Elektrische Messtechnik: Übungsbuch (Springer-Lehrbuch) (German Edition)

Springer-Lehrbuch

Lerch Kaltenbacher Lindinger Sutor

Elektrische Messtechnik iJbungsbuch 2., neu bearbeitete und erweiterte Auflage

Q - Springer

Professor Dr.-Ing. Reinhard Lerch PD Dr. techn. Manfred Kaltenbacher Dr. techn. Franz Lindinger Dr.-Ing. Alexander Sutor Friedrich- Alexander-Universitat Erlangen-Nurnberg Lehrstuhl fur Sensorik Paul-Gordan-Str. 315 9 1052 Erlangen e-mail:[email protected]

ISSN 0937-7433 ISBN 3-540-2 1883- 1 Springer Berlin Heidelberg New York Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet uber abrufbar. Dieses Werk ist urheberrechtlich geschutzt. Die dadurch begrundeten Rechte, insbesondere die der ijbersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder Vervielfaltigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfaltigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulassig. Sie ist grundsatzlich vergutungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science + Business Media springer.de O Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996, 2005 Printed in Germany Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Buch berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten waren und daher von jedermann benutzt werden durften. Sollte in diesem Werkdirekt oder indirekt auf Gesetze, Vorschriften oder Richtlinien (2.B. DIN, VDI, VDE) Bezug genommen oder aus ihnen zitiert worden sein, so kann der Verlag keine Gewahr fur die Richtigkeit, Vollstandigkeit oder Aktualitat ubernehmen. Es empfiehlt sich, gegebenenfalls fur die eigenen Arbeiten die vollstandigen Vorschriften oder Richtlinien in der jeweils gultigen Fassung hinzuzuziehen. Einbandgestaltung: Design & Production, Heidelberg Satz und Umbruch: Camera ready-Vorlage von Autoren 0713020lkk - 5 4 3 2 1 0 Gedruckt auf saurefreiem Papier

Vorwort zur zweiten Auflage

Die Neuauflage dieses Buches geht einher mit der des dazugeh¨origen Lehrbuches “Elektrische Messtechnik” (R. Lerch: Elektrische Messtechnik, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag 2004). Dementsprechend werden die im Lehrbuch neu aufgenommenen Kapitel u ¨ber Ausgleichsvorg¨ange und nichtlineare elek¨ trische Netzwerke hier mit entsprechenden Ubungsaufgaben abgedeckt. Weiterhin wurde der Abschnitt zur computerunterst¨ utzten Messdatenerfassung ebenfalls um neue Aufgaben und Beispiele erg¨anzt, so z. B. zu den modernen Feldbussystemen. Bei der Erstellung des Manuskriptes haben wir viele Anregungen und große Unterst¨ utzung von allen am Lehrstuhl f¨ ur Sensorik der Universit¨at ErlangenN¨ urnberg t¨ atigen Mitarbeitern erfahren, denen unser Dank gilt. Die Anfertigung der zahlreichen Abbildungen lag in den H¨anden von Frau Cornelia Salley-Sippel und Frau Bettina Melberg, denen wir f¨ ur diese m¨ uhevolle Arbeit herzlich danken. Den Herren Dr.-Ing. K.P. Frohmader und Dipl.-Ing. Martin Meiler gilt besonderer Dank f¨ ur die Unterst¨ utzung beim Korrekturlesen. Die Autoren bedanken sich auch beim Springer-Verlag, und hier insbesondere bei Frau Eva Hestermann-Beyerle sowie bei Frau Monika Lempe f¨ ur ihre stetige Hilfsbereitschaft und Unterst¨ utzung bei der Erstellung dieses Werkes.

Erlangen, im Sommer 2004

Reinhard Lerch Manfred Kaltenbacher Franz Lindinger Alexander Sutor

Vorwort zur ersten Auflage

Die Elektrische Meßtechnik ist eines der wichtigsten Teilgebiete der Elektrotechnik, welches mehr und mehr Einzug in die anderen Ingenieurwissenschaften h¨ alt, wie z.B. den Maschinenbau und die Verfahrenstechnik. Denn f¨ ur die Charakterisierung bzw. Bewertung technischer Produkte und Prozesse stellt die meßtechnische Erfassung von elektrischen und nicht-elektrischen Gr¨ oßen die entscheidende Grundlage dar. Die Detektion dieser physikalischen Meßgr¨ oßen erfordert, neben der Auswahl eines geeigneten Sensors, die Entwicklung bzw. die Dimensionierung von Meßschaltungen. Weiterhin stellt sich f¨ ur den Ingenieur stets die Frage nach der Genauigkeit, mit welcher die Meßgr¨ oßen erfaßt werden k¨ onnen, und wie sich St¨ orgr¨ oßen auf das Meßergebnis auswirken. Nach abgeschlossener Messung ist die korrekte Angabe des Meßergebnisses von Bedeutung. Um all diesen Aufgaben gewachsen zu sein, bedarf es entsprechender Kenntnisse und F¨ ahigkeiten zur Dimensionierung und Analyse von Meßschaltungen der analogen und digitalen Meßtechnik, welche dem Leser entsprechend der Zielsetzung dieses Buches vermittelt werden sollen. Mit der hier getroffenen Auswahl an meßtechnischen Problemstellungen wurde versucht, den Leser an die Erfordernisse der Praxis heranzuf¨ uhren. Der Zugang zu der behandelten Thematik soll durch eine in den jeweiligen Kapiteln vorangestellte Zusammenfassung der notwendigen Grundlagen erleichtert werden. Zus¨ atzlich werden dem Leser Verfahren vermittelt (z.B. die Anwendung des Ersatzquellenprinzips), mit deren Hilfe komplexe meßtechnische Aufgabenstellungen auf einfache bzw. effiziente Weise gel¨ ost werden k¨ onnen. Zur Vertiefung des Wissens u ¨ber meßtechnische Grundlagen sowie elektrische Meßverfahren und Meßschaltungen empfiehlt sich das Studium des gleichzeitig erschienenen Lehrbuches Elektrische Meßtechnik“ (R. Lerch: Elektrische ” Meßtechnik. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag 1996). In der vorliegenden Aufgabensammlung wurden umfangreiche Beispiele und Aufgaben zu allen in diesem Lehrbuch enthaltenen Themen zusammengestellt. ¨ Der in den einzelnen Kapiteln des vorliegenden Ubungsbuches behandelte Stoff gliedert sich in eine, die jeweiligen Grundlagen enthaltende Einleitung und einen Abschnitt, der die meßtechnischen Aufgabenstellungen in Form von Beispielen mit dazugeh¨ origen, ausf¨ uhrlichen Musterl¨osungen behandelt. Der Leser sollte bestrebt sein, bereits diese Beispiele eigenst¨ andig zu bearbeiten und ohne Zuhilfenahme der Musterl¨ osung zu einem Ergebnis zu gelangen. Am Ende eines jeden Abschnittes befinden sich Aufgaben, bei denen auf die Beschreibung des Rechen- bzw. L¨ osungsweges bewußt verzichtet wurde, um

VIII

Vorwort

den Leser anzuregen, die Aufgaben ohne fremde Hilfe zu l¨ osen. Die jeweilige Angabe einer Kurzl¨ osung im Anschluß an die Aufgabenstellung soll dabei ¨ der Uberpr¨ ufung der vom Leser erarbeiteten Ergebnisse dienen. Es sei darauf hingewiesen, daß sich der Leser beim Studium dieser Aufgabensammlung nicht an die von den Autoren gew¨ ahlte Reihenfolge der Kapitel halten muß. Die in diesem Buch enthaltenen Beispiele und Aufgaben basieren einerseits auf von den Autoren in ihrer beruflichen Praxis bearbeiteten Meßaufgaben und entstammen andererseits der Rechen¨ ubung Elektrische Meßtechnik sowie einer gleichnamigen Vorlesung, welche zu den Grundlehrveranstaltungen des Diplomingenieurstudienganges Mechatronik z¨ ahlen, der seit dem Jahre 1990 an der Universit¨ at Linz angeboten wird. Damit eignet sich dieses Buch sowohl f¨ ur den Studierenden zur Vorbereitung auf entsprechende Pr¨ ufungen als auch f¨ ur den bereits in der Praxis t¨ atigen Ingenieur zur Auffrischung bzw. Vertiefung wichtiger Kenntnisse auf dem Gebiet der Elektrischen Meßtechnik. Weiterhin wird versucht, die Umsetzung der beim Studium eines Lehrbuches erlangten theoretischen Kenntnisse in die f¨ ur den Ingenieur außerordentlich wichtige selbst¨ andige praktische Anwendung zu erleichtern. Bei der Erstellung des Manuskriptes haben wir viele Anregungen und große Unterst¨ utzung von allen am Institut f¨ ur Elektrische Meßtechnik der Universit¨ at Linz t¨ atigen Mitarbeitern erfahren, denen unser Dank gilt. Die Anfertigung der zahlreichen Abbildungen lag in den H¨ anden von Frau Ingrid Hagelm¨ uller, Frau Waltraud Kratzer und Frau Sylvia Preßl, denen wir f¨ ur diese m¨ uhevolle Arbeit herzlich danken. Den Herren Dipl.-Math. Hermann Landes und cand. Dipl.-Ing. Klaus Hitzenberger danken wir f¨ ur die Unterst¨ utzung beim Korrekturlesen. Unser Dank gilt auch dem Springer-Verlag, insbesondere Herrn Dr. Hubertus Riedesel, der die Anregung zur Abfassung des vorliegenden Werkes gab, sowie seinen Mitarbeiterinnen Frau Marianne Ozimkowski und Frau Gaby Maas f¨ ur ihre Unterst¨ utzung bei der Erstellung des kamerafertigen Manuskriptes. Allen genannten Personen m¨ ochten wir auch f¨ ur ihr Verst¨ andnis und ihre Geduld bei der mehrmals verz¨ ogerten Abgabe des Manuskriptes danken. Da es erwartungsgem¨ aß auch bei noch so sorgf¨ altiger Manuskriptbearbeioglich sein d¨ urfte, die Erstauflage eines solchen Buches fehlerfrei tung nicht m¨ zu halten, m¨ ochten wir uns schon vorab bei allen Lesern f¨ ur diese Fehler entschuldigen und sie bitten, von ihnen eventuell entdeckte Fehler an die folgende Adresse mitzuteilen: O. Univ.-Prof. Dipl.-Ing. Dr. Reinhard Lerch Institut f¨ ur Elektrische Meßtechnik Johannes Kepler Universit¨ at Linz Altenberger Straße 69 A-4040 Linz Linz, im Januar 1996

Reinhard Lerch Manfred Kaltenbacher Franz Lindinger

Inhaltsverzeichnis

1

Ausgleichsvorg¨ ange und Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . 1.1 Grundlagen zur Berechnung von Ausgleichsvorg¨ angen in linearen Netzwerken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Sprungantwort und Impulsantwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Anregung mit Sprungfunktion oder Dirac-Impuls . . . . . 1.2.2 Anregung mit beliebigen Zeitfunktionen . . . . . . . . . . . . . 1.3 Die Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Elementare Eigenschaften der Laplace-Transformation 1.4 Anwendung des Heavisideschen Entwicklungssatzes . . . . . . . . . . 1.4.1 Beispiel f¨ ur die Anwendung des Heavisideschen Entwicklungssatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Beispiele zur Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 7 7 9 9 10 12 13 16

2

Nichtlineare Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1 Beschreibung nichtlinearer Netzwerkelemente . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Berechnung nichtlinearer Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3

Meßfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Grundlagen der Meßfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Systematische Meßfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Zuf¨ allige Meßfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33 33 36 39

4

Analoges Messen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Grundlagen elektromechanischer Meßwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Meßbereichserweiterung von Meßwerken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Grundlagen zur Messung elektrischer Wechselgr¨ oßen . . . . . . . . . 4.4 Analoge Meßwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Vielfachmeßger¨ ate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung . . . . . . . . . . .

47 47 52 53 56 69 73

X

Inhaltsverzeichnis

5

Operationsverst¨ arker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 ¨ 5.1 Der Uberlagerungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.2 Grundlagen der Operationsverst¨ arker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.3 Schaltungen mit idealen Operationsverst¨ arkern . . . . . . . . . . . . . 95 5.4 Schaltungen mit realen Operationsverst¨ arkern . . . . . . . . . . . . . . 105 5.5 Rauschen von Meßverst¨ arkern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6

Leistungsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 6.1 Grundlagen der Leistungsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 6.2 Leistungsmessung in Gleich- und Wechselstromkreisen . . . . . . . 129 6.3 Wirkleistungsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6.4 Blindleistungsmessung im Einphasennetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

7

Messung von elektrischen Impedanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 7.1 Ersatzquellenprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 7.2 Grundlagen zur Messung ohmscher Widerst¨ ande . . . . . . . . . . . . 146 7.3 Grundlagen zur Messung von Schein- und Blindwiderst¨ anden . 148 7.4 Messung ohmscher Widerst¨ ande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 7.5 Messung von Kapazit¨ aten und Induktivit¨ aten . . . . . . . . . . . . . . . 159

8

Meßwandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 8.1 Grundlagen der Meßwandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 8.2 Strom- und Spannungswandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

9

Analoges Elektronenstrahl-Oszilloskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 9.1 Praktischer Umgang mit einem Elektronenstrahl-Oszilloskop . 177 9.2 Frequenzkompensierter Spannungsteiler (Tastkopf) . . . . . . . . . . 178 9.3 Messungen mit einem Elektronenstrahl-Oszilloskop . . . . . . . . . . 179

10 Digitale Meßtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 10.1 Grundlagen der Analog-Digital- und Digital-Analog-Umsetzer 187 10.2 Auf- und Entladekurven von Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . 190 10.3 Digital-Analog-Umsetzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 10.4 Analog-Digital-Umsetzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 10.5 Spannungs-Frequenz-Umsetzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 11 Messung von Frequenz und Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 11.1 Phasenwinkelmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 11.2 Zeit- und Frequenz-Spannungs-Umsetzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 11.3 Grundlagen der Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 11.4 Zeit- und Frequenzmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 11.5 Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

Inhaltsverzeichnis

XI

12 Rechnergestu ¨ tzte Meßdatenerfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 12.1 Grundlagen der Daten¨ ubertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 12.2 Grundlagen der IEC-Bus-Schnittstelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 12.3 Quantisierung und Daten¨ ubertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 12.4 Schnittstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

1 Ausgleichsvorg¨ ange und Laplace-Transformation

1.1 Grundlagen zur Berechnung von Ausgleichsvorg¨ angen in linearen Netzwerken Ziel dieses einf¨ uhrenden Kapitels ist es, die Methodik zur Berechnung von Ausgleichsvorg¨ angen in linearen, zeitinvarianten Netzwerken zu wiederholen. Solche Ausgleichsvorg¨ ange werden hervorgerufen durch das Ein-, Aus- oder auch Umschalten von Strom- oder Spannungsquellen. Die mathematische Formulierung eines solchen Vorgangs lautet im allgemeinen f (t) = k1 + (k2 − k1 ) · ε(t − t0 ) , wobei ε(t) die Sprungfunktion bezeichnet
1 f¨ ur t ≥ 0 ε(t) = . 0 f¨ ur t < 0

(1.1)

(1.2)

Gleichung (1.1) beschreibt also eine Funktion f (t), welche zum Zeitpunkt t = t0 von der Amplitude k1 auf den Wert k2 springt. Wenn wir uns auf elektrische Netzwerke mit konzentrierten, linearen und zeitinvarianten Elementen beschr¨ anken, so erfolgt die mathematische Beschreibung dieser Einschaltvorg¨ ange anhand von linearen Differentialgleichungen (DGLn) mit konstanten Koeffizienten. Der Grad der Differentialgleichung entspricht der Anzahl der vorhandenen (unabh¨ angigen) Energiespeicher. Als Beispiel wollen wir das Einschalten eines Netzwerks aus zwei Widerst¨ anden und einer Spule nach Abb. 1.1 betrachten. Die Stromquelle war lange Zeit vom Netzwerk getrennt. Zum Zeitpunkt t = 0 wird der Schalter S eingeschaltet (1.3) i(t) = I0 ε(t). Das Netzwerk soll mithilfe einer Maschenstromanalyse [12] analysiert werden. Man verwendet beispielsweise die beiden Elementarmaschen, wie in Abb. 1.1

2

1 Ausgleichsvorg¨ ange und Laplace-Transformation

W 

5/

LW

L/

, ,,

5

,

/

Abb. 1.1. Beispielschaltung: Netz mit einer Spule

eingezeichnet. Da der Maschenstrom in Masche II durch die Stromquelle eingepr¨ agt ist, gen¨ ugt das Aufstellen der Maschengleichung in Masche I mit dem unbekannten Strom iL (t) zur Beschreibung des Netzwerks. So ergibt sich folgende DGL zur Beschreibung der Schaltung f¨ ur t > 0 L

diL + (R1 + RL )iL − R1 I0 = 0 . dt

(1.4)

¨ Die L¨ osung dieser Gleichung ergibt sich aus der Uberlagerung der L¨ osung der homogenen DGL diL + (R1 + RL )iL = 0 (1.5) L dt und einer partikul¨ aren L¨ osung der inhomogenen DGL (1.4). Eine partikul¨ are alt man unter Beachtung der Tatsache, daß der Strom durch L¨ osung iLp erh¨ die Spule f¨ ur t → ∞ gegen einen konstanten Wert streben muß. Man erh¨ alt die partikul¨ are L¨ osung entweder durch Einsetzen dieses Ansatzes iLp = konst in die DGL (1.4) oder durch Betrachten des Netzwerkes f¨ ur t → ∞ iLp = iL (t → ∞) = I0

R1 . R1 + RL

(1.6)

Die L¨ osung der homogenen DGL (Gl. 1.5) lautet mit der Zeitkonstanten τ = L/(R1 + RL ) (1.7) iLh (t) = k · e−t/τ . Mit der noch zu bestimmenden Konstanten k ergibt sich schließlich die Gesamtl¨ osung zu iL (t) = iLh (t) + iLp = k · e−t/τ + I0

R1 . R1 + RL

(1.8)

Die Konstante k l¨ aßt sich ermitteln, indem man ber¨ ucksichtigt, daß der Strom iL (t) insbesondere zum Zeitpunkt t = 0 stetig sein muß iL (0) = 0 . Einsetzen in Gl. (1.8) liefert

(1.9)

1.1 Grundlagen zur Berechnung von Ausgleichsvorg¨ angen in linearen Netzwerken 3

R1 R1 + RL

(1.10)

R1 . R1 + RL

(1.11)

0 = k + I0 k = −I0

Die Gesamtl¨ osung f¨ ur t ≥ 0 lautet dann iL (t) = I0

  R1 1 − e−t/τ . R1 + RL

(1.12)

Auch bei komplizierteren Netzwerken ist die Vorgehensweise analog, d.h. unter Verwendung der Kirchhoffschen Gleichungen und den Strom-SpannungsBeziehungen von Widerstand, Spule und Kondensator wird ein System von ¨ linearen Differentialgleichungen aufgestellt, dessen L¨osung sich aus der Uberlagerung der L¨ osung des homogenen Systems und der partikul¨aren L¨osung des inhomogenen Systems ergibt. Sind in einem Netzwerk nun n Energiespeicher (Kondensatoren und/oder Spulen) vorhanden, so enth¨alt die L¨osung n Konstanten, die so bestimmt werden m¨ ussen, daß die n Anfangswerte der Energiespeicher erf¨ ullt werden, d.h. es muß ein lineares Gleichungssystem mit n Unbekannten gel¨ ost werden. Beispiel 1.1: Schaltung mit Induktivit¨at Die Schaltung nach Abb. 1.2 befindet sich in einem station¨aren Zustand. Zum Zeitpunkt t = 0 wird der Schalter S geschlossen. Der daraus resultierende Ausgleichsvorgang soll untersucht werden. a) Geben Sie die DGL f¨ ur den Strom iL (t) und t > 0 an. b) Berechnen Sie den Strom iL (t).

R1 iL

iq

R2

L

U0

S

RL

t=0 Abb. 1.2. Ausgleichsvorgang im linearen elektrischen Netzwerk (Schalter wird bei t = 0 geschlossen)

4

1 Ausgleichsvorg¨ ange und Laplace-Transformation

Musterlo ¨sung a) Verwendet man die eingezeichneten Str¨ ome iq und iL als Maschenstr¨ ome, so erh¨ alt man das Gleichungssystem zur Beschreibung des Netzwerks I: II :

−U0 + (R1 + R2 )iq − R2 iL = 0 (R2 + RL )iL + L

(1.13)

diL − R2 iq = 0 . dt

aßt sich eine DGL in iL formulieren Eliminiert man iq aus den Gleichungen, so l¨ Ra diL R2 + iL − U0 = 0 mit Ra = RL + R1  R2 . dt L L(R1 + R2 )

(1.14)

Man beachte die abk¨ urzende Schreibweise f¨ ur parallelgeschaltete Widerst¨ ande R1  R2 =

R1 R2 . R1 + R2

(1.15)

b) F¨ ur die homogene L¨ osung iLh w¨ ahlt man den Ansatz iLh = ke−t/τ

(1.16)

mit der Zeitkonstanten τ = L/Ra und der noch zu bestimmenden Konstanalt man, wenn man das Verhalten des ten k. Eine partikul¨ are L¨ osung iLp erh¨ Netzwerkes f¨ ur t → ∞ betrachtet iLp = iL (t → ∞) =

U0 Rb

mit Rb = R1 + RL +

RL R1 . R2

(1.17)

Partikul¨ are L¨ osung und homogene L¨ osung der DGL addieren sich zu iL (t) =

U0 + ke−t/τ . Rb

(1.18)

Zur Bestimmung der Konstanten k beachtet man die Tatsache, daß der Induktivit¨ atsstrom iL (t) im Zeitnullpunkt stetig sein muß iL (0) =

U0 . R1 + RL

(1.19)

Setzt man diese Anfangsbedingung in Gl. (1.18) ein, so erh¨ alt man f¨ ur k   1 1 − k = U0 . (1.20) R1 + RL Rb Die L¨ osung lautet dann

1.1 Grundlagen zur Berechnung von Ausgleichsvorg¨ angen in linearen Netzwerken 5

i q1

R

R

Uq1

ic

R C

S t=0

Uq2

1

uc

2

Abb. 1.3. Ausgleichsvorgang im linearen elektrischen Netzwerk (Schalter wird bei t = 0 umgeschaltet)

 iL (t) = U0

1 + Rb



1 1 − R1 + RL Rb



e−t/τ

 .

(1.21)

Aufgabe 1.1: Umladen eines Kondensators Abbildung 1.3 zeigt eine Schaltung, welche von zwei Gleichspannungsquellen gespeist wird. Nachdem sich der Schalter S beliebig lange in Stellung 1 befand, wird er zum Zeitpunkt t = 0 umgeschaltet. ur t > 0 an. a) Geben Sie die DGL f¨ ur die Spannung uc (t) f¨ ur t > 0. b) Berechnen Sie den Verlauf der Spannung uc (t) f¨ ur t > 0. c) Berechnen Sie den Verlauf des Stromes ic (t) f¨ L¨ osung a) Differentialgleichung 3 duc 1 RC + uc = Uq1 . 2 dt 2

(1.22)

b) L¨osung f¨ ur uc (t) uc (t) =

 1 Uq1 + Uq2 e−2t/(3RC) . 2

(1.23)

Uq2 −2t/(3RC) e . 3R

(1.24)

c) L¨osung f¨ ur ic (t) ic (t) = −

6

1 Ausgleichsvorg¨ ange und Laplace-Transformation

t=0

R

S C

iL

uR

uC L

uL

Abb. 1.4. Einschaltvorgang beim ged¨ ampften Reihenschwingkreis

Aufgabe 1.2: Der ged¨ampfte Reihenschwingkreis Die in Abb. 1.4 dargestellte Reihenschaltung einer Induktivit¨ at L, einer Kapazit¨ at C und eines Widerstandes R kann durch einen Schalter S zu einem Kreis geschlossen werden. Nachdem die Kapazit¨ at C auf eine Spannung uC (0) = U > 0 aufgeladen wurde, wird zum Zeitpunkt t = 0 der Schalter geschlossen. ur t > 0 an. Geben Sie eine DGL zur Beschreibung der Spannung uC (t) f¨ Unter welcher Bedingung sind die Eigenwerte konjugiert komplex? Berechnen Sie f¨ ur diesen Fall die Spannungen uC (t) sowie den Strom iL (t). Tragen Sie den Verlauf der Spannung uC (t) sowie des Stromes iL (t) in ein Diagramm u ¨ber der Zeit auf. Verwenden Sie dazu die Werte C = 1.41 mF, L = 616 µH und R = 330 mΩ. Der Kondensator sei zu Beginn auf U = 300 V aufgeladen. ¨ e) Bestimmen Sie durch eine einfache Uberlegung ohne zus¨ atzliche Rechnung den Verlauf der Spannung uC (t) sowie des Stromes iL (t), wenn eine ideale Diode in Reihe zu den u ugt wird ¨brigen Netzwerkelementen eingef¨ (Abb. 1.5).

a) b) c) d)

L¨ osung a) Die DGL lautet 1 d 2 uc R duc + uc = 0 . + dt2 L dt LC b) Die Eigenwerte sind konjugiert komplex f¨ ur 

c) Mit den Abk¨ urzungen

R L

2 >

4 . LC

(1.25)

(1.26)

1.2 Sprungantwort und Impulsantwort

t=0

R

S C

7

iL

uR

uC L

uL

Abb. 1.5. Erg¨ anzung des Reihenschwingkreises durch eine Diode

R 2L  R2 1 ω= − 2L LC σ=−

α = − arctan

ω σ

(1.27)

(1.28) (1.29)

erh¨ alt man die Spannung uc (t) uc (t) =

U eσt sin(ωt + α) sin α

(1.30)

und den Strom iL (t) CU ω σt e sin(ωt) . (1.31) sin2 α d) Die Verl¨ aufe sind in Abb. 1.6 dargestellt. e) Der Strom iL (t) kann nicht negativ werden, d.h. der Kondensator wird auf seine maximale negative Spannung umgeladen und beh¨ alt diese dann. iL (t) =

1.2 Sprungantwort und Impulsantwort Im folgenden soll kurz auf die Berechnung von Einschwingvorg¨ angen mit beliebigen Anregungen im Zeitbereich eingegangen werden. Dies soll die Begriffe Sprungantwort und Impulsantwort wiederholen und als Einleitung und Motivation f¨ ur die Berechnung von Netzwerken im Laplace-Bereich dienen. 1.2.1 Anregung mit Sprungfunktion oder Dirac-Impuls Gegeben sei ein lineares Netzwerk mit einem Eingangstor und einem Ausgangstor. Unter der Sprungantwort h(t) versteht man die Reaktion y(t) eines

8

1 Ausgleichsvorg¨ ange und Laplace-Transformation

uC (V) i C (A) 300 iC

200

uC

100 2

10

t (ms)

Abb. 1.6. Zeitverlauf der Spannung uC (t) und des Stroms iC (t)

Systems am Ausgang auf eine Anregung mit der Sprungfunktion x(t) = ε(t) am Eingang. Die Impulsantwort g(t) ist entsprechend definiert als die Reaktion auf eine Anregung mit dem Dirac-Impuls x(t) = δ(t). Gegeben ist das Netzwerk nach Abb. 1.7 (bei den Eingangs- und Ausgangssignalen handelt es sich hier um normierte Spannungen, im allgemeinen k¨ onnen es aber auch Str¨ ome sein). F¨ ur die Sprungantwort des Netzwerkes gilt mit τ = RC x(t) = ε(t)

y(t) = h(t) = (1 − e−t/τ ) .

=⇒

(1.32)

Gesucht ist nun die Impulsantwort. Da der Dirac-Impuls die zeitliche Ableitung der Sprungfunktion ist und das System als linear angenommen wird, erh¨ alt man die Impulsantwort durch Differenzieren der Sprungantwort δ(t) =

dε(t) dt

=⇒

y(t) = g(t) =

dh(t) 1 = e−t/τ . dt τ

(1.33)

R

x(t)

C

y(t)

Impulsantwort g(t) Abb. 1.7. RC-Netzwerk, welches durch seine Impulsantwort g(t) beschrieben wird

1.3 Die Laplace-Transformation

9

1.2.2 Anregung mit beliebigen Zeitfunktionen Wird ein lineares Netzwerk mit einer beliebigen Zeitfunktion x(t) angeregt, so erh¨ alt man das Ausgangssignal durch Faltung des Eingangssignals mit der Impulsantwort t g(ϑ)x(t − ϑ)dϑ . (1.34) y(t) = g(t) ∗ x(t) = 0

Wir wollen nun wieder das Netzwerk nach Abb. 1.7 betrachten. Es soll durch eine zum Zeitpunkt t = 0 eingeschaltete Sinusfunktion angeregt werden
sin ω0 t f¨ ur t ≥ 0 . (1.35) x(t) = ε(t) · sin ω0 t = 0 f¨ ur t < 0 Gesucht ist das Ausgangssignal y(t). Die Auswertung des Faltungsintegrals ergibt y(t) = g(t) ∗ x(t)

(1.36)

t

sin ω0 ϑ

= 0

1 = e−t/τ τ =



1 −(t−ϑ)/τ e dϑ τ

t

sin ω0 ϑ eϑ/τ dϑ 0

t   eϑ/τ 1 1 −t/τ e sin ω ϑ − ω cos ω ϑ 0 0 0 τ (1/τ )2 + ω02 τ 0

    et/τ 1 1 −t/τ ω0 sin ω0 t − ω0 cos ω0 t + = e τ (1/τ )2 + ω02 τ (1/τ )2 + ω02 =

  1 ω0 1 −t/τ sin ω t − cos ω t + e . 0 0 τ (1/τ )2 + ω02 τ ω0

1.3 Die Laplace-Transformation Dieser Abschnitt soll eine Hilfestellung zum Umgang mit der Laplace-Transformation geben. Nach einer Darstellung der Transformationsgleichungen werden die elementaren Eigenschaften zusammengestellt und die Transformation der linearen Netzwerkelemente wiederholt. Es sei noch einmal darauf hingewiesen, daß alle zu transformierenden Zeitfunktionen als kausal zu betrachten sind, d. h. sie verschwinden f¨ ur t < 0. Die (einseitige) Laplace-Transformation wird mit folgender Gleichung beschrieben [6]

10

1 Ausgleichsvorg¨ ange und Laplace-Transformation

F (s) =

∞

f (t)e−st dt ,

(1.37)

0

wobei s die sog. komplexe Frequenz repr¨ asentiert s = σ + jω.

(1.38)

Entsprechend l¨ aßt sich die R¨ ucktransformation folgendermaßen darstellen s=σ+j∞ 1 F (s)est ds . (1.39) f (t) = 2πj s=σ−j∞ Zul¨ assig sind alle kausalen Zeitfunktionen, die nicht schneller als eine geeignet gew¨ ahlte Exponentialfunktion f¨ ur t → ∞ anwachsen und st¨ uckweise glatt sind (d.h. alle vern¨ unftigen“ Funktionen). ” 1.3.1 Elementare Eigenschaften der Laplace-Transformation Linearit¨ at Aus den Grundgleichungen folgt unmittelbar die Linearit¨ atseigenschaft der Laplace-Transformation. Wenn die Laplace-Transformierten zweier Zeitfunktionen f1 (t) und f2 (t) existieren f1 (t) ◦−−• F1 (s)

(1.40)

f2 (t) ◦−−• F2 (s) ,

(1.41)

so gilt f¨ ur beliebige Konstanten c1 und c2 c1 f1 (t) + c2 f2 (t)

◦−−•

c1 F1 (s) + c2 F2 (s) .

(1.42)

Integration Wird eine Zeitfunktion f (t) integriert, so muß die zugeh¨ orige Laplace-Transformierte mit 1/s multipliziert werden t 1 F (s) . (1.43) f (τ ) dt ◦−−• s 0 Differentiation Die Differentiation soll hier noch einmal genauer betrachtet werden. Es sei f (t) eine transformierbare Funktion und ε(t) die Sprungfunktion. Zum besseren Verst¨ andnis werden in diesem Abschnitt die zu transformierenden Funktionen durch Multiplikation mit der Sprungfunktion zur Kausalit¨ at gezwungen. Speziell soll auf den Unterschied zwischen

1.3 Die Laplace-Transformation

d [ε(t)f (t)] dt

11

(1.44)

und

d f (t) (1.45) dt hingewiesen werden. Betrachten wir den ersten Fall. Laut Gl. (1.39) gilt s=σ+j∞ 1 ε(t) · f (t) = F (s)est ds . (1.46) 2πj s=σ−j∞ ε(t)

Nach einer Differentiation beider Seiten erh¨ alt man s=σ+j∞ d 1 [ε(t) · f (t)] = sF (s)est ds . dt 2πj s=σ−j∞

(1.47)

Man sieht unmittelbar d [ε(t) · f (t)] dt

◦−−• sF (s).

Um die Laplace-Transformierte zu ε(t) · Produktregel der Differentiation an

d dt f (t)

(1.48)

zu erhalten, wenden wir die

df d [ε(t) · f (t)] = ε(t) + δ(t)f (t). dt dt

(1.49)

Wir beachten, daß der Dirac-Stoß den Funktionswert von f an der Stelle t = 0 ausschneidet, und erhalten ε(t) ·

d df = [ε(t) · f (t)] − δ(t)f (0). dt dt

(1.50)

Durch Transformation der rechten Seite erhalten wir ε(t) ·

df dt

◦−−•

sF (s) − f (0).

(1.51)

Faltung Das Faltungsintegral zweier Zeitfunktionen f1 (t) und f2 (t) spielt in der Beschreibung und Analyse von Netzwerken eine wichtige Rolle (Gl. (1.34)). Die Faltung im Zeitbereich hat die angenehme Eigenschaft, daß sie einer Multiplikation im Frequenzbereich entspricht f1 (t) ∗ f2 (t)

◦−−•

F1 (s) · F2 (s) .

(1.52)

Man sieht, daß auch diese Operation, wie schon die Differentiation und die Integration, im Frequenzbereich leichter handzuhaben ist. Der Vollst¨ andigkeit halber sei erw¨ ahnt, daß umgekehrt dem Produkt zweier kausaler Zeitfunktionen eine Faltung ihrer Laplace-Transformierten entspricht. Die Berechnung dieser Faltung ist allerdings wegen des komplexen Integrals meist aufwendig.

12

1 Ausgleichsvorg¨ ange und Laplace-Transformation

Verschiebung im Zeitbereich Die Verschiebung im Zeitbereich um ein (positives) t0 entspricht einer Multiplikation im Frequenzbereich mit e−st0 f (t − t0 )

◦−−•

F (s)e−st0 .

(1.53)

Verschiebung im Frequenzbereich Die Verschiebung im Frequenzbereich um eine (komplexe) Konstante s0 entspricht einer Multiplikation im Zeitbereich mit es0 t f (t)es0 t

◦−−• F (s − s0 ) .

(1.54)

Dehnung und Stauchung Eine Dehnung bzw. Stauchung im Zeitbereich wirkt sich als Stauchung bzw. Dehnung im Frequenzbereich aus. Der Zusammenhang lautet 1 s , f (ct) ◦−−• F c c

(1.55)

wobei c eine positive Konstante ist. Eine solche Skalierung verwendet man beispielsweise zur Normierung der Frequenz bzw. der Zeit.

1.4 Anwendung des Heavisideschen Entwicklungssatzes Besitzt die zu transformierende Funktion lediglich einfache, reelle Pole, so ist die Anwendung des Heavisideschen Entwicklungssatzes besonders elegant. Auch bei einfachen, konjugiert komplexen Polen ist dies leicht m¨ oglich. Die Grundaussage des Satzes lautet: Hat die Laplace-Transformierte F (s) nur einfache Pole bei s1 · · · sn , dann ergibt sich die zugeh¨ orige Zeitfunktion f (t) fu ¨ r t > 0 in der Form des sogenannten Heavisideschen Entwicklungssatzes n

n

Z(sν ) sν t e , rν = f (t) =  (s ) N ν ν=1 ν=1

(1.56)

wobei Z(s) den Z¨ ahler und N (s) den Nenner von F (s) bezeichnet. Das einem Pol zugeh¨ orige Residuum ist rν . F¨ ur die numerische Auswertung der Entwicklung empfiehlt es sich, die zu Paaren von konjugiert komplexen Polstellen geh¨ orenden Residuen zusammenzufassen, um unn¨ otiges Rechnen mit komplexen Gr¨ oßen zu vermeiden.

1.4 Anwendung des Heavisideschen Entwicklungssatzes

13

C2

t=0

L2 C1

L1 U0

ue (t)

R

L1

ua (t)

C1 L2 C2

Abb. 1.8. Einschaltvorgang an einer symmetrischen X-Schaltung

1.4.1 Beispiel fu ¨ r die Anwendung des Heavisideschen Entwicklungssatzes Als Beispiel f¨ ur die Anwendung des Entwicklungssatzes betrachten wir die Schaltung in Abb. 1.8. Wegen ihres Aufbaus wird sie als X-Schaltung oder symmetrische Kreuzschaltung bezeichnet. Nachdem der Schalter lange Zeit ge¨ offnet war, wird im Zeitnullpunkt eine Gleichspannung U0 eingeschaltet. Um den Einschwingvorgang zu berechnen, ermittelt man zun¨ achst die ¨ Ubertragungsfunktion G(s) = Ua (s)/Ue (s). Bei dieser Schaltung empfiehlt

=

8V  H



=

5

=

8V  D

 = ϕ 

Abb. 1.9. Anwendung des Knotenpotentialverfahrens

sich die Anwendung des Knotenpotentialverfahrens [12]. In Abb. 1.9 ist die Schaltung im Laplace-Bereich unter Verwendung der Abk¨ urzungen Z 1 = sL1 +

1 sC1

und Z 2 =

sL2 2 s C2 L2

+1

(1.57)

14

1 Ausgleichsvorg¨ ange und Laplace-Transformation

dargestellt. Man erkennt, daß neben dem Masseknoten und der bekannten Eingangsspannung die beiden mit 1 und 2 bezeichneten Knotenpotentiale als unbekannt zu betrachten sind. Sie lassen sich durch ϕ1 und Ua beschreiben. Man ben¨ otigt also zwei Gleichungen, die man durch Anwendung der Knotenregel auf die erw¨ ahnten Knoten gewinnt −ϕ1 − Ua Ua U e − U a − ϕ1 =0 + − Z2 Z1 R

I:

II :

−

ϕ1 U e − ϕ1 Ua =0. + + Z2 Z1 R

(1.58)

(1.59)

¨ Eliminiert man aus diesen Gleichungen das Potential ϕ1 , so l¨ aßt sich die Ubertragungsfunktion berechnen G(s) =

Z1 − Z2 Ua (s) = . Ue (s) Z 1 + Z 2 + 2Z 1 Z 2 /R

(1.60)

Es sollen nun die Konstanten d und ω0 definiert werden, wobei folgender Zusammenhang zwischen den Elementen der Schaltung (Abb. 1.8) und diesen Konstanten bestehen soll 2dL1 = R

2dC2 =

1 R

ω02 L1 C1 = ω02 L2 C2 = 1 .

(1.61) (1.62)

Setzt man in Gl. (1.60) die komplexen Impedanzen aus Gl. (1.57) ein und verwendet man außerdem die gegebenen Zusammenh¨ ange, so l¨ aßt sich die ¨ Ubertragungsfunktion wie folgt ausdr¨ ucken G(s) =

s4

s4 + (2ω02 − 4d2 )s2 + ω04 . + 4ds3 + (2ω02 + 4d2 )s2 + 4dω02 s + ω04

(1.63)

Nach dem K¨ urzen zweier Pole und Nullstellen erh¨ alt man G(s) =

s2 − 2ds + ω02 . s2 + 2ds + ω02

(1.64)

Mit der oben definierten Eingangsspannung ue (t) = U0 · ε(t)

◦−−• Ue (s) =

U0 s

(1.65)

und unter Einf¨ uhrung einer normierten Ausgangsspannung f (t) f (t) =

u2 (t) U0

erh¨ alt man f¨ ur die Laplace-Transformierte F (s)

(1.66)

1.4 Anwendung des Heavisideschen Entwicklungssatzes

U2 (s) s2 − 2ds + ω02 . = U0 s(s2 + 2ds + ω02 )

F (s) =

F (s) hat Pole bei den (im allgemeinen) komplexen Werten  s1,2 = −d ± d2 − ω02

15

(1.67)

(1.68)

und bei s3 = 0 .

(1.69)

Geht man davon aus, daß d = ω0 , so sind alle Polstellen voneinander verschieden und es lassen sich die Residuen nach Gl. (1.56) berechnen. Es gilt N  (s3 ) = ω02 ,

Z(s3 ) = ω02 ,

(1.70)

also r3 = 1 .

(1.71)

F¨ ur die Auswertung an den beiden anderen Polstellen schreiben wir Z(s) und N  (s) in der Form Z(s) = (s2 + 2ds + ω02 ) − 4ds N  (s) = (s2 + 2ds + ω02 ) + 2s(s + d) .

(1.72) (1.73)

Bei s1 und s2 verschwindet jeweils der erste Summand. Es gilt also r1 =

Z(s1 ) s1 t −2d s1 t −2d es1 t e = e = N  (s1 ) s1 + d d2 − ω02

(1.74)

und

Z(s2 ) s2 t +2d e = es2 t . (1.75) N  (s2 ) d2 − ω02 Wenn man im Exponenten die Hilfsgr¨ oße ωr = d2 − ω02 verwendet, folgt r2 =

f (t) = r1 + r2 + r3

(1.76)

2d e−dt (eωr t − e−ωr t ) . f (t) = 1 − d2 − ω02

(1.77)

Dieser Ausdruck l¨ aßt sich f¨ ur d2 > ω02 in der Form  4d −dt f (t) = 1 − e sinh( d2 − ω02 t) d2 − ω02

(1.78)

und f¨ ur d2 < ω02 in der Form

 4d f (t) = 1 − 2 e−dt sin( ω02 − d2 t) ω0 − d2

(1.79)

darstellen. Im aperiodischen Grenzfall d2 = ω02 wird f (t) = 1 − 4dte−dt . Abbildung 1.10 zeigt den Verlauf von f (t) f¨ ur d/ω0 = 1/3.

(1.80)

16

1 Ausgleichsvorg¨ ange und Laplace-Transformation



XW 

G ω −G

H

−G W



8 

W

Abb. 1.10. Verlauf der Ausgangsspannung u2 (t) f¨ ur d/ω0 = 1/3 (Schaltung aus Abb. 1.8)

1.5 Beispiele zur Laplace-Transformation Beispiel 1.2: Verlustloses Netzwerk Als Anwendungsbeispiel f¨ ur die Laplace-Transformation wollen wir den Einschwingvorgang des Netzwerkes nach Abb. 1.11 betrachten. Wenn der Schalter

C1 t=0 L1 U0

L2 u 2 (t) C2

Abb. 1.11. Netzwerk mit zwei unged¨ ampften Schwingkreisen

zum Zeitpunkt t = 0 geschlossen wird, sollen die vier Energiespeicher entladen ¨ sein. Zun¨ achst berechnen wir die Ubertragungsfunktion H(s) des Netzwerkes. Wenn wir die beiden unged¨ampften Schwingkreise durch komplexe Impedanzen ersetzen, reduziert sich das Netzwerk zu einem Spannungsteiler G(s) =

Z2 (s) U2 (s) = U1 (s) Z2 (s) + Z1 (s)

(1.81)

1.5 Beispiele zur Laplace-Transformation

mit Z1 (s) =

sL1 1 + s2 L1 C1

und Z2 (s) = sL2 +

1 . sC2

17

(1.82)

¨ Damit l¨ aßt sich die Ubertragungsfunktion unmittelbar angeben G(s) =

(1 + s2 L1 C1 )(1 + s2 L2 C2 ) . (1 + s2 L1 C1 )(1 + s2 L2 C2 ) + s2 L1 C2

(1.83)

Wir wollen nun einige Vereinfachungen durchf¨ uhren. Zun¨ achst sollen die beiden Kapazit¨ aten gleich sein: C1 = C2 = C. Die restlichen Netzwerkelemente wollen wir mit der Eigenfrequenz des ersten Schwingkreises ω0 und der dimensionslosen Variablen α beschreiben, welche eine Relation zwischen den beiden Eigenfrequenzen darstellt L1 C =

1 ω02

und

L2 C = α

1 . ω02

(1.84)

¨ Die Ubertragungsfunktion ergibt sich schließlich zu s2 )(1 + αs2 /ω02 ) ω02 ( ω12 + α ω12 + ω12 )s2 0 0 0

(1 + G(s) =

4

α ωs 4 + 0

+1

.

(1.85)

Man sieht unmittelbar, daß sich die Einf¨ uhrung einer normierten Frequenz sn anbietet s . (1.86) sn = ω0 ¨ ¨ Damit gewinnt die Darstellung der Ubertragungsfunktion an Ubersichtlichkeit G(sn ) =

(1 + s2n )(1 + αs2n ) . αs4n + (2 + α)s2n + 1

(1.87)

Zur Berechnung der Ausgangsspannung muß noch die Eingangsspannung transformiert werden L{u1 (t)} = L{U0 · ε(t)} =

U0 . s

(1.88)

F¨ ur die normierte Transformierte der Eingangsspannung ergibt sich U1 (sn ) = U0

1 . sn ω 0

(1.89)

Die normierte Transformierte der Ausgangsspannung erh¨ alt man mit U2 (sn ) = U1 (sn ) · G(sn ) =

(1 + s2n )(1 + αs2n ) U0 . ω0 sn [s4n + (2 + α)s2n + 1]

(1.90)

18

1 Ausgleichsvorg¨ ange und Laplace-Transformation

Um zu einer L¨ osung im Zeitbereich zu gelangen, wollen wir zun¨ achst die M¨ oglichkeit der Partialbruchzerlegung in Erw¨ agung ziehen. Als weitere Vereinfachung sollen zudem die beiden Eigenfrequenzen der Schwingkreise gleich sein, also α = 1. Daraus folgt U2 (sn ) =

(1 + s2n )2 U0 . ω0 sn [s4n + 3s2n + 1]

(1.91)

Man erh¨ alt folgende Polstellen 3 1√ 5. sn1 = 0 und s2n2,3 = − ± 2 2

(1.92)

¨ Zur Ubung sei die Partialbruchzerlegung im folgenden etwas ausf¨ uhrlicher dargestellt. Mit den bekannten Ans¨ atzen aus der Mathematik [2, S. 298] erh¨ alt man 

Bsn + C Dsn + E A U2 (sn ) = U0 ω0 + 2 + 2 . (1.93) sn sn − s2n,2 sn − s2n,3 Das Ausmultiplizieren der Br¨ uche erm¨ oglicht den folgenden Vergleich der Z¨ ahler von Gl. (1.93) und Gl. (1.91) A(s2n − s2n,2 )(s2n − s2n,3 ) + (Bsn + C) · sn · (s2n − s2n,3 ) + +(Dsn + E) · sn · (s2n − s2n,2 ) = s4n + 2s2n + 1 .

(1.94)

Durch Betrachten der Terme mit s3n und sn erh¨ alt man sofort C = 0 und E = 0, des weiteren (1.95) s4n : A + B + D = 1 s2n :

A(−s2n,2 − s2n,3 ) + B(−s2n,3 ) + D(−s2n,2 ) = 2 s0n :

As2n,2 s2n,3 = 1 .

(1.96) (1.97)

Daraus ergibt sich  A = 1,

B=−

1 , 5

 D=

1 . 5

(1.98)

Durch Einsetzen in Gl. (1.93) erh¨ alt man die L¨ osung im Laplace-Bereich   ⎞ ⎛ 1 1 s − n 1 5 5 sn √ +  ⎠ . (1.99) U2 (sn ) = U0 ω0 ⎝ + sn s2n + 32 − 12 5 s2 + 3 + 1 1 n

2

2

5

Die R¨ ucktransformation in den Zeitbereich ist jetzt einfach

     1 3 1√ 1 3 1√ cos − cos + 5tn + 5tn . U2 (tn ) = U0 ω0 ε(tn ) 1 − 5 2 2 5 2 2 (1.100)

1.5 Beispiele zur Laplace-Transformation

19

Um die Normierung im Zeitbereich r¨ uckg¨ angig zu machen, bem¨ uhen wir das Gesetz der Dehnung und Stauchung (Gl.(1.55))   s aus f (t) ◦−−•F (s) folgt ω0 f (ωo t) ◦−−•F (1.101) ω0 oder Damit erh¨ alt man

ω0 f (tn ) ◦−−•F (sn ) .

(1.102)

 3 1√ + 5 ω0 t . U2 (t) = U0 ε(t) 1 − 2 2 (1.103) Anmerkung: Interessant ist die Tatsache, daß das Ausgangssignal zwei Frequenzanteile s2 und s3 enth¨ alt, die beide nicht der Eigenfrequenz der Schwingkreise entsprechen. Allerdings gilt 

1 cos 5



3 1√ − 5 ω0 t + 2 2



1 cos 5



s3 · s4 = ω02 .

(1.104)

¨ Beispiel 1.3: Analyse eines Ubertrager-Netzwerkes mittels Laplace-Transformation ¨ Gegeben ist ein Netzwerk, welches aus einem lose gekoppelten Ubertrager,

S t=0

R

i 2 (t)

i 1 (t)

R

M C

u 1 (t)

L

L

C

u 2 (t)

¨ Abb. 1.12. Passives Netzwerk mit lose gekoppeltem Ubertrager

zwei Widerst¨ anden, zwei Kapazit¨ aten und einem Schalter aufgebaut ist. Bevor der Schalter zum Zeitpunk t = 0 geschlossen wird, sollen die prim¨ arseitige Kapazit¨ at auf die Spannung u1 (t) = U aufgeladen und die restlichen Energie¨ speicher leer sein. F¨ ur den Ubertrag wird der Fall fester Kopplung explizit ausgeschlossen, so daß der Kopplungsfaktor κ = M/L im Intervall −1 < κ < +1 liegt. ¨ ¨ Anmerkung: Die Ubertragergleichungen im Laplace-Bereich f¨ ur einen Uberarinduktivit¨ at L2 und der trager mit der Prim¨ arinduktivit¨ at L1 , der Sekund¨

20

1 Ausgleichsvorg¨ ange und Laplace-Transformation

Koppelinduktivit¨ at M erh¨ alt man in Analogie zur Induktivit¨ at im LaplaceBereich U1 (s) = sL1 I1 (s) + sM I2 (s) − L1 i1 (0) − M i2 (0) U2 (s) = sM I1 (s) + sL2 I2 (s) − M i1 (0) − L2 i2 (0)

(1.105) (1.106)

mit den Anfangsbedingungen f¨ ur den Strom auf der Prim¨ arseite i1 (0) und den Strom auf der Sekund¨ arseite i2 (0). a) Stellen Sie ein Gleichungssystem auf, welches das Netzwerk im LaplaceBereich beschreibt. b) Berechnen sie die Laplace-Transformierte I1 (s) des Stromes i1 (t). c) Vereinfachen Sie I1 (s) √ mit der Annahme R = 0 und normieren Sie auf die Frequenz mit sn = s LC. uck. d) Transformieren Sie I1 (sn ) in den Zeitbereich zur¨ Musterlo ¨sung a) Es werden die in Abb. 1.13 eingezeichneten Maschenstr¨ ome verwendet. F¨ ur die Strom-Spannungs-Beziehung des Kondensators folgt   u1 (0) IC = sC UC (s) − (1.107) = −I1 s ur die restlichen Anfangsbedingungen mit der Anfangsbedingung u1 (0) = U . F¨ alt die Maschengleichungen gilt i1 (0) = i2 (0) = 0. Man erh¨   I1 I : RI1 + sLI1 + sM I2 + sC (1.108) − Us = 0 II :

RI2 + sLI2 + sM I1 +

S

R

t=0

I2 sC

=0.

R

i 2 (t)

i 1 (t)

(1.109)

M C

u 1 (t)

I

L

L

II

C

Abb. 1.13. Netzwerk mit eingezeichneten Maschenstr¨ omen

u 2 (t)

1.5 Beispiele zur Laplace-Transformation

21

b) Aus Gl. (1.109) folgt I2 = I1

−s2 M C s2 LC + sRC + 1

(1.110)

Durch Einsetzen in Gl (1.108) erh¨ alt man I1 (s) =

 s R + sL +

U 1 sC

2

s MC − sM s2 LC+sRC+1

 .

(1.111)

Auf das Ausmultiplizieren dieser Gleichung wurde hier verzichtet, da sich im folgenden weitere Vereinfachungen ergeben. c) Die Vereinfachung R = 0 und Ausmultiplizieren liefert s2 LC + 1 . (1.112) (s2 LC + 1)2 − s4 M 2 C 2 √ Anschließend wird die Normierung sn = s LC und der Zusammenhang κ = M/L verwendet s2 + 1 . (1.113) I1 (sn ) = U C 2 n 2 (sn + 1) − κ2 s4n I1 (s) = U C

d) Nach Substitution und L¨ osen des quadratischen Polynoms im Nenner erh¨ alt man die beiden konjugiert komplexen Polpaare ±j ±j und sn3,4 = √ . sn1,2 = √ 1−κ 1+κ

(1.114)

Damit l¨ aßt sich I1 (sn ) schreiben als I1 (sn ) =

UC  1 − κ2 s2 + n

s2n + 1  1 s2n + 1+κ

1 1−κ

.

Mithilfe einer Partialbruchzerlegung erh¨ alt man

 1 1 1 1+κ 1−κ . I1 (sn ) = U C 1 + 2 1 2 s2n + 1+κ sn + 1−κ

(1.115)

(1.116)

Die R¨ ucktransformation in den Zeitbereich ergibt mit der normierten Zeit tn .   1 1 tn 1 tn i1 (tn ) = U C √ sin √ +√ sin √ . (1.117) 2 1+κ 1+κ 1−κ 1−κ Nach einer Entnormierung folgt  C 1 t 1 √ + sin i1 (t) = U 2 L 1+κ LC(1 + κ) 1 t +√ sin 1−κ LC(1 − κ)

 .

(1.118)

22

1 Ausgleichsvorg¨ ange und Laplace-Transformation

Beispiel 1.4: Netzwerk mit gesteuerter Quelle Gegeben sei ein Netzwerk mit einer spannungsgesteuerten Spannungsquelle

& 5

XW 

XW G

 G 9XW

XW 

Abb. 1.14. Netzwerk mit gesteuerter Spannungsquelle

gem¨ aß Abb. 1.14. ¨ a) Berechnen Sie die Ubertragungsfunktion G(s) = U2 (s)/U1 (s) f¨ ur beliebige Verst¨ arkung V . b) F¨ ur eine Anregung u1 (t) = U0 ε(t)e−t/τ soll das Ausgangssignal u2 (t) berechnet werden. ur V → ∞. Welche mathematische Operac) Berechnen Sie u2 (t) und G(s) f¨ tion wird durch das Netzwerk realisiert? Musterlo ¨sung a) Abbildung 1.15 zeigt das Netzwerk im Laplace-Bereich mit einer eingezeichneten Elementarmasche. Man erh¨ alt jeweils eine Gleichung f¨ ur den Maschenstrom I(s) sowie f¨ ur die Steuerspannung Ud (s) I : −U1 (s) + RI(s) + II :

I(s) sC

− V Ud (s) = 0

Ud (s) = −RI(s) + U1 (s) .

(1.119) (1.120)

Eliminiert man den Maschenstrom I(s) und setzt man V Ud (s) = U2 (s), dann ¨ erh¨ alt man f¨ ur die Ubertragungsfunktion G(s) =

−V U2 (s) = . U1 (s) 1 + (1 + V )sRC

b) Die Laplace-Transformierte des Eingangssignals u1 (t) lautet

(1.121)

1.5 Beispiele zur Laplace-Transformation

23

& 5

8V 

8V G

,

 G 98V

8V 

Abb. 1.15. Netzwerk mit einer Masche

U1 (s) = U0

1 . s + 1/τ

(1.122)

Nach dem Einsetzen in Gl. (1.121) erh¨ alt man f¨ ur die Ausgangsspannung U2 (s) = −U0

V 1 . s + 1/τ 1 + (1 + V )sRC

(1.123)

Nach einer Partialbruchzerlegung l¨ aßt sich dieser Ausdruck schreiben als 

1 V 1 − U2 (s) = −U0 . (1.124) 1 + (1 + V )RC/τ s + 1/τ s + (1+V1)RC Die R¨ ucktransformation in den Zeitbereich ergibt u2 (t) = −U0

  −t V e−t/τ − e (1+V )RC . 1 + (1 + V )RC/τ

c) F¨ ur V → ∞ vereinfacht sich Gl. (1.125) zu  τ  −t/τ u2 (t) = −U0 −1 e RC

(1.125)

(1.126)

und Gl (1.121) zu 1 . (1.127) sRC Der Division durch s im Laplace-Bereich entspricht das Integrieren im Zeitbereich. Bei der Schaltung handelt es sich also um einen Integrierer“. Die ” Spannung u2 (t) entspricht dem Integral der Spannung u1 (t) u ¨ber die Zeit. G(s) = −

2 Nichtlineare Netzwerke

2.1 Beschreibung nichtlinearer Netzwerkelemente Die bisher betrachteten Netzwerkelemente Widerstand, Spule und Kondensator zeichnen sich dadurch aus, daß die physikalischen Vorg¨ ange durch lineare Beziehungen beschrieben werden k¨ onnen. Beim Widerstand besteht ein linearer Zusammenhang zwischen Strom i und Spannung u u = R · i bzw. i = G · u ,

(2.1)

der durch den konstanten Widerstandswert R bzw. seinen Kehrwert G (Leitwert) ausgedr¨ uckt wird. Bei der Spule ist man bisher von einem linearen Zusammenhang zwischen dem magnetischen Fluß Φ und dem Strom i ausgegangen, was durch die Gleichungen Φ = L · i bzw. u = L

di dt

(2.2)

ausgedr¨ uckt wird (mit der konstanten Induktivit¨ at L). Beim Kondensator gilt analoges f¨ ur den Zusammenhang zwischen der Ladung Q und der Spannung u du (2.3) Q = C · u bzw. i = C dt mit der konstanten Kapazit¨at C. Bei den nichtlinearen Netzwerkelementen k¨ onnen diese Zusammenh¨ ange nicht durch lineare Gleichungen mit konstanten Proportionalit¨ atsfaktoren ausgedr¨ uckt werden. Sie werden vielmehr durch beliebige Funktionen modelliert. Beim nichtlinearen Widerstand lautet eine solche allgemeine Formulierung u = fR (i)

bzw. i = fG (u) .

(2.4)

F¨ ur die nichtlineare Spule schreibt man Φ = fL (i)

bzw. u =

dΦ dt

(2.5)

26

2 Nichtlineare Netzwerke

und f¨ ur die nichtlineare Kapazit¨ at analog Q = fC (u) bzw. i =

dQ . dt

(2.6)

2.2 Berechnung nichtlinearer Netzwerke Die analytische Berechnung nichtlinearer Netzwerke ist nur in Spezialf¨ allen m¨ oglich. Es sollen hier zwei Beispiele angef¨ uhrt werden, bei denen dies m¨ oglich ist. Charakteristisch ist dabei, daß die Netzwerke jeweils nur einen (linearen) Energiespeicher und einen nichtlinearen Widerstand beinhalten. Die sich ergebenden nichtlinearen Differentialgleichungen k¨ onnen dann durch Integration gel¨ ost werden. Beispiel 2.1: Entladevorgang an einem nichtlinearen Widerstand Abbildung 2.1 zeigt die Parallelschaltung einer linearen, normierten Kapazit¨ at

LQ &Q

XQ

Abb. 2.1. Entladevorgang an einem nichtlinearen Widerstand

Cn und eines nichtlinearen Widerstandes. Die (normierte) Strom-SpannungsBeziehung des Widerstandes sei f¨ ur un ≥ 0 durch in (un ) = u3n − 6u2n + 10un

(2.7)

gegeben. Im folgenden soll der Entladevorgang untersucht werden. a) Stellen Sie die Strom-Spannungs-Beziehung des Widerstandes in der Form einer i-u-Kennlinie f¨ ur un ≥ 0 graphisch dar. b) Geben Sie die Differentialgleichung f¨ ur die Spannung un (t) an und bestimahrend der die men Sie durch Integration die Zeitspanne von tn0 bis tn1 , w¨ Kapazit¨ at Cn von der Anfangsspannung un (tn0 ) = 4 auf die Spannung un (tn1 ) = 1 entladen wird. c) Man stelle die Entladezeit tn , die seit Beginn der Kondensatorentladung zum Zeitpunkt tn0 vergangen ist, als Funktion der Kondensatorspannung un graphisch dar. d) Welche Zeitspanne ist erforderlich, um den Kondensator v¨ ollig zu entladen?

2.2 Berechnung nichtlinearer Netzwerke

27

LX Q Q

L Q L Q

X Q

X Q

XQ

Abb. 2.2. Kennlinie des nichtlinearen Widerstands in (un ) nach Gl.( 2.7)

Musterlo ¨sung a) Die Ableitung der Strom-Spannungs-Beziehung lautet din = 3u2n − 12un + 10 . dun

(2.8)

Die Nullstellen der Ableitung liefern die Extrema der Funktion un1,2 = 2 ±

1√ 6. 3

(2.9)

Abbildung 2.2 zeigt den Verlauf in (un ). b) Die Strom-Spannungs-Beziehung f¨ ur den Kondensator lautet −in = Cn ·

dun . dtn

(2.10)

Setzt man Gl. (2.7) ein, so erh¨ alt man die DGL Cn ·

dun = −u3n + 6u2n − 10un . dtn

(2.11)

Man wendet die Methode der Separation der Variablen an und integriert beide Seiten tn1 un (t1 )=1 1 Cn du = dtn . (2.12) n 3 2 tn0 un (t0 )=4 −un + 6un − 10un Die gebrochen rationale Funktion auf der linken Seite hat einen Pol bei un = 0 und zwei weitere konjugiert komplexe Pole. Es empfiehlt sich daher eine Zerlegung der Funktion, beispielsweise in Partialbr¨ uche. Nach einem Vertauschen

28

2 Nichtlineare Netzwerke

der Seiten und einem Vertauschen der Integrationsgrenzen auf der rechten Seite erh¨ alt man   Cn 4 1 −un + 6 tn1 − tn0 = + 2 (2.13) dun . 10 1 un un − 6un + 10 Um diesen Ausdruck zu integrieren, wendet man den Zusammenhang  f (un ) dun = ln |f (un )| (2.14) f (un ) mit f (un ) = u2n − 6un + 10 an. Dazu zerlegt man den zweiten Summanden so, daß sich ein Bruch f  (un )/f (un ) ergibt und ein weiterer Bruch mit konstantem Z¨ ahler u ¨brig bleibt   2un − 6 1 Cn 4 1 1 +3 2 − tn1 −tn0 = dun . (2.15) 10 1 un 2 u2n − 6un + 10 un − 6un + 10 Durch Integrieren folgt 4  Cn 1 2 tn1 − tn0 = ln |un | − ln |un − 6un + 10| + 3 arctan(un − 3) 10 2 1 Cn = 20

  3π ln 40 + + 6 arctan 2 ≈ 0, 752 · Cn . 2

(2.16)

c) Man w¨ ahlt ein variables un als obere Grenze der Integration (Gl. (2.12)) und erh¨ alt   u2n Cn 3π − ln 2 − 6 arctan(un − 3) . (2.17) tn (un ) = ln 8 + 20 2 |un − 6un + 10| Die Kennlinie ist in Abb. 2.3 dargestellt. Man beachte, daß es schon bei dieser relativ einfachen Konfiguration nicht mehr m¨ oglich ist, wie gewohnt nach der osen; daher wird die ungew¨ ohnliche Darstellung tn (un ) Spannung un (tn ) aufzul¨ angewendet. d) F¨ ur un → 0 muß tn → ∞ gehen. Dies folgt unmittelbar aus der Tatsache, daß der differentielle Widerstand f¨ ur un → 0 endlich bleibt. Alternativ kann uhrt. man auch un → 0 in Gl. (2.17) einsetzen, was zu demselben Ergebnis f¨ Beispiel 2.2: Netzwerk mit Tunneldiode — Sprungph¨anomen Abbildung 2.4 zeigt die Serienschaltung einer Induktivit¨ at und einer Tunneldiode, welche als nichtlinearer Widerstand modelliert wird. Die StromSpannungs-Beziehung des nichtlinearen Widerstandes sei in (un ) = u3n − 6u2n + 9un .

(2.18)

Es wurden die Normierungen in = i/I0 , un = u/U0 eingef¨ uhrt. Weiterhin gilt U = 2U0 .

2.2 Berechnung nichtlinearer Netzwerke

29

WX  Q Q

W Q





XQ

Abb. 2.3. Funktion tn (un ), welche die Entladung des Kondensators u ¨ber den nichtlinearen Widerstand beschreibt

L S t=0

u i

U

Abb. 2.4. Zweipol mit einem nichtlinearen Widerstand

a) Berechnen Sie die Nullstellen und Extrema der Kennlinie des Widerstandes und stellen Sie diese graphisch dar. b) Unter Verwendung der normierten Zeit tn =

2U0 t 3LI0

(2.19)

stelle man f¨ ur das Netzwerk eine Differentialgleichung in un auf und l¨ ose diese durch Integration mit der Anfangsbedingung un (tn,a ) = un,a . c) Man gebe f¨ ur den Anfangszeitpunkt t = 0 die normierten Anfangswerte ¨ von un nur monoton wachtn,a , un,a und in,a an. Da die Zeit bei Anderung andern. Man gebe das von sen kann, kann sich un nur in eine Richtung ¨ angende und von un monoton durchun = un,a ausgehende, zusammenh¨ laufene Intervall an. Wo und wann endet dieses Intervall und was passiert danach? d) Man berechne die gesamte Zeit, die vergeht, bis der Strom in den Wert Null zum zweiten Mal erreicht.

30

2 Nichtlineare Netzwerke

L¨ osung a) Es existieren zwei Nullstellen bei u1 = 0 und u2 = 3, wobei bei der zweiten Nullstelle auch das Minimum liegt. Das Maximum befindet sich bei u3 = 1; i3 = 4. Die Kennlinie ist in Abb. 2.5 dargestellt. b) Die DGL in der normierten Spannung f¨ ur das Netzwerk aus Abb. 2.4 lautet dun 2 − un . = 2 dtn 2un − 8un + 6

(2.20)

Mit der Anfangsbedingung un,a zum Zeitpunkt tn,a erh¨ alt man f¨ ur tn (un )    un,a − 2   . (2.21) tn (un ) = tn,a + u2n,a − u2n − 4(un,a − un ) − 2 ln  un − 2  c) Es ist tn,a = 0. Da der Strom durch die Induktivit¨ at nicht springen kann, gilt außerdem in,a = 0 und damit un,a = 0. Gleichung (2.21) vereinfacht sich damit zu   1 (2.22) tn (un ) = −u2n + 4un + 2 ln − un + 1 . 2 andert sich selbstverst¨ andlich nur in positiver Richtung. Man erDie Zeit tn ¨ kennt mit Hilfe der Ableitung dtn /dun , daß un zun¨ achst w¨ achst. Allerdings hat die Funktion tn (un ) bei un = 1 ein Maximum tn,1 = tn (un = 1) = 3 − 2 ln 2 ,

(2.23)

so daß die Gl. (2.22) nicht weiter gelten kann. Betrachtet man die Kennlinie und ber¨ ucksichtigt wiederum die Tatsache, daß der Strom nicht springt, so kommt man zu dem Schluß, daß das Netzwerk zum Zeitpunkt tn,1 vom Punkt un = 1; in = 4 in den Punkt un = 4; in = 4 springt und die Kennlinie von

LX  Q Q







XQ

Abb. 2.5. Kennlinie des nichtlinearen Widerstands

2.2 Berechnung nichtlinearer Netzwerke

31

LX  Q Q



W Q

W Q

W Q 



XQ

Abb. 2.6. Zeitliches Durchlaufen der Kennlinie mit Sprung zum Zeitpunkt tn,1

dort aus weiter durchlaufen werden muß (Siehe Abb. 2.6). d) L¨ ost man die DGL f¨ ur die neuen Anfangswerte tn,a = tn,1 , un,a = 4 und alt man in,a = 4, so erh¨   1 2 un − 1 . (2.24) tn (un ) = tn,1 − un + 4un + 2 ln 2 Entsprechend dieser Funktion wird die Kennlinie solange durchlaufen bis sie un = 3 zum Zeitpunkt tn (un = 3) = 2tn,1 erreicht. Danach erfolgt ein Sprung zur¨ uck in den Ursprung.

3 Meßfehler

3.1 Grundlagen der Meßfehler Ein Meßvorgang setzt sich aus den folgenden drei Teilaufgaben zusammen: • Messung der physikalischen Gr¨ oße(n) • Bestimmung der Meßfehler • Angabe des Meßergebnisses. Der absolute Meßfehler F ist als Differenz zwischen angezeigtem Meßwert A und wahrem Wert W definiert F =A−W .

(3.1)

Der relative Meßfehler f gibt den absoluten Meßfehler bezogen auf den wahren Wert an F 100 % . (3.2) f= W Da der wahre Wert W in der Regel nicht bekannt ist, kann man diesen unter der Voraussetzung |F |  |A| durch den Anzeigewert A ersetzen f≈

F 100 % . A

(3.3)

Die bei einer Messung auftretenden Fehler unterteilt man in: • Systematische Fehler: Diese Fehler werden durch erfaßbare Unvollkommenheiten des Meßger¨ ates sowie der Meßschaltung (z.B. Innenwiderstand) verursacht. Sie sind dadurch gekennzeichnet, daß sie einen festen Wert sowie ein definiertes Vorzeichen besitzen und sich bei Wiederholungen des Meßvorganges nicht ¨ andern. Damit sind Fehler dieser Klasse korrigierbar. ¨ • Zuf¨allige Fehler: Diese Fehler entstehen aufgrund nicht erfaßbarer Anderungen der Meßgr¨ oße, des Meßger¨ ates oder von Umwelteinfl¨ ussen. Betrag

34

3 Meßfehler

und Vorzeichen dieser Fehler sind statistisch verteilt, woraufhin deren Beschreibung nur mit Hilfe von Wahrscheinlichkeitsaussagen m¨ oglich ist. Zur Beurteilung sind mehrere Messungen notwendig (je mehr desto besser). Damit sind Fehler dieser Klasse nicht korrigierbar - man kann nur Grenzen angeben, innerhalb derer sich ein Meßwert mit einer gewissen statistischen Sicherheit (Wahrscheinlichkeit) befindet. Systematische Fehler Setzt sich ein Meßergebnis y aus einzelnen Meßgr¨ oßen x1 bis xn zusammen, also y = f (x1 , .., xn ), so berechnet sich der absolute systematische Fehler ∆y entsprechend nachfolgender Gleichung ∆y ≈

n

∂f ∆xi , ∂xi i=1

(3.4)

oße xi bezeichnet. wobei ∆xi den absoluten Meßfehler der Einzelmeßgr¨ Allgemein lassen sich folgende Regeln f¨ ur die Fortpflanzung systematischer Fehler angeben [6]: • • • •

Bei der Addition von Meßgr¨ oßen werden die absoluten Fehler addiert. Bei der Subtraktion von Meßgr¨ oßen werden die absoluten Fehler subtrahiert. Bei der Multiplikation von Meßgr¨ oßen werden die relativen Fehler addiert. Bei der Division von Meßgr¨ oßen werden die relativen Fehler subtrahiert.

Zuf¨ allige Fehler F¨ ur die Beschreibung zuf¨ alliger Fehler ben¨ otigt man die beiden Kenngr¨ oßen Mittelwert µ (wird auch als Erwartungswert oder wahrer Wert xw bezeichnet) N 1

xi N →∞ N i=1

µ = xw = lim

(3.5)

und Standardabweichung σ   N  1

(xi − µ)2 . σ =  lim N →∞ N i=1

(3.6)

Da in der Praxis die Anzahl der Meßwerte N stets endlich ist, kann anstelle des Mittelwertes µ nur ein Sch¨ atzwert x ˜ (in der Praxis auch als Nominalwert bezeichnet) N 1

x ˜= xi (3.7) N i=1 und anstelle der Standardabweichung σ nur die Schwankung s

3.1 Grundlagen der Meßfehler

   s=

35

1

(xi − x ˜ )2 N − 1 i=1 N

(3.8)

angegeben werden. Tabelle 3.1. Abh¨ angigkeit des Vertrauensfaktors t von der Anzahl der Messungen N bei verschiedener statistischer Sicherheit P

N

P = 68, 3% = ˆ 1, 0σ P = 95% = ˆ 1, 96σ P = 99% = ˆ 2, 58σ P = 99, 73% = ˆ 3, 0σ √ √ √ √ t t/ N t t/ N t t/ N t t/ N

2 3 4 6 10 20 50 100 200 > 200

1,84 1,32 1,20 1,11 1,06 1,03 1,01 1,00 1,00 1,00

1,30 0,76 0,60 0,45 0,34 0,23 0,14 0,10 0,07 1,00 √ N

≈0

12,71 4,30 3,20 2,60 2,30 2,10 2,00 1,97 1,96 1,96

8,99 2,48 1,60 1,06 0,73 0,47 0,28 0,20 0,14 1,96 √ N

≈0

63,66 9,9 5,8 4,0 3,2 2,9 2,7 2,6 2,58 2,58

45,01 5,70 2,90 1,63 1,01 0,65 0,38 0,26 0,18 2,58 √ ≈0 N

235,8 19,2 9,2 5,5 4,1 3,4 3,1 3,04 3,0 3,0

166,7 11,10 4,60 2,25 1,30 0,76 0,44 0,30 0,21 3,00 √ ≈0 N

Setzt sich ein Meßergebnis aus mehreren Einzelmeßgr¨ oßen zusammen y = f (x1 , .., xn ) ,

(3.9)

yw = f (µ1 , µ2 , .., µn ) .

(3.10)

so gilt f¨ ur den Mittelwert yw

Die Standardabweichung berechnet sich nach dem Gaußschen Fehlerfortpflanzungsgesetz zu  

 2   n ∂f  σi2 , (3.11) σy =   ∂xi  i=1

(µ1 ,..,µn )

oße xi bedeutet. F¨ ur eine wobei σi die Standardabweichung der Einzelmeßgr¨ endliche Anzahl von Meßwerten a oßen in ¨ndern sich diese beiden Gr¨ y˜ = f (˜ x1 , .., x ˜n ) und

 

 2   n ∂f   sy˜ =   ∂x i i=1

(3.12)

s2i .

(3.13)

(˜ x1 ,..,˜ xn )

aßt sich der sog. Vertrauensbereich wie folgt definieren Mit der Schwankung sy˜ l¨

36

3 Meßfehler

sy˜ t V = ±√ . N

(3.14)

Dabei ist t der sogenannte Vertrauensfaktor (siehe Tabelle 3.1), der sowohl eine Funktion der statistischen Sicherheit P als auch der Anzahl der Meßwerte N ist. Die statistische Sicherheit gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Meßwert innerhalb des Vertrauensbereiches V liegt. Die Auswertung eines Meßergebnisses erfolgt in drei Schritten: • Korrektur von systematischen Fehlern • Berechnung des Sch¨ atzwertes y˜ und des Vertrauensbereiches V • Angabe des Meßergebnisses in der Form y = y˜ ± V . Bei Meßger¨ aten wird meistens die Klassengenauigkeit spezifiziert, die den Betrag des maximal m¨ oglichen absoluten Fehlers ∆x – bezogen auf den Meßbereichsendwert oder den Meßbereichsumfang (Spanne) xend – angibt    ∆x   100% .  (3.15) G= xend  Nach VDE 0410 sind folgende Genauigkeitsklassen genormt: • Betriebsmeßger¨ate: 1, 1,5, 2,5, 5,0 • Feinmeßger¨ate: 0,05, 0,1, 0,2, 0,5.

3.2 Systematische Meßfehler Beispiel 3.1: Fehlerfortpflanzungsgesetz f¨ ur systematische Fehler Leiten Sie die Formel f¨ ur die Fortpflanzung systematischer Fehler her, indem Sie das fehlerbehaftete Meßergebnis y(x1 +∆x1 , .., xn +∆xn ) in eine Taylorreihe entwickeln und diese nach den linearen Gliedern abbrechen. Unter welchen Voraussetzungen gilt diese Formel? Musterlo ¨sung: Das Meßergebnis y ist eine Funktion der einzelnen Meßgr¨ oßen xi , also oße xi mit einem absoluten Fehy = f (x1 , .., xn ). Ist nun jede einzelne Meßgr¨ aßt sich der absolute Meßfehler ∆y des Meßergebnisses y ler ∆xi behaftet, l¨ folgendermaßen angeben ∆y = f (x1w + ∆x1 , .., xnw + ∆xn ) − f (x1w , .., xnw ) .

(3.16)

Dabei bezeichnet xiw den wahren Wert der i-ten Meßgr¨ oße. Die Taylorreihenentwicklung des Meßfehlers ∆y lautet

3.2 Systematische Meßfehler

 ∂f  ∆y = f (x1w , .., xnw ) + ∂x1  + ... +

37

∆x1 + Terme h¨ oherer Ordnung (x1w ,..,xnw )

 ∂f  ∆xn + Terme h¨ oherer Ordnung ∂xn (x1w ,..,xnw )

− f (x1w , .., xnw )  n

∂f  ≈ ∆xi . ∂xi (x1w ,..,xnw ) i=1

(3.17)

Mit der in Gl. (3.17) durchgef¨ uhrten N¨ aherung wurden folgende Voraussetzungen f¨ ur die Anwendung des Fehlerfortpflanzungsgesetzes f¨ ur systematische Fehler getroffen: uber dem jeweiligen Meßwert xi . • Die absoluten Fehler ∆xi sind klein gegen¨ • Die Approximation der Funktion f (x1 , .., xn ) durch ihre Taylorreihe erster Ordnung ist hinreichend genau. Da in der Praxis der wahre Wert einer Meßgr¨ oße nicht bekannt ist, wird anstelle des wahren Wertes xiw der gemessene Wert xi eingesetzt  n

∂f  ∆xi . (3.18) ∆y ≈ ∂xi (x1 ,..,xn ) i=1 Beispiel 3.2: Systematischer Fehler bei einer Widerstandsmessung Es wird der Wert eines ohmschen Widerstandes mittels einer Strom-Spannungsmessung ermittelt. FI FU Im Um

= 15 mA absoluter Fehler des Amperemeters = 100 mV absoluter Fehler des Voltmeters = 0,7 A gemessener Strom = 8V gemessene Spannung

a) Wie groß ist der maximale absolute systematische Fehler bei dieser Meßmethode? b) Bestimmen Sie den Fehler mit der Regel: Bei der Division von Meßgr¨oßen werden deren relative Fehler subtrahiert. Zeigen Sie, daß der so ermittelte Fehler mit dem unter Punkt a) berechneten Fehler u ¨bereinstimmt. Musterlo ¨sung: a) Der absolute Meßfehler f¨ ur den Widerstand ergibt sich mit Hilfe des Fehlerfortpflanzungsgesetzes. Entsprechend dem Ohmschen Gesetz

38

3 Meßfehler

R = U I −1

(3.19)

berechnen sich die beiden partiellen Ableitungen des Widerstandes R nach der Spannung U und dem Strom I zu ∂R = I −1 ∂U

(3.20)

∂R = −U I −2 . ∂I

(3.21)

Setzt man diese Ergebnisse in Gl. (3.4) ein, so erh¨ alt man den gesuchten absoluten Fehler ∆R  2

∂R  ∆xi ∆R = ∂xi (Um ,Im ) i=1 −1 −2 = Im ∆U − Um Im ∆I .

(3.22)

Mit den angegeben Werten ergibt sich −1 −2 F R = Im FI = −0, 102 Ω . FU − Um Im

(3.23)

b) Gleichung (3.22) kann wie folgt umgeformt werden −1 −2 F R = Im ∆U − Um Im ∆I

=

Um ∆U Um ∆I − . Im Um Im Im   R

(3.24)

R

Dividiert man nun die soeben erhaltene Gleichung durch den Absolutwert des Widerstandes R, so ergibt sich der relative Fehler fR fR =

∆U ∆I FR = − R Um Im = fU − fI .

(3.25)

Gleichung (3.25) best¨ atigt die Regel: Bei der Division von zwei Meßgr¨oßen werden deren relative Fehler subtrahiert. Es sollte jedoch beachtet werden, daß meistens die absoluten und relativen Fehler ohne Vorzeichen angegeben werden. In diesen F¨ allen sind zur Ermittlung des maximalen Fehlers die Betr¨ age der relativen Fehler der einzelnen Meßgr¨ oßen stets zu addieren.

3.3 Zuf¨ allige Meßfehler

39

3.3 Zuf¨ allige Meßfehler Beispiel 3.3: Formeln zur Berechnung zuf¨alliger Fehler a) Leiten Sie die Formel zur Berechnung des Mittelwertes f¨ ur ein aus mehreren Einzelmeßgr¨ oßen zusammengesetztes Meßergebnis y = f (x1 , .., xn ) her. Setzen Sie dabei voraus, daß die einzelnen Meßwerte gaußverteilt sind und die Taylorreihe bei Abbruch nach den linearen Gliedern ausreichend genau ist. b) F¨ ur die Berechnung der Standardabweichung σ eines Meßergebnisses, das sich nach dem Aufgabengesetz y = f (x1 , ..., xn ) aus mehreren Einzelmeßgr¨ oßen zusammensetzt, gilt das Gaußsche Fehlerfortpflanzungsgesetz (Gl. (3.11)). Beweisen Sie die Richtigkeit dieser Formel mit den selben Annahmen wie unter Punkt a). Musterlo ¨sung: oßen x1i a) Ein einzelner Wert yi des Meßergebnisses, der sich aus den Meßgr¨ bis xni berechnet yi = f (x1i , ..., xni ) = f (x1w + ∆x1i , ..., xnw + ∆xni ) ,

(3.26)

kann mit Hilfe einer Taylorreihenentwicklung bei Abbruch nach den linearen Gliedern wie folgt dargestellt werden   ∂f  ∂f  yi ≈ f (x1w , .., xnw ) + ∆x + .. + ∆xni . 1i ∂x1 (x1w ,...,xnw ) ∂xn (x1w ,...,xnw ) (3.27) Werden nun theoretisch unendlich viele Messungen (N → ∞) durchgef¨ uhrt, so l¨ aßt sich der Mittelwert yw nach Gl. (3.5) berechnen N 1

yi N →∞ N i=1

(3.28)

yw = lim

N 1

≈ lim N →∞ N i=1

 f (x1w , .., xnw ) +

 ∂f  ∆x1i ∂x1 (x1w ,..,xnw )

   ∂f  ∂f  + ∆x2i + .... + ∆xni ∂x2 (x1w ,..,xnw ) ∂xn (x1w ,..,xnw )  N 1

∂f  lim ∆x1i + .... = f (x1w , .., xnw ) + ∂x1 (x1w ,..,xnw ) N →∞ N i=1

(3.29)

40

3 Meßfehler

+

 N 1

∂f  lim ∆xni . ∂xn (x1w ,..,xnw ) N →∞ N i=1

(3.30)

Geht man nun davon aus, daß die einzelnen Meßwerte der Meßgr¨ oßen x1 bis xn gaußverteilt sind, dann sind die jeweiligen Summen N N 1

1

∆x1i , .... , lim ∆xni N →∞ N N →∞ N i=1 i=1

lim

(3.31)

Null, und man erh¨ alt das bekannte Ergebnis yw = f (x1w , .., xnw ).

(3.32)

Abschließend sei noch angemerkt, daß in der Praxis die Anzahl der Meßwerte N stets endlich ist. Daher sind anstelle der wahren Werte x1w , .., xnw nur die ˜n bekannt und Gl. (3.32) a Sch¨ atzwerte x ˜1 , .., x ¨ndert sich in y˜ = f (˜ x1 , .., x ˜n ) .

(3.33)

b) Aus der Definition der Standardabweichung σ nach Gl. (3.6) ergibt sich unter Ber¨ ucksichtigung der Tatsache, daß sich das Einzelmeßergebnis aus n achst folgender ZuMeßgr¨ oßen zusammensetzt, also y = f (x1 , .., xn ) gilt, zun¨ sammenhang   N  1

lim [f (x1i , ...., xni ) − f (x1w , ..., xnw )]2 . (3.34) σy =   N →∞ N    i=1

a

Entwickelt man nun die Funktion f (x1w + ∆x1i , ..., xnw + ∆xni ) in ihre Taylorreihe, so ergibt sich folgende Darstellung f¨ ur den Term a a = f (x1w + ∆x1i , ..., xnw + ∆xni ) − f (x1w , ..., xnw )   ∂f  ∂f  ∆x1i + ... + ∆xni + = f (x1w , ..., xnw ) + ∂x1 (x1w ,...,xnw ) ∂xn (x1w ,...,xnw ) Terme h¨ oherer Ordnung − f (x1w , ..., xnw )   ∂f  ∂f  ∆x1i + ... + ∆xni . ≈ ∂x1 (x1w ,...,xnw ) ∂xn (x1w ,...,xnw )

(3.35)

Die in Gl. (3.35) eingef¨ uhrte N¨ aherung und die zus¨ atzliche Voraussetzung, daß die Meßwerte gaußverteilt sind, vereinfacht die Berechnung des Termes a2

3.3 Zuf¨ allige Meßfehler

 a2 =

∂f ∂x1



2 (x1i − x1w )2 + .... +

∂f ∂xn

41

2 (xni − xnw )2

⎫ ∂f ∂f +2( ∂x )( ∂x )(x1i − x1w )(x2i − x2w ) ⎪ ⎪ 1 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ∂f ∂f +2( ∂x1 )( ∂x3 )(x1i − x1w )(x3i − x3w ) = b . ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ +..

(3.36)

Da bei einer Gaußverteilung der Meßwerte diese symmetrisch um den Mittelwert liegen, gilt N 1

lim b = 0. (3.37) N →∞ N i=1 Dieses Ergebnis ist nun noch in die Definitionsgleichung f¨ ur die Standardabweichung σy (Gl. (3.34)) einzusetzen      2 2 N  ∂f ∂f 1

 2 2 σy = lim (x1i − x1w ) + ... + (xni − xnw ) N →∞ N ∂x1 ∂xn i=1   N  ∂f 2 1

= lim (x1i − x1w )2 + ....  ∂x N →∞ N  1 i=1     σ12

 

 2   n ∂f  =   ∂x i i=1

σi2 .

(3.38)

(x1w ,..,xnw )

atzBei endlich vielen Meßwerten N ist anstelle des wahren Wertes xiw der Sch¨ wert x ˜i und anstelle der Standardabweichung σi die Schwankung si in die Formel einzusetzen   n    ∂f   sy˜ =  s2i . (3.39) ∂xi  i=1

(˜ x1 ,..,˜ xn )

Beispiel 3.4: Kontaktwiderstandsmessung Zur Ermittlung des Kontaktwiderstandes eines Reedrelais wurde eine StromSpannungsmessung an der in Abb. 3.1 gezeigten Schaltung durchgef¨ uhrt. Dabei wurden die folgenden Meßwerte aufgenommen:

42

3 Meßfehler

5/ , 



88



8%

8. 

88





8*

Abb. 3.1. Reedrelais mit Meßanordnung

Messung 1

2

3

4

5

6

7

8

UG /(mV) 4,29 4,18 4,29 4,23 4,28 4,22 4,26 4,31 I/(mA) 40,56 40,35 40,58 40,71 40,43 40,61 40,82 40,53 Messung 9

10

11

12

13

14

15

16

UG /(mV) 4,29 4,19 4,25 4,20 4,28 4,23 4,32 4,33 I/(mA) 40,76 40,39 40,48 40,43 40,53 40,75 40,72 40,63

Bei dieser Zweidrahtmessung wird mit UG der gesamte Spannungsabfall gemessen, also sowohl jener am Kontaktwiderstand RK (zwischen Klemmen 14 ¨ und 8) als auch der an den Ubergangswiderst¨ anden RU1 (von der Klemme 1 zur Klemme 14) und RU2 (von der Klemme 8 zur Klemme 7). Der Wert des ¨ ¨ agt 35, 1 mΩ, jener des UbergangswiderstanUbergangswiderstandes RU1 betr¨ des RU2 33, 8 mΩ. Berechnen Sie: a) den Sch¨ atzwert f¨ ur den Kontaktwiderstand RK , b) die Schwankung sRK , mit der die Meßwerte behaftet sind, c) die Vertrauensgrenzen V des Meßergebnisses f¨ ur eine statistische Sicherheit von P = 95 %. Musterlo ¨sung: a) Bevor man die Kenngr¨ oßen zuf¨ alliger Fehler berechnet, sind die Meßwerte zun¨ achst bez¨ uglich ihrer systematischen Meßfehler zu korrigieren. Da bei der ¨ Messung auch der Spannungsabfall an den bekannten Ubergangswiderst¨ anden RU1 und RU2 gemessen wurde, lassen sich die Spannungswerte UKi durch Subtraktion dieses Spannungsabfalles berichtigen UKi = UGi − Ii (RU1 + RU2 ) .

(3.40)

3.3 Zuf¨ allige Meßfehler

43

Die Anwendung von Gl. (3.40) auf die Meßwerte ergibt die folgende korrigierte Meßreihe: Messung 1

2

3

4

5

6

7

8

UK /(mV) 1,495 1,40 1,494 1,425 1,494 1,422 1,448 1,517 I/(mA) 40,56 40,35 40,58 40,71 40,43 40,61 40,82 40,53 Messung 9

10

11

12

13

14

15

16

UK /(mV) 1,482 1,407 1,461 1,414 1,487 1,422 1,514 1,531 I/(mA) 40,76 40,39 40,48 40,43 40,53 40,75 40,72 40,63

Mit den korrigierten Meßwerten berechnen sich die Sch¨ atzwerte f¨ ur die Spannung und den Strom zu

˜K = 1 UKi = 1, 463 mV U 16 i=1

(3.41)

1

I˜ = Ii = 40, 58 mA . 16 i=1

(3.42)

16

16

Mit Gl. (3.12) folgt der Sch¨atzwert f¨ ur den Kontaktwiderstand ˜ ˜ K = f (U ˜K , I) ˜ = UK = 36, 06 mΩ . R I˜

(3.43)

b) Die einzelnen Schwankungen, mit denen die Meßwerte der Meßgr¨ oßen UKi und Ii behaftet sind, berechnen sich mit Hilfe von Gl. (3.8)   16  1

˜K )2 = 4, 367 · 10−2 mV sUK =  (UKi − U (3.44) N − 1 i=1    sI = 

1

˜ 2 = 0, 14334 mA. (Ii − I) N − 1 i=1 16

(3.45)

Die Schwankung sRK des Kontaktwiderstandswertes ergibt sich aus dem Gaußschen Fehlerfortpflanzungsgesetz. Mit dem Ohmschen Gesetz R = U I −1

(3.46)

erh¨ alt man die beiden partiellen Ableitungen ∂R = I −1 ∂U

(3.47)

∂R = −U I −2 ∂I

(3.48)

44

3 Meßfehler

und damit die gesuchte Gr¨ oße sRK   2   ∂RK 2 sRK =  s2i ∂x i i=1 =

 I˜−2 s2

UK

˜ 2 I˜−4 s2 = 1, 084 mΩ . +U K I

(3.49)

c) F¨ ur eine statistische Sicherheit von P = 95 % und eine Meßwertanzahl von N = 16 l¨ aßt sich anhand von Tabelle 3.1 durch Interpolation zwischen den entsprechenden Werten ein Vertrauensfaktor von t = 2, 18 ermitteln. Die Vertrauensgrenzen sind somit t sRK = ±0, 5908 mΩ. V =±√ 16

(3.50)

Das Meßergebnis wird daher in folgender Form angegeben sRK ˜ K ± t√ RK = R N = 36, 06 ± 0, 5908 mΩ .

(3.51)

Aufgabe 3.1: Klassengenauigkeit Die in Abb. 3.2 gezeigte Schaltung wird zur Widerstandsmessung verwen-

Abb. 3.2. Meßanordnung zur Widerstandsmessung

det. Das verwendete Strommeßger¨ at hat eine Genauigkeitsklasse von 1 %, einen Bereichsendwert IMend = 1 mA und zeigt einen Strom von 0, 3 mA an. Mit welcher Genauigkeit kann der Widerstand RK bestimmt werden,

3.3 Zuf¨ allige Meßfehler

45

wenn die Werte f¨ ur den Strom I0 = 1 mA(1 ± 0, 01) sowie den Widerstand RN = 10 kΩ(1 ± 0, 01) bekannt sind? Geben Sie den Widerstand RK in der Form RK = RKnom (1 ± fRK ) an, wobei fRK den relativen Fehler von RK bezeichnet. L¨ osung: Der Wert des gesuchten Widerstandes ergibt sich zu RK = 4, 286 kΩ(1 ± 0, 0719) .

4 Analoges Messen

4.1 Grundlagen elektromechanischer Meßwerke Grundgleichungen zur Berechnung von elektromechanischen Meßwerken Analog arbeitende Meßger¨ ate beruhen im allgemeinen darauf, daß einer zu messenden elektrischen Gr¨ oße (Strom, Spannung) mit Hilfe eines geeigneten elektromechanischen Wandlungsprinzips eine Kraftwirkung zugeordnet wird. Einer der wichtigsten physikalischen Effekte, der f¨ ur diese Umformung Verwendung findet, ist die Lorentzkraft . F = q v × B

(4.1)

Die Lorentzkraft ist die mechanische Kraft, die auf eine sich mit der Geschwin bewegende Ladung q wirkt. Diese Kraft kann digkeit v in einem Magnetfeld B f¨ ur den Spezialfall eines stromdurchflossenen Leiters in Form folgender Gleichung angegeben werden [5] . dF = I ds × B

(4.2)

Gleichung (4.2) beschreibt jene Kraft dF , welche auf ein Leiterst¨ uck der L¨ ange  ausge¨ ds eines vom Strom I durchflossenen Leiters in einem Magnetfeld B ubt wird, wobei das Wegelement ds in Richtung des Stromflusses zeigt. Die Gesamtkraft auf einen beliebigen stromdurchflossenen Leiter ergibt sich daher aus der Integration von Gl. (4.2) u ange S ¨ber die gesamte Leiterl¨  =I . I ds × B ds × B (4.3) Fges = S

S

Elektromechanische Meßger¨ ate werden konstruktiv meist so ausgef¨ uhrt, daß zur Anzeige der Meßgr¨ oße ein Zeiger verwendet wird, dessen Ausschlagwinkel ein Maß f¨ ur die zu messende Gr¨ oße darstellt. Um dies zu erreichen, m¨ ussen der

48

4 Analoges Messen

 so gestaltet werden, stromdurchflossene Leiter (Spule) und das Magnetfeld B daß die an der Spule angreifende Kraft (Gl. (4.3)) auf diese ein Drehmoment aus¨ ubt. Die Spule ist daher um eine ortsfeste Achse drehbar gelagert und mit dem Zeiger verbunden. Das Drehmoment auf die Spule in Richtung der Drehachse ergibt sich zu       ea · (r × dF ) ea Mel ea = ea · r × dF ea = S

 =

S



    (ea × r) · dF ea = I (ea × r) · (ds × B) ea .

S

(4.4)

S

In Gl. (4.4) bezeichnen r den Ortsvektor von einem beliebigen Punkt auf der Drehachse zum Wegelement ds und ea den Einheitsvektor in Richtung der Drehachse. Der Betrag von ea × r entspricht dem Normalabstand von ds zur Drehachse. F¨ ur das dynamische Verhalten des drehbaren Teiles erh¨ alt man unter Verwendung des Drallsatzes [8] ¨ ea = Mges ea , Θω˙ ea = Θα

(4.5)

wobei Θ das Massentr¨ agheitsmoment des beweglichen Teiles und α den Drehwinkel bezeichnen. Mges ist die Summe der am drehbaren Teil angreifenden Drehmomente. Folgende Drehmomente treten auf: • Antriebsmoment Mel aufgrund einer stromdurchflossenen Spule im Magnetfeld ampfung • D¨ ampfungsmoment Md aufgrund von D¨ • R¨ uckstellmoment Mmech aufgrund einer Drehfeder . Zur D¨ ampfung von elektromechanischen Meßger¨ aten wird oft die sogenannte Rahmend¨ ampfung verwendet. Diese Art der D¨ ampfung beruht auf der Induktion eines Stromes in einer Kurzschlußwindung infolge der Drehbewegung der Spule. Auf diese Kurzschlußwindung wirkt dann entsprechend Gl. (4.4) ein Drehmoment, welches der momentanen Bewegung entgegenwirkt (Lenzsche Regel) und somit die D¨ ampfung bewirkt. Der Name Rahmend¨ampfung leitet sich aus der Tatsache her, daß als Kurzschlußwindung der Rahmen verwendet wird, welcher zur Aufnahme der Wicklung dient. Das Induktionsgesetz f¨ ur eine bewegte und geschlossene Leiterschleife kann in seiner allgemeinen Form folgendermaßen dargestellt werden [5] $ $  ∂B  · ds = −  · ds . + E (v × B) (4.6) · dA S A ∂t S       Ruheinduktion

Bewegungsinduktion

Der erste Term auf der rechten Seite von Gl. (4.6) ist jener Anteil der Indukti¨ onsspannung, der durch die zeitliche Anderung des Magnetfeldes hervorgerufen wird, w¨ ahrend der zweite Term von Gl. (4.6) den durch die Bewegung eines Leiters im Magnetfeld erzeugten Anteil der Induktionsspannung beschreibt.

4.1 Grundlagen elektromechanischer Meßwerke

49

Grundgleichungen zur Berechnung von Magnetkreisen Das elektromagnetische Feld wird mit Hilfe der Maxwellschen Gleichungen [10] eindeutig und vollst¨ andig beschrieben. Im Rahmen dieses Abschnittes werden zun¨ achst die Gleichungen der Stetigkeitsbedingungen f¨ ur das magnetische Feld abgeleitet. Danach wird gezeigt, wie die Berechnung der magnetischen Feldgr¨ oßen eines linearen Magnetkreises mit Hilfe der linearen elektrischen Netzwerktheorie erfolgen kann. Die Maxwellsche Gleichung  =0 divB (4.7) bringt zum Ausdruck, daß die Quelldichte des magnetischen Feldes Null und damit das magnetische Feld ein Wirbelfeld (Feld mit in sich geschlossenen Feldlinien) ist. Integriert man Gl. (4.7) u ¨ber das Volumen V  dV = 0 divB (4.8) V

und verwendet den Gaußschen Integralsatz [4], so erh¨ alt man das Oberfl¨ achenintegral $  · dA  = 0. B (4.9) A

An einer Grenzfl¨ ache zweier Medien mit verschiedenen Permeabilit¨ aten ist dieses Oberfl¨ achenintegral entsprechend Abb. 4.1 f¨ ur b → 0 auszuwerten

Abb. 4.1. Stetigkeitsbedingung f¨ ur die Normalkomponente der magnetischen Fluß dichte B

$  · dA =B 1 · A 1 + B 2 · A 2 = 0 B

lim

b→0

A

 1 · n1 − B  2 · n1 = 0 B 1 − B  2) = 0 n1 · (B B1n = B2n .

(4.10)

50

4 Analoges Messen

Anhand von Gl. (4.10) erkennt man, daß die Normalkomponente der magnetischen Flußdichte immer stetig von einem Medium mit der Permeabilit¨ at µ1 zu einem Medium mit der Permeabilit¨ at µ2 u ¨bergeht. Mit der Materialgleichung (isotropes lineares Medium)  = µH  B (4.11) erh¨ alt man den Zusammenhang zwischen den entsprechenden Normalkompo nenten der magnetischen Feldst¨ arke H µ1 H1n = µ2 H2n .

(4.12)

 = J rotH

(4.13)

Die Maxwellsche Gleichung besagt, daß eine elektrische Stromdichte J und damit ein elektrischer Strom  begleitet ist. Wird Gl. (4.13) I stets von einem Magnetfeld der Feldst¨ arke H  u ache A integriert ¨ber die Querschnittsfl¨ ,   J · dA (4.14) rotH · dA = A

A

erh¨ alt man unter Anwendung des Stokesschen Integralsatzes [4] den Durchflutungssatz $  · ds = N I. H (4.15) An einer Grenzfl¨ ache zweier Medien mit verschiedenen Permeabilit¨ aten und verschwindender Fl¨ achenstromdichte ergibt sich aus dem Ringintegral nach Gl. (4.15) f¨ ur b → 0 der folgende Zusammenhang (Abb. 4.2)

Abb. 4.2. Stetigkeitsbedingung f¨ ur die Tangentialkomponente der magnetischen  Feldst¨ arke H

$ lim

b→0

 · ds = 0 H

 1 · s − H  2 · s = 0 H 1 − H  2) = 0 st · (H

4.1 Grundlagen elektromechanischer Meßwerke

51

H1t = H2t

(4.16)

B1t B2t = . µ1 µ2

(4.17)

 immer Damit geht die Tangentialkomponente der magnetischen Feldst¨ arke H stetig von einem Medium mit der Permeabilit¨ at µ1 zu einem Medium mit der Permeabilit¨ at µ2 u ¨ber. Der in Gl. (4.15) auftretende Term NI = Θ

(4.18)

wird Durchflutung genannt. Das Ringintegral aus Gl. (4.15) wird oft n¨ aherungsweise durch eine Summe ersetzt n

Hi li = IN = Θ,

(4.19)

i=1

wobei der Ausdruck Hi li als magnetische Spannung Vi des betreffenden Abschnitts eines Magnetkreises bezeichnet wird. F¨ ur die L¨ ange li der jeweiligen Abschnitte nimmt man den mittleren geometrischen Weg entlang der magnetischen Feldlinien. Mit dem Querschnitt Ai gilt der Zusammenhang zwischen dem magnetischen Fluß φi und der magnetischen Flußdichte Bi φi = Bi Ai .

(4.20)

Vernachl¨ assigt man nun magnetische Streufl¨ usse in den einzelnen Teilabschnitten des Magnetkreises, d. h. φ1 = φ2 = ... = φn = φ ,

(4.21)

so erh¨ alt man mit den Gln. (4.19) und Gl. (4.20) aus n

Hi li 

=

i=1 V ..magnetische Teilspannung i

n

li µi Ai   

φi

i=1

=Θ

Rmi ..magnetischer Teilwiderstand

(4.22) das Ohmsche Gesetz f¨ ur den Magnetkreis Θ  = ˆ elektrische Spannung

=

φ  = ˆ elektrischer Strom

n

Rmi .

(4.23)

i=1

Analog zum elektrischen Netzwerk entspricht die magnetische Durchflutung Θ der elektrischen Spannung U , der magnetische Fluß φ dem elektrischen Strom I und der magnetische Widerstand Rm dem elektrischen Widerstand R. Auf der Basis dieser Analogie lassen sich Magnetkreise mit den gleichen Methoden berechnen wie aus ohmschen Widerst¨ anden und elektrischen Quellen aufgebaute lineare Netzwerke.

52

4 Analoges Messen

4.2 Meßbereichserweiterung von Meßwerken Da elektromechanische Meßwerke von ihrer Konzeption her nur einen Meßbereich aufweisen, werden diese durch eine entsprechende Beschaltung mit passiven elektrischen Bauelementen (meist ohmsche Widerst¨ ande) um zus¨ atzliche Meßbereiche erweitert und k¨ onnen unter Verwendung von Schaltern sogar zu Vielfachmeßger¨ aten ausgebaut werden. Die Basis f¨ ur die Meßbereichserweiterungen bilden Spannungs- bzw. Stromteiler, deren Berechnung im Anschluß kurz dargelegt wird. Spannungsteilerregel

Abb. 4.3. Schaltung zur Spannungsteilerregel

Fließt durch die Widerst¨ ande R1 und R2 (Abb. 4.3) der gleiche Strom I (unbelasteter Spannungsteiler), so verhalten sich die Spannungsabf¨ alle wie die entsprechenden Widerstandswerte R1 U1 = U2 R2

(4.24)

R1 U1 = U R1 + R2

(4.25)

R2 U2 = . U R1 + R2

(4.26)

Stromteilerregel Die Str¨ ome I1 und I2 in den beiden an der gleichen Spannung U liegenden Zweigen (Abb. 4.4) verhalten sich umgekehrt zu den Widerstandswerten R1 und R2 in den Zweigen R2 I1 = I2 R1

(4.27)

R2 I1 = I R1 + R2

(4.28)

4.3 Grundlagen zur Messung elektrischer Wechselgr¨ oßen

53

Abb. 4.4. Schaltung zur Stromteilerregel

I2 R1 = . I R1 + R2

(4.29)

Bei analogen Spannungsmeßger¨ aten mit mehreren Meßbereichen ist es u ¨blich, zur Angabe des Eingangswiderstandes einen auf den Meßbereich bezogenen  (Einheit (Ω/V)) zu verwenden. Da die MeßbeEingangswiderstand RVber reichserweiterung eines Spannungsmeßger¨ ates durch Vorschaltwiderst¨ ande erfolgt, zeigt folgende Gleichung  = RVber

RE 1 = , Uber IEend

(4.30)

in der RE den Eingangswiderstand im Spannungsbereich Uber und IEend den  f¨ ur f¨ ur den Endausschlag notwendigen Eingangsstrom bezeichnen, daß RVber das jeweilige Meßger¨ at konstant ist. Der tats¨ achliche Eingangswiderstand RE1 des Meßger¨ ates berechnet sich daher f¨ ur einen Meßbereichsendwert Uber1 zu  RE1 = RVber Uber1 .

(4.31)

4.3 Grundlagen zur Messung elektrischer Wechselgr¨ oßen Bei der Messung von Wechselspannung und Wechselstrom ist man an der Ermittlung der im folgenden beschriebenen Kenngr¨ oßen interessiert. Kenngr¨ oßen von elektrischen Wechselgr¨ oßen Die folgenden Begriffe, die gleichermaßen f¨ ur die elektrische Spannung u(t) und den elektrischen Strom i(t) gelten, werden am Beispiel der elektrischen Spannung erl¨ autert. Eine periodische Spannung u(t) wird durch u(t + kT ) = u(t)

(4.32)

beschrieben, wobei k eine beliebige ganze Zahl und T die Periodendauer bezeichnen. Durch die Beziehung f=

ω 1 = T 2π

(4.33)

54

4 Analoges Messen

ist die Frequenz (Wiederholfrequenz bestimmter, zeitlich wiederkehrender Merkmale) von u(t) festgelegt. Außerdem kann u(t) in die folgende Fourierreihe entwickelt werden [3] u(t) = u +

∞

ˆn sin(nωt + ϕn ) = u + U

n=1

∞

√ 2 Uneff sin(nωt + ϕn ) .

(4.34)

n=1

Die in dieser Reihe enthaltenen Fourierkoeffizienten Uneff werden zur Berechnung bestimmter Kenngr¨ oßen, z. B. dem Klirrfaktor, ben¨ otigt. • Arithmetischer Mittelwert 1 u= T

T u(t) dt

(4.35)

|u(t)| dt

(4.36)

0

• Gleichrichtwert 1 |u| = T

T 0

• Effektivwert Ueff

   T 1 = u2 (t) dt T

(4.37)

0

Wenn u(t) als Fourierreihe vorliegt, gilt außerdem   ∞

 2 . Uneff Ueff = u2 +

(4.38)

n=1

Im weiteren wird zwischen reinen Wechselspannungen, die durch u = 0 gekennzeichnet sind, und Mischspannungen der Form T u(t) = u + u∼ (t)mit

u∼ (t) dt = 0

(4.39)

0

unterschieden. F¨ ur den Effektivwert Ueff von Mischspannungen gilt    T 1 U∼eff =  u2∼ (t) dt , T

(4.40)

0

Ueff =

 2 u2 + U∼eff .

(4.41)

Die folgenden drei Kenngr¨ oßen sind nur f¨ ur reine Wechselspannungen definiert:

4.3 Grundlagen zur Messung elektrischer Wechselgr¨ oßen

55

• Scheitelfaktor C=

ˆ U Ueff

ˆ = max |u(t)| U

mit

• Formfaktor F=

0≤t≤T

Ueff |u|

(4.42)

(4.43)

Der Formfaktor f¨ ur sinusf¨ ormige Gr¨ oßen betr¨ agt ˆ U √ 2

FS = 2 T

• Klirrfaktor

T 2

%

(4.44)

2 − U2 Ueff 1eff . Ueff

(4.45)

0

 k=

ˆ sin ωt dt U

π = √ = 1, 11 . 2 2

∞ &

n=2

2 Uneff

Ueff

=

Gleichrichtung Um die im letzten Abschnitt behandelten Wechselgr¨ oßen mit den in der Meßtechnik bevorzugt eingesetzen Meßwerken messen zu k¨ onnen, werden Schaltungen zur Gleichrichtung des Meßstromes bzw. der Meßspannung ben¨ otigt. Diese Schaltungen basieren auf den speziellen Eigenschaften von Halbleiterdioden und werden entsprechend ihrer Gleichrichterwirkung in Einweg- und Zweiweggleichrichter (Vollweg-Gleichrichter) unterteilt. Bei der Einweggleichrichtung wird nur eine der beiden Halbwellen der Wechselgr¨ oße zum Meßwerk geleitet. In Abb. 4.5 wird eine entsprechende Schaltung zur Gleichrichtung der positiven Halbwelle einer Meßspannung gezeigt. Der Vorteil der Einweggleichrichtung ist, daß nur eine Diode ben¨ otigt wird und somit die am Meßwerk anliegende Spannung nur um eine Diodenschwellspannung vermindert wird. Da bei der Einweggleichrichtung jeweils eine der beiden Halbwellen pro Periode verloren geht, m¨ ussen im Vergleich zur Zweiweggleichrichtung entsprechend empfindlichere Meßwerke zur Anzeige verwendet werden. Um diesen Nachteil zu vermeiden, wird der in Abb 4.6 dargestellte Graetz-Gleichrichter (Br¨ uckengleichrichter) eingesetzt. Seine Funktionsweise beruht darauf, daß je nach Vorzeichen (Halbwelle) der Eingangsspannung jeweils zwei diagonal gegen¨ uberliegende Dioden leiten und dadurch die Meßspannung (vermindert um zwei Diodenschwellspannungen) vorzeichenrichtig an das Meßwerk gelegt wird. Dem Nachteil, daß die Eingangsspannung um zwei Diodenschwellspannungen vermindert wird, steht der Vorteil der Nutzung beider Halbwellen gegen¨ uber. Gleichrichterschaltungen werden oft in Verbindung mit einem Drehspulmeßwerk zur Messung des Effektivwerts eingesetzt. Bei dieser Messung wird von der Tatsache Gebrauch

56

4 Analoges Messen

Abb. 4.5. Schaltung zur Gleichrichtung der positiven Halbwelle

Abb. 4.6. Graetz-Gleichrichter zur Zweiweggleichrichtung

gemacht, daß Kenngr¨ oßen wie Formfaktor und Scheitelfaktor f¨ ur eine vorgegebene Kurvenform konstant sind. So kann z. B. unter Verwendung eines Graetz-Gleichrichters der Gleichrichtwert gemessen werden, der dann u ¨ber eine Umrechnung mit dem Formfaktor (wird in die Skala einkalibriert) Ueff = F |u|

(4.46)

als Effektivwert angezeigt wird. Nachteilig an dieser Vorgehensweise ist, daß es sich hier nicht um eine echte Effektivwertmessung handelt und daher bei der Messung von Spannungen mit anderen Kurvenformen entsprechende Meßfehler auftreten (s. auch Abschn. 11.3 in [6]).

4.4 Analoge Meßwerke Beispiel 4.1: Berechnung eines Drehspulmeßwerkes Das zu berechnende Drehspulinstrument hat den in Abb. 4.7 gezeigten Aufbau. Folgende Daten des Meßwerkes sind bekannt: BL M90◦ Θ lB lR rR

= 0, 5 T Induktion im Luftspalt = 5 µNm Drehmoment der Feder bei 90◦ Zeigerausschlag 2 agheitsmoment des beweglichen Teiles = 0, 1 µkgm gesamtes Tr¨ = 15 mm = 20 mm = 7 mm

4.4 Analoge Meßwerke

57

Abb. 4.7. Aufbau und Abmessungen des Drehspulinstrumentes

Die Wicklung des Drehspulmeßwerkes wird von einem Rahmen (mit U-f¨ ormigem Querschnitt) aus Aluminium getragen. Zur D¨ ampfung des Meßwerkes wird der als Kurzschlußwindung wirkende Aluminiumrahmen verwendet. F¨ ur die nachfolgend durchzuf¨ uhrenden Berechnungen ist zwecks Vereinfachung davon auszugehen, daß der Meßwerkstrom eingepr¨ agt wird, d. h. es tritt keine Ru ¨ ckwirkung aufgrund einer in der Drehspule induzierten Spannung auf. Außerdem sind die Selbstinduktivit¨ aten und Eigenfelder der Drehspule und des Aluminiumrahmens zu vernachl¨ assigen. a) Berechnen Sie die ben¨ otigte Windungszahl N der Drehspule, damit sich bei einem Spulenstrom von IMend = 0, 2 mA Vollausschlag (α = 90o ) einstellt. Welchen resultierenden Innenwiderstand RM hat das Instrument, wenn f¨ ur die Drehspule Kupferlackdraht (Leitf¨ ahigkeit γCu = 58 Sm/mm2 ) mit einem Durchmesser von 0, 05 mm verwendet wird? ahigkeit γAl = b) Welchen Querschnitt AR muß der Aluminiumrahmen (Leitf¨ ampft ist 36 Sm/mm2 ) aufweisen, damit das Meßwerk aperiodisch ged¨ (Grenzfall verwenden)? c) Berechnen Sie den Ausschlag α(t), wenn an den Eingang des Drehspulinstrumentes ein Stromsprung iM (t) = Io σ(t) gelegt wird (σ(t) bezeichnet die Sprungfunktion). d) Nach welcher Zeit t1% weicht der in Punkt c) berechnete Ausschlag α(t) um nicht mehr als 1% von seinem Endwert α∞ = limt→∞ α(t) ab? e) Zeigen Sie unter Verwendung des Frequenzganges G(ω) = α(ω)/I M (ω), warum ein Drehspulinstrument beim Anlegen eines periodischen Meßwerkstromes f¨ ur ω1 ω0 (ω1 ist die Kreisfrequenz der Grundwelle; ω0 ist die Eigenkreisfrequenz des unged¨ ampften Drehspulinstrumentes) den zeitlichen Mittelwert dieses Stromes anzeigt. Musterlo ¨sung: Da das Drehspulinstrument einen zylindersymmetrischen Aufbau hat, ist es

58

4 Analoges Messen

zweckm¨ aßig, die in Abb. 4.7 eingezeichneten Zylinderkoordinaten f¨ ur die nachfolgenden Berechnungen zu verwenden.  el berechnet sich aus Gl. a) Das auf die Drehspule wirkende Drehmoment M (4.4) mit ea = ez und der Beziehung ea × r = rR eϕ ,

(4.47)

welche f¨ ur den sich im Magnetfeld befindlichen Teil der Spule gilt, unter Verwendung der Windungsl¨ ange lW = 2(lR + 2rR ) zu ⎛ ⎞  el = ⎝iM N (ez × r) · (ds × B)  ⎠ ez M lW

⎛ = iM N ⎝

lB

0 rR eϕ · (dz ez × BL er ) +

0

⎞ rR eϕ · (dz ez × BL (−er ))⎠ ez

lB

⎛ = 2N rR iM BL ⎝

lB

⎞

⎛

eϕ · (ez × er ) dz ⎠ ez = 2N rR iM BL ⎝

0

lB

⎞ dz ⎠ ez

0

= 2N rR lB iM BL ez .

(4.48)

Das f¨ ur den Endausschlag notwendige Drehmoment M90o ergibt sich daher mit iM = IMend zu (4.49) M90o = 2N rR lB IMend BL . Mit Hilfe dieser Gleichung lassen sich die erforderliche Windungszahl N und der Innenwiderstand RM der Drehspule angeben N =

RM =

M90o = 238 , 2rR lB IMend BL

(4.50)

N lW = 142, 1 Ω . γCu AW

(4.51)

b) Um das dynamische Verhalten des Drehspulinstrumentes zu berechnen, geht man von Gl. (4.5) aus Θα ¨ ez = (Mel + Md + Mmech )ez .

(4.52)

Im folgenden werden die einzelnen Drehmomente n¨ aher erl¨ autert und berechnet. Da alle Drehmomente nur eine z-Komponente besitzen, wird bei den Berechnungen der Einheitsvektor ez stets weggelassen. Die auf die stromdurchflossene Drehspule ausge¨ ubte Kraft bewirkt das Drehmoment Mel , welches sich mit Gl. (4.48) zu

4.4 Analoge Meßwerke

Mel = 2N rR lB iM BL = Kel iM

59

(4.53)

berechnet. Dieses Drehmoment ist demnach proportional zum Momentanwert des Spulenstromes iM . Zur Erzeugung der oben beschriebenen Rahmend¨ ampfung wird ein Aluminiumrahmen verwendet. Der das D¨ ampfungsmoment verursachende Strom im Aluminiumrahmen berechnet sich mit der f¨ ur das Drehspulinstrument vereinfachten (kein Eigenfeld) Gl. (4.6) $ $  ∂B    · ds E · ds = − ·dA + (v × B) (4.54) ∂t  A l l W

W

=0

 und der Beziehung unter Ber¨ ucksichtigung des Ohmschen Gesetzes J = γ E v = ω  × r = αr ˙ R eϕ

(4.55)

zu 1 γAl

$ J · ds =

0

lW

1 γAl

lB 0 (v eϕ × BL er ) · ez dz + (v eϕ × BL (−er )) · ez dz

lB J ds = 2BL v (eϕ × er ) · ez dz

$

0

lW

JAR γAl AR

$

lB −dz

ds = 2BL v lW

iR

lB

0

lW = −2BL vlB γAl AR iR RR = −2lB BL rR α˙ .

(4.56)

Unter Verwendung von Gl. (4.48) ergibt sich mit N = 1 und Gl. (4.56) das D¨ ampfungsmoment Md Md = 2rR lB iR BL = −

(2lB BL rR )2 α˙ = −Kd α. ˙ RR

(4.57)

Gleichung (4.57) l¨ aßt erkennen, daß das D¨ ampfungsmoment Md der momentanen Bewegungsrichtung immer entgegenwirkt und außerdem proportional zur Winkelgeschwindigkeit ω = α˙ ist. ur eine lineare Das Drehmoment Mmech der Drehfeder ergibt sich aus dem f¨ Drehfeder g¨ ultigen Zusammenhang

60

4 Analoges Messen

Mmech = −

M90o π α = −Kmech α , 90o 180 o

(4.58)

wobei der Drehwinkel α im Bogenmaß einzusetzen ist. Entsprechend der angegebenen Zahlenwerte berechnet sich Kmech zu Kmech = 3, 183 µ

Nm . rad

(4.59)

Durch Einsetzen der oben berechneten Drehmomente in Gl. (4.52) erh¨ alt man folgende Differentialgleichung f¨ ur den Ausschlagwinkel α(t) α ¨+

Kd Kel Kmech α= α˙ + iM . Θ Θ  Θ  

(4.60)

ω0 2

Nach der Theorie linearer gew¨ ohnlicher Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten [3] ergibt sich die Gesamtl¨ osung von Gl. (4.60) als Lineararen L¨ osung αp kombination der homogenen L¨ osung αh und einer partikul¨ α(t) = αh (t) + αp (t) .

(4.61)

Zur Berechnung der homogenen L¨ osung αh (t), die das Eigenverhalten des Drehspulinstrumentes beschreibt, wird der Ansatz αh (t) = Ceλt

(4.62)

in die homogene Differentialgleichung eingesetzt. Daraus folgt die charakteristische Gleichung (Eigenwertgleichung) λ2 +

Kmech Kd λ+ = 0. Θ Θ

Aus dieser quadratischen Gleichung ergibt sich die L¨ osungen f¨ ur λ  2 Kd Kd Kmech λ1,2 = − ± . − 2Θ 2Θ Θ

(4.63)

(4.64)

F¨ ur den aperiodischen Grenzfall, der durch λ1 = λ 2 = λ

(4.65)

gekennzeichnet ist, erh¨ alt man die folgende L¨ osung der homogenen Differentialgleichung (4.66) αh (t) = C1 eλt + C2 teλt . Aus Gl. (4.64) kann mit Gl. (4.65) die Beziehung f¨ ur Kd abgeleitet werden  2 Kd Kmech =⇒ Kd = 2 Kmech Θ . = (4.67) 2Θ Θ

4.4 Analoge Meßwerke

Durch Einsetzen von Kd ergibt sich f¨ ur λ der Wert  Kd Kmech 1 λ=− =− = −ω0 = −5, 642 . 2Θ Θ s

61

(4.68)

Wird Gl. (4.67) in Gl. (4.57) eingesetzt, so k¨ onnen aus (2lB BL rR )2 = 2 Kmech Θ RR

(4.69)

der Rahmenwiderstand RR und der Rahmenquerschnitt AR berechnet werden 2(lB BL rR )2 = 9, 77 mΩ , RR = √ Kmech Θ AR =

lW = 0, 193 mm2 . γAl RR

(4.70)

(4.71)

ur t > 0 konstant ist, wird f¨ ur c) Da die Anregungsfunktion iM (t) = Io σ(t) f¨ αp (t) der Ansatz (4.72) αp (t) = C3 gew¨ ahlt, der durch Einsetzen in Gl. (4.60) zu der Bestimmungsgleichung f¨ ur uhrt C3 f¨ Kmech Kel Kel C3 = Io =⇒ C3 = Io . (4.73) Θ Θ Kmech Aus Gl. (4.61) ergibt sich nun mit den Gln. (4.66) und (4.72) folgende allgemeine L¨ osung f¨ ur α(t) α(t) =

Kel Io + C1 eλt + C2 teλt . Kmech

(4.74)

Die Konstanten C1 und C2 werden aus den Anfangsbedingungen α(0) = 0 und α(0) ˙ = 0 berechnet α(0) = 0 =

Kel Kel Io + C1 =⇒ C1 = − Io , Kmech Kmech

α(0) ˙ = 0 = C1 λ + C2

=⇒ C2 =

Kel Io λ . Kmech

(4.75)

(4.76)

Mit den so ermittelten Konstanten folgt aus Gl. (4.74) die endg¨ ultige L¨ osung α(t) =

  Kel Io 1 − eλt (1 − λt) . Kmech

(4.77)

Abbildung 4.8 zeigt den entsprechenden auf α∞ (Gl. (4.78)) normierten Zeigerausschlag α(t).

62

4 Analoges Messen

Abb. 4.8. Normierter Zeitverlauf des Zeigerausschlagwinkels α(t)

d) Unter Verwendung des Endausschlages α∞ lim α(t) =

t→∞

Kel Io = α∞ Kmech

(4.78)

kann folgende Bestimmungsgleichung f¨ ur t1% angegeben werden α∞ − α(t1% ) = 0, 01 . α∞

(4.79)

Durch Einsetzen von α(t) in Gl. (4.79) erh¨ alt man folgende nicht-lineare Gleichung 1 − [1 − eλt1% (1 − λt1% )] = 0, 01 , (4.80) die mit Hilfe des Newton-Verfahrens [9] gel¨ ost werden kann. Aus tn+1 = tn − = tn −

eλtn (1 − λtn ) − 0, 01 λeλtn (1 − λtn ) − λeλtn

(4.81)

eλtn (1 − λtn ) − 0, 01 −λ2 tn eλtn

(4.82)

ergibt sich f¨ ur einen Startwert t1% = 1 s nach n = 5 Iterationsschritten folgender N¨ aherungswert f¨ ur t1% t1% = 1, 18 s .

(4.83)

e) Da sich jede periodische Funktion f (t) durch eine Fourierreihe (Gl. 4.34) darstellen l¨ aßt ∞

f (t) = A0 + An sin(nωt + ϕn ) , (4.84) n=1

4.4 Analoge Meßwerke

63

und das Verhalten des Drehspulinstrumentes durch eine lineare Differentialgleichung beschrieben wird, kann in weiterer Folge die komplexe Rechnung verwendet werden. Notiert man den Strom iM durch das Meßwerk sowie den Ausschlagwinkel α in Form komplexer Zeiger I M = Iˆ1 ejωt

(4.85)

α=α ˆ 1 ejωt

(4.86)

(wobei hier ohne Beschr¨ ankung der Allgemeinheit der komplexe Zeiger f¨ ur den Strom I M auf die reelle Achse gelegt wurde), ergibt sich durch Einsetzen in die Differentialgleichung (Gl. (4.60)) α ˆ 1 (jω)2 ejωt +

Kd Kmech Kel ˆ jωt α ˆ 1 jωejωt + α ˆ 1 ejωt = I1 e . Θ Θ Θ

(4.87)

Diese Gleichung liefert den Zusammenhang zwischen Stromamplitude Iˆ1 und Ausschlagwinkelamplitude α ˆ1 α ˆ1 Kel = ˆ Θ (jω)2 + I1

1 jω +

Kd Θ

Kmech Θ

.

(4.88)

Wenn man nun Gl. (4.88) auf α∞ /Io = Kel /Kmech (Verh¨ altnis von Ausschlagwinkel zu fließendem Strom f¨ ur t → ∞) normiert, ergibt sich der Frequenzgang G(ω) =

=

α ˆ1 Iˆ1 α∞ Io

=

(jω)2

1 jω +

Kmech Kel Kel Θ (jω)2 +

Θ Kmech

1 + jω

Kd Kmech

Kd Θ

Kmech Θ

.

+1

(4.89)

Unter Zuhilfenahme von Gl. (4.68) und Θ Kmech

 Θ Kd 1 2 = 2 und =2 = ω0 Kmech Kmech ω0

(4.90)

l¨ aßt sich der Frequenzgang G(ω) aus Gl. (4.89) wie folgt darstellen G(ω) = 

jω ω0

2

1 + 2 jω ω0 + 1

=

1

jω ω0

2 . +1

(4.91)

Im weiteren interessiert uns nur noch der Amplitudenfrequenzgang |G(ω)| = 

ω ω0

1 2

, +1

(4.92)

64

4 Analoges Messen

Abb. 4.9. Amplitudenfrequenzgang |G(ω)| eines aperiodisch ged¨ ampften Drehspulmeßwerkes

der in Abb. 4.9 dargestellt ist. Im Amplitudenfrequenzgang k¨ onnen die folgenden zwei Bereiche unterschieden werden ω  ω0 =⇒ ω ω0 =⇒

|G(ω)| ≈ 1 |G(ω)| ≈ 

(4.93) 1 ω ω0

2 .

(4.94)

Der erste Bereich (Gl. (4.93)) ist f¨ ur alle niederfrequenten Anteile des Eingangsstromes relevant, also speziell auch f¨ ur seinen Gleichanteil. Der zweite Bereich (Gl. (4.94)) ist f¨ ur die h¨ oherfrequenten Anteile des Meßwerkstromes bestimmend, und wie folgendes Zahlenbeispiel f¨ ur ein 50 Hz Signal zeigt |G(2π 50)| = 32 · 10−5 ,

(4.95)

ist f¨ ur dieses System die Netzfrequenz von 50 Hz bereits eine Hochfrequenz. Das Beispiel l¨ aßt erkennen, daß f¨ ur den Zeigerausschlag α nur der Gleichanteil des Meßwerkstromes relevant ist und die Grundwelle und alle Oberwellen aufgrund ihrer starken Unterdr¨ uckung zu vernachl¨ assigen sind. Beispiel 4.2: Elektrodynamisches Meßwerk Folgende Daten eines elektrodynamischen Meßwerkes nach Abb. 4.10 sind gegeben:

4.4 Analoge Meßwerke

µr a b c l r1 δ

65

= 6000 relative Permeabilit¨ at des lamellierten Eisens = 6 cm = 2 cm = 12 cm = 2 cm = 1 cm = 0, 2 cm

Abb. 4.10. Aufbau und Abmessungen des elektrodynamischen Meßwerkes

a) Konstruieren Sie das magnetische Feldbild des elektrodynamischen Meßwerkes unter Vernachl¨ assigung von Streufeldern. Die R¨ uckwirkung aufgrund der Wicklung am Drehzylinder soll dabei unber¨ ucksichtigt bleiben. b) Berechnen Sie das magnetische Ersatzschaltbild f¨ ur das elektrodynamische Meßwerk. c) Berechnen Sie den Ausschlagwinkel α, wenn die feststehende Spule mit dem Strom i1 = Iˆ1 sin(ωt) und die bewegliche Spule mit dem Strom i2 = Iˆ2 sin(ωt − ϕ) gespeist werden und folgende Daten gegeben sind: Kmech Iˆ1 Iˆ2 ϕ N1 N2

= 2 µNm/rad Drehfederkonstante des R¨ uckstellmomentes = 1A Scheitelwert des Stromes i1 = 10 mA Scheitelwert des Stromes i2 = 30o Phasendifferenz zwischen i1 und i2 = 200 Anzahl der Windungen der Spule 1 = 200 Anzahl der Windungen der Spule 2

Musterlo ¨sung: a) Aus den in Abschn. 4.1 f¨ ur das magnetische Feld abgeleiteten Stetigkeits bedingungen kann der Winkel α2 , unter dem die magnetischen B-Linien aus der Grenzfl¨ ache austreten, entsprechend Abb. 4.11 berechnet werden.

66

4 Analoges Messen

 beim Ubergang ¨ Abb. 4.11. Flußdichteverlauf B vom Medium mit der Permeabilit¨ at a t µ2 µ1 zum Medium mit der Permeabilit¨

tan α1 =

B1t B1n

(4.96)

tan α2 =

B2t B2n

(4.97)

tan α2 B2t B1n B2t µ2 H2t µ2 = = = = tan α1 B2n B1t B1t µ1 H1t µ1   µ2 α2 = arctan tan α1 . µ1

(4.98)

(4.99)

 m (Abb. 4.12) bei Mit Gl. (4.99) erh¨ alt man nun f¨ ur die mittlere Feldlinie B

Abb. 4.12. Feldlinienverlauf im Meßwerk zwischen Joch und Drehzylinder

einem Eintrittswinkel von α1 = 0 auch einen Austrittswinkel von α2 = 0. Damit geht die mittlere Feldlinie ungebrochen vom Joch u ¨ber den Luftspalt zum Drehzylinder und von dort wieder u ¨ber den Luftspalt ins Joch.  a gilt es zun¨ achst den Normalenvektor n sowie den F¨ ur eine ¨außere Feldlinie B Einheitsnormalenvektor en aufzustellen n = −r cos ϕ ex − r sin ϕ ey

(4.100)

en = − cos ϕ ex − sin ϕ ey .

(4.101)

Mit dem Einheitsvektor eBa der magnetischen Flußdichte

4.4 Analoge Meßwerke

eBa = −ex

67

(4.102)

berechnet sich der Eintrittswinkel α1 mit Hilfe des inneren Produktes α1 = arccos(en · eBa ) = ϕ zu ϕ = arcsin

b = 56, 44◦ . 2(r1 + δ)

(4.103)

(4.104)

Mit Gl. (4.99) erh¨ alt man  α2 = arctan

µ2 tan α1 µ1



= 0, 0144◦ .

(4.105)

Damit verl¨ auft die magnetische Feldlinie im Luftspalt n¨ aherungsweise entlang

Abb. 4.13. Feldlinienverlauf im Meßwerk

dem Normalenvektor. Beim Eintritt in den Drehzylinder ist der Sachverhalt genau umgekehrt, womit sich der Feldlinienverlauf nach Abb. 4.13 ergibt. b) Der Magnetkreis des elektrodynamischen Meßwerkes wird in die drei Abschnitte Joch, Luftspalt und Drehzylinder unterteilt, woraus das Ersatzschaltbild nach Abb. 4.14 resultiert. Der magnetische Widerstand Rm1 des Joches

Abb. 4.14. Magnetisches Netzwerk des Meßwerkes

berechnet sich mit der mittleren L¨ ange l1 des Feldlinienweges

68

4 Analoges Messen

l1 = 2

a + (a − 2b) 2c − 2b c − 2(r1 + δ) + (c − 2(r1 + δ) − 2b) + + 2 2 2

= 25, 6 · 10−2 m

(4.106)

und der Querschnittsfl¨ ache des Joches A1 = bl = 4 · 10−4 m2 zu Rm1 =

A l1 . = 0, 849 · 105 µ0 µrFe A1 Vs

Mit der mittleren Querschnittsfl¨ ache AL des Luftspaltes   δ AL = 2ϕ r1 + l = 4, 334 · 10−4 m2 2

(4.107)

(4.108)

ergibt sich der magnetische Widerstand RmL im Luftspalt nach folgender Gleichung A 2δ . (4.109) RmL = = 73, 44 · 105 µ0 AL Vs Im Drehzylinder ist der mittlere magnetische Weg l2 durch Mittelung u ¨ber den Winkelbereich 2ϕ gegeben 90+ϕ 1 l2 = 2r1 sin αdα 2ϕ 90−ϕ =

r1 2r1 sin ϕ [cos(90 − ϕ) − cos(90 + ϕ)] = . ϕ ϕ

(4.110)

Damit hat der magnetische Widerstand Rm2 mit der Querschnittsfl¨ ache A2 A2 = 2lr1 sin ϕ

(4.111)

den Wert

A l2 1 = 0, 0673 · 105 . (4.112) = µ0 µrFe A2 µ0 µrFe lϕ Vs Man erkennt aus den berechneten Zahlenwerten, daß der gesamte magnetische Widerstand Rmges = Rm1 + RmL + Rm2 (4.113) Rm2 =

n¨ aherungsweise jenem des Luftspaltes entspricht. ahec) Die magnetische Flußdichte BL im Luftspalt berechnet sich daher n¨ rungsweise (der gesamte magnetische Widerstand wird durch jenen im Luftspalt ersetzt) zu BL = ≈

φ Θ = AL Rmges AL N1 i1 2δ µ0 AL AL

= µ0

N1 i1 . 2δ

(4.114)

4.5 Vielfachmeßger¨ ate

69

Mit Abb. 4.15 und Gl. (4.3) berechnet sich die Kraft F auf einen einzelnen, vom Strom i2 durchflossenen Leiter am Drehzylinder  L ) = i2 lBL (−ez × − F = i2 (l × B er ) = i2 lBL eϕ .

(4.115)

Abb. 4.15. Drehzylinder des Meßwerkes

 el (t) betr¨ Das gesamte elektrische Drehmoment M agt demnach  el (t) = 2N2 r1 × F = 2N2 r1 i2 lBL ( M er × eϕ )    ez

r1 l N1 N2 i1 i2 ez = k Iˆ1 Iˆ2 sin(ωt) sin(ωt − ϕ) ez . (4.116) = 2µ0    2δ 1 2 (cos ϕ−cos(2ωt−ϕ))

Aufgrund der Tr¨ agheit des Meßwerkes erfolgt eine zeitliche Mittelung, bei welcher der zeitabh¨ angige Term cos(2ωt − ϕ) Null wird. Mit dem von der Feder erzeugten Gegendrehmoment  mech = −αKmech ez M

(4.117)

und der Momentengleichung  mech = 0 Mel + M

(4.118)

ergibt sich der gesuchte Ausschlagwinkel α zu α = 2µ0

r1 l N1 N2 I1eff I2eff cos ϕ = 10, 88◦ . 2δKmech

(4.119)

4.5 Vielfachmeßger¨ ate Beispiel 4.3: Dimensionierung eines Vielfachmeßger¨ates Das Vielfachmeßger¨ at soll die in Abb. 4.16 angegebenen Meßbereiche aufweisen. Das zur Anzeige verwendete Drehspulinstrument hat einen Eingangswiderstand RM = 200 Ω und einen Strom bei Endausschlag von IMend = 0, 1 mA.

70

4 Analoges Messen

Abb. 4.16. Schaltung des Vielfachmeßger¨ ates

a) Berechnen Sie R1 bis R6 und RV nach Betrag und Leistung (Belastbarkeit). at im 10 mAb) Welche Eingangswiderst¨ ande (RE2 und RE3 ) hat das Meßger¨  dieses Meßger¨ ates? und 100 mA-Bereich? Wie groß ist RVber c) Welche genormte Genauigkeitsklasse hat dieses Meßger¨ at im 100 mABereich, wenn die unter Punkt a) berechneten Widerst¨ ande eine Toleranz von 0, 5 % besitzen? Musterlo ¨sung: a) Mit der Abk¨ urzung RPges = R1 + R2 + R3 folgt mit Gl. (4.27) f¨ ur den 1 mA-Bereich RM + RV 1 mA − IMend = = 9. (4.120) RPges IMend Unter Ber¨ ucksichtigung des sich im 1 mA- bzw. 100 mV-Bereich ergebenden Eingangswiderstandes 100 mV = 100 Ω (4.121) RE1 = 1 mA folgt aus (RM + RV )RPges = RE1 (4.122) RM + RV + RPges mit RM + RV = 9RPges (Gl. (4.120)) folgende Bestimmungsgleichung f¨ ur den Widerstand RV RV = 10RE1 − RM = 800 Ω . (4.123) Da durch RV maximal der Strom IMend fließt, muß er f¨ ur folgende Leistung ausgelegt werden 2 RV = 8 µW . (4.124) PRV = IMend Der Widerstand RPges folgt aus Gl. (4.120)

4.5 Vielfachmeßger¨ ate

RPges =

RM + RV = 111, 11 Ω . 9

71

(4.125)

Aus der f¨ ur den 10 mA-Bereich geltenden Gleichung RM + RV + R3 10 mA − IMend = = 99 RPges − R3 IMend

(4.126)

berechnet sich der Widerstand R3 zu R3 =

RM + RV 99RPges − RM − RV = = 100 Ω . 100 10

(4.127)

Der durch R3 fließende Strom wird im 1 mA-Bereich bei Endausschlag maxiotigte Verlustleistung mal und f¨ uhrt auf die, zur Dimensionierung von R3 ben¨ PR3 = (1 mA − IMend )2 R3 = 81 µW .

(4.128)

Zur Berechnung der beiden Widerst¨ ande R1 und R2 wird jetzt der 100 mABereich herangezogen. Aus RM + RV + RPges − R1 100 mA − IMend = = 999 R1 IMend

(4.129)

ergeben sich R1 und R2 entsprechend den bei der Dimensionierung von R3 ¨ angestellten Uberlegungen zu R1 = 1, 111 ΩPR1 = (100 mA − IMend )2 R1 = 11, 1 mW ,

(4.130)

R2 = RPges − R1 − R3 = 10 ΩPR2 = 0, 98 mW .

(4.131)

In den Spannungsmeßbereichen muß bei Endausschlag ein Eingangsstrom von IEU = 1 mA fließen (Abb. 4.16). Damit berechnen sich die Vorwiderst¨ ande und deren Verlustleistungen zu R4 =

1 V − 100 mV 2 = 900 ΩPR4 = IEU R4 = 0, 9 mW , IEU

(4.132)

R5 =

10 V − 1 V 2 = 9 kΩPR5 = IEU R5 = 9 mW , IEU

(4.133)

R6 =

100 V − 10 V 2 = 90 kΩPR6 = IEU R6 = 90 mW . IEU

(4.134)

b) Die Eingangswiderst¨ ande f¨ ur die Strombereichserweiterung folgen auf elementare Weise zu RE2 =

(RM + RV + R3 )(R1 + R2 ) = 11 Ω , RM + RV + RPges

(4.135)

RE3 =

(RM + RV + R3 + R2 )R1 = 1, 11 Ω . RM + RV + RPges

(4.136)

72

4 Analoges Messen

Mit Gl. (4.30) und dem f¨ ur den Endausschlag notwendigen Eingangsstrom IEU = 1 mA ergibt sich  RVber =

1 kΩ . =1 IEU V

(4.137)

c) Aus dem im 100 mA-Bereich durch das Meßwerk fließenden Strom IM IM = IE

R1 RM + RV + R1 + R2 + R3

(4.138)

folgt f¨ ur dIM der Zusammenhang  RM + RV + R2 + R3 R1 dIM = IE dR1 − dR2 2 (RM + RV + RPges ) (RM + RV + RPges )2 −

 R1 R1 dR − dR 3 V .(4.139) (RM + RV + RPges )2 (RM + RV + RPges )2

Der relative Fehler berechnet sich aus fIM = fIM = −

dIM IM

zu

RM + RV + R2 + R3 R2 fR1 − fR2 RM + RV + RPges RM + RV + RPges R3 RV fR3 − fRV . RM + RV + RPges RM + RV + RPges

(4.140)

Zur Bestimmung der Genauigkeitsklasse muß der schlechteste Fall herangezogen werden. Weil die Vorzeichen der relativen Fehler nicht bekannt sind, folgt daher der maximale relative Fehler des Meßwerkstromes aus der Summe ihrer Betr¨ age |fIM |max =

+

RM + RV + R2 + R3 R2 |fR1 |max + |fR2 |max RM + RV + RPges RM + RV + RPges R3 RV |fR3 |max + |fRV |max RM + RV + RPges RM + RV + RPges

= 0, 5 % + 0, 0045 % + 0, 045 % + 0, 36 % = 0, 91% .

(4.141)

Die n¨ achsth¨ ohere genormte Genauigkeitsklasse ist G = 1%.

(4.142)

Aufgabe 4.1: Stromvielfachmeßger¨at Abbildung 4.17 zeigt die Schaltung eines Strommeßger¨ ates mit drei Meßbereichen.

4.6 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung

73

Abb. 4.17. Schaltung des Stromvielfachmeßger¨ ates

a) Berechnen Sie die Widerstandswerte R1 , R2 und R3 f¨ ur RM = 100 Ω und IMend = 2 mA derart, daß das Strommeßger¨ at die in Abb. 4.17 angegebenen Meßbereiche hat. b) F¨ ur welche maximalen Verlustleistungen m¨ ussen R1 , R2 und R3 dimensioniert werden? c) Welche genormte Genauigkeitsklasse hat das Meßger¨ at im 1 A-Bereich, wenn die Widerst¨ ande R1 , R2 und R3 eine Toleranz von 1 % aufweisen? L¨ osung: a) R1 = 0, 25 Ω, R2 = 2, 25 Ω, R3 = 22, 5 Ω b) PR1 = 0, 25 W, PR2 = 0, 022 W, PR3 = 1, 4 mW c) G = 1, 5 % .

4.6 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung Beispiel 4.4: Messung einer Rechteckspannung Von der in Abb. 4.18 dargestellten Rechteckschwingung sollen u1 , u2 und ur diese Messung nur ein DrehspulTE /TA bestimmt werden. Es stehen f¨ spannungsmeßger¨ at und ein Dreheisenspannungsmeßger¨ at zur Verf¨ ugung. Das Drehspulspannungsmeßger¨ at besitzt einen Gleich- und einen Wechselspannungsmeßbereich. Der Wechselspannungsmeßbereich wird durch Vorschalten eines Spitzenwertgleichrichters (es wird der positive Spitzenwert gemessen) realisiert. Bei zeitlich sinusf¨ ormigem Verlauf wird der Effektivwert angezeigt. altnis v = TE /TA f¨ ur Berechnen Sie die Spannungen u1 , u2 sowie das Tastverh¨ folgende Meßwerte:

74

4 Analoges Messen

Abb. 4.18. Zeitlicher Verlauf der Rechteckspannung

Drehspulinstrument: Anzeige im Gleichspannungsbereich: UDS− = 3 V Anzeige im Wechselspannungsbereich: UDS∼ = 2, 828 V Dreheiseninstrument: Anzeige: UDE = 3, 606 V Musterlo ¨sung: Da beim √ Drehspulinstrument im Wechselspannungsbereich der Scheitelfaktor C = 2 (f¨ ur den Sinusverlauf) einkalibriert wurde, folgt f¨ ur u1 √ u1 = 2UDS∼ = 4 V . (4.143) Die Anzeige UDS− des Drehspulinstrumentes im Gleichspannungsbereich (arithmetischer Mittelwert der Eingangsspannung) UDS− =

1 1 1 (u1 TE + u2 TA ) = u1 + u2 T A TE + T A 1+ T 1 + TTE E

(4.144)

A

l¨ aßt sich mit Hilfe des Tastverh¨ altnisses v folgendermaßen angeben UDS− = u1

1 1+

1 v

+ u2

1 v 1 = u1 + u2 . 1+v 1+v 1+v

Damit berechnet sich das Tastverh¨ altnis v zu u2 − UDS− v= . UDS− − u1

(4.145)

(4.146)

Aus dem vom Dreheiseninstrument angezeigten Effektivwert   1 T 1 u(t)2 dt = (u2 TE + u22 TA ) UDE = T 0 TA + T E 1  =

u21

1 1 + u22 1 + TTAE 1 + TTAE

(4.147)

4.6 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung

75

ergibt sich unter Verwendung der oben eingef¨ uhrten Abk¨ urzung v 2 = u21 UDE

der Zusammenhang v=

1 1+

1 v

+ u22

1 . 1+v

2 u22 − UDE 2 − u2 . UDE 1

(4.148)

(4.149)

Durch Gleichsetzen von Gl. (4.146) und Gl. (4.149) erh¨ alt man 2 u2 − UDS− u2 − UDE = 22 UDS− − u1 UDE − u21 2 2 (u2 − UDS− )(UDE − u21 ) = (UDS− − u1 )(u22 − UDE ) 2 2 u2 UDE − UDS− UDE − u2 u21 + UDS− u21 = UDS− u22 − u1 u22 2 2 − UDS− UDE + u1 UDE

(4.150)

und damit letztlich folgende quadratische Gleichung 2 2 ) + u1 (UDE − u1 UDS− ) = 0 u22 (UDS− − u1 ) + u2 (u21 − UDE

u22 + u2

2 U 2 − u1 UDS− u21 − UDE + u1 DE = 0. UDS− − u1 UDS− − u1

(4.151)

Diese Gleichung besitzt die L¨ osungen u2,1 = 4 Vund

u2,2 = −1 V .

(4.152)

Das Einsetzen der L¨ osung u2,2 in Gl. (4.146) liefert schließlich das gesuchte Tastverh¨ altnis u2,2 − UDS− TE = = 4. (4.153) v= TA UDS− − u1 Die L¨ osung u2,1 ergibt hingegen ein negatives Tastverh¨ altnis und scheidet daher als nicht-physikalisch aus. Beispiel 4.5: Einweg- und Zweiweggleichrichtung a) Die in Abb. 4.19 gezeigte Spannung (mit u2 > u1 ) wird mit Hilfe eines Einweggleichrichters (Abb. 4.5) gleichgerichtet (f¨ ur negative Spannungen sperrt die Diode) und den folgenden Messungen unterzogen: – Die gleichgerichtete Spannung wird direkt an ein Drehspulmeßwerk sowie anschließend an ein Dreheisenmeßwerk gelegt. – Die gleichgerichtete Spannung wird an einen Kondensator mit sehr großer Kapazit¨ at gelegt, zu dem dann die beiden oben genannten Meßger¨ ate parallelgeschaltet werden.

76

4 Analoges Messen

Abb. 4.19. Zeitverlauf der periodischen Eingangsspannung

Berechnen Sie getrennt f¨ ur die beiden oben angegebenen F¨ alle, was die Meßger¨ ate anzeigen und f¨ ur welche Sperrspannung die Diode jeweils dimensioniert werden muß. b) Die in Abb. 4.19 gezeigte Spannung wird zweiweggleichgerichtet (Abb. 4.6) und es werden die gleichen Messungen wie unter a) durchgef¨ uhrt. Berechnen Sie getrennt f¨ ur die beiden oben angegebenen F¨ alle, was die Meßger¨ ate anzeigen und f¨ ur welche Sperrspannungen die einzelnen Dioden dimensioniert werden m¨ ussen. F¨ ur die Berechnungen sind die Dioden als ideal (d. h. uD = 0 V in Durchlaßrichtung) zu betrachten. Musterlo ¨sung: a) Im Falle der Einweggleichrichtung und ohne parallelgeschalteten Kondensator liegt die in Abb. 4.20 dargestellte Spannung an den Meßwerken. Vom

Abb. 4.20. Zeitverlauf der einweggleichgerichteten Eingangsspannung

Drehspulmeßwerk wird der zeitliche Mittelwert dieser Spannung gemessen T

UDS

1 = T

2 0

=

T − cos(ωt)  2 1 u1 sin(ωt) dt = u1  T ω 0

u1 u1 (1 + 1) = , 2π π

(4.154)

4.6 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung

77

w¨ ahrend das Dreheisenmeßwerk ihren Effektivwert     T T  2  2 1  1 1 − cos(2ωt) dt u21 sin2 (ωt) dt =  u21 UDE =  T T 2 0

0

    T 1 t sin(2ωt)  2 u1  2 u − =  = 2 T 1 2 4ω 0

(4.155)

anzeigt. Bei parallelgeschaltetem Kondensator wird dieser auf den positiven Spitaten auch angezeigt zenwert u1 aufgeladen, der schließlich von beiden Meßger¨ wird (4.156) UDS = UDE = u1 . Die Sperrspannung der Diode ergibt sich unter Beachtung von Abb. 4.5 ohne Parallel-Kondensator zu (4.157) UDSS = u2 und f¨ ur den zweiten Fall (Kondensator auf u1 aufgeladen) zu UDSS = u1 + u2 .

(4.158)

b) Bei vorgeschaltetem Graetz-Gleichrichter und ohne Parallel-Kondensator wird die in Abb. 4.21 dargestellte Spannung an die Meßwerke gelegt.

Abb. 4.21. Zeitverlauf der zweiweggleichgerichteten Eingangsspannung

Da die zeitliche Mittelwertbildung eine lineare Operation ist, zeigt das Drehspulmeßwerk die Summe der zeitlichen Mittelwerte der positiven und der mit Hilfe des Graetz-Gleichrichters nach oben geklappten negativen Halbwelle an UDS = usinus + usaege .

(4.159)

Mit dem zeitlichen Mittelwert der nach oben geklappten negativen Halbwelle usaege =

u2 1 u2 = 2 2 4

(4.160)

78

4 Analoges Messen

und Gl. (4.154) folgt f¨ ur den Gesamtmittelwert UDS =

u2 u1 + . π 4

(4.161)

Die Anzeige des Dreheisenmeßwerkes  ⎛ ⎞  T  2 T  1 ⎜ ⎟ 2 2 UDE =   T ⎝ usinus (t) dt + usaege (t) dt⎠ T 2

0

   2 T  u1 1  u2saege (t) dt = + 4 T

(4.162)

T 2

ergibt sich unter Verwendung des Effektivwerts der negativen Halbwelle 2

2

T

2 Usaege,eff

1 = T

0

=

u2 T 2

t

T 1 2 4 t3  2 dt = u2 2  T T 3 0

u22 4 2 T3 = u 2 T3 24 6

(4.163)



zu

u21 u2 + 2. (4.164) 4 6 Bei parallelgeschaltetem Kondensator zeigen beide Meßger¨ ate den negativen Spitzenwert (4.165) UDS = UDE = u2 UDE =

an, da der Kondensator gem¨ aß Abb. 4.6 u ¨ber D2 und D3 auf u2 > u1 aufgeladen wird. Die Sperrspannungen der Dioden (werden mit UDiSS bezeichnet) ergeben sich ohne Parallel-Kondensator mit Abb. 4.6 durch Auswertung der aus D1 , D3 und RM sowie der aus D2 , D4 und RM gebildeten Maschen zu UD1SS = UD4SS = u2 und

UD2SS = UD3SS = u1 .

(4.166)

Mit parallelgeschaltetem Kondensator betragen die Sperrspannungen von D1 und D4 UD1SS = UD4SS = u2 . (4.167) Da die Dioden D1 und D4 niemals leiten (u2 > u1 ), treten die maximalen Sperrspannungen f¨ ur D2 und D3 bei uE = u1 auf. Sie ergeben sich aus u1 − UD2SS + uC − UD3SS = 0

(4.168)

4.6 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung

79

mit uC = u2 und der Annahme, daß sich die Sperrspannung u1 + u2 gleichm¨ aßig auf D2 und D3 aufteilt, zu UD2SS = UD3SS =

u1 + u 2 . 2

(4.169)

Beispiel 4.6: Spitzenwertmessung mit einem Drehspulmeßwerk Die in Abb. 4.22 gezeigte Schaltung wird zur Spitzenwertmessung von sinusf¨ ormigen Eingangsspannungen verwendet.

Abb. 4.22. Schaltung zur Spitzenwertmessung

Welcher relative Meßfehler tritt auf, wenn eine sinusf¨ ormige Eingangsspannung mit einer Frequenz von fS = 10 Hz angelegt wird, die Diode D ideal ist at von (d. h. uD = 0 V in Durchlaßrichtung), der Kondensator C eine Kapazit¨ 1 µF hat und das Drehspulmeßwerk einen Innenwiderstand von RM = 100 kΩ aufweist? Musterlo ¨sung: Mit dem in Abb. 4.23 dargestellten Spannungsverlauf am Kondensator und

Abb. 4.23. Zeitlicher Verlauf der Kondensatorspannung

unter der Annahme, daß die Entladung des Kondensators zum Zeitpunkt ˆ aus erfolgt (d. h. keine Ber¨ t = 0 s vom Spitzenwert U ucksichtigung des tats¨ achlichen Entladebeginns zum Zeitpunkt t1 ), berechnet sich der Entladevorgang des Kondensators gem¨ aß

80

4 Analoges Messen t

ˆ e− RM C f¨ uC (t) = U ur0 ≤ t ≤ t .

(4.170)

Die Zeit t ergibt sich aus der im Bereich 3T /4 ≤ t ≤ T liegenden Nullstelle der transzendenten Gleichung t

ˆ e− RM C − U ˆ cos ωt , f (t) = U

(4.171)

die mit Hilfe des Newton-Verfahrens [9] bestimmt wird. Das Einsetzen von   t ˆ e− RM C − cos ωt und f (t) = U (4.172) ˆ f  (t) = U

 −

1 RM C

e

−



t RM C

+ ω sin ωt

(4.173)

in die Newton-Formel f¨ uhrt zu folgender, der Berechnung der Zeit t dienenden, Iterationsformel tn+1 = tn −

e

−

tn RM C

− RM1 C e

−

− cos ωtn

tn RM C

.

(4.174)

+ ω sin ωtn

Mit dem Startwert t0 = 3T /4 = 0, 075 s ergibt sich nach zwei Iterationsschritten ein Wert von (4.175) t2 = 0, 0822 s . Mit dem vom Drehspulinstrument angezeigten Mittelwert der Eingangsspannung

UDS

⎞ ⎛ t T 1 ⎝ ˆ − RtC ˆ cos ωt dt⎠ U e M dt + U = T t

0

ˆ U = T

− RM C e

−

t RM C

T  t sin ωt    + ω t 0

  ˆ  U sin ωt − Rt C M = )− RM C(1 − e T ω ˆ = 0, 704U

(4.176)

berechnet sich der resultierende relative Meßfehler zu f=

ˆ ˆ −U ˆ 0, 704U UDS − U = = −29, 6 % . ˆ ˆ U U

(4.177)

4.6 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung

81

Beispiel 4.7: Meßfehler eines Meßger¨ates, das den Effektivwert auf der Basis des Formfaktors einer Sinusgr¨oße anzeigt Wie groß ist der relative Meßfehler, wenn der Effektivwert der in Abb. 4.24 dargestellten Spannung mit einem Drehspulinstrument gemessen wird, das einen Gleichrichter in Br¨ uckenschaltung enth¨ alt und f¨ ur sinusf¨ ormige Meßspannungen den Effektivwert anzeigt?

Abb. 4.24. Zeitlicher Verlauf der Meßspannung

Musterlo ¨sung: Die Anzeige des Meßger¨ ates berechnet sich mit 1 |u| = T

T

T

4 |u(t)| dt = T

0

=

4 ˆ U 0

T 4

t dt

ˆ ˆ T2 U 42 U = 2 2 T 2 4 2

(4.178)

und dem Formfaktor FS f¨ ur sinusf¨ ormige Gr¨ oßen (Gl. (4.44)) FS =

Ueff

π = √ 2 2 |u|

(4.179)

zu

π ˆ . (4.180) UDS = FS |u| = √ U 4 2 Der relative Meßfehler ergibt sich mit dem Effektivwert der Meßspannung    T   4 ˆ 2  T 4 1 U dt Ueff =  u(t)2 dt =  t T T T 4 0

0

 =

ˆ ˆ2 T3 U 43 U =√ 3 3 T 3 4 3

(4.181)

82

4 Analoges Messen

und dem angezeigten Wert UDS zu f=

√ UDS − Ueff π 3 = √ − 1 = −3, 8 % . Ueff 4 2

(4.182)

Beispiel 4.8: Effektivwertmeßger¨at f¨ ur verschiedene Kurvenformen des Eingangsspannungszeitverlaufes Es soll ein Spannungsmeßger¨ at (Abb. 4.25) aufgebaut werden, das zur Messung der Effektivwerte von Gleich-, Sinus- und Dreieckspannungen geeignet ist. Der Meßbereichsendwert soll f¨ ur alle Spannungsformen 10 V betragen. Das Drehspulinstrument hat einen Innenwiderstand RM = 2 kΩ und einen Strom uhren Sie die Berechnungen unter der bei Endausschlag von IMend = 2 mA. F¨ Annahme durch, daß die Diode D ideal (d. h. uD = 0 V in Durchlaßrichtung) und die Kapazit¨ at des Kondensators C hinreichend groß ist.

Abb. 4.25. Schaltung des Spannungsmeßger¨ ates

a) Dimensionieren Sie die Widerst¨ ande RG (Gleichspannungsmessung), RS (Sinus) und RD (Dreieck (Abb. 4.24)) nach Betrag und Leistung. b) Wie groß ist der Meßfehler, wenn Sie im Gleichspannungsbereich eine symmetrische Rechteckspannung (entspricht dem in Abb. 4.18 gezeigten Spannungsverlauf f¨ ur |u1 | = |u2 | und v = 1) messen? c) F¨ ur welche maximale Sperrspannung muß die Diode D dimensioniert werden? d) Welche maximalen Toleranzen d¨ urfen die Widerst¨ ande RG , RS und RD aufweisen, wenn das Drehspulinstrument eine Klassengenauigkeit von at in allen Bereichen eine GDS = 0, 5 % hat und dieses Effektivwertmeßger¨ Klassengenauigkeit von 1 % aufweisen soll? e) Sie messen im Gleichspannungsbereich eine Gleichspannung und diese wird richtig angezeigt. Nun messen Sie im selben Bereich eine Rechteckspan-

4.6 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung

83

nung und es wird Null angezeigt. Welches Bauelement ihres Meßger¨ ates ist defekt und welchen Defekt hat es? Musterlo ¨sung: ¨ a) Die einzelnen Vorwiderst¨ande ergeben sich aus der Uberlegung, daß an der Serienschaltung von Drehspulmeßwerk und Vorwiderstand entsprechend den verschiedenen Kurvenformen bei Endausschlag die Spannung UCmax = CUE Uber

(4.183)

anliegt, wobei CUE den Scheitelfaktor der jeweils anliegenden Eingangsspanonnen nung und Uber = 10 V den Meßbereichsendwert bezeichnen. Daraus k¨ jetzt unter Beachtung der verschiedenen Scheitelfaktoren die Vorwiderst¨ ande berechnet werden. Bei einer Gleichspannung ergibt sich aus ˆGmax = Uber = IMend (RG + RM ) U

(4.184)

der Vorwiderstand RG zu RG =

Uber − RM = 3 kΩ . IMend

(4.185)

Die maximale Verlustleistung an RG tritt bei Endausschlag auf und berechnet sich zu 2 RG = 12 mW . (4.186) PRG = IMend √ Da der Scheitelfaktor einer Sinusspannung CS = 2 betr¨ agt, ergibt sich mit √ ˆSmax = 2Uber der Vorwiderstand RS nach Betrag und Leistung zu U √ 2Uber 2 − RM = 5, 07 kΩPRS = IMend RS = 20, 3 mW . (4.187) RS = IMend √ ˆD / 3 (Gl. (4.181)) Mit dem Effektivwert einer Dreieckspannung UDeff =√ U und dem daraus resultierenden Scheitelfaktor CD = 3 berechnen sich mit √ ˆDmax = 3Uber der Widerstand RD und die dazugeh¨ U orige Verlustleistung PRD zu √ 3Uber 2 RD = − RM = 6, 66 kΩPRD = IMend RD = 26, 6 mW . (4.188) IMend b) Da sich der Effektivwert UReff einer symmetrischen Rechteckspannung entsprechend Gl. (4.147) errechnet, folgt UReff = u1 ,

(4.189)

wobei u1 den Spitzenwert der Rechteckspannung bezeichnet. Dies bedeutet, daß der Effektivwert in diesem Fall richtig angezeigt wird.

84

4 Analoges Messen

c) Da die Dreieckspannung den gr¨ oßten Scheitelfaktor aufweist, tritt die maximale Sperrspannung an der Diode bei Anlegen der maximalen DreieckspanˆDmax aufgeladenen Kondensators nung auf. Sie betr¨ agt aufgrund des auf U ˆDmax = 34, 64 V . UDSS = 2U

(4.190)

d) Die Anzeige (bzw. der Ausschlag α) des Drehspulinstrumentes l¨ aßt sich mit der Stromempfindlichkeit Si [6] durch α = Si IM = Si

uC RV + RM

(4.191)

beschreiben. Die Genauigkeitsklasse des gesamten Meßger¨ ates (Meßwerk und Vorwiderstand RV ) berechnet sich daher aus dem totalen Differential dα = zu

uC uC dSi − Si dRV RV + RM (RV + RM )2

   dα    G = 1% =  αend 

max

   dSi  RV   = + Si max RV + RM   

   dRV     RV 

(4.192)

.

(4.193)

max

GDS

Aus Gl. (4.193) l¨ aßt sich der maximal erlaubte relative Fehler |fRV |max des Vorwiderstandes ableiten |fRV |max =

RV + RM (G − GDS ) . RV

(4.194)

Durch Einsetzen der einzelnen Vorwiderst¨ ande ergeben sich folgende Widerstandstoleranzen   RM |fRG |max = 1 + 0, 005 = 0, 83 % (4.195) RG  |fRS |max =  |fRD |max =

RM 1+ RS RM 1+ RD

 0, 005 = 0, 70 %

(4.196)

0, 005 = 0, 65 % .

(4.197)



e) Die beschriebenen Ph¨ anomene treten auf, wenn die Diode einen Kurzschluß hat. Aufgabe 4.2: Meßwerke mit Gleichrichter ˆ a) Von der in Abb. 4.26 gezeigten Spannung u(t) (u(t) ≥ 0 V) sollen u und U unter Verwendung eines Drehspulmeßwerkes und eines Dreheisenmeßwerkes bestimmt werden. Die Meßger¨ ate liefern folgende Anzeigen:

4.6 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung

85

Abb. 4.26. Zeitlicher Verlauf der Meßspannung

Drehspulmeßwerk: Dreheisenmeßwerk:

UDS = 3 V UDE = 3, 215 V

ˆ. Berechnen Sie u und U ˆ b) K¨ onnen u und U auch dann bestimmt werden, wenn anstatt des Dreheisenmeßwerkes ein Drehspulmeßwerk mit vorgeschaltetem Br¨ uckengleichrichter verwendet wird? L¨ osung: ˆ = 2, 002 V a) u = 3 V, U ˆ kann nicht bestimmt werden. b) u kann ermittelt werden; U Aufgabe 4.3: Klirrfaktorbestimmung mit Standardmeßger¨at Die in Abb. 4.27 gezeigte Spannung (K = 106 V/s2 ) wird an ein Drehspulinstrument mit Br¨ uckengleichrichter gelegt, das f¨ ur Spannungen mit sinusf¨ ormiˆ , den Effektivwert gen Zeitverlauf deren Effektivwert anzeigt. Berechnen Sie U und den Klirrfaktor der in Abb. 4.27 angegebenen Spannung, wenn das Meßger¨ at 3 V anzeigt. Lo ¨sung: ˆ = 8, 103 V, Ueff = 3, 624 V, k = 34, 4 % . U Aufgabe 4.4: Oberwellenbestimmung mit Standardmeßger¨aten Der durch eine Induktivit¨ at mit Eisenkern fließende Strom kann f¨ ur sinusf¨ ormige Betriebsspannungen in erster N¨ aherung durch i(t) = Iˆ1 sin(ωt) − Iˆ3 sin(3ωt)miti(t) ≥ 0 beschrieben werden.

f¨ ur

0≤t≤

π ω

(4.198)

86

4 Analoges Messen

Abb. 4.27. Zeitlicher Verlauf der Meßspannung

a) Es sollen Iˆ1 und Iˆ3 ermittelt werden. F¨ ur diese Messung stehen ein Drehspulmeßwerk mit Br¨ uckengleichrichter, das f¨ ur sinusf¨ ormige Eingangsstr¨ ome den Effektivwert anzeigt und ein Dreheisenmeßwerk zur Verf¨ ugung. Die Meßger¨ ate liefern folgende Anzeigen: Drehspulmeßwerk: Dreheisenmeßwerk:

IDS = 1, 886 A IDE = 2, 236 A

b) Welchen Klirrfaktor weist der oben angegebene Strom auf? L¨ osung: a) Iˆ1 = 3 A, Iˆ3 = 1 A b) k = 31, 62 % .

5 Operationsverst¨ arker

¨ 5.1 Der Uberlagerungssatz ¨ Der grundlegende Satz der linearen Netzwerktheorie ist der Uberlagerungssatz (Superpositionsprinzip). Dieser Satz beruht auf dem allgemeinen physikalischen Prinzip, daß sich in einem linearen System die Gesamtwirkung aus ¨ der Uberlagerung aller Einzelwirkungen ergibt. F¨ ur die lineare Elektrische Netzwerktheorie bedeutet dies, daß man die Ausgangsspannung eines Netzwerkes erh¨ alt, indem man die Teilausgangsspannungen f¨ ur jede im Netzwerk enthaltene Quelle (Spannungsquelle oder Stromquelle) einzeln berechnet und anschließend diese Teilausgangsspannungen zur Gesamtausgangsspannung addiert. Dabei sind folgende Regeln zu beachten: • Alle Spannungsquellen, außer der gerade betrachteten, sind durch einen Kurzschluß zu ersetzen. • Alle Stromquellen, außer der gerade betrachteten, sind aufzutrennen. Besteht beispielsweise die Aufgabe darin, die Ausgangsspannung UA der in Abb. 5.1 dargestellten Operationsverst¨ arkerschaltung mit den beiden Eingangsspannungen UE1 und UE2 zu berechnen, so kann dies auf der Grundlage ¨ des Uberlagerungssatzes in zwei Teilschritten erfolgen. Schließt man zun¨ achst ¨ die Eingangsspannung UE2 entsprechend den obigen Rechenregeln des Uberlagerungssatzes kurz, so ergibt sich die in Abb. 5.2a gezeigte Schaltung zur Berechnung der Teilausgangsspannung UA1 , die aufgrund der Eingangsspannung UE1 entsteht. Die Schaltung nach Abb. 5.2b dient der Ermittlung der Ausgangsspannung UA2 als Funktion der Eingangsspannung UE2 . Die gesamte Ausgangsspannung UA berechnet sich schließlich durch Superposition der Teilausgangsspannungen (5.1) UA = UA1 + UA2 .

88

5 Operationsverst¨ arker

Abb. 5.1. Operationsverst¨ arkerschaltung mit zwei Eingangsspannungen UE1 und UE2 .

Abb. 5.2. a) Schaltung zur Berechnung der Teilausgangsspannung UA1 als Funktion der Eingangsspannung UE1 b) Schaltung zur Berechnung der Teilausgangsspannung UA2 als Funktion der Eingangsspannung UE2

5.2 Grundlagen der Operationsverst¨ arker Operationsverst¨ arker spielen in der Elektrischen Meßtechnik eine bedeutende Rolle. Eine ihrer Hauptaufgaben besteht darin, eine zu messende Spannung bzw. einen zu messenden Strom an den Meßbereich des verwendeten Meßger¨ ates anzupassen, was oft eine entsprechende Verst¨ arkung erforderlich macht. Im folgenden werden die f¨ ur die Berechnung eines realen Operationsverst¨ arkers wichtigsten Kenngr¨ oßen anhand seines Kleinsignal-Ersatzschaltbildes (Abb.5.3) erl¨ autert. • Leerlaufspannungsverst¨ arkung (open loop voltage gain) V0 Es handelt sich hierbei um die Differenzverst¨ arkung der offenen Schleife, d. h. des nicht-r¨ uckgekoppelten, unbeschalteten Operationsverst¨ arkers. V0 =

∂uA ∂uD

(5.2)

5.2 Grundlagen der Operationsverst¨ arker

89

Abb. 5.3. Kleinsignal-Ersatzschaltbild eines realen Operationsverst¨ arkers

- ideal: V0 → ∞ - real: 104 ≤ V0 ≤ 107 • Leerlaufspannungsverst¨ arkungsmaß V0 [dB] = 20 lg V0 = 20 lg



∂uA ∂uD

 (5.3)

- ideal: V0 → ∞ - real: 80 dB ≤ V0 ≤ 140 dB • Gleichtaktspannung (common mode voltage) ugl ugl =

uP + u N 2

(5.4)

• Gleichtakt-Spannungsverst¨ arkung (common mode voltage gain) Vgl ∂uA Vgl = (5.5) ∂ugl - ideal: Vgl = 0 - real: Vgl ≈ 1 • Gleichtaktunterdru ¨ ckung (common mode rejection ratio) CMRR   V0 CMRR [dB] = 20 lg (5.6) Vgl - ideal: CMRR → ∞ - real: CMRR ≈ 100 dB

90

5 Operationsverst¨ arker

• Gleichtakteingangswiderstand (common mode input resistance) rgl ∂ugl rgl = 1 (5.7) 2 ∂(iP + iN ) - ideal: rgl = ∞ - real: rgl = 1 GΩ . . . 100 TΩ • Differenzeingangswiderstand (differential input resistance) rE Da im allgemeinen der Gleichtaktwiderstand rgl groß ist gegen¨ uber dem Differenzeingangswiderstand rE (rgl rE ), gilt folgende Definitionsgleichung f¨ ur den Differenzeingangswiderstand rE =

∂uD − iN )

1 2 ∂(iP

(5.8)

- ideal: rE = ∞ - real: rE = 1 MΩ . . . 1 TΩ • Ausgangswiderstand (output resistance) rA  ∂uA  rA = − ∂iA uD =const.

(5.9)

- ideal: rA = 0 - real: rA = 2 Ω . . . 100 Ω • Eingangsfehlspannung (input offset voltage), Offsetspannung UD0 Durch nicht-identische Eingangstransistoren des bei Operationsverst¨ arkern stets vorhandenen Differenzeingangsverst¨ arkers [11] wird auch f¨ ur uN = arker eine Ausgangsspannung uA = 0 uP = 0 beim realen Operationsverst¨ erzeugt. Jene Spannungsdifferenz UD0 , welche am Eingang angelegt werden muß, um die Ausgangspannung auf Null abzugleichen, wird als Eingangsfehlspannung oder als Eingangs-Offsetspannung UD0 bezeichnet. Sie erscheint im Schaltbild des realen Operationsverst¨ arkers als Spannungsquelle am Eingang (Abb. 5.3). - ideal: UD0 = 0 - real: UD0 = 0, 5 µV . . . 5 mV • Gesamtausgangsspannung (output voltage) uA ¨ Die Gesamtausgangsspannung uA ergibt sich als Uberlagerung aus der verst¨ arkten Leerlauf-Differenzeingangsspannung uD , die um die Offsetspanarkung multinung UD0 vermindert wird, und der mit der Gleichtaktverst¨ plizierten Gleichtaktspannung

5.2 Grundlagen der Operationsverst¨ arker

uD = uP − uN uA = V0 uD + Vgl ugl = V0 (uD − UD0 ) + Vgl ugl = V0 (uP − uN − UD0 ) + Vgl ugl

91

(5.10) (5.11) (5.12)

• Versorgungsspannungsunterdru ¨ ckung (power supply rejection ratio) PSRR Die Versorgungsspannungsunterdr¨ uckung ist ein Maß daf¨ ur, welchen Einfluß eine Spannungsschwankung der Versorgung auf die Ausgangsspannung hat   ∂uA (5.13) PSRR [dB] = −20 lg ∂uB - ideal: PSRR → ∞ - real: PSRR ≈ 100 dB • Grenzfrequenz (cutoff frequency), Bandbreite (bandwidth) arkung geDie 3 dB-Grenzfrequenz fg ist jene Frequenz, bei der die Verst¨ gen¨ uber ihrem Gleichspannungswert um 3 dB (entspricht einem Faktor √ von 1/ 2) gesunken ist. Diese obere Grenzfrequenz, die im allgemeinen der Bandbreite des Verst¨ arkers entspricht, ist von der a ¨ußeren Beschaltung des Operationsverst¨ arkers abh¨ angig. • Anstiegsgeschwindigkeit (slew rate) SR Die Anstiegsgeschwindigkeit (Einheit V/µs) entspricht der zeitlichen Ableitung der Ausgangsspannung im Großsignalbetrieb bei Anlegen eines Spannungssprunges am Eingang   ∂uA (5.14) SR = ∂t max - ideal: SR → ∞ V V . . . 3000 µs - real: SR = 0, 5 µs • Eingangsruhestrom (input bias current) IB Die Eingangstransistoren eines Operationsverst¨ arkers weisen grunds¨ atzlich Basis- bzw. Gatestr¨ ome auf. Selbst bei Operationsverst¨ arkerschaltungen mit einer sog. inneren Bias-Stromversorgung sind die Str¨ ome IN und IP noch ungleich Null und m¨ ussen durch die ¨ außere Beschaltung aufgebracht werden. Trotz des m¨ oglichst symmetrischen Aufbaus der meisten Diffeattern sind renzeingangsstufen ist dar¨ uber hinaus IN = IP . In Datenbl¨ stets die Mittelwerte von IN und IP sowie der Betrag ihrer Abweichungen voneinander angegeben. F¨ ur den mittleren Eingangsruhestrom (Biasstrom, Input Bias Current) IB gilt dabei folgende Definition

92

5 Operationsverst¨ arker

IB =

IN0 + IP0 2

(5.15)

- ideal: IB = 0 allen bis 25 µA). - real: IB = 50 fA(FET) . . . 1 µA (bipolar, in Sonderf¨ • Eingangsfehlstrom (input offset current), Offsetstrom ID0 Der Offsetstrom ID0 eines Operationsverst¨ arkers entspricht der Differenz der Eingangsruhestr¨ ome IN0 und IP0 ID0 = IN0 − IP0 .

(5.16)

- ideal: ID0 = 0 - real: ID0 = 20 fA ... 20 nA • Offsetspannungsdrift (offset voltage drift) Die Offsetspannungsdrift beschreibt die Abh¨ angigkeit der Offsetspannung UD0 von der Temperatur ϑ ∂UD0 (5.17) ∂ϑ - ideal: 0 - real: 0, 01 µV/◦ C . . . 15 µV/◦ C • Eingangsstromdrift Die Eingangsstromdrift beschreibt die Abh¨ angigkeit des Eingangsstromes von der Temperatur ϑ  ∂(iP , iN )  (5.18) ∂ϑ uN =const.,uP =const. - ideal: 0 - real: 10 fA/◦ C . . . 1 µA/◦ C • Verst¨ arkungs-Bandbreite-Produkt (gain bandwidth product) V fg Wichtiger noch als der reine Verst¨arkungsfaktor ist das sogenannte Verst¨arkungs-Bandbreite-Produkt fg0 V0 , welches bei Universaltypen bei etwa fg0 V0 = 106 Hz liegt und bei auf hohe Bandbreite ausgerichteten Operationsverst¨ arkern bis zu 1010 Hz reicht. Durch eine Gegenkopplungsschaltung wird der effektive Verst¨arkungsfaktor V und die effektive Grenzfrequenz fg der Meßschaltung eingestellt. Das Produkt aus Verst¨ arkungsfaktor V und ur Grenzfrequenzen oberhalb von Bandbreite bzw. Grenzfrequenz fg ist f¨ arkertyp stets ein fg0 (fg > fg0 ) bei einem bestimmten Operationsverst¨ konstanter Wert (Abb. 5.4) V fg = V0 fg0 .

(5.19)

5.2 Grundlagen der Operationsverst¨ arker

93

Abb. 5.4. Zusammenhang zwischen Grenzfrequenz und Verst¨ arkungsfaktor eines Operationsverst¨ arkers (Konstanz des Verst¨ arkungs-Bandbreite-Produktes V fg )

• Transitfrequenz (unity gain bandwidth) fT Die Transitfrequenz fT ist jene Frequenz, bei der die Leerlaufspannungsverst¨ arkung auf 0 dB abgesunken ist. Anhand der invertierenden und der nicht-invertierenden Operationsverst¨ arkerschaltung wird im folgenden die Vorgehensweise bei der Berechnung von Operationsverst¨ arkerschaltungen beschrieben. Es soll zun¨ achst von einem idealen Operationsverst¨ arker mit Differenzeingangsspannung uD = 0 und verschwindenden Eingangsstr¨ omen (iP = iN = 0) ausgegangen werden. Damit liegt (po-

Abb. 5.5. Invertierende Operationsverst¨ arkerschaltung

tentialm¨ aßig) der invertierende Eingang des Operationsverst¨ arkers auf Massepotential. Man bezeichnet dies als virtuelle Masse. Damit berechnet sich der Strom i1 zu uE . (5.20) i1 = R1 Da die beiden Eingangsstr¨ome iN und iP bei einem idealen Operationsverst¨ arker gleich Null sind, fließt der Strom i1 auch durch den Widerstand R2 i1 + i2 = 0 i2 = −i1 .

(5.21) (5.22)

Weiterhin liegt mit uD = 0 am Widerstand R2 die Ausgangsspannung uA

94

5 Operationsverst¨ arker

uA = R2 i2 = −

R2 uE . R1

(5.23)

Aus den Gln. (5.20), (5.22) und (5.23) ergibt sich uA = − bzw.

R2 uE R1

(5.24)

uA R2 = − uE . uE R1

(5.25)

F¨ ur die nicht-invertierende Operationsverst¨ arkerschaltung nach Abb. 5.6 folgt

Abb. 5.6. Nicht-invertierende Operationsverst¨ arkerschaltung

mit uD = 0, daß der Knoten 1 auf gleichem Potential liegt wie der nichtinvertierende Eingang, d. h. die Spannung am Widerstand R2 entspricht der Eingangsspannung uE . Damit berechnet sich der Strom i2 nach i2 =

uE . R2

(5.26)

Da bei einem idealen Operationsverst¨ arker der Eingangsstrom iN gleich Null ist, fließt der Strom i2 auch durch den Widerstand R1 . Aufgrund dieser Tatsache und Gl. (5.26) erh¨ alt man uA = (R1 + R2 )i2 = (R1 + R2 ) uA R1 = 1+ . uE R2

uE R2

(5.27) (5.28) (5.29)

Bei einem nicht-idealen Operationsverst¨ arker jedoch fließt ein konstanter Eingangsstrom iN , so daß die f¨ ur den unbelasteten Teiler geltende Spannungsteilerregel nicht mehr angewendet werden darf. Daf¨ ur l¨ aßt sich f¨ ur den Knoten 1 die folgende Gleichung (Knotenregel) angeben

5.3 Schaltungen mit idealen Operationsverst¨ arkern

i1 − iN − i2 = 0 .

95

(5.30)

Nimmt man weiterhin eine endliche Verst¨ arkung V0 an, darf die Differenzeingangsspannung uD nicht mehr Null gesetzt werden. Damit liegt am Wideranger die Eingangsspannung uE an, sondern die Spannungsstand R2 nicht l¨ ur diese Berechnung der Zusammenhang differenz uE − uD . Weiterhin ist f¨ uA = V0 uD zu verwenden.

5.3 Schaltungen mit idealen Operationsverst¨ arkern Beispiel 5.1: Subtrahierender Verst¨arker Abbildung 5.7 zeigt die Grundschaltung eines subtrahierenden Verst¨ arkers. Geben Sie die Dimensionierungsvorschriften f¨ ur R1 bis R6 an, damit nachfol-

Abb. 5.7. Subtrahierender Verst¨ arker

gende Gleichung erf¨ ullt wird uA = V (u3 + u4 − u1 − u2 ) .

(5.31)

Welcher Term ergibt sich dann f¨ ur die Verst¨ arkung V ? Musterlo ¨sung: Dieses Beispiel l¨ aßt sich effizient l¨ osen, wenn man zun¨ achst f¨ ur die beiden Stromknoten 1 und 2 aus Abb. 5.7 die Knotenregel anwendet Knoten 1:

u2 − u N uN − u A u1 − u N + = R1 R2 R3

(5.32)

Knoten 2:

u3 − u P u4 − u P uP + = . R4 R5 R6

(5.33)

Dabei bezeichnen uN und uP die gegen Masse gemessenen Spannungen am invertierenden bzw. nicht-invertierenden Eingang (Abb. 5.7). Weiterhin gilt f¨ ur einen idealen Operationsverst¨ arker, daß die Differenzeingangsspannung ussen. uD Null ist, woraufhin die beiden Spannungen uN und uP gleich sein m¨

96

5 Operationsverst¨ arker

Durch Umformung erh¨ alt man aus den beiden Gln. (5.32) und (5.33) jeweils eine Darstellung f¨ ur die Spannung uP   1 1 1 u2 uA u1 uP + + + + (5.34) = R1 R2 R3 R1 R2 R3 bzw.

 uP

1 1 1 + + R4 R5 R6

 =

u4 u3 + . R4 R5

Das Gleichsetzen dieser beiden Gleichungen f¨ uhrt zu  1  1 1 u4 R1 + R2 + R3 u1 u2 uA u3 + = + + . 1 1 R4 R5 R4 + R5 + R16 R1 R2 R3

(5.35)

(5.36)

L¨ ost man Gl. (5.36) nach der Ausgangsspannung uA auf, so ergibt sich folgender Zusammenhang     1 1 1 u3 u2 u4 R1 + R2 + R3 u1 − + . (5.37) uA = R 3 − + R3 R1 R2 R4 R5 R14 + R15 + R16 Da zur Erf¨ ullung von Gl. (5.31) notwendigerweise R1 = R2 und R4 = R5 gelten muß, vereinfacht sich Gl. (5.37) zu

 1 2 R3 R1 R1 + R3 uA = −u1 − u2 + (u3 + u4 ) . (5.38) R1 R4 R24 + R16 Um nun eine einheitliche Verst¨ arkung V zu gew¨ ahrleisten, muß die Bedingung R1 R4

2 R1 2 R4

+ +

1 R3 1 R6

=

2+ 2+

R1 R3 R4 R6

=1

(5.39)

erf¨ ullt werden. Daraus erh¨ alt man die Bestimmungsgleichung f¨ ur die restlichen Widerst¨ ande R4 R1 = . (5.40) R3 R6 Wird die Bedingung gem¨ aß Gl. (5.40) erf¨ ullt, kann Gl. (5.38) schließlich, entsprechend der Forderung nach einer gemeinsamen Verst¨ arkung V , in folgender Form angegeben werden uA =

R3 (−u1 − u2 + u3 + u4 ) = V (−u1 − u2 + u3 + u4 ) . R1

(5.41)

Daraus folgt der gesuchte Verst¨ arkungsfaktor V V =

R3 . R1

(5.42)

5.3 Schaltungen mit idealen Operationsverst¨ arkern

97

Beispiel 5.2: Analyse einer Operationsverst¨arkerschaltung Analysieren Sie die Schaltung nach Abb. 5.8 unter der Annahme, daß Sie nur ideale Bauelemente enth¨ alt. Durch welchen passiven Zweipol kann diese Schaltung in bezug auf ihre beiden Eingangsklemmen ersetzt werden, und wie groß ist der Impedanzwert dieses Zweipols als Funktion von C, R1 und R2 ?

Abb. 5.8. Zu analysierende Operationsverst¨ arkerschaltung

Musterlo ¨sung: Durch die Beschaltung des zweiten Operationsverst¨ arkers mit den Widerst¨ anden R1 und R2 arbeitet dieser als invertierender Verst¨ arker, woraufhin sich die folgende Ausgangsspannung ergibt uA = −

R2 uE . R1

(5.43)

Damit berechnet sich die Kondensatorspannung uC zu   R2 uE uC = u E − u A = u E − − R1   R2 = uE 1 + . R1

(5.44)

Wegen der Annahme eines idealen Operationsverst¨ arkers (keine Eingangsstr¨ ome) ist der Kondensatorstrom iC gleich dem Eingangsstrom iE der Schaltung duC dt   R2 duE . = C 1+ R1 dt

iE = iC = C

(5.45)

Anhand eines Vergleiches mit der Strom–Spannungsbeziehung eines Kondensators erkennt man, daß sich die zu analysierende Operationsverst¨ arkerschaltung an ihren Eingangsklemmen wie ein Kondensator mit der Kapazit¨ at

98

5 Operationsverst¨ arker

  R2 CE = C 1 + R1

(5.46)

verh¨ alt. Diese Schaltung wird daher zur dynamischen Kapazit¨ atsvergr¨ oßerung verwendet, z. B. auch zur Kompensation in Operationsverst¨ arkern. Beispiel 5.3: Aktiver Br¨ uckengleichrichter An den Eingang der in Abb. 5.9 gezeigten Schaltung wird die periodische

Abb. 5.9. Meßschaltung

Spannung uE (t) nach Abb. 5.10 gelegt. Das Drehspulinstrument hat einen

Abb. 5.10. Eingangsspannung der Meßschaltung nach Abb. 3.9

Meßbereichsendwert IMend = 1 mA, einen Innenwiderstand RM = 1 kΩ und eine Genauigkeitsklasse von GDS = 1 %. Die verwendeten Dioden zeigen in Durchlaßrichtung einen Spannungsabfall von UD = 0, 6 V. a) Berechnen Sie den Widerstand R derart, daß f¨ ur UEeff = 10 V das Drehspulinstrument seinen Endausschlag erreicht. b) F¨ ur welche Sperrspannungen m¨ ussen die Dioden D1 bis D4 dimensioniert werden?

5.3 Schaltungen mit idealen Operationsverst¨ arkern

99

c) Welche Toleranz muß R haben, damit das Meßger¨ at eine Genauigkeitsklasse von G = 2, 5 % aufweist? d) Welches (einzelne) Bauelement der Schaltung ist defekt, wenn das Meßger¨ at f¨ ur UEeff = 10 V nur noch 5 V anzeigt und welchen Defekt hat es? Musterlo ¨sung: a) Aufgrund der Doppelweggleichrichtung ergibt sich der durch das Meßwerk fließende Strom iM wie folgt    uE (t)  . (5.47) iM =  R  Der Effektivwert UEeff der Eingangsspannung kann aufgrund der Symmetrie bez¨ uglich t = T /4 auf einfache Weise errechnet werden  ⎡  ⎤   T T T 2   4 8 4  4 4⎢ uH ⎥ u2E (t) dt =  t dt + u2H dt⎦ UEeff =  T ⎣ T T 8 0

 =

4 T



T 8

0

82 2 T 3 T u + u2H T 2 H 3 83 8



 = uH

2 = uH √ . 6

1 1 + 6 2 (5.48)

Wenn der Effektivwert der Eingangsspannung UEeff = 10 V betr¨ agt, l¨ aßt sich der Spannungswert uH (Abb. 5.10) wie folgt ermitteln √ 6 = 12, 247 V . (5.49) uH = UEeff 2 Der Mittelwert der zweiweggleichgerichteten Eingangsspannung (Gleichrichtwert) ergibt sich unter Ber¨ ucksichtigung der Symmetrie zu     1 1 T 3 4 uH T + uH + (5.50) |uE | = = uH = uH . T 2 8 8 4 2 4 Mit diesem Ergebnis berechnet sich der zeitliche Strommittelwert iM , welcher gleich dem Stromendwert IMend des Meßwerkes sein muß, zu iM = IMend =

uH 3 . R 4

(5.51)

Der gesuchte Widerstand R betr¨ agt somit R=

3 uH = 9, 186 kΩ . 4 IMend

(5.52)

100

5 Operationsverst¨ arker

b) Die Sperrspannung der Diode D1 berechnet sich bei leitender Diode D4 aus einem bei der Diode D1 beginnenden Maschenumlauf, der u ¨ber die Diode uhrt, zu D4 und das Meßwerk f¨ UD1SS = UD + IMmax RM = UD +

uH RM = 1, 933 V. R

(5.53)

Die Sperrspannungen der anderen drei Dioden ergeben sich auf analoge Weise. c) Der Ausschlagwinkel α des Drehspulmeßwerkes ergibt sich mit der Stromempfindlichkeit Si [6] zu α = Si iM = Si

uH 3 . R 4

(5.54)

Bildet man nun das totale Differential dα dα =

Si 3 uH 3 dSi − uH 2 dR 4 R 4 R

(5.55)

und bezieht dieses auf den Zeigerausschlagwinkel α, so erh¨ alt man den relativen Anzeigefehler dSi dR dα = . (5.56) − α Si R F¨ ur den ung¨ unstigsten Fall    dα    = G = GDS + |fR |max α max

(5.57)

folgt die zul¨ assige Widerstandstoleranz |fR |max |fR |max = G − GDS = 1, 5 % .

(5.58)

d) Zeigt das Drehspulinstrument bei UEeff = 10 V nur noch den halben Endausschlag, also 5 V, dann muß eine der vier Dioden in beiden Richtungen sperren oder einen Kurzschluß haben. Beispiel 5.4: Aktiver Zweiweggleichrichter a) Berechnen Sie die Ausgangsspannung uA = f (uE , R1 , R2 ) der in Abb. 5.11 gezeigten Schaltung, ohne die Diode D zu ber¨ ucksichtigen. b) Ermitteln Sie mit dem Ergebnis aus Punkt a) die Spannung u1 als Funktion von uE , R1 und R2 . ur eine beliebige Eingangsspanc) Berechnen Sie die Ausgangsspannung uA f¨ nung uE , wenn die Diode D als ideale Diode (d. h. UD = 0 V im Durchlaߨ bereich) zu ber¨ ucksichtigen ist. Verwenden Sie f¨ ur Ihre Uberlegungen und Berechnungen die in den Punkten a) und b) erhaltenen Ergebnisse.

5.3 Schaltungen mit idealen Operationsverst¨ arkern

101

Abb. 5.11. Operationsverst¨ arkerschaltung des aktiven Zweiweggleichrichters

Musterlo ¨sung: a) Die Spannung uP am nicht-invertierenden Eingang des Operationsverst¨ arkers, die aufgrund der verschwindenden Differenzeingangsspannung (uD = 0) auch am invertierenden Eingang anliegt, berechnet sich mit Hilfe der Spannungsteilerregel zu R2 . (5.59) uP = u N = u E R1 + R2 Damit betr¨ agt der Strom i, welcher sowohl durch den Widertstand R1 und als auch durch den Widerstand 2R2 fließt, i=

uE − u N 1 = uE . R1 R1 + R2

(5.60)

Die Ausgangsspannung uA berechnet sich nun mit Hilfe eines Maschenumlaufes, der vom Ausgang u ¨ber den Widerstand 2R2 zum Eingang des Operationsverst¨ arkers f¨ uhrt, zu uA = uN − u1 = uN − 2R2 i = uE

R2 2R2 − uE R1 + R2 R1 + R2

= −uE

R2 . R1 + R2

(5.61)

b) Die Spannung u1 ergibt sich unter Verwendung des bereits berechneten Stromes i (Gl. (5.60)) zu u1 = 2R2 i = uE

2R2 . R1 + R2

(5.62)

c) Mit Hilfe von Gl. (5.62) k¨ onnen folgende F¨ alle unterschieden werden:

102

5 Operationsverst¨ arker

uE > 0 V =⇒

u1 > 0 V =⇒

Diode leitet

(5.63)

uE < 0 V =⇒

u1 < 0 V =⇒

Diode sperrt .

(5.64)

Wenn die Diode D leitet, ist die Ausgangsspannung uA = u N = u E

R2 . R1 + R2

(5.65)

Wenn die Diode sperrt, gilt f¨ ur die Ausgangsspannung uA die Beziehung (Gl. (5.61)) uA = −uE

R2 . R1 + R2

(5.66)

Daraus folgt nun f¨ ur eine beliebige Eingangsspannung uE der Zusammenhang uA = |uE |

R2 . R1 + R2

(5.67)

Aufgabe 5.1: Subtrahierender Verst¨arker Berechnen Sie den subtrahierenden Verst¨ arker aus Beispiel 5.1 mit Hilfe des ¨ Uberlagerungssatzes und vergleichen Sie zur Kontrolle die Ergebnisse. Aufgabe 5.2: Spannungsgesteuerte Stromquelle Wie m¨ ussen Sie bei der Operationsverst¨ arkerschaltung nach Abb. 5.12 das

Abb. 5.12. Schaltung der spannungsgesteuerten Stromquelle

Widerstandsverh¨ altnis R2 /R3 w¨ ahlen, damit die Schaltung als spannungsgeangig steuerte Stromquelle arbeitet (d.h. IL ist proportional zu UE , aber unabh¨ von RL ).

5.3 Schaltungen mit idealen Operationsverst¨ arkern

103

Lo ¨sung: Der Laststrom IL berechnet sich entsprechend der Formel IL =

R1 + R2 − R1 − R3 R2 − R3 UE UE + IL RL = + IL RL . R1 R1 R3 R1 R1 R3

(5.68)

Anhand dieser Gleichung erkennt man, daß f¨ ur R2 = R3 der Laststrom IL von RL unabh¨ angig wird. Gleichung (5.68) vereinfacht sich in diesem Fall zu IL =

UE . R1

(5.69)

Aufgabe 5.3: Schaltung mit bipolar einstellbarer Spannungsverst¨arkung

Abb. 5.13. Operationsverst¨ arkerschaltung des bipolar einstellbaren Spannungsverst¨ arkers

a) Berechnen Sie die Ausgangsspannung uA = f (uE , q, R1 , R2 , R3 , R4 ) der in Abb. 5.13 gezeigten Schaltung (der Operationsverst¨ arker sei ideal). b) Welche Zusammenh¨ ange m¨ ussen zwischen R1 , R2 , R3 und R4 gelten, damit die Ausgangsspannung uA mit dem Potentiometer R1 im Bereich von −2uE ≤ uA ≤ 3uE eingestellt werden kann? c) Mit welchem Widerstand (entspricht dem Eingangswiderstand der Schaltung) wird uE belastet? L¨ osung: a) Die Ausgangsspannung uA der in Abb. 5.13 gezeigten Schaltung betr¨ agt   R4 R2 R3 + R2 R4 + R3 R4 − . uA = u E q R2 R3 R2 b) F¨ ur den Fall q = 0 (uA = −2uE ) gilt R4 = 2R2 .

104

5 Operationsverst¨ arker

F¨ ur den Fall q = 1 (uA = 3uE ) folgt R2 = R3 . c) Der Eingangswiderstand betr¨ agt RE =

R1 R2 . R1 (1 − q) + R2

Aufgabe 5.4: Integrierer - Differenzierer a) Berechnen Sie f¨ ur die in Abb. 5.14 angegebene Schaltung das Verh¨ altnis von Ausgangs- zu Eingangsspannung U A (ω)/U E (ω) = f (R1 , R2 , C1 , C2 , ω) (idealer Operationsverst¨arker vorausgesetzt). b) Welche Bedingungen m¨ ussen die Werte der Bauelemente erf¨ ullen, damit die angegebene Schaltung zum integrierenden bzw. differenzierenden Verst¨ arker wird? Geben Sie die Bedingungen unter Verwendung der Symbole “bzw. “an. ” ”

Abb. 5.14. Operationsverst¨ arkerschaltung des integrierenden bzw. differenzierenden Verst¨ arkers

L¨ osung: a) Das Verh¨ altnis von Ausgangs- (U A ) zu Eingangsspannung (U E ) betr¨ agt U A (ω) R2 1 + jωR1 C1 =− . U E (ω) R1 1 + jωR2 C2 b) F¨ ur eine integrierende Wirkung des Verst¨ arkers muß R1 C1 ω  1 =⇒

R1 C1 

1 ω

R2 C2 ω 1 =⇒

R2 C2

1 ω

5.4 Schaltungen mit realen Operationsverst¨ arkern

105

und f¨ ur eine differenzierende Wirkung R1 C1 ω 1 =⇒

R1 C1

1 ω

R2 C2 ω  1 =⇒

R2 C2 

1 ω

gelten.

5.4 Schaltungen mit realen Operationsverst¨ arkern Beispiel 5.5: Strommeßschaltung Es soll der Strom I in einem nach außen gef¨ uhrten Zweig eines linearen Netzwerkes gemessen werden. Wenn dieser Zweig aufgetrennt wird, l¨ aßt sich das lineare Netzwerk in bezug auf diese Klemmen durch eine Ersatzstromquelle (Abschn. 7.1) darstellen (Abb. 5.15). Die Messung von I soll auf zwei Arten

Abb. 5.15. Ersatzstromquellendarstellung eines linearen Netzwerkes NW

durchgef¨ uhrt werden: a) durch direkte Beschaltung mit einem Drehspulmeßwerk, das folgende Daten aufweist: IMend = 10 mA RM = 100 Ω . b) unter Verwendung der Operationsverst¨ arkerschaltung nach Abb. 5.16. Berechnen Sie IM sowie die relativen Fehler f der Messungen nach Punkt a) ur und Punkt b), wenn IQ = 10 mA und RQ = 1 kΩ betragen. Nehmen Sie f¨ die Messung nach Punkt b) außerdem die folgenden zwei F¨ alle an: • Messung mit einem idealen Operationsverst¨ arker • Messung mit einem realen Operationsverst¨ arker, dessen Daten bis auf die endliche Verst¨ arkung V0 = 1000 und den Ausgangswiderstand rA = 1 kΩ ideal sind.

106

5 Operationsverst¨ arker

Abb. 5.16. Operationsverst¨ arkerschaltung zur Messung des Stromes I

Musterlo ¨sung: a) Entsprechend Abb. 5.17 folgt mit Hilfe der Stromteilerregel (Gl. (4.27))

Abb. 5.17. Messung mit einem Drehspulinstrument

IM = IQ

RQ = 9, 09 mA . RQ + RM

(5.70)

Dieser Meßstrom weicht aufgrund des endlichen Wertes des Widerstandes RQ vom wahren Strom IQ des Netzwerkes ab. Es resultiert daraus der relative Meßfehler RQ IM − IQ = − 1 = −9, 09 % . (5.71) f= IQ RQ + RM b) Im Falle eines idealen Operationsverst¨ arkers ist die Differenzeingangsspannung uD Null. Damit ist die Spannung u ¨ber dem Widerstand RQ ebenso Null, demzufolge durch diesen Widerstand kein Strom fließen kann. Somit ist die Identit¨ at von Netzwerkstrom IQ und Meßstrom IM bewiesen, d. h. der Meßfehler ist in diesem Fall Null. F¨ ur den unter Punkt b) angegebenen realen Operationsverst¨ arker ist die Diffeassigen. Daher ist in diesem renzeingangsspannung uD nicht mehr zu vernachl¨ Fall die Ersatzschaltung nach Abb. 5.18 zu verwenden (vergleiche dazu Abb. 5.3). Damit berechnet sich der Zusammenhang zwischen dem Netzwerkstrom IQ und dem Meßstrom IM zu

5.4 Schaltungen mit realen Operationsverst¨ arkern

107

Abb. 5.18. Messung mit realem Operationsverst¨ arker

IQ = IM −

uD . RQ

(5.72)

F¨ ur einen Maschenumlauf vom Ausgang des Operationsverst¨ arkers zu seinem Eingang (Abb. 5.18) erh¨ alt man UA + uD + IM RM + IM rA = 0 .

(5.73)

Aus dem Zusammenhang UA = V0 uD berechnet sich die Spannung uD mit Gl. (5.73) zu RM + rA . (5.74) uD = −IM 1 + V0 Setzt man die so erhaltene Differenzeingangsspannung uD in Gl. (5.72) ein, so erh¨ alt man durch Umformung den gesuchten Meßstrom IM IQ = IM + IM

IM = IQ

RM + rA RQ (1 + V0 ) 1

1+

RM +rA RQ (1+V0 )

= 9, 99 mA .

(5.75)

(5.76)

Der relative Fehler betr¨ agt somit f=

IM − IQ = IQ 1+

1 RM +rA RQ (1+V0 )

− 1 = −0, 11 % .

(5.77)

Beispiel 5.6: Nicht-invertierende Operationsverst¨arkerschaltung Berechnen Sie f¨ ur R1 = 10 kΩ, R2 = 1 MΩ und UE = 0 V die Ausgangsarkers bis auf V0 = 105 , spannung UA , wenn die Daten des Operationsverst¨ rA = 100 Ω und IE = 30 nA als ideal anzunehmen sind (Abb. 5.19).

108

5 Operationsverst¨ arker

Abb. 5.19. Nicht-invertierende Operationsverst¨ arkergrundschaltung

Musterlo ¨sung: Ist der Eingang kurzgeschlossen (UE = 0), so liegt am Widerstand R1 die arkers an. Damit gelten Differenzeingangsspannung uD des Operationsverst¨ folgende Zusammenh¨ ange I1 = I2 + IE

(5.78)

uD = I1 R1

(5.79)

UA = −uD − I2 R2

(5.80)

U A = V 0 uD + I 2 r A .

(5.81)

Setzt man die Gln. (5.78) und (5.79) in Gl. (5.80) ein und l¨ ost diese nach uD auf, so folgt   uD UA = −uD − − IE R2 (5.82) R1   R2 uD 1 + = −UA + IE R2 . R1 uD =

−UA + IE R2 R1 . R1 + R2

(5.83)

(5.84)

Durch Einsetzen der beiden Gln. (5.78) und (5.79) in Gl. (5.81) ergibt sich die Spannung UA   uD U A = V 0 uD + − IE rA . (5.85) R1 Setzt man nun Gl. (5.84) in Gl. (5.85) ein, so erh¨ alt man die Bestimmungsgleichung f¨ ur die Ausgangsspannung UA   −UA + IE R2 rA UA = R1 V0 + − IE rA R1 + R2 R1 =

−UA + IE R2 (V0 R1 + rA ) − IE rA . R1 + R2

(5.86)

5.4 Schaltungen mit realen Operationsverst¨ arkern

109

Durch Umformung berechnet sich die Ausgangsspannung UA zu     V0 R1 R2 + R2 rA V0 R1 + rA UA 1 + − rA = IE R1 + R2 R1 + R2 UA

R1 (V0 + 1) + R2 + rA V0 R1 R2 + R2 rA − R1 rA − R2 rA = IE R1 + R2 R1 + R2 UA = IE

V0 R1 R2 − R1 rA . R1 (V0 + 1) + R2 + rA

(5.87)

Die zahlenwertm¨ aßige Auswertung von Gl. (5.87) ergibt UA = 29, 97 mV. Beispiel 5.7: Differenzverst¨arker Die Schaltung nach Abb. 5.20 wird zur Verst¨ arkung der Spannung uQ ver-

Abb. 5.20. Verst¨ arkerschaltung

wendet. Der Innenwiderstand der Signalquelle betr¨ agt RQ = 1 kΩ. a) Berechnen Sie den Widerstand R1 derart, daß f¨ ur R2 = 1 MΩ die Spanarkt am Ausgang erscheint. Dabei nung uQ um den Faktor V = 100 verst¨ soll die Offsetspannung UD0 = 0 V betragen. b) Mit welchem Widerstand (entspricht dem Eingangswiderstand der Schaltung) wird die Signalquelle belastet? ¨ c) Berechnen Sie die Anderung der Ausgangsspannung aufgrund einer Offsetspannung UD0 = 1 mV. Musterlo ¨sung: a) Da der Operationsverst¨ arker zun¨ achst als ideal betrachtet wird (keine Eingangsstr¨ ome und keine Offsetspannung), berechnet sich der von der Spannungsquelle gelieferte Strom iQ zu iQ = iE =

uQ . 2R1 + RQ

(5.88)

110

5 Operationsverst¨ arker

Dieser Strom fließt auch durch die beiden Widerst¨ ande R2 und bewirkt (bei Nichtber¨ ucksichtigung der Offsetspannung UD0 ) die Ausgangsspannung uA = iQ 2R2 = uQ

2R2 . 2R1 + RQ

(5.89)

F¨ ur den geforderten Verst¨ arkungsgrad von V = 100 ergibt sich mit V =

uA 2R2 = uQ 2R1 + RQ

(5.90)

der daraus resultierende Widerstandswert f¨ ur R1 RQ R2 − = 9, 5 kΩ . V 2

R1 =

(5.91)

b) Die f¨ ur den Meßverst¨ arker relevante Eingangsspannung entspricht der Spannung zwischen den Klemmen 1 und 2. Der Eingangswiderstand der Schaltung berechnet sich damit entsprechend Abb. 5.20 aus der Beziehung uE = 2 R1 iE zu RE =

duE = 2R1 = 19 kΩ . diE

(5.92)

(5.93)

¨ c) Wenn man die aus der Offsetspannung UD0 resultierende Anderung ∆uA der Ausgangsspannung berechnen m¨ ochte, nimmt man die Quellspannung uQ zu Null an (Superpositionsprinzip). Damit ergibt sich zun¨ achst der Strom iE aus einem Maschenumlauf im Eingangskreis iE =

−UD0 . 2R1 + RQ

(5.94)

Da dieser Strom wiederum durch die beiden Widerst¨ ande R2 fließt, liefert ¨ ein Maschenumlauf u ande die gesuchte Anderung ∆uA der ¨ber diese Widerst¨ Ausgangsspannung ∆uA = 2R2 iE − UD0   2R2 = −UD0 1 + = −101 mV . 2R1 + RQ

(5.95)

Beispiel 5.8: Sample & Hold-Schaltung Von der in Abb. 5.21 angegebenen Sample & Hold-Schaltung sind R1 = 10 kΩ ¨ und C = 10 nF gegeben. F¨ ur die weiteren Uberlegungen k¨ onnen die Dioden weggelassen und der FET als idealer Schalter betrachtet werden. Die verwendeten Operationsverst¨ arker sind mit Ausnahme der unten angegebenen Daten ideal.

5.4 Schaltungen mit realen Operationsverst¨ arkern

111

Abb. 5.21. Sample & Hold-Schaltung

OP1 : IE = 1 µA Eingangsstrom IAmax = 10 mA maximaler Ausgangsstrom OP2 : IE = 1 µA

Eingangsstrom

a) Berechnen Sie unter Vernachl¨ assigung der Eingangsstr¨ ome IE den Widerstandswert R2 so, daß im Sample-Zustand die Beziehung uA = −2uE erf¨ ullt wird. b) Berechnen Sie die Offsetspannung (im Sample-Zustand) als Funktion der Bauelementwerte und der Eingangsstr¨ ome (Hinweis: Superpositionsprinzip anwenden). Wie m¨ ussen Sie R3 dimensionieren, damit die Offsetspannung kompensiert wird? c) Berechnen Sie f¨ ur diese Schaltung unter Verwendung der oben berechneten Bauelementwerte die f¨ ur eine Sample & Hold-Schaltung definierten Pa¨ rameter Droop“ (Anderung der Ausgangsspannung w¨ ahrend des Halte” Zustandes) und Slew-Rate“ (maximale Anstiegsgeschwindigkeit der Aus” gangsspannung). Welche maximale Frequenz darf eine sinusf¨ ormige Eingangsspannung mit einer Amplitude von 2 V haben, damit ihr die in Abb. 5.21 gezeigte Sample & Hold-Schaltung gerade noch folgen kann? Musterlo ¨sung: a) Da es sich bei dieser Schaltung im Prinzip um einen invertierenden Verst¨ arker handelt, berechnet sich die Ausgangsspannung zu uA = −

R2 uE . R1

(5.96)

Damit betr¨ agt der gesuchte Widerstandswert R2 = 20 kΩ. b) Wenn man zun¨ achst nur den Eingangsstrom am invertierenden Eingang des Operationsverst¨ arkers OP1 betrachtet, erh¨ alt man f¨ ur die Spannung am nicht-invertierenden Eingang des Operationsverst¨ arkers

112

5 Operationsverst¨ arker

uP = −IE R3 . Die dementsprechende Ausgangsspannung berechnet sich zu   R2 uP R2 + uP = −IE R3 +1 . uAoff1 = R1 R1

(5.97)

(5.98)

Ber¨ ucksichtigt man nun lediglich den Eingangsstrom am nicht-invertierenden Eingang des Operationsverst¨ arkers OP1, so ergibt sich mit uR1 = 0 V die Ausgangsspannung (5.99) uAoff2 = IE R2 . Der Eingangsstrom des Operationsverst¨ arkers OP2 bewirkt keine Offsetspannung, weil er vom Ausgang des Operationsverst¨ arkers OP1 geliefert wird. Die gesamte Offsetspannung ergibt sich schließlich durch Addition der Einzelspannungen (Gl. (5.98) und Gl. (5.99)) zu    R2 +1 . (5.100) uAoff = uAoff1 + uAoff2 = IE R2 − R3 R1 Damit die Offsetspannung kompensiert werden kann, muß der Widerstand R3 die nachfolgende Bedingung erf¨ ullen R3 =

R2 R2 = 6, 67 kΩ . = 3 +1

R2 R1

(5.101)

c) Der Parameter Droop“ wird vom Eingangsstrom IE des Operationsver” st¨ arkers OP2 bestimmt und ergibt sich aus der Beziehung uA =

1 C

t

IE dt + uA (0)

(5.102)

0

zu

IE V duA = = 100 . (5.103) dt C s Der Parameter Slew-Rate“ wird durch den maximalen Ausgangsstrom des ” Operationsverst¨ arkers OP1 festgelegt (IE des Operationsverst¨ arkers OP2 wird vernachl¨ assigt)   duA V IAmax =1 . (5.104) = SR = dt max C µs F¨ ur eine sinusf¨ ormige Eingangsspannung uA (t) = −

R2 ˆ UE sin ωt R1

berechnet sich die ben¨ otigte Slew-Rate“ nach folgender Gleichung ”

(5.105)

5.4 Schaltungen mit realen Operationsverst¨ arkern

   duA (t)  R2 ˆ   = SR =  UE ω . dt max R1

113

(5.106)

Aus der nach Gl. (5.104) ermittelten Slew-Rate“ l¨ aßt sich mit Gl. (5.106) ” die Frequenz SR = 39, 8 kHz (5.107) fmax = ˆE 2π R2 U R1

angeben, welche das Sinussignal maximal aufweisen darf, wenn ihr die in Abb. 5.21 gezeigte Sample & Hold-Schaltung noch folgen soll. Beispiel 5.9: Realer Pr¨azisionszweiweggleichrichter Berechnen Sie f¨ ur die in Abb. 5.22 angegebene Schaltung den Zusammenhang

Abb. 5.22. Realer Pr¨ azisionszweiweggleichrichter

zwischen der Ausgangsspannung uA und der Eingangsspannung uE (sowohl f¨ ur positive als auch negative Werte von uE ), wenn die verwendeten Operationsverst¨ arker eine Leerlaufspannungsverst¨ arkung V0 aufweisen (die restlichen Daten seien ideal) und an den Dioden in Durchlaßrichtung eine Spannung von allt. UD0 abf¨ Musterlo ¨sung: Bei der Schaltung nach Abb. 5.22 handelt es sich um einen aktiven Zweiweggleichrichter. Die Ausgangsspannung wird anschließend getrennt f¨ ur positive und negative Eingangsspannungen berechnet. F¨ ur positive Eingangsspannungen ist die Ausgangsspannung UAOP1 des ersten Operationsverst¨ arkers negativ und die Diode D2 leitet. Mit der Differenzeingangsspannung uAOP1 uD1 = (5.108) V0 des Operationsverst¨ arkers OP1 berechnet sich die Spannung uA1 zu uA1 = −

uE + uD1 R − uD1 = −uE − 2uD1 R

(5.109)

114

5 Operationsverst¨ arker

= −uE − 2

uAOP1 . V0

(5.110)

Aus dem Zusammenhang uA1 = uAOP1 + UD0 ergibt sich zun¨ achst uA1 = −uE − 2

(5.111)

uA1 − UD0 . V0

(5.112)

Durch Umformung dieser Gleichung   UD0 2 uA1 1 + = −uE + 2 V0 V0

(5.113)

erh¨ alt man die Spannung uA1 uA1 = −uE

V0 1 + 2UD0 . 2 + V0 2 + V0

(5.114)

Die Ausgangsspannung uA berechnet sich nun mit der Differenzeingangsspannung uA uD2 = (5.115) V0 zu

 uA1 + uD2 uE + uD2 + uA = − R − uD2 R R 2 = −uE − uD2 − 2uA1 − 2uD2 − uD2 = −uE + uE

1 2V0 uA − 4UD0 −4 . 2 + V0 2 + V0 V0

Formt man diese Gleichung entsprechend um     2V0 − 2 − V0 1 4 uA 1 + , = uE − 4UD0 V0 2 + V0 2 + V0

(5.116)

(5.117)

so l¨ aßt sich die Ausgangsspannung wie folgt angeben uA = u E

V0 V0 − 2 V0 1 − 4UD0 . 4 + V0 2 + V0 4 + V0 2 + V0

(5.118)

F¨ ur negative Eingangsspannungen ist die Ausgangsspannung UAOP1 des Operationsverst¨ arkers OP1 positiv und die Diode D1 leitet. Mit der Differenzeingangsspannung uD1 =

uAOP1 UD0 − uD1 = =⇒ V0 V0

uD1 =

UD0 V0 + 1

(5.119)

5.4 Schaltungen mit realen Operationsverst¨ arkern

115

des Operationsverst¨ arkers OP1 berechnet sich die Spannung uA zu

 −uD1 + uD2 uE + uD2 + uA = − R − uD2 R R+ R 2 2 = −uE − uD2 + (uD1 − uD2 ) − uD2 3 2 8 = −uE + uD1 − uD2 3 3 = −uE +

8 uA 2 UD0 − . 3 V0 + 1 3 V0

Aus dieser Gleichung ergibt sich mit   2 UD0 8 uA 1 + = −uE + 3V0 3 V0 + 1

(5.120)

(5.121)

die Ausgangsspannung uA zu uA = −uE

3V0 2 UD0 3V0 + 3V0 + 8 3 V0 + 1 3V0 + 8

(5.122)

Aufgabe 5.5: Verst¨arkungs-Bandbreite-Produkt Dimensionieren Sie eine Operationsverst¨ arkerschaltung, die eine Verst¨ arkung von 60 dB, einen Eingangswiderstand von 1 MΩ und eine Grenzfrequenz von 10 MHz aufweist. Zum Aufbau dieser Schaltung sollen m¨ oglichst wenige passive Bauelemente und Operationsverst¨ arker verwendet werden. Die zur Verf¨ ugung stehenden Operationsverst¨ arker weisen eine Transitfrequenz von fT = 100 MHz auf. Lo ¨sung: Aus dem Verst¨ arkungs-Bandbreite-Produkt V fg = V0 fg0 = fT

(5.123)

erkennt man, daß bei einer Grenzfrequenz von 10 MHz mit einer Verst¨ arkerstufe nur eine Verst¨ arkung von 20 dB m¨ oglich ist. Die Schaltung wird daher aus zwei invertierenden und einem nicht-invertierenden Verst¨ arker mit jeweils einer Verst¨ arkung von 20 dB aufgebaut. Der erste invertierende Verst¨ arker wird außerdem mit einem Eingangswiderstand von RE = 1 MΩ ausgestattet.

116

5 Operationsverst¨ arker

Aufgabe 5.6: Strommeßschaltung a) Berechnen Sie f¨ ur die in Abb. 5.23 dargestellte Schaltung den Meßstrom IM = f (R1 , R2 , IE ) unter der Annahme einer verschwindenden Offsetspanarker verwendet wird. nung (UD0 = 0 V), wenn ein idealer Operationsverst¨ Dimensionieren Sie f¨ ur R2 = 1 kΩ den Widerstand R1 so, daß IM = 100IE gilt. b) Mit der unter Punkt a) berechneten Dimensionierung soll der Quellstrom IQ = 10 µA der Stromquelle (RQ = 1 kΩ) gemessen werden. Welcher Meßarker eine Offfehler tritt auf, wenn RM = 0 Ω ist und der Operationsverst¨ arkung setspannung von UD0 = 1 mV sowie eine Leerlaufspannungsverst¨ von V0 = 1000 aufweist?

Abb. 5.23. Meßschaltung

Lo ¨sung: a) Aus dem Zusammenhang f¨ ur den Meßwerkstrom IM = IE

R1 + R2 R2

folgt f¨ ur eine Verst¨ arkung von 100 der Widerstandswert R1 = 99 kΩ. b) Mit dem Meßstrom IM = 817, 3 µA berechnet sich der Meßfehler zu f=

IM − 100IQ = −18, 3 % . 100IQ

5.5 Rauschen von Meßverst¨ arkern Im folgenden sind die Modelle zur Beschreibung des Rauschens von verlustbehafteten Bauteilen und Verst¨ arkern zusammengefaßt. Es wird vor allem auf

5.5 Rauschen von Meßverst¨ arkern

117

R R

G = 1R

bzw. ur

a)

b)

ir c)

Abb. 5.24. Ersatzrauschquellen eines ohmschen Widerstandes: a) rauschender ohmscher Widerstand, b) Ersatzspannungsquelle: rauschfreier Widerstand mit Rausch-Ersatzspannungsquelle, c) Ersatzstromquelle: rauschfreier Widerstand (Leitwert G = 1/R) mit Rausch-Ersatzstromquelle

die netzwerktheoretische Beschreibung durch Ersatzrauschquellen eingegangen. Beschreibung des Widerstandsrauschens Das thermische Rauschen oder Widerstandsrauschen findet man in allen verlustbehafteten elektrischen Bauteilen. Es ist auf willk¨ urliche Ladungstr¨ agerbewegungen (W¨ armebewegung der freien Elektronen (Valenzelektronen)) zur¨ uckzuf¨ uhren, die mit der Temperatur an Intensit¨ at zunehmen. Abbildung 5.24 zeigt die Ersatzschaltbilder f¨ ur einen rauschenden ohmschen Widerstand. Die Rauschleistung steigt proportional mit der Temperatur an. Weiterhin nimmt man an, daß die Rauschleistungsdichte u ¨ber der Frequenz konstant ist (Weißes Rauschen). Daher lassen sich die Effektivwerte der in Abb. 5.24 gezeigten Rausch-Ersatzspannungs- bzw. Rausch-Ersatzstromquelle anhand der sog. NYQUIST-Formel ermitteln • NYQUIST-Formel in bezug auf eine Ersatzspannungsquelle 2 = u2r (t) = 4kT RB Ureff

(5.124)

• NYQUIST-Formel in bezug auf eine Ersatzstromquelle 2 Ireff = i2r (t) = 4kT

1 B. R

(5.125)

Dabei bezeichnen k = 1, 38 · 10−23 [Ws/K] die Boltzmann-Konstante, T [K] die absolute Temperatur, B [Hz] die Beobachtungsbandbreite, R [Ω] den Wert des ohmschen Widerstandes, Ureff [V] die effektive Leerlaufspannung der Rausch-Ersatzspannungsquelle und Ireff [A] den effektiven Kurzschlußstrom der Rausch-Ersatzstromquelle. Beschreibung des Verst¨ arkerrauschens Das Verst¨ arkerrauschen wird im allgemeinen in Form der von den (internen) Rauschquellen des Verst¨ arkers erzeugten Rauschleistung bzw. der daraus resultierenden Reduzierung des Signal/Rausch-Verh¨ altnisses zwischen

118

5 Operationsverst¨ arker

Eingangs- und Ausgangstor angegeben. Der Berechnung dieses Signal/RauschVerh¨ altnisses legt man bei Verst¨ arkern, welche sich als Zweitore darstellen lassen, die in Abb. 5.25 gezeigte Rauschersatzschaltung zugrunde. Man ben¨ otigt dann zwei voneinander unabh¨ angige Rauschquellen zur vollst¨ andigen Beschreibung des Verst¨ arkerrauschens. Oft verwendet man eine eingangsbezogene Rauschspannungsquelle und eine Rauschstromquelle. Diese Rauscher5DXVFK VSDQQXQJVTXHOOH

X(

X$

5DXVFK VWURPTXHOOH

X U(DPS

L U(DPS

X(

X$

5(

5( 9LHUSROPLW 5DXVFKTXHOOHQ

UDXVFKHQGHU9HUVWlUNHU

UDXVFKIUHLHU9HUVWlUNHU

Abb. 5.25. Ersatzschaltung eines rauschenden Verst¨ arkers

5DXVFK(UVDW] 6SDQQXQJVTXHOOH 54 X(

X U(DPS

L U(DPS

X$ 5(

86LJQDO 5DXVFK(UVDW] 6WURPTXHOOH

Abb. 5.26. Rauschersatzschaltung eines mit einer Signalquelle beschalteten elektrischen Vierpoles

satzquellen sind dabei im allgemeinen durch die spektralen Werte der Rausch√ (f ) [nV/ Hz] bzw. der Rauschstromdichte Ifr (f ) [pA/spannungsdichte U fr √ Hz] gekennzeichnet. Die ¨ aquivalente Rauscheingangsspannung UrEges am ¨ Verst¨ arkereingang erh¨ alt man durch quadratische Uberlagerung der von den Rauschquellen am Verst¨ arkereingang hervorgerufenen Spannungsanteile. Diese wiederum ergeben sich aus der Integration der spektralen Rauschdichtegr¨ oßen u ¨ber das Frequenzintervall [fmin , fmax ], in dem gemessen wird. Die Effektivwerte der Rauschspannung Ureff sowie des Rauschstromes Ireff berechnen sich demnach wie folgt fmax 2 Ureff = Ufr2 (f ) df (5.126) fmin

5.5 Rauschen von Meßverst¨ arkern



119

fmax

2 Ireff =

Ifr2 (f ) df .

(5.127)

fmin

Infolge der ohmschen Spannungsteilung (Abb. 5.26) ergibt sich die quadrati¨ sche Uberlagerung der Effektivwerte zu   2  2 RE RE RQ 2 2 + Ireff . (5.128) UrEges = Ureff RE + RQ RE + RQ Die Spannung UrEges ist der Effektivwert der auf den Verst¨ arkereingang bezogenen Rauschspannung, welche das gesamte Verst¨ arkerrauschen im Frequenasentiert, d. h. der in Abb. 5.26 gezeigte eigentliche zintervall [fmin , fmax ] repr¨ Verst¨ arker ist frei von Rauschquellen. Rauschen von Operationsverst¨ arkern Beim Operationsverst¨ arker handelt es sich ebenfalls um einen Vierpol, er ist aber als Dreitor mit zwei auf Masse bezogenen Eingangsspannungen zu betrachten. F¨ ur die Beschreibung des Rauschens von Operationsverst¨ arkern sind daher drei voneinander unabh¨ angige Rauschquellen erforderlich. X URS XG

X$

XG

X$

L URS

L URS

Abb. 5.27. Rauschersatzschaltung eines Operationsverst¨ arkers

Abbildung 5.27 zeigt einen Operationsverst¨ arker und dessen Rauschersatzschaltung. Die Beschreibung mit einer Spannungsquelle und zwei Stromquellen ist die g¨ angigste, wenn auch prinzipiell andere Darstellungen m¨ oglich sind. F¨ ur die Stromquellen gilt aus Symmetriegr¨ unden, daß die Rauscheistungsdichten gleich sind (5.129) i2rop,1 = i2rop,2 . Die Stromquellen sind aber trotzdem als unkorreliert zu betrachten. Beispiel 5.10: Rauschender Verst¨arker Gegeben sei ein einfacher invertierender Verst¨ arker aus zwei Widerst¨ anden und einem Operationsverst¨ arker (Abb. 5.28). Der Beobachtungsbereich liegt zwischen f1 = 0, 1 Hz und f2 = 10 kHz.

120

5 Operationsverst¨ arker

R2 R1

ue

ua

Abb. 5.28. Invertierender Verst¨ arker

6SDQQXQJQ9√+]

 N  Q9√+]



N Q9√+]

 

I& +]  







N

N N 0 0 )UHTXHQ]+]

N

N N 0 0 )UHTXHQ]+]

6WURPI $ √+]

D 6SDQQXQJVUDXVFKHQ

 

N  I$√+]

 

 







E 6WURPUDXVFKHQ Abb. 5.29. Rauschkennlinien des Operationsverst¨ arkers

a) Zeichnen Sie die Rauschersatzschaltung. b) Berechnen Sie die Rauschquellen des Operationsverst¨ arkers. Die Rauschkennlinien des Operationsverst¨ arkers entnehmen Sie bitte Abb. 5.29. arkerc) Berechnen Sie die Ersatzrauschquellen urEamp und irEamp der Verst¨ schaltung (siehe Abb. 5.26). d) Berechnen Sie die Rauschzahl. Setzen Sie schließlich folgende Daten ein: R1 = 1 kΩ, R2 = 100 kΩ, RQ = 100 Ω.

5.5 Rauschen von Meßverst¨ arkern

121

e) Berechnen Sie jenen Effektivwert des Eingangsignals, bei dem S/N = 0 dB gilt. Musterlo ¨sung a) Siehe Abb. 5.30.

X U5

5

XH

5

X U5

X URS XD L URS

Abb. 5.30. Invertierender Verst¨ arker mit Rauschquellen

b) Das Stromrauschen ist im gegebenen Frequenzbereich konstant. Durch Integration erh¨ alt man f¨ ur die Rauschstromquelle f2 i2rop = k42 df = 1.96 · 10−26 A2 (5.130) f1

Das Spannungsrauschen wird in der doppeltlogarithmischen Darstellung zwischen f1 und fc durch eine abfallende Kennlinie mit der Steigung − 12 beschrieben. Die Funktion l¨ aßt sich schreiben als 1 y(u) = − x(f ) + C 2 y(u) = lg

u U0

und

mit x(f ) = lg

f . f0

(5.131)

U0 und f0 sind als Bezugsgr¨ oßen eingef¨ uhrt worden. Die Konstante C ist noch durch Wahl eines geeigneten Punktes der Funktion zu bestimmen. In die Gleichung f 1 u = − lg +C (5.132) lg U0 2 f0 wird bespielsweise der Punkt (fc , k2 ) eingesetzt C = lg

1 fc k2 + lg U0 2 f0

Unter Verwendung von Gl. (5.132) ergibt sich

.

(5.133)

122

5 Operationsverst¨ arker

lg

f u k2 1 1 fc − lg = − lg + lg U0 U0 2 f0 2 f0  fc f

u lg = lg k2  u(f ) = k2

fc . f

(5.134)

Damit erh¨ alt man f¨ ur die Rauschspannungsquelle fc  2 f2 fc u2rop = df + k22 df = k2 f f1 fc = k22 fc ln f |ffc1 + k22 |ff2c =   fc + f2 − fc ≈ 0.68 · 10−2 V2 . = k22 fc ln f1

(5.135)

c) Abbildung 5.31 zeigt die Rausch-Ersatzschaltung des invertierenden Verst¨ arkers R2 u rEamp ue

R1 ua

i rEamp

Abb. 5.31. Rauschersatzschaltung des invertierenden Verst¨ arkers

mit den auf den Eingang bezogenen Ersatzrauschquellen. Um die Ersatzschaltung identisch der Schaltung aus Abb. 5.30 zu machen, m¨ ussen noch die beiden Ersatzrauschquellen in Abh¨ angigkeit der Rauschquellen aus Abb. 5.30 bestimmt werden. Dazu berechnet man die Spannung ua am Ausgang in Abh¨ angigkeit der Rauschquellen f¨ ur zwei unterschiedliche Beschaltungen am Eingang. Am einfachsten verwendet man einen Kurzschluß und einen Leerlauf. Im ersten Fall ist von den Ersatzquellen nur die Rauschspannungsquelle wirksam, im zweiten Fall nur die Rauschstromquelle. Betrachten wir zun¨ achst den Kurzschlußfall. F¨ ur die Ausgangsspannung uaks ergibt sich

5.5 Rauschen von Meßverst¨ arkern

 u2aks =

R2 R1

123

2 urEamp .

(5.136)

Die Ausgangsspannung in Abh¨ angigkeit aller Rauschquellen erh¨ alt man durch ¨ Anwendung des Uberlagerungssatzes 2  2  R2 R2 2 2 2 2 2 uaks = urR1 + 1 + u2rR2 . + irop R2 + urop (5.137) R1 R1 Durch Gleichsetzen von (5.136) und (5.137) kann nun die Ersatzrauschspannungsquelle berechnet werden 2  R2 R1 u2rEamp = u2rR1 + u2rop 1 + (5.138) + i2rop R12 + u2rR2 12 . R2 R2 In analoger Weise betrachtet man den Leerlauffall zur Berechnung der Ersatzrauschstromquelle u2all = i2rEamp · R22 u2all = i2rop · R22 + u2rop + u2rR2 i2rEamp = i2rop +

u2rop + u2rR2 R22

.

(5.139)

Man beachte, daß in diesem Fall urR1 keinen Beitrag zum Ergebnis liefert. d) F¨ ur die Rauschzahl F gilt F =1+

2 Rr + Gr RQ RQ

.

(5.140)

Den Rauschwiderstand Rr und den Rauschleiterwert Gr der Verst¨ arkerschaltung erh¨ alt man aus u2rEamp (5.141) Rr = 4 kT B i2rEamp . (5.142) Gr = 4 kT B Dabei bedeuten urEamp und irEamp die auf den Eingang bezogenen Ersatzrauschquellen und B = f2 − f1 die Beobachtungsbandbreite. Verwendet man die Nyquistformel f¨ ur das Widerstandsrauschen u2rR = 4 kT BR

(5.143)

und setzt die gegebenen Zahlenwerte ein, so erh¨ alt man Rr ≈ 5.1 kΩ

(5.144)

124

5 Operationsverst¨ arker

Gr ≈ 16.2 µS

(5.145)

F ≈ 52 .

(5.146)

Die Verst¨ arkerschaltung verschlechtert also das Signal/Rausch-Verh¨ altnis deutlich, denn sie ist nicht angepaßt an den kleinen Innenwiderstand der Signaluge quelle. Der optimale Innenwiderstand RQopt betr¨  Rr RQopt = ≈ 20 kΩ . (5.147) Gr e) An den Eingang der Rauschersatzschaltung nach Abb. 5.31 wird nun eine Signalquelle usig mit Innenwiderstand RQ geschaltet (Abb. 5.32). Ein 5 54

X U4

X U(DPS

5 XD

X VLJ

L U(DPS

Abb. 5.32. Invertierender Verst¨ arker mit Eingangsspannung usig .

Signal/Rausch-Verh¨ altnis von 0 dB bedeutet, daß das von den Rauschquellen erzeugte Ausgangssignal uar gerade genauso groß ist wie das von der Signal¨ quelle hervorgerufene Ausgangssignal uasig . Durch Anwenden des Uberlagerungssatzes erh¨ alt man 2  2    2 R1  RQ R2 2 2 2 + irEamp (5.148) R2 uar = urQ + urEamp RQ + R1 R1  2 R2 u2asig = u2sig . (5.149) RQ + R1 Gleichsetzen und Aufl¨ osen nach u2sig liefert 2 · i2rEamp u2sig = u2rQ + u2rEamp + RQ

.

(5.150)

Aufgabe 5.7: Nichtinvertierender Verst¨arker Gegeben sei ein gew¨ ohnlicher nichtinvertierender Verst¨ arker, der eine Signalarkt. Die Bauelemente seinen spannung usig mit Innenwiderstand RQ verst¨

5.5 Rauschen von Meßverst¨ arkern

125

abgesehen von ihrem Rauschen ideal. F¨ ur den Operationsverst¨ arker seien Ersatzrauschquellen urop und irop gegeben. a) Zeichnen Sie eine Rauschersatzschaltung. b) Berechnen Sie die Effektivwerte des Signals und der gesamten Rauschanteile am Ausgang. Verwenden Sie als N¨ aherung die Tatsache, daß die Verst¨ arkung wesentlich gr¨ oßer als 1 ist. c) Ab welchem Effektivwert geht das Signal im Rauschen unter? L¨ osung: a) Siehe Abb. 5.33. XD 54

X U4

X VLJ

X URS

X5 5

L URS

L URS

X 5 5

Abb. 5.33. Rauschersatzschaltung des nichtinvertierenden Verst¨ arkers

b) u2a,sig = V 2 u2sig u2a,r c)

(5.151)   2 = V 2 u2rop + V 2 RQ + R22 i2rop + 4 kT B · V (V RQ + R2 ) (5.152)

    R2 R2 2 + 22 i2rop + 4 kT B RQ + u2sig = u2rop + RQ V V

(5.153)

6 Leistungsmessung

6.1 Grundlagen der Leistungsmessung Das Produkt aus Spannung u(t) und Strom i(t) an einem Zweipol wird als Momentanleistung p(t) = u(t)i(t) (6.1) bezeichnet. Bei periodischen Gr¨ oßen ist man i. a. nicht an der Momentanleistung interessiert, sondern an deren zeitlichem Mittelwert, der sog. Wirkleistung T 1 u(t)i(t) dt , (6.2) PW = p(t) = T 0

die z.B. mit Hilfe eines elektrodynamischen Meßwerkes gemessen werden kann. Im Gleichstromfall vereinfacht sich Gl. (6.2) zur bekannten Gleichung P = UI .

(6.3)

F¨ ur sinusf¨ ormige Spannungen und Str¨ ome ˆ sin(ωt + ϕu )und u(t) = U

i(t) = Iˆ sin(ωt + ϕi ),

(6.4)

berechnet sich die Momentanleistung zu ˆ Iˆ sin(ωt + ϕu ) sin(ωt + ϕi ) p(t) = U ˆ Iˆ1 [cos ϕui − cos(2ωt + ϕu + ϕi )] . =U 2

(6.5)

Dabei wurde ϕui = ϕu − ϕi gesetzt. Die entsprechende Wirkleistung ergibt sich nach Gl. (6.2)

128

6 Leistungsmessung

PW

1 = T

T

ˆ Iˆ1 (cos ϕui − cos(2ωt + ϕu + ϕi )) dt U 2

0

ˆ Iˆ U cos ϕui = Ueff Ieff cos ϕui . (6.6) 2 Wenn mit den in der Wechselstromrechnung u ¨blichen Strom- und Spannungszeigern gearbeitet wird =

U = Ueff ejϕu undI = Ieff ejϕi ,

(6.7)

k¨ onnen folgende Leistungsgr¨ oßen definiert werden: • Komplexe Leistung P : P = U I ∗ = Ueff Ieff ej(ϕu −ϕi ) = Ueff Ieff ejϕui

(6.8)

• Wirkleistung PW : PW = Re(P ) = Ueff Ieff cos ϕui

(6.9)

Die Wirkleistung PW ist die einem Zweipol entsprechend Gl. (6.6) im zeitlichen Mittel zugef¨ uhrte Leistung (Verbraucher) bzw. im Falle einer elektrischen Quelle die von dem Zweipol gelieferte elektrische Leistung. • Blindleistung PB : PB = Im(P ) = Ueff Ieff sin ϕui

(6.10)

Die Blindleistung PB ist auf die in dem Zweipol enthaltenen Speicherelemente (Induktivit¨ aten und Kapazit¨ aten) zur¨ uckzuf¨ uhren und pendelt periodisch zwischen dem Zweipol und der Quelle hin und her. Aus der Tatsache, daß durch dieses periodische Pendeln dem komplexen Zweipol im zeitlichen Mittel keine Energie zugef¨ uhrt wird, leitet sich der Name Blindleistung her. • Scheinleistung PS : PS = |P | = Ueff Ieff =

 2 + P2 PW B

(6.11)

Um die Belastbarkeit von elektrischen Maschinen und Apparaten zu beschreiben, wird meist die Scheinleistung PS angegeben, weil in dieser implizit die f¨ ur die Belastungsf¨ ahigkeit relevanten Maximalwerte der Betriebsspannung und des Betriebsstromes enthalten sind. Da im weiteren bei Wechselspannungen und Wechselstr¨ omen immer mit den Effektivwerten gerechnet wird, werden in den Formeln Effektivwerte nicht mehr gesondert durch ein tiefgestelltes eff“ gekennzeichnet. ”

6.2 Leistungsmessung in Gleich- und Wechselstromkreisen

129

6.2 Leistungsmessung in Gleich- und Wechselstromkreisen Entsprechend Gl. (6.2) wird zur Messung der Leistung ein multiplizierendes Meßwerk eingesetzt, das aufgrund seiner mechanischen Tr¨ agheit den zeitlichen Mittelwert bildet. Wie man aus Gl. (4.116) ablesen kann, erf¨ ullt das elektrodynamische Meßwerk diese Voraussetzungen und ist daher bestens zur Leistungsmessung geeignet. Leistungsmessung im Gleichstromkreis Abbildung 6.1 zeigt eine Schaltung zur Leistungsmessung im Gleichstromkreis.

Abb. 6.1. Schaltung zur Leistungsmessung im Gleichstromkreis

Entsprechend Gl. (4.119) ist der Zeigerausschlag α eines elektrodynamischen Meßwerkes (6.12) α = kI1 I2 proportional zum Produkt der beiden Spulenstr¨ ome I1 und I2 . Wie Abb. 6.1 erkennen l¨ aßt, setzt sich der durch die Stromspule fließende Strom I1 aus dem Verbraucherstrom IV und dem von der Spannungsspule aufgenommenen ur den Zeigerausschlag Strom I2 zusammen. Aus diesem Grund gilt f¨ α = kI2 (I2 + IV ) = k

UV ˜ WV + PRV ) . (I2 + IV ) = k(P RWV

(6.13)

Gleichung (6.13) zeigt, daß das Meßwerk die Summe aus Verbraucherleistung PRV und der im Spannungspfad verbrauchten Leistung PWV anzeigt und somit der Eigenverbrauch des Spannungspfades mitgemessen wird. Weil bei dieser Schaltungsvariante die Verbraucherspannung richtig gemessen wird, spricht man von einer spannungsrichtigen Schaltung. Entsprechend der zweiten Anschlußm¨ oglichkeit f¨ ur den Spannungspfad (Abb. 6.2b) gibt es auch eine stromrichtige Variante, bei der der Verbraucherstrom richtig gemessen wird und der Eigenverbrauch des Strompfades in die Leistungsmessung eingeht. Daraus folgt nun, daß das Meßwerk nur bei vernachl¨ assigbarem Eigenverbrauch die tats¨ achlich im Lastwiderstand verbrauchte Leistung anzeigt, also

130

6 Leistungsmessung

˜ RV α ≈ kP

(6.14)

gilt.

Abb. 6.2. Anschlußm¨ oglichkeiten f¨ ur den Spannungspfad bei der Leistungsmessung: a) Spannungsrichtige Messung, b) Stromrichtige Messung

Um den Meßfehler aufgrund des Eigenverbrauches zu vermeiden, k¨ onnen elektrodynamische Meßwerke mit einer Korrekturspule ausgestattet werden. Diese Korrekturspule entspricht einer zweiten Feldspule, welche vom Strom I2 des Spannungspfades durchflossen wird und bei entsprechender Beschaltung (Abb. 6.3) die richtige Messung der Verbraucherleistung bzw. der Quelleistung erm¨ oglicht.

Abb. 6.3. Leistungsmessung mit einem elektrodynamischen Meßwerk, das mit einer Korrekturspule ausgestattet ist: a) Quellrichtige Messung, b) Verbraucherrichtige Messung

Leistungsmessung im Wechselstromkreis Die Scheinleistung PS ermittelt man am einfachsten durch eine getrennte Strom- und Spannungsmessung. F¨ ur die Messung der Wirkleistung PW und der Blindleistung PB kommen wieder elektrodynamische Meßwerke zum Einsatz. Gleichung (4.119) zeigt, daß unter Vernachl¨ assigung des Eigenverbrauches die in Abb. 6.1 gezeigte Meßschaltung auch zur Wirkleistungsmessung im Wechselstromkreis verwendet werden kann. Durch die folgende Umformung von Gl. (6.10) PB = Ueff Ieff sin(ϕu − ϕi ) = Ueff Ieff cos(ϕu − ϕi − 90◦ )

(6.15)

lassen sich zwei M¨ oglichkeiten ableiten, ein elektrodynamisches Meßwerk zur Blindleistungsmessung einzusetzen:

6.3 Wirkleistungsmessung

131

• Man dreht die Phase des Stromes, der durch die Spannungsspule fließt, uber der Phase der Verbraucherspannung. um −90◦ gegen¨ • Man dreht die Phase des Stromes, der durch die Stromspule fließt, um uber der Phase des Verbraucherstromes. +90◦ gegen¨ Da nur die erste M¨ oglichkeit sinnvoll realisierbar ist, wird diese bei der Blindleistungsmessung eingesetzt und mit Hilfe von phasendrehenden Netzwerken implementiert. Die bei der Leistungsmessung im Gleichstromkreis hergeleiteten Aussagen u ateeigenverbrauch herr¨ uhrenden Meßfehler und deren ¨ber die vom Meßger¨ Vermeidung lassen sich unmittelbar auf die Leistungsmessung im Wechselstromkreis u ¨bertragen. Die Wattmeterkonstante Ein als Wirkleistungsmesser arbeitendes elektrodynamisches Meßwerk wird als Wattmeter bezeichnet. Da die Skala eines solchen Wattmeters normalerweise nicht mit der Einheit Watt beschriftet ist, muß bei der Messung mit einem Wattmeter die sog. Wattmeterkonstante bekannt sein. Die Wattmeterkonstante gibt die Leistung pro Skalenteil (die Skala hat N Skalenteile) an und muß f¨ ur den jeweils verwendeten Meßbereich aus CW =

Umax Imax cos ϕmax N

(6.16)

berechnet werden. Umax , Imax und cos ϕmax bezeichnen die im jeweiligen Meßbereich g¨ ultigen Maximalwerte. Mit der bekannten Wattmeterkonstanten CW ergibt sich dann bei einer Anzeige von n Skalenteilen die gemessene Leistung zu (6.17) PW = CW n .

6.3 Wirkleistungsmessung Beispiel 6.1: Dimensionierung der Korrekturspule eines elektrodynamischen Meßwerkes Zeigen Sie f¨ ur ein mit einer Korrekturspule ausgestattetes elektrodynamisches Meßwerk, daß die Windungszahl der Korrekturspule gleich der der Stromspule (Feldspule) gew¨ ahlt werden muß, damit entsprechend Abschn. 6.2 mit diesem Meßwerk in bezug auf die Wirkleistung verbraucher- bzw. quellrich¨ tig gemessen werden kann. Vernachl¨ assigen Sie bei ihren Uberlegungen den Innenwiderstand der Korrekturspule. Musterlo ¨sung: Die Anzeige (Zeigerausschlag α) des Meßger¨ ates ergibt sich im Gleichstromfall

132

6 Leistungsmessung

und bei verbraucherrichtiger Meßschaltung mit den in Abb. 6.3 verwendeten Bezeichnungen und Gl. (4.119) zu α = k1 (NWA (IV + I2 ) − NWK I2 )NWV I2 = k1 (NWA IV + (NWA − NWK )I2 )NWV I2 ,

(6.18)

wobei NWA , NWK und NWV die Windungszahlen der Strom-, Korrektur- und Spannungsspule bezeichnen. Die im Lastwiderstand RV verbrauchte Leistung errechnet sich aus PRV = UV IV = I2 RW V IV = k2 I2 IV .

(6.19)

Damit die angezeigte Leistung gleich der Verbraucherleistung werden kann, muß notwendigerweise (6.20) NWA = NWK gelten, wie aus dem Vergleich von Gl. (6.18) mit Gl. (6.19) zu erkennen ist. Der Zeigerausschlag bei der quellrichtigen Leistungsmessung folgt analog zu Gl. (6.18) α = k1 (NWA (IQ − I2 ) + NWK I2 )NWV I2 = k1 (NWA IQ + (NWK − NWA )I2 )NWV I2 .

(6.21)

Die von der Quelle abgegebene Leistung errechnet sich aus PQ = UQ IQ = I2 RWV IQ = k2 I2 IQ .

(6.22)

Aus dem Vergleich von Gl. (6.21) mit Gl. (6.22) ergibt sich wiederum der Zusammenhang nach Gl. (6.20). Beispiel 6.2: Meßfehler bei Ber¨ ucksichtigung des Eigenverbrauches Mit der in Abb. 6.4 dargestellten Schaltung soll eine Wirkleistungsmessung (Verlustleistungsmessung) an einer verlustbehafteten Induktivit¨ at Z V mit uhrt werLV = 220 mH und tan δ = 0, 1 (bei 50 Hz; s. Gl. (7.8)) durchgef¨ den. Die Eingangsspannung betr¨ agt UQ = 220 V. Das verwendete elektrodynamische Meßwerk hat folgende Daten: Spannungsspule: Stromspule:

Umax = 240 V RWV = 100 kΩ Imax = 1 A(dauernd 4-fach u ¨berlastbar) RWA = 0, 1 Ω

Bei Umax , Imax und cos ϕmax = 1 tritt Vollausschlag mit N = 100 Skalenteilen auf. a) Berechnen Sie den Bereichsendwert PWend und die Wattmeterkonstante CW des Leistungsmessers.

6.3 Wirkleistungsmessung

133

Abb. 6.4. Schaltung zur Wirkleistungsmessung an einer Impedanz Z V

b) Begr¨ unden Sie, daß die Verlustleistungsmessung an Z V durchgef¨ uhrt werden kann, ohne das Wattmeter zu u ¨berlasten. Wie groß ist der Ausschlag n in Skalenteilen bei dieser Verlustleistungsmessung? Vernachl¨ assigen Sie bei Ihren Berechnungen den Eigenverbrauch des Meßwerkes. c) Welchen relativen Meßfehler machen Sie bei der Messung nach Punkt b), wenn Sie den Eigenverbrauch des Wattmeters ber¨ ucksichtigen und zur Messung die stromrichtige Schaltung verwenden? Der wahre Wert sei hierbei die bei Beschaltung mit dem Leistungsmesser tats¨ achlich in Z V um¨ gesetzte Wirkleistung. Welche geringf¨ ugige Anderung der Meßschaltung w¨ urde eine Verringerung des Meßfehlers bewirken und wie groß w¨ are dieser? d) Berechnen Sie jenen Betrag von Z V als Funktion von RWV und RWA , bei dem der Wechsel zwischen strom- und spannungsrichtiger Schaltung erfolgen muß, damit der durch den Eigenverbrauch des Meßger¨ ates verursachte relative Meßfehler m¨ oglichst gering bleibt. Musterlo ¨sung: a) Aus dem Bereichsendwert PWend PWend = Umax Imax cos ϕmax = 240 W

(6.23)

ergibt sich mit Gl. (6.16) die Wattmeterkonstante zu CW =

W PWend = 2, 4 . N Skt.

(6.24)

b) Mit der Definition des Verlustfaktors f¨ ur die Serienersatzschaltung einer verlustbehafteten Induktivit¨at (Gl. (7.8)) tan δ =

RLV = 0, 1 ωLV

(6.25)

kann ihr ohmscher Serienwiderstand aus RLV = ωLV tan δ = 6, 912 Ω

(6.26)

berechnet werden. Die damit ebenfalls bekannte komplexe Impedanz Z V

134

6 Leistungsmessung

Z V = RLV + jωLV = 6, 912 Ω + j69, 115 Ω = 69, 46 Ω ej84,29

◦

(6.27)

erm¨ oglicht dann die Berechnung des durch die Stromspule fließenden Verbraucherstromes IZV UQ IZV = = 3, 167 A . (6.28) ZV ¨ Da IZV ≤ 4Imax gilt, kann diese Messung ohne Uberlastung des Meßwerkes durchgef¨ uhrt werden. Aus der angezeigten Leistung 2 Panz = PZV = IZV RLV = 69, 335 W

(6.29)

folgt der Zeigerausschlag zu n=

Panz = 28, 9 Skt. . CW

(6.30)

c) Aus Abb. 6.5 kann man ersehen, daß vom Meßwerk die Leistung

Abb. 6.5. Stromrichtige Schaltung mit Ersatzschaltbild zur Leistungsmessung

2 2 PanzI = PWA + PZV = IV RWA + IV RLV

(6.31)

angezeigt wird. Der relative Meßfehler bei der stromrichtigen Meßschaltung ergibt sich daraus zu fI =

PanzI − PZV PWA RWA = = = 1, 45 % . PZV PZV RLV

(6.32)

Dieser Meßfehler kann nun verringert werden, wenn die spannungsrichtige Meßschaltung verwendet wird. Unter Beachtung von Abb. 6.6 ergibt sich die vom Meßwerk angezeigte Leistung zu PanzU = PWV + PZV =

UV2 UV2 2 + IV RLV = + RWV RWV



UV ZV

2 RLV ,

woraus ein relativer Meßfehler bei spannungsrichtiger Messung von

(6.33)

6.4 Blindleistungsmessung im Einphasennetz

135

Abb. 6.6. Spannungsrichtige Schaltung mit Ersatzschaltbild zur Leistungsmessung

PanzU − PZV fU = = PZV

2 UV RWV 2 UV 2 ZV

RLV

=

2 ZV = 0, 7 % RWV RLV

(6.34)

resultiert. d) Durch Gleichsetzen der relativen Fehler aus den Gln. (6.32) und (6.34) 2 RWA ZVG = RLV RWV RLV

erh¨ alt man den Grenzwert des Betrages von Z V ZVG = RWA RWV .

(6.35)

(6.36)

Aus Gl. (6.36) lassen sich die beiden folgenden Regeln ableiten: • spannungsrichtige Schaltung verwenden, wenn ZV ≤ RWA RWV

(6.37)

• stromrichtige Schaltung verwenden, wenn ZV ≥ RWA RWV .

(6.38)

F¨ ur den angegebenen Leistungsmesser gilt somit ZVG = 100 kΩ 0, 1 Ω = 100 Ω .

(6.39)

6.4 Blindleistungsmessung im Einphasennetz Beispiel 6.3: Blindleistungsmesser mit Resonanzphasenschieber Abbildung 6.7 zeigt die Schaltung eines Blindleistungsmessers mit Resonanzphasenschieber. Die Bauelemente der Schaltung sollen f¨ ur den Betrieb im 50 Hz-Netz so dimensioniert werden, daß der Blindleistungsmesser bei ) U V , I) = 1 Vollausschlag hat. UVmax = 10 V, Imax = 1 A und sin(< Das zum Aufbau des Blindleistungsmessers verwendete elektrodynamische Meßwerk hat folgende Daten:

136

6 Leistungsmessung

Abb. 6.7. Schaltung des Blindleistungsmessers

Spannungsspule: Stromspule:

Umax = 10 V RWV = 314 Ω Imax = 1 A RWA = 0, 1 Ω

a) Dimensionieren Sie L1 , L2 , R2 und C f¨ ur folgende Bedingungen: U V ⊥ I2 I1 ⊥ I2 |I 1 | = |I 2 |

(6.40) (6.41) (6.42)

b) Zeichnen Sie das Zeigerdiagramm f¨ ur den Blindleistungsmesser und u ¨berpr¨ ufen Sie damit die im Punkt a) berechneten Werte von L1 , L2 , R2 und C. c) L¨ aßt sich der Meßbereich dieses Blindleistungsmessers durch Vorschalten von ohmschen Widerst¨ anden in Serie zu L1 erweitern? Musterlo ¨sung: a) Unter Verwendung der Abk¨ urzung R2ges = R2 + RWV folgt durch Anwendung der Spannungsteilerregel der Zusammenhang zwischen I 2 und U V I2 = U V

1 (R2ges +jωL2 ) jωC 1 R2ges +jωL2 + jωC 1 (R2ges +jωL2 ) jωC 1 R2ges +jωL2 + jωC

1 R + + jωL1 2ges jωL2 1 jωC

= UV

 1 (R2ges + jωL2 ) jωC + jωL1 R2ges + jωL2 +

= UV

1 . R2ges (1 − ω 2 CL1 ) + jω(L1 + L2 − ω 2 CL1 L2 )

1 jωC



(6.43)

6.4 Blindleistungsmessung im Einphasennetz

137

Um Gl. (6.40) zu erf¨ ullen, muß der Realteil des Nenners von Gl. (6.43) Null werden, was zu (6.44) ω 2 CL1 = 1(Bedingung 1) f¨ uhrt. Durch Einsetzen von Gl. (6.44) in Gl. (6.43) erh¨ alt man I2 = =

UV UV = jω(L1 + L2 − ω 2 CL1 L2 ) jω(L1 + L2 − L2 ) UV . jωL1

(6.45)

Durch Anwendung der Stromteilerregel berechnet sich der Zusammenhang zwischen I 1 und I 2 zu I2 = I1

1 jωC

R2ges + jωL2 +

1 jωC

= I1

1 , 1 − ω 2 CL2 + jωCR2ges

(6.46)

der unter Beachtung von Gl. (6.41) zu der Bedingung ω 2 CL2 = 1(Bedingung 2)

(6.47)

f¨ uhrt. Das Einsetzen von Gleichung (6.47) in Gl. (6.46) ergibt I2 = I1

1 . jωCR2ges

(6.48)

Vergleicht man die Gln. (6.44) und (6.47), so erh¨ alt man folgenden Zusammenhang zwischen L1 und L2 L1 = L2 =

1 ω2C

.

(6.49)

Aus Gl. (6.48) in Verbindung mit Gl. (6.42) folgt ωCR2ges = 1(Bedingung 3) .

(6.50)

Bei maximaler Verbraucherspannung U V fließt aufgrund von Gl. (6.45) der Strom UVmax (6.51) I2max = ωL1 durch L2 und somit auch durch die Spannungsspule. Da bei Endausschlag des Meßwerkes Umax (6.52) I2max = RWV gelten muß, berechnen sich die Induktivit¨ aten L1 und L2 zu L1 = L2 =

UVmax RWV = 1H. Umax ω

(6.53)

138

6 Leistungsmessung

Mit dem nun bekannten Wert von L1 ergibt sich mit Gl. (6.44) die Kapazit¨ at C zu 1 = 10, 1 µF . (6.54) C= 2 ω L1 Mit den Gln. (6.47), (6.50), (6.53) und unter Beachtung von UVmax = Umax (s. Angabe) ergibt sich aus R2ges =

1 = ωL1 = RWV ωC

(6.55)

in Verbindung mit dem Zusammenhang R2ges = R2 + RWV die Dimensionierung des Widerstandes R2 R2 = 0 Ω . (6.56) b) Das in Abb. 6.8 gezeigte Zeigerdiagramm f¨ ur den Blindleistungsmesser ergibt sich aus folgenden Konstruktionsschritten: • • • •

Strom I 2 in Richtung der reellen Achse auftragen. Spannung U R2ges zeigt in Richtung von I 2 . ange. Spannung U L2 eilt I 2 um 90◦ vor und hat vorerst unbekannte L¨ Mit U C = U R2ges +U L2 und I C = jωCU C folgt mit den Gln. (6.41), (6.42) und I 1 = I 2 + I C , daß I 1 um +90◦ gegen I 2 gedreht ist und die gleiche L¨ ange wie I 2 hat. • Durch Einzeichnen von I 1 , I C und U C ergibt sich aus den geometrischen Verh¨ altnissen, daß U L2 gleich lang wie U R2ges ist. • Da U L1 dem Strom I 1 um 90◦ voreilt und U V senkrecht auf I 2 stehen muß (Gl. (6.40)), ergeben sich daraus die noch fehlenden Spannungen U L1 und U V.

Abb. 6.8. Zeigerdiagramm f¨ ur den Blindleistungsmesser

Aus der Geometrie des Zeigerdiagrammes k¨ onnen folgende Zusammenh¨ ange abgelesen werden

6.4 Blindleistungsmessung im Einphasennetz

|U | |UV | = |U L1 | = |U L2 | = |U R2ges | = √C , 2 |I | |I 1 | = |I 2 | = √C . 2

139

(6.57)

(6.58)

Mit den bei Endausschlag (Nennbetrieb) gelten Werten |U Vmax | = Umax = 10 V , |I 2max | =

10 Umax A = RWV 314

(6.59) (6.60)

kann jetzt die Dimensionierung der Bauelemente erfolgen. Die Induktivit¨ aten berechnen sich aus ωL1 = ωL2 =

|U |U L1max | | = Vmax |I 1max | |I 2max |

(6.61)

zu

314 = 1H. 2π50 Der Widerstand R2 kann entfallen, wie aus L1 = L2 =

R2ges = R2 + RWV =

|U R2gesmax | |U | = Vmax = RWV |I 2max | |I 2max |

(6.62)

(6.63)

zu entnehmen ist. Die Kapazit¨ at C ergibt sich aus ωC =

|I | |I Cmax | = 2max |U Cmax | |U Vmax |

(6.64)

zu

1 = 10, 1 µF . (6.65) 2π50 314 c) Da der Eingangswiderstand des Phasenschiebernetzwerkes ohmsch ist C=

ZE =

UV U jωL1 = ωL1 , = V = I1 jI 2 j

(6.66)

l¨ aßt sich der Spannungspfad durch ohmsche Serienwiderst¨ ande erweitern. Beispiel 6.4: Hummel-Schaltung zur Blindleistungsmessung Die in Abb. 6.9 gezeigte Schaltung (Hummel-Schaltung) wird zur Blindleistungsmessung eingesetzt. Das in der Hummel-Schaltung verwendete elektrodynamische Meßwerk hat folgende Daten:

140

6 Leistungsmessung

Abb. 6.9. Hummel-Schaltung

Spannungsspule: Stromspule:

Umax = 10 V RWV = 1 kΩ Imax = 1 A RWA = 0 Ω

Die Schaltung ist mit L1 = 1 H, L2 = 0, 1471 H und R1 = 14, 518 Ω so dimensioniert, daß im 50 Hz-Netz die Blindleistung richtig angezeigt wird. a) Aufgrund eines nicht-linearen Verhaltens des Verbrauchers Z V tritt bei sinusf¨ ormiger Betriebsspannung im Verbraucherstrom neben der Grundwelle auch noch die dritte Harmonische auf, d. h. der Verbraucherstrom wird durch iZV (t) = Iˆ1 sin(ωt + ψ1 ) + Iˆ3 sin(3ωt + ψ3 ) beschrieben. Untersuchen Sie, ob bei einer an diesem Verbraucher durchgef¨ uhrten Blindleistungsmessung ein Meßfehler auftritt oder nicht. Hinweis: Die Blindleistung bei nichtsinusf¨ ormigen aber periodischen Spannungen und Str¨ omen u(t) =

∞

√

2Un sin(nωt + ϕn )

(6.67)

2In sin(nωt + ψn )

(6.68)

n=1

i(t) =

∞

√ n=1

ist durch PB =

∞

Un In sin(ϕn − ψn )

(6.69)

n=1

gegeben. b) Welcher relative Meßfehler tritt auf, wenn mit diesem Blindleistungsmesser die Blindleistung an einer linearen Induktivit¨ at mit tan δ = 0, 1 (bei 50 Hz; s. Gl. (7.8)) im amerikanischen Netz (Netzfrequenz f = 60 Hz) gemessen wird?

6.4 Blindleistungsmessung im Einphasennetz

141

Musterlo ¨sung: a) Die im Verbraucher Z V umgesetzte Blindleistung berechnet sich unter der Annahme von ϕ1 = 0 zu Iˆ1 QZVw = U1 √ sin(−ψ1 ) = −U1 I1 sin ψ1 . 2

(6.70)

Ein Vergleich mit der vom Meßwerk angezeigten Blindleistung

QZVr

1 = T

T

ˆ1 sin(ωt − 90◦ )[Iˆ1 sin(ωt + ψ1 ) + Iˆ3 sin(3ωt + ψ3 )] dt U

0

1 = T

T

ˆ1 Iˆ1 sin(ωt − 90◦ ) sin(ωt + ψ1 ) dt U

0

+

1 T 

T

ˆ1 Iˆ3 sin(ωt − 90◦ ) sin(3ωt + ψ3 ) dt U

0





=0

=

1 T

T

ˆ1 Iˆ1 1 (cos(−90◦ − ψ1 ) − cos(2ωt − 90◦ + ψ1 )) dt U 2

0

ˆ1 Iˆ1 1 cos(90◦ + ψ1 ) = −U1 I1 sin ψ1 =U 2

(6.71)

beweist, daß die Blindleistung richtig angezeigt wird! b) Die an der Spannungsspule anliegende Spannung U WV ergibt sich durch Anwendung der Spannungsteilerregel zu U WV =

R1 (RWV +jωL2 ) R +RWV +jωL2 UV R (R 1 +jωL 1 WV 2) R1 +RWV +jωL2 + jωL1

= UV

R1 RWV −

ω 2 L1 L2

RWV RWV + jωL2

R1 RWV . (6.72) + jω(R1 L2 + L1 (R1 + RWV ))

Zur Berechnung des bei f = 60 Hz auftretenden Betrags- und Phasenfehlers ist das komplexe Verh¨ altnis U WV /UV bei f = 50 Hz o o U WV = 0, 045455 e−j90 = k1 e−j90 UV

(6.73)

142

6 Leistungsmessung

und bei f = 60 Hz o o U WV = 0, 037874 e−j90,955 = k2 e−j(90 +∆ϕ) UV

(6.74)

auszuwerten. Aus der in Z V umgesetzten Blindleistung QZVw = UV

UV sin ϕZV |Z V |

(6.75)

und der vom Meßwerk angezeigten Blindleistung QZVr = UV

k2 k1 

UV sin(ϕZV − |Z V |

∆ϕ 

)

(6.76)

Phasenfehler

Betragsfehler

berechnet sich der relative Meßfehler zu f =

UV2 QZVr −1= QZVw

k2 1 k1 |Z V | sin(ϕZV − UV2 |Z1 | sin ϕZV V

∆ϕ)

−1

sin ϕZV cos ∆ϕ − cos ϕZV sin ∆ϕ k2 −1 sin ϕZV k1   1 k2 sin ∆ϕ − 1. = cos ∆ϕ − tan ϕZV k1

=

(6.77)

Mit der f¨ ur eine verlustbehaftete Induktivit¨ at geltenden Gl. (7.8) und tan ϕZV = ωLV /RLV (Reihenersatzschaltbild der verlustbehafteten Spule (Abb. 7.4)) folgt aus 1 (6.78) tan ϕZV = tan δ der relative Meßfehler f = (cos ∆ϕ − tan δ sin ∆ϕ)

k2 − 1 = −16, 57 % . k1

(6.79)

Aufgabe 6.1: Berechnung und Dimensionierung der Hummel-Schaltung Abbildung 6.10 zeigt eine Schaltung zur Blindleistungsmessung, die sog. Hummel-Schaltung. Das zum Aufbau der Hummel-Schaltung verwendete elektrodynamische Meßwerk hat folgende Daten: Spannungsspule: Stromspule:

Umax = 10 V RWV = 1 kΩ Imax = 1 A RWA = 0 Ω

6.4 Blindleistungsmessung im Einphasennetz

143

Abb. 6.10. Hummel-Schaltung

a) Berechnen Sie den Zusammenhang zwischen L1 , L2 , R1 und RWV so, daß die Hummel-Schaltung als Blindleistungsmesser arbeitet. ur L1 = 1 H, b) Dimensionieren Sie R1 und L2 des Blindleistungsmessers f¨ f = 50 Hz und eine maximale Verbraucherspannung von UV = 220 V. L¨ osung: a) R1 RWV = ω 2 L1 L2 b) R1 = 14, 518 Ω, L2 = 0, 147 H .

7 Messung von elektrischen Impedanzen

7.1 Ersatzquellenprinzip F¨ ur die Berechnung linearer elektrischer Netzwerke, die Spannungs- und Stromquellen enthalten, ist es oft von Vorteil, wenn man mehrere Zweige des zu analysierenden Netzwerkes bez¨ uglich ihres Klemmenverhaltens zu einem aktiven Zweipol, der eine Spannungs- oder eine Stromquelle und einen ohmschen Widerstand enth¨ alt, zusammenfaßt. Ein solcher aktiver Zweipol, der nach außen hin das Netzwerk hinsichtlich seines Strom-Spannungsverhaltens an seinen beiden Torklemmen vollst¨ andig repr¨ asentiert, wird als Ersatzspannungsquelle bzw. Ersatzstromquelle bezeichnet (Abb. 7.1). Bei Leerlauf (keine

linearer aktiver Zweipol

I 1 U 2 Ersatzstromquelle

Ersatzspannungsquelle I 1

I

1

IQ

RQ U

RQ

U

UQ 2

2

Abb. 7.1. Aktiver Zweipol und Ersatzschaltungen

impedanzm¨ aßige Belastung an den ¨ außeren Klemmen) mißt man an den Klemmen der Ersatzspannungsquelle die Leerlaufspannung UQ und bei Kurzschluß

146

7 Messung von elektrischen Impedanzen

den Kurzschlußstrom IQ , womit sich der Ersatzwiderstand RQ als Quotient dieser beiden Gr¨ oßen ergibt. Bei Belastung der Ersatzspannungsquelle mit dem Strom I berechnet sich die Klemmenspannung U zu U = U Q − RQ I .

(7.1)

Dividiert man Gl. (7.1 ) durch den Ersatzwiderstand RQ , so ergibt sich I = IQ −

U . RQ

(7.2)

Diesen Zusammenhang erh¨alt man auch durch Aufstellen der f¨ ur den inneren Knoten der Ersatzstromquelle geltenden Knotengleichung. Damit sind die beiden Ersatzquellen hinsichtlich der Berechnung von U und I einander ¨ aquivalent. Die rechnerische Bestimmung des Ersatzwiderstandes RQ (Innenwiderstand der Quelle) erfolgt derart, daß man zun¨ achst alle Spannungsquellen des aktiven Zweipols kurzschließt, alle seine Stromquellen unterbricht, um dann den Widerstand zwischen den Klemmen 1 und 2 des nun passiven Zweipols zu berechnen.

7.2 Grundlagen zur Messung ohmscher Widerst¨ ande Von den vielen M¨ oglichkeiten zur Messung ohmscher Widerst¨ ande werden hier nur die Messung mittels Konstantstromquelle und die Br¨ uckenschaltungen behandelt. Messung mittels Konstantstromquelle Das Meßprinzip beruht auf der in Abb. 7.2 dargestellten Meßschaltung, bei der durch den zu messenden Widerstand RX ein Konstantstrom I0 fließt. Durch

Abb. 7.2. Widerstandsmessung mit Hilfe einer Konstantstromquelle

Messung der Spannung UX kann bei bekanntem Strom I0 auf den Widerstand RX geschlossen werden UX . (7.3) RX = I0

7.2 Grundlagen zur Messung ohmscher Widerst¨ ande

147

Meßbru ¨ cken Abbildung 7.3 zeigt die auf einen Vorschlag von Wheatstone zur¨ uckgehende Br¨ uckenschaltung, deren Funktionsprinzip auf der Verwendung von zwei ohmschen Spannungsteilern beruht.

Abb. 7.3. Meßbr¨ ucke zur Messung ohmscher Widerst¨ ande

Die Diagonalspannung UD berechnet sich entsprechend Abb. 7.3 zu   R2 R2 R3 − R1 R4 R4 . UD = U E − = UE R1 + R2 R3 + R4 (R1 + R2 )(R3 + R4 )

(7.4)

Aus Gl. (7.4) ergeben sich zwei prinzipielle M¨ oglichkeiten zur Widerstandsmessung: • Man mißt UD und berechnet daraus bei bekanntem UE und drei bekannten Widerst¨ anden den gesuchten vierten Widerstand. • Einer der drei bekannten Widerst¨ ande wird abgleichbar ausgef¨ uhrt und ullt ist, stets so eingestellt, daß die sog. Abgleichbedingung UD = 0 V erf¨ aus der sich dann mit Gl. (7.4) der der Berechnung des unbekannten Widerstandes dienende Zusammenhang R2 R3 = R1 R4

(7.5)

ergibt. Die erste Methode, bei der kein Abgleich erforderlich ist, wird Ausschlagverfahren genannt und haupts¨ achlich in der Sensorik eingesetzt. Das Ausschlagverfahren hat jedoch den Nachteil, daß die Br¨ uckenversorgungsspannung UE und die Diagonalspannung UD wertem¨ aßig bekannt sein m¨ ussen und deren Fehler direkt in die Meßgenauigkeit eingehen. Außerdem tritt bei der Messung von UD aufgrund des endlichen Innenwiderstandes des Spannungsmeßger¨ ates ein Belastungsfehler auf. Die eben genannten Nachteile k¨ onnen beim Betrieb als Abgleichbr¨ ucke vermieden werden, weil hier nur die Erf¨ ullung der Abgleichbedingung UD = 0 V detektiert werden muß. Das zur Messung von UD eingesetzte Meßwerk muß eine hohe Empfindlichkeit haben und darf nat¨ urlich keinen Nullpunktfehler aufweisen.

148

7 Messung von elektrischen Impedanzen

7.3 Grundlagen zur Messung von Schein- und Blindwiderst¨ anden Eine beliebige komplexe Impedanz Z enth¨ alt eine Wirkkomponente R (R ≥ 0) und eine Blindkomponente X (−∞ < X < ∞). Sie l¨ aßt sich mathematisch in Form folgender Gleichung Z = Re(Z) + jIm(Z) = R + jX

(7.6)

beschreiben. Je nach Vorzeichen von X spricht man von einem kapazitiven (X < 0) bzw. induktiven (X > 0) Verhalten. Da es keine idealen, d. h. verlustlosen, Bauelemente gibt, hat man es bei den in der Praxis verwendeten Kapazit¨ aten und Induktivit¨ aten stets mit verlustbehafteten Bauelementen zu tun. Zur Beschreibung solcher verlustbehafteter Bauelemente wurden einige Begriffe eingef¨ uhrt, die im folgenden kurz erl¨ autert werden. Reihen- und Parallelersatzschaltbilder einer verlustbehafteten Induktivit¨ at Abbildung 7.4 zeigt die beiden Standard-Ersatzschaltbilder zur Beschreibung einer verlustbehafteten Induktivit¨ at.

Abb. 7.4. Ersatzschaltbilder einer verlustbehafteten Induktivit¨ at mit entsprechenden Impedanz- bzw. Admittanz-Diagrammen: a) Reihenersatzschaltbild (Serienersatzschaltbild), b) Parallelersatzschaltbild

Mit Z L = RS + jωLS =

1 = YL

1 RP

1 1 + jωL P

(7.7)

at zu berechnet sich der Verlustfaktor tan δL der verlustbehafteten Induktivit¨ tan δL =

RS ωLP = . ωLS RP

(7.8)

7.3 Grundlagen zur Messung von Schein- und Blindwiderst¨ anden

149

Abb. 7.5. Ersatzschaltbilder einer verlustbehafteten Kapazit¨ at mit entsprechenden Impedanz- bzw. Admittanz-Diagrammen: a) Reihenersatzschaltbild (Serienersatzschaltbild), b) Parallelersatzschaltbild

Reihen- und Parallelersatzschaltbilder einer verlustbehafteten Kapazit¨ at Abbildung 7.5 zeigt die beiden Standard-Ersatzschaltbilder zur Beschreibung einer verlustbehafteten Kapazit¨ at. Mit 1 1 1 = = 1 (7.9) Z C = RS − j ωCS YC + jωCP RP berechnet sich der Verlustfaktor tan δC der verlustbehafteten Kapazit¨ at zu tan δC = ωRS CS =

1 . ωCP RP

(7.10)

Bei allen in diesem Buch enthaltenen Beispielen wird f¨ ur verlustbehaftete Induktivit¨ aten zur Berechnung immer das Serienersatzschaltbild und f¨ ur verlustbehaftete Kapazit¨ aten immer des Parallelersatzschaltbild herangezogen. Auswertung von Auf- bzw. Entladevorg¨ angen zur Messung von verlustfreien Kapazit¨ aten

Abb. 7.6. Zeitverl¨ aufe bei Auf- und Entladevorg¨ angen von Kapazit¨ aten

Bei dieser Meßmethode wird von der Tatsache gebrauch gemacht, daß bei einem Auf- bzw. Entladevorgang (Abb. 7.6)

150

7 Messung von elektrischen Impedanzen

  t t uCauf (t) = Uref 1 − e− RC bzw.uCent (t) = Uref e− RC

(7.11)

jenes Zeitintervall, das beim Auf- bzw. Entladen von einem frei w¨ ahlbaren Spannungswert   t1auf t1ent (7.12) U1auf = Uref 1 − e− RC bzw. U1ent = Uref e− RC zu einem zweiten, ebenfalls vorgebbaren Spannungswert   t2auf t2ent U2auf = Uref 1 − e− RC bzw. U2ent = Uref e− RC

(7.13)

ben¨ otigt wird, proportional zum Kapazit¨ atswert C ist     Uref Uref − RC ln t2auf − t1auf = RC ln Uref − U2auf Uref − U1auf

= RC ln

1− 

t2ent − t1ent = RC ln  = RC ln

1−

U1auf Uref U2auf Uref

Uref U2ent U1ent U2ent

 bzw.



(7.14) 

− RC ln

Uref U1ent



 .

(7.15)

Da in den eben abgeleiteten Zusammenh¨ angen nur Spannungsverh¨ altnisse vorkommen, k¨ onnen die Auf- bzw. Entladezeiten von absoluten Spannungswerten unabh¨ angig gemacht werden, wenn die Vergleichsspannungen U1auf und U2auf bzw. U1ent und U2ent durch Spannungsteiler aus der Referenzspannung Uref abgeleitet werden. Außerdem muß die Referenzspannung nur stabil, aber nicht wertem¨ aßig bekannt sein. Dieses Meßprinzip kann entsprechend den Gln. (7.14) und (7.15) auch zur Widerstandsmessung eingesetzt werden. Meßbru ¨ cken In Analogie zu den in Kap. 7.2 zur Messung ohmscher Widerst¨ ande vorgestellten Gleichstrombr¨ ucken werden strukturgleiche Meßbr¨ ucken zur Messung komplexer Impedanzen eingesetzt. Wie man Abb. 7.7 entnehmen kann, berechnet sich die Diagonalspannung U D analog zu Gl. (7.4) UD = UE

Z 2Z 3 − Z 1Z 4 . (Z 1 + Z 2 )(Z 3 + Z 4 )

(7.16)

Wechselstrombr¨ ucken k¨ onnen wiederum als Ausschlag- und Abgleichbr¨ ucken betrieben werden. Im weiteren wird nur auf die Abgleichbr¨ ucken eingegangen.

7.3 Grundlagen zur Messung von Schein- und Blindwiderst¨ anden

151

Abb. 7.7. Wechselstrom-Meßbr¨ ucke

Mit der Abgleichbedingung U D = 0 V ergibt sich aus Gl. (7.16) folgender Zusammenhang (7.17) Z 2Z 3 = Z 1Z 4 . Entsprechend den beiden Darstellungsm¨ oglichkeiten komplexer Zahlen durch Real- und Imagin¨ arteil bzw. Betrag und Phase Z X = RX + jXX = |Z X |ejϕX

(7.18)

kann Gl. (7.17) in jeweils eine Gleichung f¨ ur Betrag und Phase |Z 2 ||Z 3 | = |Z 1 ||Z 4 |

(7.19)

ϕ2 + ϕ3 = ϕ1 + ϕ4

(7.20)

oder in jeweils eine Gleichung f¨ ur Real- und Imagin¨ arteil R2 R3 − X2 X3 = R1 R4 − X1 X4

(7.21)

X2 R3 + R2 X3 = X1 R4 + R1 X4

(7.22)

aufgespaltet werden. Da die zu messende Impedanz zwei unabh¨ angige Bestimalt, m¨ ussen zwei Abgleichelemente vorhanden mungsgr¨ oßen (RX und XX ) enth¨ sein, was sich auch darin ¨ außert, daß die Aufspaltung von Gl. (7.17) auf zwei unabh¨ angig voneinander zu erf¨ ullende Gleichungen f¨ uhrt. Resonanzverfahren Beim Resonanzverfahren wird das Bauelement, dessen Wirk- und Blindkomponente zu bestimmen sind, durch ein komplement¨ ares verlustarmes Bauelement zu einem Schwingkreis erg¨ anzt. So wird beispielsweise eine Induktivit¨ at durch einen Kondensator bekannter Kapazit¨ at zu einem Serienschwingkreis zusammengeschaltet. Dieses Meßprinzip basiert auf den speziellen Eigenschaften so aufgebauter Resonanzschwingkreise. Die Messung kann durch Auswertung der Verh¨ altnisse beim Betrieb mit erzwungenen Schwingungen

152

7 Messung von elektrischen Impedanzen

variabler Frequenz (z. B. durch Messung der Resonanzfrequenz und der Resonanz¨ uberh¨ ohung beim Durchfahren der Resonanzkurve) oder durch Auswertung von angeregten freien Schwingungen (z. B. durch Messung der Schwingfrequenz und des Abklingverhaltens) erfolgen.

7.4 Messung ohmscher Widerst¨ ande Beispiel 7.1: Widerstandsmessung mit einer Konstantstromquelle Abbildung 7.8 zeigt die schaltungstechnische Realisierung einer Widerstandsmessung, bei der eine mittels eines Operationsverst¨ arkers aufgebaute Konstantstromquelle verwendet wird.

Abb. 7.8. Operationsverst¨ arkerschaltung zur Widerstandsmessung

a) Wie muß unter der Annahme eines idealen Operationsverst¨ arkers f¨ ur die Werte UQ = 5 V und RQ = 0 Ω der Widerstand R dimensionieren werden, damit eine Variation des R¨ uckkoppelwiderstandes RX im Wertebereich RX = (0 . . . 10 kΩ) zu einer entsprechenden Ausgangsspannung UA im uhrt? Wertebereich UA = (0 . . . − 10 V) f¨ b) Berechnen Sie f¨ ur die unter Punkt a) ermittelte Dimensionierung den maximalen relativen Fehler, wenn die Spannungsquelle nun einen Innenwiderarker mit V0 = 1000 stand von RQ = 100 Ω hat und ein Operationsverst¨ (restliche Daten des Operationsverst¨ arkers sind ideal) verwendet wird. Musterlo ¨sung: a) Da es sich bei der Meßschaltung um einen invertierenden Verst¨ arker handelt, folgt aus RX (7.23) UAw = −UQ R die Dimensionierungsvorschrift f¨ ur den Widerstand R R = −UQ

RXmax = 5 kΩ . UAmin

(7.24)

7.4 Messung ohmscher Widerst¨ ande

153

b) Aus den beiden Maschengleichungen IQ (R + RQ ) = UQ + uD

(7.25)

UAr = IG RX − uD

(7.26)

folgt mit IQ = −IG und UA = V0 uD eine Bestimmungsgleichung f¨ ur die Ausgangsspannung UAr = −

UQ + u D RX − uD R + RQ

RX = −UQ − UAr R + RQ



RX 1 + V0 (R + RQ ) V0

 .

(7.27)

Der relative Meßfehler berechnet sich mit den Gln. (7.23) und (7.27) zu f=

UAr −1= UAw 1+

R R+RQ RX V0 (R+RQ )

+

1 V0

− 1.

(7.28)

Er erreicht seinen maximalen Wert f¨ ur RXmax fmax =

1+

R R+RQ RXmax V0 (R+RQ )

+

1 V0

− 1 = −2, 3 % .

(7.29)

Beispiel 7.2: Ausschlagbr¨ ucke Abbildung 7.9 zeigt eine Ausschlagbr¨ ucke, die zur Messung der Widerstands¨ anderung von RX (potentiometrischer Sensor) verwendet wird.

Abb. 7.9. Schaltung der Ausschlagbr¨ ucke

a) Wie m¨ ussen Sie R1 , R3 , R4 und UE dimensionieren, damit f¨ ur RX0 = 1 kΩ die Br¨ uckenspannung UD = 0 V ist und die Empfindlichkeit dUD /dRX an

154

7 Messung von elektrischen Impedanzen

der Stelle RX0 maximal wird? Beachten Sie, daß am Widerstand RX eine maximale Verlustleistung von PWmax = 0, 125 W auftreten darf und bei ¨ von RX vernachl¨ assigt werden der Dimensionierung von UE die Anderung kann. aherung UD ∼ b) Wie groß darf ∆RX maximal sein, damit der durch die N¨ ∆RX verursachte Fehler ≤ 1 % ist. Musterlo ¨sung: a) Aus der Br¨ uckendiagonalspannung (Gl. (7.4)) UD = U E

RX R4 − UE R1 + RX R3 + R4

(7.30)

folgt f¨ ur die Empfindlichkeit bei UD = 0 V  dUD  R1 + RX0 − RX0 R1 = UE = UE dRX RX =RX0 (R1 + RX0 )2 (R1 + RX0 )2 = UE v(R1 ) .

(7.31)

Durch Differenzieren des Terms v(R1 ) nach R1 dv (R1 + RX0 )2 − 2R1 (R1 + RX0 ) = UE dR1 (R1 + RX0 )4 = UE

2 R12 + 2R1 RX0 + RX0 − 2R12 − 2RX0 R1 (R1 + RX0 )4

= UE

2 RX0 − R12 (R1 + RX0 )4

(7.32)

ergibt sich mit dv/dR1 = 0 der Widerstand R1 = RX0 ,

(7.33)

bei dem die Empfindlichkeit maximal wird. F¨ ur UD = 0 folgt aus Gl. (7.30) R1 R3 = =⇒ RX0 R4

R 3 = R4

(7.34)

und damit die sinnvolle Wahl R1 = R3 = R4 = RX0 = 1 kΩ.

(7.35)

Aus der Proportionalit¨ at dUD /dRX ∼ UE kann man schließen, daß die Verur eine hohe Empfindlichkeit m¨ oglichst groß gew¨ ahlt sorgungsspannung UE f¨

7.4 Messung ohmscher Widerst¨ ande

155

werden muß. Der maximale Wert von UE wird durch die Verlustleistung an RX bestimmt PWmax =

2 UEmax =⇒ UEmax = 2 PWmax RX0 = 22, 4 V 4RX0

und f¨ uhrt zu einer maximalen Empfindlichkeit von   dUD R1 1 mV . = UEmax = UEmax = 5, 6 dRX max (R1 + RX0 )2 4RX0 Ω

(7.36)

(7.37)

b) Mit den Gln. (7.30) und (7.35) berechnet sich die Diagonalspannung als Funktion von ∆RX zu   RX0 + ∆RX 1 − UD = U E RX0 + RX0 + ∆RX 2 = UE

2RX0 + 2∆RX − 2RX0 − ∆RX 2(2RX0 + ∆RX0 )

= UE

∆RX . 2(2RX0 + ∆RX )

(7.38)

∆RX 4RX0

(7.39)

Aus der N¨ aherung UD ≈ U E

folgt f¨ ur die angezeigte Widerstands¨ anderung ∆RXr ≈ 4RX0

UD . UE

(7.40)

Unter Verwendung der tats¨achlichen Widerstands¨ anderung (Gl. (7.38)) ∆RXw = 4RX0

UD UE − 2UD

(7.41)

berechnet sich die maximal tolerable Widerstands¨ anderung |∆RX |max aus dem vorgegebenen relativen Fehler f =

UE − 2UD UD ∆RXr −1= − 1 = −2 ∆RXw UE UE

≈ −2

∆RX 4RX0

(7.42)

zu |∆RX |max ≤ |fmax 2RX0 | = 20 Ω .

(7.43)

156

7 Messung von elektrischen Impedanzen

Beispiel 7.3: Br¨ uckenschaltung zur Temperaturmessung Mit der in Abb. 7.10 dargestellten Br¨ uckenschaltung soll ein Temperaturmeßger¨ at aufgebaut werden. Zur Anzeige wird ein Drehspulinstrument (IMend = 1 mA, RM = 0 Ω) verwendet, dessen Anzeigeskala linear von −20 ◦ C bis 40 ◦ C beschriftet ist.

Abb. 7.10. Br¨ uckenschaltung zur Temperaturmessung

Zur Messung der Temperatur wird ein Si-Halbleitersensor eingesetzt, dessen Widerstands-Temperatur-Kennlinie durch R(ϑ) = R0 (1 + α(ϑ − ϑ0 ))

(7.44)

mit den Parametern R0 = 2000 Ω ϑ0 = 20 ◦ C α = 8 · 10−3 K−1

Widerstandswert bei ϑ0 , Bezugstemperatur, linearer Temperaturkoeffizient

beschrieben wird. at bei den Temperatura) Berechnen Sie R1 und UE derart, daß das Meßger¨ werten ϑ = −20 ◦ C und ϑ = 40 ◦ C fehlerfrei anzeigt. b) Berechnen Sie den maximalen absoluten Meßfehler (in ◦ C) dieses Meßger¨ ates f¨ ur den angegebenen Meßbereich (−20 ◦ C ≤ ϑ ≤ 40 ◦ C). Musterlo ¨sung: a) Um den durch das Meßwerk fließenden Strom auf einfache Weise berechnen zu k¨ onnen, wird zun¨ achst bez¨ uglich der Br¨ uckendiagonalen eine Ersatzspannungsquelle mit folgenden Komponenten ermittelt   R(ϑ) R1 R(ϑ) − R1 − , (7.45) = UE UQ (ϑ) = UE R1 + R(ϑ) R1 + R(ϑ) R1 + R(ϑ) RQ (ϑ) = 2

R1 R(ϑ) . R1 + R(ϑ)

(7.46)

7.4 Messung ohmscher Widerst¨ ande

157

Mit diesen Ersatzgr¨ oßen berechnet sich der Strom IM durch das Drehspulinstrument zu R(ϑ) − R1 UQ (ϑ) IM (ϑ) = = UE . (7.47) RQ (ϑ) 2R1 R(ϑ) ¨ Aus der Uberlegung, daß der Strom IM bei ϑ = −20 ◦ C gleich Null sein muß, folgt aus Gl. (7.47) der Br¨ uckenwiderstand R1 R1 = R(−20 ◦ C) = 1360 Ω .

(7.48)

Da das Drehspulinstrument bei ϑ = 40 ◦ C Endausschlag haben soll, berechnet otigte Eingangsspannung UE aus Gl. (7.47) sich mit R(40 ◦ C) = 2320 Ω die ben¨ zu 2R1 R(40 ◦ C) = 6, 573 V . (7.49) UE = IMend R(40 ◦ C) − R1 b) Abbildung 7.11 zeigt die Ist- und Sollkennlinien des Meßwerkstromes IM .

Abb. 7.11. Verl¨ aufe der Ist- und Sollkennlinien des Meßwerkstromes IM (ϑ)

Der Sollwert von IM ergibt sich aus der durch die Endpunkte gelegten Geraden IMsoll (ϑ) = IM (ϑstart ) + =

IM (ϑend ) − IM (ϑstart ) (ϑ − ϑstart ) ϑend − ϑstart

IMend (ϑ − ϑstart ) . ϑend − ϑstart

(7.50)

Der Istwert ist durch Gl. (7.47) gegeben IMist (ϑ) = UE

R(ϑ) − R1 . 2R1 R(ϑ)

(7.51)

Aus dem absoluten Fehler F = IMist (ϑ) − IMsoll (ϑ)

(7.52)

158

7 Messung von elektrischen Impedanzen

ergibt sich durch Ableiten UE R0 αR(ϑRmax ) − (R(ϑRmax ) − R1 )R0 α dF = dϑ 2R1 R2 (ϑRmax ) −

IMend =0 ϑend − ϑstart

(7.53)

mit folgender Umformung R2 (ϑRmax ) = UE

R0 α ϑend − ϑstart 2 IMend

(7.54)

der Widerstandswert, bei dem der gr¨ oßte Fehler auftritt, zu R(ϑRmax ) = 1776, 3 Ω .

(7.55)

Daraus erh¨ alt man mit R(ϑRmax ) = R0 (1 + α(ϑRmax − ϑ0 )) die Temperatur ϑRmax R(ϑRmax ) − R0 + ϑ0 = 6, 018 ◦ C , (7.56) ϑRmax = R0 α bei der der maximale absolute Fehler Fmax = IMist (ϑRmax ) − IMsoll (ϑRmax ) = 0, 1326 mA

(7.57)

auftritt. Die Umrechnung von Fmax in eine Temperaturdifferenz liefert ∆ϑmax =

ϑend − ϑstart Fmax = 7, 96 ◦ C . IMend

(7.58)

Aufgabe 7.1: Belastungsfehler bei einer Ausschlagbr¨ ucke ucke wird mit Die Br¨ uckenspannung UD der in Abb. 7.12 dargestellten Meßbr¨  = 100 kΩ/V) gemessen. einem Spannungsmeßger¨ at (RVber

Abb. 7.12. Aufbau der Meßbr¨ ucke

7.5 Messung von Kapazit¨ aten und Induktivit¨ aten

159

a) Berechnen Sie die beiden Komponenten UQ und RQ der Ersatzspannungsquelle bez¨ uglich der Br¨ uckendiagonalen f¨ ur R2 = R3 = R4 = R = 1 kΩ, RX = 0, 9 kΩ und UE = 10 V. uckenspannung mit b) Wie groß ist der relative Meßfehler fbel , wenn die Br¨ dem oben angegebenen Spannungsmeßger¨ at im 0, 5 V-Bereich gemessen wird? c) Wie groß ist der maximale relative Meßfehler fmax , wenn außerdem die Genauigkeitsklasse des Spannungsmeßger¨ ates (1 %) ber¨ ucksichtigt wird? L¨ osung: a) UQ = 0, 263 V, RQ = 0, 974 KΩ b) fbel = −1, 91 % c) fmax = −3, 85 %

7.5 Messung von Kapazit¨ aten und Induktivit¨ aten Beispiel 7.4: Kapazit¨atsmeßger¨at Die in Abb. 7.13 gezeigte Schaltung wird als Kapazit¨ atsmeßger¨ at verwendet. Der Meßbereich des Meßger¨ ates soll 1 nF betragen. Zur Anzeige wird ein Drehspulinstrument mit einem Endausschlag von 5 V verwendet. Die digitalen uhrte Takt ist symmetrisch Gatter werden mit UB = 15 V versorgt. Der zugef¨ (Impulsdauer = Pausendauer) und hat eine Frequenz von 10 kHz.

Abb. 7.13. Schaltung des Kapazit¨ atsmeßger¨ ates

a) Skizzieren Sie die Zeitverl¨ aufe der Spannungen uE , u1 , u2 und uA f¨ ur C = Cmax . Tragen Sie alle Spannungs- und Zeitwerte, die Sie zu diesem Zeitpunkt kennen, in das Diagramm ein. Berechnen Sie den Widerstand R. ¨ Gehen Sie bei Ihren Uberlegungen davon aus, daß die verwendeten digitalen Gatter an ihren Ausg¨ angen die Betriebsspannungsgrenzen (UB und

160

7 Messung von elektrischen Impedanzen

Masse) erreichen, die Eingangswiderst¨ ande unendlich groß sind, die Schaltschwelle des Inverters bei UB /2 liegt und die Diode ideal (d. h. UD = 0 V in Durchlaßrichtung) ist. ur dieses Kapazit¨ atsmeßger¨ at garanb) Welche Genauigkeitsklasse GC kann f¨ tiert werden, wenn folgende relative Fehler gegeben sind: Drehspulmeßwerk: Widerstand R: Takt: Inverterschaltschwelle:

G = 0, 5 % |fR |max = 1 % fT = 10 kHz . . . 10, 05 kHz Uschw = U2B ± 0, 01UB

c) Welche Anzeige liefert das Meßger¨ at bei C = Cmax , wenn die Diode aufgrund eines Defektes in Durchlaßrichtung nicht mehr leitet? Gehen Sie bei Ihren Berechnungen von der unter Punkt a) ermittelten Dimensionierung aus. d) Nennen Sie einfache M¨ oglichkeiten, wie der Meßbereich des Meßger¨ ates erweitert werden kann. Musterlo ¨sung: ¨ a) Aus der Uberlegung, daß f¨ ur C = Cmax das Drehspulinstrument Endausschlag haben soll, folgt f¨ ur die Impulsdauer der Ausgangsspannung uA uA = U B

TE 1 uA T = 5 V =⇒ TE = = . T = T UB 3 3f

(7.59)

Daraus ergeben sich nun die in Abb. 7.14 dargestellten Spannungsverl¨ aufe. Der Widerstand R berechnet sich aus dem Aufladevorgang Uschw =

    TE T UB = UB 1 − e− RCmax = UB 1 − e− 3RCmax 2

zu R=

T 3Cmax ln 2

= 48, 09 kΩ .

b) Die Anzeige (Zeigerausschlag) des Meßger¨ ates ergibt sich zu   UB UB UB = Su RC ln . α = S u U A = S u TE T UB − Uschw T

(7.60)

(7.61)

(7.62)

F¨ ur den relativen Anzeigefehler folgt daher dα dSu 1 UB − Uschw −UB Uschw −dUschw dR dT = + + − 2 α Su R ln 2 UB (UB − Uschw ) Uschw T =

1 ±0, 01UB dR dT dSu + . + − U B Su R ln 2 T 2

(7.63)

7.5 Messung von Kapazit¨ aten und Induktivit¨ aten

161

Abb. 7.14. Zeitliche Verl¨ aufe des Taktsignals sowie der Spannungen u1 , u2 und uA

Da die Periodendauer nur einen negativen Fehler besitzt, ergibt sich f¨ ur das gesamte Kapazit¨ atsmeßger¨ at im schlechtesten Fall folgende Genauigkeitsklasse 2 0, 01 + |ffT |max = 4, 89 % . (7.64) GC = G + |fR |max + ln 2 c) Wenn die Diode in Durchlaßrichtung nicht leitet, ergeben sich die in Abb. 7.15 dargestellten Zeitverl¨ aufe.

Abb. 7.15. Zeitliche Verl¨ aufe des Taktsignals sowie der Spannung u2 bei defekter Diode

162

7 Messung von elektrischen Impedanzen

Aus Abb. 7.15 folgt f¨ ur den Aufladevorgang (Gl. (10.7)) und somit f¨ ur den Spannungswert UH die Beziehung T

UH = UB + (∆U − UB )e− 2RC .

(7.65)

Durch Einsetzen von UH (Gl. (7.65)) in die den Entladevorgang beschreibende Gleichung T UB + ∆U = UB + (UH + UB − UB )e− 2RC (7.66) erh¨ alt man eine Bestimmungsgleichung f¨ ur ∆U   T T ∆U = UB + (∆U − UB )e− 2RC e− 2RC , die nach einer Umformung zur L¨ osung von ∆U f¨ uhrt   T T 1 − e− 2RC e− 2RC ∆U = UB = 3, 918 V . T 1 − e− RC

(7.67)

(7.68)

Mit dieser L¨ osung kann jetzt unter Verwendung von Gl. (7.65) TE UB = UB + (∆U − UB )e− RC 2

(7.69)

die Zeit TE berechnet werden

TE = RC ln

UB − ∆U UB 2

 = 18, 775 µs .

(7.70)

Die vom Meßger¨ at angezeigte Spannung (Kapazit¨ at) betr¨ agt daher uA = U B

TE = 2, 816 V = ˆ 563, 3 pF . T

(7.71)

d) Folgende einfache M¨ oglichkeiten der Meßbereichserweiterung sind vorhanden: • Widerstand R ver¨ anderbar ausf¨ uhren • Takt variabel ausf¨ uhren. Beispiel 7.5: Messung einer Induktivit¨at mittels Resonanzverfahren Mit der in Abb. 7.16 gezeigten Meßschaltung sollen verlustbehaftete Induktivit¨ aten gemessen werden. F¨ ur diese Messung stehen ein einstellbarer Sinusgenerator, ein Strommeßger¨ at (Effektivwertmesser) und eine Kapazit¨ at C = 100 nF zur Verf¨ ugung. Die Messung wird auf folgende Weise durchgef¨ uhrt:

7.5 Messung von Kapazit¨ aten und Induktivit¨ aten

163

Abb. 7.16. Schaltung zur Messung einer verlustbehafteten Induktivit¨ at

1. Die Frequenz des Sinusgenerators wird solange ver¨ andert, bis der Zeigerausschlag des Amperemeters nicht mehr zunimmt. Die am Sinusgenerator eingestellte Frequenz betr¨ agt dann f1 = 1591, 5 Hz. oht, bis das Am2. Nun wird, ausgehend von √ f1 , die Frequenz solange erh¨ peremeter nur noch 1/ 2 des Wertes von Punkt 1. anzeigt. Die am Sinusgenerator eingestellte Frequenz betr¨ agt jetzt f2 = 1622 Hz. Die Eingangsspannung UE bleibt w¨ ahrend der gesamten Messung konstant! a) Berechnen Sie die Werte von LX und RX der zu messenden Induktivit¨ at. b) Mit welcher Genauigkeit k¨ onnen LX und RX gemessen werden, wenn das Amperemeter fehlerfrei anzeigt, der Kondensator C eine Toleranz von 1 % hat und der Sinusgenerator die eingestellte Frequenz mit einer relativen Genauigkeit von ±0, 1 % abgibt? Geben Sie LX und RX auf folgende Weise an: LX = LXnom (1 ± fLX )(fLX : relativer Fehler von LX )

(7.72)

RX = RXnom (1 ± fRX )(fRX : relativer Fehler von RX )

(7.73)

Musterlo ¨sung: a) Aus der Tatsache, daß ein Serienschwingkreis bei seiner Resonanzfrequenz minimale Impedanz aufweist und somit bei konstanter Spannung der gr¨ oßte Strom fließt, folgt, daß es sich bei der Frequenz f1 um die Serienresonanzfrequenz handelt. Mit der Resonanzfrequenz (Kreisfrequenz) ω12 =

1 LX C

(7.74)

des Serienschwingkreises folgt f¨ ur LX LX = Der Betrag von Z ist durch

1 = 0, 1 H . ω12 C

(7.75)

164

7 Messung von elektrischen Impedanzen

 |Z| =

2 RX

 2 1 + ωLX − ωC

(7.76)

gegeben. Mit |Z(ω1 )| = RX und √ |Z(ω2 )| = 2RX =



 2 + ω L − RX 2 X

1 ω2 C

2 (7.77)

l¨ aßt sich der Widerstand RX berechnen   (−) 1 1 1 RX = + ω2 LX − = ω2 2 − ω2 C ω1 C ω2 C =

1 C



ω2 1 − ω12 ω2

 = 37, 97 Ω .

(7.78)

b) Aus dem totalen Differential f¨ ur LX dLX = −2

1 ω13 C

dω1 −

1 ω12 C 2

dC

(7.79)

ergibt sich der maximale Betrag des relativen Fehlers zu    dLX    |fLX |max =  = 2|fω1 |max + |fC |max = 1, 2 % . LX max

(7.80)

Die Induktivit¨ at kann daher folgendermaßen angegeben werden LX = 0, 1 H(1 ± 0, 012) .

(7.81)

Das Differential f¨ ur RX berechnet sich zu     ω2 1 1 1 1 1 1 ω2 − dω + + dRX = − 2 dC − 2 dω2 1 C ω12 ω2 C ω13 C ω12 ω22 1 = C



1 ω2 − 2 ω2 ω1



ω2 1 fω1 + fC − 2 Cω12 C



ω2 1 + ω12 ω2

 fω2

= −37, 97fC − 2038, 39fω1 + 2000, 42fω2 .

(7.82)

Unter Verwendung des maximalen Betrages von dRX |dRX |max = 37, 97|fC |max + 2038, 39|fω1 |max + 2000, 42|fω2 |max = 4, 419 Ω l¨ aßt sich RX wie folgt beziffern

(7.83)

7.5 Messung von Kapazit¨ aten und Induktivit¨ aten

  |dRX |max RX = RXnom 1 ± = 37, 97 Ω(1 ± 0, 1164) . RXnom

165

(7.84)

Beispiel 7.6: Maxwell-Wien Br¨ ucke Abbildung 7.17 zeigt die Maxwell-Wien Br¨ ucke, die zur Messung von Induktivit¨ aten eingesetzt wird. Folgende Daten sind bekannt:

Abb. 7.17. Schaltung der Maxwell-Wien Br¨ ucke

LX = (0, 1 H . . . 1 H) R2 = R3 = 1 kΩ fB = 1 kHz

tan δLX = (0, 005 . . . 0, 1) bei 50 Hz (Frequenz der Br¨ uckenspeisespannung)

a) Berechnen Sie die Abgleichbedingungen der Br¨ ucke. otigt? b) Welche Wertebereiche f¨ ur R4 und C4 werden ben¨ c) Welcher maximale relative Fehler f¨ ur LX und RX tritt auf, wenn R2 , R3 , R4 und C4 eine Toleranz von 1 % haben? d) Kann die Br¨ ucke mit unver¨ anderter Dimensionierung auch bei fB = 2 kHz betrieben werden? Musterlo ¨sung: a) Aus der allgemeinen Abgleichbedingung nach Gl. (7.17) ergibt sich der folgende Zusammenhang RX + jωLX = R2

R3 1 R4 jωC

4 1 R4 + jωC 4

=

R3 + jωR3 R4 C4 . R4

(7.85)

Durch Vergleich von Real- und Imagin¨ arteil (Gln. (7.21) und (7.22)) erh¨ alt man die hier geltenden Abgleichbedingungen RX =

R2 R3 , R4

LX = R2 R3 C4 .

(7.86) (7.87)

166

7 Messung von elektrischen Impedanzen

Eine Alternative zur Berechnung der Abgleichbedingungen bieten die Gln. (7.19) und (7.20). Mit Gl. (7.20) erh¨ alt man aus Gl. (7.85)     ωR3 R4 C4 ωLX − arctan(0) = arctan − arctan(0) (7.88) arctan RX R3 eine Bestimmungsgleichung f¨ ur LX LX = RX R4 C4 .

(7.89)

Unter Verwendung von Gl. (7.19) folgt aus 2 RX + ω 2 L2X R2 + ω 2 R32 R42 C42 = 3 2 R2 R42

(7.90)

durch Einsetzen von Gl. (7.89) 2 2 2 2 2 R4 + ω 2 R42 RX R4 C4 = R22 R32 + ω 2 R22 R32 R42 C42 RX

(7.91)

der Zusammenhang 2 2 RX R4 (1 + ω 2 R42 C42 ) = R22 R32 (1 + ω 2 R42 C42 ) .

(7.92)

Daraus berechnet sich die Abgleichbedingung f¨ ur RX RX =

R2 R3 , R4

(7.93)

die durch Einsetzen in Gl. (7.89) die noch fehlende Abgleichbedingung LX = R2 R3 C4

(7.94)

liefert. Aus dem angegebenen Wertebereich f¨ ur LX ergibt sich der ben¨ otigte Wertebereich von C4 wie folgt C4 =

LX =⇒ R2 R3

C4 = (100 nF . . . 1 µF) .

(7.95)

Mit Gl. (7.8) und dem in der Aufgabenstellung angegebenen Wertebereich des Verlustfaktors tan δLX berechnet sich aus RX = ωLX tan δLX =⇒

RX = (0, 157 Ω . . . 31, 42 Ω)

(7.96)

der ben¨ otigte Einstellbereich von R4 zu R4 =

R2 R3 =⇒ RX

R4 = (31, 83 kΩ . . . 6, 37 MΩ) .

(7.97)

c) Die maximalen relativen Meßfehler erh¨ alt man durch Anwendung der Fehlerfortpflanzungsgesetze

7.5 Messung von Kapazit¨ aten und Induktivit¨ aten

167

fRX = fR2 + fR3 − fR4 ,

(7.98)

fLX = fR2 + fR3 + fC4 ,

(7.99)

|fRX |max = |fR2 |max + |fR3 |max + |fR4 |max = 3 % ,

(7.100)

|fLX |max = |fR2 |max + |fR3 |max + |fC4 |max = 3 % .

(7.101)

d) Die Br¨ ucke kann auch bei fB = 2 kHz betrieben werden, weil die Abgleichbedingungen laut Gl. (7.93) und Gl. (7.94) frequenzunabh¨ angig sind. Aufgabe 7.2: Kapazit¨atsmessung Mit der in Abb. 7.18 gezeigten Br¨ uckenschaltung sollen verlustbehaftete Kapaur 1 kHz geltenden zit¨ aten im Wertebereich CX = (1 µF . . . 10 µF) und einem f¨ Wertebereich des Verlustfaktors tan δCX = (10−3 . . . 10−5 ) gemessen werden.

Abb. 7.18. Meßbr¨ ucke zur Kapazit¨ atsmessung

a) Aus welchen Bauelementen muß die Serienersatzschaltung von Z 4 bestehen, damit die Br¨ ucke prinzipiell abgleichbar ist? Berechnen Sie die Abgleichbedingungen. b) Als Abgleichelemente werden die Bauelemente der Serienersatzschaltung ur R2 = 1 kΩ und R3 = 100 Ω von Z 4 verwendet. Berechnen Sie f¨ die ben¨ otigten Einstellbereiche der Serienersatzschaltungsbauelemente von Z 4. c) Kann die Br¨ ucke f¨ ur die angegebenen Bereiche von CX und tan δCX auch dann abgeglichen werden, wenn als Abgleichelemente nicht die Baueleande R2 und R3 verwendet mente von Z 4 sondern die ohmschen Widerst¨ werden?

168

7 Messung von elektrischen Impedanzen

Lo ¨sung: a) Zum Abgleich der Br¨ ucke sind ein Widerstand und eine Induktivit¨ at erforderlich. Die Abgleichbedingungen lauten RX =

R2 R3 und R4

CX =

L4 . R2 R3

(7.102)

b) L4 = (0, 1 H . . . 1 H), R4 = (6, 3 mΩ . . . 6, 3 Ω) c) Da in beiden Abgleichbedingungen das Produkt R2 R3 vorkommt, sind die Abgleichbedingungen nicht unabh¨ angig voneinander und k¨ onnen nur f¨ ur den speziellen Fall R2 R3 L4 L4 = (7.103) RX CX = R4 R2 R3 R4 erf¨ ullt werden. Aufgabe 7.3: Induktivit¨atsmessung Die in Abb. 7.19 gezeigte Schaltung soll zur Induktivit¨ atsmessung eingesetzt werden. Zur Anzeige wird ein Drehspulinstrument mit einem Endausschlag von 5 V verwendet. Der Operationsverst¨ arker und die Diode sind als ideal (d. h. f¨ ur die Diode ist uD = 0 V in Durchlaßrichtung) zu betrachten.

Abb. 7.19. Schaltung zur Messung einer verlustbehafteten Induktivit¨ at

Die Messung wird auf folgende Weise durchgef¨ uhrt: 1. In Schalterstellung 1 wird RX gemessen. 2. In Schalterstellung 2 wird die in Abb. 7.20 gezeigte Eingangsspannung uE (t) angelegt und LX gemessen. a) Dimensionieren Sie den Widerstand R so, daß das Meßger¨ at f¨ ur die Messung von RX mit U0 = 2, 5 V einen Meßbereich von 1 kΩ abdeckt. b) Berechnen und zeichnen Sie die Ausgangsspannung uA (t) (in zeitlichem ur die Schalterstellung 2 (Hinweis: Nehmen Sie an, daß Bezug zu uE (t)) f¨ tan δLX  1 ist).

7.5 Messung von Kapazit¨ aten und Induktivit¨ aten

169

Abb. 7.20. Zeitverlauf der dreieckf¨ ormigen Eingangsspannung

c) Welche Frequenz muß die Eingangsspannung uE (t) haben, damit das Meßger¨ at f¨ ur die Messung von LX einen Meßbereich von (0 H . . . 1 H) aufweist? d) Welchen maximalen Ausgangsstrom muß der Operationsverst¨ arker liefern k¨ onnen? F¨ ur welche Sperrspannung muß die Diode dimensioniert werden? e) Welche Genauigkeitsklasse hat das Meßger¨ at f¨ ur die RX - bzw. LX -Messung, wenn folgende relative Fehler gegeben sind: Referenzspannung U0 : Widerstand R: Drehspulmeßwerk: Frequenz von UE :

|fU0 |max = 0, 5 % |fR |max = 1 % G = 0, 5 % |ffUE |max = 0, 1 %.

L¨ osung: a) R = 500 Ω c) f = 500 Hz d) IAmax = 6, 5 mA, UDSS = 15 V e) GRX = 2 %, GLX = 2, 1 % .

8 Meßwandler

8.1 Grundlagen der Meßwandler Meßwandler entsprechen hinsichtlich ihrem Aufbau einem elektrischen Transformator, bestehend aus einer Prim¨ arwicklung mit der Windungszahl N1 und einer Sekund¨ arwicklung mit der Windungszahl N2 , welche auf einen gemeinsamen Eisenkern aufgebracht sind (Abb. 8.1). Der in Abb. 8.1 gezeigte

Abb. 8.1. Transformator

Transformator kann nach [6] durch das in Abb. 8.2 dargestellte elektrische arspanErsatzschaltbild beschrieben werden. Dabei bezeichnen U 1 , I 1 Prim¨ nung und Prim¨ arstrom, R1 , L1σ den ohmschen Wicklungswiderstand und at und die Streuinduktivit¨ at der Prim¨ arspule, X1h , R1E die Hauptinduktivit¨ den Verlustwiderstand (modelliert Hysterese- und Wirbelstromverluste), I µ den Magnetisierungsstrom, R2 , L2σ den ohmschen Wicklungswiderstand und arspannung und Sedie Streuinduktivit¨ at der Sekund¨ arspule, U 2 , I 2 Sekund¨ ubersetzungsverh¨ altnis. Die Belastung kund¨ arstrom und u ¨ = N1 /N2 das Nenn¨ der Sekund¨ arseite wird als B¨ urde bezeichnet. Mit dem L¨ angsspannungsabfall ubersetzungsverh¨ altnis u ¨ berechnet sich das Verh¨ altnis von ∆U und dem Nenn¨ arspannung U 1 wie folgt Sekund¨ arspannung U 2 zu Prim¨   ∆U u ¨U 2 = U 1 − ∆U = U 1 1 − (8.1) U1

172

8 Meßwandler

Abb. 8.2. Ersatzschaltbild eines Transformators

U2 N2 = U1 N1

  ∆U 1− . U1

(8.2)

angsspannungsabfall wie folgt Mit Hilfe der Str¨ ome I 1 und I 2 kann der L¨ berechnet werden ∆U = I 1 (R1 + jωL1σ ) + u ¨I 2 (R2 + jωL2σ ) .

(8.3)

Man erkennt, daß f¨ ur den Betriebsfall sekund¨arseitiger Leerlauf, also I 2 = 0, ¨ altnis nach die Spannung ∆U minimal wird, womit das reale Ubersetzungsverh¨ ¨ Gl. (8.2) dem idealen Ubersetzungsverh¨ altnis u ¨ m¨ oglichst nahe kommt. F¨ ur einen Spannungswandler m¨ ussen also die L¨ angsimpedanzen m¨ oglichst klein und die B¨ urde m¨ oglichst hochohmig sein, damit der Spannungsfehler minimiert wird. Durch Aufstellen der Knotengleichung (Abb. 8.2) erh¨ alt man das Strom¨ ubersetzungsverh¨ altnis   Iµ 1 I2 = I1 − Iµ = I1 1 − (8.4) u ¨ I1 N1 I2 = I1 N2

  Iµ 1− . I1

(8.5)

Dieses reale Strom¨ ubersetzungsverh¨ altnis kommt dem idealen Strom¨ ubersetoglichst nahe, wenn der Magnetisierungszungsverh¨ altnis I 2 /I 1 = N1 /N2 m¨ oglichst strom I µ sehr klein wird. Ein Stromwandler entspricht somit einem m¨ mit sekund¨ arseitigem Kurzschluß arbeitenden Transformator.

8.2 Strom- und Spannungswandler

173

8.2 Strom- und Spannungswandler Beispiel 8.1: Stromwandler a) Bestimmen Sie den Sekund¨ arstrom I 2 eines Stromwandlers als Funktion von u ¨, I 1 , R1 , R2 , R1E , RL , L1σ , L2σ und L1h . b) Berechnen Sie f¨ ur den speziellen Fall u = 5/20 ¨ R1 = 0, 05 Ω R2 = 0, 1 Ω R1E = 1 MΩ L1σ = 5 mH L2σ = 5 mH L1h = 550 mH I1 = 20 A f = 50 Hz arkreis des die Bedingung f¨ ur den Innenwiderstand RA eines im Sekund¨ Stromwandlers befindlichen Amperemeters, wenn f¨ ur den Stromfehlwinkel δi und den Betrag des relativen Fehlers |f i | folgende Bedingungen gelten δi ≤ 0, 1◦ , | f i |≤ 1 % .

(8.6)

Abb. 8.3. Ersatzschaltbild des mit RL belasteten Stromwandlers

Musterlo ¨sung: Der Sekund¨ arstrom I 2 berechnet sich entsprechend der Knotengleichung 1 I = I1 − Iµ . u ¨ 2

(8.7)

Der Magnetisierungsstrom I µ kann mit Hilfe der Stromteilerregel durch den uckt werden Prim¨ arstrom I 1 ausgedr¨ Iµ u ¨2 (R2 + RL + jωL2σ )  . = R1E L1h I1 u ¨2 (R2 + RL ) + jω u ¨2 L2σ + R1E +jωL1h

(8.8)

174

8 Meßwandler

Setzt man nun dieses Ergebnis in Gl. (8.7) ein, so erh¨ alt man den gesuchten arstromes I 1 Sekund¨ arstrom I 2 als Funktion des Prim¨ ⎛ ⎞ 2 u ¨ (R + R + jωL ) 2 L 2σ ⎠  I2 = u ¨ I 1 ⎝1 − R1E L1h u ¨2 (R2 + RL ) + jω u ¨2 L2σ + R1E +jωL1h  =

jωR1E L1h R1E u ¨2 (R2 + RL ) − u ¨2 ω 2 L1h L2σ + jω[L1h u ¨2 (R2 + RL )+  R1E (¨ u2 L2σ + L1h )]

u ¨I 1 .

(8.9)

b) Der Stromfehlwinkel δi , also die Phasendifferenz zwischen den Zeigern I 2 und u ¨I 1 , uI 1 )| (8.10) |δi | = |ϕ(I 2 ) − ϕ(¨ ur komplexe Zahlen (bei ergibt sich f¨ ur RL = RA mit den Rechenregeln f¨ einer Multiplikation von komplexen Zahlen addieren sich ihre Phasenwinkel, w¨ ahrend sich bei einer Division diese Winkel subtrahieren) zu   u2 L2σ + L1h )] ω[¨ u2 L1h (R2 + RA ) + R1E (¨ uI 1 ) + 90◦ − arctan |δi | = ϕ(¨ 2 u ¨ [R1E (R2 + RA ) − ω 2 L1h L2σ ] −

  ϕ(¨ uI 1 ) ≤ 0, 1◦ .

(8.11)

Mit den Umformungsschritten tan(89, 9◦ ) ≤

u2 L2σ + L1h )] ω[¨ u2 L1h (R2 + RA ) + R1E (¨ u ¨2 [R1E (R2 + RA ) − ω 2 L1h L2σ ]

(8.12)

und RA u ¨2 [tan(89, 9◦ )R1E − ωL1h ] ≤ ω[¨ u2 L1h R2 + R1E (¨ u2 L2σ + L1h )] −u ¨2 tan(89, 9◦ )(R1E R2 − ω 2 L1h L2σ ) (8.13) erh¨ alt man die folgende Bedingung f¨ ur den Innenwiderstand RA des Amperemeters RA ≤

u2 L2σ + L1h )] ω[¨ u2 L1h R2 + R1E (¨ 2 ◦ u ¨ [tan(89, 9 )R1E − ωL1h ] −

u ¨2 tan(89, 9◦ )(R1E R2 − ω 2 L1h L2σ ) . u ¨2 [tan(89, 9◦ )R1E − ωL1h ]

(8.14)

8.2 Strom- und Spannungswandler

175

Mit Gl. (8.14) berechnet sich der maximale Wert des Amperemeter-Innenwiderstandes zu RAmax = 4, 728 Ω. F¨ ur den Betrag des relativen Fehlers     I − u    2 ¨I 1  f i  =   u ¨I 1

  jωR1E L1h =  R1E u ¨2 (R2 + RA ) − u ¨2 ω 2 L1h L2σ + jω[L1h u ¨2 (R2 + RA )+

R1E (¨ u2 L2σ + L1h )]

  − 1

(8.15)

erh¨ alt man durch Einsetzen von RAmax einen Wert von |fi | = 0, 1835 %, womit ullt. der errechnete Wert f¨ ur RAmax von 4, 728 Ω beide Forderungen erf¨ Beispiel 8.2: Spannungswandler a) Bestimmen Sie die Sekund¨ arspannung U 2 eines Spannungswandlers als ur R1E → ∞ Ω (d. h. Funktion von u ¨, U 1 , R1 , R2 RL , L1σ , L2σ und L1h f¨ ucksichtigen). R1E ist im Ersatzschaltbild nach Abb. 8.3 nicht zu ber¨ b) Berechnen Sie f¨ ur den speziellen Fall u ¨ R1 R2 L1σ L2σ L1h f

= 20/5 = 1Ω = 0, 5 Ω = 5 mH = 5 mH = 550 mH = 50 Hz

arspannung U 2 den Betrag des Spannungsfehlwinkels δu , wenn die Sekund¨ mit einem Voltmeter gemessen wird, das einen Innenwiderstand von RL = 1 MΩ hat. Musterlo ¨sung: Die Meßspannung u ¨U 2 berechnet sich zun¨ achst durch Anwenden der Spannungsteilerregel (Abb. 8.3) mit U 1h zu u ¨U 2 = U 1h

RL . R2 + jωL2σ + RL

(8.16)

Die Spannung U 1h kann nun wiederum mit Hilfe der Spannungsteilerregel uckt werden durch die Prim¨ arspannung U 1 ausgedr¨

176

8 Meßwandler

U 1h = U 1

ju ¨2 ωL1h (R2 + jωL2σ + RL ) jωL1h + u ¨2 R2 + jω¨ u2 L2σ + u ¨2 RL 1

jω u ¨2 L1h (R2 +jωL2σ +RL ) jωL1h +¨ u2 R2 +jω u ¨2 L2σ +¨ u2 RL

.

(8.17)

+ R1 + jωL1σ

Damit erh¨ alt man f¨ ur die gesuchte Sekund¨ arspannung U 2 den Zusammenhang U2 =

ju ¨2 ωRL L1h 1 U1 2 u ¨ ju ¨ ωL1h (R2 + RL + jωL2σ )+ (8.18)

(R1 + jωL1σ )(¨ u2 R2 + u ¨2 RL + jω(L1h + u ¨2 L2σ ))  =

u ¨2 R1 (R2

+ RL ) −

ju ¨ωRL L1h 2 ω L1σ (L1h + u ¨2 L2σ )

−u ¨2 ω 2 L1h L2σ + 

j(¨ u2 ω(R2 + RL )(L1h + L1σ ) + ωR1 (L1h + u ¨L2σ ))

U1 .

(8.19)

b) Der Betrag des Spannungsfehlwinkels |δu |, also die Phasendifferenz zwischen u ¨U 2 und U 1 , uU 2 ) − ϕ(U 1 )| (8.20) |δu | = |ϕ(¨ kann wiederum mit den Regeln der komplexen Rechnung und Gl. (8.19) wie folgt berechnet werden   |δu | = 90o  −

  ¨2 L2σ ) u ¨2 ω(R2 + RL )(L1h + L1σ ) + R1 ω(L1h + u . arctan 2 u ¨ R1 (R2 + RL ) − u ¨2 ω 2 L2σ (L1h + L1σ ) − ω 2 L1h L1σ 

Durch Einsetzen der angegebenen Zahlenwerte erh¨ alt man einen Spannungsfehlwinkel von δu = 0, 329◦ .

9 Analoges Elektronenstrahl-Oszilloskop

9.1 Praktischer Umgang mit einem Elektronenstrahl-Oszilloskop Analoge Elektronenstrahl-Oszilloskope werden zur Darstellung des Zeitverlaufes von elektrischen Spannungen verwendet. Mit Hilfe einer Braunschen R¨ohre wird ein Elektronenstrahl erzeugt, der beim Durchlaufen der vertikalen (y-Richtung) und horizontalen (x-Richtung) Ablenkplatten entsprechend den an den Platten anliegenden Spannungen abgelenkt auf dem Leuchtschirm (Bildschirm) auftrifft. Zur Erl¨ auterung einiger Begriffe, auf die in diesem Kapitel zur¨ uckgegriffen wird, ist in Abb. 9.1 der Bildschirm eines typischen 2Kanal-Oszilloskops schematisch dargestellt.

Abb. 9.1. Bildschirm eines typischen 2-Kanal-Oszilloskops. VT bezeichnet das Teilerverh¨ altnis des Tastkopfes.

178

9 Analoges Elektronenstrahl-Oszilloskop

Begriffsdefinitionen: • Rastereinheit ( Division“): ” Um das Ablesen der dargestellten Spannungsverl¨ aufe zu erleichtern, ist der Bildschirm mit einer gitterartigen Einteilung (Raster) versehen, wobei der Abstand zwischen zwei Rasterlinien als Rastereinheit ( Division“, ab” gek¨ urzt Div“) bezeichnet wird. In der Regel weist der Bildschirm eines ” analogen Oszilloskops zehn Unterteilungen in x-Richtung und acht Unterteilungen in y-Richtung auf. • y-Ablenkkoeffizient ky : Dieser Ablenkkoeffizient beziffert das Verh¨ altnis von der am Leuchtschirm in y-Richtung auftretenden Ablenkung und der an der y-Eingangsbuchse anliegenden Meßspannung. Er wird u ¨blicherweise mit einem Drehschalter direkt am Oszilloskop eingestellt. Bei der Messung muß beachtet werden, daß bei der Verwendung eines Tastkopfes dessen Teilerverh¨ altnis VT zu ber¨ ucksichtigen ist. • x-Ablenkkoeffizient kx : Der Ablenkkoeffizient kx stellt in Analogie zu ky den Bezug zwischen einer Rastereinheit in x-Richtung und dem dazugeh¨ origen Zeitintervall ∆t her. • AC-DC-Kopplung: Mit dieser Einrichtung kann die Meßspannung entweder direkt (entspricht der DC-Kopplung) oder u ¨ber einen zum Eingangsteiler in Serie geschalteten Kondensator, der den Gleichspannungsanteil der Meßspannung abblockt (entspricht der AC-Kopplung), an den Eingangsspannungsteiler des Oszilloskops gelegt werden. • 2-Kanal-Oszilloskop: Das 2-Kanal-Oszilloskop erm¨ oglicht die gleichzeitige Darstellung von zwei Eingangsspannungen.

9.2 Frequenzkompensierter Spannungsteiler (Tastkopf ) Frequenzkompensierte Spannungsteiler werden zu der frequenzunabh¨ angigen Spannungsteilung eingesetzt. Zwei Hauptgr¨ unde f¨ ur den Einsatz dieser Spannungsteiler sind: • Aufgrund der Spannungsteilung k¨ onnen Eingangsspannungen gemessen werden, die gr¨ oßer sind, als die direkt mit dem Oszilloskop meßbaren. • Die die Meßspannung liefernde Quelle wird durch den Oszilloskopeingang unter Umst¨ anden impedanzm¨ aßig zu sehr belastet. Wie ein sp¨ ater folgendes Beipiel zeigen wird, kann diese Belastung der Meßspannung durch

9.3 Messungen mit einem Elektronenstrahl-Oszilloskop

179

einen frequenzkompensierten Spannungsteiler um den Faktor des Spannungsteilerverh¨ altnisses VT verringert werden. Die frequenzkompensierten Spannungsteiler sind meistens in Form von Tastk¨ opfen verf¨ ugbar und erm¨ oglichen u alt¨blicherweise eine Spannungsteilung im Verh¨ nis 10:1 bzw. 100:1. Abbildung 9.2 zeigt die Komponenten eines solchen frequenzkompensierten Tastkopfes. Die Kabelkapazit¨ at CK wird im folgenden

Abb. 9.2. Oszilloskopeingang mit vorgeschaltetem Tastkopf

nicht mehr gesondert betrachtet, da sie stets in der Eingangskapazit¨ at CE enthalten sein soll.

9.3 Messungen mit einem Elektronenstrahl-Oszilloskop Beispiel 9.1: Frequenzkompensierter Spannungsteiler (Tastkopf ) Abbildung 9.3 zeigt das Ersatzschaltbild eines frequenzkompensierten Spannungsteilers, wobei die Parallelschaltung von RE = 1 MΩ und CE = 27 pF die Eingangsimpedanz eines Oszilloskops darstellt.

Abb. 9.3. Ersatzschaltbild eines frequenzkompensierten Spannungsteilers (Tastkopf)

180

9 Analoges Elektronenstrahl-Oszilloskop

a) Dimensionieren Sie RT und CT so, daß das Spannungsteilungsverh¨ altnis angt. Weiterhin soll V T nicht von der Frequenz der Eingangsspannung abh¨ U V T = U E1 = V0 = 10 gelten. E2 b) Berechnen Sie RP und CP der Parallelersatzschaltung des frequenzkompensierten Spannungsteilers. c) Berechnen Sie f¨ ur CT = 0 pF und mit dem unter Punkt a) berechneten Widerstandswert RT jene Frequenz fg , bei der |V T (fg )| um 3% von V0 abweicht. Musterlo ¨sung: a) Mit den komplexen Impedanzen der beiden Parallelschaltungen von CT  RT und CE  RE ZT =

ZE =

1 RT

1 RT = 1 + jωCT RT + jωCT

RE 1 + jωCE RE

(9.1)

(9.2)

folgt aus der Spannungsteilerregel U E2 = U E1

ZE ZE + ZT

(9.3)

das komplexe Spannungsteilerverh¨ altnis VT =

U E1 Z + ZT Z RT (1 + jωCE RE ) . = E =1+ T =1+ U E2 ZE ZE RE (1 + jωCT RT )

(9.4)

Damit V T frequenzunabh¨ angig wird, muß notwendigerweise RE CE = RT CT

(9.5)

gelten. Durch Einsetzen dieser Bedingung in Gl. (9.4) lassen sich aus V T = V0 = 1 +

RT RE

(9.6)

und Gl. (9.5) die Dimensionierungsvorschriften f¨ ur RT und CT wie folgt ableiten RT = RE (V0 − 1) = 9 MΩ , CT = CE

RE 1 = 3 pF . = CE RT V0 − 1

(9.7) (9.8)

b) Die Komponenten RP und CP des in Abb. 9.4 dargestellten Parallelersatzschaltbildes berechnen sich aus der komplexen Eingangsimpedanz

9.3 Messungen mit einem Elektronenstrahl-Oszilloskop

181

Abb. 9.4. Parallelersatzschaltbild des frequenzkompensierten Spannungsteilers

ZP = ZT + ZE =

RT RE + 1 + jωCT RT 1 + jωCE RE

=

RE (V0 − 1) RE + 1 + jωCE RE 1 + jωCE RE

=

V0 RE 1 + jωCE RE

(9.9)

¨ durch Ubergang auf den komplexen Leitwert 1 1 + jωCE RE 1 CE = = + jω ZP V0 RE V0 RE V0

YP =

1 + jωCP RP

=

(9.10)

zu RP = V0 RE = 10 MΩ , CP =

CE = 2, 7 pF . V0

(9.11) (9.12)

Aus diesen Zusammenh¨ angen und Gl. (9.9) erkennt man, daß die Meßspanoßerten Eingangsimpedanz Z E nung nur noch mit der um den Faktor V0 vergr¨ belastet wird. c) F¨ ur CT = 0 pF ergibt sich mit Gl. (9.4) aus VT =1+

RT (1 + jωCE RE ) RE

(9.13)

der Betrag von V T zu

 2 RT + (ωCE RE (V0 − 1))2 |V T | = 1+ RE =

 V02 + (ωCE RE (V0 − 1))2 

= V0

1+

(ωCE RE (V0 − 1))2 . V02

(9.14)

182

9 Analoges Elektronenstrahl-Oszilloskop

Da |V T | entsprechend Gl. (9.14) nur gr¨ oßer als V0 werden kann, folgt mit |V T (fg )| = 1, 03 V0

(9.15)

durch Einsetzen in Gl. (9.14) aus (1, 032 − 1)V02 (CE RE (V0 − 1))2

(9.16)

1 V0 ωg = 1, 032 − 1 = 1616 Hz . 2π 2π CE RE (V0 − 1)

(9.17)

ωg2 = die Grenzfrequenz fg =

Beispiel 9.2: Leistungsmessung mit einem Elektronenstrahl-Oszilloskop Sie f¨ uhren mit einem Elektronenstrahl-Oszilloskop eine Leistungsmessung an einer externen elektrischen Anlage durch. Bei dieser Messung ergibt sich das in Abb. 9.5 dargestellte Oszillogramm.

Abb. 9.5. Oszillogramm der Meßspannungen

Bei der Leistungsmessung wurden folgende Oszilloskop-Einstellungen verwendet: Kanal 1:

Kanal 2:

Spannungsmessung 10 V/Div DC-Kopplung Tastkopf 10:1 Nullpunkt auf Mittellinie eingestellt Strommessung u ˆ 1 V) ¨ber Shunt (1 A =

9.3 Messungen mit einem Elektronenstrahl-Oszilloskop

183

10 V/Div DC-Kopplung Tastkopf 1:1 Nullpunkt auf Mittellinie eingestellt x-Ablenkung:

50 µs/Div

Die Eingangsimpedanz eines Oszilloskopeinganges ist durch 1 MΩ26 pF gegeben. Nach Abschluß der Messungen kehren Sie ins Labor zur¨ uck und stellen dort fest, daß bei der oben beschriebenen Messung der Tastkopf vom Kanal 1 nicht abgeglichen war. Um dennoch zu korrekten Meßwerten zu gelangen, messen Sie, ohne den Abgleich des Tastkopfes zu ver¨ andern, mit Hilfe des an Kanal 1 angeschlossenen Tastkopfes eine positive symmetrische Rechteckspannung (d. h. die Rechteckspannung hat gleiche Impuls- und Pausendauer und nimmt ˆR an) und erhalten dabei das in nur die beiden Spannungswerte 0 V und U Abb. 9.6 gezeigte Oszillogramm.

Abb. 9.6. Oszillogramm bei einer Rechteckeingangsspannung

a) Berechnen Sie die Wirkleistung, welche sich aus jenen Werten ergibt, die mit dem nicht-abgeglichenen Tastkopf gemessen wurden. b) Berechnen Sie unter Verwendung des in Abb. 9.2 angegebenen Ersatzschaltbildes die eingestellte Kapazit¨ at und den Tastkopfwiderstand des nicht-abgeglichenen Tastkopfes. c) Korrigieren Sie die infolge des nicht-abgeglichenen Tastkopfes entstandenen systematischen Meßfehler und berechnen Sie damit die tats¨ achliche Wirkleistung. Welcher relative Meßfehler ergibt sich, wenn Sie die systematischen Meßfehler nicht korrigieren?

184

9 Analoges Elektronenstrahl-Oszilloskop

Musterlo ¨sung: a) Mit den aus dem Oszillogramm in Abb. 9.5 abgelesenen Werten Ueff =

Ieff =

V 3 Div · 10 Div · 10 √ = 212, 13 V 2

(9.18)

A 1 Div · 10 Div √ = 7, 071 A 2

(9.19)

1 Div = 72 ◦ 5 Div

(9.20)

PW = Ueff Ieff cos ϕ = 463, 53 W .

(9.21)

ϕ = 360◦ berechnet sich die Leistung zu

b) Abbildung 9.7 zeigt das zur Berechnung der Komponenten des Tastkopfes ben¨ otigte Ersatzschaltbild.

Abb. 9.7. Ersatzschaltbild des frequenzkompensierten Spannungsteilers

Um das Oszillogramm nach Abb. 9.6 auswerten zu k¨ onnen, muß der Zeitverur eine rechteckf¨ ormige Eingangslauf der Oszilloskopeingangsspannung U E2 f¨ spannung U E1 berechnet werden. Wenn man zu dieser Berechnung die ansteialt man, da alle Anfangsbedingungen gende Flanke von U E1 heranzieht, erh¨ Null sind, aus Gl. (9.4) mit der Substitution s = jω die Laplacetransformierte der Ausgangsspannung UE2 (s) = UE1 (s)

RE (1 + sCT RT ) . RE (1 + sCT RT ) + RT (1 + sCE RE )

(9.22)

Die Spannung uE2 (t) zum Zeitpunkt t = 0+ folgt aus der Anwendung des Anfangswertsatzes der Laplacetransformation [3] auf Gl. (9.22) uE2 (0+) = lim sUE2 (s) s→∞

  ˆR RE 1s + CT RT U     = lim s s→∞ s RE 1s + CT RT + RT 1s + CE RE

9.3 Messungen mit einem Elektronenstrahl-Oszilloskop

ˆR =U

CT , CT + CE

185

(9.23)

ˆR den Spitzenwert der Rechteckspannung bezeichnet. Aus dem sowobei U eben erhaltenen Ergebnis kann man ablesen, daß uE2 (0+) nur von den beiden anden Kapazit¨ aten CT und CE bestimmt wird, aber nicht von den Widerst¨ des Tastkopfes abh¨ angt. F¨ ur t → ∞ hingegen sind alle Ausgleichsvorg¨ ange abgeschlossen und die Ausgangsspannung entspricht der des ohmschen Spannungsteilers RE ˆR , (9.24) uE2 (t → ∞) = U R +R  E  T 1 10

was durch Anwendung des Endwertsatzes der Laplacetransformation [3] auf Gl. (9.22) leicht nachvollziehbar ist. Da der hier eingesetzte Tastkopf ein Teilerverh¨ altnis von 10:1 aufweist, berechnet sich der Tastkopfwiderstand aus Gl. (9.24) notwendigerweise zu RT = 9RE = 9 MΩ .

(9.25)

Mit dem aus dem Oszillogramm (Abb. 9.6) ablesbaren Verh¨ altnis von uE2 (0+) aßt sich mit den Gln. (9.23) und (9.24) aus zu uE2 (t → ∞) l¨ uE2 (0+) = uE2 (t → ∞)

CT CT +CE RE RE +RT

=

4 Div 3 Div

(9.26)

4 = 4 pF . 26

(9.27)

die eingestellte Tastkopfkapazit¨ at CT ermitteln   CT = CE

RE RE +RT

4 3

1−

4 3



RE RE +RT

 = CE

c) Mit der aus Abb. 9.5 ablesbaren Signalfrequenz fs =

1 1 = = 4 kHz T 5 Div · 50 µs

(9.28)

berechnet sich mit den komplexen Impedanzen ZT =

◦ RT = 6, 674 MΩ e−j42,14 1 + jωs RT CT

= 4, 949 MΩ − j4, 478 MΩ

(9.29)

und ZE =

◦ RE = 837, 1 kΩ e−j33,16 1 + jωs RE CE

= 700, 8 kΩ − j457, 9 kΩ

(9.30)

186

9 Analoges Elektronenstrahl-Oszilloskop

das komplexe Verh¨ altnis von Ausgangsspannung zu Eingangsspannung nach folgender Gleichung ◦ U E2 ZE = = 0, 1116 ej7,98 . U E1 ZE + ZT

(9.31)

Unter Verwendung des tats¨achlichen Effektivwerts der Eingangsspannung Ueff,w =

V · 3 Div · 10 Div √ 2

1 0,1116

= 190, 10 V

(9.32)

und dem tats¨ achlichen Phasenwinkel ϕw = ϕ − ϕUE2 ,UE1 = 72 o − 7, 98 o = 64, 02 o

(9.33)

ergibt sich mit der wahren Leistung PWw = Ueff,w Ieff cos ϕw = 588, 79 W

(9.34)

der aus dem nicht-abgeglichenen Tastkopf resultierende relative Meßfehler f=

PW − PWw = −21, 28 % . PWw

(9.35)

10 Digitale Meßtechnik

10.1 Grundlagen der Analog-Digital- und Digital-Analog-Umsetzer Digital-Analog-Umsetzer (DA-Umsetzer) mit gewichteten Str o ¨men

Abb. 10.1. DA-Umsetzer nach dem Prinzip der gewichteten Str¨ ome

Abb. 10.1 zeigt den Aufbau eines 4-Bit DA-Umsetzers nach dem Prinzip der gewichteten Str¨ ome. Mit der Referenzspannung Uref berechnen sich die einzelnen Str¨ ome zu I1 =

8Uref 4Uref 2Uref Uref ; I2 = ; I3 = ; I4 = . R R R R

(10.1)

Diese Str¨ ome werden im Stromknoten 1 aufsummiert und ergeben multipliziert mit dem Gegenkopplungswiderstand Rref des Operationsverst¨ arkers die Ausgangsspannung uA . Die haupts¨ achliche Problematik dieser Schaltung besteht in der genauen Fertigung der unterschiedlich großen Widerst¨ ande (der multiplikative Faktor zwischen dem kleinsten und dem gr¨ oßten Widerstandswert betr¨ agt bei einem

188

10 Digitale Meßtechnik

N-Bit-Umsetzer 2N −1 ). Ein weiterer Nachteil dieser Schaltung besteht darin, daß die Potentiale der unteren Schalterkontakte stark schwanken (bei offenem Schalter auf Massepotential, bei geschlossenem Schalter auf dem Potential der aren Referenzspannung Uref ), woraufhin bei jedem Schaltvorgang die parasit¨ Kapazit¨ aten umgeladen werden m¨ ussen (siehe Beispiel 8.1). Analog-Digital-Umsetzer (AD-Umsetzer) nach dem Nachlaufverfahren Dieser Umsetzer geh¨ ort zur Gruppe der direkt vergleichenden AD-Umsetzer. Der interne DA-Umsetzer bildet aus dem aktuellen Z¨ ahlerstand eines Vorw¨ arts-R¨ uckw¨ artsz¨ ahlers ein analoges Signal und f¨ uhrt dieses als Vergleichsspannung dem invertierenden Eingang des Komparators zu. Damit wird bei

Abb. 10.2. AD-Umsetzer nach dem Nachlaufverfahren

uE < u(Z) vorw¨ arts gez¨ ahlt und bei uE > u(Z) r¨ uckw¨ arts gez¨ ahlt. Um die Begrenzung des Quantisierungsfehlers auf ±1LSB (Least-Significant-Bit) [6] ahrend einer garantieren zu k¨ onnen, darf sich die Eingangsspannung uE w¨ andern. Taktperiode des Z¨ ahlers nicht um mehr als ein ULSB ¨ Single-Slope-Umsetzer Das Grundprinzip dieses Umsetzers besteht darin, die Eingangsspannung uE in ein proportionales Zeitintervall zu wandeln. Wird die S¨ agezahnspannung oßer als 0 V, liefert der Komparator K2 ein  1 -Signal, woraufhin das uS gr¨ Referenztaktsignal mit der Frequenz fref u ¨ber das UND-Gatter direkt an den Z¨ ahler geleitet wird. Erreicht die S¨ agezahnspannung uS den Wert der Ein¨ gangsspannung uE , erfolgt durch den Komparator K1 mit Hilfe des Aquivalenzgatters ein Sperren des UND-Gatters, wodurch der Z¨ ahler gestoppt wird. Mit dem Proportionalit¨ atsfaktor K, welcher dem Kehrwert der Steigung der ange S¨ agezahnspannung uS entspricht, gelten folgende Zusammenh¨

10.1 Grundlagen der Analog-Digital- und Digital-Analog-Umsetzer

189

Abb. 10.3. Single-Slope-Umsetzer (S¨ agezahnumsetzer): a) Prinzipschaltbild, b) Signalverl¨ aufe

tX = KuE NX = Kfref uE .

(10.2) (10.3)

Dieses Ergebnis macht den entscheidenden Nachteil dieses AD-Umsetzers of¨ fenkundig. Denn eine Anderungen von K, z. B. durch zeitliche Drift der Bauelementewerte, f¨ uhrt unweigerlich zu Meßfehlern. Dual-Slope-Umsetzer Abbildung 10.4 zeigt die Grundschaltung eines Dual-Slope-Umsetzers. Bei diesem Prinzip wird sowohl die Eingangsspannung uE als auch die Referenzoglich, das Ergebnis von den zeitlichen spannung Uref integriert. Damit ist es m¨ ¨ Anderungen (Driften) des Integrators unabh¨ angig zu machen. Zun¨ achst wird f¨ ur eine Zeitdauer von t2 − t1 das Eingangssignal integriert. Zum Zeitpunkt t2 wird dann die Referenzspannung Uref an den Eingang des Integrators gelegt und gleichzeitig der Z¨ ahler gestartet. Mit Hilfe des Komparators erfolgt die Detektion des Nulldurchgangs der Ausgangsspannung uA , bei dem dann der Z¨ ahler gestoppt wird. Die Grunddimensionierungsgleichung f¨ ur den DualSlope-Umsetzer ergibt sich somit zu tX − t 2 =

uE (t2 − t1 ) . Uref

(10.4)

Spannungs-Frequenz-Umsetzer Beim Spannungs-Frequenz-Umsetzer erfolgt die Wandlung der zu messenden Spannung in eine proportionale Frequenz, welche dann mittels eines Z¨ ahlers auf einfache Weise in eine digitale Information umgesetzt werden kann. Zun¨ achst wird die Eingangsspannung uE u ¨ber den Schalter S direkt

190

10 Digitale Meßtechnik

Abb. 10.4. Dual-Slope-Umsetzer: a) Prinzipschaltbild, b) Signalverl¨ aufe

auf den Integrator gegeben. Bei positiver Eingangsspannung nimmt die Ausgangsspannung uA linear ab, und bei Unterschreiten des Spannungswertes −Uref schaltet der Komparator K2 um und gibt u ¨ber den Schalter S die invertierte Eingangsspannnug auf den Integrator. Damit steigt (bei konstanter Eingangsspannung) die Ausgangsspannung uA linear mit der Zeit an. Die obere Umschaltschwelle wird durch die Referenzspannung Uref festgelegt. Die sich ergebende Frequenz fX ist somit proportional der Eingangsspannung uE .

10.2 Auf- und Entladekurven von Kondensatoren Die zeitliche Auf- bzw. Entladekurve eines Kondensators mit beliebiger Anfangsspannung kann durch L¨osen der entsprechenden Differentialgleichung berechnet werden. Im folgenden wird gezeigt, wie diese L¨ osung durch einfache ¨ Uberlegungen sofort angegeben werden kann. Betrachtet man die Schaltung

10.2 Auf- und Entladekurven von Kondensatoren

191

Abb. 10.5. Spannungs-Frequenz-Umsetzer

nach Abb. 10.6, so l¨ aßt sich die Zeitkonstante τ , welche sowohl den Aufladeals auch den Entladevorgang bestimmt, wie folgt berechnen τ = RQ C .

(10.5)

Zum Zeitpunkt t = 0 sei die Kondensatorspannung uC = U1 (Abb. 10.7). Damit betr¨ agt die verbleibende Spannungsdifferenz, welche ein weiteres Aufladen des Kondensators erm¨oglicht, ∆u = UQ − uC (0) = UQ − U1 .

Abb. 10.6. Ersatzspannungsquelle mit Ladekondensator C

(10.6)

192

10 Digitale Meßtechnik

Abb. 10.7. Auf- und Entladevorgang

Der zeitliche Verlauf der Aufladekurve ergibt sich somit aus der Differenz von Endspannung UQ (maximal m¨ ogliche Spannung am Kondensator) und der mit der zeitlichen Exponentialfunktion e−t/τ gewichteten Spannung ∆u uC (t) = UQ − ∆ue−t/τ = UQ + (U1 − UQ )e−t/τ .

(10.7)

Wenn die Quellspannung UQ zum Zeitpunkt t = TA Null wird (z.B. durch Ausschalten der Spannungsquelle), entl¨ adt sich der Kondensator u ¨ber RQ . adt, wird die Wenn sich der Kondensator von der Spannung U2 beginnend entl¨ entsprechende Entladekurve uC (t) durch folgende Funktion beschrieben uC (t) = U2 e−(t−TA )/τ .

(10.8)

10.3 Digital-Analog-Umsetzer Beispiel 10.1: DA-Umsetzer nach dem Prinzip der gewichteten Str¨ome Abbildung 10.8 zeigt einen 4-Bit DA-Umsetzer, der nach dem Prinzip der gewichteten Str¨ ome arbeitet. a) Berechnen Sie f¨ ur RI = 0 Ω, R = 100 kΩ, C = 0 pF und Uref = 1, 2 V ur Z = 1111 (d. h. alle Schalter sind den Widerstand Rref derart, daß f¨ geschlossen) uAmin = −5 V ist. b) Bei welcher Eingangskombination Z entsteht der maximale relative Fehler der Ausgangsspannung uA , wenn der Innenwiderstand der Referenzspanagt, und wie groß ist er? Verwenden Sie f¨ ur nungsquelle RI = 100 Ω betr¨ Ihre Berechnung die in Punkt a) ermittelte Dimensionierung. c) Berechnen Sie uA (t), wenn zum Zeitpunkt t = 0 von Z = 0000 (d. h. alle Kondensatoren sind entladen) auf Z = 1111 geschaltet wird und sowohl uckder Innenwiderstand RI als auch die Kondensatoren (C = 5pF) zu ber¨ sichtigen sind. Nach welcher Zeit weicht uA (t) um nicht mehr als 1 % vom Endwert UAend = lim uA (t) ab? t→∞

10.3 Digital-Analog-Umsetzer

193

Abb. 10.8. DA-Umsetzer nach dem Prinzip der gewichteten Str¨ ome

Musterlo ¨sung: a) Eine Dualzahl Z l¨ aßt sich mit den Variablen zi ∈ {0, 1} auf folgende Weise darstellen (10.9) Z = z3 23 + z2 22 + z1 21 + z0 20 . Mit dieser Darstellung berechnet sich die Ausgangsspannung uA (Innenwiderstand RI = 0) entsprechend

 Uref Uref Uref Uref z3 + R z2 + R z1 + R z0 uA = −Rref R 8

4

2

= −Uref

Rref (z3 8 + z2 4 + z1 2 + z0 1) R

= −Uref

Rref Z. R

1

(10.10)

Damit die Ausgangsspannung uA ihren minimalen Wert uAmin = −5 V bei Z = 1111 annimmt, ergibt sich f¨ ur den Widerstand Rref Rref = −

uAmin R = 27, 78 kΩ . Uref Zmax

(10.11)

b) Wird der Innenwiderstand RI der Referenzspannungsquelle ber¨ ucksichtigt, so ¨ andert sich die Ausgangsspannung uA zu uAr = −Rref

Uref . RI + R Z

(10.12)

Mit dem wahren Wert f¨ ur die Ausgangsspannung uA nach Gl. (10.10) und dem Widerstandswert RE = R/Z berechnet sich der relative Fehler von uA zu

194

10 Digitale Meßtechnik

f=

uAr −1= uAw

1 RI +RE 1 RE

−1=

RE − 1. RI + RE

(10.13)

Um nun den maximalen relativen Fehler fmax zu finden, wird f nach RE abgeleitet df RI + RE − RE RI = = > 0. (10.14) dRE (RI + RE )2 (RI + RE )2 Da f < 0 ist, tritt der maximale Fehler der Ausgangsspannung uA f¨ ur den ur den Schalterzustand Zmax = 1111 Widerstandswert RE = REmin auf, also f¨ fmax =

R 15

RI +

R 15

− 1 = −1, 48 % .

(10.15)

c) Befinden sich alle Schalter im Ein-Zustand (geschlossen), dann sind sowohl die vier Widerst¨ ande R/8, R/4, R/2 und R als auch die vier Kondensatoren C parallelgeschaltet, womit sich die Ersatzschaltung nach Abb. 10.9 mit den Ersatzkomponenten

Abb. 10.9. Ersatzschaltung f¨ ur die Widerst¨ ande und Kondensatoren, wenn alle Schalter geschlossen sind.

CE = 4 C

und

RE =

R R = Z 15

(10.16)

ergibt. Gemeinsam mit der Referenzspannungsquelle Uref und dem Innenur diesen aktiven Zweipol die in Abb. 10.10 gezeigte widerstand RI kann f¨ Ersatzspannungsquelle angegeben werden. Die Ersatzgr¨ oßen UQ und RQ der

Abb. 10.10. Ersatzschaltung und dazugeh¨ orige Ersatzspannungsquelle

Ersatzspannungsquelle lauten f¨ ur den betrachteten Fall Z = 1111

10.4 Analog-Digital-Umsetzer

RQ =

RE RI RE + RI

und

UQ = Uref

RE . RI + RE

195

(10.17)

Mit der bekannten Ersatzspannungsquelle l¨ aßt sich die Spannung uCE (t) nun sehr einfach ermitteln. F¨ ur den Aufladevorgang gilt (Gl. (10.7) mit U1 = 0)   t uCE (t) = UQ 1 − e− τ mit τ = CE RQ . (10.18) Mit diesem Ergebnis berechnet sich die Ausgangsspannung uA entsprechend den beim invertierenden Verst¨ arker geltenden Gesetzm¨ aßigkeiten zu uA (t) = −Rref = −Uref

uCE (t) RE Rref RI + RE

 1−e

−

t(RE +RI ) CE RE RI

 .

(10.19)

ur t → ∞ wird somit Die Ausgangsspannung uA f¨ UAend = lim uA (t) = −Uref t→∞

Rref . RI + RE

L¨ ost man Gl. (10.19) nach der Zeit t auf, so erh¨ alt man   RE RI uA (t) RI + RE ln 1 + t = −CE . RE + RI Uref Rref

(10.20)

(10.21)

Die gesuchte Zeit t1% , bei welcher die Ausgangsspannung uA nur noch 1 % vom Endwert abweicht (uA (t1% ) = 0, 99 UAend ), berechnet sich nun mit Gl. (10.21) zu RE RI ln(1 − 0, 99) = 9, 1 ns . (10.22) t1% = −CE RE + RI

10.4 Analog-Digital-Umsetzer Beispiel 10.2: Nachlauf-Umsetzer Es soll ein Nachlauf-Umsetzer mit folgenden Daten aufgebaut werden: uE = (0 V . . . 5 V) Aufl¨ osung ≤ 20 mV a) Welche Aufl¨ osung (in Bit) muß der DAC haben? b) Welche Taktrate wird minimal ben¨ otigt, damit der Nachlauf-Umsetzer eiˆ sin(ωt)| mit U ˆ = 5 V und einer Frequenz ner Eingangsspannung uE = |U von f = 10 kHz gerade noch folgen kann?

196

10 Digitale Meßtechnik

c) Welche maximale Verz¨ ogerungszeit tK darf der Komparator K haben, damit der Nachlauf-Umsetzer noch sinnvoll arbeitet, d.h. | uE −u(Z) |≤ ULSB gilt, wenn der DAC eine Wandlungszeit von 10 ns hat und der Z¨ ahler verz¨ ogerungsfrei arbeitet? Dabei soll angenommen werden, daß die Eingangsspannung uE eine Gleichspannung ist. d) Was passiert, wenn der Komparator eine Verz¨ ogerungszeit von 250 ns aufweist? Auch hier soll angenommen werden, daß die Eingangsspannung uE eine Gleichspannung ist.

Musterlo ¨sung: ¨ a) Die Ubertragungskennlinie eines idealen 2-Bit DA-Umsetzers ist in Abb. 10.11 dargestellt. Aus dieser Kennlinie ergibt sich der folgende allgemeing¨ ulti-

¨ Abb. 10.11. Ubertragungskennlinie eines 2-Bit DA-Umsetzers

ge Zusammenhang f¨ ur die Spannung ULSB des Least Significant Bit (LSB) eines N-Bit DA-Umsetzers ULSB =

uAmax ≤ 20 mV . 2N − 1

(10.23)

L¨ ost man Gl. (10.23) nach der Bitanzahl N auf und setzt uAmax = uEmax , so ergibt sich aus den angegebenen Daten der Wert  uEmax  ln 20 mV + 1 = 7, 97 Bit , (10.24) N≥ ln 2 d. h. es ist ein 8-Bit Umsetzer erforderlich. Die tats¨ achliche Aufl¨ osung ergibt sich nun entsprechend Gl. (10.23) zu ULSB =

uEmax = 19, 6 mV . 28 − 1

(10.25)

ˆ sin(ωt) berechb) Die zeitliche Steigung eines sinusf¨ ormigen Signals u(t) = U net sich durch Ableiten der Spannung nach der Zeitvariablen t

10.4 Analog-Digital-Umsetzer

duE ˆ ω cos(ωt) . =U dt

197

(10.26)

Der maximale Betrag der Steigung ergibt sich im Nulldurchgang, also f¨ ur die Zeitwerte t = kπ/ω (k ist eine ganze Zahl)   duE ˆ ω = ± 314 · 103 V . (10.27) =±U dt max s Die maximale Steigung der Eingangsspannung, die ein Nachlauf–Umsetzer gerade noch verarbeiten kann, wird durch den Spannungswert ULSB des Least Significant Bit und die Taktfrequenz fT bestimmt   du(Z) ULSB =± = ± ULSB fT . (10.28) dt TT mittel Die ben¨ otigte Taktfrequenz f¨ ur den spezifizierten DA-Umsetzer erh¨ alt man durch Gleichsetzen von Gl. (10.27) mit Gl. (10.28) fT =

ˆω ±U = 16 MHz . ± ULSB

(10.29)

c) Der zeitliche Verlauf der Spannung u(Z) am Ende des Meßvorganges ist in Abb. 10.12 f¨ ur den Fall dargestellt, daß der Z¨ ahler bei einer positiven Flanke weiterz¨ ahlt. Anhand dieses Verlaufes erkennt man, daß im Grenzfall der

Abb. 10.12. Zeitlicher Verlauf der Ausgangsspannung u(Z) des DA-Umsetzers und des Taktsignals am Ende einer Umsetzung.

folgende Zusammenhang f¨ ur ein einwandfreies Funktionieren des Umsetzers erf¨ ullt werden muß (10.30) TT = tKmax + tDAC . Aus Gl. (10.30) l¨ aßt sich jetzt die maximale Komparator–Verz¨ ogerungszeit tKmax berechnen

198

10 Digitale Meßtechnik

tKmax =

1 − tDAC = 52, 5 ns . fT

(10.31)

urde das Umschalten der Z¨ ahlrichtung zu sp¨ at erfolgen W¨ are tK > tKmax , so w¨ ¨ und der Z¨ ahler weiter vorw¨artsz¨ ahlen. Analoge Uberlegungen f¨ uhren f¨ ur das R¨ uckw¨ artsz¨ ahlen zum selben Ergebnis. d) Das Verh¨ altnis aus gesamter Verz¨ ogerungszeit und Periodendauer des Taktes betr¨ agt tK + tDAC = 4, 16 . (10.32) TT Damit kommt es zu einem Weiterz¨ ahlen um 4 ULSB . Dieser in Abb. 10.13 dargestellte Sachverhalt gilt in analoger Weise auch f¨ ur das R¨ uckw¨ artsz¨ ahlen.

¨ Abb. 10.13. Uberschwingen des Nachlauf-Umsetzers

Beispiel 10.3: Single-Slope-Umsetzer Es soll ein S¨ agezahngenerator f¨ ur einen Single-Slope-Umsetzer dimensioniert werden (Abb. 10.14). Der AD-Umsetzer soll folgende Daten aufweisen: 4-stellige Anzeige (Anzeige 1000=10 ˆ V) uE = (0 V . . . 10 V) f = 100 kHz Uref = 12 V R = 1 MΩ a) Berechnen Sie f¨ ur ideale Bauelemente den Wert von C so, daß die angegebenen Daten des Umsetzers eingehalten werden.

10.4 Analog-Digital-Umsetzer

199

b) Welcher auf den Meßbereichsendwert bezogene Meßfehler tritt auf, wenn der unter Punkt a) berechnete Kondensator bei einer Frequenz von 1 kHz einen Verlustfaktor von tan δ = 10−4 (Gl. (7.10)) aufweist? Hinweis: Parallelersatzschaltung verwenden.

Abb. 10.14. S¨ agezahngenerator

Musterlo ¨sung: a) Damit der Z¨ ahler einen Z¨ ahlerstand von 1000 erreicht, wird eine Torzeit von 1 (10.33) TXw = NXw10 = 10 ms f ben¨ otigt. Der Zeitverlauf der Spannung uS (t) (Abb. 10.14) ist durch 1 uSw (t) = C

t

Uref  Uref dt = t R RC

(10.34)

0

gegeben, wenn der Schalter zum Zeitpunkt t = 0 ge¨ offnet wird. Mit dem Zusammenhang uSw (TXw ) = uEmax = 10 V berechnet sich die erforderliche Kapazit¨ at C zu Uref TXw = 12 nF . (10.35) C= uEmax R b) Zur Berechnung der Schaltung mit einem verlustbehafteten Kondensator ist das Schaltbild nach Abb. 10.15 zu verwenden. Der Eingangsstrom IE berechnet sich einerseits u ¨ber die Referenzspannung Uref IE =

Uref R

(10.36)

und andererseits mit Hilfe der Spannung uS IE =

uS (t) duS (t) . +C RP dt

(10.37)

200

10 Digitale Meßtechnik

Abb. 10.15. Integrator mit verlustbehaftetem Kondensator

Durch Gleichsetzen von Gl. (10.36) mit Gl. (10.37) erh¨ alt man die Differentialgleichung zur Bestimmung der Integrator-Ausgangsspannung uS (t) duS 1 Uref + uS . = dt CRP RC

(10.38)

Den Eigenwert λ der homogenen L¨ osung erh¨ alt man durch Einsetzen des Ansatzes uSh = K1 eλt in die homogene Differentialgleichung λ+

1 RP C

= 0 =⇒

λ=−

1 RP C

.

(10.39)

Da die St¨ orfunktion eine Konstante ist, gen¨ ugt es, f¨ ur die partikul¨ are L¨ osung den Ansatz uSp = K2 zu w¨ ahlen Uref K2 RP = =⇒ K2 = Uref . RP C RC R

(10.40)

¨ Die allgemeine Gesamtl¨ osung erh¨ alt man nun durch Uberlagerung der homogenen und der partikul¨ aren L¨ osung uS (t) = Uref

RP − + K1 e R

t RP C

.

(10.41)

Mit der Anfangsbedingung uS (0) = 0 V l¨ aßt sich die Konstante K1 0 = Uref

RP + K1 =⇒ R

K1 = − Uref

RP R

(10.42)

bestimmen. Die spezielle L¨ osung dieses Anfangswertproblems lautet somit  RP  − t (10.43) uS (t) = Uref 1 − e RP C . R Die eben durchgef¨ uhrte Berechnung der Spannung uS kann durch Einf¨ uhrung einer Ersatzspannungsquelle wesentlich vereinfacht werden. Die Leerlaufspannung UQ und der Innenwiderstand RQ dieser Spannungsquelle (Abb. 10.16) berechnen sich zu

10.4 Analog-Digital-Umsetzer

201

Abb. 10.16. Ersatzspannungsquelle mit Ladekondensator C

UQ =

Uref RP und R

RQ = RP .

(10.44)

Mit diesen Gr¨ oßen l¨ aßt sich uS (t) entsprechend der Aufladekurve eines Kondensators (Gl. (10.7) mit U1 = 0) unmittelbar angeben   − t uS (t) = UQ 1 − e RP C . (10.45) Der ideale Spannungsverlauf uSw (t) nach Gl. (10.34) (idealer Kondensator) und der reale Spannungsverlauf uS (t) nach Gl. (10.45) (verlustbehafteter Kondensator) sind in Abb. 10.17 dargestellt. L¨ ost man Gl. (10.45) nach der Zeit-

Abb. 10.17. Idealer (uSw ) und realer (uS ) Zeitverlauf der Spannung uS (t) des S¨ agezahngenerators

variablen t auf, so erh¨ alt man den Zusammenhang   uS (t)R . t = − RP C ln 1 − Uref RP

(10.46)

Mit dem Verlustfaktor des Kondensators (Gl. (7.10)) tan δ =

1 RP ωC

berechnet sich die Zeit TXr zu   uEmax 1 ln 1 − RωC tan δ = 10, 032 ms . TXr = − ω tan δ Uref

(10.47)

(10.48)

202

10 Digitale Meßtechnik

Bei einem idealen Kondensator betr¨ agt die ¨ aquivalente Zeit TXw nach Gl. (10.33) 10 ms. Der vom verlustbehafteten Kondensator hervorgerufene relative Fehler f ergibt sich damit zu f=

TXr f NXr − 1 = 0, 32% . −1= NXw TXw f

(10.49)

Beispiel 10.4: Dual-Slope-Umsetzer Der in Abb. 10.4 gezeigte Dual-Slope-Umsetzer soll f¨ ur folgende Vorgaben dimensioniert werden: UE = (0 V . . . 10 V) Uref = 6 V a) Berechnen Sie (t2 − t1 )min so, daß der Eingangsspannung UE u ¨berlagerte St¨ orspannungen keine Auswirkungen auf das Ergebnis haben. Es handelt sich bei den St¨ orspannungen um reine Wechselspannungen mit Frequenzen von 50 Hz und 16 23 Hz. urfen mit mab) Die Eingangsspannung UE und die Referenzspannung Uref d¨ orenximal 1 mA belastet werden. Berechnen Sie Rmin und den zu Rmin geh¨ ur t2 −t1 = (t2 −t1 )min die minimale den Kapazit¨ atswert Cmax derart, daß f¨ Ausgangsspannung UAmin = −8 V erreicht wird. uhrt. c) Berechnen Sie die Taktfrequenz fT so, daß UE = 10 V zu NX = 1000 f¨ d) Welcher auf den Meßbereichsendwert bezogene Meßfehler tritt auf, wenn der unter Punkt b) berechnete Kondensator C bei der Frequenz von 1 kHz einen Verlustfaktor von tan δ = 10−4 (Gl. (7.10)) aufweist? Hinweis: Parallelersatzschaltung verwenden.

Musterlo ¨sung: a) Der Spannungsverlauf der Ausgangsspannung uA zum Zeitpunkt t2 berechnet sich zu 1 uA (t2 ) = − RC

t2 [UE + ustoer (t)] dt t1

1 =− RC

t2 t1

1 UE dt − RC

t2 ustoer (t) dt .

(10.50)

t1

F¨ ur eine reine Wechselspannung gilt nach Abschn. 4.3, daß die zeitliche Integration einer Wechselgr¨ oße u ¨ber eine Periode oder Vielfache der Periode Null ergibt

10.4 Analog-Digital-Umsetzer

203

t2 ustoer (t) dt = 0f¨ ur t2 − t1 = kTstoer k ∈ {1, 2, . . .} .

(10.51)

t1

Da Tstoer50Hz = 20 ms und Tstoer16 2/3Hz = 60 ms betragen, muß f¨ ur die Integrationszeit t2 − t1 der Wert (t2 − t1 )min = 60 ms

(10.52)

gew¨ ahlt werden, wenn beide St¨ orspannungen unterdr¨ uckt werden sollen. oßer als die Referenzspanb) Da die maximale Eingangsspannung UEmax gr¨ ur einen manung Uref ist, berechnet sich der minimale Eingangswiderstand f¨ ximalen Eingangsstrom von IEmax zu Rmin =

UEmax = 10 kΩ . IEmax

(10.53)

Der maximale Wert des Kondensators Cmax ergibt sich aus nachfolgender Gleichung

UAmin

1 =− Rmin Cmax

t2 UEmax dt = − t1

zu Cmax = −

(t2 − t1 )min UEmax Rmin Cmax

(t2 − t1 )min UEmax = 7, 5 µF . Rmin UAmin

(10.54)

(10.55)

c) Aus der Bedingung, daß die Ausgangsspannung uA zum Zeitpunkt tX den Wert Null hat, folgt 1 uA (tX ) = 0 V = uA (t2 ) + Rmin Cmax

tX Uref dt .

(10.56)

t2

Mit Gl. (10.54), welche den Wert der Ausgangsspannung uA zum Zeitpunkt alt man die Beziehung t2 angibt, erh¨ (t2 − t1 )min (tX − t2 )max UEmax = Uref . Rmin Cmax Rmin Cmax

(10.57)

Der Zusammenhang zwischen der Taktfrequenz f , dem maximalen Z¨ ahlerstand Nmax und der maximalen Aufintegrationszeit (tX − t2 )max ist folgendermaßen gegeben 1 (tX − t2 )max = NXmax . (10.58) fT F¨ ur die ben¨ otigte Taktfrequenz f erh¨ alt man somit

204

10 Digitale Meßtechnik

fT =

Uref NXmax = 10 kHz . (t2 − t1 )min UEmax

(10.59)

d) Entsprechend der Formel f¨ ur den Verlustfaktor eines realen Kondensators (Gl. (7.10)) 1 (10.60) tan δ = RP ωC ergibt sich der Parallelwiderstand zu RP =

1 = 212, 21 kΩ . tan δ ωC

(10.61)

Zur Berechnung des Meßfehlers erweist es sich wiederum als rechentechnisch vorteilhaft, wenn man entsprechend der Ersatzschaltung eine Ersatzspannungsquelle (Abb. 10.18) verwendet. Die Kenngr¨ oßen der Ersatzspannungs-

Abb. 10.18. Ersatzschaltung und Ersatzspannungsquelle zur Berechnung des Fehlers aufgrund des verlustbehafteten Kondensators

quelle ergeben sich zu UQ = IRP und

RQ = R P .

(10.62)

Entsprechend der Aufladekurve eines Kondensators berechnet sich der Spannungsverlauf f¨ ur die Ausgangsspannung uA (entspricht jenem der Kondensatorspannung) im Zeitbereich t1 ≤ t ≤ t2 mit I = UEmax /Rmin zu uA (t) = −uC (t) = −

 t−t1  UEmax − RP 1 − e RP C . Rmin

(10.63)

Zum Zeitpunkt t2 ergibt sich ein Wert von uA (t2 ) = −7, 851 V. Im Zeitbereich aßt sich die Ausgangsspannung uA mit Hilfe einer Aufladekurve t2 ≤ t ≤ tX l¨ (Gl. (10.7)) darstellen −uA (t) = uC (t) = UQ + (uC (t2 ) − UQ )e = UQ + (−uA (t2 ) − UQ )e

−

t−t2 RP C

−

.

t−t2 RP C

(10.64)

10.4 Analog-Digital-Umsetzer

205

Zum Zeitpunkt tX muß die Ausgangsspannung uA (t) Null werden, womit sich unter Verwendung von I = −Uref /Rmin die folgende Bestimmungsgleichung ergibt   t −t Uref Uref − X 2 0= RP + uA (t2 ) − RP e RP C . (10.65) Rmin Rmin Daraus berechnet sich der Wert f¨ ur die Zeitdifferenz (tX − t2 )max zu

 Uref Rmin RP (tX − t2 )max = −RP C ln Uref Rmin RP − uA (t2 )   Rmin uA (t2 ) = RP C ln 1 − RP Uref = 95, 232 ms .

(10.66)

Mit diesem Ergebnis erh¨ alt man entsprechend den realen Gegebenheiten (verlustbehafteter Kondensator) den Z¨ ahlerstand NXend = (tX − t2 )max fT = 952, 32 .

(10.67)

Der zum Meßbereichsendwert geh¨ orende relative Fehler betr¨ agt damit f=

NXend − NXmax = −4, 77 % . NXmax

(10.68)

Beispiel 10.5: Dual-Slope-Umsetzer Die folgenden Daten des Umsetzers sind bekannt: UE Uref C t2 − t 1

= (0 V . . . 10 V) = 10 V = = 470 nF = = 100 ms

a) Berechnen Sie den Widerstand R so, daß die minimale Ausgangsspannung uAmin = −8 V ist. b) Berechnen Sie das maximale Zeitintervall der Aufintegrationsphase (tX − t2 ). c) Welche Taktfrequenz wird f¨ ur eine 4-stellige Anzeige ben¨ otigt, wenn eine Anzeige von 1000 einen Spannungswert von 10 V entspricht? d) Welcher auf den Meßbereichsendwert bezogene maximale Fehler entsteht f¨ ur die in den Punkten a) bis c) berechneten Dimensionierungen, wenn die Verz¨ ogerungszeit des Komparators tK = 10 µs und die des Schalters S1 (entspricht der Zeitdifferenz zwischen dem Anlegen des Schaltbefehls und agt? dem tats¨ achlichen Umschalten des Schalters) tS = 5 µs betr¨

206

10 Digitale Meßtechnik

Musterlo ¨sung: a) Die Ausgangsspannung zum Zeitpunkt t2 , also jenem Zeitpunkt, bei dem der Schalter die Eingangsspannung am Integrator von der Meßspannung auf die Referenzspannung umschaltet, berechnet sich f¨ ur einen Dual-SlopeUmsetzer nach 1 uA (t2 ) = − C

t2

uE uE dt = − (t2 − t1 ) . R RC

(10.69)

t1

Daraus ergibt sich f¨ ur die angegebene Spannung uA (t2 ) = uAmin = −8 V der Wert des Widerstandes R zu R=−

uEmax (t2 − t1 ) = 266 kΩ . uAmin C

(10.70)

b) Durch Nullsetzen der Ausgangsspannung uA zum Zeitpunkt tX 1 uA (tX ) = uA (t2 ) − C

tX

− Uref dt R

t2

=−

uE Uref (t2 − t1 ) + (tX − t2 )w = 0 RC RC

(10.71)

erh¨ alt man die f¨ ur den Dual-Slope-Umsetzer wesentliche Gleichung (tX − t2 )w =

uE (t2 − t1 ) . Uref

(10.72)

Man beachte, daß die Zeitkonstante τ = RC des Lade- bzw. Entladevorganges nicht mehr in dieser Gleichung vorkommt. Das maximale Aufintegrationsintervall (vom Zeitpunkt t2 des Umschaltens bis zum Zeitpunkt tX des Nulldurchgangs) ergibt sich f¨ ur uE = uEmax zu (tX − t2 )wmax =

uEmax (t2 − t1 ) = 0, 1 s . Uref

(10.73)

c) F¨ ur uE = 10 V soll die Anzeige NX10 = 1000 liefern, womit die Bedingung TT NX10 = (tX − t2 )wmax

(10.74)

erf¨ ullt werden muß. Aus dieser Gleichung l¨ aßt sich die notwendige Taktfrequenz fT berechnen fT =

NX10 = 10 kHz . (tX − t2 )wmax

(10.75)

10.4 Analog-Digital-Umsetzer

207

Abb. 10.19. Spannungsverlauf uA unter Ber¨ ucksichtigung der Komparator- und Schalterverz¨ ogerungszeiten.

d) Abbildung 10.19 zeigt den Zeitverlauf der Spannung uA (t) unter Ber¨ ucksichtigung der Verz¨ ogerungszeiten des Komparators tK und des Schalters tS . Die reale Zeitdifferenz zwischen tX und t2 betr¨ agt somit (tX − t2 )rmax = tS + tK +

uEmax (t2 − t1 + tS ) Uref

= 100, 02 ms .

(10.76)

Mit diesem Ergebnis berechnet sich der relative Fehler zu f=

(tX − t2 )rmax − 1 = 0, 02 % . (tX − t2 )wmax

(10.77)

Aufgabe 10.1: Single-Slope-Umsetzer Es ist der in Abb. 10.20 gezeigte Teil eines S¨ agezahngenerators gegeben, der f¨ ur einen Single-Slope-Umsetzer vorgesehen ist. Der Umsetzer soll folgende Daten aufweisen: 4-stellige Anzeige (5000=5 ˆ V) UE = (0 V . . . 5 V) fT = 100 kHz a) Berechnen Sie die S¨ agezahnspannung uS (t) = f (R, C, Uref , V0 ), wenn der verwendete Operationsverst¨ arker eine Leerlaufspannungsverst¨ arkung von V0 = 1000 aufweist, seine restlichen Daten ideal sind und die Anfangsbedingung f¨ ur die Spannung uS (0) = 0 V gilt. b) Welcher maximale absolute Meßfehler tritt auf, wenn der Umsetzer f¨ ur den Meßbereichsendwert eine exakte Anzeige liefert? Die Bauelementwerte f¨ ur den Widerstand R und den Kondensator C betragen R = 10 kΩ und C = 4, 7 µF.

208

10 Digitale Meßtechnik

Abb. 10.20. Integrator-Schaltung eines S¨ agezahngenerators

L¨ osung: a) Mit der Differentialgleichung   duS 1 Uref 1 = + uS 1+ dt V0 V0 RC CR

(10.78)

und der Anfangsbedingung uS (0) = 0 erh¨ alt man folgende L¨ osung   uS = Uref V0 1 − e−λt mitλ =

1 . (1 + V0 )RC

(10.79)

b) Der maximale absolute Fehler betr¨ agt −0, 930 mV. Aufgabe 10.2: Dual-Slope-Umsetzer Ein Dual-Slope-Umsetzer soll f¨ ur eine Frequenz von fT = 25 kHz und einen Eingangsspannungsbereich von 0 V bis 10 V dimensioniert werden. a) Berechnen Sie die Integrationszeit (t2 − t1 )min so, daß eine der Eingangsorspannung (reine Wechselspannung) spannung uE u ¨berlagerte 50 Hz–St¨ keine Auswirkung auf das Ergebnis der AD-Umsetzung zeigt. b) Die Eingangsspannung darf mit maximal 1 mA belastet werden. Berechnen orenden Kapazit¨ atsSie den Widerstandswert Rmin und den zu Rmin geh¨ ur t2 − t1 = (t2 − t1 )min die minimale Ausgangswert Cmax derart, daß f¨ spannung uAmin = −8 V erreicht wird. c) Berechnen Sie Uref so, daß eine Eingangsspannung von uE = 10 V zu einem uhrt. Z¨ ahlerstand von NX = 1000 f¨ d) Wirkt sich eine Ver¨ anderung der Werte von R, C und fT aufgrund von Alterungserscheinungen auf die Genauigkeit aus? L¨ osung: a) Die zur Unterdr¨ uckung einer 50 Hz–Spannung geforderte Integrationszeit (t2 − t1 )min bel¨ auft sich auf

10.5 Spannungs-Frequenz-Umsetzer

(t2 − t1 )min = 20 ms .

209

(10.80)

b) Die beiden zu den spezifizierten Werten geh¨ orenden Gr¨ oßen Rmin und Cmax betragen 10 kΩ bzw. 2, 5 µF. otigte Referenzspanc) F¨ ur uE = 10 V und NX = 1000 berechnet sich die ben¨ nung Uref zu 5 V. d) NEIN, da sich alle Gr¨ oßen laut Gl. (10.4) herausk¨ urzen!

10.5 Spannungs-Frequenz-Umsetzer Beispiel 10.6: Spannungs-Frequenz-Umsetzer Ein Spannungs-Frequenz-Umsetzer soll f¨ ur folgende Vorgaben dimensioniert werden: uE = (0 V . . . 5 V) fX = (0 kHz . . . 10 kHz) Uref = 5 V a) Die Eingangsspannung uE darf mit maximal 2mA belastet werden. Berechorenden Kapazit¨ atswert nen Sie den Widerstand Rmin und den zu Rmin geh¨ Cmax . b) Wie groß ist der relative Fehler, wenn +Uref = 5, 1 V und −Uref = −4, 9 V betragen? c) Geben Sie die Bestimmungsgleichung f¨ ur den relativen Fehler an, wenn ogedie Verz¨ ogerungszeiten der Komparatoren (tK1 und tK2 ) und die Verz¨ ucksichtigt werden. rungszeit des Schalters (tS ) ber¨ d) Wie groß darf die Summe der Verz¨ ogerungszeiten von K1 und K2 maximal agt und der sein, wenn die Verz¨ ogerungszeit des Schalters tS = 100 ns betr¨ maximale relative Fehler ≤ 1 % sein soll? Verwenden Sie die unter Punkt a) berechnete Dimensionierung. Musterlo ¨sung: a) Wird die Eingangsspannung direkt auf den Integrator gegeben, so fließt sowohl ein Strom durch den Eingangswiderstand des Integrators als auch durch den Eingangswiderstand des Invertierers. Da beide Widerst¨ ande den Wert R besitzen, ergibt sich ein minimaler Widerstand von Rmin =

uEmax iEmax 2

= 5 kΩ .

(10.81)

Die Spannung uA berechnet sich im Zeitintervall tmin ≤ t ≤ tmax gem¨ aß dem Signal-Zeitverlauf (Abb. 10.5) 1 t uE  dt . (10.82) uA (t) = −Uref + C tmin R

210

10 Digitale Meßtechnik

Zum Zeitpunkt t = tmax muß die Ausgangsspannung uA den Wert +Uref erreicht haben. Aus uE (tmax − tmin ) +Uref = −Uref + (10.83) RC berechnet sich das Zeitintervall zu tmax − tmin = 2RC

Uref . uE

(10.84)

Aufgrund der Symmetrie des Spannungsverlaufes ergibt sich die Periodendauer TX aus Uref 1 = 2(tmax − tmin ) = 4RC . (10.85) TX = fX uE Damit bestimmt sich die Zeitkonstante RC zu uEmax RC = = 25 µs , (10.86) 4Uref fXmax alt man schließlich den Maund mit dem bereits berechneten Wert Rmin erh¨ at ximalwert Cmax der Kapazit¨ RC = 5 nF . Rmin

Cmax =

(10.87)

b) Da sich die Zeit TX aus Gl. (10.83) gem¨ aß TX = 2RC

+Uref − (−Uref ) uE

(10.88)

ergibt, ist sie proportional der Differenz der beiden Referenzspannungen +Uref ¨ und −Uref . Aufgrund der entgegengesetzten Anderungen dieser beiden Spannungen ist der Fehler gleich Null. c) Abbildung 10.21 zeigt den genauen Spannungsverlauf unter Ber¨ ucksichtigung der Verz¨ ogerungszeiten der Komparatoren und der des Schalters. Die nun fehlerbehaftete Zeit TXr berechnet sich zu TXr = 2tS + tK2 +

TXw TXw + 2(tK1 + tS ) + + tK2 2 2

= TXw + 4tS + 2(tK1 + tK2 ) .

(10.89)

Daraus ergibt sich der relative Frequenzfehler f =

=

fXr − fXw = fXw

1 TXr

−

1 TXw

1 TXw

TXw − TXr 4tS + 2(tK1 + tK2 ) =− . Uref TXr 4RC u + 4tS + 2(tK1 + tK2 ) E

(10.90)

10.5 Spannungs-Frequenz-Umsetzer

211

Abb. 10.21. Zeitverlauf bei Ber¨ ucksichtigung der Verz¨ ogerungszeiten

d) Mit der N¨ aherung, daß die Verz¨ ogerungszeiten wesentlich kleiner als die ogerungszeiten im Nenner wahre Zeit TXw sind, kann der Term mit den Verz¨ von Gl. (10.90) vernachl¨ assigt werden |f | ≈

4tS + 2(tK1 + tK2 ) . 4RC Uuref E

(10.91)

Somit ergibt sich die entsprechend den gestellten Spezifikationen maximal erlaubte Summenverz¨ ogerungszeit f¨ ur die Komparatoren zu   Uref (tK1 + tK2 )max = 2 |f |max RC − tS = 300 ns . (10.92) uEmax Aufgabe 10.3: Delta-Sigma-Umsetzer Ein Delta-Sigma-Umsetzer 2. Ordnung kann im Laplace-Bereich durch das 1V 8V (

N V

N V

4V

Abb. 10.22. Delta-Sigma-Umsetzer 2. Ordnung

Blockschaltbild in Abb. 10.22 dargestellt werden. F¨ ur die Konstanten der Integrierer soll gelten k2 = 2k und k1 = 21 k.

212

10 Digitale Meßtechnik

¨ a) Berechnen Sie die Ubertragungsfunktion GU e (s) zwischen dem Ausgang Q(s) und dem Signaleingang Ue (s). ¨ b) Berechnen Sie die Ubertragungsfunktion GN (s) zwischen dem Ausgang Q(s) und dem Quantisierungsrauschen N (s). c) Worin besteht der Vorteil gegen¨ uber einem Umsetzer 1. Ordnung?

L¨ osung a) GU e (s) =

k2 (s + k)2

(10.93)

GN (s) =

s2 (s + k)2

(10.94)

b)

c) Durch die doppelte Polstelle wird das niederfrequente Rauschen noch st¨ arker ged¨ ampft (Noise shaping).

11 Messung von Frequenz und Zeit

11.1 Phasenwinkelmessung Das Prinzip der Phasenwinkelmessung (eigentlich handelt es sich um die Messung einer Phasenwinkeldifferenz zwischen zwei periodischen und gleichfrequenten Signalen) beruht auf der Messung des Zeitintervalls, das durch gleichsinnige Nulldurchg¨ ange der beiden zu vergleichenden Eingangswechselgr¨ oßen ¨ definiert wird. Diese Nulldurchg¨ ange werden zum Offnen bzw. Schließen eines zeitlichen Tores genutzt (Abb. 11.1), dessen Torzeit mit Hilfe einer Digitalschaltung gemessen wird.

Abb. 11.1. Digitale Phasenwinkelmessung zweier gleichfrequenter Wechselspannungen

W¨ ahrend der Torzeit TX werden die von einem frequenzstabilen Generator ahler aufsummiert. Der mit der Frequenz fref kommenden Pulse in einem Z¨ Z¨ ahlerstand NX ist nach dem Schließen des Tores somit proportional zur Torzeit TX TX NX = = TX fref (11.1) Tref und kann bei bekannter Signalfrequenz fs zur Berechnung der Phasenverschiebung

214

11 Messung von Frequenz und Zeit

ϕX = ωs TX = NX

2πfs fref

(11.2)

genutzt werden.

11.2 Zeit- und Frequenz-Spannungs-Umsetzer Zeit-Spannungs-Umsetzer Der Zeit-Spannungs-Umsetzer wird zur Umsetzung eines pulsdauermodulierten Signals in eine zur Pulsdauer proportionale Spannung verwendet. Das Funktionsprinzip beruht darauf, daß der zeitliche Mittelwert des pulsdauermodulierten Signals mit der konstanten Taktfrequenz f0 und der konstanten Amplitude u0 proportional zur Pulsdauer TX ist uA = u E =

1 T0

T0 uE dt = 0

1 T0

TX TX u0 dt = u0 . T0

(11.3)

0

Die Mittelwertbildung kann im einfachsten Fall durch einen RC-Tiefpaß erfolgen (Abb. 11.2), wobei hier ein Kompromiß zwischen der verbleibenden Restwelligkeit, welche das Aufl¨ osungsverm¨ ogen begrenzt, und der zeitlichen Dynamik, d. h. der Geschwindigkeit beim Einstellen auf neue Werte, zu schließen ist.

Abb. 11.2. RC-Tiefpaß als einfacher Zeit-Spannungs-Umsetzer

Frequenz-Spannungs-Umsetzer Um frequenzmodulierte Signale in eine zur Frequenz proportionale Spannung umformen zu k¨ onnen, wird ein Frequenz-Spannungs-Umsetzer eingesetzt. Der zeitliche Mittelwert uAM einer Pulsfolge der Frequenz fX mit konstanter Pulsdauer T0 und konstanter Amplitude u0

11.3 Grundlagen der Oszillatoren

uA = uAM

1 = TX

TX T0 1 uAM dt = u0 dt = u0 T0 fX TX 0

215

(11.4)

0

ist somit proportional zur Frequenz fX . Basierend auf dieser Tatsache bietet sich die in Abb. 11.3 gezeigte Realisierungsm¨ oglichkeit mit Hilfe einer monostabilen Kippstufe an. Die monostabile Kippstufe stellt einen Impuls konstanter Dauer und Amplitude zur Verf¨ ugung und wird entsprechend Gl. (11.4) durch die Eingangsspannung mit der Frequenz fX getriggert. Die Mittelwertbildung erfolgt wiederum durch einen RC-Tiefpaß.

Abb. 11.3. Frequenz-Spannungs-Umsetzer

11.3 Grundlagen der Oszillatoren Harmonische Oszillatoren Harmonische Oszillatoren werden zur Erzeugung von sinusf¨ ormigen Spannungen eingesetzt und basieren auf der Verwendung von linearen Schaltungselementen. Sie bestehen aus einem Verst¨ arker mit der komplexen Verst¨ arkung ¨ uckkopplungsnetzwerk mit der Ubertragungsfunktion V (ω) und aus einem R¨ ubertragungsfunktion G(ω) ergibt sich entspreK(ω) (Abb. 11.4). Die Gesamt¨ chend Abb. 11.4 aus (11.5) U A = (U E + K U A )V zu G(ω) =

UA V = . UE 1−V K

(11.6)

¨ Die Schwingbedingung erh¨alt man nun aus der Uberlegung, daß sich f¨ ur ein

Abb. 11.4. Prinzip einer Oszillatoranordnung

216

11 Messung von Frequenz und Zeit

verschwindendes Eingangssignal (U E → 0) eine harmonische Ausgangsspanoglich, wenn G(ω) nung U A einstellen soll. Dies ist laut Gl. (11.6) nur dann m¨ eine Polstelle hat, also (11.7) V K=1 gilt. Diese Bedingung kann entsprechend den Gln. (7.19) und (7.20) in eine Amplitudenbedingung 1 (11.8) |V | = |K| und in eine Phasenbedingung aufgespaltet werden ϕV + ϕK = 2πk ,

(11.9)

wobei k eine ganze Zahl ist. Relaxations-Oszillatoren Relaxations-Oszillatoren werden zur Erzeugung von Dreieck- und Rechtecksignalfolgen eingesetzt. Ihr Funktionsprinzip basiert auf einem nicht-linearen Schaltungselement, wie z. B. einem Schmitt-Trigger mit Hysterese. Dabei finden die in Kap. 7.3 besprochenen Lade- und Entladevorg¨ ange statt, wobei die beiden Spannungsschwellen in alternierender Reihenfolge durch das nichtlineare Schaltungselement vorgegeben werden. Dies f¨ uhrt schließlich zu einer periodischen Dreieck- oder Rechteckschwingung.

11.4 Zeit- und Frequenzmessung Beispiel 11.1: Analyse einer Meßschaltung Abbildung 11.5 zeigt eine Meßschaltung, die f¨ ur zwei sinusf¨ ormige Eingangsspannungen uE1 und uE2 mit der Frequenz fs und einer Phasenverschiebung ϕ zu analysieren ist. a) Stellen Sie eine Wahrheitstabelle f¨ ur die Signale Q, A und B auf. Leiten Sie aus der Wahrheitstabelle den Zusammenhang zwischen Q, A und B her. Durch welches einzelne Standard-Gatter k¨ onnte der aus NOR-Gattern aufgebaute Schaltungsteil ersetzt werden? ur eine von Ihnen b) Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf von uE1 , uE2 und Q f¨ gew¨ ahlte Phasenverschiebung ϕ. ur −π ≤ ϕ ≤ π und RC 1/fs . c) Berechnen und zeichnen Sie UA = f (ϕ) f¨ Nehmen Sie f¨ ur Ihre Berechnungen an, daß die Gatter an ihren Ausg¨ angen die Betriebsspannungsgrenzen (UB und Masse) erreichen.

11.4 Zeit- und Frequenzmessung

217

Abb. 11.5. Zu analysierende Meßschaltung

Musterlo ¨sung: a) Aus der Wahrheitstabelle (Tabelle 11.1) erkennt man, daß der logische Zusammenhang zwischen den Signalen A, B und Q durch ein EXOR-Gatter erf¨ ullt werden kann. Diesen Zusammenhang erh¨ alt man auch durch Aufstellen Tabelle 11.1. Logischer Zusammenhang zwischen den Signalen A, B und Q ABQ 0 1 0 1

0 0 1 1

0 1 1 0

der logischen Funktion f¨ ur Q entsprechend der Schaltung in Abb. 11.5 und sukzessiver Anwendung des Morganschen Gesetzes Q=A+B+A+B =A+B+A+B =A·B+A·B.

(11.10)

b) Abbildung 11.6 zeigt die Zeitverl¨ aufe der Spannungen uE1 , uE2 und Q f¨ ur eine Phasenverschiebung ϕ. c) Die Ausgangsspannung UA berechnet sich aus dem zeitlichen Mittelwert von Q unter Verwendung der in Abb. 11.6 angegebenen Bezeichnungen zu ⎞ ⎛ |ϕ| |ϕ| t1 + 2πfs t2 + 2πfs Ts ⎟ 1 1 ⎜ ⎟ ⎜ UA = Q(t) dt = U dt + U dt B B ⎠ Ts Ts ⎝ 0

1 = Ts

t1

  |ϕ| |ϕ| Ts = U B . 2UB 2π π

t2

(11.11)

218

11 Messung von Frequenz und Zeit

Abb. 11.6. Zeitverl¨ aufe der Spannungen uE1 , uE2 und Q

Abb. 11.7. Verlauf der Ausgangsspannung UA (ϕ)

In Abbildung 11.7 wird der Verlauf von UA u ¨ber dem Phasenverschiebungswinkel ϕ dargestellt. Wie man diesem Diagramm entnehmen kann, ist die Ausgangsspannung UA proportional zum Betrag der Phasenverschiebung zwischen den beiden gleichfrequenten Eingangsspannungen (uE1 und uE2 ) und kann daher zur Phasenmessung eingesetzt werden. Beispiel 11.2: Zeit-Spannungs-Umsetzer Es wird die in Abb. 11.8 gezeigte Spannung mit u0 = 5 V, TX = (0 ms . . . 1 ms) und T0 = 1 ms an einen RC-Tiefpaß gelegt.

Abb. 11.8. Verlauf der Eingangsspannung

11.4 Zeit- und Frequenzmessung

219

Die Ausgangsspannung uA wird mittels eines 8-Bit Analog-Digital-Umsetzers digitalisiert, der einen Eingangsspannungsbereich von UEADC = (0 V . . . 5 V) aufweist. Abbildung 11.9 zeigt den RC-Tiefpaß und den zeitlichen Verlauf der Ausgangsspannung uA .

Abb. 11.9. Schaltung des RC-Tiefpasses und Zeitverlauf von uA

Wie muß die Zeitkonstante τ = RC des Tiefpasses gew¨ ahlt werden, damit die maximale Welligkeit ∆u der Ausgangsspannung die Bedingung ∆u = u2 − u1 ≤ ULSB erf¨ ullt. Musterlo ¨sung: Der Kondensator C wird f¨ ur uE = u0 entsprechend t

uA (t) = u0 + (u1 − u0 ) e− RC f¨ ur0 ≤ t ≤ TX

(11.12)

aufgeladen (Gl. (10.7)) und hat zum Zeitpunkt t = TX die Spannung TX

TX

uA (TX ) = u2 = u0 (1 − e− RC ) + u1 e− RC .

(11.13)

Zu diesem Zeitpunkt nimmt die Eingangsspannung den Wert Null an (uE = 0) und der Kondensator entl¨ adt sich entsprechend uA (t) = u2 e−

t−TX RC

f¨ urTX ≤ t ≤ T0 .

(11.14)

Damit wird zum Zeitpunkt t = T0 die Spannung uA (T0 ) = u1 = u2 e−

T0 −TX RC

(11.15)

erreicht. Durch Einsetzen von Gl. (11.15) in Gl. (11.13) TX

T0 −TX RC

TX

T0

u2 = u0 (1 − e− RC ) + u2 e−

= u0 (1 − e− RC ) + u2 e− RC erh¨ alt man die Bestimmungsgleichung f¨ ur u2

TX

e− RC (11.16)

220

11 Messung von Frequenz und Zeit TX

u2 = u 0

1 − e− RC

.

T0

1 − e− RC

(11.17)

Aus dem Zusammenhang  ∆u = u2 − u1 = u2

u1 1− u2

 (11.18)

folgt mit den Gln. (11.17) und (11.15) f¨ ur die Spannung ∆u TX  T0 −TX 1 − e− RC  1 − e− RC ∆u = u0 T0 1 − e− RC TX

= u0

1 − e− RC − e−

T0 −TX RC

T0

+ e− RC

T0

1 − e− RC

.

(11.19)

Die folgende Diskussion des durch Gl. (11.19) beschriebenen Funktionsverlaufes TX = 0 =⇒ ∆u = 0

(11.20)

TX = T0 =⇒ ∆u = 0

(11.21)

0 < TX < T =⇒ ∆u > 0

(11.22)

ergibt, daß im Zeitintervall 0 < TX < T0 mindestens ein relatives Maximum von ∆u vorhanden sein muß. Durch Ableiten der die Welligkeit beschreibenden Funktion nach TX TX

1 −e− RC (− RC ) − e− d∆u = u0 T0 dTX 1 − e− RC

erh¨ alt man aus

TX

e− RC = e−

T0 −TX RC

1 RC

=0

T0 −TX RC

(11.23)

(11.24)

jene Impulsdauer, bei der die maximale Welligkeit ∆umax auftritt TX =

T0 . 2

(11.25)

Daraus berechnet sich ∆umax zu T0

∆umax = u0

T0

1 − 2e− 2RC + e− RC T0

1 − e− RC

.

(11.26)

Dieser Zusammenhang liefert mit den Umformungen T0 T0 ∆umax − T0 ∆umax − e RC = 1 − 2e− 2RC + e− RC u0 u0

(11.27)

11.4 Zeit- und Frequenzmessung

und T0

e− RC

 1+

∆umax u0



T0

− 2e− 2RC + 1 −

∆umax =0 u0

221

(11.28)

T0

bei Verwendung der Abk¨ urzung v = e− 2RC folgende quadratische Gleichung v2 − v

2 1+

∆umax u0

+

1− 1+

∆umax u0 ∆umax u0

= 0.

(11.29)

Entsprechend der Aufgabenstellung berechnen sich mit ∆umax ∆umax = ULSB =

u0 uEADCmax = =⇒ 8 2 −1 255

∆umax 1 = u0 255

(11.30)

die L¨ osungen der quadratischen Gleichung zu v1 = 1und

v2 = 0, 9922 .

(11.31)

osungen die Mit RC = T0 /(2 ln v1 ) ergeben sich durch Einsetzen der beiden L¨ folgenden Zeitkonstanten RC(v1 ) = ∞und

RC(v2 ) = 63, 9 ms ,

(11.32)

wobei nat¨ urlich nur RC = 63, 9 ms eine physikalisch sinnvolle L¨ osung darstellt. Beispiel 11.3: Frequenz-Spannungs-Umsetzer F¨ ur einen Frequenz-Spannungs-Umsetzer soll eine monostabile Kippstufe dimensioniert werden. Zur Realisierung dieser monostabilen Kippstufe wird der Timerbaustein IC 555 verwendet (Abb. 11.10). Der Frequenz-Spannungs-Umsetzer soll folgende Daten aufweisen: Eingangsfrequenz: Ausgangsspannung (RA CA 1/2πfE ): Versorgungsspannung:

fE = (0 kHz . . . 1 kHz) uATP = (0 V . . . 5 V) UB = 10 V

Die Eingangsspannung uE mit der Frequenz fE hat den in Abb. 11.11 angegebenen zeitlichen Verlauf. a) Erl¨ autern Sie die Funktionsweise des Timers unter Zuhilfenahme der in Abb. 11.12 vorgegebenen Zeitverl¨ aufe der Spannung uE und des ResetSignals RES. Nehmen Sie dabei an, daß RES nicht, wie in Abb. 11.10 eingezeichnet, an dem konstanten Betriebsspannungspotential UB liegt, sondern den in Abb. 11.12 dargestellten Zeitverlauf aufweist. Skizzieren ¨ Sie f¨ ur Ihre weiteren Uberlegungen die Zeitverl¨ aufe von uE , uC , S, R und ur alle Ihre Berechnungen an, daß uA555 die BetriebsuA555 . Nehmen Sie f¨ spannungsgrenzen (UB und Masse) erreicht. b) Berechnen Sie den Wert des Kondensators C f¨ ur die angegebenen Daten und R = 10 kΩ.

222

11 Messung von Frequenz und Zeit

Abb. 11.10. Schaltung der monostabilen Kippstufe mit Timerbaustein IC 555

Abb. 11.11. Zeitverlauf der Eingangsspannung uE

c) Zeichnen Sie den Spannungsverlauf uA555 (t) f¨ ur fE = 3 kHz und die in Punkt b) ermittelte Dimensionierung. Berechnen Sie daraus uA . ande d) Wie groß ist der maximale relative Fehler von uA , wenn die Widerst¨ R1 eine Toleranz von 1% haben?

Abb. 11.12. Vorgegebener Zeitverlauf von RES und uE

11.4 Zeit- und Frequenzmessung

223

Musterlo ¨sung: a) Abbildung 11.13 zeigt die Zeitverl¨ aufe aller zum Verst¨ andnis der Schaltungsfunktion ben¨ otigten Signale. Es ergibt sich folgender Ablauf: • Zum Zeitpunkt t1 wird der Timer u ¨ber den RES-Eingang in einen definierten Zustand gebracht (Q = 1). • Zum Zeitpunkt t3 wird das RS-Flip-Flop u ¨ber die Eingangsspannung uE gesetzt (Q = 0 und UA555 = UB ). Da der Entladetransistor nun sperrt, beginnt sich der Kondensator C u ¨ber den Widerstand R aufzuladen. • Da die Kondensatorspannung uC zum Zeitpunkt t5 den Wert 2/3 UB erreicht (dieser Wert wird durch den mit den drei Widerst¨ anden R1 aufgebauten Spannungsteiler vorgegeben), wird das RS-Flip-Flop u ¨ber einen Komparator zur¨ uckgesetzt (Q = 1). Somit wird die Ausgangsspannung UA555 = 0 V und der Kondensator C wird u ¨ber den Transistor in sehr kurzer Zeit entladen. Die Schaltung befindet sich nun im Ruhezustand, bis der n¨ achste Triggerimpuls am Eingang einen neuen Ausgangsimpuls ausl¨ ost. b) Unter Verwendung von Gl. (11.4) und den angegebenen Zahlenwerten berechnet sich die ben¨ otigte Impulsdauer zu uAmax = 0, 5 ms . (11.33) T0 = UB fEmax Da die Impulsdauer T0 gem¨ aß Abb. 11.13 der Zeit entspricht, die zum Aufladen des Kondensators von 0 V auf 2/3 UB notwendig ist, ergibt sich mit Gl. (7.14) die erforderliche Kapazit¨ at zu 1 T0 = 45, 5 nF . (11.34) =⇒ C= T0 = RC ln 2 R ln 3 3 UB 1− UB

c) Aus der Funktionsweise der monostabilen Kippstufe geht hervor, daß sie nicht nachtriggerbar ist und es ergeben sich daher die in Abb. 11.14 dargestellten Spannungsverl¨ aufe. Die Ausgangsspannung uA berechnet sich zu T0 (11.35) uA = UB 2 = 7, 5 V . fE

d) Wenn die toleranzbehafteten Widerst¨ ande mit R11 , R12 und R13 bezeichnet werden, l¨ aßt sich aus Gl. (7.14) mit U1auf = 0 Vund die Impulsdauer T0 berechnen T0 = RC ln

U2auf = UB 

R12 + R13 R11 + R12 + R13

R11 + R12 + R13 R11

(11.36)

 .

(11.37)

224

11 Messung von Frequenz und Zeit

Abb. 11.13. Zeitverl¨ aufe aller f¨ ur die Funktion der Spannungs-Frequenz-UmsetzerSchaltung relevanten Signale

Abb. 11.14. Zeitverl¨ aufe von uE und uA555 f¨ ur fE = 3 kHz

11.5 Oszillatoren

225

Der maximale relative Fehler von uA berechnet sich unter Verwendung von Gl. (11.4) fuA = fT0 (11.38) duA = u0 fX dT0 =⇒ mit den partiellen Ableitungen nach den Widerst¨ anden ∂T0 R11 − (R11 + R12 + R13 ) R11 = RC 2 ∂R11 R11 + R12 + R13 R11 = −RC

R12 + R13 , (R11 + R12 + R13 )R11

(11.39)

∂T0 1 = RC , ∂R12 R11 + R12 + R13

(11.40)

∂T0 1 = RC ∂R13 R11 + R12 + R13

(11.41)

aus dem totalen Differential dR11 dR12 dR13 ∂T0 ∂T0 ∂T0 R11 + R12 + R13 ∂R11 R11 ∂R12 R12 ∂R13 R13   2 1 1 = RC − fR11 + fR12 + fR13 3 3 3

dT0 =

(11.42)

zu |fuA |max =

RC |dT0 |max = T0

2 3

|fR11 |max +

= 1, 21 % .

|fR12 |max + RC ln 3 1 3

1 3

|fR13 |max



(11.43)

11.5 Oszillatoren Beispiel 11.4: Harmonischer LC-Oszillator Abbildung 11.15 zeigt die Schaltung eines mit einem Operationsverst¨ arker aufgebauten harmonischen LC-Oszillators. osen Sie diese unter a) Stellen Sie die Differentialgleichung f¨ ur uA (t) auf und l¨ der Voraussetzung, daß der Oszillator harmonisch schwingen soll, wenn folgende Anfangsbedingungen gegeben sind: iL (0) = 0 mA und uC (0) = UC0 . ur eine Schwingfrequenz von fs = 1 MHz, b) Berechnen Sie C und R1 /R2 f¨ wenn RL = 1 Ω, L = 10 µH und R3 = 10 kΩ gegeben sind.

226

11 Messung von Frequenz und Zeit

Abb. 11.15. Schaltung des LC-Oszillators

Musterlo ¨sung: a) Mit dem Verst¨ arkungsgrad eines nicht-invertierenden Verst¨ arkers ergeben sich entsprechend den eingezeichneten Bezugspfeilen folgende Ausgangsgleichungen zur Berechnung der Oszillatorausgangsspannung uA iL = i3 − iC =

uA − u C duC −C R3 dt

diL dt   R1 uA = 1 + uC = V u C . R2 uC = iL RL + L

Durch Einsetzen von Gl. (11.44) in Gl. (11.45)   L duA duC uA − u C duC d 2 uC + − uC = R L − RL C − LC R3 dt R3 dt dt dt2 erh¨ alt man mit Gl. (11.46) die Bestimmungsgleichung f¨ ur uA   CRL RL (V − 1) L(1 − V ) duA LC d2 uA uA = uA − + − . V R3 V V V R3 dt V dt2

(11.44)

(11.45)

(11.46)

(11.47)

(11.48)

Faßt man nun die einzelnen Terme zusammen R3 − RL (V − 1) CRL R3 − L(V − 1) duA LC d2 uA + uA = 0 , (11.49) + 2 V dt R3 V dt R3 V so f¨ uhrt dies zu folgender homogenen Differentialgleichung d 2 uA R3 − RL (V − 1) CRL R3 − L(V − 1) duA + + uA = 0 . dt2 R3 LC dt R3 LC       K1

K2

(11.50)

11.5 Oszillatoren

227

Mit dem L¨ osungsansatz uA (t) = Keλt erh¨ alt man aus der sich ergebenden charakteristischen Gleichung λ2 + K1 λ + K2 = 0

(11.51)

folgende L¨ osungen f¨ ur λ λ1,2

K1 ± =− 2



K1 2

2 − K2 .

(11.52)

F¨ ur den Fall einer harmonischen Schwingung m¨ ussen λ1,2 rein imagin¨ ar sein, also muß (11.53) K1 = 0und K2 > 0 √ gelten. Mit λ1,2 = ±j ω0 = ±j K2 hat die allgemeine L¨ osung die Form [3] ˆA1 sin(ω0 t) + U ˆA2 cos(ω0 t) . uA (t) = U

(11.54)

Die Anfangsbedingung f¨ ur die Ausgangsspannung uA erh¨ alt man aus Gl. (11.46) (11.55) uA (0) = V UC0 . Aus der gegebenen Anfangsbedingung iL (0) = 0 A berechnet sich mit Gl. (11.44) V −1 UC0 (11.56) u˙ C (0) = R3 C und der aus Gl. (11.46) folgenden Beziehung u˙ A = V u˙ C

(11.57)

die noch fehlende zweite Anfangsbedingung u˙ A (0) =

V (V − 1) UC0 . R3 C

(11.58)

ˆA2 k¨ ˆA1 und U onnen nun aus den oben ermittelten Die beiden Konstanten U Anfangsbedingungen berechnet werden ˆA2 , uA (0) = V UC0 = U u˙ A (0) =

V (V − 1) ˆA1 ω0 =⇒ UC0 = U R3 C

(11.59) ˆA1 = V (V − 1) UC0 .(11.60) U R3 ω0 C

Die sich daraus ergebende L¨ osung   V −1 ˆA sin(ω0 t + ϕ) uA (t) = V UC0 sin(ω0 t) + cos(ω0 t) = U R3 ω0 C kann mit

(11.61)

228

11 Messung von Frequenz und Zeit

ˆA sin(ω0 t) cos ϕ + U ˆA cos(ω0 t) sin ϕ uA (t) = U

(11.62)

durch Koeffizientenvergleich  ⎫ 2  ˆA cos ϕ = V UC0 V −1 ⎬ ˆ U UA = V UC0 1 + RV3 ω−1 R3 ω0 C 0C ⎭ ˆ R ω C 0 UA sin ϕ = V UC0 ϕ = artan V3 −1

(11.63)

auf folgende Form gebracht werden      2  V −1 R1 R3 ω0 C uA (t) = 1 + sin ω0 t + artan UC0 1 + . R2 R3 ω0 C V −1 (11.64) b) Zur Dimensionierung der Bauelemente erh¨ alt man aus K1 =

CRL R3 − L(V − 1) =0 R3 LC

(11.65)

eine Gleichung zur Berechnung des gesuchten Widerstandsverh¨ altnisses V −1=

R1 CRL R3 . = R2 L

(11.66)

Setzt man nun dieses Ergebnis in den Ausdruck f¨ ur K2 (Gl. (11.50)) ein K2 = ω02 =

L − RL2 C R3 − RL (V − 1) = , R3 LC L2 C

(11.67)

so erm¨ oglicht dies die Dimensionierung des Kondensators C=

L = 2, 53 nF . + RL2

ω02 L2

(11.68)

Das ben¨ otigte Widerstandsverh¨ altnis berechnet sich nun mit Gl. (11.66) zu R1 = 2, 53 . R2

(11.69)

Beispiel 11.5: Harmonischer LC-Oszillator Abbildung 11.16 zeigt die Schaltung eines LC-Oszillators. a) Berechnen Sie die Kenngr¨ oßen V und K der in Abb. 11.16 dargestellten Oszillatorschaltung. b) Berechnen Sie aus der Schwingbedingung (Gl. (11.7)) die Schwingfrequenz otigte Widerstandsverh¨ altnis R2 /R1 . f0 und das ben¨

11.5 Oszillatoren

229

Abb. 11.16. Schaltung eines LC-Oszillators

Musterlo ¨sung: a) Da es sich bei dem Verst¨ arker um einen nicht-invertierenden Verst¨ arker handelt, berechnet sich V direkt aus V =1+

R2 . R1

(11.70)

Den Frequenzgang des R¨ uckkopplungsnetzwerkes erh¨ alt man durch Anwendung der Spannungsteilerregel R3

K=

R3 + RL + jωL +

1 RC jωC 1 RC + jωC

R3

=

R3 + RL + jωL +

R3

= R3 + RL +

RC 2 1+ω 2 C 2 RC

 + jω L −

2 CRC 2 1+ω 2 C 2 RC

RC (1−jωCRC ) 2 1+ω 2 C 2 RC

.

(11.71)

b) Aus der Phasenbedingung (Gl. (11.9)) ϕV + ϕK = 2kπ

(11.72)

folgt mit ϕV = 0 unter Beachtung von Gl. (11.71) zwingend ϕK = 0 .

(11.73)

Wenn man den f¨ ur den Oszillatorbetrieb unbrauchbaren Fall ω0 = 0 ausklammert, kann die Phasenbedingung nur f¨ ur L−

2 CRC 2 2 =0 1 + ω0 C 2 RC

(11.74)

230

11 Messung von Frequenz und Zeit

erf¨ ullt werden. Dies f¨ uhrt nach einer Umformung auf die Schwingfrequenz   L 2 −L 1 − CR 2 CRC 1 1 C = . (11.75) f0 = 2 2 2π C RC L 2π LC Durch Einsetzen in die Betragsbedingung (Gl. (11.8)) 1 = |V ||K|  =

R2 1+ R1



R3 C R3 + RL + 1+ωR 2 C 2 R2 0

 =

1+

R2 R1



⎞ R3 R3 + RL +

RC

1+

 =

R2 1+ R1

C

⎛ ⎜ ⎝





R3 R3 + RL +

⎟ ⎠

CR2 −L C L

 L CRC

(11.76)

erh¨ alt man die Bestimmungsgleichung zur Berechnung des gesuchten Widerstandsverh¨ altnisses R3 + RL + R2 = R1 R3

L CRC

−1=

CRC RL + L . CRC R3

(11.77)

Beispiel 11.6: Relaxations-Oszillator mit NICHT-Gatter Abbildung 11.17a zeigt die Schaltung eines mit einem NICHT-Gatter (mit Schmitt-Trigger-Eingang) aufgebauten Relaxations-Oszillators.

¨ Abb. 11.17. a) Schaltung eines Relaxations-Oszillators, b) Ubertragungskennlinie des verwendeten NICHT-Gatters mit Schmitt-Trigger-Eingang

11.5 Oszillatoren

231

a) Berechnen Sie die Zeiten TE und TA als Funktion von UB , UE1 , UE2 , R1 , R2 und C, wenn das mit einem Schmitt-Trigger-Eingang versehene NICHTGatter den in Abb. 11.17b dargestellten Zusammenhang zwischen uE und uA aufweist. ullen, damit der Oszillator u b) Welche Bedingung m¨ ussen R1 und R2 erf¨ ¨berhaupt schwingt? c) Wie m¨ ussen Sie f¨ ur R1 = 100 kΩ, UB = 5 V, UE1 = 2, 2 V und UE2 = 3 V den Widerstand R2 dimensionieren, damit TE /TA = 2 gilt? Musterlo ¨sung: a) F¨ ur den Aufladevorgang (also w¨ ahrend der Zeitphase TE ) erh¨ alt man aus UB = iR1 + uC i=

(11.78)

uC duC +C R2 dt

(11.79)

durch Einsetzen von Gl. (11.79) in Gl. (11.78) UB = u C

  R1 R1 + CR1 u˙ C + uC = CR1 u˙ C + 1 + uC R2 R2

(11.80)

folgende Differentialgleichung f¨ ur uC u˙ C +

UB R1 + R2 uC = . CR1 R2 CR1

(11.81)

Mit den Ans¨ atzen uCh = K1 eλt und und der Abk¨ urzung τ = die Differentialgleichung

CR1 R2 R1 +R2

uCp = K2

(11.82)

erh¨ alt man durch Einsetzen der Ans¨ atze in

1 =⇒ τ

t

uCh = K1 e− τ ,

(11.83)

1 R2 UB K2 = =⇒ K2 = UB τ CR1 R1 + R2

(11.84)

λ=−

die allgemeine L¨ osung uC = uCh + uCp = UB

t R2 + K 1 e− τ . R1 + R2

(11.85)

Mit der Anfangsbedingung uC (0) = UE1 kann die Konstante K1 aus uC (0) = UE1 = UB

R2 + K1 R1 + R2

(11.86)

232

11 Messung von Frequenz und Zeit

berechnet werden. Die endg¨ ultige L¨ osung f¨ ur den Aufladevorgang lautet somit   t R2 R2 uC (t) = UB + UE1 − UB (11.87) e− τ . R1 + R2 R1 + R2 Ein einfacherer L¨ osungsweg bietet sich an, wenn man zun¨ achst die Ersatzspannungsquelle (Leerlaufspannung UQ , Innenwiderstand RQ ) f¨ ur den aus R1 und R2 gebildeten Spannungsteiler ermittelt UQ = U B

R2 und R1 + R2

RQ =

R1 R2 . R1 + R2

(11.88)

Die Spannung am Kondensator l¨ aßt sich dann n¨ amlich auf einfache Weise entsprechend einer Aufladekurve (Gl. (10.7)) berechnen uC (t) = UQ + (UE1 − UQ )e

−

t CRQ

.

(11.89)

Das Einsetzen der Formeln f¨ ur UQ und RQ (Gl. (11.88)) f¨ uhrt wiederum auf Gl. (11.87). Die Aufladezeit TE ergibt sich mit uC (TE ) = UE2 und Gl. (11.89) aus T − E (11.90) uC (TE ) = UE2 = UQ + (UE1 − UQ )e CRQ 

zu TE = CRQ ln

UE1 − UQ UE2 − UQ

 .

(11.91)

Der Entladevorgang, der unter Verwendung von RQ durch die Entladekurve eines auf UE2 aufgeladenen Kondensators beschrieben wird TE −t

uC (t) = UE2 e CRQ , f¨ uhrt durch Einsetzen von uC (TE + TA ) = UE1 zur Pausendauer TA   T UE2 − CRA Q UE1 = UE2 e =⇒ TA = CRQ ln . UE1

(11.92)

(11.93)

b) Aus der Tatsache, daß der Oszillator nicht anschwingen kann, wenn sich der Kondensator C beim Einschalten der Versorgungsspannung (uC (0) = 0 V) adt, folgt aus nicht mindestens auf UE2 aufl¨ UQ = U B

R2 > UE2 R1 + R2

(11.94)

die entsprechende Bedingung, die das Widerstandsverh¨ altnis des Spannungsteilers erf¨ ullen muß R1 UB < − 1. (11.95) R2 UE2 c) Mit den Gln. (11.91) und (11.93) berechnet sich das Verh¨ altnis TE /TA zu

11.5 Oszillatoren



U

−U

E1 Q ln UE2 −UQ TE   = TA E2 ln U UE1

233

 = 2.

Die Umformung

 UE1 − UQ = (UE2 − UQ )

UE2 UE1

(11.96)

2 (11.97)

f¨ uhrt zur Bestimmungsgleichung f¨ ur die Spannung UQ 3 UE2

− UE1 R2 U2 =  E1 2 UQ = U B . R1 + R2 UE2 −1 UE1

(11.98)

alt man aus Mit der Abk¨ urzung K = R2 /(R1 + R2 ) erh¨ 3 UE2

− UE1 2 1 UE1 K= = 0, 786   UB UE2 2 − 1 UE1

(11.99)

schließlich die Bestimmungsgleichung f¨ ur den Widerstandswert R2 R2 =

R1 K = 368 kΩ . 1−K

(11.100)

Aufgabe 11.1: Relaxations-Oszillator mit Timerbaustein IC 555 Die in Abb. 11.18 gezeigte Schaltung wird zur Erzeugung einer Rechteckschwingung verwendet. a) Erkl¨ aren Sie die Funktionsweise dieses Rechteckoszillators in Analogie zu der Schaltung aus Beispiel 11.3. b) Berechnen Sie die Periodendauer der Ausgangsspannung uA (t) als Funktion von R1 , R2 und C. c) Berechnen Sie das Impuls-Pausenverh¨ altnis TE /TA und untersuchen Sie, ob die Schaltung mit TE /TA = 1 sinnvoll betrieben werden kann. L¨ osung: b) T = (R1 + 2R2 )C ln 2 c) Das Impuls-Pausenverh¨ altnis ist R1 TE =1+ . TA R2

(11.101)

Daraus lassen sich die folgenden zwei M¨ oglichkeiten f¨ ur TE /TA = 1 ableiten:

234

11 Messung von Frequenz und Zeit

Abb. 11.18. Schaltung eines mit dem Timerbaustein IC 555 aufgebauten Oszillators

• R1 = 0 Ω=⇒ • R1 = ∞ Ω=⇒

UB wird durch den Entladetransistor kurzgeschlossen. Periodendauer geht gegen ∞.

Aufgabe 11.2: Wien-Robinson-Oszillator Abbildung 11.19 zeigt die Schaltung des Wien-Robinson-Oszillators.

Abb. 11.19. Schaltung des Wien-Robinson-Oszillators

a) Berechnen Sie V und K dieser Oszillatorschaltung. b) Berechnen Sie aus der Schwingbedingung die Schwingfrequenz f0 und das ben¨ otigte Widerstandsverh¨ altnis R3 /R4 .

11.5 Oszillatoren

L¨ osung: a) V =1+

R3 , R4

K=

R2 R1 + R2 (1 + C2 /C1 ) + j (ωR1 R2 C2 − 1/ωC1 )

b) f0 =

1 √ , 2π R1 C1 R2 C2

R3 C1 R1 + C2 R2 = R4 R2 C1

235

12 Rechnergestu ¨ tzte Meßdatenerfassung

12.1 Grundlagen der Datenu ¨ bertragung ¨ ¨ Die maximal erreichbare Ubertragungsrate (entspricht der Ubertragungsgeschwindigkeit) Rmax einer Datenleitung (auch mit Kanal bezeichnet) wird durch die Kanalkapazit¨ at C   Ps C = B ld 1 + (12.1) = Rmax Pr bestimmt und in Bit/s angegeben. Dabei bezeichnen B die Bandbreite der ¨ Ubertragungsleitung, ld den Logarithmus Dualis, Ps die Signalleistung und Pr die Rauschleistung. Anhand von Gl. (12.1) erkennt man, daß eine große Kanalkapazit¨ at wesentlich wirksamer durch eine Vergr¨ oßerung der Bandbreite B als durch eine Erh¨ ohung des Signal/Rausch-Abstandes (Signal/Rausch-Verh¨ altnis) Ps /Pr erzielt wird. Dabei ist zu beachten, daß die Rauschleistung im wesentlichen proportional zur Bandbreite ansteigt. Entsprechend dem Shan¨ nonschen Theorem ist bei optimaler Codierung und fehlerfreier Ubertragung ¨ die maximal erreichbare Ubertragungsrate gleich der Kanalkapazit¨ at C. Die Amplitudenverteilung eines verrauschten Signals wird meistens durch die Gaußsche Verteilungsfunktion p(x) (Abb. 12.1) beschrieben p(x) =

2 2 1 √ e−(x−µ) /2σ . σ 2π

(12.2)

In Gl. (12.2) entspricht nun der Variablen x die Spannung u, dem Mittelwert µ der Effektivwert Us des Signals und der Standardabweichung σ der Effektivwert Ur des Rauschsignals. Die Wahrscheinlichkeit, daß ein gesendetes Signal am Empf¨ anger einen Spannungswert u im Intervall [U1 , U2 ] besitzt, berechnet sich aus U2 P = U1

1 p(u)du = √ Ur 2π

U2 U1

e−(u−Us )

2

/2Ur2

du

238

12 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

Abb. 12.1. Gaußsche Verteilungsfunktion p(x)

=

U2

1 √

Ur 2π %

e

−(u−Us )2 /2Ur2

du −

0

U1

1 √

Ur 2π

e−(u−Us )

2

/2Ur2

du . (12.3)

0

2

Da das Integral eku du keine analytische L¨ osung besitzt, wurde die sog. Errorfunction erf(w) eingef¨ uhrt, welche in Tafelwerken tabelliert ist [1] 2 erf(w) = √ π

w

e−c dc 2

(12.4)

0

erf(w) = −erf(−w) .

(12.5)

Dabei gilt folgender Zusammenhang zwischen der Variablen u der Gaußschen Verteilungsfunktion und der Variablen w der Errorfunction w=

u − Us √ . Ur 2

(12.6)

Die in Gl. (12.3) beschriebene Wahrscheinlichkeit berechnet sich nun unter Zuhilfenahme der Errorfunction zu      U2 − U s U1 − U s 1 √ √ P = erf − erf . (12.7) 2 Ur 2 Ur 2

12.2 Grundlagen der IEC-Bus-Schnittstelle Die IEC-Bus-Schnittstelle (genormt in IEC625, IEEE488.1 bzw. IEEE488.2) gilt als die meist verwendete parallele Schnittstelle zum Anschluß von Meßger¨ aten an Digitalrechner. Es k¨ onnen entsprechend der Normempfehlung bis

12.2 Grundlagen der IEC-Bus-Schnittstelle

239

zu 15 Ger¨ ate gleichzeitig am IEC-Bus angeschlossen werden (Abb. 12.2). Diese Ger¨ ate (Meßger¨ ate bzw. Steuerrechner) f¨ uhren eine der drei folgenden Funktionen aus • Steuerfunktion (Controller) • Senderfunktion (Talker) • Empf¨ angerfunktion (Listener).

Abb. 12.2. IEC-Bus mit Peripherieger¨ aten

Der aus 16 Leitungen aufgebaute IEC-Bus besteht aus den 8 Datenleitungen DIO 1-8, den 5 Steuerleitungen • IFC (Interface Clear): Wenn diese Leitung gesetzt ist, werden alle Listener in den Grundzustand versetzt. • ATN (Attention): Der Pegel dieser Leitung legt fest, ob momentan u ¨ber die Datenleitungen Schnittstellennachrichten oder Ger¨ atenachrichten u ¨bertragen werden. • SRQ (Service Request): Durch Setzen dieser Leitung kann ein Ger¨ at vom Controller eine Bedienung anfordern. ¨ • REN (Remote Enable): Uber diese Leitung kann der Controller ein angeschlossenes Ger¨ at in den Fernsteuerzustand versetzen. • EOI (End Or Identify): Je nach Pegel der ATN-Leitung kann ein Talker das ¨ Ende seiner Ubertragung anzeigen oder der Controller eine angeforderte Bedienung einleiten.

240

12 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

und den 3 Handshake-Leitungen • DAV (Data Valid): Durch Setzen dieser Leitung zeigt ein Talker an, ob die von ihm angelegten Daten g¨ ultig sind oder nicht. • NRFD (Not Ready For Data): Durch Setzen dieser Leitung zeigt ein Ger¨ at an, ob es bereit ist, neue Daten aufzunehmen oder nicht. • NDAC (Not Data Accepted): Wenn diese Leitung gesetzt ist, zeigt ein Listener an, ob er die Daten¨ ubernahme abgeschlossen hat oder nicht. Beim IEC-Bus werden typischerweise Open-Collector-Treiber f¨ ur die Signalleitungen eingesetzt [6]. Bez¨ uglich der Definition der Logik unterscheidet man zwischen der active-high-Logik“ und der active-low-Logik“ (Tabel” ” le 12.1). Damit ergibt sich f¨ ur Open-Collector-Ausg¨ ange durch ParallelTabelle 12.1. Pegeldefinitionen f¨ ur TTL-Schaltungen Logik true false active-high H (5 V) L (0 V) active-low L (0 V) H (5 V)

Abb. 12.3. Zeitdiagramm des Dreidraht-Handshake-Betriebs w¨ ahrend einer Datenu ¨bertragung

schalten eine UND-Verkn¨ upfung bei der active-high Logik und eine ODERVerkn¨ upfung bei der active-low Logik. Die IEC-Bus-Leitungen sind bis auf die beiden Leitungen RFD (Ready For Data) und DAC (Data Accepted) einer logischen ODER-Verkn¨ upfung zu unterwerfen. Dadurch ist es bei Verwendung der active-low Logik m¨ oglich, daß sich die einzelnen Busteilnehmer u ¨ber Open-Collector-Ausg¨ ange parallel an den Bus anschließen. Da f¨ ur die beiden Handshake-Leitungen RFD und DAC eine UND-Verkn¨ upfung erforderlich ist (es muß auf den langsamsten Busteilnehmer gewartet werden),

12.3 Quantisierung und Daten¨ ubertragung

241

f¨ uhrt man f¨ ur diese eine active-high Logik ein. Damit die einheitliche Konvention der active-low Logik trotzdem gew¨ ahrt bleibt, bezeichnet man die Leitungen mit NRFD (Not Ready For Data) und NDAC (Not Data Accepted), d. h. man negiert ihre urspr¨ ungliche Funktion (Tabelle 12.2). Abbildung 12.3 zeigt Tabelle 12.2. Definition der IEC-Bus Leitungen NRFD (Not Ready For Data) und NDAC (Not Data Accepted) Leitung Pegel NRFD H (5 V) L (0 V) NDAC H (5 V) L (0 V)

Log. Zustand Funktion, Bedeutung false bereit, Daten zu empfangen true nicht bereit, Daten zu empfangen false Daten u ¨ bernommen true Daten noch nicht u ¨bernommen

den zeitlichen Verlauf des Dreidraht-Handshake-Betriebs auf dem IEC-Bus. Man erkennt, daß die Geschwindigkeit einer Daten¨ ubertragung aufgrund der UND-Verkn¨ upfung der Leitungen NDAC und NRFD vom langsamsten Teilnehmer bestimmt wird.

12.3 Quantisierung und Datenu ¨ bertragung Beispiel 12.1: Quantisierung a) Berechnen Sie die mittlere Quantisierungsrauschleistung P Q (bezogen auf 1 Ω) eines mit dem Quantisierungsintervall ∆U quantisierten Signals bei gleichwahrscheinlicher Amplitudenverteilung. b) Berechnen Sie den Zusammenhang zwischen dem Signal/Rausch-Verh¨ altnis (Leistung bezogen auf 1 Ω) und der Anzahl n der Quantisierungsstufen. Solange sich die Amplitude des Signals uE innerhalb eines Intervalls (z.B. 2∆U ≤ uE (t) ≤ 3∆U ) befindet, wird der Ausgangsspannung uhrten Beispiel uA (t) der Mittelwert des Intervalls zugeordnet (im angef¨ uA = 5/2∆U ). Es soll wiederum angenommen werden, daß die Signalamplituden gleichwahrscheinlich verteilt (gleichverteilt) sind und bei der Amplituden-Quantisierung eine gerade Stufenanzahl n verwendet wird. Musterlo ¨sung: a) Die mittlere Leistung P v des an einem 1 Ω-Widerstand anliegenden Spannungssignals berechnet sich vor seiner Quantisierung bei gleichwahrscheinlicher Amplitudenverteilung mit dem Quantisierungsintervall ∆U und entsprechend Abb. 12.4 zu

242

12 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

Abb. 12.4. Signalquantisierung eines analogen Signales uE (t)

1 Pv = ∆U

∆U/2

(U + u)2 du = U 2 +

∆U 2 . 12

(12.8)

−∆U/2

Nach der Quantisierung ist die mittlere Leistung gleich Pn = U2 .

(12.9)

Aus der Differenz ergibt sich die mittlere Quantisierungsrauschleistung P Q PQ = Pv − Pn =

∆U 2 . 12

(12.10)

b) Bei n Quantisierungsstufen erstreckt sich der Signalbereich u = n∆U von −n∆U/2 bis n∆U/2. Die mittlere Leistung vor der Quantisierung ist damit n∆U/2

1 Pv = n∆U

2

u2 du =

n2 (∆U ) . 12

(12.11)

−n∆U/2

Da nach der Quantisierung nur noch die diskreten Amplitudenwerte 1 3 n−1 ± ∆U, ± ∆U, ... ± ∆U 2 2 2

(12.12)

auftreten (Abb. 12.5), ergibt sich die entsprechende mittlere Leistung aus folgender Rechnung 1 Pn = n∆U

n∆U/2

u2 du −n∆U/2

1 = n∆U  +



n−1 ∆U − 2

n−1 ∆U 2

2

2  ∆U

2  2  1 1 ∆U + .. − ∆U + + ... 2 2

12.3 Quantisierung und Daten¨ ubertragung

243

Abb. 12.5. Amplituden-Quantisierung des Signals uE (t)

=

0 ∆U 2 1 / 2 1 + 32 + ... + (n − 1)2 ∆U n∆U 2

=

1

∆U 2 . (2i − 1)2 n i=1 2 n/2

(12.13)

Die Summe der endlichen Reihe aus Gl. (12.13) berechnet sich zu n/2

n(n2 − 1) . (2i − 1)2 = 6 i=1

(12.14)

Die G¨ ultigkeit dieser Beziehung kann beispielsweise mit Hilfe der vollst¨ andigen Induktion bewiesen werden. Durch Einsetzen von n = 2 1

(2i − 1)2 = 1

(12.15)

i=1

 n(n2 − 1)  = 1,  6 n=2

(12.16)

erkennt man, daß zun¨ achst die Voraussetzung erf¨ ullt ist. Mit der Folgerung, daß, wenn En wahr ist, auch En+1 wahr sein muß, kann man entsprechend den Umformungen [12 + 32 + .. + (n − 1)2 ] +(n + 1)2 =    En

(n + 2)[(n + 2)2 − 1] 6

(12.17)

244

12 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

n(n2 − 1) n+2 2 + n2 + 2n + 1 = [n + 4n + 3] 6 6

(12.18)

n3 + 6n2 + 11n + 6 = n3 + 6n2 + 11n + 6

(12.19)

die Richtigkeit von Gl. (12.14) zeigen. Damit l¨ aßt sich die mittlere Leistung nach der Quantisierung wie folgt angeben P n = (n2 − 1)

∆U 2 ∆U 2 = Pv − . 12 12

(12.20)

Der gesuchte Zusammenhang zwischen dem Signal/Rausch-Abstand (Leistung bezogen auf 1 Ω) und der Anzahl der Quantisierungsstufen n ist damit 2

(n2 − 1) ∆U Pn 12 = n2 − 1 = ∆U 2 PQ 12

(12.21)

 n=

Pn + 1. PQ

(12.22)

Mit dieser Beziehung ist es nun leicht m¨ oglich, den zu einer gew¨ ahlten Quantisierungsstufenanzahl n erreichbaren Signal/Rausch-Abstand zu bestimmen. Da der Signal/Rausch-Abstand i.a. in der Einheit dB angegeben wird, soll Gl. (12.22) noch wie folgt umgeformt werden Pn [dB] = 10 log(n2 − 1) . PQ

(12.23)

An dieser Stelle sei angemerkt, daß diese Ableitung f¨ ur ein Signal mit gleichwahrscheinlicher Amplitudenverteilung durchgef¨ uhrt wurde. Somit ergeben sich auch geringe Unterschiede zu der in [6] abgeleiteten Formel, welche von einem Sinussignal ausgeht. Beispiel 12.2: Digitalisierung eines Amplitudenmodulierten Signals und sei¨ ne Ubertragung ¨ a) Zeigen Sie, daß die Grenze der Ubertragungsrate von Impulsen u ¨ber einen Kanal durch die Bandbreite B (Abb. 12.6) dieses Kanales gegeben ist. Dabei sollen die Impulse als Dirac-Funktionen modelliert werden. b) Ein amplitudenmoduliertes Signal ˆ cos(2πfT t)[1 + m cos(2πfs t)] u(t) = U ˆ U fT m fs

= 1V = 100 kHz = 0, 6 = 10 kHz

Amplitude der Tr¨ agerschwingung Frequenz der Tr¨ agerschwingung Modulationsgrad Frequenz der Signalschwingung

(12.24)

12.3 Quantisierung und Daten¨ ubertragung

245

Abb. 12.6. Kanal¨ ubertragungsfunktion G(ω)

wird im Grenzfall fa = 2fsmax abgetastet und mit der Quantisierungsstufe ∆U = 100 mV quantisiert. Nach optimaler Codierung wird das Signal auf einem Kanal mit der Bandbreite B und einem Signal/Rausch-Abstand ahlt werPs /Pr = 10 dB u ¨bertragen. Wie groß muß die Bandbreite B gew¨ ¨ den, damit die durch die Abtastung festgelegte Ubertragungsrate R fehlerfrei eingehalten werden kann? Musterlo ¨sung: a) Die Impulsantwort eines Kanals mit der Bandbreite B ergibt sich aus der ¨ inversen Fouriertransformation der Ubertragungsfunktion G(ω) [7] ∞ G(ω)ejωt dω

g(t) = −∞

2πB

= −2πB

1 jωt e dω 4πB

=

1 [ej2πBt − e−j2πB ] 4πBjt

=

sin(2πBt) . 2πBt

(12.25)

Da man an der Stelle t = 0 den Ausdruck 0/0“ erh¨ alt, kann zu dessen ” Berechnung die Regel von de l’Hospital [3] wie folgt angewendet werden lim

t→0

sin(2πBt) 2πB cos(2πBt) = lim = 1. t→0 2πBt 2πB

(12.26)

Der erste Nulldurchgang von g(t) ergibt sich aus 2πBtN = π und liegt bei

(12.27)

246

12 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

¨ Abb. 12.7. Impulsantwortfunktion des Ubertragungskanals

1 . (12.28) 2B Aus dem Zeitverlauf von g(t) erkennt man, daß es sinnvoll ist, alle τ = 1/2B Sekunden einen Impuls zu u anger das Signal ¨bertragen. Tastet man am Empf¨ anger keimit fa = 2B ab, ergeben sich zu den Abtastzeitpunkten beim Empf¨ ¨ ne Uberlagerungen der einzelnen Impulsantworten. tN =

b) Der Scheitelwert |u(t)|max des amplitudenmodulierten Signals berechnet sich entsprechend dem Modulationsgrad [13] ˆ [1 + m] = 1, 6U ˆ. |u(t)|max = U

(12.29)

Der Amplitudenbereich erstreckt sich daher vom Spannungswert umin = −1, 6 V bis zum Spannungswert umax = 1, 6 V , womit sich die Anzahl der Quantisierungsstufen zu n=

3, 2 2umax = = 32 ∆U 0, 1

(12.30)

ergibt. Die maximale Frequenz fsmax des amplitudenmodulierten Signals be¨ rechnet sich aufgrund der additiven Uberlagerung von Tr¨ ager- und Informationssignal [13] zu (12.31) fsmax = fT + fs = 110 kHz . Tastet man im Grenzfall mit der Abtastfrequenz fa = 2fsmax ab, so ergibt ¨ sich bei 32 Quantisierungsstufen eine Ubertragungsrate von R = fa ld32 = 2fsmax 5 = 1, 1

MBit . s

(12.32)

¨ Will man diese Ubertragungsrate R mit dem angegebenen Kanal erreichen, folgt die ben¨ otigte Bandbreite B aus Gl. (12.1)

12.4 Schnittstellen

  Ps C = Bld 1 + =R Pr zu B=

R ld(1 +

Ps Pr )

= 165, 2 kHz .

247

(12.33)

(12.34)

Aufgabe 12.1: Kodierung ˆ = 2 V und Das in Abb. 12.8 dargestellte Signal, das einen Scheitelwert von U

Abb. 12.8. Signal

eine Frequenz von f = 1 kHz aufweist, wird zun¨ achst mit Hilfe eines idealen Tiefpasses (Grenzfrequenz fg = 6 kHz) gefiltert. Die nachfolgende Abtastung erfolgt mit fa = 2fmax (maximale durchgelassene Signalfrequenz) und einer Amplituden-Quantisierung ∆U . Wie groß darf ∆U sein, damit dieses Signal bei optimaler Kodierung u ¨ber einen Kanal mit B = 2 kHz Bandbreite Ps /Pr = 50 dB Signal/Rausch-Abstand u ¨bertragen werden kann? Lo ¨sung: Das Quantisierungsintervall berechnet sich zu ∆U = 441 mV.

12.4 Schnittstellen Beispiel 12.3: RS 232C-Schnittstelle F¨ ur die serielle Schnittstelle RS232C gelten die Pegelfestlegungen nach Abb. 12.9. Sowohl der Sender als auch der Empf¨ anger ist mit dem integrierten Baustein MAX232 ausger¨ ustet, welcher folgende typischen Daten aufweist:

248

12 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

Abb. 12.9. Pegelfestlegung f¨ ur Datensignale bei der RS232C-Schnittstelle

|UA | = 9 V Ausgangsspannung bei Leerlauf Ausgangswiderstand rA = 300 Ω Eingangswiderstand rE = 5 kΩ ¨ R = 19200 Bit/s Ubertragungsrate . ¨ Die zur Ubertragung verwendete Leitung ist durch folgende Kennwerte charakterisiert: rL = 138 Ω/km Widerstandsbelag der Leitung √ Ur (f ) = 10 µV/( Hz m) spektrale Rauschspannungsdichte B = 2R Bandbreite des Kanals l = 1 km Leitungsl¨ ange . a) Berechnen Sie unter der Annahme einer gaußverteilten Rauschspannung die Fehlerwahrscheinlichkeit f¨ ur den Fall, daß am Emf¨ anger ein Bit falsch anger ist, d. h. die Spannungsamplitude f¨ ur den Wert log.  0 ist am Empf¨ kleiner als 3 V. ¨ b) Berechnen Sie die Kanalkapazit¨ at C des Ubertragungskanals. c) Es werden stets Bl¨ ocke von 20 N Bit (N=10 Bit, 1 Startbit, 6 Datenbits, ¨ 1 Parit¨ atsbit, 2 Stoppbits) u ¨bertragen. Wie groß darf die maximale Ubertragungsrate werden, damit die Blockfehlerwahrscheinlichkeit PFB < 0, 01 bleibt? ¨ d) Um wieviel muß die Ubertragungsl¨ ange verringert werden, damit wieder ¨ die vorgesehene Ubertragungsrate erreicht wird? Musterlo ¨sung: a) Mit den angegebenen Daten ergibt sich eine typische Eingangsspannung am Empf¨ anger von UE = U A

rE = 8, 275 V . rE + rA + rL l

(12.35)

Mit der genormten Pegelfestlegung erstreckt sich der Spannungspegelbereich f¨ ur eine logische  1 zwischen 3 V und 8, 275 V. Die Rauschspannung am Empf¨ anger ergibt sich entsprechend der Angabe zu √ (12.36) Ur = Ur (f ) Bl = 1, 96 V . Das gesamte Signal am Empf¨ anger ist gaußverteilt mit dem Mittelwert µ = UE und der Standardabweichung σ = Ur .

12.4 Schnittstellen

249

Die gesuchte Fehlerwahrscheinlichkeit PF , bei welcher die Spannungsamplitude u am Empf¨ anger kleiner 3 V ist PF = P (u ≤ 3 V) ,

(12.37)

kann zun¨ achst wie folgt angegeben werden (Abb. 12.10) PF = P (UE ) − P (3 V ≤ u ≤ UE ) 1 1 = −√ 2 2πUr

UE (u−UE )2 3 V (u−UE )2 − − 1 2Ur2 2Ur2 e du + √ e du . (12.38) 2πUr 0

0

Durch numerische Auswertung der Errorfunction (Gl. (12.4)) erh¨ alt man f¨ ur

Abb. 12.10. Berechnung der Fehlerwahrscheinlichkeit PF .

die Fehlerwahrscheinlichkeit PF    3V − UE 1 1 √ PF = − erf(0) − erf 2 2 2Ur =

1 1 − (0 + 0, 99279) = 0, 36 % . 2 2

(12.39)

b) Die Kanalkapazit¨ at C berechnet sich mit Gl. (12.1) zu   Ps C = Bld 1 + Pr   U2 kBit . = Bld 1 + E2 = 163, 684 Ur s

(12.40)

250

12 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

c) Aus der Blockfehlerwahrscheinlichkeit PFB berechnet sich die zul¨ assige Bitfehlerwahrscheinlichkeit PF zu 1 − PFB = (1 − PF )200 PF = 1 −

(12.41)

1 − PFB = 0, 5025 · 10−4 .

200

(12.42)

F¨ ur diese Fehlerwahrscheinlichkeit findet man in der Errorfunction-Tabelle [1] einen entsprechenden Wert f¨ ur die Standardabweichung von σ = 1, 35. Damit assige betr¨ agt der Effektivwert Ur der Rauschspannung 1, 35 V. Die noch zul¨ ¨ Ubertragungsrate R ergibt sich mit der Beziehung B = 2R

(12.43)

zu √ √ Ur = Ur (f ) Bl = Ur (f ) 2Rl 1 R= 2



1, 35 Ur (f )l

2 = 9112, 5

Bit . s

(12.44) (12.45)

¨ ¨ e) Um die geforderte Ubertragungsrate wieder zu erreichen, muß die Ubertragungsstrecke auf Ur √ l= = 688, 9 m (12.46) Ur (f ) 2R verringert werden. Beispiel 12.4: IEC-Bus In Abb. 12.3 ist das Zeitdiagramm f¨ ur den Dreidraht-Handshake-Betrieb des IEC-Busses dargestellt. F¨ ur die softwarem¨ aßige Implementierung des Handshakebetriebes ist es sinnvoll, das Zeitdiagramm in je ein Flußdiagramm f¨ ur den Talker- und den Listener-Handshake umzusetzen. Zeichnen Sie diese beiden Flußdiagramme und zeigen Sie, an welchen Stellen eine Kopplung zwischen Talker- und Listener-Handshake auftritt. Musterlo ¨sung: F¨ ur den Talker-Handshake ergibt sich: Nachdem der Talker vom Controller adressiert wurde, legt dieser sein erstes Datenbyte auf den Bus und h¨ ort“ die NRFD-Busleitung ab. Geht diese auf ” High-Pegel, so weiß der Talker, daß alle vom Controller adressierten Listener bereit sind, Daten zu empfangen, und legt seine DAV-Leitung auf Low-Pegel, um anzuzeigen, daß die angelegten Daten g¨ ultig sind. Nun wartet der Talker, bis die NDAC-Busleitung auf High-Pegel geht (alle Listener haben die Daten empfangen). Ist diese Leitung auf High-Pegel, dann setzt der Talker seine

12.4 Schnittstellen

251

Abb. 12.11. Flußdiagramm f¨ ur den Talker- und Listener-Handshake am IEC-Bus

DAV-Leitung ebenfalls wieder auf High-Pegel (die Daten am Bus sind somit nicht mehr g¨ ultig) und gibt das n¨ achste Datenbyte auf den Bus. Ist er am Ende der Daten¨ ubertragung angelangt, setzt er die EOI-Leitung auf Low-Pegel ¨ und zeigt damit das Ende der Ubertragung an. F¨ ur den Listener-Handshake ergibt sich: Der vom Controller adressierte Listener h¨ ort“ zun¨ achst die DAV-Busleitung ” ab. Wird diese vom Talker auf Low-Pegel gesetzt, setzt der Listener seine NRFD-Leitung ebenfalls auf Low-Pegel (um anzuzeigen, daß er Daten vom Bus liest) und beginnt das Datenbyte zu lesen. Hat er das an den Datenleitungen liegende Datenbyte vollst¨ andig u ¨bernommen, setzt er seine NDACLeitung auf High-Pegel um zu signalisieren, daß er das Datenbyte fehlerfrei u ¨bernommen hat. Nun wartet der Listener, bis die DAV-Leitung am Bus auf High-Pegel geht. Bei High-Pegel dieser Leitung weiß der Listener, daß der Talker die erfolgreiche Daten¨ ubernahme erkannt hat, und der Listener setzt

252

12 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

seine NDAC-Leitung auf Low-Pegel und beginnt mit der Datenverarbeitung. Sobald der Listener diese abgeschlossen hat, setzt er seine NRFD-Leitung wieder auf High-Pegel und zeigt somit an, daß er bereit ist, neue Daten vom Bus zu lesen. Aufgabe 12.2: RS232–Schnittstelle a) Wie sieht die minimale Verdrahtungskonfiguration aus? b) Beschreiben Sie kurz den dazugeh¨ origen Software-Handshake. Lo ¨sung: a) Bei Verwendung des XON/XOFF-Protokolls ben¨ otigt man die in Abb. 12.12 Sender TxD 2 RxD 3

SG 7

Empfänger 2 TxD 3 RxD

7 SG

Abb. 12.12. Leitungskonfiguration f¨ ur das XON/XOFF-Protokoll

gezeigte minimale Leitungskonfiguration mit nur drei Leitungen. b) Zu Beginn der Empfangsbereitschaft sendet der Empf¨ anger ein XONZeichen (i. allg.  DC1 = 11 H). Daraufhin u ¨bermittelt der Sender Daten, bis er vom Empf¨ anger durch ein XOFF-Zeichen (i. allg.  DC3 = 13 H) aufgefordert wird, den Datenstrom anzuhalten. Danach wartet der Sender auf das n¨ achste XON-Zeichen des Empf¨ angers, bevor er wieder Daten sendet.

Aufgabe 12.3: Fragen zum IEC-Bus a) b) c) d)

Beschreiben Sie Aufbau und Struktur des IEC-Busses. Welche Ger¨ ategrundfunktionen kennen Sie? Beschreiben Sie sie kurz. Erkl¨ aren Sie das sogenannte 3-Draht-Handshake mit einer Skizze. ¨ Geben Sie die Leistungsdaten an (Ubertragungsgeschwindigkeit, max. Entfernungen, Anzahl der Ger¨ ate)

L¨ osung: a) Der IEC-Bus besteht aus 16 Leitungen, welche unterteilt werden in Datenbus (8), Steuerbus (5) und Handshakebus (3). b) Man unterscheidet folgende Ger¨ ategrundfunktionen:

12.4 Schnittstellen

253

Controller: Es gibt einen Controller pro Meßsystem. Er steuert und u ¨berwacht die Vorg¨ ange. Talker: Er kann Daten auf den Bus schreiben, nachdem er vom Controller aktiviert wurde. Listener: Er kann nach der Aktivierung durch den Controller Daten empfangen. c) Siehe Abb. 12.3. ¨ d) Ubertragungsrate: 250 kByte/s bis 1MByte/s Distanz: bis 20m (2m von Ger¨ at zu Ger¨ at) Anzahl der Ger¨ ate: max. 15 (ohne Repeater)

Aufgabe 12.4: Fragen zu Feldbussen a) Welche Aufgaben erf¨ ullen Feldbusse? b) Skizzieren Sie den Aufbau eines Feldbusger¨ ates. c) Nennen Sie die Ihnen bekannten Feldbusse und geben Sie deren maximale Daten¨ ubertragungsraten an. L¨ osung: a) Feldbusse stellen kommunikationstechnische Verbindungen zwischen sog. Feldger¨aten her. Zu diesen Feldger¨ aten z¨ ahlen insbesondere speicherprogrammierbare Steuerungen (SPS) sowie intelligente Sensoren und Aktoren, die digitale bzw. analoge Signale an einen Steuerrechner senden bzw. von diesem empfangen. Im allgemeinen handelt es sich bei den Feldbussen um lokale Busse, die u ¨ber Buskoppler, sog. Gateways, an einen Hauptbus angeschlossen sind, der sie wiederum mit dem zentralen Leitrechner verbindet. Der Feldbus stellt dabei in der Regel nicht nur Leitungen f¨ ur den Austausch von Daten bereit, sondern auch solche, die der Energieversorgung der Feldger¨ ate dienen. Dabei werden meist geringe Datenmengen u oßere Distanzen u ¨ber gr¨ ¨bertragen. b) Abbildung 12.13 zeigt den prinzipiellen Aufbau eines Feldbusger¨ ates. c) ASI: 150kBit/s BIT: 500kBit/s CAN: 1MBit/s FIP: 5MBit/s Interbus-S: 500kBit/s Profibus DP: 12MBit/s EIB: 9,6kBit/s LON: 1,25MBit/s

254

12 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

Abb. 12.13. Struktur eines Feldger¨ ates mit Feldbusanschluß in Zweidrahtausf¨ uhrung

Aufgabe 12.5: Meßdatennetzwerke a) b) c) d)

Welche Netzwerktopologien kennen Sie? Nennen Sie Vor- und Nachteile. Nennen Sie die wichtigsten Bus-Zugriffsverfahren. Wie kann man ein lokales Ethernet zur Meßdatenerfassung nutzen? Welche Standardnetzwerke bzw. -leitungen kann man auch zur Meßdaten¨ ubertragung und der Vernetzung von Meßdatenerfassungskomponenten nutzen? e) Welche Methoden der Fehlererkennung kennen Sie bei der Meßdaten¨ ubertragung? L¨ osung: a) Man unterscheidet folgende Netzwerktopologien: Stern: Hoher Verdrahtungsaufwand; Ausfall eines Teilnehmers hat keine Auswirkung auf das u ¨brige Netz. Ring: Der Ausfall eines Knotens f¨ uhrt zum Versagen des Bussystems Linie: Verdrahtungsaufwand am geringsten

12.4 Schnittstellen

255

Maschen: Keine starren Regeln; hohe Komplexit¨ at bez¨ uglich Verdrahtung und Verwaltung b) Master-Slave, Token-Passing, Summen(rahmen)telegramm, Carrier Sense Multiple Access (CSMA) in den Varianten Collision Detection (CD) und Collision Avoidance (CA) c) Ethernet kann in der den Feldbussen u ¨bergeordneten Ebene eingesetzt werden (LAN). Die (beim Ethernet eingeschr¨ ankte) Echtzeitf¨ ahigkeit tritt hier in den Hintergrund; die M¨ oglichkeit gr¨ oßere Datenmengen zu transportieren ist wichtiger. F¨ ur den Einsatz in Produktionsumgebungen wurde das IndustrieEthernet entwickelt, welches im Vergleich zum Standard-Ethernet st¨ orsicherer aufgebaut ist. Weiterhin gibt es Datenaufnahmesysteme bzw. Datenlogger, die direkt an das Ethernet angeschlossen werden und webbasiert konfiguriert bzw. ausgelesen werden. Eine weitere M¨ oglichkeit besteht in der Verwendung von RS232C-Ethernet-Schnittstellen-Konvertern [6, S. 508], welche die Anbindung von vielen Meßger¨ aten an ein LAN erlauben. Dabei m¨ ussen jedoch teilweise noch geeignete Treiberroutinen entwickelt werden, um die Ger¨ ate mittels Hochsprachen ansprechen und steuern zu k¨ onnen. d) ISDN, Datex-P, GSM, UMTS, Powerline e) Bit-Monitoring, Bit-Stuffing, Acknowledge, Cyclic Redundancy Check (CRC)

Aufgabe 12.6: Speicherprogrammierbare Steuerungen (SPS) a) Beschreiben Sie die wichtigsten Hard- und Software-Komponenten einer SPS. Gehen Sie insbesondere auf den Programmablauf ein. b) F¨ uhren Sie die nach IEC 1131 standardisierten Programmiersprachen an und geben Sie charakteristische Merkmale an. L¨ osung: a) Wichtigste Hardwarekomponenten: Spannungsversorgung, CPU, Speichermodule, Ein- und Ausgangsbaugruppen. Kennzeichen der Software: modularer Aufbau, verschiedenartige Programmbausteine (Funktionen, Funktionsbl¨ ocke, Organisationsbausteine), permanentzyklischer Betrieb (Siehe Abb. 12.14). b) In der Norm IEC 1131 werden die folgenden Programmiersprachen definiert: Anweisungsliste (AWL): textorientiert, Anweisungen bestehend aus Operator und optionalem Operanden Strukturierter Text (ST): textorientiert, ¨ ahnlich Hochsprachen wie C oder Basic Kontaktplan (KOP): graphisch, angelehnt an das Prinzip elektrischer Schaltpl¨ ane

256

12 Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung

Prozessabbild Eingänge

SteuerungsProgramm

Prozess

Prozessabbild Ausgänge Abb. 12.14. Permanent-zyklischer Betrieb einer speicherprogrammierbaren Steuerung (SPS)

Funktionsbausteinsprache (FBS): graphisch, in Form eines Datenflusses Ablaufsprache (AS): sowohl graphisch als auch textorientiert, Programmelemente sind Schritte, Transitionen und Verbindungen.

Literaturverzeichnis

1. Abramowitz, M.; Stegun, A. (Eds.): Handbook of Mathematical Functions. New York: Dover Publications 1965. 2. Bronstein, I.N.; Semendjajew, K.A. : Taschenbuch der Mathematik. Stuttgart, Leipzig: B.G. Teubner 1991. 3. Dirschmid, H. J.: Mathematische Grundlagen der Elektrotechnik. Braunschweig: Vieweg-Verlag 1990. 4. Domke, E.: Vektoranalysis. Mannheim: BI-Wissenschaftsverlag 1990. 5. Hofmann, H.: Das elektromagnetische Feld. Wien, New York: Springer-Verlag 1986. 6. Lerch, R.: Elektrische Meßtechnik. 2. Aufl. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag 2004. 7. Papoulis, A.: The Fourier Integral and its Application. New York: McGraw-Hill 1987. 8. Parkus, H.: Mechanik fester K¨ orper. Wien, New York: Springer-Verlag 1988. 9. Stoer, J.: Numerische Mathematik. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag 1994. 10. Stratton, J. A.: Electromagnetic Theory. New York: McGraw-Hill 1941. 11. Tietze, U.; Schenk, Ch.:Halbleiter–Schaltungstechnik. 12. Aufl. Berlin, Heidelberg: Springer 2002. 12. Unbehauen, R.:Grundlagen der Elektrotechnik 1. 5. Aufl. Berlin, Heidelberg: Springer 1999. 13. Zinke, O; Brunswig, H.: Hochfrequenztechnik 2. 4. Aufl. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag 1993.

Index

Abgleichbedingung 147, 151 Abgleichbr¨ ucke 147, 150 Ablenkplatten 177 AC-DC-Kopplung 178 active-high-Logik 240 active-low-Logik 240 Amplitudenbedingung 216 Analog-Digital-Umsetzer 188, 195 Dual-Slope 189 Nachlauf 188 Single-Slope 188 Spannungs-Frequenz 189 Anstiegsgeschwindigkeit 91 arithmetischer Mittelwert 54 Ausgangswiderstand 90 Ausgleichsvorg¨ ange 1 Ausschlagbr¨ ucke 150, 153 Belastungsfehler 158 Ausschlagverfahren 147 Bandbreite 91 Beobachtungsbandbreite 117 Betriebsmeßger¨ at 36 Blindleistung 128 Blindleistungsmesser Hummel-Schaltung 139 mit Resonanzphasenschieber Boltzmann-Konstante 117 Braunsche R¨ ohre 177 Br¨ uckengleichrichter 55 aktiver 98 B¨ urde 171 Controller

239

135

D¨ ampfung 48 D¨ ampfungsmoment 48, 59 Delta-Sigma-Umsetzer 211 Differentialgleichung linear 1 nichtlinear 26 Differenzeingangswiderstand 90 Differenzierer 104 Differenzverst¨ arker 109 Digital-Analog-Umsetzer 187 Prinzip der gewichteten Str¨ ome 192 Prinzip der gewichteten Str¨ ome 187 Diodenschwellspannung 55 Dirac-Impuls 7 Drallsatz 48 Drehspulmeßwerk 56 Dreidraht-Handshake-Betrieb 240, 250 Droop 111 Dual-Slope-Umsetzer 189, 202, 205, 208 Durchflutung 51 Durchflutungssatz 50 Effektivwert 54 Effektivwertmeßger¨ at 82 Eigenverbrauch 129 Eingangsfehlspannung 90 Eingangsfehlstrom 92 Eingangsruhestrom 91 Einweggleichrichter 55 elektrische Wechselgr¨ oßen Kenngr¨ oßen 53 elektromechanisches Meßwerk

260

Index

Grundlagen 47 Elektronenstrahl-Oszilloskop Entladekurve 192 Errorfunction 238 Ersatzquellenprinzip 145 Ersatzspannungsquelle 145 Ersatzstromquelle 145 Ersatzwiderstand 146 Faltungsintegral 9 Fehlerfortpflanzungsgesetz systematische Fehler 36 zuf¨ allige Fehler 35 Feinmeßger¨ at 36 Feldbus 253 Feldspule 130 Formfaktor 55, 81 Fourierkoeffizient 54 Fourierreihe 54 Frequenz-Spannungs-Umsetzer 221

177

214,

Gaußsche Verteilungsfunktion 237 Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz 35 Gleichrichter Br¨ ucken 55 Einweg 55 Graetz 55 Vollweg 55 Zweiweg 55 Gleichrichtung 55 Gleichrichtwert 54 Gleichtakt-Spannungsverst¨ arkung 89 Gleichtakteingangswiderstand 90 Gleichtaktunterdr¨ uckung 89 Graetz-Gleichrichter 55 Grenzfrequenz 91 Handshake-Leitungen 240 Harmonische siehe Oberwelle Harmonischer LC-Oszillator 225, 228 Harmonischer Oszillator 215 Hauptinduktivit¨ at 171 Heavisidescher Entwicklungssatz 12 Hummel-Schaltung Berechnung 142 Blindleistungsmesser 139 Dimensionierung 142

IEC-Bus 239, 250 IEC-Bus-Schnittstelle 238 Impuls-Pausenverh¨ altnis 233 Impulsantwort 7, 245 Induktionsgesetz 48 Induktivit¨ atsmessung 168 Resonanzverfahren 162 Input Bias Current 91 Integrierer 104 Kabelkapazit¨ at 179 Kanal 237 Kanalkapazit¨ at 237 Kapazit¨ atsmeßger¨ at 159 Kapazit¨ atsmessung 167 Kippstufe monostabile 215, 221 Klassengenauigkeit 36 Klirrfaktor 55 Klirrfaktorbestimmung 85 komplexe Leistung 128 Kondensator Aufladekurve 190 Aufladevorgang 149 Entladekurve 190 Entladevorgang 149 Konstantstromquelle Widerstandsmessung 152 Kontaktwiderstandsmessung 41 Korrekturspule 130 Dimensionierung 131 Kurzschlußstrom 146 Laplace-Transformation 9 Laplacetransformierte 184 Anfangswertsatz 184 Endwertsatz 185 Leerlaufspannung 145 Leerlaufspannungsverst¨ arkung Leistungsmessung Gleichstromkreis 129 Grundlagen 127 mit Oszilloskop 182 spannungsrichtige 130 stromrichtige 130 Wechselstromkreis 130 Lenzsche Regel 48 Listener 239 Listener-Handshake 251

88

Index Lorentzkraft

47

Magnetisierungsstrom 171 Magnetkreis Ohmsches Gesetz 51 Maxwell-Wien-Br¨ ucke 165 Maxwellsche Gleichung 49 Meßbr¨ ucke 147, 150 Meßdatenerfassung 237 Meßergebnis 36 Meßfehler absoluter 33 relativer 33 systematischer 33, 34 zuf¨ alliger 33, 34 Meßwandler Grundlagen 171 Meßwerk Eigenverbrauch 133 elektrodynamisches 64, 132 elektromechanisches 47 Messung Blindwiderstand 148 Induktivit¨ at 159 Kapazit¨ at 159 komplexe Impedanz 150 ohmscher Widerstand 146 Scheinwiderstand 148 Zeit und Frequenz 216 Mittelwert 34 Mittelwertbildung 214 Modulationsgrad 244 Momentanleistung 127 Morgansche Gesetz 217 Nachlauf-Umsetzer 188, 195 Nenn¨ ubersetzungsverh¨ altnis 171 Netzwerke linear 1 nichtlinear 25 Newton-Verfahren 62, 80 Nyquist-Formel 117 Oberwellenbestimmung Offsetspannung 90 Offsetstrom 92 Operationsverst¨ arker Grundlagen 88 Kenngr¨ oßen 88

85

Kleinsignal-Ersatzschaltbild 88 Operationsverst¨ arkerschaltung invertierende 93 nicht-invertierende 94 subtrahierende 95, 102 Oszillator Grundlagen 215 harmonischer 215 Relaxations 216 Wien-Robinson 234 Oszilloskopeingang 178 Parallelersatzschaltbild Induktivit¨ at 148 Kapazit¨ at 149 Periodendauer 53 Phasenbedingung 216 Phasenwinkelmessung 213 Pr¨ azisionszweiweggleichrichter realer 113 Prim¨ arspannung 171 Prim¨ arstrom 171 Prim¨ arwicklung 171 Quantisierung 241 Quantisierungsfehler 188 Quantisierungsintervall 241 Quantisierungsrauschleistung

241

Rahmend¨ ampfung 48, 59 Rausch-Ersatzspannungsquelle 117 Rausch-Ersatzstromquelle 117 Rauscheingangsspannung aquivalente 118 ¨ Rauschen W¨ armebewegung 117 Weißes 117 Rauschleistung 117, 237 Rauschquelle 117 Rauschspannungsdichte 118 Rauschstromquelle 118 RC-Tiefpaß 214, 219 Referenzspannung 187 Reihenersatzschaltbild Induktivit¨ at 148 Kapazit¨ at 149 Relaxations-Oszillator 216 mit NICHT-Gatter 230 mit Timerbaustein IC 555 233 Resonanzverfahren 151

261

262

Index

RS232C-Schnittstelle 247 Pegelfestlegung f¨ ur Datensignale 248 R¨ uckkopplungsnetzwerk 215 R¨ uckstellmoment 48

Stromteilerregel 52 Strom¨ ubersetzungsverh¨ altnis Stromvielfachmeßger¨ at 72 Stromwandler 172, 173 Superpositionsprinzip 87

S¨ agezahngenerator 198 S¨ agezahnspannung 207 Sample & Hold-Schaltung 110 Scheinleistung 128 Scheitelfaktor 55, 83 Schmitt-Trigger 216, 230 Eingang 231 mit Hysterese 216 Schwankung 34 Sekund¨ arspannung 171 Sekund¨ arspule 171 Sekund¨ arstrom 171 Sekund¨ arwicklung 171 Serienresonanzfrequenz 163 Serienschwingkreis 163 Shannonsches Theorem 237 Signal/Rausch-Abstand 237, 244 Signal/Rausch-Verh¨ altnis 117 ff, 237, 241 Single-Slope-Umsetzer 188, 198, 207 Slew-Rate 91, 111 Spannungs-Frequenz-Umsetzer 189, 209 Spannungsfehlwinkel 175 Spannungspfad 129 Spannungsspule 129 Spannungsteiler frequenzkompensierter 178, 179 Spannungsteilerregel 52 Spannungswandler 175 Sperrspannung 100 Spitzenwertmessung 79 Sprungantwort 7 Standardabweichung 34 Streuinduktivit¨ at 171 Stromempfindlichkeit 84 Stromfehlwinkel 173 Strommeßschaltung 105, 116 Strompfad 129 Stromquelle spannungsgesteuerte 102 Stromspule 129

Talker 239 Talker-Handshake 250 Tastkopf 178, 179 Tastverh¨ altnis 73 Timerbaustein IC 555 221 Torzeit 199, 213 Transformator 171 Transitfrequenz 93 ¨ Uberlagerungssatz 87 ¨ Ubertragungsgeschwindigkeit ¨ Ubertragungsrate 237

172

237

Verlustfaktor 148, 149 Verlustleistungsmessung 132 Verst¨ arker Rauschersatzschaltung 118 Verst¨ arkungs-Bandbreite-Produkt 115 Vertrauensbereich 35 Vertrauensfaktor 36 Vielfachmeßger¨ at 69 virtuelle Masse 93 Vollweg-Gleichrichter 55 Wattmeterkonstante 131 Wechselstrombr¨ ucke 150 Welligkeit 219 Wheatstone Meßbr¨ ucke 147 Widerstandsrauschen 117 Wien-Robinson-Oszillator 234 Wirkleistung 127, 128 x-Ablenkkoeffizient

178

y-Ablenkkoeffizient

178

Zeigerdiagramm 138 Zeit-Spannungs-Umsetzer Zeitkonstante 191 Zweidrahtmessung 42 Zweiweggleichrichter 55 aktiver 100

214, 218

92,

Druck: Mercedes-Druck, Berlin Verarbeitung: Stein + Lehmann, Berlin