; ob und an welchen Stellen nelun en Fu nktion oder/und Grenzfunktion ihre max imalen (m inimalen) Werte an u.v.a.? Das Konze pt der D ifferen tialrec hnu ng gesta tte t es, dera rtige Funktion seigenschaften mit Hi lfe der A blcitungsfunktio nen einfac h und genau zu untersuchen. Das vorliegende Kapitcl 6 .2 besc häftigt sich mit dcn formalen As pe kte n (de m ~ H andwerkszeug~) de r Funktion suntersuchung. wä hrend sich die ents prechende n Anwe ndungen auf ökonomische Fragestellungen im nac hfolgenden Ka pitel 6.3 ansch ließen. Um die Differentialrechnung anwenden zu können, mus.'i im folgenden vora usgesetz t werden , dass die betracht eten Funktionen (geniigerld oft) ste lig differenzi erb ar stnd (Unstetigkeilen 1'0" f oäer derenAbleaungen müssen separat untersucht werden, siehe Kap. 6 .2,5).

6.2

253

A nwendung der Differentialrechnung auf d ie Untersuchung von Funkti onen

6.2.1

Monotonie- und Krümmungsverhalten

E s ist anschauli ch klar (siehe A bbild ung 6.2.1), dass eine Funktio n. die übe rall e ine posith'e (hzw. negative) Steigung bes itzt, auch übe rall s treng monoton wächst ( 1 ) (bzw. fällt ( ; )) (Zum Monotonicbegriff siehe De f. 2.2.8).

to 1'<0

1'>0

d.h. f frilh

d.h. f steigt

' <-;

lxI

Abb. 6.2. t Diesen Sachverhalt form ulieren wir in Salz 6.2.2: Is t d ie Ableitung r einer steti g d ifferenzierbaren Funktion f im In tervall I positiv (bzw. negativ), so ist r in I streng monoton wachsend (bzw.jallend);

f'(x) > 0 f'(x) c 0

~

=>

f ist streng mo noto n wachse nd (f f) f ist streng monoto n fallend (f I)

Bemerkung 6.2.3: i) In teressiert ma n sich lediglich f ür die "gemilderte" Monotonie (" ~" bzw. "~ ", siehe Bemerkung 2.2.13 ii) , so ist die Bedingung f '(x) 2: 0 (bzw, f'(x) s 0) notwendig und hinreichend für schwach monotones Wachsen (bzw. FaUen) von f.

verstanden werden. jii) Wie das Beispielder(streng) monoton wachsenden Funktion f: f ex) = xJ zeigt (siehe

A bb. 6.2.4), ist für eine strenge Monotonie die Bedingung f'(x) > 0 nicht notwendig: O bwohl wegen f(x) = 3x 2 gilt: 1'(0) = 0, ist f überall wachsend. Dagegen ist die Behaup tung von Satz 6.2.2 dann umk ehrbar ( <:=), wenn man von vereinzelten Stellen, in denen I' Nullwerdenk ann, absieht. Wir werden daher Satz 6.2.2 oft mit " ~" benutzen.

flxl = x3

(tl

ji) A llS Vereinf achungsgründen soll im folgenden unter" monoton "stets "Slrmg monoton "

f steigt

{xl

-,

\

f(OJ = 0

-, Abb.6.2.4

Um eine gegebene Funktion f a uf Monot onie zu untersuch en, löst man (wegen Satz 6.2.2) d ie Unglcieh ung f'( x) > 0 (bzw.l'(x) -c 0). Die entsp rechende n Lösu ngsmenge n liefern da nn die Bereiche, in den en f monot on wäch st (bzw. mo noton fa llt).

254

6

8ei~pieI6 . 2.5:

A nwendun gen der Differentialrechnung be i Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Die folge nden Funk tio nen f u nd

g sind auf Mono tonic zu untersuchen: fex) = 0,5 x2- 2x + 1

;)

~

b) f'( x) < 0

~

\1 \

x- 2 > 0

fix) = O,5x2 - zx » :

\'

Wegen f'( x) = x - 2 folgt: a) f'(x) > 0

11/1

~

» 2

x e 2,

\

<,

d.h . f ist für x < 2 monot on fallend und

für x > 2 monoton wa chsen d (A bb. 6 .2.6) .

I

f steigt

I 2

'\

"

0

1

f killt

<,

(xl

~-

I

Abb.6.2.6

(gi

g(x) = x -c< .

ü)

/'

Wegen g'(x) = e -x - x ·e- x = e- X ( l - x) folgt, da e- x stets positiv ist a) g'(x»O

~

l- x> O

b) g'(x) < 0

~

x> 1 ,

~

x< l d.h.

g ist für x < 1 mo noton wac hse nd und fü r x > 1 mon oton fallend (A bb. 6 .2.7) .

I

/

g(xJ=-x·e-X 1

.

g ig fällt 0.1 I steig t

JI

1

- 'I

'i

.

:lxl Abb . 6.2.7

Auch die Kennzeichnung des Krüm mu ng.\·,'erhalt ens ein er Fu nkt ion kann mit Hilfe des Mo notoniebc-griffcs erfolgen. (D ifferenzie rbare) Funktionen f können auf zweierlei Weise gekrümmt sein:

1)

r

i~ 1

konvex gekrü mml

(auch: fist lin ksgekrümmt. f ist gegenden Uhrzeigersinn gekrümmt, f ist im po sit iven Drehsinn gek rümmt; J ed e Ta ngen te an den Graphen von f liegt untorhalb de r Funktionskurve. jed e Seka nte liegt oberhalb der Funktio nsku rve), siehe au chAbb. 6.2.8 .

Abb. 6.2.8

(xl

(fJ

11)

r

f ist konkav, /' nimm t ab

Ist konkav gekrü mm t

(auch: fist rechtsgekrümmt. f im Uh rzeigersinn gekrümm t, fist imncgat iven D rehsinn gekrümm t; J edc T angente e n de n Funkt io ns-Gr aphen vo n f liegt obe rhalb dieses G ra phen, jed e Sekante liegt un terhalb der Funktio nsk urve], siehe a uch A bb. 6 .2.9.

n Abb. 6.2. 9

1""lxi

6 .2

255

A nwendu ng der Differe ntia lrechnung auf die U ntersuchu ng von Funk nonen

Betrach tet ma n eine konvexe (bz w. konka~e) Funkt ionskurve von links nac h rechts, so erkenn t man, das s

im Kurvenverlauf die Tangenlenst eigungen , d.h. die Wert e f" der I. Ableitung, mon ot on zunehmen (bzw. abnehmen) , siehe Abb. 6.2.8 (bzw. A bb. 6.2.9). Die Zunahm e (bzw. A bn ahm t ) der A bleitun gsfunktion t ' ist aber nach Satz 6.2 .2 dann gegebe n, wenn dic A bleitu ng der Ablcitungsfunktion f ", mithi n die 2. Ableitung I" positiv (bzw. " egat;..) ist. Damit ist der Zn.<>ammenhang zwi schen dem Krümmungsverhalten von f (konvex, ko nkav) und dem Vorzeichen der 2. Ableitung I" gewonnen. Analog zu Satz 6 .2 .2 gilt dah er: Ist die zweit e AhleitWlg I" von f im Intervall I positi v (negativ) , so ist d ie erste AbIeiSatz 6.2. 10: mo noto n z unehmend (ubm hm emi) und dahcr f im Inte rvall I konvex (konko v); tun g r in f"(x) > 0 f"(x) < 0

~ ~

f' ist monoton wachs end f' ist mon oto n fallend

~

f ist ko nvex

~

f ist ko nkav

Bemerkung 6.2.lJ : i) Gilt in einem g anzen Intervall l :

linear:

f(x) = mx + b

~

f

"(x)

a 0,

!,,(x) == O.

so ist f dort weder kon vex noch k onk av, sondern

ii} Die A bb. 6.2.8/6.2.9 zeigen, dass eine zunehmende (abnehmende) Strigu/lg unab1liingig von der Zunahme (Abnahme) der Originu ljim kJio" ist. Die vier m ögiknen Kombination en zeigt A bb. 6.2.12:

I f '(x) > 0 I (d .h. f ste igt)

Abb. 6.2.12

f(x) > 0 !,,(x) > 0

I! " (x) > 0 I [d.h . f ' steigt ~ f konvex)

I f'(x) -c 0 I (d.h. f fällt) f'(x) < 0 ["(x) > 0

I steigt

f MI/t

{'steigt

!f

I f isl sleigend wut k on vex f wäch\1 prog ressi v (od er überlinear) (mit zunehmender positiver Stcigungsrate)

f(x) > 0 ['(x) < 0

f'(x) < 0 ["(x) < 0

ffällt

I"(xl< 0 I If

I

f fallt mit negativer, zunehmender Steigungsra te (nimmt weniger stark ab als linear)

,. MI/t

(d.h . f ' fällt ~ f konkav)

isl f allend und k on vex

isl j'Ldgend und k on kav

I

f wäch~t d egres.~iv (od er unlerl inea r) ( mit ab nehm ender positiver Stcigungsratc)

!

f ist f allend un d k onkav

r

tril/t

I

f fallt mit negativer, abnehmender Stergungsra te (nimmt stürker ab als linear)

Mit H ilfe von Satz 6 .2. 10 läss t sich da s Krümmungsvertanen einer vorgegebe nen Funkt ion f ermitt eln, indem man das Vorzeich en der zweiten Ableitung f " untersuc ht:

256

6

Bei~ pie l

Anwendungen der Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unahhängigen Va riablen

6.2.13:

K(x) =

I~

Für welche Outputwerte x Ist die Gesa mtkostenf unktion K mit: x 3 - 2x 2+ 60x + 900 ; x ~ 0

konvexbzw. konkav '1 (Diese Fragf'.I'tf'llllng ist nach 5111z 6.2. J() gleichbedeutend mit da Fragt' nach der Z u- bzw. Ab nahmt' der mtsprechmden Grenzkosten K ' .) Mit

K'(x) = O.2x L 4x+60 ( > O!) sowie K"(x) = O,4x - 4 fo lgt:

a) K" (x»O b) K"(x)
(=} (=}

0.4x- 4>0 lJ,4x -4
(=}

~

IIKI K"> 0

K"
--

~--'-'-K wächst progressiv

x >1 0 x< l O,

G ~«J I

d.h . für Outputwerte zwischen 0 und 10 ME ist K konkav (abnehmende Grenzk osten), für x > 10 J\.tE ist K konvex. die G renzk nsten nehmcn zu, siehe A bb. 6.2 .14.

lxi

10

Abb . 6.2. 14

Beispiel 6.2.15: Das " I. Gossensehe Gesetz" postuliert für eine Nut zenf unktio n U(x) (s. Ahb. 6.2. J6) für zu nehmenden Güt erkonsum x a) zu nehmendes Nutzemuveau. d.h . U t ; b) ah ndune nden Nurzenz uwachs. d.h. abnehmenden G renz nutzen (U ' ; ) und somit eine n kon kaven Verlauf de r Nu tzenf unktion. In mat hematische r Symbolsprache bedeuten dahe r d ie Post ulate des I. Gossensehen Gesetzes: a) dU

d,

u

I lVI

d

2U

dx'

Abb. 6 2. 16 <0

txt

>0

Bemerkung 6.2.17; Bisher waren die Bedingungen I' >0 « 0), F' >0 « 0) [ur ein gef ordertes Monoto nie- taw. Krummun gsverhalten in eitlem ko mpletten Imevall I zu e!{ullen (sieheSätze 6.2,2/6.2. 10) . Sind die be/reffenden FunldionenlAbleil/lngsfimldiollen (wiein den Anwendungen nahezu ausschließlich untersteilt wird) stetig, so kann man Aussagen uter Monotonie/Krümmung bereits dann milchen, wenn die Vorzeichen ~'on 1', f" an nur einer Stelle Xo positiv hzw. negativ sind. Dabei macht man sich die Von.eid u!IIbeslämligkeiJ (siehe Satz 4.6.7 iv») stetigerFunktionen ZIIIlWU, die besagt, dass eine sletige Funksion f mit f(xo) 0 an der Steile Xo ihr Vorzeichen nicht spm nghajl wechseln kann. Welln etwa an der Stelle Xo gilt:!(xo) > 0, so /flUSS f auch in einergewissen (von Fall zu fall verschiedengroßen) beidseiJigen Umgebung derStelle Xo großerNull sein.

"*

Ubenräglmall diese Eigenschuft allf stetigeAbleitungen 1',1", so folgen (mit Satz 6.2.2/6.2./ 0) die im Zusammenhang mil derExtremwerrbestimmullg (siehe Kap. 6.2.2) wichtigen Eigenschaften: j)

Gilt an der Stelle x o : !'(xoJ > 0 (bzw. I'(x o) < 0), so ist f /llOlItJtQn steigend (bzw. mOllaton f allend) in einer beidseitigen Umgebung der Stelle x o '

ii)

Gilt an der Stelle xo: !"(xoJ > 0 (bzw. f"(xo) < 0), so ist f konvex (hzw. konka v} in einerbeidseitigen Umgebung der Stelle xo.

6.2.2 Extremwerte Be i der A nalyse ökonomischer Fun ktionen ist d ie Erm ittl ung von Extre mwerte n (i\Ia xima und Minima)

beso nders wichti g (Bsp.: Kostenminimum. Enragsmaximum, Niuzenmasimum, Verschnittminimum usw.]

6.2

257

A nwendung der Different ialrechnung auf die U ntersuchung von Funktionen

Der. 6.2. 18: Die Funkt ion f hat an der Stelle Xo ein relati ves (oder lokales} Maximum (Minimum ). wenn dcr Funktion swert f(xo) bzgl. eine r heill, eitigen Umgebung der Stelle Xo maximal (minimal) ist. d.h. wenn für alle x (=1= xo) d ieser Umgebung gilt :

f(xtJ)

> f(x)

(bzw. f (xo) < f (x) . Abb. 6.2.19

»

H andelt es sich be i (xo; 1'(xo um den höchsten (tiefsten) Pu nkt im gesamten Deßnitionsbe reich, so spricht man von eine m absoluten (od er globalen) Ma'Limum (Minimum) vo n f an de r Stel le xeDie A bbildungen 6.2.20 zeigen exemplarisch einige Funktionsverläufe mit relativen und/ oder absoluten Ex trcms tellcn (da bei bedeuten; ~ max/ mi n ~ = relat ive Ext rema ; ~ MA X/ M I N~ = abso lute E xtrema).

I {tl

MAX

IIfI

I IfI

~iil

1I

max

MAX i .

MAX

Ni!

~IN

mm

/- Bemerkung 6.2.21: A nhand von A bb. 6.2.20 erkennt man :

-+--

(xl

Abb. 6 2.20

i) Eine Funktion muss keine, k ann aber auch mehrere relative Maxima bzw. Minima besitzen. ii) Ein Punkt am Ra"d des Def initionsbereiches kalln (wegen Fchiens einer beidseitigen Umgebung)

kei" iii)

refati~'es

Extremum sein, wohl aber ein absolutes Exlrenillm (Raruiextrenlllm).

Ein absolutes Euremnm muss entweder ein relatives Earemum oder ein Randextremum sein. Z ur Bestim mung der absoluten Eurema einer Fun ktion genugt es daher, alle relativen Earema zu ermiueln und diesedann mit den Randw erten von f zu vergleichen.

D ie Differ entialrechnung liefert ein schlagkräftiges H ilfsmit tel zur Berechnung säm tlicher rela uver Extremwerte einer differen zierbaren Funk tion (nieh/differenzierbare Funk /ionen mit " Ecken" oder " Spitzen, siehe etwa A bb. 6.2.20 iii], müssen separat umersudn werden, siehe Kap. 6.2.5). Man erkennt (z.B, an Ab b. 6.2 .20 i), dass f in jedem retanven Est remum eine waagerec h te Tange nte und somit die Steigung Null bes itz t. Dieser Sachverhalt gilt fürjede (stetig) di fferenzierb are F unktion: Satz 6.2.22: Wenn die (stetig) diffe renz ierbar e Fu nktion f an der Stelle Xo einen relativen Extremwcrt bes itzt , so gilt notwe ndigerweise .

Abb. 6.2,23

258

6

Anw~ndungen

der Diffe rent ialrechnung bei Fu nkt ionen mit einer unabhängi/;,'e n Variablen

Denn würde - entgegen der Behauptung des Satzes - etwa in einem relativen Maximwn X o von f gelte n: f(x o) > 0, so müsste es nac h Bemerkung 6.2 .17 i) eine beidseitige Umgeb ung von xc geben, in der f mo noton wächst, a lso könnte - entgegen der Vorau ssetzun g des Satzes - f in Xo sicher nic ht maxima l sein (analoger Schluss, falls in Xo gill: f' (xoJ < 0 bzw. wenn Xo ein relatives Minimum von f ist) . A lso mus s in Xo zwingend gelten: f'(xo) = O. Das bede utet umgekehrt: Ei ne Stelle xo, in der f' (Xo) von Null versenteden ist , kann niemal s eine relative Ext remsteIle einer differenzierbaren Funktion sein . Satz 6.2 .22 liefert die Möglichkeit, durch Lösen der Gleichung r(x) = 0 alle diejenigen Ste llen zu erhalten, in den en f eine waagere chte Tangente besitz t (man spricht vo n ".s tationären" Ste llen) und die daher als mögliche relative Extreme in Frage kommen. Da bei ist freilich zu beachten, da ss eine stationäre 1 I (I) Stelle xo [d .h. mit f'(x o) = 0) keineswegs cin MaIIx) = x3 ximum oder Minimum garanti ert : D as Beispiel de r überall monot on zunehmenden F unktio n f mit fex) = x 3 zeigt (siehe Beme rkung 6 .2.3 iii),dilSS f an der Stelle xc = 0 (wegen f(x) = 3x 2, also f(O) = 0) stationär ist. f besitzt dort zwar ein e waagerechte T angente, aber keinen E xtremwert, siche Abb. 6 .2.24 . BehpieI6,2.25: An welchen Stelle n kan n f mit f(x) =

ta

-1

x, : o

I

("(0)

~

xL

~

=0 Abb.6.2.24

x2 + 2x + 3 relative Extrema bes itzen?

Die dafür allein in Frage kommen den stat ionäre n Stellen erhä lt man als Lösunge n der Gleichung f ex) = 0: f(x) = 0 ,5x 2 - 2.5x + 2 = 0 ~ x2 -5x + 4=0 ~ x =l ; x2= 4 , l

d.h. nur in xI = 1 Oll er x2 = 4 könnte f extremal sein, wobei (ohne Vor liegen wcitcrer Intormationen) außerdem unbe kannt ist, um welchen Extrcmaltyp (Mcx . oder M in.) es sich ggf. jeweils handelt.

D ie im letzten Beispiel angesproc hene Unsicherheit über Ex istenz bzw. Typ relativer Exu cma be i Vorl iegen einerwaagerechten T angente an der Stelle X o gibt Anlas s, über ein praktikables Überp rüfungs.illslrumentari um nie relative Ext reme nachzude nken. W ie aus Abb. 6.2 .26 deut lich wird, liegt an einer stationären Stelle Xo ganz siche r dann ein relatives Minimum vor , wenn f in eine r beutsefügeo Umgeb ung von Xo konvex ist (und ein relatives Maximum , wenn f dort konka vist], 4

l iI!

min

Ix! x,

+--- -x, -

Ix!

Abb.6.2.26

Da konvexes (bzw./wllkaves) Verhalte n von f in einer beidseit igen U mgebung von Xo nach Bemerkung 6 .2. 17 (ii) du rch f '( Xo) > 0 (bzw. f " (x o) < 0) gewä hrleistet ist, er halten wir folgende hinreichende Bedingungen fü r da s Vorliegen von relativen Minimal Maxima : Satz 6.2.2 7: Die zweimal (stetig ) d ifferenzierbare Funkt ion f besi tze an der Stelle Xo einen stationären Punkt, d.h . es gelte f("o) = O. Da nn besitzt f in X o i) ii )

4

ein re latives Minimum, wenn außerdem gilt: f '( "o) > 0 ; ein relaüves Maxim um, wenn außerdem gilt: f '( Xo) < 0 .

Liegt dagegen an einer steuonarco Stelle .~ kein relatives Extremrun rar (Abb. 6. 2.2 ~ in Xo = 0), so wechselt das Kn2mmungs-.'erhullen von [b eim Durchgang durch die stationäreStelle, in Abb. 6.2.24 von konkav nach konvex.

6.2

259

Anwendu ng der Differenti alrechnung auf die Un tersuchung von Funktionen

Satz 6.2 .27 gestattet die Ennittlung und Übe rprüfung relativer Extremwerte differenzierbarer Funk tionen auf folgende Weise: 1) Zunächst ermittel t man die Lösungen Xi der Gleichung f'(x) = O. Die so ermittelten stanc nären SteIlen xi sind die ciezigcn .Kandidatcn" für relat ive Extremstcllen von f (besitzt die Gleich ung f'(x) = 0 keine Lösung, so kann f auch keine relativen Extrema besitze n !). 2) Dann berechne t man d ie zweite Ableitung f"(x) und überp rüft d urch Einsetzen de r stationärenSteIlen xj das Vorzeichen \'on r ' (X;) und bestimmt nach Satz 6.2.27 den Typ des jeweiligen Extremums. Beispiel 6.2.28:

In Bcispicl 6.2.25 waren bereits die sta tionären Stellen der Funkt ion f mit

f(x) = t x3 _ ~ x2 + 2x + 3

ermit telt werden. x l=1;

Wegen f'(x) = O,5x2 - 2,5x + 2 fo lgt fü r die zweite Ab leitu ng: f"(x) = x - 2,5. Überp rüfung des Vorzeichens von f" an den starionären Stellen:

i) f"(x l ) = f"(1) = 1 -2,5 < 0, also hat f in XI = 1 ein relatives Maximum (mit dem Funktionswert f(1) <=:: 3,92): ii) f"(x2) = f" (4) = 4 - 2,5 > 0, also hat f in x2 '" 4 ein relatives Minimum (mitf(4 ) <=:: 1,67), slehe Abb. 6.2.29.

b .. I ffI

3. 92

x2= 4. f(xl

_WI"" i-_x,

+ 2x + 3

x, I

4

- :IXI Abb . 6.2.2 9

III

Bemerkung 6.2.3 1: Dass die Bedingungen von Satz. 6.2.27n ur hinreichend, nicht aber notwendigfür lok ale Exuema sind, erkennt man etwa am Beispiel [(x) '" x 4 , siehe A bb. 6.2.30: Obwohl [ an der Stelle Xo = 0 minima l ist, gilt wegen ['(x) = 4x 3, rex) = 1W: ['(0) = 0 und ["(0) = 0

=;. x' -1.>1

Abb. 6.2.30

(und nicht etwa ["(0) > 01).

txt o

Ohne Beweis 5 sei angemerkt, dass auch in derartigenFällen (die in der öko nom ischen Praxis allerdings selten sind) eine Oberprüfung von Existenz taw. Typ eines relativen Euremums möglich ist: Sal7. 6.1.32:

Die Funktion f sei im Iruervall 1 n-mat (stetig) differenzierbar. A n der Stelle xo€ l gelte: f'(xo ) = ["(xe) = ... = f n-1)(xe) = 0, aber j'(n)(xo):;: 0 ,

d.h. die erstean derstationären Stelle Xo nicht versch windendeA bleitung hab e die Ordnung n ,

Danngilt:

i) Ist n gerade, so hat [ in Xo einen relativen Extremwert, und zwar ein Minimum, [alls gilt: f"J(xo) > 0 und rin Maximum, fa lls gilt: fll)(XO) < O. ii) l st n ungerade, so hat [ in s o keinen relativen Extrem wert. Vielmehr ist f beim Durchgang d urch

die stationöre Stelle Xo monoton, und zwar mo noton steigend, fa lls fll)rX O) > 0 und monoton f allend, falls fll)(XO) < 0 (j besitzt in diesem Fall an der Stelle so einen WellllepunJamu ho rimntoter Tangente ("Sauelpunkt "), siehe Kap. 6.2.3) .

5 Der Beweis kann mit Hilfe des TaylorschcnSatzesgeführt werden, siehe etwa [21] Bd. 11, 99f.

260

6

An wendu ngen de r Different ialrechn ung bei Funktionen mit einer unabhän gigen Variahlen

i.r»

Beisp iel: Es sind die loka len Exirema von [mit [(x) =x / 2 gesucht . Wegen ['(x) = 12x J = 12·11 ·x JO gilt: ['(0) = 1"(0) = o. [ 6'1 stotion ar ln x o" 0, eine Überprufung nach Satz 6.2.27ist nicht m öglich. Daher betrachtet monnocn Salz 6.2.32 die höherenA bleitungen in Xo = Es folgt :

o.

p4)(0) = 0

uxw, bis

flJ)(O) = O.

Die erste in Xo = 0 nicht verschwindende A bleitung hat die Ordnung n = 12: [f/ 2J(X) = 12 ·11 ·10 · .... 2 ·1 ,. 12 ! = 4 79.001. 600 > 0 .

Also (da n gerade) hat [ in Xo = 0 ein relatives Minimum.

6.2.3 W end epunkte Nebe n de n Ext remstcllc n sind dieje nigen Pun kte einet Funkt ion f von Bedeu tung. in denen sich das Krümmun gsvertelten von f ändert :

Def. 6.2.33: U nter einem Wend epunkt einer (differenzierb aren) Funkt ion f verste ht ma n einen Punk t W, der an der Nahl\(elle eines konvexe» und eines konkaven Funk ucnsberetche, liegt. In ein em w endepunkt geht f von einer Lillk~krümmung in eine Recht~kriimmung (oder umgekehrt) übe r. Wie A bb. 6.2.34 zeigt, kann f einen ko nvex/ ko nkav- bzw. ko nkav/ konvex-Wendepunkt steigend. fallend od er auc h stationär durch laufen: f steigt in W

Abb. 6.2..34

konvex-rkonkavWendepun kt W

f fallt in W

/'

f ist stationär in W

w

/

ko nkav-/konvcxWendepunk t W

w

Bemerkung 6.2.35: Ein Wendepunkt mit ....aagerechter Tangefl/e (siehe A bb.

6.2.34, drille Spa lte) heiß I

Sattelp'l/l ld (auch: Srujellpllllld, Terassenpunki].

Die rechnerische Erm iUlung ein er w endestene Xo bereitet keine Schwierigkeiten, wenn man zur Charakterisierung des Wende punk tes die A ussage vo n Satz 6.2. 10 heranzieht : Da in einem konvexen (bzw . konko ren) Bereich von f die erste Ab leit ung r monoton wächs t (bzw. jii llJ), m uss in einem Wendepu nkt , d.h . an der Nahtstelle eines kcnveckonkaven (bzw. lum kavlkorwexen) Bereiches die erste Abl eit ung f' vom Wachsen in ein Fallen (bzw. vom Fallen in ein W ach u n ) übergehen und somit im Wendepunkt selbst d ie ers te Ableitung r ein (relatires) Maximum (bz w. ein (relatives) Minimum ) bes itze n, siehe A bb. 6.2.36 (bzw. 6.2.3 7).

6.2

261

Anwendun g der Differentia lrechnung a uf die Unt ersuchung von Funktionen

f konvex

f konkav

f konkav

f konvex

dh.

dA A /.

dh.

d h.

r fall!

r s/eigl

Abb. 6.2,36

w

r folll

( I

r Sleigt

,""Ir maximal I

Abb. 6.2.37

,- I'

w

f' minimal

ta

lxi

Satz 6.2.38: Die Wend epunkte einer zweimal (stetig) differenz ierbaren Funktion f sind genaudie relauv en Ext reme der ers ten Ableitung f " vo n f. i) In einem konvexikonka\'-WenJepunkt ist r maximal (siehcAhb. 6.2.36). ii) In ei nem konkawkonvex-w cndcpunkt ist r minimal (siehe Abb . 6.2.37). Damit lassen sich sämtliche Instrumente zur Ermittlung relativer Extrema (d.h. die Sä tze 6.2.22, 6.2.27, 6.2.32) analog auf die Ermittlun g der Wendepunkte von f übert ragen, indem man nunmehr stat t f die erste Able itung f " auf relat ive Extremstellen untersucht. Fo rmal geschieht dies einfach dadu rch, dass in den Sätzen 6.2.22, 6.2.27, 6.2.32 jedes Funktionssymbol einen (Ableitungs- )Strich mehr erhält, mithin dieSymholc f, f', f" ... ersetzt werden durch f', i ", I'".... Wir erh alten somit

Satz 6.2,39:

n

f sei in einer Umgebu ngderStelle Xo d reimal (stetig) differenz ierbar . 1 f" (Xo) = 0 Besitzt f in xI) einen Wendepunkt, so gilt notwendigerweise.

ü) Gilt an derStelle xI):

I f"(xu) = 0

I

und a ußerdem

I

f' ''(",,) H ,

Xo ei nen Wendepunkt, und zwar

I

I so besitzt f an der Stelle

a) einen konkawko nvex-wcndepun kr (Minimum von f: siehe Abb. 6.2.3 7) , wenn

f' '' (xo) > 0

b) einen kon\'ex/konkav-WendepunkC (Maximum von!" siehe Abb. 6.2.36), wenn

f" '(xo) < 0

Beispiel 6.2.40:

Die Wendepunkte vo n f mit fex ) =

2~ x4 -

-}-x3 +

~

x2 + 1 e rgeben sich als Lösun-

sungen von f"(x ) = 0 in Verbindungmit einer Vorzeichenübcrprüfungvo n I'". Mit

+;

f'(x) = ~ x3 - x2 x ; 2 f"(x) '" O,5x - 2x + 1,5 ;

f" '(x) '" x - 2 folgt: f"(x) = O <=} x2 - 4x + 3 =0 <=} xl= l ; x2 ", 3. UbetplÜfung von f'": f' ''(x l) '" f"'(l) = 1 - 2 < 0; f" '(x2) '" f·" (3) = 3 - 2 > 0, d.h . f besitzt in x I '" 1 (f( l ) "" 1,46 ) einen konvex I konkav-Wendepunkt [Maximum von f') und in x2= 3 (f(3) .. 2,13) einen konkav I konvex-Wendepunkt (Minimum von f') , der wegen f'(3) = 0 außerdem ein Sattelpunkt ist. siehe Abb. 6.2.4 1.

1 /11

w, w,

--JI-_'-__-:-__ ~{,Xl 3

Abb. 6.2.4 1

•

262

6

6.2.4

A nwendu ngen der D ifferentialrech nung bei Funk tionen mit ein er unab hängigen Va riab len

Kurvendi skussion

Das in de n let zten Kapiteln cnt....rekelte Instrumentarium der Different ialrec hn ung gestattet uns eine weit geneuere und feinere Chara kterisieru og de s Verlaufs einer ve rgegebenen Funktion,als es durch das bloße A ufstel len einer w ertetebene möglich wäre. In d iesem A bschnitt soll die Anal:yse von Funktionen (..Kurvendi skussion"] anhand einiger Beispiele aus dem nicht öko nomischen Bereich 6 e rfolgen. Dabei ist es sinnvoll, die Kurvendiskus..ion etwanachfolgen dem Schema durchzuführen: 6) relative Ext remwerte 7) Wendep unkte

I ) De finition sbc rcieh 2) Symme trie

8) Monotonie- und Krümmungsverbalten 9) Verhalt en am Rand des Dcfinitions bc rcichcs bzw. für x 10) Darstellung des Funkt ton sgraphen .

3) N ullstellen 4) Stetigkeit 5) Ditfe rcnzicrbarkcit

I

Beispiel 6.2.42

I

I) Deüniuonsbereich

1(, )

D iskussion von f mit

D{

= IR\ {

~ } • den n nur für Xo =

0

3x -

±

00

(i

(5 - 2x)2

2,5 ....i rd der Nenner vo n f Null .

2) Symmetrie

Achsensyrn.. zur O rd inatc, wenn f(- x) = fex) Punkl sym. zum U rsprung. we nn f(- ,) 0 - fr' ) für alle x (Dd . 2.2.23) 3) Nullstellen

Lösu ngen der Gle ichung f(x) = 0

W egen f(-x) =

f( )

35 -6

x = (5 - 2x)2

-h -6 (S + 2x)1

'*' :1 f(x) liegt keim: Symmetrie vor.

'"

00

3x - 6= O

f ha t in XI = 2 die einzige Nullstelle.

'"

XI

= 2

4) Stetigkeit

f ist in D( = IR\ {2,5} stetig. für Xo = 2,5 ist f nicht def iniert . Wegen

(Z ur E rmittl ung der U nste tigkeitsstellen siehe

3x - (i 1im (5 - 2x)1 K 1,5:1

", p. 4.6.) ; ) Differenzierbarke lt

~

besitzt f in xo = 2,5 eine n beidseitig positiven

Pol.

f ist überalt (mit A usnahme von Xo = 2,5) stet ig d ifferenzierbar. ebenso a lle höheren A bleitunge n.

6) relative Extrem werte

Man ermitt elt die Lösungen der G leich ung f'(x) = 0 und übe rprüft das Vorzeich en der 2.A bleitung f" anden gefundenen sta tionären Stellen (Satz 6 .2.2 7).

o

1'(, )

0

6x -9

_ 0

(5 - 2x)3 -

'"

6x - 9 = 0

'"

x2 = 1,5

Überprüfu ng der zweiten Ableitu ng: f"(x) = 24x - 24 (5 - 2x)4

'>

( "( x2) = f "( t .5) = 0,75 > 0,

also bes itz t f in x2 = 1.5 ; f(x2) = - 0,375 ein relatives M inimum.

(, Beschreibung, Analyse und Op timieru ng6konom isc11f: r Funktionen erfolgt i n Kap. 6.3.

6.2

263

Anwe nd ung der Differen tialrechnung a uf d ie Untersuchung von Funk tion en

7) Wend epunkte

( = Euremwerte der

f "(x) == 2oh -2-1 == 0

Man crmittc k die Lösungen Xj de r Gleichung f "(x) = 0 und überprüft an dcnStclJen Xi d as Vorzeich en von f' '' (Satz 6 .2.39) .

24x -24 = 0

(5 - h)4

1. A bleitung)

Übe rprüfung der 3. A bleitung: :::} f' '' (x) = f' '' ( I ) = ~ > 0 , Y

f' '' (X ) = 1-I-Ix - 72 (5 - 2x)5

also besitzt f in x) = 1 ; f(x) = -113 einen konk av/konvex-Wendepunkt , d.h. f" besitzt dort ein (lokale s) Minimum.

f ' >O :::}ff

Ptaustbitttätsbctracbtung für Monoto nie: f besitzt nur ein einziges E xtrem wn(Minimum in x 2 = 1.5) scmie eineneinzigen Pol (xo = 2,5). Nur an diesen Stellen kann sich das Vorzeichen von f' ändern. Da x2 ein Minimum ist , folgt zunächst: f ist mo noton fallend für x < 1,5 und monoton wach send für x > 1,5 und x < 2,5. Kontrollwer t für x > 2,5: ['(3) = -9 < 0, also ist f fü r x > 2,5 mo noto n fa llend . (Gleiches R esultat bei[o rmokr L ösung der Ungleichungen[' > 0, [' < 0.)

f< O :::} f l

Krümmu ngsverhalt en: f ist in dem Bereich konvex (konkav), in dem gilt:

f " > 0 :::} f konvex

f"( x) =

f " < 0 :::} f konk av

po sitiv ist) ~ x > 1, d.h. I Ist konvex für x > 1 und kon kav CUr x e 1 (Wendepunkt: x3 = 1, siehe 7» .

8) Monotonie un d Krü mmung

Man ermittle dicI ntervalle , in denen f' bzw. I" positiv bzw. negat iv sind:

(Satz 6.2.2 / 6.2. 10)

9) Verhal ten em Rand

24x - 2~ >0 « 0) ~ 24x - 24> 0«0) (da der Nenner stet s

(5 - 2x)

«)

des Deünmonsber et-

Da D , nach beiden Seiten unbesc hränkt ist , muss da s Verhalten von f fü r x - ± 00 untersucht werden. Wegen

ches bzw. t ür x_ ± oo

f( )

(siehe Ka pitcl4.3)

•

3 -~,

x(3 - ;:>

3x - 6

x = (5 - 2x)2

25

20

.~(- -- + 4 )

,

"

gill: I _lim<><> fex)

= ~ ";' 4" = 0+; I _lim_ <><> fex) = ~

die x-A chsc ist Asym pto te fü r x _ ±

00

-2../

= 0- ,

d.h.

•

10) Graph von r

{tl

f/XI::

3x - 6 /5 _ 2x/ 2

Abb. 6.2.43 1.5

2

2,5

{xl

264

6

Anwendungcn dcr Differcntialrcchnung bei Funktio ncn mir einer unabhängigen Variablen

IBei~PieI6,2A4:1

I fex) = 16x2 - x4 1:

Diskussio n der ganz-rationalen Funktion f mit

I) Deüntuon-beresch: Df == IR, da f Polynom. 2) ~'ym met rie: Wegen fe- x) = 16(- x)2_ (- xl == 16x 2-x4 = fex) ist f achscnsymmctnsch zur Ordinatenacbsc. 3) Nullstellen: fex) = 16x2 _](4 = x 2(1 6 - x2) = 0 ~ Xl = - 4; x 2 = 0; X 3 = 4 4) Steligkeit: f ist überall stetig, da Polynom. 5) Dlfferenzterba rkelu f (sowie söm üicne Ableitungen von f ) sind überall stet ig differenzierbar.

=-Y8

;:::;; -2,K3 ; Xs == 0; 6) retanve Ext rema: f'(x) == 3 2x- 4 x~ == 4x(K- x2) == 0 ~ x4 2,83. Überprüfung der stationären Stellen mit f" (x) = 32 - 12x2 ; x6 =

VB:: :

-VB; f(- Y8)

f"(x.J) = q - Y8) = - 64 < 0

~

f ist maximal für X4 =

f" (xs) = f"(O) = 32 > 0

0:0>

f ist minimal für Xs = 0; t(O) == 0 ;

f"( x6) = q Y8) == - 64 <0

~

t ist maximal für x6 ==

7) WendC)lUnkle: f"(x) = 32 - 12x2 == 0

~

= 64;

VB; f(Y8) == 64. x7 = - V873; Xs = V"87"3 : : : 1,63

Überprüfung der Lösungen mit f" '(x) = -24x: f"'(x 7) = f" '(- V873) = 24· V873 > 0 ~ f hat für x7 ::::: - 1,63; f(X7) ::::; 35,56 einen konka v/ konvex- Wendepunkt (Minimum von f"];

V873

f"'(xs ) = f"'{V 8/ 3 ) = -24 ' < 0 ~ f hat in X8 :::::: 1,63; f(x8) :::::: 35,56 einen konvex! konkav-Wendepunkt (Maximum von f' ). 8) Monotonie- und Krilmm uugsverhaltem Aus Lege und Art der relativen Extrema und Wendepun kte (siehe Nr. 6 und Nr.7) ergibt sich wegen derStetigkeit von f" und f": dann fallend bis zum Minimum (xs == 0). a) f ist steigend bis zum ersten Maximum (x4 = danach wieder fatlend. dann steigend bis zum zweiten Maximum (x6 =

-VB), VB ).

b) f ist konka v bis zum ersten Wendepunkt (X7 = -V8'i'3 ), dann konvex bis zum zweiten Wendepun kt (xs = VS/), danach wieder konkav. 9) v erterren rur x-

* oo : Wegen

sehr kleine Werte von

X

lim f(x) =

x _+oo

!im f(x) = -oo

x--..- "'"

immer mehr gegen minus Une ndlich.

10) Graph von f (Abb.6.2.45)

35,6

Abb. 6.2.45

10

st rebt f für sehr große und

6.2

265

Anwe nd ung der Differentialrechnung auf die Untersuc hung von Funktio nen

IBei~pieJ 6.2..16:1 Diskussion der Funktion f mit I) Definitionsberekh: Df "" IR, da e X nie Null werden kann. 2) Symmetrie: f(- x) "" -2x ' e"

'*

±f(x), d.h . keine Synunetrie erkennbar.

zx-ev "" 0

3) Nulh tellen: fex) ""

4) Stetigkeit: f ist (als Produkt stetiger Funktionen) übera ll stetig.

zx

5) Dirterenzierbarkeil: f (x) "" 2e- x e-« "" 21'- '(1 - x) ist für alle x e D f stetig. f ist daher übe rall stetig differenzierbar, dasselbe gilt für sämtliche höheren Ableitun gen. 6) relative Extrem a: f'(x) "" 2e- '(1 - x) : 0

~

x2: 1

(denn e-' > O!)

Überprüfung mit f"(x) : 2c -' (x -2): f'"(X2) "" f"(1) : 2'1' -1.(-1 ) < 0, also hat f in x2 : 1 , f(x2) : 2 ' e-r <:::: 0,74 ein relatives Maximum.

7) Wendepunkte: f"(x) '" 2 · e-X(x - 2) = 0 ~ x) = 2 Überprüfung mit f'''(x) = 2 ' c- '(3- x): f''' (2) : 2 -1'-2. 1 > 0, also hat f in x) = 2; f(x):::::: 0,54 einen konkav! konvex-Wendepun kt. d.h. f' besitzt dort ein (lokales) Minimum. 8) Monotonie-und Krümmun gw erhalten: Da I, f", f" übe ralt stetig, muss f links vo m Maximum

(x2 : 1) steigen, rechts davon abnehmen. Weiterhin muss f links vorn konkavl konvex- w endepun kt (x) = 2) konkav sein, rechts davon konvex. 9) Verttalten t ür x -

a)

lim . -

b)

' _

f(x) : , -

f(x) :

· 00

00 :

lim

00

lim

±

lim ' _

..h =0 + (siehe (4.2.lO Hi)), d.hdic x-Achscist Asymptote von f

·00

für x-

c"

00

2x

-

ex

_ 00.

: ,, -:::":

c-

,,--+" : _ 00

0

-

00 ,

00.

1I.h. für x _ - 00 st rebt auch f gegen - 00 •

10) Graph vön f (Abb.6.2.47)

I (t{ 1,0

fix) = 2x · e -x

0,74

Abb . 6.2.47

o

2

txt

266

6

Anwcndun gen dcr D iffercn tialrechnung hci Funk tioncn mit einer unahha ngigcn Variablen

In denfoIgendrnAufguhellbIöcken sind Funktionen f, g, h, ... definien durch die angegebenen Z uordnungsvorvdvitsen und den ljeweiLl>noch zu erminelnden] maximal möglichen Definitionsbereich (E IR). Aufgabe 6.2.48: Man ermittle die redlen Zahlen- Intervalle. in denen die jeweils definierte Funktion mono to n wac hsend bzw. fallend ist: I)

f(x) '"' - 12x2+8 x-l

'j

g(x) = - , -

il)

g(y) '"' y3-12y2 + 60y + 90

vi]

f(r) = 8 + 2v;:Iö

iii)

h(t) = 2t 3 + 15t 2 -X 4t + 25

\'ii)

N(x) = 100· c - 20/ %

iv)

x(A ) = 20 ' Ao,7

\'iii)

r(z) = In (z2 +3 )

I - x

Aufgabe 6.2.-19: In welchen Intervallen sind die durch folgende Funktionsgleichungen defi nierte n Funk tionen konvex (bzw, konkav)? ij

K(x)

= x3 -

ji)

f(x)

= - 4x3 -

iii )

x(r) = - r3 + 6 r2 + IS r

Iv)

g(z) =

-Z4

2x2 + 60x + 10lJ 30 x2 + 168x - 6

+ 4z 3 + 12z 2

'j

P(Y) .

, -I)

x(r)

" ii )

y(K)

\'iii)

,

,2 _ 1

= 10 + Vr

100

= 0,4 ' KM p(x) = 5· e- O,lx

Aufgahe 6.2.50: Man ermittle Lage und Typ der relat iven Extrema folgender Fu nktionen: i)

k(t) = 12 - 12 t + 13

ii)

f(x)

iii)

f(u) = uL 12u L 17

iv)

g(v) = vi - Xv 3 + 4v 2 + 20

,)

h(y) • y(y - 2)'

~)

t(z) = Z2 +

\'ii)

f(x) = x -In x

= x3-6x 2 +9x+

3

1. z2

y2

\iii)

s(y) =

ix)

g(u)

=

,)

f(x)

= x3

~)

p(r) = rr

xii)

r{t) = 212 -

xiii)

fex) = 1.000 x - x · e 2x (siehe Vorbemerku ng zu Aufgabc 6.2.53)

2

v;:z:9 1O·lnu u

,-' e ,l

Aufgabe 6.2.51: Man ermittle Lage und Typ der Wendepunkte folgender Funktionen: I)

f(x) = x] - 16x2 + (ix - 4

ii)

x(r) = (' - 12r2 + 1

iii)

g(u) = u4 - 4 u3 + 6u 2-3u+ 1

iv)

h(y) = 12 , y O.2

v)

fex) = ~ I + x2

\i)

p(t) =

2 31

V"i2+3

k(s) = e l / s \iii )

fex) = c- x2

6.2

Anwe ndung der Differentialrechnung auf die Untersuchung von Punktionen

267

Aufgahe 6.2.52: I) Man zeige, dass jedes kubische Po lynom f mit

f(x) = ax) + bx2+ cx+ d gcIk1U

(.1

'*' 0)

einen Wendepunkt besitzt.

ii ) Man zeige, dass d ie Wendestelle eines kubischen Polynoms stets genau in der Mitte zwischen den beiden Extremstellen (sofern diese existieren) lieb'!'

Man diskut iere folgende Funktionen f und skizziere ihren G raph. (Gelegentlich tst es erforderlich, zur Gleichungsl ösung ein iteratives Nöherungsverfohren (z.B. die" Regula [alsi", Kap 2.4, oderdas "Newlon- Verfuhren", Kap. 5.4) zu benutzen.):

Aufgahe 6.2.53:

Sx -

~

;)

fex) = xL 5x + 4

\1)

f(,) =

ii )

fex) = xL1 2x2 - 24x + 100

\'ii )

f(x) = .....!...-

iii)

fex) = x) - 3x 2 + 60x + 100

\i ii)

f('j = ( [-2x)2

lv]

f(x) = x 4 - 8x 2 - 9

ix)

f(x) = 2 ~

v]

fex) = ..!.. x4 - 2xJ + 75x 2

'j

f(x) = 10 · xO.8

xi)

f(x) = x2 . c"

12

'

xx- 2

,

x- I

3,

Aufgabe 6.2.54: Die Funktio nsgleichung eines kubischen Polynoms f mit fex) = ax3 + bx2 + CX + d soll bestimmt werden. Dazu e rmittle man die Konstanten u, b, c, d jeweils derart, dass f folgende Eigenschaften bes itzt: i) f hat für Xo = 0 eine Nullstcllc, die gleichzeitig Wendest elle ist. Ein relatives Extremum lieb'!

bei

XI

= -2 . Die Kurventa ngente an der Stelle

X

z '" 4 hat die Steigung 3 .

ii) f hat in (1 ;0) einen Wendepunkt mit de rSteigung -9. f schneide t die Ord inatenachse im Punkt (0;8). iii) f hat im Punkt (0 ; 16) die Steigung 30 und bes itzt einen Wendepu nkt in (3 ;52) .

Aufgabe 6.2.55:

Man bcsnmmc die Konstanten a, b, e der gcbrocbcn -rationalcn Funktion f mit

ax -e b . f(x) = - , - de rart, dass f lß xJ = -2 eine n Pol und in x2 = 1 ein relatives Extremum mil dem x +c Funktionswert - 0,25 besitz t.

Aufgahe 6.2,56: Welc hen Bedingungen müssen die Konstanten a, b genügen, dami t für die Funktion f mit f(x) = a · e bx gilt: i) ü)

f ist überall positiv, aber mo noto n fa llend . f ist überall kon kav gekrümmt .

Kann f die Eigenschaften I). ii) gleichzeitig besitzen ? (Begrülldullg!)

268

6

6.2.5

A nwendungen der Differentialrechnung be i Funk tionen mit einer unab hängigen Variahlen

Extremwerte bei n ic ht differen zierba ren Funktionen

Die folb'Cndcn Beispiele dem o nstrieren die Ermittlung relativer und absol ute r Extremwerte einer Funktion f, d ie an einzelnen Stellen keine (emlliehe) Ableitung besitzt, dort abe r stetig ist (,. Spitzen ~, " Ec ken~, " Kniekstel lcn", Stellen mit senkrecht er Tange nte. siehe Kap. 5.1.4 sowie A bb. 6.2.57):

;z

,

Abb. 6.2.57 x,

_\

{cl ~

\

,

x,

x,

x,

In d iesen Punkten versagt - wegen der Nic htditfcrcnzierbarkcir von f in Xo - das " k lassisc he~ Instrumentarium des Exrremwcn nacbweises (Satz 6.2.27/6.2.32). Sta tt dessen be nutzt man ein allgemeines Krit eri um für relative Extrema, dessen Pla usihilität in Abb. 6.2.57 deut lich wird: Immer dan n liegt an der Stelle Xo ein relatives Extremum vor, wenn die erste Ableitung f " beim Durchga.ng d urc h die "krit isehe" Stelle "1l ihr Vorzeichen ände rt . Denn das bedeutet ja gerade (sie he Satz 6.2.2), das s f von einem fallenden Verlauf in einen ste igenden Verla uf (oder umgeke hrt) übergeht , d ie Übe rgangsstd lc X o selbs t also ein Minimum(oder Maximum] von f darstellt: Salz 6.2.58: E s sei die Funktion f in Xo stetig und in e iner U mgebun g von Xo (evtl. mit A usnahme derStelle xo) 7 ste tig differenz ierbar. i)

Geht r(x) be im Du rchgang durch Xo von nega üven z u positi ven (bzw. positiveIlZUnegatil"ell) Werten über, so hat f in xc ein relatives Minimum (bzw. M axi//llU" ) , siehe A bb. 6.2.57 (a) (bzw. A M . 6.2.57 b)) .

ii)

Änden r(x) be im Durchgang du rch Xo sein vorzelchen nicht, so lieb" kein relatives Extremurn von f vor ; vielmehr du rchläuft f d ie " kri t i sche~ Stelle Xo fallend (Abb. 6.2 .57 (c) oder ste igend (Abb. 6.2.57 (d» .

BcispieI 6.2.59: Die Funktion f mit fex) = D r = IR, ist übe ral l stet ig. w ege n f'( x) =

-f- liegt in Xo 3' ~

a

111I

M

= 0 eine Stelle vor,

an der f" nicht existiert. Da für x < 0 gilt: a VX< 0, d.h. f'(x) < 0, und für x > 0 gilt:

,

VX>

°>

0, d .h. f'( x) 0, ände rt f' be im D urch sein Vorz eichen (von " -~ gang du rch Xo = nach " +"), d.h . f bes itzt in Xo = 0 ein relatives Minimum (siehe Ab b. 6.2.60).

{xl _1

Abb. 6,2.60

7 Diese Bemerkung soll andeute n, dass die folgende n Bedingung en auch dann gelte n, wenn f in x" differenzi erbar ist.

6.2

269

Anwendung der Differentia lrech nung auf die Untersuchung von Funk tionen Die abschnittsweise definierte Fu nktio n f mit f(,) •

Beispiel 6.2.61:

ist in IR ste tig. denn es gilt: lim fex) = lim fex) = f(3) = 4.

•_ r

f'( x) =

rur x <3 l - l fur x > 3

{xl

o

7

Abb. 6.2.62

D ie absc hnitts weise definierte Funkt ion f. f(x) .

ist übera ll stetig. den n: W egen

lim fex) = lim

•_

2

. _ 2

f '(x )r e I O,2x - o,7 fur O ~ x < 2 -2

für

•-

{

0, l x2- O,7x + 2 f

-zx+.')

!Cx) = f(2) = 1.

2 <x ~ 3 ,

2-

. -2 +

Da I'(x] sowohl links als auc h rech ts von Xo ( ::: 2) negativ ist (also kein Vorzeichenwechsel vo n f' stattfindet), handelt es sich nicht um ein relatives Ext remum vo n f, vielmeh r ist f be im D urchgang durch Xo ( ::: 2) mo noton fallend (siehe A bb. 6.2 .64). Da weiterhin f " nirgends in 0 r ::: [0 ;3 ] verschwind et. nimmt f seine abso lute n Ext rema am Rand von D r an, und zwa r (da f mono/nil abnimmt) das Maximum am lin-

ken Rand (f(O) ::: 2)und dasMinimum amrech-

f (x) ::: - 2

'*' - 0,3:

,

~+ 1

Ecke!.

I IfI 2 I MAX

1 ....

-:+---:---,,-'-;;\ -;-3 o -1

-

{xl

MIN

/m Rand (f(3) :::- 1).

Beispiel 6.2.65:

für 0 5 x < 2 für x=2 für 2 < X 5 3

ist f " an der Stelle xo = 2 nich t differenzie rba r!

E s gilt nämlich : lim f '(x) ::: 0,4 -0.7 ::: -0,3. aber: lim

f(x):::

.. für x = 3 - x + 7 für x > 3

l .j.

led iglich die links- und d ie rcehtsscitlge A blcltung. die vo neinander verschieden sind: f bes itzt daher in Xo = 3 e ine Ec ke. Da abe r f " beim Durchgang durch xc = 3 sein Vorzeichen änd ert (u nd zwar von ... 4 nach - 1), liegt dort nach Satz 6.2 .58 ein relatives Maximum von I, siehe A bb. 6.2.62.

Beispi el 6,2.63 :

,f X ~ K mr X < 3

,

. _3 +

A n der ~ N aht s tel1 e" Xo = 3 existieren wegen

[

Abb. 6.2.64 Die Funktion f mit

I to

ist in D, = IR ste tig.

D ie erste A bleitung existie rt nicht an der Stel le Xo=2 . Da der T enn (x - 2)2 sowo hl für x < 2 als auc h für x > 2 positiv ist, muss f'(x) links wie auch rechts von Xo = 2 ebe nfalls po sitiv sein. Da her durchl äuft f die ~ k rit i5Che" Stelle Xo = 2 monoton wachsend. bes itzt dort also kein Extremum, siehe Abb. 6.2.66 .

1

---

ca o

x,,=2

Abb . 6.2.66

270

fi Anwendun gen der Differentialrechnun g bei Funk tionen mit einer unabhängigen Variablen

Aufgabe 6.2.67: Man diskutie re folgende Funktionen f (maximaler Def initionsbereichv] und skizziere ihren Gra phen: f'[x] =

c- I /~

fex ) = e -I / ~2

fex) = x2 -ln x *iv)

fex) = (x + ) 3 .

f(, ) =

a

JfX2

I

- x2+ 2x+ I 2x - 3

für für

4 ~ x < 5

_ >;2+ 14x -43

Iür

5 ~ x ~ 8

x2 _ 6)( +7

ü

sxc z

mr z s x c r

Aufgabe 6.2.68 : Man skizziere den Graphen einer Funktion f, die folgende Eigenschaften aufweist: i) f ist überall ste tig differenzierbar (keine Ecken I). und es gelte: a) f(3) =4 ; f'(3 »O; f"(x)< 0 für x c J: f"(x»O für x> 3. Grap h von f ? b) f(O) = 3; f(4) = 5; f (O) = 0; f"(x) < 0 f ür x < I; f"(x) > 0 für x > 1. Graph vonf? c) f(2) = 10; f(6) = 4; f' (2) = f'(fi) = 0 ; f"(x» O fürx < 2; f"(x) < O für x>fi. Graphvonf? ii) f ist überall ste ng (Ecken möglich). und es gelte: a) f '(x) < 0 für x < 2; f '(x) > 0 fü r x > 2; f" (x) > 0 für x -c 2; f"(x) < 0 fü rx > 2. G raph'! b) f'( x) > 0 für x < 3; f ex) < 0 für x > 3; f"( x) > 0 für x*- 3. Grap h von f '!

6.3

Die Anwendung der Differentialrec hnung auf ökonomische Probleme

Mit Hilfe des klassischen Instrumenta riums der Differe ntialre chnung lassen sich in elegante r w eiseü bersichtlich, weitreichend u nd schnell (verglichen mit einer verbal-intellektuellen Analysemethode) detai llierte Al1~
6.3.1 Besch reibung ökonomischer Prozesse mit Hilfe von Ableit ungen Um ökonomisc he Vorgänge beschreiben und er klären zu könn en, werden aufgrund von Beobachtun gen, {vermutet en} Gcsc tzmäßigkcitc n, Plausibilitätsannalunen usw. q uantita tive Zl1<;an1menhänge zwischen ökonomischen G röße n (wie z.B. Konsum, Einkommen. Nachfrage. Angebot. Kosten. O utputmengen. Fa ktorinput. Preisen usw.) gemessen oder post uliert. Damit ein solc hes Syste m einer quantitativen Analyse ZUgänglich gernach t werden kann, transformiert man es häufig in ein mathemat isches Modell (z.B. in Porm einer oder mehrerer Funktio nsgleich ungen. siehe Kap. 2.5). Das math ematische Moden soll- wen n au ch in gelegentlich vereinfachter, abstrahierender Form - dieselben Eigen~chaften erkenne n lassen ....te die zugrundc1iegcnde ökonomische Realnär (z. B. Wachstumsverhalten de r beteiligten Variab len). Zwei Aspekt e sind bei der Kon strukt ion mathematischer Modelle für ö konomische Prozesse bedeutsam: I) die q uantita tiv genaue Beschreihung eines genau definierten ö konomischen Sachverhaltes (z.B. die Ermittlun g einer Konsumf unkt io n f ür die Bundesrepub lik Deutschland des J ahres 20(9);

quamauve Beschre ibung und Er klärung eines (allgemeinen) ökonomisc hen Prozesses (z.B. tendenzi eller Verlauf einer Preis-Absatz-Funktion für irgcndcin s normalcs" Gu t).

ii ) d ie

6 .3

271

Die A nwendung der Different ialrechnung auf ökonomische Prohlcme

Während sich ein Modell nach i) besonders für (möglic hst exakte) Zukunft,prog.rlOSI'Il eignen soll, kann man die nach ii) gewonnenen und allgemeiner formulierten Modelle besser zu r E rkläru ng beobac htet er oder zur Prognose vermuteter ökonomischer ZU"'1mmcnhänge verwende n. Im Rahmen dieser E inführu ng so llen bcidc Aspekte berücksicht igt werden, wobei allerdings d ie Mod elle vereinfach t in Fonn ökonomisc her Funktio nen als gegebe n angenom men werden oder aus allgemeinen bzw. willkürlichen Daten hcrgeleitet werden. g

Bemerkung 6,3.1: Eines der Hallp/ziele ökonomischer Forschung bestehtdarin, Wirtschajtsenlwiddmlgen vorhersehbar und somit steuerbar zu machen. Die Verwendung mathematischer Modellezur Erreichung diesel' Zids ist dabei ein unverrictabares Hilfsmittel. Allerdings stößt man immer wiederaufdie Schwierigkeit. dass einige Model/voraussetzungen (wie z.B. Gef ühle, Bedüifnisse, Verhalten von Individuen oder Institutionen} kaum oder nur unzulänglich messbar und beschreibbar sind und sich daher einer mathematisch exakten Quami[ll.ieTlmg enniehen können. Daherdürfen Ergebnisse von Modellrechnungell nur vorsichtig und mu kriJischem Blick auf die bemlt;Je/l Voraussetzullgellinterpretiertwerden. E s wird nun an Beispielen gezeigt. wie bes timm te vora usgesetzte E igenscha ften ökonomischer Prozesse mit H ilfe der Different ialrechnung auf ents prechende Modcllfun ktion cn übertragen ...ve rden können.

6.3,1,1

Beschreibung des Wach stumsverh alt ens ökonomischer Fun ktionen

Nach Satz 6.2.2 /6. 2.10 kennzei chnen die Vorzeichen von f , I " das w achstumsvernahen der Funktio n f (siehe au ehAbb. 6 .2.12):

f'( x) > 0 (bzw. ['(x) < 0) f"(x) > 0 (hzw. ["(x) < 0)

f wächst (bzw. fällt) f ' wachst (hzw.fd llt), d.h. f ist ko nvex (bzw. konkav)

Beisp iel 6.3.2: Ein er Gesamt kost enfun ktion K(x) unterste llt man meist mit zu nehm ende m O ut put x auch zunehmende Kosten K, d.h . es muss gelten K'(x) > O. Um die Art und Weise der Kostenzuna hme im E inzelfall genaucr zu chara kte risieren, fügt man A ussagen über das Krümm ungsverhalten von K (bzw. das W achs en/ Fallen de r Grenzkosten K') hinzu. siehe Ab b. 6 .3.3 aj -d ]: a) linea rer Kosteh"erlauf: 2K dK> O ; d = O dx2

dx

b) degressiver

lai

Ibl obnehmlimde

konstante Gfenzkosten

KO,<;teh H~rlaur:

dK d 2K - > 0 . - 2 < 0 (konkav) dx

IKI

I IKI

• dx

Abb 6.3.3. c) prog ressiver Vertauf: dK d 2K > 0·->0 (konvex) dx • dx 2

Jf------ -i----Grenzkosle n

lxi

lxi

IKI

IIKI

1<1 d) ert ra gsgesetzne her Kostenverta uf

erst degressive Z u nahm e. dann progressive Zu nahme:

z unehmende

Grenzkosten

J < O fur l >o fur

8 Zur Konstruktion öko nomischer Fu nktio nen aus Beobachtungswerten sie he etwa [55J, 90 ff

272

6

Anwendungen der D ifferentialrechnung be i Funktione n mit einer una bhängigen Va riablen

Analog lassen sich für den Fall reg rev..h 'er (abnehmenJ er) Kost en die versch iedenen Kostenverläufe charakterisieren, siehe Ahb. 6 .3.4:

IKI

IKI abnehmende Grenz fcoslen

IKi zunehmende Grerufcosten

konstanie Grerufcosten

Regressiver Kos!envenau f

Abb. 6.3.4

lxi K ·< O, r < o

lxi

lxi K'
K'O

Bei der Vo rgabe ode r Konstruktion ökonomischer Funktionen können Annahmen hinsichtl ich der Ten de nz der Abbäng igkeit ökonomischer G rö ßen ebe nfalls m it H ilfe von Ableitungen ausgedrückt werden. Bei..pieI 6.3.5: Von eine r tncoklassischen] Nutzenfunktion U(x) nimmt man an. i)

dass der Nutze nindex U mit steigende m Konsum x des betrachteten Gut es zunimmt:

dU dx

> O.

ii) dass aber d ic Nutzcnz uwäeh..e (d.h. der Grcnznu tzc n) mit steigend em Ko ns wn x abnehmen, d.h. d 2U/ t\x2 < 0 (.. I. Gos.w n· scbes Gese tz"). Dem ents pricht die Beo ba cht ung. dass de r zusä tzliche Konsum einer Güterd nheit häufig einen geringeren zusätzl ichen N utze n stiftet als der Konsum dervorhcrgehe nden Gü tereinheit. Danach könnte eint': neok lassisc he Nurzenfunktion etwa den Verlauf in A bb . 6 .3.6 habe n, vgl. auch Bsp. 6.2.15.

Bei..pieI6.3.7:

/XI I Output

txt -i , - - - - -Abb. 6.3.6

Eine c nregsgeset znc he Prod uktionsfunktion x(r) kann te ndenzi ell durch das Verhalten der Grenze rtragsfun ktion x '(r) charakter isiert werden , siehe Abb. 6.3 .8.

Abb . 6.3.8

strt » 0

xtrt » 0 xrtrt > 0

x(r} > 0 x '(r} > 0 x -(r} < O

xlrl> 0

xlr/< 0

«ta eo «tn -:«

x 'trt < 0 x·'(rl < 0

r, poslh'V8, z unehmende GreMertrdge

posi/lve, abnehmende :negalive,abnehmende: Grenzerlrdge : Grenzertrdge :

:- - - - -- - - - -

posi!iver Gesom!erfrag - - - - - - - - - :- -

Beispiel:

,

:

,

negahver _ Gesamtertrag

x(r):: -O,5r3 + 1,5r2 + O,075r, r ~ O.

D ie Wendestelle r. (Ü bergang von zunehmenden zu ab nehmende n Grcn zcrtr ägcn) heißt "Schwelle des Ertrag...gese tzes'', die Stelle TM maximalen Outp uts wird "Sätti gulIg.~ p un kt" gena nnt: E in E insatz des I nputfaktors übe r r", hina us ist ökonomisch unsinnig, da er zu einer O ut putvermind erun gführt .

6.3

Die Anwendung der Differentialrechnung auf ökonomische Probleme

273

6.3.9: Beschreibt man das einkommensabhängige Konsumverhalten von Haushalten durch eine (auf Querschnittsanalysen 9 basierende) Konsumfunktion C{Y), so postuliert das von Keynes hypothetisch formulierte "p~'Ycbologiscbe G rundge~etz": Der Grenzhang zwn Konsum ist bei jedem H aushaltseinkommen positiv (a) , aber kleiner als Eins (b) und außerdem kleiner als die dem jcwciligen Haushaltseinkommen entsprechende du rchsehnlunche Konsumquote (c). Übersetzt man die Postulate des psychologischen Gru ndgesetzes in die mathematische Symbolsprache, so ergibt sieh:

Bei~piel

«) -dC < dY

dC < l ' (b) dY ,

dC > O ' (, ) dY ,

C

-

Y

Aus der Bedingung (e) folgt, dass die durchsc hnittliehe Konsumquote C/Y abnehmend ist. Zum Beweis bildetman die Ableitungvon C/Y nach Y und formt um:

( ~ )' == C' · y - c · ! '" -l(C'- ~ ) y

y2

Y

y

'

Da der Klammerinhalt nach Vora ussetzung (c) negativ ist, gilt (wegen Y > 0) auch: (C/Y )' -c 0, d.h. nach Satz 6.2.2 ist C/Y monoton fallend. Interessant ist, dass aus dcrn.psycbologischen Grundgesetz " nicht gefolgert werden kann, dass der Grenz hang zum Konsum monoton fällt, mithin C einen konkaven Verlauf aufweist (siehe das Gegenbeispiel in Abb. 6.3.10 I).

I ICI

ICI

I ICI

I C kon vex I iYJ

f-~::;==,iiYJ

I c Ii",~ I

Sämtliche Beispielsfunknon en C(Y) in Abb. 6.3.10 genügen dcm spsychologischen Grundgesetz" von Kcyncs, Während das vorhandene Datenmaterial eher einen linearen oder konkaven Verlauf nahelegt. Beispiel 6.3, 11: Eine necklasstsehe Produ ktionsfunktion ist durch posluve(d.h.x'(r) > 0), aber ste ts abnehmende (d.h. x"(r) < 0) Grenzerträge gekennzeichnet: x(r) ~ O ;

dx

dr > O;

lxi i Output Neok/assische Produklionsfun klion

d2x

dr2< 0

Beispiele: t) x(r) == 2('·5 , siehe Abb . 6.3. 12 ii) XCI) == (0,6rO.5 + 1/ .

-+- - - - - -Input1'1 Abb.6.3.12

9 Bei einer Querschllilts(1llalyse betrachtet manjeweils in dergleichen Periode Haushalte mit unurschiedlichen Einkommen. Dagegen verfolgt man bei einet Zeitreinenanalyse das Verhalten eines Haushaltes oder einer Gruppe von Haushalten über mehrere Perioden.

274

6

A nwendu ngen der Differentialrechnung bei Funkt io nen mit einer unabhängigen Variablen

6.3.1.2

Konstruktion ökonomischer Funktionen mit vorgegebenen Eigensc hafte n

In vielen Fällen versucht man, für e ine gegebene funktio nale Abhängigkeit zweier ökonomischer Variablen ein konkretes mathemat isches Modell in Form einer Funkti onsgleichung y = f(x) zu finden. Dazu gibt man dcn allgemeinen Grundtyp der in Frage kommenden Funktio n vor (z.B. Polynom, Wurzelfunktion, Expo nentialfunktion lL~W. - je nach vermut etem Zusammenhang) und besümmt dann die noch unbekannten Koeffizienten derart. dass die Funktion den gemessenen ode r postulierten Eigenschaften entspricht (siehe etwa die Aufgaben 6.2.54 bis 6.2.56). Beispiel 6.3.13: Die Nachfrage C(Y) nach einem Konsumgut soll in Abhängigkeit vom Haushaltseinkommen Y beschrieben werden durch die allgemeine Exponentialfunktion C mit:

•

C(Y) = a 'e Y

(Y >O).

Wie müssen die Koeffizienten a. b gewählt werden, damit I) ii )

für unbeschränkt wachsendes Einkommen die Nachfrage ihrem Sättigungswert 50 zustrebt ; dic Nachfrage mit stergendem Eink ommcn stets zunimmt?

y--

Bedingung i) bedeutet: Bedingung ii) bedeutet :

lim C(Y) = 50,

.

C(Y) ist strcng monotonwachsend (C

f ), d.h.

C' (Y) > 0 .

Daraus folgt für den vorgegebenen Funktionstyp.

I) ü)

-"

lim a -e " =

y- -

-

~a'e""~ =

a -e'' = a

•

ICI I

b C'( Y) = a'e V' (-yz) >0 ~

-b c- ü

~

= 50;

SO

b c G.

(a > 0)

Konsumfunklion

Dies bedeutet:

b

CfYI = 50·

Jede Funktio n C mit C(Y) = 50 e Y und und negativem b besitzt die geforderten - 77 Eigenschaft en. z.B. C(Y) = 50'e v ,

-" er

IYI

500

ß eispieI6.3.14 : Ein e ertragsgesetzliche Gesam tkostenfunkti on soll durch ein Polynom ä.Cra des beschrieben werden:

fKI , Kosten

K

(a * O) . Wie müssen die Koeffizicnten a. b, c, d gewählt werden. damit K die für einen crtragsge setzlichen Verlauf typtsehen Eigenschaften (siehe Abb. 6.3. 15) besitzt? ökonomischer Sicht müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:

AlL~

Krol

o Abb. 6.3.15

Output

6.3

Die A nwendun g der Differentialrechn ung auf ökonomische Probleme

275

i)

K ist für x 2: 0 monoton sleigentl;

ii)

K besitzt keine Extre mwert e;

iii)

K besitzt im 1. Quadrant en einen konkav/konv'ex-Wendepullkt S ("Schwelledes Ertragsgesetu s "), d.h. in S sind die Grenzkosten K' minimal;

iv)

Es existieren positive (höchstens vc rschwl ndc nc] Fixkoc ten, d. h . K(O) 2: O.

Übert rab-en auf den vorgegebenen Funktionstyp bedeut en diese Bedingungen: i) ii)

Es muss gelten: Die Gleichung

K'(x)

= 3ax2 + 2bx + c > O.

K'(x) =

3ax2

Daraus folgt:

+ 2bx + c '" 0

K'(O)

= e > O.

darf keine reelle Lö sung besitze n!

Der allgemeine Lösu ngsterm dieser Gleichung lautet (siehe 1.2.149): b x 1.2 '" - 3a ±

V

b' c 9a2- 3a

und ist genau dann nicht reell, wenn der Radikand negativ ist. b2 - 3ae

- - z- < 0 9a

~

b Z - 3ae< 0

~

Aus

< 0 folgt:

b2 < 3ac . b

iii)

Wegen K"(x) '" öax + 2h ; K" '(x) '" 6a (*'0) liegt der Wendepunkt S an der Stelle - 3a (> 0 I). Da dort K' minimal sein soll, muss gelten: K"'( x) = 6a > 0, also a > O. Damit muss auch gelten: - b > 0, d.h. b < O.

i\')

K(0) = a ' 0 3+ b ' Oz + e 0 +1.1 2: 0

d 2:0 .

Zusammenfassend gilt: Das kubische PoI ) 110m K(x) '" a>;3 + bx2 + Cesamtkostenrunkuon K, wenn gilt:

(6.3. 16)

a >O ; Beispiele:

( I)

h< O;

c> O ;

CX

+d

beschreibt eine ertrag';gesetzliche

11 2:0 ;

h 2 < 3ac .

K(x) = O,l xL 5x2+ 9Ox+ 100 id.h: a >O, b O, d >O) . 2 Wegen h = 25 ; 3ae = 3 , 0, 1 · 90 = 27, d.h. b Z <3ac ist die Kostenfunktion K ertragsgesetzlich.

(2)

K(x) = Q,tx L 5x 2 + SOx + 100 Wegen

(d.h. ebenf alls: a>O, b O) . bZ = 25 ; 3ac=] ' 0, 1' 80=24, d.h. b2 > 3ae

ist K nicht crtragsgesctzlieh. AUfgahe 6.3. 17: Man überprüfe (mit Hilfe graphischer Veranschaulichung) , ob die folgenden Funktionen x: r I-? x(r) , r ~ 0, als Modelle für ertragsgesetzliche Produktionsfunktionen in Frage kommen (daz u müssen sie einen ~ typise hen" Verlauf aufweisen wie in Abb. 6.3.8 ): i)

ll)

x(r) = - r! + 12r2 - 40r x(r) '" - rJ + IOr2 + r

iii)

x(r) = - 21" + 18rL 60r

h')

x(r) = -4 1" + 24rL 60r

• Aufgabe 6.3. 18: Welchen Bedingungen müssen die Koeffizienten a, h, e, d der Funktion x mit x(r) = ar' + hr2 + er + d ; (a ,*O. r ~O) genügen, damit es sich um eine ertragsgesetzliche Prod uktionsfunktion handelt (typischer Verlauf: siehe Abb . 6.3.S)?

276

6

Anwendungen der Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängi gen Variablen

Aufgabe 6.3.19: Eine neo klassische Produktionsfunktion x mit x(r) = a r'> (r:!: 0) ist gekennzeichnet dureh positive Erträge und posit ive, aber abnehmende Grenzerträge für jeden positiven Input r. Welchen Bedingungen müssen dazu die Koeffizienten a, b genügen? Aufgabe 6.3.20: Man ermittle die Gleichung einer eruagsgesetzlichen Gesamt kostenfunktion K vom Typ eines kubischen Polynoms, die folgende Eigenschaften besitzt: Fukosten 98 GE; das Minimum der Grenzkosten wird für einen Ou tpu t von 4 ME angenommen; das Minimum de r gesamten Stückkosten licgt bei cincm Output von 7 ME. Ist die Funk tionsgleichung eindeutig bcstinunt? Aufgabe 6.3.21 : Man überprüfe, ob die Prod uktionsfunktion x(r) = (0,6 r',s + 1)2 (siehe Bsp. 6.3.11ii) ta tsächlich vom neoklassischen Typ ist. Aufgabe 6.3.22 : Bei der Produktioneines Gu tes wirken sich d ic mit stcigcndenStückzahl en gewonnenen Prod uktionselfahrungen kost ensenkend aus (Lerne//ek! !): Die in einer Men geneinheit (ME) des Produktes enthaltenen Stückkosten k (in € I ME ) (ohn e Berücksichtigung von Mat erialkosten) hängen von der (kumulierten) Gesarntproduktionsmengc x (in ME) ab gemäßeiner Produktionsfunktion des Typs

k = k.(x) = a 'x"

• (x :!: 1) •

("Lernkurve"; a, b e JR) .

Es wird nun folgendes beobachtet: -

Die erste prod uzierte Einheit verursac ht (ohne Mat erial) Kosten in Höhe von 160 ,- € .

-

Verdoppe lt man die Prod uktionsrnenge (ausgehend von einer bcliebigenStückzahl), so sinken die Stückkosten um 20 % gegenüberdem Wert vorStückzahlverdoppelung.

I) Wie lau tet die komplette Funktionsgleichung (.) der Lemkurve ? ü) Wie hoch muss die Gesarn tproduktionsmcngcsein, damit die gesamten Produktionskosten (o hne Material) 80.000,- € betragen ?

6.3.2 Analyse und Optimierung ökonomischer Funktionen Die Analyse und O ptimierung ökonomischer Funktionen mit Hilfe de r Differentialrechnung(auch Marginalanalyse genann t) unterscheidet sich in fonnaler H insicht nich t von der in Kap. 6.2.4 dargestellten Kurvendiskussion. Der c ntscheide nde Untcrschied best eht in der nunm ehr zwingenden Notwendigkeit. jeden mathematischen Modellbaustcin (Variab le, Funkt ion, Funk tionseigenschaften wieMonot onie und Krümmung, Grenzwerte, Extrem- und Wendcpunkte usw.) ökooomisch zu interpretieren. Nur dadu rch kann man -

mit dem mathematisc hen Modell ökonomische Zusammenhänge beschr eiben, erklären und prognostizieren; durc h Vergleich und Kontrollemit der Realität das Modell weiterentwickeln; aus mathematischen Optimierungsresultaten ökonomische H andlungsaltemauven aufzeigen u.v.a.

Da es weder möglich noch sinnvoll ist, alle nur denkbaren Anwendungen der Differentialrechnung auf ökonomische Probleme lückenlos abzuhandeln, soll im folgenden die Wirksamkeit der MarginaIanaIyse lediglich an einigen klassischen ö konomischen Bei~ielen demonstriert werde n. Die Schlagkraft math ematischer Methoden besteht eben gerade nicht in ihrer Brauchbarkeit für einige Spezialfälle, sondern vielmehr darin, ein universelles und flexibles Instrumentarium zur Behandlun g unterschicdJicher und (scheinbar) wesensverschiedener Anwendungsprobleme zu liefern.

6.3 Die Anwendungder Differentialrechnung auf ökonomische Probleme

277

6.3.2.1 Fahrstra hlanalyse Bei der sog. Fahrstrahlanalyse handelt es sich um eine beliebte und wirkungsvolle graphische Methode zur marginalanalytischen Untersuchungökonomischer DurchscJmittsfunktionen. __ -I Nach Kap. 2.5(5) bzw. Kap. 6.1.2.8 existiert zu jedem Funktionspunkt p(x;f(x» ( =1=(0 ;0» genauei n zugehöriger Fahrstrahl' o als Verbindungspfeil (.,Orrsvektor ") vom Ursprung 0 zum Kwvenpunkt P. Die Steigung (tan a) des Fahrstrahls an dieser Stelle x ist gegeben durch das Verhältnis f(x) (siehe Abb. 6.3.23) und gibt lxi x somit den Wert der Durchschnittsfunklion f mit f(x) ,.. ~ für dieseSteIle x an. Abb .6.3.23 Beisp iel:

Die Steigungdes FahrstrahIs an der Stelle x einer Gesamtkostenfunktion K: K(x) liefert den Wert k(x) (,... K~X) ) derStückkostenfunktion k für den Output x usw.

Mit Hilfe der variierenden Fahrstrahlsteigung beimj Durchfahren" eines graphisch vorliegenden Kurvenzuges kann auf anschauliche Weise festges tellt werden, ob und wo die zu f gehörende Durchschnittsfunktion f monoton ist oder relative Extremebesitzt. Beispiel 6.3.2:4: Es sei eine lineare Konsumfunktion C mit C(Y) '" Co + Cl ' Y, Y?:O, vorgcgcben(mit eo>O ;O< c ,<1). z.B.

ICI C

P,

c,

C=200+0.2Y .

Aus Abb. 6.3.25lässt sicherkennen,dass beim "Durchfahren" der Konsumfunktion von links o nach rechts (d.h. fÜI zunelunendeWerte Y des Einkommens) die Fahrstrahlsteigungsinkt. Abb. 6.3.25 Nach dem Vorhergehenden ist dies gleichbedeutendmit der Abnahmeder durchschnittlichen Konsumquote bei steigendem Einkommen.

(YJ

Weiterhin kann man ablesen, dass die marginale Konsumquote C'M ( = Steigungder Konsumgerademfür jedes Einkommen Y k1einer ist alsdiedurcbschnittliche Konsurnquote steigung) (siehe das cpsychologische Grundgesetz-von Keynes, Beispiel6.3.9).

fSfl

(= Fahrstrahl-

Bemerkung: Die soeben graphisch gewonnenen Ergebnisse lassen sidJ selbstverständlidJ auch rechnerisch (und somit allgemeingültig) herleiten: A us

yC(Y) = yc.

+ CJ

Weiterhin [olgl aus

f olgt wegen

C'(YJ =

cJ

<

Cl

d

C

dY ( Y ) = -

+ '; =

C~),

c. yr

c 0

die monotone A bne hme von

C

Y'

dass die marginale Konsumquote stets kleiner

ist als die durchschnittliche Konsurnquote. 10 Der Name"Fahrstrahl" ist der Vorstellung entlehnt, die Spitze P des Ortsvektors OP" fahre" (etwa von links nach rechts) den Kurvenzug entlang.

278

6

Anwendunj,'Cn der D ifferen tialrechnung bei Fu nktionen mit eine r unabh ängigen Variahlen

Gegeben sei eine crtragsgcsctzliehe Gcsamt kost enfu nkt ion:

Bci.~ph·1 6.3.2 6:

K( x) '" K..{x ) +

Kr

, IKI

Abb. 6.3,27

-

fKvJ

(siehe etwa Ko.p. 2.5 (5).

K

Ihr Graph (stehe A hh. 6.3.27) kann zugleich aufgefasst werden als der G raph der gesamten variablen Kosten K,.(x), wenn man zuvor das Koordina tensystem um den Betrag Kr der Fixkosten nac h obe n verschiebt (der Koordinat enurspru ng für K.,ist dann der Pu nkt 0·).

K,

Die zugeh örigen Stückkoste nrunklionen K,..{x)

k\.(x) .= - , -

bzw.

K (x )

k(x) ,= - ,-

kön nen nun mit H ilfe de r Fahrstrahlen analysiert werden :

o

I) Fahrs trahlen von O· an die Kurve de r \ 'IU; able n Kosten K. (oberes Kaordinatmsystemr:

Bet rachtet man die Veränderung der Fahrstrah lsteigung beim " D urchfa hren" von K. in R ichtung K. zun ehmender Outputwerte. so erkennt man, dass zunächst die va riab len Stück kosten

k

;. "" k,.{x) '" tan p abnehmen.

Im Punkt S m hat {J (und damit auch tan p) sein M inim wn /imin erreic ht (Abb. 6 .3.27): Sowohl rechts wie auch links von Sm ist die Fahr strah lsteigung wi eder größer als in S m'

......• ,

8'

,,

-i

Si

We iterhin erkennt man , dass im M inimum E m der stück-variablen Kosten ~ der Fahrstrahl gleichzeitig Tangente an K. ist ,

m.a.w.:

Im Minimum von k... stimmen Tangentenstergung l
•

01

x,

'--5:

lxi

i

Phase

:

, -- ~

x.

x,

:

:

,

11 --I.-III _ _

Phase IV _

SChwelle des Erlragsgesefzes

8m : 8elriebsmlnimum 80 : 8elriebsaplimum

Abb, 6.3,28 Abb. 6 .3.28 demonstrie rt diesen Sachverhalt : Die Grenzkostenkurve K' sc hneide t die du rchsch nitt lichen variablen Kosten k... in dere n Minimum (siehe auch Kap. 6.3. 4 (6.3.1 46» . Man nennt den P unkt Bm (bzw. den zugehörigen Outpurwert xm) der Kostenfunktion auc h Betrt ebsmmrmurm Die z ugehörige n min imalen va riablen St ückkosten kennz eichnen die kurzfri~tigc Unte rgrenze des Marktpreises für das prod uzierte Gut. Zwar deckt die Un ternehmung zu diesem Preis nur die variablcn Prod ukno nskostcn, kann abe r La. auf die Deckung der fixen Kosten kurzfrist ig verzicht en . da diese selbst bei E instellung de r Prod ukt ion anfallen würden . E rst wen n der Preis unt er d iese G renze fällt, ist die Prod uktion sei nstellu ng kostengünstigerals die Weiterprod uktio n.

6 .3

279

Die A nwendung der Different ialrechnung auf öko nomische Prohlemc ii) Fah rst rahlen vom Koordinat enursprung 0 an d ie Gesam lkostenfun ktion K (Abb. 6.3.2 7):

Anal og wie unter i) nehmen die Stückkoste n k zu nächst ab (der Steigungswinkcl e des Fahrstrahls und so m it die Steigung des Fah rst rahis wird zunächst immer gerin ger).

Die Stückkosten k werden im Pu nkt..J!o minimal, dort nämlich, wo der Fahrstrahl minimale Steigung besitzt. Der zugehörige Fahrstrahl OBo mit minimaler Steigung (:= lan a mi") ist gleic hze itig T angente an K, somit stimmen in B o Fahrstrahlstcigung und Ta ngent ee steigu ng überein. d.h . im Mini m um (= k(xo» der gesamt en Stückkoste n k stimmen Gre nzkosten und Stückkos ten überein l I. Graphisch e Interpretatio n: Die G renzk ostenkurve K' sch neidet die Stückk ostenk urve k in deren M inimum Bo (sie he Abb. 6.3.28). Bo (bzw. der zugehörige Out putwert xo)v.ird auch Betriebsoptimum genannt: H ier prod uziert die Untcrnehmung mit minimalen gesamte n D urc hschnitt skosten. Der Preis d arf hmgfristig bis zu diesem Wen km,n fallen, ohne dass die Unterne hmung auf die Deckung ihrer gesam ten Kosten verzichten muss. kmin heißt daher auch langfristige Preisuntergrenze . A us Abb . 6.3.27/6.3.2X wird das sog. ..Vlerphasensch ema'' ertragsgese tzlicher Kostellfunkli oncn deutli ch (x: OUPU/; x s: Schwelle des Enragsgesenes; x m: Bcttiebsm inirnum; x o: Hetricbsop timum}: Phase I 0 '5 x S

s,

Phase 11

Phase 111

Phase IV

x. $x '5xm

xm S x S: Xo

X 2: Xo

Gesamtkosten K { variable Kosten K..I

steigend konka v

steigend konvex

steigend konvex

steig end konvex

Grenzkosten K '

fallend bis Minimum {SChwelle d es Ertra gsgesetzes!

steigend

steigend

steigend

durchschmttkche variable Kosten k,

fallend

fallend bis Minimum {Befriebs-

steigend

steigend

fallend bis Mlnimim um {Betriebsoptimum!

steigend

( : K;!

mmmom t durchschnitfliche g esamte Kosten k

fallend

fallend

Die durchschmuneben Fixkosten kr '= ~ nehmen in allen vier Ph asen ab und nähern sich mit wachsendem Output immer me hr dem Grenzwert Nu ll bzw. ihrem Minimum am rec hte n Randdes Dennmonsberelches ( = .Kapazltätsgre nze").

I1 Dieser Zusammenhangzwischen Durchschnittsfunktion und Grenzfunktion gilt "gesctzmiißig" f ur beliebige Funktionen, siehe in Kap, 6,3.4 die Beziehungen (6.3.1-15) bzw, (6.3.l-l7). über allgemeineZusammenhange zwischen den unterschiedlichen Typen von Oesamrkosremunküc nen und ihren Stückkostenfunktionen siehe [67J.

280

6

A nwend unb'Cn der Differe ntialrechnung bei Funk lion cn mit einer unab hängigen Variablen

6.3.2.2 Diskussion ökonomischer Funktione n I n A nalogie zur formalen Kurvend iskussion (Ka p. 6 .2.4) demonstrie ren die folgenden Beispiele die rechnerische An alyse und I nterpretalion ö konomischer Funktion en : Beispiel 6.3.29:

Kostenfunktionen

(siehe Beispiel 6 .3.26)

Die Gesamtkostenfunktion K mi t K(x) "'x L I 2x2 + 60x + 98 ; xe [ 0 ; 13 ], soll zusamm en mit den T eilkostenfunktionen f
Kr. k, k", k,

i) ökonom ischer Deünl üon sberetch : Minim ale Outpurmenge x '" 0 M E (Nullproduktio n), maxima le Outputmcnge: x '" 13 M E

(siehe Kap. 2.5 (5)) analysiert werden:

(KI IX,)

(Kap azn ätsgrenze).

a > 0; b < O; c>O;J> 0; b2 ", 144 < 180 '" 3ac handelt es sich um eine ert ragsgesetzli ehe Koslenfunktion , d ie überall in [ 0 ; 13 ) stc-

ii ) Typ von K (siehe (6 .3.16): Wegen

ngdlffcr cnzlerbati st . De r grap hische Funk-

soo

tion sverlauf der Kostentunktion ents pricht daher A bb. 6.3 .27/6.3 .28). Al s ertragsgesetz liche Kostenfunkno n ist K übe rall monoton steigend, besitzt also in [ 0 j 13 J keine relative n Ext rcma. D ie Gesanukosr cncxtrcm a werde n som it am R and de s Definitionsbereiches angenommen: Gesamtko stenmini mum 1«0) '" 98 GE ( = Fixkosten be i N uliprodu ktio n); Gcs amt kostenmaxlr num K(13) = 1.047 GE an der

s Kr 4

6 7

10

Kapazitätsgrenze. iii) Schwelle des Ertragsgeselzcs : Mil K'(x] = 3xL 24x + 60; K" (x) = 6x- 24 '" 0 fo lgt : x, '" 4 ME sowie K" '(x) 0= 6 (>0) : Für einen Ou tp ut vo n 4 ME nehmen die Gr enz kos ten ihren minimale n Wert (närnlieh K'(4) = 12 GE/ M E ) an ( = Wendepunkt der Gcsamrkostcnfunktion, Schwelle des E rt ragsgesetzes). Da die G renzk oste nfunk tion K' eine nach obe n geöffnete Parabe l ist. wird das Grenzk ostenmaximum am Rand eingeno mme n. und zwar - wegen K'(O) = 60; K'( 13) = 255 an der Kapazität sgrenze.

K'

k

-t

Das Bet riebsminiiv) Bctnebsmmimum: mum ent spricht dem Ou tp ut m it minima len stuckvariablen Kosten kv Mit k,,(x) = x 2 - 12x + 60 (x > 0) folgt wegen

k:,(x) = 2x - 12 = O

~

xn, = 6 ME so-

s b ö. 6 3.30

6.3

Dic Anwendung der Differentialrechnung auf ökonomische Probleme

281

wie kv"(x) :: 2 > 0, dass die kurrlrisligc Prcisuntcrgrcnze für einen Outpu t von 6 ME angenommen wird. Die zugehörigen minimalen stückvariablen Kosten ( := kurzfristige Preisuntergrenze) bet ragen kJ(6) := 24 GE/ME und stimmen mit den entsprechenden Grenzkosten K'(6) überein. v) ßetri ebsoplimum: (Betriebsoptim um '" Output mit minimalen gesamten Stückkos ten k ) Mit 2 k(x) = x - 12x + 60 + 98/x (x > 0) folgt wegen k'(x) = 2x - 12 - 98/x2 = 0: 2 3 2x - 12x - 98 = 0 ~ Xo =: 7 ME (Regula falsi) sowie k" (x) = 2 + 196/x3 , d.h. k"(7» 0. Somit wird die langfristige Preisuntergrenze für einen Ou tput von 7 ME angenommen. Die zugehörigen durchschnittlichen Gesamtkosten (=Iangfristige Preisuntergrenze) betragen 39 GE/ME und stimmen mit den ent sprechenden Grenzkosten K'(7) überein. siehe Kap. 6.3.4 (6.3.145). \i ) Dfe durchscbntnncben fixen Kosten kf mit kr<x) =

~8 , (x > 0), nehmen mit steigendem Output

ab (k,'(x) =: - 98/ x2 < 0) und haben daher ihr Minimum k{ l S] =: 7,54 GE/ME andcrKapa zitätsgrenze (x = 13 ME) . Abb. 6.3.30 lässt wiederum das bekann te Vierphasenschema erkennen. Beispiel 6.3.31: Produknonsruakttoeen Eine Unternehmu ng produziere ein Gu t !,'Cffi<'tß folgender Produktionsfunktion: (x: Ertrag, Output [ME); r: Inp ut [MEJ ). x(r) = - o,l il + 6r 2 + 12,3r Pro Referenzperiode stehen maximal 36 ME r des Produktionsfaktors zur Verfügung. Minimaler Inpu t: 0 ME ., maximaler Input: 36 ME r, d.h. i) ökonomischer Deüntuonsberekh: D = I 0; 36 ]. x(r) ist beliebig oft stetig differenzierbar. ii) Nullstellen: x(r) = - o,l il + 6r2 + 12,3r = r( - O,Ir2 + 6r + 12,3) = 0 ~ rr = 0 ; r2 =: - 1,98 ; r3 = 61,98 ~ Einzige Nullstelle im ökonomischen Definitionsbereich D: r l = 0 ME •. iii) Extremwert e: Mit x'(r) = -0,3r2 + 12r + 12,3 =: 0 ~ r 4 = - 1 ; r5 = 41 folgt, dass in [0 ; 36 ] keine relativen Extrema von x(r) liegen können. Die absoluten Extreme liegen daher am Rand des Dcfinitionsbereiehes. Wegen x(O)= 0 ; x(36) =: 3.553,2 folgt: Der Output ist minimal(nämlieh Null).wenn kein Faktoreinsatz erfolgt, und maximal (nämlich 3.553,2 MEJ , wennd ie höchstens verfügbare Inputmenge (36 ME r) eingesetzt wird. Zwischen diesen absoluten Extrema ist der Output mit wachsendem Input monoton zunehmend. iv) Wendepunkte : Mit x"( r) =: - 0,6r + 12 =: 0 ~ ts = 20 ME. sowie x'''(r) ss - 0,6 < 0 folgt, dass die Produkti onsfunktion für einen Input 'I OD 20 ME. einen konvex/konkav-Wendepunkt besitzt, d.h . die Grenzpnxluktivität ist für r6 =: 20 ME . maximal (x'(20) =: 132,3 ME /MEr ). Für kleinere Inputwerte müssen somit die Grenzerträge zunehmen (d.h. x(r) ist konvex), für größere Inputwerte als 20 ME. müssen die Grenzerträge abnehmen (d.h. x(r) konkav). Der Wendepunkt S von x(r) kennzeichnet somit die Übcrgangsstcl1e des Bereichs zunclunender zwn Bereich abnehmender Grenzerträge ("Schwelle des Ertragsgesetzes J. v) Extreme des Durchschnittsert rages x(r) .=

x~r) : Mit x(r) =: - 0, 1r2 + 6r + 12,3

d.h. x'(r) =

- 0,2r + 6 = 0 ~ r7 =: 30 ME r sowie x" (r) :: - 0,2 < 0 folgt, dass der durchschnittliche Ertrag pro Inputeinheit maximalwird beieinem Faktoreinsatz von 30 ME•. Der zugehörige maximale Durchschnittsertrag x(mit X(30) =: 102,3 MEJ ME,) stimmt mit dem Grenzertrag x'(30) an dieser Stelle überein. siehe Kap. 6.3.4 (6.3.148). Abb. 6.3.32 zeigt die Graphen von x(r); x'(r) und x(r). Die gest richelten Kurvenzüge deuten den Verlauf jenseits der Kapazitätsgrenze an.

282

6

A nwendu ngen der Differentialrechnung bei Funktio nen mit einer unab hängigen Variah len

6.3.2.3 Gewinnmaximieru ng Besonders ausgeprägt zeigt sieh das ökonomtsche Pri nzip im Streben marktwirtsehaft lich orie ntierter U nternehmunge n nach Ge winnmaximierung. Die Gru nd ideen mathemati scher Gewinnanalys evon EinProd ukt-U nternehmungen wollen wir an einigen Beispielen de monstrieren . Dabei unte rsuchen wir unterschied liche Markt- und Kosrcnsituationcn: A: l\tarktfonn: "ollständige Konkurren z (Polypol). d.h. viele A nbietet, viele Nacht raget, der :\la rk1llreis p des Prod uktes ist aus der Sicht des einzelnen A nbieters eine gegebene Konstante . Al : ertragsgesetzl icher Gesamtkos tenverlauf (siehe das folgende Bcispicl 6.3.33) A2: Linea rer Gc samtkost enverlauf (siehe das folgende Beispicl 6.3.43) B: Marktfonn: Angebol~mOllOpoi (Monopol). d.h. ein Anbietcr, viele Nachfrager; für den A nbietet existiert eine monoton fallende Preis-Absat zFunktion p: p = p(x). d ie der Gesam tnac hfragefunktio n des Marktes e ntspricht.

BI: E rtragsgesetzlic her Gesamtkostenverlauf (siehe das folgende Beispicl6.3 .45)

82: Linearer Gesamt koste nverlauf (siehe das folgende Beispielö.Ls7)

BebIJieI 6.3.33: (Al :

Pol~'I)OI ,

ert ragsgese tzlicher Cesemtkostenveriauü

Eine Untemd un ung produz iere ein Gut mit der ertragsgesetz lichen Kostenf unktio n K mit: K(x) = xL 12x2 + 60x + 98

(siehe Beispiel 6.3.29),

Kapazitätsgrenze. 12 ME. Das G ut kan n z um festen Ma rktpreis p = 60 G E / ME abgesetz t werden. Der Gewinn G der U nternehmung ist definiert als Differenz von Erlös (Umsatz) und Kosten : Gewinn ,= E rlös - Kosten .

Damit la utet d ie Gewinnt unknon G ( "" G(x)) in A bhängigkeil von der produzierten und abgesetzten Menge x: (6.3.34) wo bei der E rlös E das Prod ukt aus Preis p und Menge x ist: E(x) "" p ·x. Wegen p = 60 folgt im Beispielfall: G(x) = 60x -x1 + 12xL60x -98 = -xl + 12xL 98 ;

H [O; 12] .

Die A nalyse dieser Gewi nnfunktion kann n unmehr mit den üblichen Methoden crtotgcn (s iehe Kap. 6.3 .2.2) : i) Die NullsielIen der Gewinnt unktion G liefern wegen G(x) "" E(x) - K(x) "" 0 <=} E(x) =0 K(x) diejenigen Prod uktmengcn XI ' x2' bei denen d ie E rlöse genau sämtliche Kosten dec ken: Das Mengenintervall zwischen Xl und x2 isl die Zo ne positiver Gewinne (Gewinnzone). Daher nenn! man X L auch untere Nutzengrenze (Gewinnschwelle) und x 2 obere Nutzengrenze (Gewinngrenze} , siche Abb.6.3.37. Mit Hilfe der Regula falsi (siehe Ka p. 2.4) (oder des Newton- Verfahrens «siehe Kap . 5.4) erhalt man als Lösungen de r G leic hung G = - xl + 12x2 - 98 = 0 die Nutzengrenzen X l = 3.37 ME; x2 = 11.22 ME (Xl = -2.59 < O. ist also ökonomisch irrelevant).

6 .3

D ie A nwend ung der D ifferen tialrechnung auf öko nomische Prohlcme

283

ii ) Rechnensehe Ennitllung dt's Gewinnmaximums: Notwendig für das Vo rliegen eines Gewinnmaxi-

mums an der Stelle x ist d ie Bedingung:

I O'(x) = E'(x) - K'(x) l 0

(6,3.35)

E'(x)

Darau s liest man direkt das (bekannte) E rgebnis ab, dass - unabhängig von der speziellen Ges tal t einer (differenzierbaren) Gewinnfunktio n - in einem relativen Gewinnm aximum ste ts gilt:

l

K '(x)

I.

lEI IKI IGI

Gren·lerlös ::: Gre nd.O!iten , Aus den hinreic henden Bedingungen für ein lokales Gcwinnmaximum an derStelle x:

G'(x) = 0 und O"( x) = E"(x) - K"(x) < 0,

500

E"(x) < K"(x) ,

d.h.

folgt, dass a llgemein an der Stelle x ein relatives Gewinnmaximum vorliegt . wenn dort gilt:

a) Grcozcrtös gleich Grenzkoste n sowie b) die Steigung der G renzcrlösfunktion ist kleiner als die Steigung de r Grenzkostenfunktion .

Ist de r Preis konstant (wie im vorliegenden Beispiel), so fo lgt wegen E(x) = p ' x d.b.

E'(x) == p

(6.3.36)

und dahe r

E"(x) == 0:

Das Gewinnmaximum eines polypolistisch cn Anbieters lieb1 fü r diejenige A ngebotsmenge xn vor, für d ie gleidlzeitig gilt:

a)

p = K'(xd (P reis gleich Grcnzkos tcn)

b)

K"(xo» O (konvexer Bereich vo n K )

Im Beispiel : = -3x2 + 24x =

~

100

°

G '(x) = p - K'(x] x = 0 v x = 8. Überprüfungder 2. Ableitung: G"(x) = - K"(x) = - fix + 24 : G"(O) : - K"(O) : 24 > 0

~

G ist min imal für x = 0 ME;

~

0 "(8) = - K"(8) =-24 < 0 G ist maximal für Xo = 8 ME .

Ipl I

Ikl l

(E"J

In

k

100

Der maxima le Ge wi nn beträgt G(1l ) = 158 GE. Ko nt rolle de r Randwe rte des öko nomischen Definiti onsbereiches von G: G(O) = - 98 GE; G( 12) = - 98 GE, d.h. das lokale Ge....inmnaximum ist gleichz eitig das absolute Gewinnmaximum. E ine im Oewinnmaximum operierende polypoltsuscbc Untcrnehmung produziert lm cbetriebsind ividuellen Gleichgewicht ",

10

lxi

Abb. 6.3.37

284

6

Anwend ungen der Differentia lrechnung bei Fu nktionen mit eine r unabhängigen Variabl en

iii) Gmphische Ennittlung des Gewinnmaximums Wegen K'(x) = E '(x) ;0:: p im Gewinnmaximum kann man d ie gewinnmaximale Menge zweierlei Weise e nn itt cln :

Xü

auf

a) du rch Pa rallelv erschie bung der E rlösgeraden bis zum Be rührpunkt mit de r Kostenfunk tion unt er Beachtung E> K (sieh e Abb. 6.3.37 obe n);

b) du rch Ermittlun gdes Schnitt pun kts C zwischen Grenzkosten- und Grcnacrlöskurvc r e Preisgerade). siehe Abb. 6 .3.37 unt en . Der zugeh örige maximale Gesamtgewinn lässt sieh in diesem Fa ll darstellen als Flachenmaßzahl des sc hraffierte n Rec htec ks AßCD mit denScitenlängen g = p - k(x ü ) = St ückgewinn und xG = A bsatzmenge.

Gmax = b>(xu)'x u = (60 -40,25) '8 = 158GE . iv) Preisminimum: J e nach H ö he des (für den einzelnen Anbieter mengenunabhängige n. also konstanten) Marktpreises p kön nen sich unterschiedhche Siruatlon en ergeben (s. Abb. 6 .3 .38):

a) Schneidet die Erlösge rade die Gcsamrkosrenkurve {oder> gleichbedeut end - schneidet die Preisgerade die Stückkostcnkurvc), gilt also: PI > kmin so ergib t sich innerhalb der Gewinnzone [Xl ;x2 ] fü r jeden Output ein pos itive r Gewinn. E in gewinnmaximierender polypolisuscher Anbieler wird daher die Menge xo mit PI = K'(xd anbieten (siehe ii); iii) .

Berührt d ie Erlö sgerade die Gc samtkosb) te nkurve [od er - gleichbedeutend - berunn die Preisgerade die Stück kos tenkurve], gut also:

P2

lxi I

= kmin

K-/

so kann die Unte rne hm ung gerade noch kostendeckend ope rieren. wen n sie die de m Stückkostenmin imum (d.h. dem Bct riebsopt imum) entsprec hend e Menge xc anbietet. Im Beispielsfall wird k minimal fü r Xo = 7 ME (siehe Beispiel 6.3 .29 v)) mit k(xo) = K'(xo) = 39 GE/ ME. Der Marktpreis muss da her langfrist ig mindestens 39 GE/ ME ( = k(xo be tra gen, damit die U nternehm ung auf Dauer kostendeckend (näm lich im Betrie hsop timum] produzieren kann.

»

c)

Verläuft schließlich die E rlösgerade

UlU(f+

halb der Kosten kurve (od er- gleichbedeu tend -

?,

I I

,

I I I

, P,

-.' ,

x,

5

lxi

sr

Abb. 6.3.38

die Preisgerade unt erha lb der Stückkosten kurve) - d. h. gilt P3< km;n- , so operien die Un ternehmung bei jede r Angebots menge mit Verlust. Mögliche Kon seq uenzen für de n Anb iet er könnt en sein: E ins tellung der Prod ukt ion, Kostensenkung der Prod uktio n etwa du rch Rat ionali sieru ng. Ausweichen auf ein technisch neu es Prod ukt (ne uer Markt). Beschaffung von Subventionen und!od er Steuervort eilen zur Kost cnrcduzierung usw,

6.3

285

Die A nwend ung der Different ialrechnung auf öko nomische Probleme

\') AßgehoLdunkti on: A lL~ der Gc winnmaximierungsbcdi ngung (6 .3.36) a) folgt , da ss de r Prod uzent zu jedem vorgegebenen kon stanten Marktp reis p (der übe r der langfristigen Preis untergrenze k lllin liegt) stets diejen ige Menge x anbiete t, fü r die seine Gren zkosten K '(x) mit dem Marktpreis p überein stimmen. Sämtliche An gebot spu nkte (p ;x) liegen daher auf der Grenzko stenkurve recht s vom Bctriebsoptimum (siehe Ab h. 6,3.40, stark ausgezogener Teil vo n K ' ):

(6,3,39)

Die individue lle AngehoLsrunktioo eines gewinnmaximierenden pol)polisli schen Anbtet ers ist identisch mit seine r Gren zkosl enfunktion, beginnend im Bet riebstricbsopt imum , d.h. der langfristigen Preisuntergrenze kIllin '

1m vorliegenden Beispiel laute t somit die langIrisrige A ngebotsfu nktio n: p(x) = 3x 2 -24x + 60 ; x ~ 7 ME bzw. P ~ 39 G E / ME . Verzich tet der Prod uzent kurzfristig auf die Deckung der fixen Kosten, so kann er als kurzfristigeAngebolsfunklion de n T eilder Grenzkosten funk tion hinz une hmen, der zwischen dem Betricbsminimum und dem Betriebsopt imum liegt (gest richelter Teil vo n K' in A bb. 6.3 .40 ). 1m Beispiellaut et die kurzf ristigeAn b'Chotsfunktion sornit: p(x)=3 x2 - 24x +60;

x ~ 6 ME

(k vl

Betriebsmmlmu

Betriebsoptimum \

k:

. .~~ / : ...c

bzw.

P ~ 24 GE/ M E , \i) Slückgc\ti nnmaximien mg:

(K'I I (k l

Abb. 6.3.40

Die Stückgewinn-

funk tio n g m it b'<x) ,= G~X) = p(x) - k(x) liefert zu jeder A ngebot smenge x den durchschnittlich pm ME erzielte n Ge winn. Für das Stückgewinnmaximum ergibt sich (s. Beispiel) aus b>(x) : - x2 + 12x -

x98

g'(x) = -2x + 12 +

9~ = 0 x-

wegen mit H ilfc

der R cgula falsi: x = 7 M E (g" (7) < 0) , d.h . die be triebsoptim ale Menge. Diese Übe reinstimm ung von stüe kgewinnmaxima1er und stüc kkos te nminimaler Menge ist nicht zufällig, sonde rn gilt fürp = const. allgemein (siehe A hb . 6 .3.41): Wegen g(x) = p - k(x) gilt: g'(x) = - k '(x), so dass aus g' (x) = 0 folgt : k'(x) = O. Weiterh in folgt aus g"(x) -c 0 (Max.!): k "(x) = - g"(x) > 0 (M in.!):

(6.3.42)

E in pcljpoüsüscber Anhieler madencrt seinen Slüekgewinß im Slückkoste nminimum, d.h, fü r die bet riebsoptimale A ngebo tsmenge.

Man beachte, dass - sofern p > k",in - für die sliickgewinnmaximale Menge der Gesaml gewinn keineswegs maxima l wird . Im Beispiel: Gcsam tgcwinnmaximwn: 8 ME , g(8) = 19,75 GE/ ME ~ G n,ax(8) : 8 ' 19,75 = 158 G E . Stückgewinnmaxrrnum: 7 ME, g.",.J 7) = 2 1 GE/M E ~ 0(7) = 7 · 21 = 147 G E< 0(8).

286

6

A nwendungen der Differentialrechn ung bei Funkt io nen mit einer unabhängige n Variab len

Bci~pi eI6. 3.43:

(Al: Polypol, linearer Ge.'iaßllkostenverlauJ)

E ine U nternehm ung produ ziere mit der linearen Kostenf unktion K(x) = 2,5x + 300 , Ou tput int ervall: [0 ; 100 J. Der (konstan te) Marktpreis p des Gu tes be trage l OG E/ ME . Wegen E(x) = P:x = lOx lautet die Gev.i nnfunkt io n: G(x) = E(x) -K(x) = 7,5x - 300, isl also ebe nso wicE und K linear. Daher kann G kein relati ves Maxim um in [0 ; 100] besitzen, was au ch sofort klar wird, wenn man nach d er üblichen M eth ode vo rgeht: D ie Maximierungsbedingu ng G '(x) ,j, 7,5 = 0 hat keine Lösung. Die Gewinnfunktion G ist wegen G '(x» O übera ll monoton steigend, d .h. der Ge\t'inn G(x) wird am " rec hten~ Rand, mithin a n der Kapazitä b gren ze x ma, ( = 100 ME) maximal, siehe A bb. 6.3 .44 (Gmax = G( 100) = 450GE). Damit der maximale Gewinn positiv ist, muss die Gewinnsc hwelle Xl (= Sc hnittpun kt von E rl ös- und Kostengerade. auch Break- Even-Potnt genann t) innerhalb von [0 ; xma, ] liegen. Das Slückkoslenmimimum ist ebe nfa lls ein Ra ndm inimum: Mit

IGI

K, =SOO

100

- K,

I I I

lxi 100 ":.300

I lkl

20 (pI

IK'I

J(~

k(x) = 2,5

+7

sowie

k'(x} =

3°2 x

folgt,

-

lEI

IKI

da ss k' f ür alle X E [0; 100 ] negat iv ist, die Stüc kkostenfunkt ion also mono ton fällt. Daher ist k minimal an der Kallazit äl'igr enze, kmin = k( lOO) = 5,5 GE/ ME, siehe A bb. 6.3 .44.

k

= ,;

10 +-_ _""",----'....

K"=KV

o

10

Bei de r Ermittlung des Stückgewlnn maxlmams ergibt sich ebenfalls keine Lö sung mit H ilfe des übliehen Ext remwertk riteriums: Aus g(x)

= .Qß! = 7 ,5 x

300

.

Abb 6.3.44

300

felgt : g (x) = -x, '

-t.~

Dies er T enn ist für alle XE [ 0 ; 100 l po sitiv, so dass g monoton steige nd ist, mithin sein Maximum am rechten Rand, d.h. an der Kapazl tätsgren ze an nimmt:

&"ax = g(100)

'00

4 ,5 G E / ME,

siehe A bh. 6.3. 44.

Z usam menfassend lässt sich sageo: E in polypohsuschcr Anbieter m it linearer Kosten funknon ....-ird stets an der Kapazi tätsgrenze prod uzieren und d ies für jede n Ma rktp reis, der einen Brcak -BvcnPoint im Kapazität sbereich [0 ; xm a~] gc..wä hrteiste t.

6.3

287

Die A nwend ung der D ifferent ialrech nung auf ökonomische P robleme BcispieI 6.J.45 : (BI: Monopol, crtregsgesem tcher Kostenverlauf)

Anders als für de n polypolistischcn A nbteter (siehe AI /A 2) ist de r Preis p für de n mo nopolistischen Anblctcr nicht konstant , sondern kann von ihm festgesetzt werden . Die Nachfrager reagieren dara uf a ls Mengcna npasser gemäß ihrer (aggregierte n) Nae hfragcfunktio n p = p{x) bzw. x = x(p) (d ie de r An bieter als seine Prci s-Absatz-Funktion auffassen kann). Die klas.,·ische (Coumot") Preisbitdung heim Monopol zielt darauf ab , denjenigen A ngebotspreis ausfindig zu machen, für den der Monopo list seinen Gesamtgewinn max imiert . Die Disk ussion und Maximieru ng de r Gewi nnfunktion verläuft im Mono po lfall nicht an ders als im Fall A l (Beispiel 6.3.33), so dass wir uns auf ein Beispiel besc hränken kön nen: Der Mono polist produziere mit der crtragsgcsctzttcncn Kostenfunkt ion K : K(x) = x3- 12x 1 + 60x + 98; XE[O; 10 ). D ie Preis-Absatz-Funktion p sei gegeben durc h p{x) = - 10x + 120 j x E(0 ;1 0). Daraus erhält man die E rlösfunktion E mit E(x ) '" x · p(x) '" -lOx2 + 120x und somit die Gewinnfun ktion G mit:

G(x) = E(x) - K(x) = - x 3 + 2x 2+ 60x-98. i) Z ur E rmittl ung der Gewinnzone berechnet ma n die Lö sungen von G(x) = 0 bzw. E(x) = K(x). Mit H ilfe der Regula falsi e rgeben sich die beiden posit iven Gewinngrenzen Xl '" 1,62 ME; Xl '" 7,98 ME . Über prüfung eines Zwtscbcnwcrtcs: 0(2) = 22 > O. Daher erzten der Monopolist nur dan n eine n po sitiven Gewinn, wenn er mehr als 1,62 ME, aber weniger als 7,98 Mß an btctct (s. die getö nte ~Gewjmllinsr" A bb . 6.3. 46 oben). Dazu m uss er einen Pre is zwische n p(1.62) '" 103, 8 und p(7,91l) = 40,2 GE/ ME fest setzen.

I lEI

500 -(K)

K

IGI

K,=98

lxi

o - 98

ii ) Notwendigfür das Vo rliegen cincs Gewin nmaximum_~ in x isl d as Verschwinden des G renz gewtnns G'(x). Au s G(x) = E( x) -K(x) folgt :

IG '(x) = E '(x) - K '(x) = ~<=> IE '(x) = K '(x) I, d.h . notwendig für ein lokales Gewinnmaxim um ist wiedcrum die Überems timmung von G renzerlös und Gre nzkos ten [s. auch Bsp. 6.3 .33

ii».

Zur graphische" Lösungsfindeng verlangt diese CÄ'\\inn-Maximieru ngs-lkdingung, dass man entwede r denjenigen Punkt xG innerhalb der

Gewinnzone a usfindig mac hen muss, in dem Er lösfu nkt ion und Kostenfunktion dieselbe Stei gung besitzen. s. Abb. 6.3 .46 obe n (Pro bierverfa hren no twen drg l) ode r (einfache r)

<, Abb.6.3.46

- den Schn itt pun kt Xu zwischen der Grenze rlös- und de r G renzkostenkurve ermittelt. siehe A bb . 6 .3.46 unten. Dabei vergewissere man sich, dass (wie in unserem Beispiel) in xG die Steigun g vo n E ' kleiner ist als die Steigung von K' {d.h. E"(x G ) < K"(x G ) , so Jass in xG auc h die für ein lok ales Maximum hinreichende Bedingung: O "(xo ) = E "(x o ) - K"(xG) < 0 erf iilll ist .

12 A.A. Cournot (l llOl-1877). französischer Nationalökonom u nd Mathematiker, entwickelteals erster eine modelltheoretische Lösung für die mcncpolistiscbe Preisbildung.

288

6

A nwend ungen de r Differentialrechnung bei Fu nkt io nen mit einer unabhängigen Variab len

Rechnerisch ergeben sieh keine Besonderheiten: G'(x ) '" -3x2 + 4x + 60 '" 0

folgt

x = 5, 19 v x = - 3,85. D a die negative Lö sung ausscheidet. liegt die gewinnmaximale Angebotsmenge xo bei 5, 19 ME (Ühl:rprüfulIg: G"(xcJ "'-mG+ 4 '" -2 7,1 c 0, also Maximum)13. Um den Maxim algcwinn G(x o ) = 127,5 G E zu erzielen, muss da her der Mo nopolist seinen Preis auf p(5, 19) '" 68, 1 GE/ ME fixieren und und einen Out put von5,1 9 ME prod uz ieren. Die Stüe kkos tc n k bei dieser Produktmenge betragen k(5,19) '" 43,5 G E / M E , so dass sich ein Stückgewinn g = p - k = 24,6 G E/ ME ergibt, der - mu lt ipliziert mit de r A ngebot smenge Xo = 5, 19 ME - wiederum (bis aufRun dungsfehler) dcn maximal en Gesarnlgewinn 127,5 G E liefert. Gra phisch kommt d ieser Sac hverha lt in Ab b . 6.3.46 unten zum A usdruck: Die Maßzahl des Flacheninh altes des schraffierten Rechtecks (Seite nläogen: xo bzw. b>(xd) liefert genau de n maximalen Gesamtgewi nn Gma>: '

iii) Das Stückgewinnrnaxrmum ergibt sic h wegen g'( x) = -2x + 2 + 98,

x

l

g{x) =

~

0 mit H ilfc (z.B.) der Regula falsi zu:

= - x2 + 2x + 60-

~8

d.h .

Xo = 4,02 M E ;

{Überprufung: g"(x) = -2 - J ~6 < 0). Ocr zu gehör ige maximale Stückgcwinn g(4,0 2) be trägt x 27,5 GE/ME, der ent sprech end e Gesamtgewinn aber nur 110,6 G E , ist also de utlich kleiner als der maxima le Ges amtgewinn (sie he Beispiel 6.3.33 vi». Wei terhin erkennt man a n Abb. 6 .3.46 unt en, dass der maxirnalcSrückgcwtnn - ande rs als für den polypolisfischen Anhieter - nicht im Stückko stenminimum Xo (= Bctriebsopt imum), sondern fü r eine kleinere Menge (und einen höheren Preis) angenommen wird, do rt näm lich, wo d ie Steigungen p'(x) der Preis- Absatz-Funktio n und k'(x) der Stück kostenfunktion übereins timme n.

Mathematische Begründung: Wegen g(x) = p(x) - k(x) führt die Ex tremalbettingung g'(x) = p'(x) - k '(x) = 0 aut die Beziehung p'(x) = k'(x) im Stückgewinrunaxirnum.

Beispie-j 6.3.4 7: (H2: Monopol, linearer Gesamlkostem'erlauf) Gegenüber Fa ll B I (Be ispiel 6.3 .45 ) ergeben sieh keine wesentlichen Änder ungen , wenn man davon absieht, dass wegen der nun unterstellten Linearität der Gesam tkostenfunkt ion die Stückkosten ste ts mon ot on fa llen, es somit kein (cigentl iches) Bctriebsopt imum gibt. Vielmehrprod uzicrt die Un tcmchrnung stückkosterun inimal ste ts an der Kapazitätsgrenze (siehe Ab b. 6 .3.48 unte n). Gegebe n seie n als Beispiel die Gesamtkos tenfunktion K mit sowie d ie Preis-Absatz- Funk tio n p mit i)

K(x) = 2x + 16, p(x) = - 2x + 20 ,

(O~x ~10),

(05X 5 10).

Die Oewmnscbweucn ergeben sieh über E(x) = - 2x 2 + 20x = 2x + 16 = K(x) zu : Xl '" 1 ME; x2 = 8 ME , die e ntsprec henden Gewinnzo nen sind als graue R äche in Abh . 6.3 .48 da rgestellt.

13 Der dem gewinnma ximale n Angebot Xo cutsprechende Punkt C der Preis-Absatz-Funktion heißtauch Cournotscher Punkt (siehe Abb. 6.3 ,"'6 unten) , die gewinnmaximale Menge s o heißt Cournasche Menge und der gewinnmaximale Preis p(xG) heißt Co urnotscher Preis .

6.3

289

Die Anwend ung de r Differentialrec hnung auf ökonomisc he Problerne

ii ) Das Gewinnmaximum erhalt man wiederum übe r G'(x) = E'(x} - K'(x) = () (d.h. Grenzedös gleich Grcnzkostcn). Wegen G{x) = E(x ) - K(x) = -2x2 + l Sx - 16 sowie G'(x) = - 4x+ 18 = fo lgt Xo = 4,5 M E (Überprüfung; G "(x) = - 4 < Il, also Maximum) . Im vorliegenden Fall maximi ert der Mono polanbietcr seinen Gcsnmtgcwi nn, ....e nn er den Preis auf P(4,5 ) = 11 GEI ME fixiert und 4,5 M E produziert . ü

Stüc kgewinn : b>(4,5) = P(4 ,5) - k(4,5) = 5,4 4 G E / ME

maximaler GesamtgewinnG{4.5) = g(4.5)· 4,5 = 2 4.5 GE.

Bemerkung: Dass die gewinnmaximale Menge

Xc (= 4,5) genou in äer Mille der Gewinnzone [ 1;8] liegt, gill für jedes lineare Preis I 'Absatz-

16

Kostenfunktions-Modell, siehe auch (6.3 .156). iii) Das Stü ckge\\oi nnmaximum xg ergibt sich mit g(x)=-2x+ IS-';

=>

XII

=

VB

=>

-H-

---:'-:----::- .•.'0

g'(x) = -2 + ~~ l{)

~ 2,83 M E

(Über prüfung; g"(x g ) = lok ales Maximum).

3; < ().

-

also

xg

Au s Abb . 6.3.4ll untcn entnimmt man , dass das Stüc kgewinn maximum xg ste ts do rt liegt, wo die St üc kkostcntunktlo n g dieselbe.Steigung bes itzt wic d ie Preis-Absatz-Funktion (dcnn aus g'(xg ) = p' (xJ- k' (x g) = folgt: ü

p'(' J = k'(' J ).

Gesamtgewin n im Stüc kge....'innmaxirnum: G(xg) = 1R,9GE « G ma) .

6.3.2."

Xt

E'

10

Abb. 6,3.48

Gewinnmaximierung bei doppelt-geknickter Preis-Absat z-Funktion

Für die Beisp iele zur Gewinnmaximierung im vorangcJrdngenen Kap. 6 .3.2 .3 wurde (stillschweigend) ein vol lkommeuer Markt l 4 unt erstellt. Für de n realitätsnäheren Fall des Polypols auf de m uuvonkemmenen Markt schlägt E. G utcnbcrg1S eine dop pell -gekn ickte Preis-Absa tz-Fun ktion vor,die dem einze lnen A nbie te t inner halb de r für das jC\-\-d lige G ut typischen " Preisklasse" [PI; PZl ei ne monopo lähnliche Stellu ng einräumt, siehe A bb. 6.3.49.

Brst wenn d ie Preisklasse ver lassen wird, reagie ren die Nachfrager nahezu schlagartig mit deutlich verstärkte r Z u- oder Abwandcrung.

14 sieheelwa[ ~OI ,32 ff. 15 siehe [26], 238 rr.

I /pI monopolistischer Bereich Preiskl asse

lxi Abb , 6.3,49

290

6

Anwendungen de r D ifferent ialrechnung bei Funktionen mit eint'r unab hängigen Variahl en

Da d ie Preis-Absa tz -Funkti on in ihren beiden Ecken nichtdifferenzierbar ist, ergeben sieh bei der Gcwinnanalysc Besonderh eiten , die am folgend en Beisp iel geklärt werden so llen, Die doppelt-geknickt e Preis-Absatz-Funk tion des polypolis tischcn A nbietcrs sei vorgegeben du rch: - 0,5X+ 50 fiir

p(x) ::

U :S x :S 10

- 2x + 65 für 10 < x :S 20 - U,5x+ 35 fiir 20< x:S 70

1

(mo nopolistischer Bereich)

.

Die Kostenfu nkt ion des Anbietcrs sei K(x) :: lOx + 250 . Um de n gcwinnmaximalcn Output zu erhalten , wird man - wie üblich - z unäc hst die N ullstellen de r G renzgewinnfu nkt ion G '(x) :: E '(x) - K'(x) ermit te ln, muss aber die Ecken gesondertuntersuchen. Üht:r die E rlösfunktion E(x) E(x ) = x 'p(x) =

- 0,5x2 + 50x Ibr xe ] 0;101 _2:>;2 + 65x für xe110;201 - 0,5x2 + 35x für xe 120;701

1

Ipl IIE'/. IK') 50 I

erhält man d ie G renzerlösfunktion E '(x) E '(x) ::

I

- x + 5(1 ; xe r O;1O[ - ·h+ 65 ; xe]10;2U[ - x + 35 ; xe ]20;70]

p

sowie die Gcwinnfunk tion G(x) und die Gren zgewinnfunkt ionfunktion G '(x): G(x) = E(x) - K(x) ::

G '(x) ::

1

0 5x2 + -IOX- 250 - 2x2 + 55x - 250, - 0,5x2 + 25x - 250

l

- X+ -IO ; xe ] O;lO[ - 4x + 55; xe ]10:20[ - x+ 25 ; x e J20;70] .

10

, I

K '=10 K'= 4

,I

60C

1013,75

i

20

31

Ix)

r

I IEJ I IKI

E

M an erkennt dur ch Bildung der recht s- und linksseitigen G renzwerte an den E cken x e. 10 hzw. x :: 20 , dass an beld en Stellen sowohl die Grenzerlösfunktion als auch die Grenzgewinnfunktion e inen Sprung besitzen , siehe Abb. 6.3.50.

I ••,~ :;"i · ......1 ... ~

,

,

~ • •• -.

+. '

K

Bei de r Bestimmung der lokalen Extrema müssen dah er diese Sprungste Ilen x :: 10 und x :: 20 gesond ert unt ersucht wcrdcn: Die notwendige Maximierungsbcd ingung: G '(x) :: 0 [bzw. E '(x) :: K'(x] licfcrt durchNullsetzen der drei Tenne vo n G'(x) unter Beach tung der jeweiligen G ültigkeit sbe reiche: G '(x) = 0 =>

1

>+40 - 0 - -Ix + 55 - 0 - x+ 25"' 0

XI :: 40 ME (I$[O;1OD;

-,

:1{$5 :

"

to

13]5

»e

20

25

"

Xx

Abb. 6.3 50 <=}

x2 :: 13,75 ME (ej1O;20D;

x3:: 25 ME (e)20;70}) .

40

..-

6.3

291

Die Anwendun g der D iffere ntialrech nung a uf ö kono mische Probleme

Von den drei d urch formale Rechnu ng erha lte nen Extremwertkandi daten sind also nurx 2und x3 brau chbar , da x J nicht im Definitionsbereic h [0 ;1O[ des ersten Tenns von G '(x) liegt . Die zweite Ableitung -1

G "(x) '"

-4

ist überall negat iv, so dass es sich bei x2' x3 jeweils um relative Gcwinnmaxima hande lt.

\ -1

Über die Lage des abso luten Gewinnmaximums muss daher ein Vergleich der Gcwinnhöhe in x2' x3' den Ecken und den Ra ndpunkte n e ntscheiden: Wegen G(O) '" - 250 ; G( 1O) = 100; G(lJ,75) '" 128,13; G(20) = 50; G(25) '" 62 ,5; G(7 0) '" - 950 wi rd das Gewinnmax imum bei einer Produk tion smenge von 13,75 ME, d.h. fü r den Preis P(13,75) = 37,50 GE/ME angenommen. Das Gewinnm aximum liegt hier somit im monopolistischen Bereich de r Preis-Absatz- Funkt ion . Gelingt es dem Anbi eter, seine stuckvariablen Kosten (und somit seine G renzkoste n) zu senken, so kan n es auch zu einem Gewinnmaximum auß erhalb des m onop olistis chen Bereiches kommen. Sei etwa die Kost enfun ktion K d urch K(x) = 4x + 250 (K'(x) == 4, siehe dieges/n'chelteKostengem de in Abb. 6.3.50) . gegeben . Da nn erhält manmir der Bedingung G'(x) = 0: - ,H6 ~O

G '(x) '"

- .h : + 61 = 0 \ - x+ 31 = 0

x4 = 46 (co)

ME ot [ 0; 10 I

x5 " 15,25 /l.1E E ) 1O; 20( x~ = 31 /l,.tE E )20;70 )

Au ch je tzt kommcn nur Xs und x6 als Extremstelle n in Frage. Wegen G "( x) < 0 muss der direkte G ewinnvergleich entsc he iden ;

=

=

w egen G(O) = - 250 ; G(1O) 160 ; G(15,25) = 2 15,13; G(20) = 170; G(3J) 230,50 ; G(7 0) = - 530 liegt jetz t das Gewin nmaxim um au ßerhalb des monopolistischen Bereiches bei einem Preis von P(3 1) = 19.50 GE/ME, siehe A bb. 6.3 .50. (Zur graphischen Lokalisierung des Gewinn maxim ums siehe a uch Kap. 8.5.1 iii).)

6.3.2.5 Opt imale Lager ha lt ung Bei de r Serienproduktion eines Gutes und be kan nter Nachfrage stel lt sich für den Prod uzenten die Frage nach der " ri c h t igen~ Außagen- ode r l -osgrö ße: (PeliodenFür jedes Prod uktio nslos entstehe n - un abhängig von gesamtkoslenl de r Auflagenhöhe - fixe R üst kostcn, es scheint dahe r zunächst sinnvo ll zu sein, möglichs t hohe Losgrößcn zu fertigen, um die gesam te n R ii<;tkosten KR klein zu halten. A ndererseits entstehe n mit ste igender Fertigungslosgrößc - bed ingt du rch den erhöhte n Lagerbestand auc h ste igende I.agerhaltung<;kost en KL (z. B. Zi nsen) . so da ss man es mit zwei gege nläufigen Kostenart en zu tun hat. siehe A bb . 6.3 .52 . Das Problem der optim alen Lagerhalt ung besteht somit darin, diejenige (op limale) Losg röße x" zu finden, für die d ie Summe KR+ Kl aus R üst- und Lagerkosten bei gegebenem Pcr lodcngesarntbedarf minimal wird.

K,

"

Abb. 6.3.52 Bemerkung 6.3.51: Ein analoges Problem stellt sich bei der Beschaffu ng eines k ontinuierlich in der Produk tion eingesetzten R ohstof f es: Bestellfixe Kosteil legen wenige große Bestellungen nahe,d erLagerkostenaspekt spricht eherf ür hä ufige, kl einere Bestellungen. Gesucht üt die optimale Beste llmenge. f ür die die Summe beider Kostenonen bei gegebenem Gesa mtbedaifminimal wird.

292

6

A nwend ungen der Differe ntialrechnung bei Fu nktionen mit einer una bhängigen Variablen

Wir wollen das gestellte Prob lem unter de r A nna hme lösen, dass für das G ut eine gegebene konstante ko ntinuierliche Nac hfrage a im Z eitab la uf bes teh t. A ußerdem erfo lge in jedem Prod uktionszyklus der Lagerzu gang a us de r Prod ukt ion mit einer eben falls konstanten ko nt inuierlichen Ra te z (Beispiel: Ab gangsrale (Nac hfrage) a '"- 500 ME!Tag; Z ugangsrate z '"- 800 ME lTag). Z wischen dem gegebenen Pcriodengesannbcdarr m (in ME! Z E : 1 Z E '"- 1 Period e), der I .osgr öße

x (in ME /Lo s) und de r Anzah l h der Produktionslose pro Pe riode (in Lo se/ Z E) beste ht offe nba r d ie Beziehung m = h· x hzw. h = 1~1 • Z u Beginn eines jeden Produktion szyklus erfolgt der Lagerzugang mit der fes ten Rate z (in MEtzE), wäh rend gleichzeitig der A bgang vom Lager mit der festen Rate a (in M E / Z E ) erfolgt. Dabei m uss siche rgestellt sein, dass z > a gilt, dam it die laufende Prod uktio n die Nachfrage m indestens dec kt (für z '" a ist t heore tisc h ein Lage r entbehrlich).

I

Wäh rend der ersten Phase t l des Prod uktionszyklus wächst somi t das Lager mit der ko nsta nte n Rat e z- a, und zwar so la nge, bis das gesamte Produktionslos x geliefert wurde:

{lager-

bestand/

bzw.

In der anschließend en Per iode t 2 erfolgen keine weiteren Lagerzugange. vielmehr sinkt de r Lagerbes tand mit der Rate a auf N ull, ehe de r ne ue Produ kfionszyklus beginnt, usw. (siehe Abb. 6.3.53).

(Zeit)

Der maximale Lage rbe stand b max wird in t l angenomme n: b mill '" (z - a) · t l

Abb. 6.3.53

(z-a)· ~ '"- (1- ~. )·x .

'"

Da kontin uierliche (d.h lineare) Zu-!A bnahme des Lagerbestandes unterstellt wurde, beträgt der durch schnitt liche Lagerbestand b der Gesa mtperiode die H ä lfte des H öc bstbcstandcs:

b= bma,· 0'5 = ~ 2 ( 1 - .!.) zr Mit dem gegebenen, kon stanten Lage rkostensau k 1 (in € / M E · Periode) erhä lt ma n daher als Lagc rkos-

tcn

K L der Ocsamtpenode:

K L = b· k j

""

~ (1 - ~ ) · k l

D ie ge samten R üstkosten KR der Period e ergeben sieh aus der A nza hl h der Prod uktionslo se m ultipli-

KR '" h . ko "" ziert mit dem gegebenen fest en R ösrkostensatz ko (in € /Losperiode) zu: Da mit laute n die Penodengesemtkosten in A bhängigkeit von der Losgröße x: K(x) = KR+KL =

(6,3.5 4)

x

ko

a

~);

x

111 '

+-Z (l- -;)· k l

,

D ie opt imale Losgröße x" (> 0) ist gegebe n durchdas relative Minimum von K(x): M it K'(x) « 0 folgt m -k,

1

a

K'(x) = -~ + -(l - - ) · k :.;2 2 z 1

x

(6.3. 55)

( Wegen K"(x*) '"

=o. I

V

D ie (posiuve] Lösu ng liefert d ie optimal en Losgröße x" mit

2· m· k o

(I -~ )· kl

2mk Q

x

'3

m:

Pcno dcngesanebcdarf

n : z : kI:

Rüstkc stcn pro Losperiode Abgangsrate pro ZE Zugangs rate pro ZE Lagerkosten pro ~IE und pro Periode

1.0:

> 0 ist die hinreichende Bedingung für ein Kostenminimum erfüllt.)

6.3

293

Dic An wend ung dcr Diffcrcntialrec hnung auf ökonomische Probleme

Bei einem Period engcsamtbcdarf von z.B. 18D.OODME / Jahr, einem Lagerkostematz von i.zo € pro ME und Tag. e inem R üstkostcnsatz von 100.000 € / Los und einer Z ugangsrate von 800 ME /Tag ergibt sich (J Jahr = 360 Tage) die optimale Losgrö ßc zu 2 ' 11I0.UOO · l oo .lIOO

14.90 7 =:: 15.00D ME /Lo s .

'""

(1 - 800 ) ' 1,20 '360

Bemerkung: Man beachte, dass zun öchstdie Zeiteinheiten einheitlich umgerechnet werden müssen: Bezieht man sich auf einen Tag als Zeiteinheit (» 1 Periode), so emsp rechen500 MElTag einem A bgang von i80.000 ME/Jah r. Halle ma n als Zeiteinheit 1 Jahr gewahlt, so müssten dir WeNetauten: a = 180.000 MEIJahr, Z = 288.000 ME/Jahr, k 1 = 432€IME ·Jahr mit demselben Ergebnis/ür x *. E in Prod uktionszyklus da uert im Beispielsfall <== 30 Tage, davon werden zur Lagera uffüllung t

I

t ~:7

''''wbeslGfld)

~

= 1·4.907 = 18 6 "'" 19 T aee ve rwendet 80U ' '" .

In den restl ichen ca. 11 T agen des Zyklus erfolgt a usschlicßlich nach fragebedingter G merabgang. Der La gerhöchstbestand

a

b max = x(1 -I:)

0=;

5.600 ME

~

--

wi rd

nach ca. 19 Tage n ( = t 1) erreicht, siehe A bb. 6.3.56 . Hä ufig betrachtet man den vereinfachte n Fall, dass der Lagenugang zu Beginn eines jeden Zyklus in "oller Höhe x "unendlich" schnell erfolgt. Dies setzt voraus, dass die Prod uktionszeit ars vemac btässfgbar klein angesehen werden kann.

"m

I _

I()

_

f(J

I I Zl9r~

J(}

't ~ J

{Zeit!

11'0'}('

Abb. 6.3.56

Mathemat isch bedeu tet d ieser vereinfachte Fall, dass die Z ugangsrate z gegen 00 und damit ~ gegen Null strebt . Z u Beginn eines jeden Z )'klll'i ist somit das komplett e Los a uf Lager: ha,n =

,-tim

(1 -~ ) 'X"'X' siche A bb.6.3.57.

Damit lautet d ie Gesamt kostenfunktion (6.3.54): K(x) =

ß\' ko x

x

+ -, ' k l -

(Zeil}

min. ,

a us der sich die opt imale Losgröße x" ergibt zu

x" '"

l~

V ~-k,

Abb.6.3.57

("Antllersche l..osgröHcnforrnel")

Mit den gegebene n Zahle nwerten bet rägt in diesem Fall die op timale Losgröße 9 129 ME / Lo s. Damit ergehen sich ca. 20 Prod uktionsauflagen pro Ja hr im Abstand von jeweils ca. 18 Tagen.

294

6

Anwendun gen der Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhangigen Variablcn

Aufgabe 6.3.58: Gegeben ist eine cn ragsgcsctzttchc Kostenfunktion K mit K Gcsamt koslen (G E) ; x P :O); OUlput(ME). K(x) = 0,l x L2 .4xl +3 0x+640 ; i) Man bestimme die Schwelle des Ertragsgesetzes. ii) Man ermittle das Betriebsminimum. ii i) Man zeige, dass das Betriebso ptimum für x '" 20 ME a ngenommen wird.

h") Man ermittle diejenige Produktionsmenge, für die die Grcnzkosten minimal werden. v) Man zeige. dass im Betriebsoptimum die Gren zkosten gleich den Durchsehnittskostcn sind. Aufgahe 6.3.59:

Gegeben sei die Kostenfunkt ion K eines Monopolisten mit

K(x) = 0,O l x3 -1 ,5xl + 120x + 4.000

(K: Gesamtkosten ; x: Output).

Der Mono polist o periere um Markt mit folgender Nachfragefunktion p: [p. Preis ; x: nachgefragte Menge ). p(x) '" 1.044 - 0,3x (Er sei in der Lage. Produ ktion und Absatz zu synchronisieren.) i) Bei welchem Preis bewirkt die Erhöhung des Preises um eine GE/ ME einen Nachfragerückgang um 0,3 ME ? ii ) Enn ittcl n Sie die Höhe des zu produzierenden Outpu ts. bei dem die variablen Kosten pro produzierter Outputeinheit minimal werden. iii) Welche Menge muss der Monopolist prod uzieren und abse tzen, um seinen a) Gesam tgewinn d) Stückdec kungsbeitrag

b) Stuc kgewinn e) Gcsarnturnsatz

e) Deckungsbeltrag f) Umsatz pro Stück

zu maximieren ? Man ermittle die zugehörigen Preise. h') Für welchen Preis sind die Grenzkosten des Monopolisten minimal? v) Es werde nunmehr angenommen, der Produzent habe zwar die oben angegebene Kostenfunktion, operiere aller an einem polypolistischen Ma rkt mit einem festen und von ihm nicht bccioflussbarcn Marktpreis p für sein Prod ukt. a) Welches ist der kleinste Preis p, bei dem der Produzent gerade noch seine gesamten Kost en decken kann? b) Wie la utet die (langfristige) Angebotsfunktion des Polypolisten? Bei welchem minimalen Preis triU er erstmals am Markt auf? Aufgahe 6.3.60:

Gegebe n sei eine Produktionsfunktion x mit der Gleichung (x: Outpu t x(r)=-0,4r3 + l8r l+24r

r( 2:0); Input) .

Dabei darf der Input maximal 25 ME r betragen. i) Für welchen Faktorinput wi rd die Oreozp rocuknvnat maximal? ii ) Man zeige, dass im vorgegebenen Inputbereich kein relatives Ertragsmaximum existiert. iii) Für welchcn Faktorinput ist der Durchschmn sertragmaxirnal?

iv) Für welchen Faktorinput sind Grenz- und Durchschnittsertrag identisch ? Aufgabe 6.3.61: E ine monopolistische Unterne hmung prod uziert Ihren Output x (in ME.) mit H ilfe eines einzigen variablen Produktionsfaktors (Input r in ME r) nach folgender Produktionsvorschrift: x(r) =

4Vr -

100 ; (r e 100).

Ocr Faktorpreis betrage 16 € /ME r.

Der Outpu t x kann nach der Preis-Absatz-Beziehung x(p) = 196 - DAp (p in € /MEJ abgesctzt werden. i) Bei welchem Output operiert die Unternehmung im Bctriebsoptimum?

ii) Wie lauten die Gewinnschwellenpreise der Unte rnehmung '?

iii) Welchen Marktpreis muss die Unternehmung fordern, um maximalen Gewinn zu erzielen?

6.3

295

Die An wend ung de r Differentialrec hnung auf ökonomische Probleme

• Aufgabe 6.3.62-1: Gegeben sei für ein Gu t die Preis-A bsatz- Funkt ion p(x) mit p(x ) =

!

180 - 2X 78 _ 0,3x

fur 05 X560 für

x>60

Die Gleich ungder Gcsarnt kostenfu nktion K lautet: Man ermittle:

(p (> 0): Preis in GEIME; x: Menge in ~fE ( > 0»

K(x) = 15x + 3DOO.

i) das E rlösmaximum ii ) die Gewinnschwellen iii) das Gewinnmaximu m .

• Aufgabe 6.3.62 -11: Für einen Polypofisten auf dem unvollkom menen Markt sei d ie folgendcdoppcltgeknickte Preis-A bsatz- Funktion gegeben: p(x) =

- 0.5x + 50 mr 0 s x s 10 l\.tE - 2;<;+ 65 fü r 10<x~20!l.1E -0,5.'1: +35 für 20 < x ~70 ME .

1

i) Man ennittle Preis. Men ge und Ge....'inn im Ge winnmaximum, wenn der Anbteter mit folgender Kostenfunktio n K produz iert: a) K(x) = 0.00 Kx LO,6x2 + 20x + 150 11) K(x) = 30 x + 100. ii ) Wie hoch d ürfen im Fa ll i) b) die G re nzkosten maximal ansteigen, damit sieh noch ein nichtnc-

gauver Gewi nn ergibt? Aufgabe 6.3.63-1: Die Eisbär AG liefert in konl inuierlieher Weise pro J ahr 48.000 Kühlschränke des Typs QX L aus. Bei jeder Produk tionsumstellung auf den Typ QXL fallen Restkosten in Höhe vo n 7.6811 € an. Für Lagerung rechnet die A G mit 6 € pro Kühlschrank und Monat. I) Man ermitt le fü r jede n der beiden Fälle a) und b) die Anzahl und G röße der pro Jahr erforde rlichen Produk tionslose sowie d ie jeweiligen Gesamtkosten für Umrüstu ng und Lagerung, wenn die Eisbär AG kostenoptimale Politik betreibt : a) Die Prod ukttonszen wird als als vernachlässigbar klein angenommen; h) Die Prod uktion erfolgt mit einer ko ntinuierlichen Rate von 5000 Kühlschränken pro Mo nat. ii ) Man zeige mit H ilfe von (6.3.55 ): Für die op timale Losgrö ße x" gilt stets (d.h. unabhüngig von speziellen A usgangsdaten) : KL = KR (d.h. Lagerkonen = Runkonen im Optimum).

Aufgabe 6.3.63- 11: Gelegentlich wird d ie Meinu ng vertreten, die optimale Losgrößc (bzw. optimale Bcstcllmengc) wcrde an der Stelle angenommen, an der sieh Lager- und Rüst kostcnkurve schne ide n (A bh.6 .3.52). Zeigen Sie, dass diese Behauptu ng dann richtig ist, wenn d ie lagerkostenkurve eine Ursprungsge rade (KL = ax) und d ie Rüstkostenkurve eine Hyperbel (KR = ~ ) ist. Aufgahe 6,3.64: In einem Reparaturwerk (z.B. K[z-Reparalur-Werksta tt) befindet sich eine zentrale Mat erial-A usgabestelle, die pro Stu nde im D urchschnitt von 40 Mo nteuren aufgcsucht wird. Die mittle re Wartezeit t (in Minuten) der Ankommenden bis zum Erh alt des verlangten Mater ials hängt umgekehrt proport ional ab von der Anzahl x de r in der Ausgabe Beschäftigten : t = t(x) =

-7 .

Der Lo hn des Mo nteu rs betrage 24 € /h, der eines in der A usgabe Beschäftigten ZO € /h. Wieviele A rbcitncluncr sollte das Werk in der Materialausgabe einsetzen, damit d ie stündlichen Gesam tkosten für die Materia lausgabc ( = Lohnkosten plus Wan ekosten) minimal werden?

296

6

A nwendu ngen der D ifferent ialrechn ung bei Funktionen mit eincr unabhän gigen Variablen

Aufgabe 6.3.65: Die Produktionska pazität P {in Leist ungseinheilen (LE») eines Unternehm ens, das im J ahre 200 0 (t '" 0) gegrün det wurde , sei im Zeit ab lauf t (in Jahren) du rch folgend e Funkt ionsgleichung bes chrieben: 3&.500

6.3.66 : D ie Rentabilität R ( '" Jahresgewinn d ivid iert durch das eingesetzte Prod ukrlvkapi tal, ausged rückt in % p.a.) einer Un ternehm ung hange vom Ma rktanteil m (in %) des hergestellten Produk tes in folgender Welse ab: R(m) '" - 5m 2 + 3,6m - 0,35

A ufga~

Die Un ternehmung kann mit den vorha ndenen Kapasttäten einen Markta nteil vo n höc hstens 80% realisieren, d.h. s m :S 0 ,80 . ü

i) Welc hen Marktan teil sollte d ie U nternehmu ng ans trebe n, um eine möglich st gro ße Ren ta bilität zu erreichen? Wie groß ist die maximale Rentabilität? ü) Die Un ternehmung ford ert e ine Mindcstrenrab lfirät von 15% p.a . Innerhalb welcher Werte darf der Marktant ei l schwanken, wenn dieses Z iel erreicht werden so ll? iii) Wie hoch ist der Unternehm ensgewi nn beim höchs terreichbaren Mark tanteil, wenn das cingcset zte Prod uktivkapital 9,2 Min. € beträgt?

Aufgabe 6.3.67: De r Markt für ein bes timmtes Prod ukt lasse sich vom Produzent en ma rke tingbe zoge n in mehrere Segmen te (Z ielgruppen) zerlegen. J e höher der Segmentierungsgr ad s (s kann zwischen 0(%) und 100 (%) schwanken), desto höher der erztelbare Gesamtumsatz U (in T € ), dest o höher aber auch die aus der Segme nnerungssr rategie resul tierenden gesamt en Produktions- und Market ingkosten K (in T €). Ocr qua ntitative Z usammenhang werde durch folgende Funktio nen besc hrieben : U(s ) = -0.1 (s - lOO)2 + 50{) ;

K(s) = O,02 s 2 + 200 ;

O :Ss slOO.

i) Welch en Scgmen ticrungsgrad m uss die Un ternehm ung mindeste ns erre ichen, da mit die Um sätze die Kosten dec ken? ii) Bei welchem Seg mentierungsgrad erzielt der Prod uzen t maximalen Gesamtgewinn? Wie hoch ist diese r Maxima lgewinn?

Aufgabe 6.3.68:

Ei n Mon opolist prod uziere m it folgender Kostenfu nktion K: K(x) = x3 - 12x2 + 60x + 98

und sehe sich der Na chfragefunkt ion p m it p(x) = - lOx + 120 gegenübe r (sieh e Beispiel 6.3.45). l) A uf jede prod uzierte und abgesetzte Mengenei nheit werde eine Men gen steuer in H ö he von t = 24 GE/ M E erhoben, so dass sich die Gesamtko sten des Prod uzent en um die abzuführende Gcs amtstc ucr T = t· x erhöhen. Man erm ittle die gewinnmaximale Menge sowie die dann abzuführende Steuer und den Gesamtgewinn. ii) Welche Mengen steuerhöhe t (G E / ME) müsste der Staat festlegen, dami t er im Gewinnmaxi-

mum des Prod uzenten maximale Ste uereinnahmen erziel t? Wie lauten jetzt der gewinnmaximale Preis. die abzuführend e Gesamtsteuer sowie der Gewin n des Produzent en ? iii) Statt einer Menge nst euer werde nun vom Staat eine Gewinnsteuer in H öhe von 40% des Gewinns erhoben. Wie lau ter die gcwi rmrnaximatc Mcn gc, und welche n E influss hat d ie H öhe des Gewinnste uersatzes auf de n gewinnmaximalen Out put ?

6.3

297

D ie Anwe nd ung der Different ialrechnung auf ö konomisc he Probleme

Aurgabe 6.3.69 : 3(, i) Die Gesamtkostenfunkti o n K einer U nternehm ung lautet: K(x) = O,5x + 1 + 7t9' Bei welche r Prod uktionsmenge x operie rt die Unte rnehmung im Betrieb sminimu m?

X ?: 0_

ii) Nach einem U nfa ll in eine m Ch emie-Wer k am R hein wurde die Konzent ration c (in i4g1I) eines Gefahrstoffes an einer ausgewählten Stelle des Rheins perman ent gemesse n.

E s stel lte sich herau s, J ass diese Konzentration c in A bhä ngigkeit der Zeit t (in Tagen, gezahlt seit d em Ze itpunkt des Unf alls) d urch fo lgende Fu nkt ionsgleichung besc hrieben werd en ko nnte:

c = c(t) = (501+4) -e- 1

, t 2: 0 .

a) Nac h welcher Z eit (in Stunden, gezahlt seit dem Unfall) wa r d ie Konzentra tio n maximal'! Ob) Nach wieviel Stu nde n war die Konzentration auf 15% des Maximalwertes gesunken'?

iii) Kunstmaler H uber ko piert im Museum einen berühmten ~ Rembra ndt". Seine mo nat liche Prod uktio n b (in Bildern/Mo nat) hängt c.p. ab von der Gesamtzahl B (in Bildern) aller bis dahin kopierten Bilder (" Lemcffekt ") und kan n d urch folgende F unkt ionsgleichung besch rieben werden :

b = b(B) =

B 2:0.

lO_g·c- O,OOS ·B

a)

Man übe rprüfe mathematisch, ob H ubers mo nat liche r O utput mit zunehmender Ges amtmenge tat sächlich (wie man es eigentlich erwarten müsste) z unimmt.

b)

Wieviele Bilder kann H uber auch bei ko pieren?

~ unend lic h

großer Erfah rung" höc hstens pro Mo nat

iv) Der Kapitalwert Co einer Invest itio n sei in Abhängigkeit des Z inssatzes i gegebe n durc h d ie GlciI I chung(mit q=t + i):

Co=- 400 +500 '-+700 ---800 q

q2

q3

•

(q >O) .

Bei welche m Zi nssatz i ist der Ka pitalwert maximal'?

v) Das H ube r-Movies- Programmkino hat eine Kapaz ität von 200 Sitzplätze n. In de n Win tcrmona tcn richten sich die H eizkosten H (in GE ) wäh rend einer Filmvorführung nach der A usfestu ng x ( '" Besucherzah l pro Vorstellung) und können durc h folgend e Fun ktion H besc hrieben werd en: H '" H (x) = 60 -0,OOt -x 2 ,

(O ~x ~200)

.

Für welche Besucherzahl werden die während ein er Filrrworführung en tste hende n H eizkosten minimal'!

,i) Ge geben sei eine Investitionsfunktion I . die de n Zu sammenhang von Investitionsausgabe n I(i) für den Wohnungsbau (in Mio. € / Jahr) und dem (effektiven) Kapit alma rktzin ssatz I (in % p.a ., z.B. i = 0,08 '" 8%p. a. usw.) besc hreibt: I =I (i) "' -

sn.coo -

250i + 1

a) b)

ns oi

.

Bei welchem Zi nssatz werden pro J ahr 2 M illiarden oE: in den Wohnungsbau investiert? Bei welchem Z inssat z sind die jährlichen Investi tionen in den Wo hnungsba u maxima l?

298

6

A nwend ungen de r D ifferentialrechnung bei Funktionen mit einer unab hängigen Variablen

Aurgabe 6.3.70: i) Die H ube r A G will ihr neues Prod ukt verma rkten, pro Mcngeneinhcit (ME) erziel t sie einen Verka ufserlös von 50 Geldein heit en (GE ).

Bei der Pn xluktio n des Prod uktes fallen Fixkosten in H öhe von 5.000 GE/Jah r an, weiterhi n verursacht jede hergest ellte Menge nein heit (variable) Prod uktions kosten in H öhe von 4 G E . Um de n Markterfolg ihres Prod uktes lan gfristig zu sichern, bea uftragt die H ube r AG eine Werbeagent ur. Bezeic hnet man die jährlichen Gesamtaufwendungen für Werbung mit w, so besteht zwischen nachgefragte r Menge x (in M E /J ahr) und Werbea ufwand w (in GE/ J ahr) folgende funk tiona le Beziehu ng: x:: x(w) = lOOO-200 ·e- o,os".. , (x,w ~ O) Welchen jährliche n Werbeaufwa nd muss d ie Huber A G tä tigen, dam it ihr Gesamtgewinn a us Prod uktion und Vermark t ung (d.h. Erlös minus Produktionskosten minus Werbeuufw und) maximal wird'!

ii ) D ie H ube r Gm bH produziert in der hier bet racht eten Period e ausschl ießlich G imm icks. Daz u

be nötigt sie taußer[esten l npUlf uktoren) eine n einzigen variablen Inputfak tor, nämlich E nergie. Bezeic hnet man d ie Ge sam theit de r in der Bezugsperiode produzierten G immicks mit m (in kg) und d ie dafür Insgesam t benöt igte E nergiemenge mit E (in Energieeinheiten (EE)) , so besteht m ische n m und E der folgend efunktionale Z usammenhan g:

m :: m(E ) :: 20 VO. 5E 80

,

(E 2: 160 ) .

E ine E ncrgiccinhcit kostet die H ube r Gmb H 20 G E . Di e Gi mmieksp rod ukt ion kann unmittelbar am Markt ab gesetzt werden zum Marktpreis p, der vo n der H uber GmbH festgeset zt ....-ird. Z wischen nachge fragter Menge m u nd A bsatzprcis P (in GElkg) bes te ht folgender Z usammenhang:

m :: m(p) = 400 - O,25p ,

(m, p 2: 0) .

Wie muss die H ube r Gm bH den Marktpreis für ihre G immick s festsetz en, um in der bet rachte te n Periode maximalen Gesamtgewinn zu erzielen ?

iii ) Em ir H uber will in der Sahara nach Wasser bohre n und das damit cvtl. gefu ndene Wasser fördern und für T rinkwasscrzweck c au tbcrcitcn.

Wegen der dami t verb undenen Kosten such t er herauszufinden, in welchem A bstand x (in Längcncin heiten (LE » er d ie Bohru ngen einbringen soll, um per Saldo die Kosten pm Ton ne (t) gefördert en und aufbe reiteten Wassers zu minimieren. Dabei ist zu beachten: J e gröl.lcr de r Ab stan d x zwisc hen zwei Bohn tetlcn, dest o geringer fallen die du rchschni ttl ichen reine n Bohrkosten ku (in GEit) aus (und umge keh rt). D ie d urchschnit tlichen Bo hrkosten k R pro t gcf ördenen Wassers lauten in A bhängigkeit vom A bsta nd x ( > 0) zwische n zwei Bohrstcjlcn: 2000

(siehe A bbildung)

-Ie------ - - ;c

6.3

Die A nwend ung der D ifferent ialrechnung auf ökonomisc he Probleme

299

A ndererseits steigen mit zunehm endem A bstand zwischen zwei Bohrstellen d ie Kosten kw (in G E I t) fü r die Wassergewinnung. d a die genaue Lo kalisierung der Wasserstellen ungena uer wird und außerd em d ic A ufber eitung des Wassers schwieriger wird. Für die pro t gef örderten Wassers d urchschni tt lich anfa llende n Ge winnungs- und Aufbereitungskosten kw gilt (mit x > 0) :

,

kw = 5000· e x + 300

lxi

(sieheAM.)

D ie gesamten durchschnittlichen Förderkost en k(x) (pro Tonnegeförderten und aufbereitetenWassm) setzen sich schließlich additiv aus den Bohr kosten k 13 und den Wassergewi nnungskosten kw zusamm en. Bei welch em Bo hrabs tan d x sind d ie (durchsch nitt lichen) Förd erkost en (pro t Was ser) für H uber minimal? iv) Das Angebot A (in Stunden pro Monat (111M.)) an A rbeits kräft en für die Bawnwollernte in den USA hängt ab vom geza hlte n A rbeit slohn p (in GEAI) und rich tet sich nach fo lgender Funktion:

A = A(p) = 0.05p (120 - p) ;

(0 < p <100) .

a) Bei welche m Stundenlohn ergibt sich das höc hste Angebot a n A rbeitskräften pro Monat ? Welche Lohns unun e wird dann pro Mona t insgesam t gezahl t? b) Bei welch em Stundenlohn ist die pro Monat insgesamt geza hlte Lo hnsumme (d.h. f ür alle A rbeitn ehm er zusammen) maximal? Wie hoc h ist dic maximale Lo hnsumme ? " ) Bet racht et werde ein ~ durc hse h nitt1icher~ Unternehmer. dessen Jahresemkomm en Y mit einer Ste uer be las tet wird. Der Steu ersatz s sei vorgegeben (z.B. bedeutet s = 0,6: 60% des Unternehmereinkommens werden als Steueran den Staal abgefOhrtusw.)j s kann vom Staat geändert werden .

Langj ährige Unte rsuch ungen zeigen. dass die Gesamteinnahmen T des Staates an dieser Steue r wiederum von der H öhe des Ste uersatzes s abh ängen, d.h. T = T (s). Für d ie E ckwert e von s (nämlich 0% und J00%) gelten etwa folgende Überlegunge n: Wenn s = 0 ( ~ 0 %), so benötigt der Staat offenbar keine Steuern . es gilt T = 0, da s gesamte E inkommen verbleib t he im Unt ernehm er. Wenn s = 1 ( ~ 100 %), so muss der Unternehmer scingcsamtes Einkonunenanden Staa t abfü hren . dah er wird der Unt ernehm er in diesem Fall - gc rreu dem ökonomisc hen Prinzip übe rhaupt kein Ein komm en erzielen wollen, d.h. auch jetz t wird der Staat keine Sreuereinnahmcn erziele n, T = O. -

N ur wenn de r Steuersatz zwischen 0 und 1 liegt, erz ielt der Staa t Steuereinn ahmen . T > O.

E s werde nun unterstellt. dass die ebe n beschriebene Funkt ion T von folgendem Typ ist:

(0')

T =T(s)=a ' s ' (l - s) ; (O :Ss:S l) ,

a =coflSt. (>O) .

(T: Steuereiunahmen des Stuates s: Steuersatz)

a) Man zeige. da ss diese Funktion T(s) die d rei eben besc hriebenen Ei genschaften besitzt. b) Für welche n Ste uersatz erzielt der Staa t die höch sten Steucreinnahm en? c) Wie müsste in der Steuerfunktion ( ~) die Konstante a gewä hlt werde n, dami t für einen Steu ersatz von 20% die Ela stizität der Steuereinnahmen bzgl. des Steuersatz es den We rt 0,75 aufweis!'! (FOr denA ufgabell/eil c) ist die Kenntnis von Kap. 6.3.3 Vorau,\·.I'('tzung.)

300

6

A nwcndunb'Cn der D ifferentialrechn ung bei Funkt io nen mit eine r unabhängigen Variablen

\1) Die pro Stunde Fahrt ent steh end en T reibstoffk ost en k[ (in €Al) einer D iesellokomotive sind pro· portio nal zum Qua drat der Lok omotivgcschwind igkeit v tin km/h) , d.h . es gilt:

kt = e ' v l

j

(c =cofl.l'I.).

Messungen ergaben. dass bei einer Ge schwindigkeit von 40 km/h die Treibstoffkosten 25 € /h betrage n .

D ie da rübe r hinaus (unabhängig von der Lokomotivgeschwmdigkeu} entstehende n Ko sten be lragen 100 € /h. Mit welcher Geschwind igkeit sollte die Lokom otive fahren, dam it die Insgesa mt p ro gefahrenem Kilometer ents te henden Kost en minimal werden '!

\ ii) W ährend ihrer umfangreichen Reisetätigkeit mit der Deutschen Ba hn AG ist de r Wirtschaftsprüferirr Prof. Dr. Z. aufgefallen, dass ein bemer kenswert er Zusammenhangbesteht zwischen der H öhe h (in cm) der A bsätze ihrer Stöc kelsc huhe und de r Wah rscheinlichkeit W dafür. da ss sie ihren Reisekoffer selbs t vom Bahn steig zum T axi lragen muss. Der funk tionale Z usammenhang zwischen W und h kann d urch fo lgende Fu nkti onsgleichung besc hrieben werden ; W = W(h) = 0,01 ' h2 - O,16h + 0,9 ; (O Sh~IO) .

Lesebeispiel: Bei Absatzhöhe 10 em ist die Wahrscheinlichkeit dalür, den Koffer selbst tragen zu müssen, 30% 0,3), bei flachen Absätzen (h '" 0) findet sieh nur in 10% aller Fälleein hilfreicherKofferträger (denn W(O) = 0, 9), usw.

c-

,

IM

,

Auf den erste n Blick schei nt sich eine Absatz höhe zu empfehlen, die W minim iert, d.h. 8 cm

(siehe A bb.). A ndererseit s steigt bei hohem Absatz der Ärger Ä (in Strafpunkten), der immer dann entste ht, wenn sie den Koffer doch einmal selbst tragen muss : J e höher der A bsatz, desto ärgerneh er das eigenhändige Koffert ragen. D ie zu geh örige Ärgerlunkt ion Ä laute t:

Ä:

!AI

Ä(h)"O .25h+l ; (OS h SIO) .

(d.h. derÄrger (oderdie "strafe") bei eigenhändigem Koffertragen nimmt linear mit der Stöcke/höhe zu.)

,

IM

so

Der zu jeder Stöc kclhö hc h zu erwarte nde G esamtf rust F(h) ist nu n definitionsgemäß gege be n als Prod ukt aus der Wahrsc heinlichkeit W(h), den Koffer selbs t trage n zu müssen, und der Strafe Ä(h) be im eigenhändigen T ragen des Koffers (F(h) i~1 ein" ErwurtUllgSWeTt "}, Welche Absatzhöhe würden Sie Frau Prof. Dr. Z. zukünftig empfehlen, damit ihr Gesa mtfrust möglich st gering ausfällt?

6.3

301

Die Anwendung der Differentialrechnung auf ökonomische Probleme

6.3.3 Die Elastizität ökonomische.. Funktionen 6.3.3.1 Änderungen von Funktionen Im folgenden Abschnitt wollen wir untersuchen. wie man in ökonomisch sinnvoller und aussagckräftiger Weise das Änderungsvemallen ökonomischer Größen beschreiben kann, die über einefunktionaleBeziehung (z.B. f: x t-+ f(x» miteinander verknüpft sind. Eine wesentliche Aussage über das wechselseitige Änderungsverhalten von Funkti onsvariablen kann bereits mit Hilfe des Ableitungsbegriffes erfolgen (s. Satz6.1.22): Danach gibt der Differenzenquotient M ft..x exakt (bzw. der Differentia!quotient dffdx nähenmgsweise) an, um wicviele Einbe:lten sich der Funkti onswert f(x) ändert, wenn die unabhängige Variable x um eine F.Jnheit geändert wird. Ob dieses - auf dem Verhäl.tnisabsoluter Änderungen df und dx (bzw. Mund t..x)beruhende -Ändenmgsmaß in allen Fallen zu einer befriedigenden Aussage über das Ändenmgsverhalten der zugrunde liegenden Funkti onführt, soll imfolgenden unte rsucht werden: i) Betrachtet sei die (zeitraumbczogene) Nachfrage x (in kg) nach einem Gu t in Abhängigkeit vom Marktpreis p (in € fkg) des Gu tes (hier bedeuten x die abhängige und p die unabhängige Variable). E s sei daz u eine lineare Nachfragefunktion x : pt-+x(p) unterstellt mit der Gleichung

x =x(p) =-40p+ 560

(0

Der Zahlenwert der 1. Ab leitung x'(P) beträgt konstant -40. so dass sich die Nachfrage x(p) stets um40 kg verringcrt (bzw. vermehn}, wenn der Preis um 1 € /kg angehoben (bzw.gmnkr) wird, siebe Abb. 6.3.71.

560

(xl ' gJ (Skine nkht maßslI'blichl

Beschreibt man nun diesen Sachverhalt durch Verwendung der Gewicht seinheit ,,1 t" (statt 1 kg), so entspricht (wegen i t = 1.000 kg bzw. 1 kg = O,OOlt) eine Preiserhöhung von 1 € /kg nun einer Pteiserhöhungvon 1.000 € /t. Analog ergibt sich für eine Mengenänderung - 40 kg nun der Wert -0,04 t. In den neuen Einheiten lautet daher die erste Ableitung:

~ _ -40~ dp -

€Ikg -

- 0,04 1

1.000 €It

.1

_1

-""

x(pl=- 4Op+S60

o

14

Abb.6.3.71

(pi

l€/kgJ

= -0,00004 &1", . ~.

:x

Man sieht, dass dasselbe Änderungsverhältnis einmal den Zahlenwert - 40 und (äquivalent) andererseits - 0,00004 besitzt, je nach den verw\rndeten Ein heiten. Daher ist der Zahlenwert der ersten AhleitWlg als VergIeichsmaß für die Änderung von Funkti onen nicht ohne weiteres geei.gnet und sollte nur mit Vorsicht unter Beachtung der jeweils verwendeten Maßeinheiten verwendet werden. ü) Au ch aus einem weiteren Grund ist die Verwendung der Ableitung einer Funktion als Änderungs maß nicht besonders aussagekräftig. Dazu betrachten wir für die oben gegebene Nachfragefunktion

x(P) = -40p + 560 drei verschiedene Situationen, aus denen heraus eine Pteiserhöhun g um jeweils 0,50 € /kg stattfinden möge:

302

6 Anwendungen der Differentialreclmung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen [a)

(b)

(0)

Bisheriger Preis: p Prrisändenmg: Ap

1,50 € /kg

7,00 € Jkg

12,00 € Jkg

0,50 € Ikg

0,50 €Jkg

0,50 €Ikg

Neuer Preis: p+Ap

2,00 € /kg

7,50 € Jkg

12,50 € /kg

Bisherige Menge: x

500 kg

280 kg

80 kg

Mengenänderung: Ax

- ' 0 ..

- ' 0 ..

- ' 0 ..

Neue Menge: x+ Ax

480 kg

260 kg

60 kg

Man erkennt folgendes (siehe auch Abb. 6.3.72): In allen drei Fallen reagieren die Nachfrager bei einer Preiserhöhung von 0,50 € Jkg "gleich": Sie reduzierendie Nachfragejeweils um 20 kg (denn x'(p) == - 40). Bei geneuerem Hinsehen und Betrachtung der relativen (prozentualen) Änderungen erkennt man allerdings, dass hier keinesfalls von" g1eichartigem"Verhalten gesprochen werden kann: Während im Fall (a) eine relativhohe (33 1/3% ige) PreiserhOhung (von 1,50 auf2,OO€Jkg)vorliegt, handelt es sich bei der Erhöhung von 7,00 auf 7,50 € /kg (Fall (b)) um eine 7,14%ige, in (c) um eine nur noch 4,16%ige Preiserhöhung. Etwas Ähnliches zeigt sich bei den stets absolut gleichhohen Nachfrageänderungen von -20 kg: Im Fall (a) reduziert sich die Nachfrage um 4% (von 500 kg), 1/xI in (b) um 7,14% (von 280 kg) und in (c) um {Achsenbezllf(JflJng nlchl 25% (von 80 kg). Eine Situation aber, in der :~ uberoll maß,~aß-J Anderungsverhalten zu sprechen. Abb. 6,3.12

r"

r' ::::I::: ~n»

rL M" '

.c:-~ ,<, ..

Das Beispielzeigthingegen, dass die absoluten Änderung."",erte - reprJisentiert durchdie erste Ableitung - nur eine unvoßständige Infonnation über das tatsächliche ÄnderungsveIbalten der beteiligten Größen liefern, da keine Aussage darüber gemacht wird,ob die .Änderungen- bezogenauf das bisherigeNiveau - als relativ "groß" oder relativ" klein" zu gelten haben. Zusammenfassend lässt sich sagen: Die erste Ableitungals VerhältnisabsoluterÄnderungen istals Vergleichs- und Beurteilungsmaßfür die wechselseitig bedingten Änderungstendenzenökonomischer Größen aus zweiGründen nur bedingtgeeignet: t)

Die Ableitung f'(Xn) einer ökonomischen Funktion ändert ihren Wert an ein und derselben Stelle ~ beiÄnderung der verwendeten MaßeInheiten.

ü) Die Zahlenwerte der Ableitung als "Änderungsmaß" können zu Fehlinterpretationen führen, da sie keinerlei Aussagen über das der .ÄnderungzugrundeliegendeAusgangsn.lveau derVariablenenthalten.

Es liegt daher nahe, ein Änderungsmaßzu wähl en, das beide Nachteilevermeidet: die "Elastizität" einer Funktion.

6.3

Die Anwendu ng der Different ialrechnung auf ökonomische Probleme

303

6.3.3.2 Begriff, Bedeutung und Berech nung der Elastizitä t von Funktionen Die Grundidee zur Vermeidung der eben angesprochenen Nachteile besteht darin, nunmehr nicht die absoluten Änd erungcn (z.B. lll, öp), sondern die relativen (oder "prozentualen") Änderungen (z.B. 6x/x, 6 p/p) der beteiligten Größen ins Verhältnis zu setzen.

.,.p

Wenn etwa (siehe ob igen Fall (a)) eine 33,3 %}ige ( = 6 p/p) Preissteigerung eine - 4 %i ~,'e (= 6 x/x ) Mengcnänderung zur Folge hat, so liefert der Quotient

Beispiel:

relative Mengenänderung relative Preisänder ung

(6.3.73)

- 0, 12 %

= - ---

33,3 %

-0,12

1%

p

die durchschnitt lich a uf ein Prozent Preisänderung entfallende relative Mengenänderung: pro 1% Preisanstieg fällt die Nachfragcmengc um (durchschnittlich) 0,12 %. Der Quotient (6.3.73) heißt . Elastizität von x bzgl. p", Für die allgemeine Definition der Elastintäl benutzen wir wieder eine Funktion f: y = f(x) mit x als unabhängiger Variabler (sow ie x,y 0):

"*

Der, 6,3,74: Es sei die Funktion f y = fex) gegeben. Ändert man an der Stelle (x: fex)) dic unabhäng ige Variable x um öx. so möge sich f um .6.f ändern (ßt = f(x + lll) - f(x» ; siehe Ahh . 6.3.76. Das Verhältni s Er,I der relat iven (.,prozentualen") .. M 6x Anderu ngell - ,- und "7

.,

(6.3.75)

f r,ll ,=

r

~.'(

f( x

+ ~.,, ) -

f( ,,)

f(x)

=

Ix! x

x

heißt (Bogen-) Elastit.ität \'011

r

bzgl. x in [x ; x- öx] .

x+ L1x

Abb , 6,3.16

Der Za hlenwert der Bogenelastizität l r.I gibt an, um wieviel % sich f durchschnittlich ändert, wenn die unabhängige Variable - ausgehend von der Stelle x - um 1% geä ndert wi rd. Beispiel 6.3.77:

Gegeben seien:

f : y '" xz+ 1 ; x = 3;

f(x) = f(3) = 10 ; f(x+ 6.x) = f(4) = 17

:::}

:~~

Damit laute t die Bogenelastizität: t r.I =

6.x = 1.

Daraus folgt:

ßt = f(x+6.x)- f(x) = f(4)- f(3) = 7. =

N

= 2, 1, d.h.• ändert man (ausgehend von der

Stelle x = 3 ) x um 1 %, so ändert sich der Funktionswe rt um 2,1%. Beispiel 6.3.78: Für die Nachfragefunktion x(p) = - 40p+56 0 (siehe Abh . 6.3.72) ergehen sich in den Fällen a), b). c) unter Beachtung der Tatsache, dass nunmehr x dic abhängigc(und p die unabhängige) Variable iSI, folgende Ela stlzft äten der Nachfrage x bzgl. des Preises p: (e) e

X.p

= - - 4_% = - 0 12 33, 3 % '

(b) e

X,p

= - 7' 14 % = - 1 7,14 %

(cj s

X,p

' '. = -- ' '-"= -6

4,16 %

.

Man erkennt, dass die Nac hfrager in unterschiedlichen Bereichen der Nachfragefunktion auf jeweils 1% Preisänderung unterschiedlich " heftig~ (unrcrschiedjich " elastisch") reagieren: In (a) sinkt die Menge um wenige r als 1% (ur/elastische Nachfrage), in (b) um gcnau 1% (fließen de Nachfrage) und in (e) um 6% (elaslisdle Nachtrage), s. Abb. 6.3.72. (Z ur BegriJJsbildu r/g siehe Kap. 6.3.3.3.)

304

6

Anwend ungen de r Differentialrechnung be i Funktionen mil einer unabhangigen Variablen

Beml!rlamg 6.3.79:

Gelegentlich verwendet man als Bogenelastizität auch die Terme

....:}L ,.)

/ +,d/ .dx

,df

b

'ZW.

x +.dx

..)

"

T+:1f7i .dx x + .d.t/ 2

Sie unterscheiden sich von (6.3.75) dadurch, dass als BezugsgrojJe für die Ennittlung der relativen Änderungen in i) der rechte l ntervallrand bzw. in ü) die Mitte des Intervalls [x; x +iJx} verwendet wird, während in (6.3.75) der linke 1ntervallrond zugrwulelirgt. Die Unterschiede zwischen diesen drei Ela stizitätsbegriffen gehen mit abn ehmender Intervallbreite gegen Nul l.

Für allgemeine U ntersuchungen des Elastizitätsverhaltens ökonomisc her Funktionenan beJiebigenStellen ihres Dcfinitionsbereiches ewc rsr sich allerdin gs die BogeoeJa<;tirltäl(6 .3.75) als recht unhandlich und unübersichtlich. E s liegt daher nah e - anaJogwie beim Übergangvom Differenzenqu otienten M /.6.x zum DifferentiaJquouenrcn df/dx - au ch für den E lastizitätsbegriff anstelle der Differenzen M , Ax die DiffeRntiale df, dx zu verwenden. siehe Satz 6 .1.7. Dami t erhalten wir in Analogie zu Def. 6.3 .74 den in de r Wirtschaltslheoriegebräuchlichen Elastirltätsbegriff, der den Vort eil einfac her Berechnungmi t sich bringt:

Sei feine stetig differenzi erbare Funktion der unabhängigen Varia blen x . Dann heiß t DeI. 6.3.80: das VerbäUnis I: f ,% der relativen Änderungen df/f un d dx/x [Punkt-}Elastirltäl VOll I bzgl. x (an der Stelle x): (6.3.81)

Bemerkung 6.3.82: i) Der durch die Verwendung des Differentials df ,. ['(x) ·fix (siehe De[. 6.1.5) gebildete Elastizita tsb~ griff nahm die B ogene/astizitat (6.3.75) um so besser an, je kleiner At = fix gewäh lt wird, und stimmt im Grenzfall At- O mit ihrüberein, s. Abb. 6.3.83 (Pun ktelastizilät).

Wtr werden im f olgenden ausschließlkh die Punktelastizität (6.3.81) verwenden. ü) In der L iteraluT wird die E lastizität I:j,x auch m it mit q(x) , I: (x), E(x), Ep.x) oder E(dM bezeichnet.

{xl x

Abb. 6.3.83

iü) Sowo hl die Bogenelastizitiit als au ch die Punktelasti1.itiit ändern ihren Wert (im Gegensatz zur 1. A bleitung) nicht, wenn neue MaßeinheiJen f ür d ie Variablen eingefüh rt werden, sieheA ufgabe 6.3.100.

Der Zahlenwert der Punktelastizität I: t,% (6 .3.81) kann analog zur Bogenelastizität interpretiert werden. Dabei isl wegen des Näherungscharakters des Differentials elf (siehe A bb. 6.3 .83) der Gültigkeitsbereich t.a. auf die nähere Umgebung der betracht eten Stelle beschränkt:

Satz 6.3.84: Der Zahlenwert der FJastirltät Er,:! von f bzgl. x gibt (näherungsweisej an, um wieviel Prozent sicb die abhän gige Variable f ändert. wenn sich die unabhängige Variable x um 1 % ändert .

6.3

305

Die A nwendu ng de r Differentialrech nung auf ökonomische Probleme

Dabei spielt das v ora ekhen der Ela...tizität eine wesentliche R olle: i) Ist t ex puo,itiv, so gilt :;~ > 0, d.h. die relat iven Ä nde rungen sind ent weder bcide positiv ode r beide negativ. Damit bewirkt eine relative Z unah me (Abnahme) von x eine relative Z unahm e (Abnahme) vo n f. Beispiel 6.3.85: Es sei C eine Konsumfunkt io n in Abh ängigkeit vom Emk cmm en Y und t·c,y die Elasnz ität des Ko nsums bzgl. des E inkommens. Dann bedeu te t etwa die A ussage "EC,Y '" 0,5 ~ : Wenn das Einkommen Y um 1% zuninun t (bzw.abnimml), so nimmt der Konsum um 0,5 % zu (bzw.ab).

I

t r.x negativ, so ist : ;: < 0, so dass die relativen Ä nderungen unterschied liches Vorzeichen haben. Dann bewirkt eine (reJ. ) Zunahme (A hnahme) von x eine (rel.) Abnah me (Zunahme) von f.

ii ) Ist

Beispiel6.3.86: Sei x:x(p) eine Nachfragcf unktion und ex.p die Elastizitä t de r Nachfrage bagl. des Preiscs. Dan n bedeutet d ie A ussage " für p = 10 ist Ex. p =-1 ,4 ~: Wen n bei einem Preis von 10 GEI ME der Preis um 1% sinkt (steigt) , so steigt (fällt) die Nachfrage um 1,4%.

I

Die explizite Berechnung de r Ela..tizität erfolgt du rch eine Umfonnun g von (6.3.81) unter Beac htu ng der ~ = I'(x): Beziehu ng df '" f'(x) ·dx bzw. dftr

t:f.x = dX/ '" x

df

x

df

x

,

C · -;j; = d; . f = f (x) ·

x QX) ' d.h.

Er,x

f ' (x)

=~. x

(6.3.87)

Man erkennt: f r,x ist selbst wiederum eine Fun ktion, die sogenannte Elas ttzjtäts funknon . U nabhängi-

gc Variab le ist d ie an zweiter Stelle im Index von "f,x stehende Varia ble: (f .x = Ef,.(X). Um die Ela stizität einer Funktio n f y = fex) an einer vorgcgcbenenStclte Xo be rechne n zu kön nen, ermittelt man zu nächst die Elastizitätsfunktion Er..(X) (6.3 .87) und setz t da nn die Stelle Xo für x ein. Beispiel 6.3.88: Es soll die Elas tizität vo n f (mit fex) = x2 ermittelt werden. Naeh (6.3 .87) gilt: • F'(x) 2x -1 2xL x I) f f,x = -r-rf\.x) vx '" xL x +1O · x '" x Lx+ IO

X

+ 10) bzgl, x an de r Stelle Xo = 10

-1="""

ii) Einsetzen von xo= 10 liefert den Elast izitätswert Er.• =

IO~~I~)~OI O = 1,9, d.h. erhöh t (vermtn-

dm) man xo= 10 um 1%, so steigt (fälli) der Funktionswert f(1O) (näherungswcise) um 1,9%. Beispiel 6.3.89: Gegeben sei die Nachtra gefunkt fon p: p(x) '" 1O- 0,5x, gesucht ist die Elast izität de r Nachfragc x bzgl. des Preises p bei einem Preis Po '" 6 GEI ME. Da für diese Problemstellung der Preis p als verursachende, unabhängige Variable und d ie Nachfrage x als reagierende. abh ängtge Variable aufzufasse n ist, muss der Tenn f

_ dxlx _ x'(p) . '.p - dplp - .~ (p) P

(siehe (6.3.87))

gebildet werde n.

Zu r Erm itllung der Funktionen x(p), x'(p) berechnet man zweckmäßigerweise zunächst d ie Umkehrfunklioo x: x(p) zur gegebenen N achfr agefunk tion p: p(x): p = - O,5x + l 0

~

-2 =20 --2p

p -

i) t:x.p

0,5x=- p + 1O

- ~

IO- p

~

x(p)= - Zp+ 20

~

x'(p) =: -Z. Dara us folgt:

(E lastizitätsfunktion) .

ii) cx.p(6) = -1,5, d.h . bei 1% iger Preissteigerung (-senkung ) (bezogen auf Po = 6 GE/ ME ) erfolgt ein Nachf ragerUckgang (-al/stieg) um (ca.) 1,5%.

306

6

Anwendungen der Differentialrechnung bei Funk tionen mit einer unabha ngigen Variablen

Bemerkung 6.3.90: Auf eine häufig verwendete Sprechweise f ür die Kennzeichnung von Elastizitä/en lei noch hingewiesen: StallderBezeichnung" Elasrizität ~on f blgl. x " für fj ,x (sieheDef. 6.3.80) spricht man häufig von der" x-Elastizität von f ". Beispiele: i) Statt ~ Elastizitä t derNachfrugebzgi.des Preis es ~ sagt man für ex", auch "PreiselastizitäldcrNachfrage" (unabhängige Variable: Preis p). ii) Sta tt " Elas/izität des Konsums bzgl. des Einkomm ens " lagt manfür t e y auch "Einkommenselaslizität des Konsums " (u/labhängige Variable: Einkommen Y), lISW . . '

Man beachte dabei, dass die relative Änderung der abhängigen Variablen (» 1. Index von e) stets im Ziihler, dieder unabhängigen Variablen (= 2. Index von e) stets im Nenner von e steht. Beispiel: Fur eine Angebotsfunktion p: p (x) bzw. x: x(P) gilt:

m.~x

Preiselastizität des Angebols = ex = 0

,,-

aber: Angebotselastizitäl des Preises =

dplP

,' iel d cut lieh ' d. ergt'0 I uc ich wegen dI dx/x ' aus d em Ietzen 0U<:lsple Wie IC \VIr bzgl. y der Kehrwert der Ela srfzltat von y bzgl. x ist: YY

I

(6.3.9 1)

f:. ,y '"

~ I

Fp ,x '"

~.

'" -1- , da. ss diie EIastiz" ität von x dyly dxlx

(mit x: x(y) und y: y(x) ais Umk ehrfun ktionen).

Beispiel 6,3.92: Sei p: p(x) = 16 - 0,5x eine Nachtragefunktion. Da nn gilt z.B. a n der Stcllex o '" 8 ME , Po = 12 GE /ME für die Nacht rageelastizität des Preises: p'(x)

ep•• = p(' 1

- O,5x 'X

=

I

" I.· 8 =-3

16- U5s

Daher ist die entsprechende Preiselastizität der Nachfrage (e•.p) durch den Kehrwert von ~p, . gegehcn: f x.p = - 3 (für Po = 12). Dasselbe Ergebnis erhält man d urch Umke hrf unktionsbild ung: p "' 16- 0,5x F

-..p

=

x'(p) x(p)

<=}

x "'3 2- 2 p.

-2 n

'p = ~

32-2p !p_12

= -3

d.h.

.

Bemerkung 6.3.93 : Die Graphen der meisten ökonomischen Funktionen fex) liegen im I , QuadranteIl des Knordinutensvnems, für den x > 0, f(x) > 0 gilt. 111 diesem Fall sichtet sich das Vorzeit.:llen der Elast;ziJät f/,x '" F (x) . x offenbar nach dem Vorzeicllell der Funtaionssteigung rex): fex) -

Gilt f'(x) > 0 (d.h. ist f steigend], so isl die Elastizität

-

Gilt f'(x) < 0 (d.h. ist f fallend), so ist die Etastauat

f j ,x t j ,x

ebenfallspo sitiv. ebenfalls negativ.

(im 2., 3. und 4. Quadranren des Koordinatensystems müssen die entsprechenden Vorzeichen von x und f zusätzlich berucksiduigt werden.) So ist z.B. bei einer monoton jollenden Nachfragef unktion mit x > 0; P > 0 wegen x'(p) < 0 auch die Elosti:.itiit ex/' < O. Bemerkung 6.3.94: Gd egenrlid rdefiniertman spezielldie Preiselastizilät der Nachfrageals negatives taw. absolutes Anderungsverhutmis: dx dx X x (falls man sich nur für den absoluten F ,= - -dpb~. ';r,p Zahlenwert der Elastizirät interessiert). dp p

P

6 .3

Die Anwend ung de r Differenti alrechnung auf ökonomische Probleme

307

Für den so definierten Elastizitiitskoef!izienten ergeben sichbeimonotonfaltenden Naclljragefimktionm stets positive (statt negative) Werte. Wir wollen diesem Brauch im weiteren fliclltfo lgen, da dem Vorzeichen der Elastizität eine ökonomische Bedeutung zukommt: Ist E > 0, so ändern sidl die Variablen gleichsinnig, ist e < 0, so ändern sich die Variablen gegmsinnig.

f'(x )

f'(x)

--fex)

f/,x = I'x) I'

,

r J

cJ,x '"

J(x)

in der Form

so erkennt man, dass die ElastiZlUlt f/ x von fau ch definiertwerdenka nn als' , Gremfunktion f' geteilt dltrch Durchschninsfunkno n f von f.

Beispiel: f( x) '" xl - b:2 + 5x ~

~'(X).x

Schreibt man den Elastiziunsierm (6.3.8 7) f:J x '"

Bemerkung 6.3.95:

r ex) = 3x2 - 4x + 5 ;

~

3r - 4x +5

=

- fex) f= - = x 2 - 2x + 5 x

x2 -2x +5

Aufgahe 6.3.96 : Man ermittle die E lastizität sfunkt ionen f r,x z u fo lgenden Funkt ionen ; i) f(x) = lOx7

, 'ii ) f(x) = x3 ' ln (x1+ 1)

lv] f(x) = ~~: ~

ii) fex) = a' xn ;

a ,n ,*,0

v]

iii) fex) '" 4x3 + 2xLx + 1

4

"iii) fex) '" x · z' Ix) fex) = (3X)2x

fex) = Zx'e- 5x

\'1) f(, ) = ei / x,

JIX2+'I

x)

fex) = a

Aufgabe 6.3.97: Man zeige die G ültigkeit folgender Rec henregeln für die El as tizität ; E s seien u: lI(X), v: v(x) zwei differenzierbare Funktio nen, ferner gelte: u(x). v(x), x Dann lasse n sieh die Elastizitätsfunktlc nen f e, der komhinierten Funktionen I) f ,=u ± v

2) f ,,,,u' v

Cl"

•

'* O.

3) f ,= ~ v

d urch die einfachen El astizitä ten f u "" und E"",, a usdrücke n, und es gilt: u ±v

Mit H ilfe dieser Rec henregeln ermittle man die Elastizität f i,x fo lgende r Funkt ionen f mi t: i) fex) = 4x3+ 20x5

ii) fex) = e-zx, xS

iii) fex) =

y;-. cO,h 4 7.,

Aufgahe 6.3.99: Ge geben sind folgenden Nachfragefunktionen: I) x(p) = 18- 2p

j

0 5:p:!i9

2) p(x) =l Z- O. l x ; 0 ~x :5120

3) x(p) = l O' c - o,zp 4) P(x)= 800 ' e- O,Oh

j

p 2:0 . j

x 2: 0

i) Man ermit tle und interpretiere den Wert der Preiselastizit ät dcr Nachfrage bei einem Preis p von a) 5 GE/ ME h) 9 G E / ME c) 100 G E/M E d) 600 GE/ M E. ii) Bei welchem Preis bewirkt eine 3 %ige Preis senkung eine (ca .) 6% ige Nachfrages teigeru ng? iii) Bei welcher Nachf ragemenge geht eine 4%ige Mengenreduzierung mit einer ebe nfalls 4 % igcn

Preissteigerung e rnhcr? Aufgahe 6.3. 100: (siehe Kap. 6 .3.3 . t ) Man zeige, dass der Wert des Elastizirärskocfflzjenten f r,. du rch pro portionale Änderungen der Maßeinheiten nicht verände rt wird. Hinweis: Proportionale Maßiindemngen (wie2.B. bei kg /, m 2 cm 2 , € Dollarusw.)

können durch die Transformation x*=a . X;f* =b 'f beschrieben werden, wobeix*, f * die Variablen im neuen lind x,f die Variablen im allenMaßsystem bedewell; a , b sind nicht verschwindende Konstanten.

308

6 Anwendungen der Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

6.3.3.3

Elastizität ökonomischer Funktione n

In den Wirtschaftswissenschaften haben sich Begriffsbildungen eingebürgert. die den Grad der Elastin· lät von f bzgl. x (Er) kennzeichnen (siehe BeupieI 6.3.78). In der folgenden Tabelle 6.3.101 sind exemplarisch einigeentsprechende übliche Redewendungen am Beispiel einer Preis-Absatz-Funktion l: mit x '" x(P) aufgeführt (x: Nachjragemenge;p : Prris) . Es handelt sich dabei also um die wertmäßigen Ausprägungen der ..Preis-Elastizität der Nachfrage" • symb0lisch: Ex,p' Man beachte daher, dass in der folgenden Tabelle die unabhängige Variable mit p (buher: x) und die Funktionswerte mit x (bisner: f) bezeichnet werden, entsprechend lautet dieverwendete Preis-Elastizität

der Nachfrage Ex,p (statt allgemein Er) : Tab. 6.3.101

Wert der Elastizität

I'." I > 1

(E > 1 oder E < - 1)

I'" I < 1

(- l<E < I)

allgemeine Begriffsbildung

Beispiel: Nachfragefunktion x(P) mit x a Menge und D ~ Preis

x ist elastisch

Die Nachfrage x ist elastisch: Relativ starke Reaktion der Nachfrager auf (kleine) relative Preisänderungen. Beispiel : Nicht lebensnotwendige, substituierbare Güter wie z.B. Genussmutet.

(x ändert sich relativ st örk er als p)

x ist unelastisch (x ändert sich relativ wetuger stark als p)

Sonderfall: : 1

I" , I

(E = 1 oder E = - 1)

x ist proportional elastisch

(........_ .1.",,,,)

Die Nachfrage x ist unelastisch: Relativ geringe Reaktion der Nachfrager auf Preisänderungcn. Beispiel: Wenigentbehrliche, kaumsubstituierbare Güter wie z.B. Brot, Fleisch, Medikamente Die Nachfrage x ist fließend (I-elastisch, proporttonaI elastisch): Eine Prcisänderungvon einem Prozent bewirkt eine Nachfrageänderung von einem

(Die relativen Anderungen von x und p sind gleich)

Prozent.

Grenzfall:

x ist vollkommen ela~tisch

I ,,,I-~ 00 oder E_ -OO)

(x reagiert ~unendlich heftig" auf kleine relative Änderungen von p)

Die Nachfrage x ist vollk ommen elastisch . Selbst kleinste Preisänderungen bewirken ..unendlich große" relative Nachfrageänderungen. Grenzfall: Der Preis p ist konstant, unabhängig von der Menge. Beispiel: Preisflxierte, substituicrbare Güter(z .B. gewisse Markenartikel im PoIyJXII)

(E_

Grenzfall: t'x,p e 0

x ist vollkommen unelastisch (starr) (x reagiert überhaup t nicht (kleine) relative Anderungenvon p)

.ur

Die Nachfrage ist starr (vollkommen unelastisch): Keine Reaktion der Nachfrager auf Preisänderungen. Grenzfall: Die Nachfrage ist konstant, d.h. unabhängigvom Preis. Beispiel: Unentbehrliche, nicht substituicrbare Güter wie etwa lebensnotwendige Medikamente.

309

6.3 Die Anwendung der Differentialrechnungauf ökonomische Probleme Beispiel 6.3.102:

Gegeben ist die Nachfragefunktion p mit p(x) = 8 - 0,5x bzw, ihre Umkelufunktion x mit 0 s x s 16 ME,O S p s 8 GEIME (p: Preis ; x: Nachfragemenge). x(P) = 16 - zp, Gesucht sind die Preis- bzw. Mengenintervalle, in denen die Nachfrage a) elastisch b) unelasusch c) fließend d) starr e) vollkommenelastisch ist. Lösung: Die Funktion der Preiselastizität der Nachfrage lautet nach (6.3.87): Ex,p

x'(p)

"p

= x(P) 'p = 8 -p (x> O;d.h. p< 8).

a) Die Nachfrage x ist (nach Tab. 6.3.101) elastisch, wenn entweder Ex,p > I oder Ex,p<-I

gilt. Da Ex.p wegen x'(p) <0, x(P» O, p> O stets negativ ist, konunt als Lösung nur der zweite Fallin Frage: DerelastischeNachfragebeteich ergibt sich somitals LösungderUngleichung Ex,p < -1. Es gilt: E x,p ~

= ....:!-
2p > 8

{9

{9

-p<- 8+p (da 8 - p >0) p >4GE/ME .

Die Nachfrageist elastisch für Preise zwischen 4 und 8 GE/ME, sichc Abb. ö.Ll üj . Der entsprechende Nachfragemengcnbereichliegtzwischen 0 und8 ME. b) Den Bereich unelastischer Nachfrage erhält man analog zu a) als Lösungder Ungleichung Ex,p > - } zu P < 4 GE/ME : Die Nachfrageist unelasfisch für Preise zwischen 0 und 4 GE/ ME (entsprechender Nachfragebereich: zwischen 8 und 16 ME), siehe Abb. 6.3.103.

Ipl 8 ,/'"

Ex-p = _00

E",p= - 1

(flie{jen de Nachfrage!

I

4

I-p-'-Ixl:-=-=.-. o=.5x =-:1

~.O ""ff, Ex,p

Nachfrage

I

o

8

=0

lxi

16

lxi 16

,.-- Ex,p= 0 lsf0rr9 Nachfrage !

lunefas llsche Nachfrage!

c) Der BeteichfliefknderNachfrage ergibt sich als Lösungder Gleichung Ex,p = - 1 zu P = 4 GE/ ME (bzw. x = 8 ME), ist somit nur an einer einzigenStelle gegeben. d) Die Nachtrage ist starr. wenn gilt : E =~=O ~ p -OGE/ME x,p 8 -p

lw/kommen elastische Nachfrage )

/

8 ----

E

~

=- 1

(fließende Nachfrage)

(bzw. x = 16 ME) . e) Die Nachfrage ist vof/kommenelastisch für p- 8GE/ME (dh. x-OME),denn : lim E = lim ....:!- = - 00 p _s - x,p p _ r 8 -p Ex,p = -oo

Die Bereiche unterschiedlicher Elastizität sind in Abb. 6.3.103 oben am Graphen von p: p(x) und unten am Graphen der UmkeMunktion x: x(p) dargestellt.

o

/ 4

8

Abb. 6.3.103

(vollkommen efastische Nachfrage ) {pI

3 10

6

Anwendungen der Differentialrechnung bei Fun ktionen mit einer unabhängigen Variable n

Dcr Ela snzitätsbcgritf spielt - a ußer bei J en be reits häufi g zitierten Nachtragefun ktionen - für viele weitere wirtschaftwi ssenschaftliche Funktionen eine wicht ige Rolle zur Analyse öko nomischer Zusam menhänge. E ine n Überblick übe r häufig verwende te Elastizi lätMlegriffe liefert die folgende T abe lle; Ökonomische Funktion

I. Nachfragefunktion [A ngcbot sfu nktlon]: p: p(x) bzw. x: x(p)

2. Nachfragefunktio n (A ngebo tsfunktio n) in Abhängigkeit von den Preisen PI' P2 z wei-

Elastizi läl\heg riff f: x.p;

Preiselast izität der Nac hfrage (des Angehots)

EX\ .P2

bzw, Ex2.P \ ; Kreuzpreiselastizität der Na chfrage (des Angebot s) (= relat ive Nachtrage- (A nge-

er (verbundener) Güt er: xI: XI(PI' P2)

bcts-) änderung eines Gutes bei I o/r,·iger Prcisänderung (e. p.) des anderen Gut es)

x2: x2(P\, P2)

3. Engelfunktion N (N achfrage N(Y) nach einem Gut G in A bhängi gkeit vom H aushaltseinkommen Y )

el".Y: Einkommenselastizit ät der Nachfrage (nachcinem G ut G)

4. Produkt ionsfunktion x: x(r) (ein variabler Inp utfakto r R mit der Ei nsat zmenge r)

e x.•; Elastizität des Outputs bzgl. des Fak tor -

5. Prod uklionsfunkt ion x: x(r l • r2' .... rn)

i)

(m t'hrerrva riablt: Inputfaktorcn)

einsalzes (gelegentlic h auch - nicht ganz korrekt. s. Bemerkung 6.3.XO - " Prod uktionsela stizitä t des Faktors R ~ gen annt)

Ex r .:

("Produktionsc!astizitäl ")

"Elasti zität des O utputs bzgl. des

(siehe Kllp. 3, Bsp . 3.1.1 i) sow ie Kap . 7)

i-ten

Produktionsfaktors c.p. ii)

Skalene lastizität (auch: N ivcau elast izität) (=0 rela tive Änderungdes Output s, wenn das Niveau sämtlicher Inputs zugleic h um 1% erhöht wird)

EX;.:

Substitu tionselas tizit ät r-

r,

rl.:

r l.:

d(-'-)l--'Bem erkung: Die ~paniel!e" Grenzproduktivitn die 1. A bleitung von x na ch 'i unter Konstanthahung aller übrigen Variablen ("c.p. "). l hr Wertentspricht der Outp ui änd erung, wenn 'j um eine Einh eil (c.p.) ge önden wird, sieheeuch Kap. 7.1.2. Iä l at/ari

6. Kost enfunktion K: K(x)

(= relat ive Änderun g des E insatzverhältnisses rJ rk zweier Faktoren. wenn sich c.p. die Gr enzrat e der Substitution drj/drk zwischen diesen Faktoren (siehe (7.1.6 9) ) um 1% ändert (bei unveränd ert em Ou tput und Input der übrigen Fakt oren))

t :K,.;

Elastizitä t de r Kosten bzgl. des O utputs (Ourputclasrtzitä t der Kosten)

6,3

Die Anwendung der Differentialrechnung auf ökonomische Probleme

311

Einkommensclastizität des Konsums

7. Konsumfunktion C: C(Y) (Konsum q y ) in Abhängigkeit des Haushaltseinkommens Y)

tc,V:

8. Konsumfunktion Ci: Ci (C) (Abhängigkeit des Konsums Cj( C) des l-tcn Gutes vom Gesamtkonsum C)

tc-,C= des Gutes i , Ausgabenelastizität ..

9. a) Importfunktion Im(p, YI) (Importe Im in Abhängigkeit vom Preisverhältnisp und dem Inlandssozialprodukt YI) b) Exportfunktion Ex(p, YJJ (Exporte Ex in AbMngigkeit vom Preisverhältp und dem A uslandssozia lprodukt Y JJ Inlandspreisniveau ( € ) (p '.. Auslandspreisniveau ( €) )

t lm,p ' tlm,V I , E ~ p' Eu,VA:

(= relative Anderung der Konsumausgabe Ci für das H e Gut, wenn die gesamten Konsumausgaben C um 1% zunehmen) Elastizität der Importe [bzw. der Exporte) bzgl. des Preisverhältnisses (bzw. des Inlands- oder Auslandssozialproduktes)

BeispleI6.3.104: Die Nachfrage XI nach Videorecordern des Typs Alphahä ngesowohlvom Preis PI dieses Systems als auch vom Preis Pz des (konku m'errnden) Gammasystems ab. Dieentsprechende PreisAbsatz-Punktion laute: XI = 10.aaO- 2pI +3pz. Die Systempreise betragen z. Zt . PI = 2,000 € / SI. (Alpha) und Pz = 2.200 € / SI. (Gamma). Dann erhält man die sog. Kreuzpreiselastizitäl der Alphanachfrage XI bzgL desGammaprcises rz (e.p.)durch

aXI fapz

3P2

,'XI,PZ • -X-' Pz = 10.000I

2P I

- 052 , , d.h.eine PreiserhöhungdesGammasystems

+ 3pz -

um 1% bewirkt c.p. eine NaehfragesteigcrungbcimAl phasystcrn um 0,52% (substü ut ivc Güter, unelastischer Fall). (ZurAbleitungs-Symbolik: siehedie Bemerkung aufder vorherigen Seite.)

Beispiel 6.3.10 5: Für eine Volkswirtschaft seien die Jmport -r Exportfunktione n wie folgt vorgegeben: Im = 0,3 ' p l,2. y IO,95 Ex = 0,1 . p-1. 7 . YA 1,1

( p : Preisnivea uverhält nis Inland/Ausland YI : Inland-Sozialprodukt; YA: A usland-Sozialprodukt)

Dic Inland-/Ausland-Sozialprodukte seien für ein Referenzjahr fest vorgegeben: Y I = 1.500 Mrd. € ; Y A = 2.500 M rd. € .

Gesucht sind: i) Import-,' Exportquot e (= Anteil des Imports/ Exports am Inlandsozialprod ukt], wenn das Inlandpreisniveau um 10% über dem des Auslands liegt; ii ) relative Zu- / Abnahme der Importe/ Exporte, wenn aufgrund einer € -Aufwcrtung das Preisverhältnis p um5% zunimmt. Lösung: zu i) Im = 0,3 ' 1,11.2 ' 1.500°,95 = 350,0 Mrd. € , d.h. die Importquote beträgt 23,3% . Ex = 0,1 ' 1,1 - 1, 7 ' 2.500 1•1 = 464,9 Mrd. €, d.h. die Exportquote beträgt 31,0%. zu ii)

Für die Elastizität der Importe bzgl. des Preisverhältnisses gilt: E1m• p =

Im'fp ) 0 30' 1 2 'pO,2. l.S000,95 " . = 12 Im(p ) ' P = 0,30 'p U. 1.500°,95 P •

d.b. die Elastizität ist konstant 1,2. Daher nehmen die Importe um 5 ' 1,2 = 6%zu, wenndas Preisverhältnisp um 5% steigt. Analog erhaIt man für die Elastizität des Exports: GEr., p -1,7, d.h. der Export nimmt um 1,7 ' 5 = 8,5% ab, wenn das Prcisverhältnisp um 5% steigt.

=

3t 2

6

Anwen dungen der D ifferentialrechnung bei Fu nktion en mit ein er unabh ängigen Variablen

r (.= f(;») von Bedeu tun g (wie z.B . die

Ist au ßer der Fu nk tion f a uch deren Durch schnittsfunkti on

Er lösfunktion E(x) und deren D urchschnittsfunknon. die Prcis-Absatz-Fu nkti on p{x) = E~x) = E(x)), so e rgebe n sich mit (6 .3 .87) zwei wicht ige funkti onale Beziehun gen u nte r Verwendung der E lastizität sfunktion; i)

Be7jeh ung zwischen Grend unktion f", Durch..chnitb funktiOfl f sowie Elas tizit:il f f,. der Durch schnitts funktion.

-

f(x) ,:

f( x)

7

f(x) = x : f(x).

folgt -

-

Ab leitu ng mit Hi lfe der Prod uktrcgclllctcrt (( x)

-

I'(x} = I · f(x) + x- I'(x) = f(x) · ( I + = - . x) = f(x ) ' ( I + e- ) . f( x) r,x Satz 6.3.106:

f',= ~'i.)

E s sei f eine differenzi erbare Fun ktion und D urchseh nitts funkti on (x

*' 0).

d.h.cs gilt

ihre ebe nfa lls differenzie rbare

Dann gilt ste ts die Identität

f'( x) = f(x) · ( I H f.x )

(6.3.107)

Diese r allgemeine Zusamme nhang wurde zuerst für den Spezialfall der Erlös-oder Ausgabenfunktion E(x) ,: X' p(x) und deren D urch.:.e hnitt sfunkt ion p(x) :

=-

E~'i.)

(Nach frage- bzw. P reis-Absatz -Funk-

tion) formuliert: Mit f ss E, f P erhält man aus (6.3 .107): E '(x) = p(x) · ( I +t· P.' ) und da raus wegen ep'x = - ,-' - (siehe (6 .3 .9 1» sc hließlich de n bekan nten f: •. p

Satz 6.3, 108:

(AMO ROSO -RO BINSON- Relation) Z wischen Gr enzumsatz E '(x). Preis p(x) und Prcisclastizität der Nachfrage die Beziehung

E'(,)

(6.3. 109)

Bem erkun.g 6.3.110: Die anst elle

VOll

=

e.,p bes teht

P(' ) ' (1 + -r-'-) t:• .p

(6.3.109) gelegen./lieh unzutreffende Schreibweise

,

E'(x) = p (x) . (l--.!... ) rahn daher, dass

e zuvormit einem (k unS/lichen ) Minuszeichen. versehen wurde, s. Bemerkung 6.3.94.

ii ) Beziehung zwischen den EIa...uznäreneiner Funktion f und ihrer Durchschntustun kuon f :

M it Bemerku ng 6 .3.95 folgt:

rco

=-=l +t- . f(x )

Satz 6.3. 1 11:

(6.3. 112)

f.x

['(x )

. • •

~

tr.x = = - . Aus (6.3. 107) folgt nach DIVISIon d urch f ( 01= 0):

n,)

Fas st man bcide Erge bnisse zus ammen , so erhä lt man

U nter den Vo ra ussetzungen von Salz 6.3 .106 gilt stets mit

f ",. Lx

6.3

Die Anwendung der Differentialrechnu ng auf ökono mische Probleme

313

Angewendet auf die Erlösfunktion E(p) = P x(p) und ihre Durchschniltsfunktion x(p) ergibt sich aus (6.3.112) die allgemeing..ültige Beziehu ng

1-,,-,,-----1-+-,-,,-,'1'

(6.3. 113)

d.h. die Preiselastiz ität des Erlöses [bzw. der Ausgaben) ist stets um Eins gr öße r als die Prciselastizität ocr Nachfrage. Beispiel 6.3.114: Für eine monopolistische Ein-Prod ukt- Unternehmung seie inemonotonfallende PreisAbsatz- Funkt ion p(x) bzw. x(p) und eine monoton steigende Gesamtkostenfunktion K(x) gegeben (siehe et..va Beispicl 6.3.45). I m Gewinnmaximwn muss notwendiggelten: G '(x) = 0

E '(x) = K'(x)

bzw.

(siche(6.3.35» .

Setzt man die letzte Beziehung in die Amoroso-Robinson-Rcl ation (6.3. J09) ein, so folgt: K'(x) = p(x) ' (1 + ~). Es folgt daher:

~p

Da K'(x) und p positiv sind, muss auch die Klammer positiv scin. 1

1+ - - > 0 Ex.p

~

1

- - >- 1 Ex,p

E•.p < - 1

~

d.h. der Monopolist en ielr den Maximaigewinn stets im elastischen Bereich der Nachfragef unktion.

Bei,piel 6.3. 115: Ein monopo listische r Anbictcr sehe sich einer [attenden Nachfragef unktion x: x(p) gegenüber. d.h. es ~,..elte Ex,p < O. Welchen Einfluss haben Preisänderunge n auf den Umsatz E(p) ?

I Ix!

I (E!

xlp !

Unt er Verwendung der Beziehu ng (6.3.1 13) f E .p

= 1 + E. ,p

folgt:

-- ~ i

E".p o: - 1 '

i) Im elastisc hen Nachfrage bereich gilt: f •. p < - 1 (sichc Tabelle6.3. 10l). Daraus folgt: 1 + E~ p < 0 d.h . EE,p < 0 d.h .

Im Bere ich elasnscber Nachf rage sinkt der Umsatz bei P reis erh öhung en.

/pl 0' Abb. 6.3. ff6

ii) Im unclastlschcn Naehfragebcrcich gilt: Ex.p > - 1, d.h. 1 + Ex.p > 0 und dahe r Im Bereich unelasuscber Nachfrage steigt der Umsatz bei Preisern ühungen. Bi)

FE,p > 0:

Im Umsatzmaximum gilt E '(p) E. ,p = -1:

= 0 , also auch EE.p = 0 , so dass mit 0 = 1 + l:x,p folgt: Der Umsatz wird an der Stelle fließender Nach t rage maxima l, siehe Abb . 6.3. 116.

Aufgabe 6.3.11 7: D ie Preis-Absatz- Fun ktion eines G utes sei gegeben durch d ie Gleichung a) x(p) = 20 - 0A p b) p(x) = 120 · e- ll• 1x ; x>O . p > O . i) Für welchc Preise ist die Nachfrage elastisch bzgl. des Preises ? ii) Bei welehcm Preis bewirkt eine 2%ib'C Preissteigerung ein en Umsatzrückgangvon 10% '!

Aufgabe 6.3. 118: Gegeben sei für einen Ha ushalt die Funktion E(W), die den funktio nalen Zu sammenhang zwischen Ausgaben W für WOhnvmg (in € /Monal) und dcn Ausgaben E für Energie (in € /M onat) bcschrcibt : E = E(W) = 10· 1+ 2W. w eiterbin sei bekannt, dass die A usgaben für Wo hnung W in folgender Weise vom Haushaltseinkommen Y (in € /Mona t) abhängen:

W '" W(Y) = 400 + O,05Y

(W, Y > 0) .

314

6

A nwcnd unh'Cn der Differentialrechnung bei Fu nkt ionen mit einer una bhangigen Variablen

i) Man ermittle für Wohn ungsausgabe n in H öhe von 800 € / Monat die E lastizi tät der E nergieaus-

gabe n bzgl. de r A usgaben für Wo hnung und inte rpretiere de n gefunde nen Wert ö konom isch. ii) Man ermittle mi t H ilfe des E lastizitätsbegriffs, um wieviel Prozent sich be i einem Einkommen

von 4.000 € / Monat der Energieverbrauch erhöh t, wenn das E inkomm en um 3% steigt. Aufgabe 6.3.11 9: Die Preiselastizit ät der Nachfrage naeh Weizen betrage wä hrend eines mehrjährigen Zei traumes konstant etwa - 0.2 . Man erläutere, wieso nac h schlech te n E rnten denn och der Gesamtumsatzwert im Weizengeseh äft (gegenüber J ahren mit guten E rnten ) zunimmt. Aufgabe 6.3. 120: Ma n zeige, dass die O utp utelastiz ität der Gesamtkosten im Bct ricbsoptimum stets den Wert 1 annimm t. Aufgabe 6.3. 12 1: Man ermittle die Preisela stizitä t des Grenzer löses für p = 150 G E / ME, wenn die Preis-Absatz-Funknon d urch x(p) = 100 - 0.5p gegeben ist. Wieso ist dies e Elast izität pos itiv, obgleich die Steigung E " des Grenzerlöses E '(p) stets ncganv i~t ? (siehe Bcm. 6.3.93 )

*"

Aufgabe 6.3. 122: E ine Funkt io n fex) heißt Isoelasüscb, wenn für alle x 0 gilt: Ef,~ = C = const. ( e IR). ff .x = n = cons t. i) Man zeige: Alle Po tenzfu nktio nen fex) = n : x'' sind isoelastisch. und es gilt: Bemerkung: Mall kann zeigen, dass die POlelltfullkJiOfU!/1 die elntlgen isoelastische n Funktionen sind, siehe Kap. 8.6.3 .2 . ii) Im Jahr 1968 wurden (be i einem Zuckerp reis von 3.500 € / t) 5,04 Mio t Z ucker nachgef ragt. Durch Zeitreihenanalysen war beka nnt, dass die Prclsclastizlt ät der Z uckemachfrage den konstau ten Wert -0,383 besaß. Wie lau tet e die Nachfragefun ktion nac h Zucker '! iii) Man ermit tle die G leichungen und zeichn e die Graphen der isoelas tischen Nachfragcfu nktionen p(x) mit folgenden Eigenschaften: f ür p = 2 sei x = 5 und es gelte: E•.p =: -1 ; a) übe rall fließe nde Nachfrage , d.h. b) übe rall vollkommen unclastisehe Nachfrage, d.h. t: x.p =: 0 ; c) überal l vollkommen elastische Nachfrage, d.h . f x.p =:,, ± oo ~ .

• Aufgahe 6.3. 123: Gegeben sei das Sozialprodu kt Y einer Vo lkswirtschaft inAbhängigkcitvon dcr Kapitalausstat tu ng K und dem A rbe itseinsatz A durc h d ie Prod uktionsfunktio n. Y = 100 ' A 0.8 . KO.2 . Ma n ermittle die Sub stitution selasnzlt ät oA K und interpretiere den erha ltenen Wert.

6.3.3.4 G r a p h isc he Enn ittl ung d er E lastizit ät

IIfI

Dazu zeichnet man in P an f dic Tan geme undbestimmt die absol uten Lä ngen PF bzw. px der TlUigenl en· Ahschn ille zwischen P und dem Schnittpunkt F mit derf-A chsc bzw. dem Schnittpunkt X mit der x-Ach se, siehe Abb. 6 .3.124.

I I

Dann gilt:

I I

I

~,

Liegt der Grnph einer Funktion f vor, so kan n auf einfac he Weise für jeden Kurvenpunkt P(x; f(x» der zugehö rige Wert er", (bzw. Ex,!) de r Elastizität (n ähcrungswcisc) ermit telt werden:

.'

f

lxi X<'-_ 7:!"' -_ -'-_ _ ';:.o

6 .3

315

Die A nwen dung der D ifferent ialrechnung auf ökono mische Prob leme

Satz 6.3. 125: Der Bel mg der Ela..tizit ät von f bzgl. x (bzw. x bzgl. f ) an dcrStcllc p(x; fex)) ist gleich dem I,ängenverh ähnis der Tan ~nten ahst"hniUe (A bb. 6.3. 124):

(6 .3.126)

Das Vorzeichen der Ela stizität ist gleich dem Vorzeichen von f'( x), sofern P im 1. oder 3. Q uadranten liegt. und gleich dem negativen Vorzeichen von I'(x). falls P im 2. oder 4. Quad ranten Hegt.

Der Beweis so ll für eine steigende Fun ktion [wie in A bb. 6.3 .124) erfolgen, siehe Abb. 6.3 .127:

IIII

A ufgrund der Strahlensä tz e gilt: i)

l1U = I"PX I

'- =

x - xl

flJ----PI

x- - '-

X - Xl

f(xJ

Andererseits gilt für die Steigung von f in P: ..

11)

.,

t (x)= -

f(x)

-

x - xl

~

L'

-I'(x) =- 1

f(x)

I

X -X l

Setzt man d ies E rgehnis in I) ein. so folgt:

° l_ X- X

1

x _

_

-i

Abb. 6.3. 127 (siche (6.3 .87)) und somit der erste T eil der Behauptun g von Satz 6.3.1 25. Für fallende Funkt ionen liefert eine analoge Bewei sfüh rung bis auf da s Vorzeich en dasselbe E rgeb nis. Der zweite T eil der Behauptu ngv on Satz 6.3. 125 folgt unmirtelhar aLLS Bemerkung 6.3 .93. Beachtet man. dass im I. und 3. Q uadranten nu r negative Steigungen und im 2. und 4. Qu adranten nur positive Stergungen zu negativen E lastizilät en führen (siehe d ie charakte ristischc A bb. 6.3 .130), so erkennt man d ie G ültigkeit folgend er einfacher Vorzeichenregel f ür die auf graphischem Wege zu bestimmende Elastizität:

Satz 6.3. 128:

(Vorzeichmregemf ür dir Elastizitäl)

Zeige n die Tangen lenabschniue PF und PX (vom betrachteten Pun kt P(x; f (x)) aus gesehCll) i) in die gleiche Richtung,

so ist rr,ix ) positiv, und es gilt:

' ,j, . j =

1pp L

I_px I > 0

(s. Abb. 6.3. 129) ,

ii)

in verschiedene Richtungen , so ist "r.ix ) ncga uv, und es gilt:

I'r (x)= -

•

L<0 IPx I

j

pp

(s. Abb. 6.3.130) .

316

Anwendungen der Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

6

" X2 f

('< 0

(, 0

x, O

x
B

X,

III

(, 0 (, 0

III~ P,

EJ

x, lxI

fxI

Pz

2

fT"'9f'Il/~1i I Ij/gtJn

In d_

EJ

r» o

lIkJIIIng/

Abb. 6.3. 129

Abb , 6.3. 130

«0 ,, 0

x
f' '''9f'Il/. >abscmfll. uigfn In ....~~ /

Bemerkung 6.3.131: Den Grad der ElastizildJ (siehe Tab. 6.3.101) an der Stelle P(x; fex)) erhält man graphisch durch Ungenvergleich der Tangentenabsdmme:

1" 1> IRI,,""' I"'I . elastISchbzgl. . _ I > 1, d.h. f 1St x

III

i) Fal"

1PX

(bzw. x unelastisch bzgL (s. Abb. 6.3. 132)

n x

Ix )

f

1< 1 • dh. / ist undastisch bzgl. x I" I < 1fiX I' so tst 1PF 1 1PX

ü) Fal"

III

Abb . 6.3.133

,

7/ ~

X

w) Fal"

Abb. 6.3. 132

1" 1= IR I,'""' III

(bzw. x elastisch bzgl. I) (siehe Abb. 6.3.133)

(fJ

E,,x < 1 Ex.!> 1 (x }

I::

lxi

x =

1, d.h. in P tstf bzgl. x (sowie x bzgL

n

ausgeglichen(.riehe Abb. 6.3.134) elastisch

III F

EJ

Abb. 6.3.134

o f=X

lxi

o

x

lxi

6.3

Die An wendu ng der Ditfcrcn na lrcchnuog auf öko nomische Probleme

317

Beispiel 6.3.135: Gegeben sei de r Graph der Nach fragefunktion p(x) = 10 - 2x , x, P > 0, siehe A bb. 6 .3.136 . Die Preiselastizität der N aehfragce x.p ist überall negat iv, da zusammengehörige Tangentenabschnitte in verschiede ne Richt ungen zeigen [sieh e Satz 6.3. 129) . Bei der graphischen Bestimm ung vo n f."x,p ist außerdem zu beachten, Jass im Zähler der T angentenahschnitt bis zu r x-Acbse(a 1. Index von f x.I')' im Nenner der Tange ntenabschnitt bis zur p-Ac hsc ( ~ 2. In dcx von f."x.p) stehe n,

Ipl

E

6

5 4

E = _1

A nstelle der Tangemmabschnine k önnen auch die entsprechenden A chscnabschnine (sie entstehen durch senk rechte Projek tion auf eine der Koordino tenochscn} ins Verhütmis gesetzt waden (Strahlensiitle 1). InAbb. 6.3. 136 sind an

'=-f

IPI ;

2

Bemerkung:

=-f

,, ,

: :

•

o

~

2

I ~

!

~

3

,

•

4

lxi

t: = 0

5

lXI

Abb. 6.3. 136

mehreren ausgew öhltcn Punkten die zugehörigen Elastizit ätswerte in Form der entsprechenden Langen verhaim isse ungeschrieben.

Aufgahe 6.3. 137: i) Man ermittle näherungsweise die E last izitätswert e er., in de n gegebe nen Pu nkt en A , S, ... der in A bb . 6.3. 138 graphi sch vorgegebe nen Funkti on f = f(x)

ii) In welche n Bereichen ist a) f elas tlsch/ unelastiscb? b) die Ela stizit ät po sitiv/ negativ?

IIII A

Abb . 6.3.138 B

lxi

c

I

o

E

r,

Aurgahe 6.3.139: Gegebe n sind der Gra ph je einer ertragsgesetzlichen Pw d uktionsfun ktion x(r) und Gesamtkostenfunktion K(x), siehe A bb. 6.3. 140.

i) Man ermittle näherungsweise die Ela stintäten e•.r u ndEK,xin den gegebenen Punk ten P, Q , .... ii) Welche r spez ielle ökonom ische S achverhalt lässt sich m it H ilfe des Ela stizit ätswerres jeweils im Punkt S formu liere n?

I lxI

jlKI

T

5

T

o

Abb. 6.3.140 p

ITI

o

318

6

Anwend ungen de r Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhangigcn Variab len

Ei ne weitere geome trische Deutung de r Elas tizilät wird d urch folge nden Sachverhalt ermöglic ht: Salz 6.3.141:

E s se i f: x l---+ f(x) eine diffe renzierbare Fun ktion, es gelte außerdem f, x > O. Dann gilt für d ie E lastizität vo n f bzgl. x:

t

(6 .3.142)

Bewelsr

d (In f(x)) d (loga f(x» := d (In x) d (loga x)

-

r,X -

Für die Differen tia le gilt nach (6.1.6); ['{x]

.)

d( lnf(x»:= (In f(x»"dx := Qx) dx

b)

d (ln x) '" (ln x)" dx '" .l ·dx.

CW ' dX

d (In rtx» d (In x)

I

so.....i e

Da raus folgt sofo rt der e rste Teil de r Beha upt ung:

x

I'(x)

(Ke ncnrcgcl)

roo

(siehe 6.3,87) ,

"' x'f(x)= t r,x

x'd,~

De r zweite T eil der Be hauptung folgt aus (1. 2.88) wegen 111f(X) 10<> fex) = - ~ Ina

und

In x 10" x = - Ina

=

Mit ande ren Worten besagt Satz 6.3 .141; Man erhält die Elaslizitä l t f x ' inde m man die logarilhmische Funktion log f(x) nach der logarnhmicrtcn unabh ängigen Varia blen' log x a blelte t. Setzt man etwa: log f(x) =. v, tog x e.u. so gJ'It:

dV t:r,x = dli"

' (dllppel t rm

logarithm ische n) (u,v) - Koor dina ten system:

Z ur graphische n E nn itt1ung von f x bildet man daher die Ausg~gsrunktion f(x) in einem dcppell - logarilhm l_schen Koonhn atc nsy stem ab und erhält dann a n jeder Ste lle d ie Elaslizilä l t f • als

t

~gewöhnliche~ Steigung (~:

=

tan a ) im neu en Koordi natensystcm . In Abb. 6.3.1 43 sind Funk tionsbeispiele auf doppe lt -logarithmischem Papierdargestellt. Man erken nt zum Beispiel, dass sämt liche abge bilde te n Porcnzf unktio nen

15

+-+---;+-1---''''

10 f--"'c--'

5 4

+----=---;- - 'i-''+--+- - - + - :'*''

3

f-- - +---,n-+"",--;;

2

f---++-+-:7'~---''''-+-+- I+--

I a , ,", j .rm neuen vx , Sx ( ,ce

Koo rdina tensystem die konstan te ~ gt:wö hn l ich e~ Steigung tan a besi tze n, 'W
spricht.

3

4

5

Abb. 6.3.143

10

15

(x!

6.3

D ie A nwend ung de r D iffere ntialrech nung auf ökonomische Prob leme

6.3.4

319

Überp rü fu ng ökonomfscher Gesctzmäßigkciten mit Hilfe der Differentialrechnung

Nachstehend werden in loser Folge emtge bekannte ökonomische "G e.~etze" eut gefubrt und d ie Üherprüfung ihrer G Ültigkeit m it den 11iIf.~millcin der Differentialre chnung demo nst riert. E s wird sich dabei zeigen. dass sich die mit def inierten Prämissen ope rierende ökono mische Mathema t ik a ls elegan tes und effektives, dem rein verbalen Vorgehen übe rlegenes Werkzeug be nutze n lässt: Denn gerade bei der ~ griffi­ gen" verbaten Formulierung und A nalyse öko nomischer Gesetzmäßigkelten wird die !'iOrgfallige Beach tun g aller ben utz ten vorau ssetzuegen nicht immer offenba r, obsc hon d ies im Sinne wissenschaftlicher Redlic hkeit unabdi ngbar ist. E ine Übertragba rkeit theo retisch gefundene r Gesetze auf die ökonomisc he Rea lität hängt en tsc heide nd davon ab, ob bzw. wie gut die benu tzten Vora ussetzungen im konk reten Fa ll zutreffen oder nicht.

J ed e der im folgenden aufgeführten ökonomischen Gesetzmäüigkeiten isl eingera hmt und trä gt eineeigenc, fettgedruck te Fo rmel-N ummer: (6.3 . 144)

i)

De r Grenzertos eines mooopohsuschen A nb ierers ist stets kleiner als der Preis .

ii )

Der Grenzerlös eines pol~l>01i stischcn A nbietcrs Ist ste ts identi sch mit dem Preis.

Für Fall i)wird e ine fallende Preis-A bsatz-Funktion p: p(x). d.h. p'(x] < 0, un terstellt. A us E{x) = x - p(x) er hält ma n mit der Prod uktregel (6 .3.87 ) den G renzer lös E '(x) zu: (*) E'(x) = p(x) + x · p'(x). Da wegen x > 0 , p'(x) < der 2. Tenn auf der rech ten Seile negat iv ist, muss zwingend gelten:

°

I E'( x) < p(x) I (siehe et wa A bb. 6.3.48 od er A bb. 6 .3.50)

i)

In Fall ii) wird ein für den A nbictcr kons tanter Preis p = co nst. unters tel lt, so dass p'[x] == 0 btilt und somit aus ( *) fo lgt:

I E '(x) = p I

ii )

(6.3. 145)

w.z.b.w,

Im Siückkosrenmlmmum (~ Betriebsopl imum~) sind Gren zkost en und Stückkosten ldennsch.

U nterstellt wird eine d ifferenz ierbare Gesamt kostenf unkt io n K: K(x), deren Stüc k kos tenfu nktion k mit k(x) ,= für x > 0 ebenfalls differenzierba r u t und innerhalb des Kapazit ätsbereiches ein relatives M inimum bes itzt, siehe z.B. Abb. 6.3 .28 od er 6.3 .30. «6.3.145) ist daher z.B , nicht übertragbar auf lineare Konenfunktionen. sieheAbb. 6.3. 44). Es muss nun imSt üc kkos temnin i mum~x > 0 ) notwendigerweise die erste Ableitung k'(x) der Stückkosten verschwinde n. Wegen k(x) = K/ folgt daher mit der Q uot icn tenregcl (6.18) an der Stelle x:

Kr')

O= k'( x)= ( K(X) y= K'(X)·X - K (x j . x

0= K'(x) ' x - K(x)

d.h ,

I

k(x) = K'(x)

I

Mu lt iplikation mit

xZ

~

K(x) = K'(xj -x

lm Bctricbsoprlmum x .

~

K~x)

XZ

> 0 liefen:

= K'(x) ,

Gc nau dies war zu zcigcn.

Bemerkung; Die Rl'gel (6.3. 145) bleibt auch gültig im Betriebsminimum (klx) =min.), da stetsgilt: K..'(x) e K'(x) ("DieGrenzkosten sind unabhängigvon den Fixkosten", sieheetwaAbb. 6.1.34): (6.3.146)

Im Betriebsminimum sind Grenzkosten und aurchschniuticbevariable Kosten identisch.

320

Anwendungen der Differentialrechnung bei Funktion en mit einer unabhängigen Variablen

6

(6 .3 .145) und (6 .3.14 6) sind ökonomische Spezialfälle des allgemeinen Satzes

In den relativen Exmma x ( * 0) einerdifferenzierbaren Durchschnittsfunktion f mit

(6.3 .147)

f(x) ,=

~)

sind die

DurchschnillsfWlkdon und GrenzfWlktion

[(x) = f'(x) .

Identi'iCh :

Beweis:

werte f(x) und f'(x) von

In einem relativen Extremum x von [ (x) muss gelten: ( '(x) = 0. Mit der Q uotientenregeJ (5 .2.35) folgt wegen f(x) =

trp :

,--------,

0= ( I{X»)' = f'(X) 'x - f(X) ~ f'(x) 'x = 2 x x (1 *0)

f(x) ~

f'(x) =

trp

=

f(x)

• w.z.b.w.

Ein weiterer be kannter ökonomisc her Spezialfall von (6.3 .147) lautet für (nichtlineare) Produktionsfunktionen (siehe z.B. Abb. 6. 3.32): (6.3 . 148)

Im Produktivitäts-Maximum stimmen Gren zprod uktivitä t W1d Durchschnittsertmg überein.

D ie folgenden Aussagen beschreiben einen Elastizitätskoeffizlent en : (6.3 . 149)

zwisch en ExtremsteUen und zugehörigen

Im Betriebsoptimum sind die Gt'SlUJItkosten ausgeglichen elastisch bzgl. des Outputs. Im Betriebsminimum sind die variab len Kosten au~geglichen elasti~ch bzgl. des Outputs.

I) ü)

Beweis:

Zu.'~ammenhang

E s werden dieselben Voraussetzungen wie be i (6 .3.145) unterstellt . Nach (6 .3.87) gilt allgeme in für die Outputelastizität der Kos ten (siehe Bemerkung 6.3 .95) :

(* )

K '(x)

elV

K '(x)

= K( x) ' x = K( x)

,

K '(x)

= k( x) .

N ach (6 .3.14 5) gilt and ererseits im Betriebsoptimum: K'(x) = k(x). Eingesetzt in (*) ergibt sich uruni ttelbar im Betricbsop timum: I)

~

D ie zweit e Behauptung ergibt sich aus (*) wegen

IeKv,J: = I I

Ky'(x) e K '(x) sowie (6 .3.14 6):

ii)

(im Betricbsminimum) w.z.b.w.

~.

Die R egeln (6 .3.14 9) bedeuten, da ss im Belriebsoptimum (bzw. Betriebsminimum ) eine Produktions ausweit ung um 1% eine Gesamtkostensteigerung (bzw. Steigerung der ~ariahlen Kosten) um ebe nfalls (ca .) 1% verursach t. (6 .3.149) beschreibt ö konomische Sonderfälle des folgenden allgemeinen Zusammenhangs: (6.3 .150)

Beweis:

I n den relativen Extrema x (*0) einer differenzierbaren DurcltschnitCSfunktion f : f(x)

(,- trp )bes itzt die Elastizitäl er", von Nach (6 .3 .87) gilt:

er", =

f'( x)

-

f(x)

f'(x)

f bzgl. x den WeIt 1. f'(x)

=-

'.1 = - - = ~ fex)

x

(siehe auch Ben. 6.3 .95).

In den relativen Ext remst elIen x von f gilt andererseits nac h (6.3.147): f' (x) = f(x). E ingesetzt ergibt sich urunittelbar er", = 1 in den ExtremstelIen von f, w.z.b.w.

6.3

Die Anwendung der Differentialrechnung auf ökonomische Probleme

321

Ein weiterer ökonomischer Sonderfall von (6.3.150) fUr Produktionsfunktionen lautet: (6.3. 151)

FUr denjenigen Faktorinput r, für den der DlU'Cbschn.iusertrag X~) maximal ist, hat die Elastizität t K, r des Outputs bzgl. des Faktorinputs den Wert 1.

Für jeden monopolistischen Anbieter stellt sich immer wieder die Frage, ob durch eine Preisanhebung der Umsatz steigt oder aber der Preiseffekt überkompensiert wirddurch einen so starken Mengenrückgang.dass per saldo der Umsatz ranl. Hier gelten die folgenden Gesetze (unter der Voraussetzung.dass

einefallende Nachfragefunktion/ Preis-Absatz-Funktion existiert): (6.3.152)

I) Im preis-ueetasdsehen Bereich einer (fallenden) Nachfragefunktionführcn P reisemöhungen zu Umsatzsteigerungen (und PreissenJamgen zu Umsa tuninderungen) . U) Im preis-elastischen Bereich einer (ja//enden) Nachfragefunktion führen Preiserböhungen zu Umsatzminderungen (und Preissenkungen zu Umsatvteigerungen) .

Der Beweis zu i) ist im. Beispiel6.3.115 geführt. Daraus ergibt sich der Beweis zu ü), wennman beachtet, dass - bei fallender Nachfragefunktion - Mengenausweitungen nur durch Preissenkungen bzw. Mengenreduzierungen nur durch Preiserhöhungenbewirktwerden.

Das folgende Gesetz beschreibt einen klassischen Zusammenhang zwischen Grenzkosten und Grenzerlös einer gcwinnmaximierenden Unternehmung(sicheBeispiel6.3.33 ii»: (6.3.153)

Eine (Ein-Produkt-) Unternehmung kann nur dann maximalen Gewinn emden, wenn sie ihre Produktions- und Absatzmenge (bzw. ihren Angebotspreis) derart fixiert, dass dafür Grenzerlös und Grenzkostenübereinstimmen.

Vorausgesetzt werden müssen die Differenzierbarkeit von Erlös- und Kostenfunktion (Gegenbeispiel:Abb. 6.3.50) sowiedie Existenz einesSchnittpunktes von Grenzerlös- und Grenzkostenkurve innerhalb des Kapazitätsbereiches (Gcgenbcispiel: Abb. 6.3.44). Dann erfolgt der Beweis von (6.3.153) so: Notwendigfür das Vorliegeneines Gewinnmaximums für den Output x ist das Verschwindender ersten Ableitung der Gcwinnfunktion G: G(x) : E(x)- K(x),d.h. G'(x) : E'(x)- K'(x) = O. Daraus folgt sofort: E '(x) : K'(x) w.z.b.w.

I

I

Bemerkung 6.3.154: Ob im konkreten Einzelfall tatsiJchlich in x der Gewinn maximal ist, k ann durch überprüfen der hinreichenden Bedingung G "(x) < 0 bzw. E "(x) < K" (x) festgestellt werden. Dasselbe gilt sinngemiJß far alk l o/genden Gese/te, soweit sie notwendige Extremalbedingungen verwenden.

Für einen poIypoIistischen Anbieter existiert ein mengenunabhängiger Produktpreis p = const., so dass wegen E(x) = P 'x gilt: E'(x) '" p, d.h. Grenzerlös und Preis stimmen überein (siehe (6.3.144) ii)). Damit ergibt sichals Spezialfallvon (6.3.153): (6.3. 155)

Eine poIypoUstische Ein-Produkt-Unternehmung kann nur dann maximalen Gewinnerzielen. wenn sie eine Outputmenge x erzeugt und absetzt, für die ilue Grenzkosten mit dem (konstanten) Marktpreis übereinstimmen.

322

6 Anwendungen der Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

Im Fall (6.3.155) muss vorausgesetzt werden, dass die Kostenfunktion nichtlincar ist, da andernfalls Grenzkosten und Grenzerlös La. überall verschieden sind (siehe Abb. 6.3.44) und somit das Gewinnmaximum stets an der Kapazitätsgrenzeangenommen wird. Bei linearer Kosten- und Nachfragefunktion liegt das Gewinnmaximwn stets in der l\l iUe der Gewinnzone.

(6.3. 156)

Beweis:

Unterstellt man die ExistenzeinerGewinnzone, so muss es zwei Outputwerte XI' x2 geben, für die sichKosten- und Erl ösfunkt ion schneiden, dh. für die der Gewinn G(x) '" E(x) - K(x) Null wird, siehe etwa Abb. 6.3.48. Im vorliegendenFall können wirvoraussetzungsgemäß p: p(x) und K:K(x) als lineare Funktionen auffassen: p(x)"'a -b 'x ; K(x) =c +d 'x ; a.b.c.d s 2 Damitlautet der Erlös: E(x) = x · p(x) = ax- bx undsomit die Gewinnfunktion: G: G(x) '" E(x) - K(x) '" ax - bxL c - dx = -bx 2 + (a - d)x- c • Die Gewinnschwellen XI' x2 sind die(laut Voraussetzungexistierenden) beidenreellen Lösungen der quadratischen Gleichung G(X)r ="":"O'...,...,...-_ ü

a- d xl.2"'"1b :l:

V

a- d 2

.

c

(""1b)-b '

Als aritlunetisches Mittel X von XI und X2 ( = Mittelpunkt zwischen x, und x2) ergibt sich _ xl +x2 a- d

" - ,-"'2b" '

Andererseits erhält mandie gewinrunaximale OutputmengeXo als Lösungder Gleichung a- d G'(x)= 0 : G'(x) '" - 2bx + a -rd = 0 ~ xo = 2b" '" X. w.z.b.w. Das Gewinnmaximwn einer monopoli~tid1en Ein-Produkt-Umemelunung liegt stets im prds-ela.~tlscben Nachfragebereichder (fallenden) Preis-Absatz-Funktion.

(6.3. 157)

Der Beweis wurdein BcispieI 6.3.114 gefillut. Im Zuwnmenhang mit demoptimalen Faktoreinsatzin der Produktion spielt die "Endolmung"des variablen Inputfaktors[d.h, der Faktorpreis)einewichtigeRolle (sieheauchdas spätere Kap. 7.3.1.4) . Fürden Fan eines einzigenvariablen Faktors, mit dem(c.p.) ein einziges Produkt erzeugt wird, gilt: In ihrem (relativen) Gewinnmaximwn (sojem dieses existien) undbeivoUkommener Kon· IuuTenz auf dem FaktonnaJia setzt eine monopolistische Ein-Produkt-Untemetunung diejenige Faktonnenge zur Produktion ein, für die der Faktorprm gleich der mit dem Grenzerlös bewerteten{d.h, multiplizierten) Grenzprodukthiläl ist.

(6.3. 158)

Zum Beweis von (6.3.158) werden eine differenzierbareProduktionsfunktion x: x(r), ein konstanter Faktorpreis Pr sowie eine Preis-Absatz-Funktion p: p(x) = p(x(r» unterstellt. Die Faktorkostenfunktion K: K(r) ergibt sich als Produkt aus Inputmenge r und Inputpreis Pr: K(r) = r ' PT' während der Erlös E = E(x) = E(x(r» '" p(x(r) · x(r) lautet. Damit erhält man den Gewinn: G(r):: E(x(r))- r ' Pr' Notwendig fürein Gcwinnmaximum ist das Verschwinden der ersten Ableitung G'(r). MitHilfe der Kettenregel (5.2.45)erhält man so die Bedingungsgleichung. 0 = G'(r) = E'(x)· x'(r)-Pr' d.h. (*)

IPr

=

E'(x) 'x '(r)

I , w.z.b.w.

(Zu denhinreichenden Bedingungen sieheAujgabe 6.3.164)

6.3

Die Anwendung der Differcntialrechnung a uf ökonomische Probleme

323

Für einen poIypoli~tischen Anbieter ist p = con st., d.h. E '(x) = P = const., somit reduziert sich ( '" ) auf: J

(6.3. 159)

Pr = p ' x'(r) l, d.h. wire rhalten daS Ergebnis: Bei vollkommener Konkurre nz auf dem Faktormarkt seilt eine pol )'poli_~ti ~che EinProdukt- Unt ernehmung in ihrem Gewinnmaximum diejenige Faktormenge zur Produk tion ein, für die der Faktorpre is gleich dem Markl\l 'ert der Crenzproduküvnät (~Wertgrenzprod uktivität ") ist.

(Z u den hinreichenden Bedingungen siehe Aufgabe rU .IM) Übertragen auf den Inputfaktor ~ A rbei t" besagt (6.3. 159) etwa: Eine gewinnmaximierende polypolisti-

sehe Unternehmung sollte sovrele Arbeitskräfte einsetzen, dass der mit der letzten eingestellten Arbeit skraft zusätz lich erzeugte Output - bewertet mit seinem Marktpreis - gleich dem Arbeitslohn ist ("Entlohnung des Faktors Arbeit mit seme rfwen - ) Gremproduknvität"). (sieheauchAufg. 6.3.164 ! ) Das folgende Gesetz beschreibt Zl1o;ammenhänge zwischen Einkommen und KOIl ~umal1~gahen von H aushallen: (6.3. 160)

i)

Gerraudann, wenn die marginale Konsumquote für jedes Einkommen kleiner als die dur cbschnit tltche Konsumquote ist, nimmt die durchschninliche Konsumquote mit steigendem E inkommen ab.

ii)

Unt er den Vo rau ssetzungen von i) ist die Elnkommenvelastlzltlk des Konsums übe rall kleiner als Eins {d.h. die Nachfrage nach Konsumgü tern ist bzgl. des Einkommens unelast isch).

Der Beweis zu i) wurde in Beispiel 6.3.9 geführt: C '(Y) < monoton fallend , siehe Satz 6.2.2.

I.

C~)

(C~Y) y < 0, d.h .

Der Beweis zu ii ) folgt aus (6.3.H7), wenn man die Voraussetzung C' (Y) < multipliziert: C'(Y) · C;Y) < I.d.h· 1 EC.y < I

C{ Y) y

ist

y

mit C(Y) (> 0)

w.z.b.w,

AUfgabe 6,3. 16 1: Der Zu sammenha ng zwischen Wohnun gsausgabcn W (in € /Monat) und Gesamtkonsu m C (in € /Monat) eines Haushaltes sei alternativd urch eine derfolb'Cnden A usgabcnfunktionen W: W(C) beschrieben: a) W(C) = O, l C + 350 ; C >O

b) W(C) = 350 + 0,5·(;0·9 ; C > 0 .

i) Man untersuche in beiden Fällen, ob das ~Schwahesche Gese tz" erfüllt ist. (Das Schwabesehe Gesetz besagt: Die Wohnungsausgaben eines Haushaltes nehmen. bei steigendem Gesamtk onsum des Haushaltes prozentual wenigerstark zu als diegesamten Konsumc usgaben.] ii) Man untersuche, ob die Grenzausgaben für Wohnung stets kleiner sind als die durchschnittlichen Au sgaben für Wohnung (bezogcn a uf den Gcsamtkonsum). Aufgabe 6.3. 162: Man zeige , dass eine Produktionsfunktion des Typs x(r) = ar'' , r > 0, gcnau dann dem" 1. Gossensehen Gesetz " (siehe Beispie1 6.3.5) genügt , wenn für die Koeffizienten .1, b gilt: a>O, O
324

6

A nwend ungen der D ifferentialrechnung bei Funktio nen mit einer unabhängigen Variab len

Aufgabe 6.3. 163: Die Na ehfra gc (d .h. dicAusgahcn ) N (in € / Mon at) eincs H aushaltes nach Nahrungsmittcln sei in Abhängigkeit dcs monatli chen Gesamtkonsums C (in € /Mona t)durcheinc dcrfol gcn~ den Funktio nsgleichungen besch rieben: (a) N(C) = 1,5 ' CO,8 + 200 ; C > 0

(b) N(C) = 200 + 0,2C ; C > 0 .

Man überprüfe in be iden Fällen, ob das ..Engelsehe Gesetz" erf ülll ist . (D(lJ Engelsehe Gesetz besagt: Die A u.w aben eines Haushaues für Nohru ngsmiud nehmen bei steigendem Gesam tk onsum des Haushaltes proremuat weniger stark zu als die Kon suma usgaben des Haushaltes insgesamt.) * Aufgabe 6.3. 164: Man zeige, dass im Fall der Fakt orentl ohnung nach seiner Wertgrenzproduktivität (6.3 .159 - Pof> pol) die hinreichen den Bedingungen für ein Gewi nnmaximum erfüllt sind, wenn eine Prod ukti onsfunktion mit übe rall abnehmend er Grenzproduktivität vorliegt. Für den allgemeineren Fall (6.3. 158 - Monopol) zeige man dies entsprechend, wenn zusätzlich noch eine linea re PreisAbsa tz-Funktio n sowie positive Grenzprod ukt ivitäten unterstellt werden . * Au[gabe 6.3.1 65: Man zeige: Ist eine gewinnmaximierende E in- Produkt-Unternelunun g(Produktionsfun knon. x: x(r» zugleich monopoli.stischcr Anbicter au f dem G ütermarkt [Preis-Ab satz- Funktion: p: p(x» als auch mono polistischer Nachfra ger (:\Ionop_sonist) auf dem Faktormarkt (Faktornaehfragcfunktion : Pr: Pr(r», so ist jede der folgen den Bedin gunge n notwend ig fü r einen gewinnmaximalen f aktorcinsat z:

i)

x'(r) ' (x p'(x) + p(x» = r p/(r) + p.(r)

ii)

x'(r) ' E'[x] = K'( r)

,

p,

1 + _ 1_

x'(r) =

h)

ex r x'( r) = _Pr . .....:.= P CE,.

p

f. r .

Pr . ----';~ 1 +__1 _ f •. p

iii)

-

{dabei bedeuten: E: E(x) =E(x(r)) = x(r) .p(x(r)) die Erlösfunktion und K" K(r) = r'P r(r) dir {Foktor-] Ko.\"tenf unktion) ;

;

Der zusätzliche E rlös für die mit der letzt en eie gesetzten Inputein heit erzeugten Prod ukt menge muss ubcrcin stirnmcn mit den zusätzli chen Aufwe ndu ngen für diese letzte Inpu teinheit.

325

7 Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen 7. 1 Grundlagen

7.1.1 Begriff und Berechnung von partiellen Ableit ungen Das klassisch e Grwldproh lem der Differentialre chnung für Fun ktio nen f: y ~ fex) einer unab hä ngigen Variab len ist die Frage nach der Steigung ode r Ände rungs lendcnz von f an einer beliebig vorgegebenen

Stelle x (s. Kap.5 .!.1). Wir wollen versuchen, eine analoge Fragestellun g bei Funktionell mit mehreren unabhiingigen Variabl en zu beantworte n. Dabei wollen wir un s - um mögl ichst anscha ulich vorgehe n zu können - zu näc hst a uf Funktionen

f: z

>

I{x.y)

besc hränken, die vo n zwei unabhängi-

!,'Cll Variablen x und y abhängen 1. Die Pmblemstelluug lautet also : ~ Welche

1111

I

•

;t:.~

i "'... 1.,--/

f

i ~P;~ ,

Steigung besitzt die Funk-

tion f: f(x,y) an derStelle (xo•Yo)'!" Wie aus Abb. 7. 1.1 hervorge ht. ist die Fragestellung in dieser Form offen bar nicht sehr sinnvoll: Im bet reffenden Punkt Pu (xu• Yo, zo) Abb. 7. t. 1 der Funktio nsflache gibt es - je nach Du rchla ufricht ung - beliebig viele ~·erschieaene Steigungen de r Räc he: Die Situation ist vergleichbar mit de r eines Wanderers im Ge birge, der - aus gehend von einem Punkt am H ang- mehrere verschieden steile Wege einschlagen kann. Dahcr ist es lediglich sinnvoll, nach dcr Steigung der Funktionsfläche in einer vorgegebe nen Richtung zu fragen. Da w ir als ausgezeichn ete R ichtu ngen d ic beiden hor izont alen Koo rdi na tenachsen ha ben, liegt es nahe, zun ächst nach der Steigung in x-Richlung (d.h. fü r konsta ntes y) sowie nac h der Steigung in rRichtung (d. h. für ko nstantes x) im Punkt Po zu fragen . Abb. 7.1.2 veranscha ulicht das Vorgehen :

1 Im folgenden wird der Inhaltvon Kap. 3 vorausgesetzt.

7

326

Differentialrech nung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

1(fJ

Yo

------- - -

Abb.7.1.2 Um in Po et wa d ie Steigung der Funktion in x-Rlr ht uug zu ermit teln, schneidet man die Funkt ionsfläche mit eine r zur (x ; zj-E be ne para llele n Schnittebene (d.h. sen krec ht zu r Grundeben e in x-R icht ung). Die resul tierende Schntnkurve (in Abb. 7.1.2 von links nac h rech ts verlaufend) hat übe rall denselben v-w en (nämlich y = Yo = consr.). Die Steigung dieser Schmu kurve in Po ist identisch mit der Steigung der Fun knon f in Po in x-R ichtung. Der Funktionswert z hängt längs dieser Schnittkurv e nur noch von einer Varia blen - nämlich x - ab, da d ie andere Variable (näm lich y) längs dieser Schnitt kurve unverändert bleibt : z = f(x, Yo) längs der Schnitt kurve in x-R ichtung. BcisjJieI 7. 1.3:

E s sei

z = f(x, y) = (x - 3)2+ 2xy2 _1 6

gegeben.

Wählt ma n z.B. y = Yo '" 2, so ergibt sich als Gldchung derentsprechenden Schnittkurvein x-Richtung:

z = f(x, 2) = (x-3)2 + 8x - 16 , d.h. f Ist jetzt eine nur noch von x abhängende Funk tion. D ie Steigung diese rSchnitt kurve lässt sich daher durehgewöhnliche Di!! errntiation nach x ermi tteln:

;h df

I,-, =

tan c ; = dx ' « x- 3r" +8x- 16) '" 2x+2 .

Im Pu nkt (3;2) erw a beträgt die Fl ächenst eigungin x-Richtung: ,df. ~

I • = 2 ' 3 + 2 '" 8 usw. ,-, x _.>

A nalog erhal t man in Po d ie Steigung der Funkti onsfläche in y-R iehtung(siehe A bh. 7.1 .2), inde m man die du rch x = Xo = const. dct inicrt c und da nn nur noch von y abhängende Gleichung z '" f(xo. y) der Schnitt kurve (in y- R ichtung] im gewöhnlichen Sinne nach y ab leitet: Beispiel 7. 1.3 ("o rt ...):

Aus

fex, y) '" (x - 3)2 + 2xy2 - 16 und daher

ergibt sich für x = Xo = const.:

"df I.. , '" tan a y '" 4xoy ·

D ie Rächensteigung in y-Richtung etwa an der Stelle (3; 2) bet rägt somit:

df

" lx -3 '" 24. ,-a

Man beachte, dass beim Ableiten nach y der Wert Xo wie eincKonstanle behan delt wird.

7 .1

327

Grundlage n

Die im letzten Beispiel ermittelten Steigungen ran a x (bzw. tan ay) der Funktion in x-Ric htung (bzw. in y-Richtung) hei ße n auch partielle Ableitungen von f nach x (bzw. nach y ); Der. 7. 1.-1 (part ielle Ableitungen): Unter der partiellen Ahicitu llg (1. O rd nung) de r Funkt io n f: f(x,y) nach der Vari ah len x (d.h. für y ;: Yo ;: const.) versteht man d ie (gewöh nliche) Abteitung der nur von x abhängigen Funktion f: f(x, Yo) nach x unter Konst anthaltung von y.

:~

Sch reibweisen:

,

2l~" fex. y) , f~ ,

fx

•

A nalog definiert man die partielle Abieifwig von fex,y) nach y un ter Konstantha ltu ngvon x.

" ,

Schrelbwelseru

ay

2ly fex, y), f}., fy .

Gegeben sei f du rch fex, y) ;: 3x 2y3 + 4xy + x2 . e 7y ; x,ye IR. .

Belspie l 7, 1.5:

Die partielle A bleit ung nach x erhält ma n, indem man y als Konstante a uffasst und mit de n üblic hen Abl eitungsregel n (siehe Kap. 5.2.5) nach x able itet:

ar ;: 6xy3 + 4y+ 2x ' e7y , x '

Analog liefert die Ablcitungvon f nac h y unter Konsta ntha ltungvon x die partielle A bleitung von f nach y: Bemerkung 7.1.6: i) Da die partiellen A bteitungen von f ex, y) als gewöhnliche Ableitungen bei Kon stanz der jeweils anderen Variablen erscheinen, hülfe man statt Def. 7.1.4 auch die Grenz wen dd initlon der ersten A bleilung verwenden können (siehe Def. 5.1.9 sowie (5./. 18) ): ' : .• ,~

'f ... ay

lim

,tx-

"m

f(X+L1J:; Y) -f(x, y) 0

.

Ily -

hX

f(x,. y+,dy) - f(x,y) 0

lIy

ji) Die partielle Ableitung I« (bzw. f y) bezeichnet die Ableitung von f in x-Richtung (bzw. in yR ichtung). Es f ragt sich dah er, wie man die Steigung von f auch in irgendeiner anderen Richtung erhalten kann.

Dazu nehmen wir an, da ss f im Punk t Po eine (sie beruhrende] Tangentialebene 2 besitzt, siehe AM. 7.1. 7. (Ahnlich wie man - s. Kap . 5.1.3 die Tangente einer Kurve als .beste" Näh erungsgerade turdiese Kurve auff assen ka nn, l ässt sich die Tangentialebene als .beste" Näherungsebene der Funktion f im Berührungsp un kt auffassen.)

(m it y ;: const.] (m it x ;: CO/1St.) .

!(11

x e ccost

r = consl.

I / Ir)

L.-

lxI

' -- - - - - - - - - A bb. 7. 1.7

Off en bar spannen die beiden Sdmiuk urvema ngenten in X+bzw . y- Riduung (mit den S/eigungen fx bzw. fy ) die Tangentialebene in Po auf. Dannliegt auch jede andere Schniukurvenumgeme durch Po in dieser Tangent ialebene, siehe A bb. 7.1.7. Ist die

2 Man kann zeigen, dassimmer dann in Po eine Tangentialebene existiert, wenn ;llie partiellen Ableit ungc n in Po stetig sind. In diesem Fall heißt r in Po diffcrcnzicrbar.

32l!

7

D ifferent ialrechnung bei Funknonen mit mehreren unabhängigen V ariablen

Rickmng der entsprechenden senkrechten Schn iueoene l'orgegeben (z. B. du rchAngabe des Wink els a gegmuber äer x- Richumg oder die X, v-Abst ände u und 1', siehe A bb. 7.1.8), so lässt sich die Steigung m VO ll f in d ieser Richtung allein mit Hilf e derpa rtiellen A bleinmgen [x- fy bestimmen, sieneA bh. 7.1.8: y-Richtung {Steigung

~

u, 'y

r-----------· df,

Die Sleigu:9 -----dieser Gerriden-> / Isfgesuchl

;T'-,L~====:::;;:;;~~ x ·Richtung

u

(Sleigung

u' y I

Abb. 7.1.8

Zun ächst erhältman mit dem Satz des Pythagoras im rech/winkligen Dreieck: PoQR: PoR;: Vu2 + 1'2 . Damil ergibt sich diegesuchte Steigung m » mn ß der Geroden PoS im schraffiertenDreieck PqRS zu: m = tan ß =

(,)

dJX t

::0

df

Wegen

Vu 2 +v2

af özw u : ax ".

af

d'f Jy ="' -ay

'

~"0

dlx

cf


dass OU" JJ J

(.)

oj -

bzw.

u

"'0'" "0"

ay -

~

folgt:

y

d f = df x +df y

fo lg!:

u · !.L+ y · !L

a...

(7.1.9)

Vu:' + y2 u

Beachtet ma n die Beziehungen cos a = -;r=i'==T

Vu

2 + y2

ay

, sina =

y

Yu 2 + y2

(sieheAbh.7.1.8),

so k ann m an dir FunkJin'L~steigu"g in Po in der um a gegen d ie x-Richtung gedrehten Richtung auch schreiben:

,.

. a m = lanß = -'f · cos a + -'f · slIl

(7.1.10)

'y

Ir !

Beispiel: Die pe n iellen Ablehungen der Funktion = 4 - x 2 _ y2 (siettcAbb. 3.2.9) tauten

f: f (x,y)

es. im Punk t

[.= -2<1'" ' = - 4; y .J

[y = - 2Y I' ''' =-6 _ y .3

In der z.B. durch u = 5; v = 4 bestimmte Richtung (s. A bb. 7.1.11) [entspricht lall a = d.h. a = 38,66 ~) beträgl die Funktionssteigung nacn (7.1.9) ;

f'

m =

- 5 · 4- 4· 6 ,~

, 41

, , ,

Po (2; 3) :

""-6,8 7; ta w.nacn ( 7.1.10)

m =- 4 ·cos38,66 ° - 6 · sin 38,66 ° ""-6,87 .

v =4

p i o

3

u=5

f·__ -'-

Iz!

~_~~IX!

2

Abb . 1.'. "

7 .J

G rund lagen

329

Die Bild ung de r parti eller Ableitungen kann mit einer analogen Gcdankenführung auch a uf Fu nktionen f: f(xI' x2' .... xrJ ausgedehnt werden. d ie von mehr als zwei unabh ängigen Variablen abhän gen. A ueh hier geht es wieder darum, den ~ A ns t ieg~ von f in eine r ..Richtung" (d.h. dicÄndcrun g von f in A bhängigkeit von de r Änderung nur einer der n unabhängi gen Va riab len) zu ermitteln, wobei alle übrigen Variablen konstan t gehalten werden: Der. 7. 1. 12: Unt er der partiellen Ableitung (erster Ordnung) de r Fun ktion f(xI' x2, ...• xrJ nac h der Variablen Xi versieht ma n d ie gewöhnliche Ableitu ng von f nach Xi unte r Konsta nt hal tu ng aller übrigen Variahlen. 4

Scnreiöweisen:

f'x; ;

Bemerkung 7.1.1J : i) fex />... , x,J besitzt n partielleAbleitungenerster Ordnung.

f von nur zwei oder drei Variablen abhängt, schreiben wir aus Gründender Ühersichtlichkeit häufig dieseVariablen ohne L auf index. d.h. z.B, x, y, z )'tall x J. x 2• x].

ii) Wenn eine Funktion

iii) Für die prak tische Bildung der panieilmAbleuungen fx; lassen sich sämtliche bekannten Differcmi-

ationsregeln (sieht Kap. 5.2.5) anwenden. Dabei ist lediglich zu beachten. dass außer Xi alleübrigen unahIJängigenVariablen wie Konstantenbehandelt werden.

ii) f(,. y. , j = x . c)"z +

fy =

VxIn ·1. ., (x,z > 0; y

y >l)

.....

v;-

y;;-

vz xz e ,.. Y '( ln ~i

~

f ,,"'c )'"•. +

2V;: ' ln y

2!{;' lny

Aufgabe 7. 1.15: Man b ilde sämt liche partiellen Ableitungen erster O rdnung: l)

f(x, y) = (xy)3 + xy2

ii )

fex, y) = 3x2 - 4y2 + 5xy + 4y

in)

Iv)

f'[x, y) =

,,4 _J,'(2 y J,'( + 2),2

\'ü)

\'Iii)

p(rt' r2' r3) = rI2 ' ln (rtrJ)-e-2rlr2

xCA. K) = 120 · A0,85. KO,3

JI2V

ix)

f(u, v, w) '" (w In w + u3)

x)

L(x, y, A) = RxO,3y1l.7 + . 1. (200 - öx -Sy)

")

L(rl, r2, r3' . 1. 1'..1.2) = 2Vrt2 + 3r22 - 5r]2 +

+ . 1. ](10 - rl - 2r2 + r3) + . 1. 2(20 - rIrZr] ) v)

~i )

xiii)

f(x, y) '" (x3y2»)'

f(x, y) = 2yJ,'( ' In ;

7

330

Differentialrechn ung bei Funkt ionen mit mehreren unabhängigen Variablen

7.1.2 Ökonomische Interp retation part ieller Ableit ungen D ie Tatsach e, dass die partiellen A bleitun gen jeweils nur den E influss der Änderung einer einzigen unab hängigen Variablen auf den Fu nktionswert be rücks ichtigen (und alle übrigen Variablen konstant ble iben),

lässt eine zu Satz 6.1.22 analoge Inlerprelalioll~möglichkeit zu: Salz 7. 1.16: Der Wert ~r (Po> der partielle n Ablcitungvo n f nac h xi an derStelle Po gibt (nä hcrungsweisc) an, um wlcviclc Einheite n sich der Funkucnswert f(P 0) änd ert, wenn sich xi um eine Einheit ändert und alle ührigen unabhängigen VariahIen unverändert bleiben {ceterisparibus(c.p.)-Bedingung).

"'

Für den Fall zweier unabhängige r Variablen wird dieser Sachverhalt noch einmal in Ahb. 7.1.17 verdcutlicht: ..!!. ~ Mx Steigung in x-R icht ung: (tu = 1) lan U x = Ste igung in y-R iehtung:

mn a y

=

"ar ay

~

My

(' Y = 1)

Jm

(r l

x,

Abb. 7 1. 17

Ix)

Die partiellen A bleitun gen erweisen sich als eincs der wichtigsten H ilfsmittel bei de r sogenannten . Pa rtialanalyse" ökonom ischer Funktionen: Dabe i werde n öko nomische Zielfunktionen {z.B. Produ ktionsfunk tion en, Nu tzenfunktionen. Kost enfunktionen. Ge winnfunktionen e tc.] bei Variation einer einzigen Va riablen betrac htet, während alle übrigen Einflussfak toren ( = übrige unabhängige Variable) konstan t ge halten werden (c.p-Prärntsse)? .

So kann man etwa unt ersuchen , wie sich bei gegebener Prod uktionsfunktion y: y(A. K) der Out put y ändert, wenn lediglich d ie E insatz men ge A des Produkti onsfaktors M Arbeit~ geändert wird, Während die Einsatzmenge K des Produktionsfaktors " Kapital(ausstatl ungt unverä ndert blei bt. Als Maß f ür d ie cn tsprec hende Output- Änderungstendenz d ient die p artielle A bleitu ng :~ , die (naherungswcisc) d ie Ände rung des O utp uts y angibt, wenn sich A (bei Konstanz von K) um eine Einheit än dert. Die entsprechende pa rtielle A bleitung vo n y nach A, d.h . ~ , heißt (part ielle) Grenzprod ukthiliit des Faktcrs Arbe lt (od er kurz: G renzprodu ktivität der Arbeit ). A nalog bez eich net man

~ als (partie lle) Grenz proda ktivltät de s Kapital s.

3 Die AnaI)"SC ökonomischer Funktionen bei gleichzeitiger Änderung aller unabhängigen Variablen (Tofa/analyse) wird in Kap. 7.1.5 und im Zusamm enhang mit der Extremwe nbes timmu ng in Kap. 7. 2 angeschnitten.

7. 1

331

Grund lagen

Beispiel 7. 1.18:

Gegeben sei d ie Prod ukt ionsfunk tion

y(A, K) = 2 ' A U." . KO,6

Dann ist die part ielle Grenzpr odu ktivität de r A rbe it gegeben du rch

~=

parti elle Gren zp roduktivität des Kapitals d urch

ß.

(A, K > 0).

= 0,8 . A - 0,6 . KO,6

und die

1,2 ' A 0,4. K - 0,4 .

Sämt liche ökonom ische Bcgriffsbild ungen wie z. B. Gre nz koste n. Grenzgew inn , marginal e Konsumquote usw, (siehe Kap. 6 .1.2) im Z usamm enh ang m it Funktionen einer unab hängigen Var iablen lassen sich durch den Zusat z ~ parti eJl ~ ana log auf ökonomische Funktionen m it mehreren unabhängigen Variable n (unter Beach tung der c.p-Prämtsse ) üben ragen. Aufgabe 7, 1.19: Gegeben sei d ie Produ ktion sfunk tion y "" y(L, K) '" 90 · LU,lI . KO,Z (L: Arbd/sinpu/ in Arbeitseinheuen (AE); K' Kapitalinpul in GE; y: Outpu t in GEy ; L , K > 0). Man ermittle und inte rpret iere d ie partiellen Grc nzpr od uktivität en der A rbe it und des Kapit a ls i) fü r

L = 1.000 AE;

K = 200 GE;

ii) wenn pro eingese tzte r Arbe itseinheit eine Kapitalau sstatt ung vo n 8 G E vorhanden ist . Aufgahe 7. 1,20 : Für zwei verb unde ne G üter seie n die möglichen A bsat zmengen XI. xz in A bhängigkeit der Marktpreise P I' Pa durc h fo lgende Preis-Ab satz- Funktio nen gegeben' Xt(P I, pz) = - O.5p l + 2pz + 10 ;

xZ(P I' pz) '" 0,8 P I- 1,5pz + 15 . ax-

I) Man unters uche mit Hi lfe der vier möglic hen partiellen Ableitungen ~ (I. k = 1.2), wie sich "

Pk

die Nachf rage Xi nach Gut I ändert be i A nderung des Preises Pk des Gut es k (i, k '" 1,2). ii) H andelt es sich u mkompleme ntäre ode r substitutive Gü ter'! iii) Man ermittle für jedes G ut die ind ividuelle Erl ösfunk tion und inte rpret iere die partiellen G renzerlöse a) bzgl. der Preise sowie · b) bzgt. der Mengen bei einer Preiskombination PI = Il G E / M E I - Pz '" 5 GE/MEz (siehcBeispiel6.1.40) .

7.1.3 Partielle Ableitungen höherer Ordnung Wie etwa aus Be isp iel 7 .1.14 hervorgeht. sind die partiellen A bleit ungen erste r Or dnung ar einer FunkaXj tion f: f(xl ' .... xrJ selbst wiederum Funk tionen der n un abhängigen Variablen x I,''' ' x n . Beispi el 7. 1.2 1: f(xl'x 2, x3) = 4X IZ' x25 ' eXl Fun ktion, usw.

I

~

· -," 8 = x I 'x2j ' e X) ·lstemevon x 1,x2, x3abhanei an gIge

x

Daher lassen sic h (i.a.) die pa rtiellen A bleit ungen :; wiede rum part iell nac h jede r unabhä ngigen Variablen ableiten, man erhält so d ie partielle n A hlcitungeh zweiter Ordnung und daraus analog d ie partiellen Abl eitunge n d ritter und h öherer O rdnung(sieh e auch Kap. 5.2 .4) : Def. 7. 1.22:

Leit et man die partielle Ableit ung :: von f(x l ' .... xrJ wiederum partiell nac h de r

Variablen xk ab (i, k = 1,2..... n), so ergibt sich die parti elle Ableit ung zweiter Ord nung von f nach Xi, xk '

Schreibweisen:

"' ~ f XiX k bzw. ax~ ( f.)= x,

332

Differentialrechnung bei Funkti onen mit meh reren unabhängigen Variablen

7

Bemerkung 7.1.23.i) In

,",I

xk Xi

=

Ix,,.,-k

wird zuerst nach xi und dann nach xk abgeleitet - man beachte [zunöchst} die

Reihenfolge derIndizes je nach: Schreibweise! ii) Jede der n partiellen Ableitungen I/on f(x J' ..., x,J kann nach den n Variablen erneut abgeleitet

partielleAbleitungen 2. Ordnung.

werden, d.h. CI gibt

112

iii) Analog zu Der

7.1.22 werden drilleund höherepanielleAbleuungen gebildeI. Schreibweisen (z.B.):

all a)

ox/i.hlox.,

=

CI 11 Clf ClXI (
b)

Beispiel 7. l.2 4:

USIII.

Es sei

f(x, y) = 2x4y 3-x3y6 .

f x = 8x3y3 - 3x 1y6 ;

Die partiellen A bleitungen erste r Ordn ung lauten;

f y = 6x" y2 -6x3y5 .

Die partiellen Ableitungen zweiter Ordnunglauten: f xx = 24x2y3 - 6xy6 ; fX). = 24x3yl - 18x2y5 ; f),x = 24 x3y 2-18x 2y5 ;

f )')' =

1 2x~y - 30x 3y4 .

Partielle A bleitungen dritt er O rdnung sind z.8.: f:.; .~ )' = 72x 2y2 - 36xy5; f)'xx = 72x 2y2 - 36xy5; fyyx = 48x3y - 90x2y4; f)X). = 48x3y - 90x2yl" usw.

In Beispiel 7.1.24 fällt auf, dass d ie "gemischten Ableitu ngen" f x)' und fyx identisch sind (ebe nso f xxy und ) XX sowie f»'x und fyx)')' obwo hl sfc a uf völlig verschiede ne Weise und unabhängig voneinander aus f(x, y) gebildet wurden. Es zeigt sich, dass das Bestehen dieser Idcntitä tcn kein Zufal l ist: Satz 7. 1.25: (Salz von S CJnVARZ) : Sind für die Fun ktion f: f(xl ' ...• xlJ sä mtliche zweite n Ahleitu ngen st etig. so sind diese unahhängig vnu der Differenl iatiOllsr eihenfolge. Es gilt da nn ste ts: (7.1.26)

Bemerkung 7.1.27: Die Venuuschbarkeit derDiff erentiationsreihenj;olgetasst sich analog aufhöherepartielleAbleitungen ubenragen. So gilt z.B. tunterden Voraussetzungen von Salz 7.1.25): fyxx = fxyx = fxxy (siehe Beisp iel 7.1.24) oder

fz-"}}'x

=

fz-"}'X)' = f-=-yy = ... = fxyyzz usw.

Dadurch reduziert sich die A nzahl verschiedener panielier Ableitungen höherer Ordnung erheblich. Aufgabe 7. 1.28: Gegeben sei die Funktion f(x, y) = xy ' eXY . Man zeige durch explizites Au srechnen in der gegebenen Rei henfolge die G ültigkeit von f~"Xx = fX)-x = f.~x)" Aufgahe 7, 1.29: Man bilde d ie partiellen Ableitungen zweiter Ordnung der Funktionen von Au fgabe

7.1.1 5 ,

7.1

Grundlagen

333

7.1.4 Kennzeichnung von ;\fonotonic und Krümmung durch partielle Ableitu ngen Das Vorzeichen der ers ten und zweiten partiellen Ableitung einer (ökono mischen) Funktio n charakterisie rt - wegen der c.p.s Prämissc analog zu m Fall nur einer unabhängigenVariablen - die (partielkn) Monotonie- und Kriimmu ng.~eigenschart en der zugrundeliegenden Funkt ion. An alog zu den Sätzen 6.2.2 und 6.2.10 erhalten wir Satz 7. 1.30: Die Funktio n fex ]• ...• xrJ set in einem Intervall I (c JRIl) definiert und dort zweimal ste tig differenzierbar. Wenn dann in I gilt

11I 1

;) ,ar > 0 x

~~ f----'- ----"{.Yj.

J

,so ist f bzgl. xi (c.p.)

monot on steigend (zunehmend) .

J fl

ii) ,ar < 0 • so ist f bzg1. xk (e.p.) xl;.

.

mono ton fallend (abnehmend) .

a-r >

lll) - -2 '"

0

a

• so . Ist "

'~j

a Xj

bzZ /:I"' ul

Xi

a Xk

Ifx~ <01"

----'{xi!.

J~

{fI 1

zu-

nehmend. d.h. f bzgl. xi konvex .

.tv) - e- r-2 < 0 • so Ist .

:::::-.,..

Ifx"x/ >ol

(xii

" bzgr. "' xk ab-,Xk

nehmend, d.h . f bzgl. xk konkav .

.

ar

Ist -,

X;;

bzgl. xi und

af

-,

xi

bzgl. xk

(c.p) monoton zunehmend (bzw. abnehmend) .

Abb. 71.31

Beispiel 7. 1.32:

Gegeben sei die Produ ktionsfunktion

y '" y(A. K) ~ A0,8 . KO,2 (A A rbeitsinput (A > O) ;

K: Kapitalinput (K > 0);

y: Output, z.B. Soz ialprodu kt).

Für die G rcnzprodu ktivitätcn erhält man:

~ = 0 8 · Ko.2. J(Ü,2 > O· aA' •

~ '" 0 2 ·Ao.8 . K-O.8 :> 0 aK ' •

d.h . für a lle A, K :> 0 sind die Grenzp roduk tivitätcn positiv. d.h . der Output ist sowohl bzgl. der

A rbeit als auch bzgl. des Kapitals zunehmend. Die zweiten partiellen A bleitungen lauten; a2~.

aA'

'" - 0,16' A- 1,2 . KO,2 < 0 ;

7

334

D ifferentialrech nung be i Funk tion en mit mehreren unab hängigen Va riab len

Da raus folgt (na ch Salz 7 .1.30): Die G renzproduktivität der A rbeit (hzw. des Kapuals] nimm t m it steigendem A rbeitsinp ut (bzw. Kapilaljflpw ) c.p. ab, die ents prec henden partiellen E rt ragsfunk rioneo y '" y(A , K.:!) (bzw. y '" y(A O! K) sind kon kav gek rümmt, siehe A bb . 7. 1.33 (y : y(A . K) genügt dem ~ Gcsctz abne hme nde r Ertragszuwächsc ", siehe Bsp. 6 .3.11):

tr! K=Ko=conSI.

A :: Ao :: eansf.

(KI

(AI

01

01 Abb. 1. 1.33

Die beiden gemischten partiellen Ableitungen sind für alle A, K > 0 positiv. Daher nehmen die Grenzp roduktivität der A rbeit mit steigendem Kapite leinsatz c.p. (und die Grenzproduktivit ät des Kapitals mit steigendem Arbeitseinsatz c.p.) zu, vgl. Ab b. 7 .1.34:

(rl

IM

5

y ;;:

,,

,

KoO.2 A O•6 1

IJ( .
,~,

./" ,

-r ,'

A=5

(AI 2

Abb. 7. 1.34

Aufgahe 7.1.35: Gegeben sei die Prod uktionsfunktio n

y(A. K) = -3A] + 2A2 + 50A - 3A 2K + 2AK2 - 3K3 + 5 K2 (A: Arbeitsinpsu; K" Kap ueiinput; y: Sozialprodukt; A, K > 0). Man ermittle für a) A = 2: K = 5 sowie b) A = 10; K = 2 jeweils säm tliche partielle Ableitungen erster und zweiter Ordnun g und gebe dami t eine öko nom ische C harakterisierung des Verhalten s der Produ ktion sfunkt ion in der nähere n Umgebung der jev....eils vorgegebenen l nputkombin ntlo nen.

7.1

Grundlagen

335

7.1.5 Partielles und vollst ändi ges (totales) Differenti al Naeh Satz 6.1.7 versteht man unter dem Dureren tial df der Funktion f(x) di e Än de ru n g der Tangen ~ tenfunkti on (d.h. näherun gsweise die Änderung M der Funktion f ), wenn sich x um den (endlichen) Wert dx ändert . FOr den Wert df des Differentials folgt aus Abb. 7.1.36

I

df = f'(x) , dx

wegen f'(x) = d, df :

t

lI'l

I.

dx

f=.1xJ

In analoger Weise lässt sich bei Funktionen mit meh rere n unabhängigen Variablen ein Differential für jede der unabhängigen Variablcn(bei Konstanz der übrigen Variablen) einführen:

/xl Abb. 7. 1.36

Der. 7.1.37:

Unter dem i- tcn parti ellen Differential der Funktion z = fex] ...., XII) versteh t man die Funktion df x; mit

(7.1.38)

ar -dx. dfx; "" aXj 1

(dfx; ist abhängig

-

-

von der betrachteten Stelle Xi sowie von der Wahl des DJffen:m ials dxi .)

satz 7. 1.39:

I

Das parti elle Differential df x; (7.l.38) gibt (nähe rungsweise) die Änden mg der Funktion f an, wenn die Variable Xi um dxj Einhciten geändert wird und allc übrigen unabhängigen Variablen konsta nt bleiben (c.p.}.

Bem erku ng 7.1.4 0: j) f: fex /> ... ,x,J mit 1I unabhängigen Voriahten besitzt n p artielle Diff erentiale. ii) Für den Fall zweier una bhä ngiger Variabler - statt x t. Xl schreiben wir aus Granaen der Übersichtlichk eit wieder x un d y -zeig/ A bb. 7.1.4 1 eine räum liche Veranschau lichung: dfx bzw. dfy sind die panidien A'ndenmg~,: der Tongeruialebenenf unk uon in .r- bzw. y- Richiung lind zug leichNähenmgenfurdiclarsächlich enAndem ngen .1fx bzw . .1f y von f in x-bzw.y-Ricluung:

d fx """ dfx = fx d( ;

d f y :;:,; df y = fyrl}' .

I /tl

y+dy

y

. --."-

'._--

Abb. 7.1.41 iii) Für den Spezialfa ll dxi '" I ist das partielle Diff erential dfxj gleich der pa nicilen A bleiumg fXi' siehe

( 7.1.38) bzw. Abb. 7.1.1 7.

7

33 6

Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

D ie partiellen D ifferent iale df x; könn en - ebens o wie die pa rtiellen A bleitungen - für die Partiala nalyse ö konom ischer Funktionen (siche Kap. 7 .1.2) verwendet werden.

Wir wollen einen Schrill weiter gehen und nach der totalen Änderu ng der Funktion r für den Fall fragen, da ss sich g1ek hze itig jedc der n unabhängigen Variablen än dert, und zwar Xl um dxl . x2 um dX2•..., x n um dx n. A us A bb. 7 .1.4 1 erkennt man die G n md idce, die zur An two rt fuhrt : Man ersetzt a n der fraglichen Stelle P d ie F unk tion f d urch ihre Tangentialebene ('" ~ ~ te~ linea re Näheru ngsfunktlo n von f in P) und betrachtet nun stellvertretend für f dic Änderu ngdicscr Tangenliaifunklion . Dabei erkennt man {siehe Ab b . 7.1 .41 ), da ss die Gesaml:inde ru ng df der Tangentialfu nktion bei gleichze itiger Ä nderung von x um dx u nd vo n y um dy sich adili th' zlL~ammensetzt aus den be iden paru eüee Differe ntialen df x und dfy ' d.h.

I

(7. 1.42)

M ::::< df =dfx+ dfy

I·

M it (7 .1.38) ergibt sieh somit als Näherungswert df fü r die totale Ä nderung M von f das sogenannt e voll~tän d ige (totale) Differenli al

df = of · dx + -er ' dy oy

(7. 1.43)

"

Für den allgem einen Fall (wirindizieren jan wiederdie unabhä ngigen Variublen) ergibt sich analog Der. 7. 1.~: Unter dem "ollslÜm ligen (oder tolale n) Differenlial df = df(x (,,,.,xn> der ditferenzier haren Funktio n f an derStelle (Xl ,... ,xn) vers teht man die Summe aller partiellen Duterenuale:

(7. 1.45)

er er er df ,- - 'dx1 + - ' dx, + " ' + a ' dxn o X2

'.

'"

sat z. 7. 1.-16:

I

Das w llsländige Differential df (siehe (7.1.45» gibt (näherungsweise) an , um wieviele Ein heiten sich r änd ert. wenn sieh gleichzeiligjede der n unabhängigen Varia blen änd ert. und zwar Xl um dx l ' Xz um dxz. ".,xn um dx n.

Bemerkung 7.1.-17: A us DeI 7.1.44 entnimmt man, dass der Wen des vollständigen Differellliais außer von der betrachteten Slefle (x J' xl- ''' , xn) von den n Anderungs wen en dx 1, dx ], ..., dxn ahhängt. Bei~piel 7. IA 8: Gegeben sei die Prod uktionsfunktion y: y = 2A o.2 . KU,II (A: Arbci tsinput; K: Kapital inpu t; y: O utput). Für die vorgegebene Pakton nput kombina tion A = 20 ; K = 10 sollen i) die partiellen sowie ii ) die total en O utpulän deru ngen ermit telt werden, wenn die Inputs um

dA bzw. d K Einheiten geände rt werden, i) Partielle Fa ktcrvanauon

Ä ndert man den Ar beitsinput um dA E inheiten (K = co nst.), so än dert sich der O ut put y nach

Def. 7.1.37 um

~ . dA = O,4A -0,8. KO,8 ' dA I

oA

A nalog:

A _ 20; K _ IO

::::< 0,2297 dA .

oy ' dK = 1 6A0,1. K-U,2 dK I ::::< 1,8379 d K A _ 20; K _ IO ' K '

(dYA' dYK heißen auch partielle Crenzert räge}.

7.1

337

Grundlagen ii ) Tolale Faktorvenenon

Ändert man gleichzeitig A um dA und K um d E(, so erhält man als totale O utput änderung dy das volls l än di~ IJifferenliai nach Dei . 7.1.44:

dy

~ ~ 3A' dA + aK' d K O,4A -0,8 . f0l,8 . dA + 1,6A0,2 . K- O,2 . dK =::: 0,229 7 ·dA + 1,8379 ·dK .

I

A .. 20; K _ IO

(dy heißt auch totales Gre nzprod ukl).

Wählt man z.B. dA = -0,3 und dK = +0, 1 vor (d.h. wird der A rbeitsinput um 0,3 Einheilen vermindert und gleichzeilig der Kapitalinput um 0, I Einheiten erhöht (bezogen auf das A usgangsniveau A :: 20: K :: 10 ) , so er halt man das totale Grenzprodukt dy =::: 0,2297 ' (- 0,3)

+ 1,8379 ' 0, 1 :: 0, 1l 5 ,

d.h. der Output steigt {nähcnmgswcisc) um 0,115 Ein heiten . Der Vergleich mit dem exakte n Änderungswert t:.y :: y(19.7: 10,1) - y(20; 10)

= 2 · 19.70,2 . 10,10,8- 2 · 20° ,2 . 100,11 = 0,114

zeigt, dass das vollständige Differential nicht nur einfac h und universell zu handhaben ist, sondern auch. gute Näherungswerte liefert .

Aufgabe 7. 1,49:

Bei der Produ ktion eines Gut es hängt de r Output x von der Einsatzmengenkombination (ri ' r2, r3) drcicr Prod uktionsfaktoren gemä ß folgender Produ ktionsfunktion x ab:

Für eine vorgegebene Inputkombination (r\. rz- r3) :: (4; 5; 9) ermittle man d ie part iellen und totalen Grcnzp rodukte, wenn man r t um 0,2 Einheiten erhöht und glekhzeing tz und r3 um jeweils 0, 1 Einheile n vermindert.

7.1.6 Ken enregel, total e Ab lei t u ng Zusa mmengesetzte Funktio nen f: f(g(x) jeweils einer unabhängigen Variablen lassen sich (siehe Satz 5.2.44) mit H ilfe der KeUen regel ableiten: df

dx

df . !!ß dg dx

A uch bei Funktio nen f: fex I, .... XII)mit mehreren unabhängigen Variablen kommt es vor. dass die unabhängigen Varia blen Xi selbst wiede rum Funktionen efner oder meh rere r Variabler sind. Mit H ilfe des vo llständigen Differentials kann auch in solchen Fällen eine (verallgemeinerte) Keue nregel begr ündet werden. Dabei sind zwei F:ille z u untersc heiden: i) die Xi sind jeweils Funktionen einer unabhängigen Variablen t ; ii) die Xi sind jeweils Funktionen der k u nabhängigen Variable n ul '

u2' ..., uko

338

7

Differentialrechnung bei Funkti onen mit mehreren unabhängigen Variablen

Für die Ablei tu ng von f nach dcnjcwciligco "inncrcn"Variablcn t bzw.

Uj

gilt;

Salz 7. 1.50: (Keu ca regctj

Es sei f: f(xI. x2' ...•xn> eine differenzierbare Funktion. l) J ede unabhängige Variable xi sei eine differenzierbare Funktion der unabhängigen Variablen t : Xl = x ,(I) ; x2 = x2(1); ... ; )ln = xn(r). Dann lautet die totale Ahleitung von f nac h t : + ... +

(7.1.5 1)

ii) J ed e unabhängige Variable Xi sei selbst eine d ifferenzierbare Punktionder k una bhängigen Variablen u] , u2' ...• uk , d.h.

xl = xl (U\• ..., Uk) ;

" 2 = " 2(uI . ···,u0 ; ... ; xn="n(uI . ···,u0 ·

Dann lautet die total e parti elle Ahle ilwlg von f nach ui (i = 1, 2 , ..., k):

ar

(7. 1.52)

"

-~.~ + ~.~ + ... + ~ . 5 oX Du; a X2 eo, aUi I

".

-

mit uk = const . (k

*i).

D ie Gültigkeit von (7 .1.51 ) erkennt man so: : liefert d ie Ä nderung von I , wenn t um rine Einheit geändert wird (siehe Satz 6.1.22) . Ändert 11k1n nun t um diese eine Einheit, so ändert sich auch jede de r n Variablen XI. ,.., xn• und zwar (da die Xi ,

.

laut Voraussetz ung Funktionen von t smd)x I um

dX I

dt - xz

um

dxz

dx

dt ..... xn umdt"n

(s. Salz6.1.22) .

Nach Satz 7.1.46 lässt sieb andererseit s die resu ltierend e totale Änderung vo n f durch Jas vo llstä n-

,

dige D ifferent ial (7.1.45) besc hre ibe n. wobei - Ja dt eine E inheil sein soll - nunm eh r ddf statt df ~.

und - ' stau Uxi zu set zen ist.

"

Bem erkung: Dass die Schreibwelse \!(Jn (7.1.5 J) mi t Hilfe von Differemialen zweckm äßig ist, erkennt man auch duran, dass (7.1.51) aus (7.1.45) na ch " Division " durch dt hervorgeht, sof ern man anschtießend die Quotiemen der Diff erentiale als Ableitungen imaprenen.}

Ganz analog begründet man (7 .1.52 ). wobe i statt t nun setzen ist und die panicllc Schrclbwclsc verwendet wird .

Uj

(un ter Konstanthalt ung aller übrigen ud zu

*-

Bem erku ng 7.J.5 3: Die Bezeichnung " totale partielle " Ableitung fü r (7.1.5 2) ist insofern sinnvo ll, als einerseits die partielle Ableitung von f nach ul (unter Konstanz aller übrigen uiJ d arstellt, and ererseul aber säm tliche durch d ie A ndenmg von U j herv orgerufenen "j'nder fmgm der x t » Xl ,'''' x n (wie beim M alen DifftrfTltial) fJlm"U:ksidltigt.

Bd~I)iel 7. 1.54:

Gegebe n ist die Fun ktion f mit f(x, y, z) = 3xl y + yz • wobei gilt: x = x(t) = 5 t3 + 1; y= y(t)=e l t; z= z(I) =lnt .

Gesuch t ist die totale A bleitung von f nach t. Nac h (7.1.5 1) gilt: = 6 xY' 15t l + (3x l+Z) '2e l t +

Y'+

df dt

=

ar

~.

dx dt +

af. ~

a}'

dt

= 90t l ' (5t 3+ 1) ' e 21 + 2 ' (3 ' (5t 3+ l i + ln t) · c 21 +

+ ar al.

+.

dz dt

e 21,

7.1

339

G rundlagen

Beispiel 7. 1.55:

fex, y) ; 4x 2y3 sei gegeben. und es gelte:

Dic Fun kti on f mit

x = x(u, v); u 2 + 3v2 ;

y; y(u,v); u -cv .

Dann e rhäh man für d ie totalen pa rtiellen A bleit ungen von f nach u bzw. v wegen (7 . 1.52):

ar

ar (Jx er (Jv 3 '.2 _ .- + -.-' = xxy ' 2u + 12x- ,.. ' ev Bx äll By Du 16u ' (u 2+3v2)-(u' eV )3 + 12 -e'"- (u 2+ 3v2 )2 . (u e\i.

-

oll

=

;

Gel egentlich kommt es vor, dass in einer Funkt io n f: fex, y) eine Variable eine Funknon tier anderen ist, z.B. y eine Fu nktion von x : f(x , y) ; ffx, y(x» . J etzt liefert die Kettenreget (7 .1.51)(m it I ; x ): 3f dx a f dv - .- + _ .- .

df

-

dx

3x dx

3}" dx

dx Wegen - =: I erhält man schließlich d ie totale Ableitun g dx

er

(7. 1.56)

3x

ar dv + - .3y dx

Dabei ist zu unterschei den:

,

Dic totale A bleit ung ddf gibt an, wie sich f msgesamt mit x änd ert (d.h. unt er Berück sichtigung der " du rch x ind uzierte n An derung von y) , während die auf der reeht enScitc stehende partielle Abl eit ung ,3f die Ä nderun gvon f angibt, wenn sich nur x ändert, y abe r nicht.

,

Bei~lli eI 7 , 1.57:

I

ßei~lli el

Ge geben : fex, y) ; 2;.;3+4xy2 mit y ; y(x) ; 3x- 1. Dann lautet d ie totale Ableitun g: -df ; dx

-er + _af .dv - = 6x 2 + 4y2 +8xy '3 = 114x 2 - 48 x+ 4 3x ay dx

7. 1.58: (siehe etwa [50 ], S. 209)

Existiercn auf einem vollkommenen Markt nur zwei Anbi et er (D)'opol). so hängt der Markt preis p von der Summ e XI +x2 '" X der Absatzmengcn XI , x2 beider A nbieter ab. D ie Nachfragefun ktion p; p(:o.; ) ist somit eine F unkt ion der beiden Variab len x" x2; p(x) = p(x I,X2)' U nterst ellt man weiter hin eine funkti o nale Beziehung zwischen den A bsa tzmengen - z u interpreti ere n etwa als Reak tionen des einen Anbietcrs auf die Mengenpo litik des anderen - so gilt; p = p(xi ;x2(x I»)' Ist K(xJ) d ie Kostenfunktion des I. Anbeters, so lautet seine Gcwi nnfunkrion:

Um seinen Gewi nn zu maximieren, muss de r tot ale G renz gcwinn Null werd en: Mit (7.1.56 ) erhält .

.

man die Bcdm gung: .,

dG

dx

Xl

3G

aG dX2

- , ' -, . "-d ' Xt

x2

·'<1

.

•

dX2

= O. DIe auft retend e Ableit ung -d ' ist ein Maß ·'< 1

für die Anderung der Absat zmenge x2 des zwe iten An bietc rs. wenn sich d ie A bsatzmenge XI des erste n A nbietcrs um eine E inheit änd ert . D ieses Maß für die wechselseitige Änderungstendenz de r be iden 01igopol-Absatzmen gcn , ausged rückt in der A bleit ung ddX 2, heißt auch ~Rcakti(lnsk{lcffizienl ". Seine Bestimmu ng (od er sinnvolle x

Schätzung) bildet eines der H auptproblem e der Preisth eorie Illr da... OligOjml.

7

340 Aufgabe 7. 1.59: i) f(x, y,z) '"

Man bilde d ie [orale bzw. die tot alen partiellen A bleitunge n ers ter O rdnung:

,

,,2+ 3y2 +4z 2 mit :

ii) p(u,v, w) = 2u2v ~ iii)

f := f(a, b, c)

Aufgabe 7. 1.60:

Diffe rent ialrec hn ung bei Funkt ionen mit mehreren unab hängigen Variab len

Y= y(t):= t ;

x = x(t) = Cl ;

Z '" z(t) '" 12 + I .

mit: u =u(x, y) = x2+y2 ; v=v(x,y)= x'c-Y; w e .....{x,y)= x ln y.

mit: a:= a(x);

b ::: b(a);

c

e

c(b).

df :::?

"

Gegeben se i die Prod uktio nsf unkt ion y mit y(A. K)

:=

5 · A0," . K,Ü,6

(A, K > 0) .

Die jeweils verfügbaren I npulmcn ~'Cn A ( =Arbeit) und K (:= Kapi [a~) seien zei t abhängi~ ~rößc?,

und es gelte: A := A( t) := 20 'c- o,O I ; K ::: K(t) := 2.00 0 + IOD t. Dabe i bcdcute n.A: A rbcit sinput Iin M io A rbe itnehm ern ); K Kapitalinput (in Mrd. € ); t: Zeit (in Perioden); t ::: 0 so ll den Pla nungszcitpunk t. z.B. 0 1.01.2009 . angeben: y: Ou tpu t (in Mrd . € pro Period e). i) Ma n ennittlc die Funk tion, dere n Werte die O utpu tänd erun g pro Zei teinheit zu jcd em beliebigen Zeitpunkt I angibt (= lo talc A blcitung vo n y bzgl. t ) . ii) Man zeige, dass der Output im Zeitablauf zunäc hst zunimmt und später abnimmt. Z u welcher

Z eit wird ein max ima ler Ou tpu t erwirtschafte t'! wieviele A rbeitn ehmer ste hen dan n noc h zur Verfügung'? Um ....i evieJ Prozent ist die du rchsch nittl iche A rbeitsproduktivität dann grö ßer (bzw. kleiner) als im Planungszeitpunkt?

7.1.7 Ableitu ng im pli zit er Fun kt ionen Bei vielen öko nom ische n Problemen liegt eine fu nktionale Beziehung zwi schen zwei Variablen x und y in implizit er Form fex, y) "" 0 vor (sieheKap 2.1.5). fex, y) = xL y3 + 2 = o.

Beispiel:

O bwohl die zu f(x,y) = 0 gehörend e explizi te Darst ellung y = y(x) (bzw. x = x(y» - auch wenn sie theo retisch existiert - häufi g nirht angegebe n werden kann (so etwa bei fex, y) = ,,3e)"- zy e X+ 2 = 0), lässt sich dennoc h die Abl eit ung y'(x) ermitteln. Dazu fass en wir in der implizite n Darstellung fex, y) = auf: fex, y(x» = O.

ü

die Variable y als (existiere nde ) Fu nktion von x df er = dx 3x

Dan n lautet die total e Ahleitung von f nach x (stehe (7.1.56» :

er

dv

+ '- . 3)' dx

Da f(x,y) - da implizite Fun ktion - ide ntisch Null iSI, muss a uch d ie totale A hleitung ident isch N ull sein:

o=

3f + Clf. ~ .

ax

3)'

dx

Darau s erhält man durch A uflösen nach ~ da s gesuch te Res ultat : dx

Satz 7. 1.6 1: (Ableitung impliziter Funk tionen) D urch f{x,y) = 0 sei eine implizite Funktion y: y(x) def iniert. Sind d ie partiellen Abl eitungen Cx' fy steti g, so gilt (sofern f y 0):

'*

ar

"ar

(7. 1.62)

Bemerkung 7.1.63:

Cl)'

Vertauscht man in Satz 7.1.61 die Variablen x und y, so gill unterentsprechenden Voraussf'lzungen:

dx Iv = - -dy

-

ts :

7 .1

341

Grundlagen f(x, y) ; - xZ +5x-y- l "" 0 .

Beispiel 7. 1.64:

.!!! "" _ f" f

dx

l'

Darau s fo lgt mit (7.1.62):

"" _ - 2x+ 5 "" - 2x +5 . -I

Da f = Q explizit nach y aufl ösbar ist, lässt sich

die Probc maehcn: y = - xZ+ 5x - }

y'(x) "" - 2x+5, wie zuvor.

Betsptet 7. 1.65: Im Fall f(x, y) = x3e-Y - 2ye X + 2 "" () lässt sich eine explizite Darstellung y "" y(x) bzw. x '" x(y) nicht hinschr eiben. Für die A bleitung y'(x ) gilt nac h (7.1.62): dv

fx

~ = - f

l'

=-

3x2eY - Zye X x3eY - ZeX •

Man e rkennt. dass ~ La . von beiden Variab len x , y abhängt. Um etwa (für grgebenes x ) rechnen zu können, muss zunächst der zugehörige Wert ermitt elt werden,

v-

z.B.

X ""

0: f(Q,y) = Q' e,v - 2y ' co + 2 = 0

v-

dy

1

~: be-

_ _ - zeo "' _ I . - Zeo

dX!". o 1'.1

Bemerkung 7.1.66: Satz 7.1.61 lässt sich auf beliebige implizite Funk tionen f(x l' x2' ..., x,J '" 0 verallgemeinern. Für irgend zwei f unk tional abhä ngige Variable Xi, xk gilt dann- c.p. « analog zu (7./. 62):

( 7.1.6 7)

Beispiel:

(sofern

f(u,

~',

w)

= uev + ve

W

" 'w

+ weil '" 0

I.

-7;

,.'" =-7:I. =-

~

VI.'''' 1.11.'\'

+ e" + e''

'w '" _lE... ; au I.

ee" + e'" eV + weu

eV + we'" 1'1.''''

+ 1.'"

E ine wicht ige ö kono mische A nwend ung von Satz 7. J.6 1 liegt in der EnnitUungder C renz ra te der Subsutution einer Prod uktions- od er N utzenfunkt ion (siehe Kap 6. J.2.7). U nterst ellen wir etwa eine Produktionsfunktion x'" x(r l' rZ' ..., rn) mit n variab len Inputfak toren. Für ein gegebenes Iestes Proc.luktionsniveau Xo werd e nun das wechselseit ige Substitution sverha lten zweier Fakt oren , z.B. ri und fk ' be i Konsta nz al ler übrige n Variablen untersucht: Um wie viele Einheiten muss fj geändert werden , um (c.p.) eine E inheit von rk derart z u substituieren, dass da s Produktionsniveau x(I unver ändert bleibt ?

lfr;1

Diese Frage füh rt auf die Ennittlung de r G renz rate der Sub..ütunon. mithin de r Steigung der Isoqua n ie rj(rk)(e.p.), siehe Abb. 7.1.68: Z u ermitteln ist somit die (pa rtielle) Ableitung

Abb.71.68 Satz 7.1.6 1 in Verbindung mit Bemerk ung 7. 1.66 gesta tt et nu n eine bequeme Berechnung der Grenzrate der Substit ution :

342

7

Differentialrechnu ng be i Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

A1L~ x(rl' T2_..., rrJ = Xo = cons t. ergibt sich x(rl ' f2_..., TrJ -xo = 0 als implizite Funktion der fJ' ..., t nH ält man alle Variablen bis auf q und Tk fest, so folgt (da die A bleitungen der Konstan ten :tu stets Null sind) mit (7. t .62) bzw. (7.1.67):

W,

7. 1.69)

3 rj

-

I,.,

~

,.,

ark ,

drk C.p_ -

-~

=

(i =H ) .

~

ar,

Die Grenzmte der Suhstit ution des Faktors i bzgl. des Fakto rs k ist gleich dem negati ven umgekehrten Verhält nis der entsprechenden GrenzproduklhitätCD .

Bemerkung 7./ .70: Das Minuszeichen auf der rechten Seile von (7.1.69) trägt der Tatsache Rechnung, dass (beipositivenGrenzproduktiviuuen] längs einerl soquanteder Zunahme deseinen Faktors eineAbnahme des anderen Faktorsentspricht(siehedienegative Steigung der Isoquanten in Abh. 7.1.68).

Setzt man diese Eigenschaft der Isoquanten stets stillschweigend voraus, so genüglfür die Kcnnzeich-

a,· a:. (bzw. d" I k dr,

nung des Substiuatonsvemattensder absolute Wen von gdegemlich4 auch denAusdruck

d', I

d',

1.3. 1

= _

1

c.p.

ör

a,; a"

a,

~ js,

k

). Daherbezeichnetman

c.p.

(>0)

arj

als "G ,enzratederSubstinuion ", Wird dieserpositive (absolute) Wen mit wachsendem Input rk immer kleiner (entspricht einem konvexe" Verfauf der l soqnamen. sieheAhh. 7.1.68), so spridu man vom Postulat der"abnehmendelI Grenz· rate der Fakiorsubstinuian ": Mit steigendem Einsatz eines Fakturs wird es immer aufwendiger, eine Einheit des anderen Faktors zu suhsntuieren, ohne dass sich das vorgegebene Produktionsniveau Xo önden, sieheauch Bemerkung 7.1 .73. (r21

Beispiel 7. 1.7 1: Gegeben sei die Produkti onsfunktion x: x(Q ,r2) = O,5 rIO.4r20.6. Das Produktionsntveau sei mit x :: Xo = 16 ME vorgegeben. Dan n ents pricht einem Input von z.B. rl '" 32 M E ] wegen 320,4 = 4 ein Input rz = 32 M E2. Für die Grenzrate der Substitutio n aus (7.1.69)

fnl~;t

damit

50

32

-, 2

a,

_ _ ~ __ U,2rl -0.6r20,6 _ _ ~ . .El dr l lx'l. ~ äs, ~ 0,3r\0.4 l2-0.4 - 3 II

~

Ölj

Für Q = T2 '" 32 folgt dann:

. 1

10

(r,1

- ' - - ---+-- ----' 10

32

50

d.h. um das Prod uktionsnivea u Xo = 16ME be i Abb. 7. 1.72 einer Faktorkombination (rl,T2) = (32; 32) halten zu können, muss ein Minderemsatz des ersten Faktors um eine Einheit durch einen Mehreinsatz des zweiten Faktors um 2/3 Ein heiten (und umgekehrt) kompensiert werden, sichc Abb . 7.1.72. 4 Diese Kcnvcnncn wird im rolgclldennicht benutzt, um mathcmatiscbeverwirrungen durch das künstliche Minus-

zeicben zuvermeiden.

7.1

G rundlagen

343

Bemerkung 7.1.73: Analog zu (7,1.69) ermiuett man die Grenuate der Sllbstillltwnjijr Nlltzenfunktionen U(x /> x], ..., x,J als Steigung der 1ndifferenzfinien: dU

(7.1. 74)

dx;

&,

I Uc.p._ C(",-
a Xi aXt

d"

IU_ cot LlI.

dU

ax;

" Die Grenzrate der Suhstinnion für zwei substituierharenutzensnitende Güler ist gleich dem negativen umgekehrten Verhältnis ihrer(partiellen) Grenznutzen " Wie in Aufgahe 7.1.78 zu zeigen sein wird, [olgt das »Gesetz der abnehmenden Oremrate äer Sllbs!itlltian " (d.h. die Konvexitiu der 1ndifferenl.linien, siehe Bemerkung 7.1.70) nicht allein schon aus der Tatsache, dass U eine neoklassische Nfltzerifjm!dioll (siehe BeiJpiel 6.3,5) ist. Aufgabe 7. 1.75:

u

Man ermittle die Ableitungen folgender impliziter Funktio nen:

6x2-0.5y2+ 10 '" O. y'(x) '" '!

iii) Inah- b 2 'lna + a ·l n h '" O.

ii)

db

z

uev -v-ev-uv '" O.

iv] 2x2 +3 y2+ 4 z~ '" O.

"''?

d, d" '" '? d,

äX '" '?;

d, dy = "

Aufgabe 7. 1.76: Ge geben ist die (ordinale ) Nutzenfunktion U mit U(xI , x2) = 2X IO,8x20,6. Für das mit den verfügbare n Konsummengen Xl = 24 ME }, x2 = 32 ME 2 erreichbare Nurzenniveau ermittle man die Grenzrate derSubstitution und interpretiere den erhaltenen Wert . Aufgabe 7. 1.77:

Es sei die (ordinale) Nutzenfunktion U mit U(x], X2, X3, X4) = ZVXIX2 + SVX2XJ + ~

gegeben. Das e rzielbare Nutzenniveau Uo e rgibt sich aus den verfügbaren Konsumrn engen: x} = 20 ME I' x2 = 20 MEz, x3 = 5 ME3' x~ = 25 ME~. Um wievi el Einheiten muss - e.p. - der Konsum des zweiten Gut es gesteigert werden, wenn vom dritten Faktor eine halbe Einheit substituiert werden soll und das erreichte Nu tzenniveau erhalten bleiben soll'? "Aufgahe 7. 1,78: i) Man zeige mit H ilfe der Kettenrege l. dass die Indifferenzlinien einer neuklassischen Nutze nfunktion U(xI' .... x.J sicher dann konvex sind. wenn für jede G ütermengenkombination Xi, xk die gemischten zweiten part iellen Ableit ungen Ux;x überall positiv sind. l

(Hinweis: Eine neoklassische Nuumfuaktion genügl dem " 1. Gossen'schen Geselz ": derpartielle Grenznutzen eines jeden Guus i~1 positiv, aber mit zunehmendem Guterkonsum abnehmend, siehe BeLlpiel6.3.5.) ii) Man zeige: Die Eigenschaft en

:~ >

0 ;

::~

< 0 einer neoktasstschen Xurzenrunkuon sind

weder notwendig noch hinreichend t ur die Kon ~exität ihrer Indiffe renzlinien . Aufgabe 7.1.79:

Man zeige:

l) Die Indifferenzlinien einer Nutzenfunktio n U = C ' Xl a . XZb (a , b , c. x, > 0) vom Cobb - DouglasTyp sind monoton fallend und konvex.

" ii) Die Isoquanten einer CES-Prod uktionsfunktion Ti > 0 sind mono ton fallend und konvex.

344

7.1

7

D ifferentialrechnung bei Funktionen m it mehreren unabhängigen Variab len

Extr ema bei Funktionen mit mehreren un abhängigen Vari ab len

7.2.1 Relativ e Ext reme ohn e Nebenbedingungen A nalog wie im Fa ll eine r unabhängigen Variablen (siehe Def. 6.2 .18) sind re lati ve Extrema bei Funktionen mit mehreren unab hängigen Variablen solche Punkte, in denen der Funk don swert bzgl. seiner nähe-

ren Umgebung ein Maximum (bzw. Minimum) besitzt.

I1I

I 11I

~{YI Abb.7 2.1

Betrachtet man etwa A bb. 7 .2.1, so erkennt man, dass - D ifferenzicrbarkcit vorausgesetz t - in einem relativen Extremum notwendigerweise die Tangential eben e horizontal verlaufen muss und somi t auch d ie Fläch enta ngent en in x- und y- Rich tu ng. Daher müssen notwcndigcrwcise in einem relativen Bxt rcmUlTI die part iellen Ableitun gen vers ehwlnden . Satz 7.2.2: Notwendig für das Vorliegen eines relativen Extre mums der d ifferenzierbaren Fun kt ion f(x I" " ' xn) an der Ste lle P(x I,x2,...,xrJ ist das verscbwlnde n säm tlicher partiellen Ableitun gen 1. Ordnung in P;

er

a,"

=

0

B emerku ng: i) Wäre in einem relativen Earemum auch nur eine pa rtielle Ableitung von Null verschieden, z.B.

gf., > 0, so wöre f in einer Umgehung von P hzgl. x

f

m onotoll wachsend, könnte uLI'O in P kein

relatives Earemvm besitzen. ii) Ma n lIennt eine Stelle stationäre Stelle von f

(Xl' Xl> .. .,

x,,) , an der samuiche portieilen Ableitungen Nu ll sind, auch

Satz 7.2.2 liefert ein Verfah re n z ur Bestimmung aller stationären Stellen (unter denen allein die relativen Extreme zu finden sind) einer gegebe nen differenzierbaren Funkt ion f(xl ' ..., xrJ: Daz u ist es erforderlic h, das du rch die n Bcdi ngungsg1cichungen

:r

= 0 (i = 1 , ..., n) definierte Glel-

chungssystem (bestehend aus n G leichungen mit n Variab len) simuUi n zu lösen (siehe auch Kap . 9.2) .

7.2

345

Extrema bei Fun ktionen mit mehreren unab hängigen Variablen

Beispiel 7.2.3 : Die Ermi ttlung der stationären Stellen von f(x ,y) = O,5x2 + 2xy + 7.2.2 auf das Gleichungssystem

ar - =x +2y + 4 a,

= O

r + 4x + 2y + 3 führt mit Satz

er

Oy =2x + 2y+2=O

mit der einzigen Lösung: Xo = 2 ; Yo = - 3. f kann da her nur an der Stelle Po (2; - 3) ein relatives Extremum besitze n. Wie A bb. 7.2.4 zeigt. ist allerdings das Verschwinden der partiellen Ableitungen an der Stelle Po kemeswegs hinreichend für das Vorhand ensein eines relativen Extrcmums: f bes itzt zwar in Po eine horizontalc Tangentialcbc ne {d.h. Po ist eine stationäre Stelle), die beiden senkrechten Schnitt kurven in x- bzw. y-Riehtung haben in Po jedoc h unte rschiedlic he Extrcma, so dass f in Po weder maximal noch minimal ist.

,,

E inen solchen Punkt Po nennt man SaUelpunktvonf. Z ur i'oerpriifung von Existenz und Typ der relativen Extrema existieren auch für Funk tionen mit mehreren unabhängigen Variablen hinreichende Bedingungen ,de· ren Hand hab ung allerdings mit steigende r Variablenzah l zunehmend kompliziert wird (s. z.B. [60] . II 86f.)

Ix!

i

Xo ~.~~

. _ ~_~ ~

,

'

Yo

.......~>--=-... Ir !

Abb. 72.4

Für den Fall zweter unabhängiger Variabler lauten die hinreichenden Extrem albedingungen (ohne Beweis): Satz 7.2.5:

Es set f(x,y) eine differenz ierbare Funktion und P(xo,Yo)eine stationäre Stelle von f (d.h. es gelte fl( = 0 ; fy = 0 in P(xo,Yo))' Dann gilt:

i) f besitzt in P ein relatives Extre mwn, sofern a ußerdem in P gilt:

, - - - - - --

-----,

(7.2.6 ) und zwar a) ein relatives Maximum, sofern fxx(P) -c 0 b) e in relatives Minimum. sofern fx:,JP) > 0

(dann gilt auch: fn< P) < 0); (dann gilt auc h: f}){P) > 0) .

ü) f besitzt in P einen Saue lpunkt . sofern in P außerdem gilt:

I fß( PYn,P) < (f"" p»2 I

(7,2,7)

Bemerkung 7.2,8 : Falls in P gilt: [xx f}y = fjJf)2, so ist eine Oberprüfung mit Hilfe von Satz 7.2.5 nicht möglich, f kann in P earemat sein odermcht. Beispiel 7.2.9: Die Funktion f mit f(x.y) = x 3 - 3x 2y + 3xy2 + y3 - 3x - 21y soll auf relative Extrerna u ntersucht werden. Die Lösungen des G leichungssystems

f x = 3x2 - 6xy + 3y2 _3 = 0 fy = - 3x2 + 6xy + 3yL 21 =0 liefern die vier stationä ren Stellen:

P I(3; 2), P z(l ; 2), P3(-1 ; -2), P 4(- 3; - 2).

346

7

Mit PI :

Differentialrech nung bei Funktio nen mit meh reren unabhängigen Variable n

f xx : 6x - 6y ;

f yy '" 6x + 6y ;

fx.~fyy = 6 . 30

> (-6)'

P2: fxxf~.y = (- 6) ' 18 P3: P.j.:

fxy = f yx = --6x +

= (f",)2,

< 6 2 = (f:...~,.>2 : < (- 6)2 = (f xy? :

fx,l)'Y = 6' (-1 8) fxxf n, := (- 6) ' (- 30) >

62 = (f~,)2 :

Minimum in

öy

P, mit

f(3; 2)

folgt :

'" - 34 ; =

-30;

Sattelp unkt in P3 mit f(- I; -2) =

30 ;

Sat telpunkt in P2 mit f(I ; 2)

Maximum in P4 mit 1(-3 ; -2) = 34.

Für die Ext remwert ermittlung ("O ptimierung") bei öko nomischen Funkt ionen mit mehreren unabhängigen Variablen be gnügt ma n sich häufig m it der E rmittl ung der sta tion ären Stell en nach Satz 7.2 .2, da der Typ der verv...endeten ökonomischen Funkti on sowie die zugrundeliegende Problemstell ung La. genü-

gend Rückschlüsse auf die An der stationären Stellen gestattet, s. Kap. 7.3. Beispiele für Extremwerte öko nomischer Funknonen werden in Kap. 7.3 .2 beh and elt . Aufgabe 7.2. 10: An welchen Stellen könn en die fo lgend en Funkt ion en relative Ext remwe rte bes itze n? Sofcrn m il Satz 7.2.5 möglich, übe rprüfe man die Art der stationär en Stellen . ii)

iii)

f(x,y) = x2 + 2xy + O,5y2 + 2x + 4y - 7 f(x,y) = 3x2 + 3xy + 3y2 -9x + 1

i...)

f(x,y) = y3 - 3x 2y p(u ....) = 3 u3 + v 3 -3v2 - 36 u

v)

x(A .K) = 2AO,S . KO,S(A.K > 0)

\i )

K(X I,X 2) = Xj 'X2- ln(X? +x} )

"ii )

g(r l' r2,r3.r4) = r t ~ -4 r I 3 + r2r3r4- 2r3r4-2r2-4r3-8r4 + 1 .

i)

7.2.2 Extrem werte unter Nebenbedingu ngen 7.2.2.1 Problemstellun g Bisher konnte man be i der E rmittlung der relativen Extremwerte einer Funktion fexl,x2' ...•xnJ die unab hängigen Variablen XJ, .,', xn frei und una bhängig voneinander variieren . Die derartlösbaren ~ frclen " Extremwertprobleme genügen allerd ings oft nicht den ö konom ischen Fragestellunge n: Beispiel 7.2. 11: Bei einer Nutzenfunktion. e twa U(x,y) = 2xy (x,y > 0) , fü hrt die Frage nac h den nurzenmaxima len Gütermengen auf die notwendi gen Bed ingungen aU = 2y =0

ax

A

aU= 2x = 0 .

ay

Die cinzige Lö sung dieses Glcichungssystcms (nämlich x = y = 0) liefert den {ökonomisch unin unrssanten) Fall der Nutzenminimienmg durch Konsumverzicht. A ndererseils erkennt man, dass wegen U = 2xy der N utz en dureh beliebig hohe Kon summengen auch be lieb ig ges teigert werden kann: x -- 00 A Y-- 00 ::::- V _ 00 • E in sinnvolles Nu tzenmaximum existiert nicht. (Eine ahnliehtriviale

" Lösung" ergibt sich beim Prob/ern der Kostenminimierung: Bei Nu/lproduktion und Betriebssrillegung[allen offenbardie geringsten Kasten an.) Stnuvoll wird die Frage nach einem Nutzen maximum z.B. erst dann, wen n zus ärzuc h gefordert wird, dass die A usgabe n f ür die Besc haffung der nutzenstift enden Güter einem "orgcgehenen Budget C (~ Konsummengc~) e nts preche n. Steht z.B. für d ie Güterbeschaffungein Budget C = 60 GE zur VerfUgung, und betragen die Guterpreise Ps = 3 G E / ME. I\> = 2 GE/ ME , so muss stets die Bedingung (Res triklion) . pX 'x + ry y = C

d.h.

3x +2y - 60 = O

oder

60-3x- 2y =0

erfüllt sein . Damit lautel das gegeben e P roblem : Man maximiere die Nutzenf unkt ion (oder Ziel funktion) U(x,y) = 2xy unter gleichzeitiger E inhaltung der Nebenbed ingung (od er Reslriklion) b>{x,y) = 60 - 3x- 2y = O.

7.2

347

Extrema bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

Probleme der genannten Art sind charakteristisch für ökonomische Wahlprobl eme, bei denen es meist darauf ankommt, unter Berücksichtigung beschränk ter Ressourcen maximale ßedürfnishcfriedigung zu erreichen:

-

Nutzcnmaximierun g bei vorgegebenem Budget Kostenminimierung bei vorgegebenem Prod uktionsniveau Gewinnmaximierung bei vorgegebenen Gesamtkosten

usw.

Die allgemeine Stru ktur solcher Opumlerungspre bleme unter Berücksichtigung von Restrik tionen (in Gleichungsfonn ) lautet: (7. Z.I Z)

Man ermittle das Maximum (oder Minimum) der Zielfunklion:

Z '" f(xI ' xz' ..., xIJ ,

wobei die a uftretenden n unabhä ngigen Variablen xI, xz- ..., xn gleichzeitig den m « n) vorgegebenen Nebenb edingungen (Re.st riktionen) in Gleichungdorrn genügen müssen: gl (XI , ..., xIJ'"0;

gix I' ···'x.J "' O;

gm(xI'···, X.J= O.

Um anschaulich argumentieren zu können, soll z unächst der einfachste Fall bet rachtet werden: Maximiere Z = f(x,y) umerEinhalt ungder Nebenbcdingun g g(x,y) = 0 (siehe Bsp. 7.2.11). Den charakteristischen Unterschied zwischen einem n rreien~ Maximum von f (im Punkt P) und einem (d urch Rcstnktlon j vgebundenen" Maximum von f (im Punkt Q) veransehaulieht Abt>. 7.2. 14: Das freie Maximum e ntspricht dem Gipfel P der Funktionsfläche. während das gebundene Maximum der höchste Pun kt Q der Flächenkurve k ist, die genau senkrecht über der (in der x.y-E bcne gelegenen) Kurve g(x,y) '" 0 liegt . Alle Punk te [x, y, f(x,y» dieser Rächenk urve genügen somit der gegebenen Ncben bedingung g(x,y) = O. ( Die Ncbcnbcdingung g(x,y) = 0 schränkt den wählbaren Bereich für die unabhängigen Variablen auf diejenige n Variablenkombinationen (x,y) ein, die auf der Funktionsfläche senk recht über (bzw. unter) der Kurve g(x,y) = 0 liegen.) Bemerkung 7.2./3 : Das A uff inden eines gebundenen Maximums auf der Funktion Z = f (x,y) entspricht etwa dem Auf su chen des höchsten Punk tes einer Gebirgsstraße ( Q Restriktion): Niellt das Gipfelk reuz ( Q f reies Maximu m, Punk t P in A bb. 7.2./4) ist gesucht, sondern d er am höchsten über NN liegende Punkt dcr Straße t e PunktQ inAbb. 7.2,/4).

I /t/

IIfI

/zl z~

{(X'!.!,/ ~-

Q

glx.yJ~O glx.y)~O

Abb. 7 2.14

Abb . 72. 15

7

34 8

Differe ntial rechnu ng bei Funkt ion en m it mehreren unabhängigen Va riable n

Bei~pieI7 .2. 16:

Eine lineare Nebenbedingung (wie etwa Y'" -

~ x + 5, d.h . g(x,y) '" x + 3y - 15 '" 0) wirkt w'ic der

Schnitt einer senkrecht zu r hor izontalen (x.yr-Ebcnc und dur ch die Ge rade g(x,y) = 0 verlaufenden Eben e mit der Funktionsfläche f(x,y). siehe die entsprechende Schnittkurve k in Abb 7.2.15. Im folgende n soll d ie matbcme üscb e l .ö~ung von Extremal problemen unt er Resrnkuonen in Gleic hungsfonn unt ersucht werden.

7.2.2.2 Varia blensubstit ution Bei formal einfach strukt urierten Problemen kan n ma n versuchen, mit H ilfe der Nebenbe dingungen eine oder mehrere Variab le d urch die iibri gen Variab len aus zud rücken (d.h. zu subs tituieren), so da ss sich die Anzah l der unab hän gigen Variablen in der Zi clfunktio n entsprechend verminde rt. Man löst die Nchcnbcdingung g(x,y) = 0, d. h. Betspiel 7.2. 17: [Fortsetzung ,",o n Beispiel7.2.11): g(x,y) = 60-3x-2y = 0 nach (z.B.) y auf: y '" - 1,5x +30 und subs tituiert dami t in der Z ielfunk tion U = 2xy d ie Variable y: U = V(x ,y(x» '" 2x .(- 1,5x+ 30) = - 3x2+60x. In d ieser Form der Zi elfunk tio n V ist die Nebenbedingung bere its ber ücksichtigt, so dass V(x) nun in gewöhnlicher Weise maximiert werde n kan n: A us U'(x) = - 6x+ 60 '" 0 ergibt sich als einzige Lösung (x;y): x e lOME, Y= - 1,5x+30 = 15 ME , und dar aus wegen V" (x) = - 6 <0 a ls Nut zcnrnaximum: V. ,ax = V(1O;15 ) = 30 0.

I._10

Wenn d ie Restrikti onen kompliziert e Funktionen sind oder wenn mehre re Neben bedingungen mit vielen Variahlen zu berücksich tigen sind, kan n eine S ub~ ti! ut ion vo n Variablen seh r ~chltie rig ode r unm öglich se in (Beispiel: Die Nebenbedingung g(x,y) = xe-v + 2ye - X - 1 = 0 ist nach keiner de r Variablen explizit a ufl ösbar.). In solchen Fallen wende t man die s(lgen a nn le~ l.agrnngc- Mc t hod e 5 der unhestimmten M ul ti plikatoren ~ an, die - nebe n angenehmer H and hab ung - tiefe re Ei nblicke in die Stru kt ur und Lösun g des Optirnierungsproblcms gestattet a ls die Substitu tionsmeth ode .

7.2.23

Lagrange - Met hode

Die G rundi dee der Lagrange-M et hede bes teht darin . die Bestimmun gder d urch Restriktionen gebundene n Extreme einer vorgegebenen Zi clfunkt io n f zurückzuführe n auf dlc E rmitt lung der sta tionären Steilen ein er neu zu bilden den Funktion L. Bci~ piel

7,2. 18: (Fo rtsetz ung von Beispiel 7.2.11):

Mit H ilfe

der Z ielfunk tion Z : Z = f(x,y) = 2xy ( - maxlmin), der Ncbc nbedingung g(x,y) = 60 - 3x - 2y = 0 sowie eines P roporüonefüä istaktcrs ,l. ( 0 )

'*'

bilde t ma n eine neue Funktion L, die sog. " l..agrrmge - Funkti on":

I

(7.2 .19)

L = L(x,y, A) = f(x,y) + ;. ' g(x,y)

d.h. im Beispiel

L = L(x,y, A) = 2xy + A(60 - 3x - 2y) .

Der griechi sche Buchstabe J. ("Lam bda ") heißt , unbestimmte r Lagrnngescher Mllllipl ika lor~. 5 J.L. Lagrange. französische r Mathematiker ( 1736-1813)

7.2

Extrcma bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

349

Kann man sicherstellen, dass die Nebenbedingungstets genau erfüllt ist, so verschwindet g(x,y) bzw. der Klammerausdruck in (7.2.19). In diesem Fall- d.h.Iängs der durchdie Nebcnbedingungcharakterisierten Flächenkurve - ist die Lagrangefunktion L identisch mit der ursprünglichen Zielfunktion f. Also muss - vorausgesetzt, die Nebenbedingung ist stets erfüllt - die optimale Lösungdes durch die diese Nebenbedingung g(x,y) "'O gebundenen Optimierungsproblems unter den stationären Stellen von L zu suchen sein. Betrachtet man die Lagrangefunktion L "" f(x,y) + ).. !>>(x,y) '" 2xy + ). (60 - 3x - 2y) als Funktion der drei Variablen x. y und )., so erkennt man, wieso das gesuchte Ziel erreicht wird: Die notwendigen Bedingungen fürdas (freie) Maximumvon L lauten nachSatz 7.2.2: 1l L =3f+, .~

(7 .220) .

3x ax "1l x 1lL:: of + ). .~ oy 1ly ay

=

g(x,y)

""

al

0). ::

2y - 3)'

=0

2x -2).

"" 0

60-3x- 2y '" 0

Die Lösungen dieses Gleichungssystems liefern die stationären Stellen von L. Dabei garantiert die letzte Gleichung von (7.2.20), :; '" g(x,y) '" O. dass in der Lösung die Nebenbedinguog ceutcmatisch" berü cksichtigt wird: Unter den stationärenStellen von L sind also die relativen Extrema von f unter Berücksichtigung dcr Restriktion b>(x,y) = 0 zufinden. Aus(7.2.20) ist ersichtlich, dass für clnc sinnvollebzw. widerspruchsfreie Lösung des C äefchungssysrems notwendig vorausgesetzt muss: g,(x,y) * 0 oder g,.{x,y) * O. In unseremBeispiel lautet die einzigeLösung von (7.2.20): x'" 10, Y= 15, ). =1 0, Uma>: '" 300, in Übereinstinunung mit dem Ergebnis bei Variablcnsubstitulion, siehe Beispiel7.2.17. (Die B edeutung des Lösu ngswertes \ion ). wird in Kap. 7.3.3.1, Bem erkung 7.3.134, gekl ärt. Für dieg esuchteOptimallösung selbst ist ). zunächst erubehrtich.] Bem erkung 7.2.21: Die im letzten B eisp iel beschriebene Methode tieferr nur notwend ige B ed ingungen für das Vorliegen relativer Eurem a un ter Neben bedingungen. Hinreichende Bedingungen existieren (siehe z.B . [65a), 59 1 ff), sind aber mit steigender Variablen- und R estrik tionenzahl mühsam zu handh aben. Da die meisten ökonomischen Problem e so strukuurien sind, d ass apriori die Existenz eines Maxim ums oder M inimu ms angenommen werden k ann, unterbleibt hier die A ngabe der hinreichenden Eurem albedingungen.

Für Probleme mit mehr als zwei unabhängigen Variablen und einer Nebenbedingung erfolgt die Bildung und Optimierung der Lagrangefunktion analog zu Beispiel 7.2.18, so dass zusammenfassend gilt

°

Satz 7.2.22: Die relativen Extreme der Zielfunktion f(x!....,xO> unter Berücksichtigung der Nebenbedingung g(x t,... ,xO> :: finden sieh unter den stationärenStellen der Lagrangefunktion

I

L(x!. ..., xn',J.)= f(x!, ..., xn,) + ,J. · g(x!, ..., xO>

I,

( g, *O v Sy * O;). * O)

d.h. notwendig dafür, dass f in P ein relatives Extremwn unter Berücksichtigungder Restriktion g(x,y) = 0 besitzt,sind die n+1 Bedingungen

~

of +,J. ·2ß..""O

oXI

al

a"al

M

o XI

=

ar

a,.

oXI

+ ). .2ß.. =0 a,.

g(xI' ..., xO> "' 0 .

D ifferen tialrechnung bei Fu nktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

7

35 0

Bem erkun g 7.2.23: Man beachte f ür die k orrekte Anwendung VOll Salz 7.2.22, da ss die Nebenbedingung stets so umgef onnt wird, dass auf einerSeile Null steht: g(xl- ..., x,J = O. Beispiel 7.2.24: Von f: f (xl ,xZ,x3'x-\) = XI-l+X2-l +x 3-I +x-\-1 sind die relativen Ex trcma un ter Berückslcbtlgung dcr Rcstnknon Xt +x2+x3+x-\ = 8 gesuch t. D ie zuge hö rige Lagrangefun ktion lautel (sie he Bemerkung 7.2 .23): L = f

+ ,1. . g = X(~ +X2 -I +x) -I +x....\ + J. . (a- x , - Xl - X) - X-\) .

Notwendig für relative E xrrcma von L sind d ie Bedi ngungen:

'L

"I 'L

-A= 0

= 4X1 3

- ). =

4X23

oX 2

'L ax

4x-l3 - ,1. = 0

o X4

aL

sr

0

- ,1. = 0

4X33

.2h

Aus den vier ersten Gleichungen folgt :

= 8 -x\ - XZ- X3 - X-\

=0

).= 4XjJ=4x Z3 = 4x} = 4x-\3 und daher x I = x2 = x3 = x-\ . Eingesetzt in die letzt e Gleiebungfolgt: 8 -X I - x l -XI - X\ =O ,d.h. Xl = 2 und dah er: " I = "2 =" 3 = X4 = 2 ; A = 32, r = 64 . Die Ziclfunktion f kan n dah er an de r Stelle (x l,x2,x3,x.,> = (2; 2 ; 2; 2) ein relatives Extrcmum unter Berücksichtig ung der Restriktion x l+"2+ x3+x 4 = 8 besitzen.

Allrgabe 7,2.25 : An welche n Stelle n könn en diefolgenden Funktionen unter Bcrücksicbugu og dcr angc geben eu N eben bedi ngungen (NB) Extrema bes itzen'? I) f(x,y) = x L2 xy u.d. NB y::: 2x -6 ii)

E(x I, x2, x3) = xlx2 +2"lx 3 + 4x2" 3

u.dNß

iii)

K(u, v. w, z) = 2u + v + 4w + z x(rl. r2) = IOrlo ,4 ' r20, 6

u.d.NB

Iv)

" 1+x2+ 2x3 = 8 u 2 +v 2 +w2+ 2z 2 = H6

u.d.I".'B

Das Problern der Extremw ertbestimmung einer Funk tion fex ,•...• xlJ unter gleichzeitiger Berück sichtigung mehrerer Nehenbedingungen g ,(X\, ..., xJ = 0 ; ... ; gm(x!, ..., xn') = 0 (mil m < n) kann mit de r gleichen Idee gelös t werden, wie sie in Beispiel 7 .2.18 dem onstriert und in Satz 7 .2.22 formuliert wurde . Dazu fügt man in der Lagrangcf unkt ion L ruf jed e Nehenbedingung gj(X], ..., XII) = 0 eine mit einem jeweils eigene nl\tultiplikato r Ai (*0) versehene additil'e Komponente Ai ' gi(xI' ..., x n) hinz u. Dan n lautel die Lagran gefunktio n

L = L(x I, " " xI\'AI, ...,Am) = f(xI ' ..., xlJ + AI . gl (xI , ..., xlJ + A2 g2(X \•..., xJ + ... + + Am· &n(x l'·..· xJ.

(,1.;

*0).

mit m voneinander unabhängigen Lagrange - M ultip likatore n Al, ..1. 2, •••• A. m . Fasst man diese Multiplikatore n A.i wieder als zusätzliche unabhängige Variable von L auf, so liefern die m notwendigen Ex tre-

malmalbedingungen

~i

= 0 (j = 1,...,m)

zu Satz 7 .2.22 der allgem~ inc

~autornatiseh~ die

m Rest riktionen g;, = O. d.h. es gilt analog

Satz 7.2. 26 ()lulti IJIikatorregei von l .agrdoge): Die relativen Extre ma der Zielfunktion f(xI " " 'x o) unt er Bcrücksiehtigung dcr m « n) Nebenbedingungen g l(x l ,...•xn) = 0; ... ; gm(x l,""xn') = 0 finden sich un ter den staliooä reo Ste llen der zuge hörigen I.agrnngdunktioll L mit

LAi m

L(x I• ..., xII,A I, ...• A. m) = f(x I... ·,xJJ +

i -I

&(xl . ·.., xn') •

7 .2

351

Extrema be i Funktionen mit mehreren unab hängigen Variablen d.h . notwen dig dafür, dass f in P ein relatives Extrcmu munter Berück sicht igung der m Nebe nbedingungen g , = 0; ...; gm '" 0 bes itz t, sind die n+m Bed ingungen

'L = er

'"

a Xt

er

aL aXn

ih n

aL

'.

0

+ ). la~ + ). 2 a~ + ... + ).ma~

= 0

2,

"

'L

"m

,-

x

gl (xI , ..., xnJ

".

'.

+ ). I ~ + ). ~ + " ·+ ).ma%. aXt

0

o.

gm(xI•..., xnJ

Bem erkung 7.2.23 gill entsprechend. Belspiel 7.2.27: An welchen Stellen kan n die Funktion f mit f(x,y,z) = x 2+ 3y2+ 2z 2 relative Ex trema unter Bcrü cksieh tigungder Restriktion en x +3y = 30 ; y+ 2z = 20 besitz en '?

D ie zugehö rige Lagrangcfunktion lautet: L(x, y, z, ).1,). 2) = x 2 + 3y2 + 2z 2 + ).1(30 x - 3y) + ).2 (20 -y - 2z) , -t

d.h. nach Satz 7.2.26 lau ten die notwend igen Extrema lbedingungen:

2,

t, l.y

=

L,

=

LA. LA,

= 30- x-r Sy

=

6y

=0

- 3,.1, 1 -

=0

4,

-

= 20

3x -3y + Z= x+ 3y

- AI

y - 2z 0

-'"2 = 0 =0

Dies eingesetzt in die zweite Glciehunglicfert : 6y -6x -2z = O.

= O.

Dam it redu ziert sieh das Gleichungssystem auf:

Setz t man die aus der letzten Zeil e resultier end e Beziehung: y = - 2z + 20 in die bei den ersten Gleichungen ein, so reduziert sich das Gl eichungssystem a uf:

=3 0

y+2z =20 . 3x + 7z=

A'

A us der ersten und dritten Gleiehungfolgt: ). 1 : 2x ').2=2 z.

60

x - 6z = -30 .

A us der letzten Zeil e folgt x = 6z - 30 . E ingesetzt in die erst e Z eile folgt:

3(6z - 30) + 7z = 60 {;} 25z = 150 {;} z = 6 . Du rch Rückwärtseinsetzen erhält man sukzess ive x = 6 , y = 8 ' ).1 =).2 = 12 , f(6; 8; 6) = L(6; 8; 6 ; 12; 12) = 300. D ie Zi elfunk tion f kann daher (nu r) an der Stelle (x. y, z) = (6 ; 8; 6) e in relat ives Ext remum mit dem Fu nktionswert f = 300 bes itze n. (Z ur allgeme inen L ösung linearer Gleichungssysteme siehe Kap . 9.2.)

Aurgabe 7.2.28: An welchen Stellen kann ein relatives Ex trcrnum unter Berücksi chtigung der angege benen Nebenbcdingungcn (NB) voriiegen? i)

f(x,y.z) = x 2+ y2 + z2

u.d.NB

x + y: l ; y + z = 2

ii )

f(u , v,w) = 4u+ 3v +w

u.d.Nß

w e

ö

ivw e

za .

352

7

Di ffcrcntialrech nung bei Fun ktionen mit mehreren unabhä ngigen Variable n

7.3 Beispiele fü r die Anwendung der Differenti alrechnung auf ökonomische Funktionen mit mehreren un abhän gigen Varia blen Von den zahl reichen Anwendungen der D ifferent ialrechnung auf öko nomisc he Fu nktionen mit meh reren unabhängigen Variablen sollen nun einige klassische Beispiele behandelt werde n. D abei wird sich a uch hier zeigen , dass für die erfolgreiche A nwendung mathematisc her Method en die Ha ullt~ch\\'ierig· keu nicht so seh r in der ma thematisch- techn ischen Behandlung der auftretenden Fo nn eln und Gleichungen besteht, sondern vielmeh r im Au[\u chen , Form uliere n und i.'berp riifen ökonomischer Zielfunktlone n, Restriktionen und Problemlö sungswerte. So ist es etwa i.a . viel schwieriger. ein öko nomisches Wahlproblem korrekt zu formulieren, als es später mit H ilfe der Lagrange- Met hode richtig zu lösen.

7.3.1 Partielle Elastizitä ten 7.3.1.1 Begriff der partiellen Elastizitä t De r E lastizitätsbegri ff lässt sich a nalog zu Kap. 6.3.3 auch auf Funktionen m it meh reren una bhängigen Variab len a usde hnen. Nach De I. 6 .3.80 sowie (6 .3.81) ist d ie Ela\üzilät E[x einer Funktion fex) bzgl. der unabhängigen Variablen x das Verllältllis der relat iven (ode r MProzcn't ualen") Änderu ngen von f und x, und es gilt;

,

df Ef, x ' ''~

(7.3. 1)

df

x

f '(Xl

dx

f{x)

fC")

x

x

Nach Satz 6.3.84 gibt der Zah lenwert von E[ x an, wn w ieviel P rozent sich f (näherungswetse) ändert, wenn sich x um 1% ände rt. Analog Hisst sich d ieser Ela suz ität sbc gnff auf Fu nktio nen f(xI ' " .. xn) mit mehreren unab hängigen Variab len übertragen, indem man led iglich die Ei nwirkung der Ä nderung einer einzigen unab hängigen Variablen Xi auf das Verhalten von f betrachtet und die übrigen Variab len konstan t hall (c.p.- Bcdingun g). dXi ., .. und die dad urch hervorgerufene relative An de Beschreibt man die relative Anderung von Xj durch df

rung von f (c.p.) mit ---.:1.,'" (wobei dfx- ,: I so erhä lt man analog zu (7.3.1);

X;

,oX;r .Uxj das partielle Differential bzgl. Xi ist, siehe DeI. 7 .1.37 ),

n-r, 7.3.2: (partie lle EIa~üzität) E s sei f ein e differenzi erbare Fun ktion der n unabhängigen Variablen Xl , ..., Xo- Das Verhäl t· ni~ f:f,xi der retatlven Änderu ngen von f und Xi (un ter Kon sta nt haltun g aller üb rigen Variable n) heißt partielle Ela\lizität \"On f bz gl. Xi' und es gilt wegen (7.1.38) ;

(7.3.3)

Ef..~j

"'" r

,-

o f x_ . ~ '" oX; r

dX;

Beispi el 7.3.4: Für die beiden partiellen Ela stizit äten der Funkt ion f mit f(x,y) = 2xy3 + 4x 2 erhält man mit x. y, f(x,y) 0 (zurSchreibweiseder Variablen sieheSem. 7.1.13 ii);

*'

C1 f

Er.x :

-a; '

x ftx .}')

(2v 3 +Hx) ' x xy3 + 4x2 :

= i

, .3+ 4x ; .3 + 2x

of

;

ffS

,.

= C1y . f{~.y)

6.,..,.2 · "

= h").3 + 4x2

Das Beispiel zeigt, dass i.a. jede der n möglichenpartiellen Etasta uaten VOll f (x],...,x,J selbst wiederum eineFunktion der 11 unabh öngigen Varia blenisl.

7.3

Beispiele für die Anwendu ng a uf ökonomische Funktio nen

353

Analog zu Satz 6.3.84 ergibt sich die Interpretation des Zahlenwert es der partiellen Elastizität: Satz 7.3.5: Der Zahlenwert der part iellen EJa,tizität fr,Xi von f(xJ,...,xrJ bzgl. xi gibt an, um wieviel Prozent sich der Funktionswert f(xt,...,xrJ (näherungswcise ) ändert , wenn sich die unabhängige Variahle xi wo ein Prozent ändert und alle übrigen Variablen konstant bleiben. Beispiel 7.3.6: FUr die Elastizität von f f(X I' Xl ) = - 3x] + 5x l + 10 an der Stelle xl = 4, xl = 2 erhä lt man nach (7.3.3): (jf

x

'r.XI --

_

' r.xz --

_ . -"1 (jxz f -

(jx \

.-"1 f

(jf

x

I

-3x \+ 5x 2+ 10 XI - 4 ; XZ- 2 5x z

= - 1,5

= 1,25

Nach Satz 7.3.5 bedeutet dies. dass an der betrachte ten Stelle

i) f um 1,5% abnimmt, wenn xt um 1% zunimmt und xz unverändert ( =2)bleibt; ii) f um 1,25% zunimmt , wenn xl um 1% zunimmt und xl unverändert (= 4) bleibt. Sämtliche Aussege n und Ergebni....se über Ela~tizitäten von Funktionen mit einer unabhängigen Variablen aus Kap. 6.3.3 gelten unt er H inzufügen der c.p.-Bedingung völlig analog auch für partielle Elasüzität en, da dort ....-ic hier stets nur der Einfluss der Änderung einer unabhängigen Variablen betrachtet wird. Für alle weiteren ökonomischen Anwend ungen partieller Ela,tizitäten sei daher auf Kap. 6.3.3 verwiesen. Dagegen ist die Bedeutung der partiellen Elastlaitäten bei gleichzei tiger Änderung aller unabhängigen Variablen Gegenst and der folgenden Abschnitte. Aufgabe 7.3.7: Man enn ittle die part iellen Elastizltat en folgender Funktio nen an den angegebenen Stellen und interpre tiere die erhaltenen Zah lenwerte: I)

y: y(A,K)= 4 ·AO,7 . I{Ü.3

für A= lOO; K= 400

ii)

f: f(u,v.w) =4u l +v l+3w2 - Zuvw

für u =1 ;v =2 ; w= 3 .

Aufgabe 7.3.8: Die Nachfrage X "Xl nach zwei Güt ern sei in Abhängigk eit der G üterpreise PI ' pz vorgegeben . Man untersuche mit H ilfe der Kre uzprei~ela~ lizi täten t'XI,Pl' (X 2.P I (s. Beispicl 6.3.104), ob es sich um substirutive 00 . komplementäre Gü ter handelt: ii)

x\ (p\ , P2) = 100- 0,8P\ +O,3P2; x \(P\, P2) = 4c Pz - PI ;

jjj)

x \(Pt, P1) =

i)

\~

PI P2

xl(P\, P2) : 150 +0 ,5p \- O.6P2 xl (PI> P2): 3e Pl - P2 Xl(P\, P2) = 5e P2 - P I

(Pl' P2 > O).

7.3.1.2 Die Eu tersehe Homogenitätsrelati on Für homogene Funktionen f (siehe Def. 3.3.2) existiert eine bekannte Beziehung zwischen den parti ellen Ableitungen von f und ihrem Homogenitäb gmd r. Nac h Def. 3.3.2 gilt für jed e vom Grad r homogene Funkt ion f(xI' ..., xrJ: (7.3.9)

354

7

D ifferenti alrechnung bei Funkti onen mit mehreren unabhängigen Variablen

Leitet man (7.3 .9) auf beiden Seiten partiell nach A ab, so folgt mit Hilfe der Kettenregel (sa lz 7.1.51);

... +

(7.3.10)

Beziehung( ?.3.10) muss für jedes ). > 0 gültig sein, also auch für ). = 1. Setzt man A = 1 in (7.3.10) ein, so folgt un mittel bar

Satz 7,3. 11: (E ulersc he Homogenitäl'irelation)

Die Funktion f: f(xi,...•xn> sei homogen vom Grad r. Dann gilt an jederStelle (xI,...,xnJ die Identität (7.3. 12)

Beispiel 7.3. 13:

... +

Die Fun ktion f mit f(x,y) = x2y3 ist homogen vom G rad r = 5, denn:

f(Ax,Ay) = (..lx)2 . (.1.y)3 = ).5. x2y3. f x = 2xy3, f y = 3x 2y2

Mit

fo lgt für die linke Seite von (7.3 .12):

x-f x + y ' f y = 2x2yJ +3x2y3 = 5x2y3 •

r ' f = 5 · x2y3 .

in Übereinstimmu ng mit der rechten Seite von (7.3 .12 ): (Zu r Schreibweise der Variab len siehe Bem. 7.1.13 ji)

7.3. 1.3

Elastizität h omog ene r F u nktionen

A ls Beispiel werde zunächst ein e CO BB-DOU G LAS- P rod uklionsfunktion x gewähl t:

(<10 > 0 ; r j > 0)

(7.3.14)

mit x als Ou tput und ri als Inpu t des t- rcn Fak tors. Ihr Homogcnit älsgrad r ist (siehe Bcispiel 3. 3.5) gleic h der Sum me aller Exponenten:

(7.3.15)

r = a l +a2 + ..· + an ·

D ie partielle E lastizität l:X. T; des Ou tp uts x bzgI. des i-ten FaktorinpUls Ti {auch ~ P rodu ktionsela..uztläl des i-t en Fa ktors " genannt) ergibt sich nach (7 .3.3) als Exponent a j des i-tcn Fak tors:

(7.3.16)

ai .

Bem erkung 7.3.17: Wegen

Die Bezieh ung (7.3.16) folgt noch einfacher aus Satz 6.3.141:

logx = logao + a, ' /og r , + ... + ai 'logr; + ... + t1f1 'log rn l:

x ,r j

=

akJgx

alog'j

=

folg t sofon:

(l .

,"

Die Relation (7.3.16) besagt also, d aJs f urj eden /llputjaJaor i einer COBB- DOUG LAS' Produktions [ unktion die partielle Produsuo nselastnität l: x r,, gleich dem entsp rechenden FakJorexpolu!/lten aj ist.

.

7 .3

355

Beispiele für die Anwe nd ung auf ökonomische Funktionen Zu sammen m it (7.3.1 5) erhalten wirdaherdas Ergebnis:

Der Hom ogenuatsgrad r einer COBB-DO UGLAS-Produk tions! unk tioJl x m it x : oo· r/u]· r2u2 · ... . ' /lu" ist gleid l der Sum me da Exponenten und gleich der Summ e der partiellen Proäuktions elastnitäten: ( 7.3.18)

lki~pi eI 7.3 .19 : Gegeben sei die CO BB- DOU G LAS- Prod uktionsf unktion y mit y: 100 · A O•7 . KO,3 (y: Sozialprod ukt. A: Arbciut nput. K: Kapitalinput). Die pa rtiellen Produknonsclasnzitätcn lauten : 0 \'

A

'A - ...... ·-'" y, - oA)'

70 · A - o,3 ·KCl•3 · A 100 ' A O,7. K Cl ,3

=0,7 ;

30 'ACl ,7' K-G,7 ' K tOO'ACl,7 ' K Cl,3 '" 0,3 •

d.h .

r = 1i)'. A

+ 1i) ',K

'"

0,7 + 0,3 '" I

(y(A,K) ist also linear-homogen)

D ie in (7 .3.18) zum Ausdruck kommende T atsache, dass der H omogenitäl sgrad r einer Funkt ion gleieh der Summe aller part iellen Elastizitätcn ist, gilt ganz allgemein (also nicht n ur für COBB-D OUG LASFu nktion en). D ividiert man näm lich in dcr Eulerschcn H omogen itätsrelat ion (7.3, 12) bcid c Sciten d urch f (,*,0). so folgt:

,,

(7.3.20)

d.h.

(7.3.21) Fü r jede homogene Funktion ist der lIomogenilätsgrad gleich der Summe ihrer sämtlichen parnetten Elastlaitäten. Um bei ein er be liebigen Produktion sfunktion f: f(xJ,...,xiJ ein Maß für die relat ive Änderung des O utpu ts f zu erhalte n, wen n sämtliche Inputs x ].... ,xn um den selben Prozentsat z geände rt werd en {d .h. mit demselben [Z uwa chs- od er A bnahme-) Faktor A multipliziert werden), def iniert man d ie sog. Skalen ode r Nh'ea ueJa~ lizitäl Efl: (7.3.22 )

Der Zahlenwert von Er) gibt somit an, um w ieviel Prozent sieb der O ut put ändert, wenn das . Prcd uktionsr nveau" A um I % geändert wird. So bed eut et etwa Er A= 1, dass eine z.B. 3 %igc E rhö hung sämtliche r Inputmengen Xi zu einer ebe nraus 3% igen O utput erhö hungführt (ma n spricht von konstanten Skai).. < 1) bewirkt eine proport ionale Erh öhung aller Faktorinputs mit lenerträgen ). Be i er) > 1 (bzw. E dem Zuwach sfakt o r i. cln über proportionales Wachstum (bzw. unterproportionales Wachs/um ) des O utputs f: Man spricht von steigend en (bzw ,faUenden) Skalene rt rägeu , siehe Abb. 3.3.7 iii) bzw. i). Im Fa ll einer homogen en Funktion (Homogenitätsgrad r) gilt wegen (7.3.9): f(Ax I' .... AxiJ '" .V · f(XI' "" xiJ.

Ableitung beid er Seilen nach A liefert:

7

356

Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

Damit ist wegen (7.3.22) gezeigt: Die Skalenelastizität einer homogenen Funktion ist gleich ihrem Homogenitätsgrad r und somit (wegen (7.3.21» gleich der Summesämtlicher partiellen ElastirlCäten: (7.3.24)

I

Bemerkung 7.3.25: Der ersle Teil der Relation (7.3.24) gilt auch [ur nichthomogene Funktionen, siehe Aufgabe 7.3.28. Die Skalenelastizität einer COBB-DOUGLAS-f unktion ist daher gleich ihrer Exponentensumme. Mit y:::c · Au·Kß · ir gilt: ey).=a+ß +r usw. Beispiel 7.3.26:

Gegeben seien diefolgenden drei COBB-DOUG LAS-Produktionsfunktionen

i) y = 5Ao,7 · Ko,3

ii) Y = 3AI. I.J
ill) Y = 8AO,1. 1(O,4 .

D ie Skalenelastizitäte n ergebe n sich jeweils aIsSumme der Exponenten und bet ragen I)

I: y).

ss 1

ü) ey;

iii) Ey ). == 0,5 .

== 2

Steigertman etwa den Arbeits- und den Kapitalinput zugleich um 5%, so folgt: I) Der Output steigt ebenfalls um S% (kons/Qnte Skalenenriige) ,sieheAbb. 3.3.7 ii) ; ü) Der Output steigt um 10% (zunehmende Skalenerträge) • siehe Abb. 3.3.7 iii) ;

ül) Der Output wächst nur um 2.5% (sinkende Skaknerrräge) • sieheAbb. 3.3.7 i).

Aufgabe7.3.27: Für die folgenden homogenen Produktionsfunktionen ennittle man a) den Homogenitätsgrad b) die partiellenElastizitätsfunktionen c) dieSkaIenelastizität und überprüfe die Gültigkeitder Relation (7.3.24); I)

Y '" (2A -O.' +4K -Q,' r 2

ili)

X(fJ' 12. I), 14) '" 411[22+2121)14-0.5143

ü)

y = (lOA o,4+ 15K!l,4f "

Aufgabe 7,3.28: Sind in der Funktion f = f(xl''' ',xO> die Werte xi der Variablen durch gleicheproportionaleÄnderungen aus den ursprünglichen Werten Xi hervorgegangen, d.h. gilt xi = Äii, so folgtwegen


-

lt;

df = Xi '" T :

(7.3.29) Mit Hilfe dieser Beziehung zeige man durch Bildung des vollständigen Differentialsvon f , dass auch für nichthomogene Funktionen an jederStelle(x1,...,xO> der erste Teil der Behauptung (7.3.24) gilt: Die Skalenelastirllät ist stets gleich der Summe aller partiellen Elastirllä ten (,.Wicksell-Johnson"Theorem): (7.3.30)

___ _

_

I.

----J

7 .3

Beispiele für die Anwend ung auf ökonomische Funkt ion en

7.3. 1.4

357

Fa ktoren tlohnung und Vert eilun g des Produktes

Nach de r Gre nzproduktivh ätstheo ne 'Wird jede r Produk üonsta kter m it dem Wert se iner Grenzproduktivität enüc hn t ", Sei etwa der " Loh nsatz~ (a Faktorpreis ode r Fakto rstück kostem des i-ten Fak tors mi t ki = co nst. vorgegeben. Da nn wird - e.p. - vom i-t en Faktor soviel eingesetzt, das s d ie pa rtielle G renzprodu ktivität ,öx - bewerte t mit dem Ma rktp reis p des erzeugte n Prod uktes - de n Wert ki a ufweist: r

I ~ p'

(7.3.3 1)

I

= kj

(i = 1, 2•..., n) .

Vom I-ren Faktor wird daher soviel eingesetz t. dass de r Mark twert des mit der " letzten~ Inputeinheit erzeugten Produktes gerade de m Faktorp reis ki entspricht. D urch diese Art der Faktorentloh nung wird die E insatzmengc ri eines jeden Prod uktionsfaktors det erminiert und somit auch das gesamte Produkt !onsvotumcn x = x(rl' ..., rU>. Das Faktoreinkommen FEi des t-t en Faktors beträgt nach (7.3.3 1)

"

FEj = ki ' ri = p 'ri ' -ÖT j

und somit das gesa mte Faktore inkommen FE aller Faktoren zusammen (7 .3 .32)

äx

<:Ix

FE = FE 1 + ..· + FEn = p· rl · -, + p 'r2 ' ,rl

r2

+

Definiert man - ohne Beschränkung der A llgemeinheit - de n (fes ten) Marktpreis p des p rod uzierten Outputs als eine Geldeinheit pro ME , gilt also: p es I G E /ME. so st imme n die Wert e von physischer Grenzp rodu ktivität ,öx und Wertgrenzprodu kt ivität p ' ,öx überein. ~

ax

p ,-

(7.3.33)

ri

~

ax

= ,-

sofern p

ri

== 1 •

und für das Faktoreinkomm en des I-ren Fakto rs gilt: (7.3.3ol)

Damit laut el das Faktoreinkommen aller Faktore n nach (7.3.32): (p e I) .

(7.3.35 )

E s stellt sich nun die Frag e, inwieweit der mit H ilfe der Faktorinputs '1 ,....tn hergestellte O utpurwert x('1 , ..., rU> durch das Faktorein kommen aufgezehrt wird . Daz u betrach te n 'Wir eine vom Gra d r homogene ProduktionsfunktiOll x('1 , ..., rU>. Nach der Eulersehen H omogenitätsrelat ion (Satz 7.3.11) gilt allgemein (7.3.36)

ÖX äx ÖX '1 ' -, + r2 ' ,- + ... + r n ' ,-

TI

r2

Tn

=

r · x(TJ , ···.rJJ

,

so da ss mi t (7.3.35) unmittelbar folgt:

(7.3.37)

1FE = r '

x(l] , ..., rnl

I,

6 Man kann zeigen (siehe Kap. 7.3.2.1), dass bei Vorliegen der hinreichenden Extrernalbcdingungen in gewissen Fällen der dann erzielte Gesamtgewinn maximal wird. Für nur einen variablen Faktor vgl. den entsprechenden Sechverbalt in (6.3.15\1).

358

7

Differentialrechnung bei Funkt ionen mit mehreren unabhängigen Variablen

d.h . die Summe FE aller Fakt oreinkommen einer homogenen Produktionsfunküon ist proportional zum erzeugten Prod uktwert x; Pro portionalitätsfaktor ist der Hom~nität\grad r. Damit hängt -bci homogenen Produkt ionsf unktionen und Ent lohnung nach der Grenzprodukt ivität - die Beantwortung der Frage

ts.o.] nachder Aufzehrungdes Produktionswertes ab von der Höhe r des Homogenitätsgrades-

i)

Im Fall konstanter Skalenerträge {d.h. bei Vorliegen einer linear-homogenen Produktionsfunktion mit r e 1)folgta us (7.3.37):

(7.3.38)

I FE = x(rJ, ..., rrJ I

d.h. der gesamt e Produktionswert wird - unabhängig vom Produktionsvolumen - für die Entlohnung der Fak toren aufgebra uch t.

il) Im Fallsteigender Skalenerträge (J.h. für r > 1) folgt aus (7.3.37);

I FE >« q ..... ' "j I

(7.3.39)

d.h. der erzeugte Produktionswert reicht nicht aus, um allc dafür notwendigen Faktoren mit ihrer Grenzproduk tivität zu ernlohnen. Zur Erzielung eines Gleichgewichtszustandes müsste ein Lohn unterhalb des jeweiligen Grenzproduktivitätswertes gezahlt werden. iii) Im Fall sinkender Skalenert räge (d.h. für r < 1) folgt aus (7.3.37):

I

(7.'.40)

FE <>(q . ....'"j

I

so dass nach Entlohnung aller Faktoren noch ein Wertüberhang ("Gev.i nn") verbleibt. Für dcn Einkommensanieil ~ /x des i-ten Faktors am Gesamtproduktion"wert x erhält man mitderBeziehung (7.3.34) sowic(7.3.3) für beliebige - auch nichthomogene - Produktionsfunktionen (7.3.4 1) d.h . der Emkommensa nre ü des H ell Faktors am Gesamtproduktionswert ist identisch mit der Produktion sela~tizität

des i-tcn Faktors.

Das Einkömmensverhäl tnis FEi/FEk je zwclcr beliebiger Faktorarten i.k resultiert aus (7.3.41) durch

Division;

FE ;

x

(7.3.42)

d.h. das Verhällnis der Einkommen zweier beliebiger Faktoren ist identisch mit dem Verhällnis der entsprechenden Produktion.~ela~tizi täten . Ist die Produktionsfunktion x(rl•...,rnJ homogen vom Grad r, so lässt sieh mit (7.3.37) und (7.3.34) auch der Einkommensanteil FEj/FE des t-ten Faktors am gesam ten Faktoreinkommen ermitteln:

a,

(7.3.4 3)

FE ;

r·t · -Dr;

FE

r -x

~ r

d.h . der Einkornmensanteil des H ell Faktors am Faktorgesamteinkommen ist identisch mit der Produkuenselasuzit ät des i-ten Faktors, geteilt durch dcn Homogenitätsgrad.

7.3

Beispiele für die A nwend ung auf ökonomische Funktionen

Beispiel 7.3.44:

359

Gegeben sei die linear -homogene C OBB-DOUG LAS- Prod uktionsfunk tion y mit Y = e · Aa · KfJ = 4 · AO,8 · KO,2

(A t » 0) : Arbeitsinput; K ( > 0) : Kupitalinput; y: Dutpul; Outputpreis: p == J GElME). Der gesam te Arbeitslohn FE A be trägt nach der Grenzproduk tivitätstheo rie FE A

= A- ~ =

A · 3,2 ·A- O,2 · Ko.2

=

3,2 · A O,S .I(O,2 ,

Das gesamte Kapitaleinkommen (Zi nsen) be trägt FEK =

K'~

'K

= K ' 0 8 'AO,I:I 'K-o,8 '

0,8 · A O, 8 · KO,2.

Damit lautet das gesamte Fakto reinkommen.

FE = FEA+FEK = 4 'Ao,8 1(0,2 = Y

(siehe (7 .3.38» .

Die E inkomm ensant eile am Gesamtwert der Produkt ion ergeben sich wie folgt: FE A )'

_

3,2 ' AO'&' Ko,2 4 ' Ao,B' Ko,2 0,8 ' A0,&. K O.2

4 · AO'&· Ko.2

-

0,8

=

t y,A

=a

(siehe (7 .3.41)),

»

= 0,2 = f.v .,K= ß

(siehe (7 .3 .41

d.h . 80% des Prod uktionswertes werden durch A rbeitslöhne, 20% d urch Kapitalkosten aufgezehrt das gesamte Produkt wird du rch Faktorlöhne verbraucht , s.o. Das Einkonun ensverhältnis der Fakto ren laut et nach (7.3.42): 3,2 'AO,S ' KO,2 O,8 · Ao,s · Ko.2

4 = t y•A =::" e y,K

ß

0,8

0,2 '

d.h. Arbeitsein kommen und Kapitaleinkomm en ste hen im Verhältnis 4:1. Wegen FE == Y sind die E inkommensan teile de r Fakt o ren am Gesamteinkomme n dieselben wie am Prod uktionswert (s.o.), nämlich a und ß. Aufgabe 7,3.45 :

Gegeben sei die Prod uktionsfunk tio n y mit:

y( A, K) = Ao,.L KO,5

(A, K > 0) .

Man ermittle (bei einem Du/pu/preis p e J GEIME) i) d ie E insatzmengen A, K von A rbeit und Kapital, wenn die Input- Faktoren nach ihrer Grenzproduktivität entlo hnt werden und die Faktorlohnsätze ( ~ Faktorpreise) mit kA = 0,2 GE/M E A

bzw. k K = 0,4 G E /ME K fes t vorgegeben sind;

ii ) den Gesamtwert des Prod uktionsvolum ens. iii) das gesamte Fakto reinkommen sowie de n cvtl. verbleiben de n Prod uktionsgewinn. iv) die E inkommensanteile de r Faktoren am a) Gesamtprod uktionswert sowie b) Ge samteinkomme n, v) da s Ei nkomm ensverhältnis beid er Faktoren.

Lässt ma n - be i einzelwirtschaftl icher Betrachtung - die Annahme vollständiger Konk urrenz auf dem G ütermarkt (d.h . p == ccost., h ier: p == 1) fallen und unterstellt man die Exist enz einer Preis-Absat zFunktion p(x) ( ~ Angebotsmonopo l), so wird das Grenzprodukti\itätsprillrip modifiziert: Nach (6 .3.158) max imiert näm lich ein monopo listischer Anbict cr seine n Ges am tgcwmn, indem er sein Produktionsniveau x dera rt d urch geeigneten Fakt oreinsatz festlegt, das s die Faktoren na ch ihrer mit dem C re nze rtös E '(x) bewertet en Gr enzprotlukthltät enuolmt werden (siehe auch Kap. 7 .3.2 ,1),

7

360

Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

Der Lohnsalz ( ~ Faktorpreis) kj des Hen Fak tors lautet unter dies er Prämisse;

mit x = x(q, ._., rn>

k. = oX' E'(x)

(7.3.46)

1

Of i

B emerkung 7.3.47:

i) (7.3.46) gehtf ür p = const. wegen E'(x) = p : comt. wiederin die abliche Form (7.3.31) über. ii) Wegen E = E(x(, ]....,r,J ) folgt mit Hilf ederKettenregel

',E = ~~ .

(7. 3.48)

"/

,ox '1

<M

= k,.

ä.n: man kann den Lohns at; k j des i-Im Faktors auffa ssen als Erlöszuwuchs, wenndie unlerEinsatz einer weiteren Faktoreinheit erzeugteMengeabgesetzt wird(,.Grenzerlös bzgl. des i-ten Faktors ").

Unte r Verwendung der Amoroso-Rohinson-Relation (6 .3.109): E'(x) = p(x) '( I+f-) lautet der Lohnsa lz kj des H eu Faktors nach (7.3.46):

"

,--- ' - - -----,

a

(7,3.49 )

1

unterscheidet sieh also von der " rei nen~

k I = p ' -ori (l + -t x,p )

,.,

Wertgrenzproduktivität (7.3.31) um den"Monopolfaktor" (1 + ~). Mit Hilfe von (7.3.49) erhält man für das Einkommen FEi des l-t en Faktors: ~

, = nI -k,I = f l" oox - ' E (x) = r· · ri l

Erweitert mnn den rechten Tenn mit x ( t-O) , so folgt:

~

(7,3,50)

OX -o r i

· p(x)· (1+ -f: r,

ox

~

ri

I x.P

).

~ = -;-', ' x ' p(x) ' (1+-,

I

'.p

),

d.h.

Bx,r;' E(x) ' (l +f- )

=

"

Bemerkung 7.3.51: Bei positiven Faktorlohnsätzen folgt: FE; > 0, so dass ull/er der Voraussetzung E(x) > 0, €X r i > 0 (d.h. positive Erlöse und positive Grenzproduklivitälen) notwendigerweisedieKlam•

1

mer positiv sein muss. Aus 1 + e > 0 f olgt i:x,p < - 1 , dh. die Unternehmung wird bei p ositiven 'p

Faktorpreisen ihr Produktionsniveau (und damit auch ihreAngehotsmenge) x stetsso wählen, dass sie im Bereich elastischerGiirernachfrage openen .

Aus (7.3.50) folgt (7.3 .52)

(7.3.53)

FEi

E{x ) =

I

Ex,r; (1+ ex,p)

(siehe aber (7.3.41» ,

(identisch mit (7.3.42» .

Für den Anteil des Faktorgesamteinkommens FE am Gesamterlös E(x) ergibt sich bei Vorliegen einer homogenen Produktionsfunktion wegen

7 .3

Beisp iele für die Anwend ung auf öko nom ische Fun kt ionen

36 1

und der Ta tsache, dass nach (7.3 .21 ) der Wert de r rechts stehe nde n Klamm er gleich dem H om ogenit ätsgrad r der Produkt ionsfunktion x(q , ..., rn:! ist: FE

(7.3.54)

1

= r(1 + - ) E(x) Ex,p

< - 1) .

(EX,p

Ebe nso wie in (7 .3.52) hängt der Anteil des Faktore inko mmens am Produkterl ös einerseits vo n den Eigen.~chaften der Produktionsfun ktion ab (gekenn zeichnet d urch die Produktionselastiz itäten bzw. die Skalenelastizitä t) und andererseits von der jeweiligen Marktsnuanon (geken nzeichnet durch die Preiselastizität der Nachfrage): i)

Im Fall konstanter Skalene rträge (T = 1) gilt wegen Ex,p < -1:

o< l+fX,p < 1,

d.h. a us (7 .3.54) folgt:

< 1

EF(E

x)

bzw.

FE < E(x) .

D ie Faktorlöhne zeh ren den P rodukterlös nicht aut , vielmehr verbleibt ein Wertüherllang (Gewin n). der m it absolut zune hmender El astizität (d .h. f x,p - - OQ) imme r mehr gegen Nu ll geht: EX,p

-ExI. - 0 "

- - OQ

p

-

FE

-

Et x)

r ( =l ) .

ii) Im Fall sinkend er Skale nerträge (r < 1) gilt ebe nfalls wegen (1 + ~)

,,'

FE

E(x) < J,

d.h .

< 1:

FE < E (x).

.

iii) Im Fall ste igender Skalenert räge (r> 1) ist eine Gcwinnerzielung nurmögUch , wen n das Produkt a us Ilomogenilä b grad und (1 +

-f-,) kleiner als Eins ist.

Beispiel 7.3.55: Gegeben sei die Prod uktionsfunkt ion x: x(Q ,r2) = q O,8 ' rZO,4 mit dem H omogenttätsgrad 1,2 ,d.h. m it ste igenden Skalcnerträgen . Die Faktorstückko sten (.. Lohn.~ätze") seien vorgegeben mit k. = 40 GE/ ME I , kz = 80 GE /MEz. Der Outpu t x kann abgese tzt werde n nach der Preis-Absatz-Funk t ion p = p(x) = 100 - O,Ix. D ie Fakto ren tlohnung erfolge nach dem G renzproduktivitätsprinzip, siehe (7 .3.46) . Um die Ein sat zmengen rl ' tz der Fakto ren zu ermitteln, löst man die G leichungc n (7.3 .46)nach TI, rz auf :

:;X ,- E'(x) = 0,8 r. - O,Z· rZ0,.L

(100- 0.2 q O,1l rZO,"')

(1)

k l = 40 =

(2)

k2 = 80 = :~ . E '(x) = 0,411°,8. rZ- 0,6 . (100 - 0 ,2r IO,8. rZO,4) . (Dabcigilt:

E '(x) = 100 - 0 ,2x = 100 - 0.2 · x(rl ,rZ)')

Dividiert man Gleichu ng (1) durc h Gleichu ng (2), so folgt: q = 4rz. D ies in G leichun g (2) eingesetzt, liefert nach etwas Umform ung 0,2 40,1l ' rz l,4 - 100 ' rzO'Z+~ =0 0 ,4 ' ",0,8

Substituiert man :

rzo,z =, z,

d.h .

.

rz l ,4 = z 7, so folgt:

0 ,606286627 · z7 -100z + 65.97539555 = 0 . A nwe ndu ng der Regula falsi (siehe Kap. 2.4 (2.4.5» liefert als einzige ö konomisch sinnvolle Lösung: z = 2 ,207241 684,

d.h .

rz = z5 "'" 52,3901 M E Z

und

rl = 4rZ "'" 209,5605 M E I .

Dami t ist das Prod uktionsn iveau festgelegt: x(r l' rz) = 350 ,5479 ME . De r Marktpr eis des mon opolistischen A nbieters lautet daher p = 100 -0,lx = 64 ,9452 GE/ ME, so da ss sieh ein E rlös E = P 'x = 22.766,40 60 GE ergibt.

7

362

Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängige n Variablen

E'(x) == lOO- O,2x = 29,8904 GE/ME.

Der entsprechende Grenzerlös lautet:

, E

Die Preiselastizität der Nachfrage beträgt: 1+

darnit c rgibt sich:

" p

txp : ,

== 0,46024.

_" ~Ip' '" p ,PIxI')~ x '

==

~ x

= - 1,852677 ,

Damit lassen sich dieBeziehungen (7.3.52) - (7.3.54) bestätigen: MitdcnFaktoreinkormnen FE l ::: k [ "q = 8.382,42 GE und FEZ = k2 ' TZ = 4.19 1,21 GE folgt: FE, 8.382, 42 E(x) == 22.7(,6,-1 1

eX, T]

(1 + t

, .

p

,

x

)

== 0,8- 0,46024 == 0,3682

f EZ -1. 191,2 1 == e x r , () + ,- ) = 0,4-0,46024 == 0,1841 E(x) == 22.766,.H , X.p

d.h. 36, 82% des Gesa rnte rtöses werden durch den ersten Fakt or und 18,4 1% durch den zweiten Faktor aufgezehrt (siehe (7.3.52». zusamme n also 55,23% . 8.382,.42 == EX,Tl '" 0,8 == 2 • d.h . der erste Faktor verursacht doppelt so -\.19 1,2 1 E' .r2 0,4

(ii)

hohe Kosten wi e der zweite (siehe (7.3.53» .

FIE) '" 8.382,42 +4.\91.2\ '" r (J + - '-) :: 1.2 0,46024 '" 0.5523 • Ex 22.766..H Fx•p

(iii)

d.h. (s. a uch (i» 55.23% des E rlöses entfallen auf die Faktorkosten. es verbleibt ein Gewinn in Höhe von 44,77 % des Gesamterlöses. d.h. ca. 10.193 GE (siehe (7.3.5 4)).

7.3.2 Ökonomische Beispiele f ür relative Extrerna (ohne Nebenbedingungen) 7.3.2.1 Optimaler Fa ktorein satz in der Produktion Ei n Produkt [Output: x) möge durch den Einsatz von n in beliebiger Menge verfügbaren Inputs rl' r2,...,rn erzeugt werden gemäß der Produktionsfunktion x '" x(IJ,...,rJ. Die Faktorpreise k\... ., kß seien feste Größen. (7.3.56 )

In welcher Kombination soll der Produzent die Inputfaktoren einsetzen, damit sein Gewin n möglichst groß wird?

Frage (7.3.56) soll beantwortet werden für P '" ccnst. (,·ol l.~tlindige Konkurrenz auf dem Gü tennarkt) ; für p '" p(x) coest. (Angeootsmonopol auf dem Güt ennarkt) .

i)

'*'

ii)

zu i)

(polypollsüsc her Anbieter)

Die Edösfunktion E lautet: E(x(IJ• ..., r.J ) '" P"x(rl" '" rJ , die Kostenfunktion K lautet: K ", K(IJ, .... rJ '" kl rt + k2r2 + ... + knrn · Damit ist die Ge\\i nnfunktion G gegeben durch (7.3.57) mit p. kj '" const. .

7 .3

363

Beispiele für die Anwend ung auf öko nom ische Funknonen

No twendig für das Vorl iegen ein es Gewinnm aximums ist das gleichzei t ige Verschwinden aller parti ellen Ableitu ngen von G (siehe Satz 7.2 .2): 30 3<,

(7.3.58)

30 il ci

3, p . --k] = 0 3<, 3,

(i =1,2 , ,,.,n)

p ' ~, -ki =0

Im Gewinnmaximum muss also f1i rjed en Fa ktor die Beziehung

I

(7.3.59)

k. = P' 3, 1

(i = 1. 2, ...• n)

ilr i

gelle n, d.h. m uss der Fa ktorloh n kj des I-ren Faktors identisc h sein mit de m :\-Iarktwert seine r G renzproduktivität (siehe (7 .3.31)). Gelten auch die hinreichende n Extrema lbed ingungen, so kann ma n sagen:

(7,3.60)

Im Gewinnmaximum (soferndieses exisriert 7) e iner polypolistischen Unternehmu ng werden die Inputs q . rz- ... , tn so eingese tzt, dass jeder Inputfak tor mit dem Wert seiner Gr enzproduktivität entlo hnt wird .

(Man spricht in diesem Zusammenhang von der" Grellzproduk(jvüütstheorieder Vtneilw lg ".) Beispiel 7.3.6 1: Gege ben sei die Produktionsfunk tion x mit x(Q ,r2) = 50 · q O , ~ . r20,.5 . Dc rO utput x kann zu einem Preis p = 2 GE / ME abgesetzt werden. D ie Fakto rpreise seie n k I ' k2' Dann la utet die Gcwinnfun ktion G : G(q, r2) = 100 q O,4 · r20.5 _ k ]q - k2r2

-e-

max.

N otwend ig muss für ein Gcwinnmaximwn gelten:

:?,

= 40 q -O,6 · r20.5 _ k l = 0,

il G = 50fI O' "" rz -0,5 - k 2 = 0 3<,

(0)

.

(.1) Damit die Unte rnehmung die maximal zur Verfügun g stehenden Faktormengen rl = 1.024 M E ] bzw. ra = 400 ME:! einsetzt (,.Vollbes chäf tigung"), d ürfen die Faktorlo hnsät ze (höchstens) benagen (siehe (. )): k l = 40r , -O,6 . r20,.5 = 12,50 G E/ ME] ,

k 2 = 50 rt O,",. r2-0,.5 = 40,-GE/ ME2 .

Da nn werden x = 50 ' 1.024° ,4 , 4000,5 = 16 .000 ME produziert , die einen Erlös von 32.0 00 GE erbringen bei Faktork osten von 1.024 ' 12,5 + 400 '40 = 2M.MOOG E , so dass der Unternehmung ein Maximalgewinn in H öhe von 3.200 G E verbleibt. (b) Sind dagegen die Faktorleh nsätze vorgegeben, etwa k l = 50 GE / M E 1; k 2 = 20 GE/ ME 2, so wird die Un terne hmung nur soviel Faktorinpul q , ra nachfragen , dass (") erfüllt ist . Umformung des Systems (.) liefert: (2)

50r]0,4

k,

0'

= r2 '

7 Man kann zeige n, dassbei homogemm Produktionsfunktionen die hinreichenden Maximalbedingungen nur für den Fall r < I (d.h.filr unterlinear-homogene Produknonsfunktionent erfüllt sind.

7

364

Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

Setzt man (2) in (1) ein, so folgt:

40r(0,6 . 50rt0,4 = k , k2 und daraus:

2.000 )' Tl = ( klk z

(7.3.62)

unddaraus durch Einsetzcn in (2):

Die Funktionen (7.3.62) geben für jede Faktorpreiskombination kJ>k2 den zugehörigen Faktoreinsatz (~ Fa ktornachfrage") an. Für das Beispiel k, = 50, k2 = 20 crwa lauten die Einsatzmengen: [1 = 2 5 = 32 ME \ ;

[2 = 6,25 ' 24 =I OOME 2 ,

liegen also weit unterhalb der Vollbeschäftigung Tl = 1.024, Tl = 400. Mit den gegebenen Lohnsätzen werden x = 50 · 320.4 - 100°,5 = 2.000 ME produziert. Erlös: 4.000 GE. Faktorkosten: 32 · 50 + 100· 20 = 3.600, d.h. Maximalgewinn 400 GE . Bem erkung 7.3.63 : B ei linear-hom ogene n Produktion sfu nknonen tann d ie Entlohnung na ch der Wertgrenzproduktivtun dazu, dass - una bhängig von d er Hohe des Produk tionsniveaus - stets der gesamte Produktionswert \.'On den Fakt orl öhnen au/ gezehrt wird, siehe ( 7.3.38). Da her isl das Gleichung ssystem (7.3.58) bei ~orgegebe"e1I Faktor fohnsätzen und linear-homogener Produkuonsfunlaian entweder nur mehrdeutig (unbestim mt) oder überhaup t nkht lösbar. Beispiel:

x

= 10 ' rl

,5 ' rl ,5, p

Die Gewinn fun ktion G lautet: Gewinnmaximum.

= 4 GEIME

, Faktorpreise k 1> k 2

= COnsl..

co; (2) = 40rl,5 . r2 0,5 - k Jr , -k2r2'

Notw endig für ein

Daraus [o lgt: Multip/izim ma n (1) und (2) seitenweise miteinander, so fo lgt (k j 400r] - 0,5 ' r / O,5 ' rl ,5 'r2- 0,5 = k ]k2

'*' 0): ( t) I k ]k 2 = 400

d.h.

I.

Das Gfeichungssystem (1),(2) ist also nur lösbar, wenn a ption gilc k ]k 2 = 40 0 , z.B. k ] = 16; k 2 = 25. In diesem Fall besagen (I) und (2) da sselbe, dh. eine Gleichung ist uberflüssig, z.B. (2). 20r ]-O,5 ' rl ,5 = k ] = 16, d.h. ' l , 5 = 0,8, l,5 o äer '2 = 0,64". Dann f olgtaus (I) : Nur solche Einsatzmengenk ombination en (']" 2) e/füllen die Maximierungsbed ingungen. f ür die gilt: 'z = 0,64,] Ialsa z.B. (100;64), (75; 48), (50;32) usw.). Daher sind sowohldieFak lomachfrag eals auch das optim ale Proauktionsn iveau unb estimmt - sicher ist nur, dass der Produktion sgewinn stets Null sein wird. In den weitaus m eisten Fällen, in denen gilt: k ]k 2 400 (z.B. k, = 20 ; k2 = 30), h at d as Gleichungssystem (I), (2) k eine L ösung, d.h. es gibt da nn kein e öko nom isch sinn . . ollegewinnmaximale Faklordnsalzm engenkombinan"on.

'*'

zu ii)

(Angebotsmonopol auf dem Gü tel1Tlark t)

Da produzierte und naehgcfragte Gütermenge x und G üterpreis p nun über eine Preis-Absatz-Funktion p: p = p(x) verknüpft sind, lautet dieGcwinnfunktion: (7.3.64 )

G(q , ..., rJ = x(rJ, ..., rJ· p(x(r t. ···, rJ ) - k JrJ - ... -knrn mit kj

-

const.

7.3

365

Beispiele für die A nwendu ng auf ö konomisc he Funktionen

Im Gewinnmaximum müssen säm tliche partiellen Ablei tu ngen von G versc hwinde n. A nwend ung der Produ ktregel sowie de r Ketten regel liefert:

'G

ax _ · p(x)

=

er

or,

a_ x · p(x) + x · .!!E . -ax - k· =0 dx ori 1 orj

'G

(7.3.65)

ari

'G

".

+ x · .4P · ax - - k =0 dx ar, '

(i

00

1, 2, ..., n)

"".

_· p(x)+ x· .!!E · ~ - k = 0 dx ar n n

=

A us (7 .3.65)folgt d urch Umformung (7 .3.66)

ki =

~;, ( p(x) + x · p'(x»

Der Klamm erausdruck ist der Grenzerlös bzgi. der Menge x, 'Wie man du rehAblciten (Produktregcl!) des E rlöses E(x) ,,,,x · p(x) nac hweist. Daher muss im Gewinnmaximum für jeden Faktor-die Beziehu ng k. = a x . E '(x) I a ri

(7.3.67) gelten, siehe (7 .3.46 ). (7.3 .68)

(i

00

1, 2, ..., n).

Sind d ie hinreichenden Extremalbcd ingungen erfüllt, so kann man sagen;

E ine monopolistische Unternehmung ope riert im Gewinnmaximum, wenn jed er Inputfaktor m it seiner zum Grenzerlös bewerteten Grenzprodukthität (sei nem . Orcnzcrlösprodukt") en tlehnt 'Wir d.

A nwendung der A moroso -Robinson -Reiation (6.3.109 ) liefen die zu (7.3.6 7) äqui-

Bemerkung 7.3.69:

valenteExtremalbedingung (siehe (7.3.4 9))

, - - - - - ------, k j = p(x). ox (1 + _I_)

(7.3.70)

orj

f x,p

(i = 1, 2, ..., n)

Im Monopolf.all sind lmear-bomogeue Prod ukt ionsfunkt ione n - ande rs als bei vo llstän diger Konku rrenz, siehe Beispiel 7.3 .61 - unprobl ematisch , sofern - wie es allein ökono misch sinnvo ll ist - stets positive Grenzerl öse und Grenzproduktivitäten vorausgesetz t werden. Beispiel 7.3.7 1: Gegeben se ien die Prod uktionsfunkt ion x: x = lOIJ O,5 . r20 ,5 sowie die Preis-AbsatzFunk tion p: p(x) = 100 -0,l x. Die Fak torpreise k 1,k2 seien Konstanten . Dann erhält man wegen E '(x) == 100-0,2x d ie fü r ein Gcwin nmaximum nach (7 .3.67) notwend igen beiden Bed ingungen ; (1)

k l '" 5 ft ~ O ,5 · r20, 5 (100 -Zft ° ,5 · rl ,5)

(2)

k2 = 5rlo,5 ·r2 - 0,5 (100-2 q O,5 · rl ,5) .

Dividiert man (E ' k,

(2

k = -;;2 unddarausübc r

=1=

0) bcid c Gleich ungen seitenweise. so folgt:

d.h .

k,

rz = k . rt - E ingesetzt in (1) folgt : 2 k. 0 ' k. 500 ( -k ) ' - lO-· q '" k l k 2

2

schließlic h

7 Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

366

(7.3.72)

Tl =

501~, -O,l k2

c2 =

sowie

V2k - o.u ,

50

a

Die Gleichungen (7.3.72) geben die Faktornachtrage n TI,r2 in Abhängigkeit von den f aktorpreisen kl,k2 an, nachdenen sichein gewinnmaximierender Monopolist richten würde.Sind z.B, kI '" 80GE I ME ,. k2 '" 20 GE/MEz geben, so werden Tl'" 23 ME, . TZ'" 92 ME 2 eingesetz t, das Prod uktionsnivca u be lragt 460 ME, der Monopolpreis wird auf 54 G E/ ME festgesetzt. Dam it erzielt der Monopolist seinen Maximalgewinnvon 24.840 -80 ' 23 - 20 · 92 = 21.160 GE.

Aurgabe 7.3.73: Der Outp ut Y einer Prod uktbranche werde in Abhängigkeit der Inputs A, K von A rbeit und Kapital gemäß der Prod uktionsfunktio n Y: Y = 10 · A O,8 . I(Ü,2 erzeugt . Für de n Output existiere die Preis-A bsatz-Funktion P mit p(Y) = 500 - Y. Unter de r An nahm e, dass die Branche ihren Gcs amtgcwinn maximieren will, ermittle man I) die Faktomaehfragcfunktionen A : A(kA ' k0 . K: K(kA' kKl in Abhängigkeit der Fak torpreise kA,kK' ii ) für die Fakt orpreiskombinationen (kA,kfd = (120 ; 15) und (kA,kK) = (2.000 ;500) jeweils a) d ie Inputmengen b) das Prod uktionsniveau c) de n Branchenumsatz d) den maximalen Bran-

ehengewinn.

7.3.2.2 Gewinnmaximierung von Mehrproduktunternehmungen E ine Unternehm ung p rod uziere n versc hiedene G üter mit den O utputmenge n " 1,x 2, ..., "n' Die Produkt ion erfolge gemä ß einer vorgegebe nen Gesamtkostenfunktion K: K("I' ...,

"n>.

(7.3.74)

Bei welcher O utpu tme ngenkombina tion ("1' .... "0> oper iert d ie Unternehm ung gewinnmaximal1

Frage (7.3 .74) soll bea ntwo rtet werden I)

fü r fest vorgegebe ne A bsatzpreise Pt, P2' ..., Pn

ii)

bei Vorl iegen eines Systems von n P reis- Absarz-Funkuonen Pi(" I' .... "JJ bzw. xk: xk(Pt, ..., Pn>, (i, k = 1, 2, ..., n), d.h. es werde unters tellt, dass die A bsatzmengc des kten Gu tes von den Preisen a ller n Güter abhänge (monopolistisc her Anbieter).

zu I)

(poI)polisti.~cher Anbiet er)

pr

;

(poI)'poIislische r Anbieter)

Die Gcwinnfunktion der Unte rnehmung lautet (7.3.75) G(xI ' ..., xn> = Plx l + P2"2 + ... + PnXn - K(x1' ..., xn> . Notwendigfü r cin relatives Gewin nmaximum ist das Verschwinden aller partiellen Abl eit ungen vo n G :

(7.3.76)

'0

'"

d.h.

'0 a Xi

o

(i= I,2, ...• n)

und dah er

I

Analog wie im Ein-P rod ukt-Fall (sieh e (6 .3.36» m uss für jedes Produ kt im Gcwinnmaxi mum der Marktpreis ldentlxch mit den entsp rechenden partiellen Grenzkosten sein.

7.3

Beispiele für die Anwendung auf ökonomische Funktionen

BeispieJ7.3.77:

367

Eine j - Prcdukr-U ntemeh rnung produziere naeh der Gesamtkostenfun ktion K mit K(Xt. x2, x3) '" x\2 + 2X22 + 3X32 + xlx2 + x2x3 + 100

(XI?: 0)

Die Markt preise P\.P:2.P3 der Güter seien fest vorgegebenmit PJ '" 40 GE/ME J, P2 '" 50 GE/ME 2• P3 = 80GE/ME 3· Über die Gewinnt unktion G mit G(X\, x2, x3) = - Xt 2 -2xi -3x} - x\x2 - x2x3 + 40x I + 50x2 + 80x3- 100 e rhält man als notwendige Extremalbedingungem

+ 40 '" 0 = - Xl - 4x2 - x3 + 50 = 0 - x2 - 6x3 + 80 '" 0

zu ii)

mit der einzigen Lösung: xJ '" 17,5 ME t ; x2 = 5 ME 2 ;

xa = 12.5 ME) .

Der maximale Unternehmensgewinn beträgt somit 875 GE .

(monopolistischer Anbieter)

Unte rstdlt man ein System von n Preis-Absatz- Funktionen Pi: pj(x 1.... ,xrJ (i = 1, ... . n). so lautet die Gewinnfunktion: G(x\, , xrJ = E(X t, xrJ - K(x\ , xrJ , d.h. G(xI'

, xrJ '" PJ(x\, , xrJ ' XI +

+ Pn(xI, ..., xtJ · xn - K(xJ' ..., xrJ

Daraus ergehen . . ich {Produ ktregel !) die notwendigen Maximalbedingungen aG", aXI

~ ' X I + PJ+~ ' X2 +"' + ~'x aXI

aXI

aXI

n

_ aK=O o XI

d.h. allgemein: (i = J,2,...n)

' p, ~ ~ oK --'-'- . Xl + ~ , Xj ' X2 + ''' + ' Xj ' Xj + Pi + " ' + ox.; · xn - -ox.; = 0 oX;

(7.3.78)

Die Lösung des Gleichungssys tems (7.3.78) liefert bei korrekter Problernstcllung die gewinnmaximale Out putmengcnkombination. Beispiel 7.3.7 9: Mit pJ = I .280 - 4xJ + x2 ; P2=2.360 +2x \-3x2; Gewinnfunktton.

K = 0,SXt2 + XtX2 + x22 + 500.000 lautet die

G(x l.x2) = - 4.5xJ 2 + 2x\x2 - 4X22 + 1.280x I + 2.360x2 - 500 .000 Au s den O pt lm albedlngungen -,'G x = - 9xI + 2x2 + 1.280 = 0; ergeben sich die gewinnmaximalen Outputmengen: XI = 220 ME \ ; x2 '" 3S0 ME 2 . Dazu .....i rd der Monopolist die Güterpreise festsetzen zu: PI = PI(220 ;350) = 7S0 GE/ME 1

bzw.

P2 = P2(220 ;35 0) = 1750 GE/ME2'

Der Erlös E = PtX t + P2x2 bet rägt 777.500GE, die Produktionskosten betragen 723.700 GE, so dass sich ein Maximalgewi nn von 53.800GE ergibt.

7 Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

368

Gelege ntlich ist das System der Preis-Absatz-Funktio nen in der Fonn xi ::: Xj(PI' ..., PD)' d.h. mit den G üterpreisen als den unabhän gigen Variablen gegeben. Da eine A uflösun g des G leich ungssystem s nach den Pi La. m ühsam ist, wird man a uch die Gcwinnfunkt ion in A bhängigkeit der Pi formul ieren; G(Pl' ... . Pn) ::: XI(Pl' ... . Pn) "PI + ... + xn(Pl, ... ,PtJ· Pu - K(xl(P\,·..,Pn)' ...•xn(Pl.·..'Pn » ·

Bei der Ermittlung der partiellen Ableitungen nach Pi ist zu beachten, dassdie Kostenfunktion K nach der Kettcnrcgc1 (7.1.53) abzuleiten ist. Notwendigfür ein Gewmnmadmum sind dann die n Bedingungen

(7.3.80)

o

(i = 1,2,...,n)

Beispiel 7.3.8 1: Eine monopolistische Un ternehmung produziert zwei substtt utive Güter mit den stuckvariablen Kosten k l :: 2GE /ME I , kz :: 5 GE/ MEz. Die Nachfrage xl ''' Z nach diesen G üternwerde in Abhängigkeit der Güterpreise PI'PZ beschriebend urch die beiden Funktionen xl: "1 = 600 -50PI + 30pz ;

"Z: xZ= 800 + 10 PI -40pz .

Bemerkung: Dass die Güter Sllbstituti~ sind, erkennt man daran, dass die Nachfrageeines jeden Gutes C.p. steigt, wenn der Preis des jeweils anderen Gutes zunimmt. Derselbe Sachverhalt liegt in Beispiel

7.3.79 ~·or. Die Gcwinnfunkt ion G lautet : G:: PI" I + Ab satz- Funktio n und et was Umfonn ung

pzxz - k\" \ - kz"z . bzw. nach Einsetzen der Preis-

G = G(p\, pz) = - 50Pl z + 40PIPZ- 40pzZ + 650PI + 940pz -5.200 . Daraus e rgeben sich über

aG ::

-

ap\

- lOOPI + 40pz + 650 = 0

ao

-

ap2

:: 40p \ - 80pz + 940 = 0

die gewinnoptimalen Monopolpreise zu: p\ = 14 GE/M E I ; Pz " 18,75 GE/MEz . Die zu produzterenden G ütermengen lauten "1 = 462,5 ME t ; "z = 190 MEz, der maximale Untc rnehmungsgcwinn beträgt dann 8.162,50 GE, AUfgabe 7.3.82:

Gegeben sind die Nachfrage- und Kostentunknon dreicr monopolistischer 2· Produktunt ernehmu ngen. Man untersuche jeweils, ob die beiden Güter (suhstitwiv bzw. komplementär) miteinander verbu nden sind und ermittle je....etls die gewinnmaxima len Marktpreise, Absatzmengen und Gewin ne: ii )

PI = 16-2" 1 ; P2 = 12 - " Z ; K(xl'xZ) = 2" I Z+x1"Z +3 "ZZ ; " I =8 -2pj+ P2 ; xZ= lO+ p\-3pZ ; K(XI'XZ) = "j2-" Z2 j

iii)

PI = 400- 2xl - "2 ; Pa " 150- 0,5" t - 0,5"2 ; K(" I,x2) :: 50"1 + 10"Z'

i)

(Pi: Marktpreise Xi : Produktions- und Absatzmengen)

Aufgabe 7.3.83:

Wie muss man in Beispiel 7.3.8 1 die stückvariablen Produktionskosten kl {e const.) für das erste G ut einstellen, damit die gewinnmaximalen Absatzpreise beider Prod ukte identisch sind?

(Bemerkung: Bei den zunächst in Beispiel 7.3.81 vorgegebenen nu cs vutiubten Produktionskosten ergeben sich - wie oben ausgefühn - als gewinnoptimaleAbsatzpreisep 1 = 14 GEIME1 sowiep 2 = 18,75

GElMEJ»

7.3

Beispiele für die Anwe ndung auf ökonomische Funknonen

I EXK URS: I

369

O ptimaler Faktoreinsatz in Mehrproduktuntemehmun gen

Das in Kapitel 7.3.2.1 behandelte Problem des gewinnop timalen Faktoreinsatzes lässt sich auch auf Mchrprodukt unternchmungen übertra gcn. Für die Prod uktion von m Produkttypen mit n Inputfaktoren werde die Existenz von m Produktiondunktionen unterstellt: Xi: O utp utmenge des i-ten Produktes (i"" I. 2,....m)

(7.3.84)

rij: i nputmenge des j- ten Faktors bei der Produktion des i-tcn Produktes (i.. l,...•m; j"" I,...,n)

Insgesamt ....trd vom j-tcn Faktor somit eingesetzt: m

(7.3.85)

rj '= fJj + r2j + ... + rmj =

L rij

j = 1, ..., n .

j _l

Bezeichnet man die Fakturstückkosten des j-ten Faktors mit kj (= const.) und den Absatzpreis des iten Prod uktes mit Pi' so lautet die Gewinnfunktion: (7.3.86)

wobei für die Xi bzw. rj die Beziehungen (7.3.84) bzw. (7.3.8 5) gelten. Weiterhin seien weder auf Produktionsscitc noch auf der Absatzseite Restriktione n wirksam (etwa in Fonn von E ngpassfaktoren ode r Absatzhöchst mengcn). l)

Im Fall des polypolistischen Anbieters gilt PI, .... Pm = const., SO dass die notwendigen Bedingungen für ein Gewinnmaximum lauten: (7.3.87)

i = 1, ..., m (Produkuyp);

j = L, ..., n (Faktoran) .

Bemerkung 7.3.88) i ) BeiderAbleitung ,/On (7.3.8 6) beachte man, dass die Variable ' ij nur in Xi sowiein rj au[trill.

ii) Fürjedes[esse i (d.h.[ürjeden einzelnen Produkff}p) entsprechen dir! Maximalbedingungen (7.3.87) gerade der Beziehung (7.3.59): kj = Pi ' :;~ , d.h. Gewinnmaximierung im vorliegenden Fallzieht

notwendig die Entlohnung der Faktoren nachiJihrer Wertgrenzprodu1di~'iliif nach sich.

ii) Im Fall des monopolistischen Anbieten; sind die G üterpreise Pl ,...•Pm jeweils Funktionen der Gütermengen xl,,, ,,xm und diese wiederu m (nach (7.3.84)) jeweils Funktionen der n Inputs. Während . sich an der Faktorkostenfunktion gegenüber i) nichts ändert , laute t die Erlösfunktion ausführlich: E "" PIXl + ... + Pmxm "" PI(XI,,,,,xm) ·x \ + ... + Pm(xI' ''' ' xm) ' xm mit XI =x,(rll,···,r l n ) ; •.• i Xj=Xj(Tjl' •..,Tin)i ...

7 Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

370

Daraus erhält ma n die partie llen Ableitungen nach Tij der Gewin ntun ktion (7.3.86) (wobei z u beach ten

ist, dass

nur in xi und Tj vorkommt] , Die notwendigen Bedingunge n für ein Gewinnmaximwn lauten:

'ü

OG

(7.3.89)

a rjj

=

OE a r ij

~ .~ - kj = 0

- kj

a Xi

a Tij

(i = 1,...,m :Produkttyp ;

mit

OE a Xi

j = 1,...,0 Paktorart )

Op ~ . :q + ~ ' x2 + ... +~ a Xi a Xi ';

Xj +pj +

,.. + ~ a

'. '.

Auch hier stellt man fest, dass für jedes feste I [d.h. für jeden Produkttyp) die Bedingung (7.3.89) idcntisch ist mit dcr Bczichung(7.3.67):

ee

k· = _ 1

aXi

.

=lIxll rij

,i=const.,

d.h. eine gewinnmaximiere nde monopolistische Mehrproduktuntemehmung entlehn t die Faktoren nach ihrer mit dem G renzerlös bewerteten G renzproduktivität (.,G renzertösprodukl"). Sowohl aus den Bedingungcn (7.3.87) als aueh (7.3.89) crgibt sich f ür jedes feste i [d.h. für jeden Prod ukttyp):

(7.3.90)

( j, I " 1,2,...n ; i '" CO IIS!. ) .

Dieselbe Bezie hung ergibt sieh - unabhä ngigvon der Marktfonn - für Einprod uktun temehm ungen, siehe (7.3.59), (7.3.67), so dass man sagen kann: (7.3.9 1)

Im Gewinnmaxim um einer (wederdurch Faktorengpässe noch durch Ab sauresuikiionen eingeschränkten) Unternehmun g ist - unabhän gig von der l\larktfonn oder der Anzah l der hergestellten Produkttypen - das Verh ällrlis der produktindividuellen G renzprodukth'itälen identisch mit dem entsprechenden Verhältnis der (konstanten) Fa ktorpreise.

Beispiel 7.3.92: Eine monopolistische Unternehmung produzi ere zwei Produkte (Outputs: xl bzw. xz) mit jeweils zwei Faktoren (Inputs: r11. r12 bzw. r21' r22) und den Fakto rpreisen kI' kz ( '" const .). A uf der Prod uktionsseite gelten die Produktionsfunktionen: (7.393)

xI = 1O ·fJ IO.S ·r 120,S ;

x2

=:

5' rZ I O,4 rzzO.6 .

Die (subst itutiven) Güt er genügen folgenden Preis-Absatz-Beziehungen: (7.3.94)

P2 =: 400 + 0,2xI - O,4xz

Somit lautet die ErlösfunktionE(x I' XZ) = Plx l + P2x2 = - 0,2x \z + O,3xlxz-0,4xzZ + 100x l + 400xz wo beifür XI, x2 die Abhängigkeiten (7.3.93) gelten. Zusammen mit der Fakto r - Kostenfunktion K = kt(r11 + r21) + kz(rl2 + r22) ergebensichtwegen G = E- K) folgende Gcwinnmaxirnicrungsbcdingungen (siehe (7.3.89)):

A us den beide n erste n G leichungen sowie den beiden letzten G leichungen fo lgt d urch Division und Ableiten von (7.3.93): 0)(,

~

Srll - O.5 · r I20.5

~

k,

Sr l lo.5 · rl2 - 0,5

0)(,

'" 'u

d.h .

or '2

k, k,

=

'"

o r21

0 )(2

arn

=

2r2 , ~O.6 · r220, 6

3r2, o.4 . rn - 0.4

2 r22

=- 3

'"

,

d.h .

Setzt man diese beid en Beziehungen in die erste bzw. vierte Gleichung ein, so folgt nach einiger Umfonnung: (7.3.95)

k, 05 k, OS 2k~ 0 .4 kl = 5 ( .......) . . (-4 ( ....... ) , . "l l + 1,5 ( ----,, ) , . r22 + 100) k2

k2

3k 1

2k,0 .4 k. OS 2k, 0 4 k2 = 3(----" ) ' · (3 ( ....... )' ' TJ J - 4 ( ---"" ) , ' r22 + 400) 3k,

k2

3k,

.

Für gegebene Faktorprcise k l ,k 2 stellt (7.3.95) ein linea res G leieh ungssystem in r ll , r22 dar. So erhält man etwa für kI = 80, k 2 = 40 d ie Fa ktoreinsatzmengen: fJ 1 = 56,79 66 ; r22 = 240,6432 ; rl2 = 113,593 1 ; r21 = 80,2 144 , wora us über die Prod uktionsfunktionen folgende Outputs resultieren: XI = 803, 2246 ; x2 '" 775,3451. Daher werden folgende Monopolpreise (siehe (7.3.94» festgesetzt: PI = 16 ,8896 ; P2 = 250,5069. Bei einem Gesamterlös von 207 .795,4 ] 62 und Faktorkosten in H öhe von 25. 130,3272 ergibt sich ein maximaler Unternehmungsgewi nn von 182.665,0890 G E . AUfgabe 7.3.96: Man ermittle das Gewi nnmaximum in Beisp iel 7.3.92 für die vorgegebenen Faktorpreise kl = 40 G E / ME , ; k2 '" 60 GE / ME 2 .

7.3.2.3 Gewinnmaximierung bei rä u mlicher Preisdifferenzierung Der menopoüsüsche Anbiet er eines Gutes sehe sich mehreren räumlich getrennte n T eilmärklen gegenüber, von d enen jede r eine eigene, unabhängige Prei s-Absatz-Funktion besitze. Das Problem besteh t darin, auf jed em T eilmarkt einen Angebotspreis individue ll derart festzusetzen, dass der Unternehmungsgesamtgewinn G maximal wird. Ei n einfach struktu riertes Beispiel soll das Vorgehen erläute rn:

7 Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

372 Beispiel 7.3 .97 :

Es seien für ein Produkt zwei räumlich getrennte Teilmärkte mit zwei getrennten Preis-Absatz-Funktiunen PI: PI(X l ) und Pz: P2(X Z) vorgegcbcn d urchfolgcndc Bezich ungen: (7.3.98)

PI = 60- XI

I

P2 = 40 - "3 X2

(P1560 ;x l ~60) ;

(P1S40 ; x1 5120).

D ie Unterne hmung produziere zent ral für bcidc Tcilrnärkte, die Gesamt koste nfunktion K lautet: K K(x) = 1Ox+200, wobei x die Su mme der aufbeiden Teilmärkten abgese tzten Produkt einheiten bedeutet: x = xI +x2' T ransportkosten seien nicht entscheidungsrelevant . i) Bei getrenn ter Preisfixierung (Prei_~di rrerenzi e rullg) lau tet die Gewinnfunktion

(7.3.99)

G = EI (xl) + E2(x2)- K(x) , d.h. I

G = PI(x') 'x l + P2(xz) ·xz - K(x) = (60 - x,) 'x I + (40 - "3 "2) ' X2 -lOx - 200 • d.h. wegen x '" x I+x2:

(7.3.100)

z I , G( x ], x2) '" - xl - TX2 + 50x] + 30x2 - 200

Aus den notwendigen Maximalbedingungen folgt:

ec

- " ' - 2x]+50"'0
ac

=> x] "' 25 MEj

2

-=-, X2+30=0
=> x2 =4 5ME .

Damit lauten die gewinnmaximalenAngebotspreise. siehe (7.3.98):

PI'" 35 GE /ME (Markt 1) j

P2 = 25 GE /ME (Markt2).

Der maximale Gesamtgewinn beträgt somit

Gm"" = 35 · 25 + 25 '45 -10 ' 70 - 200 = 1.100 GE .

I/p/

ii) Zum Vergleich wird das Gewinnmaximum

ermittelt, wenn der Anbieter keine Preisdifferen zierung betreibt, sondern auf beiden Märk ten denselben einheitlichen Preis p festsetzt . Dazu ist es zunächst erforderlich.die Nachfragefunktionen bcidcr Märktezu cincr Gesamtnachfragerunktlon zu eggregiere n, siehe aueh Bem. 2.5.4. Aus (7.3.98) folgt mit einheitlichem Preis p: X](p) = 60 - P (p s 60) sowie x2(P) = 120 - 3p (p 5 40). Daraus folgt dureh Addition der Mengen x I und x2 für jeden Preis p unter Beachtung der Definitionsbereiche: für p 5 40 für 40

60 I

p

'0

x, x, ,

:x ,

0

10 20

40

p(x,)

lxi

:X2

60

'00

(=x , +x2 )

'20

Abb. 7.3. 101 p(x) '"

!

60 x für s: < 20 45 - 0,25:'\ für 20 5 X 5 180 .

Diese aggregicrJe Preis-Absatz-Funktio n erhält man graphisch aus den Teilfunktionen (7.3.98) durch H orizontaladdition, siehe Abb. 7.3.101. Damit lautet die Erlösfunktion E : E(x) '" x -p(x) und somit die Grenzerl ösfunktion E ' :

1 60 - zx für x c 20 x = 1 45 -0.5x für 20 <x. 5 180 ,

E '( )

7 .3

373

Beispiele für die Anw'cnd ung auf ö konomisc he Funktionen so dass über die Maximierungsbedingung E '(x)

= K'(x) = 10

{pi

I {E'I

I{K'I

folgt:

60 - 2x = 10

~

x = 25 (> 20 !);

45- 0.5x = 10

~

x = 70ME

(s. Abb. 7.3.102).

60

p

27Sr

p K'

10

l---"----'~---::::-....::....,::--K'

20

(xl

70

Abb.1.3.102 Damit laut et der einh eitliche Absatzpreis: p = 27 ,50 GE/ME, auf Markt 1 werde n dahe r 32,5 ME und auf Markt 2 werden 37.50 ME abgesetz t, der max imaleGesarntgewinn ergibt sich zu: O ma>: = 27 ,50 ' 70 -10 ' 70 - 200 = 1.025 GE, ist a lso kleiner a ls bei Preisd ifferenz ierung. Liegen allgemein n Te ilmärkte mit den n Preis-Absatz-Funktionen PI(lt l) , ..., Pn(ltrJ vor , so lauten die Erl ösfunknonen der einzeln en Teilmärkte. EI (xl ) = XI . PI(x l ), ... , En(xrJ = x n ' Pn{:t rJ· M it de r zentralen Ge samtkostenfunk tion K = K(x) (wobei wieder gilt: x = Xl +x 2+ ... +xrJ erhäl t man als Ge\ti nnfunktion des preisdifferen zierenden monopolistischen Anbiete rs: G{XJ , .... xrJ = E J(xJ) + ... + En(xrJ -K(x).

(7.3. 103)

Notwendig fü r ein Gewinnmaximum sind die Bedingungen (KeUenrege1 !)

(7.3.104)

'0

~

'" "" '0

öXn

" '"

.- -dK dx

~- dK dx d' .

EJ '(xJ) - K'(x] = 0

~

=1

"

ihn

=

E n'(xrJ - K'(x] = 0

~

= I

d.h. im Gewinnmaximwn gilt ruf jed en Teilmarkt die klassische Bedin gung: Grenzerlös (des Teilmarktes ) = (gesam te) C renz kosten. Da - außer für kon stante Grenzk osten - K'(x) nicht beka nnt ist, muss man La. das kom plett e G leichungssystem (7.3. 104) zunächst simultan lösen, um über dieTcilabsatzmengen Xj die gewinnmaximalen A ngebo tspreise Pi zu erhalten. Aus (7.3. 104) folgt , dass die Grenzerlöse je zweier Teilmärkte im Gewinnmaximum iden tisch sein müssen:

7

37 4

Differentialrechnu ng bei Funktionen mit meh reren unabhängigen Variabl en

(7.3.105) Wendet man dar auf die A moro so-Robinson -Relat io n (6.3 .109 ) an, so fo lgt für je zwei Te ilmärkte i, k im

Gewinnmaximwn:

1

p(" ) '( 1 , -f:x,Pi ) I I od er - in abgekürzte rSchreibweise>

(7.3.106)

mit Ek ,,,,txkPk<- 1 [i.k

e

Ei'=f: XiP; < - t . s. Beispiel6.3 .114.

1,...,0)

Daraus folgt: i) A uf de m Teilma rkt mit höh erer Prei~ela~lizilät der Nachfrage muss der germgereangebotspr ets fcst-

gesetzt werden (denn aus Ek <E j < - l folgt Pk < Pi . sichc(7.3.106) . il) Sind die Prctsetesuanären der Nach trage zweier Teilmär kte verschieden, so ist ein einh eitlicher Angebetspreis p auf beide n T eilmärkten suboptimal. d.h. P reisdifferenzi erung ergibt La. einen höh eren

maximalen Cesamtgewinn als einheitliche Preisfixierung.

Aufgahe 7.3.107: Man ermittle Preise, Absatzmengcn sowieden maximalen Gewinn einer preisdifferenzierenden Unternehmung und vergleiche mit den entsprechenden Daten ohne Preisdifferenzierung: I) p\ =36 - 0,2x\ ; P2=60- x2; K(x) = 20x + 100, (x :=:-x]+x2) ; ii) PI = 75-6x\ ; P2 = 63- 4x2 ; P3 :=:- 105-5x3 ; K(x) :=:- 15x + 20, (x :=:- x I + x2 + xJ); iii) p\ = 60-x I; P2 = 40- 0,5x2; K(x) =x 2 + lOx + 10 , (x=.t ] +x2)'

7.3,2A Die Methode der kleinsten Q uad rate In vielen wirtschaftsstatistischen Anwendungen kommt es darauf an. eine Reihe von n Beobachtungsoder Messwe rtpaaren (Xi' yj}durch ei ne" m öglich~ t gute" Funktion f: y = f(x) anzunähern. Eine derartige Regres.'iiOllSrunktiOll kann dann verwendet werden, um al1gemcinden quantitativen Zusanuncnhang dCI beiden zugrundeliegcnden Merkmale (z.B. Einkommen/ Konsum oder AusbringunglKosten oder Input/ Output oder Periode/Periodenumsatz usw.)zu beschreiben, siehe etwa Abb. 7.3.108.

I (Umsatzl

I (Output/

w,,,,

B~bachtungs­

,\~

I; ••'

/ i

-- q

I

totsticht/ehe /..Knso/zwer1e

<>

2MiO

Regressionsfunktion f

•

•

,

•

• 1 Mi

Regress/onsfunkfion f (.TrendgerarJe"

(ZeitJ

(lnputl Abb. 7 3. f08

x,

2005 2006

2007 2008

7.3

375

Beispiele für die A nwendung auf ö konomische Funktionen

In der Stati stik wird gezeigt, das s ein vergegebener Funktionstyp (z .B. Gerade, Parabel, Exponentialfunktion) den Zusammenhang dann .besond ers gut- beschreibt. wen n die Regressionsfunk tion f so bestimmt wird, dass die Summe Q der quadrierten Abweichungen der Messw erte Yi von den entsprec hende n Regressionsfunktionswerten f(Xi) minim al wird ("Methode der kleinste n Q uadrate "):

Yi .=

(7.3.109)

"

"

i- I

i -I

Q= L(Yi - Yi)l=L(f(Xj) -Yi)2 -

M in !

Zur Lösung die ses Ext remalproblc ms geht man folgendennaßcn vor: I) Z unächs t wird der zugrundcliegcnde Regre.'{~ion.~ ru nkl ion ~ t}·p fesfgelegt, z .B. = a + bx

-

Gerade: Pa rabe l: Potenzfu nkti on : Exponentialfun kt ion :

fex) fex) f(x) fex)

-

Logist ische Fu nktio n:

fex) =

= a + bx + ex 2 = a 'x b + c = a· ebx + c ab

1+ e

usw.

~+c

bzw. ein e Kombination derartiger Typen.

Bemerkung: Fur die zutreffende Wahl eines geeigneten Funktionstyps sind tief ereEinsicht in diegrundlegenden Zusammenhange zwischen den Merkmalen so wie" Fingerspitzengefühl" erforderlich. ln vielen praktischen Anwendungsfällen beschrankt man sich allerdings aufdie Ermiulung linearer Regressions funktiönen (selbst wenn es unsicher ist, ob ein linearerZusammenhang vorliegt). ii ) Erm ittlung der noch unbekannt en Funktion sparameter a, b, c ... derart, dass das Kriterium (7 .3 .109)

der ckleinsten Ouadrarscmme" erfüllt ist. Dazu setzt man in (7. 3.1 09) de n spez iellen Fu nktionstenn f(xi) ein und bildet nun die notwendigen Extremalbedingun gen , indem man partiell nach de n noch zu bestimmenden Parametern ableit et :

~ ", o •· ab

(7.3 .110)

" .

~=O .

D ie Lö sungen dieses G leichu ngssystem s liefern die gesuchte n Parame ter e, b, c• ... . Das Vorgehen wird am Beisp iel einer linea ren Beispiel 7.3 , 111:

Regres.~ iOll sfunktion

Z u n vorgegebene n Wertepa nren

(xI'Yl),.."(xn, Yn) soll eine Regresstonsgerade f mit fex) = a + bx mit der Methode der kleinsten Quadrate ermittelt werd en . Fü r die Summe de r A bstandsquadrate (A bb . 7. 3. 112) erhält ma n naeh (7 .3.109):

Q =

L• (f(xi) - Yi)2 = L• (a + bx,- Yi)2 i _I

Min.

; -1

D ie Zielfunktion Q hängt - da die (xi'Yi) als Messwerte gegebe n sind - nu r noc h von a und b ab . Notwendig für ein M inimum von Q sind daher die Bedingungen :

" "-L

~ (7.3 .113)

erläute rt:

2(a + bXi - Yi) = 0

i _I

I" 2(a + bXj -Yi) xi = O' i_I

Ir}

f{xJ = G+bx

Y, ffx ) - _ i

x,...

(x)

". Ab b, 7.3,112

7

376

Different ialrechnu ng bei Funktionen mi t mehreren unabhängigen Variablen

(7 .3.113) muss noch nach a bzw. b aufgelöst werden. Zunächst folgen aus (7.3.113) nach etwas

Umfonnung(siehe Kap. 1.2.1.4) die sog. Normalgleichungen (mit

•:>i :rxi statt L

usw.)

j" l

+ b ' ! Xj

(7.3.115)

a- n

(7.3.116)

a ' I x; + b · :Exil = ! xiYi

:EYi

Um a zu bestimmen. multipliziert man (7.3.115) mit ::Exi2, (7.3.116) mit Lxi und subtrahiert beidc Gleichungen voneinander. Daraus folgt:

I x?1:Yj- I ~I Vi

(7.3. 117)

n ' :Exi2 - (I Xj)2 •

Um b zu bestimmen , mul tipliziert man (7 .3.115) mit I Xi. (7.3.116) mit n und subtrahiert beide Sei-

tcn voneinander. Daraus folgt: b= ß 'I xj)'j -IxjIy;

(7.3. 118)

n' Ix;L (Ixi ( b = Steigung der Regressionsgeraden ; Regressiooskoeffizienl)

Damit ist f: f(x) = a + bx det erminie rt.

x·

Beispiel 7.3.119: Z u den gegebenen w ertepaaren Yi

I 2 3 5 6 7 1 I 2 3 56

soll eine Regressionsge-

rade f mit f(x) = a + bx bes timm t werden. Um die in (7.3.117), (7.3.118) auftretendenSummen einfach bes timmen zu können, empfiehlt s ich die Verwendung einer Tabelle:

I ( n~6)

'i

Yi

Xi2

xiYi

I 2

1

1

I

3

2

4 9

1 2

IM

•

6

5

3

25

15

6

5

30

7

6

36 49

24

18

124

96

IX.y}

42

Abb .7.3. 120

•

(I }'V (Ix;Z) (I:<;)'j)

(I x;)

•

lxi 4 (=x )

Aus (7.3.117), (7.3.118) folgt (siehe Abb. 7.3.120): , =

12... · 18- 24 · 96 b = 6 · 96- 201 · 18 = _1.. 6 ' 12... 24' 7 ' 6 · t201 - 201 z

=" .. 1., 6 dh

(, ) = - ,3 , 6 7

, 1.

Bemerkun g: Aus Abb. 7.3.120 ist ersichtlich, da ss die Regressionsgerade durch den Punk t (x, y ) = (4 ..3) ,= ~ I Yi die arithmetischen Mille/werte aus x- und y-Beobachtungen verläuft, wobei ,= ~ I Xi und sind. Dass dies kein Zufa// ist, zeigt die Nonnalgleichung (7.3.115):

x

Aus I r;

y

= an + b I Xj folgt nach Division d urch n:

m.a. rv. das Paar

(x, y ) genügt der

Regressionsgeraden.

,: I Yj

= a + b · ,:

:Exi , d.h.

I y=

a + bx

I'

Funktionsgleichung f(x) = a + bx und liegt somit stets auf der

7 .3

Beispiele für die An wend ung auf ökonomische Funktion en

377

Aufgabe 7.3. 121: i) Wie lauten die zu (7.3 .115), (7.3. 116) ana logen allgemeinen Nonnalglciehungcn einer Regrcssionsparabc l f mit f(x) = a + bx + cx Z "1 xj123 4 5

ii) Mi t H ilfe von i) enni tt lc man die Regr essionsparabel. wenn folgend e Messwert reihe vorliegt:

Yj 43 125

Aufgabe 7.3. 122: Man ermitt le d ie Normalgleichungen (siehe (7.3.115), (7 .3.116)) fü r folgende Regressionsfun ktionstypcn; i) f(x) = a 'x b Ii ) f(x) = a ' b x iii) f(x) = a ·c bx .

(Hinweis: Beide Seiten derFunktionsgleichung logarithmieren und dann (7.3.115/116) verwenden.]

7.3.3 Ökonomische Beispiele für Extreme unter Nebenbedingu ngen Die meis ten ökonomischen Wah ientscheidungen hängen eng mit dem Problem zusammen, wie emvorgegebcnes ö konomisches Ziel u nter Berücksichtigung von restriktiven Umwelt bedingungen (z.B. knappe Ressou rcen, Ein hal!ung tech nischer od er gesetzlicher Norm en usw.] möglich~t gut erreicht werden kann . Kann das Z iel in Form ein er (differenzierba ren) Zielfunktion q uantifiziert werden und können weiterhin die Restriktionen als Gleichungen ausgedrückt werden, lässt sich die Lagnmge-Methode (siehe Kap. 7 .2.2.3) zur Lö sun gdes zugrundeliegenden Wahlprob lems verwenden . D ie folgend en Abschnit te besc häftigen sich mit besonders häufig in der ökonormsehen Theo rie auft retenden ~ klas s ise hen~ Wahlprob lcmen, der Minimalkostenkombination und der SUlzenmaximienmg [sowie einiger Ansehlussprohleme).

7.3.3.1 Minimalkostenkombination E ine U nte rne hmung produziere ihren O utpu t x unter Ei nsatz von n Inputfaktoren gemäß einer Prod uktionsfunknon x: x(q, ..., rnJ: (7.3. 123)

Welche Faktoreinsat zmengenkombination (q, rZ' ..., rnJ muss die Unternehmung ....ä hlcn, damit (be i gegebenen, festen Faktorpreise n k l ' kZ' ..., knJ e in vorgegeben er O utp ut i zu möglich~( gerin gen Faktcrkcsren produzier t werden kann?

Bemerkung 7.3.124: Eine in dieserWeise optimale Faktorkombination heißt MinimalJwstenkombinatiQn. Die nach dem ökonomischen Prinzip öquivaieme Fragestellung nachmöglichsthohem Output beivorge-gebenenFaktorgesamtkostenfah rtebenfalls auf dieMinimalkostenkombination, s. Rem. 7.3.141.

Zur graphischen Veranschaulichung wird eine Pro-

(f2 11

du kt ion sfun kt ion X(q,T2) mit konvexen Isoquanten (s. Bem. 7 .1.70) und z unäd l"( zwei Inputfaktoren verv....ende t. M it vo rgegebenen festen Fakt orpre isen k 1,k2 ergehen sich die Faklorgesamt kosten K bei einer Inputkombination (rl, rZ) zu: (7.3 .125)

Punkt mil koslenminimoler fnpulkombinmion {r'''2'

/

K = K(r" r2) = k l r l + kzrz.

F ür jeden fest en w en von K (z.B. K t , Kz, K 3, ... ) liefert (7.3.125 ) eine Geradcngleiehung im (r l ' rz)' System

(7.3. 126) es ergibt sich graphisch eine Scha r \'00 Isokosten -

fsoquonle x = consl.

Q,

s

o

r Isokoslenlinien mit der Steigung -

f!r

Abb. 7 3. 121

378

7

D ifferentialrechnung bei Funktionen mi t mehreren unabhängigenVari ablen

gera den (ode r Budgetgemden), die - da sie für jedes K diese lbe Steigung

-?k

(s. (7.3 .126» bcsitzen-:

untereinander parallel sind. Dabei verläuft eine Isokostengerade (wegen des 6 rdinatcnabschnittcs

~ .

siehe (7.J .126» desto weiter vom Koordina tenursprung entfernt, je höher diezugehörigen Faklorgesarrn-

kosten K sind. Es können nur solche Inputkombinationen (rl ' I2) realisiert werden, die den vorgegebenen Output X.:: const. erzeugen, d.h . die aufder Isoquantc x .:: const. liegen. Anhand von Abb. 7.3.127 erke nnt ma n; -

E in Kostenniveau unt erhalb von K2 (z.B. Kj) lässt sich nicht real isieren , da kein Punkt vo n K 1 =

const. auf der Isoquante i .:: const. liegt.

-

E in Kostenniveau oberhalb von K2 (z .B. K3) führt zu zwei altern ativen Input kombinat ionen (SchniUpu nkte OI'OZ)' Da d ie Isoquante konvex ist, müssen alle ihre Punk te zwischen 01 und Oz unterhalb der Isokostengcradcn K3 liegen, der Ou tput x lässt sich mit geringeren Kosten als K) erzeugen.

-

Die l\olinimal koslenkombina tlon ist offen bar dann erreicht, wenn eine Isokost engerade sola nge para lconst . lel verschoben wird, bis sie gerade noc h einen (Berühr-) Punkt P mit de r Isoquante gemeinsam hat: D ie Koordin aten (q, rZ) von P sind die kostenm inimalen Faktorinputs. Da im Optimalpunk t P die Ste igung drZ/ dr) der Isoq uante (= Grenzrate derSubs titu tio n, siehe (7.1.69» iden k tisch sein mu ss mit de r Steigung - rder Is okosten linic, erhält man als Bedingungfti.rdi e Minimal kostenkombination 2

x:

bzw. mit (7.1.69)

(7.3.128)

D ieses - soeben auf graphisch-anschau lichem Weg er haltene - E rgebnis erhält man rechn erisch ohne M ühe mit H ilfe der Lagrange -l\Ie thode (siehe Satz 7.2.22) . Un ter denselben Voraussetzungen wie zuvor lautet das Optimalprohlem: Man mi nimiere die Kostenfunktion K: K(rl ,rZ) : kl rl +kz fz un ter E inhaltung der Res triktion x(q , rz) = co nst .

x'"

D ie z ugehö rige Lagrange- Funktion L laute t (siehe Satz 7.2 .22):

(7.3. 129) so dass man als norwendlge " Bedingungen für das Vorliegen der ~ Iin i mal kosten komhi nation erhält:

A us den beid en ersten G leiehungcn folgt : Division beid er Seiten liefert unte r Beachtung von (7.1.69) das (schon zuvor erhaltene) Resultat

a, (7.3.128)

~-~--~ k2 -

~

ar

-

dr\

x

Ei ne U nternehmung produziert som it einen vorgegebenen O ut put dann zu minimalen Kos ten, wenn sle d ie Inputkombination (rl,TZ) derart wählt, das s das Fa ktorp ressverh älm ls identi sch wi rd mit dem Verhält nis der en tsprechenden Orenz prod uknvüäten (d.h. der negativen G renzrate der Substlt ution). S Man kann zeigen(siehe z.B. 113], ~ l ~) , dassdie hinreichenden Bedingungen fürdas Vorliegender Minimalkostenkombination genau dann erfüllt sind, wenn- wic vorausgesetzt - die l socuanun kom'eX sind.

7.3

Beisp iele für die A nwend ung auf ökonomische Funktionen

379

Bemerkung 7.3.130: Im Zusammenhang mit dem optimalen Faktoreinsatz einer gewinnmaximierenden Unternehmung (s. Kap. 7.3.2.117.3.2.2) resultierten die Optimatbedingungen (7.3.59), (7.3.6 7) bzw. (7.3.90), die unmittelbar auf die Minimalkoslf!llkombinalionsbedingung (7.3.128) führen. Dami!. ist gezeigt, dass eine Unternehmung, die ihreProduktions faktoren gewin1Wptimal einsetzt, ihrenOutput zugleich kostenminimal produzien. E ine weitere Interpretauen der Optimalbedingung (7.3.128) folgt nac h naheliegende r U mfonnung:

(7 .3.131)

Im Kostenminimum müssen somit die auf einen Faktor- Euro entfallenden Grenzpreduknviräten beider Fak toren gleich sein (ein relativ teurer Fakt o r muss d ie höhere. ein relativ billiger Fak tor die geringere Grenzprodukthitäl aufweisen und zwar so, dass jeder Paktor-E dieselbe G renz prod uktivilät bewirkt),

Bemerkung 7.3.132: Man spricht in diesem Zusammenhang gelegentlich vom "A usgleich des Grenznutzens " (2. Gossenscnes Gesetz) im Kastenminimum ( Q Nutzenmaximum). Beispiel 7.3. 133: Produktionsf unktion: x(Q,r2) = 2r} . r;:;-, fes tes Produktionsniveau: i = 80 ME , Fak torprelsc: kl = 8 G E / MEJ , k2 = 20 G E fME2' M it der Lagrangefunk tion L(ft . r2' A) = 8 r} + 20 r2 + J.(80 - 2r l . erhält man die Ext remal bcdi ngungen:

vr;-)

öL=8-V.r;:;-=0; ör!

vr;-

1!:.= 20-,l. ·---!.L:0 ; örz

öL=80-2 q·r;:;-=0 . öA

A us den zwei erste n Gleichungen folgt durch E liminat ion von ,1.: fJ = 5 r2' E ingesetz t in die dritt e 1~

G lcich ungfo lgt:

~r:7

80 - lOr2 ' v r2 = 0 ~ r23/2 = 8 ~ (2 = V 64 = 4 ME 2 und daher q = 5r 2 = 20 ME I sowie ..1. = 2. Damit betragen die minimale n Faktorkost en für die Minimalkostenkombinat ion (f1. r2) = (20; 4): Kmin= 8 ' 20 + 20 · 4 = 240 GE. Für die Grenzprodu ktivitäten erhält ma n:

~=2~=4""tE; ör!

2

lvlE1

so dass sic h nach Division durch die Faktorpreise ergibt:

-33rtx

,-

),lE

MEt

k;-= S GE

ME

=0 .5 GE ;

ax -ör2

ME

=0,5G'E '

~

ME !

also dieselbe Gre nzprod uktivitä t pro Fakt or-GE.

Bemerkung 7.3.134: A us der allgemein[ormulienen Lagrangefunktion (7.3.129): L = k1rl + k2r2 + Mx - x(rj, r2)) erhält man - indem man die Konstante als variablen Parameter auffas st - durch A bleitung nach

x

(7.3.135)

I 'xö~ I·

x:

=,1.

Da im Optimum L und K .= k JrJ+k2r2 identisch sind (denn die Nebenbedingung wird Null), gibt der Wert ron A im Optimum (nällernngsweise) an, um wiel,;ieleEinheitensich die ZielJunktioll K ämter/, wenn sich die Komtante x der ,\'ebellbedingung um eine Einheit ändert 9 , In Verbindung mit Beispiel 7.3.133 misst der Wen ,I. = 2 im Optimum daher die Grenzkosten (bezogen auf die Produktionsmenge x), d.h. den Kostenzuwachs der (minimalen) Kosren, wenndas ~orgegebene Produktionsniveau x um eineEinheit erh öht wird.

:l!

9 Zum allgemeinenBeweissieheetwa [131. 3110 f

7

380

Differentialrechnung be i Punknonen mit mehreren unabhängigen Variablen

De r bisher be handelt e Fall nur zweier Inp utfakt oren (nu r de r ist ansc haulich int crpretie rbar!) lässt sich

mit der Lagrange-Methode auf den realistiscberen Fall beliebig vieler Inputfaktoren übertragen: Mit der Prod uktio nsfunktion x: x(q ,f2,...,rnJ und der Faktorkostenfunktion K K = k IfJ+ k2fZ+...+krl n (kj ist der gegebene feste Preis des i-tcn Faktors) laute l die Problemstelleng der !Hinimalkosten komblna-

tlon(siehe (7.3.123» :

I

Man minimiere die Zieljunktion

K; K = k lf l +k2f2+ ... + knrn x(fI •...•rrJ = X = cons t.

Nebenbedingung

unter Einhaltung der

Mit Hilfe der Lagrange-Funktion L: L = k, q + ... + korn + ,t(x - x(r]....,rnJ) erhält man als notwendige Optimalbedingu ngen ein G leichungssystem aus n+ 1 G leichungen mit den n+ 1 Variablen r I' rz, ..., rn,).: (7.3,136)

" '" er "

-"b. =

"I

k,-).· -

0

ar

'"

k Z -). . -

0

'"

k -).. ~

= 0 ar n ar, = n --- ---- --- --- ---- -------- ---- -- x(rl' ..., rnl '" 0 ar

'"

-- ~

,

Die ersten n G leic hungen von (7.3 .136) haben dieselbe Str uktu r. Nehmen wir zwei beliebige dieser Gleichungen heraus, etwa die I-tc und die j-te (i *i) Gleichung: (7.3.137)

ki -A ' uri ~x ", O

kJ' - A ' Urj ~X ", O.

Daraus folgt und daher

k- "' A ' ~

kJ' "' Ä '~

I

a ri

(7.3, 138)

a rj

für alle i, j = 1,2, ....n •

Analog zu (7.3. 128), (7.3.131) folgt: Satz 7.3,139: (MinimalkO!i tenkomhin3tion) Eine Unternehmung produziert ihren O utp ut x kostenminimal. wenn sie die (zu fes ten Preisen einsctzbarcn} Inputfaktoren q, rz,...-tn dera rt kombiniert, dass i) das Verhältnis der C eemprod ukuvttäten zwctcr beliebiger Faktoren gleich dem entsprechenden Faktorpreiw erhältnis ist, bzw. ii ) d ie Grenzp roduk üvttät pro eingese tztem Faktor-Euro für alle Faktoren Identis ch ist.

Bemerkung 7.3.1-10: i ) Der Wertdes Lagrange-Mllltiplikators A im Optimum liefen (siehe Bemerkung 7.3.134) die Grenz/wsten bzgl. des Produktionsniveaus x. ii) Aus (7.3.138) folgrmit (7.1.69) weiterhin, dass im Fall derMinimalkostenkombination das Faktor-

preisverhälmisje zweier Faktoren gleichdernegativen Grenzrate der Substitution dieserFaktoren ist.

7.3 Beispiele für die Anwendung auf ökonomische Funktionen Bemerkung 7.3.141: stellung laut et:

(7.3.142)

381

Die zu (7.3.123) nach dem ok on om ischen Prinzip eng velWQ ndre " d uale" Problem-

Welche Fak toreinsa tzm engenkom bination (r ],...,r,J muss die Unternehm ung w ählen, um bei vorgegebenem Fak tork osrenbudget K einen m 6glichst großen Output erzeugen zu k önnen ?

Z ielfunk tion ist nunm ehrdie Produk tionsfu nktion x: x(r ],... .r,J - Max. , die N ebenbedingung tauet k ]r ] + ... + kn'n = K = const. Dami t ergibt sich als La grangef unktion L:

L = x(r]> " ., r,J +J.(K - k ]r ] - ... - k n',J. Die n otwendigen ExJremalbedingungen lauten:

(7.3.143)

oL = ~ -). 'k' = 0

o'i

orj

I

(i "" 1,2,." ,n) ,

' L = -K -k ]r ]- ... -kn'n = O. ar A us den ersten n Gleichu ngen f olgen unmittelba rdie Beziehungen (7.3.138) der Minimalk ostenkom bination, so dass sich die Problem e " Kostenm inim ierung bei vorgegebenem Produktiansniveau "und" Produktionsn iveaum axim ierun g bei vorgegebenen Fak!orgesam tkosren " als aquiva!etiJerweisen.

Vorbemerkun g zu den n achf olgenden Aufgaben: Sof ern d ie Lagrange-Methode an wendb ar ist, gebe man eine ökonom ische Interpretation des L agrangemultiplikators im Optimum .

Aufgabe 7.3. 144 : Eine Unternehmung produziere ein Gut gemäß nachfolgender Produktionsfunktion x. x(A, K) = 100 · AO,II . 1(0,2 [x: Output ; A, K: A rbeits - bzw. Kapitalinput). Pto Arbcitscinhcit wird ein Lohn von 20 GE fällig, eine Kapitaleinheit verursacht l OGE an Zinskosten. Man ermittle für einen vorgegebenen Output von 10.000 ME den kostengünstigsten Faktoreinsatz. Aufgahe 7.3. 145 : Eine Produktion verlaufe gemäß der Produktionsfunktion: x: x(r" (2) = 40 rj O.5 . r20.5

ri > 0 .

Die Faktor-Gcsamtkostenfunktion laute: K = rl +4r2+ t itz Man ermittle dieMinimalkostenkombination für einen vorgegebenen Output von 800 ME . Aufgabe 7.3. 14 6: Huber hat sich im heimischen Keller ein elek tronisch gestütztes Fa rblabo r eingerichtet und produziert nun nach Feierabend für Freunde, Verwandte und Nachbarn Farbphoto-Vergrößerungen. Die Anzahl x der von ihm pro Monat hergestellten Vergrößerungen (Einheitsfo rmat) hängt ab von der investierten Arbeitszeit t (in h/Monat) sowie der Einsatzdauer einer gemieteten Farbdruckmaschine (die Einsatzdauer m wird gemessen in hJMonat) gemäßfolgender Funktion x : x=3 0·Vt·JIin . (Arbeitszeit t und Maschinenzeil

In

sind som it substituierhare Fak toren !)

Statt im Farblabor könnte Huber in einer Diskothek als zusätzlicher Disk-Manager arbeiten (Nettogage 40 € /h). Pro Einsatzstunde der Farbd ruckmaschine muss Huber eine Mietgeb ühr in Höhe von € 10,- bezahlen. Im Februar soll er 900 Kamcvalsbilder herstellen. Huber überlegtnun, wieviele Arbeitsstunden er im Februar einsetzen soll und wie lange er die Farbdruckmaschine einsetzen soll, damit für ihn die Kosten (ind: entgangene Gagen) minimal werden. Zu welchem Ergebnis kommt Huber?

382

7

Differential rechnung bei Funkt ionen mit mehreren unabhängigen Va riablen

Aufgab e 7.3 . 147: Man ermittle Radius und H öhe eines zylindrischen Gefäßes (ohne Deckel) von einem

Liter Inhalt und möglichst kleiner Oberfläche [d.h. möglichst geringem Matcrialvcrbrauch).

Aufgabe 7,3. 148 : Kunigunde H ube r näht in H eimarbeit Modellkleider (Modrll . Diana "] , Wenn sie I) Stunden pro Woche näht. kann sie 0,5 ' Vi] Kleider fertigstelIen. Ihre Heimarbeit kostet sie pro Näh-

stunde 10,- €, die sie sonst als Aushüfsserviererln in der Kantine des Fachbereichs Wirtschaftswissensehaften verdie nen kön nte . Zusätz lich zu ihrer eigenen Ar beit könnte Frau H uber im Nähstudio

ft Kledasc he" arbe iten lassen. Das Näh st udio verlangt pro Stunde € 30 ,-, in 12 Stunden pro Woc he Kleider genä ht werden. Fra u H uber will genau 7 Kleider pro Woc he produzieren. könn en dort

Vi;

i) W ie so ll sie Eigcn- und Fremda rbeit kombinieren, dam it sie ihrvorgegebenes Prod ukttonsziel mit möglich st geringen Kost en erreicht? ii) Z u welc hem Stückp reis muss Frau H uber ihre Kleider mindestens verka ufen, wenn sie pro Woc he einen Gewinn ( = E rlös minus Kosten) von mindest ens 560 € erwirtschaften will'!

Aufgabe 7.3. 14 9: E ine Untcmehmungsabteilung setzt Facharbeiter und Hi lfsarbe iter ein. Ocr wöc hent liche O utp ut Y [ME ] bei E insat z von F Fachar beiterst unden und H H ilfsarbeiterstunden kann du rch folgende Funktion sgleichung besc hrieben werden: Y

= Y(F. H) = 120 F + 80H

+ 2OA-I - Fz- 2Hz.

Dcr Facharbcitcrlohn beträgt 6 GE/ h, der H ilfsarbeiterlohn 4 GE/h. Z ur En tlohnung de r A rbe itskräfte ste hen der A bteilung pro Woch e 28 4 GE zur Verfügung. M it welchen Zeiten pro Woc he soll die A bt eilung Facha rbeiter bzw. H ilfsarbeiter einsetzen, damit die Produktionsmenge mögl ichs t groß aus fällt?

Aufgabe 7.3 . 150 -a: Die Xaver H uber AG muss 210 kg eines Ge fahrstoffes beseitigen . Drei unterschiedliche (sichgegenseitignicht ausschließende) Verfahren ste hen zur Verfügung: Verfahren I :

Beseitigung du rch das selbst ent w'ickelte Verfahren ~Ordurex M, das allerd ings mit zu nehmender Prozessda uer immer weniger effe ktiv arbeitet: In t I Stunde n können 20 ~ kg des Stoffes besei tigt werden. Pro Verarbe itungsstu nde fallen variable Kosten in H öhe von 30.- € an.

Verfahren 11 : Verbrennung im kommunale n Abfallverbrenn ungsofen . In tz Stunden können dort 30vt;" kg unsch ädlich gemacht werden . Pro N utzungsst unde mü ssen 90,- € gezahlt werden . Verfa hren III: Entsorgung du rch dic Spezialfirma " Pubelle" Gm bH & Co KG. Pro kgdes zu bcscitigenden Abfalls werden 12,- € in Rcchnung gestd lt . A uf welche Weise muss d ie U nternehmung ihr A bfallproblcm lösen, damit die mit der A bfallbcscitigung verbundenen Gesamtkosten möglichst ge ring aus fallen?

Aufgabe 7.3. 150-b: Gegeben seien die Prod uktionsfunk tion x mit: x(q,rZ,r3) = 10' qO,2. rZO,3 . r30,5

ri > 0 ,

sowiedieFaktorpreisc k l = 12,8 G E / MEI , k2 = 6 14,4 GE/ M E 2, k 3 = 100 G E / M E 3.

i) Man ermittle die kostenminimale I nputkombinat ion für das Produknonsnivea u:

ii) Man erm ittle d ie o utputmaxima le Inputk ombination für das Kostenbudget .

x = 64 ME.

K = 2.048 G E .

7.3

Beispiele für die Anwendung auf ökono mische Funktionen

383

Aufgabe 7.3. 150-c: Bei einer verfahrenstechnischen Prod uktion richtet sich der Prod uktionso utpu t x (in ME) e.p. nach folgender Produktlonsfunktion : x '" x(E, A) = 5üDE + 800A + EA - E2 _2A2

(E, A ~ 0) .

A: Arbeitsinput (in h) . Dabei bed euten: E: En ergieinput ün Mwh) ; Der En ergiepreis bet rägt 100 € /MWh, der Preis für Arbe it betragt 50 € / h. i) Bei welcher Inputkombination wird die höchste Produkt ionsleistung erbrac ht ? ii) Bei welcher Inputkombination wird die höchste Produktionsleist ung erbracht, wenn die Produktio nskosten genau 27.500 ,- € betragen sollen'!

Aufgabe 7.3. 150-d: Das Weingut Pahlgrubcr & Söhne setzt zur Düngung seiner Weinstöcke für den bekannten Quali tätswein..Oberföhringer Vogelspinne" drei verschiedene Düngemittelsorten ein: Sorte A (Einkaufspreis 3,- €lk g); Sorte B (6,-€Jkg) ; SorteC (l2,- €/kg) , Der jährliche Weinertrag E (in Hektotitern (hl)) hängt - c.p. - ab von den eingesetzten Düngemittelmengen a, b. c Oeweils in kg der Sonen A, B, C) gemäßder folgenden Prod uktionsfunktionE = 5000 + 2Da + 45b + 40e + ae + 4bc - a L 2b L e 2

(a, b, c

;>:

0) .

Pro Jahr will das Weingut 1.200,- € für alle Düngemittel z usammen ausgeben. Außerdem muss beac htet werden. dass zur Vermeidung von schädlichen chemischen Reaktionen die Düngemittel A und B gcrL.1 u im Mcngcnvcrhälrnls 2:1 (d.h. aufje 2 kg A kommt ein kg B) eingesetzt werden. Bei welchem Dungemitteleinsatz erzielen Pahlgruber & Söhne unter Beachtung der Res triktionen einen maximalen Ernteertra g? Aufgabe 7.3. 15 1: Eine Unte rnehmung produziert zwei Produkte (Outpu t: XI ,x2) jeweils mit den Faktoren Arbei t und Kapital gem äß den beiden Produktionsfunktionen x I '" 2 'A lo,8 ' K t o,2 ;

Xl = 4 ' A 2o,5' K20,1

(A b Kr Faktorinputs für das Produkt i). Die Faktorpreise sind fest: kA = 20 GE/ME A' kK = 10 GEI ME K. Man ermit tle die kostenminimalen Faktoreinsatzm engen für bcide Produkttonsprozesse. wenn vom ersten Produkt 1.000 ME I , vom zweiten Produkt 800 ME 2 produz iert werden sollen.

7.3.3.2 Expa nsionspfad. Fakt orn achfrage- und Gesamtkostenfunktion Im Z usammenha ng mit der Frage (7.3.123) bzw. (7.3.142) nach der "Mi nimalkoslenkombinalio n" stellt sich die weitere Frage. in welcher Weise sich die Minimalkostenkombination (q , r2' ...) ändert, wenn das Produküonsnrveau x verschiedene we rte a nnimmt. Wie Abb. 7.3.152 verdeutlicht. wlrd durch eine sukzess ive An hebung des Produktionsnivea us x (Isoq uant en liegen immer weiter rechts obernste ts ein neuer l\1inimalkostenpunkt p(r ,.r2) erzeugt, dem immer höhere (minimalc) Gesamt kosten K entsprechen . Der Ort aller so erzeugten Minimalkostenpunkte (in Abb. 7.3 .152 stark ausgezogen) heißt l\lin imalkostenlinie oder Expanslonspfad. Eine kostenminimierendeodero utpu tmaximierende Unternehmung wird nur diese Inputkombinati onen realisieren.

f xpansionspfad

o Abb. 73. 152

7 Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

384

Die Herteüung der Expan siOfLspfatlgleichun g T2 = T2(q) kann Ober die Optimalbedingungen (7.3 .136)

(bzw.(7.3.143» erfolgen, sofern die Isoquanten konvexund die Faktorpreise konstant sind. Das Verfahren soll am Beispiel einer Cobb-Dougles-Prcdukncnsfunkuon x = c· Tl a. T2b mit zwei InpUlfaktoren demonstrien werden . Die notwendigen Bedingungen für die Minimalkostenkombination fü hren auf die bereits bekannte Bedingung (7.3.128):

(mit kl,kz als feste n Faktorpreisen ) .

(7.3.!53) Da wegen x = c TI3 ' TZb gilt:

ax = c ' a - Tt a. l. r2b

ar

sowie c ·a · ll a - l. r2 b

erhält man durch E insetzen in (7 .3.153):

C'b' Tl a' T2b - 1

Daraus folgt unmittelbar die gesuchte Funktionsgleichung des Expansionsprades (einer Co bb- Doug tasProd uktionsfunktion) Der Expansionspfod slnsr

('2)

k, a r2 = r2(q) = --. . _ . rJ k, b

(7,3. 154)

Cobb-Dovglos~

funktionist eine U-SprungsgIJrode

Für die Prod uktionsfunktion x mir 10· rl o,4 . f20,9 und die Faktorpreise kl = 12; k2 = 18 lautet die Gle ichung des Expan sionspfades : tz = 1,5 r}. Bei~piel :

x=

Man sicht, dass de r

Expan~ion~p rad

'.

einer Cobb-Dou-

glas-Produktlens-Funküon eine Unopru ngsgerade ist

"

('1 1 (siehe Abb . 7.3.155). Dies gilt für de n Expansionspfad jeder homogenen Prod uktionsfunktion (sieheet- 0 <----::,.-----="-----"'~

1,

wa[I3] ,4 !5 f.)

Abb. 7.3.155

Die Kenntnis der Minimalkostenbczichung(7.3.154 ) gestaltet d ie E rmittlung der i)

Faktomac hfragefunktionen ri = ri(kl,k2) sowie der

ii )

Gesamtkoslenfunklion K(x)

einer naeh dem erwerbswirlsehaf tliehen Prinzip produzierenden Unterne hmung. Als Belsplelwerdenwieder die Cobb-Dougla~- Prod uklions fun ktion x = c -[Ja . r2b sowie fes te Fa ktorpreise k ],k2 verwendet . zu i)

Fakt omachfragefunkt ionen

x

a) Das Prod uktionsniveau = cons t. sei fes t vorgegeben. Setzt man die Minimalkostenbcdingung(7.3.154) in die Prod uktionsfunkrlon ein. so folgt :

_

b

k' b

x = e · r,a·( _· -l. ·rl) a k 2

b

-'.J.

k'b = c ·( _ · .... ) - rl" " ' a k2

so dass sich als Ein.~atzmenge ( f?o Nachfrage) des ersten Faktors ergibt: (7,3. 156)

Bei vorgegebenem Prod uktions-

A nalog erhält man:

niveau hä ngen d ie na chgefragten Inp utmengen jeweils von den Prei sen bei der Fak toren ab.

7.3

Beispiele für die Anwend ung auf ökonomische Funktionen

385

b) Gibt man das Kostenbudget K "" const. vor, so liefert die Minimalkoslenbcdingung (7.3.154) durch Einsetzen in die Faktorkostenfunktion K "" kl rl + kl f2: -

k

b

b

K = klfJ + k2 ' ~ k ' - a . tt "" kl rl(l + -a ) . 2

1+

daraus folgt wegen

a +b ab "" -a :

(7.3. 157)

Bei gegebenen Gesamtkosten hängt die Nachf rage nach einem Faktor nur von seinem eigenen Preis ab.

und analog:

Beispiel 7.3. 158:

Gegeben sei die Prod uktionsfunktion x "" 2fJ 0,4 . r20 ,1l.

a) Für das feste Produktionsniveau

x= 32 ME folgt aus (7.3.156): 3

t

k ~ rt = (16(0,5 ' k2)o,8) 1,2 = 6,3496 · ( k2 >2 I

t

I

k

,

3

V t2

-

1[""k,"

f2 = (16(2' fl )O,4) 1,2 = 12,6992 ' 2

b) Für vorgegebene Faktorkosten K = 1.200 GE folgen aus (7.3.157) die Nacbfragefunktioncn: 400

800

fJ "" k;"

f2 = k; '

zu ii) Gesamtkostenfunktion K (x) Setzt man die Beziehungen (7.3 .156) in die Faktorkostenfunktion K "" kl rl +k1r2 ein, so folgt (mit x statt x): k

- '-

b

k

'

K(x) = k l( ~ (~ . ~ )b )~ +b + k1( ~ ( -;. ~ )a y+b = [ k, ( -

(7.3.159)

I

c

k

-

,

( ..!. . ...l )b) B+b b

d.h.

kt

-'K(x) "" (k lCJ + k2Cl ) ' x a+b = k · x

..,,

(mit k ], k2' tj, ca = const., d.h. k ,= k ic i + xl cl " const.)

Die Kostenfunktion K(x) einer Cohb-Douglas-Produktionsfunkcion x = c · fJa . 12b ist somit eine Potenzfun ktion. Die Summe a + b der parti ellen Etastfznären (d.h. der Homogenitätsgrad r bzw. die Skalenclesüz nät Bx)' siehe (7.3.18) bzw. (7.3.24» ist für den speziellen Typ der Kostenfunktion maßgebend ;

IKI

--jL

IKI

la·' ='1 Ixl Abb . 7.3. 160

I IKI

lxi ---Abb. 7.3. 161

+---=

I a. '

d

I

- 'IXI

Abb. 7.3, 162

386

7 (1)

Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

Im Fall konstant er Skall'nerträge (d.h. a-s h > r ~ I) ist K Ilnear: K(x) = k -x , slche Abb. 7.3.160.

(2)

Im Fall steigender Skalenerträge (d.h. r = a-b > 1) ist wegen a~b < 1 die Kostenfunktion K (7.3.159) unterllnear , wächst also degres.~iv . (Beispiel: a+ b=2 => K(x) = k ' x 1f2 = k' VX , siehe Abb. 703 .161)

(3)

Im Fall sinkender Skalenel1räge gilt a+ b < 1, d.h . a ~b > 1 , die Kostenfunktion wäch~t überlinear (progressiv). (Beispiel: a- b = 0,5 => K(x) = k · x2, sichc Abb 7.3.162)

Beispiel 7.3. 163: i) x = 2qU'.(' r20,6. Mit ge gebenen Faktorpreisen kl = 2 ; k2 = 5 lautet die Kostenfunktion nach (7.3.159): K(x) = 3,3966 ·x (linear, da konstante Skalenerträge). ii ) Für die Prod ukttonsfunktion x = ; rl O.25 . r20,25 und die Faktorprcise k l = 8 1 ; k2 =: 16 lautet die Kostenfunktion nach (7.3.159): K(x) = 162x2 (progressiv, da sinkende Skalenerträge).

Aufgabe 7.3.164: Gegeben sind dic Produktionsfunktion x = 10· q O.7 . r20,3 sowie die konstanten Faktorpreise kl = 12, k2 = 18. Man ermittle i) die Gleichung des Expansionspfades , ii) die Faktornaehfragcfunktion für das Kostenbudget K = 400, in) die Kostenfunktion K(x). Iv] die Minimalkostenkombination für das Produktionsniveau 200. Aufgabe 7.3.165: Gegeben sind die Produktionsfunktion x = q . r2 ' r3 SO\\1C die konstanten Faktorpreise kl = 2; k2 = 3; k3 = 5 . Man ermittle die Gleichung der Gesamtkostent"unktion, sofern stets Minimalkostenkombinalionen realisiert werden. •Aufgabe 7.3. 166: Man zeige, dass die Kostenfunktion K(x) (siehe(703. 159)) cincr Cobb-Douglas-Produktionst"unktion x = c · q a . r2b bei festcn Faktorprciscn k 1,k2 explizit lautet: (7.3. 167)

1

k

K(x) = [ c( 7

?(ik

.i,

- '-

)bj a+b. (a + b) ' x H b

Aufgabe 7.3. 168: Gegeben sind die Produktionsfunktion x = 2q 0.5. r20,5 S0\\1edie Faktorpreise k1= 8; k2 = 18. Vom zweiten Faktor werden stets konstant 72 = 100 ME erngesetz t. i) Man ermittle über K = k lfI +k2r2 die Kostenfunktion K(x). ii ) Man ermittle den Output x im Betriebsoptimum.

iii) Man zeige, dass im Betriebsoptimum g1cichzeitig die Minimalkostenkombination realisiert wi rd. Aufgabe 7.3. 169: Gegcben seien die Cobb-Douglas-Produktlonsfunktion x = C' rl a . l2b sowie die fcstcn Faktorpreise kl.k2' Vom zweiten Faktor werden konstant stets 72 ME eingesetzt. i) Man ermittle (über K = kI l 1 + k2(2) die Kostenfunktion K(x) so.....ic dicOutputmcngeim Beu icbs-

optimum. ii ) Man ermittle die Outputmenge bei Rcalisicrung dcr Minimalkostenkombination (mit [ 2 = const.).

iii) Man zeige. dass im Betriebsoptimum genau dann die Minimalkostenkombination realisiert ist, wenn die Produktionsfunktion linear-homogen Ist.

7 .3

3'7

Beispiele fü r die A nwe ndung auf ökonom ische Funktionen

7.3.3.3 Nutzenmaximieru ng und Hau shalt soptimum Das Grundprinz ip der N utzenmaximierung mit llilfc der Lagrange-Met hede wird als wichtiger Baustein für einige klassische ö konomische D isziplinen, wie etwa H aushaltstheo rie. Konsumt heo rie ode r A llokationst heorie (Woh lfahrtsö konom ik) benöttgt. Die konsumabhängigcn Nut zenvorstellungen eines individuellen H aushalts seien in Form einer (o rdina lcnll) Nutzenfunkt ion U: U(Xt,...,xn) quantifiziert: Ko nsumiert der H a usha lt die Gü tennengen xI. x2" " " "xn (wobe i Xi die Menge des i-ten G utes bed eutet, i = 1•....n], so st iftet diese r Konsum den Nutzen (ausgedruckt du rch de n ~ Nu t zen i ndex ") U = U(xJ,...,xnJ. Unters tellt man weiterhin, dass der H aushalt zur Befriedigung sei ner Konsumwü nsche den Betra g C (Konsumsumme od er lI alL~haIl~budget ) aufwenden will. so laut et - feste G üterpreise PI , ..., Pli vorausgesetz t - das klassische P roblem der ;'Ii utzenmaxi mienmg: (7.3 . 170)

In welcher Mengen ko mbinatio n (x J>x2,...,xnJ so ll ein H aushalt n verschiede ne G üter {Güterpreise: p j'P2, ...•pnJ nachfragen und kon sumie ren, um mit der \'orgegehenen Kcnsumxumme C einen m ögl kh~t hohen Nutze n zu erzielen?

[Haush attsoptimum, Housha hsgleichgewicht] fo r mal: (7. 3. 171)

Ma n maximiere d ie Nuraenfunk uon U(x J,x2,...,xnJ unter Bcrücksichti gung dcr Budget Nehe nbe dingung C = PJx J+P2 x2+ ... + PnXn = eonst..

W ie man durch einen Vergleich mit (7.3.1 42) bzw. (7.3 .123) erken nt, handelt es sich beim Proble rn der Nutzenmaximierung um eine zum Problern der l\li nimalkl»iten kombtnauon ä qulvetenre Fragestellun g. Hier wie do rt setzt man La. außerdem voraus, da ss die Indi lTcre nzlinien (Linien gleichen N ut zen s) - den Isoquanten im Fall der M inimalkostenkombinat ion ents prechend - fallend und konvex sind. sie he A bb . 7 .3. 172. Im Fa ll der Nu tze nfunktion wir d dadurch der E rfahru ngstatsache R echn ung getragen, dass eine E inheit eines G utes desto leichte r substituie rt werden kann, je mehr der Ha ushalt vo n diesem Gu t be reit s kon sum iert . Wah rend im z- Gütcr-Falt die graph ische Ermlttlung des H aushaltsoptimums Q in A bb. 7.3 .172 deu tlich wird - man vergleic he d ie Analogie zur M inimalkostenkomb inatio n - . erfolgt d ie Nu tze nmaximierung im n-C üter- Fan mit de r La grangeM elhotl e: A us de r Problemstellung (7 .3 .17 1) ergibt sich a ls Lagra ngefun ktion L: (7.3 .173) 10

siehe etwa (50J, 69 ff.

Abb . 7.3. 112

7

Differentialrechnung bei Funkt ionen mit mehreren unabhängigen Variablen

Dam it la ute n die notwen digen! l Bedingungen für da s Haushaltsoptimum

,e

(7.3, 174)

ou

- ,t.

ax

ax

0

(I )

-"h

~ - ,t ' pn • 0 i'l x

(n)

"0

PI

n

(n +1)

Die G leichungen (I) bis (n) habe n dieselbe Str uktur, fü r zwei beliebige, etwa (i) und (k), gilt : .

i'lU - ,t . Pi = 0 ; (k) i'l xi

('j -

eu

-

i'lxk

- A' Pk = O.

Dara us folgt:

,U (7.3.175 )

(a)

Pk

p;- =

o'~ k

i'lU

bzw.

(b)

au

-

i'lxi

i'lU

OU

OXj

OXk

Pi

Pk

=

i'lU. = I..Pk i'lxk

APi , -

-- . - - . ,

und da her:

für alle i, k = 1,2,.... n.

OXj

Damit haben wir in An alogie zu Satz 7.3.139: Salz 7,3. 176: (Ha ushaltsoptimurn) E in H ausha lt maxim iert seinen Nutz en U im Rahme n seiner Konsumsumme C. inde m er die (zu fes ten Preisen verfügbaren) nutzen stiftende n Ko nsumgüter in einer solc hen Mengenkombination (x],x2,...,xn> nachfragt und konsumiert. dass i) die Grenznut zen je zweie r he liebiger G üter sieb wie die ents prec hende n C üterprelse zueinan der verhalten. hzw. ii) de r G re nznutze n pro a ufgewendete r Geldeinheil (der Grenznutzen des Geldes ) für sämlli che Güt er gleich ist (,,2. Gossmsches Gesetz ") .

Bemerku ng 7.3. 177: i) Nach (7.1. 75) fo lgt mit ( 7.3.175) (a) :

P pk = i

~:' / ~U = - ~; ,

....... k

<.IX;


d.h. im

Nutzenmaximum liefen das PreisverhCillllis zweier Güter mit dem entsprechenden Gre/IZl/lllZe" verhält" is auch die (flegatiw:) Grenzra te der Substitution (» Steigung -der Indiff errnzlinie). Dies kom mt grap hisch in A bb. 7.3.172 zum Ausdruck, wo im Haushallsop tim um Q di e Budgetgerade (Steigung: - p I /P2 ) die l ndi[[a enzlinie (Steigung: dx 2 /dx 1) berührt. ii) Ana log zum Vorgehen in Bem erk ung 7.3.13 4 ergibt sich der Wen A des l. agrange-Multiptik utors

aus ( 7.3.173) durch A bleiten na ch der Konsum sum m e C: (7.3.178)

! :~:,t I.

Wegen der Übereinstimmung von L und U längs der Nebenbed ingung m isst Ad aher den Gronmunen bzgl. der Konsumsumme C(d.h. A m isst (näherungsweise} die Nutzcnandcrung im Haushaltsoptimum . wenn die Konsum summe um eine Einheit zunimm t). Dieser Wert ist wegen (7.3. 175)(b) auß erdem identisch mit dem im Haush ubsop timum f ür alle G ütergleichen Grenznutzen p ro Geldeinheu. 11 Die hinreichenden Bedingungen sind durch die Annahme konvexer Indifferenzlinien gesichert, siehe [13J, 414. Dabei beachtemandie Aufgaben 7. 1.7'1.1 7, I. 79.

7.3

Beispiele für die A nwend ung auf öko nomische Fun ktion en

Beispiel 7.3.179: N utzenfunknoru ~

389

Ges ucht ist das Haushaltsoptlmum, wenn folgende Daten vorliegen: U =xI 'xl

G uterp reise. PI = 4GE/ME I ; P1 = 16 G E /MEl ; vorgegebene Konsumsumme: C = 6 40 GE.

La grangcfunktion:

Die notwendige Bed ingungen für das H aushaltsoptimum lauten somit: 1lL 1lxl

1lL = xt - I 6A = O ; 1lx2

- = xl - 4}.=0 ;

A us den beide ners ten Glciehu ngcnfo lgt: und daher

chung licfcn : Xl = 20 ME l Umax=xI 'xl = 1.600.

at

-

~ = ~ , -.

,, = 64 0 - 4x l - 16xl =0. A

Xt = 4X1 1· Blnsctzcn Indlc dritt c Glci-

XI = SOME 1.

Für}. ergibt sich:

D er maximale Nutzenindex Iautct:

}. =~ = ; = 5.

(Zur Kontrolle nach Bemerku ng 7.3 .177 :

1 C Steigung m I der Budgetgeraden C = 4x I + 16x2 = 640: Wegen x2 = -"4 XI + 16 folgt: m l =

Steigung m2 der

~ opti malcn"

\.600

Wegen x2 = -

-

Xl

- "41 '

Indifferenzlinie U = 1.600 = Xt ' xl : folgt:

Fürdcn Optimalwert XI = 80 gilt:

m2 = m2 =

=dx d XI

1,600 ,- .

= - -

1,600

-~

=

' '1

I

- "4 =

..

roi . d.b . Best ängu ng de r Uber-

cins tinunung von negativem Preisverhältnis und Grenzrate der Subst itu tion im H a ushaltsoptimwn .) (Zur Kontrolle des Optimalwertes vo n ). (}.opt = 5) überprü ft man das Haushaltsoptirnuru, wenn C um 1 GE auf 641 GE zunimmt. Setzt man wieder Xl ~ 4x2 in die Budgetbedingung 4x I + 16x2 = 641 ei n, so folgt: 641 x2 = II '" 20 ,03125 ME 2 sowie XI = 4x2 = 80, 125 M E I , so dass der maxim ale Nutzenindex la utet: Uma. = Xl ' Xl = 1.605,004 , also in der Tat eine Z unah me um etwa 5 ( =}.Opl) E inheiten.)

Vorbemerkung zu den nachf olgenden Aufgub en: Sof ern die Lugrange-Methode anwendhar ist, gehe man eine ökono mtscbe Interpretation des Lagrangel1l u/tiplikators im Optimum, Aufgabe 7.3.180-a: Ein H aushalt gibt se in Budget in H öhe vo n genau 4.200GE für den Konsum zwcicr Gü ter X, Y aus (kon sum ierte M engen: x in ME x bzw. y in M~.). Die Güterpreise sind fest: Px = 40 GEIMEx bzw. 1\ = 50 GE/M~" Durch den Konsum d ieser Güter erreicht der H aushalt ein Nutzennivea u U, das wie folgt vo n den ko nsumierten Mengen x. y abhängt:

U =U(, .y) = 2· v';+4 · VY .

w elche G ütermengen soll der Haus halt beschaffen und ko nsumieren , damit - im Rahmen seines Budgets -üas damit erzielte Nutzenniveau maximal wird? Aufgabe 7.3.180- b: Xaver H uber ist als vielbes chäftigter Film- und Fernsehkritiker spezialisi ert auf d ie Beurteilung von be ka nnten Fernsehserien ("soap--oIX=ras") . J eden Abend sieht er sich die VorabVersionen von ~ Lindcns traßc" und "Schwa rzwald klinik" an. Sein Frustrationsniveau F (in Säuregrad) setzt sieh kumu lat iv (d.h. additiv) aus Frust über die " Lindenstraßc" (pro Fernsehstunde belasten ihn 3 Grad) und über die "Schwarzwaldklinik" (5 Grad pro Stunde) zusamm en .

390

7

Differenti alrech nung bei Fu nknon en mit mehreren unab hängigen Variablen

Sein H onorar H (in € pro Abend) ergibt sich aus eine r degressi v wachsend en Lohnfunkt ion in A bhängigkeit der Z eitd au ern L bzw. S (jeweils in hITag), die er vor der " Lindcnst raßc" bzw. vor der ~Sc hwarzwald kl in i k " zugebracht hat:

H = H (L,s) =

40~

(L ,S > O) .

Wieviele Stu nden pro Tag wird er vor welcher "soap- opt:ra" zubringen, um ein Ho norar von 100,€ / Abend mit möglichst wenig Frustration zu verdienen?

Aufgabe 7,3. 18 1-a: A uf de r Suche nach einer billigen Bude verschlägt es de n Studenten Pf ilf ig spätaben ds in den " Go ldenen Ochsen", den einzigen Gasthof in Schlum pfhausen. H ungrig und du rstig setzt er sich an einen T isch un d zä hlt seine Barschaft: Genau 12,- € hat er noch bei sich. Die Küche ist sch on geschlosse n, nu r noc h E rdnüsse und Bier sind zu haben. E ine T üt e (= 50g) gerösteter Erd nüsse kostet oE 1,-, ein G las Bier (= 0, 2 Liter) kostet oE 1,50. Aus lange r Erfahrung weiß Pfiffig, dass sein persönliches Wohlbefinden W in folgende r Weise von den v erzehrmengen xI von E rdnüssen (in 10Vg) bzw. x2 von Bicr (i/1 Litern) abhä ngt:

W = 2~' ~ wieviele T üten E rdnüsse bzw, wieviele G laser Bier wird Pfiffig bestellen und verzehren, damit sein persönliches Wohlbefinden (im Ra hmen seines BUdget s) maximal wird'? 7.3. 18 1-b: A lois H ube r fühlt sich besonders woh l bei Bach und Moaart. Sein täglich erreichba res Lustniveau N be im H ören bachscher und mozärtlichcr Klange hangt von der H örda uer b (in hfTag fü r Musik von Bach) und m (in hfTagfü r Musik von Mo:a rt) ab gem äß folgende r Nutzenfunktio n: 1~ N = N(b,m) = - 10 + 2m + b + 2r mb (b ,m > O) .

A u rgah~

Da A lois seinen Lebensunterhalt mit geregelter A rbeit (lind ohne B enutzung seines Pockel-MP3 -

Piayers] ve rdienen muss, b leiben ihm pro Tag noch genau 5h für sein mus ikalisches H obby. Wie lange pro Tag wird Alois Bach höre n und wie tauge Moaart. da mit er sein tägliche s Wohlbefinden maximiert ? 7,3. 182-a: Der individuelle N utzenindex U eines Haushalt es sei in Abhängigkeit vom Konsum x I, x2 (in ME pro Periode) zwcie r G üter gegeben durch fo lgende Nutzentunktion-

Aufgah~

U(xJ , x2): I O· VXJ · X2o,6

(.~ i >O) .

Für eine ME des e rste n G utes muss der H aushalt 8,- oE: beza hlen, für eine ME des zweite n G utes 12 ,- oE. Der H aushalt will insgesa mt genau 44 0,- oE: pm Periode für den Konsum beider Gü ter ausgeben. wieviele ME pro Periode ei nes jeden Gut es soll der H aushalt kaufen (und konsumiere n), dam it er seinen N utzen maximiert '? Aufgabe 7.3. 182- h: Im Keller seines Ei nfamilienhauses hat H uber ein chemisc hes Laboratorium crngerichtet und prod uziert nun nach Feierabend eine ch emische Substanz [Ou tptumenge x (in MEx)) mit H ilfe zweier In put-Stoffe R 'l und R2 (t nput mengen r 1 (in ME J) bzw. r1 (in M E 2) ) ' H ube rs Prod ukti on kann besc hriebe n werden durch die folgende Prod uknonsf unktkm : 4 I x = I O- - - rl

r2

i) Welches ist die höc hste Ausbeute an Substa nz (in MExJ , d ie H uber (theoretisch] erzielen kan n'! Wie müsste er dazu die Inp ut- Faktoren komb inieren?

7.3

391

Beisp iele für die An wend ung au f öko nomische Fun ktionen ii ) H ube r kann seinen Output zu einem fes ten Preis (p = Y GEIMEJ absetzen. Für die Input-Stoffe zahlt er ebe nfalls feste Preise auf dem Bcsehaff ungsma rkt : Pr = I GE/ME ] (für Rl ) : P2 = 4 GE! ME2 (für R2) . Wie muss e r jet zt die Inputs kombinieren, um maximalen Gewi nn z u erzielen? Wie hoch ist der maxi ma le Gewinn?

iii) Die A bsatz- und Beschaffungspreise entsprechen den Daten unt er ii). H uber will aber für d ie Input-Stoffe nur gcnau 8 GE ausgeben. Wie muss er nun die Inputs kom binieren. um maximalen Gewinn zu erzielen'! Wie hoch ist jetzt der maxima le Gew inn? Aufgab e 7.3 , 182-c:

Student H arro H uber ernährt sich von Bier und Pommcs frites (" Frillen"),

Für jedes Nahrungsmittel existie rt fü r ihn eine individuelle Nutzenfunktion, d ie de n Grad Bedürfnisbefriedigu ng in A bhängigkeit von de n konsumierten Nahrungsmitt clmengen angi bt , Für Bier lautet sie:

NIJ = 128x] - 10Xl 2

(N H: Nutz enindex in NE, x , : Bierkonsum in Glas (0,2 Lircr)/Tag)

Für Frin en laute t sie:

N F = 50x 2 - 5X22

(N F : Nutzenindex in NE, x 2: Frinenkon sum in TÜlenffag)

Der Gesamtnutzen N beim Konsum beider Nahrungsnuttel setzt sich additiv aus beiden Nutzenwerle n -zuzüglich des " Synergie- Ten ns ~ xlx2 - zusammen: N = Nn + NI' + XIX2 .

R H. will pro Tag gena u 20,- € für Na hru ngsmittel ausgeben, Wieviel Bier (zu 2,- €/0,2 Li /er) und wieviel Fritt en (zu 1,- €lTüre) wir d er pro T ag konsumieren, um im Rahmen seines Budgets maximalen N utzen zu erzielen? Aufgabe 7.3. 182- t1: Der Student A lois H uber muss unbed ingt seinen Kenntn isstand in Mathemat ik und Statistik verbessern , um die kommende Klausur erfolgreich bestehen zu können. Nun ist sein Wissensstand W (gemessen in Wissenseinheiten (WE)) eine Funktion a) der Anzahl I der bis zu r Prüf ung nutgewe ndeten Lerntage (zu je 8 Lem stunden] und b der Menge m (in g) de r von ihm konsumierten Wundcrdrogc aPlaccbolo g ica", die ihm d ie bekannte A strologin H ubc rta Stussicr em pfohlen hat, Der Z usammenhang kann besc hrieben werden durch die Le mfun ktio n W: W(m,t) mit W = W(m ,t) = 160 + 6m + 91 - 0 ,25 012 -O,20t 2

(m, I ~ 0) ,

J ed er Lcmtag kostet A10is 80 € (denn soviel k önnte era ndemfalls als A ushilf sk raf t in d er Frittenb ude McDagobert verdienen) . d ie Wundcrd roge kostet pro G ramm 120 € , i) W ie lange soll A lois lernen, und welch e Do sierung der W underdroge soll er wählen, dami t sein wtssenssstaod in Ma thematik/Statistik maximal wird'!

ii) W ie soll A lois Le rnzeit und D roge kombinieren , wenn er insgesam t 2.680,- € "opfern" v.il1? iii) Man ermittle in beiden Fällen l) und ii) die H öhe des maximale n Wissen sstandes sowie de n dafür erforderlichen finanz iellen Aufwand und kom menti ere das E rgebn is.

Aufgabe 7.3 . 182-e : In Kn ösclsha usen habe n die Geschäftsleute nur ein einziges Ziel, näml ich den sog, Drupschqu oticntcn D (in O E ) ihrer Prod ukte zu maximieren . Der Drupschquoticnt 0 seinerseits hängt ausschließlich ab von der H öhe B (in BE) des eingesetzten Blofcls sowie von der H öhe S (in SE) des aufgewendeten Stölpcls. De r zugrundeliegende Z usammenhang kann kann d urch die soge nannte Drupsehfunktion be schriebe n werden mit: D = D(B ,s ) = 400 · Bo,25 .S!,7S

(B ,S > O) .

i) Bei welchem Btotetefnsatz und bei wekhem Stölpelaufwand wird der Drupschq uoticnt maximal?

7

392

Differentialrec hnu ng bei Fu nktionen mit me hreren unab hä ngigen Variablen

ii) Wegen eingeschränkter Ressourcen mussdie insgesamt eingesctzte/aufb'(,>wcndctc McngcvonBloIcl und Stölpcl zu samm en gena u 100 Einheue n betragen. Bei welchem Blofelcinsatz und bei wcle hern Stölpclaufwand wird nun der D rupschquoticnt maximal?

Aufgabe 7.3. 183-a:

Ei n durchschnitt licher 4 -Pcrson cnh aushalt gebe pro Monat für Nah rungsmittel.

Wohnung. Energie und Körperpflege gcnau 2.400,- € aus. Das durchden Konsumdieservier Guter erzielbare Nutzen niveau U des H aushaltes richte sich nach folgender Nutzenfunktion :

U(x" x2' x3' x~) = l.OOOX\ + 4.880x2 .. 2x2x3 + x,x4 . Dabei bedeute n: xl: monatliche Nahrungsmitt elau sgaben (in € / Mona t): Xl : zur Verfügung ste hende Wo hnfläche (in m 2); x3: monatliche r E nergicverbraueh (in kWh/ Mo nat); x.r mon atftchc Ausgabe n für Körperpflege (in € / Monat). Die Monatsmiete be trägt H,- € / m 2, der E nergiepreis betr ägt 0,20 € / kWh . In welchen Mengen soll de r H aushalt die vier GUter" konsumierenu, damit e r darau s maximale n N utzen zieht? Aufgabe 7.3. 183-b: Naeh dem a ufse henerregen de n Bericht eines E nt enhauseuer Fo rschungsinstit utes hängt die H öhe H des Barvermögens vo n O nkel Dago be rt einzig und allein ab von der H öhe R (in R E) des von ihm eingesetz ten Raffs und der H ö he S (in SE) des von ihm aufgewendeten Schn apps. Es konnte auße rdem jetzt erstmal ig der zugrundcäegcnde funktionale Z usammenh ang besc hrieben werde n: H :< H (R ,S) :< 200 S 0.8 (R,S > 0)

VR .

i) Bei welch em Raffeinsatz und welc hem Schnappautwand wird O nkel D .'s Barver mögen maximal'!

ii) Spät er stellt sich heraus, dass aus umwelt hygienisc hen Gründe n die insgesa mt eingesetzte Menge von Raff und Schnapp zusamm en nur 130 E inheil en betragen kann . Bei welc hem Raffeinsatz und welchem Schnappa ufwand wird nunme hr O nkel Dagobcrts Barverm ögen maximal? ..Aufgahe 7,3 ,183-c: In einem abgegrenzten T es tmarkt hängt die N achfragc x (in Al E/Jahr) nach DVDrecor dern des Typs " G lozz uab a) vom Preis p (in GE/ME) des Gcrätcssowie b) vortrScrvicc s (Kundendienst...) des Prod uze nten ( s (in GEIluhr) = Höhe der jährlichen Serviceuufwendungen) . Der jährliche Aosatz x in Abhängigkeit von p und s kann wie fo lh'l. besc hrieben werden : x:<x(p ,s) =5 .000 - 2p - 1 .~

p.s c- ü .

Die d urch Prod ukt ion und Absatz (aha no ch ohne Service-Aufwendungen} hervorgerufen en Kosten setzen sich wie folgt zusamm en: Fixkosten. 10.000 G E / Jahr ; stückvariab le Kosten: 10 GE/ME. Für die Gesamt kosten pro Jahr müssen zusätzlich die Service- Kosten berüc ksichtigt werde n. Wie soll die U nternehmung den Preis festse tzen, und welche jährlichen Service-Aufwendungen soll sie tät igen, da mit der jährliche Ges amt gewi nn maximal wird? Aufgabe 7.3. 183-d: D ie Nachfrage x (in ME/Jahr) nach einem Markenart ikel hänge -c.p.- ab von seinem Pre is p (in GElME) und vo n den Au fwendunge n w (in GE/Juhr) für Werbun g (und ande re marketingpo litis che Inst rumente). Langjährige Untersuchungen führen zur folgende n funkt ionale n Bezie hung zwisch en x, p und wr x = x(p ,w) = 3950 -20p +

V;

(p,w >O) .

Bei der Prod ukt ion des A rtikels fallen fixe Kosten in H öhe von 79 50 GE/ Ja hr an, d ie stückvariablen Prod uktionskosten be tragen stets 79 GE/ ME. Selbst verständlich sind auch die jahrliehen Market ingausgaben wals direkte Kosten für den A rtikel anzusehen. Wie soll die Unternehmung den Preis p festlege n, und welche Marketi ngausgabe n w soll sie jährlich tä tigen, dam it d er J ahres-Gcsamt gcwinn maximal wird ?

7.3

Beispiele für d ie A nwc ndung auf ökono mische Funktio nen

393

Aufgabe 7.3. 184: Der Bundesbild ungsminister will in einer Sonde raktion Professoren, Assistenten und Tutoren zur Schulu ng von Stude nten in Prozentrechnung ei nsetzen. Bezeichnet man die E insatzze iten (Jilr Cumcularentwicklung, did aktische Umsetzung, Seminare, Gruppena rbeiten. Korrekmr von Übungsuujguben usw.) von Assisten ten. Profes soren bzw. Tu toren mit A. P bzw. T (jeweils inS tunden), so ergib t sich der stude ntische Le rnerfolgsind ex E gemäß fo lgender Lcmru nk non: E(A. P, 1) = 100 + 50A + 80 P + tOT + AP + PT - A L O,5p L2 T2. Einsatzhonorare- für Assisten ten 18,- € /h , für Professoren 36 ,- € /h, für T utoren 12,- € / h. i) Wicvicle Stunden jeder Kategorie so llte n geleistet werden. damit der studentische Lernerfolg in

Prozent rechnung möglichst hoc h wird" Wievie l Prozent der a) Gesamtarbeitszeit b) Gesamtkosten e ntfallen dan n auf den Tutorencinsatz? ii) Wie m üsse n die Einsatzzeilen geplant werde n, wenn ein möglichst ho her Lernerfolg a ngest rebt w-ird, der Bildungsm inistcr für diese &:hulungsaktion aber nur 5.430,- € ausgeben kann und wiII? Mit H ilfe von Proze ntza hlen (!) vergleichc man Lernerfolgi ndizes und daf ür erforderliche Kosten von i) und ii).

7.3 .3 .4

N u tzen maxim a le Gü temachfrage - und Konsumtunktto nen

Im A nschluss an die allgemeine Diskussio n der Nutzcnmaximierung (siehe K.1p. 7.3.3.3) stellt sieh d ie Frage, welchen Etnü uss I) Ände rungen der Konsumsumme C 2) Änderunge n de r Cüterprcise PI, P2' ...

bzw.

auf das lI au..bansopumum bes itzen. Um auch jet zt graphisch-a nsc haulich a rgumentieren zu können, beschrän ken wir uns zunäc hst auf den 2-Guter-Fall. I) Ände rungen der Kons umsumme C (Pl 'P2 fest ): E ine Veränderu ng der Konsumsumme (hervorgerufen etwa durc h hö heres Einkomm en ode rgewandeltes Konsum-/Sparverhahcn) bedeute t eine Pa ralleherschiehung der Budgelgeraden (da wegen der Preiskonstanz auc h das Preisverhältn is und somit die Steigung - Pl/ p2 der Budgctgcradcn u nvcrä ndert bleiben). Zu einer jeden Konsumsumme CI gibt es gcnau ei n Haushaltsoptimum Oj , siehe A bb. 7.3.185. A lle d urch Variation de r Ko nsumsumme erzeugten Haushaltsoptima 0 1, 0 2, 0 3' 0 -1, ... liegen auf einer Kurve, der sog. Einkommen - Konsum Kurie ode r Engel- Kur..e l 2: x2 = x2(x I) (siehe den stark ausg..c zogenen Kurvenzug in A bb. 7.3.1!l5). E in nutze nmaximierende r Haushalt .....'ird bei variiere nder Konsumsumme und konstantem Gü te rpreisverhältn is dah er nur die du rc h die E ngelkurve bes chriebenen G ütermengenkombinatio nen konsumieren. 12 E. Engel, I H21-] K96, preußisc her Statistik er

Einkommen - Konsum Kurve (Engel . Kurve!

x;rx/ x,' mitpI,P;rconst

v,

o Abb. 7 3.185

394

7

D ifferentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhäng igen Va riablen

Bemerkung 7.3.186 : Ein Vergleich mit Kap. 7.3. 3.2, A M . 7.3.152, zeigt, dass die Etlgelkllr~ eines nutzenmaximierenden Haushaltes dem Expansions pfad eines kostenminimierenden Produzenten entspricht. Die Kenntnis der Engelfunktion x2(xJ) gestattet d urch Bestimmen der beide n Koordinaten xl ' x2 des H aushallsoptimums bei wechselnder Konsumsunune C außerdem die E rmittlu ng der Beziehungen XI = X\(C) snwie x2 = xAC). d.h. der GÜlernachfmgefullktionen in Abhängigkeit von der Konsumsumme. Beispiel 7.3. 187:

Gegeben sei die Nutzenfunktion U mit 2" . x U(x l. x2) = ~ ,

,

die fallende und konvexe Indifferenzlinien (Übung!) besitzt. Die Gutcrprclso PI = 1 GE /ME! und P2 = 2G EI ME-.2 se ien fest vorgegeben. Dann lau ten die Bedingu ngen (7 .3.174) für J as H a ushahsoptimum: ( 1)

as,

-----"-z - ;. ( I+ Xj)

z«,

= 0

(2) ----'- l + x1

:v. "" 0

(3) C - x t - 2X2 =0.

4

A us J en Gleichunge n ( I) und (2 ) folgt durch E liminati on von ;' die G leichung de r E n~,'clkulVe (siche Ab b. 7.3 .189)

3

(7 .3.188) 1:=8

Setz tman (7.3 .188)in (3) ein.so fulgt:

C-X t-X tL X, = 0

bzw.

u:",

x12 +2 xt - C = 0 .

1:=3

Die Lös ungen dieser quadratischen G leichungen laut en: XI = -1 ± VT+C . Da XI stets positiv ist, kommt nu r die pos itive Lösung in Betr acht. und man erhalt : (7.3 .190) (7.3 .191)

Xl = xl (C) =

vc:;:-l -

1-----'-----"--'------

I

2

3

Abb. 7.3. 189

sowie x2 mit (7.3 .HlH) zu;

-----,;=----1

xz = x2(C) = O.5( C+ 1 -

o

V"C+l)

siehe A bb. 7 .3.192 .

l /x,1 3

3

2

2

01

x/CI

ICI

s

ICI

s

'0

'0

Abb. 73. 192 Auch diese Gü tcm achfragcfunktlonen in A bhängigkeit der Konsu msumme werde n E ngelfunktio nen genannt. Wie aus Abb. 7.3 .192 ersichtlich, handelt cs sich bei beiden G ütern um .mormalc " Gü ter.

Beisp iele für die Anwendung a uf ökonomische Funktionen

7.3

395

2) Änderu ngen der Güterpreise Pt . pz a) Ä ndern sich PI und P2 proportional [d.h. um den selben. z.B. intlationsbcdingten. Faktor k (*0». bleiben da s Preisverhä ltnis Pl /pz und som it die Steigung - 1'1/1'2 der Budgetgerad en unverän dert:

C=

Seien etwa PI * ' Pz * die neuen Preise, so gilt:

pz* = k · pz. Über d ie Budgetrestriktion C = Plxl +pzxz fo lgt die

const.

PI* =k ' PI

-1--

Gleichung de r Budgetgerad en

-

-

-

{x, 1

-

- ' cP,

(7.3. 193) P,* = 2P, Pl'=2Pl

Setzt man d ie ncucn Preise an die Stelle der alten Preise. so fo lgt

P•

xz"' -~ d.h .

C

x I + P2* '"

Xz '" -

.~l. x I + P2

kp

Abb. 7 3. 194

C

- ~' XI + kP2' C kP2 '

Die Steigung der Budgetgeraden bleibt unveränd ert. led iglich der O rdina lenabsdmill sinkt (fü r k > 1) bzw. stelgt (für k < 1). Daher wirkt proportionale Preislinderun g bei allen Gü tern wie eine Ällden mg der Konsums umme C. A bb. 7.3. 194 zeigt diese n Effekt graphisch für Preisverd oppelu ng. Die Budge tgerade wird pa rallel nach unten verschoben. die Mcffekt ive" Konsumsumm e sinkt um 50% a uf C/2. Dens elben Effekt (bei unveränderten Preisen PI' pz) bewirkt eine Venn inderungder Ko nsumsumme auf die H älfte des ursprünglich en w erns. Das mit der urspr ünglichen Konsumsumme C erzielbare Nutzennlveau sinkt daher wie bei einer ents prec henden Einkommensv erminderun gohne Preislinderung. Bemerkung 7.3.195: Der Haushalt könnte sein bisheriges N utzenn iveau erhalten, wenn rr seine Konsu m summe C den gestiegenen Preisen anpaHI, also C ebenfalls m it d em Preis önderungsf aksor k (*0) m ultiplizien : C· = kC Dan n law et die Gleichung d er Buägetgeroäen C* = k C = kp I + kp]X .2 = P l · x l + Pt · x t und ist daher - wie m an nach Division durch k feslI teilt - iaentiscn m it der ursprünglichen Budgetrestrik tion C = Pr t + Pr?" Bei proportianaler ..i:nderung sowohl der Preise als (weh der KOIIS/UlISllmme um del/seiben Faktor ändert sich daher d as Heushausoptimum weder bzgl. der G ütermengenk om bina tion I/och hzgl. des erzielbaren Nutzenniveaus. Man sagt, der Ha ushalt sei "frei

r

VOll Geldillllswllell ".

b) Im Z usammenhang mit bellehiger Güterpreisände rung sei zunächst die Ä nderung eines einzigen Preises , etwa PI, bet rac hte t (1'2 . C fest).

.s:

Dann bleibt der Ordinatenabschnitt der Budgergeraden (7.3 .19 3) stets un\'er änd efr. Die Sleigung -P l/pz der Budgetgeraden ist stets negativ und nimml mit ~ Ieigen dem Prei~ absol ut z u. siehe A bb. 7.3.196 (je hö her PI' desto steiler d ie Budgetgerade). Die Verhindullgslinie 0 1' Oz. 0 ), 0 4. ... aller Ilal1~ha1I'iO"lim a bildet die sog. Prels-K onsam- Kurve ode r c ttcr-curve. E in nutz enrnaxim ie-

.offer-C/IfYe -

c p, =

Abb, 7.3. 196

c

Pi

396

7

Di ff erentialrechnung bei Funk tionen mit mehreren unabhängigen Variablen

render Haushalt wird für jedes PI nur die durch die offcr-curvc determinierten Giitcnncngcnkomhinationcn x I, xl (mit 1'2. C fest) realisieren. Durch passende E limination gelingt es La . stets, (ur den Fall der Varia tion aller Gül erpreise die zugehö rigen Nachfrngefunklionen xI :: xl( P I. Pl ) ; x2 : " z(P!. Pl) zu ermitt eln,

Beispiel 7.3. 197: (Fortsetzung von Beispiel 7.3.187): Mit allgemeinen Prcls- bzw. Konsumsummcnparametem lautet die Lagrangefunktion. 2X1 X2

'L

'<,

(1)

L = l + x\ + J.(C - P lxl- P2xZ) 2x2 = (l + XL) 2 - Ar l = 0

' L = ~ -AP2= O

(2)

I+x \

" x2

"

!'1

~

p,

xd l + x \)

(a)

I C- Plx r - P2x2 '" 0 I (b) .

'L

(3)

I

mit den not wendigen O pti malbcJ ingungcn:

"

Aus den heiden (nach der Elimination von A) noch verbliebenen Bedingungen (a) und (b) kann man je nach Variablcn-/Parameterclimination eine einzige Gleichung mit den gewünschten Z uordnungen erzeugen: i) Gleichung(a) liefert unmittelbar die schon bekannte Engelfunktion für jede Konsumsumme C: (7.3.198) I

(PI' PZ

ii) E I·unmauo · . nvon Pl:

A us (a ) f 0 Igt:

Plx l :

fü r PI : I ; P2 == 2 vgl. (7.3.188).

const.:

::0

,

IPf+'(2 x .

Einsetzen in (b) liefert sukzessive: P2+ P2(l + Xl)

und daher

I + xl

co +xl)

(7.3.199)

P2(2 +Xl )

für jedes P I .

Dies ist (sofern C. P2 fest) die Gleichungd er crrer-curve. Für C : 10 ; 1'2 : 2 et....a lalltet sie: 1+ ,, \

.

x2 ::O 5· 2+ " 1 , sie he Abb. 7.3.201.

, lx; 1

51

iii) Elimination von x2: A us (a) folgt: P2xZ: Pl xl( l +xI)'

{=

_ offer . asve

fft}

(C=10, Pr21

so dass beim Einsetzen in (b) mit x2 auch gleichzeitig P2 eliminiert wird: C: Plxl + P lx l(1 + X\) : PI XI2+ 2Plx I ::}

" 12 + 2X I

-~ O.

Die (ökonomisch sinnvolle) Lösung dieser quadratischen Gleichung lautet: (7.3.200)

2.5 2

\

P =5

o

2 I= S- )

P,

5

Abb, 7 3.201

7.3

Beispiele für die A nwendung auf ö konomisc he Funktionen

397

Für PI = const. erhält man die schon bekannte E ngelfunktion (7.3.190). Für C = co nst. ergibt sich aus (7.3.200) die Nachfragefunktion xl = xl( pd des n utzcnrnaximicrenden H aushalts nach dem ers ten Gut in anemtger A bhängigkeit von dessen Preis P I> d.h. für beliebige Prcis/M cngenkombinalion des zweiten Gutes. Abb. 7.3 .203 zeigt eine solc he Nachtragef unktion (7.3.200) für C = 10. i\') Elimination von xI: Setzt man (7.3.200) in (7.3. 198) ein, so folgt:

P.! ( I/1+C - 1)V 1+ pz

=

PI

P,(1+C- Pl

PI

N

1+ -

PI

C

PI

6

s

).

Daraus ergibt sich die Nach fmgefunklion Xl nach de m zweiten Gut:

s

o

Für p ],P2 = co nst. erhält man dic schon bekannAbb. 7.3.203 te E ngelfunktion (7.3.191). Für C= cons t.ttcfcrt (7.3 .202) die Nachfragefunktio n nach dem zweiten G ut in A bhängigkeit beider Güt erpreise. Die Nacht ragefunkno n x2 ist bzgl. P2 mo noton fallend (de nn es gilt nach (7.3.202): xz = const.Zpj). A ußerdem fällt x2 - c.p. - ebenfalls mit Zun ahme von PI' es liegt ein Komplementäreffekt vor. Für P2 = 2 , C = 10 zeigt A bb. 7.3.205 den Verlauf von x2 = x2(PI): Wen n de r Preis Pt des erste n G utes c.p. über alle Grenzen wächst, nähert sieh die Nachfrage x2 nach dem zweiten Gu t immer mehr ihrem Grenzwer t 2,5 MEl .

Bemerkung 7.3.104: Analog zum Vorgehen in Beispiel (7.3.197) tässt sich auch im n-Guter-Fatt das System (7.3.1 74) von n + 1 Oplimalbebedingungen mit zunächst insgesamt 2n +2 Variablen (nämlich x], ... ,XI I' P /> .. ·.Pn. C,,1.) durch Elimination entsprechender Variabler reduzieren auf eine Gleichung mu (höchstens noch) n +2 Variablt'll. Auf diese Weise können wir stetsdie allgemeine NachjragefimkJw/l x i eines nutzenmaximierenden Haushalts nach irgendeinem Konsumgut in Abhängigkeil allerGüterpreise Pi sowiederKan-

sumsumme C ermitteln:

• (X21

s

{p,I

+--- - - - - -

o

5

15

Abb. 7 3.205 (i=I. 2, ..., n)

Differe ntialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

7

398

U m allgemeine Preis- bzw. Konsumsummenänderunge n heim w-ichtigc n Cobb- Doeg tas-Nurzenfunküonstyp einerseits und für den allgemeinen n -O üter- Faü andererseits diskutieren zu können, sei abschließend eine Cobb- Douglas- Nut zcnfu nkt ion mit n Variablen bet rachtet : (7.3.206)

" "

I

M axim iere

".

V:; c ' x I I·X Z 2 · ... · xn

m it

Die O ptimalhcd ingu ngcn (7.3.175) la uten:

,U ~ _

(7.3 .207)

au -

'"

C - a; ' Xl a ! .

P,

c '~ ' xl a l

P,

Daraus folgt durch Kürzen: i.k = 1,... ,0 .

bzw,

(7.3.208)

Daher kan n man sämtliche Mengen xI ' »i • ...• xn du rch xi ausdrücken: xl =

Pi

Ul

Pi

~

X2 "' P2 " ii "Xj :

~ ' ii 'Xi ;

Xn :;

.!1 .u" P lI j n

Xi

Setz t man diese n - J Beziehungen in d ie Budgetrestriktion Plx\ +P2x 2+ ... + PnX n = C ein, so folgt:

p. ,a2 • X. + I

aj

... + pjXj +

l

+ pj ' ;, ·Xj=C

und daher

De r Klammerausdruck iSI nach (7.3.18) gcna u der H omoge nitä tsgrad r der Cobb-Douglas-Funktion, so dass man schlie ßlich die folgende Gleic hung crb än:

i = l ,...,n .

(7.3.209)

( C Konsumsumme des H aushalt es: xi: nach gefragte Menge nach dem i-t en G U!; Pi: Preis des i-tcn Gu tes; ai: Elastizität des N utzens bzgl. des i-tcn G utes : r: H omogcnität sgrad der Cobb-Douglas· Nutzenf unklio n ) Man erkennt, dass die N achfrage xi naeh de m I- ren G ut außer von de r Kon sumsurrune C nur noc h vom Preis Pt ab hängt. nic ht abe r von den ubngc n G uterpreisen. J e nac hdem, welche der beiden Var iab len Pt bzw . C konsta nt gehalten wird, folgt:

l lx)

(- -

-

(p/ =

coosü

-

-

Abb. 1 3. 2 10

IC/

Ip) Abb. 1 3.2 1f

7 ,3

i)

Beis piele für die A nwend ung auf ökonomische Funkt ione n Sei Pi = const. Da nn lautet die Engelfun kliewl : gerade im (C ,xi)-Syslem , siehe A bb. (7.3.210).

399

' (Cl = -a' - , C I r -Pi

ii) Sei C = cons t. Dann tautet d ic Xachfn lgefunktion;

Xi(Pi) =

3- -c

I, ist also eine Ursprungs-

I

- '-, - '"'P;

, ist also eine (monoton)

fa llende) H yperbel im (Pi ,xj}-System, s. Abb . 7.3 .21 1. iii) J ede oüer-c urve xi = Xi(Xk) mit

Beispiel 7.3.212: fu nktio n

,

C

_ .- = r Pi

Pi '" const. ist eine Konstante:

const.

Für d ie Cobb-Douglas-N urzcn-

U = U(x i , x2) '" 4 x , 1I,5 ' X2 0 ,25

I lx; 1

lauten die aus (7.3 .209) resultierenden Optima lbedtngunge n:

x,

0.'

C

0.75

P,

0,25 . .f.

'2 = 0,75 P,

2

C

1

C P2

T P, 3 '

Für festes Budget , z.B. C '" 48 GE, lauten die Nac hfragc funktio ncn : 32 16 x,(PI) = - ; xiP2) = PI P2

6

2

Die oner-curves lauten damit etwa :

a) PI = 4 '" const .: h) P2 = g = const.:

2

XI'" 8 = co nst. x2 = 2 = cons t.

4

tr

5

•••

6 6 ._ I

Abb. 7 3.213

(siehe A bb. 7.3 .213). Dic Engclfunktioncn laute n (für PI '" 4

3

P2 '" 8):

a) XI '"

~

C ;

Aufgabe 7.3.2 14: Gegeben ist für einen H aushalt d ie Nu tze nfunktion U : U(Xl,x2) = (xI+ lX x2+ 4). Der Preis P2 des zweiten Gu tes ist fes! vorgegeben: P2 = 4 G E /ME 2· i) Für

p, '" I GE/ ME, und die Kons umsu mme C '" I OUG E e rmitt le ma n das H aushaltsopttrnum .

ii) Wie laute t für konstan tes PI (z .B. PI = 1) die Gleichung Xl = x l(C) der E ngclfu nktio n des erste n

Gutes" iii) wie lautet für konstantes H aushalts budget (z.B. C '" 100) die Gleichung XI '" x, (p, ) de r Nach-

fragef unktio n nac h dem ersten Gu t? Ist

X I(PI)

monoton ab nehmcnd'!

lv) Wie laut et für konstan tes H aushaltsb udget die Nachtragefunktion x2 = xA pl), die die Nachfrage nach dem zweiten Gu t in Abh ängigkeit vom Preis des erst en Gutes besc hreib!'! H andelt es sich um substitutivc oder komplement äre Gü ter? \') Man ermit tle im (x I ,x2)-System die Gleichu ngen der a) E ngelfu nktion x2(xI) b) Preis- Ko nsum- Kurve (offer-curvc) x2(xtl

(p 1 = 12 ,. P 2 = 4 ,- C variabel) (Pl '" 4 ,. C = 100 ,- PJ variabel],

401

8 Einführung in die Integralrechnung Die mathemat isch-technische Grundlage der Dlfferen nal rechnung sind der Begriff und die Ermin lung de r Abieitullg f'[x) einer vorgegebene n Funktion f: fex). A ber auch die umgekehrt e Frages tellung ist von

Bedeutung; Wie erhält man - ausge hend von einer gegebenen Ableilungsfunktion gende O riginaIrunkt ion r ?

r -

die zugrunde lie-

Ein ökonomischesBeispiel solldie Problemstellung verdeutlichen: Bei~picl 8.0. 1 :

Eine Ein-Produkt-Untemchrnung sehe sich folgender Grenzkostenfunktion K': K'(x)gegenüber: K'(x) '" O,3x2 - 4x + 21 .

(8 .0.2)

Wie kann die Unte rnehmung da raus die G leichung der Gesam tkos lenfunktion K.: K(x) ermi ttel n? Gesucht ist also eine Funktion K: x l-t K(x) derart, dass ihre Ableitung K' genau die Grenzkostenfunkt ion (8.0.2) ergibt. M it den E rgebnissen der Differentialrechnung kann man eine Lö sung schrittweise gewinnen:

(2)

Die Abl eitung von x 3 ist 3x 2 , daher ist 0,3x 2 die Ableitung von O,l x 3. A nalog: -4x ist dieAbleitung von -2x 2 .

(3)

2 1 ist die A bleitung von 21x.

(1)

Damit erhält man als (vorläufiges) Ergebnis : (8 .0 .3)

K(x) = O,tx 3 - 2x2 + 2lx

(Kontrolle du rch Ableilen) .

M1n kann z ur Kostenfunkt ion (8.0.3) offenbar noch einen be liebigen Fixkostenwert Kr = cons t. h inz uaddieren, ohne dass die Grenzkosten (8.0.2) sich ändern; (8 .0.4)

K(x) = 0, tx 3 - 2x2 + 21x + Kr ,

denn die A blcitung der additiven Konst ant en Kr wird ste ts Null. Die Kostentu nktion (8.0 .4) ist dahe r ers t durch Vorgabcder Fixkosten einde utigbcstimml. Die dem letzten Beispiel zugrundcliegcnde Problemstellung soll im folgenden genauer un tersucht werde n.

8 .1

Das u nbestimmte In tegral

8.1. 1

Stammfun ktion und unbestimm tes Integral

Wie zuvor beispielhaft anged eutet, gib t es zahlreiche Prob leme in der Ökonomie, zu deren Lösung es erforde rlich ist , aus der Kennt nis de r ersten Ableitu ng f ' die zugehörige Original- ode r Stam mrunktion f zu ermitteln, also gewissennaße n den Ableit ungsproz ess rü ckgän gig zu machen , ihn umzukeh ren. Diesen Vorgang nennt man in der Ma thematik "integrieren". Beispiel 8.1. 1: Durch Integrieren (oder "A uf teilen ") erhält man et.....a a us der G renzerl ösfun ktion d ie E rlösfunktion , aus der Grenz prod uktivitätsfunk tion die Prod uktionsfun kt jon, aus der Funk tion de r marginalen Ko nsumquot e die Konsumfunk tion usw .

I

402

8

Einführungin die Integralrechnung

D ie Integra tion als Um keh rung der Differenti ation ist eine der beiden Hau plau fgaben der Integralrech mmg. M it der

Der. 8.1.2: Sei f eine gegebene stetige Funktion im Intervall [a , b ]. Einediffercnzierbare Funktion F in Ia , b] heißt Stammfunktion zu f , falls gilt:

P'(x) := fex)

(8.1.3)

~ '" fex) .

bzw.

lautet die l. lI auptaufgabe der Int egralre chnun g

(8.1.4) Gegeben ist die Funktion f: x I-t fex). Gesucht ist eine Stammfunkt ion F zu f (d.h. deren Ableitung F'(x) die gegebene Funktion f: fex) liefert).

Beispiel 8.1.5:

Durch Umkehrung elementarer Dfffcrennanons regcln ("A ufldlen") erhält man z.B. fol-

gcnde Stammfunkt ionste rme: i)

f(x)= x

~

F(x) = O,5x 2+7, denn d~(O.5x2+7) =x =f(X) ;

ö)

fez) = 2ez

~

F(z) '" 2ez - 31 . denn

iii)

f(q)

~

F(q) :: Inq + C (C= const.}, denn F'(q) =

=1. q

(q >0)

F (z) = 2ez -= f(z) ;

t

= f(q)

usw.

Bemerkung 8.1.6: Man überzeugt sich allgemein von der Richtigk eit einer Integration, indem man die gefundene (oder ~'mnute/e) Stammfunktion djfferenzien und mirdergegebenen Funktion vergleicht.

Wie man an Beispiel8. 1.5 iii) erkennen kann, lassen sich zu einer Stammfunktion F durch Hinzufligen von eddmven Konstanten C beliebig vieleverschie dene Stammfunklionenzu f erzeugen(denndie Ableilung von Cergibt stets den Wcrt Null). Allc diese unendlich viclcnStammfunktioncn unterscheiden sich voneinander nur durch die additive Konstante C. So sind z.B. sowohl FJ mit F[(x) = x2+7 als auch F2 mit F2(x) = x2 - 23 Stammfunktionenzu f mit fex) = 2x , usw. Allgemein gilt: Satz 8.1.7: Sei f stertgin [a .b] , und sei F 1 ln ja. b] cincStammfunktion zu f. Dann erhält man sämtliche Stammrunktionen F zu f durch (8.1.8)

F(x)=F ](x) + C,

Bemerkung 8.1.9:

Ce lR

Satz 8.1. 7 enthält zweiAussagen:

(a) Wenn F(x) Stamm[unklion zu J(x) ist, so auch F(x) T C. (b) Wenn F J und F Z Stammfunktionen zu J sind, so gilt stets: F/(x) = FZ(x) geeignet gewählten Konstanten C) .

Beispiel 8.1,10:

Sei fex) = x2 . Dann erhält man eineSlammfunktion durch F1(x) =

T

C (mit einer

+x 3.

Nach Satz8.1.7 Iasscn sich siimtlicheStammfunktionen darstellen durch F(x) = ...!.x3 + C, z.B.

I

Tx3 + 5 ;

I

T xL ln 2

usw.

3

8. 1

403

Das unbes timmte Integral

D ie Menge F aller Sta mmfunkti onen (die sich nach Satz 8.1.7 nu r durch diel ntegra tions konstan te C unterscheiden) zu einer gegebenen Funktion f wird mit fo lgender Symbolik besc hriebe n: Die Menge aller Stam mfunktionen zu f in Ia.b1wird unbestimmtes Int egral

Der. 8. 1.11:

genannt und mit

J

feX) dx bezeichne t. fex) heißt Integrand.

Wegen Def. 8.1.2 gilt:

; --

Bemerku ng 8.1.13:

-

-

-

-

-----,

i) Die Schreibweise J f M dt schein t zun ächst unmotiviert zu sein, m an haue auch

J f (x) oder J f verwenden können. I hre Sinnfal/igkeit wird erst spiuer im Zusam m enhang mit den

Haupts ätzen der Differential- und Integralrechnung (Kap. 8.3 .218.3.3) sowie bei A nwendung der ~ SubslilUlionsregel"

(Kap .8 .4.2) deutlich.

ii) Fürdas un bestimm te Integral benutzt man ha ufig die (nicht ganz k o"ekt e) Schreibweise

I

(8.1.14)

I r!x)
=

Fix) •

C

(mit C= const.]

sofern F eine Stammf unktion zu f ist, d.h. F (x) = f(x) . iii) Stall (8. 1.14) schreibt ma n gelegentlich auch ( wegen F'(x) '" f(x) )

~ Jf(x) ax = f ex)

(8.J.J5)

Jn x) dx = fex)

(8.J.J6)

hz w.

+C

Die Schreibweise (8.1.14) ist deshalb nicht ganz k orrekt, weil J f M dx eine Menge von Funktion en darstellt und nidu einen bestimmten Repräsentanten dieser Menge. Da Mis sverst ändnisse allerdings kaum vorkommen , soll auch hier aus Gründen der bequemen Handhabung die Schreibweise (8.1.14) bevorzugt werden.

Beispiel 8. 1.17:

I

i)

J 4X J dx = { F F(x) = x4+C A Ce lR} , kurz: J 4X3 dx = x4+ C ;

ii )

J 7t6 dt "' t 7+C

eigen/lieh: { F I F(t)=t 7 +C ACE JR} ;

iii)

J eZdz ", e7.+ C .

eigentlich: { F I F (z) = eZ+C/\ C E JR} us w. siehe Bem .8.1.13;

iv)

J

K '(x) dx '" K(x) + C = K.,.(x) + Kr

(mit K': Grenzko srcn; 1(.,.: variable Kosten;

(Kontrolle: A bleitung der rechten Seite bilden) .

Kr Fc kosten) j

404

8

Einführung in die Integralrechnung

8.1.2 Gru ndintcgrale Im folgenden sind zu einigen wichtigen Funktionen die zugehörigen unbestimmten Integrale angegeben. Diese sog. Gr undint egrale ergeben sich aus der A bleitungstabelle Kap. 5.2.5 durch

~ Rückwärtslcscn".

(Weilere Gnmdintegrale entnehme man etwa [11].) (8. 1. 18) Tabelle der Gru ndinlegrale

I r(x) dx

!(x)

Bemerkungen

C

0

C = const.

'I n .. l

n

- - .C

x'

"1

* -1

falls n e IN:

xe R,

(ax +b)n

_1 . (ax+ b)n+l

.1

[OX

+C

,,0

-1

In (-x) + C

x
_ 1_ ax -eb

1. ln(ax + b) + C a

ax+ b> O, n e O

1

- ln(-ax - b) + C a

n+ l

a

x

x

+C

1

ax-e b

ax+be lR

falls ne Z : x e ü,

ax-b eu

falls oE IR: x s- ü,

ax+b > O

ax+b < 0, 3*0

xe R

+C

e'

CX

ea'C + b

...!..eax+b + C a

,. 0

sin x

- cos x e C

xe R

cos x

sln x + C

>ER

Beisp iel 8.1.19: i) iii)

,.)

J x7 dx = ~ x8 + C ;

JVYdy

=

J~

I

V>'

J yl/2dY = =

Ix-215

~

y3/z+ C ;

dx =

, ,

I (3z -2)3 ' +C

=

I ,

j (2X-l)O,5 ctx

+ (3Z-Z)3 + C

j

_1 . (2x _ I),,5

I

2

-

1,5

I

(2x)" dx = "2 '

i\")

~ x3J5+C ;

(3z - Z)2 dz = - ,

J ~ dx

Jdx =J t . dx =X + C ;

ii )

-

= -,

( 2x)5

5 +C ;

:::-:::-, Vr(2x -t )3 + C ;

8.1

405

Das unbestimmte Integra l

J

dx 2x -8 =

\iii)

Je-o.

f

0,5 1n (2x - 8) fii r x> 4 1 0,5 In (l'I- 2x) Hir x < 4

1t = - lOe- O,lt + C .

Bemerku ng 8.1.20: Obwohl - wie noch zu sehen sein wird - jede sretige Flmldioll auch eine Stam mfu nk. tion besitzt, ist es nicht immermöglich, dieseStammfunktton ingeschlossener Form (d.h. durch Kombination endlich vieler elementarer Funkt ionen) dan ustd lm . Dies ist beispielsweisederFall beifolgenden

,x

Integralen:

J

x

.

J I~X

-dx '

In solchen FäHen kann m an sich mit speziellen Integraltabellen (siehe z.B. {U } ) helfen, in denen die Stammfun ktionswene tabettien sind. A uch für geschlossen darstellbare Integrale ist die tedmische Durchftihnmg der Int egrati on häufig rech t mühsam - die (oft trickreiche) Integrationstechnik bedarf zu ihrer Beherrschung er heblicher Übung. Für die Zielsetzung de r vorliegenden Einfüh rung reichen die angegebenen Gru ndintegmle La. aus, wenn zusätzlich ei nige einfache Regeln für die Integration zusammengesetzter Funktionen benutzt werden (siehe das folgende Kap. 8. 1.3). E ine Zusammenstellungweiterer Integrationstechniken findet sich in Kap. 8.4.

8.1.3

Elementa re Rechenregeln für das unbestimmte Integral

Für die Integr ation einer mit einem konstanten Faktor multiplizierten Funktio n f sowie für die Int egrat ion einer Summe f ±g l'....eier Funktionen gelte n fo lgende einfache Linearitäts- Regeln: Satz 8. 1.21: I)

Es seien f, g stet ige Funkti onen. Dann gilt (mit k = const.):

I J.-fr' ) dx • • -jfr' ) dx I

U)

;:-J:"'(-fr,-)'-g(-')-)-dx"-'-J-f-('-)dx-'-J-g(-,)-dx~

Der Beweis erfolgt jeweils durch Ab leiten bcidcr Scitcn unter Beach tung von (8.1.15): sowie de r Diffcrentianonsregeln (5.2.23) bzw, (5.2.26) .

d~ J fex) dx = fex)

Beispiel 8. 1.22: i)

J 6x2dx = 6Jx2dx = 6 . + x3+C = 2X3 +C ;

iii ) J ( 8X3-4X+2 +

12

V4:.: +9

)dx

ii )

J- ~dx =

_Jd:

= - ln x+ C (x>O);

= 2xL2x2+2x+ 6V4x+ 9 +C;

Jv) Eine U nterneh mung prod uziere ein Gut mi t der Grenzproduktivitätsfunktion x'(r) = - 2r2+ 4r + 6. Ocr Output x beim Input r = 0 sei N ull. Dann lautet die entsprechende Prod uktionsfunkti on. x(r) = J X'(r) dr = J (- 2r 2 +4 r + 6) dr = Wegen x(O) = C = 0 ergibt sich schließlich:

~

x(r) = -

r 3+ 2r 2+ 6r+ C.

~

r3 + 2r2 + 6r .

406

8

Einf ührung in die Imegra lrec hnung

Bemerkung 8,1.23:

i) Derin Satz 8.1.21 darges/elfteSachverhalt wird häufig wiejolgtjonnulieJ1: a) Ein k onstant er Fak tor darf vor das Integralzeichen geschrieben werden;

b) Eine Summe darfgliedweiseintegriertwerden. Man nennt diese Eigenschaf ren L inearität des un bestimm ten Integrals. Man kann sie äquivalent

beschreibendurch eineeinzige Gleichung: (8.1.24)

(a,b E /R)

J (a -[(x) ± b- g(x)) dx '" a -!f(X)dx ± b -jg(x) dx

ii} Man beachte, dass es eine zu (8.1.24) bzw. Salz 8.1.21 analoge Regel f ür die l ntegratwn eines

Produktes nicht gibt. Denn wegen r(x} ' g '(x)

iv)

, 'ii)

(Produk lregell) gilt auch:

Man ermittle die folgenden unbestimmten Integrale:

Aufgabe 8. 1.25: i)

'*' (f(x) . g (x» ,

J(4xL2x3 J18c~O,091

+ 4-

I~ ) dx

dt

J""

(l _u)2 ;

ii)

JzV;

;

iii)

,)

J,~

\i )

\'iii)

J(24 ,(2X+ I )1I - e-X+

dz

30 dx

!4'Y4Y-3

dy

JV

s du 1- u

V; 2x2

+

;

..2L.)ct x 16-5x

Aufgabe 8. 1.26: Eine Ein-Produkt-Unternehmung produ ziere mit folgender Grenzkostenfunktion: K'(x) = 1,5x2 - 4x+ 4 . Be i ei nem O utput von 10 ME bet ragen die Gesamtkosten 372 GE . Man ermittle die Gesam tkosten- und Stückkostenfunktion.

Aufgabe 8.1.27:

Diemarginale Konsumquote C'(Y) eines Haushaltes werde durch die Funktion: C'(Y) =

7,2 VO.6Y+4

(Y?:O)

beschrieben. Das Existenzminimum ( = Konsum beim Einkommen Null) betrage 50 GE . Man ermittle die Gleichungen von Konsum- und Sparfunkt ion. Aufgabe 8. 1.28:

Beim Abs atz eines Produktes sei die G renzerlösfunktion E '(x) bekannt: i)

E'(x) = 4 - 1,5x ;

ii )

E '(x) =

Man ermitt le in beiden Fällen die Preis-Absatz-Funktion p = p{x) .

~. (2x + 5) 2

8.2

407

Das bestimmte Int egra l

8.2.

Das bestimmte Integral

8.2.1 Das Flächeninhaltsproblem u nd der Begriff des bestimmten Integrals E s sei f eine im I ntervall [a , b] ste tige und positive Funkt ion. Dann bes teh t d ie 2. lIaupla ufgabc der Integral rechn ung - anschaulich formuliert - dari n. den In halt A des Flächenst ücks z u best immen. das vom Funktionsgraphen, der A bszisse sowie den beiden Senkrechte n x = a und x = b begrenzt wird. siehe Abb. 8. 2.1 . E s soll zunäch st vers ucht werden, den Flächen inhalt A {d .h. die Flächenmaßzahl) des schraffierten Bereiches in A bb. 8.2 .1 zu ermitteln. Da nicht alle Begrenzu ngslinien gera dt!nig sind, versa gen elementar-geometrische M ethod en:

11/1

lxi a

Abb . 8.2. 1

Mit H ilfe des Grenzwertkonzeptes wollen wir versuchen, mit achscnparallc1en Rechtecken die Fläche ~auszusehöpfen~ t . Das Vo rgehen so ll in " ier Schritte n e rläutert werde n:

L Schritt: Das Intervall [a . b ] wird durch E infü-

----

I If)

gen von Zwisc henpu nkten Xi m it a = Xo < XI < x2 < ... < x n = b in n Teilint ervalle zerlegt.

siehe A bb. 8.2.2. Dic Lä nge dcs i-t cn Teilin tervalls [xi-l> xj) wird m it Axi bezeichnet:

i = 1,2.... .n . 2. Schri ll : In jed em der so entstande nen n Teilintcrva nc wird eine zwtschenstene ~i beliebig gewählt (~i kann auch am rechten oder linken Ra nd des Teilintervalls liegen) undder daz ugehörige Funk t ionswert f(';i) gebildet , siehe A bb . 8.2.4. D ann wird der Flächeninha lt eines senkrechten , oben vom G raph en von f begren zten Flächenstreifens durch den Inhalt Ai des in der A bb . 8.2 .4 schraffierten Rechteckes angenähe rt: (8 .2.3)

/

<, Abb . 8.2.2

a I

b

(I}

/

I Ai = f(~i) ' Axj = f(~iHxi - Xi - I) ·1

Analoger hält man die Rech tecksinhalte A I = f(';I) '8XI A 2 = f(';2) ' Ax2 An = f(enl ' Axn 3. Schritt: Um einen Näherungswert für dcngeAbb.8.2.4 samten Flächeninhalt unter dem Gra phe n von f zwischen x = a und x = b zu erhalten , summiert man die N äherungswerte A i der Recht eckinhalte auf und erhält als Zwi schensumm e Sn: (8.2.5)

Sn = A l +A2 + ... + An = f('; Ü '1lX1 + ... + f('; nl ·Ax n =

L [(ei) Axj . i _\

Die Grundidee des Vorgehens Is schon seit Arehirnedes (ca 285-212v. Chr.) als"E xhauslionsmelhode~ (=. Aus-

schöpfungsmcthodc) bekan nt.

408

8

Einführung in die Integralrechnung

III

Bemerkung: i) Die Zwischensumm e Sn ist ein Nöherungs-

wen Jiir den gesuchten Flächeninhalt A, sieheAbb.8.2.6 .

,j . AI :

ii) Die Güle dieses Nöherungswenes Sn hän gl

f'f;JtJx/

j ürjedes n von mehreren Faktorenab: (a) von der Wa hl der Z wischenstellen ~i ; (b) von derA nzahl n der durch die Zer/egung eneuglen Teilimervalle ; (e) von der Breite <1tj dereinzeinen Teitintervalle.

,, ,I

}(i-1

Die beschriebene . Ausscböptuog" führt zu einem immerbesseren Näherungswert fürA. wenn

~i

"'n (xl

x/ .

Abb. 8.2.6

1) die Anzahl n der Zwtsc he np unkte vergrößert und zugleich 2) die Breite M j sämtlicher T eilintervalle verkl einert wird. Dies gibt A nlass ZU folgender Überl egung: 4. Sch rill :

De n gesuchten Flächeninh a lt A erhält man als Grenzwert der Z\rischen_~umme

Sn.

1) inde m ma n d ie Anzahl n der Zerlegungslntervalle iiher alle Grenzen wachsen lässt und gleichzeitig 2) dabei gleichzeit ig die Breite des breiteste n Teilintervalls M

(8.2,7)

A=

"

lim Sn = lirn

n -+"" Ax _ O

,= rnax M i gege n Null streben lässt:

n -+oo ,... _ 0

L f(~j) '

Mi

;- 1

Da - wie man zeigen kann (siehe z.B. [4 1], Band 3. 109 ff) - d ieser Grenzwert für steuge Funktionen stets existie rt (und zwar unabhän gig davon . wie die Zwisehenstcllcn gewäh lt werden), ist das Flächenprohlern ge)ösl. Fü r (8. 2 .7) ist folgende Schre ibweise üblich: Der; 8.2.8: Sei f in [a.b] stetig. Dann nennt man den Grenzwe rt (8. 2.7) besn mmt es Integral von f übe r [a .b] und benutzt dafür die.Sch reibweise

.

J. f(,)

(8.2, 9)

dx

"

,~ " ~_ Lf(li)'
(m it
,

O i_I

Bemerkung 8.2.10: i) Für stetiges f mit [(x) > 0 (siehe A bb. 8.2.1) gilt nach vorstehenden Überlegungen:

Derzwischen x = a und x '" b umer dem Funktionsgraphen bis zurA bszisse liegende Flächenbereich

L•

hat den Flächeninhall A =

[(x) dx.

.l i(;(~dx-",---

ii ) Die Symboledes bestimmten Integrals werden[olgendermaßen bezeichnet:

obere Integrationsgrenze

untere Integrationsgrenze

-......

_ _ _

~r

Integrand

/

-

_

tmegrauonsvonabte

8.2

409

Das bes timmte Integral

Die Integrationsvariable ist eine sog. "gebundtne " Variable, sie kann beliebig umtenannt werden, an ihre Stelle dürfen aber keine Zahlenwerte eingesetnwerdcn. So gilt z. B.

Dagegen ist ein Ausdrnck wie LB. unsinnig.

f. "

[(2) d2 nicht defimen und nach dem Vorhergehenden audl

~

iii) Man nennt jede Funktion f, fü r die der Grenzwert (8.2. 7) unabhängig von der Wahl der Zwischen pu nkte existiert, über [a, b] imegrierbar (im Riem annschen Sinne).

"

J

iv) In der Symbolik L [ (x) dx kommt zum Ausdruck, dass es sich um den Grenzwen einer Summe h andelt: Das Integralzeichen

ist ein stilisiertes S (bzw. I ), [ (x) dx soll daran erinnern, dass in der

Zwischensumme die Produkte f (l;J · .dxi uuf addien wurden. v) In Def. 8.2.8 wird nicht mehr vorausgesetzt,dass [ in fa,b] positiv ist. Für f< 0 in [a,b) werden auch die Funktionswerte[(l;J negativ (sieheAbb.

"

I

(fl a

8.2.11), so dass Sn und damit L [(x) dx negativ werden. a

x,

X;"1

b

lx/

Anschauliche l merpretettom

f~;J.dx/
Für Flächenstacke, die umemalb äer A bszisse liegen, wird das bestimmte Integral (und damit die .Flöchenmaßzahl"] negativ.

f

Daher k ann es vorkommen, dass sich bei einer Integrationsberechnung "positive "und "negative" Flächeninhalte zu Null k omp ensieren (siehe Kap . 8.3.4, insb, Beispiel 8.3.2 7).

Abb.8.2.11

8 .2.2 Beispiel zur elementa ren Berechnung eines bestimmten In tegrals O bgleich das Räch eninhaltsproblem fü r stetige Funktio nen durch (8.2. 9) th eoret isch gelöst ist. erweist sich de r rechne rische Au fwand zur Ermi ttl ung des bes tirrunten Integrals selbs t be i einfach gebauten Funktio nen als recht erheblich, .....i e folgcndcs Beispiel zeigt : Gc sucht seidie R ächcnmaßzahl A",

L"

f(x) dx de r in

Abb. 8 .2.12 schraffierte n R äche unt erhalb de r Funktion f mit f(x) '" x. Obwohl da s E rgebn is nach elementar -geo metrische n Method en bekannt ist: (A =

L~(X)dx

f:o

I lfi b

f(x l = x

._

Trapezfl äche '" " halbe Summe

der Parallelseiten ma l de ren Abs tand-

a+b

I,, - a )),

= - ,- ' (b- a) '" T(b

b

soll die Berechnung jetzt nach Def. 8.2.8 erfolgen:

Abb . 8.2.12

8

4 10

Dazu zerlegt man [a.b

t

Einführun g in d ie Integralrechnu ng

I to

i~ an g[cichbr~i te Teilinter-

valle der Länge M'" - 0 - ' A ls Zwischen pu nkte ';j wählt man jeweils de n rec hten E ndpunkt eines

.. .. . .'

jeden Teilintervalles. siehe Abb. 8.2.13. Durch Addition der Rec hteck-Fl ächeninhalte erhält man die Zwisch ensumme Sn (siehe 8.2.5):

"

Sn = L f(';j) ' llx j '"

'

"

L\x'L f(a +i ' L\x)

i -I

i_I

"

"

i _I

i_I

'" L\x I(a +i'.~x)= b~a L (a +i.b~a ) =

"

b~ a '(an + b ~ a ·2'» ·

o

,.,

,;1

';2

';3

Abb. 8.2. 13

"

,.

n (n + 1)

Mit LI = 1+2 + ... +n = -

i·"

0+ 1 = I n

Wegen !im - n_oo

,-

(s. Au/g. 1.2.31 v)

I

z

0+ I

Sn = (b - a)a + "2 (b -a) . -

folgt:

0-

·

und daher

folgt:

so wie oben bereits aufelementar-geometrischem WC& 'Cerhalten.

(8.2. 14)

Aufgabe 8.2.15:

Man berechne mit der eben da rgestellten Met hode das

bc~timmte Integral L~2 dx .

(HinweiS: E s giit (s. Aufg. 1.2.31 v): 12 +2 2+ ... +0 2;; .:2:>2 = 70(0 + l X2n + 1).) i -I

8.2.3 Element are Eigensch aften des bestimmt en Integrals Für die ~fultiplikation eines bes timm te n Int egrals mit einem konstanten Faktor k und für d ie Addition zweier bes timmter Integrale über [a.b J gelten Ge setze, d ie mit dem ansc ha ulichen Flächenin haltsbe griff in E inklang stehe n: tz 8.2.16:

;)

tz 8.2. 17:

E s seien f und g zwei über [a.b 1intcgrierbarc Funktionen und k eine reelle Konstante. D ann gilt:

i,

f

k ' f(x) dx ;; k · / (X) dx

ii)

i'

f

(f(x) ±g(x»dx = af(X)dx ±

fa~;o(X) dx

E s sei f in [a.b J und [b,c l intcgricrbar. Dann gilt

L;(X)dx = L~(X)dx + J)(X)dx

(lmelValladditivitiit)

8.2

411

Das bestimmte Integra l

Anschaulich besagt Satz 8.2.17: Der I nhalt eines aus zwei Teilflächen zusammengesetzten Flächens tückes ist gleich der Summe der Inhalte beider Teilflächen (s. Abb. 8.2.18). Damit Satz 8.2.17 für beliebige a.b,c anwendba r ist, kann man fragen, ob die bisher gemachte Voraussetzung a < b fallengelassen werden kann:

Wa~

soll man unter dem Ausdruck hen.wenn a o b bzw.wenn a e b ?

l~(X)dx vc rsted

Wir wenden f onnal Satz 8.2 .17 an und setzen an die Stelle von e den Wen a , so dass folgt:

L a

(8.2.19)

L b

f(x)d x =

t{x) dx +

i

a

d

c

b

Abb. 8.2. f8

f(x) dx

Lanoch La (mit b > a) sind bisher definiert . Von der Anschauung her motiviert müsste

Weder

man sagen: L df(X) dx muss den Wert Null a ufweisen, ebenso wie der Flächeninhalt eines Rechtecks, dessen eine Scitc die Länge a - a ('" 0) aufweist. Damit e rgibt sich aus der Beziehung(8.2.19): (8.2. 19a):

L f (X)dx '" 0 '"

L~(X)dx

+ i f (X) dx

und daher

Somit ist folgende Definition sinnvoll:

Def 8.2.20:

Sei f in [a.b 1integrierbar. Dann setzt man I)

1.•

f('J""

,~

-1.•

f(, }""

Bemerkung 8.2.2 1: i) Def. 8.2.20 wird häufig so [ormulien : Ver-

I III

I

tauscht man obereund untere Integrationsgrenze. so ändertsichdas Vorzeichen des bestimmtenIntegrals. ii) Satz 8.2.17 gestattet dielmegration vonstück-

weise stetigen Funktionen, wie sie in der Ökonomiegelegentlichauftreten:

lxi sieheAbb.8.2.22.

d

Abb.8.2.22

412

8

Einführung in die Integralrechnung

83 Beziehungen zwische n bestimmtem und unbestimmtem Integral Die umständ liche Berechn ungsweise best immter I ntegrale übe r den Grenzwert von Zwischen summen (siche Kap. 8.2.2 ) haue eine Anwend ung der I ntegralrec hnung im naturwissenschaftliche n und ökonomisehe n Bereich in nennen swert em U mfang kaum ermöglicht. Wie nachfolgend geze igt wird, besteht aber zwischen der 1. Haup taufgabe der I ntegralrechn ung (Bestimmung von Stam mrunkt ionen) und der 2. Hauptaufgab e der Integralrec hnung (Fläcbenlnha hsbes tlmmung} ein (zun äch st) unvermuteter ZIL<;ammenhang. der es gestattet , die 2. H auptaufgabe auf die 1. H auptaufgabe zurückzuführe n.

8.:U

Integralfunktion

Der Zahlenwert des bestimmten Integrals

L,

f(x)dx lässt sich (für ste tiges, positives f ) nach Kap. 8.2.1

interpreti eren als Flächeninhalt un ter dem Funktion sgraphen von f , siehe Abb. 8.2.1. H ält man nu n die untere Int egrationsgrenze a fest und lässt die obere Integrationsgrenze h variie ren, so erhält man zu jedem Wert der oberen G renze b gena u einen flächen -

,

inhaltswert F ( =

L

III

f(x)dx ) .

t

~

tat

Um die Variati onsmöglichk eiten der oberen Grenz e zu verdeutlichen, ersetzt man b durchdie unab hängige Variable x und be zeichnet die bisherige Integrationsvariable zur Vermeidung von Missverständ nissen mit eine m anderen Buchstabe n, etwa t (siehe Bemerkung 8.2. 10 ii). Dam it schreibt sich der Wert F des Flächeninhalts vo n a bis zu r obe ren (variablen) G renze x als

F : Fl' ) :

e'.3 ·1)

lxi

I itl

Det)dt.

A uf dies e Weise wird eine neue Funktion F: F(x) definiert , die als Fläche ninhaltsfunk tion od er Int~mlrunk­ tlcn beze ichne t wird.

Die Abbildungen 8.3 .4 a .b.c veransc haulichen für versehicdene Werte x l,x2' x) der ober en Grenz e die zugehörigen Fun ktion swerte F{x l )' F(x2)' F{x) alsflächeninhalte unter dem Graphen der Fu nkt io n f . Allgemein definiert man :

Der; 8.3.2: (8 .3.3)

lxi

I itl

t

tcl

E s sei f ste tig auf [a.b] . Dann hei ßt d ie Funktion F mit F(x) = L f{t) dt

xe ja.b]

lxi

tmegrarrunkuen (oder Flächeninhaltsfunktlon] zu f in [a.b} .

Abb. 8.3.4

a.ö.c

"

Bemerkung 8.3.5: i) Fürposuives f und .r > a lässt sich die l ntegraljunktion (8.3.3) als ~ variabler Flächeninhalt " unterdem Graphen von f interpretieren, sieheAbb. 8.3.4. ii) Je nach Festlegung derunteren Grenze a gibt es verschiedene Integralfunktionen zu f .

8.3

Bezieh ungen zwischen bestimmtem und unbestim mtem I ntegral

4 13

8..3.2 Der I. H auptsatz der Different ial- und Integralrech nung

, 1

E s werde die Funk tion f mit f(x) '" x betrachtet. Nach dem E rgehnis von Kap. 8.2.2 erhält man für das bes timmte I ntegral von a bts b nach (8 .2.14):

a ax dx '" b - ; . Erset zt man d ie obere Integrations-

2 grenze b d urch die u nabhängige Variable x, so laut et die allgem eine Gleichung der Integralfunktion F nach Def. 8.3 .2:

(8 .3 .6) J e nach spezieller Fest1cgung der unte ren in tegrat ionsgrenze a erhält man unt ersch ied liche Darstel lungen für die I ntegralfunktion z.B. F3(X)

=

, =, 1 tdt

"

usw.

!.. - 50 2

A n diesem Beisp iel fällt auf. dass die versetuedenen Integralfunktionen F 1, F 2• F3, ... zu f(x) '" x einan der erstaunlich ähnlich sind: -

sie unt ersch eiden sich nur du rch eine additive Konstante;

ihre Ableilungen liefern die All~gang.\funktion f: F, (x) = F (x) '" F)(x) '" ... '"

2

2) ( 112 ' '"

x.

Exak t diese lben Eigenscha ften weisen die in Kap. 8.1.1 behandel ten Slam mfunktione n auf. D ies giht A nlass zur Vennutung. da ss es sieh be i den Integral funkli onen (8 .3.3) einer ste tigen Fu nkt ion f stets um Slam mfunklionen F zu f handelt, d.h. mit de r E igenschaft: F'(x) = fex) . D iese Verm utung erweist sich nun in der T at als allgemeingültig, wie diefolgende Bet rachtu ng zeigt:

(t/

Dazu muss nachgewiesen werden, dass jede Intcgralfunkt ion F mi t F(x) '"

L~(t) dt

gleichze itig

Stammfunktion zu List, d.h. dass fü r ste tiges F die fol gendcBehuup lung stets \...ahr ist: (8 .3 .7)

F'(x) '"

~ J)(t) dt

M = f(x) ,

Nach Der. 5.5.55 ist d ie erste Ableit ung F' von F definiert als G renzwert des Differenzenquoticntcn: (8.3.8)

f{x)

(

m

- F(x) F'(x) -~ ,.Im F(x+ t..x) ~ . lu _O ""x

D ie D ifferenz F(x+.:lx)- F(x) im Z äh1cr von (8.3.8) bezeichnet (an scha ulich formuliert] den FlächeninhaJt des Flächenst reifens zwi schen x und öx ( '" D ifferenz der Fl ächenin halte von a bis x + t..x und a b is x ), siehe den dunk leren Teil in A bb. 8.3.9.

f{x +ßx)-f(x)

(xl a

Abb. 8.3.9

Der f lächeninhall F(x +t..x)- F(x) ist (A bb.8.3.9)

i) kleiner als der Flächcnlnhal r M · öx des umbeschriebe ncn Rec htec ks mit den Seiten M und .:lx (M ,= Max imum von f in [x ;x + t..xJ) . ii)

m - öx des einbeschriebenen Rech tecks mit de n Seiten m und öx (m t e M inimum von f in [x ;x+ t..xJ) .

größrral~ der Flächen inhalt

414

8

Einführung in die Integralrechnung

Daher gilt folgende Ungleichungskette-

m-e x s F(x+ .6.x) - F(x) s M ·ax .

(8.3.10)

Division durch öx (> 0) liefert:

m ,

(8.3.11)

F(x + .6.x) - F(x)

s M.

>,

Lässt man- um F'(x) zu erhalten - .6.x gegenNullstreben, so folgt: -

m und M nähern sich (da f stetig ist) beide immer mehr dem Funktionswert fex) an der Stelle x, sieheAbb. 8.3.9 ;

-

der Differenzenquotient in (8.3.11) nähert sich derfgesuchten) Ableitung F (x) an derStelle x, siehe Dcf. 5.1.9).

Daher folgt für ax-

o aus (8.3.11):

fex) s F'(x] S fex) • -e=>

F'(x) = fex) .

Genau dies sollte gezeigt werden, siehe (8.3.7). Damit gilt der grundlegende Satz 8.3. 12:

( I. Haup tsat z der Different ial- und Int egralrechnun g)

E s sei f auf [a.b] stetig. Dann ist jede Int cgralfunktion F von f auf [a.b ] differenzierbar, und es gilt

F'(, )

(8.3.13)

Bemerkung 8.3.14:

=

J'

dx d af(t)dt = fex)

Der Inhalt von Satz 8.3.12 bedeutetin andererFormulierung:

- Jedeb uegra/funktion F von f (f stetig) ist gleichzeitigStammfimkrion von f ; (Die Umkehrung allerdings gilil/kht, d.h. flieh/jede Stammfunktio n von f tst auch Integralfunktion von f f) Beispiel: Aus (8.3.6 ) [0 Igl: l ntegraifunk tionrn zu f (x) "' x sind F(x) = O,5(x 2 _ a 2), DE lR. Die Funktion S mit S(x) := o,5xl+l (2.B.) ist zwar Stammfunk/ian zu [ , nicht aber Imegralfun ktion, da e.~ kein 0 ( E IR) gibt mit -0,50 2 = 1 .

- Differenziert man einbestimmtes InJegrol nach seineroberen Grenze, so erhält man den /megranden,

genommenanderoberen Grenze; - DieAbleitung einer Illtegra/funkJ.ion lie/ ertden Integrand en (an deroberenGrenze).

Beispiel 8.3.15:

J x

I)

Nach (8.3.6) gilt: F(x) = at dt =

ii)

-d t 2 ' e- 41 d l '" dx a

iv)

J!.

J'

r l ~ dU

dtJ o

x2

32

"2 - "2 . iii )

'"

~

Daraus folgt:

F (x) ::: -d

J'

dx a

«n

»

x.

8 .3

415

Beziehungen zwischen bestimmtem und unbes timmtem Integral

8.3.3 Der 2. Haupt satz der Differen ti al- und Integral rechnung D urch den in Satz 8.3.12 hergestellten engen Zu.\amm ellhan g zwisc hen bestimmtem und unbesnmnuem Integral wird es möglich. jedes he..ü mrnte Integral o hne die langwierige A uswertun g von Zwlsch cnsummen zu bere chnen. sofern nu r irgendeine Stammfunktion F zu f be kannt ist. D as kann man folgendermaße n einseh en: NachSatz 8.3 .12 ist die In tegralfunktio n L f( t) dt eine Stammfunktion zu f. sic möge mit F1(x)bczcichncr werden. E s sei nun eine be liebige weitere Stammfunktion F(x) zu f beka nnt. Dan n unterscheiden sich nach Satz 8. 1.7 d ie beide n Stammf unkti on en F, und F nur d urch eine additive Konstante C , d.h . es muss gelte n

(8 .3.16)

F I(x)

= L~(t)dt = F(x) + C

Damit abrr{ässt sich die Konstante C bestimmen! Setzt man näm lich für x den Wert a ein. so folgt aus (8 .3.16) mit Dcf. 8 .2.20 ii):

(8.3.17)

L ;(t) dt

= F(a) + C.

d.h.

C = -F(a) .

~

- 0

Daher lautet das bestimm te Integral (8.3. 16) (mit bcliebigcrStammfunklion F zu f )

(8 .3.18)

fht ) dt = F(x) - F(a)

Dies ist der fü r die Berec hnu ng bestimm ter Int egrale ents cheide nde Sechve rbalu Setzt man näm lich für die obe re G renze den spe ziellen Wert b ein. so folgt (wieder mit x als l ntegration.w aria blen) Salz 8.3. 19: (2. Haup tsat z der Differential- und lnt egral recbnung) E s seien f in [a.b I stet ig und F eine beliebige Stammfunklion zu f.

Dann gilt

J. "

[(')W< ; F(b) - F(')

(8 .3 .20)

Dam it ist die 2. Hauptau fgahe der Integralrechnu ng (Flächencrmlt tlung, bes timm tes Integral) zurüc kgeführt auf die 1. H auptaufgabe der Integralree hnung(Stammfunktion, unbestimmtes Integral): Die gleiche Symbolik

(J bzw.

r:

für versch icdcnelntegralbegriffe ersche int nac hträgl ich gerech tfe rtigt.

1•

Satz 8 .3.19 1iefert das schrittweise Vorge hen be i der Berec hnung des bestimmten Integrals f(x)dx : a I) Ermittlung einn bdieb igen Stammfunkti on F(x) zu fex); il) E insetzen von oberer und un terer Integrationsgrenze in F(x) sowie Bildu ng der D ifferenz F(b)- F(a) = L"f(X)dx

•I,

Bemerkun g 8.3.21 ; Statt F(b) - F(a) schreibt man abkünend auch F(x) so da ss sich die Schriufolge f onnal reduziert auf a (8.3.22)

•f (X) dx

J.•

•

= F(x) I = F(b) - F(, j •

4 16 BeispieIS .3.23:

(siehe Kap. 8.2.2)

Gesucht ist

Einführung in die Integralrechnung

8

L,

x dx.

a

Eine Stammfu nktion F zu f(x) = x ist (s.8.1 .18): F(x) '" ~ + C.

l

b

a Xdx

=

2x2 +C bl •

=

b' "2 +C

-

b2

("

a2

"i +C ) ="2 -"2

Dann gilt nach (8 .3.22):

,siehe(8 .2.14).

Man erken nt, dass es unerheblich ist , we lche Starnmfunklion F zu f ausgewä hlt wird, da sich d urch die Differenzbildung F(b) - F(a) die Int egrau onskcns tante C stets weghebt.

Belspiel 8.3.24: Es ist der Flächeninhalt des zwischen dem Graphen von f: f(x) = der x-Achsc und

VX,

den Grenzgeraden x = 1 sowie x = 4 liegenden Aäcbcnstücks gesucht (sieheAbb. 8.3.25), d.h. dasbe -

I IfJ

,

stimmte Integral

1: Y;

ffxl = Vi"

dx ist z u be rechnen .

Nach (8. 1.18) gilt:

JVX

F(x) = so dass folgt:

,

dx =

Jxl /2 dx

~

x3/2 (+C),

(xl 4

1: V;dx AUfgalJe 8.3.26 :

=

Abb. 8.325

2 4 312 _1.., 3/2 = !± 3 3 3' Man ber echne folgende bestim mte In tegrale:

i)

L <3X]- 24X 2 +6Ox - 32) dx

iii)

L I VO,5x + l dx

1

2

11)

h'}

L

32

C-t dt

( 7+ k \: l)

~ ) dx

LTR ' e-r' dt

8.3.4 Flächeninh altsberechnung Benutzt man das bestimmt e Integral kritiklos zur Flächcn inhaltsbcstlm mung, so können sich Überrasch ungen ergeben: Beispiel 8.3.27: Gesucht ist der I nhalt der schraffierten fläche in A bb . 8.3.28 (d .h. zwischen den Grenzen x '" 0 und x "" 3, dem Grap h der Fun ktion f mit f(x) ,," x L 3 und der A bszisse).

,

, I = + ' 27 - 9 =0 o

Wert des entsprechende n best immten In tegrals;

r (x J.

L3) dx

"" +x 3 -3X

(??)

Obwohl das sc hraffie rte Fl ächenstück in Abb. 8.3.28 sicher einen von Null versch iedenen Flächeninhalt besitzt. hat das bes timmte I ntegral de n Wert Nul l. G rund; Bei Bild ung des bestimmten Int egrals werden obe rhal b de r A bszisse liegende flachenstücke positiv und die unterhalb der Abszisse liegenden Flächenstücke negati v

Abb .8.3.28

8.3

417

Beziehungen zwischen bestimmtem und unbestimmtem Integral

gezählt (siche Bemerkung 8.2.10 v), so dass sich per saldo ein Wert von Null ergeben kann. Daher müssen zur Berechnung des (positiven) Gesamt -Flächeninhaltes bei einer ntcbt voraetchenbestäodrgen Funktionzunächst sämtliche NulMellen von f in [a.b 1 ermittelt werden. Diese seien. etwa von links nach rechts, mit x\> x2, .... xn bezeichnet, siche Ab b. 8.3.3 1.

III

~~I b

Dann ergibt sieh der gesuchte G baJll t~Flächen i nhal t A als Summe sämtlicher (von Nullstelle zu NuJlstelle gesondert ermittelter) Einzel-flächeninhalte:

Abb, 8.3.3 1

(8.3.29)

I1a ',f(, )'" I + I1""f(')'" I +... + I1" •.'(')'"I

A

Bemerkung 8.3.30: i) Die Verwendung derBetragsstriclle sutu sicher, dass nurpositiveFfächellmaß zallJen addien werden.

•

jj) Das über alle Nullstelfen hinweggenommene bestimmte Integral L f(X) dx lief ertstetsdieFlächen-

inhalrsdifferenz von positiv gezählten (d.h. oberhalb derAbszisse liegenden) und negativgezähltm (d.h. unterhalbderAbszisse liegenden) Fl ächenstucken. ße bpiel 8.3.32: (Fortsetz ung von Beispiel 8.3.27) Z ur Errnitllung des Inhaltes der in Abb. 8.3.28 dargestellten Flächenstücke müssen zunächst die Nullstellen von f mit f(x) =x 2- 3 ermittelt werden: x2- 3 = 0 ~ XI x2 = Damit erhält man für den gesuchten Flächeninhalt zwischen 0 und 3:

=-V3;

V3.

+1"--3' J'311 A· IJrr> • (,'- 3)"'1+1J.'1"(,'-3)"' 1 • 1"--3,11 3 03 3t'1

· 1Y3-3Y31+19-9-(Y3-3Y3)1

3

3

2Y3+ 2Y3 • 4Y3

z 6,9282 .

Bemerkung 8.3.34: Den Inhalt A des Ftächensnuk s, das zwischen zwei (sich nkht schneidenden] Funtalonsgraphe n [und g (mit f 2:g) liegt (s. Abb. 8.3.33), kann man als Dif[erenz der beiden unler den Graphen liegenden Flä-

.

111I to!

chenstackeauffasStn.' (8.3.35) A

"

g

= L f(X) dX - L g(X)dx

lxi L \ f(X) - g(x» dx .

a

b

Abb. 8.3.33

418

Für den Fall, dass

f

8

E inführ ung in d ie Integralrechnung

f

txt

und g in [a,b] die Sehninstel- I (f)

ten Xj,x2•... ,xn besitzen, muss zur Inhaltsbestim- Ig}

mung der eingeschlossenen Fla chen Mn Sclmiltp unfa

zu Sclmittpunkt integriertwerden (sieheAbb. 8.3.36). Absolutstriche vermeiden die Zahlung negativer Flachenmaßzahlen: (8.3.37)

a x, Abb.8. 3.36

Aufgabe 8.3.38: Man cnnittlc den Flächeninhal t zwischen Abszisse, Fu nktionsgraph und de n Grenzen a und b. Z um Ve rgleich cnn ittl c man das best immte Integral von f zwischen a und b : I)

f(x) '" 0.4xL2 ,2x + 1,8 ;

a = 0 ; b =6

ii)

f(z) = _ z2 + 8z- 15 ; a = O;b = 10

iii)

I(p) : (p- IXp-2Xp +3) ; a =-4 j b =4

h')

k(y) : J - 4 ;

'I

k(t) = O,312 _~. l j

a=O ;b =3

a '" 1 ; b = 4 .

Aufgabe 8.3.39: Man ermittle den Flächeninhalt der zwischen den Gra phen von f und g liegenden Fl ächcnstücke : i)

f(x) = x 2 ;

g(x)=-2x2 +27 ;

a =O ; b=2

ii)

f(x) = 0,2x2 ;

g(x) = 0,4x + 3 ;

a = -6 ;b =6

iii)

f(x) = (x - 2f ;

g(x) = _ x2 + 8 ;

Bereich sgrcnzen = Schnittp un kte der G raphen.

8.4 Spezielle Integrationstechniken A nders als in der Different ialrech nung existieren nicht für alle Integncrbarcn Fu nktionen Integrat ionsregeln. So gibt es weder eine " Prod ukt regel- noch eine" Q uotie nten - " oder" Kett enr egeJ", die es gesta tten, ein be liebiges Produk t. einen be liebigen Q uotient en oder eine bel iebige zusammen gesetzte Funktio n zu integriere n. wen n die Tcilfunktionen intcgricrbar sind und zu ihnen die Stammfunktionen angegeben werde n können.

+

Belspiet 8.4. 1: e" hat die Stammfunktion e", _ x2 hat die Stammf unkti on x3 : Für die zusammenx2 gesetzte Funktion e - abe r lässt sieh keine gesch lossen darstellbare Stammfunktio n angehen (siehe

I

Bemerku ng 8 .1.20).

A uße r Näherungsverfahren (siehe z.B. [20]) gibt es einige weite re I nte gr auo nsregeln , die es in bes timmten Ri llen ermöglichen, ein I ntegral in gesch lossene r Form anzugeben. Das Prinzip dieser nachs tehend angeführten Regeln ist in allen Fällen dasselbe: Man versuc ht, den In tegrand en du rch geeignete Umformu ngen in eine Ges ta lt zu überfü hren, die mit H ilfe von Grundintegralen (siehe (8 .1.18» bzw. den Sätzen 8.1.21/8.2.16 geschlossen integrierbar ist.

8.4

419

Spezielle Integratio nstec hniken

8.4.1 Part ielle I n tegrati on Liegt der Integrand als Produkt von Teil-Funktio nstennen vor, lässt sich das Integral manchmal in eine einfachere Ges talt überführen. Satz 8.4.2:

Es seien f, f , g, g' stctige Funktionen.

Dann gilt

(8.4 .3)

Der Beweis ergibt sich d urch Ableite n beider Seiten nach x unter Beach tung von (8.1. 15) sowie der Produktregel (5.2.3 1):

.!Jf( X)' g'(xj dx = f(x) ' g'(x) ;

i) linkeSei tevon (8.4.3 ):

dx

ii ) rechteScitcvon (8 .4.3):

d~ ( f(x) ' g(x) - J

f'(X) ' g(x)dx ) = f (x)' g(x)+f(x) ' g'(x) - f'(x) ' g(x ) = f(x) ' g'(x)

(wie in

i» .

Somit unterscheiden sich bcidc Seiten von (8.4.3) nur in der üblichen additiven Integrationsko nstanten C.

Bemerkung 8.4.4: DieA nwendung derpartietlenlmegranon nach (8.4.3) empfiehltsich, wenn i ) der Integrand als Produkt allfgefasst werden kann, dessen einer Faktor (nilmiich g '(x») leichtinte-

gn ert werden kann (- g (x»), und

J

ii) das allf der rechten Seite von (8.4.3) siehendeIntegral

ursprünglicheintegral

Jr(x).g(x) dx einfacher zu lösen ist als das

f(x) ·g'(x)dx.

Ob diese VOfllus.I'elzungen vorliegen, lässt sich mit einiger Übung meist raschentscheiden. Beispiel 8.-1.5:

Gesucht ist

Jx - ln x dx (x> 0) . Es liegt Produktform vor. Ocr zweite Fakt or (ln x) ist

nicht o hne weiteres iruegricrbar, wohl aber der erste Fakto r ( = x). Daher setzt man am besten: f(x) = ln x, g'(x) = x.

J

x -Inxdx = -,l ' lnx 2

Jx

Dann folgt mit (8 .4.3):

2 2 x2 - ' - \ dx = -r lnx - -x + C. 2 x 2 -I

Für da s besummt e tntegral Iau tet d ie zuSatz8.7 analoge Regel fü r die part ielle Integrntioo:

" !.f'('h " " )
(8.4.6)

•

Beispiel 8.4.7:

I

r

(siehe Bsp. 8.4 .5) 2

AUfgabe 8.4.8:

2

1- J,'..!.dx

' 2

2 2

a

" ln x = ( "2'

- 7x ),I

:::=:2,3 075 .

Man ermittle folgende Integrale mit Hilfe partieller Integration:

i) J x . eXd'( 2

x-In x dx = .!...l ·lnx

\') Jo,2' c2tdt

ii )

Jz

2 e -1dz

iii)

J

(x 2+x+ I ) ' c xdx

T

\i ) J o (500 - 40t ) ' e , O.lI dt

lv] J (a + bx) e-r xdx 7

\-li) h 1nxdx .

8

420

E inführung in die Integralrechnung

8.4.2 Integration durch Subst itution Häufig gelingt eine Integration dadurch, dass man in f f(X)dx die Variable x durch eine geeignete Fun ktion h: h(l ) ersetzt ("subs tituicr t"). Unte r der Vo raussetzun g, dass h(t) stetig differenzierbar und umkehrbar ist, gilt dann Satz 8.4.9:

(Integra tion durch Subslil utioo)

,---

--'-- - -, ( mit x= h(t».

(8.4.10)

Der Beweis ergibt sich d urch D ifferen zieren beider Seiten nach t, Berüc ksich tigung der Ket tenregel (sie-

hc 5.2.45) sowie(IU .15)um.l der Substitution x = h(I) : i) linkc Scitcvon(8.4.1O):

Jijf(X)dx = Jt j f(X)dx ' dx = f(x) - d_~ = f(h(I» -h'(t) ;

ii) rechtc Seitt:von (8.4.1O}:

d~ !f(h(I» ' h'(t) dt = f(h(t» -h'(t) ,

dl

dx

dt

dt

d. h. (8. 4 .10) gilt unter Berücksicht igung der obl igaten Integrationskonstanten C.

Bemerkung 8A. l l : i) Häufig liest man Sutz 8.4.9 tn[olgender Wdst': (8.4.12)

J ffh(x» .h '(x) dx = J f (l) dt ,

mith(x)=t

bzw. x = h- 1(1) .

Freiheit in der Wahl der Substitutionsfunktion h It) = x (bzw. hex) = r) gelingt in vielen Fällen die Ermiulung der gesuduen Stammfunktio n. siehe z.B. [41}, &1. 3, Nr. 9-28.

ii) Durch die großt'

iii) A us (8.4.10) fo lgt: Wenn in J f (x) dx substituiert wird: x = h(t) , so muss dam uf geachtet werden, dass (luch das Dlff eremiul dx mtsprechena der bekannten Bez iehun g (6.1.6): dx = h'(t) dt transformiert wird: f(x) dx - - fehlt)) .h '(t) dt . A n dieser Stellt' wird deutlich, dass es sinnvoll ist, im Imegranden stets das Differential dx mitzujiihren, da es sich bei Substitution wegen dx = h'(t) dt sozusagen "automatisch" richtig transiormien. Beispiel 8.4. 13: i) Gesucht ist

~ ii) Gesucht ist

~

JV

l-x2 dx.

x

JX ~ dx = - +J Vtdt

J~ x

Substitution:

dx.

Jx ~dx

j

:~+ \ dx.

x

+2x

=_+t

3f2

t = x -1

dt = -2xdx

'*

+C=_+V(l - x2)3 +C.

~

dt = dx

= J(l+ l )Vtdt= J t312 dt+ J t l/2 dt = =

iii) Gesucht ist

~

Substitution: l - x2 = t

~

~ t5/2 +

;t3/2 +C =

~(X- l)5f1 +; (x - 1)3/2+ C.

Substitutio n: t =x4+ 2x2 (> 0)

~

dt = (4x 3+4x)dx

=4(x3+x) dx

8.4

421

Spezielle Integrat io nstcchn iken

Für da s bestimmte Int egral laut et die zu Satz 8 .4.9 analoge Regel für die Integration durch Subs tn uuom

(mit x=h(t ) ;a:h(u) ;b=h(v) )

(8 .4.14)

bzw. in A nalogie zu (8.4.12)

1 b

(8.4 .15)

a

1

heb)

f(h(' » ' h'(, )<1x =

h(a)

f(t)d t

(mitt = h(x)) .

Bemerkung 8.4.16: Gegenü ber der unbestimmten Integration (SalZ 8.4.9) ist jetzt zu beachten, dass auch die Jntegrationsgrenzen entsp rechend der gewählten Su bstitutionsfunktion transf orm iert werden.

h~ z

Beispi el 8.4. 17:

Ge sucht ist

x3

dx .

Substit ution: t '" hex) '" x4 -I ::> dt '" 4x 3 dx. Die Inlegrationsgrenzen XI = 1, x2 = Z transfortnieren sich entsprechend; t l= h(x t ) = l L l=O; t2 "" h(X2),=Z L l =1 5 . Daher: 2

r x3 ~dx =

Jl

+fJo

15

15

Vt d!

=

~t3f2 l

0

:::::9,6825.

Man hätte stattdessen auch die Stammfun ktion F(x) durch "R e-s ubstitu tion" gewinnen können und dann die ursp rünglichen Integrat ionsgrenzen verwenden können: Wegen

wie eben.

Aufgabe 8.4.18: i)

Man ermittle folgende Integra le du rch geeignete Subs titution:

Jxs:. dx

ii )

Jl :::~ dx

üi)

JxVex2+ 1 ' c"2dx "i)

(a'= const.

* I ; x > 0)

f 2VX"

d.'

+x

(Hinweis: xfl ausklammern.)

Mit H ilfe von partieller Integration und I ntegrat ion d urch Substitution gelingt es, eine bet rächt liche Anzahl von Funktionen - wenn auch bei weitem nicht alle - geschlossen zu integrieren . Teilweise ist es da zu erforderlich, ganz spezielle (und für den Anf änger nur schwer erken nb are) Substitutionen zu benutzen, siehe etwa [41 ) , Band 3 , N r. 9- 28 . Ferner sei darauf hingewiesen, dass geb rochen · ra tionale Funkt ionen bei Kenn tnis der Nullstellen des Nennerpolynoms mit H ilfe der sog. Partialbruchzerlegung stets auf Grundi ntegralc zurückgeführt und somit geschlossen int egriert we rden können, siche etwa [4 1], Band 3, N r. I1-17.

422

8

S.5

Ökon omische Anwendungen der Integralrechnung

Einführung in die Integralrechnung

8.5 .1 Kcsten -, Er lös- und Gewi nnfun ktio nen Definitio nsgemäß sind öko nom ische Cesam uu uknone n stets Stam mt unknonen der ents prec henden öko-

nomischen Grenzfunktionen (z.B. ist die Gesamtkostenfunktion Stamm/unk/ion der Grenzkastenfu nk tion, die Erlös/unk tion Stammj unktion der Grenzerlosfunktion usw.). Mit Hilfe des bestimmten Integrals Lässt sich der Zusamm enhang präziser fassen und um eine geometrische Veranschaulichung erweitern,

i) Kostenfunktionen Sei K': K'(x) eine Grcnzkostcnfunktion. Dann gilt nach dem 2. Hauptsatz (Satz8.3.19)- da die Gcsamtkostenfunktion K: K(x) eineStamrnfunkrion zu K ' ist -

(8.5.1)

f

K'(q)dq" K(' ) - K(O). '

Daraus folgt:

K(x)

(8.5.2)

=

l ' K'(q) dq + K(O).

K(O) entspricht gcnau den fixen Kosten Kr. dahe r ste llt das I ntegra l die variable n Kos ten K.,,(x ) dar . Z usammenfassend gelten folgende Beziehunge n zwischen K, K'. K\. und Kr:

(8.5.3) K(x) = l 'K'(q) dq + (I(; Gesamtkos ten.

j lK'I

Kr

K': Grenzko st en;

1(.,,: variable Kosten; Kr : fixe Kosten) A nschauliche Interpretation: Man erhalt die zum O utp ut x geh örenden variablen Kosten K.,{ x) als Flächenmaßza hl des unterhalb der Grenzkostenkurve liegende n Flächenstücks zwischen 0 und x , siehe A bb . 8.5 .4. Die Additio n der Fixkosten Kr liefert daraus die Gesam tkosten für den Output x.

Ix)

o Abb. 8.5.4

Beispiel 8.5.5:

Die Grenz kostenfunktion K' laute: K'(x) = 0,03x2 - 3x + 120 . Fixkoste n. 4.000 G E. Dann gilt nach (8.5.3) für die Gesamtkostenfunktion K: K(x) = d.h.

f ),

,

'

,

(O.03q L 3q + 120) dq + 4.000 = (O.0 Iq3_ 1,5q2+12 0q) I + 4.000

K(x) = 0.0 1x3- 1,5x2 + 120x+4.000 .

2 Um Missverständnisse zu vermeide n, wird zur Untersche idung \"011 der oberen Integrationsgrenze x die Integrationsvariable mit q bezeichnet, siehe Bemerkung 8.2.10 ii).

8.5

423

Ö konomische A nwendungen der Integralrechnung

ii) Erlösfun kt ionen Sei E ': E'[ x) eine G renzerl ösfun ktion. Da die E rlösfunktion E : E(x) eine Stammfunktion zu E ' ist, gilt nac h dem 2. Hauptsatz der Dlffcrcntlal- und Integralrechnung (Satz 8.3. 19):

fE '(q) dq = E(' ) -E(O) .

(8.5.6)

Wegen E(x) =: x · p(x) ist der E rlös E(O)für die A bsatzmenge x=:O stets Null, so dass aus (8.5.6) fü r die Erlösfunktion E: E(x) fo lgt:

(8 .5.7)

E(') = f

E'(q) dq

E(x)=E - E

+

Veranschaulichung: Der Gesamtumsatz E( x) für die A bsa tzmenge x ist gleieh dem Inhalt der Fläche unter der Grenzerlöskurve zwischen 0 und x (siehe Abb. 8.5.8). Dabei beachte man, dass in (8 .5.7) unterhalbder Abszlssc liegende Flächenstücke negativ gezählt werden. siehe Bcmcrkung 8 .3.30. BeispieI B.5.9:

(xl

Abb. 8.5.8

E ine Grenzerl ösfun ktion sei definiert durch: E '(x) '" 1.044 - 0.6x.

Dann lautet die Gleichung der E rlösfunktion nach (8.5.7): E(x) ""

1, o

(1.044 - O.6q) dq '" (1.044q - 0,3q 2)

'

I '"

o

1.044x - O,3x2 .

Die zugehörigePreis-A hsatz-Funktion p(x) lautet (mit E(x) "' X' p(x)) : p(x) ""

iii)

•

E~X)

=

1.044- Q,3x.

Ge winnfu n ktionen

Definiert man den Cesan ugewtn n G(x) - wie üblich - als Differenz zwischen E rlös und Gcsarntkosten, G(x) ,= E(x) - K(x). so folgt aus (8 .5.3) und (8.5.7) sowie Satz 8.2 .16:

G(') = E('} - K(') = f E'(q) dq - f K·(q) dq - Kr d.h. (8 .5.10)

G(') = f.'iE'(q) -K'(q)] dq -Kr

Daraus ergibt sich der Deckungsbettrag (oder Bruttogewinn) Go(x) (als Differenz aus E rlös und variablen Kostcn)zu (8.5.11)

00(') = f.'iE'(q) - K '(q)] dq E'

Daher erhält man graphisch den Deckungsbeil rag an der Stel le x a ls Maßzahl der Fläche zwischen Gre nze rlös· und Gre nzkostenkurve . siehe A bb. 8.5 .12 (DicSubtrak-

o

x

Abb , 8.5 12

lxi

424

8

Einfüh rung in die Integralrechnu ng

traktion der Fixkosten liefert den Gesamtgewinn G(x» . Man beach te be i der gra phischen Gcwtnncrmittlung, dass

diejenigen H ächenstücke, in denen E' unterhalb von K' liegt [d.h. m it E '(x) < K'(x» , in (8.5 .11) negativ gezäh lt werden, so dass sich der resultierende Decku ngsbeitrag als D iffer enz der positiv undnega tiv gezählten F lächerunhalte ergibt, siehe A bb . S.5. 13. Man erkennt erne ut, das s da s Gewinnmaxi mum im Schni ttpunkt Xo von Grenzerl ös- und Gr enz kosten ku rve liegen muss.

K'

G_

lxi

x

Die Oe......i nncrmütlung auf graphischem Wege kann imo mer dann vorte ilhaf t einges etzt werden, wenn es mehrere r Sehrunpunkte von E' und K ' [ d.h. mehrere Kandidaten Abb. 8,5. 13 fü r ein Gewinnmaximum) gibt. A ls Belspie l werde eine doppelt-geknicktePreis-Absatz-Funktion sowie konstante Graukosten gewählt (siehe Kap. 6.3 .2.4, Abb. 6.3.50). Wegen der Unstetigkeit der Grenzerlösfunk tion existieren zwe i Schnitt stelle n xI,x2 zwischen Grenzerlös und Grenzkosten (x2 > xI>. Je nach H öhe vo n K' kann XI oder x2 die gewinnmaximale Menge xG liefern. Nun ste llt das Integral

f. " "

(E '(q) - K '(q)) dq = G(' , ) - G(' l)

den zu.~ätzl ichen Gewinn über G( xI ) hinaus dar . Ist dieser Zusatzgewinn positiv (bzw. negativ), so liegt da s Gewi nnmaximum in x2 (bzw. xJ ). Für die E ntscheidung hat man also abzuschätze n, ob die positiv gezählte n Gewi nnflächen -lnhalte d ie negativ gezä hlten Gewinnfl ächen -I nhalte überkompensieren odernicht.

In

IKI

............

r

f'

i.

K'

!r

-I

K'

lxi

+---~---~--c--

x,

,, ,, ,

K'

K'

S"-C+

D ieAbb. 8 .5.14 /8 .5.15 zeigen die beide n entsprechenden Situationen:

Abb , 8.514

r

K'

K'

Abb. 8.5.15

lxi AUfgabe 8.5. 16: Gegeben sind d ie Grenzkosten K' sowie der Grenzerlös E ' einer Ein -P rodukt-Unternchm ung d urch folgende Funklio nsgleichungen: K'(x) = 3xL 24x + 60 ; E '(x) = - 18x + 132 . Die Gesamtkoste n für den O utp ut 10 ME betragen 498 GE. Man ermittle I) die E rlösfunktion ii ) die Kostenfunkt ion iii ) die Preis-A bsatz-Fun ktion iv) den gewinnmax imalen Pre is sowie ,.) den maximalen Gesamtgewinn.

8.5

425

Ökonomische Anwendu ngen der Integralrechnung

8.5.2 Die Konsum ent enre nt e Es sei eine monoton fallende Nach fragefunktion

I lpl

p(x) gegeben und der sich autgrund des Marktniecbamsmus einstellende Gleichgewich l~ ll un kt Po

I

(Abb. 8.5.17). Man erkennt: Viele Nachfragerhätten auch einen höheren Preis für das Gut bezahlt, als sie ihn jetzt im Gleich gewi cht spunkt zu zahlen haben. Diese Nachfrager sparen also dadurch etwas, dass der tatsächlich gezahlte Preis Po niedriger ist als der, den sie zu zahlen bereit gewesen wä ren. (Insgesamt zahlen sie E o = Po ' Xo GE, was dem Flächeninhalt des schraffierten Rechtecks in Ab b. 8.5.17 entspricht.)

Abb. 8.5.17

~-- p(x/

lxi

Es soll nun dieFrage beantwortet werden, wie groß die Summe E- ist, die die Konsumenten insgesam t zu zahlen bereisgewesen wären, wenn jeder den für ihn gerade noch akzeptablen höchsten Preis gezahlt hätte. Dazu wird die Ab szisse von 0 bis Xo in n Intervallc mit den Längen dJq ,dx2....,dxn unterteilt. Außerdem nehmen wir vereinfachend an , dass über diesen Intervallen der Preis gleich dem Preis in den Endpu nkten des jeweiligen I ntervalls ist, S. Abb. 8.5.19. Wir sehen: Beim Preis PI werden dx l Mß nachgc fragt, der zuge h örige Erlös betragt dE I = PI . dx\. Sinkt der Preis auf P2' so konuncn (in der Annahme, dass die erste n
E-

(8.5.18)

Abb. 8.5 19

o

~,

"

= dE I+dE2+ ... +dE n = Pldx l+ ... +Pndxn = 2Pidxi i _1

Dieser Wert E* des Gesa mterlöses ergibt sich unter der Annahme, dassjeder Nachfragerden Preis za hlt, den er gerade noch zu z ahlen bereit ist, ehe er auf den Konsum des Gutes verzichtet . Graphisch stellt sich dieser Erlös E * dar aIsSumme der Flächeninh alte sämtlicher Rechtecke unter der treppenförmlgen Nachfragekurve (siehe Abb . 8.5.19). Lässt man nun die Anzahl der Preisstufen und damit die Anzahl der immer schmalerwerdenden Rech tecke aber alle Grenzen wachsen, so nähert sich die Treppenkurve der stetigen Nachfragefunktion p(x), die Summe P der Rcchtccksflächeninhalte nähert sich dem Flächeninhalt unter der Naehfragcfunktion, d. h. (wegen p > 0) dem bestimmten Integral

P

=

l~X)dx

Abb.8. 520

P,

lxi

o (siehe Abb. 8.5. 20) .

x,

426

8

Zieht man von d iesem Betrag E · die ta tsächlich von den Ko nsu menten insgesamt gezah lte Summe Po ' Xo = Eo ab , so erhält man mit de m Inhalt der schraffierten Rächein A bb. 8.5.21 diejenige Summe KR . die die Konsumenten insgesamt ~ci ngc­

Einführung in die Integralrechnung

IIpl I

Abb. 8.5 2 1

spart" haben dadurch, dass jeder Konsument nur den Preis Po gezahlt hat. Diese Differenz KR = E'"- E o zwischen theoretisch möglichen und tatsachlichen A usgaben wird

P,

Po EI) = Po'x(}

Konsumentenrente genannt, ihre H öhe ist ein Maß fur d le , Vo rteilhatligkeit q des G üterkaufs.

{xl

'0

0

DcrWert KR der Konsumentenrentebeträgt (slehe Abb. 8.5.21)

(8.5.21)

(=

Konsumemenreme]

Beispiel 8.5.23: Gegeben seien die Nachfragefunktion p(x) = 10 e- O,5x sowie die Gleichgewichtsmenge Xo = 2 ME . D ann beträgt die Ko nsumcntcnrcnte: 2

KR =

2

r lOe - O,5x dx - 2 ' 10 'e- 1 = -20e- O,5x oI - 7,3576 = - 20e- 1+ 20 -7,3576 ~5,2848 G E, J,

beträgt also ca. 72 % des tatsächlichen Umsatzes von 7,3576 G E.

Aufgabe 8.5.24: Gegeben seien die Nachtragefun ktion p:Jx) = -ux + b und die Angcbo tsfunkti on PA(x) = cx + d mit a.b.c.d > 0 sowie b > d . i) Man ennittl e d ic Konsumentenre nte im Mark tgleichgewicht. ii ) Welchen Wert mu ss der (absotutcj Steigungsraktor a der N achfragcfunktion aufwe isen, damit d ie

Konsumentenrente maximal wird? Aufgabe 8.5.25 : Für die Nachf ragcfunktion Pl\{x) = 18 - 0 ,l x 2 und die A ngcbot sfunklion PA(x) = O,5x + 3 ermittle man die Konsumentenrent e im Marktgleiehgewie ht. Aufgabe 8.5.26: Eine Ein -Prod ukt -U nt ern ehm ung operiere mi t de r Ges amtkos ten funkt ion K: K(x)= 5x +80 und sehe sieb der Preis-Absatz -Fun ktion p(x) = 125 x . x s 125 ME , gegenüber. Man ermittle die Konsu mentenre nte im Gewinnmaximum.

V

(Hinweis: Mit den rechnerischen Lösungen von Wurzelgleichungen isl stets die Probezu machen!)

8.5.3 Die Produzentenrente E s sei für ein G ut eine monoto n steigende Angebot sfunklion vorgegebe n. Diese A ngebot sfunktion sei d urch Aggregation in der Weise zustande geko mmen , dass jeder Produzent seine gesamt e Warenmenge von einer bes timmten Prelsuntergree ze an anbietet: Ste igt der Markt preis, treten neue Anbtctcr hinzu, d ie bisherigen An bieter ha lten ihr unverändertes A nge bot aufrecht.

8 .5

427

Ökonomische Anwend ungen der Integralrechnung

Es stellt sich nun aufgrund der Naehfra gefu nktion ein Marktgl cichgc\\oicht Po(xo' Po) ein (siehe A bb. 8.5.27). Dad urch, dass im G leichgewicht sämthchc An blcter z um Preis Po verkaufen können, crhaltcn dicjcr ügen A nbictcr, die ihren gesamten Warenbestand bereits zu einem geringeren Preis verkauft hätten, einen zusätzlichen Gewinn.

I lpl I

Die Summe PR aller d ieser zusat zgewmne nennt man Produzentenrente.

txt

Ana loge Übe rlegungen "'i e bei der E nnittlung der Konsumentenrente fü hren zum E rgebnis, dass der gesamte Flächen inhalt unter der A ngebot sfunktion zwischen 0 und Xo dem gesamten Minimalumsatz entspricht, wennjeder Prod uzent seine gesamte Ware zum kleinste n akzeptablen Preis verkauft.

Abb. 8.527

Der aufgrund des Marktmechanism us ta tsächl ich erzielte Umsatz E o = xoPo ( f;; Flächeninhalt des Rechtec ks O,xo,Po-Pc (A bb. 8 .5.27) übertriff t den Minimalumsatz. so dass sich die Produzentenrente PR als Differen z alt"! eral elrem und mindestens erwartete m Umsatz ergibt zu

(8.5.28)

(siehe d as getönte F/ächenslück in A M . 8.5.27) .

Beislliel 8,5.29: Für die A ngebot sfunktion PA(X) = 0,25 (x + 2)2 und die Gleichgewichtsmenge Xo = 3 ME lautet die Produzentenrente (wegen Po = 6,25 GE / ME) :

PR = 6 ,25 ' 3 -

, 1 o

0,25(x+ 2)2dx = 18,75-

I

'

x+ 2)3 1 = 9GE,

12(

o

entspricht also 48% des tatsächlichen Umsatzes.

Bem erku ng 8.5.30: Wird die aggregierte Angeöotsfueküon PA(X) durch Überlagerungindiv iduellerAngebotsfunknonen erzeugt, so existiert keine Produsemenreme , da jeder A nb iaer gemäß seiner individuellen Angebotsfunktion zu unterschiedlichen Preisen auch unterschiedliche Mengen anbietet.

Aufgabe 8.5.3 1: Gegeben seien Angebotspreise PA(X) und Nachfragepreise rr..{x) durch die G leichungen: PA(x) = 0,5x 2+9 sowie ",,{x) = 36-Q,25x2 (x: Angebols- bzw. Nachjragemenge). Man ermittle im Marktgleichgewicht Aufgabe 8.5.32:

I) die Konsumentenrente

ii) d ie Produzentenrente.

Gegeben seie n die Nachfrage- und Angebotsfunktion wie in Aufgabe 8.5.2 4.

I) Man ermittle die Produzenten rente im Marktgleic hgewicht. ii ) Bei welchem Steigungswe rt c der A ngebot sfunkt ion ist die Prod uzentenrente maximal?

428

8

Einführung in die Integralrechnung

8.5.4 Kontinui erlich e Zahlungsströ me Die Integralrechnung ermöglicht eine einfache und elegante Darstellung ökonomischer Modelle, in denen es auf die Bewertung von zeitverschiedenen Zahlungen und Zahlungsströmen ankommt (wie etwa in der Investitionstheorie oder w acbstumsrbeorte). Nach dem Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik 3 Ist ein Vergleich ode r eine Aufrec hn ullg zeitverschiedener Za hlungen nur zulässig, wenn zuvor säm tliche Za hlungen auf einen gemeinsa men Bezugstermin diskonti ert wurden. Statt der in der Praxis ublichcn fdiskret en) Zinseszinsmethod e werden aus Gründen de r mathe matisc h einfache ren H an dhabung im folgenden stets die zum diskret en Fall äquivalenten ste tigen Auf-/Abzinsungsl'orgällge betrachtet .

Beispiel 8.5.33: E in heutiges Kapita l Ko = 100 € hat bei diskreter jährlicher Verzinsung zu i = 8 % p.a. in 20 J ahren den E ndwert K20 = Ko(l +i)20 = 100 · 1,08 20 = 466,10 €. Ben utzt man stattdessen den äqu ivalenten ste tigen Z insvorgang, so folgt mit dem aquivalenttn sietigen 4 Zinssatz r = In( 1+ 1) = In1,08 = 0,0 7696 1 für den E ndwert. K20 = Ko ' er ' 20 • 100 · e 20 ' 0,076961 = 466,10 € , also da sselbe Resultat wie bei d iskrete r Aufzinsung.

Es werde nun angenommen, dass die mit einem ökonomischen Prozess verbunde nen Zahlungen in Fonn eines stetigen und kontinuierlich fließenden Zahlungs.<;lroms R(t) erfo lgen.

I IRI RfI/ _.-

Dabei gibt der Wert der Stromgrö ße R(t) im Zeitpun kt t nicht d ie H öhe eine r einze lnen Z ahlung an, sondern die Gesc hwindigkeit ode r Breite des Zahl ung.~s t rom s im Z eitpu nkt t (gemessen in Gel deinhei ten pro Zeitei nhe it, z.B. € /M onat oder T€ IJ ahr).

lW / rh

I,

Die Summe K de r in der Zei tspanne zwischen t und H dt (also während dt Z eiteinheiten)geß ossenen Zahlungen ist nu n näherungswcise gegeben durch das Prod ukt aus mome nta ner Zahlung.~ge­ schlli ndigkeit (= R(I» u nd Zeitdauer dt des Flusses gegebe n:

(8.5.35)

R

I IRI

K = R(1) ' d t

Dieser Wert en tspric ht dem Inhalt des sch raffier(tl ten Flächenstreife ns (A bb. 8.5.34). Zerlegt ma n 0', It nun das gesamte Int erv all [11;t2] in so lche "ZahAbb. 8.536 tungsstrelren- und verfeine rt da nn diese Zcrlcgung inuner weiter, so nähert sich die Summe K aller zwischen t1 und t2 geflossenen Zahlungen immer mehr dem Flächeninhalt unter R(t) , d.h . dem bestimmten Int egral von R (t) zwischen t I und 12 (Ab b. 8.5.36) . Im Grenzfal l gilt : Satz 8,5.37:

Wird ein kontinui erlicher

Zahlungs.~trom

besc hrieben d urch d ie (stüc kweise stetige)

1"

Gesch....in digke itsfu nkt ion R(t) in G E IZ E , so fließt im Zcitintervall [tt-tz] insgesami das (nominelle) Kapital K mit (8.5.38) K= R(t) dt ,I

3 siehe etwa 166J, Kap. 2.2. 4 siche z.B . [66], Kap. 2.3.4 .

8.5

429

Ökonomische Anwendungen der Integralrechnung

Beispicl 8.5.39: i) Es sei ein konstanter Za hlungsstrom mit R(!) = 36.0 ()0 [ € /J ahr] = co nst. vorgcgcbcn (z.B. Rückflüsse aus einer Investit ion). Dann fließen in der Zeitspan ne von t l = 0 bis 12 = 45

1

45

nominell insgesamt

K =

o

45

36.000 d t = 36.000t

I = 1.620.000 € .

0

ii) Es werde unterstellt, dass der Zahlungsstrom von i) stetig um r = 3% p.a. steige. so dass im Zeit punkt t d ie Zah lungsgesehwindigkeit R( t) = 36.000 ' eO.03 · 1 betr ägt. Dann fließen zwisc he n tl = 0 und t2 = 45 nominell insgesamt: K =

'.

1.

45

16 000

I = 1.200.000 (e l •35- 1) = 3.428.9 10,64 € .

45

36.00 0' eO,031 dt = . 0 '03 eO,031

Um die zeuversclacdenen ZahlungeIl \'ergleichbar zu machen, werde n sie (zunächst) auf den Ze itpunkt t = 0 diskontiert:

(i) Jcde d iskrele Z ahlung R, die im Zeitpunkt t fällig ist, hat im Ze itpu nkt 0 den Gegen wartswen

Ro = R · e - n .

Ru mit

Beispiel: Es seien gegeben. R = 1000€, r = 5% p.a. a) Fä lligkeit in 8 J ahre n: t = 8 ~ b) Fälligkeit vor 4 J ahren: t = - 4 ~

R o = 1000· e - 0,05 ' 1l = 670,32 € (he ute) ;

Ro = 1000 · e - 0•05 · (- ~ )

(11 ) Den G egen wartswen kontin uierlicher Zo hlungsströ-

me e rhält man dadu rch, dass man bei der Intervallze rlegung jede T eilza hlung R(t) dt, die im I ntervall [t ;t +d t 1 ffießt, mit dem ents prechende n Barwertfaktor e- n multipliziert (- R(I) ' e- n ut, sieheA bb. 8.5.40 ) und dann erst sämtliche so abgczinste nTeilbeträge per Grenzübergang zum ge samten Gegenwartswert Ko addiert, d.h. integriert. Damit erhalt ma n als Gegenwartswert Ko (im Zei tpunkt 0 ) eines zwischen I1 und 12 kontlm nertich lließenden Zahlllng....strcm es R(t):

= 1000 ' e O,2 = 122 1,40 € (heute).

I IR! Abb, 8.5 40

R

,

o r-~----"'..,j--'- !!! IIR/

(8,5.4 1)

(Abb.8.5.41).

Abb . 8.5 41

l~

Für den SpeziaIfalll l = 0, t2 = T lau tet der Gcgenwattswert eines von 0 bis T kontinuierlich fließe nden Zah lungsst roms

I IR/ (8,' ,42)

(AM . 8.5.42).

Ken nt man dcn Gegenwartswert Ko, so kann man den Zeitwert Kr des Zahlungsstroms zu jedem helicbigcn Ze itpu nkt r d urch ents prechendes A uf-/ Abzinsen mit er!" enni tteln:

___ Rlll dt

Abb , 8542

8

430

Einführung in die Integralrechnung

(8.5 .44)

Für den Fall eines konstanten Zahlungsstmms kann die Integration allgemein d urchgeführt werden: Mit R( I) := R '" cons Lfolgt aus (8.5 .41):

K"

(8.5.45)

un d daraus im Fall

tj e

=

f,",

R

ü; 12=T :

rT

(8.5.46)

Ko= J o R ' c~ rtdt= R '

Bei.\piel 8.5.47:

l _ e- rT

r

Es sei R = 36.000 [€ /Jahr] e const.. r=8 %p.a.

i)

Dann laut et der Gegenwartswert des von I1 = 0 bis 12 = 45 fließenden Z ahlungsstToms:

Ko =

( 45

1

-36

J o 36.00Q· c- O,08I dt = 36.()[)O· ~~08'

= 437.704,32

€ , vgl. dagegen Beispiel8.5.39 i).

ii ) Für R(t) = 36. 000 . eO,031 (siehe Bsp. 8.5.39 ii) lautet der entsprechende Gegenwertswert

Ko

=

5 ' c- O,05t dt fo"36 .000' cO,03I. e-O,081dt f 436.000 =

0

= 36.000 '

I

- 2 25

- e ' 0,05

Ko :

- 644. 112,56 € .

E in Vergleich mit dem en tsp rechenden nomi nellen Wert von Beispiel 8 .5.39 ii) zeigt die starke

den Gcgcnwartswert mindernde Wirkung der Abzinsung. iü ) Die zu i) bzw.

lauten: a)

I
b)

x, '"

ü)gehörenden Gegenwartswerteder im letzten r- 45.)Jahr geflossenen Zahlungen

"436.000 ' e-O,08I dt r"

'"

3~~~~O(c-O,08 '44_ c-O,08 ' 4S)

36.0üO ·cO,03t. e -O,Olltdt j ..

=

1.024,07 € ;

3.890,83 € .

=

Lässt man in (8.5.46) die obere Integrationsgrenze T immer weiter wachsen (T - 0<:», so ist der Gegen ~ wartwert Kö des in t = 0 beginnenden ~ unendlichen" Zahlungsstromsder konstanten Breite R gleichwohlendlich. Aus (8.5.46)folgt nämlich:

(8.5.48)

_ _ R· = T lim

l _ e- rT r

R

in vollständiger Analogie zumdiskreten Falldes Barwerts einer ~ ewigen Rente", siehe z.B. [66], Kap. 3.6.

8.5

Ök onom ische An wendungen der I ntegralrech nung

431

Beispiel 8.5.-19: Lässt man den konstant en Z ahl ungsst rom R = 36 .000 [€/ J ahr 1~ ewj g~ flie ßen, so lautet (be i r = 0.08) der Gege nwartswert. Kö

=

T

r 36.000 ·e - 0 ,08Idt = ~ T_ oo Jo 0,08 lim

=

450.000 € .

Dieser Wert untersch eidet sich nicht wesen tlich vom (in Beispiel 8.5.47 i) ermit telte n) Ge genwartswert bei 45 Jah ren La ufzeit.

Bemerkung 8.5.50: Für den im kurz:

L

""'Re- rl dl

tauen Beispiel auf tretenden Grenzwen

T

r Re-rt dl T_ oo JO firn

schreibt man

und nennt diesen Grenzwen (sof em er existien} uneigentliches lntegra/.

FolgendeFülle uneigentlicher Integrale uberuncndlichcnlntervatlen können unterschieden werden:

Lr(x)dx

i)

Li!X) dx

b!!.rnoo

ji)

f L(X)ax

a3.":oo Lf(x) dx

jii)

•

f

niX) .r: Lr(x) dx '''''

.--

dx Abb. 8 5.5 1

lxi

Beispiel: Die Flüche von _ 00 bis x unter der Dichtefunknon f einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung ist 1'; /1 Maß f ür die Wa1lrscheinfic1lkeil P(X :s x) , dass die hetreffende Zuf allsvariable einen Wen kleinerodergleich x annimmt (AM. 8.5.51): P(X :s x) =

fl Wdt

= F(x) .

Für diegesamle I/llter einer Dichtefuflktion liegende Plache muss gellen: (denn die Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses ist Eins).

f : f (t) dt = I

Aufgahe 8.5.52: Ein Ertragsstrom der ko nstanten Breite R "" 98.000 € / J ahr fließe vom Zeitpunkt tl = 2 anfür 20 Jahre (d.h.bis ta = 22). Ste tiger Zinssatz; r "" 7% p.a. Man ermittle i) den Wert aller E rträge im EnJ- su....-ie Anfan gszeitpun kt des Z ahlu ngsstrom s. ii) de n Gegenwartswert (t = 0) aller E rträge; iii) den Gegenwartswen (t = 0) aller E rträge , wenn der E rtragsstrom vo n unbegren zter Da uer ist;

h ") den G egenwart swert (t = 0) des E rtragsstrom s. wenn seine Breite R(t) (2 :S t S 22) gegeben ist durch Aufgabe 8.5.53:

a) R(I) '" 98 .000 ·eO ,02(t ~ 2) ;

b) R(t ) = 98.000 ' (1+0,02 (1-2))

Gegebe n ist d ie Dichtefu nktio n f einet stetigen Zufallsvariablen X durch

fex) =

1

0 für x < 1l 3' c- 31 fiir O:S x -c00

Man erm ittle die Wahrscheinlichkeit dafü r. dass gilt: i)

Xs0

ii) X > O

nn x s s

h'l X > 1

v) 2 < X S 3.

8

432

E inführung in d ie I ntegralrech nung

8.5.5 Kapita lstock und Investiti onen einer Volkswirtsc haft Die Stromfunktion I: I(t) [ = Nettolnvestl tjonen im Z eitp un kt t] gibt an, wie hochdie Ne tto- Investiüonsgeschwindigkelt (gemes sen z.B. in Mrd. € /J ahr) einer Volkswirtschaf t zum Z eitpunkt I ist. Bezeichn et man den in I vorha ndenen Kapitalslock der Volkswirtschaft mit K(t) , so gilt dcfi nitionsgcmäß: Die ze itliche Änderung K'(t) des Kapital stocks ist gleich den Nenotnves uuo nen:

I

(8.5.54)

K'(t) = !(t)

I,

Die D ifferenz K(T)- K(O) gibt die Ände rung (Zuwachs od er A bnah me) des Kapilalslock.s in der gesamten Zeitspa nne zwischen t = 0 und I = T an, kan n also als Sum-

(I!

me ( = Integral!) allerzwischen 0 und T getätigten Nettotovesuuonen aufgefasst werden. In der T at ergibt au s (8 .5.54), siehe auch Abb. 8 .5.56: T

(8.5 .55)

T

T

1!(t) dt =1 K'(t) dt =K(t) 1=K(1) - K(O) ,

(f/

0 0 0

o

De r Bestan d KfI) des Kepttals tocks im Ze itpunkt T be t rägt dah er:

Abb. 8.5.56

T

(8,5,57)

K(l) = h l(l)dt + K(O)

Beispiel 8.5.58: Die jäh rliche Rate der Nettcin vcsuuoncn betrage: 1(1) = 7 · t O,4 (in Mrd. €fl ahr). Der Kapitalstoc k in [ = 0 bet rage: K(O) = 800 Mrd. € . i)

Im Zeitpunkt T (> 0 ) beträgt der Kapitalstock allgemein

K(1) =

L T

7 · tO,4 dt + K(O)

T

,41+ 800

5 ·t1

c

=

5 ' T 1,", + 800

ii) Die Kapitalakkumulati on beträgt

a) b)

im ersten Jahr: im 10. Jahr:

K(l) -K(O) = 5 Mrd. oE: ; K(lO) - K(9) = 5(10 1,4-9 1,4) ~ 17,22 Mrd. € .

iii) Der Kapitalstock nach dem 10.Jahr bet rägt:

K(l O) = 5 _10 1,4 + 800 = 925,59 1-lrd . € .

Aufgabe 8.5.59: Ocr Nettoinves titio nsfluss 1(0 ) im Z eitpunkt 1 = 0 be trage 1.000 Mrd . € /J alu. Ocr sich aus ~ Urzeiten " (1- - 00) b is heu te (t :: 0) gebildete Kapit alsrock habe sich aufgebaut d urch jährlich mit 10% (stet ige Zu nahm crare] steigende Nett oinvestiti onen. Man ermittle i)

die.Net toin vestitionsfunktion I: 1(1)

ii)

den Kapitalstoc k in I = 0;

iii)

den Ka pitalstoc k in 1 = T ;

iv)

die Kapir alakk umu larion zwischen

(Hi nweis: Es muss gelte n: I(t ) ::o c · c o.lt )

a) 1= 9und t= 11

b) t

e

e

;

I üü und t e

ü

.

8.5

Ökonom isch e Anwendungen der Integralrechnung

8.5.6

433

Opti male Nu tzungsda uer von In vestitionen

U nt er dem Kapital wert Co eine r In vestiti on versteht man die Surrune aller auf den Planu ngszeit punkt t:: 0 (La. I nvestitionsbe ginn) d iskonti erten (abgezinsten) Za hlungen. die mit der Investition verbunde n sind:

.., T

Co :: - A + 2 (e l - at ) ' q -t + L(I) ' q -T

(8.5.60)

Dabei bedeute n. A : Investitionsauszahlung in t :: 0 ; Cl' a l : E inza hlung bzw. A usza hlung der Periode 1 (nachschüssig); T: wirtsch aftliche Laufzeit des I nvcstitionsprojektcs ; L(I): Liquidat ionserlös der Anlage (E nde Period e 1); q :: I + i: (d iskreter) Z insfaktor (pro Periode). Fasst man d ie E in- und Auszahl ungen als stetige Zahl ullg.'iStröme e(1), a(t) auf (siehe Kap . 8 .5 .4), so laut et der Kap italwert (8.5 .60) ana log zu (8.5 .42):

Co(I) '" - A + J J e(t)-a(t» e - r l dt + L(I) ' e -"

(8.5.61)

(dabei ist r :: In (1+i) die zu i äquivalente stetige Z insrat e pro Periode, siehe Beispiel 8.53 3) . (A)

Un tcr der optimalen wirts chaftlichen NUlzungsda uer de r Etmeunves tutc n versteh t man diejenige La ufzeit T. für die der Kap italwert Co(I) maximal wird. Notwendig für ein relatives Maximum vo n Co ist die Beding ung Cn'(T):: O. Mit Satz 83 .12 sowie der Produkt- und Kctt enr egel folgt aus (8.5.6 1):

o'" Co'(I) :: (e(I) - a(l)

(8.5.62)

' e - rT + L '(T) ' e - rT - r L(T) e- rT .

Nach D ivision durch e - rT ('* 0) fol b'! als notwendige Optimalhedingung für die N utzungsdauc rT: (8.5 .63)

I 00" I « I) =0(1) '"

« T) ' L'(I) • "lI) ' d {I)

L(I) - L'(1)

I·

Man ka nn c(1). a(T) als zu~ätzliche Ein-, A uszahlungen auffassen , wenn d ie A nlage über T hinaus eine weitere Pe riod e genutzt wird . Entsprechend bedeut en r ' L(T) die entgangenen P erioden zinse n auf den bei Weiternutzung nic ht rea lisierte n Liqu idat ion serlös und L '(T) die Ände ru ng des Ltq uldanoesen öses bei Weitemutzun g um eine Period e (i.a. gilt: L '(T) < 0) . D ie Optimalbcdingung (8.5.63) ents pricht also der beka nnt en Gewinrunax imieru ngsbedi ngung "G renzerlös = G renzkos len~. siehe (6 3 .35). Beispiel 8.5,64: Einelnvestition erfordere 2.000 GE in I :: O. Einzahlungsstrom. e(t):: 1.000 +50 t (G E /J ahr ); A uszahlu ngsstrom. a(t ) = 500 + 90 t (G E / Jahr); Liquidationserlös. L(t) :: \. 600 - 100t (0 s t s 16); stetiger Kalkulat ionszinssat z: r e 10 % p.a .

~

Kapitalwert:

Co(T) :: - 2.000 +

L T

(500 -40t) e- O,lt dt + (1.600 - toOl)e - O.1T .

Notwendig dafür, dass T die o ptima le Nutzungsdau er darstel lt. ist:

o = Co'(1) = (500 - 40T) e- o.11' - 100 ' C- O.1T - 0, 1(1.600 - 100I) e -O,11' , o :: 500-40T- 100 - 160 + ior , d.h. T = 8. Die opt imale Nu tzungsdau er be trägt somit 8 J ah re .

d.h .

8

434 (8 )

Man kann den Kapttalwert Co (s. H.5.6 1) in einen äquivalenten konstanten Gewlnustrom R umwan deln . der währ end der La ufzeit von 0 bis T fließ t (" äq uivalente A nnuit ät" ). Nach (8.5.46) ist der auf t = 0 bezogen e Ge genwartswert K;, de s kons tanten Stroms R zwischen 0 und T gegeben durch

Ko '"

(8.5.65)

1

T

o

I

(8.5.66)

R =

_rT

R ' c - rt dt '" R · ....:!....-

'

Da der Gegenwarts....crt Ko genau dem Kapitalwert (8.5 .65) d ie dqulvalent e Strombre tte R zu

(e)

E inführun g in die In tegralrec hnung

r'

cnm

1-

c- rT

Co de r Investit ion ent spricht , ergibt sich aus mit Co(l) gemäß (8.5.61).

Wird die Investition von "unendlich" vtel en Idennscben ;'I;achfolgem abgelöst, so besitzt jede Einzclinvcsntlon denselben Kapitalwert und somit dieselbe Gcwinn strombrcite R . I nteressant ist dah er die Frage nach derjenigen individuel len Anl a~..e n- N utzu ngsda uer T, die den (konstanten) Cewtnnstrom R (für alle Zeiten) zu einem Maximum macht (in d iesem Fall ist T die Nutzun gsdau er einer einzeln en Anlage innerhalb der unendlichen Invesüu onskctte). Aus (8.5.66) ergibt sich als not ....endige Optimalbcdin gung (Qu otientenrcgel !)

o=

d.h.

(l_c - rT)2

! _ ~-rT

Co'(l)-

(8.5.67)

r ' Co'(T) ( 1 - c- rT) - r L Co(T) e- rT

R '(T) =

= e-rT Co(l")

• (T >O).

M it (8.5.6 1)/(8.5.62) ergib! sieh damit fü r die gesuchte optimale Nut zun gsdau er T d ie Bed ingung:

(8.5.68)

I _rT (c(T) - a(T) ;. L '(T) - r ' L(T»....:L. = - A +

r

1T 0

(e(t) - a(t» · e - " dt + L(T) ' c -r'l·.

In (8.5 .68) kön nen - je nach Sachlage - Vereinfachungen eingea rbeite t werd en, z.B: a)

E s seien nu r dieAusga hen a(t) [z.B . ein Rep araturk ostmsuo m] relevant, zu keiner Zeit falle ein Liquidationserlös an (d.h . L(T) =- 0 ): Dan n folgt aus (8 .5.68) die Bed ingung: l _ c- r'1'

-a(T)' -

(8.5.69)

-

r

=

1T u

- a(t) c?' dt

1

«

A

hzw.

!_e - rT a(t)'c -rt d t+ A = a(T) ' - -

T

o

'

Für die resultierende optimale Nutzungsdauer T ist der Kosten strom auf " (.·wig~ minimal . b)

Über die Vereinfacbungen von a) hinaus möge der Zi nseszinseffek t vernachlässigt (r- 0) l-c- rT werden (sta tisc he Bet rachtung). Wegen lim - = T folgt a us (8.5. 69): r_

O

r

T

(8.5.7 0)

l a(t)dt + A = a(T) ' T

Für die so enni tt cltc o ptimale N utzungsdauer T sind die nomincll en Gesamtkosten pro Zeit einheit minimal (au f ~t:wig~) .

8.5

435

Ökonomische Anwendungen der Integralrechnung

Beispiel 8.5.7 1: Es werde die Investition vo n Beispiel 8 .5.64 betrachtet, wobei nunmeh r unterstellt wird, dass sie beliebig viele identische Nachfo lger besitzt. Dann ergibt sich d ie op timale Nuaungsdauer 'T einer jeden Einzelinvestition aus (8 .5.67) bzw. (8.5.68): Der Kapitalwert C o la utet nach (8.5.61): Cor D = - 2.000 +

L T

(500 - 40t) · e -O,H dt + (1.600 - lOO1) e -O,l'l' .

Das auft retende Integral muss mit Hilfe der panic1len Integration (siehe 8 .4.6» gelös t werden . Nach Au fgabe 8.4 .8 vi) ergibt sich:

L T

(500 - 40t ) · e -o.1t dt = e -o,lT. (400T - 1.000) + 1.000,

so dass der Kapitalwert Co der Invest ition lautet:

(8.5.72)

Co<.Tl = - 1.000 + C-O,IT. (300T + 600)

(8.5.73)

Co'(T) == e-O,IT · (240 -30T).

Bemerkung:

mit

Aus (8.5 .73) f olgt unmittelbar; da ss die opt imale Nu tzungsdauer der isotien betrachteten In vestition 8 Jahre betr ägt: C'(8) '" 0 , siehe Beispirl8.5.64.

Setzt man (8.5.72), (8.5.73) in die Optimalbcdingung(8 .5.67) ein, so folgt naeh etwas Umfonnung: 34 - 3T- 30 ' e- o,1T = O. Mit Hilfe etwa der Regula falsi ergibt sich d ie optimale Nutzun gsdauer jeder Teilinvestition zu: T ::= 5,6494 ::= 5 2/ 3 J ah re . Der Kapitalwert jeder T eilinvestition beträgt nach (8.5.72):

C o(5,65) "'" 304,4 G E

(zum Vergleich: FÜr dieselbe, aber isoliert bet rachtet e Investition ist der maximale Kapitalwert du rch Co(8) "'" 347,99 GE gegeben .) Für den aou ivalenten konstanten Gewinnstrom R ergibt sich nach (8.5.66):

, . C,

R = -----:rT ::= 70,52 GE / J ahr 1-,

(auf " C\\ige ~ Zeiten) .

Dies entspricht einem Gesamtkapitalwert C ö der unendlichen Investitionskette von (siehe(8 .5.48» C;'=

~

= 705,19GE.

(Zum Vergleich: v erwendet man die isolierte Einzelinvestition von Bcispic18.5.64 als Glied einer unendlichen I nves titionskette (mit T = 8, Co(T) := 347, 99), so ergibt sich - trotz höheren Einzelkapitalwertes - nur ein ewiger Gewinnst rom von R se 63,19 G E /J ahr, was einem Gesamtkapitalwert der unendlichen Kelte von 63 1,93 GE entspricht - also deutlich weniger als im O ptimum .) Werden Einzahlungsstrom und Liquida tionserlöse vernac hlässigt (d.h. nur die mit de r I nves tition verbundenen A uszahlungen seien entscheidungsrelevant), so folgt über (8 .5.69) für die optimale Nutzungsdauer jeder Tellinvestition. (8.5.74)

l°

'l'

-O I T

(500 +90t) · e - o·ltdt + 2.000 = (500+ 901) I - c ' 0, 1

.

Nach etwas Rechnung (part ielle Integration) und Umfonnungfolgt daraus d ie Optimalbcdingung: mit der Lösu ng(Regula fälsi]: T = 7,50 J abre. 9T - 110 + 90 · C-O.1T = 0

8

436

E inführung in d ie Integralrec hnung

Der entspreche nde minimale ewige Auszahl ungsstro m ergibt sich - da der Kapita lwert Co aller Auszahlungen durch die linke Seite von (8.5.74 ) und somit im Optimum auch du rch d ie rec hte Seite von (8.5. 74) da rgestellt wird - aus (8 .5 .66) zu: R = 500 + 90T = 1.175 GE/ J ahr . Verzichte t man be i statisc her Betrachtung auch auf die Verzinsung im Z eitablauf (r = 0), so e rhält

L

manübcr(8.5.70)wcgcn

T

(500 + 90 r) dt + 2.000 = (500 + 90T)' T

d ie op timale N utz ungsdau er jeder T eilinvestition zu: T = 20/3 J ahre = 6 J ahre und 8 Monat e.

Daraus resultierendurchschnittliche nominelleA uszahlungen pro Zeiteinheit in Höhe von

~ Aufgabe 8.5.75:

E s seien

1

·(1 T

a(l) ut + A) = 1.100 G E /Jah r.

T

a(t) d r + A

d ie gesamten wä hrend der Nu tzungsdauer T eine r Inves tition gctci-

ste ten nom inellen A uszahlungen ( a(t): ste tiger A uszahlun gsstrom; A: A m e haffungsauszahlung). Ges ucht ist dieje nige Nutzu ngsdauer T , für die die pro Zeiteinheit anfallende n d urchschnitt lichen A uszahlungen ein Minimum annehmen. i) Man zeige, da ss für T d ie Beziehu ng (8.5.70) gelte n muss.

ii) Man erm ittle die opt imale Nut zun gsdauer T , wenn d ie Invest ition Anschaffungsau szah lungen in

H öhe von 411.500 oE: verur sach t und von einem stetigen R eparat urkostens trom a(t) mit a(t ) :: 2.000 + 1.000t (€/Jahr)

begleitet wird.

8.5.76: Ei n isoliertes Investitionsprojekt erfordert eine A nse hat"rungsausza hlung von 200.000 € . Der R iiektl ussstrom R(t) ist gegeben dur ch R(t) '" 50.000' ( I -0,08t). der Liq uidationserlös im Zei tpunkt t ( ~O) bet rägt L(t) '" 200.000 ' (1 -0, l r). Der stetige Kalk ulatlonszln ssarz lautet: r = 10% p.a. Man ermittle die op timale Nu tzungsdauer der Investition sowie ihren ents prec hende n maximalen Kapitalwert .

Au fga~

Aufgabe 8.5.77: Ein Instrume ntenhä ndler besitz t eine wertvolle italienische Meistergeige . die er he ute (t = 0 ) zu m Preis Po verkaufen könnt e. Der Preis p(t) im Zeitpun kt t (> 0) sei aufgrund von Vergangenheit sdat cn zuverlässig schätzba r (p(t) seimonoton wachsend). Wird d ie Ge ige (um einen höheren Verka ufspreis z u erz ielen) zu einem späteren Zei tpunkt verkauft, so ents tehe n bis dah in für Lagerung. Pflege, Versicheru ng usw, Lagerkost en (als stetiger kon stanter A usza hlungsstrom) in H öh e vo n s € / Ja hr, de r stetige Kalkulationszins satz sei r (p.a .). i) Man ermittle und inte rpretiere in allgemeiner Weise d ie Bedingun gsgleichung für den opt ima len Verkaufszeitpunkt T. ii ) De r Preis de r Geige steige - von Po = 200.000 € ausgehend - jähr lich linea r um 20 %, d.h. es gelte

p(t) = 200.000 ' (1+0,2t) . Der Lagerkostenst rom betrage s = 4.8011 € /Jah r, stet iger Kalkulationszins: r = 8% p.a. Wan n und zu welchem Preis sollte der H änd ler die Geige verkau fen? Wie hoch ist der Kapitalwert im o ptima len Verka utszeitpunkt? - iii ) Man bea ntworte d ie Fragen zu ii), wenn die Wcrtstcigeru ng des Instr umentes mit der stetigen Z uwachsrate von 9% p.a. erfolgt, d.h. es gilt dann: p(t) = 200 .000' CO.091 • (Nil/weil': Der maximale Pkmungshoruont des Händ lers be/rage 15 lahre.]

8.6

8.6

Elementare D ifferentialgleichun gen

437

Elementare Differenti algleichu ngen

8.6.1 Einleitu ng Bei der Analyse ö konomisc her Mode lle mit Hilfe vo n Funkt ion en treten imme rwieder Gleichun gen auf, in denen - außer der relevan ten Fun kt ion f selbst - noch eine oder mehrere Ableitungen (f", i ", I'"...) die...er Funktion enthalten sind. Derartige G leich ungen heiße n Differentialgleich ungen. Beispiel 8.6. 1:

(:r""

Folgende G leichungen sind Differentialgleich ungen:

I)

f'( x) = fex) + 2x

iii)

y2 + y3 + y = e'

iv)

fxxy + fyy "" f(x,y) + I

ii)

x1.f(x)

( mit y ""Y(t); y ,= : . ) ( mit

r, "" ~~

usw. )

Als O rdn ung einer Differenli alglri chung bezeic hnet man die hödt..le vorkommende Ablettungscrdnung (in Bsp . 8 .6.1: i) 1. Ordnung; ii) 1. Ord nung; iii) 2. Ordnung; iv] 3. O rdnung). De r Grad einer Differenti algleichun g iSI der größte Exponent, in dem die h öchste vor kom mend e Ahlellun g ersc heint (in Bsp. 8.6. 1; i) 1. Grad (lineare Differentialgleichung); ii) 3. Grad; iii) 2. Grad; Iv) 1. Grad (lineare Differe ntialgleichung» . E ine Different ialgleich ung he ißt gewöhnlich, wenn die ge suchte Funktion und ihre A bleitung nu r von einer Variablen abhängen, andernfalls partiell (in Bsp . 8 .6.1: i), ii), iii) gc....ö hnlic he Differentia lgleichungen; iv) part ielle Differenti algleich ung).

Bemerkung 8.6.2; Die Vielzahlder verwendetenUnterscheidungsmerkmale für Differentialgleichungrn l ässt auf eine entsprechend vielfältige, differenzie m und komplexe Lösullgstechnik 5 für Differentialgleichungen schließen. 1m Rahm en dieser Einf uhn.mg Jollen /ediglkh einigespezielle gewöhn/khe lineare DifferentialgleichImgen behandeltwerden. Un ter einer Lö sung einer (gewöhnliche n) D ifferentia lgleichung G(x, y, y', y", ....y(n» "" 0 versteht man ei ne Funktion f mit Y"" fex), die - zusammen mit ihren A bleit ungen y', y", ... - ucr gegebenen Differentia lgleichung G(x, y, y'. s". ..., y(n» "" 0 genügt.

Bemerkung 8.6.3: Um die Obersichtlichkeit der Darsteilung zu erhöhen, soll im folgenden stalt y = f(x} vereinfachend y = }'(x) geschrieben werden. Bei\ pieI 8.6.4: Gegeben sei die Different ialgleichung G(x,y,y ') "" y'(x) - y(x) "" o. Eine Lösun g ist e.a die Funk tion f mit Y"" fex) = et, de nn wegen y' = c'" ist stets y' - y = c' - et = 0 erfüllt. Weiter sieht man, da ss jede Funkt io n des Typs y = c· e" ebenfalls e ine Lösung de r D ifferentialgleichung y'-y = 0 ist.

I

Differen tialgleichu ngen t reten im ökonomischen Bereic h hä ufig dan n auf, wenn die Ze it t als unab hängige stetige Variab le auftri tt. In diesem Fall näm lich stellt die erste Ableitung y'( t) (., y) einer ökonomischen Funkt ion y "" y(t) näherungsweise die Ände rung ,"on y pro Zeiteinhei t da r, d.h. die Momentangeschwladlgkelt des du rch y = y(t) besc hriebenen ökonomische n Prcees..es. J ede definierte (beo bachtete, postulierte] Beziehun g zwische n den . Bcstands'' -wcrtcn y(t) und ihren zeitlichen Änderungen y(t) kann d urch eine Differentialgleichung besc hriebe n werden . 5

siehe Z.B. Kamkc j3Sj

438

8

Ei nführung in die Integralrechnung

Belspiel 8.6.5: Der zeitab hängige Bestand einer Bevölkerung werde d urch die Funktion B: B(t) beschrieben . Die Bevölkerungsänderung pro Zeiteinheit wird dann im Zeitpunkt t durcb dic crstc A blcit ung 8(t) beschriebe n. U nterstellt man, dass die zeitliche Ä nderun g Bder Bevölkerung in jedem Zeitpunkt t proportional zum gerade vorhandenen Bevölkerungsbestand B(t) ist (konstanter Properlionalitätsfaktor b), so gilt die Beziehung

8(t) = b ·B(t)

(8 .6.6)

Dies ist eine gewöhnlichelineareDiff erentialgleichung erster Ordnung für die gesuchte ze nabhängige Bev ölkerungs-Best andsfunktion B: B{I). Man überzeugt sich (Ableiten und Einsetzen in (8.6 .6)!) davon, dass z.B. die Expon entialfunktion 8( t) = 100· &1eine Lösung von (8.6.6) ist. A uf welchem Wege man diese Lösung ermittelt, ist Gegenstand des folge nden Abschnitts .

8.6.2 Lösung von Differenti algleichungen du rch Trennung der Variab len Wie in Bemerkung 8.6.2 bereits angedeutet, ist die Lösungstechnikfür Differentialgleichungen im allgemeinen recht verwickelt. Einfach dagegen (und für eine beträchtliche Zahl ökonomischer Probleme a1L~ ­ reichend) ist die L ösungsmethodef ür gewöhnlichelineare Diff erentialgleichungen 1. Ordnung vom Typ

g(y) f

(8.6.7)

= h(, )

I

mit y '" y(x) .

Jede Differentialgleichung. die sich auf diese Form bringen lässt, heißt separabel, Beispiel 8.6.8:

Folgende Differentialgleichungen sind scparabcl:

I)

y' '" 6x2 + 1

mit

ii )

x -y' '" (y - lXx + l)

mit

iii)

(x2+1) -y' '" 2x .y2

mit

iv)

y''''y+ x.

g(y) = 1; t g(y)= y -t t bV) = - ; y'

h(x) '" 6x2+ 1 ; h(x) '" 1 + h(X:) '"

xt ;

-..1.!.... x2 + I

Diese Differentialgleichung ist zunächst nicht vom Typ (8.6.7). Setzt man aber z(x) '''' y(x) + x, so folgt y,'egen z' = y' + 1 d.h. y' = z' -1 aus der gegebenen Differentialgleichung: y' = z '-l

e

y e x e z. also z'=z+ 1,wasaufdieForm(8.6.7) führt:

z:\

= I

(z * -I).

Um eine separablc Differentialgleichung des Typs (8.6.7) zu lösen, integriert man beide Seiten von (8.6.7) bzgl. x: (8.6.9)

Nach derSubstitutionsregcl(Satz 8.4.9) folgt daraus (wegen dy = y'(x) dx) (8.6. 10)

mit

y '" y(x) .

Damit ist die Lösung der separablen Difkrentialgleichung (8.6.7) zurückgef ührt auf die Bestimmung der Stammfunktionen G(y) zu g(y) und H (x) zu h(x) :

I

Gelingen die beiden unbestimmten Integrationen in (8.6.10), so kann die Lösungsfunknon y '" y(x) ermittelt werden.

Elementare Differentialgleichunge n

8.6

439

Bemerkung 8. 6.11: Formal em öttm cn (8.6.10), indem man dieseparable Differelllialgleichung (8.6. 7) in der Form

g(y).;f;. h(x) schreibt und mit dem Differetllial dx mullipliziert: g(y) dy = hex) dt .

(8.6.12)

lmegrien man jetzt links nach y und rechts nach x , so folgt (8.6.10). Man beachteaber,dass dieseformale . Lösung" kein Beweis f ür die Richtigkeit der Methode ist, sondern lediglich zeigt, dass dieformalen Symbole und Operationen sinnvollgewählt wurden:Siefüh rensozusagen " automatisch«zum richtigen Resultat - eine Tatsache, diefürdie praktische Durchfiihrungdes Lösungsverfahrens angenehm ist. Es sollen nun die Differentialgleichungen von Bctsptct x.ö.x gelöst werden: Beispiel 8.6. 13: i)

A us y' '" 6x2+ I folgt unmittelbar durch gew öhnliche unbestimmte Integration:

y = ! (6X2 + 1) dx + C = 2x 3 + X + C, d.h . die Trenn ung der Variablen gemäß(8.6.12) ist für diesen einfachen Fall entbehrlich, hätte aber gleichwohl wegen dy = J (6X2+ 1) dx

J

+ C zum selben Ergebnis geführt .

Die Intcgrationskonstante C läss t sich be stimmen, wenn man eine Anfangshedingun g vorgibt , ctwa y(l ) = 5: Bingesetzt in die Lösungsfunktion erhält man; 5 = 2 + 1 + C . d.h. C = 2. so dass die spezielle Lösung des Anfangswenproblems lautet: y = 2x3 + X + 2 .

Bemerkung 8.6.14: Wie aus dem lernen Beispiel ersichtlich, treten beiderLösung VOll Differelllialgleichungen stets eine oder mehrere Imegrations kans tomen auf, so dass die Lösung aus einerMenge von Funksionen besteht, diesich in der Integrationskonstanten unterscheiden: i) Die Menge der L ösungsfun ktionen einerDiff eremialgleicllung heißt allgemeineLösung der Diff eren-

tialgieichung. ii) Jede - etwa durch Vorgabe von Anfangswerten gewonnene - Einzell ösungsfunkno n heißt spezielle

oder partikulöreLösung derDifferentialgleichung. Fortsetzung von Bcispicl 8.6.13: X·y ' =(y - I)(x+ l) .

ii)

(8.6.15)

- "' y- l

=

Trcnnung dcr Variablen liefert:

( l + -x1 ) dx .

Unt erstellt man y - 1 > 0, x > 0, so liefert Integration; [n(y-l ) = x eln x e C

~

y - L = c' +lnH C = c' e1nx c C = k -x -c"

mit e C= k> O.

Daraus erhält man die allgemeine Lö sung y =k · x t:" +1 Mit der Antangsbedingung (z.B.)

(x>0;y >1 ).

y(1) = c + 1 folgt als spezielle Lösung (wegen k = 1):

y =x ·c' + l . (Unterstellt man dagegen y- l < 0, x > 0, so liefert die Integration von (8.6.15): In(1- y) = x + lnx + C mit der allgemeinen Lösung: y e r - kx C· . Die Anfangsbcd ingung (z.8.) y(1) = 0 liefert k = e'" und somit die spezielle Lösung y = )- e- l. x ·e" = l - x · c"-J.)

440

8

Einführung in die Integralrechnung

(X 2+ I) ' y' = 2x ' y2 .

iii)

J ~y2 -_ J hx2+dX1 +c,

d.h.

T rennung der Variablen liefert :

- y-l = ln (x2+ 1) + C

und s omitdicallgcmcincLösung:

-1

0,5

y' = x+ y.

iv)

Trennung der Variablen:

In (z+ l ) = x+ C

=-c ' -1

Die Substit ution z:: X+ Y liefert: z':: Z+ 1.

~= dx . z+l

Die Integration liefert (für z + 1 > 0):

z =kc' - l

und daher

Wegen z:: x + y lautet die allgemeine Lösung y:: kl., x- x- I. Mit der Anfangsbcdingung (z.B.) y(O):: 4 erhält man dlc spczicllc Lösung; » 5&" - x- l .

v

Bemerkung 8.6.16:

A uch die Diffem l/iulgldchungen höherer Ordnung lassen sich durch elementare yl"' (x) ::f ex) sind.

lmegrationsprozesselösen, wenn sievom1}p:

Beispiel: Die lineare Differentialglrichung 3. Ordnung y'" = (jOx2 + 12 wird durch 3 hintereinander geschalteu unbestimmte lntegrauonen getöst,[urdie jeweils eineneue Integrationskonstame ben öugt wird. Man erhält sukzessive: y"=20x3+12x +C ~

y' = 5x 4 + 6x2 + Cx+ C2

~

y==x5 + 2xl + Cjx4 + Cr + Cl

( mirC / " a,SC ) .

An diesem Beispiel wird deutlich. dass die Anzahl der in der allgemeinen Lösung vorkommenden Integrationskons tante n mit da Ordnung der Differentialgleiclllmg übereinstimmt, Im vorliegenden Fall konnte eine spezielle Lösung durch VorgubedreierA njangsbedingllngen gewonnen werden, z.B. )'(0) == 7 ; )" (0) =0; )'''(0) =1 . Durch Einsetzen dieserAnfangswate in y, s', y" ernatt man nacheinander: C3 = 7; C2 = 0; C = 1, d.h. C/ = 0,5 lind somit diespezielle Lösung: }' == x 5+2x3 +0,5x 2+7. Aufgahc 8.6. 17: Für die folgenden Differentialgleichungen gebe man a) die allgemeine b) die spezielle Lösung (unler Bau cksichtigung der vorgegebenen An! angsbedingungen) a n:

i)

y' = 8x 2 +

V2X - 1,

\(0)" 4;

ii)

K'(t) " i K(t),

f(I)" 100;

i,,)

I"'(x) =

G '(x) = 50 -2G(x),

0(0)" 0;

\i )

y ' + y = 1;

\ii)

xZy'== l + y,

, (1) " 2;

\iii)

ix)

y

,(2) " 4;

' x)

iii ) \')

f'( x] =

,

..!... fex), x

,

=y'

~ ' (0,5x - 2);

K(O) "

K" (> 0); 1(1)" 1; , (0)" 0;

y'" + 3x 2 == 4; mit , "( 1)"9; , '(0)" 1; , (0)" 8;

x = 100 · VX - O,OIx ;

(x == x(t»)

x > 0 ; x(O) = 250 .000 ; (Hinweis: Man substituiere I. = V; ).

Aufgabe 8.6. 18: Man ermit tle die allgemeine Lösungder Differentialgleichung k = kn (mit k == k(t) sowie k(t) > 0) für die folgenden Werte von n und skizziere (außer für vii] jeweils eine spezielle Lösungsfunktion: i) n= - I ;

ii) n = O;

...)

UI

1 n=2" ;

i\') n = l ;

v) n=2 ;

\i) n = 3 ;

\'ii) n = a ( =I= l ) .

8.6

44 1

E lemen tare Differentialgleichungen

8.6.3 Ökonomische Anwendungen sepa ra bler Differenti algleichungen 8.6.3. 1 Exponentielles Wach stum Das Waehstumsmodc11 von Bsp. 8 .6.5 geht von der realistischen A nnahme aus, das s die zeit liche Änderung B(t) ( ,-

~)

des Bevölkerungsbestandes zu jedem Z eitpunkt t proportional zum gerade vorhande-

nen Bestand 8{t) ist (Proportlonalitätsfakt or: b = ccos t.). Für die ze itliche Entwi ck lung des Bestandes gilt also die Diffe rentia lgleic hung

(mu B (l) > 0 ; b >0).

B(t) "" b B(t)

(8.6.1 9)

T rennung der Variablen liefert

d: = b · dt

und da her

(81

f d: = b · ldt+ C, d.h. In B = b- t + C. Dar aus ergibt

b> O

sich d ie ges uch te Bes tandsfunkt io n B: 8{t) : 8{t) =k · eb1

(8.6.20)

Der Bestand 8( t) ändert sie h da her eXI)()ne ntid l mit der

stetige n Änderungsrate b (pro Z eit einheit). Die Integration skonsta nte k kan n durch eine Anfangsbedingung bestimm t werden: ISI etwa der Best and im Z eitpun kt t = 0 z.B. 60 (d.h. 60 "" 8(0) = k · e O"" k] , so lautet d ie spez ielle Bestandsfunkt io n B:

b= O

':~r-

b
8{t) = 60· ebt .

(8.6.22)

Ist h positiv (bzw. negativ), so wächst (bzw. fä llt) der Best and 8(t) im Zeitablauf. Für b = 0 gilt: 8(1) = 60 ' e O'" 60, der Bestand bleibt unverändert, stehe Abb. 8.6.21 .

8,6.3.2 Funktionen mit vorgegebener Elastizitä t D ie Definitiollsgleichun gen (6 .3.81) bzw. (6.3.8 7) für die Ela.,tizität Er.>:. einer differenzie rbaren Funktion sind vo n ihrer Natur her eine Different ialgleichllllg für die Funkt ion f: f(x):

(x .t e ü ) .

(8.6.23)

Wird die Elastizi tätsfunk tion t·rix) vo rgegeben. so kann ma ß versuchen , über die Lösung der D ifferentia lgleichung (8 .6 .23) diejenige n F unktionen ausfindig zu mach en .die das vorgegebe ne Ela~ tiziläl,"\-e rhal ­ ten bes itzen. Z wei Beispiele sollen das Vorgehen demo nstr ieren:

(a.b

f'r,x = ax+ b

(A)

Zu lösen ist die Differen tialgleichung

J~f f (a =

(8 .6 .24)

+

~ ) dx + C.

f~(x) .,,) . x = ax + b.

= eonst. ; x,f>O) .

T ren nun g der Variablen führt auf:

Integration liefert: lnf "" ax + b · ln x + C und somit

~ = eaX+h ln '+C = k . Xb . eax

I

mit k = ec>O ;x> O .

Einfü hrung in die Integr alrechnung

8

442

Man sieh t: J ede muhlplikatlve Komhinalion aus Potenzruukuoe xb und Exponentia Irunklion cax besitzt eine linea re EIa.,Uzität, runk tion. d.b. mit Er.x = ax + b.

Beispiel:

a", 2j b : - }

Er,x '"

2x- 1

Son de rfälleergeben sic h, wen n a oder b Null werden: i)

a=0

~

Er,. =

f(x) =k 'xb

(8.6.25)

I,

b '" ro nst.

d.h . f ist Isoclasus ch . Nach (8.6.24) folgt wegen CO= 1:

I,

d.h . d ie elementaren Pct en ztunku onen sind die einzigen isoelast ischen Fu nktionen.

ii )

b =O

~

,

(8.6.26)

'.' e ax I· f(x) : " ' &"

Nach (8.6.24) folhrt wegen XO= I :

I.

d.h. d ie ele me ntaren Expo nentialfunktione n sind die einzigen Funkti onen , dcrcn E lastizitätsfunktionell Urspru ngsgeraden sind.

( B)

er.x '" fex)

I,

d.h.jct4 sind die Funkti onen gesuch t, die mit ihrcr Ela~lizilälsrunklion übe retns ümmen: f ' I X\

.~_l..: :·!.

~,)

X

= fex ).

I IfI

Trennung de r Variable n führt auf

J J"x df f2 =

+ C d.h.

10

I f", I

- f"I "' Inx + C .

>0

Die allgcmei nc Lö sung lautet dahcr

(8.6.27)

(1:/

2 0

- )

f(, ) - - -

111 x + C

{xl

•t t

t

M it de r A nfa ngsbedingu ng f(l ) = 1 etwa erhält

-10

m.U1 als spezielle Lö sung wege n 1 = C = - I:

-~ ,

(8.6.29)

(s. Abb. 8.6 .28)

f(' j "

I - ln x

d.h .

I I I t

I

Ab b. 8.6.28

A n jeder Ste lle x ( E IIP \ Ie l ) stimm t der Funktio nswert fex) mit der Elastizität Er.• von f bzgl. x überein. An der Stelle x = e bes itzt f einen Pol.

8.6

443

E lementare Different ialgleichungen

8.6.3.3 Neoktasslsches Wachstumsmodell nach Solow 6 Das Nettosozialprod ukt Y einer Volk swirtsc haft werd e mit de n Prod uktionsfakt oren Kapital (Ei nsa tzmenge; K) und A rbeit {Einsat zmenge: A ) gemäß einer neoklassischenlinear-homogenen Cobb-DouglasProduk tionsfun ktion produ ziert;

(8.6.30)

O< a < l.

Input- und O utp utgr ößen werden als zeitabhängige Variable aufgefasst, so da ss (8 .6.30) lautet;

(8.6.31) Folgende Prämissen werden unterstellt: i)

Die Bevölkerun g und dami t das A rbeit sangebot A(t) wachse m it einer kon sta nten , stetigen Rate b (> 0 ). es gelte da her (siehe Kap. 8.6.3 .1):

(8.6.32)

A (t) =

Au ' e'"

(A u, b >0) .

Dabei se ien A o und b exoi,,'en vorgegebene Konstanten . ii)

D ie zeitliche Änderun g K(t) des Kapitalstockes K(t) ist gleich den Nettoinvesti tionen let) (siehe Kap. 8.5 .5), d.h .

(8.6.33) ii i)

« t) = I(t) .

Die Nettoinvestitionen I(t) sind zu jedem Zeitpunkt propernonal zum jeweiligen Nettosozi alprodukt Y(t) {konstanter Propo rtionalitätsfaktor s mit 0 < s < 1), d.h .

(8.6.34)

I(t) = s · Y(t) .

(s ist somit die tkonstam vorausgesetzte] durchschnittliche Investitions- bzw. Sparquote- der Rest desSozialproduktes wird konsumien] Zusamme ngefasst besteht d as Solow-Wachs tumsmode ll aus den Relat ionen

(8.6,35)

Y{t) = K(t)3 ' A{t) l -a

(8.6.36)

A{t) '" A o ' ebl

(8.6,37)

«t) =

I(t)

=,

m it

O< a< l ; b> O ; A o > O ;

V(t)

O<s < 1.

Das Arbeitsangebo t A (t) ist dabei eine exogen vorgegebene Fu nktion . Ges uch t wird - bei be kannte n Werten b, A u, s
(8.6.38)

6 sichc Sclc w jö l ]

'O)' . (K A{t)

8

444

:f:;

Definiert man y(t) ,=

Einführung in die Integralrechnung

als Nettosozlalprodukt pru Kopf und k(t ) ,.

K (t) A(t)

als Kapttalausstartung

pro Kopf so kann ma n (8 .6 .38) hzw . (8. 6.35) schreiben als

(8.6.39)

Y(I)

<

k(I)'

.

Um die letzte Modellgleichung (8.6.37) einbeziehen zu kö nnen, leitet man k(t)

.

(8.6.40)

'(I)

.

K 'A - K ' A

K

A

A'

A

A

Ketl AC l)

nach t ab:

Der ersie Tenn der rechtenSeitevon (8.6.40) ....'ird wegen(8.6.37) zu

.f. A

=

.!.:.TI!l A(t)

(wegen (8.6.39».

= s' y(t) ,. s ' k(tl .

Der zweite Tenn der rechten Seile von (8.6.40) ....'ird wegen (8.6.36) zu K A

ii]

A A

k(I) '

Ao 'b 'C

b1

Au -c'"

<

b' k(I) ,

so dass aus (8.6.4 0 ) insgesamt die Differentialgleich ung ruf die Pro -Kopr-Kapneleusstanung k(ll resultiert:

k(I):= s ' k(t)a -b "k(t)

(8.6.41)

mit

K(ll k(l) = A(t) .

Die Lösung k(t) dieser Differentialgleichung determiniert über (8.6.39) sämtliche Modcllfunktionen im Zeitablauf (s , a, b sind vorgegebene Konstanten). Die Diffcremialgleichung (8.6.41) ist scparabel. Trennung der Variablen liefert: (8.6.42) D ie Integration der linken Seite von (H.6 .42) erfordert etwas R echenarbeit .

substituiert man:

dk

dk

Wegen:

(.)

s ' ka - b k k 1- a = X.

k- a dk =

Es folgt:

Setzt man dies in (..) ein. so folgt aus (8.6.42) In rs -bx) - b(l - a) = t+ C I

J

d.~

(1 - a)(s- bx)

=

f

dt + CI und daraus (s- bx > 0):

In ( s- b) x =- b( 1 -a )t + C,

d .. h

Mit Umfonnung und Rcsubstit ution ergibt sich nacheinander: s

e

bx = C oe-b(l -a)1

~

x = k1- a = .!.. _.f. e- h( l -a)l

und daraus schließlich die allgemeine Lösung.<;fUllktioll (8.6.43)

k(t) = (

~

-

h

,

~ ' e- hO-all )j:";

dx 1- ,

h

°

8.6

445

E lement are Different ialgleichun gen

Sind etwa die durc hsch nittliche Spa rquote mit s = 0,2, das w achsturn des Arbeitsange bots m it b '" 0,01 (d.ll. Hetige Zu nahm e l % p. a.) , die Produkttonselastiz it ät mit a '" 0, 5 sowie die Pro-Kopf-Ka pilalausstan ung in t = 0 mit k(O) = 1 vorgegeben. so ergibt sich d ie spen eüe l .ösullg für die zeitabhängige Pro-KopfKapitalausstattung nach (8.6.43) zu:

(8.6.401)

alkl

40<>

I

_

klll := Kill

Att}

k(l) = (20-19 ·e- 0.0051)2 ,

11I

(s. Abb. 8.6. 45) . Man erkennt, dass d ie ProKDpf - Kap italau sstauung k(l) im Zeitablauf einern Ctcichgewtchiswert in H öhe von 40(J G E pro Kopf zustreb t (denn lim e- o,oosl = 0) .

sO<> Abb.8.6.45

,- -

Bemerkung 8.6A6: A uch ohne die explizile Lösung der Diff erem ialgleichu ng (8.6.4 1) kann m an erken nen, dass die SotowMod ellwim chafl einem stabilen Gleichgewidlt h insichtlich der Pro-Kopf-Kapitalausslauung k(t) zu strebt. Mil den speziellen Daten

s = 0,2 ; a = O,5 ;b = 0,01 isieheA bb. 8.6.45) lautet die Diff erentialgleichung (8.6.4 1): (8Ji A 7)

0,2

Vk- o.ot«

Betrad uet ma n (8.6.4 7) als Fun k uonsgteichung k = f(k) , so ergibt sich a& grap hische Darstellung (" Phase/ldiagram m") in einem (k, k)- Koo rdin atem}'stem da in da A bbildung 8.6.18 dargestellte Z usammenhang zwisch en kund k , Für den Teil der Kurve k(kJ, der oberhalb der A bszisse liegt, gi/l i » 0, daher m uss k im Z eitablauf m nenmen: d ie Modellwin schaft bewegt sich nach rechts in Richtung a me hmender k-lYerte.

(k > 0)

Phosen~

diagramm k > 0: k wachsl

Ik) '0<>

40<>

k < 0.k nimm/ab

Auf dem IlIIler!lalb der Abszisse liegenden Abb. 8.6.48 Kurventell gilt k < 0, dahermuss k im Z eitahlauf sinken, die Mo dellwinschaf t bewegt sich nach links in Richtung abnehmender k-Werte. 1m Punkt k =k ' = 400 gill: k =0, d.h. k ändert sich nicht m ehr. Jede Abweichung der Pro-Kopf- Kapitalausstauung vom Wen k ' = 400 bewirkt nach dem geschilden en Mechanismus "a utom atisch ~ die em eute A nnäherung w n k an diesen n Gldchgewichtswen " k ' : Der Gleichgewiclltszllstand k' = 400 ist stabil. Es zeigt sich (s. A ufg. 8.6.54), dass im Fall stagnierender (b = 0) oder -abnehm ender (b c 0) Bevöikerung kein stabiler Gleichgewichtswert da Pro-Kopf-Kapitala usstauung k im Solow-Modeli existiert.

8

446

E inführ ung in d ie Int egralrechn ung

Aufgabe 8.6.49: Die zeitlic he Änderu ng Y(t) des Bruttosozialprod uktes Y(t) sei propo rtion al zu m jeweiligen Wert Y(t) des Brutt osoz latprod uktes. De r kon stante Proportionalitätsfaktor k scrvorgcgcbe n: k = 0,03; ii) k = -0,02 .

Im Zeltpunkt t = 0 bel rage das Bruttosozialprod ukt 1.500 G E. Man prognos tiziere in beide n Fällen mit H ilfe de r Lösung der entsprechenden D ifferen tialgleichun g den Wert des Brutt osozialprod uktes im Z eitpunkt t = 10. Aufgahe 8.6.50: E s seie n K· die H öhe.des von einer Volkswirtsc haft angestre bten Kapitalstock s und K(t) der im Ze itpunkt t tatsächlich erreichte Kapitels teck. K(t) s K· . Durch Vornahme von Net toinvestitionen wird beabsichtigt, den (bekann ten) Wert K· = co nst. zu erreichen. D abe i wi rd unterstellt, dass die zeitl iche Ä nderung K(t) des Kap italstock s propo rtional zur Differenz K· - K(t) zwischen angestrebtem und vorhandenem Kap italstock sei (Proportionalitäcfak tor sei a (>

0».

I)

M an stelle die Diffc rcntlatglcichung fü r K(t) auf und ermittle

a)

d ie altgerneine Lösung.

b)

die spezielle Lö sung. wenn der Kapitalstock in t = 0 den Wert

ii)

Man ermittle und skizz iere die spe zielle Lös ung f ür K· = 100 GE ,

iii)

Nach welch er Zeit hat sich die ursprüngliche Differcnz K· -

Aufgabe 8.6.5 1:

Ko

Ko besitzt. Ku = 10 G E ,

a = 1l,5.

um d ie H älfte verringe rt'!

Gegeben iSI die Elas tizitäls funktio n f: r,. einer Fu nktio n f .

Man ermitt le f(x) unter Berüc ksich tigungder gegebenen A nfangsbedi ngungen: 0) 1 f( l)=l ;x > O ; ' ii)

iii)

f: r.• f

=-; ,

2 r.• =2x -3x + 4,

f f.•

= ~,

f(3) = 162 ; x > 0 ; 1"(0 ,25) = c : x > O

Aufgabe 8.6.52: Man ermittle jeweils d ie zu treffend e Nachfragefunktion x = x(p) für ein G ut, wenn folgende Info rmatio nen vorliegen: I)

D ie Prelsclasnz ität de r Nachfrage hat den stets konstanten Wert - 2. Bei einem Preis von 10

GEI M E werden 10ü M E nachgefrab'l. ii)

D ie Preiselastizität der Nachfrage ha t nur an de r Stelle p = 1 GE/ M E ; x = I ME den Wert - 2, iSI abe r allgemein von der Form f • .p = ap (a = ccost.).

iii )

Die Preiselastizität der Nachfrage hat die Ges talt werde n 28 ME nach ge fragt.

lv]

f •. p

=

Die Preiselastizität der Nachfragclautct e•.p = 6;:- p ' für

AUfgahe 8.6.53 :

7-22~2 2 . Fü r den Preis 4 G E / M E P

r = 50 GEIME ist x = 115 ME .

Für ei n G ut seien Ange bots- und Nae hfragefun ktion gegebe n durch: xA(p)= p - 20 ;

X:...{p) = 100-2p

(xA,x",p > O) .

Dabei werde de r Preis p als zeitabhängige Variab le p(t) aufgefasst. Für den Nicht-Gleichgc.....i cbtsfalt werde un ters tellt, dass die zeitliche Ä nderung P(I) des Marktpreises pro port ional zum Nachfrageübe rhang x",ll) - XA(I) ist, Propo rt ionalitätsfaktor sei a (> 0).

8.6

447

Elementare Differentialgleichungen i)

Man stelle die Differentialgleichung fü r p(t) auf und ermittle für einen Au sgangspreis von Po = P(O) die spezielle Lösung. Man ermittle - sofern existent> den sich für t -e- 00 einstellenden Gleichgewichtspreis.

ii)

Man löse i) unter Berücksichtigung folgender Da ten:

Aufgabe 8.6.54: i) ü)

a = 0,04 ;

Po = 25 GE /M E.

Man löse jeweils dasSolow-Modctl (8.6.41) für den Fall, dass

keine Bevölkerungsveränderung stattfindet (b == 0) ; die Bevölkerung im Ze itablauf abnehme (b < 0, z.B . b = - 0,0 1).

Dabei benutze man speziell die Daten s = 0.2 ; a

= 0,5 ; k(O) = 1.

Man ermitt le - sofern existent - in beiden Fällen de n (stabileIl) Gleichgewichtswert der Pro- Ko pf- Kapitalausstatt ung für t _

00 .

AUfgabe 8.6.55: Auf einem (abgegrenzten) Markt werde ein High-Tcch-Ha ushaltsgerät erstmalig angeboten (zum Z eitpun kt t = 0) . Die t heoretisch mögliche Absatz-O bergrenze [S önigungsmenge] betrage in diesem Markt x. ( = 100.000 ME) . Die bis zum Zei tpunkt t (

~ 0)

insgesamt verkaufte Menge werde mit x(t) bezeich net.

Gesucht ist die Funktionsgleichung (sowie der Graph) der Ab satz- Zeit -Funktion x(t) , wenn gilt: -

In jedem Zeitpunkt t (> 0 ) ist dic Zahl der in der nächste n Ze iteinhe it verkauften Stücke [d.h. die zeitliche Änderung x(t) des Absatzes) proporti onal zum Abstand x. -x(t) zw-ischen Sättigungsmenge x. und kumulierter Absatzmenge x(t) . (Dies bedeutet: Je näher der (k umulien e) A b~ satt x(t) an die Söuigungsmenge X s stoß t, desto schwieriger (und somit kostspieliger) wird es, weirereStücke ahzusetzen.)

-

1m Zeitpunkt t = 12 (d.h. nach 12 Z eueinheuen] seien bereits 20.000 ME verkauft. i)

Wie lautet die Absatz-Ze it- Funktion x(t) ?

ii)

Nach welcher Zeit sind 80% der höchstens absetzbaren Stücke verkauft'!

iii)

A ngenommen, der Deckungsbeitrag für jedes Gerät betrage 10 GE (olme Berücksichtigung der m it dem A bsatz verbundenen Kasten}. Die mit dem Absatz der Geräte verbundenen Kosten betragen pro Ze iteinheit einheitlich 1.000 GE.

(Sk izze /)

Man crmitt le diejenige kumulierte Absatzmengc x, für die gilt: Das nächs te verkaufte Stück verursacht genauso hohe Absatz- Kosten, wie es Deckungsbeitragerwirtschaftet .

449

9 Einführ ung in die Lineare Algebra Mit den Crundclememen (Matrizen.Vektoren. lineare Gld chu ngssystemc ) und Me thoden der Linearen Algebra lasse n sich auf prägnan te und komp akte Weise heliehig große verfloch tene velks - oder tetrtebswirtschaftliche Systeme beschreiben und anal ysieren (z.B, im Zusamm enhan g mnl nput-Output -A nalysen, mehrstufigen Prod uktionsprozessen. innerb etrieblicher Leistungsverrechnung u.a.], Zugl eic h liefert die Linea re A lgebra die notwend igen Grundlagen fü r eines de r wicht igsten Verfahren des Operattens Research, die in Ka pitel lO beha ndelte Lineare Optimi erung.

9.1 Matrizen und Vektoren 9.1.1 Gru ndbegriffe der Matrizenrechnung Rechteckige zahlentabenen sind ein wicht iges H ilfsmitt el zur Beschreibung ökono misc her Sachverhalte: Beispiel 9. 1.1: i) Tabel le von Produktion skoe fflzlenten:

Produkt J Maschine J Maschine 2

Produkt 2

Produkt 3

2 (h/ME) 4 (h/M E) 0,5 (h/ME ) 1 (h/ME) 3 (h/ME) 1,5 (h/ME)

Dabei bede ute t etwa d ie Zahl 4 (ersteZeile, zweite Spalte), dass zur Bcarbe üung vo n einer ME des Prod uk tes 2 eine Masc hinenbea rbeitungszeit von 4 h auf Maschin e I erforde rlich ist. ii ) Vo lkswirtschaftliche Ve rflechtungstabelle.

empfangende Sektoren

liefernde Sektoren

Bergbau E nergie Sta hl

Bergbau

E nergie

Stahl

0 500 50

1.000

2.000

400

100

800 0

2.500 7.000

200

E ndverbrau cher

Dabei bede utet etwa die Zahl 800 (zweite Z eile, dritte Spalte) , das s der E nergiesektorim bet rac htcten Zei traum 800 Leist ungseinheiten an den Sektor Stahl geliefert ha t (d ie dieser zu seiner Prod uktion benö tigt). Die List e de rartiger Beisp iele lässt sich beliebig fortse tzen. In de r Linearen A lgeb ra fasst man de rartige Rechre ckschemata als ~e1bständige Rerhenobjekt e (~ Matri zen") auf und versucht, auf möglich st kom pa kte und übersichtliche Weise eine " Mathcmatik mit derartigen O bjekten zu ermöglichen, die den Anwencungsted ürtnrssen genügt. U

450

9

Der. 9. 1.2:

Einführung in die Lineare Algeb ra

Unter einer m ~ n-Ma lri ll: A (auch: m-m at-n-Matrix; auch: (m , n)-Matrix) versteht ma n ein recht eckiges Zahl en_~c h ema aus m Zeilen und n Spalten:

'n 'n A

'" '" ail

a i2

aOl I

'm'

' .. '"

'" '"

eu

_ i-tc Zeile

~.

'm'

'm.

t

k-te Spal/e Die a ik (E IR) heißen Elemente der Matrix A, der erste Index i (i = 1, ..., m) gibt dabei die lfd . Nummer der Zeile, der zweite Index k (k = 1, ..., n) die lfd . Nu mmer der Spalte an.

Bemerkung 9.1.3: 1mfolgenden werden Mamz en mi/fettgedruckten Großbuchstaben A, B, C, ... bezeichnet .

i)

ii)

In aik Ill'llnt man i den Zeilenindex und k den Spahenindex.

iii)

Die Allzahl m tier Zeilen bzw. n der Spulten charakterisieren die Ordnung (werden Typ ] der Metrix A. Folgende Schreibweisenjur eine m »n-Mctnx A sind außerdemgebräuchlich: A (m,Il) ; (aildrn",,); (oiV mit i v l , ...,m ;k= ] , ....n . Gil/ m = 11, so heIßtdie Matrix A (n,ll) quadratisch. Die Elemente at l' a 22' "', ull " einer quadratlschen Matrix heißen Diagonatelememe, sie bitden die Diagonale der Matrix A(II,n)'

ß ei..piel 9. 1.4: Bei den Z ahlensc hemata vo n Beispiel 9.1 .1 handel t es sich um die Matrizen i) AO ,3) =

iii)

D ie Mat rix C(3,3) "

( ~ ~ ~:~ )

ii )

B(3,4) =

0 1000 2.000 50() 100 SOO ( 50 200 0

, 37) ( oK 4 I ist quadratisch . Diagon aleleme nte: 2 6

400 ) 2.500 7.000

a n = 5; an = 4; a33=6.

D ie für reelle Zahlen be kannten Relat ion en Gleichheil und Ungleichhe it lassen sieh in naheliege nder Weise auf Matrizen übertrage n: Def 9.1.5: (C terch hen. Ungleichh eit m n Matrizen) ;)

Zwei Mat rizen A = (ajk)(m,n) und B = (b ik)(m.n) gleichen Typs hcißcngcnau da nn gleich , wenn säm rücbe entsp rechenden Elemente von A und B ühere inst immen:

(9.1.6) ii)

IA= B

~

aik = bjl;

I

für alle i, k .

A nalog zu i) definiert man:

(9.1.7)

A< B

~

3il; < bjk

für alle i, k

(9.1.8 )

AS E

~

aik S hjk

fiir alle i, k

9. 1

451

Matrizen und Vektoren

Bei~piel

9.1.9:

A us de r Matrizengleichung

(" ")

x j= 2;

x4 = - 7 ,

x2 = 5 ;

x3 =1 ;

folgt nach (9.1.6):

)(4

'~ 3

ii ) Gegeben se ien d ie Mat rize n A, B, C, 0 mit

A=

Gl~ ) ;

B= (:

j~ ) ;

Dann gelten folgende Relationen:

C

4

=(,

A SB ;

6 9

O > C;

0 = ( A *C ;

~

H* C;

7 10

8' ) .

A *O ;

" *0 .

Vertauscht ma n Zeilen und Spal ten ein er rn ~ n-Matrix A, so erhält ma n eine (La. von A verschiede ne) n ~ m- Matrix, die zu A tran sponi erte Matrix AT :

Def 9.1.10: (trenspon ferte Matrix) E s sei A = (ai k)(m.n) eine m - n-Ma trix. Dann nenn t man die du rch Verta uschen von Zeilen und Spal ten ents tehe nde nem- Matrix AT ,= (aki)(n.m) die tran sponierte Matlix AT zu A.

Bei~pieI9 .1 .11:

i)

(siehe Bsp. 9 .1.1 /Bs p. 9.1. 4)

A(2,3) =

ii)

B(3,4) =

(;

4 3

(,~'0

0,5 ) 1,5 1.000

2.000

I~'

,,~

200

T A (3,2) = (

~

0

400 )

2.500 7.000

2 4 0,5

~

I~J T ( 1000 0 B (4,3) = 2 000

500 100 800

400

2.500

50 ]

200

7.0(\(~

Man beachte be i der öko nomisc hen In terpretation der T ransponierten, da ss auch Kopfspalte und Kopfzeile miteinander vertausc ht werden (elwa in & ispiel 9.1.1) .

Bemerkung 9.1.12: i) Offenbar[uhn zweimaliges Transponieren wiederzu r ursprünglichen Matrix; d.h. esgill stets

I

(9.1.13)

Beispiel:

Der. 9.1.14:

A

(A l1' =

AI , <=}

A ist symmetrisch.

(Vektoren )

E ine m- d-Mat rix heißt Spal tenve ktor. eine 1- n-Mat rix heißt Zeilenvektor. Ih re Elemente heißen d ie Komponenten des Vektors.

BeispieI9.1.1 5: ( ') Ei n Spalte nvekto r ist eine Matrix mit genau einer Spalte, z.B . - I . cm Zeilenvekto r ist eine Matrix mit gcnau ciacr Zcilc. z.B. ( Xl X2 )(3 x~ xs ). 0

I

452

9

E inführung in die Lineare Al gebra

m, ,=(:;)

Im folgenden werden Spal tenvektoren durch kleine Buch stabe n mit da rüberstehendem Pfe il, z.B. ä,b,

"'Y';;;,;~;::'IT;'h""

,=

Nach Der. 9. 1.10 kan n man Zeilenvekt oren als transponierte gpa nenvektoren auffassen.

Brisl'ieI9.1.I 6:

i) Aus ä ",

(D

folgt äT ; ( 5 73).

(Xl x2 x3 X4) T:

ii)

Ve ktoren trete n übera ll dort auf, wo Sachverhalte mit einer geord neten Zahlenkolonne beschrieben werden können, z.B. I) im Produktionsbe re irh: Die Mengen (in M E ) der mon atlich hergestellten Produkte (4 Typen) kön-

nen als Prcduknonsvektor Xgeschriebenwerden X = ( Xl x2 x3 x-I )

[" ) T

x2 X3

=

[ 100) =

:'4 ii) im Absatzbereirh:

200 400 31)0

Die Güterverkaufpreise (in € / ME) von vier Produkten können in einem Preis-

(5 )

vektor p zusammengefasst werden: P '" ( PI P2 P3 P4)

T

=

[ P' ) [ t2 P' P3 = 10 P,

8

iii) in der Geom etri e: 100er Punkt P des n-dim ensio nalen Ra umes IRn kan n d urch seine n Koor dinaten Xl ' x2_ ..., xn beschriebe n werden, d ie man im Vektor mit

x

x=

[x

'2 ...

,")T

=

( ::)

zusammenfass

l im lR2 ) ,

( im 1R3 )

.:(~ ..

(X2)

"

p 3 -- - - - -- - - - - -- --- -- -- - - - - .

' , , -- -

< ,

-----. p) 1 ,,

Abb. 91 . 17

x

Man ch arakterisiert den so definierten Vekt or auch du rch die gerich te te Verbindungsstrec ke (O rtsveklor , Ort spfeil)vom Koordinatcnursprungzum R aumpun kt P [siche A bb. 9 .1.17 ).

9.1

453

Matrizen und Vektoren

i) Jed e Matrix A (m ll ) bestehraus genau m Z eilen vek toren ulld n Sp ahenvekioren.

Bem erkung 9.1.18:

Beispiel: A =

(~ ~

_: ) besteht aus den beiden Zeilenvektoren (I 5 9) und (2 7 -4) bzw.

den drei Spaltenvektoren

( ~) , ( ~) .

( _:) .

ii) Jed e J »l -Matrix, die aus nur je einer Spalte und Zeile besteht, heißt Ska lar. Skalare werden als reelle Zahlen aU!Ke!usst. Beisp iele: (4) ,oo 4 ; (x) '=x (E IR) .

9.1.2

Spezielle Matrizen und Vektoren

Im fo lgende n sind einige wichtige Spezialfälle von Matrizen und Vektoren aufgeführt: Der. 9. 1.19: I) Eine Mat rix, deren Elemente sämt lich Null sind. heißt Nullmatri x. geschrieben O. (Es gibt zu jedem Typ mxn genau eine

entsprechende Nullmat rix O(OI,n)') ii) Vek to ren. deren Komponenten sämtlich Null sind, heiße n Nunvektoren. Schreibweise:

iii) Eine q uadra nsehe Ma trix A = (aik)(ß.n) ' deren sämtlichc NlehtDiagonalelemente gleich Null sind, heißt Diag
lv] Eine quadratische Matrix A = (aik) , bei der säm tliche Elemen te unterhalb (oberhalb) der Diagon alen gleich Null sind. heißt obere (untere) Dreiecksmatnc

'o -1-23]

(o

3 -4 I O()22

"i) Vektoren. die aus genau einer Eins und sonst lauter Nullen bestehen. heißen Etnheitsvektorea :

(q. besitzt also die Eins in der k- tcn zenc.)

0

I

obere

v) Eine Diagonalmatrix. deren Diagonalelemente sämtlich gleich Eins sind. heißt Etnheltsmatrix. Es gibt zu jedem quadra tischen Typ nen gcnau eine e nts prechende Ein heitsmatrix E(n,n)'

0

E

(

I 11 I

11 2

o

11 ) 11 4

unter e

Dreiecksmatrix

[:::j

ÖI= [i), Ö2= U)" ~ = m

Die nsn - Ein heitsmatrix [ (n,n) besteht also gcnau aus den n verschiede nen Einheitsve ktoren mit je n Komponenten et , C2' ...,cn .

s,

\'ii) Vektore n deren samtliehe Komponenten gleich Eins sind. heißen summierende Vek toren:

,'" [1 ],

, 'ehe B";; p'''9.!.42 .

9

454

Einführung in die Lineare Algebra

BeisIJieI 9.1.20:

Abb. 9. 1.21 zeigt die geometrische Deutungd er Einheitsvektoren als Ortsvektoren der Länge " 1" im 1R 2 so wie im 1R1 ;

e," ( ~ )

, (x,I

IX2'

Abb. 9.1.21

9.1.3 Operationen mit Matrizen Für Matrizen als selbständigemathematische Objekte sind Operationen definiert, wie z.B. Addition (Subtraktkm) zweier Matrizen, I\lultiplikalioo einer Matrixmit einem Skalar, Multiplikation zweier Matrizen. E s wird sich zeigen, dass die so vereinharte n Operatio nen i)

zwar den Ope rationen m it ree llen Z ahlen nachgeb ildet sind. teilweise jedoch erheblich abweic hen;

ii )

sich hervorrage nd für die Beschreibung und Beantwortungökonomischer Fragestellungen eignen (\I,1e ctwul nput-Output-Analysc, linea re Gleichungssysteme. lineare Optimierung).

9.1.3.1 Add ition von M atrizen Def; 9. 1.22: Unter der Summe (Differenz) A + B (A- 8) zweicr (m,n}-Matrizen A == (ailJ und B == (bi0

gleichen Typs versteht man die (m,n)-Matrix C = (cik) mit eik = aik+hik ( = aik-bik) ' Zwei Matrizen gleichen Typs werden addiert (subtrahiert) , indem man entsprechende Elemente addiert (suhtrahiert).)

[d.h.:

Bei.~pieI9 . 1 .23 :

i)

Seien

A=

( 2I )4 5) 7 :

R ~~

(-01-'7_

0) I gegeben.

Dann flllb>t: ii)

Die Produktionsmengen dreter Produkte seien im 1. Halbjahr bzw, im 2. Halbjahr gegeben durc h die Produktionsvektoren

_ (20."") Xl =

10.000

:

15.000

Dann lautet der Jahresprod uktionsvektor

x:

X2 =

18.000) .

( 17.(lOQ 25.000

- - +x = XI

x2 =

38.000) . ( 35.000 32.000

9 .1

Ma trizen und Vekt oren

455

iii) E ine inn erhetriehlich e I.eistu ngswrllecht ung (s. auch Kap. 9.2.6 .2) sei beschrieben durch die folgenden Verflech tungs mat rizen Ai (i :: 1,2,3,4) für d ie 4 Qua rtale eines Ge schäftsjahres:

empfangende Kostenstellen I . Quartal

lief emde

Kostenstellen

K,

K,

KJ

K, 0 K, 30 K) 20

10

0 20

3 .Quartal

2. Quarta l

K,

K,

20

0

15

25

25 25

0

(= A, )

0 25

4.Quartal

K)

K, K,

KJ

K,

K,

25

0 30 20

20 0

10

0 40

30 0

10

25

25

0

( = A, )

15

0

25

K) 10

20 0

(= A, )

( = AJ)

a) Für die innerbet rieblichen Gesamtlieferu ngen des Gesc h äftsjahres ergibt sich d ie Matr ix A mit A = A ] +A 2+A} +A.; =

(12~ 7~ ~~ ). 75

0

20

h) D ie D ifferenzmatrix D mit D ,= A.;-A 1 =

10 0 ( - 10 5 runge n des 4. Q uarta ls bezoge n auf da s I . Qu arta l an.

h ') D ie Addition zwctcr Vektoren im 1R.2 kann graphisch veranscha ulicht werden (s. Abb.9. J ,2';):

Der Summenvek to r ä +b (mil ä

=G): b ::

cn

ä+h = ( ': ) ist graphisch du rch den von (~)aus­ gehenden Dlegcnalenvekter des du rch a und b aufgespa nnte n Parallelogramms geken nzeic hnet. Demselben Gesetz der Vekt oraddition genügen in der Mechan ik K räfte un d ihre Überlagerung bzw. Zcr tegung.

95

- 10 ) -~

0

gibt die Mehr - bzw. Minderhe fe-

_ (16) 8 _= _

I (x2)

C=

a+b

~

5( (:)

F= (~)

5

lXI }

1O

Abb. 9. 1.24

Nach De f. 9. 1.22 gelten fü r die Matrizenad dino n analo ge Ge setze wie für d ie A ddition reeller Zahlen; Satz 9.1.25: (Ge setze der I\Iatrizenadditioll)

Für Mat rizen gleichen Typs gilt: I)

A + B = B +A

(Kommutanvgcsctz)

ii)

A + (B +C) = (A +B) +C

(Assoztat lvgesctz)

iii)

A +O =A

(Ex istenz eines Nußelementes [Nullmarrixj]

h')

Aus A +B =O folgt B = -A (mit - A' = (-aik)(m,n»

(Ex istenz des inversen El ements bzgt.der Addition )

v)

(A+ B)T = AT+ BT

(Surnmandcnweiscs Transponieren erlaubt) .

9

456

Ei nführung in die Lin eare Algebra

9.1.3.2 l\lultiplikation einer Matrix mit einem Ska larfaktor Betrachtet man die beiden Mat rizen A =

(~

~~ ) . so ste llt man fest, dass jedes

: ) und B = ( 1:

E lement vo n B gena u dreimal so großisl wie das ents preche nde E leme nt von A : A ndererseits ergibt sich B offcnhara uch d urchdicSumme A+A +A = ( 2+2+2 6+6+6

bik = 3 "aik . -1+4+4)

8+8+11

~ (3J ,6 '2

J 4) J 8 .

Schreibt man (wie in IR)statt A+A+A den Ausdruck 3 . A, so ",,;rd man sinnvollerweise definieren: Dd.9.1.26: (Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar ) W ird jedes Eleme nt aik einer Ma trix A mit demse lben skalaren Faktor k e IR mult ipliziert. so sp richt man von der Multiplikation der Matnx A mit dem Skalar k . Für die so ents tandene

Matrixschreibt man: (9.1.27)

k·

(,,, "")

(

3mn

a",1 ...

k" ," ) .

H "

...

:

k''''',

k ' ilmn

Beispiel 9.1.28: i)

2 '(5 j 4 i 6)T '"

CD·

ii)

Die Ma trix [ - 1:1

11 8

I~ ]

11

11

11

7

iii)

iv)

77 · E(3,3)

:0

lässt sich vereinfac ht schreiben als

i\-.(-~ _~

In 4 Bet rieben werdenjewcils diese lben 3 Produkte gefertigt. D ie mo natliche Prod uktion werde durch die felge nde Prod uktion smat rix besc hrieben: Pm =

(

10 \2 8

12 14 8

30 25 10

\5 ) 20 9

Bei unverändert em mon atlichen Outpu t lautet die Jahrespr oduktionsmatrix P : P = 12 · Pm =

A us

(

120

\ olol

Hol

168 96

96

ä = ( a \ az ... an)T - 'I

= ( - al - a2 ...

360 300 120

HO .

180)

Dabei bedeutet 1.. 8. die lah1300, dass im Betrieb 3 j ährlich 300 Einheiten von Pro-

008

dukt 2 hergestellt werden.

Oeome trtsche Veransc ha ulichung der Mul tiplikation eines Vektors ä mit einem Skalar k (EJR) (s. A bb. 9 .1.29) : Der Vektor k · ä geht aus dem v ek tor ji d urch St rec kung (Ik l > 1) od er Sta uchung (l kl < I ) hervor. Falls k negativ ist , zeigen ä und k ·ä in en tgegengesetzte Richtun gen.

e)

I Ix;'

folgt:

-an? = (-l )·ä. 2

c)

2ä , ,

4

Abb 9.1.29

9.1

457

Matrize n und Vekt oren

Für d ie Multiplikation von A mit einem Skalar gelten die folgenden einfaeh verifizierbaren Gesetze: Sat z 9.1.30:

Es seien A. B zwei Matrizen gleichen Typs und k, r zwei reelle Konstant en. Dann gilt:

;)

k '(r ' A)

ii)

k '(A+ B)

iii )

(k +r) ' A

(k ' r) ' A k · A +k · B

"

k ·A + r ·A

(Assoziativgesetz)

I

(Distribut ivgcsetze)

Wendel man Addition und M ultiplikation einer Matrix mit einemSkalar kombin iert auf Vektoren an, so spricht man von einer Lincarkomhi nation vnn Vektoren. Beispiel 9.1.3 1: Gegeben seien die Vektoren ä =

( ~ ),

b'" ( ~) des 1R2 sowiedie Skalare k '" 2, r = 0,5. Dann gilt: Der Vektor X mit x= k · ä + r b, d.h . ist wicderum ein Vek tor des 1R2, und zwar eine sog. " ü ncarkombi nat ion ~ der Vektoren ä und E. siehe A bb. 9.1.32 .

Abb. 9.1.32

Allgemein definiert man: Def, 9.1. 33: (I.incarkombinalion vün Vektoren)

Es seien "ä t , ä 2,...,än n Vektoren gleichen Typs und c I' cz-...,c n n Skalare (E IR). Dann nennt man den Vektor mit

x

(9.1.3-1)

x=Cjä[ + e2ä2 + ... + cuän = L" ejäi ; -1

eine Ltnearkomhlnaüon der n Vektoren ä j

•

(i=1 •. .,0)

Bemerkung 9.1.35: 1m Fall nidunegativer Ska/arjakJore1l ci, deren Summe genau Eins ergibt (d.h. f ür c/ + C2 + ... + CTI = 1 und ci a 0) spricht man von einer konvexen Linearkombination der Öi' BeisIJieI 9. 1.36:

Gegeben sele n diefolgenden Vek toren des IR} :

i) q =4; c2 "' -2; c)"'O,2:

ist eine

nicht konvexe Linca rkombinatio n der aj.

H) cI = 0,5; c2 = 0,2; c3 '" 0,3: konvexe Lrnearkornbtuaüon der 'äj •

~

458

9

Einfiihrung in die Lineare Algebra

Bl'i~pit·19.1.37 :

Es seien Im [R2 die beide n Vektoren

_xI = (') 10' _ xz '" (1 5')

gegeben.

Bildel man X\. X2 sowie ein ige konvexe Linearkomb inationen graph isc h ab,

z.B.

X3 =O,5XI + 0,5

xl = (;,~)

X,j. = O,2 xt + O,8 x2 = xs =O,6x\ +0,4X2 =

( 1,3)

(,' )

usw.

(sAbb. 9.1.38) , so erkennt man: Sämtliche konvexen Ltnearkomblneuonen zweier (richtungsverschiedener ) Vektoren des IR2 liegen auf der Verbindungsgeraden der durch die beiden Vektoren gekennzeichnete n Punkte.

9.1.3.3 Die ska la re Multiplikation zweler Vektoren (Ska larp rodukt) Eine Unternehmung produziere 5 verschiedene Güter. Die wöchentlichen Produktionsmengen XI ,xl"'" Xs (in ME) werden beschriebe n durch den Prod uktionsvektor = ( 10 15 7 4 3). Die entsprechen-

x

den Verkaufspreise p \" ",PS (in € / ME ) bilden den Preisvektor f ,= ( 5,50 8,00 10,00 12,50 50,00)T.

Damit ergibt sieh (unter der An nahm e, dass die Produkt e unmittelbar nachi hrer Produk tion verkauft werde n) der wöc hentlic he Umsatz U der U nternehmung, indem entsprechende Komponenten von x und p erst multipliziert und die entstandenen Prod ukte soda nn addiert werden:

U = xIPI +x2P2 + x3P3 + x.tP-1 + xSPS = 10 ' 5,5 + 15 ' R+ 7 ' 10 + 4 ' 12,5 + 3 ' 50 = 445 € / W(x;he. Man sagt, der Umsatz sei das skalare Produkt ! aus Mengenvektor

xund Preisve ktor p.

Um fo rmale Widersprüehliehkcitcn mit der im nachfolgenden Kapitel da rgestellten allgemeinen Matrize nmultiplikation zu vermeiden, ist es zweckmäßig zu verlangen, dass der linke Faktor ste ts ein Zeilenvektor, der rechte Faktor ste ts ein Spaltenvektor ist.

Der. 9.1.39: (Skalarprodukt zweier Vektoren) Gegeben seien ein Zeil envek to r äT = ( al a2 ... an) und einSpalte nvektor b = Un ter dem Skalarprodukt von äT und b versteht man die rccllc Z ahl (Skalar)

(9.1.40)

I .S kalares Produkt", weildas Resultat der Operation eine reelle Zahl ("Skalar") ist.

459

9. 1 Matrizen und Vektoren Die formal korrekte Schreibweise des zuvor errechneten Umsatzes lautet nunmehr:

U =,T. p= [x (ode r;

U

...

,,)(!:)

(,,)

= ' ,P, ' ... ,

',p, = 445 [€JW,~h'l

= pT·x= ( PI ... Ps) ~s = P1x\ +... - psxs = 445).

Bemerkung 9.1.41: i) Die Produkte (iT"bT zweier Zeilenvektoren bzw. Ci b zweierSpaltenvektoren sind f onn al nicht definien. Das Produkt (i J;T eines Spalten- mit einem Zeilenvekior ergibt def initionsgemäß als Resultat eint nxn-Matrix(also keinen Skalar!), sieht das [olgende Kapuet 9.1.3.4. ii) Es gilt stets:

(iT . b= jjT .(i

Beispiel 9. 1.42 :

7 1O) .(=D =5 '2 -7 ' 1- 1O '2",-17 =(2-1 -2) · CD

I)

(5

11)

(- 2 1

iii)

Ein Vektor

3)'(;,)'" -2,2+1,1+3 '1 =

0

{slehe Bem. 9.1.41 ii)

(Man sieht: Das Skalarprodukrkann Null werden, ohne dass einerderFaktorenNullvektor ist l]

s mit laute r Einsen heißt . summierender" Vektor (sieheDef. 9.1.19 vii) wegen; (5 7 11).( :) = 5'7' 11 = 23

Allgeme in: Wenn ä T ", ( a l a2 ...

an). so gilt:

äT·s", sT·ä", ( a l a2 '" a n) ' ( 1 1 ... l )T

= a,+a2+ ... +a n •

d.h. das Skalarprod ukt vo n ä und dem (vom Typ her) passenden summierenden Vektor fert die Summe der Kompo nenten von ä.

s lie-

Die lineare Gleichung 5x+7y-4z '" 17 lasst sich mit H ilfe der Vektoren ä T '" ( 5 7 - 4) und x '" (x y z) L alsSkatasprodukt schreiben: äT .x '" 17.

Allgemein: Die lineare Gleichung a lx l +a2x2+... +aoXn '" b läss t sieh kompakt schreiben als äT·x = b mit: ä T '" ( a , az ... an) ; x = ( XI X2 ,,,xn) T .

9.1.3.4 Multi plika tion von Matri zen Auch für zwei geeignete Matrize n ist eine Multiplikalion erklärt, die a llerdings nicht (wie bei der Addition) kompon entenwe ise geschieht. Es sei dazu ein ckonomlsches Beispiel betrachtet; Beispiel 9. 1.43: In einer Unte rnehmung werden zwei Typen von Endprodukten E I' E z aus drei versc hiedenen Typen von Zwischenprodukten Z I' Z2' Z3 gefertigt, die jeweils wiederum aus vier verschiedenen Rohs tofftypen R I •R 2, R 3, R,. bergestellt werden. Abb . 9.1.44 zeigt graphiseh die Zu sammenhänge dieser zweistufigcn Fertigung. Für jede Einheit der Zwischenprod ukte werden best immte Mengen der verschiedenen Rohstoffe, für jede Endprodukteinheit werden bestimmte Mengen derverschied enon Z wi schenprod ukte benötigt. Die notwendigen Mengenangaben (vProduktionskoef!izienten") finden sich in folgenden Verbrauchsrnatrizen A, B(Tab. 9.1.45):

9

460

Einführung in die Uneare Algebra Zwischenprodukte

. 9.1.45 (a)

z,

Rohstoffe R

R R R

End-

6

7

0

RohSIoffe

Zwischenprodukte

Endprodukte

A

heit vcn Zwischenprodukt q 7 Einheiten des Rohstoffs R3 erforderlich sind, usw.)

Tab. 9.1. 45 (b) f2. S/ufe)

Z,

(Es bedeutet etw a die zahl ,,7", dass pro Ein -

verbrauch

(1, Stufe)

z,

, ,, , a , , , a

Endpro dukte

Z Z Z

Abb. 9.1.44

.,

,, ,

Zwischenprodukte

,,s

6

,

B

(DieZ:JhI ,,3"bedeutet, dass pro Endprodukteinheit des Typs EZ 3 Einheiten des Zwischenproduktes 2 2 benötigt werden, usw.)

Gesucht sei nun für jede Endprodukteinheit von E I. E2 die zugehörige Anzahl der verschiedene n Rohstoffe R I• ..., R-I. d.h . eine Tabelle (Matrix C) des Typs von Tab. 9.1.46: Um etwa das Element C32 zu ermitteln, dessen Wert angibt, wieviel RohstotTeinhc itcn des T~ps R) pro Endproduktcmheit E2 erforderlich sind, benötigt man die Anzahl der für 1ME von E2 erfordcrlichen Zwischenproduktcinheiten ( '" zweite Spalte vo n B) sowie die in jeder Zwischcnprodukteinheit enthaltenen Rohstoffmengen von R)

r- dritte Zeile von A):

(Z , ) (Z, )

(1

(RJJ

(D

4)

7

3. Zeile von A

mal

Rohstoffe

R, R, R,

...

102

C 11

C12

C21

C22

C31

C32

(41

C42

T ab. 9,1. 46

(E,) (Z, )

Endprodukte EI

Die pro Einheit von E2 enthaltenen (ZI) (2,) (2,)

2. Spalte von B

5 Einheiten Z t erford. je 1 Einheit R3 3 Ei nheiten Z2 erford. je 7 Einheiten R3 2 Ei nheiten Z3 erford. je 4 Einheiten R3 insgesamt erfordert eine Einheit von E2 dahe r C32 - 1 · 5 + 7 · 3 + 4 · 2 ~ 34 Einheiten R3'

Diese Resultat bildung ist offen bar identisch mit der Bildun geines Skala rprod uktes: C32 hat sich ergeben als Skalarprodukt der dritt en Ze ile von A mit der zweiten Spalte von B. Ganz analog errechne t man die iibrigcn Ele mente von Ci k als Skalarprod ukte de r i-tcn Ze ile von A und de r k-t cn Spalte von B . Als E ndergebnis erhält man die gesuch te Rohstoff· En dprod ukt· Yerbrauehsmatrix C mit:

C

Cu

_

-

(

e" c"

C"

CU Cz2 ] ( 30 34 =

C 32

CU

3K

30

"" "] "

Man sagt, d ie Matrix C sei durch Multip likation der Mat rix A mit der Matrix B entstanden : C =A ·B,

9 .1

461

Matrize n und Vektoren

Allgemein defi niert man: Def. 9.1.4 7: (M ultiplika tion zweier Ma trizen) Gegeben seien die Matrizen A = ( aij) {m,p) und B = (tJ.jk)(p,n) ' (Die Spaltenzahl p von A mus s also mit der Zeilenzahl p von B übereinstimmen.') Dann versteht ma n unter dem P rodukt A · B der Mat rizen A und B die Matrix C = ( Cik) (m.n) , deren E lemcnt Cjk d.1SSkalarp rod ukt aus Her Ze ile vo n A und k-ter Spal te von B ist:

(i = 1,...•m ; k

Cik =

v

l, ...,n).

Bemerkung 9.1.48: Die Z eilenzahl von A B stimmt mit der Zeilenzahlvon A . die Spaltenzahlvon A B mit der Spaltenzahl von B überein.

J c: -:-;-n

Belspiel 9. 1.49 :

~

8 =

- 2 5 - 7 ) (1 ' 1- 2 ' 3 - 1,2+ 2 ,4 4 - 6 II = 3' 1- 4,3 -3 ·2 + 4' 4 5' 1 -6 '3 -5 ,2+6 '4

-,- 7

- 11

5' 5 - 6' 6

- 5'7 + 6

')

11

13 .

Besonders übe rsichtlich gesta lte t sich die Matrizcn multiplikat ion A·B d urch Verwendung des Falk.'sc he n Schemas . Dabe i ordnet ma n die Faktoren nicht nebeneinander an , sondern den linken Fa ktor A links unten, den rech ten Pak to r B rechts o be n an (Ab b. 9.1.50).

ä?

Im Kreuz ungspunk t der i-tcn Zeile von A und dcr k-ten Spalte vo n B steht dan n deren Skala rprodu kt ~ als e nts preche ndes E lement Cik de r Produktmatrix A·B = C.

t;.

1 ,5 - 2, 6 - 1' 7 + 2 :8) 3, 5 - 4' 6 - 3' 7 + 4

Abb. 9. 1. 50

Fa/kschesl

~he~a-L '"

'n ...

I

" p

... ...

bp' ...

b"

,

b"

c"

...

an

eu

' m'

' m'

...

' mp

...

bp"

...

c,"

I

c m, ...

...

b,"

,

B

' mo

C ( = AB) k 'scbcs Schema:

(AI

bp'

,

...

A

Behpicl 9.1.5 1 (Matrizenmulliplikalion) :

b, "

,

-- ~

... a ip

...

b"

... ...

b"

I

5 1 2

-2 3 5

0 2 I

3 2

,

11

I

19 21

tu 37

10

[ill

(8)

C = A8

462

9

Einführung in die Lineare Algebra

Die für die Matrizenmultiplikation geltenden Gesetze unterscheiden sich durch einige Besocdernenen von den üblichen l\Iulü plikalionsregeln ree ller Zahlen: Belsp iel 9.1.52: i)

Seien ä T=(Z - 1 3); b: (5 1 - Z)T gcgcbcn. Dannis!..nach Dcf. 9.1.47 sov.u hl dasProdukt äT . '6 als auch das Prod ukt mit vertauschten Faktoren b ·iT definiert, und es gilt:

3){D

.)

, T ·b = ( 2 - 1

b)

b'iT (:)'(2 l 3)

= 10 -1 - 6 =

=

-r

-2

=

3

( 1~ =~ l~ ) 2

-~

-6

Während äT .b (alsSkala rprod ukt) den We rt 3 hat, stellt b'ä T eine (3x3)- Matrix da r. ii)

Seien A = ( _:

~ );

( ~ ~ ~ ) gegeben.

B =

Nach Def. 9. 1.47 ist zwar das Prod ukt AB de-

finlcrt , nicht jedoch das Prod ukt BA (da die Spalten zahl von B nicht mit der Zeilenza hl von A über einstimm t) . iii )

Seien A = ( _ ~

~ );

B =

( ~ - ~)

gegeben. Nach o cr, 9.1.47 sind sowohl AB als auch BA

definiert, das E rgebnis beider M Ultiplikationen istjeweils cinc 2 ~2 -Matrix (mir A B

,

1 -)

3

[a]

5 2

-I

1

11 3 8 11

(8)

5

(b)

= AB

,

1 -1 3

-1

=1=

BA I) :

(Al

2 3

6 -I

B -A (=I= A ' B)

11 18

(8)


Aus Beispit:l9.1.52 ist er kennbar, dass das Kommutativgesetz für :'\latrizenmultiplikation nicht gilt: Satz 9. 1.53:

Für das Produ kt zweier Matrizen gilt i.a.:

I

AB

=1=

BA

I

Bemerlamg 9.1.54: Es soll im folgenden in Matrizenprodukten stetsstillschweigend vorausgesetzt werden, dass die Faktormatrizen der in Def. 9.1.47 angefühnen Verträglichkeilsbedillgllnggenügen. 2 -3

Ei ne weitere Besonderheit der Matrizenmultiplikation zeigt das nebe nste hende Beispiel (s. auch Bsp. 9.1.42 ii), so dass man folgern kann:

Salz 9. 1.55:

(A)

8 , 4 2

-4

6

o o

0 0

(8)

Es gilt hier: AB = 0, aber: A =I=O ;B =I=O l

Das Prod ukt z..wcicr Matrizen kann eine Nullmatrix sein, ohn e dass einer der Faktoren e ine Nullmatrix ist.

(Für reelle Zahl en gill dagegen bekanntlich: a -b

e

ü

~

a=Ovh=O, siehe Kap. 1.2.1.2, R13e.)

9. 1

463

Matrizen und Ve ktore n

Im folgend en sind die leieht verifizierbar en Reche nregeln ftir die Mat nzen multipllkatlon zusamrncngcste llt. Man beachte. dass die N ullmatrizen 0 bzw. d ie E inheitsma trizen E dabe i eine ähnliche Ro lle spieJen, wie die Null und d ie E ins für d ie M ultip likat ion reeller Zahlen; U nter der Voraussetzung, dass allevorkommenden Summen und Prod ukte definiert sind, gilt; Satz 9.1.56:

(Rec henregeln für die Matrtzenrnultipllkatlon)

i) a)

(AB)C = A(DC) = ABC

b)

k(AB) ; (kA) B ; A(kB)

ü) a)

(Assoziativgesetze [ke IR»

A(B+C) = AB+AC (A+ B)C = AC+ Be

(Distributivgcsctzc)

iii)

AE =EA =A

(Multiplikation mit den E inhcitsmatrizcn )

lv)

AO =OA =O

(Multiplikat ion mit de n Nullmatr ize n)

v)

(AB? = BTAT

b)

Bemerkung 9.1.5 7: Wenn A quadratisch ist, so sind auch mehrfa che Produkte A ' A, A ·A ·A ,... erklärt, [ur die man die Schreibweise A 2, A 3,... vereinbart hat. Beispiel: Sei A =

( ~ ~) .

Mit Hil[e des Falk 'scnen Schemas erhält mall sukzessive:

0 J 1 2

0 1 1 2

0 J 1 2

0 1

0 J 1 2

J 2 2 5

2 5 5 12

5 12 12 29

12 29 29 70

A

Al

A3

A'

A'

J 2

Ein e wichtige Anwend ung der l\1atrizenrnulliplikat iOll bes teht in der Möglichkeit , mit ihre r Hi lfe ein lineares C lelc hun gssysrem in kompakt er Weise dars tellen zu können. Sei et wa das linearc Glcich ungssystcrn (9.1. 58)

2x + 3y- z = - 2 x +4z= 14

5x -

y- Sz

>

gegeben.

2

Wir fassen d ie Elemente d ieses linearen Gleichu ngssystems in Vekto ren bzw. Matrizen zusamm en ;

Vcktor dcr Lösungsvariahlcn;

x= ( ~) ;

,

3 w3-Kocffiziente nmauix derli nke nScilc;

Vektor der rechten Seite: A=

(2 3-I) 1 0

4

5 -I

-3

b=

(~;) ;

2

Dam it lässt sich das linea re G lcichungssystem (9.1. 58) wic fo lgt sc hreiben: (9. 1.59)

oder kompakt:

r:::-;:l

~.

Dabei ergibt sich du rch Matrizenm ultiplikation auf de r linken Seite ein 3 wl· Ycktor, der komponenten weise mit b übereinstimmt, also wiederum zu de n drei Gleich ungen des Systems (9 .1.58) führt. Man

464

9

Einführung in die Lineare Algebra

bestätigt d urch A usführen der Matrize nmultiplikation (9.1.59), dass der Vektor X""

(2 - 1 3)Teine

Lösungdes Gleichungssystems (9.1.58) ist. In analoger Weise gilt allgemein: Das lineare Gleicbwlgs!o)'slem

anX1 + a12x2 + 3 21X 1

(9.1.60)

+ a 22x2 +

a 1nx n

b]

+ a 2nxn =

b2

+

lässt sich als l\Ialrizengleichu ng in der Form

(9.1.6 1)

schreiben, wenn man vereinbart:

Koeffiziemenmatrix

Vektor der rechten Seile

Variablen-

vektor

(Zur Lösung linearer GleichungssystemesieheKap. 9.2.)

Aufgabe 9.1.62:

Welche Relationen bestehen zwischen den folgenden Matrizen'! A =

Aufgabe 9. 1.63:

(

I 02 7) 3 ;

2 3

7

C =

I

I 2 ( 13

2 I 7

Gegeben sind die Matrizen

A=( i -: :); B=C: ~ ;); 2

I

0

Man ermittlefolgende Matrizen (sofern sie existieren): i)

AB

U)

ATB

iii)

BA

v)

oe

li)

CD

vii)

6(CB)T -2 UT . 3e T

viii) CBA

I')

(B+ CT)" (BT +C)

,)

~)

(CB)2+2 CBA+A2 .

(CB+ A)2

h")

38 C+ 20 2

9.1

465

Ma trizen und Vektoren

Aufgabe 9.1.64: Man bilde die angegebenen Produkte und überprüfe, inwieweit die Ergebnisse mit den bekannten Rechenregeln für reelle Za hlen vereinbar sind: A=

(

I 0 0)

0 ,

I 0

0 0

D=

;

F= i)

G=

C

K =

Be

Aufgabe 9. 1.65:

GII und GK .

v)

Gegeben sei das lineare Gleic hungssystem A =

J

(J

-t

-S 3

I -4

-5

0

I

2

' (

AX =b

mit

, ) 2 ; I

Wie lautet der Vektor b der rechten Seite, wennein Lösungsvektor ( I 0 - 2 1 3 ) T vorgegeben ist?

x= ( XI

x2 x3 x4

xs) T

=

Aufgabe 9. 1.66: Eine 3-Produkt-Umernehmung kann pro Woche maximal 100ME des Produk tes P I oder aber 250 ME des Prod uktes P~ oder aber 400 ME des Prod uktes P3 herstellen (entsprechende Produktionsvektoren. (1 00 0 O)T ; (O 250 O)T; (O 0 400) T). Daneben lassensic h auch beliebige konvexe Linearkombinationen der genannten Prod uktionsvektoren herstellen. i) Man gebe ei nen a llgemeinen mathemat ischen A usdruck für sämtliche Prod uktionskombinationen

an, die die wöchentliche Kapazi tät der Unte rnehmungvoll auslasten. ii) Man gebe d rei mögliche Produktkombinationen mit je drei Prod ukten an.

Aufgabe 9. 1.67: Ein Betrieb montiert aus Einzelteilen T I,...,T 5 Baugruppen B" ...,B4 und fertigt aus den Baugruppen Enderzeugnisse E I' E 20E3. Die beiden folgenden Tabelle n zeigen, wieviele Einzelteile für die Montage einer Baugruppe und wi eviele Baugruppen für die Fertigung eines Endprodu ktes benötigt werden:

TI T, TJ T, T,

BI

B,

2 2 6

0

J

4

1

I J

1

BJ J 5 4 0 1

B,

EI BI J B, 4 BJ 0 B, 8

4

J

z 1

9

E,

EJ

6 1 4

6

0

2

5 0

I) Der Betrieb soll vom ersten E ndprod ukt (E I) 400 , von E 2 500 und von E) 300 Stück liefern. Fas sen Sie diese Mengen im Prod uktio nsvektor p zusammen. Wie lässt sich mit Hilfe der Matrizenrechnung der Vektor b = ( b i b2 b) b-l) T bestimmen, der angibt, wie hoch der Gesamtbed arf der einzelnen Baugruppen im vorliegenden Fall ist?

x

= ( XI x2 x) x~ xS) T , der für den vorgegebenen Prod uxtionsvektor 15 den Gesam tbed arf an Einzelteilen angibt. Man best imme

ii) Gesucht ist der Bedarfsvekto r

a) mit H ilfe des zuvor ermittelten Baugruppcnvektors b

x

;

b) direkt mit H ilfe einer noc h zu ermitte lnden Matrix C, deren Elemente cik angeben, wieviele Einzelteile der Art Ti in eine Einheit des Enderzeugnisses Ek eingehen. *jjj)

x

Man ermittle den Produktionsvektor 15, wenn der Bedarfsvekt or ( ~ Vorrat an E inzelteilen) 'Wie folgt gcgebcn ist: X=(20.100 18.000 29.300 18.100 27.400)T.

9

466

9.1.4

Einführung in die Lineare Algebra

Die inve rse Matrix

Für Matrizen ist eine Division nicht erklärt. Eine Matrizengleichung des Typs A· X = B lässt sich also nicht (wie im Bereich der reellen Zahlen etwa die Gleichung ax = b ) ohne weiteres nach X

~ a ul1öscn~.

+)

Nun kann man allerdings auch heim gewöhnlichen Rechnen mit reellen Zahlen die Division umgehen, multipliziert . ludern man etwa die Gleichung ax '" b mit dem zu a ( *' 0) inversen Element a- I ( ,= Es folgt dann unmittelbar wegen a- I -a = 1:x = a- 1. b = : .

Ganz ana logführt man für Matrizen cinc. jnverse Malrix~ bzgl. der Multiplikation ein: Def.9.1.68:

(inverse Matrix)

Es sei A eine quadratische Matrix. Gibt es dann eine (ebenfalls quadratische) Matrix B, für die gilt: AB = BA = E , so nennt man B die Inverse :\latrix zu A (kurz: Inverse) und schreibt dafü r A- 1. Wenn zu A die Inverse A- I existiert, so heißt A regulär, andernfalls ~ingulär. Für eine reguläre Matrix A gilt also:

Für nichtquadratische Matrizen ist keine Inverse erklärt.

(-' \ )

Die Matrix 1.5 - 0,5 Istinvers zur Mat rix mata hervorgeht: ~ 2

Bei~pieI9. I .69:

-2

I 1,5 - 0,5

3

4

1

0 '" E

0

1

(\3

~ ) , wie aus den Falk'schcn Sche-

-,

\ 2 3 4

\ 1,5 - 0, 5

1

o

0

\

'" E

Beispiel 9. 1.70: Nieht jcdc quadratische Matrix besitzt eine I nverse!

( ~ ~ ) gegeben. Dann ergibt sich damit wegen A · A- I '" E aus dcm Falk'schen ~ht:ma, dass d~e Elcm~nte a. b, c, d der gesuchten Inversen A- 1mit A- I :: ( : ~ ) folgenden Be-

Sei ctc..a A ::

dmgungen genugen mussen:

a+O :: 1 d.h. a ", 1 sowie c- ü e 0 d.h. c:: 0 a+O::O ~ a = O e+O=l ~ c = 1 Widerspruch! Also existiert A- 1 nicht, A ist singulär.

(A )

Bemerkung 9.1.71: Besuu A eine Inversr e A - 1, so ist diese t n ven e eindeutig bestim mt!

Denn sei etwa A· ~ J eine zweiteInverse von A {d.h. A • - lA ", AA · - J = E ), so folgt: A · - 1 =A · - J . E =A ·

~ J (A

' A ~ J) = (A · - J ' A) ' A - J = E ' A - J =A -J.

Es gibt daher - wenn überhaupt - genou eine Inverse A - J zu A .

9.1

467

Matrizen und Vektoren

Für das Rechn en mit der I nversen gelte n folgende Recben regeln: Seien A. B reguläre Matri zen gleichen Typs. Dan n gilt :

Salz 9.1. 72:

(A- 1r l"" A (A ~I)T =

(Die lnverse der lnven en ist wiederdieA usgangsmatrixi

(ATr l

(ABfl "" 0 - 1 A- I

iii ) iv)

(Transpo nieren und Invertieren sind vertauschbare Operationen} (Die Inverse eines Produktes ist gleich dem Produkt du Inversen , mit vertauschten Faktoren] (e d~. \{O} )

Bemerkun g 9.1. 73:

Zur Demonstration des [ormolen Recnnens mil Memzen werden die Regeln i) und iü) bewiesen: 1.11

1.U

Sei d.h.

i) :

(A - I r l = X A - ].X =E

A·I (A - I r l = A I .X AE =A A - I ·X d.h. 4

A =X .

Es gill (Assoziativgesetz]: (A B)(B -IA - I) = A (B B -I) A -I "" A-E 'A - I = AA - I = E , also sind A B und B - IA - I invers, m.a.U': (A Br I = B - IA - I .

iii)

Die Kenntnis der Inversen A -1 zu einer gegebenen Matrix A gestattet dieform ale Umfonnungbzw. Auflösun g von Matrizengleichungen bzw. linearen Gleichungssystemen.

Beispiel 9.1. 74: Gegeben sei die Mat rizcnglciehung AX - B = e X, CE IR. Un ter der Vorau sset zung, dass Produkte und Inverse existieren, ka nn man die Gleichung wie folgt nach X umste llen:

I

AX- cX = B

~

A X - c ·E X = B

(=)

(A - eE) X = B

(=)

X = (A- eEf J.B .

Vo rteilhaft ist die Kennt nis der Inversen der Koeffizientenmatrix A eines lineare n n-n-Ctetcbuegssyb. Multiplikation der G leich ung von links mit A- ] liefert de n gesuchten l..ösungsn·k(or x (dic "Lösung~ des linear en Gleich ungssystem s Ax = b): A- ] . Ax = A · 1. b, d.h .

stems Ax =

(sofern A -I existiert).

(9. 1.75)

Kennt man dah er die I nverse A- I der Koeffizienterunatrix A, so benöt igt man zur Lösungdes zugehörtgen linearen Gl eichungssystems Ax = b lediglich noch die Multiplikation von A - t mit dem Vek tor b der rech ten Seite . Bei~pi eI 9 . 1.7 6 :

Aus Beispiel 9.I.69 ist beka nnt, da ss d ie Matrizen A =

(-~, s -~,s )

und

A- I =

(~ ~)

zueinander invers sind . D aher erhält man wegen (9.1.75) als Lösung z.B. des Glcieh ungssyst ems - 2x\+

x2 =

1,5 xI- 0.5x2

5

-7

den Lösungsvektor.

_x = A _I-· b = (13 2)( 5) (-' ) -4 - 7 = - 13 .

468

9

Einführung in die L ineare Algebra

Ax

Da s H auptproblem bei der Lösung linearer Gleichungssysteme =: b sc hein t auf de n e rste n Blic k darin zu liegen, d ie I nverse A - t der zugehö rigen Kocffizientcnm atrix A zu ermit teln. Nun gibt es aber einerseits die nicht -q uad rat ischen linearen Glctchungssysteme, de ren Koc ffizient enma trix dcfinitions gcmäß nicht invc rticrbar ist . Darübe r hinaus führt die " matrizentechnis chc~ Lösungsme thod e allein scho n desha lb nich t in einfacher Weise zum Zi el, weil der Recheneure...and zur E rmittlun g der Inversen A-1 i.a . wesentlich höhe r ist, als die E rmittlung des gesuchten Lö sungsve ktors mit einer direkt en Met hode (siehe Kap. 9.2).

Ei n Beispiel soll diesen Sachver halt ve rde utlichen.

Brispicl9. 1.77:

(Errnlttlung der Inversen)

Zur regulären Matrix

~ =~ ~ )

A ;; (

- ll

7

ist die Inverse

-)

A- I ,;;

( :~ ~~ ~~ ) gesuch t. '~ 3

Y3 7.3

w egen AA- I ;; E folgt aus dem Falk's chcn Schema (Ab b . 9. 1.78) , dass die Koeffizienten der gesuc hten Inversen de n folgenden drei linearen Gleichungssystemen genügen müssen :

,

2 -I

A

-11

- j

7

1

2

-3

y,

" "' y

Y2 Yy

1 0 0

0 1 0

zl

"" 0 0 1

r

l

E

Abb. 9. 1.18

D ie Lösungen d ieser drei Systeme liefern sch ließlich:

2 Xl - x2 + x3 = 1 8X I - 5 x2 + 2 x3 =0 -llx I+7x2 - 3 x3 =0 2 YI - Y2 + Y3 = 0 8YI - 5Y2+2 Y3 = 1 - 11 YI + 7 Y2 - 3 Y3 =0 2 z l - z2 + z3 =0 8z 1 - 5 z2 + 2 z3 = 0 - 11 zl +7 z 2 - 3z3 = I

4 3) ,

4

.

-) -2

Beispicl9.L77 zeigt : Um ein linea res 3 ~3 -Glci eh ungssys tcm Ai = b m it der " Lö sungsfomld u x = A- I . b löse n zu können, muss man zuvo r drei vergleich ba re lineare Gleichungssysteme lösen! Daher ftcgt es nah e, zur L ösun guneare r G leich un gssy.~ te m e wirksamere :\Ieth otlen zu verwenden (siehe Kap. 9 .2), es sei de nn, man kann die einma l ennittclte Inverse A- I für unterschiedl iche rcchteScite n mehrfach benutzen. (Die Erminlung da

Inversen wirdin Kap. 9.2.5 nach Behandlung derlinearen Gleichungssysteme noch einmal aufgegrif f en.)

9.1.5

Ökonomisches Anwendungsbeispiel (Input-Output-Anatyse)

Ei ne sektoral vern ccluene Unternehmung (z.B. eine Volk swirtschaft} bes tehe aus n versc hiedene n produz ierenden Abteilungen (Sektoren). D ie Prod uktionsme nge Xi (i = 1.2,.... n) des i-t cn Scktors wird zum T eil für die eigene Prod uktio n selbst verbraucht. zum Teil an die übrigen Sektoren geliefert ("endo gener Input "). de r verbleibende ReM ste ht für d ie E nd nachfrage (z.B. Verkauf) zu r Verfügung. Zusätzlich werden - un abhängig vom endo genen In pu t - m verschieden e Rohstoffe (Inputme ngen pro E inheit des itcn Prod ukt es: rli' r2i ,.... rmi ) für die Prod uktio n be nöt igt ("exogener I nput "). Die folgende n Tabellen (Matrizen) gebe n die jeweils ben ötigten Inputmengen pro produzierter Ou tputein heit an " Pn xJukt ionskod fizicnte n").

9.1 Matrizen und Vektoren

469

a) Endogener Input (Abb. 9.1.79) Der P rcduknonskoem ztent aik gibt an. wieviele E inheiten des i-tcn Produktes an den Sektor k zur Produktio n einer E inhei t des koten Produktes geliefert werden müssen . Der I-te Sektor liefert daher die folgenden endogenen In pu tmengen. aiJ . xI an Sektor 1 ; ai2' x2 an Sekto r 2 ; ... ; ain ' xn an Sektor n, d.h. insgesamt

( ä j T = I-te Zeil e von A, b) Exogener In pu t

•

,. ,

(9.1.80) anx l+ai2x2+ ." +airrn = I

aikxk =

Abb.

9.1.19

liefernd" Scktor

ä? ' Xi

x: Prod ukt lonsvckto r]

n

empfangender Sektor k n

I

'"

'"

'"

" ,,,

~

ain

'"

'

..

Matrix A der Produktionskoeffireoten: Pro dukfion sm o lrlx

(Abb. 9.1.81)

Der Rohstcffverb ra uchskeefflalent rjk gibt an , wieviele Einheiten des j-tc n Rohstoffs für eine Outputeinheit des k-t en Prod ukt es ben ötigt werden. v omj -rcn Rohstoff werden somit insgesam t bcn ötigt 0 = 1, 2•..., m):

(9.1.82)

rj = rjlxl+rj 2x2+ ... + rjrrn = I

•

,.,

rjk Xk

Bezeichnet ma n die period enbe zogene tats ächlich e C esamtproduktion aller Abteilungen mit dem Prcduküon svekt or (9 .1.83) die Endllachfrage nach den n G ütern mit dem Nachfragevektor (9.1.8 4) und den exogenen Gesamtro lt..toffverbra uch mit dem Roh..tofl\ 'ektor (siehe (9.1.82» (9 .1.85) so lassen sich die beiden folgenden Beziehungen konstruieren: 1) Die Gesam tpred ukuoa Xi des l-ten Sektors setzt sich zusammen aus den abgelieferten endogenen Inpu ts (9.1.80) und der ElI(lnachfrage Yi ' d.h.

•

,.,

Xi = Iaik xk + Yi

i = 1.2,...•n •

in Mat rizcn sehr eibweise simultan für alle Sektoren : (9 .1.86)

x= AX +y

I.

2) Aus (9.1.82) folgt für den Gesamtrohstoffverbrauch allerSektoren (9 .1.87)

470

9

Einführung in die Lineare Algebra

Sowohl die Produktionsmat rix A als auch die Rohstoffmat rix R seien im Zeitra um konstant. Dann lassen sich die folgenden Problem stellu ngen unters uc hen: i)

D ie P roduktion

x sei fes t ,·orgegeben. Dann ergibt sich aus (9. 1.86) a ls Endverbrauch y:

~ =: X - AX =EX - AX = (E - A)X

(9.1.88)

I.

Der entsprechende Rohstoffverbrauch ergibt sich direkt aus (9.1.87): ii)

Eine vergegebene Endnachfrage y (z.B. Konsum) soll befriedigt werden. Aus (9.1.88)folgt durch M ultiplika tion von links mit der Inversen zu E - A für dic erforde rliche Gesarntprod uktion

(9.1.89)

i . (E - Ar !.'

I·

x:

Man erkennt: Nur dann ist jede vorgegebene Nachfrage y zu befriedigen, wenn die Matrix E- A (nTed mologiemalrixj regulär (d.h. inverticrbar) ist und die Inverse 2 (E I nicht negativ ist, d.h . (E - Ar 1 :<: O. Für den entsprechendenRohstoffverbrauch folgt durch Einsetzen in (9.1.87)

Ar

(9.1.90) iii)

x

Sind die vorhandenen Rohstoffmengen -; vorgegeben, so lässt sich die mögliche Produktion und daraus der resultierende Endverbrauch y ermitteln, sofern die Rohstoffmatrix regulär iSI. Aus (9.1.87) folgt

x=

(9.1.9 1)

R-1. 1

und darausmit (9.1.88)

(9.1.92)

Beispiel 9,1.93:

Eine Unternehmung bestehe aus drei produzierenden Abteilungen. Die gesamten innerbetrieblichen Lieferungen, Lieferungen an den Endverbrauch sowiedie tatsächlichen Rohstoffverbrauchszahlen sind - bezogen auf einen Berichtszeitraum - der folgenden tabellarischen Übersicht zu entnehmen (Angaben jeweilsin ME); e mpfangende Abteilung AbI.

I

I

2 6 8

z

3

nen-

",ff I

2 3

,

,• •

I

z

20 20 50

'0

is

'"

3

Endnachfrage

a

12 6

20

18

30

Daraus ergibt sichdcr Gesamtproduktions40 60 )T. vektor x:o (20 Bezieht man jeden Input auf den zugehörigen Output, soerhältmandie Matrix A der Produktionskocffizicntcn sowiedieMatrix R derRohstotfve rbrauchs koefflzienten.

3

30 60 30

A :o

0.1 0,10.')

(0.'

0,3 0,2 0,1 ; R : (1,1 0,3

('I

0,375 0,5

2,5 I

2 (E - A)- l heiß t auc h ~ Leo nti cf- I nvcrse ~ (nach wassily Lcoraicf 1906-1999, Nebelpreisträger 1973 Begrunder der Input-Output-Analyse )

rur w irtschaü,

9 .1

471

Matri zen und Vekt oren

x= ( 160

i) Der neue Produktionsplan wird \ orgegeben mit

liehe Endve rbranch

Y=

y nach (9. 1.88):

(E - A) 'x =

0,9 - 0,3 ( - 0,4

100

2( 0)T , Dann laUlctder mög-

-0,2)(160)

- 0,1 0,8

- 0, 1 0,7

- 0, 1

100

200

Der exoge ne Rohstoffverbrauch 7 ergibt sich zu

r

=

R'x =

(L,

297,0 5 ) :'50,5 ) ( 200 :~) = ( ·1-16<JO

0,375 0,5

ii ) Abwei chend vo n i) soll der Endverbra uch y für die drei Gü ter das Niveau y = ( 200 300 5(0)T au fweisen . Die dazu notwend ige Produktion lau tet nach (9.1 .89): = (E - A)- I .y.

x

x

(Beme rkung : Im Vorgriff auf die Ergebnisse des Kap. 9.2.5 sind die benötigten Inversen bereits ermittelt worden.) 1,375 0,225 E s folgt: x = ( 0,625 1,375 0,375 }OO = 725 1135 1,725 500 0,875 0,325

0'425 )(200) ( "')

Der dazu erforde rliche exogene RohstofffnpurF ergi bt sich nach (9.1 .87) z u

_r =

_ ('1 00,5,375 0I,5)( "' ) ( 2052,500 1394,375 ) 725 =

R ·x =

2,5

I

0,5

1135

2680,000

iii) Ab weichend vo n i), ii) seien die einsetzbaren Ro"-~tom npU b mit 7 = ( 10.000 15.00 0 19.0(0) T \'orgegehen . Dann lässt sieh nach (9.1.91) folgend e Produktion x realisieren:

x = w l ·7 =

(

Damit ist folgen der Endverbrauch

Y=

(E- A) 'x =

6 -2,5 -' )( 10.000 ) (3.500)

- 16 2

(

6

0,5

4 -I

15.1l00 19,000

=

6 .0()O

8.500

y möglich (sieh e (9.1.88» 09 - 0:3 - 0,4

- 01 0:8 - 0, 1

-(2)(3500 ) '" - 0: 1 0,7

6:000 8.500

( "0) 2.90(} 3.950

Bemerkung 9. 1.94: Man uberzeugt sich dllrch Varia/ion der Vorgabedaten von Bsp . 9.1.93 davon, dass a) auch bei unbegrenzten Rohstoffvorräten nicht jede Produk tion m öglidl ist ! So f ührt beispielsweise die Planproduktion = (4.500 2.000 9.5 ( 0) T allf den En dverbrauch = (1.950 - 700 4.650) 7,. Die Endverbrauchsmenge Y2 des zweiten Gut es ist negati v, was darauf schließen lässt, dass Abteilung 2 meh r endogene Inputs liefern muss, als sie insgesamt selbst p roduziert.

x

y

b) nieht zu jeder Rohstoffverbrauchsvorgabe eine Produk tion möglich ist ! So führt z.B. d ie ROM toff vorge be == (1.000 2.000 3.000) T auf den Produktionsv ek tor == (- 2.000 8.000 0) T lind da her auf ein ökonomisch unsinniges Ergebnis.

r

x

In der Theo rie übe r die Input-O ut put-A nalyse werde n Bedingungen diskutiert, bei de ren Vo rliegen eine i) jedc Nachfra ge befriedigen kann ii) jede belie bige Prod ukti on rea lisieren kan n iii) zu jeder Ro hstoffvorgabe zul ässige Prod uktion en realisieren kan n (siehe z.B. [59 ]).

verfl ochtene Unternehmung (insbesondere eine sektora l gegliederte Volk swirtschaft}

472

9

E inführung in die Lineare Algebra

Aufgahe 9. 1.95: i)

Man ermittle (sofern sie existieren) die Inversen folgender Matrizen (siehe Bsp. 9.1.77): I -' ) B "" ( - 2 6

A=

D ""

j

(I ' -I) 0

o

I

3

z

0

c= ( ()~ 0: ~I ) ;

j

11) Man löse die Matrizengleichung AX + X = BX + C nach X auf. (Sämtliche vorkommenden Ma trizen seien regulär und vom gleichen T yp.)

Aufgabe 9. 1.96: Ein zweistufiger Prod ukttonsprozess werde durch die folge nden Tabellen der Produktionskccffizicnten beschrieben : Zwischenprodukte Rohstoffe

R, R,

Z,

Z,

I

a

z

I

Endprodukte

,

Z,

E, Zwischen" produktc

I

E,

Z,

a

Z,

I

a

0

2

Z,

I

Man ermittle die Endproduktmengen [Prod uknonsvektor i = (xI;X2)T) , wenn die zur Verfügungstehenden Rohsloffmengen Tl' T2 durch den Vektor 7 T = (11; (2) = (3.000 ;3.200) gegeben sind und voll für die Prod ukt ion eingesetzt werde n

Aufgahe 9.1.9 7:

Eine Volkswirtschaft bestehe aus zweiSektoren, jeder Sektor stellt nur ein Produkt her. Die Lieferungen der Sektoren untereinander und an dic (exogene) Endnachfrage gehen aus der nebenstehenden TabeJlc hervor: Licfcrung Endveran Sektor brauch Sektor

I

a

I

20

ts

2

8

12

, "

I) M 'In ermittle die Prod uktionskoeffizientenmatrix. ü) Welche Güt enn engen müssen die Sektoren produzieren, um eine E ndnachfragc

y = (140 ;84)T

befriedigen zu können? iii ) Welcher Endverbrauch ist möglich, wenn 100 Einheiten von Sektor 1 und 120 Einheiten von

Sektor 2 produz iert werden?

9 .2

473

L ineare Gleichungssysteme (LOS)

9.2.

9.2.1

Lineare Olelchu ngssysteme (LGS)

Gru ndbegriffe

Bereits im Zusammenha ng mit d er Inversion einerq uadratischen Mat rix A (s. Bsp. 9.1.77) warcn lineare Gl eichungssysteme autgetreten. de ren Lösun gen die Inverse A-I lieferten. Neben ihrer fundamen talen Rolle für die Uneare Optimierung (s. Kap. 10) sind lineare Gl eichun gssysteme auch fü r unmittelbare ökonomische Probleml ösungen von Bedeut ung, so z.B. für Fragen der Matcrlalvcrflcc htung, der inn erbetrieblichen Leistungsverrechnung. Input-Output-Analyse, Break-Evcn-Ana lyse u.v.a.m. El ementare Type n von Linearen Gleichungssystemen halten wir - im Vorgriff auf dieses Kapitel - bereits in Kap . 1.2.4.4 behandelt. Unter einer linea ren Gleichung in den n Variablen xI " "xn versteht ma n eine Gle ichu ng des Typs (mit aik ElR) W ie wir bereits in Dcf. 1.2.132 festgestellt haben, bezeichnet man ein System von m derartigen Gleich ungen, die untereinande r mit ~ und~ ( A) verknü pft sind, als lineares C lelchungssyste m (LOS): Def. 9.2 . 1:

(Linea res Ct elchungssystem (I,GS) )

Die Ges amt heit von m (mir

(9.2.2)

A

vrrknüpften) linearen Gleic hungen (siehe auch Def. 1.2.132)

aU x l + a t2 x2 + a2 1K \ + an xz +

+ alnx n + a2.x.

hei ßt linea res C lelchungssys tem mit m Gleichu ngen und n Variablen Xt •..., xnD ie m n Koeffizienten ajk de r linken Seite sowie die m Werte b j der rechten Seite sind konstante reelle Za h lcn. Sind alle rechten Seiten N ull (d. h. bj = 0), so heißt das System homogen, andernfalls inhomogen.

Bemerkung 9.2.3: i) Da Missverständnisse nicht zu bef urduen sind, lasst man das logische "und « (A) zwischen je zwei

Gleichungen eines LGS stillschweigendweg. ii) Wir[assen - wie in (9.1.61) - die Elementedes linea renGleichungssystems [m -n Koeffizienten ajk

derlinken Seite, die bj der rechten Stile und die xk der Lösung) als Matrix/Vektoren zusammen:

Koeßjn ellfe/lmatru ' A =

[::~ ~ ::~ ::~: ],

x " [ : :] " Lösungsveksor' :

:::

z:':

Vektar b = (b J.b 2, ..., bmJT = derrechten Seile

[ ~b.~] '"

Damit lasst sich dw' allgemeine lineare Gleichungssystem (9.2.2) in der Iwmpakten Form schreiben (sieht (9.1.60)): (9.2.4)

Ax = b

I.

9

474

Beispiele linearer Gleichungssysteme.

Bei.~pieI9.2.5 :

i)

Einfü hrung in die L ineare Al gebra

2x\ - 3x2 = 3

ii )

2XI -4X2 = 6 3x I +2X2 = 1 7x\ -6x2 = 13

iii) xI

+ 2x) + 8x4 = 12 x2 - 3x) - 4x4 = 16

v)

5x1- x2- 2x3 +3x-l =29 3x2 - 4"3 + )[-\ = - 7 2x) + 2x"" =- 30 x-\ = 10

\1)

' I

,,\ + x2= - )

IV) x l -2x2 =4

xl - 2x2 = 3

=-3 = 4 x3 = 5

Ein LGS ~ Iö~ en ~ heißt, für die n Variablen xI ,x2' "" x n Zah lenwerte derart zu finden, dass sämtliche m Gleichungen z ugleich wahr werden - das wichtige Wort ~ zugl eic h~ wird d urch das logische " u nd~ (11 )

zwischen den G leichunge n in (9.2.2) angedeutet. Jcd cr dcmrng c . Satz - vo n Werten (X I• ...• x n) heißt Uh ung des LGS: Der. 9.2.6:

(LösWlg etnes linearen Glcich ungssystems)

U nter einer Lösung des LOS Ai '" b versteht man einen Vektor Xo (l.ös ung~..vektor], der da." System AXo = b zu einer wahren AIl....sage ma cht.

Besitz eein LGS Lösungen. so heißees konsi.~t en t , ande rnfalls mkonslstent. Bem erkung 9,2.7: Jede Lösung eines LG S besieht som it aus 11 Ze hlenwen en (den Komp onemen des L ösungsvek tors] , die

samtliehe m Gleichungen z.ugleich erfüllf'll mÜ,I".u!1. Beispiel 9.2.8:

Wie man du rch E inse tze n übe rprüft. sind fo lgende Vektoren Lö sungen der linea ren

Gleichungssysteme i) - vi] von Beispiel 9.2,5;

iv) Das System lv] ha t offe nbar keine Lösung. denn für jede Ein setzun g st immen zwar die linkcn Seitcn übe rein . nicht abe r die rechten Seite n. Wir wollen nu n im Folgenden versuchen , die zwei im Zu sammen hang mit der Lös ung von LGS auftrete nden lI auptprobleme zu lösen ; I)

Wie kann man entscheiden, ob bzw. wie viele Lö sungen ein LGS bes itzt ? (Existenz und Einde utigkeit der Lö sungen)

2)

Wie kann man die Lö sungen eines LGS rechnerisch ennittel n? ( tösu ng~",,'erfahren )

Die zweite Frage (LOsullgsVfifahren) soll dabe i an den Anfa ng der Ü berlegungen gestellt werden , da sich im Verlauf des Lö sungsverfahr ens Frage I) (nach Existenz und Eind eutigkeit von L osungen) gleichsam vo n selbst beantworten wird.

9 .2

475

Lineare Gleichungssysteme (LGS)

9.2.2

Lösu ngsv erfahren für linear e Gleich ungssysteme

Gaußscher Algori th mus

Bereits an Beispiel 9.2.8 kann man e rkennen . das s ein linea res G leichu ngssystem i) gena u eine Lö sung ii) meh re re Lösungen iii) kein e Lösung

bes itzen kan n.

De r zugrundeliege nde Sachverhalt soll am Beispiel von LGS mit 2 Variahlen veranschaulicht werden . Bekanntlich stellt jede lineare Gleichung

Abb.9.2.9 eine Gerad e in der (x I,xz)-Koor dinatcncbc ne dar (Abb. 9 .2.9). (Gc naucr. J edes Za hlenpaar (x I,xz), das d ie linear e G leichu ng alt I + bx2 = e erfüllt , liegt auf einer Gcradcn.) Daher kann man ein System von m linea ren Gleichungen mit 2 Variable n auffasse n als ein Syste m von m Gern den in der Koordinatenebene. E iner Uh ung

x=

( " ) eines derartigen Syste ms cnt-

"

spricht somit ein Punkt (x I; xz)der Koordinateneben e. der auf sämtlichen m Geraden zugleich liegt . Fo lgende Fälle sind zu u nterscheiden :

1 (Xl!

x, 1__

B

.)

(d.h. [lineare Gleichung mit 2 Variablen ): Sämtlic he Pu nkte

,, ll-- ----:c-----'IX,I x,

( ~~) auf der Ger ade n sind

Lös ungen , cs gibt dah cr unendnchvt ete Lösungen (A bb. 9 .2.10):

Abb . 9.2. 10

b)

(d .h. 2 lineare Gleichungen in 2 Variablen) : Folgen de U nte rfälle können auftrete n (A bb . 9 .2 .11):

I (Xl!

il

~ [-

lx,1

r..-----~

Ix,1

Abb. 9 2. 11 Die Geraden haben genau einen Schni ttpunk t ~

Das LGS hat gellau eine Lö sun g,

Die beiden Geraden fallen zusammen: J ede r Pu nkt der Geraden ist Lösung => Das LGShat unendlich viele Lösungen .

D ie Geraden habe n kein en gcmein samen Schnittpunkt (so ndern sind parallel und versc hieden) => Das LOS hat keine Lö."un g,

9

476

E inführung in d ie Linea re Algeb ra

[d.h. 3, 4, 5, ... lineareGleichungen mil 2 Variablen):

<j

Es können diesel ben U nterfälle wie zuvor unt er b) auftreten (Ahb. 9.2 .12):

iI}

+-

{X "-,I

+

{X t !

Abb. 9.12 Das LGS hat gl'nau eine Lös ung .

Das LGS bat unendlich viele Lösungen.

Das LGS hat keln e

l..ö~ ung.

En tsprechendes lasst sich für LOS mit mehr als zwei Variablen zeigen, man kann allgeme in feststellen ; Ein lineares Gleichungssystem ÄX = b hat entweder

Salz 9.2.13:

i)

genau eine Lösung oder

ii)

unendlich viele Lösungen oder

iii)

keine Lö sung .

Bemerkung 9.2.14 :

Ein LGS

Ax'" h kann nicbtgenau 2, 3, ..., n verschiedeneLösungenhaben!

Wir können nämlich zeigen, dass aus der Existenz von bereits zwei Lösungen Xl ,X2 folgt. dass das LaS Ax = b dann auch beliebigvieleverschiedene Lösungen besitzen muss: Seien etwa x / , Xl zwei verschiedene Lösungen von A x = (.)

..

Ax/ =

b

sowie

b.

Dann muss gdten:

A X2 = "b .

Bara chtet ma n nun den Vektor xk mit (

)

(mil k elR) ( Xk ist also eine Linearkombinalion von x/ und x2 ),

so gill wegen (.), (••) sowie den Rechmregem f ür Mutnz en SUlZ 9.1.56: A Xk = A (k"X/ + (l - k)x z) = k ·A X1 + (l - k) A x 2 ", k ·"b + (J- k)b '" b , d.h. auch xk ist Lösung des LGS. Da man k ( e IR) beliebig wählen kann, gihl es auch beliebig viele verschiedene L ösungsvektoren xk ' Z ur Demonst rat ion des nu n folgenden Lösungsv erfahrens wird zunäch st vora usgeset zt, dass das betrac htct e G leichungssystem AX" = b uus n G leichunge n mit n Variablen besteht und gcnau ein e Lösung bes itz t. D ie Grundidee des Lösungsverfah ren s best eht darin , das gegebe ne LOS derart äq uim lent umzuformen (d.h. umzuformen ohne Änderun g de r Lösun gsmenge), dass die Lösun g schließlich unmillelba r ablesha r ist. Wenn es beispielsweise gelinb>t, ein LOS äqu ivalent umzufonnen auf die Ge stalt von Beispiel 9 .2.5 v) (d.h. auf obe re Dreiecksform. siehe Dcf. 9. 1.19 lv):

Linea re Gleichungssysteme (LOS)

9 .2

477

5x, - X2 -2x3+ 3x-l 29 3x2 - 4x3 + x-l :: - 7 2x3 + 2X4 :: 30 x4 JO

(9.2 .15)

(Die KoefflZientf!1lmalrix A ist eine obere Dreiecksmatrix; d as LOS besitzt die " obere Dreiecksj orm"]

so lässt sich die Lösung verhältnismäßig rasch ermitteln: Setz t ma n in (9.2.15) den aus der letzten Zeile resultierende n Wert x4 :: 10 in die vor letz te Zeile ein, so ergibt sieh unmitt elbar x3 :: 5. E insetzen be ider Werte in die zweite Z eile liefert x2 :: 1 , und analog folgt damit a us der erste n Zeil e x l:: 2 , so da ss die Lösung x von (9.2.15) lautet:

Noch einfache r lässt sich die Lösung eines LOS angebe n, da s auf Diagooalfonn umgeformt wurd e (siehe Beispiel 9.2.5 vi» (9 .2.16)

' I

x2

: -3~ .

H ier liest man ohne Re chnung den Lösungsvektor ab:

x=

(3) -:

.

E s stellt sich daher die Frage. mit welche n Umfonn ungen ein LGS ohne Änderung sein er Lösungsmenge äquivalent umgeformt werden ka nn (etwa in eine Diago nalform wie (9.2.16»). Dafür gilt der grundlegende

Ax

Satz 9.2. 17: D ie Lösungernenge eines linearen Gleichungssystems = b änd ert sich nicht, wenn man das System in folgendcr Weise umformt (z ulä.\Sige Zeilenoperaüonen): i)

vertauschen zweier Zeilen;

ii)

:\Iuhiplikalion einer Zeile m it ein er reellen Z ahl k l ( * 0) ;

iii)

Erset zen einer Zeil e dureh die Summe aus dieser und dem kz-fachen eine r and eren Z eile {d.h. Addit ion des kz-faehen einer Z eile zu einer anderen).

Bem erkung 9.2 .18: i)

Z um Beweis von Satz 9.2.17: i) ist offensichtlich (wegen d er Symm etrie des logischen " /\ U); ii) und iii) fo lgen aus den entsprechenden Regeln (1.2.113) und (l .J. J12) f ür G leichungen.

ii) Z usatzlieh zu den in Satz 9.2.1 7 erwahnten Aquivalenz-Umformung en darf ma n

-

Variable umbmennen und dann das LOS neu ordnen (entsprich t einem Spaltentaus ch)

-

Null zeilen O·x1 + 0 'x2 + ... + O·XII = 0 ersatzlos streichen, da sief ürjeden beliebigen Vektor wahr sind un äsom it k einen spezif ischen Beitrag zur Lösungst indung lief ern k önnen.

x

.•. LOS (2) (I ) 3x " Y= = -107 mit . der einzigen . . Lö sung -x = (') · . 192 Berspre , . 19: Geeebe geben sei. uas 2x-3y Y = ( -l1) .

Nacheinander werden die drei zulässigen Zei lenwnformungen von Satz 9.2.17 vorgenommen: i) Offenba r kann sich die Lö sungnicht verändern, wenn man beide G leich ungen vertauscht :

(11 .. (2) (2) .- (1)

zx- 3y = - 10 3x +y ::

7

9

478

Einführung in die Lineare Algebra

ii) Wenn z.B. die erste Gleichung mit 2 und die zweite Gleic hung mit - 3 multipliziert wird, ändert

sich die Lö sung nicht:

(I " ) ,. 2 -(1) (2" ) -= - 3- (2)

öx + Zy = 14 -6x + 9y: 30

) hat ebenfaJ1s die Lösung ( :) _

iii) Ersetzt man im letzten System die zweite Glcichung durch die Summe aus zweiter und erster Gleichung (d.h. addiert man die erste Gleichung z ur zweiten Gleichung und lässt die erste Gleichung stehen), so felgt: ( I''') ,. (1") (2''') .. (2") + (1")

Durch Einsetzen von

6x +2y= 14 l1 y = 44

(~ ) überprüft man: Auchjetzt hat sich die Lösungsmenge nicht verändert.

Man kann die Umformungen ii) und iii) von Salz 9.2 .17 zusamm enfassen zu ein er einzige n zulä~sigen Z eilenumronnung: (9.2.20)

Das Ersetzen einer Zeile durch die Summe aus dem k j-fachcn dieser Zeile und dem kr fachen einer beliebigen andere n Zeile (k I,k2 E IR mit kI 0) ist eine erlaubte Äquivalcnzumfonn ung.

Bl'i~pil'l 9.2.2 1:

'*'

Das Gleiehungssystem

(1) (2)

3x - 2y = - 4 ,einzige Lös ung: 4x+3y= 23

x=

(2 ,),

kann man äquivalent umformen , indem man das 3-fache der ers ten Zeile zum 2-fachen der zweiten Zeile addiert und die erste Gleichung unverändert lässt

(I ) (1) (2') ,. 3 -(1) + 2 -(2) Auch dieses System hat die einzige Lösu ng

3x-2y = - 4 17x = 34

(~) .

Mit H ilfe von zulä...slgen Zeilenopt'ralionen (siehe Salz 9.2.17) versucht man, ein vorgegebenes LGS in

obere Dretecksrcrm3 (siehe Beispiel 9.2.5 v» oder in DiagonaJronn 4 (siehe Beispicl9 .2.5 vi) äquivalent umzuformen, um daraus auf einfache w eise oder unmi ttelbar die Lö sungen ablese n z u können. Bei~ piel 9.2.22:

(Ca ußscher AJgorilhmlL<; mit reuwetser Elimination der Variablen, Überführung des LGS in obere Drelecksform).

Gegeben sei das LGS:

(1)

(2) (3)

XI + 3x2 + 4X3 = 8 2xI + 9x2 + 14x3 = 25 5xI + 12x2 + l ax3 = 39

Die erste Ze ile kann unverändert bleiben. Um in der 2. (bzw. 3.) Zeile an erster Stelle eine Null zu erzeugen, addiert man das (- 2)-fache (bzw. (-5)-[uc1le) der ersten Ze ile zur 2. Zeile (bzw. 3. Z eile): (1') ,. ( 1)

(2') ,- (2)-2 -(1) (3') .. (3) - 5 -(1) 3 Gaußscher Algorithmus (teilweise Elimination) 4 Gaußscher Algo rithmus (vollständige Eli mination)

XI + 3x2 + 4x3 = 8 3x2 + 6x3 = 9 - 3x2 - 2x3 = -1

9 .2

U nea re Gleich ungssysteme (LOS)

47 9

D ie be ide n erste n G leichungen können nun unverä ndert bleibe n. G leichu ng (3 ') wird [um be i x2 eine Null zu erzeugen) ersetzt d urch die Summe aus 2. und 3 . Zeile:

(I " ) (I ') (2") ,e (2') (3") ,. (3') + (2')

x l + 3)[2+ 4x3 = 8 3x2 + 6x) = 9 4x3 = 8

Dam it hat das umgeformte LOS - bei unveränderter Lös ungsmenge - obe re Dre1cksfo rm. D urchAuflösen und Eins etzen von unt en nach obe n folgt ("R üekwärtsci nse tzcn") : x) =2 ::) x2 = -1 ~ x1 = 3 . d.h. die Lö sung des ursprüngl ichen LOS lautet:

( ')

x= :~

x

Bei~pieJ 9.2.23:

() =

_! .

(Ga uß"Cher A1gorithmu.~ mit HJlMändj~r Elimination der Variablen, ÜbeJführcn des LOS in Diagonalfonn).

Gegeben sei das LOSvo n Bsp. 9 .2.22:

(I) (2) (3)

XI + 3x2 + 4x3 = 8 2xI + 9x2 + 14x3 = 25 5x I + 12x2 + 18x3 = 39 .

Z unä chst werden in der 2. u nd 3. Z eile an erste r Ste lle Nullen erzeugt. d.h . de r erste Schritt verläuft .....i c in Bcispicl 9 .2.22 : (I ') (I) XI + 3x2 + 4x) = 8 (2') ,. (2)-2 '(1) 3x2 +6x) = 9 (3') ,e (3)-5 '( 1) -3x2 - 2:x) = - 1 J etzt werden in der 1. un d 3 . Zeil e be i x2 Nullen erzeugt. D ies erreicht man mit H ilfe der 2. Zeile, die

(ggf. nach vorheriger M ultiplikation mit einem geeigneten Faktor) zur 1. und 3. Zeile addiert wird. Anschließend tei lt man die zweite Z eile durch 3, um eine I bei x2 zu erzeuge n:

.=

(1") (1 ') -(2 ') (2 '') .= (2') : 3

xI

- 2x3 =- 1 x2 + 2x3 = 3

(3'1 ,. (3') + (2')

4' 3· 8

E s müssen noch Nullen bei x3 in der 1. und 2. Zeile erz eugt werden. Daz u benutz t man die 3. Zei le, d ie - nach vorheriger pas send er Mu ltiplikation - zur 1. und 2. Z eile addi ert wird . Z wn Schluss wird die J. Zcile noc h du rch 4 dividiert:

=

(1"') .. (1") + 0,5 ' (3'1 (2''') ,- (2") - 0,5' (3") (3''') (3") , 4

"

3

= -1

x3 =

2

Bemerkung 9.2.24:

Man hätte in Beispiel 9.2.23 des LGS auch auf eine "diagonalähnliche" Fonn tmngen k önn en, oh ne d ass der Von eil der direkten A b/esbarkei( verloren gegangen würe, z.B. auf Xl

xr

xs

", -)

= 2 = 3

Wie die be iden letzten Beispiele zeige n. be nötigt man zur Lösung eines LGSmit nu r teilweiser Variableneliminat ion (Bsp. 9.2 .22) La . etwas weniger Rec henaufwand 5 als bei vollstän diger E liminat ion. G leichwohl wollen w'ir im Fo lgend en nahezu ausschließlich die Meth od e der "oIMändigen Elimina tion be nutzen. da sie universeller einse tzbar ist i) für nicht eindeutig lösbare L OS (sichc Kap 9.2.4); ii) für die Matrizeninversion (Ka p. 9.2.5); iii) für das Simplexverfahren der Linea ren O ptimicrung (Kap.1O.2). s Zur allgemeinenAbschätzungdes Reche naufwandes bei der Lösung von LGS siehe z.B. 14KJ, Band 11, 10311'.

9

480

Einfü hrung in die Linea re A lgebra

Aurgahe 9.2.25 : Ma n löse die folgenden Gleic hun gssysteme mit H ilfe des Gaußsehen Verfahrens der vollst ändigen Eliminat ion: i)

x l + 4x2 + 3x) = 1 2x 1 + 5x2 + 4x) = 4

xl + 2xZ -3x3 =

ii)

6

xI + x3 + x.. = 1 x1+x2 + x.. = 2 x\+x2 + x3 = 3 xl + x3 + x.. = 4

iii )

2x] + x2 + x3 = 1

xI - 3x2 - 2x) = 5

3x ] - 2x2- 2x) = 12

D ie fo lgenden Belcpjele zeigen die A nwendbarkeit der vollständigen E liminalion bei LOS, die nicht (eindeutig) lösbar sind, d.h . die entweder unendlich vtele Lösungen (Bsp. 9.2.26) oder keine Lösung (Bsp. 9.2.29) besitzen.

Beispiel 9.2.26:

(unendlich vtele Lösungen )

Das ge gebene LOS wird nach de n in Bsp. 9 .2.23 dem onstriert en E liminati onssch ritt en umgeformt:

XI + x2- x3 + 2x I + x2 + x3 + 2xI + 3x2- 5x) + - Xl + x2 - 5x) +

(1) (2) (3) (4) (1') .. (1)

Xl + x2 - x2 + x2 2x2 -

(2') ,. (2) - 2(1) (3') (3) - 2(1) (4') ,. (4). (1)

(1") >= (1') .(2') (2" ) ..- (2')

Xl

(3") (3 ') • (2 ') (4") '" (4') . 2(2')

3x-t = - 3 4X4 = - ]

8X4 =-11 x.. = - 7

x3 + 3x3 3X3 + 6x3 +

3x4 2x4 2x4 4x4

=-10

+ 2x3 + x2 - 3x) + (}x2 + OX3 + OX2 + Ox) +

x4 2x4 OX4 OX4

= = = =

= -3 = 5 = -5

2

-5 0

0

x

Die letzten beiden (]';uJl-) Zeilen werden fü r je den Vektor = (x I x2 x3 X4)T wahr (~ 0 = 0) und können dah er ersatzlos gestrichen werden, siehe Bemerkung 9.2.18. Damit reduziert sich das LOS auf zwei Gle ich ungen mit vier Variablen (unterbcst inuntcs LOS): (1 ") (2")

XI

+ 2x) + x4 = 2 x2 - 3x) + 2x4 = - 5 .

Löst man d ie 1. Glciehungnach XI und die 2. Gleichung nach x2 auf: XI = 2 - 2x3 - x4 x2 = -5 + 3x3 + 2x4

(9.2.27)

so erkennt man, dass d ie Lösungswerte XI ,x2 von der vorherigen Wahl für x3 und x4 abhängen. Da man x3, x4 auf beliebige Weise vorwählen kann , hat tL.1S LOS (9.2.27) unendlich viele Le sungen: Wählt man etw'a x3 = 0 und x4 = 0 vor, so resultiert aus (9.2.27): XI = 2, x2 = -5, d.h . der Vektor XI = (2 - 5 0 O)T ist eine (spezielle) Lösung des LGS (9.2.27). Ei ne andere spezielle Lösung etwa resuitierta us der Vorgabc x3= -7 j x4 = 2 mit x 2 =(14 -30 - 7 2l usw. Für den allgemeinen Lösungsvektor (allgemeine Lösung) des LOS (9.2.27) erhält man

(9.2.28)

__ X

-

[-;:;:::,::] [-;] [-;] [::] --

x3

x4

0 0

+ x3

I + x4

0

.

0

1

mit x3,x4elR (beliebig).

9 .2

481

Lineare G leiehungssysteme (LOS)

Bemerkung: Löst ma n das un terbestimm te L GS nicht nach xl ,x2 _sondern nach zwei anderen Variablen auf, so ergibt sich zwa r eine forma l etwas andere Losungs-Darstellung, aber dieselbe Lösungsmenge. Beispiel 9.2 .29 :

(keine Lösung)

Das gegebe ne L OS wird nach den in Bsp. 9.2 .23 demonstrierten Eliminationsschritten umgeform t:

(I ) (2) (3)

XI + x2 - xJ'" -3 2xj + x2 + xJ'" -} 2x] + 3x2 - 5xJ "'-10

(1') (1) (2') (2) - 2(1) (3') ,- (3)- 2(1)

XI + x2 -

(1") ,. (1') + (2, (2" ) ,- - (2') (3" ) ,. (3') + (2')

XI

Die let zte Z eile ergibt für jeden Vek tor x'" (Xl das LOS kein e I.ö sung, es ist inkon sist ent.

-

x2

x) '"

-3

x2 + 3xJ '" 5 x2 - 3xJ '" - 4 +2xJ'" 2 x2 -3xJ '" -5 OX2 + OXJ '" I X) T stets die falsche Aussage 0 '" 1 , da her hat

Au s den beide n letzten Beis pielen folgt: i)

Nu llzellern O' x I + O' x2 + ... + O' XII = 0 k önnen e rsatzlos gestrich en werde n;

ii)

Null zeilen mit nicht-verschwindende r rec hter Seite (d .h. O, xI + O,x2+ ... +O.xn = bund b 0) liefern eine stets falsche A ussage: Das LOS bes itzt in diesem Fall keine Lösung ;

iii)

Der Ga ußse he A lgorith mus liefert neben den Lö sungen des LOS gleichzeitig Informatio nen über die Lösbarkeit des LOS (siehe auch Kap . 9.2. 4) .

*

Aufgabe 9.2 .30: .Man ermittle mit H ilfe de r vollständigen El iminat ion die Lösungen de r folgende n linea ren G leichungssysteme: '1

+ xJ + x.J = 2 + xJ = 1 + x4 = 2 + 2xJ + 2X4 = 5

9.2.3

ii )

2xI - x2 + 3x) '" 2 3x I + 2x2 - xJ '" 1

XI - 4x2 + 7xJ '" 6

Pivotisi eren

Das Rech enverfahren des Ga ußsehen AlgorithmlL~ lässt sich in einfacher Weise schematisieren und somit d irekt z ur E DV ·mäßigen Anwendun g formulieren. Z unäch st erkennt man , dass bei konsequentem E inhalten de r Variablen -Reihenfo lge in allen linearen Gleichungen

(9.2,31)

i= 1,...,m

auf d ie A ngabc der Variablennam en, der Operanonszetchen und des Gleicbhcit~zeichen.~ verzi chtet werden kann. Gleiehung(9. 2 .3 1) lässt sich dann folgende rmaßen symbolisc h schre iben:

482

9

Einfllhrung in die Lineare Algebra

Die Gleichung: Sxl-x3 + 4X4 = - 8 lautet in dieser abgekürzten Schreibweise: -1 4 - 8 . A nalog lässt sich jedes Gleichungssystcm fonnal als Tableau schreiben. Das LOSaus Beispiel 9.2.23 hat demnach die Form;

Bd spieI9.2.32: 5

0

I

1 2 5 Bemerkung:

3 9 12

I 258

4 14 18

39

Bei Umbenennung der Variablen bzw. Sp altentausch sollte ma n - um spiuere Verwechslun-

genzu vermeiden. - diezugehörigen Variablennamen in einer Kopfzeile auffahren: Diebeiden LOS

XI

x2

1 2 5

3 9

x,

4 14 18

12

x2

und

8 25

3 9

39

12

x,

xI

4 14 18

1 2 5

8

25 39

stellendaher dasselbeGleichungssystem dar. Im Verlauf des vollständigen Gaußsehen Eli minationsverfahrens komm t es darauf an, du rch element are Zcilcnopcrationcn auf de r linkcn Scitc des LOS Ai = b (Spaltcn-] Einheitsvektore n zu erzeugen, w-icdas

auf Diago nalform gebrachte LOSvon Beispiel 9.2.23 zeigt:

1

o o

o 1

o

o o

-1

1

2

3

Um nicht bei jeder Ze ilenumformung individuelle Übe rlegungen neu anstellen zu müssen, versucht man, die Umrormungen zur E rzeugung veu Etnheltsvektoren zu schematisiere n:

Ax'"

Ei n m-n-Glcicbungssystem b sei gegeben. In der k-t en Spalte so ll e in Ernheusvektor Ci erze ugt we rden, der die Eins in der I-ren Zeile erhalten so ll. Man bezeichnet im Au sgangs-Tablea u (Ahb. 9.2 .34) das an dieser Stelle stehe nde Eleme nt eu (* 0) als Ptvetelement " , die zugehörige k- te. Spalte als Pivotspalte, die zugehörige i-te Zei le a ls Pivotzeile und markiert das Tableau entsprechend (Abb . 9.2.34).

(Das Pivotelement aik steht also im Kreuzungspunkt von Pivotspalte und Pivotzeile.} Mit Hilfe der Pivotzeile erze ugt man n un für das neue, umgeform te Tablea u an sämtlichen Stellen der Pivotspalte (auße r an der Stelle des Pivctclcmen tes aik seihst) Nullen, indem man die (alte) Pivotzeile mehrfach mit einem geeigneten Faktor multipliziert und anschließend zu jeweils einer de r umzuformende n Zeilen addiert (elementare ZeiJenoperation - die Lösungdes LOS ändert sieh dadu rch nicht, siehe Satz 9.2 .I 7). Ab schließend divid iert man die Pivotzeile durch das Pivotelement aik ("* 0), um an dieser Stelle die [ ins des ne uen Ei nheitsvek tors zu erzeugen. 6 pivot (frz): Drehpunkt, zapfen

" "

...

"

...

'p

... '. ... ',. ... ',.

'n ' n ... 'u ... '" ' n ...' n ... ' n ... ...'" eu a i2 ... a ik. ... a.jp ... . ... . ajl aj2 ... ~k ... ajp ...

I

...

ami a m2

PlvolspoIle

Abb. 9.2.34

b, b,

...

a jn

b,

~.

b;

... 'm' ... 'm, .. 'm.

-

'5

I

b.

Pivolefemenf 0", (*0/

PI'IOI-

zeile

9 .2

483

Lineare Gleichungssysteme (LOS)

BeiS)liel:

Um etwa in der erste n Z eile an derSte lle alk eine Null zu erzeugen (Abb. 9 .2.34), mu ltipliziert man die Pivotz eile mit -a l k l alk und addiert sie zur ersten Zei le:

~~k

Dab ei geht a n übe r in a l k + (-

) . alk"

e n - a lk = 0, wie beabsichtigt.

Die üb rigen Zeil en (auße r de r Pivotzeile selbs t) werde n auf analoge Weise umgeform t. Das Vorgehen soll in allgemeiner w else besc hriebe n werde n: Um etwa eine Null in der j-t cn Zeil e der Pivotspal te zu erzeugen (dort, wo das E lement ajk ste ht. s. A bb. 9.2.34). multlpllz icrt ma n die Pivotzelle mit -ajk/ aik und addiert sie dan n zur j-ten Z eile: Dabei geht "jk übe r in ajk + (-

~ )- nu = ajk - ajk ,. 0

(wie bea bsichtigt ].

Die übri gen Elemente der j -ten Ze ile verändern sich notwend igcrwcisc be i dieser a ulässlgcn

'.

Ze ilenopera tion wie folgt: ( ) Zum ersten E lement aj I muss das - ~ -racbc de s erste n E lements ai1 der Pivotzeile addier t werden: Damit steht im neuen Ta bkau a nste lle de r Za hl aj t die Z ah l: a· 1 + 1

( ,.) an ,. '." _...J:::..

a' l- 2.2!. .

.

~kl~~k

Allgemein: Das E lement ajp der j-ten Z eile und p- ten Spalte (Abb. 9.2.34)verändert sich wie fol~,'t: Zu ajp muss das ( -

~)-faChe des p- ten E lements alp der Pivotzelteadd iert werden:

Aus ajp wird daher:

a'

JP

a , + ( _ ia ) ."\" - a- -~ ~k

'lp -

JP

U* i j p * k) .

~k

Man erkenn t, dass an dieser Operation die vier im . Rec htec k '' zueinande r ste hende n E lemente ajp' ajk' aip sowie das Pivotelem ent a ik beteiligt sind [A bb. 9.2.34/9 .2.36). Bemerkung : Man nell/ll die senkrecht über/waagerecht neben Ujp stehenden Elemente aip und Uj k d ie zu tljp gehörenden Elementeder Pivotzeile/ Pivotsp alte.

Die soeben hergeleit ete Em fonn ungsregl'l für säm tliche E lemente a ußerhalb von Pivo tspalte und Pivotzeile lässt sich damit wie folgt formulieren: Salz 9.2.35:

(Rechteckregel. Kreisreg cl)

Das . ncuc" E lement ajpneu ergibt sich, indem man vom ~ aJ tc n~ E lement ajp das d urch das Pivotelcment ajk dividie rte Prod ukt aus zugehörigem Pivotzeilen- und Pivotspaltenelement subtrahi ert: a ' neu JP

-

Pivo!efemenf

- -:

° ik

° ip

Qj k

0 jp

I

Pivof-

reae

-PiVofspalte

Abb. 9 2.36

9

48 4

Einführung in d ie Linea re Algebra

zusammentassend lau tet d ie Schli u folge z ur Eneugung eine s Einheitsvekto rs (bei nicht-verschwindend em Pivot element: aik ""0): i)

ej

in der Pivot spal te k

Für alle Elemente ajp' bj außerhalb \'On Plvotspahe und Ph'otzeile gilt die Umformungsregel

(s.Satz 9.2.35 ): = aj p -

(9.2. 37)

aj pn~u

(9.2.38)

b, neu = bj ]

-

,.

~

j = 1,...,m p "" 1,...,n j * i

,.

~k ' bj

pH

ii ) Alle Elemente der Ptcotzeäe werden durch des Ptvotelemem dhidiert:

(9.2.39)

aip" CU =

(9.2.40)

b·neu

,

",.

p = 1,...•n

~ 8;k

iü) D ie Plvntspalte wird dam it sozusagcnvautomatisch" zum Etnhensvektor ~ (mit der ~ 1" an derStelle des alten Pivotelements aid.

Bemerkung 9.2.41: Die Gesamtheitdererlaubten Zeilenoperationen i) · iii) zur Erzeugung eines Einheitsvektors heißt rimtsc/l,Ut, das äquivalente Umformen eines LGS mit Pivou chrinen heißt Pivotisteren. Nach dem ersten Pivotschritt ergibt sich somit aus dem Tab leau Abb. 9.2.34 das äq uivalente LGS Abb . 9.2.42. A uf analoge Weise erze ugt man nun in den nächst en Schritten weitere Einheitsvekto ren in de n übrigen Spalten, um das lineare Glcichungssystem sch ließlich auf die gewünschte Diagonalfonn zu bringen bzw. auf eine Form, in der möglichst viele Einheitsvektoren vorhanden sind.

...

...

'. 0

,

,

(i-te Zeile)

Dabe i sollte n Zeilen, die schon als Pivo tzeilen benutzt wurden, nach Mögliehkeil nicht noch einm al als Pivot zonen gew ählt werden.

...

en 3; ... " ' a -~ lp 3;" ...

0

,.

.5.!......

... 3L

I

" ...

0

, 0,

~p-

'5

...

"

~ 3jk

...

al k b j

b --I

, 3;"

", I

...

b;

b- - ~ J

,3;"

Abb.9.2.42 E in Zahlen beispiel soll das Verfahren erläu tern. Dazu verwende n wir das schon bekannte Beispicl 9.2.23. Die benu tzten Pivotelemente sind jeweils markiert

'1

[1J

, 2

'2 3 9 12

, , b

'3

14

as

18

39

Gegebenes LO S

I. Pivotschritt

"1 0 0

'2 3 3

8J

'3 4 6

-2

b 8 9 -I

LO S nach dem 1. Pivotschritt

2. Pivotschriu

Lineare Gleichungssysteme (LOS)

9.2

' I 1 0 0

'3 2

'2 0

0 1

ITJ 213

b

, 7

3. Pivals"chn'ff

In

485 ' I 1 0 0

'2

'3

b

0

0

3

0 1

1

2

0

-I

Lösung , (: ) =

(-0

LOS nach dem 3. Pivotschritt 7

La S nach dem 2. Pivotschritt

Bemerkung 9.2.43: Auch jede andere Wahl von Pivotelementen r *,O) fuh rt zur angegebenen Lösung. Aufgabe 9.2.44: I)

iii )

Ci

;

[

,

Man löse die angegebenen LGS durch Pfvotislcren:

2 -I 1

-,

-Dm (;;) 1

2

-I

-I

2

-2

-3

-:)[::) -2

1

x3

'.

m

ii)

h')

[-1

-2

3 -2 f

1

2 -2

2

-I

,

- 10

[-i

-I

2 -7 7 -2

-5

s

-3

-:

m

~~ )

"4

-,)[',) (3) 5

x2

~~ ~:

-6

=

-~

Die folgend en Beispiele demons trieren die Methode des Pivotisierons für die Fälle "mehrdeutige Lösung" (Beispiel 9. 2 .45) und " kcine Lö sung" (Bctsplcl c.z.Sü). E ine ausführlic he Behandlu ng dieser Falle erfolgt im anschließenden Kapitel 9 .2.4. Beispiel 9.2.45: (mehrd eutige I .ösung)

Das aus Bsp. 9.2.26 bekannte LOS (9.2.46) führt

'2

'3

"3

b

nach zwei Pivotschritten auf das System (9.2.47) u.

' I

nach Streichen der beiden Nullz eilen sch ließlich auf das System (9.2.48), aus dem unmi ttelbar die allgemeine Lösung resultiert (xJ,x 4 E IRbeliebig);

1

1

-I

2 2

1

1

3 1

-5 -5

0

1

2 -3

0

0 0

0 0

1 0

0 1

2 -3

2

0,5 1,5

0 I

I

0,5

1

) ,5

-2

-1

1 0 0

E rzeugt man nun im LGS(9.2.48) einen neuen Einhcit svektor, z.B. in der 3. Spalt c (Pivolelemrnl 2), so erhalt man das System (9. 2.49) mit der allgemei nen Lösung (xJ , x4 EIRbdiebig);

, e 1

-3 -I

- 11 -7

1

2

2

-5

0

0 0

0

1

2 -5

(9.2.46)

(9.2.47)

(9.2.48)

b

o

(9.2.49)

Sowoh l durch XI als auch durch X2 wird dieselbe (unendli che) Lösun gsm enge dargestellt, wovon man sich leicht überzeugt , wenn man etwa die aus X2 folgende Beziehung x) = 1 -0,5xI-O,5x4 in den erste n Lösungsvekt or XI einsetzt. 7 Rechenbeispiel Die ~ ) " im letzten Tableau ergibt sich aus der ~ 7" im vorletzten Tableau durch: 7 - 7 -P ' 8)/" = 7 -4 = ).

486

9

Einführung in die Lineare Algebra

Beispiel 9.2. 50: (keine Lösung)

Das LOS (9.2.51) (siehe Beispiel 9.2.29) führt nach zwei Pivotschritten auf das System (9.2.52). An der widersprüchlichen letzte n Ze ile 0 0 0

11 erkennt

man die Inkonsistenz des LGS. Ein Einheitsvektor mit der Ein s in der 3. Ze ile und 3. Spalte ist nicht crzeugbar, da der als Pivotelement zu wählende Koeffizient a33 den Wert Nullaufweist: Das LGS(9.2.51) besitzt daher keine Lösung.

'2

'1 1 2 2

3

1 0 0

0 1 0

1 1

" -I

b

-3

1 -5

-I - 10

2

2 -5 1

-3 0

(9.2.51)

(9.2.52)

Man erkennt auch hier. dass die Eliminationsrnerhode des Gaußsehen A lgorithmus glcichzcing Inforrnano nen übe r d ie Lö sbark eit des linearen Gleich ungssystems liefert.

9.2.4

Lösba rkeit linea rer Gleichungssysteme

Im letzten Ab schnitt wurde im Gaußsehen Algorithmus (vollständigeElimination durch Pivottstcren) ein Lösungsverfahren fÜT LOS geliefert. das neben der Lösungsfindung und -ablesung auch Aussagen über die Lösbarkeit (genau eine, keine, beliebig viele Lösungen) gestattete. Diese ÜberlegungensoJlenveraJlgemeinen werden. Betrachtet werde das LOS(9.2..53). Man erkennt: Auf der linken Seite sind bereits drei Einheltsvekto rcn erzeugt worden (1./ 3./5. Spalte). Em weiterer (vierter) Einheitsvektor kann auf der linken Seite nicht mehr erzeugt werden, da bei jeder Wahl eines Pivoretementes ('* O!) ein bereits vorhandener Einheitsvektor zerstört würde: In jedem Fall bleibt die C esamtzahl unterschiedlicher Elnhehsrektcren unverändert (nämlich gleich 3).

Der. 9.2.54:

'I

1

0

'2

'3

2

0 0 1 0 0

3

0

-4

0

0 0

O

0

"0

-2 0 0

1 0 0 0

'4

-3

b 10 20 30 u v

(9.2 .53)

(Rang einer Malrix)

Gegeben sei das lineare Gleichungssystem Ai = b. Dann nennt man die Höcll~lzahI r der aufder JinkcnScite erzeugbaren unterschiedlichen Einhehsvektore» den Rang der Matrix A, geschrieben: rg A = r .

Bemerkun g 9.2.55: i) Für die K0eff izienrenma trix A des LGS (9.2.53) gilt: rg A = 3.

ii) Im allgemeinen wird der Rang einer Matrix A mit Hilf e des aquivaienten Begriff s der Maxima lzahl ,,/inear unabhängiger Vekt oren u e d ef iniert. Im Rahm en der Zielsetzung dieses Buches soll aufdie A usweitung d es Begrif f sapparales verzidnet werden. ijj) Der Rang einer Matrix A ka nn nicht gröp er sein als das Minim um aus Spallenz.ahl und :ai/enzahl ! (Beisp iel: Ein LGS aus 3 (bzw . 7) Gleichungen m it 6 (bzw. 4) Variablen gestattet maximal 3 (bzw. 4) unterschiedliche Einheusv ektcren.]

s sichcetwa[O la],253tI:

9.2

487

Lineare Gleichun gssysteme (LOS)

Für lineare Gleic hungssysteme Ai '" b, die [etwa durcherlaubte PivO/operatiomm) bereits möglichst viele verschiedene Einheitsvektoren aufweisen. existiert ein nützlicher Begriff: Def. 9.2.56: {kanonisches Gleichung.'i\yste m) Ein auf die Höchstzahl verschiedener Einheitsvektore n umgeformtes LOS heißt kanonisch. Beispiel 9.2.57:

a

0 0 1 1 0 0 Die Systcme 0 1 0 0 0 0

I)

b c d

~ ~ ~ ~

1

2 3 0 4 -1 1

o

sind kanonische LGS.

I;

ist nicht kanonisch, da in der ersten bzw. vierten Spalte noch 3 0 0 7 z ein neuer Einheitsvektor erzeugt werde n kann (Pivotelemente 3 bzw. 7 ) .

ii)

Das System

Der Gaußsehe Algorit hmus formt ein gegebenes LGS mit Hilfe elementarer Zeilenoperationen in ein kanonisches System um. Je nach Positionierung der Einheitsvektoren gestatte t ein vorgegebenes LGS verschiedene kanonische Darstellungen. Jedes kanonische System lässt sich (ggf. durch Z eilenveno uschungen od er Umb enennu ngen von Variablen) auf die folgcnde Fo rm bringen:

b

'2

'k

1 0

0 1

0 0

0

0

0

0

0

0

0

bJ<' 1

0

0

0

0

0

bm

xk+\

k Einheitsvektoren

"

Dabe i bedeutet R e ine ~ R estmatrix~

................... ... bJ<

( k Zeilen, n-k Spalten) aus beliebigen Elementen.

rg A '" k.

Bei.splel 9.2.59: Das nebenstehende LGS (1) kann durch Änderung der Variablenreihenfolge auf das System (2) gebracht werden. Setzt man dann:

x3 ,""x I·; x\ =,xz·; xZ =,x3· ;

b1 b2

R

........ ..............................

(9.2.58)

'0

' I

x~ =, x~· ,

"2

,b

0

7

3

0

0

a

0

"2

,b

7

3

0

0

a

'I

'2

'3

0 1 0

0

1

0

'1

'2

0 1 0

,

so hat man das kanonische System (3) nach (9.2.58);

' I'

X2· :

'3

1

0

0

0 1

o

0

,,' 2

,

7

3

0

a

, . .... ...... .. .......... . ........ ..... ,0

' 3 1 0

b

(3) mit R =

(: ;)

0

,

(I)

(2)

Man erkennt: Unterhalb von R r nüs.sen in einem kanonischen System lauter Nullen stehen, da andcmfalls ein weiterer (k+ 1)- ter Einheitsvektor erzeugbar wäre, mit hin die Maximalzahl von Einhcitsvcktoren noch nicht erreicht wäre und somit kein kanonisches System vorläge.

488

9

Einführung in die Lineare Algebra

Die Lös barkeit des in ei n kanoni sches System (9 .2 .58) umgeformten LGS hängt offe nbar abvon den gegebenen konkreten Zahlenwerten ~+ I ' ... , b rn der rech ten Seite. Z wei mögliche Fälle sind dabei zu un terscheiden:

I Fall 1: I

Mindestens einer der Well e ~+ I ,.n,bm ist von Nullversehteden.Damit existiertzwangs-

läufig eine widersprüchliche Zeile (z.B. 0

0 ... 0

I 7):

Das LOS besitzt keine Lös ung.

I Fall 2: I

Säm tlic he We rte ~+l ,..., b m versc hwinden: bk+I = bJ,.+2 = ... = b m ""O. Dann sind die letzten m- k Zeilen von (9 .2 .58) ;'lI ullzeilen und können ersatzlos gestrichen werden (s . Bemer kung

9.2 .18). Das System (9.2 .58) red uzie rt sich auf die folgenden k Gleichungen mit n Variablen (n ;=: k]:

1

'2 0

0

1

' I

(9.2.60)

0

' k : xk+\ 0 0

...

z.B. (siehe (9.2.53) )

b bl b2

"

R

0

'I

1 0 0

""

"0 1 0

'3

'2

0 0 1

2 3

;-4

"0 -3 -2

b 10 20

30

A us (9.2 .60 ) lässt sieh d ie Lös ungsmenge des in kanoni sche Form gebrachten LGS angeben : i) Ist n > k (d.h. gibt es mehr Variable als Gleichungen) , so hat das LGS unendlich vtele Lösungen . Die allgemeine Lö.~ung erhält man nach beliebiger Wahl der xk+I " " , x n aus (9. 2.60) zu:

x

(9.2.6 1)

mit

Beisp iel:

' I

1 A ~,

0

0

x=

'2 0

' 3 : x4 2 0

"4

0

0 1

1

5

1

:-3

7

b

9 6 8

b, = (:)

folgt

[(D -(-i -;)t;)1= ['-2,,+',,] 6 + 3"4 - 7xS 8 - "4 - Sxs

:;

-xr -- (") Xs

und da her:

mit beliebigen X4,XSE IR .

x

"

ii) Ist D = k [d.h. gibt es im kanonischen System genauso viele Gleichungen wie Variable) , so reduziert sich (9 .2.60) auf; b ' 1 '2

1

o o

o

.1

Beispiel: Das kanonisch e LGS hat ein e einde utige Lösung

' I

( Varia bknnumerienu~

o

1

(9.2.62)

o o

o

x:

beachten !)

1

o

mit de r einde utigen I..ösung:

"o 1

o

'2

o o 1

b -2 7 J

x

9.2

Linear e Gleich ungssysteme (LOS)

489

Zusammenfa sse nd kann man fests te llen: Satz 9.2.fi3:

(Lih barkeit lineare r

G leich u hg.'i~y.~ leme)

Das LOS Ai' = b, bes tehend aus m Gle ich ungen mit n Variable n. ist i)

eindeu tig lösbar, wenn nac h Streichen aller im Verlauf des Lö sungsverfahrens (- Gaußscher A lgorit hmus) auftrctend cn Nu llzcilen schl ießlich ein widerspruchsfreies ka non isches System aus D Ctet cbuagen mit D Variab len (9 .2 .62) erze ugt we rde n kann;

tl)

mehnleutig lösbar (mit unendlich vielen Lösun gen). wenn (nac h Streichen aller N ullzeiIcn) schließlich ein widerspruchsfreies kanonisches System mit weniger Gleichu ngen als Varia blen übr igbtcibt, siehe (9 .2.60):

iii)

nicht lösbar, wenn im Verlauf der eleme ntare n Zeilenopc rationcn eine Nullzeile mit nicht verschwindender rec hter Seile auftri tt.

Bemerkung 9.2.64: A us Satz 9.2.63 ergeben sich m it Hilfe des Rangbegr jffes (Def. 9.2.54) äqui valente Lösbarkeitskrilerien: Sei A eine (m, n)*Matrix: -

I

««

Das LGS A i" =b ist koJ!Sistent lösbar), we~n gilt: rg A = rg(A b ) . (Dabei bedeutet " A l b " die um die rechte Seite b erweitene Koeff izientenmatrix A .) Das konsistente L GS Ai = b ist ;) ij)

-

eindeutig lösb ar, wenn gilt: mehrdeutig l ösbar, wenn gilt:

19A = tg A

n ;


Das LGS A i" = b ist inkonsistetü (d.h. nicht lösba r), wenn gilt iii)

rg A

< rg ( A

Ib )

(siehe Aufgabe 9.1.85).

Besonders nützli ch im H inblick auf die A nwend ung beim Simplexverfah ren der Linea ren O ptim ieru ng (Kap. 10.2) sind die folgenden Begri ffe im Z usanunenhang mit mehrd eutig lösba ren LGS: Def 9.2.65: I n einem kano nischen System (9 .2.60) nennt man die zu de n k unt erschiedlichen Einheit..v ektoren gehörenden Variab len Ba..Jsva rtable (BV), alle übrigen Variablen Nic htba~is* varia ble (NBV).

Bei..ptel 9.2. 66: i) Im nebenstehenden LOS sind xz- x3' Xs Bastsvariab le und XI ,x4 Nichtbastsvariable.

'1

'2 '3

2

0

ii) Im LGS (9.2.60) sind x I,x2,...,xk BV und xk+ l ' xk+2'...•xn NBY.

1 0

0 1

1 0 0

'.

-2 7 3

'5 0 1 0

b 8

•s

Bem erkung 9.2.67: Erzeugt m an (mit Pivotschriu] in einem LGS in der Spalte der Variablen Xj einen Einhens vektor; so sagt ma n auch, Xj werde »in d ie Basis gebracht ".

490

9

Der. 9.2.68:

Einfuhrung in die Lineare Algebra

Wählt man in ei ne m mehrdeuti g lösbaren kan o nischen System (9.2.60) für sämtliche

Nichlba.~i s\·ariahl l'n

den Wert Null, so nennt man die sich dami t aus (9 .2 .6 1) ergebende spezi-

elle Lösung eine Ba~isJösung xB des linearen Gleichungssystems. Belspiel 9.2.69:

i) Wählt man in (9.2.60) für alle NBV den Wert Null vor, d.h. xk+ I = xk+2 = ... = xn = 0, so lautet d ie res ult iere nde Basislösung: xl = bl, x2=b2, ..., xk = bJ.,., xk+ l = Ü, ,,,, xn =O,

(siehe auch (9.2.61) mit xr = Öl.

d.h . XB =(b,

b 2 ... bk

0

O ... O)T

ii) Die aus Ikispie1 9.2.66 i) resultierende Basislösung lautet:

XB = (xl

Xl

x3 x ~

XS )T = (0

5 8 0

4)T .

Bemerkung 9.2. 70: Da jedes mehrdeutig lösbare LGS verschiedenekanonische Darstellungen gestastet (je nach Pivotisierung der Einheusvektoren. siehe etwa Beispiel 9.2.45: (9.2.48) und (9.2.49) ), gibt es zu jedem mehrdeutiglösbaren LGS auch mehrere Basislösungen. Beispiel: Aus (9.2.48) ergibt sich die Busistäsung XB J '" (2, - 5, 0, 0) 7 und aus (9.2.49) dieBasislösung xB2 '" (0, - 2.1 .0) 7 . Aufgabe 9.2.7 1: Ma n untersuc he die fo lgende n LOS auf ih re Lös bar keit und gebe im Fal l eindeutiger Lösbarkeit den Lösungsvektor, im Fall mehrdeut iger Lö sung die allgemei ne Lösung. zwei spezielle Nichtbasislösungen sowie Z\\"Ci ve rsc hiedene Basislösungen an :

11

- '2 ' ' 3 4xI + 2xz + 3x3 3'1

iii)

'I

-

'J

0

0

38

- 19 19

Y] - 4yz + 3Y3 0 16 - 2YI + yz - 5Y3 '" - 12 4 4y\ + 5yz + 9Y3 7yz - YJ = - 20 - u\- 2uz+ uJ 2uI + 3uz - uJ - u\ - 4uz + 3u3

0

8

0

10

111

iv)

2x] -4xZ + x3 - x-l6xl - 3xz - x3 + 2x-l1 0 0 -2 0 1 J 0 0 0 0 0 1 0 -3 0 1 2 0 0 0 1 0 -2 - I o -J 2 6 - 3

0

xs + 1

0

X6 - 1 0

[jj]

JO 0 20 0 0

= -10

Aufgabe 9.2 .72: Man bestimme den Rang sämtliche r Koeffizien tenmatrizen A so wie sämtlic her erweftcrt cn Kocffizic ntenmatrizcn A : b dcr LGS aus Aufgabe 9 .2 .71 . Aufgabe 9.2. 73: I) Wieviele verschiedene Ba sislö sungen kann ei n unterbestimmtes LGS. bes te hend aus m G leichungen mit n Variabl en (m < n) höchste ns bes itzen ? ii) Man be an tworte Frage i) für die mehrdeutig lösbaren LOS von Aufgabe 9.2.71.

AUfgabe 9.2.74:

Man gebe samtlie he Ba sislösu ngen des LGS

AUfgabe 9.2.75:

Wes halb ist ein LOS Ax =

(siehe Bemerkung 9.2.64)

2x] - 3xZ- xJ = 4 XI +2xZ -xJ =- 1

b nicht lösbar, we nn gilt:

rg A < rg(A : b)?

9 .2

491

Lineare Glcichungssystcmc (LGS)

9.2.5

Berechnu ng der Inversen einer Matrix

In Beispiel 9 .1.77 wurde bereits exemplarisch festgestellt, dass die Ermi ttlung der Inversen A- 1 einer regulären 3 ~3 -Matrix A äquivalent ist zur E rmittl ung der Lös ungen von drei LGS des T yps A.~ '" C . Da s Beispiel kann verallgemei nert werd en: Für eine reguläre (n.rnj-Mat rix A := (aik) und ihre Inverse A- I =: (xki) muss definition sgemä ß gelten : A · A- I = E . Die Darst ellun g dicses Sachverhal tes liefert das Palk 'schc Scherna (9.2 .76 ):

'" '2> '

(9.2. 76)

A=

Xl i

.

',. ~.

0

'

0

..

',.

',.

Xli

0

'"0

.1

0

Xni

,

...

= E

1

Bezeich net man d ie erste Spa lte von A· 1 mit x I ' die H e Spal te von A- t mit Xi usw., so e rken nt man, da ss zur Ermittlung aller Koeffizi ent en Xji von A- I d ie fo lgenden n linea ren Gleichungssysteme gelost werden mü ssen :

(9.2.77)

AXI = el ; AX2 "' t:2 ; AXj = ei ; ..... . AXn = en · (dabei ist ei derEinheilsvektor mit der Eins in der t-ten Zeile.)

Ge me insam ist allen n LGS (9.2.77) die linke Seite, d.h. d ie Koeffizient enmatrix A . Daher lös t man zwcc kmä ßigervveise sämtliche Systeme (9 .2 .77) simultan in einem ehmgen Pivot-Tableau mit de r linken Seit e A und den n rechten Seiten CI .c2,"" c n ' siehe (9. 2.7 8).

( = A)

'" '2> '.,

(= E)

(= A-I )

(= E)

'n

',. ',.

1 0

u

o

Gauß~

o

0

Al gorithm us

1 0

u

1

1

0

",

'

0

0

(9.2 .78 )

0

0

'"

..

'" ' 2>

'n

'" '., '.,

...

',. ',. '

..

Gelingt es, d ie linke Seite a uf k.anonische Dtagonalrorm zu bringen, so ste hen rechts die n gesuch te n Lösungsvektoren in der Reih enfolge XI ,x2'." ,xn ' m ithin gena u die gesuchte Invers e A- 1.

Beispiel 9.2.79:

Gesuch t ist d ie Inverse von

A =

C' -D

CD A= 2

5

1

1 -3

1 0 0

2

Durch Pivotis teren ergehen sich nach einander die nebenstehenden Systeme .

A- 1 =

CI~

7

~)

- )

5

,

-2

-3

-2 -5

-7

E=

3

1 0

u

,

1 0

0 1

1 -2

0 1 0

n

-I

1

0 0,6 1 - 0,-1 0 - 0,2

U

0",

0 1

- 1,6

1

0 0

8

-5

1 2

1

- 11

7

-3

0

0

0 1 0

0,2

= E

0

1 -0 2 0 0: 21 u I ,'

1-

Die rechts unten stehen de Matrix ist die Inverse:

-I -5

, ,3 , -3

2 -I

= ,\- 1

9

49 2

Einführung in die Lineare Algebra

Zur Lö sung linearer C tcichungssysrcmc (mit regulärer Kocffizicntcnmat rix) eignet sich die Invcrse twcgen des erhö hten Rechenaufwan des für ihre E nn ittlung) nur, wenn maß meh rere LGS mit versch iedenen

rechten Seiten. aber übereinstimmender Koeffizientenmatrixzu lösen hat: Beispiel 9.2.80 : Ges ucht sind die Lö sungen der linearen G leichungs.sysrcmc

und den rechten Seilen

,

Ax = bj

A =

(; -D

a]

b1 = ( 1

2

W

b)

b2 = (- 2

5

ol

<)

b3 = (-0,7 1,3 5 ,2 )T

(i = 1,2,3) mit

5

-3

Mit Hilfe der in Beispiel 9.2.79 ermittelten Inversen A- I '" (

~ =~ ~ )

- 11

7 -3

erhält man durch M atrizenmultiplikation nacheinander die Lösu ngsvek to ren-

Aufgabe 9.2.8 1: ;)

A=

a)

XI = A- l. bj = (3

4 -6 )T ;

b)

X2 = A- l. b 2 =(- 9 - 41 57)T;

c)

X3 = A- l. b 3 = (2.5

- 1,7

1,2)T,

Man ermittle jeweils die Inverse zu A:

(-i -:) , (-1 -:] 2

-1 0

-1

ii )

A=

h')

A=

-2

iii)

A=

1 3

2 2 -1 -2 -1 -1

(i

2 - 1) 4

2

1 1

;

01 =

-2

ii )

-2

-1

3

Man löse die LGS Ax = b mit H ilfe der Inversen A- 1.

Aufgabe 9.2.82:

A=

Ci -0 C; -, -i) 2

-1 1

A = (: - 1 - 21) 1 3

;

bl =

CD ,

CD '

ba =

bz =

W'

bJ =

(100) - 200 500

• bJ =

( 9,8) " .2

- 3,5

(21 7) - 1,6 3,7

.

9 .2

493

Linea re G leichungssyst eme (LOS)

9.2.6 9.2.6.1

Ökonomisch e Anwendungsbeispiele für lineare Gleichungssysteme Telfbedarfsrechnung, St ücklistena uflösung

In Unternehm en z.B. des Fahrzeugbaus. Gerätebaus ode r der chemi schen Ind ustrie hat man es mit mehrstufigcn Fertigungsablaufen zu tun, bei de nen feste Mengcnbezichungen zwischen Rohstoffen, Z wisch enprod ukten , Halbfertighau tcilen, Funkt tonsgruppe n. Baugruppen usw, sowie den Endprod ukten besteh en . Um derartige Mengenstrukturen quan titativ abbilden zu können. kann man einen sogena nnte n Gozintogra · phen 9 (s. Abb 9 .2 .83 ) verwende n. Dabei bed eut et et wa die Z ahl ,, 7~ am Pfeil von R z nach Zz . da ss pro Mengencin hcit von Zwisch enprodukt Zz 7 M E des Roh stoffs Rz e rforderlich sind .

'00

'50 I

Endprodukte

P1. Pz

Zwischenprodukte Z1' Z2. Z3 Rohstoffe

R" R2

Wa hrend aus dem Go zintograph cn somit nur der direkte Bedarfa n vorgescha lteten Roh- bzw. Z wi schenAbb. 9,2.83 prod uktcn ent no mmen werden kann, interessiert man sich vo r allem daf ür, w-icviclc Vor - und Z\lische np rodukte insgesamt zu r Verf ügung stehen müss en, dam it ein vorgegebe nes Produktionsprogramm d urchgefüh rt werd en kan n. D ie l, ösung d ieses Problems kann mit H ilfe vo n linearen Gleichun g.
xz:

x3' x4' xf Xii, x7:

Menge n der Ro hstoffe R I' R z ; Mengen der Zwischenprodu kte Z I' Z 2. Z 3 ; Mengen der E ndp rod ukte P I, Pz .

Das Prod ukt ionsprogramm sieht vor, vom Endprodukt P I 100 ME und vom E nd prod ukt Pz 150 M E zu erzeugen, d.h . es gift: x6 = 100; x7 = 150. Zwischen den einzelne n Variablen bestehen linea re Bczichu ngen , ....-ie am Beispiel des Ro hstoffs R I b'ez eigt werden soll (A bb . 9.2 .H3 ): R I geht direkt cln in d ie drei Z wischenproduktc Z I ' Z Z' Z 3 (mit 2,3 bzw. 4 Rohstoffeinheiten pro Z....-isc hcn prod uktein hel t} sowie in das Endprodukt P I (mit 2 Rohst offein heiten pro Endprod ukteinheit]. Werden von den drei Z w-ischen prod uktc n x3 ,x4 bzw. Xs E inheil en und vom Endprodukt P I x6 Emheiten benöt igt, so be trägt der Desamtbedarf XI des Rohstoffs R I : XI = 2x3+ 3X4+ 4xS+2x6' Auf analoge Weise leitet ma n die weiteren Mengenbeziehungen a us Abb. 9 .2.83 her und erhält:

(9.2.84)

XI = Xz = x3 = x4 = Xs = x6 = x7 =

2x3 + 3x4 + 4xs + 2x6 3x3 + 7x4 + 2xs 5X6 + 5x7 4X6 + 3x7 IOX7 100 150

9 nach dem Mathematik er A.vazsonyi , der diesen Begriff dem sclbsterfundcncn .Jtal. Mathematiker Zcp urtzat Go '

zintc '' zuschrieb. Sprich! man diesen Namen aus wie . fhe part that gocs Irrte", so erkennt man den beabsichtigten Zusammenhang.

9

49 4

Xl

d .h.

Einführung in die Lineare Algebra

- 2x3 - 3 x ~ - 4 x 5 - 2x6

xZ- )x J - 7x.j. -1xS '" x3 - 5X6 - 5x7 "" x~ -4x6- 3x7

(9.2.85)

xs

-lOx7

Formt man das oben stehende LOS auf die übliche Gesta lt um. so erkenn t man, dass (9.2.84) (lhere Dreiecksform besitzt (siehe (9.2.85)) und die Lösung daher du rch sukzessives Ei nsetzen von unten

0 100 150

x,

X()

0 0 0 0

x I = 11.250 ME von Ro hstoff RI x2 = 12.700 ME von Rohstoff R z x3 = 1.250 ME von Z wischenprodukt Z\ x.; = 850 ME von Z wischen prod ukt Z2 Xs = 1.500 ME von Zwischenprodukt Z3 x6 = 100 ~1E von Endprodukt PI x7 = 150 ME von E ndproduk t P 2

nach oben gewonnenwerden kann, siehe (9.2.86).

(9.2.86) Bei~pi el

9.2.87:

Die Fertigungsstruklur in einer chemischen Unternehmung sei durch ein en Go zinlographen ab-

,

gebildet (s. Abb. 9.2.88).

In Fältenwiediesern.in denen hoherwcrtige. Produ kte ihrersei ts zur Prod uktio n von Prod ukten

3

'.

'00

P,

2 5 3

vorgelagerter Fertigungsst ufen verwendet werden, weist der Gozi ntograph Schleifen auf (in Abb. 9.2 .88 existieren Schleifen von Ps nach P I und Pol. nach PI)' Das entsprechende Gleichungssystem weist in d iesem Fall kein e Dreiecksform auf, so dass die

beson ders einfache Lösbarkeit durch Einsetzen nicht meh r gegeben ist. Bezeichnet ma n die benötigt e Menge des Prod uktes Pi mit Xi , so fo lgt a us Abh. 9.2.88 das

Abb. 9.2.88

LGS: Xj - X2 - 2x3 - 1x.j. - 5x6 x2 -3xS-7x6 x3 - x.; -3xS-2x6 = 0,05x \ - x.; +3X6 0,05 Xj -XS+ 4X6

XI Xl + 2x3 + 2x.j. + 5x6 x2 3xs + 7x6 x3 x.j. + 3xs + 2X6 bzw, x.j. 0,05x j + 3x6 xS 0,05x l + 4x6 x6 = 100

mit der Lösung:

=

'6

XI = 18.285,71 ME ;

x2 = 4.642,86 ME x3 = 5.357,14 ME x.j. = 1.214,29 ME xs '" 1.314,29 ME 100,00 ME x6 =

; ; ; ; .

o o 0 0

o

= 100

9 .2

495

Lineare Gleic hungssysteme (LGS)

9.2.6.2 In n erb et ri eb lic h e Lelst ungsverrecbnu ng In vidcn Unterne hm ungen ist es üblic h, dass zwischen zwei ode r me hr be triebsin te rnen Abtei lungen [Hilfsbcnicbc n, Kostensteüc n) ein wechselsetuger Leistungsaustausch sta ttfinde t, sich die versc hiedenen Abteilungen somi t gegensei tig beliefern (z .B. mit selbst erzeugtem Strom . Dampf. Ga s. seihst durchgefü hrten Reparaturen, T ransport- und Übcrwaehungsldstu ngen) . D ie exakte kostenmäßige Erfassung dieser innerbetrieblichen Leistu ngen ist einersei ts notwendige Grundlage zur Selhstkoo;tenenn ittl ung und Preiskal kulation der für den Mark t bestimmten Güter und dient andererse its dazu. einen Kostenvergleich zwische n Eigeners tellung und Fremdb ezug de rartiger inncrbctrlcbllchcr Leistun gen zu ermö glichen. Al s einfaches Beispiel so ll eine Vn teme hmung mit einem H auptbet rieb (z.B. Endp roduk tions-A btellungj und den drei Hilfsbctricbcn .Strom'', " Heiz ung~." w crkstau - berrachtct werden . Die H ilfsbc tricbc sollen in erster Linie ihre Leistu ngen an den H auptbetrieb abgeben, verbrauc hen abe r au ch einen T eil ihre r produzi ert en Leist ung selbs t oder wechselseit ig. Die folgende Tabe lle (9.2 .89) gibt A ufschluss Ober die Leis tungsbeziehungen einer Abrechnungsperiod e.

Empfänger (9 .2 .89)

H cizung

H llfsbc trtcb H eizung (kWh) Lieferant

Strom (kWh) Werkstatt (h)

500 20

Strom

Werksta tt

Hauptbetrieb

Gesamtleist ung

primäre Kosten (E:)

400

2.000

50.000

52.400

4. 140

1.000

5.000

20.000

26.500

3 .060

40

10

200

270

11.800

1:: 19.000€ Sämtlic he Kosten, d ie den Hilfs bct riebcn bei der Ers tellung ihrer C esarmleis tung unmittelb ar (d.h. olme Berucksichtlgung lion innerhetriebiichen Verrrchnungskoslen) en tste he n. nennt man prim äre Kosten (z.B, Löh ne, Ge hälter . Mate rial. A bschreibungen ...). D ie an dcn lI aupt hetrieb abgegebe nen Leist ungen sollen nun mit den "richt igcn~ v errechnungskosten bewerte t werden . Dazu gen ügt es nicht , die jedem Hilfsbcrcich direkt ents tandenen primären Kosten einfach d urch die Zahl der an den H au ptbetrieb ab gegebenen Leist ungsein heit en zu dividieren: Die umlagebedürftigen Gesamt kosten ein es Hilfsbe triebes umfasse n nämlich a ußer de n primäre n Koste n noc h die Kosten der inn erbetr ieblichen Leistungen, d ie von den übrigen H ilfsbe trieben geld stel wurden. O ll' Kosten dieser" Vorlicferung" heißen sekundäre Kosten.

So entsteht das Prob lem, da ss ma n d ie umlagcfä higen Gesamt kos te n eines jeden H ilfsbct ricbes erst dan n ermitt eln kann , wenn ma n die korrekten Verrechnungspreise de r bezoge nen Innerbe trieblichen Leistungen kenn t und umgeke hrt . Die I..ö~ung dieses Problems ergibt sieh, wenn man die gesuchten v errechnungspreise de r innerbe trieblichen Letst ungen simultan mit H ilfe eines linearen G leichullgss)"~tems berechnet: Seien PI ,P2. P3 die noc h unbekannten Verrech nu ngspreise (d.h. Kosten je Leist ungseinh eit) für H eizung (in € /kWh) , Strom (in E:/ kWh) und Werkstatt (in E: /h). Dann muss fürjeden IIi If.shetri eb die gru ndlegende Bezieh ung (9.2.90) gelten: (9.Z.90)

Primare Kost en

+

sekundäre Kosten

(= empfangene Leistung mal Verrechnungspreis]

w en der produz ierten Leistung (» Gesam tleistung mal Verrecnnungspreis]

9

496

Einführung in die Linea re Algebra

Angewendet auf die Daten von Tabelle (9.2.H9) ergeben sich so die folgenden linearen Gleichungen: 4.140 + 500 P2 + ZOr ) = 52 .400Pl 3.060 + 400P l + 1.0001"2 + 40P3 = 26 .500P2 l 1.HOU + 2.0UOPI + 5.000Pl + lOp) = 270 VJ

H eizung: Strom: Werkstatt: Daraus erhä lt man d as LGS

52.400 PI -

(9 .2 .91)

-

50()P2 -

20p] = 4 .140

40UPI + 25.5001"2 - 40P3 = 3.060 - 2.000p l - 5.000P2 + 260P3 = 11.800

mit der Lö sung:

PI = PI =

0,10 € / kWh 0,20 € /kWh

P3 = 50€/h . Bewertet man d ie a n den H aupt be tr iebabgegebe nen Leistun gen mit diesen internen Vcrrcchnun gsprci scn. so ergibt sich als insgesamt verrech nete Kostensumme K:

c

K

e

50.QOO kWh-Q,tO kWh + 20.000 kWh ' O,20 kWh 5.000 € + 4.QOO € + 1O.QOO€

=

€

+ 200h ' 50 "h

19.QOO€ ,

also genau die Summe aller primären Kosten . A ußerdem decken die Verrechnungspreise für jed en H ilfsbe trieb genau die individuellen primäre n Kosten , wie aus (9.2.90) hervorgeht: Wen der prod uzierten Lei stun g minus Wert der empfan gen en Leistung gleich prim äre Kost en .

1m allgemeinen Fall lässt sich die Stru kt ur be i innerbetrieb licher Leistungsverrechnung aus der folgenden T abell e 9.2.9 2 ablese n: Empf.inger Tab . 9.2 .92

Kostenstelle

1 2

Lieferant

i n

... ' n 'n ... ... 1

2

'" '" ai2 "'., anl,

j

n

al i alj

... ...

... aij

...

anj

'" '" ain , '

..

Gcsamtleistu ng (LE)

rn,

Primä re Ko sten

(~)

Verrcchnungspreise (~/ LE)

rn,

k, k,

p, p,

rn,

~

p,

rn.

k.

P.

,

Dabei be deute t aij die von Kos ten stelle i an Kostenstelle j abgegebene Le istu ng (u ü = sdbstverbraudne Eigenieistung) , D ie j-t e Spalte der Verftechtungsma lrix enthalt die von der Kostenstelle j insgesam t bezogen en Le istun gen . Ih r Wert Sj ,= a1j' PI + alj" Pl + ... + aij"Pi + ... + anj' Pn entspricht geoau den sekundären Kosten der Kosten stehe j . Somit erhält man über (9.2 .90) a us (9.2 .92) das lineare Gleichungssystem (9.2.93) zur Ennittlung der gesucht en v errechnungspreise Pi:

D ie Lösung:

P= (P I

P2 ... Pn)T von (9.2 .93) liefen d ie gesuchte n verrechnungspreise.

9.2

497

Linea re Gleic hungss ysteme (LGS)

Aufgahe 9.2.94: Ei ne Un terndunu ng besi tzt die be ide n H ilfsbctr icbc "Stromerzcugung~ und . Reparaturwerkstau''. die einerseits ihre Leist ungen an die beiden H auptbet riebe " Dreherei" und " E ndmontage " abgehen, da nebe n abe r auch gegense itig Leistungen liefern und verbra uchen . Die entsprec hende n Daten sind in folgender Ta bel lc zusammengestellt: D rchcrci

E ndmonta ge

30.540 €

60.000€

240 .000 €

300 .000 €

200 .000 kWh

1.600 h 92.000 kWh 400 h

100.000 kWh 800 h

Strom primäre Ko sten

abgegebene Leistungen

(Ferttgungs- Haupt eine e

Reparaturwerkstatt

400h

empfangene

8.000 kW h

Leistungen

Man führe eine inne rbet riebliche Leistungsverrechnung dure h: i)

Man ermittle d ie Ve rrechnungspreise für elek trische E nergie und Repara t ur.

ii )

M it Hilfe der unter i) ermittelten Verrechnungspreise führe man eine Kostenumlage durch und bestimme die Ge samtkosten der beiden Fcrtlgungsh auprstellcn.

Aufgalle 9.2.95: E ine U nterne hmung weist vier H ilfskostensteIlen a uf, d ie 3 H auptkos tenstcl lcn sowie sich selbst untereinander wech selseitig be liefern:

Hilfekostenstelle

K1 K, KJ K.,

Empfänger (in LE )

Ab gabe an H auptkostenstelle (LE )

primäre Ko -

stcn (GE)

K1

K,

K,

K.,

H1

H,

HJ

10

30 10 80 20

40 50 20

50 100 40 30

80 100 180 250

90 150 70 200

100

2.020

150

3.700

40 100 80

30

1.960

200

7.700

Man ermittle i) die Verrech nungspreise (in GEI LE) für die Leistungen der vier H ilfskosten steIlen; ii) die Kostenumlage der Primärkosten auf die drei H a uptkostenstellen.

Aufgabe 9.2.96: In eine r Unte rnehmung der chcm isehe n Ind ustrie werden zwei E ndprod ukte P6. P, über verschiedene Zwi schenprodukt e erstel lt. D ie Mat erialverflechtung ist durch den Gozintographen [A bb. 9.2 .97) vorgegeben. Man ermittle den Gesamtbedarf der Prod ukte P I bis P6. wenn vom E ndproduk t P6 82 ME und vom Endprodukt P7 lüO M E an de n Markt geliefe rtwe rden sollen.

Abb. 9,2. 97

499

10 Lineare Optimierung (LO ) 10.1 Grundlagen und gra phische Lösungsmet hode Die IJbher behandelten Opüe uerungsprobtcroeunter Berücksichtigungvon J'IIehenhedillgulIgen waren dadurch gekennzeichnet, dass die Restriktionen ausschließlich in Glcichungsfonn vorlagen(siehe Lagrange Met hode, Kap. 7.2.2.3). E ine Verbess eru ng der Re;ditäl\nähc mathematisc her O ptirnicrungsrnodcllc wird erreic ht. wen n man statt exakter E inhaltung von Nebenbedingungen lediglich fordert, dass bestimmte Restriktionsgrenzen Ilicht über- oder unterschritten werden (im Fa ll der Nu tzenmaximierun g e twa würde man nicht mehr verlangen, dass das verfügbare Einkommen (z.B. 3.00U €) genau für Konsumzwecke verbraucht wird vielmehr kön nen 3.000 € oder aber auch weniger ausgegeben werden). Mathematisch bedeut et d iese Erweiterung die Einhczichung von Ungleichungen in das math emati sche Modell u nd damit gleichzeitig [wie noch zu zeigen sein wird, siehe Bcm. 10.1.9) den Verzicht auf die A nwendung der klassisc hen Differe ntialrechnun g. Es war daher erforderlich. für Opti mierungsmodelle mit Ungleichunge n als Neht:nheJingungen neue mathematische Lösungswege z u suchen. Während d ie Theorie für heliebige Ziclfun ktionen mit beliebigen Restrik tionen noch keineswegs abgeschlossen ist, gelang es, fü r eine einfache, aber ö konomisch wichtige Klasse d ieser Problem e "ollständige Lösungsverfahren zu entwickeln: Diese als Lineare Op unue ru ngsprobleme I (Lo-Probicmc) bekannt en Modellansätze werden im folgende n behandelt. Sie lassen sich dadurc h ken nzeichnen, dass sowohl die Zielfunk tion als auch sämt liche Sehenhedingungen linear sind. Die C rumädee der Linearen O pümte rung lässt sich an einfac hen Beispielen besonders gut erkennen. Daher werden im fo lgenden zunächst exemplari sch ein Maximum- und ein Minimumprohlcm ausführlich behandelt.

10.1.1

Ein Probl em der Produktionspl anung

Zwei verschieden e Kunststoffprod ukte I , II werden aus (in beliebiger Menge verfügbarem) Ro hgranulat herges tellt. Drei Vorgänge bestimmen die Prod uktion: w armpressen. Spritzguss und Verpack ung. Prod ukt I entsteht du rch Warmpressen des Gra nulates, Produkt II ents teht d urchSpri tzgus s des Granulates. Bcide Prod ukte werden anschließend für den Versand verpackt. Die Fertigungsstelle ~ Prcssen~ steht pro T ag für höchstens 10 h zur Verfügung, pm t des Prod uktes 1wird 1 h benötigt. Die entsprechenden Daten für d ie Fcrtigungss tcltc .Spntzguss- la uten: 6 h/ Tag und I h/ t. l n der Verpack ungsabteilu ng stehen vier A rbeitskräft e mit jeweils täglich maximal 8 Arbeitsstunden zu r Verfügung. Pro t von Prod ukt 1 werden 2 h, pro t von Prod ukt 11 werden 4 h in der Verpackungs ab teilung benötigt. D urch den (gesiche rten) Absatz aller produzi erten Kunststoffprodukte erzielt die Unternehmung die Stückdeck ungsbeiträge . 30 € /t für Prod ukt I, 20 € / I für Produkt 11. max. Tageska-

In welcher Me ngenkombinatio n soll die Unternehmung die beiden Prod ukte herstellen, damit sie den gesam ten täglichen Deckungsbeitrag maximiert?

Tob. 10. 1. 1

Prod. I

Pressen

1 h/t

Spritzen

-

1 h/t

6h

T abelle 10. 1.1 gibt eine Übersicht über die Modelllx:d ingungcn(Produktio nskocffizientc o, Kapazität en, Deckungsbeit räge (OB)).

Packen

2 h/t

4 hIt

32 h

30 € !t

20 € / t

DB

Prod. I1

-

pazität

lO h

1 Stalt L ineare Optimierung ebenfalls geb räuchlich: Lineare Planungsrechnung oder L ineare Progron ullicrung .

10

500

Lineare Opt imierung

Beze ichnet ma n die zu produzierenden Mengen (in t!Tag) von Prod ukt I mit x I und von Prod ukt Il mit x2 (x I,x2 hei ße n Entxchetrhmgsvanable oder Prohl cffi\'ariahl e), so lässt sich das LO -P ro blem mathc matisch wie folgt besch reiben : 8 eisJlieI 1O. 1.2:

Man maximier e den Dcckungsbeitrag Z mit

(10.1.3)

Z",30XI+20X2

unter Berück sic htigung der Nchc llbedingungen (Restriktionen) (10.104)

' 1

s

10

(Pressen)

6

(Spritzen)

,

32

(Verpacken)

(10.1.5)

sowie

(Nic ht- Nega tjvitäts- Bedingungen] .

D ie zu maxim ierende Gewinnfunktion (10 .1.3) heiß t ZieUunktion des LO-Proble ms . Die drei Unglei-

chungcn (10.1. 4) stellen Restrikti onen da r, d ie durc h begrenzte Kapazität der drei Fertigu ngsstellen notwendig werden. Wegen der ~ :s; ~ -Bcdingungen kö nnen die angegebe nen Kapa zität sgrenzcn erreicht oder aber beliebig unt ersch ritt en werden. D ie beid en letzten U ngleichungen (10 .1.5) x I 2: O,x2 2: 0 heißen Nichtnegath'ität sbedingungen (Nl'\ B) und bringen die öko nom isch sinnvolle Ford erun g naeh nichtnegativen Produktiuns me ngen zum A usd ruck . Das einfache Beispiel 10 .1.2 enthält somi t bereits säm tliche ~ Zu taten~ eines lineare n Optimierungsproblems: I) lineare Zielfunk tion 2) linea re Restrikt ionen 3) Nic htneg auvhätsbedingungen.

10.1.2 Grap hische Lösu ng des Produktionspl a nungsp roblems Da das Prob lem in Beispiel 10.1.2 nur zwei E ntscheidungsvariablen besi tzt, lässt es sich m it graphischen Meth oden löse n. Daz u bezeichnet man die K oordinatenachsen mit de n im Problem gewä hlten E ntscheid ungsvariabien XI' x2' wobe i man sich wegen der Nicht negativitätsbed ingungen (NNB) (10. L 5) aussehlicßlieh auf dcn L Q uadra nt en besch ränken kann. J eder Pun kt (XI ,x2) des ersten Q uad rante n im Koordi natensystem stellt somit eine(t heoretisch) rnögliehe Produktrnen genkombination dar. s. Abb. 10.1.6:

Obergrenze

Spritzguss

Oberg renze Pressen

-,

\

/

p

Owrgrenze Verpacken

o

(4; 3)

Ix,1

o

5

'0

16

Abb . 10. 1.6

Um die graphisc he Darstellung der Restriktionen (10,1.4) zu verdeutlichen, wird z unäc hst unterstellt, dass in allen drei Restrikt ionen das G leichheit szeichen gilt. Dam it erhält ma n zunä chst drei Ge raden (d ie Obe rgrenze n Pres sen. Spritze n, Verpac ken), s. A bb. 10.1.6. D ie ents prechenden Geradengleichungen x2 '" 6 ; x2 '" - O,5xl + 8 . la uten (in der üb liche n Fo rm): XI '" 10: Nimm t man nun die ~ ~ '
10.1

G rundlagen und graphische Lösungsmethod e

50 1

chcnd erfüllen ( wegen x2 s 6 ) alle Punkte auf und unterhalb dcrSpritzcn- Obergrenzc die zweite Rcst riknon und schließlich (wegen x2 :S - O.5xl + 8) alle Punkte auf und unterhalb der Verp ackungsobergrenze die dritte Restriktion. (In Abb. 10.1.6 wird dies durch entsprechend gerichtete Pfeile verdeutficht.]

Beispielsweise genügt der in Abb. 10.1.6/ 10.1.7 markierte Punkt p(4 ;3 ) sämtlichen drei Restriktio nen sowie den Nrcht-Ncgatlvitäts-Bcdmgungcn (NNB ). Ökonomische Bed eutung; Eine Kombination von xI "" 4t/Tag von Produkt 1 und x2 = 3 trTag vo n Prod ukt I I kann mit den vorhandenen Kapazitäten produ ziert und verpackt werden. Ocr dabei erzielte Dcckungsbeit rag be trägt nach (10.1.3) IHO€ .

(0,8)

\

\

-""'''''''':c------''<;-+ - - (10.6)

10,61 5

; 1 -

( 10;3 )

Abb. 10. 11

Das Rcsmktlonssystcm (10.1.4) und die NN B (10.1.5) fo rdern, dass sämtliche Ungleichungen zugleich

erfullt sein müssen. Daher kommen als erlaubte Punktmengcnkombinat ionen (x I ,x2) nur solche Punkte in Frage, die im schraffierten Bereich B [incl. seines Randes) liegen. siehe Abb. 10,1.7. Ma n nennt 13 den zulä...slgcn Bereich, alle in B gelegenen Punkte (XI ,x2) heißen z uliissige Lösungen des l O-Problems.

Beispiel:

Zulässige Lösungen sind z.B. (0 jO), (4 j3) oder (10 ;3). Nicht zulässig ist z.B. die Produkno nsmcngcnkombi narion (10 ;6), da die Verpackungsrestriktion verletzt wird.

Ist für eine z ulä....<;igc Lö.<;wlg der Zielfwlktion..w ert Z maximal (oder minimal), so spricht man von einer optimalen zulä<;sigen Lösung. Die Sclmtttpunkte je zweier Restrtkncnsgrenzen (wozu auch die Koordinatenachsen gezählt werde n, siehe die NNB (10.1.5» bezeichnet man als Eckpunkte des Restrikti onssystems. Für das vorliegende Beispiel gilt [A bb. 10.1.7): zulässige Eckpunkt e nicht zuläss ige Eckpunk te:

(0 ;0 ), (10 ;0 ) , (10 ; 3) , (4;6) , (0 ;6);

(16 ;0) , (10 ;6) , (0 ;8) .

Nachdem geklärt ist, welche Punktmenge überhaupt als mögliche Lösungen des l O- Problems in Frage kommen, interessiert nun, für welche der zulässigen Lösungen die ZieIrunklion ( ~ Dcc kungsbeitrag) einen maximalen Wert ann immt . Dazu fo rmt man die Zielfunktion ( I0. 1.3) um: Z ", 30xI + 20x2 (1O.t.8)

(=}

X2 '" - 1,5xI + 0,05Z

20x2 = - 30x\ + Z ,

d.h .

502

10

Linea re Optimierung

Für jeden Deckungsbeit ragswert Z, d.h. für jed en fest vorgewählten Wert Z = con st . de r Z ielfunk tion stel lt d ie Gleichung (10.1.8) eine Gerade mit der Steigung - 1,5 und dem Ordinat enab schnitt 0,05 Z dar , so da ss bei der Variation des Paramet ers Z grap hisch eine Scha r paralleler C eraden (,.z ielfun ktionsgeraden") en tste ht (von den en vier in A bb. IO,I .? gestrichelt eingezeichnet sind). J eder Punkt (d .h. jede Prod ukt ionsmengen- Kombination) (x l , x2) eine r gewählten Z iclfunkt ion sgeraden füh rt zum gleichen Dec ku ngsbeitrag Z! J e b'fößt: r Z gewählt wird, desto größer ist auch der Ord inat enab schnitt 0,05 Z der ent sprechend en Zi clfunk tionsgcraden (10 .1.8) und desto höh er bzw. weiter ~ rccht s oben" liegt die Zi cjfunkt ion sgcrad e. Um nun da s l\laxi mum von Z im zulässi gen Bereich B zu erhalten, wählt man - du rch Parallelverseniebung der Zi elfunktionsgcraden - d ie "hödl~te" ZieUunklion_~gerade aus, die gera de noch im zu1ä-;~igen Bereich B liegt. In unserem Fall führt diese Pa rallelverschiebu ng von (10 .1.8) sch ließlich (siehe Abb. 10.1.7) z um Eckp unkt (10 :3) des zulässi gen Bereich es. Bei jeder weit eren Parallelverschiebung der Zielfunktionsgeraden nach . rcchrs-cben" wird der zulässige Bereich verlassen - der Eckp unkt ( 10 ; 3) bezeichnet da her d ie optimale zulä~sige Lö sung des l O -Problems von Beispiel 10.1.2. Die Un ternehmun g erz ielt also eine n maximalen Deckungsbeitrag. wen n sie pro Tag 10 r- XI) t vo n Prod ukt I und 3 ( = x2) t von Prod ukt I1 herstellt. Der maximale Deek ungsbeiu ag beträgt nach (10 .1.3):

Zma. = 30x 1+ 20x2 = 360 € / Tag .

D urch Interpretation von Abb. 10 .1.7 ode r dur ch E insetzen in (10.1.4) stel lt man weiterhin fest: Im O ptim alpun kt (10; 3) sind d ie Ka pazität en der Fert igungsstellen . Presscn' und ~ Verpacken " gena u ausgenu tzt ( [n gpa~s fenigu n g~sl ell en ), währ end d ie Fcrtigungsstcllc .Spntzguss" nur zur H älfte a usgelaste t ist.

Bemerkung 10.1.9 :

Wie schon erwähnt, befindet sich die optimale Lösung des LO·Problems in einer Ecke des zulässigetl Bereiches. Da in den Ecken einerFunk/ion kein Differentialquotientexistiert, versagen für l.O-Probteme die Methoden derDifferentialrechnung.

10,1.3

Ein Di ät-Problem

Um seine Ges undheit und Le ist ungsfä higkeit erhalten zu können, benöt igt der Me nsch t äglieh ein Minimum unt erschiedlicher N ährstoffe. Vereinfach end unterstellen wir, dass a usschließlich folgende Nahrungsmittelbestandteile erfo rderlich sind : Eiwei ß. Fett und Energie.

Wir nehmen weite rhin an, dass nur zwei unterschiedlich e Nahru ngsmitt elsort en 1.1 1 zu r Verfügu ng stehen. I hre Preise u nd N ährstoffzusammensetz ung sind - ebe nso wie d ie täglichen N ährsroff-Mind cstmcngen - aus Tabe lle 10.1.10 ers icht lich. Problem :

Tah.l 0.1.10

Nahr ungsmit tclty p

täglicher Mindestbcd arf

I

11

Eiweiß (ME/IOOg)

J

1

15 M E

Fett

1

1

11 ME

Energie

2

8

40 ME

Preis (€/IOOg)

1,-

2,-

(1\.1E/IOOg) (ME/lOOg)

(Die Mengeneinheuen (M E) wurden so gewählt, dass sich einfache Zahlenwette ergeben)

W ie muss der fiktive Verbra ucher sein tägliches Menü zu sammenstellen. damit er ei nerseits gen ügend Nährsloffe erhält und andere rseits die dafür aufz uwen denden Geldbetr.ige möglichst geri ng sind?

10.1

503

Grund lagen und graphisc he Lös ungsmethode

Bezeichnet man die zu wählenden Nahrungsmittelmengen mit xI (in 100glTagvon Sorte [) und x2 (in 1OOglTag von Sorte Il ), so lasst sich mit H ilfe von (10. 1.10) das Problem ma thematisch formu lieren: Beispiel 10. 1, 11:

Man minimi ere die Kosten Z mit (10.1.12) unter Berück sich tigung der Restriklionen

(10.1.13)

3xI + '2 ' I • '2 2xI + 8X2

( 10. 1.14)

, 15

(Eiweiß-Rest riktio n) (Fett -Rest riktion) (Energie-Restrikt io n)

a 11

a 40

sowie

[Nicht-Negativitäts- Bed ingungen).

xI, x2 ?: ()

Analogzu Beispiel 10.1.2 ent halt Jas Lö -Problem 1)

2) 3)

(die hier alle rdings minimiert werden so ll) eine lineare Zielfunknon (hier alle rd ings vom " ?: ". Typ) linea re Rest riktionen und Nichtncgativi tätsbedingungcn (Nl\'B) .

10.1.4 G r a p h isc h e Lösu n g d es Diät-Problems Analog zum Maximum- Problem (Bcis picllO.I .2) lässt sich der zulässige Bereich des D iät -Problems graphisch veransc ha ulichen. Wegen der N NB (10. 1.14) kann man sich 'Niezuvor auf den erste n Q uadran ten (x I ?: O,x 2 a 0) beschränken. J ed em Punk t (Xl ,x2) de.s erst en Qu adra nten entsp richt im Beispiel gena u ein Menüvorschlag. bestehend aus Xl . WOg der Sorte I und x2 ' 100g de rSorte II . D ie !"Oäh rs loffunte rgrenze n, die sich aus ( I 0 .1.13) unte r Verwend ung des G leichheitszeichens ergebe n, sind A bb. 10.1.15 zu e ntne hmen:

(x;1 1 I

Eiweiß _ Ultergrenze

»r - >», » 1S

10 Fen - Ultetgrenze

x;= -x,+11

5

(8;31

Energie - Lkllergrenze

»r - -0, ; 5x1 +5

{x1 1

Abb. 10.1.15 0

5

10

15

20

10

504

Lineare Optimierung

Da sämtliche Restriktionen von Typ ~ x2;?: ... ~ sind, kommen als zulä<;sigt': Nahrungsnunelkombina ücnen (xI ,x2) nur solche Punkte in Frage, die auf/oberhalb der eingezeichneten Nährstoffuntcrgrcnzcn licgen (siehe die entsprechend gerichteten Pfeile in Abb. 10.1.15). Zulässig fü r das D iät- Problem sind daher alle Punkte des in Abb. 10.1.17 schraffierten zuli ...sigen Bereiches 8 (einschließlich seines Randes). Um das kostenminimale zuläo;sige :\Ienü ausfindig zu machen, schreibt man die Zielfunktton (= Kostenfunktion) (10.1.12) in der Fonn (10.1.16)

Fasst man den Gesamtkostenwert Z wieder als variicrbarcn Parameter auf, so ergibt sich aus (10.1.16) eine Scha r paralleler Ziclrunktionsgeraden (mit der gemeinsamen Steigung - 0 ,5 und dem verände rlichen O rdinatenabschnitt 0 ,5Z), von de ne n drei in Abb. 10.1.17 gestrichelt darges te llt sind . Z u jeder Z ic1funklionsgerad en gehö rt gcna u ein fester Kostcn....crt Z (Isokostengera de). J e geringer die Kosten Z, desto weiter "links-unten" liegt d ie entsprechende l sokostengeradc (bed ingt durch den ebe nfalls abnehmenden Ordinatenabschn itt 0,5Z). Parallelverschi ebun g der Isokostenlinien nach unt ell fü hrt schließ lich z um kosl enminimalcn zulä....'igell Ec kpunkt (8;3), siehe A bb. 10.1.17. Dami t lautet dieop timalc Lösung des Diät -Problems: (x21

15

zulass/ger Bereich

8 9

3

Abb. 10. 1. 17

o

2

5

8

"

14 '

20

D er fikt ive D iät- Optimierer minimiert da her seine täglichen Nahrungsmitt elkosten ( = 14 € /Tag), wenn er pro Tag BOOg der Sorte I und 300g de r Sorte II konsumiert. Aus Abb. 10.1.17 bzw. d ureh E insetzen der o ptimalen Lö sung in d ie Restriktionen (10.1.13) erke nnt man weiterhin, dass bei kostcnminimaier Diät die Fett - und Enc rgiemindcstmcngen exa kt eingehalten werden, Während 12 M E me hr E iweiß als erforderlich im Menu enthalten sind. B em erku ng 10.1.18: Die beiden dargestetnen B eisp iele 10.1.2/10.1.11 demonstrieren den auch für beliebig große LQ -Probleme gellenden Sachverhalt, demzuf olge die optim ale L ösung (sofern sie exisriert)in {mindestens] einem Eckpullkt des zulässigen Bereiches angenommen wird. Daher genügt es, sich bei der Suche nach dem Z ielfu nk tionsoptim um auf die elldlich vteten Eckpunkte des zulässigen Bereiches zu beschranken.

10.1

505

Grundlagen und graphische Lösungsmethode

10.1.5 Son derfä lle bei gra p h isc h er Lö sung Für das später zu behandelnde Simplexverfahren ist es nützlich, auf einige Besonderheiten hinzuweisen, die sich am graphischen Beispiel besonders anschaulich verdeutlichen lassen. I) Ändern sich in unserem Diät-Beispiel die ZieJrunktiOII.~koeffizienten, d.h. die Nahru ngsmittelpreise PI (Sorte 1) und Pz (Sorte 11), so kann sich die Steigung m der Zielfunktion (10.1.12) ändern . Wegen (10.1.19)

ist die Steigung m jeder Isokostenlinie gegeben durch das negative Preisverhältnis a)

- p, p, .

Ändern sich. die Preise um denselben Faktor (etwa bei Inflation), so bleiben das Prelsverhßnms und dam it die Steigung der ZielfunktiOli unverändert, so dass das optimale Menü unverändert bleibt , wenn auch mit veränderten Minimalkosten K",in'

(X21'

15

8 10

5

Abb. 10. 1.20

o b)

5

10

15

20

Ändert sich das Pretsverns nms, so dreht sich zunächst die optimale Ziclfunktionsgerade wn den optimalen Eckpunkt (8 ;3), sichc A bb. 10.1.20. Da die beiden benachbarten Restr iktions-Untergrenzen die Steigung - 1 (Fett -Untergrenze) bzw. -0.25 (Energte-Untergrenze) besitzen, erkennt man an Abb. 10.1.20, dass das o ptimale Menü solange unverändert bleibt, wie die Steigung der Zielfunktion zwischen -1 und - 0,25 liegt. Wird die Steigung der Isokostenlinie dagegen z.B. kleiner als - 1 [ z.B, für PI = 3 ; pz = 2 ), so bildet der Eckpunkt (2; 9)die neue optimale Lö sung.

506

10

Lineare Opt imieru ng

(x;1 15

Abb. 10. 1.21

c)

Sind d ie N ahrungsmittelpreise ide ntisch, z.B. PI = P2 = 2 , so hat die Zielfunktionsgeradenschar die Steigung - 1 und liegt somit parallel zur FcU-Unt crgrenzc.

Die Isokostenlinie mit dem niedrigsten Kostenwe rt Z berührt nunmehr den zulässigen Bereich Ben Ilang einer Seite von B (A bb. 10.1.21). Jeder Punkt auf der Fett-R est riktionsgeraden zwischen den Ec kpunkten (8 ;3) und (2 ;9) stellt daher eine koste nminima le Nah rungsmit te lkombinat ion dar, z.B. (3 ;8 ). (5 ;6) , (7 ; 4), es handelt sich hier um eine mehrd euti ge opt imale Lösungdes LO-Problems (Rem. 10.1.18 bleibt gültig!) . ii) In den beiden diskutierten Beispielen

l /x;1

10.1.2 / 10.1.11 waren die R estriktio-

nen entweder nurvom ~:S"~ Typ (Maximump roblem} oder vom " 2:
So könnte etwa die zusätzliche E nergierestriktion 2xI + 8x2 !> 184 d ie E ncrgica ufnahme nach oben begrenz en .

1 20 177-

7 7 =",--

15

B 10

5

"

4 8 20 25 E benso wäre es möglich, die Gesamtmenge derkonsumierten NahrungsmitAbb. 10. 1.22 tel nach obe n zu begrenzen , etwa du rch x I S 25 ; x 2 :S20. Der zulässi ge Bereich B ist nunm ehr allseitig begren zt (A bb . 10.1.22) . Man er kennt, dass bei unverändert er Ziclfunkt ion (10.1.12) das kostenminim ale Menü unverändert bei (8;3) bleibt.

10.1

507

G rundlagen und graphische Lös ungsmethode

l (X2)

D urch gleichzeitiges Einbeziehen von ~ ~ • und ~ s < Restriktionen kann es vorkommen, dass de r zuläss ige Bereich B leer ist, also kein Punk t allen Restriktio nen zugleich genü gt .

B= { }

Beispiel: Al s Restrikt ionsungleichu ngen seien vorgegebe n: 5x2+ 4x I ~4 0 ; 2x2 + x I :<:; 8; x I,x2

(Abb.1O.1.23).

~O ,

Ein LO -P rob lem mit derart igen inkon sistenten R estriktionen hat som it keine zuIä\ sige, also erst recht keine optimale zulässige Lös ung.

o

5

8

Abb. 10. 1.23

iii) Die Exis tenz eines nich t-lee ren zulässigen Bereiches B garantiert nicht scho n zwan gsläuf ig d ie Ex istenz auch eine r optimalen zulässigen Lösun g.

I lx2)

Das Beispiel

Z = Xt+ x2

-e-

Max.

unt er Ei nhaltu ng der Nebenbcdi ngungcn : -XI + x2 5: 3 ; -x I + 2x2:<:; 9; Xl' x2 2: 0 (Abb.IO. 1.24)

füh rt zu einem zu lässigen Bereich H, in dem die Zi clfunktion Z bel iebig große Werte an nehmen ka nn, da B nach crcchts obcnvunbegrenzt ist und die Zielfunknon somit belie big weit in R ichtung wach sender Z - Werte verschoben werden kan n. Man spricht von einer unb esch ränkten Lös ung des LO-Prob lems.

6

3

3

Abb. 10. 1.24

iv) Auch Gleich ungen sind als Rest rikt ion en eines LO-Problems zugelasse n. Fügt man e twa einem zweidimensionalen Restriktio nsbereich B eine Rcs triktionsgleichung hinzu , so schrum pft de r z ulässige Bereich (z.B. auf das in A bb. 10.1.25 gepunktete Gera denst ück) zusamm en . Die sich ans chließend e Z ielfunk tion sopt imierun g bleib t unverändert .

Abb. 10.1.25

10

(x, )

10 Lineare Optimierung

508

10.1.6 Graphische Lösung von Lö-Problemen - Zusa mmenfassung Das allgemei ne Vorgehen bei der graphischen Lib ung von LO -Problemen mit zwe i E ntscheidungsvariabien lässt sich in folgendenSchritten zusammenfassen: 1)

Aufst ellen des mathemati schen öfodeus: ;)

Zielfunklio n:

ü)

Restriktionen:

iü)

Z

'=

Nich mega lhitäl.sbedi ngnngen :

c\ x\

+ c 2X Z

-

Max./Min.

allx l + al2xz j 3 21X\ + 3 2:0"2 j

b, b,

:lmtX\ + amzxz ~

bm

Xi' X2

,

0

2)

Graphische Darstellung des z ulä...sigen Lösungsbereiches B als Menge aller Paare (x1,x2) ' die gleichzeit ig allen Reslri klionen und den Nicht-Negalhitäts-Bedi ngungen genügen. Ist B leer, so besitzt das LO-Problem keine Lösung.

3)

G raphische Da rstellung einer beliebigen Ziclfunkt ionsgeraden:

(2 beliebig), Paral leh'crschiebung dieser Zielfun ktionsgeraden in Richt ung wachsender Z-Werte (bei Maximumprobk men) bzw. sinkender Z- Werte (bei Minimumprobkmen), bis das z ulässige Maximum bzw. Minimum in (mlndcs rens) einem Eckp unkt des zulä....sigcn Bereiche." 8 erreicht ist. I)

Hat die Ziclfunktionsgerade schließlich genau einen Eckpunkt mit 8 gemeinsam, so liefern die Koordinaten (XI' xZ) dieses Eckpunktes die eindeu tige optimale Lös ung des LO-Problems.

ii )

Fä llt die optimale Zielfunktionsgerade mit einer Restriktionsgrenze zusamme n, so besitzt das LO-Problem unen dlich viele oplimale l .ös ungen, nämlich alle zwischen den beiden Eckpunkten der Restriktionsgeraden liegenden Paare (Xl ,xz).

iii)

Lässt sich die Zielfunktionsgerade beliebig weil innerhalb des z ulässigen Bereiches In Richlung "bess erer" zretrunkuenswene verschiebe n, so besitzt das l O-Problem keine endliche optimale I..ösung ("unbcschränkte Lösung").

Aufgabe 10.1.26:

Gegeben sei das folgende Rest riktionensystem:

- xI + 4x Z:S: 24;

xI +2xz :S: 30 j

2x1- xz $ 30;

x l +2xz 2:12 j

XI 2:4;

xj

az .

i) Man ermittle graphisch die o ptimalen Lösunge n, wenn folgende Zielfunktionen gegeben sind: a)

Z = 3x I +3xz

- Max. ;

b)

Z = 3xt+ 3xz

1')

Z = 7x I + 14xz - Max. ;

d)

Z = 7xI + 14xZ - Min.

-v

Min.

ii) Man ermittle für die Fälle a) bis d) jeweils die optimalen Lösungen, wenn das gegebene Rcstrikn-

onssysrcmum die R estrikt ionsgleichung 3x I +4xz = 56 erv.. .eitert ....i rd. Aufgahe 10, 1.27: Man ermittle graphisch das Maximum von Z = 2xI + 3xZ unter Ein hallung dcr Nebenbed ingungen: 2xI +x z :S: 12; x l +XZ :S: 7j XI + 3xz :S: 15; XI +4xz 2: 24 mit XI -xz 2: O. AUfgabe 10. 1.28: Man ermittle graphisch die o ptimale Lösung von Z = XI +2xZ - Max. unter Berücksichtigungder Restriktionen: - 2xI +xZ::; 4; - XI + l Ox z ::; 135 und xl 'xZ 2: 0 .

10.1

509

Grundlagen und graphische Lösungsmet bode

Aufgabe 10.1.29: In einem Fertigungsbetrieb werde n die Prod ukte 1 und 11 jeweils Indrei Fertigungsstellen bearbeitet. Aus der nachfolgenden T abelle gehen die Prod uktdcc kungsbeiträgc, Fertigungskapazitä ten (pro Periode], Bearbeitungszeite n sowie Ab setzhöchstme ngen hervor: Produktart

I

11

Kapazitäten

Deckungsbeiträge

3 T€/Stek.

Fertigungsstelle 1

6 h/Stek.

2 h/Stc k.

480 h

Fertigungsstelle 2

4 h/Stck.

4 hJStc k.

400 h

Fertigungss telle 3

3 h/Stek.

6 h/Stc k.

480 h

Absatzhöc hstmon gen (pro Periode)

75 Stck.

70 Siek.

4 T€/Stek.

Man crmittle graphisch das Prod uktions- und Ab satzprogramm mit maximalem Deckungsbeitrag. Aufgabe 10.1,30: Studen tin Susanne hat zwei Freu nde, Dantel und Pcter, mit denen sie gerne ausge ht. Sie "ve iß aus E rfahrun g:

i)

a)

Daniel besucht gerne exklusive Lo kalität en, pro A bend (3 Std.) gibt Susannc dafür 12 €

b)

Pct cr dagegen ist mit etwas anspruchsloserer Unterhalt ung zufrieden, das Zu sammensein mit ihm (3 Stunden) kostet Susanne 8 € .

e)

Susannc gibt sich eine monatliche Aus gabcn-Obergrcnzc von 68 € für ihre Treffen mit Danicl und Pcter vor. Ihr Studium lässt außerdem pro Monat höc hstens 18 h sowie 4.000 emo tionale Energiee inhciten für derartige soziale Aktivität en zu.

d)

Für jedes T reffen (3 h) mit Dan icl verbraucht sie 500 E nergieeinheiten. Peter beansprucht doppelt soviel von Susannes emot ionalem En ergievorrat.

a1L~.

Wenn sie mit 6 " Vergnügungseinheiten" pro Treffen mit Dantel und 5 " Ve rgnügungseinheiten" pro Treffen mit Perer rechnet : Wie sollte Susanne das Au sma ß ihrer sozialen Aktivitäten planen, damit sie dabei - unter Beachtung der angeführten Einschränku ngcn - maximales Vergnügen crreicht ?

ii ) Wie so llte sie sich ent scheiden. wenn ihr das Z usanunenscin mit Pctcr doppe lt soviel Vergnügen bereitet wie mit Danicl?

Aufgabe 10, 1.31: Der Bctrciber zwcicr Kiesgruben hat als cinzigen Abnehmer seiner Prod ukte eine große Baustofffabrik. Laut Liefetvertrag müssen wöc hentlich mindestens geliefert werde n: 120 Tonnen Kies, 240 Tonnen mittelfeiner (mJ .)Sand, 80 Tonnen Quarz( sand) . Die täglichen Förderleistungcn in den beiden Kiesgruben lauten: Kiesgrube 1: Kiesgrubc 2:

60 t Kies, 40 t m.f. Sand, 20 t Kics, 120t m.L Sand,

Pro Förderlag ents tehen folgende Betriebskoste n:

Kiesgrube I: Kiesgruhe2:

20 t Q uarz 20t Q uarz. 2.000 € /Tag; 1.600 € /Tag .

Gesucht ist die Anzahl der wöchentlichen Fördenage in jeder der beide n Gru ben, d ie z u minimalen Pörd erkosren (p ro Woche) füh rt.

10

510

Aurg~

Lineare Opt imierung

10. 1.32:

Eine Unternehmung stellt 2 Prod ukte auf 2 FcrtigungssteJlen her. Die Prod uktlonskocfftzienten (in Stu nden pro Mengeneinheit) sind

aus nebenstehender Tabel1e ersichtlich. Fcrtigun gsstcttc A ste ht fü r höc hstens 6.00 0 h, Fertigungsstelle B für höchstens 4.000 h zur Verfügung. Vom Prod ukt II müsscnautgruod rcs-

Fcrtigungsstelle A

Fertigungsstelle B

Produk t I

4

3

Prod ukt 1I

6

2

tcr Liefervcrpflichtungcn mindestens 100 ME produziert werden. Folgende Deckungsbeiträge werden erzielt: Produkt I: 40 € /M E ; Produkt 11: 50 € /ME . Ziel der Unternehmung ist die Maximierungdes Deck ungsbeitrages. Man cnnittle das optimaleProduktionsprogramm. wenn i)

insgesamt gena u 1.100 Prod ukteinheiten ;

ii)

insgesamt mindestens 1.100 Produkteinheiten hergestellt we rden sollen.

Aufgabe 10. 1.33: Eine G roßbäckerei unte rhält zwei Backbetriebe. Aus Rationalisierungsgründen stellt jeder Betrieb jeweils nur drei E inheitsprodukte in festgelegten Mengen her: Die tägliche Backleistung im Backbetrieb A be trägt : Die tägliche Backleistun g im Backbct rieb B beträgt:

6 t Weißbrot ; 4 t Schwarzbrot ; 2 t Kuchen. 2 t Weißbrot ; 12 t Schwarzbrot ; 2 t Kuchen.

Die Bäckerei muss wegen fester Liefervert räge wöchentlich folgende Mindestlieferungen erbringen: 24 t Weißbrot ; 48 t Schwarzbrot ; 16 t Kuchen. Infolgc der determinierten Backleistungen entstehen pro Backtag ko nstante Betriebskosten: Backbet rieb B: 6.000 oE /Tag . Backbetrieb A: 4.000 € /Tag ; A n wieviel Tagen pro Woche muss in den Baekbct riebcn A und B gearbei tet werden, damit die Bäckerei im Rahmen ihrer Licferverpflichtungen die Betriebskosten minimieren kann ?

10.2 Simplexverfa h ren 10.2.1 Mathematisches Modell des allgemeinen LO-P roblems Die beiden im letzten Kapitel a usführlich beschriebenen LO-Probleme sind jeweils ein Beispiel für dcn Fall zweier Entsc heid ungsvariabler und dreier Restriktionen. Auch im allgemeinen Fall mit n Entschetdungsvariablen und m Rest riktionen behalten die LO-Probleme dtesefbe prinzipielle Strukt ur- lineare Zielfllnktion, lineares Reslriklion_sssystern, :'l;"ichln egalhität'ibedingungen. Ein allgemeines LO- Proh lem mit n Variablen und m Res triktionen lautet in a lL'. führlicher Fonn: Zielfunktion: Reslrikliooen:

a l ix I " a 12x2 " a 21xI .. a 22x 2 +

" a 1nx n ~ b l

+ a 2nXn ~ b 2

(10.2. 1)

l"ichlnegali\·ilät..bedingungen: Dabei bedeut en: xk: Entscheidungs- oder Problemvariable; ek: Ziclfu nktions kocffizicnt; Z: Zielfunk tion(swert); uik: Koeffizienten der Em seheidungsvariablcn im Restriktio nssystem (i-te Zei le, k- te Spalte); bi: rechte Seite der Restriktio nen (i'" 1,....m : k '" 1....,n). Die aik bilden eine m- n-Matnx A, die Mal rix der Restrtku onskoetüzienten .

10.2

511

Simplexverfahren Das l O-Problem (10.2.1) heißt Standa rd-Maximum- Problem, wenn gilt:

Der. 10.2.2:

i)

Z -

li)

Alle Restriktionen sind vorn ,

Max.

iü)

Al le rechten Seiren sind nichtnegativ- bi

s ~· Typ.


E ine besonders kompakte Schreibweise für das Standard -Maximum- Problem ergibt sieh, wenn man die in (10.2 .1) auftretenden Variablen und Koeffizienten in Vektoren bzw. Mat rizen zusammenfasst (siehe aueh Kap. 9.1.3.4, (9.1.60». Mit den definitorischen Bezeichn ungen

(Problem variable)

(Z ielf unktionskoef fizienten)

(Restriktionskoeffizienlen)

(rechte Seile)

lautet d 1S Slandard-l\Iaximum- Probl em:

( 10.2.3)

c 'x untcr Einhaltung der Restriktionen

Man maximiere die Zielfunktion Z = T

AxSb (m it b
Jeder Vektor x ( e IRU) , der zugleich allen Rest riktionen und NNB genügt, heißt zulä\ sige I.ö.\ ung des l O-Problems. Ist darüber hinaus für eine zulässige Lösung x der Zielfunkti ons wc rr Z(X) maximal, so heißt optimale z uläs\ige I.ös ung von (10.2 .3).

x

Bemerkung 10.2.4: i) Analog zu (l0.2.3) definiertman das Standard-Minimum-Problem: (10.2.5)

Mun minimieredie Zielfunk tion Z = cT . x unter Einha ltung der Restriktionen Ax
ji) Bei Beisp iel 10.1.2 handelt es sich um ein Stand ard- Maximum-Problem, bei Beispiel 10.1.11 um

ein Standard-Minimum-Problem.

Im Fall zweier Problemvariabler (n = 2) lässt sich - .....'ie zuvor demonstriert - die optimalc Lösungci nes l O-Problems graphisch ohne &hwierigkeiten ermitteln . Dies gilt im Prinzip selbst für eine beliebige Anzahl m von Restriktionen, wobei Grenzen allein d urch die Zeichenge nauigkeit gesetzt werden. Etwas anderes gilt jedoch, wenn sich die Za hl n der Problemva riablen erhöht: Für n = 3 .....'ird die graphi· sehe Methode unhandlich (dreidimensionale Darstellung l). für n
Eine solche Methode w ird d urch das im folgenden behandelte Simplexverfahren 2 geliefert. 2 Das Simplexverfahre n wurde um 19 ~7 "On G. B. Dantzig entwickelt, siehe [15J .

10

512

Lineare Optimieru ng

10.2.2 Grundidee des Simp lexverfa hrens Wie schon im Verla uf des graph ischen Lös ungsverta nrens deu tlich wurde (siehe auch Bem. 10.1.18) , wird das Optimum eines LO- Problems (sofern es denn überhaupt existiert) in (mindestens) einem Ec kpunkt des zulässlgen Bere iches B angenomm en. Bemerkung 10.1.6: A llgem ein ist ein Eckp un k t im n- dimensionalen Raum /Rn gekennzeichnet als Schninpuniavon n " Hyperebenen " (linearen Unterräumen) derjeweiligen Dimension n -1 . Im JR2 stellt die lineare Gleichung 5x t " 2xZ = 7 eine I -dimensionale Hyp erebene ( = Gerade] des 1R2 dar, also Eckeim JR 2 = SchniupunkczweierGeradm .

Beispiele: -

Im 1R3 s/ellt die lineare Gleichung 3x I -mZ + 2x3 = 4 eine 2· Jimensionale Hyp erebene (= Ebene) des IR3 dar, also Ecke im JR] = Schninpunki dreier Ebenen, USW.

-

I m JRn stellt die/ineareGleichung brX2+ ...+3x n ", 5 eine (n-I)-dimens ionale Hyperebene des /Rn dar, also Ecke im JRn '" Schnittpunkt von n dieser Hyp erebenen .

Das Simplexve rfahre n berechnet dah er ausschließlich Eckpunkrkeordlnaten des zulässigen Bereiches, und zwa r sukzess ive derart, dass I) 11)

10.2.3

stets n ur zulä~sige Eck punk te berec hnet werden, cin neu berechneter Ec kpunkt ste ts a uch einen bessere n (und schließlich - da es nu ren dlich viele Eckp unk te gibt - den opt imalen) Zielfullkti OlIS'wert bes itzt.

Einführung von Sc hlupfva riablen

Das Sim plexve rfahren be nutzt wese nt liche E rgebnisse aus der Theorie der linearen G lekhwlg~s'Ysteme (siehe Kap. 9.2). Das Restriktions-Ungleic hungssys tem AX S b ....tr d daher (durch EinJugen von sog. " Sclilupfr'ariablen ") zunächst in ein äq uivalentes lineares Gleichungssyste m übe rführt. A ls Beispiel soll das Standard -Max imum- Prob lem (Beispic110. 1.2 - Ptod uktionsplnnung) dienen: (10 .2.7) mit

I {x2}

z '" 3Q:.q + 20x2 -- M ax.

Xl

(0,6)

S 10 6 2x 1+ 4X2 $ 32

xa s

xI,x2

~

h(

Ob~'!lr~nz~n:

I

( 61

5pnuguss Ve!'fXKken Prossen

n~k'i;;;~:-.l

B

0 Abb. 10.2.8

I (0.<)) ,

(10,0/

Fügt man nu n zu jeder Restriktions-U ngleichu ng eine nichtn egative, adtliuw Schlupfvariahle Yi hinzu (deren Wen d ie Differenz der linken Seite zur entsprec henden Kapaz itätsobergrenze (:= rechte Seite) darstellt], so ergibt sich ein z u (10.2 .7) äquivalen tes Restriktions-G leieh ungssystem: (10.2.9)

' I

+YI

'" 10

+Y2

'" 6

+Y3 "" 32 Die Werte Yi der Schl upfvaria blen bede uten öko nomisc h nicht ausg enume Kapazi täten der drei Fe rtigungsstetten . Auch für die Schlupfvariablen müssen Nichtncgativitätsbcdingungcn gelten, da es sich in

10.2

SI ]

Simplexverfahren

(10.2.7) um ~:s: ~ -Res triktionen handelt. (, ~~ - Restriktionen erfordern folglich subtrakiive , nichtncgativeSchluprvariable. Beispiel: 3x\+xz ~ 1 5 ~ 3Xj +xz -y\ = 15 u nd Yl ~ O . ) Au s dem linearen Restriktionssyst em (10.2.7) ist mit (10.2.9) ein äquivalentes (un terbestimmtes) lineares G leichungssystem a us 3 Gleichungen mit 5 Variablen ent standen. Das LO- Problem lautet nunmehr: (10.2.10)

Man ermittle diejenige zuläss ige (d.h . allen Restriktionsgleichun gen und Nichtncgatlvi-

x

tätsbcdingungcn genügende) Losun g = (Xl' xl . Yj. Y2' Y3)T des linea ren Gleichungssystems (10.2.9), fü r das die Zielfu nktion in (10.2.7) ihr Maximum an nimmt. Bemerkung 10. 2.11: A llgem ein lauret die Pr obtemstetlung für ein Standard-Maxim um- Problem na ch Eirfiihrung l"Q11 Schlupfvarioblen:

, - -- -T - - - , Z =1 :; -

(10.2. 12)

mit

Ax =b

lind

Max.

x ?Ö ; b ~ Ö ,

wobeidie auftretenden Vektorenund Matriull [olgende Bedeutung haben:

c ,=

c"

o

1 "'"/ 0" 0] 11 2" 0

x ,=

x"

A

0

..

.

U",,, 0 0

I

o Das Restriktionssystem bestehtaus m Gleichungen mit n+m Variabien. AusfithrticheSchreibweise: (10.2.13)

Man maximiere Z = er l +cr2 + ... +c,,t,, unter Einha ltung der Restriktionen a 1 f' 1 + a Ir 2 + a2r l + a2r2 +

+ Il /.f" + Y/ + 021;'" + Y2 .

sowiederNidnnegauviunshedingungcn: x], ..., x" ~ 0 ,.Y t- ... Ym ;:: O. Man erkennt, dass necn Einf ühnmg der Schlupfvariablen da s Gleichungssystem (10.2.13)) in kanonischer Form tsiche Def. 9.2.56) vorliegt.

Ax = b (( 10.2.9) bzw.

10.2.4 Eckpu nkte und Basislösungen Da es nur a uf die Ec kpunkte des z ulässigen Bereiches ankommt (s. Bcm. 10.1.18), stellt sich die Frage, welche der (unendlich vielen) Lösungen des LOS ( I 0.2.9 ) d ie Ec kpunkte repräsent ieren. Im (hiervo rliegenden) z-drmcnsionatcn Fall (siehe Ah h. 10.2.8 ) ergeben sich d ie Eckpunkte als Sclmill pun kte je zweier Restrtkrl onsgcrad en bzw. Koordinat cnacltsen. i) Kennzeichnend für die Punkte einer a esut kuonsgcreden ist das Verschwinde n de r entsprechende n Schlupfvariahlen (in de r ent sprechenden Restrikt ions ungleichung gilt das Gleichheitszeiche n, die Kapazität ist voll ausgelastet. der"Schlupf" ist Null). ii ) Kennzeichnend für die Punkte einer Koordinatc nach..e (xl· /xrAchsc) ist das verschwinden einer x I-Achse). Probtemvan ablen (falls xI 0 : alle Punkte liegen auf der xj -Achse j falls x2

=

=() -

10

5 14

Lineare Optimierung

Da her wird jede Begren z ungsgerad e des zulä ssigen Bereich es dur ch das Verschwinden eine r Variablen gekennzeichnet. Da im 1R2 jeder Schnittpunkt zweier Res triktionsgeraden eine Ec ke defin iert , müssen auch injedern Ec kp unkt zwei Variable (Pro blem- und/oderSchlupfvariable) den Wert Null annehmen. Beispiel 10.2.14: Wie man du rch Einset zen prüft, entsprechen den Eckp unkten des zulässigen

Bereiches (siehe Abb. 10.2.8/ 10.2.15) felgende Variablenwerte = (Xl. x2' YI' Y2. Y3)T:

x

( 0; 0)'

(10; 0)' (10; 3)' ( 4; 6)' ( 0; 6),

x= ( 0; 0; 10; 6; 32)T x= (10; 0; 0; 6; 12)T X = (10; 3; 0; 3; ol x = ( 4; 6; 6; 0; O)T x= (

Ix;1 14.61

r~ B

/10;31

~ ~ -()

0; 6; 10; 0; 8)T

111);0/

Jeder Eckpunkt des zulässigen Bereiches Bi st Abb. 10.2. 15 c harakte risiert d urch das Verschwinde n vo n 2 ( = n) Variablenwerten. wührend die übrigen 3 (= m) Variab lenwerte von Null verschi eden sind. Analog übe rlegt man sich im n-dlm enslenal en Fall (auch wenn eine Verans chauli chung unm öglich ist): Eine lineare G leichung in n Var iab len repräse ntie rt e ine (n - Lj-d tmeesto nate H ype rebe ne im IRn (siehe Bem. 10.2.6). J ede " S "-Res triktion m utiert zu einer so lchen Gleichung (und stellt dann auch eine solche Hyperebene dar). wenn die entsprec hende Schlupfva riable Yk den Wert Null annimmt. Ebenso werden die (durchden Koordinaten-Ursprung vertaufmden} Koordina tenebe nen gekennze ichnet d urch das Versc hwinden je einer Problemvariabl en xi ' Da nu n eine Ecke im IRn als Schnitt punkt von n Hyper ebenen ents teht, müssen in jeder Ec ke des zu lässigen Bereiches B au ch n Variab le (von insges amt n +m Varlablcm verscbwm den. Aus der Theo rie der lineare n G leichun gssysteme ist andererseits bekannt (siehe Definition 9 .2.68): Werden in einem kon sistent en (d.h. lösbaren) kanoni schen linearen Gleichungssystem (bestehend aus m G leichungen mit n + m Variablen) n Variable mit dem Wert l'\ull vorgewählt, so bleibt ein eindeutig lösbares System von m Gle ichungen mit m Variablen übrig. D ie so gewonnene spezie lle Lö sung ist eine Bas.islösung des LOS. Da das Verschwinden von n Variablen gleichze it igeinen Eckpunkt determiniert, er hält man zusamm enfassend den zent ralen

x

Satz 10.2.1 6: J eder Eckpunkt des z ulässigen Bereiches eines LO-Prob lems (10.2.13) ist zugleich z ulä".,j ge Ba,Jslö"ung des Restriktions-G leichungssystems von (10.2 .13) un d umgekehrt. Als mögliche optimale Lösungen eines Lö-Problems kommen dah er nur zulä....,ige Ba"islös ungen des Restrikrionsglelchungssystcms in Frage (dabei ist eine Ba."islösung genau da nn zulä.""lg. wenn sie säm tliche Nkhtnegeuvuätsbedtngungen (sowohlfür die Problem - als auch fü r die Schlupfvariablen] erfüllt). Im vorliegende n Beispiel (10. 2.9) wie auch im allgemeinen Fall des Standard-Maximum-Problems (10.2. 13) ist da s Restri ktJonensyst cm kanon lsch, es lässt sich daher unmi ttelbar eine zulä"sige Ba"islösung gewinnen, indem man sämt liche nicht zu Etnhehsvektoren gehöre nde Variable (hier gena u die Problem variablen (NBV) x I, ..., xrJ l'iull setz t. D ie entsprec hende Bastslösung lautet: (10 .2.17)

X,. (XI' Xl' YI' Y2. Y3)T ,. (0 ; 0; 10; 6; 32)T

(bzw. im allgemeinen Fall:

x,. (0; ...;0; bl; b:2; ...; bm? )·

(Da die rec hten Seiten bj voraussetzungsgemäß nichtnegativ sind, sind auc h säm tliche Variab lenwerte niehtncgativ, d.h. die Basislösung(1O.2.17) ist zulässlg.)

10.2

Simplcxvcrfahrcn

515

In d ieser erste n Ba~i~lö~wl g (10.2.17) - sie entspricht dem Eckpunkt (x\ , x2) = (0 ;0) in Abb. lU.2.15werden keine Prod ukte gefertigt (Nullaklivitäl), die nicht genutzten sind glcie hd en zur Ve rfugungstehenden Kapaz itäten der drei Fertigungsstellen (nämlich Yl = lOh; Y2 = 6 h; Y3 = 32 h). Der Zielfun ktionswert Z(O;0 ) ist wegen Z = 30x I +20x2 Null -die Basislösung (10.2.17) ist sicher noc h nicht optimal .

10.2.5 Optimalit ät skriterium Das Simplexverfahren besteht dari n, ausgehend von der erste n zulässigen Basislösung mit Hilfe von Pivotoperatio nen (siehe Kap. 9.2.3) weitere Basislösungen ( = Ec ken) zu erzeugen, die i) ii)

den Zielfunktionswert verbessern , ste ts zulä~~ig sind, d.h. den NNB genügen.

Das Verfah ren wird am Prcd uktioosplanungsprobtem (10.2 .7) de monst riert . Dazu schreibt man (10.2.9) sowie die Z ielfunkt ion in T abellcnfocm (1. Simplex· Tablea u):

(10.2.18)

Y1 Y2 Y3 Z

'1

'2

Yl

Y2

Y3

Z

b

1 0 2

0 1

0 1 0

0 0 1

0 0 0

10 6

4

1 0 0

32

- 30

- 20

0

0

0

1

0

Im Au sgangstablcau (10.2.18) sind die Schlupfvariablen Yi (da zu E inheitsvektore n gehörend) Basisvariable (BV), die ProbJcmvariablen Xi (gleich Nu ll gesetzt) Nichtbasisnriable (NBV), siehe Def. 9.2.65. Die Zielfunktion Z = 30x I + 20x2 .....urd e umgeformt zu - 30XI-20x2+ Z = 0 und in das Tabkau aufgcnommen. (A llgemein: - CjXj - c]X2- ... - cnXn+Z = O) 1m Simplexta bleau ist Z da her eine Basisvariable. Bei weiteren Umformungen des LGS (10.2.18) wird die Ziclrullklion~gleichung stets entsprechend einbezogen. Die links vor dem Tableau stehe nde Variable uspalte enthält den Namen der Basisvariablen (hier: YI ' Y2' Y3 ' Z ). Dadurch kann die entsprechende Basislösung aus (10.2.18) besonders leic ht abgelesen werden: XI =0 (NBV);

x2 = 0 (~"BV);

YI = 10 (BV);

Y2 = 6 (BV);

Y3 =32 (BV);

Z = 0 (BV) .

Die beiden negati ven Koeffizient en der Zielrunktion~zeile ( -30 bzw. - 20) deuten da rauf hin, dass Z noch vergrößert werden kann, indem man eine der beiden NBV ( Xl oder x2 ) zu BV (u nd damit in der entsprechende n zulässigen Basislösung positiv] werden lässt. Die Z unahme von Z entspräche da nn entweder 30x1 (falls XI = BV) oder 20x2 (falls x2 = BV). Laute te etwa - abweichend vom vorliegenden Beispiel - die Zielfunktionszeile eines Simplextableaus (Max.- Problcm): ' 1

"

10

15

Y,

Y1

Z

b

(10.2.19 )

Z

o

o

o

80

so entspräche dies der Ziclfunktionsgleichu ng Z = 80- 10xl -1 5x2' Machte man n un eine der NBV ( x I oder x2) zu BV {d.h. mit x I > 0 ode r x2 > 0), so nähme Z um IOxl bzw. 15x2 ab, im Widerspruch zum Maximierungsziel. Daher stellt die aus ( 10.2.19 ) ablesbare Ba~i sl ösung bereits die Optimallösung dar (mit Z n,u = 80).

10

516

Lineare Optimierung

Diese rSachverhal t lässt sich für Maximumproblem e verallgemeinern :

Salz 10.2.20: (OptimaliläMm leriwn) I) E nt hä lt die Zie l runklion ~1.eile eines zulässigen Simplextableaus noc h negatin ' Koeffizienten, so kann de r Zlelfuaknonsw ert vergröße rt werden , indem man eine (zu einem negativen Ziel -

funktlonskoerflzientcn gehörende) Nichtbasisvariable durch einen Pivotschritt zur Basisvariablen macht (Baxtvtausch]. ii) E nthält die Zielfunkt iOll nur ntchmegauve E lemente, so kan n Z nicht mehr wrgrö ßert wer-

den, für die aus dem Tableau ablesbare zulässige Basislösung wird die Zielfunktion maximal.

I)

1

,Z , 0 , 00

10

0

1

130

Es seien zwei Simplextableaus i) und ii) eines Maximum-Problems gegeben:

ßeispiel 10.2.21:

y,

Y3

Z

b

8

0

0

10

0

0 0

17 30

1

100

'I

'2

YI

YI 'I Y3

0 1 0

2 2 4

0

0

-I 0

Z

0

-6

0

4

1

1 0

,

ii )

In Tableau i) ist der Zielfunktiooskoeffizreur der 2. Spalte nega üv (= -6), daher ist Z noch nic ht opt imal, sondern könnte vergrößert werden, indem x2 (in der Basislösung zu i) gilt: Xl = 0) zu einer BV gemacht wird (2. Spalte = Pivotspatte).

(DieFrage, in welcherZeiledann das Pivotelemem zu wählen iSl, werden wir im Anschluss (Kap. 10.2.6) beantworten.]

YI

' 1

'2

'I Y3

0 1 0

0 0

-I

Z

0

0

3

'2

1

0.5

Y,

Y3

4

0 0

-9

- 2 - 16

'"

b

5 7

In Tableau ii) sind samtliehe Zielfunktionskoeffizienten nichtnegaliv. Wegen

Z = 130-3Y t - 28yZ nimmt Z bei Basistausch ab, d.h . die aus dem Tableau ii) abtesba re Basislösung x = (XI; xZ; YI ; YZ; Y3; Z)T = (7; 5; 0; 0; 10; 130 )T

ist bereits d ie op nm ale Basislösungdes zugrunde liegenden Maximumproble ms.

Im A usgangsta blea u (10.2.t8) f uhrt somit die Erzeugung eines Einheitsvektors in der ersten oder zwei-

ten Spalte zu einer neuen, verbesserten Bastslösung. Häufig wählt man diejenige Spalte als Plvotspalte, die den betragsgröllten negath en Zlettunkuouskoemzrenten aufweist, im Beispiel also die erste. Spalte 3.

10.2.6 Engpassbedingu ng Nacbdem die Pivotspalte über das Optimalitatskr iterium (10.2.20) bestimmt ist, fragt es sich,welche Zeile als Ptvotzene gewählt werden soll. Die Beantwortung dieser Frage soll wieder am Beispiel des Produkti-

onsplanungsproblems (10.2.7) erfolgen. Dazu schreibt man noch einmal das kanonische Restriktionssystcm aus dem Simplextableau ausführlich hin: (10 .2.22)

I ' XI +O ' xZ +YI O'x I + I ' xz +Y2 2 ·x\+ 4 ·x2

= 10 6

= +Y3 =

32

3 Diese Pivotspaltcn-Auswahlregcl Iicfcrt zwar pro Einheit dcr neucn Basisvariablen den höchsten Zielfuuktionszuwachs. muss aber nicht notwendig besonders schnell zum Optimum führen. Prinzipiell kannjede Spalte mit ncgativem Zielfunktionskoeffizienten a ls Pivotspaltegewählt werden.

10.2

51 7

Simplexverfahren

Da x I ,x2 Nichtba sisvariable (NB\') sind, gilt in der entsprec henden Bastslösung xl = 0; x2 = O. Wählt man zur Erzeugung einer neuen Basislösung die I. Spalte als Pivotspelte. so wird xI zur Basisvariablen (B\'), während x2 weiterhin NBV bleibt, also auch in der neuen Basislösung den Wer! Null annimmt. Daher kann die zweite Spalte für die folgenden Überlegungen vernachlässigt werden. Zunächst erkennt man, dass die zweite Z eile nicht als Pivotzeile in Frage kommt, da dan n das Pivoteleme nt Nu ll wird, ein Pivotschritt somit nicht d urchführbar ist. Betra chtet sei nun zunä chst die dritte Z eile als m ögliche Pivotzeile. Da xl zur BV wird, muss YJ NBV we rden, und es folgt dann aus der dritten Zeile (wegen Y3 =0; Xz = 0 ) : 2xI = 32, d.h. xI = 16. Setzt man diesen Wer! in die erste Gleichung von (10.2.2 2) ein, so folgt: 16 +YI = 10 (xz = O!), d.h . YI =-6 « 0). Damit ist die neue Basislösung nicht mehr zulässig, da eine Nichtnegativitätsbcdi ngung (Nl".'B) verletzt ist. Dies ist auch ökonomisch einsehbar: Sollen 16 ME /Tag des ersten Prod uktes gefertigt werden (X l = 16), so ergibt sich ein Widerspruch zur Pressen-Kapazität, denn die Fertigungsstelle " Warrnpressen- kann nur maximal 10 ME /Tag von Prod ukt I herstellen, siehe (10.2.7). Bezüglich Produ kt I bildet also die ers te Restriktion (Fertigungsstelte Pressen) einen Engpass, xI darf höc hstens 10 ME /Tag betragen. Daher muss man diese erste Zeile (= Engpasszeüe) als Ptvorzeue wählen. Setzt man die daraus resultierende Beziehung XI = 10 (wegen Yl = 0 (NB\') in die 3. Zeile ein, so ergibt sieh: 2 · 1O +Y3 = 32, d.h. Y3 = 12 (> 0), d.h. alle NNB sind erfüllt, die neue Bas.islösung ist zulässig. Das exemplarisch geschilderte Verfahren gewährleistet allgemein die Z ul ä.'i.~igkei t der neuen Basislösung: Satz 10.2.23:

(Engpa'i.~hedingung, Z ulä.'i.~igkei tsbedi ngung)

Eine Ba~islösung die (mit einem Pivotschnr t) aus einer vorgegebenen zulässigen Basislösung d urch Erzeugung eines Einheitsvektors in der k-tcn Spalte entsteht, ist wiederum zulä.~sig, wenn das Pivotelement eu (> 0) in derjenigen Zeile gewählt wird, für die sieh der kleinste, mcbmeganve Wert bi /ajk der neuen Basisvariablen xk ergibt (i = 1,....m). Man enn ittelt daher die Pivotzeile (.,Engpasszeilej , indem man die Elemente b:i (;:: 0) der rechten Seite jeweils durch die entsprechenden positiven Koeffizienten ajk der neuen (k- ten) Pivotspalte dividiert : Die resultierenden Q uotienten qj,= b:i /ajk (i = 1,...,m) entsprechen den möglichen Werten der neuen Basisvariablen xk' Als Ptvotzene wählt man dann diejenige Zeile i , für die bi /aik minimal wird. Beispiel 10.2.24:

Gegeben seien Pivotspalte und rechte Seite eines nichtopnmajcn Simplextableaus

b

qi ... bj /ajk

2 0

10

10/2 = 5 kein Engpass, da O· xk s 10 kein Engpass, da - 1 .xk ~ 15 18/ 3 = 6 2817 = 4 = min (qi): Pivotzeile I

... -1

(10.2.25)

3

[I] Z

> 0)

Xk ...

10 15 18 28

(mit

aik

... - 3

Die letzte Zeile bildet den E ngpass, der minimale Wert der neuen Basisvariablen betragt: siehe (10.2.25). Daher wird die letzte Zeile als Pivo tzeile gewählt und sichert der ncucn Basislösung die Z ulässigkein keine Restriktion wird verletzt. Z ur Engpasserrnittlung führt man zweckmäßigerweise am rechten Rand des Tablea us eine Quotientenspalte ein, die die ar- bj /ajk (mit aik > 0) aufninunt, s.(10.2.25).

10

5 18

Lineare Optimierung

Bemerkung 10.1.26: ;) Man beachte, dass die 2. und 3. Z eile von (10.2.25) nicht ab Pivotzeile in Frage k om m en, da f ür sie aik S 0 gilt und sie daher keinen Engpars da rstellen k önnen. ii)

Kom mt uuf der rechten Seite eine Null vor, so bildet die entsprechende Z eile (falls « n> 0) wegen

bjlUjk '= 0 = min (qJ einen Engpass und kann als Pivotzeilegewähltwerden. iii) Gibt es mehrere Engposse mit gleichem m inimalem qj. so ka nn irgendeint der entsprechenden

Z eilen als Pivotzeile gewähil werden. In den nichtgew ählten zulässigen Pivotzeilen entsteht nachdem Pivotschrin rechts eineNull.

10.2.7 Simp lexverfa hren im Standard-Ma ximum-Fall - Zusamm enfassung Nachd em Pivotspalte und Pivotzei le festge legt sind, erfolgt die Umformung des linea ren Gteic hungssystem s (einsch ließlich de r Zielfunktion szeile) mit einem Pivotschritt und somit die En eugung der näcbs ren Basi~lösung ( ~ bena chbarter E ckpunkt des zulässigen Bereiches), der erste Simplexschritl ist beendct . Nun schließen sich die gleichen O perationen erneut an; l)

Unt ersuchung der Optimalilät der neuen Basislösu ng (Satz 10.2.20). Falls Z noc h nicht op timal ist (erke nnba r an negativen Z ielfunktionskocffizicnt cn), erfo lgen d ie Wah l der Pivot spalt e sowie die Schritte ii) und Ei) (a ndernfalls ste llt d ie let zte Basislösung die Optimallösung dar) .

ii) Wah l der Pivotzelte mit H ilfe der Engpassbcdi ngung (Satz 10 .2.23). iii) D urchführung eines Pi\'otschri tls, Ablesen der neuen Basislösung weiter be i i)

usw.

Dies Verfahr en füh rt (bei Exis tenz dcr optim alen Lö sun g") zwangsläufig nach end lich vielen Schrit ten zum gcs uehte n Optimum (da jed er zu lässige Bereich nur endlich viele E cken bes itz t). Abb. 10.2.27 fasst das geschilderte Iterationsverfahren in Fonn eines Ablaufdiagramms zusamm en: STAJ?T

Abb. 10.2.27

(1)

(2) (3)

I (4)

Simplexvert:ahren

Aufs/ellen des m othemoh$chen M odells

ftJr optimal lösbare

I

EinfOgen von 5chlup fvan'abiell Ausg angslobleou

I

I

Erste zu/~ssige BosiskJsung ablesen

I

(5)

i'

Is/ Z oplrmal?

1

Tn ein Wdhle (5) 1 Pivo/spoile

(6) (7)

I W:~~eile

Standard-MaximumProbleme

--~-"

EWE.letz/e BosiskJsung =' OplrmaikJsung

Salz 10.2.20

fOpflmaliKl/s knl erium l

I. {soe

10.2.23

- -' fEngpossb edingungJ

Pivo/schrill du((hfohren. neue Bosisk:Jsung obiesell

4 Alle Sonderfälle sowie nicht (bzw. nicht optimal) lösbare Probleme werden in Kapitel 10.3 bzw. 10.-\ behandelt.

10.2

519

Simplexverfahren

10.2.8 Beispiel z u m Simp lexverfahren (Sta nda rd-Ma ximum-Problem) Das Simplexverfahren wird nun vollständig um Beispiel des Produktionsplanungproblems (10 .2.7) durchgeführt:

( 1)

Mathemansches Modell (siehe (10.2.7» :

(10.2.28)

(2 )

(10.2.29)

+ YI

~O .

= 10 = 6

+ Y2

'2 2xI + 4xl -]Oxi - 20xl

+Y3

+Z

=32 0

=

I. Simplextableau (All~gang.<;tahleau ) (sie he (10.2.18»:

(10.2.30)

Y, Y2 Y3

[TI 0 2

y, Y2 Y3

Z

b I qj

0

I

()

()

I

0

0

4

0

1 0

0 0 0

10 6 I 32 : 16

0

0

0

'2

' I

Z -]0 - 20

(4 )

und xI.x2

Mat hemaüs ches Modell nach Einfügen \'O ll Schlupfi"a riahlen (siehe (10.2.9)): ' I

(3 )

mit

Z '" 30x j + 20x2 - Max. s 10 ' I '2 $ 6 2''1 ' 4x2 s 32

I

,

I

I. zulä...<;ige Basslösung (ablcsbar aus (10.2.30»:

(10.2.31)

:10

--

0 I

(DieseBasislosung entspricht

' I

der Eck e (0 ;0) des nüässigen

Bereiches in Abb. 10.2.8.) (5)

Dpll","''''','"''"""' (&>1' 10.2.20)'

Da die Z ielfunktionskocff izicntcn der ersten und zweiten SJ1<1lte von (10.2.30 ) negativ sind, ka nn Z vergrößert we rden, indem xI od er xz zur Basisvariablen werden. A ls Pivotspalte wird (z.B.) die erste Spalte ( f ) gewählt.

(6 )

ElIgpa~senni tt l ullg, Zulä~sj gkei tshedillg ulig

(Satz JO.2 .23):

Der minimale Quotient qi aus rechter Seite und entsprechendem Pivotspaltenelement tritt in der 1. Zeile auf, die somit zur Pivotzcllc f-e-] wird. Das Pivotelement a ll = 1 ist umrahmt , s. (10.2.30). (7)

Durchführung cincs Pivotschruts, siehe Kap. 9.2.3: I) ii ) iii)

Die Pivo tzeile wird durch das Pivo telement ( '" 1) dividiert; Die Pivotspa lte wird zu mEi nhcltsvektor; A lle übrigen Elemente ajpneu des ncucn Tableaus ergeben sieh aus den Elementen des alten Tableaus nach der ~ Krci srcgel " (si e he (9.2.37)/(9 .2.38) bzw.Satz 9.2.35): a- neu JP -

Bem.:

ajk ' aip

a· - - lP 3 jk

Die Schrille (5), (6) lind (7) nenn! ma n sus am menfassend Simp lexschritt oder Simp lexiierotion.

520 (3)

10 Damit lautet das 2. Simplexta hleau:

'1

'2 Yl Y2 Y3

Y2 Y3

1 0 0

0 1

Z

'I

(10.2.32)

(4)

0

[I]

1 0 -2

0 0

0

o - 20

30

0

I

Z

b I q; I I I I I

1

0 0 0

10 6 12

0

I

300 I

6 3

2. zulfu;~ige Ba,islösuß g (ablesba r aus (10.2.32»: (Diese Basislösu ng entspricht der Ecke (10 ; 0) des zulässigen Bereiches in Abb. 10.2.8.)

(10.2'}3)

(5 )

Linea re Optimierung

E s sch ließt sieh wiede rSchritt (5) an: Opumahtätskrtterium (Satz 10.2.20): Da der Zielfunktion skoeffizient der 2. Spalte in (10 .2.32) noch negati v ist. kann ma n Z vergrö ßern , indem man x2 zur Basisvariablen (und somi t positiv) macht: Die 2. Spalte wird zur Pivotspal te ( l).

(6)

Engpa~sermittlung

{Satz 10.2 .23):

De r m inimale ~ Du re h satzM ergibt sieh fü r die 3. Z eile mit q3 = 12/4 = 3 : Die 3. Zei le wird Pivo tzeile (r--). das Pivotelement ist daher d ie ~ 4 ,siehe (10 .2.32). M

(7 )

D ie erne ute D urchführu ng eines Pi\·ol'iChritl.. liefert das 3. Simplexta blea u:

(10.2.34)

(4)

' I

Y2

"Z

' I

'2 YI Y2

Y3 : Z

b

0 0

I

0 1 0 0 0 0 0,5 1 - 0 ,25 : 0 1 - 0 ,5 0 0,25 : 0

10 3 3

0

0

1

360

20

0

5

3, zulässige Basislösung {ablesbar aus (10 .2.3 4»:

(10.2.35)

(Diese Basislösung entspricht der Ecke (J 0 ;3 ) des zulässigen Bereiches in Abb. 10.2.8.)

E s schli eßt sieh wiede rSchritt (5) an: (5)

Oplimalilälkriterium (Satz 10 .2.20): In der Zicjfunktions zcüc stehen nur noch nichtnegative Koeffizient en: Die Basislös ung (I O.2.35) ist dahe r be reit s die optimale zulässige Lö sun g des L a - Problems. Um einen maximalen Deckungsbeitrag von 360 € /Tag (Z = 360) zu erreichen, müss en ] 0 M E /T ag (xI = 10) von Prod ukt I und 3 MElTag (x2 = 3) von Prod ukt 11 produziert werden. Da bei ist die Fertigu ngsstelle , Warmpresscn '' voll ausgelastet (Y I = 0), in der A bteilung.Spritzguss- ist eine Leerzeit von 3 h/ Tag (Y2 = 3) vorhanden, die Verpaekungsabteilung ist voll ausgelastet (Y3 = 0).

B em erkung 10.2.36 : Auch die übn'gen Koeff izienten des optimalen Simplex- Tableaus (l 0.2.34) lassen sich ökonomisch in terpretieren, siehe Kap . 10.5.

10.3 Zweiphasenmethode

521

Man ermittle mit Hilfe des Simplexverfahrens die optimalen Lösungen folgender Aufgabe 10.2.37: Standard-Maximum-Probleme: i)

mit

Z

=

30:<) + 40x2

x,

2x, + sowie x),x2 ~O.

x, x,

-e-

Max.

ii) Z = 2xI + 3x2 - Max. mit 2xI + x2 S 12 xI + x2 S 7 x l+ 3x2 :>; 15

s 8 s 16 s 24

sowie

iii) Z = 20x\ + 20x2 + 12x3 - Max. mit

.

", ", ss ", ss

iv) Z = 2u\ + 5u2 + U) + 2U4+ nti t + 3u\ + "I + ", + " J " , + U)+ 2u4 + 2uI + u2 + 3u) + u4 + 2u5 sowie u\, u2,u),u4'uS ~O .

",

IOxl + .sX2 + 2x3 s 0.6 4x\ + 5x2 + 6x3 ::; 1

sowie x).x2'x) ?: O.

Aufgahe 10.2 .38:

xl,x2 ~O

Max.

10 4 8

12

Man e rmittle mit Hilfe desSimplexverfahrens die optimalen Lösungen von Aufgabe 10.1.29 ii) Aufgabe 10.1.30 i) .

i)

Aufgahe 10.2.39 : Eine Unternehmung produziert aus zwei verschiedenen Zwischenprodukten (Z \, Z2) insgesamt 4 Prod ukttypen p \•...,P4 ' Ma terialbedarf Prod uktivität , Kapazitäten und Deckungsbeiträge sind folgender Tabelle zu entnehmen:

Produkttypen

P,

P,

PJ

P,

Kapazität (pro Tag)

(k"'ME)

4

5

4

3

475 kgiTag

Materialbedarf Z, (k"'ME)

8

8

6

10

720 kgiTag

15

30

10

15

14 h/Tag

10

13

10

11

Mat erialbedarf

Z,

Produktivität (ME/h) Dec ku ngsbeit rag

(€ /ME)

Man ennitt le das dcckungsbcitrags-maximale tägliche Produktionsprogramm der Unternehmung.

10,3 Zweiphasenmethode zur Lösung beliebiger Lö -Probl eme Für Sian da rd -ä tad mum- Pro bleme bereitet es keine Schwierigkeiten, eine (für die Anwendung der Simplex-Methode notw endige) erste zulii<;sige Bao;islösung zu erhalten: Die Nuilaküvität Xl =x2 '" ... = x n =0 liefert siel..eine erste zulässige Basislösungdes Standard-Maximum-Problems. Etwas anderes ergibt sich, wenn es sich um Lö-Probleme mn =~. oder" c '
522

10

3x\ + x2 - YJ x I + Xl -Y2

(10.3. 1)

2:<J +8 x2

- Y3

Li neare O pt imierun g

(Eiweiß-Restriktion) (Fett-Restriktion) tEnergie-Restriktioni

= 15 = 11 = 40

INNB) .

x \,xl'Y\ 'Yl ,Y3 ~O

Man beac hte. dass die Schlup fvariable n Yj ( <:: 0) auf der linken Seite (wegen der " ~ "
E inheiten). Versuch! man , in (10.3.1 ) zu setze n: XI = Xl '" O. so folgt unmi tt elbar y\ = - 15 ; Yl = - 11; Y3 '" -40 . D iese Basislösung aber ist nicht zuIä~sig, da d ie NNB (A'jchfnegativitiitsbedingungen) verletzt sind! Das Problem bes teht also zunächst da rin, fü r das Glcieh ungssystcm (10.3.1) eine ers te zulässige Ba~islösun g zu finden . Ist diese gefunden, so kann auf übliche Weise mit dem SimplexVerf ahren fortgefahr en werden.

Bemerkung 10.3.2: Die Tatsache, dass Z minimiert werden soll - statt wie bisher maximiert - bereitet keine Schwierigkeiten, da man jedes Minimum- Problem in ein äqllivalelltes Maximum-Problem transformieren kan n. Dazu multipliziert man die zu minimierende Zielfunktion: Z "" cJX2+ ... +c,rn (Min) mit - 1 und maximien anschließend diedaraus entstehende Funktion Z ' mit Z ' ,,,, - Z= - C/X/ - CiK2 - .. - c,rn ( - Max) . Dann wird das Maximum von Z' an derselben Stelle

x angenomm(!II wie das stintmum ~'O" Z, es gilt:

Z mi n = - Z'mt1~ '

Für das Auffinden einer ersten zulässigen Basislösung bei " ="- oder" a '
3x ,+ xz - y , x , + xa - Y2 - y, 2x , +8xZ

+ YHI +Ym +YH3

Schluct

Hilfsschlllpf * variablen

Problemvariablen vana en Eine erste zul ä~sige angegebe n werden; (10 .3.4)

Ba~i.~lösung dieses

x l = O;

" " "

15 11 40

m it xk,Yj'Y" i 2: 0 .

kanonischen Systems (10.3.3) kann d urch diesen Kunstgriff sofo rt

xz=O; Yi=O; Y2=0; Y3= 0 ; YH1= 15; YHz= l1 ;

YH ~ = 40 .

Problern- D ie so erhalte ne Lö sung (10.3.4) ist zwar bzgl. (10.3.3), n icht aber bzgl. des A usgangsproblcms (10.3.1) zulässig! D ie H il fs.~chl up rvariahl en YH1'YH2'YH~ müssten, um aueh dem A usgangssystem (10 .3.1) zu genügen, sämt lich den Wert Null annehme n (denn in (10 .3 .1) gilt das Gleichheitszeichen !).

10.3

523

Zwciphasenmelhode

Daher muss es das Ziel der weitere n Umfonn ungen des Systems (10.3.3) sein, die HiJrsschlupf~llriablen zu Null zu machen. Dies erreicht man, indem man d urch Simplexschritte nach und nach säm tliche Hilfs· schlupfi'ariablen Ynj (die in (10.3.4) BV sind) z u NBV (und damit zu Null) macht, ohne dass sich an der Zul ässigkelt der zwischenzeitlich erhalte nen Basislösungen etwas ände rt. Idee: Man erreicht das Ziel YIII = Ym = YIl3 = 0 auch dadurch, dass man das ;\Iinimum der Summe YH\ +YH2+ YH3 bildet! Wegen YHi 2:0 ist der Wert dieses Minimums Null und wird nur dann erreic ht. wenn alle Hilfs.s chlupfvariab len Y" Null sind, d.h . NBV geworden sind. Au s (10 .3.3 ) ergibt sich durch A uflösen nach YHi: YIII = 15 - 3xI - x2 + YI YH2 11 - x I - x2 + Y2 YIl3 40 - 2xl - 8x2 + Y3

(10.3.5)

und da her die Forderung:

YIII +Ym +Yu3=66 -6xl-lOx2 + YI +Y2 + Y3

Min!

-

O.

Da nach Bemerkung 10 .3.2 ebe nsogut die negauve Summe - YHl-Y H2-Ytl3 zu Null maximiert werden kann, führt man in das Simplextableau zusät zlich eine sogenannte sekundäre Zielfunklion Z" mit Z" ,= -YH1-YH2-YH3 ein und versucht, mit H ilfe des Simplex-Verfahrens Z" in dcr 1. Phase zu Null zu maximieren (gelingt dies nich t, so hat das LO- Problem keine Lösung). A us (10.3.5) er hält ma n als sekundä re Zielf unktion: Z" ,: -Ylll-YII2-YII3 = -66 +6x l + I Ox2- Yl- Y2-Y3 -

Max.

bzw.

- 6x\ - lOx2 + Yt + Y2+ Y3 + Z " = -66. Dara us resultiert das erste Simplcxtablca u (d ie eigen tliehe" primä re" Zielfunktion (10.1.12) lau tet: bzw,

'I Ym YHO (10.3.6)

YIl3

Z· Z'

3 I 2

-6 I

YI

Y,

Y3

I 8

1 0 0

0 -I 0

0 0 -I

- 10 2

I 0

I 0

I 0

"I

Z ' ,- - Z = -x ,- 2x2 -

, YIII ,, 1 , ,

YII2 YIl3

0 0

0 I 0

0 0 I

0 0

0 0

0 0

Z·

Z'

b

0 0

0 0 0

11 40

I 0

0 I

,, 0 ,

Max.):

15

-66 0

Bem erkung 10.3. 7: Wie aus Tableau (10.3.6) ablesbar, em att ma n d ie Koeff izienten der sek undä ren Z ielf unktion einfach dadurch, d ass ma n in jeder Sp altediejenigm E lem ente, die in Z eilen mit Hilf sschlupf variablen stehen, addien und m it umgekehrtem Vorzeichen versieht (außer in Y/li - Spalten!). Kann man nun - ausgehend von de r ers ten zulässigen Basislösung von (10.3.6) - d ie se kundäre Zielfunk· (ion mit H ilfe vo n Simplexschrit ten z u Null maximieren, so gilt dann zwangsläufig YIII = YI12 = YII3= 0, eine erste zulässige Basi_\lösung des ursprünglichen Systems (10.3.3 ) ist gewonnen (End e der 1. Phase). In de r sich anschlie& nden 2. Phase wird die primäre Z ielfunktion a uf herkömmliche Weise op timiert.

Bemerkung 10.3.8: [Si eine Hilfsschlupfva riable Y//i zur NBVund damit Nu ll geworden, kann die entsp rechende Spalte ersatzlos gestrichen werden. A uf diese Weise kann Y/fi nich t versehentlich wieder zur BV werden. Ebenso wird ne cn Abschluss der 1. Phase die Zei/eder sekundären Zielfunktion Z· er~'alz­ los gestrichen, da sie ihre form ale A ufgabe (Erzeugung einer ersten zulässigen Basisl ösung] erfuUthat und nun nicht mehr ben ötigt wird.

524

10

Lineare Optimierung

Die folgenden Tablea us (10.3.9) demonstrieren die z- Phascn-Mct hodc am Bcispiel lO.l .11, ausgehend vom Tableau (10.3.6):

Tab. 10.3 .9

I

V

Y2

Y3

0

0 0 -1

]

YII2

1

]

1 0

YII3

2

[I]

0

0

- ]

Z' Z'

- 6 -10 1 2

1 0

0

YH'

2 ,75 0

1

0

0 ,75 0

0

- ]

' 2 0,25 ] Z' -3 ,5 0 Z' 0,5 0

0

0

10,1251 -0,125

1 0

1

- 0,25

0

0,25

0

1

1

0 1

0

-8

0 1

0

- ]

0

]

- ]

0

0

2

0

0,5

0

y,

IV

YI

3

YIII III

'2

YIIl

YII2 11

'I

rn 6

1

"Z'

-2

Z'

- ]

' I

]

Yl

0

0

[I]

0

]

0.5 - 1,5

,

]

y. - -& Z' 0

0 0

0 -0,5

- j

I

0- 0- 00 -0,5 2,5

1 0 0,125

1 0

, , , , , ,

' I

]

0

YI '2 Z'

0 0

0

0 4/3 1 - 11 /3

]

0

1/ 3 - 1/6

0

0

0

2/3

1/6 ]/3

Ym

]

YII2 0

0

I

0 0

0

0

]

0 0

0 0

0 0

1

0

0

1

0

0

0 0

0

0

I

, , , ,, , , , ,

0

, 0 , 0 , 0 , , , -, ,

&-- ~

0

YIH

,

--

, ,

Z' Z'

b

0 0

0 0

II

0

0

40

1

0

0 1

-66 0

0 0

0

0

10 6

0

0

5

]

0

0 1

- 16 - ]0

0 0

0 0

4 48

0

0

II

]

0

0

]

-4 - 22

0

0

2

0 0

0 0 ." 1

36 9

~ --i

0

1/6

I

]5

-{}-

- 20

Phase 1

--

,-

0 0 0

8

I

12 3

Phase 2

1

-]4

I

,I

Nach dem 3. Simplexschritt (Ta bleau IV) ist Phase 1 abgeschlossen: Z · ist Null und daher ebenfalls

sämtliche Hilfsschlupfvariablen. Die aus Tableau IV ablesbarc Basislösung ist zulässig hinsichtlich des ursprünglichen Restriktionssystems (10.3 .1). Die Z *-Zei1e kann nun gestric hen werden und die primäre Zicl funktion Z ' in Phase 2 weiter maximiert werden . Tablea u V liefert die bereits auf graphischem Wege ermittelte optimale Lösung (sichc A bb. 10.1.17) : XI '"

8

(d.h. 800g/T ag vonNahrungsmi ttelsorte I)

x2 '" 3

(d.h. 300g/Tag von Nahrungsmittelsorte 11)

Yi '" 12 Y2"'Y 3"'0

(d .h. 12 ME Eiweiß über Mindcstbedarf in Tagesration vorha nden)

(Weder Fett- noch E nergieüberschuss in der Tagesration)

Z'max '" - 14, d.h. Zmin '" -Z'mw: '= 14 € /Tag ( '" minimale Nahrungsmlttetgesamtkostcn pro Tag) .

10.3 Z weiphasenmethode

525

Bemerkung 10.3.10: i) Eskann vorkommen, dass nachAbschluß von Phase 1 bereits das Optimum derprimären ZieJfunk-

tion erreicht ist. In diesemFall entfällt Phase 2. ii)

Auch bei Vorliegen von Restriknonsgieictumgen messen Hilfssclilupft ariable" l'ingl'fuhn werden, dil' in Phase I zu NBVgemachtwerden müssen.

Das folgende Beispiel demo nstriert das Simplexverfahren Rest riktionen vor liegen.

(2- Pha~e n · Me thode),

wenn alle Type n " on

Belspiel 10.3.11: Eine U nterne hmung ste llt drei Prod ukte in zwei Fertigungsstcllen her. Prod uktionskocffizicnten, Kapazitäten u nd Stück- Deckungsbeiträge gehen aus folgender Tabelle hervor: Produkte

I

11

III

Kapaz itäte n Ch)

Fertigungsstelle A (h/ME)

4

6

Fcrtigungsstcllc B (h/ME)

3

2

8 4

5.000 2.000

Deckungsbeitrag (€ / ME)

40

50

60

A ußerdem ist folgendes zu berücksichtigen: -

Von Prod ukt I II müssen aufgrund fester Lieferverpfliehtungcn mindes tens 100 ~fE produz iert werde n. A us Lagerhaltungsgründen müssen von Prod ukt I und II zusammen gcnau 400 Einheiten prod uziert werden.

-

Ziel de r Un temehmung ist die Maximierung des Deckungsbeit rags.

Wenn x l,x2'x) die zu produz ierenden Stückzahlen (in ME ) de r Produkte Lll.lf l bedeu ten, so lautet das mathematische O ptimierungsmodell. (10.3 .12)

Zielfunktion. Restriktio nen:

40XI + 50"2 + 60"3 - Max. 4xI + 6x2 + 8'3 s 5.000 3xI + 2"2 + 4' 3 s 2.000 ' I

NNB:

+

"

'3

,

100

=

400

xI,x2,x3

~

0.

Nae h Einf ügen von nichtnegativen &hlupf- bzw. H ilfssehlupfvariablen lautet das äquivalente Glciehungssystcm (10 .3.13) mil

Z '" 40xI + 50x2 + 60x3 - Max. 4" 1 + 6x2 + 8x) + YI 3xI + 2x2 + 4x3 + Y2 x3 - Y) + YIII + Ym

= =

5.000 2.000 100 400

" k,Yj'YHi a 0 .

10

526

Lineare Op timierung

Mit der sekundä ren Zielfunktion

Z· = - YHI -YII2 '" - 500 +x I+ :<2 +:<3 -Y3 erhält man nacheinander folgende Simplex-Tableaus: (10.3.14)

Y, Y2 )

Ylit

YH2

Z· Z

8

)

0

2 0 I

4

0 0 0

)

0 0

0 0 -1 0

- 60

0 0

0 0

0

0 0

)

0

8

0

)

0

0 0

0 0

4 -1 0

0 0

0 0

0 0

0 0

)

0

0

1

0

0

0

0

()

ITl 0

'3

4 3 0

6 2 0

YII2

1

ITl

Z· Z

-1 - 40

-50

Y1 Y2

-2

"

0

0 0 0

)

1

'3

- - y

)V

)

-)

)

Y2

"6 -I -50

Y2

III

4 3 0

Y,

'3

- 40

Y, 11

'I

- )

- )

)

Y3

)

,

, 0 , -60 , 8 , GJ -1 , 0 ,

)

-&--O---&- --&--f1 - --f>---: -

Z

10

0

0

0

0

- 60

YI

0 0 0

0 0

)

)

1

0

0 0 0

-2 0,25 0,25 0

0

Y3 '3

-4 0,25 0,25

0 0

Z

25

0

0

0

15

0

"

, , , ,,

1

YH'

YII2

0 0 )

0 0 0

0

)

0 0

0 0

,, , , ,, , , ,

b

0 0 0 0

0 0 0 0

5.000 2.000 100 400

)

0

- 500

0

)

0

0 0 0

)

0 0 0 0

4.200 1.600 100 400

0 0

)

0

0

)

0

0 0 0 0

0 0 0

, , , ,

0 0 0

()

, ,

0

,

1

1.1\00

BOn )00 400

26 .000

,

-T

I 200 200 300 Phase 2 400

0 0 0 0 )

Phase I

- 40U 6.000

--:--+-6- - - - i t :

)

Z· Z

I

38.000

,I

Nach 2 Simplexschritten (Tableau II1) ist Phase I abgeschlossen. da Z· '" O. Nach einem weit eren Simplexschritt [T ableau IV) ist die optimale Lösung erreich t: XI =

xz

0

= 400

(d.h . Produkt I wird nicht prod uziert)

(d.h. von Produkt 11 werden400 M E produziert)

x3 = 300

(d.h . von Prod ukt IlI werden 300 ME produziert)

Yt = 200

(d.h. in Fertigungsstelle A sind 200 h nich t b'Cßutzt)

Y2 = 0 Y3 '" 200

(d.h. Fertigungsstelle B ist voll ausgelastet)

Z max =

(d.h. von Produkt III werden 200 ME über die

Mindcstmenge von 100:vtE hinaus produziert)

38.000 € (Deckungsbcitragsmaximum) .

10.3 Zweiphasenmethode

527

Aufgahe 10.3. 15: Man ermittle die Lösung der folgenden LO- Probleme mit H ilfe der 2- Phasen-Methode:

ii)

Z '" 3x I + 3x2 ..... Max.

i)

mit

- xI + 4x2 xI + 2X2 2xI - ' 2

Man löse i), wenn das Minimumvo n Z gesu ch t ist und die Restriknoncn unverände rt bleiben.

s 24 s 3ii < 30

2 4 '2 2 2 x I + 2X2 2 12

'1

xI ,x2 2

und

o.

Aufgahe 10.3. 16: Ei ne Unte rnehmung p rod uziert 4 Prod ukte I,II ,III.IV. Dazu ste hen zwei Fertigungsstellen A, B sowie zwei Rohstoffe R I ,R2 zu r Verfügung. Da d ie Rohst offe nur begrenzt lagcrfähig sind, m üssen sie bei der Prod uktion vollständig verbraucht werden. Prod uknonskoefflzienten, Kapazitäten und Dec kungsbeiträge sind aus folgender T abelle erSIChtliICh : Prod ukte

Fertigungsstclle A (h/ME) Fertigungsstelle B (h/ME)

11

111

IV

2 1

4

1

0 1

5 4

0 1 2

250 Ch) 200 (kg)

1

0

1

150 (kg)

-2

-1

I

Ro hstoff R 2 (kgl ME)

0 1

Dcckungsbeiträge (T € / ME)

2

Rohstoff R I (kglME )

(Bemerkung:

vorhande ne Kapazität

1

150 Ch)

Negative Stuck-Deckungsbeitröge (wie hier bei den Produkten Il , lll) können durchaus realistisch sein - Beispiel: Schadstoff -Produkte bei Kuppelproduksion.]

Bei welcher Produkt kombinat ion erzielt die U nternehmung maximalen Deckungsbeitrag? Aufgabe 10,3.17: Eine Bergwerksunterneh mung fördert zwei verschiedene E rzsorten EI ,E 2 . A us jede m d ieser Erze

können sowohl Alumini um (Al) als auch Zink (Z n) gewonnen werde n:

A us einer t E I kann men n.t t Al und 0,6 1 Zn , aus einer t E 2 O,S t Al und O,St Z n gewinnen. Weiterhin ist zu berücksichtigen: -

Pro Mona t müsse n aufgrund feste r Liefervenrage genau 100 t Al und mindestens 200 t Z n produziert werden.

-

Die monatliche Verarbeitungskapazität beträgt für die E rzsorte E J höchstens 400 t , für die Erz sorte E 2 höc hstens 180 t. An Prod uktions- und Verarbeitungskosten fallen an; für E I: 10 T € /t; für 100 T € / t.

-

Er

Man ermittle mit H ilfe derSimplex-Methode das kostcruninimale monatliche Prod uktionsprogramm.

528

10.4

10

Linea re Optimierung

S on de rfä lle bei Lö-Probtemcn

Bereits bei der graphischen Lösung einfacher L ö -Prcbleme waren Sonde rfalle wie MehrdeuLigkeit (Ahb. 10. 1.2 1). kefne zulihsiJ:c l..ösung [A bh. 10.1.23) und unbesch ränkt e Lö.\u ng (A bb. 10. 1.24) aufgetreten. Im folgenden so ll untersucht werden. wie sich diese (und andere)So nderfalle im Verlauf des Simplexalgerithm us bemer kbar machen.

10..4.1

Keine zu lässige Lösung

Betrachtet sei das Restriktionssystem (A bb. 10.4.2):

(Iü.4.I)

XI + 2x2 s 8 4xI + 5x2 2: 40 xl,x2 2: O.

B={ }

Z ur EnnittJung einer ersten zulässigen Basislösung wird in die zweite Res triktion neben einer Schlupfvariablen auch eine Hiltsschlu pfvariable Yll eingeführt und dann die z -Pbascn-Mcthodc angewe ndet . Das Au sgangstablcau lautet (Z· '" sekundäre Zie1funkt iun): '2

YI

Y2

[j]

2

4

5

1 11

11 -1

-4

-5

0

1

'1 (10.4.3)

YI Y" Z·

, YH , 11 ,

Abb. 10.4.2

Z·

b

1

0 11

40

11

1

- 40

8

Ziel de r 1. Phase ist es. Z· zu Nu ll zu maximieren und damit YH '" 0 zu erreic hen. Ein Simplexschritt (P ivotclemcnt eingerahmt) liefert

'2

'1 (10.4.4)

YI

Y2

2

1

0

Y"

1 11

-J

-4

-1

Z·

11

3

4

1

'1

, Y" Z· , 0 11 , 1 ,0 , 11 , 1

b

8 8 -8

Da die Zei le der sekundären Zielfu nktion nur noch nicht negative Koeffizien ten enthält, liefert Tableau

(10.4.4) bereits das Maximum der sekundären Z ic1funktion Z · . Gleichzeitig erkenn t man, dass (wegen Z~ax '" -8; Yu = 8), YII wiede rum Basisvariable und duner von Null verschiede n ist: Das Syst em (10.4.1) kann nicht erfüllt werden (daz u müsste Yll = 0 erreicht wcrdcnl), es existiert keine zulä~sige Ba~islösung !

Bemerkung / 0.4. 5: Da jedes Standard-Maximum-Problem die zulässige Basislosung xi = x2 "' ... = xn '" 0 besitzt, k ann der Fall der Nichtexis tenz zulässigerL ösungen nu r bei Problemen auft reten, in denen die 2 · Phasen -Method e angewendet werden muss.

Z usammenfassend gilt: ( 10.4.6)

Ein l O-P roblem besitzt keine zulä~sige Lösung, wenn das Maximum de r sekundä ren Zielfunktion Z· ,= - :E YHj ungleich Nu ll wird. d.h . noch mindeste ns eine llilfsschlupf-

,

variable \'I )JJ Null verschieden ist.

10.4

Sonderfälle bei LO-Problemen

529

J IX2}

10.4.2 Keine endliche optimale Lösung (unbesc hrän kte Lösung)

Abb. f0.4.8

Betrachtet sei das Standard- Maximum-Problem:

Z=

x I + x2

-s-

Max. (10.4 .7)

s 1 s 2 xI,xZ > 0

-2x l + Xz xI - 2xz

mit sowie

o

Die beiden ersten Tableaus lauten: (10.4.9)

1)

Y1 Y2 Z

'1

'2

Y1

Y2

[j]

1 -2

1 0

0

-1

-1

0

0

-2

1

:z

,0 , 01

2

b

ii)

'1

1

Y1 '1 Z

0

2 0

1

0

'2

Y1

Y2

-2

1

2

0 0

1

-, -,

1

:Z b ,

0 0 1

5 2 2

Z kann noc h vergrößert werden, Indern x2 zur Basisvariablen gemacht wird. Da abe r säm tliche Elemente der neuen Pi"o tspalle ( t ) negativ sind, exis tiert keine obere Schranke (also kei n E ngpass)fOrden zuwähjende n Wert von xZ' Jeder beliebig große Wert für xz ver letz t keine der Rest riktionen , vergr ösert aber Z Iwliebig: Es gibt keine endliche optimale Lös ung. Formal erkennt man diesen Sachverhalt stet s daran, dass sich kein positives Pivotelement über einem negativen Ziclfunktionskoeffizienten finden lässt. Z usanunenfassend gilt: (10.4 .10)

E in LO -Problem besitzt keine endliche optimale Lös ung (allenfalls eine "unbeschränkte o ptimale Lösung) , wenn die ZielfunklioD zwar weiter verbessert werden kann, aber kein posiuves Pivot element existie rt.

10,4.3 Degeneration (Ent a rt ung)

I

Schneide n sieh in einem Eckpunkt P des zulässigen Bereiches B mehr als 2 Res triktionsgeraden (im IR.2) bzw. mehr als 3 Restriktionsebenen ( im IR.3) bzw. mehr als n Restriktionshyperebenen (im IR. ß), so spricht man von Degene ration oder Enta rtung des LO-P roblems (bzw. der entsprechenden

IX2}

I

Basislösung). Man erkennt d iesen Fall im Simplextableau daran, dass der Wert einer Ba~isvariablen Null ist, d.h. die Null auf der rechten Seite erscheint. Dies tritt immer dann ein, wenn es zuvor im Simplextableau mehrere gleichwertige Engpä...se gibt, d.h . meh rere Zeilen als Pivotzeilen gewählt werden können (wie etwa im Punkt P äernebenstehendm Ahb.IO.4.11).

o Abb. f0.4. ff

10

530

Lineare Optimierun g

Beispiel 10.4. 12: Z = 3x I + 4X2

Gegeben sei das LD-Problem

-e-

Max.

xI + xa s 4 xl + 2x2 :;; 6 2xI + x2 $ 6

mit

sowie

Die beiden ersten Tableaus lauten: I)

'I

YI Y, Y3

1 1 2

-3

Z

"1

Y2

Y3

[}] 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

:0 6 :0 6

-4

0

0

0

1 0

YI

y,

Y3

1

0,5 0 ,5

xI

I)

YI

:Z b :0 4

YI

"0

"YJ

10,5 1 0,5 1 [D] 0

0 0

-0,5

0 0 1

Z

-I

0

2

0

0

:Z b

:0 :0 :0

1

3 3-

(q= 2)

: 1 12

Z kann noch verbessert werde n, indem x I zur BV wird. E s ergeben sich zwei äquivalent e Kandidaten für die neue Pivotzeile: Das Problem ist degeneriert. U m eine bei Dc gencrati onsfällen mögliche n Enb'P
:Z

YI

Y,

YJ

1

2 -1

0

-3

-1 1 1

0 0 1

:0 :0

2

1

0

: 1 14

iii)

'I

XI x, Y3

1

0 0

z

0

0

"

0

:0

b 2 2

0

Die resultierende Basislösun g ist op timal. Charakteristisch fü r d ie Degeneration dies er Basislösun g ist die Tatsache. da ss die na,iw arillhle Y3 Null ist.

Bemerkung 10.4.13: Degenerierte Probleme bereiten rechentechnisch kaum Probleme. Ök01wmisch bedeutet einedegenerierte optimale Basislösung das gleichzeitigeErfidus ein von mehr als n Restriktionen, d.h. eine besondersgute Abstimmung der Kapeziunen. Zusammenfassend gilt: ( 1O.4. 1 ~)

E in LQ- Problem ist degenenert (oder alL'gearteC), wenn im Verlauf eines Simplexseh nttcs mehrere äquivalent e Pivotzeilen gewählt werde n könn en. D ies fü hrt daz u, dass eine Baslsvartable den Wert Null erhält.

10.4

Sonderfälle bei LO- Problemen

531

10.4.4 l\feh rdeutige optimale Lösungen E in zweidimensionales LO-Problem bes itzt - ....ie bere its aus A bb. 10.1.21 deutlich wurde - unendlich viele op timale Lösungen. wenn die Zlclfunktlonsgcradc n parallel zu einer Restriktionsgeraden liegen. Die Au swirkungen der Mehrdeutigkeit auf das optimaleSimplextablcau werden an folgendem Beispiel deu tlich: (10.4.15)

3

x l, x2

~

,

\

\\;

, \

(2,25; 1,51

B'\ . \'

I ~ ~...~- \ "' + .\ (3..01

x I + 2x2 S 6 2xI + x2 :S 6

sowie

,

\

Z '" 6x \ + 3x2 - Max.

mit

I,

(x21 \

\

o'

0

,

\

\

Zmax

Abb. 10.4. 16

Die beiden erste n Simplextablea us lauten: (10.4.17)

'I

'2

YI

Y2

;z

b

YI Y2

1

W

2 1

1 0

0 1

0 0

6 6

Z

-6

-3

0

0

1

0

Y, 'I

0 1

1,5 0,5

1 0

-o.s

Z

0

0

0

3

, ,, 1

3 3

0,5

0 0

A us dem zweiten Simplextableau ergibt sicheine o pt imale Lösung Xl mit

XI" [~] {J

18

{entspricht der Ecke (3; 0) in A bb. 1O.4.16).

Da der Zielfunklionskoeflizienl der NBV x2 :"l"u1 1 ist, kann man noch einen weitere n Basistausch vornehmen (Pivotspalte ( 1)), ohne dass sich der maximale Zielfunktionswert Zm~x ( = 18) ändert. Mit dem Pivo telement 1.5 ergibt sich das nächste Simplextableau(10.4,18)

'1

'2

'2 XI

0

1

1

0

Z

0

0

YI

Y2

2/3 - 1/3 - 1/3 2/3 0

3

,, Z 0 0

,, 1

b

2 2

(entspricht der Ecke (2; 2) in A bb. 1O.4.16).

18

x2

Die resultierende Basislösu ng isl ebenfa lls op timal (und en tspricht der Ec ke (2; 2) in Ab b. 10.4.16). Man erkennt. dass - o hne Änderung des opnrnalen Z ielfunktionswertes - erneut ein Basistausch (mit Yl als BV) d urchgeführt werden könnte. der das schon bekannte T ableau (10.4.17) liefer t usw.

x\3f

x

Mit den beide n op timalen Ecken 2 ist auc h jede r Punkt de r Verbindung...strecke de r beiden Eeken ep ümal. siehe Abb. 10.4.16. Nach BeispieI9.1.37/Bcmerkung 9.1.35 lassen sich säm tliche Punkte x dieser Verbindungsgeraden als konvexe Linearkombinalionen der beide n optimalen Basislösungen xl ,x2 darstellen: (10.4.19)

(OS ). S I) .

10

532

Lineare Optimierung

Beisp iel: Wählt man etwa Ä = 1/4, so erhält ma n mit (10.4.1 9) die weitere optimale Lösung:

,

=

+"

+ :', = :

l~]

+ :

m[:,ä =

slehe A bb 10416

Für jede Wahl von;' E [0 ; I ] ergibt sich mit (10.4.19) eine andere opt imale Lö sung, allen optimalen

Lösungen gemeinsam ist der einheitliche optimale Ziclfunktionswert Zmu ::: 18 .

Bei höhcrdimcnsionalcn Problemen kann es vorkommen, dass mehr als zwet Basislösungen optimal sind (erkennbar daran, dass die Ziclfunktionskocffizienten von zwei oder mehr NBV Null sind). Auch dann sind alle konvexen Linearkombinalion en x de r optimalen Bas istösungen X\" ",xk zuläss ig und optima l: Salz 10.4.20: E s seien

xl. X2• ..., Xk optimale zulä~sige Ba"is lösullgen eines LO -Problems. Dann

sind auch alle kon\'exen Linearkombinationen (10 .4.21)

ebe nfalls z ulässige optimale Lösungen de s LO -P robit-'m s {ia, aberkeine Basisl ösungcn}. De r Beweis lässt sich mit H ilfe der M at rizenrech nung füh ren, wenn man das Lö-Problcm in kompak ter Fonn (siehe Bemerkung 10.2.1 1) sch reibt: Z:= c T ·x - Max. unte r Berücksichtigung der Ncbenbed ingungcn Ai := b sowie x 2:il: Laut Vo raussetzung von Satz 10.4.20 sind die XI,.."xk op timale zulässige Basislösu ngen, d.h. es muss gelten : (10.4 .22)

cT ·x] :=cT 'xz'" ... '" cT 'Xk '" Z opt

(10.4.23)

Ai] '" Aiz

sowie

'" ... '" AXk '" b .

Da nn gilt für jede konvexe Linearkombinalion x mit x ,,,,A ix I +AZxZ+...+Akxk I)

ii )

Z{x)

A(Atx t + ..·+AkXk) '" At · AX]+ ... +Ak · AXk

(wegen (10.4.23)

;'jb+ ..· +h b '" ()'1+).Z+ " ' +).k) ·b '" b,

d.h.

cT. x

.,

i ist zul ä~s ig . (wegen (10.4.22)

'" c T(,l ix l + ..· +AkXk)

(,l t +).Z+··· +A.k) , Zopt '" ZOPI'

.,

(0 $ Aj s 1; L Ai '" 1):

i ist optimal .

d.h.

Ge nau das sollt e gezeigt werden. Z usammenfassend gilt: (10.4.24)

E in l O- Problem ist mehrdeutig lösbar, wenn der Zielfunktionskoeffizi ent mindes tens einer Nlch tba~is\'aliablen im optimalen Tablea u den Wert Null aufweist. D urch ents prechende Simplexsc hritte könn en d ie weiteren op timale n Basislösungen erzeugt werden. deren optimale Zi elfunktions wert e übereinstimm en .

x

I

I

Sind 1.XZ•...,Xk die so gcvr'onnencn opt imalen Basislösungcn , so sind auch alle konvexen Lin earkombination en

x"'A 1Xl +A.ZXZ+ ·.. +,lkxk

opt imale zulä~sige Lösungen .

(mit O$A.j :S l ;L Ai "' l )

xheißt allgemeine optimal e Lö sung des LO -Problems.

10.4

Sonderfälle bei LO- Problemen

533

10.4.5 Fehlen von Ntchtnegatlvltätsbedlngungen E ine wesentli che vcraussetzung bei der A nwendung des Simplen erlah re ns besteht darin, dass mit H ilfe der Zulassigkeitsbedingung [Engpasskritcrium, Satz 10.2 .23) stets zuJä\.'l:ige Lösungen erzeugt werden, Lösungen also, die in allen Variablenwerten den I"lchln egativltälsbediflgungen genügen. Nu n kann es vorkommen , das s gewisse Problemvariable xi stets nichfposinv (Xi s 0) sein müssen ; beliebige reelle w erte annehmen dürfen (Xi ist vorzeichen-unbesch ränk t: Xi

I) ii)

Bcide Falle lassen sich durch Einführung von ne uen Variablen, die den

~

0) .

Nichtnegath'itäl~bedi ngungen

genügen, äq uh'a!enl umformen: I)

Xi (m it Xi S; 0) wird ersetzt durch:

ii )

Xi (mit Xi ~ 0) wird ersetzt durch: Xj' - x," (gilt dann Xi' ~ xt . so ist Xi ~ 0).

(mit xi*

-xt

~ O);

(mit xi'.xi"

~ O)

Beispiel 10.4.25: Gegebe n sei das LO-P roblem Z = 5xl + 2x2 + 4x)

(10.4 .26)

-e

,

Max

Xl - 2x2 + 3x) s 5 4 2xI + ' 2 x2 + 2x) = 8

mit

x, -

sowie

"

x I s; 0;x2 <:: 0 ;X) ~ 0 .

Das Problem (10.4.26) lässt sich in ein äquivalentes L ö-Problem umformen, desse n sämt liche Variablen den Nichtnegativitätsbcdingungcn genügen. Daz u setzt man :

n

Xl =: - XI*

ii)

x)

= :X) ' - x)"

(mitx ]* <:: 0) ; (mit X) ' , x)" ;>:0).

Dies - eingesetzt in (10.4.26) -liefert: Z = - 5xl * + 2x2 + 4x) ' - 4x) /1 -

(10.4.27) mit

Max.

- x I* - 2x2 + 3x) '-3x) /1 s 5 -2x I* + x2 - " ) ' + x) /1 ;>: 4 -x{*- " 2 + 2,,) ' - 2,,) /1 8

sowie

xj ,x2''' ) ''x) ''

z O.

Das LO-Problem (10.4 .27) kann nun wie iiblich mit dem Simplcxvcrfahrcn gelöst werden. Zu samme nfassend gilt: ( 10.4.28)

Jedes LO -P roblem mit Variablen Xi ' für die keine Nichtn egathitäbbedingungen (NN B) gefo rdert werden, lässt sich in ein äquivalentes LO-Problem transformieren, dessen sämtliche Variablen den NNB genügen: Falls Xi S; 0, so set zt man:

"i = -X i*

(mit Xi *

Falls Xi ~ O. so setzt man :

Xi = xi' - xi"

(mit

a 0);

xi'. xi"

?: 0).

534

10

Lineare Optimierung

Die nunmeh r ,"ollständig darge stellte SimplCml elhode für beliebige Lrj-Probtcmc unter Bcrücksichtigu ng allerSondenalle wird in Furm eines Ablaufdiagram m.~ (Abb. 10.4.29) zusammengefasst:

10.4.6 Ablaufdiagramm Simplexverfahren

lallgemelnY fall1

5TA ~r

m .M e (inftihfIJnf/

VGIfl

SChfupfvonabfen

ENDE:

Erzeugung von NNB tor arie Von'oblen Ausgangsfcbl eau

/

(10.4 .61 } ._

..

keine zl/Ni s sig e UJsUf1g

~. r

1

zu/ass.

Salz

10.2.20, --:::---;-_ , zukiss.

nein

BasrSlosung ablesbar?

nein

BasiskJsunger->--"""-' zeugbar?

-r-__--' ia __J

laf-

__ -

10

Z optimal?

BosiskJsung mehrdeutig?

1( 10 4.241

io

nein

gibfes eIn positives Plvofelemen!?

nein

olle optrmalen Basis/(jsungen erzeugen und ollgemeine optrmale

ENDE: es gibl k.elne rmdlir;he optimale

UJsung bilden

1

l(jsuflg

L---,----'

- -{ So~ 10 113

J-.

(10.4.24}

(104. f OI

EfllJE:

ophmale UJsung(enlge funden

Pivolschrift durchfahren neue BO$iskJsung ablesen

Abb. 10 4.29

Aufgabe 10.4.30: Man ermittle die optimale Lösung fo lgender LO-P robleme mit Hilfe des Simplexverfahre ns (bei mehrdeu tigen o ptimale n Lösungen gebe man sämtliche optimalen Bastslösungen. die allgemeine optim ale Lösu ng sowie zwei spez ielle Nichtbas tslösungen an ): I)

mit sowie iii)

z=

-

Max '1 + ' 2 + '3 3x\ + 6x2 + 2x3 s 6 4xI + 3xz + 3x) 2 12

Z = 5xI + 4x2 - 32x3 - 24x-I - Max XI + 3x2 - 7x) - 5x.. :::; 5 - xI + x2 + 6x) + 5x-I :::; 3 sowie XI, xz. x). X-I 2 O. mit

xI ' xZ'x) 2 O.

Z=6x\ + 12x2 + 4X3 - Max 3x\ + 6x2 + 2x3 s 6 s 2 -xi + 2' 2 sowie xI,x2,x3 2 O. mit

ii)

1, )

Z mit

sowie

+ '2 - e Max -2xI - ' 2 s 16 XI - 3xZ s 27 - xI -2X2 2 8 '1 - ' 2 2 1 X\ ~ O;x2 s O.

= - 2x )

10.5

535

D ie ö konomische Interpretation des o ptimalen Simplextablea us

10.5 Die ökonomische Interpretation d es optimalen Simpl extableau s Nebe n der op tima len Basislösu ng weist das opt imale Simp lextab lea u weitere Koeffizienten auf, dere n ökonomisc he Interpretatio n einen vertiefte n E inblick in die Problemsit uation ermöglicht und die es gestaltet, Kon seq uenzen aufzuzeige n, d ie sich durch Abweichen von der opt imalen Lö sung ergeben.

Am Beispiel je ein es Standard-M aximum-Prob lcms {Produktionsplanungsproblern) und eines Sta ndardMinimum-Problems [Diätproblem) sollen die ökonomischen Interpretationsmöglichkeiten des optimalen 5 Simplexta blea us demonstri ert werden.

10.5.1 Produktionsplanungsprobl em 10.5.1.1 Problemformulierun g. Einführung von Einheiten E ine Unternehmung produziere drei Prod uktt ypen 1, II, III . Die en tsprechenden E ntscheidungsvariablen xi bez eichne n die Produktmcngcn:

xI,x2,xr prod uz ierte Menge von I (in M E !) 6; II (in M E 2); 1II (in M E J ) . Z ur Produktio n wird ein Rohstoff ve rwendet, jedes Prod ukt muss 2 Fertigungsstellen durchlaufen. Prod ukt ions koeffizient en, verfügbare Kapaz itäten und Deckungsbeiträge gehen aus (10.5.1) hervor:

Produkttyp II

(10.5.1)

I Fert igungsstelle 1 Fert igungsstelle 2 R ohstoff

5 h l / ME !

Deckungsbeit räge

8 € / ME I

1 h2/ ME ! 1 kglM E 1

25 h!/ME 2

max imal verfügbare

Kapazitäten

III

4 h2/ME 2

5 kglME 2

8 h l / M EJ I h2/ M EJ 2 kgl M E J

35 € /M E 2

13 € /ME J

215 h l 30 h2 50 kg

Gesucht ist das Prod uktionsprogramm mit maximalem Deckungsbeitrag. Nach E infügen von Schlupfvaria blen lautet das mathemansche Modell:

(10.5.2)

-e-

Max.

= 215 5xI + 25x2 + 8xJ + y! = 30 x l + 4x2 + xJ + Y2 XI + 5x2 + 2xJ + YJ = 50

Daraus erhält man das AIL~gangstahleau (10 .5.3) für das Simplexverfahren . In ec kigen Klamm em hinzugefügt wurden die jeweiligen Einheilen von Var i.ablen und Koeffizien ten :

SEine völlig analoge Interpretatio nsmöglichkeit ergibt sieh filr die Koeffizienten eines jeden im Verlauf des Simplcxvcrfahrcns auftretenden Simplextableaus . 6 Die Mengeneinheiten (fl..tE) werden entsprechend dem Produkttyp indiziert, damit aus der Angabe einer Einheit sofort ersichtlich ist, um welches Produkt es sich handelt. Analogsind die übrigen Einheiten-Indizes 7lI verstehen [z.B. 8 h t = 8 Stunden in der Fertigungsstelle l usw.).

10 Lineare Optimierung

536

(10.5.3)

xI

xl 1ME21

[ ~lE il

Y2 [h21

5 Ih lfl.1EII 1 I h2/ME JI

Y3 [kg]

I

1kg.&1Ell

Z [€]

-8

[€ lI\itEIi

YI [bl 1

B emerkung 10.5.4:

i)

x3 [ME3 l

1€ fl\.1E2]

Y21 h2 1

Y3 [kg]

Z [€ ]

b

8 (hllMB )]

I

2 [kgfME3 1

0 0

0 1 0

0 0 1

0 0 0

215 (bil

1 [hZ1ME31 - 13 1€ 1ME31

0

0

0

1

o I€ l

25 (h JiME21 4 Ih2"t. lE21 5 IkgIME21

-35

YI [1111

50 [kg]

Mit ihren korrek ten Einheiten laulei z.B. die erste Z eile von 10.5.3:

h,

hJ

h,

5x1 [ 'fE ' ME,) + 25x.2 [jJE ' MEd + 8xdhfE ' MEJ + J 'yJfh,J "

30 [h21

2

1

3

=

215fhlJ ·

Durch Kurzen gleichlautender Mengeneinheiren erkennt m an, dass alle Summanden sow ie d ie rechte Seue di eselbe Einheit besitzen.

ii) Es ist bei allen ökonomisch interpretierbaren m athematischen Beziehungen stets d arauf zu achten, dass nur so lche dim ensionsgleichen Größ en sum miert werden, deren Einheiten übereinstimmen. (Eine Sum me wie etwa x = lO[€) + 8 [k m] ist nicht definiert und offenbar auch unsinnig.] Man uberzeugt sich ana log zu i) davon, dass in (10.5.3) alle Gleichungen dieser Forderung grnügen.

Bereits im Ausgangstahlcau (10.5.3) erkennt man eine wichtige (und für jedes Simpiextableau gültige) Eigemchafl der Koefflzlentenelnhejten: Satz 10.5.5: In einem Simplextableau ergibt sich die Einheit irgcndeines beliebigen E lements aik wie folgt: (10.5.6)

Einheit von aik

Einhcil \"on xi Einheit von xk

wobei Xi diejenige Basisvariable bedeutet, deren Einheitsvektor die Eins in der Zeile von aik besitzt und xk diejenige Variable bedeutet, die zurSpalte von aik gehört. Bezeichnet man die Einheiten von xi mit [MEil und von xk mit [MEkl, so sichert (10.5.6) im Simplextableau folgenden Einheiten- Zusammenhang(10.5.7) :

o (10.5.7)

Xi [M1;.]

o 1

o o

Dass die Eigenschaft (10.5.6) auch bei einem Pivotschritt unverändert bleibt, kann man leicht durch explizites Nachrechnen feststellen. Mit Hilfe von (10.5.6)/(10.5.7) kannjeder Koeffizient in jedem Simplextablcau sofort mit seiner korrekten Einheit versehen werden und so unmittelbar einer ökonomischen Interpretatlou zuganglich gemacht werden.

10.5

Die ökonomische Interpretation des optimalen Simplextableaus

537

10.5.1.2 Op timalt ableau und optimale Basislösung Nach einigen Simplex-Schrille n erhält man aus (1O.5.3) Jas optimale SimpleXlahleau (1O.5.S):

(10 .5.8)

xIII'>1EJI

Yl [bll xI [r-iE ll x3 [ME3J

0 1 0

Z I€ J

0

x3 [ME31

yJl hl1

2 IhllME2J 3 IMEllME21 1 (1\.1E31ME2J

0 0 1

1 0 0

2 [€1ME21

0

0

x2 11'>1E2l

Y2 [h2l

Y3 IkgJ

Z I€ J

- 2 [bl!h2J - 3 [bllkgJ 2 [~lE l !h2l - I [l'>1Ellkgl - 1 [ME31h2J I [ ~lE 3Ikgl 3 [€1h2J

5 l€lk gj

b

0 0 0

5 [bI! 10 IME JI 20 11'>1E31

1

340 I€ l

Z unächst ist anhand der rechten Seite von (10.5.8) die optimale Bao;islösung erkennbar : x

(1 0.5.9)

Xopl '"

x x

" " y,

Z

10 [l'>1Ed

o [ME21

10 [ME)] j [hl! o [h21 o (kgJ 340 (€ ]

Durch Vcrwendung der Ei nheiten ist die ökonomische De utung unmittelbar erkennbar: Von Produkt I müssen 10 ME I' von Produkt II darf nichts, von Produkt 1II müssen 20 ME3 produziert werden, um einen maximalen Deckungsbeitrag in H öhe von 340 € zu erwirtschaften. Dabei sind von Fertigungsstelle 1 noch 5 h l ungenutzt, wahrend Fertigungsstelle 2 voll ausgelastet ist (Y1 '" 0) und der gesamte Rohstoff verbraucht worden ist (Y3 '" 0).

10.5.1.3 Deutung der Zielfunkt ionskoeffizient en Um die Koeffizienlen der Zieifullktionszeile zu interpretieren, schreibt man die letzte Zeile von (1O.5.8) als Gleichung: 2x1+3Y1 +5Y3 +Z '" 340 . bnv.

(1 0.5.1 0)

Z "' 340 - 2x2 - 3Y2 - 5Y3

I·

In der optimalen Basislösung (1O.5.9)gilt: Xz = Yl '" Y3 '" 0 (NBV!), aus (1O.5.1O) folgt:

Z = 340 €.

Erhöht man nun -c. p> in (1O.5.l 0) irgendeine der /liBV um eine Einheit (von Nullauf Eins), so "ermindert sich der Dcckungsbeitrag Z gcnau in Höhe des entsprechenden Zielfu nküoh.~koeffizi enlen . Beispiel 10.5. 11: I) Erhöht man Xl von Null auf Eins {d.h. produziert man eine Ei nheit von Produkt 11), so folgt aus (IO.5.IO): € Z = 340-2x2 '" 340 [ € J - 2 · t ["ME ' ME2] = 338 [ € ] .

z

Der Deckungsbettrag Z hat sich also genau um 2 [€/ME z] (~ Z iclfunktionskoeffizient von xz in (I O.5.IO) vermindert.

-c-p- Yl von Null auf Eins (d.h. lässt man eine Stunde der bisher voll genutzten Kapazität " leer", produziert also in Fertigungsstelle 2 eine Stunde weniger), so sinkt Z um 3 ( € /h1]' wie aus (10.5.10) unmittelbar ablesbar ist. Entsprechendes gilt für den Rohstoff: Setzt man 1 kg weniger ein (Y3 '" 1) , so sinkt dcr Deckungsbeltrag um 5 [€ /kg]. ii) Erhöht man

10

538

Lineare Optimierung

Darausfolgt ganz allgemein: (10.5. 12)

Die ZieJ(un ktiOll~ koe ffizienten (der Nidubasisva nablen (NB V) xi , YfJ im op timalen Simplcxtablea u geben an, um w ieviele Ein heilen sich de r Zielfunkti Oß~wert verm inde rt , wenn i) eine Ein heit eines bisher nicht produzierten Erzeugnisses produziert wird (xi "" NBT/) ; ii ) eine bisher volta usgelastete Kapazität (Ferti gung, R ohst offe, etc.) um eine Einheit weniger ausgetastet wird (Yk '" NB V) .

Bem erkung / 0.5.13:

i) Aus diesem Gnmd heißen die Zielfunktim ukoeff izienten im optimalen Tabl eau auch Schauenpreise oder Oppormnität5!wsten der Produkte bzw. der Engpasskopazüäten. Ökonomisch betrachtet handelt essich um Grenzgewinne bzw. Gremkonen. ii)

00.5.10)/(10.5.12) lasst sich analog ablesen, dass bei Er/wh/mg der Kapazitiite/l von Engpassjertiglmgsstellen um eine Einheit (dA Y2 = - ) ; Y3 = - 1) die Werte Z derZieljunktWlIin Höhe der Oppommit ötskosten zunehmen.

A I~~

iii) Am optimalen Tableau (10.5.8) erkennt man, dass der nicht ausgelasteten Fenigungssteüe } ein Schauenpreis von Null zugeordnet ist: Eine zusanticne Kapasuötsem öhung um eine Stunde würde keinen zusätzlichen Deckungsbeitrag erwirtschaften, da ohnehin schon einenicht genutue Kapazit ät von 5 h t vorhandenist. M Bei sehr hohen Opportlmitiitskosten [ur eine Engpassfertigungsstdte sollte eine UnternehmungKustenvergleiche unstetten und erwägen, die entsprechende KapazillJl zu erweuem . Dabeimussen allerdings die beschrankten Kapaziuuen derübrigen Fertigungsstellen milberucks ichligt werden, um nicht unzulässigeLösungen zu erhalten.

10 .5 .1.4

D eut un g der inneren Kcerrlal enten

D ie Deutung der inn er en Koeffizient en 3ik des optimalen Simplextableaus e rschließt sich besond ers einfach , wen n man aus (10.5.8) zu nächst die allgemeine Lösung des Restriktionsgleichungssystems angiht (siehe 9 .2.6 1»: 1O- 3xZ- 2Yz + Y3

Xz ( ~O) 20 - xz + Yz - Y3

(10.5.1 4)

5 -2xz +2yz +3Y3 yz ( ~ O) Y3 ( ~O)

( In dieser allgemeinen Lö sung dü rfen die NBV xl, Y2 ' Y3 ( ;:: 0) beliebig vo rgewählt werden und determinieren dan n die übrigen Variablenwerte. Die entsprechende zulässige optimaleBaslslösung ergibt sich für die speziel le Wah l x2 = Y2 = YJ = 0 .) Die Bedeutung der in (10.5. 14) vorkomme nden (inneren) Koeffizienten aik ergibt sich, indem man (wie scho n be i der Deutung der Z iclfunktions kocffizicntcn) den Wert einer der Nicht ba\iwariahlen in der optima len Bastslösun g von Null auf Eins anhe bt (suboptimale Nichtbasistösungen}:

-c.o-

i)

Koeffizient en in der xrSpalte \on (10 .5.8): Erhöht man die NBV x2 von Null auf Eins {d.h. produziert man eine E inheit des Produktes II ), so folgt aus (10.5.14) (d a weiterhin gilt: Y2 = Y3 = 0 ) :

10.5

Die ö konomische Interpretation des op timale n Simplextableaus

(10.5.15)

1

10 - 3 I zo - I , - 2

x

x x y,

I

19 0

Y,

"

0

539

[MEd [ME21 [ME]]

)

[hI!

0 0

[kg)

[h 21

Man erkennt. dass sieh die Werte der Bastsvana blen urndie cn tsprechcndc n Koeffizienten a ik der xZSpalte vermindert haben :

x, sinkt von 10 um 3 auf

7 MB, ;

x3 sin kt von 20 um 1 auf 19 ME 3 ; y, sinktvon 5 um 2 auf 3 hl '

Die Koeffizient en 3. 1. 2 der xz-Spa lte des optimalen T ableaus (10.5.8) geben also an, wieviele Prod ukteinheiten bzw. Leerkapazitätseinheiten durch die erstmalige Prod ukt io n von einer ME Z des Produktcs II verdrängt (oder substituiert ) werden. Aus diesem G runde nennt man die aik häufig aueh Verdräng ung...koerüztenten. Anpass ung...koemzjemen oder Subsumuenskoetnzremen. Die im optimalen Tab leau (lO.5.8) zusätzlich aufgeführten Ei nheilen unterstützen die ökonomische Interpretation. (So bedeutet etwa die A ngabe: 2 [bt 1ME Z]' dass in Fertigungsstclle 1 pro neu aufgenommener Ein heit von Prod ukt 11 2 St unden wenigerLeerkapazität anfallen.)

Bemerkung 10.5.16: Setzt man die durch x2 = 1 definierte suboptimale Nichtbasislösung (J 0.5.15): x1== 7; x2 = 1; x] '" 19 in die urspriingliche Zielfunktion bzw. die ursprünglichen Restriktionen (10.5.2) ein, so erhält man (auf etwas umständlichem Wege) dieselben Ergebnisse, wie sie direkt aus dem optimalen Tebteau (10.5.8) abtesbar sind: -

ZielfimkJion:

Z == ful + 35x2 + 13x] '" 56 + 35 + 247 = 338 €, d.h. es ergibt sichgegenüber dem optimalen Deckungsbeitrag 340€ eine Vennindenmg I'On 2€ (siehe Zielfunktionskoeffizient der xrSpalte des optimalen Tableaus (10.5.8)). -

Kap arirätsauslastung Fertigungsstelle J:

5:>:1 + 25x2 + &3 = 35 + 25 + 152 '" 212h l , d.h. die Leerzeit YI beträgt 3h l, sie hai sich von 5 h 1 um 2 11 ]IME2 verminden (siehe 1. Koeffizient der 2. Spulte von (10.5.8)). - Kapazitätsuuslastllng Fertigungsstelle 2: x I + 4x2 +X] == 7 + 4 + 19 '" 32 h 2 , ä.h. Vollauslaslllng (Y2 = 0, siehe (I OS.8) bzw. (10.5.15)). - Rohswffierbruuch: x , + 5x2 + 2x] == 7 + 5 + 38 '" 50kg, d.h. vollständiger Rohstoff verbrauch bzw. (10.5.15)) .

0-']

= 0, siehe (10.5.8)

Man erkennt, dass deranige Komrollrechllll/igen CfIlbehrlich sind, da das optimale Simplextableau bereits sämtliche Informationen enthatr: Die übrigen inner en Koeffizienten aik des optimalen Simplextableaus (10.5.8) lassen sich mit Hi lfe von

(10.5.14) auf analoge weise deuten:

10

540

Linea re Optimieru ng

ii ) Koeffizient en in der n - Spalle \'on (10.5.8): Erhö ht man -c .p.- Y2 vo n N ull au f E ins, d.h. produziert man in Perngungsstelle 2 1 h2 wen iger als im Opt imum (nunmehr 29 h 2 statt 30 h2). so folgt aus (10.5. 14):

(10.5.17)

" "'5 5, .v7

y,

10-2 0 20 + 1 5+ 2

8 0 21 7

1

1

0

0

[f\.1E d

[tv1E 2 J

[ME)l [lid [11 21

(kgJ

Die Prod uktion von I vermindert sich um 2 ME l auf8 ME J• die Produktion von III erhöht sich tun 1 ME) auf 21 ME)_die nicht ausgenutzte Kapazität in Fertigungsstelle 1 erhöht sich um2 hI auf 7 hl' A uch hier liefern die Koeffizienten der Y2-Spa ltc vo n (10.5.8) die resultierenden Ä nderungen d irekt:

Der Deckungsbeitrag vermindert sich dabei einerseits tun 2 ME j • 8 oE/MEI '" 16 € (Produkt I) und

er höht sich andererseits um 1 M E ) ' 13 € / ME) = 13 oE: (Prod ukt I1I), also tritt insgesamt eine Verminderun g des Deckungsbeitrages um 3 € ein: Dasselbe E rgebnis wird du rch den Z ielfunktionsko effiziente n 3 € / hZin der n-Spal te des optimalen T ablea us ( 10.5 .8) unmittel bar signalisiert. iii) Koeffizien ten in der YJ - Spe lte \ '0 11 ( 10.5 .8):

E rhöht man -c-p- y] von Null a uf E ins, d.h. setzt man I kg Ro hstoff weniger ein als im Op timum (49 kg sta tt 50 kg), so folgt aus ( 10.5 .14) :

(10.5.17)

x

to + I

'2

0 2U - I 5+ J 0 I

xa .v Y2

,

y,

11 0 19 8 0

,

[MEt!

[ME21 [~IE ] ]

[htl [h21 [kg]

Die Prod uktion von I erhö ht sich um I ME l auf 11 ME l ; die Prod uktio n vo n III vermindert sich um 1M E ] a uf 19 ME] ; d ie Leerzeit in Fertigungsstelle 1 erhö ht sich um 3 hI auf 8 h 1- dte cotsprechenden inneren Koeffizienten signalisieren unmitt elba r d iese resultie rende n Ä nderungen .

10.5.1.5

Z usammenfa ssung

Im optimale n Simplextableau eines Standard-Maximum-Problems (z.B. Produkuonsptunungsprobtem} habe n d ie Koe ffizient en folgende ökonomisehc Bedeutung: i) Koeffizienten der rechten Seile: optimales Prod uktion sprogram m ;

ii) Koeffizienten der Zielfunk tionszeile: Opportu nität sko sten bzw. Schall enp reise oder G renzgewinne nicht prod uzierter Prod ukt e od er E ngpassfert igungsstellen. D ie posi tiven Ziel funk tionskoeffizien ten geben an, um wieviele E inheiten der op timale Zielfunktionswert sinkt (steigt) , wenn die be treffe nde N ichtbasisvar iab le von N ull auf Ei ns angehoben (mn Null aufminus Eins ahgesenkt) wird. iii) Übrige Koetn zienren aik im Inneren des Tableauc Vcrdrängun gskocfftzicnre n, A npassun gskocf-

fizicntcn , Grenzrate n der Subs titution. Sie geben an, um wieviele E inheiten die zu aik gehöre nde Basisvariable ab nimmt (falls ajk > 0) ode r zunimmt (falls aik c 0), wenn die zu aik gehö rende Nicht basis variable von N ull a uf Eins angehobe n wird . (Umgekehrte Vcrändcrungsrichtung, falls die NBV von N ull auf minus E ins abgese nkt wird, z.B. zur Simulat ion von Kapa zirätscrhöhungcn.)

10.5

541

Die öko nomische Interpretation des o ptimalen Simplextablea us

10.5.2 Diätproblem Auf analoge Weise wie z uvor lässt sich das Optimattableaueines M inimumprob lems (mit z-Restrtktio nen) ö konomisch interpretieren.

Beispiel:

A us zwei Nahrungsmittelsort en I, II soll ein Men ü gemischt we rden, das unter E inhaltung von Mindestmengen an Vitaminen möglichst geringe Kosten verursacht . Tabel le 10 .5 .19 dokume ntiert d ie Situation: vor handen in

Tab. 10.5.19 Vitami n A Vitamin B V itam in C

Sorte II

1 [M E A! MEd 2 (M Es J ME}l 2 (M E cJ ME d

2 [ME A! ME Z]

40 [MEAJ

1 [MESJ MEz ] 4 (ME c! ME z ]

10 [€ / MEIi

Kosten

in Mischung mindes tens erforde rlich

Sorte I

100 (ME s l 130 (ME cJ

8 [€ / ME, ]

Gesucht ist d ie kosten minimale M ischun g. Beze ichnet ma n mit xI ,x2 die notwendigen Mengen de r be ide n Sorten und mit YI'Y2'Y3 die übe r die Mindestmengen hinau sgehenden Mengen de r Vitamine A,B,C, so lautet das mathematisch e Modell:

(10.5 .20)

z '"

IOx l XI 2x I 2x I

+ 8x2 - M in.

bzw. nac h E infügen von Schlu pfvariablen.

+ 2x2 2: 40 + Xz 2: 100 + 4xZ 2: 130

Z '" IOx l + 8xz Z ' ", - Z '" - lOxI - 8x2

d.h .

-e-e

XI + 2X2 - Y1 2x I + Xz 2x I + 4x2

- yz

Min.

Max.

'" 40 '" 100 - Y3 '" 130

mit U nter Verwendung von H ilfsschlupfvariablen erh ält IlL.Ul in drei Simp lcxsehrittcn da s optimale T ablea u (10.5.2 1), das gemäß (10.5.6) mit de n entspreche nde n ök onom isch en E inheiten ve rsehe n wurde: (10.5.21)

XI [ME Jl Xz [MEzJ YI [ME AJ

XI [M E Jl

1

0

0

YI [M EA J

0

0

1

Xz [MEZl

0

1

0

Z' [€ ]

o

o

_ _ _ _ __ __

I)

_

o

-'---_ _ 1

y, [ME. ]

YJ [MEcI

_2 [ :ME1 ]

Z' [€ J

b

...!.. [~1E l 1 6 MEc

0

45 [ME Ii

0

_ ...!.. ( MEA J z MEc

0

25 [MEAJ

...!.. [ ME 2 J 3 ME,

_ ...!.. [ ME' J J MEc

0

10 [M E Z]

J

4

ME,

[~J

l

'

[*1

_ _1- 530 [€ J

Recht e Seite: D ie koslenminimale Mischung bes teht aus 45 ME I (> x J) dcr Sorte I und 10 MEZ ('" xZ) der Sorte II . In der Mischung sind 25 ME A ('" YI) zuviel Vitamin A entha lten, die Mindcstmengen von Vit amin B u nd C sind gcnau cingchalte n (yz '" Y3 '" 0) . D ic dafür erforderlichen minima len Kosten Z ergeben sich zu Z '" - Z ' = 530 € .

542

10

ii) ZieJrunktionskoeffizienlen:

Linea re Optimierung

Wegen Z ' = - Z lautet die letzte Zeile ausführlich 4YZ+ Y3 -Z = - 530

d.h.

Z = 530 + 4Y2 + Y3

(10.5.22)

Jede Erhöhung einer der beiden NBV Yl,Y3 von Null auf Eins (d.h. die Erzeugung eines VitaminÜ berschusses von 1 ME B oder I MEc) vergrößert die Kosten in H öhe des entspreche nden Koeffi-

zienten 4 € /ME B bzw. 1€ /MEC' Umgekehrtsenkt eine Reduzierung der Vitaminmindesunengcn um je eine E inheit (d. h. Y2 '" - 1 oder Y3 = - 1) die Gesamtkosten um einen entsprechenden Betrag. Die Zielfunktionskoeffizi enlen haben daher die ökonomisc he Bedeut ung von Grenzkosten. iü ) Übrige innere Koeffizienten in der YT. yj-Spalte (NBV) : A uch hier erkennt man d urch ausführliche

Schreibwe ise der Res trikti onsgleichungen. wie sich die Basisvariablen bei Ä nderung der !'>;1JV

Yl

bzw. Y3 um eine E inheit verändern: So bede ute t etwa der Koeffiz ient - ; ME I/ MEB ' dass die

+

entsprechende Basisvariab le Xl um ; ME ) zunimmt, wenn Y2 (d.h. der Vita min- B-Übc rschu ss)

+

auf eine Einheit angehoben wird. Gle ichzeitig verminde rt sich d ie Basisvariable x2 wegen alt =

ME2/ME B um

ME 2. Analoge Überlegungen gelten für die übrigen inneren Koeffizienten von

(10.5 .21 ), d ie somit gleichfa lls als Verdrän gungs- oder Anpass ung.s kod fizie nle n bzw. Substitutionsraten gedeutet werden kön nen . Aufgab e 10.5.2 3: Man gebe eine ökonomische Interpretatio n sämtlicher Koeffizienten der op timale n Simplexta blea us von

i) A ufgabe 10.1.29 \.) A ufgabe 10.1.3 3 xi ) A ufgabe 10.3.17 .

ii) Aufgabe 10.1.30 \i) A ufgabe 10.2 .39

iii) Aufgabe 10 .1.31 \ii) Beispiel 10.3 .11

iv) Aufgabe 10.1.32 \iii) Aufgabe 10.3.16

10.6 Dualität 10.6.1 Das du ale LO·ProbI em Bisher wurden lineare Maximicrun gs- u nd Minimieru ngsproblcm e als u ntersc hiedlic he LO -Mod elle (siehe 2-Phasen- Met hode) beh andelt. T atsächlich abe r besteht ein enger Zu..ammenhan g zwischen beld en LO-l)'pen. E s zeigt sich, dass es

I

ZU jedem

linearen Maximienmgsprohl em ein korrespondi erendes (~dua{es") lineares Minimierungs~ probl em (und umgekeh rt) gibt, deren Eigenschaften aufs engste miteinander verknüpft sind.

Das zugr und eliegcnd e Originalproblem nen nt man prtmales Lrj-Prcolem (kurz: PrimaI). das korrespo ndiere nde Problem heißt dual es LO -Problem (ku rz: Dual ). Z unächst soll die rein formale ßildung des Dualproblems aus einem gegebenen Primalproblem an fo lgenden Beispielen demonstriert werde n: Bei.spieI1O.6.1: E s seie n: i)

X l,x2'"

= Problemvariablen im Primal; u i-uz .. = Problemvariablen im D ual;

Primat

5" I - 2"2 :5 4

Dual

(formaleBeziehung)

XI + xZ :5 10 2xI + X2 :5 15

Z '"' 3" 1 + 7" 2 -+ Max. (xI'xZ e 0)

Z ' = 4u I + 1Ou2 + 15u3 - Min. ( Ulo u2' u3
10.6

Du alität

ii)

543

Prim al 6X I + 2xZ?: 5 3xI Xz 2: 4 4x I + 5xZ ?: 9 -xI +7x Z 2:1 Z = RX I + lOxZ- Min. (x I' xz ?: 0 )

(formale Beziehung)

"wo! 6UI+3u Z+ 4u32u] - Uz + 5u3 +

z' =

u ~ :s: 7u~ :S:

8 In

5u] +4uZ + 9U3 + u~- Max . (u I' uz, u3' u~ ?: 0)

An den beiden Beispielen erken nt ma n die formal en Regeln, nach denen aus einem primalen das duale Problem kon st ruiert wird: Dcf. 10.6.2: i)

Is t das Prima! ein Maxim um-Problem mit lauter ~ :s: < Bedingungen, so ist das Dual ein Minimum -Problem mit lauter" ?: < Bedi ngungen (und umge kehrt).

ii)

D ie Restriktionsmatrix des D ual ist die transpo ntcrte Restriktionsmat rix des Primal. (Im D ual sind also Spalten und Zeilen gegenüber dem Primal vertauscht .}

iii)

J ed er Nebenhedingung des Primal (d.h. jeder Schlupfvariahlen Yi des Primal) entspricht eine Problemvariable Uj des Du al (und umgekehrt). J eder Problemvariab len xk des Prima! entspric ht eine Nebenhedingung (d.h. Schlupfvari able "d des D ual (und umge kehrt) . D ie Zielfunkti onskoertizi ent en des Primal bilde n die recht e Seite des D ual, die rechte Seile des Primal wird zur Zielfunklion.."t eile des D ual.

vi)

Für Primal- und D ualvariab len gelten die l"ichlnegath 'ilätshed ingungen.

A us de n Regeln von Dcf. 10.6.2 folgt sofort: i) Bildet man zum dualen Problem erne ut das Dual, so erhält man wiede rum da s Prlmal: Das Dual

zum Dual ist da s Prima! . ii) Besitz t da s Primal n Problemvariablen und m Restriktionen (d.h. m Schlu ptvanablcn). so besitzt das Dual n Restrik tionen {d.h. n Schlupfvariah len) und m Proble mvariablen . M it H ilfe de r M atrizenschreibweise (siehe (10 .2.3)/(10 .2.5» lässt sich die Bildung des Dual auf kom pakte Weise beschreiben:

nef. 10.6.3: i)

"wo!

Primal Z = C'Li

-

Max.

-

M in.

mit Ai :S: b und x ?:O

ii )

Z =cT ·x m it

Ai <: b und x ~Ö

-

Z ' "" bT · ü

-

Min.

-

Max.

mit ATü ?: c und ü

Z ' =bT ·ü

mit ATü :s: c und ü

2:0

2:0

10

544

Lineare Opt imierung

Bei der form alen Bildung des Dual haben wir bisher nur solche Fälle betrachtet, in de nen da s Primal cin Maximumproblem mit lauter s -Bedingunge n (bzw. ein Minimumproblcm mit lauter z- Bcdlngungcn] ist, wobei sämtliche Variablen den Nichtn cgaüvtt ätsbcdingungc n genügen. Für die Fälle, in ccncn s , ~ und = - Bedingungen zugleich auftreten bzw. in denen die NS B aufgehoben sind, verfährt man ....-ie folgt (Z iel: E rzeugung eines Maximumproblems mit lauter s -Bedingungen und NN B, um den Simplex-Algerithmus anwenden zu können): i) Jede z-Bcdlngu ngwird mit ( - 1) multipliziert und ergibt eine s -Bedingu ng;

Beispiel:

5x] + 8x2 ;:: 7

*'>

- 5x, - 8x2 ::; - 7 .

(MUll beachte, d ass [ ur die fonn ale Bildung des Du al d ir rechte Seite durcha us negativ werden darf!) ü ) E ine vorkommende R es triktions-Gleichung \...ird in zwri äq uivalente Ungleich ungen umgeformt :

Beispiel: 3x )+ 4x2 = 10

=

j3x [ + 4x2 :S t O 1 3x I + 4x2 2: 10

=

J 3x l + 4x2 S 10 1-3xI - 4x2 :S - 10 .

iii) F ür den Fall. dass die NN B nicht gellen. werden neue Variab len eingeführt . für d ie die NNB gelten (sichc (10.4.28) ):

a)

Falls gilt: xk S O. so setzt man: xk = - xk* mit xk· ;>: O.

b)

Falls gilt: xk ~ 0, so setzt man: xk = Xk' - Xk" mit Xk' 2: 0 ; Xk" 2: O.

Beispiel 10.6.4:

Gegebe n sei da s Prima l:

(10.6.5)

- 3xI + 5x2 S 8 - 2x \ +Sx2= 7 4x\ x2 ?:4 t OxI + 12x2 = Z - Max.

sowie XI :S 0 ; x2 ~ O.

Um das entsprechende D ual zu finde n, geht man folgende rmaße n vo r: i)

MUl t iplikation der 3. Zeil e mit (- 1).

ii)

Di e 2 . Z eile wird d ureh 2 U ngleichungen (... :S 7 ; ... Zeil e mit ( -1 ) multipllzicrt.

iii)

Man setzt XI =-xI* mit Xl · 2:0 .

a 7) ersetzt, danach .....i rd die ".?: 7 ~­

Damit la utet das äquivalent umgeform te System (10.6 .5):

(10.6.6)

3Xl · l XI· - 2xI · 4xI ·

+ 5X2'- 5x2" :S + 8x2' - 8x2" :S - SX2' + SX2" :S + x2' - x2" :S

S 7 -7 -4

- lOx l · + l 2x2' - 12x2" = Z

-e

Max.

und x l *, x2',x2 " 2: 0 .

Nu runeh r lässt sich das zu (10.6.6) dua le Problem nach Dcf. 10.6 .2 leicht angeben:

(10.6.7)

3 uI + 2u 2 - 2u3 + 4U4 2: - 10 5u I + SU2 - SU3 + U4 2: 12 -5 uI- SU2 + SU3 - u4 2: -1 2 SUI + 7u2- 7u3- 4u4 = Z '

-e

Min.

und u I,u2.u3,u4 2: 0.

AUfgabe 10.6. 8: Man zeige, dass sich das System (1O.6.7) vereinfae hen lässt auf 2 Restriktio nen (davon eine Gleich ung) mit 3 Variablen, von denen eine Variable beliebige ree lle Werte annehmen kann .

10.6

10 .6 .2

545

Dualität

Dualitä tssätze

Lö st man ein (prtma'es) L ö -Problem mit de m Simplewerfahren. so liefert das prtmale opl imale Simplextableau zugleich die op timale Lö Slillg des korrespondie renden duale n Problems. Praktisch bed eutet dies, dass es für die optimale Lös ung eines LD-Problcms unerheblich ist, welches der beiden Problem e (Pri mal oder Dua l) mit H ilft: des Simp lex-Algorithmus gelös t ....-ird. Die Zusammenhange werden im folge nden (o hne Beweis) angeführt: Salz 10.6.9:

(Dualilät s.'iätze)

i) Besitze n Primal und D ualjeweils z ulä.'i.'iige Lö sungen, so auch op timale z ulä'i.'iige Lö sun gen. ii) So fern sie exis tieren, sind d ie cp nm alen Zielfu nktionswe rte von Primal und Dual identisch, d.h. Zmill( = Z;"in (bzw. Zmin = Z;"ax)' iii) Ist das Primal nicht optimal lösbar. so auch nicht das Dual.

(a) (b)

Ist das Primat unbesch ränkt. so ist das D ual nic ht zulässig. 1st das Prima! nicht zulässig. so ist das D ual unbesc hränkt oder nicht zulässig.

lv] Besitzt das Primal mehrere ojltimale Los ungen, so ist das D ual degenerie rt (un d umgeke hrt). v) Das o ptima le Simplex tableau des Primal licfert zugleich dic op timale Lösung des Dua l:

Problemvariablen

Schlupfvariablen

des Primal

(10.6. 10)

"

'I

'"

vr

...

Yn

Schlupfvariablen des Dual

um = c~+m

Y,

I

... Ym

Z

b

... e;l+Hl

1

Zop,

Y,

I

,

+\

u2'"

-1-I ut

1

um

1

Problemvariablen des Dual

i

1 :

im opt imale n Primattableau liefert die opti ma len Lösungs-

D ie Zicl funktionszeile e\ · . 1'2 ·' wert e des Dual gemä ß (10.6.10):

u I -- c n+l u2 ":' e~+2

I I

I 1

n

t VI 1-

I :

...

I optimales Primaltablcau I ,,' ... , ' c n c'h+2

,,'

Z

des Primal

Problemvariable n des Dual

v, v,

= CI· ~ e2·

v,

= cn"

I

Schluptvariab len des D ual

sowie

I Z~Pl = 0,pt I

"i) Ist in der o ptimalen Lös ung die Problemvari ahl e xk des Primal Basisv ariable (bzw. Nichtbasisvariable}, so ist die korrespondierende Schle pfvariable vk des Dualprohlcms Nkhtba.'iis",'ariable (bzw. B a.ILi variable) und umgekehrt . E s gelte n da her die sogenannten Compfcmemary-slacknessBezieh ullgen:

(10.6.11)

I xk 'vk = O I sowie I (k

I.....n)

"V

(i

ü

1....,m)

I

10

546

Lineare Optimierung

Bcispiel IO.6. 12:

Das optimale.Simplex-Tableaueines Maximum-Problems habe die Fonn:

'I '2

YI

"

Z

'2

'3

~

"4

1

2 5 0

1 0 0

-2 1 5

0 0 I

1 1

3

0

4

0

i

I

I I

'2

YJ

0 1 0

6 -1 5

0 2 -2

0

2

7

Y,

Z

b

I I I I

0 0 0

80 10 70

I I

1

540

1 1

Die optimale Lösung des Primal lautct: Problem-

variablen:

Xl:: "2 :: " 3 :: x~ '"

0 80 0 70

(NB\') (SV) (NB\') (SV)

Schlupf-

Y1 • 10 (BV)

variablen:

'2· 0 (NBV) YJ· 0 (NBV)

Die op timale Lösun g des D ual lautet: Problem-

variable n:

u\ = u2 = u3 =

Schlupfvariablen:

" (NBV) 2 (BV) 7 (B\)

VI ::

3 (BV)

vz = o (NBV) v3 = 4 (BV) v.. = o (NBV)

Z;"in = 540

Man erkennt auch am vorli egenden Beispiel. dass das Produkt der Problcmvariahlcn mit den . jcomplemcntärcn- Schtupfvariabtcn stets Null ist, siehe (10.6. 11): xkvk = 0 ; lliYi = Il (complrmentaryslack-

ness). E ine wicht ige prak tische Anwend ung der Dualiliil....ätze besteht da rin. sta u eines Standanh \ linimumProblems das duale Standard-Maxfmum-Problem zu lösen. da auf diese Weise die Anwendung der 2-

Phasen-Methode vermieden werden kann. Dies soll am Bl"i~pieJ des einführenden Diät-Problems (Beispiel 10.1.11) demonstriert werden (2-Phascn-Mcthodc und optimaleLösung siehe (10.3.9» ; Das mathematische Modell des Problems Beispiel 10.1.11 lautet:

(IOA1J )

3xI + x2 2: 15 Xl

+ xa

2: 11

2x1 + 8x2 2: 40 Xl + 2x2 '" Z -

Min. ;

Damit folgt das ernsprechende Dualproblem(10.6 .14)

U2 + 2u3 $t

u2 + 8u3 s 2

10.6

547

D ualität

Das Simplexverfahren liefert sukzessive; (10.6.15)

"I

' I

3 1

",

"3

I I

v,

v,

I I

Z'

b

1 0

0 1

I I I

0 0

1 2

[TI

2

1

8

I I I

- 15

-11

-40

I I

0

0

I I

1

0

v2

3 -2

1 0

I I I

1 -1

0 1

I I I

0 0

1 1

Z'

18

0

- 18

I I

11

0

I I

1

11

",

11/ 3

1

"3

-1 /3

0

0 1

I I I

4/3 - 1/6

I I I

0 0

2/3 1/6

Z'

12

0

I I

I I

1

14 -

"

Z'

",

2

[6]

0

8

- 1/3 1/6 3

(duales Optimaltableau)

z;.,...

Die o ptimale Lösung des Primal (siehe auch (10.3.9)) ergibt sich aus den Werten der Zielfunktio nszeile des hier angegeben en dua len Optimaltableaus:

Xl = 8 ;

Yl =12 ;

Y2 =0 ;

Y3 = 0 ;

Z min = 14 .

Im Vergleich zu (10.3.9) ergibt sich eine erhebliche Red uzierung des Rcchenaufwandes.

Bemerkung 10.6.16: Da die Anzahl der notwendigen Simplexschriue bis zur Oplimallösung von derAnzahl der Restriktionen abhangt (Faustregel: ungifähr das 1- bis l ,5-fa che), empfiehlt sich die Losung des Dual anstelledes Primat weilerhin dann, wenn dadurch dieAmahl der Restriktionen merklich vermindertwerden kann,

Aufgabe 10.6.17: Man löse die dua len Problerne von ;)

Aufgabe 10.1.29

ii)

A ufgabe 10.1.30

iii)

A ufgabe 10.1.3 1

iv)

Aufgahe l0.1.32

v)

Aufgahe 10.1.33

\1)

A ufgabe 10.2.39

\"ii) Beispiel 10.3.1 1

\'iii)

Aufgabe 10.3 .15

ix)

Au fgabe 10.3.16

,)

u)

A ufgabe 10.4.30.

Aufga be lO.3.17

Im folgenden Kapital so ll versucht werden, eine ökonomische Interpretation auch des dualen LO-Problems da rzustel1en und plausibel herzuleiten.

548

10

Lineare O ptimierung

10.7 Ökonomische Int erpretati on des Dualproblems Im Gegensatz zur naheliegerx..Jen ökonom ischen Bedeutungeines primalert l O -Problems ist die entsprechende ökonomische Int erpretation des dualen LO-Problems nicht unmittelbar eß ich tlir h und in jcdcm Einzelfall gesondert zu untersuch en. Im folgenden soll daher die ökonomische Interpretat ion des D ual lcd iglich an zwei Standard-Beispielen (Beisp iel ] 0.1.2/(10.5.19)) erfo lgen.

10.7.1

Dual eines Produktionsplanungsproblems 7

Das Standard-Maximum- Problem (Produklio nsplanu ngsmodell - siehe Beispiel 10.1.2) und sein Dual lauten in Mod ellschreibweise. ( 10.7.1)

Dual.

Primat XI

xz

2xI + 4x2

s

10

:0:;

6

:0:;

32

30x! + 2Ox2 = Z - Max.

"I

+ 2u) 2: 30 " 2 + 4u) 2: 20

tOll) + 6U2 + 32u3 = Z ' -

(x l,x2 2: 0)

Min.

(u] ,lI2,u3 2: 0)

Wir wollen zunäc hst klären, welche ökonomtschc Bedeutung die duale n Probl emvariablen u l,U2,1I3 bcsitzen. Dazu betrachtet man die erste Restriktion des Dual: (10.7.2) Die Koeffizienten 1 bzw. 2 der Variablen u l bzw, uJ sind die Prod uktio nskoeffizienten (in hl /tl bzw. hJ/t I 8 ), die Zahl 30 auf der rechten Seite gibt den Dcckungsbcitrag von Produkt I an (in € /t l )' Mit diese n Einheiten versehen schreibt sich ( I0.7.2): (10.7.3) Damit in (10.7.3) links 'Nie rechts dieselbe n Einheiten stehen, müssen ul in € fhl und uJ in € fhJ gemessen werden . ur und uJ sind also Preis- oder Werlgrößen, die den Kapazitäten zugeordnet sind (häufig bezeichnet als Schatlen preise oder Opportuni tätskostenwerte der jeweiligen Fcrtigungsstclle). Analoge Überlegungen mit der zweiten Zeile des Dual führen zu dem Ergebnis: (10.7.4)

Die dualen Protue mvanabtcn u "u2,...,lIm eines Produkti onsplanung.<;· Prohl em_~ lassen sich interpretieren als Preise ode r Kostenwerte. die den Fernguegsstelten oder Ressourcen zugeordnet werden können.

Damitlässt sich das Dualprohlern folgendermaßen deuten: Man nimmt an, die Unterne hmung P (mit dem ursprünglichen prima1cn Produk tionsproblem) vermiete ihre 3 A nlagen an eine ande re ("dua le") Unte rnehmung D derart, dass für die vorha ndenen Kapazitäten 7 siehe auch (68) 8 zur Bezeichnung der Maßeinheiten siehe Fußnote 6 auf S. 535

10.7

54 9

Ökonomisch e Interpretat ion des Dualproblems

jeweils ein fes ter StunJenpre is u I (in € /h l) , u2 (in € /h2) , u] (in € / h]) vereinbart wird. Nun wird U nternehm ung P nur dann vermieten wollen , wenn die Miet einnahmen für die überlassenen Kapa zitäten einen bestimmten Mindcstwcrt erreic hen ode r übe rsteigen: So würde Untern ehmun g P etwa bei Eigenprod uk tio n pro T onne (= 111) von Produk t J einen Deckungsbenrag von 30 € /I] erz ielen. Um diesen Dcckun gsbc itrag erzielen zu könn en, müsse n I h der Abteilung Pressen (= I h l /t I) und 2 h der A bteilung Packen (= 2 h] /t j) eingesetzt werden . Werde n gcnau d iese Zeiten vermietet, so müssen die Miet einn ahm en dafü r

mindesten s den and erweit igdamit erzielbaren Deckungsbeltrag 30 € / t l erreic hen, d.h. UI + 2u] 2: 30 [€ /t Jl . Wäre das nicht der Fall (würdenalso die Mie tzahlungen für die Produktion von 1 ' t des Produktes I geringersein uts der mit 1 I/ direkt erzielbareDeckungsbettrag}, so würde Un tern ehmung P lieber selbe r prod uzieren und abse tzen als an 0 vermiete n.

Ganz ana log interpretiert man die zweite Z eile (u2+4 u3 2: 20) der Dualrestriktionen als die Forderung von P, übe r die M iet zahl ungen pro prod uzierter t2 von Prod ukt Il mindestens de n Deckungsbe itrag 20 € pro ra zu erzielen. Andererseit s wird die U nternehmung 0 zwar bereit sein, d ie Mind estforderun gen von P zu erfü llen , ist aber selbs t daran int eressiert, die M ietpreise uI, u2' u] für d ie zu r Verfügung steh enden Kapa zitäten / Res so urcen soweit zu n drüc ke n ~, dass d ie Summe Z ' aller Miet zah lungen (Mielkos ten) möglich st gering wird. d.h. 0 strebt an; (10.7.5) Z ' = 1Ou} + 6U2 + 32 u] - Min.

(wohei ]0 (h 1)' 6 (h 2), 32 (hJ) die zur Vertagung stehenden(und zu mietenden) Kapazitäten der 3 Fenigungsstellensind], Damit ist d ie Interpretation des Dualp roblem s vollstä ndig. Der im Duatnätssarz 10.6 .9 zum Ausdruck kommende Zu sammen han g zwischen Prima! und D ual füh rt nun daz u, da ss die Dedungsbeitragsmaximienmg über das optimale Produktionsprogramm (prima/es Problem der Unternehmung P) identisch ist mit der Minimierung der Opport unltäts kes ten ("Miete") übe r die optimalen Bewe rtungspreis e (duales Problem der Unternehmung D) , wobe i das Deckungsbettr agsmaximum Z ma. mit dem Opportunitätskostenmi nimum Z~i~ übe reinstimmt. Aus dem primalcn uptirnalcn T ablea u [siehe (10.2.3 4)) liest man d ie optimale Lösu ng des D ual ab: (10.7.6)

I

' I

'1

Y1 '1

1 0 11

0 0 1

Z

11

0 I

' I

Die opt imalen Mietpreise betrage n;

I I I I I I

YI

Y2

1 0 ,5

-0,5

0 1 0

20

11

u l = 20 € /h] ;

Yl 0

I Z I I 0

- 0,25 : 0 0,25 1 0 5

b 10 3 3

: 1 360

u2 ;0;

u3 = 5 € / h]

(v ] = vz = 0 bedeutet: über die Mietpreise werden die geforderte n Dec kungsbeiträge gcnau erreicht.) Die minimalen Gesamt -M ietk osten bet ragen 360 € . Es zeigt sieh erneut, dass nu r vonausgetast eten Engpass- Fert igungsstellen ein von Null verschiede uer Scha u enpreis (Opportun ttätskostenwcrt) zugeord net wird, Während nicht vcll genutzte Ressou rcen (hier Fertigungsstelle 2 (Sprilzguss)) mit 0 bewertet werden.

550

10

Linear~

Optimierung

10.7.2 Du al eines Diätproblems Das Standard-Minim um-Problem [Diätproblern, siehe Tab . (10.5.1 9» und sein D ual laute n:

(10.7.7)

Primal XI + 2xZ ~ 40 (Vit. A ) 2x I + Xz ~ 100 (Vit. B) 2x l +4xZ ~ 130 (Vit . C)

Z = 10XI + 8xz -

Z ' = 40u I + 100uz + 13Du3 -

M in. (Kosten )

Max.

(U], UZ,U32:0)

(xl'xZ ~ O)

D ie Bedeutung der Dualvariabl en Uj wird z.B. aus der erste n Restrikt ionszeile des D ual deutlich: Die Ungleichun g u l + 2u2+ 2u 3 :::; 10 lautet - versehen mit den aus (10.5.19) ersic htlichen Einheite n der verwende te n Koeffizient en -:

Da die Ein heit ei nes jeden Sum manden de r linken Seite identisch sein muss mit der Ei nheit [€/ ME 1) der recht en Seite, kommen für die ui nur folgende Ei nheiten in Frage :

Auch hier stellen somit die Dualvari ablen Bewertungsgrößen oder Preise dar, und zwar - wie aus den E inheiten [ € / M E A1, ... ersichtl ich - Preise für die in den beid en Nahrun gsmitrem enthaltene n Vitamine A,Bund C :

( 10.7,8)

Die dualen Proble mvariablen Ut,uZ•...,u m eines Diät - oder l\lischwlgs prohlems lassen sich interpretieren als Preise (ode r Kostenwerte], die den in den Misch ungskompo nenten (z.B. Nahrungsmittelsorten. E rzen etc .) en thaltene n re inen Bedarf.sstoffen (z.B. Vitam ine, Näh rstoffe, reine Met alle etc.) zugeordn et werden können .

Damitlässt sic h folgende öko nomische Int erpreta tion des Dual ableiten: Statt das (gefo rde rte) ~ Vitamin-Menü" aus den beid en - mit den bekan nten Vitaminan teilen (5. 10.5.19) versehenen - N ahrungsmittelsorten zu misc hen, könnte die primale Unternehmungdiebenötigten Vitamine A, B, C in reiner Form von einem H ändler beziehen und verab reichen. Die Preise " \, U2'" 3 dies es H ändlers seien:

" I € / ME A für eine E inheit Vitam in A; " 2 € / ME B für eine E inheit Vitamin B; " 3 € / ME C für eine E inheit Vitami n C. Insgesamt werd en benötigt tsiehe (10.5. 19)) :

40 ME A• JOOM E B• 130 MEü so dass sich als Gesamterlös des H änd lers gerade die duale Zi elfunk tio n Z' (siehe (J0.7.7)) ergibt: Z' = 40u1 + 100u2 + 130u3 - Max. ( Dabei wurde unters tellt, dass de r Hä nd ler d ie Preise Gesamterlös Z ' maxi.mal wird.]

Uj

für die Vitam ine so festlegen möc hte, dass sein

10.7

551

Ök onomi sche Interpretation des Dualproblcms

Die (prima le) M isch- Unternehmung ist ihrerseits nur dan n be reit, ihre bishe r verwendeten Nahr ungs-

mittelsotten (od er Rohstoffe) d urch d ie reinen Vitami ne (oder reinen Stoffe) zu ersetze n, wenn die Vitaminpreise ui so besc haffen sind. dass die d urch die Verdrängung einer Rohstoffetnhclt nurun ehrzu beziehende n (reinen ) Vitaminmengen insge samt beim H ändler nicht mehr kosten als der en ts prec hende Rohstoff selber gekostet hau e (andernfalls wü rde die Unternehm ung bes se r selber mischen, anstatt die tcurcrcn Vitamine direkt zu bez iehen). So kostete et....'U eine M E j der erste n Nahrungsmittelsorte 10 € / M E J , darin enthalte n ware n 1 ME A Vitamin A, 2 ME B Vitamin B und 2 M EC Vitam in C. Die gleichen Mengen der Vitamine A, B und C dü rfen a lso in rei ner Fo nn ebe nfalls höc hstens 10 € kosten, so das s die Ungleic hung l ' uI+ 2'uZ+ 2 'u 3 :S 10

erfüllt sein muss, d.h. die erste Zeile des Dualproblems (10.7 .7). Ganz a nalog e rgibt sich d ie zweite Ze ile des d ualen Restriktionssystems als Forderung, dass die in ein er M E Z des zweiten Nah rungsmittel s enth altene n Vitamin e beim H ändler nicht mehr kosten dürfen als eine M E Z des verdrä ngten Nahrungsmittel s: 2 'u\ + l' uZ +4 ' u3 :S 8 . Wen n das Maximum des Händlererlöses erreicht ist, hat die primate U nte rnehmu ng gleichzeitig ihr Problem der Menükosten-Minimierung gelost [siehe das op timale T ableau ( ] 0.5. 2 1

»:

D ie optima len H ändle rpreise sind:

ur = 0 € /ME A ;

u3 = I € /MEC ;

der maximale H ändlererlös lautet demnach

Z ' = 40 u \ + 100 uz + 130 u3 '" 530 € , übereinstimmend mit den minimalen Menükosten der mischenden (primalcn) U nterne hmung. Interessant ist die T atsach e, dass der H ändler sein Vitamin A verschen ken wird (u I = () ! Der G rund dafür lieb'!in der Tatsache, dass im Op tim um die zu verdrängende n Nahrungsmittelsorten des primalen Unternehmers das Vitamin A im Übe rschuss en thalte n und Vitam in A somit nicht restri ktiv wi rkt. A uch hier zeigt sich, dass nu r Engpuss rcsso urce n mit posluven (Scha tten-}Prcisen bewertet werden . Aufgahe 10.7.9 : Man interpret iere da s d uale Problem zu i)

Beispiel ] 0. 1.11

ii)

Aufgabe 10. 1.29

iii)

Aufgabe 10. 1.30

iv)

A ufgabe 10 .1.3 1

v]

A ufgabe 10 .1.33

\i )

Aufgabe 10.2.39 .

553

11

Lösungshinweise ZU ausgewählten Aufgaben

Die folgenden Lösungshinweise zu ausgewählten Aufgabendes Buches enthalten vor allemdie Endergebnisse der A ufgaben und sind daher n ur für eine ersre Erfotgskontrollc geeignet.Au sführliche Lösungshinweise zu allen im Buch aufgeführten Aufgaben und Problemstellungen (sowie eine Sammlung von Testklausuren mit Lös ungen) befinden sich im separaten ~ Übungsbuch zur angewandten Wirtschaftsmat hematik" [69b].

1

Grundlagen und Hilfsmittel

1.1.11:

I)

A

{A,E, I ,L,M,N.R,U}

U)

I')

D

{-VT;

{)

1'2)

I) a) Aussageform (Af)

1.1.33:

i

v)

E

b) AF

B

{2; 1; 0; - 1; -2; ...} "')

c) Aussage (A)

d) A

ili) C = { }

"'I) G = {- 2 ; 3)

F • { )

e) AF

f) AF

g) = ist nicht definiert, d.h. es ist weder eine Aussagenoch eine Aussageform h) A i) weder A nochAF ö) a) L = {-7; 7} b) L =:IR , AF ist aJlgemeingiiltig

c) L = {O}

d) L = {- L; -2}

c) L = { } , AF ist unerfüllbar f) L = IR , AF ist allgemeingültig g) L = {2} h) L= {xE IRl x>6 v x e I)L = { u E lRl u > - 9 A U< 9} v

1.1.43:

}

D ie logischen Gesetze 1a) bis 8b) sind allgemeingül tig, dennzujeder möglichen Wahrheitswert-Kombination der Teilaussagen A, B, C ergebe n sich identisc he Wahrheitswert e (eingerahmt) det heiden (sich da durch als aquivalem erweisenden) zusammengesetzten Aussagen:

A

B

C

B AC

w w w w f f f f

w w f f w w f f

w f w f w f w f

w f f f w f f f

2.) A

B

C

Bv C

Za)

ö

w w w w f f f f 3a1b)

w w f f w w f f

w f w f w f w f

w w w f w w w f

Av B

A vC

(A v B) I\ (A v C)

w w w w w f f f

w w w w w w f f

w w w w w f w f

w w w w f f f

A I\(B vC)

A AB

A AC

w w f f f f f f

w f w f f f f f

A v (B l\C)

r-r-

~

r-t-

w w w f f f f f

~

-w

(A

Ist A wahr, so auch A 1\ A sowie A v A (nach Definuion von 1\ bzw. v ); Ist A falsch , so auc h A 1\ A sowie A v A (nach Definition von 1\ bzw. v ).

1\

B)v(A I\C)

-w w w f f f f f

~

11 Lösungshinweise zu ausgewählten Aufgaben

554 5)

A

w f

7)

....,A

A

-,A

f

w

f

w

f

w

1.1.44:

I) A10is liebt Ulla und liebt Petra nicht. ö) BWL bestanden. VWL u. Mathe nicht bestanden.

1.1.52:

I)wahr

1.1.55:

1.1.62:

lii)wahr

v)wahr

i) LI = (7}c{ - 7; 7) = y :falsch (~) vil) LI = lR\{O}nJR+ = y: falsch (:S)

I) a) Nc:Z;c Qc IR

xi) falsch

ili) wahr

v)wahr wahr

Ix)

b) AcH (A:I=B!)

U).) { }, {x}, {y) , {z ) ,

1.1.79:

ix)fa1sch

vii)wahr

{ x~},

{xjz}, {ytz},

{x~~ }

<) { I, {l},

f{2 ~)} , {l ; {2 ~)}

Die Gesetze 1)- 10) der Mcngcnalgcbra sind allgemeingültig, erkennbar andenjeweils gleichgetönten,.Ergebnis"· Mengen für die linke und rechte Seite des jeweiligen Mengen-Gesetzes:

I)

c

Au IDu Cl

j Au Mt

8

A

=

A

(A u st» C

c 3)

C

8

A

8

A

-

8nC=,M,

AuC.., M3

C

C

I

Au Mt

8

A

I Au(BnC}

Mzn M3

A

=

lA u BIn (Au Cl

8

A u B =, M j

11 Lösungsh inweise zu ausgewählten Aufgaben

555

5)

CID

\ - - + A n 8-. M,

(ITJ I A

7)

. lAUM,

Au lAnBI = A

I

A

I IA I Bin B =

-

M, n8

{ }

I

/

A I8 =.M, 9)

A ~......,~~ ,B

AlB

=. Mt

C '--

-/

A

A

c

! A ltBnC}

c =

tA I 8) utA I C}

I

1.1.80:

I)Au(Bu C) = {I ;2; ...;13 } 3)Au(Bn C) = {I ;2; ... ;10} 5) A u (An B) = {I ;2; ... ;lO}= A 9) A\(BnC) = {I ;2; 3; 4; S; 7; 8; 9; 10) 7)(A\B)n B = { }

1.1.81:

1) DG = R \{O)

1.1.90:

1) Iü) v)

A x B = {(an), (am), (en), (em), (In), (im)} A ' = { ( aa), (ae), (all, (ea), (ee), (ei), 0'), (k), (H)} BxAxB = {(nan),(manl,(nen),(men),(nin),(imnl,(nam),(mam),(ncrn),(mcrnl,(nim),(imm)}

556

11

vü)

Lösungshinweise zu ausgewählten Aufgaben

AxBxB xA = (AXB) x(B XA) =

= {Ianna], (anma),(anne),(anme), (anru), [anmi), (amna), (amma), (amne), (aoune), (amni), (ammi), (enna), (enma), (enne), (enme),(enni),(enmi), (emna), (enuna), (emne), (emrne), (emni). (enuni). (inna), (inma). (inne) , (inme), (inni), (inmi), (imna), (imme), (imne), (inune), (imni), (immi) . 1.1.91 :

ü a) A x (B n C) = {(X,y)IXEA

= ((X,y)](xEA l\ y e B)

1\

1\ yE(BnC)} = {(x,y) IXEA 1\ (ys B 1\ yEC)} (xEA l\ y e C) } = (A x B) n(AxC) .

c) Man beweist dieses Gesetz am bestemvon rechts nach links":

(A xB)\(A xq = {(x,y) (x,y)e(AxB) A

~«x,y)e(AxC)))

= {(x,y) (xeA 1\ yeB) 1\ ...,(xE A l\ y e C)} = {(x,y) (xEA 1\ yEB) 1\ (...,(xEA)v ...,(yEC»} (de Morgan) = {(x,y) «xEA 1\ yEB)I\""(XEA» v « xEAl\yEB)I\...,(yEC)}} = {(x,y) (xEA 1\ yEBI\...,(xeA» v (xeAl\yeBI\ ...,(yeC»} immer f alsch

= ((x,y) I("A A(yeB A ~(yeq)) = A X(B \q 1.2.20:

I)

ix) xm)

240 a 3b4x2 b-a = a-b

lü)

v) a + b - c

6ax2y2

(- l)(a- b) = - 1 a -b

(2x- 3y)(2x+3y) 16x2 + 81r

,

au

1,2,30:

i) 2

L xiYj

Ill)

L (2n)'

=

n- 2

j- I

1.2.31:

vii) x (13a + 33b - 53c)

xiü) ay-bx ay+bx

xi) (m+n)x m(x+y)

I) 1,43

il) 52

.

xv)

a -b e c

, 4L n' n _Z

lü) 60

iv) 90

L i = 1+2+ 3 +...+n . n

v) Mit S bezei chnen wir die gesuchte Summe

i- I

Nun schreiben wir diese Summe S auf zweierlei Weise: S = S=

1 + 2 + 3 + ... + (0-1) + n n+(0-1)+(0-2)+ ... + 2 + 1

(normale Reihenfolge) (umgekehne Reihenf olge)

DieSumme von je zwei untereinander stehenden Zahlen beträgt stets n+ I , insgesamt gibt es n dieser Paare. Addition der beiden Gl.eichungen liefert daher.

Li n

2S = ß ' (n+ l )

und somit:

S =

= n(O; I)

.

ie l n

vü) Zur EnniUlung von

L i=l

jZ

benötigen wir das Ergebnis von v):

= n(n+ I)

a

Zunächst erhäl t man durch Ausmultiplizieren (binomische Formel) die aUgemeingültige Relati on: (k + 1)3 = k.3 +3k 2+ 3 k+ 1 <==> (k + I )L k 3 = 3k.2+ 3k+ 1 . Wir schreiben für k = 1, 2, 3,... die ersten n dieser Gl.eichungen untereinander und addieren danach alle Zei len spaltenweise:

11

Lösungsbinweise zu ausgewählten Aufgaben

2' - l ' 3' - 2' 4' - 3' n3 - (n- l)3 (n+l)3 _ n3 Bei Addition aller Zeilen hebt sich auf der linken &ile fast alles weg.

557

=

3 .1 2 3. 22 3 .32

=

3· (n-1)' + 3 { n- J) + 1

+1 +1 +1

+ 3· 1 + 3· 2 + 3 ·3

3· n2

+ 3·n

(k = J) (k = 2) (k = 3) (k = n r l] (k = n) .

+1

(n+ l )3 - 1 Diese Summe ist gesucht! Wir nennen sie S.

Diese Summe ist bekannt, siehe v) : n(n +l ) 2

Somit folgt aus der letzten Gleichung:

3 .5 = (n+ 1)"_ 1_3 .n
(n+l) . ( n+l~ - ~n

- 1)

= t (n+l ) .(2(n+l~ -

S= L i i= I

= 2"1 (n+ 1) · n ·(2n+1)

- n(1n +l)

n

d.h.

3n -2)

12 + 22+ 32+ ... + n2 =

2

t n .(n+1H 2n+ l ) .

, -I

Ix) E s handelt sich bei

Lxi =,.Lxi wn die Summe

Sn der "endlichen geometrischen Reibe":

j= Q

Sn = 1+x+x2+x3+...+xn- 3+xn-2+xn-i . x 'Sn = x+x 2+x3+x" + ... +xn-2+ xn- l +xn

Mulliplikationmit x liefert:

Subtrahiert man jetzt diese beiden Gleichungen, so heben sich sämtliche Potenzen weg bis auf die" l " in der ersten Gleichung und "xn..in der zweiten Gleichung: Sn(l -x) = 1 - xn , -I

2>'

= 1 +x +x2+x3+... +xn- 3+xn- 2+xn- t

,-I

j =O

Für den Sonderfall x = 1 folgt unmittelbar: L xi

und daher: l - xß

I- x

=

xß - l

x- I

1+1+1+...+1 = n · l = n .

j= O

1.2.35:

I) 3.628.800

1.2.43:

I)

1.2.64:

20 j 576 ; 4200

ill)

Der2. Faktor wird Null und somit das gesamte Produk t.

11 Lösungshinweise zu ausgewählten Aufgaben

558 1.2.65:

I) L = (4)

1.2.91:

1) 1) 19 2 +1gx+ O.25(2 Ig x+1g y)

iit) 1n5 + 2 ')O H 0,25 -In p + 0,5 "In q - tna - 0,5 -Jn b

3 1000 = (1Olg 3)1000 = 10 477,12. d .h . 478 Dezimalstellen

2)i) a) ü)

2 500 = (101g 2)500 "" 100.515 ' 10 150 "" 3, 27. 10 150

3)i) e2,8332

üi) eO,69 31x

4)1) 1,5

üi) -1 9,7881

1.2.130: i) lii) 1.2.140: I) v)

v) L = { -1 ,478B; 1,478B}

lli)L = { )

R

v)

Kqi

q- l '

x = 1,8

v)

b =

(a; b; c) =

e

Kq

2F - ay

(>;y) = (10;7) 21 6

vii)

i = R(q - l)

K = R(q ~ l) , qr

R =-

q = R- Ki

el n(x+l)/12

Y

(>;y,,) = (4;-1 ;- 3)

iil) 110

(l F rr; 0 ) = (1,6154;

0,4615; 8,4615)

Bezeichnet man die (k onstante) Zulaufgeschwindigkeit einer Pumpe mit x (in Volumenein heiten (VE) pro Stunde (h» , die Abflussgeschwindigkeit des Wassers in den Produktionsprozess mit y (in VEJh) und nimmt man an, dass die Kapazität des Behälters 100 VB be trägt,

1.2.141:

so müssen die folgenden heiden Gleichungengelten: i)

1.2.152: i) vii)

1.2.153: 1)

x-y = - IO und 4x- 2y '" 40 . Lösung: x = 30VE/h ; y= 40 VE/h 80 VB teeren sich ohne Z ufluss in 2 h, L = {- 4,5311; 3,5311) L = (l,2; 1,3) X= - ..1± ..!.Y25-3c 3 3 •

iil) Ix)

ü) a) (x- 3Xx+7) = x2+4x-2 1 = 0

c)

Ui) i = 10,45% p.a.

v) L = {-4; O}

iv)

vii) L =

v)

L = {0,25· (k ±

V

L = (O,7; l)

k2+8k+24 ) )

es gibt zwei Lösungen wenn die Diskriminante positiv ist, d.h. für 25 - 3e > 0 bzw. c < 2:

d.h,

1.2,166: I) L = {- 2; - 1,1892; 1,1892; 2 )

L = {5; 8)

iü)

{-V'7; -1

; I;

(x+4f = x 2 + 8x + 16 = 0

e) x 2 = 0

ieff = 12,50% p.a. L = {- 0,3535; - 0,2520; 2,2520; 2,3535}

V'7)

Ix)

L = {- 2,009489; 0,009489}

1.2.167: I)

i = 13,85% p.a.

1.2.169: i)

DO= {xeJR x ~ -0,25}; L = {2) ili) DO = (xe JR x 0:: - 0,5) ; L = {4} DO = L = { 4} vii) DO = {xeR J -4 s x :;; 4}; L = {2V'Z) DO = {xelRl x a 0,25} ; x(r) = 0,06 25r1 + 0,25

v) Ix)

JRt ;

I

ii)

i etf = 20,00% p.a.

I

1.2.176: i) DO = IR. ; L = {2,1972} ili) DO = R. ; L = {4.2897} v) DO = IR ; L = {5,7762) vii) DO = IR ; L = (l I ,5267) ix) DO = R +;L = {0,9330 ) xi) DO = IR. ; L= {-2,5277;2,5277)

11

Lösungshinweise zu ausgewählten Aufgaben

1.2. 179: 1) DG = R \{- I ; - 3} ; L= {l} v) DG = (x elR

DG = 1R\ {-I ; 1; 4} ; L = {- 23/13; O}

iü)

12 2:x >24 ) ; L = (-0,5; l)

Ix)DG =IR\{O) ; x = ± 1.2.185: I)

559

V

200 km

-

sp

vü)DG = 1R\{ 2/5) ; x = 2y-7 5y-4 d

-

dx - b

dx -b

xi) DG = lR\{--} ; y= - = - -c -cx-- a cx- a

Du = IR;L = <xeR l x ::;l; )

111)

Du= lR+; L= {xE lR.+ lx> 10- 2}

v) Du = IR; L = {x e lR 1 x ::; - 1,8443v x 2: 10,8443} vü) Du = IR; L = {xe IR J x > - 9,9658) 1.2.6.1:

I)

Verletzung der Reihenfolgekonvention (siehe z.B. uhrbuch J.2.8)

3)

Verletzung der Konvention 1.2.8; richtig;

i) 36

.

R

5) 7)

8)

.

.

R

R

..

I) Richtig:. - q+2 2

R

11)

ii) 46

-q-2 2

i) 5a 3 = 5(a 3) üi) wiei) v) richtig;-(a2+2a b+t,2) = - a 2- 2ab- t,2 vii) richtig: 50 = 1 ix) richtig: 1/3 xi) richtig: 1/3 xli) richtig; 2 16 = 65.536 i) a) richtig: 19(9oo ' 100) = Ig 90oo0 "" 4,9542 iii) Funktionssymbol ~gekünt" (1 )

b) Ergebnis "" 5,9085

iv/v) In 0 bzw. In (-4 ) sind nicht definiert

vii} richtig: Ig 2" = x ' Ig 2.

9)

1.2.6.2:

i) richtig: (a - b)4 = a 4 - 4a 3b + 6a2t,2 - 4ab3 + b4 iii) richtig: 1/ u + 1/v = (v+ u)/uv v) falsch, keineVereinfachungmöglich vii) t:Y+e" lässt sich nicht weiter vereinfachen

10)

Es gilt stets: In(a +b) :::j: Ina + Inb , dh. i/ii/iii): jeweils linke Seite nicht zu vereinfachen

11)

i)

13)

Jeder Versuch, eine Division durch Null zu definieren, führt zu Widersprüchen. Daher sind (bis au[iv» sämtliche Tenne auf der linken Seite nicht definiert.

v:i6

in lR nicht definiert iii) Schönes Beispiel dafür, was passieren kann, wenn man die Potenzgesetze auf Potenzen mit negativer Basis anwendet .

I)

richtig: 120 = 100+p:} p=20

5)

L = (I)

10)

7)

L = {}

i) In(a+b) :::j: lna + lnb l

3)Richtig: x 2=O v x-I =0 ~ L = {O;I } 9)

Kehrwert einer Summe :::j: Summe der Kehrwerte

Richngi Man substuuiert

e" =.z:}

e2" =z2

:} z2 + z-6 = 0 ~ zl = 2 = e" :} Xl = In 2 (keine weitere Lösung). 11)

i) Richtig: 1n(5e") '" In 26 ~ In5 + ln e" = ln26 ~ x = ln26- ln5 = In(2615) "' 1,6487. iii) mehrere Fehlerw richtiges End resultat: a)In(5e") =1= (In 5) ' x b) 1026/ln 5 :::j: In (26f5)

13)

3"+2 = 4"+2 ~ 3 = 4 vx+2 =0, d.hx = - 2, d.h. die 2. Lösung ist korrekt. Division durch a-a (= 01)' 17) Quadrat von x+2 ist x2 +4x+4 (und nidltx1+ 4)!

15)

1.2.6.3:

I)

Richtig: x > - 3 .

3)

Richtig: Fallunterscheidung (X=l=O): e) x >O: :} x>0,5 oder x > O,5

v

b) x
x
560

Lösungshinweise zu ausgewählten Aufgalxn

11

2

Funktionen einer unabhängigen Variablen

2.1.20:

Funktionsgraphcn sind ii) und vi], keine Funktionsgraphen sind i), iii) und iv). Ob v) einen Funktionsgraphen darstellt, hängt davon ab, wie Dj-lautet: für (z.B.) Dr = IR ist v) kein Funktionsgraph. Besteht Drdagegenaus den x-Koordinaten der isolierten Punkte, handelt es sich um einen Funktionsgraphen.

2.1.22:

i) a) und c) sind Funktionen, b) nicht.

~ --,3 ~'------"----'-'-'------=----~

a)Dr =R

ii)

lfI aJ

lxi

o 10

c)

°

7}

"

±3 ±6 ±6,9 ± 6,99 ±7,OI ± 7, 1 - 0,020 - 0,025 - 0,077 -0,71 - 7,1 7,1 0,71 0,0003

h(x) lli)

IlJ. = 1R\ {-7;

P I' P2 und P3 gehören zur Funktion k; P5 und P6 gehören zur Funktion f; P 4, P 7 und P8 gehören zu keiner der Funktionen aus Aufgabe ü). (durch Lösung der UngJeiclumg . 2 - 16 2': 0)

2.1.24: 2.1.30:

A ~ 5;

;) ili) v) ,~)

2.1.51:

B ~ 4;

S= S= S= S=

C ~1 0;

D ~ 2;

(883,74 '0,0006 (883,74 '0,5075 (228,74 '0, 0002 (228,74 '3,7261

E~7;

F ~9 ;

G ~8;

H ~l ;

IQ ?;

? ~3;

? ~6

+ 1500) ' 0,0006 = 0,90, dh. gerundet: S = 0 € + 1500) '0,5075 = 988,86, d.h, gerundet: S = 988 € + 2397) ' 0,0002 + 989 = 989,48, d.h. gerundet: S = 989 € + 2397) ' 3,7261 + 989 = 13 096,25, gerundet: S = 13096 €

I)

Zu Abb. iii) und - bei entsprechend "punktweise" gewählten Definitions- und Wertemengen - zu Abb. v] existiert eine Umkehrfunktion.

U)

a) Dr = IR ;

f -l(y) = x(y) =

c) ~ = IR\{-l) ; v(h) = e)

Dr

±V

= R \{O) ; x(y)= ±

3

V"Y"+'l

(Funktion)

h 2+8h+24 + h

4

I vy ;

; Dr t = IR

(v ist keine Funkt ion)

Dl( =IR+ (x ist keine Funktion)

561

11 Lösungshinweise zu ausgewählten Aufgaben 2.1.5 4:

,.

(r.!

(x)

I)

1) a) Aus 3r-120 ~ 0 n, = {r ElR lr ~ 40} = [40 j oo [

r(xJ

b) r = - '- x2 + 40 108

c)Dr =lR 40

(r )

0, = IR

ill) a)

b) O,25x 2 =t-2 ~ x2 = 41- 8 ~

(x.!

x = V4i"'=8 v x = - V4i'='i d.h. die Umkehrung ist nicht

<=0

o , = {te lR

x

S-3y 2

t
(xl /11/

x,m

eindeutig, somit existiert keine (eindeutige) Umkehrfunktion, sondern eine (zweideutige) Umkehrrelatioo . c) 4t-8 a o

4f)

tn

2

(x)

2

ili

d. h.

I tCl: 2}

S- 2x 3

V''-p-- +36

i)

2.1.67:

I) f(g(x» =

2.1.68:

U)

' .1.69,

I(g(,)) = g(1(,)) = ,140; I(h(>)) = h(1(, )) = x: g(h(>)) = h(g(, )) = Vi"; '(P('» = P(k('» = - 98,

2,2.30:

= -

1~ rx

j

;

Y= -

2 2 ül) p =(x - 36) ; x=

2.1.58:

j

.p ~O .

D = IR+ ili) g(h(x» = -, - ' - ; D = IR\{-9; t} v) k(f(g(x))) = x~~

,

1~ fXIS

;

D = IR+

h(x) = g(f(x» mit g(x) = 5x2OO9 und f(x) = 6x3- 8x2 + x - 4

I

i) De = lR\ {al ; f hat keine N ullstellen ili) ÜIt = {aE IR a C!:2 v aS -2} ; Null stelIen: - 2; 2 Du = IR\{- 3} ; nur 3 ist Nullstelle. vü) Df = IR ; Nullstellen- - 2 und 2

v) 2.3.8:

1) Polynom 1. Grades

2.3.9:

1) 1(-1) = 14 ; 1(0.5) = 11.375 ; 1(2) = 56

2.3.4 1:

I)

a) y= -3x+3

2.3. 42:

i)

~ = 30 + 0,25x KtI =1 2 + 0,4Ox ; (xinkWh,Kt bzw.KU in € ) GleicheKosten{60€ ) fÜf 120 kWh; falls mehr als 120 kWb: Tarif I günstigerals TarifII .

il)

2.3.43:

I)

ll)

K (, ) = A

{ 100 +

ül) Polynom O.Grades

b) y =

x für

v) Polynom 5. Grades

lil) 1(-1) = -3,4 ;1(0,5) = 2,73; 1(2) = 11 14 2 4- a aL 4 - x +c) y = - , + - - , ae t . 3 3 a -I a -l

u s x :!i 100

120 + O,8x für t OD<x s 200 160+ 0,6x für 200 <x :s 400 200 + O,5x für 400 < x

Ka (x) =

150 + 0,7x für O:S x :S 200 190 + 0,5x für 200 < x S 500 240 + O,4x für 500 < x

1

Bis zu 300 km ist Tarif A am günstigsten, bei mehr als 300 km sollte man TarifB wählen,

weil die Steigungvon KBstets kleiner oder gleich derSteigungvon KA bleibt. 2.3.45:

Gesam tkostenfunk tionen ~ bzw. Ko (€/Jahr) bei Jahresfahrleistung x (kmIJahr) :

KN<x) = O,2192x + 3780

KN =

Ko

bzw.

Ko (x) =

0,1928x + 4188

für xo :: 15.454,55 km/J.•fiirx >x o ist Typ 2,3 D günstiger.

562 2.3.47:

Umkebrfunktionen: xI(P)=6 - p (PS6) aggregierte Nachfragdunktion:

j 14-6-p3p

x(J(p) = XI(P) + xn(P) = 2.3.48:

xn(p)=8-2p

(OSx S2) (2 < x S 14) Erlösfunktionen EA(x), EB(x)

EA(x) =

fl1r osxs 800

50" + 10.000 [

25x+ 30.000 ( 800 <x S: 2400

x >2400

f.

150" - 270.000

EB(X)

Fall A: 200 < x < 3000

:::> Gewinnzone:

(p:S:4)

(O:S; p:S4) (4

Kostenfunktion K(x):

K(x) =

2.3.59:

Lösungshinweise zu ausgewählten Aufgaben

11

I)

a) Nullstelien: - 1,815 und 8,8 15

il)

3 I a) f(x) = - xL - x + 3 8 4

=

100x fiir 80x fiir { 60x fiir

O:Sx $ l000

lOOO<xn ooo x >2000

t. 0 :S x:S lOOO l oo X 8Ox+20.000 r. l OOO <x :5 2000 { 6Ox+60 .000 f. x > 2000

Fall B: 200 < x < 3666,67 (ME). <) Die Funktion besitzt keine N ullstellen

2.3.60: ü) 2.3.61:

Gleichgewichtsmenge: 4 ME; Gl eichgewichtspreis: 10 GE/ ME; Umsatz: 40GB. 1) a) E(x) = x · p(x) = 1200x - O.2x2 x>O b) E(p) = x(p)· p = 6000p - 51" p>O .

2.3.73:

i) xI = 2; xl = -

2.3.74:

l) xI = 1 (geraten) :::>

Y2; x3 = V2

ül) xI = I : xl = 0,6180; x3 = -1 ,6180

x3 +9x - 1O = (x-IXx 2+x+ 10) = 0

~ L = {1}

iii) a l = 2 (geraten) ~ 3a L ZaLZ3a +30 = (-ZX3a 2 +4a- 15) '" 0 ~ L = {2 ; - 3 ; 5/3 } v) z i =5 (geraten) ~ z3-3z2- Sz- Z5 = (z- 5Xz2+Zz+5) = 0 ~ L = {5} 2.3.79:

(1) variable Kosten: K.,.(x) = 0,07x3 -2x2 + 6Ox; Ftxkostcn: I 0 (stiJckvariab/e Kasten) 267

, x >0 (stilckflxe Koste n) 267 durchschnittl. gesamte Kosten: k(x) = 0,07x2 - 2x + 60 + - x- , x > 0 (StI1ckkas/en) durchschnitt!. fixe Kosten: kt<x) = -

2.3.92:

i)D =IR ; x = ±

yy-l

x

Iü)D = {xER j-l :S x S l} ; x = ±

VT=?'"

v) D = {xE IR Ix+82:0 A xL I 6 :t 0} = {xe R I x 2:-8 A x:t4I\x :t-4 }

2.3.93:

I) Mathematischer Definitionsbereich; 4r -100 2: 0 d.h , r 2: 25 ; ö konomischer Definitionsbereich: r 2: 25 A x 2' 0, d.h . V4r - 100 - 10 2' 0 ~ 4r - 100 2: 102 ~ r 2' 50 ME.iil) K(x) = 2x2 + 40x + 400 1n3 2.3.100: i) D c = IR ; NullsteJle: iil) Dh = lR ; Nullstelle: 0 v) D p = 1R\{- 3};keinc Nullstelle.

3"

2.3.104:

Definititonsbereich

I) iil)

Nullstellen

Umkehrfunktion l-reJation

x = ±Ve2c-l

0

Df =1R

1'5- 1 -2-

1\ = IR+

(... 0.6180)

':J";:;;-;:;x = + VeX+ 0.25 0,5

2.3.133: I) x(600) = 1,0472 = 1f/3 ; x(-30 0) = -{),5236 = - 1f/6; x(36.0000) = -628,3 185 = -ZO/1rt ü) Y'(0,5) = 28,6479°;

Y'(90) = 5.156,6202°; .p(1f/6) = 30° ; .p(2OJf) = 3.6000

iü) a) s = r ·x = r · .....:!....- ·'" - 4 · ...:!.... · 33° = 230383

180° '"

180°

,

11

563

Lösungshinweise zu ausgewählten Aufgaben n+ 3

2. 1. 134: l) sin 0.5 =0,4794; tan l = 1,5574; tan 7Jt/2; nicht definiert; sin- ,- .:::::0,0707;sin lOOO .:::::0,8269 ü)sin x= -1

~

sin 2x = 0,5

x =I ,5Jt~270"

cost-x - 1) = 0,35

~

- x+ 1 = 1,2132

sm x

~

x = - 0,2132

x = 0,2618

- = sin x

lli)1- -

2.4.11:

Gewinnschwellen(ReguIafalsi): 1,3971 [ME] und 8,4268 [ME].

2.5.55:

I) a) 30 ME

lli) x = 0,1208

v) xI = 40 ME. x2 = 80 ME vii ) a) xl = 0,6938 ME, x2 = 114,844 ME

2.5.56:

Gewinnfunktion G: G(x) = -x 2 + 96x-704 ;

2.5.57:

l)

K(x) = x2 + 200 [€]

2.5.58:

i)

nach 15 Jahren

2.5.59:

I)

Kr,.

2.5.61:

Preis-Absatz-Funktion:

Gewinnschwellen: 8 ME und 88 ME.

ü1) Gewinnschwellen: x = I0 MEx und x = 20MEx

nach 2,25 Jahren wertvertust von 60 %.

ü)

lli) Gewinnzone 21,608 ME < x < 408,123 ME

K(O) = 600 GE

x(p) = -

90.000

p+I O Sparfunktion S: S(Y) = 0,4Y - 900

iii)

T

v)

CIYI

900

y IYI 2.5.63:

l) math. Dcf.bereich: Y C: - 180; öko n. Del.be reich: Y C: 0

2.5.64:

l) ökon. Dcf.bercich:

2.5.65:

I) E(6O) = 115,56 GE

2.5.66:

l) Y = e8,2L 100 = 3.727,63 € /Monat

2.5.67:

i) G(t) = 1.000.000 "(I- e- O,Il) - 2O.000t-1O.OOO, t C: 0 ~ t

v)

c) 0.01x2 + 10x = 416 ~ xl = 40 ME (x2 < 0, ökon. irrelevant)

lli) Y = 5.000 GE

v) G(t) = 0

I -sin2x -I ooS2x

Ci = 1,2329

Regulafalsi: l) x = -0,8087

i)

15°

cosx

- tan;

2.4.10:

2.5.62:

~

-12,2169°

~

I oorx - I - = ccs x oos2x ooh sin2x cos-x I v) tenx -sm x + cos x = CöSX+ = oosx

2.3.135: i) cos x · tan x = cosx · =

~

Da = lR+

"

Y = 2.250 GE Durchschnittliche Konsumquote

~=tan a y Fahrstrahlsteigung. Wegen tan aJ > tan a 2 > nimmt die Fahrstrahlsteigung mit steigendem E inkonunen ab. iil) Y

> 1.440 € /M.

iü) 10= 35" e y ~ Y =1 1,97,d.h.I .197€/Monat

il) Der Preis p(x) ist positiv für alle Mcngen x mit 0 < x < 65,45 ME . üi) Y = 4.733,28 € /Monat.

iii) G(O) = 0 GE

= 49,13 , dh. ab Laufzeit 50 Tage: Kumulierter Gewinn (erstmalig) negativ .

2.5.68:

900 = 1,2 ·yO,5 + 420

~

2.5.69:

200 ' e- O•2x = 12 + 0,5x

~

2.5.70:

G(p) = -20p2 + 5.570p - 324.760

Y = 160.000 Mio € /J . = 160Mrd€/Jahr x = 12,0349 ME ; P = 18,017 GE /ME

564

11 Lösungshinweise zu ausgewählten Aufgaben 50.000

6

2.5.73:

2.000 = - - ~ i = 0,09 0 = 9,60 250i + I G(w) = 41.(}()O -9.200 _e- O,OOlw -w i)

2.5.74:

I)

2.5.75:

I)

P(x) =

ü)

E{x) =

2.5.71:

K(m) = ZOE = O.lm2+3 .200

m

70

p.a.

U)

iil) G(E) = 32.000·Y O,5E -80 - 820E+ 128.000

+ 50 filr OSxS IO + 65 filr 10 <x :5 20 + 35 filr 20 <x :570 - 0 5)(2 + SOx filr OS xS 10

- 0,5)(

1 1-o,sx2 -2x - 0,5x •

- 2)(2

+ 6Sx

für 10<)(:5 20

+ 3Sx

0(500) :: 34.919,92 GE

für 20<x :5 70

(p: Preis (GEIME) x: nachgefragtc Menge (ME» (E : Erlös (GE),

x: nachgefragte Menge (ME».

iii) b) In jedem der drei Abschnitte ermittelt man die Schnittpunkte xi zwischen E und K und

stellt durch Einsetzen von Zwischenwertenfest, in welchemBereich E > K(d.h. G>(» ist: Darausfo lgt: Die Gewinnzone umfasst alle Outputwerte mit 6.83 ME <x <36,18 ME.

2.5.71:

i) Arbeitslosenquote A = 4%

2.5.78:

1)

2.5.79:

x2= f(x) t = -

I.,

0,02

x,~~25 '

= =

ö) Arbcitslosenquote A :: 12%

ö) zusätzlich noch 6,4304 ME des 1. Gu tes erforderlich

34,657 Jahre.

is = 0,043322 = 4,3322% p.a. (stetig) iii) t = 106,04 (seit 20(4). d.h. etwa im Jahr 2110.

2.5,80:

I)

3

Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

3.2.29:

I)

furx=2: [2=-

ü)

K(x) = 2xZ + 80

3.3.8:

1)

f ist homogenvomGrad3,5

3.3.9:

Ein Lösungsbeispiel ist:

3.3.10:

Nutzenanstieg auf das 2 1 ,j ~fache (... 2,8284-fache) des Ausgangsniveaus

4

Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen

4.1.36:

_

I

4

fiir x = 4:r2= - ;

q

q

q

iü) Einsparung: 1,4851 ~ des zweiten Faktors ili)

f ist nicht homogen.

f(q,r2'[3'[4) = 4[1[4 V[2[3

lim f(x)=3 +; lim ffx)=S-; lim f(x) = - 00 ;

x_ _ ""

9

fiirx=6: [z= -

x_ -)

x _-3~

lim f(x) = 2 ~;

x-e u

lim f(x) = -2+

x_ ""

4.3.11:

I) "" öl) 0 v) 3x2 vii) 0 vili) 5 . (InO.5f! ~ 2,4023 Ix) x - -2 +: + _ ; x--2- : - _

4.3.12:

1)x_ limf(x)=O ; x_ lim f(x) oto- = 7,1 ; limf(x) =7 1/11 = 6.45 ;

4.3.13:

I)

4.7.11:

i) a) D =IR.\ {l ; 2}

x__

x(P)=2 +100 'e-P/10

x limf(x) _ =71/11 = 6,45

~ limx(p) = 2 p-

-

b) Nullstelle: 0 (t ED)

c) Polefür x = 1 und x = 2

11

Lösungshinweise zu ausgewählten Aufgaben üi)a)D =lR v)a)D =1R vii) a) D = IR

565

b) Nullstelle: 2 c) einseitiger Pol für y = 2 (links gegen 0, rechts gegen 00) b) h = - 2x ist Nullstelle

c) fist überaJl stetig

b) Nullstellee 0

c) g ist überall stetig

b) f besitzt keine NullsteJlen c) in x = 2 ist f stetig; in x = 3: Sprung; in x = 4: Lücke; in x = 6: Pol mit Zeichenwechsel

Ix) a) D = 1R\{6 )

4.8.12:

I)

I

11

f(x) = 1 - x +1

d.h. A(x) = 1

Iv)

f(x) = 3 +

~~ J( YA=y

)(2_3x- 11 3 3)( +X+4

d.h. A(x ) • 3 . lim f(x) = 0

vi)

dh. A(x)

0 für x- 00

=

d.h. A(x) =

lim f(x) = 1

A = 1.2S

vii

i

fürx - - oo

(xl

,dh.

A(x) = 1 für x-« lim f(x) = x_ -_

-5

A= I

(xl

00

vii)

, d.h.

A(x) = - 5 für x- - oo

4.8.13:

i) f(x) = -2,5 +

4.8. 15:

a)

lf"u)

xI

ivI

(tl

lim f(x) = 5' 4 x_ -_

vii)

(xl

Ili)

A = -5

f(x) = 0,5x + 3 +

C(Y) =s--'-sY+ l

1. ,=

(CI A=8

00 , d.h. die Asymptot e A(Y) = 8 ist zugleich Sättigungs-

für Y -

grenze für den Konsum.

,

O,5)(2+3x+1

ClYI 4

( .s<JfIIgungswerl·)

(Beispiele)

566

11 Lösungshinweise zu ausgewählten Aufgaben

5

Differentialrechnung für Funktionen mit einer unabhängigen Variablen - Grundlagen und Technik

5.1.22:

b)

i) f(l ) = - 3

c)

i) yoo -7x + 8

d)

Horizontale Tangenten liegen bei:

i)

f ist in xI) = 2 stetig, aber nicht differenzierbar (Sprung- Ecke)

5.1.28:

ili)

5.2.21:

lil ) 1'(1) üi) Y =

= 0.5

v) 1'(1)

1~ X+ I~

v) y = 3,2x- 4,8

0,35x + 0,71

,..

vZ

zr Z

=0,4

i) xI) = 0,25

v) Xo =

°

vii) f'(k) =

ek

ili) nirgends

f ist an der Stelle Xo = 3 unst etig und somit auch nicht differenzierbar

i) f'(t) = -

t~

g'(z) = 1,5'

ili)

VZ

- 12

v) h'(p) =

Vp:iö

17

i

t'(z) = -;

xi)

a

;/3

xill)

3n ~ 5.2.38:

I)

-435

f'(z) =

R2

7

vii)p'(u)oo u +(Zu -uZ)lnu U e

5.2.39:

I) aIb) iU) aIb)

f'(y) = 6x3

ili)

7

VY

Ix) b'(x) = e'l +

k'(s) = 3k.3xZ + 2kzx + k1-

v)

l

u'(v) =

xi) t'(b). «

..

7 v

-

~

x

(Zln b)(4b+ eb)

Z

b(Zbz+eb)

(Zbz+ebl

f ist stetig in lR ; f ist an der Stelle xI) =2 nicht differenzierbar(Ecke) f ist stet ig in IR, f(I) =O i f ist in R differenzierbar, f'(l) = 1

Tangentengleichung: y = O,04x + 0,12

5.2.40:

i)

5.2.53:

i) f'(x) = 32 (4x7 - 3x5fi3 ' (28t' - 15x4) v) k'(t) = _5t· lnt

vii) C'(I) = (

Steigungsmaß:

ö)

e- I ( ... 0,3679 )

lli) k'(z) = 5z4 (l n (1 - z5) -

3 Z

Ir::-::-:;

-

2I . fr"zI) e-

12

ix) Q'(s) =

3· v (ZI)2

~) 1- z 5

Zs3 l +s4

~ 6+s~

x L

xi) p'(a) = x '(ln(ax- e3»x-l . (xa - e3) ' e xZ+ 1 aX -ea

5.2.67:

i)

f'(x) = (H x In 3) 'x Z' 3x

v)

k'(t) =

ix)

trt.(_1 ,VI

VI

Q'(s) = s(S&)SS ( (Ins+1)ln s +

+)

2v1n v . ( lnvv )

vii)

p'(v)

xi)

f'(x) = _ 1-

=

In7

( ~_ ~) Z 4 x +4

x +Z

In(bz +l)

bZ + I b ·lnb (ln(lnb» z

viii)

7 I) f'(x)oo

h'(z) = 21n z. z-1. (In z) 9 (In 2 -ln z + 10)

_1_)

In t +

In( lnb) 'Zb

5.2.72:

lil)

~

4

+ (x + x2)Z

e- x ,

V1+ x6

,

(_4'_

+

7(Zx Z+1)

v) k'(v) = e7v(lßv)=! (7 __'_ + Zln(lnV») vZlnv y2

11

Lösungshinweise zu ausgewählten Aufgaben

5.2.77:

I)

f'(x) = IOx9;

Iü)

h'(z) = - -

v)

k'(r) = -

567

, f"(x) = 9Ox8j

, +3 -; (z_ I)3

h"(z) =

~ e l/r ;

f"'(x) = 72Ox7

2(2+S)

(z- 1)4

h"'(z) = _ 6(2+7)

;

(z- I)5

~ + ~ ) e l/r

k"(r) = (

( ti6- -;:s6 - ~I)

k"'(r) = -

j

el /r

2 N'(Y) = (I+ Zy )y2 (ZY .ln(I+ZY)+ 2Y ) ; 1+2Y 2 2 N"(Y) = (1 +Zy )y (( ZY .ln(1 +2Y)+ 2y ) 2 + 21n (1+2Y) + + 4Y(1+Y») (1+2y)2 1+2Y 1+2Y

w)

~

5.3.10:

In allen Fällen wendet man zweckmäßigerweise die Regel von L' Hßspital (L 'H) an: I) ,,0/0". L 'H :

Ui) "O·(-oo)". Umformung; (ln x) I (1Ix 3)

5x"/e>= - 0

v) ,,0/0". L 'H : - ,,110 +" -

ix) "O/O". L'H: (1Ix)/l xiii) ,,1

00

xv) ,,1

00

vü)

00

(-2!(3e» ' ,,1I0 +" _

".

Inf = 1n(1- 1/x) I (1/x) - "O/O". L'H: In f -

" .

In f = 1n(I -x)/x

-+

xvii) ,,00/ 00". 2ma1L'H: -

1Ie

xix) ,,0/0". L 'H : (e"+e-J)lZ -

xxi) Für x - 1 +: ,, 00 - 00 ". Umfonncn: (Zx ' In X-x+ 1)/«x- l ) ' lnx) -

L 'H: (2 · In x + 1)/(ln x + 1 -1Ix) -

" üi) Falls Startwert: xI = ° " I) Falls Startwert: xI = 2

Iv) Falls Startwert: xI = 2

Xs = 1,2879 1

"

1

,,0/0"

,,110 .... - 00 (Analogjar x -r l ": - - 00)

xxl.il) "Oo". Für x +O gilt: ln f e I , d.h. f e e , d.h tur x -e 5.4.6:

-00

- I, d.h.f - 1Ie

,,010". L'H: In f - - I , d.h. f -

2/7

°

3

3ma1 L 'H : (24x+6)/(24x-30 ) -

xi) ,,0/0". L'H: -

1

L 'H : -

-

so X(j

ü

strebt I-e-e . (einzige reelle Lösung)

= ...

x4 = -0,567 14 =xs = __ _

(einzige reelle Lösung)

x6 = 0,567 14 = x7 = ...

(einzige reelle Lösung)

6

Anwendungen der Differentialrechnu ng bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

6.1.16:

I) dk(20) = 4,5;A k = k(21)- k(20) = 4,6762 Iü) dP(7) = -0,0857 ; Ap = P(6,4)- P(7) = - 0,0896

6.1.17:

Outpu tverminderung ca. 17,25

6.1.18: 6.1.65:

V105 :.. V100 +df(lOO) I

MEx-

dx =S

I) K'(70) = 79Z G E/ME

= 10.250 (exakt auf 3 Dezima1stellen: 10,247)

3) k'(100) =

1O,96G~E

7) 00(30) = 1920 GE ; go(30) = 64 GE/ME

, ky'(x)';' ,0

1l) G '(125) = -Z.562,50 GE/ME 17)

i)

~

iii) K'(x)';' k(x) 19)

I

°

i) x'(r)= 0 -

I

iii) x(r)';'

~

5) x'(40) = Z3 MEx/MEr

9) E'(150) = 30 GE /ME

,

13) C(1000) = 1,2 GE/G E

x = 8,33 ME Ii) k'(x) ';' g1eicheLösung wieü)

~

r =5 1,1725 M1;: ; ii).d) j

~

r = 77,3278

MEr ;

°

~

15) U '(4) = 2,5NE/ ME

x = 18 ,Z9 ME (Regulajal5i)

, _

iv) x'(r) ';' x(r)

~

r = 37,5 ME r

11 Lösungshinweise zu ausgewählten Aufgaben

568 21)

K'(x] '" E'(x) => x = 27,14 ME, P = 139,14GE/ME

23)

E '(p) ,; - ' - -5 => P = 76 GE/ME r 0,1 k '(x) ,; - 0,4 ~ x = 16,80 ME (Regula falsi)

25) 27) 6.1.66:

- 05

t

,

,

g'(x)';-O,2 => x= 17,52 ME (& gula faLri); 29) Go '(x) = -20 => x= 29,37 ME

2)

ky(70) = 22,82 GE/ME

8)

00'(30) = 1.014,45GE/ME; go'(30) = - 14,83

4) x(40) = 0,19 MEx;/MEr G;;:E GE/ME

14) g'(40) = 6,60 ME

6) x "(40) = -0,0086

ME~E, ,

10) E '(120) = 181,34

GE~E

-

12)

S'(1000) = 0,9949 GE/GE

16) U(4) = 2,67 NE/ME

18)

i) Y = 472,87 GE ii) Y = 42,47 GE

22) 24) 28)

K"(x} -* 0 für alle XE R, die Grenzkostenfunktion besitzt nirgends eine horiz. Tangente

20) x = 96,81 ME; p = 759,61 GE /ME (Regulafa lsi)

r = 425 ME r i) a) x = 3,44 ME b) x = 3,56 ME

r

26) keine Lösung ü) a) x = 5,34 ME b) x = 5,58 ME

30) Produktionskoeffizient = 6,25 Mf1JMEx 32) ['(20) = 10 MEriMEx lim_C'{Y) = 0 GEIGE lim _S'(y) = 1 GEIGE 34) v_ y_ 6.1.67:

I)

a)

dr2 ME 2 ~ (4) = - } ME

, d.h. wenn man - ausgehend von 4 MEI - rl um 1 MEI erhöht ,

karin 1 M~ von r~ eingespart werden, ohnedcn Outp ut von20 ME zu verändern. 6.2.48:

6.2.49:

Definition: f

t

heißt: f ist stre ng monoton wachsend; f ~ heißt: f ist streng monot on fallend: I

1

3

3

l) f 1 fOT x <- und f Hür x >-

ill) h j für t <-7 und für t >2; h ] für -7
,) gl . uf Dg = IR\ {l)

"") N touf "N= IR\{O )

2

2

I) K ist für x>"3 konvex und für x < "3 konkav ill) x ist für r < 2 konvex; für r > 2 konkav v) P ist für Y < 0 konvex; für y > 0 konkav

6.2.50:

Definition: m

f:l

vii) y istauf

Dy =

JRt konkav.

reJatives Minimum; M f:l rel.Maximum; k.A. a keineAussage möglich

I) stationäreStellcn: t 1 = - 2 (M); tz 1

v) stat. Stellen: YI = -

3

= 2 (m)

(m); Y2 = 2 (k.A.)

ü1) stat. Stellen: ul

= 0 (k.A.); Uz = 9 (m)

vii) stat. Stelle: x I = e- l ~ 0,3679 (m)

xi) stat.Steüe r = e- l =0,3679 (m)

Ix) stat. Stelle: ul = e ~ 2,7183 (M) xili) stationäre SteIle: xI = 2,5498 (M)

6.2.51:

Definuion: WP

Q

Wendepunkt; Ja

Q

konvex; kv Q konkav

i) xl = 5,3: kv/Ja WP ill) u = 1 ist eine mögliche Stellefür einen Wendepunkt vong ,aberwegcng"'(I) = O.g" "(I) = 24 > 0 handelt es sich wn cincn Wendcpunkt von g'! v) xl =

-2-VJ : kv/ Ja WP;

Xz = -2 +

VJ : Ja/kv WP;

x3 = 1: kv/kx WP

vii) sI = - 0,5: kv/kx WP

6.2.53:

Die Lös ungen sind nach folgendem Gliedenmgsschema aufbereitet: J) Defmitionsbereich 2) Symmetrie 3) Nullstellen 4) Stetigkeil 5) Differenzierbarkdl 6)relativeExtremwerte (M), (m) 7) Wendepunkte (WP) 8) Monotonie- und Krümmungsverhalten 9) Verhalten am Rand desDefinitionsbereiches bzw. f ÜTx - ± _

11

569

Lösungsbinweise zu ausgewählten Aufgabe n

I) I) De = IR

3) Nullstellern I ; 4

4) stetig

ill) I) De = IR

3) Nuilstelle: - 1,4983

v) I) De = IR

3) Nuilstellen: 0; 12

6) rel. Mi ", (0:0):(15 : - 844).

7)

Wendepunkte:

4) stetig

6) keine Extremwerte

-3V6... 4,6515;

12 +

7) keine WP 7) WP: (1 ; 158)

3V6 ... 19,3485

4) stetig

rel.Max: (3 :20.25)

6-V2"1... 1,4174

\11) 1) De = lR.\ {I }

6) rel. MiIL (2,5 ; -2,25 )

(f ... 9,7 1); 6+ V2"1... 1O,5826 (f ... -485)

3) Nullstelle: 0

If)

4) in 1 unstetig (beidseitiger Pol)

xi)

6) (M); (0:0): (mH2:4)

7) keine WP 8) A(x) ,=x+ 1 ist Asymptote f. X-:l: oe> ix)I)Oe = {xe IR I X i!: 3} 3) Nui lstellc: 3

Oe

4) stetig auf

6) keineExtr.

7) keine WP

xi) 1) Oe = IR

3) Nultstelle: 0

4) stetig

6) rel.Min.: (0;0) ; ret. Max.: (2; 0,5413)

7) WP: 2 -

V2... 0,5858 (e "" 0,1910) V2"" 3,414 2 (f "" 0,3835)

sowie 2 +

9) Die x-Achse istAsymptotefür 6.2.54:

1

f(x) =

(xl

iii) f(x) = xL 9x2+ 3Ox+16

f(x) = - x3 - x 12

I)

6.2.55: 6.2.67:

2

x- _.

- O.5x + 1,25

,, -,

(zur Systematik siehe Lösung zu Aufgabe 6.2.53) I) 1) 0 e = IR\ {O}

3) keine Nuilstellen

4) in 0 unstetig (linksseitiger positiver Pol)

6) keme Extr. 7) WP (0.5 ;0,1353) 9) y = 1 ist Asympto tefür x -:l: _ ;

lfI

Iimf(x) = 0 +

vi

%- 0 +

lil) 1) Oe = IR+ 4) stetig auf

Oe

3) Nuusrenc 1

5

6) rel. Min.: e- O,5 "" 0,6065 (0 1$ Oe) 7) WP: e- 1,5 "" 0,2231; f = -0,0747 9) lim f(x) = 0 %- 0 +

v) 1)

Oe = {xe R

IOSx s 8}

3) Nullstelle. 3 +

2

V2... 4,4142

4) stetig in 2 und 5, in 4 ist f unstetig (Sprung)

5) differenzierbar inS; nicht differenzierbar in 2 (Ec ke) und 4 (Sprung); 6) rel. Max: (1;2) ;(7; 6); reI.Min.: (2; 1) 7) Wendepunkt : (5; 2)

2

,:

! (x) 5

8

570

11 Lösungshinweise zu ausgewählten Aufgaben

lxi

6.3. i 7:

Zu prüfen ist bei allen A ufgab en, ob der Graph von x(r) die

ertragsgesetzlkhe

für einen errragsge-

Produkfionsfunktion

setz1ichen Verlauf typische Gestalt (wie in nebenstehender Abbildung) besitzt.

Irl lü), Iv) nicht ertragsgesetzlich

ü) ertragsgesetzlich

l) nicht ertragsgesetzlich

lxi

lxi

lxi Irl

Irl 6.3.19:

Aus: x(r) > 0, x'(r) > 0, x"(r} < 0 ergibt sich:

6.3.20:

Die Zuo rdnungsvorschrift für die Gesamtkostenfunktion Klautet : K(x) = x3 - 12x2 + Cl: + 98 mit c > 48

a>OundO< b <1.

K(x) ist nicht eindeutig bestimmt (3 Bedingungengegeben, aber 4 Koeffizienten gesucht) 6.3.21:

Eine neoklassische Produktionsfunktion muss dieBedingungen: x'(r) > 0 sowiex"(r) < 0 für r > 0 erfüllen . Die gegebene Funktion erfüllt diese Bedingunge n und ist somit neo klassisch .

6.3.22:

I) k(x) = 160 ' x- O,3219

6.3.58:

I) x = 8 ME

6.3.59:

ü) Gesamtproduktionsmenge: "" 9554 ME

1iJ) x = 20 ME (z.B. mit Reguia falsi)

v) K'(20)

= k(20) = 54 GE/ME

i) für keinen Preis, da der entsprechende Nachfragerückgangbeijedem Preis 3.33 ME beträgt.

iii) a) x

d) x

= 220 ME; P(220) = 978 GE/ME

=

60 ME ; ,,60)

= 1.026GElME

b) x = 86,6422 ME ; P(86,64) = 1.018 GE/ME

0 Pmn

= ,(0) = 1.044 GElME

v) a) Gesucht ist die langfristige Preisuntergrenze = Slückkosteruninimum (x = 96,48 ME) Pm. = k(96,48) = 109,82 GElME

6.3.60: 6.3.61:

1) r = 15 ME r

lii) r = 22,5

M.Ec

= l\

r<x)

I) Stückkostenfunktion k(x)

lü) Max imalgewinn (= 15.550 GE) P

fv) r

=22,5

ME[

(identisc:h mi / iII))

= + 16xOO ~ Betriebsoplimum: =315 GE/ME (d.h. X =70 ME) X

6.3.63-1: i) a) Produktionslos: 3.200Stück pro Los; 15 Lose pro Jahr; GesamtIiistkosten = Gesamtlagerkosten = 115.200 € /Jahr

X = 40 ME

11

571

Lösungshinwcise zu ausgewählten Aufgaben b) Produktionslos: 7.155,42 ... 7.155 Stück pro Los ~ Gesarntrüstkosten = 51.533 € /J. ... Gesamtlagerkosten

6,7 1 Lose pro Jahr (genmdet)j

= 51.5 16 € /J. 16

6.3.64:

Gesam tkostenfunktion K der Materia1ausgabe: K(x) = 20 (x + - ) - Min. ~ Das Werk sollte 4 Arbeiter in der Matesialausgabe einsetzen. x (mittlere Wartezeit: t = 5 Minuten; minimale Gesamtkostern K(4) = 160 € /h)

6.3.65:

1) ü)

Anfangskapazität im Jahre 2000 : P(O) = 35 LE. Max. Produktionskapazitat von 55 LE wird im Jahre 2020 erreicht (t = 20).

6.3.66:

I) ü) ill)

Bei Marktanteil 36% wird die max. Rentabilität von 29,8 % erreicht Die Schwellen liegen bei 18,80% und 53,20 % Marktan teil Untemehmensverlust von 6,164 Mio. €

6.3.67:

I) ü)

&gmentie rungsgrad muss mindestens 50% betragen &gmentierungsgrad 83,33%führtzummax. Gesamtgewinn von 133,33 T €

6.3.68:

I) jjl)

Gewinrunax. Menge: xG = 4,19 MEj Steuern T = 100,56 GE; Gm... = 14,4 GE. Gewinnmax. Menge: xG = 5,19 ME, also ident isch mit der gewinnmaximalen Outputmengeohne Gewinnsteue r (wieso?)

6.3.69:

I) ü)

6.3.70:

4

- 2 >0: (x+ 9) a) 22,08 h nach dem Unfall -

Ein Betriebsminim um existiert nicht b) t = 4,2924 Tage (==103 h) seit dem Unfall

iil)

_ _(10 - 9 · e- O•OOSB) = 10 Bilder/Monat (theoretische Obergrenze) b) Blim

Iv) ,)

20%p.a.

")

a) 9,60% p.a.

b) I '(i) < 0, d.h. Randma:x . ~ links"für i = 0%

122,62 GE/Jahr

ü)

I) I,) v)

") 6.3.96:

Wegen k',,(x) =

I) vii)

Randminimum für x = 200 Besucher pro Vorstellung

819,51 GE/ kg

lii)

Bohrabstand 1,2427 LE

a) 60 GEl b ; Lohnsumme 10.800 GEIMonat b) p = 80 GE/b

b) 50%

~

Lm... = 12.800 GE

c) Für jedes a hat die betreffende Elastizitat den Wert 0,75

v = 80 kmlh

E:f;xtx) = 7

12x3 +4x2 -x ff;xtx) = 4x3 +2x2 _ X + 1

ill)

E:r,x(x) = 3 +

optimaleSt öckelböhe 6,708 cm "" 6,7 cm

vii)

2,'

Ix)

(x 2+ I) ' In(x 2+ I)

3.4x3+ S.20xS

3+2Sx2

zx -Qn(3x) + 1)

i)

f[ (X)=

6.3.99:

1)

l) a) E: x,p(5) = -1,25 bedeutet, dass die Nacbfragex sich (näherungsweise) um 1,25 % verringert, wenn der Preis p sich - ausgehend von 5 GE/ME - um 1% erhöh t

4x3 + 20xS

-

E:f; xtx) = 1 - 5x

6.3.97:

.x

= -

E:f;x(x) =

,)

1 + Sx2

öl)

E:f;x(X)=0,5+0,tx- 4 = 0,lx -3,5

c) p = 100 liegt nicht im Definitionsbere ich. iü) 4)

i)

E:x,p(p) = - 1 :::} E:

P = 4,5 GE /ME

x = 9 ME

:::-li::;;;;;;

X,p = ;: Inp - ln800

a) E:x,p(5) = -0,1970 iü)

~

P = 800e- 1 GE/ME

b) E:x,p(9) = - 0,2228 ~

x=100ME

d) E: x,p(600) = - 3,4761

11

572

Lösungshinweise zu ausgewählten Aufgaben

6.3.117: 1) a) Die Nachfrage ist elastisch (t x,p < - l)fOr p>25GE/ME « SOGE/ME) 20 - O,8p

U) a) cE,p ::: 20 _ O,4p = - 5 => P = 42,86 GE /ME

6.3.118: I)

t E,w(800) ::: 0,4997 = 0,5

6.3.1Z1: EE',p(150) = 3,

10

ü) tE ,y(4000) = 20011201

= 1/6

aber E "(P) = -1 < 0 (daE'(150) im /V. Quadramen liegt)

6.3.122: ö) x(P) ::: 114,7648 ' p- O,383

m) a) x(p) = p

b) P = 101,58 GE fME.

bzw. p(x) =

bzw, p(x) = 238.830,95 ' x- 2,6110 10

x

b) x(P)

== 5

(p in€/t, x inMi o. t) c) f(x) == 2

6.3.137: i) Die graphische Ermittlung der Elastizitätswcrte erfolgt anhand der Abb. in der Aufgabenstellung (etwa nach Lehrbuch 6.3.138 nach Satz 6.3.1251128). E inige Beispiele ze igt die nachfolgendeSkizze (Abweichungen durch zeidmerische Ungenauigkeiten bedingt): ungefähre Elastizitätswerte.

III

Et;X
N

'(,Jc) '(,JE) Et; ,..{G) t t;,..{I) tt;,.,(K) E:t;JM)

et;x

8,2/1,2

= = . 1 ,21 ~ · = -0,4/0,4 = 1.4/1,4 = -2,111,8 = ,.4,5/0" = 3,5/1,4 =

-3,810,4

6,8

-9,5 0

-1 1 -1 ,2 ,. 1 00"

2,5

6.3.139: i) Aus der Abbildung ermittelt man (siehe Lötung zu A uf gabe 6.3.137) näherungsweise. a) Produktionsfunktion x: x(r):

ex,r €x,r
= = =

= =

,,0,8/0+" 4,211 ,1 ,,2,7/ _" - 9,7/1,3

= = = = ,,-20/ 0+" =

,,-"

3,8 0 - 7,5

,,- ......

b) Kostenfunktion K: K(x):

°

€K.,x(P) = 0/1,3 = €K.,x
6.3.161: I) Schwabesches Gesetz in beiden Fallenerfüllt, da imjeweiligen(positiven) Elastizitätsterm ew,C stets der Zähler kleiner ist als der Nenner, m.a.W.gilt: 0 < €w,C < 1 . 6.3.163:

Wie 6.3.161: eN,C ist stets kleiner 1, da (positiver) Zähler kleiner als (positiver)Nenner

6.3.165: Gewinnfunktion:

G(r)=E(x(r» -K(r)=p · x -Pr·r = I(x(r»·x(r) -Plr) · r (po' Outputpreis;x: Output;Pr' lnputpreis; r:Input)

°

Aus der notwendige Bedingungfür einen gewinnmaximalen Faktoreinsatz G'(r) = folgt: I) G'(r) = 0 ~ p'(x)·x'(r)·x(r)+ P(x)·x'(r) -Pr'(r) ·r-Plr) = 0 ~ Behauptung Ii) Aus I) folgt wegen E'(x) = x-p'(x) + p(x) sowie K'(r) = r Pr'(r) + Plr) Behauptung Iii) Aus ü) folgt: x'(r) = K'(r)/E '(x) und daraus mit Amoroso-Robinson· Relation die Behauptung

iv) A us Iii) folgt mit (6.3.107) sowieder Amoroso-Robinson-Relation (6.3.109) die Behauptung v) entspricht Ii)

11 Lösungshinweisezu ausgewählten Aufgaben

573

7

Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

7.1.15:

1) Oe = 1R2;

af =3x2.·3 + , -ax y -Y

ax

af = 3x3.y' + 2xy ., -ay

S

aXI=Xz ; v) Og = {(x,y,Z)EIR3Ix'*0};

ax

~ = l üxyz4-40 ~ ;

vtl) Op = {(q ,r2,r3)ElR3jrlr3 > 0}

'.

~

,

-Sxl

axz=xl

ae

"

.= =

16y 5x2z4 + - '

'" .

r = 2rl -1n (q r3)+ q+ 2r2 "e- zr 1Z

af ,r= aw = f 2v (Inw + 1)

'" VI1+31~-SI~ - 1013

7.1.19:

I)

~(1000;200) = 52,1841

~(1000 ; 200) = 65,2302

Bei einer Ausgangssituation von 1000 Arbeitseinheiten und 200 GE erhöht sich der Ertragum 52,1841 Einheiten, wennc.p. eine Arbeitseinheit mehr, bzw. um65,2302 Einheiten, wennc.p. eine GE mehr eingesetzt wird.

7.1.20:

I)

~ _ _

ap 1

MEt

0,5 GB!

ME 1

. ~ _ ME 1 . ~ _ MEz . ~ MEz ' ap -2 GPL_ ' ap -0,8 GEI ' an.. = - 1,5 GPL_ Z -~2 1 MEI "'~ -~2

d.h. z.8.: Wenn der Preis P2 des zweiten Gutes -c.p-- um 1 GE/~ steigt, so steigt die Nachfragexj nach dem ersten Gut um 2ME I usw. ••• ~ m ) a) apl (8

~._

GE

;5) = 12 GEJME

1

~

3I>z (8 , 5) - 16 GEfMEz

§._ ~ ~ . ~ apt (8 , 5) - 4 GEfME aP:z (8 , 5) - 6,4 GEJMEz t Vom gegebenen Preisniveau ausgehend erhöht sich der Erlös des 1. Gutes bei einer Preiserhöhung des 1. Gutes um 1 GE/ME um 12 GE , bei einer Preiserhöhung des 2. Gutes um 16 GE . Der Erlös des 2. Gutes steigt bei einer Preiserhöhung des 2. Gutes um 1 GE/ME um 6,4 GE, bei einer Preiserhöhung des 1. Gutes um 1 GE/ ME um 4 GE.

7.1.28:

Es gilt (explizitausrechnrnf):

f)'XX = fxyx = fl(X}' = e"Y (4y + 5xy2 + x2y3).

574

7.1.29:

11

ü) fxx = 6 :

fxy = fyx = 5 ;

fyy = - 8

54x4 +96x3y2+48x2yl - 24';

Iv) fxx =

f

(3x+2y2)3 - 12x5 + I08x3y +24x4y2- 24xY

f yy =

Lösungshinweise zu ausgewählten Aufgaben

xy

= f

yx

' _-':::7.::,3_-.::3.::'' '::...c '', -""''.::,,-,Y,-,-+.::24-=''',,-' = -C,,,':: - "-,(3x+2y2)3

(3x+zy2)3

.'K ax

>i) - 2 = 16X2

.'K

--0 aX22 -

x) lxx=-I,68· yO,7 x-l ,7j Lxy=4x =1,68 f o,3x-O,7 j Lyy= -I ,68 ' xO,3 y- l,3 ;

Ly..l. = L;'y= - 5

Lx.1. =L,l.x=-6 L)J. = O

f ( f + {ln (x3y2) + 2}2 )

fyy = (x3y2 fxy = fyx = 3x2y2· (x3y2)Y -l . (1 + Y' In (x3y2) + 2y)

xii) fxx = 3xy3 , (x3y2)Y - l , (3y - 1)

7.1.35:

a)

YA(2; 5)=- 12 > Oj

YKKl2; 5) = -72 < 0 ;

yK<:2 j5)=-147
YAA(2j5)=-62< 0

y..(2;5) = YKA(2;5) = 8 > 0,

In der Umgebung der Inputkombination (2;5) verläuft die Produktionsfunktionymonoton steigend bzgl. A, mono ton fallend bzg!. K; die Krünunun g bzgl. beider Parameter ist konkav, dh. die Geenzproduktivitäten der Arbeit und des Kapitals sinken. Die Grenzproduktivität der Arbei t ninunt mit steigendem Kapitaleinsatz zu und umgekehrt . 7. 1.49:

Partielle Differentiale: dx, I = 0,0689, dx r2 = - 0,0314 , dxr}= - 0,016 1 j totales Differential als derenSunune: dx = 0,0214

~

7.1.59:

I)

totale Ableitung: d! = 2el t + 16t 3 + 22t

ü)

total e partielle Abl eitung nach x:

3

t

3

+ 2(x2+ y2)2 .~ .e- Y+

EJ? a

x

= 8(x2+y2)x2 'e-Y' Yx ' ln y +

1. (x2+y 2Y' x ' e- y '(x . lnyf2/3 ' ln y 3

O,OO4 et (260 -2t) ( IOO+5t)0,4 b(l -b 2 +a ·lnb j db öl) - = - =-'---'7= da a(l +a -Zb2·ln a)

7. 1.60:

I)

~ = 2 ( !»0,6.(_0,2)e- O,0It + 3 (!>)0,4' 100

7. 1.75:

I)

tzx y'(x) = = Y

7. 1.77:

u, = V(20 : 20 : 5 : 25) = 125 Einheiten. Grenzrate der Substi tution für die aX2 vorgegebenen Konsununengen: -. = '3

dt

A

K

rzx

Y12x2 + 20

( y>O)

.u

aX3

au

."

=

8 MEZ = - 3ME3 '

dh. eine Einheit des

dritten Gu tes wird durch 8/3 MEz des zweiten Gut es substituiert. eine halbe ME3 wird mithin durch 4/3 MEz - bei unverändertem Nutzenniveau U o = 125 - substituiert.

7.2.10:

I) stationäre Stelle (SottelpUflkt) : (- 3 ; 2) iü) stationäre Stelle (rel. Minimum) : (2 j- 1) v) Es gibt keine stationären Stellen und somit auch keine relativen Extrema. vii) Es gibt 4 stationäre Stellen: (Oj 6 j 2j l)j (0:-2 j-2:-1)j (3; 6; 2 j l)j (3 j-2:-2 j-l)

11

575

Lösungshinweise zu ausgewählten Aufgaben

7.2.25:

Rel . Extrema unter den gegebenen NB . können an folgenden stationären Stellen liegen :

i) x = 2;y = -2;), .. - 4 ili) zl = I ; u l = 4; vI = 2; wl = 8 ;), 1 = 0.25 undz2 = -I ; u2 = - 4; v2 = - 2; w2 = -8;), 2 = - 0,25

7.2.28 :

i) M ögliche Stellenfür Extrema sind;

7.3.7:

i) Ey,A = 0,7 ; Ey,K = 0,3 für a1leA,K. damit auch für A = 100 , K = 400, d.h. Ynimmt um

x = 0; y = 1; z = I ; ),1 = 0; ).2 = 2

0,7 % zu, falls A um 1% zunimmt; Ynimmt umO,3%zu, falls Kum 1% zunimmt 7.3.8 :

.

I) Ex P = I' z

ili)

7.3 .27:

e; p -I '

O,3pz lOO -O,8PI+(),3P2

z = -1 < 0 ; Ex~p I

> 0; Ex_ni = U'

O,5PI

.

i50+
.

"

> 0, d.h. subsntuuve Güt er

= - PI < 0, d.h. komplementäre Güt er

I) a) Homogenitätsgrad: r = 1 b) Ey,A = 2Ko,5'(2Ko,5 + 4K-o,5rl ; Ey,K = 4K-o,5 . (2A- o,5 + 4K - o,5r1 c) Aus a) folgt:

y(AA,..1.K) = AI y(A,K)

dy(AA)K)

Ey,..1. =

dJ.

0:>

A

A

• Y(),A).K) = y(A, K) ). ' Y(A,K) = 1 = Ey,A + Ey,K = r.

U) a) H omogenitätsgrad: r = 1

b) Ey,A = IOAo,4 ' (I OAo,4 + 151(O,4r 1; Ey,K = 151(0,4 . (lOAO,4 + 151(O,4r l

7.3.45:

Nach (7.3.3 1) muss gelten: 1 ·

~

= 0,2

i)A ::>< 97,6 6 MEA ;K= 61,04 MEK 7.3,73:

(kA,kKl = (120; 15)

ö)

a) A = 21,2 ME A; K = 42,4 MEK b) Y = 243,5 ME c) P = 256,5 GE/ME 0:> E = 62.458 GE d) K = 3.180 GE 0:> G max = 59. 278 GE

7.3.82:

bzw. 1 .

~

= 0,4

c) vgl.i)

0:>

ü) y = 48,83 GE lil) FE = 43.95 GE; G = 4,88 GE (kA,kKJ = (2.000; 500) A = 12,5 MEA ; K = 12,5 MEK Y = 125 ME p = 375 GE/ME 0:> E = 46 .875 GE K = 31.250 GE 0:> G max = 15.625 GE

ii) Steigt der Preis von Gut 2 (bzw. Gm J) , so steigt die Nachfrage nach Gu t 1 (bzw. Gm2) , d.h . die Güter sind substitutiv miteinander verbunden.

PI = 5,3 1 GE/ME I ; P2 = 4,53 GE/M~; XI = 1,91 ME I ; Xl = 1,73 MEz 0:> G max =11,33 GE

Gewinnmaximum bei : 0:>

ili) Die beiden Gü ter sind komplementär miteinander verbunden, da bei Preissteigerungen für jeweils ein Gut die Nachfrage nachbeiden Gü tem abnimmt. E(x ,,xz) = - 2x12 -I ,5x j xZ - O,5xl + 400x l + 150x z 0:> Umsatz: Gewinn: G(x l,xz) = -2x IZ- 1,5x tx Z- O,5xzz + 35Ox. + 140xz - max. 0:>

7.3.96:

XI = 80 , xz = 20 ~ Pt = 220GE/ME I , Pz = 100 GE/MEz

0:>

Gma:< = 15.400GE

Das Gewinnmaximum wird für XI = 809,3986 ME I mit PI = 15,9727 GE/ME 1 und x2 = 778, 5245 MEz mit P2 = 250,4699 GE/MEz erreicht; Gma>: = 184.424,3303 GE.

11 Lösungshinweise zu ausgewählten Aufgaben

576

7.3.107: ö)

lil)

7.3.121: ü)

Lösungen mit Preisdifferenzierung

Lösungen otmePreisdifferenzierung

xI = 5 ME) , PI = 45 GE/MEt

x ;; 20 ME

x2=6 ~ , P2= 39 GE/MEz x3 = 9 1ffiJ • P3 = 60 GE/MB] Gmax = 679 GE

xI = 4,594 MEt. x2 = 3,891 MEz. Xl = 11,513 ME] Oma;( = 628,648 GE

x = 12,50 ME

xI = 11,25 ME I, PI = 48,75 GE/ME t, x2 = 2,5 ~. P2 = 38,75 GE /ME, Gmax = 308,75 GE 41

f(x) = -

S

323

- 70

P = 47,432 GE /ME

~

~

P = 47,50 GE/ME Xl = 12,50 MEI x2 = 0 ME,: Gmax = 302,50 GE 11 2 x ... O,7857x 2 - 4,6143 x + 8,2

x + -

14

7.3.144: koste ngünstigster Faktoreinsatz: A = 114,87 MBA; K = 57,43 MEK; (A. = 0,2872)

Der Lagrange-Multiplikalor drückt die Grenzkosten (in Höhe von 0,29 GE /ME) aus, d.h. die minimalen Kosten erhöhen sich tun 0,29 GE, falls eineOutputeinheit zusätzlicherzeugtwird 7.3.146: MinimalkostenfOr: t = 15 h/Monat; m = 6O hJMonat; (1 = 1,33); Kmin = 1.200 € /Monat

A = 1,33 € /Stuc k sind die Grenz kosten pro Bild bei 900 Stück, d.h. die minimalen Kosten steigen bei einer E rhöhung um 1 Stück um 1,33 € . 7.3.148: i) Minimalkostenkombination: tl = 36 h; t2 = 16 hj (A = 240);

Kmin = 840 €

A = 240 € /Kleid heißt: sollen 8 Kleider produziert werden, erh öhen sich die Minimalkosten um 240 € ö) Der Stückpreis muss mindestens 200 € betragen .

7.3.t SO-a: Variablen: tl (h nach Verfahren I) ;

tz (h nach

Verfahren II) ; x (kg nach Verfahren 1lI)

opt. Lösung: t ) = 16 h nach Verfahren I ( .Q, BOkg) j t2 = 4 hnach VeIfahren II ( .Q, 6Okg) x = 70 kg nach Verfahren III entsorgen, minimale Gesamtkosten 1.680 € A = 12 € /kg =

:~

, d.h. bei Entsorgungeines weiteren kg steigen die (minimalen) Entsorgungskosten um 12 € .

7.3. 1S0-c: i) x(E,A)-max.:xA= O;XE=O

~

A = 300h; E = 4oo MWh ; xm",, = 220.oo0 ME

ö) A = 200 h , E = 175 MWh ; A = 3,5 ME f€ , d.h. wenndieProduktionskosten um

einen € erh öht werden, steigt der Out put um3,5 ME;

Xm""

= 171.875 ME.

7.3. 151: Minimalkostenkombination: A I = 574,350MEA, K 1 '" 287, 175MEK;(A1 = 14,359) A2 = 7.968,440 MEA; K2= 3.187,376 ME K; (A 2 = 398,422);

Kmm = 205.601,31 GE

2 7.3.164: 1) Expansionspfad: I2(rJl = - 11 üi) K(X) = 2.4963x

280 120 ö) II(k J} = ; r2(k2) = 7 kl k2 Iv) I) = 29,1240ME 1; r2 = 8,3211 ~; Kmin = 499,2679 GE

7.3.1 68: i) K(x) = 8 rl (x)+ 1800= 0,02x2+ 1800 ö) Betriebsoptimum: x = 300 ME ; Kmin = 3.600 GE

f Ii

f

bzw. Ii = 12 . Mit tz = 100 ~ Ii = 225 ; aus dieser Minimalkostenkombination der Faktoren ergibt sich der Output x über die Produktionsfunktionx (I), I2) ZU300 ME. Genau diese Menge entspricht gemäß ii) dem Output im Betriebsoptimum .

ili) Expansions pfad: 12 =

11

577

Lösungstunweise zu ausgewählten Aufgaben

7.3. 180-a:

Nutzenmaximum:

x = 25 ME x; Y = 64 MEy;

U max = 42 Einheiten

). = 0,00 5 NE/GE (Grenznutzen des Budgets) : Ändert sich das Budget um 1 GE, so ändert sich der maximale Nutzen um 0,005 Einheiten (gleichgerichtet). 7. ...80-b : Optimale Lösung: L = 3,23 h/Tag ,.Lindenstraße"; S = 1,94 h/Tag ..Schwarzwaldk.linik" ). = 0,1936 GradJ€ , d.h . wenn er 1 € /Tag mehr verdienen will, erhöht sich sein minimales Frustrationsniveau um 0,1936 Grad 7.3 .18 1·a: Max. Wohlbefinden: xI = 3 f?, 300g f?, 6 Tüten Erdnüsse; x2 = 0,8 Liter (..1. = 0,2582); maximales Wohlbefinden: 3,098 4 Einheiten .

~

4 Gläser Bier;

Erhöht sich Pfiffigs Budget um 1 € , kann er damit sein maximales Wohlbefinden um 0,2582 Einheiten steigern. 7.3.182-a:

Nutzenmaximurrr x] = 25 ME) ;X2 = 20 ME2; ). = 0,75 43; U max = 301,7088 Einheiten Bei einer Steigerung der Konsumaus gaben um 1 € erhöht sich der maximale Nutzen um 0,7543 Einheiten.

7.3. 182-c:

opt. Lösung: xl = 7 Glas Bier/Tag; x2 = 6 Tüten Fritten/Tag; N max = 568 A = - 3 (Gren.znulzen des Budgets) : Wenn er pro Tag 1 € mehr ausgibt, so sinkt (!) sein Nu tzenniveau um 3 Punkt e. Erklärung: Die Nutzenfunktion ist nicht monoton steigend, sondern besitzt ein freies Maximum für (xI;X2) < (7;6).

7.3. 182·d: 1) m = 12 g ..Droge" , t = 22,5 Lerntage (ÜberprnflUJg? U) optimale Lösung: m = 9 g ,.Droge" ; t = 20 Lerntage 7.3.182·e: 1) Wegen r>t3 >0 ; D5 >0 besitzt D kein relatives Extremum, sondern ist in alle Riebtungen monoton steigend. D wird beliebig groß, wenn Blofel undStölpel gen ügend groß werden

U) optimale Lösung: B = 25 S E,S = 75 SB, 0 max = 22.795,07 DE, ). = 227,95 (Drupsch· Grenzproduktivilät) : Erhöht man den Input um eine Einheit (BE oder SE), so erhöht sich dermaximale Drups chquottent um 227,95 DE. 7.3. 183~a:

Nutzenmaximum. x j = 1.080 € /Monatfür Nahrungsmittel; x2 = 108 m 2 Wohnfläche ; xl = 1.880 kWhlMonat (EneT8in;erbrouch); x4 = 80 € /M onat für Körperpflege U max = 2.099.5 20 Einheiten . ..1. = 1.080 Einheiten/GE ist der Grenznutzen des Budget s: Der opt . Nutzenindex erhöht

sich um 1.080 Punkte, wenn das Budget um 1 € höher angesetzt wird. 7.3. 183-b: I) Wegen HR > 0 ; H S > obesitzt H kein relatives Extremum, sondemist inalleRichtun· gen monoton steigend Onkel Dagobert s verm ögen H kann also beliebig groß gemacht werden, wenn er nur genügend viel Raff und Schnapp einsetzt. ü) optimale Lösung: R = 50 RE, S = 80 SE ; A = 470,9 6 {Verm ögens-Grenzproduktiviuu) : Erhöht man den Input um eine Einheit (RE oder SE), so erh öht sich Dagobert s (maxlmales)Verntögen um 470,96 GE.

7.3.183-c: Gewinn: G(p.s) = - 2p2 - 1.000 '

~

+ 5.0 20p +

l.~

- s -60.000-max.

~

(z.B. Regula fa lsi oder Newton -Verfahren): s = 1.115,70 GE/Jahr; P = 1.254,78 GE /ME

7.3. 183· d: Gewinn: ~

G(p,w)= - 20p2+pYW+ 5.530p- 79YW-w-320.oo0

7.3. 184: I) P = 430 h; A = 240 h; T = 110 h; a) b)

-

p = 139 GE/ME ; w = 900 GE/Jahr; G m"" = 63. 150 GE.

Emax = 23.850 Einheilen.

14,10% der Gesamtarbeitszeit von 780 h entfall en auf Tutoreneinsatz. 6,25% der Gesamtkosten von 21.120 oe: entfall en auf Tutoreneinsatz.

U) P = 110 h; A = 65 h; T = 25 h; (.I. = 5/3 );

Emax = 10.775

Einheiten.

max.

578

11

Lösungshinweisezu ausgewähltenAufgaben

7.3.214: MitderLagrangefunktion L(xl,x2).) = xlx2 + 4xI + x2 +4 + ..1.(C-Plxl -4x2) folgt aus den notwendigen Extremalbedingungen für das H aushaltsoptimum. 4

x2+ = E.l (2) C = Plxl + 4x2 . xI+ 1 4 Haushalt soptimum: xl = 57,5 MEI ;x2 = 10,625 ~; (..1. = 14,625: Grenznutzen bzgl. der Konsumsumme); U max = 855,5625 Einheiten . (1)

i)

Gütemachfragefunktion (En gelfunktion) des 1. Gutes

U)

C+l6

(3) xi=xi(C ) = - - 0,5

(PJ= const., z.B.pJ =I : xl = 0,5C + 7,5 ).

'PI

v) a) Mit PI = 12; P2 = 4 folgt aus (1) die Enge1funktion: x2 = 3xI - 1 (= Ort aller Haushaltsoptima f ür wechselnde Knnsummengen) 21x}+ 25 b) Mit P2 = 4; C = 100 folgt aus (I), (2)die~offer-curve": x2 = - 2xI + 1 (= Ort aller Haushaltsoptim a für wechselnde PreiseP 1des ersten Gutes)

8

Einführung in die Integralrechnung

8.1.25:

I) 0,5x8 -O ,5x4+4x -1OInx+C

vU) - '- + C

viii )

I- u

iii) 1(4Y-3)' 3+C

(2x +l)J2+ e-

v) 7,5 ·(5x-I)0.8 + C

x--I

--6'ln(16 -5x)+ C V;

(l 6 -5x> O)

32 k(x) = 0,5x2 -2x + 4 +

x

8.1.26:

K(x) = 0,5x3 -2x 2 + 4x + 32;

8.1.27: 8.1.28:

S(Y) = Y -24 VO,6Y +4 -, -250 lOOx i) p(x) = -0,75x +4 U) E(x) = - - + c. E(O) = ~ C= 50, d.h. E(x)= - E(x) 100 2x+5 2x+5 und daher: p(x)= - = - x 2x+5

8.3.26:

I) 4

8.3.38:

(A : = Flächeninhalt zwischen den angegebenen Grenzen)

C(Y) • 2'V O,6Y+4 +2 ;

U) ,., 14,2621

°

ill) ,., 1,1162

v) ~ (I- e-rT)

Iv) '" 1,9004

JI(x) dx = ° , f f(p)dp = 48 •

I) A = 5,716 iü) A = 76,

aber aber

w

ü) A = 86

v) A = 7,6686,

-4

,

8.3.39:

I) Schnittstellen: - 3 ;3 ll: [0,2]: A =4 6

8.4.8:

i) e"(x- I)+C

üi) Schnittstellen: 1-

8.4.18:

i) (Substitution: t = x8 +1): -i'in(X8+ 1)+C

Ul) e"(xLx +2)+C

v) (Substitution: t = -2:x 2+x3): 4 · (e- 1-l) 8.5.16:

i) E(x) = - 9x2+132x

8.5.24:

I)

8.5.25:

~

~

v) ::::; 67,9977

V"3i 1+Y3: A = 13,8564 vU) 7 ' In 7 -6 ::::;7,6214

ili) (Subst.: t =

eX 2+ 1): f (eX 2+1)312 + C

vii) (Subst.: t = xl -a) : _1_ In (1- x l - a )+ C

ü) K(x) = x3-12x2 + 60x + 98

a ' (--') = "2 ä+C ' (Knnsumenten-Renle)

= 66,67 GE

JI(z) dz = - 83,33 0 4 aber f k(t)dt = - 4,9290

aber

1- ,

Iv) P(6) = 78 GE/ME ü) a = c

579

11 Lösungshinweise zu ausgewählten Aufgaben

ü)PR = 72 GE

8.5.31:

1) KR = 36 GE

8.5.52:

1) K22 = 4.277.280 € ; K2 = 1.0S4 .764 €

8.5.53:

i) P(X SO) = 0

8.5.59:

I) I(t) = 1000 ·eO, lt

8.5.75:

ü)optimale Nutzungsdauer. T = 9 Jahre.

8.5.76:

optimale Nutzungsdauer: T = S Jahre;

8.5.77: il) iü)

ill) K:' = 1.217.102 € iv) b) ~ = 1.058.905 €

iü) P(XS 3) = l - e- 9 ".. 99,9877% ,,) p(2 < X :5i 3) = -e- 9 + e- 6 ""' 0,2355% iü) K(1) = 10.000 ·eO,lT

ht) a) K(ll)- K(9) "'" 5445,63 Mrd. €

max. Kapitalwert : Co(S) = 21.306,13 €

T = 6 Jahre , P(6) =440.000€ , Co(6)=249.391,70€ ( >ZOO.ooO) T =

1~,~~4

Co(1) = 187.986,60 € « Z(}(J. (}(JO) 9,73 liegt ein relatives Minlmwn von Co vor ! Als (absolutes) Maximum

"'" 9,73 Jahre, p(1) = 480.000 €,

d.h. für T = kommt daher nur ein Randwert in Frage. Es gilt: Randmaximum für T = 0 ; P(O) • <:,,(0) • 200.000 € , da Co(15) • 190.438,50 € < P(O).

a) allgemeine Lösung

8.6. 17: I) Iil) v)

vii)

Ix) x)

b)

spezielle Lösung

b)

wie a) mit C = 4

a) f(x) = kx

b)

wie a)mit k = 100

a) G(x) = 25-k ' e- 2x

b)

wie a)mit k = 25

b)

k = 3e

b)

y =+Vx 2+12

b)

wie a)mit k = 9.500

', a) y =x +-I(2x)"2-x e C 3 3 a) y

e

-I,

k -e

±V

x _I

a) y = x 2+ C a) x = X(I) .. (10.000 - k -e- O,OO5t)2

V2<'"

Iil) k(I) ' (0,51'

8.6.18,

I) k(1) =

8.6.49:

i) Y = Y(t) = 1.500 · eO,03t

8.6.50:

1) DifferentialgleichungfÜf K(t):

=>

.

x

m) k(1) = «h)1 + C)

-',-,

.

Y(IO) = 2.024,79 GE

b) K(I) = K· · (K'-K,) ·e- ·

ül) allgemeine Lösung: t = In

2

a , für a = O,S folgt: t = 1,39 ZE

,-,

ö) f(x) = 2x4'ex2- 3x

8.6.51:

i) f(x) = e

8.6.52:

I) »(p) = -

8.6.53:

DifferentialgieichungfÜfp(t):

S

,2

I

v) k(1) = C- I

!..:..!

y=3 'e

K ="(K -K(I»

a) K(t) = K*- k ' e- at

10.000

Cl'

=>

bzw.

100

P(x) . -

Vx

iii) f(x) = e2'~

ü1) x(p) = 36- 0,Sp2 bzw.

p(x) = Vn - 2x

p = p'(t) = a' (xN
ö) p(t) = 40-1 5 ' e-O.12t => Gleichgewichtspreis 40 GE /ME ist unabhängigvon a und Po

8.6.54:

,--

I) k(t) = 0,2 k(t)O,5 => k{t) = (O,tt + 1)l => lim k(t) = 00. d.h. kein stabiles Gleichgewicht il ) k(t) = 0,2 k(t)0,5+0,01 k(t) => k(t) = (-20 + 21. eO,OO5t)2 => kein stabiles Gleichgewicht

8.6.55:

I) x(t) = 100.000 ·(I _e- O,0186t)

ili) t "'" 157,185

=> x "'" 94.622,3 ME

580

11

Lösungshinweise zu ausgewählten Aufgaben

9

Einführung in die Lineare Algebra

9.1.62:

B = AT (transponierte Matrix zu A) ;

9.1.63:

1)

AB existiert nicht

(CBf + 2CBA + A2

=

9.1.66:

: ( 33

"

153

DC existiert nicht

") 7S

273

ill ) 02 = E , aber weder D = E noch D = - E !

(25; - 4; - 2)T

I) x I, xI, x3 seien diemögl.ichen Produktmengender drei Güt er PI , P 2• P 3;dann lautet der allgemeine Produktionsvektor.

i 9.1.67:

,)

H = K ode r G = 0 !

v) GH = GI(, aber es gilt niebt:

b=

2) 5

C aB

( :~ ~: I~:)

l) BC = 0 , aber weder B noch C sind O!

9.1.65:

-1 4

Ix) (B+CT).(BT+q

235

9. 1.64:

(1121

BA =

iii)

Yii) 6(CB? - 2BT. 3CT : 0 xi)

C ~ A ;

l)

=

(:n

=cI (Ir ) + c2 ( 2:

) + c3

L~)

mit

O ~~ ~ 1 ;

( :

:

:

0

0

p = (400; 500; 300)T (Produktionsvektor) Gesamtbedarj dereinzelnen Baugruppen B I> 8 2> 8 ]> B 4:

b=

8

Cl +C2+C3= 1

)G :)

= ( :: )

3200

iii) Zu lösen ist das überbestimmt e, aber eindeutig lösbare lineare Gleichungssystem i = Cp bzgl. Aus z.B. den ersten drei Gleichungen erhält man

p.

p = (PI ; P2 ; p) T = (300 ; 100 ;200)T

9.1.95,

I) A -I =

C::: :) ;

Cl = ( - ;

ö) X=(A -B+ErI.C

9. 1.97:

(Proben stimmen)

-i :)

F-l = ( _: ::

_:

_ ("')

. I) Gesamtproduktionsvektor X=

60

Produktionskoeffizientenmatrix: A = ( 20140 15/60) = (0 .50 0,25) 8/40 12/60 0,20 0,20 iil) Endverbrauch: 9.2.25:

_Y = (E- A)x_ (0.5 -0." )(100) (20) - 0,2 0,8 120 76 =

i) i = (3; - 2; 2)T

=

U) -x=(2; -1 ; -2)T

1 (- 2; 7; 4; 1)T IU) -X = "3

Durch beliebige Vorwahlvon x4 gibt e unendlich viele Lösungen, z.B. (für x4 ,,= 1) i = (1/3 1/ 3 2/ 3 I)T usw.

9.2.30:

9.2.44:

l)

9.2.71:

I)

X

= (2; -4;

3)T

eindeutig lösbar:

ill)

x

=

i

= (1; 2; 1; 3)T

(8; - 33; 5jT

:

)

581

11 Lösungshinweise zu ausgewählten Aufgaben mehrdeutig lösbar: allgemeine Lösung:

1iI)

y =

-44 -17;; ) ( 20 + 7Y2

(mit beliebig vorwohlbarem y] (e JR))

(Beispiele) YI = (-61; I; 27)T ;

Nichtbasislösungen:

nicht lösbar, da im Verlauf des Algorithmus die (stets falsche) Zeile

v)

o 9.2.72:

Y2 = (-27; - 1; 13)T

YBl = (- 44; 0; 2O? ; YS2 = (3217; - 20n; O)T

Basislösungen: 0

0

1-10

auftritt.

I) rg A '" rg A I b '" 3

v) rgA '" 2 ;

iü) rgA '" rgA I b = 2

rg A I b = 3

9.2.73: il) Aufg. 9.2.71 ü): 15 verschiedene Basislösungen (n '" 6, m '" 2) Aufg. 9.2.71 iii): 3 verschiedene Basislösungen (n = 3, m = 2) 9.2.74:

xBI '" (5; 0; 6)T;

9.2.8 1:

i)

9.2.82:

K '

=

(:

n

XS2 '" (0; -1 ; -1 )T ;

:

K I=

A-l ",

I)

p' -:) 0,'

- 0,5

0,25

~ ( -~~ 17

'I

16-18 ) 6 - 11 3

3

17 - 34

= (- 1; 2; - 2)T

' 2 '" (18,25; -9 ,5; 1,25)T '3

= (-5,25; 5,6; -3,85)'

i) Die gesuchten Verrechnungspreise seien Pi (Strompreis in €lkWh ) und 1'2 (Reparaturpreis in €t1l) . DannmussgeJten : Bewertete Gesam tleistun g = primäre Kosten + sekundäre Kosten, d.h .

+ +

200.000Pl '" 30,540 1.6001'2 '" 60.000 PI = 0,23 € /kWh; 1'2 = 38,65 € /h

Strom: Reparaturen: ~

ö) Gesam tkos ten:

9.2.96:

-1

-: : 4

- )7 - 34

Aus .AX '" bfolgti '" K ib : - 0,75

9.2.94:

Iil)

4001'2 8.000Pl

Drehe rei 276,620€; Endmonlage 353.920 €

Aus dem Gozintographen erhält man folgendes Gleichungssystem: 2x3 +2X5 + 2X(j x3 + 2X4 + 2x7 ~+~

XI

x2 ~

x4 x5

XE;

xr '"

~

x7

82 + O,1x2 100 Gesamtbedarfe

x3 +

PI : 3.480 ME; P4: 100 ME;

x6

1'2: 1.080 ME ; P5: 870 ME;

P3: P6:

680 ME 190 ME .

11 Lösungshinweise zu ausgewählten Aufgaben

582

Lineare Optimierung

10 10.1.26:

10

,

8

bJ Zmin

1

-, \ ~"l ' .. -,

,

-,

" '\ Zmin' -, ,

4

2

2

I) a)

4

ia".. 0 (18; 6);

c) xopt. =

d) ,"pt. 0

Zma,o 72 1(12; 9) + (1 - AX1 8; 6); 1('; ' ) + (1-lX8; 2);

ö) a) Xopt = (16; 2);

c) Xopt = (8; 8);

"

8

b) "'pt 0('; ' ); Zmax= 210

Znna

Zmax= 54 Zmax= 168

Zmin =

18

24

8'

o

b)

Xopt.=

(8; 8);

Zoon= 48

d) x opt. = (16; 2); ZOOn= 140

(X2)

10.1.29:

x,.. produzierteu. abgesefZfe M enge 90

voo Produkt t

x2 : produzierte o. abgesetzle Menge

voo Produk/ 2

10 1--~

'0 Optimale Lösung;

30

40 Stück von Produk t I 60 Stück von Produk t II Dßmax= 360 T€

20 (x ,) 20

40

15

120

11

Lösungshinweise zu ausgewählten Aufgaben

583

10.1.30: i) MaximalesVergnügen: 5 Treffen mit Daniei und 1 Treffen mit Peter ; Zopt = 35 VE U) Die Zielfunktionsgeradc ist parallel zu einer Restriktionsgeraden ~ alle Rendezvous-Kom-

binationen zwischen (0:4) und (4;2) sind gleichermaßen optimal Xopt. = ,1.(0; 4) + (1 -).X4 : 2) , (0 S ). S 1);

Zopt =

a-v Vergnügungseinheiten

IXz)

10.1.31:

x fAnzahld er förder1age in Grube f X$ Anzahlder fördertage In Grube 2

6

3

Zu minimalen Kosten von 6.800 € /Woche führen 1 Fördertag in Grube 1 und 3 Pördcrtage in Grube 2

6

10.1,33: Ein Backbetrieb von 6 Tagen in Betrieb A und 2 Tagen in Betrieb B ist mit Gesamtbetriebskosten von 36.000 € /Woc he kostenminimal.

Zmax = 760 = yz = 0 ; Zmax = 2,8

10.2.37: I)

opt. Lösung:

XI = 4: Xz = 16: YI = 4 : yz =Y3 = 0 :

lli)

opt . Losung:

Xl = 0 ; Xz = 0,08; x3 = 0,1 : YI

10.2.38: I)

opt.Lösung

Xl = 40MEI : Xz =60MEz :YI = 120 : yz = 0: Y3 = 0: Y4 = 35 ; Y5 = 10 ; Zmax = 360 T€

10.2.39: optimales Produktionsprogranun: Xl = 0 ME: Xz = 15 ME ; x3 = 100 ME ; x4 = 0 ME; (YI = YZ = 0; Y3 = 3,5) : Zmax = 1.l95€ pro Tag 10.3.15: opt. Lö sungi xI= 18,xz=6 , YI =1 8, yz = 0, Y3 = 0, Y4 = 14, Y5 = 4, Y6 = 18, Zmax=72

"2

'I

'" H'

I 0 I

0 I I

Z' Z

-I -2

-2 2

10.3. 16: Ausgangstableau:

r

' HI optimales Produktionsprogranun: XI = 70 ME ; xz=OME x3=IOME; x4= 80ME Yl = O;yZ = 50; Maximaler Deckungsbeitrag: z...,. = ZlO€

x

4

1

'" "

'I

' H' ' HI

Z·

Z

b

0 0 1 0

0 0 0 I

0 0 0 0

0 0 0 0

ISO 250 200 ISO

0 0

0 0

0 0

0 0

I 0

0 I

-3 50

'I

x

0 I 2 I

1 0 0 0

1

-I

"

"

0 0 0 I

- 0,7 1,7

1 0 0 0

Z

0

4,1

0

s

4 0

-4

Optimaltableau:

'.'"

-,

'.

0,6

-4

0 I 0 0

'" " "

0 0 1 0 0

0,2 -I - 0,4 0,4 0,2

0

Z

b

0 1 0 0

0 0 0 0

10 SO

0

I

so

70 210

584

11 Lösungshinwcise zu ausgewählten Aufgaben

10.3.17: Kosteruninimales monatliches Produktionsprogramm. xI = 400 tEl; x2 = 120 t ~; Yt = 100; Y2 = 0; Y3 = 60;

K.run = 16.QOOT€/Monat

10.4.30: I) Die sekundäre ZieJfunktion Z · wird nach einemSimplexschriUbereits maximal, allerdings mi t einem Maximalwert -* 0 • so dass auch die H ilfsschlupfvariable YH ungleich Null bleibt und nicht eliminiert werden kann ::::} Es existiert keine zulässige Lösung ö) Im Verlauf des Simplex-Algorithmus tritt einsuboptimalesTableau auf: Die Zieltunktion Z

ist noch nicht maximal. In den möglichen Pivotspalten existiert aber kein positives P ivoteiement, d.h. es gibt keinen ~ Engpas s" , Z kann durch Erhöhungvon x3 oder x4 beliebig groß gemacht werden, ohne dass eineRestriktion verletzt wird ;;;} unbeschränkt e Lösung 10.6.8:

I) Wenn man Gleichung (3)mit (-1 ) multipJiziert, sind (2) und (3)von der Form a

~

12

und a :S: 12

~

a = 12

d.h. das System von 3 Ungleichungenist auf 1 Ungleichungundeine Gleichungrcduziert ii) Setzt man

u2' ,= u2 - uj , so lautet das System 3u} + 2u2' + 414 ~ - 1O 5uI + 8U2' + u4 = 12 8u} + 7u2' - 414 Z ' -- min.

(u1,u4

~ O,

ul beliebig)

Es kommen somit nur noch 3 Variablenvor. Da u2' u)
Üopt


Iü) Dual von Aufgabe 10.1.31:

60uI 20ul 120uI Dopt = (UI u2 u3 vr

v) Dual von Aufgabe 10.1.33:

6u} 2u} 24u} (UI u2 u3 vI

"opt

+ 40u2 + 20U3 s 2.000 + 120u2 + 20U3 S 1.600 Z' - Max. + 240U2 + 80u3 T v2 Zl = (10; 0; 70; 0; 0; 6.800)T + 4u2 + 12u2 + 48u2 v2 ZlT

+ 2u3 :s: 4.000 + 2u) s 6.000 + 16u3 Z' - Max. = (0; 250; 1500; 0; 0; 36.000)T

"11) Dual von Aufgabe 10.3.11: Eine Modifikation des Primat (s. Lehrbuch Bsp. 10.6.4) liefert 4UI 6uI 8u1 5000u1

als Dual:

+ 3u2 + u4 u5 + 2u2 + u4 u5 u3 + 4u2+ 2000u2 - 1OOu3 + 400u4 - 400U5

Üopt = (ul u2 u3 14 u5 vI v2v3 Ix) Dual von Aufgabe 10.3.16:

2ut+ 4uI uJ +

~

~ ~

40 50 60 Z' -

Min.

Z')T = (0; 15; 0; 20; 0; 25; 0; 0; 38.000?

Mathematisches Modell:

ua

+ u5U6 + u) 14 + u5 U6 5u2 + 4u3 - 414 u2 + 2u3- 214 + u5116 150uI + 250u2 + 200u3 - 20014 + 150U5 - 150116


Min.

585

12 Literaturverzeichnis

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189

Abszisse 20,82

aggregierter Markt 108,133,150 Amoroso-Robinson-Relaticn 312,360 Andlersche Losgrößenfonnel 293 Anfangsbedingung439 Anfangswertproblern 439 Angebotsfunklion 133f,285 -, aggregierte 133.150f ~. individuelle 133 Ankathete 122 Annuität, äquivalente 434 Anpassung 137 - t intensitätsmäßige 137 . , quantitative 137,193 -, zeitliche 137,194 Anpassungskoeifizient 539,542 Approximationsgerade 106 Äquivalenz 14 Äquivalenzumformung 14f,5Off,477 Arithmetik 21ff Assoziativgesetze 22,455,457,463 Asymptote 115,170,173,195ff Ausklanunem 25 Aussage4ff -, äquivalente 11 -, Verknüpfung 8ff . , zusammengesetzte 8,lOff Aussagefonn 4ff

. , allgemeingültige 6f -, äquivalente 14f . , Definitionsmenge 6 . , Lösung 6 . , unerfüllbare7 Aussagenlogik 4ff,12 -, Gesetze 12 Axiome für reelle Zahlen 22f Basis einer Potenz 34 Basislösung 489,514 -, zulässige 514f,521f Basisvariable 489,515 Bedarfsvektor 465 Bestellmenge, optimale 291 Betrag 29f Betriebsminimum278,319f Betriebsoptimwn 279,319f Binomialkoeffizient 32ff Binomische Formeln 26,33 Bogenelastizität 303 Bogenlänge 123 Bogenmaß eines Winkels 123 Break-Even-Point 286 Bruchrechnen 26ff Budgetgcrade 378,395 CFS-Produktionsfunktion 135.231f ceteris-paribus-Bedingung131,161,33Of, 352f Cobb-Douglas (CD)-Funktion 135,I64f, 232,354ff,384ff,398f complementary-slackness 545 Cosinus 122 Cotangens 122 Coumot 287 Coumotsche Menge 288 Coumotscher Preis 288 Coumotscher Punkt 288 c.p. siehe ceteris-paribus-Bedingung Deckungsbeitrag140,247,423 Definitionsbereich 78,80,154 ., maximaler 80f -, ökonomischer 80 Definitionslücken 114

590 Definitionsmenge 6.18,47,65.68f siehe auch Defmitionsbereich

Degeneration 529ff,545 degressives Wachstum 255f Diätproblern 502ff,52 lff,541f,550 f Di chtefunk tion 431 Different ial 238(

-, partielles 335f,752 . , totales 336f

-, vollständiges 336f Differentialgleichung 437ff -, gewöhnliche 437 -, Grad einer 437 -,lineare 437

-, Lösung 438ft --, allgemeine 439 -- , partikuläre 439

--, spezielle 439 -, ökonomische Anwendungen 441ft -, Ordnung 437 -, partielle 437 -, separable 438 Differentialquotient 201Cf Differentialrechnung 199ff,237ff,325ff - bei ökon omischen Funktionen 270ff Differentiatio n 2OH,206ft

Differenzenquotient 200 differenzieren 201,2ü6ff Disjunktion 9f diskontieren 429 Diskriminan te 60 Distributivgesetze 22,457,463 divergent 170 -, bestimmt 170.172f -, os zillierend 172 ,187 -, unbestimmt 172 ,175 Division 23 • durch NuIl 2J

Doppelsumme 31 doppelt-gekni ckte Preis-Absatz-Funktion

150.289ff,295

Dual 542 -, ökonomische Interpretation 548ff Dualität 542ft Dualitätssätze 545 durchschnittliche Konsurnquote 273,277 durchschnittliche Produktivität 245 Durchschnittsertrag 135,245,320 Durchschnittsfunktion 115,138,249f, 277,312 Dyopol 339 e siehe Eulersche Zahl Ecke 205f,268f

13 Sachwortvencichnis Eckpunkte 501f,504,512ft -, Koordinaten 512 -, Verbindung zweier 531f Einkommens-Konsum-Kwve 393f elastisch 308 Elastizität 301ff,304ff,31Of,352ft -, Bogen- 303 - der Durchschnittsfunktion 312f - der Nachfrage 308f -, Grad der 308 -, graphische Ermittlung 314ft - homogener Funktionen 354ft -,KIeuzpreis- 310L353 -, Niveau- 310,355 - ökonomischer Funktionen 308f -, partielle 352f,385 -, Produktions- 31O.354f -, Punkt- 304 -, Skalen- 310,355ft,38 5 -, Substitutions- 310 -, Vorzeichen 305ft Elastizitatsfunktion 305,441f Element - einer Matrix 450 - einer Mcnge 1 endogener Input.-Output 468 Engel-Kurve393f Engelfunktion 141f E ngelsches Gesetz 324 Engpaß 517f Engpaßbedingung 517f Engpaßfertigungsstelle 502 Entartung siehe Degeneration Entlogarithmieren 67 Entlohnungder lnputfaktorcn 322ft.357 ft Entscheidungsvariable500 Erlösfunktion 106,134,423 Ertragsfunktion siehe Produktionsfunktion Ertragsgesetz 135 Erwciterungsrege127 Eulersche Homogenitätsrelation 354 Eulersche Zah143,180 Exhaustionsmethode 407 Existenzminimum 141 exogener lnput,-Output 468 Expansionspfad 383f Exponent - einer Potenz 34 -, Wurzel- 38 Exponentialfunktion 84,l 18ff,208f Exponentialgleichungen 42,66 exponentielles Wachstum 441 Exportfunktion 311 Extremwert256ft -, absoluter 257

13 Sachwertverzeichnis -, freier 347 -, gebundener 347 -, globaler 257 -, lokaler 257 - mit Nebenbedingungen 346ff,377ff - ohne Nebenbedingungen 344ff,362ff -, relativer 257ff Extremwertbestinunung 257ff,268ff, 344ff,349t 362ff,377ff Fahrstrahl 138f,250,277 -, steigung 250 Fahrstrahlanalyse 277ft Faktoreinkommen357ff faktorisieren 25 Faktomachfragefunktion 366,384f Faktorregel 211 Faktorvariation -, partielle 135f,336 -, totale 337 Faktorverbrauchsfunktion 245 Fakultät 32ff Falk'sches-Schema461 fIXe Kosten 136 Aächeninhaltsberechnung 416ft F1acheninhaltsfunktion 412 F1acheninhaltsproblem 407 Folgerung 13 Fundamentalsatz der Algebra 112 Funktion einer reellen Variablen 77ft -, Ableitung 201ft -, abschnittsweisedefinierte 87ff,189 -, algebraische 116ff -, äußere 95,215f -, beschränkte 96f -, Cosinus- 122,I 24f -, Cotangens- 122,125f -, Definition 77 -, Definitionsbereich 78 -, Elastizität 301ff - , empirische 106 -, explizite 94,34Of -, Exponential-11 8ff,208f . , ganzrationale l ooff -, gebrochen-rationale 114ff -, gerade 99 -, Graph 82ff -, Grenzwert 467ff -, implizite 94,34Of -, innere 95,215f -, inverse 89ff . , konstante 102f -, lineare 102ff,1 06 -, Logaritlunus- 120f,209f

591

-, maximaler Definitionsbereich 80f -, mittelbare 95,215ff . , monotone 97ff,253ff -, ökonomische 131ff -, ökonomisch sinnvoller Definitionsbereich

80

-, periodische 125 -, Potenz-11 7ff,207f -, quadratische 109ff - , Sinus- 122,124f -, stetige 127,185ff -, Stetigkeit 185ff -, symmetrische 99 -, Tangens- 122,126 -, transzendente 118 ., trigonometrische 121ff -, Umkehr- 89ft

-, ungerade 99 -, verkettete 95f,215ff -, Wertebereich 78 -, Wertetabelle 81 -, wurzel- 84,116ff -, zusammengesetzte 95,215ff Funktion von mehreren Variablen 153ff -, Darstellung 154ff -, Differentialrechnung 325ft, -, Homogenität 163ft -,lineare 162f -, mit vorgegebener Elastizität 441f -, Monotonie und Krümmung 333f -, partielle Ableitung 327ff funktionale Abhängigkeit 80 Funktionsgleichung 78f,154 Funktionsterm 79 Funktionswert 78f,81 Fuzzy Logic 1f Gaußscher Algorithmus 477ft - mit teilweiser Elimination 478f - mit vollständiger Elimination 479ff Gegenkathete 122 Gegenwanswert429f Geldillusion 395 Gerade 103 -, Gleichung 105 -, Steigung100ff Gewinnfunktion 139f,282ff,423f Gewinnlinse 140,287 Gewinnmaximierung282ff,362ff,423f - bei Mehrproduktuntemehmungen366ff • bei räumlicher Preisdifferenzierung371ff Gewinnschwcllen 130,140,282,289 Gewinnzone 140,282,287 Gleichgewicht

592 -. Markt- 111,148 - smenge 111 - spreis 111 - spunkt l 11 - sumsatz 111 Gleichung Sf,47ff ., allgemeingültige 6ff,48 ., Bruch- 67f

. , Dcfinitionsmenge6,18,47 ., Exponenttal- 66 -, Funktions- 7Sf - höheren Grades 62 ., lineare 54f,459.473

-, Logaritlunen- 67

-, Lösung 6ff.28f,47ff -t Lösungsmenge 48 -. näherungswcise Lösung 127ff,233ff -t Normalform einer quadratischen 59 -. Potenz- 62 -, q uadratische 59ft -. unerfüllbare 7f,48

-, Wurzel- 65 Gleichungssystern 344f . , lineares 55ff,464.473ff Gosseasches Gesetz, erstes 256,272, 323,343 Gos sensches Gesetz, zweites 388 Gozintograph 493 Graph einer Funktion 82ff,85f Grenzausgaben 243f Grenzdeckungsbeitrag 247

13 Sacbwortveneichnis

-,abnehrnende342f Grenzstückdeckungsbeürag247 Grenzstückgewinn246 Grenzstückkosten 242f Grenzumsatz 243f Grenzverbrauchsfunktion 245 Grenzwert 167ff -, Existenz 171 -, linksseitiger 171 -, Rechenregeln 18lf -, rechtsseitiger171 -, uneigentlicher 170,172,187 Grenzwert bei unbestimmten Ausdrücken 226ff Hauptnenner 68 Hauptsätze der Differential- und Integralrechnung 413ft Haushaltsgleichgewicht 387 Haushaltsoptimum 387ff Hochzahl siehe Exponent homogene Funktion 163ff,353ff -, Elastizität 354ff -, linear- 164ff,358,364 Homogenitätsgrad 164,353ff,385 Horner-Schema lOlf L'H ospitel, Regeln von 226ft Hypcrbcl84 Hyperebene 163,512,514,529 Hypothenuse 122

Grcnzdurchsc hnittsertrag 245

Grenzerlös 243f,319,321 Grenzerlösprodukt 365,370 Grenzertrag 244f Grenzfunktion 240ff,249f -, partielle 330f Grenzgewinn 246,331,538 Grenzhangzum Konsum 141,247,273 Grenzhang zumSparen 247f

Grenzkosten 242,321f.331.542 Grenzneigung siehe Grenzhang Grenznutzen 38Bf Grenzprodukt 244 Grenzproduktionskoeffizient 245 Grenzproduktivität 244,320,379f • der Arbeit 244 - des Kapitals 244 -, partieJle310,330 -, physische 357 Grenzproduktivitätsprinzip 359f Grenzproduktivitätstheorie 357 - der Verteilung 363 Grenzrate der Substitution 248f,341f, 388,542

Implikation siehe Folgerung Importfunktion 311 Indifferenzkurven 142f,160,249 -, Steigung343 -, konvexe 343 innerbetriebliche Leistungsverrechnung 495ff Input 135 Input-Output-Analyse 468ff Integral -, bestimmtes 407ft -, geschlossendarstellbares 405,418,421 -, Grund- 404 -, Rechenregeln 405f,4lOf,41 8ft -, unbestimmtes 403 -, uneigenlliches 431 Integralfunktion 412ff -, Ableitung 414 Integralrechnung 401ff -,1 . Hauptaufgabe402,412 -, 2. Hauptaufgabe407,412 -, ökonomische Anwendung 422ff

13 Sachwortverzeichnis Integrand 403,408 Integration 402ff,415 ~ durch Substitution 420f - einer Sunune 405 ~ eines Produktes 406 ~, partielle4 19f ~ von gebrochen-rationalen Funktionen 421 Integrationsgrenzen 408,421 Integrationskonstante 402f,416,439f Integrationsvariable 408 integrieren 401 InteJVa1l4 ~, ab geschl ossenes 4 -c

eigenniches 4

-, halboffenes 4 -, offenes 4 -, uneigenUiches 4 Intervailadditivität 410 inverse Elemente 22,455 inverse Matrix 466ff Investition 433ff -, Netto- 432 ~, optimaleNutzungsdauer 433ff Investitionsfunktion 143 Investitionsk.ette 434 isoelastische Funktion 314 Isogewinnkwve 160 Isohöhenlinien 157 Isokostenkwve 160,377f Isoquanten 135f,160,248,341f -, konvexe 342,377f -,Steigung341 IteralionsveJfaluen 128,233f Kanonisches System 487 Kapazitätsauslastung 520.530 537f.549 Kapazitätsgrenze 279 Kapitaiakkumu1ation 432 Kapitalausstattung pro Kopf444 Kapitalstock 432 Kapitalwert 434 Kausale Abhängigkeit 80 Kettenregel216,337f Keynes 273,277 kleinste Quadrate, Methode der 374ff Koeffizienterunatrix 464,467,473 Kommutativgesetze 10,13,22,455,462 Komplementärgüter 353 Komponenten 451 Konjunktion 8f konkav 254ff.258,260 Konsumentenrente 425f Konsumfunktion 106,141f,247

593

kontinuierliche Zah1ungsströme 428ff konvergent 168 konvex 254ff,258,260 Koordinatenebene 20 Koordinatenraum21 Koordinatensystem20,82 -, doppelt-logarithmisches 318 -, Ursprung82

Kö'P"23

Kostenfunklion 106,136ff,242, 27lf,422f -, Durchschnitts- 138f -, ertragsgesetzliche 137.274f, 278ff,294 . , FIX· 136 ., Gesamt- 136f.193f,250,385f ., Grenz- 242f -clineare 106,137 neoklassische 137 -, Stück- 138f,193f.242f -. variable 136 Kostenisoquante 160 Kreisfunktionen 122 Kreisregel483f,519 Kreuzpreiselastizität 310f,353 Krümmung von Funktionen 253ff ~. konkave 254ff,258.260 -, konvexe254ff,258.260 Kwvendiskussion 262ff.276 Kürzungsregel 27 - j

Lagerkosten 291 Lagrange-Funktion 348,350 Lagrange-Methode 348ff,377ff Lagrangescher Multiplikator 348,350 ~, ökonomische Interpretation 379,388 Leonuet-Inverse 470 Lemkwve 276 L'Hospital. Regeln von 226ff Lineare Algebra449ff Uneare Optimierung(LO) 499ff,513,534 ~, degenerierte Lösung529f -, duales LO-Problem 542ff ~ , Engpaßbedingung5 17f ~, Formuiierung 51O,513 ~, graphische Lösung500ff,508 . , keine Lösung507f,528ff •• mehrdeutige Lösung 506,53lf -, Optimalitätskriterium515f -. primales LQ-Problem542f -, Simplexvcrfahren 510ff,518ff,534 -, Sonderfälle 505ff,528ff -, unbeschränkte Lösung 507f.529f Uneare P1anungsrechnung siehe

594 Lineare Optimierung Lineare Programmierung siehe lineare Optimierung

lineares Gleichungssystem (LGS) 55ft, 464 ,47 3ff

-, aUgemeine Lösung 488

-, Basislösung 489f . , Darstellung mit Matrizen 464,473 -, einde utig lösbares 489

-, homogenes 473

. , inhomogenes 473 -, inkonsistentes 474 -. kanonisches 487f.513f -, Koeffizientenmatrix 473 . , konsistentes 474 -, Lösbarkeit 486ff,489f -. Lösung(sveklor) 467f,474 -. Lösungsvesfahren 55ff,475ff -. mehrdeutig lösbares 48Bf -. nicht lös bares 488f

Linearfaktoren 61,64,111 linear-homogene Funktion 164f,358,364 Linearkombination (von Vektoren) 457f . , konvexe 457f,532 Liquidationserlös 433 Logarithmenbasis 43,46 Logarithmengesetze 44f logarithmieren 42

Logaritlunus 42ff . , binärer 43 ., Briggsche r 43 ., dekadis cher 43 ., dualer 43 -, natürlicher 43 ., Zehner- 43 Logaritbmusfunktion 84,120f,209 f

logistische Funktion 145,183 Lolm/Arbeitsangebotsfunktion 144 Losgroße 291ft -, optimale 291ff,295 Lösungsmenge 6,48 Lücke 115,177,188 Marginalanalyse 276ft marginale Konswnquote 141,247,277,331 marginale Sparquote 247f Marginalfunktion 241 Marktglcichgewicht 111,J48 mathematisches Modell 270f Matrix (Matrizen) 449ff -, Addition 454f -, Diagonal- 453,477,479 -, Diagonale 450 -, Dreiecks- 453,476ft

13 Sachwortvenci chnis

-, Einheits- 453 -, Gleichheit 450 -, inverse 466ft,491ff -, Koeffizienten- 464,467,473 -, Multiplikation mit einem Skalar456f -, Multiplikation zweier 459ft . , Null- 453 -, quadratische 450 -, Rang 486,489 -, reguläre 466 . , singuläre 466 -, symmetrische 451 -, transponierte 451 -, Typ

"0

Matrixoperationen 454ff Matrizengleichung 464 Matrizerunultiplikation 459ft Matrizenrechnung 449ft Maximwn 190 und siehe Extremwerte Mebrproduktuntemehmung 366ft,369ft Menget -, Beschreibung 1 - , Bild- 78 -, Definitions- 6,18,47,78 -, Differenz- 17f -, Durchschnitts-t6 ., endliche 2 -, Gleichheit 15 -, Grund- 3,6,47 -, Komplemenlär- 18 -, leere 2 -, Lösungs- 6,48 -, Paar- 2Of,77,82 -, Potenz- 16 -, Produkt- 20 -, Rest- 17f -, Teil- 15f -, unendliche 2 -, Venn-Diagramme 2, 16ft -, Vereinigungs- 17 -, Werte-78 -, Zie1-78 Mengenalgebra 19 Minima1koslenkombination 136,377ff Minimalkostenlinie 383f Minimwn 190 und siehe Extremwerte Monopol 282,287,364ff,367f Monopsonist 324 Monotonie von Funktionen 97ff,253ff Monotoniegesetze 69f nachdifferenzieren 2J7 Nachfragefunktion J06,132 -, aggregierte J08,133,J50f

595

13 Sachwortverzeichnis -, individuelle 133 Nachfragevektor 469 Neben~ngung 34 6t499

Negation 10 Nettosozialprodukt pro Kopf 444 neutrale Elemente 22,455 Newton-Verfahren 233ft Nichtbasisvariable 489,515 Nichtnegativitätsbedingungen 500 ~, Fehlen 533 Niveauelastizität 310,355 Nonnalforrneiner quadratischen Gleichung

59

Normalgleichungen376 Nullaktivität 521f Nulistellen 100,110 -, näherungsweise Bestimmung 127ff, 233ft

- von Polynomen 111ff Numerus42 Nutzenfunktion 142f,1 60,249f, 272,346,387 -, Cobb-Douglas- 398f -, neoklassische 343 -, ordinalc 387 Nutzengrenzen 130,282 Nutzenisoquanten siehe Indifferenzkurven Nutzerunaximierung 387ft ,393ft Nuu ungsdauer, optimale433ff ODER, logisches 9 otfer-curve 395f ökonomische Funktionen 131ff Oligopol, Preistheorie für das 339 Opportunitätskosten 538,548f optimaler Faktoreinsatz 322f,362ff - in Mehrproduktuntemehmungen 369ff Ordinate 20,82 Ordinatenabschnitt 103 Ortsvektor 138,277,452 Output 135 Paarrnenge 20,77,82 Parabel 83,109 -, kubische 84 -, Normal- 109 Parameter 214 Partialanalyse 161,330 partielle - Ableitung 214,327ff - Elastizität 352f - Faktorvariation 336 - Grenzproduktivilät 330f,333f

- Integration 419f Pascalscbcs Dreieck 33 Permanenzprinzip 37f,40 Phasendiagramm 445 PhilIips-Kurve 144,151 Pivol482 Pivotelement 482 Pivoüsieren 481ff Pivotschritt 484,518f Pivotspalte 482f,516 Pivotzeile 482f,517f Pol 115,170,187,205 Polynom 100ff -, Koeffizienten 101 Polynomdivision I l lff Polynomzerlegung 111f Polypol 282f,286,362f,366f Portofunktion 87 Potenzen 34ff -, Rechenregeln35ff,40f -, Zehner- 35,37 Potenzgleichungen 42,62 Potenzmcnge 16 Preis-Absatz-Funktion 132,250 -, aggregierte 108,133,150 -, doppelt-geknickte 150,289ff --, monopolistischer Bereich 289f Preis-Elastizität der Nachfrage 306 308f,313 Preisdifferenzierung 371ff Preisklasse 289 Preis-Konsum-Kurve 395f Preisuntergrenze. kurzfristige 278 Preisuntergrenze, langfristige 279 Preisvektor 452 Primal 542 primäre Kosten 495 Problemvariable 500,513f,543,545 Produktionselastizität 164,31O,354f Produktionsfaktoren 135 -, substituierbare 135 Produktionsfunktion 106,117,160f, 161f,244f,250 -, CES-135,23 1f -, Cobb-Douglas- 135,164f,354f,384ff -, ertragsgesetzliche 135,272,281 -, homogene 357f -, limitationale 135 -, linear-homogene 364f -, neoklassisehe 135,273 Produktionskoeffizient 245,459f,468f Produktionslebenszyklus 144 Produktionsmatrix 456,469 Produktionsprogrammplanung 519f, 535ff,548f

596 Produktionsvektor 452,454,458,465,469 Produktivität 135,245 Produktmenge 20 Produktregel 21 2f Produktzeichen 31f Produzentenrente 426f

progressives Wachstum 255f Punkt elastizität 304

Quadrant 82 quadratische E rgänzung 59 quadra tisc he Gleich ung 59ft Qu otientenregel 213f

Ra ballstaffeJfunkt ion en 192f Radikand 38,65 Randext remum 257 Ra um , 3-dimensionale r 21,155f Raum, n-dimensionaler 21 . 154 Reakuonskoefflzi ent 339 Rechenregeln für reelle Zahlen 25ft Rechtec kregel 483f Regressionsfunk tion 374ff Regressionsgerade 106,375f Regres sio nskoeffizient 376 Regula falsi 127ff Re ihenfolge der Rech eno pera tionen 24 Relation 85 ,116 -, funktionale 85 relative Änderung 303 Rente, ewige 430 Rest riktion 346,499.5 14 - skoeffi zientenmatrix 510 Resu bstituuon 63 Rüstk osten 291

Satt elpunkt 259f,345 Sättigungspunkt 272 Sättigungswert 183f,24 7 Schattenpreis 538.54 8f Schlupfvariabl e 512,543,545 -, Hilfs - 522f Schwabesc hes Gesetz 323 Schwarz, Satz von 332 Schwelle des E rtragsgesetzes 272 ,279f Sekante 200 Sekan te nverfahren siehe Regula falsi sekun däre Kosten 495 Simplexiteration 519 Simplexschritt 519 Simplexta blea u 515 - , öko nomische In terpretat ion 535ff,5 40

13 Sachwortvcrzeicbnis

Simplexverfahren 51Off,518ff,534 -, Engpaßbedingung516ff - , Optimalilätskriteriwn 515f ., Sonderfalle 528ff . , Zweiphaserunethode 521ff Sinus 122

Skalar 453,458 Skalarprodukt 458f Skalen elastizität 310,355ff,385

Skalenertrage -, fallende 165,355f,358,361,386 -, konstante 165,355f,358,361.386

-, steigende 165,355f,358,361,386

Spallenindex 450

Spal lentausch 477 Sparfunk tion 141 Sparquot e 147

Spitze 268 Sprung 171,187 ,192f,205 ,29 0 Stammfunktion 402 ,413ff

Standard-Maximum-Problem 511,

518ff,546

Standard-Minimum-Problem 511,546 stationäre Stelle 258f,344f Steigung - des Fahrs trahl s 139,250,277 - einer Räche 32Sf

- einer Geraden 103ff,200 . , Funktions - 200 ft - der Sekante ZOOt

- der Tangente 20H Stetigkeit 185ft - ökonomisc her Funktionen 192ft - und D ifferenzierbarkeit 205f stet ige Funktio nen, Ei genschaften 190f Steuerfunk non 88 f Strahlens ätze 315 Stromgröße 428 Struk turvariable siehe Problcmvariable

Stückdeckungsbeitrag 247 Stiickgewinn 115,140 - funk tion 140 • maximierung 285f,288 f Stückk osten 115 ,138f Stucklistena uflösung 493 f subopt imale Nichtbasislösung 538 Substitution 62f,420f Substitutionselastizität 310 Substitu tionskoeffizient 539 ,542 Subs tit utivgüter 353,368 Subtraktion 23 Summa tionsgrenzen 29f Summationsi nd ex 29 f Summemcgel 211f Summenzeichen 29f

597

13 Sachwortverzeichnis tan 103,122,200,226 Tangens 122 Tangente 201 -, senkrechte 205 -, waagerechte 257 Tangentenfunktion 237 Tangentensteigung 20tf Tangentenverfahren 233ff Tangentialebene 327.335f,344 Tecbnologiematrix 470 Teilebedarfsrechnung493f Teilmenge 15f Tenne 5 -, äquivalente 7 -, Funktions- 79 Tennersetzung 50 Totalanalyse 161,330,336f totale Ableitung 338f totale Faktorvariation 337 totale partielle Ablcitung 338f Transfonnationskurve 143 Trennung der Variablen 438ff Trigonometrische Funktionen 121ff

Umkehrfunktion 89ff -, Gleichung9Of,92f -, Graph 91f Umkebroperation 45 Umkebrrelation 92 Umkebrschluß13 Umsatzfunktion 134 Umweltbedingungen 377 unbestimmterAusdruck 182,226ff UND, logisches 8f unelastisch 308 Ungleichungen 6,69ff,499ff -, Lösung 6,69ff -, Rechenregeln 69f

Unstetigkeitsstellen 185,187ff -, hebbare 188 Variable 5f,79f -, abhängige79f -, Entscheidungs-500,510 -, Hilfsschlupf- 522f -, Problem- 500,510,513f,543,545 -, Sch1upf- 512f,543,545 -, unabhängige 79f,153 variable Kosten 110,136f Variablensubstitution 348 Vektoren 154,451ff -, Addition zweier 455 -. Einheits- 453,482

-, Komponenten 451 -, linear unabhängige 486 -, Linearkombination 457f -, Null- 453 -, Orts- 452 -, Skalarproduktzweier458f -, Spalten- 45tf -, Streckung456 -, swnmierende 453 -, Zeilen- 45tf Venn-Diagranune 2,16ff Verbrauchsfunktion 144,245 Verbrauchsmatrix 459f Verbrauchsquote 147 Verbrauchsvektor 469 Verdrängungskoeffizient 539,542 Vertlechtung 455,495f -, sektorale 468 Verrechnungskosten 495 Verrechnungspreis 495 Vierphasenschema279 Vieta, Satz von 61 vollständigeKonkurrenz282,362ff,366f Vorzeichenbeständigkcit 190f,256 Vorzeichenregeln25f Wachstum -, degressives 255f -, exponentielles 441 -, progressives 255f Wachstwnsfunktion 144 Wachstwnsmodell 443ff Wachstwnsverhalten ökonomischer Funktionen 271ff Wahlprobleme, ökonomische 347 Wahrheitstafel 8 Wahrscheinlichkeit 431 Wendepunkt 260f Wertemcnge 78 Wertetabelle 81,154f Wertgtenzproduktivität 323,357,369 Wicksell-Johnson-Theorem 356 Winkelfunktionen 122 Wurzel 38ff - exponent 38,65 - funktion 84,116ff - gesetze 39 - gleichungen65 Zahlen

-, ganze 3 -, irrationale 3 -, komplexe 60

13 Sachwortveneicbnis

598

M . natürliche 3 -t

rationale 3

-, reelle 3 ZahJenpaar 20 Zahlenstrahl 3 Zahlungsgeschwindigkeit 428 Zahlungsstrorn 428f -, Breite 428 -, Geschwindigkeit 428

-. konstanter 430 -. unendlicher430f Zeilenindex 450

Zeilenoperation 477 Zeitwert kon tinui erlicher Zahlungsströme 429 Zielfunktion 499 -, sekundäre 523 - sgerade 502,504

- skoeffizient 505,532 - szcile 515f Zins, stetiger 428f Zufallsvariable 431 zulässige Basislösung 514f zulässige Lösung 501,51 1,

528f.545

zulässige optimale Lösung 502,

511.532

zulässige Zeilenoperation 477f zulässiger Bereich 501 Zuordnung 77f -, Eindeutigkeit 77f -, inverse 89f Zuordnungsvorschrift 77,79 -, inverse 89f Zweiphaserunethode 521ft Zwischenwert 190f